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Timestamp: 2018-07-18 08:18:15+00:00

Document:
Estudio sobre espejos en el aula
Los espejos: teoría
Casos concretos en la fotografía
Casos concretos en el dibujo
Los espejos y el juego del billar
Las reflexiones múltiples
La hora invertida
Los espejos y la perspectiva
Dar a conocer la teoría fundamental sobre los espejos.
Establecer los fundamentos que sustentan las imágenes especulares.
Desarrollar los contenidos básicos sobre las imágenes reflejadas.
Aplicar los principios de la perspectiva a las imágenes especulares.
Estimular el desarrollo de metodologías didácticas desde un punto de vista matemático aplicado bajo los contenidos que involucran a los espejos.
Proponer ejercicios para resolver de forma intuitiva y analítica relacionando las imágenes especulares con teorías geométricas.
Estimular el aprendizaje del conocimiento relativo a las simetrías de tipo axial, central e inversa.
Facilitar el entendimiento de las imágenes especulares mediante imágenes.
Involucrar el ámbito geométrico y artístico, buscando relaciones e interacción, así como analogías que expliquen la relación entre ambos.
Promover un aprendizaje de las matemáticas basada en la explicación mediante imágenes bajo los contenidos que subyacen en este tema.
Explicar las relaciones físicas y matemáticas respecto a las imágenes especulares, establecer las relaciones que existen entre ambas y formalizarlas mediante una teoría explicativa.
Establecer metodologías didácticas que cohesionen el ámbito teórico de las imágenes especulares y el descubrimiento de las formas en ejemplos concretos de la naturaleza.
Para poder evaluar los trabajos del alumnado, hemos establecido en dos clases los principios básicos de las reflexiones y que aquí se abordan de forma somera en la teoría. Hemos explicado mediante imágenes fotográficas y de ordenador los distintos modelos que generan imágenes especulares en los objetos, bien sea porque las caras de los objetos son reflectantes o porque son directamente espejos. A los alumnos se les ha propuesto realizar ejercicios de formas geométricas y hacer un cálculo de sus reflexiones a partir de la teoría.
Podemos valorar a la luz de la evaluación de los trabajos que la resolución de estos ejercicios fue eminentemente práctica y los recursos del dibujo prevalecieron sobre la teoría.
También pudimos comprobar que hay una estrecha correlación entre el interés por el ámbito artístico y del dibujo y el descubrimiento de las formas que se reflejan sobre otras, esta correlación sirvió de estímulo para los descubrimientos de las imágenes reflejadas que había que resolver en los distintos ejercicios.
A continuación se muestra el ejercicio propuesto, se trata de un conjunto de piezas en distintas posiciones casi siempre configuradas mediante una disposición aleatoria de prismas, a veces en posiciones oblicuas o con planos con pendiente. Se trata de concebir que cada una de esas piezas contiene caras que son espejos, reflejando todo lo que está alrededor. Se pide también coger una de las piezas y concebir las sombras propias y proyectadas, así como la interacción de los reflejos con las sombras.
Previamente a los alumnos se le han puesto numerosos ejemplos, han visto imágenes, se le ha transmitido la teoría matemática sobre simetrías que explica estas relaciones y los principios fundamentales de la geometría proyectiva que transforma las caras en su sombras, así como la combinación de ambas teorías para explicar los reflejos de las sombras. También han visto varios blogs y videos explicativos sobre el tema.
Hay que mencionar que no es un ejercicio de fácil resolución y los fallos son múltiples, no obstante los principios generales se nota que fueron entendidos y los fallos se deben usualmente a haber practicado poco y no haber sido corregido en cada momento acerca de los fallos. Ello es debido también a que los contenidos referentes a reflejos sobre espejos apenas aparecen concebidos en las guías docentes relativas a la asignatura.
En la siguiente imagen podemos ver un ejercicio previo en el que los alumnos practicaron también considerando que cada una de las caras de estos prismas eran espejos, tiene más fácil resolución que el anterior ya que es una misma pieza bajo distintos puntos de vista, por lo que los reflejos son todos semejantes en las distintas perspectivas, teniendo en consideración que la perspectiva de los reflejos también varía.
Podemos inferir que la evaluación fue positiva ya que al observar las imágenes se perciben como caras reflejadas dentro del prisma, y eso sin tener en cuenta que no se hizo un cálculo de sombras, ejercicio que tendría más difícil resolución ya que interactúa con el cálculo de reflejos.
Fundamentos pedagógicos para el desarrollo de la intuición mediante ejercicios de reflejos en espejos.
Según la concepción de intuición, que significa mirar, entendemos por ella la forma especial en la que el conocimiento actúa cuando tiene presente el objeto, en consecuencia podemos decir que lo mira, que lo aprende con la claridad con la que vemos las cosas cuando las tenemos ante nuestra vista. La forma intuitiva es adecuada para el desarrollo primario de los principios matemáticos, ya que ella nos permite la penetración para llegar a la solución de los problemas sencillos o a la etiología o fundamentos de los principios que lo sustentan.
Se habla con frecuencia de intuición geométrica o matemática, usualmente para indicar la facilidad o un acierto con el que se solucionan casos prácticos mediante una especie de mecanismo psicológico o visión inmediata que encauza y hace converger datos previos con los principios de esa ciencia, todo ello con el fructífero objeto de poder aplicarlos con acierto a un posterior análisis de la misma.
En didáctica es importante el método intuitivo ya que atiende al trabajo personal del alumno situándolo ante realidades concretas que ofrecen múltiples puntos de apoyo y mayores núcleos de interés que las abstracciones y las elaboraciones puramente verbales. Éste sistema de enseñanza, muy apto para la edad infantil, primaria y secundaria, es visto con recelo en la enseñanza de adultos ya que se piensa que puede interferir en operaciones intelectuales más avanzadas de síntesis, razonamientos, generalizaciones, inferencias, etc., sin embargo la intuición no obstaculiza los demás procedimientos sino que es un modelo complementario que facilita el entendimiento de otros procesos.
En este trabajo hemos elegido un método de intuición mixta en base a que, conforme a su etimología, equivaldría a visión y se refiere expresamente a aquello que primariamente entra por la vista proyectándose a las demás facultades del conocimiento. Consideramos además que la vista, respeto a otros sentidos, es mayor en su perfección en orden al conocimiento, de lo que se desprende una forma más perfecta del conocimiento a partir de lo visual. La vista nos proporciona certeza e inmediatez, como la intuición, que se apoya en realidades concretas y de una forma esencial extrae valores sensibles e intelectuales que ya son objeto del análisis de nuestra parte racional, el cortex prefrontal.
En estos ejercicios los alumnos desarrollan ejercicios sobre espejos relacionados con la simetría espacial especialmente mediante los recursos de la intuición, sin menoscabo de otros procedimientos que facilitan la construcción de los ejercicios.
En la historia del desarrollo de la intuición se presenta el acto intuitivo desde un punto de vista empirista que admite la intuición sensible, es fundamentalmente el modelo para resolver los ejercicios según hemos podido comprobar. Más adelante hay una intuición racionalista que bajo un punto de vista más intelectual razona con los principios matemáticos de la reflexión, de las simetrías que se perciben en el espacio; hay además una intuición irracional basada en elementos emotivos, sentimentales, y en otro tipo de emociones que tienen mucha carga en el estudio de las reflexiones en los espejos, tan utilizados en el mundo audiovisual y cinematográfico, en efectos especiales de trucos y en otros de más difícil resolución. La idea de detrás del espejo como algo paranormal es una expresión con todo el sentido y fundamento matemático que nos sigue sobrecogiendo, no en vano se ha utilizado en numerosas películas de terror, y a veces hasta de humor como con Groucho Marx ante el espejo en “Sopa de ganso”, este sentido a veces lúdico supone en no pocas ocasiones un estímulo para el descubrimiento de propiedades intrínsecas acerca de los espejos, el misterio siempre supone un reclamo para el aprendizaje.
En los ejercicios se muestran una serie de piezas en las que debemos obtener la reflexión de las distintas caras imaginando que todas fueran espejos, como podemos ver, casi es mirar el ejercicio y saber la solución, es una intuición de tipo existencial, concreta, si necesitamos no obstante obtener las imágenes de una forma deductiva entraremos en una intuición esencial o conceptual, ligada a una intuición eidética, ponderando ambas bajo una estimación valorativa de la intuición.
Una vez que hemos evaluado las distintas imágenes y la resolución de las caras y aristas reflejadas sobre otras caras, observamos que la visualización ha sido clave para el desarrollo los ejercicios, sin menoscabo del razonamiento acerca de la simetría espacial, usualmente el conjunto de experiencias llevaron a la resolución de los ejercicios de modo inmediato, podemos decir que casi todos están basados en una primera intuición, en una visión unitaria holística, global y rápida que resuelve los ejercicios aunque de forma no siempre acertada.
Usualmente la intuición sensible de captación en las imágenes, de las aristas de las formas que se reflejan directamente, fue el modelo básico para el descubrimiento de las caras reflejadas, no obstante el análisis formal o relacional de las distintas aristas o vértices que se reflejan no siempre produjeron buenos resultados por lo que observamos que en este ejercicio ha prevalecido la intuición sobre todo lo demás y como sabemos, la intuición es un recurso de descubrimiento pero no un artificio de formalización o de discernimiento de leyes.
Si tenemos en cuenta la didáctica de Comenio acerca de la intuición sensible, podemos observar que, conforme seguía el método intuitivo, exhortaba a lograr un aprendizaje más eficiente al presentar el objeto mismo de la enseñanza, proponía incrementar las fotografías y grabados en textos escolares como modelo para tener un mejor aprendizaje, de manera que intuitivamente podíamos observar las imágenes y aprender de una forma más rápida, y la atenta observación de las imágenes podría propiciar la resolución de este tipo de ejercicios. Si bien la técnica se puede defender, máxime en ejercicios de la categoría de este trabajo, tampoco podemos convertir toda la enseñanza en una presentación concreta de objetos, además se ha propuesto en numerosas ocasiones que estos métodos son buenos en escolares de bajo desenvolvimiento intelectual o en niños pequeños, pero que el rendimiento es mayor cuando la intuición sensible es sustituida por la inteligible o mejor por un pensamiento más analítico. Tras el análisis de los trabajos pudimos concluir que ambos métodos, intuitivo y analítico, no se excluyen ni se contraponen, sino que se complementan.
Teoría de los espejos.
Espejos planos, espejos curvos. Tipos de curvatura de los espejos y la reflexión correspondiente.
Integración de imágenes especulares con las sombras.
Estudio analítico y algebraico de las imágenes reflejadas.
La relación de las matemáticas y la física en el ámbito de los espejos.
Teoría matemática sobre la imagen especular. Tipos de simetrías y su relación con los tipos de espejos.
La interrelación de las simetrías especulares y las perspectivas.
Metodologías didácticas para el descubrimiento y resolución de los ejercicios.
Análisis concretos de imágenes especulares en la ciencia, en el arte, en la geometría, en la naturaleza y en el entorno.
Imágenes múltiples, multiplicidad de simetrías.
Estética y proporción de imágenes especulares en el arte y en la naturaleza.
Cuando un punto se refleja en un espejo, se observa como si fuera el simétrico de ese punto con respecto al plano reflectante. En consecuencia para hallar la figura reflejada en un espejo tendremos que calcular la figura simétrica de la figura dada respecto al plano de simetría, que es el plano del espejo.
Desde el punto de vista de la física, conocemos que cuando un rayo luminoso incide sobre una superficie reflectante y toma contacto con ella en un punto, se desvía en una dirección de manera que el rayo reflejado sigue estas leyes: el plano determinado por el rayo incidente y reflejado es normal a la superficie reflectante y contiene a la normal a ella. Los ángulos formados por el rayo incidente y reflejado con la normal son iguales y se llaman de incidencia y reflexión, respectivamente. Si aplicamos todas estas leyes a la perspectiva resulta que los rayos que parten de un punto sólo hay dos que van directamente al punto de vista, uno es el rayo mismo y otro es el rayo reflejado, de lo que se desprende que el observador verá dos imágenes, la que corresponde a la imagen directa del objeto y la que corresponde a la imagen reflejada. Para la perspectiva del objeto y su reflexión, tenemos que la distancia de ambos al plano de simetría es igual, excepto en una perspectiva de cuadro inclinado.
De forma general podemos decir que la imagen reflejada por un punto sobre una superficie reflectante consiste en la perspectiva del simétrico del punto, respecto a ese plano reflectante.
La simetría que ofrecen los espejos es un tema lo suficientemente sencillo para poder enfocarlo bajo un principio pedagógico de la intuición en la que la visión inmediata de los objetos facilita el entendimiento en la resolución de los ejercicios.
La simetría plana se da por ejemplo en las sombras de los cuerpos, siendo el eje e la intersección del espejo con el suelo. La imagen del punto B se convierte en sí misma, por lo que es un punto doble. Las figuras reflejadas sobre el espejo plano, orientadas siempre a la inversa, se llaman virtuales pues se pueden ver directamente (no como las reales en las que es necesaria una pantalla para obtener su imagen, como algunas reflexiones de espejos cóncavos).
Si son 3 espejos tenemos 3 planos que dividen el espacio en 8 partes, por lo que tenemos 8 prismas (aunque 1 no se ve). La imagen de un prisma completo que servía en la figura anterior vale ahora para los prismas que están por debajo, siempre que los espejos tengan esta disposición aparecerá la figura en su según una imagen completa, independientemente de la colocación de la figura respecto a los espejos.
espejos podemos observar la primera consecuencia, hay una simetría espacial que transforma a A en B y en C produciendo sus imágenes inversas, pero la imagen D, que es una reflexión segunda, o imagen de la imagen respecto a A ya no es una simetría obtenida mediante perpendiculares a un plano. A se transforma en D por el equivalente en el plano a la simetría central (o una homotecia inversa negativa en la que las distancias al centro son invariantes). A se transforma en D por una simetría central en el espacio, donde la intersección de los espejos es el eje y cada punto tiene su homólogo a igual distancia y siempre en un plano perpendicular respecto al eje.
A la vista del ejercicio anterior podemos resolver de forma analítica el siguiente ejercicio:
Dada una recta marrón determinada por los puntos de coordenadas (4,2) y (8,8), determinar la imagen especular de la recta considerando dos espejos definidos por los puntos AB y AC.
La ecuación de la recta es inmediata: 8 – 2 tenemos 6 y 8 -4 tenemos 4. Tenemos que 6 dividido entre 4 es igual a la pendiente de la recta, esto es 1,5. Si la dibujamos observamos que corta al eje vertical en el punto -4, en consecuencia su ecuación es y= 1,5x -4.
La simétrica respecto al espejo AB tendrá el mismo punto de corte con el eje y pendiente negativa, por tanto su imagen tendrá por ecuación: y= -1,5x -4. Aparece en color rosa.
La simétrica respecto al espejo AC cortará en el eje vertical en el punto cuatro independiente será también negativa, como en el caso anterior, por tanto su actuación será y= -1,5x + 4. Aparece en color verde.
La imagen de ambas rectas será la misma y paralela a la original, por tanto su pendiente será la misma y el punto de corte con el eje vertical será cuatro, en consecuencia su ecuación será y= 1,5x + 4. Aparece en color azul.
La proyección ortogonal E1 de la esfera E sobre el suelo y su sombra están alineados en una recta que se corta en un punto G de T. Las imágenes de estos puntos E1’ y Es’ también se cortarán sobre G.
La reflexión sobre un espejo se basa en la simetría espacial de cada punto. En consecuencia, para calcular la imagen especular de objeto haremos la simetría respecto ese objeto, la simetría es espacial pero su proyección sobre el plano es una simetría plana, por lo que llega con entender la teoría algebraica acerca de la simetría plana.
Tenemos una simetría respecto al eje y cuando para todo valor de x se verifica que f(-x) es igual a f(x).
Tenemos una simétrica respecto al origen de coordenadas cuando todo valor de x se cumple que f(-x) = - f(x). Se califica de función impar
Tenemos una simétrica respecto al eje x si no cambia al sustituir –y por y. Son funciones no uniformes
Si tenemos la imagen reflejada de un segmento sobre un espejo y reflejamos Este sobre otro obtenemos una segunda simetría. Un teorema de Bravais demuestra lo que se puede ver en la imagen con facilidad, a saber, que el primer segmento y el tercero se pueden transformar uno en el otro mediante un giro cuyo centro es la intersección de las dos mediatrices de los segmentos que determinan los puntos transformados. Esto quiere decir que si tenemos la imagen de un objeto sobre un espejo y éste se refleja sobre otro, el primer objeto y su segunda reflexión se pueden obtener mediante un giro. También se deduce que la primera imagen es inversa pero la segunda no lo es, ya que se puede obtener respecto del objeto original por un giro.
si tenemos un segmento y se transforma en otro desde una simetría central de centro C y ahora aplicamos otra simetría central de centro D para obtener un tercer segmento, tenemos que el primero y el tercero se pueden obtener uno del otro mediante una traslación. Como sabemos que dos objetos que son uno simetría central del otro son realmente una segunda reflexión, el primero se transforma en el segundo mediante dos reflexiones y el segundo en el tercero mediante otras dos, por lo que el primero se transforma en el tercero mediante cuatro reflexiones.
En este ejemplo tenemos una función simétrica respecto al eje vertical y.
En la figura podemos observar una curva simétrica respecto al eje vertical y punto al cambiar x por –x obtenemos exactamente la misma función, por lo tanto es una función par o simétrica respecto al eje vertical.
En la figura observamos una función trigonométrica cuya curva es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Como podemos ver en la imagen tercera de este trabajo, una simetría central corresponde a una segunda reflexión.
En esta ecuación observamos que la curva es simétrica respecto al origen, es una función impar ya que al sustituir x por –x obtenemos la misma función pero con signo -, por tanto es simétrica respecto al origen de coordenadas.
En la figura tenemos una hipérbola cuya ecuación aparece en la imagen, es una función par ya que al sustituir x por –x, tenemos la misma función.
f(-x) es igual a f(x). El resultado es la misma ecuación.
Como podemos observar la curva tiene por x el eje de simetría, éste podría ser el espejo que proyectara una rama de la hipérbola y la transformara de forma virtual en la otra rama.
Aquí tenemos una función simétrica central respecto al origen de coordenadas. Es una función impar.
Como podemos observar f(-x) = - f(x).
Si tomamos un tramo de la curva correspondiente a un cuadrante, podemos observar que el otro tramo es simétrico central respecto al origen de coordenadas, tenemos por tanto el caso de una segunda reflexión, considerando ambos ejes ordenados como espejos que se cortan en su base en el origen de coordenadas.
Aquí tenemos una parábola simétrica respecto al eje x, como podemos observar no cambia al sustituir –y por y.
Por ejemplo, si cogemos el punto -3 para y, tenemos que (-3) al cuadrado pasa a ser tres positivo, en consecuencia es simétrica respecto al eje horizontal y pasa por el origen de coordenadas ya que cuando le damos a x el valor cero, obtenemos el mismo valor para y.
La semiparábola tiene por imagen respecto al eje x su simétrica, su imagen especular virtual respecto al eje principal coincide consigo misma.
Aquí observamos la reflexión de un segmento naranja sobre un espejo esférico cóncavo, como podemos observar el primer rayo incidente paralelo al eje principal incide en el espejo saliendo con un ángulo igual, la imagen real aparecen color rojo, ya que el ángulo incidente es igual al reflejado respecto a la tangente que pasa por F.
Si ahora tenemos un segmento verde vertical exterior y el espejo es convexo, podemos observar que el rayo se refleja también siguiendo la dirección real en color roja.
La reflexión del primero aparece en color naranja y la del segundo en color verde, se ha pasado por el punto medio o foco como establece la teoría pero sólo aplicable a la parábolas, de hecho la reflexión de los segmentos verticales que se transforma en verticales, conforme aparece en los libros, no es tal sino que tiene curvatura, y el extremo real del reflejo de esos elementos vendría dado por el rayo de color rojo reflejado, y no el que aparece en color negro, que es el que establecen los libros.
Aquí vemos a la derecha la imagen reflejada de un segmento vertical exterior al espejo convexo, como podemos observar la imagen del objeto siguiendo el cálculo anterior es una curva de aproximación hiperbólica. En el dibujo de la izquierda podemos ver la aproximación a la curva hiperbólica.
En la figura podemos observar una parábola con su directriz en color naranja y su foco A. si imaginamos un paraboloide de eje AC y un punto exterior W desde el que sale un rayo incidente que se refleja sobre sí mismo, tenemos que el serrallo es perpendicular al paraboloide, mientras que si trazamos otro rayo con un ángulo cualquiera sale reflejado con un ángulo igual al incidente de lo que se desprende que al prolongar ese rayo corta la anterior en W’, imagen especular virtual de W.
Aquí podemos observar un reflector parabólico en su interior y la reflexión de los puntos de la recta vertical HG. Como podemos observar la recta se transforma en esa curva roja de semejanza hiperbólica pero con una protuberancia cóncava en el entorno del punto A.
Para calcular la reflexión de cada uno de los puntos de la recta vertical naranja, por ejemplo, la imagen del punto D, trazamos una línea paralela al eje principal y sale reflejada por el foco A, trazamos una recta perpendicular a la parábola desde D y sale reflejada en la misma dirección y sentido contrario, la intersección de ambos rayos reflejados nos da el punto K. Si hacemos eso con varios puntos obtendremos la curva roja punteada.
Aquí podemos observar el ejercicio anterior con la teoría que explica su fundamento, al escoger un rayo paralelo al eje principal corta al reflector parabólico cóncavo en un punto por donde sale el rayo reflejado con igual ángulo respecto a la ortogonal a la parábola que el ángulo incidente, ya que en ese punto tenemos la tangente que es perpendicular a la normal o ejes de simetría. Y como otra recta perpendicular a la parábola desde D saldrá con la misma dirección aunque con sentido contrario, la reflexión del punto D no puede ser otro que el punto K.
En la figura podemos observar un punto exterior C a una esfera y dos rayos incidentes sobre la misma que proyectan rayos reflejados según simetrías sociales de ejes incidentes en el centro de la esfera. Como podemos observar la prolongación de sus rayos hacia el interior de la esfera no incide en el mismo punto sobre la recta ortogonal AC a la esfera desde C, ello es debido a un efecto de aberración óptica que no se detecta en las esferas especulares debido al pequeño tamaño de los objetos reflejados sobre ellas.
En este ejemplo podemos observar un punto naranja que se refleja a la izquierda sobre un espejo esférico cóncavo y a la derecha sobre un espejo convexo. En el primer caso tenemos que el rayo verde sale reflejado con un ángulo igual obteniendo la imagen del punto en la intersección del rayo reflejado con el rayo naranja normal a la espera desde H. A la derecha, sobre la esfera convexo observamos la imagen del punto K siguiendo el mismo procedimiento, un rayo cualquiera sale reflejado con un ángulo igual, esto es, simétricos respecto al rayo discontinuo azul y la intersección de esa recta con la recta KC nos determina la imagen del punto.
Como podemos ver en el caso de la derecha, cuando la esfera es convexa, la imagen siempre es de menor tamaño ya que será una especie de simetría respecto a la circunferencia, una especie de inversión, además la imagen es siempre virtual, que quiere decir que está detrás del espejo.
En el caso de la izquierda la imagen es real, que quiere decir que la podemos obtener sobre una pantalla y que no se ve directamente sobre el hueco cóncavo de la esfera.
Conforme a la explicación del ejercicio anterior, se puede plantear el siguiente ejercicio:
Dada una esfera en planta y alzado, determinar la posición exacta del foco de luz que la ilumina sin tener en cuenta ninguno de los objetos que aparecen reflejados sobre ella, salvo la reflexión del punto de luz o lustre (punto blanco a la izquierda de la esfera).
Podemos observar que un punto exterior K a la esfera, tiene por imagen especular a R, con aproximación al punto inverso K’1, cuanto más se acerca el punto K a la esfera su imagen R más se aproxima al punto inverso. El punto inverso K’1, es aquel que es simétrico del punto original K teniendo como eje de simetría a la circunferencia, se cumple que CK. CK’1=K.
En la imagen podemos ver la disparidad correspondiente a la aberración óptica al lanzar dos rayos incidentes sobre la esfera cóncavas desde H. La intersección con la ortogonal desde H a la esfera intercepta a los puntos A1 y R.
En la imagen podemos observar un cuadrado azul y su imagen especular en color amarillo, tenemos también un punto de vista H que determina en la perspectiva la relación entre el tamaño de la imagen respecto al objeto original. Como tenemos que los triángulos son semejantes, el lado verde es al violeta como el naranja es al de color rosa, de esta forma podemos obtener la dimensión del segmento JK.
Tenemos un objeto a la derecha y un punto de vista H, tenemos también un espejo que refleja el objeto cuadrado sobre el mismo, se pide calcular la longitud del espejo de altura para que se pueda observar la imagen ED del cuadrado en el lado que da al espejo.
Resuelto como el anterior, tenemos que el segmento vertical JK es al segmento ED como MH es a HL, ya que son triángulos semejantes.
Como lado del cuadrado vale la unidad y JK al despejar obtenemos que vale 0,67 el tamaño del espejo para la distancia de ese observador en perspectiva debe ser 0,67/1.
En la figura podemos observar un cilindro que está iluminado por un rayo láser cuyo rayo incidente sale reflejado con un ángulo igual respecto a la normal por el punto de contacto, la prolongación del rayo reflejado hasta un rayo que une el foco de luz con el centro de la circunferencia del plano por donde sale la luz es la reflexión del punto.
El rayo amarillo a se refleja según el rayo a’, con un ángulo igual respecto a j. El rayo reflejado el incidente r son coincidentes, ya que pasan los 2 por 1 recta blanca que une el eje con el foco, la intersección de a’-r es la reflexión del punto sobre el cilindro reflectante.
Tenemos el mismo caso que el anterior pero en el caso de una esfera de centro C, figura con doble curvatura convexa.
El rayo amarillo b sale reflejado como el rayo b’, mientras que el rayo verde a incidente y reflejado son coincidentes por pasar por el centro de la esfera o plano meridiano-focal.
La prolongación de b’ por el interior de la esfera corta al rayo verde a en un punto de luz, ese punto es el reflejo sobre la esfera de la luz que sale del foco.
En la figura podemos observar las tres caras reflejadas (rojo, verde y azul) sobre el cono reflectante y parte del suelo (en color amarillo) en los laterales, también podemos observar en color negro del espacio exterior correspondiente a una cara lateral y otra superior que le falta al cubo, en el que está el cono. Observamos también el punto de luz que ilumina el cono en color blanco delante del plano azul. La reflexión de los elementos se adecua en gran similitud a las generatrices del cono.
los detalles antes expuestos, que la sombra proyectada unida a la reflexión del objeto provoca una mayor tonalidad en la intersección de ambas. Que las sombras proyectadas son más nítidas cuanto más cerca estén del objeto.
Otro ejemplo análogo al anterior.
multiplicidad de reflexiones resulta complicado hacer el cálculo, en el dibujo un prisma está apoyado en una arista PC del mismo sobre una superficie reflectante, y el prisma también es otra superficie reflectante. El punto A refleja su simétrico respecto al eje e, que es la intersección del plano vertical que pasa por AP con el plano donde se apoya. Por tanto de forma general y en una primera reflexión tenemos que la cara del prisma APC se refleja según A’PC. Pero la reflexión respecto a este último plano del punto A se tiene que es A’’. Y la reflexión del segmento A’P respecto al plano APC convierte al mismo en la línea reflejada PB, etc.
En las siguientes imágenes podemos observar la transición entre la superficie cóncava y la convexa en una superficie. Podemos observar la forma en que se transforma la imagen, invirtiéndose cuando pasa de ser un toro a un hiperboloide de una hoja.
hiperboloide de una hoja suavizado por sus bordes superior e inferior. Por ser una superficie cóncava la imagen se refleja invertida: el suelo aparece reflejado en la parte superior y el espacio circundante oscuro y la luz que la ilumina reflejado en la parte inferior.
Una equivalencia de los espejos con el juego del villar
las leyes de la mecánica y los objetos reflejados. Una bola de billar que rueda sobre un plano y rebota contra otra sale proyectada con un ángulo igual al original. Lo que se aplica en la ley de reflexión con el rayo incidente y reflejado vale para los objetos en su trayectoria, como pasa en este juego. Esto sirve para calcular la trayectoria de la bola y el número de golpes que necesita para meterse en un agujero siguiendo la dirección correspondiente. Por tanto las líneas simétricas de la trayectoria de la bola siguen siempre dos únicas direcciones, las que corresponden a los rayos incidente y reflejado, o en este caso incidente y rebotado.
que dando el mismo número de golpes va entrar por otro agujero. Si la recta P3 corta a los rectángulos en 3 puntos, ello quiere decir que en el rectángulo original va a tocar también en 3 puntos incluido el hueco por el que se mete.
precisión porque agujero para entrar la bola, basta con aplicar simetrías. En el dibujo la bola partiendo del punto P va a entrar en el agujero con cuatro golpes ya que intercepta a los tres rectángulos amarillos en cuatro puntos, incluyendo el agujero como un golpe más.
mismo ejemplo, se trata de meter la bola en el agujero tras ocho golpes, haciendo el simétrico del último cuadrilátero que contiene al punto ocho, hacemos el simétrico respecto a la línea que pasa por el siete, luego el simétrico del último respecto al eje que pasa por seis, luego con el siguiente respecto al eje que pasa por cinco, luego con el siguiente respecto al eje que pasa por cuarto, etcétera. Así obtenemos que el simétrico del punto 8 tras este producto de simetrías es el punto 8’ por donde va a entrar la bola.
objeto está formado por dos piezas de distintos colores, rojo y amarillo. Al reflejarse el objeto A sobre el primer espejo, tiene por imagen A’ la misma pieza pero invertida, la parte amarilla es la que está frente al espejo por lo que en su imagen se puede observar en primer plano.
los tres espejos, la pieza P se refleja sobre el primer espejo con su imagen invertida P’, de igual manera se refleja sobre el segundo espejo P’’ y éste refleja la reflexión P’’’ de la pieza sobre el espejo 3.
esferas, una metálica que genera reflexiones de todo su alrededor y otra de cristal que genera refracciones de todo lo que le rodea. Ambas aparecen reflejadas en infinitos planos dispuestos ambos como pudimos observar antes en cierto ángulo de convergencia. Toda recta m que une puntos de simetría de todas las imágenes y piezas originales tienen sus vértices sobre una circunferencia. Todos los ejes de simetría a’ b o líneas de intersección de los planos de los espejos con el suelo son una radiación que incide en un vértice, esto es, son un conjunto de rectas que pasan por un punto, el de la recta de intersección de los espejos con el suelo.
Tenemos una imagen de un espejo de los que hay en los baños, está abierta una puerta del compartimento, se pide calcular el ángulo que forma la base de esa puerta con el borde anterior del espejo horizontal, se pide calcular también si el vaso es cónico o cilíndrico, se pide determinar la posición del punto de vista respecto a la imagen y la línea del horizonte.
En ejercicios de este tipo, las imágenes reflejadas nos suelen dar más pistas que en una imagen convencional de una perspectiva cualquiera, en esta perspectiva podríamos obtener muchos más detalles, desde las dimensiones de los objetos y la posición de unos respecto a otros hasta las dimensiones, siempre y cuando nos faciliten una medida referente, ya que las medidas que estos objetos son relativas, es como por ejemplo cuando vemos la foto de un coche, podemos restituir y obtener los detalles del mismo, podemos incluso obtener las dimensiones de unas partes respecto a otras, pero no podemos obtener la dimensión real ya que puede ser la foto de un coche real o de una maqueta.
Prolongamos las líneas del rectángulo horizontal y obtenemos los puntos XS, dirección del horizonte. Hacemos una semi circunferencia que pase por estos puntos XS y sobre la vertical que pasa por el punto T concurrente de las verticales sabemos que pasa la proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro o plano proyectante de la película de la cámara fotográfica. La intersección de esa vertical con el horizonte nos determina el punto o. La semi circunferencia de diámetro OT determinar la localización del punto de vista V abatido sobre el plano, es la intersección del arco de radio oP con la circunferencia violeta. La intersección de la semi circunferencia azul con la línea vertical por T determina P. Desde este punto P hacemos una línea hasta X y tenemos que esa es la dirección real de b respecto al plano del cuadro o plano del papel, hacemos lo mismo con la recta a y obtenemos la dirección real a’ respecto al plano del cuadro. Eso quiere decir que el ángulo a’b’ es el ángulo real entre las rectas ab, que era otro dato que se pedía.
Al unir el punto o con el punto de vista V obtenemos la inclinación de la Cámara respecto al plano horizontal. El vaso es cilíndrico pues su contorno fuga a T.
La resolución de todos los datos de este ejercicio se basa en un principio geométrico básico de la geometría proyectiva, a saber, que las rectas paralelas se cortan en el infinito, porque si no lo hicieran la proyección de una recta sobre un plano sería una recta -1 punto, en consecuencia no sería una homografía, y la perspectiva de una recta de infinitos puntos es otra recta de infinitos puntos.
Podemos inferir a la vista de los trabajos en los ejercicios resueltos adecuadamente, que la facilidad para el dibujo ha propiciado una resolución favorable de los ejercicios, ejercicios que en principio parecían en extremo sencillos por resolverse con la presencia de la imagen del objeto, resultaron ser complejos aun bajo una apreciación a veces intuitiva o mediante un intento de resolución deductivo, considerando el concepto de simetría espacial. Pudimos observar también que la visión intuitiva de estas relaciones de simetría espacial en los objetos estaban sometidos por un sumergimiento en la realidad, que tuvo prevalencia sobre las consecuencias metódicas de cualquier elaboración lógica, de lo que se desprende que la resolución intuitiva tuvo resultados superiores a la que correspondería a un análisis deductivo de las formas.
Podemos sin embargo y como conclusión establecer que una resolución intuitiva de los ejercicios no excluyó a las relaciones lógicas ulteriores que fueron implícitamente implicadas en el desarrollo de los mismos, si bien los ejercicios se elaboraron de una forma sintética y de una forma súbita, ora como iluminación previa y aparentemente injustificada, ora como síntesis clarificadora de un conjunto completo complejo cuyas partes habían sido aprendidas de modo independiente. Podemos inferir también acerca de la presencia de momentos deductivos a posteriori que sacaron conclusiones acerca de la resolución de los ejercicios, y todo esto lo podemos referir en base a posteriores aclaraciones de los alumnos. La resolución de los ejercicios fue prácticamente inmediata con estos trabajos que se acercaron a la realidad, los alumnos la analizaron mediante una sensibilización de lo abstracto y con ello adiestraron de mejor forma los sentidos, obteniendo mayor claridad, certeza y estabilidad en la comprensión de las formas, para ello se exigió concentrar con esmero la atención en las formas de los objetos a fin de clarificar los principios de la reflexión sobre espejos y eliminar ilusiones que dieran lugar a perspectivas variables. Hay que decir también que el ejercicio propuesto en el aula que realizaron los alumnos y que se pueden descargar en la siguiente dirección:
https://app.box.com/s/twh34i4knru2qhb35s5adh8ys556djdb
adolecen de algunos fallos ya que no son de fácil resolución. Ejercicios análogos puestos en otros cursos indicaban que intuitivamente tenían mejor resolución que con el análisis deductivo, como ya se aclaró anteriormente, también pudimos observar que este tipo de ejercicios tenían mejor resolución por alumnos que estudiaban ciclos o estudios superiores de diseño, dibujo o lustración, mientras que este tipo de trabajos supusieron mayor dificultad para aquellos alumnos que estudiaban otro tipo de bachilleratos o ciclos, así como alumnos que estudiaban dibujo en la facultad de ciencias de la educación.
Las actividades esenciales que se han realizado en el aula son fundamentalmente dos: análisis teórico y práctico de los contenidos involucrados en la reflexión especular y resolución de ejercicios con ejemplos prácticos y aplicaciones concretas.
En el aula se ha explicado el tema durante dos clases completas y se han propuesto distintos ejercicios para la resolución de los ejercicios que involucran imágenes especulares.
Podemos concluir que la experiencia ha sido gratificante ya que el alumnado, pese a tener sólo cuatro horas de teoría y práctica de estos ejercicios, ha podido resolver con gran acierto los ejercicios propuestos. El alumno ha sabido entender también la utilidad de comprender cómo resolver las imágenes especulares, ya que eso le propicia una metodología que facilita hacer dibujos más realistas, por ejemplo reflejar sobre un lago el paisaje o hacer la perspectiva de una habitación con el suelo brillante o que se reflejen sobre las ventanas partes del paisaje, son ejemplos concretos que explican la utilidad de este tema que se puede entender con facilidad gracias a los fundamentos matemáticos acerca de la simetría axial fundamentalmente.
Los alumnos a los que se les ha propuesto los trabajos tras la explicación teórico práctica, corresponden a un ciclo formativo del grado superior de ilustración de la Escuela de arte y superior de Diseño “Antonio Faílde”, en la materia de geometría descriptiva de primer curso de cuatro horas semanales. La geometría descriptiva estudia la resolución de los ejercicios que se proponen en matemáticas bajó un punto de vista gráfico, ello facilita la incorporación de las matemáticas en un campo de acción a veces desconocido. La geometría clásica hacía eventualmente sus descubrimientos basados muchas veces en cuestiones de dibujo, de una forma experimental, antes de poder formalizar sus teoremas. La geometría analítica y sintética deben coexistir felizmente ya que son enteramente complementarias, no se entiende que se pueda conocer la ecuación de una forma geométrica sin poder también dibujarla bajo distintas proyecciones y entender mediante imágenes una concepción de la misma, esta cohesión entre ambos ámbitos es conocida en el ámbito artístico por lo que se incorpora con frecuencia, proponiendo los métodos gráficos como estímulo en la ejecución de los dibujos y en el conocimiento de los fundamentos matemáticos que la sustentan.
Publicado por Dr. Néstor Martín Gulias, catedrático de dibujo técnico en 7:10 No hay comentarios:
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