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Timestamp: 2020-07-11 06:26:09+00:00

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Teoría De Circuitos I: Año 2011 Clase VI | Ecuaciones diferenciales | Ecuaciones
Teoría De Circuitos I: Año 2011 Clase VI
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Solucion Ejercicios 1, 7
ÁREA DEPARTAMENTAL ELECTROTECNIA
El contexto dentro del cual pueden tener lugar
La interpretación física del fenómeno
Los métodos de resolución para obtener matemáticamente la respuesta
Los circuitos pueden excitarse con:
•Señales constantes en el tiempo (Continuas).
•Señales variables en el tiempo:
•Señales alternas sinusoidales.
•Señales no sinusoidales.
Denominamos análisis (o resolución) del circuito al proceso consistente en
determinar su respuesta ante una excitación dada. Dicha resolución
corresponderá a uno de los siguientes casos:
•Resolución de circuitos en régimen permanente.
•Resolución de circuitos en régimen transitorio.
Hoy desarrollaremos el modo de calcular la respuesta de un circuito en régimen transitorio, excitado por señales:
•Sinusoidales
•No sinusoidales
La Interpretación Física
Las preguntas claves son en este caso:
¿Qué es un régimen transitorio?
Seguidamente procuraremos responder cada uno de éstos interrogantes.
1. Conexión o
2. Variación de sus
3. Conexión o
4. Variación de sus
transición en t>0
Si la transición fuese en t = 0, la potencia transferida tendería a infinito
En sentido estricto, infinito;
En la práctica, se lo considera extinguido cuando
han transcurrido 5 a 7 veces la constante de tiempo
del circuito (t).
La constante de tiempo t, llamada así por medirse en unidades de esa
magnitud, depende de la topología del circuito y de los valores
de sus componentes pasivos.
¿Que particularidades presentan?
Solo ocurren en circuitos que contienen elementos
pasivos con capacidad de almacenar energía.
Tienen lugar debido a que variaciones en la energía
almacenada no ocurren en tiempo cero.
Su duración es directamente proporcional a la
capacidad de almacenar energía que tienen los
componentes del circuito, e inversamente
proporcional a la de disiparla.
Los Métodos de Resolución
Son válidas todas las leyes básicas de la electrotecnia (Ohm, Kirchhoff, etc.), planteando tanto excitaciones como respuestas en valores instantáneos.
Como consecuencia, el análisis del circuito en
régimen transitorio consistirá en resolver un
sistema de una o más ecuaciones diferenciales.
Dichas ecuaciones diferenciales pueden resolverse aplicando:
Empleando el método clásico, si la ecuación es de 1 er orden, la solución
general surge de sumar a la solución de la ecuación homogénea, una
La ecuación homogénea, por estar igualada a cero, se considera que
“Régimen Libre” (Comportamiento del circuito en ausencia de excitación
Como solución particular, se suele tomar la solución correspondiente al estado permanente, también llamado "Régimen Forzado", por resultar impuesto por las fuentes que actúan sobre el circuito.
Las constantes de integración se determinan en base a las condiciones
iniciales, que deben introducirse en la/las ecuación/es que representan
la "Solución General” de la ecuación diferencial.
En función de lo dicho respecto a los cambios en la energía almacenada, esas condiciones pueden determinarse teniendo en cuenta que:
Los inductores NO ADMITEN cambios instantáneos en las corrientes que por ellos circulan.
Los capacitores NO ADMITEN cambios instantáneos de la
tensión entre sus bornes.
Veamos un ejemplo. Sea el circuito siguiente, al cual se le conecta la fuente de energía en el instante t=0:
La ecuación de estado instantáneo del circuito perturbado surge aplicando la segunda Ley de Kirchhoff:
La solución general de la ecuación diferencial anterior permite hallar la expresión matemática de la respuesta i(t) para cualquier instante genérico “t”, ante la perturbación consistente en cerrar la llave en t=0. Según acabamos de ver, esa solución se obtiene sumando a la ecuación homogénea (Régimen Libre)…
l ( t )
… una solución particular (Régimen Forzado):
siendo la solución general:
l ( t ) +
Para hallar la constante de integración K, recurrimos a las condiciones iniciales. Como dijimos, la corriente que atraviesa el inductor no puede cambiar instantáneamente, por lo cual un infinitésimo de tiempo antes y después del instante t=0, la corriente debe ser la misma, es decir:
(0 )=
(0 )= 0
Introduciendo esta condición en la solución general con t=0, se obtiene:
Finalmente, la expresión de la corriente para cualquier instante “t” resulta ser:
æ - t
•t = L/R
•Si t=0, el paréntesis se anula e i(0)=0
•Si t®¥, i(t)®E/R
•Si t= 5t, i(t) ya supera el 99 % de su valor final E/R
Empleando el método clásico, si la ecuación es de 2 do orden, la solución general surge de seguir pasos similares, aún cuando el proceso matemático de solución es más complejo.
Igual que en el caso anterior, la ecuación homogénea o de régimen natural, por estar igualada a cero, se considera que representa el “Régimen Libre”
(Comportamiento del circuito en ausencia de excitación externa).
Como solución particular, nuevamente se suele tomar la solución correspondiente al estado permanente, también llamado "Régimen Forzado", por resultar impuesto por las fuentes que actúan sobre el circuito.
Finalmente, en función de lo dicho respecto a los cambios en la energía almacenada, reiteramos que esas condiciones pueden determinarse teniendo en cuenta que:
Veamos un ejemplo. Sea el circuito siguiente, al cual se le conecta la fuente
de energía en el instante t=0:
u L (t)
La ecuación de estado instantáneo del circuito
perturbado surge aplicando la segunda Ley de
Kirchhoff (Suponemos E > U co > 0):
La solución general de esta ecuación diferencial permite hallar i(t) para cualquier instante genérico “t”, ante el cierre la llave en t=0. Para ello comenzamos derivando la ecuación anterior. Operando y ordenando se tiene la ecuación que describe el régimen libre o natural del circuito:
l ( t ) =
K1 y K2 son constantes de integración que se determinan en base a las
condiciones iniciales, en tanto x1 y x2 son las raíces de la ecuación
característica de la ecuación diferencial:
Reemplazando en la ecuación de régimen natural ó libre:
En este caso, la solución de régimen forzado i f (t) es nula, pues una vez que se ha cargado el capacitor, el mismo se comporta frente a la excitación contínua como un circuito abierto; entonces:
æ ç -
Puesto que hay un inductor en serie en el circuito, la corriente no puede cambiar instantáneamente:
Como tenemos dos incógnitas, es necesario contar con otra ecuación que las vincule. De la ecuación de estado instantáneo para t=0 resulta
di T (0)
Derivando la expresión de i T (t) y valorizándola para t=0:
Con lo cual el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es:
2 L ´
ç æ -
÷ 2 L
æ ç R 2
÷ ÷ è
è ç 4 L
La expresión de i T (t) queda :
Si a 2 > w 0 2 :
senh( t)
aperiódico sobre
Si a 2 = w 0 2 , la solución de la ecuación de homogénea es de la forma:
´t ´e
Por condiciones iniciales, puesto que no hay componente forzada y sí un
Haciendo di T (t)/dt y reemplazando en la ecuación de estado instantáneo con
amortiguado crítico
Finalmente, si a 2 < w 0 2 , la raíz de a 2 - w 0 2 es un número imaginario jb, y la
jsen t
oscilatorio periódico
•Es tanto más apropiado cuanto más complejo es el circuito. •Permite sustituir las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, por ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia, cuya resolución es mucho más simple. •Las condiciones iniciales se introducen el principio del proceso de solución, disminuyendo la posibilidad de cometer errores.
•Requiere estar familiarizado con el uso de esta
•Aleja el proceso de resolución matemática de la
interpretación física.
a) ¿Qué es régimen permanente y transitorio en la determinación de la respuesta de un circuito?
b) En cada uno de los casos anteriores. ¿Cuándo decide el
circuito y cuándo decide la excitación?
c) ¿Cuál es la causa de que se desarrolle el régimen transitorio?
d) ¿Cuál es la ecuación diferencial típica de un circuito
e) ¿Qué condiciones iniciales importan en la determinación del
régimen transitorio y porqué?
f) ¿Cuáles son los parámetros característicos de las ecuaciones
solución del régimen transitorio de los circuitos de primer
orden y de segundo orden?
Como nos dicen que antes de abrir la llave k la corriente por L es nula, significa que antes de abrir la llave no existe energía almacenada en el capacitor. Al abrir la llave k, planteamos la ecuación de estado instantáneo del circuito perturbado:
u f (t) = i(t) x R +L x di(t)/dt
Sabemos que la solución general de esta ecuación diferencial es la suma de las correspondientes a la ecuación homogénea (Régimen libre) y a una solución particular (Régimen forzado). Solución de la ecuación homogénea (régimen libre):
0 = i(t) xR +L di(t)/dt
di(t)/ i(t) = -(R /L)dt
x e -(R /L) x t
Solución particular de la ecuación de estado instantáneo (régimen forzado):
i f (t)
U f / R
Resolución (Continuación):
La solución general surge de la suma de las correspondientes a la ecuación homogénea y a la solución particular:
i(t) =i l (t)
+ i f (t) = K
x e -(R /L) x t +U f / R
Para determinar la constante de integración, utilizamos las condiciones iniciales:
i L (0 - )
= i L (0 + ) = 0 = U f / R + K
Con lo cual la solución general resulta:
® K = - U f / R
i(t) = U f /R x [1- e -(R /L) x t ]
Reemplazando valores obtenemos la expresión de la corriente en el inductor:
i(t) = 12/6 x [1- e -(6 /1,8) x t ]
= 2 x [1- e – 3,33 x t ]
1) Como nos dicen que la llave k se conmuta luego de un tiempo prolongado, es válido suponer que el circuito antes de tal operación se encuentra funcionado en régimen permanente. Entonces:
i(-t) = 0 [A]
u C (-t) = U Co = U f = 100 [V]
Estas son nuestras condiciones iniciales. Al conmutar la llave k, planteamos la ecuación de estado instantáneo del circuito perturbado:
0= i(t) xR eq + U Co + (1/C) òi(t)dt
Donde R eq es R 2 +(R 3 //R 4 ), es decir:
R eq = R 2 + (R 3 xR 4 )/(R 3 +R 4 ) = 80 [KW]
Derivando la ecuación de estado instantáneo:
0= R eq xdi(t) /dt + (1/C) i(t)
di(t) /i(t) = 1/(R eq x C) ®
x e -1/(R eq C) x t
En este caso el régimen forzado en nulo, pues no hay dentro del circuito perturbado fuentes de energía. Para calcular K usamos las condiciones iniciales, teniendo en cuenta que los capacitores no admiten cambios instantáneos de la tensión entre sus bornes, por lo cual U co = U f :
i(0 + ) = U Co /R eq = 100/80 = 1,25 [mA]
Reemplazando en la expresión de i(t) para t= 0 +
i(0 + ) = K x e -1/(R eq C) x 0 = 1,25 [mA]
K = 1,25 [mA]
= 0,00125 x e -1/(80.000x0,0000005) x t
i(t) = 0,00125 x e -25 x t [A]
Para calcular u c (t) a partir de t=0:
u c (t) = (1/C) x ò0,00125 e -25 x t u c (t) = (1/0,0000005) x ò0,00125 e -25 x t
u c (t) = 100 x e -25 x t [V]
Para calcular u s (t), aplicamos la segunda Ley de Kirchhoff:
u s (t) = u C (t) – u R2 (t) = 100 x e -25 x t – R 2 x 0,00125 x e -25 x t u s (t) = (100 – 32.000 x 0,00125) x e -25 x t
u s (t) = 60 x e -25 x t [V]
Finalmente i s (t) será:
i s (t) = u s (t) /R 4 = (60/60.000) x e -25 x t
i s (t) = 0,001 x e -25 x t [A]
is x 10
2) Para calcular la energía disipada en R 4 integramos el cuadrado de la i s (t) respecto del tiempo, entre 0 y 7 t y lo multiplicamos por R 4 .
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