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Timestamp: 2017-05-25 19:26:01+00:00

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Animate Matemática 5 by Marcela Lalia - issuu
Animate5MatemáticaRecursos para el docente
Recursos para el docente de Matemática 5 –Serie Animate–es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada
en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega
Claudia A. David • Alicia E. López • Adriana A. Santos • Gisela B. Serrano
Matemática x deporte: Pablo J. Kaczor • Manuel J. Lois
Edición: Raquel S. Kalizsky
Jefa de edición: María Laura Latorre
Gerencia de gestión editorial: Mónica PavicichÍndice
Recursos para la planificación, pág. 2
Soluciones de todas las actividades del libro, pág. 9
Matemática x deporte, pág. 23Jefa de arte: Claudia Fano.
Diagramación: Alejandro Pescatore.
sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo
o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera.
Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola
derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.Gd. A5_M(01-22).indd 1© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A.
Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.Matemática 5 : recursos para el docente / Gisela B. Serrano ...
[et.al.]. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008.
56 p. ; 28x22 cm.
ISBN 978-950-46-2041-9ISBN Libro del alumno: 978-950-46-2042-6
ISBN Recursos para el docente: 978-950-46-2041-9
Primera edición: octubre de 20081. Formación Docente. 2. Matemática. 3. I. Serrano, Gisela B.
CDD 371.1Este libro se terminó de imprimir en el mes de octubre
de 2008, en Grafisur S.A., Cortejarena 2943, Ciudad
Autónoma de Buenos Aires, República Argentina.11/18/08 2:17:25 PM2Gd. A5_M(01-22).indd 211/18/08 1:58:52 PMAbril3Abril2Marzo1Módulo
estimadoCircunferencia y círculo.Construcciones.Reconocer, diferenciar y trazar circunferencias y círculos.Construir triángulos y cuadriláteros
con regla, escuadra y compás.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723Rectas paralelas y perpendiculares.Reconocer, trazar y diferenciar rectas
según su ubicación relativa.Multiplicación. Propiedades. Algoritmo.Resolver problemas que aborden
distintos sentidos de la multiplicación
y de la división.División. Propiedades. Algoritmo.Multiplicaciones y divisiones por 10,
por 100, por 1 000.Elaborar y usar estrategias de multiplicación y división por 10, por 100 y
por 1 000.Conocer y utilizar propiedades de la
multiplicación y de la división.El sistema de numeración egipcio.El sistema de numeración decimal.Números de 6, 7 y 8 cifras.ContenidosConocer otros sistemas de numeración para comprender mejor el
sistema decimal.Leer y escribir números de 6, 7 y 8
Explicitar las relaciones subyacentes
en el sistema de numeración decimal.Expectativas de logroRecursos para la planiﬁcaciónConstrucción de triángulos y cuadriláteros con regla, escuadra y compás, dadas
las medidas de uno o más lados.Reconocimiento y uso del concepto de circunferencia como conjunto de puntos
del plano que equidistan de otro punto.
Construcción de circunferencias con compás.
Reconocimiento y uso del concepto de círculo como conjunto de puntos cuya
distancia al centro es menor o igual que el radio.Reconocimiento y trazado de rectas paralelas y perpendiculares con escuadra
y regla.Análisis del algoritmo de la división: acortamiento de pasos y su explicación.
Resolución de divisiones con divisor de dos y tres cifras.
Resolución de situaciones problemáticas con el uso de una división entera
exacta o inexacta.
Reconocimiento de las relaciones entre los componentes de la división para
Situaciones en las que el análisis del resto modifique el resultado.
Estimación de resultados.Resolución de situaciones problemáticas en las que se pongan en juego las
propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación.
Descomposición de factores de una multiplicación para resolverla. Uso de cálculos conocidos para resolver otros cálculos. Uso de la calculadora.Resolución de situaciones que impliquen la multiplicación y la división por 10,
por 100, por 1 000. Uso de la calculadora. Completamiento de tablas.Descubrimiento del valor de los símbolos egipcios a partir de un número escrito
en sistema decimal y otro en egipcio. Reflexión acerca de las diferencias entre
ambos sistemas de numeración.Lectura y escritura de números de 6, 7 y 8 cifras.
Proposición de cálculos que promuevan la aparición de estrategias que involucran descomposiciones de los números en juego usando la calculadora.
Descomposición y composición de números, apelando a sumas y multiplicaciones.
Lectura de números grandes e interpretación de información en gráficos estadísticos.Estrategias didácticas3Gd. A5_M(01-22).indd 311/18/08 1:58:52 PMJunio7Mayo6Mayo5Mayo4Suma de los ángulos interiores de
un triángulo.Construcción de triángulos y cuadriláteros.Construir triángulos y cuadriláteros
usando regla, escuadra, compás y
transportador.Ángulos consecutivos, adyacentes y
opuestos por el vértice.Reconocer y diferenciar distintos
tipos de ángulos.Aplicar la propiedad de la suma de
los ángulos interiores de un triángulo
para resolver distintas situaciones
problemáticas.Máximo común divisor (MCD).Construcción de diferentes tipos de triángulos conociendo algunos datos: medida de dos ángulos y un lado; medida de tres ángulos y un lado.
Construcción de cuadriláteros a partir de la medida de algunos de sus ángulos y
algunos lados. Uso de regla, escuadra, compás y transportador en las construcciones.Resolución de situaciones problemáticas que requieran la aplicación de la
propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.
Reconocimiento y clasificación de triángulos según la medida de sus lados y
sus ángulos.Comparación de ángulos y su medición con transportador. Trazado de ángulos
de diferentes amplitudes usando el transportador.
Construcción, identificación y caracterización de ángulos consecutivos y
adyacentes. Análisis de problemas que impliquen el uso de la igualdad de los
ángulos opuestos por el vértice.Resolución de situaciones problemáticas que requieren hallar el MCD entre dos
o más números.Resolución de situaciones problemáticas que requieren hallar el MCM entre dos
o más números.Descomposición de un número en sus factores. Clasificación de números en
primos y compuestos. Búsqueda de números primos.Números primos y compuestos.Mínimo común múltiplo (MCM).Elaboración de reglas de divisibilidad. Uso de las reglas de divisibilidad para
encontrar múltiplos de un número.Resolución de situaciones problemáticas en las que sea necesario encontrar
múltiplos o divisores de un número.
Reconocimiento de la multiplicación como inversa de la división exacta.
Determinación del resto y el cociente de una división a partir de un producto
conocido.Determinación de situaciones de proporcionalidad y de no proporcionalidad.Encuentro de la constante de proporcionalidad. Análisis de su significado.Resolución de problemas de proporcionalidad conocido un par de números que
se relacionan o por medio de información presentada en tablas. Uso de las
relaciones entre variables para completar tablas.Reglas de divisibilidad.Resolver situaciones problemáticas
que requieran la búsqueda del MCM o
del MCD, o de ambos, entre dos o más
números.Poner en juego las propiedades de la
multiplicación y la división, y las nociones de múltiplos y divisores en la resolución de situaciones problemáticas.Reconocer la multiplicación como
inversa de la división exacta.Múltiplos y divisores.Constante de proporcionalidad.Encontrar y usar la constante de proporcionalidad.Profundizar el conocimiento de la
multiplicación y la división.Tablas.Proporcionalidad directa.Resolver situaciones en las que la
información se presente en tablas.Reconocer y resolver situaciones de
proporcionalidad.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7234Gd. A5_M(01-22).indd 411/18/08 1:58:52 PMJulio10Junio9Junio8Módulo
estimadoFracción de una cantidad.Masa: kilogramo y gramo.Obtener fracciones de una cantidad.Reconocer y usar medidas de masa y
capacidad en distintas situaciones de
la vida cotidiana.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723Capacidad: litro, decilitro y mililitro.Sumas y restas.Elaborar estrategias para resolver sumas
y restas de fracciones y aplicarlas en
diferentes situaciones problemáticas.Manejar las equivalencias entre las
unidades de masa y de capacidad
vistas.Fracciones en la recta numérica.Fracciones equivalentes.Sumas y restas de fracciones.Números mixtos.Fracciones para repartir y medir.ContenidosRepresentar fracciones en la recta
numérica.Ampliar el repertorio de los sentidos
de las fracciones. Reconocer y usar
fracciones equivalentes en diferentes
contextos.Resolver cálculos y situaciones que
requieran sumar y restar con fracciones.Comprender algunos de los sentidos
de las fracciones.Expectativas de logroRecursos para la planiﬁcaciónUso del litro, el decilitro y el mililitro en distintos contextos.
Resolución de situaciones que impliquen el uso de equivalencias entre esas
unidades.Uso del kilogramo y el gramo en distintas situaciones de la vida cotidiana.
Planteo de situaciones problemáticas que requieran expresar cantidades de
Uso de las equivalencias entre fracciones de kilo y de gramos.Resolución de cálculos que impliquen la obtención de fracciones de una cantidad dada.
Resolución de problemas en los que se requiera calcular la fracción de una cantidad.Resolución de sumas y restas de enteros y fracciones. Análisis de distintas estrategias de resolución para sumar y restar fracciones con diferente denominador.
Resolución de problemas que requieren sumar o restar fracciones, o realizar ambas
operaciones.Ubicar fracciones en la recta numérica conocidos el 0 y el 1.Comparación de fracciones. Empleo de diferentes recursos para comparar
Resolución de situaciones en las que sea necesario reconocer y obtener fracciones equivalentes.Sumas y restas de fracciones de igual denominador.
Elaboración de recursos de cálculo mental para resolver algunas sumas o
Expresar el entero como suma de dos fracciones.
Ubicación de fracciones entre 2 números naturales consecutivos.Traducción de fracción a número mixto y viceversa.
Interpretación de números mixtos en distintos problemas.Resolución de problemas que apelen a las funciones de reparto y medida de las
fracciones.Estrategias didácticas5Gd. A5_M(01-22).indd 511/18/08 1:58:53 PMSeptiembre13Agosto12AgostoJulio11Realizar construcciones analizando
los datos que se presentan.Construcciones.Cuadriláteros. Clasificación y propiedades.Multiplicaciones y divisiones de
decimales por 10, 100 y 1 000.Elaborar estrategias de cálculo para
multiplicar y dividir números decimales por 10, 100 y 1 000 en distintos
contextos de uso.Profundizar el conocimiento geométrico.
cuadriláteros para poder elaborar
criterios de clasificación.Sumas y restas.Suma y restar números decimales.Porcentajes.Representación en la recta numérica.Representar fracciones decimales
y números decimales en la recta
numérica.Calcular porcentajes.Comparaciones.Números decimales y fracciones.Comparar números decimales.Explorar la notación decimal. Establecer diferencias entre la notación
decimal y los números naturales.
Utilizar números decimales y fracciones decimales en distintos contextos
de la vida cotidiana.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723Interpretación de información para la construcción de figuras. Construcción de
trapecios dados dos ángulos y un lado. Construcción de diferentes cuadriláteros a partir de ciertos datos, por ejemplo, sus diagonales o la medida de tres
ángulos y un lado.Reconocimiento y análisis de distintos cuadriláteros para su clasificación.
Comparación según sus lados y sus ángulos. Clasificación de cuadriláteros de
acuerdo con el paralelismo de sus lados. Análisis de la medida de los ángulos
interiores de los cuadriláteros. Búsqueda del valor de la suma de los ángulos
interiores de un cuadrilátero. Identificación de ángulos opuestos de un paralelogramo y uso de la propiedad de ser iguales.Resolución de situaciones problemáticas en las que se requieren calcular
Identificación del porcentaje como fracción de denominador 100 y como número decimal.Uso de la multiplicación por 10, 100 y 1 000 en el completamiento de tablas de
Búsqueda y elaboración de estrategias para multiplicar y dividir por 10, 100 y 1 000.
Resolución de situaciones problemáticas que involucren la multiplicación y la
división de decimales por 10, 100 y 1 000.
Elaboración de estrategias de cálculo mental para multiplicar y dividir por 10,
100 y 1 000.Resolución de situaciones que impliquen la suma y la resta de números naturales y una fracción decimal, números naturales y números decimales, y números
decimales entre sí.Representación en la recta numérica de números decimales bajo determinadas
Interpolación de expresiones decimales entre dos números naturales.Comparación y ordenamiento de números decimales.Exploración de la notación decimal utilizando como recurso el dinero.
Resolución de situaciones que requieran realizar equivalencias y transformaciones entre fracciones y números decimales.
Situaciones de medición que involucren fracciones decimales y exijan cambios
Lectura y escritura de números decimales.6Gd. A5_M(01-22).indd 611/18/08 1:58:53 PMOctubre16Octubre15Septiembre14Módulo
estimadoProporcionalidad.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723Multiplicar fracciones por números
enteros y encontrar la fracción de otra
fracción. Resolver situaciones de proporcionalidad que incluyan fracciones.Multiplicación de fracciones.Profundizar en el significado de la
multiplicación de fracciones. Reflexionar sobre las diferencias entre
la multiplicación de fracciones y la
multiplicación de números naturales.Uso de la calculadora para corroborar resultados de multiplicaciones o divisiones.Cociente decimal entre dos naturales. División de un decimal por un
natural.Promedios.Reconocimiento y uso del algoritmo de la multiplicación. Estimación de productos de una multiplicación. Resolución de situaciones problemáticas que
requieran el uso de la multiplicación entre decimales.Multiplicación entre decimales.Resolución de situaciones problemáticas de proporcionalidad directa.
Completamiento de tablas.
Análisis de tablas. Búsqueda de regularidades.Resolución de situaciones problemáticas que impliquen la multiplicación de un
número natural por una fracción.
Búsqueda del dividendo o el factor en diferentes cálculos.
Resolución de problemas que requieran la multiplicación de dos fracciones.
Resolución gráfica de la multiplicación de un número por una fracción y de fracciones.Resolución de problemas que impliquen la búsqueda de promedios.Resolución de situaciones de reparto en las que el resultado sea un cociente
Resolución de situaciones que requieran el uso de divisiones de un decimal por
un natural.Resolución de multiplicaciones de un número natural por un número decimal. Elaboración de argumentaciones. Búsqueda y análisis de diferentes estrategias para operar.Resolución de situaciones que requieran el cálculo estimativo y su posterior
Realización de estimaciones sobre la longitud de una serie de objetos dados.Comparación de longitudes expresadas en diferentes unidades.
Completamiento de tablas usando la equivalencia entre m y cm.
Resolución de situaciones problemáticas que requieran para su resolución
sumas o restas, o ambas operaciones, de números enteros y decimales,
o decimales solamente.
Análisis de la relación entre cm y mm, usando como recurso una regla.
Resolución de problemas que requieran la conversión de cm a mm o viceversa.
Completamiento de tablas con equivalencias entre m, km y cuadras.
Uso del km para calcular distancias.
Transformación de fracciones del m, del km, del cm a números decimales.
Escritura de medidas que impliquen el pasaje de una unidad de longitud a otra.Estrategias didácticasMultiplicación entre naturales y
decimales.Estimaciones.Longitudes y números decimales:
kilómetros, metros, centímetros y
milímetros.ContenidosResolver problemas que requieran la
obtención y el cálculo de promedios.Multiplicar y dividir cantidades
expresadas con números naturales o
decimales, o con ambos, utilizando
distintos procedimientos.Usar como recurso la estimación de
longitudes en distintas situaciones
de la vida cotidiana.Conocer y usar las equivalencias
entre km, m, cm y dm.Utilizar distintas unidades de longitud
en situaciones cotidianas.Expectativas de logroRecursos para la planiﬁcación7Gd. A5_M(01-22).indd 711/18/08 1:58:53 PMNoviembre18Noviembre17Vistas de cuerpos geométricos.Armado de prismas y pirámides.Armar cuerpos geométricos a partir
de plantillas.Cuerpos geométricos: prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera.Reconocer y diferenciar cuerpos
geométricos.Analizar cómo se ve un cuerpo desde
distintas posiciones.El cm2 y el m2.Áreas.Perímetros.Medir áreas con otras superficies
como medida. Medir áreas utilizando
el cm2 y el m2.Diferenciar el concepto de perímetro
y área.Calcular el perímetro de diferentes figuras.Avanzar en el análisis de las figuras.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723Armado de prismas y pirámides usando plantillas. Reconocimiento de la plantilla que corresponde a un cuerpo determinado.Descripción y reconocimiento de cuerpos geométricos teniendo en cuenta sus
Análisis de las vistas de un cuerpo cuando se lo observa desde distintas posiciones.Asociación de cuerpos geométricos con objetos de la realidad.
Diferenciación entre cuerpos geométricos que ruedan y los que no lo hacen.
Determinación del nombre del cuerpo, y de la forma y la cantidad de caras,
vértices y aristas que lo forman.Resolución de situaciones problemáticas que exijan la equivalencia entre diferentes unidades de medida. Uso del cm2 y del m2 como unidades de medida.Resolución de problemas que requieran la medición del perímetro de diferentes
Resolución de situaciones que involucren una exploración sobre la independencia entre las variaciones del área y del perímetro.
Comparación de los perímetros de distintas figuras con igual área.
Comparación de las áreas de distintas figuras del mismo perímetro.
Resolución de situaciones que pongan en juego la independencia de la medida
del área de la forma.Gd. A5_M(01-22).indd 811/18/08 1:58:53 PMSolucionesGd. A5_M(01-22).indd 911/18/08 1:58:53 PMSoluciones
Las respuestas de la actividad de apertura de cada módulo
figuran en la sección Paro y reviso que se encuentra
grisada.Módulo1Repaso
a) El número más grande es 85 432 y el más chico, 23 458.
b) El número es 12 470.
1 100 000 + 100 000 + 100 000 + 10 000 +10 000 + 10 000 + 10 000 + 10 000 + 1 000 + 1 000 +
1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 +
100 + 10012 7 decenas de millón; 7 centenas de mil; 7 unidades demillón; 7 decenas de mil.
13 a) Todos los números están compuestos por las cifras 0, 3 y5; el 3 ocupa siempre el lugar de las unidades, pero el 5
ocupa una posición diferente en cada número.
b) Cinco millones tres, quinientos mil tres, cincuenta millones tres y cincuenta mil tres.
14 Tiene razón Julián. El que dice Julián. Un número mayor po-dría ser 53 120 000. Se lee cincuenta y tres millones ciento
veinte mil.b) Cuarenta y cinco millones doscientos tres mil setecientos
4 a) 10; 100 000; 100; 1 000; 10 000; 1.b) Se escriben más símbolos en el número 99 999: 9 símbolos de 10 000; 9 de 1 000; 9 de 100; 9 de 10 y 9 de
1. En cambio, hay un símbolo que representa a 100 000.
5 Keops mide 146 m y Kefrén 143 m.La altura de Micerinos se representa con.
6 a)× 1 000
28 000b) Al multiplicar por 10, las unidades se transforman en decenas, estas en centenas y así. Al hacerlo por 100, se pasa
de unidades a centenas, de decenas a un unidades de mil,
etcétera. Por eso, multiplicar por 10 equivale a agregar
1 cero; por 100, dos ceros; por 1 000, tres ceros.
7 Son las divisiones de 25 000 por 100, 1 000 y 10, respec-tivamente.
8 El sistema de numeración egipcio no es posicional y el siste-ma decimal sí.
En el sistema decimal, si dos números tienen diferente cantidad de cifras, siempre es mayor el que tiene más cifras; en
el sistema egipcio no siempre es así.
9 a) Argentina: 37 000 000 de habitantes; Bolivia: 8 000 000;Chile: 15 000 000; Paraguay: 5 000 000 y
Perú: 27 000 000.
b) Argentina es el país con mayor cantidad de habitantes y
Paraguay, con la menor cantidad.
c) Chile tiene 10 000 000 de habitantes más que Paraguay.
d) La diferencia de habitantes entre Perú y Bolivia es de
10 Caracol amarillo = 10; caracol rosa = 5; caracol azul = 1.b) La diferencia es 58 801 744. Se lee cincuenta y ocho millones ochocientos un mil setecientos cuarenta y cuatro.
16 30 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 90 000 + 8 000 +600 + 3
5 × 1 000 000 + 4 × 1 000 + 7 × 100 + 9 × 10 + 5 × 1
17 12 067 345 < 12 670 345 < 12 706 04521 607 345 < 21 670 345 < 21 760 345
18 89 009 309; 67 080 000; 30 000 600.
19 423 580: cuatrocientos veintitrés mil quinientos ochenta.4 235 800: cuatro millones doscientos treinta y cinco mil
42 358 000: cuarenta y dos millones trescientos cincuenta
y ocho mil.
20 Los símbolos de desigualdad que van son los de menor,mayor e igual.
21 Los tres números pueden ser 58 000 501, 48 100 500 y58 000 540.Módulo
a) Ramiro recibe $ 1 000 por mes.
b) Se necesitan 4 camionetas.21 Los cálculos que sirven para resolver el problema son:20 × 12 = 12 × 20 = 240
2 a) Los dos tienen razón.b) Otra forma posible podría ser:
6 × 8 = 48 y 48 × 4 = 192.
c) Todos los cálculos tienen el mismo resultado.
3 Una forma posible es:• 21
×15 = (7 × 3) × (5 × 3) = (7 × 5) × (3 × 3) =
9 = 315
32 = (9 × 5) × (4 × 8) = (9 × 8) × (5 × 4) =
20 = 1 440
18 = (7 × 4) × (9 × 2) = (7 × 9) × (2 × 4) =
8 = 50410
Gd. A5_M(01-22).indd 1011/18/08 1:58:54 PM© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7233 a) 1 703 450; 45 203 705; 870 056.× 100
2 800contrar 2 001 304 joyas.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723876 325 + 1 000 000 = 1 876 325
876 325 × 10 = 8 763 250× 10
28011 Tutansalamito se despertará en el año 3825. Hay que en-15 a) 67 805 004; 9 003 260.2 876 325 – 70 000 = 806 32554
28.4 a) Sí, dan el mismo resultado: 1 800.16 Tienen resto distinto de 0 la división de 124 679 porb) y c) A cargo del alumno.543 y también la de 45 789 por 25.5 (9 + 50) × 12 = 59 × 12 = 9 × 12 + 50 × 12 =108 + 600 = 70818 No tiene solución porque falta un dato.6 3 × 8 × 7 = (4 + 4) × 3 × 7 = 1688 × 5 × 2 = (4 + 4) × 10 = 80
20 × 2 × 8 = (10 + 10) × 16 = 160 + 160 = 320
7–267 × 3 × 7.
Si se olvidara también la tabla del 3 podría resolverlos así:
267 × (7 + 7 + 7).
20 Verdadero, porque 8 es el doble de 4.9 a) A cargo del alumno.b) • 4 500 : 15 → 4 500 : 5 = 900 y 900: 3 = 300.
• 4 500 : 150 → 4 500 : 10 = 450;
450 : 5 = 90 y 90 : 3 = 30.
• 4 500 : 300 → 4 500 : 100 = 45 y 45 : 3 = 15.
• 4 500 : 75 → 4 500 : 5 = 900;
900 : 5 = 180 y 180 : 3 = 60.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723–286 261
1 09245
83/–156
3308 476
180/11 a) A cada alumno le tocan 4 caramelos.b) Sí, sobran 4 caramelos.
12 a) No, la cuenta está bien.b) No dio 15 678 porque faltó sumarle el resto de la división.
13 a) Se necesitan 52 ómnibus.b) El cociente, 51, no es la respuesta, porque se necesitan
52 ómnibus, o sea, se necesita un micro más para trasladar a los pasajeros que sobran (el resto de la división).
14 a) La caja tenía 329 chicles.
15 3 000 : 60 → 3 000 : 30 = 100 y 100 : 2 = 50.2 400 :
2 200 :Tiene una sola solución.
No tiene solución porque falta el dato de cuánto pesa uno
19 Clarisa podría haber hecho el siguiente cálculo:2 823
423 + 30
3/8 a) y b) A cargo del alumno.1017 Los cocientes correctos son 120 y 2 472.16 → 2 400 : 2 = 1 200 y 1 200 : 8 = 150.
: 600 → 52 000 : 200 = 260 y 260 : 3 = 86.
: 160 → 88 000 : 40 = 2 200 y
4 = 550.Verdadero, por propiedad distributiva:
8 × 5 = (6 + 2) × 5.
Falso, porque el doble del doble de 5 es igual a
Verdadero, el orden de los factores no altera el producto
Verdadero porque al aplicar la propiedad distributiva
es 8 × 5 = 8 × (2 + 3).
21 Martín se dio cuenta, sin hacer la división, de que esecociente no es posible porque nunca podría tener solo 3
cifras; si 19 × 1 000 = 19 000, y este número está próximo
a 19 855, entonces el cociente va a tener 4 cifras.
22 Por ejemplo:45 × 21; 52 × 10; 36 × 110; 125 × 13.
23 36 × (10 + 7) = 360 + 252 = 61219 × (10 + 4 + 4) = 190 + 76 + 76 = 342
27 × (20 + 3 + 6) = 540 + 81 + 162 = 783
24 345 × (24 × 15) = 124 200
25 11 736 : 18 = 65211 736 : 72 = 163
11 736 : 9 = 1 304
26 A Mariano le alcanza para 44 guitarras y le sobran $ 180.
27 La panadería necesita 11 bandejas para hornear todo elpedido.
28 25 × (8 + 12) = 200 + 300 = 50020 × (16 + 8) = 480
45 300 120
60/7 502 625
2/29 1 800 : 150 → 1 800 : 10 = 180; 180 : 5 = 36 y36 : 3 = 12.
3 680 : 40 → 3 680 : 10 = 368 y 368 : 4 = 92.
6 000 : 250 → 6 000 : 10 = 600; 600 : 5 = 120 y
120 : 5 = 24.
30 a) 54 × 24 = 1 296 y 1 296 + 8 = 1 304. La producción dealfajores es de 1 304.
b) Hay que fabricar 16 alfajores más para llenar 55 cajas.11
Gd. A5_M(01-22).indd 1111/18/08 1:58:55 PMc) Se deberían haber fabricado 1 296 alfajores para que no
quedara ninguno suelto.Módulo12 • Se dibuja un ángulo recto; con centro en el vértice secortan los lados del ángulo con un arco.
• Se hace centro en cada uno de los puntos obtenidos y,
con el mismo radio, se trazan dos arcos que se corten:
así se obtiene el cuarto vértice del cuadrado.
• Con una regla se trazan los lados del cuadrado.3Repaso
a) Por ejemplo, Girasol y Margarita.
b) Por ejemplo, Rosal y Crisantemo.
c) Crisantemo, Jazmín, Girasol, Margarita y Primavera.
d) Jazmín y Azucena.
1 Está mal, porque solo la recta roja pasa por el punto p y esperpendicular a la azul.13 V F F F V
14 Mariel, porque solo vemos dibujada parte de una recta. Alprolongarlas, se cortan.
15 A cargo del alumno.
16 30 cm2 a), b) y c) A cargo del alumno.d) Las rectas amarilla y azul son paralelas; las rectas roja y
verde son perpendiculares.
3 a) Las rectas rojas son paralelas, las dos forman un ángulorecto con la azul.
b) Sí, son paralelas.17 a) Un rectángulo; sus ángulos son rectos.b) Un cuadrado.
19 A cargo del alumno.4 a) A cargo del alumno.árbol y caminó alrededor de él manteniendo la soga tensa.
Así describió una circunferencia cuyo centro es el árbol.Repaso
a) 3 paquetes.Paquetes
b) • 60
30 litros de nafta.
4 a)horas min
b) • 780 s11 • Hay muchas esquinas que cumplen con las condicionesdadas: donde la calle Orquídea se corta con las calles
Margarita, Girasol y Jazmín, y también en la esquina de
Violeta y Margarita.
• Se debe trazar un círculo con centro en el farol y radio
hasta una de las esquinas de la plaza, para que muestre
todos los puntos que están a igual o menor distancia del
farol que las esquinas de la plaza.min seg
• 720 mindía horas
• 72 h5hormigas
19 a) y b) A cargo del alumno.
10 A cargo del alumno.4
• 123 24 ovillos de lana.8 a) Se traza un segmento de 3 cm y se lo mide con el com-pás; con esa abertura, se pincha una vez en cada extremo del segmento y se traza un arco. El punto obtenido se
une con cada extremo del segmento.
b) Se puede trazar un segmento de 4 cm y desde cada uno
de sus extremos, dos arcos de circunferencia de 3 cm de
radio, que se corten formando el tercer vértice.b) Para 20 chicos.2 a)tres circunferencias de igual radio.
radio y con centro en B, otra de 4 cm de radio; estas se
cortan en dos puntos.
b) Se forman dos triángulos rectángulos y un romboide.b) 9 paquetes.1 a) 30 gaseosas.6 a) y b) A cargo del alumno. Tener en cuenta que se parte de
7 a) Con centro en A se traza una circunferencia de 3 cm de4patas
66 3 budines: 225 g.5 budines: 375 g.7Paquetes Figuritas
• A cargo del alumno.
• Se divide la cantidad de figuritas por la constante.12
Gd. A5_M(01-22).indd 1211/18/08 1:58:56 PM© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7235 Ató un lazo flojo al tronco más o menos cilíndrico de unMódulo© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723b) “Construí un rectángulo de 2 cm de base y 4 cm de altura
y, pegado al lado de 4 cm, un cuadrado de 3 cm de lado;
uno de los vértices del cuadrado coincide con uno del
rectángulo”.1 La clave es 528; para encontrarla hay que tener en cuenta8pizzas porciones
C = 8: cantidad de
porciones por pizza.que la suma de las cifras dé múltiplo de 3 (2, 5 u 8), pero
como no pueden repetirse solo queda disponible el 2.cajas
C = 200: cantidad
de fósforos por caja.2 • Por ejemplo, 95 y 120.• 1 y 36.colectivos
C = 50: cantidad de
pasajeros por colectivo.3 a) La división de 253 por 11 tiene cociente 23 y resto 0; ladivisión de 253 por 23 tiene cociente 11 y resto 0.
b) 11 y 23 son divisores de 253; 253 es múltiplo de 11 y de 23.
4 El 1 es divisor de todos los demás porque cualquier número9 Por ejemplo: ¿Qué cantidad de lápices trae cada caja?natural se puede escribir como el producto entre él y 1.105 Todos los divisores de 32 son 1, 2, 4, 8, 16 y 32, y suman 63.Kilos de Gramos • La otra tabla no es de proporcionalidad.
pan de Dormi • La constante 12 = 240 : 20, represen20
ta los gramos de Dormi por cada kilo
300 • 660 g de Dormi.
120 • 5 kilogramos de pan.
11 • 9 segundos.7 Hay que subrayar 4 593 y 81 024.
8 a) Hay que rodear: 18, 30, 36, 42, 66 y 108.
9 60 = 1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 15300 kg
C: 1,5. Representa los kilos de pan que se preparan con
b) $ 3
C: 0,5. Representa el precio de 1 kg de papas.10 Los factores primos que componen 84 son 7, 3, 22; asocián-dolos de diferentes maneras se ve que: 84 = 12 × 7 =
2 × 42 = 3 × 28, además de los productos ya mostrados.
11 a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.b) Es compuesto porque tiene más de dos divisores.
c) 84 = 2 × 2 × 3 × 713 a) y c) No son relaciones de proporcionalidad.b) 18 pantalones.12 No. Por ejemplo: 120 es divisible por 10, pero no por 100.14© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.72310, 100 o 1 000: termina en 0, 00 o 000, respectivamente.b) Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez.• 12 minutos.12 a) 75 kg© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7236 Por 2: termina en 0, 2, 4, 6 u 8; por 5: termina en 0 o 5; por10
1215 a)9
5416 C = 15400
4No. Por ejemplo: 9 < 11, pero 9 tiene tres divisores (1, 3 y 9),
y 11 tiene dos: él mismo y 1.
Falso. 27 termina en 7 y no es primo; sus divisores son 1,
3, 9 y 27.12
2113 La divisibilidad tiene que ver con las divisiones exactas, o1 200
800sea, con aquellas cuyo resto es 0.
14 • Sí, es útil porque le permite saber sin hacer la cuenta queC=517 La primera tabla y la tercera no son proporcionales. No hayuna constante de proporcionalidad.
18Tiempo
120Largos
8Tiempo Largos de
48Módulono podrá envasar todos los huevos que puso porque 134
no es divisible por 6.
• El número 13 es primo, solo tiene un par de divisores que
generan un único rectángulo de lados 13 y 1. El número
12 tiene estos divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12; por eso se
pueden armar rectángulos de lados 1 y 12, 2 y 6, o 3 y 4.
15 Cualquier número multiplicado por 15 es múltiplo de él;como 15 = 3 × 5, entonces también es múltiplo de 3 y de 5.5Repaso
a) 2 001
b) Hay infinitas respuestas posibles para ambas situaciones.
• Basta con que el divisor sea mayor que 5. Por ejemplo:
divisor = cociente = 8; entonces el dividendo es
8 × 8 + 5 = 69.
• Por ejemplo: divisor 7, cociente 8 y dividendo 7 × 8 = 56.16 De las seis afirmaciones, hay que tachar la 3.ª, la 5.ª y la 6.ª.
17 Puede apilarlas de a 5, de a 2 y de a 10.
18 Por ejemplo:a) 21 600b) 43 125c) 92 85019 525; 555 y 585.
20 a) 174b) 741 o 147. Es imposible que no sea divisible por 3 porque no depende del orden de las cifras sino de su suma.13
Gd. A5_M(01-22).indd 1311/18/08 1:58:57 PM14 a) 1221 Es imposible…… que sea impar y divisible por 6: porque ser divisible por 6
implica serlo por 2, o sea, debe ser un número par.
… que sea divisible por 8, pero no por 4: porque ser divisible por 8 implica serlo por 2 y por 4 a la vez.b) 9c) 30d) 1e) 6f) 1815 Volverán a sonar juntos a las 13 y 30 horas.
16 Hay 1 656 chupetines.
17 12 m. 3 trozos de cable rojo y 4 de azul.22 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 o 42.
23 Por ejemplo: 801 y 804, respectivamente.
24 210 = 21 × 10 = 3 × 70 = 7 × 2 × 5 × 3; divisores com-puestos: 21, 10 y 70; primos: 7, 2, 5 y 3.
25 Hay que rodear 12 × 35 que se puede escribir como(3 × 4) × (5 × 7); las otras dos multiplicaciones no contienen los factores que se piden.Módulo7Repaso
a) 110º, 90º, 180º, 70º y 160º.
b) Los dos, porque un recto es igual a 90º.
1 A cargo del alumno.
2 Fede se equivoca porque el ángulo rojo mide menos de 90°Módulo6Repaso
a) Pueden armarse grupos de 2, 3, 6, 9 o 18 chicos.
1 a) Malena: 1, 5, 9, 14, 19, 24 y 29 del mes de agosto.Guillermina: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 y 31 del
b) El 19 de agosto.y el azul, más de 90°.
3 a) A cargo del alumno.b) Iguales.
4 a) A cargo del alumno.b) Los lados opuestos son iguales.
c) Un paralelogramo.
5 a), b) y c) Solo un lado.d) ...comparten solo un lado.
6 Se traza una perpendicular a uno de los lados del ángulo2 a) 60 alfajores.b) 12 cajas de 5, 20 cajas de 3 o 15 cajas de 4 alfajores
cada una.rojo que pase por su vértice.
7 Los de la izquierda son adyacentes porque comparten soloun lado.3 Dentro de 24 horas.9 a) A cargo del alumno.b) MCM (8; 14) = 56
c) MCM (5; 9; 15) = 45b) Trazando dos rectas secantes.
c) A los ángulos que no están pintados.5 a) Usará 8 páginas.b) Podrá pegar 5 stickers en cada hoja: 2 de muñecas y 3 de
animales.10 a) El I y el IV.b) II) 130°, 50° y 50°; III) 110°, 110° y 70º.
11 a) y b) A cargo de los alumnos. Tener en cuenta que hay6 a) 12 kgb) Se pueden hacer 3 bolsas de maníes y 4 bolsas de girasol.
7 • Usó un álbum de 25 páginas.• 2 fotos blanco y negro, y 3 fotos color.
• 5 fotos.
8 a) Porque MCM (3; 5) = 15.b) Sudedito: 5 fotos; Tunuevita: 3 fotos.muchas respuestas posibles.
c) El ángulo azul mide 40°; el verde, 70°.
12 a) A cargo del alumno. b) 80°c) 180°13 a) Un ángulo llano; mide 180°.b) Se intenta que comprueben que los ángulos interiores de
un triángulo suman 180°.
14 a) Triángulos rectángulos.b) 18°
c) Cada uno de los ángulos agudos mide 36° y cada obtuso, 108°.9 a) 30b) 2015 a) Solo se puede dibujar el triángulo cuya suma de ángulos10 70interiores es 180°.
b) Es escaleno obtusángulo.11 35 caramelos.
12 a) 6b) 2 grupos de pelotas blancas, 3 de pelotas negras y 4 de
13 a) A los 120 segundos, o sea, 2 minutos.16 El tercer ángulo debe medir 90° para que la suma de losángulos interiores sea 180°.
17 a) 45° cada uno.b) Es un triángulo isósceles.b) Leo: 2 vueltas; Mariano: 3 vueltas.14Gd. A5_M(01-22).indd 1411/18/08 1:58:58 PM© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7238 a) No; no; sí. b) 90° cada uno.4 a) MCM (18; 12) = 3618 En cada caso, el ángulo exterior marcado con rojo mide lomismo que la suma de los ángulos interiores no adyacentes
19 Hay triángulos rectángulos y también equiláteros, ademásde rombos, romboides y hexágonos regulares.
• Sí. • 360°; cada uno de ellos mide 90°.Al azul hay que dividirlo en 4 partes iguales (cada una repre1
senta ) y sacarle una.
Al verde hay que dividirlo en 6 partes iguales (cada una
representa ) y sacarle una.
6 a) Ente 1 y 2, y entre 4 y 5.21 Sí, si ambos son rectos.722 a) Verde: 33°; rojo: 147°.
23 120° y 60°.
24 90°; 90°.
25 Cada ángulo con vértice en el centro del círculo: 72°; losdemás ángulos de cada triángulo: 54°.
26 No, porque no forman un ángulo llano.
27 No, porque dos obtusos suman más de 180°.No. Como la suma de dos rectos da 180°, el tercer ángulo
debería ser de 0°.
1! 900 ! 280 ! 620 !
3 ! 280! !!
5 ! 900 4Módulo© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7231
4.3 9 5 5
4 10 4 98 Todas representan la mitad.b) Son iguales por ser opuestos por el vértice.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.72312b) 1 y 420 128°8Repaso
b) Hay distintas opciones. Por ejemplo, mayores que 1: , ;
menores que 1: y
del tangram.
1 a) 16, o sea, A es
b) El cuadrado B, el triángulo verde y el paralelogramo rosa.
No, no tienen la misma forma.
d) 1− = del tangram.
2 a) El primero y el segundo cálculo están mal, el tercero, bien.
b) A cargo del alumno.
de regla.
En la segunda columna: 2 reglas; 2 y
b) Depende de lo que haya recortado cada alumno.3 a) En la primera columna:4 Solo es correcta la del triángulo. No son correctas la delrectángulo y el círculo porque las partes no son iguales;
tampoco la del cuadrado, porque no se representa la fracción pedida.
5 Al rectángulo amarillo hay que dividirlo en 3 partes igualesTodas representan las tres cuartas partes.
Todas representan las dos quintas partes.
9 •2+
• Está bien repartido, porque 5 : 2 es lo mismo que
= 2+ .
• 1 ; .
10 a) Por ejemplo: 1 =
b) Por ejemplo: 1 =
c) Por ejemplo: 1 =
11 Hay que dividir cada figura en 4 partes iguales y pintar 3.1
Al rectángulo amarillo: agregarle otros 3 rectángulos iguales
a él para completar la torta.
Al azul: dividirlo en dos partes iguales, cada una representa
un tercio de la torta, y agregar una parte más para completar la torta.
= 1 + =1
Entre 0 y 1, porque 1 =
Entre 2 y 3, o sea, entre
Hay que rodear
kg de pan o 1 y
412 Sí, porque 1 +
y, como cada una de ellas representa , agregarle una de
esas partes.15
Gd. A5_M(01-22).indd 1511/18/08 1:58:59 PMMódulo9Repaso
a) Por ejemplo, , ,
b) Por ejemplo: + + = + + = 1 .
1 Sí, porque = .
3 Sí, porque =
, porque 5 veces
es más que 2 veces .
b) , porque cada quinto es mayor que cada noveno.
para llegar a 1 y a
a 1, pero como
> ; entonces a
le falta más para
llegar a 1 que a , o sea,
6 Hizo el corte entre la parte violeta y la verde. En la c.
5 A8 a)01010117
12b)1
20c)12b) Sí.2 1
6 313 Kiara.2
2310MóduloRepaso
a) Bebé: 4,5 kg, gaseosa: 2 L, pan de manteca: 200 g,
gotero: 2 ml.
1 a) Compraría 4 paquetes de 500 g cada uno.b) Una posibilidad es 2 paquetes de 500 g y 4 de 250 g.
2 No, porque todo el material pesa 5 kg + 250 g.
3 Julián puede llenar el recipiente de 5 kg y luego pasar la ha-rina al de 2 kg, hasta llenar este envase. Así, en el recipiente de 5 kg quedarán los 3 kg que necesitaba separar.
4 Sí, es verdad. En el visor debe aparecer 480 g.
5 Envases grandes, porque con los envases chicos 229
10 a) 7 b) Es 14. Se puede calcular multiplicando por 2 la
tercera parte de 21.
11 a) 811
y , respectivamente. La mayor es .
64 y 22, respectivamente.
5619 a)c) Marcando 3 de las 4 hileras de 5
alumnos cada una; son 12 alumnos.
2costarían aproximadamente $ 7,97.1
4L6 Le quedan 160 ml de antibiótico.
7 Puso 12,5 L de agua y 125 ml de jabón líquido.
8 No es confiable porque un perro tan chiquito no puede pesartanto. Pesa 1,600 kg.
• Sí, le alcanzará el frasco y le sobrarán 150 ml.
L = 5 dl; 1 kg = 1 500 g; 250 ml = 0,25 L.
dl = 75 ml;
kg = 250 g; 750 g =
10 Puede preparar 37 mates y le sobra yerba.5
• 1 plato +
20 2011 250 g
12 Se llevó las de 720 g y 740 g.1
se ubica a 2,5 cm del 0 y
, a 4 cm.
16 Diana: 6, Carolina: 9 y Guillermina: 14.
(los séptimos son mayores que los novenos).
(si a ambos le descontamos 1,
(porque si buscamos fracciones equivalentes de igual
> == ).
15 Como la unidad mide 10 cm,13 Lucía comió y bebió más que Mara.
14 Le quedan 0,6 dl.
15 No, se necesitan 640 ml y solo hay 500 ml.
16 No, no es verdad porque se necesitan 2 L y 240 ml, y seprepararon 2 y medio litros.
17 Compró 505 g de jamón.
18 • Preparó más de 1 litro y medio.• Preparó 1,625 L.16
Gd. A5_M(01-22).indd 1611/18/08 1:59:01 PM© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723b)
queda a 9 cm del 0 y , a 4 cm.
3© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7237 a)18 Como la unidad mide 6 cm,Módulo
a) No, porque 20 x $ 0,1 = $ 2.11b) $ 4,651 $ 0,50
2 3,3 kg31
b) 0,031 L
c) La cantidad de ceros en 1 000 coincide con la cantidad de
lugares después de la coma que tiene el número decimal.
; 0, 75 =
; 0,125 =
4 0, 25 =
5 a) 0,37; 5,18; 2,049; 13,006.
b) 13 enteros, 6 milésimos y 37 centésimos.
; 0, 73 =
; 1, 08 = 1+
6 a) 7, 3 = 7 +
4, 52 = 4 + +
b) 7 enteros, 3 décimos y 73 centésimos.3 a)15 22,50 y 27,50.
16 • $ 1,20• La carpeta Patito.
• $ 21,40
• Los números “con coma” se forman con el numerador de
la fracción decimal, al que se le dejan tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador.
y 0, 80 =
17 a) 0, 8 =
b) Sí, porque
; son fracciones equivalentes.
18 0,98 L; 1,3 L y 0,75 L.
c)Con rojo
2,99Con verde
1,9920 $ 2,80
21 0,013 < 0,023 < 0,045 < 0,2 < 0,23 < 1,77 13 < 13,804 < 14; 11 < 11,07 < 12; 0 < 0,29 < 1.22 Como la unidad mide 3 cm, los décimos se marcan cada 3 mm.8 a) 7,03 < 7,035 < 7,125 < 7,923 Todos son iguales a un décimo.b) Todos tienen parte entera 7; los números 7,03 y 7,035
tienen la cifra de los décimos y de los centésimos iguales, pero 7,03 tiene la cifra de los milésimos igual a 0
mientras que 7,035 tiene un 5. Así que 7,03 < 7,035.
c) Es el que tiene la mayor cifra en el lugar de los décimos.249 a), b) y c) A cargo del alumno. En b) hay que tener en cuen-2 + 0,6 + 0,079,079 + 0,075,35 + 0,34,0084 + 0,0081,2051 + 0,2 + 0,005© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723ta cuánto mide la unidad.
10 a) Las sumas: 2,1; 3,1; 4,1; 6,6; 13,7.Las restas: 0,4; 1,4; 2,4; 3,7; 9,6.
3,2 + 0,9 = 3,2 + (1 – 0,1) = 4,2 – 0,1 = 4,1
3,2 + 0,9 = 3,2 + 0,8 + 0,1 = 4 + 0,1 = 4,1
4,6 – 0,9 = 4,6 – 1 + 0,1 = 3,6 + 0,1 = 3,7
4,6 – 0,9 = 4,6 – 0,6 – 0,3 = 4 – 0,3 = 3,7
c) Depende de los procedimientos que hayan surgido.6
2+2,6725 $ 1,20
26 A cargo del alumno. Como la unidad mide 2 cm, los décimosse marcan cada 2 mm.Módulo11 a) • 0,5 + 0,3 = 0,8 (cálculo directo sumando 5 y 3).5
• 0, 5 + 0, 3 =
• 1,3 + 2,85 = 1 + 0,15 + 0,15 + 2,85 = 1 + 0,15 + 3 = 4,15
• 1,3 + 2,85 = 1 + 2 + 0,3 + 0,85
= 3 + 0,3 + 0,7 + 0,15 = 4,15
• 2,4 – 1,2 = 2,4 – 1 – 0,2 = 1,4 – 0,2 = 1,2
• 2, 4 −1, 2 =
• 3,72 – 1,7 = 3,72 – 1 – 0,7 = 2,72 – 0,7 = 2,02
• 3,72 – 1,7 = 3 – 1 + 0,72 – 0,7 = 2 + 0,02 = 2,02
b) A cargo de los alumnos.12 3,15 m
13 Sí, ya que es de $ 6,70.
14 El primero, porque para sumar o restar hay que encolumnarlas unidades con las unidades, los décimos con los décimos
y así sucesivamente.Gd. A5_M(01-22).indd 17267
1 00012Repaso
a) 70 tapitas.
b) 4 páginas.
1× 100
3,2: 10× 1 000
482 00023
11/18/08 1:59:02 PMMódulo2 Si multiplico por 10, 100 o 1 000, “corro la coma a la dere-cha” 1, 2 o 3 lugares, respectivamente.
Si divido por 10, 100 o 1 000, “corro la coma a la izquierda”
1, 2 o 3 lugares, respectivamente.
3 A cargo del alumno.Repaso
a) Es la figura que tiene cuatro lados y cuatro ángulos.
b) Deben dibujar un trapezoide, un rectángulo y un cuadrado.
1 Seis trapecios pintados de anaranjado.b) $ 505 Todos los alfajores juntos pesan 500 g y cada bocadito 6 g.2 Tiene dos ángulos rectos. Es un trapecio rectángulo.6 300 ml3 a) A cargo del alumno.7 a) Por 10, 100 y 1 000 en la primera columna y por 0,1;0,01 y 0,001 en la segunda.
b) Les sucede lo que dice Caro a las que se multiplican por
10, 100 y 1 000; a las que no, son por 0,1; 0,01 y 0,001
donde “se corre la coma hacia la izquierda”.
8 a) $ 60 y $ 75, respectivamente.1
b) A cargo de alumno. A recordar: 50% = .
9 10% =
b) 192; 80%.
10 a) 48
11 • Sí, ya que son 600 ml.• 100 ml = 1 dl, con lo cual tiene que medir 3 dl.
• 2,25 dl
• Por 4.
70700 : 1 000
70 : 1 000
70 : 10 00014 1 820; 1 820; 18 200.4 Estos son los cuadriláteros que quedan en cada sector:paralelogramos: 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15 y 16; trapecios:
9, 4 y 6; trapezoides: 13; romboides: 2 y 11.
Cuatro ángulos iguales: rectángulo. Cuatro lados iguales:
rombo. Cuatro ángulos y cuatro lados iguales: cuadrado.
a) Los trapecios tienen un par de lados paralelos y los trapezoides, ninguno.
b) Porque tienen sus cuatro ángulos iguales y sus cuatro
c) Iguales.
d) Trapecio isósceles.
Mi machete: Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene
dos pares de lados opuestos iguales y paralelos.
5 a) Rocío: cuadrado; Valentina: rombo.b) Ambos armaron un paralelogramo común, con distintos
c) No es un paralelogramo; es un romboide.
6 Alejo tiene razón: la suma de los ángulos interiores de uncuadrilátero es 360°, porque es igual a la suma de los ángulos interiores de los dos triángulos que lo forman.
7 a) A cargo del alumno.18,2; 1,82; 1,82.15 98; 2,3; 0,17 y 0,06.
16 Entre 23 y 24 L, porque 1 L = 10 dl.
17 Hay muchas formas de colorear posibles, pero en todas de-berán quedar 30 cuadraditos verdes, 50 azules y 20 rojos.
18 a) Correcta, porque 10% =
b) No es correcta; el 50% de 10 es la mitad, o sea, 5, y no 2.
c) No es correcta, debe dividir por 100.
d) Correcta, porque 25% =
19 a) 100
20 37,4 y 3 740, respectivamente.
21 $ 6,30b) Se puede calcular el cuarto ángulo restando de 360° la
suma de los otros tres.
8 a) Se forma un ángulo de 360°, porque cualquier cuadriláte-ro puede pensarse como formado por dos triángulos.
9 a) A cargo del alumno.b) Los ángulos a y d miden 90º cada uno, y el c mide 60º.
10 Todos los ángulos agudos del dibujo son iguales al ángulode 60°. Uno de ellos, por ser opuesto por el vértice al ángulo rojo; los demás, porque todos los rombos de la figura son
iguales y los ángulos que se corresponden, también lo son.
Además, todos los ángulos obtusos miden 120°, pues cada
uno de ellos es adyacente a un ángulo de 60º.
11 En el rombo, como en los demás paralelogramos, los ángu-los opuestos miden lo mismo.
12 a) A cargo del alumno.b) Los ángulos b y d miden 50° cada uno. Los ángulos a y c
miden 130°.
c) Los ángulos a y b suman 180°, y los ángulos c y d también.18
Gd. A5_M(01-22).indd 1811/18/08 1:59:03 PM© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.72313b) Dos pares de lados iguales. Dos ángulos iguales. Diagonales perpendiculares; se cortan formando 4 ángulos iguales.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7234 a) $ 5137 El lado mayor mide 80 cm y el menor, 40 cm.13 a) A cargo del alumno.8b) Un trapezoide.Sr. Casinada Sra. Pasos Sra. Camino Sr. Corredor Sr. Cansado14 El cuadrilátero que cumple las tres propiedades es el rom-boide, pintado de amarillo. Los demás cuadriláteros son el
trapecio rectángulo, el cuadrado y el rombo.
15 a) Además del ángulo de 48°, tiene dos ángulos rectos yotro de 132°.
b) 60° y 120°.miden lo mismo y los ángulos opuestos, también.
17 La figura está formada por 5 paralelogramos, tres tipo A,cuyos lados miden 1,5 cm y 3 cm, y el ángulo comprendido,
72º, y otros dos, tipo B, iguales entre sí: sus lados miden
1,5 cm y sus ángulos respectivos miden lo mismo que los
del paralelogramo grande.
Están dispuestos como en un rompecabezas, formando un
único paralelogramo de lados 6 cm y 3 cm, de esta forma:
un paralelogramo tipo A apoyado sobre su lado menor; a
continuación, formando ángulos adyacentes, un paralelogramo B, y pegado a este –por su lado menor y formando
ángulos adyacentes–, otro tipo A. Los otros dos paralelogramos se disponen, primero el A y luego el B, completando el
18 El ángulo opuesto al coloreado también mide 60°, y losotros dos, 120° cada uno.
19 No, no puede ser verdad, ya que la suma de cuatro ángulos© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723obtusos es mayor que 360°.
20 a) Obtiene un rombo; sus cuatro lados son iguales.b) Si une los triángulos por los lados iguales, obtiene un
romboide o un paralelogramo común.
21 Un triángulo isósceles más pequeño y un trapecio isósceles.
22 Todos los paralelogramos comunes tienen dos ángulos de70º y dos de 110º; los rombos tienen dos de 40º y dos de
140º, y los triángulos tienen uno de 40º y dos de 70º.
23 Solo es posible en el cuarto caso, porque la suma de losángulos interiores da 360°.Módulo14Repaso
La formación quedó así: Nora, Albertito, Diana y Juan.
1 Fernando, porque 1 metro y medio es 1,50 my 1,50 m > 1,25 m > 1,05 m.
20,8 1 0,75 0,12 0,25
80 100 75 12 253 2,475 m2,55m1 0003 5002 5005 000500Cuadras103525505210 La ciudad más cercana, “Pantanos peligrosos”, está a23 km y la más lejana, “Ciudad Perdida”, a 28 km.
11 a) A cargo del alumno. La idea es que los alumnos relacionen lalongitud del lado menor con la del lado mayor sin realizar mediciones. Podrán decir, por ejemplo, que el lado mayor mide
más del doble del lado menor, en ese caso la cantidad de hilo
estimada será más de 12 cm. Otra posibilidad es que estimen la medida del lado mayor como el triple del lado menor,
entonces la cantidad de hilo necesaria sería de 16 cm.
b) La cantidad exacta de hilo es de 12,6 cm.
12 Los alumnos podrán proponer medir con pasos, baldosas,carpetas, lápices, etc. Se podrá continuar reflexionando
acerca de los instrumentos más adecuados, y las ventajas y
desventajas de los convencionales y los que no lo son.
13 • Ariel no está conforme porque el listón que él necesitatiene que medir 1,5 m y el que encargó mide 1,25 m, o
sea, 25 cm menos.
• La idea es que los alumnos puedan, en la explicación,
hacer referencia a que 1 m con 25 es equivalente a
1,25 m y es menor que 1,5 m.
• Porque en el pedido las medidas de las placas figuran
en centímetros y en el cartel de la maderera están en
metros. 1 m = 100 cm
• m = 0,25 m = 25 cm
14 a) y b)• m = 0,5 m = 50 cm
km = 0,25 km = 250 m
• km = 0,5 km = 500 m •
cm = 0,5 cm = 5 mm •
cm = 0,25 cm = 2,5 mm
15 No; la otra parte mide 93 cm = 0,93 m.
16 135,5 cm
17 15,68 km
19 1,58 m
21 a) y b) A cargo del alumno.
22 1,57 m24 82,26 m5 11,8 mGd. A5_M(01-22).indd 193,523 7 mm4 1,72 m6 • 1 cm = 10 mm19 Para el rombo necesitará 2,6 m y para el romboide, 2,3 m.16 No, la información es suficiente porque los lados paralelosMetros
Centímetros1km• 1 mm =1
cm = 0,1 cm
11/18/08 1:59:04 PMRepaso
a) Al multiplicar por 10, la cifra de la unidad se “corre” al
lugar de las decenas, esta al de las centenas, y así; al dividir por 10, la unidad se “corre” al lugar de los décimos,
este al de los centésimos, etcétera. El mismo razonamiento se aplica para multiplicar por 100 (2 lugares de
corrimiento) o por 1 000 (3 lugares).
b) Se “corren” así: 857,4; 8 574; 85 740.
8,574; 0,8574; 0,08574.16 • La bolsa de “Boquita dulce”, $ 24.• Choquis: $ 0,65 y Dulcineos: $ 0,70.
• $ 195,20.
• A veces con la división entera alcanza, ya que los objetos
o las personas con los que se trabaja en el problema no
17 65 monedas.
18 0,011 cm
19 a) $ 18,50b) $ 92,501 a) 3,7 → 37 : 10 = 3,720 Aproximadamente 3,52 kg.0,37 → 37 : 100 = 0,37
0,037 → 37 : 1 000 = 0,037
b) Multiplicar por 0,1; 0,01 o 0,001 es lo mismo que dividir
por 10, 100 o 1 000, respectivamente.
= , podemos hacer 30 : 5.
3 No, porque 1,7 × 5 = 8,5 que es menor que 9,5.21 a) $ 38,60b) $ 48,2522 $ 39,30
23 28 : 4 = 7; 12 : 10 = 1,2; 23 : 5 = 4,6.
24 $ 1,075
25 22,5 años.4 6 bocaditos.Módulo5 a) 40,8; 44,8; 23,4; 70,2.b) • 18 décimos.
• 4 × 6 = 24, son 24 unidades.
• Porque 8 son décimos y 4 son unidades.
6 a) $ 4,25.b)3,8
6,468 a) Entre 3 y 6; entre 56 y 64; entre 36 y 39; entre 44 y 49.Para estimar se pueden tomar los redondeos de los factores a números enteros (por exceso y por defecto).
b) A cargo de los alumnos.
9 a) Por mitadesb) 1,5c) 0,7510 Le doy $ 6 a cada una y me sobra $ 1, que son 100 centa-vos, así que le puedo dar 25 centavos más a cada una.
11 15,5 y 7,25, respectivamente.
12 a) $ 3,36.Repasob) No, porque es más cara.13 6,5
14 12,8 cm
15 a) No se sabe.b) $ 2,50.
c) No, no le alcanza.1
de torta, porque hasta ese momento
había comido + + = = .
b) 3 autos → 12 ruedas; 5 autos → 20 ruedas.
a) 2; .
b) 4; .
c) Por ejemplo, 8 × 2 : 3 y 8 × .
d) Por ejemplo, 9 × 5 : 18 y 9 ×
8 alfajores.
× 96 000 = 16 000
a) 4 × =
b) × =
a) Sí, le quedó1
27 El cálculo da 56,875, o sea, abonará $ 56,90.163
56 a)7
kg = 3 kg
2b)7
4c) Para 3, 8 y 11 comensales, respectivamente, la cantidad
, y la de achuras (en kg) es
de carne (en kg) es , 4 y
d) Son de proporcionalidad directa. Siempre se multiplica
la cantidad de comensales por un mismo número para
obtener la cantidad de kilos a comprar. En el primer
caso, por
(kilos de carne por comensal) y en el
(kilos de achuras por comensal).
Gd. A5_M(01-22).indd 2011/18/08 1:59:05 PM© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.72315© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723Módulo7 $ 4, $ 20 y $ 50.5 a) Deben estar pintadas del mismo color las figuras de bor-1
158 • Media página.•4
9• Una página.
5Peso del envase
(en kg)3
8Cantidad de
masitas48643240des naranja y lila; sus perímetros son 22 y 14, respectivamente.
b) El área de la figura de borde fucsia es 14 cuadraditos o
28 triangulitos, y el área de la de borde celeste, 19 cuadraditos o 38 triangulitos.
6 a) Armó 3 rectángulos con estas medidas:1 cm × 20 cm; 2 cm × 10 cm; 4 cm × 5 cm.
b) No, no está bien el razonamiento de Nati. Los perímetros
de los rectángulos son 42 cm, 24 cm y 18 cm, respectivamente.
Conclusión: varias figuras pueden tener la misma área y
distinto perímetro.10 48 L
11 Observación: puedecompletarse también
con fracciones equivalentes.7 A cargo de los alumnos.
8 a) Área del cuadrado = 36 m2.Área del triángulo = 18 m2.
b) Sí, porque con dos triángulos como el dibujado se forma
un cuadrado.5
del paredón.
13 a) $ 3,50
12b) $17,509 Mide 5 m de lado. Se espera que la explicación dé cuenta del14 22,5 cm
15 En la primera,dad directa.
8 8 15y 2
= . La otra tabla no es de proporcionalix 3© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723183y827
910 En el caso del cuadrado y el rectángulo la idea es que pue-dan relacionar la medida de los lados con el resultado final y
proponer una multiplicación; en el caso del triángulo, que la
piensen como la mitad del rectángulo de igual base y altura.17xprocedimiento utilizado, por ejemplo, la realización de gráficos
o cálculos, y la búsqueda del resultado por ensayo y error.9
212123211 • 26 m1
12Módulo17Repaso
1,08 m < 1,80 m < 10,8 m < 18 m• La cuarta parte de 36 m2 es 9 m2; una respuesta posible
es un cantero de 1 m de ancho y 9 m de largo.
• Porque el patio tiene forma rectangular, entonces dos lados
miden 9 m y los otros dos 4 m. También podría haber
hecho este otro cálculo: (9 x 2) + (4 x 2) = 18 + 8 = 26 m.
• Tiene que tener un área de 12 m2, o sea, puede medir 6
m de largo por 2 m de ancho.
12 No, porque las figuras no tienen el mismo perímetro.
13 a) y b) A cargo del alumno.1 1 936,20 m14 9 cuadraditos = 18 triangulitos.2 El perímetro de la L es 7,2 cm y el de la T, 12 cm.15 Superficie de la cruz: 720 m2, cantidad de varilla necesaria:3 En algunos casos sí. Por ejemplo, el rectángulo tiene mayorperímetro que el cuadrado ya que sus lados mayores miden
más que los del cuadrado; también el rombo tiene un perímetro menor que el romboide, porque los lados mayores de
este miden más que los lados del rombo. Para afirmar que el
perímetro del rombo es menor que el del cuadrado hay que
comparar las medidas de sus lados; lo mismo ocurre entre el
romboide y el cuadrado, y entre el romboide y el rectángulo.
4 a) Perímetro figura roja: 16.Perímetro figura verde: 20.
b) Área figura roja: 13 cuadraditos
Área figura verde: 16 cuadraditos.
c) A cargo de los alumnos.144 m.
16 Rectángulo: 16 cm de perímetro y 15 cm2 de área.Triángulo: 13,8 cm de perímetro y 7,5 cm2 de área.
17 a) 20 m2b) Por ejemplo, 4 m × 5 m.
18 Su área actual (8 m2) sí mide el doble que antes de la refor-ma (4 m2); su contorno, en cambio, pasó de 8 m a 12 m.
19 a) Se usaron 84 metros de alambre.b) Se sembraron 20 m2.21
Gd. A5_M(01-22).indd 2111/18/08 1:59:06 PMMódulo18Repaso
b) La esfera.8 Si en un vértice concurren 4 aristas la plantilla no sirve (azuly lila); tampoco si tienen solo un vértice en el que concurren
3 aristas (violeta).
9 • Las huellas pueden corresponderse así: la del rectángulocon el prisma amarillo o el verde; la del triángulo con la
base del prisma verde o con la pirámide; la del cuadrado
con el cubo o las bases de la pirámide o del prisma amarillo; la del círculo con las bases del cono o el cilindro.
• Prisma de base rectangular, prisma de base cuadrada,
esfera, pirámide de base cuadrada, cono, prisma de base
triangular, cilindro.
• Por ejemplo, el cubo y la pirámide de base cuadrada; el
cilindro y el cono.1 Pueden rodar los cuerpos indicados con 1, 3, 4, 5 y 8.
2 El ladrillo y la caja de fósforos a prismas de base rectangu-lar; el dado al cubo; la latita y el caño a cilindros; el cucurucho de helado y el bonete a conos; la pompa de jabón y la
naranja a esferas.
3 El triángulo que es base del prisma, el círculo máximo dela esfera, el cuadrado correspondiente a la base y un punto
central correspondiente al vértice de la pirámide, el círculo
que es base del cilindro y el rectángulo que es base del
4 La caras laterales de la pirámide son triángulos y las de losprismas estudiados, rectángulos.b) Pirámide de base cuadrada; prisma de base cuadrada.
11 Cilindro, cono, esfera.
12 Cartel amarillo: prisma de base triangular.Cartel azul: pirámide de base triangular.6N.° de
carasN.° de
aristasN.° de
vértices61285964647 Numerando las plantillas y los cuerpos, de izquierda aderecha, se corresponden la primera plantilla con el tercer
cuerpo, la segunda con el cuarto, la tercera con el primero y
la cuarta con el segundo.13 Un prisma de base cuadrada.
14 Tres, cuatro y cinco caras laterales, respectivamente.
1516 8 caras; 12 aristas; 6 vértices; ninguna cara es cuadrada.
17 5 caras; 3 rectangulares y 2 triangulares.
18 a) La pirámide.b) La esfera.19 Cuerpo de la izquierda: se armó con un cono, un cilindro yun prisma de base cuadrada; el otro, con una pirámide de
base cuadrada y un cubo.22
Gd. A5_M(01-22).indd 2211/18/08 1:59:07 PM© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.723base cuadrada tiene 5 vértices, 8 aristas y 5 caras.© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 11.7235 El cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras; la pirámide dePrisma de base
Prisma de base
triangular10 a) El cono y el cilindro, respectivamente.A
MApun­ta a aten­der la di­ver­si­dad de ni­ve­les de los alum­nos y tie­ne la es­truc­tu­ra de una
re­vis­ta.Es­tá di­vi­di­do en sie­te sec­cio­nes e in­clu­ye otras ac­ti­vi­da­des lú­di­cas que los chi­cos pue­
den de­sa­rro­llar “por de­por­te”.
Ca­da sec­ción tie­ne dos par­tes: Ma­ti­mun­do y Ma­ti­jue­gos.
En Ma­ti­mun­do se pre­sen­tan co­men­ta­rios, no­ti­cias, cu­rio­si­da­des, cuen­tos, ilu­sio­nes óp­ti­
cas, re­fe­ren­cias his­tó­ri­cas, etc., con el ob­je­ti­vo de que los chi­cos lean por el placer de
leer, se di­vier­tan y se per­ca­ten de que “la Ma­te­má­ti­ca es­tá en to­das par­tes”.
En Ma­ti­jue­gos se pre­sen­tan jue­gos, ac­ti­vi­da­des que tien­den al de­sa­rro­llo de ha­bi­li­da­des
cog­ni­ti­vas y de in­te­li­gen­cias múl­ti­ples, acer­ti­jos, tru­cos, so­pas de le­tras, cru­ci­gra­mas, enig­
mas ló­gi­cos, rom­pe­ca­be­zas, adi­vi­nan­zas, se­cuen­cias ló­gi­cas, cons­truc­cio­nes va­rias (ple­ga­
dos, cuer­pos geo­mé­tri­cos, etc.) y pen­sa­mien­to la­te­ral.
Por úl­ti­mo se pre­sen­tan, ba­jo el tí­tu­lo En­tre­na­mien­to olím­pi­co, ac­ti­vi­da­des un po­co más
com­ple­jas, que de al­gu­na ma­ne­ra se vin­cu­lan con las que sue­len apa­re­cer en las Olim­pía­
das Ma­te­má­ti­cas. No fue­ron pen­sa­das “pa­ra una eli­te”, si­no pa­ra que pue­dan re­sol­
ver­las to­dos los chi­cos.deporte
Gd.A5_M_(23).indd 2310/20/08 3:40:33 PMSección IM A T I M U ND O
¿Al­gu­na vez tu­vis­te que or­de­nar tus
li­bros en un es­tan­te? ¿Pen­sas­te de cuán­tas
for­mas lo po­drías ha­cer?
Pa­ra que te des una idea, si so­lo tu­vie­ras
4 li­bros, po­drías aco­mo­dar­los de 24 ma­ne­
ras, pe­ro si tu­vie­ras 13 li­bros po­drías ha­cer­
lo… ¿de cien for­mas dis­tin­tas, de mil?
No, de mu­chí­si­mas más, exac­ta­men­te
de 6 227 020 800 for­mas dis­tin­tas.Otro número muy grande
Su­pon­ga­mos que en un par­ti­do de aje­
drez, ca­da ju­ga­dor en su tur­no pue­de ele­gir
en­tre 20 ju­ga­das dis­tin­tas. Si dos ju­ga­do­res
se pu­sie­ran a ju­gar e hi­cie­ran so­lo cua­tro
ju­ga­das ca­da uno, ¿cuán­tos par­ti­dos
dis­tin­tos po­drían ju­gar?
¡Na­da me­nos que vein­ti­cin­co
mil seis­cien­tos mi­llo­nes!Contar
Ha­ce ya mu­cho tiem­po era ne­ce­sa­rio con­tar.
Un pas­tor, por ejem­plo, ¿có­mo ha­brá he­cho pa­ra
sa­ber cuán­tas ove­jas te­nía en su re­ba­ño?
Se­gu­ra­men­te ha­brá guar­da­do una pie­dri­ta por ca­da
ove­ja; y así po­dría con­tro­lar al día si­guien­te si es­ta­ban
to­das sus ove­jas o le fal­ta­ba al­gu­na.
Es pro­ba­ble que al­gún pas­tor que hu­bie­ra jun­ta­do
mu­chas pie­dri­tas ha­ya pen­sa­do: “Pa­ra no usar tan­tas, pue­do
reem­pla­zar diez pie­dri­tas por una so­la de otro ta­ma­ño o co­lor”.
La imagen mues­tra có­mo ha­bría he­cho ese pas­tor pa­ra sa­ber que te­nía 34 ove­jas en su
re­ba­ño.24Book A5_M_Doc.indb 2410/20/08 2:59:01 PM¿Cálculos con piedras?
Pa­re­ce im­po­si­ble, ¿no es cier­to? Sin em­bar­
go, an­tes de que los números se es­cri­bie­ran
co­mo lo ha­ce­mos hoy, los cál­cu­los se ha­cían
con el ába­co: agre­gan­do, qui­tan­do o cam­bian­
do de lu­gar pie­dri­tas pues­tas en fi­las o en una
su­per­fi­cie con ra­nu­ras. En la ilus­tra­ción po­dés
ver có­mo se cal­cu­la­ba 421 + 201 = 622, en
don­de las fi­las de arri­ba ha­cia aba­jo co­rres­pon­
den a las cen­te­nas, de­ce­nas y uni­da­des.
¿Y sa­bés co­mo se de­cía “pie­dri­ta” en la­tín?
Se de­cía “cal­cu­lus”; de allí pro­vie­ne nues­tra
pa­la­bra cál­cu­lo.Los números mayas
Los ma­yas eran un pue­blo que ha­bi­ta­ba en Amé­
ri­ca Cen­tral, an­tes de la lle­ga­da de los es­pa­ño­les.
En su sis­te­ma de nu­me­ra­ción no agru­pa­ban las
uni­da­des de a 10, co­mo no­so­tros, si­no de a 20:
uni­dad, vein­te­na, vein­te­na de vein­te­nas...
Fi­ja­te en la ilus­tra­ción: el nú­me­ro 20 es­tá
re­pre­sen­ta­do con el sig­no 1 y, de­ba­jo de él, el sig­
no 0 pa­ra re­pre­sen­tar una vein­te­na y ce­ro uni­da­
des.Es­te es un an­ti­guo
ma­nus­cri­to ma­ya, en
el que se pue­den ver
sig­nos nu­mé­ri­cos jun­
to a los di­bu­jos.25Book A5_M_Doc.indb 2510/20/08 2:59:08 PMSi ordenás de menor a mayor los números de los carteles, con la letra inicial de cada uno
te quedará formado el nombre de uno de los más famosos matemáticos de la Antigüedad.Caminos queMA T I J U EG OSEl nombre escondidono se cruzan
Tres ve­ci­nos com­par­ten un pe­que­ño par­que
cer­ca­do.
Pa­ra po­der sa­lir, el ve­ci­no de la ca­sa con te­cho
ro­jo cons­tru­yó un ca­mi­no has­ta la sa­li­da ro­ja,
el de la ca­sa con te­cho azul cons­tru­yó otro
has­ta la sa­li­da azul, y el de la ca­sa con te­cho
ama­ri­llo hi­zo uno has­ta la sa­li­da ama­ri­lla.
Nin­gu­no de los tres ca­mi­nos se cru­zan. ¿Po­dés
di­bu­jar­los?
Adap­ta­ción de un pro­ble­ma de Sam Loyd, cé­le­bre au­tor nor­tea­me­
ri­ca­no de pro­ble­mas de aje­drez y de in­ge­nio, quien lo hi­zo en
1850 cuan­do só­lo te­nía nue­ve años de edad.a
­ i­ca
r­queol­óg­vac­ ión a
a con lo
se enc­ on­tró
que par­ e­ce
sig­no,
dí­gi­to co­rre
rect­ a?
si la s
26Book A5_M_Doc.indb 2610/20/08 2:59:09 PMLos puentes de la ciudad
Esta ciudad está dividida por el río Azul, que tiene una
pequeña isla en su centro. Hace muchos años que sus ocho
puentes unen la isla y las orillas del río, dispuestos tal como
se ve en la ilustración. Una vez se planteó el problema de
hacer un recorrido que cruzara los ocho puentes sin pasar
dos veces por el mismo lugar. ¿Es posible o no? Si hubiera
más de una solución, ¿cuál sería el recorrido más corto?El juego de los cuadraditos
Sólo necesitan papel cuadriculado y un lápiz de distinto color para cada jugador.
1) Se marcan 16 pun­
tos en una hoja de
papel, dispuestos
como en la figura.2) Cada jugador, por tur­
no, une dos puntos
contiguos cualesquiera,
con un trazo recto,
horizontal o vertical.3) El jugador que con
su trazo complete
un cuadradito, se
anotará un punto y
jugar otra vez.4) Gana el jugador que
complete más cuadradi­
tos. En este dibujo, el
que jugó con lápiz
azul ganó por 5 a 4.Entrenamiento
Fabiana escribió en el pizarrón un número
de cinco cifras terminado en 42. Cecilia
borró el 2 final y escribió un 7 al prin­
cipio. El nuevo número que quedó escrito
resultó ser el doble del anterior. ¿Cuál
fue el número que escribió Fabiana? ¿Y el
que quedó después?27Book A5_M_Doc.indb 2710/20/08 2:59:12 PMSección IIM A T I M U ND O
Mu­chos ar­tis­tas uti­li­za­ron las for­
mas geo­mé­tri­cas en sus obras. En­tre
ellos, el fa­mo­so pin­tor ru­so Was­sily
Kan­dinsky.
Kan­dinsky sos­te­nía que hay una
equi­va­len­cia en­tre los so­ni­dos mu­si­
ca­les y los co­lo­res, y en­tre es­tos y
las emo­cio­nes. In­cor­po­ró las for­mas
geo­mé­tri­cas a su pin­tu­ra, con­ven­ci­
do de que re­sal­ta­ban o ate­nua­ban
el efec­to de los co­lo­res, se­ña­lan­do
pun­tos im­por­tan­tes del cua­dro.
En es­te cua­dro su­yo ve­mos
se­can­tes, pa­ra­le­las y per­pen­di­cu­la­
res, así co­mo trián­gu­los, cua­dri­lá­te­
ros y otras fi­gu­ras geo­mé­tri­cas.¡Que no te engañe la vista!
Una tí­pi­ca ilu­sión óp­ti­ca con­sis­
te en ver tor­ci­do lo que en rea­li­dad
es­tá de­re­cho.
A pri­me­ra vis­ta, cual­quie­ra di­ría
que las lí­neas ro­jas del es­que­ma
es­tán cur­va­das. Sin em­bar­go, son
rec­tas pa­ra­le­las y per­pen­di­cu­la­res.28Book A5_M_Doc.indb 2810/20/08 2:59:15 PMPirámides y obeliscos
Las pri­me­ras pi­rá­mi­
des y los obe­lis­cos apa­
re­cie­ron en el an­ti­guo
Egip­to. Mu­chos si­glos
des­pués las ciu­da­des
mo­der­nas con­ti­núan con
esa tra­di­ción; por ejem­
plo, el obe­lis­co de Bue­
nos Ai­res y la pi­rá­mi­de
del mu­seo del Louv­re, en
Pa­rís.Pirámide del LouvreObelisco de Buenos AiresSi nos ha­blan de las pi­rá­mi­des de Egip­to, to­dos pen­sa­mos
en la Gran Pi­rá­mi­de de Keops y en sus cua­tro ca­ras trian­
gu­la­res; ca­da una es un trián­gu­lo que tie­ne... ¡ca­si dos
cua­dras de al­tu­ra! Una pie­dra que se des­pren­die­se
des­de la pun­ta de esa pi­rá­mi­de tar­da­ría en lle­gar a
la are­na más tiem­po que si ca­ye­se des­de el pi­so
80 de un edi­fi­cio.En Egip­to tam­bién se pue­de ver la “pi­rá­mi­de que­
bra­da” que man­dó a cons­truir el pa­dre del fa­raón
Keops. En rea­li­dad, es co­mo un gi­gan­tes­co obe­lis­co
acha­ta­do: no tie­ne cua­tro ca­ras la­te­ra­les, si­no ocho:
las su­pe­rio­res son trian­gu­la­res y las in­fe­rio­res tie­nen
for­ma de tra­pe­cio.“Pirámide quebrada”, del padre del faraón Keops
Así es cada cara lateral29Book A5_M_Doc.indb 2910/20/08 2:59:18 PMMA T I J U EG OSPE COCOS NUMÉRICO
ROMirá cómo se forma el número 22 operando con nueve números 2:(2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 2 : 2) × 2 = 22
Ahora formá vos el número 22, pero operando con siete números 2:2222222 = 22TRIÁNGULOS CON CHISPA
Con 12 fós­fo­ros igua­les ar­má un trián­gu­lo acu­tán­gu­lo. ¿Po­drías ar­mar un
trián­gu­lo rec­tán­gu­lo con los mis­mos fós­fo­ros?Cruciángulo
6Ver­ti­ca­les:
1.	Rec­tas que se cor­tan for­man­do
cua­tro án­gu­los igua­les.
3.	Trián­gu­lo con un án­gu­lo rec­to.
5.	Án­gu­lo de me­dio gi­ro.
7.	Fi­gu­ra de tres la­dos.
9.	Án­gu­los que for­man dos per­
pen­di­cu­la­res.
2.	Rec­tas que no se cor­tan.
4.	Rec­tas que se cor­tan en un
pun­to.
6.	Fi­gu­ra de cua­tro la­dos.
8.	Trián­gu­lo con sus tres án­gu­los
agu­dos.
10.	Án­gu­lo ma­yor que un rec­to y
me­nor que un lla­no.81030Book A5_M_Doc.indb 3010/20/08 2:59:19 PMMagia numérica
De­ci­le a un ami­go que eli­ja un nú­me­ro cual­quie­ra de• Que te di­ga el re­sul­ta­do (4).dos ci­fras y las in­vier­ta (por ejem­plo: 73 y 37). Vos vas• Men­tal­men­te su­má los re­sul­ta­dos y di­vi­di­los por 2:a adi­vi­nar am­bos nú­me­ros.(10 + 4) : 2 = 7 ✓ És­te es uno de los dí­gi­tos a adi­vi­nar.
• Men­tal­men­te res­tá los re­sul­ta­dos y di­vi­di­los por 2:
• Pe­di­le que con una cal­cu­la­do­ra su­me am­bos nú­me­
(10 – 4) : 2 = 3 ✓ És­te es el otro dí­gi­to.ros y que di­vi­da por 11. En el ejem­plo:	(73 + 37) : 11 = 10.• En­ton­ces po­drás de­cir­le que los nú­me­ros que eli­gió• Que te di­ga el re­sul­ta­do (10).son 73 y 37.• Aho­ra pe­di­le que res­te los nú­me­ros que pen­só y
di­vi­da el re­sul­ta­do por 9: (73 – 37) : 9 = 4.Pirámide de números
Observá estas dos pirámides. ¿Cómo siguen?
1 × 10 + 1 =	11
11 × 10 + 1	=	111
111 × 10 + 1	=	1 111
1 111 × 10 + 1	=	11 111
11 111 × 10 + 1	=	111 111
111 111 × 10 + 1	=	1 111 111	1 × 9 + 2	=	11
12 × 9 + 3	=	111
123 × 9 + 4	=	1 111
1 234 × 9 + 5	=	11 111
12 345 × 9 + 6	=	111 111
123 456 × 9 + 7	=	1 111 111	Entrenamiento
En los in­
sos cam­
pos de La Pam­
huel y Aye­
lén con­
ron cuán­
jas y ñan­
dúes tie­
nen. Pe­
ro ca­
uno lo hi­
zo a su ma­
ra: Na­
tó 192 pa­
tas y Aye­
60 ca­
zas. ¿Cuán­
tos ani­
de ca­
da cla­
se hay?31Book A5_M_Doc.indb 3110/20/08 2:59:21 PMSección IIIM A T I M U ND O
¿Más gigante que un enorme diplodocus?
Hay un ani­mal más gran­de que
ca­si to­dos los di­no­sau­rios co­no­ci­
dos: es la ba­lle­na azul, que al­can­
za los 30 m de lar­go y pe­sa...
¡150 to­ne­la­das! ¡Es co­mo el pe­so
de 100 au­to­mó­vi­les jun­tos!
Só­lo el ar­gen­ti­no­sau­rio, el más
gran­de de los di­no­sau­rios des­cu­
bier­tos, me­día 10 m más que esa
ba­lle­na. Pe­ro pe­sa­ba 50 to­ne­la­das
me­nos.
No que­dan du­das: la ba­lle­na
azul es la rei­na de los gi­gan­tes.Teotihuacán
“¡La cons­tru­ye­ron los Dio­ses!”,
di­je­ron los az­te­cas. Por­que la ciu­dad
me­ji­ca­na de Teo­ti­hua­cán es tan
im­po­nen­te que lle­gó a te­ner más de
100 000 ha­bi­tan­tes. Tan­tos co­mo tie­
ne hoy la ciu­dad de Men­do­za.
En Teo­ti­hua­cán es­tá la Ave­ni­da de
los Muer­tos, un ca­mi­no ro­dea­do de
tem­plos que co­nec­ta las gi­gan­tes­cas
pi­rá­mi­des de la Lu­na y del Sol. Es­ta
úl­ti­ma, tan al­ta co­mo un edi­fi­cio de
20 pi­sos, tie­ne una ba­se ca­si igual a la
de la Gran Pi­rá­mi­de egip­cia.
Al­gu­nos es­tu­dio­sos ase­gu­ran que
las me­di­das de es­ta ciu­dad es­tán re­la­
cio­na­das con el ra­dio te­rres­tre y con
otras dis­tan­cias en­tre el Sol, la Tie­rra y
las es­tre­llas.
La impresionante Pirámide del Sol32Book A5_M_Doc.indb 3210/20/08 2:59:24 PMAutos sorprendentesEn los años ’60 tuve un auto
parecido. La única puerta
estaba al frente del auto, y al
abrirla... ¡giraba con
volante y todo!Una mi­nia­tu­ra
Uno de los au­to­mó­vi­les más pe­que­ños
que hay es el Peel. No tie­ne mar­cha atrás
y só­lo mi­de 134 cm de lar­go.
¡Com­pa­rá­ su longitud con tu al­tu­ra!Sin con­ta­mi­nar
En 1988 el Sun­ray­cer ob­tu­vo la me­jor mar­ca
de ve­lo­ci­dad pa­ra un ve­hí­cu­lo im­pul­sa­do por
ener­gía so­lar: ca­si 80 km por ho­ra.
Co­mo la ve­lo­ci­dad má­xi­ma per­mi­ti­da
en la ciu­dad es de 60 km/h, se po­dría
an­dar con es­te au­to sin en­tor­pe­cer el trán­si­
to y, más im­por­tan­te aún, sin con­ta­mi­nar.El Día Uni­ver­sal de la Si­me­tría
El 20/02/2002 se ce­le­bró el Día Uni­ver­sal de la Si­me­tría. Fue un even­to or­ga­ni­za­do en to­do
el mun­do por gen­te que ama los jue­gos de in­ge­nio, co­mo los pa­lín­dro­mos: fra­ses que se leen
igual de ade­lan­te pa­ra atrás que de atrás pa­ra ade­lan­te. Por ejem­plo: “ATAR A LA RA­TA”.
Fi­ja­te que a las 20:02 de esa fe­cha se for­mó un pa­lín­dro­mo: 20/02/2002, 20:02.
El acon­te­ci­mien­to “pa­lín­dro­mo” an­te­rior ocu­rrió el
11/11/1111, a las 11:11.
Y el úl­ti­mo que que­da se­rá el del 21/12/2112 (¿por qué el
úl­ti­mo?). No fal­ta tan­to tiem­po. A pro­pó­si­to, ¿qué pen­sás ha­cer
ese día a las 21:12?Simetrías en la Naturaleza33Book A5_M_Doc.indb 3310/20/08 2:59:32 PMMA T I J U EG OSINGENIO CON FÓSFOROS
Con un nú­me­ro com­pues­to de fós­fo­ros (12) se ar­mó un
nú­me­ro pri­mo de cua­dra­dos (3).
Mo­vé un nú­me­ro pri­mo de fós­fo­ros de la fi­gu­ra y lo­grá
un nú­me­ro com­pues­to de cua­dra­dos igua­les.Sopa de unidadesEn es­ta so­pa de le­tras, las pa­la­bras del lis­ta­do pue­den es­tar
es­cri­tas en for­ma ho­ri­zon­tal, ver­ti­cal o dia­go­nal, del de­re­cho o
del re­vés. ¡En­con­tra­las!
O	O	O	O	O	K	B	L	H	E	R	J	R	O	R	T	I	L	M	A	R	G	M	A	R	G	O	X	B	M	R	T	E	M	U	I	S	M	Q	G	Q	E	B	S	R	J	A	L	V	A	T	F	C	N	Q	Y	E	E	T	C	I	M	E	B	O	Z	R	T	E	M	O	O	I	I	I	V	U	W	T	D	A	S	O	O	L	L	L	N	L	O	G	I	S	R	O	P	Y	L	A	I	I	U	I	D	M	U	G	O	K	N	O	I	K	K	M	T	M	E	F	O	D	Y	M	R	S	K	W	A	O	O	T	K	T	N	E	G	T	T	J	Z	R	C	D	R	S	C	U	P	V	E	R	J	I	F	U	H	O	K	E	G	E	U	M	H	L	A	Z	P	A	R	O	H	E	Z	Z	Q	L	K	W	E	M	R	H
OCENTÍMETRO
SEGUNDOEl truco de los vasos
Co­lo­cá so­bre la me­sa seis va­sos, uno al la­do del otro,
y lle­na­los con agua, uno sí uno no, co­mo mues­tra el
di­bu­jo. ¿Có­mo ha­rías pa­ra con­se­guir tres va­sos va­cíos
de un la­do y tres lle­nos del otro, mo­vien­do un so­lo
va­so?
¡Aho­ra, im­pre­sio­ná a tu fa­mi­lia!
34Book A5_M_Doc.indb 3410/20/08 2:59:34 PMTRINUMÉRICOLA RUEDA MÁGICACon 9 dígitos distintos se forman tres
números horizontales y tres verticales.
Descubrilos.Mirá el punto negro que está en el centro de la
figura, y acercá y alejá el libro de tu vista.
¿Qué ocurre?abcb
cNúmeros horizontales
a)	Sus tres dígitos son primos y la suma
de los dos primeros da 5.
b) Es par y el producto de sus dígitos
es 56.
c) Es menor que 80.
Números verticales
a) Dos de sus dígitos son primos y
el producto de ellos da 14.
b) El producto de sus dígitos es
c) Es divisible por 4.Entrenamiento
¿Cómo sigue?35Book A5_M_Doc.indb 3510/20/08 2:59:38 PMSección IVM A T I M U ND O
¿Los antiguos egipcios usaban fracciones?
Cla­ro que sí, y es­ta­mos ha­blan­do de unos
3 000 años an­tes de Cris­to.
Pe­ro usa­ban só­lo las frac­cio­nes de nu­me­ra­dor 1,
co­mo 1 ; 1 ; 1 ; 1 .... y, co­mo ca­so es­pe­cial, 2 .
Pa­ra 1 y 2 di­bu­ja­ban sig­nos es­pe­cia­les, co­mo
ve en la ilus­tra­ción; pa­ra las de­más usa­ban el sig­no
, que sig­ni­fi­ca­ba “par­te”, y de­ba­jo de él po­nían
el va­lor nu­mé­ri­co del de­no­mi­na­dor.¿Có­mo es­cri­bían las frac­cio­nes con otros
nu­me­ra­do­res?
Sim­ple­men­te co­mo la su­ma de dos frac­cio­nes dis­tin­tas; por
ejem­plo, 3 lo hu­bie­ran re­pre­sen­ta­do co­mo 1 + 1 .
4Escriba¿Horas que duran distinto?
Por ex­tra­ño que pa­rez­ca, el día no siem­pre se
di­vi­dió en 24 ho­ras igua­les. Hu­bo una épo­ca
en la que a la ho­ra se la con­si­de­ra­ba co­mo 1
del tiem­po trans­cu­rri­do en­tre la sa­li­da y la
pues­ta del Sol y, por lo tan­to, va­ria­ba se­gún
la épo­ca del año: más cor­ta du­ran­te el
in­vier­no y más lar­ga en el ve­ra­no.
¿Cuá­les pre­fe­rís?36Book A5_M_Doc.indb 3610/20/08 2:59:42 PMEl cetro de los reyes de la China
Jor­ge Luis Bor­ges men­cio­na, en una de sus
obras, una an­ti­gua le­yen­da chi­na que ha­bla del
ce­tro de los re­yes de Liang.
Es­te era ase­rra­do por la mi­tad por ca­da nue­
vo rey, o sea que el se­gun­do rey se que­dó con
la mi­tad del ce­tro ori­gi­nal; el ter­ce­ro, con la
cuar­ta par­te del ori­gi­nal, y así su­ce­si­va­men­te.
El ce­tro per­sis­te aún, re­du­ci­do a un fi­no dis­
co de ma­de­ra.Las pulgadasImagen ampliadaEn mu­chos paí­ses de ha­bla in­gle­sa no
mi­den las lon­gi­tu­des co­mo no­so­tros; usan
otras uni­da­des, co­mo la pul­ga­da (una
pul­ga­da mi­de al­go más de 2,5 cm).
Y tie­nen re­glas gra­dua­das en frac­cio­
nes de pul­ga­da.
En la ilus­tra­ción se ve una va­ri­lla que
mi­de 3 de pul­ga­da.
4¿Quién vive dónde?¿Sa­bías que apro­xi­ma­da­men­te un ter­cio de la po­bla­ción to­tal de nues­tro país vi­ve en la Re­gión Me­tro­po­li­ta­na y otro ter­cio, en la Re­gión Pam­pea­na?
La Re­gión Pa­ta­gó­ni­ca ocu­pa al­go más de 9 de la su­per­fi­cie to­tal
de nues­tro país, pe­ro en ella so­lo vi­ve 1 de nues­tra po­bla­ción.
20Población37Book A5_M_Doc.indb 3710/20/08 2:59:46 PM¿CÓMOMA T I J U EG OSHACÉS?
Es­tás de cam
­ a­ment­o y n
ec­ e­si­tás
me­dio lit­ro d
e agua pa­ra
pre­pa­rar
pu­ré ins­tan­tá­n
eo; so­lo te­nés d
os jar­ ros,
uno de dos li­t
ros y me­dio, y
un li­tro y me­d
io de ca­pa­ci­da
¿Có­mo po­dés
ha­cer pa­ra te­n
er exac­
ta­men­te me­dio
lit­ro en uno de
ellos?El túnel quebrado
Jue­go pa­ra dos o más ju­ga­do­res•	Ha­ce fal­ta un da­do co­mún y una
fi­cha de dis­tin­to co­lor pa­ra ca­da
ju­ga­dor.
•	En ca­da tur­no lan­zás el da­do. Por
ejem­plo, si sa­le el 4, sos due­ño de
la frac­ción y avan­zás 4 ca­si­llas.
Si sa­le el 5, sos due­ño de y
avan­zás 5 ca­si­llas.
Si sa­le el 1, sos due­ño de la
frac­ción y avan­zás 1 ca­si­lla.
•	Si tu frac­ción es igual a la que
es­tá en la ca­si­lla, te que­dás en
ella. Si es ma­yor, avan­zás has­ta la
si­guien­te ca­si­lla de igual co­lor; si
es me­nor, re­tro­ce­dés has­ta la ca­si­
lla más pró­xi­ma de igual co­lor.
•	Si en los avan­ces o re­tro­ce­sos no
hay una ca­si­lla de igual co­lor,
lle­gás a la Sa­li­da o a la En­tra­da.
•	Ga­na el que lle­ga pri­me­ro a la
Sa­li­da.38Book A5_M_Doc.indb 3810/20/08 2:59:48 PMEL JUEGO DE CLAVAS
En la Edad Me­dia era muy po­pu­lar el jue­go de cla­vas.
Se co­lo­ca­ban do­ce cla­vas en fi­la, co­mo se ve en la ilus­
tra­ción, y se de­rri­ba­ban con una pe­que­ña bo­cha que
arro­ja­ban por tur­no. Un ju­ga­dor ex­per­to po­día ele­gir
en­tre de­rri­bar una cla­va cual­quie­ra o bien dos a la vez,
siem­pre que es­tu­vie­ran una al la­do de la otra.
Per­día la par­ti­da el ju­ga­dor al que le to­ca­ba de­rri­bar la
úl­ti­ma cla­va.
Ju­gá con un com­pa­ñe­ro con lá­piz y pa­pel.
Tra­cen 12 lí­neas, la pri­me­ra al­go se­pa­ra­da de las res­tan­tes, y
ta­chen por tur­no una lí­nea cual­quie­ra, o bien dos lí­neas que
es­tén una al la­do de la otra.
Pier­de el que se que­da con la úl­ti­ma lí­nea por ta­char.
En la ilus­tra­ción se ve una par­ti­da ya em­pe­za­da.¿CUÁNTAS PORCIONES?
¿Cuál es la ma­yor can­ti­dad de por­cio­nes en que se
pue­de di­vi­dir es­ta tor­ta con cua­tro cor­tes rec­tos?
¡Ojo! No es ne­ce­sa­rio que las por­cio­nes sean de igual
for­ma o ta­ma­ño, pe­ro pa­ra ha­cer los cor­tes siem­pre
hay que apo­yar el cu­chi­llo so­bre la par­te su­pe­rior de la
tor­ta.Entrenamiento
¿Cuántos rectángulos hay
en esta figura?39Book A5_M_Doc.indb 3910/20/08 2:59:49 PMM A T I MU ND O
Sección VLas mo­ne­das en la an­ti­gua Ro­ma
¿Sa­bés de dón­de pro­vie­nen las pa­la­bras
mo­ne­da y di­ne­ro?
Cuan­do los an­ti­guos ro­ma­nos co­men­za­
ron a uti­li­zar el me­tal co­mo for­ma de pa­go,
lo acu­ña­ron en el tem­plo de la dio­sa Ju­no
Mo­ne­ta, y de ahí el nom­bre de mo­ne­da.
La pri­me­ra mo­ne­da fue de bron­ce y se
la lla­mó as. Más ade­lan­te apa­re­cie­ron
las mo­ne­das de pla­ta co­mo el de­na­rio
(de don­de de­ri­va la pa­la­bra di­ne­ro), el
ses­ter­cio y el du­pon­dio, y tam­bién
crea­ron el de­na­rio de oro.Dupondio, valía
2 ases.Denario de
oro, valía 100
As.Sestercio, valía
0,25 denarios
Este relieve de piedra muestra a un carnicero cor­
tando carne con una cuchilla. La mujer sentada es
una clienta con la lista de compras en la mano.Denario de plata,
valía 10 ases.Ima­gi­ne­mos un diá­lo­go que pu­die­
ron ha­ber te­ni­do so­bre el pa­go que le
hi­zo Ju­lio Cé­sar a sus sol­da­dos:
—¿Se en­te­ró? Ju­lio Cé­sar de­cre­tó un
pre­mio de 20 000 ses­ter­cios pa­ra ca­da
uno de sus sol­da­dos.
—Sí, sí, me en­te­ré, por eso Ro­ma les
pa­gó con 200 de­na­rios de oro.¿Más lento que una tortuga?
Si una tor­tu­ga gi­gan­te co­rrie­se una ca­rre­ra
con­tra un ca­ra­col, le ga­na­ría y por mu­cho.
¿Sa­bés a qué ve­lo­ci­dad se mue­ven es­tos ani­ma­
les? El ca­ra­col re­co­rre 0,05 km en una ho­ra
(me­dia cua­dra), mien­tras que la tor­tu­ga ha­ce
más de 5 ve­ces esa dis­tan­cia: 0,27 km en una
ho­ra (unas dos cua­dras y me­dia). Y una ara­ña es
ca­si 7 ve­ces más rá­pi­da que la tor­tu­ga: re­co­rre
1,8 km en una ho­ra (ca­si 20 cua­dras).40Book A5_M_Doc.indb 4010/20/08 2:59:53 PM¡Tantas cosas distintas con el mismo nombre!
Sí, to­das con el nom­bre de tra­pe­cio, por­
que tie­nen la for­ma de ese cua­dri­lá­te­ro.
Tam­bién la
es­tre­lla múl­ti­ple
θ (the­ta) re­ci­be
vul­gar de
El tra­pe­cio
y for­ma parte
ne­bu­lo­sa si­tua­
da en la cons­te­
la­ción de Orión.Nebulosa
TrapecioMu­cho más cer­ca de la Tie­rra, di­vir­tien­do a
chi­cos y gran­des, los tra­pe­cios se me­cen al rit­mo
de la ban­da del cir­co mien­tras ha­bi­li­do­sos gim­
nas­tas nos qui­tan la res­pi­ra­ción con ca­da pi­rue­ta.En nues­tro cuer­po, un mús­cu­lo que
for­ma par­te de la es­pal­da y el cue­llo,
y tam­bién un hue­so de la ma­no re­ci­
ben es­te mis­mo nom­bre: tra­pe­cio.SuperbicisLa bi­ci­cle­ta más lar­ga del mun­do se cons­tru­yó en 1988 y fue ma­ne­ja­da por cua­tro
ci­clis­tas a la vez. ¿Sa­bés cuán­to mi­dió? 22,24 m, al­go así co­mo la al­tu­ra de un edi­fi­cio de
7 pi­sos. Si es­ta­cio­na­ras 5 bi­ci­cle­tas co­mo es­tas una de­trás de otra jun­to al cor­dón de la
ve­re­da, ocu­pa­rían al­go más de una cua­dra.
Y la bi­ci­cle­ta de rue­das más gran­des es la Fran­kency­cle.
Su rue­da de­lan­te­ra tie­ne 3,05 m de
diá­me­tro. ¿Po­dés ima­gi­nár­te­lo? Es
co­mo si la rue­da fue­ra… ¡tan al­ta
co­mo una ca­sa de un pi­so!41Book A5_M_Doc.indb 4110/20/08 2:59:58 PM¿CuálMA T I J U EG OSsigue?
0,40,60,8................CIONA IEN TOS!!
¡¡ES T
811124SALIDA9
102¿Cuál es
14¿Cómo haré
auto número 5?ril­o.
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­ e­ra­los.
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­ e­ro 5 del
➜ Mo­vé lo
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atrás hast­a
­ a­mien­to.
es­tac­ ionulos
...4 triáng
iguales?ados
...4 cuadr
iguales?gu...2 rectán
los igualegu...16 trián
los iguale42Book A5_M_Doc.indb 4210/20/08 3:00:00 PM1112110SUMAS IGUALES2
76Di­vi­dí la es­fe­ra del re­loj en seis sec­to­res, de mo­do que
la su­ma de los nú­me­ros que ha­ya en ca­da uno sea la
mis­ma.5¿Podés dibujarlas
el lJe­ro­glí­fi­co
És­tos son los je­ro­glí­fi­cos de un nú­me­ro de­ci­mal me­nor
que 1. Si ca­da dí­gi­to se reem­pla­za­ra por el que no­so­tros
usa­mos, po­drías mi­rar­lo en un es­pe­jo y... ¡se­gui­rías vien­do
el mis­mo dí­gi­to! ¿De qué nú­me­ro de­ci­mal se tra­ta? No ol­vi­
des que uno de los je­ro­glí­fi­cos re­pre­sen­ta la co­ma de­ci­mal.Entrenamiento
Con el rombo rojo y los paralelogramos
verde y azul se armó un rombo que tiene
un perímetro de 36 cm. Además, el
perímetro de la figura roja es de 28 cm.
¿Cuál es el perímetro de la figura azul?
¿Y el de la verde?43Book A5_M_Doc.indb 4310/20/08 3:00:00 PMSección VIM A T I M U ND O
Un an­cia­no que cru­za­ba el de­sier­to en su vie­jo ca­me­llo se en­con­
tró en un oa­sis con tres jó­ve­nes que dis­cu­tían. Uno de ellos le di­jo:
—Ve­ne­ra­ble an­cia­no, so­mos tres her­ma­nos. Nues­tro pa­dre nos
de­jó co­mo he­ren­cia es­tos 17 ca­me­llos y dis­pu­so que al ma­yor le
co­rres­pon­die­ra la mi­tad de los ca­me­llos, al del me­dio la ter­ce­ra par­
te y al me­nor la no­ve­na par­te, pe­ro ve­mos que no es po­si­ble di­vi­dir
así es­ta can­ti­dad de ca­me­llos.
El an­cia­no des­mon­tó, co­lo­có su vie­jo ca­me­llo jun­to a los de­más,
y les di­jo a los jó­ve­nes:
—Bien, pro­cu­ra­ré ayu­da­ros. Dad­me de co­mer y be­ber mien­tras
re­fle­xio­no so­bre tan di­fí­cil pro­ble­ma.
Una vez que hu­bo co­mi­do y be­bi­do, les di­jo a los her­ma­nos:
—Con el agre­ga­do de mi ca­me­llo, aho­ra hay 18 ca­me­llos en to­tal,
por lo tan­to al ma­yor le co­rres­pon­de la mi­tad— y apar­tó 9 ca­me­llos
y se los dio al ma­yor.
—Al del me­dio le co­rres­pon­de la ter­ce­ra par­te de los 18 ca­me­
llos— y se­pa­ró 6 ca­me­llos pa­ra el her­ma­no del me­dio.
—Y pa­ra el her­ma­no me­nor se­rán es­tos 2 ca­me­llos, la no­ve­na par­te de los 18. Los ani­
ma­les se han re­par­ti­do tal co­mo lo dis­pu­so vues­tro pa­dre, y so­bró es­te her­mo­so ca­me­llo
jo­ven que se­rá pa­ra mí.
Y di­cien­do así mon­tó y se ale­jó, de­jan­do a los tres her­ma­nos ad­mi­ra­dos de la sa­bi­du­ría
del an­cia­no.
¿Có­mo fue po­si­ble es­to?
Por­que 1 + 1 + 1 no es igual a 1, si­no a 17 ; por lo tan­to, al agre­gar un ca­me­llo,
los her­ma­nos re­ci­ben 9 ; 6 y 2 de los 18 y so­bra uno.
18 18 18Las cifras a través del tiempo
Las ci­fras de nues­tro sis­te­ma de nu­me­ra­ción se
in­ven­ta­ron en la In­dia en el si­glo V de nues­tra era.
De la In­dia pa­sa­ron a Ara­bia, de allí al nor­te de
Áfri­ca, lue­go a Es­pa­ña y fi­nal­men­te lle­ga­ron al
res­to de Eu­ro­pa al­re­de­dor del si­glo XII.
Mi­rá có­mo cam­bia­ron su for­ma a lo lar­go de
es­te via­je que du­ró ¡más de ocho­cien­tos años!44Book A5_M_Doc.indb 4410/20/08 3:00:02 PMNúmeros quebrados
La pa­la­bra “frac­ción” pro­vie­ne de una pa­la­bra la­ti­na que sig­ni­fi­ca rom­per, que­brar. Por eso, ha­ce mu­chos años, en tiem­pos de tus abue­los, a
las frac­cio­nes tam­bién se las lla­ma­ba “nú­me­ros que­bra­dos”. ¿Lo sa­bías?¿Cualquier forma sirve?
¿Siem­pre se pue­de em­bal­do­sar un pa­tio con bal­do­sas igua­les, sin de­jar es­pa­cios li­bres en­tre ellas?A ve­ces se pue­de y a ve­ces no, se­gún la for­ma
de las bal­do­sas. Con bal­do­sas trian­gu­la­res es
po­si­ble, y con bal­do­sas en for­ma de cua­dri­lá­te­
ro, tam­bién; con pen­ta­go­na­les regulares no se
pue­de y con he­xa­go­na­les, sí.¿Y si usa­mos bal­do­sas si­mé­tri­cas, co­mo la
ima­gen en un es­pe­jo? Mi­rá es­tos dos di­bu­jos,
del ar­tis­ta ho­lan­dés M. C. Es­cher. To­do el pla­no
es­tá re­cu­bier­to sin que que­de nin­gún es­pa­cio
li­bre.Symmetry Drawing BSimmetry Drawing A45Book A5_M_Doc.indb 4510/20/08 3:00:03 PMMA T I J U EG OSEl collarAzulejos
La cua­drí­cu­la que es­tá so­bre la pa­red mi­de 20 cm de
al­to por 60 cm de lar­go.
Pa­ra re­ves­tir­la se dis­po­ne de seis azu­le­jos de 20 cm
de al­to por 10 cm de lar­go.Si con es­tos cin­co tro­zos de ca­de­
na tu­vie­ras que ha­cer un co­llar
ce­rra­do con es­la­bo­nes gran­des y
chi­cos al­ter­na­dos, ¿cuál es la
me­nor can­ti­dad de es­la­bo­nes que
ten­drías que cor­tar y vol­ver a sol­
(¿Es­tás se­gu­ro? A lo me­jor son
me­nos de los que pen­sas­te).¿Po­dés en­con­trar 5 for­
mas dis­tin­tas de dis­po­
ner los azu­le­jos?¿Cuál sigue?
¿Cuál de estas
... hay que poner acá?46Book A5_M_Doc.indb 4610/20/08 3:00:05 PMCaja mágica
En ca­da ga­ve­ta de la ca­ja fuer­te va una de las
nue­ve bol­si­tas con mo­ne­das, de mo­do que los
re­sul­ta­dos de las su­mas ho­ri­zon­ta­les, ver­ti­ca­les y
de las dos dia­go­na­les sean igua­les.
Tres de las bol­si­tas ya es­tán en su lu­gar.
¿Dón­de van las otras seis?La pirámide des plega da
Una de las cuatro pirámides de papel se desarmó
¿Cuál es?Entrenamiento
Leé el diá­
go que tu­
te y una ca­
ra de un ban­
—Se­
ño­
ta, por fa­
vor, ¿pue­
de dar­
me cam­
bio de 1 pe­
so en mo­
—Lo sien­
to, se­
ñor, con las mo­
das que ten­
go no pue­
do cam­
biar­
1 pe­
—¿Pue­
me, en­
50 cen­
—No se­
ñor, no pue­
do. Tam­
co pue­do cam­
le 25 cen­
10 cen­
vos. Ni si­
ra pue­
le 5 cen­
—¿Es que no tie­
ne mo­
—Sí, se­
ñor, ten­
go exac­
so con 19 cen­
vos en mo­
y nin­
na de ellas es de 1 pe­
¿Cuán­
tas mo­
das te­
nía la ca­
del ban­
co y de qué va­
lor eran?47Book A5_M_Doc.indb 4710/20/08 3:00:06 PMSección VIIMA T IUOLos ciclistas gemelos
A sim­ple vis­ta pa­re­cie­ra que uno de
los ci­clis­tas es pro­por­cio­nal­men­te más
gran­de que el otro; sin em­bar­go, aun­que
no lo creas, son igua­les.
Se tra­ta de una ilu­sión óp­ti­ca.¿Me das una mano?
En la An­ti­güe­dad no me­dían las lon­gi­tu­des
co­mo no­so­tros, que usa­mos el me­tro, si­no que uti­
li­za­ban di­ver­sas par­tes del cuer­po co­mo uni­dad: el
de­do, el pal­mo, el co­do, el pie, la pul­ga­da.
Co­mo va­ria­ban de una per­so­na a otra, se es­ta­
ble­ció una me­di­da fi­ja pa­ra el pal­mo (al­re­de­dor de
21 cm) y lo mis­mo se in­ten­tó pa­ra el pie, aun­que
ca­da re­gión lo me­día dis­tin­to (en­tre 28 y 30 cm).
Esas me­di­das res­pe­ta­ban las si­guien­tes re­la­cio­
1 pal­mo = 12 de­dos =
co­do
1 pie = 12 pul­ga­daspal­mocodoMedí mi estatura con mi
propio brazo y me dio 3
codos, 1 palmo y 10 dedos;
o sea, 94 dedos en total.
¿De cuántos dedos será tu
estatura?48Book A5_M_Doc.indb 4810/20/08 3:00:13 PMEl antiguo arte de doblar papelEn japonés,
Ya por el año 1000 apa­re­ció en Ja­pón un li­bro que ha­bla­ba de la "papel plegado".
ex­traor­di­na­ria for­ma en que se ple­ga­ban los pa­pe­les es­cri­tos con poe­
mas y car­tas de amor.
En las bo­das se uti­li­za­ban ori­ga­mis con for­ma de ma­ri­po­sa ma­cho y
hem­bra, y has­ta los gue­rre­ros ofre­cían ori­ga­mis en los tem­plos pa­ra te­ner
suer­te en el com­ba­te.
El ar­te del ori­ga­mi se po­pu­la­ri­zó en to­do Ja­pón y lue­go lle­gó a Oc­ci­den­
te, don­de mu­chos ma­te­má­ti­cos lo con­si­de­ra­ron apro­pia­do pa­ra la en­se­ñan­za
de la Geo­me­tría.
To­do lo que se ne­ce­si­ta pa­ra ha­cer ori­ga­mi es pa­pel y... ¡un po­co de pa­cien­cia!Mirá cómo se hace un molinete:
1. Se to­ma un pa­pel cua­dra­do y se mar­can los
8 do­ble­ces que se ven en la fo­to (3 ho­ri­zon­
ta­les, 3 ver­ti­ca­les y 2 dia­go­na­les).2. Se to­man las 4 pun­tas co­mo si fue­ra un pas­
te­li­to.3. Se plie­gan pa­ra for­mar el mo­li­ne­te.4. Se le cla­va un al­fi­ler o un alam­bre­ci­to en
el cen­tro.
Si lo soplás, podrás
ver cómo gira.49Book A5_M_Doc.indb 4910/20/08 3:00:16 PMMA T I J U EG OSSopa con verso
L	A	T	I	P	R	O	P	Es­ta so­pa de le­tras
ocul­ta un ver­so acer­ A	L	I	D	A	D	L	I	ca de la pro­por­cio­
O	M	A	X	N	O	B	L	na­li­dad.
O	O	X	B	M	U	Z	W	Pa­ra des­cu­brir­lo,
te­nés que leer ca­da
ren­glón en for­ma
ho­ri­zon­tal, de
iz­quier­da a de­re­cha.
Ayu­di­ta: el ver­so se for­
ma con 18 pa­la­bras
(va­rias son mo­no­sí­la­bos).	P	K	B	L	H	P	R	J	R	O	O	U	Q	B	E	L	Q	T	W	H	La enamorada
misteriosaR	Q	U	E	L	I	S	M	V	A	T	R	I	P	L	S	D	A	W	I	L	V	P	T	S	E	C	N	D	R	Q	E	E	A	L	C	I	M	S	P	B	O	Z	O	L	T	E	L	X	L	I	L	E	U	G	O	K	N	E	D	O	K	E	T	M	X	F	O	D	Y	M	R	H	O	R	C	H	E	T	D	O	R	T	S	K	C	T	L	N	P	E	V	G	E	T	R	D	O	J	I	B	L	I	S	O	K	G	G	E	U	T	H	L	B	Z	E	O	R	O	H	E	Z	Z	Q	R	J	W	L	D	R	N
OCon ocho fósforosUna chi­ca que es­tá ena­mo­ra­da de
Lu­cas le en­vió en se­cre­to es­te
di­bu­jo jun­to con una no­ti­ta en la
que le de­cía: “Si que­rés sa­ber
quién soy, des­cu­brí las le­tras que
se es­con­den en el rom­pe­ca­be­zas”.Conseguí 8 fósforos y formá esta figura.
Después mové algunos fósforos para con­
seguir otra figura que tenga el mismo perímet­
ro, pero el doble de área.¿Có­mo se lla­ma la ena­mo­ra­da?50Book A5_M_Doc.indb 5010/20/08 3:00:18 PMLaberinto para dos
•	Par­ti­ci­pan dos ju­ga­do­res, ca­da uno con un lá­piz de dis­tin­to
co­lor.
•	El ju­ga­dor que en­tra en A de­be sa­lir por B, y vi­ce­ver­sa.
•	Por tur­no, ca­da ju­ga­dor arro­ja un da­do y avan­za tan­tos
cua­dra­di­tos co­mo in­di­ca el da­do.
•	Un ju­ga­dor no pue­de cru­zar o re­co­rrer par­te del ca­mi­no
del otro, sal­vo en las zo­nas blancas. Sí pue­de de­san­dar el
ca­mi­no he­cho o par­te de él.
•	Ga­na el que lle­ga pri­me­ro a la sa­li­da que le co­rres­pon­de.Por un pe­li­to
Hay que pin­tar­les el pe­lo a to­das las
mu­ñe­cas, pe­ro ¡ojo!, só­lo hay ru­bias y
mo­ro­chas y ca­da mo­ro­cha de­be es­tar
en con­tac­to con dos ru­bias.
¿Po­drás ha­cer­lo?Entrenamiento
Conseguí un papelito cuadrado.
Con dos do­
ces ar­
má otro cua­
que ten­
ga la mi­
tad del pe­
del ori­
La nue­
va área es:
tad de la ori­
la mi­De­
má los do­
ces an­
con nue­
vos plie­
gues for­
má un cua­
do que ten­
tad del área
El nue­
vo pe­
tro es:
igual al ori­ble de la ori­
el do­tad del ori­
la mi­to de la ori­
nal	un cuar­ter­
dio en­
tre el ori­
su mi­
51Book A5_M_Doc.indb 5110/20/08 3:00:19 PMS O L U C I ON E S
MA T I J U EG OSPI­RÁ­MI­DE DE NÚ­ME­ROS
1 111 111 × 10 + 1 = 11 111 111
1 234 567 × 9 + 8 = 11 111 111Sección I
EL NOM­BRE ES­CON­DI­DO: E U C L I D E S
CA­MI­NOS QUE NO SE CRU­ZANEN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO
36 ove­jas y 24 ñan­dúes.
IN­GE­NIO CON FÓS­FO­ROS
Una so­lu­ción po­si­ble es mo­ver 3 fós­fo­ros y ar­mar
4 cua­dra­dos.CUEN­TA ES­CON­DI­DA: 9 801+ 199 = 10 000
LOS PUEN­TES DE LA CIU­DAD: Co­mo en el pro­ble­ma no
se pi­de el pun­to de ini­cio ni el pun­to fi­nal del re­co­rri­do,
hay mu­chas so­lu­cio­nes po­si­bles. El re­co­rri­do di­bu­ja­do
es el más cor­to de to­dos.SO­PA DE UNI­DA­DESEN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO
El nú­me­ro que es­cri­bió Fa­bia­na fue 36 842; el que
que­dó des­pués fue 73 684.
ROM­PE­CO­COS NU­MÉ­RI­CO
Una so­lu­ción po­si­ble es:
(2 + 2 + 2 + 2 + 2) × 2 + 2 = 22
TRIÁN­GU­LOS CON CHIS­PA	O	R	O	M	O	M	O	O	O	R	K	U	B	Q	L	B	H	A	E	T	R	Q	J	T	R	E	O	R	T	I	A	R	A	R	X	B	T	E	I	S	G	Q	S	R	L	V	F	C	Y	E	C	I	B	O	T	E	L	O	L	A	K	W	R	G	O	L	I	K	A	C	G	I	L	I	M	O	D	M	I	N	U	T	O	R	M	I	L	I	M	T	S	M	V	O	D	E	K	C	E	U	G	M	F	T	U	J	W	I	U	O	N	P	A	T	S	G	D	E	V	N	D	R	O	Y	G	E	E	A	O	K	M	T	R	M	S	P	N	R	T	J	Z	O	Y	O	S	J	I	M	O	L	I	K	Z	F	U	A	H
H	R	V
O	O	M
K	H	S
E	E	Q
G	Z	S
E	Z	S
U	Q	O
M	L	Q
H	K	K
L	W	X
A	E	K
Z	M	Y
P	R	O¿JUN­TOS O AL­TER­NA­DOS?
Con­tan­do des­de la derecha: va­ciá el se­gun­do va­so
en el quin­to y vol­ve­lo a su lu­gar.
TRI­NU­MÉ­RI­CO
aCRU­CIÁN­GU­LO
­ ca
­ ­les	1. Per­pen­di­cu­la­res	3. Rec­tán­gu­lo	5. Lla­no	7. Trián­gu­lo	9. Rec­tos	Ho­ri­zon­ta­les
2. Pa­ra­le­las
4. Se­can­tes
6. Cua­dri­lá­te­ro
8. Acu­tán­gu­lo
10. Ob­tu­sob
c2b3c5718064LA RUE­DA MÁ­GI­CA
Da la sen­sa­ción de gi­rar.52Book A5_M_Doc.indb 5210/20/08 3:00:25 PMEN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­COSección IV
¿CÓ­MO HA­CÉS?
Lle­nás el ja­rro más chi­co; vol­cás to­do su con­te­ni­do
en el gran­de; vol­vés a lle­nar el ja­rro pe­que­ño y con
su con­te­ni­do lle­nás por com­ple­to el ja­rro gran­de.
Así te que­dó 1 L en el ja­rro más chi­co.
¿CUÁN­TAS POR­CIO­NES?
Se pue­den ob­te­ner 11 por­cio­nes con 4 cor­tes rec­tos
co­mo los de la fi­gu­ra. El mé­to­do con­sis­te en tra­zar
una rec­ta, lue­go otra que cor­te la pri­me­ra, des­pués
otra que cor­te las otras dos y, por úl­ti­mo, otra que
cor­te las otras tres.EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO
En la fi­gu­ra hay 40 rec­tán­gu­los. En es­te ti­po de pro­
ble­mas es con­ve­nien­te con­tar­los así: “De 1 rec­tán­
gu­lo de al­to por 1 de lar­go hay 10 rec­tán­gu­los; de
1 de al­to por 2 de lar­go hay 7 rec­tán­gu­los; de 1 de
al­to por 3 de lar­go hay 4 rec­tán­gu­los, ...”.¿CUÁL ES LA ME­NOR CAN­TI­DAD DE PLIE­GUES
QUE HAY QUE HA­CER PA­RA OB­TE­NER…
...4 TRIÁN­GU­LOS IGUA­LES? 2 PLIE­GUES.
...4 cua­dra­dos igua­les? 2 plie­gues.
...2 rec­tán­gu­los igua­les? 1 plie­gue.
...16 trián­gu­los igua­les? 4 plie­gues .
SU­MAS IGUA­LESSección V
¿CUÁL SI­GUE?¿PO­DÉS DI­BU­JAR­LAS SIN LE­VAN­TAR EL LÁ­PIZ
DEL PA­PEL?¡¡ES­TA­CIO­NA­MIEN­TOS!!JE­RO­GLÍ­FI­CO: 0,88.
EN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO
Pe­rí­me­tro fi­gu­ra azul: 22 cm.	Pe­rí­me­tro fi­gu­ra ver­de: 18 cm.53Book A5_M_Doc.indb 5310/20/08 3:00:27 PMSección VISección VIIEL CO­LLAR
La so­lu­ción apa­ren­te es cor­tar los es­la­bo­nes que
es­tán en el ex­tre­mo de ca­da uno de los cin­co pe­da­
ci­tos de ca­de­na, pe­ro se pue­den cor­tar los cua­tro
es­la­bo­nes del más cor­to y usar­los pa­ra unir con
ellos los cua­tro pe­da­ci­tos res­tan­tes.VER­SO EN SO­PA
“La pro­por­cio­na­li­dad es no­ble, por­que al tri­ple le da
el tri­ple y al do­ble le da el do­ble”.AZU­LE­JOS
En rea­li­dad pue­den dis­po­ner­se de es­tas 13 for­mas
dis­tin­tas:CON OCHO FÓS­FO­ROS
Una so­lu­ción po­si­bleLA ENA­MO­RA­DA MIS­TE­RIO­SA
Se lla­ma Ce­les­te.POR UN PE­LI­TO
Una so­lu­ción po­si­bleEN­TRE­NA­MIEN­TO OLÍM­PI­CO
Al­gu­nas so­lu­cio­nes po­si­bles son:¿CUÁL SI­GUE?
La fi­cha que si­gue es la de do­ble tres.
CA­JA MÁ­GI­CA
Fi­la su­pe­rior: 0,20; 0,90 y 0,40.
Fi­la cen­tral: 0,70; 0,50 y 0,30.
Fi­la in­fe­rior: 0,60: 0,10 y 0,80.La nue­va área es un cuar­to de la ori­gi­nal.
LA PI­RÁ­MI­DE DES­PLE­GA­DA
Es la cuar­ta.
La ca­je­ra te­nía una mo­ne­da de $ 0,50, una
de $ 0,25, cua­tro de $ 0,10 y cua­tro de $ 0,01.	El nue­vo pe­rí­me­tro es in­ter­me­dio en­tre el ori­gi­nal
y su mi­tad.54Book A5_M_Doc.indb 5410/20/08 3:00:30 PMBook A5_M_Doc.indb 5510/20/08 3:00:30 PMBook A5_M_Doc.indb 5610/20/08 3:00:30 PMAll pages:1234567101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354InfoSaveLikeShareDownloadMoreAnimate Matemática 5 Published on Jan 7, 2010 Orientaciones didácticas para el uso del libroconexionsantillanaFollowRead moreRead moreSimilar toPopular nowJust for youGo explore

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