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Matemáticas Bachillerato - PDF
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María Luisa Crespo Revuelta
1 Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente que ocurrn ls tres condiciones siguientes: ) f () ) lím f () 3) Ambos vlores coinciden. Clsificción de ls discontinuiddes Si fll lgun de ls tres condiciones, l función no será continu en = ; se dice que present un discontinuidd en dicho punto. Según l condición que flle, clsificmos ls discontinuiddes en diferentes tipos. Vemos los csos que se pueden presentr: f() función es continu en, porque: ) f () y 3) lím f () =f(): si tomásemos culquier sucesión de vlores de que tiend, ls imágenes correspondientes se cercn infinitmente l vlor f() Discontinuiddes: ) Evitble: Fll l condición ó l 3, pero no l. Puede ser porque / f() pero sí el límite como en el primer dibujo (fll l pero no l ), o bien porque eiste el límite pero no coincide con f(), como en el segundo gráfico (fll l 3 pero no l ). Este tipo de discontinuidd se llm evitble porque bstrí redefinir l función, obligndo que l imgen en vlg. Culquier otro tipo de discontinuidd se dice inevitble, y será porque flle l condición, independientemente de lo que ocurr con l condición. Observr que en todo punto que no pertenezc l dominio l función es discontinu, porque no cumplirá, l menos, l condición. Aunque pr clsificr dich discontinuidd como evitble hy que comprobr que, demás, no flle l condición de continuidd, es decir, que eist lím f (). Vemos los distintos csos de discontinuiddes inevitbles: b) Discontinuidd de slto finito o de primer especie: / lím f () pero eisten los f() IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de 5 dos límites lterles y son finitos, unque no coinciden. En el gráfico, = lím f () y = lím f (). En este ejemplo, f () =. Pero tmbién serí posible que coincidier con, o que / f() (en cuyo cso, fllrí tmbién l condición ), y seguirí siendo dis- continuidd de slto finito. o que no serí posible es que tuvier dos imágenes (en un función, cd vlor de tiene, como máimo, un sol imgen).
2 Mtemátics Bchillerto Continuidd c) Discontinuidd sintótic: El límite es infinito: lím f () = (como no es un número, decimos que no eiste; por tnto, quí tmbién fll l condición de continuidd), o bien, lguno de los dos límites lterles en es infinito. Se llm sí porque en = l función tiene un síntot verticl. Pueden ocurrir tres situciones: os dos límites lterles coinciden en vler + o : discontinuidd es, simplemente, sintótic (muchos utores tmbién l clsificn como sintótic de slto infinito). Uno de los límites lterles vle + y el otro,. discontinuidd se dice sintótic de slto infinito. Uno de los límites lterles es finito, y el otro,. (En este cso, el límite completo no d ningún resultdo). Tmbién se trt de un discontinuidd sintótic de slto infinito. d) Discontinuidd esencil o de segund especie: Fll l condición : / lím f (), pero no se encudr en los csos nteriores (b ó c). Por ejemplo, l función y sen tiene un discontinuidd esencil en =0, porque no eiste lím sen (no d ningún resultdo, 0 puesto que ls imágenes osciln entre y + constntemente): nomencltur de ls discontinuid- Un rect verticl es un síntot verticl cundo l curv se proim l rect, más cunto más cerquemos los vlores de hci. síntot y l curv no se cortn, slvo en el infinito, si pudiésemos lcnzrlo. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de 5
3 Mtemátics Bchillerto Continuidd des no es estándr. Algunos utores incluyen ls discontinuiddes sintótic y sintótic de slto infinito como de segund especie, mientrs que otros ls incluyen dentro de ls de primer especie, conservndo en generl l denominción de slto infinito, en su cso. Probblemente es más bundnte el número de los que opt por incluirls dentro de ls de segund especie. 3. Continuidd en intervlos Definición: Un función f se dice continu en un intervlo (finito o infinito) si es continu en cd punto de dicho intervlo. Hy que puntulizr que si el intervlo es cerrdo, en el etremo inferior no podemos tomr límite por l izquierd. En este cso, l condición de continuidd se limit l límite por l derech (se hblrí sólo de continuidd por l derech ). Similr situción ocurre en el límite superior. Por tnto, en el cso de intervlos cerrdos, l función es continu si lo es en cd uno de sus puntos, y si es continu por l derech en el etremo inferior del intervlo, y por l izquierd en el superior. 4. Estudio de l continuidd de un función hbitul Teorem: Tods ls funciones elementles son continus en su dominio. Entendemos por funciones elementles tods ls que usmos hbitulmente: 4 3 Polinómics : y Eponenciles : y 3 Rcionles : y Algebric s Trnscendentes ogrítmic s : y log( ) Irrcionles : y 5 6 Trigonomét rics : y cos3 3 3 Potenciles : y ( 3) Tmbién son continus en su dominio funciones compuests de funciones elementles y ls operciones hbitules con funciones elementles (sum, producto, etc.). Y tmbién son continus en su dominio culquier de ests funciones si están dentro de un vlor bsoluto. Por tnto, el estudio de un función elementl, o compuest de funciones elementles, o el vlor bsoluto de un de ells, consiste en: ) Hllr su dominio: En el conjunto de puntos resultntes, l función es continu. b) Clsificr ls discontinuiddes de los puntos que no pertenezcn l dominio. (Se estudin sólo los puntos lrededor de los cules eiste l función. Por ejemplo, en y el dominio es [0, +), en todos los puntos del cul, l función es continu. Pero no estudirímos, por ejemplo, porque l función no está definid lrededor de ). 5. Estudio de l continuidd de funciones definids trozos f( ), si Supongmos, un función del tipo: f ( ) f ( ), si b f3( ), si b ) Estudimos l continuidd de y f ( ). Si tiene discontinuiddes, tommos sólo ls que sen menores que, ignorndo ls restntes. b) Hcemos lo mismo con f (): si tiene discontinuiddes, sólo tommos quells que sen myores que y menores que b. c) Igul pr f 3 (), limitándonos discontinuiddes myores que b. d) Observr que ni ni b se hn estudido todví (no hemos dicho menores o igules que ). os puntos que seprn ls diferentes zons de definición ( y b) se estudin por seprdo, viendo si se cumplen en ellos ls tres condiciones de continuidd. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 3 de 5
4 Mtemátics Bchillerto Continuidd Vemos vrios ejemplos, si ) Estudir l continuidd de: f() =, si Solución. Como siempre que tenemos un función definid trozos, l estudimos en cd un de ls regiones de definición, por seprdo, ecluyendo de ls misms los vlores de que seprn uns zons de otrs y vemos, continución, qué ocurre en dichos puntos. ) Intervlo (, ): f coincide con l función y = /. Ést, l ser un función rcionl, es continu en su dominio, que es R {0}. Como =0 es su único punto de discontinuidd y está dentro del intervlo (, ), f es continu en (, 0)(0,). Vemos qué tipo de discontinuidd hy en = 0. Pr empezr, / f(0). Además, lim f ( ) lim, por lo que l discontinuidd es 0 0 sintótic. Vemos si es, demás, de slto infinito. lim f ( ) = lim =+ ; 0 0 lim f ( ) lim, (se puede ver el signo del dndo vlores muy 0 0 próimos 0, punto l que tiende, y observndo el signo del resultdo). uego es discontinuidd sintótic en =0, pero no es de slto infinito. b) Intervlo (, + ): f coincide con l función y=, que es continu en R { }, porque en = se nul el denomindor. Como dicho vlor no pertenece este intervlo, todos los puntos de (, + ) son vlores donde l función es continu. O se, f es continu en todo (, + ). c) = : De momento, / f(), por lo que hy discontinuidd. Vemos el lim f ( ). Ddo que f tiene distint epresión si está l derech o l izquierd de, estudi- mos los límites lterles: lim f ( ) lim ; lim f ( ) lim. uego 4 4 lim f ( ) =. Por tnto, l discontinuidd es evitble. 4 En definitiv: f es continu en (, 0)(0,)(,+ ); present un discontinuidd sintótic en = 0 y evitble en =. gráfic es l djunt. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 4 de 5
5 Mtemátics Bchillerto Continuidd ) Estudir l continuidd de: 6, si 0 g() = 6, si 0 3 3, si 3 Solución: Es nálogo l nterior. 6 ) Intervlo (,0): f coincide con y, cuy únic discontinuidd está en =, punto que no está en (,0). uego f es continu en todo el intervlo. b) Intervlo (0,3): f coincide con y = 6, que no tiene ningun discontinuidd. uego tmbién es continu en todo el intervlo. c) Intervlo (3,+ ): f coincide con y 3, que es continu donde 3 0, es decir en 3. uego todos los puntos de (3,+ ) son puntos de continuidd. 6 d) =0: f(0) = 6; lim f ( ) = lim 6 ; lim f ( ) = lim 6 6. uego lim f ( ) = 6 = f(0), por lo que f es continu en =0. 0 e) = 3: f(3) = 0; lim f ( ) = lim 6 0 ; lim f ( ) = lim 3 =0. Por tnto, f es 3 3 continu en = 3. En resumen, f es continu en todo R ) Estudir l continuidd de l siguiente función según los vlores de : 5, si f() =, si Solución: Relizmos un estudio norml de continuidd, como si conociésemos el vlor de. ) Intervlo (,): f coincide con y = 5 +, que no tiene ningun discontinuidd (es polinómic). Por tnto, f es continu en todo el intervlo. b) Intervlo (,+ ): f coincide con y = +, luego es continu en todo el intervlo. c) = : f()= 4+; lim f ( ) = lim 5 = 4+; lim f ( ) = lim =0. El límite completo eistirá cundo los lterles coincidn, es decir, si: 4 + = 0, o se, si = 4. En este cso, lim f ( ) =f()=0 y l función no tendrá discontinuidd en =. En cso contrrio, los lterles no coincidirán y tendrá un discontinuidd de slto finito. En definitiv, si = 4 f será continu en todo R. Pero si 4, tendrá un discontinuidd de slto finito en =. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 5 de 5
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