Source: https://es.scribd.com/doc/6340748/Problemas-Trigonometricos
Timestamp: 2016-05-04 12:54:15+00:00

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3.3.1. Matemáticas La matemática es tan antigua como el hombre mismo. Debido a su necesidad de conocer, dominar y sobrevivir en el mundo que lo rodea el hombre ha regido diversas ciencias y entre ellas la matemática, la que ha sido considerada anteriormente como la ciencia de los números, siendo esta definición claramente insuficiente puesto que su alcance es mucho más amplio, por lo que ahora veremos de donde proviene su origen: MATEMÁTICA significa ciencia del conocimiento. Esta palabra tiene una curiosa
historia. Proviene del verbo griego Manthano que significa inicialmente aprender es decir, estudiar, instruirse, de allí darse cuenta, remarcar, comprender. Del verbo deriva el sustantivo “mathema” que denota estudio, ciencia, conocimiento. adecuadamente en la virtud. 3.3.2. Trigonometría Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa “medida de triángulos”. El origen de la palabra trigonometría proviene de las palabras griegas: Trigonon = triángulo 3.3.2.1. Reseña histórica Históricamente, fueron los matemáticos y astrónomos griegos quienes encontraron los principales fundamentos de la trigonometría plana y esférica, deducidos de la geometría, y los aplicaron a los problemas astronómicos. Se considera a Hiparlo (180 – 125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios 1 y metron = medida En realidad mathematika, era la ciencia que el joven griego debía estudiar para formarse
En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la
universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561 – 1613), publicó un texto con el título de “Trigonometría”, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés Francois Viete (1540 – 1617) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707 – 1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas; es el primero que en realidad hace progresar dicha rama de la matemática en este nuevo aspecto analítico, hasta darle la forma que conserva actualmente. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación y la astronomía, el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa como la distancia entre la tierra y la luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna. (ENCICLOPEDIA OCEANO 2001) 3.3.3. Triángulo Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices. En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro). Consideraciones:  En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.  En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
 Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.  Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos.  Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.  En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.  Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.  En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 3.3.3.1. Clasificación de los triángulos
Equiláteros (sus tres lados iguales) Isósceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno desiguales) (tres lados
Rectángulos (un ángulo recto) Acutángulos agudos) (tres ángulos
Obtusángulos obtuso)
De Internet: http://www.cientec.or.cr/matematica 3
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180º. α + β + θ = 180ª β α θ
3.3.3.2. Elementos del triángulo Partiendo del siguiente triángulo podemos identificar claramente sus elementos:
Vértice A, B y C Lados AB, BC , CA
Ángulos ∠A, ∠B, ∠C
3.3.4. Trigonometría plana. Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas. Antes de iniciar el estudio relacionado con la resolución de triángulos es necesario hacer referencia a ciertos conceptos fundamentales los cuales nos permitirán comprender de mejor manera el tema:  Cateto.- Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo que determinan el ángulo recto.  Hipotenusa.- Es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. 4
 Congruencia.- Relación de figuras de igual forma y tamaño. Su símbolo ≅  Relación.- Correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto, un elemento de otro conjunto mediante una regla.  Razón.- Cociente o diferencia que se obtiene al comparar dos cantidades.  Proporción.- Llamase así, a la igualdad de dos razones.  Teorema.- Es una proposición que puede ser demostrada por medio de un conjunto de razonamiento que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. 3.3.5. Resolución de triángulos rectángulos Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos, es decir, conocidos alguno de los elementos de un triángulo, encontrar los restantes, a fin de que el triángulo quede perfectamente determinado. Los elementos de un triángulo son seis: los tres lados y los tres ángulos. Cuando el triángulo es rectángulo, ya conocemos uno de sus elementos, el ángulo recto. Nos quedan cinco por determinar, de los que es preciso conocer solo dos de ellos. Para la resolución de un triángulo cualquiera es preciso conocer tres de sus elementos, entre los cuales figure un lado; ahora bien, cuando el triángulo es rectángulo, como un elemento ya está tácitamente dado, que es el ángulo recto, basta conocer otros dos elementos entre los cuales figuren por lo menos un lado. Casos que pueden presentarse para resolver triángulos rectángulos: 1º Dados la hipotenusa y un cateto. 2º Dados un cateto y un ángulo agudo. 3° Dados la hipotenusa y un ángulo agudo. 4º Dados los dos catetos.
(REPETTO FESQUET “Trigonometría y elementos de análisis matemático, 1968)
3.3.6. Demostraciones del Teorema de Pitágoras 3.3.6.1. Por el área de cuadrados y el área de triángulos isósceles rectángulos
A partir del triángulo rectángulo inicial de hipotenusa “c” y catetos “a” y “b”, construimos los cuadrados de lados a + b tal como aparecen en la figura. El primer cuadrado está formado por cuatro triángulos iguales (T1, T2, T3, T4) y por un cuadrado de lado c, por lo que su área es c 2 + 4 A(T) siendo A(T) el área de uno cualquiera de los triángulos. El segundo cuadrado está formado por dos cuadrados de lados “a” y “b” y los triángulos T1, T2, T3 y T4 y su área es a 2 + b 2 + 4 A(T) Igualando ambas expresiones y simplificando obtenemos que c2 = a2 + b2 Esta es una de las más intuitivas demostraciones del teorema de Pitágoras y, posiblemente, una de las que utilizaran los pitagóricos. De la página de Internet: http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm
3.3.6.2. Por el área de cuadrados cuyos lados son los catetos y la hipotenusa
A partir del triángulo rectángulo inicial de hipotenusa “c” y catetos “a” y “b”, construimos los cuadrados de lados “a”, “b” y “c” tal como aparecen en la figura. El área del cuadrado cuyo lado es el cateto “a” es a 2 . El área del cuadrado cuyo lado es el cateto “b” es b2 . La suma de ambas áreas es: a2 + b2 El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa “c” es c2 . Igualando ambas áreas se obtiene: c2 = a 2 + b 2
Internet:http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Teorema_de_Pitagoras/pitagoras.htm
3.3.6.3. Por el área de las semicircunferencias cuyos diámetros son los catetos y la hipotenusa Para los semicírculos de la figura se encuentra el área de cada uno de ellos. Se conoce que el diámetro de un círculo es el doble de su radio. Para el semicírculo cuyo diámetro es “a” su área es:  a     Área =  2   2 es:  b     Área =  2   2 Para el semicírculo cuyo diámetro es “c” su área es:  c     Área =  2   2 Igualando ambas áreas resulta
 a2    2  4   a 2 8
Para el semicírculo cuyo diámetro es “b” su área
 b2    2  4   b 2 8
 c2    2  4   c 2 8
de donde Área (Semicírculo S) = Área (SemicírculoS´) + Área (SemicírculoS´´) De la página de Internet: http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm
3.3.6.4. Por la altura de la hipotenusa El cuadrado de la altura de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el producto de los segmentos de la hipotenusa. Si DC = h, AD = m, BD = n entonces: h2 = m.n Ejemplo Determinar la altura del triángulo rectángulo. C h A D B tenemos: h2 = m.n h2 = (1,9 cm) (3,1 cm) h2 = 5,89 cm2 h = 2,4 cm
Por el Teorema de Euclides: “Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella”.
c b  b m b2 =c.m
c a  a n a2 = c.n
Ejemplo Encontrar los dos catetos conocida la hipotenusa y sus segmentos
Solución Por el teorema de Euclides tenemos: a2= c.n a2=5cmx3,1cm b2=c.m b2=5cm x 1,9 cm b2=9,5 cm2 b ≈ 3 cm
a2 =15,5 cm2 a ≈ 4 cm B
La suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si ΔABC es un triángulo rectángulo, ∠C es un ángulo recto demostrar que: a2+b2=c2 DEMOSTRACION Afirmación a2 = c.n b2 = c.m a2 + b2 = c.n + c.m a + b = c(n + m) n+ m=c a2 + b2 = c2
Razón Teorema de Euclides
Igualando ambas igualdades Factorizando Postulado de medidas de segmento Reemplazando
3.3.7. Razones trigonométricas en un ángulo agudo en un triángulo rectángulo 10
Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados. Las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes. ABC, rectángulo en A B ∠B y ∠C ángulos agudos c a a : hipotenusa b : cateto opuesto al ∠B y adyacente al ∠C A b C c : cateto opuesto al ∠C y adyacente al ∠B
Seno: razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. sen B = b a ; sen C = c a
Coseno: razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. cos B = c a ; cos C = b a
Tangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. tan B = b c ; tan C = c b
Cotangente: razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente. cot B = c b ; cot C = b c
Secante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo. 11
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo. csc B = a b ; csc C = a c
Las funciones trigonométricas, dependen del ángulo, pero no del triángulo. (LEXUS “La Biblia de las Matemáticas” Edición 2002) 3.3.8. Situaciones problemáticas con triángulos rectángulos Problema Nº 1 Para construir un garaje con las medidas que indica la figura. ¿Qué ángulo tendrá que formar el techo con un plano paralelo al piso? Solución tan α = 1,5 m 4,25 m
 1,5  α = arctan    4,25  α = 19,44º
Problema Nº 2 12
De un punto salen al mismo tiempo dos personas, uno en dirección sur – norte y otro en dirección este – oeste. La primera marcha a 6 Km./h y la segunda a 8 Km/h. ¿Cuánto tiempo deberán caminar para encontrarse en 80 Km. una de otra? Solución: a. Trazamos el gráfico correspondiente y llamamos t al tiempo que tardan en encontrarse a 80 Km. una de otra. b. Resolviendo: (6t)2 + (8t)2 = (80)2 36t2 + 64t2 = 6400 100t2 = 6400 t = 64 = 8 horas Problema Nº 3 Se desea medir la altura de una torre resulta incómodo subir a ella pero es fácil medir la distancia de un punto A hasta la base B y el ángulo α. Datos: α = 72º AB = 25 m Aplicando la función: tan α = cat. op cat. ady 72º O 8t S 6t E N
Reemplazando: tan α = h 25 m
h = 25.tan α = 25.tan 72º = 76,94 m La altura de la torre es 76,94 metros.
Problema Nº 4 Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio. 30º 45º 1,5 m 30 m x
Solución tan 30º = h 30 m + x tan 45º = h x
Despejando h tenemos: h = tan 30º(30 m + x) Igualando las ecuaciones h = h:
Despejando h tenemos: h = tan 45º(x)
tan 30º(30 m + x) = tan 45º(x) tan 30º(30m) + tan 30º(x) = tan45º(x) tan 30º(30m) = tan45º (x) – tan 30º (x) x  x tan30º  30m  tan45º - tan 30º
17,3205080 8 0,42264973
x  40,1 m Reemplazando x se calcula h = tan45º(40,1m) = 40,1 m. La altura del edificio es 41,6 m (40,1m + 1,5 m). 14
EVALUACIÓN TRIMESTRAL Nombre:…………………………………………. Color del grupo:……………… 1º Sabiendo que sen Â = 4 , calcula las demás razones trigonométricas de Â sabiendo que es 5
un ángulo del primer cuadrante. 2° Sabiendo que cos Â = 3 , sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones 2
trigonométricas de Â, y el ángulo Â, sabiendo que está en el primer cuadrante. 3° Sabiendo que cos trigonométricas de Â 4º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y Â =30º. Â = 1 , sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones 2
5º Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que Â=30º y c=20, sin utilizar la calculadora.
EVALUACIÓN TRIMESTRAL Nombre:………………………………………………………………………….Fila: A 1º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.
2° Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.
EVALUACIÓN TRIMESTRAL Nombre:………………………………………………………………………….Fila: B 1º Un edificio proyecta una sombra de 150 m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.
2º Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino
formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.
EVALUACIÓN TRIMESTRAL Nombre:………………………………………………………………………….Fila: C 1º Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?
2° Usando un teodolito se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 20º, si avanzamos 40 metros, el ángulo pasa a ser de 55º. Calcular la altura del edificio.
55º 1,5 m
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