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NEPOHUALTZITZIN UN MODELO MATEMÁTICO NÁHUATL
Comité Latinoamericano de Matemática
Díaz, Juan José; Bermejo, Vicente
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 10, núm. 3, noviembre, 2007,
Distrito Federal, Organismo Internacional
Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33500303
JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO
NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS
EN ALUMNOS URBANOS Y RURALES
LEVEL OF ABSTRACTION OF ARITHMETIC PROBLEMS
IN URBAN AND RURAL STUDENTS
RESUMEN. En este estudio se analiza la incidencia que tiene el grado de abstracción en la
resolución de problemas de adición y sustracción en alumnos urbanos y rurales. La muestra se
formó con 192 alumnos de primero a cuarto año de educación primaria; el 50% pertenecía a un
contexto rural y el 50% restante a un contexto urbano de México. Las tareas empíricas consistieron
en resolver problemas aritméticos con objetos, dibujos, algoritmos y verbales. Los resultados
muestran que la presencia de objetos o dibujos mejora el rendimiento de los alumnos de primero y
segundo año, y baja en los de tercero. Igualmente, conviene destacar que los alumnos rurales
obtienen sus mejores resultados en los problemas verbales. Las estrategias de modelado se
emplean de modo parecido en todos los cursos del contexto rural, mientras que en el urbano se
ocupan especialmente en primero y segundo. Los alumnos rurales utilizan más las estrategias de
conteo, y en los urbanos son más comunes las estrategias de hechos numéricos. Finalmente, se
señalan algunas aplicaciones educativas a partir de los resultados de este estudio.
ABSTRACT. This study analyzes the incidence of the level of abstraction in the resolution of
problems of addition and subtraction in urban and rural students. The sample was made up of 192
students from first to fourth grade of primary education; 50% came from a Mexican rural
environment and the remaining 50% from a Mexican urban environment. Empirical tasks
consisted in resolving arithmetical problems with objects, drawings, algorithms and verbally. The
results show that the presence of objects or drawings improves performance in first and second
grade students, and lowers performance in third grade students. It should also be pointed out that
rural students obtained their best results in verbal problems. Modeling strategies are used in
similar ways in all the courses in the rural environment, while in an urban setting they are
primarily used in first and second grades. Rural students make use of counting strategies, and
urban students lean more toward using numerical facts. Finally, some educative applications will
be suggested from the results of the study.
RESUMO. Neste estudo se analisa a incidência que tem o grau de abstração na resolução de
problemas de adição e subtração em alunos urbanos e rurais. A mostra foi coletada de 192 alunos
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (2007) 10(3): 335-364
Recepción: Octubre 23, 2006/Aceptación: Agosto 13, 2007
de primeiro ao quarto ano do ensino fundamental; 50 % pertence a um contexto rural e 50 %
restante a um contexto urbano do México. As tarefas empíricas consistiram em resolver problemas
aritméticos com objetos, desenhos, algoritmos y verbais. Os resultados mostram que a presencia
de objetos ou desenhos melhoram o rendimento dos alunos de primeiro e segundo ano, e baixa nos
de terceiro. Igualmente, convém destacar que os alunos rurais obtém seus melhores resultados nos
problemas verbais. As estratégias de modelagem se empregam de modo parecido em todos os
cursos do contexto rural, enquanto que no urbano se ocupam especialmente em primeiro e
segundo. Os alunos rurais utilizam mais as estratégias de cálculo, e nos urbanos são mais comuns
as estratégias de fatos numéricos. Finalmente, se registram algumas aplicações educativas a partir
dos resultados deste estudo.
RÉSUMÉ. Cette étude analyse l’incidence du niveau d’abstraction dans la résolution des
problèmes d’addition et de soustraction chez les élèves urbains et ruraux. L’échantillon est
composé de 192 élèves de la première à la quatrième année de l’école élémentaire, 50 %
appartenant à un contexte rural et les 50 % restant appartenant à un contexte urbain à México. Les
tâches empiriques ont consisté en la résolution de problèmes arithmétiques qui portent sur les
objets, dessins, algorithmes et d’autres en langage naturel. Les résultats montrent que la présence
d’objets ou de dessins améliore l’efficacité des élèves de la première et la deuxième année mais
qu’elle l’affaibli en troisième. De même, il est convenable de signaler que les élèves ruraux
obtiennent leurs meilleurs résultats dans les problèmes en langage naturel. Les stratégies de
modélisation sont employées de manière similaire dans tous les cours (1ère au 4ème) du contexte
rural, tandis que dans le contexte urbain elles sont employées principalement dans le premier et
deuxième cours. Les élèves ruraux utilisent plus les stratégies d’estimation mais les élèves urbains
sont plus habitués aux stratégies des faits numériques. Finalement, sont signalés quelques
applications éducatives à partir des résultats de cette étude.
MOTS CLÉS: Contexte, stratégies, niveaux d’abstraction, problèmes mathématiques
Los resultados que arrojó la evaluación internacional de la OCDE (2002, 2005)
sobre el rendimiento en matemáticas ubicaron a México en el último lugar. Ello
debería suponer al menos una llamada para profesores, investigadores y demás
personas responsables de la educación en este país, a fin de incrementar
esfuerzos que vayan encaminados a mejorar la formación matemática de
nuestros escolares. Las acciones de esta índole conviene iniciarlas desde los
primeros años del currículo escolar, es decir, desde preescolar o al menos desde
el primer año de educación primaria (Alanís, Cantoral, Cordero, Farfán, Garza y
lo cual ocurre en un contexto sociocultural donde un conjunto de interacciones y situaciones sociales modelan el desarrollo cognitivo individual. Le da cuatro lápices a Sonia.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 337 El constructivismo sostiene que los niños construyen el conocimiento matemático de una manera activa a lo largo de su desarrollo (Rico. sin embargo. procedimientos de resolución y respuestas incorrectas de los alumnos. Bermejo. el rural y el urbano. se exponen a continuación la definición de problema de cambio y su nivel de dificultad. la noción de contexto y su relación con la cognición matemática. Los niños manifiestan un mayor rendimiento en los problemas cuando la incógnita es la cantidad final. Lago y Rodríguez (1998) . considerando la presencia de una acción implícita o explícita que produce un cambio en la cantidad inicial. Por un lado. así como las características cognitivas de los niños urbanos y rurales. la presente investigación tiene como intención estudiar la incidencia del grado de abstracción en los problemas de adición y sustracción. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA Para contar con una perspectiva sobre los planteamientos importantes respecto al problema de investigación. De Corte y Verschaffel. este nivel desciende cuando la incógnita se sitúa en uno de los subconjuntos. 1990. Lupita le da cuatro caramelos. Bajo esta idea. existe una carencia de estudios que traten el grado de abstracción en los problemas verbales y su relación con el contexto sociocultural. 2. Sin embargo. de ahí que los problemas aritméticos de adición y sustracción se hayan investigado ampliamente según su dificultad. Lo sujetos de investigación serán alumnos de primero a cuarto año de educación primaria. mientras que un ejemplo de sustracción sería: “María tiene ocho lápices. especialmente en el primero (Bermejo. ¿Cuántos lápices tiene ahora María?”. Hiebert y Moser. Un ejemplo de adición es: “Jorge tiene ocho caramelos. comprensión. Ahora bien. las estrategias de solución. la dificultad de estos problemas es diferente. el grado de abstracción como proceso de conocimiento. tomando a dos contextos educativos significativos de México. 1997). ¿Cuántos caramelos tiene ahora Jorge?”. Carpenter. Dicho conocimiento implicaría analizar un proceso de abstracción que partiría del nivel concreto hasta alcanzar el nivel abstracto. según el lugar que ocupa la incógnita. Los problemas de cambio se precisan debido a su estructura semántica. 1987). 1981.
mientras que en la sustracción (8 − 5 = ?) ocurre a través de los procedimientos separar de (el niño construye el conjunto mayor. La de modelado directo consiste en representar con dedos u objetos los conjuntos de la operación para encontrar después el resultado. seis. contar hacia atrás (el niño cuenta . dos. La respuesta es el número de objetos agregados: “tres”). y Bermejo y Rodríguez (1993). Posteriormente agrega 3 objetos a este último conjunto para tener 8 objetos.338 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO jerarquizan los problemas verbales de adición y sustracción en función de la dificultad que presentan para los niños de preescolar. seis. seis. Por otro. el tercero y el cuarto… Ahora los cuenta en el mismo orden: “uno. dos. dos. Lago. cuatro. dejando sólo 5 objetos y cuenta los objetos separados. son siete”). cinco. tres. “uno. 3 objetos. cinco. cuatro” y dice: “uno. seis. separar a (el niño separa 3 objetos del conjunto mayor. Carpenter y Moser (1982) encuentran tres tipos de estrategias infantiles en los problemas verbales tanto de adición como de sustracción: modelado directo. se recurre a los procedimientos contar todo sin modelos (uno. la respuesta es “tres”). sin necesidad de representar los términos de la operación. cambio. Dopico. cuatro. siete”). cuatro. tres. tres”). después un tercer dedo…luego en la otra mano extiende un dedo. En cuanto a la sustracción. siete. Se manifiesta en la adición (3 + 4 = ?) mediante el procedimiento contar todo con modelos (el niño extiende en una mano un dedo. comparación y relacional. y Bermejo y Rodríguez (1993). siete”). el número de objetos sin emparejar es la respuesta: “tres”). seis. el último número pronunciado es la respuesta: “siete. En el caso de la adición. dos. Al contar el conjunto de objetos restantes. después el segundo. primero y segundo de educación primaria. Con relación a los procedimientos de solución. La estrategia de conteo implica el uso de secuencias de conteo para obtener la solución del problema. Bermejo. 5 objetos. combinación. cinco. Lozano y Rodríguez (2002) afirman que los niños tienen una dificultad creciente en los tipos de problemas. se encuentran los procedimientos contar hacia atrás a partir de (el niño cuenta hacia atrás a partir del minuendo tantos pasos como marca la cantidad menor. igualación. tres. cinco. tres”. y entonces separa un número de objetos igual al número menor. como los describen Baroody (1987). luego el segundo dedo. y contar a partir del sumando mayor (“cinco. ocurre la respuesta para el problema: “tres”). referidos por Baroody (1987). 8 objetos. de acuerdo con la secuencia siguiente: algoritmo. siete). conteo y hechos numéricos. cuatro. contar a partir del primer sumando (“tres. y emparejamiento (el niño coloca un conjunto de 8 objetos y otro conjunto de 5 objetos. añadir a (el niño coloca un conjunto de 8 objetos y enseguida realiza un conjunto de 5 objetos.
La estrategia de hechos numéricos puede ser de dos tipos: conocidos y derivados. 6 más 7 es 13 porque 7 es uno más que 6. ocho”). pictórico. 2004. siete. indicados por Baroody (1987). los alumnos de primero de primaria las de conteo y los de segundo mencionan principalmente a las de hechos numéricos. numérico y verbal. La perspectiva constructivista señala que el proceso cognitivo de lo concreto hacia lo abstracto ocurre a través de niveles de desarrollo (Kamii. En este nivel. los alumnos no se centran en los objetos en sí mismos. y contar a partir de lo dado (el niño cuenta a partir del número menor hasta alcanzar el mayor. Por tanto. se afirma que el uso de objetos en la instrucción de las matemáticas puede ser efectivo. y Putnam. 1987). Kamii. aunque no su concretividad. 2002). siete. La primera dice que el tipo de estrategia se relaciona más con la ubicación de la incógnita y el tipo de operación que con la estructura semántica del problema.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 339 hacia atrás desde el número mayor hasta alcanzar el menor. así. 1990. Ahora bien. se considera que la secuencia como se desarrollan las estrategias parte de lo material (uso de objetos) hacia lo verbal (contar) y luego lo mental (hechos numéricos conocidos) (Bermejo. los niveles de abstracción que se consideran en esta investigación son concreto. mientras que la segunda alude a la obtención del resultado mediante los procedimientos de composición y descomposición (6 + 7 = ? “Yo sé que 6 más 6 es igual a 12. La primera ocurre cuando el niño recuerda el resultado de la adición o sustracción de dos números (“ 3 + 4 = 7 porque tres más cuatro son siete”. y “ 11 − 5 = 6 porque once menos cinco es igual a seis”). Kirkland y Lewis (2001) apuntan que es útil la manipulación de material . De Corte y Verschaffel. sino como instrumentos que facilitan el aprendizaje y la comprensión de un concepto nuevo o símbolo escrito (NCTM. los niños de preescolar recurren con más frecuencia a las estrategias de modelado directo. (1998) resaltan dos cuestiones sobre las estrategias. y 13 es uno más que 12”. Kamii. Carpenter y Moser. En cuanto al nivel concreto. separo 1 de la respuesta 5 y tengo 4”). Ozaki y Nagahiro. 1993. Kato. como se detalla en Baroody (1987). y Bermejo y Rodríguez (1993). De Bettencourt y Leinhardt (1990). Bermejo et al. seis”). 2001. el número de elementos contados es la respuesta: “ocho. 2000). 1982. y 9 – 5 = ? “Yo sé que 10 menos 5 es igual a 5. la respuesta se obtiene contando los numerales emitidos para equiparar ambos conjuntos: “seis. Bermejo y Rodríguez (1993). La segunda plantea que las estrategias de los niños cambian en relación con el nivel escolar. Bermejo y Rodríguez. Kirkland y Lewis. que siguen un orden progresivo en la comprensión de lo concreto hacia lo abstracto. 9 es 1 menos que 10. En tal sentido. es decir.
mientras que las relaciones entre tales partes (3 + 2) no involucran una relación jerárquica. Tocante al nivel pictórico. debido que. Estos autores explican que las relaciones entre 3. De cualquier forma. 1988). . se precisa que los dibujos sirven para establecer una conexión de lo concreto con lo abstracto. 1983). a través de dibujos esquemáticos –como un diagrama de flechas– o mediante la construcción de dibujos libres que representen el problema (De Corte y Verschaffel. Además. 1987. se incorporan los planteamientos anteriores sobre los problemas verbales. Referente al nivel numérico.340 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO concreto para adquirir el conocimiento lógico-matemático. La competencia cognitiva abstracta se centra en dominar las relaciones semánticas o el significado entre las cantidades por encima de las relaciones simbólicas convencionales establecidas en el algoritmo. al sumar dos números. para hacer un número de orden superior (5). Por último. se ha analizado la representación simbólica convencional. Estos autores consideran que el uso de dicho material sirve para solucionar el problema mediante la construcción de relaciones mentales por medio de la abstracción reflexionante. además. Además. se combinan dos enteros (3 y 2). incluso omitían los signos + ó =. los alumnos construyen una representación pictórica adaptada a sus propias ideas o nivel evolutivo. (2001) plantean que los niños de primero de primaria se familiarizan con los algoritmos al escribir expresiones convencionales (3 + 2 = 5 y 3 + 2). Fuson y Willis. En este nivel. 2 y 5 implican una relación jerárquica difícil de comprender para los niños pequeños. cuando existe la comprensión sobre la estructura semántica de los problemas de adición y sustracción. el uso del signo = es poco frecuente y la relación entre los tres números (3. Fuson y Willis (1988) reportaron que los niños de segundo año de primaria son capaces de identificar la estructura semántica del problema dibujado. se requiere que los números anteriores sean las partes. Kamii et al. Lo anterior significa que el niño no puede representar (externar) una relación parte-todo que no existe en su mente. escribir los números del problema en el lugar apropiado del dibujo y determinar si se suman o restan los dos números conocidos. 2 y 5) se considera como una dificultad en los niños de primer curso para hacer relaciones parte-todo jerárquicas. aunque otros sólo escribían dos números o uno. Se ha propuesto que este nivel abarque la enseñanza de la estructura semántica de los problemas de adición y sustracción dentro de un diagrama parte-todo (Wolters. en el nivel verbal se representa el grado más elevado de abstracción.
1990). y como una característica social producto de la historia de un grupo dentro de un orden social concreto. expondremos los planteamientos sobre la posible influencia del ámbito sociocultural de los alumnos en la resolución de tareas matemáticas. Carraher y Schliemann. mediante un proceso activo que se manifiesta en una interacción social. En términos generales. podemos definir al contexto como un entorno cultural que facilita un conjunto de instrumentos empleados por lo niños en la construcción del conocimiento. Es esperable que. Estas formas se conocen simbólicamente por los actores sociales. 1989. el cual sanciona las formas legítimas de conocimiento matemático. Nunes. podemos suponer que hay diferencias relevantes entre distintas culturas o contextos socioculturales al interior de un país. 1985. la noción de contexto incluye dos puntos de vista: como una característica física o un instrumento producido por un grupo cultural particular que se presenta en el momento de la acción. así como las características del conocimiento matemático de niños urbanos y rurales. 1991).. Por tanto. Carraher y Schliemann. Si se toma como base a lo anterior. Collins y Duguid.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 341 A continuación. 1995). Rogoff. 1985. 1993. Los trabajos sobre el contexto informal han mostrado diferencias entre los niños de diferentes contextos en cuanto a su comprensión de diversos problemas de matemáticas (Carraher et al. podemos destacar que la influencia del contexto sociocultural en el conocimiento matemático está mediada por la práctica social con la que se construye el significado contextualizado en el aprendizaje de las matemáticas (Saxe. Los estudios en torno a la cognición a través del contexto (Carraher. de modo que los contextos socioculturales constituyen un componente en el desarrollo cognitivo (Brown. Schliemann y Carraher. la construcción del conocimiento matemático en contextos específicos se fundamenta con el uso de reglas y procedimientos matemáticos como herramientas para realizar metas . 1987. donde se legitiman las formas y procedimientos para construir significados dentro de una estructura social en un tiempo y situación específicos. De tal modo. De acuerdo con Abreu (1998). 2002). Carraher. el conocimiento empieza dentro de ciertas comunidades que se localizan en estructuras sociales particulares. En dicho sentido se requiere abordar la noción del contexto y la cognición matemática. si existen diferencias transculturales en el rendimiento matemático entre dos o varios países (Resnick. Saxe. 1989). 2002) indican que los niños de contextos diferentes desarrollan de distinta manera las mismas tareas de pensamiento. 1991. Schliemann y Carraher. lo cual les permite participar en determinadas posiciones en la estructura social y crear una identidad social (Abreu.
Planteamiento La investigación tiene como propósito analizar el rendimiento y las estrategias que. el segundo es analizar las estrategias empleadas por los niños de cada contexto durante la solución del problema. los niños urbanos desarrollan formas cognitivas de acuerdo con su práctica económica de ventas. Las variables intrasujetos son el nivel de abstracción (concreto. que comprende desde primero hasta . Entonces.. Saxe y Gearhart (1990) encuentran que los niños rurales tienen una habilidad espacial mayor que los urbanos.2. tanto en el contexto urbano como en el rural. con respecto a los problemas de cambio aumento y cambio disminución. las cuales atañen al curso escolar. Este autor identifica un mayor rendimiento en los alumnos urbanos. según el nivel de abstracción. 1995). 1993. Resnick. Objetivos El objetivo general del presente estudio consiste en investigar el patrón evolutivo que tienen los niños de distinto contexto sociocultural en la solución de problemas de cambio aumento y cambio disminución. Saxe (1991) contrasta la existencia de diferencias entre las estrategias de los niños vendedores de la calle con los no vendedores. No obstante. ocupan los escolares de primero hasta cuarto año de primaria en ambos contextos socioculturales. según su nivel de abstracción. atendiendo a la práctica específica y la evolución de su conocimiento informal. cantidad inicial). Schliemann. numérico y verbal) y el lugar de la incógnita (cantidad final. 2. 1987. al compararlo con los rurales.342 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO particulares. dibujos. con respecto a las características del conocimiento matemático de los niños urbanos y rurales. mientras que los rurales generan un conocimiento específico mayor en los problemas espaciales que se presentan durante su práctica de tejer. Finalmente. 2. Además. De aquí se desprenden dos objetivos particulares: el primero implica determinar si existen diferencias de rendimiento entre los alumnos de los contextos urbano y rural en la resolución de problemas de cambio.1. las estrategias tienen un significado sociocultural (Nunes et al. El diseño experimental incluye problemas de cambio aumento y cambio disminución.
3. los materiales empleados y el procedimiento basado en el uso de entrevistas como protocolos verbales. México. quienes cursaban de primero a cuarto año de primaria en varias escuelas públicas del estado de Zacatecas. y la incógnita cantidad final o inicial en el problema? 3. y la incógnita en la cantidad final o inicial entre los alumnos de escuelas urbanas y rurales? El segundo objetivo implica la pregunta: ¿los alumnos de cada contexto sociocultural emplean las estrategias de manera distinta según el nivel de abstracción. así como el contexto sociocultural rural y urbano al cual pertenecen los participantes. La muestra .8 9. estructura de cambio aumento y cambio disminución.6 Segundo 7.5 Tercero 8.7 La Tabla I presenta los datos sobre la edad de los participantes.1. Participantes Un total de 192 niños seleccionados al azar tomaron parte en la investigación: 96 eran alumnos rurales y 96 urbanos. Para el primer objetivo se formula la siguiente pregunta de investigación: ¿cuáles son las diferencias de rendimiento en las distintas tareas según el curso escolar. cambio aumento y cambio disminución. TABLA I Puntuación media de edad en los alumnos participantes Alumnos Alumnos Curso escolar urbanos rurales Primero 6.4 8. MÉTODO En esta sección describiremos la metodología de la investigación a partir de las características de los participantes.5 Cuarto 9. nivel de abstracción.8 6.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 343 cuarto año de educación primaria.7 7.
ubicado en el centro-norte de México. Lupita le da tres lápices. TABLA II Materiales empleados en los problemas. que se formó con 50 niños y 46 niñas. Todos los participantes en el estudio pertenecen a familias con nivel socioeconómico bajo. En estas escuelas el programa de matemáticas presenta la operación de suma en la segunda mitad del primer curso. mientras que el urbano es el área metropolitana de la ciudad de Zacatecas. 3. ¿Cuántas canicas tiene ahora Juan? Juan tenía algunos lápices. bajo cuatro niveles de abstracción: objetos. ¿Cuántos caramelos tiene Pepe ahora? Pepe tenía algunas galletas. ¿Cuántos lápices tenía Juan al principio? Pepe tenía ocho caramelos.344 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO rural se integró por 24 alumnos de cada curso escolar. Para aplicar la tarea se solicitó el permiso de los padres y directores de los centros educativos. Le dio dos caramelos a María. algoritmos y problemas verbales. según el nivel de abstracción Nivel concreto Nivel dibujos Nivel numérico Canicas Dibujos canicas de 3+4=? Lápices Dibujos lápices de ?+3=8 Caramelos Dibujos de caramelos 8–2=? Galletas Dibujos galletas ?–4=5 de Nivel verbal Juan tenía tres canicas.2. lo mismo ocurrió con la muestra de alumnos urbanos. El contexto rural es el municipio de Luis Moya. de los cuales el 50% eran niñas y 50% niños. mientras que la resta empieza en la segunda mitad del segundo curso. ¿Cuántas galletas tenía Pepe al principio? . Ahora tiene cinco. Material El material consistió en 16 problemas de cambio aumento y cambio disminución con dos posiciones de la incógnita –cantidad inicial y cantidad final–. Le dio cuatro galletas a María. Ahora tiene ocho lápices. a 60 kilómetros de la capital del estado de Zacatecas. dibujos. Lupita le da cuatro canicas.
En los problemas concretos se presentaban los objetos sobre la mesa al alumno y el entrevistador formulaba el problema. las relaciones semánticas entre las cantidades de manera consistente con los demás niveles de abstracción. Nivel concreto de cambio disminución con incógnita cantidad final Nivel dibujos de cambio aumento con incógnita cantidad inicial Nivel concreto de cambio disminución con incógnita cantidad inicial Nivel dibujos de cambio aumento con incógnita cantidad final Figura 1.3. El orden en que se dieron a conocer las tareas de adición y sustracción estuvo contrabalanceado al azar de igual manera para todos los participantes. Por ejemplo: Juanito tiene tres canicas (se señalan). Además.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 345 En la Tabla II se indican los materiales empleados en los problemas. y que el cambio aumento y cambio disminución resultaron similares a través de los niveles de abstracción. según el nivel de abstracción. cada alumno fue entrevistado bajo el siguiente procedimiento. En la primera se presentaron ocho problemas y los ocho restantes en la segunda. Lupita le regala cuatro canicas (se indican). Ejemplos de los niveles de abstracción presentados a los alumnos. En este nivel de concreción se mostraron los símbolos concretos de la operación y el signo igual para que los alumnos mantuvieran visible. . Procedimiento Los problemas de cambio aumento y cambio disminución se mostraron a los participantes durante dos sesiones. y no en la memoria o en el nivel lingüístico. En los problemas con dibujos se presentaban las tarjetas al alumno y también el investigador enunciaba el problema. 3. ¿Cuántas canicas tiene Juanito ahora? (se señala el espacio de la incógnita). señalando sus dibujos correspondientes. Cabe mencionar que los objetos concretos fueron familiares para los alumnos. La Figura 1 muestra algunos problemas que se presentaron a los participantes.
¿Cuál es la respuesta? J. cuatro. se preguntaba a los participantes cómo lo habían hecho. indicando sus términos en relación con la ecuación.346 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO En los problemas numéricos se mostraba el algoritmo y el experimentador planteaba el problema. En los problemas verbales se daba la tarjeta con el problema escrito para que la leyera cada participante. Las estrategias de adición y sustracción se categorizaron de acuerdo con Carpenter y Moser (1982): modelado directo. y quedan cinco. al igual que en los demás niveles. sino que mostrara la estructura semántica de cambio. nueve.. Ahora tiene 5 (se señalan). Experimentador: ¿Cómo las contaste y cómo le restas? J. el investigador leía pausadamente el problema.María: Nueve. Pablo: Uno. los problemas se aplicaron en las escuelas durante el horario escolar. a fin de conocer con precisión la estrategia utilizada. ¿Cuántas galletas tenía al principio. dos. cuatro (muestra 4 dedos extendidos). 4. tres. Experimentador: Juan tenía algunas galletas (se señala el espacio de la incógnita). siete. dos. tres (muestra 3 dedos extendidos). Veamos el caso de una alumna de cuarto año en la solución del problema sobre dibujos de cambio disminución con la incógnita la cantidad inicial. al mismo tiempo. Un ejemplo de la estrategia modelado en el problema verbal de cambio aumento con la incógnita la cantidad final fue explicado por un alumno de primer año: J. Juan? J. lo cual implicaba que la expresión numérica no fuera un simple ejercicio. Las sesiones se grabaron en video. mientras que las respuestas infantiles se consideraron verdaderas o erróneas. cinco. Experimentador: ¿Cómo le has hecho para saber que son nueve? J. siete (cuenta 7 dedos). seis. María: Contando las galletas y después restándole. Experimentador. dos. tres.. María: Cinco más cuatro. Tras la resolución. Pablo: Uno. . ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS En este apartado nos ocuparemos primero del rendimiento de los alumnos y después analizaremos las estrategias utilizadas en la resolución de los problemas planteados. Cada entrevista tuvo una duración aproximada de 20 minutos. Y le quitamos las que están aquí. uno. conteo y hechos numéricos. cuatro. Le dio 4 galletas a María (se indican).
184) = 4. 184) = 155.0 . 184) = 57.37 .33 .83 .83 .62 .91 . dibujos vs. p < . p = .79 .95 .0 1. cantidad inicial). operación y lugar de la incógnita.66 .37 . tercero vs.62 .58 . No hubo efecto del factor contexto F (1.45 . X 2 (lugar de la incógnita: cantidad final vs.50 .29 . El rendimiento de los alumnos en las distintas tareas se considera como variable dependiente. TABLA III Materiales empleados en los problemas de cambio aumento Contexto Rural Urbano Curso Primero Segundo Tercero Cuarto Primero Segundo Tercero Cuarto Cambio disminución Incógnita cantidad Incógnita cantidad inicial final C D N V C D N V . p < . verbal). cambio disminución). X 4 (curso escolar: primero vs.62 . según el contexto. el curso escolar.25 . nivel de abstracción.08 .95 1.50 .0.70 .54 .66 .62 .54 . el nivel de abstracción. D = nivel dibujos. nivel de abstracción F (3. 552) = 3. p < . p < .90. la operación y la incógnita afectan significativamente el rendimiento de los participantes.50 .41 .0 1. La Tabla IV contiene las puntuaciones medias sobre el . Dichos resultados se han estudiado mediante el análisis de varianza (ANOVA) mixto 2 (contexto: rural vs.16.33 .83 . X 4 (nivel de abstracción: concreto vs. segundo vs.29 .08 aunque. X 2 (operación: cambio aumento vs. los resultados indican que son significativos los efectos principales de los factores curso F (3. 184) = 3.0 Nota: C = nivel concreto.91 . Rendimiento Las respuestas de los participantes presentan un índice de Cronbach (alpha) de fiabilidad de 0.79 .75 .05.54 .01. con medidas repetidas en los tres últimos factores mediante el programa SPSS 11.54 .37 .05 y lugar de la incógnita F (1.24.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 347 4.83 .33 .33 .75 .79 .66 .37 . Por tanto.41 .58 . cuarto).50 .33 . grado escolar. las diferencias se hacen notorias en algunos cursos o situaciones. N = nivel numérico.37 .87 .01. operación F (1.33 .20 .87 .91 1.13.09.00.41 .75 . numérico vs.20 .37 . urbano).70 . Ahora bien.1.79 . como veremos después.0 1. V = nivel verbal La Tabla III contiene las puntuaciones medias sobre el nivel de abstracción de los alumnos rurales y urbanos en la solución de los problemas de cambio aumento.
70 .95 .08 . Con respecto al cuarto año.95 . grado escolar. TABLA IV Materiales empleados en los problemas de cambio disminución Contexto Rural Urbano Curso Primero Segundo Tercero Cuarto Primero Segundo Tercero Cuarto Cambio aumento Incógnita cantidad Incógnita cantidad inicial final C D N V C D N V .83 . los estudiantes rurales logran el más alto rendimiento en todos los niveles de abstracción. operación y lugar de la incógnita.33 .12 .0 .95 . En el segundo año.37 .45 .66 .0).41 .29 .20 . D = nivel dibujos. los escolares rurales y urbanos manifiestan mayor competencia en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad final (. asimismo.91).75 .91 .91 y 1.79 .16 .58 .04 .83 .91 .25 . nivel de abstracción.70 .0.83 1.58 . así como en el nivel verbal de cambio disminución con la incógnita cantidad final (1. mientras que los urbanos ofrecen mejores habilidades en el nivel dibujos de cambio aumento con la incógnita cantidad final (.91 . N = nivel numérico.87 .54 .95 1.83 . V = nivel verbal En el primer año.45 .50 . los niños rurales muestran mayores destrezas en el nivel concreto de cambio aumento con la incógnita cantidad final (.87 1.20 . hay diferencias . los alumnos de tercero difieren respecto a los de segundo y primero. con dibujos y verbal (. En el tercer año. tanto en cambio aumento como en cambio disminución con la incógnita cantidad final (1.0 1.08 .87 .87 .87 . mientras que los urbanos consiguen el mejor rendimiento en los niveles concreto y verbal de cambio aumento con la incógnita cantidad final.66).91 .20 .70 .0 1.70 .70 .54 . mientras que los urbanos destacan más en los niveles concreto.0 1.29 .87 .0).0 Nota: C = nivel concreto.348 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO nivel de abstracción de los alumnos rurales y urbanos en la solución de los problemas de cambio disminución.37 . respectivamente). los alumnos rurales obtienen un mayor rendimiento en el nivel verbal de cambio aumento con la incógnita cantidad final (.0 .16 .70 .12 .54 .0 . Dentro del factor curso se hallan diferencias significativas entre los escolares de cuarto con relación a los demás cursos.70). según el contexto.95 1.45 .54 . En la Tabla V se muestran los resultados del estudio de comparaciones múltiples de Tuckey.91).37 .91 .
NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 349 significativas entre segundo y primero.05 . Riley.02 .00 Pares Nota: La diferencia de medias es significativa al nivel . en el factor operación aparecen diferencias de cambio aumento con respecto a cambio disminución.-curso 2o.04 .32 .-curso 3o. 1983) en cuanto a que la adición es más fácil que la sustracción.00 Curso 4o.23 .-curso 2o. Greeno y Heller. se confirman los resultados de (Riley et al.04 Incógnita cantidad final–incógnita cantidad inicial .01 .39 .02 .00 Curso 2o-curso 1ero.16 .00 Curso 4o-curso 1ero.03 Diferencias entre medias Error típico Significación Nivel verbal-nivel dibujos . si bien otros estudios (Bermejo et . 1983) que plantean un patrón evolutivo del rendimiento en las tareas de cambio aumento y cambio disminución.05 La comparación por pares con la prueba de Tuckey en el factor nivel de abstracción encuentra diferencias del nivel verbal con respecto al numérico y al de dibujos.55 . en el aspecto de que en el nivel verbal se obtiene un rendimiento mayor que en el algoritmo y la presentación de dibujos.00 Nivel verbal-nivel numérico .24 . Dichos resultados son consistentes con los de otros estudios (Carpenter y Moser.04 .00 Curso 3o-curso 1ero. estos datos concuerdan con los identificados por (Riley et al. .. TABLA V Datos de las comparaciones de la prueba de Tukey Pares Diferencias entre medias Error típico Significación Curso 4o. . . . 1982. Por otra parte. .01 Cambio aumentocambio disminución .01 .04 .04 .04 . Asimismo. . 1983).03 .04 .04 .00 Curso 3o.16 .
p < . p < .14 p < . 182) = 16. 552) =3.350 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO al.01 F (3. TABLA VI Interacciones significativas en el rendimiento de los alumnos Interacciones Valor F Significancia Curso X Nivel de abstracción F (9. 552) = 2. los niveles dibujos y verbal difieren con relación al nivel numérico en los alumnos rurales de segundo curso: F (3. De Corte y Verschaffel. 184) = 3.01 p < .08. En el factor incógnita.01. 552) = 3. Además. En la Tabla VI aparecen las interacciones significativas.27 p < . encontramos que el análisis sobre los efectos simples del factor nivel de abstracción en los niveles de los demás factores señala que se contrasta el nivel concreto de cambio aumento con la incógnita cantidad final respecto a los niveles numérico y dibujos.41 p < .05 F (9.01 F (9. 1987) donde se indica que la incógnita cantidad final es más fácil que la incógnita cantidad inicial. 552) = 10. dibujos y numérico F (3. 2002) no han encontrado diferencias significativas en la resolución de ambas operaciones. Si nos centramos en la interacción Contexto X Curso X Nivel de abstracción X Operación X Incógnita.93 p < . 1987.29 F (3.01 F (3.05 .01 Curso X Incógnita Nivel de abstracción X Incógnita Operación X Incógnita Contexto X Curso X Operación Curso X Nivel de abstracción X Incógnita Curso X Operación X Incógnita Nivel de abstracción X Operación X Incógnita Curso X Nivel de abstracción X Operación X Incógnita Contexto X Curso X Nivel de abstracción X Operación X Incógnita F (3.11 p < .01. 552) = 11.56 p < .01 F (1. 184) = 8. 1998.01 F (3.01 F (9. 184) = 42.03. las diferencias son notorias entre su ubicación en la cantidad final. 552) = 2. lo que concuerda con los datos reportados en otros estudios (Bermejo y Rodríguez.08 p < . 182) = 6. en estos alumnos se muestran diferencias significativas del nivel verbal de cambio disminución con la incógnita cantidad final respecto a los niveles concreto. 184) = 3. Igualmente.69 p < .24 p < .
dibujos y verbal F (3. F (1. El análisis revela diferencias significativas en el rendimiento de los escolares urbanos de primer año con respecto a los rurales en el nivel dibujos de cambio aumento con la incógnita cantidad final F (3.73. p < .90.73.05. También hay diferencias significativas en el rendimiento de los alumnos urbanos de segundo año y los rurales en el nivel concreto de cambio aumento con la incógnita cantidad inicial. 182) = 11. en relación con los niveles numérico y verbal F (3. respectivamente]. 182) = 3. p < .NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 351 Los niños urbanos de segundo año contrastan en el nivel verbal de cambio disminución con incógnita cantidad final respecto a los niveles numérico y dibujos F (3.05. muestran diferencias significativas en el nivel dibujos de cambio disminución con la incógnita cantidad final respecto al nivel concreto. p < . p < . F (1.98. Además. p < .05. 184) = 9. 184) = 3.05.05.05. p = .96.30.01. los niños urbanos de tercer año contrastan en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad inicial sobre los niveles concreto. desarrollan más los niveles superiores de abstracción en los problemas fáciles de cambio disminución. En este curso se emplean más los niveles superiores de abstracción tanto en los problemas fáciles como difíciles de cambio disminución. 184) = 5.05.05.72. 184) = 5. así como en los niveles numérico y verbal de cambio disminución con la incógnita cantidad final en relación con los niveles concreto y dibujos F (3. p < . F (1. 182) = 3.65. Los niños urbanos de segundo año son más concretos que los rurales en los problemas difíciles de cambio aumento y en los fáciles de cambio disminución. Asimismo. 184) = 6. en el nivel concreto de cambio disminución con la incógnita cantidad final. p < . F (1. 184) = 3.15. Los alumnos urbanos son más pictóricos que los rurales en los problemas fáciles de cambio aumento.88.01. Además. p < . los escolares urbanos son más pictóricos que los rurales en los problemas difíciles de cambio disminución y más numéricos en los fáciles de cambio aumento. p < . 182) = 2. mientras que expresan más los niveles inferiores de abstracción en los problemas difíciles con la misma operación. Analicemos con más detalle los efectos simples del factor contexto en los niveles de los demás factores. Por su parte. Estos escolares también tienen diferencias significativas en los niveles concreto y dibujos en cambio disminución con la incógnita cantidad inicial. . en el nivel dibujos de cambio disminución con la incógnita cantidad final. en el nivel dibujos de cambio disminución con la incógnita cantidad inicial y en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad final [F (1.
F (1. 184) = 5.5 0.90. pues en cuarto destacan más los rurales.90. p < . También es pertinente subrayar que ambos contextos muestran un patrón evolutivo en el rendimiento. Las diferencias de rendimiento entre los alumnos de ambos contextos indican un predominio de los alumnos urbanos hasta tercer año. Niveles de abstracción de los alumnos de primaria de los contextos rural y urbano.05. especialmente en segundo y tercero. 1 0.05. Los alumnos urbanos emplean más que los rurales los niveles inferiores de abstracción en los problemas fáciles de cambio aumento. 184) = 5. F (1.7 0. 184) = 5. En conformidad con el primer objetivo de esta investigación. respectivamente]. tanto en el contexto rural como en el urbano.90. 184) = 3. y en el nivel numérico de cambio aumento con la incógnita cantidad inicial [F (1. p < . aunque los niños de primero y segundo año tienden a limitar su proceso de abstracción.8 Contexto urbano Rendimiento 0. p < . los alumnos urbanos de tercer año difieren con respecto a los rurales en los niveles concreto y dibujos de cambio aumento con la incógnita cantidad final.05. F (1. Existe un patrón evolutivo en ambos grupos.2 0.4 0. La Figura 2 ilustra la puntuación media en los niveles de abstracción de los alumnos de primaria. mientras que los rurales difieren significativamente de los urbanos en el nivel concreto de cambio disminución con la incógnita cantidad final F (1.90. F (1. También se aprecia un mejor desarrollo a partir de tercero hasta cuarto año.9 Contexto rural 0.05.01.90. 184) = 5. conviene resaltar que según las puntuaciones medias los niños urbanos rinden mejor que los rurales durante los tres primeros años.05.352 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO Igualmente.3 0.96.6 0. p < . que se incrementa de acuerdo con los problemas . 184) = 5.1 Verbal Dibujos Numérico Verbal Tercer curso Concreto Dibujos Numérico Verbal Segundo curso Concreto Dibujos Numérico Verbal Primer curso Concreto Dibujos Numérico Concreto 0 Cuarto curso Figura 2. p < . p < .
los alumnos rurales de segundo año recurren especialmente a los niveles inferiores de abstracción en los problemas fáciles de cambio aumento. urbano) X 4 (curso: primero vs. de modo que cuanto más concreta es la situación. excepto en los problemas verbales. es necesario precisar que aunque no hay diferencias significativas en el rendimiento entre los alumnos de distinto contexto. particularmente los niños rurales– obtienen mejores rendimientos en las tareas más concretas. Tal hecho se debe probablemente al efecto significativo del aprendizaje informal de dichos escolares. verbal) X 2 (operación: cambio aumento vs. Por otra parte. en virtud de que se han identificado diferencias relevantes en los procedimientos manifestados por los alumnos de distintos contextos (Saxe. Además. Por ejemplo. Si bien no hay en general un efecto del factor contexto. mientras que los urbanos emplean dichos niveles en los problemas fáciles de cambio disminución. con excepción de las que tratan la incógnita cantidad inicial. con respecto a los demás niveles de abstracción. cuarto) X 4 (nivel de abstracción: concreto vs. Por tanto. donde hay mejores rendimientos en el contexto rural. Por tanto. numérico vs. aunque la evolución del pensamiento matemático infantil no se determina por los factores sociales. en el sentido de que lo concreto puede llegar a ser un distractor al resolver los problemas. En cambio. más fácil les resulta a los niños más pequeños. Así. se continuará analizando la variable contexto en el empleo de estrategias durante la solución de problemas. las tareas de cambio aumento se resuelven en general mejor que las de cambio disminución.2. dibujos vs. esa tendencia cambia en los alumnos de tercer año. Análisis de las estrategias Para analizar las estrategias de los alumnos en ambos contextos hicimos tres análisis de varianza (ANOVA) mixto 2 (contexto: rural vs. 1991). mas dejaría de serlo cuando el aprendizaje está avanzado o conseguido. En cambio. éstos influyen en las diferencias individuales de las competencias necesarias para resolver un problema de cambio aumento o cambio disminución. Sin embargo. cambio . vale la pena resaltar que los alumnos rurales obtienen sus mejores rendimientos en todos los cursos en el nivel verbal. 4. tercero vs. en primero y segundo año el rendimiento se incrementa en sentido inverso al nivel de abstracción. el uso de objetos o dibujos en el aprendizaje de las matemáticas parece eficaz en los inicios del aprendizaje. se encuentran algunas diferencias significativas entre los contextos.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 353 más abstractos en los dos últimos cursos y con la incógnita cantidad final. los alumnos de primero y segundo año –sobre todo este curso. segundo vs.
el uso de las estrategias de modelado directo depende del curso al que pertenecen los alumnos. 1986) donde se muestra que las estrategias de modelado directo se emplean más en los primeros cursos que en los superiores. p < . 1993. Respecto a las estrategias de modelado directo. p < . TABLA VII Interacciones significativas en el uso de estrategias de modelado directo (parte 1) Interacciones Valor F Significancia Contexto X Nivel de abstracción F (3. Bermejo y Rodríguez.66 P < .05 Contexto X Curso F (3. En las siguientes figuras se presentan dos interacciones relevantes. operación y lugar de la incógnita afectan a la frecuencia con la que los alumnos utilizan dicha estrategia. 184) = 3.05 Contexto X Curso X Nivel de F (9.354 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO disminución) X 2 (lugar de la incógnita: cantidad final vs. cambia según el nivel de abstracción presentado.0. se encuentran efectos principales de los factores curso F (3. operación F (1. 552) = 28.05 abstracción . Carpenter.01.05. nivel de abstracción F (3. 552) = 4. 1998.95.97.63 P < . y depende si la incógnita se ubica en la cantidad final o inicial de la operación. La Tabla VII muestra los datos tocantes a las interacciones significativas en el uso de estrategias de modelado directo por parte de los participantes. 184) = 28. Por tanto. mientras que los alumnos de tercero tienen diferencias respecto a los de segundo y primero (p < . se hallan diferencias significativas entre los escolares de cuarto año con relación a los demás cursos (p < .22 P < . 184) = 5. En otras palabras. En el estudio de comparaciones múltiples de Tuckey.05 Curso X Incógnita F (3. 184) = 3. encontramos que el nivel concreto difiere del numérico y el verbal (p < . p < . De igual manera.01 y lugar de la incógnita F (1. Las estrategias de modelado directo..36.01 P < .89. el curso escolar. mediante el programa SPSS 11. Los datos son consistentes con otros estudios (Bermejo et al. poniendo medidas repetidas en los tres últimos factores con cada tipo de estrategia. 184) = 84.05).05). se modifica cuando la operación es cambio aumento o cambio disminución. 1985. las diferencias no son significativas entre los de segundo y primer año. p < . nivel de abstracción. conteo y hechos numéricos se consideraron como variables dependientes. 552) = 2. cantidad inicial).01).01. sin embargo.
01 Operación X Incógnita Contexto X Curso X Nivel de F (9.4 0. 552) = 2.1 0 Concreto Dibujos Numérico Verbal Nivel de abstracción Figura 3. Interacción nivel de abstracción por contexto en las estrategias de modelado directo. 552) = 5.01 Nivel de abstracción X Operación F (3. Ahora bien. mientras que en los superiores (numérico. Contexto rural 0.05 abstracción X Operación X Incógnita Media de estrategias modelado En la Figura 3 se aprecia la interacción entre el contexto y el nivel de abstracción.03 P < . de manera especial en los alumnos urbanos.73 P < . .2 0. verbal) se recurre menos a ellas. ya que los rurales siguen empleándolas con cierta frecuencia.184) = 11. El uso de tales estrategias cambia en los distintos contextos escolares.00 P < .5 Contexto urbano 0. Los niveles inferiores de abstracción (concreto. el patrón evolutivo indica que los niveles concreto y dibujos se resuelven más con las estrategias de modelado directo. dibujo) favorecen el uso de estrategias de modelado directo por todos los alumnos.26 P = . 552) = 5. mientras que los niños rurales las usan más que los urbanos en los niveles numérico y verbal.3 0. especialmente en el contexto urbano. según las estrategias de modelado directo. de acuerdo con el nivel de abstracción que tiene la tarea propuesta a los participantes.01 X Incógnita Curso X Nivel de abstracción X F (9.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 355 TABLA VII Interacciones significativas en el uso de estrategias de modelado directo (parte 2) Interacciones Valor F Significancia Curso X Operación X Incógnita F (3.
4 0. especialmente los urbanos. Mientras los niños urbanos de tercero y cuarto año utilizan menos las estrategias de modelado directo. dibujos) ambos grupos de escolares utilizan con más frecuencia las estrategias de modelado directo.356 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO Media de estrategias modelado Por tanto. lo que confirma las diferencias mencionadas en torno a la evolución de los cursos superiores. Contexto rural 0.25 0.5 0. los rurales siguen empleándolas a lo largo de los cuatro años casi con la misma frecuencia.45 0. las situaciones de mayor o menor abstracción implican un aprendizaje distinto de estas estrategias.2 0. confirman los datos encontrados en otros estudios (Schliemann y Carraher. También se nota que la mayor . Interacción curso por contexto en las estrategias de modelado directo.05. Saxe y Gearhart. 1990) en el sentido de que el aprendizaje de las matemáticas implica una práctica especializada en los niños del contexto rural. Además.05 0 Contexto urbano Primero Segundo Tercero Cuarto Curso escolar Figura 4.15 0. En este caso. en cambio.1 0. Los resultados son consistentes con los planteamientos de otros autores (Saxe. En la Figura 4 aparece la interacción curso por contexto en las estrategias de modelado directo. Ello se debe probablemente a que la presentación de la tarea (situación más concreta) favorece su uso. 1991.96. ante situaciones menos abstractas (objetos. en la construcción del conocimiento matemático los niños rurales usan más que los urbanos la manipulación de objetos cuando las tareas son más abstractas.3 0. El análisis sobre los efectos simples del factor contexto en los niveles del factor curso indica diferencias significativas entre los alumnos de tercer año en el contexto rural y los del urbano: F (1. según el contexto escolar. 2002) respecto a que las situaciones de aprendizaje contextuales son variables. p < . 184) = 2. quienes desarrollan habilidades espaciales superiores a las destrezas manifestadas por los del contexto urbano.35 0.
Bermejo et al. Tal patrón evolutivo es consistente con los planteamientos sobre el desarrollo de las estrategias básicas en los cursos inferiores (Carpenter y Moser.12 ni del factor nivel de abstracción F (3. p < .05 Contexto X Operación F (1. y confirma que la manipulación de objetos favorece la adquisición de conocimientos matemáticos. p = . el contexto. 552) = 2.34 p < .01.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 357 frecuencia en el uso de dicha estrategia ocurre en los dos primeros años. 184) = 1. TABLA VIII Interacciones significativas en el uso de estrategias de estrategias de conteo (parte 1) Interacciones Valor F Significancia Curso X Nivel de abstracción F (9. 184) = 8. como puede constatarse especialmente en el grupo urbano. tipo de operación y lugar de la incógnita afectan al uso de las estrategias de conteo. tales estrategias se usan más en cambio aumento que en cambio disminución (p < . p < . las estrategias de modelado directo se emplean más por los alumnos de los primeros cursos y menos en los cursos superiores. 552) = 8. el análisis detecta efectos principales en los factores contexto F (1.07.22 p < . Ahora bien.01 20.54 p < .33. p < .91. 184) = p < . el análisis de los efectos simples del factor contexto en los niveles del factor curso señala que las diferencias son significativas entre primero y segundo con relación a tercero y cuarto año en el contexto urbano. mientras que en el factor incógnita se recurre más a ellas en los problemas con la incógnita cantidad final que con la incógnita cantidad inicial (p < .05 abstracción .17. 184) = 9.05).34.01 Operación X Incógnita F (1.01 Nivel de abstracción X Incógnita F (3. Así. 1982.60 p < . ya que los alumnos rurales tienden a usarlas más que los urbanos (p < . Es decir.05 Nivel de abstracción X Operación F (3. operación F (1..01 y lugar de la incógnita F (1. En cuanto al factor operación. Es decir. 552) = 2. 552) = 7. 1998). p = . 552) = 2. el estudio de comparaciones por pares con la prueba Tuckey revela que hay diferencias significativas al ocupar las estrategias de conteo en el factor contexto. Referente a las estrategias de conteo. sobre todo al inicio de su aprendizaje. No hubo efecto del factor curso F (3.53. 184) = 75.01).36 Contexto X Curso X Nivel de F (9. 184) = 30.03 p < .01).05.
.1 0.15 0.4 0. 184) = 4. Ello puede deberse a que en estos años los alumnos urbanos prefieren las estrategias de hechos numéricos.95 p < . que muestra la interacción contexto.05 Operación X Incógnita 0.358 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO TABLA VIII Interacciones significativas en el uso de estrategias de estrategias de conteo (parte 2) Interacciones Valor F Significancia Contexto X Nivel de abstracción X F (3.05 p < . 552) = 3. Interacción contexto por curso por nivel de abstracción en las estrategias conteo.5 0. 552) = 6.05 0 Contexto rural Primer curso Segundo curso V erbal D ib ujo s N um érico C oncreto V erbal D ibujos Tercero curso N um érico C oncreto V erbal N um érico D ib ujo s C oncreto V erbal N um érico D ib ujo s Contexto urbano C oncreto P u n tu ació n m ed ia estrateg ias co n teo La Tabla VIII contiene las interacciones significativas correspondientes al empleo de estrategias de conteo.57 p < .01 Incógnita Curso X Operación X Incógnita F (3.74 p < .25 0.54 p < . especialmente los de tercero y cuarto año.05 Nivel de abstracción X Operación X F (3. curso y nivel de abstracción en las estrategias de conteo.45 0. 552) = 3. Una de ellas aparece en la Figura 5. Cuarto curso Figura 5.01 Incógnita Curso X Nivel de abstracción X F (9. En dicha figura se observa que los alumnos de contexto rural utilizan en general dichos recursos más frecuentemente que los alumnos urbanos.05 Operación Curso X Nivel de abstracción X F (9.01 Operación Curso X Nivel de abstracción X F (9.2 0. 552) = 3.3 0. 552) = 2.06 p < .35 0.
01 . los urbanos recurren más a ellas. 552) = 10. y finalmente los niños de segundo difieren significativamente de los primero (p < .39. en comparación con los rurales. mientras que en los dos últimos años se hacen en el nivel numérico. en el contexto rural en los dos primeros años se usan estas estrategias. hay diferencias significativas entre los escolares de cuarto año con relación a los demás cursos (p < . La comparación por pares con la prueba Tuckey en el factor contexto indica diferencias significativas del contexto urbano con respecto al rural (p < . Por ende.80 p < .01). TABLA IX Interacciones significativas en el uso de estrategias de hechos numéricos (parte 1) Interacciones Valor F Significancia Curso X Nivel de abstracción F (9. sobre todo en el nivel verbal. Carpenter y Moser.18 p < .05). 552) = 26.05. 552) = 2.. 1998. En la Tabla IX se presentan las interacciones significativas entre los alumnos al usar las estrategias de hechos numéricos.01 Nivel de abstracción X Incógnita F (3.05). 1982) en el sentido de que las estrategias de hechos numéricos son ocupadas principalmente por alumnos de cursos superiores.01).74 p < .34 p < .05). 552) = 3.01. En lo tocante a las estrategias de hechos numéricos.05 Curso X Incógnita F (3. hay diferencias en el factor nivel de abstracción. los alumnos de tercero muestran diferencias significativas respecto a los de segundo y primero (p < .80 p < .01. Asimismo. p < . 184) = 27. 184) = 4. el análisis detecta efectos principales en los factores contexto F (1. 184) = 88. 184) = 13. mientras que el numérico difiere con los niveles concreto y dibujos (p < .05 Nivel de abstracción X Operación F (3. ya que el nivel verbal contrasta con los demás niveles (p < . Dichos resultados concuerdan con los hallados por otros investigadores (Bermejo et al.06 p < .05 Contexto X Operación F (1.95. 184) = 2.01).01 y nivel de abstracción F (3.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 359 Además. el contexto.05 Operación X Incógnita F (1. el curso escolar y el nivel de abstracción afectan al uso de las estrategias de hechos numéricos en los alumnos. de modo que los alumnos urbanos emplean con mayor frecuencia dichas estrategias que los rurales. p < . curso F (3. p < . Al hacer el estudio de comparaciones múltiples de Tuckey.
Los resultados son consistentes con los de otros trabajos (Carraher et al.01 Contexto X Nivel de abstracción X Operación X Incógnita F (3. CONCLUSIONES En esta investigación se confirman los siguientes planteamientos. visto como una práctica específica.65 p < . Dicho patrón de desarrollo ocurre dentro de las características sociales de una cultura rural.83 p < . 552) = 2. pues en general el comportamiento de los participantes mejora sensiblemente a medida que se avanza de primero a cuarto año de educación primaria. la tendencia evolutiva que marca el rendimiento de los alumnos. Por una parte. En cambio. 552) = 3.86 p < . aunque con patrones evolutivos diferentes.360 JUAN JOSÉ DÍAZ y VICENTE BERMEJO TABLA IX Interacciones significativas en el uso de estrategias de hechos numéricos (parte 2) Contexto X Nivel de abstracción X F (3. se afirma que los alumnos del contexto rural emplean más que los del urbano las estrategias de modelado directo y conteo en la mayoría de los niveles de abstracción.60 p < .01 Nivel de abstracción X Operación X Incógnita F (3. Saxe. 552) = 2. 184) = 7. Los niños rurales son más concretos que los urbanos en el nivel verbal. el patrón de estrategia se manifiesta a partir de una interacción social basada en el conocimiento informal que se adquiere mediante la manipulación de objetos cotidianos. 1991) sobre la cuestión necesaria de analizar el contexto social en el aprendizaje de las matemáticas.16 p < .05 Con respecto al segundo objetivo. También se comprueba la secuencia de abstracción de lo concreto a lo abstracto.05 Contexto X Curso X Nivel de abstracción X Operación X Incógnita F (9. lo cual reafirma la idea de la especificidad del conocimiento infantil. 1985. los escolares de las escuelas urbanas superan a los de las rurales en el uso de las estrategias de hechos numéricos en todos los niveles de abstracción presentados en el estudio.05 Incógnita Curso X Operación X Incógnita F (3. Por tanto. ya que en general durante los dos primeros años el rendimiento de los alumnos baja a medida que se incrementa el nivel de . 552) = 8. 5.
Por otra parte. las diferencias son notorias en algunos cursos y situaciones matemáticas. por ejemplo. Sobre las estrategias que ocupan los alumnos en la resolución de los problemas planteados. se verifica igualmente el empleo específico y variado de procedimientos.NIVEL DE ABSTRACCIÓN DE LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 361 abstracción de las tareas propuestas. los alumnos rurales obtienen mejor rendimiento en los problemas verbales que en el algoritmo. Finalmente. resaltamos la importancia del factor contexto socioeconómico. Sin embargo. no hay diferencias significativas entre los cursos respecto al uso de las estrategias de conteo. siendo especialmente frecuente su empleo en los niños urbanos. Desde el punto de vista de la práctica educativa. que si bien no ha sido estadísticamente significativo. Así ocurre. debido a que en este nivel evolutivo la presencia de objetos o dibujos no sólo no facilitan. esta investigación evidencia el desajuste en la planificación de la enseñanza formal y el desarrollo del conocimiento matemático infantil. mientras que los urbanos recurren a ella sobre todo durante los dos primeros cursos. como hemos visto con cierto detalle. tal afirmación hay que matizarla en función del tipo de situación matemática planteada. los alumnos rurales las emplean con mayor frecuencia que los urbanos en los cursos más avanzados. en tercer año los rendimientos mejoran globalmente a medida que se incrementa el nivel de abstracción de los problemas aritméticos. En cambio. El aprendizaje . los alumnos rurales suelen utilizar la estrategia de modelado directo de modo parecido a lo largo de los cuatro años. mientras que las de hechos numéricos se desarrollan progresivamente a medida que avanzan los cursos escolares. excepto en el nivel verbal. Sin embargo. En cuanto a las estrategias de conteo. lo cual resulta especialmente notorio en los alumnos rurales. sino que probablemente funcionan como distractores a lo largo de la resolución de problemas. en segundo año de educación primaria. sobre todo en los niveles verbal y numérico. se confirma que la incógnita afecta significativamente al comportamiento matemático de los escolares. pero se observa un desarrollo progresivo entre los cursos en lo tocante al uso de los procedimientos de hechos numéricos. por ejemplo. de modo que las tareas resultan más fáciles con la incógnita cantidad final que con la cantidad inicial. Los alumnos de primero y segundo utilizan el modelado directo más que los de tercero y cuarto de educación primaria. No obstante. donde los alumnos urbanos puntúan muy por encima de los rurales. no hay diferencias en el nivel verbal entre los alumnos urbanos y rurales en ninguno de los cuatro años que se han investigado en este trabajo. sobre todo en los niveles de abstracción concreto-dibujo-numérico. Con respecto a los contextos rural y urbano.
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