Source: https://es.scribd.com/document/46822345/GPS-Posicionamiento-Satelital
Timestamp: 2016-10-25 05:35:14+00:00

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Huerta, Eduardo GPS: posicionamiento satelital / Eduardo Huerta; Aldo Mangiaterra; Gustavo Noguera - 1a. ed. - Rosario: UNR Editora - Universidad Nacional de Rosario, 2005. 148 p. 23x16 cm. ISBN 950-673-488-7 1. Tecnología Satelital. -I. Mangiaterra, Aldo. II. Noguera, Gustavo. III Título CDD 629.46 EL LIBRO A esta altura es ampliamente difundido que la tecnología satelital permite determinar, con la precisión necesaria, la posición espacial de objetos, sean éstos fijos o móviles. Por otra parte tal posición se obtiene con referencia a un sistema único global, lo que permite correlacionar información proveniente de distintas fuentes y de distintas épocas. Rapidez, seguridad y economía son características distintivas del posicionamiento satelital. GPS (Global Positioning System) es, hasta ahora, el sistema sate-
lital que brinda mayores y mejores prestaciones, aunque existen otros en operación o en desarrollo. Si bien el origen de GPS es de carácter militar, el uso civil ha pasado a ser netamente preponderante, tal es la magnitud y amplitud de las aplicaciones a las que sirve. El libro que presentamos tiene tres características fundamentales. Es de contenido teórico; está dirigido a difundir los fundamentos del posicionamiento satelital en general y de GPS en particular. Es adecuado al nivel de estudiante o graduado universitario en general, dado que no requiere previa especialización y evitamos recurrir a un tratamiento matemático complejo. Sus destinatarios son principal-
mente profesionales y estudiantes de la ingeniería de diversas ramas, aunque por la importancia y vastedad del tema se torna útil para un am-
plio campo del conocimiento. Es de carácter didáctico, es decir está orientado a facilitar el aprendizaje. Se agrega un detalle: los autores nos comprometemos a responder las consultas de los lectores, relativas al contenido del libro, por el lapso de un año a partir de la fecha de edición. Para ello se habilita la siguiente dirección de correo electrónico: librogps@fceia.unr.edu.ar En este libro no se desarrollan las cuestiones atinentes a las aplica-
ciones y a las herramientas de medición y cálculo. No se trata de una subes-
timación de tales cuestiones, sino de la elección de temas prioritarios. En efecto, consideramos que la evolución de la tecnología de po-
sicionamiento satelital es, como otras, vertiginosa, por momentos abru-
madora, y que existe un peligro para quien intente aplicarla: confundir las herramientas de medición y cálculo y las técnicas de su manejo, con el conocimiento mismo. La experiencia nos indica que quien está munido de los funda-
mentos teóricos puede abordar, sin mayor dificultad, los manuales ins-
tructivos de los distintos modelos y las distintas marcas del instrumental y el software ofrecido en el mercado comercial. Por el contrario, quienes se acercan al tema sólo desde el manejo de un instrumento específico, a través de cursos facilitados por los pro-
veedores, se encuentran a corto plazo con insalvables dificultades. El libro surge de sucesivas elaboraciones de material didáctico para un curso de posgrado sobre el tema, el cual lleva ya diez años de desarrollo y se ha dictado en cinco universidades, participando hasta aho-
ra algunos centenares de profesionales de distintas titulaciones y de di-
verso origen geográfico. Sin temor a equivocarnos nos atrevemos a afirmar que, por su incidencia en una enorme gama de actividades humanas, el posiciona-
miento satelital deviene rápidamente, de cambio tecnológico en cambio cultural. Los autores PERSONAS E INSTITUCIONES Quienes escribimos este libro somos docentes de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura de la Universidad Nacional de Rosario y ejercemos nuestra labor en el Departamento de Geotopocar-
tografía de la Escuela de Agrimensura. A la vez integramos el Grupo de Geodesia Satelital de Rosario (GGSR). En cuanto a nuestra formación en Geodesia somos discípulos del Ing. Oscar Adolfo Parachú, ya fallecido, quien fuera el primer director del GGSR y de los cursos de posgrado sobre GPS. Él fue nuestro maestro de Geodesia. La Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas de la Univer-
sidad Nacional de La Plata estuvo desde un primer momento al frente de los estudios sobre GPS en nuestro país. Quienes encabezaron esa labor, en particular el Dr. Claudio Brunini y el Lic. Raúl Perdomo, nos brinda-
ron generosamente su apoyo, tanto en lo referente a nuestra labor de in-
vestigación como en la realización de cursos de posgrado. En la confección del libro hemos contado con la colaboración de la Ing. Beatriz Jiménez, también docente del Departamento de Geotopo-
cartografía. La Asociación de Profesores de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura ha hecho posible la publicación de esta obra otorgando un subsidio a tal fin. Eduardo Huerta Aldo Mangiaterra Gustavo Noguera i CONTENIDOS 1. Introducción 1.1 Introducción a la geodesia espacial I-1 1.1.1 El sistema Transit I-1 1.1.2 El Sistema de Posicionamiento Global GPS I-2 1.1.3 Tiempo I-3 1.1.4 Sistema GPS - Constitución I-4 1.2 Segmento espacial I-4 1.2.1 Constelación I-6 1.2.2 Identificación I-7 1.2.3 Relojes de los satélites I-7 1.2.4 Portadoras y códigos I-8 1.3 Segmento de control I-8 1.4 Segmento usuario I-9 1.4.1 Información en el receptor I-11 1.5 Modernización del Sistema I-11 1.6 Magnitudes y unidades de medida I-12 1.7 Algunas definiciones I-13 2. Nociones de Geodesia 2.1 Introducción II-1 2.2 Reseña histórica II-2 2.3 Aspectos conceptuales básicos II-6 2.4 Superficies de referencia II-8 2.4.1 Geoide II.8 2.4.2 Elipsoide de revolución II-10 2.5 Geodesia Clásica II-12 2.5.1 Levantamiento geodésico II-13 2.5.2 Asignación de coordenadas del origen P(B,L,h) II-13 2.6 Geodesia Satelital II-15 2.7 Transformación entre Marcos de referencia II-17 Contenidos ii 2.8 Elipsoide equipotencial II-20 2.9 Modelos de geoide II-20 2.10 Representación Plana II-22 2.10.1 Fundamentos. Ecuaciones de representación II-22 2.10.2 Representación conforme. Deformaciones II-24 3. La obtención de coordenadas 3.1 El problema de la pirámide III-1 3.1.1 Posicionamiento mediante código C/A III-2 3.1.2 La señal del satélite III-2 3.1.3 Medición de la distancia III-4 3.1.4 Relación entre código C/A, tiempo y distancia III-5 3.2 Ecuaciones de observación III-7 3.3 Precisión del posicionamiento III-8 3.3.1 Consideración de los errores III-9 3.3.2 Errores sistemáticos III-10 3.3.3 Errores accidentales III-11 3.4 Factor de configuración III-11 3.5 Otros sistemas de posicionamiento satelital III-14 3.5.1 Sistema GLONASS III-14 3.5.2 Descripción y constitución de GLONASS III-15 3.5.3 Sistemas europeos III-16 3.6 El programa GALILEO III-19 3.6.1 La constelación GALILEO III-20 3.6.2 Servicios GALILEO III-21 3.6.3 Atractivo del sistema GALILEO III-21 4. Posicionamiento con Código C/A 4.1 Posicionamiento absoluto IV-1 4.1.1 Modo estático IV-1 4.1.2 Modo móvil IV-1 4.1.3 Precisiones IV-2 4.2 Posicionamiento Diferencial IV-2 4.2.1 Corrección de posición IV-5 Contenidos iii 4.2.2 Corrección de distancias IV-6 4.2.3 Simples y dobles diferencias IV-8 4.2.4 Conclusión IV-9 4.3 Métodos de operación IV-9 4.3.1 Modo estático IV-9 4.3.2 Modo móvil IV-10 4.4 Precisiones IV-10 4.5 Aplicación de la corrección diferencial IV-11 4.5.1 Post-procesamiento IV-11 4.5.2 Corrección diferencial en tiempo real IV-12 4.5.3 WADGPS IV-12 5. Posicionamiento con fase 5.1 Introducción V-1 5.2 Fases. Conceptos básicos V-3 5.3 Caso satelital V-5 5.3.1 Observable ideal V-6 5.3.2 Observable real V-10 5.4 Posicionando Puntos con Fases de la Portadora V-11 5.5 Posicionamiento relativo estático V-13 5.5.1 Diferencias de fase V-14 5.5.2 La resolución de ambigüedades V-21 5.6 Posicionamiento relativo dinámico V-23 5.6.1 Método cinemático puro V-23 5.6.2 Método Stop & Go V-24 5.6.3 Método OTF V-24 5.7 Combinaciones lineales de fase V-26 5.8 Precisiones V-27 5.8.1 Posicionamiento estático V-27 5.8.2 Posicionamiento dinámico V-28 5.8.3 Mejoramiento de la precisión en vectores largos V-29 5.9 Coordenadas en tiempo diferido o real V-30 Contenidos iv 6. Georreferenciación 6.1 Conceptos básicos VI-1 6.2 La medida VI-3 6.2.1 Errores sistemáticos VI-5 6.2.2 Errores accidentales VI-6 6.2.3 Precisión VI-6 6.2.4 Precisión del promedio VI-7 6.2.5 Tolerancia VI-8 6.2.6 Propagación de errores y configuración VI-8 6.3 Ajuste o compensación VI-9 6.4 Criterios en georreferenciación con GPS VI-12 7. Bibliografía VII-1 Capítulo I I-1 Introducción 1.1 Introducción a la geodesia espacial Se puede decir que la era de la geodesia espacial fue efectivamen-
te iniciada por la URSS en octubre de 1957 con el lanzamiento del primer satélite artificial de la Tierra: el Sputnik I. Posteriormente pudo observarse que determinando el corrimiento Doppler de las señales radiodifundidas por el Sputnik, desde estaciones de posición conocidas, era posible establecer la órbita del satélite. Esto permitió el planteo inverso, es decir, si la órbita era conoci-
da previamente sería posible obtener la posición de un receptor en una ubicación cualquiera. Para ello habría que realizar observaciones durante varios pasos del satélite. Durante la década siguiente la investigaciones se orientaron a desarrollar y perfeccionar los métodos básicos de observaciones satelita-
les y de cálculo de órbitas encaminados a implementar sistemas de posi-
cionamiento y de determinación del campo de gravedad terrestre, lo que permitió crear el primer sistema de posicionamiento geodésico. 1.1.1 El sistema Transit Este sistema, concebido con fines exclusivamente militares, se basó en observaciones Doppler y entró en operaciones en el año 1964. Posteriormente, en 1967, se comenzó a utilizar en trabajos de tipo geodé-
sico tales como mediciones de redes geodésicas extensas, determinación de parámetros entre sistemas geodésicos, y otras aplicaciones científicas y tecnológicas. Estuvo funcionando hasta el año 1996. Su salida de operación se debió fundamentalmente a que un nuevo sistema estaba operando exito-
samente superando importantes deficiencias que caracterizaban a su pre-
decesor. I-2 Introducción Las principales deficiencias que presentaba el Sistema Transit eran:  Dada la escasa altura de las órbitas, éstas eran muy afec-
tadas por las variaciones del campo de gravedad.  La transmisión de la señal era fuertemente alterada por la refracción atmosférica debido a que la frecuencia de emisión era relativamente baja.  Se producían huecos en las observaciones muy grandes debido a la configuración y al número reducido de satéli-
tes de la constelación (entre 5 y 7). 1.1.2 El Sistema de Posicionamiento Global GPS La implementación del programa NAVSTAR, GPS (Navigation System Timing And Ranging, Global Positioning System) fue efectiva-
mente iniciada en diciembre de 1973. El 22 de febrero de 1978 fue lanza-
do el primer satélite de una serie de cuatro. La responsabilidad del desarrollo y mantenimiento del sistema recae en el Departamento de Defensa de los Estados Unidos, División Sistema Espacial. Esa dependencia se debía a que el sistema fue concebi-
do, igual que Transit, para uso militar. GPS es un sistema que tiene como objetivo la determinación de las coordenadas espaciales de puntos respecto de un sistema de referencia mundial. Los puntos pueden estar ubicados en cualquier lugar del planeta, pueden permanecer estáticos o en movimiento y las observaciones pue-
den realizarse en cualquier momento del día. Para la obtención de coordenadas el sistema se basa en la deter-
minación simultánea de las distancias a cuatro satélites (como mínimo) de coordenadas conocidas. Estas distancias se obtienen a partir de las señales emitidas por los satélites, las que son recibidas por receptores especialmente diseñados. Las coordenadas de los satélites son provistas al receptor por el sistema. Introducción I-3 Desde el punto de vista geodésico-topográfico, el Sistema GPS res-
ponde a dos requerimientos básicos:  Planteo directo o levantamiento: se tiene en el terreno un pun-
to materializado, un pilar con placa y marca, un mojón, etc. Se piden sus coordenadas en un sistema de referencia prefijado.  Planteo inverso o replanteo: se dan las coordenadas de un punto en un sistema de referencia determinado y se pide la locali-
zación de dicho punto, que, de no estarlo ya, será materializado en el terreno. La operatividad del sistema no implica un compromiso legal del go-
bierno de Estados Unidos. Por lo tanto la Agencia Cartográfica del Departa-
mento de Defensa, NIMA (National Imagery and Mapping Agency) puede modificar sin previo aviso su funcionamiento alterando, por ejemplo, el de-
nominado mensaje de navegación (en el que está incluida información esen-
cial para el cálculo como son las coordenadas de los satélites), limitando el acceso a uno o mas componentes de la señal, alterando el estado de los relo-
jes, degradando la precisión de las órbitas, etc. De todos modos el acceso a las señales que emiten los satélites es de carácter público, no requiriéndose licencia o autorización alguna, al menos hasta el año 2005. En la actualidad, el uso civil de GPS ha sobrepasado largamente el uso militar, convirtiéndose de hecho en un servicio público de carácter mundial de enorme importancia y con innumerables aplicaciones. Ante incesantes requerimientos, el gobierno de los Estados Uni-
dos se ha comprometido a mantener operativo el sistema al menos hasta el año 2010. 1.1.3 Tiempo El tiempo GPS está definido por el reloj atómico de Cesio de la Estación de Control Maestra (ver 1.3). I-4 Introducción El origen de la escala de tiempo GPS se fijó coincidente con el UTC (Tiempo Universal Coordinado), a las 0 horas del 6 de enero de 1980. La unidad del UTC es el segundo atómico, pero está sometido a periódicos reajustes a causa del movimiento irregular de la Tierra, razón por la cual la diferencia entre tiempo GPS y UTC, que se fijó en cero segundos en 1980, se fue modificando siendo el 1 de enero de 2005 de 13 segundos. Una unidad de tiempo utilizada por el sistema es el número de se-
mana GPS (NSGPS) equivalente a 604800 segundos. La cuenta de la semana GPS comenzó con el origen de la escala de tiempo GPS. Cuando se comple-
tó la semana 1023 la NSGPS se reinicializó, es decir, la medianoche de 21 de agosto de 1999 se comenzó a contar nuevamente desde 0. 1.1.4 Sistema GPS - Constitución Está constituido por tres segmentos fundamentales:  Espacial  De control  Del usuario 1.2 Segmento espacial Se puede observar en la Figura 1 la disposición aproximada que tienen los satélites de la constelación NAVSTAR, GPS que integran el segmento espacial Debido a que la vida útil de un satélite llega a término por enve-
jecimiento de los paneles solares, falta de capacidad de los acumuladores, averías no reversibles en los sistemas electrónicos o agotamiento del combustible de maniobra, se planificó su reemplazo en bloques. Los primeros satélites puestos en órbita fueron los integrantes del denominado Bloque I. Fueron lanzados desde la base Vandenberg, ubi-
cada en el estado de California. El total de satélites puestos en órbita fue 11 entre los años 1978 y 1985, utilizándose para ello cohetes Atlas-F. Introducción I-5 Estos primeros satélites tuvieron un peso de 845 Kg. y un promedio de vida efectiva de 7.5 años. Las órbitas descriptas tenían una inclinación de 63 grados respecto del Ecuador Figura 1 Los satélites del Bloque I fueron sustituidos progresivamente por los del denominado Bloque II. El primer satélite de este grupo fue lanza-
do en el año 1989 desde el Centro Espacial Kennedy en Cabo Cañaveral, estado de Florida. Cabe mencionar que este nuevo bloque adiciona varias innova-
ciones. Entre ellas la posibilidad de incorporar a la señal una perturbación denominada SA (Selective Availability) que no es otra cosa que la dismi-
nución intencional de la precisión del sistema, también se estableció una limitación al acceso del denominado código P. Estas características fue-
ron impuestas a los usuarios civiles por cuestiones de interés militar. El peso de estos satélites es de 1500 Kg. con un período de vida de aproximadamente 10 años. A partir de estos satélites se modificó la I-6 Introducción inclinación de las órbitas llevándolas a 55 grados. Se lanzaron un total de 9 satélites. En 1990 se comenzó con el lanzamiento de satélites que tenían ligeras diferencias respecto de la primer versión de este bloque. Este fue el denomina-
do Bloque IIA. La A significa Advanced. El 8 de diciembre de 1993 se habían puesto en órbita 15 satélites adicionales de este bloque, totalizando así 24 saté-
lites, fue entonces declarado al sistema en plena capacidad operativa. En 1996 fue lanzado el primer satélite del Bloque IIR. El agregado de R (replacement) se refiere a reemplazo o sustitución, es decir, estos satéli-
tes fueron reemplazando a los satélites que salían de operación. Esta versión tiene un peso de 2000 Kg. y se distingue por las mejoras introducidas en los relojes de a bordo. Finalmente se desarrolló la cuarta generación de satélites de este bloque, el denominado Bloque IIF con importantes mejoras en el sistema de navegación de a bordo. El lanzamiento de estos satélites comenzó en el 2001 y se prevé que seguirá hasta el 2010. Están diseñados para una vida útil de 15 años. Para la puesta en órbita de satélites de todas las versiones del Bloque II se utilizaron transbordadores espaciales, que transportan simultáneamente tres satélites en cada viaje, con la consecuente reducción de costos. Forman parte del equipamiento de cada satélite dos paneles solares y un sistema de propulsión Los paneles solares se utilizan para recargar los acumuladores que permiten el funcionamiento mientras el satélite pasa por la sombra de la Tierra. Desde el sistema de control terrestre es posible activar los sistemas de propulsión con el objetivo de corregir las órbitas de cada satélite o incluso cambiar de posición dentro de la misma órbita. 1.2.1 Constelación A fines de 1993 cuando fue completada la constelación de satélites del sistema sus características eran las siguientes: Introducción I-7  Compuesta por 24 satélites.  Los satélites se ubican en 6 órbitas planas prácticamente circula-
res, con inclinación de 55º respecto al plano del Ecuador y con una distribución aproximadamente uniforme; con 4 satélites en cada órbita.  Se encuentran aproximadamente a 20180 km de altura.  Tienen 12h de período de rotación (en tiempo sidéreo) u 11h 58m (en tiempo oficial).  También hay satélites en órbita que se encuentran desactivados y disponibles como reemplazo.  Con la constelación completa, se dispone, en cualquier punto y momento, entre 5 y 11 satélites observables, con geometría favo-
rable.  El tiempo máximo de observación de un satélite es de hasta 4 horas 15 minutos. Con la incorporación de los satélites de los Bloques IIR y IIF la constelación tiene a principios del 2005, 29 satélites en órbita, distribuidos en los seis planos orbitales. La cantidad de satélites por plano es 4, 5 ó 6 según la órbita. 1.2.2 Identificación La identificación de los satélites puede hacerse de varias formas: por su orden de lanzamiento, por la órbita y posición que ocupa en ella, o por su PRN o Ruido Pseudo Aleatorio (Pseudo Random Noise) característico y exclusivo de cada satélite, el que será más adelante descripto en el Capítulo III. 1.2.3 Relojes de los satélites Los relojes de los satélites, son en realidad osciladores atómicos, los que por su alta frecuencia y la gran estabilidad de la misma, permiten efec-
tuar mediciones de tiempo con elevada precisión. La estabilidad se caracteriza por el valor Δf/f, donde Δf indica la variación de frecuencia posible en un período dado (por ejemplo un día) y f indica la frecuencia propia del reloj. A modo de ejemplo podemos citar los siguientes valores (ver en Bibliografía: Leick A,1995). I-8 Introducción Tipo de reloj Estabilidad Δf/f Rubidio 10
Cesio 10
Si vinculamos la frecuencia con la medición de tiempo es posible demostrar que (t indica el tiempo transcurrido y Δt el error posible en la medición de t) Esto nos permite afirmar que, considerando un reloj de rubidio y el tiempo que la señal tarda en recorrer la distancia satélite-receptor (aproximadamente 0.066 segundos), el valor Δt es del orden de 66 . 10
-15 segundos, y consecuentemente el error posible en la medición de la dis-
tancia no excedería las dos centésimas de milímetro 1.2.4 Portadoras y códigos Todos los satélites emiten dos ondas portadoras en la banda L (1000 Mhz a 3000 Mhz). La portadora L1 está modulada por dos códigos (C/A y P) y la L2 solo por el código P. Ambas portadoras incluyen además el denominado mensaje de navegación. Más adelante en el Capítulo III se brindarán al-
gunos detalles sobre la estructura de señal emitida. 1.3 Segmento de control Las funciones principales del segmento de control, denominado internacionalmente con las siglas OCS (Operational Control Segment) son:  Monitoreo y control permanente de los satélites con el objeto de determinar y predecir las órbitas y los relojes de a bordo. t
f  
Introducción I-9  Sincronización de los relojes de los satélites con el tiempo GPS  Transmisión, a cada satélite, de la información procesada. Está integrado por una Estación de Control Maestra (MCS), va-
rias Estaciones de Monitoreo (MS) y Antenas Terrestres (GA). Las estaciones de monitoreo tienen coordenadas conocidas con gran precisión y están equipadas con receptores GPS de doble frecuencia L1/L2 y un reloj de Cesio. Su función es determinar las distancias a todos los satélites visibles y transmitirlas a la estación de control maestra junto con los datos meteorológicos de cada estación. Con los datos recibidos de las estaciones monitoras, la estación maestra, ubicada en la Base de la Fuerza Aérea Schriever en el estado de Colorado, calcula los parámetros orbitales y los de los relojes y poste-
riormente los transmite a las antenas terrestres que los transfieren a los satélites a través de un enlace vía banda S. Como se puede observar en la Figura 2, el segmento de control está integrado por 10 estaciones. Estas están ubicadas en:  Colorado Springs (EUA)  Isla Ascensión (Atlántico Sur)  Diego García (Índico)  Kwajalein (Pacífico Occidental)  Hawaii (Pacífico Oriental)  Quito (Ecuador)  Buenos Aires (Argentina)  Hermitage (Inglaterra)  Bahrein (Golfo Pérsico)  Smithfield (Australia). 1.4 Segmento usuario Está constituido por los instrumentos utilizados para recepcionar y procesar la señal emitida por los satélites. I-10 Introducción Estos instrumentos están integrados esencialmente por una ante-
na y un receptor. Un equipo complementario es usado, en ocasiones, para transferir datos entre receptores. Buenos Aires
Figura 2 La antena está conectada por cable al receptor o en otros casos forman una sola unidad. Las coordenadas que se calculan corresponden al centro radioeléctrico de la antena. El receptor consta de un mínimo de 4 canales (generalmente 10 ó 12) que permiten recepcionar y procesar simultáneamente la señal de cada satélite. Posee además un oscilador de cuarzo que permite generar la fre-
cuencia de referencia para realizar la observación (ver 3.1.3). Un microprocesador interno con el software correspondiente calcula Introducción I-11 las coordenadas de la antena y la velocidad y acimut si el aparato está en movimiento. Posee además una memoria para almacenar observaciones. La capacidad de esta memoria varía de acuerdo al tipo de receptor, pudiendo llegar a almacenar información durante varias decenas de horas. Todo equipo adiciona una unidad de alimentación eléctrica que deberá brindar al receptor la autonomía necesaria. Los equipos están en continuo desarrollo y su evolución es com-
parable a la experimentada en informática durante las últimas décadas para los ordenadores personales. 1.4.1 Información en el receptor Una vez en funcionamiento, el receptor puede ofrecer al operador una muy amplia y diversa información sobre el proceso de observación, mientras recibe las señales de los satélites. Aunque varía entre diferentes modelos, se suele disponer de la información siguiente:  Satélites localizados  Satélites en seguimiento  Intensidad de cada señal recibida  Condición de cada satélite en seguimiento  Posición : longitud, latitud, altitud  Calidad de la geometría de observación. Según la precisión con que se pueden obtener los resultados, pode-
mos clasificarlos en receptores: Geodésicos -Topográficos- Navegadores. 1.5 Modernización del Sistema El departamento de defensa de EUA ha comunicado oficialmente, en el año 2000, la decisión de modernizar el sistema I-12 Introducción En el comunicado anuncia como primera fase del proceso la in-
corporación del código C/A a L2 con el objetivo de mejorar las presta-
ciones para la comunidad civil. Posteriormente se prevé adicionar un nuevo código denominado M sobre L1 y L2 para uso exclusivamente militar. En la próxima fase se proyecta la emisión de una nueva portadora denominada L5 con una frecuencia nominal de 1176 MHz, con un nuevo tipo de modulación, la que será utilizada en aplicaciones que requieran posicionamiento instantáneo de precisión, por ejemplo, para casos de navegación aérea. Se encuentra en etapa de definición y diseño una nueva versión para el sistema denominada GPSIII, cuyo objetivo será responder a los requerimientos tanto civiles como militares para los próximos 30 años. Esta nueva versión presenta innovaciones tanto en la arquitectura de los satélites como en el segmento de control. 1.6 Magnitudes y unidades de medida A continuación se muestran dos tablas. En la primera se listan los prefijos utilizados para designar los múltiplos y submúltiplos que se utili-
zarán (nombre, símbolo y valor). En la segunda se muestran las magnitudes utilizadas y ejemplos de cantidades. Nombre Símbolo Valor Exponente de 10 Giga G 9 Mega M 6 Kilo K 3 Mili m -3 Micro 
-6 Nano n -9 Pico p -12 Introducción I-13 Magnitud Unidad Algunas cantidades Tiempo 1 s Lapso del código C/A = 1 ms Longitud 1 m Longitud de onda de L1 ~ 0.19 m Velocidad 1 m/s C ~ 300000 km/s = 0.3 m/ns Frecuencia 1 hz = 1 ciclo/s Frecuencia de L1 ~ 1.5 Ghz 1.7 Algunas definiciones Definimos como Efemérides al conjunto de parámetros que per-
miten calcular la órbita de cada satélite y su posición dentro de la misma, es decir, sus coordenadas; podemos distinguir entre: Efemérides transmitidas: el usuario las recibe en el instante de observa-
ción, contenidas en la señal del satélite. Consisten en un conjunto de pa-
rámetros que permiten extrapolar la ubicación del satélite durante cuatro horas (2 hs. antes y 2 hs. después del tiempo de referencia). La estación de control maestra las envía al satélite y éste al usuario. Efemérides precisas: son calculadas a posteriori, por interpolación, conside-
rando la efectiva posición de cada satélite obtenida mediante las observacio-
nes efectuadas desde las estaciones de control. El usuario las puede tener disponibles desde varias fuentes a través de Internet. Estas efemérides pro-
porcionan coordenadas más precisas que las transmitidas. Almanaque: es la versión simplificada de las efemérides, permite calcular las coordenadas de los satélites en forma aproximada; su validez es de seis meses, aunque es recomendable su actualización semanal. Datum: en algunos receptores aparece este término, que se refiere a los parámetros que definen el Sistema de Referencia utilizado por el receptor, por lo tanto debe prestarse especial atención a su configuración. Escalas de tiempo Definidas por la rotación de la Tierra: I-14 Introducción  Tiempo Universal o Solar (UT)  Tiempo Sidéreo (ST) Definidas por osciladores atómicos:  Tiempo Universal Coordinado (UTC)  Tiempo GPS (GPST) Convenciones locales:  Tiempo oficial local (HL=UTC-K) K: constante definida por cada país Buenos Aires, 2005; K = - 3 hs. Capítulo II II-1 Nociones de Geodesia 2.1 Introducción Según Friedrich Robert Helmert (1880), la geodesia es la ciencia encargada de la medición y representación cartográfica de la superficie terrestre. Esta definición involucra no solamente la determinación de la forma y dimensiones de la Tierra sino también la determinación del cam-
po de gravedad terrestre. El concepto de geodesia fue posteriormente extendido y actualmente su estudio incluye la medición de los fondos oceánicos estando además ligada a la exploración espacial lo que permite estudiar, en el sentido geodésico, otros cuerpos celestes (por ejemplo: la Luna). Constituye también un tema importante de la geodesia moderna, el estudio de las variaciones temporales, tanto de las coordenadas de los puntos fijos como del campo de gravedad. En algunos aspectos (geométricos), se puede pensar a la geodesia como una continuación de la topografía. Desde ese punto de vista ambas tienen como objetivo común la determinación de las Formas Dimensiones Ubicación de una parte de la superficie terrestre. Mientras la topografía se ocupa de pequeñas extensiones (lo que permite el uso de métodos de medición y cálculo simplificados), la geo-
desia tiene como meta grandes extensiones (una región, una provincia o incluso todo el planeta). Recordemos además que la topografía se ocupa del levantamiento de los detalles (relleno) que configuran la superficie terrestre (sean estos naturales o artificiales), mientras que la geodesia tiene como objetivo principal el apoyo o control horizontal y vertical para tareas de levanta-
miento y replanteo (Figura 1) en distintas áreas de aplicación como: ca-
II-2 Nociones de Geodesia tastro, construcción de grandes obras de ingeniería, exploración geofísica, líneas de conducción eléctrica, vías de comunicación, saneamiento, mi-
crogeodesia en la construcción y en la industria, cartografía básica. Figura 1 Cabe destacar además el importante papel que cumplen las redes geodésicas en la construcción de los sistemas de información geográficos (GIS) al posibilitar la correlación de información de distinto origen a través de su georreferenciación (Figura 2). 2.2 Reseña histórica Desde tiempos muy remotos el hombre se ha planteado interro-
gantes tales como ¿Cuál es la forma de la Tierra? ¿Cuáles son sus dimen-
siones? Estas preguntas dieron origen a la Geodesia. Eratóstenes, director de la biblioteca del Museo de Alejan-
dría, realizó la primera medición de la circunferencia de la Tierra usando una técnica extremadamente simple. La experiencia consistió en lo siguiente: en el momento en que el Sol estaba directamente sobre Siena (hoy Asuan) de modo tal que el fondo de un pozo fuera totalmente iluminado por los rayos solares, en Alejandría se efectuó la medición de la sombra proyectada por una varilla vertical (s) de altura conocida (h) (Figura3). Nociones de Geodesia II-3 Figura 2 A partir de la relación s/h, Eratóstenes dedujo que en Alejandría el Sol estaba a 1/50 de círculo debajo del cenit mientras en Siena estaba en la vertical. Así calculó la circunferencia de la Tierra multiplicando la distan-
cia entre Alejandría y Siena por cincuenta. La distancia fue estimada en 5.000 estadios, a partir del tiempo que demandó el viaje entre ambas pobla-
ciones (50 días en camello), por lo que la circunferencia terrestre debería ser 250.000 estadios. Aunque la longitud del estadio (unidad utilizada en Egipto en esa época) en términos de unidades modernas es bastante incierta, esto daría como resultado un perímetro de 39.820 km. correspondiente a un radio de 6.338 km., muy cerca del valor verdadero. No obstante actualmente se cree que los resultados obtenidos fueron afortunados, ya que existieron elementos de juicio equivocados en esa determinación, a pesar de lo cual esa medición del tamaño de la Tierra fue un importante progreso para la época. Durante los próximos siglos, incluida la Edad Media completa, los estudios sobre la forma de la Tierra y sus dimensiones fueron abandonados. Apoyo Geodésico
II-4 Nociones de Geodesia Figura 3 Una nueva época en el estudio de la forma y dimensiones de la Tierra (siglo XVII) comenzó después que la ley de gravitación universal fuera enunciada por Newton. Partiendo de la suposición de que nuestro planeta en otros tiem-
pos estuvo en un estado de líquido incandescente, Newton postuló que la Tierra debería tener una forma de esferoide aplastada en los Polos debido al movimiento de rotación terrestre que genera una fuerza centrífuga normal al eje, que adquiere un valor máximo en el Ecuador hasta anularse en los Polos. Esta teoría se podía comprobar determinando la longitud de arcos de meridianos correspondiente a una variación de latitud de un grado. Si la longitud de un arco de meridiano determinado, resultara mayor que otro mas alejado del Ecuador, quedaría demostrado el achatamiento de la Tierra en los polos. R
Nociones de Geodesia II-5 En esa época Snellius (Holanda) inicia una nueva etapa en la Geodesia al introducir el método de triangulación en los trabajos geodési-
cos, superando así las dificultades que ofrecían las mediciones de distan-
cias sobre la superficie terrestre, produciendo además un considerable aumento en las precisiones. Cassini (Francia) a partir de mediciones erróneas anuncia un esfe-
roide alargado en los polos (Figura 4). Se produce entonces una fuerte controversia entre ambos científicos. Figura 4 En el siglo XVIII se resuelve la controversia a partir de dos expe-
diciones geodésicas que dispone realizar la Academia de Ciencias de París: una a Laponia cercana a la latitud 66º; otra al Perú cercana al Ecuador. Los resultados de estas expediciones confirmaron la concepción de Newton. Durante los siguientes 200 años las determinaciones del radio y aplastamiento de la Tierra se convirtieron en más precisas a medida que las técnicas geodésicas se fueron refinando. En la primera mitad del siglo XX el método utilizado para los levantamientos geodésicos fue fundamentalmente el de triangulación R
II-6 Nociones de Geodesia basado en la trabajosa medición de una base con hilos invar y en medi-
ciones angulares. En la segunda mitad del siglo XX irrumpieron los elec-
trodistanciómetros, facilitando notablemente la medición de distancias con adecuada precisión. Esto produjo una predilección por la trilatera-
ción (Figura 5). Figura 5 Sobre fines del siglo XX los geodestas tienen acceso masivo al Sistema de Posicionamiento Global que permite el posicionamiento pre-
ciso de puntos terrestres a partir de señales provenientes de satélites arti-
ficiales diseñados para ese fin. 2.3 Aspectos conceptuales básicos Como ya se mencionó, la topografía y la geodesia (en su aspecto geométrico) se plantean como cuestión fundamental la determinación de las formas, dimensiones y ubicación de un sector de la superficie terres-
tre. Este sector puede corresponder a un área muy pequeña (algunas de-
Electrodistanciómetros
Nociones de Geodesia II-7 cenas de metros cuadrados) o a una muy grande (con extensión continen-
tal o mundial). Cuando se trata de definir la forma, dimensiones y ubicación de un objeto irregular, (es el caso de la superficie de la Tierra) podemos pensar en reducir el problema a la determinación de la posición espacial de puntos adecuadamente elegidos de ese objeto, a partir de los cuales podemos inferir un resultado. Es decir que la discretización del problema planteado permite obtener una solución, que será tanto más precisa cuan-
do mayor sea la densidad y la calidad de los puntos seleccionados. Justamente en topografía y geodesia, el punto es la entidad gene-
radora de la superficie terrestre. El problema tal cual está planteado queda entonces resuelto si de-
terminamos las coordenadas espaciales de los puntos mencionados (Figu-
ra 6). Las coordenadas pueden ser, por ejemplo, las cartesianas ortogona-
les x, y, z o las polares , ,  correspondientes a una terna de ejes. Figura 6 Es necesario entonces definir un sistema de coordenadas terres-
tres, ello implica establecer la ubicación del origen del sistema y la orien-
tación de por lo menos dos de los ejes de tal manera que el sistema per-
manezca fijo respecto de la Tierra. Se define así un sistema trirrectangu-
lar de mano derecha con origen en el centro de masas de la Tierra, con su z
II-8 Nociones de Geodesia eje Z apuntando al Polo Norte Convencional y su eje X pasando por la intersección del plano del Ecuador y del meridiano de Greenwich. Una vez concebido el sistema de referencia, se presenta un pro-
blema adicional: ¿Cómo utilizar en la práctica el sistema previamente definido? La manera de hacerlo es a través de un conjunto de puntos fijos que previamente se materializan en forma permanente sobre la superficie terrestre y cuyas coordenadas en dicho sistema son conocidas. Estos pun-
tos constituyen un marco de referencia geodésico. Entonces, el problema práctico de posicionamiento se reducirá a la determinación de la ubica-
ción relativa de puntos respecto del marco de referencia mencionado. 2.4 Superficies de referencia 2.4.1 Geoide Si bien la superficie física de la Tierra puede ser representada punto a punto por medio de coordenadas como las descriptas hasta aquí, existen una gran cantidad de requerimientos prácticos (la mayoría vincu-
lados a la determinación de la dirección de escurrimiento del agua) que imponen la determinación de alturas respecto de una superficie de nivel (superficie horizontal). Cabe señalar que las coordenadas espaciales de un punto consti-
tuyen una referencia puramente geométrica mientras que las alturas refe-
ridas en último término dependen del campo de gravedad terrestre, el que a su vez depende de la distribución de masas en el interior del planeta, adquiriendo así un significado físico. Inmediatamente surgen dos preguntas: a) ¿Qué es una superficie de nivel? b) ¿Por qué es necesario determinar la distancia de los puntos a esa superficie? Se define como superficie horizontal, o superficie de nivel o superfi-
cie equipotencial del campo de gravedad a aquella que en todos sus pun-
tos es normal a la dirección de la vertical del lugar, la cual coincide con la Nociones de Geodesia II-9 dirección de la gravedad en cada punto y es la dirección de la resultante de la fuerza de atracción de la masa terrestre y la fuerza centrífuga produ-
cida por la rotación terrestre (Figura 7). Figura 7 La Tierra aparecerá entonces, laminada por superficies equipo-
tenciales o de nivel de las cuales se destaca una, la que mejor se ajusta al nivel medio del mar; es el geoide. Todas estas superficies tienen la propiedad común de que si se deposita sobre ellas una partícula de agua, ésta no sufrirá ningún despla-
zamiento. Es ahora sencillo entender por qué ese requerimiento adicional, claro, la determinación de la distancia (según la dirección de la vertical) entre puntos de la superficie terrestre y una superficie de nivel tomada como superficie de referencia nos permitirá definir, en principio, la di-
rección y velocidad del escurrimiento del agua entre dichos puntos. A esta altura del análisis del problema ya se pueden identificar dos componentes de origen independiente: a) Una componente geométrica (coordenadas espaciales) Vertical
II-10 Nociones de Geodesia b) Una componente física vinculada al campo gravitatorio terrestre (vertical o superficie de nivel). Desde ya se puede mencionar que un problema central es definir correctamente las superficies de nivel. Como ya se adelantó la configura-
ción de estas superficies de nivel, dependerá de la distribución de masas en el interior de la Tierra, que es desconocida. 2.4.2 Elipsoide de revolución Desde el punto de vista geométrico, las coordenadas cartesianas, aunque adecuadas para el cálculo, no proporcionan una idea clara e in-
mediata de la posición de los puntos sobre la superficie terrestre. Por esa razón, en geodesia, es usual referir la posición espacial de puntos a una superficie que aproxime la forma de la Tierra. En ese sentido se define como superficie geométrica de referencia la que corresponde a un elip-
soide de revolución. La forma y dimensión del elipsoide de revolución terrestre queda determinada por dos parámetros (por ejemplo, a: semieje mayor y b: se-
mieje menor), además es necesario definir su ubicación y orientación. Tanto su forma y dimensiones, dadas por a y b, como su ubica-
ción y orientación se obtienen tratando de ajustarlo de la mejor manera posible al geoide. El centro del elipsoide coincide así con el origen del sistema cartesiano y el semieje menor con el eje Z. Es posible entonces obtener las coordenadas elipsóidicas o geodésicas B, L y h (Figura 8). De esta manera cada sistema de referencia geodésico tendrá aso-
ciado un elipsoide de revolución. Las coordenadas geodésicas del punto P se definen de la siguien-
te manera: - La latitud geodésica B es el ángulo entre el plano del Ecuador y la normal al elipsoide que pasa por el punto P medida en el plano del meridiano del punto. El origen de las latitudes es el Ecuador y varía entre 0° y 90° en el hemisferio norte y entre 0° y -90° en el hemisferio sur. Nociones de Geodesia II-11 Meridiano de Greenwich
Polo convencional terrestre
P (punto a posicionar)
Figura 8 - La longitud geodésica L es el ángulo del diedro determinado por el meridiano de Greenwich, es decir el plano (x, z) y el meridiano que contiene al punto P. La longitud varía entre 0° y 180° medida desde el meridiano de Greenwich hacia el este y 0° y -180° me-
dida desde el meridiano de Greenwich hacia el oeste. - La altura geodésica h es la distancia entre el punto y el elipsoide medida a lo largo de la normal al elipsoide. La altura es positiva por encima del elipsoide y negativa por debajo de él. La utilización de este último tipo de coordenadas permite ubicar al punto en altura por medio de h (en este caso respecto del elipsoide adoptado) y determinar la posición de su proyección sobre el elipsoide por medio de B y L. Resumiendo se puede decir que tanto las coordenadas cartesianas geocéntricas (x, y, z), las polares (, , ) como las coordenadas geodésicas (B, L, h) representan formas distintas de expresar la posición espacial de un punto. Existen fórmulas que permiten realizar las conversiones entre estos diferentes tipos de coordenadas (ver en Bibliografía: Leick A., 1997) II-12 Nociones de Geodesia A modo de ejemplo se puede decir que típicamente las coordena-
das cartesianas rectangulares se utilizan en geodesia espacial y en micro-
geodesia, las polares en campo de gravedad, las coordenadas elipsóidicas se utilizan en geodesia clásica y sus representaciones planas en cartografía. 2.5 Geodesia Clásica La geodesia clásica realizaba sus levantamientos a partir de un punto origen al que previamente se le asignaban coordenadas elipsóidicas con el auxilio de la astronomía geodésica y de la nivelación geométrica de precisión (2.5.2). Este origen tiene asociado también una orientación (acimut) necesaria para el posterior levantamiento de puntos. A partir de ese origen se transportaban las coordenadas B y L a otros puntos de la red basándose en mediciones angulares, de distancias y del cálculo elip-
sóidico correspondiente. La tercer coordenada geodésica h (altura elipsóidica), aunque conjuntamente con B y L permiten ubicar unívocamente un punto en el espacio, en general, para la geodesia clásica fue imposible determinarla, es decir, que se trataba de levantamientos bidimensionales. Junto con las coordenadas geodésicas B y L era usual que se pu-
blicara la altitud medida respecto de una superficie equipotencial, usual-
mente el geoide, denominada ortométrica, la cual puede obtenerse en una primera aproximación por medio de nivelación geométrica de precisión. Por esta razón, en la República Argentina, con el uso de la geo-
desia clásica se han materializado sobre el territorio las siguientes redes: - Por un lado, la red de puntos trigonométricos (con sus correspon-
dientes pilares de acimut) constituida por un conjunto de puntos monumentados con las coordenadas geodésicas B (latitud) y L (longitud) correspondientes. - Por otro, las redes de nivelación, referidas a las alturas de algunas estaciones mareográficas (que definen el nivel medio del mar), también materializadas por un conjunto de mojones de los cuales se determinaron las alturas ortométricas aproximadas H. Nociones de Geodesia II-13 2.5.1 Levantamiento geodésico Para la geodesia clásica ha sido imposible definir un Sistema de Referencia único para todo el planeta. Así es que existen múltiples mar-
cos de referencia geodésicos en los que el ajuste entre elipsoide y geoide se planteaba a nivel regional, con un origen que en general se encontraba desplazado respecto del geocentro. El procedimiento utilizado para definir este tipo de marcos de re-
ferencia regionales ha sido el siguiente: En un punto elegido como origen del levantamiento a) Se determinaba la altura H sobre el nivel medio de mar me-
diante nivelación geométrica de precisión. b) Se determinaban las coordenadas astronómicas: latitud m, y la longitud e mediante Astronomía Geodésica. c) Se determinaba un acimut astronómico de orientación en el arranque mediante Astronomía Geodésica. d) Se realizaba la medición de una longitud denominada base. 2.5.2 Asignación de coordenadas del origen P (B, L, h) B = m aproximación válida en el orden de 200 m L = - e aproximación válida en el orden de 200 m El orden de las aproximaciones indicadas anteriormente se debe a que mientras las coordenadas astronómicas están referidas a la dirección de la vertical, las coordenadas geodésicas están referidas a la dirección de la normal, el ángulo entre ambas direcciones es el denominado desvío de la vertical. h = H aproximación válida en el orden de 50 m. El orden de la aproximación anterior se debe a que la altura or-
tométrica está referida al geoide mientras que la altura elipsóidica está referida al elipsoide. II-14 Nociones de Geodesia En la Figura 9 se puede visualizar el significado de la asignación anterior, supuesto por comodidad el desvío de la vertical en el plano del dibujo. De ella deducimos que las coordenadas asignadas a P son en rea-
lidad las coordenadas geodésicas de un punto P
necesariamente próximo a P (para tener una idea, como ya se dijo, 100, 200 ó 300 metros). Figura 9 Esto es equivalente entonces, a desplazar en el arranque, el elip-
soide terrestre centrado en el centro de masas de la Tierra, según el vec-
P, lo que significa que entre el elipsoide y el geoide existe un punto de contacto en el cual ambas superficies son tangentes. En resumen se puede decir que en la geodesia clásica las redes son calculadas sobre un elipsoide propio no centrado cuya ubicación y orientación dependerá del punto de arranque elegido. En la República Argentina durante las últimas décadas y hasta mayo de 1997 el marco de referencia oficial fue el denominado Campo Inchauspe 1969 (CAI69), el que fuera definido mediante los procedi-
mientos indicados y que son propios de la geodesia clásica. El elipsoide asociado a dicho marco es el de Hayford. Su origen y orientación espacial se ajustaron para que fuera tangente al geoide en el paraje Campo In-
chauspe ubicado en la provincia de Buenos Aires. P
normal n 1
normal n(B,L)
Nociones de Geodesia II-15 Los parámetros geométricos correspondientes al elipsoide de Hayford son: semieje mayor a = 6378388 m aplastamiento 297
 donde b es el semieje menor Cabe señalar que el marco de referencia CAI69 cuenta con, aproximadamente, 18000 puntos. 2.6 Geodesia Satelital A partir de las observaciones satelitales es posible determinar la posición espacial de puntos terrestres a través de tres coordenadas que estarán referidas a un sistema de referencia global. Según la definición convencional adoptada por la Asociación Internacional de Geodesia y por la Unión Astronómica Internacional, el Sistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRS) es una terna trirrec-
tangular de mano derecha, de ejes x, y, z, cuyo origen coincide con el centro de masas de la Tierra, su eje z pasa por el polo convencional te-
rrestre definido por el Servicio Internacional de Rotación de la Tierra (IERS). Los ejes x e y son perpendiculares al eje z, con el eje x definido por la intersección del meridiano de Greenwich, también definido por el IERS, y el plano del ecuador terrestre. Con el aporte de los servicios científicos de la Asociación Inter-
nacional de Geodesia, ha sido posible materializar sobre la superficie terrestre sistemas de referencia geocéntricos en los cuales el ajuste entre elipsoide y geoide se plantea a nivel global. Cada uno de estos servicios utiliza una técnica de observación distinta: - Servicio Internacional de GPS (International GPS Service. IGS) - Servicio Internacional de rastreo láser (International Laser Ran-
ging Service. ILRS) II-16 Nociones de Geodesia - Servicio Internacional de Interferometría sobre líneas base muy largas para geodesia y astronomía (International VLBI Service for Geodesy and Astrometry. IVS). Figura 10 Red Posgar 94
Puntos Posgar
Nociones de Geodesia II-17 Cabe mencionar que a partir de múltiples recomendaciones, en la República Argentina se decidió adoptar el Sistema de Referencia WGS84 (World Geodetic System 1984), de origen satelital. Para materializarlo se desarrolló el proyecto Posgar (Posiciones Geodésicas Argentinas). Se trata de una red constituida por 127 puntos (Figura 10) distribuidos más o menos regularmente sobre el territorio nacional (la distancia promedio entre puntos es de aproximadamente 200 Km.) y está basada en medicio-
nes GPS. En mayo de 1997, luego de realizadas las observaciones y el cálculo correspondiente, fue adoptado oficialmente a través de la resolu-
ción 13/97 del Instituto Geográfico Militar, el nuevo marco de referencia geodésico en la Argentina que recibe el nombre POSGAR 94. Este marco usa el elipsoide denominado WGS84 definido por los siguientes parámetros: semieje mayor a = 6378137 m aplastamiento o = 1/298.257223563. 2.7 Transformación entre Marcos de Referencia Dado un punto P cuyas coordenadas cartesianas son conocidas en un marco de referencia, muchas veces es necesario calcular las coordena-
das de dicho punto en otro marco. Dos marcos quedan vinculados a través de siete parámetros: tres tras-
laciones, tres rotaciones y un factor de escala. Conocidos los siete parámetros, existen expresiones que permiten realizar la transformación señalada. Los primeros parámetros de transformación conocidos entre Campo Inchauspe 69 y WGS84 fueron las tres componentes del desplazamiento entre los orígenes de ambos sistemas, determinados por la Agencia Cartográfica del Departamento de Defensa (DMA) de los Estados Unidos de América (hoy denominado NIMA) en el año 1991 a partir de observaciones realizadas por el Sistema Transit en Argentina. Estos valores son: Δx = -148 m Δy = 136 m Δz = 90 m II-18 Nociones de Geodesia y fueron determinados con una incertidumbre del orden de los 5 metros. Las coordenadas en el nuevo marco se calculan con: Esta transformación al realizarse con solo tres parámetros, supone que el factor de escala es igual a la unidad y que las tres rotaciones son nulas (Figura 11). Figura 11 La transformación de siete parámetros se realiza con la expresión: (II-1) +
Rx Rz -
Ry Rz 1
Desplazamiento ~ 220 m.
Nociones de Geodesia II-19 donde: Δx, Δy, Δz : son las componentes del desplazamiento del origen Rx, Ry, Rz: son las rotaciones de los ejes k: es el factor de escala La expresión (II-1) es válida para Rx, Ry, y Rz pequeños, los que están expresados en radianes. En junio de 1996, C. Brunini, J. Olondriz y R. Rodríguez, en su trabajo Determinación de parámetros de transformación entre los sistemas de Campo Inchauspe 1969 y WGS84 en Argentina, determi-
naron nuevos parámetros utilizando 50 puntos con coordenadas co-
nocidas en ambos marcos. Se calcularon los parámetros consideran-
do sólo las tres componentes del desplazamiento del origen; se reali-
zó también el cálculo adicionando el factor de escala y las rotaciones de los ejes (Figura 12) y finalmente se determinaron los coeficientes correspondientes a las fórmulas de regresión múltiple para la latitud y longitud (bidimensional). Figura 12 z
A A A x, y, z
II-20 Nociones de Geodesia Los autores mencionados determinaron además, a través del ajus- te correspondiente, la desviación estándar de los residuos correspondien-
tes a las coordenadas horizontales. Respecto de la determinación de estos parámetros es importante recordar que en el marco CAI69 no se dispone de alturas elipsóidicas, es decir, tiene carácter bidimensional. Si además se tienen en cuenta los errores propios de cada marco se puede decir que para la coordenada h, la transformación, sólo permite obtener un valor aproximado cuyo error sería difícil precisar. 2.8 Elipsoide equipotencial Así como se define un elipsoide de revolución como superficie de referencia geométrica, para modelizar el campo de gravedad externo de la Tierra, la geodesia adopta el mismo elipsoide al cual le asigna la masa total y la velocidad angular de la Tierra requiriéndose además que la su-
perficie del elipsoide sea una superficie equipotencial de su propio campo de gravedad. Al campo de gravedad generado por este modelo se lo de-
nomina campo de gravedad normal. De acuerdo al Teorema de Stokes-
Poincaré, el campo de gravedad normal queda unívocamente determinado en el espacio exterior del elipsoide. 2.9 Modelos de geoide ¿Nivelando con GPS? En la práctica la expresión h = H + N (Figura 13) se puede consi-
derar como válida ya que el desvío de la vertical (i) es un valor muy pe-
queño (nunca se encontró un valor que supere los 30”). Como se verá en el Capítulo III, con GPS se pueden determinar las coordenadas cartesianas x, y, z de un punto, luego aplicando las fórmulas de conversión correspon-
dientes se podrán calcular inmediatamente las coordenadas geodésicas B, L y h. Posteriormente se podrá calcular la cota ortométrica H (la que interesa en nivelación) si el valor de N en ese punto es conocido, donde N represen-
ta la distancia geoide-elipsoide denominada ondulación del geoide. Nociones de Geodesia II-21 Figura 13 Si se trata de determinar la dirección del escurrimiento del agua entre dos puntos es necesario determinar la diferencia de alturas ortomé-
tricas (en primera aproximación, ya que solo las cotas dinámicas poseen esta propiedad). Más precisamente, podremos decir que si se consideran los puntos P y Q, resulta: h
P = (h
) es decir, que la diferencia de nivel será igual a la diferencia de altura elip-
sóidica sólo si la diferencia de ondulación es nula, de lo contrario habrá que conocer la diferencia de ondulación. Cabe señalar que en la práctica existen múltiples aplicaciones, fundamentalmente las de orden topográfico, en las cuales, bajo determi-
nadas condiciones resulta válido despreciar la diferencia de ondulación. El problema inverso consistirá en determinar ondulaciones en Elipsoide de Referencia
II-22 Nociones de Geodesia puntos discretos de una región que permitan inferir (por interpolación) la ondulación en cualquier punto. Es lo que se llama Modelo de geoide. Una forma de modelizar el geoide consiste en determinar h sobre puntos de cota ortométrica conocida o recíprocamente nivelar entre pun-
tos de altitud elipsóidica conocidas, entonces se podrán determinar dife-
rencias de ondulación con: N
) En la República Argentina se han elaborado modelos de geoide regionales en base a mediciones realizadas con GPS sobre puntos de ni-
velación. Estos trabajos permitirían obtener valores de ondulaciones, con precisiones centimétricas, como es el caso de modelos obtenidos para la Provincia de Buenos Aires (Perdomo R. y otros. Nuevos avances en la determinación de un modelo de transformación de alturas para la pro-
vincia de Buenos Aires. A.A.G.G. 2002). Existen también modelos globales de geoide como OSU91 de la Universidad de Ohio y EGM96 (Nasa GSFC y DMA) que permiten cal-
cular las ondulaciones del geoide desde un desarrollo en armónicos esfé-
ricos del potencial gravitacional terrestre. Estos modelos, aunque carecen de resolución suficiente para muchas aplicaciones resultan útiles como referencia para modelos regionales. 2.10 Representación Plana 2.10.1 Fundamentos. Ecuaciones de representación Como ya se vio en el desarrollo de los capítulos precedentes las coordenadas geodésicas B, L y h, es decir la latitud, longitud y altura elipsóidicas respectivamente, determinan unívocamente la posición espa-
cial de puntos respecto de un elipsoide de revolución tomado como super-
ficie geodésica de referencia. Aunque la utilización de este tipo de coor-
denadas resulta de gran utilidad en geodesia, su uso resulta incómodo para emplearlo en determinadas aplicaciones. En efecto, teniendo en cuenta que las coordenadas horizontales B Nociones de Geodesia II-23 y L de los puntos se expresan en unidades angulares (grados, minutos y segundos de latitud y longitud), cuando se pretende determinar distancias entre puntos o direcciones definidas por éstos, se presentan inconvenien-
tes tales como que el valor lineal equivalente a las unidades angulares mencionadas depende de la posición del punto, o que las direcciones de los meridianos no son paralelas. Se tiene entonces que aun para pequeñas extensiones los cálculos que se realizan a partir de coordenadas geodésicas requieren, en muchos casos, la intervención de un profesional con conocimientos especializados en cálculo geodésico. En algunas aplicaciones los cálculos pueden reali-
zarse con software existente. Resulta particularmente útil, mediante una adecuada transforma-
ción, reemplazar las coordenadas elipsóidicas B y L por coordenadas planas rectangulares con las consecuentes ventajas que ello implica. La transformación anterior implica definir la relación analítica entre las coordenadas geodésicas horizontales (B, L) del punto genérico Q y las correspondientes (X, Y) de su imagen en el plano, es decir, Q’ (Figura 14). Figura 14 normal al elipsoide
(B,L) (X,Y)
II-24 Nociones de Geodesia Estas relaciones analíticas están expresadas genéricamente en las siguientes ecuaciones: X = f
(B, L, a, b) Y = f
(B, L, a, b) donde : B, L: son las coordenadas geodésicas que determinan la posición de un punto sobre el elipsoide X, Y: son las coordenadas rectangulares que determinan la posición del punto imagen sobre el plano a : semieje mayor del elipsoide terrestre b : semieje menor del elipsoide terrestre. Definir el tipo de representación es encontrar las funciones f
en base a determinadas condiciones que se imponen a priori. Existen numerosos autores que desarrollan minuciosamente este tema usando como criterio general minimizar la distorsión entre las figuras en la super-
ficie origen y su representación plana. 2.10.2 Representación conforme. Deformaciones Si al elemento de arco ds de la curva C de la superficie S, le co-
rresponde en el plano un elemento de arco ds’ de la curva imagen C’, a la razón se la denomina coeficiente de deformación lineal. La representación plana de la superficie S se llama conforme si la deformación lineal m sólo depende de la posición del punto P, pero fijado éste, es la misma para todas las direcciones. El resultado de esa condición de conformidad es que un ángulo sobre la superficie es preservado en el plano, es decir, la representación es isogonal. ds
Nociones de Geodesia II-25 Dos superficies se llaman isométricas si puede establecerse entre sus puntos una correspondencia biunívoca que conserve las longitudes, es decir: ds’ = ds o sea m = 1 Planteado el problema en términos matemáticos se demuestra que en general será imposible encontrar dos funciones que cumplan simultá-
neamente con las condiciones de conformidad e isometría, salvo que la superficie a representar verifique condiciones especiales. Se puede de-
mostrar que la condición necesaria que debe cumplir la superficie, para que su representación plana sea conforme e isométrica es que sea desa-
rrollable. Debido a que el elipsoide de revolución no es una superficie de-
sarrollable, las figuras planas serán siempre heteromorfas de las corres-
pondientes figuras que representan, es decir, que al pasar de la superficie de referencia al plano la deformación es inevitable (Figura 15). Figura 15 Con la finalidad de realizar este tipo de transformaciones se han desarrollado múltiples sistemas de representación (proyecciones). En geodesia se utilizan representaciones conformes. Cabe señalar que una de las características, que justifica el uso de este tipo de proyecciones es que ´
II-26 Nociones de Geodesia para una figura de extensión limitada, su representación plana resulta semejante. En general se puede decir que el tipo de proyección a utilizar de-
pende de las características del área a representar. Por ejemplo en territo-
rios extendidos preferentemente en la dirección N-S como la República Argentina, son adecuadas las proyecciones cilíndricas transversales. En ellas se utiliza como superficie intermedia un cilindro tangente a la super-
ficie de referencia terrestre a lo largo de un meridiano llamado meridiano de tangencia o meridiano central. Si se considera que el aplastamiento de la elipse es nulo, los me-
ridianos serán circulares y estaremos en el caso de la proyección cilíndri-
ca transversal de Lambert, cuyo desarrollo es particularmente sencillo. En geodesia el cilindro será elíptico ya que los meridianos también lo son. Como ejemplo se brindan algunos detalles sobre el tipo de repre-
sentación utilizada en la República Argentina. En este país se adoptó en el año 1925 la proyección conforme Gauss Krüger (cilíndrica transversal conforme) como sistema de representación plano. Fijado un meridiano central (meridiano de tangencia), las absci-
sas se miden sobre el meridiano central desde el polo sur hasta el pie de la proyección ortogonal del punto. Las ordenadas se miden desde el meri-
diano de tangencia creciendo de Oeste a Este (Figura 16). Figura 16 Q'
Q(B,L)
central (m.c.)
Nociones de Geodesia II-27 Además de la condición de conformidad, se establece que los puntos del meridiano central sean representados sin deformación, es de-
cir, que cada elemento del eje de las abscisas en el plano es igual al arco elíptico del meridiano que representa. Las deformaciones lineales crecen rápidamente con la distancia al meridiano central, por lo que representar los puntos de toda una superfi-
cie elipsóidica muy extendida en dirección E-O no es aconsejable, ya que las deformaciones (aunque calculables) serían demasiado grandes y esto distorsionaría apreciablemente las figuras. En este sentido, y con la fina-
lidad de limitar las deformaciones, es recomendable la división de la su-
perficie en zonas, que tendrán una representación plana independiente una de otra. Como resultado de lo anteriormente mencionado el territorio de la República Argentina se divide en 7 fajas meridianas de 3° de ancho cada una, con meridianos centrales en las longitudes 72°, 69°, 66°, 63°, 60°, 57°, 54° al oeste de Greenwich. Para distinguir por sus ordenadas cada una de las fajas, empleando además sólo números positivos se asignan a los meridianos centrales las siguientes ordenadas. Al meridiano 72° de la 1
faja, la ordenada 1.500.000 metros Al meridiano 69° de la 2
faja, la ordenada 2.500.000 metros Al meridiano 66° de la 3
faja, la ordenada 3.500.000 metros Al meridiano 63° de la 4
faja, la ordenada 4.500.000 metros Al meridiano 60° de la 5
faja, la ordenada 5.500.000 metros Al meridiano 57° de la 6
faja, la ordenada 6.500.000 metros Al meridiano 54° de la 7
faja, la ordenada 7.500.000 metros Debe tenerse en cuenta que en la representación plana de una re-
gión con más de una faja meridiana se pierde la continuidad espacial por lo que carece de sentido integrar puntos cuyas coordenadas planas fueron calculadas con distintos meridianos centrales. En estos casos, será necesa-
rio recalcular las coordenadas proyectivas de los puntos mencionados utilizando un único meridiano central. II-28 Nociones de Geodesia Téngase en cuenta que las coordenadas Gauss Krüger de un pun-
to estarán siempre asociadas a un marco de referencia geodésico ya que son función de las coordenadas B y L del punto que dependerán del mar-
co de referencia en el que están expresadas. Capítulo III III-1 La obtención de coordenadas 3.1 El problema de la pirámide Para determinar la posición de un punto en el espacio, es suficien-
te conocer las distancias a tres puntos de coordenadas conocidas. Se trata de una intersección espacial inversa. Es un problema geométrico relativa-
mente simple, más allá de las dificultades que su cálculo suponga. Se tra-
ta, en definitiva de una pirámide de base triangular. En la Figura 1, las letras S indican la posición de los satélites y la letra P la del punto cuyas coordenadas se quiere conocer, es decir la ubi-
cación del receptor GPS. S2
Figura 1 Desde el punto de vista geométrico el problema tiene dos solucio-
nes, pero es fácil elegir la correcta, puesto que la otra está ubicada a unos 40.000 km. de la superficie terrestre. III-2 La obtención de coordenadas El punto P se corresponde con la intersección entre las tres esferas que tienen por radios, respectivamente, las distancias PS
. 3.1.1 Posicionamiento mediante código C/A Cuando se diseñó GPS se estableció que el código C/A (código de adquisición común) fuera de libre adquisición, es decir no reservado para uso militar. El problema a resolver es MEDIR LAS DISTANCIAS entre sa-
télites y receptor. Para ello vamos a utilizar el llamado código C/A. Recordemos el método aplicado en los distanciómetros electróni-
cos: el aparato emite una onda homogénea de frecuencia conocida, la cual se refleja en un prisma colocado en el otro extremo del segmento a medir; el rebote es recibido por el aparato, el cual mide el desfasaje, lo convierte en tiempo y por lo tanto en distancia equivalente. Dejamos de lado aspec-
tos particulares de la distanciometría electrónica que no vienen al caso. En GPS la medición es de vía única, es decir no hay reflexión. Debe medirse el tiempo necesario para que la señal recorra la distancia satélite - receptor. Puesto que se trata de medir tiempos es necesario contar con “relojes” adecuados tanto en los satélites como en el receptor. En realidad son instrumentos que distan mucho de la noción usual de reloj. Se trata de osciladores de frecuencias muy estables capaces de señalar medidas de tiempo del orden de 10
segundos (o 10
) en los saté-
lites y 10
segundos en los receptores. 3.1.2 La señal del satélite Hay una frecuencia fundamental, generada por el oscilador del satélite, de ella se derivan todas las demás frecuencias que el satélite utili-
za para emitir. Se emiten dos ondas portadoras, llamadas L1 y L2 ; sobre una de ellas, L1, se monta la modulación correspondiente al código C/A. En la Figura 2 se intenta esquematizar, de alguna manera, el tipo de señal que emiten los satélites y los componentes de la misma. La obtención de coordenadas III-3 Códigos (P y C/A), Portadoras (L1 y L2)
(Efemérides, etc.)
Longitud de onda 30 m.
Longitud de onda 300 m.
Longitud de onda 19 cm.
Longitud de onda 24 cm.
Figura 2 Por ahora nos remitiremos casi exclusivamente al CÓDIGO C/A co-
mo medio para efectuar la medición de las distancias que nos interesan. Supongamos un satélite en particular: Al código lo podemos imaginar como una serie de ceros y unos, o bien de (+1) y (-1), en un cierto orden. Al multiplicar la onda portadora por el código, aquella no se altera cuando se encuentra con los (+1), pero se invierte donde aparecen los (-1). Todo ello da como resultado una onda deformada, un seudo ruido aparentemente aleatorio, que es lo que llega al receptor. Lo que graficamos en la Figura 3 es un croquis totalmente fuera de escala, sólo válido con fines didácticos. La “señal emitida” es el resultado de multiplicar a la “onda portadora” por el “código”. III-4 La obtención de coordenadas SEÑAL, PORTADORA, CÓDI GO
señal emit ida
onda port adora
código modulador
Figura 3 - cada satélite cuenta con un código C/A diferente, lo que genera una modulación específica de la señal, propia y exclusiva de ese satélite - de tal modo se obtiene un PRN (ruido seudo aleatorio) distintivo de ese satélite - si queremos hacer una analogía gráfica podríamos decir que es un “dibujo” característico de ese satélite. Pero además, ese “dibujo”, va asociado al tiempo; se repite cada milisegundo y le corresponde un instante determinado para comenzar cada repetición; ese instante no puede ser cualquiera, debe ser común a todo el sistema. 3.1.3 Medición de la distancia Cada receptor tiene almacenadas en su memoria las réplicas de todos los PRN. Así cuando recibe la emisión satelital puede efectuar el reconocimiento del satélite correspondiente. A continuación, procesando la señal, recupera el código con el que fue modulada y, a la vez, genera inte-
La obtención de coordenadas III-5 riormente una réplica del código recibido, pero obviamente desfasado, puesto que el recibido debió “viajar” por el espacio, siendo recibido con un “retardo” (Figura 4). Incógnitas: x y z (Coordenadas de la antena)
Retardo = Range (distancia)
TUC o TGPS
Código Transmitido
Figura 4 La operación siguiente consiste en correlacionar los códigos (reci-
bido y autogenerado o “local”), lo que permite medir el tiempo y por lo tanto la distancia (considerando conocida la velocidad de la luz en el espa-
cio). 3.1.4 Relación entre código C/A, tiempo y distancia - código completo 1 milisegundo = 10
segundos ~ 300.000 m - un elemento (*) 1 microsegundo = 10
segundos ~ 300 m - apreciación (**) 10 nanosegundos = 10
segundos ~ 3 m (*) es la milésima parte del código completo (**) en la correlación entre el código recibido y el código local, se puede apreciar una centésima parte de un elemento III-6 La obtención de coordenadas Pero se miden SEUDODISTANCIAS Y ello es lógico porque la sincronización de los relojes (el del saté-
lite y el del receptor) no puede ser perfecta. Para comprenderlo bastaría tan sólo tener en cuenta la diferencia existente entre la precisión que carac-
teriza al reloj del satélite y la del reloj del receptor. La consecuencia es que la distancia observada no es la real, sino un valor próximo que difiere en una longitud 
= c . (-
) (donde c = velocidad de la luz).(Figura 5) Código Recibido
Retardo = Range + Error de reloj
Incógnitas: x y z (Coordenadas de la antena)
Error del reloj del receptor
Figura 5 Surge así una incógnita imprevista: 
es una incógnita que repre-
senta el error del reloj del receptor respecto al sistema de tiempo GPS. La obtención de coordenadas III-7 ¿Cuál es la solución a este inconveniente? Muy sencilla, como todas las soluciones geniales. El propio sistema nos la brinda. 3 de posición (x
) Hay 4 incógnitas 1 de reloj (
) Se resuelve observando 4 satélites en vez de 3 y resolviendo un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas. Eso simplifica enormemente las cosas porque permite utilizar en los receptores osciladores menos precisos que los de los satélites y obviamente con muchísimo menor costo. Como vemos es el propio sistema el que controla, y corrige, el estado de los relojes de los receptores. 3.2 Ecuaciones de observación De la Figura 6 surge inmediatamente la ecuación posterior (posición)P
S(satélite)
Figura 6 Coordenadas de S (satélite): x
Coordenadas de P (posición) x
III-8 La obtención de coordenadas 
donde  = sd + 
) (donde c = velocidad de la luz) (III-1) tendremos una ecuación de este tipo por cada satélite observado. Para efectuar el cálculo debe efectuarse cierta manipulación de esa ecuación, cuestión que no pretendemos desarrollar aquí; basta con saber que es posible calcular (x
p, 
), lo que constituye la solución del sistema de ecuaciones antes mencionado - Observación: Para trabajar en 3 dimensiones (basta con) sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas Para trabajar en 2 dimensiones (basta con) sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas En ocasiones puede ser conveniente trabajar en dos dimensiones, por ejemplo en casos que se tiene un valor aproximado de la altura o cuando exis-
ten dificultades para observar 4 satélites (arboleda, edificios, etc.). En tales condiciones con sólo 3 satélites se puede obtener un buen posicionamiento horizontal, es decir latitud y longitud. Probablemente vale la pena recordar que cuando hablamos de altura, nos estamos refiriendo a la que corresponde sobre el geoide (H) o sobre el elipsoide (h). Recordemos que la coordenada geocéntrica Z no indica altura. 3.3 Precisión del posicionamiento Analicemos la ecuación (III-1) (sd + 
2 La obtención de coordenadas III-9 | n observació sd datos
z z y y x x sd
p s p s p s d
) - ( ) - ( ) - ( ) (
Si tenemos en cuenta que: a) la distancia que observa el aparato es en realidad la seudodistancia, pero afectada por una serie de errores (cuyas causas se analizarán de in-
mediato) seudodistancia = distancia observada menos una sumatoria de errores sd = d
-  e b) los datos que tenemos sobre las coordenadas de los satélites (a través de las efemérides) también están afectados por errores, puesto que las órbitas surgen de mediciones y extrapolaciones. x
significa coordenada transmitida y e
xs el error de la misma reemplazando en (III-1), podemos expresar (d
-  e + 
2 (III-2) 3.3.1 Consideración de los errores En primer lugar debe distinguirse claramente entre los errores propios de la medición y las equivocaciones o errores groseros. Estos últi-
mos no dependen de la técnica o el instrumental de medición; son producto de la impericia, el cansancio, o incluso de una acción intencional. III-10 La obtención de coordenadas Ahora bien, entre los errores de medición, debemos separar por un lado a los llamados sistemáticos, cuya causa responde a alguna ley física más o menos conocida, y los llamados accidentales, inevitables en toda medición, cuyo comportamiento ha sido caracterizado mediante la famosa campana de Gauss. Vamos a intentar una esquematización de las principales causas de error en GPS y mencionar algún criterio de tratamiento de los mismos, reduciéndonos exclusivamente a la medición con código C/A. En la Figura 7 tenemos una idea aproximada de la magnitud que el error puede llegar a alcanzar en cada caso. SA 100m
Posición TRANSMI TI DA
órbit a
2 a 100m
RUI DO . 3 a 3m
" Er rores" de medición
( seudodist ancia)
I ONOSFERA
FUENTE: G. Seeber - 1994
Not a: en 1994, G. Seeber señalaba la " di sponibilidad select iva" ( S. A. ), hoy inexist ent e, como principal causa de error en aquel ent onces.
Figura 7 3.3.2 Errores sistemáticos a) efemérides y reloj de satélite: su influencia no es demasiado significativa para código C/A. En otros métodos de medición se mejoran La obtención de coordenadas III-11 los resultados utilizando “las efemérides precisas”, es decir coordenadas de los satélites calculadas a posteriori con mayor precisión. b) influencia de la atmósfera: es una fuente de error muy impor-
tante; con un solo receptor es inevitable, no obstante existen métodos, que abordaremos más adelante, que reducen notoriamente su influencia. c) ondas reflejadas o “multicamino”: las ondas reflejadas, llamadas también “efecto multipath”, se controlan tratando de evitar, en lo posible, el estacionamiento del receptor próximo a superficies reflectantes. 3.3.3 Errores accidentales En este caso surgen al medir mediante la técnica de correlación de los códigos. El “ruido” propio de la medición es aquella medida por debajo de la cual el instrumental no puede efectuar determinaciones certeras, es decir expresa la incertidumbre propia de la medición. Su tratamiento responde a los cánones clásicos; apelar a la “so-
breabundancia” de observaciones y a la búsqueda del “valor más proba-
ble”, mediante el cálculo llamado de compensaciones o ajustes. La suma de (si se permite la expresión) “electrónica + informáti-
ca”, facilita efectuar y acumular un gran número de observaciones. Ello explica la conveniencia de prolongar la medición por cierto lapso de tiem-
po a los efectos de mejorar la precisión. Veremos que ese lapso de tiempo se justifica también por otras consideraciones. 3.4 Factor de configuración Recordemos que estamos tratando una intersección espacial. La precisión de la misma depende tanto de la calidad de la medición como también de la configuración del sistema. III-12 La obtención de coordenadas Veamos un ejemplo en intersección plana desde dos puntos. Mi-
diendo las distancias a dos referencias (puntos de coordenadas conocidas), podemos calcular la posición del punto P en el plano. A, B, C y D son puntos de coordenadas conocidas P
Figura 8 Pares de puntos a utilizar como referencias: Convenientes Inconvenientes B y C A y D A y B A y C B y D C y D Es fácil ver, intuitivamente, que según sea el par de puntos elegi-
dos para referenciar la intersección, obtendremos resultados de diferente precisión. Es evidente que cuando los puntos de referencia están muy próximos entre sí (en el ejemplo C y D) se obtiene una intersección en P poco confiable; algo similar pasa cuando las referencias adoptadas están ubicadas aproximadamente en una misma alineación con el punto P (en el ejemplo A y C o A y D). En GPS, para efectuar la intersección espacial que nos brinda las coordenadas de la antena del receptor, nos apoyamos en un grupo de satélites (en general 4 como mínimo), lo que llamamos “la constelación”. Esos satélites La obtención de coordenadas III-13 están distribuidos en el espacio, en el momento de la medición, de una determi-
nada forma, que es lo que llamamos “la configuración”. Si apelamos a la analogía con las mediciones terrestres, los satéli-
tes juegan el papel tradicionalmente desempeñado por los “puntos fijos”, lo que resulta paradojal, pues si algo caracteriza a los satélites es su movi-
lidad permanente, es decir la incesante e instantánea variación de sus co-
ordenadas. Pero eso explica por qué es conveniente prolongar las observacio-
nes durante cierto tiempo. De ese modo, manteniendo la constelación, cambia la configuración, es decir no estamos tan solamente reiterando la medición anterior, sino efectuando una medición distinta, con “otros pun-
tos fijos”, lo cual es muy importante para mejorar la precisión de los resul-
tados. En GPS la influencia de la configuración se expresa matemática-
mente mediante un factor, del siguiente modo: 
. DOP donde 
: desvío standard en la posición obtenida 
: desvío standard en la medición de las distancias DOP : factor de dilución de la precisión El software disponible en todo equipamiento GPS, permite calcu-
lar rápidamente el factor de dilución una vez fijada la configuración. Esto vale tanto para programar una medición, es decir determinar a priori, con gran aproximación, cuál será el factor de dilución, como vale para las mediciones ya realizadas, donde ese factor surge de los propios datos de medición. En el caso que fuera necesario, la influencia del factor de configu-
ración se puede expresar mediante lo que serían sus componentes, así es posible obtener: HDOP para estimar el error en el posicionamiento horizontal III-14 La obtención de coordenadas VDOP para estimar el error en el posicionamiento vertical PDOP para estimar el error en el posicionamiento tridimensional Se utiliza el PDOP para validar las constelaciones, es decir acep-
tar o no la medición efectuada o a efectuarse en esas condiciones, para lo cual se establecen máximos admisibles o valores de tolerancia. Es bastante conocido que en GPS se obtiene siempre menor preci-
sión en vertical que en horizontal (la relación es del orden de 1,5 ó 2). Ello se explica justamente por el factor de configuración, puesto que es imposible obtener una adecuada configuración para la altura. Mientras tengamos la Tierra debajo de nosotros es imposible ob-
servar satélites que están “abajo”, por lo que debemos conformarnos con “los de arriba”. Dado que pueden presentarse situaciones, no muy comunes pero posibles, en que la “visibilidad” de satélites sea muy restringida, habrá que cerciorarse que el PDOP sea aceptable. De lo contrario debe programarse la medición para el día y hora en que ello se produzca. “En definitiva, se puede obtener una precisión del orden de los 15 me-
tros, con un solo receptor, efectuando una sola observación, con resul-
tado instantáneo y en el 95% de los casos”. 3.5 Otros sistemas de posicionamiento satelital 3.5.1 Sistema GLONASS (información extractada de: M. Holanda y J. Bermejo, G.P.S. y GLONASS, Madrid, 1998 - Actualizada a noviembre de 2004 – ITAR- TASS Agency reports) El sistema ruso GLONASS fue desarrollado desde principios de los años 70 por el entonces Ministerio de Defensa Soviético. Es similar en muchos aspectos al GPS , también presenta diferencias. La obtención de coordenadas III-15 Los planes de GLONASS permiten proporcionar dos servicios: el CSA (Channel of Standard Accuracy) disponible para uso civil, y el CHA (Channel of High Accuracy) para usos autorizados. El GLONASS CSA fue aceptado desde 1996 por la Organización Internacional de Aviación Civil. 3.5.2 Descripción y constitución de GLONASS Sector de control: la central se encuentra en Moscú y tiene una red de estaciones de seguimiento y control ubicadas en todo el territorio ruso. Las mismas, como en GPS, deben seguir y vigilar el estado de los satélites, determinar efemérides y errores de los relojes. GLONASS proporciona a los usuarios civiles una precisión, en tiempo real y posicionamiento absoluto, midiendo con código, de unos 60 metros en horizontal y 75 metros en vertical (99,7% de los casos) según el gobierno de la Federación Rusa, no estando prevista ninguna degradación intencional. Sector espacial: tiene semejanzas con el de GPS. Cuando se com-
plete estará compuesto por una constelación de 24 satélites ubicados en tres planos orbitales inclinados aproximadamente 65° respecto del Ecua-
dor. Cada plano contendrá 8 satélites, a unos 19.100 Km de altura, asegu-
rando una cobertura de adecuada geometría, con 5 satélites como mínimo, en cualquier instante y lugar de la Tierra. El primer satélite fue lanzado en 1982. A diferencia de GPS todos los satélites transmiten el mismo código, pero se diferencian en la frecuen-
cia de la portadora. La información de las efemérides no reúne las condiciones ade-
cuadas para los trabajos de gran precisión. Esto y la cantidad de satélites, es la principal limitación de este sistema respecto a GPS. Sector usuario: los receptores tienen características similares a los de GPS. En el mercado existen marcas y modelos con capacidad de recibir señales de ambos sistemas. Así el usuario podrá tener acceso a un sistema III-16 La obtención de coordenadas combinado con mayor cantidad de satélites. Para ello es necesario conocer sus posiciones en el mismo sistema de referencia y establecer la relación entre las dos escalas de tiempo. Datum PZ90: el Datum Geodésico Parametry Zemli 1990 (o PZ90) es el sistema de referencia terrestre adoptado por GLONASS. Hay diferencias en el origen, en la orientación de los ejes y en la escala respecto al WGS84. La red de estaciones existentes en diversos países permite obtener los parámetros de transformación del sistema de referencia PZ90 al siste-
ma WGS84. Hasta el año 2004, el estado de la constelación GLONASS, no se ha modificado, es decir, tiene operativos 10 satélites en órbita, de los 24 previstos. A esa fecha el sistema era operado y gestionado por las Fuerzas Espaciales Rusas dependientes del ministerio de Defensa. Posee un nivel de precisión de acceso abierto y una mejor precisión pero de uso restringi-
do, tal como sucede en el sistema norteamericano. Durante su vida operativa se han lanzado 77 satélites, aunque, desde 1995 hasta la fecha, el programa ha sufrido retrasos y cancelacio-
nes. Por este motivo, su estado operacional es muy limitado. Con solamen-
te 10 satélites operativos, GLONASS no garantiza, a fines del 2004, nin-
gún nivel aceptable de servicio. Para fines de 2005 tienen previsto tener en órbita entre 16 y 18 satélites. De todos modos, no se duda de su continuidad, ya que forma parte de diversos proyectos de navegación por satélite, entre ellos GNSS-1. Por otra parte, esto fue reafirmado en un comunicado oficial del Gobierno de la Federación Rusa, de fecha 29 de marzo de 1999 y confirmado a princi-
pios del 2004. 3.5.3 Sistemas europeos La obtención de coordenadas III-17 (Información extractada del "Comunicado Oficial de la Comisión Euro-
pea, División de Navegación por Satélite GNSS", publicado por AENA, España y de publicaciones especializadas, como la revista GPS World). Según la Comisión Europea, los sistemas GPS y GLONASS presentan una serie de limitaciones técnicas e institucionales que se pueden resumir en: a) No satisfacen todos los requisitos de navegación exigidos por la avia-
ción civil, y como consecuencia de ello, su uso adolece de una serie de restricciones y en la práctica se limita a las fases de vuelo menos exigen-
tes. b) Están bajo control militar por lo que, en caso de conflicto bélico, la disponibilidad del servicio no está asegurada. c) No existe ningún tipo de garantía legal o de seguridad sobre el funcio-
namiento de los sistemas. d) No existe un marco de responsabilidad legal claramente definido en caso de accidentes provocados por estos sistemas. Como consecuencia de estas limitaciones, es necesario comple-
mentar a GPS y/o GLONASS con sistemas adicionales. Estos sistemas se conocen en la terminología de la OACI (Organización de Aviación Civil Internacional) como "aumentaciones", y tienen por objeto mejorar el servi-
cio básico ofrecido por GPS y GLONASS. Siguiendo las recomendaciones emitidas en 1992 por el Comité FANS (Future Air Navigation Systems) de la OACI, la implantación del GNSS se aborda en dos etapas, que se denominan GNSS-1 y GNSS-2. Las presentaciones de los sistemas GNSS se establecen siguiendo cuatro parámetros básicos: Precisión - Integridad (Confianza) - Continui-
dad -Disponibilidad. 3.5.3.1 GNSS-1 III-18 La obtención de coordenadas Esta etapa se basa en el máximo aprovechamiento posible de las constelaciones GPS y GLONASS, las cuales no obstante deben ser com-
pletadas con "sistemas de aumentación". Las "aumentaciones" tienen un objetivo doble: en primer lugar, mejorar las prestaciones de GPS y/o GLONASS y, en segundo lugar, posibilitar la definición de un marco legal e institucional de uso del que carecen hoy día. Se han contemplado tres posibles tipos. Uno de éstos es SBAS (Satellite Based Augmentation System), de-
finida como "sistema de aumentación de cobertura amplia en los cuales el usuario recibe la información de aumentación a través de un transmisor embarcado en un satélite", que proporciona importante servicios, por ejem-
plo información relativa al estado de funcionamiento y calidad de las seña-
les emitidas por todos los satélites GNSS-1 (incluye GPS y/o GLONASS junto con los satélites adicionales SBAS). Mediante este servicio se mejoran las prestaciones de navegación desde el punto de vista de la integridad, pues se dota a GPS y GLONASS de una función de monitoreo de su funcionamiento de la que ahora carecen En la actualidad existen tres iniciativas a nivel mundial de implan-
tación de sistemas SBAS: EGNOS en Europa, WAAS en Estados Unidos y MSAS en Japón. Los tres sistemas, aunque de ámbito regional y des-
arrollados de forma independiente, proporcionarán servicios similares y compatibles entre sí. Mediante el uso conjunto e inter-operable de estos sistemas y futuras extensiones de los mismos, se espera poder llegar a proporcionar un servicio uniforme de navegación con cobertura mundial. 3.5.3.2 El programa EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Service - Contribución europea al GNSS-1) EGNOS responde al esquema de aumentación SBAS definido por la OACI. Su área de servicio es la región europea, y proporciona como satélites adicionales los geoestacionarios INMARSAT AOR-E, INMARSAT IOR y ARTEMIS. Para generar los diferentes servicios La obtención de coordenadas III-19 SBAS de aumentaciones utilizan, además de estos tres satélites, una red de instalaciones terrestres distribuidas por toda Europa. La gestión institucional y técnica del Programa EGNOS está siendo llevada a cabo por el llamado Comité Tripartito, formado por la Comisión Europea. EGNOS ofrecerá múltiples beneficios e introducirá mejoras con-
siderables en cuanto a calidad y seguridad en todos los modos de transpor-
te: aéreo, marítimo, terrestre por carretera o ferrocarril. Asimismo, abrirá nuevos campos en toda una multitud de diferen-
tes aplicaciones tales como agricultura, pesca, geodesia, etc. Entre otras mejoras, permitirá una gestión y seguimiento más eficaz y flexible de los servicios de transporte comercial y privado gracias a la posibilidad de localizar vehículos de forma precisa y en tiempo real, monitoreando su recorrido. De acuerdo con la planificación inicial, el desarrollo del sistema EGNOS debería haber finalizado a principios del año 2003. A noviembre de 2004, continuaba en etapa de experimentación avanzada. La Agencia Espacial Europea, ha creado a partir del mes de julio de 2004, un sitio Web dedicado a especialistas del tema, para la colaboración de los mismos en esta instancia, pudiendo tener, por ejemplo, acceso a la información técnica detallada de la versión experimental . 3.5.3.3 GNSS-2 Se prevé que GNSS-1 evolucione hacia un sistema de navegación multimodal, que contemple usuarios de todo tipo, de mejores prestaciones y bajo control civil, denominado GNSS-2. 3.6 El programa GALILEO La componente principal del sistema es una constelación de satéli-
tes con una cobertura global. Dirigido por la Unión Europea y por la III-20 La obtención de coordenadas Agencia Espacial Europea, la fase de definición del sistema empezó en 1999. El proyecto Galileo, que garantizará la autonomía europea en ma-
teria de posicionamiento satelital, dará a las empresas de la región grandes oportunidades comerciales e incluirá el despliegue de una constelación de 30 satélites de navegación bajo control civil y cobertura mundial. La plani-
ficación se ha establecido en varias fases: definición, desarrollo y valida-
ción, despliegue y operación. En la primera, que empezó en junio de 1999 y finalizó en 2001, se definió el sistema, la organización para su gestión y la viabilidad económica a largo plazo. Durante el 2004, ESA firmó acuerdos para lanzar dos satélites experimentales de Galileo a bordo de la nave espacial Soyuz. El primero partirá del cosmódromo de Baikonur antes de fines del 2005. Mientras tanto, la investigación, el desarrollo y la tecnología del espacio de la Agencia Espacial Europea (ESÁ) se centran en Nordwijk, en los Países Bajos, en donde se está probando actualmente el modelo estruc-
tural del primero de los dos satélites experimentales citados. La tercera fase de despliegue de la constelación se extenderá desde 2006 hasta 2008 y a partir de entonces está previsto el último período. El pleno funcionamiento del programa, sin embargo, se alcanzará entre 2016 y 2020, cuando funcione la red de los 30 satélites y las estaciones terres-
tres. Líneas principales de desarrollo del programa GALILEO : - Es independiente de los sistemas GPS y GLONASS pero comple-
mentario e interoperable. - Está abierto a la contribución de capital privado internacional. - Explotará las nuevas capacidades en un sistema civil, permitiendo el desarrollo de nuevas aplicaciones, facilitando la robustez del GNSS y poniendo remedio a ciertas deficiencias que existen en la actualidad. La obtención de coordenadas III-21 - Tendrá una cobertura global para proveer un mercado mundial para el sistema y sus aplicaciones. Incluirá un servicio de acceso restringido. - El sistema permanecerá bajo el control de autoridades civiles. 3.6.1 La constelación GALILEO La constelación del sistema Galileo estará formada por 30 saté-
lites (27 en operación y 3 de repuesto), ubicados a 23600 km de altura sobre la superficie de la Tierra, en 3 planos orbitales, con 56º de inclina-
ción respecto del plano ecuatorial. 3.6.2 Servicios GALILEO Se está diseñando para proporcionar 3 niveles distintos de servi-
cios: - Nivel 1: Un sistema de acceso abierto similar a GPS standard ac-
tual, principalmente dedicado al mercado masivo. - Nivel 2: Un servicio de acceso restringido dedicado a aplicaciones comerciales y profesionales que requieren un nivel de precisión más elevado. - Nivel 3: Un servicio de acceso restringido, con exigencias críticas de seguridad, que no pueden admitir interrupción o perturbación (caso de aviación civil). Además de estos servicios de posicionamiento, GALILEO provee-
rá un servicio de "Tiempo Preciso" en todo el mundo, con una escala de diferentes niveles de precisión y garantías. 3.6.3 Atractivo del sistema GALILEO • Es un sistema complementario con GPS y GLONASS: III-22 La obtención de coordenadas No es un sistema de competencia con los sistemas satelitales exis-
tentes. Las futuras aplicaciones se beneficiarán de la posibilidad de utilizar todos los sistemas de navegación disponibles. Los criterios de diseño de la estructura de la señal del sistema GALILEO se están desarrollando para añadir un costo mínimo adicional a los usuarios. El uso combinado de GALILEO y otros sistemas como EGNOS, proveerá elevadas prestacio-
nes, por ejemplo en términos de disponibilidad de navegación en áreas urbanas. • Es independiente de GPS y GLONASS: Las ventajas residen también en su independencia de GPS y GLONASS, asegurando que las aplicaciones críticas en términos de segu-
ridad estén protegidas de los posibles errores que puedan ocurrir en modo común. Estados Unidos tiene prevista la sustitución progresiva de la cons-
telación de satélites GPS por una nueva generación conocida como GPS BLOQUE II F. Según las previsiones, dicha sustitución se completará hacia el año 2010. Aprovechando esta circunstancia, Europa intentará que GALILEO entre en operación con dos años de adelanto, hacia 2008, con el objeto de capturar mercados potenciales previamente. Así Europa podrá disponer de un sistema propio de satélites de última generación a mediano plazo, lo que le permitirá superar la depen-
dencia actual de la tecnología norteamericana. Capítulo IV IV-1 Posicionamiento con Código C/A 4.1 Posicionamiento absoluto Cuando hablamos de posicionamiento absoluto nos referimos al caso de un solo receptor operando en modo autónomo, es decir, la fun-
ción típica de navegación, calculando las coordenadas del receptor sobre la superficie terrestre en base a las mediciones de distancia que realiza a los satélites visibles (o a los posibles en función del número de canales del receptor) y mostrando estas coordenadas, sin ningún tipo de corrección, en el display del receptor (con un intervalo de actualización que se puede prefijar, por ejemplo 1 segundo). Podemos distinguir dos modos de opera-
ción: estático y móvil. 4.1.1 Modo estático El modo estático significa que el receptor permanece estacionado sobre el punto del que se quieren conocer las coordenadas durante un lapso de tiempo, que puede ser de algunos minutos; si este receptor se encuentra calculando posiciones (coordenadas) tendremos, para la solución en 3 dimensiones, un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas por cada instan-
te de actualización en la toma de datos, (si se observaran más de 4 satéli-
tes, tendremos sobreabundancia de observaciones). La posición final, coordenadas del punto estación, corresponde al promedio de todas las posiciones calculadas. Dentro de las variables que podemos manejar en este tipo de posi-
cionamiento vale recordar la importancia de operar con un valor bajo de PDOP (ver Capítulo III, 3.4 Factor de configuración). 4.1.2 Modo móvil El modo móvil está relacionado con el uso del receptor en movi-
miento, en este caso tendremos soluciones instantáneas en tres dimensiones IV-2 Posicionamiento con Código C/A para cada momento de toma, que no corresponden al mismo punto (el re-
ceptor se está moviendo). Tendremos formado un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas por cada toma (y sobreabundancia si se observan mas de 4 satélites), que nos dará las coordenadas del punto en que se ubica el receptor a cada instante, siendo esta la solución típica de navegación, de modo que esta sucesión de puntos describe la trayectoria seguida por el receptor. 4.1.3 Precisiones Con estos métodos de operación la precisión general alcanzable en las coordenadas de los puntos será mejor que 10 metros en horizontal y 15 metros en vertical, en el 95% de los casos (que es la caracterización oficial del SPS, Servicio de Posicionamiento Standard). Esta precisión se alcanzaba desde el origen del sistema, hasta que fue implementada la SA (Selective Avaliability), en marzo de 1990, cuan-
do deliberadamente se degradó la precisión, hasta su desactivación, el 1 de mayo de 2000. En el período en que estuvo activada la SA se lograba una preci-
sión en la posición horizontal (bidimensional) del orden de 100 metros, para un usuario aislado, en el 95% de los casos. Para estudiar los efectos sobre la posición horizontal de una estación fija realizamos la siguiente experiencia: Estacionamos un receptor sobre un punto de coordenadas conoci-
das, durante varias horas y lo ponemos a calcular posiciones; luego hace-
mos la gráfica de la distribución de todas esas posiciones calculadas, com-
parando cuánto se alejan del valor conocido, tomándolo como referencia, así obtendremos la distribución que puede observarse en la Figura 1 (co-
rresponde a 24 hs. de observación y cálculo de la Estación GPS Perma-
nente “UNRO”, los números indican metros). 4.2 Posicionamiento Diferencial Ahora bien, si retomamos la experiencia y en vez de un receptor, colocamos dos receptores no muy alejados entre sí (digamos 10 km por Posicionamiento con Código C/A IV-3 ejemplo), que observan los mismos satélites, obtendremos que las gráficas de las distribuciones de las posiciones horizontales calculadas por cada uno resultan muy similares. -6
Figura 1 Este es el principio de la técnica de CORRECCIÓN DIFEREN-
CIAL. Los errores en la propagación de la señal (ionósfera y tropósfera) afectan de manera similar a dos estaciones no muy alejadas entre sí, que utilizan los mismos satélites. Y esto es así porque la distancia entre los receptores sobre la su- IV-4 Posicionamiento con Código C/A 5
Fa ct o r d e d i l u c i ón d e l a Pr eci si ó n
Or b i t a ( ef em ér i d e s)
Ref r a cc i ón I o n o sf ér i ca
Ref r a cc i ón Tr o p os f ér i ca
Co r r el ac i ón Cód i g o
POSI CI ONAMI ENTO SATELI TAL
Rel o j
PROPAGACI ON
SATELI TE
Mu l t i p a t h
I NFLUYEN EN EL
Su p . t e r r e st r e
perficie terrestre resulta muy pequeña comparada con la distancia a la que están los satélites (ver Figura 2, en la que están dibujados a escala unifor-
me el radio terrestre, la separación entre estaciones y la distancia a los satélites), inclusive si los receptores se encuentran exageradamente sepa-
rados (500 km), la porción de atmósfera que atraviesan las señales del mismo satélite es prácticamente la misma. Figura 2 Los errores en cada satélite (reloj, órbita) son comunes para am-
bas estaciones. Posicionamiento con Código C/A IV-5 La técnica de corrección diferencial hace uso de estas característi-
cas para eliminar las influencias de estos errores en el cálculo de las posi-
ciones de la segunda estación (remota) a partir de conocerlos en una pri-
mera estación (base), de la que se conocen sus coordenadas. De modo que, si para cada posición calculada por la estación ba-
se, asignamos un vector error y luego lo aplicamos, cambiado de signo, a la posición calculada en la estación remota, tendremos las posiciones co-
rregidas. Debe tenerse en cuenta que esta técnica no elimina todos los erro-
res que influyen en el posicionamiento satelital, ya que quedan los errores propios de cada estación, el multipath y la correlación propia de cada re-
ceptor, disminuyendo la precisión general del posicionamiento, nos afecta-
rá el PDOP de la configuración utilizada, que incluye constelación y esta-
ción. Esta técnica de corrección diferencial puede aplicarse de varias formas: 4.2.1 Corrección de posición Una es la conocida como corrección de posición, (o diferencia de coordenadas, Figura 3), en este caso cada posición calculada por el recep-
tor base en función de la medición de distancia a 4 satélites y señalada en el tiempo GPS, es comparada con las coordenadas, conocidas de antema-
no, de la estación base. Para cada una de estas posiciones se calcula el vector error y se aplica, con signo opuesto, a la posición correspondiente al mismo tiempo GPS, calculada por el receptor remoto. De esta forma tendremos posiciones de la estación remota corregidas. Como restricción de este método establecemos la necesidad de ob-
servar los mismos satélites en ambas estaciones, ya que el cálculo de la posición estará influido por los errores correspondientes a cada satélite y IV-6 Posicionamiento con Código C/A para que se eliminen diferenciando deben ser los mismos en ambas esta-
ciones. Figura 3 La ventaja de este método es que se puede usar con receptores que no almacenen las observaciones, solo hacen falta las posiciones. 4.2.2 Corrección de distancias La otra forma de aplicación es la corrección de distancias a los calc. c
CORRECCION POSI CION
POST-PROCESAMI ENTO
(x,y,z)verd.
(x,y,z)corr.
Posicionamiento con Código C/A IV-7 satélites (o corrección de las observaciones, Figura 4), en este caso se identifica en el tiempo GPS, cada distancia calculada por el receptor base a cada satélite en forma independiente. Figura 4 e1
( x,y,z) verd.
( x,y,z) corr .
CORRECCI ON DI STANCI AS
8: 00: 00 - d1 - d1
8: 00: 00 - d2 - d2
8: 00: 00 - d3 - d3
8: 00: 00 - d4 - d4
8: 00: 10 - d4 - d4
8: 00: 10 - d3 - d3
8: 00: 10 - d2 - d2
8: 00: 10 - d1 - d1
8: 00: 20 - d2 - d2
8: 00: 20 - d1 - d1
. .. - . .. - . ..
corr egido
POSI CI ON
IV-8 Posicionamiento con Código C/A Teniendo las coordenadas de la estación base conocidas, puede calcularse la distancia "verdadera" entre el receptor y cada satélite en cada instante. Esta distancia "verdadera" es comparada con la distancia calcula-
da y la diferencia entre ambas corresponde al error para ese satélite en ese instante, valor que cambiado de signo es aplicado a la distancia calculada por el receptor remoto a ese satélite en ese instante. Para cada juego de distancias corregidas, se calcula en el receptor remoto, una posición correspondiente a ese instante. Este método resulta más flexible respecto de los satélites que utili-
za cada receptor, ya que al separar el cálculo de las correcciones para cada satélite, no es necesario que sean estrictamente los mismos los que observan el base y el remoto, pero sí debe haber por lo menos 4 satélites comunes entre ambos. Este es el método que se usa cuando se transmite la corrección en tiempo real (ver 4.5.2). 4.2.3 Simples y dobles diferencias La tercer alternativa es la utilización del cálculo de simples y do-
bles diferencias de las distancias observadas a pares de satélites (por lo menos 4), donde se elimina la influencia de los errores de los relojes del satélite y del receptor y se reducen notoriamente las influencias de los erro-
res de los parámetros orbitales del satélite y de la transmisión de la señal (retraso ionosférico), quedando como incógnitas las componentes del vec-
tor (Δx, Δy, Δz base-remoto), que se estiman en un único cálculo por el método de mínimos cuadrados (Los fundamentos de simples y dobles dife-
rencias se desarrollan en forma detallada en el Capítulo V, Posicionamien-
to con fase). Su uso es, principalmente, en post-procesamiento, aunque existen técnicas de cálculo recursivas, mínimos cuadrados, filtro kalman etc., que Posicionamiento con Código C/A IV-9 permitirían ajustar la solución con cada nueva observación, de manera que puedan aplicarse a problemas en tiempo real. 4.2.4 Conclusión La aplicación de estas técnicas de corrección diferencial nos con-
ducen al fundamento del posicionamiento relativo, es decir, la utilización simultánea de dos o mas receptores, tomando datos al mismo tiempo (con el mismo intervalo de grabación), el primero, que estará ubicado sobre un punto de coordenadas conocidas, será el receptor base y el otro (o los otros) será el receptor remoto y se ubicará en los puntos que nos interesa relevar, para conocer sus coordenadas. Las coordenadas de los puntos relevados se obtendrán finalmente con una precisión que depende, no solo de los errores en el cálculo del vector, como vimos hasta ahora, sino también de la precisión con que se conozcan las coordenadas de la estación de referencia, ya que al georrefe-
renciar puntos de esta forma, trasladamos cualquier incertidumbre en las coordenadas del sitio del receptor base, a los puntos que se relevan con el receptor remoto, por lo tanto, para ser coherentes con la precisión del mé-
todo, las coordenadas del receptor base deben conocerse con mejor preci-
sión que la propia del método de medición utilizado; por ejemplo, vincu-
lándose a redes existentes de precisión adecuada. 4.3 Métodos de operación De esta manera, y análogamente al posicionamiento absoluto, en-
contramos dos modos de operación: estático y móvil. 4.3.1 Modo estático En el modo estático, el receptor remoto es estacionado algunos minutos sobre el punto que nos interesa relevar, haciendo mediciones de distancias a los satélites y/o calculando posiciones, almacenando estos datos en su memoria interna. Al cabo del relevamiento de todos los puntos que interesan, se bajan los datos del receptor base y del remoto a una IV-10 Posicionamiento con Código C/A computadora para realizar el post-procesamiento de las mediciones de ambos y aplicar alguno de los métodos de corrección diferencial que permiten obtener las coordenadas de los puntos relevados. Como en todo posicionamiento estático, es importante, ya que po-
demos manejarlo, trabajar con un PDOP bajo. 4.3.2 Modo móvil En el modo móvil, el receptor remoto está en movimiento, calcu-
lando y almacenando distancias y/o posiciones en su memoria interna. Luego de terminado el trayecto a medir, se bajan los datos y se efectúa el post-procesamiento, aplicando la corrección diferencial (posi-
ción o distancias), se obtiene cada posición instantánea corregida, de esta forma, las coordenadas de la trayectoria del receptor remoto constituirán la solución final. Estas dos alternativas también pueden aplicarse en tiempo real, contando con el equipamiento adecuado. 4.4 Precisiones Las precisiones que caracterizan las mediciones con GPS en modo di-
ferencial, en función de la distancia entre las estaciones, pueden verse en el cuadro (Tabla 1) que se adjunta al respecto (ver en Bibliografía: Hofmann-
Wellenhof, B. et al, año 1994); debe aclararse que en la actualidad y debido a las mejoras en los receptores y software de post-procesamiento, los resultados que se obtienen pueden mejorar en algunos casos. Tabla 1 Precisiones GPS Diferencial Observable Separación Estaciones Precisión en posición Instantánea Promed. 3 min. Código C/A 10 Km 500 Km 8 m 10 m 4 m 5 m Código C/A suavizado o correlación fina 10 Km 500 Km 3 m 7 m 0,3 m 4 m Posicionamiento con Código C/A IV-11 4.5 Aplicación de la corrección diferencial 4.5.1 Post-Procesamiento Este es el caso más simple de aplicación, es el ejemplo visto ante-
riormente, hablamos de bajar los datos a una computadora y enfrentar las mediciones de ambos receptores, realizando el post-procesamiento; vemos que los resultados se obtienen a posteriori de un procesamiento en gabine-
te. Este método puede aplicarse en forma "particular", es decir, un usuario que cuente con 2 o más receptores, dejará uno estacionado en un punto de coordenadas conocidas, que actuará como "base" y el otro (o los otros) recorrerán los puntos que interesa relevar. Una alternativa se presenta a este método a través de la instalación de una Estación Permanente GPS, esto es, un receptor GPS sobre un pun-
to de coordenadas conocidas. Esta estación almacena los datos de los saté-
lites GPS durante las 24 hs. y los pone a disposición de los usuarios en forma de archivos por el lapso de tiempo que cada usuario estuvo reali-
zando mediciones, de esta manera cada usuario utiliza los archivos del receptor base para aplicar la corrección diferencial a sus archivos tomados con su receptor remoto. Como ventaja de este sistema podemos enunciar la independencia de la estación base, de su estacionamiento y su cuidado. Así también que el usuario necesita un equipamiento mínimo compuesto por un solo receptor, y en el caso de contar con más receptores, todos actúan como remotos, aumentando la eficiencia del equipo de medi-
ción. En este caso, de la utilización del sistema de Estación Permanente, debe tenerse en cuenta que se produce una pérdida de precisión, en función de la distancia que separa al receptor remoto de la estación base, cuando esta pasa a ser mayor de 100 km aproximadamente. IV-12 Posicionamiento con Código C/A 4.5.2 Corrección diferencial en tiempo real También conocida como RTDGPS. Si en el caso de una Estación Permanente ubicada sobre un punto de coordenadas conocidas, contamos con un receptor base capaz de calcular, para cada instante, el error en la distancia y la corrección que corresponde a cada satélite que está observando, y a través de un sistema de radio transmitirlas (Figura 5); cualquier receptor remoto que reciba esta corrección puede aplicarla a las distancias de los satélites que él está observando y calcular así, en tiempo real las posiciones corregidas (utili-
zando el método de corrección de distancias). El receptor remoto debe tener capacidad interna de recibir e inter-
pretar esta corrección (vía formato RTCM 104) y para esto estará conec-
tado a otro receptor de radio-frecuencias, para recibir esta señal de correc-
ción en tiempo real y aplicarla a las distancias a los satélites que está ob-
servando. Este sistema, al igual que en el caso anterior, tiene el problema de la pérdida de precisión a medida que el usuario del receptor remoto se aleja de la estación base de referencia, y las dificultades propias de la re-
cepción de señales radiales (en la ciudad de Rosario hemos desarrollado una experiencia piloto, en conjunto con la Facultad de Ciencias Astronó-
micas y Geofísicas de la Universidad Nacional de La Plata, poniendo en funcionamiento, por un período limitado de tiempo, una Estación Perma-
nente con estas características). 4.5.3 WADGPS Esta es la sigla que corresponde al sistema Wide Area Differential GPS, (o bien GPS diferencial de área amplia). La idea básica de un sistema WADGPS es la de eliminar la limi-
tante principal de un sistema convencional DGPS, que es la pérdida de precisión a medida que el usuario se aleja de la estación de referencia; ya que los "errores" asumidos como iguales para la estación base y para el usuario remoto, dejan de serlo, invalidando el razonamiento que nos per-
Posicionamiento con Código C/A IV-13 mitía aplicar la "corrección diferencial" generada en una única estación de coordenadas conocidas, antes mencionada. Figura 5 e1
TI EMPO REAL
t GPS REM.
( x,y,z) corr.
C1,C2,C3,...
IV-14 Posicionamiento con Código C/A La cuestión inmediata es que para hacer funcionar un sistema DGPS de área amplia (WADGPS), será necesario incrementar el número de estaciones de referencia, manteniendo una densidad suficiente para evitar la pérdida de precisión. En cuanto al diseño del sistema y a la transmisión de la correc-
ción, podemos definir básicamente dos tipos de sistemas WADGPS: 4.5.3.1 Vía transmisión radial Estos sistemas operan transmitiendo las correcciones diferenciales implementados de dos formas: a través de las redes de FM, o bien utili-
zando las señales de radio-faros de navegación. En el caso de la transmisión vía FM, la modulación de las correc-
ciones es producida en sub-carriers de la onda de FM que transmiten las emisoras de radio FM de cada localidad y permite al usuario autorizado acceder a las correcciones a través de receptores tipo pagers. El formato utilizado para transmitir las correcciones es el RTCM-104. Por detrás del conjunto de las estaciones radiales, está una red de estaciones de referencia, encargadas de computar, validar, calcular correc-
ciones y determinar los parámetros que serán difundidos por las emisoras radiales. DCI y ACCQPOINT ofrecen estos sistemas para el usuario en América del Norte y en algunos otros lugares del planeta a través de un red de 450 estaciones FM. Como vemos este sistema necesita de una gran cantidad de antenas distribuidas por todo el territorio al que se le quiere brindar corrección diferencial, ya que el alcance de la transmisión FM está limitado a los 60-
80 km aproximadamente. En este sistema el receptor de la corrección elige automáticamente la transmisión correspondiente a la antena más cercana. Posicionamiento con Código C/A IV-15 En el caso de los radio-faros, las correcciones son moduladas so-
bre la misma señal que es emitida por los radio-faros de navegación, fun-
damentalmente para los barcos que navegan en zonas costeras, pero tam-
bién puede ser utilizada por otros usuarios en la zona de cobertura. En Argentina existe en funcionamiento comercial un sistema de es-
te tipo, con dos estaciones de transmisión (ubicadas en San Carlos, Pro-
vincia de Santa Fe y Bolívar, Provincia de Buenos Aires), dando cobertura a la zona agrícola, especialmente para la aplicación de técnicas de “agri-
cultura de precisión”. 4.5.3.2 Vía Inmarsat Para resolver el problema de la cobertura en la transmisión de los parámetros de corrección en un sistema WADGPS se utilizan los satélites de comunicaciones Inmarsat, distribuidos de forma de permanecer geoes-
tacionarios sobre el Ecuador, logrando una cobertura mundial con solo 4 ó 5 satélites. Este sistema a la vez permite otra ventaja y es la de necesitar de un pequeño número de estaciones de referencia sobre puntos de coordena-
das conocidas distribuidas geográficamente en el área a ser cubierta pu-
diendo mantener la precisión en el posicionamiento. Las experiencias que citan diferentes autores indican como sufi-
cientes un número de 3 a 4 estaciones de referencia en áreas de extensión como EUA o Europa. Estas estaciones deben operar en forma permanente, siendo una de ellas la que funciona como Master, recibiendo y procesando los datos de las demás. De este modo los errores (error del reloj del satélite, error orbital, errores debidos al atraso ionosférico), son modelados y la estación Master transmite las correcciones en tiempo real. Los satélites de comunicación Inmarsat se utilizan para transmitir IV-16 Posicionamiento con Código C/A la corrección a los usuarios y para transmitir los datos entre las estaciones de referencia. Podemos describir dos tendencias en cuanto a los métodos de mo-
delar los errores en los sistemas WADGPS. Por ejemplo en Nottingham (Inglaterra), los errores orbitales son tratados a través de la sustitución de las efemérides transmitidas por los satélites GPS, por una nueva órbita computada a partir de técnicas de integración orbital (Ashkenazi, 1992). Y en Stanford (Estados Unidos), una de las estrategias adoptadas es la de invertir geométricamente la solución de posicionamiento por satéli-
tes artificiales, computándose correcciones tridimensionales a las posicio-
nes de los satélites, a través del conocimiento de las coordenadas precisas de las estaciones de referencia (Kee et al, 1995). El modelo dinámico de Nottingham es sustituido por un modelo puramente geométrico en Stanford. Datos obtenidos con receptores de una frecuencia, operando en una red de 3 estaciones de referencia con separaciones de 2000 a 4000 km en el continente Europeo, fueron analizados dando una precisión de 2.3 metros en el posicionamiento horizontal y de 2.5 metros en el vertical (Chao et al, 1995). En Argentina pueden obtenerse correcciones provenientes de los sistemas comerciales Omnistar y Racal.  Parte de la información sobre algunos temas aquí tratados, ha sido extraída de artículos de publicaciones especializadas, (p.ej. GPSWorld). Capítulo V V -1 Posicionamiento con fase 5.1 Introducción Como ya se mencionara en el capítulo III, las señales emitidas por los vehículos espaciales están caracterizadas por un cierto número de componentes todas basadas en una frecuencia fundamental f
igual a 10,23 Mhz controlada por los osciladores atómicos que se encuentran a bordo. Los satélites transmiten dos señales portadoras en la banda L, de-
nominadas L1 y L2, las que son generadas multiplicando a la frecuencia fundamental por un número entero, resultando respectivamente las si-
guientes frecuencias f
= 154 . 10.23 Mhz = 1575.42 Mhz f
= 120 . 10.23 Mhz= 1227.60 Mhz Las longitudes de ondas de estas portadoras serán respectivamen-
te 19.05 cm. y 24.45 cm. Sobre las portadoras se sobreponen distintas modulaciones, por lo que las señales integran un conjunto de componentes pudiéndose expresar por las siguientes ecuaciones (Spilker,1980) (V-1) En la expresión (V-1), la fase cosenoidal de ambas portadoras es modulada por una secuencia de pulsos conocida como código P y repre-
sentada en las ecuaciones anteriores con P
(t), donde el subíndice j se refiere al satélite j-ésimo. El código P genera un algoritmo que se repite cada 267 días. Observado a lo largo de este período la secuencia no pre-
senta ninguna simetría, razón por la cual se denomina seudoaleatoria. La frecuencia del código P es de 10,23 Mhz. t) f ( cos (t) D (t) P b = (t)
t) f sen( (t) D (t) G
+ t) f ( cos (t) D (t) P a = (t)
2 j j p 2
1 j j c
1 j j p 1
V-2 Posicionamiento con fase La fase senoidal de la portadora L
es modulada por una secuencia de pulsos llamada código C/A representada en la segunda ecuación por G
(t). Este código se repite cada 1 milisegundo y tiene una frecuencia de 1,023 Mhz. Los coeficientes p c p
b , a , a representan las amplitudes de los códigos P y C/A. Además de los dos códigos, ambas fases de las portadoras L
son moduladas por una secuencia de baja frecuencia representada en las ecuaciones por D
(t). Esta contiene un conjunto de informaciones necesa-
rias para el usuario, conocido con el nombre de mensaje de navegación. Una vez que las señales llegan a los receptores GPS, son procesa-
das con el objetivo de recuperar sus componentes. Dependiendo del tipo de receptor, estos podrán llegar a reconstruir las ondas portadoras y extraer los códigos y el mensaje de navegación. Esto se ilustra en la Figura 1. Figura 1 Para el desarrollo del capítulo actual es necesario pensar que previamente se han reconstruido las portadoras. satélite
o s c i l a d o r
portadoras códigos mensaje
Posicionamiento con fase V-3 5.2 Fases - Conceptos básicos En un punto S se genera una onda electromagnética a partir de un instante que tomamos como origen del tiempo. Se puede asociar a la onda mencionada un vector que gira con velocidad angular constante coincidente con la frecuencia de la misma, por ejemplo, si la frecuencia es f = 1.5 Ghz, el vector definido girará mil quinientos millones de vueltas en un segundo. En la Figura 2 se ejempli-
fica mostrando la posición del vector para el tiempo t=0 Figura 2 Considerando que la onda se propaga en el vacío, se tendrá que a una distancia ρ de la fuente S aparecerá el vector retrasado en el tiempo t
. (V-2) donde c es la velocidad de la luz. La Figura 3 muestra la posición que el vector tiene en S en el tiempo t
0 En ese lapso el vector en S habrá girado (V-3) c
V-4 Posicionamiento con fase Ese número de vueltas ( f t
o ) tendrá una parte entera N y una fracción decimal , tal que el número total de vueltas (ciclos) será: (V-4) donde: N se denomina ambigüedad  se denomina fase λ es la longitud de onda portadora. Figura 3 A continuación se plantea el siguiente caso: se consideran dos puntos S y P separados una distancia ρ invariable en los cuales se generan sendas ondas electromagnéticas idealmente iguales entre sí y perfecta-
mente sincronizadas. La Figura 4 permite visualizar la situación de los vectores men-
cionados en ambas estaciones para distintas épocas, contadas a partir del instante inicial (t=0). Nótese que las fases del punto S y del punto P pueden comparar-
se a partir del instante t
0 (tiempo empleado por la onda generada en S para arribar al punto P), manteniéndose a partir de ese momento una frac-
ción de ciclo constante (en el ejemplo la fracción es  = 0.25). 
f = + N
Posicionamiento con fase V-5 Figura 4 5.3 Caso satelital En el sistema GPS los satélites (puntos S) emiten una portadora y los receptores (puntos P) generan una réplica de la misma, la diferencia fundamental con lo planteado hasta aquí es que la distancia entre S y P varía continuamente. 0
Punto S Tiempo Ciclos
generado recibido
V-6 Posicionamiento con fase 5.3.1 Observable ideal En primer lugar se plantea idealmente que la portadora emitida por el satélite y su réplica están perfectamente sincronizadas. Si en un instante determinado se considera un satélite y un recep-
tor GPS, la señal emitida por el satélite llegará a la estación alterada por el efecto Doppler, es decir, la frecuencia recibida en el receptor difiere de la frecuencia emitida en un monto que es proporcional a la velocidad radial del satélite ρ´: (V-5) donde ρ : es la distancia geométrica entre el receptor y el satélite ρ´ : la derivada de la distancia geométrica respecto al tiempo f : frecuencia emitida por el satélite λ : longitud de onda. Suponiendo que el receptor genera una réplica idealmente exacta de la frecuencia f, la diferencia entre las frecuencias será: (V-6) La medición con fase está basada en la determinación del desfa-
saje entre la portadora generada en el receptor y la recibida desde el saté-
lite. Correlacionando continuamente ambas portadoras a partir del mo-
mento de conexión (t
) con el satélite, el receptor podrá contar la cantidad de ciclos enteros debido a los cambios de distancia satélite-receptor (n) y medir la fracción de ciclo entre ambas señales (). Planteada de esta manera, la diferencia entre los ciclos observa-
dos (n+ ) y la cantidad total de ciclos será la ambigüedad inicial N que será invariable para toda la sesión, de esta manera N permanecerá como una incógnita para cada par receptor-satélite. Este planteo será válido 
   ' ' '
f - f = )
- (1 f
 ' '
= ) - f ( - f = recibida - réplica
Posicionamiento con fase V-7 siempre que no se produzca un corte en la señal recibida ya que en ese caso se perderá la cuenta de ciclos enteros y consecuentemente aparecerá una nueva ambigüedad. Una interpretación geométrica de la medición con fase es mostra-
da en la Figura 5 donde n
+(t
son las cantidades medidas por el receptor (observables) en la época t
respectivamente órbit a
superficie t errest re
Figura 5 Por lo dicho anteriormente las dos principales dificultades en la medida de la fase de la portadora están vinculadas al problema de la am-
bigüedad. La primera está relacionada con la dificultad que implica la ob-
tención del número inicial de ciclos enteros de la portadora contenidos en la distancia que separa al receptor del satélite (N), y la segunda aparece cuando la señal del satélite es obstruida lo que ocasiona la pérdida de la cuenta de ciclos enteros durante el rastreo y por lo tanto la aparición de una nueva ambigüedad inicial. En este caso, los paquetes de software de procesamiento brindan la posibilidad de recuperar los ciclos perdidos por medio de algoritmos especialmente diseñados para tal fin. V-8 Posicionamiento con fase Si se integra la expresión (V-6) desde el tiempo t
(que representa el instante de conexión) hasta una época genérica, se tendrá una can-
tidad que será la cuenta n de ciclos enteros desde t
, más una fracción de ciclo menos la fracción de ciclo inicial, es decir: n+ -( t
0 ) Se tendrá entonces: luego y (V-7) Teniendo en cuenta que resulta efectuando el reemplazo  = n + se obtiene la ecuación de observación ideal (V-8) donde: N: es la ambigüedad correspondiente a un satélite observado desde una estación a partir de una época. )
( - + n = dt recibida) - (réplica
( ) 
( - + n =
 ) (
+ n + N =
Posicionamiento con fase V-9 y  : es el observable de fase La distancia ρ se puede expresar como: donde las coordenadas del satélite j-ésimo (x j ,
) son valores datos que los provee el sistema a través del mensaje de navegación. Luego, la ecuación (V-8) contendrá para una época, un receptor y un satélite, 4 incógnitas: las coordenadas del receptor i-ésimo (x
) y la ambigüedad inicial correspondiente al satélite mencionado N. Resulta fácil deducir que en el caso de fase, a diferencia de lo que ocurre con código, si se observa simultáneamente otro satélite se agrega-
rá una ecuación pero también se adicionará una nueva incógnita: la ambi-
güedad correspondiente a ese satélite. Por lo tanto para conformar un sistema donde el número de ecua-
ciones sea mayor o igual al número de incógnitas, se tendrán que realizar observaciones que contemplen mas de una época. En general será válido que siendo n
j : el número de satélites n
t : el número de épocas el sistema quedará conformado por n
ecuaciones y 3+ n
incógnitas para que el sistema de ecuaciones tenga solución será condición necesaria que n
 3+n
) z z ( ) y y ( ) x (x
j i i j i j
÷ + ÷ + ÷ = 
V-10 Posicionamiento con fase Para una sola época (n
t = 1) la solución sería posible sólo si la ambigüedad inicial es conocida. En ese caso el modelo de fase sería equi-
valente al de código y se obtendría solución para n
> 4. Esta característi-
ca es utilizada en levantamientos dinámicos donde la ambigüedad inicial es provista por procedimientos de inicialización y esta ambigüedad se mantiene para toda la sesión mientras el receptor ocupa diferentes puntos (Ver 5.6). 5.3.2 Observable real Como en toda medición de una magnitud física y conforme ya se citó en el capítulo III, la medida de la distancia satélite-receptor es in-
fluenciada por errores accidentales y sistemáticos que dependen de la precisión con que se correlacionan las portadoras del satélite y del recep-
tor (ruido), de cierta imprecisión en las coordenadas de los satélites, de la desincronización de los relojes del satélite y del receptor respecto del tiempo GPS, de los efectos de la refracción en las capas atmosféricas que las señales de los satélites atraviesan, etc. Por lo tanto a la ecuación ideal (V-8) deberán adicionarse términos que representen a esos errores. Como ejemplo mencionamos: Error de correlación o ruido: es el error de carácter accidental originado en el receptor al producir la correlación o alineación de fases, más precisamente se puede decir que dicho error dependerá de la preci-
sión con que el receptor es capaz de determinar . Teniendo en cuenta que el error mencionado es del orden del 1% de la longitud de onda y que la longitud de las ondas portadoras son del orden de los 20 cm. tendremos que la potencialidad de precisión del método es muy alta ya que en prin-
cipio se puede hablar de precisiones milimétricas. Error en los relojes: el reloj del receptor y en menor medida el del satélite tienen una diferencia respecto del tiempo GPS que se denomi-
nan respectivamente δ
i y δ
. La cantidad Δδ = δ
i influenciará la me-
dida de la distancia en la cantidad c Δδ, que dividida por λ se adicionará a la ecuación de observación: (V-9)  
- + N =
Posicionamiento con fase V-11 Refracción atmosférica: teniendo en cuenta que la señal no se propaga íntegramente en el vacío, sino que parte de su recorrido lo realiza a través de la atmósfera terrestre, se producirán alteraciones en el tiempo de recorrido de la onda que se representa con ΔA y que incluye el efecto conjunto de la refracción ionosférica y troposférica. Agregando a (V-9) el término correspondiente: (V-10) como resulta (V-11) La ecuación de observación (V-11) incluye los términos corres-
pondientes a los efectos producidos por los errores en los relojes (satélite y receptor) y las alteraciones que se producen en los tiempos de recorrido de la señal al atravesar la atmósfera. Aunque en la ecuación (V-11) no se explicitan los errores orbitales, debe tenerse en cuenta que están implíci-
tos en ρ 5.4 Posicionando puntos con fases de la portadora Adecuando la ecuación de observación (V-11) para el caso del satélite j-ésimo, el receptor i-ésimo y el instante t se obtiene: (V-12) Algunos de los errores sistemáticos pueden ser modelados y eli-
minados introduciendo los términos correctivos correspondientes en la ecuación de observación, otros pueden también ser eliminados mediante una adecuada combinación de las ecuaciones de observación. A
- + N = 
A f - f - + N =    
) t ( A f - ) t ( f - ) t ( + N = ) t (
j , i j j , i j j , i j , i j , i
    
V-12 Posicionamiento con fase Como se verá en (5.5.1.1), (5.5.1.2) y (5.5.1.3), diferenciando entre receptores se eliminan los errores específicos de los satélites y dife-
renciando entre satélites se eliminan los errores propios de los receptores. Así es que si se utilizan las ecuaciones de dobles diferencias de fases se obtendrán soluciones, que con alta aproximación, están libres de errores sistemáticos originados en los satélites y en los receptores. Con respecto a la refracción atmosférica, esto es solo cierto para bases cortas donde las mediciones de distancias en ambos extremos son afectadas igualmente. Como se verá en (5.7), cuando se trabaja con re-
ceptores de doble frecuencia, el efecto de la refracción atmosférica puede ser eliminado por una adecuada combinación de las observaciones obte-
nidas con cada una de ellas. Como ya se señaló la influencia de algunos errores puede mini-
mizarse siempre que se puedan modelizar. En particular se analiza el término Δδ
(t) - δ
(t) que repre-
senta la diferencia de los errores del reloj del satélite y del receptor para el instante t. Veamos cuantas incógnitas se van generando por cada ob-
servación. Cada receptor tiene implícita una incógnita δ
(t), cada satélite adicional también adiciona una incógnita δ
(t), por lo tanto a medida que se aumenta la cantidad de observaciones también aumentan las incógni-
tas, si a esto se adicionan las cuatro incógnitas ya mencionadas, entonces para un instante dado se tendrá siempre mas incógnitas que ecuaciones. Las estaciones de control del sistema monitorean los relojes de los satélites determinando instante a instante su estado respecto de un oscilador tomado como patrón. Estas observaciones permiten, mediante el ajuste correspondiente, modelizar el comportamiento de cada satélite, determinando tres coeficientes polinómicos a
2 para una época de referencia t
. Luego la expresión: δj(t) = a
(V-13) permite calcular el error del reloj del satélite para la época t y por lo tanto aplicar la corrección correspondiente. Posicionamiento con fase V-13 Ahora bien a partir de la ecuación de observación (V-14), en la cual por razones de simplicidad se ha excluido el término correspondiente a la refracción atmosférica, se puede realizar un análisis mucho más real. Considerando que n
representa el número de satélites, y n
al número de épocas, entonces el producto n
t será el número de ecuaciones de obser-
vación generadas. Por otro lado el segundo miembro muestra que el nú-
mero de incógnitas es 3+n
. ) t ( f - N ) t ( ) t ( f - ) t (
i j j , i j , i j j j , i
 
  ÷ =
(V-14) Para obtener solución, el número de incógnitas no deberá ser mayor que el número de ecuaciones, por lo que se deberá cumplir la siguiente relación: (V-15) Para las aplicaciones estáticas donde el receptor i permanece estacionario durante un período de observación, en principio, la observa-
ción simultánea de 4 satélites no es estrictamente necesaria. Por ejemplo, considerando que sólo dos satélites son visibles (n
j = 2), deberán realizar-
se las observaciones para un mínimo de 5 épocas (n
t = 5) para lograr una solución única. Efectivamente aplicando (V-15) se tiene: 2 . 5  3 + 2 + 5 En la práctica, sin embargo, casos como el planteado no dan bue-
nos resultados porque el sistema de ecuaciones de observación queda mal condicionado, salvo que las épocas estén muy distanciadas (por ejemplo: horas) lo que vuelve a esta modalidad improductiva. Aunque estas obser-
vaciones son raras pueden imaginarse para circunstancias especiales, por ejemplo, para áreas urbanas con escasa visibilidad. 5.5 Posicionamiento relativo estático El posicionamiento relativo estático consiste en determinar las coordenadas de un punto incógnita utilizando para ello las coordenadas de otro punto denominado base. Para ello se deben realizar observaciones t j t j
n n 3 n . n + + >
V-14 Posicionamiento con fase simultáneas a los mismos satélites desde ambos puntos durante un perío-
do de tiempo. Suponiendo que el punto A es el punto base y el B es el punto incógnita, el resultado que se desea obtener en posicionamiento relativo son las componentes del vector entre ambos puntos, es decir: Finalmente las coordenadas de B se obtienen con: (V-16) 5.5.1 Diferencias de fase Asumiendo entonces que se realizan observaciones simultáneas en dos puntos A y B a dos satélites j y k, se pueden formar nuevas ecua-
ciones como combinación lineal de las anteriores. A estas combinaciones lineales se las denomina simples diferencias, dobles diferencias y triples diferencias de fase. Los errores sistemáticos incluídos en la ecuación de observación original presentan una fuerte correlación con las señales recibidas simul-
táneamente por diferentes receptores desde distintos satélites. La utiliza-
ción de las ecuaciones de diferencias de fases mencionadas anteriormente utilizan estas correlaciones con el fin de lograr un aumento en las preci-
siones, posibilitando en algunos casos la eliminación y en otros la reduc-
ción de dichos efectos. +
Posicionamiento con fase V-15 5.5.1.1 Simples diferencias Se consideran dos receptores R
ubicados respectivamente en los puntos A y B los que en la época t reciben la señal proveniente de un satélite j (Figura 6). Figura 6 Aplicando la ecuación correspondiente para el punto A será: La ecuación para el punto B: (t)
f + (t) f - N
= f - (t)
j B, j j j B,
j A, j j j A,
j(t1)
V-16 Posicionamiento con fase (t)
Restando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene: En forma simplificada la expresión final de la ecuación corres-
pondiente a las simples diferencias se escribe: (V-17) donde: Comparando la ecuación de simples diferencias (V-17) con la ecuación (V-14), se observa que se han cancelado los efectos de los erro-
res asociados al reloj del satélite, ya que dos receptores rastrean al mismo satélite en el mismo instante. No obstante todavía subsisten un gran nú-
mero de incógnitas. Las simples diferencias de fase también posibilitan una importan-
te reducción de los errores orbitales y por refracción atmosférica (tropós-
fera e ionósfera). En casos en que la distancia entre los receptores es pequeña en comparación con los 20000 km de altura de los satélites, los efectos causados por los errores mencionados serán muy próximos y por lo tanto el término ΔA
(t) será muy pequeño. El valor del término será función de la separación entre receptores. )] t ( A ) t ( A [ f )] t ( ) t ( [ f
] NA N [ )] t ( ) t ( [
(t) - (t)
j , A j , B j A B j
j , A j , B j , A j , B j , A j , B
   
) t ( A ) t ( A ) t ( A
(t) - (t) ) t (
j , A j , B j , AB
Posicionamiento con fase V-17 Para aplicaciones estáticas precisas, la desventaja de utilizar simples diferencias es que el término correspondiente al reloj del recep-
tor todavía está presente y consecuentemente el número de incógnitas es muy grande. Considerando 4 satélites observados durante 1 hora con un inter-
valo de 15 segundos, resultarán 3 + 4 + 240 = 247 incógnitas, lo que im-
plica un sistema de ecuaciones normales muy grande. Esto puede reducir-
se modelizando el reloj del receptor (por ejemplo: modelo polinómico). El número de ecuaciones de simples diferencias resultantes será, para el mismo ejemplo, 4 . 240 = 960. 5.5.1.2 Dobles diferencias Aplicamos la ecuación de simples diferencias (V-17) para la épo-
ca t correspondientes a dos receptores colocados en los puntos A y B, y a dos satélites j y k (Figura 7) Figura 7 j(t1)
V-18 Posicionamiento con fase La ecuación de simples diferencias para el satélite j será: La ecuación de simples diferencias para el satélite k será: La diferencia de ambas ecuaciones utilizando además la notación abreviada proporcionará la ecuación correspondiente de dobles diferencias (V-18) donde: En este modelo se observa claramente que se han removido los errores provenientes de los relojes de los receptores. Teniendo en cuenta que las dobles diferencias se construyen a partir de simples diferencias de fase, debe considerarse que ya se han eli-
minado los errores en los relojes de los satélites y reducido los efectos cau-
sados por la refracción atmosférica y los errores de los parámetros orbita-
les, pudiendo considerarse que para bases pequeñas (por ejemplo: <25 km), los errores mencionados son virtualmente eliminados. El número de incógnitas en el procesamiento de dobles diferen-
cias son: 3 coordenadas n
ambigüedades (t)
f + (t) f -
k AB,
jk AB,
k , AB j , AB jk , AB
Posicionamiento con fase V-19 Si por ejemplo se observan 4 satélites durante una hora con inter-
valo de 15 segundos se obtendrá 4 + 3 = 7 incógnitas El número de ecuaciones será: 4 . 240 = 960. 5.5.1.3 Triples diferencias Hasta ahora solo se ha considerado una época t. Para eliminar la ambigüedad, que es independiente del tiempo, Remondi (1984) propuso diferenciar las dobles diferencias entre dos épocas t
(Figura 8). Figura 8 La ecuación de dobles diferencias (V-18) para la época t
1 será: La que corresponde a la época t
2 ) (t
= ) (t
jk AB, 1 1 1
j(t2)
k(t2)
V-20 Posicionamiento con fase La que corresponde a la época t
2 Haciendo la diferencia de ambas ecuaciones se obtendrá la ecua-
ción de triples diferencias. (V-19) donde: Se puede observar que en el modelo de triples diferencias se eli-
minan las incógnitas de ambigüedad y también está exento de los errores previamente suprimidos en las simples y dobles diferencias. La única información que queda en este modelo es la relativa a las posiciones de los satélites y de los receptores, por lo que el sistema de ecuaciones ten-
drá solo 3 incógnitas. El número de ecuaciones para el ejemplo ya men-
cionado será 4 . 240 = 960. Generalmente este procesamiento es menos preciso que el de dobles diferencias (incrementa el ruido de la medición). Después de haber desarrollado los modelos matemáticos de los algoritmos de fases simples, simples diferencias, dobles diferencias y triples diferencias, se puede decir que las sucesivas diferencias contribu-
yen de dos maneras a la solución: reduciendo el número de incógnitas de la ecuación de observación original y eliminando o minimizando los efec-
tos de los errores sistemáticos. Como contrapartida produce una disminu-
ción en la precisión de las soluciones. En las simples diferencias de fase hay que abordar el problema de ) (t
jk AB, 2 2 2
f + ) t (t
= ) t (t
j jk AB,
jk AB, 2 1 2 1 2 1
) t ( A ) t ( A ) t t ( A
) t ( ) t ( ) t t (
) (t - ) (t ) t t (
jk , AB jk , AB jk , AB
1 jk , AB 2 jk , AB jk , AB
Posicionamiento con fase V-21 invertir una matriz de gran tamaño originada por las numerosas incógni-
tas de tiempo (una por época). En general se utiliza este método para obtener coordenadas siempre y cuando se cuenten con buenos valores a priori de las correcciones del reloj del receptor y del satélite, y pueda aprovecharse la naturaleza entera de N. En cuanto a los algoritmos de las ecuaciones de dobles y triples diferencias son más simples que los correspondientes a simples diferen-
cias ya que disminuyen drásticamente la cantidad de incógnitas. Por otro lado tienen el inconveniente que aumentan las correlaciones de las obser-
vaciones. En particular las triples diferencias proveen una solución rápida de las coordenadas, pero con fuertes problemas de correlación lo que hace disminuir la precisión de los resultados. En general esta solución es utilizada como dato de entrada en los otros métodos. Los paquetes de software comerciales para procesamiento relati-
vo generalmente utilizan las dobles diferencias de fases que normalmente permiten obtener soluciones fijas (ambigüedades enteras) cuando los vectores no son largos. 5.5.2 La resolución de ambigüedades En resumen, se puede decir que cuando se utiliza el observable fase la precisión que se puede lograr es mucho mejor que la que se logra con el uso de códigos pero aparece el problema de las ambigüedades cuya resolución requerirá de tiempos de observación mucho más prolon-
gados y de procedimientos de medición y de cálculo considerablemente más complejos. Es importante en este punto tener en cuenta que la ambigüedad inicial inherente a la medición con fase es un número entero y depende del par receptor-satélite. No habrá dependencia del tiempo siempre que no haya pérdida de señal durante la sesión. Dependiendo del tipo de ecuación de observación utilizada, en primer término, las incógnitas (coordenadas, parámetros de los relojes, errores orbitales, etc.) son estimadas junto con las ambigüedades en un V-22 Posicionamiento con fase ajuste común. En esta aproximación los errores no considerados o defec-
tuosamente modelados afectan a todas las incógnitas calculadas. Por eso es que en la primera aproximación las ambigüedades resultantes no serán números enteros sino que resultarán números reales, por lo tanto las co-
ordenadas obtenidas constituyen lo que se denomina solución flotante. Como ya se mencionó la gran mayoría de los paquetes de soft-
ware comerciales utilizan las ecuaciones de dobles diferencias de fase donde las incógnitas presentes son las coordenadas y las ambigüedades. En general las estrategias de cálculo utilizadas se basan en tratar de aprovechar la naturaleza entera de las ambigüedades. En ese sentido se utilizan procedimientos para calcular primero las ambigüedades enteras, las que una vez obtenidas se reemplazan en el sistema de ecuaciones, quedando por lo tanto únicamente como incógnitas las coordenadas. Siguiendo este camino de cálculo, una vez resuelto el sistema, se obtie-
ne la posición del punto con una precisión sensiblemente mejor. El problema de calcular las ambigüedades enteras con sesiones de obser-
vación lo más cortas posibles, requiere de procedimientos de cálculo avanzados que evolucionan continuamente ya que actualmente son ob-
jeto de investigación. A modo de ejemplo mencionamos un conjunto de pasos sucesi-
vos necesarios para resolver ambigüedades: 1) Si a priori se determinan los valores aproximados de las co-
ordenadas del punto (triples diferencias, código P, etc.), se podrá definir una esfera alrededor del mismo cuyo radio se trata de determinar de tal manera de garantizar que todas las soluciones posibles caigan dentro de ella. 2) Para lograr soluciones basadas en ambigüedades enteras será necesario realizar ajustes secuenciales tendientes a lograr es-
timaciones cada vez más cercanas a números enteros. 3) Así todos los grupos de ambigüedades enteras que propor-
cionen soluciones que caen dentro de la esfera serán válidos. Se obtendrá entonces un conjunto de soluciones posibles de-
nominadas soluciones candidatas entre las cuales se elige la mejor. Posicionamiento con fase V-23 Teniendo en cuenta que las longitudes de ondas de las portadoras son del orden de los 20 cm, se podrá llegar a definir el mejor grupo de ambigüedades si se logra reducir el radio de la esfera hasta que sea menor que la longitud de onda de la portadora. En levantamientos estáticos esto es posible reuniendo suficiente cantidad de observaciones, es decir, con sesiones suficientemente largas. Además es sencillo intuir que si la longitud de onda fuera mayor, menor será el tiempo necesario para resolver ambigüedades ya que para la misma región de incertidumbre la cantidad de soluciones candidatas será menor. 5.6 Posicionamiento relativo dinámico Las técnicas de posicionamiento estáticas se utilizan frecuente-
mente debido a que permiten alcanzar las máximas precisiones. En los últimos años han adquirido gran importancia los denomi-
nados métodos de medición cinemáticos o dinámicos en los cuales mien-
tras el receptor base se mantiene fijo, el receptor remoto se desplaza rápi-
damente de un punto a otro. Esta modalidad de posicionamiento se carac-
teriza por una productividad muy superior a la de los métodos estáticos permitiendo lograr además precisiones aceptables para una gran cantidad de aplicaciones. En estos casos la resolución de ambigüedades requiere de un tratamiento especial. 5.6.1 Método cinemático puro Este método tiene como objetivo el relevamiento de una línea en forma continua, como por ejemplo el perímetro de una isla, la traza de una ruta, incluyendo numerosas aplicaciones aéreas y marítimas. Para que este método resulte exitoso se tienen que cumplir dos condiciones a) Se debe realizar un proceso de inicialización, es decir, calcular las ambigüedades iniciales antes de comenzar el movimiento. Es-
V-24 Posicionamiento con fase to se puede lograr, por ejemplo, mediante una determinación es-
tática ordinaria. b) Sin apagar el receptor, se efectúa el recorrido correspondiente, debiéndose mantener las señales provenientes de al menos cuatro satélites sin pérdidas de ciclos. Esto permitirá utilizar las ambi-
güedades iniciales previamente obtenidas, en el cálculo de los puntos sucesivos. Si durante el recorrido una o más veces, por algún tipo de obs-
trucción, se pierde la comunicación será necesario realizar nuevamente una inicialización 5.6.2 Método Stop & Go El objetivo de este método es la determinación de coordenadas de puntos discretos con gran rapidez. El mismo consiste en estacionar un receptor en la base mientras que el otro se va trasladando de punto en punto con la particularidad de que se detiene en cada uno durante un tiempo muy breve (segundos o a lo sumo algunos minutos). En este método también se debe mantener la recepción continua de la señal, luego de determinar las ambigüedades iniciales. En caso que la recepción se interrumpa se pueden recuperar las ambigüedades retornando al punto anteriormente ocupado, evitándose así la reinicialización. Se recuerda que cuando se utilizan las dobles diferencias de fase las incógnitas presentes son las ambigüedades iniciales y las coordenadas del receptor remoto, por lo tanto si previamente se resuelven las ambi-
güedades el cálculo de las coordenadas será inmediato (similar al caso de código). 5.6.3 Método OTF La aplicabilidad de los métodos 5.6.1 y 5.6.2 está limitada por la existencia de obstáculos como túneles, densa arboleda, puentes, etc., ya Posicionamiento con fase V-25 que producen cortes en las señales recibidas y por lo tanto se pierden las ambigüedades iniciales, siendo necesario en estos casos volver a determi-
narlas. Dentro de los métodos dinámicos el mas potente en la actualidad, es sin duda, el denominado OTF (on the fly) que permite la resolución de ambigüedades en movimiento. Este método ha surgido como consecuencia del gran avance que en los últimos tiempos han experimentado las técnicas de procesamiento dinámico. Esta técnica, originalmente fue aplicada exclusivamente a cál-
culos de alta precisión a partir de datos obtenidos de receptores de doble frecuencia y código P. La principal diferencia con los métodos de procesamiento tradi-
cionales estriba en que el método OTF utiliza el denominado filtro de Kalman. El filtro de Kalman permite estimar posiciones con precisión creciente, mientras el receptor está en movimiento, hasta que la precisión lograda es tal que permite calcular las ambigüedades y de esa manera poder computar las coordenadas definitivas. El tiempo necesario para lograr determinar las ambigüedades se denomina tiempo de refinamiento o de convergencia. Cuando el procesamiento se realiza con datos provenientes de receptores L1/L2/P, se obtienen los mayores rendimientos, ya que ante eventuales pérdidas de ciclos es posible recuperar las ambigüedades rápi-
damente. Por ejemplo, para una base corta es posible fijarlas en menos de dos minutos. El método OTF también es aplicable a datos provenientes de receptores L1. El inconveniente que tiene es que los tiempos de refina-
miento deberán ser mayores. En estos casos se logra determinar ambi-
güedades, por ejemplo, en un tiempo 10 veces mayor que con L1/L2/P. Esto se debe fundamentalmente a que al disponer solamente de L1 no es posible realizar combinaciones lineales tales como Wide Lane (ver 5.7). Además el nivel de ruido es mayor ya que tampoco puede suprimirse totalmente el efecto ionosférico. V-26 Posicionamiento con fase 5.7 Combinaciones lineales de fase Si los receptores utilizados para realizar las observaciones permi-
ten disponer de las portadoras L1 y L2 la situación cambia significativa-
mente ya que es posible construir combinaciones lineales de los dos ob-
servables Genéricamente una combinación lineal se puede expresar como: (V-20) donde n
2 son números arbitrarios. Teniendo en cuenta que Reemplazando en (V-20) se tiene: de donde resulta que: (V-21) son respectivamente la frecuencia y la longitud de onda correspondiente a la combinación lineal. Eligiendo adecuadamente los valores de los coeficientes n
2 se pueden lograr nuevas ecuaciones con portadoras equivalentes de caracterís-
ticas particulares que permitan la resolución de problemas específicos. Por ejemplo adoptando n
2 = -1 se obtendrá la combina-
ción denominada wide lane (banda ancha) cuya longitud de onda equiva-
lente será: 2 1
n n + =
t f n n
= + = t f t f 
y f n f n f
= + = 
Posicionamiento con fase V-27 Esta combinación lineal denominada L
, al disponer de una longitud de onda mayor, se utiliza para lograr una disminución de las soluciones candidatas posibilitando así determinaciones de ambigüedades más eficientes ya que requieren períodos de observación sustancialmente más cortos. Como contrapartida es posible demostrar que esta combinación lineal producirá un ruido de observación y un efecto ionosférico mayor, por lo tanto deberá tenerse en cuenta que la precisión obtenida con L
será menor que la que se obtendría con L
, no siendo conveniente utilizar-
la en vectores largos debido fundamentalmente al efecto de la ionósfera. Luego de la solución obtenida con wide lane generalmente se intenta calcular las ambigüedades sobre otra combinación lineal denomi-
nada narrow lane o L
(banda angosta) que se obtiene con n
=1 lo que proporcionan una longitud de onda La solución que se logra con esta combinación lineal tiene un bajo nivel de ruido pero el efecto ionosférico tiene la misma magnitud que en la anterior, lo que también limita su utilización a vectores cortos. Otra combinación lineal muy utilizada es la denominada libre de ionósfera o L
que se obtiene con n
2 = -f
. Planteada la ecua-
ción de observación para este nuevo observable se puede demostrar que se cancela el término correspondiente al efecto ionosférico. Otra conse-
cuencia de esta combinación lineal es que las ambigüedades resultantes no son enteras. Por estas características L
0 se utiliza fundamentalmente en vectores largos en los cuales el efecto ionosférico diferencial no se puede despreciar. 5.8 Precisiones 5.8.1 Posicionamiento estático Según se ha señalado, al utilizar como observable la fase de la portadora, un ciclo o fase completa equivale a una longitud de onda, que en cm .
V-28 Posicionamiento con fase GPS es de 19,05 cm (L1) o de 24,45 cm (L2). La tecnología disponible, cuando mide el observable de fase, está en condiciones de apreciar la cen-
tésima parte de la fase completa, esto significa que si se dispusieran de métodos de observación y cálculo adecuados para eliminar todas las otras fuentes de error que influyen en la medición se podría llegar a determinar la distancia satélite-receptor con una precisión del orden de los 2 mm. Lo planteado en el párrafo anterior responde a una situación ideal, ya que es imposible eliminar totalmente la influencia de todas las causas de errores sistemáticos. No obstante, si de alguna manera quere-
mos tipificar la precisión propia de GPS con fases de la portadora po-
dríamos utilizar la expresión: (V-22) donde: D es la distancia entre receptores. La expresión (V-22) es válida para el método estático, con una sola frecuencia y dentro de un radio de 30 Km., con efecto multipath mínimo y siempre que la medición se realice con un buen PDOP. En la medida que varían los métodos, tipos de receptor y distan-
cias, varían también las precisiones obtenidas. 5.8.2 Posicionamiento dinámico En la búsqueda por mejorar el rendimiento de los trabajos reali-
zados con GPS manteniendo el orden de las precisiones que posibilita la medición con fase, se han desarrollado métodos dinámicos de medición, dentro de los cuales existen las siguientes variantes ya descriptas en (5.6): - Método cinemático puro - Método Stop & Go - Método OTF Las precisiones obtenibles con los métodos dinámicos en función del tipo de receptor, para distancias cortas, PDOP < 4, 6 satélites visibles y efecto multipath mínimo puede estimarse en: ) D . 10 mm (5
+ ± = 
Posicionamiento con fase V-29 Método Receptor Precisión Observaciones Cinemático Pu-
ro L1 <4cm Limitaciones ope-
rativas importantes Stop&Go L1 <4cm Limitaciones opera-
tivas intermedias OTF L1 < 10cm Productividad máxima OTF L1/L2/P < 4cm Productividad máxima 5.8.3 Mejoramiento de la precisión en vectores largos Cuando se determinan coordenadas mediante posicionamiento relativo, en la medida que aumenta la distancia entre el receptor base y el remoto deja de ser válida la suposición de que ambas señales sufren simi-
lar alteración por atravesar el mismo sector de la atmósfera (en particular de la ionósfera). Esta consideración también es válida para los errores orbitales. 5.8.3.1 Efecto ionosférico Se cuenta con un modelo de ionósfera provisto por el sistema, que elimina en parte la influencia del retardo atmosférico en la determi-
nación de coordenadas. Actualmente, a partir de datos provenientes de estaciones perma-
nentes GPS es posible calcular correcciones ionosféricas regionales y ponerlas a disposición de los usuarios para aplicarlas a las observaciones. Este tipo de correcciones tiene gran importancia cuando se utilizan recep-
tores L1 ya que de esta manera permiten ampliar el rango de medición En el caso de disponer de receptores de doble frecuencia (L1 y L2) es posible, utilizando la combinación lineal de fases adecuada elimi-
nar el efecto ionosférico que permite extender la longitud del vector a centenares de kilómetros. V-30 Posicionamiento con fase 5.8.3.2 Efectos orbitales En vez de utilizar las efemérides transmitidas (posiciones de los satélites) contenidas en el mensaje de navegación enviado por cada saté-
lite (las cuales son el resultado de una extrapolación) se pueden utilizar las denominadas efemérides precisas, obtenidas por el sistema mediante el rastreo de la posición efectiva de los satélites, las cuales están disponi-
bles en Internet. El usuario puede acceder a las mismas e introducirlas en el cálculo, disminuyendo así la incidencia en el resultado final de los errores atribuibles a los satélites. 5.9 Coordenadas en tiempo diferido o real El posicionamiento relativo en tiempo diferido consiste, como ya se sabe, en efectuar los cálculos de coordenadas a posteriori de las obser-
vaciones, para lo cual es necesario previamente transferir los archivos de observación a una computadora. Aunque la obtención de coordenadas en tiempo real es un con-
cepto que ya fue desarrollado en el capítulo IV para el caso de observa-
ciones de código C/A, cabe señalar que las características propias del posicionamiento con fase requiere de un procedimiento sustancialmente más complejo que el anterior. En este caso el equipo ubicado en la base debe transmitir al remoto los archivos de observaciones y el equipo remoto deberá poseer la capacidad de procesar sus propias observaciones con la información reci-
bida determinando así la posición relativa entre ambos. Es conocido que la posibilidad de obtener las posiciones precisas en el momento de la observación resulta ventajosa en tareas de releva-
miento, pero es esencial cuando se trata de replanteos. En el caso de observaciones de fase podrán efectuarse replanteos con precisión centimétrica. La principal limitante de esta metodología de medición la constituye el alcance de la necesaria conexión radial entre Posicionamiento con fase V-31 base y remoto, acotando la longitud del vector, al menos por ahora, a un radio del orden de 10 km. Es habitual denominar con RTK (Real Time Kinematics) a los sistemas de tiempo real que utilizan observaciones de fase. Capítulo VI VI-1 Georreferenciación 6.1 Conceptos básicos La georreferenciación consiste en la identificación de todos los puntos del espacio (aéreos, marítimos o terrestres; naturales o culturales) mediante coordenadas referidas a un único sistema mundial. La materialización oficial de ese sistema en la Argentina la cons-
tituye POSGAR 94 (Marco de referencia geodésico para la República Argentina por resolución del Instituto Geográfico Militar - mayo de 1997). La georreferenciación resuelve dos grandes cuestiones simultá-
neamente: a) permite conocer la forma, dimensión y ubicación de cualquier parte de la superficie terrestre o de cualquier objeto sobre ella b) permite vincular información espacial proveniente de distintas fuentes y épocas, condición necesaria para el desarrollo de los sistemas de infor-
mación territoriales o geográficos. La idea de vincular los puntos de la superficie terrestre a un único sistema de referencia no es nueva. Muchas veces se planteó que la falta de una red de apoyo sufi-
cientemente densa lo hacía impracticable. Lo cierto es que con tales ar-
gumentos, válidos o no tanto, se desarrolló una especie de contracultura de la georreferenciación, al punto tal que en Argentina no se vinculaba ni la mensura de un campo en el medio del cual había un enorme punto trigonométrico del Instituto Geográfico Militar. De tal modo las referencias siguieron siendo los ejes de rutas, vías férreas, ejes de calles; referencias en general geométricamente preca-
rias y de dudosa validez legal. VI-2 Georreferenciación Lo nuevo es que a partir de las tecnologías actuales (principal-
mente GPS) es posible utilizar un sistema de referencia único (que por otra parte es mundial) y obtener una relación costo-beneficio totalmente favorable. La georreferenciación no se reduce simplemente a usar GPS. Se puede georreferenciar sin usar GPS (la geodesia lo viene reali-
zando hace varios siglos) y también se puede usar GPS sin georreferen-
ciar, utilizando sólo su posibilidad de obtener distancias y ángulos. De hecho esto último es lo que pasa con mediciones de extensio-
nes importantes (por ejemplo campos o islas) en las cuales el uso de GPS es inevitable por razones económicas, pero que, sin embargo, una vez terminados los cálculos, sólo se registran lados y ángulos (que son nece-
sarios) pero desechando las coordenadas obtenidas que son las que pue-
den permitir, si se tomaron elementales precauciones, posicionar el in-
mueble en forma precisa. El uso de la georreferenciación se viene expandiendo acelerada-
mente. Tal es el caso de las obras viales, sobre todo las mas importantes, en las cuales la posición de cada elemento de la obra se define por sus coordenadas. Otro ámbito en que la georreferenciación pasa a tener un papel de primer orden es el agro, sobre todo en la pampa húmeda, donde operan estaciones permanentes GPS, con alcance de centenares de kilómetros, o sistemas de enlace satelital, para posicionar la maquinaria agrícola sus-
cripta al servicio. El Catastro Territorial moderno apela cada vez mas a la georrefe-
renciación para identificar las parcelas de propiedad territorial. Para que la georreferenciación pueda expandirse ampliamente, dando lugar a toda su potencialidad, es necesario contar con un sistema de apoyo adecuado, el que puede estar integrado por distintos tipos de componentes: Georreferenciación VI-3  puntos con coordenadas, de acceso público, ubicados a no más de 40 km entre sí y que cuenten con referencia acimutal,  estaciones permanentes, que permitan corregir las observaciones efectuadas por el usuario, ya sea en tiempo real o diferido,  transmisión de efemérides precisas,  sistemas de comunicación satelital para transmisión de correcciones. La implementación de la georreferenciación requiere ciertas nor-
mativas. No olvidemos que pretendemos correlacionar información pro-
cedente de distintas fuentes, lo que requiere criterios compatibles y el uso de un lenguaje común. Nos proponemos colaborar en la clarificación de algunos concep-
tos como: Error Exactitud Precisión Tolerancia Compensación Mínimos cuadrados Varianza-covarianza Elipse de error Resulta de utilidad contar con la publicación “Estándares Geodé-
sicos - Sistema de Posicionamiento Global”, editada por el Instituto Geo-
gráfico Militar en 1996. 6.2 La medida Medir consiste en cuantificar, dar un valor numérico a algún atributo propio de un objeto o cosa; por ejemplo podemos medir longitud, temperatura, velocidad, etc. Obtener una medida es un proceso en el que intervienen el hom-
VI-4 Georreferenciación bre y los medios que dispone para tal fin (es decir sus conocimientos, su habilidad y su instrumental). Nadie puede pretender que los mismos alcancen el grado de per-
fección absoluta, por lo que la medida que se obtiene es siempre una aproximación afectada de algún error por pequeño que este sea. Es tan importante saber la cuantificación de una medida, por ejemplo una longitud, como saber la calidad que la acompaña, es decir su margen de error o incertidumbre, lo que comúnmente llamamos precisión. Generalmente es necesario obtener medidas de una determinada calidad, es decir de una precisión acorde al trabajo que se realiza. Veamos un repaso de algunas nociones básicas. En primer lugar, cuando hablamos de errores en las mediciones, nos estamos refiriendo a todos aquellos factores propios de la medición. Por lo tanto dejamos de lado las equivocaciones que un calculista u ope-
rador pueda cometer, como por ejemplo estacionar en un punto equivoca-
do, modificar una cifra al transcribirla, partir de un dato incorrecto, etc., que son factores que no responden a ninguna ley o estudio posible (salvo, en todo caso, los de orden psicológico). Del mismo modo dejamos de lado todas las imperfecciones del proceso de medición producto de la acción de operadores inhábiles o irresponsables, independientemente de que el perjuicio ocasionado sea de mayor o menor cuantía. En definitiva no consideramos ni las equivocaciones, ni la in-
formación errónea. Cuando hablamos de errores consideramos que el operador está trabajando correctamente dentro de las posibilidades que su instrumental le permite. Georreferenciación VI-5 En tales condiciones consideramos dos tipos de errores: sistemá-
ticos y accidentales. 6.2.1 Errores sistemáticos Son aquellos que responden a una ley física. Su influencia puede ser constante, como en el caso de una cinta métrica defectuosa, o puede ser variable, por ejemplo la dilatación de la cinta que varía con la temperatura. Los errores sistemáticos afectan la exactitud de las medidas, las alejan del valor “exacto” o “verdadero” (mas allá de que en general ese valor es en definitiva desconocido en la mayoría de los casos). No debe confundirse, entonces, exactitud (que depende de los errores sistemáticos) con precisión, que se refiere mas bien a la calidad de la medición y depende de otros factores (como son los errores accidenta-
les y la configuración adoptada). En GPS son típicos los errores sistemáticos de reloj de receptor y satélite, los de efemérides, los que devienen de la propagación atmosféri-
ca y el llamado efecto de "multicamino” consistente en la reflexión de las señales en superficies próximas al receptor. Con respecto a los errores sistemáticos existen tres opciones para eliminar o minimizar su influencia: a) eliminar la causa: Cuando se conoce la misma y se la puede eliminar. En GPS sería el caso en que reemplazamos las efemérides transmitidas por las precisas, b) corregir la medida: Cuando se conoce cual es el error (o su influencia) y se puede corregir el valor de la medida una vez que ha sido tomada. En GPS es común calcular el error de posicionamiento en una estación de coordena-
das conocidas y aplicar la corrección respectiva para una estación próxi-
ma (que opera en el mismo instante y con los mismos satélites), VI-6 Georreferenciación c) eliminar la influencia por métodos operativos: Es típico en GPS cuando se utilizan 4 satélites en vez de 3 para eliminar la influencia del error de reloj de receptor. 6.2.2 Errores accidentales Dejando de lado las equivocaciones y suponiendo eliminados los errores sistemáticos, subsisten sin embargo, los llamados errores acciden-
tales o aleatorios. Sabemos por nuestra experiencia que reiterando varias veces una medición no nos encontramos siempre con el mismo resultado. Surgen pequeñas variaciones, aún extremando al máximo posible las precauciones e intentando repetir las condiciones y el método de la medi-
ción. Es que ni los operadores ni los instrumentos son perfectos y las condiciones ambientales inevitablemente varían, aunque sea impercepti-
blemente. Como consecuencia de ello aparece siempre algún grado de dis-
persión de los resultados. Su causa son los llamados errores accidenta-
les, los cuales tienen dos características: inevitabilidad y comportamiento aleatorio La famosa “campana de Gauss”, que permite estudiar el compor-
tamiento de los errores accidentales, se basa en ciertos postulados:  el promedio es el valor más probable  son igualmente probables errores positivos o negativos  los errores pequeños son mas frecuentes que los grandes. 6.2.3 Precisión Cuando se trata de mediciones reiteradas de la misma magnitud y Georreferenciación VI-7 en condiciones similares, adoptamos el promedio como el mejor valor que podemos obtener. Con este concepto podemos responder a la primera parte de nuestro requerimiento consistente en otorgar un valor, una canti-
dad, a la medida que estamos buscando ¿pero cuál será su calidad, su precisión? Para ello recurrimos a un concepto estadístico: el uso de un esti-
mador de la precisión, que en nuestro caso no es otro que el conocido error medio cuadrático o desvío estándar v: residuo n: número de observaciones 1 n
 donde el subíndice i varía desde el valor 1 hasta el valor n Para obtener el mismo, primero se calcula el valor promedio de las observaciones y después los residuos, es decir la diferencia de cada observación con respecto al promedio; la sumatoria de los cuadrados de los residuos, divida por (n-1) y extraída la raíz, nos brinda el estimador de la precisión que estamos buscando. Ese valor caracteriza, da una idea de cual es la precisión típica de cada medición que hacemos con ese instrumental y en esas condiciones. ¿Cuál es el significado estadístico del valor ?  abarca el 68% de los casos (aproximadamente dos de cada tres medi-
das tienen un desvío inferior al valor de ). 6.2.4 Precisión del promedio Ahora bien, si hacemos varias mediciones, la precisión de cada una es la que hemos señalado, pero la precisión del promedio es mejor VI-8 Georreferenciación cuanto mayor sea el número de observaciones, de modo tal que responde a la fórmula: donde n indica el número de observaciones 6.2.5 Tolerancia Recordemos que para descartar algunas de las medidas (que apa-
rentan ser el producto de alguna equivocación) debemos fijar un criterio llamado tolerancia, para el cual suele adoptarse el valor lo que implica aceptar como válidos prácticamente el 99 % de los casos posibles. Cuando el residuo de una observación, respecto al promedio, excede el valor de la tolerancia, se supone que ha intervenido alguna cau-
sa extraña y corresponde descartar la observación. 6.2.6 Propagación de errores y configuración Una cosa es la precisión de una medición (o del promedio de va-
rias) y otra cosa es la precisión de un trabajo en que intervienen medicio-
nes de distinto tipo, con diferente instrumental y con precisiones diversas cada uno de ellos. En tales casos la precisión final depende de la propagación de errores y de la configuración adoptada. Cuando se quiere garantizar la calidad de un trabajo es impres-
cindible la sobreabundancia de observaciones. En tales condiciones es posible aplicar técnicas de “ajuste” o “compensación”, las que permiten optimizar el trabajo realizado, obteniendo el valor más probable para n
) promedio del (
 . , T 5 2 
Georreferenciación VI-9 diversas incógnitas y estimando cuál es la precisión que realmente se obtuvo en cada una de ellas. Veamos un sencillo ejemplo, la figura mas simple, el triángulo, y supongamos que se han medido todos sus elementos (tres lados y tres ángulos). Naturalmente la medición de cada elemento está afectada de algún grado de error que es desconocido. Así las cosas, eligiendo arbitrariamente tres de sus elementos y calculando los restantes, podríamos obtener 19 soluciones distintas. ¿Cuál adoptar? 6.3 Ajuste o compensación En tal caso es necesario ajustar la figura, compensarla, para ob-
tener una solución única y que ésta sea la misma independientemente de quien hace el cálculo. A tal efecto se aplica una técnica matemática que consiste en intro-
ducir pequeñas correcciones a las medidas observadas, es decir admitir residuos entre los valores observados y los que finalmente se adoptarán. De esta manera se puede adoptar una solución única, coherente, que por supuesto no es ninguna de las diecinueve mencionadas ante-
riormente. Ahora bien, de los infinitos juegos de correcciones que podemos adoptar ¿cuál es el que se elige? Aquél que, haciendo la sumatoria de sus cuadrados, produce el mínimo valor posible. En definitiva lo que co-
múnmente se conoce como “el método de mínimos cuadrados”. Digamos de la compensación que: • no corrige los errores, sino que los “promedia”. Los errores son ab-
sorbidos por la compensación y “diseminados” por la figura, • facilita detectar observaciones equivocadas o datos discordantes, VI-10 Georreferenciación • no detecta errores sistemáticos (por ejemplo coordenadas erróneas del punto de arranque). En la práctica los casos son más complejos que el de un triángulo y la calidad de los resultados depende de dos factores: por un lado la pre-
cisión de la medición y por el otro el diseño de la misma (sobreabundan-
cia, puntos de control, etc.). La compensación requiere de: a) plantear adecuadamente las ecuaciones b) estimar sensatamente la precisión de las mediciones c) realizar un cálculo relativamente complejo. Este último punto, el del cálculo, constituía hasta no hace muchos años una limitación notoria, estando reservado sólo para especialistas. El advenimiento de los recursos informáticos lo ha “popularizado”, al punto que los paquetes comerciales de software GPS lo incluyen habitualmente. El cálculo de compensación brinda valiosísima información sobre la precisión pudiendo apelarse a dos variantes: • cálculo “a priori”, es decir introducir en el programa valores su-
puestos, en definitiva efectuar una simulación, y obtener una evaluación de la precisión hipotéticamente obtenible, • cálculo “a posteriori” que permite saber, una vez efectuadas las mediciones, cual ha sido la precisión efectivamente obtenida, Tratándose de georreferenciación, el problema es de tres varia-
bles, es decir las coordenadas de un punto. La información que recibe el usuario de un programa de compen-
sación es variada. Queremos destacar en particular dos de esas informa-
ciones: Georreferenciación VI-11 Matriz de varianza-covarianza de las incógnitas: es una expresión mate-
mática que permite calcular tanto la precisión que caracteriza a cada coor-
denada como también el grado de correlación, de dependencia, que existe entre ellas, es decir en qué medida el error en una influye sobre la otra. Si consideramos sólo las coordenadas horizontales, es decir dos variables, podemos obtener la: Elipse de error: indica la zona de mayor probabilidad para la ubicación del punto incógnita; su semieje mayor representa el máximo desvío es-
tándar; si a este último se lo multiplica por el factor 2,5 surge una elipse mayor, llamada de confiabilidad, en cuyo interior estará ubicado el punto en el 95% de los casos (nótese que ahora estamos considerando la proba-
bilidad compuesta de dos variables) Ver figuras 1 y 2. (las figuras 1 y 2 son reproducción de las publicadas en “Estándares Geodési-
cos - Sistema de Posicionamiento Global” - Instituto Geográfico Militar, 1996). Figura 1 S
Elipse del 95 %
Elipse estandar
Caso de tolerancia satisfecha
VI-12 Georreferenciación Figura 2 6.4 Criterios en georreferenciación con GPS 1. La primera cuestión es establecer la precisión que se necesita en las coordenadas. 2. En base a ello hay que elegir el instrumental y el método de me-
dición, tales que, respetando la precisión exigida, reduzcan el trabajo sólo a lo necesario. 3. Partir de un punto que reúna las siguientes condiciones: a. coordenadas confiables, garantizadas por entidad respon-
sable, b. precisión adecuada, c. ubicado a distancia compatible con el instrumental y el método a utilizar, d. si se parte de un punto cuyas coordenadas están expresa-
das en un antiguo sistema de referencia (por tanto distin-
to al actual y oficialmente establecido), debe tenerse en cuenta que al efectuar la transformación de esas coorde-
nadas al marco de referencia actual se utilizan paráme-
Caso de tolerancia no satisfecha
Georreferenciación VI-13 tros de transformación, los cuales contienen errores que inevitablemente influyen en las coordenadas obtenidas, e. debe recordarse que cualquier error en el punto de partida se traslada a todo el levantamiento. 4. Siempre debe existir algún método de control; por ejemplo se puede vincular el levantamiento a dos puntos de coordenadas co-
nocidas; o bien realizar un itinerario cerrando sobre el punto de partida; o bien medir vectores cuyo único fin es el control, etc. En GPS es muy rápida (y tentadora) la medición mediante una radiación sin control. A modo de ejemplo podemos decir que un buen método para controlar las coordenadas de los vértices de un polígono, consiste en realizar la medición de todos los vértices desde dos estaciones distintas E
, vinculadas entre sí. Si las coordenadas de los vértices difieren por debajo de la tolerancia establecida se considera adecuada la calidad de la medición. 5. Si se quiere georreferenciar un levantamiento ya existente, es ne-
cesario distinguir dos casos: a. los datos existentes están expresados en dos dimensiones, es decir en un plano; en tal caso es suficiente relevar dos puntos, resolviendo gráficamente con un punto la ubica-
ción y con otro la orientación, o bien calculando matemá-
ticamente parámetros de transformación; no obstante es conveniente relevar mas puntos para poder contar con control y mejorar la calidad de los parámetros de trans-
formación, b. los datos existentes son tridimensionales; en tal caso es necesario relevar al menos tres puntos para calcular pa-
rámetros de transformación, aunque sigue siendo válida la idea de mejorar el cálculo relacionando mayor canti-
dad de puntos. 6. Es posible (y en casos necesario) combinar la medición con GPS y el uso de medios terrestres de levantamiento. Será necesario re-
solver la manera de efectuar las transformaciones de coordenadas VI-14 Georreferenciación de un sistema local al sistema general y/o viceversa. Existe soft-
ware que facilita dicha tarea. 7. Siempre debe especificarse el marco de referencia al cual corres-
ponden las coordenadas. Valores de coordenadas sin marco de re-
ferencia conocido pueden ser fuente de importantes errores. VII-1 Bibliografía HOFMANN-WELLENHOF, et al. (1997). Global Positioning System, Theory and practice. Springer-Verlag, Wien, New York. HUERTA E, JIMÉNEZ B, MANGIATERRA A, NOGUERA G, et al. (2001). Proyecto 19/1077 - Estación permanente GPS. Serie “Temas de Geociencia”, Nº 7: “Georreferenciación”. UNR Editora, Rosario. LEICK A. (1995). GPS satellite surveying. Wiley and Sons, New York. MANGIATERRA A, NOGUERA G, et al. (1999). Contribuciones a la geodesia en la Argentina de fines del siglo XX, Homenaje a Oscar Parachú. UNR Editora, Rosario. PALACIOS CID R, et al. (1999) Geodesia geométrica, física y por satélites. Editorial Colegio de Ingenieros Técnicos en Topografía, Madrid. PÉREZ J, BALLELL J. (2000). Transformaciones de coordenadas. Editorial Colegio de Ingenieros Técnicos en Topografía, Madrid. SEEBER G. (1993). Satellite Geodesy. Walter de Gruyter, Berlin, New York. TEUNISSEN P, KLEUSBERG A. (1998). GPS for Geodesy. Springer, Berlin, New York. TORGE W. (2001). Geodesy. Walter de Gruyter, Berlin, New York. VALBUENA DURÁN J. L.,NÚÑEZ-GARCÍA DEL POZO A, et al. (1992). GPS, la nueva era de la topografía. Ediciones Ciencias Sociales SA, Madrid. ZAKATOV P. (1981). Curso de geodesia superior. Editorial Mir, Moscú. GPS Posicionamiento satelital Páginas tipeadas provistas por los autores UNR EDITORA EDITORIAL DEL A UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO Secretaría de Extensión Universitaria Urquiza 2050 – (S2000 AOB) Rosario – Santa Fe – República Argentina Edición de 500 ejemplares Julio 2005 Acerca deBuscar librosDirectorio del sitioAcerca de ScribdConoce al equipoNuestro blog¡Únase a nuestro equipo!ContáctenosAsociados de negociosEditoresDesarrolladores / APILegalTérminosPrivacidadCopyrightAsistenciaAyudaPreguntas frecuentesAccesibilidadPrensaAyuda de compraAdChoicesSuscripcionesRegístrese hoyInvitar amigosObsequiosCopyright © 2016 Scribd Inc. .Términos de servicio.Accesibilidad.Privacidad.Sitio móvil.Idioma del sitio: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaGPS Posicionamiento Satelital por Armando Rodriguez Montellano5,4K visitaInsertarDescargaDescripción:El libro que presentamos tiene tres características fundamentales:
-Es de contenido teórico; está dirigido a difundir los fundamentos
del posicionamiento satelital en general y de GPS en particular...El libro que presentamos tiene tres características fundamentales:-Es de contenido teórico; está dirigido a difundir los fundamentosdel posicionamiento satelital en general y de GPS en particular.-Es adecuado al nivel de estudiante o graduado universitario en general, dado que no requiere previa especialización y evitamos recurrir a un tratamiento matemático complejo. Sus destinatarios son principalmente profesionales y estudiantes de la ingeniería de diversas ramas, aunque por la importancia y vastedad del tema se torna útil para un amplio campo del conocimiento. -Es de carácter didáctico, es decir está orientado a facilitar elaprendizaje.Leer en Scribd móvil: iPhone, iPad y Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMostrar másMostrar menos
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