Source: https://www.scribd.com/document/54109560/Matematicas-Discretas
Timestamp: 2018-11-21 10:22:10+00:00

Document:
Uploaded by George Manzano
matematicas discretas(2)
Fórmulas Derivados y Errores Para Puntos No Uniformemente Espaciadas
practica7_electronica1
23866969-Practicas-MICROCONTROLADORES-16F877A
wkt tinggal.pdf
SIMULARE Planul de Afaceri Fitness
232868_1487_fix formulir 18.docx
NIT-DIOIS-1_14.pdf
You are.docx
adoptapeerrubric2
Manajemen-Waktu.pptx
dhumavathi-dasa-maha-vidya-telugu.pdf
quincena4.MFpdf
A2 Comprehension de l Oral Exercice 3
ciclo_moldificado_teorico
CARRETILLA DE ARCHIVOS.xlsx
NEW PSCRB Course Assessment
Dynamic Induced Fractures in Waterflooding and EOR
El Aporte Humanista JLBR-1
Solicitud Comite.docx
Surat Permohonan Duk. Bore Pile Rembiga Docx
update BAB I-7
Σημειώσεις Σπλάχνα
Bases Sqlavanzado
Reglas Para Pasar Del Modelo E-r a Relacional
Tablas de Bases de Datos Con PK
Las Ventajas de Ver Un Marginado
SSOO-0_5_0
Demostraciones/Conjuntos y relaciones/Funciones
Demostraciones por inducción .................................................................................................... 5 Ejemplo 1 .............................................................................................................................. 5 Ejemplo 2 .............................................................................................................................. 6 Relaciones ........................................................................................................................... 14 Matrices de relaciones ........................................................................................................ 17 Notación y nomenclatura .......................................................................................................... 20 Ejemplos ............................................................................................................................. 21 Igualdad de funciones ............................................................................................................... 21 Representación de funciones..................................................................................................... 21 Clasificación de las funciones ................................................................................................... 22 Homomorfismo ............................................................................................................................ 23 Definición ................................................................................................................................. 24 Tipos particulares de homomorfismos ...................................................................................... 24 Presentación ............................................................................................................................. 28 Ejemplos ............................................................................................................................. 28 Ejemplo ................................................................................................................................ 29 Relaciones de recurrencia lineales homogéneas ....................................................................... 29 Definición ............................................................................................................................. 29 Teorema 1 ............................................................................................................................ 29 Teorema 2 ............................................................................................................................ 30 Relaciones de recurrencia lineales no homogéneas .................................................................. 30 Proposición .......................................................................................................................... 30 Pasos para resolver una relación de recurrencia lineal no homogénea.................................. 30 Observación ......................................................................................................................... 30
Un sistema matemático consta de axiomas, definiciones y términos no definidos. Se suponen verdaderos los axiomas. Las definiciones se utilizan para crear conceptos nuevos en términos de los existentes. Algunos términos no se definen en forma explícita, sino que se definen en forma implícita mediante axiomas. Dentro de un sistema matemático es posible deducir teoremas. Un teorema es una proposición cuya verdad se ha demostrado. Algunos tipos especiales de teoremas se conocen como lemas y corolarios. Un lema es un teorema que por lo general no es interesante en si mismo sino que es útil para demostrar otro teoremas. Un corolario es un teorema que se sigue rápidamente de otro teorema. Un argumento que establece la verdad de un teorema es una demostración. La lógica es una herramienta para el análisis de las demostraciones. Ejemplo: La geometría euclidiana proporciona un ejemplo de sistema matemático. Entre los axiomas están: y y Dados dos puntos distintos, existe exactamente una recta que los contiene. Dada una recta y punto que no está sobre la recta, existe exactamente una recta paralela a la primera recta y que pasa por el punto. Los términos punto y recta son términos no definidos que quedan definidos de manera implícita mediante los axiomas que describen sus propiedades. Entre las definiciones están: y y Dos triángulos son congruentes si sus vértices pueden ponerse en correspondencia de modo que los lados correspondientes y los ángulos correspondientes sean iguales. Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°.
Un argumento es una serie de proposiciones que se escriben
Las proposiciones son las hipótesis y la proposición q es la conclusión. El argumento es válido si siempre que sean todas verdaderas, entonces q deberá también deberá ser verdadera; en caso contrario, el argumento no es válido.
a veces decimos que la conclusión se sigue de la hipótesis. Robinson en 1965 que depende de una única regla: . Determine si el argumento Es válido. [Primera solución. verificando directamente que siempre que las hipótesis sean verdaderas.]Podemos dejar de lado la tabla de verdad. Por tanto.A.] Construimos una tabla de verdad para todas las proposiciones que aparecen en el argumento: Observamos que siempre que las hipótesis también lo es. Un argumento es válido debido a su forma. entonces se tiene garantizada la conclusión. La resolución es una técnica de demostración propuesta por J. Observe que no estamos diciendo que la conclusión sea verdadera.En un argumento válido. ya que en caso sería falsa. no a su contenido. En esta sección escribiremos como ab. y p son verdaderas. Entonces q debe ser verdadera. la conclusión también es verdadera. solo estamos diciendo que si se garantizan las hipótesis. por tanto. la conclusión q [Segunda solución. DEMOSTRACIONES POR RESOLUCIÓN. el argumento es válido. Supongamos q contrario y p son verdaderas. el argumento es válido.
es la base de muchos programas de computadora que realizan razonamientos y demostraciones de teoremas. INDUCCIÓN MATEMÁTICA La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones. Entonces 6n + 1 = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6. y probemos Pn + 1. Entonces Pn no será válido a partir del rango n0. Como la resolución depende solo de esta sencilla regla. o una proposición que depende de un parámetro n que toma una infinidad de valores enteros. entonces Pn + 1 lo es también. pues. es cierta.Podemos verificar la regla mediante la tabla de verdad. donde n es el rango. La hipótesis es. con a entero positivo o igual a cero. con c = 6a + 3. concluimos por inducción. Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a + 6. el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción). donde cada termino es una variable o la negación de la variable.   Se demuestra que P0. digamos por Pno.   Es claro que P1 es cierto. es decir. La inducción puede empezar por otro término que P0. Demostraciones por inducción El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. y esto sin condición sobre el entero natural n (relación de inducción). Supongamos que Pn es cierto para un valor de n natural. 6n es un número que acaba en 6. que Pn es cierto para todo natural n. 6n = 10a + 6. . En términos simples. En una demostración por resolución. Llamemos Pn a la proposición. Sea Pn la proposición: «6n acaba en 6». Se demuestra que si se asume Pn como cierta y como hipótesis inductiva. demostrado esto. Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n tenga la propiedad P implica que n + 1 también la tiene. Una clausula consta de términos separados por o. o sea que Pn + 1 es cierto. entero. Esta última escritura prueba que 6n + 1 acaba por 6. Luego. para todo natural . Ejemplo 1 Para todo . las hipótesis y la conclusión se escriben como clausulas. Conclusión: Todos los números enteros a partir de a tienen la propiedad P. porque 61 = 6. la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento: Premisa mayor: El número entero a tiene la propiedad P.
Luego Pn es cierto para todo . o por inducción:   u0 = a un + 1 = un + r. Tesis inductiva (n=k+1) 4. Existen otras inducciones. En este caso:   1 es un natural. Se comprueba para n=1 Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1 2. si n lo es. como por ejemplo la inducción transfinita. Hipótesis inductiva (n=k) 3. Además de la demostración por inducción. entonces n + 1 (sucesor de n) lo es también. existe la definición o construcción por inducción. y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional. para otros conjuntos elaborados de forma distinta. La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. Por ejemplo. Ejemplo 2 Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición: 1. Demostración de la tesis en base a la hipótesis Se aplica la hipótesis de inducción: . una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: un = a + rn.
Todos los elementos posibles están en este conjunto: . a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto. La negación de se (léase El conjunto universal. y todos sus elementos. si hablamos de ciudades. Para representar que un elemento pertenece a un conjunto " en ".(Sacando factor común) Por lo tanto. estos elementos tienen carácter individual. es el conjunto de todas las ciudades. Así. Esta notación empleada para definir al conjunto llama notación por extensión. que representaremos como (u mayúscula). es común Para definir a tal conjunto . es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. por verificarse la proposición para n=1 y para n=k+1 siendo k cualquier número natural. . " pertenece a " o bien " es un elemento de se escribe (léase " no pertenece a "). no habiendo elementos duplicados o repetidos. escribimos "). si hablamos de números enteros entonces es el conjunto de los números enteros. y cada uno de ellos es único. tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos. si escribir: es un conjunto. Los representaremos con una letra minúscula: De esta manera. la proposición se verifica CONJUNTOS Y RELACIONES CONJUNTOS Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: Llamaremos elemento.
que cumplen la propiedad p(x)". y se puede definir: Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x. La característica importante de este conjunto es que todos los elementos posibles no están contenidos en él: Por otro lado. este símbolo puede ser remplazado por una barra . si todos los elementos de un conjunto satisfacen alguna propiedad. SUCESIONES Y CADENAS an = 3an-1 + 2an-2 +5 El orden de una sucesión tiene que ver con la cantidad de términos anteriores que se utilizan. con la indeterminada x. Por ejemplo. la sucesión es homogénea si no hay ningún término independiente. En el ejemplo tenemos una sucesión de 2º orden. Por último. el conjunto: Puede definirse por: Donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.Este conjunto universal puede mencionarse explícitamente.i. El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que". un único conjunto que no tiene elementos. Existe además. usamos la notación por comprensión. al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . misma que pueda ser expresada como una proposición p(x). Ejemplificación: . El gradose relaciona con el exponente al que están elevados an . En el caso anterior es no homogénea. o puede darse por supuesto según el contexto que estemos tratando. esto es: .
an-1 por r y an-2 por 1.2 an = a²n-1 an = 1-a³n-1 an = 4an-1 ± 2a²n-2 an = a³n-2 + 1 an = an-1 + an-2+ an-3 1º 2º 3º 2º 3º 1º 1º 1º 1º 2º 2º 3º 5º No homogénea Homogénea No homogénea Homogénea No homogénea Homogénea Homogénea an = 4an-5 + 2an-3 + an-1 1º Resolución de ecuaciones homogéneas de primer grado. Se reemplaza an por r². Se pasan al primer miembro los términos an. quedando una ecuación de segundo grado con raíces reales y distintas de r1 y r2. La resolución de este sistema no da como resultado losvalores u0 y v0. an-1. an-2. que son números reales conocidos.Expresión Grado Orden Homogeneidad an = 3an-1 . e) la solución general es: Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Ejemplificación: an= 2/3an-1 +1/3an-2 a0 = 2 Esto es dato a1= 5 . an nn b. segundo orden: a. Se plantea a = u · r1 + v · r2 d. an+1. c. Utilizando estos datos ordenamos el sistema de 2x2: u + v = k y u·r1 + u·r2 = k¶. Debemos tener como dato los valores de los dos primeros términos de la sucesión: A0 = k y A1 = k¶. los cuales también podrían figurar como an+2.
Por lo tanto podemos elaborar el siguiente sistema de ecuaciones: u + v =2 u . Los cuatro primeros se caracterizan por tener una base (numero de dígitos o símbolos diferentes que se utilizan para representar cantidades y estas bases son: 10.Primero efectuamos el cambio de variable de la manera indicada 1 r² . 8 y 16). Octal.1/3 = 0 -1/3 Aplicamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. mientras el sistema decimal la importancia radica en que se utiliza universalmente para representar cantidades fuera de un sistema digital. codificar o programar tareas con el computador. Luego reemplazamos los valores de las raíces en la fórmula general: nn a = u · 1 + v · (-1/3) Ahora debemos usar los datos que nos dieron par resolver el problema: El polinomio especializado en 0 da como resultado 2. Una computadora utiliza números binarios para calcular respuestas a un . 2. así se tiene los sistemas de numeración Decimal.1/3 = 5 Resolviéndolo. Los sistemas de numeración son conjuntos de dígitos o símbolos usados para representar cantidades. y especializado en 1 da 5 (Ver llave al inicio del problema donde se aclara cuales son los datos). Romano. El sistema de numeración binario es el mas importante en los sistemas digitales. es conveniente que usted lo revise previamente para sustentar de mejor manera lo que la guía trata de complementar y explicar en forma práctica. Hexadecimal.2/3 r . Estos son los sistemas de numeración mas utilizados ya que permiten explicar las operaciones y funciones que se cumplen al operar. etc. Binario. Esto significa que habrá situaciones en las cuales los valores decimales tengan que convertirse en valores binarios antes de que se introduzcan en el sistema digital. obtenemos que: v = -9/4 u = 17/4 SISTEMA NUMÉRICO Este tema lo encontramos en la página 84 del texto base.
cada digito hexadecimal lo remplazamos por su correspondiente valor de la tabla anterior: 127A83 0001 0010 0111 1010 1000 0011 luego el número buscado es: 100100111101010000011_2 Conversión de un número de cualquier base a base 10 . 11 010 110 completamos: 011 010 110 remplazamos como indica la tabla: 326 luego el número buscado es: 326_8 b) Convertir el número octal 1235678 a binario. utilizando la tabla siguiente: Algunas veces el numero binario no tiene grupos de 4 bits completos. agregamos uno o dos ceros a la izquierda del número binario a fin de completar el último grupo. cada grupo se convierte a su equivalente octal. Esto se ilustra a continuación para el número binario 1001001111_2. Sistema binario Conversión de Binario a Octal y viceversa a) Para la conversión de enteros binarios a octales. Los sistemas Octal (base 8) y Hexadecimal (base16) se usan con la misma finalidad. En estos casos. a los bits del número binario se los agrupa en conjuntos de cuatro comenzando por la derecha.problema. a los bits del número binario se los agrupa en conjuntos de tres comenzando por la derecha. otros dos sistemas de numeración encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. En estos casos. agregamos uno. cada digito octal lo remplazamos por su correspondiente valor de la tabla anterior: 123567 001 010 011 101 110 111 luego el número buscado es: 10100111011101112 Conversión de Binario a Hexadecimal y viceversa a) Para la conversión de enteros binarios a hexadecimal. luego los convierte a un valor decimal antes de mostrarlos en la pantalla. Esto se ilustra a continuación para el número binario 11010110_2. Luego. utilizando la tabla siguiente: Algunas veces el numero binario no tiene grupos de 3 bits completos. 10 0100 1111 completamos: 0010 0100 1111 remplazamos como indica la tabla: 2 4 F luego el número buscado es: 24F_16 b) Convertir el número hexadecimal 127A8316 a binario. Luego. dos o tres ceros a la izquierda del número binario a fin de completar el último grupo. Además del Sistema Binario y decimal. cada grupo se convierte a su equivalente hexadecimal. Ejemplos en la manipulación de estos sistemas de numeración: 1. la de ofrecer un eficaz medio de representación de números binarios grandes.
23 de la página 90 del texto base. Ejemplos: a) Convertir el número decimal 273_10 a base octal u 8 Ejercicios Resuelva los ejercicios 6. los mismos que le permitirán afianzar los conceptos y métodos de conversión. 11. Ejemplos: a) Convertir el número en base 2357_8 a decimal posición: 3 2 1 0 dígitos 2 3 5 7 = (2 × 8^3) + (3 × 8^2) + (5 × 8^1) + (7 × 80) = 1024 + 192 + 40 + 7 = 1263_10 b) Convertir el número hexadecimal 3A1_16 a decimal posición: 2 1 0 dígitos 3 A 1 = (3 × 16^2)+(10 × 16^1)+(1 × 16^0) = 768 + 160 + 1 = 929_10 Conversión de un número en base 10 a cualquier otra base El método consiste en dividir el número sucesivamente para la nueva base y se escribirán los restos de las divisiones en orden inverso al obtenido.El método consiste en multiplicar los valores equivalentes de los dígitos por su base elevada a su valor posicional y luego sumar estos productos. EJEMPLOS DE OPERACIONES BINARIAS Adicion Para esta operación y mejor compresión tómese en cuenta el siguiente cuadro a) .
para mejor comprensión en la resolución de los ejemplos que se muestran. a) Es necesario considerar que si el minuendo es negativo la operación se convierte en una adición con el resultado negativo.b) Obsérvese que en la operación de 1 + 1 = 10 en base binario (102). Multiplicación Se presenta la tabla de multiplicación binaria: a) . que es el equivalente del 2 en sistema decimal. Sustracción Para la sustracción tómese en cuenta el siguiente cuadro.
y) R si x  y es: R = {(1. 3). b. 4} esta definida por (x. (1. 4}. b. (4. 4)} El dominio se define por el conjunto {x dominio de R es el conjunto {a. Ejemplos a) Sean los conjuntos X = {a. 3). 2). d} b) La relación R sobre X = {1. y en esta cantidad se separa en el producto o resultado. y) R escribimos xRy y decimos que x esta relacionado con y. y) R para algún y Y} . Para colocar el número binario se cuenta la cantidad de cifras fraccionarias tanto en el multiplicando como en el multiplicador.Para multiplicar números que tiene parte entera y parte fraccionaria se opera como en el sistema decimal. ya que lo que a continuación se desarrolle en la guía coadyuvara a ampliar los términos expuestos en el libro base. 1). (2. 4). 2. c. La digráfica de la relación R es la siguiente: X/(x. 3. d} y Y = {1. si (x. definir una relación R de X en Y y determinar el dominio de R y lel rango de R. (1. 2). 3. 3). 4)} el dominio de R es el conjunto {1. simétrica y transitiva en un conjunto X se llama relación de equivalencia sobre X. Una relación (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y. 4).1 y 3. 4} se concluye que: el dominio y el rango son iguales porque la relación está definida sobre el mismo conjunto X. R = {(a.2 paginas 116 y 125 del texto básico. 2. 3. (2. (c. 2. 3). (3. 3. Relaciones Este tema se encuentra en el capítulo 3 en los numérales 3. (3. 4} el rango de R es el conjunto {1. por lo tanto le sugerimos revisar con detenimiento las definiciones. Una relación que es reflexiva. (d. teoremas y ejemplos desarrollados en base a la teoría expuesta. (1. 4). Se define una relación como un conjunto de pares ordenados. 2. c. 2). 1). (b. (2.
(1. (1. 3).(4. (3. (1. si (x. 4) todos pertenecen a R. 1).2). 1). 2). (2. 2). (2. e) Inversa Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1. 3) y (4. (4. (2. 4). (1. 4)} se dice que es reflexiva por que cada elemento x X. 3). 2). (3. los pares ordenados (1. (2. por cuanto no cumple la definición que dice: si para cada x. 2). (1.3). Si observamos la digráfica de la relación reflexiva. 2). 3). (2. y X. 3).1). (4. si (x. (2.(2. 4). 2). (2.4). (1. x) R´. (2. 4). z) R. (3.(1.(2. (4. z X. 3). 4). (2.(1. si (x. 4)} no es simétrica´. y) y (y. 1). y y) R.(1. 2). (3.3). 1). entonces (x. (2. 1). 3). (1. (2. z) R´. 2). 3). y) R´. . (2. (2.2). 3). c) Transitiva Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1. (1. 3). 4)} la relación R sobre el cojunto X es antisimétrica´. 3). (1. 1). (3. por cuanto cumple la definición que dice: x. d) Antisimétrica Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1. 1). (2. 4). (2. 4). 4). 4). (3. b) Simétrica Tomando la relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1. 3). 4) se tiene (1. 3) no pertenecen a R. 2). (x. Específicamente tenemos (1. 3). (1.4)} X. encontramos que tiene un lazo sobre cada vértice. 4). 4). (3. y) tenemos (1. (2. por cuanto cumple la definición que R y x  y. (1. 4). (3.(2. (3. 3). entonces (x.4).(3. (4. 4) se tiene (2. 4) están en R. pero (2. (2. 4). 2). 1). 3). (3. (4. 2). 3). 2). y. 3). 4). 4). 4) pertenecen a R. (3. (1. (4. (1. (4.(3. (1. (1. (3. (3. 4)} es una relación transitiva R sobre el cojunto X´.4). 3) se tiene (1. Específicamente dice para toda: x. entonces (y. 4). x) R. (3.3). 2).Ejemplos de las propiedades de las relaciones a) Reflexiva La relación R del ejemplo anterior dada por: R = {(1. 3).
(5. 2. (2. 5).5)} 3. 1).4). Escriba R-1 como un conjunto de pares ordenados R-1 = {(3. (4. Escriba R como un conjunto de pares ordenados R ={(3. 4).La relación inversa de R que se denota por R-1. 3). 1). 5). 4} y determinar si son reflexivas. 1). 4)} Ejercicio 1 A partir del siguiente dígrafo. (4. (4. (5. (4. (5. 4). 1). (2. 5)} 2. 3). (2. 3)} Ejercicio 2 Considere las siguientes relaciones en W = {1. (3. 5)} 5. 4). (5. 2). (3. (4. 3)} R5 = {W x W} Respuestas: Reflexivas: R5 Simétricas: R4 y R5 .3). (2. (5. (4. (4. antisimétricas o transitivas. 1). (3. (4. simétricas. (3. 2). (4.1 = {(1. (4. 4). (3. (3. esta dada por: R . 3). (4. 2). (2. 4). 3). 1). (4. (1. 4)} R4 = {(1. Escriba una relación reflexiva sobre G1 R = {(3. (3. resuelva las siguientes instrucciones: 1.3). 5). 5). (4. 2). 1)} R3 = {(1. 5). 3).4). Escriba una relación transitiva sobre G1 R ={(3. 3). 1). 5). 3. (5. 5)} 6. 4). Escriba una relación simétrica sobre G1 R = {(3. (3. Escriba una relación antisimétrica sobre G1 R = {(3.5)} 4. R1 = {(1. 2)} R2 = {(1.
8} Considerando las ordenes: 2. b). 3. c. b. d tenemos la matriz: b) X = {2. e) Utilice el resultado de la parte d) para determinar la relación R_2 o R_1 (como un conjunto de pares ordenados). 3. Se etiquetan los renglones con elementos de X (en algún orden arbitrario). (3. d). 7.4} y Y = {a. R3. y 0 de otra manera. R4. c. 4} Y = {5. 6. (4. definida por xRy si x divide a y Para los siguientes ejercicios vamos a determinar: a) La matriz A_1 de la relación R_1 (con respecto de los órdenes dados) b) La matriz A_2 de la relación R_2 (con respecto de los órdenes dados) c) El producto matricial A_1 A_2. 2. y se etiquetan las columnas con elementos de Y (orden arbitrario). . Una matriz es una manera conveniente de representar una relación R de X a Y. R2. c). Luego el elemento en el renglón x y la columna y se hace igual a 1 si xRy. 3. sección 3. Se describirá brevemente como formar una matriz de relación y se realizara ejemplos. 3. a)} Donde X = {1.4 y a. c). R2. R3. 4 y 5. (3. b). b. R4 Transitiva: R1. d} Considerando los ordenes: 1. 2. 6. 7.8. Ejemplos: Formar la matriz de relación de los siguientes conjuntos: a) R = {(1.Antisimétricas: R1. d) Utilice el resultado de la parte c) para determinar la matriz de la relación R_2 o R_1.3. (1. Esta matriz se llama matriz de la relación R. R5 Matrices de relaciones Este tema lo encontramos en la página 132. (2.
(2. c Solución: Las órdenes son los conjuntos que intervienen en las relaciones los mismos que los podemos escribir como: X = {1.a).b).(y. y. b. 3} Y = {x. para nuestro caso serían: a) La matriz A_1 de la relación R_1.x).b). 3.(y. b. la misma que esta dada por: c) El producto de A1A2 es: . y} Z = {a. es una representación de una relación cualesquiera R' de X a Y. a.x)} R_2 = {(x.c)} Órdenes: 1.y). en este caso sería la relación R2 de Y a Z. en este caso sería la relación R_1 de X a Y. 2. la misma que esta dada por: b) La matriz A2 de la relación R2. x.(y.Las relaciones dadas son: R = {(1.x).(1. c} Por tanto la matriz de una relación. 2.(3.
intervienen los conjuntos Y e Z.d) Para obtener matriz de la relación .6. donde el conjunto de pares ordenados es: . la misma que quedaría como a continuación se señala: e) El conjunto de pares ordenados de la relación esta dado por: si la matriz A1 de la relación R1 que se expresa como la relación R1 de X a Y. intervienen los conjuntos X e Y. del punto c) tenemos que reemplazar cada término distinto de cero en el producto de matrices A1A2 obtenida en el punto anterior. mientras la matriz A2 de la relación R2 que se expresa como la relación R2 de Y a Z.6 de la página 117 del texto básico. De donde podemos concluir que los conjuntos u órdenes que intervienen en la relación son: el conjunto X de R1 y el conjunto Z de R2. conforme lo señala el Teorema 2.
c). Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen. ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. en lugar de Formalmente. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota . es decir. 2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y. Se denota por o . del dominio se les llama Al codominio. Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Se denota por o o . alcance o recorrido de la función. Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio.R_2 o R_1 ={(1.(2.b). también llamado. es decir. pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.(1. es aconsejable usar el término codominio. conjunto final o rango de f se le denota por o codomf Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura. . A los elementos habitualmente argumento de la función.a).b)} Respuesta FUNCIONES Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática.b).(3. Por ello. Una preimagen de un es algún tal que . si Notación y nomenclatura Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones: 1. conjunto de llegada.(1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y.
si bien su dominio y . se puede definir una función que . decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones: 1. Representación de funciones Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:  usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). 2. en cambio. es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).Ejemplos  La función definida por todos los números reales . tienen igual codomino. el elemento a de Y no tiene origen. Esta función representada como relación. tienen igual dominio. tiene la misma asignación. Cuando la relación es funcional. y el elemento b tiene dos (el1 y el 4). con Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. B=D. codominio e imagen a Función con Dominio X y Rango Y  Para la función codominio son iguales a +. tiene como dominio. Además. A=C. y 3. Finalmente. es decir satisface la segunda condición de la definición de función. queda: Igualdad de funciones Sean las funciones f: A B y g: C D. tal que . sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y  En la figura se puede apreciar una función .
(0. 3). y vale x más dos unidades". Dominio natural es todos los reales. de la función. (x. aunque también las hay para funciones discretas. A menos que se indique lo contrario. Ejemplo: A={(-2. Ejemplo: y=x+2. 1). se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. Podemos diferenciar los siguientes casos: X -2 -1 0 1 2 3 X X X X X .. Y. x+2)}   Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. 0).se dice definida por la relación. consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. número entero. El dominio seleccionado se llama el dominio natural. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo. . muy usados en teoría de grafos. 2).(-1.(1. Ejemplo: X| -2 -1 0 1 2 3 Y| 0 1 2 3 4 5 Como pares ordenados: pares ordenados.  Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.. Ejemplo: "Para todo x. Ejemplo: 5 4 3 2 1 0 y/x Clasificación de las funciones Dados dos conjuntos X.
(o a veces simplemente morfismo) desde un objeto matemático a otro de la misma categoría. es el conjunto de todas las posibles aplicaciones. supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones. Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn. inyectiva. Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. y el conjunto B aquel de las sobreyectivas. Homomorfismo En matemáticas. la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución. y sólo si. dada y sea b un elemento cualquiera del    la función es suprayectiva o sobreyectiva si. 'Definiciones alternas: sea codominio Y. esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico. Por ejemplo. y ése es el punto de vista tomado en este artículo. y sólo cuando. Consideremos la ecuación . el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas. si . Si la imagen de la función es igual al codominio. Una noción más general de morfismo se estudia abstractamente en la teoría de las categorías. La noción de homomorfismo se estudia abstractamente en el álgebra universal. si un objeto consiste en un conjunto X con un orden < y el otro objeto consiste en un conjunto Y con orden u. es una función que es compatible con toda la estructura relevante. Puede haber funciones que sean biyectivas. la función es biyectiva cuando. es inyectiva y suprayectiva a la vez. la función es inyectiva si. en cuyo caso no tiene un nombre específico. sobreyectiva o suprayectiva. se denomina biyectiva . que. entonces debe valer para la función u<v f( u ) < f( v ). representado por un rectángulo. y sólo si.   Si a cada imagen le corresponde una única preimagen. el conjunto universal U. inyectivas pero no suprayectivas. un homomorfismo. la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
Un homomorfismo de un conjunto a sí mismo se llama endomorfismo. loshomomorfismos de anillo.g. etc. Al conjunto cociente X/~ se le puede entonces dar una estructura de una manera natural. el que es llamado el núcleo de f. las funciones continuas. Ejemplos de morfismo son los homomorfismos de grupos.O. Si es además un isomorfismo se llama automorfismo. más bien que ~. una sola clase de equivalencia K es suficiente para especificar la estructura del cociente. y con ello se quiere destacar la idea según la cual existen semejanzas y correspondencias formales entre . este hecho es uno de los teoremas de isomorfía. si en estos conjuntos hay definidas operaciones binarias + y *. Dos objetos isomorfos son totalmente indistinguibles por lo que a la estructura en cuestión se refiere. y las leyes de composición interna La función es un homomorfismo respecto de + y * si y sólo si la imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A'. Definición Dado dos conjuntos no vacíos A y A'. los operadores lineales. así que escribimos X/K. Nótese que en algunos casos (v. Un difeomorfismo es un isomorfismo que preserva las características topológicas y diferenciales.g. En el caso general. [x] * [y] = [x] * [y]. este ~ se llama núcleo de f. En ese caso la imagen de X en Y bajo el homomorfismo f es necesariamente isomorfa a X/~. Tipos particulares de homomorfismos    homomorfismo respecto de + y  Un homomorfismo suprayectivo se llama epimorfismo. entonces debe valer que: f(u + v) = f(u) * f(v). Es decir: es * Cualquier homomorfismo f: X --> Y define una relación de equivalencia ~ en X como a ~ b si y solo si f(a) = f(b). respectivamente. grupos o anillos). es K. ciertos tipos de isomorfimos reciben nombres particulares:   Un homeomorfismo es un isomorfismo que preserva las características topológicas. v.. También en estos casos. ISOMORFISMO El término 'isomorfismo' significa etimológicamente 'igual forma'. Un homomorfismo biyectivo cuya inversa es también un homomorfismo se llama isomorfismo. Un homomorfismo inyectivo se llama monomorfismo. En topología.
La detección de estos fenómenos permite el armado de modelos de aplicación para distintas áreas de las ciencias. obteniendo así una aplicación f:E R³ en el conjunto de las sucesiones de tres números reales. Ejemplo de isomorfismo: Por ejemplo. entonces a cada punto del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas. Este descubrimiento fundamental de Descartes permite enunciar cualquier problema de la geometría del espacio en términos de sucesiones de tres números reales. una aproximación metodológica. el logaritmo ln:X Y es un isomorfismo. porque ln(ab)=ln(a)+ln(b) y cada número real es el logaritmo de un único número real positivo. f es un isomorfismo. que se repite en forma permanente. si X es un número real positivo con el producto e Y es un número real con la suma. exige un análisis iterativo que responde a la idea de modularidad que la teoría de los sistemas desarrolla en sus contenidos. Esto. que suele ser más simple. se identifican y extraen sus similitudes estructurales. Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fijada y en R³ consideramos la distancia que define la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias. un corazón artificial es isomórfico respecto al órgano real : este modelo puede servir como elemento de estudio para extraer conclusiones aplicables al corazón original. Otro ejemplo: si en el espacio E elegimos una unidad de longitud y tres ejes mutuamente perpendiculares que concurren en un punto. Se pretende por comparaciones sucesivas. El descubrimiento de un isomorfismo entre dos estructuras significa esencialmente que el estudio de cada una puede reducirse al de la otra. Por ejemplo. .diversos tipos de sistemas en otras palabras Isomórfico (con una forma similar) se refiere a la construcción de modelos de sistemas similares al modelo original. Como evidencia de que existen propiedades generales entre distintos sistemas. y este método de abordar los problemas geométricos es el corazón de la llamada geometría analítica. y permitir una correspondencia biunívoca entre las distintas ciencias. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de números reales positivos tiene (sin más que sustituir cada número por su logaritmo) un enunciado equivalente en términos de la suma de números reales. Teoría analógica o modelo de isomorfismo sistémico: Este modelo busca integrar las relaciones entre fenómenos de las distintas ciencias. a la vez que facilitar la identificación de los elementos equivalentes o comunes. lo que nos da dos puntos de vista diferentes sobre cada cuestión y suele ser esencial en su adecuada comprensión.
una computadora analógica. como una buena oportunidad de aumentar sus funciones comerciales. un aparato eléctrico puede ser un "modelo" de ecuación diferencial.Estos elementos son la esencia de la aplicación del modelo de isomorfismo. puede que las transformaciones no sean simples. Pero la reclasificación puede tener varios niveles de complejidad. definición exacta y objetiva. Por tanto. También pueden serlo un objeto en movimiento y una ecuación. isomórfico con cualquier sistema dinámico". . Una forma puede ser factible en un área en la que la otra es difícil de manipular. si bien intrínsecamente son diferentes. Un mapa puede ser isomórfico de la región que representa. Otros isomorfismos incluyen una máquina de naturaleza mecánica. puede convertir la representación de una en la otra. En administración tomaremos al isomorfismo como la presión que obliga a una empresa a parecerse a otra de la misma región. El isomorfismo evalúa cómo las empresas toman la decisión de ingresar a los mercados internacionales.' Los aparatos isomórficos son valores en la ciencia. o el negativo de una fotografía con su ampliación. "El propósito general más importante de la computadora digital es asombroso justamente porque puede programarse para resultar. Puede demostrarse que el concepto de isomorfismo es susceptible de una.. Las representaciones canónicas de dos máquinas son isomórficas si una transformación de uno a uno de los estados de una máquina a la otra. todos los cuales pueden ser isornórficos. un aparato eléctrico y una cierta ecuación diferencial. sino complejas. en algunos aspectos registran efectos que pueden necesitar un mismo procedimiento. es decir. y Impacto del isomorfismo. cuando ellos saben que las otras empresas se han desempeñado exitosamente. la correspondencia entre principios que rigen el comportamiento de objetos que.
Por ejemplo para determinar la entrada de las empresas colombianas a mercados internacionales se usa la teoría institucional. pero la tendencia obliga a disminuir ese esfuerzo humano y cambiarlo por esfuerzo robótico (isomorfismo). El mundo de los negocios que hoy se puede ver es aquel en el cual las organizaciones han empezado a ser más homogéneas. es decir. el resultado es el isomorfismo. la complejidad inherente a la resolución de un problema computable. Se pueden estudiar igualmente otros parámetros. O también podríamos mencionar como ejemplo que en una organización las labores que realiza el factor humano son vitales. acerca del objetivo propuesto. Otro ejemplo podemos mencionar que durante casi todo este siglo las multinacionales americanas han difundido practicas de trabajo taylorianas a otros países. Éstos son problemas . tales como el número de procesadores necesarios para resolver el problema en paralelo. el solo hecho que estos países apliquen las practicas del trabajo tayloriano muestra un isomorfismo y así surgen las similaridades estructurales en distintos campos. La teoría de la complejidad difiere de la teoría de la computabilidad en que ésta se ocupa de la factibilidad de expresar problemas como algoritmos efectivos sin tomar en cuenta los recursos necesarios para ello. las imitaciones en prácticas y estructuras juegan un rol muy importante. El proceso de imitación se hace a medida que una organización es más exitosa. Con el ejemplo de las empresas colombianas se evaluarán dos proposiciones de DiMaggio y Powell (1983). de la imitación de medianas y pequeñas empresas que están pensando en empezar a exportar y cómo el isomorfismo influye en el número de organizaciones que operan como exportadoras colombianas. la relación entre el tamaño del problema y su tiempo de ejecución es polinómica. Los problemas que tienen una solución con orden de complejidad lineal son los problemas que se resuelven en un tiempo que se relaciona linealmente con su tamaño. lo cual es una solución favorable para la empresa y para los mismos empleados. de manera teórica. ya que las tareas rutinarias serán desarrolladas por estos y permitirá optimizar labores que requieran un mayor nivel de raciocinio a los empleados. mientras el desempeño de estas es desconocido. ya que sus competidores tienden a imitarla. Las siguientes dos proposiciones permiten obtener una real conclusión. Hoy en día las computadoras resuelven problemas mediante algoritmos que tienen como máximo una complejidad o coste computacional polinómico. ya que muchas organizaciones están copiando a sus competidores. Los recursos comúnmente estudiados son el tiempo (mediante una aproximación al número y tipo de pasos de ejecución de un algoritmo para resolver un problema) y el espacio (mediante una aproximación a la cantidad de memoria utilizada para resolver un problema). COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL La teoría de la complejidad computacional es la rama de la teoría de la computación que estudia.
retornar todos los factoresprimos de ese número. si se toma una instancia con entrada de longitud n que puede resolverse en n² pasos. . de manera que esta notación generaliza la noción de coste independientemente del equipo utilizado. una máquina determinística (como una computadora actual) no puede resolverlos en un tiempo razonable. Una pregunta sobre un entero específico se llama una instancia. por tanto es una operación de complejidad constante O(1). Cuando un problema tiene costo en tiempo O(n²) en una configuración de computador y lenguaje dado. Para no tener que hablar del costo exacto de un cálculo se utiliza la notación O. donde cada pregunta se representa por una cadena de caracteres de tamaño finito. están agrupados en la clase NP. del lenguaje utilizado y de otros factores. este costo será el mismo en todos los computadores. se dice que ese problema tiene una complejidad en tiempo de n². es decir. en el caso contrario. Ejemplos   Extraer cualquier elemento de un vector. por ejemplo. Este procedimiento de búsqueda (conocido como búsqueda binaria) en una estructura ordenada tiene complejidad logarítmica O(ln n). Estos problemas no tienen una solución práctica. en cuál de las dos mitades hay que repetir el proceso (es un proceso recursivo) hasta llegar al resultado. Se puede iniciar la búsqueda de una palabra por la mitad del diccionario. Los problemas que no pueden ser resueltos por nuestras computadoras (las cuales son Máquinas Determinísticas). Inmediatamente se sabe si se ha encontrado la palabra o. Por supuesto.agrupados en la clase P. En cada (sub)búsqueda el problema (las páginas en las que la palabra puede estar) se ha reducido a la mitad. a partir del tamaño de la entradautilizando el algoritmo más eficiente a disposición. lo que se corresponde con la función logarítmica. que en general poseen costes factorial o combinatorio pero que podrían ser procesados por una máquina nodeterminista. el problema factorización entera se describe como: Dado un entero escrito en notación binaria. La indexación en un vector o array lleva el mismo tiempo sea cual fuere el índice que se quiera buscar. "Encontrar los factores primos del número 15" es una instancia del problema factorización entera. Por ejemplo. Buscar en un diccionario tiene complejidad logarítmica. el número exacto de pasos depende de la máquina en la que se implementa. Intuitivamente. La complejidad temporal de un problema es el número de pasos que toma resolver una instancia de un problema. Presentación Un problema dado puede verse como un conjunto de preguntas relacionadas.
en orden. Sus soluciones son respectivamente. RELACIONES DE RECURRENCIA Una relación de recurrencia para una sucesión es una fórmula que expresa cada término a partir de cierto . 2.es raíz característica si y solo si es solución de la relación de recurrencia. Teorema 1 Dada la relación de recurrencia verifica: con . se dice que la relación de 1. para todo . siendo n el número de elementos del conjunto). (progresión geométrica). El proceso más común para ordenar un conjunto de elementos tiene complejidad cuadrática. Se puede ver que hay que hacer n selecciones (se ordena todo el conjunto) cada una con un coste n de ejecución: el procedimiento es de orden cuadrático O(n²). en función de uno o más de los términos que le preceden. El procedimiento consiste en crear una colección vacía de elementos. Se dice que una sucesión es una solución de la relación de recurrencia si su término general verifica dicha relación. . Este recorrido sobre el conjunto original se realiza hasta que todos sus elementos están en la secuencia de resultado. Ejemplo Ejemplos particulares de relaciones de recurrencia son las de las formas: (progresión aritmética). el menor elemento del conjunto original que aún no haya sido elegido. Por otra parte uno de los ejemplos más estudiados es la sucesión de Fibonacci que viene dada por: y para todo Relaciones de recurrencia lineales homogéneas Si recurrencia es lineal homogénea de orden Definición Llamaremos ecuación característica de la relación de recurrencia a la ecuación de solución se les llama raíces características. Hay que aclarar que hay diversos algoritmos de ordenación con mejores resultados. lo que implica hacer un recorrido completo del conjunto original (O(n). entonces es solución de la relación de recurrencia. se .Si y son soluciones de la relación de recurrencia. A sus valores para . Los valores de los términos necesarios para empezar a calcular se llaman condiciones iniciales. entonces y también lo son. A ella se añade. y . 3.Si es raíz doble de la ecuación característica.
Si . entonces cuyo caso . entonces es solución de la relación de recurrencia lineal homogénea asociada.Si la ecuación y con : y se tiene dos soluciones reales distintas a . excepto si a es raíz característica con multiplicidad s. .Se obtiene una solución particular de la relación de recurrencia no homogénea.P.Si la ecuación tiene que 2.Teorema 2 Dada la relación de recurrencia 1. Pasos para resolver una relación de recurrencia lineal no homogénea . en cuyo caso Bibliografía: y y Matemática Discreta y Lógica W. se dice que la relación de recurencia es lineal no homogénea de orden . .La solución específica se obtiene a partir de las condiciones iniciales. entonces si a es raíz característica con multiplicidads.K Grassmann ± J.Se obtiene la solución general de la ecuación homogénea asociada. se determinan a partir de las condiciones iniciales Relaciones de recurrencia lineales no homogéneas Si para . . excepto (polinomio de grado cuyo caso encontrar en algunos casos especiales. en . tiene una solución real doble y . excepto si 1 es raíz característica con . A la relación resultante de eliminar se le llama relación de recurrencia lineal homogénea asociada. . . 1999 .La suma de la solución general de la ecuación lineal homogénea asociada y de una solución particular de la relación de recurrencia lineal no homogénea nos da la solución general de la relación de recurrencia lineal no homogénea. Prentice Hall. se tiene que . Proposición Si y son soluciones de la relación de recurrencia lineal no homogénea. Observación Una solución particular entonces multiplicidad s. Tremblay.Si en de la relación de recurrencia lineal no homogénea se puede (polinomio de grado . . 1997 Matemáticas Discretas Richard Johnsonbaugh.Si . Prentice Hall.
Documents Similar To Matemáticas Discretas
Stacy Rh
Yara Itzel Romero Hernandez
martuchiapas
Heberth Algarin
YECSEL JAVIER SUAREZ VILLAMIZAR
More From George Manzano
wkt tinggal.pdfUploaded by dedek amelia
30001.docUploaded by JuliánPitalúa
SIMULARE Planul de Afaceri FitnessUploaded by OleseaDuman
232868_1487_fix formulir 18.docxUploaded by Azryal Rangga
canto de las campanasUploaded by Azucena Pacheco
NIT-DIOIS-1_14.pdfUploaded by johohuxim

References: resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución