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Timestamp: 2020-05-29 07:47:25+00:00

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PISA EN EL AULA DE MATEMÁTICAS | Aprendizaje | Maestros | Prova gratuita di 30 giorni | Scribd
exámenes pisa de matemáticas, metodologías.
SalvaSalva PISA EN EL AULA DE MATEMÁTICAS per dopo
Olimpiadas Internacionales de Matematicas
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PISA en el Aula:
Niveles de desempeño en la Competencia lectora
Miguel Á. Aguilar R. Antonio Lojero Ruaro
Juan Cristóbal Ramírez Peraza Francisco López López
INSTITUTO NACIONAL PARA LA EVALUACIÓN DE LA EDUCACIÓN José Ma. Velasco 101- 5º. Piso, Col. San José Insurgentes, Delegación Benito Juárez, México, 03900, D.F.
El contenido, la presentación, así como la disposición en conjunto y de cada página de esta obra son propiedad del editor. Se autoriza su re- producción parcial o total por cualquier sistema mecánico, electrónico y otros, citando la fuente.
ISBN: 978-607-7675-04-4.
1. Algunos factores que influyen en el aprendizaje
2. Descripción del proyecto PISA y la Competencia matemática
Descripción del proyecto PISA
Definición de la Competencia matemática
Propuestas didácticas para el desarrollo
de la Competencia matemática
Propuesta didáctica para Cantidad Propuesta de Rosario Licea García
Propuestas didácticas para Cambio y relaciones Propuesta de Demetrio Garmendia Guerrero
Propuesta de Eduardo Mancera Martínez
Propuesta didáctica para Probabilidad Propuesta de Teresa Fonseca Cárdenas
I. Análisis de unidades de reactivos El carpintero
Teresa Fonseca Cárdenas Pasos
Rosario Licea García Exportaciones
Eduardo Mancera Martínez II. Acerca de los autores
Los sistemas educativos de muchos países del mundo son objeto hoy día de monitoreos periódicos, mediante proyectos de evaluación de alcance nacional e internacional. La información derivada de esos proyectos es vasta y valiosa para la toma de decisiones. Una de las evaluaciones más conocidas actualmente es la llamada PISA (por las siglas en inglés del nombre Programme for International Student Assessment), de la Orga- nización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE). Dada
su regularidad, rigor técnico, confiabilidad y alcance, sus resultados son esperados en los países participantes y no participantes como insumos importantes de información para establecer políticas públicas que tengan efectos en la mejora de la calidad educativa. PISA también puede ser útil para los docentes, pero conseguir que lo sea efectivamente es un desafío para quienes tienen el encargo de difun- dir los resultados, pues es necesario hacer que el proyecto sea asimilado
y aprovechado en las aulas, como una herramienta que permita que los
estudiantes alcancen habilidades y aprendizajes más complejos, no me- morísticos ni rutinarios, mediante la intervención educativa de quienes, día a día, están frente a los grupos. Ese reto fue aceptado por el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE). En 2005, una vez que los resultados nacionales de PISA 2000 y 2003 fueron dados a conocer, la Dirección de Proyectos Interna- cionales y Especiales del Instituto (DPIE) se dio a la tarea de preparar un material de difusión titulado PISA para Docentes (versión impresa y mul- timedia) dirigido a profesores de educación secundaria y media superior. Su objetivo fue acercar PISA a los docentes, mediante la presentación de ejemplos reales de las preguntas empleadas en PISA 2000 y 2003, en las áreas de Lectura, Matemáticas y Ciencias, que fueron difundidas por la OCDE para efectos de información.
La idea central de PISA para Docentes fue que, después de analizar las preguntas, los maestros y los estudiantes se dieran cuenta de que, para responderlas, se necesita de una adecuada capacidad analítica y de ra- zonamiento. Esta obra tuvo un tiraje de 250 mil ejemplares, que fueron distribuidos a las Áreas Estatales de Evaluación de las 32 entidades fede-
rativas del país, para que los hicieran llegar a las escuelas de secundaria
y media superior antes de la aplicación de PISA 2006.
La DPIE también organizó e impartió seis talleres para analizar, re-
flexionar y trabajar con ese material. Los talleres sólo pudieron atender
a unos 150 profesores, pero la aceptación del material fue evidente y se
reflejó en la solicitud de ejemplares de la obra, así como presentaciones
y talleres adicionales. Los interesados en PISA para Docentes pueden ac- ceder a la obra en el portal del INEE: www.inee.edu.mx
El Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación persiste en su afán de ayudar a que los maestros puedan retroalimentar y reorientar su trabajo tomando en cuenta los resultados del ciclo de PISA 2006 1 que fue- ron dados a conocer en diciembre del 2007. Esos resultados muestran que el rendimiento de los estudiantes mexi- canos fue inferior al de los alumnos de los demás países de la OCDE, pero que también lo son el ingreso per cápita y otros indicadores del desarro- llo económico y social de nuestro país. Los resultados se explican, en parte, pues, porque muchos estudian- tes tienen condiciones menos favorables para el aprendizaje que los de otros países de la OCDE, tanto en el hogar como en la escuela. Otros ele- mentos que contribuyen a explicar esos resultados son el enfoque me- morístico, los métodos de enseñanza obsoletos y la promoción de habi- lidades de rutina, que prevalecen, en muchos casos, en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las escuelas mexicanas, públicas y privadas,
a pesar de que los planes de estudio prescriban el desarrollo de habilida-
des más complejas. A partir de los resultados de PISA, es claro que los esfuerzos educa- tivos deberían tratar de reducir la proporción de estudiantes en los nive- les más bajos y aumentarla en los niveles más altos, en las tres áreas de evaluación. Además de conseguir que a los 15 años todos los jóvenes mexicanos sigan en la escuela, esas deben ser, sin duda, las metas en el mediano y largo plazos. La pregunta es cómo conseguirlo. La respuesta deberá incluir tanto el establecimiento de políticas educativas que inci- dan en el sistema educativo, en el nivel macro, como acciones en peque- ña escala, que hagan posible el cambio en cada escuela y cada aula. Una inquietud que un profesor suele plantearse después de conocer los resultados de PISA es: ¿qué puedo hacer para que mis alumnos apren- dan mejor? Esta pregunta fue la que animó a planear esta obra, como una herramienta didáctica que permita un trabajo analítico y reflexivo entre docentes, para propiciar que los estudiantes adquieran las competencias que PISA ha definido como relevantes para el desempeño personal y so- cial en la sociedad del conocimiento.
No se puede negar el avance en el diseño de los planes de estudio, pero tampoco puede soslayarse la brecha existente entre lo prescrito en ellos y la práctica educativa. El INEE tiene la plena convicción de que el trabajo docente es sumamente importante; por ello, es indispensable apoyar a los maestros, en servicio y en formación, para que su práctica
1 M.A Díaz, G. Flores y F. Martínez Rizo (2007). PISA 2006 en México. México:
docente mejore de forma tal que, paulatinamente, enfrenten la tarea do- cente en forma más rica y no reproduciendo paradigmas en desuso. El progreso en la mejora de la enseñanza puede beneficiarse mediante diferentes acciones de apoyo, que van desde la promoción de la reflexión y análisis de los planes de estudio y la práctica cotidiana, hasta la cons- trucción de estrategias de enseñanza-aprendizaje aplicables e idóneas al contexto propio de los centros escolares. Buscando contribuir a la mejora de la enseñanza y, en especial, para lograr aprendizajes más complejos, en esta ocasión el INEE ofrece a los profesores una obra similar a la que produjo en 2005, pero ahora con un giro diferente. Este material se titula PISA en el Aula y tiene las siguientes características:
• Se dirige a profesores y formadores de docentes de secundaria. Se privilegia este nivel porque la población evaluada por PISA lo ha terminado recientemente o se encuentra todavía en él; por ello, si se quiere mejorar los resultados en PISA, hay que trabajar espe- cialmente en el nivel que precede a la educación media superior.
• Incluye tres volúmenes, uno por área de PISA: Ciencias, Lectura y Matemáticas.
• Su contenido se centra en propuestas didácticas diseñadas por es- pecialistas de cada área. Las propuestas buscan identificar y ana- lizar tareas que un estudiante puede realizar, para adquirir y de- sarrollar competencias que le permitan resolver problemas de la vida real, a partir de situaciones del ámbito escolar. Con ello, los alumnos podrán transferir el aprendizaje a situaciones de tipo fa- miliar, social y laboral, fortaleciendo procesos cognitivos comple- jos en áreas fundamentales para el aprendizaje escolar y para una mayor oportunidad de éxito académico, tomando como marco la reforma de secundaria y los referentes conceptuales de PISA.
• Incluye dos tipos de recomendaciones: unas buscan propiciar la colaboración, el intercambio de experiencias y la discusión entre profesores, para el conocimiento de PISA y para la mejora conti- nua de los procesos educativos; otras pretenden promover la vin- culación de la escuela con las familias, mediante actividades que den continuidad al trabajo en el salón de clases, pero en el ámbito del hogar. Con PISA en el Aula no sólo se busca que los docentes estén familiari- zados con aspectos técnicos de la evaluación; se pretende incidir directa- mente en su labor, con propuestas pedagógicas viables, recomendaciones para el trabajo con los pares y las familias, y sugerencias bibliográficas. Se trata, pues, de una obra diferente a PISA para Docentes. PISA en el Aula es básicamente el resultado del trabajo de especialis- tas en diseño curricular, con conocimiento amplio en la reforma de se- cundaria y con pleno dominio en las disciplinas de Ciencias, Lectura y Ma- temáticas; quienes volcaron su experiencia y saber en la integración del núcleo de los tres ejemplares. El contenido de cada volumen comprende los siguientes capítulos:
Introducción general: Describe las actividades desarrolladas para concre- tar la obra. Capítulo 1: Presenta un panorama de los factores que influyen en el aprendizaje, en el contexto de la sociedad actual.
Capítulo 2: Breve descripción de PISA y las dimensiones de la competen- cia evaluada.
Capítulo 3: El central, con las propuestas didácticas diseñadas por los especialistas. El INEE está convencido de que este esfuerzo puede ser positivo, pero es consciente también del riesgo que existe de distorsiones o malenten- didos, por lo que se reiteran los señalamientos dados en PISA para Do- centes, aun cuando en esta nueva obra el contenido no gira alrededor de las unidades de reactivos difundidas:
• No se trata de entrenarse para la prueba mediante un esfuerzo ar- tificial. Memorizar conceptos o datos no servirá, ya que las prue- bas destacan habilidades complejas. El INEE considera que el propósito que debe conducir todo esfuer- zo de superación no debe ser subir artificialmente un puntaje, sino mejorar efectivamente el aprendizaje, lo que deberá hacer también que los puntajes suban, como consecuencia subsidiaria.
• No se trata de que los maestros abandonen sus programas de es- tudio y se dediquen a entrenar a sus alumnos para que saquen mejores resultados en unas pruebas ajenas a nuestra tradición educativa. Las pruebas de PISA no están alineadas a los planes y programas de estudio de México, ni a los de ningún otro país, pero su enfo- que es compatible con todos. Las pruebas de PISA miden habilida- des complejas de Lectura, Matemáticas y Ciencias, que son nece- sarias para la vida en la sociedad del conocimiento. Para que sus alumnos tengan mejores resultados en esas pruebas, un maes- tro no tiene que abandonar su programa. Lo que se requiere es que, al desarrollar los contenidos programáticos, procure que sus alumnos desarrollen las habilidades superiores de razonamiento,
análisis y otras que considera PISA. El INEE cree que vale la pena realizar un esfuerzo así, que deberá contribuir a mejorar la cali- dad educativa de los estudiantes en general y, secundariamente, podrá lograr que los resultados en PISA mejoren también.
• Tampoco se trata de subir artificialmente los resultados naciona- les con el propósito único de ocupar un mejor lugar en el ordena- miento internacional que derivará de la aplicación de las pruebas
Por una parte, un progreso espectacular no es posible en un plazo corto, ya que los procesos de mejora educativa llevan tiempo, es- pecialmente en la escala de un país tan grande como México. Por otra parte, subir posiciones en un ordenamiento no es un propósi- to digno de buscarse por sí mismo. De lo que sí se trata es de es- timular una mejora del nivel educativo de los alumnos de México, subrayando la importancia de abandonar enfoques memorísticos al adoptar, en su lugar, estrategias pedagógicas más congruentes con las tendencias modernas, que destacan la importancia del de- sarrollo de las habilidades intelectuales superiores. Para ello, los maestros podrán encontrar útil ver secuencias didácticas; anali- zarlas y probarlas en sus salones de clase, no como sustitutos de su programa de estudio, sino como estrategias complementarias
de enseñanza, en aras de afianzar en los estudiantes una buena capacidad analítica y de razonamiento. Este no es un libro de recetas, sino un conjunto articulado de prin- cipios, a partir de los cuales es posible diagnosticar, formular juicios y tomar decisiones fundamentadas sobre la enseñanza. Da pauta para es- timular el pensamiento estratégico del profesor y representa un instru- mento de análisis y reflexión sobre las prácticas docentes, desde la pla- neación hasta la evaluación del aprendizaje en el aula. Sugiere una forma de cómo relacionar la teoría con la práctica. Este material mostrará su po- tencial en la medida en que sea usado como instrumento para el análisis y la solución de cuestionamientos educativos y como un recurso útil para la toma de decisiones inherentes a la planificación de la enseñanza. Esta triple obra fue preparada bajo la coordinación de María Antonie- ta Díaz Gutiérrez, directora de Proyectos Internacionales y Especiales del INEE, con la colaboración de Salvador Saulés Estrada, José Alfonso Jimé- nez Moreno, Rafael Turullols Fabre y David Castro Porcayo. Un reconocimiento especial merece Pedro Ravela, miembro del Conse- jo Técnico del INEE, quien con sus aportes y valiosos comentarios ayudó en gran medida a que este material de difusión se concretara.
Felipe Martínez Rizo Director General
La obra que ofrece la DPIE a los docentes, titulada PISA en el Aula, preten- de dar continuidad a la meta de mejorar sus prácticas, así como apoyar su formación. Uno de los rasgos más sobresalientes de esta obra es que se basa en el trabajo desarrollado por especialistas en diseño curricular, con amplio dominio en Matemáticas y con la experiencia de haber parti- cipado en la reforma de secundaria. El trabajo consistió en la elaboración de propuestas didácticas encaminadas a fortalecer la competencia mate- mática en los estudiantes, aprovechando los referentes de PISA y el plan
y programas de estudio de secundaria.
La realización de este material abarcó cuatro etapas. En la primera, la DPIE diseñó una guía para la elaboración de las propuestas didácticas di-
rigida a los especialistas. Este documento contenía las características del material requerido, el plazo de entrega y la descripción de los elementos
a desarrollar, que consistían en:
• La exposición de la relación entre los referentes conceptuales de la Competencia matemática de PISA y el plan y programas de es- tudio de Matemáticas de secundaria.
• El desarrollo de una estrategia didáctica expresada en una se- cuencia, cuya intención era mejorar el pensamiento matemático de acuerdo con los contenidos de PISA y dirigida a un año escolar determinado, con la idea de integrar contextos reales y signifi- cativos para los estudiantes y con actividades retadoras e intere- santes.
• La inclusión de dos tipos de recomendaciones: unas dirigidas al trabajo con otros docentes que apuntaran al intercambio de ex- periencias, la discusión, la reflexión y al trabajo colegiado; otras dirigidas a la vinculación con la familia a fin de que en casa se es- timule el pensamiento matemático.
• La sugerencia de lecturas de índole práctico para los docentes que apuntalen el proceso de enseñanza-aprendizaje en general, y de manera particular, la Competencia matemática.
• El análisis pedagógico de una unidad de reactivos de PISA.
En la siguiente etapa se buscó a especialistas que cubrieran el perfil definido por la DPIE. El grupo de especialistas que participó fue:
• María Teresa Adriana Fonseca Cárdenas
• Demetrio Garmendia Guerrero
• María del Rosario Licea García
• Eduardo Mancera Martínez
Además se invitó a Ricardo Valdez, colaborador cercano de la reforma de secundaria, para enfatizar sobre las modificaciones sustanciales que se realizaron al plan y los programas. La tercera etapa consistió en la impartición de un taller coordinado por personal de la DPIE, cuyo objetivo fue familiarizar a los especialistas con el marco de PISA, conocer el documento guía y, sobre todo, organizar y perfilar sus propuestas didácticas. El evento tuvo una duración de dos días y medio, al finalizar cada uno de los especialistas trabajó de forma individual, llevando consigo las diversas observaciones de sus propios colegas que enriquecieron sus propuestas. El taller se desarrolló según lo acordado. Ricardo Valdez puntualizó algunos aspectos de la reforma de secundaria. Como parte de los acuer- dos, el grupo decidió centrar sus propuestas didácticas en términos del contenido más que en el grado escolar. De esta forma, los docentes de los tres grados de secundaria podrán utilizar las propuestas de acuerdo con los contenidos que decida trabajar. La cuarta y última etapa consistió en la recepción del material desarro- llado. En esta fase de cierre, la labor fue ardua, pues la DPIE revisó dete- nidamente cada una de las propuestas a fin de verificar si cumplían o no con las características establecidas. Se enviaron las observaciones a los especialistas y se realizaron los ajustes necesarios. Sobre todo se buscó la unificación con los criterios establecidos.
El resultado de todo este trabajo es PISA en el Aula: una obra colectiva que conjuntó los esfuerzos de cada especialista. Todo el material se or- ganizó pensando sobre todo en el docente, por lo que la estructura de la obra es la siguiente:
Primer capítulo “Algunos factores que influyen en el aprendizaje”. La DPIE presenta un panorama de los factores que pueden incidir en el aprendizaje de los estudiantes, sobre todo en aquellos relacionados en forma directa con los centros escolares, en el contexto de la sociedad actual. El docente podrá encontrar elementos conceptuales de gran rele- vancia a la hora de tomar decisiones en la elaboración de sus propias pla- nificaciones y serán el marco en el que las propuestas didácticas cobran todo su sentido. Segundo capítulo “Descripción del proyecto PISA y la Competencia ma- temática”. En este apartado se incluye una descripción concisa de lo que es el proyecto de evaluación. Después se exponen las diversas dimen- siones del dominio de Matemáticas a fin de que el docente conozca los procesos, el contenido, el contexto o la situación y los niveles de desem- peño. Este capítulo servirá al docente como referencia teórica de las pro- puestas didácticas de los especialistas.
Tercer capítulo “Propuestas didácticas para el desarrollo de la Compe- tencia matemática”. En este apartado se integran las cuatro propuestas de los especialistas organizadas a partir de tres contenidos.
María del Rosario Licea García
Demetrio Garmendia Guerrero Eduardo Mancera Martínez
María Teresa Adriana Fonseca Cárdenas
Para el contenido de Cantidad se contó con la participación de María del Rosario Licea García, quien centró su propuesta en la realización de diversas secuencias dirigidas a actividades de tipo práctico, por ejemplo, buscar la construcción de una cancha de fútbol para una escuela. Para ello, los estudiantes tendrán que conjuntar sus esfuerzos en diversas ac- tividades que los lleven a estimar las medidas de la cancha, a diseñar el estacionamiento o a organizar un torneo en la cancha ya construida. Para el contenido de Cambio y relaciones se contó con la participa- ción de Demetrio Garmendia Guerrero y de Eduardo Mancera Martínez. El primero utilizó las tarifas de una compañía telefónica como motivo de la vida cotidiana para incentivar a los estudiantes en la discriminación de la información necesaria y, a partir de ecuaciones o expresiones algebraicas y de su respectiva graficación, poder solucionar problemas cercanos a su realidad. Mancera Martínez buscó con actividades sencillas, factibles de realizarse en el salón de clases, que los estudiantes se familiaricen con el lenguaje matemático en términos de representaciones numéricas, figura- tivas o literales. Contar los pasos que da un compañero, medir los tiem- pos en que realiza esa actividad, proyectar, a partir de tales mediciones, los caminos que se podrían recorrer, todo ello con el auxilio de tablas y gráficas que permiten evidenciar que el lenguaje matemático puede acer- carse de forma práctica a los jóvenes. Para el contenido de Probabilidad se contó con la participación de Ma- ría Teresa Adriana Fonseca Cárdenas, quien se distinguió por la diversi- dad temática incluida en su propuesta. El fútbol, también en este caso, es uno de los motivos que pueden llevar al estudiante a elaboraciones esta- dísticas y a la construcción de gráficas de diversos diseños. Anexos “Análisis de unidades de reactivos” y “Acerca de los autores”. Al final de la obra se agregan los análisis realizados por los propios espe- cialistas de algunas unidades de reactivos liberadas de PISA. Con esto se aporta una nueva mirada que permitirá establecer vínculos más cercanos entre lo evaluado por PISA y lo enseñado en el aula. También se integra un apartado donde el lector podrá conocer la formación y del trabajo aca- démico de los especialistas.
Algunos factores que influyen en el aprendizaje
La educación actual se ha centrado en la generación y distribución social del conocimiento, por lo que uno de sus principales retos es crear nue- vas formas de construirlo. En este sentido, los actuales enfoques edu- cativos enfatizan, por un lado, la importancia de contextualizar el saber producido y, por otro, la generación de nuevas estrategias de apropia- ción y aplicación del conocimiento; esta situación conlleva al desarrollo de la capacidad para adquirir, generar y utilizar el conocimiento en los estudiantes para atender las necesidades de su desarrollo y construir su propio futuro; sobre todo, al tener presente que las sociedades contem- poráneas enfrentan el reto de adaptarse a procesos de cambio diversos. Esta adaptación es dinámica, esencialmente por el surgimiento de nue- vas tendencias en la generación, difusión y utilización del conocimiento (Cornella, 1999). Un elemento distintivo de la sociedad actual es la búsqueda del cre- cimiento equitativo y democrático en los miembros que la conforman, por lo que la capacidad para asumir y orientar el cambio que requiere, a partir de las relaciones entre el conocimiento, el sujeto que conoce y el entorno, es de suma importancia. Es a partir de esto que la educación se centra en que los miembros de una sociedad adquieran la capacidad de construir su futuro, y así incidir en su acontecer histórico. Por lo tanto, se requiere fortalecer el aprendizaje y desarrollar una fuerte capacidad de pensamiento y de reflexión estratégica. Como parte de este desafío es importante convertir información en conocimiento útil y aprovechar los procesos de generación y apropiación de conocimiento para inducir procesos dinámicos de aprendizaje a través de los cuales éste desarrolle y fortalezca las habilidades de las personas, transformándose así en factor de cambio social. Este desafío está direc- tamente relacionado con el papel que desempeña la educación en la for- mación de recursos humanos como un elemento crítico en el desarrollo de la sociedad. Es decir, una educación basada en el principio de apren- der a aprender implica formar en el estudiante capacidades analíticas y de comprensión que favorezcan su desempeño como futuro ciudadano (Picardo, 2002). En respuesta a esta demanda, en la formación de las nuevas genera- ciones de estudiantes, en todos los niveles educativos, hay que organi-
zar los proyectos teniendo como centro al estudiante. Esta visión de la educación ha dado lugar a la creación de planes y programas de estudio cuyos objetivos curriculares son formulados a partir de competencias. El desplazamiento de una educación centrada en la enseñanza hacia una que se enfoque en el aprendizaje exige cambios en las metodologías de enseñanza-aprendizaje. Este enfoque exige cada vez más que los estudiantes sean capaces de localizar y procesar información, utilizar herramientas para resolver pro- blemas reales y que apliquen los conocimientos aportados por las ciencias para comprender el mundo y tomar decisiones. En ese sentido, se preten-
de desarrollar estrategias que permitan que los alumnos accedan, den sen- tido y reconstruyan el conocimiento con base en la asimilación crítica de la información adquirida. Este es un reto para los diferentes actores educati- vos dentro y fuera de los centros escolares, por lo cual es necesario cono- cer los distintos factores que pueden incidir en la eficacia de los centros escolares para favorecer en la formación de sus alumnos, no sólo para que puedan desenvolverse adecuadamente en un trabajo, sino para desarrollar habilidades de pensamiento flexible de aprendizaje permanente. La eficacia escolar es entendida como la manera en que la escuela “promueve de forma duradera el desarrollo integral de cada uno de sus alumnos más allá de lo que sería previsible teniendo en cuenta su rendi- miento inicial y la situación social, cultural y económica de sus familias” (Murillo et al., 2007: 83). Esta definición lleva a considerar la existencia de determinados factores de influencia para el desarrollo de los estudian- tes más allá de lo previsible; la importancia de conocer estos factores y trabajar en ellos se debe, como ya se ha mencionado, a la actual deman- da social de que los centros escolares deben enfocarse no sólo a la ense- ñanza de contenidos, sino también al desarrollo de habilidades, valores
y actitudes que permitan a los estudiantes formar parte activa en esta
sociedad que cuenta cada vez con más exigencias. El informe Coleman (1966) es considerado como el primer estudio sobre eficacia escolar que se enfocó a determinar la relación entre el rendimiento académico de los estudiantes y las diversas características y
recursos de las escuelas. Es a partir de este informe que se desarrollaron varias investigaciones centradas en torno a la búsqueda de evidencia en
el ámbito escolar para probar y determinar qué elementos influyen en los
resultados de aprendizaje, considerando aspectos como las condiciones sociales, técnicas, económicas o materiales con que cuenta o debe contar una escuela para alcanzar la eficacia 2 . Dichos trabajos han concluido que
una institución es efectiva cuando logra una diferencia importante en el aprendizaje que obtienen los estudiantes no sólo en un ciclo escolar, sino cuando se alcanza un mayor impacto y el desempeño académico de los alumnos vaya en aumento en cada ciclo (Fernández, 2003).
2 Diversos investigadores en México han realizado estudios de este tipo desde hace aproximadamente un par de décadas; los resultados coinciden en que una escue- la eficaz está fuertemente determinada por aspectos como el liderazgo docente, nivel socioeconómico, capital cultural de los padres, disponibilidad de auxiliares didácticos, costo de la educación, recursos materiales de la escuela, percepción del alumno sobre la práctica docente, entre otros (Ahuja y Schmelkes, 2004; Fer- nández, 2004; INEE, 2004; Martínez y Schmelkes, 1999; Noriega y Santos, 2004; SEP, 2004; Sandoval y Muñoz, 2004; Zorrilla y Romo, 2004).
En ese sentido, el metanálisis realizado por Edmonds (1982) conside-
ra que los siguientes aspectos, de manera interrelacionada, tienen una gran influencia en el rendimiento académico de los estudiantes:
1. Liderazgo del director en la comunidad escolar.
2. Altas expectativas de los docentes sobre el logro académico de sus alumnos.
3. Creación de un ambiente socialmente propicio para el aprendi- zaje.
4. Existencia de un sistema de evaluación y un control del rendi- miento.
5. Uso adecuado del tiempo por parte de los docentes.
6. Participación activa de la familia y la comunidad.
7. Enseñanza efectiva.
A continuación se mencionan sus características principales:
1. Liderazgo del director en la comunidad escolar
El estilo de liderazgo que adopta el director de la escuela es uno de los
elementos que determina el nivel de la calidad de la educación en el cen- tro escolar, sobre todo al momento de aplicar métodos de administración
y en la forma en que dirige las acciones a desarrollar. Sin lugar a dudas,
es un aspecto relevante porque incide en la percepción que tienen sus colaboradores sobre sí mismos y su actividad, lo que influirá en su entu- siasmo y compromiso con la tarea docente o administrativa. Un liderazgo efectivo se caracteriza porque fomenta el trabajo en equipo entre administradores y docentes, genera un clima de confianza y apoyo mutuo, aunque el trabajo en equipo no sólo atañe a los miembros
de la comunidad escolar, sino que abarca también a los padres de familia. Un director con estas características crea redes de contacto entre los dife- rentes actores educativos de tal forma que se fomente una alianza peda- gógica dentro de un ambiente socialmente propicio para el aprendizaje.
El director guía proyectos que plantean desafíos permanentes y logra
una identificación de todos y cada uno de los miembros de la comunidad con la tarea a realizar. Los proyectos son creativos y flexibles y en concor- dancia con las necesidades educativas que plantea la sociedad. En esta dinámica, la identificación con la tarea logra un compromiso
y estimula a toda la comunidad escolar a reconocer los esfuerzos indivi- duales o colectivos, ya que esas acciones incrementan un sentido de per- tenencia de la comunidad escolar.
2. Altas expectativas de los docentes sobre el logro académico de sus
Las expectativas que los docentes tienen sobre el posible rendimiento de sus estudiantes son un factor relevante para alcanzar la eficacia escolar debido a su influencia en los resultados de aprendizaje. Si los profeso- res tienen altas perspectivas sobre sus estudiantes, las manifestarán en la forma en que se dirigen hacia ellos y en la exigencia de su práctica educativa, así, si a los estudiantes se les trata de una manera que deno- te altas expectativas hacia ellos de forma consistente, esto influirá en su
autoconcepto, su motivación, sus niveles de aspiración de aprendizaje y sus interacciones con el profesor; de tal manera que estos cambios en los estudiantes retroalimentarán las expectativas iniciales de los profesores (Cotton, 2001; Good, 1987, citados en Tkatchov y Pollnow, 2008). De acuerdo con Cotton (2001), de manera organizacional, las altas expectativas que se tienen sobre los estudiantes se favorecen por medio de:
• Las políticas que enfatizan la importancia del desempeño acadé- mico de los estudiantes.
• La percepción que los miembros de una escuela tienen sobre su propio desempeño.
• El establecimiento de metas (para individuos, grupos, salones de clase o incluso la escuela entera) en términos de lo mínimo acep- table, no a partir de lo mayormente esperado; así como motivar a los estudiantes a que ellos descubran que pueden desarrollar las habilidades para alcanzar dichos estándares.
• El uso de grupos heterogéneos para desarrollar, en la medida de lo posible, el aprendizaje cooperativo.
• El monitoreo del aprendizaje de los estudiantes orientado a man- tener las expectativas apegadas al desempeño real de los alum- nos.
• La retroalimentación útil hacia los estudiantes, no sólo centrándo- se en los errores que cometan en su proceso de aprendizaje.
• La implementación de frases sobre la escuela que enfaticen ex- pectativas sobre ella misma.
• Ofrecer apoyo especial a los estudiantes que tengan problemas con su aprendizaje.
3. Creación de un ambiente socialmente propicio para el aprendizaje
Como parte de la efectividad escolar, en el proceso de aprendizaje, los estudiantes necesitan voluntad para aprender y habilidad para saber cómo invertir sus energías en el proceso de aprendizaje. La primera se puede desarrollar a partir de que el profesor establece relaciones de apo- yo y confianza con los estudiantes, para ello debe conocerlos y mostrar disposición para auxiliarlos frente a dificultades académicas que expe- rimenten. Por otra parte, la habilidad para que un estudiante adquiera conocimientos de forma efectiva implica que se involucre con sus tareas académicas, desarrolle habilidades de trabajo cooperativo y permita que su trabajo progrese, lo cual se puede lograr a partir de que el profesor establezca un ambiente de confianza para que el estudiante se involucre con el proceso de enseñanza y se comprometa con su propio aprendizaje (Strahan, 2008). Para crear este ambiente el profesor puede:
• Establecer una rutina dentro del salón de clases que permita crear relaciones de confianza con los jóvenes, definiendo expectativas de trabajo en equipo, explicar los procesos de enseñanza a utili- zar, establecer reglas claras para toda la clase y guiar reflexiones grupales.
• Involucrar a los educandos en actividades de aprendizaje a partir del establecimiento de situaciones interesantes para ellos.
• Propiciar que los alumnos hagan conexiones personales de los contenidos.
• Establecer metas de aprendizaje, procurando que los estudiantes las identifiquen, de tal forma que al finalizar una actividad puedan reflexionar sobre su logro.
• Permitir a los jóvenes experimentar con estrategias y posterior- mente identificar aquellas que les sean más útiles para cumplir las metas de aprendizaje.
• En la conformación de un ambiente propicio para el aprendizaje se encuentran implícitas las expectativas docentes hacia el posi- ble desempeño de sus estudiantes, lo cual, como ya se mencionó, es otro factor relevante para el desarrollo adecuado del proceso de enseñanza-aprendizaje.
4. Existencia de un sistema de evaluación y un control del rendimiento
Como parte de los factores que propician la eficacia escolar (Cotton, 1995, citado en Murillo et al., 2007), el sistema de evaluación del centro escolar permite conocer, entre otras cosas, el avance individual de los es- tudiantes, las prácticas docentes adecuadas a los objetivos y al modelo educativo del centro escolar, las tendencias de progreso de varias gene- raciones y las variables que influyen en el mismo. Conocer estas cuestio- nes le permite a la comunidad del centro escolar (director, docentes, pa- dres de familia) identificar los aspectos de mejora y las prácticas que han sido adecuadas para el cumplimiento de objetivos. De acuerdo con esta idea, la evaluación de los aprendizajes, del des- empeño docente, así como de otros aspectos inmersos en el proceso de enseñanza-aprendizaje resultan de gran relevancia en la eficacia escolar, ya que ayudan a tener una visión de estrategias de enseñanza que han sido eficaces para el logro académico de los estudiantes que puedan ser manejadas posteriormente.
5. Uso adecuado del tiempo por parte de los docentes
La enseñanza efectiva también se relaciona con la destreza del docente para
manejar la clase. En ocasiones se llega a pensar que esto implica sólo el con- trol de la disciplina; pero es más que eso, requiere de un proceso de gestión
y de control de tiempo en los procesos de enseñanza-aprendizaje. Asignar un tiempo efectivo para realizar una tarea implica que el do- cente tenga claros los diversos momentos didácticos de acuerdo con el número de alumnos a atender: manejo de contenido, métodos y técnicas,
características de los materiales, tipo de actividades, tiempo y propósitos del aprendizaje. La articulación de estos elementos permite hacer un uso adecuado del tiempo para favorecer el aprendizaje de los estudiantes. Por otro lado, las reglas de conducta establecidas claramente por el profesor al inicio del ciclo escolar, les permite a los alumnos comprender los límites y ajustarse a las formas de comportamiento, de participación
y organización. En caso de que no se tenga un grupo pequeño, el tiempo
destinado a la realización de tareas se reduce debido a que se requerirá mayor tiempo para organizar, manejar la clase y dar atención individual.
Durante cada actividad los jóvenes requieren de tiempo suficiente para aprehender el contenido que se enseña. Durante este momento de la clase, el docente puede supervisar actividades, a la vez que las retroa- limenta con observaciones y precisiones a sus estudiantes. Al final de la sesión de trabajo, la integración de experiencias por me- dio de la reflexión en grupo puede permitir al docente valorar el grado de alcance de los propósitos de aprendizaje.
6. Participación activa de la familia y la comunidad
Las redes de contacto y participación social dentro y fuera de la escuela han modificado la concepción tradicional del aula escolar en la que sólo participaban el maestro y los alumnos; actualmente las interacciones so-
ciales se perciben de otra manera, ya que se moviliza la participación y el trabajo coordinado de los distintos agentes educativos (directivos, alum- nos, profesores, padres de familia y comunidad), formando así las llama- das comunidades de aprendizaje. El director guía a los docentes para orientar comportamientos y acti- tudes que fomenten un contexto social participativo en conjunto con el resto de los miembros de la comunidad escolar, teniendo como objetivo el alcance de metas de aprendizaje y haciendo que los padres de familia sean partícipes en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Los vínculos interpersonales entre los miembros de la comunidad de aprendizaje pueden estrecharse a partir de que se brinden oportunidades
y espacios de interacción, tal es el caso de las actividades llamadas aulas
abiertas, en las cuales se realizan dinámicas con padres de familia y sus hi-
jos, en el caso de los docentes y directivos se fomenta el trabajo colegiado
y se valoran las diversas experiencias docentes como recurso de aprendi-
zaje entre compañeros que fortalezcan las estrategias para la enseñanza.
7. Enseñanza efectiva
De acuerdo con Monereo (2007), para que el estudiante logre la apropia- ción del conocimiento, el docente debe implementar una serie de estra- tegias que favorezcan el alcance de los propósitos de aprendizaje. El uso discriminado de planes por parte del docente implicará un análisis acerca de las ventajas de un procedimiento con respecto a otro, o su combina- ción, en función de los propósitos de aprendizaje y sobre cuándo y por qué es útil la estrategia en cuestión. Se puede hablar entonces de estrategias eficaces de enseñanza cuan- do el alumno se ajusta continuamente a los cambios y las variaciones que se van produciendo en el transcurso de la actividad y se acerca paulatina- mente al objetivo de aprendizaje. Trabajar de esta forma en el aula facili- ta el aprendizaje significativo, pues promueve que el alumno examine las situaciones, establezca relaciones entre lo que ya sabe y la nueva infor- mación y actúe en consecuencia (Ausubel, Novak y Hanesian, 1983). En la obra de Monereo se describen tres ejemplos de estilos de ense- ñanza que muestran cómo la estrategia adoptada por el profesor deter- mina la manera en que los estudiantes de secundaria se apropian de un mismo contenido y el nivel de profundidad que alcanzan.
En tres clases se desarrolla una actividad didáctica relativa al dise- ño del plano del aula. En el primer caso, el profesor pretende que los
educandos realicen un plano a partir del que él modela. Para ello prime- ramente dibuja en el pizarrón un plano del patio de una casa y explica los símbolos con los cuales se representarán sus elementos. A partir de esto, el profesor pide a los estudiantes que hagan lo mismo que él para
el diseño del plano del aula, enfatizando que deben utilizar los mismos
símbolos. En el segundo caso, una profesora pretende que sus estudiantes aprendan a realizar el plano de su aula tomando en cuenta la necesidad
de utilizar símbolos para representar sus elementos, para lo cual pide
a los estudiantes que elaboren una lista de los elementos que el plano
debe incluir y los símbolos con los cuales los pueden representar. Pos- teriormente solicita que piensen en cómo calcular las medidas del plano respetando la proporción de las medidas reales (escala). Cuando los es- tudiantes terminan sus planos la profesora los invita a compararlos y de- terminar qué método de cálculo de medidas del plano utilizada fue más efectivo y por qué.
En el tercer caso, el profesor también desea que los estudiantes realicen
el plano de su aula, pero además pretende que analicen las variables que
deben considerar para desarrollarlo y la mejor forma de realizarlo. Para al- canzar este objetivo, el profesor les muestra varios ejemplos de diferentes planos (de un comedor, una vivienda, uno de la misma aula elaborado por un compañero el año anterior) y los invita a reflexionar sobre la finalidad de cada uno de ellos. Posteriormente, el profesor les pide que analicen en qué se parecen y en qué son diferentes cada uno de ellos a la luz de su fi- nalidad. Se espera que este tipo de reflexiones permitan que los alumnos aprendan el proceso de realización de un plano. Una vez realizado el análi- sis, el profesor pide a los estudiantes que realicen su plano con la idea de mostrarlo a sus padres para que conozcan cómo está estructurada su aula (pensar en la finalidad del plano). Para diseñar su plano, los estudiantes utilizan el procedimiento que consideren más adecuado. Los ejemplos indicados reflejan cómo el objetivo propuesto por los maestros (diseñar un plano del aula) puede centrarse en que los estudian- tes sigan direcciones propuestas por el docente para realizar una tarea, como en el primer ejemplo; asimismo, se puede inducir a los estudiantes
a explorar, descubrir y proponer formas de simbolizar elementos reales,
vinculando intencionadamente conocimientos de otras disciplinas, como en el segundo caso; o bien, se puede plantear a los estudiantes que cons- truyan el sentido de los conocimientos dentro de las necesidades reales de una sociedad, tal como sucede en el tercer ejemplo. Cada uno de los métodos aplicados para alcanzar el propósito puede ser válido dentro de
la estructura de la planeación didáctica de la disciplina. La decisión que
tome el profesor para aplicar una u otra estrategia dependerá de las ca- racterísticas del tema y el momento que considere que es el mejor para abordar, integrar y cumplir los propósitos generales de la asignatura. En este sentido y a modo de recapitulación, las estrategias tienen un carácter intencional e implican:
• La aplicación experta y la reflexión profunda sobre el modo de emplearlas. Es necesario que se dominen las secuencias de accio-
nes e incluso las técnicas que las constituyen y que se entienda además cómo y cuándo aplicarlas flexiblemente.
El control y la previa planificación de su ejecución.
• La selección intencionada de recursos en función de demandas contextuales determinadas y de la consecución de ciertas metas de aprendizaje (Pozo y Postigo, 1993). A partir de esta organización del trabajo en el aula, tanto docentes como estudiantes adquieren conciencia y control de las funciones que les corresponde desempeñar en el proceso de enseñanza y aprendizaje,
mejorando así los momentos que requiere el proceso de apropiación del conocimiento como:
análisis y la realización de inferencias
La comprensión y organización conceptual
Como parte final del proceso eficaz de enseñanza se espera que las estrategias utilizadas por los docentes, que se han mencionado a lo largo
de este texto, permitan a los estudiantes desarrollar su metacognición, la cual se entiende como el conocimiento y control de factores que influyen en el aprendizaje tales como el conocimiento de uno mismo, la tarea por realizar y las estrategias que se utilizan para resolverla (Baker & Brown, 1984, citados en Richards, 2005). Esta habilidad se formula a partir de la retroalimentación que el docente hace sobre la forma de administración que el alumno realiza sobre sus propios conocimientos y estrategias que lo lleva a aprender a aprender, lo que no se refiere a que domine conte- nidos específicos o de un conjunto de técnicas, sino al dominio de habi- lidades cognitivas para aprender diferentes tipos de contenidos. En esta actividad el docente libera la responsabilidad al alumno sobre la adminis- tración de sus conocimientos y estrategias cognitivas.
• Por tanto, como ya se adelantó en apartados anteriores, para lo- grar que los alumnos fortalezcan habilidades estratégicas que in- cidan en su aprendizaje, se debe tomar en cuenta lo siguiente:
• El proceso de enseñanza debe considerar contenidos conceptua- les y procedimentales, aplicando procedimientos disciplinares e interdisciplinares.
• Fomentar procesos de reflexión en el alumno sobre las operacio- nes y decisiones mentales que realiza cuando aprende o resuelve una tarea.
• Fomentar el trabajo en equipo y analizar las condiciones sociales en que se produce la resolución de un determinado tipo de tareas
o el aprendizaje de un tipo específico de contenidos.
Así como partir de pautas metodológicas que permitan:
• Plantear actividades que demanden de los alumnos una regu- lación conciente y deliberada de su conducta, de modo que se requiere planificar previamente su actuación, controlar y super- visar lo que realizan y propiciar que reflexionen sobre su ejecu- ción.
• Evitar la enseñanza aislada de técnicas para estudio, asegurán- dose de que el estudiante domine diferentes procedimientos de
aprendizaje en actividades concretas que le puedan ser útiles en diversas situaciones.
• Enseñar estrategias de aprendizaje en contextos en los que éstas resulten funcionales (aplicarse a situaciones reales para atender necesidades académicas o personales).
• Crear un clima en el aula para la reflexión, la exposición de dudas, la exploración y la discusión sobre las distintas maneras como puede pensarse un tema (Monereo, et al., 2007). Como puede observarse, existen diversos factores escolares interrela- cionados que favorecen el resultado de los estudiantes con respecto a la construcción de un conocimiento útil para la adaptación a su entorno, en- tre ellos se encuentran el liderazgo del director, las expectativas docen- tes hacia el logro de sus estudiantes, el establecimiento de un ambiente propicio para el aprendizaje, el uso adecuado de las evaluaciones y del tiempo dentro del aula y la participación activa de las familias, así como el diseño de estrategias de enseñanza-aprendizaje que incluyan objeti-
vos acorde al currículo (que los estudiantes deben conocer), actividades orientadas hacia la reflexión y hacia la aplicación de los contenidos en si- tuaciones reales, así como el diseño de actividades de evaluación acorde
a los objetivos y a las características de la actividad y de los educandos.
La consideración de estos factores puede auxiliar al docente en el diseño
y uso de estrategias orientadas al logro académico de sus estudiantes.
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Descripción del proyecto PISA y la Competencia matemática
El propósito central del Programa para la Evaluación Internacional de Es- tudiantes (Programme for International Student Assessment, PISA) es me- dir en qué grado los estudiantes de 15 años, que se encuentran al final de su escolaridad obligatoria, son capaces de recurrir a lo aprendido cuando se enfrentan a situaciones novedosas, tanto en el ámbito escolar como
fuera de él; es decir, busca estimar el nivel de habilidades y competencias esenciales para su participación plena en la sociedad.
A partir del impulso otorgado por la Organización para la Cooperación y
el Desarrollo Económicos (OCDE), en el año 2000 se realizó la primera eva- luación internacional con la participación de 32 países. Para 2003 eran 40 y para 2006 la cifra llegó a 57. Los países buscan, sobre todo, obtener de forma sistemática información que les permita realizar los análisis pertinentes con el fin de “supervisar adecuadamente el desempeño y valorar el alcance de las
metas” 3 que se han propuesto en sus propios sistemas educativos.
La evaluación de PISA se centra en tres áreas que tradicionalmente se han considerado claves para el aprendizaje en todos los sistemas educativos:
Ciencias, Lectura y Matemáticas. Sin embargo, la evaluación no es curri- cular, sino basada en competencias. Esto es, en términos de las habilida-
des, destrezas y actitudes de los estudiantes para analizar y resolver pro- blemas, para manejar información y para responder a situaciones reales que se les pudieran presentar en el futuro.
El modelo de evaluación de PISA está centrado en el concepto de litera-
cy (aptitud o competencia, aunque en diferentes países ha sido traducido como cultura, formación, alfabetización o habilidad). En México, este con- cepto se ha manejado como competencia y definido como “un sistema de
3 OCDE (2008). El programa PISA de la OCDE. Qué es y para qué sirve. Madrid:
Santillana, p. 5. La OCDE es una organización de cooperación internacional, com- puesta por treinta países, y tiene por objetivo coordinar sus políticas económicas y sociales. Fue fundada en 1961 y su sede central se encuentra en la ciudad de París, Francia. México forma parte de este organismo desde 1994.
acción complejo que abarca las habilidades intelectuales, las actitudes y otros elementos no cognitivos, como motivación y valores, que son adqui- ridos y desarrollados por los individuos a lo largo de su vida y son indis- pensables para participar eficazmente en diversos contextos sociales” 4 .
La regularidad de la evaluación permite a los países monitorear los pro- gresos en los objetivos en materia educativa que se han impuesto. Cada tres años se evalúan las tres áreas, pero se enfatiza una de ellas: duran- te 2000 fue Lectura, en 2003 Matemáticas, en 2006 Ciencias y en 2009 será otra vez Lectura. El dominio prioritario ocupa las dos terceras partes de las preguntas de la evaluación.
Como existen diferencias entre los países en cuanto a la naturaleza y duración de la escolaridad, PISA optó por definir la población objetivo en relación con una edad determinada, con el fin de garantizar que los resultados del desem- peño educativo sean comparables. De esta forma, se incluye a los estudiantes de entre 15 años tres meses y 16 años dos meses al momento de la evalua- ción, que estén inscritos en una institución educativa a partir del 7º grado. Las muestras representativas que se utilizan oscilan entre 4 mil 500 y 10 mil estudiantes, de aproximadamente 150 escuelas por cada país. De esta manera es posible realizar inferencias nacionales. Si un país desea disponer de una mayor representatividad respecto a cierto estrato de su población, puede solicitar una sobre muestra. Éste fue el caso de México que, tanto en el ciclo 2003 como en el de 2006, solicitó una sobre mues- tra para poder inferir resultados no sólo a nivel nacional, sino también por entidad federativa. En esta última evaluación se consideraron 30 mil 971 estudiantes de mil 140 escuelas 5 .
Es la capacidad de un individuo de identificar y comprender el papel de las Matemáticas en el mundo actual, emitir juicios bien fundamentados y utilizarlas y comprometerse con ellas de manera que puedan satisfacer las necesidades de la vida del sujeto como ciudadano constructivo, com- prometido y reflexivo. La Competencia matemática de PISA no se reduce al dominio de la terminología, los datos y los procedimientos matemáticos ni a la habili- dad para realizar diversas operaciones y poner en práctica determinados métodos; la Competencia matemática supone una combinación de estos elementos con objeto de responder a exigencias que se plantean en con- textos reales. Implica poseer la habilidad para plantear, formular e inter- pretar problemas mediante las Matemáticas en una variedad de situacio- nes y contextos que van desde lo sencillo a lo complejo.
4 INEE (2005). PISA para Docentes. México: SEP, p. 16. 5 Datos tomados de M. A. Díaz et al. (2007). PISA 2006 en México. México, INEE.
La Competencia matemática de PISA se integra por las siguientes di- mensiones:
• Educativa y laboral
A continuación se describen las características de cada una de las di-
mensiones de la competencia matemática.
Son las capacidades de los estudiantes que deben activarse para analizar, razonar y comunicar ideas de manera efectiva mediante el planteamien- to, la formulación y la resolución de problemas matemáticos.
Este proceso comprende el conocimiento de hechos, la retención me- morística de objetos y propiedades matemáticas, el desarrollo de pro-
cedimientos que resultan de rutina para un estudiante y la aplicación de algoritmos estándar. Implica la realización de cálculos simples para la solución de problemas comunes; incluye el conocimiento, definición de hechos y representación de problemas.
El pensamiento matemático en este proceso está relacionado con pre-
guntas tales como: ¿existe? si es así, ¿cuántos? Implica también conocer el tipo de respuestas que ofrecen las Matemáticas a estas respuestas, así como distinguir entre varios tipos de afirmaciones (definiciones, teore- mas, conjeturas, hipótesis).
El proceso de conexión de información de ideas y procedimientos mate- máticos permite resolver problemas que ya no son sólo de rutina, pero que incluyen escenarios familiares. Para su desarrollo la conexión consi- dera la construcción de modelos, traducción, interpretación y solución de problemas. En este proceso se espera que los estudiantes manejen diferentes mé- todos de representación matemática (de acuerdo con la situación y el ob-
jetivo del problema). El establecimiento de conexiones requiere también que los estudiantes sean capaces de distinguir y relacionar diferentes definiciones, afirmaciones, ejemplos y demostraciones; así como deco- dificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal y su relación con el lenguaje natural.
En este proceso se espera que el estudiante sepa lo que es una demos- tración matemática y sus diferencias con otros tipos de razonamiento, así como tener un sentido de la heurística (qué puede ocurrir y por qué) y crear argumentos matemáticos. Supone que los estudiantes puedan matematizar una condición, es decir, que reconozcan y extraigan las Matemáticas de una situación y emplearlas para solucionar un problema, también para desarrollar sus propios modelos y estrategias y presentar argumentos matemáticos (in- cluyendo demostraciones y generalizaciones).
Esta dimensión se refiere al tipo de tema abordado en los problemas y tareas de Matemáticas que se presenta a los estudiantes. PISA clasifica el contenido matemático en cuatro, como se presenta en el siguiente es- quema.
Este tema se centra en la importancia de la cuantificación para entender y organizar el mundo. Abarca los fenómenos numéricos, así como las rela- ciones y los patrones cuantitativos. Implica la comprensión del concepto de tamaño relativo, el reconocimiento de patrones numéricos y el uso de los números para representar cantidades y propiedades cuantificables de objetos de la vida real (operaciones y medidas). Además, aborda el proce- samiento y la comprensión de los números presentados en diversas for- mas. Un aspecto importante es el razonamiento cuantitativo, que implica un sentido numérico, la comprensión del significado de las operaciones, el cálculo mental y la estimación. La rama de las Matemáticas asociada más frecuentemente con el razonamiento cuantitativo es la Aritmética.
Se relaciona con los fenómenos espaciales y geométricos. Requiere la búsqueda de similitudes y diferencias al analizar los componentes de las formas, reconocer patrones y figuras en diferentes representaciones y di- mensiones, así como entender las propiedades de objetos geométricos y sus posiciones relativas. Este contenido se relaciona con la Geometría.
Involucra las manifestaciones matemáticas del cambio, así como las re- laciones funcionales (lineales, exponenciales, logísticas, tanto discretas como continuas) y la dependencia entre variables. Las relaciones matemáticas se expresan mediante ecuaciones, fórmu- las o desigualdades, pero las relaciones de carácter más general (como la equivalencia o la divisibilidad y la integración, por mencionar algunas) también son importantes. Las relaciones se pueden expresar por medio de una variedad de representaciones, como por ejemplo tablas, expresio- nes simbólicas, algebraicas, gráficas y geométricas. Dado que las distin- tas representaciones pueden tener diferentes propósitos y propiedades, la traducción entre representaciones es a menudo de importancia capital cuando se trata de resolver actividades matemáticas. Este contenido se relaciona con el Álgebra
Este contenido involucra los fenómenos y las relaciones de probabilidad y estadística que llegan a ser cada vez más relevantes en la sociedad de la in- formación. Las actividades y conceptos específicos de este contenido son la recolección de datos, el procesamiento y análisis de los mismos, su pre- sentación, la probabilidad de ocurrencia de los fenómenos y la inferencia.
Son los ámbitos en que se sitúan los problemas de Matemáticas. Los ti- pos de situación pueden ser personal, educativa o laboral, pública y cien-
tífica. La situación personal se relaciona directamente con las actividades cotidianas de los estudiantes; la educativa o laboral se refiere a la vida de un alumno en la escuela o en un ambiente laboral; la situación pública está situada en la comunidad y se basan en la forma que los educandos entienden las relaciones entre los elementos de su entorno; y la situa- ción científica es más abstracta e implica la comprensión de un proceso tecnológico, una interpretación teórica o un problema específicamente matemático.
Los resultados se presentan en niveles que permiten catalogar el desem- peño de los estudiantes y describir las habilidades y las tareas que son capaces de hacer, tal como se muestra en el siguiente cuadro.
Niveles de desempeño de la Competencia matemática
Conceptuar y trabajar con modelos que con- tengan procesos y re- laciones matemáticas complejas; trabajar con expresiones formales y simbólicas; usar habili- dades de razonamiento avanzado para derivar estrategias de solución de problemas y asociar- las con contextos múl- tiples; usar procesos de cálculo secuencial; for- mular conclusiones, ar- gumentos y explicacio- nes precisas.
Resolver problemas complejos que involu- cren representaciones múltiples y que inclu- yan procesos de cálculo secuencial. Identificar y extraer información re- levante y asociar dife- rente información re- lacionada. Razonar, comprender, reflexio- nar y generalizar resul- tados y hallazgos; co- municar soluciones y dar explicaciones y ar- gumentaciones.
Usar comprensión significativa y habi- lidades de razona- miento y argumen- tación abstractas. Tener conocimiento técnico y de conven- ciones para solucio- nar problemas y ge- neralizar soluciones matemáticas a pro- blemas complejos del mundo real.
Usar habilidades de pensamiento y razona-
miento de alto nivel en contextos estadísticos
probabilísticos para
crear representaciones matemáticas de situa-
ciones del mundo real; comprender y reflexio- nar para resolver pro- blemas, y formular y comunicar argumentos
Trabajar de manera efectiva con modelos de situaciones comple- jas para solucionar pro- blemas; usar habilida- des de razonamiento, comprensión e inter- pretación bien desarro- lladas con diferentes representaciones; realizar procesos se- cuenciales; comunicar razonamiento y argu- mentos.
Resolver problemas que requieran hacer supo- siciones apropiadas o que impliquen traba- jar con suposiciones dadas. Usar el razona- miento espacial, argu- mentar, y la capacidad para identiﬁcar infor- mación relevante; interpretar y asociar diferentes representa- ciones; trabajar de ma- nera estratégica y reali- zar procesos múltiples y secuenciales.
Resolver problemas, usando el álgebra avanzada, modelos
Aplicar conocimiento probabilístico y esta-
temáticas formales.
Asociar representa-
expresiones ma-
matemáticas for-
dístico en situaciones problema que estén
de alguna manera es-
tructuradas y en donde
representación ma-
temática sea parcial- mente aparente. Usar
razonamiento y la
males a situaciones complejas del mun-
do real. Usar habili- dades de solución de problemas comple- jos y de multinivel. Reﬁexionar y comu- nicar razonamientos
comprensión para in- terpretar y analizar in- formación dada, para desarrollar modelos apropiados y realizar procesos de cálculo se- cuenciales; comunicar
razones y argumentos.
Trabajar de manera efectiva con modelos simples de situaciones complejas; usar habili- dades de razonamien- to en una variedad de contextos; interpretar diferentes representa- ciones de una misma situación; analizar y aplicar relaciones cuan- titativas; usar diferen- tes habilidades de cál- culo para la solución de problemas.
Resolver problemas que impliquen razonamien- to visual y espacial, así como la argumenta- ción en contextos no familiares; relacionar e integrar diferentes re- presentaciones; realizar procesos secuenciales; aplicar habilidades de visualización espacial e interpretación.
Entender y trabajar con representaciones múltiples, incluyen- do modelos mate- máticos explícitos de situaciones del mun- do real para resolver problemas prácticos. Tener ﬁexibilidad en
Usar conceptos básicos de estadística y pro- babilidad combinados con razonamiento nu- mérico en contextos menos familiares para la solución de proble- mas simples; realizar procesos de cálculo se- cuencial o de multini- vel; usar y comunicar
la interpretación y ra- zonamiento en con- textos no familiares;
argumentos basados en la interpretación de datos.
explicaciones y argu- mentaciones resul- tantes.
Usar estrategias sim- ples de solución de problemas que inclu- yan el razonamiento en contextos familiares; interpretar tablas para localizar información; realizar cálculos descri- tos explícitamente, in- cluyendo procesos se- cuenciales.
Resolver problemas que impliquen razonamien- to visual y espacial ele- mental en contextos familiares; relacionar diferentes representa- ciones de objetos fami- liares; usar habilidades de solución de proble- mas elementales; dise- ñar estrategias simples y aplicar algoritmos simples.
Resolver problemas que impliquen traba- jar con representa- ciones múltiples (tex- tos, gráficas, tablas, fórmulas) que inclu- yan cierta interpreta- ción y razonamiento en contextos familia- res, así como la co- municación de argu- mentaciones.
Interpretar informa- ción y datos esta- dísticos y asociar di- ferentes fuentes de información; usar ra- zonamiento básico con conceptos, símbolos y convenciones sim- ples de probabilidad; y comunicar el razona- miento.
Interpretar tablas sen- cillas para identificar y extraer información re- levante; realizar cálcu- los aritméticos básicos; interpretar y trabajar con relaciones cuantita- tivas simples.
Resolver problemas de representación mate- mática simple, donde el contenido matemáti- co sea directo y clara- mente presentado; usar pensamiento matemá- tico básico, así como convenciones en con- textos familiares.
Resolver problemas que impliquen traba- jar con representa- ciones múltiples (tex- tos, gráficas, tablas, fórmulas); usar habi- lidades básicas de in- terpretación y razo- namiento.
Localizar información estadística presenta- da en forma gráfica; entender conceptos y convenciones estadísti- cas básicas.
Resolver problemas del tipo más básico, en donde toda la informa- ción relevante se pre- senta explícitamente. La situación está bien dirigida y tiene un al- cance limitado, de tal forma que la activi- dad es obvia y la tarea matemática es básica, como una operación aritmética simple.
Localizar información relevante en una ta-
Resolver problemas simples en contex- tos familiares, usan- do dibujos de objetos geométricos familia- res; y aplicar habilida- des de conteo y cálculo básicos.
bla o gráfica sencilla; seguir instrucciones directas y simples, al leer información de una tabla o gráfica en una forma familiar
Entender y usar ideas básicas de probabili- dad en contextos ex- perimentales familia-
estándar; realizar
cálculos simples que impliquen relaciones entre dos variables familiares.
Los estudiantes cuyo desempeño se sitúa por debajo del Nivel 1 son incapaces de tener éxito en las tareas más básicas que busca medir PISA. Esto no significa que no posean habilidades matemáticas, pero la mayoría de estos estudiantes probablemente tendrán serias dificultades para usar las Matemáticas como herramienta para beneficiarse de nuevas oportuni- dades educativas y de aprendizaje a lo largo de la vida.
Propuestas didácticas para el desarrollo de la Competencia matemática
PROPUESTA DIDáCTICA PARA EL CONTENIDO Cantidad Rosario Licea García
I.- Asociación de PISA con el Plan y Programa de Estudios de Secun- daria
El objetivo de acercar a toda la sociedad oportunidades educativas de calidad implica el mejoramiento del sistema en conjunto, así como el desarrollo de estrategias específicas centradas en la atención a los grupos de población más vulnerables. Los retos de México en el futuro de la educación
Nuestro país vive un acelerado cambio demográfico, social, económico, cultural y político, lo que exige que la educación se transforme para es- tar en condiciones de cumplir con los objetivos que se plantean, así como para responder a los requerimientos sociales que estos rápidos cambios exigen. Las formas en que los individuos se acercan al conocimiento en su proceso de formación y desarrollo traen consigo retos que la educa- ción enfrenta, y que son señalados por los índices de calidad en la edu- cación. Para responder a estos retos es necesario, como dice la cita arriba utilizada, el mejoramiento del sistema en su conjunto, pero para saber qué se necesita mejorar es preciso hacer un análisis de la situación que se vive, donde las instituciones piden rendir cuentas de lo que se hace o deja de hacerse en las escuelas, de lo que los maestros han de realizar y de los resultados que se obtienen en las diversas evaluaciones nacionales e internacionales. En educación ya no podemos decir que estamos solos, que trabaja- mos nosotros y nuestros alumnos, ahora nos damos cuenta que con el mundo globalizado ya estamos comparando nuestro sistema educativo con el de países más avanzados y observamos los resultados: las esta- dísticas muestran los avances obtenidos; ahora el mundo se puede ver, como alguien dijo por “una ventana más grande”, lo que implica que des- de el maestro de la escuela Rural unitaria, hasta el docente de Telese-
cundaria, o el maestro de una escuela Urbana o Privada, el docente esté inmerso en un trabajo que nos compete a todos los que trabajamos por mejorar los sistemas educativos y que realizamos nuestro mejor esfuerzo porque recibimos los resultados de algunas evaluaciones. Pero, ¿estamos trabajando para el mismo rumbo? o ¿damos tiros sin apuntar a un blanco? ¿nuestro trabajo dentro del aula tiene el enfoque correcto para elevar la calidad de nuestras prácticas o solamente estamos aplicando metodologías, materiales o esfuerzos que no nos ofrecen un buen resultado? Para esto es conveniente analizar nuestro programa de educación se- cundaria, sus propósitos, su enfoque, su organización y a la vez revisar una de las evaluaciones más notables de los últimos tiempos: ¿hay algún punto de encuentro entre el Programa 2006 y la Evaluación PISA? Nuestra Constitución señala las finalidades de nuestra educación bá- sica en el artículo 3o. y en la Ley General de Educación y el Programa Nacional de Educación 2001-2006 donde se concreta el compromiso del
Estado mexicano de “ofrecer una educación democrática, nacional, inter- cultural, laica y obligatoria que favorezca el desarrollo del individuo y de su comunidad, así como el sentido de pertenencia a una nación multi- cultural y plurilingüe, y la conciencia de solidaridad internacional de los educandos” (SEP 2006: 7). Estas finalidades tienen múltiples implicaciones, por ejemplo, la exi- gencia de construir mecanismos graduales y permanentes que permitan evaluar y reformular los contenidos curriculares y las formas de gestión del sistema educativo. En este compromiso de reformular los contenidos curriculares se im- plementa la Reforma 2006 que pretende concretar y consolidar lo plan- teado en la Reforma de 1993 que propuso una formación general, única
y común para todos los alumnos, pero que en la práctica no se llevó a
cabo debido a la falta de una correcta articulación de la educación básica
y debido a otros factores. Ahora el programa de 2006 establece un “perfil de egreso de la educa- ción básica que define el tipo de ciudadano que se desea formar al termi-
nar la educación básica, este perfil de egreso se convierte en el referente obligado de la enseñanza y el aprendizaje en la aulas, es una guía para los docentes para trabajar con los contenidos de las diversas asignaturas
y es la base para valorar la eficacia del proceso educativo” (SEP 2006). El perfil de egreso señala los rasgos que se desea tenga el alumno al terminar su educación básica, esos rasgos destacan la necesidad de for- talecer las competencias para la vida. De manera que el propósito educa- tivo central será el desarrollo de éstas. En este sentido el programa se refiere a las competencias como un saber hacer (habilidades) con el saber como los conocimientos y el ser como valores y actitudes, es decir, manifestar una competencia es poner en juego esas habilidades, actitudes y conocimientos en el logro de un propósito en un contexto determinado. Las competencias se observan en la acción integrada de sus componentes. En el currículo se desea que las competencias se desarrollen en todas las asignaturas y que se busque una transversalidad para que, en el transcurso de la educación básica, el alumno se forme integralmente y ponga de manifiesto todas las compe-
tencias logradas en su paso por la educación básica. Las competencias contribuyen al logro del perfil de egreso y se divi- den en genéricas, es decir, que se desarrollan en todas las asignaturas y en las específicas de cada asignatura. En el caso de Matemáticas el programa contempla el desarrollo de cuatro competencias: el planteamiento y resolución de problemas, la ar- gumentación, el manejo de técnicas y la comunicación, además de las competencias para la vida. También se señalan en el programa, al iniciar cada bloque, los apren- dizajes esperados que le permiten al docente conocer el alcance de lo que ha de estudiar el alumno y le ayudan a preparar estrategias adecua- das para conseguir las metas planteadas, a la vez que son un referente para la comunicación entre alumnos, padres de familia y maestros en re- lación a lo que han de aprender los estudiantes. En relación a lo esperado en el perfil de egreso hay un rasgo específi- co para Matemáticas, que también se desarrolla en otras asignaturas, “el
alumno emplea la argumentación y el razonamiento al analizar situacio- nes, identificar problemas, formular preguntas, emitir juicios y proponer diversas soluciones” (SEP 2006: 10). De esta forma la educación básica quiere cumplir sus finalidades edu- cativas mediante la propuesta de un currículo que tenga como propósito educativo el desarrollo de competencias donde el alumno razone, analice situaciones, plantee y resuelva problemas, comunique sus resultados y busque caminos para resolverlos, todo esto partiendo de un medio, es decir, de un problema que permite al alumno usar las herramientas ma- temáticas que se desea que aprenda, así como el intercambio de ideas en las sesiones de equipo o grupales donde se analizan los procedimientos que siguen los educandos para construir nuevos conocimientos y cómo superan las dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje. El problema planteado presenta retos cognitivos que no sean tan difí- ciles que los alumnos no puedan resolver, ni tan fáciles que no permitan el desarrollo del análisis y la reflexión. Al resolver, los alumnos se darán cuenta de que existen diversas estrategias posibles y que hay que usar al menos una, para ello, los alumnos deberán usar sus conocimientos previos para entrar en el reto o desafío que el problema les presenta, en ese momento se puede rees- tructurar algo que ya se sabe, para ampliarlo, modificarlo o para reafir- marlo y volverlo a emplear en En el proceso de estudio de las Matemáticas en las aulas escolarizadas siempre encontramos tres actores:
• El alumno, que es quien estudia, y que la escuela tiene la misión de encaminarlo hacia una formación integral.
• El saber, en este caso las Matemáticas que han de ser aprendidas como parte de las competencias a desarrollar por parte de los alumnos.
• El profesor, encargado por la sociedad y la escuela para llevar a cabo el proyecto de facilitador y acompañante de quien estudia. En este proceso de estudio se producen múltiples interacciones, la didáctica de las Matemáticas va a modelizar y estudiar las interacciones entre los tres actores:
De esta manera el alumno va desarrollando la Competencia matemá- tica. El programa de 2006 presenta al alumno los conocimientos y habili- dades organizados en tres ejes temáticos y en cinco bloques, que se van desarrollando progresivamente a los largo de los tres grados. Cada blo- que presenta aprendizajes esperados organizados en apartados y cada uno de éstos se desarrolla a través de planes de clase en los que los co- nocimientos y habilidades se van secuenciando a través de intenciones didácticas que parten de procesos informales para llegar a procesos ex- pertos. En cada plan de clase aparecen las consignas que son el “medio” o el problema planteado en el que el alumno va a interactuar junto con sus compañeros y posteriormente hará una confrontación grupal donde se reflexionará sobre los procedimientos encontrados eligiendo el más efi- caz. La evaluación es formativa pues analiza lo que el alumno conoce, cómo aplica los conocimientos y su desarrollo de competencias a través de líneas de progreso que se verifican en la forma de resolver problemas de manera autónoma o con ayuda, de la capacidad de pasar de los proce- dimientos informales a los procedimientos expertos, y de la posibilidad de asimilar el tránsito entre la justificación pragmática a la justificación axiomática. El proyecto comparativo PISA es un proyecto de evaluación que es im- pulsado por la OCDE, que está diseñado para incidir en la política educati- va de los países participantes y para aportar información para la sociedad en general respecto a los asuntos más relevantes de la educación. “Su objetivo principal es la evaluación de las aptitudes o competencias que los estudiantes necesitarán a lo largo de su vida” (INEE, 2005), di- rigiéndose a muestras de la población de 15 años tres meses y 16 años dos meses al momento de la evaluación, en México ésta se aplica a partir del nivel de secundaria.
Un rasgo importante de PISA es que no es curricular, sino que es una evaluación basada en competencias, “su propósito es evaluar qué tan bien están preparados los estudiantes para enfrentar los retos del futuro, si son capaces de analizar, razonar y comunicar sus ideas efectivamen- te y si tienen la capacidad de seguir aprendiendo durante toda la vida” (OCDE, 2006). La siguiente tabla nos muestra, a manera de síntesis, algunos rasgos, vistos desde PISA y desde el Programa de Matemáticas 2006, con el fin de observar similitudes y diferencias entre ambos y así encontrar un punto de asociación, así como también una relación entre un aspecto de PISA con los respectivos conocimientos y habilidades del Programa de Mate- máticas 2006:
Capacidad para identificar y com- prender el papel que desempe- ñan las Matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados, utilizar y relacionarse con las Matemáticas de manera que se puedan satisfa- cer sus necesidades vitales, como ciudadanos constructivos, com- prometidos y reflexivos
Como un saber hacer (habilidades) con el saber como los conocimientos y el ser como los va- lores y actitudes, es decir, manifestar una com- petencia es poner en juego esas habilidades, actitudes, conocimientos en el logro de un pro- pósito en un contexto que te toque desenvol- verte. Las competencias se observan en la ac- ción integrada de sus componentes El alumno emplea la argumentación y el razo- namiento al analizar situaciones, identificar problemas, formular preguntas, emitir juicios y proponer diversas soluciones. Llegar a ser matemáticamente competente está ligado a la comprensión del contenido mate- mático, cuando se comprenden las nociones y procedimientos matemáticos se pueden utilizar de forma flexible, adaptándolas a situaciones nuevas y permitiendo establecer relación entre ellas y emplearlas para aprender un nuevo con- tenido matemático.
Planteamiento de problemas en un contexto dado. Trabajo en equipo, interacción del alumno y equipo con el problema planteado (empleo de conocimientos previos). Confrontaciones de ideas, observar, analizar, reflexionar. Argumentar, comunicar, manejar técnicas, sesiones grupales, obtener conclusiones, prác- tica y ejercitación.
Los problemas son contextualizados en los di- ferentes ámbitos e intereses del alumno: fami- liar, social, etcétera.
Espacio y Forma Cantidad Cambio y Relaciones Probabilidad
Sentido numérico y pensamiento algebraico. Forma ,espacio y medida. Manejo de la información. Se ven a lo largo de los tres grados, en cinco bloques y se tocan los tres ejes en cada bloque.
Líneas de progreso del desarrollo de compe- tencias:
Seis niveles de progresión de avance
Resolver de manera autónoma o con ayuda De los procedimientos informales a los procedi- mientos expertos De la justificación pragmática a la justificación axiomática
Evaluación de competencias o ap- titudes que los jóvenes necesita- rán a lo largo de su vida
Constructiva y formativa en dos líneas:
¿Qué sabe hacer el alumno? y ¿en qué sentido aplica lo que sabe? ¿Cómo se van desarrollando sus competencias?
Incidir en las políticas educativas de los países participantes
Que el alumno tenga una formación matemáti- ca que le permita enfrentar y responder pro- blemas de la vida moderna
Relación del contenido Cantidad tanto en PISA como en los respectivos Apartados del Programa 2006 (Ejemplo)
En PISA Contenido Cantidad
Apartados del Programa 2006 que se asocian al Contenido Cantidad de PISA Apartados
Propiedades de los sistemas de numeración y con- trastarlas con otros sistemas posicionales y no po- sicionales Representar números fraccionarios en la recta nu-
-SENTIDO NUMÉRICO -CÁLCULO MENTAL -ESTIMACIONES
mérica Construir sucesiones de números a partir de una re- gla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figu- rativas
Construir sucesiones numéricas a partir de una re-
gla dada. Obtener la regla que genera una sucesión de números con signo
Resolver problemas aditivos con números frac-
cionarios y decimales en distintos contextos
Resolver problemas que impliquen la multiplica-
ción y la división con números fraccionarios en dis- tintos contextos
ción de números decimales en distintos contextos
Resolver problemas que impliquen la división de
-COMPRENSIÓN DEL SIGNIFICADO DE LAS OPERACIONES -CÁLCULO MENTAL -ESTIMACIÓN
números decimales en distintos contextos
Plantear y resolver problemas que impliquen la
utilización de números con signo
Utilizar procedimientos informales y algoritmos
de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones
1.1 Resolver problemas que impliquen multiplica- ciones y divisiones de números con signo.
Utilizar la jerarquía de las operaciones y los parénte- sis si fuera necesario en problemas y cálculos
Resolver problemas que impliquen el cálculo
de la raíz cuadrada y la potencia de exponente na- tural y de números naturales y decimales
SENSIBILIDAD HACIA LAS MAGNITUDES NU- MÉRICAS
Representar números fraccionarios y decimales en la
recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación
Al hacer este análisis se encuentra un punto de asociación y éste es el desarrollo de competencias; el programa desea que los alumnos desa- rrollen las competencias necesarias para responder a las exigencias de la vida social y PISA evalúa en qué medida o de qué calidad es el desarrollo de las competencias de los alumnos participantes. El enfoque en PISA es observar el rumbo de las políticas educativas. En el programa 2006 se busca formar al alumno para que sea un ciuda- dano con el perfil de egreso que se plantea, y en especial en Matemáticas se desea que el alumno tenga una formación matemática que le permita enfrentar y resolver los problemas de la vida moderna. Los resultados de PISA son “insumos” para la retroalimentación del trabajo con el Programa de Matemáticas y con las demás asignaturas del currículo de secundaria y así lograr una mejor calidad educativa. Los procesos que emplea el programa, como tareas que se activan para conectar los fenómenos relacionados con los problemas, son activi- dades donde el alumno va a poner en juego procesos cognitivos: obser-
vación, reflexión, análisis, argumentación y comunicación de ideas mate- máticas. Lo ideal es que estos procesos se logren como está planteado, pero hay muchos factores que lo impiden tales como: la falta de estrate- gias del docente para dirigir al alumno en estos aspectos, los deficientes conocimientos previos que muchas veces trae el alumno, falta de tiempo, falta de materiales, etcétera, que impiden que los procesos se lleven a cabo y se logren las metas. En cuanto a los contenidos PISA evalúa aspectos semejantes al progra- ma. Vemos en el ejemplo del contenido Cantidad que éste se trabaja en varios conocimientos y habilidades de los apartados del Programa, pero, se observa que en algunos aspectos la profundidad que se da al conteni- do en PISA es mayor. En general se puede decir que el programa curricular 2006 está pen- sado y tiene los elementos para que el alumno en un futuro pueda eva- luarse en PISA y obtenga resultados destacados, pero que aún faltan mu- chos aspectos por consolidar, estamos empezando, vamos lento, pero creemos que finalmente si se lleva la metodología como se ha planeado, hay apoyo para los docentes y se mejoran las necesidades sociales de al- gunos medios se pueden alcanzar mejores resultados en PISA.
II.- Secuencia didáctica
Como ya se ha dicho, el Programa de Matemáticas 2006 pide que se tra- baje proponiendo a los alumnos un medio o tarea matemática, un pro- blema, un desafío, al que se enfrentarán los alumnos, e intercambiando ideas con sus compañeros de equipo y con su grupo llegarán a procedi- mientos de solución y así irán trabajando los conocimientos y habilidades logrando desarrollar la Competencia matemática y las demás competen- cias que señala el perfil de egreso de educación básica. El programa de cada grado se lleva a cabo en cinco bloques, al inicio de cada bloque se presentan aprendizajes esperados que se desarrollan en apartados para lograr estudiar los conocimientos habilidades de una manera gradual con el fin de establecer metas parciales a lo largo del año escolar. PISA pone especial atención a las “capacidades de los estudiantes que deben activarse para analizar, razonar y comunicar ideas de mane- ra efectiva, mediante el planteamiento, la formulación y la resolución de problemas matemáticos” (INEE, 2005: 21) y se espera que los alum- nos demuestren las tareas matemáticas de reproducción, conexión y reflexión. Demostrando su Competencia matemática en seis niveles de desempeño. De manera que los docentes han de conjugar el programa con las di- mensiones del dominio de Matemáticas de PISA para que sus alumnos desarrollen las competencias requeridas para que en el futuro puedan alcanzar niveles satisfactorios en las evaluaciones subsecuentes de PISA. El trabajo mediante secuencias didácticas puede ser una herramienta útil que permite mejorar las competencias de los alumnos en el marco teórico de PISA y en concordancia con los propósitos del plan de estu- dios. La siguiente es una secuencia didáctica que desarrolla el contenido de Cantidad y abarca los siguientes apartados:
Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y deci- males en distintos contextos.
Resolver problemas que impliquen la multiplicación y la división con números fraccionarios en distintos contextos.
Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.
Resolver problemas que impliquen la división de números deci-
males en distintos contextos. Se puede desarrollar en cinco sesiones y se recomienda que el do- cente vaya guiando a los alumnos en la aplicación de los procesos de reproducción, conexión y reflexión a la consecución de los aprendizajes esperados. Los conocimientos y habilidades de esta secuencia corresponden al bloque II y al bloque III de primer grado, por lo que se puede em- plear para estudiar estos apartados, o bien para aplicarla luego que se hayan tratado los cuatro apartados. Se propone desarrollarla en cinco sesiones.
Construyendo la cancha de fútbol para una escuela
Secuencia didáctica para primer grado Contenido: Cantidad Programa: (G1- BII - A 2.1, 2.2, 2.3; GI – BIII –A 3.1) (Grado primero, Bloques I y II; Apartados 2.1, 2.2, 2.3 y 3.1) Sesiones: cinco Contexto: Personal Propósito: Que los alumnos comprendan el significado de las operacio-
nes con números fraccionarios y decimales en diversos contextos, me- diante procesos de reproducción, conexión y reflexión que les permitan ir desarrollando competencias. Aprendizajes esperados
• Resolver problemas que impliquen efectuar operaciones con nú- meros fraccionarios y decimales.
• Analizar, comparar, jerarquizar y reflexionar en los procedimien- tos para resolver problemas con fracciones y decimales y su apli- cación en diversos contextos.
• Organizar e integrar sus actividades para resolver las interrogan- tes de estas sesiones, que los alumnos presenten propuestas de solución, colaboren con sus compañeros y mantengan una actitud de disposición y apertura en el estudio de estos contenidos. Procesos que se estarán practicando: reproducción, conexión y re- flexión. Habilidades que se van desarrollando: Resolución de problemas, argu- mentación, manejo de técnicas y comunicación.
SESIÓN 1. Estimando las medidas de nuestra cancha de fútbol
1. Que los estudiantes trabajen en equipos leyendo este problema y resuelvan las interrogantes. Los padres de familia de una escuela secundaria han comprado un terreno
anexo para construir una cancha de fútbol en la que jueguen los alumnos. El terreno mide 80 metros de largo y 60 metros de ancho.
a) ¿Qué cantidades estiman que se deben destinar para la cancha si han de de- jar 1/5 de terreno para bancas y 1/8 para baños, bebederos y área de jar- dín?
b) ¿Qué operaciones se hacen para saber cuánto terreno queda para las canchas quitando el terreno de los baños y bebederos?
• El docente planteará el problema a los alumnos destinando entre 15
y 20 minutos para que ellos, reunidos en equipos, lo resuelvan.
• Motivar a los alumnos a que hagan la traducción e interpretación de los procedimientos por los que se puede resolver el problema, que empleen los cálculos necesarios y mediante la reunión de ideas y procedimientos matemáticos busquen respuestas.
• Estar atento a los procedimientos que los equipos van realizando, dejándolos proponer y guiándolos mediante preguntas que los hagan reflexionar sobre algún error.
• Observar el trabajo de los equipos para que a la hora de la puesta en común se puedan hacer precisiones sobre los procedimientos
y las respuestas presentadas.
• Posteriormente se hará una confrontación de ideas en torno a los procedimientos y respuestas encontradas, así como las dudas que se tuvieron, tanto para realizar las estimaciones como para las operaciones.
• La fase de estimación es importante para que el alumno tenga una idea aproximada de la respuesta y tenga un punto de partida para buscar procedimientos de solución, por lo que es muy importante que el maestro promueva que los alumnos presenten ante el gru- po cómo hicieron su estimación.
• Es importante que se haga la debida conexión de ideas en rela- ción a las operaciones que se emplearán para resolver el inciso c
donde los alumnos han de realizar varias operaciones para llegar a las respuestas correctas.
• Luego se llegará a conclusiones dejando en claro los diversos proce- dimientos y la solución correcta a las tres preguntas del problema.
SESIONES 2 y 3. Diseñando el estacionamiento de la escuela
Los padres de familia de esa escuela secundaria observaron que el
terreno para la cancha de fútbol era muy grande y decidieron quitar
160 metros cuadrados para un estacionamiento, en un terreno rec-
tangular de 16 metros de frente por 10 metros de fondo.
Le pidieron a un grupo de primer grado que, guiados por su
maestro de Matemáticas, hicieran un diseño para saber cuántos ca-
rros cabrían en el estacionamiento, pensando que cada espacio para
cada carro midiera 3.75 metros de ancho y 4.20 metros de largo, y
dejando espacio para entrada y salida de vehículos y teniendo la en-
trada por la parte más larga del terreno que da a la calle de la que se
dejarán 6.85 metros para que haya espacio para entrar y salir.
2.-El maestro de matemáticas pidió a sus alumnos que analicen
la propuesta de los padres de familia y hagan los trazos necesarios
y operaciones para contestar las siguientes preguntas. Reúnanse en
equipos de cuatro.
¿Cómo sería su diseño del estacionamiento tratando de
aprovechar al máximo el terreno rectangular?
Aproximadamente ¿cuántos carros cabrían?
Diseño del estacionamiento
Frente 16 metros
Fondo 10 metros
• La primera sesión de estas clases se dedicará a que los alumnos trabajen en equipos y se pongan de acuerdo sobre el diseño del estacionamiento de acuerdo a las condiciones que se les dan.
• Los equipos entrarán en una etapa de reflexión, analizando las operaciones a realizar y teniendo creatividad para el diseño, que cubra los requisitos.
• El docente los animará para que pongan en juego la compren- sión, reflexión y creatividad para identificar o enlazar conocimien- tos sobre unidades de medida, uso de instrumentos de medición,
resolución de operaciones con números decimales y, sobre todo, las condiciones del problema planteado.
• Cada equipo tendrá distintas ideas de cómo distribuir los espa- cios en su diseño de acuerdo a las medidas, lo cual es permitido y ahí el maestro hará notar lo que cada equipo hizo para llegar a solucionar no sólo las operaciones sino también el diseño.
• En la segunda sesión se darán a conocer los resultados y se reali- zará la confrontación, haciéndose las preguntas ¿por qué se eligió tal o cual diseño? observando quienes supieron aprovechar mejor el terreno.
• Se procurará que cada equipo comunique sus resultados y sobre todo las operaciones que tuvieron que realizar para llegar a las respuestas, que por supuesto serán diferentes, y se observará si cumplieron con las restricciones que presenta el problema.
• Se concluirá concretando qué operaciones se realizaron y cuál di- seño es el más adecuado tomando en cuenta el que sea más útil.
• Finalmente se nombrará un equipo representante del grupo para que presente las propuestas a los padres de familia.
SESIÓN 4. Las medidas de la cancha de fútbol
El director de la secundaria llamó a los capitanes de cada equi-
po de fútbol para que acomoden las porterías y tracen la cancha de fútbol, que no va a ser profesional, sino que se va a ajustar a las medidas del terreno.
A ellos se les informó que se dispone de un terreno rectangular
de 77 metros de largo por 40 metros de ancho y en ese terreno ellos señalarán los espacios para:
a) Los postes de la portería con una separación entre sí de 7.25
b) La línea media.
c) El círculo central de 8.25 metros de diámetro.
d) El área chica a 2.5 metros de cada poste de la portería, te-
niendo como superficie 61.25 metros cuadrados. ¿Qué dimensiones tendrá?
e) El área grande a 2.5 metros del área chica y con una superficie
de 138 metros cuadrados. ¿Qué dimensiones tendrá?
f) El tiro de penal que va a estar en dirección al centro de la por-
tería a la mitad de la distancia entre el área chica y el área grande.
d) El área penal de 11.5 metros de cada portería.
Los capitanes se reunieron e hicieron las operaciones correspon- dientes para delinear la cancha.
3.-Reúnanse en equipos y hagan las operaciones necesarias para saber ¿qué medidas pusieron los capitanes en todos los espacios notables de la cancha?
• El docente pedirá a sus alumnos que hagan una investigación de las características de la cancha de fútbol.
• En la sesión se destinará un tiempo para que los alumnos reuni- dos en equipos trabajen sobre el problema que se plantea.
• El docente los motivará para que involucren las cantidades y ope- raciones necesarias para dar respuesta al problema. Es necesario que se busque que los alumnos movilicen su comprensión para identificar conceptos o enlazar conocimientos de distintas proce- dencias que les pueda servir para dar respuesta al problema.
• Durante la confrontación grupal se darán a conocer los procedi- mientos empleados para dar las medidas que se les piden.
• Se cerrará la sesión con el trazo de la cancha y las medidas soli- citadas, haciendo el maestro hincapié sobre los procedimientos empleados y las respuestas correctas.
SESIÓN 5. El torneo de fútbol
4.- De manera individual, analiza el siguiente problema y trata de dar respuestas a las preguntas.
Por fin llegó el día de estrenar la cancha de fútbol, para lo cual se organizó un torneo en el que participaron un equipo representante de cada uno de los 12 grupos de la secundaria.
Los maestros de educación física, organizadores del torneo, dis- tribuyeron las comisiones entre algunos grupos.
los grupos uno y dos les tocó pintar con cal el perímetro de la
cancha, para lo que les dijeron que con 2.5 kilogramos de cal se
completa para 1/6 del perímetro de la cancha. ¿Cuántos kilogra- mos de cal deberán de comprar aproximadamente?
Durante el torneo las alumnas de los grupos tres y cuatro van a vender aguas frescas, para lo que una madre de familia les pre- paró tres recipientes de limonada de 13.75 litros cada una y la
van a vender en vasos de 1/4 de litro. ¿Cuántos vasos de limo- nada venderán? ¿cuál será su ganancia si venden el vaso a $ 5.50
han de pagar a las madres de familia $215.50 de los gastos?
A los grupos 11 y 12 les tocó hacer los banderines para cada equipo y entre otros materiales compraron 35 metros de listón verde para hacer cortes de 3/5 cada uno, y 28 metros de listón amarillo para hacer cortes de 2/7 cada uno, ¿cuántos cortes de listón sacan de cada pieza? ¿cuántos metros de listón necesitan para los 12 banderines, si esos que compraron se emplea para 1/3 de los banderines?
Finalmente revisa los problemas de todas las sesiones y contesta si se ocupó todo el terreno o cuánto sobró.
• Este problema requiere la reunión de ideas y procedimientos ma- temáticos para resolver estos problemas que requieren del uso de varias operaciones; para contestar las preguntas se destinará unos 20 minutos para que cada alumno trabaje.
• En la sesión grupal los alumnos comunicarán las operaciones que
necesitaron realizar y los diversos procedimientos que emplearon.
• Como ya es el cierre de la secuencia didáctica es conveniente que se concrete el empleo de las operaciones de fracciones y núme- ros decimales para que todos los alumnos puedan aplicarlos en los diversos contextos. Se hará mención de los procedimientos que se emplearon durante la secuencia didáctica.
• En esta secuencia se estarán trabajando los siguientes conoci- mientos y habilidades: primer grado, bloque II y III, apartados:
Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y de- cimales en distintos contextos.
Resolver problemas que impliquen la multiplicación y la divi- sión con números fraccionarios en distintos contextos.
Resolver problemas que impliquen la multiplicación de núme- ros decimales en distintos contextos.
Resolver problemas que impliquen la división de números de- cimales en distintos contextos.
Comentarios sobre la evaluación de esta secuencia didáctica
En este tipo de problemas se espera que los alumnos empleen diferentes tipos de representación de acuerdo con las preguntas que se les hacen en los problemas y también busquen diversos caminos para dar respuestas,
también se requiere que hagan conexiones entre las diferentes afirmacio- nes que se les presentan y puedan enlazar ideas de posibles soluciones a las situaciones planteadas. Al presentar a los alumnos diversos problemas en un determinado contexto se busca que desde el inicio se vaya evaluando formativamente en dos líneas:
• ¿Cómo es el desempeño de los alumnos?
• ¿Cómo se van desarrollando las competencias de los alumnos?
• ¿Qué procesos se están aplicando?
El docente en todo momento ira observando el trabajo de los alumnos e irá registrando algunos indicadores que den muestra del progreso en estos aspectos. Algunos indicadores pudieran ser:
• El alumno va desarrollando autonomía en la resolución de los pro- blemas.
• Aporta en su equipo ideas para solucionar y argumenta estas ideas.
• Muestra avance en la formalidad matemática de sus procedimientos.
• Comunica con seguridad sus ideas de solución y tienen participa- ción en las sesiones grupales. Estas evaluaciones pueden ser de índole cualitativa y empleando una determinada escala.
Evaluación formativa de aplicación de procesos y desarrollo de competencias
¿Muestra
¿Presenta avance para
¿Va avanzan- do en la pre- sentación de sus argumen- tos partiendo de una expli- cación prag- mática a una apoyada en axiomas?
¿Reproduce procedimientos conocidos para resolver proble- mas, incluye la definición de hechos, la rea- lización de cál- culos y proce- dimientos de rutina?
¿Requiere la re- unión de ideas y procedimientos matemáticos para resolver problemas no rutinarios en escenarios fami- liares?
¿Moviliza la com- prensión, re- flexión y crea- tividad para identificar con- ceptos o enlazar conocimientos de distintas proce- dencias?
pasar de los
mía en la resolución de proble- mas?
tos informa- les a los pro- cedimientos expertos?
¿Abarca la formu- lación y solución de problemas complejos?
Desarrolla una aproximación matemática y ca- pacidad de gene- ralización.
¿Considera la cons- trucción de mo- delos, traducción, interpretación y solución de proble- mas estándar?
Cómo es el desempeño de cada alumno en relación a:
• sus participaciones en el trabajo de equipo
• alguna tarea que haya encargado el docente
• la comunicación que hace de los procedimientos encontrados
• la participación en la confrontación de ideas en las sesiones gru- pales
• las respuestas correctas que presenta, ya sea individual o en equi- po, de los problemas planteados
• el empleo correcto de los algoritmos tratados
• la disposición para el trabajo que se va presentando
• los diversos procedimientos planteados como respuesta a los problemas Es importante que en el transcurso de esta secuencia el docente vaya ob- servando si los alumnos están aplicando los procesos que se quieren desarro- llar: reproducción y conexión, en el trabajo diario y continuo del alumno. Los siguientes formatos son sugerencias para evaluar el desempeño del alumno en el trabajo individual, de equipo y las tareas, además de los exámenes que el docente aplique.
Formato para evaluación Nombre del alumno(a) Trabajo en equipo
-Se interesa por el tra- bajo en equipo y se in- tegra con sus compa- ñeros.
-Escucha las aportacio- nes de los compañeros con respeto y participa continuamente.
-Se interesa por el trabajo en equipo y se integra con sus compañeros.
-Se interesa por el trabajo en equipo y se in- tegra con sus compañeros.
-Se interesa por el trabajo en equipo y se integra con sus compañe- ros.
-Escucha las
-Escucha las aportaciones de los compañeros con respeto y parti- cipa continuamente.
-Escucha las aportaciones de los compañeros con respeto y participa continuamente.
-Propone soluciones a los problemas que se le presentan al equipo.
-Propone soluciones a los problemas que se le presentan al
-Argumenta para explicar, mostrar o justificar el problema.
con respeto y participa
continuamen-
-Presenta, junto con su equipo, estrategias correc- tas de solución.
Formato para evaluación Nombre del alumno(a) Trabajo individual
-Elige adecuadamente las operaciones o procesos al resolver un problema.
-Elige adecuada- mente las opera- ciones o procesos al resolver un pro- blema.
-Elige adecuada- mente las ope- raciones o pro- cesos al resolver un problema.
-Tiene iniciativa
-Elige adecuadamen- te las operaciones o procesos al resolver un problema.
-Tiene iniciativa para pro- poner estrategias de so- lución.
-Tiene iniciativa para proponer estrategias de solución.
-Identifica, plantea y re- suelve distintos tipos de problemas.
-Tiene iniciativa para proponer es- trategias de solu- ción.
-Identifica, plantea y resuelve distintos ti- pos de problemas.
-Identifica, plan- tea y resuelve distintos tipos de problemas.
-Resuelve problemas em- pleando más de un pro- cedimiento.
-Resuelve problemas empleando más de un procedimiento.
-Comunica con claridad las ideas matemáticas en- contradas.
M A T E M á T I C A S Formato para evaluación Nombre del alumno(a) Tareas Indicadores
-Realiza completa y autónomamente su tarea.
-Realiza completa y autónomamente su tareas.
-Emplea las herramientas matemáticas que conoce, para realizar su tarea y la hizo correctamente.
-Realiza y com- pleta
-Reafirmó los conocimientos y habilidades mediante la tarea y la entregó a tiempo.
autónoma-
-Realizó su tarea y comunica al grupo sus procedimientos de solución.
-Realiza y completa autónomamente sus tareas.
su tareas.
-Emplea las herramientas matemáticas que conoce, para realizar su ta- rea
y la hizo correctamente.
-Profundizó en la tarea solicitada investigando en otras fuentes y esforzándose por presentarla de de manera creativa.
La siguiente es una secuencia didáctica que desarrolla el contenido de Cantidad y corresponde al apartado:
1.3 Construir sucesiones de números a partir de una regla dada.
Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas. Se sugiere emplearla para que los alumnos estudien este apartado, que corresponde al Bloque I de primer grado. Se propone desarrollarla en tres sesiones. En esta secuencia se pretende que los alumnos trabajen con sucesio- nes primeramente de figuras, luego con números y buscando las figuras o números que continúan o bien las que ocupan un determinado lugar; al principio los alumnos podrán tratar de dibujarlas o ir contando hasta llegar al lugar que se les pidió, pero se darán cuenta de que son proce- dimientos largos y muchas veces no son efectivos, por lo que se les crea
la necesidad de buscar una regla para las sucesiones: el docente los guia- rá a enunciar la regla primeramente en forma verbal y luego algebraica- mente.
EJERCICIOS CON NÚMEROS y FIgURAS
Contenido: Cantidad Programa: GI BI A 1.3 (Grado primero, Bloque I, Apartado 1.3) Sesiones: tres Contexto: Educativo Propósito: Que los alumnos representen sucesiones numéricas o figura- tivas a partir de una regla dada y viceversa. Determinen expresiones ge- nerales que definan las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.
• Determinar las expresiones generales que definen las reglas de las sucesiones numéricas y figurativas
• Buscar regularidades, formularlas y producir argumentos para va- lidarlas
• Observar, analizar y comparar las sucesiones para que enuncien verbalmente, y de manera simbólica-algebraica, la regla que da lugar a una sucesión determinada.
• Trabajar colaborativamente y participar en la confrontación gru- pal teniendo una buena disposición para lograr los aprendizajes que se proponen.
Procesos que se estarán practicando: reproducción, conexión y re- flexión Habilidades que se van desarrollando: Resolución de problemas, ma- nejo de técnicas, argumentación y comunicación.
SESIÓN 1. Resolviendo ejercicios con números y figuras
El maestro Luis y sus alumnos están haciendo ejercicios con números y con figuras y cada uno plantea a todo el grupo un problema donde in- tervengan los números o figuras que tengan una relación.
a) Un equipo planteó lo siguiente:
“Cada vez que se suman dos números consecutivos el resultado es un número impar”. ¿Están de acuerdo con lo que plantearon en este equipo? ¿Por qué? Argumenten sus respuestas y escriban tres ejemplos. Reunidos en binas
b) Otro equipo realizó el siguiente diseño de figuras e hizo estas
figura 100? ¿Qué procedimientos siguieron para saber cuántos octágonos tienen la figura 100? Den a conocer sus procedimientos.
¿Cuántos octágonos tendría una hipotética figura 10
c) Un tercer equipo planteó también diseños de figuras como las si-
Observen las figuras que representan la parte de una pared, tomen en cuenta que cada cuadrito tiene un perímetro de 4 cm. ¿Cuál será el perímetro de la figura que represente la pared 11 y la pa- red 50, sin que las tengas que dibujar? Con tu equipo responde.
• Se plantearán los problemas y se destinará un tiempo de la sesión para que los equipos trabajen, se les animará a que observen las sucesiones y contesten lo que se les pide.
• Se cuidará que vayan analizando las que ya se tienen y comenten entre ellos los procedimientos mediante los cuales llegaron a las respuestas.
• Tal vez los alumnos digan las formas por las que llegaron a en- contrar las figuras que faltan, lo que el maestro aprovechará para que entre todos lleguen a la generalización de la regla, tomando en cuenta que n es la posición de la figura en la sucesión.
• Es muy importante que entre todos vayan descubriendo cómo lle- gar a las reglas que siguen cada una de las sucesiones presenta- das.
• En esta actividad el maestro estará motivando a los alumnos a que observen, analicen, reflexionen y encuentren las relaciones que hay entre las figuras para poder encontrar las reglas.
SESIÓN 2. ¿Qué operaciones hace aquí la calculadora?
En esta clase los alumnos y el maestro siguen trabajando ejercicios de números y de figuras. El maestro les mostró esta calculadora en la que se teclean algunas expresiones y se siguen obteniendo algunas sucesiones. Reunidos en binas analícenlas y encuentren, ¿qué operaciones hace la calculadora?
• Escriban con sus palabras las operaciones que hace la calculadora.
• Elaboren una expresión que represente la regla de cada suce- sión.
• ¿En qué lugar de la sucesión van las cantidades que están a la de- recha de las segundas flechas?
1, 4, 9, 16…
100, 121, 144
800, 8 000, 80 000…
101, 201,1001…
0, 1, 2, 3……
100, 101, 102,……
• Después de que en la clase anterior los alumnos trabajaron algu- nas sucesiones tratando de encontrar algún lugar de la sucesión, ahora se les guiará a encontrar la expresión o regla que éstas si- guen.
• Después del trabajo de binas, se hará el intercambio de ideas so- bre las operaciones que creen que realiza la calculadora.
• Se motivará a los alumnos a que comuniquen verbalmente las operaciones o las reglas que encontraron para cada sucesión.
• Una vez que encontraron las reglas, se les pedirá que las apliquen para que encuentren otras posiciones.
• En estas actividades se busca que los alumnos trabajen de mane- ra efectiva con modelos simples de situaciones complejas, usen habilidades de razonamiento en diferentes contextos, interpreten diferentes representaciones de una misma situación, analicen y apliquen relaciones cuantitativas así como a usar diferentes habi- lidades de cálculo para la solución de problemas.
• Se cerrará la clase observando que les quede claro a los alumnos cómo elaborar las reglas para algunas sucesiones y cómo aplicar- las para encontrar algunas posiciones que se les pida.
SESIÓN 3. Resolviendo sucesiones numéricas
Finalmente, el maestro Luis pidió a los alumnos que resolvieran algunos problemas donde se aplican las sucesiones numéricas, y dijo que va a
dar puntos extras en la calificación a los equipos que los resuelvan bien. Reúnanse en equipos de tres y propongan soluciones para los proble- mas planteados por el maestro.
a) En una finca en forma de trapecio hay plantadas 19 filas de naran-
jos, en la primera hay 39 árboles y en la última 93.
¿Cuántos naranjos tiene la finca?
¿Cuántos árboles hay en la fila central?
Escriban los primeros 5 términos de las siguientes sucesiones nu-
méricas y analicen ¿cuáles números de la derecha forman parte de la su- cesión?
¿Qué elementos forman parte de la sucesión?
7n + 7
57, 77, 700, 775
3n -1
8, 89, 90, 91
5, 10, 72, 81, 94,
6n – 2
4, 103, 118, 602
1, 8, 9, 27, 125, 625
• Esta tercera sesión tiene como finalidad que los alumnos obser- ven algunas aplicaciones de las sucesiones numéricas y traten de resolver los problemas planteados.
• Con esta actividad se cierra la secuencia didáctica, por lo que es importante que se lleguen a conclusiones concretas acerca de:
¿cómo se obtienen los términos de una sucesión, los que siguen, el enésimo, etcétera?
• ¿Cómo se obtiene una posición de una sucesión? ¿qué reglas se están siguiendo en las sucesiones trabajadas?
• Con estos conocimientos y habilidades se trata de continuar con el desarrollo del pensamiento algebraico; se pueden enunciar las re- glas primero verbalmente y luego de manera simbólica hasta llegar a la expresión algebraica usual donde n representa la posición.
• En esta secuencia se estarán trabajando los siguientes conoci- mientos y habilidades: primer grado, bloque I, apartado:
– Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas. Los comentarios sobre la evaluación de la secuencia son semejantes a los de la secuencia anterior.
III.- Recomendaciones para el trabajo con otros docentes
Los maestros aprenden haciendo, leyendo y reflexionan- do (de la misma manera que los estudiantes), a través de la colaboración con otros maestros, observando muy de cerca el trabajo de los estudiantes y compartiendo lo que observan. Este tipo de aprendizaje permite a los maestros pasar de la teoría a la práctica . Linda Darling-Hammond y Milrey W. McLaughlin
La enseñanza de las Matemática se ha transformado en los últimos años, ya que debe responder a nuevas exigencias sociales y a los cambios que culturalmente se hacen en el mundo. A la asignatura, como disciplina teórica y parte del acervo cultural de la humanidad, se agregan las innu- merables aplicaciones que se tienen en la vida cotidiana, en la ciencia y las diferentes ramas de la investigación y al surgimiento de nuevas pro- puestas didácticas sobre esta materia. Todo esto hace pensar en nuevas formas para que el alumno aprenda y aplique los conocimientos matemá- ticos en su vida cotidiana y, por consecuencia, el docente busque otras formas de enseñanza. Esto amerita un cambio en el proceso de enseñanza-aprendizaje, de formas de estudio para que quien aprende pueda atender a las demandas que la sociedad le presenta. Por lo que los profesionales de la educación han de estar preparados para estos cambios. Ser profesor es un trabajo complejo, pues ahora no basta conocer el tema y explicarlo a los alumnos sino que la profesión docente demanda
nuevas competencias para los maestros, como lo señala Philippe Perre- noud en su escrito sobre las diez nuevas competencias para enseñar,
que van desde organizar y animar situaciones de aprendizaje, gestionar las progresión de los aprendizajes, trabajar en equipo hasta organizar la propia formación continua, etcétera (SEP, 2006). Estas competencias profesionales se van creando en la formación do- cente, pero también en el trabajo diario con los alumnos. El Plan de estudios y el Programa de Matemáticas 2006 contem- plan la formación de los docentes y el trabajo en el aula como una prioridad para el buen alcance del currículo, por lo que este último señala que “no basta que el maestro proponga a sus alumnos proble- mas interesantes para que reflexionen, sino que la escuela toda debe abrir oportunidades de aprendizaje significativo y para ello será de gran ayuda que los profesores compartan experiencias exitosas o no, pues hablar de ellas les permitirá mejorar permanentemente su traba- jo” (SEP, 2006: 13). Aquí cabe hacer una reflexión sobre el trabajo colegiado que ha de asumir un centro o una zona escolar donde los maestros comparten dia- riamente con sus alumnos y con sus compañeros. El maestro que forma parte de un colectivo docente sabe que el traba- jo en equipo favorece una mayor integración y especialización, e impulsa alternativas de acción:
• la ampliación del compromiso y la responsabilidad
• el aumento de los logros
• el acuerdo sobre los parámetros de calidad
• la resolución de más problemas
• la toma decisiones más eficaces
• una mayor flexibilidad
• una ampliación del poder creativo y la autonomía,
• el aumento del sentido de los sujetos en su desempeño
Algunas sugerencias para el trabajo entre docentes:
• Compartir con los demás colegas el enfoque que le damos a la asignatura y verificar si vamos por el “rumbo” correcto.
• Analizar juntos el Plan de estudios, el Programa 2006 de Mate- máticas y todos los materiales que se les proporcionen para tener bien claro hacia donde orientamos a nuestros alumnos.
• Autoevaluarnos a partir del dominio de las competencias docen- tes y proponernos metas concretas para mejorar.
• Elaborar un trayecto de formación de acuerdo a las necesidades de cada docente.
• Formar comunidades de estudio en el propio centro escolar don- de los docentes se retroalimenten y se pueda profundizar en te- mas del programa en los que se tenga poco dominio.
• Buscar la ayuda de profesionales de las Matemáticas para que nos ayuden en algunos temas en particular.
• Intercambiar aspectos de metodología que nos hayan resultado exitosos, formas de evaluar y materiales didácticos que puedan enriquecer el trabajo del aula.
• Realizar, desde que se inicia el ciclo escolar, talleres para conocer material didáctico, en donde a cada docente se le comisione para
hacer algún material, se puedan intercambiar y todos los alumnos los puedan conocer.
• Analizar todo lo relacionado a los planes de clase, contestarlos, ver posibles dificultades, estar atentos a las consideraciones pre- vias y seleccionar los materiales con los que nos vamos a apoyar, todo esto en trabajo colaborativo.
• Auto formarnos en aspectos de tecnología educativa, practicando el uso de la computadora, de las calculadoras, del Internet, em- plear software educativo para enriquecer nuestras clases, analizar lo que nos proponen las páginas Web.
• Comunicar estrategias de trabajo en equipo que nos hayan dado buen resultado
• Elaborar un plan de lecturas de formación técnica de contenidos y pedagógica que analizaremos en cada reunión.
• Planear las formas de evaluación que vamos a aplicar en los di- ferentes aspectos en el transcurso del ciclo escolar, así como los instrumentos con los que se va a calificar.
• Formular los rasgos que vamos a emplear en la asignatura para observar las líneas de progreso del desarrollo de las compe- tencias, así como los formatos que vamos a aplicar para este aspecto.
• Buscar estrategias de ayuda para aquellos alumnos que tengan dificultades con el trabajo en la asignatura, los reprobados en el año anterior, los que faltan a clases, los que están por desertar, los que no tienen apoyo de sus padres y los que no cumplen con tareas. En forma particular trabajar en cada caso e intercambiar ideas para mejorar estas situaciones.
• Planear algún proyecto con otras asignaturas y trabajar en él para fomentar la transversalidad de las competencias.
• Organizar formas de comunicación con los padres de familia, ya sea para solicitar su apoyo en los casos de alumnos que lo nece- siten o bien para motivarlos a ayudar a sus hijos.
• Buscar las estrategias para formar una verdadera comunidad edu- cativa donde participen todos los integrantes de nuestro centro escolar (alumnos, docentes, directivos, administrativos, padres de familia).
• Favorecer el diálogo con otros profesionales fuera de la escuela que por materia o por tema intercambien puntos de vista y co- mentarios que ayuden a la práctica docente.
• Formar redes de comunicación vía Internet con docentes de otras escuelas para enriquecernos mutuamente con sus experiencias.
• Establecer compromisos de ayuda mutua en relación a las prácti- cas áulicas, partiendo de las observaciones hechas por nuestros colegas y de los resultados que se vayan obteniendo en las eva- luaciones programadas.
• Mostrar buena disposición para el cambio, si es necesario, o para desaprender, si la situación lo requiere, con base en los comenta- rios de nuestros compañeros.
• Permitir la evaluación entre colegas para discutir sobre la ense- ñanza y el aprendizaje.
• Asumir el papel de maestros investigadores de prácticas docentes innovadoras que ayuden al crecimiento de todos los profesores.
• Rediseñar las estructuras de la organización escolar de manera que promuevan activamente el aprendizaje y la colaboración y ayuden en los problemas de la práctica docente, propiciar espa- cios donde los maestros puedan trabajar y aprender juntos.
• Vivir procesos de autorregulación, que permitan que el docente reflexione junto con sus colegas sobre su trabajo para así enri- quecerse y fortalecer su labor. Son muchas las actividades que un colectivo docente puede empren- der para mejorar, por lo que es buena medida que el maestro experimen-
te tanto el rol de estudiante como de maestro, para que pueda enfrentar las dificultades que cada uno de estos roles requiere, también ayudará el trabajo de colaboración en la comunidad escolar en la que se desempeña, donde ha de estar dispuesto a compartir sus experiencias y a trabajar en equipo recibiendo las aportaciones de otros compañeros que le ayudarán
a retroalimentar su trabajo áulico, con esto se busca tener mejores resul-
tados de los alumnos tanto en el desempeño escolar como en el desarro- llo de competencias. No hay que olvidar que el profesional de la educación se apoya en la experiencia, en la formación continua y en la resolución colectiva de los problemas específicos que se le presentan, dando así respuesta a la so- ciedad que demanda alumnos competentes para la vida productiva. Finalmente, se recuerda que desde que un maestro se integra a una escuela ya forma parte de ese equipo de trabajo y ha de tomar en cuenta que los equipos no son un fin en sí mismos, sino que son un medio para abordar o resolver un problema o cumplir un propósito determinado, en este caso elevar la calidad educativa de su escuela.
IV.- Recomendaciones para el trabajo con la familia
Las Matemáticas no sólo se enseñan y se aprenden, sobre todo se estudian y se usan Guía de Trabajo de Matemáticas, Reforma en Secundaria 2006
Partiendo de esta afirmación, se recuerda que el estudio de las Matemá- ticas no sólo es un tema exclusivo de la escuela, sino que los ámbitos donde se utiliza se extienden hacia todas las actividades de la vida co- tidiana, ahí los alumnos han de ser capaces de mostrarse competentes
para aplicar los aprendizajes de esta y otras asignaturas y responder así
a las necesidades que se les presentan.
Los padres de familia forman parte fundamental del acompañamiento que necesita el alumno en relación a la vida escolar. Es frecuente escuchar
a los padres quejándose porque sus hijos no aprenden Matemáticas, o que
reprobaron en esta asignatura. En relación al estudio de las Matemáticas, los padres de familia han de asumir un compromiso de apoyo a lo estudiado en
la escuela. Algunas formas de llevar a cabo este seguimiento son:
• Ante todo, fomentar una actitud positiva hacia el estudio, hacia el trabajo escolar, dándose cuenta que ningún aprendizaje es difícil
si se pone empeño y se señalan metas a corto plazo y se practican estrategias para cumplirlas.
• Reforzar el aprecio por las propias capacidades de sus hijos, ante todo, sus capacidades matemáticas, a través de una motivación constante: si el alumno se equivoca, asumir el error como un me- dio para seguir aprendiendo.
• Estar pendientes en los cambios en la metodología en la ense- ñanza de la asignatura. Antes el docente explicaba la clase, los alumnos escuchaban y luego practicaban lo aprendido; ahora es el alumno quien interactúa con el problema que se le plantea y mediante un trabajo colaborativo de enriquecimiento permanente busca procedimientos que lo lleven a la respuesta de los proble- mas planteados, el alumno asume la responsabilidad de su pro- pio aprendizaje y el maestro es un guía, un facilitador del estudio. Aquí los padres, desde el hogar, han de apoyar esta forma de asu- mir los aprendizajes.
• Enterarse que ahora el trabajo en el aula busca el desarrollo de competencias que se desarrollan tanto en la escuela a través de las asignaturas como en el hogar y en la vida social.
• El programa de educación secundaria tiene como meta un perfil de egreso en el que sobresale que el alumno desarrolle competen- cias para la vida. Los padres de familia han de conocer este perfil de egreso para que conozca el perfil de alumno que se busca.
• Facilitar a sus hijos el trabajo en algún proyecto que se emprenda en la escuela, ayudándolos a investigar, apoyándolos con los ma- teriales que necesiten.
• Fomentar en sus hijos las ideas creativas que se pongan en prác- tica en las tareas y trabajos que se realicen.
• Resolver acertijos y ejercicios de habilidad mental para que sus hijos vayan poniendo en práctica procesos cognitivos.
• Estar pendientes de las tareas de sus hijos, investigaciones, reso- lución de problemas, etcétera, y apoyarlos hasta donde sea posi- ble.
• Aprovechar las oportunidades que se presenten para guiar a su hijo hacia la reflexión, el cálculo mental, la argumentación, la co- municación de ideas sobre la solución de situaciones problemá- ticas.
• Tener en casa materiales de lecturas interesantes para sus hijos y motivarlos a leerlos, tal vez con el propio ejemplo.
• Aprovechar los medios de comunicación para que sus hijos estén enterados de los que sucede a su alrededor, sobre todo en aspec- tos culturales, científicos y tecnológicos. Leer notas periodísticas, interpretar gráficas y/o tablas sobre juegos, equipos, etcétera.
• Proveer, en la medida de lo posible, de materiales de tecnología educativa (computadoras, calculadoras, Internet) y de oportunida- des para que sus hijos a través de estos medios investiguen, co- nozcan y apliquen los conocimientos.
• Permitir que sus hijos realicen cálculos de las compras de la sema- na, o de los gastos del hogar para que desarrollen sus habilidades de conteo y cálculo básicos.
• Apoyar a sus hijos en el planteamiento de un proyecto de vida, donde el estudio sea una parte fundamental de sus metas.
• Dar confianza a su hijo para que reconozca sus habilidades para aprender cualquier asignatura, si se lo propone. Tener un cuader- no de notas donde, en familia, se escriban las metas que se de- sean alcanzar en el ciclo escolar y revisarlo continuamente para ver si se están logrando.
• Conocer, a tiempo, los logros y las deficiencias de sus hijos a tra- vés de las evaluaciones que se realizan en la escuela para que, si es necesario, apoyarlos de una manera más cercana cuando sus hijos estén fallando en alguna asignatura.
• Mantener una constante comunicación con los maestros y con la escuela en general, pues finalmente padres, maestros y comuni- dad forman un equipo de apoyo para los estudiantes.
• Propiciar ocasiones donde se reflexione sobre el avance que se está teniendo en la formación escolar y familiar, para que el joven tenga una autorregulación constante. Sin duda, es el alumno quien, con su esfuerzo y buena voluntad, va a salir adelante y cumplir las metas que se proponga pero requiere del apo- yo de los adultos que lo rodean para salir avante de la educación básica, y los padres de familia juegan un papel fundamental, como ya lo hemos anotado, en este periodo de la educación de sus hijos.
V.- Recomendaciones sobre artículos o lecturas para los docentes
Bonals, J. (1996). El trabajo en equipo del profesorado. Barcelona: Graó. Collazos, C., L. Guerrero, A. Vergara (2001). Aprendizaje Colaborativo:
un cambio en el rol del profesor. Memorias del III Congreso de Edu- cación Superior en Computación, Jornadas Chilenas de la Compu- tación, Punta Arenas, Chile. Disponible en: http://www.dcc.uchile.
cl/~luguerre/papers/CESC-01.pdf
Darling-Hammond, L. y W. McLaughlin (2003). El desarrollo profesional de los maestros. Nuevas estrategias y políticas de apoyo. Cuader- nos discusión. (9). México. Harasim, L.; R. Hiltz, R. Turoff y L. Teles (2000). Redes de aprendizaje.Guía para la enseñanza y el aprendizaje en red. Gedisa. Barcelona Historia de Matemáticos Famosos: http://www.mat.usach.cl/histmat/ html/indice INEE (2006). La calidad de la educación básica ayer, hoy y mañana. Con- clusiones del Informe Anual sobre la Calidad de la Educación Bási- ca en México 2006. México: INEE. INEE (2005). PISA para docentes. La evaluación como oportunidad de aprendizaje. México: INEE. Ministerio de Educación de Chile (2006). Estándares en Tecnología de la Información y la Comunicación para la Formación Inicial Docente. Chile: Ministerio de educación. Murillo, F. (2003). El movimiento de investigación de Eficacia Escolar. En:
Murillo, F. J. (Coord.). La investigación sobre Eficacia Escolar en Iberoamérica. Revisión internacional del estado del arte. Bogotá:
Murillo, F. (2004). Un marco comprensivo de mejora de la eficacia esco- lar. Revista Mexicana de Investigación Educativa. Disponible en:
http://www.comie.org.mx OREALC-UNESCO. El derecho a una educación de calidad para todos en América Latina y el Caribe. pp. 11-19. Página del profesor de Matemáticas Antonio Pérez: http://platea.pntic.
mec.es/~aperez4/
Recursos didácticos de la S.A.E.M.Thales: http://thales.cica.es/ Salinas, J. (1997). Nuevos ambientes de aprendizaje para una sociedad de la información. Revista Pensamiento Educativo. Chile: PUC. Schmelkes, S. (1997). Educación para la vida: Algunas reflexiones en torno al concepto de relevancia de la educación. En: Ensayos so- bre educación básica, Documento DIE 50, DIE-CINVESTAV, IPN, México. Surdo, E. (1998). La magia de trabajar en equipo. Buenos Aires: Granita. SEP. Consejo de Especialistas para la Educación. Los retos de México en el futuro de la educación.SEP, México, 2006. UNESCO (2005). Hacia las sociedades del conocimiento. Informe Mundial. Ediciones UNESCO. Unidades Didácticas del Proyecto Descartes: http://www.cnice.mecd.es/ Descartes/
RESPUESTAS DE LAS SECUENCIAS DIDáCTICAS
SECUENCIA: Construyendo la cancha de fútbol para una escuela
a) 960 metros cuadrados para las bancas, 600 metros cuadrados para baños y bebederos.
b) 4800 - (1/5 x 4800) + ( 1/8 x 4800)
c) 3 240 metros cuadrados.
a) Los alumnos diseñarán de acuerdo a las medidas, el estaciona- miento en un terreno rectangular de 160 metros cuadrados, cada equipo hará su propio diseño y se elegirá como el mejor al que haya respetado las condiciones y optimizado el terreno.
b) La cantidad de carros dependerá del diseño que hayan hecho los equipos.
c) Las medidas aproximadas serían:
61.25 m 2
a) 15 kilogramos de cal para el perímetro.
b) 165 vasos; su ganancia será de $695.
c) Ocupan para todos los banderines 105 metros de listón verde y 84 metros de listón amarillo.
d) No sobró nada de terreno.
SECUENCIA: Ejercicios con números y figuras
• Porque al realizar la operación da como resultado un número impar.
b) 6+7= 13
c) Figura 10: 19 octágonos.
d) Figura 100: 199 octágonos.
e) Fórmula: 2n – 1, donde “n” es la posición.
f) Fórmula 2n + 6, donde “n” es la posición. Pared 11: Perímetro 28 Pared 50: Perímetro 106
1, 4, 9,16…100,121,144… 8, 16, 24,32…800,8 000, 80 000… 3, 5, 7,9…101,201, 1 001…
0,1,2,3…100,101,102…
Sucesión y lugar de la sucesión:
n 2 donde “n” es la posición 8n donde “n” es la posición 2n +1 donde “n” es la posición n-1 donde “n” es la posición
Primera sucesión
100, posición 10 121, posición 11 144, posición 12
Segunda sucesión
800, posición 100 8 000, posición 1000 80 000, posición 10 000
Tercera sucesión
101, posición 50 201, posición 100 1 001, posición 500
Cuarta sucesión
100, posición 101 101, posición 102 102, posición 103
a) La finca tiene 1254 naranjos
b) Hay 66 árboles en la fila central (fila 10)
14, 21, 28, 35,42…
3,4,5,6,,7
1,8,27,64,125,216
PROPUESTA DIDáCTICA PARA EL CONTENIDO Cambio y ReLaCiones demetrio Garmendia Guerrero
I. Secuencia didáctica
… consideramos que los docentes tienen derecho a contar con propuestas que funcionen, con recursos utilizables sin mayores sofisticaciones. Pero analizarlos e insertarlos en su proyecto son prácticas docentes indelegables e insustituibles. Cecilia Parra e Irma Saiz
Partimos del entendido de que una secuencia didáctica consiste en una sucesión de ejercicios adecuadamente organizados, desde el punto de vista de sus niveles de complejidad y profundidad, que se orientan a lograr un objetivo o propósito didáctico determinado con un grupo de alumnos. Siendo consecuentes con la definición anterior, se plantea la siguiente secuencia didáctica cuya finalidad es desarrollar los conoci- mientos y habilidades formulados en el apartado 1.6 de tercer grado (representación de la información en gráficas) del programa vigente de Matemáticas. Se sugiere que la secuencia se divida en al menos tres se- siones, sin que esto sea una condición inflexible. Contenido: Cambio y relaciones Sesiones: tres Contexto: Público Propósito: analizar la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se
modela con una función lineal y relacionarla con la inclinación o pendien- te de la recta que lo representa. Aprendizajes esperados:
• sean capaces de elegir la información pertinente para la resolu- ción del problema.
• puedan expresar con ecuaciones el problema.
• verifiquen la corrección y pertinencia de la expresión algebraica.
• puedan variar los datos del planteamiento inicial para modificar las expresiones matemáticas.
• elaboren las gráficas correspondientes.
Procesos involucrados: reproducción, conexión y reflexión Habilidades que se van desarrollando: resolución de problemas, argu- mentación, manejo de técnicas, comunicación.
¿Por cuál nos decidimos? (Tarifas de la compañía telefónica)
Sesión 1 Propósito de la sesión: que los alumnos sean capaces de discriminar la información útil de la innecesaria en situaciones cotidianas y puedan ex- presar mediante una ecuación el problema que se les plantea para, me- diante esa ecuación, constaten que la expresión algebraica es correcta al permitirles contestar una serie de preguntas. Desde hace tiempo la familia Hernández ha estado pensando en con- tratar un servicio de telefonía doméstica. La mamá de Francisco recibió
recientemente un folleto publicitario donde se presenta la información de la Compañía A y los servicios que ofrece. Ella le pidió a su hijo que le ayudara a decidir cuál paquete les convendría contratar. La empresa ofrece tres paquetes. Básico:
a) Costo de instalación: $1 000 por una línea o $389 por cada línea con- tratada, si se contratan dos o más líneas.
a) Costo de instalación: $1 000 por una línea o $289 por cada línea con-
tratada, si se contratan dos o más líneas.
a) Costo de instalación: $1 000 por una línea o $150 por cada línea con- tratada, si se contratan dos o más.
1. Plantea mediante una expresión algebraica las condiciones de cada pa- quete y verifica que la expresión matemática obtenida sea la correcta.
2. ¿Puedes decir en cuál de los paquetes el costo por llamada es más ba- rato? Justifica tu respuesta.
En esta primera sesión es conveniente que el profesor divida a la clase en equipos de cuatro a seis alumnos. En cada uno de ellos debe propiciar que se discuta al interior de los grupos el tipo de información que no es útil. Cuando hayan llegado a un consenso sobre este punto, debe refor- zar en los alumnos la habilidad de argumentación pidiéndoles que expre-
sen las razones que tuvieron para desechar o tomar en cuenta algún dato del planteamiento.
El profesor habrá de alentar en todo momento a los alumnos a que
se dé una discusión colectiva dentro de cada equipo abordando al principio el problema de manera intuitiva. El profesor debe asegurar- se de que en cada grupo se haya hecho una selección correcta de los datos. Una vez que los alumnos hayan discriminado la información, el maes- tro podrá orientarlos en la construcción de la expresión matemática (ecuación) haciéndolos reflexionar con preguntas como:
¿Qué tipo de expresión necesitan para que refleje los datos del pro- blema?
a) ¿Cuántas variables tendrá su expresión?
b) ¿Cuál sería la variable dependiente?
c) ¿Cuál sería la variable independiente?
O de manera alternativa, podría preguntar…
d) ¿Cómo se expresaría el costo de cada llamada en cada uno de los pa- quetes?
e) ¿Qué tipo de ecuación obtuvieron?
Resulta conveniente que el maestro ayude a que los alumnos pro- fundicen en su trabajo de construcción de conocimiento al plantear, de acuerdo con el avance que los alumnos engan respecto al objetivo pro- puesto, preguntas que les exijan pasar de los procedimientos intuitivos
a los procedimientos expertos. Por ejemplo, el profesor puede pedir que ya obtenida la expresión matemática adecuada, los alumnos contesten las siguientes preguntas:
las llamadas mensuales de la familia Hernández son más de 100
pero menos de 180, ¿cuál paquete le resulta más barato?
hacen más de 200 llamadas pero menos de 300, ¿cuál plan les con-
vendría?
la familia Hernández tuviera necesidad de dos líneas telefónicas y
en promedio hiciera 75 llamadas por línea, ¿qué paquete le convie- ne?
decidieran contratar dos líneas, el paquete que escogieron de acuer-
do con lo dicho en los incisos c) y d), ¿seguiría siendo el más barato? Justifica tu respuesta. Si no fuera así, expón las razones. Todas estas preguntas tienen el objetivo de que los alumnos tengan oportunidad de ejercitar el algoritmo que acaban de obtener y al mismo tiempo probar si la ecuación es correcta. Si el maestro decidiese seguir planteando estas preguntas entonces deberá organizar a los grupos para que primero trabajen en la obtención de la respuesta y, una vez obtenida ésta, se presente de manera grupal de tal forma que los demás alumnos puedan tener la oportunidad de validar o corregir su respuesta. La respuesta a la tercera pregunta servirá más adelante como vínculo entre el concepto de razón de cambio y su gráfica. En esta primera sesión sólo se requiere que determinen la constante correspondiente a cada pa- quete. En la tercera sesión se pedirá que comparen el efecto de modificar una variable sobre la pendiente de su respectiva gráfica.
Sesión 2 Propósito de la sesión: que sean capaces de modificar la expresión alge- braica que modele una situación determinada, cuando los datos varían y elaborar la gráfica de cada una de ellas. Recientemente uno de los hermanos de Francisco se fue a vivir a otro
estado de la República Mexicana. Al principio no se fijaron en las tarifas para llamadas de larga distancia que les ofrecía la compañía, pero al pe- dir información les dijeron lo siguiente:
a) Larga distancia nacional: $3.30 por minuto Intermedio:
a) Larga distancia nacional: $2.80 por minuto Intensivo:
a) Larga distancia nacional: 1.30 por minuto
1. ¿Cómo modifica lo anterior cada una de las expresiones algebrai- cas que obtuviste antes?
2. Con toda la información que has recabado, elabora una tabla para cada paquete y construye su gráfica correspondiente. Utiliza un mismo plano cartesiano para las tres gráficas diferenciando cada una con un color distinto.
3. Describe el procedimiento que utilizaste para hacer cada una de las gráficas.
El maestro quizá considere que para el primer punto de esta sesión sea mejor que sus alumnos trabajen de manera individual, ya que de ese modo se ven forzados a poner a prueba su comprensión del tema. Para la segunda pregunta tal vez sea necesario, por consideraciones de tiempo, que en la clase se trabaje la construcción sólo de una gráfica. En estas situaciones es cuando el uso de la herramienta didáctica co- nocida como Portafolio resulta idóneo en caso de que se dejara como tarea la construcción de más gráficas, pidiendo a los alumnos que las entreguen hasta finalizar la totalidad del bloque correspondiente a estos conocimientos y habilidades. De este modo puede constatarse el avance en la comprensión del concepto de este apartado, ya que en clase la pri- mera gráfica se elaborará cuando varios conceptos se presentan por pri- mera vez, en tanto que la tarea reflejará la asimilación del aprendizaje al construir las otras dos gráficas, una vez que hayan tenido tiempo de ma- durar tales habilidades y conocimientos y hayan visto otros conceptos. Evidentemente el tercer punto tiene que trabajarse de forma indivi- dual, pues lo importante aquí es que los alumnos desarrollen sus habili- dades comunicativas. Para finalizar, el profesor debe alentar, de nueva cuenta, a que los muchachos ejerciten sus habilidades de razonamiento al plantear todas o algunas de las siguientes preguntas.
a) ¿Algunas de las rectas pasa por el origen? Justifica tu respuesta.
b) ¿Las rectas se intersecan en algún punto? En caso afirmativo, determi- na el punto de intersección.
c) ¿Qué recta está más inclinada?
d) ¿Qué recta está más vertical?
e) Suponiendo que en el eje x pusiste el número de llamadas, ¿qué recta
representa el costo por llamada más barato? Conviene que estas preguntas se trabajen bajo la modalidad de discu- sión grupal, pues de esa forma la clase estaría participando activamente al desarrollar sus habilidades de argumentación, ya que el profesor ex- hortará que cada respuesta deba argumentarse.
Propósito de la sesión: que se percaten de las consecuencias de variar los valores del eje x y luego los del eje y, y que relacionen estas modifica- ciones con los cambios que experimentan las pendientes de sus respec- tivas rectas. De acuerdo con la siguiente gráfica, contesta las preguntas.
a) ¿A partir de qué número de llamadas el paquete Básico es más caro que el Intermedio?
b) ¿Cuánto cuesta cada llamada en el paquete Intermedio?
c) ¿Cuál es el costo por llamada de cada uno?
d) ¿Por qué no se intersecan las tres rectas en un punto?
Puesto que ya hicieron el análisis de los cambios a través de las expre- siones algebraicas, se les pedirá ahora que empiecen a hacer el mismo análisis, pero ahora recurriendo únicamente a las gráficas. En esta últi- ma sesión se podría trabajar de manera ideal incorporando cabalmen- te el uso de las TIC (tecnologías de la información y la comunicación); es decir se puede emplear un programa de hoja electrónica de cálculo que tenga funciones graficadoras dinámicas. En caso de que el docente cuente con lo necesario (el hardware y un conocimiento a nivel inter- medio del software), la sesión será muy enriquecedora, ya que podría comenzar enseñándoles a los alumnos desde la simple introducción de datos en la hoja electrónica, hasta la forma de obtener gráficas a par- tir de los datos introducidos y la forma en que se modifican conforme cambian los datos. Si no se cuentan con las condiciones ideales arriba expuestas, enton- ces lo que procede es echar mano de herramientas más usuales y tradi- cionales. Por ejemplo, uno de los equipos pasará al pizarrón para dibujar una gráfica explicando y justificando cada paso que den. Se sugiere que toda esta sesión se trabaje en equipos, para lo cual deben dedicarse al menos treinta minutos para la discusión y el análisis de cada pregunta al interior de cada equipo. El tiempo restante (veinte minutos) se podría aprovechar para la discusión grupal. Esta sesión tiene varios momentos: la elaboración de la gráfica, el aná-
lisis propio de las gráficas y el análisis del impacto de la variación de los datos en su correspondiente gráfica.
1. Construcción de la gráfica. En este momento el profesor debe tener especial cuidado de que los alumnos lleven a cabo correc- tamente los procedimientos para la elaboración de la gráfica, a saber, que la tabulación sea la apropiada, que no hayan cometido errores al calcular mediante la fórmula los valores de la variable dependiente, que los ejes tengan la escala adecuada, que los valo- res de la tabla se traduzcan correctamente para dibujar la gráfica, etcétera. Si el maestro se percatase que el grupo en general tiene errores en la construcción de la tabla, entonces será necesario ha- cer un paréntesis a fin de revisar la causa de esos errores.
2. Análisis de las gráficas. El maestro podría aprovechar este mo-
mento para plantear al equipo participante una serie de cuestio- namientos con el objeto de que los alumnos describan cada uno de los pasos que siguieron. Una vez que el equipo que está en el pizarrón haya terminado de di- bujar la gráfica, el docente podría, a fin de alentar la discusión y el análi-
sis del comportamiento de las gráficas conforme se varían algunos de los datos, plantear a todo el grupo las siguientes preguntas. Este paso es la preparación para la culminación de la secuencia didáctica.
a) ¿Qué significa que una recta esté más inclinada que otra?
b) ¿Cómo interpretas la intersección de las rectas?
c) ¿Qué se necesita para que las tres rectas coincidan en un punto?
d) A la larga, ¿cuál es el plan más caro? ¿por qué?
e) ¿Qué tendría que modificarse para que el plan Intermedio fuera más
barato que el Básico después de las 190 llamadas? ¿Cómo se refleja esta modificación en la gráfica?
f) ¿En qué momento conviene más un plan que otro? ¿Por qué?
g) ¿En qué plan cuesta menos hacer 200 llamadas?
h) Si el costo de instalación fuera de $950 para todos los planes, ¿cómo
se modificarían las rectas? 3. Análisis de la relación entre la variación de datos y el cambio en la pendiente. Este momento es el que indudablemente consumirá más tiempo e impli- cará el mayor esfuerzo por parte del maestro y de los alumnos. Hay que hacer un análisis minucioso de la forma que el cambio de los valores en cualquiera de los ejes afecta la pendiente de la recta. Se puede comenzar cambiando, mediante la fórmula, los valores de la variable dependiente y dirigir la atención de los alumnos hacia el modo en que esto va alterando la posición de la recta en el plano cartesiano. También puede procederse de manera inversa, modificando la posición de la recta y procurando que los alumnos se percaten de que esa variación alterará los valores e inclu- so la ecuación de la recta. Asimismo, el profesor habrá de inducir a los estudiantes a que deduzcan lo que significa que una recta esté menos inclinada (o se asemeje más al eje x), o lo que nos indica que una recta sea más vertical (o tienda hacia el eje y).
II. Recomendaciones para el trabajo con otros docentes
El concepto de competencia representará aquí una capacidad de movilizar varios recursos cognitivos para hacer frente a un tipo de situaciones. Philippe Perrenoud
En los talleres de implantación del Programa 2006 de Matemáticas, re- sultó evidente que los profesores no eran ajenos al contenido del mismo, pues éste experimentó pocas variaciones respecto al plan de 1993. Sin embargo, lo que se hizo patente fue la confusión entre lo que el progra- ma de 1993 planteaba como enfoque y lo que los maestros ponían en práctica en su quehacer cotidiano. Desde 1993 se introdujo en la asig- natura de Matemáticas la metodología que se basa en la resolución de problemas. Empero, esta metodología se interpretó, generalmente, como una serie de técnicas para la resolución de problemas… nada más ajeno a esta didáctica. A fin de subsanar esta confusión, el programa de 2006 ha puesto especial atención a la difusión y práctica de la didáctica de las Matemáticas que animan al nuevo plan de estudios. El enfoque aclara que se pretende aprender a través de la resolución de problemas. Es decir, el problema o situación problemática constituye un medio y no un fin en la enseñanza de las Matemáticas, o en otras pa- labras, no se enseña a resolver problemas y reproducir las técnicas para su resolución. Más bien, se afirma que el fin es lograr el desarrollo de competencias por parte de los alumnos al plantearles situaciones proble- máticas; que ellos sean capaces de aplicar a su contexto social los conoci- mientos matemáticos adquiridos en su educación básica; que tengan un
manejo satisfactorio de los algoritmos básicos de las Matemáticas y que hayan adquirido los rudimentos de una metodología científica (plantear problemas, poner en juego sus conocimientos para traducirlos a proble- mas matemáticos, utilizar satisfactoriamente operaciones matemáticas, comprobar que sus hipótesis –traducidas a expresiones matemáticas– sean correctas y por último a expresar claramente sus resultados). Este giro conlleva un cambio radical en la concepción misma del pa- pel del maestro y también en la gestión de clase, pues el enfoque exige
la puesta en práctica de nuevas habilidades y competencias por parte del
docente. Ahora el maestro se enfrenta ante la perspectiva de tener que aprender, poner en práctica y dominar aspectos pedagógicos que, o bien ya se conocían pero habían sido hechos a un lado como conceptos mera- mente abstractos, o bien los profesores se topaban por primera vez con ellos como elementos concretos y cotidianos que inciden en la apropiada conducción de la clase. Hoy en día el profesor tiene que conocer y dominar a fondo concep-
tos asociados con la gestión de clase. Por ejemplo, debe saber lo que es
la puesta en común y cómo conducirla, tener la capacidad de discriminar
de entre todas las propuestas de los alumnos lo qué es pedagógicamente relevante para lograr los aprendizajes esperados y para evitar la disper- sión de los estudiantes. Debe aprender y enseñar a trabajar y discutir en pequeños equipos y también involucrar a todo el grupo en una discusión
colectiva que al final logre capitalizar la riqueza de la diversidad de opi- niones surgidas en la clase. Además, lo anterior no implica que deba olvi- darse de lo que tradicionalmente ha estado haciendo, como por ejemplo, supervisar el trabajo individual de los alumnos. Asimismo, tiene que mostrar su domino de las técnicas de discusión
y transmitírselas a sus alumnos para que ellos mismos las pongan de inmediato en práctica, clase con clase. Habrá de conocer y valerse de la riqueza que proporcionan herramientas como el portafolio a las tarea

References: resolución 
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 artículo 3
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