Source: https://es.scribd.com/doc/45610732/Libro-para-el-Maestro-Matematicas-4%C2%BA-Cuarto-Grado-Plan-de-Estudios-1993
Timestamp: 2016-05-05 13:56:16+00:00

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Coordinación general Elisa Bonilla Rius Alba Martínez Olivé Rodolfo Ramírez Raymundo Redacción Víctor Manuel García Montes Asesoría Hugo Balbuena Corro Colaboración María de los Ángeles Olivera Bustamante Irma Griselda Pasos Orellana Coordinación editorial Elena Ortiz Hernán Pupareli Diseño Mauro Calanchina Poncini Cuidado de la edición José Agustín Escamilla Viveros Supervisión técnica Alejandro Portilla de Buen Formación Martín Aguilar Gallegos Portada Diseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, con la colaboración de Luis Almeida Ilustración: Matemáticas. Cuarto grado, SEP, 1994. Presencia núm. III, Fernando García Ponce, acrílico sobre tela, 1972. Museo de Arte Moderno, México, D. F. Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Bellas Artes y Literatura Primera edición, 1994 Segunda edición, 2001 Tercera edición, 2002 Segunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004-2005) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 1994 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN 970-18-7719-5 Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA
la primera etapa de la reforma de los planes y programas de estudio de la educación primaria. En esa etapa el nuevo currículo entró en vigor en los grados primero, tercero y quinto, y a partir del año escolar 1994-1995 se aplica también en los grados segundo, cuarto y sexto. Al mismo tiempo que se reformaron los planes y programas de estudio se inició la renovación de los libros de texto gratuitos que el gobierno de la República entrega a todos los alumnos de las escuelas primarias del país. Con objeto de asegurar el conocimiento preciso del nuevo currículo, se ha enviado a todos los maestros y directivos escolares un ejemplar del libro Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria, en el que se describen los propósitos y contenidos de la enseñanza de cada asignatura y grado y del ciclo en su conjunto. La reforma del currículo y los nuevos libros de texto tiene como propósito que los niños mexicanos adquieran una formación cultural más sólida y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con independencia. Para que esta finalidad se cumpla es indispensable que cada maestro lleve a la práctica las orientaciones del
plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma sistemática, creativa y flexible. Tradicionalmente la Secretaría de Educación Pública distribuye los libros para el maestro como un apoyo al trabajo profesional que se realiza en nuestras escuelas primarias. La forma de organización y presentación de estos libros ha sido modificada. En el pasado se integraban en un solo volumen las recomendaciones didácticas correspondientes a todas las áreas o asignaturas de un grado. A partir de esta etapa hay libros de menor volumen para cada asignatura de un grado o, excepcionalmente, para una pareja de asignaturas interrelacionadas estrechamente. Esta nueva organización del Libro para el maestro tiene como propósito facilitar su manejo, actualización y mejoramiento, así como proporcionar material de estudio adecuado para los maestros que deseen profundizar en la enseñanza de una asignatura, a lo largo de todo el ciclo de la educación primaria. La nueva presentación integra abundantes propuestas para la enseñanza de los contenidos y la utilización del libro de texto y otros materiales educativos de cada asignatura y grado
escolar. Adicionalmente, los maestros recibirán el Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Cuarto grado y podrán consultar el Avance programático. Cuarto grado. Educación básica. Primaria, recurso auxiliar para planear y organizar la secuencia, dosificación y articulación de contenidos y actividades de enseñanza. Este Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado no tiene una finalidad directiva ni es su pretensión indicar a los profesores, de manera rígida e inflexible, lo que tienen que hacer en cada clase o en el desarrollo de cada tema. El contenido del libro y su presentación parten de reconocer la creatividad del maestro y la existencia de múltiples métodos y estilos de trabajo docente. Por esta razón, las propuestas didácticas son abiertas y ofrecen amplias posibilidades de adaptación a las formas de trabajo del maestro, a las condiciones específicas en las que realiza su labor y a los intereses, necesidades y dificultades de aprendizaje de los niños.
El Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado, además de ser un recurso práctico para apoyar el trabajo en el aula, se ha concebido como un medio para estimular y orientar el análisis colectivo de los maestros sobre su materia de trabajo, ya sea que se realice de manera informal o como actividad del Consejo Técnico. Igualmente, el libro será material básico de actividades y cursos de actualización profesional. Los planes y los programas de estudio, los libros de texto gratuitos y otros materiales didácticos, destinados a los maestros y a los alumnos, son instrumentos educativos que deben ser corregidos y mejorados con frecuencia y sistemáticamente, a la luz de los resultados que se obtienen al utilizarlos en la práctica. Es por ello que la Secretaría de Educación Pública reitera la atenta invitación hecha a los profesores de educación primaria para que envíen a esta dependencia sus opiniones y recomendaciones relativas al mejoramiento de los instrumentos educativos mencionados y en particular del presente libro. Secretaría de Educación Pública
ta a cada miembro de la comunidad enfrentar y dar respuesta a los problemas matemáticos que se presentan en la vida moderna dependerá en gran medida de las habilidades y nociones desarrolladas durante la educación primaria, así como de los conocimientos construidos dentro y fuera de la escuela. El tipo de experiencias que tengan los niños durante el proceso de enseñanza, estudio y aprendizaje de las matemáticas en la educación primaria, determinará también las actitudes que asuman ante los problemas que requieran el uso de esta disciplina. El Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria plantea estudiar en las aulas una matemática que permita a los alumnos construir conocimientos a través de la resolución de situaciones problemáticas que despierten su interés y su deseo de búsqueda de soluciones. Paralelamente, la propuesta pretende ofrecer a los alumnos la oportunidad de desarrollar habilidades para estimar, medir, comunicar (de manera oral y escrita), operar (mentalmente y con los algoritmos usuales) para hacer inferencias y generalizaciones. Asimismo, se pretende que el alumno disfrute al hacer matemáticas, desarrollando su creatividad e imaginación. La comprensión y uso de conceptos matemáticos, el dominio de los algo7
La formación matemática que permi-
ritmos usuales y la habilidad para resolver diversos problemas se apoya firmemente en la evolución de los conocimientos previos. La evolución de éstos se dará en la medida en que el maestro proponga diversos retos a sus alumnos. El papel del maestro es fundamental como mediador entre los saberes de los alumnos, las situaciones de aprendizaje y el conocimiento matemático que tiene rango social. Por tanto, las situaciones de aprendizaje que los maestros pueden proponer constituyen la materia prima necesaria para generar hipótesis, estrategias y procedimientos por parte de los alumnos. Dada la dificultad para diseñar diversas situaciones de aprendizaje, los maestros de educación primaria cuentan con un repertorio importante en los libros de texto gratuitos y en los ficheros de actividades didácticas.
Propósitos generales del grado
Con fundamento en este enfoque se espera que, a lo largo del cuarto grado, el alumno logre obtener experiencias significativas en las que: • Desarrolle la habilidad para leer, escribir, ordenar, ubicar en la recta numérica y comparar números naturales hasta de cinco cifras y números decimales hasta centésimos.
• Desarrolle estrategias para estimar y calcular mentalmente el resultado de problemas de suma, resta y multiplicación. • Desarrolle la capacidad para reconocer, plantear y resolver problemas que impliquen el algoritmo de las cuatro operaciones fundamentales. En el caso de la división, con divisores hasta de dos cifras. • Resuelva problemas que impliquen el uso de fracciones en situaciones de reparto, medición, comparación, equivalencia u orden. • Resuelva problemas que impliquen el uso y equivalencia de unidades de longitud, peso, superficie, capacidad y tiempo para profundizar en el estudio del Sistema Métrico Decimal.
• Adquiera, a través de la comparación de giros, la noción de ángulo y la capacidad para medirlos en fracciones de vuelta o en grados. • Desarrolle la habilidad para elaborar e interpretar croquis y representar puntos y desplazamientos en el plano. • Desarrolle la habilidad en el manejo de diferentes instrumentos de geometría para trazar líneas paralelas y perpendiculares, figuras, ejes de simetría y desarrollos planos de cuerpos geométricos. • Use las tablas de variación proporcional directa en la resolución de problemas. • Desarrolle la capacidad de recolectar, organizar, comunicar e interpre-
tar información que provenga de encuestas, tablas, gráficas, pictogramas, etcétera. • Adquiera la capacidad de estimar los resultados de diferentes juegos de azar, utilizando los términos “más probable que” y “menos probable que”, los registre y los organice en tablas de frecuencias.
Los contenidos de Matemáticas, a lo largo de la educación primaria, se han organizado alrededor de seis ejes: • Los números, sus relaciones y sus operaciones • Geometría • Medición • Tratamiento de la información • Procesos de cambio • La predicción y el azar En cuarto grado se introducen contenidos correspondientes al eje “Procesos de cambio”, los cuales se tratarán con mayor profundidad en los siguientes grados de la educación primaria. La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno
deban tratarse de manera aislada o independiente. Ha de buscarse sistemáticamente la interrelación entre los contenidos correspondientes a cada uno de los diferentes ejes. Cabe señalar, por otra parte, que tal interrelación debe tratar de hacerse de manera natural sin forzar la incorporación de otros contenidos. Por ejemplo, en la actividad que consiste en trazar figuras con igual perímetro, pero diferente área (véase la lección “Hilaza para el contorno”, p. 42) se trabajan varios contenidos: la medición con el centímetro cuadrado, la multiplicación y el trazo y manejo de formas geométricas, entre otros.
Recomendaciones didácticas generales Para
que las matemáticas puedan disfrutarse, su enseñanza debe incluir informaciones y aplicaciones útiles e interesantes para el niño. Al enseñar matemáticas no sólo se pretende promover aprendizajes significativos, sino también fomentar el gusto por esta asignatura. Esta nueva presentación de la matemática está más cerca de los intereses infantiles; es una matemática atractiva y lúdica, pero también útil y significativa. Con base en esta idea se trabaja a partir de situaciones propias de la cultura infantil, presentando una matemática más cercana al niño. Los animales y las plantas, los juegos, la lectura, los libros y el periódico infantil –entre otros– son soporte y contexto de los contenidos matemáticos. Por lo mismo, se han incorporado noticias periodísticas, notas deportivas, sorteos, anuncios, carteles, datos sobre animales, plantas y fenómenos naturales. El objetivo es que, paralelamente al aprendizaje de las matemáticas, los niños manejen información diversa y se interesen por indagar sobre temas de otras asignaturas o intereses personales que apenas se tocan. Por esta razón en el libro del alumno no aparecen definiciones formales; éstas son, en todo caso, la conclusión
de actividades realizadas a lo largo de una o varias sesiones.
El papel del profesor en la enseñanza de las matemáticas
La participación del profesor es esencial para el éxito de esta propuesta. Es el organizador, el coordinador de las actividades, el que orienta a los alumnos en las dificultades, quien sugiere fuentes de información y da apoyo adicional cuando es necesario. Sin el apoyo del profesor en la lectura, algunas páginas del libro de texto probablemente resulten incomprensibles para el niño. Un ejemplo de esto son las lecciones dedicadas al algoritmo de la multiplicación y al de la división (véase Matemáticas. Cuarto grado, pp. 34, 60, 104 y 108). Puede decirse que estas lecciones requieren especialmente de la participación directa del profesor. Con base en ellas puede, como mediador del diálogo con el libro, ayudar a los niños a entender los algoritmos y otras nociones asociadas a la multiplicación y a la división. La actividad central del maestro en la enseñanza de las matemáticas va mucho más allá de la transmisión de conocimientos, definiciones y algoritmos matemáticos:
• Selecciona problemas matemáticos que sean adecuados para propiciar el aprendizaje de los distintos contenidos. • Elige actividades para favorecer que los alumnos pongan en juego los conocimientos matemáticos que poseen, graduándolas de acuerdo con su nivel. • Propone situaciones que contradigan las hipótesis de los alumnos, favoreciendo la reflexión sobre los problemas y la búsqueda de nuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientos matemáticos. • Promueve y coordina la discusión sobre las ideas que tienen los alumnos acerca de las situaciones que se plantean, mediante preguntas que permitan conocer el porqué de sus respuestas.
como la promoción y enriquecimiento de las concepciones iniciales del alumno, mediante un proceso que, a través de la presentación de situaciones concretas, lo llevan a abandonar, modificar o enriquecer dichas concepciones, y a acercarse paulatinamente al lenguaje y los procedimientos propios de las matemáticas, sin olvidar que dicho proceso es largo y complejo. Los conocimientos previos y los procedimientos iniciales de los niños en la resolución de problemas deben ser, en el discurso y en los hechos, el punto de partida para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos.
La resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos
Con el propósito de que los alumnos aprendan matemáticas a través de la resolución de problemas, se pide a los niños que los resuelvan utilizando sus propias estrategias y recursos, sin imponerles restricciones ni indicarles caminos precisos; como el algoritmo convencional. Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema, utilizando las operaciones que conocen o con otros procedimientos (con material, dibujos, cálculo mental, etcétera), por lo general encuentran, al menos, una forma de aproximarse a la solución. Dichas estrategias se deberán dar a conocer al grupo para determinar cuáles llevaron a la solución del problema y cuáles no. Comparar las estrategias pertinentes favorece que los alumnos observen
La enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas se apoya en la idea de que los niños tienen, además de los conocimientos aprendidos en la escuela, conocimientos adquiridos en la calle, en la casa, en los juegos, etcétera, que les permiten solucionar problemas diversos. Al resolver las situaciones que el maestro les presenta, los niños utilizan los conocimientos y concepciones construidos previamente. Por ello, la enseñanza de las matemáticas se entiende
que unas son más sencillas que otras, es decir, más económicas, y que éstas les permiten llegar con mayor facilidad a la solución del problema. De manera paulatina, a través del diálogo entre los compañeros, el maestro y el libro de texto, los niños evolucionarán en sus procedimientos de solución, aproximándose a los procedimientos convencionales. Posteriormente, el maestro deberá proponer el procedimiento convencional como una forma más económica para encontrar la solución. Es probable que después de que se les haya enseñado el procedimiento usual, los alumnos continúen utilizando sus estrategias con las que los han resuelto. Es recomendable permitírselos y después recordarles que también pueden resolverse con el procedimiento convencional enseñado. Poco a poco, en la medida en que los alumnos comprendan este último procedimiento se apropiarán de él y lo utilizarán para resolver problemas. Mediante este proceso se espera que las expresiones matemáticas y los algoritmos de cálculo convencionales tengan sentido y sean de utilidad para los niños. De acuerdo con lo anterior, para llegar al procedimiento usual de cada una de las operaciones aritméticas, los niños deben resolver primero diversos problemas mediante sus propios recursos; éstos implican la búsqueda creativa de variados caminos, ensayos y errores. Este acercamiento paulatino a los algoritmos convencionales permitirá al alumno comprenderlos, cuando se enfrente a ellos. Por otra parte, la
posibilidad de resolver problemas con sus propios recursos facilitará al estudiante desarrollar su capacidad de razonamiento. Es importante señalar que al permitir a los niños usar sus propias estrategias no sucede que cada uno utilice una estrategia diferente y que, por lo tanto, el maestro tenga que conciliar 30 o 40 procedimientos distintos para cada problema. Los estudios realizados al respecto muestran una regularidad en los recursos que los niños utilizan. Es decir, no aparecerán más que un número manejable de estrategias de resolución que obedecen al momento de desarrollo conceptual en el cual los niños se encuentran. Por otra parte, la discusión misma les permitirá adoptar aquellas estrate-
gias utilizadas por sus compañeros que consideren mejores. Interrogantes como: ¿qué forma de resolver este problema les gustó más? ¿Con cuál procedimiento pueden resolver más rápido el problema?, son cuestionamientos clave que el maestro puede formular para promover la comparación de estrategias y llevar a los niños a seleccionar las que les parezcan más económicas. Es recomendable que el maestro proponga también problemas que tengan diferentes respuestas correctas, con el propósito de que los alumnos no se acostumbren a resolver sólo problemas con respuestas únicas (véase, por ejemplo, “El puesto de tortas”, libro de texto, p. 180). Antes de presentar o redactar un problema es importante que el maestro tenga claro qué propósito se persigue. Por otro lado, debe asegurarse que el problema cumpla con determinadas condiciones:
• Que responda a una necesidad o interés del niño. • Que despierte el interés de búsqueda para resolverlo. • Que pueda expresarse en varios lenguajes (aritmético, geométrico, gráfico, etcétera) y que sea posible la traducción de uno a otro. • Que su grado de dificultad no sea tan alto como para desanimar a los alumnos. • Que a veces los problemas tengan más de una respuesta correcta. Desde esta perspectiva la resolución de problemas es fuente y criterio de verdad de los conocimientos para el niño. Se aprende al resolver problemas nuevos porque se construyen conocimientos para poder hacerlo; se aprende también cuando se aplican los conocimientos a situaciones diversas porque se abstrae y se generaliza el
saber anteriormente construido. Es ahí donde se muestra la solidez y validez de los conocimientos.
El diálogo y la interacción en la clase de matemáticas
Ésta es una propuesta para dialogar con el compañero de banca, con los compañeros de equipo, con el maestro y para interactuar con la información escrita y con las ilustraciones del propio libro o de otras fuentes. Se aprende más y más rápidamente si se dialoga con los compañeros y con el maestro. Escuchar las opiniones de los demás, preguntar, refutar, comparar y argumentar redunda en beneficio de alumnos y maestros. El grupo es una instancia educadora, y el texto, material fundamental con que se cuenta en las escuelas, promueve desde sus páginas el diálogo, la confrontación y el aprendizaje en grupo. En la construcción de conocimientos, la interacción entre compañeros y alumnos con el maestro juega un papel fundamental. La confrontación de estrategias y respuestas ayuda a los niños a percatarse de que puede haber mejores formas para solucionar un problema determinado; también permite ayudar a los compañeros menos avanzados en el proceso de aprendizaje, así como a los más adelantados, a verificar respuestas y enriquecer conocimientos. Se espera que en este diálogo el niño construya los conocimientos y desarrolle las habilidades matemáticas planteadas para el cuarto grado.
El diálogo, la confrontación y el convencimiento deben prevalecer en el proceso educativo. Aprovechar los momentos en los que los alumnos resuelven alguna situación problemática con procedimientos propios y no convencionales para comunicarlo al resto del grupo es una tarea que se debe llevar a cabo todos los días. El hecho de explicar los procedimientos permite que sea el propio niño quien convenza a los otros de su validez, sin que deba esperar una respuesta externa que apruebe sus acciones, lo que contribuye a fortalecer la seguridad del alumno. El maestro también debe tener en cuenta que no todas las respuestas de los niños son correctas, por lo que es necesario analizar tanto los procedimientos que llevan a una solución acertada como los que no. Es formativo, para clarificar la naturaleza del error, que el alumno sepa por qué con determinados procedimientos no es posible resolver el problema. Esto se puede lograr si el maestro propicia un clima para que los niños expliquen la lógica de sus estrategias, identifiquen sus errores y los corrijan. Este proceso ayuda a disminuir la frustración que genera el no resolver correctamente un problema matemático. El maestro, entonces, debe considerar que durante la enseñanza y el aprendizaje hay tres momentos en el planteamiento de un problema o actividad: • Cuando el maestro organiza a su grupo en equipos, en parejas o de
manera individual y en el que se plantea la actividad. • Cuando los niños se hacen cargo del problema, es decir, en el momento en que los alumnos realizan las acciones que consideran pertinentes para resolverlo y en el que el maestro observa cómo lo hacen. • Cuando se discuten, se validan, se socializan los procedimientos encontrados por los alumnos y se analizan sus ventajas y sus desventajas.
El uso del libro de texto y las fichas didácticas
Los materiales con los que el maestro cuenta para trabajar en el transcurso del año escolar son: el libro para el maestro, el libro de texto, un fichero de actividades didácticas y el avance programático. El libro del alumno ayuda al profesor a organizar la clase porque contiene los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada concepto. Es decir, en cada lección se presenta una situación problemática a partir de la cual se derivan actividades, preguntas, discusiones, simbolizaciones y ejercicios de aplicación que, en conjunto, permiten lograr los propósitos del tema en cuestión. Las ilustraciones del libro de texto juegan un papel fundamental para la solución de ejercicios y problemas, por lo que el alumno deberá entender que no son únicamente decorativas y tendrá que aprender a interpretarlas. Las
consignas incluidas en las lecciones, como “Compara tu procedimiento o tu resultado con tus compañeros”, “Organízate en equipo” o “Trabaja con un compañero” se incorporan porque la dificultad o la novedad de la tarea hacen necesaria la ayuda mutua, el intercambio de puntos de vista y la conjunción de ideas para promover el aprendizaje colectivo y la reflexión individual. Las situaciones problemáticas que se plantean en el libro no presentan explicaciones de cómo resolverlas o definiciones conceptuales, pues su propósito es que los alumnos, de manera individual, por grupos o en parejas, aborden las lecciones de acuerdo con las consignas señaladas, para que busquen estrategias de solución, discutan y reflexionen sobre sus procedimientos que, finalmente, los llevarán al conocimiento deseado. Además, las actividades propuestas en las fichas didácticas son sugerencias complementarias que apoyan y enriquecen la propuesta contenida en el libro del alumno, mismas que el maestro podrá utilizar cuando lo considere
necesario –porque hay que reforzar algún tema o porque las actividades incorporadas en el libro no son suficientes– antes o después de tratar algún tema, adaptarlas y proponer otras actividades que el propio maestro considere pertinentes. En el avance programático se sugiere una forma de integrar las actividades de ambos materiales; el maestro debe tomar en cuenta que hay algunas lecciones que introducen al tema y otras que requieren de actividades previas, como las que se sugieren en las fichas didácticas. En cualquiera de los dos casos el libro de texto contiene los puntos clave del proceso de aprendizaje. Al maestro le corresponde iniciar, adaptar o ampliar la secuencia propuesta en el libro, utilizando las actividades y problemas propuestos en las fichas.
ron que realizar dichas acciones con el material. En cambio, si plantea el problema, les entrega el material y les da libertad de usarlo como ellos consideren conveniente para encontrar la solución, los niños pondrán en juego sus conocimientos sobre la situación planteada, echarán mano de experiencias anteriores y utilizarán el material como un recurso que les ayude a resolver los problemas. En muchas de las actividades que realizan los niños de cuarto grado, el material concreto es necesario. Algunas veces lo utilizan como un instrumento que permite buscar, construir y llegar a la solución de un problema. Éste es el caso de las secuencias planteadas para la medición de longitudes usando fracciones, cuya comprensión y manejo sería prácticamente inaccesible sin el apoyo del material concreto (véase, por ejemplo, “La tienda del pueblo”, p. 14). En otras ocasiones el material es un instrumento que permite verificar las hipótesis y soluciones anticipadas por los niños, por ejemplo, cuando se utiliza para comprobar si la estimación del resultado de un cálculo o una medición son o no correctos. En este sentido, el papel del material concreto es fundamental, dado que uno de los propósitos de la educación primaria es que los alumnos desarrollen la habilidad para calcular, estimar y verificar sus resultados. La mayor parte del material que se utiliza durante el año se ha incorporado en el libro de texto. Éste está compuesto por 19 recortables y puede completarse
Si bien el empleo de material concreto en los primeros grados es indispensable, en cuarto grado también es muy importante para continuar con la construcción o el desarrollo de muchos conocimientos matemáticos. Generalmente se asocia la palabra actividad a la manipulación de objetos. Si para resolver un problema el maestro entrega el material a los alumnos y les indica la manera en que deben utilizarlo aprenderán a seguir instrucciones, pero muy probablemente no podrán comprender por qué tuvie-
con corcholatas de colores, semillas, etcétera. De este modo, cuando el maestro lo necesite, tendrá el material suficiente para desarrollar su curso. Se sugiere que el profesor solicite ayuda a los padres de familia cuando la tarea de recortar sea difícil para los niños. También será conveniente guardar el material en un sobre o en una bolsa con el nombre de cada alumno. La intención es que se conserve todo el año y pueda utilizarse cuantas veces sea necesario. Otros materiales que el maestro debe utilizar para el desarrollo de los temas son: periódicos, revistas infantiles, los Libros del Rincón editados por la Secretaría de Educación Pública u otros, como fuentes de situaciones para el trabajo matemático. El uso de estos materiales ayudará a que los
problemas sean más interesantes, reales y atractivos para los niños. Asimismo, permitirá relacionar la matemática con otras asignaturas del plan de estudios. Por ejemplo, pueden establecerse relaciones con Geografía a través de la lectura y la elaboración de croquis y mapas; con Historia, mediante el cálculo de los años que han transcurrido desde determinado acontecimiento al elaborar la “línea del tiempo”; con Ciencias Naturales, a partir de situaciones basadas en datos referentes a los hábitos, la alimentación o el peso de algunos animales y además apoyará la lectura, actividad fundamental en la formación de los niños propia de Español y, desde luego, en el aprendizaje de las matemáticas.
4. LA TIENDA DEL PUEBLO
En la tienda del pueblo hay de todo un poco, así, las personas no tienen que ir tan lejos para comprar lo que necesitan. 1 Don Rodolfo encargó unos clavos a su sobrino Juan, le dio dinero para comprarlos y una tira de papel para medirlos. La tira era de este tamaño: En la tienda Juan pidió clavos de tres tamaños: de una tira de media tira de una tira más un medio de tira El dueño de la tienda le mostró clavos de varios tamaños para que Juan escogiera.
El dueño de la tienda dice que el clavo dibujado abajo mide 1 + 1 de tira. Utiliza el procedimiento 4 de Rosa para encontrar la tira con la que se midió el clavo y táchala.
Tira A Tira B Tira C
Según el dueño de la tienda, la broca mide 1 + 1 8 medir?
de tira. ¿Cuál de las tres tiras usó para
Averigua cuánto miden el clavo, el tornillo y la broca, usando como unidad de medida la siguiente tira.
Marca los clavos que debió escoger Juan. 2 Observa cómo algunos niños encontraron los clavos que debió escoger Juan. Yo hice una tira igual a la que está dibujada y la doblé en cuatro partes iguales para medir. Yo nada más al tanteo vi cuáles eran.
Yo marqué la longitud de la tira en la orilla de una hoja de papel y así pude medir los clavos.
¿Cuánto mide el clavo? ¿Cuánto mide el tornillo? ¿Cuánto mide la broca? 6 El dibujo de abajo es una tira dividida en partes iguales. ¿En cuántas partes está dividida?
1 Colorea de rojo 1 de la tira, de azul 1 de la tira, de verde 1 de la tira y de amarillo 16 4 8 2
Y tú, ¿cómo supiste cuáles clavos debió escoger Juan? Comenta tu respuesta con otros compañeros y con tu maestro.
¿Qué parte de la tira quedó sin colorear?
Los números, sus relaciones y sus operaciones Los números naturales
Este eje tiene como uno de sus objetivos centrales el estudio y uso del sistema de numeración decimal. El rango que se trabaja en el cuarto grado es el de las decenas de millar. Para el trabajo en esta dirección el maestro deberá tener en cuenta que, con frecuencia, los niños conocen los números más allá de lo que han aprendido en la escuela, debido a que los utilizan funcionalmente. Se parte de la idea de que los alumnos reconocen y usan los números en rangos mayores a los previstos en la escuela para resolver situaciones y problemas que se les presentan en las diversas actividades que desarrollan en sus juegos y en sus compras. Para iniciar el trabajo con la numeración se sugiere promover el reconocimiento y uso de los números que los niños conocen, a través de preguntas como: ¿qué números conoces? ¿Dónde has visto números? ¿Qué números sabes escribir? ¿Cuál es el número más grande que conoces? ¿Cuál es el más pequeño? ¿Qué número va primero, el mil o el dos mil? ¿Cuál va antes del ...? ¿Cuál va después del...? Las respuestas a preguntas como éstas, así como su discusión, permitirá al maestro conocer el rango de números que sus alumnos manejan oralmente o por escrito y, además, iniciar el trabajo con números a partir de sus experiencias y de sus conocimientos. En esta etapa también es importante promover que los alumnos identifiquen números y reflexionen sobre los
que ven en los precios, los anuncios, los domicilios, el periódico, las placas de los autos, etcétera. Es decir, se trata de que manejen los números y reflexionen sobre ellos en situaciones en las que son útiles. Con base en esta idea, en los primeros bloques el trabajo sobre esta temática se inicia con la lectura de números en situaciones que les den significado, por ejemplo, en “El sorteo” y “Cuadros y números”, páginas 12 y 50. A partir de la lectura de los números que aparecen en precios, anuncios, etcétera, se realiza un primer trabajo de comparación, ordenación, identificación y descomposición de números. Paulatinamente se logrará una ordenación más sistemática –y con rangos más amplios– de la serie numérica. La construcción de series numéricas cortas, orales y escritas son también actividades en las que se pueden hacer reflexiones interesantes. Por ejemplo: señalar como punto de partida el número 20 000 y solicitar a los niños escribir los 10 números que van antes y los 10 números que van después; esto los hará reflexionar sobre los principios que subyacen a la escritura de dichos números. La elaboración de series con intervalos amplios (como podría ser contar de 50 en 50, de 100 en 100, de 250 en 250, de 500 en 500, de 1000 en 1000, etcétera) permitirá observar otras regularidades en la serie numérica. En síntesis, se propone que a lo largo del año los niños manejen significativamente los números, hasta de cinco cifras, sin necesidad de hacer series numéricas largas y aburridas. Para
apoyar dicha tarea, a continuación se proporcionan al maestro algunas sugerencias generales que pueden realizarse a lo largo del año escolar.
El tablero (véase la página 25 de este libro) es un material que puede ser elaborado por los alumnos; se sugiere utilizarlo para representar números, para conocer y estudiar la serie numérica y el valor posicional de las cifras, así como para desarrollar la habilidad del cálculo mental en los alumnos. El uso del tablero puede hacerse más interesante a medida que avanza el año escolar si las preguntas o consignas a partir de las cuales se trabaja se van haciendo cada vez más complejas. En este grado las fichas para representar a los números en el tablero no tienen color diferente como en los grados anteriores; la intención es que el alumno se dé cuenta de que el valor del número es por el lugar que ocupa y no por el color que tiene; es probable que en el transcurso del año se abandone el uso de este material, pero será el avance y dominio del tema por parte de los alumnos lo que marcará la pauta para dejar a un lado estos materiales.
El uso de material concreto para representar cantidades favorece que los
alumnos entiendan la regla de cambio “diez por uno” del sistema de numeración decimal y, a la vez, favorece la comprensión del valor relativo de las cifras contenidas en un número. En la lección “Cajeros y clientes”, página 104, los alumnos trabajan diversos aspectos que implican el aprendizaje de los números, además de las equivalencias propias y naturales que se trabajan en contextos de dinero. Dentro del sistema decimal de numeración se manejan diferentes maneras de representar el mismo número y se continúa con la secuencia didáctica de actividades orientadas al estudio del algoritmo de la división.
las lecciones y de la resolución de problemas. Una vez que el niño ha comprendido lo que se desea al plantear un problema, se le debe conducir hacia la estimación del resultado o pedirle que haga el cálculo mental, sin olvidar que tanto la estimación como el cálculo mental sólo adquieren sentido si el niño los compara con el resultado exacto del problema planteado. La frecuencia con la que se practique este tipo de cálculos permitirá, entre otras cosas, que el alumno discrimine un resultado lógico de otro que no lo es y genere procedimientos propios cuando lleve a cabo operaciones por vías distintas a los algoritmos convencionales. Solicitar a los niños el cálculo mental aproximado de operaciones o problemas y después verificar sus resultados realizando cálculos escritos o utilizando la calculadora puede ser una forma habitual de trabajar. Por ejemplo, se pueden plantear algunas
La anticipación de resultados, así como el cálculo mental son actividades que deberán desarrollarse durante todo el año, ligadas al desarrollo específico de
preguntas como las siguientes para estimar el resultado de un problema que implique multiplicar 12 × 8: ¿cuál creen que será el resultado? ¿Será más de 100 o menos de 100? ¿Estará entre 100 y 150, o entre 150 y 200? Después de esta etapa de estimación puede indicarse a los alumnos que calculen mentalmente el resultado exacto. Por ejemplo, sin multiplicar directamente por 8. Es conveniente, después del ejercicio, registrar las diferentes maneras que surgieron del grupo y discutir la estrategia utilizada en cada caso; este ejercicio es sumamente interesante por los resultados que arroja: 12 × 8 = 12 × 4 × 2 12 × 8 = 12 × 10 – 12 × 2
Por último, los alumnos deberán resolver la operación para verificar sus resultados. Es conveniente proponer a los alumnos la búsqueda de errores para posteriormente discutirlos en clase, argumentando en qué consiste el error (véase la página 26 de este libro).
El conteo, y en particular el conteo de cantidades grandes de objetos, es una actividad importante para desarrollar la intuición sobre los números e ideas claras acerca de su magnitud. Pedirle a los niños que cuenten la cantidad de corcholatas que hay en una caja, la cantidad de garbanzos que contiene un frasco, etcétera, les permitirá tener una idea más precisa de lo que es una centena, un millar, cinco mil, diez mil, etcétera. Los niños probablemente empezarán a contar “de uno en uno”, pero, a medida que avancen, se darán cuenta de que es mejor buscar otras estrategias para contar, por ejemplo, hacer grupos y sumar la cantidad que tiene cada grupo. La realización frecuente de actividades como las que se acaban de señalar permitirá al maestro llevar a sus alumnos a la comprensión de la magnitud de los números y del sistema decimal con el que los representamos. El profesor encontrará en el libro del niño (véase, por ejemplo, “Un montón de lentejas”, p. 24) y en el fichero de actividades algunas sugerencias para el desarrollo de estas nociones.
El uso de la calculadora se ha restringido en la escuela primaria, entre otras razones por el temor de los maestros y padres de familia de que este instrumento evite que los niños aprendan a efectuar (sin calculadora) las operaciones básicas. Sin embargo, numerosas experiencias en el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas han podido constatar que el uso controlado de la calculadora en ciertas actividades específicas, lejos de obstaculizar el aprendizaje lo favorece. Por ejemplo, permite: • Plantear problemas cuya finalidad es que los alumnos establezcan relaciones adecuadas entre los datos y seleccionen, de manera autónoma, la o las operaciones con las que pueden resolverse. • Verificar resultados obtenidos mediante el cálculo mental o escrito. • Inferir los procesos que sigue la calculadora a partir del análisis de las teclas que se oprimen y de los resultados que arroja. Resolver problemas que requieren efectuar muchas operaciones o cálculos numéricos engorrosos. Por lo anterior, en algunas lecciones del libro de texto (véanse las páginas 17, 35, 93 y 181) y en las fichas 7, 12 y 40 del Fichero. Actividades didácticas. Matemáticas. Cuarto grado se incorporaron situaciones en las que se sugiere utilizar la calculadora.
Algunas de las actividades del fichero permiten indagar los conocimientos previos de los alumnos acerca de los números, favorecen el aprendizaje de la serie numérica oral y escrita y de las operaciones de suma y resta. Otras propician el cálculo mental y la estimación de resultados, mismos que se verifican con el auxilio de la calculadora.
Es conveniente que antes de aplicar las actividades, el maestro las experimente usando diferentes tipos de calculadoras, pues no todas funcionan de la misma manera. Por ejemplo, con cualquier calculadora es posible construir sucesiones numéricas de 1 en 1, de 2 en
2, etcétera. Sin embargo, no siempre se procede de la misma forma. Si tiene a la mano dos o tres calculadoras sencillas de diferente modelo y marca, probablemente encontrará distintos resultados al ejecutar, en cada una, las siguientes instrucciones: 1. Encienda la calculadora (en la pantalla aparece el 0). 2. Oprima las teclas para realizar la siguiente suma: 17 + 3 (en la pantalla aparece primero el 17 y luego el 3). 3. Oprima tantas veces como desee, la tecla = y observe cada vez el número que aparece en la pantalla. Es probable que en alguna de las calculadoras obtenga la siguiente sucesión de números al oprimir repeti23
damente la tecla =: 20, 23, 26, 29, 32, 35... En otra calculadora tal vez los resultados sean: 20, 37, 54, 71, 88, 105... otra quizás arroje los siguientes resultados: 20, 20, 20... Puede observarse que en el primer caso (20, 23, 26, 29, 32, 35…), al oprimir consecutivamente la tecla =, la calculadora suma de manera constante el segundo sumando que se introdujo (17 + 3). En el segundo caso (20, 37, 54, 71, 88, 105…), se observa que la calculadora toma como constante el primer sumando (17 + 3) y en el tercer caso (20, 20, 20...), no se modifica el primer resultado. Para construir sucesiones numéricas con estas últimas calculadoras, tal vez se requiera oprimir dos veces seguidas el signo + (17 ++ 3 = = = …). Saber cómo funcionan las calculado-
ras que usan los alumnos permitirá al maestro coordinar con éxito las actividades propuestas. En algunas lecciones del libro Matemáticas. Cuarto grado se propone que los alumnos utilicen la calculadora para verificar resultados. En tales casos es importante que los alumnos resuelvan primero las actividades mediante el cálculo mental o con lápiz y papel y después usen la calculadora para verificar los resultados obtenidos.
ner estrategias definidas con las que aseguren ganar. Para construir una estrategia que les permita ganar sistemáticamente es necesario que jueguen varias veces el mismo juego, que conozcan y dominen sus reglas y analicen las jugadas. De esta manera el jugador, frente al juego, tiende a ser autónomo, ya que no aplica instrucciones dictadas por otro, sino que construye sus propias estrategias en la interacción con sus compañeros. Sin embargo, no todos los juegos son interesantes para el alumno, desde el punto de vista de las matemáticas que se aprenden ni todas las actividades que sirven para aprender son realmente juegos. El reto es entonces descubrir o construir actividades que
Cuando los alumnos practican por primera vez un juego lo hacen sin te-
14. EL VIVERO DE DON FERMÍN
¿Te acuerdas que en el vivero de don Fermín hay diferentes plantas frutales?
50 20 4 6
AGUACATES AGUACATES MAMEYES MANGOS
Resuelve las multiplicaciones que se indican para encontrar el resultado de 56 × 24
50 × 20 = 50 × 4 = 6 × 20 = 6 × 4 = Total =
56 × 24 =
NARANJOS NARANJOS NARANJOS GUANÁBANOS
Divide el rectángulo en cuatro partes como tú quieras y luego realiza los cálculos necesarios para encontrar el resultado de 73 × 38
× = = = = Total =
¿Cuántas plantas hay en total en el vivero? Averígualo utilizando el procedimiento que quieras y anótalo en tu cuaderno.
Resuelve las multiplicaciones de la derecha para calcular el número de plantas que hay de cada tipo. Observa el ejemplo:
20 × 10 = 200 10 × 10 = 30 × 10 = 5 × l0 = 5 × l0 = Total =
¿Cuántas plantas hay en total en el vivero? 3 El vecino de don Fermín dividió su terreno en cuatro parcelas. En cada una va a sembrar árboles diferentes. Observa el dibujo del terreno que está abajo y anota la multiplicación con la que se puede calcular el total de plantas que va a sembrar el vecino de don Fermín: Calcula la cantidad de árboles que se van a sembrar en cada parcela. ×
20 4 20 × 32 4 × 32
73 × 38 = Termina de resolver las siguientes multiplicaciones:
32 × 24 40
63 63 × 45 40 × 63
40 × 20 40 × 4
8 × 20 8×4
40 × 20 = 40 × 4 = 8 × 20 = 8×4= Total =
Practica: Usa tu calculadora para encontrar los resultados parciales y el resultado total de cada multiplicación. 55
× 20 60 × 47 72 × 59 86 × 48
¿Cuántas plantas en total va a sembrar el vecino de don Fermín?
Valor n ició y pos
Escrib e ¿Cuál con letra e lo ¿Y el s el suces s número suces s o or de r de 7 899 represent ¿Cuál 3 150 ados es el ? en el antec ? ¿Y el table a e ro. En los ntecesor d sor de 7 8 99? e 3 15 núme ¿Y el 0? ros d d el tab lero, ¿ Repre el 5? cuál e senta s el va pueda en el table s. lor de ro el n l 7? úmero de ma yor va lor qu e
ón imaci Est ra since
Une con una flecha la operación y el círculo en el que creas que se puede encontrar el resultado.
Es menor que 100 Está entre el 200 y el 300
=? 1111=? 54 xx 54
Calcula mentalmente el resultado y anótalo. Compara tu resultado con los de tus compañeros. Explica tu procedimiento y escucha los de tus compañeros. ¿Qué procedimiento les pareció mejor? ¿Por qué? Inventa un problema que se resuelva con esa operación.
Está entre el 100 y el 200
35 x 8= ?
Es mayor que 300
25 x 9=?
ro núme Un ez a la v
4 5 6 7 8 9 10 8 10 12 14 16 18 20
6 9 12 15 18 21 24 27 30 8 12 16 20 24 28 32 36 40
x8 16072
5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
B 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
Td es 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72omoos80cribieron los ¿Có mismo Invent lograste de sn a un p s comple 90roblem cubrir los n úmeros? 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 taste. a que se r úmeros qu esuelv e a con faltaban? la ope ración 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 que
¿Que número va en cada hueco? Compara tu respuesta con la de tus compañeros.
sean realmente juegos para los niños y que, a la vez, propicien aprendizajes interesantes de matemáticas (véase la página 27 de este libro). En los libros Juega y aprende matemáticas y Los números y su representación, de la colección de Libros del Rincón (SEP) el maestro podrá encontrar, entre otros, algunos juegos que permiten al niño profundizar, afianzar o introducir diversos aspectos del sistema de numeración decimal. Por ejemplo, en el juego “La pulga y las trampas” del libro Juega y aprende matemáticas, los alumnos aplican los conocimientos que poseen sobre series con intervalos constantes.
plantean y no necesariamente en el tamaño de los números. Por ejemplo, en “La rueda de la fortuna”, página 16 del libro de texto, se plantean problemas como los siguientes: • A la rueda de la fortuna subieron 23 personas, ¿cuántos lugares quedaron vacíos? (En la ilustración se observa que caben 32 personas en la rueda.) • Rosa dijo: cuando me subí al látigo íbamos 25 personas y quedaron 19 lugares vacíos, ¿cuántas personas caben en el látigo? Los problemas se pueden expresar, respectivamente, como se muestra en seguida: 23 + ___ = 32 25 + 19=___
Las operaciones con números naturales es un tema central en la educación primaria. En este grado se utilizan las cuatro operaciones fundamentales. La multiplicación y la división se abordan con matices distintos a la adición y la sustracción. En relación con la adición y la sustracción se da énfasis a la resolución de problemas que implican alguna de ellas. Se deja de lado el trabajo relacionado con los algoritmos de esas operaciones, ya que desde el primer grado de primaria los alumnos realizan un amplio trabajo para comprenderlas y en tercer grado amplían sus conocimientos sobre el manejo de los algoritmos convencionales de la suma y de la resta. En cuarto grado, la complejidad del uso de la suma y la resta se centra en el tipo de problemas que se
En el primer problema identificar la resta como la operación que permite encontrar el dato no es sencillo, ya que los niños tendrán primero que hacer una inversión en el planteamiento inicial del problema: 23 + ___ = 32 — 32 – 23 = ___ Aunque este problema se resuelve con una resta muy simple, la identificación de la operación no es obvia para el alumno. Ninguno de estos dos problemas es sencillo para los niños que cursan cuarto grado, no obstante que no se involucran datos de más de dos dígitos. Para ellos resulta más difícil resolver problemas como éstos –aun teniendo números pequeños– que resolver al-
gunos problemas con números de cuatro o cinco cifras, en los que la suma o la resta son identificadas fácilmente. Un ejemplo sería: • En su trabajo Gerardo ganó $ 3 176 y le dio $ 1875 a Lalo, ¿cuánto dinero le quedó? A pesar de que los datos de este problema involucran números de cuatro cifras, por diversas razones es de fácil resolución. La primera de ellas es que la palabra quedó anuncia a los niños la resta; la segunda razón es que el problema tiene la incógnita al final: 3 176 – 1875 = ______ Por lo anterior, a lo largo del programa y en los materiales de apoyo se ha establecido una diferencia entre la dificultad en el uso del algoritmo y la dificultad en la resolución de problemas. En el primer problema de la rueda de la fortuna la dificultad radica en la identificación de la resta como operación que resuelve el problema, mientras que en el problema del dinero la dificultad se ubica en el dominio del algoritmo. El maestro debe apoyar ambos aspectos de las operaciones; teniendo la precaución de trabajar las “técnicas de cálculo” cuando éstas ya tengan significado para los niños, es decir, cuando las hayan identificado como instrumentos para resolver cierto tipo de problemas. La situación es diferente con la multiplicación y la división. Probablemente los niños todavía no dominan ambos algoritmos, por lo tanto, en este
grado deberán ser tratados por el profesor de manera especial. La multiplicación se inicia con una síntesis del tratamiento que se hizo en tercer grado, basado en la descomposición de arreglos rectangulares (véase, por ejemplo, “El vivero de don Fermín”, p. 34). Posteriormente, a partir de la misma estrategia se amplía el rango de números hasta que se presenta el procedimiento usual para resolver multiplicaciones. Se espera que la descomposición de una multiplicación en arreglos rectangulares haga más comprensible a los niños el algoritmo de tal operación. No solamente se maneja la multiplicación con la idea de arreglos rectangulares, también se utiliza en problemas de variación proporcional directa (véase, por ejemplo, “El mercado”, p. 10) y en problemas de combinatoria (véase, por ejemplo, “Combinaciones”, p. 168), la actividad consiste en combinar un número diferente de faldas y blusas para vestir a una muñeca. El maestro deberá hacer reflexionar a los alumnos sobre la relación entre el número de faldas, el de blusas y el total de combinaciones. Una vez que los alumnos han resuelto la situación con material concreto, se propone introducir la representación gráfica, como se muestra en la misma lección, para llegar, posteriormente, a la representación simbólica: 5 × 4 = 20
Desde segundo grado los alumnos resuelven problemas de reparto de objetos y en tercero se incluyen problemas de agrupamiento o tasativos, es decir, aquellos en los que se debe determinar cuántas veces cabe una cantidad en otra. Es importante continuar con este tipo de problemas en cuarto grado porque ayuda al alumno a profundizar en los diferentes significados de la división y se afianza la comprensión del procedimiento usual para dividir. A continuación se dan algunos ejemplos de problemas. El primero y el tercero son de agrupamiento o tasativos, y el segundo es de reparto. • Catalina debe colocar 250 manzanas en cajas con 6. Tiene 40 cajas. Quiere saber si le alcanzan o le sobran cajas. • A Yólotl, Carlos, Luis, César y Pamela les regalaron una caja de chocolates. La caja tiene 3 pisos. Cada piso
tiene 4 filas y cada fila tiene 5 chocolates. Deciden repartirlos en partes iguales. ¿Cuántos le tocan a cada quien? • Uriel, Paco y René quieren guardar sus dulces en bolsas. Deciden poner 10 dulces en cada bolsa. Uriel tiene 153 dulces; Paco 192 y René 214. ¿Cuántas bolsas necesita cada niño para guardar sus dulces? ¿Sobrarán dulces? ¿Podrán hacer otra bolsa con los dulces sobrantes? Con los ejemplos anteriores queremos ilustrar el hecho de que los niños no adquieren conocimientos en pequeñas dosis mediante la información que reciben del maestro. Más bien, lo que les permite construir su conocimiento es el proceso de poner constantemente a prueba sus propias hipótesis en las situaciones que se les presentan. Esta forma de trabajo constituye uno de los propósitos más importantes de esta propuesta.
La lectura de los diálogos que aparecen en el libro del alumno también permitirá a los niños aclarar dudas y corregir posibles errores. Esta actividad será un apoyo importante en la construcción y autoevaluación de las estrategias de resolución de problemas y de cálculos. En tercer grado los niños llegaron a conocer el procedimiento usual para dividir, pero es necesario un trabajo mucho más amplio para que poco a poco adquieran dominio sobre esta operación. La secuencia de situaciones que se plantea en el libro de cuarto grado comienza con el uso de distintos procedimientos para resolver problemas de división (véase, por ejemplo, “La huerta de don Fermín”,
y “Entre 10 y 100”, pp. 28 y 62). Entre una lección y otra el maestro debe proponer otros problemas similares para que los niños sistematicen y afirmen su conocimiento sobre la multiplicación al resolver problemas de división. Anticipar el resultado de la división, situándolo entre 1 y 10, entre 10 y 100, entre 100 y 1000 (véase, por ejemplo, “Entre 10 y 100”, p. 62) hará que el alumno infiera si el resultado de las operaciones efectuadas es absurdo o lógico. También es recomendable que antes de efectuar las divisiones los alumnos estimen el número de cifras que tendrá el cociente y verifiquen cada vez si su estimación fue o no correcta.
En cuarto grado se amplía el trabajo con las fracciones, enfatizando su uso en situaciones problemáticas en diferentes contextos, relacionados con la medición de longitudes, el peso de algunos objetos, la capacidad de algunos recipientes, así como en situaciones de reparto. La diferencia entre los problemas que se plantean en tercer grado y los de cuarto es el nivel de complejidad de las actividades y el tipo de fracciones con las que se trabaja. Además de trabajar con las fracciones cuyo denominador es dos, cuatro u ocho; se incluyen también los tercios, los quintos y las fracciones decimales.
Más que memorizar los términos de una fracción y saber distinguirlos es necesario que los alumnos le den un significado al numerador y al denominador. Este aspecto se aborda en la lección “Más galletas y más niños”, libro de texto, página 94, en la que se trabaja la noción de fracción como resultado de un reparto. Una vez resueltos los puntos 1, 2, 3 y 4 de la lección es conveniente que el maestro propicie un análisis sobre la relación que existe entre los datos del reparto y la fracción que representa el resultado del reparto, de tal manera que descubran que en el resultado de
4. ANIMALES QUE SALTAN
La pulga, el conejo y el canguro se desplazan por medio de saltos. El dibujo de abajo muestra que el canguro avanza una unidad en cada salto.
Saltos de canguro Saltos de conejo
En el dibujo se muestra la relación entre los saltos de los tres animales. ¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para igualar un salto del conejo?
¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para igualar un salto del canguro?
1+ 1 1+ 2
Observa el dibujo de arriba y contesta las siguientes preguntas: El canguro sale del 0 y salta 5 veces.
¿A qué número llega?
El canguro salió del 0 y llegó al número 9. ¿Cuántos saltos dio?
¿Cuántas veces tiene que saltar el conejo para igualar un salto del canguro?
¿Cuánto avanza el conejo en cada salto?
El conejo salió de 0 y llegó a 1. ¿Cuántas veces saltó?
Lee lo que dicen Flor, Rosa y Carmen:
El conejo salió de 0 y saltó 15 veces. ¿A qué número llegó?
El conejo salió de 3 y llegó a 1 + 2 . ¿Cuántas veces saltó?
Completa lo que falta de acuerdo con lo que se ve en el dibujo. En cada salto el canguro avanza: En cada salto el conejo avanza:
Llegó a 16 .
Llegó a 15 .
Llegó a 1+ 5 .
En cada salto la pulga avanza: llegar a 4 ? 10
¿Cuántos saltos tiene que dar el conejo para
¿Cuántos saltos tiene que dar la pulga para llegar al mismo lugar?
Anota los números que corresponden a los puntos señalados con letras. A: 25 , o bien, 2 + 5
¿Cuál de las tres niñas no tiene razón? Comenta tu respuesta con tus compañeros y tu maestro.
, o bien, , o bien,
E: 108 , o bien, 1+
, o bien, 1+
un reparto se pueden identificar el número de unidades que se repartieron y el número de elementos entre los que se hizo el reparto o que, mediante el análisis de los datos del reparto se puede anticipar el resultado. Por ejemplo, si se reparte 5 pasteles entre 3 niños a cada niño le toca 1 pastel + 1 + 1 de pastel, que es lo mismo 3 3 que . En la fracción 5 el numerador 3 indica el número de pasteles que se repartieron y el denominador indica el número de niños entre los que se hizo el reparto. Estos significados permiten a los niños hacer reflexiones como las siguientes: 3 es mayor que 3, porque en 4 5 los dos casos se reparten tres galletas, pero en 3 hay cuatro niños, mientras 4
que en 3 hay cinco, por lo que a estos 5 últimos les toca menos. Si el problema 8 es comparar 3 con 15 puede actuarse 2 intuitivamente mediante la siguiente reflexión: en tres medios hay más ga8 lletas que niños, en tanto que en 15 hay 3 más niños que galletas, por lo tanto 1 2 8 es mayor que 15 . Cuando el caso es de fracciones equivalentes a un entero, por ejemplo, 3 y 4 , el razonamiento es 3 4 que hay igual número de galletas que de niños, por lo que les toca lo mismo en ambos casos. Estas comparaciones a nivel intuitivo son más importantes que la introducción prematura de cualquier algoritmo para comparar fracciones. Es por eso que en cuarto grado no se sugieren algoritmos para estos temas.
La noción de fracción como resultado de la medición de longitudes se introduce a través de situaciones en las que, para medir con más precisión una longitud es necesario fraccionar en partes iguales la unidad de medida, porque ésta no cabe un número exacto de veces en la longitud a medir. En estas situaciones se enfatiza el hecho de que la unidad de medida puede ser una tira, un segmento o cualquier objeto alargado y también se propicia el uso de fracciones con numerador mayor que uno y de los números mixtos.
En el transcurso del año escolar las situaciones de reparto y de medición que involucran el uso de las fraccio-
nes se van haciendo más complejas, con el fin de que los procedimientos iniciales empleados por los niños evolucionen. En un principio se plantean problemas en los que se utilizan fracciones para medir longitudes (véase, por ejemplo, “La tienda del pueblo”, p. 14) o bien el problema de dividir un segmento en partes iguales (véase, por ejemplo, “En partes iguales sin doblar”, p. 18). En este tipo de situaciones se usan fracciones con numerador diferente a uno. Al principio, los niños utilizan hojas o tiras de papel para realizar y verificar sus ejercicios y posteriormente pueden usar su regla graduada para encontrar las soluciones. Para medir el peso de algunos objetos, la capacidad de recipientes y la superficie de figuras se sugiere que los niños construyan o consigan algunas unidades de medida: el metro, el centímetro, 1 de kilogramo, 1 kilogramo 4 2 (véase la página 37 de este libro), el decímetro y el centímetro cuadrado..., el litro, 1 de litro, etcétera, para que 4 los usen en juegos o actividades que involucren contenidos del eje “Medición”, así como contenidos del aspecto de fracciones correspondiente al eje “Los números, sus relaciones y sus operaciones”. Otro aspecto importante que se presta para trabajar también con las fracciones es la medición de ángulos. Este aspecto se introduce a partir de giros de una vuelta completa, media vuelta, un cuarto de vuelta o un tercio de vuelta. Igualmente, se empieza a tra34
bajar la idea de fracción como parte de un todo formado por 360° (véase la ficha 5, página 38 de este libro).
Uno de los aspectos más importantes para la comprensión de las fracciones es la noción de equivalencia. Antes de abordar este tema se maneja en el libro de texto la comparación de fracciones con procedimientos informales (véase, por ejemplo, “Galletas redondas”, p. 82). A lo largo del curso se presentan situaciones que propician el uso de expresiones equivalentes que se pueden aprovechar para enfatizar dicha noción. Por ejemplo, en los problemas de reparto, dependiendo de las particiones que se hagan, pueden surgir distintas expresiones aditivas que representan el mismo valor (véase, por ejemplo, “Más galletas y más niños”, p. 94). Las situaciones de medición de longitudes y de capacidades también pueden aprovecharse para el uso de expresiones equivalentes. Es importante destacar que en todas las situaciones donde aparece la noción de equivalencia deben realizarse actividades para verificar los resultados que obtienen los niños. Si se trata de situaciones de reparto, al principio pueden usarse hojas de papel y, poco a poco, los niños apoyarán sus razonamientos sobre la equivalencia de los repartos en sus propios dibujos. En las situaciones de medición puede resultar de gran utilidad el uso de una hoja rayada para dividir segmentos en partes iguales. No se pretende
que los alumnos utilicen las expresiones formales o las reglas para encontrar fracciones equivalentes. La escritura formal de la suma y la resta de fracciones se trabaja en el bloque IV, en la lección “Esferas de plastilina”, página 136; sin embargo, hay otras situaciones a lo largo del texto en las que se calculan sumas o restas sin necesidad de utilizar el algoritmo convencional. Si la equivalencia y el orden entre las fracciones se trabaja detenidamente, los niños no tendrán dificultad para inferir los resultados de las sumas o de las restas. Para que los niños comprendan el significado de las fracciones que se trabajan es importante que éstas estén asociadas a unidades de medida, por ejemplo, 3 de metro, 1 litro, y no con frac2 4 ciones en abstracto como 3 y 1 . 4 2
números decimales es que los alumnos comprendan su significado. Para ello se insiste en la necesidad de que interpreten primero las cantidades escritas con punto decimal en términos de número de unidades + décimos + centésimos. Por ejemplo, antes de que los niños logren interpretar 3.75 metros como 3 metros 75 centímetros es necesario que comprendan que 3.75 significa 3 metros más 7 décimos de metro, más 5 centésimos de metro o 3 metros más 75 centésimos de metro. Se insiste también en que los alumnos representen, con fracciones, las descomposiciones aditivas de números representados con punto decimal. Por ejemplo:
5 7 3. 75 es igual a 3 + 10 + 100 .
El campo de los números fraccionarios se amplía en cuarto grado con la introducción de las fracciones decimales. El primer tratamiento de estos números está en la lección “Adornos para el festival”, página 102, en una situación en la que es necesario dividir una unidad (pedazo de cuerda) en diez partes iguales. Que los alumnos realicen este tipo de situaciones es fundamental para darle a los decimales su carácter genérico, supeditado exclusivamente a la unidad de que se trate (longitudes, superficies, capacidad, peso, dinero). El propósito fundamental que se plantea en cuarto grado sobre los
El uso de la recta numérica es un recurso gráfico de gran utilidad para trabajar la partición de las unidades en partes iguales, como se hace en algunos problemas de la lección “Animales que saltan”, página 134. Los números decimales también se pueden trabajar mediante actividades que impliquen el uso de dinero, litros, metros, etcétera (véase, por ejemplo, en “Particiones decimales”, p. 140); se presentan situaciones en diversos contextos que se resuelven utilizando los números decimales. Asimismo, se pueden plantear problemas mediante actividades que involucren el uso de publicidad impresa, en donde los alumnos deben investigar los precios reales de diferentes objetos.
El trabajo que se desarrolla en este eje está relacionado con las unidades de medida de longitud, capacidad, peso, superficie, tiempo y medidas angulares. Para alcanzar los propósitos asociados a esta temática, el maestro debe considerar que las nociones relacionadas con la medida se desarrollan precisamente haciendo mediciones y reflexionando sobre el resultado de las mismas. Desde el punto de vista didáctico, el uso de unidades arbitrarias de medida es también de suma importancia, no sólo porque permite adquirir una noción más amplia acerca del concepto de unidad de medida, sino porque permite apreciar mejor la utilidad de las medidas convencionales. Es entonces recomendable que el maestro promueva el trabajo de medición con unidades arbitrarias, como antecedente al uso de las unidades convencionales.
Peso, capacidad y longitud
En el caso de la medición de longitudes se han diseñado actividades en las que es necesario realizar mediciones usando unidades arbitrarias, por ejemplo, las tiras de cartón que se utilizan en la lección “La paloma de la paz”, página 118, así como unidades convencionales como el centímetro y el metro, que se utilizan en diferentes lecciones del texto (véanse, por ejemplo, “Cuerdas resistentes” e “Hilaza para el contorno”, pp. 26 y 42). Otro tipo de actividad que se sugiere es el uso de un intermediario para
realizar mediciones. Tal actividad tiene sentido en situaciones en las que resulta difícil medir directamente, utilizando la regla graduada en centímetros o el metro rígido. En estos casos un cordón es un instrumento útil para hacer mediciones (véase, por ejemplo, “Cuerdas resistentes”, p. 26). A lo largo del grado se plantean situaciones en las que es necesario el uso del kilogramo y del litro. Los niños podrán apreciar mejor el significado de estas unidades de medida si se hace referencia a su experiencia cotidiana: por ejemplo, comprar “un kilo de tortillas”, “un kilo de frijol” o “un litro de petróleo”. La construcción de una balanza (véase, por ejemplo, “Las golosinas”, p. 110) y el uso de paquetes de 1 kilogramo, 5 o 1 de kilogramo 3 4 como unidades de medida, también
ce Balan o ct perfe
n el locar e den co balanza? e pue elar la esas s iv ¿Qué p vacío para n platillo
Compara tu respuesta con las de tus compañeros. ¿Hubo una sola respuesta o varias? ¿Cuántas respuestas correctas y diferentes resultaron? ¿Cómo acomodarías todas las pesas en los platillos para que queden bien equilibrados? Escribe por lo menos dos maneras diferentes de hacerlo.
on jule c a Ú jul a brú l
Yo digo que para dar una vuelta completa en cada brújula 8 hay que girar 8
e A gira en rújula esta b el reloj ja de d La agu manecillas e las qu
l mism
¿Qué fracción de giro hizo la flecha de la brújula si estaba en el N y llegó al E? Si después llegó al SE, ¿cuánto giró? Desde el SE giró lo mismo que del N al E. ¿A dónde llegó la flecha? Si finalmente llegó otra vez al N, ¿cuánto giró? Expresa todos los giros anteriores en grados.
permitirá a los alumnos aproximarse significativamente a la noción de peso. Si bien en el uso diario de algunas magnitudes se emplea solamente el prefijo de algunos múltiplos de la unidad, por ejemplo kilo, es conveniente que el niño tenga la información de que tal forma de expresión usada comúnmente está relacionada con el kilogramo. Algunos de los materiales necesarios para la construcción de estas unidades de medida aparecen en el material recortable o se sugiere, en el libro de texto, cómo elaborarlos y muchos otros pueden adquirirse con facilidad. Otro elemento que enriquecerá de manera significativa el trabajo en este eje es el empleo de algunas unidades de medida usadas en las diferentes regiones de nuestro país, así como la comparación de esas medidas con las unidades de medida convencionales (por ejemplo, el uso del “doble”, del “cuartillo” y la “maquila” en el estado de Guerrero). Otro aspecto importante de la medición que se debe desarrollar en este grado consiste en ordenar y comparar dos o más longitudes a partir del resultado de mediciones (véase, por ejemplo, “Cuerdas resistentes”, p. 26). En cuanto a las unidades de medida de capacidad y de peso es conveniente que el maestro presente a los niños distintos objetos pequeños, especialmente aquellos en los que se utilicen submúltiplos del litro o gramos como unidades de medida, por ejemplo: frascos de medicina, de especias, de perfu39
me, de cremas, etcétera. De esta manera los alumnos pueden formarse una idea acerca de la magnitud de las unidades pequeñas, como el mililitro y el gramo (véase, por ejemplo, “Jarabe para la tos” y “Las golosinas”, pp. 96 y 110).
Respecto a la medición de superficies, se parte de formar figuras con igual perímetro y diferente área (véase, por ejemplo, “Hilaza para el contorno”, p. 42), para posteriormente pasar a la medición de la superficie del triángulo mediante el conteo de cuadrados (véase, por ejemplo, “La mitad de un rectángulo”, p. 154), y por último llegar a la deducción de la fórmula respectiva y su aplicación en el cálculo de áreas de cuadriláteros (véase, por ejem-
plo, “Alfombras de flores”, p. 1 78). De esta manera contarán con un procedimiento general para obtener el área de figuras de lados rectos, a través de su descomposición en triángulos, cuadrados y rectángulos, según convenga, y no estarán obligados a depender de la memoria para recordar la fórmula para cada figura.
pueden reflexionar sobre el uso y la utilidad de estas unidades de medida y sobre los diferentes tipos de instrumentos de medición del tiempo que conocen. El calendario es otro recurso que el maestro puede utilizar para plantear situaciones en las que se mida el tiempo transcurrido entre un suceso y otro, utilizando el día, la semana y el mes como unidades de medida. Otro tipo de actividades que permite trabajar con esta noción es la elaboración de la línea del tiempo, en la que los alumnos ubiquen lustros, décadas o siglos durante los cuales se desarrollaron determinados sucesos históricos (véase, por ejemplo, “La ONU”, p. 52). De esta manera se relaciona este aspecto de la medición con otras asignaturas.
El tiempo, para los alumnos, es una de las nociones más difíciles de adquirir. Por ello es importante que durante el curso realicen diferentes actividades en las que se utilicen la hora y los minutos como unidades de medida. En la lección “El circo”, página 32, se plantean algunos problemas en los que
La noción de ángulo y su medida es un aspecto que por primera vez se introduce en el libro de texto de cuarto grado. La idea que se maneja en éste es que los ángulos se describen cuando se realizan giros. La mayor parte de la secuencia de situaciones se desarrolla en el contexto de viajes a diferentes países. La medición se inicia considerando giros menores de una vuelta. Cada giro se describe entre una línea de salida y una de llegada. En la lección “La vuelta al mundo”, página 78, se inicia el trabajo con los ángulos y se sugiere el uso de material recortable que consiste en un círculo dividido en octavos. Se pide a los niños que traten de reproducirlo en papel transparente o plástico para que lo puedan usar
como instrumento para medir ángulos. Posteriormente, en “El cazador”, 1 página 132, aparecen los ángulos de 12 1 de vuelta, es decir, los que miden 30° o un número múltiplo de 30. En este nivel se utiliza la palabra grado más que su símbolo. En “La vuelta al mundo en 360 grados”, página 112, aparece el grado como unidad de medida, y se ilustra la amplitud que tiene un ángulo de un grado. En esta lección se propicia la reflexión en el sentido de que la medida de los ángulos es independiente de la longitud de los lados que lo forman. En el punto 10, de la misma lección, ante la pregunta: “¿Cuál de los siguientes ángulos mide más?”, seguramente muchos niños pensarán que mide más el que tiene los lados más largos. Es necesario que el maestro propicie la discusión sobre este aspecto y haga notar que los dos ángulos miden lo mismo porque ambos se generan con un giro de de vuelta. Los ángulos se presentan en otras lecciones del texto como una de las características de las figuras. Esa es la idea de ángulo en su forma estática, misma que el maestro puede complementar propiciando que los niños distingan los ángulos en algunos objetos que estén a la vista.
Tradicionalmente, la enseñanza de la geometría partía de las definiciones de punto, recta y plano. A partir de estos conceptos se definían rectas perpendiculares, paralelas, ángulos, figuras y luego cuerpos. Investigacio41
nes realizadas en torno del aprendizaje infantil han mostrado que el proceso es inverso; en otras palabras, es necesario partir de lo sólido para llegar a lo más abstracto: las líneas y los puntos.
Con el estudio que se hace en el libro de texto sobre los sólidos geométricos se pretende que los niños identifiquen qué figuras forman las caras de un sólido (véase, por ejemplo, “Casas de diferentes países”, p. 74) y que establezcan la relación entre el dibujo en el plano y el sólido en tres dimensiones, es decir: se abordan dos aspectos. • Un sólido puede representarse en el plano, intentando plasmar sus tres dimensiones.
nentemente la anticipación de formas y espacios, con lo cual se espera que los alumnos desarrollen su imaginación espacial e identifiquen relaciones para saber si con determinada plantilla se puede o no construir un poliedro; por ejemplo, el número de caras, las medidas de las aristas, los lados adyacentes, etcétera. Asimismo, descubrirán que para elaborar un sólido determinado pueden construir más de una plantilla.
Un aspecto importante del eje “Geometría” es el que se refiere a las características de las figuras y su trazo. Se sugiere utilizar diversos recursos como el doblado de papel, el dibujo, los mensajes, etcétera, para que los niños reproduzcan figuras. La reproducción de figuras es una actividad motivante para los niños si se plantea adecuadamente. Se propone que el maestro dé libertad a los niños para que busquen estrategias que les permitan reproducirlas. Con ello, además de desarrollar destrezas en el trazo se estará promoviendo el análisis de las figuras y de sus propiedades geométricas. Una situación importante que se presenta en algunas lecciones de geometría consiste en reproducir, a partir de un mensaje, una figura o construir un sólido (véase, por ejemplo, “Dibujos y medidas” y “Forma y tamaño exactos”, pp. 54 y 120, entre otras lecciones). En dicha situación tener las figuras a la mano y observar sus características geomé42
• A partir del plano puede construirse un sólido (con tres dimensiones). De ahí derivan lecciones como “Cubos y construcciones” y ”Construimos poliedros”, páginas 146 y 182. En las lecciones del libro se diferencian los sólidos que son poliedros de los que no lo son, y se solicita perma-
tricas es fundamental para poder realizar la actividad. El paralelismo, la perpendicularidad, la simetría, el tamaño de los lados y de los ángulos son características geométricas importantes en las que se basa la construcción y el análisis de figuras en este grado. Se pretende que los niños se apoyen en tales aspectos cuando se les pide la reproducción y el análisis de figuras. Es importante destacar que en ningún caso se pretende que los niños hagan un análisis riguroso y exhaustivo de las figuras o de los sólidos. Únicamente se pretende que desarrollen la capacidad de análisis y de observación, que encuentren similitudes y diferencias, y que las utilicen como criterios para hacer descripciones y clasificaciones, así como para crear y construir formas diversas.
El tipo de figuras que se reproducen podrá hacerse progresivamente más complejo a lo largo del curso.
En tercer grado, la simetría se inició con un tratamiento intuitivo, mediante la simulación de formas reflejadas en el agua como si ésta fuera un gran espejo, o a través del dibujo de las figuras “reflejadas en el espejo”. En un primer momento se recomienda que los alumnos de cuarto grado utilicen este recurso para reproducir figuras simétricas. Posteriormente, se realizan actividades que permiten profundizar un poco más acerca de la simetría y algunas de sus características, en “Artesanías”, página 36, se propone el uso de papel cuadriculado para que
los niños dibujen o completen figuras simétricas. En “Bordados y simetría”, página 130, se aplica el reconocimiento y trazo de los ejes de simetría, pero ya sin apoyo de la cuadrícula, sin embargo, para el desarrollo de este tema el maestro también podrá sugerir juegos o dejar a los alumnos que exploren diversas posibilidades, utilizando hojas cuadriculadas hasta que se sientan con la suficiente confianza para abandonarlas. Otras actividades que el maestro puede sugerir con el mismo propósito son las de papiroflexia (doblado de papel). Con el apoyo de este recurso se hará más atractiva la clase de geometría y más accesibles algunos contenidos de este aspecto del programa. Mediante las actividades de papiroflexia se promueve el desarrollo de la imaginación espacial y la capacidad de construir hipótesis, ya que permiten al niño anticipar las formas que se obtendrán doblando de determinada manera un pedazo de papel.
texto y en las fichas con el entorno de los niños. El trabajo en este aspecto se ha orientado básicamente a construir un sistema elemental (no formal) de ubicación de puntos en el plano. Es por ello que las actividades, en su mayoría, están dirigidas a la interpretación y construcción de planos urbanos, es decir, a la lectura y trazo de planos que tienen calles y avenidas. Sin embargo, la tarea de interpretar un plano no es fácil para los niños; por ello el trabajo se inicia con la ubicación de puntos y descripción de trayectos en un pueblo sencillo, donde las casas no han perdido sus características más evidentes (véase, por ejemplo, “Camino al mercado”, p. 8). En un segundo momento se propone la elaboración de planos a partir de fotografías aéreas más complejas. Se espera que, de esta manera, cuando los niños se enfrenten a un plano como el que aparece en “Las calles de la ciudad”, página 38, las líneas que representan las calles tengan significado para ellos. Una vez realizado este trabajo, que podríamos llamar “lectura comprensiva del plano”, se inicia la tarea específica de ubicar puntos tomando como referencia los ejes de coordenadas que se representan con dos calles principales. El propósito fundamental del curso es llegar a manejar un lenguaje simplificado como (2,4) en lugar de decir “dos calles a la derecha y cuatro calles hacia arriba”. El uso de este lenguaje implica un proceso en el que se usen expresiones que los niños construyan.
El trabajo en el eje de “Geometría” incluye situaciones que inducen al niño a buscar diferentes maneras de ubicarse en su entorno y a experimentar formas de expresar y registrar tal ubicación. Las actividades incluidas en las fichas y en el libro de texto tienen también como finalidad que los niños hagan sus propias representaciones del entorno inmediato y familiar. En todos los casos es necesario que se liguen las situaciones planteadas en el
Las actividades correspondientes al eje “Procesos de cambio” introducen a los alumnos de cuarto grado al análisis de situaciones que implican variación proporcional directa. La elaboración de tablas y el análisis de la información propicia que los alumnos descubran las relaciones de dobles, triples y mitades entre los datos de un problema, por ejemplo, en la lección “El mercado”, página 10, se plantean varios problemas que implican la relación proporcional entre los kilogramos de frutas y verduras que se venden, y el dinero que se obtiene en cada caso. Para completar cuánto cuestan 8 kg de jitomate, el alumno calculará el doble de los $12 que corresponden a 4 kg, es decir, tendrá que concluir que el doble de 4 kg es 8 kg y el doble de $12 es $24. En ocasiones las relaciones de dobles, triples, etcétera, no alcanzan para completar dichas tablas y es necesario recurrir al valor unitario. En el caso de los jitomates se sabe que 1 kg cuesta $3 y a partir de este dato puede calcularse, por ejemplo, el precio para 5 kg. Para completar en la misma lección la tabla del precio de la sandía es necesario averiguar cuánto cuesta 1 kg (valor unitario), y a partir de este dato calcular los que faltan, donde las relaciones de dobles, triples, etcétera, no son tan evidentes (véase la página 49 de este libro). El propósito es que el maestro ayude a los alumnos a desarrollar procedimientos intuitivos de proporcionalidad, como
son las relaciones entre los datos. El maestro podrá reforzar estas ideas planteando problemas que impliquen una comparación multiplicativa. Por ejemplo: “Si Juanito tiene 10 años y Pedro tiene el doble, ¿cuántos años tiene Pedro?”. Con este tipo de problemas, además de profundizar en el significado de la multiplicación, como se puede observar en las últimas tablas de la lección “El mercado”, página 10, se prepara al alumno para identificar relaciones proporcionales sin hacerlo explícito. Otras actividades, como analizar recetas de diferentes comidas para distinta cantidad de comensales, favorecen que el alumno empiece a trabajar en este tema. En “Hacemos recetas”, página 122, se pretende que el alumno comprenda que es necesario duplicar la cantidad de cada uno de los ingredientes, si se quiere preparar gelatina para 12 personas, dado que la receta está hecha para seis. Cabe destacar que la noción de variación proporcional directa es compleja; por tanto se propone que los alumnos completen tablas a partir de las nociones intuitivas que tienen sobre la proporcionalidad, por supuesto sin llegar a mecanizar reglas ni a repetir definiciones. El objetivo es que los niños se aproximen a la noción de proporcionalidad directa en términos cualitativos, a través del análisis de diferentes tablas de variación proporcional para que los alumnos puedan ver la manera en que una cantidad varía en función de la otra.
Es importante que además de presentar a los alumnos situaciones numéricas de variación se les planteen situaciones de geometría. Por ejemplo, el perímetro de un cuadrado está en función de la medida de sus lados. Si se aumenta al doble la medida de sus lados el perímetro aumenta también al doble, y si disminuye a la mitad el perímetro disminuirá en la misma proporción. Éste es un caso de variación proporcional directa.
• En cuanto a los contenidos referidos a la elaboración e interpretación de registros, se debe enfatizar la lectura de gráficas de barras e introducir pictogramas a los que se les asignan valores de 1 000, 5 000 o 10 000 para representar números grandes (véanse, por ejemplo, “Naciones poco pobladas” y “El censo de población”, pp. 70 y 128). Los valores de los pictogramas pueden modificarse dependiendo de las cantidades que se manejen y, además, dicho valor puede ser modificado. • Para el estudio de los contenidos referidos al análisis de la información se debe promover, durante el año escolar, la reflexión sobre los datos que son útiles para resolver un problema, los que no lo son y los que faltan (véase, por ejemplo, “¿Se puede responder?”, p. 20). El tratamiento didáctico en este eje debe iniciarse con situaciones cercanas a los intereses de los niños de este nivel, por ejemplo, los animales, los juegos o las materias escolares que les gustan. Los fenómenos meteorológicos pueden ser otra fuente de situaciones interesantes para los alumnos. Además de las situaciones sugeridas en el libro de texto y en las fichas de actividades didácticas, el maestro puede aprovechar otras situaciones escolares que sean de interés para los niños, como el registro diario de la puntualidad, el aseo, las ventas de la cooperativa o la organización de algún acto cívico, entre otros.
El objetivo de los contenidos incluidos en este eje es, como su nombre lo indica, desarrollar la capacidad de los alumnos para obtener, analizar y utilizar información numérica en distintos contextos. Es conveniente resaltar dos aspectos de este eje, el registro y el análisis de datos:
Lo primero que debe hacer el niño para resolver un problema es organizar y analizar la información que se le presenta. Esta información puede ser oral, escrita o presentarse en ilustraciones e imágenes. Esto quiere decir que ayudar a los niños a obtener y analizar información es una tarea fundamental para contribuir al mejoramiento de su capacidad para plantear y resolver problemas. Las lecciones del libro de texto favorecen el análisis de la información durante el curso. Para su resolución los niños deben, en la mayoría de los casos, seleccionar y analizar la información que se proporciona en una ilustración o en un documento y hacer preguntas con las que pueda obtener más información o información más relevante. Por ejemplo, en “Estadios y números”, página 90, deben analizar la información contenida en el cuadro para contestar las preguntas. El maestro deberá aprovechar todos los temas del programa para trabajar el tratamiento de la información como un aspecto colateral del contenido; con ello promoverá a la vez la capacidad de reflexión y de resolución de problemas. Dicha tarea podría apoyarse en actividades como las que se describen a continuación. • Planteamiento de preguntas y problemas a partir de la información que puedan obtener de ilustraciones y documentos. • Identificación de preguntas que pueden o no responderse, a partir de la información contenida en un texto.
Un ejemplo de esta actividad es la lección “¿Se puede responder?”, libro de texto, página 20.
El estudio de este eje se inicia en tercer grado. El tratamiento didáctico que se le ha dado es meramente intuitivo y mediante situaciones de juego (véase, por ejemplo, “Águila o sol”, p. 22). El registro de las diferentes posibilidades en un juego de azar y la comparación de los registros y respuestas entre los compañeros es importante para que el alumno intuya la posibilidad de predecir o instrumentar alguna estrategia para ganar el juego (véanse, por ejemplo, “Los colores del dado” y “Canicas de colores”, pp. 76 y 114). Se pretende introducir a los niños en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y en otras en las cuales no es posible saberlo. Esto sin precisar que, en algunos casos, el no saber puede deberse a la falta de información, mientras que en otros no es posible obtener la información porque se está, precisamente, en situaciones de azar. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire no se sabe con certeza sobre qué cara caerá (véase, por ejemplo, “Águila o sol”, p. 22). Es conveniente que durante el desarrollo de estas actividades el maestro ayude a los niños a entender las reglas de los distintos juegos, cuando éstas sean difíciles, y a anticipar lo que creen que sucederá.
En este grado se empieza a manejar a través de las actividades de “Canicas de colores”, página 114, la noción de mayor o menor probabilidad de que ocurra un evento, al analizar la posibilidad de sacar de una caja una canica de algún color determinado (véase la página 50 de este libro). En un primer momento los niños pueden asociar el término azar a la palabra suerte que ellos manejan. Sin embargo, hay que promover gradualmente su significado correcto. También deben aprender que existe una gran variedad de juegos en los que el azar no interviene. En éstos siempre hay una estrategia para ganar, como en el ajedrez o como en el juego “Ca-
rrera a veinte”, del libro Juega y aprende matemáticas, página 57. Se sugiere al maestro permitir una amplia flexibilidad en lo que se refiere a las caracterizaciones que hagan los niños de los juegos, dada la dificultad para establecer afirmaciones rigurosas respecto al concepto de azar, sobre todo en este nivel. Es recomendable también que el maestro utilice los juegos practicados en su región o localidad para el trabajo sobre la predicción y el azar. Una tarea puede consistir, precisamente, en indagar cuáles son los juegos propios del lugar y, entre ellos, distinguir los que son de azar.
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de mayor complejidad en la enseñanza, pues no consiste solamente en otorgar una calificación a los alumnos, sino en la apreciación permanente de su aprendizaje. Muchas veces la evaluación no se considera como parte del proceso de aprendizaje, sino como el momento en el que se miden conocimientos terminales a partir de la calificación de un examen. En el caso de las matemáticas, el maestro debe tener presente que los conceptos se construyen paulatinamente, por lo que su adquisición deberá ser valorada a lo largo de todo el año escolar, a partir del desempeño del alumno en las diferentes actividades de aprendizaje. La evaluación, desde este punto de vista, no corresponde a una sesión específica o a un examen cada mes. Generalmente, los errores que cometen los niños son muestra del grado de comprensión que han alcanzado de un concepto. En este sentido, los errores no constituyen un elemento para etiquetar a los que saben y a los que no saben, sino que son una fuente muy importante para que los niños busquen nuevos procedimientos para resolver problemas y para que el maestro sepa cómo piensan sus alumnos,
las dificultades que enfrentan y las actividades que conviene que realicen para superarlas. • La estimación y el cálculo mental que realizan los alumnos al dar una respuesta aproximada a determinadas situaciones son también habilidades que deben considerarse y valorarse mediante la observación, la revisión de los trabajos y la participación individual y en grupo. • Las destrezas y habilidades que muestran los niños en el manejo de los instrumentos geométricos, por sencillos que éstos sean, son indicadores del grado de comprensión que tienen sobre diferentes conceptos o procedimientos matemáticos asociados a ellos. Por esta razón, el maestro deberá valorar el avance de los alumnos al observar la forma en que manejan los instrumentos geométricos, así como su habilidad para realizar los trazos. • También es importante considerar si los alumnos logran analizar la información contenida en diferentes documentos e ilustraciones, así como plantear preguntas y problemas relacionados con dicha información, sin olvidar que deben tener la capa-
cidad para relacionar y “escoger” la operación u operaciones adecuadas para resolver el problema. • Respecto a la medición, es conveniente que el maestro observe el desarrollo paulatino de la habilidad de sus alumnos para utilizar los instrumentos y las unidades de medida convencionales (de longitud, superficie, medidas angulares, capacidad, peso y tiempo), no sólo en la resolución de problemas escritos, sino fundamentalmente en su uso práctico y en la decisión del niño para seleccionar la unidad adecuada para cada contexto. • Es conveniente elaborar un expediente individual de los alumnos que contenga diferentes documentos (prue-
bas, registros, observaciones, anécdotas, etcétera), con la finalidad de observar la evolución de la aplicación de las operaciones y diferentes estrategias en la resolución de problemas, además de los avances en los trazos y análisis de figuras geométricas. Dicho expediente puede servir también para el registro de actividades y avances que presenten en cualquiera de las otras asignaturas. En síntesis, la evaluación en Matemáticas debe realizarse desde el primer día de clases, con el propósito de obtener información acerca de los conocimientos y avances de los niños. Esta información sirve al maestro para ajustar las actividades de enseñanza a las necesidades y momentos particulares de aprendizaje de los alumnos.
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Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado, se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de , con domicilio en , el mes de de 200 . El tiraje fue de ejemplares más sobrantes para reposición.
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