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Timestamp: 2018-09-22 19:57:37+00:00

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DE LA GEOMETRÍA DEL ELÁSTICO
Diagnóstico de Fallas en Punterías y Árboles de Levas
Vw Golf 3 1991-1997 Www.avtoman.ogr.Ua
2-Reparacion de Transmisiones Automaticas y Manuales-2
LOS PUZZLES EN ALAMBRE COMO RECURSOS DIDÁCTICOS PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Carlos Montoya Pablo Flores 1.
PRESENTACIÓN DE LOS PUZZLES EN ALAMBRE Quien alguna vez haya tenido que trasladar una mesa desde una habitación a otra, a lo largo de un pasillo, sabe que el espacio tridimensional reserva algunas sorpresas que cotidianamente suelen permanecer inadvertidas. Esto también lo saben los aficionados a los puzzles de alambre1. Estos antiguos juegos artesanales consisten en una estructura compuesta por dos o más piezas de alambre (Figura 1). De este conjunto de piezas entrelazadas, el jugador debe separar una de ellas –la pieza problema– del resto del conjunto –la estructura soporte– sin hacer deformaciones o cortes. La primera impresión que dan los puzzles de alambre parecería indicar que la Figura 1: Representación gráfica de un modelo simple de puzzle pieza problema no podrá salir de la estructura de alambre. base por encontrarse encerrada, pero la solución de estos juegos no guarda ningún secreto: sólo se trata de encontrar el camino de salida que debe recorrer la pieza problema a lo largo de la estructura. Sin embargo, la búsqueda de este camino pone al jugador frente a desconcertantes problemas en el espacio de tres dimensiones en las que no había reparado. La mejor forma de resolver estos problemas es experimentar de manera lúdica, hasta dar con la solución. Pero en muchas ocasiones, durante los primeros intentos, el jugador suele quedar desconcertado al encontrar una solución inadvertida, sin comprender cómo ocurrió y sin saber cómo volver a la posición inicial. Estas situaciones generan una curiosidad que invita a avanzar sobre la práctica del juego e intentar comprender su lógica; y es por este camino que, como en tantas otras oportunidades, se encuentran los juegos con las matemáticas. En este artículo vamos a analizar las características de los puzzles de alambre, trataremos de mostrar algunas de sus cualidades, que les hacen aptos para ser empleados como materiales didácticos para la enseñanza de las matemáticas. Para argumentar sobre el interés didáctico de unos materiales, el profesor necesita tener claro el por qué emplearlos, el qué va a enseñar con ellos y el cómo utilizarlos. Para ayudar a los profesores de matemáticas en esta reflexión, en el presente artículo comenzamos por presentar los puzzles, y posteriormente trataremos de dar ideas para responder a estas cuestiones. En primer lugar mostraremos sus cualidades e interés matemático (por qué). Después analizaremos los apartados de los Currículos de Matemáticas que pueden afrontarse con los puzzles de alambre (qué). Y por último describimos un taller realizado en Las Coloradas, Argentina, en el que se han empleado, describiendo la estrategia utilizada (cómo).
También conocidos como rompecabezas o laberintos de alambre, estos juegos pertenecen a una gran familia de juegos de ingenio de encastre, desplazamientos o destrezas similares. Martin Gardner (1986) dice que la primera descripción del rompecabezas “Baguenodier” (“Aros Chinos”, entre nosotros) es de Cardano en 1550, lo que muestra que los puzzles en alambre son muy antiguos. Tanto en España como en Argentina, se han difundido gracias a pequeños artesanos, que venden la mercancía en la calle, tras hacerla a los ojos de los paseantes. Actualmente hay empresas de material lúdico que lo fabrican y difunden.
2002a).2. mientras que en la Figura 2 se presentan algunos ejemplos de juegos del mismo tipo. Flores. Las líneas punteadas indican el recorrido que deben hacer los extremos superior e inferior de la anilla problema. 2002. que parecería conformar un cerco sin salida. hay varios criterios con los que se pueden clasificar estos puzzles. ya que no todas las variables contempladas son independientes. Esos lugares se encuentran en sectores de la estructura soporte a los que llamaremos segmento o anilla base y segmento o anilla traba (Figura 3). Su estructura soporte se presenta en una gran variedad de situaciones. con las particularidades que trataremos más adelante. Figura 2: Distintos ejemplos de puzzles de alambre que responden a la representación canónica de la Figura 1. El representante canónico de este grupo de juegos aparece en la Figura 1. algunas de ellas muy difundidas. es posible encontrar ciertos lugares críticos por donde la pieza problema puede escapar. identifica a todos los puzzles del grupo. En la clave de solución que identifica a este grupo de juegos se encuentra precisamente la vinculación entre ellos y el conocimiento matemático. . DESCRIPCIÓN DE LOS JUEGOS El universo de los puzzles de alambre ofrece una rica variedad de juegos con estructuras y formas diferentes (en algunos casos también se encuentran compuestos por cuerdas o cuerpos de distintos materiales)2. Además. pero en el presente artículo nos vamos a detener en un grupo de juegos sencillos que comparten una misma clave de solución. La disposición de las piezas de la estructura soporte y el movimiento que requiere la pieza problema para liberarse es lo que llamamos clave de solución y constituye una característica que. Según estos artículos. En todos los puzzles de alambre de la Figura 2 se presenta una situación como la siguiente: En la estructura soporte. podemos considerar que este grupo reúne al mayor número de puzzles en alambre y en cuerdas. La adecuada disposición de estos sectores configura un espacio por donde la pieza problema puede liberarse de la estructura mediante una secuencia de movimientos que consiste en deslizarse por el segmento base. por lo que los creadores pueden combinarlas para dar lugar a nuevos modelos. Las piezas soporte están representadas en color negro y las piezas problema en contorno. En anteriores trabajos hemos presentado los puzzles de alambre y hemos iniciado procesos de clasificación (Montoya y Gómez. rodear a la anilla base y volver a salir por la anilla traba Figura 3: Detalle del punto crítico de la estructura base. (Figura 4). Hemos seleccionado los puzzles de este grupo para estudiarlos desde el punto de vista didáctico por considerar que las destrezas de resolución necesarias para operar con ellos van a estar presentes en la mayor parte de los demás puzzles de alambres. introducirse parcialmente en la anilla traba. aunque no hemos encontrado ninguno que dé lugar a una clasificación taxativa. dado que los puzzles de alambre pueden ser definidos como 2 Figura 4: Clave de solución para los puzzles del grupo.
(COURANT y ROBBINS. En estas últimas trataremos de contemplar la importancia que tiene la forma de las piezas y las medidas de las mismas. Esto representa una condición topológica necesaria que Figura 6: A pesar de su apariencia similar. contracciones o torceduras reciben el nombre de transformaciones continuas3. en cierto sentido. ASPECTOS TOPOLÓGICOS La topología es la rama de la matemática que estudia las propiedades del espacio que permanecen inalteradas cuando en éste se producen determinadas alteraciones llamadas transformaciones topológicas. comenzando por las topológicas. El juego con los puzzles de alambre no admite estas transformaciones. como para que tenga solución. Se denominan continuas debido a que de ningún modo admiten cortes ni autointersecciones en los espacios. al cual se llegó sin necesidad de cortar ningún segmento. uno de estos deben cumplir los puzzles para poder ser resueltos. dado que el material del que están hechos es rígido. cuyo ejemplo más intuitivo es el de deformación. la estructura de enlaces que aparece en el puzzle. es su naturaleza topológica. 1994). que no forman un encadenamiento. A los propósitos de este artículo. puesto que el estado inicial del puzzle de la Figura 5 es topológicamente equivalente al estado final. 3 . Del conjunto de transformaciones topológicas posibles. tomemos como ejemplo uno de los juegos representados en la Figura 2 e imaginemos por un momento que los alambres son elásticos (Figura 5). Podríamos decir. en la posición inicial del juego.1. 3. pero Figura 5: Descomposición de un puzzle de alambre mediante tomarnos momentáneamente transformaciones continuas la libertad de imaginarlos flexibles nos ayudará a analizar su estructura.“estructuras topológico–métricas” (Flores 2002a) y la posibilidad de resolver un puzzle requiere que se cumplan determinadas condiciones en su estructura que remiten a problemas estudiados por la topología y la geometría (Montoya y Gómez. de importancia capital para caracterizarlos. Esto permitiría separar sus partes mediante transformaciones continuas y comprobar que se trata de una estructura compuesta por piezas individuales e independientes. Para ver esto con más claridad. es decir. hay que tomar en cuenta aspectos relacionados con la forma y las medidas de las piezas. 2002). que no siempre puzzles no cumple con la condición topológica necesaria para tener solución Las transformaciones continuas integran el concepto más amplio de transformaciones topológicas. que la pieza problema. La impresión de que estos puzzles de alambre son estructuras cerradas sólo se debe a la rigidez del material con los que están construidos. y continuando por las geométricas. LOS PUZZLES DE ALAMBRE COMO ESTRUCTURAS TOPOLÓGICO– MÉTRICAS Ya hemos estudiado algunas características de los puzzles de alambre. y hemos visto que una de ellas. los estiramientos. sólo será necesario hacer referencia a las transformaciones continuas. y las reglas de juego con los puzzles no permiten deformaciones como las que se aceptan en las transformaciones topológicas. tanto para que el puzzle no sea trivial. dado que no se contemplan cortes ni autointersecciones. ya se encuentra separada de la estructura soporte. En este apartado vamos a examinar algunas de estas características. Además de los aspectos topológicos. 3.
2. Aunque las piezas de la Figura 2 tengan distintas formas. ya que si una sola de ellas no se cumpliese. Por ejemplo. Estas tres condiciones geométricas que permiten que el puzzle tenga solución deben presentarse simultáneamente. En la pieza problema Figura 9: Relaciones geométricas entre el con forma de “mano”. En el puzzle de laberinto triangular. b) La longitud del sector clave de la pieza problema debe ser mayor que la distancia que existe entre la anilla traba y el extremos saliente de la anilla base. no tiene solución posible. en consecuencia. En este caso. verifican estas condiciones. b) El diámetro mayor de la pieza problema deber ser mayor o igual al de la anilla traba.suele reconocerse a simple vista. La geometría es la rama de la matemática que se encarga del estudio de las formas y sus medidas. Éstas se encuentran directamente vinculadas con los movimientos necesarios para liberar la pieza y se establecen entre un determinado sector de la pieza problema. GEOMETRÍA DE LOS PUZZLES DE ALAMBRE Los análisis topológicos que ensayamos más arriba no explican todo lo que encierran los puzzles de alambre. y en la que tiene forma de “corazón”. Es en este punto donde nos encontramos con ciertas condiciones que imponen al juego los aspectos geométricos de los puzzles. y el lugar crítico de la estructura soporte. Esto impide que la estructura se pueda desmontar. c) La forma y las dimensiones de la anilla base deben permitirle introducirse en el sector clave de la pieza problema. pues sus materiales no admiten las deformaciones que son el objeto de la geometría elástica. el sector clave está representado por sector clave y el lugar crítico que permiten la un dedo. las piezas de los puzzles de alambre tienen formas y medidas determinadas. 3. para cumplir con una doble y paradójica función: determinar el grado de dificultad del puzzle. a la vez que hacer posible su resolución. la solución se tornaría geométricamente imposible. . Las restricciones geométricas (Figura 8) que impiden una solución trivial son las siguientes: a) El diámetro de las anillas base debe ser mayor o igual al de las anillas traba. que deben guardar una cierta relación entre ellas. Esto impide la salida de la pieza problema por simple deslizamiento. uno de los dos puzzles de la Figura 6 no cumple esta condición y. aunque enunciada parezca trivial. que denominaremos sector clave. por la solución del puzzle hendidura central. Desarrollaremos Figura 7: Puzzle seleccionado para ejemplificar aspectos estos aspectos geométricos tomando como ejemplo el puzzle de la geométricos Figura 7. a) La forma y las dimensiones del sector clave de la pieza problema deben permitirle pasar a través de la anilla traba. Figura 8: Restricciones geométricas en los puzzles de alambre Ahora veremos las relaciones geométricas que permiten la solución (Figura 9). el obstáculo que presenta la anilla base está enfatizado por el laberinto que se inicia en el interior de la anilla traba.
4. En lo que sigue. tal como es presentada en los Diseños Curriculares de España y Argentina. Entre ellos. En la provincia del Neuquen. jurisdicción en donde se desarrolló la experiencia didáctica que se describe en este artículo.3. A partir del año 1995 cada jurisdicción inició un proceso de adecuación y elaboración curricular sobre los CBC que concluyó con la elaboración de un Diseño Curricular provincial. Mientras se mantengan las relaciones geométricas entre el sector clave de la pieza problema y el lugar crítico de la estructura soporte (las condiciones geométricas) un puzzle podrá tomar diferentes formas mediante transformaciones continuas sin que se altere su clave de solución.) y geométricos (formas y distancias). iniciada con la promulgación de la discutida Ley Federal de Educación. realizaremos un recorrido por el Área de Matemática. en la República Argentina se desarrolló un proceso de transformación curricular tomando como base los Contenidos Básicos Comunes para el Nivel Inicial y la Educación General Básica (CBC) aprobados por la XXII Asamblea Extraordinaria del Consejo Federal de Cultura y Educación. El estudio del espacio está abordado principalmente por el eje . etc. el análisis y el estudio de los puzzles de alambre requiere apreciar aspectos topológicos (huecos. El Diseño Curricular para la provincia del Neuquen presenta el área de Matemática organizada en distintos ejes. enlaces. con el objeto de señalar los conocimientos geométricos y topológicos que constituyen el conjunto de herramientas teóricas necesarias para abordar los problemas que presentan los puzzles de alambre. lo que nos permitirá argumentar sobre la pertinencia de su empleo como material manipulativo en la enseñanza de las matemáticas.3 COMBINACIONES TOPOLÓGICO–MÉTRICAS Planteadas las condiciones topológicas y geométricas para la construcción y solución de los puzzles de alambre. la resolución. No obstante. la Ley Federal de Educación encontró su mayor resistencia por parte del sector docente hasta el punto de estar su aplicación actualmente suspendida. Figura 10: Comparación y obtención de nuevos puzzles mediante transformaciones topológicas continuas a) Transformaciones continuas de la anilla problema conservando las condiciones geométricas del sector clave. es posible combinarlas imaginativamente para obtener nuevos modelos de puzzles o explorar posibles soluciones a puzzles complejos a partir de otros más sencillos. posiciones. ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Y PUZZLES DE ALAMBRE Tal como hemos mostrado en el apartado anterior. 1999) desarrollado en el marco de la llamada transformación educativa es el que registra la última fecha de actualización.1 Los puzzles de alambre en el currículo de matemáticas de Argentina En el marco de la llamada transformación educativa. el Diseño Curricular para la provincia del Neuquen (Consejo Provincial de Educación. b) Transformaciones continuas de la estructura base conservando las condiciones geométricas del lugar crítico. Con los puzzles de la Figura 2 podemos tomar algunos ejemplos que mostramos en la Figura 10. 4. los procesos de elaboración curricular siguieron adelante y hoy coexisten en la provincia diferentes documentos reconocidos con distinto grado de legitimidad.
Representaciones verbales y gráficas de recorridos en el espacio próximo. (Consejo Provincial. 1999. permitiéndose enriquecer sus experiencias y apoyarse sobre su saber empírico para estructurar el saber geométrico. pero existen referencias a nociones topológicas elementales que están planteadas desde el campo de la Geometría. En la caracterización del eje Geometría. Allí se hace referencia a la posibilidad de utilizar inicialmente unidades no convencionales con la finalidad de reflexionar sobre las reglas de cambio y progresar hacia la consolidación de la práctica en los sistemas convencionales. • Probar enunciados. describir. podrán describir las operaciones que con ellos se realizan descentrando poco a poco su lenguaje. 1999. Clasificación en polígonos y no polígonos. Interpretación. 1999. reproducirlo o representarlo utilizando el lenguaje geométrico. 139). Estas experiencias sensibles están privilegiadas en el primer ciclo (de 6 a 8 años) pues son las que deben permitir a los niños coordinar las informaciones que obtienen del entorno a partir de los sentidos. […] Representaciones gráficas de recorridos.132). La construcción manual y organizada de puzzles es una actividad que se presenta muy atractiva a los niños y demanda tareas comunicativas con las que pueden desarrollar la práctica de un lenguaje matemático preciso. • Prever la posibilidad o no de la realización efectiva de una construcción y realizarla. Cuerpos. Las nociones espaciales de ubicación y orientación que en el primer ciclo contribuyen al dominio del espacio tienen su continuidad en el segundo ciclo y en el tercero. Esto tiene . Algunos de los contenidos propuestos en el eje de Geometría que contemplan los procesos señalados anteriormente. con su acción y con la palabra. Reproducción usando diferentes técnicas. utilización y elaboración de códigos para describir la ubicación de un objeto en el espacio. Identificación y denominación de figuras. 139). Codificación de desplazamientos. usando las condiciones necesarias y suficientes. a través de la incorporación de contenidos cada vez más complejos como. Figuras planas. 131. la representación tridimensional. son los siguientes: Orientación y ubicación de los objetos en el espacio. Descripción oral. Las nociones espaciales también son abordadas desde el eje Medidas comprendido en el área de Matemática. p. Puntos de referencia.Geometría. (Consejo Provincial. por ejemplo. En la medida que los niños se familiaricen con los puzzles. La Topología se encuentra ausente como disciplina. se procura que el alumno pase de un control empírico a un control por medio de razonamientos. en donde los conceptos geométricos resulten instrumentos privilegiados para anticipar la solución del problema. En este contexto de trabajo. p. p. El juego con puzzles de alambre ofrece la posibilidad de explorar un espacio tridimensional cercano y manipulable. propone que su enseñanza se organice a partir de situaciones problemáticas espaciales. Clasificación en convexas y no convexas. La descripción permite identificarlo. Ese salto cualitativo se traduce por la posibilidad de: • Reconocer. desde una visión subjetiva hacia otra objetiva y matemática. La descripción de un objeto está definida como …una actividad de comunicación en donde se pasa de un objeto físico y sensible a un discurso sobre ese objeto o sobre la imagen o la representación que se ha hecho cada uno (Consejo Provincial. reproducir o transformar objetos y figuras. El diseño sostiene que para que los alumnos …puedan progresar en el estudio de la geometría es muy importante que hayan podido construir un sistema mental de referentes a partir de las experiencias con el espacio físico.
para conseguir el objetivo 9. vamos a analizar el Decreto del Ministerio y la forma en que lo ha adaptado el Gobierno andaluz. construcción. Objetivo 9: Identificar formas geométricas en su entorno inmediato. el currículum prevé la posibilidad de compartir la construcción de las nociones espaciales con otras áreas o disciplinas. Algunos de los contenidos compartidos son: la línea (recta. dentro/fuera. en donde se recrean las situaciones de los puzzles a escala corporal. 1991. que además es lúdica. la estimación de medidas y la posterior constatación de las relaciones entre tamaños se pone en juego en la fase de exploración libre del taller con los puzzles. p. En el campo de la Educación Física. Posteriormente. adaptándolos a su idiosincrasia particular.particular interés. Los contenidos matemáticos del Diseño Curricular Base Español refrendan este interés. En el Decreto de Enseñanza Primaria Español (MEC. cerca. el Ministerio de Educación y Ciencia elabora Decretos que regulan la enseñanza de las distintas disciplinas en todo el territorio nacional. la representación en el espacio tridimensional. lejos). la representación en el espacio bidimensional. 31) Tal como se observa en el análisis de los puzzles de alambre. las comunidades autónomas desarrollan estos Decretos.) se han considerado específicamente en la Educación Infantil. dado que las relaciones métricas que conservan las piezas de los puzzles son relativas y se pueden definir por comparación. Dentro del área de Matemática. Procedimientos: Búsqueda de elementos de regularidad y simetría en figuras y cuerpos geométricos Actitudes: 2) Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones a situaciones . probablemente porque las relaciones topológicas básicas (proximidad. A Educación Plástica concierne lo que se refiere al conocimiento y representación del espacio bi y tridimensional. sin hacer alusión directa. el plano. la forma (abierta. los puntos de vista (arriba. por comparación directa o utilizando una unidad no convencional o las convencionales más usuales. 1991) no se hace alusión a los aspectos topológicos. abajo.3. Sin embargo los puzzles en alambre son una buena ocasión para identificar formas en figuras manipulativas. curva). En este sentido. irregular). etc. regular. Esta percepción se materializa al construir posteriormente los puzzles. las oportunidades que ofrecen los puzzles de alambre permiten establecer vínculos con Educación Plástica (Área de Educación Artística) y con Educación Física. todo ello con una funcionalidad (sacar la pieza problema). cerrada. Bloque 4: Formas geométricas y situación en el espacio Conceptos: Regularidades y simetrías. 4. utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para incrementar su comprensión y desarrollar nuevas posibilidades de acción en dicho entorno. Además hay que identificar la forma para seleccionar la parte de la pieza problema que permite realizar algún movimiento. ya que los puzzles son objetos con los que se realiza un análisis geométrico de la forma y medida de objetos. Algunas de las actividades iniciales propuestas para el primer ciclo son la clasificación y ordenación de objetos por su longitud. (BOE. Para estudiar la posible utilización de los puzzles de alambre en la educación matemática en Enseñanza Primaria. Los puzzles de alambre en el currículo de matemáticas de España En España. es posible implementar juegos similares al de la Figura 3. con lo que permiten afrontar los bloques 2 y 4: Bloque 2: La Medida Procedimientos: Elaboración y utilización de estrategias personales para llevar a cabo mediciones de manera exacta y aproximada. donde se procura la adquisición de un esquema corporal dinámico adaptado a las relaciones espaciales.
clasificación y representación de las relaciones en orden a un referente establecido. orden. Flores 2002b): Experimentación (juego libre y comunicación) – Representación – Elaboración. etc. En el taller que describimos en el punto siguiente se han explotado los puzzles de alambre en procesos cíclicos (Montoya y Gómez 2001. mediante signos y códigos elaborados por los propios alumnos. que parte de la percepción intuitiva para llegar a la construcción de relacione topológicas: Bloque 6: Conocimiento. fuera. 114) El Bloque 6 de contenidos propone llevar a cabo un proceso gradual de relación con las formas del entorno. p.. 1992). (Junta de Andalucía 1992. conocimiento y generalización de nociones topológicas básicas y aplicación de las mismas al conocimiento del medio: Durante toda esta etapa se propondrán situaciones en las que intervengan nociones como proximidad.. etc. estaremos colaborando a que se sometan a unas reglas y una disciplina para resolver los retos que se le presentan. 1991). p. En el Diseño Curricular Base de la Educación Primaria en Andalucía (Junta de Andalucía. en función de sus vivencias y nivel de competencias cognitivas. cerramiento. estableciendo relaciones espaciales como cerca. en el medio: fortalecimiento de las relaciones topológicas. aproximarse. Seguidamente se tratará. La primera de ellas está relacionada con el trabajo con los puzzles de alambre: Percepción. Posteriormente lo harán con objetos y elementos reales. separación. . Se trabajará la representación oral y gráfica de las acciones realizadas. y de análisis de las características de las piezas. representación mental de las figuras (con la consiguiente retención de formas). como si analizamos cada fase. dentro. hasta la progresiva construcción de nociones topológicas. sobre. p.) orientación en el espacio y aplicarlas a la resolución de problemas sencillos. Introducción: Al desarrollar los contenidos relacionados con el conocimiento. 32). Elaborar estrategias personales de (. Un objetivo realza la importancia de crear destrezas de orientación en el espacio: 4. observaremos que la resolución de los puzzles de alambre exige un ejercicio de ensayo y error.. coordinación de diferentes perspectivas desde la que se perciben las formas y la introducción de referentes para situar los objetos en el espacio. que le facilitarán su adaptación y utilización del espacio. Se comenzará a vivenciarlas mediante juegos y actividades donde los alumnos hayan de situarse.problemáticas relacionadas con la organización y utilización del espacio. delante. invitándoles a la secuenciación. desde las percepciones intuitivas del espacio. orientación y representación espacial el alumno progresará. la relativización de estos conceptos.. en situaciones contextualizadas. p. con objeto de buscar otros puzzles semejantes que sirvan de apoyo para la búsqueda de nuevas estrategias de resolución. Estos ciclos facilitan que el jugador se cree imágenes mentales de los puzzles que le permitan relacionar las figuras con las transformaciones de las mismas que se ejecutan en la fase de experimentación. lejos. proyectivas y euclidianas. (BOE 1991. orientación y representación espacial. Ello facilitará la representación mental de estas nociones. (Junta de Andalucía 1992. 114) Posteriormente se indican tres aspectos o dimensiones que permiten organizar la enseñanza para conseguir que el alumno se relacione con los objetos. se añaden nuevas consideraciones. Si logramos que los alumnos eviten enfrentarse a los puzzles con una actitud competitiva. debajo. (Junta de Andalucía. Tanto si consideramos el proceso global del ciclo. con lo que atenderemos a las actitudes que se proponen en el Decreto de Educación Primaria (MEC. desplazarse. 114). continuidad.. tendente solamente a separar la pieza problema a cualquier precio.
además de ofrecer a los alumnos un espacio de recreación y aprendizaje con un material de interés. la primera etapa corresponde al momento de acción individual. que permite pasar a una etapa de representación. UNA EXPERIENCIA DE ENSEÑANZA CON PUZZLES DE ALAMBRE: TALLER EN LAS COLORADAS En el mes de octubre del año 2001. 1992). pragmática. Curiosamente. para el docente coordinador consistió en una actividad exploratoria con el propósito de poder observar qué sucedía en la interacción de los niños con los juegos en situación de aprendizaje. ya que requiere que se pongan en juego los elementos aprendidos en las anteriores. Aunque nuestra intención no es formalizar los aprendizajes.El esquema del taller que presentamos pone a los alumnos en situación de afrontar problemas reales de naturaleza geométrica. Estas parecen ser las primeras acciones necesarias para comenzar a reconocer los límites de la estructura espacial que se . motrices y comunicativos presentan los juegos? • ¿Qué estrategias se ponen en práctica para la resolución de estos problemas? • ¿Qué aspectos de los juegos permiten desarrollar actividades de enseñanza– aprendizaje? El taller se desarrolló en cuatro encuentros semanales. En el Currículo andaluz para el mismo nivel (Junta de Andalucía. en la que se produce una cierta integración (última fase del modelo de aprendizaje de los Van Hiele. por lo que recurrimos a una etapa de construcción. y a la etapa de representación de Dienes (1971). durante las primeras interacciones con los puzzles. En esta etapa se observó que la mayoría de los niños (que concurrieron al taller) tendían a compenetrarse en la actividad con alta concentración. por mostración y verbalización. como insistentes tanteos a ciegas. en el currículo español de matemáticas para la Educación Primaria (niños de 6 a 12 años de edad) se insiste en aspectos del estudio métrico y geométrico que pueden abordarse con tareas lúdicas relacionadas con el análisis. 1993). Comunicación. Representación gráfica y Construcción. Patagonia Argentina). La concepción constructivista del aprendizaje nos hizo proponer una etapa de comunicación entre los sujetos (Vygotsky. La propuesta hacia los alumnos consistió en poder jugar y aprender a construir los juegos. clasificación y resolución de puzzles de alambre. se alude específicamente a que se propongan actividades que favorezcan en el niño la interiorización consciente de dimensiones topológicas. 1987). Pero. Una de ellas consiste en realizar movimientos improvisados y repetitivos. se organizó un pequeño taller extraescolar y optativo de juego y construcción con puzzles de alambre con niños de 4º Grado de la Escuela N° 88 de Las Coloradas (Provincia del Neuquen. 1987). Primera Etapa: El Juego Libre El taller se inició presentando a los niños un conjunto de puzzles simples para que explorasen el juego libremente. se observaron formas de proceder que también se dan en los adultos. Durante esta etapa se va percibiendo la necesidad de un nuevo lenguaje. que exigen la realización de ciclos de aproximación a las formas. sí tenemos intención de que se afiancen. y a ello puede colaborar de manera evidente trabajar en el aula de matemáticas con puzzles de alambre. en los cuales se pudo realizar un registro parcial en video. Las actividades realizadas durante estos cuatro encuentros se podrían analizar en cuatro etapas diferentes y consecutivas: Juego libre. medidas y disposiciones topológicas que siguen el esquema trazado en este Decreto de Matemáticas en Educación Primaria (Junta de Andalucía. Alsina y otros. En resumen. 1992). correspondiente a los procesos de explicitación. Para esto se plantearon algunas preguntas orientadoras de la práctica y la observación: • ¿Qué nuevos problemas espaciales. incorporando las etapas de juego libre y juego reglado de Dienes (1971). en las fases del aprendizaje de Van Hiele (Alsina y otros. Dado que los puzzles en alambre son “solitarios”. 5.
Ello se alcanza después de haber realizado la operación de liberar la pieza y volver a colocarla varias veces. A partir de aquí comienza la etapa complementaria de la resolución del juego que consiste en volver a colocar la pieza problema en la posición inicial. Segunda Etapa: Comprensión y Comunicación de la resolución En esta etapa. Se producía así una serie de intercambios de experiencias que demandaban un lenguaje capaz de describir los nuevos objetos y las operaciones realizadas . sin necesidad de realizar ningún tanteo. objetando el sentido común. pues consiste en la operación inversa de la que se realizó para sacar la pieza problema. generalizando la forma de solución. Aparentemente. En este caso. pues consideraban que la posibilidad de que no tuviese solución era aceptable en el marco reglado de juego. tiene dirección dentro–fuera. Cuando hubieron resuelto varios puzzles diferentes (todos con la misma clave de solución) algunos niños fueron capaces de identificar lo que hemos llamado el sector clave y señalarlo en distintas piezas problema. obsérvese que es el recorrido inverso a la clave de solución. lo cual se asienta en una noción intuitiva de conservación de las propiedades topológicas durante las transformaciones continuas. se observó que los niños que descubrían que en el puzzle con forma de mano uno de los “dedos” funcionaba como sector clave no atribuían inmediatamente esa propiedad a cualquiera de los otros cuatro “dedos” (o los espacios entre “dedos”). El primer paso. Algunos niños retiraban lentamente la pieza problema cuando advertían que estaba a punto de salir de la estructura. De este modo pudieron jugar a intercambiar la pieza problema y colocarla en diferentes estructuras bases o realizar encadenamientos de juegos. pues dieron por sentado la reversibilidad de la operación. suele ocurrir que la solución sobrevenga sin haberla previsto y ésta también es una situación que se observa en adultos. Los niños que aún no habían afianzado los pasos consultaban a quienes ya lo lograron. Es así que en los primeros intentos de recomponer el puzzle suelen ensayarse movimientos como los señalados en la Figura 11.a). si no la alejaban demasiado de la estructura. La expresión de sorpresa también se reitera. Atendiendo a las consultas. Figura 11: a) Primeros intentos de recomponer el puzzle. Algunos niños preguntaron si el puzzle efectivamente se podía resolver. lograban identificar enseguida el camino inverso. También se observó una tendencia a introducir la pieza problema en la anilla base. Cuando se ejecutan estos tanteos. sin advertir aún que es necesario realizar un movimiento previo. Una de ellas podría basarse en la idea. en sentido contrario (Figura 11. desde afuera hacia adentro. Una vez que la pieza era liberada. o bien observaban y trataban de repetir los movimientos que realizaba algún compañero sobre un puzzle similar. esta operación presentó muchas dificultades. de que todo lo que ingresa a un espacio debe hacerlo desde afuera hacia adentro. para volver a la posición inicial realizando los movimientos inversos. no todos los niños llegaron al mismo tiempo a esta etapa. b) Forma correcta de recomponer el puzzle. ya que la pieza problema comienza a buscar curvas y agujeros en la estructura. Como era de esperar. los que ya habían llegado a dominar el puzzle realizaban indicaciones o demostraciones. la mayoría de los niños lograron resolver el juego con seguridad. forjada en el sentido común.tiene en las manos. La recomposición del puzzle es un desafío muy interesante. se observó que ningún niño preguntó si era posible volver a colocarla.b). esa posición les permitía reconstruir mentalmente el recorrido recientemente realizado. Estos intentos simples van haciéndose cada vez más complejos. Seguidamente son capaces de repetir los movimientos observados y resolver el puzzle. y de esa forma observaban con detenimiento cómo ocurría la salida. No obstante. No obstante.
tal como se presentan las Figura 12: representaciones gráficas espontáneas: a) estructura con figuras en este trabajo. en la que se observa un esfuerzo por describir la experiencia espacial. ni las formas de las piezas que eran esenciales para la resolución del juego. aunque hubo que dibujar en primer lugar el puzzle con todas sus intersecciones continuas con lápiz y luego repasar los segmentos con tinta deteniéndose en las intersecciones. así. a su vez. Esta explicación. Este puede ser el momento de iniciar un proceso de apropiación sintáctica y semántica del lenguaje matemático para construir. lo mete para… eh… hay como una curvita. En esos sectores. 1993) y construyendo un espacio lógico–matemático a través de un proceso de abstracción reflexiva originado en las propias acciones sobre los objetos (Gálvez. desde el lenguaje natural y cotidiano. Daniela (9 años): Es lo mismo que el corazón. Cuarta etapa: Construcción de los puzzles La última actividad del taller consistió en la construcción de puzzles de alambre. 1998. Tercera Etapa: Representación gráfica de los puzzles Una vez comprendida la solución de los puzzles. Las partes que presentaron mayor dificultad en su representación fueron las de los lugares críticos. sobre soportes gráficos o concretos que allanen el dificultoso camino que representa la exposición oral. la representación gráfica de algunos segmentos presentaba discontinuidades (Figura 12. En estas conversaciones. para analizar si se continúa el trazo o se deja abierto. En el párrafo que sigue se puede apreciar la explicación de una alumna del taller acerca de la similitud entre dos piezas problema y su clave de solución.b). En principio los niños no llegaban a diferenciar detalles de los enlaces necesarios para la construcción de los puzzles. se observó que las representaciones gráficas espontáneas no conservaban la proporcionalidad entre el sector clave y el lugar crítico y entre la anilla traba y la anilla base. En los primeros dibujos se observaron dificultades comunes. es decir que no representaron las relaciones geométricas necesarias para poder resolver los juegos. se pidió que representaran sobre los dibujos realizados el camino que recorre la anilla problema para salir de la estructura. en las intersecciones. un lenguaje formal y preciso con mayor potencial descriptivo y comunicativo desarrollado. da cuenta de que la niña ha conocido y comprendido los vericuetos espaciales que depara el juego. En otros casos la dificultad estaba en representar la ortogonalidad entre el segmento y la anilla (Figura 12. Dickson y otros. 1991). que para los niños resultó tan atractiva como el juego mismo. En esta última tarea. diferenciaran con una pequeña discontinuidad los segmentos que pasan por delante de los que pasan por detrás. bajarlo para abajo y ya lo sacas. (va apoyando su explicación con movimientos de sus manos) hay que meterlo para adentro. Finalmente. correrlo para el otro lado. En una segunda fase se pidió a los alumnos que. se propuso a los alumnos que dibujasen algunos modelos como paso previo a la construcción real. fue necesario desarrollar algunas técnicas y habilidades motrices relacionadas con el uso de herramientas . la manita (se refiere a las dos piezas problema que tienen esa forma) […] Tiene el agujerito.con ellos. Como cierre de las actividades gráficas.a). los alumnos dan muestras de estar interiorizando (Vygotsky. Aquí se presentaron muchas dificultades que obligaron a volver a manipular los puzzles y a reflexionar nuevamente sobre los movimientos con los que ya estaban familiarizados empíricamente. Esta discontinuidad de segmentos y b) unión de segmento y anilla tarea fue realizada con facilidad.
De este modo. Comentarios finales Esta experiencia es sólo un ejemplo de escenarios que pueden presentarse al operar con estos juegos en una situación de enseñanza / aprendizaje. alicates y otros elementos utilizados para dar formas curvas a los alambres. que hasta ahora no habían sido tenidas en cuenta. Ello nos hace justificar (porqué) el empleo de los puzzles en la enseñanza de las matemáticas: las experiencias realizadas nos han mostrado que es posible introducirlos y que llegan a motivar a los niños. especialmente en la Educación Primaria. a través de actividades lúdicas que despiertan la curiosidad y el interés de los alumnos. Invitación a la didáctica de la geometría. superando su mero papel lúdico. Como todo recurso didáctico. pero aprovechando este componente. las etapas propuestas en el taller se relacionan con las señaladas en otros documentos sobre enseñanza de la geometría (Alsina y otros. en las que se incorporen para lograr finalidades formativas seleccionadas. BURGUÉS. Hemos mostrado el interés matemático de los puzzles ligado a sus cualidades topológico-métricas. en la reproducción material los niños no siempre tuvieron en cuenta las relaciones geométricas de las piezas. y por tanto se puede ver como superfluo por la comunidad educativa. Madrid. Los puzzles ponen de evidencia conflictos en la relación con el espacio y sobre todo en la representación que los niños hacen de él. como hemos visto. haciéndolos propensos a explorar algunas cualidades del espacio tridimensional. Así como en la representación gráfica. los puzzles de alambre tienen que formar parte de unidades didácticas bien definidas. J. Estos puzzles plantean verdaderos retos. (1987). Tal como hemos visto. C. nuestra experiencia y análisis nos ha proporcionado la ocasión de desarrollar destrezas y habilidades espaciales que se contemplan en los Currículos oficiales (qué). Síntesis. la experiencia didáctica que presentamos a través del taller de construcción de juegos muestra la posibilidad de concretar estas prácticas. que pone a los alumnos frente a originales situaciones problemáticas en el espacio tridimensional mediante las cuales pueden desarrollar un conjunto de aprendizajes contemplados en los Diseños Curriculares oficiales. Finalmente.como pinzas. Aunque no está extendido entre los profesores el empleo de los puzzles. Los procesos de comunicación –tanto orales cómo gráficos– que se desarrollan sobre los nuevos problemas promueven la abstracción reflexiva de las propiedades espaciales y demandan la apropiación progresiva de un lenguaje que permita una mayor precisión y entendimiento. REFLEXIONES FINALES En este artículo hemos presentado un grupo de puzzles de alambre y hemos desarrollado su interés formativo en la educación matemática en la enseñanza obligatoria.M. Pero estos errores fueron advertidos cuando intentaron resolver los puzzles recién construidos. C. Referencias bibliográficas ALSINA. están ligadas a aspectos topológicos y geométricos. Esto llevó a nuevas reflexiones informales sobre los aspectos geométricos. que. Esperamos que esta propuesta invite a docentes e investigadores a indagar en las propiedades de los puzzles de alambre y sus vinculaciones con la Didáctica de las Matemáticas en la construcción del pensamiento espacial. 1987). . se pudo llevar a cabo la construcción de juegos como el que tiene forma de mano. Y FORTUNY.. Hasta ahora podemos constatar que los puzzles representan un objeto de interés para los niños y los predispone a explorar activamente sus posibilidades de solución. logrando que sea un solo dedo de la anilla problema. o un solo lugar crítico de la estructura el que permitiera la solución.
suplemento. (1971). GÁLVEZ. y SAIZ. 17 al 21 de julio del 2000. C.273-299. L. y ROBBINS.): Didáctica de las Matemáticas. Granada. Y GIBSON. Comunicación presentada en la RELME 15.. Barcelona. Z. Argentina. (2001). PROVINCIA DEL NEUQUEN (1999) Educación General Básica. MONTOYA. Aportes y reflexiones. SAEM THALES y Departamento de Didáctica de la Matemática. Taller de resolución de problemas: Puzzles en alambre. Barcelona. Tomo 4. G. FLORES. C. (1986).(Ed. GARDNER. El aprendizaje de las matemáticas. JUNTA DE ANDALUCÍA (1992). P. Área de Matemáticas. Sevilla. I. Grijalbo. (2000). Decreto 105/92. Currículum de Educación Primaria. (1994). Topología. Ediciones Librerías Fausto. Matemáticas. Diseño Curricular. de 9 de Junio de 1992. Sigma. O. 23 al 27 de julio de 2001. M. G. 31-35. R.). Barcelona. VYGOTSKY. Teide. SUMA 41. La psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental. 40860-41014. BOE 220. Real Decreto 1344/1991 de 6 de Diciembre. Anexo II. COURANT. Investigación en el aula de Matemáticas. J. Buenos Aires. y GÓMEZ. Paidós Educador. Labor. Comunicación presentada en la RELME 14. Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. J. Buenos Aires. (Comps. M. En PARRA. FLORES.CONSEJO PROVINCIAL DE EDUCACIÓN. Estructuras topológico – métricas. Buenos Aires. Panamá. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA (1991). P. (1993) Pensamiento y Lenguaje. (2002a). En NEWMAN. BOJA 56. Una aproximación matemática a los rompecabezas de alambre. Bytgraf. G.P. (1991). Labor-MEC. 29-35. Laberintos con alambre. R. El Mundo de las Matemáticas. DIENES. 173-191. Educación Primaria. BROWN. GÓMEZ. 113116. Barcelona. H. (1998): La Geometría. Resolución de Problemas. Nudos en el nivel medio superior. Publicado en Junta de Andalucía: Decreto de Educación primaria. y otros (Eds. DICKSON. . Neuquen.M. En Cardeñoso. Lev S.). Las seis etapas del aprendizaje de las matemáticas. (2002b).
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