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Timestamp: 2017-09-22 21:17:21+00:00

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Problemas resueltos de máquinas hidráulicas
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b = Ancho de rodete C = Velocidad absoluta [m] Cd = Coeficiente de descarga Cu = Componente tangencial de la velocidad absoluta [m/s] Cm = Componente meridiana de la velocidad absoluta [m/s] Cp = Calor específico a presión constante [J/Kg K] Cv = Calor específico a volumen constante [J/Kg K] Cx = Coeficiente de arrastre Cy = Coeficiente de sustentación D = Diámetro del rodete [m] Dh = Diámetro hidráulico [m] E = Energía asociada al fluido [J/Kg][J/Kg g] ez = Factor de disminución del trabajo f = Coeficiente de fricción H = Energía por unidad de peso [J/Kg g] Ht = Energía teórica por unidad de peso [J/Kg g] Ht4 =Energía teórica por unidad de peso y fluido congruente con los álabes [J/Kg g] Kv = Coeficiente característico para válvulas [m3/h] L = Cuerda (máquina axial) [m ] m = Caudal másico[Kg /s] N = Potencia [Kw] Na = Potencia de accionamiento [Kw] Ns = Velocidad específica dimensional de potencia Nq = Velocidad específica dimensional de caudal Npa = Nivel de presión acústica [dB] Nwa = Nivel de potencia acústica [dB] NPSH = Altura neta positiva de aspiración [m] P = Presión [Pa] R = Radio [m] R = Constante característica de cada gas [J/Kg K] S = Sección de paso [m2]
Q = Caudal volumétrico [m3/s] T = Temperatura [EC; K] t = Paso (máquina axial) [m] U = Velocidad de arrastre [m/s] V = Velocidad media del fluido [m/s] W = Velocidad relativa [m] Wu = Componente tangencial de la velocidad relativa [m/s] Wm = Componente meridiana de la velocidad relativa [m/s] Y = Energía teórica por unidad de masa [J/Kg] Yt4 = Energía teórica por unidad de masa y fluido congruente con los álabes [J/Kg] Z = Nivel de referencia (cota) [m] Z = Número de álabes (máquina axial) " = Ángulo relacionado con la velocidad absoluta [E] " = Ángulo de ataque (máquina axial) [E] $ = Ángulo relacionado con la velocidad relativa [E] ( = Ángulode calado ) = Diámetro específico * = Coeficiente de giro , = Rugosidad [m] ). = Pérdidas de carga por rozamiento 0 = Rendimiento 0v = Rendimiento volumétrico 0m = Rendimiento mecánico 0h = Rendimiento hidráulico 8 = Ángulo de planeo µ = Viscosidad dinámica [Kg/s m] < = Viscosidad cinemática [m2/s] D = Densidad [Kg/m3] F = Número de Thoma M = Cifra característica de caudal O = Grado de reacción Q = Cifra característica de altura de elevación S = Velocidad específica adimensional T = Velocidad angular [rad/s]
(YROXFLyQ GH OD HQHUJtD 
                    
7HPD
7HRUtD XQLGLPHQVLRQDO 7ULDQJXORV YHORFLGDGHV
Una bomba centrífuga cuyas dimensiones se muestran en la figura, está diseñada para girar a 970 rpm. El caudal en el punto de rendimiento óptimo es de 0,055 m3/s. Determinar: 1. La energía por unidad de masa teórica suponiendo que la corriente es congruente con los álabes. 2. La energía dinámica y estática del rodete y el grado de reacción de la bomba. 3. Sabiendo que la presión a la entrada de la bomba es de he = -0,367 m.c. H2O, calcular y trazar las distribuciones de energía estática y energía cinética a lo largo de la línea de corriente que recorre el rodete y el difusor. El rendimiento del difusor es del 80%.
Máquinas Hidráulicas problemas
13° 23´
1. La hipótesis de que el flujo es congruente con los álabes, significa que la trayectoria relativa del fluido coincide con el trazado de un álabe. De acuerdo con la ecuación de Euler, la energía por unidad de masa cedida al fluido es
(u2.c2u) (u1.c1u)
en donde las velocidades tangenciales son:
D2 2 D1 2
970rpm. 2 . 0.4m
20,32m/s
970rpm. 2 . 0.2m
Para calcular C2u y C1u deberemos recurrir a los triángulos de Euler a la entrada y a la salida del rodete de la bomba. Sabemos que, en el caso más general, tendrán una configuración como la esquematizada en la figura adjunta.
C2 C2u
W2 C2m U2 2
W1 C1m C1u 1 U1 C1
De estos triángulos se deducen las siguientes relaciones:
c2m tg2 c1m tg1
donde c2m c1m
Q .D2.b2 Q .D1.b1
.D2.b2.tg2
0,055m 3/s .0,4m.0,019m.tg30
c2u c1u
16,33m/s
.D2.b1.tg1
0,055m 3/s
c1u Yt Yt 
10,16m/s 
.0,2m.0,044m.tg1323
1,698m/s
u2.c2u u1.c1u
20,32m/s.16,33m/s 10,16m/s.1,698m/s
314,57J/kg 
2. La energía de elevación dinámica se define mediante la expresión:
din 
donde C es la velocidad absoluta y vale:
c2m  c2u
Q ]2  [16,33m/s]2 .D2.b2 (J/Kg)
[ 0,055m /s ]2  [16,33m/s]2
.0,4m.0,019m
271,97 m 2/s 2
c1m  c1u
Q ]2  [1,698m/s]2 .D1.b1 (J/Kg)
[ 0,055m /s ]2  [1,698m/s]2
.0,2m.0,044m
6,84 m 2/s 2
La energía dinámica del rodete será:
271,97 6,84
132,56 J/kg
La energía de elevación estática será:
Y t Y t
314,57 132,56
182 J/Kg
pudiéndose también calcular mediante la expresión:
El grado de reacción será:
182 314,57
3. Supongamos que el rodete está instalado en una carcasa en la cual las bridas de aspiración e impulsión tienen un diámetro igual a 200 mm.
En este caso la energía cinética a la entrada de la bomba será:
0,055m /s . 1
1,532 J/Kg 2 2 2 . 0.2 m 2
La energía cinética a la entrada del rodete será:
6,84 m /s
3,42 J/Kg
La energía cinética a la salida del rodete será:
271,97 m /s
135,985 J/Kg
La energía cinética a la salida de la bomba coincide con la energía cinética a la entrada de la bomba (porque la brida de impulsión y la de aspiración tienen la misma superfície):
1,532 J/Kg
En cuanto a las energías estáticas, a la entrada de la bomba tendremos:
9.8m/s 2.(	0,367mcH2O)
3,596 J/Kg
porque nos dicen que la presión es de h = -0,367 m.c.a. En la entrada del rodete, la energía estática disminuye para contrarrestar el aumento de la energía cinética; es decir, si para pasar de un punto a otro tenemos que
Y i
entonces(considerando entrada sin pérdidas):
Yol [
3,596 [3,42 1,532]
7,436 J/kg
En la salida del rodete, se debe cumplir (entre dos puntos del rodete):
estática 
Y1l  Yt
7,436  182
174,56 J/Kg
Y, por último, a la salida del difusor, la energía estática será:
Y2l  Ydifusor
y como el difusor tiene un rendimiento del 80%, quiere decir que existe una disminución de la energía dinámica, y por ello la estática aumenta:
Ydifusor
0,8.[
] c3 2
0,8.[
0,8.[135,985 1,532] J/Kg
107,56 J/kg
174,56  107,56
282,12 J/kg
Estos valores se han representado en la siguiente figura, donde: punto 0 = entrada bomba punto 1 = entrada rodete punto 2 = salida rodete punto 3 = difusor
Cabe destacar que en el rodete (puntos 1 y 2) es donde se le comunica energía al fluido, y que en el difusor (puntos 2 y 3) se transforma la energía de dinámica a estática. Es importante puntualizar que los puntos correlativos de la figura 1.3 se han unido mediante una línea recta, pero con esto no se quiere decir que la variación de energía entre dos puntos consecutivos sea lineal.
Un ventilador impulsa 2,5 m3/s de aire a una instalación situada en una zona donde las variables de estado son: Temperatura: Tamb = 20ºC Presión barométrica: patm = 101,3 kPa Las características del ventilador son: Tabla 2.a Caudal (m/s) Presión total (Pa) Potencia (kW) 0 750 0,66 1 755 1,13 2 730 1,77 3 590 2,30 4 275 2,30
Hipótesis: no considerar las energías cinéticas:
Se pide: 1. Demostrar que con el objetivo de obtener el mismo flujo másico de aire a 20ºC en una zona donde la presión barométrica es 80.3 kPa hay que montar en serie otro ventilador idéntico al instalado. 2. Evaluar el incremento de potencia consumida por unidad de flujo másico impulsado. 3. En un determinado momento se detecta un escape de aire en las bridas que ponen en comunicación los dos ventiladores. Admitiendo que cuando la fuga es de 0,5 m3/s la pérdida de presión a través de la ranura es de 125 Pa, averiguar el flujo másico que impulsa el segundo ventilador.
Máquinas hidráulicas. Problemas
1. En primer lugar debemos averiguar el punto de funcionamiento de la instalación equipado con un sólo ventilador. Para ello dibujaremos la curva característca del ventilador en el plano Y-Q. No la referiremos a presiones (P vs. Q) dado que la curva característica varía al cambiar las condiciones termodinámicas del aire. Para ello utilizaremos la relación
La densidad del aire en las condiciones de presión y temperatura iniciales se halla:
101,3.103 Pa J [27320] K 287 kg K
N 1,2 kg3
De donde, sustituyendo para los diferentes valores de presión de la tabla 2.a, obtenemos:
Tabla 2.b Q (m3/S) P (Pa) Na (kW) Y (J/kg) 0 750 0,66 625 1 755 1,13 629.2 2 730 1,77 608.3 3 590 2,30 491.7 4 275 2,30 229.2
En la figura 2.1 está representada la curva Y vs. Qv de donde en función de los datos del problema el punto de funcionamiento es: Y
565 J kg
lo que nos permite hallar la ecuación de pérdidas del sistema:
k.Q 2
m3 2,5 s
90,4.Q 2
El caudal másico que circula por la instalación será: m
'20Q
En las nuevas condiciones de trabajo (dado que hemos variado la presión), la densidad del aire será:
PRT
80,3.103 Pa J [27320] K 287 Kg K
N 0,955 Kg 3
El enunciado nos da la condición m1 por lo que Q1.'1
Q2.'2
despejando Q2 obtenemos el caudal volumétrico que circulará por la instalación para las nuevas condiciones termodinámicas y dos ventiladores en serie: Kg s Kg 0,955 m3 3
Con el fin de comprobar que de la intersección de la curva del sistema con la de dos ventiladores en serie se obtiene el caudal acabado de hallar se han representado en la figura 2.1 dichas curvas. Se observa que se cumple lo exigido en el primer apartado.
2. Para evaluar la potencia consumida en las nuevas condiciones necesitamos evaluar el rendimiento del ventilador solo, cuando éste está impulsando Q' = 3,14 m3/s. 
J Kg × 3 Kg s 2.310 W
En las nuevas condiciones (dos ventiladores), tenemos:
´ P2V ×
Y2v.m 
J Kg × 3 Kg s 0,629
4.626 W
Por unidad de caudal: en el primer caso (1 ventilador):
814 W3 Q 2,5 m s m s
en el segundo caso (2 ventiladores): Na
1473,2 W3 3
y el incremento:
Na ´
1473,2 814
0,809  80,9 %
Por unidad de masa será: en el primer caso (1 ventilador): Na1V
678,3 W
en el segundo caso (2 ventiladores):
1542 678,3 ,3
3- Ahora al tener una fuga el sistema nos queda:
La característica de pérdidas de fugas será:
k.Q 2 P Y
Q Q 125 0,95 0,52
526,3.Q 2
Por continuidad se debe cumplir que
m23  m24
Aplicando la ecuación de Bernouilli entre los puntos 2 y 3 resulta
z2g 
YVENT 2
z3g 
23g
en donde (hipótesis del enunciado)
Despejando la energía de presión en 2, tenemos
Y23 YV2
Si admitimos que P3 = Pmanométrica = 0 (p.relativa), nos queda que:
A continuación dibujamos en el plano Y vs Q las curvas que dan lugar al nuevo punto de funcionamiento del sistema (Fig. 2.2)
0: curva de pérdidas de la rama 2-4:
1: curva característica del ventilador 1: Yv1 2: curva característica del ventilador 2 cambiada de signo: -Yv2 3: curva de pérdidas de la rama 2-3:
4: curva 2 restada de la curva 3:
5: suma en paralelo de las curvas 4 y 0:
La intersección de la curva 5 con la curva 1 nos da el nuevo punto de funcionamiento: QVENT 1
YVENT1
Fig. 2.2 De las gráficas se deduce:
QFUGA QVENT 2
Con lo que el flujo másico impulsado por el segundo ventilador será:
2,83 m .0,954 kg3
3UREOHPD  
(QXQFLDGR
3DUD UHIULJHUDU HO DFHLWH XVDGR HQ XQD PiTXLQD GH WUDWDPLHQWR WpUPLFR VH XWLOL]D XQ LQWHUFDPELD GRU GH FDORU DFHLWHDLUH \ XQ YHQWLODGRU FHQWUtIXJR /D LQIRUPDFLyQ WpFQLFD GLVSRQLEOH GH DPERV HOHPHQWRV HV OD VLJXLHQWH 3DUD HO LQWHUFDPELDGRU \ FRQ UHODFLyQ DO FRQGXFWR GH DLUH VH VDEH TXH FXDQGR VH KDFH SDVDU XQ FDXGDO GH  P V GH DLUH D WHPSHUDWXUD GH & OD SpUGLGD GH SUHVLyQ HQWUH ODV EULGDV GH HQWUDGD \ VDOLGD GHO LQWHUFDPELDGRU HV GH
&RQ UHODFLyQ DO YHQWLODGRU VH VDEH TXH KD VLGR HQVD\DGR HQ ODV VLJXLHQWHV FRQGLFLRQHV DPELHQWDOHV& \  3D
(Q OD WDEOD VH UHVXPHQ ORV UHVXOWDGRV H[SHULPHQWDOHV REWHQLGRV
7DEOD D
PTOTAL (Pa)
NEJE (kW) 
    
    
   
&RQ OD LQVWDODFLyQ HQ PDUFKD HO DLUH HQWUD HQ HO LQWHUFDPELDGRU GH FDORU D & \ VDOH D XQD WHPSHUDWXUD GH &
6H SLGH
'HWHUPLQDU HO IOXMR PiVLFR GH DLUH TXH LPSXOVD HO YHQWLODGRU FXDQGR pVWH VH LQVWDOD GHODQWH GHO LQWHUFDPELDGRU GH FDORU 
(YDOXDU HO SRUFHQWDMH GH GLVPLQXFLyQ GH IOXMR PiVLFR HQ HO FDVR SDUWLFXODU GH TXH HO YHQWLODGRU DVSLUH DLUH D WUDYpV GHO LQWHUFDPELDGRU 
&DOFXODU HO FRQVXPR GH HQHUJtD VXPLQLVWUDGD SRU HO PRWRU GH DFFLRQDPLHQWR SDUD DPERV FDVRV
Resolución 
(Q SULPHU OXJDU KD\ TXH HYDOXDU OD SpUGLGD GH HQHUJtD TXH VH SURGXFH HQ OD FLWDGD LQVWDODFLyQ 3DUD HOOR GHEHPRV DSOLFDU XQ EDODQFH GH HQHUJtD HQWUH HO SXQWR  \ HO SXQWR  %HUQXLOOL HQWUH 
0 Aire 15 °C 93 °C
Aire 3 4 S=0,37m²
)LJ 
'AIRE, 15C
GRQGH
zo g 
'AIRE, 93C
P4 
z4 g 
Y0	4
3 ] Y Y
3 ] 
SUHVLyQ DWPRVIpULFD \ FRWD GH UHIHUHQFLD
  
46 VDOLGD GH LQVWDODFLyQ GRQGH 6 
FP 
6XVWLWX\HQGR UHVXOWD
YSISTEMA
6L VXSRQHPRV
YINTERCAMBIADOR
OXHJR
YINTERCAMBIADOR 
+D\ TXH WHQHU SUHVHQWH TXH OD SpUGLGD GH FDUJD R HQHUJtD TXH SRVHH HO IOXLGR D VX SDVR SRU HO LQWHUFDPELDGRU GH FDORU HV IXQFLyQ GH OD HQHUJtD FLQpWLFD
fQ2
\ HQ JHQHUDO OD HQHUJtD FLQpWLFD VH GHWHUPLQD HQ OD VHFFLyQ GH SDVR PtQLPR
(VWR VLJQLILFD TXH OD FXUYD FDUDFWHUtVWLFD H[SUHVDGD FRPR FDtGD GH HQHUJtD SRU XQLGDG GH PDVD -NJ HQ IXQFLyQ GHO FDXGDO HV LQGHSHQGLHQWH GH OD GHQVLGDG GHO IOXLGR
)LJ 
\ HQ QXHVWUR FDVR
P18C
'18C
101 325 Pa 287J/kg K·(273  18)K
1,213 kg/m 3
550 Pa 1,213 kg/m 3
453,34 J/kg
/XHJR OD FXUYD FDUDFWHUtVWLFD GH SpUGLGD GH HQHUJtD HQ IXQFLyQ GHO FDXGDO VHUi
Y J/kg
A·Q 2
Q m 3/s
453,343J/kg
72,53 (J/kg)/(m 3/s)2 2
(2,5 m /s)
6XVWLWX\HQGR HQ UHVXOWD
72,53 QINTERC
2 
1 Q4 2 S
2 2  72,53 QINTERC 
3RU RWUD SDUWH OD HFXDFLyQ GH FRQWLQXLGDG QRV SHUPLWH HVFULELU
'15C Q
'15C QVENTIL
'T54 QINTERC
'93C Q4 AIRE AIRE AIRE AIRE
'HVSHMDQGR WHQHPRV
'15C
AIRE QVENTIL '93C AIRE 
Con el objetivo de simplificar el problema hemos supuesto que la densidad del aire en el intercambiador es la correspondiente a la temperatura media (15+94)/2=54oC.
QINTERC 
15C AIRE T54C AIRE 
QVENTIL
/XHJR VXVWLWX\HQGR HQ 
1 1 AIRE Q 2 S 2 93C VENTIL
15C
72,53 
15C AIRE T54C AIRE
HQ GRQGH 
101 325 Pa 287
· [273  t]K
VLHQGR SDUD
SRU OR TXH
54C
93C 
1,226 kg/m 3 AIRE 54C
1,0796 kg/m 3 AIRE 93C
0,965 kg/m 3 AIRE
1,226 Q 2 0,372 0,965 VENTIL YSISTEMA
72,53 1,226 QVENTIL
99,43 QVENTIL 
&RQ UHODFLyQ D OD FXUYD FDUDFWHUtVWLFD GHO YHQWLODGRU GHEHPRV WHQHU HQ FXHQWD TXH OD HQHUJtD WUDQVPLWLGD SRU HO URGHWH DO IOXLGR HV
\ HO FDXGDO GH DLUH LPSXOVDGR
ez H Yt
ez H [u2 c2u u1 c1u]
 D2 b2 V K2 c2m
$PERV FRQFHSWRV HV ~QLFD
< \ 4 VRQ LQGHSHQGLHQWHV GH OD GHQVLGDG GHO IOXLGR \ OD FXUYD <9(17,/
YVENTIL
49(17,/
f (QVENTIL) 
3DUD FXDOTXLHU WHPSHUDWXUD OD FXUYD FDUDFWHUtVWLFD GHO YHQWLODGRU VHUi
7DEOD E
,19$5,$17( 
DLUH & 
   
Y (J/kg)
,19$5,$17( 
   
Nabs (kW)
DLUH & 
    
,19$5,$17( 
   
'20C
(273  20)K
1,2049 kg/m 3 
PTOTAL Q
/D UHVROXFLyQ GHO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV \ QRV GDUi HO SXQWR GH IXQFLRQDPLHQWR GH OD LQVWDODFLyQ FXDQGR HO YHQWLODGRU HVWi GHODQWH GHO LQWHUFDPELDGRU GH FDORU (Q OD ILJXUD  VH PXHVWUD OD UHVROXFLyQ JUiILFD
7DEOD F
4 9(17,/ 
P V
< 9(17,/ -NJ
< 6,67(0$ -NJ
    
    
  
3XQWR GH IXQFLRQDPLHQWR
4 < 
P V  
-NJ
(O IOXMR PiVLFR GH DLUH LPSXOVDGR SRU HO YHQWLODGRU VHUi
15C QVENTIL
1,226 kg/m 3 · 2,4 m 3/s
2,94 kg/s AIRE 
(Q HVWH FDVR HO YHQWLODGRU WUDEDMD FRQ DLUH D XQD WHPSHUDWXUD GH & 6X FXUYD FDUDFWHUtVWLFD QR FDPELD SHUR QR RFXUUH OR PLVPR FRQ OD FXUYD FDUDFWHUtVWLFD GHO VLVWHPD
'H DFXHUGR FRQ OD HFXDFLyQ GH FRQWLQXLGDG WHQHPRV
54C QINTERC
93C QVENTIL
93C Q4 AIRE AIRE AIRE 
\ SRU WDQWR OD HFXDFLyQ GH OD FXUYD FDUDFWHUtVWLFD GHO VLVWHPD VH WUDQVIRUPD HQ
2 2  72,53 QINTERC
1 1 AIRE Q 2 S 2 T54C VENTIL
93C
93C AIRE T54C AIRE
2 
0,965 2 2 0,965 2 2 QVENTIL  72,53 QVENTIL 2 0,372 1,0796 1,0796
60,87 QVENTIL
(O SXQWR GH IXQFLRQDPLHQWR GH OD QXHYD LQVWDODFLyQ YHQGUi GHILQLGR SRU OD VROXFLyQ GHO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV \ 
7DEOD G
4 9(17,/
< 9(17,/
<6,67(0$ 
- NJ 
    
   
(Q OD ILJXUD VH PXHVWUD OD UHVROXFLyQ JUiILFD 3XQWR GH IXQFLRQDPLHQWRP V  -NJ (O IOXMR PiVLFR DVSLUDGR SRU HO YHQWLODGRU VHUi
AIRE QVENTIL
0,695 kg/m 3 · 2,9 m 3/s
2,798 kg/s
\ SRU WDQWR
m1ER caso m2º caso
m1er caso
2,94 kg/s 2,798 kg/s
2,94 kg/s
6H H[SHULPHQWD XQD UHGXFFLyQ GHO   /D SRWHQFLD FRQVXPLGD VHUi SDUD FDGD FDVR
Ym 
HQ HO SULPHU FDVRHQ HO VHJXQGR FDVR/R TXH VLJQLILFD TXH
1er caso Nabs
575 J · 2,94 kg
2 046 W
2º caso Nabs
510 J · 2,798 kg
1 827 W
2 Nabscaso
2 046 W 1 827 W
6H SURGXFH XQD UHGXFFLyQ GHO 
:;W
3ebfQ
("& '('
' 3efQ fU^dY\QT_b IA & "$%'% ")%! 
]c
Problema 4 
Un ventilador axial, accionado por un motor eléctrico que gira a 750 rpm, hace circular aire por una instalación de secado como la que se esquematiza en la figura 4.1. Al ponerlo en marcha el aire se encuentra a una temperatura de 32C y una presión de 740 mm de Hg. Los dos manómetros diferenciales de columna de agua conectados a la instalación marcan una diferencia de nivel de 10 mm de agua. Al cabo de una hora y después de un periodo de calentameniento, la temperatura del aire se mantiene constante e igual a 50C. La presión en el interior de la cámara de secado ha aumentado en 60 mm c Hg.
Se pide: 1. ¿Qué potencia consume el motor eléctrico al poner el ventilador en marcha si el rendimiento total del ventilador es del 70%? 2. Evaluar la curva característica de la instalación. 3. En las condiciones de régimen permanente de la instalación de secado, después de una hora de funcionamiento y suponiendo que las lecturas de los manómetros inclinados no han cambiado, evaluar en tanto por ciento el aumento de potencia eléctrica. 4. Trabajando en estas mismas condiciones ¿qué presión estática reina a la salida del vantilador si reducimos la velocidad de accionamiento en un 25%?
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
T(°C) Tobera
Cd=0,94 M n=750r.p.m. ø600
h=10mmH2O
Fig. 4.1 
(O HVTXHPD GH OD LQVWDODFLyQ LQGLFDGD HV
Nivel Presiones Cámara Secado (740 mmHg) P Total P Estática P Dinámica
'H2O g h´ 
)LJ 
Problema 4 
1.- La potencia que consume el ventilador es:
' g H Q
P Q 
total 
Para calcularla tenemos que evaluar la altura de elevación y el caudal que suministra el ventilador. El caudal que fluye a través de la tobera es:
donde el coeficiente de derrame vale: .
9,8 m S2 0,010 m
0,74· 13 600 ·9,8 Pa
1,1267 Kg J m3 (273  32)K 287 
0,94· 0,2827 m 2
2·9,8 Pa Kg 1,1267 m3
La altura de elevación se puede calcular teniendo en cuenta que:
ze 
v e2 2g 
Ps 
zs 
v s2 2g
'g 
zs ze 
v s 2 v e2 2g
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
'H O g h´
0,010 m s2 Kg m · 9,8 1,1267 3 m s2 m
' g H
La potencia consumida será:
·9,8
·8,87 m
'gHQ
98 Pa · 3,5 0,7  
489,7 W
2. La curva característica del circuito o instalación es de tipo parabólico: 
Q (m 3/s) 
en el punto de funcionamiento:
(m) 
H funcionamiento 8,87 m 3,5
Para cualquier caudal: 
0,724 · Q 2
3. Si las condiciones de funcionamiento han cambiado, observamos que la densidad del aire será:
Problema 4 
(740  60) 1 000 287
m m c Hg J Kg K
13 600 Kg 9,8 3
(273  50) K
1,150 2 kg3
La variación de la densidad nos afecta en la fórmula del caudal que fluye a través de la tobera:
0,94 0,2827 m 2
2 98 Pa 1,150 2
y en la presión total del ventilador
'aire g Htotal
'H O h
1 000·0,010 1,150 2
8,694 m
En consecuencia, la potencia será:
1,150 2 Kg 9,8 3
Na 
98 Pa 3,47 m 0,7 489,7
485,8 W
(	0,8 %)
485,8 489,7
4. Al cambiar las revoluciones del motor hemos de recurrir al análisis dimensional. Para ello supondremos que el rendimiento total del ventilador no varía:
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
·D Q
7 ·D 3
Entonces se cumplirá:
3,47 ms 0,75
H1 7 71
8,694 m 0,752
55,16 Pa
Una bomba centrífuga puede equiparse con una serie de rodetes, cuyos diámetros D2 son 648, 570 y 500 mm. Las curvas características de la bomba accionada a 2000 rpm, obtenidas en un banco de ensayo, se muestran en la figura 5.1. Sabiendo que el ángulo de la velocidad absoluta del fluido a la entrada del rodete es igual a /2, se pide: 1. Evaluar el rendimiento hidráulico de la bomba equipada con los distintos rodetes, cuando funciona en el punto de rendimiento total máximo. Admitir que los rendimientos volumétrico y mecánico valen, respectivamente:
2. Suponiendo que el factor de disminución del trabajo es igual a: e z=0,8 y que el coeficiente característico de la velocidad meridiana a la salida del rodete puede evaluarse mediante la correlación.
k c2m
c2m 2gH
0,175 $0,675
calcular la ecuación característica de la cámara espiral. Suponer que el ancho de la cámara espiral es constante, es decir, b2=b3=b4, el diámetro a la entrada de la cámara espiral es D3=650 mm, y el rodete instalado sigue un diámetro de D2=648 mm.
3. En una determinada instalación se han montado dos bombas en serie equipadas con rodetes de 500 mm. Funcionando correctamente, el caudal impulsado es de 1600 m3/s. Sin embargo, se observa que cuando el caudal incrementa en un 25%, la bomba empieza a experimentar una cavitación incipiente. A la vista de las curvas NPSH se intuye que una posible solución para evitar estos problemas consiste en quitar una de las bombas y sustituir el rodete de la otra bomba por un rodete de 648 mm. Definir los límites de funcionamiento de la nueva instalación. ¿Cubre las necesidades de la primera instalación? ¿Cabe esperar un ahorro de energía?
8 K]M !% £&$( £&# £%' ! £% '% % & ' ( (% (' 
A]Y^
@ K;GM
£&$( ! £&#
£%' % £%
#% AK]XM
1. De las curvas características podemos deducir los rendimientos totales de la bomba con los distintos rodetes:
BOMBA A648ø 88 B630ø 87,6 C570ø 86 C500ø 80
De la definición de rendimiento total se puede deducir:
H. V. M H
T V. M 0,95.0.99 0,94
A648ø 93,6
B630ø 93,19
C570ø 91,49
C500ø 85,1
2. Para una cámara espiral de ancho constante la ecuación es la expresión de una espiral logarítmica, es decir, 
En nuestro caso, 
c2m c2u
Por un lado, para deducir C2m disponemos de la siguiente correlación:
0,175.$ 0,675
Para la bomba equipada con el rodete (d=648), el punto de funcionamiento óptimo es:
N 130 m N 2324 m 3/h
0,6456 m 3/s
209,44 rad /s $
%. Q 3
209,44 rad /s.
[0,6456 m 3/s] 2 [130 m.9,8 m/s ]
0,175.$0,675. 2.Y
0,149. 2.1274 J/Kg
7,52 m/s
Por otro lado, Yt
u2.c2u u1.c1u 
Suponiendo entrada sin giro:
HIP. 1 Yt Y 
u2.c2u
Yt.ez. H
u2.c2u.ez. H
c2u c2u
Y u2.ez. H 1274 J/kg 0,648 m .0,8.0,936 209,44 rad /s. 2
N 25 m/s
De todo lo anterior se deduce: 
arctg 7,52 m/s
La ecuación de la cámara espiral es 
Q=1600m³/h
Cuando el caudal incrementa un 25% (1600 m3 /s . 1,25 = 2000 m3 /s), la bomba empieza a cavitar; esto significa que:
De las gráficas,
N 8,5 m.
Si optamos por instalar una bomba con un rodete de 648 mm de diámetro, observaremos que el caudal máximo que permite impulsar la bomba sin cavitar es aquel para el cual:
NPSHr RODETE 648
De la gráfica se deduce:
Q H Na
2405 m 3/h
8 K]M _&$( £&$( !% !#% !# !"&( ! _&# £&# _%' £%'
Q (( R
_% £% '%
A]Y^ % ! !% " "% "$ % # #% AK]XM
>@C8 K]M !$ ! & " (% % ! !%
£% £&$(
"% "$ %
@ K;GM !% £&$( £&# (&( £%' % $ % £%
En la primera instalación, las prestaciones eran: Q H Na
2000 m 3/h
2.H500
2.60,8 m
121,6 m.
2.Na500
Por lo tanto, podemos concluir que la segunda instalación supera en prestaciones a la primera. A igualdad de caudal impulsado, la potencia consumida será: 1ª instalación : Q H Na
2ª instalación : Q H
Se observa un pequeño incremento en el consumo de potencia:
868 810 810
[ 7,16 % ]
Problema 6 
Un aspirador doméstico va equipado con un ventilador centrífugo radial tal como se ha esquematizado en la figura 6.1 El punto de funcionamiento del ventilador, cuando la bolsa de papel filtrante es nueva, está definido por:
2 050 'g
mm c H2O
3 160 l/min
Sabiendo que la curva característica del tramo de tubería, incluida la boquilla de aspiración , está definida por la expresión
Ptuberia
2,75 . Q 2;
Q[m 3/s];
y que la curva característica del ventilador alrededor del punto de funcionamiento se puede caracterizar por la tangente a la curva, definida por la expresión
[P] Q
1,266 MPa 3
1. Evaluar la curva característica de la bolsa de papel filtrante. 2. Estimar el incremento (%) del caudal que aspira el ventilador si en un determinado momento se rompe la bolsa de papel filtrante. 3. Admitiendo un factor de disminución del trabajo igual a ez = 0,85, calcular el rendimiento hidráulico del ventilador centrífugo radial. Justificar todas las hipótesis utilizadas.
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
MáquinasHidráulicas problemas
20° 45° D0=40 D2=125 D1=45 b1=b2=8 1 =45° 2 =20°
di =25
Bolsa papel filtrante
S efectiva de aspiración 10 cm²
)LJ 
Problema 6 
1. Esquemáticamente tenemos una instalación similar a:
Aplicando la ecuación de Bernouilli entre los puntos 1 y 2 resulta:
g z1  Y
g z2  (12
(Hipótesis:
sección de salida muy grande)
g z1 Y
g (12
YVENTILADOR
g (TUBERIA  BOLSA
y en términos de presión:
PVENTILADOR
TUBERIA 
'aire g BOLSA
PTUBERIA  PBOLSA
Admitiendo que la pérdida de presión de la bolsa filtrante es del tipo:
PBOLSA
2,75 Q 2  k Q 2;
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
en [MPa]
Q en [m 3/s]
Sabiendo que el ventilador impulsa un caudal de 3160 l/min = 0.0527 m3/s bajo una diferencia de presión de:
H[mc H2O]'H O
2.050 m 1000 Kg 9.8 m
20090 Pa
0.02009 MPa
sustituyendo en la ecuación 6.1, resulta:
2.75 [0.0527 m ]2 k [0.0527 m ]2
y despejando K:
0.02009 0.007637 2
MPa (m /s)
4,4837 MPa 2 3
La curva característica de la bolsa filtrante es:
4,4837 Q 2
2. Por una parte sabemos que la curva característica del sistema [ tubería + bolsa filtrante ] es:
2,75 Q 2  4,4837 Q 2
7,2337 Q 2
y, por otra parte, la curva característica del ventilador se puede aproximar mediante una recta tangente del tipo: y-y0 = m(x-x0) o bien:
m [Q	Q0] P
P0  m [ Q	Q0 ]
Problema 6 
0,02009 MPa
0,0527 m 3/s m
Luego, sustituyendo numéricamente:
0,02009 1,266 [Q P
0,0868 1,266 Q
0,0527 ]
2. Si la bolsa de papel filtrante se rompe, la curva característica del sistema viene representada exclusivamente por la curva característica de la tubería:
2,75 Q 2
La intersección de ambas curvas nos permite evaluar el punto de funcionamiento:
1,266 Q
Gráficamente (Fig. 6.2) o bien analíticamente se deduce que el nuevo punto de funcionamiento es:
2,75 Q 2  1,266 Q 0,0868 Q 2  0,46036 Q 0,03156
0,46036 ± 0,46036  4 0,03156
0,0606 m 3/s
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
0,52 m 3 (no tiene sentido )
Para Q=0,0606 m3/s le corresponde un incremento de presión igual a:
0,0868 PVENTILADOR
0,0100804
El incremento de caudal es:
1,266 · (0,0606 ) [10080 Pa]
0,0606 0,0527 0,0527
0,1499 ;
3. A la vista del croquis del ventilador ( Fig. 6.1) se deduce:
Yt
u2 c2u u1 c1u
20000 rpm 2 % 0,045 m
47,12 m/s
20000 rpm 2 % 0,125 m
130,9 m/s
60 s 2 0,05266 m 3/s % 0,045 m 0,008 m 0,05266 m 3/s % 0,125 m 0,008 m
Q % D1 b 1 Q % D2 b 2
46 ,56 m/s
c1m tg1
46,56 m/s
c2m tg2
46,05 m/s
Problema 6 
c1u c2u
u1 w1u
47,12 m/s 46,56 m/s
u2 w2u
130,9 m/s 46,05 m/s
84,85 m/s
Sustituyendo en la expresión 6.2, obtenemos.
u2· c2u u1· c1u
130,9 m · 84,85 m 47,12 m · 0,56 m
11080,5 m2
// RODETE · ez· H
[Yt]VENTILADOR
donde ez=0,85.
[Yt ]VENTILADOR 
2 [Yt]RODETE
Téngase presente que el ventilador está constituido por dos rodetes en serie separados por una corona difusora:
2· 11080 ,5 Kg
De la ecuación 6.3 resulta: 
P 'AIRE
eZ [Yt ]VENTILADOR 
Y ez [Yt ]VENTILADOR 
20090 Pa 
1,2 Kg/m 3 0,85 · 22161
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
Problema 7 
Para trasegar gases de unos altos hornos se utiliza un ventilador (temperatura de los gases = 50C). Los gases son aspirados de un recinto en el que reina una presión relativa igual a 103 Kp/m2 y deben ser impulsados hacia la canalización de alimentación de los hornos; en el extremo final de la canalización la presión total es igual a 200 Kp/m2. La instalación está situada a 1000 metros respecto al nivel del mar y está constituida por los siguientes elementos: - un filtro situado en el conducto de aspiración del ventilador que opone una resistencia de 50 mm de columna de H2O, - una canalización de aspiración cuya pérdida de carga es 90 mm de columna de H2O, - una canalización de impulsión cuya pérdida de carga es 120 mm de columna de H2O, Sabiendo que el caudal es de 100 m3/s, que la velocidad media del fluido a la brida de entrada del ventilador es 20 m/s y en la brida de salida del mismo es 25 m/s, y que el rendimiento total es aproximadamente 70%, se pide: 1. Evaluar las energías estática y dinámica en la sección correspondiente a la brida de entrada del ventilador. 2. Evaluar la presión estática absoluta que reina a la salida del ventilador. La presión atmosférica a nivel del mar es 760 mm Hg. 3. Calcular la energía por unidad de masa cedida al fluido a su paso por el ventilador.
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
4. La potencia requerida para accionar el ventilador. Estimar el tipo de ventilador. 5. Indicar cómo varía la energía total a lo largo de la instalación. Hipótesis: la línea de energía de posición es una línea horizontal.
Ptotal = 1030 Pa Pimp = 120 mm c H2O
Ptotal = 2000 Pa 20 m/s 25 m/s
Q = 100 m³/s
1000 T = 20 °C P = 760 mm c Hg
Pasp = 90 mm c H2O Pfiltro = 50 mm c H2O
1. En primer lugar vamos a calcular la densidad de los gases: donde P1 es la presión a la cota 1000 sobre el nivel del mar. 
Tenemos que: dP
.g.dz
Si admitimos un proceso de compresión isotérmico nos encontramos con:
.g.dz RT dP
g .dz P RT
Problema 7 
o bien, integrando esta última expresión:
P1 dP
< ln P1
g .[z1	z0]
9,8m/s 2 .[1000m	0] J [293]K 287 Kg.K
P0.e 0,1165
0,8899.P0
0,760m.1360 kg3 .9,8 m .0,8899
90140Pa 2
La densidad del gas será: 
Admitiendo que R es idéntica a la del aire:
nos encontramos con la siguiente expresión: 
90 140Pa J [23750] 287 Kg.K
0,9724 Kg 3
La energía dinámica en la brida de aspiración será:
[20m/s]
La energía estática en la brida de aspiración se puede deducir aplicando la ecuación de la energía entre el punto J y la brida de aspiración.
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
EdinámicaASP  Eestática 
Ptotal recinto
1059,2 J
0,9724 Kg m
1000Kg 9,8m . .[0,0900,050]m m3 s2 Kg 0,9724 m3
Edinámica
Eestática
1059,2 200 1410,94
551,74 J
2. Para evaluar la presión estática "absoluta" a la salida de la brida de impulsión del ventilador podemos proceder de forma análoga, es decir, aplicando la ecuación de la energía entre la brida de impulsión y el punto I:
IMP 
EdinámicaIMP
Etotal I 
[25m/s]
312,5 J
2056,76 J
.[0,120 m] s2 Kg 0,9724 m3
1 209,4 J
Problema 7 
2056,761209,4 312,5
2953,6 J
Como nos piden la presión:
Pestática
gas.EestáticaIMP
0,9724 Kg .2953,6 J
2872Pa 3
la presión "absoluta" será:
Pestática ABS
2872Pa  90140Pa
93012Pa
3. Aplicando la ecuación de la energía entre ambas bridas resulta:
Etotal Y
ASP 
Etotal IMP
Etotal IMP EtotalASP
EestáticaASP  EdinámicaASP
551,74  200
351,74 J
EestáticaIMP  EdinámicaIMP
2953,6  312,5
3266,1 J
3266,1 ( 351,74 )
3617,8 J
4. La potencia absorbida será:
0,9724 Kg m3 · 3617,8 0,7 J m3 · 100 Kg s
Na 
gas Y Q
Estimación del tipo de máquina si:
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
Q S ASP
100m /s
SEC.MUY GRANDE
< MAQ. GRANDE < VEL. ACCIONAMIENTO
< 1000r.p.m
< HIP.
60 36170,75 
2,24 < MAQ. AXIAL
3UREOHPD  
Un constructor de turbomáquinas ha recibido un pedido de una bomba cuyo punto de funcionamiento debe ser: - altura de elevación: 30 m, - caudal: 72 Tm/h, - velocidad de rotación: 1800 rpm. La bomba debe aspirar agua a 20C de un depósito abierto. El nivel de la superficie libre del agua en el depósito se mantiene constante e igual a 4 m por debajo del eje de la bomba. Las pérdidas de carga en la tubería de aspiración son de 0,25 m para un caudal de 10 L/s. La presión atmosférica es de 76 cm de columna de mercurio. El constructor dispone de una instalación para el ensayo de sus fabricados. En la figura 8.1 se ha esquematizado la citada instalación. El nivel del agua en el depósito es de 1 m por encima del eje de la bomba. La presión en el depósito es regulable. El motor de accionamiento de la bomba gira a 1500 rpm. La temperatura del agua durante el ensayo es de 20C. En este banco de ensayo las pérdidas de carga del conducto de aspiración son de 1,44 m para un caudal de 20 L/s.
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
Máquinas Hidraúlicas problemas
Admitiendo que en las condiciones reales de funcionamiento la altura neta positiva de aspiración debe tener un margen de seguridad de 0,5 m, calcular la presión que debe reinar en el depósito del banco de ensayo para poder controlar las características del punto nominal de funcionamiento de la bomba. Datos: - densidad del agua: 1000 Kg/m³, - presión de vapor del agua a 20C: 2337 Pa.
8.2 Resolución
Fig. 8.2 La expresión de la altura de aspiración neta disponible NPSHd es: Para la citada instalación, tendremos:
Patm 
2·g 
Pv 
kg/m 3 · 9,8 m/s 2
0,76 m · 13600 3 2 1000 kg/m · 9,8 m/s
2337 Pa 1000 kg/m 3 · 9,8 m/s 2
Para evaluar las pérdidas de carga en la tubería de aspiración sabemos que, para un caudal Q = 0,01 m3/s, la pérdida de carga es de 0,25 m, lo que nos permite definir la curva característica de la tubería de aspiración:
A · Q2
A · 0,01 m 3/s 2
m (m /s)
3UREOHPD  
Si la bomba debe aspirar un caudal de Q = 72 Tm/h = 0,02 m3/s, la pérdida de carga correspondiente será:
m (m 3/s)2
· ( 0,02 m 3/s )2
Si sustituimos en la expresión de NPSHd, resulta:
10,336 m ( 4 m  1 m  0,238 m )
Admitiendo un margen de seguridad de 0,5 m tenemos:
NPSHd MS
5,098 m 0,5 m
En este punto hay que admitir que la bomba instalada gira a 1800 rpm, mientras que la bomba que se ensaya lo hace a 1500 rpm. Para evaluar el NPSHr , cuando la bomba gira a 1500 rpm, debemos de emplear las relaciones de semejanza y los parámetros adimensionales correspondientes. Éstos son:
NPSHr H g · H u
g · NPSHr
Si u = % · R, sustituyendo obtenemos:
· %2 · R 2
Como en los dos casos y R son iguales, podemos simplificar:
%ensayo %inst.
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
4,598m · 1500 rpm
En el banco de ensayo se cumple:
Ptanque 
v2 2 · g Pv 
· g 
en donde z = -1 m ,
1,44 m (0,02 m /s)
El caudal impulsado por la bomba instalada en el banco de ensayo se calcula por las relaciones de semejanza y los parámetros adimensionales:
Q u · R
% · R
Q u · R 2 ensayo
Como el valor de R es el mismo para la bomba ensayada y para la bomba instalada, podemos simplificar a:
Q % Qensayo
Qinst. ·
0,02 m 3/s · 1500 rpm
0,0167 m 3/s
· g Ptanque  · g
1m  0 
1,44 m (0,02 m 3/s)2
· (0,0167 m 3/s)2 
y obtenemos finalmente el valor de la presión en el depósito del tanque de ensayo:
3,193 m  0,238 m
3,431 m · 1000 kg/m 3 · 9,8 m/s 2
33 624 Pa
Problema 9 
Las curvas de funcionamiento del compresor de baja presión acoplado al Turbojet Engine LARZAC 04 se indican en la figura 9.1. Esta forma típica de expresar el funcionamiento de este compresor obedece a la relación funcional entre grupos adimensionales:
P02 P01 , 
n T01
Teniendo en cuenta la definición de rendimiento isoentrópico: 
Cp [T02 T01]
Yadiabática
1. Deducir la expresión que nos permite calcular el incremento de temperatura en función del rendimiento isoentrópico y la relación de compresión. 2. Dibujar la curva característica:
T02	T01
NOTA: solamente para aquellos puntos de funcionamiento con rendimiento isoentrópico máximo.
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
3. Si el compresor está girando a n = 13000 rad/min, indicar el descenso (%) de la presión de estancamiento a la salida del compresor P02 , respecto a la de ensayo en las condiciones de rendimiento isoentrópico máximo, cuando el turbojet está volando a una cota de 1100 metros sobre el nivel del mar, y admitiendo que el nº de Mach a la entrada no cambia.
Suponer que los parámetros termodinámicos del aire a la cota de vuelo son: - temperatura del aire: T0 = -38,5C, - presión ambiente: P0 = 87,55 kPa (abs).
Problema 9 
9.2 Resolución 1. Teniendo en cuenta la definición de rendimiento isoentrópico:
y la expresión que nos permite evaluar la energía por unidad de masa en el proceso de compresión, suponiendo que es adiabático y reversible, tenemos:
2  P
En un proceso adiabático: 
P01 
1 k 
dP 
01[ P ] k
P01 k P k 01 k	1 k
k	1 P02
P01 k 01 k	1
k	1 k
R· T01· k k	1
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
R ·T01 k	1 k P02 P01
Cp·  is.
k 1 Cp
Para el aire tenemos:
R = 287 J/kgK Cp = 1005 J/kgK k = 1,4
Problema 9 
2. Este apartado se resuelve aplicando la anterior expresión:
T01 
Partiendo de los valores extraídos de las curvas características experimentales en los puntos de máximo rendimiento formamos la siguiente tabla: Tabla 9.a
n T01 
b.ensay
933,6 891,0 849,0 763,8 594,0 424,0
0,820 0,804 0,800 0,790 0,765 0,765
2,05 1,94 1,80 1,61 1,35 1,18
0,2776 0,2593 0,2286 0,1845 0,1170 0,0633
420 382 362 312 232 142
65,1 60,8 53,6 43,3 27,4 14,8
80,42 75,12 66,23 53,45 33,89 18,34
Los valores de la temperatura en vuelo y en el banco de ensayo son:
38,5C
16,7C
3. Si el compresor gira a 13000 rad/min, su punto de funcionamiento en el banco de ensayo, en el punto de rendimiento adiabático máximo, está definido por los siguientes parámetros:
13.000 273 
763,78 rad/min
Aplicando en la tabla 9.a el valor obtenido, resulta: 
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
o bien por los siguientes valores:
P01 T01
1 273  16,7
18,33 Kg/s
P02 T02
1,61 P01
1,61 b a r
T01 1 
[273  16,7] ·[1  0,1845]
343,1 K
En las condiciones de vuelo, habida cuenta que han cambiado las condiciones termodinámicas del aire, el nuevo punto de funcionamiento vendrá definido por:
13.000 273 38,5
848,9 rad/min
El flujo másico en el nuevo punto de estudio será:
To1 Po1
Po1 To1
0,8755 273 38,5
20,69 kg/s
La relación de compresión es la siguiente:
1,800,8755
1,576 b a r
y el nuevo rendimiento isoentrópico: 
´is.
La variación de la presión de estancamiento será:
Problema 9 
Problema 10 
Un ventilador centrífugo extrae gas de una cámara de tratamiento. La temperatura del gas es de 50ºC (suponer que se mantiene constante a lo largo de la instalación de extracción). En la tabla siguiente se indica la curva característica del ventilador:
Tabla 10.a
PTOTAL (mm c H2O) 510 505 490 465 425 395 360
Q (m3/h) 14.000 17.000 22.000 28.000 35.000 40.000 45.000 
% 71 75 80 83 83 83 81
Por otra parte, las pérdidas de carga de los elementos que componen la instalación son: - pérdida de carga del filtro:
PFiltro (Pa)
11 Q 2
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
- pérdida de carga de la tubería:
PTubería(Pa)
80 Q 2
- pérdida de carga de la compuerta A:
PCompuerta(Pa)
200 Q 2
Suponer que la pérdida de carga de la singularidad correspondiente al acoplamiento entre el ventilador y la chimenea es despreciable. Se pregunta: 1. Si la compuerta A permanece abierta, indicar el nuevo punto de funcionamiento. 2. Indicar el decremento de potencia absorbida por el ventilador en el caso de que la compuerta A esté cerrada.
Las condiciones ambientales en la cota cero son:
740 mm c Hg
20C
Problema 10 
10.2 Resolución
El sistema a estudiar se puede esquematizar de la siguiente manera:
Fig 10.2 1. Admitiendo que por la compuerta sale aire, hemos de considerar que la chimenea (tramo 3-2) está en paralelo con el tramo (3-0). Para resolver este problema proponemos utilizar un método gráfico, es decir, representar las curvas características de cada tramo y combinarlas de acuerdo con la ecuación de continuidad en el nudo 3: Q13 = Q32 + Q30 Para deducir la curva característica de cada tramo debemos aplicar la ecuación de la energía. En el tramo (3-2) será:
dP 
g [Z3 Z2] 
PRozamiento tubería 'GAS
* En este tramo se consideran las variaciones de densidad del gas como consecuencia de la elevación. *
'gas 50 'MEZCLAaire gas 50 
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
P3: incógnita P2: es la presión atmosférica en la cota 200 m. Para evaluar P2 aplicamos la ecuación de la fluidoestática (zona exterior de la chimenea):
 g dz
1 dP g 2 air.amb.
con 
air.amb.
[Z2 Z0]
P R· Tair.amb.
1 R Tair.amb. dP
1 R Tair.amb. ln 2 2P P0 g g
y despejando P2, resulta:
g [Z2 Z0] R Tair.amb.
98.627,2 Pa 9,8 (m/s 2) 200 (m) exp ( ) J )[273  20] (K) 287 ( KgK
96.355,0 Pa.
P0 
740 mm c Hg ; P0
0,740 m c Hg • 13.600 Kg • 9,8 m
98.627,2Pa 2
m c Hg s
Volviendo a la ecuación de la energía, resulta:
R T50 ln
P3 96.355,0
Problema 10 
g [Z3 Z2]
9.8 (m/s 2) 200 (m)
Proz.tubo
'mezcla  AIRE GAS
80 Q 2 P R T50
80 Q 2 98.627,2 Pa
75,193 Q 2
· [273  50] K
287 ( P3 J 1.960  0 ) [273  50] (K) ln KgK 96.355,0
Despejando P3, resulta la ecuación final correspondiente al tramo 3-2:
( 1.960  75,193 Q 2 ) 287  323
96.355,0 e
En el tramo 3-0:
g[Z3 Z0] 
Pcomp. 'air.amb.
g [Z3 Z0]
'air.amb.
Despejando P3, resulta la ecuación final correspondiente al tramo 3-0:
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
P0  200 Q 2
98.627,2  200 Q 2
Finalmente, en el tramo 1-3:
2 GAS
50
g [Z1 Z3]  Yventilador 
PFILTRO 'GAS
0,740 m c Hg 13.600
98.627,2
0,740 •13.600 • 9,8 Pa
1,0639 kg3 J m •(273  50) K 287
g Z1 v1 2 v3 2
g Z3 M0
1 (4 Q) 2 2
2 (% D )
por hipótesis vamos a admitir que Sefec. acoplamiento = S chimenea:
%2 0,54
12,969 Q 2
Y despejando P3, se obtiene:
YVENT 'gas5012,969 Q 2 'gas50 98.627,2 11 Q 2
YVENT 'gas
P • 'gas50
Problema 10 
y los valores de P salen de la tabla inicial 10.a, según la relación
Ptotal(mm c H2O ) •'H2O • g ( m ) 2
Sustituyendo valores, resulta P3 para el tramo 1-3:
Ptotal (mm c H2O) 1 m 1000 Kg ´ 9,8 m2 12,969 Q 2 J 1,0639 kg3  98.627,2 (Pa)	11 Q 2(Pa) mm kg m3 s m 1000
A continuación, se presenta una tabla con los mismos valores de caudal Q de la tabla 10.a, y se obtiene como resultado la presión que reina en el punto 3 para cada tramo.
Tabla 10.b
P3Tramo 32 (Pa)
P3Tramo 30 (Pa)
P 3Tramo 13 (Pa)
3,889 4,722 6,111 7,778 9,722 11,111 12,5
4.998 4.949 4.802 4.557 4.165 3.871 3.528
1.001,442 1.583,036 2.813,553 4.736,225 7.628,908 10.152,27 13.084,599
3.024,691 4.459,877 7.469,136 12.098,765 18.904,321 24.691,358 31.250
4.622,969 4.396,020 3.875,902 3.056,874 1.821,053 809,519 -346,687
P3' es la presión relativa a la atmosférica, P3' = [ P3 - 98.627,2 ] Pa. Representando los valores de P3' para los diferentes tramos, encontramos los valores de los puntos de trabajo (Q, P3') para la compuerta cerrada (corte del tramo 1-3 con el tramo 3-2) y para la compuerta abierta (corte del tramo 1-3 con el tramo 3-0||3-2), donde consideramos que la chimenea (tramo 3-2) está en paralelo con el 3-0.
© Los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. 
14000 P3' tramo 30 12000 10000 8000 P3' tramo 32 6000 P3' tramo 13 4000 2000 0 10 11 12 13 14 Q (m3/s) 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
P3' tramo 30 || 32
Fig. 10.3 Resolución gráfica del punto de trabajo de la instalación con la compuerta A abierta y cerrada
Con la compuerta A abierta, tenemos
P´3
Y con la compuerta A cerrada, tenemos
Sustituyendo estos valores en la ecuación correspondiente al tramo 1-3:
Problema 10 
YVENT gas5012,969 Q 2 gas50 98.627,2 11 Q 2
y despejando YVENT , encontramos el punto de trabajo del ventilador:
YVENT 
gas 
12,969 Q 2  11 Q 
Sustituyendo, con la compuerta A abierta, obtenemos
4.037 Pa
y finalmente con la compuerta cerrada, tenemos
4.452 Pa
2. Admitiendo T similares, el decremento de potencia absorbida por el ventilador en el caso de que la compuerta A esté cerrada viene dado por la relación
NA	NC NA
QC YVENT gas
QAYVENT gas
1 6,77•4.452
0,1677 M 16,8 %
8,97•4.037
Las prestaciones en el punto de máximo rendimiento de una bomba centrífuga montada en la instalación esquematizada en la figura. 11.1 son:
Ho = 50 m, Qo = 15 m3/min. La bomba está accionada por un motor eléctrico de corriente continua regulado a 1500 rpm. En el punto E, la presión requerida en función del caudal viene definida por la ecuación: PE = 39.200 + 6,37·106 Q 2, Q ( m3/s ), PE ( Pa ).
Con relación a las condiciones de aspiración se sabe que los síntomas de cavitación empiezan a manifestarse cuando el caudal de la bomba incrementa en un 10 %. En el tramo de aspiración los resultados experimentales demuestran que cuando fluye un caudal de 10 m3/min las pérdidas por rozamiento son equivalentes a 1,5 metros columna de agua. Sabiendo que la evolución aproximada de la altura de elevación, NPSH y rendimiento total de la bomba en función del caudal y para distintos valores de la velocidad específica nq es la que se indica en la figura 11.2, se pide: 1. Calcular el incremento de velocidad de accionamiento para provocar esta situación.
2. Evaluar el margen de seguridad de la altura de aspiración neta positiva cuando el caudal que fluye es de 15 m3/min. OTROS DATOS: La presión de vapor del agua a 21 EC es de 0,0253 Kp/cm2. Presión atmosférica = 756 mm c Hg. Despreciar energía cinética en las tuberías.
11.2 Resolución
1. Calcular el incremento de velocidad de rotación para provocar la cavitación. En primer lugar hay que evaluar en que condiciones está trabajando la bomba, cuando Q'= Q + 10% Q = 1,1 Q. El punto de funcionamiento se puede calcular evaluando la curva característica del sistema y después resolviendo su intersección con la curva característica de la bomba. Aplicando la ecuación de Bernouilli entre los puntos 1 y E , resulta: P1 Dg v1
% Z1 %
PE Dg
% ZE %
% '.1E
donde: P1 Dg ' 0
Z1 ' &2 PE Dg 39200 %6,37·106 Q 2 ' 4 %650 Q 2 1000 @ 9,8
ZE ' 0 vE
Nos dicen que cuando:
' .1E ' ' .aspiración ' A Q 2 ' 54Q 2
Q ' 10m 3/min , Esto nos permite evaluar la constante A, pues 1,5 ' A @ 10 60 Luego,
.1E ' 1,5 mc H2O
1,5 10 60
H ' 4 % 650 Q 2 % 54Q 2 % 2 H ' 6 % 704 Q 2 ; Q (m 3/s)
Para poder dibujarla sobre la misma gráfica de la curva característica de la bomba (Fig.11.2) vamos a establecer un cambio de escala: H) ' H Ho Q Qo siendo Ho ' 50 m
Qo ' 15 m 3/min ' 0,25 m 3/s
50 H ) ' 6 % 704 [ 0,25 Q ) ]2 H ) ' 0,12 % 0,88 Q )2 En forma de tabla:
Tabla 11.a
0,2 0,1552
0,4 0,2600
0,6 0,4368
0,8 0,6832
1,0 1,0000
1,2 1,3672
Por otra parte, la curva característica corresponde a la curva con una velocidad específica igual a:
nq ' n
nq ' 1500
0,25 ' 40 50 3/4
Cuando el caudal incrementa un 10%, entonces para Q'= 1,1 le corresponde H'= 1,1848 m. Para conseguir esta altura de elevación debemos hacer girar la bomba más rápidamente. La velocidad de rotación se puede calcular aplicando la teoría de semejanza, pero para esto hay que comprobar si los puntos A y B tienen el mismo rendimiento. A la vista de la fig.11.2 podemos admitir 0A = 0B Luego: R ' Y D T2
RA ' RB
o lo que es lo mismo: HA) Ta HB) HA) TB '
HB) TB Y 1,185 ' TB TA
1,185@[1500]2 ' 1 633 rpm
2. Evaluar el margen de seguridad de la altura NPSH cuando el caudal es de 15 m3/min [0,25 m3/s]. Por una parte sabemos que cuando Q'= 1,1 la bomba esta cavitando, luego NPSHR = NPSHd y por otro lado, de la gráfica de la figura 11.2, tenemos
NPSHR NPSHR o bien: NPSHR
' 1,34
Q' 0,275
' 1,34 @ NPSHR
Q' 0,25
De la instalación podemos calcular NPSHd: Ptanque Dg P v2 %'.1E % v 2g Dg
NPSHd ' numéricamente:
& Z%
Ptanque Dg Z ' 2
0,756 m c Hg @ 13600 Kg/m 3 @ 9,8 m/s 2 1000 Kg/m 3 @ 9,8 m/s 2
' 10,2816 m
v2 – 0 2g ' .1E ' 54 Q 2 0,0253 '
@ 9,8
@ 104 cm 2
1m m s
1000 Kg @ 9,8 3
' 0,254 m
NPSHd ' 10,2816 &[ 2% 54Q 2 % 0,254 ] NPSHd ' 8,0276 &54 Q 2
Q ' 0,25 Q ' 0,275
NPSHd NPSHd
Q ' 0,25
' 4,6526 m ' 3,94385 m
Q ' 0,275
De la condición de cavitación para Q=0,275 m3/s , se cumple: NPSHR ' NPSHd ' 3,943 85m
De la gráfica hemos deducido: NPSHR 3,94385 m ' 2,943 m 1,34 ' 4,6526 &2,943 ' 1,7m
1,34 &NPSHR
) (seguridad) ' NPSHd
) '1,7 m.
Problema 12 
En la figura 12.1 se ha esquematizado la instalación de un circuito de acondicionamiento de aire para un local. Las curvas características de las condiciones y bafles de regulación son las siguientes: TRAMO EA BAFLE R1 TRAMO SA
860 Q 2
561,22 Q 2
94,3 Q 2
La curva característica del ventilador se ha resumido en la tabla 12.1. Se pide: 1. Calcular el punto de funcionamiento del ventilador. 2. Si para el diseño del ventilador centrífugo radial se ha utilizado el diagrama de Stepanoff se sabe que: Diámetro exterior rodete : Ancho de rodete : Velocidad de accionamiento : Coeficiente de giro: D2 = 0.3 m b2 = 0.2 m n = 2850 rpm
1 c1u/u1
Evaluar el ángulo del álabe a la salida del rodete. 
3. Demostrar que, para una serie homogénea de ventiladores que tienen la misma velocidad de arrastre, la presión del ventilador permanece invariable y la potencia absorbida varia con el cuadrado del diámetro.
Tabla 12.a
Y (J/Kg) Q m3/s
300 2,77
700 2,34
900 1,77
1100 0,61
Problema 12 
12.2 Resolución
1. Calcular el punto de funcionamiento del ventilador.
De la instalación podemos deducir que esquemáticamente el circuito es análogo a:
A efectos de cálculo, podemos considerar que:
es el grupo de impulsión y las resistencias R1+R2 es lo que denominamos sistema. Para evaluar la curva característica del llamado grupo de impulsión hay que aplicar las ecuaciones de: 1- Balance de energía (ec. de Bernouilli). 2- Balance de masa (ec. de continuidad). 
1- Ecuación de energía: donde:
PEA = PES - PSA
PES - curva característica del ventilador. PSA - pérdida de energía en el tramo SA.
2- Ecuación de continuidad: QES = QSA
En la figura 12.4 se ha representado la curva PEA/' en función del caudal Q. Por otra parte, el caudal que sale por A será: QA = QEA-QAE En la figura 12.4 se ha representado la curva que corresponde al grupo de impulsión:
El punto de funcionamiento se puede deducir como intersección de la curva equivalente del grupo de bombeo y la curva equivalente del sistema.
Problema 12 
De la figura 12.6 se deduce que: QVENT = 1,85 m3/s Y = PVENT/' = 875 J/Kg
2. Si para el diseño del ventilador centrífugo radial se ha utilizado el diagrama de Stepanoff y se sabe que: D2 = 0.3 m
b2 = 0.2 m
n = 2850 rpm
=1 
evaluar el ángulo del álabe a la salida del rodete.
Para evaluar el ángulo 2 se trata de representar la curva característica del ventilador sobre el diagrama de Stepanoff, para lo cual hay que evaluar: u2 , , ". Sabemos que : u2 = 7·D2/ 2 u2 = ( n·2%·D2 )/ ( 60·2 ) u2 = 2850·( 2%/ 60 )·( 0.3/ 2 ) u2 = 44,76 m/s. Además: Q = c2m··D2·b2
c2m u2
% D2 b 2 u 2
% ·0,3 ·0,2 ·44,76
Q 8,438
Y 2 003,45
Las expresiones anteriores nos permiten dibujar la curva característica del ventilador en el diagrama de Stepanoff. A partir de aquí podemos trazar una línea tangente que sale de C. La intersección con el eje x nos da el punto E (0 = 0.6). La recta AE y el eje y nos definen un ángulo ß2 = 32(. 3. Demostrar que, para una serie semejante de ventiladores que tienen la misma u, la presión del ventilador permanece invariable y la potencia absorbida varía con el cuadrado del diámetro.
' D 2 72 D 2 72
P x 5 u 2
Por otro lado, la potencia se define como:
Problema 12 
N = Y m =  Y Q =  " D2 %2 D3 % N =  "D5 %3=  "D3 %3 D2 N =  "u3 D2 
N = f(D2)
Problema 13 
Una bomba centrífuga radial está instalada de tal forma que cuando impulsa un caudal de 1800 l/min la lectura del vacuómetro colocado en la brida de entrada (DN = 120) marca -6 m.c. H2 O y el manómetro colocado en la brida de salida (DN = 100) indica una presión de 390 Kpa. Esta bomba está accionada por un motor eléctrico que gira a 2850 rpm. De la documentación técnica facilitada por el fabricante se extrae el croquis esquematizado en la figura. Admitiendo que la bomba se mantiene en las condiciones de régimen de funcionamiento permanente y que las siguientes hipótesis: i- El flujo a la entrada es irrotacional; ii- El flujo en la corona difusora es un vórtice libre
iii- El rendimiento hidráulico de la bomba es 85%; iv- Las pérdidas por rozamiento en la corona difusora son aproximadamente del orden del 35% de la energía cinética recuperable; son ciertas, se pide: 1. 2. 3. 4. 5. Dibujar a escala los triángulos de Euler. La desviación del flujo relativo a la salida de los álabes del rodete. Evaluar el factor de disminución de trabajo. Calcular el incremento de presión estática en la corona difusora. Evaluar el grado de reacción en las condiciones reales de funcionamiento. 
Máquinas Hidráulicas problemas 
2  10(
13.2 Resolución
1. En primer lugar debemos calcular la altura de elevación que transmite la bomba al fluido. Aplicando la ecuación de la energía entre las bridas de conexión tenemos:
Problema 13 
PE 
en donde: 
PS 
6 m c H20
zS (por hipótesis suponemos montaje horizontal)
1800 l 1 min 2g 60 s  0,1202 min 4
1 m3 1000 l
0,3589 m
390 000 Pa kg 9,8 m2 ) (1 000 3 s m
1800l 1min min 60s
m3 1000l 4
Susustituyendo, resulta:
39,79  0,744 (	9) 0,3589
Si el rendimiento hidráulico es del 85%, entonces:
54,32 m H 0,85
Por otra parte, según la teoría de Euler:
Ht 
1 [u2 c2u u1 c1u]
Por hipótesis de entrada sin giro c1u=0, luego:
u2 c2u g
Y la altura teórica con un número finito de álabes es:
De esta expresión podemos calcular C2u':
g Ht u2
9,8 2 850
rad s 
0,240 m 2
14,86 m/s
Para calcular el resto de los vectores del triángulo de velocidades, podemos aplicar la definición de caudal a la salida del rodete:
C2m  D2 b2
c2m 
Q D2 b 2
· 0,240 · 0,022 m 2 0,240 m 2
2 850 2 
35,81 m/s
El ángulo de velocidad relativa será:
Problema 13 
tg 2
1,81 35,81 14,86
4,94( 2
2. Este dato nos permite deducir la desviación que sufre el fluido a la salida del rodete (movimiento relativo): 
2
5,06( 2
3. Para evaluar el factor de disminución de trabajo sólo tenemos que recurrir a calcular c2u, habida cuenta que:
Del triángulo de Euler, para un número infinito de álabes, se cumple :
c2m tg 2 c2m tg 2
35,81 1,81 o
y por tanto: 
4. Sabemos que en la corona difusora se debe cumplir: Ecuaciones de flujo:
c2u r2
c3u r3 ;
c3m % D3 b3
De estas dos ecuaciones podemos evaluar la magnitud de las componentes tangencial y meridiana de la velocidad absoluta del fluido a la salida de la corona difusora:
D2 D3 D2 D3
0,240 0,360 0,240 0,360
La energía cinética recuperable es:
2 c 2g
c2u  c2m
14,862  1,812
c3u  c3m
9,92  1,22
14,972 9,972 2 ·9,8
6,36 m/s
En la corona difusora se cumplirá:
P   'g 2g
c 2  'g 'g
donde: 
(por hipótesis)
2 0,35 ) c
0,65 · 6,36
5. El grado de reacción se define como:
3RODETE
Hdinámica
Hestática Htotal
Hdinámica Htotal
14,972 Hdinámica
Q D1 b 1
0,09 ·0,060 m 2
1,768 m/s
14,97 1,768
2 ·9,8
Problema 14  
Un taller de pintura tiene un sistema de ventilación constituido por: Un sistema de impulsión en el cual se produce una pérdida de 300 Pa cuando fluyen 3 m3/s de aire limpio. Un sistema de extracción en el que se produce una pérdida de presión de 425 Pa cuando fluyen 2,5 m3/s de aire viciado. Sabiendo que los ventiladores instalados son iguales y que la curva característica es:
Tabla 14.a
Q (m3/s) 0 1 2 3 4
PTOTAL (Pa) 750 755 730 590 275
(kW) 0.66 1.13 1.77 2.30 2.30
1. Calcular la presión que reina en el taller y el caudal de aire renovado. 2. Si a través de la puerta de acceso hay una pérdida de aire que en un momento se puede cuantificar de 0,5 m3/s cuando la diferencia de presión es de 125 Pa, evaluar la presión en el interior  
del taller y los caudales de aire impulsado y extraído.
Fig. 14.1 y 14.2
14.2 Resolución
Curva característica, pérdidas:
33,33· Q
68 · Q 2
1. Haciendo el balance de energía entre los puntos 1 y 2:
Problema 14  
PVENTIL1
P2  '
PVENTIL2
P3  '
Admitiendo P1
Patm entonces: resulta: o bien:
PVENTIL
P2  P12
PVENTIL1 P12
P23 PVENTIL2
Podemos resolver gráficamente este sistema de ecuaciones, ya que P2 tiene que ser igual para los dos sistemas:
Tabla 14.b Tabla 14.c Tabla 14.d
750 755 730 590 275
0 33,3 133,32 299,97 533,28
0 68 272 612 1088
0 500 2000 4500
750,0 721,7 596,7 290
-750,0 -687,0 -458,0 22,0 813,0
De acuerdo con la figura 14.3, el punto de funcionamiento corresponde a un caudal de 3,27 m3/s y la Presión en el taller de 180 Pa.  
2. Hay una fuga de aire; la curva característica de la puerta de acceso será: P2
P4  P24 en donde:
P4  500 Q 2
Como P4=Patmosférica, P
500Q 2 2 combinando gráficamente las curvas características de la puerta de acceso con la de impulsión y evaluando el punto de intersección, resulta:
Qpuerta Qimpuls Ptaller
0,36 m 3/s
3,14 m 3/s
Problema 15  
En la figura 15.1 tenemos el esquema de una instalación para el suministro de agua. Los datos geométricos de la misma se han resumido más adelante. Las curvas características de las bombas empleadas están representadas en la figura 15. 2. Se pide: 1. Hallar el caudal que pasa por cada rama de tubería, cuando la presión relativa en el depósito 1 es de -0,03 MPa. 2. Comprobar si existe alguna bomba que funcione bajo condiciones de cavitación. En caso afirmativo comentar las posibles soluciones. Hipótesis de trabajo: Suponer que en las condiciones de trabajo en régimen permanente, el coeficiente de rozamiento f = 0,03 en todos los tramos. Considerar la presión atmosférica de 0,1 MPa. L1 = 25 m L2 = 1000 m
L3 = 180 m
L4 = 2000 m
D1 = 0,5 m
D2 = 0,5 m
D3 = 0,45 m D4 = 0,45 m
Kv = 3600 (para válvula conducto de aspiración) Kv = 2880 ( válvula línea tres) Cotas: Z1 = 0 m Z2 = 100 m Z3 = 30 m ZA = 2 m  
15.2 Resolución 1. Por convenio denominaremos Ei a la energía total por unidad de peso del fluido en un punto i de la
instalación. Vi
Zi 
Pi 
Denominamos también a Ei como las perdidas de presión que hay en el tramo iésimo. Para calcularlas aplicaremos la ecuación de Darcy Weisbach. Lo que hemos de hacer es hallar el punto de funcionamiento del sistema, que se define como la intersección entre la curva que representa la energía que el sistema necesita, y la curva que representa la energía que aporta el grupo de bombeo. Una vez definidos los sentidos de circulación del fluido, el siguiente paso ha de ser el establecer un balance de energía para cada uno de los tramos de la instalación. Empezaremos aplicando Bernouilli entre los puntos A y 2, y A y 3 de la instalación.
Problema 15 
Así pues entre el punto A y el depósito 3 tenemos: EA4 EA4
E3  E4
Z3  f
L4 8Q4 D4
5 2 
EA4 EA4
30  0,03 2000 5
0,45 
30  268,9Q42
En la figura 15.3 está representada esta ecuación. EA4 representa la energía del punto A vista desde la rama 4. Antes de aplicar Bernouilli en el otro tramo (A-2) vamos a hallar la curva característica de las dos válvulas. En el conducto de aspiración tenemos una válvula con un Kv = 3600. Según norma el Kv es el caudal en m3/h que atraviesa una válvula cuando su pérdida de carga es de 0,1 Mpa. Así, la ecuación que regirá esta válvula será:
3600 ( m )
1 ( m )
w 10 m col agua
EV1
K 1 2;
Para la válvula instalada en el tercer tramo queda: 
2880 ( m )
0,8 ( m )
EV2
K 0,82;
15,6Q3
Si aplicamos Bernouilli entre los puntos A y 2 se obtiene: EA3 EA3 EA3 EA3 EA3 
E2  E3  EV2
E2  E3  EV2 HB3
100  0,03 1805 2 3  15,6Q32 HB3 0,45  g
100  24,2Q32  15,6Q32 HB3
100  39,8Q32 HB3
100  39,8Q32
Cada uno de los términos de las ecuaciones anteriores está representado en la figura 15.3, así como su combinación en serie, que consiste en sumar energías para un caudal dado, obteniendo como resultado la curva EA3. Por otro lado, aplicando la ecuación de continuidad en el punto A tenemos: Q2
Q3  Q4
de donde podemos deducir que para hallar la curva característica del subsistema equivalente a los tramos 3 y 4 a la que llamamos EA, hemos de combinar en paralelo las curvas características EA3 y EA4, esto es, sumar caudales para una energía dada en A. En la figura 15. 3 está asimismo representada EA. El siguiente paso es aplicar Bernouilli entre el depósito 1 y el punto A, donde queda:
Problema 15 
E1 H 
EA  E1  E2  EV1
EA  E1  E2  EV1 E1
En la parte izquierda de esta ecuación, H, representa la energía que el grupo de bombeo suministra al sistema, mientras que los términos de la parte derecha representan la energía que el sistema absorbe. Si llamamos Es al conjunto de los términos de la parte derecha, tenemos: ES
de donde, dando valores a cada término, nos queda:
5 8Q 25 8Q1  0,03 1000 2 2  10 Q12 0,3 1 ES
EA  0,03 1000 9,8 0,55 2g 0,55  g 2 2
ES Llamamos
EA  1,98 Q12  79,49 Q22  10 Q12  3,06
1,98Q12  79,49Q22  10Q12  3,06
Puesto que entre el depósito 1 y el punto A el fluido sólo puede circular por un único conducto (no hay ramificaciones), se cumple que: Q1
Por tanto, E1A surgirá de la combinación en serie de los términos que componen su ecuación característica. Cada uno de los términos de esta ecuación, así como su resultado final, están representados en la figura 15.4. Así pues, la curva característica equivalente del sistema Es, será el resultado de combinar en serie las curvas representadas por EA y E1A. (Fig. 15.5). Por otro lado tenemos que la curva que representa la energía que el grupo de bombeo suministra al sistema, a la cual hemos denominado H, nace de la composición en serie de las curvas características de las bombas 1 y 2, a las cuales hemos llamado respectivamente HB1 y HB2. La curva H está representada en la figura 15. 2. Como ya se ha dicho su intersección con la curva característica del sistema ES nos dará el punto de funcionamiento del mismo. (Fig.15.5). Una vez hallado el punto de funcionamiento, deshaciendo todo el cálculo gráfico obtenemos los siguientes resultados: 
0,503 m
0,186 m ; Q4
E1
0,5 m; E2
20,2 m; E3
0,8 m; E4
27,1 m; EV1
2,5 m; EV2
ES EA EB1
83,3 m;
39,3 m; EB2
44 m; EB3
2. Cuando tenemos un sistema de bombas en serie, siempre y cuando estén cercanas, se estudia si la primera de ellas cavita, puesto que las restantes, excepto en casos muy peculiares, tendrán en la brida de aspiración una presión muy superior a la de cavitación. En este problema estudiaremos si la bomba 1 cavita. Se tendría también que comprobar si la bomba 3 pudiese estar cavitando, pero si nos fijamos en la figura 15.3 observaremos que la energía en el punto A es de 57,1 m, energía más que suficiente para asegurar que en la bomba 3 no se va a producir cavitación. La condición de no cavitación para cualquier bomba es: y se cumple que: NPSHDIS NPSHDIS > NPSHREQ
P1 
2 P [Z  V  EV1  VAPOR  E1]
2g 
PBRIDA / ρg
PVAPOR / ρ g NPSHR NPSHD
P 1 / ρg 1 ∆E V /2g Z
Problema 15 
Así, para la bomba 1 tenemos:
25 80,5032 0,55 Q2 
0,502m
0,5032 
) 2 9,8 
0,52 )22 (
10 0,5032
PVAPOR 
NPSHDIS NPSHREQ
El valor del NPSH requerido se ha obtenido de la figura 15.2 partiendo del caudal que circula por la bomba 1. En vista de los resultados diremos que la bomba 1 cavitará; por tanto, no obtendremos los caudales esperados.
Posibles caminos para resolver el problema son: a) Aumentar la presión en el tanque de aspiración hasta los 0,103 MPa o más. Si: NPSHREQ
NPSHDIS
la presión que ha de haber en el tanque 1 para que el resultado de la ecuación anterior sea cero será: 
P1 
P1
3,451 1000 9.8
33819,8 Pa  0,033819 MPa
P1 (ABSOLUTA) P1 (ABS)
P1  P1 INICIAL
0,033  0,07
0,103 MPa
Cualquier presión por encima de los 0,103 MPa en el tanque 1 evitará que en la bomba 1 se produzca cavitación. b) Poner la bomba a una cota de -1,45 m o más abajo respecto el nivel del líquido del depósito. Sabemos que la bomba 1 estaba 2 m por encima del nivel del depósito; como necesitamos ganar como mínimo 3,451 m de energía para que se cumpla: NPSHDIS 
tenemos que la nueva cota para la bomba 1 ha de ser: ZNUEVA
ZANTERIOR 3,451
Situaríamos la bomba 1 a 1,451 m o más por debajo del nivel de fluido del depósito 1 para evitar que se produzca cavitación.
Problema 15 
Fig. 15.2 
Problema 15 
V 
Problema 16 
En la figura 16.1 se ha esquematizado una instalación para el suministro de agua. Los datos geométricos de la misma se han resumido en la tabla 1. Las curvas características de las bombas empleadas están representadas en la figura 16.2. Se pide: 1. Determinar el caudal que pasa por cada ramal de tubería si las presiones relativas en los depósitos 1 y 2 son, respectivamente: P1 = 0,1 MPa, P2 = 0,17 MPA. 2. Comprobar si existe alguna bomba que funcione bajo condiciones de cavitación. Hipótesis de trabajo: Suponer que, en las condiciones de trabajo en régimen permanente, el coeficiente de rozamiento f = 0,02 en todos los tramos. Considerar presión atmosférica = 0,1 MPa. L1 = 25 m ; L2 = L3 = 4 m ; L4 = 1000 m ; L5 = 250 m L6 = 200 m ; L7 = 300 m ; L8 = 2000 m D1 = D4 =0,5 m ; D2 = D3 = D5 = D6 = D7 = 0,35 m ; D8 = 0,45 m Cotas Z1 = 1 m ; Z2 = 20 m ; Z3 = 32 m ; Z4 = 30 m ; ZA = 7 m. 
Problema 16 
16.2 Resolución
1. Lo primero que hay que hacer es dibujar el sentido en el que se supone que va a circular el fluido. En este problema se ha supuesto a priori que el líquido va del depósito 1 a los depósitos 2, 3 y 4, tal como indican las flechas de la figura 16.1. Por convenio denominaremos Ei a la energía total por unidad de peso del fluido en un punto i de la instalación.
2g  
Por otro lado diremos que Ei son las pérdidas de carga en el tramo iésimo, las cuales calcularemos mediante la ecuación de Darcy Weisbach. En este tipo de problemas lo que se busca es reducir todo el sistema a sólo dos curvas, una que representa la energía que el sistema necesita, y otra que representa la energía que aporta el grupo de bombeo. La intersección de ambas curvas nos dará el punto de funcionamiento. Para ello, vamos a proceder a establecer un balance de energía para cada uno de los tramos de la instalación. Así, la ecuación de Bernouilli para el tramo de tubería entre el punto D y el depósito 4 será (en cada caso representaremos gráficamente la ecuación obtenida en función del caudal):
E4  E7
Z4  f
L7 8Q7 D7
30  0,02 3005 2 7 0,35  g
30  94,48Q72
Haciendo lo mismo entre el punto D y el depósito 3, tenemos:
ED6 ED6
E3  E6
32  0,02 2005 2 6 0,35  g
32  62,99Q62
Para hallar la curva característica del subsistema equivalente a los tramos 6 y 7, se procede a combinar las curvas características ED6 y ED7 teniendo en cuenta que ambos tramos están conectados en paralelo, es decir, para una misma energía en el punto D, se debe cumplir:
Q6  Q7 
En la figura 16.4 están representadas las energías de las ramas 6 y 7, y su composición en paralelo, a la cual llamamos ED. El siguiente paso es aplicar Bernouilli entre C y D.
ED  E8
ED  0,02 2000 5
ED  179,3Q82
[ED7 // ED6]
El tramo CD está en serie con el sistema equivalente a los tramos 6 y 7, lo cual indica que para un mismo caudal Q8 la perdida de energía del tramo CD se añadirá a la pérdida de energía del subsistema equivalente a los tramos 6 y 7. En la figura 16.4 están representadas las curvas acabadas de mencionar. Para el tramo 5, si aplicamos Bernouilli entre los puntos C y 2, tenemos:
E2  E5 
Z2  E5
6 8Q
0,17 10  20  0,02 2505 2 5 1000 9,8 0,35  g
37,34  78,73Q52
La curva que nos da la energía en C en función del caudal EC será la combinación en paralelo de la curva que nos da la energía en C desde el punto de vista de la rama 5, que hemos denominado EC5 y la curva que nos da la energía en el punto C desde el punto de vista del circuito equivalente que se ve desde el punto C en dirección de la rama 8, al cual se ha denominado EC8. Dado que en este enlace se cumple:
Q5  Q8
Estas ecuaciones están representadas en la figura 16.5. Finalmente, sólo nos resta aplicar Bernouilli entre los puntos B y C, por un lado, y entre A y 1, por el otro:
Problema 16 
ECh BC E1
EAh A1
De (2) aislamos la energía en el punto A:
E1	h1A (3)
Restamos a la ecuacion (1) la ecuación (3) y obtenemos:
Ec E1  hBC  h1A
Por otra parte, entre A y B la curva del sistema dado por las dos bombas será el resultado de sumar en paralelo las curvas de las dos bombas una vez restadas las pérdidas de carga correspondientes (Fig. 16.6):
hAB)SIST
(HB1 hAB1) // (HB2 hAB2)
Las pérdidas de carga en los diferentes tramos, en función del caudal circulante serán:
8· Q 2
52.93 Q42 h1A
1.32 Q12 hAB1
1.26 Q22 hAB2
1.26 Q32
Hemos de recodar que para lo acabado de decir se cumple:
Q2  Q3
6  Z1
0,1 10  1
Si confrontamos la curva EA - EB, con la curva del sistema proporcionado por las dos bomas, obtendremos 
el punto de funcionamiento . (Fig.16.6). Una vez hallado el punto de funcionamiento obtendremos al deshacer todo el cálculo gráfico, los caudales, las energías de cada punto, y las energías perdidas en cada tramo. Los resultados son:
Q1 Q3 Q7
0,485 m ; Q2
0,19 m ; Q5
0,280 m ; Q6
0,130 m ; Q8
2. Para hacer la segunda parte del problema hemos de recordar que para que una bomba no cavite se ha de cumplir:
NPSHDISP > NPSHREQ
Pvap / ρ g Pbrida / ρ g NPSHD P1 / ρ g ∆E V / 2g
2 p [Z  V  E1 BOMBA  VAPOR ]
Resulta para la bomba 1:
Problema 16 
1000 9,8 Q2
col.agua
S2 2g 
0,352 )2 (
0,479 m
E1B
25 8 0,4852 0,55 4 
2g 2g 
8 0,2952
0,86  0,109
0,969 m
donde el NPSH requerido se ha obtenido de la figura 16.2, partiendo del caudal que atraviesa la bomba 1. Se concluye diciendo que la bomba 1 no cavitará. Para la bomba número 2 se cumple que: 
1000 9,8 Q3
0,192 
0,352 )2 2 9,8 (
E2B
0,74  0,045
6 m 
NPSHDIS NPSHR
13,097 m
Al igual que en el caso anterior, el NPSH requerido se ha obtenido de la figura 16.2. Queda, pues, demostrado que en ninguna de las dos bombas se producirá cavitación.
Problema 16 
Fig. 16.5 
HB- hAB
HB1- hAB1 HB2- hAB2
Problema 17 
17.1 Enunciado
Dos ventiladores de una serie comercial, caracterizados por distintas velocidades específicas, se han diseñado utilizando el diagrama de Stepanoff. Para el diseño se han considerado como parámetros invariantes los siguientes: - ángulo del álabe a la salida del rodete, - diámetro del rodete D2, - velocidad de accionamiento. Los resultados experimentales obtenidos durante el ensayo del primer prototipo son:
Tabla 17.a Resultados experimentales del ensayo del primer prototipo
0,05 0,478
0,15 0,465
0,25 0,435
0,45 0,295
0,55 0,102
Sabiendo que para el primer prototipo, D2 = 300 mm y b2 = 137 mm, se pregunta: 1. Evaluar el ángulo del álabe a la salida del rodete del primer prototipo. 2. Si el caudal en el punto de funcionamiento óptimo es Q = 1,77 m3/s, calcular la energía por unidad de masa del ventilador y la velocidad de accionamiento (rpm). 3. Si la relación entre las velocidades específicas es:
estimar las pérdidas hidráulicas del segundo ventilador y el incremento (%) de la componente meridiana de la velocidad absoluta a la salida del rodete con relación al primer ventilador. 
Máquinas Hidáulicas problemas
4. Demostrar que la condición: "igualdad de velocidades específicas de dos ventiladores" es necesaria pero no suficiente para que dos ventiladores tengan el mismo grado de reacción.
17.2 Resolución
1. Para evaluar el ángulo del álabe a la salida del rodete ß2 es suficiente dibujar en el diagrama de Stepanoff, la curva característica del ventilador ensayado (Fig. 17.1) y trazar una recta tangente a la curva que pase por el punto C. Esta recta corta al eje # en el punto E. Uniendo los puntos AE, obtenemos una recta que define con el eje Y, un ángulo ß2 = 40. El punto de máximo rendimiento total del ventilador ensayado es:
#1 1 %s1
0,45 0,3 1
y se cumple C2m 
Q D2 b 2 
1,77 m 3/s 0,3 m 0,137 m D2 2 C2m 0,3
13,7 m /s
45,69m/s
2 U2 D2
2 45,69 m/s
0,3 m [ 2908 rpm ]
304,6 rad/s
Problema 17 
b Q1 2 2 ⋅W Ω = W 3 4 = 2⋅ π ⋅ s D Y 2
∆ = D2 ⋅
Y1 4 1 D 2 ψ1 4 = ⋅ ⋅ Q1 2 b 2 φ1 2 π
Fig. 17.1 Diagrama de Stepanoff 
, resulta que la energía por unidad de masa es:
U22 51
[ 45,69 m/s ]2 0,45
939,4 J/Kg
la velocidad específica del segundo ventilador es
Teniendo en cuenta que ß2 es un invariante, se cumplirá que la recta CE es tangente a la curva característica del ventilador; luego el punto de funcionamiento óptimo del segundo ventilador es:
y, por tanto, la componente meridiana de la velocidad absoluta del fluido a la salida del rodete del segundo ventilador es: C2m C2m C2m
12U2
0,4445,69 m/s
C2m / 2o vent. C2m / 1er vent. C2m / 1er vent. 13,7 m/s
[ 46,7 % ]
20,1 m/s 13,7 m/s
El rendimiento hidráulico del segundo ventilador se estima como la relación del 5 que se obtiene en el punto tangente a la recta CE con la curva de velocidad específica R = 1,5 y el valor de 51 que se obtiene a partir del punto de corte de la recta BE con la recta 1 2 = 0,44; en forma de ecuación tendremos:
Problema 17  
95,7% 52	3 0,355
4. Debemos recordar que de acuerdo con el análisis adimensional existe una relación funcional entre: f [ 5 , 1 , Re ,
Suponiendo que existe semejanza total (geométrica, cinemática y dinámica) se debe cumplir:
5PROTOTIPO
5MODELO 1PROTOTIPO
RePROTOTIPO
Suponiendo que Re y /D no son significativos, la relación funcional es: f [ 5, 1 ]
Es muy típico emplear la definición de velocidad específica adimensional:
esto significa que la anterior relación funcional se transforma en: f[ 1 , 6 ]
Yestática Ytotal
Ytotal Ydinámica Ytotal
Ydinámica Ytotal
pero Ydinámica por tanto
2 
[ C2u  C2m ] [ C1u  C1m ]
[ C2u C1u ]  [ C2m C1m ]
Admitiendo, como una primera aproximación, que en una máquina hidráulica radial C2mC1u y que la entrada es sin giro C1u=0, resulta Y dinámica
C2u . 2
2 U2 C2u
C2u 2 U2
C2u U2 2
Yt 2 
en donde, como acabamos de demostrar,
2 [ 1	! ]
23/4 [ 1 ! ]3/4
De esta expresión se deduce que la condición necesaria y suficiente para que dos máquinas tengan el mismo grado de reacción exige la igualdad de la velocidad específica, $, y de la cifra característica de caudal, .
Problema 18 
Las características de un circuito de ventilación son: sección rectangular del conducto: 70x90 cm longitud equivalente: Leq= 2.760 m coeficiente de fricción: f = 0,02 velocidad de circulación del aire de ventilación c = 4,76m/s El desnivel entre los recintos de aspiración y de impulsión es de 10 m y las presiones relativas en los mismos son: P/g [aspiración] = 33 mm c H2O P/g [impulsión] = 20 mm c H2O Se pide: 1. Determinar la altura de elevación del ventilador que se debe colocar en este circuito. 2. Deducir por análisis adimensional las expresiones de los coeficientes adimensionales: ", , $. 3. Suponiendo que se selecciona un ventilador de baja presión de coeficientes característicos,
"=0,032 y =0,076, evaluar el diámetro exterior del rodete y la velocidad específica $.
4. Si los rendimientos
mecánico = 0,96 volumétrico = 1
evaluar el grado de reacción teórico del rodete L en la cascada que corresponde a la periferia. 
5. Si el perfil aerodinámico elegido tiene como característica CY = 0,5 + 0,098, calcular el ángulo de planeo para un perfil situado en la cascada de la periferia.
Suponer: - ángulo de planeo prácticamente nulo - relación de diámetros Dc - relación Dp t L
Fig. 18.1 Esquema de la instalación
Problema 18 
18.2 Resolución
1. Determinar la altura de elevación del ventilador que se debe colocar en este circuito.
Para evaluar la altura de elevación (energía por unidad de peso) debemos hacer un balance de energía. Aplicando la ecuación de Bernouilli entre los puntos 1 y 2, resulta: P1 
P2 
2g  
en donde: P1 
g H O g h1
1.000 Kg/m · 0,033 m 
con: 
0,760 m c Hg ·9,8 m/s ·13.600 Kg/m RT 287 J/KgK ·[273  20] K 
1,2045 Kg/m 3
Sustituyendo, obtenemos: P1 
1.000 ·0,033
27,3958 m
Por otro lado, podemos considerar: z1
M0 
De manera análoga, en el punto 2: P2 
H O g h2
1.000 Kg/m ·0,020 m
16,6 m 3
1,2045 Kg/m
Nota: Se considera que la densidad del aire, a efectos numéricos, es igual en ambas cámaras e igual a la del aire en condiciones normales. z2 v22 2g
[4,76 m/s]
1,1569 m
2g 
Leq v 2 Dh 2 g
4 ·[0,7 ·0,9] m
0,7875 m 2 ·[0,7  0,9] m
4 · Sección Perímetro mojado
v 22 2g Sustituyendo, obtenemos:
1,1569 m 
2.760 m 1,1569 m 0,7875 m
81,093 m
Problema 18 
En resumen, H
' g 
16,6  10  1,1569  81,093 27,39
o bien: Y
N 798,21 J/Kg
2. Deducir por análisis adimensional las expresiones de los coeficientes adimensionales: 4, 1, 6. Las variables que intervienen en el flujo a través de una turbomáquina son fluido: - densidad [ '] = M L-3 - viscosidad dinámica [µ] = M L-1 T-1 turbomáquina: - longitud característica [D] = L - rugosidad de las paredes [] = L flujo: - energía por unidad de masa intercambiada [Y] = L2 T-2 - caudal [Q] = L3 T-1 - velocidad angular [7] = T-1 Ordenando estas variables de forma matricial tenemos:
Tabla 21.a Ordenación matricial de las variables
D L M T D 1 0 0 1 0 0
-3 1 0 0 1 0
0 0 -1 0 0 +1
µ -1 1 -1 2 1 +1
Y 2 0 -2 2 0 +2
Q 3 0 -1 3 0 +1 X1 X2 X3 X1+3x2 X2 -X3
$4 
µ D '7
Y D 2 72 Q D 37
Los dos últimos monomios corresponden respectivamente a las cifras adimensionales:
Y D 72
Q D 37
Para evaluar la velocidad específica sólo se requiere combinarlas de la siguiente forma:
7 Q 3/4 4 Y
3. Suponiendo que se selecciona un ventilador de baja presión de coeficientes característicos, 4=0,032 y 1=0,076, evaluar el diámetro exterior del rodete y la velocidad específica 6 . Para evaluar el diámetro característico del rodete podemos aplicar las expresiones de las cifras o coeficientes adimensionales:
0,032 o bien: 0,076
798,32 2
D 7 Q D 37
Problema 18 
v Sconducto
4,76 [0,7 ·0,9]
2,9988 m 3/s (m 3 / s )
Las dos expresiones representan dos ecuaciones con dos incógnitas: D y %. Despejando % de la segunda y sustituyendo en la primera
2,9988 3
0,076 D 798,3 D2 2,9988 0,076 D 3
0,032 ·2,9988 2
798,3 ·0,076
0,499 8 m M 0,5 m
0,076 D
2,9988 0,076 [0,5]
315,66 rad
3 014 rpm s
3 m 3/s 798,3 J/kg
==> Máquina axial.
4. Si los rendimientos:
evaluar 3t en la cascada que corresponde a la periferia. 
Sabemos que para una turbomáquina axial
Energía estática Energía total
Por otro lado, tenemos Y=798,3 J/kg y, por tanto,
798,3 J/Kg
1393,4 J/Kg
U CU 
T m v
0,55 0,96 ·1
1 393,4 J/kg 0,5 m 315,66 rad · s 2
17,656 
Fig. 18.2 Triángulos de Euler
Si admitimos entrada sin giro C1U=0 m/s, tendremos:
315,66 rad · 0,5 m 17,656 m/s
70 m/s s
70 m/s 78,915 m/s
Problema 18 
5. Si 
resulta: L t
2CU Cm
cos cos( )
1 cos()
2 7
72 UCm 
Nos hace falta calcular la velocidad meridiana Cm, pero sabemos que:
en donde Dc Dp y, por tanto,
Q 1	Dc Dp
3 m 3/s
% (0,5 m)2 1 0,552
(70 m/s)2  (21,9 m/s)2
73,34 m/s 
Volviendo a la ecuación que nos relaciona el triángulo de Euler con el perfil aerodinámico, resulta:
2  17,656 221,9
1 cos 72,62
Si t L entonces: CY Habida cuenta que CY el ángulo de ataque valdrá:
0,48 ·
0,48 · 1,8
0,5  0,098  
CY 0,5 0,098
0,864 0,5
Por otra parte, el ángulo de la velocidad de la corriente relativa no perturbada es:
tg
7U
Cm 21,9 
arctan ( 70 )
luego el ángulo de calado será:
72,623,714
Problema 19 
19.1 Enunciado
Se dispone de una bomba axial equipada con un rodete de 4 álabes que gira a 590 rpm. La geometría de uno de los álabes del rodete se muestra en la figura 19.1. El perfil utilizado es el Göttingen 682. La curva polar para el caso de una relación de forma infinita se indica en la tabla 22.a. Se sabe que la cifra característica de caudal es
que los ángulos de ataque de los perfiles aerodinámicos que corresponden a las cinco cascadas en que se ha dividido el álabe son los indicados en la tabla 22.b, y que la velocidad relativa de la corriente de fluido no perturbada en función del radio se puede deducir de la siguiente correlación:
0,8426  62,84 R
R (m) % (m/s)
Se pide: 1. Calcular la energía por unidad de masa de la bomba, si el rendimiento hidráulico es del orden del 98%. 2. Calcular la velocidad específica adimensional. 3. Definir y evaluar los parámetros que definen el vórtice del fluido a la salida del rodete. 
Tabla 22.a Angulo de ataque respecto al diámetro
D (mm) 325,0 406,3 487,5 568,8 650,0 
7,0 4,8 4,5 4,2 3,95
Tabla 22.b Perfil: Göttingen 682 
-9,52 -5,99 -2,48 0 1,14 4,66 8,2 11,7 15,2
CY -0,235 0,005 0,233 0,394 0,468 0,701 0,944 1,165 1,357
CX 0,0694 0,0128 0,0098 0,0084 0,0078 0,0059 0,0072 0,0095 0,0149
18,2 20 21,5
1,5 1,51 1,5
Define la curva polar
0,0277 0,0455 0,0765
Problema 19 
Periferia S_bdU``
4*&% 
cp 3,95
p
S_bdUii S_bdU]]
4*%&(( 
cy 4,2
4*$('%
y 21,3 
S_bdUhh
m 24,7 
cx 4,8 x 29,7
4*#"%
S_bdUSS Cubo >]Ub_TUQ\QRUcJ-$
Fig. 22.1 Perfiles Göttingen 
cc 7 c 39,7 
Fig. 22.2 Curva polar
19.2 Resolución
1. Para evaluar la energía por unidad de masa de la bomba axial definida en el enunciado es necesario considerar la teoría bidimensional. De la información disponible podemos evaluar las siguientes variables:
CY 
(2 CU · Cm)
Problema 19 
la componente meridiana de la velocidad absoluta del fluido será:
0,24 · 590 · 2  · rad · 0,650 m
4,82 m/s s
De acuerdo con la teoría bidimensional, tenemos de admitir que la componente meridiana de la velocidad absoluta es constante e independiente del radio. De la correlación
Tabla 22.c
R(m) PERIFERIA 0,325 0,2844 0,24357 0,20315 CUBO 0,1625
W(m/s) 19,58 17,03 14,47 11,92 9,3689 
Máquinas Hidráulicas problemas Problemas de máquinas hidráulicas
Con relación al perfil aerodinámico y su disposición geométrica podemos evaluar los siguientes parámetros:
Tabla 22.d
R(m) PERIFERIA 0,325 0,284 0,244 0,203 CUBO 0,162
t(mm) 510,5 446,1 382,88 319,11 255,25
L(mm) 131 145 164 193 237
L/t 0,2566 0,325 0,428 0,605 0,9285
t/L 3,89 3,07 2,336 1,653 1,077
en donde: t
De esta forma se puede deducir que en cada cascada el perfil se puede considerar aislado, a excepción de la cascada del cubo, en donde, t/L<1.3. De la curva polar podemos deducir los coeficientes CY, CX y el ángulo de planeo.
Tabla 22.e
R(m) PERIFERIA 0,325 0,284 0,244 0,203 CUBO 0,162 
3,95 4,2 4,5 1,8 7,0
CY 0,645 0,668 0,686 0,71 0,86
CX ~0,006 ~0,006 ~0,006 ~0,006 ~0,007 0,53 
ß 75,2 72,9 69,8 65,1 57,3
ß -  74,67 72,385 69,299 64,616 56,834
0,515 0,501 0,484 0,466
Problema 19 
Para evaluar ß tenemos que recurrir a la siguiente relación geométrica:
Fig. 22.3 
90 []
Habida cuenta que Yt es constante, será suficiente evaluar CU en la periferia:
CUperiferia
CY · L ·
72 cos(   ) cos  t 2 Cm
2 CUperiferia
0,645 · 0,2566 [19,58 m/s] cos 74,67
2 · 4,82 m/s
cos 0,53
Yt Yt 
CU · U
s 60 2 
1,74 m · 590 · 2 % rad 0,650 m
34,94 kg s 
Yt · H
34,94 kg · 0,98
2. La velocidad específica adimensional será:
1/2 2 2 1/2
7 · ( Cm ·3/4S )
7 · [Cm · [Dp Dc ] ] 3/4
Q 1/2 Y 3/4
2% 590 · · 60
[4,82 ·
% m · ms · [0,6502 0,3252] m 2]1/2 s 4
[34,24 J ]3/4
3. Para definir el vórtice del fluido a la salida del rodete es suficiente tener en cuenta que:
1 d (r Cu) r dr r Cu
En la periferia resulta: r C2U
0,650 [CU  C1U]
Si admitimos que C1U
entonces r C2U
0,325 m · 1,7402 m/s
0,5655 ms
20.1 Enunciado
Un ventilador A trabajando en el punto de máximo rendimiento impulsa un caudal de aire de 2m3/s contra una presión de 400 Pa, siendo su nivel de presión acústica a 1,5 m (curva de ponderación c).
OCTAVA dB
8000 61
Nota : Datos obtenidos en la boca de aspiración. Se pide: 1. Evaluar el nivel de presión acústica del ventilador A a una distancia de referencia de 3m. 2. Evaluar el nivel medio global de potencia acústica del ventilador A (dBA) sabiendo que las atenuaciones correspondientes a las diferentes ponderaciones son:
Tabla 20.b OCTAVA (frecuencia media) Ponderación A Ponderación B Ponderación C
63 -26 -9 -1
125 -16 -4,2 -0,2
250 -8,6 -1,3 0
4000 +1 -0,7 -0,8
8000 -1,1 -3 -3
3. Si se dispone de un ventilador B, homotético del A, que impulsa un caudal de 5m3/s, y vence una presión de 1400 Pa, en el punto de máximo rendimiento, calcular el nivel medio global de potencia acústica probable del ventilador B sabiendo que la potencia acústica es proporcional a
K  U 5 D 2 f(3) c2
Punto de funcionamiento P = 400 Pa Q = 2 m3/s
Fig. 20.1 Dibujo del ventilador
20.2 Resolución
1. El nivel de presión acústica de un ventilador a una distancia del foco térmico viene definido por la expresión
si R0=1,5 m y R=3 m. El valor del 2º sumando será:
Np R  10  Log
10 
10  Log 0,25
6,02 dB
luego el nivel de presión acústica que será detectada a una distancia de 3 m, será el menos 6,02dB. Los resultados obtenidos se indican en la tabla 20.c.
2. Para evaluar el nivel medio global de potencia acústica del ventilador a dB escala de ponderación A, debemos calcular el nivel de presión acústica de referencia (sin la ponderación C) y luego calcular el nivel de presión acústica con ponderación A. De estos resultados en dBA podemos calcular el nivel de potencia acústica mediante la expresión
NP  10  Log (2R 2)
Habida cuenta que R=3 m, el valor del segundo sumando será:
10  Log [2  32]
El nivel de potencia acústica NWA se obtiene sumando 17,52 dB al nivel de presión acústica NpA. Si queremos evaluar el nivel medio global debemos combinar los distintos valores correspondientes a cada octava mediante la expresión
10  Log
90,01 dBA
Los resultados obtenidos se indican en la tabla adjunta.
Tabla 20.c OCTAVAS (frecuencias características)
63 125 66 250 67 500 73 1.000 74 2.000 73 4.000 66 8.000 61
NIVEL DE PRESIÓN ACÚSTICA (Ro=1,5m) dBC
NIVEL DE PRESIÓN ACÚSTICA (R=3m)
+1 58,98 +0,2 60,18 0 60,98 0 66,98 0 67,98 +0,2 67,18 +0,8 60,78 +3 57,98
4 5=3+ 4 6 7=5+ 6 8
- Ponderación C
NIVEL DE PRESIÓN ACÚSTICA (R=3m) (sin ponderac.C) dB
+ Ponderación A
NIVEL DE PRESIÓN ACÚSTICA (R=3m) (ponderacion A) dBA
-26 32,98
-16 44,18
-8,6 52,38
-3,2 63,78
+1,2 68,38
+1 61,78
-1,1 56,88
10  Log (2R 2)
9=7+ 8
NP (dB A) 10
1,5E6
9,8E6
1,3E8
3,5E8
3,8E8
8,5E7
2,7E 7
1,0028  109
VENTILADOR A Q [ m3/s ] 2 400
VENTILADOR B 5 1400
Sabemos que la potencia acústica es proporcional a:
K ' U 5 D 2 f(Q) c2
y donde la cifra característica de caudal es:
La cifra característica de presión es:
Q UR 2
P2 'U
De las cifras características resulta:
2 4Q U0
P '5 P '5
P 0 '5
y simplificando obtenemos:
P 2 1 52
Esta expresión nos permite escribir
P K4 Q
ventil	A
P 4 Q P 2 K'c 2 1 5 2
ventil	B
Si consideramos las hipótesis 1.
2. Ventiladores semejantes:
Si expresamos esta ecuación como nivel de potencia acústica (dB) resulta:
10  Log PB
10  Log PA  10  Log
QB QA 
10 Log
5(m 3/s) 2(m 3/s)
3,979 dB
10,88 dB
En consecuencia, el nivel de potencia acústica del ventilador B será 14,86 dB más alta:
90,01 dBA  14,86 dB
104,87 dB
Problema 21 
21.1 Enunciado
Las condiciones de diseño de un ventilador axial son:
100 m Q
3 m 3/s n
Si se adoptan los valores de diseño siguientes : D #
0,25 ; H
0,9 ; Z
6 ; c
Dp Up 0,5 (grado de reacción en periferia)
Calcular : 1. El diámetro de la periferia. 2. La velocidad relativa no perturbada. 3. Si el perfil aerodinámico seleccionado tiene la siguiente curva polar:
Tabla 21.a CY CX -0,2 0,14 -14,5 -0,19 0,07 -9,5 0,1 0,03 -5,3 0,42 0,04 0,2 0,59 0,05 2,9 0,88 0,06 6,8 1,1 ,08 9,1 1,3 0,11 13,5 1,4 0,12 16,4 1,41 0,16 18,3 1,32 0,2 20,5 
evaluar la relación paso/cuerda (t/L) para el ángulo de planeo óptimo. 4. Dibujar a escala la cascada de álabes correspondientes a la periferia (definir cuerda, ángulo de calado, y paso). 
1. El diámetro de la periferia puede evaluarse directamente de la cifra característica de altura de elevación:
en donde: UP
UP y despejando el diámetro resulta:
8 · 9,8 m2 · 100m
2  rad 2 2 .500 0,25 60 s
2. La velocidad relativa no perturbada puede calcularse a partir de la definición de grado de reacción: W
La proyección del vector % vale W
0,5Up
2 0,676
44,25m/s 60 2
Problema 21 
En un triángulo de Euler genérico se debe cumplir:
C m  W 2 u
en donde la componente meridiana Cm se puede evaluar directamente a través de la definición de caudal. Despejando resulta: Cm
% D 2(1	/2)
y sustituyendo valores: Cm
% (0,676 m)2 (1 0,82)
23,22m/s
Luego la velocidad relativa W vale: W
CmW 2
23,222  44,252
3. La teoría de un perfil aerodinámico aplicada al caso de un ventilador axial nos permite deducir la siguiente expresión: CY  en donde: CY - coeficiente sustentación del perfil, L - cuerda del perfil, t - paso, Yt - energía por unidad de masa, Cm - componente meridiana de la velocidad absoluta, Up - velocidad de arrastre en la periferia. W - velocidad relativa no perturbada,  - ángulo de planeo, ß - ángulo de la velocidad relativa no perturbada con relación al eje de la máquina. 2Y C L
t m cos  2 t UpW cos(	) 
De los datos del enunciado del problema podemos representar la curva polar y deducir el ángulo de planeo óptimo. 
3.9º  
.01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 .1 .11 .12 .13 .14 .15 .16 .17 .18 .19 .2 .21  
En la gráfica se observa que el ángulo de planeo óptimo corresponde al punto de tangencia y por tanto, ataque = + 6,8Por otra parte, el ángulo ß se puede calcular teniendo en cuenta que:
Cos β = C W
es decir: 
Cm W
cos	1 23,22
Problema 21 
La relación paso/cuerda vale: t L
CY 2YtCm
cos cos(	) UpW
y se obtiene t 0,88
2 L 2 · 9,8 m/s · 100m · 23,22m/s 0,9 · 88,5 m/s · 50 m/s 2 Recordar que: Yt
cos (3,9) cos ( 62,3 3,9 )
2,02 
4. Para dibujar la cascada de álabes es necesario calcular el paso:
% 0,676m
0,353m
la cuerda y el ángulo de calado: L
0,353 m
0,175 m 2,02 t L
62,336,8
Problema 22 
Las condiciones de diseño de un ventilador axial son: H=100 m Q=3 m3/seg n=2.500 rpm Se pide: 1. Si se adoptan los valores:
2Y ; h
0,9 ; D1/D2
0,8 ; !
determinar D2 y las velocidades U2, Cm, W y CU para la sección cilíndrica correspondiente a D2. 2. Si el perfil seleccionado tiene las características indicadas en la figura, determinar L/t para tres ángulos de planeo , cualesquiera, próximos al óptimo. 3. Determinar t y L para los números de álabes z=4, 6, 10, a partir del resultado del apartado 2. 
Fig. 22.1 
La característica que se debe considerar es la indicada por el apartado 1. Indicaciones: El problema no ofrece dificultades si tenemos en cuenta que las magnitudes conocidas nos permiten determinar las incógnitas, procediendo del siguiente modo:
0,25 0,9 
U2, D2  CU 
0,8  Cm
Para el apartado 2 se recomienda tomar los ángulos de planeo lambda correspondientes a los valores de  de 9,1; 16,4y 18,3. El apartado 3 es inmediato pues conocemos L/t y t = 2r/z. Es aconsejable adoptar las siguientes definiciones:
7 Q 3/4
H U22 2g
Problema 22 
22.2 Resolución
1. En primer lugar, podemos comprobar que la máquina corresponde a una turbomáquina de flujo axial, para ello debemos evaluar la velocidad específica adimensional $. Donde:
% = 2.500 rpm·(2/60 seg) = 261,8 rad/s
Q = 3 m3/s Y = gH = 9,8 m/s2 · 100 m = 980 J/Kg Sustituyendo valores, resulta
3 9803/4
Este valor está incluido en el intervalo correspondiente a máquinas axiales por ser 2,588 >2,2. Para determinar el diámetro de la periferia D2 hemos de recurrir a calcular la velocidad de arrastre U2, a partir de la definición de la cifra característica de la altura de elevación, donde: H = 100 m # = 0,25 Luego:
2.9,8 m/s 2.100 m 0,25
88,54 m/s
pero la velocidad de arrastre es igual a:
Despejando D2 resulta:
2U2
288,54 m/s
0,6764 m
261,8 rad/s
Para el cálculo de la componente meridiana de la velocidad absoluta a la salida del rodete, podemos proceder aplicando la definición de caudal:
C2m Spaso
C2m.  .( D22 D12 )
2 . .D . 1
2 
% .D 2. 1
% . (0,6764 m)2 .( 1 0,82 )
3m 3/s
23,184 m/s
Por otra parte, la desviación tangencial de la corriente se puede calcular aplicando la ecuación de Euler y teniendo en cuenta el rendimiento hidráulico. Para máquinas axiales
U2 . CU2 
combinando ambas expresiones, se deduce:
h . U2
980 J/Kg 0,9 . 88,54 m/s
12,29 m/s
Por último, para evaluar la velocidad relativa de la corriente no perturbada, podemos considerar la forma particular de los triángulos de Euler cuando el grado de reacción es igual a ! = 0,5
0,5  U2
0,5 · 88,54 m/s
44,27 m/s
Cm  wu2
Problema 22 
(23,184 m/s)2  (44,27m/s)2
49,97m/s
2. Para determinar la relación cuerda/paso para tres ángulos de planeo , hemos de recurrir a la teoría aerodinámica:
CY. L t
w sin() 
sin
De la gráfica "curva polar" del perfil aerodinámico, deducimos los siguientes valores: Tabla 22.a 
9,1 16,4 18,3
CY 1,12 1,4 1,42
CY 0,08 0,13 0,17
tg  0,0714 0,093 0,1197 
4,00 5,30 6,80
Del modelo aerodinámico, se deduce:
C sin
2 . U. CY w sin( ) 
donde el ángulo 
lo hallamos:
tg 
27,64o  
Numéricamente, obtenemos los siguientes resultados:
Tabla 22.b 
9,1 16,4 18,3 
4 5,3 6,8 
31,64 32,94 34,44
L/t 0,3884 0,2997 0,284
El óptimo es el correspondiente a =9,1.
3. Si definimos el número de álabes en función del paso, resulta:
Los valores de la cuerda del perfil para distintos casos serán: Tabla 22.c z 4 6 10 t 0,5312 0,3541 0,2125 L = t·(L/t) 0,206 0,106 0,059
Problema 23 
Las condiciones de funcionamiento de una soplante son las siguientes: Caudal: 4 m3/s Velocidad de accionamiento: 2000 rpm Aspira aire de un recinto en el que reina una presión constante e igual a 2,5·105 Pa y una temperatura de 12ºC, elevando su presión en 100 mm c. de agua. Se pide: 1. Empleando las correlaciones adjuntas, determinar el coeficiente de altura de elevación y los diámetros del cubo y de la periferia.
0,9 0,00013· nq "
0,7 0,002 ·nq " N 0,15 0,0013 ·nq
rc rp para nq < 31 para nq  315 
0,8 · "
U 2g Q H 3/4
2. Adoptar el perfil aerodinámico que se crea más conveniente de entre los disponibles y calcular 
para la cascada correspondiente a la periferia el ángulo de calado. Se dan las curvas polares y las del coeficiente de empuje versus ángulo de ataque de diferentes perfiles.
Cy 384 622 1 443 622 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,005 0,01 0,02 443
0,5 0,4 0,3 0,2 384 0,03 Cx 0,1 0 -2 -1 0 1 2 α
3. Admitiendo que la corriente a la salida del rodete debe ser axial, determinar el grado de reacción y trazar la disposición de los álabes de la directriz de entrada, del rodete y del difusor. Éste último si procede.
23.2 Resolución
1. En primer lugar debemos analizar de qué tipo de maquina hidráulica se trata; para ello utilizaremos la definición de la velocidad especifica que aporta el enunciado: nq Como n resulta: nq
Q H 3/4
2 . 000 rpm
Q (m3/s); H (m); n (rpm) en donde H (m), energía por unidad de peso,es igual a:
Problema 23 
g (m/s )
P (Pa) 'AIRE
'H O g h 'AIRE
'H O h ( m.c.H2O ) 'AIRE
2,5·105 (Pa) 287(
J Kg·K
) (273  12)(K) Kg m3
3,056 Kg 3
1 . 000 H (m)
0,1 m Kg m3
N 32,72 m
que, haciendo las sustituciones implica: nq
4 32,73/4
292,4 
MAQ. AXIA
y, por tanto, el coeficiente de altura de elevación será:
0,002nq
por lo que podemos evaluar la relación de diámetros:
Dc Dp 
Para evaluar los diámetros de las cascadas de las secciones del cubo y de la periferia podemos partir de la definición del coeficiente de altura de elevación:
H U2 2 g
32,7 m 
U2 2 g
8 g 8 g H
8 g Numéricamente:
8 # 9,8
2  rad 2 [2 . 000 ] 0,116 60 s
0,3 · Dp
En este ejemplo adoptamos los siguientes valores: Dp Dc
2. La ecuación de continuidad nos permite escribir Cm 
[D 2 D 2]
Cm 
[0,72 0,32 ] m 2
4 m 3/s
12,73 m/s
2 . 000 2 0,7
Admitiendo la hipótesis enunciada en el tercer apartado C2u=0 y que
Problema 23  
80,15(
ya podemos dibujar el triángulo de Euler a la salida del rodete:
De acuerdo con la ecuación de Euler, tenemos: Y
Yt H
Y U H 
0,9 0,00013 nq
0,9 0,00013· 292,4 
9,8 · 32,7
320,46 73,30· 0,862
El triángulo de velocidades a la entrada será: 
U  7
2 7U2  Cm
76,90 m/s
73,30  5,07
75,84 m/s
2 tg 
< 
80,47(
Para un perfil aerodinámico se debe cumplir: CY 2 CU Cm # L
2 t cos cos[	]
Admitiendo en primera aproximación los valores de λ x O y L / t = 1/3 = 0,769, resulta: CY
1,3· 2 5,07 2 12,73
1 cos 80,47( 
De todos los perfiles aerodinámicos disponibles nos parece adecuado elegir el PERFIL nº 443, ya que para este Cy obtenemos el λ óptimo de este perfil.
Problema 23 
Cy 384 622 443 622 443
0,17 Cy=0,17
Cx=0,007
0,1 0 Cx -3 0
Fig. 23.4 3. Tenemos 
0,17 
arctg 0,007 N 2,36
Para hallar el valor exacto de CY implicaría utilizar en los cálculos el nuevo valor de =2,36 o. El ángulo de calado será:
80,471
79,47
%U
75,84 N 1,035
Problema 24 
El nivel de potencia acústica en el oído de aspiración de un ventilador, considerado como la fuente principal de ruido, está definido por los siguientes valores:
Tabla 24.a
8.000 66
Estos valores corresponden al punto de funcionamiento óptimo definido por: -caudal: 1,8 m3/s, -presión total: 760 Pa, -temperatura del aire: 20C. Se pide: 1. Calcular el nivel de potencia acústica de un ventilador homotético, diseñado para impulsar un caudal de 3 m3/s bajo una presión total de 900 Pa. 2. Evaluar el incremento del ruido si la temperatura del aire asciende a 180ºC.
N ( potencia acústica )
f(0) 
P2 'U 1
Hipótesis: Homotético y f()=cte.
24.2 Resolución 1. En primer lugar, debemos combinar los niveles de potencia acústica que corresponden a distintas
octavas. Para ello aplicaremos la siguiente expresión:
Nw (dB)
M [antilog 10 ]
nº octava 63 125 250 500 1.000 2.000 4.000 8.000
Nwi 85 87 83 78 74 70 68 66
antilog (Nwi/10) 3,162 E8 5,0118 E8 1,9952 E8 6,3095 E7 2,5118 E7 1,0 E7 6,3095 E6 3,981 E6 1,1254 E9
Problema 24 
10 log[1,1254 E9] M 90,51 dB
Este nivel de potencia acústica corresponde a un ventilador cuyos parámetros característicos son:
1,8 m 3/s PT
Para conocer lo que ocurre con un ventilador homotético es suficiente aplicar los clásicos criterios de semejanza: Nmodelo Nprototipo
[PT Q]modelo
[PT Q]prototipo
Nw( dB)
10·log Nw M NM (dB)  10·log
[PT Q]P
[PT Q]M
2 M 90,51  10·log [ 900 · 3 ] 2
760 · 1,8
M 90,51  3,687 M 94,2 dB
2. En este apartado se trata de demostrar la influencia de la temperatura. Si admitimos que trabajamos con un mismo ventilador pero con el fluido a distinta temperatura, resulta: NT1 NT2 De acuerdo con la ecuación de estado:
[1 / 'c 2]T1 [1 / 'c 2]T2
['c 2]T2 ['c 2]T1
y admitiendo P = cte, tenemos:
R T
1 T 
Por otro lado, la velocidad de propagación de una perturbación es:
c que también podemos escribir como:
R T M K´
c2 En consecuencia,
M K´´. T
' c 2 M K 1 K´´ T
T independiente de la temperatura. Esta conclusión nos permite darnos cuenta de que la variación de temperatura no afecta al nivel de potencia acústica.
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