Source: http://studyres.es/doc/3290228/gu%C3%ADa-para-el-maestro
Timestamp: 2018-05-23 07:13:18+00:00

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Dirección editorial: Adriana Beltrán Fernández • Subdirección editorial: Tania Carreño
King • Gerencia de secundaria: Aurora Saavedra Solá • Gerencia de diseño: Renato
Aranda • Cordinación editorial: Jannet Vázquez • Edición: Milosh Trnka Rodríguez,
Alberto Lara y Karina Islas Ríos • Asistencia editorial: Erika López Galbraith • Supervisión
de diseño: Gabriela Rodríguez Cruz • Coordinación de diseño: Carina J. Haro Vázquez
• Diseño de interiores: Gustavo Hernández • Adaptación de diseño de portada: Renato
Aranda • Diagramación: Rocío Mince • Supervisión de imagen: Tere Leyva • Investigación
iconográfica: Édgar Estrella Juárez • Ilustración: Raúl Tena • Fotografía: Archivo digital
• Digitalización y retoque: Juan Ortega Corona • Gerencia de producción: Alma Orozco •
Coordinación de producción: Alma Ramírez
Colaboración: Erick Rodríguez Castro
D.R. © 2012, del texto: Ediciones Castillo, S.A. de C.V.
D.R. © 2012, Ediciones Castillo, S.A. de C.V.
Tel.: (55) 5128–1350
Fax: (55) 5128–1350 ext. 2899
Bloque 3presentación
La práctica docente exige cada día más y diferentes recursos para enfrentarla y lograr
una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta
Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los Programas de
estudio 2011:
• Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos.
• Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las
El trabajo con secuencias didácticas, entendido como una estrategia de enseñanza
y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento, representa, en
cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma tradicional de
enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el proceso de
trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos, habilidades y
actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen
En cada una de las etapas, inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de su
intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas
a cada una de las actividades que conforman la secuencia.
Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional
por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar
una evaluación diferente a sus alumnos.
Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque donde
se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que se favorecerán.
apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros,
Los que participamos en la elaboración de esta Guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y
así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida.
3 / secuencia
Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados —a partir de un nivel de complejidad progresivo— en tres fases:
inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje.
Al inicio de cada lección del libro del alumno se presenta una situación problemática
y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el
interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares.
En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos
de la secuencia; que se asegure de que sus estudiantes identifican la realidad que
será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que
indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática.
Posteriormente, en la fase de desarrollo se presenta un conjunto de actividades que
constituyen un reto para los alumnos, y que promueve la construcción de los aspectos más relevantes con el fin de que logren la apropiación y la comprensión profunda
En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas,
lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el
docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad los procedimientos que se pueden seguir y los conocimientos que deben aplicar para actuar
con eficiencia, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia otros más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro
ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise
con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos y el proceso de construcción de otros nuevos.
En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los
alumnos a la situación problemática.
De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema
de actuación que los lleva al desarrollo de las competencias de la asignatura, será
necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus
alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con su
realidad, evalúe su progreso, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados.
Bloque 3 / secuencia
de la Guía1
La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje,
ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades
matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser
reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del
alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa.
En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada
lección vista en el bloque, y tendrán que responder si son falsos o verdaderos. Después deberán escribir una propuesta de verificación de su respuesta. A través de
este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá
detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar.
Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de cinco preguntas, con cuatro respuestas posibles
para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de
los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial.
En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder tres preguntas de
análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la
movilización de las habilidades y competencias adquiridas.
•Trazodetriángulosycuadriláterosmedianteelusodel
juegodegeometría.
•Conversióndefraccionesdecimalesynodecimalesasu
escrituradecimalyviceversa.
•Trazoyanálisisdelaspropiedadesdelasalturas,medianas,mediatricesybisectricesenuntriángulo.
•Resoluciónyplanteamientodeproblemasqueimpliquen
másdeunaoperacióndesumayrestadefracciones.
•Identificaciónyprácticadejuegosdeazarsencillosy
registrodelosresultados.Eleccióndeestrategiasen
funcióndelanálisisderesultadosposibles.
•Representacióndenúmerosfraccionariosydecimales
enlarectanuméricaapartirdedistintasinformaciones,
analizandolasconvencionesdeestarepresentación.
•Construccióndesucesionesdenúmerosodefigurasa
partirdeunaregladadaenlenguajecomún.Formulaciónenlenguajecomúndeexpresionesgeneralesque
definenlasreglasdesucesionesconprogresiónaritméticaogeométrica,denúmerosydefiguras.
•Explicacióndelsignificadodefórmulasgeométricas,al
consideraralasliteralescomonúmerosgeneralescon
losqueesposibleoperar.
• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa.
• Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla
dada y viceversa.
•Resolucióndeproblemasderepartoproporcional.
Conalgunascintasmétricasdecosturasepuedenmedir
decimalesdecentímetrosyalgunasfraccionesdepulgada.
Sentido numérico y pensamiento algebraico. Como continuación de
los estudios de la escuela primaria, en el primer contenido se estudian
nuevos aspectos de los números fraccionarios y decimales, lo que resulta propicio para introducir en la siguiente secuencia problemas de
planteamiento de números fraccionarios. Por otra parte, el contenido
referente a las sucesiones requiere la búsqueda de una regularidad matemática que exige al estudiante un nivel mayor de abstracción. Con
respecto a la simbolización, comienza con el contenido en el que las
al trazo de las figuras más elementales y de las líneas y puntos notables
del triángulo, construcciones que por sí mismas son importantes en la
geometría y que, además, resultan indispensables para abordar construcciones más complejas, como se verá en los siguientes bloques.
Manejo de la información. En este bloque los contenidos introducen
un par de temas de este eje: la proporcionalidad se aborda con el
reparto proporcional, mientras que las nociones de probabilidad comienzan con la identificación y la práctica de juegos de azar sencillos.
SFUMA1TG_B1.indd 10
• Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
1. Fracciones y
Conversión de fracciones decimales y no
decimales a su escritura decimal y viceversa.
2. Representaciones en y decimales en la recta numérica a partir
de distintas informaciones, analizando las
Resolución y planteamiento de problemas que
impliquen más de una operación de suma y
Construcción de sucesiones de números o de
figuras a partir de una regla dada en lenguaje
común. Formulación en lenguaje común de
expresiones generales que definen las reglas
de sucesiones con progresión aritmética o
Explicación del significado de fórmulas
geométricas, al considerar las literales como
números generales con los que es posible
6. Figuras de tres y
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el
7. Las líneas del
Trazo y análisis de las propiedades de las
alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en
Resolución de problemas de reparto
Identificación y práctica de juegos de azar
sencillos y registro de los resultados. Elección
de estrategias en función del análisis de
3. Suma y resta de
Conversión de fracciones a decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.
Al terminar esta secuencia, se espera que los alumnos
conviertan números fraccionarios a decimales y viceversa.
Conceptos principales: fracción decimal, fracción
irreducible, número decimal periódico, truncamiento,
• Valor posicional de las cifras de un número decimal
• División entre números naturales con cociente decimal
• Comparación de números naturales, fraccionarios y
• Reglas prácticas para multiplicar rápidamente por 10,
100, 1 000,…
• Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones
no decimales mediante la notación decimal
• Operaciones sencillas con números decimales
1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 por el hecho de que 8 es mayor que 4.
2.Algunos alumnos pueden pensar que 0.57 es mayor
que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6.
3.Para encontrar una fracción equivalente a una dada,
los alumnos pueden creer que sumando el mismo
número tanto al numerador como al denominador
se obtienen fracciones equivalentes; por ejemplo,
que una fracción equivalente a 47 es 47 +
Situación inicial (pág. 22)
Se busca que el alumno intente comparar un número decimal con uno fraccionario, para que note
que dicha comparación requiere que la fracción se
exprese como número decimal o viceversa.
Explora y construye (págs. 22-27)
Las actividades planteadas en esta sección tienen la intención de que el alumno obtenga procedimientos para convertir números decimales a
fracciones y viceversa. Comenzará por expresar
números decimales como fracciones decimales
y después, empleando equivalencia de fracciones, deducirá un procedimiento para convertir
números decimales a fracciones irreducibles.
Después, aprenderá a convertir fracciones a números decimales mediante la división. Primero
obtendrá números decimales finitos y después
estudiará fracciones como 23 , así como los decimales periódicos. Para terminar, analizará la conversión de decimales periódicos puros y mixtos,
donde se utilizan procedimientos como el redondeo y el truncamiento de cifras decimales.
Regresa y revisa (pág. 27)
Se espera que el alumno resuelva la situación inicial convirtiendo la fracción a número decimal y el
número decimal a fracción, y después sea capaz
de analizar qué conversión le es más útil en la resolución del problema.
d) ¿Yalmultiplicar13.25por10?
e) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar13.25paraobtener1325?
f) ¿Porquénúmerodebenmultiplicar21.349paraobtener21349?
g) ¿Porquénúmerodebendividir21349paraobtener21.349?
h) Expresenlaoperacióndelincisoanteriorcomounafracción.
i) ¿Quéfraccióncondenominador100tieneelmismovalorque13.25?
Alejandropintóunmurodesucasa,paralocualpreparóunlitrodepinturacon 3 j) ¿Quéfraccióncondenominador10tieneelmismovalorque0.1?
delitrodepinturaamarillayelrestodepinturablanca.Parapintarotromuroconel
mismotono,adquirióenlatienda0.3delitrodelamismapinturaamarillaycompletó
ellitroconpinturablanca.Loscoloresdelosmurosnoquedaroniguales.Explicacuál
fueelerrordeAlejandro.
Se llaman fracciones decimales aquellas cuyo denominador es 10 o sus
múltiplos 100, 1 000, 10 000,...
Para obtener fracciones equivalentes
(o multiplicar)
una fracción por
entero. Explica por
qué 8 es equiva40 1
lente a 5 , y 5 es
equivalente a 15 .
son 8 y 3 entre
sí? ¿Por qué?
2 Engrupo,escribanvariosnúmerosdecimalesenelpizarrónyparacadaunoden
unafraccióndecimalquetengaelmismovalor.
1. En parejas, respondan lo siguiente.
3 Hazlasiguientesuma:0.6+0.07+0.001.
a) ¿Qué representa 3 de una unidad?
b)¿Qué representa 0.3 de una unidad?
a) ¿Quénúmeroobtienes?
b) Escribeelnúmeroanteriorcomosumadetresfraccionesdecimalescuyo
numeradorconstedeunasolacifra.
c) Escribeelresultadodelasumaanteriorcomounafraccióncondenominador
4 Escribeentucuadernocómoconvertirunnúmerodecimalaunafraccióndecimalydiscutetupropuestaengrupo.
5 Hazlosiguiente.
a) Escribeunafraccióndecimalquevalgalomismoque0.5
Enelsistemadecimal,elvalordeundígitoenunnúmerodependedesuposición
enéste;esdecir,elsistemadecimalesposicional.
1 Enparejas,respondanlosiguiente.
b) Encuentraunafracciónequivalentea 10 condenominador2.
c) Encuentraotrafracciónquetengaelmismovalorque 10 ycuyodenominador
seadistintode2.
a) Elvalordeldígito2esdiferenteenelnúmero0.2queenelnúmero2.¿En
d) Escribealmenostresfraccionesquetenganelmismovalorqueelnúmero
quéconsisteestadiferencia?
0.5ycuyodenominadornosea10,100,1000,…
e) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionescuyodenominador
nosea10,100,1000,…
b) ¿Ycuálesladiferenciadelvalordeestedígitoenlosnúmeros0.2y0.02?
• 12.76= •3.4= •5.78= •2.15=
f) ¿Esposibleexpresarelnúmero2.1comounafraccióncuyodenominadorno
Un dígito vale la décima parte de lo que valdría si estuviera justo una posición a su
c) ¿Quéobtienenalmultiplicar0.1por10?
sea10,100,1000,…?¿Porqué?
b)En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas partes de la unidad, y en 0.02 representa dos
centésimas partes de la unidad.
Décimos y fracciones de litro / Analiza
1. a)La tercera parte de la unidad.
b)Tres décimas partes de la unidad.
c)Mostrando que 31 es distinto de 0.3.
2.El muro con el tono amarillo más fuerte tiene mayor
cantidad de pintura amarilla en la mezcla.
Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos cómo creen que pueden comparar un número
decimal con una fracción. En este ejercicio, si se presentan, se pueden discutir las ideas erróneas 1 y 2.
d)132.5
g) 1 000
349 h) 21
2.Sugerencia didáctica. Se debe preguntar a los alumnos de cuántas maneras se pueden encontrar fracciones equivalentes, y después, si se presenta, discutir la
idea errónea 3.
3. a) 0.671
b)Si la pregunta se limita a fracciones con una sola
6 + 7 + 1 .
cifra en el denominador, sería 10
1. a) En el número 0.2 el dígito 2 representa dos décimas
partes de la unidad, y en el número 2 representa
dos unidades. Además, 0.2 es la décima parte de 2.
4.El alumno debe deducir que si el número decimal
tiene 1, 2, 3,… cifras decimales, entonces el denominador de la fracción será 10, 100, 1 000,…
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 13
• ¿Cuáleselresiduodeladivisión?
Se simplificaunafraccióncuando el numerador y el denominador se dividen entre un mismo número distinto de 1 que no sea decimal. Si no es posible hacerlo, se dice que la fracción
• ¿Podránllegaraobtenercerocomoresiduo,esdecir,terminardedividir?
g) Conviertelossiguientesnúmerosdecimalesafraccionesirreducibles.
• 0.45= •3.6= •0.1= •2.25=
6 Enparejas,escribanensucuadernounprocedimientoparaconvertirnúmeros
decimalesafraccionescuyodenominadornosea10,100,1000,etc.,enlos
casosqueseaposible.
Como observaron, en los incisos a y b de la actividad 4, al convertir las fracciones en su
equivalente en número decimal obtuvieron, al realizar la división, un residuo de cero.
Este tipo de números se llaman númerosdecimalesfinitos.
7 Engrupo,escribanalgunosnúmerosdecimalesenelpizarrónyconviértanlos
ensuequivalenteenfracciones.Comentencuántasfraccionesconelmismo
valorpodríanencontrarparacadanúmerodecimal.
Por otro lado, en la actividad 5, al intentar convertir las fracciones 3 y 42 en su equivalente en número decimal no se puede obtener un residuo cero, aunque se siga dividiendo. A este tipo de números se les llama númerosdecimalesperiódicos.
Si se divide 2 entre 3 para obtener el número equivalente a la fracción 3 se obtiene
0.666…, donde el dígito 6 se repite infinitamente. Lo mismo sucede para la fracción 5 ,
ya que ésta vale lo mismo que el número 0.11904761…, en el que la agrupación de cifras
190476 se repite una infinidad de veces. Los números decimales anteriores se pueden
representar de la siguiente manera: 3 = 0.666… = 0.6 y 42 = 0.11904761… = 0.1190476,
donde los dígitos que se encuentran bajo la raya se repiten una infinidad de veces.
1 Enparejas,ysinusarlacalculadora,respondanlosiguiente.
2 ensuequia) Dividan2entre10hastaqueobtenganresiduoceroyescriban 10
valenteennúmerodecimal.
Los números decimales periódicos se dividen a su vez en dos tipos:
76 enformadecimal.
b) Escriban 136
•Númerosdecimalesperiódicospuros: aquellos que sólo repiten una misma cifra o un
mismo grupo de cifras inmediatamente después del punto decimal; por ejemplo, 0.6.
2 Validensusrespuestasanterioresconlacalculadora.
3 Engrupo,discutanunprocedimientoparaconvertirunafraccióndecimalensu
equivalenteennúmerodecimalyescríbanloensucuaderno.
•Númerosdecimalesperiódicosmixtos: aquellos en los que después del punto decimal aparecen cifras que no se repiten infinitamente y, después, una misma cifra o
un mismo grupo de cifras que sí se repiten infinitamente. Un ejemplo es el número
0.1190476.
4 Enparejas,realicenlosiguiente.
a) Sinusarlacalculadora,dividan2entre5hastaqueobtenganresiduocero
yescriban 5 ensuequivalenteennúmerodecimal.
la primera de las siguientes páginas la
fracción equivalente a una expresión
decimal y, en la
segunda, el decimal
6 Encuentrenelnúmerodecimalequivalentedecadaunalassiguientesfracciones.
b) Escribanlassiguientesfraccionesensuequivalenteennúmerodecimal.
7 = b) 1 =
terminardedividir?¿Porqué?
• ¿Quéobservan?
8 Engrupo,conayudadeunacalculadoraobtengantresfraccionesdemodoque
unadeellastengacomoequivalenteunnúmerodecimalfinito,otraunnúmero
decimalperiódicopuroylaterceraunnúmerodecimalperiódicomixto.
c)Cualquier fracción equivalente a
d)Fracciones equivalentes a
6 , 8 , 12.
f) Sí, porque se puede multiplicar tanto el numerador
como el denominador de 21 por un número dife10
rente de 10, 100, 1 000,… para obtener una frac42 .
ción equivalente, por ejemplo 20
g) Fracciones irreducibles. Ejemplos:
6.Un método es convertir el número decimal a una fracción decimal y, si es posible, simplificarla. De lo contario se puede multiplicar tanto el numerador como
el denominador por un número diferente de 10, 100,
1 000,… para obtener una fracción equivalente.
7. No hay un límite para el número de fracciones equivalentes, ya que hay una cantidad infinita de números
(1, 2, 3,…) que pueden multiplicar al numerador y al
denominador de una fracción dada.
3.a)0.4
b)• 0.25
4.a) No, porque en cada paso de la división se obtiene
el mismo residuo, que es 2, y al ser éste distinto de
cero el procedimiento no termina.
b)• Después de la primera cifra decimal, que es 1, se
repiten las cifras 190476.
• No, porque se repiten los residuos cada seis pasos.
6.a)0.75
b) 2.14
c) 0.09 d) 0.6
7. a)Periódico puro.
b)Periódico mixto.
c)Finito.
8.Por ejemplo, decimal finito:
1. a) El 8 y el 2.
b)Porque ese método sólo funciona para números
207 070 707 .
simplificada: 250
; fracción simplificada:
283 ; fracción
d)1828
1. a)0.2
b)13.6; 0.76
2.Un método es recorrer el punto decimal del numerador hacia la izquierda tantas cifras como ceros tenga
207 070 707
2.a) 250
• Fracción decimal
• Escritura decimal
• Fracción irreducible
e)Fracciones no decimales. Ejemplos:
Localiza los siguientes conceptos
en el glosario (págs.
272-276) y anota
con tus propias palabras una explicación y un ejemplo
5.a) 10
b) Considerenlafracción 42 .Dividan5entre42,sinusarlacalculadora,hasta
obtener13cifrasdespuésdelpuntodecimal.
7 Indiquensielnúmerodecimalequivalentedecadaunadelassiguientesfraccionesesfinito,periódicopurooperiódicomixto.Luego,sinusarlacalculadora,
verifiquensurespuesta.
a) Analicenlafracción 3 dividiendo2entre3sinusarcalculadora.¿Pueden
www.edutics.mx/
c)11=
c) Verifiquensusrespuestasalosincisosanterioresconlacalculadora.
5 Respondanlosiguiente.
b)Sí será más cercano. Ningún redondeo será exactamente igual porque para cada aproximación se
puede obtener una aproximación mejor.
3.a)0.2666
b) Ahoratrunquenelmismonúmerohasta6cifrasyescribanacontinuación,
paralostruncamientoshasta4y6cifrasdelnúmero0.26,suequivalenteen
1 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.82yrespondanloquesepide.
a) ¿Cuálessonlosdígitosqueserepiten?
c) ¿Elcocientedealgunadelasfraccionesanterioresesigualalnúmero0.26?
b) ¿Porquénosepuedeconvertiresenúmerodecimalensuequivalenteen
fracciónconelmétodoqueaprendieronenlasección“Dedecimalesafrac-
d) ¿Hayunacantidaddecifrasdecimaleshastalaquesepuedatruncarelnúmero
cionesdecimalesysusequivalentes”?
0.26demodoquelafracciónequivalentealnúmeroresultantetengaelmismo
valorque0.26?¿Ysienlugardetruncarseredondea?Justifiquensurespuesta.
Una opción para hacer este tipo de conversiones es partir de una aproximación del número
decimal periódico. Se puede aproximar ese número redondeándolo o truncándolo. El signo
de aproximación es “≈”.
Para redondear un número a cierta cantidad de cifras, se considera el dígito que le sigue a la
última cifra. De ahí hay tres casos:
• Si ese dígito es menor que 5, el dígito anterior permanece igual. Por ejemplo, 1.422 ≈ 1.42
• Si el dígito es mayor que 5, al dígito anterior se le suma un 1. Por ejemplo, 1.428 ≈ 1.43
• Si el dígito es igual a 5, se considera el dígito anterior y se acostumbra que:
i) Si ese dígito es par, permanece igual. Por ejemplo, 24.525 ≈ 24.52
ii) Si ese dígito es impar, se le suma un 1. Por ejemplo, 24.535 ≈ 24.54
4 Engrupo,haganloqueseindica.
a) Expresenlossiguientesnúmerosdecimalesperiódicosensuequivalenteen
fracción.Loscocientesdelasfraccionesdebentenerporlomenos4cifras
• 24.15=
•0.456=
• 4.7=
•0.11432=
b) Discutancuálessonlasdificultadesparaconvertirunnúmerodecimalperiódicoensuequivalenteenfracciónycomentenelerrorquesegeneraal
haceraproximaciones.
c) Redondeen0.82a3cifrasdespuésdelpuntodecimalyescribanacontinuaciónesenúmeroensuequivalenteenfracción.
d) Ahoraredondéenloa6y9cifrasdespuésdelpuntodecimalyexpresenlos
númerosobtenidosensusrespectivosequivalentesenfracción.
1. Responde lo siguiente en tu cuaderno.
a) ¿Cuáles son las fracciones decimales que no pueden simplificarse?
b)El número 1.5 tiene el mismo valor que la fracción 10 . Escribe la fracción que vale lo
mismo que 1.5 cuyo denominador es: 100, 1 000 y 10 000.
c) Escribe cuatro fracciones que tengan el mismo valor que el número 45.375 y cuyos
denominadores sean múltiplos de 10.
2 Engrupo,respondanlosiguiente.
a) Comparenloscocientesdelasfraccionesdelosincisoscyddelejercicio
anterior,señalencuálseaproximamásalnúmero0.82yexpliquenporqué.
b) ¿Creenquesielredondeosehaceconmáscifrasdespuésdelpuntoelresultadoserámáscercanoalnúmero0.82?¿Yenalgúnmomentoseráexactamente
igualaesenúmero?Justifiquensusrespuestas.
1 Leenuevamentelasituacióninicialyrespondeentucuaderno.
a) Expresa 3 ensuequivalenteennúmerodecimal,redondeadoa4cifrasdecimales,ycompáraloconelnúmero0.3.
b) Convierteelnúmero0.3ensuequivalenteenfracciónycompáralocon 3 .
c) ¿ConquéconversiónteparecemássencilloconcluirquelacantidaddepinturaqueusóAlejandroparapintarcadamuronoeslamisma?¿Porqué?
3 Enparejas,considerenelnúmerodecimal0.26yrespondanlosiguiente.
a) Escribanelnúmero0.26con4cifrasdespuésdelpuntodecimal.
A la acción realizada en el inciso anterior se le llama truncar un número hasta 4 cifras después del punto decimal. Un número decimal periódico se puede truncar hasta la cantidad
de cifras que se desee. A diferencia del redondeo, no se toma en cuenta si el último dígito es
mayor, menor o igual a 5.
2 Engrupo,discutanquepasaríasiexpresaran 3 ensuequivalenteennúmero
decimal,redondeadoaunacifradecimal,ylocomparanconelnúmero0.3.
b)Fracciones simplificadas:
48 303 2 000
47 777 10 000
fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles
académicos posteriores.
1 313 ; 131 313 .
c)No, porque al hacer las divisiones correspondientes se obtienen números decimales finitos.
d)No, porque al truncarlo el resultado es un número
menor. Tampoco se puede truncar si se redondea,
ya que el resultado es un número mayor o menor.
4.a)Fracciones simplificadas:
quellas que en el numerador tengan un número que
no se pueda dividir entre 2 o 5. Esto se debe a que los
divisores de 10 son 2 y 5, y los denominadores de las
fracciones decimales son de la forma 10, 100, 1 000,…
b)El redondeo y el truncamiento son procedimientos para obtener aproximaciones. Para obtener una
fracción cuyo valor sea el mismo que un número
decimal finito, sería necesario considerar todas las
cifras que están después del punto decimal.
1 500 ; 15 000
375 , 453 750 , 4 537 500 .
c)Ejemplos: 45
1. a)0.3333, el cual es mayor que 0.3.
Sugerencia didáctica. Se debe discutir con el alumno que el error de la aproximación que se obtiene
al redondear o truncar puede hacerse tan pequeño
como se quiera. Esto se logra considerando una
cantidad mayor de dígitos al efectuar alguno de los
procedimientos. Es importante comentar que hay
procedimientos para obtener de manera exacta la
3 , el cual es menor que 1 .
c)La respuesta dependerá de cada alumno.
2.Da el mismo resultado. Es la aproximación menos
exacta al ser la menor en cuanto a número de dígitos
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 15
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones,
analizando las convenciones de esta representación.
Se espera que al terminar esta secuencia los alumnos
conozcan y utilicen las convenciones para representar
números fraccionarios y decimales en la recta numérica.
Situación inicial (págs. 28-29)
En esta sección se busca que el alumno utilice sus
conocimientos previos para ubicar en la recta números decimales (con distintas cantidades de cifras
decimales) y fracciones, y comparar sus valores.
Conceptos principales: recta numérica, unidad
como referencia de medida, densidad numérica.
• Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica
• Identificación de una fracción o un decimal entre dos
fracciones o decimales. Acercamiento a la propiedad
de densidad de los racionales, en contraste con los
La intención de esta parte de la secuencia es
que los alumnos aprendan a ubicar un número
decimal o fraccionario en la recta si se conoce
la posición de al menos otro par de números: se
destaca que al definir la posición del cero y la unidad queda determinada la de cualquier otro número natural, decimal o fraccionario. Finalmente,
concluirán que siempre es posible encontrar un
número entre cualesquiera otros dos.
1. Es frecuente que los alumnos piensen que 81 es mayor que 1 porque 8 es mayor que 4.
2.Algunos estudiantes pueden pensar que 0.57 es mayor que 0.6 porque 57 y 7 son mayores que 6.
3.Es probable que algunos piensen que, una vez definida la posición de dos números, la de un tercero se
puede determinar de manera arbitraria.
4.Los alumnos pueden pensar, si no reflexionan sobre
ello, que entre ciertos decimales o fracciones no hay
más números: por ejemplo, entre 1 y 2 o entre
0.25 y 0.26.
Regresa y revisa (págs. 32-33)
El alumno deberá representar mediante ampliaciones de una recta numérica números con una
mayor cantidad de cifras decimales respecto a los
de la situación inicial.
c) ¿De qué modo usaron la información del primer kilómetro (fig. 1.2.1) para saber
cómo ubicar los puntos solicitados del kilómetro representado en la fig. 1.2.2?
d)Para localizar a la corredora que va en segundo lugar, ¿en cuántas partes tuvieron
e) ¿A qué otras corredoras pueden localizar dividiendo el segmento como en el inciso
Enunacarrerademaratón,lasseiscorredorasque
llevabanladelanterahabíanrecorridoenlosprimeros20minutoslasdistanciasquesemuestranenel
cuadro1.2.1.
f) ¿Qué necesitaron hacer para localizar al resto de las corredoras?
g)De las seis corredoras, ¿cuáles ya pasaron por el puesto de hidratación que se en-
Alolargodeltrayecto,cada 5 dekilómetrohabíauna
cámaradeseguimientodelacarrera,ycada 1 kmun
puestodehidratación.
cuentra entre los kilómetros 5 y 6?
2. Completen el cuadro 1.2.2, de modo que expresen en fracciones con denominador
100 las distancias que han alcanzado las corredoras.
1 Respondelassiguientespreguntas.
a) ¿EntreDianayLucía,quiénvaganado?
b) ¿YentreKarinayRenataquiénllevaladelantera?
Con decimales o
Con fracción de
denominador 100
2 Completalaterceracolumnadelcuadro1.2.1.
3 Ubicaenlasiguienterectalospuestosdehidrataciónylascámarasqueseencuentrenentreloskilómetros0y1.
3. En grupo, a partir de las conversiones anteriores, propongan un procedimiento
para verificar si ubicaron correctamente las posiciones de las corredoras en la figura
1.2.2 y aplíquenlo.
4 Ubicaenlasiguienterectalospuestosdehidrataciónylascámarasquese
encuentrenentreloskilómetros5y6.Después,ubicalasposicionesdelas
5 Verificaquelasposicionesqueanotasteenelcuadro1.2.1correspondanalo
marcadoenlafigura1.2.2.
1 Enlasiguienterecta,marcalospuntosdondeselocalizan 2 y2.
2 Ubicael0enunaposicióndiferentealaquetieneenlarectadelafigura1.2.3,
yubicaelnúmero1demodoqueladistanciaentreésteyel0seadiferenteala
quehayentreellosenlafigura1.2.3.
para saber dónde están los puestos de hidratación?
b)¿Y en cuántas hubo que dividirla para localizar las cámaras?
1. a)En 2.
1. Sugerencia didáctica. Si se presentan, las ideas erróneas 1 y 2 se pueden discutir.
Fecha Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 17
c)Se puede repetir el procedimiento, ya que son segmentos de igual longitud y con extremos enteros.
d)Basta con 20 pasos.
e)A Nancy, a Diana y a Karina.
f)Por ejemplo, para localizar a las demás corredoras
hay que dividirlo en 100 partes iguales.
g)Renata y Karina, corredoras que van en 2° y 1er lugar, respectivamente.
3.Las cámaras van en las siguientes posiciones: 0.2, 0.4,
0.6 y 0.8 km; el puesto de hidratación debe estar a
la mitad del segmento que va de 0 a 1 km. Pida que
observen que, aunque no se pidió ubicarla, también
hay una cámara en el kilómetro 1.
4.Las cámaras van en las siguientes posiciones: 5.2, 5.4,
5.6 y 5.8 km; el puesto de hidratación debe estar a
la mitad del segmento que va de los 5 a los 6 km.
Aunque no se pidió ubicarlas, también hay cámaras
en los kilómetros 5 y 6.
Material Fig. 1.2.3.
3 ¿Dequédependelaposiciónquetienenel 2 yel2enlafigura1.2.3yenla
figura1.2.4?
1 Enparejas,haganyrespondanlosiguiente.
a) Ubiquenlasfracciones 2 y 5 enlarecta.
4 Ubicalosnúmeros 8 y 5 enlasrectasdelasfiguras1.2.3y1.2.4.Enparejas,
comentenquédiferenciasobservanentrelasposicionesdeestosnúmerosde
unarectaaotra.
Fig. 1.2.9.
b) ¿Quéfraccionescondenominador21sonequivalentesalasanteriores?
5 Conbaseenlasrectasanteriores,discutanengrupodequédependelaposición
c) Observenlosnumeradoresdelasfraccionesanterioresyverifiquenquehayan
decualquiernúmeroenlarectayescribansusconclusiones.
ubicadocorrectamente 2 y 5 enlafigura1.2.9.Expliquencómolohicieron.
d) Considerenlasfraccionesqueobtuvieronenelincisobyexpliquenporquéen
1 Enlalecciónanteriorvisteque 10 =0.1.Launidaddelasiguienterectaestá
divididaen10partesiguales.Señalasusvaloresennúmerosdecimales.
esecasonoesposibleencontrarunafracciónentreellascondenominador21.
e) ¿Quéfraccionescondenominador42sonequivalentesalasiniciales,esdecir,
2 Explicacómoubicaríasenlarectaanteriorelnúmero0.25ymárcaloenella.
f) Considerenlasfraccionesqueobtuvieronenelincisoanterioryobtengan
unaintermediaaellascondenominador42.
3 Enlasiguienterectaubicael0.11.
2 Engrupo,discutansisiempreesposibleencontrarotrafracciónentrecualquier
pardefraccionesyporqué.
3 Señalaenlarectanuméricaelnúmero0.218.
4 Explicaentucuadernoquéharíasparaubicarel0.112enlarectaanterior.
4 Señalaunnúmeroenlarectaanteriorqueestéentreel0.21yel0.218.
5 Engrupo,verifiquensusrespuestasdelosejercicios1a4usandofracciones
5 ¿Siempreesposibleencontrarotronúmeroentrecualquierpardenúmeros
6 Enparejas,ubiquenencadarectalosnúmerosqueseindican.
decimales?¿Porqué?
a) 2 y3.2.
Fig. 1.2.7.
b) 3 ,1.4,2y3.
1. En equipos de tres, respondan lo siguiente.
a) Además de usar la recta numérica, ¿de qué otra manera pueden comparar fraccio-
nes o números decimales? 7 Revisensusrespuestasdelejercicioanteriorengrupoydiscutanquépasos
realizaronparalocalizarcadapunto.
3.Un método es dividir el segmento de recta en 100
Sugerencia didáctica. Se puede preguntar al alumno por qué algunas veces es más práctico ubicar un
número decimal a partir de su equivalente en fracción. Por ejemplo, para localizar el número 5.25 se
tiene que dividir el segmento entre 5 y 6 en 100 partes
iguales, pero, si se toma en cuenta su equivalente en
fracción (21) y se expresa como fracción propia (5 1 ),
sólo hay que dividir el mismo segmento en cuatro
partes iguales. Una manera de obtener mayor precisión en la localización de números de varias cifras
decimales es aumentar la escala de la recta.
Sugerencia didáctica. Se pueden plantear otras situaciones en las que la posición de dos números esté definida, y pedirle al alumno que localice otras cantidades.
1. De izquierda a derecha: 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7,
0.8 y 0.9.
2.Dividiendo a la mitad el segmento entre 0.2 y 0.3; el
número 0.25 es el punto medio.
4.Se puede dividir el segmento entre 0.11 y 0.12 en 10
partes iguales y marcar la segunda división.
5. Sugerencia didáctica. Se le pueden plantear al alumno otras situaciones en las que, para ubicar números
decimales en la recta, sea más fácil considerar sus
equivalentes en fracciones.
7. Por ejemplo, se pudo iniciar dividiendo el segmento en
cuatro partes iguales para obtener la unidad y después
hacer más divisiones, como en los ejercicios anteriores.
3. Depende de la medida de la unidad, es decir, de la
distancia entre el 0 y el 1 y de la posición del 0.
Sugerencia didáctica. Se puede discutir, si es que
se presenta, la idea errónea 3, preguntándole a los
alumnos cuál es el error si, una vez definida la posición de dos números, la ubicación de un tercero se
determina de manera aleatoria.
4.Que el lugar en el que se ubican es diferente en ambas rectas, pues depende de la unidad establecida.
5.La posición de cualquier número en la recta depende
tanto de la posición del 0 como de la distancia entre
el 0 y el 1.
c)Se puede dividir el segmento de 0 a 1 en 21 partes
y situar las dos fracciones donde correspondan;
éstas deben coincidir con las fracciones originales
( 2 y 5 ).
d)Porque los numeradores son 14 y 15, y no hay ningún número entero entre ellos.
2.Sugerencia didáctica. En caso de aparecer, se puede
discutir la idea errónea 4. Si el alumno no responde
2 Deacuerdoconlarectanuméricadelafigura1.2.11,¿cuálessonlospuntosen
losqueseencuentranFernanda,ElisayDiana,representadasconlasletrasF,E
yDrespectivamente?
b)En su cuaderno, intenten ubicar el número 2.3 en la recta.
2. En grupo, respondan las siguientes preguntas.
a) ¿Cuándo convendría usar la recta para comparar números? • F.
3 Enequiposdecuatro,comparensusrespuestasydiscútanlassihaydiferencias.
b)¿Cuál es la dificultad para ubicar el número 2.3 en la recta? 4 Engrupo, comentensielmétodousadoesprácticoparalocalizarelnúmero
21.7428647ydiscutancuándoesútilelcambiodeescalaenlarectanumérica.
Escribansusconclusionesacontinuación.
Enlacarreradelproblemainicial,a1horay20mindelcomienzolastrescorredoras
punterashanrecorridolassiguientesdistancias.
1. Explica por qué en la recta el número 0.25 se encuentra en el mismo
1 Ubicaenlarectalaposicióndecadacorredora.Paraello,usalasrectasnuméricasdelafigura1.2.11,lascualesrepresentan:
Localiza recta numérica en el glosario (págs. 272-276)
y anota con tus
y un ejemplo del
Ladistanciaentreelkilómetro21yel22.
Laampliacióncorrespondientealadistanciadelos21.7kmalos21.8km.
Laampliacióndeladistanciadelos21.74kmalos21.75km.
(LasletrasF,EyDlasutilizarásmásadelante.)
3. Encuentra tres números entre cada una de las siguientes parejas.
a) 0.5 y 4 . 21
b) 4 y 9 . 22
d) 11 y 11 . 4. A partir de la ubicación de los números 0.5 y 0.7 en la recta de la figura
1.2.12, determina la posición de las siguientes letras.
5. En tu cuaderno, traza una recta numérica y las ampliaciones necesarias
para localizar los números 5.65, 7.13 y 10.87.
Fig. 1.2.11.
cómo puede encontrar una fracción entre cualquier
par de fracciones, se le puede pedir que encuentre
más entre 28 y 30 . Para esto, pregunte por las frac42
ciones equivalentes con denominador mayor a 42
de esas dos fracciones.
5.Sí; por ejemplo, se puede sumar los dos números y
dividir el total entre 2 para encontrar otro que se encuentre a la mitad de ellos.
Sugerencia didáctica. Como en la lección anterior, es
importante comentar que hay procedimientos para
obtener de manera exacta la fracción correspondiente a un número decimal periódico, pero requieren conocimientos de niveles académicos posteriores.
1. a)Un método es el sugerido en el ejercicio 1 de la página 31. Para comparar los numeradores hay que modificar las fracciones de modo que tengan el mismo
denominador. En el caso de los decimales, se pueden
comparar dígito a dígito, de izquierda a derecha, hasta
encontrar cuál es mayor.
2.a)Cuando el número sea un decimal finito, o cuando ubicarlo no requiera una división de la recta en
b)No sirve dividir el segmento comprendido entre los
números 2 y 3 en una cantidad finita de partes. Al
pasar 2.3 a su forma de fracción sólo se obtiene una
aproximación, pues hay que redondearlo o truncarlo.
2.• 21.73
• 21.741
• 21.743
4.Se necesita un cambio de la escala cada vez que se
considere un dígito más a la derecha del punto; por
lo tanto, implica muchas rectas a escala.
Resuelva y practica
1. 0.25 es equivalente a
2.R. L.
3.a)Ejemplos: 3 , 1, 5 ,
c) Ejemplos: 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6.
d) Ejemplos: 51 ,
,…, 58 , 59 .
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 19
,…, 22 , 23 .
b) Ejemplos: ,
Fecha Material 24/02/12 13:37
impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el
aprendizaje esperado de la lección 1 del bloque 5: resolver problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y
Situación inicial (pág. 34)
En primaria, los alumnos aprendieron a efectuar
sumas y restas sencillas de números fraccionarios,
por lo que con esta situación inicial se busca que
se den cuenta de que, para hallar la solución a ciertos problemas, a veces es necesario hacer más de
una conversión para obtener el mismo denominador y así poder efectuar la operación.
Conceptos principales: suma y resta de fracciones.
• Cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios
• Resolución de problemas de suma o resta de fracciones con denominadores diferentes
• Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios
1. En una suma o resta de fracciones, algunos alumnos
pueden sumar o restar por una parte los valores del
numerador y por otra los del denominador para obtener los valores de cada elemento.
2. Algunos alumnos pueden pensar que si dos fracciones son iguales, la parte del total que representan es
igual aunque los totales sean diferentes; por ejemplo,
que 31 de 10 sea igual a 31 de 20.
Explora y construye (págs. 34-37)
La intención de las actividades de esta sección es
que el alumno logre plantear ciertos problemas
y realice las conversiones necesarias para hacer
las sumas y restas que conduzcan a la solución.
Algunas veces, antes de hacer el planteamiento, se le pedirá hacer estimaciones mentales. El
alumno también inventará algunos problemas
que impliquen sumas y restas de números fraccionarios. Con todo lo anterior se busca que haga
una correcta interpretación del significado de las
fracciones en los problemas.
Regresa y revisa (pág. 37)
En esta sección se busca que el alumno sepa interpretar que el valor que representa una fracción
depende del valor del total.
todasdelmismotamaño.Cincopersonascomieron,cadauna,unarebanada
depasteldefresayotradedurazno,ycuatropersonassólocomieronuna
rebanadadepasteldefresacadauna.
Usandosólofraccionesrespondanlosiguienteensucuaderno.
• ¿Quépartedelpasteldedospisosrepresentantodaslasrebanadasde
pasteldefresaquesobraron?
pasteldeduraznoquesobraron?
• Escribanunasumadefraccionesquepermitadeterminarquépartedel
pastelsobró.Después,realicenlasuma.
• Apartirdelnúmerototalderebanadasqueseconsumieron,escribanuna
restadefraccionesquepermitadeterminarquépartedelpastelsobró,
yverifiquenquehayanobtenidoelmismoresultadodelpuntoanterior.
EncasadeRosarioalmacenanelaguaenuntinaco,elcualsellenaaliniciodecada
díaydespuésnovuelvearecibiragua.Ellíquidoseusadiariamentedeestamanera:
lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartapartedesucapacidaden
lavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina.¿Quépartedeltinaco
quedaalfinaldecadadía?
c) Jorgelepidióprestadaasutíosucamionetaparaentregarmercancía.
Cuandoempezóausarelvehículo,eltanquetenía 43 desucapacidadde
gasolina.Luegodeunrecorrido,Jorgenotóquehabíagastado 61 delaca3 de
pacidadtotaldeltanque.Siduranteelrestodeldíaseconsumieron 10
lacapacidadtotaldeltanque:
a) Si un día no se lava ropa, ¿qué parte del tinaco sobraría?
• Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquegastó
b)Si un día no se usa agua en la cocina, ¿qué parte del tinaco sobraría?
Jorgeesedía.
• Calculenquéfraccióndelacapacidadtotaldeltanquequedó
despuésdelrecorrido.
d) Enunabalanzadedosplatossecolocaunobjetodepesodesconocidoenelderechoyunacargaformadaporvariaspesascon
untotalde5kgenelplatoizquierdo.Perolabalanzanoqueda
equilibrada;paralograrlo,selequitanalplatoizquierdodospesas
de 31 kgyunade 81 kgyseleagregandospesasde 21 kgyunade
1 kg.¿Cuántoskilogramospesalacargadelplatoderecho?
Acopio, reparto, carga, equilibrio…
1 Enparejas, resuelvanlossiguientesproblemas.
a) Enunaescuelaserealizaunarecoleccióndeperiódicosviejosparavenderlos
ydonarloqueseobtengaalaCruzRoja.Elprimerdía,unequipodecuatro
6 kg, 1 kgy 2 kg.
alumnosllevólassiguientescantidadesdepapel: 37 kg 10
Para encontrar más problemas
de fracciones, consulta Claude
Irwin Palmer et al. (2003). Matemáticas prácticas. Barcelona.
Cadaunoestimementalmentelasumadelascantidadesanterioresy,
apartirdeello,digacuántofaltaparacompletarunnúmeroenterode
el siguiente libro información
sobre la resolución de problemas con fracciones en el antiguo Egipto: Miguel Ángel Pérez
García (2009). Una historia de las
matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes.
Madrid. Visión Libros.
Haganloscálculosnecesariosparaobtenereltotaldelperiódicojuntado
ycuántofaltaparaformarpaquetesde1kgdepapelcadauno.Expresen
surespuestacomofracción.
2 Engrupo,haganlosiguiente.
a) Redactendosproblemascuyaresoluciónimpliqueoperacionesde
sumayrestadefracciones.Antesdehacerloscálculosrespectivosestimenmentalmentelosresultadosydespuésresuelvanlos
b) Discutancuáleslautilidaddeestimarresultadosmentalmente.
c) Analicenquéotroproblemaoproblemasdelejercicioanteriorpodríanhaberseresueltomedianteestimaciónyexpliquenporqué.
Expliquencómodeterminaroncuáleslacantidadquefaltaparaformar
unnúmeroenterodepaquetes.
Usenlacalculadoraparacomprobarsusresultados.
b) Enungrupodeprimerodesecundariatresalumnasfestejaronsucumpleaños.Para,ellosuscompañeroscompraronunpasteldedospisosdelmismo
tamaño:unodefresayotrodedurazno.Secortaron10rebanadasporpiso,
Consumo de agua / Analiza
2.Queda una octava parte del total de la capacidad del
tinaco pues 1 – 21 – 41 – 81 = 81 .
Sugerencia didáctica. El problema implica tres restas; es necesario verificar que en cada caso se haga
correctamente la conversión necesaria para obtener
el mismo denominador, y así restar las fracciones. Es
posible que algún alumno convierta todos los números para tener el mismo denominador. Si la idea
errónea 1 aparece, se puede discutir.
1. a)• Es muy probable que respondan que es difícil hacerlo mentalmente.
5 = 6 = 3 • 20 + 20
14 = 6 = 3
c) • 6 + 10 = 30 = 15
• 43 – 15
d) 5 – 3 – 3 – 81 + 21 + 21 + 41 =
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 21
2.a)R. L.
b)Sirve cuando no se requiere una respuesta exacta para resolver un aspecto de una situación; por
ejemplo, para saber si una cantidad fue menor o
mayor a otra especificada.
41 kg. Faltan 169 para hacer paque • Se juntaron 2 210
tes de 1 kg.
• A una unidad, en este caso 1 kg, se le resta la
cantidad fraccionaria del total recolectado.
d) Comentenloquehicieronpararesolverlosproblemas.Identifiquencuándo
usaronrestasdefraccionesycuándosumasdefracciones,yporquéfueasí.
5 Cadaquienplanteeunproblemaconlaoperaciónqueeligió.
6 Expliquenelplanteamientoasuscompañerosdeequipo.
3 Enequiposdetres,resuelvanelsiguienteproblema.
Alejandrahizounlibrerodemaderaylesobróunatabla.SuamigoIsaíaslepidió
laquintapartedelatablaparaterminardeconstruirunamesa;Terequisodos
quintaspartesdelatablaparaunarepisayRodolfo,unaquintapartedelatabla
parahacerunjoyeroparasuesposa.
7 Elijanjuntosunodelosproblemas,resuélvanloyexplíquenloalgrupo.
b) ¿QuépartedelatablalequedabaantesdedarlelaquintaparteaRodolfo?
1. José leyó que hay un límite de dobleces de una hoja de papel sobre sí misma. Toma
cualquier hoja de papel y dóblala sobre sí misma el mayor número de veces que
puedas y después responde lo siguiente.
c) ¿Quépartedelatablalequedó?
a) ¿QuépartedelatablaentotalregalóAlejandra?
4 Engrupo,considerenquelalongituddelatabladeAlejandraerade3metrosy
respondanlosiguienteensucuaderno.
a) ComoIsaíasrecibió 51 detabla,entonceslalongituddesupedazoesde
3 metros.Expresenconfraccionesdemetrolaslongitudesdelospedazos
deTereyRodolfo.
b) ExpliquencómoobtendríanlalongituddelpedazoquelequedóaAlejandra
enfraccionesdemetro.
b)¿Y el cuarto doblez?
c) Si sumamos las fracciones que resultan en los primeros cuatro dobleces de la hoja,
¿el resultado será mayor o menor que la unidad? Explica tu respuesta.
d)Verifica tu respuesta al inciso anterior efectuando la suma de las fracciones.
Invención de problemas
1 En equiposyconbaseenlasimágenessiguientes,respondanlaspreguntas.
1 Enparejas,leanlasituacióninicialyelsiguienteplanteamiento.Después,respondan.
EltinacodelacasadeRosariotieneunacapacidadde1200L.Losvecinostienenuntinacode2000Ldecapacidadquetambiénsellenaaliniciodeldíay
despuésnovuelvearecibiragua;ellosempleanelaguadeltinacocadadíadela
siguienteforma:lamitaddelacapacidaddeltinacoenelbaño,unacuartaparte
desucapacidadenlavarlaropayunaoctavapartedesucapacidadenlacocina.
a) Observenlafigura1.3.3,lacualrepresentaalosdostinacos,ydibujenqué
partedelacapacidaddecadaunodelostinacosseocupóparaelbaño,cuál
paralavarropaycuálparalacocina.
a) ¿Quéfraccióndelcírculorepresentasuáreasombreada?
• I. • II. • III. b) ¿Quéfraccióndecadacírculonoestásombreada?
• I. • II. • III. b) ¿Quéfraccióndelacapacidaddeltinacode
2 Cadaintegrantedelequipoelijauncírculodelafigura1.3.2,planteeunproblema
apartirdeélyexpliquesuplanteamientoasuscompañeros.
quédifierenelconsumodeaguadelafamilia
b) 87 – 37 + 71 c) 87 – 41 + 23 d) 45 – 35 – 81 e) 57 – 61 – 23 f) 25 + 57 + 51 Nivel de
deRosarioyeldelosvecinos
4 Enequiposdetres,cadaunoelijaunadelassiguientesoperaciones.
a) 4 21 + 31 – 45 Nivel de
losvecinosquedaalfinaldeldía?
2 Engrupo,respondanenquéseparecenyen
3 Elijanunodelosproblemasqueplantearonenelejercicio2,resuélvanloyexplíquenloalgrupo.
b)Ejemplo: le queda 51 de la tabla, lo mismo que le
dio a Isaías, así que es la misma longitud, es decir,
Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al alumno qué sucedería si la longitud de la tabla fuera, por
ejemplo, de 4, 5, o 6 metros. Si surge la idea errónea
2, discútanla.
a) • I. 21 • II. 41 • III.
b) • I. 21 • II. 43 • III.
2.Por ejemplo, para el círculo I: Juan compró una gelatina circular para celebrar su cumpleaños en la escuela.
Si al final del día se consumió el área sombreada, ¿qué
parte de la gelatina sobró?
3.Solución del problema anterior: sobró la mitad.
c)Depende de cada alumno, aunque en general es
necesario escribir los cálculos para esos problemas.
5.Por ejemplo, Roberto tiene que llenar un contenedor
de 5 litros de agua. Primero agregó 4 21 litros, después
3 de litro. Si retiró 5 de litro de lo que había en el
contenedor, ¿cuántos litros hacen falta para llenarlo
29 de litro.
7. Respuesta del ejemplo anterior: le faltan 30
c)Menor, pues siempre falta la mitad del valor representado en cada doblez para completar la unidad.
d) 21 + 41 + 81 + 16
1. b) 81
2.Se parecen en que las fracciones de consumo del volumen total de los tinacos son las mismas en ambos
casos. Difieren porque los tinacos no tienen la misma
Sugerencia didáctica. Si aparece aquí la idea errónea 2, se puede discutir.
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación
en lenguaje común de expresiones generales que definen
las reglas de sucesiones con progresión aritmética o
representen sucesiones de números o de figuras a partir
de una regla dada, y viceversa.
Conceptos principales: sucesiones, elemento de una
sucesión, consecutivo en una sucesión, progresión aritmética, progresión geométrica.
Materiales: para cada equipo de cuatro, aproximadamente medio kilogramo de frijoles o algún otro tipo de
semilla; calculadora.
• Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones de números o figuras que tengan progresión
aritmética o geométrica, así como sucesiones especiales
• Construcción de sucesiones a partir de la regularidad
• Resolución de problemas que implican identificar la
regularidad de sucesiones con progresión aritmética,
geométrica o especial
1. Algunos alumnos pueden confundir las sucesiones
con progresión geométrica con las sucesiones especiales, por ejemplo, la sucesión 1, 4, 9, 16, 25,…, que
se forma al elevar al cuadrado los números naturales,
tiene un cociente diferente entre cada par de términos sucesivos.
Situación inicial (pág. 38)
Se propone una actividad en la que los alumnos
usarán como ejemplo una sucesión sencilla de
figuras para hacer sus propias sucesiones con
semillas. Mediante preguntas se analizará la sucesión dada para tener una aproximación de la
regularidad con la que está formada.
Explora y construye (págs. 39-44)
A lo largo de varias actividades, el alumno repasará las similitudes y diferencias entre las sucesiones, de figuras y de números, con progresión
aritmética y progresión geométrica. Se le pedirá
que analice cómo se relacionan los términos de
una sucesión y que obtenga, a partir de esa relación y en lenguaje común, la regla que define la
sucesión. También construirá sucesiones a partir
Regresa y revisa (pág. 44)
El objetivo de esta actividad, en la que se presenta
una sucesión de figuras que no tiene progresión
aritmética ni geométrica, es que el alumno determine la regla que define la sucesión, y sea capaz
de encontrar un término específico.
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión
1 Dibujaloselementosquefaltanencadaunadelassiguientessucesiones.
Enequiposdecuatro,realicenlosiguiente.
1 Llevenaclaseaproximadamentemediokilogramodefrijolesodealgúnotro
tipodesemilla.
2 Observenelsiguienteejemplodeunasucesióncuyoselementossonfiguras.
2 Utilizalassemillasparareproducirlassucesionesyconstruyelasfigurascorrespondientesaloslugares5ºy6ºdecadasucesión.
Fig. 1.4.1.
3 Enparejas,respondanIosiguientesobrelasucesiónI.
3 Divídanseendosparejasycadaunapropongacómoconstruirunanuevasucesióncuyoselementosseanfiguras.
a) ¿Cómoseconstruyeelsegundoelementodelasucesión?
4 Construyanlasprimerascuatrofigurasdelasucesiónqueplanteólaotrapareja.
b) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles
5 Asegúrensedequelasconstruccionesquerealicelaotraparejaseancorrectas.
Sinoloson,repítanleslaexplicaciónparaquelasrehagan.
quetienelafiladesubase?
c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafigurayelnúmerodefrijoles
quesenecesitanparasuconstrucción?
d) ¿Cómoyconcuántosfrijolesconstruistelasextafiguradelasucesión?
b)Describe el primer elemento de la sucesión de la figura 1.4.1.
4 Engrupo,expliquencómoconstruirunafiguradelasucesiónIapartirdela
figuraquelaantecede.
5 Enparejas,respondanlosiguientesobrelasucesiónII.
a) ¿Cómoseconstruyeelcuartoelementodelasucesión?
d)¿Cuántas semillas más tiene el segundo elemento respecto al primero?
c) ¿Quérelaciónhayentreellugarqueocupaunafiguraysunúmerodefilas
3 a 5.Sugerencia didáctica. Hay que verificar que las
construcciones hechas por los alumnos sigan una
regla. De no ser así, se les puede orientar con preguntas que guíen el análisis de la diferencia o el
cociente entre cada par de términos consecutivos
1. a) Una posible respuesta es: una sucesión es una colección de números o figuras que se forma a partir de
una regla dada.
b)Un frijol solo (o semilla).
c)Se agregan dos frijoles más (o semillas) a la derecha del frijol inicial, formados en línea vertical.
e)2 f) En cada paso se agregan 2 frijoles.
3.a)Se coloca una columna de 2 frijoles a la izquierda
del frijol inicial.
b)El número de frijoles que hay en la base y el lugar
que ocupa son iguales.
c)Es la suma de los números desde 1 hasta el lugar
que ocupa la figura.
d)Con 21 frijoles. Se coloca un frijol, después se
agrega una columna de 2 a la izquierda del primero; luego una de 3 a la izquierda de los anteriores,
y así sucesivamente hasta agregar una columna de
6 frijoles.
4.Se puede emplear el procedimiento anterior.
5.a) Se colocan 8 frijoles en dos columnas juntas, de 4
frijoles cada una.
b)La fila de la base siempre tiene dos frijoles, así que
c)El número de filas de frijoles y el lugar que ocupa
d)El número de frijoles necesarios es el doble del lugar que ocupa la figura.
e)Con 12 frijoles. Se colocan dos frijoles en una fila,
después se agregan arriba filas de 2 frijoles, y así
sucesivamente hasta obtener 6 filas.
6.Se puede emplear el procedimiento anterior.
7. a) 5
c)En el primer lugar es igual. En el segundo es igual
al lugar que ocupa más 1. En el tercero es igual al
lugar que ocupa más 2, y así sucesivamente.
d)El número de frijoles necesarios es el lugar que
ocupa la figura multiplicado por sí mismo.
e)Con 25 frijoles. Se coloca un frijol, después una
fila de tres frijoles debajo, dejando el frijol inicial
en el centro; después se coloca otra fila debajo,
dejando la fila de 3 frijoles en el centro, y así sucesivamente.
d) ¿Quérelaciónhayentreelnúmerodefrijolesquesenecesitanparaconstruir
f) Elnúmero248seencuentraenellugar124delasucesión.¿Quénúmerose
unafiguradeestasucesiónyellugarqueocupa?
encuentraenellugar125?Justifiquensurespuesta.
e) ¿Cómoyconcuántosfrijolesseconstruyelasextafiguradelasucesión?
g) ¿Quédiferenciahayentredoselementosconsecutivoscualesquieradela
6 Engrupo,expliquencómoconstruircualquierfiguradelasucesiónII.
7 Enparejas,respondanlosiguientesobrelasucesiónIII.
2 Engrupo,discutancuáleslareglaparaformarlasucesiónanterior.
a) ¿Cuántosfrijolestienelafiladelabasedelafiguraqueseencuentraenel
tercerlugardelasucesión?
A las colecciones de números o figuras que están ordenados a partir de una regla se les
llama sucesiones.
b) ¿Cuántasfilashorizontalestieneesafigura?
3 Comparaladefiniciónanteriordesucesiónconlaquedisteenelincisoadela
secciónAnaliza.
quetieneenlafiladesubase?
d) ¿Quérelaciónhayentreunafigurayelnúmerodefrijolesquesenecesitan
4 Enparejas,analicenlasiguientesucesión:6,10,14,18,22,…,yrespondanlas
parasuconstrucción?
a) ¿Quénúmeroestáenellugar10delasucesión?
e) ¿Cómoyconcuántosfrijolesseconstruyelaquintafiguradelasucesión?
ejercicios acerca
b) ¿Quénúmeroestáenellugar20delasucesión?
c) ¿Perteneceelnúmero37alasucesiónanterior?Argumentensurespuesta.
8 En grupo,expliquencómoconstruirunafiguradelasucesiónIIIapartirdela
d) ¿Quérelaciónhayentreunnúmerodelasucesiónyellugarqueocupaenla
9 Anotaencuáldelastressucesionesladiferenciaentrelacantidaddefrijolesdedos
e) ¿Quédiferenciahayentreunelementoysuconsecutivoenlasucesión?
figurasconsecutivasessiemprelamisma.
10 Enparejas,diseñenunasucesióndefrijolesenlacuallacantidaddesemillas
aumentesiemprelomismodefiguraafiguraydibújenlaensucuaderno.
f) ¿Cómopuedenobtenerelnúmeroqueseencuentraeneldécimolugara
11 Engrupo,comparensussucesionesyexpliquensuconstrucción.
partirdelnúmeroqueseencuentraenelnovenolugar?
5 Engrupo,haganlosiguiente.
a) Discutancuáleslareglaparaformarlasucesióndelejercicioanterior.
b) Proponganotrastressucesionesdondeladiferenciaentredoselementos
consecutivossealamismaqueenlasucesióndelejercicioanterior,ydiscutan
cuántassucesionesconesacaracterísticapodríanconstruir.
1 Enparejas,analicenlasiguientesucesióndenúmeros:2,4,6,8,10,12,…,yrespondanlaspreguntas.
a) ¿Cuáleselprimerelementodelasucesión?
b) ¿Quénúmerohayeneltercerlugardelasucesión?
A las sucesiones que tienen una diferencia constante entre sus elementos consecutivos se les llama sucesionesconprogresiónaritmética. Por ejemplo, 4, 7, 10, 13, 16,…
es una sucesión de esta clase, pues cada uno de sus elementos se obtiene al sumar 3
unidades al anterior.
c) ¿Quénúmeroestáenladécimaposicióndelasucesión?
d) ¿Quénúmeroestáenellugar50delasucesión?
e) ¿Quérelaciónhayentreunnúmerodelasucesiónyellugarqueocupa?
8.Se puede emplear el procedimiento anterior.
9.En la sucesión II.
10.Una sucesión con esas características es la que se
da con la siguiente regla: primer paso, colocar un
frijol; segundo paso, agregar una columna de 2 frijoles a la derecha del frijol inicial; tercer paso, agregar
una columna de 2 frijoles a la figura del paso dos, y
1. a)2
e)El número de la sucesión es el doble del lugar que
f) 250, ya que es el doble de 125, es decir, del lugar
2. La sucesión se puede generar sumándole 2 al término anterior, o multiplicando por 2 la posición que
ocupa el número.
6.a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
b)No. Todos los números acaban en 5 o en 0.
d)Un procedimiento es multiplicar 79 × 5.
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 25
3. Sugerencia didáctica. Es importante verificar que los
alumnos comprendan que las sucesiones tienen una
regla que define cómo obtener un término a partir de
4.a) 42
c)No. Todos los números de la sucesión son pares.
d)El número es igual al lugar que ocupa en la sucesión multiplicado por 4 más 2.
e)El consecutivo es igual al anterior más 4.
f) Se le suma 4 al noveno término.
5.a)Se empieza por el número 6. Luego se le suma 4 a
b)Algunos ejemplos son:
1, 5, 9, 13, 17,…
2, 6, 10, 14, 18,…
11, 15, 19, 23,…
Fecha Material 41
6 Ahoraescribanlosprimeroscincotérminosdedossucesionesgeométricasdis-
tintascuyoprimertérminosea6.
Oprime en una calculadora básica la secuencia de teclas
El número que apareció es el primer elemento de una sucesión cuyos elementos suce…
sivos se obtienen al oprimir las teclas
¿Qué sucesiones se obtienen con las siguientes secuencias de teclas?
Escribe una secuencia de teclas para obtener tu propia sucesión y compártela con un
7 Engrupo,escribanenelpizarrónalmenoscincosucesionesgeométricas.Un
compañeropuededecireltérminoinicialyotro,ladiferenciaentrelostérminos
1. ¿ Tiene la sucesión 2, 4, 16, 256,… una progresión aritmética, una geométrica o
ninguna de las dos? Justifica tu respuesta.
6 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) ¿Cuálessonlosprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlosnúGlosario
múltiplo de un
Aquel que se obtiene al multiplicar
ese número por un
número natural (1,
2, 3, 4,…).
merosquesonmúltiplosde5?
b) ¿Esel19unnúmerodeesasucesión?Justificaturespuesta.
1 Analizalasucesiónyrespondelaspreguntas.
c) ¿Quénúmeroseencuentraenellugar18delasucesión?
d) Escribanensucuadernounprocedimientoparadeterminarquénúmeroocu-
paellugar79delasucesión.
a) Describecómoseconstruyeestasucesión.
Localiza elemento
(págs. 272-276)
Puedes auxiliarte
7 Enparejas,escribanlosiguiente.
a) Losprimeros10elementosdelasucesión4,6,8,…,lacualestáformadapor
losnúmerosimparesmástresunidades.
b) Losprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlosnúmerospares
múltiplosdelnúmero5.
c) Ademásdel5,¿dequéotrosnúmerossonmúltiplosloselementosdeesta
b) Escribelosprimeros10elementosdeunasucesiónformadaporlacantidad
defrijolesqueutilizasenlaconstruccióndecadafigura.
c) ¿Tieneprogresiónaritméticalasucesiónqueescribiste?
d) ¿Tieneprogresióngeométrica?
e) ¿Cómodeterminascadaelementodelasucesión?
8 Engrupo,escribanlosprimeros10elementosdelasucesiónformadaporlos
f) ¿Quénúmeroseencuentraenellugar15delasucesióndenúmerosque
múltiplosimparesde5,más3unidades.
g) Describeelprocedimientoqueutilizasteparaencontrarelnúmero.
1 Enparejas,analicenlassiguientessucesionesnuméricas,comparensuscomportamientosyrespondanlaspreguntas.
• 2,4,6,8,10,…•2,4,8,16,32,…
a) ¿Cuálocuálesdeestassucesionestienenprogresiónaritmética?Argumenten
surespuesta.
1. Determina si las sucesiones 3, 6, 9,... y 6, 18, 54,... tienen una progresión aritmética o
una geométrica y describe sus diferencias en tu cuaderno.
2. Construye los primeros quince elementos de la sucesión formada por los múltiplos
pares de 3. 44
7. a)4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
b)10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
c)Son múltiplos tanto de 2 como de 10.
8.8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98
1. a)La primera, ya que la diferencia entre sus elementos consecutivos siempre es 2.
b)En la primera la diferencia entre números consecutivos es constante, y en la segunda no.
2.a)Multiplicando el primero por 2.
b)Multiplicando el segundo por 2.
c)Multiplicando el tercero por 2.
d)Todos los cocientes son 2.
3.Multiplicando el elemento anterior por el cociente
entre dos términos consecutivos.
4.a)Tienen progresión geométrica.
b)El cociente entre sus términos consecutivos es 3.
c)Difieren término a término.
5.Por ejemplo: 5. 5, 15, 45, 135, 405,…
1. No. Es una progresión especial, pues no cumple con
las definiciones de los otros dos tipos de sucesiones.
1. a)Una manera es formar cuadrados con un número
de semillas por lado igual al lugar que ocupen en
b)1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
Sugerencia didáctica. Puede ser que aquí surja la
idea errónea 1. De ser así se puede comentar y analizar que la diferencia o el cociente entre dos términos consecutivos no es constante.
e)Por ejemplo, multiplicar el lugar que ocupa en la
sucesión por sí mismo.
g)Por ejemplo, multiplicar 15 por 15.
6.Por ejemplo: 6, 12, 24, 48, 96; 6, 60, 600, 6 000,
a)2, 4, 8, 16, 32,…
b)3, 12, 48, 192,…
c)4, 40, 400, 4 000,…
d)5, 25, 125, 625,…
e)10, 110, 1 210, 13 310,…
1. La primera tiene progresión aritmética, la segunda,
2.6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90
aprendizaje esperado de la lección 3 del bloque 3: resolver problemas que impliquen el uso de ecuaciones de
las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c
son números naturales o decimales.
Conceptos principales: fórmulas de perímetros y
áreas de figuras geométricas, literal.
• Construcción de las fórmulas para calcular el área de
• Resolución de problemas que impliquen calcular el
perímetro y el área de un rectángulo
• Construcción de una fórmula para calcular el perímetro de polígonos
1. Es posible que algunos alumnos crean que en una
fórmula sólo se pueden utilizar ciertas literales. En
esta lección se mostrará que se puede utilizar cualquier literal para representar una dimensión; puede
explicarse a los alumnos que algunas se usan por
convención o costumbre.
Situación inicial (pág. 45)
La intención de esta actividad es que el alumno
reflexione acerca de cómo obtener una expresión
general con literales para calcular el perímetro de
cualquier rectángulo.
Explora y construye (págs. 45-50)
Con las actividades de esta sección se busca que
el alumno comprenda que se pueden plantear expresiones generales que representen el perímetro
y el área de figuras geométricas (fórmulas) usando
literales, las cuales pueden representar cualquier
medida. El alumno describirá cómo calcular el
perímetro de figuras a partir de un rectángulo que
construirá. Después, analizará de qué manera se
puede expresar el perímetro y el área de triángulos,
cuadrados y rectángulos cuando se desconocen
sus medidas. Finalmente, estudiará que las fórmulas dependen de las características de las figuras y
no de sus medidas.
Regresa y revisa (pág. 50)
La intención de las actividades es que usando literales el alumno exprese el perímetro de las figuras
que reprodujo en la actividad 2 (págs. 45-46) y sea
capaz de calcular el perímetro de las figuras que
hicieron otros compañeros. También se busca
que, a partir de una figura dada, pueda conocer el
perímetro y el área para diferentes valores expresados con literales.
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales
Fig. 1.5.2.b.
Elviraquieredecorarconcenefadoradaelcontornodelmarcoquesemuestraenlafigura1.5.1.
1 Respondelosiguiente.
a) ¿Cuántosmetrosdecenefanecesitaparael
1. Contorno de una
2. Medida de ese
b) Sitieneotromarcode120cmpor60cm,
¿cuántosmetrosdecenefanecesitaparade-
a) ¿Podríascalcularelperímetrodelasfigurasquetrazarontuscompañeros
siguiendoelprocedimientoquepropones?Justificaturespuesta.
3 Escribeentucuadernounprocedimientoparadeterminarelperímetrodecada
unadelasfigurasquetrazaste,sinmedirsusladosyconsiderandosólolasdimensionesdelrectánguloinicial.
a) SupónquelosladosnoparalelosdeunrectángulomidenLyA.Dibujaa
continuacióndosrectángulosdiferentesymarcaconesasletrascadauno
desuslados.
sarios para decorar el contorno de cualquier marco?
b)Si es así, ¿cuál es?
A partir de un rectángulo
1 Trazaentucuadernounrectánguloquetengadelargoeldoblequedeancho,
compáraloconeldetuscompañerosycontesta.
a) ¿Cuántomidenellargoyelanchodeturectángulo?
b) ¿Trazarontuscompañerosunrectánguloigualaltuyo?
2 Usaelrectánguloquetrazasteparareproducirentucuadernolasconstruccionesdelasfiguras1.5.2.ay1.5.2.b.
b) ¿Cuálesseríansusperímetros?
La expresión 2a significa “la suma de a más a” o “el producto de 2 por a”.
La expresión ab significa “el producto de a por b”.
c) ¿Turespuestaalincisobesequivalentealaexpresión2L+2A?¿Porqué?
b)Sumar la longitud de todos sus lados.
A partir de rectángulos
1. b)Lo más probable es que se tracen diferentes rectángulos.
3. Por ejemplo, para obtener el perímetro de la figura I se
puede sumar 4 veces la medida del largo, 4 veces la mitad del largo (2 veces la medida inicial) y 6 veces la del
ancho, es decir, 6 largos + 6 anchos. Otra opción es hacerlo sólo en función del largo (un ancho mide medio
largo): 4 largos más 4 mitades de largo (2 largos) más 6
anchos (3 largos), es decir, 9 largos. Se puede obtener
el perímetro también en función de los anchos.
a)Sí, porque los procedimientos no dependen de las
medidas de los rectángulos sino sólo de la relación
establecida entre el largo y el ancho.
1. b)L + L + A + A
c)Sí, pues L + L = 2L y A + A = 2A, así que L + L + A
+ A = 2L + 2A.
1. a)2.4 m
d)Sí, pues sólo se necesitan las medidas de los lados
y el cálculo es el mismo.
e)Cualquier valor.
3.a)Multiplicando la longitud de su largo por la de su
b)L × A o LA
5.a)• 2k + 2m
b)Por ejemplo, ab, xy, lt.
6.a) Iguales. b) a × a = a2
c)Sustituyendo la letra a por 5, es decir, 52.
d)El área sería 32.
e) El área sería 5002.
7. Se sustituye a por el valor de la longitud del lado del
cuadrado, y se hace la multiplicación.
8.a) Una base y la altura correspondiente.
Sugerencia didáctica. Se puede recordar al alumno
que un triángulo tiene tres bases y tres alturas que
se relacionan por parejas. Generalmente se toma
como base el lado horizontal del triángulo.
b)Por ejemplo, c puede representar la base y f, la altura.
c)Por ejemplo: cf
9.a)Por ejemplo: e puede representar la base y g, la altura.
b)Por ejemplo, eg
2 = 2 =5u .
= 5 u2.
c)Por ejemplo, cf
8 Respondelosiguiente.
a) ¿Quéelementosdeuntriángulonecesitasconocerparacalcularsuárea?
b) Escogedelasiguientelistaunaliteralpararepresentarcadaunodeloselementosqueanotasteenelincisoanterior:c, d,e,f,g,w,y,z.
c) Escribeconlasliteraleselegidasunaexpresiónquetepermitacalcularelárea
decualquiertriángulo.
9 Reúneteconuncompañeroyhazlosiguiente.
a) Pídelequeteexpliqueconcuálesletrasrepresentóloselementosdeltriángulo.
b) Respondanlosiguienteacercadelprimerelementodelassucesiones.
b) Ocupalaexpresiónqueescribióparacalculareláreadeuntriángulocuya
• ¿Quépolígonoes?
basemide2unidadesycuyaalturamide5unidades.
• ¿Cómodeterminaronsuperímetro?
c) Calculalamismaáreaperoconlaexpresiónquetúescribiste.
• ¿Cuálseríaelperímetrodelaprimerafiguradelassucesionessisuslados
10 Engrupo,comentensielvalordeláreadeuntriánguloseveafectadaporlas
literalesqueseocupanenlafórmulayescribansusconclusionesacontinuación.
midierankunidadesdelongitud?
c) Respondanlosiguienteacercadelsegundoelementodelassucesiones.
• ¿Cuáleseláreadeestospolígonos?
• ¿Cuálseríaelperímetrodelasegundafiguradelassucesionessisuslados
1 Enparejas, resuelvanlasiguientesecuencia.
a) Escribanlosprimeros7elementosdelassucesionesformadasporlosperímetrosdecadaunodelospolígonosregularesdelasfiguras1.5.3.ay1.5.3.b.
• ¿Cuálseríasuárea?
d) Respondanlosiguienteacercadeltercerelementodelassucesiones.
algunas figuras de
forma interactiva:
• ¿Cuálseríaelperímetrodelatercerafiguradelassucesionessiloslados
decadapolígonomidierankunidadesdelongitud?
e) Escribanlosprimerosdiezelementosdelasucesióncorrespondientealos
perímetrosdelospolígonosregularescuyosladosmidenkunidades.
2 Apartirdesurespuestaanterior,expliquenengrupo cómosepuedenobtener
lassucesionesdelejercicio1.
10.Una conclusión sería: el área no depende de las literales escogidas.
a)4t + 2w
• 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
b)• Un triángulo equilátero.
• Una manera es sumar la medida de sus lados.
También se puede multiplicar la longitud de uno
de sus lados por tres.
c)• Un cuadrado.
de sus lados por cuatro.
• 1, 41 y 4, respectivamente.
d) • Un pentágono regular.
• Una manera es sumar las medidas de sus lados.
de sus lados por cinco. • 5k
e)3k, 4k, 5k, 6k, 7k, 8k, 9k, 10k, 11k, 12k
2.Multiplicando el número de lados por la longitud de
b) Sí. Basta sustituir la a por la medida de los largos, y
la b por la medida de los anchos de los rectángulos.
Fecha Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 29
Material 24/02/12 13:37
1. a)• 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Esta secuencia contribuye al aprendizaje que se espera
que alcance el alumno en la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de
bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
Conceptos principales: triángulos, cuadriláteros, regla, compás, transportador, escuadra.
Materiales: juego de geometría.
• Clasificación de triángulos con base en la medida de
sus lados y ángulos. Identificación de cuadriláteros
que se forman al unir dos triángulos
• Clasificación de cuadriláteros con base en sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría)
• Problemas que implican el uso de las características y
propiedades de triángulos y cuadriláteros
Situación inicial (pág. 51)
analice la utilidad de un compás para trazar ciertas figuras geométricas, en este caso, un triángulo
Explora y construye (págs. 52-58)
A lo largo de esta sección habrá diversas actividades con las que el alumno construirá triángulos y cuadriláteros: en algunos casos hará trazos
y en otros, aproximaciones, de acuerdo con los
instrumentos del juego de geometría con los que
cuente. Podrá analizar algunas similitudes y diferencias entre triángulos equiláteros, isósceles y
escalenos, así como entre cuadrados, rectángulos, deltoides, rombos, romboides y trapecios.
Regresa y revisa (pág. 58)
En esta sección el alumno podrá concluir qué figuras geométricas se pueden trazar con su juego
Enestaseccióndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelas
herramientassolicitadasencadacaso.
Una tarea con un juego de geometría incompleto
Carlostienelatareadetrazarensucuaderno,consujuegodegeometría,untriángulo
equiláteroapartirdeunsegmento de recta queseráunodeloslados.Sinembargo,
sólocuentaconuncompásyunareglasingraduar.¿Cómolotrazaríastúconestas
a) ¿Cuántosvérticestieneuntriángulo?
1 Enparejas,tracenensucuaderno,conreglagraduada,untriánguloequilátero
cuyosladosmidan4cmcadauno.
Porción de recta
que queda delimitada por dos de sus
puntos, llamados
2 Comentenengrupolasdificultadesparahacerelejercicioanterior.
3 Enparejas,respondanlosiguiente.
b) ¿Cuántosvérticeshayenunladodeuntriángulo?
a) ¿Paraquésirveeltransportador?
2 Carlosencontróenunlibroelsiguienteprocedimientoparatrazareltriángulo.
Llevaacabolospasosycontestalaspreguntas.
b) ¿Cuántomidenlosángulosdeltriángulodelasituacióninicial?
4 Tracenensucuadernountriánguloequiláterocuyosladosmidan5cmutilizandotransportadoryreglagraduada.
▶ Trazaentucuadernounsegmentoderecta,queserálabasedeuntriángulo
equilátero.Señalaconrojodóndeestaríanlosvérticesdeeselado.
▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenunodelosextremosdelsegmentoycon
unradioquemidalomismoqueelsegmento.
5 Describanensucuadernoelprocedimientoqueutilizaron.
6 Eljuegodegeometríaincluyedosescuadrascomolasdelafigura1.6.1.Midan
coneltransportadorlosángulosdecadaunadeellasyanotensusvaloresen
a) ¿Porquéelotrovérticedeltriángulodebeestarenalgúnpuntodelacircunferenciaquetrazaste?
▶ Trazaunacircunferenciaconcentroenelotroextremodelsegmentoderecta
yconunradioquemidalomismoqueelsegmento.
b) ¿Dóndeseencuentraelotrovérticedeltriángulo?
▶ Trazaeltriánguloydespuésverificaconunareglagraduadaqueseaequilátero.
7 Enparejas,tracenensucuaderno,conescuadrasyreglagraduada,untriángulo
equiláterode5cm.
8 Engrupo,discutanlasventajasdecadaunodelossiguientesprocedimientos
paratrazaruntriánguloequilátero.Después,respondanlaspreguntas.
• Concompásyreglasingraduar.
• Contransportadoryreglagraduada.
• Conescuadrasyreglagraduada.
1. En grupo, discutan lo siguiente.
a) Su respuesta al inciso b del ejercicio 2.
b)¿Por qué con el procedimiento del ejercicio 2 se pueden construir dos triángulos
a) ¿Midenlomismolosángulosdecualquiertriánguloequilátero?
b) ¿Cómovalidaríanlarespuestaanterior?
2.a) Porque la distancia de ese otro vértice al vértice del
triángulo usado como centro de la circunferencia
trazada debe ser uno de sus radios.
b)En la intersección de las dos circunferencias.
2.b) Porque hay dos puntos de intersección entre las
circunferencias trazadas.
3.a)Para medir ángulos.
b)60 grados (60°).
5.Se puede trazar un segmento de recta de 5 cm y luego, desde uno de sus extremos, otro de 5 cm a 60°
del primero con ayuda del transportador. Por último,
se traza el tercer lado uniendo los extremos libres de
6.La primera escuadra de la figura 1.6.1 tiene dos ángulos de 45° y uno de 90°; la segunda escuadra tiene un
ángulo de 30°, uno de 60° y otro de 90°.
7. Se puede utilizar el método de la actividad 5, pero en
vez de transportador se usa la escuadra que tiene un
ángulo de 60°.
8.Sugerencia didáctica. El trazo con regla y compás
es el más preciso. Los otros métodos están sujetos a
a)Sí, 60°.
b)Una posible respuesta es: hacer algunos triángulos
equiláteros de diferentes tamaños y verificar que
sus ángulos midan lo mismo.
2.El trazo del tercer lado depende del trazo del segundo, es decir, se hacen por “prueba y error”.
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1 Anotacómosonentresílosángulosdeuntriánguloisósceles.
1 Construyeentucuaderno,conreglagraduadaycompás,untriángulocuyos
ladosmidan5cm,6cmy8cm.
2 Explicatuconstruccióndelejercicioanterioratrescompañerosycomparensus
2 Trazaentucuaderno,conreglagraduadayescuadras,untriánguloisóscelescuyo
ladodiferentemida6cmycuyosángulosigualesseande45°.
construcciones.¿Quéobservan?
3 Revisatutrazoconuncompañeroyescribanlasmedidasdelosladosigualesy
3 Trazaentucuaderno,conescuadraytransportador,untriángulocuyosángulos
midan15°,25°y140°ycompáraloconlostrazadospordoscompañeros.
elángulodiferentedeltriángulotrazado.
4 Engrupo,discutanporquéentodoslostriángulostrazadosdeberíanobtenerse
lasmismasmedidas.
4 Discutanengrupocuántostriángulossepuedenobtenerenlosejercicios1y3,
5 Enequiposdetres,trazaránensucuaderno,conreglagraduadaytransportador,
trestriángulosisósceles.Paraello,observenelcuadro1.6.1ysiganlospasos.
5 Engrupo,analicencuántostriángulossepuedentrazarapartirdelassiguientes
a) Unángulode30°yotrode70°,quecompartenunladode4cm.
b) Unladode4cmyotrode7.5cmqueformenunángulode37°.
de cada triángulo
Llamatriadaaunconjuntodetresnúmerosquecorrespondanalaslongitudes
detressegmentos;porejemplo,latriada(1,2,3)serefiereasegmentosque
miden1cm,2cmy3cm.
6 Enparejas,tracenensucuaderno,coneljuegodegeometría,eltriángulocorrespondienteacadaunadelassiguientestriadas:(5,3,3),(6,3,7)y(4,6,5).
7 Engrupo,expliquenporquélassiguientesafirmacionessonverdaderas.
• Conunatriadadelaforma(a, a, a)noesposibleconstruiruntriánguloescaleno.
• Esposibleconstruiruntriángulorectánguloconunatriadadelaforma
(a, a, b).
Cuadro 1.6.1.Medidasdetrestriángulosisósceles.
▶ Tracenlostrestriángulosapartirdelasmedidasanteriores.
▶ Midanlosángulosyladosdelostriángulosresultantesycompletenlosespacios
blancosdelcuadroanterior.
6 Proponganotralongitudparalosladosigualesdeuntriánguloisóscelesconla
mismamedidadelángulodiferentedelcuadroanteriorytraceneltriángulo.
Enestaseccióntambiéndeberáshacerlostrazosqueseindicanutilizandoúnicamentelasherramientassolicitadasencadacaso.
7 Expliquenquérelaciónhayentrelosángulosdeloscuatrotriángulos.
8 Comparenelejercicioanteriorconeldeotroequipoyobservencómosonlos
ladosylosángulosdelostriángulosqueellostrazaron.
a) SielladodelcuadradoAmide3cmyeldelcuadradoBmide5cm,¿entonces
losángulosdelcuadradoAmidenmenosgradosquelosdelcuadradoB?¿Por
9 Engrupo,discutanlosiguiente.
a) Dadounángulo,¿cuántostriángulosisóscelespuedentrazarsesiconsideran
queeseánguloseencuentraentrelosladosiguales?Expliquen.
b) Dadoelánguloqueseencuentraentrelosladosigualesdeuntriánguloisósceles,
¿cambiarálamedidadelosotrosdosángulossicambialalongituddeesos
2 Planteenunprocedimientoparatrazaruncuadradode4cmconunareglagraduadayescuadras,yllévenloacabo.
1. En un triángulo isósceles hay dos ángulos que son
2.Se puede trazar un segmento de 6 cm y, con ayuda
de la escuadra que tiene un ángulo de 45°, trazar un
segmento desde cada vértice del segmento inicial
hacia el mismo punto y a 45°.
3.El ángulo diferente mide 90° y los lados iguales, 4.2 cm.
4.El lado y los ángulos dados determinan el vértice
opuesto del triángulo y, con ello, la medida de los
otros lados y el ángulo que se forma entre ambos.
7. Los ángulos de los cuatro triángulos miden uno a
uno lo mismo.
9.a)Una infinidad de triángulos.
b) No, siempre mide lo mismo.
1. Una construcción correcta sería: trazar un segmento
de 5 cm. Con ayuda del compás, trazar una circunferencia de 6 cm de radio y centro en uno de los extremos del segmento. Luego trazar una circunferencia
3 Discutansusprocedimientosengrupo.
de 8 cm de radio y centro en el otro extremo del
segmento. Uno de los dos puntos de intersección de
las circunferencias será el tercer vértice del triángulo.
2.Que todos los triángulos tienen las mismas medidas.
4.En el ejercicio 1 se puede obtener un solo triángulo.
En el ejercicio 3 no hay límite, pues se puede cambiar
la medida de uno de los lados del triángulo y la medida de los otros lados también cambia.
5.a)Sólo se puede trazar uno.
b)Sólo se puede trazar uno.
6.Basta repetir la construcción desarrollada en el ejercicio 1, con las medidas señaladas.
7. • Con la triada (a, a, a) sólo se puede construir triángulos equiláteros.
• Los segmentos que miden a unidades tienen que
ser perpendiculares; esta medida determina la medida de b.
Sugerencia didáctica. Mencione un ejemplo de lo
anterior: si dos lados miden 2 unidades, el otro lado
queda determinado por la perpendicularidad de
ellos, y mide aproximadamente 2.83 unidades; su
triada es (2, 2, 2.83). Aunque sí existe un triángulo
formado por la triada (2, 2, 1), no corresponde a un
1. No. Porque los cuatro ángulos de un cuadrado miden 90°.
2.Una posible construcción sería: trazar un segmento
de 4 cm con la regla; con la escuadra, trazar dos segmentos perpendiculares de 4 cm que tengan como
extremos los del segmento inicial y que vayan hacia
4 ACarlosledejaronotratarea:trazaruncuadradousandosólouncompásyuna
reglasingraduar.Paraello,partiódeunsegmentoderectaalquellamóAB,que
seríaunodelosladosdelcuadrado(enlafigura1.6.2,correspondealsegmento
azul).Leelospasosquesiguióparaobtenerun lado adyacentealprimeroy
analízalosenlafigura.
▶ ProlongarconrojoelsegmentoABporambosextremos,conlongitudesalmenosigualesaladedichosegmento.
▶ Trazarunacircunferencia(decolorverde)concentroenAyconunradioque
midamenosqueAB.
▶ LlamarCyDalospuntosdondelacircunferenciacortaalsegmento ABysu
▶ TrazardoscircunferenciasderadioCD:unaconcentroenCyotraconcentroenD.
▶ Trazarunarectasobrelospuntosdondesecortanlasdoscircunferenciasde
igualtamaño.
▶ TrazarotracircunferenciaconcentroenAyradioAB.
▶ Marcarelpuntodeinterseccióndelacircunferenciaconlaúltimarectatrazada
yllamarloE.
a) ¿Cómoserelacionanentresílasmedidasdelosladosdeunrectángulo?
lados adyacentes.
Aquellos que comparten un vértice.
b) ¿Cuántomidecadaunodelosángulosdeunrectángulo?
2 Supónquecuentasconuntransportadoryunareglagraduadayquierestrazar
unrectángulo.
a) ¿Quépropiedaddelosrectángulosjustificaelusodeltransportador?
b) ¿Cómotrazaríasconestosinstrumentosunrectángulocuyosladosmidan5
y7cm?Propónunprocedimientoyverifícaloentucuaderno.
Deltoides y rombos
1 Realizaelprocedimientosiguienteyrespondelaspreguntas.
▶ TrazaunsegmentoABde5cmenelcentrodeunapáginadetucuaderno.
▶ SobreelsegmentoABtrazadoscircunferencias,unaconcentroenAyotracon
centroen B,cuyosradioscumplanlosiguiente.
• Quemidanlomismo.
• QuesulongitudseamayorquelamitaddeladelsegmentoAB,demodoque
lascircunferenciasseintersequenendospuntos.
▶ Marcaelpuntodeinterseccióndelascircunferenciasqueseencuentraporarriba
delsegmentoAB;llámalo C.
▶ Trazaotrasdoscircunferenciascuyosradiosmidanlomismo,concentroen
cadaunodelosextremosdelsegmentoAB;lalongituddelosradiosdebeser
mayorqueladelosradiosdelasotrascircunferencias.
▶ Marcaelpuntodeinterseccióndeambascircunferenciasqueseencuentrapor
debajodelsegmentoAByllámaloD.
▶ TrazaconrojolossegmentosAC,CB,BDyDA.
5 Respondelosiguiente.
a) ¿CómoeselánguloentreelsegmentoABylaúltimarectatrazada?
b) ¿Cómosonambasrectasentresí?
c) ¿PasalaúltimarectatrazadaporelpuntoA?
d) ¿PorquéelsegmentoAEmidelomismoqueelsegmentoAB?
actividades y ejercicios acerca de
a) ¿Quéformatieneelcuadriláteroqueconstruiste?Describesusladosyángulos.
b) ¿Cómosonlosladosyángulosdeunrombo?
e) ¿Quépartedelaúltimarectatrazadacorrespondealnuevoladodelcuadrado?
2 Lafiguraquetrazasteenelejercicio1sellamadeltoide.Básateenelprocedimientoquepermitetrazarundeltoideparaescribirentucuadernolospasos
conlosqueseconstruyeunrombo.
3 Después,engrupo,revisenesteprocedimiento.
6 ConbaseenelprocedimientodeCarlos,trazaentucuadernouncuadradode
6cmdelado.
7 Verificaquesecumplanlaspropiedadesdeestafigurageométricarespectoala
longituddesuslados,asícomoladimensióndesusángulos.Sinoesasí,revisa
laactividadconalgúncompañerocuyostrazossílascumplan.
8 Revisenengrupolasdudasrespectoalaconstrucciónanterior.
4 Leelosiguienteyresponde:“enuncuadrilátero,unadiagonaleslarectaqueva
deunvérticealotroquenoseencuentraenunladoadyacente”.
¿Cuántasdiagonalestieneunrombo?
el mismo lado (se puede usar la regla como apoyo de
la escuadra, de modo que la primera quede justo junto al segmento inicial), y trazar el lado restante para
obtener un cuadrado.
5.a) Es un ángulo recto.
b)Perpendiculares. c) Sí.
d)Coinciden en el extremo A y los otros puntos están en la circunferencia de radio AB.
e)El segmento AE.
1. a) Los lados opuestos miden lo mismo, pero los lados
adyacentes tienen distinta longitud.
b)Miden 90°.
2.a) La medida de sus ángulos.
b)Una construcción correcta sería: trazar un segmento de 5 cm; con la regla y el transportador trazar
segmentos perpendiculares de 7 cm que tengan
como extremos los del segmento inicial y que vayan hacia el mismo lado, y trazar el lado restante.
Deltoide y rombo
1. a) Tiene dos pares de lados iguales. Tiene un par de
ángulos opuestos iguales y los otros dos son diferentes.
b)Los lados de un rombo son todos iguales y sus
ángulos opuestos miden lo mismo.
2.Una posible construcción, a partir del procedimiento
del ejercicio 1, es usar sólo uno de los pares de circunferencias cuyo radio es el mismo y unir sus puntos de intersección con los extremos del segmento.
4.Un rombo tiene dos diagonales.
5 a) 3.54 cm
c) Las diagonales del cuadrilátero resultante son las
rectas que se trazaron al principio.
6.Se trata de un cuadrado.
7. Basta repetir el procedimiento del ejercicio 5 pero
con rectas de distinta longitud.
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5 Trazaentucuadernodosrectasperpendicularesde5cmqueseintersequenensu
puntomedioyúnelasporsusextremos.
5 Engrupo,discutancómotrazaríanunromboideparaquedosdesusángulos
seande75°y105°ydosdesusladosmidan4cmy7cm.
a) ¿Cuántomidenlosladosdelcuadriláteroresultante?
b) ¿Cuántomidensusángulos?
1 Enequiposdetres,haganlosiguiente.
a) Tracentrestriángulosisóscelescondosladosde7cmyunode6cmusando
compásyreglagraduada.
b) Concadaunodelostriángulosanteriorestracenuntrapecioisóscelescuya
basemayorseade6cm.Elprimertrapeciodebetenerunaalturade2cm;
elsegundo,unade3cm,yelúltimo,unade4cm.Usenescuadrasyregla
c) Obtenganlabasemenordelostres.
c) ¿Cuálessonlasdiagonalesentutrazo?
6 Enparejas,revisenlostrazosdelejercicioanteriorydigandequécuadrilátero
7 Engrupo,modifiquenelprocedimientoanteriorparaobtenerunrombo.
2 Engrupo,verifiquenqueobtuvieronlaslongitudescorrectasdelasbasesmenores;delocontrario,revisenenquépartedelprocedimientoseequivocaron.
8 Hazlosiguiente.
▶ Marcalospuntosmediosdelosladosdelcuadradoydelrectángulosiguientes.
▶ Unelospuntosmarcadosconlospuntosdelosladosadyacentes.
▶ Midelosladosylosángulosdeloscuadriláterosresultantes.
1. Discutan en grupo si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y
justifiquen cada respuesta.
a) Con dos segmentos de recta se puede trazar un único triángulo.
b)Se puede construir un único triángulo si se conoce la longitud de su base y su altura.
9 Enparejas,respondanlosiguiente.
a) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelcuadrado?
1 Enequipos,analicenlostrazosquehicieronenlalección.Elaborenuncartelcon
unatabladedoscolumnas:enlaprimeradibujenuninstrumentodeljuegode
geometríayenlasegundaredactensusaplicacioneseneltrazodetriángulosy
cuadriláteros.Incluyantodaslasherramientasconquetrabajaron.
b) ¿Quéfiguraobtuvierondentrodelrectángulo?
10 Engrupo,discutancuálessonlasdiferenciasysimilitudesentreuncuadrado
yunromborespectoasuslados,ángulosydiagonales.
1. Traza los siguientes cuadriláteros en tu cuaderno, mide sus lados y ángulos, e identifica de qué figura se trata en cada caso.
▶ Sus diagonales miden 5 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
▶ Sus diagonales miden 5 cm,no son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, son perpendiculares entre sí y se cortan en su punto
▶ Sus diagonales miden 5 y 8 cm, no son perpendiculares entre sí y se cortan en su
2. Una diagonal siempre divide a un cuadrilátero en dos triángulos. Si los triángulos en
que un cuadrilátero quedó dividido por su diagonal son equiláteros, ¿de qué tipo de
cuadrilátero estamos hablando? ¿Hay varias posibles respuestas a esta pregunta?
1 Pruebaesteprocedimientoparatrazarrectasparalelasusandodosescuadras:
▶ Manténfijaunadelasescuadras.
▶ Colocalaotraescuadrademaneraqueunodesusladossedeslicesobreunode
losladosdelaescuadrafija,comosemuestraenlafigura1.6.4.
▶ Trazaunarectaconalgunodelosladosdelaescuadramóvilquenoestáen
contactoconlaescuadrafija.
▶ Arrastralaescuadramóvilytrazaotrasrectasparalelasalaprimera.
2 Entucuaderno,describelosladosyángulosdeunromboide.
3 Engrupo,discutanunprocedimientoparatrazar,conreglagraduadaydos
escuadras,unromboidecuyosladosigualesmidan4cmy7cm,respectivamente.
4 Enparejas,tracenensucuadernoelromboideymidansusángulosinternos.
9.a)Un cuadrado.
b)Un rombo.
10.En el cuadrado y en el rombo todos los lados miden lo mismo. Todos los ángulos de un cuadrado
miden 90°, mientras que en un rombo los ángulos
opuestos miden lo mismo, pero su medida es distinta
respecto al otro par. Las diagonales de un cuadrado
miden lo mismo, mientras que las de un rombo son
distintas. En ambos cuadriláteros las diagonales
06/03/12 11:30
1. c)Las bases menores son aproximadamente: 4.1 cm,
3.2 cm y 2.2 cm, respectivamente.
1. a)Es falsa. Con distintos ángulos entre los dos segmentos se obtienen distintos triángulos.
b)Es falsa. Se puede desplazar la colocación del tercer vértice de modo que se obtengan triángulos
2.Los lados opuestos miden lo mismo y los ángulos
opuestos también, pero en ambos casos su medida
es distinta respecto al otro par.
3.Un procedimiento correcto sería: trazar un segmento de 4 cm, con el procedimiento descrito en 1 trazar
desde cada extremo del segmento de 4 cm un segmento de 7 cm, que sean paralelos, y trazar el lado
5.Una construcción correcta sería: trazar un segmento
de 4 cm; con ayuda del transportador, desde uno de
sus extremos trazar una segmento de 7 cm a 75°;
trazar otro segmento de 7 cm a 105° desde el otro
extremo del primer segmento, y trazar el segmento
1. a)Un cuadrado.
b)Un rectángulo.
c)Un rombo.
d)Un romboide.
2.El cuadrilátero sería un rombo en el que una de las
diagonales mide lo mismo que sus lados. No hay ninguna otra respuesta posible.
aprendizaje esperado de la lección 5 del bloque 2: resolver problemas geométricos que impliquen el uso de
Conceptos principales: alturas y medianas de un triángulo, mediatrices y bisectrices en un triángulo; ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro.
• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del
1. El alumno puede pensar que los triángulos rectángulos sólo tienen una altura, pues las otras dos coinciden con los lados.
Con esta actividad se busca que el alumno reflexione y explore cómo localizar un punto que
equidiste de otros tres.
Explora y construye (págs. 60-67)
A lo largo de las actividades que se presentan en
esta sección el alumno estudiará, mediante su
construcción, las rectas notorias del triángulo: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices; conocerá sus propiedades y aprenderá el nombre de
los puntos en los que se intersecan. Hará trazos
libres de triángulos rectángulos, obtusángulos y
equiláteros para compararlos entre sí y con los
de sus compañeros, con el fin de generalizar sus
Regresa y revisa (pág. 67-68)
En esta sección el alumno, además de resolver la
situación inicial, trazará ciertas rectas notorias para
consolidar los conocimientos adquiridos a lo largo
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 35
1 Escribeenseguidaunadefinicióndelaalturadeuntriángulo.
Distancia equitativa en un servicio
Sedeseaconstruirunhospitalenlazonacosteraquesemuestraenlaimagen,el
cualdebeestaralamismadistanciadelostrespobladosseñaladosconlasletrasA,
ByC.¿Dóndedebesituarseelhospital?
2 Engrupo,recuerdenquépropiedadestienenlostriángulosrectángulos,acutángulosyobtusángulos.Enelpizarrón,dibujenalgunosejemplosdecadauno.
3 Hazlossiguientestrazosyrespondelaspreguntas.
▶ Enelsiguienteespaciotrazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyuno
equilátero,demaneraqueencadaunolabaseseadecolorrojo,elladoizquierdo,verde,yelladoderecho,azul.
a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que forman los tres poblados?
▶ Trazaconrojolaalturadelostriángulosanteriorescorrespondientealabase
roja.Sinoesposiblehacerloenellibroparaalgunodelostriángulos,cálcaloen
unahojademodoquepuedashacerloenella.
b)¿Qué tipo de triángulo es?
c) ¿Cómo encontrarías el punto donde debe ubicarse el hospital?
a) ¿Quéhicisteparatrazarlasalturas?
Distancia equitativa de un servicio / Analiza
a)El ángulo ABC = 104°,
BCA = 34° y CAB = 42°.
b)Es un triángulo escaleno.
c)Una respuesta es trazar el triángulo que forman los
tres poblados y la mediatriz de dos (o tres) de sus
Sugerencia didáctica. La mayoría de los alumnos
desconocen lo que es la mediatriz de un segmento.
Se les puede preguntar dónde estaría el hospital si
sólo hubiera dos poblados.
1. Una respuesta es: la altura de un triángulo es el segmento que va de un vértice al lado opuesto y lo corta
2.El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto; en el
acutángulo todos los ángulos son agudos, y el obtusángulo tiene un ángulo obtuso.
Sugerencia didáctica. De ser necesario se le puede
recordar al alumno que un ángulo agudo mide menos de 90° y uno obtuso, más de 90°.
3. Sugerencia didáctica. Aquí se puede abordar la idea
errónea 1 si ésta se presenta.
a)Hay que trazar, desde un vértice, un segmento
perpendicular al lado opuesto. Si se trata de un
triángulo obtusángulo, cuando sea necesario hay
que prolongar el segmento que es la base del
b)Tiene 3, una por cada lado.
c)En el caso de los triángulos obtusángulos.
4.En los triángulos rectángulos dos alturas son lados
del triángulo y la tercera está dentro; en los triángulos
acutángulos las tres alturas están dentro del triángulo, y en los triángulos obtusángulos dos alturas están
fuera del triángulo y una dentro.
Ubicación del ortocentro
respecto al triángulo
El ortocentro es el vértice de los
lados que forman el ángulo recto
9.Una respuesta es que la ubicación del ortocentro depende de los ángulos del triángulo y no de las medidas de los lados.
▶ Marcaelpuntoenquelarectanegracortaotrodelosladosdecadatriánguloy
llámaloP.
b) ¿Cuántasalturastieneuntriángulo?
▶ Giratulibroyacomódalodemaneraqueelsegmentoazulseaahoralabasede
cadatriánguloytrazaconazullaalturacorrespondiente.
▶ Repiteelprocedimientoanteriorsuponiendoahoraqueelladoverdeeslabase
encadatriánguloytrazaconverdelaaltura.
c) ¿Enquécasosalgunaalturaestáfueradeltriángulo?
4 Enparejas,comparenlostriángulosylasalturasquetrazaron.Analicenqué
relaciónhayentrelaclasificacióndeltriánguloylaubicacióndelasalturas.
5 Reúnanseconotra pareja yverifiquenquesusconclusionesdelejercicioanterior
tambiénsecumplanenlostriángulosqueellostrazaron.
6 Enlostriángulosquetrazaron,prolonguenlasalturashastaqueseintersequen.
El punto en que se intersecan las alturas de un triángulo se llama ortocentro.
7 Completenelsiguientecuadro.
2 Respondelosiguiente.
a) ¿Enquécasoscoincidieronlalíneapunteadaylarectanegra?
b) Completaelsiguientecuadro.
Cuadro 1.7.1.
8 Enequiposdecincointegrantes,verifiquenquelasconclusionesdelcuadro
anteriorsecumplanparatodoslostriángulostrazados.
9 Engrupo,comentenporquésecumplenlosresultadosdelcuadrosinimportar
eltamañodelostriángulos.
segmento (cm)
c) Encadatriángulo,¿cómosonentresílaslongitudesdelossegmentostraza-
1 Hazlostrazosqueseindicanacontinuaciónenelrecuadrodelapáginasiguiente.
▶ Trazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyunoequilátero.Labasedetodos
debeserroja,elladoizquierdo,verde,yelladoderecho,azul.
▶ Marcalosvérticesquecorrespondenalladorojodelasiguientemanera:AyB
eneltriángulorectángulo,DyEenelobtusángulo,yGyHenelequilátero.
▶ Trazaconunalínearojapunteadalaalturaquecorrespondealabasedeesecolor.
▶ Contujuegodegeometría,determinaelpuntomediodelladorojoencada
▶ Trazaconnegrounarectaparalelaalalíneapunteadaquepaseporelpunto
medioqueencontraste.
dosdesdeelpuntoPacadaextremodelladorojo?
d) Ahora,encadatriángulotomaunpuntodiferenteaPsobrelarectanegra,
llámaloQymidelalongituddelossegmentosformadosdesdeQhastacada
unodelosextremosdelabase.¿Quéobservas?
e) Verificasipasalomismoparacualquierotropuntosobrelarectanegra.
2.a)En el triángulo equilátero.
b)Los datos dependen de los trazos del alumno.
c)Son iguales.
d)Que los segmentos desde Q a cada extremo miden lo mismo.
e)Sí pasa lo mismo, pues es la mediatriz.
9.En el triángulo equilátero coinciden; en los demás no.
11. Una respuesta posible es: en el triángulo rectángulo
isósceles una altura y una mediatriz coinciden; el
ortocentro y el circuncentro están sobre el triángulo pero el ortocentro está en el vértice de los lados
que forman el ángulo recto, y el circuncentro está
en el lado opuesto. Si es un triángulo obtusángulo,
ambos puntos notorios están fuera del triángulo.
12. Son iguales.
3.Una posible respuesta es que cualquier punto sobre
la recta negra equidista de los extremos del segmento rojo.
4.La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio.
13.No es posible trazar otra, pues sólo ese punto equidista de los tres vértices del triángulo.
Ubicación del ortocentro respecto al
Sobre el lado opuesto al vértice de los
1. a) En dos triángulos.
b)Es la mitad del área del triángulo original trazado
3.Con esa recta, el área de un triángulo se divide en
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 37
▶ Trazaunacircunferenciacuyocentroseaelcircuncentroycuyoradioseala
distanciadelcentroacualquiervértice.
3 Enparejas,comparensustriángulosylostrazosquehicieronenellos.Analicen
siobtuvieronlosmismosresultadosenlosincisosanterioresyescribansusobservaciones.
Larectanegraquetrazaroneslamediatrizdelsegmentorojo.
13 Engrupo,comentensiesposibletrazarotracircunferenciacircunscritaencada
4 Investigaenundiccionarioladefinicióndemediatrizyescríbelaenelrecuadro.
1 Hazlossiguientestrazosyrespondelaspreguntas.
▶ Enelsiguienteespacio,trazauntriángulorectángulo,unoobtusánguloyuno
equilátero,demaneraqueencadaunolabaseseadecolorrojo;elladoizquierdo,verde;yelladoderecho,azul,yrealizalosiguiente.
5 Repiteelprocedimientodelejercicio1paratrazarlasmediatricesdeloslados
azulyverdedecadatriángulo;despuésdetrazarlas,prolongalasrectashasta
queseintersequen.
El punto en que se intersecan las mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.
6 Completaelcuadro.
Ubicación del circuncentro
7 Enequiposdecincointegrantes,verifiquenquelasconclusionesdelcuadro
8 Enpareja,tracenensuscuadernosuntriángulorectángulo,unequiláteroyun
obtusángulodiferentesalosquetrazaronenelejercicio1.Obtenganelortocentroycircuncentrodecadauno.
9 Engrupo,establezcanenquétriánguloscoincidenestospuntosyescríbanlosa
10 Enparejas,tracenensucuadernountriángulorectánguloqueseaisósceles.Marquensustresalturasysustresmediatrices.Prolónguelashastaqueseintersequen.
▶ Encadatriángulo,trazacontulápizunsegmentoderectaquevayadelpunto
mediodelladorojoalvérticeopuesto.
11 Analicenyredactenlasdiferenciasentrelasinterseccionesdelasalturasylasde
lasmediatricesdeuntriángulorectánguloqueseaisóscelesyotroquenolosea.
Después,verifiquensusconclusionesconelrestodelgrupo.
a) ¿Enquéfigurasquedadivididocadatriángulo?
12 Encadatriánguloquetrazasteenlapágina62,hazloqueseindica.
▶ Midelasdistanciasdelcircuncentroacadavértice.
a) ¿Quérelaciónhayentreestasdistancias?
b) Calculaeláreadecadaunadeellas.
4.a)Sí se intersecan.
b)En ninguno, siempre queda dentro.
6.a)2
b)Sí, pasa lo mismo para las otras dos medianas.
8.a)El segmento más grande mide 12 unidades, y el
otro, 6.
b) Lo divide en dos partes: una mide 23 de lo que
mide la mediana y la otra, 31 .
10. El baricentro es el punto de equilibrio de un triángulo, pues lo divide en tres áreas iguales.
Bisectrices en un triángulo
2.a)Sí se intersecan.
b)El incentro es el punto en donde se intersecan las
c)Se ubica siempre dentro del triángulo.
3.a)Son iguales.
b)En uno solo.
4.No es posible trazar otra pues sólo ese punto equidista de los tres lados del triángulo.
1. a)Sólo en el triángulo equilátero los puntos notables
06/03/12 15:39
b)En un triángulo equilátero cualquiera de las rectas
notables coinciden. En uno isósceles sucede en
uno de los tres lados.
1. Una respuesta posible es: trazar un triángulo que tenga por vértices los tres poblados y hallar su circuncentro, punto que equidista de cada vértice.
2.No es posible, pues el circuncentro se encuentra en
3.a)Es un triángulo rectángulo.
c)Son dos triángulos rectángulos, pues la altura corta a AB en un ángulo recto.
d)El ortocentro es el punto D.
1. a)Se trata de un triángulo equilátero, por lo que todas las rectas notorias del triángulo coinciden.
b)Son medianas porque van del punto medio de los
lados al vértice opuesto. Una de ellas (la recta vertical) también puede ser mediatriz, bisectriz y altura,
pues es un triángulo isósceles.
c)Son bisectrices, ya que el punto en el que se intersecan equidista de los lados.
d)Son medianas porque van del punto medio de los
lados al vértice opuesto.
1. Justifica en tu cuaderno qué tipo de rectas están trazadas en cada caso. Sólo puedes
utilizar regla graduada.
4 Engrupo,comentensiesposibletrazarotracircunferenciainscritaencada
1. Dibuja en tu cuaderno lo siguiente.
a) Un triángulo en el que todos los puntos notables estudiados en la lección coincidan
b) Un triángulo en el que todas las rectas notables estudiadas en la lección coincidan
2. Compartan en grupo sus respuestas a lo anterior y obtengan una conclusión.
1 Entucuaderno,explicacómoresolveríaselproblemadelasituacióninicial.
2 Engrupo,comentensiesposibleconstruirelhospitalalamismadistanciade
lostrespoblados.
3 Enequiposdetres,realicenlassiguientesactividades.
a) DeterminencómoseclasificaeltriánguloABCenrelaciónconlamedidade
susángulos.
b) Tracenlastresalturasdeltriánguloyseñalensuortocentro.
c) LlamenDalpuntodondelaalturaquepasaporelvérticeCcortaalsegmento
AB.ElsegmentoderectaCDdividealtriánguloendostriángulos.Sinmedir
losángulosdelostriángulosACDyDCB,determinencómoseclasificansegúnlamedidadesusángulos.Justifiquensurespuestaensucuaderno.
d) Localicen,sintrazarlasalturasdeestostriángulos,elortocentrodelostriángulosACDyDCB.
e) Verifiquensurespuestatrazandolasalturasdeambostriángulos.
Fig. 1.7.3.
2. Traza con tu juego de geometría de rojo las alturas, de azul la mediatrices, de verde
las medianas y de negro las bisectrices en un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 10
cm y 14 cm.
• Alturas de un
• Medianas de un
• Mediatrices en un
• Bisectrices en un
Fig. 1.7.2.
2.Sugerencia didáctica. Las rectas azules (mediatrices)
deben prolongarse hacia abajo para encontrar el circuncentro, y las rectas rojas (alturas) deben prolongarse hacia arriba para encontrar el ortocentro.
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 39
aprendizaje esperado de la lección 6 del bloque 5: resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo
“valor faltante”, en los que la razón interna o externa es
Conceptos principales: proporción, reparto proporcional.
• Resolución de problemas de proporcionalidad del
tipo valor faltante (suma término a término, cálculo
de un valor intermedio, aplicación del factor constante)
proporcionalidad (con números naturales)
• Problemas de valor faltante en los que la razón interna
o externa es un número natural
1. Los alumnos pueden pensar que una repartición en
partes iguales es una manera justa de hacer un reparto aun cuando no todas las aportaciones hayan sido
Situación inicial (pág. 69)
En la actividad de inicio se busca que el alumno
analice que en ciertas situaciones una repartición
en partes iguales no es justa, y así tenga que buscar
sus propios métodos para obtener una repartición
que sí lo sea.
Explora y construye (págs. 69-72)
En el desarrollo de la secuencia, el alumno tendrá que resolver diversas situaciones en las que
usará reparto proporcional. Analizará qué criterios
hacen justa una repartición, y cuáles no. Escribirá como fracción la proporción que cada parte
aportó respecto al total, y la usará para resolver
Regresa y revisa (pág. 72)
En esta sección el alumno analizará si los criterios
para una repartición justa son también válidos en
una situación en la que no hay ganancias sino pérdidas.
a) Silacantidaddedinerodestinadaalavigilanciaesde$5000porsemana,
¿cuántoledebendepagaracadaunodeellosporsutrabajodelasemana
pasada?¿Porqué?
3 Rosa,JavieryHerminiohicieron100tamalesoaxaqueños.Paracomprarlos
ingredientesaportaronlascantidadesde$80,$120y$200,respectivamente,
yserepartieroneltrabajodemaneraequitativa.Enparejas,analicencómose
debenrepartirlostamales,respondiendolaspreguntas.
Tresamigos:Alfonso,TereyRocío,seasociaronparaponerunatiendadebuceo
yparaelloaportarondiferentescantidadesdedinero.Alfonsopuso$40000;Tere,
$60000,yRocío,$100000.Sialfinaldelprimerañotuvierongananciasde$60000,
¿cómodebenrepartirseesedinerodeacuerdoconloqueaportócadauno?
a) ¿Consideranquesedebenrepartirlostamalesencantidadesiguales?¿Porqué?
b) Rosa,JavieryHerminiotienen33,32y35añosdeedad,respectivamente.
1. En parejas, respondan las siguientes preguntas en su cuaderno.
a) Si los amigos se repartieran las ganancias en partes iguales, ¿cuánto dinero le tocaría a cada uno?
b)¿Consideran que las ganancias deben repartirse en partes iguales entre los tres? ¿Por
c) ¿Qué parte del total del dinero para iniciar el negocio aportó cada uno de los socios?
d)De acuerdo con su respuesta anterior, ¿qué parte de las ganancias le corresponde a
cada uno de los socios? Expliquen su respuesta.
¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehacedemanera
proporcionalasusedades?
c) ¿Piensanqueesjustorepartirlostamalessegúnsusedades?¿Porqué?
d) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcionalmentealaportemonetarioparalacompradelosingredientes?
e) ¿Cuántostamalesletocanacadaunosiladistribuciónsehaceproporcio-
nalmentealaportedetrabajoparahacerlostamales?
Esprobablequehayasparticipadoenunrepartoequitativo.Enlaprimariaseresuelvenproblemasdondeladistribuciónesasí,peropregúntatesiesoesjustoen
todosloscasos.
4 Engrupo,verifiquensusprocedimientosyanalicensilosdistintoscriteriosseñaladosenelproblema,comoeltrabajohechoporcadapersona,laedaddecada
unooelaporteeconómicoparacomprarlosingredientes,sonigualmenteválidos.
1 Consideraelproblemadelasituacióninicialyrespondelosiguiente.
a) Silasgananciashubieransidode$50000,¿cómoserepartirían?
b) Silasaportacionesinicialeshubieransido:$100000deAlfonso,$120000
1 Enparejas,resuelvanlossiguientesproblemas.
a) Cadaunodeloscincointegrantesdeunafamiliaahorróduranteunañopara
pagarunviajealaplaya.Aportaronlassiguientescantidades.
deTerey$100000deRocío,ylasgananciasalfinaldelprimerañohubieran
sidode$60000,¿cómodeberíarepartirseesedinerodemodoproporcional
aloqueaportócadauno?
2 UnaunidadhabitacionalcontratóaDavidyDanielcomovigilantesparatrabajar
delunesaviernes.Davidloharáde6ama6pmyDaniel,de6pma6am.La
semanapasada,DavidtrabajódosturnosqueletocabanaDaniel.
Tienda de buceo / Analiza
1. a)$20 000
b)Se espera que el alumno responda que no, porque
aportaron cantidades diferentes.
3 , y Rocío, 1 .
parte del total; Tere, 10
d)A Alfonso le correspondería 51 parte, es decir,
3 partes, o sea, $18 000, y, a
$12 000; a Tere, 10
Rocío, la mitad, que equivale a $30 000.
Sugerencia didáctica. Aquí se puede tratar, si se presenta, la idea errónea 1 para determinar por qué en este
caso no es justo hacer una repartición en partes iguales.
1. a)Las proporciones se conservarían. A Alfonso le
2.a)De los diez turnos que trabajaron entre los dos,
David trabajó siete y Daniel tres; por lo tanto, a Da7 partes ($3 500) y a Daniel,
vid le corresponden 10
3 partes ($1 500).
3.a)Se espera que el alumno responda que no, pues
las aportaciones no fueron equitativas.
b)La suma de sus edades es igual a la cantidad de
tamales que prepararon; entonces, a Rosa le tocan
33; a Javier, 32, y a Herminio, 35.
c)Se espera que el alumno responda que no, pues la
edad no es un criterio justo para hacer la repartición.
d)A Rosa le tocarían 20; a Javier le tocarían 30 y a
Herminio, 50.
e)Se repartieron el trabajo de manera equitativa, así
que a cada uno le tocaría la misma cantidad, es
decir, 100 tamales entre 3.
Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 41
Fecha Material 3 500
corresponderían $10 000; a Tere, $15 000, y a Rocío, $25 000.
b)A Alfonso y a Rocío les corresponderían $18 750 a
cada uno, mientras que a Tere le tocarían $22 500.
c)Alfonso puso
• Enlaprimeraceldadelaterceracolumnadelcuadroanterior,escriban
“Cantidadaportadarespectoaltotalreunido”ycompletenelrestodela
columnaconlasfraccionescorrespondientes.
• Sialregresardelviajelessobraron$2000,¿cómosedebenrepartirese
• Anotenenlacuartacolumnacuántoletocaríaacadaquienyverifiquen
susresultadosconelrestodelgrupo.
Localiza reparto
el glosario (págs.
1. En el problema de los tamales oaxaqueños (ejercicio 2 de la página 70), si Rosa y Herminio hubieran aportado cada quien 200 pesos para los ingredientes y Javier no hubiera dado dinero pero hubiera hecho todos los tamales él solo, ¿cómo repartirías los
100 tamales? ¿Qué dificultad plantea esa repartición?
b) Jorge,RocíoySamuelcompraronunacajadechocolatescon60piezas.Rocíoaportólamitaddelcostototal;Jorge,laterceraparte,ySamuel,elresto.
Siserepartieranlaspiezasdemaneraproporcionalasuaportación:
1 Enequiposdetres,leannuevamentelasituacióninicialyanalicenelsiguiente
planteamiento.Respondanlaspreguntasensucuaderno.
• ¿Cuántoschocolatesletocaríanacadauno?
Despuésdelprimeraño,lostresamigosqueríanhacercrecersunegocioeinvitaron
aJulietayEstheraasociarseconellosparaasítenermáscapital.Lasdosaceptaron
ycadaunaaportó$25000.Loscincoamigostrabajaronporigualpero,alfinalizar
elaño,nohubogananciassinopérdidas.Ademásdeperdereldinerodelainversión,
teníanquepagar$100000entretodos.
• Expliquenensucuadernoelprocedimientoqueusaronparaobtenerla
respuestaanterior.
c) JuanyCarlos,doscompañerosdetrabajo,compraronunboletodeunsorteo
yganaron$20000.Elrepartodelpremiosehizodemaneraproporcionalde
acuerdoconloqueaportaronyaJuanletocaron$7500.
a) Proponganunamanerapararepartirelpagoentrelossociosyexpliquenpor
quélodecidieronasí.
b) Silosamigoshubierandecididorepartirelpagopendientedemaneraproporcionalalacantidadquecadaquieninvirtió,¿cuáldeloscincohabríatenido
quepagarmás?¿Cuántohubierapagadocadauno?
• ¿QuépartedelcostodelboletoaportóJuan?
• ¿YquéparteaportóCarlos?
• Sielboletocostó$600,¿cuántodineroaportócadaunodeellos?
2 Engrupo,discutansusrespuestasanterioresyexpliquenenquésituacioneses
aplicableelrepartoproporcional.
• Expliquenensucuadernoquéhicieronparadeterminarelresultadode
laspreguntasanteriores.
d) Elgobiernofederalasigna$800000alañoalmunicipiodeSantiagoHuauclilla,Oaxaca,elcualestáconformadoporcuatropueblos:SantiagoHuauclilla
(239habitantes),SanBartoloméZotula(66habitantes),SanJuanTlalixtlahuaca(52habitantes),SantiagoIxtlahuaca(103habitantes).Ladistribucióndel
dinerosehacedemaneraproporcionalalnúmerodehabitantesdecada
pueblo.Respondanlassiguientespreguntas.
• ¿Quépartedeltotaldeldineroasignadolecorrespondeacadaunode
el siguiente enlace actividades
y ejercicios sobre
Participación de los trabajadores en las utilidades de las empresas (ptue)
Por ley, las empresas deben repartir parte de sus ganancias anuales a sus trabajadores.
Una compañía repartirá este año $90 000. Para calcular cuántas utilidades le corresponden a cada una de las 15 personas que laboran en ella, se usaron dos criterios:
• Reparto proporcional a los días trabajados. La mitad de la utilidades disponibles
($45 000) se repartió considerando los días laborados en el año, que se acumularon entre los 15 trabajadores (3 761 días); es decir, cada uno recibirá $11.96 por
día trabajado individualmente, número que se obtuvo dividiendo 45 000 entre
• Reparto proporcional al salario recibido. La otra mitad se repartió considerando
el total de los salarios pagados por la compañía en el año ($523 100); es decir,
cada empleado recibirá 0.086 de su salario individual recibido ese año, número
que se obtuvo dividiendo 45 000 entre 523 100.
a) ¿Qué criterio favorece más a los empleados?
b)Consulta la Ley Federal del Trabajo (artículo 117 en adelante) para conocer más sobre
la ptue (www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/).
mx/Zoy
loscuatropueblos?
• ¿Quécantidaddedineroletocaacadapueblo?
2 Engrupo,respondanlaspreguntasdelincisoddelejercicioanteriorperoahora
considerenunaasignacióndeunmillóndepesos.
Fuentes: “SantiagoHuauclilla”,enEnciclopedia de los Municipios de México.Enwww.e-local.gob.mx/
work/templates/enciclo/oaxaca/municipios/20463a.htm
Consultadael14dediciembrede2011.
“SantiagoHuauclilla”.Enwww.nuestro-mexico.com/Oaxaca/Santiago-Huauclilla
a)El dinero que sobró debería ser repartido de manera proporcional a lo que aportaron.
b)• A Rocío le tocarían 30 piezas; a Jorge, 20, y a
• Un procedimiento consiste en multiplicar la fracción del costo total que aportó cada uno por la
cantidad de piezas que tiene la caja de chocolates.
c) • Juan aportó 83 del costo del boleto.
• Carlos aportó
• Juan aportó $225 y Carlos, $375.
e puede dividir el total de dinero que ganaron
($20 000) entre la cantidad que ganó Juan ($7 500)
para obtener la fracción del total que aportó él.
Luego se calcula la fracción que aportó Carlos,
haciendo la resta de la unidad menos la parte
que aportó Juan. Finalmente, se multiplican esas
fracciones por el costo del boleto ($600).
d) • Al pueblo de Santiago Huauclilla le corres239
ponden 460
del total; a San Bartolomé Zotula,
460 ; a San Juan Tlalixtlahuaca, 460 , y a Santiago
Ixtlahuaca, 460 .
• A Santiago Huauclilla le tocan $415 652.17; a San
Bartolomé Zotula, $114 782.6; a San Juan Tlalixtlahuaca, $90 434.78, y a Santiago Ixtlahuaca,
$179 130.43.
2.A Santiago Huauclilla, $519 565.22; a San Bartolomé Zotula, $143 478.26; a San Juan Tlalixtlahuaca,
$113 043.47, y a Santiago Ixtlahuaca, $223 913.04.
1. Una posible respuesta es que los tamales se podrían
distribuir en partes iguales si se sustituyera la aportación económica por el trabajo. Nuevamente habría
que repartir 100 entre 3.
1. a) Una manera es repartir las pérdidas de manera
proporcional, de acuerdo con lo que cada quien
b) Julieta y Esther tendrían que pagar $10 000 cada una;
Alfonso, $16 000; Tere, $24 000, y Rocío, $40 000.
a) El primer criterio favorece a todos por igual, mientras que el segundo favorece más a los que tienen
un sueldo mayor.
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y
registro de los resultados. Elección de estrategias en función
del análisis de resultados posibles.
aprendizaje esperado de la lección 8 del bloque 1 de
Matemáticas de 2° de secundaria: comparar cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
Conceptos principales: juegos de azar, procesos
Materiales: bolsa de plástico, canicas (cuatro blancas,
cuatro verdes y cuatro negras por pareja), monedas y
un dominó por pareja.
1. Hay situaciones en las que se toma en cuenta el orden de una combinación y otras en las que no. Generalmente depende del contexto o se especifica en
las indicaciones de la actividad. Por ejemplo: los números 1 y 2, como pares de números son diferentes,
es decir, (1, 2) ≠ (2, 1), pero si fueran fichas de dominó
representarían la misma pieza.
Situación inicial (pág. 73)
En esta actividad, el alumno deberá notar que en
algunos juegos de azar se tiene mayor posibilidad
de obtener algunos resultados que otros.
Explora y construye (págs. 73-76)
Esta sección tiene la intención de que el alumno
analice y distinga las situaciones en las que un resultado está completamente condicionado a un
proceso aleatorio de las situaciones en las que no
Primero identificará los juegos de azar. Luego,
mediante una serie de actividades, podrá analizar
en cuáles hay un resultado favorito y en cuáles
no. Finalmente, podrá concluir cuáles son las estrategias para elegir un número con más posibilidades de ser ganador.
Regresa y revisa (págs. 76-77)
Se busca que el alumno elija entre varios resultados
el que sea favorito o, cuando sea el caso, concluya
que todos los resultados tienen la misma posibilidad de ocurrir, basándose en la cantidad que hay
1 Escribeentucuaderno:
a) Dosjuegosenlosqueintervenganprocesosaleatorios.
b) Dossituacionesenlasqueelresultadodeunjuegodependamásdelashabilidadesdelosparticipantesquedelosprocesosaleatorios.
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en
2 Engrupo,leanlosjuegosylassituacionesdedoscompañerosycomenten
cómointervienenlosprocesosaleatoriosenellos.
1 Enequiposdecincopersonas,haganlosiguienteyrespondanloquesepide.
3 Enequiposdetrespersonas,analicenlasiguientesituaciónyrespondanlas
Enungrupodeprimerodesecundariaseelegirándosrepresentantesparaelcomitédeproteccióncivildelaescuela.LoscandidatospropuestosfueronCatalina,
Natalia,José,PabloyLaura.Laeleccióndelosrepresentantesseharámediante
sorteo:enunabolsacadacandidatometeráunpapeldeunmismotamañoydobladoalamitad,consunombre.Sinverdentrodelabolsa,otroalumnosacarádos
papelesyconelloseobtendráelnombredelosrepresentanteselegidos.¿Creen
queelparPablo-Joséganeelsorteo?¿Porqué?
Corten31pedazosdepapeldelmismotamañoyescriban
unnúmeroenellosdelasiguientemanera:en20,anotenel
número1;encinco,elnúmero2;enotroscinco,elnúmero
3,yenuno,elnúmero4.
Doblenlospapelesendosymétanlosenunabolsadeplástico.Tomenunpapelporturnoyanotenelnúmeroescritoen
élenelcuadrodeladerecha.Devuélvanloalabolsadoblado
denuevoendos.Despuésdesacar70veceslospapeles(14
porjugador),sumenlospuntosobtenidosparasaberquién
eselganador.
2 Respondanlosiguiente.
a) ¿Quénúmeroapareciómásveces?
a) ¿Quéotrosparessepuedenformar?
b) ¿LosparesJosé-LaurayLaura-Josésondiferentes?¿Porqué?
c) Sisesimulaelsorteovariasveces,¿creenquesepuedasaberquiénesserán
losrepresentantes?¿Porqué?
b) ¿Cuálapareciómenos?
c) ¿Porquéalgunosnúmerosaparecenmásqueotros?
4 Simulenelsorteovariasvecesdelasiguientemanera.
Endiferentespapeles,escribanelnombredelosinteresadosenparticiparenel
comité.Doblenloscincopapeles,revuélvanlosytomendos.Escribanenelcuadro
1.9.2elparelegido.Devuelvanlospapelesalabolsayrevuélvanlos.Repitaneste
procedimiento14veces.UtilicenlasletrasC,N,J,PyLpararepresentarenelcuadro,respectivamente,losnombresdeCatalina,Natalia,José,PabloyLaura.
1. En grupo, respondan lo siguiente.
a) Si se juega de nuevo, ¿el resultado será el mismo? ¿Por qué?
b)¿Es posible que en el juego el número 3 aparezca más veces que el 1? ¿Por qué?
5 Usenlainformacióndelatablapararesponderlosiguiente.
Cuandosetiraunvolado,haydosresultadosposibles;cuandoselanzaundado
deseiscaras,hayseisresultadosposibles;sisejuegaalalotería,hayunnúmero
determinadoderesultadosposibles.Pero,aunquesepuedanconocertodoslos
resultadosposiblesdeestosjuegos,nosesabecuálseobtendrácadavez.Estoes
loquesucedeenlosprocesosaleatorios.Enunjuegodeazarintervienenprocesos
a) ¿Quéresultadodelossiguientesaparecemásveces:hombre-mujer,mujermujeruhombre-hombre?
b) ¿Creenquesiserepitieracienveceselprocedimientolarespuestaalinciso
anteriorseríalamisma?¿Porqué?
2.a)El resultado no tiene que ser el mismo para todos,
pero el número que puede aparecer más veces es
b)El número que puede aparecer menos es el 4.
c)Porque hay más papeles con esos números.
1. a)El resultado puede no ser el mismo porque se pueden extraer otros papeles.
b)Sí es posible, aunque es muy poco probable que
suceda, pues hay menos papeles con el número 3
que con el número 1.
1. a)Por ejemplo, tirar un dado o sacar una carta de
b)Por ejemplo, lanzar dardos a un tablero o encestar
Sugerencia didáctica. Se puede explicar la similitud
entre el juego de dardos y el juego de sacar papelitos
de la bolsa de plástico. En ambos se obtienen números, pero en el juego de dardos el participante más
hábil acertará a los valores más altos, mientras que en
el juego de los papeles no importa la habilidad.
3.Es posible que el par Pablo-José gane; otras posibilidades son cualquier otro de los pares mencionados
en el siguiente inciso.
a)Catalina-Natalia, Catalina-José, Catalina-Pablo, Catalina-Laura, Natalia-José, Natalia-Pablo, NataliaLaura, José-Laura y Pablo-Laura.
b)No. Son el mismo par porque están integrados por
Sugerencia didáctica. Si aquí se presenta la idea
errónea 1, se puede discutir para explicar que lo que
se tiene en cuenta es la pareja elegida y no el orden
en el que se toma el papel con el nombre.
c)Una respuesta es que no se puede saber, ya que
cada vez que se simule el sorteo pueden ser representantes distintos.
5.a)La respuesta más probable es hombre-mujer, aunque puede ser cualquier par.
b)Una respuesta es: sí, pues hay más combinaciones
hombre-mujer que las otras dos combinaciones.
6 a)Hombre-mujer.
Sugerencia didáctica. Si hay tiempo, se puede preguntar a los alumnos cuál resultado de esa actividad
se puede repetir más veces cuando hay, por ejemplo:
• dos mujeres y tres hombres,
• dos mujeres y dos hombres,
• tres mujeres y un hombre, y
• cuatro mujeres y un hombre.
6 Engrupo,discutanyrespondanlosiguiente.
a) ¿Cuáldelossiguientesresultadoscreenqueseobtendríamássiserepitiera
elsorteomilveces:hombre-mujer,mujer-mujeruhombre-hombre?
b) ¿Esrelevanteparaelresultadoqueelnúmerodemujeresquequierenintegrar
elcomitéseamayorqueeldehombres?¿Porqué?
5 Comparensusresultadosconlosdelosdemásequiposdelgrupoydiscutanlo
a) Sisetrataradeadivinarquécolorsaldrámáseneljuegodelascanicas,¿por
cuálapostarías?
b) ¿Hayalgunaestrategiaparaganareneljuegoanterior?¿Porqué?
1 Enparejas,tomenunamonedaycadaunoláncelaalaire25veces.Anotenlo
quesaleencadalanzamientoenelcuadro1.9.3.PuedenutilizarlaletraApara
representarelresultadoquesea“águila”ySparaelquesea“sol”.Ganaráquien
obtengamásveces“águila”.
6 Repitanlosejercicios4y5,peroahorausencuatrocanicasblancas,tresverdes
yunanegra.Registrensusresultadosyrespuestasensucuaderno.
mx/ZoF
de un lanzamonedas.
2 Enlapenúltimacolumna,dondeapareceA,anotenelnúmerototaldeveces
quesalió“águila”comoresultadodelvoladoy,enlaúltimacolumna,elnúmero
devecesquesalió“sol”.
Parajugardominó,lasfichasserepartendemaneraaleatoria.
a) Siessuturnoenunapartidadedominó,¿quédebenconsiderarparatiraruna
b) ¿Sabríanconexactitudquéfichavanatirarenelsiguienteturno?¿Porqué?
a) ¿Lahabilidaddecadajugadorintervinoenelresultadodeljuego?
c) ¿Ganarunapartidadedominódependedelahabilidaddelosjugadores?
b) ¿Algúnresultadosaliómásveces?
2 Engrupo,comentenalgunosjuegosdondeganardependetantodelazarcomo
delahabilidaddecadajugador.
c) ¿Porquéconsideranquesucedióeso?
3 Engrupo,verifiquensusrespuestasydiscutanlosiguiente:sirepitieraneljuego,
¿saldríanáguilasysolesencantidadessimilares?
1. José y Santiago estaban discutiendo de futbol. José decía que el resultado del juego
se define sólo por la habilidad de los jugadores, pero Santiago decía que además
depende del azar. ¿Tú qué opinas?
4 Enparejas,haganlosiguienteydespuésrespondanlaspreguntas.
Coloquenenunabolsaquenoseatransparentecanicasdeigual
tamañodelossiguientescoloresyenlascantidadesindicadas:
blanco(cuatro),verde(cuatro)ynegro(una).
Enelcuadro1.9.4,anotensusnombresenlasprimerasdosceldasvacías.Porturno,cadaquiensacaráunacanica,anotarásu
colorenlatablaylaregresaráalacaja.Ganaquienobtengamás
canicasdelmismocolor.
a) ¿Quiénganóyconquécolor?
b) ¿Quiénperdióycuálfueelcolorquemásobtuvo?
1 Respondelosiguienteentucuaderno.
a) Eneljuegodelascanicas(ejercicio4delapágina75),sisetrataradeadivinar
elcolorquesaldrámáseneljuego,¿cuálnodebeselegir?¿Porqué?
b) ¿Considerasquesiunresultadotienemásposibilidadesdesalir,elegirloteda
ventajasparaganar?¿Porqué?
2 Engrupo,discutansielúnicofactorparaganarunjuegoeselegirelresultado
quetieneelmayornúmerodeposibilidadesdesalir.
Cuadro 1.9.4.
b) Sí es relevante, pues define el número de posibles
2.a)No.
b)Sí. Algún resultado tiene que salir más veces.
c)Porque hay un número impar de lanzamientos.
Sugerencia didáctica. Se le puede preguntar al
alumno qué jugador iba ganando después del segundo turno. Es muy probable que alguna pareja
de jugadores esté empatada después del segundo
turno, y pueden hacer un análisis acerca de por qué
hay situaciones en las que conviene un número impar de lanzamientos para evitar el empate. Incluso se
puede mencionar el conocido “dos de tres”.
3.No necesariamente; alguno de los dos puede salir
4.a) y b) Los resultados varían de pareja a pareja, pero
los colores que aparecerán más veces serán el blanco y el verde.
b)No hay una estrategia para ganar, aunque elegir la
canica negra es la peor opción.
6.a)Por la canica blanca.
b)Una estrategia es elegir la canica blanca, aunque
no hay certeza de que se ganará.
a)Una posible respuesta es: primero hay que considerar cuáles fichas se pueden tirar en ese turno;
luego, analizando las demás fichas que se tienen,
decidir cuál da alguna ventaja.
b)No se puede saber cuál ficha tirar en el siguiente
turno, pues depende de lo que tiren los demás,
aunque en ciertas situaciones sí es posible saberlo.
c)No depende exclusivamente de la habilidad de
cada jugador, pero sí es un factor importante.
2.Por ejemplo, el póquer y el backgammon.
1. El futbol es un deporte en el que la habilidad de los
jugadores es primordial para obtener un resultado
positivo. Sin embargo, eso no significa que un equipo
con jugadores más hábiles siempre ganará: el resultado depende también de otros factores.
5.a)Por la blanca o la verde.
Fecha Material Trabajo extraclase SFUMA1TG_B1.indd 45
1. En parejas, hagan lo siguiente y respondan las preguntas.
Coloquen las fichas de un juego completo de dominó boca abajo y revuélvanlas. Saquen
una ficha y registren en su cuaderno la suma de todos sus puntos, regrésenla boca abajo
con las otras fichas y vuelvan a revolver todas. Repitan este procedimiento 50 veces.
a) A partir de los resultados, ¿cuál suma consideran que tiene más posibilidades de
salir: 6 u 8?
b)Si les pidieran adivinar la suma de los puntos de una ficha de dominó elegida al azar
de entre el total de las fichas, ¿cuál propondrían? ¿Por qué?
2. En equipos de tres, hagan lo siguiente.
Cada quien elija uno de estos pares de números: 1 y 2; 3 y 4; 5 y 6. De acuerdo con ello, anoten su nombre en las celdas de inicio de columna del cuadro que aparece más adelante.
Lancen un dado sobre una superficie plana. Anoten una G en la celda ganadora del
primer turno. Hagan lo mismo hasta el último turno. Gana el jugador que acumule
más turnos ganadores.
Nombre del jugador (puntos elegidos)
Cuadro 1.9.5.
Ahora respondan las preguntas.
a) ¿Qué pares de números resultaron ganadores?
b)¿Consideran que en este juego interviene la habilidad del jugador?
3. Comparen en grupo los resultados de todos los equipos y contesten lo siguiente.
a) ¿Coinciden los pares ganadores de todos los equipos? ¿Por qué?
1. a) El negro, porque sólo hay una canica de ese color,
mientras que hay cuatro canicas de cada uno de
los otros colores; es decir, la canica negra saldrá
b)Sí, porque hay más posibilidades de obtener ese
2.No es el único factor, pues no hay una certeza de
que el resultado elegido será el ganador, aunque sí es
Sugerencia didáctica. Algunos alumnos escribirán
que 8 es la suma que tiene más posibilidades, pues así
sucedió en su experimento. Es importante comparar
varias respuestas y analizar que hay más combinaciones que permiten obtener el número 6 que combinaciones que permiten obtener el 8.
b)El número 6, pues se obtiene con más sumas que
los demás números: con las fichas (0, 6), (1, 5), (2, 4)
2.a)Depende de cada equipo, pues no hay números
b) No, pues es un juego de azar y todos los números
tienen la misma posibilidad de salir.
3.a) Lo más seguro es que no, pues es un experimento
aleatorio con la misma posibilidad para todos los
1 Lee cada uno de los siguientes enunciados.
2 Señala si es falso (F) o verdadero (V).
3 Explica cómo verificarías tu respuesta.
= 100 = 0.20 ≠ 0.26.
número b es mayor que , entonces, en
la recta numérica, a está a la izquierda de b.
c) Si en un rectángulo el perímetro es de 3 cm
y uno de los lados mide 3 cm, entonces el otro
d) La sucesión 7, 9, 11,… es de progresión
Calcular el perímetro con los datos que se indican:
(L + L + A + A =) 3 + 3 + 5 + 5 = 9 + 9 + 5 + 5 = 28
g) En un triángulo con un ángulo obtuso, el
ortocentro siempre se ubica fuera de él.
Usar la fórmula para calcular el área de un triángulo
( b x h ) y multiplicar por 2 la altura.
Los extremos del segmento son los vértices del
triángulo; para encontrar el tercer vértice se trazan dos
circunferencias, cada una con centro en un extremo
del segmento, con un radio igual a la medida de éste;
esas circunferencias se intersecan en dos puntos, y
cualquiera de ellos es el tercer vértice del triángulo
Se trazan varios triángulos obtusángulos y sus
Hay que repartir una cantidad de dinero entre las dos
personas, pero Cecilia trabajó 15 horas en total y Juan,
20, por lo que les corresponden cantidades de dinero
Al lanzar un dado todos los resultados tienen la
misma posibilidad de salir, por lo que no hay forma de
predecir el resultado del tiro número 11, es decir, no
hay ninguna estrategia.
4 En la página 85 podrás revisar cuáles enunciados son falsos y cuáles verdaderos.
Revisa en tu libro los temas de las respuestas erróneas; de ser necesario, replantea tus propuestas de verificación y aplícalas.
Los cocientes 9
y 11 son distintos, por lo tanto, no es
una sucesión con progresión geométrica.
f) Dado un segmento, es posible construir un
triángulo equilátero sólo usando compás y regla
no graduada.
estrategia para adivinar el número que caerá
en el volado número 11 consiste en elegir el
número que caiga más veces en los primeros
10 tiros.
Como en la recta numérica el número a se localiza a
la izquierda de 5 (pues a es menor que 5 ), y como
el número b se localiza a la derecha de 3 (pues b es
mayor que 5 ), entonces a está a la izquierda de b.
e) Si un triángulo de base m y altura z aumenta
su altura al doble, entonces el área del triángulo
resultante es m por z.
Juan, dos días de 8 am a 6 pm, por lo cual a
ambos deben pagarles la misma cantidad de
1 ¿Cuál es el numerador de la fracción con denominador 3 que ocupa la misma
posición que 0.3 en la recta numérica?
¿Qué número corresponde a la posición b?
3 Tres personas compraron un boleto de lotería en $60 y ganaron un premio de
1.5 millones de pesos. Si el reparto se hizo proporcionalmente y a una le tocó
medio millón de pesos, ¿cuánto aportó dicha persona?
4 La intersección de las mediatrices de un triángulo se encuentra en el punto
medio de uno de sus lados cuando el triángulo es…
5 Una fórmula para preparar una mezcla dice lo siguiente: “En un matraz aforado
de un litro mezcle 8 de litro de la solución A y 0.1 litros de alcohol etílico. Complete la mezcla con agua destilada hasta 1 litro”. ¿Cuántos litros se necesitan de
1 Para hacer unos bastidores, un carpintero utilizará clavos que miden 8 de pulgada, de modo que al clavarlos queden fuera de la madera 0.1 pulgadas para
colocar unas abrazaderas. Determina cuánto mide la parte de cada clavo que
quedará dentro de la madera.
La parte del clavo que queda dentro de la madera es
2 Indica en la regla correspondiente la longitud de cada uno de los clavos cuyas
medidas se presentan a continuación.
a) ¿Cuántas latas habrá apiladas en un arreglo con 20 niveles?
b) ¿Y en uno de 100 niveles?
B1 Evaluación
Nombre del alumno Grupo Fecha Subraya la respuesta correcta.
1. Cecilia compró un terreno. Ocupó una tercera parte para hacer un balneario, puso una sexta parte en renta y ocupará una octava parte para
sembrar. ¿Qué parte del terreno quedará disponible?
2.¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un rectángulo cuyos lados
miden L y 2L?
a) 3 × L
b)2L × L
c)4L + 2L
d)L × L + 2L × 2L
3.Saúl y José compraron un boleto de lotería con el que ganaron $900.
Saúl puso 23 del costo del boleto y José lo demás. Si se distribuyeron la
ganancia de manera proporcional, ¿cuánto dinero le tocó a José?
b)$900
c)$600
4.De las siguientes opciones, ¿cuál es un juego de azar?
a) Volados.
b)Ajedrez.
c)Dardos.
d)Rayuela.
5.En un triángulo, las alturas son:
a) las rectas que pasan por un vértice y dividen en dos partes iguales su
b)las rectas que dividen un ángulo interior en dos partes iguales.
c)los segmentos que van de un vértice a su lado opuesto y lo cortan perpendicularmente.
d)los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice
6.Cuando se comparan dos números racionales con el mismo denominador, la manera más sencilla de saber cuál es más grande consiste en:
a) multiplicar por el denominador común y simplificarlas.
b)observar qué numerador es mayor.
c)identificar el más cercano al cero en la recta numérica.
d)reducirlas a su mínima expresión y compararlas.
7. Un paquete de cuatro donas se repartió en partes iguales entre cinco
personas. ¿Qué fracción le tocó a cada quién?
8.¿Cuál de los siguientes números se encuentra entre 0.001 y 0.002?
b)0.0110
c)0.0012
d)0.0120
9.¿Cuál enunciado describe adecuadamente el sentido de la expresión
3n + 2?
a) La tercera posición se multiplica por n y al resultado se le suman dos
b)Tres veces la suma de la posición n más 2.
c)Se suma 3 más 2 y el resultado se multiplica por la posición n.
d)Se multiplica 3 por el número n y al resultado se le suma 2.
10.¿Cuál de las fracciones es equivalente irreducible de 42
triángulo -en

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