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Timestamp: 2018-04-22 17:52:36+00:00

Document:
Escrito por José Javier Escribano Benito
Aprendizaje interdisciplinar de cicloides y fractales
Sistema multimedia destinado al aprendizaje interdisciplinar de curvas cicloides y fractales
e-mail: jose-javier.escribano @ dmc.unirioja.es
José Miguel Ayensa Esparza
4.4 Contenidos del Sistema Multimedia
En la década de los 90 tuvo lugar una eclosión del uso de microordenadores como instrumentos de adquisición e intercambio de datos, potenciada por la aparición de Internet, presente en todos los ámbitos de la vida cotidiana. La Educación, donde la transmisión e interpretación de la información es un componente básico de la enseñanza/aprendizaje, se ha visto afectada por el auge de las Nuevas Tecnologías de la Información y de la Comunicación.
La evolución de los medios de enseñanza a lo largo de la última década no es sólo una consecuencia del avance tecnológico, que facilita la inclusión de los medios informáticos en el aula, sino del cambio producido en el mundo de los adolescentes, cuyo vehículo de transmisión de la información que reciben y generan es ahora diferente a la tradicional expresión oral y escrita. El lenguaje audiovisual y la interacción de los niños y adolescentes con los ordenadores en los juegos, búsqueda en Internet, conversaciones en chat, etc. mediatiza la interpretación de la información que les llega a través de cualquier medio. La mayoría de ellos están acostumbrados a utilizar dispositivos, máquinas, teléfonos móviles y ordenadores, con lo que se han habituado a un nuevo código de expresión. Esto sugiere que los medios informáticos son instrumentos que pueden favorecer el aprendizaje. El hecho de que la informática educativa haya sobrepasado a otras tecnologías audiovisuales, como el vídeo, DVD, audio, proyectores, etc., hay que imputarlo además a las posibilidades interactivas que ofrecen los Sistemas Tutoriales Informáticos.
Aunque los medios informáticos ofrecen posibilidades interesantes en el proceso de enseñanza/aprendizaje, no son herramientas de trabajo neutras, porque introducen ciertos sesgos, valores y características propias. De hecho, todavía no se han incluido en las aulas -y las de matemáticas, física y dibujo no son excepción- los medios informáticos de forma generalizada, y constituyen actividades de tipo “extraordinario” o especial por una serie de razones, entre otras porque es necesario conocer la forma en la que han de integrarse en el desarrollo del currículo. En esta experiencia se muestra cómo puede combinarse el trabajo habitual de clase, de pizarra, lápiz y papel con el empleo de herramientas multimedia.
Hemos señalado que el ordenador, como herramienta didáctica, no es una herramienta de trabajo neutra, y que no se ha generalizado su uso en las aulas. Entre las razones que señalan algunos expertos cabe destacar:
La dificultad que conlleva el aprendizaje y manejo de ciertas aplicaciones informáticas; y relacionado con esto, la falta de práctica como instrumento de aprendizaje de un buen número de profesores.
Los escasos datos de la investigación educativa sobre los efectos que produce en el proceso de aprendizaje y en el “producto” logrado. De hecho, no se ha demostrado que ejerza sobre los alumnos que emplean el ordenador un efecto de mayor desarrollo de la capacidad intelectual ni en el aprendizaje significativo.
La introducción de contenidos que entran en competencia con los programas, de forma que introducen un “currículo paralelo” o distorsionan las del currículo programado.
El riesgo de inadaptación o falta de integración con las actividades habituales del aula -el marco general de la tarea cotidiana en clase- y el modelo de participación de los estudiantes en el proceso de enseñanza/aprendizaje. Este riesgo está relacionado con la imagen de “virtualidad” que tienen los alumnos de los contenidos de aprendizaje que se imparten en las aulas. Esto quiere decir que lo que aprenden en el aula lo consideran diferente a lo que se aprende en la “vida real”.
A pesar de que los medios informáticos no se hayan implantado de forma generalizada y constituyan actividades de tipo ?extraordinario? o especial, se ha constatado que actitud de los alumnos hacia las actividades realizadas con estos medios es claramente positiva. La familiaridad con medios informáticos hace que se pierda el carácter ?extraordinario? de las actividades con multimedia y que las realicen con satisfacción, lo que favorece su motivación. Más aún en aquellos alumnos que siguen itinerarios dirigidos a una mayor especialización científica, dado que encuentran herramientas alternativas a las resoluciones de problemas habituales “de lápiz y papel”.
Merece destacarse que el diseño de los Sistemas Multimedia en la enseñanza de las matemáticas, dibujo técnico y física ha de tener en cuenta la finalidad formativa del aprendizaje en esas materias y, en general, en cualquier otra. Están dirigidas al objetivo fundamental de adquisición de conceptos y habilidades procedimentales, que es el aprendizaje autónomo, es decir, el objetivo general de “aprender a aprender”. Y también se ha de tener en cuenta que el desarrollo del pensamiento deductivo ha de producirse de forma paralela al desarrollo del razonamiento empírico-inductivo. Éste se fomenta por medio de tanteos previos y la observación de las consecuencias que acarrea la modificación de las condiciones iniciales. Por ello, el empleo de sistemas multimedia está dirigido hacia el desarrollo de la capacidad hipotético-deductiva y al trabajo autónomo, dando al trabajo en el ordenador un carácter eminentemente experimental. La experiencia que mostramos trata un área o parcela poco habitual en la enseñanza de la geometría, dado que se circunscribe sólo a la resolución de problemas “curiosos”, relacionados con cicloides y fractales. El estudio de cicloides está contemplado en el currículo de dibujo técnico y en matemáticas (Matemáticas II, del Bachillerato de Tecnología y Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, y Matemáticas de la Forma, de la modalidad Bachillerato de Artes). De forma colateral, las curvas cicloides se contemplan en problemas de física, en la descripción de movimientos combinados de rotación-traslación (y al estudiar el modelo histórico del geocentrismo para explicar los movimientos celestes antes del modelo heliocéntrico).
Por otro lado, conviene recordar que la atención a la diversidad exige la adaptación del currículo a las capacidades de los alumnos. En el sistema educativo actual se prevén tres vías para el tratamiento de la diversidad: las adaptaciones curriculares, la diversificación curricular y el espacio de la opcionalidad. La opcionalidad permite a los alumnos elegir itinerarios educativos que se adecúen a sus capacidades, intereses y aptitudes. En dos de los centros en que se ha llevado a cabo la experiencia se ofrece, a aquellos alumnos cuyos intereses y aptitudes permiten una mayor profundización en el área de las matemáticas, cursar en 2º y 4º de ESO Taller de Matemáticas. En dicha materia se abordan problemas que permiten acceder a una ampliación y profundización en geometría. Por ello, también se llevó a cabo la experiencia en esta materia.
Pese a las dificultades que suponíamos íbamos a encontrar al introducir problemas “raros” o “curiosos”, nos animaba el saber que las actitudes de los alumnos son claramente positivas cuando han tenido experiencias gratificantes; y en este caso utilizarían herramientas alternativas a las resoluciones de problemas habituales “de lápiz y papel”. Además, la familiaridad que tenían con los medios informáticos nos hacía suponer que se perdería el carácter “extraordinario” de las actividades con multimedia y que las realizarían con satisfacción, lo que favorecería su motivación.
Se consideró que, a menudo, los estudiantes tienen la concepción de que los aprendizajes adquiridos en la enseñanza son de tipo “virtual”, es decir, alejados de lo que les interesa aprender, que se “adquiere en la vida real”. Por ello, se pensó que se evitaría esta concepción si se procuraba aproximar los objetos de aprendizaje a los problemas corrientes que se plantean en la vida cotidiana, de modo que se lograría llamar la atención del alumno e interesarlo en un aprendizaje que consideraría más próximo, útil, ameno y, en definitiva, más motivador en la adquisición de procedimientos en geometría. También se planteó propiciar el aprendizaje por medio de la resolución de situaciones problemáticas de interés. Si el aprendizaje aparece a los ojos del estudiante como una búsqueda de soluciones a determinados problemas tomados de la vida real (aunque puedan parecer demasiado complejos), desaparece la separación “artificial” entre conceptos y resolución de ejercicios de aplicación (que no son verdaderos “problemas”). Por ello, se sugiere comenzar por proponer problemas o actividades que presenten situaciones problemáticas, relacionadas con la geometría de ruletas, cicloides y fractales, cuya resolución exige elaborar un plan que incluye el estudio de ciertos conceptos imprescindibles para el planteamiento del problema.
Los objetivos que planteamos en la experiencia son:
1. Conjugar el aprendizaje de conceptos y procedimientos de la geometría bajo el punto de vista de las matemáticas, la física (composición de movimientos de rotación-traslación) y el dibujo técnico de enseñanza secundaria, mediante el planteamiento y resolución de problemas “curiosos” relacionados con cicloides y fractales.
2. Orientar a profesores y alumnos en un método de trabajo en geometría que integra métodos tradicionales (resolución de problemas de “papel y lápiz”) con métodos innovadores, por medio de un Sistema Multimedia que combina diversas herramientas informáticas (Maple - cicloides, Visual Basic y LOGO - fractales).
3. Aportar una metodología innovadora de aprendizaje dirigido a la resolución de problemas relacionados con la geometría, con una perspectiva interdisciplinar, con el propósito de hacer más efectivo y atractivo el aprendizaje.
El proyecto se realizó con alumnos de 2º y 4º de ESO (Taller de Matemáticas), 1º de Bachillerato (Matemáticas y Dibujo Técnico) y 2º de Bachillerato (Matemáticas y Física). También puede realizarse (aunque en nuestros centros no se imparte esta materia) en Matemáticas de la Forma del Bachillerato de Artes.
La metodología que proponemos, en forma resumida, sigue la secuencia de trabajo expuesta en los puntos siguientes.
1. Se forman pequeños grupos de trabajo a los que se propone la elección de un problema relacionado con la geometría de cicloides o fractales. La propuesta de trabajo en equipo permite desarrollar habilidades sociales. El trabajo en pequeño grupo facilita las interacciones alumno-alumno. La ejecución de una tarea científica colectiva suele ser mejor que la individual: la actuación conjunta de todos los miembros del grupo permite estructurar mejor las actividades y evitar el desánimo, porque es más facil encontrar estrategias de resolución en grupo. Se ha procurado que los materiales necesarios para llevar a cabo las actividades estén al alcance de todos o puedan construirse con materiales caseros.
2. Se elabora un plan destinado a resolver el problema planteado, que incluye la exploración de la información contenida en la aplicación multimedia y la búsqueda de una estrategia de resolución acorde con los conocimientos previos necesarios, con el curso al que pertenecen los alumnos y con el nivel de los grupos de trabajo. Éstos dependen de los contenidos estudiados en matemáticas, física o dibujo y del nivel (primer ciclo de ESO, 2º ciclo de ESO y Bachillerato) que cursan. Ya se ha señalado que en el caso de los alumnos de ESO es preciso incidir más en los aspectos procedimentales, aunque conviene resaltar que se trata de conjugar aspectos conceptuales con contenidos procedimentales. Hay que tener en cuenta que en la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias se trata de desarrollar destrezas dirigidas a la elaboración de estrategias destinadas a la resolución de problemas (o cumplimentar una determinada demanda u objetivo). Los estudiantes emplean estrategias de aprendizaje cuando son capaces de ajustar lo que hacen (y lo que piensan) a las exigencias de la actividad que tienen que realizar.
3. Se resuelven los problemas planteados, de forma tradicional (lápiz y papel) y se analizan los resultados. Conviene que en el análisis de resultados se adelanten las soluciones que cabría esperar en determinadas situaciones. Con posterioridad se comparan con las soluciones que se sugieren en las actividades contenidas en cada sección del Sistema Multimedia.
4. Los resultados obtenidos se presentan a los compañeros en clase, describiendo el planteamiento del problema y el modo en que se ha obtenido la solución. Podría pensarse que la realización de actividades “sencillas” y “diferentes” a las tradicionales de clase, “distraen” al alumno y rompen el hilo conductor teórico programado en el currículo, lo que redundaría en detrimento del aprendizaje conceptual. Como respuesta a esta idea cabe indicar que la enseñanza no persigue, como ingenuamente suele aceptarse, la acumulación de conocimientos, entendida como suma de aprendizajes puntuales, sino la reestructuración de la estructura mental del alumno, quien ha de adaptarla a los nuevos objetos de aprendizaje.
5. Se ensayan también las soluciones que se dan, a título de hipótesis, en el análisis de resultados. Se abordan otros problemas que contemplen todos los casos que se presentan en este Sistema Multimedia, siguiendo una secuencia de menor a mayor complejidad.
Hemos indicado la formación de grupos de trabajo (de 3 ó 4 alumnos) a los que el profesor asigna una de las actividades que figuran en la aplicación multimedia, se adecúan a las características de los estudiantes, de modo que la dificultad para realizarla sea acorde con las aptitudes de los alumnos del grupo (el profesor ha de valorar antes las actividades idóneas para plantear a cada grupo de trabajo). Se les pide a los alumnos que tracen un plan de acción, que incluye “navegar” por la aplicación multimedia, con objeto de que accedan a la información que en ella se proporciona.
Las actividades se presentan agrupadas en tres niveles:
Descripción de las imágenes fractales identificando la parte que se reitera indefinidamente. Con ello se intenta que el alumno utilice el lenguaje y los métodos habituales de las matemáticas para comunicarse de manera precisa y rigurosa. También se pretende que el alumno identifique formas y relaciones espaciales, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas.
Dibujo y realización, con diferentes materiales, de algunos fractales (en sus primeros niveles). Se constata que muchos alumnos (incluso los que no tienen interés por la materia) son sensibles a la belleza de estas construcciones y se sienten motivados por ellas. Se intenta que las actividades contribuyan a la comprensión de las relaciones entre el lenguaje visual y plástico y el lenguaje matemático, y a favorecer la adquisición de las técnicas básicas para dibujar con precisión figuras geométricas.
Determinar la longitud, y el área limitada por una curva fractal en sus primeros niveles y cuantificar diferentes elementos (número de lados, de triángulos,...). Esto permite que el alumno utilice diferentes conceptos geométricos, manipule expresiones numéricas e identifique y describa regularidades, pautas y relaciones en formas geométricas similares.
Buscar fractales en la web y en la naturaleza. Estas actividades permiten que el alumno se familiarice con la búsqueda de información en Internet. Y que conozca e identifique las formas espaciales, para conseguir un mejor conocimiento del mundo real.
La “visualización” de las cicloides como curvas mecánicas generadas por la trayectoria de un punto y su construcción con materiales adecuados puede servir para introducir de forma intuitiva el concepto de lugar geométrico.
La búsqueda de métodos sencillos (sin herramienta matemática) para relacionar la longitud de un arco de cicloide con el diámetro del círculo, o la superficie que encierra un arco de cicloide con la superficie del círculo, permite la formulación y comprobación de conjeturas acerca de propiedades geométricas.
En general, las actividades previstas en esta aplicación permiten “identificar las formas y relaciones especiales que se presentan en la realidad, analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo sensible a la belleza que generan”, que es uno de los objetivos previstos en las enseñanzas mínimas para la ESO (R.D. 1007/1991) en esta etapa.
Se introducen los conceptos de sucesión, límite de una sucesión, progresión geométrica. Por ello, consideramos que es el momento de pedir al alumno que desarrolle procesos de inferencia, descubriendo leyes generales para un fractal de nivel n a partir de los datos obtenidos en los primeros niveles. En particular, se propone que el alumno calcule la longitud y el área encerrada por una curva fractal mediante un paso al límite.
Las curvas fractales deben servirnos también para profundizar en los conceptos de semejanza, movimiento y homotecia en el plano.
Estudio de lugares geométricos: las cicloides, hipocicloides y epicicloides como el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un punto. Las ecuaciones más sencillas de estas curvas, sus propiedades y su presencia en la ciencia y en la técnica.
Análisis de los casos particulares más notables: cardioide, nefroide, deltoide y astroide. El enfoque que debe darse al estudio de dichas curvas contempla un desarrollo en profundidad de los procedimientos relacionados con el trazado de éstas. La medición de áreas y longitudes debe realizarse con técnicas experimentales o razonamientos intuitivos que no requieran del uso del cálculo integral.
Construcción de las cicloides, epicicloides e hipocicloides normal, alargada y acortada. Trazado de tangentes y normales. Y la construcción de la envolvente de la circunferencia.
Los fractales son un buen pretexto para que los alumnos de bachillerato reflexionen sobre los siguientes conceptos:
Longitud y área. Por ejemplo, la curva de Koch tiene longitud infinita -de hecho, la distancia entre dos puntos cualesquiera de la curva es infinito- y, sin embargo, delimita una superficie de área finita. La curva de Sierpinski ocupa totalmente el cuadrado en que se inscribe y limita una superficie cuya área son los 5/12 del área de dicho cuadrado.
Continuidad y derivabilidad. En la aplicación informática presentamos diversas curvas cerradas que son continuas y no derivables en ninguno de sus puntos.
Dimensión. Existen fractales, como la curva de Hilbert o la curva de Sierpinski, que pasan por todos los puntos de una superficie. Se proponen problemas relativos a identificar el tipo de fractales que se generan dadas las dimensiones de la curva y la superficie. Por ejemplo, si la dimensión de una curva es uno y la de una superficie es dos, ¿cuál es la dimensión de estas curvas que rellenan el plano?
Los fractales son un ejemplo excelente de procedimientos recursivos. Dada la importancia de este concepto en matemáticas e informática, se proponen algunas actividades dedicadas a que los alumnos se habitúen a utilizar procedimientos recursivos.
Las curvas fractales forman parte del currículo de la asignatura de Matemáticas de la Forma del Bachillerato de Artes y por ello, hemos incluido actividades destinadas al estudio de este tipo de curvas.
Conviene señalar que cuando el grupo de alumnos tenga asignada la actividad que debe resolver, ha de identificar el tipo de problema que se le ha planteado antes de abordarlo y acceder a la información conceptual del área correspondiente en el Sistema Multimedia. Por ejemplo, supongamos que se le plantea resolver el siguiente problema:
Un velocípedo similar a los que se construían en el siglo XIX se mueve en una superficie horizontal. ¿Cómo es la trayectoria, respecto de un observador inmóvil, de la válvula del neumático delantero? ¿Cómo es la del neumático trasero? ¿Y la del pedal?
La resolución del problema pasa por su planteamiento preciso, lo cual requiere la identificación del área conceptual pertinente. Por ello, el alumno ha de entrar en la página dedicada a CICLOIDES. El acceso a las páginas no requiere tener ningún conocimiento previo de aplicaciones multimedia. Bastará con acceder a la información y explorar el contenido de las mismas o seguir las indicaciones que se den en la propia página. En este ejemplo, los alumnos identificarán pronto que lo que se pide es la obtención de sendas cicloides (normales las correspondientes a las válvulas de los neumáticos delantero y trasero, y acortada la correspondiente al pedal).
Las actividades están diseñadas en Maple, Visual-Basic y LOGO. Están presentadas en soporte electrónico, en lenguaje HTML, con objeto de que puedan ser difundidas en Internet y utilizadas en el aula -en línea o en modo local- o en el hogar, por profesores y alumnos. No se necesita tener experiencia con editores de páginas web ni procesadores de texto, dado que basta con acceder al Sistema Multimedia y navegar por la aplicación.
El carácter interdisciplinar de nuestra propuesta favorece la relación de diferentes aspectos de una misma realidad y el establecimiento de conexiones entre los conocimientos de diferentes áreas instrumentales, lo que redunda en aumentar la significatividad del aprendizaje. El abordar problemas relacionados con las matemáticas, la física y el dibujo permite ofrecer una visión más cercana del aprendizaje a los problemas cotidianos, porque se favorece adquirir un punto de vista amplio de la utilidad de los contenidos.
Se ha procurado poner énfasis en las relaciones ciencia-tecnología-sociedad; no sólo en el aspecto “práctico” de las actividades propuestas, sino en el propio tratamiento de los contenidos conceptuales, en los que hace alusión a la historia de la ciencia y de las matemáticas y se citan personajes históricos que han realizado importantes aportaciones a la geometría, a la física o al dibujo. Con este fin, se ha incorporado un glosario biográfico al que se accede por hipertexto.
Se han incluido un conjunto de actividades al final de cada sección. Su ubicación “al final” de las secciones no ha de entenderse como que constituyan un apéndice o colofón de éstas, sino que se utilizan como actividades problemáticas o problemas que han de resolverse a partir de los conceptos pertinentes.
Cicloides y ruletas [hacer click sobre el título para acceder al módulo]
Cicloides y Ruletas
Fractales [hacer click sobre el título para acceder al módulo]
Anticristal de nieve
Curva de Mandelbrot
Indicaciones para el profesor
Descargar archivos en LOGO
Glosario Biográfico [hacer click sobre el título para acceder al módulo]
Al analizar los resultados obtenidos y la opinión de los alumnos, que se recabó al finalizar la experiencia, cabe señalar que los estudiantes valoraron de forma positiva el haber trabajado de forma autónoma en los grupos, pese a que al principio requerían a menudo la ayuda del profesor.
Los alumnos mostraron al principio cierto temor a compaginar el trabajo habitual de clase con el ordenador, porque están poco habituados a armonizar ambos. El hecho de utilizar métodos tradicionales combinados con métodos innovadores o recursos variados facilita la superación del “miedo” o “respeto” inicial, al darse cuenta que el ordenador no es sino un material o herramienta útil que facilita el trabajo en la resolución de problemas. Con todo, hay que remarcar las diferencias entre los alumnos que habían tenido como materia optativa Informática en cursos anteriores, o que disponen en su domicilio de ordenador y conexión a Internet, de los alumnos que entran en contacto por primera vez con el ordenador. Los primeros se movían con soltura y realizaron pocas preguntas al utilizar el Sistema Multimedia, mientras que los segundos mostraron falta de confianza e inseguridad. Con el fin de evitar que los alumnos sin experiencia con el ordenador estuvieran solos, se hicieron los grupos teniendo en cuenta este aspecto y el nivel de competencia de los integrantes. También se procuró que fueran los alumnos con poca experiencia en el ordenador los que tuvieran mayor acceso al teclado del mismo, con el propósito de evitar que resultaran marginados por los alumnos habituados a su manejo.
Merece destacarse también que no todas las tareas que realizaron los alumnos son valoradas de igual forma. Por ejemplo, una de las tareas que menos les gustaba era la presentación en clase ante los compañeros de los resultados de los problemas o actividades que habían hecho, y mostraban falta de confianza, cierta vergüenza y nerviosismo. Este problema fue mayor en los primeros grupos y disminuyó a medida que adquirieron cierta “familiaridad“. También calificaron de “muy complicadas” las tareas relacionadas con el planteamiento y búsqueda de “estrategias de resolución”, etapa en la que recabaron con asiduidad la ayuda del profesor.
La utilidad del ordenador fue valorada más en el trabajo con fractales que en el trabajo con cicloides, en el caso de los alumnos de Matemáticas. Tal vez porque en el ordenador comprobaban que la evolución de las series (desarrollo de los “árboles”) o la evolución de éstas era la correcta. Dicho de otro modo, con el sistema multimedia confirmaban si se cumplían las hipótesis, esto es, comprobaban que se obtenía lo que esperaban.
También señalaron que los problemas planteados eran “más reales” (cercanos a la realidad) y más amenos que los propuestos habitualmente en clase. E indicaron que se habían interesado más por las actividades, ya que tenían que realizarlas ellos solos y presentarlas al resto de la clase. Así mismo, merece destacarse que los estudiantes apreciaban que la seguridad en sí mismos había aumentado, porque los problemas y actividades presentadas (pese a que se tratan conceptos complicados) estaban al alcance de sus posibilidades.
El profesor, salvo en la fase preliminar de formación de grupos y proposición de problemas o tareas, se limitó a adoptar un papel “secundario” de apoyo o consulta cuando un grupo no avanzaba en la realización de la actividad propuesta. Al ser consultados los alumnos sobre el papel adoptado por el profesor, hubo diferencias de opiniones: algunos mostraron cierto desacuerdo con el papel secundario adoptado, y manifestaban estar más acostumbrados a trabajar de una forma más dirigida. Con todo, admitían que era necesario habituarse a trabajar de forma cada vez más autónoma, siempre y cuando estuviese claro el objetivo o meta que debían alcanzar.
Por último, la inmensa mayoría manifestó que deseaban realizar actividades similares, en las que se compaginaría la resolución de problemas mediante métodos o materiales tradicionales con sistemas multimedia, en otras áreas de la geometría, las matemáticas o la física (en el caso de los alumnos de Física).
Hoy han proliferado aplicaciones informáticas destinadas al aprendizaje, aunque todavía no se han incluido en las aulas de forma generalizada, porque su uso no está exento de dificultades y, sobre todo, porque es necesario que se integren en el trabajo cotidiano del aula como una herramienta más destinada al desarrollo del currículo. En este trabajo se describe una experiencia de utilización de un Sistema Multimedia destinado al aprendizaje en educación secundaria de problemas curiosos de cicloides y fractales. La aplicación multimedia está realizada con diferentes herramientas informáticas presentadas en soporte electrónico en lenguaje HTML, con la intención de que puedan ser utilizadas en cualquier aula y difundidas a través de Internet. La experiencia se ha llevado a cabo en diferentes centros con alumnos interesados en la profundización y especialización en áreas relacionadas con la geometría de curvas cicloides y fractales. En ella se ha mostrado cómo puede combinarse el trabajo habitual de clase, de pizarra, lápiz y papel, con el empleo de herramientas multimedia. De este modo se presenta la manera de combinar el trabajo habitual del aula, de resolución tradicional de problemas curiosos relacionados con cicloides y fractales con el empleo de las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación.
Las actividades presentadas y el contenido del sistema multimedia tienen una perspectiva interdisciplinar que integra matemáticas, física y dibujo técnico. El carácter interdisciplinar de la experiencia permite a los alumnos (y a los profesores) establecer conexiones entre los conocimientos de diferentes áreas instrumentales y aumentar la significatividad del aprendizaje. Además se logra adquirir una visión del aprendizaje más cercana a los problemas cotidianos, porque se favorece tener un punto de vista amplio respecto de la utilidad de los contenidos. No se han olvidado las relaciones ciencia-tecnología-sociedad, porque se mencionan episodios de la historia de la ciencia y se citan personajes históricos que han contribuido al desarrollo de la geometría, la física o el dibujo, a cuya biografía se accede por hipertexto.
Además de las aportaciones metodológicas, en las que se ha puesto énfasis con el propósito de mostrar el modo de combinar el trabajo habitual en el aula, sobre resolución tradicional de problemas, con el empleo de las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación, se ha ofrecido una valoración del trabajo desarrollado por los alumnos y las dificultades encontradas. Se destaca que la utilidad del ordenador fue mejor valorada por los alumnos de matemáticas en el trabajo con fractales que en el trabajo con cicloides, porque con el Sistema Multimedia confirmaban si se cumplían las hipótesis o las soluciones obtenidas con medios tradicionales.
Se pone de relieve que los alumnos realizan con agrado las actividades que se les propone, entre otras razones porque los Sistemas multimedia son atractivos para los alumnos habituados a navegar con el ordenador. Por último, cabe resaltar que se vislumbra un campo extenso de utilización de las aplicaciones multimedia en otras áreas de la geometría, las matemáticas o la física de una forma integrada en el currículo de estas materias, porque se pueden hacer compatibles con el trabajo habitual del aula.
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José Javier Escribano Benito es doctor en Matemáticas y catedrático de Matemáticas en el IES Valle del Cidacos (Calahorra).
María Pilar Jiménez Pomar es licenciada en Ciencias Matemáticas y catedrática de Matemáticas en el IES Marco Fabio Quintiliano (Calahorra).
María Teresa Pérez Álvarez es licenciada en Ciencias Matemáticas y profesora de Matemáticas en el IES Marqués de Villegas (Nájera).
José Antonio Virto Virto es licenciado en Ciencias Matemáticas y profesor de Matemáticas en el IES Marco Fabio Quintiliano (Calahorra).
Este grupo de profesores se ha interesado por la introducción de las Nuevas Tecnologías en la clase de matemáticas, elaborando materiales didácticos en formato electrónico.

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