Source: https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02415560
Timestamp: 2020-01-29 14:40:35+00:00

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Sulle curve multiple risolubili prive di punti di diramazione | SpringerLink
December 1948 , Volume 27, Issue 1, pp 87–99 | Cite as
Sulle curve multiple risolubili prive di punti di diramazione
Cesarina Tibiletti
In questo lavoro si presenta la costruzione di tutte le curve algebriche multiple risolubili di ordine primon, prive di punti di diramazione, cioè di tutte le funzioniz(xy), an valori, senza punti di diramazione su una curva dataf(xy)=0, che sono soluzioni di un'equazione algebrica, risolubile per radicali. Tale costruzione viene fatta determinando una funzione ausiliaria (risolvente)w(xy), senza punti di diramazione suf(xy)=0, a gruppo di monodromia risolubile, la qualew ha un numero di valori uguale all'ordine del gruppo.
Si costruisce anzitutto, con relativa semplicità, una particolare classe di queste curve multiple; quindi, in base ad alcune considerazioni topologiche, notevoli per loro stesse, si mostra che la soluzione del problema si riduce alla costruzione fatta.
O. Chisini,Sulle superficie di Riemann multiple prive di punti di diramazione, « Rend. Acc. Lincei », (5), vol. XXIV, (1915), pag. 153. Cfr. anche:Enriques eChisini,Teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, vol. III, 1, V, cap. IV, §§ 38, 39, pag. 427, Bologna, Zanichelli;A. Comessatti,Sulle curve doppie di genere qualunque, « Mem. Acc. di Torino », (2), vol. LX, (1909), pag. 313;A. Comessatti,Sulle superficie multiple cicliche, « Rend. Sem. Padova », a. 1, (1930), pag. 1, § 1 (in cui si tratta delle curve multiple cicliche).Google Scholar
C. Tibiletti,Sulle curve triple prive di punti di diramazione, « Rend. Ist. Lombardo », vol. LXXIX, (1945–46), pag. 227.Google Scholar
De Frise,Sur les courbes multiples cycliques, « Rend. Sem. Univ. Roma », (4), vol. I, (1936), pag. 83;Sur les courbes possédant une involution abélienne hyperelliptique sans point multiple, « Bull. Soc. Sci. Liége », vol. 7, pag. 549;Sur les courbes possédant une involution cyclique hyperelliptique, sans point multiple, « Acad. Belgique, Bull. Cl. Sc. », (5), vol. 24, (1938), pag. 437;Les courbes multiples abéliennes sans points de diramation, « Acad. Belgique Bull. Cl. Sc. », (5), vol. 24, (1938), pag. 313;Les courbes multiples abéliennes avec points de diramation, « Bull. Sc. Math. », (2), vol. 62, (1938), pag. 372;Sur certaines involutions sans points multiples appartenant à une courbe algébrique, « Acad, Belgique Bull. Cl. Sc. », (5), vol. 25, (1939), pag. 28.Google Scholar
Ricordiamo (cfr.Bianchi,Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni, ecc., cap. III, § 35 e segg., pag. 79 e segg., Pisa, Spoerri 1900) che il gruppo metaciclico sun elementi (n primo) è il più ampio gruppo transitivo risolubile (sun elementi) che contiene come invariante un gruppo ciclicoG S di ordinen, generato da una sostituzioneS. Tale gruppo metaciclico è generato da questa sostituzioneS, e da una sostituzioneT ciclica di ordinen−1 (proprio) ed è caratterizzato dalla relazione\(T^k S^{\beta _1 } = S^\beta T^k\) oveβ≡β 1 g k, mod.n, essendog una radice primitiva, mod.n, Contiene pertanton(n−1) sostituzioni.Google Scholar
Cfr.Bianchi, l. c., cap. III, § 35, pag. 79.Google Scholar
Per esempio si dovranno evitare perh (nel puntoF diR f) i valori per cui risultano uguali due determinazioni dellaw e pure quei valori per cui, in seguito, si potrebbero avere coincidenze per eventuali espressioni costruite con le determinazioni della funzionew.Google Scholar
È questo un classico ragionamento che si incontra nella costruzione delle risolventi di un'equazione (cfr.Bianchi, l. c., cap. V, § 61, pag. 140 e segg.); tuttavia per maggior chiarezza precisiamo che, se, nel fissato puntoF diR f, una determinazione diw ritornasse in se stessa per un cammino diR f su cui len determinazioni diz subiscano una sostituzione effettiva (non identica), allora risulterebbero uguali i valori di due espressioni simili alla (2). Tale uguaglianza comporterebbe una equazione algebrica inh cuih non potrebbe soddisfare per l'ipotesi della genericità dih stessa (come precisato nella nota precedente).Google Scholar
La nomenclatura e i metodi che qui e nel seguito vengono usati, in questioni topologiche, sono simili a quelli indicati in:Enriques eChisini,Teoria geom. ..., l. c., vol. I, l. II, cap. III, § 37.Google Scholar
In questo lavoro indichiamo con l'aggettivoassociate le coppie di retrosezioni che avendo un unico punto in comune sono (o possono ridursi ad essere parallelo e meridiano di un medesimo manico della Riemanniana concepita comep-toro) e con l'aggettivoconiugate chiameremo le retrosezioni che si corrispondono in un'involuzioneI n−1.Google Scholar
Cfr.O. Chisini,Sulle superficie di Riemann ..., l. c., ove è data la costruzione delle curve multiple cicliche, senza punti di diramazione.Google Scholar
Cfr.Enriques eChisini,Teoria geom. ..., l. c., vol. III, l. V, cap. III, § 37.Google Scholar
Cfr. nota (11) a pag. 111.Google Scholar
Nel casop=1 la funzionew v non ha diramazioni, cfr. osservazione 2a a pag. 117.Google Scholar
Un ciclo di questo tipo suR n0 vi è certamente, pur di chiamare ρ una qualsiasi delle operazioni del gruppo ciclico di ordinen suR y.Google Scholar
Cfr.Enriques eChisini,Teoria geom, ..., l. c., vol. III, l. V, § 39, pag. 446.Google Scholar
Enriques eChisini,Teoria geom. ..., l. c., vol. III, l. V, § 38, pag. 444; eComessatti,Sulle superficie multiple cicliche, l. c., pag. 4,Google Scholar
Tibiletti, C. Annali di Matematica (1948) 27: 87. https://doi.org/10.1007/BF02415560
DOI https://doi.org/10.1007/BF02415560

References: § 1
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