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Timestamp: 2016-08-27 22:20:21+00:00

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BrowseUploadSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicWelcome to Scribd! Start your free trial and access books, documents and more.Find out moreLIBRO PARA EL MAESTROMATEMÁTICAS CUARTO GRADO Maestra, maestro: Forma tu biblioteca. Cuida Tus libros Este libro ha sido elaborado por el Gobierno de la República y se entrega gratuitamente a todos los maestros de educación primaria del país. Forma parte del proyecto general de mejoramiento de la calidad en la educación básica y tiene el propósito de apoyar al maestro en el desempeño de su práctica docente. El libro no está sujeto a ninguna disposición de resguardo, es para el uso personal del maestro que lo recibe, quien podrá conservarlo indefinidamente y usarlo en el ciclo escolar siguiente, en caso de continuar atendiendo el mismo grado. Si cambia de grado, deberá recibir los materiales para el maestro que correspondan. Al paso del tiempo, y con cada dotación, el maestro podrá ir formando una biblioteca básica sobre la enseñanza de los contenidos correspondientes a la educación primaria. Los juicios y opiniones de los maestros son indispensables para mejorar la calidad de este libro. Sus comentarios pueden ser enviados a la siguiente dirección: SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICA Y NORMAL DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES Y MÉTODOS EDUCATIVOS Avenida Cuauhtémoc 1230, octavo piso, Santa Cruz Atoyac, 03310, Benito Juárez, México, D.F. El Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado fue elaborado en la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública Coordinación general Elisa Bonilla Rius Alba Martínez Olivé Rodolfo Ramírez Raymundo Redacción Víctor Manuel García Montes
Tradicionalmente la Secretaría de Educación Pública distribuye los libros para el maestro como un apoyo al trabajo profesional que se realiza en nuestras escuelas primarias. Cuarto grado. En el pasado se integraban en un solo volumen las recomendaciones didácticas correspondientes a todas las áreas o asignaturas de un grado. actualización y mejoramiento. además de ser un recurso práctico para apoyar el trabajo en el aula. Primaria.La reforma del currículo y los nuevos libros de texto tienen como propósito que los niños mexicanos adquieran una formación cul tural más sólida y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con independencia. Educación básica. Para que esta finalidad se cumpla. así como proporcionar material de estudio adecuado para los maestros que deseen profundizar en la enseñanza de una asignatura. dosificación y articulación de contenidos y actividades de enseñanza. recurso auxiliar para planear y organizar la secuencia. ya sea que se realice de manera informal o como actividad
. El contenido del libro y su presentación parten de reconocer la creatividad del maestro y la existencia de múltiples métodos y estilos de trabajo docente. Esta nueva organización del Libro para el maestro tiene como propósito facilitar su manejo. a lo largo de todo el ciclo de la educación primaria. Por esta razón. los maestros recibirán el Fichero. Este Libro para el maestro. excepcionalmente. Actividades didácticas. creativa y flexible. a las condiciones específicas en las que realiza su labor y a los intereses. Matemáticas. Cuarto grado y podrán consultar el Avance Programático. para una pareja de asignaturas interrelacionadas estrechamente. necesidades y dificultades de aprendizaje de los niños. de manera rígida e inflexible. La nueva presentación integra abundantes propuestas para la enseñanza de los contenidos y la utilización d el libro de texto y otros materiales educativos de cada asignatura y grado escolar. las propuestas didácticas son abiertas y ofrecen amplias posibilidades de adaptación a las formas de trabajo del maestro. El Libro para el maestro. A partir de esta etapa hay libros de menor volumen para cada asignatura de un grado o. Matemáticas. es indispensable que cada maestro lleve a la practica las orientaciones del plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma sistemática. se ha concebido como un medio para estimular y orientar el análisis colectivo de los maestros sobre su materia de trabajo. Matemáticas. lo que tienen que hacer en cada clase o en el desarrollo de cada tema. Adicionalmente. Cuarto grado. La forma de organización y presentación de estos libros ha sido modificada. Cuarto grado no tiene una finalidad directiva ni es su pretensión indicar a los profesores.
destinados a los maestros y a los alumnos. El Plan y programas de estudio. estudio y aprendizaje de las matemáticas en la educación primaria. Por tanto. Los planes y programas de estudio. La comprensión y uso de conceptos matemáticos. el libro será material básico de actividades y cursos de actualización profesional. comunicar (de manera oral y escrita). operar (mentalmente y con los algoritmos usuales) para hacer inferencias y generalizaciones. a la luz de los resultados que se obtienen al utilizarlos en la práctica. Educación básica. se pretende que el alumno disfrute al hacer matemáticas desarrollando su creativi dad e imaginación. El papel del maestro es fundamental como mediador entre los saberes de los alumnos. así como de los conocimientos construidos dentro y fuera de la escuela. Paralelamente. medir. Primaria plantea estudiar en las aulas una matemática que permita a los alumnos construir conocimientos a través de la resolución de situaciones problemáticas que despierten su interés y su deseo de búsqueda de soluciones. son instrumentos educativos que deben ser corregidos y mejorados con frecuencia y sistemáticamente. las situaciones de aprendizaje que los maestros pueden proponer constituyen la materia prima necesaria para generar hipótesis.del Consejo Técnico. determinará también las actitudes que asuman ante los problemas que requieran el uso de esta disciplina. estrategias y
. Es por ello que la Secretaría de Educación Pública reitera la atenta invitación hecha a los profesores de educación primaria para que envíen a esta dependencia sus opiniones y recomendaciones relativas al mejoramiento de los instrumentos educativos mencionados y en particular del presente libro. La evolución de éstos se dará en la medida en que el maestro proponga diversos retos a sus alumnos. Secretaría de Educación Pública
La formación matemática que permita a cada miembro de la comunidad enfrentar y dar respuesta a los problemas matemáticos que se presentan en la vida moderna dependerá en gran medida de las habilidades y nociones desarrolladas durante la educación primaria. Igualmente. los libros de texto grat uitos y otros materiales didácticos. las situaciones de aprendizaje y el conocimiento matemático que tiene rango social. el dominio de los algoritmos usuales y la habilidad para resolver diversos problemas se apoya firmemente en la evolución de los conocimientos previos. Asimismo. la propuesta pretende ofrecer a los alumnos la oportunidad de desarrollar habilidades para estimar. El tipo de experiencias que tengan los niños durante el proceso de enseñanza.
comunicar e interpretar información que provenga de encuestas. y Resuelva problemas que impliquen el uso y equivalencia de unidades de longitud. ordenar. figuras. ubicar en la recta numérica y comparar números naturales hasta de cinco cifras y números decimales hasta centésimos. Propósitos generales del grado Con fundamento en este enfoque se espera que. En el caso de la división. con divisores hasta de dos cifras. plantear y resolver problemas que impliquen el algoritmo de las cuatro operaciones fundamentales. comparación. el alumno logre obtener experiencias significativas en las que:
y Desarrolle la habilidad para leer. y Resuelva problemas que impliquen el uso de fracciones en situaciones de reparto. equivalencia u orden. y Desarrolle la capacidad para reconocer. pictogramas.procedimientos por parte de los alumnos. y Desarrolle la habilidad en el manejo de diferentes instrumentos de geometría para trazar líneas paralelas y perpendiculares. utilizando los términos "más probable que" y "menos probable que". peso. a lo largo de la educación prim aria. y Adquiera la capacidad de estimar los resultados de diferentes juegos de azar. los maestros de educa ción primaria cuentan con un repertorio importante en los libros de texto gratuitos y en los ficheros de actividades didácticas. medición. Dada la dificultad para diseñar diversas situaciones de aprendizaje.
Organización de los contenidos Los contenidos de Matemáticas. superficie. escribir. etcétera. gráficas. a lo largo del cuarto grado. la noción de ángulo y la capacidad para medirlos en fracciones de vuelta o en grados. ejes de simetría y desarrollos planos de cuerpos geométricos. y Adquiera. y Desarrolle la habilidad para elaborar e interpretar croquis y representar puntos y desplazamientos en el plano. sus relaciones y sus operaciones Geometría Medición Tratamiento de la información Procesos de cambio
. resta y multiplicación. y Desarrolle estrategias para estimar y calcular mentalmente el resultado de problemas de suma. los registre y los organice en tablas de frecuencias. y Desarrolle la capacidad de recolectar. a través de la comparación de giros. capacidad y tiempo para profundizar en el estudio del Sistema Métrico Decimal. tablas. organizar. se han organizado alrededor de seis ejes:
Los números. y Use las tablas de variación proporcional directa en la resolución de problemas.
los niños manejen información diversa y se interesen por indagar sobre temas de otras asignaturas o intereses personales que apenas se tocan. s e han incorporado noticias periodísticas. Esta nueva presentación de la matemática está más cerca de los intereses infantiles. entre otros. Con base en esta idea se trabaja a partir de situaciones propias de la cultura infantil. El objetivo es que. su enseñanza debe incluir informaciones y aplicaciones útiles e interesantes para el niño. en todo caso. los libros y el periódico infantil -entre otros. presentando una matemática más cercana al niño. carteles. Cabe señalar. Por ejemplo. Es el organizador.
Para que las matemáticas puedan disfrutarse. éstas son. el que orienta a los alumnos en
. El papel del profesor en la enseñanza de las matemáticas La participación del profesor es esencial para el éxito de esta propuesta. en la actividad que consiste en trazar figuras con igual perímetro. los juegos. Por lo mismo. paralelamente al aprendizaje de las matemáticas. la multiplicación y el trazo y manejo de formas geométricas. los cuales se tratarán con mayor profundidad en los siguientes grados de la educación primaria. plantas y fenómenos naturales. pero también útil y significativa. sorteos. la lectura. que tal interrelación debe tratar de hacerse de manera natural sin forzar la incorporación de otros contenidos. Al enseñar matemáticas no sólo se pretende promover aprendizajes significativos. el coordinador de las actividades. es una matemática atractiva y lúdica. pero diferente área (véase. notas deportivas. la conclusión de actividades realizadas a lo largo de una o varias sesiones. la lección "Hilaza para el contorno". datos sobre animales. Ha de buscarse sistemáticamente la interrelación entre los contenidos correspondientes a cada uno de los diferentes ejes. por otra parte. anuncios.son soporte y contexto de los contenidos matemáticos. Los animales y las plantas. Por esta razón en el libro del alumno no aparecen definiciones formales. p. La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno deban tratarse de manera aislada o independiente. sino también fomentar el gusto por esta asignatura.y La predicción y el azar
En cuarto grado se introducen contenidos correspondientes al eje "Procesos de cambio". 42) se trabajan varios contenidos: la medición con el centímetro cuadrado.
y Promueve y coordina la discusión sobre las ideas que tienen los alumnos acerca de las situaciones que se plantean. favoreciendo la reflexión sobre los problemas y la búsqueda de nuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientos matemáticos. sin olvidar que dicho proceso es largo y complejo.
Los conocimientos previos de los niños La enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas se apoya en la idea de que los niños tienen. Un ejemplo de esto son las lecciones dedicadas al algoritmo de la multiplicación y al de la división (véase Matemáticas. como mediador del diálo go con el libro. algunas páginas del libro de texto probablemente resulten incomprensibles para el niño. en el discurso y en los hechos. mediante un proceso que. definiciones y algoritmos matemáticos:
y Selecciona problemas matemáticos que sean adecuados para propiciar el aprendizaje de los distintos contenidos. Al resolver las situaciones que el maestro les presenta. además de los conocimientos aprendidos en la escuela. Puede decirse que éstas lecciones requieren especialmente de la participación directa del profesor. Por ello. etcétera. ayudar a los niños a entender los algoritmos y otras nociones asociadas a la multiplicación y a la división. en los juegos. La actividad central del maestro en la enseñanza de las matemáticas va mucho más allá de la transmisión de conocimientos. y Propone situaciones que contradigan las hipótesis de los alumnos. y a acercarse paulatinamente al lenguaje y los procedimientos propios de las matemáticas. modificar o enriquecer dichas concepciones. quien sugiere fuentes de información y da apoyo adicional cuando es necesario. los niños utilizan los conocimientos y concepciones construidos previamente. Cuarto grado. 34. a través de la presentación de situaciones concretas. 104 y 108 ). el punto de partida para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos. 60. en la casa. la enseñanza de las matemáticas se entiende como la promoción y enriquecimiento d e las concepciones iniciales del alumno. Los conocimientos previos y los procedimientos iniciales de los niños en la resolución de problemas deben ser. Sin el apoyo del profesor en la lectura. lo llevan a abandonar. que les permiten solucionar problemas diversos. graduándolas de acuerdo con su nivel. mediante preguntas que permitan conocer el porqué de sus respuestas.las dificultades. pp. conocimientos adquiridos en la calle. y Elige actividades para favorecer que los alumnos pongan en juego los conocimientos matemáticos que poseen. Con base en ellas puede.
en la medida en que los alumnos comprendan éste último procedimiento se apropiarán de él y lo utilizarán para resolver problemas. los niños deben reso lver primero diversos problemas mediante sus propios recursos. aproximándose a los procedimientos convencionales. utilizando las operaciones que conocen o con otros procedimientos (con material. los alumnos continúen utilizando sus estrategias con las que los han resuelto. y que éstas les permiten llegar con mayor facilidad a la solución del problema. Dichas estrategias se deberán dar a conocer al grupo para determinar cuáles llevaron a la solución del pr oblema y cuáles no. Es importante señalar que al permitir a los niños usar sus propias estrategias no sucede que cada uno utilice una estrategia diferente y que. la posibilidad de resolver problemas con sus propios recursos facilitará al estudiante desarrollar su capacidad de razonamiento. cálculo mental. etcétera). los niños evolucionarán en sus procedimientos de solución. Este acercamiento paulatino a los algoritmos convencionales permitirá al alumno comprenderlos. Comparar las estrategias pertinentes favorece que los alumnos observen que unas son más sencillas que otras. el maestro deberá proponer el procedimiento convenciona l como una forma. el maestro tenga que conciliar 30 o 40 procedimientos distintos para cada problema. Es recomendable permitírselos y después recordarles que también pueden resolverse con el procedimiento convencional enseñado. por lo tanto. más económicas. el maestro y el libro de texto. De manera paulatina. Es probable que después de que se les haya enseñado el procedimiento usual. Poco a poco. más económica para encontrar la solución. Posteriormente. Mediante este proceso se espera que las expresiones matemáticas y los algoritmos de cálculo convencionales tengan sentido y sean de utilidad para los niños. éstos implican la búsqueda creativa de variados caminos. no aparece rán más que un número
.La resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos Con el propósito de que los alumnos aprendan matemáticas a través de la resolución de problemas. De acuerdo con lo anterior. Por otra parte. a través del diálogo entre los compañeros. Los estudios realizados al respecto muestran una regularidad en los recursos que los niños utilizan. cuando se enfrente a ellos. al menos. dibujos. para llegar al procedimiento usual de cada una de las operaciones aritméticas. es decir. sin imponerles restricciones ni indicarles caminos precisos. Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema. Es decir. se pide a los niños que los resuelvan utilizand o sus propias estrategias y recursos. por lo general encuentran. ensayos y errores. una forma de aproximarse a la solución. como el algoritmo convencional.
. y Que a veces los problemas tengan más de una respuesta correcta. geométrico. libro de texto. gráfico. Antes de presentar o redactar un problema es importante que el maestro tenga claro qué propósito se persigue. la discusión misma les permitirá adoptar aquellas estrategias utilizadas por sus compañeros que consideren mejores. promueve desde sus páginas el diálogo. son cuestionamientos clave que el maestro puede formular para promover la comparación de estrateg ias y llevar a los niños a seleccionar las que les parezcan más económicas. Se aprende al resolver problemas nuevos porque se construyen conocimientos para poder hacerlo. y Que pueda expresarse en varios lenguajes (aritmético. Por otro lado. la confrontación y el aprendizaje en grupo. se aprende también cuando se aplican los conocimientos a situaciones diversas porque se abstrae y se generaliza el saber anteriormente construido. refutar. Es recomendable que el maestro proponga también problemas que tengan diferentes respuestas correctas. El diálogo y la interacción en la clase de matemáticas Ésta es una propuesta para dialogar con el compañero de banca. 180). preguntar. y el texto. con el maestro y para interactuar con la información escrita y con las ilustraciones del propio libro o de otras fuentes. material fundamental con que se cuenta en las escuelas. Escuchar las opiniones de los demás. "El puesto de tortas". comparar y argumentar redunda en beneficio de alumnos y maestros. El grupo es una instancia educadora. y Que su grado de dificultad no sea tan alto como para desanimar a los alumnos. Se aprende más y más rápidamente si se dialoga con los compañeros y con el maestro. y Que despierte el interés de búsqueda para resolverlo. por ejemplo. con los compañeros de equipo.manejable de estrategias de resolución que obedecen al momento de desarrollo conceptual en el cual los niños se encuentran. Interrogantes como: ¿qué forma de resolver este problema les gusto más? ¿Con cuál procedimiento pueden resolver más rápido el problema?. p. con el propósito de que los alumnos no se acostumbren a resolver sólo problemas con respuestas únicas (véase. Es ahí donde se muestra la solidez y validez de los conocimientos. Por otra parte. etcétera) y
que sea posible la traducción de uno a otro. debe asegurarse que el problema cumpla con determinadas condiciones:
y Que responda a una necesidad o interés del niño.
Desde esta perspectiva la resolución de problemas es fuente y criterio de verdad de los conocimientos para el niño.
El maestro. así como a los más adelantados.En la construcción de conocimientos. por lo que es necesario analizar tanto los procedimientos que llevan a una solución acertada como lo s que no. que el alumno sepa por qué con determinados procedimientos no es posible resolver el problema. entonces. para comunicar lo al resto del grupo. la confrontación y el convencimiento deben prevalecer en el proceso educativo.
El uso del libro de texto y las fichas didácticas Los materiales con los que el maestro cuenta para trabajar en el transcurso del año escolar son: el libro para el maestro. El diálogo. Esto se puede lograr si el maestro propicia un clima para que los niños expliquen la lógica de sus estrategias. a verificar respuestas y enriquecer conocimientos. se socializan los procedimientos encontrados por los alumnos y se analizan sus ventajas y sus desventajas. en el momento en que los alumnos realizan las acciones que consideran pertinentes para resolverlo y en el que el maestro observa cómo lo hacen. para clarificar la naturaleza del error. debe considerar que durante la enseñanza y el aprendizaje hay tres momentos en el planteamiento de un problema o actividad:
y Cuando el maestro organiza a su grupo en equipos. El hecho de explicar los procedimientos permite que sea el propio niño quien convenza a los otros de su validez. un fichero de actividades didácticas y el avance programático. en parejas o de manera individual y en el que se plantea la actividad.
. Aprovechar los momentos en los que los alumnos resuelven alguna situación problemática con procedimientos propios y no convencionales. y Cuando los niños se hacen cargo del problema. el libro de texto. identifiquen sus errores y los corrijan. Se espera que en este diálogo el niño construya los conocimientos y desarrolle las habilidades matemáticas planteadas para e l cuarto grado. y Cuando se discuten. es una tarea que se debe llevar a cabo todos los días. sin que deba esperar una respuesta externa que apruebe sus acciones. es decir. también permite ayudar a los compañeros menos avanzados en el proceso de aprendizaje. El maestro también debe tener en cuenta que no todas las respuestas de los niños son correctas. la interacción en tre compañeros y alumnos con el maestro juega un papel fundamental. La confrontación de estrategias y respuestas ayuda a los niños a percatarse de que puede haber mejores formas para solucionar un problema determinado. se validan. Es formativo. Este proceso ayuda a disminuir la frustración que genera el no resolver correctamente un problema matemático. lo que contribuye a fortalecer la seguridad del alumno.
Además.El libro del alumno ayuda al profesor a orga nizar la clase porque contiene los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada concepto. adaptarlas y proponer otras activid ades que el propio maestro considere pertinentes. se incorporan porque la dificultad o la novedad de la tarea hacen necesaria la ayuda mutua. Las situaciones problemáticas que se plantean en el libro no presen tan explicaciones de cómo resolverlas o definiciones conceptuales. como las que se sugieren en las fichas didácticas. como "Compara tu procedimiento o tu resultado con tus compañeros". preguntas. " Organízate en equipo" o "Trabaja con un compañero". Al maestro le corresponde iniciar. el intercambio de puntos de vista y la conjunción de ideas para promover el aprendizaje colectivo y la reflexión individual. las actividades propuestas en las fichas didácticas son sugerencias complementarias que apoyan y enriquecen la propuesta contenida en el libro del alumno. permiten lograr los propósitos del tema en cuestión. el maestro debe tomar en cuenta que hay algunas lecciones que introducen al tema y otras que requieren de acti vidades previas. por grupos o en parejas.antes o después de tratar algún tema. en conjunto. Es decir. adaptar o ampliar la secuencia propuesta en el libro. discutan y reflexionen sobre sus procedimientos que. para que busquen estrategias de solución. Las ilustraciones del libro de texto juegan un papel fundamental para la solución de ejercicios y problemas. Las consignas incluidas en las lecciones. finalmente. los llevarán al conocimiento deseado. En cualquiera de los dos casos el libro de texto contiene los puntos clave del proceso de aprendizaje. de manera individual. discusiones. en cada lección se presenta una situación problemática a partir de la cual se derivan actividades. En el avance programático se sugiere una forma de integrar las actividades de ambos materiales. por lo que el alumno deberá entender que no son únicamente decorativas y tendrá que aprender a interpretarlas. mismas que el maestro podrá utilizar cuando lo considere necesario -porque hay que reforzar algún tema o porque las actividades incorporadas en el libro no son suficientes. pues su propósito es que los alumnos. simbolizacion es y ejercicios de aplicación que. Importancia del uso de material concreto
. aborden las lecciones de acuerdo con las consignas señaladas. utilizando las actividades y problemas propuestos en las fichas.
Generalmente se asocia la palabra actividad a la manipulación de objetos. Éste está compuesto por 19 recortables y puede completarse con corcholatas de colores. La intención es que se conserve todo el año y pueda utilizarse cuantas veces sea necesario. cuando el maestro lo necesite. Éste es el caso de las secuencias planteadas para la medición de longitudes usando fracciones. echarán mano de experiencias anteriores y utilizarán el material como un recurso que les ayude a resolver los problemas. En cambio. cuya comprensión y manejo sería prácticamente inaccesible sin el apoyo del material concreto (véase. revistas infantiles. por ejemplo. En este sentido. si plantea el problema. Otros materiales que el maestro debe utilizar para que el desarrollo de los temas son: periódicos. aprenderán a seguir instrucciones. los Libros del Rincón editados por la Secretaría de Educación Pública u otros. También será conveniente guardar el material en un sobre o en una bolsa con el nombre de cada alumno. estimar y verificar sus resultados.14). cuando se utiliza para comprobar si la estimación del resultado de un cálculo o una medición son o no correctos. pero muy probablemente no podrán comprender por qué tuvieron que realizar dichas acciones con el material. semillas. En otras ocasiones el material es un instrumento que permite verificar las hipótesis y soluciones anticipadas por los niños. De este modo. los niños pondrán en juego sus conocimientos sobre la situación planteada. el papel del material concreto es fundamental. La mayor parte del material que se utiliza durante el año se ha incorporado en el libro de texto. p. por ejemplo. etcétera. construir y llegar a la solución de un problema. En muchas de las actividades que realizan los niños de cuarto grado. El uso de estos materiales ayudará a que los problemas
. dado que uno de los propósitos de la educación primaria es que los alumnos desarrollen la habilidad para calcular. en cuarto grado también es muy importante para continuar con la construcción o el desarrollo de muchos conocimientos matemáticos. como fuentes de situaciones para el trabajo matemático. "La tienda del pueblo". Se sugiere que el profesor solicite ayuda a los padres de familia cuando la tarea de recortar sea difícil para los niños. Algunas veces lo utilizan como un instrumento que permite buscar. tendrá el material suficiente para desarrollar su curso. el material concreto es necesario.Si bien el empleo de material concreto en los primeros grados es indispensable. les entrega el material y les da libertad de usarlo como ellos consideren c onveniente para encontrar la solución. Si para resolver un problema el maestro entrega el material a los alumnos y les indica la manera en que deben utilizarlo.
. El rango que se trabaja en el cuarto grado es el de las decenas de millar. el mil o el dos mil? ¿Cuál va antes del... se trata de
. con Ciencias Naturales.? ¿Cuál va después del. pueden establecerse relaciones con Geografía a tra vés de la lectura y la elaboración de croquis y mapas. así como su discusión. En esta etapa también es importante promover que los alumnos identifiquen números y reflexionen sobre los que ven en los precios. los niños conocen los números más allá de lo que han aprendido en la escuela. Asimismo. los domicilios. desde luego. el periódico. la alimentación o el peso de algunos animales y además apoyará la lectura. actividad fundamental en la formación de los niños propia de Español y. con frecuencia. permitirá al maestro conocer el rango de números que sus alumnos manejan oralmente o por escrito y. sus relaciones y sus operaciones
Este eje tiene como uno de sus objetivos centrales el estudio y uso del sistema de numeración decimal. con Historia. reales y atractivos para los niños. las placas de los autos. a través de preguntas como: ¿qué números conoces? ¿Dónde has visto números? ¿Qué números sabes escribir? ¿Cuál es el número más grande que conoces? ¿Cuál es el más pequeño? ¿Qué número va primero. etcétera. debido a que los utilizan funcionalmente.sean más interesantes. Se parte de la idea de que los alumnos reconocen y usan los números en rangos mayores a los previstos en la escuela para resolver situaciones y problemas que se les presentan en las diversas actividades que desarrollan en sus juegos y en sus compras. Para iniciar el trabajo con la numeración se sugiere promover el reconocimiento y uso de los números que los niños conocen. en el aprendizaje de las Matemáticas. permitirá relacionar la matemática con otras asignaturas del plan de estudios. Para el trabajo en esta dirección el maestro deberá tener en cuenta que. Por ejemplo.. a partir de situaciones basadas en datos referentes a los hábitos. ? Las respuestas a preguntas como éstas. mediante el cálculo de los años que han transcurrido desde determinado acontecimiento al elaborar "la línea del tiempo". Es decir. los anuncios. además iniciar el trabajo con números a partir de sus experiencias y de sus conocimientos.
La construcción de series numéricas cortas. Por ejemplo: señalar como punto de partida el número 20 000 y solicitar a los niños escribir los 10 números que van antes y los 10 números que van después . de 100 en 100. La elaboración de series con intervalos amplios (como podría ser contar de 50 en 50. El uso del tablero puede hacerse más interesante a medida que avanza el año escolar si las preguntas o consignas a partir de las cuales se trabaja se van haciendo cada vez más complejas. anuncios . En este grado las fichas para representar a los números en el tablero no tienen color diferente como en los grados anteriores.de la serie numérica.
. Para apoyar dicha tarea.
El tablero (véase la página 25 de este libro) es un material que puede ser elaborado por los alumnos. En síntesis. etcétera. Paulatinamente se logrará una ordenación más sistemática -y con rangos más amplios. sin necesidad de hacer series numéricas largas y aburridas. en los primeros bloques el trabajo sobre esta temática se inicia con la lectura de números en situaciones que les den significado. a continuación se proporcionan al maestro algunas sugerencias generales que pueden realizarse a lo largo del año escolar. para conocer y estudiar la serie numérica y el valor posicional de las cifras. en "El sorteo" y "Cuadros y números". esto los hará reflexionar sobre los principios que subyacen a la escritura de dichos números. de 250 en 250. pero será el avance y dominio del tema por parte de los alumnos lo que marcará la pauta para dejar a un lado estos materiales. de 1000 en 1000. etcétera) permitirá observar otras regularidades en la serie numérica. se sug iere utilizarlo para representar números. ordenación. de 500 en 500. páginas 12 y 50. Con base en esta idea. es probable que en el transcurso del año se abandone el uso de este material. la intención es que el alumno se dé cuenta de que el valor del número es por el lugar que ocupa y no por el color que tiene. por ejemplo. A partir de la lectura de los números que aparecen en precios. identificación y descomposición de números. orales y escritas son también actividades en las que se pueden hacer reflexiones interesantes. así como para desarrollar la habilidad del cálculo mental en los alumnos.que manejen los números y reflexionen sobre ellos en situaciones en las que son útiles. se propone que a lo largo del año los niños manejen significativamente los números. se realiza un primer trabajo de comparación. hasta de cinco cifras.
ligadas al desarrollo específico de las lecciones y de la resolución de problemas. página 104. puede ser una forma habitual de trabajar. Una vez que el niño ha comprendido lo que se desea al plantear un problema.El uso de material concreto para representar cantidades favorece que los alumnos entiendan la regla de cambio "diez por uno" del si stema de numeración decimal y. así como el cálculo mental son actividades que deberán desarrollarse durante todo el año. que el alumno discrimine un resultado lógico de otro que no lo es y genere procedimientos propios cuando lleve a cabo operaciones por vías distintas a los algoritmos convencionales. En la lección "Cajeros y clientes". Solicitar a los niños el cálculo mental aproximado de operaciones o problemas y después verificar sus resultados realizando cálculos escritos o u tilizando la calculadora. sin multiplicar directamente por 8. este ejercicio es sumamente interesante por los resultados que arroja: 12 x 8 = 12 x 4 x 2 12 x 8 = 12 x 10 . se le debe conducir hacia la estimación del resultado o pedirle que haga el cálculo mental. o entre 150 y 200? Después de esta etapa de estimación puede indicarse a los alumnos que calculen mentalmente el resultado exacto. favorece la comprensión del valor relativo de las cifras contenidas en un número. Por ejemplo. ad emás de las equivalencias propias y naturales que se trabajan en contextos de dinero. Es conveniente. entre otras cosas. sin olvidar que tanto la estimación como el cálculo mental sólo adquieren sentido si el niño los compara con el resultado exacto del problema planteado. Dentro del sistema decimal de numeración se manejan diferentes maneras de representar el mismo número y se continúa con la secuencia didáctica de actividades orientadas al estudio del algoritmo de la división. Por ejemplo. después del ejercicio. se pueden plantear algunas preguntas como las siguientes para estimar el resultado de un problema que implique multiplicar 12 x 8: ¿cuál creen que será el resultado? ¿Será más de 100 o menos de 100? ¿Estará entre 100 y 150.
La anticipación de resultados. registrar las diferentes maneras que surgieron del grupo y discutir la estrategia utilizada en cada caso. los alumnos trabajan diversos aspectos que implican el aprendizaje de los números. a la vez.12 x 2
. La frecuencia con la que se practique este tipo de cálculos permitirá.
El conteo. permite:
adecuadas entre los datos y seleccionen. por ejemplo. Por ejemplo. por ejemplo. argumentando en qué consiste el error (véase la página 26 de este libro).
. y Inferir los procesos que sigue la calculadora a partir del análisis de las teclas que se oprimen y de los resultados que arroja. a medida que avancen. les permitirá tener una idea más precisa de lo que es una centena. El profesor encontrará en el libro del niño (véase. 24) y en el fichero de actividades algunas sugerencias para el desarrollo de estas nociones. los alumnos deberán resolver la operación para verificar sus resultados. hacer grupos y sumar la cantidad que tiene cada grupo. se darán cuenta de que es mejor buscar otras estrategias para contar. Es conveniente proponer a los alumnos la búsqueda de errores para posteriormente discutirlos en clase. cinco mil. la o las operaciones con las que pueden resolverse. y Verificar resultados obtenidos mediante el cálculo mental o escrito. entre otras razones por el temor de los maestros y padres de familia de que este instrumento evite que los niños aprendan a efectuar (sin calculadora) las operaciones básicas. un millar. p. Pedirle a los niños que cuenten la cantidad de corcholatas que hay en una caja. y en particular el conteo de cantidades grandes de objetos. diez mil. "Un montón de lentejas". La realización frecuente de actividades como las que se acaban de señalar permitirá al maestro llevar a sus alumnos a la comprensión de la magnitud de los números y del sistema decimal con el que los representamos. lejos de obstaculizar el aprendizaje lo favorece. numerosas experiencias en el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas han podido constatar que el uso controlado de la calculadora en ciertas actividades específicas. es una actividad importante para desarrollar la intuición sobre los números e ideas claras acerca de su magnitud. la cantidad de garbanzos que contiene un frasco. pe ro.
El uso de la calculadora se ha restringido en la escuela primaria. y Resolver problemas que requieren efectuar muchas operaciones o cálculos numéricos engorrosos. Los niños probablemente empezarán a contar "de uno en uno". Sin embargo. etcétera. etcétera. de manera autónoma.Por último.
Por lo anterior. al oprimir consecutivamente la tecla =. 37. las siguientes instrucciones: 1. el maestro las experimente usando diferentes tipos de calculadoras. la tecla = y observe cada vez el número que aparece en la pantalla.).. Si tiene a la mano dos o tres calculadoras sencillas de diferente modelo y marca. 71. 105... favorecen el aprendizaje de la serie numérica oral y escrita y de las operaciones de suma y resta.
Es conveniente que antes de aplicar las actividades. Encienda la calculadora (en la pantalla aparece el 0). mismos que se verifican con el auxilio de la calculadora. Oprima tantas veces como desee. Actividades didácticas.).. 20. de 2 en 2. Algunas de las actividades del fichero permiten indagar los conocimientos previos de los alumnos acerca de los números. etcétera. 29. 20.. 20. pues no todas funcionan de la misma manera. En otra calculadora tal vez los resultados sean: 20... no siempre se procede de la misma forma.. 29. Otras propician el cálculo mental y la estimación de resultados. Sin embargo. 32. Saber cómo funcionan las calculadoras que usan los alumnos permitirá al maestro coordinar con éxito las actividades propuestas. 88. otra quizás arroje los siguientes resultados: 20. 26. tal vez se requiera oprimir dos veces seguidas el signo + (17 ++ 3 = = = . 23.. en algunas lecciones del libro de texto (véanse las páginas 17. Cuarto grado se incorporaron situaciones en las que se sugiere utilizar la calculadora.).. 105. se observa que la calculadora toma como constante el primer sumando (17 + 3) y en el tercer caso (20. Oprima las teclas para realizar la siguiente suma: 17 + 3 (en la pant alla aparece primero el 17 y luego el 3). 35. Para construir sucesiones numéricas con estas últimas calculadoras.. con cualquier calculadora es posible construir sucesiones numéricas de 1 en 1. 26.).. Puede observarse que en el primer caso (20. En el segundo caso (20. 71. la calculadora suma de manera constante el segundo sumando que se introdujo (17 + 3). 93 y 181) y en las fichas 7. 12 y 40 del Fichero. 23. 37.
. Es probable que en alguna de las calculadoras obtenga la siguiente sucesión de números al oprimir repetidamente la tecla =: 20. 35.. en cada una. 32. 20. 88. probablemente encontrará distintos resultados al ejecutar. 2. 54. Por ejemplo. no se modifica el primer resultado. 35. 54. Matemáticas. 3..
En tales casos es importante que los alumnos resuelvan primero las actividades mediante el cálculo mental o con lápiz y papel y después usen la calculadora para verificar los resultados obtenidos. desde el punto de vista de las matemáticas que se aprenden ni todas las actividades que sirven para aprender son realmente juegos. a la vez. sino que construye sus propias estrategias en la interacción con sus compañeros. no todos los juegos son interesantes para el alumno.En algunas lecciones del libro Matemáticas. que conozcan y dominen sus reglas y analicen las jugadas.
En los libros Juega y aprende matemáticas y Los números y su representación. De esta manera el jugador. frente al juego. de la colección de Libros del Rincón (SEP) el maestro podrá encontrar. Cuarto grado se propone que los alumnos utilicen la calculadora para verificar resultados. Por ejemplo. los alumnos aplican los conocimientos que poseen sobre series con intervalos constantes. en el juego "La pulga y las trampas" del libro Juega y aprende matemáticas. entre otros. tiende a ser autónomo. algunos juegos que permiten al niño profundizar. Sin embargo. En este grado se utilizan las cuatro operaciones fundamentale s. afianzar o introducir diversos aspectos del sistema de numeración decimal. El reto es entonces descubrir o construir actividades que sean realmente juegos para los niños y que. La
. Para construir una estrategia que les permita ganar sistemáticamente es necesario que jueguen varias veces el mismo juego. ya que no aplica instrucciones dictadas por otro.
Las operaciones con números naturales es un tema central en la educación primaria.
Cuando los alumnos practican por primera vez un juego lo hacen sin tener estrategias definidas con las que aseguren ganar. propicien aprendizajes interesantes de matemáticas (véase la página 27 de este libro).
A pesar de que los datos de este problema involucran números de cuatro cifras. Por ejemplo. la identificación de la operación no es obvia para el alumno. ya que los niños te ndrán primero que hacer una inversión en el planteamiento inicial del problema: 23 + _____ = 32 ----> 32 . ¿cuántos lugares quedaron vacíos? (En
Los problemas se pueden expresar.multiplicación y la división se abordan con matices distintos a la adición y la sustracción. ya que desde el primer grado de primaria los alumnos realizan un amplio trabajo para comprenderlas y en tercer grado amplían sus conocimientos sobre el manejo de los algoritmos convencionales de la suma y de la resta.23 = ____ Aunque este problema se resuelve con una resta muy simple. y Rosa dijo: cuando me subí al látigo íbamos 25 personas y quedaron 19 lugares vacíos. no obstante que no se involucran datos de más de dos dígitos. La primera de ellas es que
. página 16 del libro de texto. se plantean problemas como los siguientes:
la ilustración se observa que caben 32 personas en la rueda). la complejidad del uso de la suma y la resta se centra en el tipo de problemas que se plantean y no necesariamente en el tamaño de los números. se da énfasis a la resolución de problemas que implican alguna de ellas. en los que la suma o la resta son identificadas fácilmente. Para ellos resulta más difícil resolver problemas como éstos -aun teniendo números pequeños. por diversas razones es de fácil resolución. En relación con la adición y la sustracción. como se muestra enseguida: 23 + _____ = 32 25 + 19 = _____ En el primer problema identificar la resta como la operación que permite encontrar el dato no es sencillo. ¿cuántas personas caben en el látigo?
y A la rueda de la fortuna subieron 23 personas. Se deja de lado el trabajo relacionado con los algoritmos de esas operaciones. En cuarto grado. respectivamente. en "La rueda de la fortuna".que resolver algunos problemas con números de cuatro o cinco cifras. Ninguno de estos dos problemas es sencillo para los niños que cursan cuarto grado. Un ejemplo sería:
y En su trabajo Gerardo ganó $ 3 176 y le dio $ 1 875 a Lalo.
"Combinaciones". El maestro debe apoyar ambos aspectos de las operaciones. 168).la palabraquedó anuncia a los niños la resta. es decir.
. a partir de la misma estrategia se amplía el rango de números hasta que se presenta el procedimiento usual para resolver multiplicaciones."El vivero de don Fermín´. basado en la descomposición de arreglos rectangurales (véase. por ejemplo. la ac tividad consiste en combinar un número diferente de faldas y blusas para vestir a una muñeca. Probablemente los niños todavía no dominan ambos algoritmos. No solamente se maneja la multiplicación con la idea de arreglos rectangulares. teniendo la precaución de trabajar las "técnicas de cálculo" cuando éstas ya tengan significado para los niños. el de blusas y el total de combinaciones. es decir. mientras que en el problema del dinero la dificultad se ubica en el dominio del algoritmo. 34). p. para llegar. como se muestra en la misma lección. La multiplicación se inicia con una síntesis del tratamiento que se hizo en tercer grado. por lo tanto. por ejemplo. en este grado deberán ser tratados por el profesor de manera especial. la dificultad radica en la identificación de la resta como operación que resuelve el problema. Se espera que la descomposición de una multiplicación en arreglos rectangulares haga más comprensible a los niños el algoritmo de tal operación. a lo largo del programa y en los materiales de apoyo se ha establecido una diferencia entre la dificultad en el uso del alg oritmo y la dificultad en la resolución de problemas. Posteriormente. la segunda razón es que el problema tiene la incógnita al final: 3 176 . por ejemplo. posteriormente. cuando las hayan identificado como instrumentos para resolver cierto tipo de problemas. La situación es diferente con la multiplicación y la división. p. Una vez que los alumnos han resulto la situación con material concreto. En el primer problema de la rueda de la fortuna. "El mercado".1 875 = _____ Por lo anterior. a la representación simbólica: 5 X 4 = 20
Desde segundo grado los alumnos resuelven problemas de reparto de objetos y en tercero se incluyen problemas de agrupamiento o tasativos. El maestro deberá hacer reflexionar a los alumnos sobre la relación entre el número de faldas. p. 10) y en problemas de combinatoria (véase. también se utiliza en problemas de variación proporcional directa (véase. se propone introducir la representación gráfica.
La lectura de los diálogos que aparecen en el libro del alumno también permitirá a los niños aclarar dudas y corregir posibles errores. Cada piso tiene 4 filas y cada fila tiene 5 chocolates. La caja tiene 3 pisos. Luis. Más bien. pero es necesario un trabajo mucho más amplio para que poco a poco adquieran dominio sobre esta operación. por ejemplo . Esta actividad será un apoyo importante en la construcción y autoevaluación de las estrategias de resolución de problemas y de cálculos. y A Yólotl. Es importante continuar con este tipo de problemas en cuarto grado porque ayuda al alumno a profundizar en los diferentes significados de la división y se afianza a la comprensión del procedimiento usual para dividir. "La huerta de Don Fermín" y "Entre 10 y 100". Entre una lección y otra el maestro debe proponer otros problemas similares para que los niños sistematicen y afirmen su conocimiento sobre la multiplicación al resolver problemas de división. por ejemplo. El primero y el tercero son de agrupamiento o tasativos. También es recomendable que antes de efectuar las divisiones los alumnos estimen el número de cifras que tendrá el cociente y verifique n cada vez si su estimación fue o no correcta. "Entre 10 y 100". situándolo entre 1 y 10. La secuencia de situaciones que s e plantea en el libro de cuarto grado comienza con el uso de distintos procedimientos para resolver problemas de división (véase. 28 y 62). Esta forma de trabajo constituye uno de los propósitos más importantes de esta propuesta. Anticipar el resultado de la división. Carlos. entre 10 y 100. Deciden repartirlos en partes iguales. Paco 192 y René 214. p. Cesar y Pamela les regalaron una caja de chocolates.aquellos en los que se debe determinar cuántas veces cabe una cantidad en otra. 62) hará que el alumno infiera si el resultado de las operaciones efectuadas es absurdo o lógico.
. entre 100 y 1000 (véase. lo que les permite construir su conocimiento es el proceso de poner constantemente a prueba sus propias hipótesis en las situaciones que se les presentan.
y Catalina debe colocar 250 manzanas en cajas con 6. Uriel tiene 153 dulces. pp. y el segundo es de reparto. Quiere saber si le alcanzan o le sobran cajas. Paco y René quieren guardar sus dulces en bolsas. ¿Cuántas bolsas necesita cada niño para guardar sus dulces? ¿Sobrarán dulces? ¿Podrán hacer otra bolsa con los dulces sobrantes?
Con los ejemplos anteriores queremos ilustrar el hecho de que los niños no adquieren conocimientos en pequeñas dosis mediante la información que reciben del maestro. En tercer grado los niños llegaron a conocer el procedimiento usual para dividir. A continuación se dan algunos ejemplos de problemas. Tiene 40 cajas. ¿Cuántos le tocan a cada quien? y Uriel. Deciden poner 10 dulces en cada bolsa.
pero en ¾ hay cuatro niños. por ejemplo 3/3 y 4/4. libro de texto. relacionados con la medición de longitudes. mediante el análisis de los datos del reparto se puede anticipar el resultado. Si el problema es comparar 3/2 con 8/15 puede actuarse intuitivamente mediante la siguiente reflexión: en tres medios hay más galletas que niños. Este aspecto se aborda en la lección "Más galletas y más niños". en la que se trabaja la noción de fracción como resultado de un reparto. cuatro u ocho. Una vez resueltos los puntos 1. mientras que en 3/5 hay cinco. que es lo mismo que 5/3. así como en situaciones de reparto.
Más que memorizar los términos de una fracción y saber distinguirlos.Fracciones
En cuarto grado se amplía el trabajo con las fracciones. la capacidad de algunos recipientes. el peso de algunos objet os. porque en los dos casos se reparten tres galletas. por lo que les toca lo mismo en ambos casos.
Por ejemplo. los quintos y las fracciones decimales. La diferencia entre problemas que se plantean en tercer grado y los de cuarto es el nivel de complejidad de las actividades y el tipo de fracciones con las que se trabaja. en tanto que en 8/15 hay más niños que galletas. enfatizando su uso en situaciones problemáticas en diferentes contextos. e s necesario que los alumnos le den un significado al numerador y al denominador. En la fracción 5/3 el numerador indica el número de pasteles que se repartieron y el denominador indica el número de niños entre los que se hizo el reparto. si se reparte 5 pasteles entre 3 niños a cada niño le toca 1 pastel + 1/3 + 1/3 de pastel. Además de trabajar con las fracciones cuyo denominador es dos.
. de tal manera que descubran que en el resultado de un reparto se puede identificar el número de unidades que se repartieron y el número de elementos entre los que se hizo el reparto o que. por lo tanto 3/2 es mayor que 8/15. página 94. se incluyen también los tercios. el razonamiento es que hay igual número de galletas que de niños. Cuando el caso es de fracciones equivalentes a un entero. por lo que a estos últimos les toca menos. Estos significados permiten a los niños hacer reflexiones como las siguientes: ¾ es mayor que 3/5. 2. 3 y 4 de la lección. es conveniente que el maestro propicie un análisis sobre la relación que existe entre los datos del reparto y la fracción que representa el resultado del reparto.
En el transcurso del año escolar las situaciones de reparto y de medición que involucran el uso de las fracciones se van haciendo más complejas.
Uno de los aspectos más importantes para la comprensión de las fracciones es la noción de equivalencia.. "En partes iguales sin doblar". con el fin de que los procedimientos iniciales empleados por los niños evolucionen. Al principio. ¼ de kilogramo. Es por eso que en cuarto grado no se sugieren algoritmos para estos temas. Para medir el peso de algunos objetos. media vuelta. se empieza a trabajar la idea de fracción como parte de un todo formado por 360º (véase la ficha 5. En un principio se plantean problemas en lo s que se utilizan fracciones para medir longitudes (véase.. los niños utilizan hojas o tiras de papel para realizar y verificar sus ejercicios y posteriormente pueden usar su regla graduada para encontrar las soluciones.Estas comparaciones a nivel intuitivo son más importantes que la introducción prematura de cualquier algoritmo para comparar fracciones. Otro aspecto importante que se presta para trabajar también con las fracciones es la medición de ángulos. porque ésta no cabe un número exacto de veces en la lon gitud a medir. Igualmente. ½ kilogramo (véase la página 37. el litro. "La tienda del pueblo". sus relaciones y sus operaciones". el centímetro. de este libro). ¼ de litro. por ejemplo. etcétera. Antes de abordar este tema se maneja en el libro de
. En este tipo de situaciones se usa n fracciones con numerador diferente a uno. En estas situaciones se enfatiza el hecho de que la unidad de medida puede ser una tira. un cuarto de vuelta o un tercio de vuelta.18). así como contenidos del aspecto de fracciones correspondientes al eje "Los números. p.. la capacidad de recipientes y la superficie de figuras. para que los usen en juegos o actividades que involucren contenidos del eje "Medición".
La noción de fracción como resultado de la medición de longitudes se introduce a través de situaciones en las que. un segmento o cualquier objeto alargado y también se propicia el uso de fracciones con numerador mayor que uno y de los números mixtos. es necesario fraccionar en partes iguales la unidad de medida.14) o bien el problema de dividir un segmento en partes iguales (véase. el decímetro y el centímetro cuad rado. Este aspecto se introduce a partir de giros de una vuelta completa. página 38 de este libro). p. se sugiere que los niños construyan o consigan algunas unidades de medida: el metro. por ejemplo. para medir con más precisión una longitud.
supeditado exclusivamente a la unidad de que se trate (longitudes. los niños no tendrán dificultad para inferir los resultados de las sumas o de las restas. Las situaciones de medición de longitudes y de capacidades también pueden aprovecharse para el uso de expresiones equivalentes. hay otras situaciones a lo largo del texto en las que se calculan sumas o restas sin necesidad de utilizar el algoritmo con vencional. Si la equivalencia y el orden entre las fracciones se trabaja detenidamente. "Galletas redondas". sin embargo. dependiendo de las particiones que se hagan. por ejemplo: ¾ de metro. es importante que éstas estén asociadas a unidades de medida. 94). deben realizarse actividades para verificar los resultados que obtienen los niños. en la lección "Esferas de plastilina". En las situaciones de medición puede resultar de gran utilidad el uso de una hoja rayada para dividir segmentos en partes iguales. La escritura formal de la suma y la resta de fracciones se trabaja en el bloque IV. los niños apoyarán sus razonamientos sobre la equivalencia de los repartos en sus propios dibujos. por ejemplo. A lo largo del curso se presentan situaciones que propician el uso de expresiones equivalentes que se pueden aprovechar para enfatizar dicha noción. El propósito fundamental que se plantea en cuarto grado sobre los números decimales es que los alumnos comprendan su significado. al principio pueden usarse hojas de papel y. página 102. Que los alumnos realicen este tipo de situaciones es fundamental para darle a los decimales su carácter genérico. por ejemplo. página 136. Para ello se insiste en la necesidad de que interpreten primero las cantidades escritas con punto
. Si se trata de situaciones de reparto. peso.texto la comparación de fracciones con procedimientos informales (véase. poco a poco. en los problemas de reparto. ½ litro. pueden surgir distintas expresiones aditivas que representan el mismo valor (véase. en una situación en la que es necesario dividir una unidad (pedazo de cuerda) en diez partes iguales. y no con fracciones en abstracto como ¾ y ½.
El campo de los números fraccionarios se amplía en cuarto grado con la introducción de las fracciones decimales. 82). capacidad. p. dinero). No se pretende que los alumnos utilicen las expresiones formales o las reglas para encontrar fracciones equivalentes. p. superficies. El primer tratamiento de estos números está en la lección "Adornos para el festival". Para que los niños comprendan el significado de las fracciones que se trabajan. "Más galletas y más niños". Por ejemplo. Es importante destacar que en todas las situaciones donde aparece la noción de equivalencia.
las descomposiciones aditivas de números representados con punto decimal. tiempo y medidas angulares. no sólo porque permite adquirir una noción más amplia acerca del concepto de unidad de medida. como se hace en algunos problemas de la lección "Animales que saltan".decimal en términos de número de unidades + décimos + centésimos. en "Particiones decimales". Es entonces recomendable que el maestro promueva el trabajo de medición con unidades arbitrarias. el uso de unidades arbitrarias de medida es también de suma importancia. Desde el punto de vista didáctico. Los números decimales también se pueden trabajar mediante actividades que impliquen el uso de dinero. con fracciones. página 118. Medición El trabajo que se desarrolla en este eje está relacionado con las unidades de medida de longitud. por ejemplo. página 134. Por ejemplo: 3.
. capacidad y longitud
En el caso de la medición de longitudes se han diseñado actividades en las que es necesario realizar mediciones usando unidades arbitrarias. en donde los alumno s deben investigar los precios reales de diferentes objetos. capacidad.75 es igual a 3 + 7/10 + 5/100 El uso de la recta numérica es un recurso gráfico de gran utilidad para trabajar la partición de las unidades en partes iguales. Por ejemplo. más 5 centésimos de metro o 3 metros más 75 centésimos de metro. sino porque permite apreciar mejor la utilidad de las medidas convencionales. las tiras de cartón que se utilizan en la lección "La paloma de la paz".75 metros como 3 metros 75 centímetros es necesario que comprendan que 3. se presentan situaciones en diversos contextos que se resuelven utilizando los números decimales. etcétera (véase. Se insiste también en que los alumnos representen. Asimismo. el maestro ha de considerar que las nociones relacionadas con la medida se desarrollan precisamente haciendo mediciones y reflexionando sobre el resultado de las mismas.75 significa 3 metros más 7 décimos de metro. 140). como antecedente al uso de las unidades convencionales. se pueden plantear problemas mediante actividades que involucren el uso de publicidad impresa. p. por ejemplo. antes de que los niños logren interpretar 3. superficie. peso. Para alcanzar los propósitos asociados a esta temática.
Peso. metros. litros.
por ejemplo: frascos de medicina. 5/3 o ¼ de kilogramo como unidades de medida. Tal actividad tiene sentido en situaciones en las que resulta difícil medir directamente. también permitirá a los alumnos aproximarse significativamente a la noción de peso. p. 110) y el uso de paquetes de 1 kilogramo. que se utilizan en diferentes lecciones del texto. por ejemplo. por ejemplo. de
. de perfume. de especias. utilizando la regla graduada en centímetros o el metro rígido. Otro aspecto importante de la medición que se debe desarrollar en este grado consiste en ordenar y comparar dos o más longitudes a partir del resultado de mediciones (véase. por ejemplo. cómo elaborarlos y muchos otros pueden adquirirse con facilidad. así como la comparación de esas medidas con las unidades de medida convencionales (por ejemplo. "Cuerdas resistentes". "Cuerdas resistentes" e "Hilaza para el contorno". es conveniente que el maestro presente a los niños distintos objetos pequeños. "Las golosinas". del "cuartillo" y la "maquila" en el estado de Guerrero). es conveniente que el niño tenga la información de que tal forma de expresión usada comúnmente está relacionada con el kilogramo. por ejemplo kilo. en el libro de texto. pp.así como unidades convencionales como el centímetro y el metro. Los niños podrán apreciar mejor el significado de estas unidades de medida si se hace referencia a su experiencia cotidiana: por ejemplo. especialmente aquellos en los que se utilicen submúltiplos del litro o gramos como unidades de medida. En estos casos un cordón es un instrumento útil para hacer mediciones (véase. En cuanto a las unidades de medida de capacidad y de peso. (véanse. 26 y 42). Otro elemento que enriquecerá de manera significativa el trabajo en este eje es el empleo de algunas unidades de medida usadas en las d iferentes regiones de nuestro país. A lo largo del grado se plantean situaciones en las que es necesario el uso del kilogramo y del litro. p. 26). 26). "Cuerdas resistentes". "un kilo de frijol" o "un litro de petróleo". el uso del "doble". por ejemplo. comprar "un kilo de tortillas". Otro tipo de actividad que se sugiere es el uso de un intermediario para realizar mediciones.
Algunos de los materiales necesarios para la construcción de estas unidades de medida aparecen en el material recortable o se sugiere. p. La construcción de una balanza (véase. Si bien en el uso diario de algunas magnitudes se emplea solamente el prefijo de algunos múltiplos de la unidad.
"Hilaza para el contorno". para posteriormente pasar a la medición de la superficie del triángulo mediante el conteo de cuadrados (véase. De esta manera contarán con un procedimiento general para obtener el área de figuras de lados rectos. p. Otro tipo de actividades que permite trabajar con esta noción es la elaboración de la línea del tiempo. En la lección "El circo". De esta manera los alumnos pueden formarse una idea acerca de la magnitud de las unidades pequeñas. 96 y 110). como el mililitro y el gramo (véase. La idea que se maneja en éste es que los ángulos se describen cuando se realizan giros. se parte de formar figuras con igual perímetro y diferente área (véase. es una de las nociones más difíciles de adquirir. a través de su descomposición en triángulos. De esta manera se relaciona este aspecto de la medición con otras asignaturas. 52 ). déc adas o siglos durante los cuales se desarrollaron determinados sucesos históricos (véase.
La noción de ángulo y su medida es un aspecto que por primera vez se introduce en el libro de texto de cuarto grado. en la que los alumnos ubiquen lustros. pp. por ejemplo. El calendario es otro recurso que el maestro puede utilizar para plantear situaciones en las que se mida el tiempo transcurrido entre un suceso y otro.cremas. "La ONU". según convenga.
Respecto a la medición de superficies. por ejemplo. p. p. la semana y el mes como unidades de medida. utilizando el día. y por último llegar a la deducción de la fórmula respectiva y su aplicación en el cálculo de áreas de cuadriláteros (véase. 154). se plantean algunos problemas en los que pueden reflexionar sobre el uso y la utilidad de estas unidades de medida y sobre los diferentes tipos de instrumentos de medición del tiempo que conocen.
El tiempo. La mayor parte de la secuencia de situaciones se desarrolla en el contexto de viajes a diferentes países. página 32. etcétera. Por ello es importante que durante el curso realicen diferentes actividades en las que se utilicen la hora y los minutos como unidades de medida. cuadrados y rectángulos. p. y no estarán obligados a depender de la memoria para recordar la fórmula para cada figura. 42). 178). por ejemplo. para los alumnos. "Alfombras de flores". por ejemplo.
. por ejemplo. "La mitad de un rectángulo". "Jarabe para la tos" y "Las golosinas".
de la misma lección. intentando plasmar sus tres dimensiones. En esta lección se propicia la reflexión en el sentido de que la medida de los ángulos es independiente de la longitud de los lados que lo forman. seguramente muchos niños pensarán que mide más el que tiene los lados más largos. "Casas de diferentes países".
y Un sólido puede representarse en el plano. Los ángulos se presentan en otras lecciones del texto como una de las características de las figuras. Geometría Tradicionalmente. En este nivel se utiliza la palabra grado más que su símbolo. recta y plano. misma que el maestro puede complementar propiciando que los niños distingan los áng ulos en algunos objetos que estén a la vista. En la lección "La vuelta al mundo". página 132. aparecen los ángulos de 1/12 de vuelta. es decir. Cada giro se describe entre una línea de salida y una de llegada.
. por ejemplo. la enseñanza de la geometría partía de las definiciones de punto. Investigaciones realizadas en torno del aprendizaje infantil han mostrado que el proceso es inverso. Posteriormente. es necesario partir de lo sólido para llegar a lo más abstracto: las líneas y los puntos. página 78. figuras y luego c uerpos. A partir de estos conceptos se definían rectas perpendiculares. en otras palabras. paralelas. los que miden 30° o un número múltiplo de 30. 74) y que establezcan la relación entre el dibujo en el plan o y el sólido en tres dimensiones. p. ante la pregunta: "¿Cuál de los si guientes ángulos mide más?". página 112. Esa es la idea de ángulo en su forma estática. en "El cazador". se inicia el trabajo con los ángulos y se sugiere el uso de material recortable que consiste en un círculo dividido en octavos. se pretende que los niños identifiquen qué figuras forman las caras de un sólido (véase. Es necesario que el maestro propicie la discusión sobre este aspecto y haga notar que los dos ángulos miden lo mismo porque ambos se generan con un giro de ¼ de vuelta.La medición se inicia considerando giros menores de una vuelta. y se ilustra la amplitud que tiene un ángulo de un grado.
Con el estudio que se hace en el libro de texto sobre los sólidos geométricos. aparece el grado como unidad de medida. Se pide a los niños que traten de reproducirlo en papel transparente o plástico para que lo puedan usar como instrumento para medir ángulos. ángulos. es decir: se abordan dos aspectos. En el punto 10. En "La vuelta al mundo en 360 grados".
por ejemplo. los lados adyacentes. para que los niños reproduzcan figuras. una figura o construir un sólido (véase. y que las utilicen como criterios para hacer descripciones y clasificaciones.
En las lecciones del libro se diferencian los sólidos que son poliedros de los que no lo son. Se propone que el maestro dé libertad a los niños para que busquen estrategias que les permitan reproducirlas. el número de caras.y A partir del plano puede construirse un sólido (con tres dimensiones). por ejemplo. las medias de las aristas. el tamaño de los lados y de los ángulos son características geométricas importantes en las que se basa la construcción y el análisis de figuras en este grado. La reproducción de figuras es una actividad motivante para los niños si se plantea adecuadamente. la perpendicularidad. El tipo de figuras que se reproducen podrá hacerse progresivamente más complejo a lo largo del curso. En dicha situación tener las figuras a la mano y observar sus características geométricas es fundamental para poder realizar la actividad. Únicamente se pretende que desarrollen la capacidad de análisis y de observación.
Un aspecto importante del eje "Geometría" es el que se refiere a las características de las figuras y su trazo. entre otras lecciones). descubrirán que para elaborar un sólido determinado pueden construir más de una plantilla. 54 y 120. y se solicita permanentemente la anticipación de formas y espacios. etcétera.
. Se pretende que los niños se apoyen en tales aspectos cuando se les pide la reproducción y el análisis de figuras. con lo cual se espera que los alumnos desarrollen su imaginación espacial e identifiquen relaciones para saber si con determinada plantilla se puede o no construir un poliedro. además de desarrollar destrezas en el trazo se estará promoviendo el análisis de las figuras y de sus propiedades geométricas. el dibujo. la simetría. Asimismo. a partir de un mensaje. así como para crear y construir formas diversas. De ahí derivan
lecciones como "Cubos y construcciones" y "Construimos poliedros". El paralelismo. páginas 146 y 182. los mensajes. Es importante destacar que en ningún caso se pretende que los niños hagan un análisis riguroso y exhaustivo de las figuras o de los sólidos. que encuentren similitudes y diferencias. etcétera. Se sugiere utilizar diversos recursos como el doblado de papel. Con ello. Una situación importante que se presenta en algunas lecciones de geometría consiste en reproducir. pp. "Dibujos y medidas" y "Forma y tamaño exactos".
En "Bordados y simetría". sin embargo. se propone el uso de papel cuadriculado para que los niños dibujen o completen figuras simétricas. ya que permiten al niño anticipar las formas que se obtendrán doblando de determinada manera un pedazo de papel. por ello el trabajo se inicia con la ubicación de puntos y descripción de trayectos en un pueblo sencillo. la simetría se inició con un tratamiento intuitivo. Posteriormente. p. mediante la simulación de formas reflejadas en el agua como si ésta fuera un gran espejo. Las actividades incluidas en las fichas y en el libro de texto tienen también como finalidad que los niños hagan sus propias representaciones del entorno inmediato y familiar. Otras actividades que el maestro puede sugerir con el mismo propósito son las de papiroflexia (doblado de papel). por ejemplo. están dirigidas a la interpretación y construcción de planos urbanos. en "Artesanías". Sin embargo. Mediante las actividades de papiroflexia se promueve el desarrollo de la imaginación espacial y la capacidad de construir hipótesis. donde las casas no han perdido sus características más evidentes (véase. en su mayoría. El trabajo en este aspecto se ha orientado básicamente a construir un sistema elemental (no formal) de ubicación de puntos en el plano. a la lectura y trazo de planos que tienen calles y avenidas. pero ya sin apoyo de la cuadrícula. se realizan actividades que permiten profundizar un poco más acerca de la simetría y algunas de sus características. cuando los
. En un primer momento se recomienda que los alumnos de cuarto grado utilicen este recurso para reproducir figuras simétricas. En un segundo momento se propone la elaboración de planos a partir de fotografías aéreas más complejas. es decir. Se espera que. 8). página 130. "Camino al mercado". Es por ello que las actividades.
El trabajo en el eje de "Geometría" incluye situaciones que inducen al niño a buscar diferentes maneras de ubicarse en su entorno y a experimentar formas de expresar y registrar tal ubicación. Con el apoyo de este recurso se hará más atractiva la clase de geometría y más accesibles algunos contenidos de este aspecto del programa. para el desarrollo de este tema el maestro también podrá sugerir juegos o dejar a los alumnos que exploren diversas posibilidades. o a través del dibujo de las figuras "reflejadas en el espejo". página 36. En todos los casos es necesario que se liguen las situaciones planteadas en el texto y en las fichas con el entorno de los niños. de esta manera. se aplica el reconocimiento y trazo de los ejes de simetría. la tarea de interpretar un plan o no es fácil para los niños. utilizando hojas cuadriculadas hasta que se sientan con la suficiente confianza para abandonarlas.En tercer grado.
página 38.4) en lugar de decir "dos calles a la derecha y 4 calles hacia arriba". que podríamos llamar "lectura comprensiva del plano". La elaboración de tablas y el análisis de la información propicia que los alumnos descubran las relaciones de dobles. se plantean varios problemas que implican la relación proporcional entre los kilogramos de frutas y verduras que se venden. ¿cuántos años tiene Pedro?". el alumno calculará el doble de los $12 que corresponden a 4 kg. no son tan evidentes (véase la página 49 de este libro). Para completar cuánto cuestan 8 kg de jitomate. en la lección "El mercado". donde las relaciones de dobles. En ocasiones las relaciones de dobles. En el caso de los jitomates se sabe que 1 kg cuesta $3 y a partir de este dato puede calcularse. se inicia la tarea específica de ubicar puntos tomando como referencia los ejes de coordenadas que se representan con dos calles principales. página 10. Una vez realizado este trabajo. triples y mitades entre los datos de un problema. triples. el precio para 5 kg. y a partir de este dato calcular los que faltan. Con este tipo de problemas. por ejemplo. etcétera. etcétera. El propósito fundamental del curso es llegar a manejar un lenguaje simplificado como (2. al análisis de situaciones que implican variación proporcional directa. es decir. triples. como se puede observar en las últimas tablas de la lección "El
. las líneas que representan las calles tengan significado para ellos. además de profundizar en el significado de la multiplicación.niños se enfrenten a un plano como el que aparece en "Las calles de la ciudad". y el dinero que se obtiene en cada caso. El uso de este lenguaje implica un proceso en el que se usen expresiones que los niños construyan. Para completar en la misma lección la tabla del precio de la sandía es necesario averiguar cuanto cuesta 1 kg (valor unitario). como son las relaciones entre los datos. tendrá que concluir que el doble de 4 kg es 8 kg y el doble de $12 es $24. Procesos de cambio Las actividades correspondientes al eje "Procesos de cambio" introducen a los alumnos de cuarto grado. El maestro podrá reforzar estas ideas planteando problemas que impliquen una comparación multiplicativa. por ejemplo. Por ejemplo: "Si Juanito tiene 10 años y Pedro tiene el doble. El propósito es que el maestro ayude a los alumnos a desarrollar procedimientos intuitivos de proporcionalidad. no alcanzan para completar dichas tablas y es necesario recurrir al valor unitario.
se pretende que el alumno comprenda que es necesario duplicar la cantidad de cada uno de los ingredientes. a través del análisis de diferentes tablas de variación proporcional para que los alumnos puedan ver la manera en que una cantidad varía en función de la otra. por tanto se propone que los alumnos completen tablas a partir de las nociones intuitivas que tienen sobre la proporcionalidad. Tratamiento de la información El objetivo de los contenidos incluidos en este eje es. y si disminuye a la mitad el perímetro disminuirá en la misma proporción. como su nombre lo indica. Si se aumenta al doble la medida de sus lados el perímetro aumenta también al doble. Cabe destacar que la noción de variación proporcional directa es compleja.
Es importante que además de presentar a los alumnos situaciones numéricas de variación. Los valores de los pictogramas pueden modificarse dependiendo de las cantidades que se manejen y. 70 y 128). En "Hacemos recetas". dado que la receta esta hecha para seis. se prepara al alumno para identificar relaciones proporcionales sin hacerlo explicito. si se quiere preparar gelatina para doce personas. además.mercado". página 122. favorecen que el alumno empiece a trabajar en este tema.
. "Naciones poco pobladas" y "El censo de población". por supuesto sin llegar a mecanizar reglas ni a repetir definiciones. 5 000 o 10 000 para representar números grandes (véanse. Otras actividades. como analizar recetas de diferentes comidas para distinta cantidad de comensales. se les planteen situaciones de geometría. El objetivo es que los niños se aproximen a la noción de proporcionalidad directa en términos cualitativos. dicho valor puede ser modificado. se debe enfatizar la lectura de gráficas de barras e introducir pictogramas a los que se les asignan valores de 1 000. Es conveniente resaltar dos aspectos de este eje. el perímetro de un cuadrado está en función de la medida de sus lados. por ejemplo. el registro y el análisis de datos:
y En cuanto a los contenidos referidos a la elaboración e interpretación de registros. analizar y utilizar información numérica en distintos contextos. desarrollar la capacidad de los alumnos para obtener. página 10. Éste es un caso de variación proporcional directa. pp. Por ejemplo.
El tratamiento didáctico que se le ha dado es meramente intuitivo y mediante situaciones de juego (véase. los animales. la reflexión sobre los datos que son útiles para resolver un problema. seleccionar y analizar la información que se proporciona en una ilustración o en un documento y hacer preguntas con las que pueda obtener más información o información más relevante.y Para el estudio de los contenidos referidos al análisis de la información se debe promover. Además de las situaciones sugeridas en el libro de texto y en las fichas de actividades didácticas. deben analizar la información contenida en el cuadro para contestar las preguntas. durante el año escolar. Un ejemplo de esta actividad es la lección "¿Se puede responder?". página 90. por ejemplo. Esta información puede ser oral. página 20. entre otros. escrita o presentarse en ilustraciones o imágenes. Los fenómenos meteorológicos pueden ser otra fuente de situaciones interesantes para los alumnos.
La predicción y el azar El estudio de este eje se inicia en tercer grado. Lo primero que debe hacer el niño para resolver un problema es organizar y analizar la información que se le presenta. Dicha tarea podría apoyarse en actividades como las que se describen a continuación. a partir de la información contenida en un texto. Para su resolución los niños deben. en "Estadios y números". y Identificación de preguntas que pueden o no responderse. por
. "¿Se puede responder? ". con ello promoverá a la vez la capacidad de reflexión y de resolución de problemas. libro de texto. los juegos o las materias escolares que les gustan. por ejemplo. 20). el maestro puede aprovechar otras situaciones escolares que sean de interés para los niños. las ventas de la cooperativa o la organización de algún acto cívico. p. como el registro diario de la puntualidad. El maestro deberá aprovechar todos los temas del programa par a trabajar el tratamiento de la información como un aspecto colateral del contenido. Esto quiere decir que ayudar a los niños a obtener y analizar información es una tarea fundamental para contribuir al mejoramiento de su capacidad para plantear y resolver problemas. en la mayoría de los casos. Las lecciones del libro de texto favorecen el análisis de la información durante el curso.
obtener de ilustraciones y documentos.
El tratamiento didáctico en este eje debe iniciarse con situaciones cercanas a los intereses de los niños de este nivel. los que no lo son y los que faltan (véase. Por ejemplo. el aseo.
por ejemplo. entre ellos. 76 y 114). En éstos siempre hay una estrategia para ganar. Sin embargo. y a anticipar lo que creen que sucederá. hay que promover gradualmente su significado correcto. sobre todo en este nivel. 22). distinguir los que son de azar. del libro Juega y Aprende matemáticas. en algunos casos. al lanzar una moneda al aire no se sabe con certeza sobre qué cara caerá (véase. Esto sin precisar que. precisamente. Por ejemplo. al analizar la posibilidad de sacar de una caja una ca nica de algún color determinado (véase la página 50 de este libro). pp. El registro de las diferentes posibilidades en un juego de azar y la comparación de los registros y respuestas entre los compañeros es importante para que el alumno intuya la posibilidad de predecir o instrumentar alguna estrategia para ganar el juego (véanse. cuando éstas sean difíciles. dada la dificultad para establecer afirmaciones rigurosas respecto al concepto de azar. Se pretende introducir a los niños en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y en otras en las cuales no es posible saberlo. página 57. mientras que en otros no es posible obtener la información porque se está.
.ejemplo. En este grado se empieza a manejar a través de las actividades de "Canicas de colores". en situaciones de azar. Una tarea puede consistir. el no saber puede deberse a la falta de información. "Los colores del dado" y "Canicas de colores". Es recomendable también que el maestro utilice los juegos practicados en su región o localidad para el trabajo sobre la predicción y el azar. "Águila o sol". precisamente. Se sugiere al maestro permitir una amplia flexibilidad en lo que se refiere a las caracterizaciones que hagan los niños de los juegos. En un primer momento los niños pueden asociar el término azar a la palabra suerte que ellos manejan. p. como en el ajedrez o como en el juego "Carrera a veinte". p. También deben aprender que existe una gran variedad de juegos en los que el azar no interviene. página 114. 22). "Águila o Sol". en indagar cuales son los juegos propios de lugar y. Es conveniente que durante el desarrollo de estas actividades el maestro ayude a los niños a entender las reglas de los distintos juegos. por ejemplo. la noción de mayor o menor probabilidad de que ocurra un evento.
sin olvidar que deben tener la capacidad para relacionar y "escoger" la operación u operaciones adecuadas para resolver el problema. desde este punto de vista. sino fundamentalmente en su uso práctico y en la decisión del niño para seleccionar la unidad adecuada para cada contexto. y Las destrezas y habilidades que muestran los niños en el manejo de los instrumentos geométricos. peso y tiempo). En el caso de las matemáticas. el maestro debe tener presente que los conceptos se construyen paulatinamente.Recomendaciones de evaluación
La evaluación es uno de los aspectos de mayor complejidad en la enseñanza.
aproximada a determinadas situaciones son también habilidades que deben considerarse y valorarse mediante la observación. Muchas veces la evaluación no se considera como parte del proceso de aprendizaje. las dificultades que enfrentan y las actividades que conviene que realicen para superarlas. pues no consiste solamente en otorgar una calificación a los alumnos. a partir del desempeño del alumno en las diferentes actividades de aprendizaje. y Respecto a la medición. por sencillos que éstos sean. son indicadores del grado de comprensión que tienen sobre diferentes conceptos o procedimientos matemáticos asociados a ellos. superficie. no sólo en la resolución de problemas escritos. así como plantear preguntas y problemas relacionados con dicha información. es conveniente que el maestro observe el desarrollo paulatino de la habilidad de sus alumnos para utilizar los instrumentos y las unidades de medida convencionales (de longitud. no corresponde a una sesión específica o a un examen cada mes. la revisión de los trabajos y la participación individual y en grupo. sino como el momento en el que se miden conocimientos terminales a partir de la calificación de un examen.
Por esta razón. los errores que cometen los niños son muestra del grado de comprensión que han alcanzado de un concepto. sino que son una fuente muy importante para que los niños busquen nuevos procedimientos para resolver problemas y para que el maestro sepa cómo piensan sus alumnos. así como su habilidad para realizar los trazos.
y También es importante considerar si los alumnos logran analizar la información contenida en diferentes documentos e ilustraciones. medidas angulares. el maestro deberá valorar el avance de los alumnos al observar la forma en que manejan los instrumentos geométricos. sino en la apreciación permanente de su aprendizaje. los errores no constituyen un elemento para etiquetar a los que saben y a los que no saben. Generalmente. por lo que su adquisición deberá ser valorada a lo largo de todo el año escolar. La evaluación. En este sentido.
buscar regularidades. de sus propias construcciones. de igual forma el pensar de porque hay que colocar el 5 en lugar de la ³X´ lleva al niño a pensar . La niña y el niño adquieren y desarrollan competencias matemáticas a través de un proceso en espiral en el que van ampliando el nivel de elaboración y profundización de sus saberes. medio o contexto en el cual se da la experiencia. y el pensar es la base de toda filosofía. lo cual les permite aplicar sus conocimientos a nuevas construcciones mentales y encontrar sentido a lo que aprenden.N.Usamos diferentes estrategias para resolver ecuaciones 2... El maestro pacientemente deberá comprender el valor que tienen las exploraciones que hacen los alumnos y alumnas y promoverlas. de rectificar sus realizaciones cuando convenga. familiarizarse con ellos. dándoles cada vez mayor complejidad e introduciendo nuevos conocimientos de acuerdo a sus progresos y ritmos de aprendizaje.. alumno.E.. Por eso el niño y la niña en esta etapa de su escolaridad necesitan manipular objetos concretos. Las experiencias físicas conducen a la abstracción del objeto mismo y las experiencias lógico matemáticas conducen a la abstracción a partir de las acciones operaciones realizadas sobre el objeto. Las orientaciones metodológicas que enmarcan la acción pedagógica en esta etapa de la escolaridad se dirigen al logro de las competencias básicas que deben alcanzar las niñasy los niños al terminar el Cuarto Grado de Primaria. Enrique Guzmán y valle´)
.así encuentran su trabajo fácil.Reconocemos las ecuaciones como una igualdad de número naturales 2.problemas que se le presentan en la vida cotidiana.3. esencial en el acto de aprender. Donde la incógnita ³x´ es el numero 5. para lo cual es necesario tener en cuenta lo siguiente: El edificio de las matemáticas reposa sobre estructuras de la inteligencia: es necesario basar la didáctica matemática en la organización progresiva de estas estructuras operatorias. Entre los contenidos que se desarrollan en el informe ³Aprendamos a resolver ecuaciones´ tenemos 1.. sintetizar o transmitir el saber : conocer m.EPISTEMOLÓGICA En toda experiencia educativa interactúan en el proceso varios elementos en forma dinámica: docente.. La organización del Currículo por Grados permite a los educandos disponer de más tiempo para lograr las experiencias necesarias y construir las competencias esperadas.2.Identificamos los elementos y miembros de una ecuación 3. Nada hay mas racional que en la expresión 4 + x = 9.. interesante y espontáneo además el tiempo utilizado es importante para crear un clima de confianza. de este modo comprenderán mejor los conocimientos que vayan estructurando y tendrán ocasión de organizar su experiencia perceptiva y activa. 2. Las ecuaciones con sus componentes nos idealizan que en el mundo real todo tiene un orden y una consecuente realidad. La adquisición y desarrollo de las competencias matemáticas dependerá en gran medida de lo que el niño y la niña hagan.. En el niño y la niña todo conocimiento supone una participación de la experiencia para constituirse.Resolvemos ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales 4. currículo. de engendrar nuevas situaciones.Metodología La Metodología es la ciencia que se encarga del método utilizando para descubrir . hacer. Las operaciones se originan en las acciones que se interiorizan coordinándose en estructuras.2. establecer relaciones...FUNDAMENTACION METODOLOGICA 2. ser y convivir (ECITEC) ³Metodología y tecnología educativa´ U. Las competencias (capacidades y actitudes) y las orientaciones metodológicas constituyen también elementos interactuantes que deben considerarse en conjunto.1.
desde el etimológico que lo considera como el camino mas corto para llegar a una meta. a partir de un enlace de juicios.. La conclusión es sacada del estudio de todos los elementos que form el an objeto de investigación. -Mendoza Bermejo. los de la educación con un nuevo esfuerzo y un máximo de rendimiento (Incder Nerice. relacionándolos con sus conocimientos previos. Rousselot dice que el método es el camino mas corto para descubrir la verdad para comunicarla cuando ha sido descubierta.2.2.1. investigación de leyes científicas.. La matemática es la ciencia deductiva por excelencia. es decir. y en consecuencia . receptor y memorista.CLASES DE MÉTODO El método en cuanto a su origen científico : MÉTODO LÓGICO DEDUCTIVO Mediante ella se aplican los principios descubiertos a casos particulares. 1999) Existen varias clases de métodos . Una ley o principio puede reducirse a otra más general que la incluya. se eleva a conocimientos generales. José Maria . ³ La Ciencia y su Método´. Si sabemos que la formula d la e velocidad es v=e/t.METODOLOGÍA TRADICIONAL O CONDUCTISTA El profesor es el centro de todo el sistema de enseñanza y el alumno es solamente un ser pasivo. cuando sabemos que el conocimiento generalizado pertenece a cada uno de los elementos del objeto de inve stigación. a partir de los conocidos. podremos calcular la velocidad de un avión. un guía para descubrir los nuevos aprendizajes. La inducción puede ser completa o incompleta. parte de axiomas y definiciones MÉTODO LÓGICO INDUCTIVO Es el razonamiento que. y las demostraciones.2. es decir que solo es posible si conocemos con exactitud el numero de elementos que forman el objeto de estudio y además. Este método permite la formación de hipótesis. de enseñar o aprender algo(. pero nosotros vamos a verlos desde la óptica del alumno y la relación del docente alumno: 2.También sirve para descubrir consecuencias desconocidas.1980) CLASES DE METODOLOGÍA 1. Si un cuerpo cae decimos que pesa porque es un caso particular de la gravitación .. Dewey lo define como la dirección eficaz del material hacia los resultados deseados. 2002) La metodología de la enseñanza es el conjunto de procedimientos didácticos implicado en los métodos y técnicas de enseñanza que tiene por objeto llevar a un buen término de acción didáctica..MÉTODO Hay unas variedades de definiciones acerca el método. partiendo de casos particulares. 2.. solo que en ellas se toman muestras que poco a poco se van articulando hasta lograr el estudio por inducción completa. 2.METODOLOGÍA MODERNA ACTIVA Y CONSTRUCTIVISTA El alumno es el centro del aprendizaje . El papel de la deducción en la investigación es doble: Primero consiste en encontrar principios desconocidos. alcanzar los objetivos de la enseñanza . Inducción completa.2. en particular. Las llamadas demostraciones complejas son formas de razonamiento inductivo. siendo el profesor un facilitador . El método lo definimos como lo hace ( Luria 1998) la Manera ordenada de hacer cierta cosa. Inducción incompleta: Los elementos del objeto de investigación no pueden ser numerados y
. de principios conocidos.Es una forma simple de decirla así : la disciplina que estudia aspectos teóricos y objetivos (Suárez Froilan.
mas fácilmente demostrable (las HP complejas. La HP debe tener matices predictivos.Método Individual: Es el destinado a la educación de un solo alumno. el más aconsejable pues da oportunidad para una acción socializadora y. .Método Mixto de Trabajo: Es mixto cuando planea.estudiados en su totalidad. cuando procurando conciliar principalmente las diferencias individuales el trabajo escolar es adecuado al alumno por medio de tareas diferenciadas. generalmente son reformulables a dos o más HP simples). obligando al sujeto de investigación a recurrir a tomar una muestra representativa. la conclusión en su totalidad a partir de unas premisas. de manera que se garantiza la veracidad de las conclusiones. o sea ser reproducible. el método inductivo crea leyes a partir de la observación de los hechos. Anotación de lo observable. Diferencia entre método inductivo y deductivo La diferencia fundamental entre el método deductivo y el inductivo es que el primero aspira a demostrar. si es posible. . la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez. Puede ser llamado también Método de Enseñanza Socializada. Por el contrario. la hipótesis. quedando el profesor con mayor libertad para orientarlo en sus dificultades. a otra de tipo individualizador. a nuestro entender. Para buscar la relación causa ± efecto se utiliza la analogía y el método inductivo.Hipótesis: se desarrolla en esta etapa.Método de Trabajo Colectivo: Es el que se apoya principalmente. Cuanto más simple sea. el método inductivo necesita una condición adicional. su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto. al mismo tiempo. Los métodos en cuanto a la relación entre el profesor y el alumno. La HP debe estar de acuerdo con lo que se pretende explicar (atingencia) y no se debe contraponer a otras HP generales ya aceptadas. mediante la generalización del comportamiento observado. . Está compuesta por enunciados teóricos probables. al mismo tiempo. La HP debe poder ser comprobable experimentalmente por otros investigadores. por eso. Es recomendable en alumnos que por algún motivo se hayan atrasado en sus clases. posterior ordenamiento. . mediante la lógica pura. lo que realiza es una especie de generalización. . si no se invalida la lógica aplicada. tabulación y selección de los datos obtenidos. en su desarrollo actividades socializadas e individuales. que permita hacer generalizaciones. con autentica veracidad. Se trata del modelo axiomático propuesto por Aristóteles como el método ideal.
.Observación: el primer paso es la observación de una parte limitada del universo o población que constituye la muestra. sobre la enseñanza en grupo. en realidad.Método de Trabajo Individual: Se le denomina de este modo. Estas conclusiones podrían ser falsas y. Proceso del método inductivo deductivo . supone soluciones probables al problema de estudio Los métodos en cuanto al trabajo del alumno . el planteamiento de las hipótesis que expliquen los hechos ocurridos (observados). En el campo de la investigación. sin que por medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones. referentes a variables o relaciones entre ellas. estudio dirigido o contratos de estudio.efecto entre los hechos. De la reunión de esfuerzos de los alumnos y de la colaboración entre ellos resulta el trabajo total. Un plan de estudio es repartido entre los componentes del grupo contribuyendo cada uno con una parcela de responsabilidad del todo. Este paso intenta explicar la relación causa . .Experimentación: la hipótesis debe ser comprobada en estudios controlados.Hipótesis en Investigación: Hipótesis significa literalmente ³lo que se supone´. para quedarse con los más representativos. Es.
la instrucción programada y las lluvias de ideas en el aprendizaje y la enseñanza de las ecuaciones. gracias a la retroalimentación constante de respuestas correctas TÉCNICAS A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE Nosotros usaremos las técnicas de la exposición.ESTRATEGIAS
.( Didáctica general. son los vehículos de realización ordenada. 2. y consiste en proporcionar información al grupo.. acerca de un tema específico con un método y una estructura en la que se mezclan la comunicación formal y las expresiones espontáneas de los participantes. pueden ser elaborados los conocimientos adquiridos. DISCUSIÓN DIRIGIDA Consiste en un intercambio de ideas y opiniones entre los integrantes de un grupo relativamente pequeño. Los métodos y técnicas tienen por objeto hacer más eficiente la dirección del aprendizaje. cuyo propósito es destacar los principales elementos de un tema o aspecto del programa.· Método Recíproco: Se llama así al método en virtud del cual el profesor encamina a sus alumnos para que enseñen a sus condiscípulos. conviene aclarar que la dinámica grupal existe en todo momento como consecuencia del comportamiento de las personas y de su interacción en el grupo. cuya mecánica es semejante. MÉTODO A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE En nuestra clase aplicaremos el método individual y grupal de manera que los alumnos interioricen primero el concepto de ecuación y luego en grupo. Como variante de esta práctica se puede usar el debate. 1999) Destacan las principales técnicas : EXPOSICIÓN Es una técnica explosiva centrada en el instructor. Gracias a ellos. metódica y adecuada de la misma. para representar un problema real o hipotético con el objeto de que pueda ser comprendido y analizado por el grupo.3. puedan dialogar ye intercambiar opiniones para su resolución 2. al tiempo que se limita la participación de éste. JUEGO DE PAPELES En esta técnica algunos participantes asumen un papel diferente al de su propia identidad. las habilidades e incorporados con menor esfuerzo los ideales y actitudes que la escuela pretende proporcionar a sus alumno. LECTURA COMENTADA Consiste en dejar a los participantes leer un documento y que lo comenten con la dirección del instructor. Es importante destacar que hay una gran confusión entre la experiencia estructurada y las llamadas "Dinámicas de grupo". con independencia de la técnica que se emplee.2. UNMSM . la experiencia estructurada. EXPERIENCIA ESTRUCTURADA Es una técnica en la cual los participantes realizan una serie de actividades previamente diseñadas.Luis Marcel. LA TÉCNICA La TÉCNICA la definimos como los recursos necesarios de la enseñanza. INSTRUCCIÓN PROGRAMADA Es una técnica individualizada por medio de materiales que permiten que el participante dirija su aprendizaje a su propio ritmo. opiniones y soluciones obre algún tema. LLUVIA DE IDEAS Es una técnica que permite la libre expresión de las ideas de los participantes sin las restricciones o limitaciones con el propósito de producir el mayor número de datos.2.4.
siguiendo a la acepción que da la Real Academia Española : el Arte de dirigir un asunto para lograr el objeto deseado.( ³ La Didáctica educativa´ Marcus José México DF.MEDIOS Y MATERIALES Los MEDIOS Y MATERIALES los definimos como Medios auxiliares que usa el docente para lograr motivar e interesar a los alumnos a adquirir y similar nuevos contenidos dentro de una materia o asignatura escolar. exposición de trabajos .planificamos una entrevista (PLANCAD. de allí que en matemáticas creemos que podemos emplear las estrategias de dirigidas a obtener o movilizar información . 1999) se produce mediante relaciones significativas entre los conceptos en forma de proposiciones. el control del proceso y la valoración de lo que se hace. Este puede servir como punto de partida de cualquier concepción de concepto que la persona pueda tener concerniente a la estructura del conocimiento.( RAE. en la parte inferior. Hay que tener en cuenta que algunos conceptos son abarcados bajo otros conceptos más amplios. gráficos . dirigidas a elaborar o transformar información y las dirigidas a comunicar información (. Joseph. Los mapas conceptuales le permiten a los profesores y alumnos intercambiar sus puntos de vista sobre la validez de un vínculo preposicional determinado para finalmente proporcionar un resumen esquemático de todo lo que se ha aprendido. es decir. histogramas que tienen como propósito despertar el interés y mantener la atención de los alumnos sobre un determinado aprendizaje ESTRATEGIA A EMPLEAR EN LA SESION DE APRENDIZAJE En la sesión de aprendizaje emplearemos la estrategia de grupo. la reflexión. Taylor. ORGANIZADOR PREVIO Es un material elaborado por el docente en forma de texto o de diagramas que contiene ideas y conceptos generales sobre el tema que van a aprender. Además los conceptos se sitúan en una elipse o recuadro. los conceptos más generales deben situarse en la parte superior del mapa. exponen sus trabajos y los mejoran con el aporte de toda la clase . es decir. ILUSTRACIONES Son las fotografías . intercambian trabajos para corregir errores. más inclusivos. Utilizamos estrategias cuando solucionamos . de allí que definimos ESTRATEGIA . 2001) Nosotros consideramos que las estrategias se confunden con las técnicas. estas a su vez constan de dos o más términos conceptuales unidos por palabras enlaces que sirven para formar una unidad semántica. 2000)
. desarrollan ejercicios y problemas de ecuaciones . que se escriben en minúscula junto a las líneas de unión. ubican los trabajos en el área de lógico matemática del cuarto grado de educación primaria. por lo tanto deben ser jerárquicos. sirve para descubrir los preconceptos del alumno y cuando se llegue al final del proceso servirá para clarificar relaciones entre nuevos y antiguos conocimientos ANALOGÍAS Consiste en analizar comparaciones entre la información nueva y la información ya conocida. 2001) Actualmente las estrategias los mapas conceptuales: Los mapas conceptuales permiten organizar de una manera coherente a los conceptos.5. 2000: 43) Las enunciamos como un proceso consciente e intencionado que favorece el análisis . 2. comprendemos un texto . su estructura organizaciones (Novack. dibujos. Diccionario de la Reala Academia de Lengua Española. ³ Estrategias y técnicas de Enseñanza. Los mapas conceptuales son herramientas útiles para ayudar a los estudiantes a aprender acerca de la estructura del conocimiento y los procesos de construcción de pensamiento. esculturas . los conceptos relacionados se unen por líneas y el sentido de la relación se aclara con las palabras enlaces.Todo método tiene una estrategia. y los conceptos menos inclusivos.2..
materiales de arte plástica con diapositivas .No estructurados : Aquellos no elaboraos con propósitos definidos. folletos . tabla de multiplicar. Ejemplo : regletas de colores. retazos de lana. método que en general le pude resultar más fácil a la hora de plantear el problema. manuales . regla. . cordones. maquetas armables. juegos de encaje .Materiales multimediales : Programa de computadora con materiales impresos . etc.Discusión e interpretación de los resultados Ante resultados no satisfactorios. donde ordena los niveles de concreción y abstracción de los métodos de enseñanza y los materiales instructivos en el sentido de abstracción creciente. cuaderno de apuntes. conchas . Dale opinaba que las ideas pueden ser más fácilmente entendidas y retenidas si se construyen a partir de la experiencia concreta. programas de radio . consustancial a la enseñanza y al aprendizaje orientado a identificar las necesidades de aprendizaje y valorar el valor del logro alcanzado por los niños y
. con infinitas soluciones y con solución única).6. laminas . grabaciones de audio . fichas de aplicación. al desarrollo de habilidades y destrezas y a la formación de actitudes y valores. etc. que el alumno no llegue a la solución o bien ésta no cuadre. se podría plantear una serie de interrogantes mediante el dialogo. etiquetas . envases. y su interpretación en el problema planteado. cuentas. bloques lógicos. Ejemplo : Chapas. pero no a la de resolverlo. papelotes. De particular importancia para nuestro objetivo es la clasificación de medios y materiales que establece Edgard Dale en su famoso Cono de la experiencia (1966). . tiza. Aún cuando algunos de los problema que proponemos pueden resolverse utilizandosistemas de ecuaciones. rompecabezas. MATERIALES EDUCATIVOS Son todos los medios y recursos que facilitan el proceso de enseñanza y la construcción de los aprendizajes porque estimulan la función de los sentidos y activa las experiencias y aprendizaje previos para acceder más fácilmente a la información . cuadernos de apuntes. su fin es le logro de los objetivos educacionales. aunque por vicio adquirido tienda a introducir varias.Resolver la ecuación .Estructurado : Son aquellos elaboraos para que sirvan de soporte en las actividades de aprendizajes.Materiales audiovisuales : Videos . .2. plumones. periódicos. Un esquema posible a seguir es el siguiente: . cuartillas. MEDIOS Y MATERIALES A USAR EN LA SESIÓN DE CLASE En nuestro caso aplicaremos los símbolos orales.LA EVALUACION · Es un proceso interactivo .Leer y comprender el enunciado . En las actividades se proponen ejercicios que dan lugar a la discusión de la ecuación de primer grado. sonidos grabados y uso de textos de autoaprendizaje. es aconsejable que el alumno siga ciertas pautas. películas .Plantear la ecuación . lapiceros. Según su intencionalidad : . semillas . con ejemplos concretos de cada caso posible (problema sin solución. A la hora de resolver un problema algebraico. y visuales: pizarra. CLASES DE MEDIOS Y MATERIAL ES Según los medios de comunicación que emplea : . pues generalmente desconoce el estudio de la compatibilidad de sistemas. fichas informativas . es decir. palitos. Generalmente se recolectan del entorno.Los Medios. etc.Designar la incógnita . equipos de laboratorio con textos de aprendizajes . intentaremos que el alumno los resuelva utilizando una sola incógnita. diapositivas . programas de computadoras. instrumentos musicales. hojas.Materiales impresos : Textos. 2.
(PLANCAD. otros miembros de la institución educativa y los padres de familia. La información resultante deberá ser contrastada con la evaluación de inicio y de proceso para identificare el nivel de logros. EVALUACIÓN DE PROCESO O DE SEGUIMIENTO Consiste en la valoración del aprendizaje del niño o niña y de la enseñanza del profesor mediante el recojo sistemático de datos análisis de los mismos y de la toma oportuna . considerados en la unidad didáctica que se esta autoevaluando. obstáculos y necesidades que se van presentando durante el desarrollo de una unidad didáctica. intereses y aprendizajes previos. TIPOS DE EVALUACION Existen tres tipos básicos de evaluación : . con el propósito de tomar decisiones que lleven a la mejora de la práctica educativa.la Heteroevaluacion es la que realizan los agentes externos del proceso de aprendizaje.Cuando se inicia un proceso de aprendizaje concreto. si llegara por primera vez es necesaria una amplia recogida de datos (personales. la evaluación puede ser inicial. igualmente se puede percibir las actitudes manifiestas hacia las mismas. Esta evaluación permite detectar las idea previas que l alumno posee en relación con las capacidades a desarrollar.Cuando un alumno llega por primera vez a una institución educativa ya sea para iniciar su escolaridad o para continuarla . esfuerzos y meritos en relación a sus indicadores de logros previstos. Pone de manifiesto los distintos ritmos de avances de los alumnos y permite hacer reajustes necesarios a la programación y a las estrategias empleadas por el docente.La auto evaluación Cuando cada alumno hace una reflexión y Apreciación critica de sus aprendizajes. En este sentido . CLASES DE EVALUACIÓN EVALUACIÓN INICIAL Le evaluación inicial posibilita recoger datos para precisar el nivel de expectativas . . si los materiales han sido los más adecuados y si en consecuencia las medidas adoptadas han sido eficaces. . servirá para conocer a esa niña o niños y poder adecuar desde el primer momento la actuación del profesor y del centro a sus peculiaridades. para reconocer y precisar sus avances. Esta evaluación tiene un carácter diagnostico . EVALUACION QUE SE APLICARA EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE
. por ejemplo. como el propio docente. logros.niñas en el desarrollo de competencias. Esta evaluación no admite los resultados sin más.La coevaluacion es la apreciación de los desempeños que se hace entre pares ( niña -niño) cuya finalidad es la de retroalimentarse mutuamente. al inicio de una unidad didáctica. . teniendo como referencia los indicadores de logro. de proceso o seguimiento y de confirmación o sustantiva. entendiéndose como la que proporciona el docente al alumno para atender oportunamente las dificultades . EVALUACIÓN DE CONFIRMACIÓN O SUMATIVA Es la valoración que busca confirmar los resultados y las tendencias que se han venido registrando durante la evaluación de seguimiento. pone en cuestión el proceso y trata de indagar si las competencias han sido desarrolladas. lo acompañan como parte constitutiva de el. familiares y sociales). mientras tiene lugar el propio proceso. Esta evaluación debe hacerse en relación al año académico .2001) · La evaluación es integral y continua en todo proceso educativo para proporcionar al maestro la información que le permita mediar y apoyar de cerca los aprendizajes de los niños y niñas. . un trimestre o al inicio de una unidad didáctica. La información obtenida durante esta evaluación permite al profesor una ayuda ajustada .
A mi consideración el método mas completo es el método Inductivo-Deductivo ya que en él se plantea una hipótesis que se puede analizar deductiva o inductivamente y posteriormente comprobar experimentalmente. existen varios métodos.. pues muchos de ellos se complementan y relacionan entre si. Los métodos de enseñanza descansan sobre las teorías del proceso de aprendizaje y una de las grandes tareas de la pedagogía moderna a sido estudiar de manera expermental la i eficacia de dichos métodos. o complementarla con la práctica. todo lo cual constituyen en definitiva premisas y requisitos para el logro los objetivos propuestos. Es difícil escoger un método como el ideal y único camino para realizar una investigación. pero que brinda grandes ventajas para los actuales procesos de enseñanza± aprendizaje 4. uno es los medios audiovisuales que normalmente son más accesibles de obtener económicamente y con los que se pretende suprimir las clásicas salas de clase. el mismo se debe organizar y desarrollar de manera tal que resulte como lo que debe ser: un elemento facilitador de la apropiación del conocimiento de la realidad objetiva que. INSTRUMENTOS DE EVALUACION Entre los instrumentos mas usados tenemos : · Practica calificada · Prueba Oral · Prueba escrita · Ficha de auto evaluación · Ficha de coevaluacion 2. determinados conocimientos.2. 3. por medios diversos.
. en su interacción con un sustrato material neuronal. aspectos intelectivos y motores para que el referido reflejo se materialice y concrete. Este concepto es más restringido que el de educación. La adquisición de una metodología basada en el cuestionamiento científico. pero que económicamente por su infraestructura. asentado en el subsistema nervioso central del individuo. ya que ésta tiene por objeto la formación integral de la persona humana. La enseñanza. al mismo tiempo que intenta su formulación teórica. en el reconocimiento de las propias limitaciones. no es tan fácil de adquirir en nuestro medio. 5. por la relación asociada que existe entre la respuesta y el estímulo que la provoca. es la utilización de los multimedios. ya que prepara y favorece una actitud crítica. por ello la teoría se relaciona posteriormente con la realidad. En este campo sobresale la teoría psicológica : la base fundamental de todo proceso de enseñanza aprendizaje se halla representada por un reflejo condicionado. Otra forma. mientras que la enseñanza se limita a transmitir. un tanto más moderno. hará posible en el menor tiempo y con el mayor grado de eficiencia y eficacia alcanzable. es decir que se busca que la parte teórica no pierda su sentido. es decir. 2.8. respecto al primer componente. 6. La tendencia actual de la enseñanza se dirige hacia la disminución de la teoría.En nuestro caso estamos aplicando la Heteroevaluacion y Auto evaluación a través de una ficha de observación.TIEMPO El tiempo que se utilizara para el desarrollo de la sesión de aprendizaje será de ciento ochenta minutos ( 180¨) 1. En este campo. el establecimiento de los necesarios engranajes sensoriales. Como notamos una de las características de este método es que incluye otros métodos. razonable. todo con el fin de lograr un beneficio en la autonomía del aprendizaje del individuo. es el proceso mediante el cual se comunican o transmiten conocimie ntos especiales o generales sobre una materia. debe insertarse en todo proyecto de desarrollo de la persona y colaborar en la formación de un ciudadano capaz de tomar sus propias decisiones. En este sentido la educación comprende la enseñanza propiamente dicha. la misma que el alumno desarrollara y evaluara la construcción de sus aprendizajes. El proceso enseñanza-aprendizaje constituye un verdadero par dialéctico en el cual y. en el juicio crítico y razonado.
por ejemplo. La evaluación debe considerar la posibilidad del error por parte del estudiante.Inventa y resuelve problemas relacionados con las ecuaciones demostrando originalidad y coherencia con la realidad. sustracción. Las estrategias. ya que permite realizar un seguimiento de los aprendizajes que los alumnos y alumnas van obteniendo. que no deban trabajarse al margen del currículum. multiplicación y división de números naturales.ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS
RESOLVEMOS ECUACIONES ACTIVIDADES 1. . tal y como proponen. Por lo tanto. de ahí.Resuelve problemas que requieren de operaciones con números naturales en la solución de ecuaciones . IV. son los procedimientos que el alumno pone en marcha para concretar las capacidades propuestas en los objetivos de aprendizaje de sus programaciones de aula. Las estrategias las emplea el profesor al enseñar y el alumno al aprender y. los programas para enseñar a pensar. proponemos que el profesor pida a sus alumnos expresen sus dudad o temores en sus aprendizajes.7. multiplicación y división para resolver ecuaciones . . ESTRATEGIAS · El docente presenta una ecuación a los alumnos
. en una evaluación formal. III. si realmente son potentes y están bien ajustadas.. cada vez que sea necesario. .Usa distintas estrategias para resolver problemas y las comunica..Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones Capacidades y Actitudes . Reconocemos las ecuaciones como una igualdad de números naturales · Los alumnos observan el ejemplo de ecuaciones · Dialogan con el docente acerca de las características de las mismas · Reconocen la ecuación como una igualdad de números naturales. es decir. en el ámbito educativo. o de una desmesurada exigencia por parte del docente. 8. las que se utilizan para transmitir información y para procesarla deben ser las mismas. Verifica y comprueba lo razonable de los resultados.Utiliza las propiedades de los números naturales d dicción. La evaluación es un aspecto fundamental de la práctica docente.Halla de manera rápida y eficaz el resultado de una ecuación aplicando estrategias personales.COMPETENCIA .Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adicción y sustracción. las estrategias están integradas en el propio proceso de E-A. por lo que una de nuestras propuestas principales en este ámbito es la asistencialidad como factor evaluativo.
. En efecto. la ecuación general de tercer grado: . También se emplea en Química. .. expresión que relaciona una o dos cualidades fundamentales. .· 2. como en México/Méjico.Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que .. en la Era del Renacimiento en Italia. los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue.. ax3 + bx2 + cx + d = 0 Requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas.tomen las variables implicadas en cada expresión.INFORMACIÓN TEÓRICA LA ECUACIÓN Definición .Forma matemática de expresar la igualdad de dos expresiones algebraicas. algabru walmuq balah. Jiménez/Jiménez). La primera traducción fue hecha al latín en España. el hombre no encont ó gran dificultad. La cosa era la incógnita. Álgebra (del ár.Resolvemos ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales
4. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI.Usamos diferente estrategias para resolver ecuaciones
V. en física. Los hombres que perfeccionaron las
. Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Historia de las ecuaciones Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes.. en un libro llamado Tratado de la cosa.Es un planteamiento de igualdad escrito en términos de variables y constantes. la r situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. reducción y cotejo). Identificamos a los elementos y miembros de una ecuación
3. y a la ciencia de hacerlo.
en 1545. Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos. pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas. cuando todavía estudiaba con Cardano. Antonio Fior. siempre balanceándose al borde de la prisión. tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente. La chispa pudo haber sido encendida. a base de adulaciones. hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue. Pero Cardano siempre salía bien parado. Al descubrir la obra de ambos hombres. Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival. En la época de la contienda con Fior. Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante.cúbicas. por un padre Franciscano. Como nuevo e insigne calculador de Italia. la "Suma Aritmética". solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas más complicadas que las de tercer grado). trabajaban en contabilidad. envenenado por su propia he rmana. llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto. También en el mismo libro. Tartaglia. el hijo de un fabricante de papel. cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer el cómputo. constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. Nícolo Fontana. en problemas de interés compuesto y de seguros. Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico. como ya dijimos Scipio del Ferro. Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes. como en las cátedras de Universidad. espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento. un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. de esta suerte. que había estado a punto de escribir su propio libro. a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas. la publicó unos cuantos años después. Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años. algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. sin querer. y había ideado un arma secreta propia: Una solución general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h Como resultado. Luca Pacioli. El ganador se lo llevaba todo. en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). (Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes). Para hacer doblemente difícil su deporte. de la misma forma Ferran. ocho días antes de finalizar el plazo. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h. Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior. obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica. quien en 1492 publicó un compendio de álgebra. El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano. En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. Cardano en su
. La mayoría de ellos eran autodidactas. italianos todos. No obstante. probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia. cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0. los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas. Fue también un jugador inveterano. Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia.
También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. encontrando una fórmula general o como se dice actualmente. que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes. En el Ars Magna. no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto.
.1708) creyó haber encontrado un método general de solución. pero esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares. Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. Más tarde. Hasta entonces. en palabras del mismo Lagrange. que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente. de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma. 1300 años antes. las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. esto es. resta. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto."Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas. multiplicación. el resultado se llama número complejo. resolverlas por radicales. Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones. con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución. pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado. la aportación había consistido solament e en entender el trabajo de los antiguos. Lagrange dice en sus memorias: "El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos". en efecto. sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos. ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar. tercer y cuarto grado conocid as hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos. ( con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo. cuya solución no era conocida. da la solución de ecuaciones de segundo. en todo el curso de la Edad Media. ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo. Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple. y ahora finalmente. El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771. esto es. más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales. tercero y cuarto grado. El prominente algebrista del siglo XVII. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo. fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. En gran parte debido a Cardano. Después de esto. En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario. el problema permaneció sin solución y constituía. exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos. Sin embargo. división. divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto. fueron resueltas. a pesar de sus persistentes esfuerzos. cuando dicha cantidad se combina con un número real. Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría de las permutaciones. Y esto sucedió en el siglo XVI. es decir. Tschimhausen (1651. un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometría analítica y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua.
y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad. Resumiendo. hay un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales. que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 años. Entonces. tercero y cuarto grado. entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente: Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe. En el problema de saber algo acerca de las soluciones. y. RECONOCIENDO LAS ECUACIONES En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas). (1811-1832).1829). para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado. pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas Pero eso no es todo aún. b y c son coeficientes. b. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales. En la ecuación: ax + b = c a. En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos. que son: En el problema de la existencia de raíces (soluciones). En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación. que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a. En vista de lo anterior. después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente: Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales. era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tenían que hacer."Un reto para la mente humana". Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado "Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales". importantes no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general. por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene solución. en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simp lemente como letras. Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto. x es la incógnita
. sólo trabajando con sus coeficientes. c. los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no? o en otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. z y cantidades conocidas (coeficientes). Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 . que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo). Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637. El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos. Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo. A pesar de lo corto de su vida.
6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado. La ecuación 4x. 8x2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado. y 16 y la incógnita es z.50..En la ecuación 5z ± 4 = 16 Los coeficientes son los enteros 5. Notemos los siguientes casos: a) Pertinencia de la solución: Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. En caso que el valor de la incógnita no se pueda encontrar por inspección se procede a En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja. c) Infinitas soluciones La ecuación
. Así. 4 x3 + 35 x2 ±3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado. Clasificación de las ecuaciones con una incógnita: Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita.500 es s/. éste tiene que cumplir: 500 = 3 x 150 + v En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 es la solución.1. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño. 4. Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad. Resolución de ecuaciones Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la igualdad. Por ejemplo la ecuación: 500 = 450 + v (el caso del vuelto) se satisface para v = 50 Luego el vuelto de franquear 3 cartas con s/. x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación: 5 x = 24 La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N). 500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: S/. b)Existencia de la solución La ecuación 4x + 5 = 2 No tiene solución en los naturales (N) ni en los enteros (Z) sino que en los racionales y en los reales.x = -7 No tiene solución en los reales (R) ya que no existe ningún número real que la satisfaga.50) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto. Ejemplos: Si voy al Correo con s/.
multiplicación y división de los números naturales relacionados con las actividades que se desarrollan en su entorno (compra venta.Resuelve ecuaciones y problemas aplicando la propiedades de adición sustracción..4..Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda d e soluciones CAPACIDADES ACTITUDES .5.2. Se pretende dar a conocer en esta sesión de aprendizaje la forma como el niño (a) logra aprender dichos contenidos para su propio beneficio.ORGANIZACIÓN DEL APRENDIZAJE
· Se extraen saberes previos a través de conceptos ...2 + x + x = 2(x+1) Es una ecuación que es satisfecha por cualquier valor que tome x.Analiza el enunciado de una ecuación para identificar los componentes y la incógnita de la misma a fin de lograr una solución acertada .JUSTIFICACIÓN Los niños y niñas del cuarto grado de Primaria de la Institución educativa Nº 14970 del caserío El Barco..Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adición y sustracción.esto debido al desinterés que muestran sus padres y ellos mismos en el proceso educativo. mediciones.COMPETENCIA .1. etc.GRADO DE ESTUDIOS : 4º GRADO DE PRIMARIA 6.. multiplicación y división de números naturales .TITULO: APRENDEMOS A RESOLVER ECUACIONES APLICANDO LAS PEOPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES 6. comprensión de la Provincia de Sechura desconocen la importancia de aprender a resolver ecuaciones . 6. 6.). resolución de ejercicios.Aplica técnicas operativas o estrategias propias para resolver problemas de ecuac iones .3. luego tiene infinitas soluciones VI.SESIÓN DE APRENDIZAJE 6.
aplican las propiedades de los números naturales y demuestran los resultados verificándolos.
Texto de Lógico Matemática Lapicero.
. lápiz de color Cuaderno de apuntes Lapicero Regla Pizarra
Crean problemas teniendo en cuenta situaciones de la vida cotidiana.TERMINO
multiplicac ión y división de los números naturales relacionad os con las actividade
Ficha e · Resuelve ecuacione sy problemas aplicando la propiedad es de adición sustracció n.
temores. fortalezas.
. tener un registro personal (situación familiar. El tratamiento del concepto de ecuación y su identificación de componente debe partir de dar un ejemplo .s que se desarrolla n en su entorno (compra venta. RECOMENDACIONES 1. 2. estado de salud. conocer sus logros y dificultades.). debilidades. de manera que le sea fácil su comprensión y solución 3. tras la solución el docente denote sus componentes y como actúan en la solución del problema. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados tomando como base la realidad y el contexto en donde vive e interactúa el alumno. etc. etc.). medicione s. etc. para que después .
A : Auto evaluación C : Coevaluacion H : Heteroevaluacion VIII. El docente necesita conocer a sus alumnos y alumnas: debe llamarlos por su nombre. tener una idea sobre su carácter.
120 pp. tanto en su aula como fuera de ella. en el segundo. Joel (2000). su cultura. son. Lima Perú X. Lima. Definición Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce un término de uno de los miembros. la vida familiar. Es necesario que reflexione sobre su comportamiento como persona y profesional de la educación. la proporción rendimiento /esfuerzo . 5. Para saber cuál es el
. Colección ³Historia General del Perú´. facilitador de los aprendizajes de sus alumnos y alumnas. sumado con 5. un complemento e la información dada por el profesor . CARDOZA PEÑA. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados en base a situaciones reales. En : Editorial San Marcos. los ritmo de consecución. Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo significado.1 Segundo miembro: en el primer ejemplo 5 . PEREZ YUPANQUI. El uso del texto Lógico Matemática debe ser estructurada como una guía para el alumno . 9 . como podemos ver en los siguientes ejemplos: 3+2=571=9-2 En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo = Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2. Tomo II. Ahora que conocemos las igualdades. pero también las condiciones iniciales.4. En el proceso de evaluación debemos tener en cuenta los resultados. las estrategias puestas en marcha. Arturo ( 2004). . ³ La enseñanza de la Matemática. 6. BIBLIOGRAFÍA Del docente 1. IX. sus deportes. Pedagogía y Didáctica´. Por ejemplo: 5 + x = 12 La x representa al número que. Universidad Nacional de Ingeniería. guía. tiene como suma al 12.las situaciones vinculadas con sus juegos. ANEXOS FICHA INFORMATIVA LA ECUACIONES El misterio de las ecuaciones Antes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el concepto de igualdad. su historia. llamado también incógnita. Perú. Editorial Santillana. Miguel ( 2004).2. su comunidad. Lima. mas debe evitarse que su uso implique la copia o genere el facilismo en los alumnos al momento de dar solución a las ecuaciones 7. Del alumno 1. 2. Editores. es decir . ³Didáctica de la Matemática´ Editorial Abedul. SANTILLANA . Ese término desconocido. podremos desarrollar el concepto de ecuación. 100 pp. Perú. MENDAÑA.etc. ( 20003) ³Lógico Matemática´ Texto para el Cuarto Grado de Primaria. se nombra con una letra. en el segundo. 3. Lima. Perú. Generalmente esa letra es la x. ³ La enseñanza de la matemática en el Nivel Primario´. significativas. El docente debe ser consciente de su rol como organizador. 7 . en este sentido. los procesos desencadenados.
03 Estatura de mi hermano: 1.3.82 metros.8 Inverso de la multiplicación de 2 x = 29. Por ejemplo.3 x + 5.término que falta. si tenemos que el doble de un número es igual a 3.25 = 32. x . ¿Cuánto mide mi papá? Estatura del papá: x Aumentada = más 0.5 x=7 En esta ecuación el valor de x es 7.3 Sumamos 2x = 29. x = 12 .38 + 4.82 Aplicamos la operación inversa: x = 1.25 = 19.79 Hay muchos problemas cuyo enunciado literal se transforma en una expresión matemática relacionada con números.9 x .9 Expresiones matemáticas El doble de un número: 2 x El triple de un número: 3 x La mitad de un número: x : 2 El número aumentado en 5.5 + 26. porque 5 + 7 = 12.3.3 El número disminuido en 3.3 0.5 + 26.82 . Transformamos a: 2x = 3. en este caso aplicamos la operación inversa: sustracción. Comprobémoslo con un ejemplo.25 Sumamos x= 23. Con decimales Resolver la ecuación es bastante simple si utilizamos numerales pequeños.03 = 1. queda así: x + 0.38 Aplicamos operación inversa a la del primer miembro. Comprobamos si es efectivo reemplazando la x por su valor:
Resolviendo problemas Las ecuaciones son una forma rápida y efectiva para resolver problemas.4. x = 19. Veamos lo que sucede con ejemplos en el ámbito de los decimales: x .9 El número es 14. que equivalen a la estatura de mi papá aume ntada en 0.8 : 2 x = 14.0.4.03 metros.82 Escribiendo la ecuación. Mi hermano mide 1.63 Este es el valor de la incógnita.03 x = 1.9 Dos números consecutivos: x y x + 1 Espero que estos contenidos te ayuden a conocer que es la ecuación y a resolver los problemas con ecuaciones INDICADORES SI NO Anote adecuadamente la ecuación Comprendí adecuadamente el problema para establecer la ecuación
.6 Resolvemos el 2º miembro.
6820 Piura -Perú
.¿He utilizado todos los datos? ¿He planteado bien la ecuación? Logre establecer el valor de x? ¿Está bien elegida la incógnita? ¿La ecuación está bien resuelta? ¿Seguí el método adecuado y enseñado por el profesor? Logre sistematiza la información LISTA DE COTEJOS
AUTOR Rudy Mendoza Palacios ( 073)35.
También se llama difusión mediada por portador porque la sustancia transportada de esta manera no suele poder atravesar la membrana sin una proteína portadora específica que le ayude. la más pequeña de las proteínas. los poros de las membranas de los hepatocitos son extremadamente grandes. gracias a la capacidad de la membrana celular que permite el paso o salida de manera selectiva de algunas sustancias. en la difusiónfacilitada la magnitud de difusión se aproxima a un máximo (Vmax). tienen la capacidad de ser filtrada a través de ella. se generará una presión osmótica desde el potencial químico mayor (p. ya que de existir una membrana semipermeable que particione un fluido en dos de distinto potencial químico.e. La difusión es el movimiento de átomos. durante el cual no hay gasto de energía que aporta la célula. debido a que va a favor del gradiente de concentración o a favor de gradiente de carga eléctrica. y se mueven dentro de éstas por Difusión simple. solvente puro) hacia el menor (p. Las vías de transporte a través de la membrana celular y los mecanismos básicos para las moléculas de pequeño tamaño son: Transporte pasivo o difusión: El transporte pasivo es el intercambio simple de moléculas de una sustancia a través de la membrana plasmática. Se diferencia de la difusión simple a través de conductos en que mientras que la magnitud de difusión de la difusión simple se incrementa de manera proporcional con la concentración de la sustancia que se difunde. son muy pequeños. Por otra parte. los poros de la membrana de la cápsula de Bowman en los glomérulos renales. al aumentar la concentración de la sustancia. sólo los solutos con un determinado tamaño pueden pasar a través de la membrana. de un lugar donde hay una gran concentración a uno donde hay menor. Difusión facilitada : Es el movimiento de moléculas más grandes que no pueden pasar a través de la membrana plasmática y necesita ayuda de una proteína u otros mecanismos (exocitosis) para pasar al otro lado. Difusión simple: Algunas sustancias pasan al interior o al exterior de las células a través de una membrana semipermeable. siendo un proceso físico basado en el movimiento al azar. La difusión implica. Por ejemplo. no sólo el movimiento al azar de las partículas hasta lograr la homogénea distribución de las mismas (y esto ocurre cuando las partículas que azarosamente vienen se equiparan con las que azarosamente van) sino también el homogéneo potencial químico del fluido. En sí. El proceso celular pasivo se realiza por difusión.La célula necesita este proceso porque es importante para esta expulsar de su interior los desechos del metabolismo y adquirir nutrientes del líquido extracelular.e. es decir. por lo que una gran variedad de solutos pueden atravesarla. es el cambio de un medio de mayor concentración (medio hipertónico) a otro de menor concentración (un medio hipotónico). moléculas o iones de una región de mayor concentración a una de menor co ncentración sin requerir gasto de energía. Dependiendo del tamaño de los poros de la membrana. y sólo la albúmina. FILTRACION: La filtración es el movimiento de agua y moléculas disueltas a través de la membrana debido a la presión hidrostática generada por el sistema cardiovascular. solvente y soluto) hasta que ambas particiones se equiparen o la presión hidrostática equilibre la presión osmótica.
Dicho proceso no requiere gasto de energía. Los sistemas de transporte activo son los más abundantes entre las bacterias. El movimiento de agua se realiza desde un punto en que hay mayor concentración a uno de menor para igualar concentraciones. El transporte activo varía la concentración intracelular y ello da lugar un nuevo movimiento osmótico de rebalanceo por hidratación. La función de la osmosis es mantener hidratada a la membrana celular. Se relaciona con el movimiento browniano. TRANSPORTE ACTIVO: Consiste en el transporte de sustancias en contra de un gradiente de concentración. la ósmosis varía. por procesos de respiración y fotosíntesis. para lo cual se requiere un gasto energético. De acuerdo al medio en que se encuentre una célula.OSMOSIS: La ósmosis es un tipo especial de transporte pasivo en el cual sólo las moléculas de agua son transportadas a través de la membrana. En la mayor parte de los casos este transporte activo se realiza a expensas de un gradiente de H+ (potencial electroquímico de protones) previamente creado a ambos lados de la membrana. y se han seleccionado evolutivamente debido a que en sus medios naturales la mayoría de los procariotas se encuentran de forma permanente o transitoria con una baja concentración de nutrientes. separadas por una membrana semipermeable.
. En otras palabras la ósmosis u osmosis es un fenómeno consistente en el paso del solvente de una disolución desde una zona de baja concentración de soluto a una de alta concentración del soluto. por hidrólisis de ATP mediante ATP hidrolasas de membrana (F1F0).
el suero salino normal (0. sales. Algunos ejemplos notables son el Na +. la célula dispone de dos procesos:
1. el agua entra en el hematíe con lo que este se hincha. mediante el cual. pero empleando los canales constituídos por proteínas integrales llenas de agua. sólo el agua puede atravesarla. La ósmosis puede entenderse muy bien considerando el efecto de las diferentes concentraciones de agua sobre la forma de las células. Para ello. Para mantener la forma de un célula. K +.
El movimiento del agua a través de la membrana semi -permeable genera un presión hidrostática llamada presión osmótica. 2. el oxígeno.9% de NaCl) es isotónico para los hematíes. alcohol es de pequeño peso molecular atraviesan la membrana celular por difusión. En condiciones normales. glicerina. urea. etc) pasen a través de las membranas d e los capilares microscópicos de los glomérulos para ser eliminadas en la orina. Si la concentración de agua es mayor (o lo que es lo mismo la concentración de solutos menor) de un lado de la membrana es mayor que la del otro lado. lo que quiere decir que la concentración de agua de esta solución es la misma que la del interior de la célula. dado que la membrana celular es semi -permeable. La ultrafiltración tiene lugar en el cuerpo humano en los riñones y es debida a la presión arterial generada por el corazón. un disolvente .pasa selectivamente a través de una membrana semi-permeable. Ultrafiltración En este proceso de transporte pasivo. Ca++. Si los hematíes son llevados a una solución que contenga menos sales (se dice que la solución es hipotónica). Las
. Algunas sustancias como el agua. El movimiento es siempre desde el área de mayor presión al de menos presión. La membrana de las células es una membrana semi -permeable ya que permite el paso del agua por difusión pero no la de iones y otros materiales. la difusión a través de estos es mucho más lenta que a través de la bicapa fosfolipídica Osmosis
Es otro proceso de transporte pasivo. esta debe estar rodeada de una solución isotónica. por tanto tienen movimientos que se realizan al azar. Por el contrario. etc. pudiendo eventualmente estallar (este fenómeno se conoce con el nombre de hemolisis. si los hematíes se llevan a una solución hipertónica (con una concentración de sales superior a la del hematíe) parte del agua de este pasará a la solución produciéndose el fenómeno de crenación y quedando los hematiés como "arrugados". esteroides. vitaminas liposolubles. Ladifusión consiste en la mezcla de estas moléculas debido a su energía cinética cuando existe un gradiente de concentración. Algunas sustancias iónicas también pueden cruzar la membrana plasmática por difusión. La presión osmótica es la presión necesaria para prevenir el movimiento neto del agua a través de una membrana semi -permeable que separa dos soluciones de diferentes concentraciones.el agua en el caso de los sistemas biológicos . Debido al pequeño tamaño de los canales. el agua y algunos solutos pasan a través de una membrana por efecto de una presión hidr ostática. la creatinina. Esta presión hace que el agua y algunas moléculas pequeñas (como la urea. dióxido de carbono. disolviendose en la capa de fosfolípidos. HCO3. existe una tendencia a que el agua pase al lado donde su concentración es menor.TRANSPORTE DE MATERIALES A TRAVES DE LAS MEMBRANAS PLASMATICAS Los mecanismos que permiten a las sustancias cruzar las membranas plasmáticas son esenciales para la vida y la c omunicación de las células. por ejemplo un hematíe.
Difusión Simple Las moléculas en solución están dotadas de energía cinética y. La difusión tiene lugar hasta que la concentración se iguala en todas las partes y será tanto más rápida cuanto mayor sea energía cinética (que depende de la temperatura) y el gradiente de concentración y cuanto menor sea el tamaño de la s moléculas. Al ser la concentración de agua mayor en la solución hipotónica. es decir cuando en una parte de la solución la concentración de las molécul as es más elevada.
la glucosa se une a la proteína transportadora. pero regula el paso de moléculas no lipófilas.. etc. y esta cambia de forma.
. Para posibilitar este intercambio. Los mecanismos que permiten a las sustancias cruzar las membranas plasmáticas de las células son esen ciales para la vida y la comunicación de las células. una kinasa (enzima que añade un grupo fosfato a un azúcar) transforma la glucosa en glucosa-6-fosfato. En el primer paso. una hormona producida por el páncreas. y el gradiente de concentración exterior --> interior favorece la difusión de la glucosa. Esta sustancias. la membrana celular presenta una permeabilidad selectiva. Esto explica el porque la ausencia o disminución de la insulina en la diabetes mellitus aumenta l os niveles de glucosa en sangre al mismo tiempo que obliga a las células a utilizar una fuente de energía diferente de este mono sacárido
Conociendo la estructura celular. Para ello. las concentraciones de glucosa en el interior de la célula son siempre muy bajas. no pasan a través de las membranas de los capilares y son reten idas en la sangre. Tal es el caso de la glucosa y algunos otros monosacári dos. De esta forma. ya que permite el paso de pequeñas moléculas. el medio donde vive la célula y el medio interno celular. Tan pronto como la glucosa llega al citoplasma. Difusión facilitada Algunas moléculas son demasiado grandes como para difundir a través de los canales de la membrana y demasiado insolubles en lípidos como para poder difundir a través de la capa de fosfolípidos. pueden sin embargo cruzar la membrana plasmática mediante el proceso de difusión facilitada. sabemos que la bicapa lipídica de la membrana celular actúa como una barrera que separa dos medios acuosos. La difusión facilitada es mucho más rápida que la difusión simple y depende:
La insulina.proteínas y grandes moléculas como hormonas. permitien do el paso del azúcar. Las células requieren nutrientes del exterior y deben eliminar sustancias de desecho procedentes del metabolismo y mantener s medio interno u estable. facilita la difusión de la glucosa hacia el interior de las células. siempre que sean lipófilas. la célula dispone de dos procesos:  Transporte pasivo: cuando no se requiere energía para que la sustancia cruce la membrana plasmática. con la ayuda de una proteina transportadora.  Transporte activo: cuando la célula utiliza ATP como fuente de energía para hacer atravesar la membrana a una sustancia en particular. disminuyendo su concentración en la sangre. vitaminas.
Debido al pequeño tamaño de los canales. etcétera) pasen a través de las membranas de los ca pilares microscópicos de los glomérulos para ser eliminadas en la orina. urea. un disolvente ±el agua en el caso de los sistemas biológicos± pasa selectivamente a través de una membrana semipermeable. si los hematíes se llevan a una solución hipertónica (con una concentración de sales superior a la del hematíe) parte del agua de este pasará a la solución produciéndose el fenómeno de crenación y quedando los hematíes como "arrugados". el agua entra en el hematíe con lo que este se hincha. Pregunta 08_2006 Algunas sustancias como el agua. Las proteínas y grandes moléculas como hormonas. La ultrafiltración tiene lugar en el cuerpo humano en los riñones y es debida a la presión arterial generada por el corazón. el oxígeno.
. Por el contrario. por ejemplo un hematíe.
Ejemplo de endocitosis. por tanto. La membrana de las células es una membrana semipermeable ya que permite el paso del agua por difusión pero no la de iones y otros materiales. glicerina. Esta presión hace que el agua y algunas moléculas pequeñas (como la urea. HCO3. La presión osmótica es la presión necesaria para prevenir el movimiento neto del agua a través de una membrana semipermeable que separa dos soluciones de diferentes concentraciones. esta debe estar rodeada de una solución isotónica. Al ser la concentración de agua mayor en la solución hipotónica.9% de NaCl) es isotónico para los hematíes. lo que es lo mismo. cuando en una parte de la solución la concentración de las moléculas es más elevada. etc. dióxido de carbono.
En este proceso de transporte pasivo. vitaminas liposolubles.En condiciones normales. etc. es decir. no pasan a través de las membranas de los capilares y son retenidas en la sangre. Ver: PSU: Biología. pudiendo eventualmente estallar (este fenómeno se conoce con el nombre de hemolisis. el agua y algunos solutos pasan a través de una membrana por efecto de una presión hidrostática. alcoholes de pequeño peso molecular atraviesan la membrana celular por difusión. Ver: PSU: Biología. La difusiónconsiste en la mezcla de estas moléculas debido a su energía cinética cuando existe un gradiente de concentración.. Si la concentración de agua es mayor (o. Ver: PSU: Biología. Algunos ejemplos notables son el Na+. la concentración de solutos es menor) de un lado de la membrana que la del otro lado. tienen movimientos que se realizan al azar. la creatinina.Las moléculas en solución están dotadas de energía cinética y. Ca++. dado que la membrana celular es semipermeable. Para mantener la forma de un célula. esteroides. K+. La ósmosis puede entenderse muy bien considerando el efecto de las diferentes concentraciones de agua sobre la forma de las células. existe una tendencia a que el agua pase al lado donde su concentración es menor. sales. el suero salino normal (0. pero empleando los canales constituidos por proteínas integrales llenas de agua. la difusión a través de estos es mucho más lenta que a través de la bicapa fosfolipídica. El movimiento del agua a través de la membrana semipermeable genera un presión hidrostática llamada presión osmótica. Algunas sustancias iónicas también pueden cruzar la membrana plasmática por difusión.
Si los hematíes son llevados a una solución que contenga menos sales (se dice que la solución es hipotónica). Pregunta 07_2010. El movimiento es siempre desde el área de mayor presión al de menos presión. mediante el cual. Pregunta 03_2005
Es otro proceso de transporte pasivo. lo que quiere decir que la concentración de agua de esta solución es la misma que la del interior de la célula. sólo el agua puede atravesarla. La difusión tiene lugar hasta que la concentración se iguala en todas las partes y será tanto más rápida cuanto mayor sea la energía cinética (que depende de la temperatura) y el gradiente de concentración y cuanto menor sea el tamaño de las moléculas. disolviendose en la capa de fosfolípidos. vitaminas.
También mueve los iones K+ desde el exterior hasta el interior de la célula pese a que la concentración intracelular de potasio es superior a la extracelular. Esta bomba debe funcionar constantemente ya que hay pérdidas de K+ y entradas de Na+ por los poros acuosos de la membrana.Algunas moléculas son demasiado grandes como para difundir a través de los canales de la membrana y demasiado insolubles en lípidos como para poder difundir a través de la capa de fosfolípidos. facilita la difusión de la glucosa hacia el interior de las células. I. Esto explica el porqué la ausencia o disminución de la insulina en la diabetes mellitus aumenta los niveles de glucosa en sangre al mismo tiempo que obliga a las células a utilizar una fuente de energía diferente de este monosacárido.
Algunas sustancias que son necesarias en el interior de la célula o que deben ser eliminadas de la misma no pueden atravesar la membrana celular por ser muy grandes. la energía derivada del ATP directamente empuja a la sustancia para que cruce la membrana.
Transporte activo primario: en este caso. De esta forma. El ejemplo más característico es la bomba de sodio potasio (Na+/K+). un proceso que consume energía y que requiere del concurso de proteínas integrales que actúan como "bombas" alimentadas por ATP. disminuyendo su concentración en la sangre. Esta sustancias. pueden sin embargo cruzar la membrana plasmática mediante el proceso de difusión facilitada. modificando la forma de las proteínas de transporte (bomba) de la membrana plasmática. la glucosa se une a la proteína transportadora. para el caso de moléculas pequeñas o iones y el transporte grueso específico para moléculas de gran tamaño como proteínas y polisacáridos e incluso células enteras como bacterias y hematíes. con la ayuda de una proteina transportadora. Esta bomba actúa como una enzima que rompe la molécula de ATP y también se llama bomba Na+/K+-ATP'asa. Tal es el caso de la glucosa y algunos otrosmonosacáridos.
. permitiendo el paso del azúcar. que mantiene una baja concentración de Na+ en el citosol extrayéndolo de la célula en contra de un gradiente de concentración. aminoácidos y monosacáridos. Todas las células poseen cientos de estas bombas por cada mµ2 (milimicra cuadrada) de membrana. y el gradiente de concentración exterior --> interior favorece la difusión de la glucosa.
Por este mecanismo pueden ser transportados hacia el interior o exterior de la célula los iones H+ (bomba de protones) Na+ y K+ (bomba de sodio-potasio). por llevar una carga eléctrica o porque deben vencer un gradiente de concentración. las concentraciones de glucosa en el interior de la célula son siempre muy bajas. En el primer paso. Cl-. Tan pronto como la glucosa llega al citoplasma.
Tipos de gradientes de concentración. y esta cambia de forma. Para estos casos. Ca++. La difusión facilitada es mucho más rápida que la difusión simple y depende:  del gradiente de concentración de la sustancia a ambos lados de la membrana  del número de proteínas transportadoras existentes en la membrana  de la rápidez con que estas proteínas hacen su trabajo La insulina. una hormona producida por el páncreas. una kinasa (enzima que añade un grupo fosfato a un azúcar) transforma la glucosa en glucosa -6-fosfato. la naturaleza ha desarrollado el transporte activo.
la sustancia a transportar es una gotita o vesícula de líquido extracelular.
 Pinocitosis: en este proceso. Los glóbulos blancos constituyen el ejemplo más notable de células que fagocitan bacterias y otras sustancias extrañas como mecanismo de defensa . sino que la membrana se repliega creando una vesícula pinocítica.
Endocitosis mediante un receptor. los pseudópodos se fusionan formando una vesícula alrededor de la partícula llamada vesícula fagocítica o fagosoma.Fagocitosis
Algunas sustancias más grandes como polisacáridos. la célula crea proyecciones de la membrana y el citosol llamadas pseudópodos que rodean la partícula sólida. proteínas y otras células cruzan las membranas plasmáticas mediante varios tipos de transporte grueso: Endocitosis: es el proceso mediante el cual la sustancia es transportada al interior de la célula a través de la membrana. El material sólido dentro de la vesícula es seguidamente digerido por enzimas liberadas por los lisosomas. Se conocen tres tipos de endocitosis:  Fagocitosis: en este proceso. Una vez rodeada. la
. Una vez que el contenido de la vesícula ha sido procesado. no se forman pseudópodos. En este caso.
Esto ocurre. con la salvedad de que la invaginación de la membrana sólo tiene lugar cuando una determinada molécula. por ejemplo. en las células planas endoteliales que tapizan los capilares sanguíneos.
Es el mecanismo por el cual las macromoléculas contenidas en vesículas citoplasmáticas son transportadas desde el interior ce lular hasta la membrana plasmática.
 Endocitosis mediante un receptor: este es un proceso similar a la pinocitosis. mientras que el ligando se fusiona con un liposoma siendo digerido por las enzimas de este último. Una vez formada la vesícula endocítica está se une a otras vesículas para formar una estructura mayor llamada endosoma. para ser vertidas al medio extracelular. a veces moléculas extrañas utilizan los receptores para penetrar en el interior de la célula. Aunque este mecanismo es muy específico. se une al receptor existente en la membrana. Las vesículas endocíticas se originan en dos áreas específicas de la membrana:  Los "hoyos recubiertos" ("coated pits") son invaginaciones de la membrana donde se encuentran los receptores.
.  Los cavéolos son invaginaciones tapizadas por una proteína especializada llamada caveolina. Dentro del endosoma se produce la separación del ligando y del receptor: Los receptores son separados y devueltos a la membrana. Están implicados en el proceso de envío de señales intracelulares: la unión de un ligando a los receptores de los cavéolos po en marcha un ne mecanismo intracelular de envío de señales. llamada ligando. y parece que juegan diversos papeles: La superficie de los cavéolos dispone de receptores que pueden concentrar sustancias del medio extracelular. Se utilizan para transportar material desde el exterior de la célula hasta el interior mediante un proceso llamado transcitosis. Así. De esta forma hay un tráfico constante de membranas entre la superficie de la célula y su interior.membrana de la vesícula vuelve a la superficie de la célula. el HIV (virus de la inmunodeficiencia adquirida o del sida) entra en las células de los linfocitos uniéndose a unas glicoproteínas lamadas CD4 que están l presentes en la membrana de los mismos.
las enzimasdigestivas) o neurotransmisores imprescindibles para la transmisión nerviosa. transportándose así las sustancias desde el medio sanguineo hasta los tejidos que rodean los capilares. En toda célula existe un equilibrio entre la exocitosis y la endocitosis.
. la membrana de la vesícula secretora se fusiona con la membrana celular liberando el contenido de la m isma. para mantener la membrana plasmática y que quede asegurado el mantenimiento del volumen celular. Es propio de células endoteliales que constituyen los capilares sanguineos. enzimas (por ejemplo.Exocitosis
Transcitosis: el doble proceso endocitosis -exocitosis. Por este mecanismo las células liberan hormonas (por ejemplo. o bien sustancias de dese cho. las células son capaces de eliminar sustancias sintetizadas por la célula.
Es el conjunto de fenómenos que permiten a una sustancia atravesar todo el citoplasma celular desde un polo al otro de la célula. Mediante este mecanismo. Implica el doble proceso endocitosis-exocitosis. la insulina).
. Ficha educativa 333 Fichas caligrafía Caligrafía de los números 0 y 1.Ficha didáctica para imprimir para hacer caligrafía . es mejor guardarla primero en el ordenador.
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Para imprimir la ficha. Ficha educativa 339 Fichas caligrafía Caligrafía de los días de la semana.
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