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Timestamp: 2020-07-05 17:27:45+00:00

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Programación de aula de Matemáticas I Bachillerato
A la hora de proceder a estructurar en unidades didácticas la distribución y concreción de objetivos,
contenidos y criterios de evaluación para cada uno de los cursos, la editorial Edebé ha aplicado una serie de criterios, de manera que permitan una enseñanza integrada.
Adecuación. Todo contenido de aprendizaje está íntimamente ligado a los conocimientos previos del
Progresión. El estudio en forma helicoidal de un contenido facilita la progresión. Los contenidos, una
vez asimilados, se retoman constantemente a lo largo del proceso educativo, para que no se olviden.
Unas veces se cambia su tipología (por ejemplo, si se han estudiado como procedimientos, se retoman
como valores); otras veces se retoman como contenidos interdisciplinarios en otras áreas.
Interdisciplinariedad. Esto supone que los contenidos aprendidos en un área sirven para avanzar en
otras y que los contenidos correspondientes a un eje vertebrador de un área sirven para aprender los
contenidos de otros ejes vertebradores de la propia área, es decir, que permiten dar unidad al aprendizaje entre diversas áreas.
Priorización. Se parte siempre de un contenido que actúa como eje organizador y, en torno a él, se van
integrando otros contenidos.
Integración y equilibrio. Los contenidos seleccionados deben cubrir todas las capacidades que se enuncian en los objetivos y criterios de evaluación. Asimismo, se busca la armonía y el equilibrio en el tratamiento de conceptos, procedimientos y valores. Y, muy especialmente, se han de trabajar los valores
Interrelación y globalización. A la hora de programar, se han tenido en cuenta los contenidos que son
comunes a dos o más áreas, de forma que, al abordarlos, se obtenga una visión completa. Asimismo, se
presentan los contenidos en su aspecto más general, para poder analizar los aspectos más concretos a lo
largo de las unidades didácticas, hasta llegar a obtener una visión global.
Con todos estos criterios, la materia se estructura en unidades y también se secuencian los ejes vertebradores de la materia, de manera que permitan una enseñanza integrada en orden horizontal, o bien
posibiliten al profesor/a el tratamiento de un solo eje en orden vertical.
2. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
3. Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
5. Trigonometría I
6. Trigonometría II
7. Geometría analítica
8. Lugares geométricos: las cónicas
9. Funciones reales
10. Límites funcionales y continuidad
11. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
12. Introducción a las derivadas e integrales
13. Estadística bidimensional
15. Distribuciones de probabilidad discretas: distribución binomial
16. Distribuciones de probabilidad continuas: distribución normal
Distinguir los distintos conjuntos numéricos.
Representar números reales en la recta numérica.
Conocer y definir los distintos tipos de intervalos y representarlos sobre la recta real.
Efectuar las operaciones de unión e intersección de intervalos y representar el resultado en la recta
Los conjuntos numéricos N, Z y Q.
El conjunto de los números irracionales.
Representación gráfica de los números irracionales.
Aproximación decimal de los números reales.
Truncamiento y redondeo.
Propiedades de las operaciones con números reales.
Error absoluto y error relativo.
Cotas de error absoluto y error relativo.
Orden en R.
Intervalos de números reales (abiertos, cerrados, semiabiertos, infinitos y entornos).
Unión e intersección de intervalos.
Adición de radicales.
Representación gráfica de números irracionales.
Utilización de aproximaciones de números reales.
Empleo de la notación científica.
Realización de operaciones con números expresados en notación científica.
Cálculo de cotas de error.
Ordenación de números reales.
Representación de intervalos de números reales sobre la recta.
Realización de operaciones con intervalos.
Simplificación de radicales y reducción a índice común.
Realización de operaciones con radicales: adición, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Extracción e introducción de factores en un radical.
Eliminación de radicales en el denominador de una fracción.
Uso de la calculadora para la realización de operaciones con números expresados en notación científica y para el cálculo de raíces.
Uso de programas informáticos (Derive, etc.) para realizar operaciones diversas con números reales.
Valoración de la utilidad de la notación científica.
Conciencia de la importancia de acotar el error al trabajar con aproximaciones decimales.
Valoración de la importancia de la calculadora en operaciones con números de muchas cifras decimales.
La primera página de la unidad contiene una imagen acompañada de un texto que nos muestran la
presencia de las Matemáticas en diferentes ámbitos de la vida.
Los «Objetivos» detallados en la presentación de la unidad muestran las capacidades que se pretende
que el alumno/a desarrolle a lo largo de ésta.
Un esquema muestra la organización de los contenidos de la unidad.
La «Preparación de la unidad» contiene definiciones, ejemplos y actividades con la finalidad de evocar los contenidos necesarios para abordarla.
1. Los conjuntos numéricos
La unidad empieza con un repaso de los conjuntos numéricos N, Z y Q, haciendo hincapié en el motivo que ha llevado a la ampliación de cada uno de ellos.
Se definen los números irracionales y se trabaja su representación gráfica mediante métodos geométricos exactos y aproximados.
A continuación, se introduce el concepto de aproximación decimal, se introduce el concepto de truncamiento y redondeo y se definen las operaciones con números reales como operaciones con aproximaciones decimales.
Se presenta también la notación científica como herramienta de gran utilidad para la expresión de
números muy grandes o muy pequeños.
Se introducen los conceptos de error absoluto, error relativo y cotas de error, insistiendo en la necesidad de controlar el error cometido al trabajar con aproximaciones decimales.
Finalmente, se definen el orden en el conjunto de los números reales y el concepto de intervalo, presentando los diferentes tipos (cerrado, abierto, semiabierto), así como los intervalos infinitos y los entornos.
Se muestra, mediante un ejemplo, cómo obtener la unión e intersección de intervalos.
Se definen el concepto de radical y sus elementos.
Se introducen los radicales equivalentes y la propiedad que permite su obtención.
Se aplican las propiedades a la simplificación de radicales y a la reducción de radicales a índice común.
Se presentan las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación con radicales,
primero del mismo índice y, después, con radicales de diferente índice.
Se enseña el procedimiento de extracción de factores de un radical y la adición de radicales.
Se define el concepto de racionalización y se presentan los casos más sencillos.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en las
operaciones con intervalos, el proceso de racionalización y las operaciones con números reales, y la acotación del error. Para ello se proponen los siguientes ejercicios:
Representar y operar gráficamente intervalos.
Racionalizar dos fracciones.
Calcular cotas de error absoluto en un cálculo práctico.
Resolver un problema de geometría utilizando números radicales.
Finalmente, en el apartado «Ejercicios y problemas» se incluye una serie de ejercicios para que el alumnado repase lo aprendido. Estos ejercicios van acompañados de la solución con el fin de favorecer el proceso de autoevaluación.
Identificar los diferentes tipos de números (naturales, enteros, racionales e irracionales).
Representar sobre la recta números reales, utilizando el procedimiento adecuado según se trate de
números racionales o irracionales.
Utilizar aproximaciones de números reales de acuerdo con la precisión requerida.
Efectuar cálculos con aproximaciones decimales y controlar el error cometido, obteniendo una cota
Emplear con corrección la notación científica y operar (con y sin calculadora) con números expresados en dicha notación.
Representar sobre la recta números reales y ordenarlos.
Identificar intervalos de números reales, conocer las diferentes notaciones empleadas para denotarlos
y representarlos gráficamente sobre la recta.
Efectuar diferentes operaciones con radicales reduciendo previamente, si es preciso, a índice común o
extrayendo factores del radical.
Racionalizar diversas expresiones utilizando el procedimiento adecuado según el tipo de denominador.
Resolver ecuaciones con una incógnita (polinómicas, con fracciones algebraicas e irracionales) y
Solucionar sistemas lineales y no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, y sistemas lineales
de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Resolver problemas utilizando ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Polinomios, máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de polinomios.
Clasificación de las ecuaciones de primer grado según el número de soluciones.
Clasificación de las ecuaciones de segundo grado según la anulación o no de sus términos.
Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos.
Sistemas de ecuaciones. Sistemas equivalentes.
Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Tipos de sistemas según sus soluciones.
Sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Operaciones con polinomios y descomposición factorial de polinomios.
Resolución de ecuaciones de primer grado o lineales.
Resolución de ecuaciones de segundo grado completas.
Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas.
Resolución de ecuaciones bicuadradas.
Resolución de ecuaciones polinómicas de grado superior a dos por factorización.
Resolución de ecuaciones con fracciones algebraicas.
Resolución de ecuaciones irracionales.
Representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.
Transformación de un sistema en otro equivalente.
Resolución gráfica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolución algebraica de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolución algebraica de sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolución algebraica de sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Utilización de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) para la representación gráfica y la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Hábito de analizar la validez de la solución de un problema.
Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes
La primera página de la unidad contiene una imagen acompañada de un texto que nos muestra la presencia de las Matemáticas en diferentes ámbitos de la vida.
A partir de un ejemplo se introduce el concepto de ecuación con una incógnita.
Dentro del subapartado «Polinomios» se recuerdan las operaciones elementales con polinomios y la
Dentro del subapartado «Ecuaciones polinómicas» se empieza dando la definición de ecuación polinómica y el procedimiento general para reducir una ecuación polinómica cualquiera a una ecuación
con la forma polinómica habitual. A continuación, se estudian los siguientes tipos de ecuaciones polinómicas:
– De primer grado o lineales.
– De segundo grado.
– Bicuadradas.
– Polinómicas de grado superior a dos.
El esquema seguido en todas ellas es el mismo: se da la definición y después se presenta el procedimiento de resolución. En el caso de ecuaciones de segundo grado, se distingue entre ecuaciones completas e incompletas y se establece la relación entre el número de soluciones de la ecuación y su determinante.
En el apartado «Ecuaciones con fracciones algebraicas» se define este tipo de ecuaciones a partir de
la observación de un ejemplo y se muestra el procedimiento de resolución, ejemplificando cada uno
En el apartado «Ecuaciones irracionales» se procede de forma análoga a como se hizo en el apartado
2. Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Se introducen los conceptos de ecuación lineal con dos incógnitas y de solución de ésta.
A partir de la representación de algunas de las soluciones de una de estas ecuaciones, se establece que
la representación gráfica de todas las soluciones es una recta.
Se introducen los conceptos de sistema de ecuaciones y solución de un sistema, así como el de sistemas equivalentes.
Se indican cuáles son las transformaciones que permiten pasar de un sistema a otro equivalente.
Seguidamente, se estudian los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, presentando
primero el método de resolución gráfica y, después, los tres métodos de resolución algebraica (igualación, sustitución y reducción).
Se da la clasificación de estos sistemas según sus soluciones.
Entre los sistemas no lineales, se estudian únicamente aquellos en que una de las ecuaciones es lineal.
Finalmente, se introducen los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas y se presenta la
resolución de uno de estos sistemas por el método de reducción.
4. Resolución de problemas mediante ecuaciones y sistemas
Se indican los pasos para la resolución de problemas mediante ecuaciones y se resuelve un problema
indicando en la resolución cada uno de los pasos.
Se completa la muestra con dos ejemplos más donde se aplica la estrategia explicada.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a conozca procedimientos concretos de resolución de problemas. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Determinar mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones el coeficiente de un polinomio que
cumple ciertos requisitos.
Determinar una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son conocidas a partir de propiedades
deducidas previamente.
Resolver una ecuación en la que intervienen números combinatorios.
Resolver una ecuación de tres incógnitas por el método de reducción.
Finalmente, en el apartado «Ejercicios y problemas», se incluye una serie de ejercicios para que el alumnado repase lo aprendido. Estos ejercicios van acompañados de la solución con el fin de favorecer el proceso
Transformar una ecuación polinómica con una incógnita con paréntesis y denominadores en otra
equivalente de la forma polinómica habitual y resolver dicha ecuación según su grado (de primer grado o lineales, de segundo grado, bicuadradas y de grado superior a dos factorizables).
Resolver ecuaciones con fracciones algebraicas.
Resolver ecuaciones irracionales.
Representar en unos ejes de coordenadas las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas.
Obtener gráficamente la solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas por los métodos de igualación, sustitución y reducción, e indicar el tipo de sistema según las soluciones obtenidas.
Obtener la solución de un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas en el caso de que
una de las ecuaciones sea lineal.
Obtener la solución de un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando los métodos
de reducción o sustitución.
Resolver problemas mediante ecuaciones indicando: la elección de las incógnitas, el planteamiento de
la ecuación o sistema de ecuaciones, la resolución de la ecuación o sistema de ecuaciones y la comprobación de las soluciones.
Reconocer las ventajas que supone el uso del lenguaje algebraico para representar y resolver situaciones cotidianas y del ámbito científico-técnico.
Resolver inecuaciones lineales y no lineales con una incógnita y resolver sistemas lineales de inecuaciones con una incógnita.
Resolver inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas lineales de inecuaciones con dos incógnitas.
Resolver problemas utilizando inecuaciones y sistemas de inecuaciones.
Valorar la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes ámbitos, y
reconocer su precisión y simplicidad.
Inecuaciones lineales con una incógnita.
Sistemas lineales de inecuaciones con una incógnita.
Inecuaciones no lineales con una incógnita.
Inecuaciones de grado superior a dos con una incógnita.
Inecuaciones con fracciones algebraicas y una incógnita.
Sistemas lineales de inecuaciones con dos incógnitas.
Resolución de inecuaciones lineales con una incógnita.
Resolución de sistemas lineales de inecuaciones con una incógnita.
Resolución de inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Resolución de inecuaciones de grado superior a dos con una incógnita.
Resolución de inecuaciones con fracciones algebraicas y una incógnita.
Representación gráfica de las soluciones de una inecuación lineal con dos incógnitas.
Representación gráfica de las soluciones de un sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas.
Resolución de problemas mediante inecuaciones.
Utilización de programas informáticos para la representación gráfica y la resolución de sistemas de
Valoración de los diferentes métodos empleados para solucionar, mediante inecuaciones, problemas
Valoración de los esquemas gráficos para representar las soluciones de las inecuaciones.
1. Inecuaciones lineales con una incógnita
En este bloque se muestra, mediante ejemplos concretos, la manera de obtener las soluciones y las representaciones gráficas de éstas en diversos tipos de inecuaciones.
El esquema seguido en cada apartado es: definición, procedimiento de resolución y ejemplo o ejemplos resueltos.
2. Inecuaciones no lineales con una incógnita
El esquema seguido en cada apartado es el mismo.
3. Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Se introducen los conceptos de inecuación lineal con dos incógnitas y solución de ésta.
la representación gráfica de todas las soluciones es un semiplano.
Se define un sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas y se muestra su resolución gráfica mediante un ejemplo.
4. Resolución de problemas mediante inecuaciones
Se definen los pasos para la resolución de problemas mediante inecuaciones.
Se resuelve un problema indicando cada uno de los pasos.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en la resolución de inecuaciones y sistemas. Se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Determinar el conjunto de números que satisfacen una condición de tipo algebraico.
Resolver un sistema de inecuaciones de una incógnita no lineal.
Determinar las condiciones óptimas de un contrato comercial.
Resolver un problema de resultado único a partir de condiciones de desigualdad.
Finalmente, en el apartado «Ejercicios y problemas», se incluye una serie de ejercicios para que el
alumnado repase lo aprendido. Estos ejercicios van acompañados de la solución con el fin de favorecer el proceso de autoevaluación.
Obtener la solución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita, expresarla
en forma de intervalo (o unión de intervalos) y representarla sobre la recta.
Resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita, ya sea reduciéndola a un sistema de dos
inecuaciones lineales o por el método práctico, y representar sus soluciones.
Aplicar el método práctico a la resolución de inecuaciones de grado superior a dos con una incógnita.
Resolver inecuaciones con fracciones algebraicas y una incógnita.
Obtener el semiplano solución de una inecuación lineal con dos incógnitas y hallar gráficamente la
solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Expresar mediante inecuaciones situaciones en las que intervienen desigualdades.
Resolver problemas con condiciones de desigualdad indicando: elección de las incógnitas, planteamiento de la inecuación o sistema de inecuaciones, resolución y comprobación de las soluciones, y
valoración de éstas en el contexto del problema.
Comprender la necesidad de ampliar el conjunto de los números reales «R» para poder efectuar operaciones algebraicas como la radicación.
Reconocer los números complejos y efectuar operaciones con ellos.
Reconocer el plano complejo y representar gráficamente un número complejo en dicho plano.
Resolver ecuaciones con soluciones complejas.
Unidad imaginaria.
Parte real y parte imaginaria de un número complejo.
Números imaginarios y números reales.
Opuesto de un número complejo.
Operaciones (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación) con números
Afijo de un número complejo.
Identificación de la parte real y de la parte imaginaria de un número complejo.
Identificación de números complejos iguales.
Obtención del opuesto y del conjugado de un número complejo.
Utilización de los algoritmos de la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de números
Obtención de las potencias de la unidad imaginaria.
Aplicación del binomio de Newton para el cálculo de potencias de números complejos.
Obtención de la raíz cuadrada de un número complejo.
Representación gráfica de números complejos.
Resolución de ecuaciones de segundo grado y bicuadradas con soluciones complejas.
Realización de operaciones con números complejos utilizando programas informáticos de cálculo.
Descubrimiento del método creativo matemático utilizado para la solución de problemas no solubles
dentro de un ámbito de axiomas.
Valoración de la relatividad de los criterios de validez dependiendo del ámbito numérico en que se
desarrolla una teoría.
1. El conjunto de los números complejos
Se introducen los números complejos a partir de la necesidad de dar sentido a las raíces cuadradas de
Se define primero la unidad imaginaria y, a continuación, la forma binómica de un número complejo,
indicando cuál es su parte real y su parte imaginaria.
Seguidamente, se identifican los números reales como un subconjunto de los números complejos.
Se definen, a partir de un ejemplo, números complejos iguales, opuestos y conjugados.
2. Operaciones con números complejos
Se presentan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos.
Para ello, se observa primero cómo se efectúa la operación en un caso concreto y, después, se da la
expresión para números complejos cualesquiera.
En el caso de la potenciación, se muestra el procedimiento de cálculo de cualquier potencia de la unidad imaginaria y, a continuación, se explica cómo calcular la potencia de un número complejo expresado en forma binómica mediante la expresión del binomio de Newton.
Finalmente, se indica con un ejemplo cómo hallar la raíz cuadrada de un número complejo.
3. Representación gráfica de números complejos
Se muestra la representación de los números complejos como puntos del plano: primero, de los números reales, identificando el eje de abscisas con el eje real; después, de los imaginarios, identificando
el eje real con el eje imaginario; y, finalmente, de un número complejo cualquiera.
Se define el afijo de un número complejo.
Se establece cómo son los afijos de dos números complejos opuestos y de dos números complejos
conjugados, a partir de la observación de ejemplos.
4. Ecuaciones con soluciones complejas
En este apartado se resuelve una ecuación de segundo grado y se clasifican sus tipos de soluciones de
acuerdo con el valor del discriminante.
Se resuelve una ecuación bicuadrada con soluciones complejas, haciendo hincapié en que toda ecuación de segundo grado tiene solución en el conjunto de los números complejos.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a adquiera soltura en la realización
de operaciones con números complejos. Se presentan, con este objeto, los siguientes modelos de ejercicios:
Resolver un cálculo mixto de números complejos.
Resolver una ecuación sencilla planteada mediante una igualdad de números complejos.
Determinar el valor de un parámetro para que se cumplan ciertas propiedades.
Calcular el inverso de un complejo dado.
Representar los afijos de unos cuantos complejos propuestos.
Explicar la necesidad de ampliar el conjunto de los números reales.
Interpretar el significado de la unidad imaginaria.
Identificar números complejos; determinar su parte real y su parte imaginaria, y reconocer entre ellos
los números imaginarios y los reales.
Determinar si dos números complejos son o no iguales.
Calcular el opuesto y el conjugado de un número complejo.
Aplicar con soltura los algoritmos de adición, sustracción, multiplicación y división de números complejos.
Obtener cualquier potencia de la unidad imaginaria.
Aplicar el binomio de Newton para calcular potencias de números complejos expresados en forma binómica.
Calcular las raíces cuadradas de un número complejo.
Representar números complejos como puntos del plano.
Resolver una ecuación de segundo grado y una ecuación bicuadrada con soluciones complejas.
Conocer las unidades de medida de los ángulos más usuales y las equivalencias entre ellas.
Definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo y resolver triángulos rectángulos.
Hallar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera y conocer las relaciones entre las razones
trigonométricas de diferentes ángulos.
Medidas en el sistema sexagesimal de ángulos.
Forma compleja y forma incompleja de una medida angular.
Unidad del Sistema Internacional de Unidades (SI) para la medida de ángulos: radián.
Equivalencia entre grados y radianes.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60°.
Ángulos orientados.
Reducción de un ángulo al primer giro.
Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo.
Teorema fundamental de la trigonometría.
Relaciones entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.
Relaciones entre las razones trigonométricas de diferentes ángulos.
Expresión de una medida angular en forma compleja e incompleja.
Transformación de medidas de ángulos, expresadas en el sistema sexagesimal, a radianes, y viceversa.
Obtención de las razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Obtención de las razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60.
Utilización de la calculadora para la obtención de las razones trigonométricas de un ángulo y para hallar el ángulo a partir de una de sus razones.
Aplicación del método de doble observación.
Representación de un ángulo cualquiera en un sistema de coordenadas cartesianas.
Obtención del ángulo del primer giro equivalente a uno dado.
Obtención de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Determinación de todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una dada.
Obtención de las razones trigonométricas de cualquier ángulo, si se conocen las de los ángulos del
Valoración de la trigonometría empleada para resolver situaciones problemáticas en muy diversos
Se introducen las unidades de medida de ángulos más usuales: el grado sexagesimal que, junto con
sus submúltiplos (el minuto y el segundo), constituye el sistema sexagesimal.
Se introduce, asimismo, el radián, que es la unidad de medida de ángulos en el SI.
Se aplican las equivalencias entre las diferentes unidades del sistema sexagesimal para pasar de la
forma compleja a la incompleja de una medida angular, y viceversa.
Se establece también la equivalencia entre los grados sexagesimales y los radianes, y se muestra, mediante ejemplos, cómo se efectúa el paso de unos a otros.
2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Se definen las razones trigonométricas de un ángulo agudo como los cocientes entre las longitudes de
dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo, y, a partir de éstas, se determinan las razones trigonométricas inversas de un ángulo agudo.
A partir de construcciones geométricas sencillas se obtienen las razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60º.
Se presenta una tabla que resume los diferentes casos que pueden aparecer en la resolución de triángulos rectángulos y se ejemplifica, introduciendo el método de doble observación, una de las aplicaciones más importantes de la trigonometría: la determinación de alturas y distancias.
3. Ángulos orientados
Se introduce el concepto de ángulo como giro y la posibilidad de representar ángulos orientados utilizando un sistema de coordenadas cartesianas.
Se explica la manera de reducir ángulos al primer giro.
Se clasifican los ángulos en función del cuadrante al que pertenecen.
4. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Se definen las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera a partir de su representación en un
Se construye la circunferencia goniométrica que permite hallar un segmento representativo del valor
de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
A partir de la observación de la variación de los valores del seno y del coseno, se establece una acotación de éstos.
5. Propiedades y relaciones de las razones trigonométricas
Se indican y se justifica el teorema fundamental de la trigonometría.
Se introducen y se demuestran otras relaciones que existen entre el seno, el coseno y la tangente de un
Finalmente, se deducen, a partir de la circunferencia goniométrica, las relaciones que permiten calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo si se conocen las de los ángulos del primer cuadrante.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice en el manejo de las
razones trigonométricas. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Demostrar propiedades que cumplen las razones trigonométricas de un ángulo.
Simplificar expresiones con razones trigonométricas empleando las propiedades estudiadas.
Resolver un problema de doble observación.
Resolver un problema geométrico sencillo mediante razones trigonométricas.
Expresar el valor de un ángulo en el sistema sexagesimal, tanto en forma compleja como incompleja,
y en el SI.
Aplicar la equivalencia entre grados y radianes para pasar a radianes una medida expresada en grados,
Obtener las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
Deducir las razones trigonométricas de los ángulos de 30, 45 y 60º a partir de construcciones geométricas sencillas.
Emplear la calculadora para obtener las razones trigonométricas de un ángulo o el valor del ángulo a
partir de una de sus razones trigonométricas.
Hallar los lados y los ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.
Resolver problemas de determinación de alturas y distancias utilizando las razones trigonométricas y
el método de doble observación.
Representar ángulos orientados en un sistema de coordenadas cartesianas y efectuar, si es preciso, la
reducción al primer giro.
Obtener las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Emplear las propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo y las relaciones entre ellas para
obtener todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una dada.
Aplicar las relaciones entre las razones trigonométricas de diferentes ángulos para calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo, si se conocen las de los ángulos del primer cuadrante.
Reconocer la utilidad de la trigonometría para resolver situaciones en diversos ámbitos.
Utilizar las fórmulas del seno y del coseno para resolver problemas relacionados con la resolución de
Deducir las razones trigonométricas del ángulo suma, las del ángulo diferencia y las de los ángulos
Expresar sumas y diferencias de senos y cosenos en forma de producto.
Resolver ecuaciones trigonométricas.
Conocer la expresión de un número complejo en forma polar y efectuar operaciones con números
complejos en forma polar.
Razones trigonométricas del ángulo suma.
Razones trigonométricas del ángulo diferencia.
Razones trigonométricas del ángulo doble.
Razones trigonométricas del ángulo mitad.
Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos.
Operaciones con números complejos en forma polar: multiplicación, división, potencia, radicación.
Resolución de triángulos no rectángulos.
Obtención de las razones trigonométricas del ángulo suma.
Obtención de las razones trigonométricas del ángulo diferencia.
Obtención de las razones trigonométricas del ángulo doble.
Obtención de las razones trigonométricas del ángulo mitad.
Expresión de sumas y diferencias de senos y cosenos en forma de producto.
Transformación de la forma binómica a la forma polar de un número complejo, y viceversa.
Multiplicación de números complejos en forma polar.
Potencia de números complejos en forma polar.
Raíz de números complejos en forma polar.
Valoración de la trigonometría como herramienta para resolver numerosos problemas, tanto cotidianos como del ámbito científico-técnico.
Descubrimiento de la utilidad de la trigonometría para el cálculo de números complejos.
1. Teorema del seno y teorema del coseno
Se establecen y demuestran los teoremas del seno y del coseno, lo cual permitirá resolver triángulos
no rectángulos.
Se presentan, uno a uno, los diferentes casos que pueden aparecer en la resolución de triángulos no
rectángulos. El esquema utilizado en todos ellos es el mismo:
Se muestra una tabla que recoge los datos e incógnitas que definen el caso, así como las fórmulas que
deben aplicarse para resolver el triángulo.
Se resuelve un triángulo con datos numéricos.
Se resuelve un problema cuya modelización lleva a resolver un triángulo del caso considerado.
Se plantean ejercicios y problemas en cuya resolución deberá utilizarse la misma técnica que en los
2. Razones de los ángulos suma y diferencia
Se obtienen, utilizando una construcción geométrica, las razones trigonométricas del ángulo suma.
Se deducen las razones trigonométricas del ángulo diferencia a partir de las del ángulo suma, utilizando la relación que existe entre ángulos opuestos.
Se obtienen las razones trigonométricas de los ángulos doble a partir de las razones de ángulos suma.
Se obtienen las razones de ángulos mitad utilizando las fórmulas anteriores.
3. Transformaciones de sumas en productos
Seguidamente se deducen las fórmulas que permiten expresar en forma de producto la suma y la diferencia de senos y cosenos a partir de las razones de los ángulos suma y diferencia.
Se define ecuación trigonométrica.
Se presentan diversos ejemplos.
Se propone una serie de pasos que conviene seguir a la hora de resolver una ecuación trigonométrica.
Se resuelve una ecuación destacando los pasos propuestos anteriormente.
5. Números complejos en forma polar
Se define la forma polar de un número complejo.
Se presenta una tabla que muestra cómo efectuar la transformación de la forma binómica a la forma
polar de un número complejo, y viceversa.
Finalmente, se muestra cómo efectuar las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación con números complejos expresados en forma polar, haciendo hincapié en la representación
gráfica de las raíces enésimas de un número complejo.
En la «Resolución de ejercicios y problemas», se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el
manejo de las razones trigonométricas. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Buscar una relación entre razones trigonométricas de ángulos múltiplo.
Resolver una ecuación trigonométrica convertible en ecuación algebraica de segundo grado.
Calcular potencias y raíces de algunos números complejos sencillos.
Resolver un problema de topografía clásico: cálculo de distancia entre puntos inaccesibles.
Finalmente, en el apartado «Ejercicios y problemas», se incluye una serie de ejercicios para que el alumnado repase lo aprendido. Estos ejercicios van acompañados de la solución para favorecer el proceso de autoevaluación.
Enunciar y demostrar los teoremas del seno y el coseno.
Resolver triángulos no rectángulos si se conocen: un lado y dos ángulos, dos lados y el ángulo que
comprenden, los tres lados o dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos.
Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precisa la aplicación de los teoremas del seno y
Obtener las expresiones propuestas a partir de las razones trigonométricas del ángulo suma, del ángulo diferencia, del ángulo doble y del ángulo mitad.
Escribir sumas y diferencias de senos y cosenos en forma de producto.
Expresar en forma polar números complejos dados en forma binómica, y viceversa.
Efectuar la multiplicación de números complejos en forma polar.
Efectuar la división de números complejos en forma polar.
Elevar a una potencia un número complejo en forma polar.
Obtener las raíces enésimas de números complejos en forma polar.
Reconocer la utilidad de la trigonometría como herramienta para resolver numerosos problemas.
Conocer el concepto de vector y efectuar operaciones con ellos.
Utilizar los vectores para asignar coordenadas a los puntos del plano en un sistema de referencia dado.
Expresar las rectas del plano mediante sus diferentes ecuaciones y obtener el ángulo formado por dos
Conocer y determinar distancias entre dos elementos del plano.
Resolver problemas geométricos en el plano.
Vector fijo del plano.
Dirección, módulo y sentido de un vector fijo.
Equipolencia de vectores fijos.
Vector libre del plano.
Dirección, módulo y sentido de un vector libre.
Suma, sustracción de vectores y producto de un número real por un vector libre.
Propiedades de la suma de vectores y del producto de un número real por un vector libre.
Base de V2.
Componentes de un vector en una base.
Base ortogonal y base ortonormal.
Producto escalar de vectores.
Interpretación geométrica del producto escalar.
Sistema de referencia en el plano.
Coordenadas de un punto del plano.
Vector director de una recta.
Ecuaciones de la recta: vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente y general.
Condición de paralelismo de rectas.
Haces de rectas.
Condición de perpendicularidad de rectas.
Distancia: entre dos puntos, entre un punto y una recta, entre dos rectas paralelas.
Realización gráfica de operaciones con vectores.
Expresión de un vector como combinación lineal de otros.
Determinación de las componentes de un vector en una base.
Realización de operaciones con componentes.
Cálculo del módulo de un vector y del ángulo entre dos vectores.
Obtención de las coordenadas de un punto en un sistema de referencia.
Cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.
Obtención de las coordenadas del punto medio de un segmento.
Cálculo de las diferentes formas de la ecuación de la recta.
Determinación de la posición relativa de dos rectas.
Obtención de la ecuación de un haz de rectas secantes.
Obtención de la ecuación de un haz de rectas paralelas.
Determinación del ángulo entre dos rectas.
Identificación de rectas perpendiculares.
Cálculo de la distancia entre dos puntos, entre un punto y una recta, y entre dos rectas paralelas.
Utilización de las TIC para la realización gráfica de operaciones con vectores y para la representación
gráfica de rectas.
Valoración de la utilidad de la geometría para resolver problemas del ámbito científico y del tecnológico.
Flexibilidad a la hora de resolver problemas geométricos.
1. Vectores del plano
La unidad empieza con la definición de vector fijo y de vectores fijos equipolentes.
Se define el concepto de vector libre.
Se introducen, gráficamente, la adición de vectores libres, el producto de un vector libre por un número real y la sustracción de vectores libres.
Se define el concepto de combinación lineal de vectores y se presenta el procedimiento para expresar
cualquier vector como combinación lineal de dos vectores de dirección diferente.
Se establecen los conceptos de base, base ortogonal, base ortonormal y componentes de un vector en
Se halla la expresión en componentes de la suma de dos vectores y del producto de un vector por un
Las operaciones con vectores se completan con la introducción del producto escalar.
Se da la interpretación geométrica del producto escalar y se obtiene su expresión analítica en una base
ortonormal.
Se obtiene una expresión analítica del módulo de un vector y del ángulo entre dos vectores.
2. Coordenadas de un punto del plano
Se definen los conceptos de sistema de referencia y vector posición de un punto.
Se muestran dos aplicaciones geométricas sencillas: el cálculo de las componentes de un vector y el
cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento.
3. Ecuaciones de una recta
Se define el concepto de vector director de una recta y se presentan las diferentes formas de la ecuación de una recta (vectorial, paramétricas, continua, punto-pendiente y general).
Se muestran en una tabla las diferentes formas de la ecuación de una recta determinada.
Se estudian las posiciones relativas de dos rectas; primero se recuerda cuáles son, luego se determina
la posición relativa de tres pares de rectas resolviendo los sistemas correspondientes.
Se enuncia la posición relativa de dos rectas.
Se deducen las condiciones que cumplen dos rectas paralelas.
Se define haz de rectas y se obtiene la ecuación de un haz general, primero en el caso de rectas secantes y, después, en el caso de rectas paralelas.
Se define el ángulo entre dos rectas como el ángulo que forman sus vectores directores y se deduce la
condición que deben verificar las pendientes de dos rectas perpendiculares.
Se deduce la expresión, primero vectorial y después analítica para calcular la distancia entre dos puntos.
Se realiza la misma deducción para con la distancia de un punto y una recta, y la distancia entre dos
aplicaciones de los vectores a la geometría. Para ello se resuelven los siguientes problemas modelo:
Determinar si tres puntos están o no alineados.
Determinar la posición relativa de dos rectas cuyas ecuaciones dependen de un parámetro.
Hallar el punto simétrico de un punto respecto de una recta.
Calcular el área de un triángulo a partir de las coordenadas de los vértices.
Finalmente, en el apartado «Ejercicios y problemas» se incluye una serie de ejercicios para que el alumnado
repase lo aprendido. Estos ejercicios van acompañados de la solución con el fin de favorecer el proceso de
Indicar la diferencia entre vector fijo y vector libre del plano.
Efectuar operaciones con vectores, tanto gráfica como analíticamente.
Determinar las componentes en una base determinada de vectores propuestos.
Calcular el módulo de vectores dados a partir de sus componentes.
Calcular el ángulo que forman dos vectores dados.
Indicar las coordenadas de puntos dados en un sistema de referencia.
Escribir la ecuación de una recta del plano en sus diferentes formas (vectorial, paramétrica, continua,
punto-pendiente y general).
Obtener, a partir de una de las formas de la ecuación de la recta, las restantes.
Hallar la posición relativa de dos rectas.
Obtener el valor del ángulo entre dos rectas.
Obtener la distancia entre diferentes elementos geométricos: dos puntos, punto y recta, dos rectas paralelas.
Resolver problemas geométricos sencillos: hallar las coordenadas del punto medio de un segmento,
dividir un segmento en partes iguales y obtener las coordenadas de los puntos marcados con tal objeto.
Reconocer la utilidad de la geometría para resolver problemas del ámbito científico y del tecnológico.
Enfrentarse a situaciones geométricas desde puntos de vista distintos.
Conocer el concepto de lugar geométrico.
Identificar las diferentes cónicas y obtener la ecuación reducida de una cónica.
Determinar los elementos de una cónica a partir de su ecuación.
Resolver problemas geométricos relacionados con las cónicas.
Ecuación de un lugar geométrico.
Elementos característicos de la circunferencia.
Ecuación general de la circunferencia.
Elementos característicos de la elipse.
Relación métrica principal de la elipse.
Ecuación reducida de la elipse.
Elementos característicos de la hipérbola.
Relación métrica principal de la hipérbola.
Ecuación reducida de la hipérbola.
Hipérbola equilátera y ecuación reducida de la hipérbola equilátera.
Elementos característicos de la parábola.
Ecuación reducida de la parábola.
Ecuación de parábolas con eje de simetría vertical u horizontal.
Ecuación general cuadrática de una cónica.
Obtención de la ecuación de un lugar geométrico sencillo.
Obtención de la ecuación de una circunferencia.
Determinación del centro y el radio de una circunferencia.
Determinación de una circunferencia a partir de los extremos de un diámetro.
Determinación de una circunferencia a partir del centro y una tangente.
Determinación de una circunferencia a partir de tres puntos no alineados.
Obtención de la relación métrica fundamental de la elipse.
Obtención de la ecuación reducida de la elipse.
Obtención de la relación métrica fundamental de la hipérbola.
Obtención de la ecuación reducida de la hipérbola.
Obtención de la ecuación reducida de la hipérbola equilátera.
Obtención de la ecuación de una elipse con eje de simetría vertical u horizontal.
Obtención de la ecuación general cuadrática de una cónica.
Destreza mental en el planteamiento algebraico de los problemas geométricos.
Flexibilidad para enfrentarse a situaciones geométricas desde puntos de vista distintos.
1. Lugar geométrico
Se introduce el concepto de lugar geométrico a partir de la observación de la propiedad que verifica
los puntos de la mediatriz de un segmento y los de la bisectriz de un ángulo.
Se obtienen la ecuación de una mediatriz y la de una bisectriz, con la finalidad de ejemplificar el procedimiento de obtención de la ecuación de un lugar geométrico.
2. Cónicas
Se introduce el concepto geométrico de cónica a partir del cono.
Se introduce la circunferencia como lugar geométrico del plano y se obtiene la ecuación general de
una circunferencia si se conoce el centro y el radio.
Se muestra el proceso inverso al anterior, es decir, la determinación del centro y el radio a partir de la
Se hace observar que una circunferencia puede quedar determinada por otros datos que no sean necesariamente el centro y el radio, y se obtiene la ecuación de la circunferencia si se conocen los extremos de uno de sus diámetros, el centro y una recta a la cual es tangente, y tres de sus puntos.
Se introduce la elipse como lugar geométrico del plano y se obtiene la ecuación reducida de la elipse,
si se conocen las coordenadas de los focos.
Se presentan el concepto de excentricidad y los elementos característicos de la elipse y se deduce la
relación métrica principal.
Se introduce la hipérbola como lugar geométrico del plano y se obtiene la ecuación reducida de la
elipse, si se conocen las coordenadas de los focos.
Se introducen los elementos característicos de la hipérbola y se deduce la relación métrica principal.
Se presenta la hipérbola equilátera y se deduce su ecuación reducida.
Se introduce la parábola como lugar geométrico del plano y se obtiene la ecuación reducida de la
elipse, si se conocen las coordenadas del foco y la ecuación de la recta directriz.
Se introducen los elementos característicos de la parábola y se deduce la relación métrica principal.
Se presenta la ecuación de una parábola cualquiera con eje de simetría vertical u horizontal y la ecuación general cuadrática de una cónica.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el conocimiento de la circunferencia. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Calcular la ecuación de un lugar geométrico.
Hallar la ecuación de una circunferencia a partir datos geométricos.
Hallar el foco, la directriz y el vértice de una parábola a partir de su ecuación.
Resolver un problema sencillo de cálculo astronómico.
Explicar qué es un lugar geométrico y calcular la ecuación de un lugar geométrico sencillo del plano.
Enunciar la propiedad que define la circunferencia como lugar geométrico.
Hallar las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación.
Encontrar la ecuación de una circunferencia a partir de diferentes conjuntos de datos: los extremos de
uno de sus diámetros, el centro y una recta a la cual es tangente, o tres puntos no alineados.
Obtener la ecuación reducida de una elipse a partir de las coordenadas de sus focos y 2a.
Calcular la ecuación reducida de una elipse dando algunos elementos característicos que la determinen.
Calcular la excentricidad de una elipse a partir de su ecuación.
Obtener la ecuación reducida de una hipérbola a partir de las coordenadas de sus focos y 2a.
Calcular la ecuación reducida de una hipérbola dando algunos elementos característicos que la determinen.
Calcular la excentricidad de una hipérbola a partir de su ecuación.
Calcular los segmentos característicos de una elipse y de una hipérbola a partir de otros elementos.
Calcular la ecuación reducida de una hipérbola equilátera dando un punto por el que pasa.
Obtener la ecuación reducida de una parábola a partir de un punto por el que pasa.
Calcular la ecuación reducida de una parábola dando algunos elementos característicos que la determinen.
Obtener la ecuación de una parábola que no pasa por el origen pero tiene eje de simetría vertical, proporcionando las coordenadas de un punto por el que pasa, el vértice y el eje de simetría.
Calcular la ecuación general de una elipse conociendo las coordenadas de los dos focos y 2a.
Entender el concepto de función, identificar los distintos tipos de funciones algebraicas y calcular su
Hallar una función de interpolación de un conjunto de pares de valores.
Efectuar operaciones con funciones y conocer sus propiedades.
Hallar la función compuesta de dos funciones y calcular la función inversa respecto de la composición de una función.
Conjunto de salida y conjunto de llegada.
Imagen y antiimagen por una función.
Expresión analítica de una función.
Gráfica de una función.
Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas.
Funciones pares e impares.
Monotonía: crecimiento y decrecimiento.
Extremos: máximos y mínimos.
Funciones polinómicas: función constante, función afín y función cuadrática.
Funciones racionales: función de proporcionalidad inversa.
Funciones irracionales: función raíz cuadrada.
Funciones definidas a trozos: función valor absoluto.
Función de interpolación.
Interpolación cuadrática.
Interpolación lineal a trozos.
Función suma, diferencia, producto y cociente.
Función inversa respecto de la composición.
Obtención de la expresión analítica de una función.
Cálculo de imágenes y antiimágenes por una función.
Cálculo del dominio y el recorrido de una función.
Determinación gráfica del dominio y el recorrido.
Determinación de la inyectividad, exhaustividad y biyectividad de una función.
Identificación de funciones periódicas y obtención del período fundamental.
Identificación de funciones acotadas y obtención de una cota inferior y una cota superior de una función acotada.
Determinación de la simetría de una función.
Determinación gráfica de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
Determinación gráfica de los extremos de una función.
Obtención de la función de interpolación lineal, de la función de interpolación cuadrática y de la función de interpolación lineal a trozos.
Adición, sustracción, multiplicación y división de funciones.
Cálculo de la función compuesta.
Cálculo de la expresión analítica de la función inversa.
Utilización las TIC para la representación gráfica de todo tipo de funciones.
Valoración de la importancia del lenguaje de las funciones y de las gráficas para representar e interpretar distintas situaciones.
Se introduce el concepto de función entre dos conjuntos, así como la nomenclatura asociada: conjunto de salida, conjunto de llegada, imagen, etc.
Se define función real de variable real, se introduce el concepto de expresión analítica y se muestra su
aplicación para el cálculo de imágenes y antiimágenes.
Se definen el dominio y el recorrido de una función y se calculan el dominio y el recorrido de varias
Se define la gráfica de una función y se ve, mediante un ejemplo, cómo obtener gráficamente imágenes y antiimágenes y la manera de determinar el dominio y el recorrido.
Se estudian la inyectividad, exhaustividad y biyectividad de una función, y una serie de características globales que puede presentar una función como, por ejemplo, la periodicidad, la acotación, la simetría, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos extremos.
2. Funciones algebraicas
Se introduce el concepto de función algebraica y se presentan diferentes tipos de funciones algebraicas: funciones polinómicas, funciones racionales, funciones irracionales y funciones definidas a trozos indicando, en cada caso, cómo se obtiene el dominio.
Se introduce el concepto de función polinómica y, seguidamente, se presenta una tabla que muestra
diversas funciones polinómicas como la función constante, la función afín y la función cuadrática, y
que recoge sus características y su representación gráfica.
Se introduce el concepto de función racional y, a continuación, se presenta una tabla que recoge las
características de la función de proporcionalidad inversa y muestra su representación gráfica.
Se introduce el concepto de función irracional y, a continuación, se presenta una tabla que recoge las
características de la función raíz cuadrada y muestra su representación gráfica.
Se introduce el concepto de función definida a trozos y, a continuación, se presenta una tabla que recoge las características de la función valor absoluto y muestra su representación gráfica.
3. Función de interpolación
Se define la función de interpolación y se da el concepto de polinomio interpolador.
Se establecen los métodos de interpolación lineal, cuadrática y lineal a trozos, ejemplificando cada
4. Operaciones con funciones
Se definen, en el conjunto de las funciones reales de variable real, las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, y se determinan los dominios para cada uno de los casos.
Se resuelve un ejemplo numérico que muestra la manera de efectuar dichas operaciones con dos funciones.
Se define en el conjunto de las funciones reales de variable real la operación llamada composición de
funciones y se determina su dominio.
Se presenta una tabla que muestra el procedimiento para hallar la expresión analítica de la función inversa respecto de la composición.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el
manejo de las expresiones analíticas de funciones. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Traducir al lenguaje funcional la dependencia de elementos de un triángulo (altura, área) y el lado.
Aplicar una de las funciones construidas al cálculo del área.
Representar una función a trozos y calcular su dominio y recorrido.
Hallar el dominio de una función irracional.
Hallar el dominio de una función a trozos.
Calcular dos composiciones de funciones y verificar la no conmutatividad de la composición de funciones.
Calcular la expresión analítica de una función y utilizarla para obtener imágenes y antiimágenes por
Representar gráficamente una función.
Calcular el dominio y el recorrido de una función numérica y gráficamente.
Definir función inyectiva, función exhaustiva y función biyectiva y determinar gráficamente la inyectividad, la exhaustividad y la biyectividad de una función.
Identificar funciones periódicas y obtener el período fundamental.
Identificar funciones acotadas y obtener una cota superior y una cota inferior de una función acotada.
Estudiar la simetría de una función determinando, en el caso de ser simétrica, si la simetría es par o
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de una función a partir de su
Reconocer los diferentes tipos de funciones algebraicas e indicar su dominio.
Calcular la función de interpolación lineal, cuadrática y lineal a trozos correspondiente a un conjunto
Efectuar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y composición de funciones.
Obtener, a partir de la expresión analítica de una función, la expresión analítica de su función inversa
respecto de la composición y comprobar el resultado.
Valorar las ventajas que plantea la utilización del lenguaje funcional para representar y resolver problemas de la vida cotidiana y del conocimiento científico.
Conocer el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito y calcular límites de funciones elementales de manera sistemática.
Obtener la ecuación de las asíntotas de una función.
Estudiar la continuidad de una función en un punto y conocer los distintos tipos de discontinuidad.
Límites laterales de una función en un punto.
Relación entre el límite y los límites laterales.
Límite infinito de una función en un punto.
Límite de una función en el infinito.
Límite infinito de una función en el infinito.
Discontinuidad evitable.
Discontinuidad no evitable: salto finito, salto infinito y esencial.
Cálculo sistemático de límites de funciones polinómicas y racionales en un punto.
Cálculo sistemático de límites de funciones definidas a trozos en un punto.
Cálculo sistemático de límites infinitos de funciones racionales en un punto.
Cálculo sistemático de límites de funciones polinómicas y racionales en el infinito.
Obtención de las asíntotas verticales de una función racional.
Obtención de las asíntotas horizontales de una función racional.
Determinación de la continuidad de una función en un punto.
Determinación de los diferentes tipos de discontinuidad de una función no continua.
Valoración de la utilidad del análisis matemático en el estudio de situaciones diversas susceptibles de
ser tratadas mediante funciones.
Se introduce intuitivamente el concepto de límite de una función en un punto mediante la observación
de una tabla de valores y de la gráfica de la función.
Se propone la definición rigurosa de límite.
Se presenta, en forma de tabla, el cálculo sistemático de límites de funciones polinómicas y racionales
con un ejemplo de cada uno de los casos que podemos encontrar.
Se introduce el concepto de límites laterales de una función en un punto, siguiendo el mismo proceso
que en el caso de límite de una función en un punto; es decir, primero de manera intuitiva y después
Se propone la definición rigurosa de límite lateral.
Se establece la relación que existe entre el límite y los límites laterales.
Se muestra, en una tabla, cómo proceder para el cálculo sistemático de límites de funciones definidas
a trozos en un punto.
Se da el concepto de límite infinito de una función en un punto y se presenta una tabla que recoge los
posibles casos que pueden darse en el cálculo sistemático de límites de funciones racionales.
Se propone la definición rigurosa de límite infinito de una función.
Se introducen los conceptos de límite de una función en el infinito y límite infinito de una función en
2. Cálculo sistemático de límites de funciones polinómicas y racionales en el infinito
Se muestra el método para calcular sistemáticamente el límite de funciones polinómicas en el infinito.
Se muestra el método para calcular sistemáticamente el límite de funciones racionales en el infinito.
A partir de la observación de la gráfica de una función, se deduce la existencia de las asíntotas verticales y horizontales de la función.
Se definen las asíntotas horizontales y verticales.
Se particulariza para el caso de las funciones polinómicas y racionales, y se da un método para hallar
las asíntotas verticales y horizontales.
Se resuelve un ejercicio a modo de ejemplo y, finalmente, se plantean ejercicios en cuya resolución
deberá utilizarse la misma técnica empleada en el ejemplo.
4. Continuidad de una función en un punto
Se introduce la idea intuitiva de continuidad de una función en un punto, empleando la representación
gráfica de diversas funciones.
Se define de una manera rigurosa el concepto de continuidad.
Se muestra una tabla con la clasificación de los diferentes tipos de discontinuidad: evitable, no evitable de salto finito, no evitable de salto infinito y no evitable esencial.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el estudio de la continuidad de las funciones y en el cálculo de asíntotas. Para ello, se presentan los siguientes
modelos de ejercicios:
A partir de una gráfica calcular imágenes, límites en un punto y límites en el infinito de una función,
así como en la determinación de las ecuaciones de sus asíntotas.
Estudiar la continuidad de una función.
Dibujar la gráfica de una función si se conoce el dominio de definición, las asíntotas, y alguna de sus
Determinar un parámetro a partir de una condición relacionada con la continuidad.
Identificar el límite de una función en un punto y calcular sistemáticamente los límites de funciones
polinómicas y racionales en un punto.
Identificar los límites laterales de una función en un punto y aplicar la relación que existe entre el límite y los límites laterales en el cálculo sistemático de límites de funciones definidas a trozos en un
Identificar el límite infinito de una función en un punto y efectuar el cálculo sistemático de límites infinitos de funciones racionales en un punto.
Identificar el límite de una función en el infinito, reconocer el límite infinito de una función en el infinito y efectuar el cálculo sistemático de límites de funciones polinómicas y racionales en el infinito.
Reconocer gráficamente las asíntotas verticales de una función y hallar sus ecuaciones.
Reconocer gráficamente las asíntotas horizontales de una función y hallar sus ecuaciones.
Determinar el tipo de discontinuidad en el caso de funciones discontinuas.
Apreciar el valor de las técnicas de análisis matemático en el estudio de situaciones diversas.
Identificar funciones exponenciales, representarlas gráficamente y conocer sus propiedades.
Operar con logaritmos.
Identificar funciones logarítmicas, representarlas gráficamente y conocer sus propiedades.
Identificar las funciones trigonométricas elementales y sus inversas, representarlas gráficamente y
conocer sus propiedades.
Gráfica de las funciones exponenciales.
Propiedades de las funciones exponenciales.
Logaritmos decimales y logaritmos neperianos.
Gráfica de las funciones logarítmicas.
Función seno: gráfica y propiedades.
Función coseno: gráfica y propiedades.
Función tangente: gráfica y propiedades.
Función arcoseno. Gráfica.
Función arcocoseno. Gráfica.
Función arcotangente. Gráfica.
Representación gráfica de la función exponencial.
Cálculo con logaritmos: logaritmo de un producto, logaritmo de un cociente, logaritmo de una potencia, logaritmo de una raíz.
Expresión de un logaritmo en una base diferente.
Representación gráfica de la función logarítmica.
Resolución de ecuaciones exponenciales.
Representación gráfica de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente.
Representación gráfica de funciones trigonométricas inversas: función arcoseno, función arcocoseno,
función arcotangente.
Utilización de la calculadora científica para hallar logaritmos decimales y neperianos, y de la calculadora gráfica para representar funciones.
Utilización de las TIC para resolver ecuaciones y para representar gráficamente funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Actitud favorable a utilizar las técnicas propias del análisis matemático para el estudio de fenómenos
reales susceptibles de ser representados por funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
1. Funciones exponenciales
Se introduce el concepto de función exponencial.
Se muestran diversas gráficas de funciones exponenciales para observar cómo varían, según sea la base de la función exponencial mayor o menor que 1.
Seguidamente, y a partir de su representación gráfica, se presenta una tabla que recoge las propiedades de las funciones exponenciales.
Se introduce el concepto de logaritmo.
Se presenta una tabla que recoge las propiedades que cumplen los logaritmos (logaritmo de la unidad,
logaritmo de la base, logaritmo de un producto, logaritmo de un cociente, logaritmo de una potencia,
logaritmo de una raíz) y la relación entre logaritmos de diferentes bases.
Se definen los conceptos de logaritmo decimal y logaritmo neperiano.
3. Funciones logarítmicas
Se introduce el concepto de función logarítmica.
Se muestran diversas gráficas de funciones logarítmicas para observar cómo varían, según la base de
la función logarítmica sea mayor o menor que 1.
Seguidamente, y a partir de su representación gráfica, se presenta una tabla que recoge las propiedades de las funciones logarítmicas.
Se define ecuación exponencial y se resalta la inyectividad de las funciones exponenciales como método de resolución.
Se introduce la posibilidad de efectuar un cambio de variable adecuado para convertir una ecuación
exponencial en otra equivalente más sencilla.
Se resuelven dos ecuaciones exponenciales: una aplicando la inyectividad y otra efectuando cambio
5. Ecuaciones logarítmicas
Se define ecuación logarítmica y se resalta la inyectividad de las funciones logarítmicas.
Se resuelven dos ecuaciones haciendo hincapié en la necesidad de comprobar si el valor hallado es
solución de la ecuación del enunciado.
Se introduce el concepto de función trigonométrica.
Para cada una de las funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) se presenta un cuadro que
muestra la gráfica y una tabla que recoge las propiedades de cada una de ellas.
Seguidamente, se introduce el concepto de función trigonométrica inversa.
Se muestran las representaciones gráficas de las funciones trigonométricas inversas arcoseno, arcocoseno y arcotangente.
Se presenta una tabla que recoge las propiedades de las funciones trigonométricas inversas.
Finalmente, se explica el funcionamiento general de una calculadora preparada para representar funciones gráficamente.
análisis de funciones. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:
Determinar el dominio, el recorrido y la función inversa de una dada.
Resolver un sistema de ecuaciones formado por una ecuación exponencial y una ecuación logarítmica.
Resolver un problema relacionado con fenómenos reales, susceptibles de ser tratados mediante funciones exponenciales.
Resolver un problema relacionado con fenómenos reales, susceptibles de ser tratados mediante funciones logarítmicas.
Resolver un problema relacionado con fenómenos reales, susceptibles de ser tratados mediante funciones trigonométricas.
Reconocer las funciones exponenciales tanto analítica como gráficamente.
Representar las gráficas de diversas funciones exponenciales y deducir sus propiedades.
Calcular logaritmos aplicando la definición.
Obtener logaritmos decimales y neperianos con la calculadora científica.
Calcular logaritmos en bases no programadas en la calculadora utilizando la fórmula de cambio de
Efectuar operaciones con logaritmos.
Reconocer las funciones logarítmicas tanto analítica como gráficamente.
Representar las gráficas de diversas funciones logarítmicas y deducir sus propiedades.
Resolver ecuaciones logarítmicas.
Reconocer funciones trigonométricas tanto analítica como gráficamente.
Representar las gráficas de diversas funciones trigonométricas y deducir sus propiedades.
Representar las gráficas de diversas funciones trigonométricas inversas y deducir sus propiedades.
Representar funciones con la calculadora gráfica.
Identificar las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas en fenómenos reales y valorar
su utilidad para el estudio de dichos fenómenos.
Entender el concepto de tasa de variación media y su interpretación geométrica.
Conocer la definición de derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica.
Calcular la derivada de las funciones elementales.
Estudiar la monotonía de una función.
Conocer la definición de integral indefinida y calcular la integral indefinida de las funciones elementales.
Conocer el concepto de integral definida y aplicarlo para calcular áreas.
Tasa de variación media de una función.
Recta secante a la gráfica de una función por dos puntos dados.
Interpretación geométrica de la tasa de variación media.
Interpretación física de la tasa de variación media.
Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
Interpretación física de la derivada de una función en un punto.
Función derivada de una función.
Derivada de la función suma.
Derivada de la función producto.
Derivada de la función cociente.
Derivada de la función compuesta: regla de la cadena.
Crecimiento de una función derivable.
Integral indefinida de una función.
Propiedades de las integrales indefinidas.
Teorema de Barrow.
Determinación de la tasa de variación media de una función en un intervalo.
Determinación de la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función por dos puntos.
Obtención de la derivada de una función en un punto.
Determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.
Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.
Cálculo de la función derivada de una función dada.
Obtención de la derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la
función producto y de la función cociente.
Aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de una función compuesta.
Determinación del crecimiento de una función derivable.
Aplicación de las propiedades de la integral indefinida para el cálculo de integrales de funciones sencillas.
Cálculo de integrales definidas.
Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas.
Utilización de programas informáticos de cálculo para efectuar derivadas.
Valoración de la importancia de la derivada en el estudio de la variación de una función y su aplicación en la interpretación de distintas situaciones reales y resolución de problemas del conocimiento
1. Tasa de variación media de una función
Se introduce el concepto de tasa de variación media de una función en un intervalo de extremos a y b,
a partir de un ejemplo.
Se presenta su interpretación geométrica observando su coincidencia con la pendiente de la recta secante a la curva por los puntos de abscisas a y b.
2. Derivada de una función en punto
A partir de un ejemplo, se introduce el concepto de derivada de una función en un punto.
Se define la recta tangente a la gráfica de una función en un punto y se establece la relación entre la
pendiente de dicha recta y la derivada de la función en un punto.
Se determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
3. Función derivada
Se define el concepto de función derivada o derivada de una función.
Se presenta una tabla que recoge las derivadas de las principales funciones (constante, potencia, exponencial, etc.).
Se presenta una tabla que muestra las reglas que permiten derivar funciones obtenidas al operar con
otras funciones (derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la
función producto, de la función cociente y de la función compuesta).
4. Crecimiento de una función derivable
Se observa el comportamiento de la derivada de una función en los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
Se establece la manera de determinar el crecimiento o decrecimiento de una función en un punto a
partir del signo de la derivada en ese punto.
5. Integral indefinida de una función
Se define la primitiva de una función.
Se introduce el concepto de integral indefinida.
Se presentan las integrales inmediatas.
Seguidamente, se muestran las propiedades de la integral indefinida.
Se introduce el concepto de integral definida de una función y se establece su relación con el área bajo la curva definida por la función.
Se presenta la metodología que debe seguirse en el cálculo de áreas de recintos limitados por las gráficas de funciones sencillas y los ejes de coordenadas.
Se propone el método general para calcular el área correspondiente al recinto limitado por dos funciones.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en los
contenidos de la unidad. Para ello se presentan los siguientes modelos de ejercicios y problemas:
Obtener un punto de una función que cumple condicionantes relacionadas con la recta tangente a la
Estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de la derivada.
Dibujar cualitativamente una función que cumpla condiciones relacionadas con la pendiente de la
Hallar la primitiva de una función que cumple una determinada condición.
Calcular el área limitada por las gráficas de dos funciones.
Hallar la tasa de variación media de una función entre dos puntos dados y calcular la pendiente de la
recta secante que pasa por ellos.
Calcular la derivada de una función en un punto y determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función por ese punto.
Explicar la relación entre la tasa de variación media y la derivada de una función, y los conceptos de
Emplear la definición de función derivada para calcular la derivada de funciones sencillas.
Utilizar la tabla de las derivadas de funciones elementales y las reglas de derivación de funciones para calcular la derivada de funciones obtenidas como la suma, el producto, el cociente o su composición.
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función derivable a partir del signo de la derivada.
Emplear la tabla de integrales indefinidas inmediatas y las propiedades de las integrales indefinidas
para calcular la integral indefinida de funciones sencillas.
Calcular la integral definida de una función dada.
Enunciar el teorema de Barrow y aplicarlo para calcular áreas de recintos limitados por las gráficas de
Reconocer la utilidad de la función derivada en el estudio de fenómenos susceptibles de ser tratados
mediante funciones.
Conocer los conceptos de variable estadística bidimensional y distribución bidimensional.
Organizar los datos de una distribución bidimensional en una tabla de doble entrada y representarla
Conocer el concepto de correlación entre dos variables estadísticas.
Utilizar las rectas de regresión para hacer predicciones e interpretar la validez de los resultados.
Distribución bidimensional.
Gráficos: diagrama de barras tridimensionales, histograma tridimensional, diagrama de dispersión o
Independencia, dependencia funcional y dependencia estadística o correlación entre dos variables estadísticas.
Grado, sentido y tipo de la correlación.
Coeficiente de Pearson.
Regresión lineal: rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.
Construcción de tablas de entrada simple y de doble entrada.
Representación de los datos de una distribución bidimensional mediante diagramas de barras tridimensionales, histogramas tridimensionales y diagramas de dispersión o nubes de puntos.
Interpretación gráfica de la relación entre dos variables estadísticas.
Identificación gráfica del grado, sentido y tipo de la correlación.
Cálculo de la covarianza y el coeficiente de Pearson.
Obtención de las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.
Realización y valoración de predicciones mediante las rectas de regresión.
Uso de la calculadora para la realización de cálculos estadísticos bidimensionales.
Utilización de una hoja de cálculo para representar una serie de datos con diversos tipos de diagramas.
Adquisición de una conciencia global de los problemas que afectan al medio ambiente a partir del
manejo de datos estadísticos y su interpretación.
Valoración del trabajo en equipo como la manera más eficaz para resolver problemas de la vida cotidiana relacionados con la toma y organización de datos experimentales.
Actitud flexible y abierta ante las opiniones de los demás en el momento de resolver un problema.
1. Variable estadística bidimensional
En un primer apartado, se presentan los conceptos básicos de variable estadística bidimensional haciendo un estudio preliminar de un ejemplo sencillo.
Se introduce el concepto de distribución bidimensional como el conjunto de los datos obtenidos en un
estudio de dos variables estadísticas.
Se introduce el concepto de muestra.
Se llama la atención sobre la necesidad de tomar muestras para efectuar un estudio estadístico en el
caso de poblaciones muy numerosas.
Partiendo de dos ejemplos concretos de distribución bidimensional, una discreta y otra continua, se
introduce la necesidad de organizar los datos provenientes de un estudio estadístico.
Se muestra el método de construcción de tablas de doble entrada.
Se presentan los diversos tipos de gráficos para la representación de los datos de una distribución.
Se muestran los tipos de relación existente entre dos variables estadísticas (dependencia funcional,
dependencia estadística o correlación, e independencia) a través de un ejemplo integrado.
Se estudia la manera de interpretar gráficamente estos tres tipos de relación mediante la observación
de diversos diagramas de dispersión.
El estudio gráfico se extiende, en el caso de correlación, al análisis de las características de grado, tipo y sentido.
Se presenta la covarianza como paso intermedio para el estudio del coeficiente de Pearson. El proceso
de cálculo de ambos parámetros se ilustra mediante un ejemplo resuelto.
Se presenta el concepto de regresión lineal.
Se muestran las expresiones de ambas rectas de regresión (de X sobre Y y de Y sobre X) y se enumeran algunas de sus propiedades más importantes.
Se estudia la posibilidad de utilizarlas para efectuar predicciones.
El cálculo y la aplicación de las rectas de regresión se ilustran mediante un ejemplo resuelto.
Adicionalmente, se explica el funcionamiento general de una calculadora preparada para realizar
cálculos estadísticos bidimensionales.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice en el análisis estadístico de variables bidimensionales. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Calcular el coeficiente de Pearson de una distribución.
Se realiza una demostración por reducción al absurdo con el objeto de profundizar un poco más en el
estudio de las propiedades de las rectas de regresión y las relaciones entre ellas.
Se organiza una muestra de datos en una tabla de doble entrada.
Se obtiene una recta de regresión y el coeficiente de Pearson correspondiente a una muestra; se efectúa una predicción utilizando los resultados obtenidos, y se analiza la fiabilidad de la predicción.
Describir conjuntamente dos características de una población mediante una variable estadística bidimensional y reconocer la necesidad de tomar una muestra para obtener una distribución de datos.
Organizar un conjunto de datos correspondientes a una variable estadística bidimensional en una tabla de doble entrada y representarlos mediante diferentes tipos de gráficos.
Determinar gráficamente la independencia, la dependencia funcional y la dependencia estadística o
correlación entre dos variables estadísticas.
Determinar gráficamente el grado, el sentido y el tipo de correlación entre dos variables estadísticas.
Calcular la covarianza y el coeficiente de Pearson de una variable estadística bidimensional.
Obtener las rectas de regresión (de Y sobre X y de X sobre Y) de una distribución y utilizarlas para
efectuar predicciones, valorando la fiabilidad del resultado.
Valorar la estadística como elemento útil para describir, analizar e interpretar diferentes fenómenos
Mostrar una actitud flexible y abierta ante el trabajo en equipo en la toma y organización de datos experimentales.
Recordar las principales técnicas de recuento.
Conocer el lenguaje específico de la teoría de probabilidades, así como la definición experimental y
axiomática de probabilidad.
Calcular la probabilidad de sucesos equiprobables utilizando la regla de Laplace y las propiedades de
Calcular la probabilidad condicionada de un suceso.
Números factoriales y combinatorios.
Variaciones ordinarias y con repetición.
Permutaciones ordinarias y con repetición
Combinaciones ordinarias y con repetición.
Triángulo de Tartaglia.
Experimentos aleatorios y deterministas.
Tipos de sucesos (imposible y seguro).
Propiedades de las operaciones con sucesos.
Sucesos compatibles e incompatibles.
Sistema completo de sucesos.
Definición experimental y definición axiomática de probabilidad.
Principales propiedades de la probabilidad.
Diagramas en árbol.
Propiedades de la probabilidad condicionada.
Sucesos dependientes e independientes.
Teorema de la probabilidad total.
Realización de cálculos con números factoriales y combinatorios.
Recuento de posibilidades con variaciones ordinarias y con repetición.
Recuento de posibilidades con permutaciones ordinarias y con repetición.
Recuento de posibilidades con combinaciones ordinarias y con repetición.
Aplicación del triángulo de Tartaglia a cuestiones de recuento.
Identificación de experimentos aleatorios y deterministas.
Construcción del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Descripción de diferentes tipos de sucesos.
Realización de operaciones con sucesos.
Aplicación de las propiedades de la probabilidad al cálculo de probabilidades.
Asignación de probabilidades mediante la regla de Laplace.
Elaboración de diagramas en árbol.
Utilización de la expresión de la probabilidad condicionada para el cálculo de probabilidades.
Resolución de problemas mediante los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.
Descubrimiento de la utilidad del cálculo de probabilidades y de sus aplicaciones.
Disposición favorable a utilizar la probabilidad para analizar situaciones problemáticas relacionadas
con el azar y la toma de decisiones.
1. Técnicas de recuento
Se introducen los números factoriales y combinatorios.
Se introduce el concepto de variaciones y permutaciones con y sin repetición.
Se introduce el concepto de combinaciones con y sin repetición.
Se proponen ejemplos sencillos en los cuales se pueda visualizar y comprobar la eficiencia de los métodos clásicos de recuento.
Se proponen diversos ejemplos de problemas en los cuales deben aplicarse distintas técnicas de recuento.
Se introduce el triángulo de Tartaglia como herramienta para los cálculos.
Este bloque comienza presentando los conceptos básicos de experimento determinista y aleatorio, espacio muestral y suceso, mediante el estudio progresivo de una situación sencilla (como el lanzamiento de un dado) intercalada con ejemplos resueltos algo más complejos.
Se describen en forma de tabla dos tipos especiales de suceso: seguro e imposible.
Se presentan las operaciones básicas con sucesos, así como sus propiedades.
Se estudian los conceptos de suceso compatible y suceso incompatible, para llegar a definir sistema
completo de sucesos.
Este bloque se inicia mostrando dos definiciones de probabilidad (una intuitiva, como la experimental, y otra rigurosa, como la axiomática) y la relación que existe entre ellas.
A continuación, se presentan y se ejemplifican las principales propiedades de la probabilidad que se
derivan directamente de la definición axiomática.
Seguidamente, se retoma la situación del lanzamiento de un dado para justificar la validez de la regla
de Laplace en condiciones de equiprobabilidad.
Se demuestra dicha regla de manera rigurosa y se ejemplifica su uso.
4. Probabilidad condicionada
En este bloque se estudia fundamentalmente: la probabilidad condicionada, el principio de probabilidad compuesta, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes.
El estudio de la probabilidad condicionada se efectúa razonando a partir de una situación concreta
que se utiliza como argumento de plausibilidad para su posterior generalización.
Además, se presenta el concepto de dependencia e independencia de sucesos. Este apartado concluye
con la ejemplificación del uso de las herramientas anteriores en el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos.
El estudio del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes sigue el mismo esquema: se razona sobre una misma situación concreta que se utiliza como argumento de plausibilidad para su posterior generalización.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a comprenda mejor el manejo de
las fórmulas de la teoría de la probabilidad. Para ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Calcular una probabilidad mediante las propiedades fundamentales de la probabilidad.
Resolver un problema de cálculo de probabilidad utilizando técnicas de recuento (ya estudiadas) y la
Resolver un problema de probabilidad utilizando probabilidades condicionadas.
Resolver situaciones problemáticas típicas donde se aplica el teorema de Bayes y el teorema de la
Reconocer un experimento aleatorio, construir su espacio muestral, definir diversos sucesos y determinar la verificación de un suceso a partir del resultado de una realización de dicho experimento.
Describir el significado de suceso seguro y suceso imposible.
Identificar diferentes tipos de sucesos y operar con ellos aplicando las propiedades del álgebra de
Determinar si dos o más sucesos son compatibles o incompatibles.
Atribuir probabilidades a sucesos a partir de la definición experimental de probabilidad o la regla de
Laplace (de acuerdo con consideraciones de equiprobabilidad).
Diferenciar en situaciones reales sucesos dependientes y sucesos independientes.
Utilizar las expresiones de la probabilidad condicionada.
Resolver problemas mediante el principio de la probabilidad compuesta.
Realizar el cálculo de probabilidad mediante el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes
en el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos.
Mostrar una disposición favorable a la utilización de métodos probabilísticos para analizar y tomar
decisiones en situaciones de incertidumbre.
Conocer el concepto de variable aleatoria y distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas.
Hallar la función de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria discreta y calcular sus parámetros principales.
Aplicar el modelo de la distribución binomial para calcular probabilidades en diversas situaciones.
Valorar el ajuste de una distribución de datos estadísticos al modelo de la distribución binomial.
Tipos de variable aleatoria: discreta y continua.
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta: función de probabilidad, función de
distribución y parámetros.
Distribución binomial: función de probabilidad y parámetros.
Asignación de una variable aleatoria a los resultados de un experimento aleatorio.
Obtención de la función de probabilidad, la función de distribución y los parámetros de una variable
aleatoria discreta.
Caracterización de un experimento compuesto mediante una variable aleatoria que siga una distribución binomial, B(n, p).
Obtención de la función de probabilidad y los parámetros de una variable aleatoria que siga una distribución binomial, B(n, p).
Cálculo de probabilidades en situaciones descritas por una distribución binomial: utilización de tablas.
Valoración de la validez del ajuste de probabilidades mediante la distribución binomial.
Utilización de las TIC para la elaboración de presentaciones diversas.
Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera más eficaz para resolver problemas de la vida cotidiana relacionados con la toma de datos experimentales y el ajuste a un modelo
Este primer bloque comienza introduciendo el concepto de variable aleatoria.
Se describen las clases de variable aleatoria (discreta y continua) y se proponen ejemplos que permitan distinguir una de otra con claridad.
2. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Tomando como referencia inicial una situación sencilla, que se utiliza como eje conductor hacia las
definiciones rigurosas, se presenta el concepto de distribución de probabilidad y dos formas alternativas de caracterizarla: mediante la función de probabilidad y mediante la función de distribución.
Se presentan los parámetros de una variable aleatoria discreta, confrontados en una tabla con sus homólogos en el caso de una variable estadística discreta, y se ejemplifica después su cálculo.
Se destaca la interpretación que, en el contexto de los juegos de azar, puede hacerse de la esperanza
Se presenta el tipo de situaciones que, de manera general, se estudian mediante el modelo de la distribución binomial.
Tomando como referencia un ejemplo resuelto, se justifica la expresión de la función de probabilidad
de una distribución binomial.
Se ejemplifica el cálculo de probabilidades, introduciendo para ello el uso y manejo de la tabla de la
4. Ajuste de datos a una distribución binomial
Finalmente, se estudia por medio de un ejemplo el método para ajustar un conjunto de datos experimentales al modelo de la distribución binomial.
Se valora la validez del ajuste.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice un poco más en el conocimiento de las propiedades de las distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Para
ello, se presentan los siguientes modelos de ejercicios:
Definir una función de probabilidad y una función de distribución a partir de unas probabilidades dadas.
Resolver un problema típico de control de calidad mediante consideraciones probabilísticas.
Valorar la ventaja de determinados comportamientos contables en cuanto al cálculo de probabilidad.
Resolver un problema de planificación basándose en la función de probabilidad binomial.
Calcular una probabilidad en un suceso cotidiano.
Asignar una variable aleatoria discreta a los resultados de un experimento aleatorio.
Hallar la función de probabilidad, la función de distribución y los parámetros (esperanza matemática,
varianza y desviación típica) de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Interpretar el resultado del cálculo de la esperanza matemática de una variable aleatoria en el contexto
Identificar variables aleatorias que sigan una distribución binomial, B(n, p).
Aplicar el modelo de la distribución binomial para calcular probabilidades en diferentes situaciones.
Ajustar una distribución de datos estadísticos al modelo de la distribución binomial y valorar la bondad del ajuste.
Mostrar una actitud flexible y abierta ante las opiniones de los demás en el momento de afrontar en
equipo estudios probabilísticos.
Calcular la probabilidad de que una variable aleatoria continua tome determinados valores.
Conocer la función de densidad de la distribución normal, su gráfica y sus características.
Aproximar, si es posible, la distribución binomial mediante la distribución normal.
Valorar el ajuste de una distribución de datos estadísticos al modelo de una distribución normal.
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua: función de densidad, función de distribución y parámetros.
Parámetros de una distribución de variable aleatoria continua.
Distribución normal: función de densidad.
Tabla de la distribución normal tipificada.
Tipificación de una variable normal.
Obtención de la función de densidad, la función de distribución y los parámetros de una variable aleatoria continua.
Identificación de la función de densidad de una variable aleatoria que siga una distribución normal.
Cálculo de probabilidades en situaciones descritas por una distribución normal: utilización de la tabla
de la distribución normal tipificada.
Aproximación de una distribución binomial mediante una normal.
Ajuste de datos estadísticos a una distribución normal y valoración del ajuste.
Utilización de calculadoras on line para efectuar cálculos de tipo estadístico.
1. Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria continua
Este primer bloque comienza demostrando la imposibilidad de aplicar los mismos criterios que en el
caso discreto para asociar una distribución de probabilidad a una variable aleatoria continua.
Partiendo de un caso sencillo, se plantean dos formas alternativas de efectuar dicha asociación: mediante la función de densidad y mediante la función de distribución.
Se presentan los parámetros de una variable aleatoria continua, confrontados en una tabla con sus
homólogos en el caso de una variable aleatoria discreta, y se ejemplifica después su uso.
Este segundo bloque se inicia presentando en un apartado el tipo de situaciones que, de manera general, se estudian mediante el modelo de la distribución normal.
A continuación, se introduce la expresión de la función de densidad de una distribución normal y el
significado de sus parámetros.
Se explica el concepto de distribución normal tipificada y, mediante el uso y manejo de la tabla de la
distribución normal tipificada, se ejemplifica el cálculo de probabilidades.
Para finalizar, se explica en general el proceso de tipificación y se ejemplifica cada caso.
3. Aproximación de la distribución binomial mediante la normal
En este apartado se muestran, mediante un ejemplo concreto, las similitudes entre una distribución
binomial y una normal.
A continuación, se introduce mediante un ejemplo resuelto la aproximación de la distribución discreta
por la continua, así como la necesidad de la corrección de Yates.
4. Ajuste de datos a una distribución normal
Se presenta un método para ajustar un conjunto de datos experimentales al modelo de la distribución
Se valora la validez o la bondad de dicho ajuste.
En la «Resolución de ejercicios y problemas» se pretende que el alumno/a profundice en el cálculo de probabilidades en situaciones modelables por una distribución normal. Para ello, se presentan los siguientes
Se aplica un proceso inverso al usual con una distribución tipificada: a partir de una probabilidad dada se obtiene un cierto parámetro.
Se resuelve un problema contextualizado en el que se calcula una probabilidad si se conocen los parámetros de la distribución.
Se soluciona un problema en el que se efectúa un proceso completo de cálculo de probabilidad tipificando una variable.
Se realiza el cálculo de un parámetro a partir de probabilidades.
Hallar la función de densidad, la función de distribución y los parámetros (esperanza, varianza y desviación típica) de una variable aleatoria continua.
Aplicar el modelo de la distribución normal para calcular probabilidades en diferentes situaciones
mediante el uso de la tabla de la distribución normal tipificada.
Aproximar una distribución binomial mediante la distribución normal y calcular probabilidades teniendo en cuenta la corrección de Yates.
Ajustar una distribución de datos estadísticos al modelo de la distribución normal y valorar la bondad
PROGRAMACIÓN TEMPORAL DE MATEMÁTICAS I
INECUACIONES ÁLGEBRA - Colegio Ntra. Sra. del Pilar
Programa de examen Integral – Matematicas 6° B
Programa de Exámen – Quimica – Integral – 6° A y B
o Matemática Propósitos: Programa Analítico:
criterios de evaluación del bloque álgebra - IES Padre Moret
Contenido Prueba Diagnóstico 2016-01-08
PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS 2012 ..:: EJE TEMÁTICO No. 02
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Programa Matemática 4º Ec
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M ATEM ÁTIC A 2 Números reales 10 Los números racionales

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