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Timestamp: 2020-06-07 03:14:19+00:00

Document:
Strona główna Groupes et algèbres de Lie: Chapitre 9
9783540343929
354034392X
est1541
que1032
groupe645
pour633
dans620
des572
soit541
par541
une532
sous464
les439
de lie432
donc255
prop254
est un243
groupes231
il existe231
connexe220
groupe de216
sont211
pour tout198
resp185
soient183
tel que178
montrer que174
un groupe157
forme156
espace148
le groupe147
groupes de145
un sous142
groupe de lie141
est une139
tore137
compacts134
groupes de lie127
lie ix124
algèbre de lie121
la prop121
isomorphe117
avec114
ensemble des113
existe un111
le sous108
il existe un106
un groupe de103
notons102
un tore101
tore maximal99
classe94
espace vectoriel93
tels que92
deux92
Определение давления света на космические летательные аппараты
Réimpression inchangée de l’édition originale de 1982
© Masson, Paris, 1982
ISBN-10 3-540-34392-X Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-34392-9 Springer Berlin Heidelberg New York
Groupes de Lie réels compacts '
Dans tout ce chapitre, l'expression ((groupe de Lie » signifie «groupe de Lie de
dimension finie sur le corps des nombres réels », l'expression « algèbre de Lie n signifie,
sauf mention du contraire, « algèbre de Lie de dimension finie sur le corps des nombres
réels », l'expression « algèbre de Lie réelle » (resp. « algèbre de Lie complexe »)
signiJie « algèbre de Lie de dimension finie sur le corps des nombres réels (resp.
« ... complexes D).
On note Go la composante neutre d'un groupe topologique G. On note C(G) le
centre d'un groupe G, D(G) son groupe dérivé, NG(H) ou N(H) (resp. Z,(H) ou
Z(H)) le normalisateur (resp. centralisateur) d'une partie H d'un groupe G.
1. ALGÈBRES DE 'LIE COMPACTES
1. Formes hermitiennes invariantes
Dans ce numéro, la lettre k désigne l'un des corps R ou C. Soient V un k-espace
vectoriel de ,dimension finie, une forme hermitienne positive séparante sur V,
G un groupe, g une R-algèbre de Lie, p :G + GL(V) un homomorphisme de groupes, cp :g + gI(V) ; un homomorphisme de R-algèbres de Lie.
a ) La forme 0 est invariante par G (resp. g) si et seulement si p(g) est unitaire
pour @ quel que soit g E G (resp. cp(x) est antihermitien pour 0 quel que soit x E g).
Dans tout ce chapitre les renvois à A, VI11 se réfèrent à la nouvelle édition (à paraître).
Rappelons (A, IX, à paraître) qu'une forme hermitienne H sur V est dite séparante (ou
non dégénérée) si pour tout élément non nul u de V il existe v E V tel que H(u, v) 0.
On dit que a E End(V) est antiherrnitien pour
si l'adjoint a* de a relativement à
est égal à - a. Lorsque k = C (resp. k = R), cela signifie aussi que i'endomorphisme ia
de V (resp. de C O, V) est hermitien.
LIE IX.2
GROUPES DE LIE RÉELS COMPACTS
En effet, notons a* l'adjoint relativement à @ d'un endomorphisme a de V ; pour
g dans G, x dans g, u et v dans V, on a
pour que @(p(g)u, p(g) v) = @(u,v ) pour tous u, v dans V, il est donc nécessaire
et suffisant que p(g)*p(g) = Idv ; de même, pour que @(cp(x)u, v) + @(u,cp(x) v) = O
pour tous u, v dans V, il est nécessaire et suffisant que q(x) + cp(x)* = O, d'où
l'assertion annoncée.
b) Si la forme @ est invariante par G (resp. g), l'orthogonal d'un sous-espace
stable de V est stable; en particulier, la représentation p (resp. cp) est alors semisimple (cf: A, IX); de plus, pour tout g E G (resp. tout x E g), l'endomorphisme
p(g) (resp. cp(x)) de V est alors semi-simple, à valeurs propres de valeur absolue 1
(resp. à valeurs propres imaginaires pures) ; en effet p(g) est unitaire (resp. icp(x) est
hermitien, cf: A, IX).
c) Supposons k = R. Si G est un groupe de Lie connexe, p un morphisme de
groupes de Lie, g l'algèbre de Lie de G et cp l'homomorphisme déduit de p, alors @
est invariante par G si et seulement si elle est invariante par g (114 5 6, no 5, cor. 3).
d) Pour qu'il existe sur V une forme hermitienne positive séparante invariante
par G, il faut et il suffit que le sous-groupe p(G) de GL(V) soit relativement compact
(INT, VII, 4 3, no 1, prop. 1).
2. Groupes de Lie réels commutatifs connexes
Soit G un groupe de Lie (réel) commutatif connexe. L'application exponentielle
exp, :L(G) + G
est un morphisme de groupes de Lie, surjectif à noyau discret (III, 8 6, no 4, prop. 1l),
donc fait de L(G) un revêtement connexe de G.
a) Les conditions suivantes sont équivalentes : G est simplement connexe, exp,
est un isomorphisme, G est isomorphe à Rn (n = dim G). Si on transporte alors à G
par l'isomorphisme exp, la structure d'espace vectoriel de L(G), on obtient sur G
une structure d'espace vectoriel, qui est la seule compatible avec la structure de
groupe topologique de G. Les groupes de Lie commutatifs simplement connexes
sont appelés groupes (de Lie) vectoriels ; sauf mention expresse du contraire, on les
munit toujours de la structure de R-espace vectoriel définie ci-dessus.
b) Notons T(G) le noyau de exp,. D'après TG, VII, p. 4, th. 1, le groupe G est
compact si et seulement si T(G) est un réseau de L(G), c'est-à-dire (loc. cit.) si le
rang du Z-module libre T(G) est égal à la dimension de G. Inversement, si L est un
R-espace vectoriel de dimension finie et r un réseau de L, le groupe topologique
quotient L/T est un groupe de Lie commutatif compact connexe.
ALGÈBRES DE LIE COMPACTES
LIE IX . 3
Les groupes de Lie commutatifs compacts connexes sont appelés tores réels,
ou (dans ce chapitre) tores.
c) Dans le cas général, soit E le sous-espace vectoriel de L(G) engendré par
T(G), et soit V un sous-espace supplémentaire. Alors G est produit direct de ses
sous-groupes de Lie exp(E) et exp(V) ; le premier est un tore, le second est vectoriel.
Enfin tout sous-groupe compact de G est contenu dans exp(E) (puisque sa projection
dans exp(V) est nécessairement réduite à l'élément neutre) ; le sous-groupe exp(E)
est donc l'unique sous-groupe compact maximal de G.
Prenons par exemple G = C* ; identifions L(G) a C de sorte que l'application
exponentielle de G soit x +t ex. Alors T(G) = 2niZ, E = iR, donc exp(E) = U ;
si on prend V = R, on a exp(V) = R?,et on retrouve l'isomorphisme C* -t U x RT
construit en TG, VIII, p. 4.
d) Notons enfin que exp, :L(G) + G est un revêtement, universel de G, donc
que T(G) s'identifie naturellement au groupe fondamental de G.
3. Alg2bres de Lie compactes
1. - Soit g une algèbre de Lie (réelle). Les conditions suivantes sont
(i) g est isomorphe à l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie compact.
(ii) Le groupe Int(g) (III, 5 6, no 2, déf. 2) est compact.
(iii) g possède une forme bilinéaire invariante (1, 5 3, no 6) qui est symétrique, positive
et séparante.
(iv) g est réductive (1, 5 6, no 4, déf. 4); pour tout x E g, l'endomorphisme ad x
est semi-simple, à valeurs propres imaginaires pures.
(v) g est réductive et sa forme de Killing B est négative.
(i) (ii) : si g est l'algèbre de Lie du groupe de Lie compact G, le groupe Int(g)
est séparé et isomorphe à un quotient du groupe compact G o (III, 5 6, no 4, cor. 4),
donc est compact.
(ii) =-(iii) : si le groupe Int(g) est compact, il existe sur g une forme bilinéaire
symétrique qui est positive, séparante, et invariante par Int(g) (no l), donc aussi
invariante pour la représentation adjointe de g.
(iii) + (iv) : si (iii) est satisfaite, la représentation adjointe de g est semi-simple
(no l),donc g est réductive ; de plus les endomorphismes ad x, pour x E g, possèdent
les propriétés indiquées (no 1).
(iv) (v) : pour tout x E g, on a B(x, x) = Tr((ad x)') ; par suite, B(x, x) est la
somme des carrés des valeurs propres de ad x, et est par conséquent négative si
celles-ci sont imaginaires pures.
(v) * (i) : supposons g réductive, donc produit d'une sous-algèbre commutative
c et d'une sous-algèbre semi-simple 5 (1, 5 6, no 4, prop. 5). La forme de Killing de
s est la restriction à s de la forme B, donc est négative et séparante si B est négative.
Le sous-groupe Int(s) de GL(s) est fermé (c'est la composante neutre de Aut(s),
LIE IX. 4
III, 0 10, no 2, cor. 2) et laisse invariante la forme positive séparante - B ; il est donc
compact, et 5 est isomorphe à l'algèbre de Lie du groupe de Lie compact Int(s).
Par ailleurs, comme c est commutative, elle est isomorphe à l'algèbre de Lie d'un
tore T. Ainsi g est isomorphe à l'algèbre de Lie du groupe de Lie compact Int(5) x T.
DÉFINITION1. - On appelle algèbre de Lie compacte toute algèbre de Lie qui
possède les propriétés (i) à (v) de la proposition 1.
Les algèbres de Lie compactes so,ntdonc les algèbres produit d'une algèbre commutative par une algèbre semi-simple compacte. En d'autres termes, pour qu'une
algèbre de Lie soit compacte, il faut et il suffit qu'elle soit réductive et que son algèbre
dérivée soit compacte.
L'algèbre de Lie d'un groupe de Lie compact est compacte.
2. - a ) Le produit d'un nombre fini d'algèbres de Lie est une algèbre
de Lie compacte si et seulement si chaque facteur est compact.
b ) Une sous-algèbre d'une algèbre de Lie compacte est compacte.
c ) Soit b un idéal d'une algèbre de Lie compacte g. Alors l'algèbre g/t) est compacte
et l'extension b + g + g/t) est triviale.
Les assertions a) èt b ) résultent de la caractérisation (iii) de la prop. 1. La partie c )
résulte de a ) et du fait que dans une algèbre de Lie réductive, tout idéal est facteur
direct (1, Q 6, no 4, cor. à la prop. 5).
3. - Soit G un groupe de Lie dont le groupe des composantes connexes
est fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L'algèbre de Lie L(G) est compacte.
(ii) Le groupe Ad(G) est compact.
(iii) Il existe sur L(G) une forme bilinéaire symétrique positive séparante invariante
pour la représentation adjointe de G.
* (iv) G possède une métrique riemannienne invariante par translations a droite et
(i) + (ii) : si L(G) est compacte, le groupe Ad(G,) = Int(L(G)) est compact ;
comme il est d'indice fini dans Ad(G), ce dernier groupe est compact.
(ii) (iii) : cela résulte du no 1.
(iii) (i) : comme Int(L(G)) c Ad(G), cela résulte de la caractérisation (iii)
de la proposition 1.
* (iii) o (iv) : cela résulte de III, Q 3, no 13. *
O n notera qu'un espace vectoriel topologique réel ne peut être un espace topologique
compact que s'il est réduit a 0.
LIE IX. 5
4. Groupes dont l'algebre de Lie est compacte
1 (H. Weyl). - Soit G un groupe de Lie connexe dont l'algèbre de Lie
est semi-simple compacte. Alors G est compact et son centre est fini.
Comme G est semi-simple, son centre D est discret. De plus, le groupe quotient
G/D est isomorphe à Ad(G) (III, 8 6, no 4, cor. 4), donc compact (prop. 3). Enfin,
le groupe G/D est égal à son groupe dérivé (III, 8 9, no 2, cor. à la prop. 4). Le théorème
résulte alors de INT, VII, 8 3, no 2, prop. 5.
4. - Soit G un groupe de Lie connexe d'algèbre de Lie compacte. Il
existe un tore T , un groupe de Lie compact semi-simple simplement connexe S, un groupe
vectoriel V et un morphisme surjectif de noyau fini f :V x T x S -, G. Si G est
compact, le groupe V est réduit à l'élément neutre.
Soit C (resp. S) un groupe de Lie simplement connexe dont l'algèbre de Lie est isomorphe au centre (resp. à l'algèbre dérivée) de L(G). Alors C est un groupe vectoriel,
S un groupe compact de centre fini (th. 1) et G s'identifie au quotient de C x S
par un sous-groupe discret D, qui est central (INT, VII, 5 3, no 2, lemme 4). Comme
la projection de D dans S est d'image centrale, donc finie, D n C est d'indice fini
dans D. Soient C' le sous-espace vectoriel de C engendré par D n C, et V un sousespace supplémentaire. Alors le groupe T = C1/(Dn C) est un tore, et G est isomorphe au quotient du groupe produit V x T x S par un groupe fini.
Si G est compact, il en est de même de V x T x S (TG, III, p. 29, cor. 2), donc de V,
ce qui entraîne V = { e ) .
1. - Soit G un groupe de Lie compact connexe. Alors C(G), est un tore,
D(G) un groupe de Lie connexe semi-simple compact et le morphisme ( x , y ) H x y
de C(G), x D(G) dans G est un revêtement fini.
Avec les notations de la prop. 4, on a V = { e ) et les sous-groupes f (T) et f (S)
de G sont compacts, donc fermés. Il suffit donc de montrer que f (T) = C(G),,
f (S) = D(G). Or, on a L(G) = L(f (T)) x L(f (S)); comme S est semi-simple et T
commutatif, cela implique L(f(T)) = W(L(G)) = L(C(G),) (III, 5 9, no 3, prop. 8)
et L(f (S)) = BL(G) = L(D(G)) (III, 8 9, no 2, cor. de la prop. 4), d'où l'assertion
2. - Le centre et le groupe fondamental d'un groupe de Lie compact
connexe semikmple sont finis. Son revêtement universel est compact.
Avec les notations de la prop. 4, les groupes V et T sont réduits à l'élément neutre ;
S est donc un revêtement universel de G, et le groupe fondamental de G est isomorphe
à Kerf; donc fini. Le centre D de G est discret car G est semi-simple, donc D est fini.
3. - Le groupe fondamental d'un groupe de Lie compact connexe G
est un Z-module de type fini, de rang égal à la dimension de C(G).
LIE IX .6
En effet, avec les notations du cor. 1, le groupe fondamental de C(G), est isomorphe
à Zn,avec n = dim C(G),, et le groupe fondamental de D(G) est fini (cor. 2).
4. - Soit G un groupe de Lie compact connexe. Les conditions suivantes
(i) G est semi-simple;
(ii) C(G) est fini;
(iii) nl(G) est fini.
Si G est simplement connexe, il est semi-simple.
Cela résulte des cor. 1 à 3.
5. - Soit G un groupe de Lie compact connexe. Alors Int(G) est la
composante neutre du groupe de Lie Aut(G) (III, 4 10, no 2).
Soit f E Aut(G),. Alors f induit un automorphisme f, de C(G), et un automorphisme f, de D(G), et on a f, E Aut(C(G),),, f2 E Aut(D(G)),. Puisque Aut(C(G),)
est discret (TG, VII, p. 15, prop. 5), on a f , = Id ; puisque D(G) est semi-simple,
il existe, d'après III, 0 10, no 2, cor. 2 au th. 1, un élément g de D(G) tel que
f,(x) = gxg-l pour tout x E D(G). Pour tout x E C(G),, on a gxg-' = x = f , ( x ) ;
comme G = C(G),.D(G), il en résulte que gxg-l = f ( x ) pour tout x E G, donc
f = Int g.
5. - Soit G un groupe de Lie d'algèbre de Lie compacte.
a ) Supposons G connexe. Alors G possède un plus grand sous-groupe compact K ;
celui-ci est connexe. Il existe un sous-groupe vectoriel (no 2) central fermé N de G
tel que G soit le produit direct N x K.
b ) Supposons le groupe des composantes connexes de Gfini. Alors :
(i) Tout sous-groupe compact de G est contenu dans un sous-groupe compact
(ii) Si K , et K2 sont deux sous-groupes compacts maximaux de G, il existe g E G
tel que K2 = gK,g-l.
(iii) Soit K un sous-groupe compact maximal de G. Alors K n G o est égal à Ko ;
c'est le plus grand sous-groupe compact de Go.
(iv) Il existe un sous-groupe vectoriel central fermé N de Go, distingué dans G,
tel que, pour tout sous-groupe compact maximal K de G, G o soit le produit direct de
Ko par N et G le produit semi-direct de K par N .
a ) Reprenons les notations de la prop. 4. La projection de Ker f sur V est un
sous-groupe fini du groupe vectoriel V, donc est réduite à l'élément neutre. Il s'ensuit
que Ker f est contenu dans T x S, donc que G est le produit direct du groupe
vectoriel N = f (V) et du groupe compact K = f (T x S). Tout sous-groupe compact
de G a une projection dans N réduite à l'élément neutre, donc est contenu dans K.
Cela démontre a).
b ) Supposons maintenant G/Go fini. D'après a), Go est le produit direct de son
plus grand sous-groupe compact M par un sous-groupe vectoriel P ; le sous-groupe
TORES MAXIMAUX DES GROUPES DE LIE COMPACTS
LIE IX . 7
M de G est évidemment distingué. Soit n un sous-espace vectoriel de L(G), supplémentaire de L(M) et stable pour la représentation adjointe de G (no 1 et no 3, prop. 3) ;
c'est un idéal de L(G) et on a L(G) = L(M) x n. Soit N le sous-groupe intégral de G
d'algèbre de Lie n ; d'après III, 5 6, no 6, prop. 14, il est distingué dans G . La projection de L(G) sur L(P), de noyau L(M), induit un isomorphisme de n sur L(P) ; il en
résulte que la projection de G o sur P induit un morphisme étale de N sur P ; comme P
est simplement connexe, c'est un isomorphisme, et N est un groupe vectoriel. Le morphisme (x, y) H xy de M x N dans Go est un morphisme étale injectif (puisque
M n N est réduit à l'élément neutre), donc un isomorphisme. Il s'ensuit que N est un
sous-groupe fermé de G et que le quotient GIN est compact, puisque Go/N est
compact et que G/Go est fini (TG, III, p. 29, cor. 2).
D'après INT, VII, 5 3, no 2, prop. 3, tout sous-groupe compact de G est contenu
dans un sous-groupe compact maximal, ceux-ci sont conjugués, et pour tout sousgroupe compact maximal K de G, G est produit semi-direct de K par N. Comme G o
contient N, il est alors produit semi-direct de N par Go n K ; il s'ensuit que Go n K
est connexe, donc égal à K,, puisque K/(Go n K) est isomorphe à G/Go, donc fini ;
enfin, Ko est évidemment le plus grand sous-groupe compact de Go d'après a).
- Si N satisfait aux conditions de b) (iv), et si K I et K, sont deux
sous-groupes compacts maximaux de G, il existe n E N tel que nK,n-' = K,.
Il existe en effet d'après (ii) un élément g E G tel que gK,g-' = K, ; d'après (iv),
il existe n E N et k E K I tels que g = nk. L'élément n possède alors la propriété
5 2. TORES MAXIMAUX DES GROUPES DE LIE COMPACTS
1. Sous-algebres de Cartan des algèbres compactes
Lemme 1. - Soient G un groupe de Lie, K un sous-groupe c\ompact de G, et F une
forme bilinéaire invariante sur L(G). Soient x, y E L(G). I l existe un élément k de K
tel que pour tout u E L(K), on ait F(u, [(Ad k) (x), y]) = 0.
La fonction v H F((Ad v) (x), y) de K dans R est continue, donc possède un
minimum en un point k E K. Soit u E L(K) et posons
F((Ad exp(tu).k) (x), y) , t E R
On a h(t) 2 h(0) pour tout t ; par ailleurs, d'après III,
4 3, no 12, prop. 44, on a
(0) = F([u, (Ad k) (XII,Y) = F(u, [(Ad k) (x), Y]),
d'où le lemme (FVR, 1, p. 20, prop. 7).
LIE IX .8
THÉORÈME1. - Soit g une algèbre de Lie compacte. Les sous-algèbres de Cartan de g
(VII, 5 2, no 1, déf. 1) sont ses sous-algèbres commutatives maximales ; en particulier,
g est la réunion de ses sous-algèbres de Cartan. Le groupe Int(g) opère transitivement
sur l'ensemble des sous-algèbres de Cartan de g.
Comme g est réductive, ses sous-algèbres de Cartan sont commutatives (VII, 2,
no 4, cor. 3 au th. 2). Inversement, soit t une sous-algèbre commutative de g. D'après
§ 1, no 3, prop. 1, ad x est semi-simple pour tout x E t ; d'après VII, 5 2, no 3, prop. 10,
il existe une sous-algèbre de Cartan de g contenant t. Cela démontre la première
assertion du théorème.
Soient maintenant t et t' deux sous-algèbres de Cartan de g. Prouvons qu'il existe
u E Int(g) tel que u(t) = t'. D'après la prop. 1 du 1, no 3, on peut supposer que g
est de la forme L(G), où G est un groupe de Lie compact connexe, et choisir une
forme bilinéaire symétrique invariante séparante F sur g. Soit x (resp. x') un élément
régulier de g tel que t = gO(x)(resp. t' = gO(x'))(VII, 3, no 3, th. 2). Appliquant
le lemme 1 avec K = G, on voit qu'il existe k E G tel que [(Ad k) (x), x'] soit orthogonal à g pour F, donc nul ; on a alors (Ad k) (x) E gO(x')= t', donc gO((Adk) (x)) = t'
puisque (Ad k) (x) est régulier. On en conclut que (Ad k) (t) = t', d'où le théorème.
- Soient t et t' deux sous-algèbres de Cartan de g, a une partie de t,
et u un automorphisme de g qui applique a dans t'. Il existe un élément v de Int(g)
tel que u 0 v applique t sur t', et coïncide avec u sur a.
Posons G = Int(g), et considérons le fixateur ZG(a) de a dans G ; c'est un sousgroupe de Lie de G, dont l'algèbre de Lie 3&a) est formée des éléments de g qui
commutent a tous les éléments de a (III, § 9, no 3, prop. 7). Alors t et u-'(t') sont
deux sous-algèbres de Cartan de l'algèbre de Lie compacte 3,(a). D'après le th. 1,
il existe un élément v de ZG(a) tel que v(t) = u-'(t'); un tel élément répond à la
2. Tores maximaux
Soit G un groupe de Lie. On appelle tore de G tout sous-groupe fermé qui est
un tore (5 1, no 2), c'est-à-dire tout sous-groupe compact connexe commutatif. Les
éléments maximaux de l'ensemble ordonné par inclusion des tores de G sont appelés
les tores maximaux de G.
THÉORÈME2. - Soit G un groupe ae Lie compact connexe.
a) Les algèbres de Lie des tores maximaux de G sont les sous-algèbres de Cartan
de L(G).
b) Soient T, et T2 deux tores maximaux de G. Il existe g E G tel que T, = gT,g-'.
c) G est la réunion de ses tores maximaux.
Soit t une sous-algèbre de Cartan de L(G) ; le sous-groupe intégral de G d'algèbre
de Lie t est fermé (VII, 2, no 1, cor. 4 à la prop. 4) et commutatif (th. l), donc est
un tore de G. Si T est un tore maximal de G, son algèbre de Lie est commutative,
LIE IX . 9
donc contenue dans une sous-algèbre de Cartan de L(G) (th. 1). Il en résulte que
les tores maximaux de G sont exactement les sous-groupes intégraux de G associés
aux sous-algèbres de Cartan de G, d'où a). L'assertion b) résulte alors du'th. 1,
puisque l'homomorphisme canonique G -+ Int(L(G)) est surjectif (III, § 6, no 4,
cor. 4 à la prop. 10).
Notons X la réunion des tores maximaux de G, et soit T un tore maximal de G.
L'application continue (g, t ) H gtg-' de G x T dans G a pour image X, qui est
donc fermé dans G ; pour démontrer c), il suffit donc de prouver que X est ouvert
dans G ; comme X est invariant par automorphismes intérieurs, il suffit de montrer
que pour tout a E T, X est un voisinage de a. Raisonnons par récurrence sur la dimension de G et distinguons deux cas :
1) a n'est pas central dans G. Soit alors H la composante neutre du centralisateur
de a dans G ; c'est un sous-groupe compact connexe de G distinct de G, qui contient
T, donc a. Comme Ad a est semi-simple (8 1, no l), l'algèbre de Lie de H est le nilesPace de Ad a - 1 ; il résulte alors de VII, 8 4, no 2, prop. 4, que la réunion Y des
conjugués de H est un voisinage de a. D'après l'hypothèse de récurrence, on a H c X,
donc Y c X ; ainsi X est un voisinage de a.
2) a est central dans G. Il suffit de prouver que a exp x appartient à X pour tout
x dans L(G). Or tout élément x de L(G) appartient à une sous-algèbre de Cartan
de G (th. 1) ; le sous-groupe intégral T' correspondant contient exp x ; comme il
est conjugué à T, il contient a et donc a exp x, d'où l'assertion cherchée.
1. - a) L'application exponentielle de G est surjective.
b) Pour tout n 2 1, l'application g H gn de G dans lui-même est surjective.
En effet, exp(L(G)) contient tous les tores maximaux de G, d'où a). L'assertion
b) résulte alors de la formule (exp x)" = exp nx pour x dans L(G).
Remarque 1. - Il existe une partie compacte K de L(G) telle que exp,(K) = G. En
effet, si T est un tore maximal de G, il existe un compact C c L(T) tel que exp,(C) = T ;
il suffit de prendre K = U (Ad g) (C).
2. - L'intersection des tores maximaux de G est le centre de G.
Soit x un élément du centre de G ; d'après le th. 2, c), il existe un tore maximal T de G
contenant x ; alors x appartient à tous les conjugués de T, donc à tous les tores
maximaux de G. Inversement, si x appartient à tous les tores maximaux de G, il
commute à tout élément de G d'après le th. 2, c).
3. - Soit g E G, et soit C son centralisateur. Alors g appartient à Co ;
le groupe Co est la réunion des tores maximaux de G contenant g.
Il existe un tore maximal T de G contenant g (th. 2, c)), et donc contenu dans
Co. Par ailleurs, le groupe Co est un groupe de Lie compact connexe, donc réunion
de ses tores maximaux (th. 2, c ) ) ; ceux-ci contiennent tous g (cor. 2), donc sont
exactement les tores maximaux de G contenant'g.
LIE IX. 10
4. - Soit g E G. Si g est régulier (VII, § 4, no 2, déf. 2), il appartient à
un seul tore maximal, qui est la composante neutre de son centralisateur. Sinon, il
appartient à une infinité de tores maximaux.
Comme Ad g est semi-simple, la dimension du nilespace de Ad g - 1 est aussi
celle du centralisateur C de g. D'après loc. cit., prop. 8, et le th. 1, g est régulier si
et seulement si Co est un tore maximal de G. On conclut alors par le cor. 3.
5. - a) Soit S un tore de G. Le centralisateur de S est connexe; c'est
la réunion des tores maximaux de G contenant S.
b) Soit 5 une sous-algèbre commutative de L(G). Lefixateur de 5 dans G est connexe ;
c'est la réunion des tores maximaux de G dont l'algèbre de Lie contient 5.
Pour démontrer a), il suffit de prouver que si un élément g de G centralise S,
il existe un tore maximal de G contenant S et g. Or, si C est le centralisateur de g,
on a g E Co (cor. 3) et S c Co ; si T est un tore maximal du groupe de Lie compact
connexe Co contenant S, on a g E T (cor. 2), d'où a). L'assertion b) résulte de a)
appliqué a l'adhérence du sous-groupe intégral d'algèbre de Lie 5, compte tenu de III,
§ 9, no 3, prop. 9.
Remarque 2. - 11 résulte du cor. 5 qu'un tore maximal de G en est un sous-groupe
commutatif maximal. La réciproque n'est pas vraie : par exemple, dans le groupe
SO(3, R), les tores maximaux sont de dimension 1, et ne peuvent donc contenir
le sous-groupe des matrices diagonales, qui est isomorphe à (Z/2Z)'. Par ailleurs,
si g E SO(3, R) est une matrice diagonale non scalaire, g est un élément régulier
de SO(3, R) dont le centralisateur n'est pas connexe (cf: cor. 4).
6. - Les tores maximaux de G sont leurs propres centralisateurs, et
sont les fixateurs de leurs algèbres de Lie.
Soient T un tore maximal de G et C son centralisateur; comme L(T) est une
sous-algèbre de Cartan de L(G), on a L(T) = L(C), donc C = T puisque C est
connexe (cor. 5).
7. - Soient T et T ' deux tores maximaux de G, A une partie de T et
s un automorphisme de G qui applique A dans Tt. Il existe g E G tel que s o (Int g)
applique T sur T t et coïncide avec s sur A.
Soit C le centralisateur de A. Alors T et s-'(Tt) sont deux tores maximaux de
Co ; tout élément g de Co tel que (Int g) (T) = s-'(Tt) répond à la question.
8. - Soient H un groupe de Lie compact, T un tore maximal de H. On
alors H = NH(T).Ho, et l'injection de NH(T) dans H induit un isomorphisme de
NH(T)/NH,(Tl sur H/Ho
Soit h E H. Alors h-'Th est un tore maximal de Ho, donc (th. 2) il existe g E Ho
tel que hg E NH(T);ainsi h appartient à NH(T).Ho,d'où la première assertion. La
seconde en résulte immédiatement.
LIE IX. 11
Remarques. - 3 ) Soit G un groupe de Lie connexe d'algèbre de Lie compacte. Appelons sous-groupes de Cartan de G les sous-groupes intégraux dont les algèbres de Lie
sont les sous-algèbres de Cartan de L(G) (les sous-groupes de Cartan d'un groupe
compact connexe sont donc ses tores maximaux). Le théorème 2 et ses corollaires
sont encore valides pour G, en y remplaçant partout i'expression « tore maximal n
par c sous-groupe de Cartan ». Cela résulte aussitôt du fait qu'en vertu de la prop. 5
du 5 1, no 4, G est le produit direct d'un groupe vectoriel V par un groupe compact
connexe K et que les sous-groupes de Cartan de G sont les produits de V par les tores
maximaux de K. Notons d'ailleurs qu'il résulte alors du cor. 6 ci-dessus qu'on peut
aussi définir les sous-groupes de Cartan de G comme les fixateurs des sous-algèbres
de Cartan de L(G).
* 4) On peut aussi démontrer la partie c) du théorème 2 de la façon suivante. Munissons G d'une métrique riemannienne invariante ($ 1, no 3, prop. 3). Alors, pour tout
élément g de G, il existe une géodésique maximale passant par g et l'élément neutre
de G (théorème de Hopf-Rinow), et on vérifie que l'adhérence d'une telle géodésique
est un sous-tore de G.,
3. Tores maximaux des sous-groupes et des groupes quotients
1. - Soient G et G' deux groupes de Lie compacts connexes.
a ) Soit f :G + G' un morphisme surjectif de groupes de Lie. Les tores maximaux
de G ' sont les images par f des tores maximaux de G. Si le noyau de f est central dans G
(par exemple discret), les tores maximaux de G sont les images réciproques par f
des tores maximaux de G'.
b) Soit H un sous-groupe fermé connexe de G. Tout tore maximal de H est l'intersection avec H d'un tore maximal de G.
c ) Soit H un sous-groupe fermé connexe distingué de G. Les tores maximaux de
H sont les intersections avec H des tores maximaux de G.
a ) Soit T un tore maximal de G ; alors L(T) est une sous-algèbre de Cartan de
L(G) (no 2, th. 2, a)), donc L(f(T)) une sous-algèbre de Cartan de L(G1)(VII, 5 2,
no 1, cor. 2 à la prop. 4) ; il en résulte que f(T) est un tore maximal de G'(nO2, th. 2, a)).
Si Ker f est central dans G, il est contenu dans T (cor. 2 au th. 2), donc
T = f - '(f(Tl).
Inversement, soit T t un tore maximal de G' ;montrons qu'il existe un tore maximal
T de G tel que f (T) = T'. Soit Tl un tore maximal de G ; alors f (Tl) est un tore
maximal de G' et il existe g' E G ' tel que T' = g'f(Tl) g'-' (th. 2, b)); si g E G est
tel que f(g) = g', on a T' = f(T), avec T = gT,g-l.
b) Soit S un tore maximal de H ; c'est un tore de G et il existe donc un tore maximal
T de G contenant S. Alors T n H est un sous-groupe commutatif de H contenant S,
donc égal à S (no 2, remarque 2).
c) D'après 4 1, no 3, prop. 2, c), L(G) est produit direct de L(H) par un idéal ; les
sous-algèbres de Cartan de L(H) sont donc les intersections avec L(H) des sousalgèbres de Cartan de L(G). Pour tout tore maximal T de G, T n H contient donc
un tore maximal S de H et on a S = T n H (no 2, remarque 2).
LIE IX. 12
Remarques. - 1) La proposition 1 se généralise aussitbt aux groupes connexes a
algèbre de Lie compacte. En particulier, si G est un groupe de Lie connexe dont l'algèbre
de Lie est compacte, les sous-groupes de Cartan de G (cf. remarque 3. no 2) ne sont
autres que les images réciproques des tores maximaux du groupe de Lie compact
connexe Ad(G) (par l'homomorphisme canonique de G sur Ad(G)).
2) Soient G un groupe de Lie compact connexe, D(G) le revêtement universel du
groupe D(G) et ~ : D ( G +
) G le morphisme composé des morphismes canoniques
de B(G) sur D(G) et de D(G) dans G. Alors l'application T ~f -'(T) est une bijection
de l'ensemble des tores maximaux de G sur l'ensemble des tores maximaux de D(G);
la bijection réciproque associe au tore maximal T de D(G) le tore maximal c(G)~.f (T)
4. Sous-groupes de rang maximum
Nous appellerons rang d'un groupe de Lie connexe G et noterons rg G, le rang
de son algèbre de Lie. D'après le th. 2, a), le rang d'un groupe de Lie compact connexe
est la dimension commune de ses tores maximaux.
Soient G un groupe de Lie compact connexe et H un sous-groupe fermé de G.
Si H est connexe, on a rg H < rg G (puisque les tores maximaux de H sont des
tores de G). D'après le th. 2, c), dire que H est connexe et de rang maximum (c'est-àdire de rang rg G ) signifie que H est réunion de tores maximaux de G. On déduit
alors aussitôt de la proposition 1 :
2. - Soit f : G + G' un morphisme surjectif de groupes de Lie
compacts connexes dont le noyau est central. Les applications H H f(H) et
H' ~f -'(Hl) sont des bijections réciproques l'une de l'autre entre l'ensemble des
sous-groupes fermés connexes de rang maximum de G et l'ensemble analogue pour G'.
3. - Soient G un groupe de Lie compact connexe, et H un sous-groupe
fermé connexe de rang maximum.
a ) La variété compacte G/H est simplement connexe.
b) L'homomorphisme .n,(H) -+ nl(G), déduit de l'injection canonique de H dans
G, est surjectllf:
Comme H est connexe, on a une suite exacte (TG, XI, à paraître)
où ë est l'image dan3 G/H de l'élément neutre de G. Comme G/H est connexe,
cela entraîne aussitôt l'équivalence des assertions a) et b). Par ailleurs, si f :G' -t G
est un morphisme surjectif de groupes de Lie compacts connexes dont le noyau
est central, il revient au même de démontrer la proposition (sous la forme a))pour G
ou pour G' (prop. 2). On peut donc d'abord remplacer G par Ad(G), donc supposer
G semi-simple, puis remplacer G par un revêtement universel (5 1, no 4, cor. 2),
donc supposer G simplement connexe. Mais alors l'assertion b) est triviale.
LIE IX. 13
4. -Soient G un groupe de Lie compact, H un sous-groupefermé connexe
de G de rang maximum et N le normalisateur de H dans G. Alors H est d'indicefini
dans N et est la composante neutre de N.
En effet, l'algèbre de Lie de H contient une sous-algèbre de Cartan de L(G).
D'après VII, $ 2, no 1, cor. 4 a la prop. 4, H est donc la composante neutre de N.
Puisque N est compact, H est d'indice fini dans N.
Remarques. - 1) Tout sous-groupe intégral H de G tel que rg H = rg G est fermé :
en effet, la démonstration précédente montre que H est la composante neutre de son
normalisateur, qui est un sous-groupe fermé de G.
2) Avec les notations de la prop. 4, tout sous-groupe fermé H' de G contenant H
et tel que (H' : H ) soit fini normalise H, donc est contenu dans N ; de même le normalisateur de H' est contenu dans N. En particulier, N est son propre normalisateur.
Le groupe de Weyl
Soient G un groupe de Lie compact connexe et T un tore maximal de G. Notons
NG(T) le normalisateur de T dans G ; d'après la prop. 4 (no 4), le groupe quotient
NG(T)/T est fini. On le note WG(T)ou W(T) et on l'appelle le groupe de Weyl du
tore maximal T de G, ou le groupe de Weyl de G relativement à T. Puisque T est
commutatif, l'opération de NG(T)sur T déduite des automorphismes intérieurs de G
induit par passage au quotient une opération, dite canonique, du groupe WG(T)
sur le groupe de Lie T. D'après le cor. 6 au th. 2 du no 2, cette opération est fidèle :
l'homomorphisme WG(T)+ Aut T qui lui est associé est injectif.
Si T' est un autre tore maximal de G et si g E G est tel que Int g applique T sur T t
(no 2, th. 2, b)), on déduit de Int g un isomorphisme a, de WG(T)sur WG(T1)et on a
a,(s) (gtg-') = gs(t) g - l pour tout s E WG(T) et tout t E T.
5. - a) Toute classe de conjugaison dans G rencontre T.
b) Les traces sur T des classes de conjugaison de G sont les orbites du groupe de
Soit g E G ; d'après le th. 2 du no 2, il existe h E G tel que g E hTh- ', d'où a). Par
définition du groupe de Weyl, deux éléments d'une même orbite de WG(T) dans T
sont conjugués dans G ; inversement, soient a, b deux éléments de T conjugués
dans G. Il existe h E G tel que b = hah-' ; appliquant le cor. 7 au th. 2 (no 2) avec
A = {a}, s = Int h, T' = T, on voit qu'il existe g E G tel que Int hg applique T
dans T et a sur b. La classe de hg dans WG(T) applique alors a sur b, d'où la proposition.
1. - L'injection canonique de T dans G définit par passage au quotient
un homéomorphisme de T1WG(T)sur l'espace G/Int(G) des classes de conjugaison
de G .
En effet, c'est une application continue et bijective entre deux espaces compacts
(cJ: TG, III, p. 29, cor. 1).
LIE IX .14
2. - Soit E une partie de G stable par les automorphismes intérieurs.
Pour que E soit ouverte (resp. fermée, resp. dense) dans G, ilfaut et il suffit que E n T
soit ouverte (resp. fermée, resp. dense) dans T .
Cela résulte du cor. 1 et de ce que les applications canoniques T + T/WG(T)
et G + G / I n t ( G ) sont ouvertes ( T G , I I I , p. 10, lemme 2).
Notons g l'algèbre de Lie de G, et t celle de T . On déduit de l'opération de W G ( T )
dans T une représentation, dite canonique, du groupe W G ( T )dans le R-espace
vectoriel t.
6. - a ) Toute orbite de G dans g (pour la représentation adjointe)
b ) Les traces sur t des orbites de G sont les orbites de W G ( T )dans t.
L'assertion a ) résulte du th. 1 (no 1). Soient x , y deux éléments de t conjugués
sous Ad(G), et soit h E G tel que (Ad h ) ( x ) = y.'~ppliquantle corollaire au th. 1
(no 1) avec a = { x } ,u = Ad h, t' = t, on voit qu'il existe g E G tel que Ad hg applique t sur t et x sur y. On a alors hg E N G ( T )( I I I , 5 9, no 4, prop. 1l ) , et la classe de
hg dans W G ( T )applique x sur y, d'où la proposition.
- L'injection canonique de t dans g déjnit par passage au quotient
un homéomorphisme de t / W G ( T )sur g/Ad(G).
Notons j cette application; elle est bijective et continue (prop. 6). On a un diagramme commutatif
où p et q sont les applications de passage au quotient, et i l'injection canonique.
Comme i et q sont propres ( T G , 1, p. 72, prop. 2 et T G , III, p. 28, prop. 2, c)) et
que p est surjective, on en déduit que j est propre ( T G , 1, p. 73, prop. 5), donc est
un homéomorphisme.
7. - Soit H un sous-groupe fermé de G contenant T .
a ) Notons W H ( T )le sous-groupe N H ( T ) / T de W G ( T ) ;le groupe H / H , est isomorphe au groupe quotient W H ( T ) / W H o ( T ) .
b ) Pour que H soit connexe, il faut et il suffit que tout élément de W G ( T )qui a un
représentant dans H appartienne à W H o ( T ) .
L'assertion a ) résulte du cor. 8 au th. 2 (no 2), et l'assertion b ) est un cas particulier
de a).
LIE I X . 15
6. Tores maximaux et relèvement d'homomorphismes
Soient G un groupe de Lie compact connexe, T un tore maximal de G . Considérons le groupe dérivé D ( G ) de G et son revêtement universel D ( G ) ;soit
p : D ( G )+ G le morphisme composé des morphismes canoniques D(G)+ D ( G )
et D ( G ) + G . Alors D(G) est un groupe de Lie compact connexe (8 1, no 4, cor. 2
à la prop. 4) ; de plus, l'image réciproque T de T par p est un tore maximal de D(G)
(no 3, prop. 1).
Lemme 2. - Soient H un groupe de Lie, fT : T + H et f :D(G)+ H des morphismes
de groupes de Lie tels que, pour tout t E T, on ait fT(p(t)) = f(t). II existe un unique
morphisme de groupes de Lie f :G + H tel que f o p = f et que la restriction de f
à T soit fT.
Posons Z = C(G),, ; d'après § 1, no 4, cor. 1 à la prop. 4, le morphisme de groupes
de Lie g : Z x D(G)+ G tel que g(z, x ) = z - l p ( x ) est un revêtement; son noyau
est formé des couples (z,x ) tels que p(x) = z, pour lesquels on a donc x E p-'(Z) c if'.
Puisque le morphisme (z, x ) Hf,(z-')f(x) de Z x D(G)dans H applique Ker g
dans ( e ) , il existe un morphisme f de G dans H tel que f o p = f et f ( z ) = fT(z)
pour z E Z . Mais on a aussi f ( t ) = fT(t) pour t E p(T) ; comme T = Z.p(if'), la
restriction de f à T est bien fT.
PROPOSITION 8. - Soient G un groupe de Lie compact connexe, T un tore maximal
de G , H un groupe de Lie et cp : L ( G )+ L ( H ) un homomorphisme d'algèbres de Lie.
Pour qu'il existe un morphisme de groupes de Lie f :G + H tel que L( f ) = cp, il faut
et il suffit qu'il existe un morphisme degroupes de Lie fT : T + H tel que L( fT) = cp IL(T) ;
on a alors fT = flT.
Si f :G + H est un morphisme de groupes de Lie tel que L ( f ) = cp, alors la
restriction fT de f à T est l'unique morphisme de T dans H tel que L( f,) = cplL(T).
Inversement, soit fT :T -+ H un morphisme de groupes de Lie tel que L( f,) = cp 1 L(T).
Soient D(G)et p comme ci-dessus; l'application L ( p ) induit un isomorphisme de
L(D(G))sur l'algèbre dérivée b de L ( G ) . Il existe un morphisme de groupes de
Lie ~ : D ( G+) H tel que L( f) = (cplb)o L ( p ) (III, 8 6, no 1, th. 1). Les morphismes
t ~ ? ( t et) t w f T ( p ( t ) )de T dans H induisent le même homomorphisme des algèbres de Lie, donc coïncident. Appliquant le lemme 2, on en déduit l'existence d'un
morphisme f : G + H tel que L ( f ) et cp coïncident sur L ( T ) et b. Comme
L ( G ) = b + L(T), on a bien L( f ) = cp.
9. - Soient G un groupe de Lie compact connexe, T un tore maximal
de G , H un groupe de Lie, f:G + H un morphisme. Alors f est injectij si et seulement
si sa restriction à T est injective.
En effet d'après le th. 2 (no 2), le sous-groupe distingué Ker f de G est réduit à
l'élément neutre si et seulement si san intersection avec T est réduite à l'élément
LIE IX. 16
3. FORMES COMPACTES DES ALGÈBRES DE LIE
SEMI-SIMPLES COMPLEXES
1. Formes réelles
Si a est une algèbre de Lie complexe, on note aIRl(ou parfois a) l'algèbre de Lie
réelle obtenue par restriction des scalaires. Si g est une algèbre de Lie réelle, on note
, ,g (ou parfois g), l'algèbre de Lie complexe C O, g obtenue par extension des
scalaires. Les homomorphismes d'algèbres de Lie réelles g -+ aIRlcorrespondent
bijectivement aux homomorphismes d'algèbres de Lie complexes g(, -+ a : si
f :g a,,] et g ,:,g
a se correspondent, on a f (x) = g ( l O x ) et g(Â @ x ) = Âf (x)
pour x E g, Â E C.
1. - Soit a une algèbre de Lie complexe. On appelle forme réelle de a
toute sous-algèbre réelle g de a qui est une R-structure sur le C-espace vectoriel a
(A, II, p. 119, déf. 1).
Cela signifie donc que l'homomorphisme d'algèbres de Lie complexes g(, + a
associé à l'injection canonique g -+ al,] est bijectif. Une sous-algèbre réelle g de a
est donc une forme réelle de a si et seulement si les sous-espaces g et ig de l'espace
vectoriel réel a sont supplémentaires. On appelle alors conjugaison de a relativement à la forme réelle g l'application o :a -+ a telle que
+ iy) = x - iy ,
1. - a ) Soient g une forme réelle de a et o la conjugaison de a relativement a g. On a alors :
pour h, y E C, x, y E a. Pour qu'un élément x de a appartienne à g, il faut et il suffit
que o(x) = x.
b ) Soit o :a -+ a une application satisfaisant à (2). Alors l'ensemble g des points
fixes de o est une forme réelle de a, et o est la conjugaison de a relativement a g.
Notons que si l'on désigne par B la forme de Killing de a, et si g est une forme
réelle de a, la restriction de B à g est la forme de Killing de g ; en particulier B est
à valeurs réelles sur g x g. Supposons a réductive ; pour que l'algèbre de Lie réelle g
soit compacte, il faut et il suffit que la restriction de B à g soit négative (6 1, no 3).
On dit alors que g est une forme réelle compacte de a.
LIE IX. 17
2. Formes réelles associées à un système de Chevalley
Dans ce numéro, on considère une algèbre de Lie semi-simple déployée (a, ij)
sur le corps C (VIII, 5 2, no l), de système de racines R(a, ij) = R, et un système
de Chevalley (X,),,, de (a, 6) (VIII, 8 2, no 4, déf. 3).
Rappelons (loc. cit.) que l'application linéaire 0 :a -t a qui coïncide avec - Idb
sur ij et applique X, sur X-, pour tout a E R est un automorphisme de a. Par ailleurs
(loc. cit., prop. 7), si a, P, a + P sont des racines, on a
avec NnSpE R* et
Notons 6, le sous-espace vectoriel réel de ij formé des H E ij tels que a(H) E R
pour tout a E R. Alors ij, est une R-structure sur l'espace vectoriel complexe ij,
on a [X,, X-,] E ijo pour tout a E R, et la restriction de la forme de Killing B de a
à 9, est positive séparante (VIII, 5 2, no 2, remarque 2). De plus, on a
B(H, X,) = O, B(X,, X,) = O si a
+ P # O,
B(X,, X-,) < O
(VIII, 5 2, no 2, prop. 1 et no 4, lemme 3).
2. - a) Le sous-espace vectoriel réel a, = 9,
RX, de a est
une forme réelle de a, dont ij, est une sous-algèbre de Cartan. Le couple (a,, b,) est
une algèbre de Lie réelle semi-simple déployée, dont (X,) est un système de Chevalley.
b) Soit o la conjugaison de a relativement à a,. On a o 0 0 = 0 0 o. L'ensemble
des points fixes de o 0 0 est une forme réelle compacte a, de a, dont iij, est une sousalgèbre de Cartan.
La partie a) résulte immédiatement de ce qui précède. Démontrons b). Comme
o O 0 et 0 O o sont deux applications semi-linéaires de a dans a qui coïncident sur
a,, elles coïncident. Alors o o 0 satisfait aux conditions (2) du no 1, donc est la conjugaison de a relativement à la forme réelle a, formée des x E a tels que o o 0(x) = x
(prop. 1). Posons pour tout a E R
Alors le R-espace vectoriel a, est engendré par iij,, les u, et les v,. Plus précisément,
si on choisit une chambre C de R, on a
a, = iijo O @
UER+ (C)
+ Ru,)
LIE I X . 18
Il est clair que iij, est une sous-algèbre de Cartan de a,, et il reste à prouver que la
restriction de B à a, est négative. Or it), et les différents sous-espaces Ru, @ Ru,
sont orthogonaux pour B, vu (5) ; la restriction de B à iij, est négative et l'on a
Remarque. - Avec les notations précédentes, on a les formules suivantes :
[h,u,l
ia(h)v, , [h, val
ia(h)ua, [u,, va] = 2iH, , (h E i j )
(dans les trois dernières formules, on convient, comme d'habitude, que N,,, = O
lorsque y
6 n'est pas une racine).
On notera que C Ru, est une sous-algèbre réelle de a, qui n'est autre que a, n a,.
Soit Q ( R ) le groupe des poids radiciels de R (VI, 8 1, no 9). Rappelons qu'à tout
homomorphisme y : Q ( R )+ C*, on associe un automorphisme élémentaire f ( y )
de a tel que f ( y ) (h) = h pour h E ij et f ( y )X , = y(a) X , (VIII, 4 5, no 2).
3. - Soit g une forme réelle compacte de a telle que g n I
j = iij,. Il
existe un homomorphisme y : Q ( R ) + R$ tel que g = f ( y ) (a,).
Soit z la conjugaison de a relativement à g. On a par hypothèse z ( x ) = x pour
x E il),, donc z ( x ) = - x pour x E i j o . Pour tout a E R, et tout h E Qo, on a donc
il s'ensuit que [h, z(X,)] = - a(h)z(X,) pour tout h E ij,,, donc aussi pour tout
h ~ i j Il. existe donc c, E C* tel que z(X,) = c,X-,. Puisque [X,, X-,] E l), on a
[z(X,), t ( X - , ) ] = - [X,, X-,], donc c,. c-, = 1 ; de même, on tire des formules
(3) et (4) que c , + ~= cacplorsque a, P, a + 13 sont des racines. D'après V I , 9 1, no 6,
cor. 2 à la prop. 19, il existe un homomorphisme 6 : Q ( R )+ C* tel que 6 ( a ) = c,
pour tout a E R.
Montrons maintenant que chaque c, est réel strictement positif. En effet, on a
caB(X,, X-,)= B ( X a ,z(X,)), et puisque B(X,, X-,) est négatif, il suffit de montrer
qu'on a B(z, z(z)) < O pour tout élément non nul z de a ; or tout élément de a s'écrit
x + iy, avec x et y dans g, et on a
+ iy, z(x + iy)) = B ( x + iy, x
iy) = B(x, x )
+ B(y,y ) ,
d'où l'assertion annoncée, la restriction de B à g étant par hypothèse négative et
séparante.
LIE IX.19
FORMES COMPACTES DES ALGÈBRES DE LIE
Il s'ensuit que l'homomorphisme 6 est à valeurs dans RT ; il existe donc un homomorphisme y :Q(R) -, RT tel que 6 = y-,. Alors f(y)-'(g) est une forme réelle
de a ; la conjugaison correspondante est z' = f (y)-' o z of (y). Pour tout a E R,
f (Y)-'(K1'2X,)) = f (Y)-1(c,112X-,)
et z'(h) = z(h) = h pour h E iJjO; il s'ensuit que z' est la conjugaison par rapport
à a,, donc que f(y)-'(g) = a,.
3. Conjugaison des formes compactes
THÉORÈME1. - Soit a une algèbre de Lie semi-simple complexe.
a) a possède des formes réelles compactes (resp. déployables).
b) Le groupe Int(a) opère transitivement dans l'ensemble desformes réelles compactes
(resp. déployables) de a.
Soit Jj une sous-algèbre de Cartan de a. Alors (a, Jj) est déployée (VIII, $ 2, no 1,
remarque 2), et possède un système de Chevalley (X,) (VIII, 5 4, no 4, cor. à la prop. 5).
La partie a) résulte alors de la prop. 2. Soit g une forme réelle compacte de a ; montrons qu'il existe v E Int(a) tel que v(a,) = g. Soit t une sous-algèbre de Cartan
de g ; alors t(,, est une sous-algèbre de Cartan de a ; comme Int(a) opère transitivement sur l'ensemble des sous-algèbres de Cartan de a (VII, $ 3, no 2, th. l), on
peut se ramener au cas où t(,, = Jj. Comme la forme g est compacte, les valeurs
propres des endomorphismes ad h, pour h E t, sont imaginaires pures ($ 1, no 3,
prop. l), donc les racines a E R appliquent t dans iR ; cela implique t = ib0. D'après
la prop. 3 (no 2), il existe alors v E Int(a) tel que v(a,) = g, d'où b) dans le
cas des formes compactes. Enfin, soient ml et m, deux formes réelles déployables
de a. Il existe des épinglages (ml, Jj,, BI, ( X i ) ) et (m,, Jj,, B,, (X:)) (VIII, 5 4,
no 1). Ceux-ci s'étendent de manière évidente en épinglages el et e, de a. Un automorphisme de a qui applique el sur e, applique ml sur m, ; il suffit donc d'appliquer
la prop. 5 de VIII, $5, no 3, pour obtenir l'existence d'un élément u de Auto(a) = Int(a)
tel que u(ml) = m,.
Remarque. - Nous verrons plus tard une classification générale des formes réelles
d'une algèbre de Lie semi-simple complexe.
1. - Soient g et g' deux algèbres de Lie réelles compactes. Pour que
g et g' soient isomorphes, il faut et il suffit que les algèbres de Lie complexes g(,, et
g;,, soient isomorphes.
La condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons g(,, et g;,,
isomorphes. Soient c (resp. c') le centre de g (resp. g') et 5 (resp. 5') Salgèbre dérivée
de g (resp. g'). Alors c(,, et ci,, sont respectivement les centres de g(,) et g;,,, donc
sont isomorphes ; il s'ensuit que les algèbres commutatives c et c' sont isomorphes.
LIE IX. 20
De mêmes(,, et si,, sont isomorphes, donc 5 et s', qui sont des formes réelles compactes
de deux algèbres semi-simples complexes isomorphes, sont isomorphes d'après le
th. 1, b).
2. - Soit a une algèbre de Lie complexe. Les conditions suivantes sont
(i) a est réductive.
(ii) Il existe une algèbre de Lie réelle compacte g telle que a soit isomorphe à g(,,.
(iii) Il existe un groupe de Lie compact G tel que a soit isomorphe à L(G)(,,.
D'après la déf. 1 du 1, no 3, les conditions (ii) et (iii) sont équivalentes et impliquent (i). Si a est réductive, elle est produit direct d'une algèbre commutative, qui
possède évidemment une forme réelle compacte, et d'une algèbre semi-simple qui en
possède une d'après le th. 1, a), donc (i) implique (ii).
3. - Soient a, et a, deux algèbres de Lie semi-simples complexes. Les
formes réelles compactes de a, x a, sont les produits g, x g,, où, pour i = 1, 2,
gi est une forme réelle compacte de ai.
En effet, il existe une forme réelle compacte g, (resp. g,) de a, (resp. a,) ; alorS\
g, x g, est une forme réelle compacte de a, x a,. Le corollaire résulte alors du
th. 1, b), appliqué à a,, a, et a, x a,.
Il résulte notamment du cor. 3 ci-dessus qu'une algèbre de Lie réelle compacte g
est simple si et seulement si l'algèbre de Lie complexe a(,, est simple. On dit alors
que g est de type A,, ou B,, ..., si g(,, est de type A,, ou B,, ... (VIII, 5 2, no 2). D'après
le cor. 1 ci-dessus, deux algèbres de Lie réelles simples compactes sont isomorphes
si et seulement si elles sont de même type.
Soit G un groupe de Lie compact connexe presque simple (III, 5 9, no 8, déf. 3).
On dit que G est de type A,, ou B,, ... si son algèbre de Lie est de type A,, ou B,, ....
Deux groupes de Lie compacts presque simples simplement connexes sont isomorphes
si et seulement s'ils sont de même type.
4. Exemple 1 : algèbres compactes de type A,
Soient V un espace vectoriel complexe de dimension finie et @ une forme hermitienne positive séparante sur V. Le groupe unitaire associé à @ (4A, IX) est le sousgroupe U(@)de GL(V) formé des automorphismes de i'espace hilbertien complexe
(V, @) ; c'est un sous-groupe de Lie (réel) du groupe GL(V), dont l'algèbre de Lie est la
sous-algèbre u(@) de l'algèbre de Lie réelle gI(V) formée des endomorphismes x
de V tels que x" = - x (III, 3, no 10, cor. 2 à la prop. 37), où l'on désigne par x*
l'adjoint de x relativement à @. Comme le groupe U(@)est compact (5 1, no l),
u(@)est donc une algèbre de Lie réelle compacte. De même, le groupe spécial unitaire
SU(@) = U(@)n SL(V) est un sous-groupe de Lie compact de SL(V), dont l'algèbre
de Lie est su(@)= u(@)n sI(V).
LIE IX. 21
Lorsque V = Cn et que @ est la forme hermitienne usuelle (pour laquelle la base
canonique de Cn est orthonormale), on écrit U(n, C), SU(n, C), u(n, C), su(n, C)
au lieu de U@), SU(@),u(@),su(@).Les éléments de U(n, C) (resp. u(n, C)) sont les
matrices A E M,(C) telles que A.'A = In (resp. A = - 'A),
qui sont dites unitaires
(resp. antihermitiennes).
4. - a) Les formes réelles compactes de l'algèbre de Lie complexe
sl(V) sont les algèbres su(@),où @ parcourt l'ensemble des formes hermitiennes positives séparantes sur l'espace vectoriel complexe V.
b) Les algèbres u(@)sont des formes réelles compactes de gl(V).
Soit @ une forme hermitienne positive séparante sur V. Pour tout x E gl(V),
posons o(x) = - x* (où x* est l'adjoint de x relativement à 0).
Alors o satisfait
aux conditions (2) de la prop. 1 du no 1, donc l'ensemble u(@)(resp. su(@))des points
fixes de o dans gl(V) (resp. sI(V)) est une forme réelle compacte de gl(V) (resp. sl(V)).
Comme GL(V) opère transitivement sur l'ensemble des formes hermitiennes positives
séparantes sur V (A, IX) et sur l'ensemble des formes réelles compactes de sl(V)
(no 3, th. 1 et VIII, $i13, no 1 (VII)), la prop. 4 est ainsi démontrée.
- Toute algèbre de Lie réelle compacte simple de type A, (n 2 1) est
isomorphe à eu(n
En effet, toute algèbre de Lie complexe de type A, est isomorphe à sl(n
(VIII, § 13, no 1).
Remarques. - 1) On a gl(V) = sl(V) x C. l,, u(@) = eu(@) x R. il, ; les formes
réelles compactes de gI(V) sont les su(@) x Realv, a E C*.
2) Si l'on munit l'algèbre de Lie complexe a = sI(n, C) du déploiement et du
système de Chevalley introduits en VIII, § 13, no 1 (IX), on a alors, avec les notations
du no 2,
5. Exemple II : algèbres compactes de type B, et Dn
Soient V un espace vectoriel réel de dimension finie et Q une forme quadratique
positive séparante sur V. Le groupe orthogonal associé à Q (A, IX) est le sous-groupe
O(Q) de GL(V) formé des automorphismes de l'espace hilbertien réel (V, Q ) ;
c'est un sous-groupe de Lie de GL(V), dont l'algèbre de Lie est la sous-algèbre o(Q)
de gI(V) formée des endomorphismes x de V tels que x* = - x (III, § 3, no 10,
cor. 2 à la prop. 37), x* désignant l'adjoint de x relativement à Q. Comme le groupe
O(Q) est compact, o(Q) est donc une algèbre de Lie réelle compacte. On pose
SO(Q) =O(Q) n SL(V) ; c'est un sous-groupe fermé d'indice fini de O(Q) (d'indice 2
si dim V # O), donc aussi d'algèbre de Lie o(Q).
Lorsque V = Rn et que Q est la forme quadratique usuelle (pour laquelle la base
LIE IX .22
canonique de Rn est orthonormale), on écrit O(n, R), SO(n, R), o(n, R) au lieu de
O(Q), SO(Q), o(Q). Les éléments de O(n, R) (resp. o(n, R)) sont les matrices A E M,(R)
telles que A.'A = In (resp. A = - 'A), qui sont dites orthogonales (resp. antisymétriques).
Soit V(,, le C-espace vectoriel déduit de V et soit Q(,) la forme quadratique sur
V(,, déduite de Q. Identifions gI(V)(,, à gI(V(,); alors o(Q)(q s'identifie à o(Q(,,) :
cela est clair puisque l'application x I+ x* + x de gI(Vo,) dans lui-même est C-linéaire. Comme o(Q(,)) est de type B, si dim V = 2n + 1, n 2 1, et de type D, si
dim V = 2n, n 2 3 (VIII, 8 13, nos 2 et 4), on en déduit :
5. - Toute algèbre de Lie réelle simple compacte de type B,, n >, 1
(resp. de type D,, n 2 3) est isomorphe à o(2n 1, R) (resp. o(2n, R)).
6. Groupes compacts de rang 1
D'après TG, VIII, p. 5, prop. 3, p. 6, prop. 4 et p. 7, remarque 4, le groupe topologique SU(2, C) est isomorphe au groupe topologique S3des quaternions de norme 1,
et le quotient de SU(2, C) par le sous-groupe Z formé des matrices I , et - I , est
isomorphe au groupe topologique SO(3, R). Notons que Z est le centre de
SU(2, C) : en effet, puisque H = R.S3, tout élément du centre du groupe S, est
dans le centre R de l'algèbre H donc appartient au groupe à deux éléments
S 3 n R = ( - 1, 1).
6. - Toute algèbre de Lie réelle compacte semi-simple de rang 1 est
isomorphe à 542, C) et à o(3, R). Tout groupe de Lie compact semi-simple connexe
de rang 1 est isomorphe à SU(2, C) s'il est simplement connexe, à SO(3, R) sinon.
La première assertion résulte du cor. à la prop. 4 et de la prop. 5. Comme SU(2, C)
est homéomorphe à S3 (TG, VIII, p. 7, remarque 4), donc simplement connexe
(TG, XI, à paraître), tout groupe de Lie compact semi-simple simplement connexe
de rang 1est isomorphe à SU(2, C) ;tout groupe de Lie compact semi-simple connexe
de rang 1 non simplement connexe est isomorphe au quotient de SU(2, C) par un
sous-groupe de Z non réduit à l'élément neutre, donc à SO(3, R).
Remarque. - O n a vu ci-dessus que SU(2, C) est simplement connexe et que
nI(S0(3,R)) est d'ordre 2. Nous verrons plus loin que ces résultats se généralisent
respectivement à SU(n, C ) ( n > 1) et SO(n, R) (n > 3) (cf. aussi § 3, exerc. 4 et 5) .
Rappelons (VIII,
( X + , X - , Hl, où
8 1, no 1) qu'on appelle base canonique de sI(2, C) la base
LIE IX .23
On obtient donc une base (U, V, iH) de 542, C) également dite canonique en posant
iH=(A
[iH, U] = 2V, [iH, T/] = - 2 U , [U, Vl = 2iH.
Si B désigne la forme de Killing de m(2, C), un calcul immédiat donne
B ( a U + b V + c i H , a ' U + b ' V + c f i H ) = -8(aaf+bb'+cc'),
de sorte que, si l'on identifie 542, C) à R3 au moyen de sa base canonique, la représentation adjointe de SU(2, C) définit un homomorphisme SU(2, C) + SO(3, R)
Notons par ailleurs que RiH est une sous-algèbre de Cartan de 542, C), que le
tore maximal T de SU(2, C) qui lui correspond est formé des matrices diagonales
= 1, et que Sapplication exponentielle
exp :RiH
, donc a pour noyau
applique xH, pour x E Ri, sur la matrice
Z.K où K est l'élément de su(2, C) défini par
Par ailleurs, le centre de SU(2, C) est formé de l'identité et de exp(K/2).
D'après VIII, 8 1, no 5, on a
Enfin, pour t =
ET,on a
( A d t ) X + = a 2 X + , (Adt)X- = a-'X-,
(20) (Ad t) U = &?(a2)U
+ Y(a2) V ,
(Adt)H = H ,
(Ad t) V = - Y(a2) U
+ W(a2) V .
LIE IX. 24
4. SYSTÈME DE RACINES ASSOCIÉ À UN GROUPE COMPACT
Dans les paragraphes 4 a 8, on désigne par G un groupe de Lie compact connexe
et par T un tore maximal de G. On note g (resp. t) l'algèbre de Lie de G (resp. T), g,
(resp. t,) l'algèbre de Lie complexifiée de g (resp. t), et W le groupe de Weyl de G
relativement à T (4 2, no 5).
1. Le groupe X(H)
Soit H un groupe de Lie compact. On note X(H) le groupe (commutatif) des
homomorphismes continus de H dans le groupe topologique C*. D'après III, 6 8,
no 1, th. 1, les éléments de X(H) sont des morphismes de groupes de Lie ; pour tout
a E X(H), la différentielle de a est une application R-linéaire L(a) :L(H) -t L(C*).
Nous identifierons désormais l'algèbre de Lie de C* à C de façon que l'application
exponentielle de C* coïncide avec l'application z w ez de C dans C*. A tout élément a
de X(H) est alors associé un élément L(a) E Hom,(L(H), C) ; on note 6(a) l'élément
de Hom,(L(H)(,), C) qui lui correspond (c'est-à-dire dont la restriction à
L(H) c L(H)(,) est égale à L(a)).
Pour tout x E L(H) et tout a E X(H), on a
par fonctorialité de l'application exponentielle (III, 8 6, no 4, prop. 10).
On notera le plus souvent additivement le groupe X(H) ; en ce cas, on notera ga
l'élément a(g) de C*. Avec cette notation, on a les formules
Puisque H est compact, les éléments de X(H) prennent leurs valeurs dans le
sous-groupe U = U(1, C) des nombres complexes de valeur absolue 1, de sorte que
X(H) s'identifie au groupe des homomorphismes continus (ou analytiques) de H
dans U. Il en résulte que, pour tout a E L(H), l'application L(a) prend ses valeurs
dans le sous-espace Ri de C, donc 6(a) applique L(H) dans Ri.
Si H est commutatif, X(H) n'est autre que le groupe (discret) dual de H (TS, II,
6 1, no 1). Si H est commutatif et fini, X(H) s'identifie au groupe fini dual
D(H) = Hom,(H, Q/Z) (où conformément à A, VII, p. 27, exemple 1, on identifie
Q/Z à un sous-groupe de C* par l'homomorphisme r H exp(2nir)).
Pour tout morphisme f : H + H' de groupes de Lie compacts, on note X(f)
SYSTEME DE RACINES ASSOCIÉ À UN GROUPE COMPACT
LIE I X . 25
l'homomorphisme a H U 0 f de X(H1)dans X(H). Si K est un sous-groupe distingué
fermé du groupe de Lie compact H, on a une suite exacte de Z-modules
O + X ( H / K ) + X(H) + X(K).
1. - Pour tout groupe de Lie compact H, le Z-module X ( H ) est de type
fini. Il est libre si H,est connexe.
Supposons d'abord H connexe; tout élément de X ( H ) s'annule sur le groupe
dérivé D ( H ) de H, d'où un isomorphisme X(H/D(H))+ X(H). Mais H / D ( H ) est
connexe et commutatif, donc est un tore, et X(H/D(H)) est un Z-module libre de
type fini (TS, II, 5 2, no 1, cor. 2 à la prop. 1). Dans le cas général, il résulte de l'exactitude de la suite
où X(H,) est libre de type fini et X ( H / H o )fini, que X ( H ) est de type fini.
PROPOSITION2. - Soient H un groupe de Lie compact commutatif, et (ai)islune
famille d'éléments de X ( H ) ; pour que les ai engendrent X(H), il faut et il suffit que
l'intersection des Ker ai soit réduite à l'élément neutre.
D'après TS, I I , 5 1, no 7, th. 4, l'orthogonal du noyau de ai est le sous-groupe Ai
de X(H) engendré par ai ; d'après loc. cit., cor. 2 au th. 4, l'orthogonal de n Ker ai
est le sous-groupe de X ( H ) engendré par les A i , d'où la proposition.
2. Le groupe nodal d'un tore
On appelle groupe nodal du tore S et on note T ( S )le noyau de l'application exponentielle L ( S ) + S. C'est un sous-groupe discret de L(S), dont le rang est égal à
la dimension de S, et l'application R-linéaire R O, T ( S ) + L ( S ) qui prolonge
l'injection canonique de T ( S ) dans L ( S ) est bijective. Elle induit par passage au
quotient un isomorphisme RIZ O, T ( S ) + S.
Par exemple, le groupe nodal T ( U )de U est le sous-groupe 2niZ de L ( U ) = iR.
Pour tout morphisme f :S -, S' de tores, on note T ( f ) l'homomorphisme
T ( S ) + T(S') déduit de L( f ) . On a un diagramme commutatif
Soit a E X(S) ; appliquant ce qui précède au morphisme de S dans U défini par a,
on voit que l'application C-linéaire G(a):L(S)o, + C du no 1 applique T ( S ) dans
2niZ. On définit donc une forme Z-bilinéaire sur X ( S ) x T ( S )en posant
< a , x > = -6(a)
( X ) , aeX(S), X ET(S).
LIE IX .26
3. - La forme bilinéaire (a, X ) H ( a , X ) sur X(S) x T(S) est inversible.
Rappelons (A, IX) que par définition cela signifie que les applications linéaires
X(S) + Homz(T(S), Z) et T(S) -t Hom,(X(S), Z) associées à cette forme bilinéaire
sont bijectives.
On voit aussitôt que si la conclusion de la proposition est vraie pour deux tores,
elle est aussi vraie pour leur produit. Comme tout tore de dimension n est isomorphe
à Un, on est donc ramené au cas où S = U. Dans ce cas particulier, l'assertion est
Soit f :S + S' un morphisme de tores. Alors les applications linéaires
X(f ) :X(S1)+ X(S) et T(f ):T(S) + T(S1)sont transposées l'une de l'autre : pour
tout a' E X(S1)et tout X E T(S), on a
PROPOSITION4. - Soient S et S' deux tores. Notons M(S, S') le groupe des morphismes
de groupes de Lie de S dans S'. Les applications f H X(f ) et f M T(f ) sont des isomorphismes de groupes de M(S, S') sur HomZ(X(S1),X(S)) et Hom,(T(S), T(S1))
Si f est un morphisme de groupes de Lie de S dans S', l'homomorphisme X(f )
n'est autre que l'homomorphisme dual de f au sens de TS, II, 1, no 7. L'application
cp H @ de HomZ(X(S1),X(S)) dans M(S, S') définie dans loc. cit. est réciproque de
l'application f HX(f ) de M(S, S') dans Hom,(X(S1), X(S)) ; cette dernière est donc
bijective. Si l'on identifie T(S) (resp. T(Sf))au Z-module dual de X(S) (resp. X(S1))
(prop. 3), T(f ) coïncide avec l'homomorphisme transposé de X(f), d'où la proposition.
Remarques. - 1 ) Soit f :S + S' un morphisme de tores. Le diagramme du serpent
(A, X, 1, no 2) associé à (1) donne une suite exacte
- - - Ker T(f )
Ker f 4 Coker T(f )
Ker L(f )
Coker L(f )
-- Coker f
En particulier, supposons f surjectif, de noyau fini N, de sorte qu'on a la suite exacte
où i est l'injection canonique. Alors L(f ) est bijectif, et on tire de (4) un isomorphisme N + Coker T(f), d'où une suite exacte
Par ailleurs, d'après TS, II,
1, no 7, th. 4, la suite
O + X(Sf)
aX(N)
SYSTÈME DE RACINES ASSOCIÉ À UN GROUPE COMPACT
LIE IX.27
2) D'après la prop. 4, l'application f H T(f)(2ni) de M(U, S) dans T(S) est
un isomorphisme ; si a E X(S) = M(S, U) et f E M(U, S), alors le composé
a o f E M(U, U) est l'endomorphisme u H ur, où r = ( a, T(f ) (2ni)). On identifiera
dans la suite M(U, U) = X(U) à Z, l'élément r de Z étant associé à l'endomorphisme
u H ur ; avec les notations ci-dessus, on a donc
3) A la suite exacte O -+ T(S) + L(S) e v s S + 0, est associé un isomorphisme
de T(S) sur le groupe fondamental de S, dit dans la suite canonique. Pour tout morphisme f : S + S' de tores, T(f ) s'identifie par les isomorphismes canoniques
T(S) + nl(S) et T(Sf)-t nl(Sf) a l'homomorphisme nl(f ):nl(S) + nl(S1) déduit
de f: Cela donne notamment une autre interprétation de la suite exacte (5) (cf: TG,
XI, à paraître).
4) Les homomorphismes de Z-modules 6:X(S) -t Hom,(L(S)(,,, C) et
i :T(S) + L'(s)(,, (i est déduit de l'injection canonique de T(S) dans L(S)) se prolongent en des isomorphismes de C-espaces vectoriels
que nous appellerons dans la suite canoniques. On notera que, si l'on étend par
C-linéarité l'accouplement entre X(S) et T(S) en une forme bilinéaire < , 9 sur
(C O X(S)) x (C O W ) , on a
3. Poids d'une représentation linéaire
Dans ce numéro, on désigne par k l'un des corps R ou C.
Soient V un espace vectoriel sur k de dimension finie, et p : G + GL(V) une
représentation continue (donc analytique réelle, III, 4 8, no 1, th. 1) du groupe de
Lie compact connexe G dans V. Définissons un espace vectoriel complexe V et
une représentation continue j3 : G -, GL(V) comme suit : si k = C, on pose V = V,
p = p ; si k = R, on pose = Y(,->,et (7 est le composé de p et de l'homomorphisme
canonique GL(V) + GL(V).
Pour tout h E X(G), on note YJG) le sous-espace vectoriel de formé des v E Y
tels que P(g) v = ghv pour tout g E G (cJ: VII, 4 1, no 1). D'après loc. cit., prop. 3,
la somme des Q G ) (pour h parcourant X(G)) est directe. De plus :
Lemme 1. - Si G est commutatif, est la somme directe des V,(G) pour h E X(G).
Comme p est semi-simple (4 1, no l), il suffit de démontrer le lemme dans le cas
où p est simple. En ce cas, le commutant Z de p(G) dans End(V) est réduit aux
homothéties (A, VIII, 4 3, no 2, th. 1) ; l'homomorphisme se factorise donc par le
sous-groupe C*. 1, de GL@), et il existe h E X(G) tel que = Y,(G).
- Groupes et ulgebre de Lie fchup. 9). - 2
LIE IX. 28
1. - On appelle poids de la représentation p de G, relativement au tore
maximal T de G, les éléments h de X(T) tels que V,(T) # O.
On note P(p, T), ou P(p) s'il n'y a aucune confusion possible sur le choix de T,
l'ensemble des poids de p relativement à T. On a d'après le lemme 1
Soient T' un autre tore maximal de G et g un élément de G tel que (Int g ) T
($ 2, no 2, th. 2). Pour tout h E X(T), on a
Le groupe de Weyl W = WG(T) opère à gauche sur le Z-module X(T) par l'opération w ~ X ( w - l ) ;pour t E T , h EX(T), w E W, on a donc twh = (w-'(t))'.
5. -L'ensemble P(p, T) est stable pour l'opération du groupe de Weyl W.
Soit n E NG(T), et soit w sa classe dans W ; pour h E X(T), on a p(n) (YJT)) = V,,(T)
et dim Y,,(T) = dim V,(T).
La formule (9), avec T' = T, g = n, entraîne que P(p, T) est stable par w ; de
plus j?(n) induit un isomorphisme de V,(T) sur B,,(T) (formule (8)), d'où la proposition.
6. - Pour que l'homomorphisme p :G + GL(V) soit injectif, il faut
et il sufit que P(p, T) engendre le Z-module X(T).
Pour que p soit injectif, il est nécessaire et suffisant que sa restriction à T le soit
($ 2, no 6, prop. 9). Par ailleurs, comme l'homomorphisme canonique GL(V) -t G L ( ~ )
est injectif, on peut remplacer p par j?. Il résulte alors de (7) que le noyau de la restriction de p à T est l'intersection des noyaux des éléments de P(p, T). La conclusion
résulte donc de la prop. 2 du no 1.
La représentation linéaire L(p) de t dans gl(g) s'étend en un homomorphisme
de C-algèbres de Lie
L(p) :tc -t gf(V) .
Rappelons par ailleurs qu'à tout élément h de X(T) a été associée (no 1) une forme
linéaire 6(h) sur t, telle que
(exp, x)' = e6(')("), x E t
Rappelons enfin (VII, $ 1, no 1) que pour toute application p :t, + C, on note V,(t,)
le sous-espace vectoriel de V formé des v tels que (L(p) (u)) (v) = p(u).v pour tout
u E tC.
On déduit alors de (7) et de loc. cit., prop. 3 :
LIE IX.29
7. - a) Pour tout h E x(T), on a Y,(T) = B,(,)(t,).
b) L'application 6 :X(T) -, Hom,(t,, C) induit une bijection de P(p, T) sur l'ensemble des poids de t, dans 8.
Notons d'ailleurs que, si l'on fait opérer W sur t, en associant à tout élément w
de W l'endomorphisme L(w)(,, de t,, l'application 6 est compatible avec l'action
de W sur X(T) et Hom,(t,, C).
Supposons maintenant k = R. Notons o la conjugaison de relativement à V,
définie par o(x + iy) = x - iy pour x, y dans V ; pour tout sous-espace vectoriel
complexe E de 8 , le plus petit sous-espace rationnel sur R de contenant E est
E + o(E). En particulier, pour tout h E X(T), il existe un sous-espace vectoriel réel
V(h) de V tel que le sous-espace V(h)(,, de 8 soit 8 , ( ~ ) B-,(T) (noter que
~ ( Q , ( T ) )= 8-,(T)). On a ~ ( h =) v(- A), et les ~ ( h sont
) les composants isotypiques de la représentation de T dans V déduite de p.
On appelle racines de G relativement à T les poids non nuls de la représentation
adjointe de G. L'ensemble des racines de G relativement à T est noté R(G, T), ou
simplement R s'il n'y a pas de confusion possible. D'après la prop. 6, l'application
(on note tC le dual de l'espace vectoriel complexe t,) applique bijectivement R(G, T)
sur l'ensemble R(gc, t,) des racines de l'algèbre réductive déployée (g,, t,) (VIII,
5 2, no 2, remarque 4). Si l'on pose, pour tout a E R
chaque g" est de dimension 1 sur C (loc. cit., th. 1) et on a
Pour chaque a E R, désignons par V(a) le sous-espace de dimension 2 de g tel
que V(a)(, = ga + g-*; les composants isotypiques non nuls de g pour la représentation adjointe de T sont t et les V(a). Soit par ailleurs K la forme quadratique
associée à la forme de Killing de g ; elle est négative (5 1, no 3, prop. 1) et sa restriction
K(a) à V(a) est négative et séparante. Pour chaque élément t de T, Ad t laisse stable
K(a), d'où un morphisme de groupes de Lie
Il existe alors un unique isomorphisme p, :U -+ SO(K(a)) tel que i, = p, O a. En
effet, soit X un élément non nul de g*, et soit Y l'image de X par la conjugaison
de g, relativement à g ; alors Y E g-", et on obtient une base ( U , V ) de V(a) en
LIE IX .30
posant U = X
Y, V = i ( X - Y); sur la base (U, V), la matrice de l'endomorphisme de V(a) induit par Ad t, t E T, est
d'où l'assertion.
8. - Soit Q(R) le sous-groupe de X(T) engendré par les racines de G.
a ) Le centre C(G) de G est un sous-groupe fermé de T, égal à l'intersection des
noyaux des racines. L'application canonique X(T/C(G)) -, X(T) est injective et
d'image Q(R).
b) Le groupe compact C(G) est isomorphe au dual du groupe discret X(T)/Q(R)
(TS, II, 5 1, no 1, déf. 2).
c ) Pour que C(G) soit réduit à l'élément neutre, il faut et il suffit que Q(R) soit
égal à X(T).
D'après 2, no 2, cor. 2 au th. 2, C(G) est contenu dans T. Comme c'est le noyau
de la représentation adjointe, c'est l'intersection des noyaux des racines, c'est-à-dire
l'orthogonal du sous-groupe Q(R) de X(T). La proposition résulte alors de TS,
II, 5 1, no 7, th. 4 et no 5, th. 2.
9. - Tout automorphisme du groupe de Lie G qui induit l'identité sur
T est de la forme Int t, avec t E T.
Supposons d'abord C(G) réduit à l'élément neutre, c'est-à-dire X(T) = Q(R)
(prop. 8). Soient f un automorphisme de G induisant l'identité sur T, et cp = L(f )(, ;
alors cp est un automorphisme de g, induisant l'identité sur t,. D'après VIII, 5,
no 2, prop. 2, il existe un unique homomorphisme 8 :Q(R) + C* tel que cp induise
sur chaque ga l'homothétie de rapport 8(a). Comme cp laisse stable la forme réelle g
de g,, il commute à la conjugaison o de g, par rapport a g ; mais on a o(ga) = g-",
donc 8(- a ) = B(a) pour tout a E R. Cela implique 8(a) 8(a)= 8(a) 8(- a ) = 1.
Il en résulte que 8 est à valeurs dans U, donc correspond par dualité à un élément t
de T tel que (Ad t)(,) = cp, donc Int t = f:
Dans le cas général, ce qui précède s'applique au groupe G/C(G), dont le centre
est réduit à l'élément neutre, et à son tore maximal T/C(G). On en déduit que, si
f est un automorphisme de G induisant l'identité sur T, il existe un élément t de T
tel que f et Int t induisent par passage au quotient le même automorphisme de
G/C(G). Alors, comme le morphisme canonique D(G) + G/C(G) est un revêtement fini (§ 1, no 4, cor. 1 à la prop. 4), f et Int t induisent le même automorphisme
de D(G), donc de D(G) x C(G), donc aussi de G (loc. cit.).
- Soient u un automorphisme de G et H le sous-groupe fermé de G
formé des pointsJixes de u. Pour que l'automorphisme u soit intérieur, il faut et il suffit
que Ho soit de rang maximum.
LIE IX . 3 1
Si u est égal à Int g, avec g E G, le sous-groupe Ho = Z(g), est de rang maximum
(5 2, no 2, cor. 3). Inversement, si H contient un tore maximal S, l'automorphisme u
est de la forme Int s avec s E S (prop. 9).
5. Vecteurs nodaux et racines inverses
Lemme 2. - Soient S un sous-groupe fermé de T et Z(S) son centralisateur dans G.
(i) R(Z(S),, T) est l'ensemble des a E R(G, T) tels que a(S) = { 1) ;
(ii) Le centre de Z(S), est l'intersection des Ker a pour a E R(Z(S),, T) ;
(iii) Si S est connexe, Z(S) est connexe.
L'algèbre de Lie L(Z(S))(,, est formée des invariants de S dans gc (III, 5 9, no 3,
prop. 8), donc est somme directe de tc et des ga pour lesquels a(S) = i l ) , d'où (i).
L'assertion (ii) résulte alors de la prop. 8 (no 41, et l'assertion (iii) a déjà été démontrée
(5 2, no 2, cor. 5 au th. 2).
THÉORÈME 1. - Soit a E R(G, T). Le centralisateur Z, du noyau de a est un sousgroupe fermé connexe de G ; son centre est Ker a ; son groupe dérivé D(Z,) = Sa
est un sous-groupe fermé connexe semi-simple de rang 1 de G. On a R(Z,, T) = { a, - a )
et dim Z, = dim T + 2.
Soit ZL le centralisateur de (Ker a), . D'après le lemme 2, c'est un sous-groupe fermé
connexe de G, et R(Z;, T) est l'ensemble des P E R(G, T) tels que B((Ker a),) = { 1).
On a évidemment {g - a ) c R(ZL, T). Inversement, soit P E R(Z;, T) ; puisque
(Ker a), est d'indice fini dans Ker a, il existe un entier r # O tel que trO = 1 pour
t E Ker a. De l'exactitude de la suite
Z + X(T) -+ X(Ker a) + O
correspondant par dualité à la suite exacte
O+Kera+T%U+O,
il résulte que rp est un multiple de a ; d'après VIII, 5 2, no 2, th. 2, (i), cela implique
p E {a, - a ) . On a donc R(ZL, T) = {a, - a ) . Il s'ensuit (lemme 2) que le centre
de Z; est Ker a, donc que ZL = Z,. Enfin, d'après le cor. 1 à la prop. 4 (5 1, no 4),
D(Z,) est un sous-groupe fermé connexe semi-simple de G ; il est de rang 1 puisque
W Z a ) ( , , = ga + 9 -" + [9", 9-7.
- Il existe un morphisme de groupes de Lie v :SU(2, C) -+ G ayant
a) L'image de v et le noyau de a commutent.
b ) Pour tout a E U, on a v
a)ETetaov(i
:)=a'.
Si v, et v, sont deux morphismes de SU(2, C ) dans G possédant les propriétés
précédentes, il existe a E U tel que v, = v,
Int(i
LIE IX .32
D'après le th. 1 et la prop. 6 du 5 3, no 6, il existe un morphisme de groupes de
Lie v :SU(2, C) + S,, surjectif à noyau discret. Alors v-'(T n S,) est un tore
maximal de SU(2, C) (5 2, no 3, prop. 1). Puisque les tores maximaux de SU(2, C)
sont conjugués ($ 2, no 2, th. 2), on peut supposer, quitte à remplacer v par v o Int s
(avec s E SU(2, C)), que v-'(T n S,) est le groupe des matrices diagonales de
SU(2, C). On a alors v
T pour tout a E U, et l'application
est une racine de SU(2, C), donc est égale à l'une des deux applications
c a-' ($3, no 6, formules (19)).Dans le premier cas, I'homomorphisme
v convient ; dans le second cas, l'homomorphisme v o Int 8 convient (loc. cit.,
formules (18)).
Si v, et v, sont deux morphismes de SU(2, C) dans G répondant aux conditions
exigées, ils appliquent tous deux SU(2, C) dans S, (condition a)), donc sont tous deux
des revêtements universels de S,. Il existe donc un automorphisme cp de SU(2, C) tel
que v2 = v, o cp, et on conclut par la prop. 9 du no 4.
Il résulte du corollaire précédent que l'homomorphisme v, de U dans T, défini par
v,(a)
pour a E U, est indépendant du choix de v. On note K, E T(T)
l'image par T(v,) de l'élément 2ni de T(U) = 2xiZ ; on dit que c'est le vecteur nodal
associé à la racine a. On a ( a, K, ) = 2, c'est-à-dire (no 2, formule (2)) 6(a) (K,) = 4ni ;
comme K, appartient à l'intersection de t et de L(S,)(,,, on a donc
K, = 2niH,(,, ,
où H,(,,
est la racine inverse associée à la racine 6(a) de (g, t,) (VIII, 5 2, no 2). Autrement dit, lorsqu'on identifie T(T) @ R au dual de X(T) @ R via l'accouplement
( , ), K, s'identifie à la racine inverse a" E (X(T) @ R)*.
Remarque. - Pour tout x E R, on a
Il en résulte que v est injectq si et seulement si K , $ 2T(T), c'est-à-dire s'il existe h E X(T)
tel que ( h, K,) # 22. Lorsque gc est simple, v est injectif sauf lorsque gc est de type B,,
C(G) = ( 1 ) et cc est une racine courte (cf: VI, planches).
LIE IX.33
On note dans la suite de ce paragraphe RV(G, T) l'ensemble des vecteurs nodaux
K, pour a E R(G, T). C'est une partie de T(T) que l'injection canonique de T(T)
dans t, identifie à l'homothétique de rapport 2ni du système de racines inverse
Rv (g,, t,) = {H,(,,)
de 6(R). Il en résulte que RV(G, T) engendre le R-espace
vectoriel L(T n D(G)), donc que son orthogonal dans X(T) est X(T/(T n D(G))).
Notons Aut(T) le groupe des automorphismes du groupe de Lie T ; le groupe
de Weyl W = WG(T)(5 2, no 5) s'identifie à un sous-groupe de Aut(T). Rappelons
d'autre part (VIII, 5 2, no 2, remarque 4) que le groupe de Weyl W(g,, t,) de l'algèbre
réductive déployée (g,, t,) opère dans t,, et s'identifie donc canoniquement à un
sous-groupe de GL(tc).
10. - L'application u t+ L(u)(,, de Aut(T) dans GL(tc) induit un isomorphisme de W sur le groupe de Weyl de l'algèbre réductive déployée (g,, t,). Pour
tout a E R, WZ%(T)est d'ordre 2, et l'image par l'isomorphisme précédent de l'élément
non neutre de Wz,(T) est la réflexion SH~(.,.
L'application considérée est injective. Il s'agit de montrer que son image est égale
à W(gc3 tc).
Soit g E NG(T).Avec les notations de VIII, 5 5, no 2, on a Adg E Aut(gC,t,) n Int(g,),
donc Ad g E AutO(gc,t,) (loc. cit., no 5, prop. 11). D'après loc. cit., no 2, prop. 4,
l'automorphisme de t, induit par Ad g appartient à W(gc, t,). L'image de W dans
GL(tc) est donc contenue dans W(g,, t,).
Soit a E R(G, T), et soit v :SU(2, C) + G un morphisme de groupes de Lie ayant
les propriétés du cor. au th. 1. L'image par v de l'élément 0 de SU(2, C) a les propriétés suivantes (§ 3, no 6, formules (17)) :
a) (Int v(0)) (t) = t
si t E Ker a,
b) (Int v(0)) (t) = t-l si t E T n S,.
Il s'ensuit que Ad v(0) induit l'identité sur Ker 6(a) c f,, et induit l'application
x H - x sur [g", g-OL], donc coïncide avec la réflexion SH,~,, Ainsi l'image de W
contient tous les SH,(,,,donc est égale à W(g,, t,). En particulier WZ,(T)est d'ordre 2,
donc formé de l'identité et de Int v(0). Ceci achève la démonstration de la proposition.
- Supposons G semi-simple. Alors tout élément de G est le commutateur de deux éléments de G.
Soit c une transformation de Coxeter du groupe de Weyl W(g,, t,) (V, 5 6, no l),
et soit n un élément de NG(T) dont la classe dans W s'identifie à c par l'isomorphisme défini dans la proposition. Notons f, le morphisme t t+ (n, t) de T dans T ;
pour x E tC, on a L(f,)(,(x) = (Ad n) (x) - x = c(x) - x.
D'après le th. 1 de V, § 6, no 2, l'endomorphisme c de t, n'a pas de valeur propre
égale à 1. Par suite, L(f,) est surjectif, et il en est de même de f,. Il en résulte que
tout élément de T est le commutateur de deux éléments de G, ce qui entraîne le
corollaire compte tenu du th. 2, 8 2, no 2.
LIE IX .34
6. Groupe fondamental
Dans la proposition qui suit, on note f (G, T) l'homomorphisme de T(T) dans
x,(G) composé de l'isomorphisme canonique de T(T) sur nl(T) (no 2, remarque 3)
et de l'homomorphisme xl(l), où 1 est l'injection canonique T + G.
11. - L'homomorphisme f(G, T):T(T) -+ nl(G) est surjectg Son
noyau est le sous-groupe N(G, T) de T(T) engendré par la famille des vecteurs nodaux
(Ka)ae~(~,~).
L'homomorphisme f(G, T) est surjectif d'après la prop. 3 (§ 2, no 4). Notons
A(G, T) l'assertion : « le noyau de f(G, T) est engendré par les K, D qu'il nous
reste à démontrer, et distinguons plusieurs cas :
a) G est simplement connexe. Soit p :gc + gI(V) une représentation linéaire de
g, dans un espace vectoriel complexe V de dimension finie. Par restriction à g,
on en déduit une représentation de g dans l'espace vectoriel réel VI,] ; puisque G
est simplement connexe, il existe une représentation linéaire analytique x de G
dans VI,] telle que p = L(n). On déduit alors de la prop. 7 du no 3 que l'image
6(X(T))de X(T) dans tC contient tous les poids de p dans V. Ceci étant vrai pour
toute représentation p de g,, il résulte de VIII, 5 7, no 2, th. 1 que 6(X(T))contient
le groupe des poids de 6(R), qui est par définition l'ensemble des h E tg tels que
h(H,,,,) E Z pour tout cc E R, c'est-à-dire h(Ka)E 2niZ pour tout cc E R. Le groupe
X(T) contient donc tous les éléments h de X(T) @ Q tels que (1,Ka) E Z pour
tout a E R, ce qui entraîne par dualité que T(T) est engendré par les K,, d'où l'assertion A(G, T).
b) G est produit direct d'un groupe simplement connexe G' par un tore S. Alors
T est le produit direct d'un tore maximal T' de G' par S, T(T) s'identifie à T(T1)x T(S),
71, (G) à n1(Gr) x n1(S), et f (G, T) à l'homomorphisme de composantes f (G', T')
et f (S, S). Comme f (S, S) est bijectiÇ l'application canonique T(T1)+ T(T) applique
bijectivement Ker f(G1,T') sur Ker f(G, T). Par ailleurs, les K, appartiennent à
l'algèbre de Lie du groupe dérivé G' de G, donc à l'image de T(T1),et il est alors
immédiat que A(G1,Tt) implique A(G, T), d'où l'assertion A(G, T), vu a).
c) Cas général. Il existe un morphisme surjectif de noyau fini p :G' + G, où
G' est produit direct d'un groupe simplement connexe par un tore (8 1, no 4, prop. 4).
Si T' est l'image réciproque de T dans G' (c'est un tore maximal de G' d'après 8 2,
no 3, prop. l), et N le noyau de p, on a des suites exactes O + N + G' + G + O
et O + N + Tt + T + O, d'où un diagramme commutatif à lignes exactes (no 2,
remarque 1 et TG, XI, à paraître)
O -I-(Y)-T(T)N
nl(Gf)+nl(G)
-ldNI
Il résulte alors aussitôt du diagramme du serpent (A, X, p. 4, prop. 2) que A(G1,T t )
entraîne A(G, T), d'où la proposition, vu b).
LIE IX.35
1. - Pour que G soit simplement connexe, il faut et il suffit que la famille
(K")"€R(G,T)
engendre W).
2. - Soit H un sous-groupe fermé connexe de G contenant T ; on a une
O + N(H, T) + N(G, T) -+ q ( H ) + n,(G) + O .
Cela résulte de A, X, p. 4, prop. 2 (diagramme du serpent), appliqué au diagramme
Remarque. - On peut montrer (cf. exercice 2 du 6 5) que 7c2(G) est nul. On déduit alors
de l'exactitude de la suite précédente un isomorphisme de i2(G/H)sur N(G, T)/N(H, T).
3. - L'homomorphisme x,(D(G)) + xl(G) déduit de l'inclusion de
D(G) dans G induit un isomorphisme de nl(D(G))-sur le sous-groupe de torsion de
n1(G).
En effet, T n D(G) est un tore maximal de D(G) (6 2, no 3, prop. 1, c)); de la suite
et de la proposition 11, on tire une suite exacte
d'où le corollaire, puisque n,(D(G)) est fini et T(T/(T n D(G))) libre.
7. Sous-groupes de rang maximum
Rappelons (VI, 6 1, no 7) qu'une partie P de R = R(G, T) est dite close si
(P + P ) n R c P, et symétrique si P = - P.
12. - Soit 2 l'ensemble des sous-groupes fermés connexes de G contenant T, ordonné par inclusion. L'application H ++ R(H, T) est une bijection croissante
de 2 sur l'ensemble des parties closes et symétriques de R(G, T), ordonné par inclusion.
Si H E 2 , alors L(H)(q est somme directe de t, et des ga pour a E R(H, T) ; comme
c'est une sous-algèbre réductive dans g,, la partie R(H, T) de R satisfait aux conditions énoncées (VIII, 6 3, no 1, lemme 2 et prop. 2). Inversement, si P est une partie
de R satisfaisant à ces conditions, alors t, O
g" est une sous-algèbre de g, (loc.
cit.) qui est rationnelle sur R (no 3), donc de la forme ij(,,, où ij est une sous-algèbre
de g. Soit H(P) le sous'-groupe intégral de G défini par ij ; il est fermé (5 2, no 4, remar-
LIE IX. 36
que 1). On vérifie aussitht que les applications H
croissantes et réciproques l'une de l'autre.
H R(H,
H(P) sont
1. - Les sous-groupes fermés de G contenant T sont en nombre jni.
Soit H un tel sous-groupe ; on a Ho E X, et 2 est fini. Par ailleurs, H est un sousgroupe de NG(Ho)contenant Ho, et NG(Ho)/Hoest fini (§ 2, no 4, prop. 4 et remarque 2).
2. - Soit H un sous-groupe fermé connexe de G contenant T, et soit
Wg(T) le stabilisateur dans WG(T) de la partie R(H, T) de R. Le groupe NG(H)/H
est isomorphe au groupe quotient W:(T)/W,(T).
Il résulte en effet de la prop. 7 du 2, no 5, appliquée à NG(H), que NG(H)/H est
isomorphe à W,(,,(T)/W,(T), où WN(,,(T) est l'ensemble des éléments de WG(T)
dont les représentants dans NG(T)normalisent H. Soit n E NG(T),et soit w sa classe
dans WG(T).D'après III, 9, no 4, prop. 11, n normalise H si et seulement si on a
(Ad n) (L(H)) = L(H); compte tenu de la prop. 5 du no 3, cela signifie aussi que
la partie R(H, T) de R est stable par w, d'où le corollaire.
Remarque 1. - Le groupe Wz(T) est aussi le stabilisateur dans WG(T) du sousgroupe C(H) de T : cela résulte de la prop. 8 du no 4.
PROPO~ITION
13. - Soient H un sous-groupe fermé connexe de G de rang maximum,
C son centre. Alors C contient le centre de G, et H est la composante neutre du centralisateur de C.
Soit S un tore maximal de H. Puisque le centre de G est contenu dans S, il est
contenu dans C. Posons L = Z(C)o; c'est un sous-groupe fermé connexe de G
contenant H, donc de rang maximum, et son centre est égal à C. Notons RH et R,
les systèmes de racines de H et L respectivement, relativement à S ; on a
RH c RL c R(G, S). Puisque C(H) = C(L), la prop. 8 (no 4) entraîne l'égalité
Q(RH) = Q(RL); mais on a Q(RH)n RL = RH(VI, 1, no 7, prop. 23), d'où RH = RL
et H = L (prop. 12).
Remarque 2. - Disons qu'un sous-groupe C de G est radiciel s'il existe un tore
maximal S de G et une partie P de R(G, S) tels que C = n Ker a. Il résulte de
la prop. 13 et du lemme 2 du no 5 que l'application H H C(H) induit une bijection
de l'ensemble des sous-groupes fermés connexes de rang maximum sur l'ensemble des
sous-groupes radiciels de G. La bijection réciproque est l'application C H Z(C),.
- L'ensemble des g E G tels'que T n gTg-l # C(G) est une réunion
finie de sous-variétés analytiques fermées de G distinctes de G.
En effet, posons A, = T n gTg-' ; on a T c Z(A,) et gTg-' c Z(A,). Il existe
donc x E Z(A,) tel que xTx-l = gTg-l (5 2, no 2, th. 2), ce qui implique
g E Z(AS).NG(T).Notons d l'ensemble fini (cor. 1) des sous-groupes fermés de G
contenant T et distincts de G, et posons X = U H.NG(T); c'est une réunion
SYSTÈME DE RACINES ASSOCIÉ
UN GROUPE COMPACT
LIE IX. 37
finie de sous-variétés fermées de G, distinctes de G. Si A, # C(G), on a Z(A,) E d ,
et g appartient à X. Inversement si g E H.NG(T), avec H E d,alors A, contient
C(H), donc A, # C(G) (prop. 13).
14.-Soit X une partie de T, et soit Rx l'ensemble des racines a E R(G, T)
telles que a(X) = { 1 }. Le groupe ZG(X)/ZG(X),est isomorphe au quotient du fixateur
de X dans WG(T)par le sous-groupe engendré par les réflexions sa pour a E Rx.
Posons H = ZG(X);puisque L(H)(q est l'ensemble des points de g , fixes par
Ad(X), c'est la somme de f, et des ga pour a(X) = (1). On a par conséquent
R(H,, T) = Rx, de sorte que WHo(T)est engendré par les réflexions sa pour a E Rx.
Il suffit alors d'appliquer la prop. 7 du 5 2, no 5.
On verra ci-dessous (8 5, no 3, th. 1) que si G est simplement connexe et X réduit à
un point, le centralisateur Z(X) est connexe.
8. Diagrammes radiciels
DÉFINITION 2. - On appelle diagramme radiciel (ou simplement diagramme si aucune
confusion n'en peut résulter) un triplet D = (M, Mo, R) où :
(DR,) M est un Z-module libre de type fini et Mo un sous-module facteur direct
(DR,) R est une partiefinie de M ; R u Mo engendre le Q-espace vectoriel Q @ M ;
(DR,,) pour tout a E R, il existe un élément aV de M* = Hom,(M, Z ) tel que
a V(MO)= O, a v(a) = 2 et que l'endomorphisme x H x - a V( x )a de M laisse
stable R.
D'après VI, 5 1, no 1, pour tout a E R, l'élément a V de M* est uniquement déterminé par a ; on note s, l'endomorphisme x H x - av(x)a de M. De plus (loc. cit.),
le Q-espace vectoriel Q @ M est somme directe de Q @ M o et du sous-espace
vectoriel V(R) engendré par R, et R est un système de racines dans V(R) (loc. cit.,
déf. 1).
Les éléments de R s'appellent les racines du diagramme radiciel D, et les éléments
a V de M* les racines inverses. Le groupe engendré par les automorphismes sa de M
s'appelle le groupe de Weyl de D et se note W(D) ; les éléments de W(D) induisent
l'identité sur Mo, et induisent sur V(R) les transformations du groupe de Weyl
du système de racines R.
Exemples. - 1 ) Pour tout Z-module libre de type fini M, le triplet (M, M, @)
est un diagramme radiciel.
2) Si D = (M, Mo, R) est un diagramme radiciel, soit M,* l'orthogonal de V(R)
dans M*, et soit RV l'ensemble des racines inverses de D. Alors D v = (M*, Mg, Rv )
est un*iiiagramme radiciel, dit inverse de D. Pour tout a E R, la symétrie s,, de M*
est l'automorphisme contragrédient de la symétrie s, de M ; l'application w H 'w-l
est un isomorphisme de W(D) sur W(Dv). De plus, V(RV)s'identifie naturellement
LIE IX .38
au dual du Q-espace vectoriel V(R), RV s'identifiant alors au système de racines
inverse de R.
Si l'on identifie le dual de M* à M, le diagramme inverse de D V s'identifie à D.
3) Soient (g, t)) une Q-algèbre de Lie réductive déployée, et M c t) un réseau
permis (VIII, 12, no 6, déf. 1). Soient Mo le sous-groupe de M orthogonal aux racines
de (g, 6) et RV l'ensemble des Ha, a E R(g, 6). Alors (M, Mo, Rv ) est un diagramme
radiciel, et (M*, Mg, R(g, t))) en est le diagramme inverse.
4) Soient V un espace vectoriel sur Q et R un système de racines dans V ; notons
P(R) le groupe des poids de R et Q(R) le groupe des poids radiciels de R (VI, 5 1,
no 9). Alors (Q(R), O, R) et (P(R), O, R) sont des diagrammes radiciels. Pour qu'un
diagramme (M, Mo, S) soit isomorphe à un diagramme de la forme (Q(R), O, R)
(resp. (P(R), O, R)), il faut et il suffit que M soit engendré par S (resp. que M* soit
engendré par S V).
Pour tout sous-groupe X de P(R) contenant Q(R), (X, O, R) est un diagramme
radiciel, et on obtient ainsi, à isomorphisme près, tous les diagrammes (M, Mo, S)
tels que Mo = 0, c'est-à-dire tels que S engendre un sous-groupe d'indice fini de M.
On dit que le diagramme radiciel (M, Mo, R) est réduit si le système de racines R
l'est (c'est-à-dire (VI, 5 1, no 4) si les relations a, p E R, h E Z, p = ha impliquent
h = 1 OU h = - 1). Les diagrammes des exemples 1) et 3) sont réduits.
9. Groupes de Lie compacts et diagrammes radiciels
Avec la terminologie introduite au numéro précédent, on peut résumer une partie
importante des résultats des numéros 4 et 5 dans le théorème suivant :
THÉORÈME2. - a) (X(T), X(T/(T n D(G))), R(G, T)) est un diagramme radiciel
réduit; son groupe de W e y l est formé des X(w), pour w E W ; le groupe X(C(G)) est
isomorphe au quotient de X(T) par le sous-groupe engendré par R(G, T).
b ) (T(T), T(C(G),), RV(G, T)) est un diagramme radiciel réduit; son groupe de
Weyl est formé des T(w), pour w E W ; le groupe .n,(G) est isomarphe au quotient
de T(T) par le sous-groupe engendré par RV(G, T).
c ) Si l'on identijîe chacun des Z-modules X(T) et T(T) au dual de l'autre (no 2,
prop. 3), chacun des diagrammes radiciels précédents s'identijle au diagramme inverse
On note D*(G, T) le diagramme (X(T), X(T/(T n D(G))), R(G, T)) et D,(G, T)
le diagramme (T(T), T(C(G),), RV(G,T)); on dit que ce sont respectivement le
diagramme contravariant et le diagramme covariant de G (relativement à T).
Exemples. - 1) Si G est semi-simple de rang 1, alors D*(G, T ) et D,(G, T ) sont
nécessairement isomorphes à l'un des deux diagrammes A, = ( Z , 0, (2, - 2)),
Ai = (Z, 0, (1, - 1)). Si G est isomorphe à SU(2, C), D,(G, T) est isomorphe à
A, (puisque G est simplement connexe), donc D*(G, T ) isomorphe à A,. Si G est
LIE IX. 39
isomorphe à SO(3, R), D*(G, T ) est isomorphe à A, (puisque C(G) = { 1)), donc
D,(G, T) est isomorphe à A,.
2) Si G et G' sont deux groupes de Lie compacts connexes, de tores maximaux
respectifs T et T', et si D*(G, T) = (M, Mo, R) et D*(G1,T') (Ivl', ML;R'I, aiorç
D*(G x G', T x T') s'identifie à (M O Mt, Mo O Mo, R u R'). De même pour
les diagrammes covariants.
3) Soit N un sous-groupe fermé de T, central dans G, et soit (M, Mo, R) le diagramme contravariant de G relativement à T. Alors le diagramme contravariant
de G/N relativement à T/N s'identifie à (Ml, Mo, R), où M' est le sous-groupe de M
formé des h tels que h(N) = ( 1) et Mo = M' n Mo.
4) De même, soit N un groupe commutatif fini, et cp :nl(G) + N un homomorphisme surjectif. Soit G ' le revêtement de G associé à cet homomorphisme ; c'est
un groupe de Lie compact connexe, dont N est un sous-groupe central (TG, XI,
à paraître), et G s'identifie naturellement à G1/N. Soit T' le tore maximal de G '
image réciproque de T. Si (P, Po, S) est le diagramme covariant de G relativement
à T, le diagramme covariant de G' relativement à T' s'identifie à (P', Po, S), où
P' est le noyau de l'homomorphisme composé cp 0 f (G, T) : P + N (cJ no 6, prop. 1l),
et Po = Po n P'.
Remarques. - 1) Soit c le centre de g, ; on a donc c = L(C(G))o,. On a les relations
suivantes entre les diagrammes de G relativement à T et les systèmes de racines
direct et inverse de l'algèbre réductive déployée (g,, t,) :
a) L'isomorphisme canonique de C Q T(T) sur t, induit une bijection de
C Q T(C(G),) sur c et une bijection de 1 Q Rv (G, T) sur 2ni. RV(g,, t,).
b) L'isomorphisme canonique de C Q X(T) sur le dual tg de f, induit une bijection de C Q X(T/(T n D(G))) sur l'orthogonal de t, n 9(g),, et une bijection de
1 O R(G, T ) sur Rh,, t,).
2) Supposons le groupe G semi-simple ; notons R (resp. RV) le système de racines
R(G, T) (resp. Rv (G, T)), de sorte qu'on a les inclusions
Les groupes commutatifs finis P(R)/Q(R) et P(RV)/Q(RV)sont en dualité (VI,
# 1, no 9) ; si on désigne par M A le groupe dual d'un groupe commutatif fini M,
on déduit de ce qui précède des isomorphismes canoniques
En particulier, le produit des ordres de x,(G) et de C(G) est égal à l'indice de
connexion f de R(G, T) (loc. cit.).
Soient maintenant G' un autre groupe de Lie compact connexe, T' un tore maximal
de G'. Soit f : G + G ' un isomorphisme de groupes de Lie tel que f(T) = T ' ;
notons f, l'isomorphisme de T sur T' qu'il définit. Alors X(f,) est un isomorphisme
LIE IX. 40
de D*(G1,T') sur D*(G, T), noté D*(f), et T(f,) est un isomorphisme de D,(G, T)
sur D,(Gt, T'), noté D,(f). Si t E T, et si on pose g = f o Int t = (Int f(t)) o f ;
alors D*(g) = D*(f), D*(g) = D*(f).
15. - Soit cp un isomorphisme de D*(G', T') sur D*(G, T) (resp. de
D,(G, T) sur D,(G1, T')). Il existe un isomorphisme f:G + G ' tel que f(T) = T'
et que cp = D*(f ) (resp. et que cp = D,( f ) ); si f, et f, sont deux tels isomorphismes,
il existe un élément t de T tel que f, = fl 0 Int t.
La seconde assertion résulte aussitht de la prop. 9 (no 4) ; démontrons la première,
par exemple pour les diagrammes covariants. Notons g' (resp. t') l'algèbre de Lie
de G ' (resp. T'), et g&(resp. t&)son algèbre de Lie complexifiée. D'après VIII, § 4,
no 4, th. 2, (i), il existe un isomorphisme JI : g, + g&qui applique ,t dans t&et induit
sur T(T) c t, l'isomorphisme cp :T(T) + T(T1)donné. Alors g et JI-'(g') sont deux
formes compactes de g, qui ont même intersection t avec t, ; d'après le § 3, no 2,
prop. 3, il existe un automorphisme intérieur 8 de g, induisant l'identité sur t, et
tel que 0(g) = $-'(g'). Remplaçant $ par $ 0 0, on peut donc supposer que $
applique g dans g'. Par ailleurs, d'après la prop. 4 du no 2, il existe un unique morphisme fT :T -, T' tel que T(fT) = cp. Alors la restriction de JI à t est L(f,), et d'après
le § 2. no 6, pi 7p. 8, il existe un unique morphisme f : G + G' qui induise f, sur T
et $ sur g,. Appliquant ce qui précède à cp-' et JI-', on construit un morphisme
réciproque de J: qui est donc un isomorphisme. On a DJf) = T(f,) = cp, d'où
Notons que, si T et T' sont deux tores maximaux de G, les diagrammes D*(G, T)
et D*(G, T t ) sont isomorphes (si g E G est tel que gTg-l = Tt, alors Int g est un
isomorphisme de G sur G qui applique T sur T'). On note D*(G) la classe d'isomorphisme de D*(G, T) (cc E, II, p. 47) ; c'est un diagramme radiciel qui ne dépend
que de G et qu'on appelle le diagramme contravariant de G. On définit de même
le diagramme covariant D,(G) de G, et on obtient :
que les groupes de Lie compacts connexes G et G ' soient isomorphes, il faut et il sufit que les diagrammes D*(G) et D*(Gr)(resp. D,(G) et D,(G'))
COROLLAIRE. - Pour
16. - Pour tout diagramme radiciel réduit D, il existe un groupe de
Lie compact connexe G tel que D*(G) (resp. D,(G)) soit isomorphe à D.
a ) Remplaçant éventuellement D par son diagramme inverse, on se ramène à
construire G tel que D*(G) soit isomorphe à D. Posons D = (M, Mo, R) ; alors
Q @ M est somme directe de Q @ Mo et du sous-espace vectoriel V(R) engendré
par R. De plus, puisque les racines inverses prennent des valeurs entières sur M,
la projection de M dans V(R) parallèlement à Q @ Mo est contenue dans le groupe
des poids P(R) de R, de sorte que M est un sous-groupe d'indice fini de Mo @ P(R).
Notons D' le diagramme (Mo @ P(R), Mo, R).
b) Soit a une algèbre de Lie semi-simple complexe dont le système de racines Canonique soit isomorphe à R c C @ V(R) (VIII, § 4, no 3), et soit gl une forme réelle
A UN GROUPE COMPACT
LIE IX.41
compacte de a (5 3, no 2, th. 1). Soit G , un groupe de Lie réel simplement connexe d'algèbre de Lie isomorphe à g, ; alors G, est compact ($ 1, no 4, th. 1). Soit T l un tore
maximal de G , . D'après le th. 1, le diagramme D*(G, , Tl) est isomorphe à (P(R), O, RI
c ) Soit To un tore de dimension égale au rang de Mo ; alors D*(To, T,) est isomorphe à (Mo, Mo, @), donc D*(G, x To, Tl x To) isomorphe à D' (exemple 2).
d ) Enfin, soit N le sous-groupe fini de Tl x To orthogonal à M. Posons
G = (G, x To)/N, T = (Tl x To)/N. lors G est un groupe de Lie compact
connexe, T un tore maximal de G, et D(G, T) est isomorphe à D (exemple 3).
Scholie. - La classijication des groupes de Lie compacts connexes à isomorphisme
près est ainsi ramenée à celle des diagrammes radiciels réduits. Les groupes de Lie
compacts connexes semi-simples correspondent aux diagrammes radiciels réduits
(M, Mo, R) tels que Mo = O ; la donnée d'un tel diagramme est équivalente à celle
d'un système de racines réduit R dans un espace vectoriel V sur Q et d'un sous-groupe
M de V tel que Q(R) c M c P(R).
Remarque 3. - Soient T' un autre tore maximal de G, B (resp. B') une base du système de racines R(G, T) (resp. R(G1,Tt))(VI, 5 1, no 5, déf. 2). Il existe des éléments
g E G tels que Int g applique T sur T' et B sur B', et ces éléments forment une unique
classe modulo Int(T) (comme T et T t sont conjugués, on peut supposer T = T',
et il suffit d'appliquer VI, 9 1, no 5, remarque 4 et la prop. 9 du no 4). Il en résulte
que l'isomorphisme de T sur T' déduit de Int g est indépendant du choix de g ;
il en est par conséquent de même pour D,(Int g) et D*(Int g). Paraphrasant alors
VIII, 8 5, no 3, remarque 2, mutatis mutandis, on définit le tore maximal canonique
de G, les diagrammes radiciels covariant et contravariant canoniques de G, ... .
10. Automorphismes d'un groupe de Lie compact connexe
On note Aut(G) le groupe de Lie des automorphismes de G (III, 9 10, no 2), et
Aut(G, T) le sous-groupe fermé de Aut(G) formé des éléments u tels que u(T) = T.
On a vu (5 1, no 4, cor. 5 à la prop. 4) que la composante neutre de Aut(G) est le
sous-groupe Int(G) des automorphismes intérieurs ; on note IntG(H) l'image dans
Int(G) d'un sous-groupe H de G.
Soit D le diagramme covariant de G relativement à T ; notons Aut(D) le groupe
de ses automorphismes, et W(D) son groupe de Weyl. L'application u H D,(u)
est un homomorphisme de Aut(G, T) dans Aut(D). La prop. 15 du no 9 donne
17. - L'homomorphisme Aut(G, T) -t Aut(D) est surjectif; de noyau
IntG(T).
Notons que Aut(G, T) n Int(G) = IntG(N,(T)) et que l'image de Int,(NG(T))
dans Aut(D) est W(D) (no 5, prop. 10). On déduit donc de la prop. 17 un isomorphisme :
Aut(G, T)/(Aut(G, T) n Int(G)) + Aut(D)/W(D) .
LIE IX .42
Par ailleurs, on a Aut(G) = Int(G).Aut(G, T). En effet, si u appartient à Aut(G),
u ( T )est un tore maximal de T, donc est conjugué à T, et il existe un automorphisme
intérieur v de G tel que u(T) = v(T), c'est-à-dire v - l u E Aut(G, T). Il en résulte
que Aut(

References: § 1
 § 9
 § 6
 § 4

§ 9
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 § 13
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 § 3
 § 3
 § 6
 § 4
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 § 2
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