Source: https://www.scribd.com/doc/248505147/Trabajo-Colaborativo-2-Ecuaciones-diferenciales
Timestamp: 2019-01-19 06:11:11+00:00

Document:
IVAN RODRIGO IBARRA
87.248.313
EDISSON ALBEIRO ENRIQUEZ
87.574.919
88.032.434
SERGIO ARMANDO REYES MEDINA
86.088.878
WILFREDO CHAPARRO APONTE
88.032.556
Este informe presenta la solución de una guía de ejercicios, relacionados con las
ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior, en el desarrollo de las
actividades participaron varios integrantes de un grupo de estudiantes que con sus diferentes
aportes individuales dio como resultado un informe final de trabajo colaborativo 2.
En las siguientes paginas encuentra la resolución de problemas que se relacionan con la
determinación de la solución general de cada ecuación diferencial de segundo orden,
encontrar y clasificar las soluciones para cada ejercicio según los casos aplicados, buscar la
solución para ecuaciones no homogéneas, determinar el operador lineal que anule la función
dada en los ejercicios propuestos, obtener raíces aplicando la ecuación de cauchy-euler
En esta parte del informe se realiza una modelación matemática a través de los campos de
aplicación de un problema propuesto para encontrar la ecuación diferencial y a su vez
OBJETIVOS Objetivo General Desarrollar una estrategia de aprendizaje de resolución de problemas y modelación matemática de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. Realizar una modelación matemática a través de los campos de aplicación de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. . según la guía de trabajo y enviarlos como aportes de cada participante. Con los aportes individuales de cada participante del trabajo colaborativo formar un informe final que refleje el trabajo en equipo y se entregue como resultado de esta actividad grupal. a través de una actividad grupal para generar un informe final de trabajo colaborativo. Realizar actividades individuales relacionadas con la resolución de los problemas propuestos y modelación matemática. Objetivos Específicos Desarrollar problemas propuestos de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Desarrollar problemas propuestos de ecuaciones diferenciales de orden superior.
Demostrar que x 3 y | x | 3 son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación diferencial: dy x 2 y” – 4 x dx + 6 y = 0 en el intervalo . y” + 25 y = 6 Sen x No es una ecuación diferencial lineal homogénea porque Q ( x ) ≠ 0 2. → m 2 – m . → m 2 – 10 m + 25 = 0 Es una ecuación diferencial lineal homogénea porque Q ( x )= 0→ ( m – 5 )2 = 0 → m1 = m2 = 5 → su solución es y = ( C1 + C2 x ) e 5 x b).+ a1( x ) dx + a 0 ( x ) y = Q (x).∞ < x < ∞ .3 y m 2 = 3 → La solución general de la ecuación es: y = C1 e . → m 2 – 9 = 0 Es una ecuación diferencial lineal homogénea porque Q ( x )= 0 → ( m + 3 )( m–3)=0 → m 1 = .y = l x – x + 16 → No es una ecuación diferencial lineal homogénea porque Q ( x ) ≠ 0 d).ACTIVIDADES A DESARROLLAR 1. y” – y’ – 6 y = 0. y” – 10 y’ + 25 y = 0.6 = 0 Es una ecuación diferencial lineal homogénea porque Q ( x )= 0 → ( m – 3 )(m + 2 ) = 0 → m 1 = 3 y m 2 = . La ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes es homogénea cuando Q (x) = 0 en la dn x dn−1 x dy ecuación diferencial an ( x ) d x n + an-1 ( x ) d xn−1 + ………. y” – 9 y = 54. o y = ( C1 + C2 x ) e m x cuando m1 = m2 = m K2 e α x Sen β x si las o y = K1 eα x Cos 𝜷𝜷 x + raíces son complejas y conjugadas a). Tiene como solución y = C1 em1x + C2 em2x Cuando m1 ≠ m 2.2→ Sus soluciones son: y1 = C1 e 3 x y y 2 = C 2 e – 2 x → La solución general de la ecuación es y = C1 e 3 x + C 2 e – 2 x c). Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.3 x + C 2 e 3 x e). y 3 – 3 y 2 – 3 y’ .
∫ Tan x d x = log | Cos x | d x = ∫ 1 d x = x → yp = Cos x log | Cos x | + x Sen x y = y h + y p = C1 Cos x + C2 Sen x + Cos x log | Cos x | + x Sen x = ( C1 + Log | Cos x | )Cos x + ( C2 + x ) Sen x 4.6 x ) – 4 x ( . y| 3| – 5 y| 2| + 6 y’ = 2 Sen x + 8 5.Tan x w1 = � ′� = � f(x) y2 Sec x Cos x y 0 Cos x 0 w 2 = � 1′ �=� � = Cos x Sec x = 1 y1 f(x) − Sen x Sec x Por tanto: u 1 ( x ) = ∫ w1 d x = ∫− w w2 u2(x) =∫ w Tan x 1 1 = .x 3 → y’ = . 6 x – 4 x 3 x 2 + 6 x 3 = 6 x 3 – 12 x 3 + 6 x 3 = 0 Si x < 0 → y = .3 x 2 → y” = .Sen x Sec x = . x e x El operador anulador de x e x es ( D – 1 ) 2 ejemplo 16 pagina 107 de maple siendo D d d = dx ( ) → dx (x e x ) = x e x + e x = e x ( x – 1 ) →( D – 1 ) 2 = D 2 – 2 D + 1 = e2 x ( x – 1 ) 2 – 2 e x ( x – 1 ) + 1 = e2 x ( x – 1 ) 2 – 2 e x ( x – 1 ) + 1 = e2 x ( x 2 . y” + y = Sec x Primero hallemos la solución homogénea de la ecuación diferencial lineal: m 2 + 1 = 0 → m = ±√−1 = ± i→ yh = e0x ( C1 Cos x + C2 Sen x ) = C1 Cos x + C2 Sen x = C1 y1 + C2 y2 → y1 ( x )= Cos x y y2 ( x )= Sen x Ahora nos limitamos a encontrar la solución particular: yp = u 1 ( x ) y 1 + u 2 ( x ) y 2 ( x ) → Para hallar los parámetros u 1 ( x ) y u 2 ( x ) aplicamos la regla de Cramer para encontrar el determinante Wronskiano: y1 y2 Cos x Sen x w = �y ′ y ′ � = � � = Cos 2 x – ( .2 x + 1 ) – 2 x e x – .x 3 ) = .6 x → x 2 ( .6 x 3 + 12 x 3 – 6 x 2=0 3.3 x 2 ) + 6 ( . Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros: a).Sen 2 x ) = Cos 2 x + Sen 2 x = 1 y para los −Sen x Cos x 1 2 parámetros: 0 y2 0 Sen x � = . Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados: b).Sea y = x 3 → y’ = 3 x 2→ y”= 6 x→ x 2. Encontrar un operador diferencial que anule a: a).
x.2 e x + 1 = x 2e2 x – 2 x e2 x + e2 x . e5x . Usamos una ecuación característica: m² + am + b = 0 m² − 10m + 25 = 0 (m − 5)(m − 5) = 0 (m − 5)² = 0 m1 = 5 = m2 Como las raíces son iguales. x 2 y” + x y’ + y = 0 Punto A y′′ − 10y′ + 25y = 0 Solución: y′′ − 10y′ + 25y = 0Es una Ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. entonces y′′ − 10y′ + 25y = 0 Tiene su solución de la forma y = c1 em1 x + c2 xem2 x Por lo tanto la solución es Solución:y = c1 e5x + c2 .2 e x + 1 = →→→ b). 1 – 5 x 2 + 8 x 3 6.2 x e x . Resolver la siguiente ecuación diferencial: a).
3. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros: 𝑦𝑦 ′′ + 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) Dados que las raíces de la ecuación auxiliar 𝑚𝑚2 + 1 = 0 son 𝑚𝑚1 = 𝑖𝑖 ˄ 𝑚𝑚2 = −𝑖𝑖. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) = � −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 0 𝑊𝑊1 = � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑥𝑥 − (−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 𝑥𝑥+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 𝑥𝑥 = 1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. 𝒍𝒍𝒍𝒍|𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄| . 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Entonces. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Se integran 𝑢𝑢1′ = Y se obtiene 𝑊𝑊1 −𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = = −𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑊𝑊 1 𝑢𝑢2′ = 𝑊𝑊2 1 = =1 𝑊𝑊 1 𝑢𝑢1 = − � 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = −(−𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐|) = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| + 𝑐𝑐 𝑢𝑢2 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 Por lo tanto una solución particular es:𝑦𝑦𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐| + 𝑥𝑥. 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄. la función complementaria es𝑦𝑦𝑐𝑐 = 𝑐𝑐1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 mediante𝑦𝑦1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. la solución general de la ED es: 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝒄𝒄 + 𝒚𝒚𝒑𝒑 = 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 + 𝒙𝒙. 𝑦𝑦2 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 y𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑊𝑊(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = = −𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑊𝑊1 = � −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 0 � = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
𝑦𝑦 ´´ − 9𝑦𝑦 = 54 Esta es una ecuación homogénea porque f(x) =0 y se puede resolver asi ´´ 𝑦𝑦 − 9𝑦𝑦 = 54 𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚1 = 0 Entonces tenemos que 𝒇𝒇 ( 𝒙𝒙 ) = 𝟎𝟎 ( 𝒎𝒎 + 𝟑𝟑 )( 𝒎𝒎 – 𝟑𝟑 ) = 𝟎𝟎 La solución general queda 𝑦𝑦𝒏𝒏 = 𝑪𝑪𝟏𝟏 𝒆𝒆−𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝑪𝑪𝟐𝟐 𝒆𝒆𝟑𝟑𝟑𝟑 Resolvemos 𝒚𝒚𝒏𝒏 = 𝐂𝐂 𝒙𝒙 𝒎𝒎 𝟏𝟏 = − 𝟑𝟑 𝐲𝐲 𝒎𝒎 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 𝒚𝒚’ = 𝐂𝐂 𝒚𝒚´´ = 𝟎𝟎 .D.
a través de una actividad grupal para generar un informe final de trabajo colaborativo.𝟎𝟎 – 𝐂𝐂 𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝐀𝐀 = − 𝒚𝒚𝒕𝒕 = − 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒙𝒙 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒙𝒙 𝒙𝒙 = −𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑛𝑛 + 𝑦𝑦𝑡𝑡 = 𝑐𝑐1 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 + 𝑐𝑐2 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 − 54 OBJETIVOS Objetivo General Desarrollar una estrategia de aprendizaje de resolución de problemas y modelación matemática de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. .
la solución general de la ecuación es: 𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒆𝒆𝟓𝟓𝟓𝟓 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒆𝒆𝟓𝟓𝟓𝟓 b. 𝒚𝒚” – 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒚𝒚’ + 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 a. Es una ecuación de segundo orden La ecuación característica asociada a este problema es: 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 + 6 = 0 . Realizar actividades individuales relacionadas con la resolución de los problemas propuestos y modelación matemática. Con los aportes individuales de cada participante del trabajo colaborativo formar un informe final que refleje el trabajo en equipo y se entregue como resultado de esta actividad grupal. 𝒚𝒚′′ + 𝟐𝟐𝒚𝒚′ + 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 La ecuación característica asociada a este problema es: 𝑚𝑚2 − 10𝑚𝑚 + 25 = 0 Al factorizar quedaría (𝑚𝑚 + 5) (𝑚𝑚 + 5) = 0 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 � 𝑚𝑚1 = 5 𝑚𝑚2 = 5 Teniendo en cuenta que 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 entonces aplicamos 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐1𝑒𝑒 𝑚𝑚1𝑥𝑥 = 𝑐𝑐2𝑒𝑒 𝑚𝑚2𝑥𝑥 Por lo tanto. Realizar una modelación matemática a través de los campos de aplicación de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. según la guía de trabajo y enviarlos como aportes de cada participante. Desarrollar problemas propuestos de ecuaciones diferenciales de orden superior. a.Objetivos Específicos Desarrollar problemas propuestos de ecuaciones diferenciales de segundo orden.
la solución general de la ecuación es: y = C1 e - 3x + C 2 e 3x En una solución hay 16 gr de un químico. Si la tasa de incremento es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo que ha estado en la solución: a. variables aportadas por el enunciado 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 √𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Despejamos. ¿Cuantos gramos hay en dos horas? b. Calcule el tiempo en horas y en minutos en que habrá 100 gramos Solución Ecuación de variables separables. integrando en ambos lados 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 √𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integramos la ecuación: . la solución general de la ecuación es: 𝒚𝒚 = 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒆𝒆𝟑𝟑𝟑𝟑 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒚𝒚” – 𝟗𝟗 𝒚𝒚 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 La ecuación característica asociada a este problema es: 𝑚𝑚2 − 9𝑚𝑚 + 54 = 0 𝑦𝑦1 = 𝑐𝑐1 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦1 = 𝑐𝑐2 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 Por lo tanto. 45 minutos después hay 25 gr.Al factorizar quedaría (𝑚𝑚 + 3) (𝑚𝑚 − 2) = 0 𝑚𝑚1 ≠ 𝑚𝑚2 � 𝑚𝑚1 = 3 𝑚𝑚2 = −2 Teniendo en cuenta que 𝑚𝑚1 ≠ 𝑚𝑚2 entonces 𝑦𝑦1 = 𝑐𝑐1 𝑒𝑒 3𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦1 = 𝑐𝑐2 𝑒𝑒 −2𝑥𝑥 Por lo tanto.
� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑘𝑘√𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Entonces queda: 2 𝑡𝑡 3 𝑋𝑋 = 𝑘𝑘 + 𝐶𝐶 3 2 2𝑘𝑘 2 𝑡𝑡 3 + 𝐶𝐶 3 Reemplazamos datos 𝑋𝑋 = 𝑡𝑡1 = 0 𝑥𝑥 = 16 𝑔𝑔𝑔𝑔 3 𝑥𝑥 = 25 𝑔𝑔𝑔𝑔 2𝑘𝑘 2 03 + 𝐶𝐶 3 𝐶𝐶 = 16 16 = 𝑡𝑡2 = 4 2 2𝑘𝑘 33 25 = + 16 3 4 Despejamos k 25 − 16 2 33 4 = 2𝑘𝑘 3 4 4 2𝑘𝑘 93 � = 3 3 Operamos 𝑘𝑘 = 12√3 Reescribimos la ecuación 3 𝑥𝑥 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 .
16 𝑔𝑔𝑔𝑔 b. ¿Cuantos gramos hay en dos horas? 3 𝑥𝑥 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 3 𝑥𝑥 = 8√3 22 + 16 = 55. Calcule el tiempo en horas y en minutos en que habrá 100 gramos Solución Ecuación de variables separables. Calcule el tiempo en horas y en minutos en que habrá 100 gramos 3 𝑥𝑥 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 3 100 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 Despejamos t 100 − 16 8√3 21 2√3 3 3 = 𝑡𝑡 2 = 𝑡𝑡 2 𝑡𝑡 = 3. integrando en ambos lados 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 √𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integramos la ecuación: � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑘𝑘√𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 . Si la tasa de incremento es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo que ha estado en la solución: c. variables aportadas por el enunciado 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘 √𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 Despejamos. 45 minutos después hay 25 gr. ¿Cuantos gramos hay en dos horas? d.Resolvemos Interrogantes a.32 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 En una solución hay 16 gr de un químico.
Entonces queda: 2 𝑡𝑡 3 + 𝐶𝐶 𝑋𝑋 = 𝑘𝑘 3 2 2𝑘𝑘 2 𝑡𝑡 3 + 𝐶𝐶 3 Reemplazamos datos 𝑋𝑋 = 𝑡𝑡1 = 0 𝑥𝑥 = 16 𝑔𝑔𝑔𝑔 3 𝑥𝑥 = 25 𝑔𝑔𝑔𝑔 2𝑘𝑘 2 03 + 𝐶𝐶 3 𝐶𝐶 = 16 16 = 𝑡𝑡2 = 4 2 2𝑘𝑘 33 + 16 25 = 3 4 Despejamos k 25 − 16 2 33 4 = 2𝑘𝑘 3 4 4 2𝑘𝑘 93 � = 3 3 Operamos 𝑘𝑘 = 12√3 Reescribimos la ecuación 3 𝑥𝑥 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 .
Resolvemos Interrogantes c. como 𝐼𝐼0 es constante.32 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 CONCEPTOS PREVIOS El primer paso a la hora de determinar la respuesta natural del circuito mostrado en la Figura consiste en escribir la ecuación diferencial que debe satisfacer la tensión 𝑣𝑣. podernos encontrar la corriente de cada rama utilizando la apropiada relación entre la corriente y la tensión componente incluido en esa rama.16 𝑔𝑔𝑔𝑔 d. Podernos determinar fácilmente la ecuación diferencial correspondiente la tensión sumando las comentes que salen del nodo superior. expresando cada corriente como función de la tensión desconocida 𝑣𝑣: 𝑣𝑣 1 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 + � 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 + 𝐼𝐼0 + 𝐶𝐶 =0 𝑅𝑅 𝐿𝐿 0 𝑑𝑑𝑑𝑑 Podemos eliminar la integral en la anterior ecuación diferenciando una vez con respecto a t y. ¿Cuantos gramos hay en dos horas? 3 𝑥𝑥 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 3 𝑥𝑥 = 8√3 22 + 16 = 55. Calcule el tiempo en horas y en minutos en que habrá 100 gramos 3 𝑥𝑥 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 3 100 = 8√3 𝑡𝑡 2 + 16 Despejamos t 100 − 16 8√3 21 2√3 3 3 = 𝑡𝑡 2 = 𝑡𝑡 2 𝑡𝑡 = 3. Hemos decidido calcular primero la tensión porque ésta es igual para todos los componentes. Después de eso. obtenemos .
𝑠𝑠 2 + 𝑠𝑠 1 + =0 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑠𝑠1 = − 1 1 2 1 + �� � − 2𝑅𝑅𝑅𝑅 2𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐿𝐿𝐿𝐿 1 1 2 1 � 𝑠𝑠2 = − − � � − 2𝑅𝑅𝑅𝑅 2𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝛼𝛼 = 1 2𝑅𝑅𝑅𝑅 𝜔𝜔0 = 1 √𝐿𝐿𝐿𝐿 Entonces 𝑠𝑠1 = −𝛼𝛼 + �𝛼𝛼 2 − 𝜔𝜔0 𝑠𝑠2 = −𝛼𝛼 − �𝛼𝛼 2 − 𝜔𝜔0 Solución a la ecuación diferencial Si 𝜔𝜔02 < 𝛼𝛼.1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣 𝑑𝑑2 𝑣𝑣 + + 𝐶𝐶 2 = 0 𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑡𝑡 Si ahora dividíamos por la capacidad C y ordenamos las derivadas en orden descendente. . nos queda 𝑑𝑑2 𝑣𝑣 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑣𝑣 + + =0 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐿𝐿𝐿𝐿 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN. ambas raíces serán reales y distintas. Ecuación característica de un circuito RLC paralelo. Decimos en este caso que la respuesta en tensión esta sobre amortiguada.
Decimos en este caso que la respuesta en tensión esta críticamente amortiguada. ambas raíces serán reales repetidas. justifique. críticamente amortiguado o sobre amortiguado. 𝑣𝑣 = 𝐷𝐷1 𝑡𝑡𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 + 𝐷𝐷2 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 EJERCICIO PROPUESTO + 𝑣𝑣0 - + - 𝑣𝑣 a) Calcule las raíces de la ecuación característica b) Describa si es sub amortiguado. Decimos en este caso que la respuesta en tensión esta suba amortiguada. ambas raíces serán complejas y conjugadas. .𝑣𝑣 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝑠𝑠1 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝑠𝑠2 𝑡𝑡 Si 𝜔𝜔02 > 𝛼𝛼. 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵1 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 cos 𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵2 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 sen 𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑡𝑡 Donde 𝜔𝜔𝑑𝑑 = �𝜔𝜔02 − 𝛼𝛼 2 𝑠𝑠1 = −𝛼𝛼 + 𝑗𝑗�𝜔𝜔02 − 𝛼𝛼 2 𝑠𝑠2 = −𝛼𝛼 − 𝑗𝑗�𝜔𝜔02 − 𝛼𝛼 2 Si 𝜔𝜔02 = 𝛼𝛼.
80 b) Describa si es sub amortiguado. como𝜔𝜔02 > 𝛼𝛼 la respuesta es sub amortiguada y por tanto la ecuación solución tiene la forma 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵1 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 cos 𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵2 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 sen 𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑡𝑡 c) Calcule 𝒗𝒗 para 𝒕𝒕 ≥ 𝟎𝟎 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵1 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 cos 𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵2 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 sen 𝜔𝜔𝑑𝑑 𝑡𝑡 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵1 𝑒𝑒 −200𝑡𝑡 cos 979.80 ∗ 0 0 = 𝐵𝐵1 + 0 𝐵𝐵1 = 0 Entonces .125𝑢𝑢) = 103 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 𝜔𝜔𝑑𝑑 = �𝜔𝜔02 − 𝛼𝛼 2 = �106 − 4𝑥𝑥104 = 100√96 = 979.80 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 𝑠𝑠1 = −𝛼𝛼 + 𝑗𝑗�𝜔𝜔02 − 𝛼𝛼 2 = −200 + 𝑗𝑗979.80 ∗ 0 + 𝐵𝐵2 𝑒𝑒 −200∗0 sen 979. justifique.c) Calcule 𝑣𝑣 para 𝑡𝑡 ≥ 0 donde 𝑣𝑣0 = 0. 𝑣𝑣(0.80 𝑠𝑠2 = −𝛼𝛼 − 𝑗𝑗�𝜔𝜔02 − 𝛼𝛼 2 = −200 − 𝑗𝑗979.125𝑢𝑢) 𝜔𝜔0 = 1 √𝐿𝐿𝐿𝐿 = 1 �8 ∗ (0.02) = 10 SOLUCION a) Calcule las raíces de la ecuación característica 𝛼𝛼 = 1 1 = = 200 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 2𝑅𝑅𝑅𝑅 2(20𝑘𝑘)(0.80𝑡𝑡 + 𝐵𝐵2 𝑒𝑒 −200𝑡𝑡 sen 979. críticamente amortiguado o sobre amortiguado.80𝑡𝑡 Como 𝑣𝑣0 = 0 𝑣𝑣 = 𝐵𝐵1 𝑒𝑒 −200∗0 cos 979.
la frecuencia de oscilación.02) 𝐵𝐵2 = 10 𝑒𝑒 −200∗0. Determinar energías potenciales y cinéticas en el tiempo t. DATOS Masa =10g Constante k= 10N/m Distancia de alargue =0.80𝑡𝑡 Considere una masa de 10 kg que está unidad a una pared por medio de un resorte de constante k=10N/m. Determinar la frecuencia de la oscilación Determinar la amplitud Determinar el ángulo de fase. En este caso empezaremos buscando la solución a la elongación del resorte el cual se determina de la siguiente forma La elongación del resorte es: x = A. ω la frecuencia angular y Ф la constante de fase o fase inicial.05𝑒𝑒 −200𝑡𝑡 sen 979.05 𝑣𝑣 = 804.02 m Determinar la posición de la masa en el tiempo T.02 sen 979.cos(ω t + Ф) A la amplitud. cos(Ф) = 1.02) Por tanto = 804.80𝑡𝑡 10 = 𝐵𝐵2 𝑒𝑒 −200∗0.02 m cos(1 rad/s t) es la ecuación de la elongación o posición .02 sen 979. luego Ф = 0 Se sabe que ω = √(k/m) = √(10 N/m / 10 kg) = 1 rad/s Por lo tanto: x = 0. Determinar la velocidad de la masa en el tiempo T. la amplitud. Si se alarga el resorte una distancia de 0.80(0. x = A.02 m y se suelta a partir del reposo. Si se suelta a partir del reposo. determine la posición y la velocidad de la masa en el tiempo. t = 0.𝑣𝑣 = 𝐵𝐵2 𝑒𝑒 −200𝑡𝑡 sen 979. el àngulo de fase y las energías potencial y cinética en el tiempo t.80(0.
v² = 1/2 . 1 rad/s sen(1 rad/s t) ω = 2 π f.La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo: v = dx/dt = .159 Hz El ángulo de fase es ω t = 1 rad/s t (la constante de fase es nula) Ep = 1/2. [0.02 m/s sen(1 rad/s t)]² Ec = 0.002 J [cos(1 rad/s)]² (energía potencial) Ec = 1/2.02 m .02 m cos(1 rad/s t)]² Ep = 0. 10 kg .m. [sen(1 rad/s t)]² (energía cinética) .k. 10 N/m . luego f = ω / (2 π) = 1 rad/s / (2 π rad) = 0.002 J .x² = 1/2 . [0.0.
de igual manera. permitió aclarar dificultades y falencias presentadas mediante la consulta de ayudas didácticas alternas al módulo. se profundizó la determinación de funciones linealmente independientes mediante el wronskiano. aquellos que contienen dinámicas. la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con condiciones iniciales y bajo los métodos de coeficientes constantes y coeficientes indeterminados. Son. . . a saber. que expresan evolución. de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. El desarrollo de la actividad generó espacios para la aplicación de los conocimientos adquiridos en el transcurso de la Unidad 2 de Ecuaciones Diferenciales. por eso.CONCLUSIONES. Con el desarrollo del presente trabajo colaborativo.
Video “Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes” {En línea} 2011.BIBLIOGRAFÍA BUCHELI. DENNIS G. UNAD. CARLOS IVÁN. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. ZILL.com/watch?v=2JBCZbeOPLQ . Editora. Sexta Edición. 2008. 1997. 1997. (Citado 28-Abril-2013). Módulo del curso Ecuaciones Diferenciales. 2008. International Thompson Editores. Bogotá. México.youtube. Disponible en internet: http://www.
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