Source: http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.zamlynska-7bc56b44-494f-462c-bc86-5232eb298572
Timestamp: 2020-05-28 05:31:10+00:00

Document:
Zur Existenz klassischer Lösungen einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung - DML-PL - Yadda
Zur Existenz klassischer Lösungen einer elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung
Rozprawy Matematyczne tom/nr w serii: 237 wydano: 1987
Einleitung......................................5
Präliminarien.................................6
§1. Die Problemstellung................8
§2. Die Äquivalenz der Randwertprobleme Lu = f, $u_{|∂G} = g$ und ∆u = f, $u_{|∂G} = g$..........10
§3. Zusammenstellung von Existenzaussagen einer Lösung u des Randwertproblems ∆u = f, $u_{|∂G} = g$ in beliebigen Gebieten G des $R_n$...........15
§4. Die Regularität der Lösung u des Problems ∆u = f, $u|_{∂G} = g$ am Rande ∂G, falls G eine Kugel oder eine Halbkugel ist..............16
§5. Die Regularität der Lösung u des Randwertproblems ∆u(x) = f(x) (x ∈ G) und u(x) = g(x) (x ∈ ∂G) am Rande des Gebietes G..........23
§6. Beweis von Satz 1 und Bemerkungen zu Satz 1...........30
§7. Die Schauderschen a priori Abschätzungen................31
§8. Übersicht über den von J. Schauder stammenden Beweis des Satzes 1...........36
§9. Anwendung der Schauderschen a priori Abschätzung und des Satzes 1 auf den Nachweis der Existenz einer Lösung u des ersten Randwertproblems einer quasilinearen elliptischen Differentialgleichung...............40
§10. Das Maximalflächenproblem........46
Literatur...............................................51
A. Die Struktur des Beweises der Schauderschen a priori Abschätzungen
B. Die Struktur des Schauderschen Existenzbeweises einer Lösung $u ∈ C_{2,α}(G̅) des Dirichletproblem Lu = f, $u|_{∂G} = g$
C. Die Struktur des in dieser Arbeit gegebenen Existenzbeweises einer Lösung $u ∈ C_{2,α}(G̅)$ des Dirichletproblems Lu = f, $u|_G = g$
bei den Einlagen auf der 3. Seite des Heftumschlages
Rozprawy Matematyczne tom/nr w serii: 237
Dissertationes Mathematicae, Tom CCXXXVII
[1] Agmon, S., Douglis, A. and Nirenberg, L., Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I, Commun. Pure Appl. Math. 12 (1959), 623-727.
[2] Alber H. D., Estimates for the asymptotic behavior of solutions of the Helmholtz equation with an application to second order elliptic differential operators with variable coefficients, Math. Z. 167 (1979), 213-226.
[3] Barrar, R. B., On Schauder's paper on linear elliptic differential equations, J. Math. Anal. Appl. 3 (1961), 171-195.
[4] Bernstein, S. N., Sur la nature analytique des solutions de certaines équation aux dérivées partielles du second ordre, Math. Ann. 59 (1904), 20-76.
[5] Bernstein, S. N., Sur la généralisation du problème de Dirichlet, Math. Ann. 62 (1906), 253-271; Math. Ann. 69 (1910), 82-136.
[6] Bernstein, S. N., Sur les équations du calcul des variations. Ann. Ec. N. Sup. 29 (1912), 431-485,
[7] Bloom, C. O., Estimates for solutions of reduced hyperbolic equations of second order with a large parameter, J. Math. Analysis Appl. 44 (1973), 310-332.
[8] Bloom, C. O. and Kazarinoff, N. D., Short wave radiation problems in inhomogeneous media: asymptotic solutions, Lecture Notes in Mathematics 522, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1976.
[9] Boboc, N. and Mustata, P., Remarks on the existence of solutions of the Dirichlet problem for strongly elliptic linear operators of second order, Bull. Math. Soc. Sei. Math. R. S. Roumanie 10 (1966), 75-85.
[10] Choquet-Bruhat, Y., Fischer, A. and Marsden, J., Maximal hypersurfaces and positivity of mass, Preprint.
[11] Flaherty, F. J., The boundary value problem for maximal hypersurfaces, Proc. Natl. Acad. Sei. USA 76 (1979), 4765-4767.
[12] Gilbarg, D. and Trudinger, N. S., Elliptic partial differential equations of second order. Springer, Berlin, 1977.
[13] Grimas, A., On some generalisation of the Leray-Schauder theory, preprint.
[14] Graves, L. M., The estimates of Schauder and their applications to existence theorems for elliptic differential equations, Chicago Univ. Invest. Theory Partial Differential Equations Techn. Report 1 (1956).
[15] Günter, N. M., Die Potentialtheorie und ihre Anwendungen auf Grundaufgaben der mathematischen Physik, Teubner, Leipzig, 1957,
[16] Hellwig, G., Partielle Differentialgleichungen, Teubner, Stuttgart, 1960,
[17] Hopf, E., Über den funktionalen, insbesondere den analytischen Charakter der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Z. 34 (1932), 194-233.
[18] Hopf, E., Elementare Bemerkungen über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus, Sitzungsbericht Preuß. Akad. Wiss. Berlin, Math.-Phys. Kl. 19 (1927), 147-152.
[19] Jäger, W., Über das Dirichletsche Außenraumproblem für die Schwingungsgleichung, Math. Z. 95 (1967), 299-323.
[20] Jäger, W., Zur Theorie der Schwingungsgleichung mit variablen Koeffizienten im Außengebiet, Math. Z. 102 (1967), 62-88.
[21] Jäger, W., Das asymptotische Verhalten von Lösungen eines Typs von Differentialgleichungen, Math. Z. 112 (1969), 26-36.
[22] Kellogg, O. D., On the derivatives of harmonic functions on the boundary, Trans. Amer. Math. Soc. 33 (1931), 486-510.
[23] König, M., Eine kritische Bemerkung zu Darstellungen der Schauderschen Beweistechnik für elliptische lineare Differentialgleichungen, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 80 (1978), 177-182.
[24] König, M., Über das Verhalten der Lösung des Dirichletproblems am Rand des Gebietes, wenn der Rand zur Klasse $C^{2,α}$ gehört, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 80 (1978), 163-176.
[25] König, M., Zur Abschätzung der Lösung des Dirichletschen Außenraumproblems für die Schwingungsgleichung, Math. Z. 158 (1978), 171-178.
[26] König, M., Zur nichtlinearen Helmholtzschen Schwingungsgleichung in Außengebieten, Erscheint im Pacific Journal.
[27] König, M., Ein Stetigkeitsprinzip für lineare Abbildungen in $C^{1,α}$ mit Anwendungen auf die Herleitung der a priori Abschätzungen von Schauder, Dissertation (1969).
[28] König, M., Bemerkung zum Maximumprinzip für den Gradienten einer elliptischen Differentialgleichung mit nichtkonstanten Koeffizienten, Arch. rat. Mech. Anal. 63 (1976), 87-88.
[29] Krasnosel'skii, M. A., Topological methods in the theory of nonlinear integral equations, Pergamon Press, Oxford-London-New York, 1964.
[30] Kupradse, W. D., Randwertaufgaben der Schwingungstheorie und Integralgleichungen, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1956.
[31] Ladyzhenskaya, O. A. and Uralt'seva, N. N., Linear and quasilinear elliptic equations. Academic Press, London, 1968.
[32] Leis, R., Über das Neumannsche Randwertproblem für die Helmholtzsche Schwingungsgleichung, Arch. rat. Mech. Anal. 2 (1958), 101-113.
[33] Leis, R., Über die Randwertaufgabe des Außenraumes zur Helmholtzschen Schwingungsgleichung, Arch. rat. Mech. Anal. 9 (1962), 21-44.
[34] Leis, R., Zur Eindeutigkeit der Randwertaufgaben der Helmholtzschen Schwingungsgleichung, Math. Z. 85 (1964), 141-153.
[35] Leis, R., Zur Dirichletschen Randwertaufgabe des Außenraumes der Schwingungsgleichung, Math. Z. 90 (1965), 205-211.
[36] Leis, R., Zur Monotonie der Eigenwerte selbstadjungierter Differentialgleichungen, Math. Z. 96 (1967), 26-32.
[37] Leis, R., Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1967.
[38] Leis, R., Zur Theorie elektromagnetischer Schwingungen in anisotropen Medien, Math. Z. 106
(1968), 213-224.
[39] Lichnerowicz, A., L'integration des équations de la gravitation relativiste et le problème des n corps, J. Math, Pures Appl. 23 (1944), 37-63.
[40] Magnus, W., Oberhettinger, F. and Soni, R. P., Formulas' and theorems for the special functions of mathematical physics. Springer, Berlin, 1966.
[41] Michael, J. H., A general theory for linear elliptic partial differential equations, J. Did. Equat. 23 (1977), 1-29.
[42] Meister, E., Ein Eindeutigkeitsbeweis für ein gemischtes Randwertproblem der Schwingungsgleichung, Math. Z. 77 (1961), 38-44.
[43] Miranda, C., Sul problema misto per le equazioni lineari ellittiche, Ann. di mat. pure ed appl. XXXIX (1955). 279-303.
[44] Miranda, C., Partial differential equations of elliptic type, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1970.
[45] Morawetz, C. S. and Ludwig, D., An inequality for the reduced wave operator and the justification of geometrical optics, Commun. Pure Appl. Math. 21 (1968), 187-203.
[46] Müller, Cl., Zur Methode der Strahlungskapazität von H. Weyl, Math. Z. 56 (1952), 80-83.
[47] Müntz, Ch., Zum Rundwertproblem der partiellen Differentialgleichungen der Mimmalfläche, J. Reine Angew. Math. 139 (1911), 52-79.
[48] Niemeyer, H., Lokale und asymptotische Eigenschaften der Lösung der Helmholtzschen Schwingungsgleichung, J.-ber. Deutsch. Math.-Verein 65 (1962), 1-44.
[49] O'Murchadha, N. and York, J. W., Initial-value problem of general relativity, i. General formulation and physical interpretation, Phys. Rev., D 10 (1974), 428-436.
[50] Petrini, H., Sur l'existence des dérivées secondes du potential, C. R. 130, 233-235.
[51] Perron, O., Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für ∆u = 0, Math. Z. 18 (1923), 42-54.
[52] Protter, M. H. and Weinberger, H, F., Maximum principles in differential equations, Prentice-Hall, Inc., 1967.
[53] Reilich, F., Über das asymptotische Verhalten der Lösung von ∆u - λu = 0 in unendlichen Gebieten, J.-ber. Deutsch. Math.-Verein 43 (1943), 57-65.
[54] Saito, Y., The principle of limiting absorption for second-order differential equations with operator-valued coefficients, Publ, Res. Inst. Math. Sei. Ser. A, 7 (1971-1972), 581-619.
[55] Schauder, J., Potentialtheoretische Untersuchungen, Math. Z. 33 (1931), 602-640.
[56] Schauder, J., Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Z. 38 (1934), 257-282.
[57] Simoda, P. S., Sur le théorème de Müntz dans la théorie du potentiel, Osaka J. Math. 3 (1951), 65-75.
[58] Smarr, L. and York, J. W., Kinematic conditions in the construction of spacetime, Phys. Rev. D17 (1978), 2529-2551.
[59] Vogelsang, V., Elliptische Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten in Gebieten mit unbeschränktem Rand, Manuscripta Math. 14 (1975), 379-401.
[60] Vogelsang, V., Das Ausstrahlungsproblem für elliptische Differentialgleichungen in Gebieten mit unbeschränktem Rand, Math. Z. 144 (1975), 101-124.
[61] Werner, P., Zur mathematischen Theorie akustischer Wellenfelder, Arch. rat. Mech. Anal. 6 (1960), 231-260.
[62] Werner, P., Randwertprobleme der mathematischen Akustik, Arch. rat. Mech. Anal. 10 (1962), 29-66.
[63] Werner, P., Beugungsprobleme der mathematischen Akustik, Arch. rat. Mech. Anal. 12 (1963), 155-184.
[64] Werner, P., Über die Randwertprobleme der Helmholtzschen Schwingungsgleichung, Math. Z. 85 (1964), 226-240.
[65] Widman, K. O., Inequalities for the Green function and boundary continuity of the gradient of solutions of elliptic differential equations, Math. Scand. 21 (1967), 17-37.
[66] Wloka, J., Funktionalanalysis und Anwendungen, de Gruyter, Berlin, 1971.
bwmeta1.element.zamlynska-7bc56b44-494f-462c-bc86-5232eb298572
83-01-05967-2

References: §1

§2

§3

§4

§5

§6

§7

§8

§9

§10