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Timestamp: 2018-04-24 16:05:04+00:00

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Bloque de Álgebra 2º bachillerato CNS
S I S T E M A S L I N E A L E S
Muchos problemas que se nos plantean pueden reducirse a encontrar uno o varios números desconocidos, que llamamos incógnitas, sujetos a una serie de condiciones que nos permiten plantear una o varias ecuaciones (sistemas). El objetivo de este tema es el estudio de los sistemas lineales y de métodos para su resolución[1]. Terminaremos el tema dando algunas estrategias para el planteamiento de los llamados problemas lineales y algunos “modelos” resueltos.
1. Igualdades, identidades, ecuaciones (repaso[2]).
Una igualdad, (=), es una relación de equivalencia[3] entre dos expresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro.
una expresión = otra expresión
· Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica.
Ejemplo 1: 2 +4 +5 = 1 +10
· Una identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores.
· Cuando la igualdad se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores se la llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas.
Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.
Ejemplo 3: 5x - 1 = 2x -3 es una ecuación con una incógnita.; se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.
Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o raíz) de la misma.
Ejemplo 4. Una solución de la ecuación del ejemplo 3 es x=-2/3 .
Ejercicio 1. Encuentra 2 soluciones de la ecuación 3x-2y-1=0
Resolver una ecuación en encontrar todas sus soluciones o llegar a la conclusión de que no tiene ninguna.
a) x2 + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.
b) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....
2. Ecuaciones lineales.
Si las expresiones de los miembros de las igualdades son polinomios se las llama ecuaciones polinómicas.
Cuando son polinomios de grado uno se trata de las ecuaciones lineales.
Ejemplo 6. 5x - 6y - 1 = 0, es una ecuación lineal con dos incógnitas.
En general una ecuación lineal con n incógnitas será de la forma:
, con algún ai distinto de 0.
A los ai se les llama coeficientes de las incógnitas y a b término independiente
Para encontrar una solución particular de una ecuación lineal con n incógnitas, se les da valores arbitrarios a n - 1 cualesquiera de ellas, con lo que se reduce la ecuación a otra de una sola incógnita y se resuelve.
Ejemplo 7. Vamos a encontrar dos soluciones particulares de la ecuación 3x +2y -z = 1.
Si damos a x el valor 0 y a y el valor 1, se obtiene z= 1Þ la solución es ( 0, 1, 1).
Análogamente, x = 1, y = 0 , nos da z = 2 y la solución es la terna (1,0,2). Comprobarlas.
Para encontrar la solución general, de la ecuación lineal, se consideran a n - 1 incógnitas como parámetros y se resuelve en función de éstos.
Al número de parámetros de una ecuación lineal se le denomina grado de libertad o de indeterminación de la misma.
Consideremos la ecuación 2x - 3y + z = 1; es una ecuación lineal con tres incógnitas; 3 -1 = 2, es decir depende 2 parámetros. La ecuación tiene por lo tanto dos grados de libertad.
Si hacemos x = t, e y = s, quedaría z = 1 - 2t + 3s.
La solución sería ( t, s, 1 -2t + 3s).
3. Sistemas de ecuaciones lineales. Clasificación.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.
Ejemplo 9: es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas.
Un sistema de m con n incógnitas se puede escribir, en general:
En este sistema x1, x2, ....xn son la incógnitas; los números aij son los coeficientes del sistema y b1, b2,......bm los términos independientes.
El sistema se dirá homogéneo si todos los bj son cero.
Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que el sistema no tiene solución.
Nota. Los sistemas homogéneos tienen siempre, al menos, una solución la (0,0,..0) que se llama solución trivial.
Clasificación de sistemas.
Si el sistema tiene solución se dice compatible. Si la solución es única se dice determinado y en otro caso indeterminado. Si no tiene solución se dirá incompatible.
Es decir se clasifican, según el número de soluciones en:
· Compatibles (según tengan una ó infinitas soluciones)
· Incompatibles (ninguna solución)
Ejemplo 10. El sistema:
4. Método de Gauss para la resolución de sistemas lineales. Tratamiento matricial.
Definición 1. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.
El método general de resolver sistemas de ecuaciones es encontrar otro sistema equivalente de más fácil resolución.
Definición 2. Se llaman transformaciones elementales (o de equivalencia) a aquellas modificaciones de un sistema lineal que lo transforman en otro equivalente.
Proposición. Las siguientes transformaciones son elementales.
1) Permutar dos ecuaciones.
2) Multiplicar una ecuación del sistema por un número distinto de 0.
3) Sumar a una ecuación del sistema otra multiplicada por un número.
4) Cambiar el orden de las incógnitas.
5) Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en las demás ecuaciones.
6) Suprimir o añadir una ecuación que sea combinación lineal de las otras.
La demostración es inmediata en todos los casos.
El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales se puede considerar como un generalización del de reducción (para los sistemas con dos o tres incógnitas). En esencia consiste en hacer, al sistema de ecuaciones lineales, determinadas transformaciones elementales a fin de obtener un sistema escalonado, más fácil de resolver.
Ejercicio. Resuelve el sistema: usando el método de Gauss
Teorema. Todo sistema de m ecuaciones con n incógnitas, puede reducirse a un sistema equivalente del tipo:
(Se harían cero los coeficientes necesarios hasta dejarlo escalonado usando el método de Gauss que se ha explicado en clase)
1) Si alguno de los dk+1, .....,dm, es distinto de 0 el sistema es incompatible.
2) Si todos los dk+1, .....,dm son 0 es compatible, y a su vez se pueden presentar dos casos:
 Si k = n el sistema queda reducido a uno equivalente con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Luego la solución es única: compatible determinado.
 Si k<n, es decir, hay más incógnitas que ecuaciones, entonces, asignando valores arbitrarios a las incógnitas xk+1, .....,xn, existirá una solución única de las x1,, x2,....,xk, y por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones; es indeterminado con n - k grados de libertad.
(El teorema nos da una forma de clasificar el sistema).
Ejercicio. Clasifica y resuelve el sistema usando el método de Gauss
(Comprueba que la solución es: )
Observación: En todo el proceso lo que se manejan son los coeficientes de las incógnita y los términos independientes.
Teniendo en cuenta la observación anterior abreviaremos el proceso escribiendo sólo los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes, entre paréntesis y separados por una barra, esto se denomina tratamiento matricial[4] del sistema.
En el ejemplo siguiente se muestra el esquema de trabajo que se sigue.
Ejemplo. Resuelve el sistema:
Considerando la disposición indicada[5]: F2 -3F1 F3 - F1
F3 -F2 , luego el sistema es incompatible.
(Observar que se ahorra bastante tiempo con la forma matricial del método de Gauss.)
Nota: Cuando permutemos las incógnitas se debe indicar. Se suelen escribir las incógnitas encima de la matriz ampliada del sistema.
Ejercicio 2. Resuelve el ejemplo 11 usando la forma matricial.
Aplicación del método de Gauss a la discusión de sistemas
Las consecuencias del teorema anterior se pueden expresar con la nueva notación así:
1) Si la disposición final de los coeficientes al aplicar el método de Gauss es:
, el sistema es incompatible.
2) Se pueden presentar dos casos:
, el sistema es compatible determinado
, compatible indeterminado
Ejercicio. Clasificar los siguientes sistemas y si fuese posible resolverlos:
Ejercicio. Calcula el valor de m para que el sistema sea compatible determinado
5. Eliminación de parámetros.
Hemos visto que las soluciones de un sistema en algunos caso dependen de uno ó varios parámetros. El método de Gauss, además de resolver sistemas de ecuaciones lineales, permite apoyándose en la compatibilidad de éstos, eliminar los parámetros y obtener el sistema que genera dicha solución.
Ejemplo. Eliminar t y s en el sistema:
F2+3F1 F3 - 2F1 .
Como el sistema es compatible se deduce que : , que es el sistema buscado.
Observar que es una recta, ¿se podía prever?
Ejercicio. Eliminar los parámetros t y s en el siguiente sistema:
6. Resolución de sistemas dependientes de un parámetro.
Un sistema lineal es dependiente de un parámetro cuando uno (o varios) de sus coeficientes (o términos independientes) es variable. Para su resolución[6] aplicamos de nuevo el método de Gauss, discutiendo las soluciones según los valores del parámetro (coeficiente variable).
Ejercicio. Discutir el sistema según los distintos valores del parámetro k:
Ejercicio. Discute y resuelve el sistema anterior en el caso de que fuese homogéneo.
Ejercicio. Clasifica y resuelve, según los distintos valores del parámetro k, el sistema:
Problema. Dado el sistema de ecuaciones lineales , se pide:
a) Deducir, razonadamente para que valores de α el sistema sólo admite la solución (x, y, z)=(0, 0, 0);
b) Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de α que lo hace indeterminado. Selectividad 2009.
7. Significado geométrico de las ecuaciones y sistema lineales.
I) Interpretación geométrica de las ecuaciones lineales
Las soluciones de las ecuaciones lineales de 2 y 3 incógnitas pueden interpretarse de un modo geométrico en el plano y en espacio tridimensional, respectivamente.
1) La ecuación ax + by +c = 0, como se ha visto en cursos anteriores, representa una recta en el plano afín.
En efecto: si hacemos x = t, quedaría , que podemos escribir:
“Son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (0,-c/b) y (1,-a/b) es un vector de dirección.”
Ejemplo. Las ecuaciones paramétricas de la recta 6x - 2y + 5 = 0, son:
, pasa por el punto (0,5/2), y u n vector de dirección es (1,3) .
2) En el espacio tridimensional real la ecuación:
ax + by + cz + d = 0, representa un plano.
En efecto, como, para determinar un plano hay que conocer:
1) un punto por el que pase
2) dos vectores de dirección (vectores l.d. contenidos en el plano)
Si hacemos x = t, y = s, nos quedaría: ,
Son las llamadas ecuaciones paramétricas del plano que pasa por (0,0, d/c) y tiene por vectores de dirección a (-b/a,1,0) y a (-c/b,0,1).
Podemos pues concluir que toda ecuación lineal de tres incógnitas representa un plano.
Ejemplo. Vamos a encontrar las ecuaciones paramétricas del plano, solución de la ecuación lineal,
2x - 3y + z =1.
Solución: Como ya hemos visto esta ecuación se puede escribir: ,
que son las ecuaciones del plano que pasa por el punto P(0,0,1) y tiene como vectores de dirección a v(1,0,-2) y w(0,1,3).
Ejercicio. Hallar las ecuaciones paramétricas de los planos siguientes:
a) x = 2; b) 2x + z = 0; c) 2x-4y +2z -1 = 0
II) Significado geométrico de los sistemas lineales.
Al igual que en las ecuaciones lineales, consideramos la interpretación geométrica en el plano (sistemas de ecuaciones con dos incógnitas) y en espacio (sistemas de ecuaciones con tres incógnitas)
 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Posiciones relativas de rectas en el plano.
Se propone como ejercicio 10. para el alumno.
 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
A) Sistemas de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
La resolución del sistema:
en términos geométricos es el estudio de las posiciones relativas de dos planos, casos que se presentan:
 Planos paralelos. Sin puntos comunes, cuando el sistema sea incompatible.
 Planos que se cortan en una recta. Si el sistema es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad.
 Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad
B) Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:
 Un punto único. Sistema compatible determinado.. Los tres planos se cortan en P
 Una recta. Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad.
Los planos se cortan en r.
 Un plano. Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.
 Ningún punto. El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.
Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:
Ejercicio. Estudiar los demás casos (hay otros tres).
8. Estrategias para la resolución de problemas lineales.
Para resolver un problema se necesita realizar cuatro fases[7]:
1ª. Comprender el problema.
Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los datos? ¿cuáles son las incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes? ¿son redundantes?....
2ª Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.
De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas auxiliares.
¿Conoces problemas relacionados con éste?
¿Podrías plantear el problema de forma diferente?
¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...
¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?
Obtener finalmente un plan de solución.
Escribir las ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.
3ª. Ejecutar el plan.
Resuelve el sistema por los métodos estudiados.
4ª. Examinar la solución obtenida.
Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.
1. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.
Sean: hombres
x + y = 3z Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Se resuelve por el método de Gauss.
El sistema que resulta es:
-2 y + 3z = 1
z = 5 Comprobar que la solución es: z = 5, y = 7 y x= 8.
3. Lewis Carroll, autor de Alicia en el país de las maravillas propone un problema que puede enunciarse así: el consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos ha costado 1 chelín y 2 peniques, mientras que un vaso de limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale 1 chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio:
1º) De un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.
2º) De dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos.
Resolver el problema recordando que 1 chelín vale 12 peniques.
Solución. Es un problema con tres incógnitas y sólo dos condiciones, luego los valores de las incógnitas no se podrán determinar.
Llamamos : x al precio de un vaso de limonada
y al precio de un sandwich
z al precio de un bizcocho
Entonces: x + 3y + 7z = 14 (peniques)
x + 4y + 10z = 17
Lo resolvemos por Gauss: Þ
el sistema escalonado es:
x + 3y + 7z = 14 (peniques)
y + 3z = 3, que tiene menos ecuaciones que incógnitas. Es por tanto un sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad
Haciendo z=t, nos queda
x = 5 + 2t
y = 3 - 3t
Encontremos los precios de las combinaciones que nos piden.
1º) x + y + z = (5 + 2t) + (3 - 3t) + t =8 peniques. (no depende de t)
2º) 2x + 3y + 5z = 10 + 4t + 9 -9t +5t= 19 peniques. “
4. a) Hállense todos los valore posibles de a, b, y c para que los planos siguientes sean paralelos o coincidentes:
x + by + 5cz =1
2x + (a-1)y + (3b-1)z =2
b) ¿Para qué valores específicos de a, b y c los dos planos anteriores son coincidentes y pasan por el punto (1,2,-1)
Solución a) Por la condición de paralelismo:
1/2 = b/(a-1) = 5c/(3b - 1) = 1/2; serán coincidentes.
1/2 = b/(a-1), de donde a - 1 = 2b Þ a - 2b - 1 =0
1/2 = 5c/(3b - 1) Þ 3b - 1 = 10c Þ 3b - 10c -1 =0
El sistema es indeterminado, si hacemos b = t, nos queda [1]
b) Si queremos que además pasen por (1, 2, -1) se tendrá:
1 + 2t - (-1+3t)/2 = 1, de donde t = -1,
Sustituyendo en [1] se obtiene: a = -1, b = -1, c = -2/5.
1. Resuelve e interpreta geométricamente.
a) x + y + z = 0 b) 2x + 5y = 16 c) x + 2y =3
7x - 4y - z = -11 x + 3y -2z =-2 3x + y = 4
4x + 6y + 8z = 2 x + z = 4 2x - y = 1
d) x + y + z = 6 e) 2x - y + z = 3 f) x - y + z = 0
y - z = 1 x - 2y -z = 3 3x + 2y - 2z = 1
x + 2y = 0 4x - 5y -z = 9 5x = 1
2. Calcula k para que los planos siguientes se corten en una recta.
2x + 3y + z = 3
kx + 10y + 4z =11
3. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro.
x + y + kz = 1
kx + (k-1)y + z = k
x + y + z = k + 1
4. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 3525 euros. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 15 euros., cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero.
5. En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica la suma de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que están en contra de la citada norma. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y cuántos no opinan.
Nota: Se harán más ejercicios de sistemas al acabar el tema de determinantes.
En el tema anterior hemos usado la “matriz ampliada” de un sistema, para manejar, con más comodidad, los números que intervienen en un sistema lineal. En otros muchos problemas es útil disponer y manejar un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Así es cómo se introdujo, en matemáticas, el concepto de matriz, como una disposición rectangular de números. Vienen a ser como una ampliación del concepto de número definiéndose para ellas operaciones como la suma y el producto1 .
1. Concepto de matriz. Elemento y orden de una matriz.
Definición. Se llama matriz del tipo mxn a un conjunto de m.n números dispuestos en m filas y n columnas: columna
fila = A
Se escribirá A = (aij)
Se llama orden, tipo, o dimensión de una matriz, al tamaño mxn.
Ejemplo: A = es una matriz de orden 2x4, es decir, tiene dos filas y cuatro columnas.
Ejemplo 2. En un curso de 30 alumnos se han realizado cuatro evaluaciones, por lo tanto existen cuatro notas por cada alumno y los resultados se pueden disponen mediante una matriz:
Ejercicio. Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1’5, 2 y 2,5 cm. con los precios respectivos siguientes:
Clavos A:
Clavos Q:
Clavos H:
Recoger la información en una matriz 4x3 que recoja los precios.
El conjunto de todas las matrices de orden mxn se representa Mmxn.
A cada número aij se le llama elemento o término de la matriz. El primer subíndice, y, indica la fila en que se encuentra el elemento, el segundo subíndice, j, la columna.
Dos matrices A y B , de Mmxn , son iguales si aij = bij para todo los i,j.
2. Tipos de matrices
Definiciones . La matriz se llama:
· Matriz fila , si tiene sólo una fila.
· Matriz columna, si tiene sólo una columna.
· Matriz nula, O, si todos sus elementos son 0.
·Matriz traspuesta de A y se designa A’ o At, a la que se obtiene cambiando filas por columnas.
Ejercicio. Calcula la matriz traspuesta de A =
· Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas.
Si tiene n filas se dirá, simplemente, de orden n (en vez de nxn).
Los elementos aii (i=1,2...,n) forman la diagonal principal de la matriz
en esta matriz están indicados los elementos que fornan la diagonal secudaria.
·Matriz diagonal[8], la que todos sus elementos, excepto los de la diagonal principal, valen cero. Es decir aij = 0, cuando i ¹ j.
En particular, si todos los elementos de la diagonal son 1, se la llama matriz identidad, I, o unidad.
Ejercicio. Escribe la matriz identidad de orden 5.
· Matriz triangular2 , superior si todos los elementos situados debajo de la diagonal principal son 0. Análogamente se define triangular inferior.
Ejemplo. La matriz es triangular superior.
· Matriz simétrica2 , si coincide con su traspuesta, es decir aij = aji.
Ejemplo. La matiz identidad es una matriz simétrica.
Ejercicio. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3, aij = 2i - j , bij = . Se pide:
a) Escribe A y B
b)¿son simétricas?.
3. Operaciones con matrices.
I) Suma de matrices.
Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden mxn. Se define la matriz suma de A y B como la matriz de orden mxn dada por:
A + B = ( aij + bij )
La suma de matrices, así definida, es una operación interna en el conjunto de las matrices de oren mxn, Mm,n , verificándose además las siguientes:
Propiedades. Asociativa, conmutativa, elemento neutro (la matriz O), y elemento opuesto.[9]
Por tanto el conjunto Mm,n con + es un grupo aditivo.
II) Producto de una matriz por un número
Se define el producto de la matriz A = (aij) por el número real k así:
k.A = ( kaij)
Propiedades3. 1) (k + m ) A = kA + mA
2) (km) A = k(mA)
3) k (A +B) = kA + kB
4) 1.A = A
Consecuencia: El conjunto de las matrices mxn con las operaciones suma y producto por escalares es un espacio vectorial.
III) Producto de matrices
Se define el producto de la matriz A = (aij), de orden mxn, pr la matriz B = (bij), de orden nxp, como la matriz C= (cij) de orden mxp, obtenida así:
Observación: Para que dos matrices, A y B, se puedan multiplicar tiene que ocurrir que el número de columnas de A sea igual al de filas de B
Propiedades. 1) Asociativa, es decir A(BC) = (AB)C
(A +B ) C = AB +BC
1) El producto de matrices, en general, no es conmutativo.
2) El producto de matrices tiene divisores de cero, es decir, podemos encontrar dos matrices no nulas cuyo producto sea la matriz nula.
Ejercicio. Sean A = , B = , C = .
a) Calcula A. B. ¿se puede verificar A.B = B.A? , razona la respuesta.
b) Calcula A.(B.C) y (A.B)C.
4. Matrices cuadradas. Matrices regulares.
Si llamamos Mn al conjunto de las matrices cuadradas de orden n se verifica que con las operaciones + y · , definidas anteriormente, es un anillo[10].
La unidad para el producto es la matriz identidad, I.
La simétrica para el producto, que llamaremos inversa, en general no existe.
Ejemplo. no tiene inversa.
Cuando una matriz A posea inversa diremos que es regular o inversible, y, por definición, esto ocurrira si existe otra matriz, que representaremos por A-1, que verifique :
A. A-1 = I, A-1. A = I
Ejercicio: demuestra que si A y B son inversibles se verifica que (A.B)-1=B-1.A-1
Cálculo de la matriz inversa
Cuando una matriz sea regular se nos plantea el problema de cómo calcular su inversa. Hay varios métodos.
1º) Resolviendo el sistema que plantea (3).
El nº de incógnitas que tiene este sistema es n2. Se empleará para matrices de orden 2.
Ejemplo. Sea A = y llamemos a la inversa A-1 = .
Tendríamos que = , por definición de inversa.
de donde: = Þ Þ A-1= (Comprobarlo[11])
2º ) Mediante transformaciones elementales.
Si la matiz A se somete a ciertos cambios hasta obtener I, sometiendo a I a los mismos cambios llegamos a la inversa.
Ejemplo. Vamos a calcular la inversa de A =
Cómo debemos hacer a I las mismas transformaciones que a A, la siguiente colocación nos ahorrará tiempo y trabajo:
F1 - 2F3 F2 + F1
, por lo tanto A-1 =
3º) En el tema siguiente (determinantes) se dará un método para identificar las matrices que tienen inversa y, en su caso, obtenerla con comodidad
5. Rango de una matriz
Definición. Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas) que son linealmente independientes.
Teorema: en una matriz, el número de filas l.i. coincide con el número de columnas l.i.
Cálculo del rango por el método de Gauss
Para hallar el rango de una matriz se procede a “hacer ceros” como en el método de Gauss, ya que las transformaciones elementales no modifican el rango, es decir conservan las relaciones de dependencia o independencia.
El rango de la matriz escalonada final es, obviamente, el número de filas distintas de (0 .......0)
6. Forma matricial de un sistema de ecuaciones
Consideremos un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas[12]. Teniendo en cuenta cómo se multiplican las matrices se puede escribir:
, que se escribirá AX =B (2)
A = matriz de los coeficientes del sistema.
X = matriz columna de las incógnitas.
B = matriz columna de los términos independientes.
Nota: Si la matriz A es cuadrada, es decir m =n, y regular, el sistema resulta compatible determinado y X =A-1B. Lo estudiaremos con detalle en el tema siguiente.
Ejemplo: Sea el sistema , en forma matricial se escribiría:
1. Dada la matriz A = y el vector X = , se pide obtener razonadamente:
a) el vector X tal que AX = 0X
b) Todos los vectores X tales que AX = 3X
c) Todos los vectores X tales que AX = 2X
(Selectividad, septiembre 2008)
2. a) Calcular las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y , que satisfacen las ecuaciones siguientes:
donde B = y C=
3. a) Calcular una matriz X que verifique la igualdad:
AX = B, con A = y B =
b) ¿Verifica también la matriz X la igualdad XA = B ?
3. Dada la matriz:
A= se pide:
a) Obtener la traspuesta de A.
b) Calcular (A-I)2. (A-5I), siendo I la matriz unidad.
4. Halla la inversa de A = . Resuelve la ecuación: , siendo X una matriz de orden 2.
6. Estudia el rango de la matriz A= según los valores de k. ¿Existe algún valor de k para el que sea rang(A)=1
Nota: Se harán más ejercicios de matrices al acabar el tema de determinantes.
1. Determinantes de segundo y tercer orden. Regla de Sarrus
Ejemplo: = 3-(-8) = 11.
Observación. La interpretación geométrica es que es el área orientada del paralelogramo que determinan los vectores (a11, a12) y (a21, a22). Comprobarlo con un ejemplo.
http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Geometria_determinante/index.htm
Ejemplo. Calcula el valor del determinante de la matriz A = .
Ejemplo. Calcula el valor del determinante = 16 +15 +18 -10 =39
Ejercicio. Calcula los siguientes determinantes:
a) , b) , c) .
Las propiedades que vamos a enunciar son generales para determinantes de cualquier orden. Pueden comprobarse en los de orden do o tres.
Ejemplo 4. El determinante es múltiplo de 5, ya que la primera columna lo es. También es múltiplo de 7, pues lo es la 2ª columna, por lo tanto el determinante es múltiplo de 35.
Ejempo 5. = 0, pues las dos primeras filas son proporcionales.
Ejemplo 6: = + (Comprobarlo)
7. Si a una fila (columna) de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás el determinante no varía.
Ejemplo: A = , si a la columna 1ª se le suma la tercera multiplicada por -2, queda:
8. Si una matriz tiene una fila (o columna) que es c.l. de las otras su determinante es cero. Y recíprocamente si un determinante es cero, tiene una fila (y una columna) combinación lineal de las demás.
Ejemplo. = 0 , pues la 3ª columna es la suma de las dos primeras.
Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1
a) = = 8 ;
Ejercicio. Demostrar[13], sin desarrollar, que son ceros los siguientes determinantes:
Si A = (aij) es una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del elemento aij, y se representa Mij, al determinante de la submatriz que se obtiene al suprimir de A la fila i y la columna j.
Ejemplo 9. Sea A = el menor complementario del a21 es
Ejemplo. El adjunto del elemento a21 = -1, de la matriz de ejemplo 1, es A21=25.
Proposición 1. Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un línea cualquiera por sus respectivos adjuntos.
Demostración. (La haremos para los de orden 3)
Ejemplo. Calcula el determinante de A =
Desarrollamos por la 2ª fila: = - (-1) + 0 -1 = -25 + 11 = -14
Utilizando las propiedades de los determinantes podemos conseguir un determinante triangular (sup. o inf) y, su valor es el producto de los elementos de la diagonal principal.
La técnica para triangular un determinante es similar a la aplicada en el método de Gauss.
Ejercicio. Calcula el determinante: D= , triangulandolo.
Ejemplo. Calcula el valor del determinante D= .
Ejercicio. Calcula el valor de D, del ejercicio 1, desarrollando por la 3ª fila.
M3) Este método se puede considerar una “combinación” de M1 y M2 .
Ejemplo. Calcula el valor de D = .
Para conseguir ceros en la 1ª columna, se resta, a cada fila la anterior multiplicada por a, empezando desde abaj .
Y da un determinante del mismo tipo pero de orden tres, siguiedo el mismo proceso,
= (c-b)(d-b) = (c-b)(d-b)(d-c).
5. Rango de una matriz a partir de sus menores.
Como vimos en el tema de matrices el rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes.
Teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes (propiedad 7) deducimos:
La condición necesaria suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus filas (o columnas) sean l.d.
Consecuencia: el rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos.
Ejercicio. Calcula el rango de la matriz
Ejercicio. Calcula el rango de la matriz según los valores del parámetro t
6. Calculo de la inversa de una matriz cuadrada utilizando determinantes
Ejemplo. Calcula la inversa de la matriz A =
Ejercicio. Calcula la inversa[14], caso de que exista, de la matriz:
7. Utilización de determinantes en la discusión y resolución de sistemas lineales
Forma matricial de un sistema
Consideremos un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas.
Teniendo en cuenta cómo se multiplican las matrices se puede escribir:
, es decir AX =B
La condición necesaria y suficiente para que el sistema AX =B sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas ( A ) sea igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ).
Es decir: rango (A) = rango (A*).
Si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.
· Si rango (A) = rango (A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).
· Si rango (A) = rango (A*) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
· Si rango (A) # rango (A*), el sistema es incompatible (no tiene solución).
Resolución de sistemas lineales.
I) Método de la inversa.
Si la matriz de los coeficientes, A, tiene un determinante distinto de cero, entonces será inversible, luego multiplicando ambos miembros de (1) por A-1, obtenemos:
A-1 (AX) = A-1B, de donde:
Definición. Un sistema con n ecuaciones lineales y n incógnitas se dice que es de Cramer, cuando el determinante de la matriz A de los coeficientes es ¹0.
En efecto: S1 AX =B es un sistema de Cramer, entonces existe A-1, luego (2) nos da la solución única.
de donde: x = ( b1A11 + b2 A21+ b3 A31)Þ[15]
Ejemplo. Resuelve, usando la regla de Cramer, el sistema:
Por lo tanto aplicando la regla obtenemos:
Observación. Los determinantes, y la Regla de Cramer, son especialmente útiles en la discusión y resolución de sistemas lineales dependientes de un parámetro.
Ejemplo Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k:
A= , = - k - 1 + 4 - 2 - 2 - k = -2k - 1.
x = = , y = =..... z = ........(acabarle)
Ejercicio. Utiliza la regla de Cramer[16] para resolver el siguiente sistema:
Ejercicio. Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores del parámetro k.
1. Sabiendo que , calcula sin desarrollar:
2. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX = 2B-C
Donde A = , B = y C =
3. Resolver la ecuación matricial XA = B + C, donde:
4. Dadas las matrices cuadradas A = , B = , e I la matriz unidad, se pide:
a) Justificar que la matriz A tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa A-1, incluyendo en la respuesta todos los pasos que llevan a la obtención de A-1.
b) Calcular, razonadamente, el determinante de la matriz 3 A-1, incluyendo en la respuesta todos los pasos realizados.
c) Obtener, razonadamente, los valores reales, x, y, z que verifican la ecuación xI+yA+zA2=B
(Selectividad 2009)
5. Considera las matrices A = y B =
a) Para que valores reales de m A es inversible?
b) En la anterior matriz A con m =0 , obtener la matriz real cuadrada X de orden 3 que satisface la igualdad:
B – AX =AB
6. Resuelve la ecuación matricial:
7. Obtén todas las matrices columnas X= que sean soluciones de la ecuación matricial AX=B, siendo
A= y B= . ¿Cuáles de esas matrices X tienen la primera fila nula?
8. Dado el sistema de ecuaciones lineales , dependiente del parámetro real λ, se pide:
a) Determinar para qué valores de λ el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado, e incompatible.
b) Obtener las soluciones en los casos compatible determinado y compatible indeterminado.
9. Dado el sistema de ecuaciones lineales , se pide:
a) Probar que es compatible para todo valor de α.
b) Obtener razonadamente el valor de α para el que el sistema es indeterminado.
c) resolver el sistema cuando α=0, escribiendo los cálculos necesarios para ello. (Selectividad 2008)
10. Dado el sistema de ecuaciones lineales se pide, razonando las respuestas:
a) Justificar que para el valor α=0 el sistema es incompatible[17].
b) Determinar los valores del parámetro α para los que el sistema es compatible y determinado.
c) Resolver el sistema para el valor del parámetro α para el cual es compatible indeterminado.
Nota. Hacer los ejercicios de Álgebra de la hoja de selectividad septiembre 2009
[1] Método de Gauss. Se estudiarán más métodos en los dos temas siguientes.
[2] Se parte de que ya se han dado ecuaciones en cursos anteriores.
[3] Reflexiva, simétrica y transitiva.
[4] O forma matricial del método de Gauss.
[5] Se llama matriz ampliada del sistema.
[6] En el tema de determinantes veremos otra forma de resolver este tipo de sistemas.
[7] “ Cómo plantear y resolver problemas”. G. Polya, Edit. Trillas
[8] Tiene que ser cuadrada.
[9] Demostrar las afirmaciones como ejercicio.
[10] Comprobarlo como ejercicio.
[11] La comprobación es obligatoria, independientemente del método que usemos para encontrar la inversa.
[12] Ver (1) del tema anterior.
[13] Indica la propiedad por la que eso ocurre.
[14] La comprobación es obligatoria.
[15] Ya que es el desarrollo del determinante de una matriz, construida a partir de A, en la que se ha sustituido la columna 1ª por los términos independientes.
[16] Todo sistema compatible puede reducirse a uno de Cramer.
[17] Para ese valor los rangos de la matriz ampliada y la de los coeficientes no coinciden

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