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Timestamp: 2019-04-22 06:13:46+00:00

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Tipos de problemas en la enseñanza de las matemáticas
14 Prubas de Independencia
Trabajo Caso Toy Specialty
Guia Para La Interpretacion de Resultados en El Contraste de Hipótesis Estadísticas
Clasificación clásica de la estadística
Programacionanualdematematica2secundariaccesa1156jsbl 150812163400 Lva1 App6892
04 Aplicaciones Matematicas a La Sociologia
Estadística Programa Analítico 2016
errores estadisticos tesis
Diseño de Experimento Comparativo Simple (Monedas)
Mat 5.11 Superficie
Distribucion T ROSARIO HUAMAN.docx
Diciembre de 2012, Número 32, páginas 29-43
Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la
José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez
En este artículo se presenta una investigación realizada con alumnos de 4º de
Educación Primaria en la que se analiza la relación entre la invención y reconstrucción
de situaciones problemáticas y, el desarrollo de las siguientes capacidades: pensar
matemáticamente, plantear y resolver problemas matemáticos, argumentar
matemáticamente, representar entidades matemáticas, y, comunicarse en, con y sobre
las matemáticas. Las conclusiones muestran la necesidad de crear en el aula una
atmósfera que impulse la invención, el descubrimiento, la búsqueda y la investigación,
para que nuestro alumnado sea competente en Matemáticas. Sugerimos que se incluya
en el currículo de Matemáticas de Educación Primaria el uso de programas basados en
la invención y reconstrucción de situaciones problemáticas.
The paper presents an investigation made with students of 4th grade of Primary
Education in which we analyze the relation between the invention and reconstruction of
problematic situations and the development of the following abilities: thinking
mathematically, posing and solving mathematical problems, reasoning mathematically,
representing mathematical entities, and, communicating in, with, and about
mathematics. The conclusions show the necessity of creating an atmosphere that
encourages the invention, discovery, search and research in the classroom, so that our
students are competent in Mathematics. We suggest including the use of programs
based in the invention and reconstruction of problematic situations in the curriculum of
Mathematics of Primary Education.
Neste artigo apresenta-se uma investigação realizada com alunos do 4º de Educação
Primaria na que se analisa a relação entre a invenção e reconstrução de situações
problemáticas e, o desenvolvimento das seguintes capacidades: pensar
matematicamente, formular e resolver problemas matemáticos, argumentam
matematicamente , representam entidades matemáticas, e se comunicar com e sobre
a matemática. Os resultados mostram a necessidade de criar uma atmosfera de sala
de aula que estimula a invenção, descoberta, busca e pesquisa, para que nossos
alunos são competentes em Matemática. Sugerimos incluindo no currículo de
Matemática de Ensino Fundamental, utilizando programas baseados na invenção e
reconstrução de situações problemáticas.
La resolución de problemas ha sido y sigue siendo una línea de investigación
fructífera en la Didáctica de la Matemática (Santos-Trigo, 2007; Törner, Schoenfeld
y Reiss, 2007) como podemos comprobar en el último Congreso Internacional de
REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012- NÚMERO 32 - PÁGINA 29
2007. Selden y Mason. 2007. Greer y De Corte.PÁGINA 30 . 2010. 1998) o no sabe interpretar la respuesta en el contexto expuesto en el mismo (Verschaffel. El bajo rendimiento de nuestros alumnos de Educación Primaria en la resolución de problemas matemáticos continúa siendo una preocupación para las escuelas. lo que demuestra el interés existente sobre este tema en la Educación Matemática. no es raro que cualquiera de nuestros alumnos nos diga que “resolver un problema se le da mal”. 2008) ya que. deberíamos enseñarles a pensar matemáticamente para que sean los propios problemas los que creen en ellos la necesidad de analizar la extensión y limitaciones de los conceptos matemáticos que manejan. 2010). Castillo y Barbarán. De Corte y Vierstraete. Como afirma Goñi (2008). Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez Educación Matemática (ICME-2008). El desarrollo de la competencia matemática debe iniciarse a edades tempranas (Cardoso y Cerecedo. Consideramos interesante estudiar la relación que existe entre la forma en la que viene planteado un problema (completa o incompleta) y la capacidad del alumno para resolverlo. Para medir el grado de desarrollo de la competencia matemática de los alumnos de 4º de Educación Primaria hemos utilizado la prueba de diagnóstico propuesta por el Ministerio de Educación en el año 2010 para el citado nivel. Consideramos interesante conocer si la invención de situaciones problemáticas facilita en el alumno la capacidad de entender textos escritos y visuales sobre cuestiones de contenido matemático. Murillo y Marcos. 1985. En los últimos años se ha producido un notable aumento de los estudios realizados en torno a la competencia matemática (Fernández Bravo. 1999). 2008). En algunas ocasiones. Verschaffel. 2000). El núcleo central de las matemáticas escolares debe estar formado por la resolución de problemas (NCTM. 1980). 1999). el alumno acarreará un desfase que le costará superar. 2006) a los que hay que añadir los llevados a cabo por instituciones educativas de ámbito internacional (OECD. el alumno no entiende el vocabulario específico del problema (Bernardo. Selden. Schoenfeld. Uno de los principales objetivos que se persiguen en la asignatura de Matemáticas es que nuestros alumnos sean matemáticamente competentes. o no reconoce la/s operación/es necesarias para resolverlo (English. Lesh y Zawojewski. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. Sin embargo. y la de expresarse de forma escrita sobre temas matemáticos. para desarrollar la competencia matemática de nuestros alumnos debemos mejorar su capacidad de resolver problemas. Roig y Llinares. y por el Ministerio de Educación junto con las comunidades autónomas (según establecen los artículos 21 y 29 de la Ley Orgánica de Educación). instituciones e investigación (Tárraga. Hiebert (2003) concluye que este problema de índole internacional se debe a las dificultades de aprendizaje que tienen los alumnos en matemáticas. Vigotsky (1973) reflejó lo positivo que es para los escolares inventar situaciones a partir de dibujos de objetos en una hoja de papel. de lo contrario. Dreyfus (1991) considera que la mayoría de los alumnos aprenden una gran cantidad de procedimientos estandarizados en sus clases de matemáticas pero no a trabajar matemáticamente.NÚMERO 32 . En vez de enseñar a nuestros alumnos a que resuelvan problemas de forma mecánica. 2009. Nuestro interés se centra en medir el grado de desarrollo de la competencia matemática de alumnos de 4º de Educación Primaria. Muchas son las investigaciones que se han llevado a cabo sobre las dificultades que tienen alumnos de distintas edades para resolver problemas matemáticos (Juidías y Rodríguez. 1994.
. tanto la realización de estas actividades de forma rutinaria. 1979. con situaciones problemáticas que permiten el protagonismo directo del alumno. En la legislación educativa de numerosos países se ha incluido el enfoque por competencias en sus currículos vigentes (Dinamarca. 2010) basado en una metodología constructivista que se sustenta en el paradigma ecológico de Doyle (Doyle. 1978. como aquellas actividades que se presentan de forma completa (Enunciado-Pregunta) sin posibilidad de construcción. Doyle y Carter. 2010. Wilson y Spiller.NÚMERO 32 .PÁGINA 31 . de la validez de la estrategia. Reigeluth. Perú. La realización de la actividad consiste en deducir ideas y 1 Entendemos por programa tradicional en la resolución de problemas matemáticos. Merrill. de 3 de mayo. sin hablar de la verificación del problema que consiste en la aprobación. un cartel publicitario. 1984). Informaciones de las que se puede deducir algo. al inventar y reconstruir el problema matemático. Marco teórico “Un problema se considera como tal para un sujeto cualquiera cuando este sujeto es consciente de lo que hay que hacer. liderada por Niss (1999) a través del proyecto KOM (Kompetencer og matematikloering que se traduce como Competencias y el aprendizaje de las matemáticas) a partir del que se caracterizó el currículo de matemáticas en términos de competencias desde la escuela hasta la universidad. Merece especial mención por su carácter pionero. 1982. En este trabajo nos planteamos también conocer si la invención y reconstrucción de problemas contribuye al desarrollo de ciertas competencias matemáticas específicas introducidas por Niss (1999). Para llegar a la solución no se necesita operación alguna. Portugal. 1976) y en la teoría de la elaboración de Merrill y Reigeluth (Reigeluth y Darwazeh. 1986a. sin saber. cuya descripción de capacidades es la que se ha usado para asignar variables a cada una de las preguntas de la prueba de diagnóstico antes citada. 1995. 1978). REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. (Fernández Bravo. cuyo objetivo es llegar a la solución esperada. 27) En esta investigación se ha usado el programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas de Fernández Bravo (Fernández Bravo. 1986b. Reigeluth. sin pregunta alguna: Puede ser una frase. Presentamos a continuación los modelos utilizados en esta investigación: Situaciones sin número. la experiencia llevada a cabo en Dinamarca. Se presenta un problema en cuyo enunciado y pregunta no aparecen datos numéricos. Sin embargo. Se presentan informaciones. una portada de un libro. en principio. cómo hacerlo”. por el profesor. y cuya resolución depende de la imposición de lugar en la secuenciación de un tema. parece que siguiendo el programa tradicional1 los resultados obtenidos no son los deseables. Merrill y Bunderson. 2. Paraguay. Canadá y España).. Para atender a la problemática existente sobre el desarrollo de la competencia matemática en alumnos que cursan enseñanza obligatoria. en sus artículos 21 y 29) en lo que se refiere a la competencia matemática parecen no ser satisfactorios en un elevado porcentaje. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez Los resultados que obtienen nuestros alumnos en las pruebas de diagnóstico (que vienen establecidas en la Ley Orgánica 2/2002.. es necesario construir propuestas sobre metodologías didácticas alternativas que posibiliten una mejora en el proceso de enseñanza- aprendizaje de la matemática. p. 1977. la teoría de la asimilación de Ausubel (Ausubel. una lista de precios. El programa consta de un conjunto de 49 modelos.
así como. Se van cambiando los datos por otros más complejos. para que el proceso de su resolución. un prospecto. poco posibles. y resolver el problema: utilizando todos los datos del enunciado / sin utilizar todos los datos del enunciado.e imposibles. Inventar y resolver un problema a partir de una expresión matemática. Cambiar los datos necesarios del problema. para que no hagan variar la solución del problema.. de una foto. Se parte de un problema fácil y posible de realizar por todos los alumnos. sea correcto. Expresar preguntas y responderlas a partir de un enunciado dado. Su labor consiste en inventar una situación problemática en la que utilice esa idea. únicamente. Resolver el problema: utilizando todos los datos del enunciado / sin utilizar todos los datos del enunciado. Problemas de lógica. que se corresponda con: varias preguntas dadas y las soluciones que acompañan a todas y cada una de ellas. una programación de televisión. Expresar las preguntas que se corresponden con el enunciado y la operación. Enunciados abiertos. la pregunta y el proceso que se pueda corresponder con la solución de partida. de un titular de un periódico. Se le da al alumno una información: A partir de una frase. y sólo si es necesario. para obtener una solución dada y distinta a la que ya se obtuvo anteriormente. de un dibujo. Se presenta un enunciado con preguntas en blanco. Existe un dato. la solución del problema dada y los datos numéricos dados que deben aparecer en el enunciado. Inventar un enunciado que se corresponda con: una pregunta dada y una solución dada. Se tiene un enunciado y preguntas en blanco. Inventar un enunciado que se corresponda con: una pregunta dada. de un problema. Averiguar el dato falso de un problema.NÚMERO 32 . Cambiar lo que sea necesario. Se va completando todo lo que se necesite en la medida en que el alumno lo vaya pidiendo. que no nos permite llegar a la solución expresada. Cambiar los datos del problema. y sólo uno. No interviene el algoritmo. Inventar y resolver un problema a partir de una solución dada. de un esquema. que ya ha sido resuelto. para obtener la misma solución que se obtuvo anteriormente.. posibles -muy posibles. Cada pregunta tiene una solución dada. Cada una de esas preguntas lleva indicada la operación que se tiene que utilizar para obtener sus respuestas. Utilización del razonamiento por deducción. que se presenta. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. Se presenta un enunciado y una pregunta con sentido lógico pero de forma incompleta para llegar a la solución. inducción y analogía.PÁGINA 32 . que ya ha sido resuelto. Expresar las preguntas que se corresponden con el enunciado y la solución. Creación de un enunciado y pregunta que se corresponda con el contenido de relación aplicativa de la expresión de partida. Inventar un enunciado. dándoles la solución correcta. el enunciado de partida. La labor del alumno consiste en crear preguntas que se puedan contestar teniendo en cuenta. Comprobar el problema. y sólo uno.y no lógicas. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez clasificarlas en: lógicas -aquellas que son verdaderas o falsas para todos. El alumno creará el enunciado. Situaciones cualitativas. pero equivalentes.
sin solución definida.. que ya ha sido resuelto.. un cuento breve. y resolver la situación problemática. enciclopedias. Estos modelos se agrupan en seis clases de situaciones procedimentales que reciben. Se presentan dos problemas distintos. textos. a la edad del alumno-. para que la nueva solución sea la misma que la que se obtuvo anteriormente. Componer el/los enunciado/s de un/os problema/s a partir de todos/algunos de los datos que se ofrecen..PÁGINA 33 . Resolver un problema que se presenta de forma distinta a la habitual. husmear en los listados de alumnos del colegio. para su contestación. Seleccionar la información necesaria mediante la consulta de documentación. un caligrama. Inventar un problema con: un vocabulario específico y la operación/es que debe utilizarse para su resolución. El alumno completará el enunciado según corresponda. se pone a disposición del alumno una serie de fichas elaboradas por el profesor -adaptadas. en el programa. para recoger la información necesaria. Se presentan fuera del problema una serie de datos.. Es imprescindible facilitar el éxito de la búsqueda. Inventar un problema con: un vocabulario específico y la solución dada. Para ello. La realización de la actividad consiste en elegir el lugar necesario de los datos para resolver el problema. simplemente. Un metamodelo se define REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. De su enunciado se han borrado los datos y se han dejado los espacios en blanco. Mezcla de los procesos de resolución de dos problemas. Proponer situaciones en las que se manifieste de forma relevante la necesidad de pasar por un pensamiento lógico para llegar a un pensamiento matemático.NÚMERO 32 . y viceversa.. el nombre de metamodelos. Se presenta un problema resuelto. se requiere la consulta de diccionarios. Resolver problemas que se presentan de forma completa. y resolverlo. Observar y comparar las soluciones. Inventar un problema con un vocabulario específico dado. entre las que se pueda seleccionar y extraer los datos necesarios para resolver el problema.. operaciones y relaciones lógicas a las necesidades habituales de desarrollo personal. La labor del alumno consiste en identificar cada proceso con el problema correspondiente. Se presenta un problema indicando su solución. cuya resolución favorezca la aplicación de los conceptos. Se le da al alumno el vocabulario que debe utilizar en la invención. Una poesía. o. de cuyo enunciado se han borrado los datos y se ha dejado el espacio correspondiente para que el alumno lo complete según corresponda. en número y contenido.. diagramas. con varias soluciones. Cambiar la conjunción por disyunción. Se mezclan los procesos de resolución. Completar los datos del enunciado de un problema a partir de la solución de éste. lenguaje gráfico: tablas. en la que muchos de ellos perderían el tiempo sin rentabilizar el esfuerzo. Se presenta una pregunta que. Se presentan enunciados tal que desde esa forma de presentación se encuentran incompletos para dar respuesta a su pregunta. Resolver los problemas.. salir al patio. Completar los datos del enunciado de un problema a partir del proceso de resolución. convivencia y relación con el entorno: con solución única. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez Cambiar la pregunta de un problema.. Relación entre lógica y matemática.
● Seguir y evaluar cadenas de argumentos.PÁGINA 34 .Traducir la realidad a una estructura matemática (matematizar). cerrados). Escamilla.Dirigir y controlar el proceso de modelización.Analizar y criticar el modelo. p. ● Distinguir entre diferentes tipos de enunciados matemáticos (definiciones. conjeturas. afirmaciones condicionadas (‘si-entonces’). ● Identificar. hipótesis. 7). presentadas a la actividad del alumno y capaces de generar ideas válidas para la resolución de problemas matemáticos”. Pensar matemáticamente ● Ampliar la extensión de un concepto mediante la abstracción de sus propiedades. ¿entonces?) y conocer los tipos de respuestas que ofrecen las matemáticas a las cuestiones anteriores. afirmaciones con cuantificadores. definir y plantear diferentes tipos de problemas matemáticos (teóricos. ● Analizar los fundamentos y propiedades de modelos existentes. Niss (1999) identificó ocho competencias que dividió en dos grupos: . . juzgar. . que son: pensar matemáticamente. ● Conocer lo que es una demostración matemática y en qué difiere de otros tipos de razonamientos matemáticos. 59) La competencia matemática ha sido definida por diferentes autores e instituciones (Niss. . 2006. y. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez como “el conjunto de clases de modelos de situaciones problemáticas distintas. Rico y Lupiáñez. de respuesta abierta.Estructurar el campo o situación que va a modelarse. 2010. prácticos. Argumentar matemáticamente ● Descubrir las ideas básicas de una demostración.). Plantear y resolver problemas etc. modelizar matemáticamente. a ser posible utilizando distintos procedimientos. 2008. hacer y usar las matemáticas en una variedad de situaciones y contextos intra y extra matemáticos. Tabla 1: Capacidades asociadas al segundo grupo de competencias matemáticas específicas (Adaptado de Niss (2002)) Competencias matemáticas específicas Capacidades ● Proponer cuestiones propias de las matemáticas (¿Cuántos hay? ¿Cómo encontrarlo? Si es así. 2002. ● Traducir e interpretar los elementos del modelo en términos del mundo real.Comunicar acerca del modelo y de sus resultados (incluyendo sus limitaciones). de respuesta abierta.NÚMERO 32 . ● Diseñar modelos matemáticos: . 2008). matemáticos ● Resolver diferentes tipos de problemas matemáticos (teóricos. planteados por otros o por uno mismo. OCDE. en los que éstas juegan o podrían jugar un papel” (Niss. (Fernández Bravo.Las referidas a la habilidad de preguntar y contestar las preguntas en y con las matemáticas. cerrados. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. ejemplos. . teoremas. 2002. plantear y resolver problemas matemáticos. etc.). argumentar matemáticamente. ● Entender la extensión y las limitaciones de los conceptos matemáticos y saber utilizarlos. Niss afirma que la competencia matemática “es la habilidad de entender. ● Diseñar argumentos matemáticos formales e informales y transformar los argumentos heurísticos en demostraciones válidas. p.Validar el modelo. prácticos. generalizando los resultados a un conjunto más amplio de objetos. Destacamos en esta definición su no alusión a contenidos. Modelizar matemáticamente .
con y sobre las contenido matemático. visuales u orales de otros. ● Entender textos escritos. Utilizar símbolos y formalismos ● Entender la naturaleza y las reglas de los sistemas matemáticos matemáticos (sintaxis y semántica). su alcance y sus limitaciones. argumentar matemáticamente. Representar entidades matemáticas ● Utilizar y entender la relación entre diferentes (objetos y situaciones) representaciones de una misma entidad u objeto. Tabla 2: Capacidades asociadas al segundo grupo de competencias matemáticas específicas (Adaptado de Niss (2002)) Competencias matemáticas específicas Capacidades ● Entender. visual o escrita sobre temas matemáticos. matemáticas ● Expresarse uno mismo de forma oral. incluido el conocimiento de sus restricciones y limitaciones.PÁGINA 35 . y el desarrollo de su competencia matemática. y. y son: representar entidades matemáticas (objetos y situaciones). ● Traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico y formal. Objetivo Nuestro estudio pretende analizar la incidencia que tiene la aplicación de un programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas (cuya metodología difiere a la del programa tradicional) con alumnos de 4º de Educación Primaria. utilizar símbolos y formalismos matemáticos. en una variedad de registros lingüísticos. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. ● Decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal de las matemáticas y entender su relación con el lenguaje natural. comunicarse en. con y sobre las matemáticas. ● Escoger entre varias representaciones de acuerdo con la situación y el propósito. y. con y sobre las matemáticas (COM). decodificar e interpretar diferentes clases de representaciones de objetos matemáticos. Utilizar recursos y herramientas ● Conocer la existencia y propiedades de diversas (incluyendo las nuevas tecnologías) herramientas y recursos para la actividad matemática. con diferentes niveles de precisión teórica y técnica. El objetivo de la investigación que se muestra en este artículo es verificar si los alumnos que trabajan con el programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas desarrollan las siguientes competencias matemáticas específicas: pensar matemáticamente.NÚMERO 32 . ● Trabajar con enunciados y expresiones que contengan símbolos y fórmulas. plantear y resolver problemas matemáticos. En nuestra investigación nos hemos centrado en estudiar las siguientes competencias matemáticas específicas: pensar matemáticamente (PR). plantear y resolver problemas matemáticos (PRPM). representar entidades matemáticas. fenómenos y situaciones. sobre temas de Comunicarse en.Las que tienen que ver con la habilidad de utilizar el lenguaje y las herramientas matemáticas. utilizar. con y sobre las matemáticas. comunicarse en. utilizar recursos y herramientas. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez . representar entidades matemáticas (REP) y comunicarse en. 3. ● Usar de modo reflexivo tales recursos y herramientas. argumentar matemáticamente (ARG).
representar entidades matemáticas. plantear y resolver problemas matemáticos. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez 4. Las variables dependientes estudiadas fueron: pensar matemáticamente. con y sobre las matemáticas. con y sobre las matemáticas. y. el rango de valores enteros de cada una de las variables dependientes estudiadas fue el siguiente: REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. el resto de los alumnos conformaron los grupos control. más concretamente. De esta forma. al igual que la de los sujetos que formaron parte de los mismos. plantear y resolver problemas matemáticos. Este programa no se aplicó a la totalidad de los alumnos que formaron parte de la muestra sino únicamente a los que formaron parte de los grupos experimentales. comunicarse en. sobre un total de seis grupos de alumnos de Educación Primaria (4 grupos control y 2 experimentales). Se planteó la siguiente hipótesis de estudio: Si se utiliza el programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas con alumnos de 4º de Educación Primaria. entonces se desarrollan sus competencias matemáticas específicas siguientes: pensar matemáticamente.NÚMERO 32 . Los valores de la variable dependiente vinieron dados por la puntuación obtenida por cada alumno en la prueba (que se obtuvo sumando las puntuaciones asignadas a cada ejercicio) que se describe más adelante. cuando comparamos los resultados de los grupos experimentales y control. Metodología La presente investigación pretende evaluar los efectos de un programa de intervención educativa sobre invención-reconstrucción de situaciones problemáticas. El hecho de que los sujetos de cada curso pertenecieran a dos estados de control subraya la característica pretest-postest.PÁGINA 36 . representar entidades matemáticas. Los ejercicios se puntuaron siguiendo el siguiente criterio: 0: Respuesta incorrecta o sin respuesta 1: Respuesta parcialmente correcta. El conocimiento de los efectos de la aplicación del programa se apoya en la preintervención-postintervención. argumentar matemáticamente. y. Este programa constituye la variable independiente. La selección de los grupos experimentales se llevó a cabo al azar. comunicarse en. argumentar matemáticamente. La muestra estuvo formada por 155 alumnos de cuatro CEIP de titularidad pública de la Comunidad de Madrid de los cuales 103 alumnos formaban parte de los 4 grupos experimentales y 52 alumnos conformaban los 2 grupos control. La variable independiente en esta investigación ha sido el programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas. Esto permite llevar a cabo una inferencia correcta de las relaciones entre las variables dependientes e independiente. El equipo investigador lo formaron los profesores tutores de los grupos que tuvieron la condición de experimentales. 2: Respuesta correcta. En la presente investigación se ha seguido un diseño cuasi-experimental comparativo. se trata de un diseño: pretest-intervención-postest.
la medida: estimación y cálculo de magnitudes. 4. Prueba Se decidió emplear una prueba que estuviese elaborada por expertos en la materia y que no se aplicara en la comunidad de Madrid donde se eligió la muestra para la investigación. estar sistemáticamente relacionadas con la variable independiente. y que podían afectar de forma diferencial a los valores de las variables dependientes que se consideraron fueron las siguientes: metodología empleada.2. asistencia a clase y nivel socio-cultural de la familia 4. A través de un meticuloso estudio preliminar llevado a cabo por todos los miembros del equipo investigador asesorados por expertos en la materia. geometría. Los bloques de contenido considerados en esta prueba son los que establece el currículo de enseñanzas mínimas para esta materia (MEC. Los principales agentes fueron los alumnos de REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. Los alumnos dispusieron de 50 minutos para su realización. La prueba utilizada para medir las variables dependientes fue la prueba de diagnóstico de la competencia matemática que utilizó el Ministerio de Educación en las pruebas de diagnóstico del año 2010 con alumnos de 4º de Educación Primaria en la Ciudad Autónoma de Ceuta. dificultad en el aprendizaje de la matemática. azar y probabilidad. se indicó cuál es la competencia matemática específica en el sentido de Niss (1999) que más se ha de usar en la resolución de cada pregunta (anexo I). tratamiento de la información. la prueba para medir el grado de desarrollo de la competencia matemática antes descrita. La corrección de la prueba se llevó a cabo de forma consensuada entre todos los miembros del equipo investigador y ningún profesor participante corrigió las pruebas de sus alumnos. 2006). Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez Tabla 3. Procedimiento La fase pretest tuvo lugar en el mes de septiembre de 2010 y en ella los alumnos de 4º de Educación Primaria cumplimentaron. en su aula habitual y de forma simultánea.NÚMERO 32 . a priori.PÁGINA 37 . Recorrido de valores de las variables dependientes Variable dependiente Rango de valores enteros PR 0-16 PRPM 0-24 ARG 0-6 REP 0-6 COM 0-14 Las variables intervinientes que podían.1. Para su aplicación se siguieron escrupulosamente todas las instrucciones dictadas por el Ministerio de Educación. educacionales (situaciones relacionadas con la vida escolar). Consta de un total de 33 preguntas de las que 18 son de opción múltiple y el resto son abiertas o de respuesta construida semiabiertas. díganse: números y operaciones. símbolos y objetos matemáticos). La fase de intervención se llevó a cabo durante un periodo de ocho meses dentro del curso escolar 2010/11 y en ella se aplicó el programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas a los cuatro grupos experimentales. la familia y el grupo de compañeros). En este proceso se utilizaron como criterio de selección las capacidades que aparecen en las tablas 1 y 2. Las preguntas contenían situaciones problemáticas de tipo personal (relacionadas con el yo. públicas (situaciones de la comunidad local y la sociedad) y científicas (situaciones que se refieren a estructuras.
tanto por el contenido formal. mediante seminarios de grupo para la aplicación práctica del programa de intervención que tuvieron lugar durante el curso escolar 2009/10. Como material para el alumno. Mediante el diálogo en gran grupo y las preguntas del profesor. La ejecución pudo realizarse: en gran grupo o grupo-clase. en parejas de alumnos. Este programa se desarrolló en sesiones semanales. Si la ejecución se llevó a cabo por parejas.PÁGINA 38 . . asegurándonos de que había comprendido perfectamente lo que había que hacer.0. esta fase se llevó a cabo por parejas. versión 15. una sesión por semana de dos horas de duración. con la finalidad de tener tiempo para generar un debate en el que fluyeran las ideas. 5.Apertura: Se le planteó al alumno el desafío. El seguimiento del programa se concluyó con 22 sesiones a lo largo del curso escolar. En cada sesión se realizaron dos problemas por término medio. a partir de un diálogo en común. seleccionadas o adaptadas de Fernández Bravo (2010. p. etc. Cada unidad de actuación cerrada se compuso de cinco fases concretas con representación independiente.NÚMERO 32 . . se canalizaron las ideas y se recogieron las estrategias matemáticas que se habían reconocido como válidas. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez estos grupos y el equipo investigador. Si la fase anterior se había realizado de forma individual. . . la fase en la que estamos ahora formó parte de la anterior. previamente. Fueron las siguientes: . como por el orden de aparición. esta fase se realizó por parejas de parejas.Finalización: Se escribieron y anotaron las conclusiones que se obtuvieron: conceptuales. Con una periodicidad quincenal se llevaron a cabo reuniones en las que participaron los miembros del equipo investigador y en ellas se presentaron de forma abierta tanto los avances percibidos como las dificultades encontradas y se compartieron experiencias particulares de cada aula. 96-188). La fase postest se llevó a cabo durante el mes de junio de 2011 y en ella se les aplicó a los alumnos el mismo instrumento de evaluación que se les había aplicado en la fase pretest. Se le explicó con claridad. El horario fijado coincidió en todos los cursos.Ejecución: Fase en la que se realizó la propuesta. o. Si en la fase anterior había intervenido el grupo-clase.Contrastación: Fase en la que se contrastaron las ideas mediante el diálogo. de forma individual. procedimentales. Las sesiones se estructuraron como “unidades de actuación cerradas”. Resultados del estudio Para llevar a cabo el análisis estadístico de los datos recogidos se utilizó el programa Statistical Package for the Social Sciences (SPSS).Exposición: Fase en la que intervino el grupo-clase con la libre participación de todos y cada uno de los alumnos que quisieron exponer sus ideas. La corrección de las pruebas siguió el mismo procedimiento descrito en la fase pretest. El equipo investigador se había formado. Los análisis llevados a cabo para el tratamiento estadístico de los datos fueron los siguientes: REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. dentro del horario lectivo y en el aula correspondiente. se elaboró un cuaderno de trabajo con 60 situaciones problemáticas.
establecimos comparaciones múltiples. son iguales. Control pretest “2”.5642 . En la fase pretest. Se aplicó la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Este estudio lo realizamos con todos los datos. su desviación típica.PÁGINA 39 . por otro. Para investigar en qué niveles se dan esas diferencias significativas.28 Comunicarse en. mediante la prueba T de Student.8466 . sólo podemos concluir que. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez a) Análisis descriptivos y gráficos. la repercusión del citado programa en los valores de las variables intervinientes. tanto de la fase pretest como postest. de F Pensar matemáticamente 12. Con la finalidad de comparar los cambios producidos por la utilización del programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas en los grupos experimentales se realizó un análisis de varianza múltiple en relación con todas las variables evaluadas.05). a partir los cuales pudimos observar las puntuaciones medias de cada grupo (Experimental pretest “1”. la asistencia a clase. Se analizó el estadístico F y su significación (Sig F) para los 6 niveles de grupos. investigando. obteniéndose respuesta negativa en todos los casos. respecto a la utilización.002 Representar entidades matemáticas 7.17 REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012.6318 . Experimentales postest “3”. el nivel de estudios de los padres y la dificultad para las matemáticas. dos niveles de la variable producen distintos efectos en la variable dependiente.NÚMERO 32 . Si la F global del análisis de la varianza es significativa (p<0. o no. Se estudió la existencia o no de diferencias significativas respecto a la ocupación de los padres.05) en las variables evaluadas en la fase pretest. antes y después. Control postest “4”). por lo menos. La existencia de diferencias significativas nos haría rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa. el error típico y el intervalo de confianza para la media. se estudió mediante un análisis de la varianza si existían diferencias estadísticamente significativas (p<0. El contraste de hipótesis estadísticas lo basamos en un contraste de igualdad de medias de dos poblaciones normales de varianzas desconocidas que verifican que el número de sujetos del grupo experimental más el número de sujetos del grupo control es mayor que 30. El contraste se realizó con las medias de los grupos experimentales pretest y postest por un lado. verificando su repercusión en los grupos experimentales.04 Plantear y resolver problemas matemáticos 10. La hipótesis alternativa fue la existencia de diferencias en las medias obtenidas. El contraste fue bilateral considerando como hipótesis nula que las medias obtenidas por un grupo. Tabla 4.6586 . b) Tests no paramétricos que nos sirvieron para determinar hasta qué punto los datos muestrales se ajustan a una distribución teórica. del programa de intervención (variable independiente). También estudiamos si los cambios habían sido significativos y si estos se habían debido a la utilización del programa.003 Argumentar matemáticamente 6. c) Análisis paramétrico unifactorial de la varianza para el contraste de las hipótesis estadísticas. con y sobre las matemáticas 8.4532 . obteniéndose respuesta negativa en todos los casos. al 95%. y de los grupos control prestest y postest. la situación familiar. Resultados del ANOVA realizado comparando los grupos experimental y control VARIABLE Razón F Sig. Con este análisis se comprobó si el cambio pretest-postest en cada una de las variables estudiadas difirió en cada una de las aulas. también.
de entorno no urbano. Barbarán. Educational Psychology. Overcoming obstacles to understanding and solving word problems in mathematics. Los cambios producidos en los grupos experimentales de la fase postest fueron significativos respecto a todos y cada uno de los otros grupos en las tres variables mencionadas. las siguientes competencias matemáticas específicas: plantear y resolver problemas matemáticos. mediante la invención-reconstrucción de situaciones problemáticas. sugerimos que se incluya de forma efectiva en el currículo de Matemáticas de Educación Primaria el uso de programas basados en la invención. al no observarse diferencias estadísticamente significativas entre los grupos experimentales y control. REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo. para lograr un desarrollo de las competencias matemáticas específicas: representar entidades matemáticas y comunicarse. la razón F indicó que los cambios pretest-postest en los grupos experimentales fueron: . Como futuros trabajos. debería trabajarse en el aula haciendo más protagonista al alumno de sus aciertos y sus errores. Las situaciones problemáticas abiertas fomentan en el alumno el desarrollo de su creatividad haciéndolo más competente en la sociedad actual. sugerimos confirmar estadísticamente estos resultados tanto en otros centros de titularidad privada. (1976).PÁGINA 40 .NÚMERO 32 . J. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez Como podemos observar en la tabla 4.Estadísticamente significativos al 100% en las variables: plantear y resolver problemas matemáticos y argumentar matemáticamente. D. Consideraciones finales La resolución de problemas matemáticos es una fuente inagotable de conocimiento matemático que. 19 (2). 6. Para conseguir ese fin. Bibliografía Ausubel. concertada. en. Esto evidencia que el programa de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas desarrolló significativamente en los alumnos de 4º de Educación Primaria. Madrid. Bernardo. con y sobre las matemáticas. en la actualidad. Universidad Nacional de Educación a Distancia. No podemos afirmar que el programa de invención sirva para desarrollar las competencias de “representar entidades matemáticas” y “comunicarse e. 149-163. Aumentar el nivel competencial de nuestros alumnos es. Estudio de caso. Investigación evaluativa sobre la resolución de problemas para el desarrollo de la competencia matemática en alumnos de educación secundaria obligatoria. Tesis doctoral no publicada. Con este estudio hemos comprobado empíricamente que un programa basado en la invención y reconstrucción de situaciones problemáticas desarrolla de forma efectiva las siguientes competencias matemáticas específicas: pensar matemáticamente. Consideramos que habría que apoyarse en otros programas de intervención o ampliar el que hemos usado con otras actividades. con y sobre las matemáticas”. un objetivo importante de nuestro sistema educativo. España. y. México: Trillas. y para la muestra utilizada. así como en otras etapas educativas.P. a nuestro juicio. (2010). pensar matemáticamente. plantear y resolver problemas matemáticos y argumentar matemáticamente. argumentar matemáticamente. A. . J. (1999).Estadísticamente significativos al 96% en la variable pensar matemáticamente.
J. (1999). (2002). Niss. L. (1991). & Rodríguez. (1995). (2007). E. (2008). Doyle.C. Revista Iberoamericana de Educación. 257-286. Problem solving and modeling. Real Decreto 1513/2006. Juidías. Goñi. Content representation in teachers‘ definitions of academic work. Creatividad y razonamiento en la mente de los niños. 29 (1). En M. (2010). Revista del Instituto de Investigaciones en Ciencias de la Educación. H. & Carter. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. J. Claves y propuestas para su desarrollo en los centros. Journal for Research in Mathematics Education. 763- 804). Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez Cardoso. (1984). 51-56. El desarrollo de las competencias matemáticas en la primera infancia. (2003). An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of the 1980s. W. 9. 1-11. El desarrollo de la competencia matemática. 129-149. 25-41). Un modelo para potenciar y analizar las competencias geométricas y comunicativas en un entorno interactivo de aprendizaje. G. NC: Information Age. de 7 de diciembre.pdf REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012.J. VA: National Council of Teachers of Mathematics. Concepts. G. del 8/12/2006. Fernández Bravo. W. 32-2 ideas clave.se/users/hso/aaa_niss. Charlotte. de http:// http://w3. 3-11. BOE Nº. English. Handbook of Research on Teaching. T. Madrid: Grupo Mayéutica. W.). Berkeley: McCutchan. 27 (2). (2008). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The Danish KOM project. 47 (5). Escamilla. 342. Doyle. Schifter & National Council of Teachers of Mathematics (Eds. Peterson. Virginia: NCTM. Tall (Ed. Doyle. Dreyfus. Barcelona: Graó.) Research on teaching. D. Classroom organization and management. (1986b). Barcelona: Editorial Graó. Doyle. Lester (Ed.PÁGINA 41 . A. 4 (6). Learning the classroom environment: An ecological analysis. 5- 23). Wittrock (Ed. Curriculum Inquiry. R. Reston.vxu.msi.). J. M. G. En D. Los procesos del currículum en la enseñanza efectiva y responsable. M. (1986a). 18 (4). MEC (2006). A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. A. W. Martin. 28 (6). Advanced mathematical thinking processes. & Marcos. Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. En F. Reston. I. En P. Enseñanza de las ciencias: revista de investigación y experiencias didácticas. (1998). Classroom tasks and students’ abilities. 365-379. (2009). K. Journal of Teacher Education. Doyle. Las competencias básicas. por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. (1977). J. & Cerecedo. 241-256. Niss. (1979). En J. W. Academic tasks in classrooms. Advanced mathematical thinking (pp. Children´s problem solving within formal and informal contexts. Murillo. W. Journal of Curriculum Studies. findings and implications. Doyle.L. 14 (2). Competencies and Subject Description. 21-29. Kilpatrick. Uddanneise. Nueva York: Macmillan. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1980). & Zawojewski. Dificultades de aprendizaje e intervención psicopedagógica en la resolución de problemas matemáticos. (2007). 83-106.).). J. La resolución de problemas matemáticos. Hiebert. Lesh. M. What research says about the NCTM Standards. Walberg (Eds. (2008).NÚMERO 32 . Recuperado el 22 de febrero de 2012. W. Revista de Educación. 293.
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barbaran@ugr.es ANEXO I Prueba de diagnóstico de la competencia matemática elaborada por el Ministerio de Educación y planteada a alumnos de 4º de Educación Primaria de Ceuta y Melilla (2010) PR PRPM ARG REP COM Pregunta 1 X Pregunta 2 X Pregunta 3 X Pregunta 4 X Pregunta 5 X Pregunta 6 X Pregunta 7 X Pregunta 8 X Pregunta 9 X Pregunta 10 X Pregunta 11 X Pregunta 12 X Pregunta 13 X Pregunta 14 X Pregunta 15 X Pregunta 16 X Pregunta 17 X Pregunta 18 X Pregunta 19 X Pregunta 20 X Pregunta 21 X Pregunta 22 X Pregunta 23 X Pregunta 24 X Pregunta 25 X Pregunta 26 X Pregunta 27 X Pregunta 28 X Pregunta 29 X Pregunta 30 X Pregunta 31 X Pregunta 32 X Pregunta 33 X REVISTA IBEROAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA –DICIEMBRE DE 2012. Licenciado en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Málaga y Doctor por la UNED. Incidencia de la invención y reconstrucción de problemas en la competencia matemática José Antonio Fernández Bravo y Juan Jesús Barbarán Sánchez Juan Jesús Barbarán Sánchez.NÚMERO 32 .PÁGINA 43 . Actualmente es profesor de Matemáticas en el IES “Almina” de Ceuta y profesor asociado en el Departamento de Álgebra de la Universidad de Granada.
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