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Timestamp: 2018-08-20 19:46:52+00:00

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algebra para la HP49g
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Description: Manual de algebra para la HP49g
Manual de algebra para la HP49g
Cálculo cientíﬁco y técnico con HP49g/49g+/48gII/50g Módulo 2: Recursos avanzados Tema 2.
3 Algunos recursos algebraicos
Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Catalunya Dep. Matemática Aplicada III Marzo 2007, versión 1.1
Contenido 1. Manipulación de productos 2. Manipulación de funciones racionales 3. Solve 4. Sustitución
1 Manipulación de productos 1.1 Factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 EXPAND, EVAL, SIMPLIFY . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Manipulación de funciones racionales 2.1 Comando PROPFRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Comando PARTFRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 5 5 8
3 Solve 14 3.1 Resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Resolución de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Resolución de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.1 Resolución gráﬁca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.2 Resolución numérica basada en intervalos de signo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.3 Resolución con el comando SOLVE . . . . . . . . . . . 32 4 Sustitución 4.1 El comando SUBST . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Sustitución de un valor . . . . . . . . . . 4.1.2 Sustitución de una variable . . . . . . . . 4.1.3 Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Cambio de variable en integrales deﬁnidas 4.2 El comando | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Sustitución en el editor de ecuaciones . . 35 35 36 37 38 39 41 42
Recursos algebraicos. 1
El comando FACTOR factoriza polinomios, y enteros. Puedes encontrar el comando en el menú ALG.
Para un buen funcionamiento de FACTOR, la calculadora debe estar en modo exacto. Actividad 1.1 Fija el modo real exacto. Entra el entero 939600,
ejecuta FACTOR, debes obtener
Actividad 1.2 Entra el número 939600, ﬁja el modo real aproximado y ejecuta el comando FACTOR. Observa que, en este caso no se produce la factorización.
Recursos algebraicos. 2
Actividad 1.3 Queremos factorizar el polinomio x4 − x3 − 5x2 + 3x + 6. 1. Entra el polinomio en la pila.
2. Accede al menú [ALG] y ejecuta el comando FACTOR. El resultado es:
También se puede ejecutar el comando directamente desde el menú de herramientas del editor de ecuaciones. Para factorizar una expresión, debes seleccionarla y pulsar [F5] para ejecutar FACTOR.
Si el comando FACTOR no está visible, pulsa la tecla1 TOOL, para acceder al menú de herramientas del editor de ecuaciones. Actividad 1.4 Accede al editor de ecuaciones. Observa la etiqueta correspondiente al comando FACTOR. Pulsa la tecla [VARS] para acceder al área de variables. Recupera el menú de herramientas del editor de ecuaciones pulsando la tecla [TOOL]. Factoriza el polinomio x4 + 3x2 − 7x3 + 49x − 70 debes obtener
Tecla (2, 3).
Recursos algebraicos. 3
El comando FACTOR también actúa sobre cocientes de enteros y polinomios, en ese caso factoriza el numerador y el denominador. Actividad 1.5 Factoriza la función racional x3 − 5x2 + 8x − 4 , x2 + x − 12 debes obtener
EXPAND, EVAL, SIMPLIFY
El comando EXPAND realiza la operación inversa de FACTOR, esto es, efectúa los productos y opera términos semejantes. Puedes encontrar el comando EXPAND en el menú ALG.
Actividad 1.6 Entra el producto (x − 3)(x − 4)(x − 5), ejecuta el comando EXPAND. Puedes obtener el mismo resultado con EVAL. Actividad 1.7 Entra la fracción
Recursos algebraicos. 4
y ejecuta EXPAND. Obtendrás
Actividad 1.8 Repite la actividad anterior usando el comando EVAL. Actividad 1.9 Entra en la pila la fracción
pulsa la tecla [H] para pasar al editor de ecuaciones
ejecuta el comando FACTOR, obtendrás
Recursos algebraicos. 5
pulsa [F5] para ejecutar EVAL o [F6] para ejecutar el comando SIMPLIFY. En ambos casos se efectúan los productos y obtendrás la fracción de partida.
Manipulación de funciones racionales
x2 + 2x + 3 . x3 + x − 1
Una función racional es el cociente de dos polinomios, por ejemplo, f (x) =
Los comandos PROPFRAC y PARTFRAC son especialmente útiles para el manejo de funciones racionales.
Comando PROPFRAC
f (x) = p(x) q(x)
Una función racional
es propia en grado cuando el grado del numerador es estrictamente inferior al grado del denominador. La función racional f (x) = x2 + 2x + 3 x3 + x − 1
es propia en grado. Por el contrario, la función g(x) = x4 + x3 + 2x + 3 x2 − 5x + 6 p(x) q(x)
es impropia en grado. Si la función racional f (x) =
es impropia en grado, esto es, si se cumple grado [p(x)] ≥ grado [q(x)]
Recursos algebraicos. 6
entonces puede expresarse como suma de un polinomio y de una función racional propia en grado, para ello dividimos el polinomio p(x) por q(x) y obtenemos la expresión f (x) = c(x) + r(x) , q(x)
donde c(x) es el cociente y r(x) es el resto de dividir p(x) por q(x); la fracción r(x) q(x) es siempre propia en grado. El comando PROPFRAC permite expresar una función racional impropia en grado en la forma r(x) . f (x) = c(x) + q(x) Puedes obtener el comando en la segunda página del menú ARITH
Para ello, pulsa Á [1] y [NEXT] para acceder a la segunda página del menú
También puedes obtenerlo del catalogo de funciones CAT, o bien, teclearlo directamente. Actividad 2.1 Localiza el comando PROPFRAC en el menú ARITH. Actividad 2.2 Localiza el comando PROPFRAC en el catálogo de funciones.
Recursos algebraicos. 7
Recuerda que si pulsas [α][P ], avanzarás en el catálogo hasta la letra P. Actividad 2.3 En esta actividad vamos a expresar la función racional x4 + x3 + 2x + 3 x2 − 5x + 6
como suma de polinomio y fracción propia. Para ello, sigue los siguiente pasos: 1. Entra la fracción en la pila.
2. Accede a la segunda página del menú ARITH y ejecuta el comando PROPFRAC, obtendrás:
Actividad 2.4 Divide manualmente los polinomios p(x) = x4 + x3 + 2x + 3, y veriﬁca que el cociente es c(x) = x2 + 6x + 24 y que el resto es r(x) = 86x − 141. Actividad 2.5 Expresa la fracción f (x) = x4 + x − 1 x3 − x2 + x − 1 q(x) = x2 − 5x + 6
como suma de polinomio y fracción propia. x Sol. f (x) = x + 1 + x3 −x2 +x−1 .
Recursos algebraicos. 8
Comando PARTFRAC
El comando PARTFRAC calcula la descomposición en fracciones simples de una función racional. Seguramente has usado la descomposición en fracciones simples en la integración de funciones racionales. Otra aplicación notable es el cálculo de la antitransformada de Laplace. Puedes acceder al comando PARTFRAC en la primera página del menú ALG.
También puedes buscarlo en el catálogo de funciones y comandos [CAT],
o teclearlo directamente. Actividad 2.6 Localiza el comando PARTFRAC en el menú ALG. Actividad 2.7 Localiza el comando PARTFRAC en el catálogo de funciones. Actividad 2.8 El objetivo de esta actividad es descomponer en fracciones simples la función racional x2 + 1 . x3 − 2x2 − x + 2 Para ello, carga la expresión en la pila f (x) =
Francisco Palacios y ejecuta el comando PARTFRAC, debes obtener:
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Actividad 2.9 Realiza manualmente la descomposición del ejercicio anterior. Para ello, descompón previamente el denominador con el comando FACTOR. La descomposición en fracciones simples sólo se aplica a fracciones racionales propias en grado. Si tenemos p(x) q(x) y el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, primero hay que expresar la fracción en la forma r(x) p(x) = c(x) + q(x) q(x) y, posteriormente, se realiza la descomposición en fracciones simples de r(x) . q(x) Así, por ejemplo, si tenemos x3 + x + 1 p(x) = 2 , q(x) x +x−2 primero dividiríamos p(x) por q(x) y obtendríamos x3 + x + 1 4x − 1 =x−1+ 2 , x2 + x − 2 x +x−2 seguidamente, descomponemos 4x − 1 x2 + x − 2 en fracciones simples, resulta 4x − 1 1 3 4x − 1 = = + . x2 + x − 2 (x − 1) (x + 2) x−1 x+2
Francisco Palacios Finalmente, obtenemos
Recursos algebraicos. 10
1 3 x3 + x + 1 =x−1+ + . 2+x−2 x x−1 x+2 El comando PARTFRAC se aplica directamente a funciones raciones impropias en grado, sin que sea preciso dividir previamente, si cargamos en la pila (o en editor de ecuaciones) la expresión
y ejecutamos el comando PARTFRAC, obtenemos directamente
Actividad 2.10 El objetivo de esta actividad es calcular, paso a paso, una integral racional. Supongamos que tenemos que calcular la primitiva Z x3 − x + 1 dx. x2 + 2x − 3 Para ello, 1. Entra en el editor de ecuaciones la función racional.
2. Selecciona la expresión y accede al menú ALG.
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3. Pulsa [F6] para ejecutar PARTFRAC y realizar la descomposición en fracciones simples.
4. Ahora, vamos a integrar cada uno de los términos por separado. Usa la combinación de teclas Â [I] para seleccionar el polinomio inicial.
5. Pulsa Á[4] para acceder al menú CALC y pulsa [F6] para ejecutar el comando INTVX, que calcula la primitiva respecto de la variable por omisión
Recursos algebraicos. 12
Ejecuta EVAL para realizar la integración.
6. Selecciona ahora la primera fracción y pulsa INTVX,
ejecuta EVAL, para efectuar la integración.
7. Finalmente, repite el proceso con la segunda fracción, resulta:
Recursos algebraicos. 13
8. Pulsa [TOOL] para recuperar el menú de herramientas del editor de ecuaciones y pulsa [F3] para desactivar la opción [BIG], entonces obtendrás la siguiente vista:
9. Si pulsas [ENTER], cargarás la expresión en la pila.
10. Para visualizar la expresión desde la pila, pulsa [TOOL] y [VIEW], accederás a una pantalla gráﬁca
que puedes desplazar con las teclas [J],[I].
Francisco Palacios Actividad 2.11 Calcula manualmente la integral Z x3 − x + 1 dx. x2 + 2x − 3 Actividad 2.12 Calcula directamente la integral Z x3 − x + 1 dx, x2 + 2x − 3 cargando la expresión x3 − x + 1 x2 + 2x − 3 en la pila y ejecutando el comando INTVX. Actividad 2.13 Calcula manualmente la integral Z x+1 dx. 2 − 6x + 8 x Veriﬁca el resultado integrando con INTVX. R x+1 Sol. x2 −6x+8 dx = − 3 ln (x − 2) + 5 ln (x − 4) . 2 2 x+1 − 6x + 8
Recursos algebraicos. 14
Actividad 2.14 Descompón en fracciones simples la función racional x2
e integra cada una de los términos por separado.
El comando SOLVE permite resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones de forma exacta. También resuelve inecuaciones. Puedes acceder al comando SOLVE en la segunda página del menú ALG
también puedes obtenerlo del catálogo de funciones y comandos2 [CAT]
También puedes encotrar el comando SOLVE en la primera página del menú S.SLV (Á [1]).
Recursos algebraicos. 15
o teclearlo directamente. Actividad 3.1 Localiza el comando SOLVE en el menú ALG. Actividad 3.2 Localiza el comando SOLVE en el catálogo de funciones. Actividad 3.3 Localiza el comando SOLVE en el menú S.SLV.
Para resolver una ecuación con SOLVE, simplemente debes cargar la ecuación en el segundo nivel de la pila, la incógnita en el primer nivel y ejecutar SOLVE. Actividad 3.4 Por ejemplo, para resolver la ecuación x2 + x = 1 − 2x, procedemos como sigue: 1. Cargamos en la pila los dos miembros de la ecuación.
2. Pulsamos la tecla Â(6,2) para ejecutar el comando =, obtenemos:
Francisco Palacios 3. Cargamos en la pila la incógnita
Recursos algebraicos. 16
y ejecutamos el comando SOLVE, debes obtener
Actividad 3.5 Resuelve la ecuación x2 − x − 1 = 0. √ √ Sol. x = 1 + 1 5, x = 1 − 1 5. 2 2 2 2 Actividad 3.6 Si la calculadora no puede resolver una ecuación, contesta con una lista vacía de soluciones. Selecciona el modo real exacto y intenta resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0.
Debes obtener el resultado
Recursos algebraicos. 17
Actividad 3.7 Selecciona ahora el modo complejo exacto y vuelve a resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0, debes obtener el siguiente resultado
resuelve manualmente la ecuación y veriﬁca el resultado obtenido. Actividad 3.8 Fija el modo real exacto e intenta resolver la ecuación bicuadrada x4 + 3x2 − 4 = 0. Sol. x = 1, x = −1. Actividad 3.9 Fija el modo complejo exacto e intenta resolver la ecuación bicuadrada x4 + 3x2 − 4 = 0. Sol x = 1, x = −1, x = 2i, x = −2i. Actividad 3.10 Fija el modo complejo exacto e intenta resolver la ecuación bicuadrada x4 − 2x2 + 1 = 0. Sol x = 1, x = −1. Actividad 3.11 Resuelve manualmente la ecuación x4 − 2x2 + 1 = 0.
El comando SOLVE permite resolver sistemas no lineales como ½ 2 x − y 2 = 1, y = x2 − 1. Para ello debemos cargar un vector con las ecuaciones en el nivel 2 de la pila, un vector con las incógnitas en el nivel 1, y ejecutar SOLVE. La parte más novedosa es la construcción del vector que contiene las ecuaciones. Procedemos como sigue: 1. Accedemos al editor de Matrices3 [MTRW], veriﬁcamos que la opción VEC está activada4 ; en caso contrario, pulsamos [F2] para activarla. Veriﬁcamos también que esté activada la opción de desplazamiento a la derecha [GO→].
Tecla Á(4,3). Debe aparecer un cuadrado blanco junto a VEC, tal como aparece en la ﬁgura.
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2. Pulsamos [EQW] para acceder al editor de ecuaciones y escribimos la primera ecuación.
Pulsamos [ENTER] para aceptar la ecuación y volver al editor de matrices.
3. Observamos que se ha seleccionado automáticamente el campo 1-2. Pulsamos nuevamente [EQW] para acceder al editor de ecuaciones y entrar la segunda ecuación.
Pulsamos [ENTER] para aceptar la segunda ecuación y volver al editor de matrices.
Recursos algebraicos. 19
Pulsamos ENTER para aceptar el vector de ecuaciones y volver a la pila, debes obtener
4. Para escribir el vector de incógnitas, vamos a emplear la línea de edición. Pulsamos Á[×] para entrar los claudátors.
5. Pulsamos la tecla de comilla simple5 , para pasar a modo algebraico y entramos la variable x,
Tecla (4,3) en la HP49g+ y HP48gII; en la HP49g es la tecla Â(4,3).
Recursos algebraicos. 20
nos desplazamos fuera de las comillas y repetimos el proceso para entrar la variable y.
6. Pulsamos ENTER para aceptar el vector de incógnitas, la pila debe presentar el siguiente aspecto
7. Ejecutamos el comando SOLVE y obtenemos la lista de soluciones.
8. Ejecutamos EVAL para romper la lista de soluciones.
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Actividad 3.12 Resuelve manualmente el sistema ½ 2 x − y 2 = 1, y = x2 − 1. Actividad 3.13 Resuelve el sistema ½ 2 x + y 2 = 2, y = x2 − 1. Obtendrás las soluciones:
Si intentas obtener una aproximación decimal de la solución con → NUM verás que no funciona. Para evaluar numéricamente las soluciones, puedes proceder como sigue: 1. Primero usamos el comando6 OBJ→ para romper el vector.
2. Borra el contenido del nivel 1 de la pila.
Puedes encotrarlo en [PRG][TYPE] o en el catálogo de funciones CAT.
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3. Pulsa [H] para acceder al editor de ecuaciones y selecciona la parte numérica.
4. Ahora ejecuta → NUM para evaluar numéricamente la expresión.
5. Pulsa ENTER para volver a la pila.
6. Pulsa [I] para ejecutar SWAP e intercambiar el contenido del nivel 1 y del nivel 2 de la pila.
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7. Repite el procedimiento con la x del nivel 1, esto es, accede al editor de ecuaciones y selecciona la parte numérica y ejecuta →NUM, después de pulsar ENTER para volver a la pila, obtendrás
8. Pulsa [HIST] para acceder al editor de pila, desplaza el cursor de pila al nivel 3 y toma una copia del segundo vector de soluciones con PICK,
obtendrás una copia del contenido del nivel 3 en el nivel 1 de la pila
pulsa [ENTER] para salir del editor de pila.
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9. Repite el procedimiento anterior, rompe el vector con el comando OBJ→ y calcula aproximaciones numéricas en el editor de ecuaciones. Finalmente resulta
Resolución gráﬁca
Consideremos una inecuación de la forma f (x) < 0. Si representamos la curva y = f (x), la solución de la inecuación es el conjunto de valores x para los que la gráﬁca está por debajo del eje OX. Actividad 3.14 Vamos a resolver la inecuación x3 − 7x − 6 < 0. 1. Accedemos al entorno gráﬁco7 con Á [F 1] .
y entramos la función f (x) = x3 − 7x − 6.
Recuerda que la notación Á [F 1] indica que debes pulsar [F 1] mientras mantienes pulsada la tecla de cambio izquierdo [Á].
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Pulsamos [ENTER] para aceptar la función
y [F5], [F6] para ejecutar ERASE y DRAW, obtenemos:
2. Pulsamos [CANCEL], para salir de la pantalla gráﬁca; a continuación, pulsamos Á [F 2] para acceder al formulario PLOT WINDOW que permite ajustar el intervalo de representación. Fijamos el intervalo horizontal en [−3, 4.5]
y usamos AUTO para ﬁjar el intervalo vertical, obtenemos
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Pulsamos [F 5] , [F 6] para ejecutar ERASE y DRAW, resulta
3. Vemos que aún no hemos obtenido una buena vista de la zona de interés, pulsamos [ZOOM] y usamos BOXZOOM para seleccionar la zona de interés,
4. Para determinar los cortes con el eje OX, pulsamos [F 4] para acceder al menú [FCN], posicionamos el cursor cerca de la raíz a calcular
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y usamos el comando ROOT, obtenemos
Pulsamos [+] para recuperar el menú [F CN ] y repetimos el procedimiento para las otras dos raíces, resulta
5. La zona bajo la curva es
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por lo tanto, la solución de la inecuación x3 − 7x − 6 < 0 es (−∞, −2) ∪ (−1, 3) . Actividad 3.15 Resuelve gráﬁcamente la desigualdad x3 − 4. 4x2 − 2. 04x + 16. 416 > 0 Sol. Se obtiene el gráﬁco
la solución es (−1.8, 2.4) ∪ (3.8, +∞) . Actividad 3.16 Resuelve la inecuación ex ≤ 2 − x2 . Sol. Escribimos la inecuación en la forma ex + x2 − 2 ≤ 0. Se obtiene el gráﬁco
Francisco Palacios la solución es (−1.316, 0.5373).
Recursos algebraicos. 29
En la solución de la actividad anterior, he usado el comando SHADE del menú [FCN] para resaltar la zona de interés. Obviamente, no es necesario sombrear el área bajo el eje OX para resolver el problema. 3.3.2 Resolución numérica basada en intervalos de signo constante
Consideremos una inecuación de la forma f (x) < 0. Como consecuencia del Teorema de Bolzano, sabemos que una función f (x) sólo puede cambiar de signo en los puntos de discontinuidad y en los puntos donde se anula, esto es, si sabemos que todos los ceros y discontinuidades de f (x) son c1 < c2 < · · · < cn , entonces en los intervalos A0 = (−∞, c1 ) , A1 = (c1 , c2 ), . . . , An−1 = (cn−1 , cn ) , An = (cn , +∞) , la función f (x) tiene signo constante y basta con tomar un valor de prueba en cada intervalo x∗ ∈ Aj y calcular f (x∗ ) para determinar el signo de la j j función en el intervalo8 . La solución de la inecuación f (x) < 0 estará formada por la unión de aquellos intervalos Aj donde f (x) es negativa9 . Actividad 3.17 En esta actividad vamos a resolver la inecuación x2 − x < 2 − 2x siguiendo el procedimiento descrito. Previamente, escribimos la inecuación en la forma x2 + x − 2 < 0 e identiﬁcamos la función f (x) = x2 + x − 2.
Es importante observar que el método descrito sólo es válido si la lista de ceros y discontinuidades está completa, es decir, si disponemos de todos los ceros y discontinuidades de f(x), 9 Obviamente, el procemiento es aplicable a inecuaciones del tipo f (x) > 0. Para inecuaciones del tipo f (x) ≤ 0, f (x) ≥ 0, debemos inculir en la solución los puntos cj que son ceros de f(x).
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1. Determinamos los puntos de discontinuidad de la función f (x). Como se trata de un polinomio, no hay puntos de discontinuidad. 2. Determinamos los ceros de la función f (x). Para ello, podemos usar el comando SOLVE
3. La lista completa de ceros y discontinuidades es c1 = −2, c2 = 1. Los intervalos de signo constante son A0 = (−∞, −2) , A1 = (−2, 1) , A2 = (1, +∞) . 4. Deﬁnimos la función f (x) = x2 + x − 2. Para ello, accedemos al editor de ecuaciones y entramos la expresión
pulsamos [ENTER] para cargar la expresión en la pila y ejecutamos el comando DEFINE.
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5. Completamos las siguiente tabla Aj x∗ j f (xj ) signo (−∞, −2) −3 (−2, 1) 0 (1, +∞) 2
para ello, pulsamos [VAR] para acceder al área de variables y usamos la tecla con etiqueta [F] para calcular los valores f (x∗ ). Para x∗ , cargamos 1 j −3 en la pila
La tabla completa es la siguiente Aj x∗ j f (xj ) signo (−∞, −2) −3 4 ⊕ (−2, 1) 0 −2 ª (1, +∞) 2 4 ⊕
6. La solución es, por lo tanto, el intervalo (−2, 1) .
Francisco Palacios Actividad 3.18 Resuelve la inecuación x2 − 5x + 6 ≤0 x2 − 1
Recursos algebraicos. 32
determinando los intervalos de signo constante de la función f (x) = x2 − 5x + 6 . x2 − 1
Sol. f (x) tiene ceros en x = 2 y x = 3, y discontinuidades es x = ±1. Se obtiene la tabla Aj x∗ j f (xj ) signo (−∞, −1) −2 6. 67 ⊕ (−1, 1) 0 −6.0 ª (1, 2) 1.5 0.6 ⊕ (2, 3) 2.5 −0.045 ª (3, +∞) 3 0.1333 ⊕
La solución es (−1, 1) ∪ [2, 3] . Actividad 3.19 Intenta resolver gráﬁcamente la inecuación x2 − 5x + 6 ≤ 0. x2 − 1 Verás que no es posible obtener una buena representación en un único gráﬁco. 3.3.3 Resolución con el comando SOLVE
El comando SOLVE también puede resolver inecuaciones. Es conveniente ﬁjar el modo exacto para un buen funcionamiento de SOLVE. Actividad 3.20 Consideremos, por ejemplo, la inecuación x2 − x ≤ 2 − 2x. 1. Accedemos al editor de ecuaciones [EQW] y escribimos la inecuación
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observa que los signos de desigualdad están disponibles en el teclado.
Pulsamos [ENTER] para cargar la inecuación en la pila. 2. Cargamos la incógnita en el nivel 1 de la pila y accedemos a la segunda página del menú [ALG] para ejecutar SOLVE
es decir, la solución es el intervalo cerrado [−2, 1]. Actividad 3.21 Resuelve la inecuación x3 − 10x2 + 31x − 30 ≤ 0. Sol. (−∞, 2] ∪ [3, 5] . En la actividad anterior, la solución de la calculadora es
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que debemos interpretar como (−∞, 2] ∪ [3, 5] . Para interpretar la respuesta de la calculadora, debemos dar prioridad al operador AND sobre el operador OR. Es decir, interpretamos x ≤ 2 OR x ≥ 3 AND x ≤ 5 como El comando SOLVE también actúa en inecuaciones con cocientes de polinomios, pero debemos tener cuidado con los puntos de discontinuidad, pues el comando puede producir resultados incorrectos para esos puntos. La siguientes actividades ilustran este problema. Actividad 3.22 Queremos resolver la inecuación x2 − 5x + 6 <0 x2 − 1 1. Accede al editor de ecuaciones, escribe la inecuación y la cárgala en la pila. 2. Entra la incógnita en el nivel 1 de la pila (x ≤ 2) OR (x ≥ 3 AND x ≤ 5) .
Ejecuta el comando SOLVE, obtendrás
Francisco Palacios 3. Pulsa [TOOL] [VIEW] [TEXT], obtendrás
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Teniendo en cuenta la prioridad de AND sobre OR, la solución es (−1, 1) ∪ (2, 3) . Actividad 3.23 Queremos ahora resolver la inecuación x2 − 5x + 6 ≤0 x2 − 1 sigue el mismo procedimiento que en la actividad anterior. Obtendrás
y en ellos no existe f (x).
En este caso, la solución proporcionada por la calculadora es [−1, 1] ∪ [1, 2], mientras que la solución correcta es (−1, 1) ∪ [1, 2] , pues x = ±1 son puntos de discontinuidad de x2 − 5x + 6 f (x) = x2 − 1
El comando SUBST
El comando SUBST permite sustituir valores y realizar sustituciones algebraicas. Puedes acceder al comando SUBST en la segunda página del menú [ALG]
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o en el catálogo de funciones y comandos [CAT].
También puedes teclearlo directamente. Actividad 4.1 Localiza el comando SUBST en la segunda página del menú [ALG]. Actividad 4.2 Localiza el comando SUBST en el catálogo de funciones y comandos. 4.1.1 Sustitución de un valor
Actividad 4.3 En esta actividad vamos a substituir el valor x = 2 en la expresión sin x + ln(x2 + 1). 1. Fija la calculadora en modo exacto. 2. Carga la expresión en la pila. 3. Carga en el nivel 1 de la pila la igualdad x = 2, y ejecuta el comando SUBST,
Francisco Palacios debes obtener
Recursos algebraicos. 37
4. Observa que se ha realizado la sustitución, pulsa EVAL para realizar las operaciones pendientes, resulta
5. Para obtener el valor numérico, pulsa →NUM. Actividad 4.4 Fija el modo angular en radianes, el modo real exacto y el formato numérico FIX 5. Construye en la pila la expresión sin(x) + cos(x) , tan(x) + 1
y sustituye el valor x = 2 + ln 3. Calcula una aproximación decimal del resultado. Realiza todo la actividad sin usar el editor de ecuaciones. Sol. −1.0010. 4.1.2 Sustitución de una variable
El comando SUBST también permite substituir una variable por una expresión algebraica. Actividad 4.5 Tenemos la expresión p x2 1 − x2 , √ 1. Entra en la pila la expresión x2 1 − x2 .
y queremos sustituir x = cos t.
Recursos algebraicos. 38
2. Carga en la pila la ecuación x = cos t y ejecuta SUBST
El comando SUBST permite realizar auténticos cambios de variable. Actividad 4.6 Por ejemplo, supongamos que tenemos la ecuación bicuadrada x4 − x2 + 3 = 0
y queremos realizar el cambio x2 = t. Esto se puede hacer con SUBST. Procede como sigue: 1. Carga en la pila x4 − x2 + 3 = 0. 2. Carga en la pila x2 = t y ejecuta SUBST,
Recursos algebraicos. 39
pulsa EVAL y resulta
Actividad 4.7 Realiza el cambio de variable sin x = t en la expresión (sin(x))2 + cos(x) = x. Sol. Debes obtener
Cambio de variable en integrales deﬁnidas Z
Supongamos que queremos calcular la integral deﬁnida
I= Realizamos el cambio de donde resulta 1 √ dx = dt 2 x
e x √ dx. x
√ x=t
√ dx = 2 x dt.
Francisco Palacios Los nuevos límites de integración son t(1) = 1, √ 3, t(3) = por lo tanto I= Z
Recursos algebraicos. 40
e x √ dx = x
Es bastante sorprendente10 que el comando SUBST permita realizar el cambio de variable en integrales deﬁnidas. Actividad 4.8 Vamos a realizar el cambio de variable I= Z
³ √ ´ £ ¤√3 2et dt = 2 et 1 = 2 e 3 − e .
√ x = t en la integral
1. Accede al editor de ecuaciones y escribe la integral Z
Pulsa ENTER para cargarla en la pila. √ 2. Carga el cambio de variable x = t en la pila
y ejecuta el comando SUBST, debes obtener
Al menos a mí me ha sorprendido.
Recursos algebraicos. 41
observa que se ha realizado correctamente el cambio de variable. 3. Para calcular el valor de la integral, pulsa EVAL, obtendrás
realizando el cambio de variable ln x = t. Sol. 1 (ln 3)2 = 0. 60347 2
Actividad 4.9 Resuelve manualmente la integral Z 3 ln x dx x 1
Actividad 4.10 Usando el comando SUBST, realiza el cambio de variable ln x = t en la integral Z 3 ln x dx x 1 Calcula el valor exacto y una evaluación decimal con 5 decimales. Sol. Después del cambio, debes obtener
El comando |
Otra forma de realizar sustituciones es el comando |. Puedes acceder al comando | directamente desde el teclado pulsando Â [TOOL].
El comando | es menos potente que SUBST, no admite sustituciones implícitas del tipo, por ejemplo, x2 = t.
Francisco Palacios 4.2.1
Recursos algebraicos. 42
Sustitución en el editor de ecuaciones
Actividad 4.11 Queremos sustituir el valor x = 3 en la expresión sin(x) + cos(x) . tan(x) 1. Escribe la expresión en la pila11
2. Pulsa [H] para cargar la ecuación en el editor de ecuaciones.
3. Pulsa Â [TOOL] para entrar el comando |.
4. Escribe x = 3.
11 Si lo deseas, puedes escribirla directamente en el editor de ecuaciones, pero es más rápido en la pila.
Recursos algebraicos. 43
5. Selecciona toda la expresión.
6. Y ejecuta EVAL, obtendrás
7. Si pulsas ENTER, el resultado se carga en la pila.
Actividad 4.12 Sustituye x = 2 en la expresión √ x + ln(x) . tan(x) Calcula una aproximación decimal. Sol. −0. 96445
Recursos algebraicos. 44
Actividad 4.13 Queremos calcular la integral deﬁnida Z 3 x2 ln x dx.
Procede como sigue. 1. Carga la expresión x2 ln x en la pila. 2. Accede al menú [CALC]
y ejecuta el comando INTVX
obtendrás la siguiente función primitiva
3. Para calcular el valor de la integral deﬁnida usando la regla de BarrowNewton, hay que evaluar la primitiva en los límites de integración y restar. Pulsa [H] para cargar la primitiva en el editor de ecuaciones
Recursos algebraicos. 45
aprovecha que la tienes seleccionada para copiarla pulsando [COPY].
4. Ejecuta el comando | y evalúa la primitiva en x = 3
pulsa ENTER para cargar la expresión en la pila y pulsa EVAL para evaluarla, obtendrás
pulsa nuevamente EVAL, resulta
Recursos algebraicos. 46
5. Pulsa [EQW] para acceder al editor de ecuaciones y pulsa [PASTE]
para recuperar la primitiva, obtendrás
6. Repite el procedimiento anterior hasta obtener
7. Pulsa [ENTER] y dos veces [EVAL], obtendrás
Recursos algebraicos. 47
8. Finalmente, pulsa [−] para restar los dos valores, resulta
pulsando EVAL, se obtiene
pulsando → NUM, resulta la aproximación numérica.
Actividad 4.14 Calcula manualmente la integral Z 3 x2 ln x dx.
La primitiva se calcula por partes. Actividad 4.15 Calcula la integral Z 3 x2 ln x dx.
Escribiéndola directamente en el editor de ecuaciones y usando EVAL.
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