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Timestamp: 2017-09-23 02:04:19+00:00

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NÚMEROS REALES Y SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS EJERCICIOS DE MATEMATICA 10–DECIMO AÑO PDF
Publicado en 4 abril, 2014 por admin
CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE De los naturales a los reales,Los conjuntos ,Números irracionales, El conjunto de los números reales , Intervalos en los números reales, Las aproximaciones en los números reales ,Aproximación decimal de un número real, Error, Operaciones con irracionales, Propagación del error,Potencias de base real y exponente entero ,Radicales ,Raíz enésima de un número real ,Operaciones con radicales,Extracción e introducción de factores de un radical,Potencias de base real y exponente racional ,Racionalización,Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas,Sistemas de ecuaciones,Resolución gráfica,Métodos algebraicos ,Tipos de sistemas,Aplicación a la resolución de problemas, Pasos para resolver problemas
• Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción,
multiplicación, división, potencianción y
radicación con números reales .
• Racionalizar expresiones numéricas.
• Evaluar y simplificar potencias de números enteros
• Simplificar expresiones de números reales con exponentes
fraccionarios con la aplicación de las reglas
de potenciación y radicación.
• Utilizar las estrategias y las herramientas matemáticas
adecuadas para resolver problemas mostrando
seguridad y confianza en sus capacidades.
• Calcular el error cometido en operaciones con aproximaciones
de números reales.
• Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas, con gráficos y
algebraicamente.
En este módulo aprenderás a relacionar los números racionales y los números irracionales con los reales, a operar y
aproximar con los números reales y a determinar el error cometido. Consolidarás los procedimientos de cálculo con
potencias y radicales. También resolverás sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
DDCCDD
• Los números racionales se forman por fracciones
entre enteros, cuya forma es , con denominador
diferente de cero.
• Los números irracionales tienen una expresión decimal
ilimitada y no periódica.
• La unión de los conjuntos de los números racionales
y los números irracionales determina el conjunto
de los números reales, y se denota por .
• La potencia cuya base es un número racional “a”
y de exponente un número natural “n” es la multiplicación
de la base por sí misma tantas veces como
indique el exponente. La definición también se
aplica a los números reales.
an = a· a· a· … · a
n – veces
• La raíz cuadrada de un número “b”positivo o cero
es otro número positivo o cero “a”, tal que elevado
al cuadrado, nos da “b”.
si a² = b
El símbolo ” ” es el radical, “b” es el radicando (o cantidad
subradical) y “a” es la raíz.
• A cada punto de la recta numérica le corresponde
un número real y cada número real le corresponde
un punto de la recta numérica.
• En el sistema de coordenadas cartesianas, a cada punto
del plano le corresponde un par de números (par ordenado),
denominados coordenadas, y viceversa.
• Clasifica los siguientes números, en racionales e irracionales.
• Calcula: 2x + 3x − 7x;
• Calcula:
• ¿A qué potencia debes elevar 13 para obtener como
resultado 169?
• Ubica en la recta numérica los siguientes números:
3; − 2; ; 8
• Ubica en el sistema de coordenadas cartesianas e
indica en que cuadrante están situados: (−3, 5);
(2, −1); (2, 3); (−4, −1); (0, 5); (−3, 0)
• Expresa en lenguaje algebraico: “El doble de la edad
de Juan hace 3 años es la mitad de la edad que
tendrá dentro de 6 años”
1 De los naturales a los reales
1.1. Los conjuntos , y
Como ya has estudiado, los números naturales surgen de la necesidad de contar
u ordenar. Así, por ejemplo, los números 0, 1, 2, 3… son números naturales.
El conjunto de todos los números naturales se simboliza mediante la letra .
Existen muchas situaciones de la vida cotidiana que no pueden expresarse
mediante números naturales como, por ejemplo, la temperatura ambiente, −2 ºC,
0 ºC, +25 ºC… Por ello, surge la necesidad de ampliar el conjunto de los números
naturales con un nuevo conjunto numérico, el de los números enteros, que representamos
con la letra .
Pero este nuevo conjunto de números no nos sirve para representar situaciones
como andar la mitad de un camino, que se representa mediante el número
Por eso, se introduce un nuevo conjunto de números, los números racionales,
que se representan con la letra . Además, este conjunto coincide con el conjunto
de los números decimales limitados o ilimitados y periódicos. Esto es así
• Todo número racional puede expresarse como un número decimal limitado o
un número decimal ilimitado y periódico.
• Y al revés, todo número decimal limitado y decimal ilimitado y periódico tiene
una fracción generatriz asociada.
• Dos fracciones son
equivalentes si se verifica:
• Una fracción es irreducible
si su numerador y
su denominador son números
primos entre sí; es
M.C.D. (m, n) = 1
• Cada número racional está
formado por una fracción y
todas sus equivalentes.
• Cada una de estas fracciones
es un representante del
• La fracción irreducible de
denominador positivo es el
representante canónico de
dicho número.
El resto de la división a ÷ b
es 0 después de extraer una
o varias cifras decimales: número
decimal limitado.
El resto de la división a ÷ b nunca es 0, por muchos decimales que extraigamos: número
decimal ilimitado y periódico.
El período comienza inmediatamente después
de la coma: número decimal ilimitado periódico
1,4545… → 1,45
El período no comienza inmediatamente
después de la coma: número decimal
ilimitado periódico mixto.
Expresión decimal de un número racional a
1.2. Los números irracionales
Hemos visto que el conjunto  de los números racionales coincide con el de
los números decimales limitados o ilimitados y periódicos.
 = números racionales  = 
Observa ahora el siguiente número decimal:
0,101 001 000 100 001 000 001 000 0001…
Como puedes comprobar es un número decimal ilimitado no periódico, por lo
tanto, no es un número racional. Hemos obtenido un nuevo tipo de número.
Decimos que este número es irracional.
o ilimitados y periódicos
Un número es irracional si es un número decimal ilimitado no periódico.
El conjunto de números irracionales se designa con la letra ’o .
Números irracionales destacados
— Cualquier raíz cuadrada no entera.
— El resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir un número irracional con
— El número π = 3,141 592 653…, el cual no pudo demostrarse que era
irracional hasta el siglo XVIII.
2 , 3 , 5 , 7 , 8 …
En tu cuaderno, relaciona con flechas cada número
de la izquierda con el término que le corresponde
Expresa cada enunciado con un número.
a) La tercera planta del sótano.
b) He recorrido las tres cuartas partes del ca mino.
c) El perímetro de una circunferencia cuyo radio
mide 3 cm.
Indica si los siguientes enunciados son ciertos.
En caso de que no lo sean, escribe un ejemplo que
lo contradiga.
a) Si restamos dos números naturales, obtenemos
un número natural.
b) Si dividimos dos números enteros, obtenemos
un número entero.
c) Si restamos dos números racionales, obtenemos
un número racional.
d) Si multiplicamos dos números irracionales, obtenemos
un número irracional.
e) Los números naturales también son enteros.
f) Los números enteros también son racionales.
g) Los números racionales también son irracionales.
Actividades 
— Trazamos una recta y marcamos en ella los puntos 0, 1 y 2. De esta manera tenemos
el origen y los dos números enteros entre los que se sitúa .
1 < 1,4... < 2 — Levantamos sobre el punto 1 un segmento perpen dicular de una unidad de longitud. — Unimos el extremo superior de este segmento con el origen. Así formamos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad cada uno y cuya hipotenusa mide: h2 = 12 + 12 = 2 ⇒ h = — Trasladamos el segmento h sobre la recta con un compás. Hemos representado exactamente sobre la recta el número 2 . 2 2 2 2 0 1 2 2 0 1 2 h 1 1 Comprobemos: • Supóngase que el número 2 no es irracional, 2  ’. • Entonces el número 2 es racional, 2  . • Por tanto, el número 2 es una fracción 2= , tomaremos a la fracción irreductible. • a y b son primos entre sí, m.c.m. {a, b} = 1. • ( 2) = ; entonces: 2 = • 2b2 = a2; entonces a2 es par pues 2b2 es par. • Si a2 es par, entonces su raíz a también es par. • La forma de un número par es: a = 2n, donde n  . • Por tanto: 2b2 = a2 = (2n)2 = 4n2. • Concluimos que: b2 = 2n2; lo cual nos indica que b2 es par, pues 2n2 es par. Comprobemos que la raíz cuadrada de 2 es irracional ¿El número 2 es irracional? a b a b 2 2 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎛ ⎝ ⎜ a b • Las conclusiones de que a y b son pares, contradice la toma de la fracción irreductible equivalente a 2. • Una vez comprobado que no existe la fracción, sabemos que el número 2 no es racional, debemos concluir que es irracional. El método utilizado para demostrar, se conoce como reducción al absurdo, éste método inicia al suponer que, lo que se demostrará es falso , la tarea es encontrar una contradicción durante el proceso de la demostración, si descubrimos la contradicción diremos categóricamente que lo que se quiere probar es verdadero. Los números irracionales se pueden representar gráficamente sobre una recta numérica de forma aproximada y de forma geométrica. Representación aproximada Todo número irracional, por ejemplo =3,1415… , se puede representar gráficamente sobre una recta numérica como se observa a continuación: Representación geométrica Algunos números irracionales pueden representarse sobre una recta numérica de manera exacta, por ejemplo los números que son raíces cuadradas de los naturales que no son cuadrados perfectos. 3 < π < 4 3,1 < π < 3,2 3,14 < π < 3,15 3 4 3 4 3 4 Reales ( ) Racionales ( ) Enteros ( ) Naturales ( ( ) ) Enteros negativos Fraccionarios ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ Irracionales = ’) = ’ Dados dos números reales a y b, diremos que b es mayor que a si al efectuar su representación grá fica sobre la recta real, b queda situado a la derecha de a.  a b La raíz cuadrada de –1 no es un número real. i ; i pertenece a los números complejos  que estudiarás en cursos superiores. CONTRAEJEMPLO −1 = 1.3. El conjunto de los números reales La necesidad de resolver numerosos problemas aritméticos, geométricos y de la vida nos ha llevado a ampliar los conjuntos numéricos. Hemos avanzado de los números naturales a los enteros por la necesidad de la resta, de los enteros a los racionales por la necesidad de la división, hemos encontrado a los números irracionales, al descubrir que existen decimales ilimitados no periódicos y que algunos de ellos son las raíces no exactas o ciertos números particulares como . Diremos en adelante que la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales forma al conjunto de los números reales, y se representa por . {números reales}={números racionales}  {números irracionales}  =     =   ’ Los conjuntos de los números racionales y de los números irracionales son disjuntos, es decir no existe ningún número que pertenezca a los dos conjuntos, por tanto un número real o es racional o es irracional. Los números reales establecen una relación biunívoca con la recta numérica, puesto que a cada número real le corresponde un único punto en la recta y a cada punto de la recta le corresponde un único número real, por ello se habla de la recta real. Ordenación de los números reales Al conjunto de los números reales se le llama conjunto ordenado, puesto que se puede determinar que entre dos reales diferentes uno es mayor que el otro, al representarse en la recta, es posible ordenar siguiendo el mismo orden que el establecido en el conjunto de los números racionales. Observa la representación sobre una recta de los números reales y 1,5. Como 1,5 queda situado a la derecha de , concluimos que: < 1,5 2 2 2 1,5 0 1 2 1.4. Intervalos en los números reales El orden en los números reales nos permite hablar del conjunto de números reales comprendidos entre dos números reales determinados. Tomemos dos números reales, tales que el primero sea menor que el segundo, a, b ∈ a < b, existe una infinidad de números reales en este intervalo, “x” tales que a < x < b, esos números forman subconjuntos de los reales llamados intervalos. Según si se incluyen o no los extremos “a” y “b”, los intervalos se llaman: cerrado, abierto o semiabiertos. El intervalo cerrado incluye a los extremos y a los reales entre los extremos, su notación por comprensión es: [a, b]={ x ∈ : a ≤ x ≤ b} . El intervalo abierto incluye a los reales entre los extremos pero no a ellos: (a, b) = {x ∈ a < x < b}. El intervalo semiabierto incluye a un extremo y a los reales entre los extremos: Semiabierto por la derecha: [a, b) = {x ∈ : a ≤ x < b}. Semiabierto por la izquierda: (a, b] = {x ∈ : a < x ≤ b}. Observa que si el extremo está incluido en el intervalo, lo representamos mediante un pequeño círculo (); si no está incluido, lo representamos mediante una pequeña circunferencia (○). Completa la tabla en tu cuaderno. ¿Qué diferencia hay entre un intervalo cerrado y uno abierto? Escribe un intervalo abierto cuyo punto central sea − 3 y cuyos extremos se hallen a una distancia de dos unidades de dicho punto. Representa los siguientes intervalos: [1, 2], (−1, 0), [2, 3) y (−2, 3]. Determínalos por comprensión. Representa los intervalos [−1, 3) y (2, 6). Colorea el trozo de recta común a ambos intervalos. — ¿Qué intervalo representa el trozo de recta coloreado? Representa estos intervalos. Determínalos por comprensión. a) (4, 5) c) [−2, −6] e) (−4, −1) b) [2, 3] d) (−2, 0] f) (0, 2] 9 8 7 6 4 5 Actividades  Intervalo cerrado Intervalo abierto Intervalo semiabierto [a, b] Conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos los extremos. (a, b) Conjunto de números reales comprendidos entre a y b, sin incluir los extremos. [a, b) Conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluido sólo el extremo a. (a, b] Conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluido sólo el extremo b. a b a b a b a b Representación Intervalo [−2, 4] (4, 6) [-1, 2] -2 0 4 -1 0 3 -4 0 2 2 Las aproximaciones en los números reales 2.1. Aproximación decimal de un número real La expresión decimal de un número irracional, obtenido por cálculo o por medida, es siempre una aproximación, puesto que no podemos trabajar con un número infinito de decimales. En la práctica, operamos con aproximaciones decimales de los números reales; es decir, con valores próximos al valor exacto que sean manejables. Las aproximaciones menores que el valor exacto reciben el nombre de aproximaciones por defecto y las aproximaciones mayores se denominan aproximaciones por exceso. Órdenes de aproximación Dado un número real cualquiera, existen diferentes aproximaciones que nos permiten expresarlo. Según el grado de precisión requerido, tomaremos una u otra. Observa estos dos números reales aproximados: 2,7 y 2,70. Cuando se trabaja con números aproximados, 2,7 se distingue de 2,70, pues no sabemos cuál es la cifra de las centésimas del primero, mientras que en el segundo se tienen 0 centésimas. Decimos que 2,7 tiene dos cifras significativas, mientras que 2,70 tiene tres. 2,7 2,70 dos cifras significativas tres cifras significativas Para distinguir los 0 que son significativos de los que no lo son, estos últimos suelen indicarse como potencias de 10. Así: 20 500 = 2,05 · 104 nos indica que el número tiene tres cifras significativas (2, 0 y 5). Observa el orden de la última cifra significativa en las siguientes aproximaciones. El orden de la última cifra significativa de un número aproximado se dice que es su orden de aproximación. Redondeo y truncamiento Veamos ahora dos formas de tomar aproximaciones de números reales. Fíjate en los siguientes ejemplos de aproximaciones. Hemos señalado, en cada caso, la que está más próxima al valor real. 4,762 12,34 4,762 38 12,346 57 4,763 12,35 Aproximación 0,023 240 · 102 11,30 Número de cifras significativas dos tres cuatro Orden de la última cifra significativa milésima centena centésima Aproximaciones π = 3,141 592 654… 3 4 3,1 3,2 3,14 3,15 3,141 3,142 3,1415 3,1416 3,141 59 3,141 60 3,141 592 3,141 593    FÍJATE pordefecto por exceso Al tomar 4,762 en vez de 4,762 38, hemos redondeado 4,762 38 hasta las milésimas. Al tomar 12,35 en vez de 12,346 57; hemos redondeado 12,346 57 hasta las centésimas. Para redondear un número hasta un cierto orden de aproximación observamos la primera cifra que debe suprimirse: • Si es inferior a 5, las cifras anteriores se dejan igual. • Si es mayor o igual que 5, se aumenta en una unidad la cifra anterior a la primera que debe suprimirse. Otras veces, para aproximar un número real suprimimos las cifras decimales a partir del orden de aproximación dado. En tal caso, diremos que hemos efectuado una aproximación por truncamiento. 2.2. Error Cuando utilizamos aproximaciones de números reales en vez de su valor exacto, cometemos un error. Observa la diferencia entre el valor exacto y el aproximado en las aproximaciones siguientes y el valor absoluto de esta diferencia. Imagina la siguiente situación: Pesamos dos objetos A y B en una balanza y obtenemos las siguientes medidas: la masa del objeto A es de 50 g y de 2,5 kg del objeto B . Después de efectuar la pesada, nos damos cuenta de que la balanza no estaba equilibrada, sino que marcaba 10 g sin poner ningún objeto. El error absoluto cometido en estas medidas ha sido el mismo. Sin embargo, está claro que tiene más importancia añadir 10 g a la masa del objeto A que a la del objeto B. La masa real de A será, pues, 40 g y 2 490 g la de B. Para relacionar el error absoluto con el valor exacto de la medida, calculamos el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la masa de cada uno de los objetos. Error absoluto = Valor exacto− Valor aproximado Número 3,758 8,545 Orden de aproximación centésimas décimas Aproximación por truncamiento 3,75 8,5 Aproximación por redondeo 3,76 8,5 Valor exacto 16,539 789 0,006 543 7,054 36 Valor aproximado 16,539 0,0066 7,06 Valor exacto − Valor aproximado 0,000 789 −0,000 057 −0,005 64 Valor absoluto 0,000 789 0,000 057 0,005 64 Se denomina error absoluto de una aproximación al valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.  La aproximación de un número real por redondeo puede ser por defecto o por exceso, mientras que la aproximación por truncamiento siempre es por defecto.  FÍJATE El valor absoluto de un número real es el número que resulta de prescindir de su signo. ⎪−3,14⎪ = 3,14 ⎪π⎪ = π  FÍJATE Objeto A 10 40 = 0,25 Objeto B 10 2490 = 0,004 02 El error relativo también puede expresarse en porcentaje. 0,25 → 25 % 0,004 02 → 0,402 % Observa que el error relativo expresa el error cometido por unidad medida. Cotas de error absoluto No siempre es posible calcular el error cometido al tomar una aproximación de un número. Por ejemplo, plantéate si puedes calcular el error absoluto cometido al tomar 3,14 como aproximación de π. Puesto que no conocemos el valor exacto de π, no es posible determinar el error absoluto cometido, aunque sí podemos hallar un valor mayor o igual que este error. Puesto que ⎪3,1415... − 3,14⎪ = 0,0015... < 0,01, el error absoluto cometido al tomar 3,14 siempre será menor que una centésima. Así, diremos que 0,01 es una cota del error absoluto cometido al tomar 3,14 como valor aproximado de π. Algo parecido ocurre cuando efectuamos una medida. Si medimos un segmento con una regla graduada hasta los milímetros, ¿crees que esta medida es exacta? ¿Cuál será, como máximo, el error absoluto cometido en la medición? Puesto que la cantidad más pequeña que puede apreciar esta regla es 1 mm, si realizas la medición con cuidado y precisión, el error máximo cometido será de 1 mm. Para indicar que la medida del segmento está comprendida entre 4,5 cm y 4,7 cm, escribiremos: (4,6 ± 0,1) cm Error relativo Error absoluto Valor exacto = El cociente entre el error absoluto y el valor exacto se denomina error relativo.  Una cota de error absoluto es cualquier número no menor que el error absoluto.  Da una aproximación por defecto de con cinco cifras decimales. Escribe un intervalo abierto que contenga a π. ¿Qué tipo de aproximación a π son los extremos de intervalo? — Redondea π hasta las diezmilésimas. — Trunca π con cuatro cifras decimales. Redondea hasta las centésimas los siguientes números decimales: 2,3476; 0,005; 3,899; 15,762. Aproxima hasta las milésimas, por redondeo y por truncamiento, los siguientes números decimales: 6,345; 12,3987; 3,0056; 0,0001. — Compara en cada caso los resultados obtenidos por cada uno de los métodos. Si 2,567 es una aproximación por defecto del número 2,567929, calcula los errores absoluto y relativo cometidos al utilizar esta aproximación. Expresa el error relativo en porcentaje. Cita diferentes instrumentos de medida que se usen en tu casa e indica situaciones en las que no es conveniente su utilización. Si π=3,141592... y tomamos como aproximación 3,1415, ¿cuál es una cota del error absoluto cometido? Al pesar un objeto en una balanza obtenemos 4,6 kg. Si esta aproximación tiene una cota de error absoluto de 40 g, ¿entre qué valores estará comprendida la masa exacta del objeto? 17 16 15 14 13 12 11 10 17 Actividades  El pie de rey o calibrador se emplea para medir longitudes y diámetros, tanto interiores como exteriores. El cronómetro permite medir tiempos muy pequeños con precisión. Algunos pueden apreciar hasta las centésimas de segundo. La balanza de precisión se utiliza para medir pequeñas masas. Existen algunas capaces de apreciar hasta el cienmiligramo. LAS TIC Y LA MATEMÁTICA Instrumentos de medida digitales  	 	 En caso de que los números reales sean racionales, ya sabes efectuar operaciones con ellos. Veamos ahora cómo operar con números reales cuando al menos uno de ellos es irracional. Vamos a calcular . Dado que y son números irracionales tienen infinitas cifras decimales y es imposible manejarlas a todas, por tanto, es necesario tomar aproximaciones de estos números, con lo cual las operaciones con números irracionales se reducen a operaciones con números racionales. El resultado será también una aproximación del número irracional que es su suma. Para indicar el resultado que es una aproximación es preferible utilizar el símbolo "". En el caso de la suma y de la resta, debe aproximarse a la misma cifra decimal, para el ejemplo pediremos el resultado aproximado a milésimos, entonces: Observa que las aproximaciones tomadas para los sumandos se han realizado a diezmilésimas (una aproximación más que el pedido para el resultado). Esto se lo ha hecho para que el error cometido no afecte a la aproximación pedida. No debemos olvidar que un número irracional no es igual a su aproximación y, por lo tanto, cada vez que utilizamos una aproximación cometemos un error. Así pues, todas las aproximaciones y el trabajo con ellas debe efectuarse con mucho cuidado. Si se usa una calculadora, se recomienda usar todas las cifras que provee la máquina y aproximar el resultado al final. En el caso de la multiplicación, y de la división, a más de la aproximación hay que observar el número de cifras significativas que tiene la aproximación del número, pues el resultado no puede tener más cifras significativas que el menor número de cifras significativas de cada uno de sus factores. Multipliquemos , utilicemos la aproximación a centésimas en el primer número y a milésimas del segundo número, entonces: Pero el resultado debe tener tres cifras significativas, puesto que el primer número tuvo tres cifras significativas, entonces el resultado válido es: En el caso de la división: El resultado con las tres cifras significativas es: 0,814. Los ceros anteriores a la primera cifra diferente de cero no se consideran cifras significativas. 2  3 2 3 ≈ 2,44 2 ÷ 3 ≈ 1,41 ÷ 1,732 = 0,814 087 … Calcula . Redondea hasta las diezmilésimas. Calcula su suma, su resta, su producto y su cociente. Si tomamos  3,14 y 2,83, calcula   y  · . 15 y 27  8 8 8   2  13  	 2 = 1,414 213 … ≈ 1,4142 y 3 = 1,732 050 …≈ 1,7321 2 + 3 ≈ 1,414 2 + 1,732 1 = 3,146 3 2 + 3 ≈ 3,146 2 · 3 1,41 · 1,732 = 2,442 12 2 · 3 2 · 3 2 3 El número 13,42 tiene 4 cifras significativas, mientras que el 0,013 tiene solamente 2. 3.1. Propagación del error Al tomar una aproximación de un número real estamos cometiendo un error. Veamos qué sucede con el error al operar con estas aproximaciones. La operación que vamos a efectuar es . Redondeamos hasta las diezmilésimas y calculamos su suma: Veamos si todas las cifras de este resultado son correctas. Para ello, observa estas desigualdades: El resultado de sumar será un número comprendido entre 3,1462 y 3,1464. Por tanto, sólo podemos aceptar tres de las cuatro cifras decimales obtenidas inicialmente para :  3,146 Si queremos obtener una mayor aproximación del resultado, deberemos tomar más cifras decimales en los sumandos iniciales. Veamos ahora qué sucede con la multiplicación. La operación que vamos a efectuar es . Redondeamos y π hasta las milésimas, y efectuamos la multiplicación: · π  2,236 · 3,142 = 7,025 512 Sólo podemos asegurar las dos primeras cifras decimales. Al igual que en la suma, si queremos obtener una mayor aproximación del resultado, deberemos tomar más cifras decimales en los factores iniciales. 2 236 5 2 237 3 141 3 142 2 236 3 141 5 2 , , , , , , ≤ ≤ ≤ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ≤ π π , , , , 237 3 142 7 023 276 5 7 028 654 ⋅ ≤ ⋅ π ≤ 5 2 + 3 5 5 ⋅ π 2 + 3 2 + 3 2 + 3 1 414 2 2 1 414 3 1 732 0 3 1 732 1 1 414 2 1 732 0 , , , , , , ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ + ≤ + ≤ + ≤ 2 3 1 414 3 1 732 1 3 146 2 2 3 3 146 4 , , , , 2 1 414 213 5 1 414 2 3 1 732 050 8 1 732 1 = = , ⎫ , ... ... ⎬⎬ ⎪ ⎭⎪ 2 + 3 3,146 3 , 2 y 3 ¿Cuántas cifras decimales deberías tomar en las actividades 24 y 25 para que al multiplicar aseguraras cuatro cifras decimales? — Efectúa la operación correspondiente. 21 Actividades  Observa la operación siguiente y cómo podemos resolverla de 3 maneras diferentes. a) 435 · 2400 = 1044000 1044000 ÷ 32 = 32625 b) 2400 ÷ 32 = 75 75 · 435 = 32625 c) 435 ÷ 32 = 13,593 75  13,6 13,6 · 2400 = 32640 Fíjate en que en el tercer caso el error absoluto cometido es 15. Esto es debido a que al multiplicar el resultado aproximado de la división por 2400 hemos hecho el error 2400 veces mayor. 435 2400 32 ⋅  FÍJATE 4 Potencias de base real y exponente entero La potencia cuya base es un número real y su exponente es un número natural, abrevia al producto de esa base por sí misma tantas veces como indica el exponente, así por ejemplo: π  π  π  π = π4 Para el caso en que se señale la primera potencia de un número real, se toma como valor a la propia base, así, por ejemplo: π1 = π Para el caso en que se señale la potencia de exponente cero de un número real diferente de cero, su resultado es la unidad, así, por ejemplo: π0 = 1. Las potencias antes descritas se refieren a potencias de base un número real y de exponente un número natural, que son justamente las potencias de base un número real y de exponente un número entero positivo o cero. Pero, ¿qué ocurre si el exponente es un entero negativo? Consideremos seguidamente el caso en que el exponente sea un número entero negativo. En caso de que la potencia de base un número real de exponente un número entero negativo, la potencia es el inverso multiplicativo de otra potencia de igual base pero con exponente opuesto al original, veamos: Las operaciones con potencias de base real y exponente entero tienen las mismas propiedades que las de base racional y exponente natural. Obsérvalas La potencia de base un número real a y exponente un número natural n es el producto del número a por sí mismo, n veces. n veces an = a  a  a  ...  a  ⎫⎬⎭ La potencia de base un número real a y exponente 1 es igual a a. a1 = a   FÍJATE La poten c i a 0 0 n o e s t á definida. − 5 = 1 5 = 1 · · · · π π π π π π π La potencia de base un número real a diferente de 0 y exponente 0 es igual a 1. a 0 = 1; a≠0  La potencia de base un número real a, a ≠ 0, y exponente un número entero negativo −n es igual al inverso de la potencia de base el mismo número real y exponente positivo.  a 1 a n n − = Expresa: a) π−4  π 6 en forma de una sola potencia de base π. b) a7÷ a−4 en forma de una sola potencia de base el número real a. c) (a3  π 2)−2 como producto de potencias. d) (a6)−3 en forma de potencia de base el número real a. ejemplo 1 d) (a6) −3= a6(−3) = a−18 c) ( · ) ( · ) · a · · a a a 3 2 a 2 3 2 2 6 4 6 4 6 1 1 1 1 π π π π − = = = = − π−4 b) a : a a : · a 7 4 7 a a a a 4 7 4 7 4 11 1 − = = = + = a) π ·π · π π π π − 4 6 = = = π − = π 4 6 6 4 6 4 2 1 Aplicamos las propiedades de las operaciones con potencias. Transforma las siguientes potencias para que tengan exponente positivo. a) c) 1+π b) d) Expresa en forma de una sola potencia: a) b) (3−5  3−2)−6 ÷ [(5 − 2)2]−7 c) [(3 + π)6 ÷ (3 + π)−2]5 ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 3 4 3 4 3 4 5 4 3 · · 22 23 9 2 4x ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − 3 3 π ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − x-3 2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − Actividades  La potencia de base un número real a, a ≠ 0, y exponente 0 es igual a 1. a0 = 1, con a ≠ 0  a2  a2  a2 = a2+ 2+ 2 = a6 (a2)3 = a2  3 = a6 Para elevar una potencia a otra potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes. (a m)n = a m  n (a  b)3 = (a  b)  (a  b)  (a  b) = = a  a  a  b  b  b = a3  b3 Para elevar un producto de números reales a y b a una potencia de exponente natural n se eleva cada uno de los factores a dicha potencia. (a  b)n = an  bn 4 veces a7 ÷ a3 = a7− 3 = a4 Para dividir dos potencias de la misma base real am y an siendo a0, my n números naturales y m> n, se deja
la misma base y se restan los exponentes.
am ÷ an = am− n con a  0 y m > n
= · · · = 4
(a  a  a  a  a)  (a  a) = a  a  a  a  a  a  a = a7
a5  a2 =
a5+ 2 = a7
Para multiplicar potencias de la misma base real y
exponentes números naturales, se deja la misma base
y se suman los exponentes.
am  an = am+ n
⎫⎬⎭
Multiplicación de potencias de la misma base División de potencias de la misma base
Potencia de un producto Potencia de una potencia
 FÍJATE
n es el índice del radical.
b es el radicando
a es la raíz; si n es
par entonces b  0. ; donde {
5 Radicales
Recuerda que el valor absoluto de un número real “a”, se denota por |a|, es el
mismo número “a” cuando es positivo o cero, y es el opuesto de “a”, si es negativo.
Geométricamente representa la distancia entre el número real y el cero “0”.
Los radicales están estrechamente relacionados con las potencias. En este apartado
veremos cómo se relacionan y aprenderemos a trabajar con expresiones
en las que aparecen radicales o potencias de exponente racional.
5.1. Raíz enésima de un número real
Para iniciar el estudio de cualquier raíz de un número real, recordemos las
características de la raíz cuadrada.
Sabemos que 5 elevado al cuadrado es 25, 52 = 25, entonces la raíz cuadrada
de 25 es igual a 5, .
Para ratificar el tratamiento de la raíz cuadrada diremos:
Sea el número real a tal que a2 = b entonces:
Por tanto debemos concluir que:
Si el radicando es negativo, no existe raíz cuadrada real, puesto que ningún
número real elevado a la segunda potencia puede ser un número real negativo.
Las raíces de índice par se definen de forma parecida a las raíces cuadradas.
Se concluye que no existe raíz real de índice par si el radicando es negativo.
Por ejemplo, el número 81 es el resultado de elevar a la cuarta potencia el número
3. Así el número 3 es la raíz cuarta de 81,
Las raíces de índice impar se definen de forma parecida a las raíces de índice
par, con la consideración de que el radicando sí puede ser negativo, en ese caso
la raíz también es negativa.
Por ejemplo, el número 125 es el resultado de elevar al cubo el número 5. Así
el número 5 es la raíz cúbica de 125, 5. Y el número -125 es el resultado
de elevar al cubo el número -5. Así el número -5 es la raíz cúbica de
-125, .
= 2 = | | = ; ≥ 0
− ; < 0 25 = 5 − 25 = −5 −25 ∉  4 81 = 3. 125 3 = –125 3 = −5 25 = 5 La raíz cuadrada de un número real positivo b o 0 es el número real positivo a si y solo si: a2 = b. Se expresa: b = a  b a n = Si a ‡ o Si a < o ⎮a⎮= a ⎮a⎮= -a 0 a a 0 Signo de la raíz Para averiguar cuál es el signo de la raíz, observaremos el signo del radicando y la paridad del índice. Fíjate en la siguiente tabla. Podemos concluir: • Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo que el radicando. • Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces que son dos números reales opuestos. • Si el índice es par y el radicando es negativo, no existe ninguna raíz real. Expresiones radicales semejantes Observa el resultado de la siguiente suma: El número 3 es el coeficiente. En general, en una expresión de la forma se llama coeficiente al número a que multiplica al radical. Observa las expresiones siguientes: . En todos los casos tenemos un coeficiente que multiplica a un mismo radical. Las expresiones radicales también reciben el nombre de radicales. 3 5 , 2 5 , − 5 ,12 5 a· n b 5 + 5 + 5 = 3 5 Raíz Paridad del índice Impar Impar Par Par Signo del radicando + − + − Número de raíces Una (positiva) Una (negativa) Dos (positiva y negativa) No existe en . 343 7 3 = −343 = −7 3 16 81 2 3 4 = − = 16 81 4 ? Dos expresiones radicales de la forma son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. a n b y c n b  Señala en cuáles de las fracciones siguientes el numerador y el denominador son cuadrados perfectos. — Escribe las raíces cuadradas de todas las fracciones. — Clasifica las raíces obtenidas en números racionales y números irracionales. Indica el signo de las raíces de estos números reales y efectúalas si es posible. Agrupa las expresiones radicales semejantes. 4 3 2 ; − 2 5 ; 6 5 ; 7 4 3 ; − 6 3 2 26 11 13 13 18 27 64 3 24 108 172 111 333 4 3 3 8 3 , , , , , , − − − − − 625 81 1052 4 208 1 2 4 , , 5 25 125 4 9 16 99 35 16 25 111 38 169 81 , , , , , 24 Actividades  5.2. Operaciones con radicales Podemos multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer la raíz de cualquier radical. Sin embargo, para sumar o restar dos radicales, éstos deben ser semejantes. Observa en la tabla siguiente cómo efectuar las operaciones. Suma y resta de radicales Multiplicación de radicales División de radicales La suma o resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales sumandos. Por ejemplo: − + − + = − + − + = − + − − = 2 3 2 4 2 8 2 1 3 4 8 2 6 2 7 5 6 3 8 5 3 3 4 3 ( )· (7 + 8 )· 5 + ( −6 − 3 − 4 )· 3 = 15 5 − 13 3 a n b + c n b = (a + c) n b El producto de radicales del mismo índice es igual a otro radical con igual índice cuyos coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y los radicandos de los factores. Por ejemplo: a n b · c n d = a · c n b · d 2 1 4 7 3 2 7 1 4 3 14 3 4 · = · · · = · El cociente de dos radicales del mismo índice es igual a otro radical con igual índice cuyos coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y los radicandos de los radicales dividendo y divisor. Por ejemplo: 5 3 4 2 5 4 3 2 5 4 3 2 = · = a b c d a c b d n n = n Potencia de un radical Raíz de un radical La potencia de un radical es igual a otro radical cuyos coeficiente y radicando están elevados a dicha potencia. Por ejemplo: (a n b )m = am n bm ( 2 7 ) 2 · ( 7 ) 2 7 5 = 5 5 = 5 5 La raíz de un radical es otro radical cuyo radicando es el mismo y cuyo índice es el producto de los índices de las raíces. Por ejemplo: 3 = 2 · 2 3 = 4 3 m n a = m·n a b) b) c) c) 3 48 = 2 · 3 48 = 6 48 3 48 6 5 6 5 8 5 6 6 8 5 9 2 5 · · = = 6 5 6 5 8 5 ⋅ = (12 − 8 + 9 ) 7 = 13 7 a) 12 7 − 8 7 + 9 7 = a)12 7 − 8 7 + 9 7 ejemplo 2 Operaciones combinadas También podemos encontrar series de operaciones combinadas en las que aparezcan radicales. Para resolverlas tendremos en cuenta el orden de prioridad de las operaciones que ya conoces. Calcula: Decimos que una suma de radicales y su diferencia son expresiones conjugadas. Así, es la expresión conjugada de y, recíprocamente, es la expresión conjugada de . Al multiplicar dos expresiones conjugadas desaparecen las raíces cuadradas que pudieran existir. ( a + b )· ( a − b ) = a − b a − b a + b a + b a − b Calcula: Aplicamos la propiedad distributiva. Agrupamos términos semejantes. Observa que el último resultado no tiene radicales. Esto se debe a que es el producto de la suma de dos números por su diferencia, que da como resultado la diferencia de los cuadrados: (a + b) (a − b) = a2 − b2. Y esto, en el caso de una raíz cuadrada, conlleva la eliminación de la raíz. También se podía haber resuelto de esta manera: ( 6 2 ) · ( 6 2 ) 62 2 36 2 34 2 + − = −( ) = − = d) ( 6 + 2 ) · ( 6 − 2 ) = 6( 6 − 2 ) + 2 ( 6 − 2 ) = 36 − 6 2 + 6 2 − 2 2 = 36 − 2 = 34 c) ( 2 3 ) ( 2 3 ) · ( 2 3 ) 2( 2 3 ) 3 ( 2 3 ) 4 2 3 2 3 2+ = + + = + + + = + + + 3 3 4 4 3 3 7 4 3 = = + + = + b) ( 2 + 3 2 ) · ( 5 − 2 ) = 2( 5 − 2 ) + 3 2 ( 5 − 2 ) = 2 · 5 − 2 2 + 3 · 5 2 − 3 2 2 10 2 2 15 2 6 4 13 2 = = − + − = + a) 2 (3 − 4 5 ) b) (2 + 3 2 ) · (5 − 2 ) c) (2 + 3 )2 d) (6 + 2 ) · (6 − 2 ) a) 2 (3 − 4 5 ) = 3 2 − 4 2 · 5 = 3 2 − 4 10 ejemplo 3 Efectúa: Expresa como la raíz de un cociente: Di si son ciertas o falsas las siguientes igualdades. Calcula: Efectúa: Calcula: Escribe la expresión conjugada de cada una de estas expresiones. — Multiplica cada expresión por su conjugada. 2 + 3 ; 3 − 5 2 ; 1− 2 ; 3 − 5 a) c) b) d) 11 2 10 17 10 17 6 5 7 21 2 2 ( + ) ( − ) ( + ) ( − ) ( − ) · · (7 + 21 ) 33 32 a) c) b) d) 2 7 3 7 9 2 11 11 3 5 3 5 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) · · · · 31 625 5 12 7 16 2 4 ; ( ) ; ; ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ 30 a) d) b) e) c) 8 2 93 93 2 3 2 3 81 3 81 3 27 3 · · 3 3 · a = a = = = = = 27 f) 8 = 2 2 29 24 6 2 144 16 12 3 ; ; ; a b c a a 28 c) 5 11 − 3 17 − 4 11 − 9 11 + 8 17 b) 1 3 2 2 2 7 2 1 6 2 − + − a) − 2 7 + 5 7 − 8 7 + 3 7 − 5 7 + 7 7 27 Actividades  La expresión conjugada de a + b es a − b .  FÍJATE 5.3. Extracción e introducción de factores de un radical En determinados cálculos, es conveniente extraer factores de un radical. Para ello, es necesario que el exponente del factor sea mayor o igual que el índice del radical. Veamos en los siguientes ejemplos cómo se procede. Podemos extraer un factor de un radical si su exponente es igual al índice de la raíz y lo escribimos como factor del radical elevado a la unidad. Siempre que sea posible extraeremos los factores de un radical para simplificar el radicando. Observa este ejemplo. De la misma manera que hemos extraído factores de un radical, también podemos introducir factores en él. Observa el procedimiento: Para introducir un factor en un radical se eleva dicho factor al índice del radical. a ⋅ n b = n an ·b 3 5 3 5 3 5 3 5 2 3 4 22 32 42 4 6 8 2 3 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ a · b · · a · ·b a ·b ⋅ a4 · 3 b = 3 32 · 3 ⋅ 53 · 3 ⋅ a4 · 3 ·b = 3 36 ⋅ 59 ⋅ a12 ·b n an ·b = a ⋅ n b 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 4 3 3 3 3 3 3 7 2 2 2 2 2 2 = = = = = · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5 5 5 5 5 5 5 7 5 7 5 7 7 5 5 3 3 6 5 3 6 3 5 3 3 3 3 2 = = = = 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 2 7 7 5 5 7 7 5 5 7 5 5 = = = = · · · · · · · · Extrae todos los factores posibles de los radicales. a) Puesto que 500 = 22  53, se tiene que: b) Del mismo modo podemos calcular . 512 45 2 3 5 2 3 5 2 2 3 5 2 3 2 5 9 2 9 2 4 4 = = = = · · · · 512 45 500 = 22 ·53 = 2·5· 5 = 10· 5 a) 500 b) 512 45 ejemplo 4 Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales. Introduce en los radicales los factores que están fuera de ellos. a) c) b) d) 2 16 3 1 4 3 7 11 2 3 3 3 3 3 ⋅ ⋅⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a b b a a b b 35 a) c) b) d) 3 5 12 2 7 16 5 25 2 2 3 2 4 7 7 3 10 9 ⋅ − ⋅ a b a a b 34 Actividades  Para extraer factores de un radical: — Descomponemos en factores el radicando. — Si hay un factor cuyo exponente es mayor o igual que el índice de la raíz, dividimos dicho exponente entre el índice de la raíz. — El cociente de esta división será el exponente del factor fuera del radical. — El resto de la división será el exponente del factor dentro del radical.  FÍJATE 5.4. Potencias de base real y exponente racional Hasta ahora hemos considerado únicamente potencias de exponente natural o entero. Veremos ahora que el exponente de una potencia también puede ser un número racional. Las potencias de exponente racional se definen mediante radicales del modo siguiente. Así, observamos que los radicales pueden expresarse como potencias de exponente racional y viceversa. En los siguientes ejemplos aprenderemos cómo se transforman mutuamente unos en otros. Las potencias de exponente racional se definen de manera que las propiedades de las potencias de exponente entero continúen siendo válidas. Así, para operar con potencias de exponente racional, aplicaremos las propiedades que se recogen al margen. Fíjate en el ejemplo siguiente. La potencia de base un número real a y de exponente un número racional se define como la raíz de índice n y radicando am. a a m n = n m m n  Expresa como potencias de exponente racional. Aplicamos la definición. a) 12 b) 3 5 3 4 − 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ a) b) − = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 12 12 3 5 3 5 3 1 3 4 5 4 5 ( ) ejemplo 5 Expresa en forma de radical. Aplicamos la definición. a) b) 124 124 1 5 1 5 1 25 1 4 4 2 3 2 3 3 = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = a)124 b) 1 5 1 4 2 3 − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ejemplo 6 Propiedades de las operaciones con potencias de exponente entero • Multiplicación de potencias de la misma base am  an = am + n • División de potencias de la misma base am ÷ an = am − n (a > 0)
• Potencia de un producto
(a  b)n = an  bn
• Potencia de una potencia
(am) n = am · n
MUCHO OJO 
Aplicamos las propiedades de las operaciones con potencias.
a) ( 2 )3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
+ ⋅ + ⋅ + = + 2 = + + + a a a a a
3 b) 4 + 2 3 4 + 2 3 = 4 + 2 3 = 4 + 2
− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ 11 = − ⋅ c) ( a b ) ( ) a b ( 9
) ⋅ ⋅
d) π ⎛ π
a) (2 + ) (2 + ) (2 + ) c) ( 9 )
a ⋅ a ⋅ a − ⋅ a ⋅ b 11
+ 2 3 4 2 3 d)
4 ( ) ⎛
⎝ ⎜⎞
⎢⎢⎢ ⎤
÷ + π
Las potencias de exponente racional y negativo pueden transformarse en
potencias de exponente positivo, como en el caso de potencias de exponente
entero. Para ello, tendremos en cuenta que una potencia de exponente negativo
es igual al inverso de la potencia de la misma base con exponente positivo.
Fíjate en cómo expresamos con exponente positivo estas potencias:
El siguiente cuadro recoge las propiedades de las operaciones con potencias de
base real y exponente racional, a las cuales se añade esta última, relativa a las
potencias de exponente negativo.
a ÷ a a a
− (con 0)
(a b) a b
Potencias de base real y exponente racional
Las teclas para el cálculo de raíces suelen ser:
Para el cálculo de la raíz cuadrada.
Para el cálculo de la raíz cúbica.
Para el cálculo de cualquier raíz de índice x.
Así, para calcular efectuamos:
Para calcular :
Y, para calcular :
C1. Halla con tu calculadora:
C2. Utiliza la calculadora para hallar:
576 75 124 1250
; 5 ; 7 ; 3 ; 3 ; ; 3
5 346 ; 3 64 ; 1250 ; 6 654
1 4 4 =
3 1 2 5 =
2 4 5 = x 7
La potenciación y la radicación
Lo cual puede demostrarse aplicando
las propiedades de las
operaciones con potencias de
exponente racional.
a2 (a2 ) a a a
= = 2 = 1 = ⋅
Una potencia de base real y
exponente entero negativo es
igual al inverso de la potencia
de la misma base con exponente
LAS TIC Y LA MATEMÁTICA
La transformación de raíces en potencias puede ser muy útil a la hora de efectuar
operaciones con radicales. Éstas pueden resolverse por los procedimientos ya
vistos al estudiar las operaciones con radicales o bien, transformando los radicales
en potencias de exponente racional y aplicando las propiedades de éstas.
Comprobemos estas dos formas de proceder en el siguiente ejemplo.
Aplicamos las propiedades de las operaciones con radicales.
Agrupamos radicales semejantes.
Agrupamos potencias de la misma base.
3 5 3 2 2 5
5 3 5 2 4
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
3 3 5 5 2 2 5
= ⋅ ⋅⋅
Expresa como potencias de exponente racional:
Expresa en forma de raíz. A continuación, di cuáles
Expresa en forma de radical. A continuación, di cuáles
El número puede expresarse en forma de
potencia de exponente negativo como .
Expresa de la misma forma:
Di cuáles de las siguientes igualdades son ciertas y
Expresa en forma de una sola potencia:
⋅ − ⎛
⎠⎠ ⎟ ⋅ − ⎛
( + ) ⎡
c) 1 2 1 2
(− + ) =
(− + )
⎣ ⎢⎢
⎦ ⎥⎥
d) ⋅ =
⋅ a a
3 5 4 3 6 3
; ; ; ; −
( −3 ) ; 4 ; ( −7 ) ; 9 ; 25 ; 4 ⋅ 9 ; 2 ⋅ ( −3 )
3 −18 ; 5 5 ; 3 −4 ; 4 5 ; 6 3 ; 4 18 ; 6 4 ; 5 −16
3 12 175 27 25
; ; ; ; 2
99 ; 365 ; 44 ; 75 ; 3 ; 18 ; 243
= 3 ⋅ 5 ⋅ 2− =
= ⋅ ⋅ = − −
− 3 5 2
5.5. Racionalización
Al dividir un número real entre otro número real pueden aparecer expresiones
en cuyo denominador haya algún ra dical:
Cuando nos encontramos con una expresión de este tipo, se acostumbra a buscar
otra equivalente en cuyo denominador no aparezcan radicales; es decir, se
racionaliza el denominador.
Para racionalizar multiplicamos el numerador y el denominador por una misma
expresión de forma que desaparezca el radical del denominador.
Aprendamos con un ejemplo cómo hacerlo.
3 5 − 2
Racionaliza estas expresiones.
Efectúa las siguientes sumas de expresiones fraccionarias. Previamente debes
racionalizar cada uno de los sumandos.
¿Por qué se racionaliza el denominador
de una fracción y no
el numerador?
Para entenderlo recuerda que
el denominador representa el
número de partes en que se divide
una cantidad (el numerador).
Esta interpretación sólo
tiene sentido si el denominador
Así, es la mitad de ,
pero ¿qué parte de la unidad
representa ?
Racionalizar el denominador de una expresión consiste en hallar otra
expresión equivalente sin radicales en el denominador.
a) Multiplicamos numerador y denominador por .
b) Eliminaremos la raíz del denominador multiplicando por un radical del mismo índice,
de modo que se obtenga una potencia de exponente igual a este índice.
c) Multiplicamos por la expresión conjugada del denominador.
⋅ ( + )
( − )⋅ ( + ) =
Para racionalizar el denominador
de una expresión:
— Si es de la forma
multiplicamos el numerador
y el denominador por .
con n > m, multiplicamos el
numerador y el denominador
o , multiplicamos
el numerador y el denominador
conjugada correspondiente.
n bn−m
a n bm
6 Ecuaciones de primer grado con dos
Ahora, ampliaremos el estudio de las ecuaciones: trataremos las de primer
grado con dos incógnitas.
Observa cómo procedemos para traducir la siguiente frase al lenguaje algebraico:
El triple de un número más otro número es igual a 5.
En la ecuación obtenida, 3x + y = 5, aparecen dos incógnitas (x e y) con exponente
1. Es una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
Una ecuación es de primer grado con dos incógnitas si, una vez efectuadas
las operaciones y reducidos sus términos semejantes, aparecen
dos incógnitas cuyo máximo exponente es 1.
Veamos si la ecuación anterior, 3x + y = 5, se cumple al dar diferentes valores
a x e y.
Observamos que la igualdad sólo se verifica para algunos pares de valores
de x e y.
Una solución de la ecuación es cada par de valores numéricos de las incógnitas
que hacen cierta la igualdad.
Así, el par de valores x = −1, y = 8 es una solución de la ecuación anterior.
Una ecuación es una igualdad
entre dos expresiones
Según los valores de las incógnitas,
la igualdad puede
cumplirse o puede no
Escogemos las letras con las que representaremos
las incógnitas.
x para el primer número
y para el segundo número
Traducimos al lenguaje algebraico la primera
parte del enunciado.
El triple del primer número:
Traducimos al lenguaje algebraico la segunda
El segundo número:
Escribimos la ecuación correspondiente al
enunciado completo.
¿Se cumple la
Redacta un enunciado que pueda expresarse algebraicamente mediante una
ecuación de primer grado con dos incógnitas.
— Escribe la ecuación que corresponde al enunciado.
Para hallar soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas
Observamos que los pares de valores x = −2, y = 11; x = −1, y = 8; x = 0, y = 5;
x = 1, y = 2; x = 2, y = −1 son soluciones de la ecuación.
Representación gráfica de las soluciones
Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas
pueden representarse gráficamente en un sistema de
coordenadas cartesianas. Para ello, asignamos a cada par
de valores x e y que sean solución de la ecuación el punto
del plano que tiene estos valores por coordenadas: (x, y).
Si pudiéramos obtener todas las soluciones de la ecuación
3 x + y = 5 y las representáramos gráficamente, obtendríamos
la recta de la figura de la derecha.
Fíjate en que la representación gráfica de las soluciones
de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una
Para cada valor arbitrario de
x podemos obtener un valor
Como x puede tomar cualquier
valor, una ecuación de
primer grado con dos incógnitas
tiene infinitas soluciones.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Traduce al lenguaje algebraico el siguiente enunciado.
«La suma del doble de un número más otro número
es igual a 4.»
— Haz una tabla con cinco soluciones de la ecuación
obtenida. A continuación, represéntalas.
Representa gráficamente las soluciones de estas
a) 2 y = 3 x + 4 b) 2(x + 1) = y + 3
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación
3 x − 2(y − 3) = 5 para estos valores.
En la gráfica siguiente hemos representado las
soluciones de la ecuación 3 y = 2 x + 5.
Copia el plano, señala tres puntos de la recta y comprueba
que sus coordenadas correspondan a
y = 1 y = y = soluciones de la ecuación.
Procedimiento Ejemplo
Para ello, transponemos el primer término.
y = 5 − 3 x
x y = − x
2 5 3 2 11
1 5 3 1 8
0 5 3 0 5
Despejamos una de las incógnitas, por
ejemplo la y.
Asignamos valores cualesquiera a la
otra incógnita, x, para calcular, a continuación,
los correspondientes a
De este modo, podemos construir una
tabla de soluciones.
Puede darse el caso de que dos ecuaciones deban cumplirse al mismo tiempo.
Lee el siguiente enunciado:
La suma de dos números es igual a 5. Además, al restar 4 al doble del primer
número, obtenemos el segundo.
Nos hacen falta dos ecuaciones para traducirlo al lenguaje algebraico.
Estas dos ecuaciones que deben cumplirse a la vez constituyen un sistema
de ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones se escribe agrupando las ecuaciones que lo forman
con una llave.
Acabamos de ver que una ecuación de primer grado con dos incógnitas
tiene infinitas soluciones, pero debemos determinar cuántos valores de las
incógnitas verifican simultáneamente las dos ecuaciones.
Cada par de valores x e y que verifica simultáneamente todas las ecuaciones
de un sistema es una solución del sistema.
Del mismo modo que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las
mismas soluciones, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen
las mismas soluciones.
Así, los sistemas de ecuaciones:
son equivalentes puesto que tienen las mismas soluciones.
11 5 54
⎫⎬ ⎪
Expresa, en tu cuaderno, el siguiente enunciado mediante un sistema de
ecuaciones: «La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de su padre
y hace seis años era siete veces menor».
Comprueba si el par de valores (−7, −5) es una solución del siguiente sistema
7 8 105
+ =
es igual a 5.
El doble del primero
menos 4 es igual al segundo.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben
verificarse simultáneamente.
7.1. Resolución gráfica
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores de
las incógnitas que verifiquen a la vez todas las ecuaciones.
La resolución gráfica de un sistema de ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas consiste en representar las rectas correspondientes a las
soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema. Los puntos comunes
a ambas rectas nos proporcionarán las soluciones del sistema.
Sepamos ahora cómo resolver gráficamente el sistema planteado en la página
Halla gráficamente la solución del siguiente sistema.
— En primer lugar, despejamos y en la primera ecuación.
En la segunda ecuación no es necesario hacerlo.
— Construimos una tabla de soluciones de cada ecuación
asignando valores arbitrarios a x y calculando
los correspondientes a la y.
— Representamos gráficamente las soluciones de cada
una de las ecuacion es en un si stema de coordenadas
cartesianas.
— Las dos rectas se cortan e n el punto (3, 2), por lo que
x = 3, y = 2 es la solución del sistema.
— Comprobamos el resultado obtenido. Para ello, sustituimos
los val ores encontra dos en las dos ecua –
ciones y verificamos que se cumplen.
Primera ecuación Segunda ecuación
x + y = 52 x − 4 = y
3 + 2 = 52 · 3 − 4 = 2
5 = 52 = 2
Representa gráficamente las soluciones de las
ecuaciones de los siguientes sistemas.
— Escribe la solución de cada sistema y compruébalas.
Resuelve gráficamente estos sistemas.
— Comprueba las soluciones.
— ¿Se trata de dos sistemas equivalentes?
a) 2 0 b)
− − =−
a) 2 3 1 b)
⎭⎪+ =
Primera ecuación
y = 5 − x
Segunda ecuación
y = 2 x − 4
−3 5 − (−3) = 8 −2 2 · (− 2) − 4 = − 8
−1 5 − (−1) = 6 0 2 · 0 − 4 = − 4
1 5 − 1 = 4 1 2 · 1 − 4 = − 2
3 5 − 3 = 2 4 2 · 4 − 4 = 4
7.2. Métodos algebraicos
La resolución gráfica de sistemas puede ser imprecisa en caso de que las soluciones
no sean números enteros.
Así, para resolver sistemas, se utilizan habitualmente los denominados métodos
algebraicos: método de sustitución, método de igualación y método
de reducción.
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, en
primer lugar despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones y
sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación.
Veamos el proceso de resolución de un sistema por este método.
Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución.
Resuelve este sistema por el método de sustitución y por el método gráfico.
Comprueba que obtienes la misma solución.
a) 5 8 13 b)
⎫⎬ ⎪ ⎭⎪
⎭⎭⎪
−11+ 2
Despejamos x en la primera ecuación.
5 11 ⎛ − +
Sustituimos la x de la segunda ecuación
por la expresión obtenida.
Sustituimos el valor de y hallado en y ·
la expresión donde aparece despejada
Escribimos la solución del sistema. x = −3, y = 1
+ − =−
− =− +
4 15 33 22
Resolvemos la ecuación resultante,
que es una ecuación de primer grado
Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones
e igualar las expresiones obtenidas.
Observa el procedimiento que seguimos para resolver un sistema por el
Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación.
Soluciona este sistema gráficamente y por el método de igualación. Comprueba
que obtienes el mismo resultado.
Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación y por el método
a) y x b)
− =− ⇒ =
Despejamos x en las dos ecuaciones.
11 2 − +
Igualamos las expresiones obtenidas. y y
cualquiera de las dos expresiones en
que aparece despejada x.
⎛ − +
( ) 3 11 5
22 4 33 15
( − + )
− + =− +
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción, multiplicaremos
cada ecuación por el número adecuado y así, al sumar las dos
ecuaciones resultantes, obtendremos una ecuación con una sola incógnita.
Fíjate en el proceso de resolución de un sistema por el método de reducción.
Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción.
Soluciona el siguiente sistema gráficamente a través del método de reducción.
Comprueba que obtienes el mismo resultado.
a) x y b)
3 2 11 6 4 22
2 5 11 6
− =− ⎯→⎯ − =−
− = − ⎯⎯⎯→− −
·( ) x + 15 y = 33
Multiplicamos la primera ecuación por
2 y la segunda ecuación por −3. De
este modo, los coeficientes de la x
en las dos ecuaciones serán números
Sumamos miembro a miembro las dos
ecuaciones y despejamos la y.
15 10 55
11 33 3
= − ⇒ = −
ecuaciones y despejamos la x.
3 2 11 15 10 55
− = − ⎯⎯⎯→ −
·( ) −4 x + 10 y = 22
Para hallar el valor de x podemos sustituir
en cualquiera de las ecuaciones
iniciales el valor de y hallado y, a continuación,
También podemos hallar el valor de x
utilizando de nuevo el mismo método
para eliminar las y. Para ello, multiplicamos
la primera ecuación por 5 y
la segunda por −2.
7.3. Tipos de sistemas
Ya hemos visto que las soluciones de un sistema de ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas están determinadas por los puntos que tengan
en común las rectas obtenidas al representar gráficamente las soluciones de
cada ecuación.
Según las soluciones, los sistemas se clasifican en: compatibles determinados,
compatibles indeterminados e incompatibles.
Veamos, a continuación, un ejemplo de cada uno de estos casos.
Resuelve, por el método que prefieras, los sistemas de ecuaciones del
cuadro anterior. Comprueba que la solución algebraica coincide con la solución
Soluciona algebraicamente estos sistemas y clasífícalos en compatibles determinados,
compatibles indeterminados o incompatibles.
⎭⎪ +
+ =−
Las dos rectas son secantes: tienen
un único punto en común. Las
dos rectas se cortan en el punto
(2, 0): el sistema tiene una única
solución, el par de valores formado
por x = 2 e y = 0.
Las dos rectas son coincidentes:
tienen todos los puntos comunes.
Todas las soluciones de una ecuación
lo son también de la otra. Todos
los pares ordenados que satisfacen
la ecuación son soluciones.
El sistema tiene infinitas soluciones.
Las dos rectas son no intersecables:
no tienen ningún punto en
El sistema no tiene solución.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
− + =−
Si al resolver un sistema obtenemos:
• 0 x = 0 o bien 0 y = 0, significa
que cualquier valor de
x o de y cumple la expresión
y el sistema es compatible
• 0 x = a o bien 0 y = a, siendo
a ≠ 0, significa que la expresión
nunca se cumple y
el sistema es incompatible.
8 Aplicación a la resolución de problemas
Ya conocemos el procedimiento a seguir para resolver problemas mediante
una ecuación de primer grado con una incógnita.
El procedimiento para resolver problemas mediante un sistema de ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas es muy parecido. Fíjate en el siguiente
Un número consta de dos cifras que suman 9. Dicho número supera en 9 unidades
al que resulta de invertir el orden de sus cifras. ¿De qué número se trata?
• Lectura atenta del enunciado. Lee de nuevo el problema y expresa el enunciado
• Elección de las incógnitas. Representamos por x la primera cifra y por y la
• Planteamiento del sistema. Traducimos al lenguaje algebraico cada una de
— Las dos cifras suman 9.
— El número es igual al que resulta de invertir el orden de sus cifras más 9.
Como x es la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será
10 x + y.
Y el que resulta de invertir el orden de sus cifras será 10 y + x. Por lo tanto,
la segunda condición se traduce en:
10 x + y = 10 y + x + 9
9 x − 9 y = 9
— El enunciado del problema se traduce en el sistema:
• Resolución del sistema. Resolvemos el sistema por el método de reducción.
• Respuesta. El número que nos piden es el 54.
• Comprobación. La suma de las dos cifras es 9 y se cumple 54 = 45 + 9.
+ = ⇒ = − = − =
9 9 9 5 4
Tres libros y dos marcadores cuestan $ 25. Dos rotuladores
y un libro cuestan $ 9. Calcula el precio
de un libro y el de un rotulador.
Determina las medidas de los lados de un triángulo
isósceles de 50 cm de perímetro sabiendo que el
lado desigual mide 5 cm más que cada uno de
los lados iguales.
8.1. Pasos para resolver problemas
Algunas veces, la resolución de un problema por métodos aritméticos puede
resultar difícil. En estos casos, suelen utilizarse letras para designar los datos
desconocidos y traducir el enunciado al lenguaje algebraico, con lo que resolver
el problema se reduce a encontrar la solución de una o dos ecuaciones.
En este tema trataremos problemas que pueden resolverse mediante una ecuación
de primer grado con una o dos incógnitas o con un sistema de dos
La resolución de estos problemas requiere seguir una serie de pasos. Obsérvalos
en el siguiente ejemplo y fíjate en su relación con el método general de resolución
de problemas que recordamos en el cuadro del margen.
Los pasos generales del método
de resolución de problemas son:
Comprensión del enunciado
Planificación de la resolución
Ejecución del plan de resolución
Revisión del resultado y del
proceso seguido
Lectura atenta del enunciado. Es fundamental que leas el
problema tantas veces como sea necesario para comprender
perfectamente el enunciado.
Elección de las incógnitas. Representamos por x o por otras
letras los números que queremos determinar.
Respuesta. Damos respuesta a la pregunta o preguntas del
Comprobación. Comprobamos que la solución hallada cumple
todas las condiciones del enunciado.
Halla dos números tales que el doble del
primero más el segundo sea igual a 25 y al
dividir el primero entre el segundo se obtengan
1 de cociente y 2 de resto.
Representamos por x el primero de los
números y por y el segundo.
• El doble del primer número más el segundo
es igual a 25.
2 x + y = 25
• Al dividir el primero entre el segundo, se
obtienen 1 de cociente y 2 de resto.
x y → y · 1 + 2 = x
• El sistema obtenido es:
y + 2 = x
2 (y + 2) + y = 25
2 y + 4 + y = 25
3 y = 21
El primer número es el 9 y el segundo, el 7.
Se cumple 2 · 9 + 7 = 25, y al dividir 9 entre
7 obtenemos 1 de cociente y 2 de resto.
Resolución de la ecuación o del sistema. Determinamos los
valores numéricos de las incógnitas que son solución de la ecuación
o del sistema.
Planteamiento de la ecuación o del sistema. Traducimos al
lenguaje algebraico cada una de las partes del enunciado, de modo
que obtengamos una ecuación o un sistema de dos ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas.
Resulta de utilidad, sobre todo en problemas geométricos, utilizar
figuras o esquemas gráficos en los que aparezcan los datos y
Veamos otros ejemplos en los que aplicamos los pasos que acabamos de describir.
ejemplo 12 ejemplo 13
Una madre tiene 64 años y su hija, 32. ¿Cuántos años
han transcurrido desde que la edad de la madre era el triple
de la de su hija?
Lectura atenta del enunciado. Lee de nuevo el problema
y expresa el enunciado con tus palabras.
Elección de la incógnita. Representamos por x el número
de años que han pasado desde que la edad de la madre
era el triple de la de su hija.
Planteamiento de la ecuación. Traducimos al lenguaje
algebraico las condiciones del enunciado.
— Edad de la madre hace x años:
64 − x
— Edad de la hija hace x años:
32 − x
— El triple de la edad de la hija hace x años:
3 (32 − x )
— Hace x años, la edad de la madre era el triple de la de
64 − x = 3 (32 − x )
64 − x = 96 − 3 x
2 x = 32
Respuesta. Han transcurrido 16 años.
Comprobación. Hace 16 años, la edad de la madre era
48 años y la de su hija, 16. Efectivamente, la primera es
el triple de la segunda.
48 = 3 · 16
x = ⇔ x =
Un concesionario compra un auto y una moto por
$ 12 500 y los vende por $ 14 350.
¿Cuál fue el precio de compra de cada vehículo si en la
venta del auto ganó el 15 % y en la de la moto, el 10 %?
Lectura atenta del enunciado. Vuelve a leer el problema
e interpreta el enunciado.
Elección de las incógnitas.Representamos por x el precio
de compra del auto y por y el de compra de la moto.
Planteamiento del sistema. Traducimos al lenguaje
— El precio de compra de los dos vehículos es de
$ 12 500.
x + y = 12 500
— El precio de venta de los vehículos es de $ 14 350.
• Precio de venta del auto:
• Precio de venta de la moto:
• Precio de venta de ambos vehículos:
1,15 x + 1,10 y = 14 350
Resolución del sistema. Resolvemos el sistema por
cualquiera de los métodos algebraicos y obtenemos:
x = 12 000; y = 500
Respuesta. El auto costó $ 12 000 y la moto, $ 500.
Comprobación. Efectivamente, la suma de 12 000 y 500
es 12 500. Además, se cumple:
1,15 · 12 000 + 1,10 · 500 = 14 350
y + y = y = y
x + x = x = x
Un padre tiene 35 años y su hijo, 5. ¿Al cabo de
cuántos años la edad del padre será el cuádruple
de la de su hijo?
Un comerciante compra dos productos por $ 350 y
los vende por $ 325. ¿Cuánto costó cada producto si
en la venta de uno pierde el 10 % y en la del otro, el
5 %?
Transponemos términos.
2 x − 6 x + 3 y + 6 y = 6
Reducimos términos semejantes.
−4 x + 9 y = 6
— Escribimos el sistema obtenido que es equivalente del enunciado.
−35 x + 24 y = −57
— Resolvemos el sistema aplicando el método de igualación.
Despejamos y en cada una de las ecuaciones.
−35 x + 24 y = −57 →
−4 x + 9 y = 6 →
Igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos ecuación de primer grado resultante.
−171 + 105 x = 48 + 32 x
105 x − 32 x = 48 + 171
73 x = 219
Sustituimos el valor de x en la primera expresión en la que
aparece despejada y:
— La solución del sistema es x = 3 e y = 2.
Revisión del resultado y del proceso seguido
Para comprobar que la solución obtenida es correcta,
debemos sustituir los valores hallados de las incógnitas cada una de las ecuaciones del sistema inicial y verificar que
57 35 3
⎝ ⎜⎜
⎛ +
57 35 +
−57 + 35
Al leer el enunciado, advertimos que se trata de un sistema
de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Para resolver el sistema:
— Primero, aplicaremos las propiedades de las ecuaciones
para transformar el sistema dado en otro equivalente que
tenga la forma:
a x + by = c
a′ x + b′ y = c′
Siendo a, b, c, a′ , b′ y c′ números reales.
— A continuación, utilizaremos uno de los métodos
algebraicos que hemos estudiado.
— Transformamos la primera ecuación. Empezamos por
eliminar los paréntesis y los denominadores.
5 (x − 3) + 4 (y − 2) = 40 x − 80 − 20 y
5 x − 15 + 4 y − 8 = 40 x − 80 − 20 y
5 x − 40 x + 4 y + 20 y = −80 + 15 + 8
— Transformamos la segunda ecuación. En primer lugar,
eliminamos los denominadores.
2 x + 3 y = 6 x − 6 y + 6
= ( − + )
= ( − − )
66 Resuelve el siguiente sistema.
Resuelve el siguiente sistema.
+ = − + 1
• Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor
numérico de las letras que en ella aparecen.
• Una ecuación es una igualdad que se verifica para algunos
valores numéricos de las letras que en ella aparecen.
• Propiedades de las ecuaciones:
1. Si sumamos un mismo número o una misma expresión
algebraica a los dos miembros de una ecuación, obtenemos
otra ecuación equivalente a la primera.
2. Si multiplicamos por un mismo número distinto de 0 los dos
miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación
equivalente a la primera.
Ecuación Soluciones Resolución
con dos incógnitas
Resolución algebraica:
• Igualación
• Incompatible
la igualdad son
si deben verificarse dos
se encuentran mediante la
se pueden obtener
• Semiabiertos
los situamos
el conjunto de todos ellos
forma el conjunto de los
llenan la
hallan las
• Cifras significativas
• Orden de aproximación
• Truncamiento
• Por exceso
• Por defecto
Cota de error
se efectúan por
para determinar el error
cometido se utilizan
muchos los escribimos
Considerando los tiempos obtenidos por sus rivales, un ciclista debe recorrer la
prueba contra reloj de la vuelta a la República en un máximo de 1 hora y 45
minutos para conseguir la camiseta amarilla del puntero. Cuando está corriendo
la etapa, el director de su equipo le comunica que le faltan 20 km para
llegar a la meta y que el tiempo realizado hasta ese momento es de 1 hora y
¿Qué velocidad media debe desarrollar durante el resto de la etapa para conseguir
la camiseta amarilla?
Para determinar la velocidad media, que relaciona la distancia con el tiempo,
conocemos que le falta recorrer 20 km para la llegada a la meta y el tiempo
que le queda para cubrir esa distancia es la diferencia entre el máximo de 1 hora
y 45 minutos con lo ya transcurrido de 1 hora y 15 minutos, realicemos las
Tiempo = t = (1h45 min) − (1h15 min) = 30 min
El tiempo de 30 min equivale a media hora 0,5 h. Ahora determinemos la
R: La velocidad que debe desarrollar durante el resto de la etapa para conseguir
la camiseta amarilla es 40 km/h
Una persona tiene un sueldo mensual de $ 934,39 totales.
a) Calcula el sueldo neto que le han pagado si le descuentan la décima parte del
sueldo por impuesto a la renta y un 9,35 % de afiliación al Seguro Social.
b) Calcula su sueldo anual total y neto sabiendo que cobra dos sueldos extras
de $ 745,97 (uno en junio y otro en diciembre), los cuales no experimentan
descuentos de ningún tipo.
a) Organicemos la información, el sueldo mensual total es de $ 934,39. Para
calcular el sueldo mensual neto hay que restar la décima parte del impuesto
como el 9,35 % del Seguro Social.
Impuesto = sueldo ÷ 10 = 934,39 ÷ 10 = 93,439 ≈ 93,44
Seguro Social = sueldo × 9,35 % = 934,39 × =87,365 465 ≈ 87,37
Sueldo mensual neto = 934,39 − 93,44 − 87,37 = 753,58
b) El sueldo anual total es doce veces el sueldo mensual más los dos sueldos
Sueldo total anual = 12 × 934,39 + 2 × 745,97 = 12 704,62
El sueldo anual neto es doce veces el sueldo neto mensual más los dos sueldos
Sueldo neto anual = 12 × 753,58 + 2 × 745,97 = 10 534,90
R: a) El sueldo mensual neto es de $ 753,58.
b) El sueldo total anual es de $ 12 704,62 y el sueldo neto anual es de
$ 10 534,90.
Ejercicios y problemas integradores
Cada año en el país se lleva
a cabo la vuelta ciclística
a la República, en la que
participan equipos nacionales
Dos automóviles salen simultáneamente de dos ciudades, distantes 680 km,
y circulan el uno hacia el otro. El primero se desplaza a 80 km/h y el segundo
a 90 km/h. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse.
Entre los dos vehículos deben recorrer los 680 km por lo que la suma de las
dos distancias es ese valor. El primer vehículo recorre 80 km/h, en el tiempo t
hasta el encuentro recorre 80 t, el segundo vehículo recorre 90 km/h, en el
tiempo t hasta el encuentro recorre 90 t; ahora sumemos las distancias.
distancia = 680 = 80t + 90t = 170t
En la ecuación 680 = 170 t hallaremos el tiempo t = = 4h
R: El tiempo que tardarán en encontrarse es 4 horas.
Un agricultor quiere cercar una parcela rectangular para proteger el cultivo. Uno
de los lados mayores del rectángulo debe cerrarse con un cercado que
cuesta $ 500 por hectómetro (hm). En los otros tres lados puede utilizarse
una valla cuyo precio es de $ 300 por hectómetro. Sabiendo que el perímetro
de la parcela es de 30 (hm) y que el lado largo del rectángulo mide 2 (hm)
más que el lado corto, ¿cuántos metros de cercado utilizará? ¿Cuánto tendrá
que pagar?
Entendamos la información, el terreno es rectangular, en uno de los lados
(lado mayor) debe colocarse un cercado, mientras que en los otros tres lados
(un lado mayor y los dos menores) debe colocarse una valla. El perímetro (de los
cuatro lados) es de 30 hm y la diferencia de los lados es de 2 hm, en primer
lugar determinemos la medida de los lados.
Perímetro = 2 lados grandes + 2 lados pequeños = 30 hm
De ellos diremos que 1 lado grande + 1 lado pequeño =15 hm y el lado grande
es 2 hm mayor que el pequeño lado grande = lado pequeño + 2, entonces reemplazando
se tiene que lado pequeño + 2 + lado pequeño =15 hm de lo cual
2 lados pequeños = 13 hm, lo que nos da que el lado pequeño = 6,5 hm y
concluimos que lado grande = 8,5 hm.
Con ello diremos que debe colocarse cercado en 8,5 hm.
En el resto del perímetro 30 − 8,5 = 21,5 hm debe colocarse la valla.
En cuanto al costo, debe aplicarse los valores para el cercado y para la valla
para sumarlos y obtener el costo total.
Costo =costo de cercado + costo de valla
Costo = $ 500 × 8,5 + $ 300 × 21,5
Costo = $ 10 700
R: El costo para colocar el cercado y la valla es $ 10 700.
Indica si son ciertas o falsas estas afirmaciones.
a) Entre hay un único número entero.
b) Con los números reales podemos representar todos
los puntos de la recta.
c) Todos los números decimales son racionales.
d) Los números irracionales son números reales.
¿Qué números irracionales están representados gráficamente
sobre la recta real por las letras P y Q de la
¿Cuál es el intervalo común a los intervalos
? Represéntalo gráficamente.
Contesta estas preguntas sabiendo que a es un número
del intervalo [−2, 6) y b es un número del intervalo [4,
a) ¿El número a es del intervalo [−2, 8]? ¿El número b
es del intervalo [−2, 4]?
b) ¿A qué intervalo pertenece a + b?
Las aproximaciones en los números reales
Da un valor redondeado de:
a) hasta las milésimas.
b) hasta las décimas.
c) 4,2176… hasta las centésimas.
Potencias de base real y exponente entero
Expresa las siguientes operaciones en forma de una
sola potencia de base positiva.
a) (+2)3  (+2)−4  (−2)4
b) (+7)−2  (73 )3  (−7)4
Expresa el resultado de cada una de estas operaciones
en forma de una sola potencia.
Transforma las siguientes potencias para que tengan
exponente positivo.
a) 12−5 b) (a − 1)−3
Extrae todos los factores que puedas de los radicales
siguientes y di cuáles son semejantes a .
Calcula las siguientes potencias y extrae todos los factores
que puedas del radical.
Extrae los factores que puedas de los radicales y calcula
los resultados de las siguientes operaciones.
Introduce en los radicales los factores que están fuera
Simplifica al máximo las siguientes expresiones.
Escribe el conjugado de estas expresiones.
Racionaliza las siguientes expresiones.
a) 27 b) 1458 c) 450 d) 8
3 2 5 8 7 50 4 18
3 27 2 125 8 75 10 20
+ + 6 125
5 y 17
− ( ⎤⎦⎥
− ⎡⎣⎢
3, 5 y 2 ,7)
25 2 81
a) 625 b) 4 ⋅ 64 c) 729
Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
( ) ( ) ( ) ÷( )
− ⋅ + − −
− ⋅−
3 3 5 3 7 3 3 3
3 2 4 3 3 7 2 3 3
− − ⋅ − +
+ − 15
7 7 d) − − + − +
a) 3 2 b) 75 27
( a b ) ( a b )
a) 1 + 2 b) 5 − 17 c) 3 + 8
En tu cuaderno
Al calcular se obtiene un
número entero. Halla dicho número.
¿Los segmentos de longitudes 3 − cm y 2 + cm
son proporcionales a los segmentos de longitudes
4 + cm y 8 +6 cm?
Completa con tres términos más cada una de las siguientes
series en las que cada término se obtiene multiplicando
el anterior por una misma expresión.
Enuncia las propiedades de las potencias de base un
número real y exponente un número racional.
— Explica la relación que existe entre una potencia de
exponente racional y una raíz enésima.
Expresa en forma de raíz:
El número puede expresarse en forma de potencia
de exponente negativo como . Expresa de
la misma forma:
Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son
ciertas y transforma las falsas en verdaderas.
a) Todas las ecuaciones son expresiones algebraicas.
b) Todas las ecuaciones tienen dos términos.
c) En todas las ecuaciones aparecen dos miembros
relacionados mediante el signo =.
Indica cuál de los valores propuestos para la incógnita
es solución de cada una de las ecuaciones siguientes.
Resuelve estas ecuaciones.
La solución de la ecuación es:
. Determina el valor de a.
Resuelve la siguiente ecuación y compruébala. A
continuación, justifica si la ecuación puede tener
más soluciones, diferentes de la hallada.
Expresa este enunciado mediante una ecuación:
«La suma de las edades de María y Juan es 27 años».
— Representa en un sistema de coordenadas las
soluciones de la ecuación que has obtenido.
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer
grado con dos incógnitas?
— ¿Qué tipo de línea se obtiene al representar las
soluciones de una ecuación de primer grado con
dos incógnitas?
¿Cuántas soluciones puede tener un sistema de dos
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas?
La representación gráfica de las soluciones de las
ecuaciones de un sistema son dos rectas paralelas.
¿De qué tipo es el sistema? ¿Tiene solución?
Expresa el siguiente enunciado mediante un sistema
«La suma de dos números es igual a 5. Además, al
restar 4 al doble del primer número, obtenemos el
segundo.»
soluciones de las ecuaciones obtenidas.
+ 5 3
85 2 8
3 4 7 9 25
; ; ; ; 4
99 ; 365 ; 3 44 ; 5 75 ; 7 3 ; 3 18 ; 243
+ + + …
− 0 − 6 5 …
+ 2 = 16 − b) 3 x + 5 = 2 − 4 (1 − 2 x)
( x − ) − ( x − ) = x − 2
Resuelve gráficamente este sistema.
2 = y + 2 x
— ¿De qué tipo de sistema se trata?
El siguiente sistema es incompatible.
y = 2 x − 2
2 y = 4 x + 5
Intenta su resolución aplicando cada uno de los tres
métodos algebraicos y fíjate en los resultados que
Este sistema es compatible indetermi nado.
2 y = 4 x − 4
Intenta encontrar sus soluciones mediante cada uno
de los tres métodos algebraicos y fíjate en los resultados
Escribe un sistema de dos ecuaciones de primer grado
con dos incógnitas cuya solución sea x = 2 e
Escribe una ecuación de primer grado con dos
incógnitas que junto con la ecuación y = 2 − x forme
un sistema incompatible.
Resuelve los siguientes sistemas por el método de
a) 5 x − 8 y = −13 b) 5 x − y = −3
2 x − 3 y = −4 −2 x + y = 0
a) −7 x − 4 y = −7 b) 2 y = 7 − x
2 x − y =2 2y = −6 x − 8
a) 2 x + 3 y =1 b) 4 y = 3 + x
x + y = −2 10 = 3 x + 7y
Resuelve este sistema.
Averigua si estos sistemas son equivalentes.
a) 2 x − y = 0 b) 3 x + 2 y = 7
x + 3 y = 7 −2 x − 6 y = −14
El perímetro de un triángulo mide 15 cm. Si un lado es
2 cm más largo que el más pequeño de los tres y 2 cm
más corto que el mayor de los tres, ¿cuáles son las
longitudes de los tres lados del triángulo?
En un corral hay 40 animales entre gallinas y conejos.
Si suman un total de 106 patas, ¿cuántos conejos y
cuántas gallinas hay?
El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble
de la que tendré dentro de 6. ¿Cuál es mi edad actual?
Tengo 15 monedas, unas de
5 centavos y otras de
10 centavos de dólar. ¿Cuántas
monedas hay de cada clase si
en total suman $1,40?
Comprueba tu resultado,
utilizando monedas de 5 y 10
Busca dos números consecutivos tales que, añadiendo
al mayor la mitad del menor, el re sultado exceda en 13
unidades a la suma de la quin ta parte del menor más
la onceava parte del mayor.
El lado de un cuadrado es 3 m mayor que el doble
del lado de otro cuadrado. Si el perímetro del primer
cuadrado es 46 m mayor que el del segundo, ¿cuáles
son las longitudes de los lados de ambos cuadrados?
Un terreno rectangular mide el doble de largo que
de ancho. Si su perímetro es de 84 m, ¿qué longitudes
tienen sus lados?
Halla un número de dos cifras si sabemos que éstas
suman 9 y que la cifra de las unidades es el doble
de la cifra de las decenas.
Halla dos números si sabemos que su suma es 32 y
su cociente, 3.
En un laboratorio los productos químicos están
colocados en los estantes de un viejo armario, de forma
que en cada estante caben 8. Se decide cambiar todos
los envases a una nueva vitrina, más grande pero
con un estante menos, por lo que deben colocarse 10
productos en cada estante. ¿De cuántos productos
químicos dispone el laboratorio?
− 1 3 3
La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de
su padre y hace seis años era siete veces menor.
¿Cuáles son las edades del hijo y del padre?
Busca información en Internet sobre el significado y el
origen del término ecuación.
La altura del rectángulo es de cm y el área,
Halla su base y su diagonal.
Observa el tangram de la figura y halla el área de cada
una de las piezas que lo componen.
Para ir de un punto A a un punto B, un excursionista sube
y baja por las laderas de dos montañas que tienen por
sección triángulos isósceles. Observa la figura y halla mediante
operaciones con radicales la distancia que recorre
el excursionista si la altura de la segunda montaña
es la mitad de la altura de la primera.
La carretera que une tres ciudades A, B y C mide
Halla las distancias entre dichas ciudades si la distancia
entre A y B es de la distancia entre B y C.
a) Halla el volumen de una esfera de cm de radio.
b) Halla el radio de una esfera cuyo volumen es 36π cm3.
En la página http://descartes.cnice.mecd.es/materiales
_didacticos/Radicales/radicales1.htm encontrarás
teoría y ejercicios sobre radicales. Lee atentamente la
página y resuelve los ejercicios propuestos.
Determina la solución, o soluciones, de la ecuación
x2 = 64.
Para ello, puedes utilizar el método de tanteo o pensar
qué número o números multiplicados por sí mismos
dan como resultado 64.
— ¿Qué nombre recibe la operación que has
efectuado para hallar la solución?
Sabemos que tres rotuladores y cuatro libretas cuestan
$ 6,7 y que un rotulador y dos libretas cuestan
$ 3,1. Determina cuánto valen:
a) Un rotulador.
b) Una libreta.
c) Dos rotuladores y dos libretas.
Cristina le preguntó la edad a la hermana de su madre.
«Tengo cinco años menos que tu madre y, dentro de
cinco años, yo tendré cinco veces la edad que tú tienes
ahora y tu madre tendrá tres veces la edad que tú
tendrás entonces».
Determina la edad de Cristina, la de su madre y la
con dos incógnitas que sea incom patible.
El dueño de una tienda vende unas golosinas que
cuestan $ 4/kg y otras que cuestan $ 6/kg. Decide
mezclarlas y venderlas a $ 5,4/kg. Si en total quiere
preparar 5 kg, ¿qué cantidad de cada tipo tendrá
que mezclar?
50 2 dam
100 dam 50 dam
400 128 50
4 91cm2 .
A pesar de que el marco constitucional declara en
su Art. 11.2 que: “Todas las personas son iguales
y gozarán de los mismos derechos, deberes y oportunidades”,
y sobre todo que “nadie podrá ser discriminado…”,
en la práctica, todavía se observa rezagos
de discriminación. La Constitución del 2008
establece en su Art. 47 que “El Estado…procurará
la equiparación de oportunidades para las personas
con discapacidad y su integración social”, y el Art.
57, numeral 2 “No ser objeto de racismo y de ninguna
forma de discriminación fundada en su origen,
identidad étnica o cultural”. Es obligación de todos
ser incluyentes y equitativos porque es un derecho
y obligación que debe ser respetado.
Comparen las cifras del último censo 2010 con
el del año 2000, en cuanto a Población Económicamente
Activa (PEA) e indiquen qué porcentaje
de inclusión alcanzan las personas con
Según el censo de 2010, el nivel de alfabetismo
en el Ecuador es de 90,56 %. ¿Cuáles
son sus comentarios sobre las campañas de
alfabetización para adultos?
Consulten en Internet qué organizaciones
sociales se han creado en el Ecuador, a partir
del año 2000, para velar por la inclusión y equidad.
¿Qué podemos hacer para ser incluyentes equitativos? ¿Puede esto mejorar el país?, ¿por
Inclusión y equidad Vivir
1. La representación gráfica de las soluciones de las
y = x + 4 −2 x = y + 2
son dos rectas que se cortan en el punto:
a) (3, 4) b) (−2 , 4) c) (−2 , 2 )
2. Resuelve el siguiente sistema.
2 (y + 2) − x = x + 6
2 (y + 1) + x = 5 + y
3. Calcula la altura h del siguiente triángulo aproximada
hasta las centésimas.
4. Expresa en forma de una sola potencia
de base 2.
5. Calcula:
6. Una solución de la ecuación 2 (y + 2) = x + 4 es:
a) x = 3; y = 2 b) x = 2; y = 1 c) x = −3; y = 2
7. Elige la ecuación que forma un sistema compatible
indeterminado con la ecuación y = x − 1.
a) 2 y − 4 = 2 (x − 3) c) y − 3 x = 2
b) x + y = 4
8. Un comerciante compra una bicicleta y un balón
por $ 412, y los vende por $ 448,60. ¿Cuánto le costó
cada artículo si en la venta de la bicicleta gana el 9
% y en la del balón, el 5%?
9. Expresa en forma de una sola potencia de base π:
a) (π−5  π−3  π 6)2
10. Extrae todos los factores que puedas de este radical.
3 2 ( ) ⋅( )−
b) π5 ⋅
Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar.
9 ⋅ 21 − 3 ⋅ ( 21 + 8 21 ) − (3 21 + 21 )
2 3 ( ) ÷ −
1000 ⋅ a5
Alexandra y Susana son dos amigas que utilizan diferentes compañías
de telefonía celular.
Alexandra intenta convencer a su amiga de que su compañía, Blatotal,
es mejor: le factura $ 24 por las tres primeras horas del mes y, a
partir de ese momento, 8 centavos por minuto.
Susana le contesta que la suya, Ring-SA, es más barata: aunque le cobra
$ 30 por las dos primeras horas del mes, a partir de entonces sólo le
cuesta 5 centavos por minuto.
Como no se ponen de acuerdo, deciden esperar a recibir una factura
cada una y compararlas. A principios de mes, cuando llegan las facturas,
¡sorpresa!: habían hablado el mismo tiempo y el costo de las llamadas
¿Cuánto era el costo de cada factura? ¿Cuánto tiempo habló cada
Demuestra tu ingenio
Una ecuación química, al igual que
una ecuación matemática, consta
de dos miembros, y como en la
ecuación matemática, la ecuación
química es una igualdad.
Reactivos = Productos
La cantidad y la naturaleza de los
átomos de los reactivos deben ser
igual a la cantidad y la naturaleza
de los átomos de los productos,
aunque los reactivos y los
productos se hallen formando
compuestos con propiedades
El origen etimológico de la palabra
incógnita nos enseña su significado.
Procede de anteponer la partícula
negativa in a la palabra cognitu,
‘lo conocido’; de modo que significa
‘lo no conocido, lo desconocido’.
l matemático y filósofo francés René Descartes usó su nombre latinizado:
Renatus Cartesius. Hay que considerar que el latín era la lengua erudita
de la época y esta costumbre era muy común.
Ésta es la causa de que su sistema filosófico se denomine cartesiano
y que el sistema de representación de puntos y curvas en un sistema de
coordenadas, inventado por él, se llame cartesiano.
Descartes, entre otras muchas contribuciones a las matemáticas, fue el
responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar
las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas.
Reactivo A Reactivo B
Ecuaciones con computador
Si utilizamos el computador para pasar nuestros apuntes a limpio
o para hacer trabajos de matemáticas, nos será muy difícil escribir fórmulas
utilizando únicamente un procesador de textos. Para resolver esta dificultad
debemos usar un editor de ecuaciones.
Conéctate a una de las siguientes páginas e infórmate sobre el uso de un
editor de ecuaciones:
http://www.educa.aragob.es/cprcalat/cursosryc/word2/modulo5/unidad4.htm
http://www.aulafacil.com/Word/Lecc-43.htm
También podemos usar el computador para resolver ecuaciones. Te proponemos
aquí que utilices una valiosa herramienta llamada calculadora Wiris.
Con la ayuda de un buscador localiza una página web desde la que puedas
usar la calculadora. Infórmate del modo de utilizarla para resolver ecuaciones
y sistemas, y halla las soluciones de los siguientes:
x − = ( 5 − x ) + 10
67. a)Falsa. b) Cierta. c) Falsa. d) Cierta.
69.El intervalo común es:
71.a) 1,732; b) 0,2; c) 4,22.
73.a) ; b)
75.a) ; b) ; c) .
Son semejantes a
77. a) ; b)
79. a) ; b) ; c) ; d
81. a) 5 ; b) 16 ; c)
83. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;
85. Los segmentos de longitudes y son proporcionales
a los segmentos de longitudes y .
91.a) No es cierta. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
b) Cierta.
c) Cierta.
93. a) ; b) ; c)
d) 0x = –7 → No tiene solución. e)
95. x = 28
97.Una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
Una línea recta.
99.Es un sistema incompatible. No tiene solución.
La solución es x = −1, y = 4. Se trata de un sistema compatible determinado.
103. —Método de sustitución
Esta ecuación tiene infinitas soluciones.
—Método de igualación
—Método de reducción
0x + 0y = 0
− 2 , 5 ].
–1 0 2
2 : 1458 , 450 y 8 .
3 − 2 cm 2 + 8 cm
4 + 2 cm 8 + 6 2 cm
3 ; 3 4 ; 7 7 ; 3 92 ; 4 253
105. y = 4 − x
107. a) La solución del sistema es x = 1, y = 0
b) La solución del sistema es x = −3, y = 5
109. La solución es
111. La longitud de los lados del triángulo es 3 cm, 5 cm y 7 cm.
113. Mi edad actual es 18 años.
115. Los dos números son 10 y 11.
117. Las longitudes del lado menor y del lado mayor del rectángulo son
14 m y 28 m, respectivamente.
119. Los números buscados son 24 y 8.
121. El hijo tiene 12 años y su padre, 48 años.
123. La base del rectángulo es y la diagonal .
125. La distancia recorrida por el excursionista es:
127. a) ; b) 3 cm
129. x = ± 8 8 ⋅ 8 = 64 (−8) ⋅ (−8) = 64 — Radicación.
131. Cristina tiene 5 años; su madre, 25 años, y su tía, 20 años.
133. Tendrá que mezclar 1,5 kg de las golosinas que cuestan $ 4 /kg
con 3,5 kg de las que cuestan $ 6 /kg.
49. Sólo hace falta un punto. Por ejemplo, si conocemos el punto P (t, s),
la expresión algebraica de la función es y = s.
51. a)
53. Lineal: d; Afín no lineal: a; constante: b; no es función: c.
55. a)
Pendiente: 1
x = y = −
( +5 )5 = ( −9 )10
= 33 2 15 2 2 2
3a3 b 3b = 38 ⋅ 52 a5 b7 3b
72 a4 b 117 a6 b3 23 ⋅ 35 a2 b
4 2 2 6 10
− 2 − 3 42 7 6 1
+ − − 4 + 15
70 42 110 66
: (con a 0)
a b a b n
lación a
( ⋅ ) = ⋅
n = n am
x y = x + 5 x y = −2x + 2
−1 4 −1 4
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 7 ( 5 5
2 ⋅ 50 3 + 2 ⋅ 25 3 = 150 3 dam
y −8
y −3
Función exponencial 2 Módulo
Módulo1lineales con dos incógnitas
PATRONES DE CRECIMIENTO LINEAL EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF
NÚMEROS REALES Y POLINOMIOS EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF
NÚMEROS IRRACIONALES , PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF
Categorías: EJEMPLOS RESUELTOS,SECUNDARIA O MEDIA
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NÚMEROS RACIONALES Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF »
NOTACIÓN CIENTÍFICA , FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN EXPONENCIAL EJERCICIOS DE MATEMATICA 10–DECIMO AÑO PDF
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