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Timestamp: 2020-02-27 13:42:35+00:00

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Analyse mathématique. La maîtrise de l'implicite | Frédéric Testard | download
Main Analyse mathématique. La maîtrise de l'implicite
L'analyse est un des domaines les plus raffinés des mathématiques. Les méthodes
et les outils y sont infiniment divers et variés, et la meilleure porte d'entrée dans ce
territoire reste toujours l'approche structurée et solide. C'est cette voie qu'emprunte
pour nous l'auteur de ce livre hors norme, qui, à travers huit cents pages de belles
mathématiques et plus de quatre cents exercices généreusement accompagnés
d'indications, nous fait partager son amour pour cette discipline.
Frédéric Testard aime manifestement l'analyse, mais son engouement va en
premier vers le côté implicite. Dans la vie, tous les jours, l'implicite c'est le non-dit que
l'on devine entre les lignes d'un discours, derrière les rideaux d'une scène ou la courbe
d'un sourire. En sciences, il est le cœur de la recherche, car l'univers se donne à voir
mais ne donne pas les clés; il nous laisse le soin de les trouver nous-mêmes. L'auteur
nous invite ici, à travers un voyage dans les contrées diverses de l'analyse, à découvrir
le coffre aux trésors de l'implicite en mathématiques. Pour le voyageur, qui aime
autant la route que sa destination, le plus grand trésor, au-delà des résultats
eux-mêmes, est l'imagination de tous les découvreurs qui, au fil des siècles, sont partis
soulever les rideaux du non-dit, à la recherche des mystères qu'ils cachaient.
Si le lecteur trouve tout au long de ces pages le même goût du voyage
mathématique, ce livre assurément aura déjà atteint son but. Mais cet ouvrage apportera
également une aide sans conteste à l'autodidacte tout comme à l'étudiant en faculté ou au
taupin dans sa classe préparatoire. Les éclairages pertinents qui en illuminent les
pages rendront par ailleurs un grand service aux professeurs en exercice, et à celles et
ceux qui se préparent à le devenir en passant les concours du CAPES ou de
l'agrégation. On trouvera évidemment dans ce livre l'essentiel des fondements que le jeune
mathématicien doit maîtriser en analyse fondamentale, mais aussi une sensibilité
dans l'écriture et une élégance incomparables.
Publisher: Calvage et Mounet
ISBN 10: 2916352112
ISBN 13: 9782916352114
Analyse mathématique I: Convergence, fonctions élémentaires
File: PDF, 58.91 MB
Jione Havea, David J. Neville, Elaine M. Wainwright
Frédéric Testard y. .. Analyse mathématique La maîtrise de l'implicite V "alvage & Mounet
Mathématiques en devenir 101. — Jacques Faraut. Analyse sur les groupes de Lie. Une introduction 102. — Patrice Tauvel. Corps commutatifs et théorie de Galois 103. — Jean Saint Raymond. Topologie, calcul différentiel et variable complexe 104. — Clément de Seguins Pazzis. Invitation aux formes quadratiques 105. — Bruno Ingrao. Coniques projectives, affines et métriques 106. — Wolfgang Bertram. Calcul différentiel topologique élémentaire 107. — Henri Lombardi et Claude Quitté. Algèbre commutative. Méthodes constructives 108. — Frédéric Testard. Analyse mathématique. La maîtrise de Yimplicite
Frédéric Testard Analyse mathématique La maîtrise de l'implicite HP\ Calvage & Mounet
Frédéric Testard est maître de conférences à l'université de La Rochelle. Il est coauteur, avec R. Mneimné, de la célèbre « Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques », et avec L. Salem et C. Salem, du grand succès de librairie « Les plus belles formules mathématiques » (traduit en finnois, anglais, japonais, chinois et arabe). frederic.testard@univ-lr.fr Mathematics Subject Classification (2010) - Primary : 26-01 Real functions - Instructional exposition 26A03 Foundations : limits and gêner alizations, élément ary topology of the line 26A51 Convexity, generalizations 26B10 Implicit function theorems, Jacobians, transformations with seve- ral variables 26C10 Polynomials : location of zéros 30-01 Functions of a complex variable - Instructional exposition 34-01 Ordinary differential équations - Instructional exposition 34A12 Initial value problems, existence, uniqueness, continuous depen- dence and continuation of solutions 41A60 Approximations and expansions - Asymptotic approximations, asymptotic expansions 47H09 Contraction-type mappings, nonexpansive mappings, A-proper mappings 47H10 Fixed-point theorems 65F15 Numerical linear algebra - Eigenvalues, eigenvectors ISBN 978-2-91-635211-4 © Imprimé sur papier permanent II II II IIIIIIIII II IIIIIIIII 9,l7829 16,,3 52 114,, ©. Calvage & Mounet, Paris, 2012
À Sylvie, Marie et Paul
Préface Quant à ses pièces de théâtre, influencées par sa collaboration avec Stani- slavski, elles font de Tchékhov un des principaux dramaturges de la modernité. [...] Rompant avec la construction dramatique traditionnelle, Tchékhov a mis au point une nouvelle technique théâtrale qu 'il appelait « action indirecte » parce qu'elle consistait à se focaliser sur les subtilités de l'interprétation et sur les jeux d'interactions, de silences et de non-dits entre les personnages. Les sous-entendus du dialogue, /'implicite tiennent ainsi une place prépondérante, révélant plus profondément la vérité psychologique des êtres. Source : [92] La raison de ce livre est une fascination. La fascination de l'auteur pour cette « action indirecte » par laquelle le mathématicien —mais pas seulement lui— apprend à connaître, à décrire les objets non-dits, les objets implicites. Pas seulement le mathématicien, car la vie et les sciences regorgent de tels problèmes. Une pomme tombe, des planètes tournent, et cette chute, ces mouvements révèlent une loi mathématique. Ils la révèlent parce que parmi toutes les lois que Ton puisse concevoir, il y en a une seule qui explique tous ces phénomènes, une seule qui les explique simplement. Ils la révèlent parce qu'une fois énoncée, elle permet de prédire d'autres faits, que l'observation plus tard confirmera. Cette loi est la seule qui occupe parfaitement l'espace en creux défini par toutes ses conséquences. Il fallait qu'elle soit là pour que tombe la pomme comme elle tombe, que tournent les planètes comme elles tournent. Partout dans les mathématiques, de tels espaces creux attendent qu'on les remplisse. C'est la fascination de l'auteur, pour l'habileté des mathématiciens à le faire, que ce livre essaie de faire partager. Cette fascination a maintes occasions de s'entretenir, que ce soit par les résultats de la recherche la plus actuelle ou par ceux élaborés dans le passé —plus ou moins proche— qui constituent aujourd'hui le corpus de l'enseignement supérieur. C'est dans ce second cadre que nous avons placé ce livre, et nous verrons qu'il fournit une profusion d'exemples de cette inventivité. - vu -
vin Préface On peut dire aujourd'hui que la plupart des objets mathématiques sont définis ainsi, de manière implicite, comme les seuls à satisfaire un certain nombre de conditions. Les conditions peuvent être de toutes sortes (géométriques, équations, inéquations), et l'existence de ces objets peut être plus ou moins évidente, ce statut même d'évidence n'ayant d'ailleurs rien d'intangible. Si de nos jours, on s'accorde en général à reconnaître que l'existence de tel ou tel objet mathématique nécessite une preuve, l'histoire montre que pendant longtemps, les mathématiciens se sont beaucoup plus préoccupés de décrire les objets que de prouver leur existence. L'existence de l'aire sous une courbe, ou d'une courbe continue n'ayant de tangente en aucun point, sont des problèmes ne remontant pas plus loin que le XlX-ème siècle. L'exemple du cinquième postulat d'Euclide, proposant comme un axiome (c'est-à-dire un fait que l'on ne doit pas essayer de démontrer —que Von ne peut pas démontrer si le jeu d'axiomes est bien écrit) l'existence et l'unicité de la parallèle à une droite passant par un point donné, l'histoire des vains efforts pour déduire ce fait des autres axiomes, et finalement la surprenante conséquence que fut l'élaboration des géométries non euclidiennes suggèrent non seulement que l'évidence d'un jour n'est pas forcément celle du lendemain, mais aussi qu'il n'y a pas forcément de raison de s'en plaindre... *** On l'a compris, on prouvera beaucoup de théorèmes d'existence dans les pages qui suivent. Ces théorèmes couvrent les champs les plus variés : existence de points où des fonctions s'annulent, existence de points où des fonctions sont minimales (une problématique rencontrée dans de nombreux « principes » de la physique), existence de points fixes pour des fonctions, existence de solutions pour des équations fonctionnelles ou différentielles. Il est remarquable qu'une telle variété de résultats repose sur un très petit nombre de propriétés et d'idées. Nous en relèverons trois qui nous paraissent fondamentales. La première est la completude de R et ses deux conséquences essentielles : le principe de la borne supérieure et la compacité des fermés bornés en dimension finie. La deuxième est le théorème du point fixe pour les contractions d'un espace complet, qui permet de se passer des hypothèses de compacité, hypothèses que l'on ne peut pas faire en général lorsque l'on étudie des équations fonctionnelles pour lesquelles les espaces sont de dimension infinie. La troisième idée est plus élaborée, c'est celle de l'étonnant lien entre topologie et combinatoire, mis en évidence par les topologues du XX-ème siècle. Cette idée a permis d'unifier une série de théorèmes d'existence inaccessibles aux méthodes de type « valeurs intermédiaires », fondées sur la topologie de l'ordre. Les théorèmes de Brouwer et de Borsuk- Ulam —les deux résultats les plus célèbres dans ce domaine— se voient ainsi replacés dans un paradigme très proche de celui présidant
Préface IX aux méthodes réelles : en simplifiant beaucoup, on peut le résumer en disant que, de même qu'iZ n'y a pas assez de place dans la droite réelle pour passer de R_ à R+ sans passer par zéro, on ne peut pas non plus envoyer de manière continue un pavé de Rd sur lui-même sans avoir un point fixe, parce que Ton n'a pas assez de liberté de mouvements avec seulement d coordonnées. Ces quelques idées nous permettront notamment d'étudier les théorèmes suivants : • le théorème des valeurs intermédiaires et ses applications ; • le théorème d'existence d'extrema pour les fonctions continues sur des fermés bornés de Rn (dont nous déduirons par exemple le théorème de d'Alembert, ou encore la réalité des valeurs propres des matrices symétriques réelles) ; • le théorème de Rolle et V inégalité des accroissements finis en une ou plusieurs variables ; • le théorème de la contraction, qui assure l'existence de points fixes pour certaines fonctions définies sur des espaces complets, dont nous déduirons notamment le théorème de Cauchy-Lipschitz sur les solutions d'équations différentielles ; • le théorème du point fixe de Brouwer pour les fonctions continues de la boule-unité de Rn dans elle-même, théorème dont nous verrons certaines conséquences dans le domaine de la théorie des jeux, mais dont nous déduirons aussi —après une extension convenable en dimension infinie— un autre théorème d'existence de solutions d'équations différentielles. *** L'énoncé de nombreux théorèmes d'existence fait intervenir des paramètres : solutions d'équations différentielles vérifiant une condition initiale donnée, existence de l'antécédent d:un élément pour une fonction, etc. Une autre partie de ce livre vise à éclairer, à travers de nombreux exemples, l'observation suivante : lorsque, pour certaines valeurs du paramètre, un problème d'existence a une unique solution, celle-ci dépend souvent de manière aussi régulière que possible (continue, dif- férentiable, ...) du paramètre. Quand, au contraire, il y a plusieurs solutions, il est souvent impossible de choisir l'une d'entre elles ne serait- ce que de manière continue (cette impossibilité pouvant être locale : par exemple, il n'existe pas de fonction racine carrée continue au voisinage de 0 dans C —mais il en existe au voisinage de n'importe quel autre point— ou globale : il est ainsi impossible de raccorder toutes les « racines carrées locales » pour fabriquer une fonction continue sur C*).
X Préface La grande variété de situations rend difficile l'énoncé d'un unique théorème résumant ces observations, mais nous verrons néanmoins comment l'on peut proposer une approche unifiée de ces questions en s'appuyant sur la remarque suivante : si les solutions d'un problème d'existence à paramètre appartiennent à un compact et s'il y a unicité, la suite des solutions associées à une suite convergente de paramètres n'a qu'une valeur d'adhérence possible, et ceci implique la continuité de la solution par rapport au paramètre. Un autre point de vue, plus quantitatif, que nous utiliserons pour l'étude des points fixes de familles de contractions, consistera à mesurer la sensibilité des algorithmes de calcul des solutions par rapport aux conditions initiales et à vérifier que, dans certaines conditions, une variation légère des données de l'algorithme implique une variation légère de ses résultats. Outre de nombreux exercices dans des contextes variés, nous mettrons en œuvre ces remarques dans deux grands types de situation. • La démonstration de théorèmes généraux de calcul différentiel sur l'existence et la régularité des fonctions implicites et des inverses locaux de fonctions différentiables vérifiant de « bonnes » hypothèses. Nous montrerons en particulier comment ces théorèmes, en petite dimension, peuvent se traiter par des méthodes élémentaires. • S'il est en général impossible de choisir de manière continue et globale l'une des solutions d'une famille d'équations polynomiales, cela devient possible si l'on considère l'ensemble de toutes les racines, ou si une propriété d'ordre permet de spécifier la racine choisie. Nous proposerons un grand nombre de méthodes d'étude de la régularité de ces racines, individuellement ou dans leur ensemble. Les techniques proposées sont variées : utilisation du théorème des valeurs intermédiaires, du théorème des fonctions implicites, de méthodes d'analyse complexe, mais aussi de nombreuses approches via l'algèbre linéaire grâce au lien entre racines des polynômes et valeurs propres de matrices associées à ces polynômes... Nous consacrerons enfin un chapitre à l'étude pratique de développements asymptotiques d'objets solutions de problèmes implicites. Ici encore, davantage que quelques théorèmes, c'est à la pratique que nous souhaitons initier le lecteur en lui montrant dans des contextes très divers comment faire parler les équations, même lorsque l'on ne sait pas les résoudre, pour mieux connaître leurs solutions. *** Le dernier des grands thèmes de ce livre est celui du calcul approché des objets implicites. Si disposer d'une « formule explicite » peut ne pas simplifier beaucoup le calcul d'un objet —combien vaut par exemple
Préface xi la 1000eme décimale du nombre e ou le premier chiffre de l'écriture décimale de 100! ?— ne pas en avoir ne veut évidemment pas dire que l'on ne sait rien d'eux, comme on l'aura perçu en lisant ce qui précède. Si l'on excepte quelques rares cas relevant plutôt du coup de chance, la plupart des méthodes de calcul sont en fait des algorithmes conduisant à des valeurs approchées. La justification de ces algorithmes, et en particulier de leur convergence vers une solution du problème, varie beaucoup d'un problème à l'autre, mais s'appuie souvent sur l'idée générale suivante : associer à chaque état du problème une « mesure », qui serait nulle si le problème était résolu et qui diminue suffisamment à chaque étape de l'algorithme pour tendre vers 0. Si l'on sait prouver qu'un état de mesure « presque nulle » est proche de la solution, l'algorithme converge. Le problème spécifique à chaque algorithme est de trouver la « bonne mesure ». Le choix est parfois naturel —par exemple, faire tendre \f(xn) | vers 0 pour chercher un point critique dans un problème d'optimisation— mais pas toujours. Une « métaméthode générale » consiste à associer à l'ensemble des états possibles une quantité invariante et à choisir comme mesure une « partie de cette quantité ». Par exemple, la méthode de Jacobi est un algorithme de diagonalisation des matrices symétriques réelles consistant à transférer certains coefficients non diagonaux vers la diagonale ; chaque étape conserve la somme des carrés de tous les coefficients (c'est l'invariant global), mais diminue la somme des carrés des coefficients non diagonaux (c'est la mesure de l'état). Nous décrirons un certain nombre d'algorithmes, dans des contextes d'analyse et d'algèbre —voire d'arithmétique— en nous intéressant notamment à la vitesse de convergence des diverses méthodes, et aux moyens d'accélérer cette convergence. Parmi les méthodes étudiées figureront : • des algorithmes d'optimisation (méthodes de descente) ; • des algorithmes de recherche de solutions d'équations numériques : méthode de fausse position, méthode de Newton... ; • des algorithmes de recherche de solutions d'équations fonctionnelles, en particulier des méthodes pour calculer des solutions approchées d'équations différentielles (les méthodes d'Euler, la méthode de Runge-Kutta, ...) ; • des algorithmes de recherche de valeurs propres et de vecteurs propres. *** Nous bénéficions de tellement d'influences, de tellement de conseils au cours d'une vie d'apprentissage et d'enseignement qu'il est probablement illusoire de vouloir remercier chacun des professeurs, des collègues, des amis qui ont contribué par leurs conseils, par leurs remarques, à la construction de notre savoir ou de notre vision de la grande cité des mathématiques.
Xll Préface Je me dois, néanmoins, de remercier les auteurs des programmes de classes préparatoires de la fin des années 1970. En classant comme « admis » le théorème des fonctions implicites et le théorème d'inversion locale, alors que ne manquaient pas dans les programmes les concepts et les théorèmes ardus, ils ont sans nul doute semé la première graine et contribué à ouvrir la voie à ma fascination pour ce sujet. Je souhaite aussi remercier Jean GIRAUD et Denis COUSIN. Quand le premier, alors responsable des études mathématiques à l'École normale supérieure de Saint-Cloud, a expliqué au second, alors candidat comme moi à l'agrégation de mathématiques, qu'il manquait dans la liste des leçons d'analyse un sujet intitulé « Exemples d'utilisation du théorème des fonctions implicites dans les cas où il ne s'applique pas », il a sans aucun doute instillé, au moins dans mon esprit, quelques questionnements supplémentaires —même s'il n'est pas certain que nous ayons, cet après-midi-là, perçu la richesse potentielle d'un tel titre. Monsieur GIRAUD n'est plus là pour lire ces mots, il a rejoint trop tôt le paradis des fumeurs, mais j'espère qu'il ressent, entre deux bouffées de gauloises, l'amitié de ce remerciement. Quant à Denis, je sais qu'il n'a pas oublié les heures que, potaches, nous avons passées à faire avouer leurs secrets à de bien réticentes fonctions implicites... Certains de mes amis enseignants à La Rochelle ont partagé mon intérêt pour ce projet depuis le début, et ont contribué par leurs conseils et leurs remarques à enrichir et améliorer le manuscrit. Je pense notamment à mes discussions avec Laurent LE FLOCH sur les vertus comparées des mathématiques artisanales et industrielles, ou à mes fructueuses disputes avec François GEOFFRIAU et Jean-Marc GARNIER sur la position du juste milieu entre rigueur et fluidité... Qu'ils soient remerciés ici : leur générosité et le temps qu'ils m'ont accordé ont éclairé ma perception de nombreuses questions. Enfin, je tiens à remercier très chaleureusement Alberto ARABIA, Denis CHOIMET, Khélifa HARZALLAH, Hervé QUÉFFELEC, Rached MNEIMNÉ et Bernard RANDÉ. Par leur relecture patiente et rigoureuse, ils ont contribué à grandement améliorer ce texte, en aidant à remettre dans le droit chemin quelques explications un peu aventureuses mais aussi en suggérant d'autres formulations, voire d'autres approches de certaines situations. La Rochelle, mars 2012
Table des matières I. La topologie de R et de Rn 1. Panorama 1 2. Majorants et minorants, bornes supérieure et inférieure 2 3. Suites monotones, suites adjacentes 5 4. Parties connexes de R et de Rn 7 5. Parties compactes de R et de Rn 12 6. Fonctions continues sur un compact 16 7. Exercices 17 II. Problèmes d'extrema. Aspects topologiques 1. Panorama 43 2. Fonctions continues sur une partie fermée bornée de Rn 44 3. Fonctions continues sur des parties non compactes de Rn . . . . 45 4. Applications 48 5. Exercices 57 III. Le théorème de Rolle 1. Panorama 71 2. Le théorème de Rolle 71 3. Le théorème des accroissements finis 73 4. La formule de Taylor-Lagrange 75 5. Exercices 77 IV. L'inégalité des accroissements finis 1. Panorama 99 2. L'inégalité des accroissements finis : fonctions d'une variable . . 100 3. Un peu de calcul différentiel à plusieurs variables 102 4. L'inégalité des accroissements finis : cas général 109 5. Exercices 112 xm
xiv Table des matières V. Théorème des valeurs intermédiaires et applications 1. Panorama 125 2. Théorème des valeurs intermédiaires 126 3. Théorème de la bijection 127 4. Théorème du point fixe 129 5. L'île mystérieuse : valeurs intermédiaires dans le plan 130 6. Appendice. Points fixes des fonctions croissantes 137 7. Exercices 140 VI. Problèmes d'extrema. Aspects différentiels 1. Panorama 147 2. Un peu de calcul différentiel. Fonctions de classe C2 148 3. Recherche des extrema. Cas des extrema libres 152 4. Recherche des extrema. Cas des extrema liés 159 5. Applications 167 6. Appendice. Inégalité isopérimétrique 171 7. Exercices 185 VII. Propriétés extrémales des fonctions holomorphes 1. Panorama 213 2. Fonctions holomorphes 214 3. Primitives des fonctions holomorphes 215 4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences 224 5. Le principe du maximum 228 6. Applications 231 7. Exercices 233 VIII. Problèmes d'extrema. Applications de la convexité 1. Panorama 245 2. Rappels : régularité des fonctions convexes 246 3. Extrema des fonctions convexes 259 4. Extrema et ensembles convexes 261 5. Méthodes de descente 271 6. Exercices 286 IX. Contractions, points fixes d'applications lipschitziennes 1. Panorama 315 2. Le théorème du point fixe. Cas réel 316 3. Le théorème du point fixe. Cas général 318 4. Convexité et points fixes des applications 1-lipschitziennes . . . 324 5. Une application : construction d'ensembles fractals 326 6. Exercices 333
Table des matières xv X. Théorème de Brouwer 1. Panorama 357 2. L'approche combinatoire 358 3. L'approche analytique 366 4. L'approche par la topologie algébrique en dimension 2 382 5. Le théorème de Schauder 394 6. Théorie des jeux et équilibre de Nash 397 7. Exercices 402 XL Régularité des solutions de problèmes implicites 1. Panorama 435 2. Quelques résultats généraux 436 3. Théorème des valeurs intermédiaires à paramètre 437 4. Points fixes de contractions dépendant d'un paramètre 438 5. Exercices 446 XII. Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites 1. Panorama 459 2. Le cas des fonctions de deux variables 460 3. Le théorème d'inversion locale : cas général 475 4. Le théorème des fonctions implicites en dimension quelconque . 481 5. L'équivalence entre les deux théorèmes 483 6. Exercices 486 XIII. Racines des polynômes 1. Panorama 501 2. Polynômes de degré 2 503 3. Un peu d'algèbre : le discriminant 504 4. Zéros des polynômes complexes : théorème de Rouché 508 5. Étude des fonctions $k,n et <3>n 513 6. Appendice. Principe de l'argument et théorème de Rouché . . . 532 7. Exercices 535 XIV. Valeurs propres 1. Panorama 545 2. Signature et mineurs principaux 546 3. Valeurs propres des matrices symétriques 553 4. Régularité des valeurs propres 555 5. Exercices 563
xvi Table des matières XV. Équations différentielles 1. Panorama 579 2. Existence et unicité locale des solutions 580 3. Unicité globale 587 4. Généralisation aux équations d'ordre supérieur 588 5. Solutions maximales des équations différentielles 590 6. Existence des solutions dans le cas continu 593 7. Dépendance par rapport aux conditions initiales 596 8. Exercices 605 XVI. Résolution d'équations numériques 1. Panorama 639 2. Localisation des racines des équations polynomiales 640 3. Méthodes itératives de résolution d'équations numériques .... 651 4. Calculs approchés de valeurs et d'espaces propres 664 5. Exercices 678 XVII. Quelques techniques d'estimation asymptotique 1. Panorama 697 2. Exemples de développements limités de fonctions réciproques . . 698 3. Équivalents de suites 702 4. Étude locale de courbes : polygone de Newton 712 5. Un peu de probabilités : être nés le même jour 721 6. Un problème d'analyse en relation avec l'exponentielle 726 7. Exercices 741 Bibliographie 765 Index 771
Quelques pistes de lecture en guise d'avant-propos Le thème de l'ouvrage, maîtriser l'implicite en mathématiques, est si vaste que même le traitement partiel1 que nous en proposons nous conduit à visiter de nombreux domaines des mathématiques. Tous ces sujets ne présentent pas la même difficulté, et si certains ont leur place dans les enseignements de première ou deuxième année d'université, d'autres font appel à des notions plus élaborées, parfois plus savantes. Même si le point de vue de l'auteur est de privilégier l'emploi de méthodes élémentaires à celui d'outils (trop) puissants, autrement dit de préférer Vartisanat à l'industrie lourde, les concepts étudiés dans certaines parties de ce livre font appel à une plus grande maturité mathématique. Pour aider le lecteur, nous proposons donc plusieurs grilles de lecture, dont nous dirons simplement qu'en termes de niveau elles vont du début de la licence aux niveaux mastère et agrégation. *** L'axe de lecture le plus accessible est l'étude des fonctions de la variable réelle. Le cours sur ces questions est pour l'essentiel regroupé dans trois chapitres (III, IV et V), consacrés au théorème de Rolle, à l'inégalité des accroissements finis (en se limitant à la partie consacrée aux fonctions d'une variable) et au théorème des valeurs intermédiaires. Même si ces chapitres se terminent par des approfondissements allant au-delà de ce que l'on attend d'un étudiant de première ou deuxième année, ils constituent une bonne initiation aux techniques d'étude des fonctions d'une variable réelle. Le lecteur désireux d'approfondir tout cela pourra ensuite consulter le chapitre XVI, consacré pour l'essentiel au calcul approché des racines d'équation f(x) = 0 —en particulier, aux méthodes classiques de localisa- 1 Voire partial, tant le choix des sujets décrit fondamentalement les goûts personnels de l'auteur. XVI1
xvm Avant-propos tion des racines de polynômes— et au chapitre XVII, consacré à l'estimation asymptotique des solutions de problèmes implicites, et, en particulier, au développement asymptotique des fonctions réciproques d'une part, du terme général de suites récurrentes convergeant vers une limite finie ou non, d'autre part. Le deuxième axe élémentaire est celui du calcul différentiel à plusieurs variables. Les résultats importants sont répartis dans trois chapitres : le chapitre IV consacré à l'inégalité des accroissements finis fournit (en partie dans le cadre d'exercices très guidés) les résultats nécessaires à la compréhension de l'énoncé de cette inégalité pour des fonctions de plusieurs variables. Le chapitre VI est consacré à l'apport du calcul différentiel à l'étude des extrema des fonctions de plusieurs variables. C'est le lieu naturel pour introduire les différentielles du deuxième ordre. Les savoir-faire mis en œuvre dans ces chapitres sont pour l'essentiel de niveau licence, même si là encore, les exercices les plus élaborés font appel à une plus grande maturité. Le chapitre XII, plutôt de niveau mastère (du moins si l'on veut donner les preuves rigoureuses des résultats), est consacré au théorème des fonctions implicites et au théorème d'inversion locale. La démonstration de ces théorèmes repose sur le théorème du point fixe de Banach et requiert donc la lecture du début du chapitre IX. Si la différentiabilité des fonctions constitue une des généralisations possibles de la notion de dérivabilité des fonctions de la variable réelle (en définissant la dérivabilité par les développements limités), une autre direction possible est l'holomorphie, c'est-à-dire la dérivabilité des fonctions d'une variable complexe (pour lesquelles définir la dérivée comme limite du taux d'accroissement a un sens). Nous consacrons le chapitre VII à l'étude des propriétés fondamentales des fonctions holomorphes, en vue de démontrer un théorème concernant les propriétés extrémales de ces fonctions, en l'occurrence le principe du maximum. Si ce résultat peut apparaître un peu « frustrant » en matière de recherche d'extrema, nous verrons qu'il a de riches conséquences. La démarche suivie consiste à prouver l'analyticité des fonctions holomorphes après avoir établi la formule intégrale de Cauchy. Les résultats démontrés constituent une partie importante de ce que pourrait être un cours de fin de licence sur le sujet (à condition de rajouter la classification des singularités, les séries de Laurent et la formule des résidus). Le comptage des zéros des fonctions holomorphes par des formules intégrales et sa conséquence, le théorème de Rouché, sont décrits au chapitre XIII. Le tout premier chapitre du livre constitue un axe de lecture à lui seul, celui de l'initiation à la topologie. Même si l'essentiel du chapitre vise à présenter les concepts de base de cette théorie (continuité, compacité, connexité...) dans le cadre de R et Rn, même si le rôle fondamental de l'ordre et de la propriété de la borne supérieure est mis en évidence, nous
Avant-propos xix ne nous interdisons pas —bien au contraire— d'employer le vocabulaire des ouverts, des fermés et des voisinages, des espaces métriques, et proposons des exercices allant jusqu'à l'étude de quelques conséquences de la propriété de Baire. Le chapitre I fournirait donc un bon support pour un premier enseignement de topologie, et l'étude générale des extrema de fonctions numériques, proposée au chapitre II, fournit un riche champ d'exemples et d'applications. Évidemment, le rôle essentiel joué par la compacité dans l'étude des problèmes d'existence place cette notion au premier plan dans la plupart des autres parties du livre. La question des extrema (existence et localisation) constitue un des sujets centraux du livre. À ce titre, les chapitres II, VI et VIII, consacrés respectivement aux théorèmes d'existence topologiques, aux outils différentiels et aux apports de la notion de convexité (dans de nombreux contextes, y compris géométriques), constituent l'armature d'un cours d'optimisation de niveau mastère. Si la plupart des résultats établis le sont dans le cadre de la dimension finie, nous traitons à la fin du chapitre VI le problème des isopérimètres —qui nous donne l'occasion de démontrer quelques résultats de base sur les séries de Fourier— et nous proposons, dans le cadre d'une série d'exercices, quelques outils de base du calcul des variations. L'étude, en toute généralité, des théorèmes de point fixe, de leurs généralisations et de leurs applications fait parfois l'objet de livres entiers. Nous lui consacrons les deux chapitres centraux de ce livre : le chapitre IX est consacré aux points fixes d'applications contractantes (ou presque...) et à diverses applications de cette théorie (comme par exemple la construction d'objets fractals). Dans le cadre de ce livre, les deux applications les plus marquantes sont la démonstration des théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites au chapitre XII, et celle du théorème de Cauchy-Lipschitz sur l'existence et l'unicité locales des solutions d'équations différentielles au chapitre XV. La lecture du chapitre IX peut être complétée par celle du chapitre XI, qui décrit, notamment dans le cadre de nombreux exercices, la régularité de l'application paramètre \-> point fixe quand on considère une famille de contractions dépendant convenablement d'un paramètre. L'autre chapitre central, le chapitre X, traite de la théorie du point fixe de Brouwer sous divers points de vue relevant de l'analyse combinatoire, de l'analyse ou de la topologie algébrique. Nous y présentons d'importantes idées topologiques modernes (parfois en exercice, en particulier la notion de degré topologique de Brouwer destinée à compter les solutions de l'équation f{x) = y, une notion qui généralise le théorème de Rouché rencontré à la fin du chapitre XIII sur l'invariance par petite perturbation du nombre de zéros des fonctions holomorphes). Par ailleurs,
XX Avant-propos nous proposons deux conséquences intéressantes du théorème de Brouwer, en théorie des jeux et en théorie des équations différentielles. Le livre présente une importante partie algorithmique. La fin du chapitre VIII est consacrée à la description des méthodes de descente en optimisation convexe, tandis que le chapitre XVI est consacré au calcul approché des solutions d'équations numériques f(x) = 0 et à la détermination des valeurs et des vecteurs propres. De manière légèrement différente, les chapitres XI et XVII, en décrivant des méthodes d'étude locale ou asymp- totique des solutions de problèmes implicites, permettent de se faire une idée plus précise de la valeur numérique de ces solutions. Par ailleurs, les derniers exercices du chapitre III sont consacrés aux techniques de calcul approché d'intégrales, tandis que plusieurs exercices du chapitre XV présentent les méthodes les plus classiques d'approximation des solutions d'équations différentielles. L'étude de la régularité des objets implicites est le dernier axe important de l'ouvrage. Ce thème, au cœur de notre problématique, est traité en toute généralité aux chapitres XI et XII, puis de manière plus spécifique aux chapitre XIII (étude de la dépendance entre les coefficients d'un polynôme et ses racines) et XIV (étude de la dépendance entre les coefficients d'une matrice et ses valeurs propres). Bien que cette question ne fasse pas partie des sujets classiques d'enseignement, le lecteur trouvera dans ces chapitres de nombreux exemples de mise en oeuvre d'une démarche intégrant étroitement les connaissances d'algèbre et d'analyse et verra ainsi comment de nombreux critères algébriques sont porteurs d'une intéressante information topologique. Nous pensons que les agrégatifs trouveront dans les indications de parcours mentionnées ci-dessus une aide à l'élaboration du plan de certaines leçons. Nous avons pensé également au jury de l'oral, et espérons que la présentation — tant dans le cours que dans les exercices— de résultats un peu inhabituels, ou la présence de nombreuses preuves alternatives pour certains théorèmes plus classiques, aidera les candidats à renouveler, ne serait-ce que pendant quelques années, le répertoire des « classiques de l'oral »... *** Un grand nombre d'exercices (plus de 470 au total) vient clôturer les chapitres. Leur longueur est très variable et certains sont de véritables problèmes permettant le traitement complet d'un concept ou d'un résultat rencontré dans le chapitre correspondant. Nous n'avons pas fait figurer de solutions, mais nous pensons que les très nombreuses indications fournies au sein même des énoncés permettent au lecteur désireux d'approfondir ses connaissances sur le thème traité de le faire dans les meilleures conditions. C'est notre souhait que de le conduire ainsi, à travers les nombreux chemins que parcourent ces exercices, vers la maîtrise de l'implicite.
Chapitre I Pour bien commencer : la topologie de M et Rn (et un peu plus...) 1. Panorama Nous décrivons dans ce chapitre les propriétés topologiques de R et Rn. Nous considérerons que R a été construit à partir de Q, par exemple, par la méthode des suites de Cauchy (voir le problème 1-7.1 pour les détails de cette construction; voir également les problèmes 1-7.2 et 1-7.3 pour deux autres constructions possibles de R à partir de Q, en utilisant ce que l'on appelle les sections commençantes ouvertes et les coupures de Dedekind. Ces deux constructions sont très analogues, et nous nous contentons de décrire avec précision la méthode des sections commençantes, en laissant au lecteur le soin de reformuler et d'adapter les arguments à la construction par les coupures). La construction choisie fait apparaître R comme un corps totalement ordonné, muni d'une structure d'espace métrique pour la distance associée à la valeur absolue, complet pour cette métrique (c'est-à-dire dans lequel toute suite de Cauchy est convergente). Le sous-corps Q est dense dans R pour la métrique ci-dessus (id est : tout réel x est limite d'une suite de rationnels) , mais aussi pour la « topologie de l'ordre » (id est : entre deux réels distincts, existe toujours au moins un rationnel). Ces propriétés vont nous permettre de démontrer que R possède la « propriété de la borne supérieure » (resp. « de la borne inférieure »), c'est-à-dire que toute partie A de R, non vide et majorée (resp. minorée) - 1 -
2 I. La topologie de R et de Rn possède un plus petit majorant (resp. un plus grand minorant), appelé la borne supérieure de A et noté sup A (resp. la borne inférieure de A et noté infA). Nous en déduirons un certain nombre de résultats sur la convergence des suites, puis la caractérisation des parties compactes de R et Rn, et des parties connexes de R. Enfin, nous établirons le théorème de Heine sur l'uniforme continuité des fonctions continues sur un compact. 2. Majorants et minorants, bornes supérieure et inférieure 2.1. Définition. Soit E une partie non vide de R et a G R. On dit que a est un majorant (resp. minorant) de E si pour tout x £ E, x ^ a (resp. x ^ a). On dit que E est majoré (resp. minoré) s'il existe au moins un réel a majorant (resp. minorant) de E. 2.2. Remarque. Si E est vide, on constate, sans que cela présente un grand intérêt, que tout réel a est à la fois majorant et minorant de E. C'est le seul cas d'ensemble possédant des minorants strictement supérieurs à ses majorants. Par exemple, les bornes a et b du segment [a, b] (a < b) sont respectivement minorant et majorant de ce segment. Si / : [a, b] —» R est une application croissante sur [a, 6], les nombres /(a) et f(b) sont respectivement minorant et majorant de E = /([a, b]). Dans les deux cas, on constate en outre que les minorants et majorants obtenus sont les « meilleurs possibles », en un sens qu'éclairera la définition suivante. 2.3. Définition. Soit E une partie non vide majorée (resp. minorée) de R et a G R. On dit que a est la borne supérieure (resp. inférieure) de E, et on note a = swpE (resp. inf E) si a est le plus petit majorant de E (resp. le plus grand minorant de E). Remarque. On notera comme une conséquence immédiate de la définition que si elle existe, la borne supérieure (resp. inférieure) est forcément unique. Nous établirons au théorème 1-2.6 que toute partie de R majorée (resp. minorée) non vide admet une borne supérieure (resp. inférieure). Auparavant, nous énonçons deux critères, dont nous laissons la preuve au lecteur.
j2. Majorants et minorants, bornes supérieure et inférieure 3 2.4. Théorème. Soit E une partie non vide majorée deRetaeR. Alors, a = sup E si, et seulement si, les deux propriétés suivantes sont satisfaites. • Le nombre a est un majorant de E. • Pour tout e > 0, il existe x G E tel que x > a — e. 2.5. Théorème. Soit E une partie non vide majorée deReta£R. Alors, a = sup E si, et seulement si, les deux propriétés suivantes sont satisfaites. • Le nombre a est un majorant de E. • II existe une suite (xn) d'éléments de E qui converge vers a. Le premier critère est une simple réécriture de la définition. Pour prouver le deuxième, il suffit d'appliquer le premier avec e = 1/n. 2.6. Théorème. Toute partie non vide majorée de R possède une borne supérieure. Évidemment, un énoncé analogue existe pour les bornes inférieures. Démonstration. Soit E une partie non vide majorée et A l'ensemble de ses majorants, lui aussi non vide par hypothèse. Fixons xq G E et ao G A. On a évidemment xo < ao- Posons yi = (xq + ao)/2. On a xq ^ y\ ^ ao- Le nombre y\ peut être ou non un majorant de E. • Si c'est un majorant, on pose x\ = xo et ai =y\. • Si ce n'est pas un majorant, il existe e G E1 tel que e > yi, et l'on pose xi = e et ai = ao- Dans les deux cas, on a donc, comme à l'étape n = 0, X\ G E et ai G A. Par ailleurs, si l'on pose ao = ao — x$ et a± = ai — xi: on constate que m - ao| ^ — et ai < —■ Partant d'un élément xq de E et a de A, on a donc construit un élément Xi de E et un élément ax de A tels que / / n ^ a0-X0 xo ^ #i, ai ^ ao, v ^ ai — xi ^ — Poursuivant ce procédé, on construit deux suites (xn) et (an) d'éléments de E et A respectivement, telles que, si l'on pose an = an — xn, on ait pour tout n, |On+i - an\ < ^y et an < — • La deuxième inégalité prouve que la suite (an) converge vers 0.
4 I. La topologie de R et de Rn Nous allons prouver que la suite (an) converge en montrant que c'est une suite de Cauchy. Pour cela, fixons s > 0. Il existe no tel que 7;— ^ £• Fixons p > q ^ no- Alors, |ûp — aq| < |ap — ap_i| H h |a9+i — ag| a0 a0 ^ ^2 2p 29+1 2^+1 Qo (1 + Ï + - + F^) 2<?+i et la suite est donc bien de Cauchy. Il en résulte que la suite (an) est convergente. Soit a sa limite et x G E. Puisque les an sont des majorants de E, on a, pour tout n G N, Comme les inégalités larges sont stables par passage à la limite, il en résulte que x ^ a et donc que a est un majorant de E. Par ailleurs, (arn) = (an — an). Cette suite converge aussi vers a, puisque (an) tend vers 0. Donc, a est la limite d'une suite d'éléments de E. D'après le théorème 1-2.5, a = sup£". □ De nombreux théorèmes d'existence résultent de cette propriété, qui apparaît donc comme essentielle dans la construction des objets implicites. En particulier, la convergence des suites monotones (et des couples de suites adjacentes) de réels est une conséquence de l'existence de la borne supérieure d'une certaine partie de R, que nous établirons au paragraphe suivant. Il faut noter que nous ne pouvions pas utiliser ci-dessus le critère des suites adjacentes pour établir la convergence des suites (xn) et (an), car ce critère résulte du théorème d'existence de la borne supérieure. Nous avons mentionné dans la démonstration une propriété simple des limites de suites, que nous utiliserons souvent et qui mérite d'être mise en évidence. 2.7. Théorème. Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Soit (un) et (vn) deux suites convergentes de nombres réels. On suppose que, pour tout n, Alors, limun < limvn.
§3. Suites monotones, suites adjacentes 5 En particulier, en prenant vn = a, on constate que si la suite (un) converge vers £ et si un ^ a pour tout n, £ ^ a. On notera qu'il suffit que l'inégalité un ^ a soit vérifiée à partir d'un certain rang no pour aboutir à la même conclusion. On notera enfin que les inégalités strictes, elles, ne sont pas stables par passage à la limite. Par exemple, l'inégalité stricte \/n > 0 (pour n ^ 1) ne passe pas à la limite. Montrer qu'une limite de suite est strictement supérieure —ou inférieure— à un nombre donné nécessite donc souvent un effort supplémentaire... Nous terminons ce paragraphe par un point de vocabulaire. 2.8. Définition. Si / est une partie non vide de R et / : / —» R une application majorée, on appelle borne supérieure de / sur /, et l'on note sup/ ou sup/(x), la borne supérieure de l'ensemble majoré E = f(I). i xei On a évidemment une convention analogue pour les bornes inférieures. 3. Suites monotones, suites adjacentes Une suite de réels est dite monotone si elle est soit croissante soit décroissante. Elle est dite monotone à partir d'un certain rang si elle est croissante (ou décroissante) à partir d'un certain rang. 3.1. Théorème. Une suite croissante (resp. décroissante) de réels est convergente si, et seulement si, elle est majorée (resp. minorée). Elle est alors majorée (resp. minorée) par sa limite, et cette majoration est stricte si la croissance (resp. décroissance) est stricte. Remarque. Toute suite croissante étant évidemment minorée par son premier terme, on peut remplacer dans le théorème le mot majorée par le mot bornée. On obtient alors un même énoncé pour toutes les suites monotones : une suite monotone de réels est convergente si, et seulement si, elle est bornée. Démonstration. Nous laissons au lecteur le soin de prouver que, de manière générale, toute suite convergente est bornée (voir l'exercice 1-7.8). Il reste à prouver l'autre implication. Nous le ferons pour les suites croissantes (si (xn) est décroissante et minorée, (—xn) est croissante et majorée...). Soit (xn) une suite croissante majorée et E = {xn | n G N}. L'ensemble E est donc une partie non vide majorée de R. Soit £ = sup E. Montrons que la suite converge vers £.
6 I. La topologie de R et de Rn Soit e > 0. Le nombre £ — £ n'est pas un majorant de E : il existe donc no G N tel que xno > £ — £. En utilisant la croissance de (xn), on en déduit que, pour tout n ^ no, £ — £ < xn ^ £ (car £ est majorant de 2£), d'où \xn -£\<£. Ceci prouve la convergence et le fait que (xn) est majorée par £. Si la suite est strictement croissante, on a pour tout n Xn <C #n+l ^ -O, d'où xn < £. D 3.2. Définition. Soit (#n) et (yn) deux suites de réels. Ces suites sont dites adjacentes si l'une des deux est croissante, l'autre décroissante et si leur différence tend vers 0. 3.3. Théorème. Soit (xn) et (yn) deux suites adjacentes. Toutes deux convergent, et leur limite est la même. Démonstration. Désignons par (xn) la suite croissante, par (yn) la suite décroissante, et posons dn = yn — xn. Par hypothèse, (dn) tend vers 0. Si l'on prouvait que (xn) a une limite £, comme yn = xn + d!n, il en résulterait que (yn) tend aussi vers £. Le seul travail à faire consiste donc à prouver la convergence de la suite (xn). Puisque cette suite est croissante, il suffit de prouver qu'elle est majorée. Notons tout d'abord que, pour tout n, dn > 0, puisque (dn) décroît et a pour limite 0. Donc, pour tout n, xn < yn < yo- La suite (xn) est majorée par yo> ce qui termine la démonstration. D Remarque. La convergence des couples de suites adjacentes fournit un outil de portée générale : la méthode de dichotomie, pour prouver l'existence de réels (et parfois d'éléments de Rn) vérifiant certaines propriétés (par exemple, solutions d'équations continues, comme dans le théorème des valeurs intermédiaires). Nous prouvons à l'exercice 1-7.4 que Q n'est pas complet, en construisant deux suites adjacentes bien choisies. Il en résulte en particulier que Q est différent de M : il existe des réels qui ne sont pas rationnels. Nous établirons en fait à l'exercice 1-7.4 que e est irrationnel, mais le lecteur peut vérifier que y/2 n'est pas rationnel, en utilisant des arguments d'arithmétique.
§4. Parties connexes de R et de R1 7 4. Parties connexes de R et de Rn Dans toute la suite du chapitre, l'espace Rn est muni de la distance d définie d((xi,...,xn),(2/i,--- ,yn)) =max(|xi - yi|,..., \xn - yn|), et associée à la norme AT^ : iVoo(xi,... ,xn) = max(|xi|,..., |xn|). Pour cette distance, la convergence d'une suite (M&) = (x^,... ,#£) d'éléments de Rn vers M = (xi,... ,xn) équivaut à la convergence de chaque suite (x%) vers Xi. Remarque. Nous verrons plus tard, au théorème II-4.4, que le choix d'une norme particulière sur Rn n'a pas d'importance (sinon parfois celle de simplifier quelques calculs...), car toutes les normes sont équivalentes. Cette notion, que nous définirons alors précisément, traduit l'idée que les suites convergentes pour une norme le sont pour toutes les autres (de même que les fonctions continues de Rn dans Rm...). 4.1. Définition. Une partie A de Rn est dite connexe si, et seulement si, toute fonction continue / : A —>• {0,1} est constante. Remarque. Cette définition peut paraître compliquée. Elle traduit le fait qu'un objet connexe ne peut pas être séparé en deux « morceaux » bien distincts, comme par exemple deux segments ou deux intervalles ouverts disjoints (si c'était le cas, une fonction valant 0 sur l'un des morceaux et 1 sur l'autre serait continue). Remarque. La définition choisie ci-dessus n'est pas celle que l'on donne habituellement. Nous avons choisi de la privilégier car elle simplifie considérablement beaucoup de raisonnements. Nous reportons à l'exercice 1-7.9 la preuve de l'équivalence entre cette définition et celles que l'on donne habituellement dans les cours de topologie : un espace topologique A est dit connexe si A ne peut pas s'écrire comme réunion de deux fermés disjoints non vides ou comme réunion de deux ouverts disjoints non vides, ou encore si les seules parties de A ouvertes et fermées sont A et 0. Rappelons que toute partie A de l'espace métrique (Rn,d) est munie de la distance induite (restriction de d à A x A). On peut montrer que, pour cette distance, les fermés de A sont les ensembles de la forme A H F, où F est un fermé de Rn, et les ouverts sont les ensembles de la forme AnO, où O est un ouvert de Rn.
8 I. La topologie de R et de W 4.2. Théorème. Stabilité de la notion de connexité (1) L'image continue d'un connexe est un connexe. (2) L'adhérence d'un connexe est un connexe. (3) Une réunion de connexes Ai (i e. I) tels que, pour tout i ^ j, il existe 2i,...,zn avec Ai H Ah ^ 0, Ah H Ai2 ^ 0,..., Ainn Aù ± 0 est connexe. En particulier, c 'est le cas quand il existe un point commun à tous les Ai. Remarque. Nous proposons aux exercices 1-7.10 à 1-7.12 d'autres démonstrations des points (1), (2) et (3) du théorème, utilisant la définition de la connexité par les ouverts ou les fermés. Démonstration. (1) Soit E un connexe, et / : E —> Rn une application continue. Posons F = f(E) et considérons une application continue (/? : F —> {0,1}. Montrons que (p est constante. Par composition, cp o / est une application continue de E dans {0,1}. Comme E est connexe, <pof est constante. Si ip n'était pas constante, il existerait fo et f\ dans F tels que (p(fo) = 0 et ip(fi) = 1. Comme F = f(E), il existerait eo et e\ tels que fi = /(e*) et on aurait (p o /(eo) ^ (p o /(ei) : contradiction. (2) Soit E un connexe et E son adhérence. Soit <p : E -> {0,1} une application continue. Sa restriction à E est continue donc constante, par exemple identiquement nulle. Tout élément x de E est limite d'une suite (xn) d'éléments de E. Par continuité, on a alors (p(x) = lim <p(xn) = lim 0 = 0, n—>-oo n—>-oo et donc (p est constante sur E. (3) Soit (p : U;GM; —)• {0,1} une application continue. Comme précédemment, sa restriction à chaque Ai est constante. Notons e% cette constante. Pour prouver que (p est constante, il suffit de prouver que, quels que soient les indices i et j, Si = Ej. D'après l'hypothèse, il existe ii,..., in avec Ai n Ah ï 0, Ah n Ai2 ^ 0,..., Ain n ^ ^ 0. On a alors Si = e^, e^ = £i2, ..., £*n = £?, d'où le résultat. □ 4.3. Théorème. Les parties connexes de R sont les intervalles. Nous donnons ci-dessous deux preuves de l'implication difficile de ce théorème (les intervalles sont connexes). Dans les deux cas, nous nous limitons
§4. Parties connexes de R et de Rn 9 au cas où I est un segment [a, b] non réduit à un point. Si / est d'une autre nature, c'est un exercice simple, que nous laissons au lecteur, de montrer que / est une réunion de segments possédant tous un point en commun. Par exemple, +00 ]0,1[= U [VM-l/n], 71=2 et tous ces segments ont en commun le réel 1/2. Le troisième point du théorème 1-4.2 permet alors de conclure. Première démonstration. La première démonstration fait appel au théorème des valeurs intermédiaires (théorème V-2.1) démontré au chapitre V. Ce théorème peut être vu lui-même comme conséquence de la connexité des intervalles de R, et évidemment il faudrait alors établir celle-ci autrement pour éviter un cercle vicieux. Le lecteur désirant suivre cette démarche pourra alors utiliser la deuxième démonstration ci-dessous, ou l'une des preuves données aux exercices 1-7.13 et 1-7.14. Soit / : [a, b] —>• {0,1} une fonction continue. Supposons / non constante. Il existe par conséquent ao et 60 € [a, b] tels que /(ao) = 0 et /(&o) = 1- O*1 & alors 1/2 G [/(ao), /(&o)] et, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe y € [ao, 60] tel que f{y) = 1/2. Comme [ao, &o] C [a, 6], la fonction / ne peut pas prendre la valeur 1/2, et l'hypothèse selon laquelle / n'est pas constante est donc absurde. Deuxième démonstration. Nous utiliserons dans cette démonstration le résultat suivant, qui sera démontré au théorème II-2.1 : si A est une partie fermée bornée non vide de Rn et tp : A —> R est une fonction continue, il existe un point M G A en lequel cp atteint son minimum. Soit I = [a, b]. Supposons que le segment I puisse s'écrire comme la réunion Fi U F2 de deux fermés disjoints non vides de /. Rappelons qu'un fermé de I est l'intersection d'un fermé de R et de I. Comme I est lui-même fermé, i*\ et F2 sont donc deux fermés de R, bornés puisque contenus dans [a, 6]. Donc, A = F\ x F2 est une partie fermée bornée non vide de R2. L'application cp : A -> R définie par (p: (x,y) *->\x-y\ est continue (comme composée d'application continues par exemple), et atteint donc, d'après le résultat cité ci-dessus, son minimum m en un certain
10 I. La topologie de R et de W couple (a?o,2/o)- Comme xo G F\ et yo G F2, tp{xo,yo) > 0 (les fermés Fi et F2 sont disjoints). Soit a = (xo + yo)/2 le milieu de [#o»2/o]- Comme xq et yo sont dans l'intervalle /, leur milieu aussi, donc a appartient à Fi ou à F2. Mais, \a - y0\ = m/2 < min \x - y\, x€F!,yeF2 si bien que a ne peut pas appartenir à F\. Pour la même raison, a ne peut pas non plus appartenir à F2 : on aboutit à une contradiction. □ Il reste à prouver que, réciproquement, tout connexe de R est un intervalle. Nous renvoyons à l'exercice 1-7.15 pour la démonstration de ce résultat simple. 4.4. Définition. Soit A une partie de Rn. On dit que A est connexe par arcs si, quels que soient a et b appartenant à A, il existe une application continue (pa,b de [0,1] dans A telle que <pa,b(0) = a et <pa,b(X) = 0. Une telle application (pa,b est appelée un chemin continu de a à b dans A. 4.5. Exemple. Toute partie convexe de Rn est connexe par arcs : si a et b appartiennent à A, l'application (pa^ définie sur [0,1] par t\-¥ (1 — t)a + tb convient. La connexité par arcs implique la connexité, comme le prouve le théorème suivant. 4.6. Théorème. Toute partie de Rn connexe par arcs est connexe. Démonstration. Soit A une partie connexe par arcs et / : A —>• {0,1} une application continue. Soit a G A. Montrons que, pour tout 6 G i, f(b) = f(a). Ceci entraînera que / est constante, d'où la connexité de A. Soit b G A et (pa^ un chemin continu de a à b dans A. L'application / o (pa^ est continue sur [0,1] et à valeurs dans {0,1}, donc elle est constante, d'après la connexité de [0,1]. Donc/(a) = (/oy?aï6)(0) = (/oy?aj6)(l)=/(6).n Sauf pour n = 1 (évidemment...), la réciproque est fausse en général (voir l'exercice 1-7.16 pour un exemple de partie connexe de R2 qui n'est pas connexe par arcs). Néanmoins, pour les parties ouvertes, les deux notions coïncident grâce au résultat suivant. 4.7. Théorème. Tout ouvert connexe de Rn est connexe par arcs, et même par arcs polygonaux.
§4. Parties connexes de R et de R1 11 Remarque. Une application <p : [0,1] —> Rn est appelée « arc polygonal » si elle est continue et s'il existe une subdivision finie de [0,1] telle que, sur chaque intervalle de la subdivision, ip soit affine. La représentation graphique de cp est ainsi une suite de segments contigus. Démonstration. Soit U un ouvert connexe de Rn et M G U. Soit V l'ensemble des points de U que l'on peut relier à M par un arc polygonal. Nous allons montrer que V = U en prouvant que V est non vide et qu'il est ouvert, ainsi que son complémentaire. La partie V est non vide, car elle contient M. Elle contient même toute boule D(M, r) contenue dans U : en effet, si M' appartient à une telle boule, le segment [MM'] est un arc polygonal contenu dans U reliant M k M'. Soit N € V. Il existe une suite finie [MMi],..., [Mn-iN] de segments contigus contenus dans U reliant M k N. Soit r > 0 tel que V(N, r) C U (U est ouvert) et soit N' G V(N, r). Le segment [NNf] est contenu dans U et donc [MMi],..., [Mn_iiV], [NNf] est une suite finie de segments contigus, contenus dans C7, reliant M à N'. Par conséquent, V(N,r) C V et V est ouvert. Soit N £ V: et, comme ci-dessus, r > 0 tel que V(N,r) c U. Soit N' un élément de V(N,r). S'il existait un arc polygonal reliant dans U le point M au point N', il suffirait de le prolonger par le segment [N'N] C U pour obtenir un arc reliant M k N, et N appartiendrait à V. Donc tous les points de V(N, r) sont dans le complémentaire de V, et ce complémentaire est donc ouvert. V(N,r) / \ Un chemin polygonal reliant M à Nf dans U peut être prolongé jusqu'à N. Si N n'est pas accessible à partir de M, N' non plus Ainsi, V est non vide, ouvert et fermé dans le connexe U : on a donc U = V. Finalement, deux points quelconques P et Q de U sont reliés par le chemin polygonal obtenu en concaténant un chemin polygonal de P à M et un autre de M à Q. □
12 I. La topologie de R et de R1 5. Parties compactes de R et de Rn Rappelons que l'espace Rn est muni de la distance d définie par d((xu ... ,xn), (2/1,... ,2/n)) = max(|xi - 3/11,..., \xn - yn\), pour laquelle la convergence d'une suite (M/-) = {x\,..., #£) d'éléments de Rn vers M = (xi,..., xn) équivaut à celle de chaque suite (x^) vers xi- 5.1. Définition. Soit K une partie de Rn. On dit que K est compacte si toute suite d'éléments de K admet une sous-suite convergente dans K. En d'autres termes, la partie K est compacte si toute suite d'éléments de K admet au moins une valeur d'adhérence1 dans K. Remarque. On peut proposer au lecteur désireux d'approfondir une autre définition de la compacité : un espace métrique K est compact si, de tout recouvrement de K par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini. En d'autres termes, si les Ui (i G I) sont des ouverts de K tels que K = ^J Ui,il existe une partie finie J Cl telle que K = {Jfy. iei ieJ En passant aux complémentaires dans l'écriture ci-dessus, on obtient une troisième formulation de la définition : si les Fi (i G I) sont des fermés de K tels que Q Fi = 0, il existe une partie finie J Cl telle que Q Fi = 0. L'équivalence, dans le cas des espaces métriques, entre la définition « par les recouvrements » et la définition « séquentielle » ci-dessus sera établie à l'exercice 1-7.18. 5.2. Théorème. Toute partie de Rn qui est compacte est fermée et bornée. Démonstration. Soit K un compact de Rn. On montre que K est fermé et borné en faisant deux raisonnements par l'absurde. Supposons tout d'abord que K n'est pas fermé. On sait qu'il existe alors au moins une suite (xn) d'éléments de K qui converge vers un élément x n'appartenant pas à K (caractérisation des fermés d'un espace métrique par les suites). Toute sous-suite de (xn) converge alors aussi vers x, et donc (xn) ne possède aucune sous-suite convergeant dans K : ceci contredit la compacité. Supposons que K n'est pas borné : pour tout n il existe un élément xn de K tel que ||#n|| ^ n. La suite (xn) tend donc, en norme, vers +00, c'est 1Si (xk) est une suite d'éléments de Rn, un élément a de M71 est appelé valeur d'adhérence de cette suite s'il est la limite d'une sous-suite de (xk)- Par exemple, —1 et 1 sont les deux valeurs d'adhérence de ((—l)fc).
§5. Parties compactes de R et de Rn 13 donc aussi le cas de toute sous-suite, et cette suite ne peut donc pas avoir de sous-suite convergente. De nouveau, on contredit la compacité. □ Remarque. Moyennant des reformulations évidentes, ce résultat reste vrai dans tout espace métrique (voir l'exercice 1-7.19). 5.3. Théorème. Toute partie fermée et bornée de Rn est compacte. 5.4. Remarque. Pour l'instant, ce résultat n'est valable que si l'espace Rn est muni de la distance d associée à la norme N^. Nous verrons au théorème II-4.4 que toutes les normes sur Rn sont équivalentes. Il en résultera que les parties fermées et bornées de Rn d'une part, les compacts de Rn d'autre part, sont les mêmes quel que soit le choix de la norme, et le théorème ci-dessus sera donc valable quel que soit le choix de la distance associée à une norme sur Rn. Démonstration. Nous ferons la démonstration pour n = 2, par souci de simplicité de l'écriture. Moyennant un certain effort de réécriture, le lecteur étendra le raisonnement au cas général. Soit A une partie fermée bornée de R2 et (Mn) une suite d'éléments de A. Nous allons montrer que cette suite admet une sous-suite convergente. Puisque A est bornée, il existe un rectangle Ro = [a, 6] x [c, d] tel que A C jRo- Coupons ce rectangle en quatre nouveaux rectangles fermés R[ l5 R[ 2, R[ 3 et R[ 4 comme l'indique la figure : Cas où Îq = 2 et posons Ai a = A H #ia, A'^2 = A n R'12, A'h3 = Af] R'1S et A[A = An R[4.
14 I. La topologie de R et de Rn Tout entier n appartient à l'un des quatre ensembles Ni^ définis par NM = {n e N | Mn e A'hi} (1 < i ^ 4). Donc, l'un au moins de ces ensembles, soit Ni?io, est infini. Nous poserons Ni = Ni,*0, jRi = Rflio et Ai = A'lio = A n Ri. L'ensemble Ai est maintenant un fermé borné inclus dans A, de diamètre deux fois plus petit, et (Mn)nGNi est une suite d'éléments de A\. Reprenons ce raisonnement : on va construire un ensemble fermé borné A2 = A fi i?2 inclus dans Ai (de diamètre au moins deux fois plus petit) et un ensemble infini d'entiers N2 C Ni tel que (ikfn)n£N2 soit une suite d'éléments de A2. De proche en proche, on construit ensuite As et N3, A4 et N4, — Nous allons maintenant construire la sous-suite cherchée de (Mn). On désigne par : • (p{\) le plus petit élément de Ni, • cp(2) le plus petit élément de N2 strictement supérieur à <p(l), • ..., • ip(k) le plus petit élément de N/- strictement supérieur à (p(k — 1), — Puisque tous les N* sont infinis, les nombres (p(ï) existent tous, et la fonction ip est strictement croissante sur N. Par conséquent, (M^(n)) est bien une suite extraite de (Mn). Montrons enfin la convergence de cette suite extraite vers un élément de A. Il suffit de prouver la convergence puisque A est fermé, c'est-à-dire que toute suite convergente d'éléments de A converge vers un élément de A. Notons Rn = [an, bn] x [cn, dn] le nème rectangle de la construction. Comme chaque nouveau rectangle est contenu dans le précédent, on a an-i ^ an <bn ^ bn-i, cn_i ^ cn < dn ^ dn-i- Par ailleurs, chaque nouveau rectangle a pour côtés la moitié des côtés du rectangle précédent, donc , _ _ frn-i — Qn-i _ ^0 ~ ftp _ _ dn-i — cn_i _ dp — cq On dn— 2 - 2n , On Cn - ^ - ^n ' Il en résulte que les suites (an) et (bn) d'une part, (cn) et (dn) d'autre part, sont adjacentes, et convergent donc vers des limites, que nous noterons a et 7 respectivement. Posons M^n) = (xn,yn)- Pour tout n, an ^ xn < bn et cn < yn < dn. Les suites (xn) et (yn) convergent donc respectivement vers a et 7, d'après le théorème d'encadrement, et la convergence de la suite (Mv?(n)) est établie.D
§5. Parties compactes de M et de W 15 Remarque. Le théorème ci-dessus n'est valable qu'en dimension finie, et constitue même une caractérisation des espaces vectoriels normes de dimension finie (théorème de Riesz) : voir les exercices 1-7.24 et 1-7.25, à ce propos. Remarque. On trouvera à l'exercice 1-7.20 une démonstration de la compacité des segments de R utilisant la définition par les recouvrements. Cette démonstration s'étend à Rn. Remarque. Nous avons en fait démontré, en prouvant ce théorème, une propriété connue sous le nom de théorème de Bolzano-Weierstrass : Si E est une partie infinie bornée de Rn; la partie E possède dans Rn un point d'accumulation (point dont tout voisinage contient une infinité d'éléments de la partie, encore faut-il noter que ce point n'est pas forcément élément de E. Par exemple, 0 est le seul point d'accumulation de l'ensemble E formé par les inverses d'entiers naturels non nuls). Si E désigne une telle partie, il suffit de choisir une suite (xn) d'éléments de E deux à deux distincts. Cette suite possède une valeur d'adhérence £, car elle est bornée. Tout voisinage de £ contient une infinité de xn. La compacité joue un rôle fondamental en analyse, et, en particulier, dans l'établissement de théorèmes d'existence, comme nous le verrons tout au long de cet ouvrage. Elle apporte également des outils puissants pour l'étude de la convergence des suites, et nous citons ici un théorème que nous utiliserons souvent. 5.5. Théorème. Soit E un compact et (xn) une suite d'éléments de E. Cette suite converge si, et seulement si, elle n'a qu'une valeur d'adhérence. Démonstration. Une des implications est évidente. Nous montrons l'autre en raisonnant par l'absurde. Soit (xn) une suite non convergente et n'ayant qu'une valeur d'adhérence, soit a. Puisque (xn) ne converge pas vers a, il existe e > 0 tel que, pour tout no, il existe n ^ no vérifiant d(xn,a) ^ e. Choisissant des no de plus en plus grands, nous construisons ainsi une sous- suite (x^)) à valeurs dans E' = {xeE | d(x,a) ^e}. Cet ensemble est fermé dans E, donc compact. Par conséquent, la suite (x<p(n)) Y admet une valeur d'adhérence 6, qui est aussi valeur d'adhérence de (#n), d'où la contradiction souhaitée. □
16 I. La topologie de R et de Rn Pour voir une conséquence vraiment frappante de ce théorème, si simple à démontrer, nous suggérons par exemple au lecteur d'examiner la démonstration du théorème XIV-4.5 sur la continuité des valeurs propres d'une matrice. 6. Fonctions continues sur un compact 6.1. Théorème. Soit K un compact deW1 et f : K —>• Rp une application continue. Alors, f(K) est un compact de Rp. Démonstration. Soit (yn) une suite d'éléments de f(K). Chaque yn peut s'écrire sous la forme f(xn) (xn G K). La suite (xn) possède dans K compact une sous-suite (£<^(n)) convergeant vers un élément x de K. Comme / est continue sur X, elle l'est en particulier en x, donc la suite (y<p(n)) converge vers y = f(x) G f(K). D Remarque. On trouvera une autre démonstration de ce théorème utilisant la définition de la compacité par les recouvrements à l'exercice 1-7.26. 6.2. Théorème. Théorème de Heine Toute application continue sur un compact de Rn est uniformément continue. Démonstration. Soit K un compact de Rn et / : K —> Rp une application continue. Montrons, en raisonnant par l'absurde, que / est uniformément continue. Sinon, il existerait un nombre s > 0 tel que, quel que soit a > 0, on puisse trouver deux éléments x et y de K avec \\x — y\\ < a et \\f(x) — f(y)\\ > e (par souci de simplicité, nous nous permettons de noter de la même manière les normes sur Rn et W). Choisissant a = l/n (n G N*), on construit ainsi deux suites (xn) et (yn) d'éléments de K telles que, pour tout n, \\xn-yn\\<- et ||/(xn) - f{yn)\\ >e. n Extrayons de (xn) une sous-suite (x^(n)) convergeant vers x E K. On a alors l|av(n)-2^(n)ll < ^y qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini, car toute application <p strictement croissante de N* dans N* vérifie <p{n) ^ n pour tout n —le démontrer en exercice, en raisonnant par récurrence.
§7. Exercices 17 Donc la suite (y^(n)) tend elle aussi vers x. La fonction / est continue en x, donc (/(#<p(n))) et {f(y<p(n))) tendent tous deux vers f(x) quand n tend vers l'infini : ceci contredit l'inégalité H/Oz^n)) — /(y^(n))|| ^ £• O 7. Exercices Les deux premiers exercices sont de véritables problèmes dans lesquels l'on décrit deux constructions classiques de R : la première par les suites de Cauchy, la seconde par les sections commençantes ouvertes. 7.1. Exercice. Construction de R par les suites de Cauchy On décrit dans cet exercice la construction de R par les suites de Cauchy de nombres rationnels. Une suite (xn) de nombres rationnels est dite de Cauchy si \fs e Q+, 3n0 e N, Vp, q G N, p et q ^ n0 => \xp - xq\ ^ s. (Noter la restriction aux nombres e rationnels positifs : c'est bien normal, puisqu'à ce stade de la construction, il n'existe pas encore de nombres réels.) Soit C l'ensemble des suites de Cauchy de nombres rationnels. Nous allons vérifier que C est un anneau commutatif, et nous construirons R comme quotient de C par l'idéal des suites convergeant vers 0. Enfin, nous prouverons que l'ensemble M. ainsi obtenu est un corps contenant Q comme partie dense et complet, c'est-à-dire dans lequel toute suite de Cauchy est convergente. Remarque. La nécessité d'une telle construction tient au fait que Q lui-même n'est pas complet : voir l'exercice 1-7.4 pour la preuve de ceci. L'ensemble E construit ici contient bien de « nouveaux éléments ». 1. La structure d'anneau sur C Soit u = (un) et v = (vn) deux suites de rationnels. On appelle somme de u et v la suite u + v de terme général un -h vn et produit de u et v la suite uv de terme général unVn. On rappelle que ces opérations munissent l'ensemble des suites de nombres rationnels d'une structure d'anneau unitaire (les éléments neutres pour la somme et le produit sont respectivement la suite de terme général 0 et la suite de terme général 1. Par léger abus d'écriture, on désignera aussi par 0 et 1 ces deux suites.) l.a. Montrer que toute suite convergente de rationnels est de Cauchy. l.b. Montrer que la somme de deux suites de Cauchy est une suite de Cauchy. l.c. Montrer que toute suite de Cauchy est bornée. En déduire que le produit de deux suites de Cauchy est de Cauchy (utiliser l'égalité upVp — uqvq = (up — uq)vp + uq(vp — vq)). l.d. Montrer que C est ainsi muni d'une structure d'anneau commutatif unitaire.
18 I. La topologie de R et de W 2. Construction d'un anneau-quotient C/X On désigne par X l'ensemble des suites de rationnels qui convergent vers 0. 2.a. Montrer que I est un idéal de C. 2.b. Soit u une suite de Cauchy ne convergeant pas vers 0. Montrer qu'il existe so G Q+ et no G N tels que, pour tout n ^ no, \un\ ^ £o- 2.c. Soit u G C\X et £o et no les nombres définis à la question précédente. Montrer que la suite v définie par {0 si n < no, — si n ^ no un est de Cauchy et que la suite uv — 1 appartient à X. 2.d. Montrer que l'anneau-quotient C/X est un corps. On désigne par R ce corps, et l'on appelle nombre réel tout élément de R. Si u G C, la classe d'équivalence de u dans l'anneau-quotient C/X est notée û. Si x = 11, on dit que u est un représentant du réel x. 3. Construction d'un ordre total sur R 3.a. Soit (un) une suite de Cauchy ne tendant pas vers 0. Montrer qu'elle vérifie exactement une seule des deux propriétés suivantes. (i) Il existe £o G Q+ et no G N tels que pour tout n ^ no, un ^ £o- (ii) Il existe sq G Q+ et no G N tels que pour tout n ^ no, un ^ — £o- Une suite de Cauchy u vérifiant la relation (i) est dite strictement positive. On note alors u > 0. Une suite vérifiant (ii) est dite strictement négative. 3.b. Soit x un élément non nul de R = C/X et u et v deux représentants de x. Montrer que u est strictement positive si, et seulement si, v est strictement positive. Si x = u et si u est strictement positive, on dit que x est strictement positif, et l'on note x > 0. 3.c. Montrer que la relation < définie sur R par x ^ y <==> (x — y = 0 ou y — x > 0) est une relation d'ordre total sur R compatible avec la structure de corps de R (c'est-à-dire telle que la somme de deux éléments positifs ou nuls est positive ou nulle, et le produit de deux éléments de même signe est positif ou nul). 4. Plongement de Q dans R 4.a. Soit (p l'application qui, au rationnel g, associe la classe d'équivalence de la suite constante (un) de terme général q dans le quotient C/X. Montrer que <p est un morphisme de corps strictement croissant de Q dans R. 4.b. Densité de Q dans R pour la topologie de l'ordre Soit x et y deux réels tels que x < y. Montrer qu'il existe un rationnel q tel que x < tp(q) < y. On traduit ceci en disant que </?(Q) est dense dans R pour la topologie de l'ordre.
§7. Exercices 19 5. Completude de R On définit sur R la fonction valeur absolue par ii f x si x > 0, \x \ = < [—x sinon, et l'on définit les suites de Cauchy et les suites convergentes de réels par les formules habituelles. 5.a. Soit x = u un réel admettant comme représentant la suite de Cauchy de rationnels u = (un). Montrer que la suite ((f(un)) converge dans R vers x. En identifiant Q à y?(Q), il en résulte que Q est dense dans R. 5.b. Soit (xn) une suite de Cauchy de réels. Montrer qu'il existe, pour tout n ^ 1, un rationnel qn tel que \qn — xn\ ^ 1/n. 5.c. Montrer que la suite q = (qn) définie à la question précédente est une suite de Cauchy de rationnels. En déduire que (xn) converge vers y = q et conclure. 7.2. Exercice. Construction de R par les sections commençantes On appelle section commençante ouverte s, toute partie de Q possédant les propriétés suivantes. • La partie s est une partie propre de Q (la partie s n'est égale ni à Q ni à l'ensemble vide). • Si x £ s et y < x, alors y G s. • La partie s n'a pas de plus grand élément. On désigne par S l'ensemble des sections commençantes ouvertes. 1. Démontrer que l'ensemble des rationnels x strictement inférieurs à un rationnel a est une section commençante ouverte que l'on notera i(a). 2. Un ordre sur S 2.a. Démontrer que la relation < définie par : Si < «2 ^=> Si C S2 est une relation d'ordre total sur S. 2.b. Si (si)iei est une famille d'éléments de S majorés par so, démontrer que s = [Jsi est une section commençante ouverte et que cette section est la plus petite contenant chaque s*. En déduire que dans l'ensemble S totalement ordonné par ^, toute partie non vide majorée admet une borne supérieure. 2.c. Démontrer qu'étant donné si et S2, si < S2, il existe un rationnel x tel que si < i(x) < S2 (densité de Q dans S pour la « topologie de l'ordre »). 3. L'addition sur S Soit si et S2 deux éléments de S. On note si -h S2 la partie de Q définie par Si + S2 = {Xi + X2 | Xi G Si, X2 € S2}. 3.a. Montrer que l'addition ainsi définie sur S est commutative et associative.
20 I. La topologie de R et de Rn 3.b. Montrer que i(xi) + i(x2) = i(x± + #2). 3.c. Montrer que i(0) est l'élément neutre de cette addition. Étant donné s G 5, démontrer que l'ensemble des rationnels x tels que 5 < i(—x) est une section commençante ouverte s' vérifiant s + s' = i(0). On notera —s la section s' ainsi définie. 3.d. Soit 5, si et s 2 trois éléments de S. Montrer que si si < S2, alors si + s < 52 + s. 4. Le plongeraient de Q dans S Montrer que l'application i : Q —y S définie par i : x »->• i(x) est un morphisme strictement croissant du groupe additif (Q, +) dans le groupe additif (5, +). Ce morphisme permet d'identifier Q à une partie de 5, que l'on notera encore Q. 5. Les nombres réels Dans la suite, on appellera nombres réels les éléments de 5, et l'on désignera par R (et non plus S) l'ensemble des nombres réels. Les éléments de IR \ Q s'appelleront irrationnels. 5.a. Démontrer que l'ordre défini sur E est archimédien, et qu'entre deux réels quelconques, il existe un rationnel. 5.b. Montrer que, pour tout entier n € N*, l'ensemble sn = {x € Q | x ^ 0 ou (nx)2 < 2} définit un réel irrationnel. On désigne par y/2/n ce réel. 5.c. Montrer que, pour tout n G N*, 0 < y/2/n < 2/n. En déduire qu'entre deux rationnels distincts il existe toujours un irrationnel. 6. La multiplication sur R Soit s un réel strictement positif (0 ^ s et s ^ 0). On pose 5+ = 5 n q; (qui n'est plus une section commençante). 6.a. Soit si et S2 deux réels strictement positifs. On définit l'ensemble s± x 52 de la manière suivante : Si X S2 = {X1XX2 | Xi G 5i + , X2 G 02+} UQ~. Montrer que si x 52 est un réel strictement positif. Dans la suite, on notera simplement S1S2 le réel s\ x 52. 6.b. Montrer que la multiplication ainsi définie sur R!j_ est commutative, associative et distributive par rapport à l'addition. 6.c. Vérifier que si x\ et X2 sont des rationnels strictement positifs i(xi) x i(x2) = i(xiX2). 6.d. Démontrer que pour tout s G R+, s x i(l) = s.
§7. Exercices 21 6.e. Démontrer que la réunion de Q_ et du complémentaire dans Q+ de {x"\ xG snQ+} est une section commençante ouverte s" vérifiant s x s" = z(l). Dans la suite, on désignera s" par s-1. 6.f. Étendre à R la multiplication définie dans R+, en lui imposant la condition d'être distributive par rapport à l'addition. Prouver la règle des signes et démontrer que pour tout réel s, s x z(0) = i(0). 7. En déduire que M est un corps ordonné archimédien dans lequel toute partie non vide majorée possède une borne supérieure. On rappelle qu'un corps ordonné K est dit archimédien si pour tout a G K+ (c'est-à-dire : a > 0), pour tout x G K, il existe n G N tel que na > x : aussi petit que soit le pas a, on pourra aller aussi loin que l'on veut si l'on fait suffisamment de pas... 8. Nous montrons dans cette dernière question que M est complet, c'est-à-dire que toute suite de Cauchy est convergente. Pour cela, on commence par munir R de la valeur absolue | • | définie par , , f x si x > 0, \x = < {—x sinon. Soit (un) une suite de Cauchy de réels. 8.a. Montrer que la suite (un) est bornée. 8.b. Pour tout n, on pose vn = inf {um} et wn = swp{um}- Justifier l'existence des réels vn et wn. Montrer que les suites (vn) et (wn) sont respectivement croissante et décroissante. Prouver que ces suites convergent (utiliser la démonstration du théorème 1-3.1). 8.c. En utilisant la définition d'une suite de Cauchy, montrer que, pour tout e > 0, il existe no tel que, pour tout n ^ no, \wn — vn\ ^ e. En déduire que les suites.(vn) et (wn) ont la même limite. 8.d. Montrer que, pour tout n, vn ^ un ^ wn et conclure. 7.3. Exercice. On appelle coupure de Dedekind toute partition de Q en un couple (A, B) de parties adjacentes, c'est-à-dire vérifiant les propriétés suivantes : • A^0, £^0; • AU£ = Q; • ADB = 9; • Va G A, Va' G Q, si a' ^ a, alors a' e A; • V6 G B, W G Q, si b' ^ 6, alors V G B. (Intuitivement, une coupure de Dedekind représente l'unique réel supérieur à tous les éléments de A et inférieur à tous les éléments de B.)
22 I. La topologie de R et de Rn Adapter les méthodes utilisées à l'exercice 1-7.2 pour munir l'ensemble des coupures d'une addition, d'une multiplication et d'un ordre qui en font un corps ordonné complet possédant Q comme sous-corps dense. Remarque. On peut se demander si les trois ensembles R obtenus aux exercices précédents sont « bien les mêmes ». Ils sont formellement distincts, puisque construits différemment, mais ils sont effectivement isomorphes comme corps totalement ordonnés. 7.4. Exercice. Soit (un) et (vn) les suites de nombres rationnels définies par 1 1 n 1 1 Vn G N, Un = l + — H h—r=y^7T et vn = un H :• 1! n\ *-^ k\ nxnl k=0 1. Montrer que, pour k ^ 2, k\ ^ 2k~1. En déduire que, pour p > q ^ 2, 1 wp -wJ ^ ihp u,q\ ^ 99-1 ' et prouver que (un) est une suite de Cauchy. 2. Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes, et qu'elles sont strictement monotones. En déduire que si elles convergent vers un rationnel p/q (les entiers p et q premiers entre eux, q > 0), P uq < - < vq. q Montrer que, dans ces conditions, le nombre entier p(q — 1)! est encadré strictement par deux entiers consécutifs, et en déduire une contradiction. 3. Justifier que Q n'est pas complet. Nous obtenons ainsi un exemple de réel n'appartenant pas à Q (le nombre e) et retrouvons le fait annoncé plus haut, selon lequel l'ensemble R contient vraiment de nouveaux éléments. 7.5. Exercice. Calculs de bornes supérieures 1. Calculer les nombres A et B suivants : a = sup { j1 f(t)dt, f e c°([o, i]), f(t) < i vt g [o, i]}, b = sup { j1 f(t) dt, f e c°([o, i]), /(o) = o, f(t) < i vt e [o, i]}. Ces bornes supérieures sont-elles des maxima ? Indication.- Vérifier que si / est continue, nulle en 0 et majorée par 1, / f(t)dt<\. Jo On rappelle que si a < b et si / est continue et positive ou nulle sur [a, 6], f f(t)dt = 0 J a si, et seulement si, / est identiquement nulle.
§7. Exercices 23 2. On considère la fonction / définie sur [0,1] par /(x) = 1 — 2x. On désigne par H l'ensemble des fonctions h continues de [0,1] dans R telles que \h(t)\ < 1 pour tout t G [0,1]. Montrer que, x ± sup{y h(t)f(t)dt} = j \f(t)\dt. Cette borne supérieure est-elle un maximum ? Indication.- Construire des fonctions h égales à 1 sur « presque tout [0,1/2] », et à —1 sur « presque tout [1/2,1] ». Pour déterminer si la borne supérieure est un maximum, utiliser l'indication de la question précédente. 7.6. Exercice. Densité de I\y/2] On va montrer que I\y/2] := {a + by/2, a, 6 G Z} est dense dans R. 1. Montrer que y/2 est irrationnel. Indication.- Comparer les exposants de 2 dans la décomposition en facteurs premiers d'un côté comme de l'autre de l'improbable égalité 2n2 = m2. 2. Montrer que si l'on désigne par frac(x) la différence entre un réel x et sa partie entière, les nombres frac(\/2), frac(2\/2), ..., frac((n + l)>/2) sont n + 1 éléments distincts de [0,1]. (Utiliser la question 1.) 3. En déduire qu'il existe des entiers mKm'^n + letk tels que \(m -m)y/2-k\ ^ -• n [i i + 11 — , et utiliser le résultat de la question précédente. 4. En déduire que pour tout réel a, il existe un multiple entier de (m'—m) y/2—k dans l'intervalle a — —, a + — • L 2n 2n J Indication.- Qui marche à petits pas passe tout près de tout... Ou, si l'on préfère : considérer le plus grand multiple de (m' — m) y/2 — k plus petit que a (quand a est positif...). 5. Plus généralement, si G est un sous-groupe additif de M et s'il existe un segment [a, 6] contenant une infinité d'éléments de G, adapter les arguments ci-dessus pour prouver que G est dense dans R. Vérifier que cette condition est remplie si inf (G n R+) = 0. Prouver, réciproquement, que si cette borne inférieure, que nous appellerons £, est strictement positive, alors G = £Z (ensemble des multiples entiers de £) est que c'est un fermé de R, strict2. 6. En admettant que tt est irrationnel, montrer que les sin(n), pour n G N sont denses dans [—1,1]. 2 Autant dire que les sous-groupes de (R, +) sont denses ou égaux à -£Z, pour t G M.
24 I. La topologie de R et de Wl 7.7. Exercice. Soit A = {y/n — y/m, n € N,ra G N}. Nous montrons dans cet exercice que A est dense dans R. 1. Soit s > 0. Montrer qu'il existe no tel que, pour tout n, n ^ no => 0 < -s/nT+T — v^ < £• 2. On fixe a > 0 et s < a. L'entier no est associé à s comme à la question précédente. Pour n > no, on pose un = Vn + 1 — y/n. Tous les éléments de la suite (un)n^n0 appartiennent donc à [0,é\. Si n > no, on désigne enfin par vn la somme n Vn = Uno + ttno + 1 H h ^n = JJ Ufc- fc=no 2.a. Montrer que, pour tout n ^ no, vn G -A. 2.b. Calculer limn-^oo Vn- 2.c. En observant que vno < a, prouver qu'il existe n tel que a ^ vn < a + e. Indication.- Comme à l'exercice précédent, c'est encore la méthode des petits pas... 3. Conclure. 7.8. Exercice. Soit (un) une suite convergente de réels. Soit £ sa limite. Montrer que, à l'exception éventuelle d'un nombre fini, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle [£—l,£+î\. En déduire que (un) est bornée. 7.9. Exercice. Soit A un espace topologique. On se propose de démontrer dans cet exercice l'équivalence entre les quatre propriétés suivantes, qui sont donc quatre définitions possibles de la connexité. (i) Toute application continue de A dans {0,1} est constante. (ii) Il est impossible d'écrire A comme la réunion de deux ouverts disjoints tous deux non vides. (m) Il est impossible d'écrire A comme la réunion de deux fermés disjoints tous deux non vides. (iv) Si B est une partie de A ouverte et fermée, alors B = A ou B = 0. Prouver que (i) => (ii) => (iii) => (iv) => (i). Les implications (ii) =^> (iii) => (iv) sont très simples. Pour (i) => (ii), écrire A = Oi U O2, définir / comme valant 0 sur Oi et 1 sur O2 et vérifier que / est continue puis conclure. Pour (iv) =>- (i), noter que B = /-1(]l/2;3/2[) est soit vide soit égal à A et conclure. Nous redémontrons dans les exercices 1-7.10 à 1-7.12 les résultats du théorème 1-4.2 en utilisant la définition suivante de la connexité : une partie A est connexe si, et seulement si, A n'est pas la réunion de deux ouverts (ou de deux fermés) disjoints et tous deux non vides.
§7. Exercices 25 7.10. Exercice. Soit A une partie connexe de Rn et / : A —» Rp une application continue. Montrer que f(A) est connexe. 7.11. Exercice. Soit A une partie connexe de Rn et A son adhérence. Montrer que A est connexe. Indication.- Écrire A comme réunion de deux fermés disjoints de A, prouver que l'un d'eux contient A et en déduire qu'il est égal à A. 7.12. Exercice. Soit (Aiji^i une famille de parties connexes de Rn. On suppose que, pour tout i •£ j, il existe ii,...,ip avec Ai n AilL ^ 0, Atl n A»2 ^ 0,..., Aip n Aô / 0. Montrer que M Ai est connexe. iei En particulier, si les parties Ai sont connexes et s'il existe un point commun à toutes ces parties, la réunion M Ai est connexe. tel 7.13. Exercice. Connexité des segments de R. Une autre preuve Soit I = [a, 6] un segment non vide de R et / : [a, b] —> {0,1} une fonction continue. Soit A la partie de R définie par A = {te[a,b] |Vx€[a,t],/(x) = /(a)}. 1. Justifier l'existence de la borne supérieure de A. On désigne par c cette borne supérieure. 2. Montrer que c > a. (Utiliser la définition de la continuité en a avec s = 1/2.) 3. Vérifier que c G A. Indication.- Utiliser une suite (tn) d'éléments de a tendant vers c pour prouver que f(c) = /(a), puis que, pour tout x < c, f(x) = f(a). 4. Montrer, en raisonnant comme à la question 2., que l'hypothèse c < b permettrait de construire un élément de A strictement supérieur à c. 5. Prouver que / est constante, et conclure. Remarque. Ce type de démonstration est très classique en analyse. On le retrouve dans des raisonnements sur les équations différentielles, dans l'une des preuves du théorème des valeurs intermédiaires, du théorème des zéros isolés... 7.14. Exercice. Connexité des segments de R. Encore une autre preuve Soit / = [a, b] un segment non vide de R et / : [a, b] -» {0,1} une fonction continue. On suppose / non constante : il existe donc c G [a, b] tel que /(c) ^ /(a). Soit A la partie de R définie par A = [te[a,b] \f(t) = f(a)}. 1. Montrer que A est une partie non vide, majorée et fermée de R.
26 I. La topologie de R et de W 2. En déduire que A possède un plus grand élément a et que a < b. 3. Montrer que limt->a,t>a f(t) ^ /(a), et conclure. 7.15. Exercice. Soit A une partie de R. On suppose que A n'est pas un intervalle. 1. Montrer qu'il existe c G R tel que A C ]—oo, c [ U ] c, +oo[, mais A (jL ]—oo, c [ et A çf ] c, +oo[. 2. En déduire que A = 0\ U O2, où Oi et O2 sont des ouverts disjoints non vides de A. Conclusion ? 3. Une autre manière : vérifier que l'application / définie sur R \ {c} par - vf0 si x < c, Il SI X > C est continue. En considérant sa restriction à A, montrer que A n'est pas connexe. 7.16. Exercice. Soit A la partie de R2 définie de la manière suivante : A est la réunion du segment vertical S reliant les points (0, —1) et (0,1) et du graphe G de la courbe d'équation y = sin(l/x) (avec x G ]0,7r]). 1. Montrer que G est connexe et que A = G. En déduire que A est connexe. 2. Soit f : [0,1] —ï A une application continue. Montrer que /([0,1]) C 5 ou bien /([0,1]) C G. Pour cela, on pourra par exemple supposer que /(0) G G et f(l) 6 S et adopter la démarche suivante. 2.a. Soit s = sup{£ G [0,1] | \/x e [0,£],/(#) G G}. Justifier l'existence de s et montrer que s > 0. 2.b. Montrer que f(s) G 5. Indication.- Remarquer que S est fermé, et que s est limite d'une suite d'éléments tn tels que f(tn) G 5 (cette suite pouvant être constante si s = 1). 2.c. On suppose que f(s) = (0,yo)- • Montrer qu'il existe a > 0 tel que, pour tout x G [s —a, s[, l'ordonnée de f(x) reste comprise entre yo — 1/2 et yo -\-1/2. • Montrer que, lorsque x décrit l'intervalle [s — a, s[, l'abscisse de /(x) décrit un intervalle ]0, a) (utiliser le théorème des valeurs intermédiaires : voir, au chapitre V, le théorème V-2.1 —on peut en fait montrer que l'intervalle est fermé en sa borne supérieure a), et prouver que l'image d'un tel intervalle par l'application t ■-> sin(l/£) ne peut pas être contenue dans [yo — 1/2, yo + 1/2]. 2.d. Conclure. 3. En déduire que A n'est pas connexe par arcs.
§7. Exercices 27 7.17. Exercice. Soit O un ouvert non vide de R. On définit sur O une relation 1Z par xUy <=> [x,y] C O. 1. Montrer que 1Z est une relation d'équivalence sur O. Vérifier que les classes d'équivalence sont des intervalles ouverts non vides. 2. En déduire que O est réunion finie ou dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints. Remarque. Ces intervalles sont les composantes connexes de O. De manière générale, on appelle composante connexe d'une partie A toute partie connexe contenue dans A et maximale pour l'inclusion. Une partie connexe n'a qu'une composante connexe. En « sens opposé », une partie est dite totalement discontinue si toutes ses composantes connexes sont réduites à un point. C'est le cas de Q par exemple. 7.18. Exercice. Équivalence des définitions séquentielle et par recouvrements des compacts Nous prouvons dans cet exercice que tout espace métrique (E,d) vérifiant la définition séquentielle des compacts : toute suite d'éléments de E possède une sous- suite convergeant dans E, vérifie également la définition par les recouvrements : si E est égal à la réunion d'une famille Ui (i G I) d'ouverts de E, il existe une sous-famille finie J C I telle que E soit égal à la réunion des Uj (j G J) (propriété que l'on traduit parfois en disant que, de tout recouvrement ouvert de l'espace E, on peut extraire un sous-recouvrement fini). Nous appellerons Ds la définition séquentielle et Dr la définition par les recouvrements. 1. L'implication Dr =>» Ds. On suppose que E vérifie la définition Dr. Soit (xn) une suite d'éléments de E. On suppose que cette suite ne possède aucune sous-suite convergente. l.a. Montrer que, pour tout x G E, il existe ex > 0 et no G N tels que, Vn > no, d(xn,x) ^ ex. l.b. En extrayant un sous-recouvrement fini du recouvrement ouvert E= [j B(x,ex), montrer qu'il existe No G N tel que Vn ^ No, xn i E, et en déduire une contradiction. 2. Cette question et les suivantes sont consacrées à la démonstration de l'implication réciproque : Ds => Dr. 2.a. Soit (E, d) un espace métrique et (xn) une suite de Cauchy dans E. On suppose que la suite possède une sous-suite convergente. Montrer que (xn) converge. 2.b. En déduire que si l'espace E vérifie la définition Ds, il est alors complet.
28 I. La topologie de R et de W 3. On suppose que E vérifie Ds. Montrer que, pour tout s > 0, il est possible de recouvrir E par une famille finie de boules ouvertes de rayon e. Indication.- Raisonner par l'absurde et construire une suite n'admettant pas de valeur d'adhérence. Remarque. Quand un espace métrique E peut être, pour tout e > 0, recouvert par un nombre fini de boules de rayon e, on dit qu'il est précompact. La fin de la démonstration proposée dans cet exercice consiste à prouver que tout espace métrique précompact et complet vérifie la définition Dr. 4. Soit (E,d) un espace précompact. Montrer que toute partie F de E est aussi précompacte. Indication.- Choisir un recouvrement fini de E par des boules de rayon e/2. Chaque fois qu'une de ces boules rencontre F, montrer qu'elle est contenue dans une boule centrée sur F de rayon e. 5. Soit (E, d) un espace complet. Montrer que tout fermé F de E est aussi complet. 6. Soit (E, d) un espace précompact complet et E = M U% un recouvrement iei ouvert de E. On va montrer que l'on peut en extraire un sous-recouvrement fini, en raisonnant par l'absurde. On suppose donc qu'il n'existe aucun sous- recouvrement fini de E par des Ui. 6.a. Montrer qu'il existe dans E une boule fermée E\ = B(xi, 1) qui ne peut pas être recouverte par un nombre fini de Ui (utiliser la précompacité de E avec e = 1). 6.b. Montrer qu'il existe dans E\ une boule fermée Ei — B(x2,1/2) fl E\ qui ne peut pas être recouverte par un nombre fini de Ui (utiliser la précompacité de Ei avec s = 1/2). En itérant cette procédure, on construit une suite (En) de boules fermées, En = B(xn,l/n)nEn-1, qui ne peuvent jamais être recouvertes par un nombre fini de Ui. 6.c. Montrer que la suite (a;n) est de Cauchy. Soit x sa limite. Montrer qu'il existe r > 0, n G N* et i G I tels que 1/n) C £(x,r) CK, et en déduire une contradiction. 7.19. Exercice. On démontre dans cet exercice que si K est un espace métrique compact, K est borné (généralisation du théorème 1-5.2 aux espaces métriques). On propose deux démonstrations, utilisant les deux définitions des compacts. 1. Utilisation de la définition séquentielle On suppose K non borné. Montrer que, pour tout x G K, il existe un élément xn de K tel que d(x,xn) ^ n et conclure.
§7. Exercices 29 2. Utilisation de la définition par les recouvrements ouverts Montrer qu'il existe une famille finie (a?i,..., xn) de points de K telle que n K=\jB(xi,l). En déduire que, quels que soient y et z éléments de K, d(y,z)^2+ max d(xi,Xj). 7.20. Exercice. On montre dans cet exercice que tout segment [a, b] de R est compact en utilisant la définition de la compacité par les recouvrements. La démonstration par dichotomie proposée présente beaucoup d'analogies avec la preuve abstraite donnée à l'exercice 1-7.18, avec la légère simplification apportée par le fait que l'on travaille avec un objet moins général. On raisonne par l'absurde en supposant que [a, b] = \^J Ui est un recouvrement tel ouvert de [a, b] dont on ne peut extraire aucun sous-recouvrement fini. 1. Soit a = (a -f b)/2. Montrer que l'un au moins des deux segments [a, a] et [a,b] ne peut pas être recouvert par un nombre fini de Ui. On note [ai,6i] ce segment. 2. Construire une suite de segments [an, bn] qui ne peuvent être recouverts par un nombre fini de Ui et telle que, pour tout n, [an,bn] C [an-i,bn-i] et bn — an = - (bn-i — an-i). 3. Montrer que les suites (an) et (bn) sont adjacentes. Soit £ leur limite. Vérifier que £ G [a, b]. 4. Montrer qu'il existe r > 0, n G N* et i G / tels que {an,bn} C]£-r,£ + r[C Ui, et en déduire une contradiction. 5. Adapter les arguments ci-dessus pour prouver que, dans Rn, tout pavé fermé [oi, bi] x • • • x [an, bn] est compact. Remarque. On aurait pu utiliser une preuve utilisant la précompacité : montrer que, pour tout e > 0, le segment [a, b] (et plus généralement, [ai, &i] x • • ■ x [an, bn]) peut être recouvert par un nombre fini de boules de rayon e, et conclure en remarquant que toute partie fermée d'un espace complet est elle-même un espace complet. 7.21. Exercice. Caractérisation séquentielle de la précompacité Nous avons défini ci-dessus les espaces métriques précompacts : ce sont les espaces qu'il est possible de recouvrir par un nombre fini de boules de rayon e, ce quel que soit e > 0. Nous allons prouver dans cet exercice que, comme dans le cas de la compacité, cette notion peut être définie d'une autre manière, en utilisant une caractérisation séquentielle.
30 I. La topologie de R et de M? 1. On suppose que E n'est pas précompact. Il existe donc £o > 0 tel que E ne puisse s'écrire comme une réunion finie de boules de rayon eo. l.a. Construire de proche en proche une famille infinie {xo,xi,... ,xn, • • •} d'éléments de E telle que Vz ^ j, d(xi,Xj) ^ eo. l.b. Montrer que la suite (xn) ne possède aucune sous-suite de Cauchy. 2. On suppose maintenant que l'espace métrique E est précompact et l'on considère une suite (xn) d'éléments de E. 2.a. Montrer que si FcE, alors l'espace F est aussi précompact pour la distance induite. 2.b. Montrer qu'il existe une boule ouverte Eo de rayon 1 telle que l'ensemble No = {n e N | xn e Eo} soit infini. 2.c. Montrer de même qu'il existe une boule ouverte E\ dans Eo, de rayon 1/2, telle que l'ensemble Ni = {n e No | xn G Ei} soit infini. En poursuivant de proche en proche le raisonnement, on construit une suite de boules ouvertes emboîtées Ek, de rayon l/2fc, et de parties infinies emboîtées N^ de N telles que si n 6 N^, xn € ft- 2.d. Montrer que la sous-suite (xv(n)) définie à partir des ensembles Nn comme dans la démonstration du théorème 1-5.3 est de Cauchy. 3. En conclure que E est précompact si, et seulement si, toute suite d'éléments de E admet une sous-suite de Cauchy3. 7.22. Exercice. Soit (un) et (vn) deux suites d'éléments de [0,1]. On suppose que la suite (unvn) converge vers 1. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent et déterminer leur limite. Indication.- On pourra par exemple raisonner par encadrements en utilisant la définition de la convergence, mais aussi appliquer le théorème 1-5.5. Que se passe-t-il si l'on suppose que (unvn) a une limite différente de 1 ? Nous montrons, dans les trois exercices qui suivent, que si (E,d) est un espace métrique, une partie fermée et bornée de E n'est pas en général compacte (contrairement à ce qui se passe quand E est un espace vectoriel de dimension finie Mn). Le deuxième exercice présente un exemple simple dans un espace de polynômes. Le résultat de l'exercice suivant est plus général : si E est un espace vectoriel norme de dimension infinie, sa boule-unité n'est jamais compacte (théorème de Riesz). 3 Nous remercions Bernard Randé de nous avoir fait part de cette caractérisation de la précompacité.
§7. Exercices 31 7.23. Exercice. Montrer que ]0,1] n'est pas compact pour la distance de la valeur absolue. On donnera un exemple de suite sans valeur d'adhérence, et un exemple de recouvrement ouvert n'admettant pas de sous-recouvrement fini. 7.24. Exercice. Soit E = R[X] l'espace des polynômes à coefficients réels. On définit, pour P et Q G E, (P|Q) = $>***, fc=0 où les pk et qk sont respectivement les coefficients de P et Q (cette somme est en fait finie). 1. Vérifier que (P, Q) •->• (P | Q) est un produit scalaire sur E. On désigne par N2 la norme associée à ce produit scalaire et par d la distance définie par VP,QeE, d(P,Q) = N2(P-Q). 2. Montrer que la famille (Xn)n^ est une base orthonormée de E. 3. Pour n ^ m, calculer d(Xn,Xrn) et en déduire que la suite (Xn) n'admet aucune sous-suite convergente. Donner alors un exemple de fermé borné non compact. 7.25. Exercice. Le théorème de Riesz Soit E un espace vectoriel norme. On se propose de prouver dans cet exercice le théorème de Riesz : si la boule-unité de E est compacte, E est de dimension finie. 1. Soit F et Fr des sous-espaces de E. On suppose F fermé et strictement inclus dans F'. l.a. Soit x G F' \F. Soit do la distance de x à F (l'inf des ||x — y||, quand y parcourt F). Justifier pourquoi do > 0, ainsi que l'existence d'un élément yo de F tel que do ^ \\x — yo\\ ^ 2do. X — Un l.b. Soit X = t; —rr. Montrer que X est un élément de F' de norme 1, l|s-2/o|| dont la distance à F est supérieure ou égale à 1/2. l.c. [Le résultat de cette question ne sera pas utilisé par la suite.] En adaptant la méthode utilisée à la question précédente, montrer que, pour 0 < e < 1, il existe un élément X de F' de norme 1 dont la distance à F est ^ 1 — e. 2. Démonstration du théorème de Riesz par les suites extraites On suppose que àimE = +00. On admettra que tout sous-espace de E de dimension finie est fermé dans E (voir le théorème II-4.5). 2.a. Justifier l'existence d'une famille croissante infinie de sous-espaces E% de l'espace E (i^ 1) tels que dim£i = i. 2.b. Construire une suite (xï)^i de vecteurs de E de norme 1 telle que, pour tout i^ j, ÏÏXi-XjWZl/2. 2.c. Montrer que la boule-unité fermée de E n'est pas compacte.
32 I. La topologie de R et de Rn Indication.- On pourra vérifier que la suite (xn) n'a pas de valeur d'adhérence, ou vérifier que toute boule ouverte de rayon 1/4 contient au plus un des xi et en déduire que la boule-unité fermée n'est pas précompacte. 3. Une autre démonstration utilisant la définition par les recouvrements On suppose que la boule-unité fermée B(0,1) de l'espace vectoriel norme E est compacte. 3.a. Montrer qu'il existe une famille finie (xi,... ,xn) telle que n W^)c\jB(xi,l/2), 2 = 1 où B(x,r) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon r. 3.b. Soit F le sous-espace de E engendré par (rn,...,xn). Montrer, en raisonnant par l'absurde, que pour tout élément x de E, la distance de x à F est nulle. Indication.- Supposant que d = d(x,F) > 0, choisir un élément y de F tel que d ^ \\y — x\\ < 2d, poser t = l/\\x — y\\ et montrer qu'il existe Xi tel que \\t(x — y) — Xi\\ < 1/2. En déduire l'existence d'un vecteur y' de F tel que \\x — v'W < d(x,F) et conclure. 3.c. En déduire que E = F et conclure. 3.d. De manière générale, adapter les arguments des questions 3.a. et 3.b. pour montrer que si r < 1 et si (#i,..., xn) est une partie finie de E telle que n W^c\jB(Xi,r), i=l alors (xi,...,xn) est une famille génératrice de E. Remarque. Les résultats de cette question prouvent en fait que la boule-unité d'un espace de dimension infinie n'est pas précompacte. 7.26. Exercice. Soit K un compact de IRn et / : K —>• M? une application continue. On va montrer que f(K) est compact (cf. le théorème 1-6.1) en prouvant que, de tout recouvrement ouvert de f(K), on peut extraire un sous-recouvrement fini. Soit (Ui)iei une famille d'ouverts de f(K) tels que f(K) = \\Ui. 1. Montrer que les /_1(f/i) forment un recouvrement ouvert de K. 2. Conclure. 7.27. Exercice. 1. Soit f : [a,b] -¥R une fonction continue. En utilisant le théorème de Heine, énoncé en 1-6.2, montrer que / est limite uniforme sur [a, b] d'une suite de fonctions en escaliers. Indication.- Fixer e = 1/ra et construire une subdivision finie de [a, b] telle que sur chaque intervalle de la subdivision, la variation de / ne dépasse pas e.
§7. Exercices 33 2. Étendre le résultat de la question précédente au cas où / est continue par morceaux sur [a, b]. On rappelle que cela signifie qu'il existe une subdivision finie a = ao < ai < — • < an = b telle que, sur chaque intervalle ouvert ]a,i, ai+i[, la fonction / soit la restriction d'une fonction continue sur le segment [ai,a*+i]. Remarque. Ce résultat est utile pour prouver l'intégrabilité des fonctions continues sur un segment. 7.28. Exercice. 1. Soit / : R —y R une fonction continue admettant des limites en ±oo. Montrer que / est uniformément continue sur R. 2. Montrer que si / : R —> R est uniformément continue, il existe des réels positifs a et b tels que pour tout x, on ait \f(x)\ ^ a\x\ + 6. En déduire que x i-> |x|3/2 n'est pas uniformément continue. 7.29. Exercice. Une fonction partout continue, nulle part dérivable Pour x G M, on désigne par [x] la partie entière de x, plus grand entier inférieur ou égal à x. On définit la fonction g par VxGR, p(x)=d(x,Z) = |x-[x+l/2]|. 1. Vérifier que g est continue sur R, nulle sur Z, 1-périodique et que si k est [k k + 11 — , —-— , de coefficient directeur ±1. 2 2 J Pour n G N et x G R, on pose gn(x) = 2"n#(2nx) et fn(x) = Y%=o9k(x). [k k + Il ——— 7 _ ... 5 2n ■l 2n * J la fonction gn est affine de coefficient directeur ±1. En déduire que fn est affine sur Jfc>n. 3. Montrer que la suite de fonctions (/n) converge sur R vers une fonction /, elle aussi 1-périodique. 4. Vérifier que, pour tout x G R et tout n G N, |/(x) — fn(x)\ ^ • En déduire que / est continue sur R, et même uniformément continue (utiliser la périodicité). Nous allons montrer que / n'est dérivable en aucun point de R. Soit x G R. On définit des suites (an) et (bn) de la manière suivante : _ [2n+1x] _ [2n+1x] + 1 an - 2n+1 , 0n - 2n+1 5. Montrer que les suites (an) et (6n) sont adjacentes, et, plus précisément, que : 1 • soit an+i = an et on+i = o< 2n+2 1 • soit an+i = an + +2 et on+i = on. Vérifier que ces deux suites convergent vers x.
34 I. La topologie de R et de W 6. Montrer que f(an) = fn(an) et f(bn) = fn(bn). Indication.- Observer que si t € Z, alors g(t) = 0. 7. En utilisant le fait que fn est affine sur [an,bn], montrer que fn(bn+l) — /n(Qn+l) _ fn(bn) ~ fn(o>n) bn+l — CLn+1 bn — CLn 8. On pose An = 8.a. Montrer que fn(bn) — fn(an) On Un ■A„ = gn+l(bn+l) — pn+l(ûn+l) bn+l — Ûn+1 et déduire de la question 2. que pour tout n, |An+i — An| = 1. 8.b. Montrer que si / était dérivable en a;, la suite (An) convergerait vers f[x). Indication.- Écrire le développement limité f(u) = f(x) + (u- x)f(x) + o(u - x) pour u = an ou 6n, et observer que \an — x\ et \bn — x\ sont majorés par \bn — an\. 8.c. Déduire des deux questions précédentes que / n'est pas dérivable en x. La courbe de Takagi étudiée dans l'exercice, appelée aussi courbe du blanc-manger Remarque. La fonction / est appelée fonction de Takagi, du nom de son « inventeur », qui l'a introduite en 1903 pour donner un exemple de fonction partout continue et nulle part dérivable. Il existe d'autres exemples de telles fonctions, et aussi des arguments abstraits prouvant sans calculs leur existence, en

References: §3

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