Source: https://es.scribd.com/doc/86579574/Algebrizacion-Del-Concepto-de-Derivada
Timestamp: 2017-01-18 14:32:05+00:00

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Algebrizacion Del Concepto de Derivada
NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosArtículosPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseDescripción de niveles de comprensión del concepto derivadaClaudia Salazar Amaya * Hernán Díaz Rojas ** Mauricio Bautista Ballén ***
Artículo recibido: 15-09-2009 y aprobado: 12-11-2009 Describing understanding levels of the concept of derivative
Resumen: Este artículo presenta un estudio de caso que describe los niveles de comprensión del concepto derivada de seis estudiantes que cursaron el espacio académico cálculo diferencial en el II semestre de 2007 en la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional. El marco teórico utilizado se concentra en el desarrollo del esquema de derivada a través de tres niveles: Intra, Inter, Trans (Piaget y García, 1983, 1989). Se dedujo el nivel de comprensión alcanzado por los participantes a partir del análisis de las respuestas que dieron a diferentes problemas planteados en tres cuestionarios. Se encontró una tendencia en algunos a interpretar la derivada en términos del proceso algorítmico y también como dependencia de la expresión algebraica de la función. Por otra parte, se hicieron evidentes las dificultades para transitar de la gráfica de la función hacia la gráfica de la función derivada. Palabras clave: Didáctica de las matemáticas, aprendizaje del análisis, enseñanza y comprensión del cálculo, obstáculos, derivada, razón de cambio.
Abstract: This article presents a case study describing the understanding levels of derivative concept of six students who took the differential calculus course during the second semester of 2007 in a BA in mathematics at the Universidad Pedagógica Nacional. The theoretical framework used focuses on the development of the derivative scheme by using three levels: Intra, Inter, Trans (Piaget and Garcia, 1983, 1989). From the analysis of student responses to various issues raised in three questionnaires, the level of understanding achieved by students was inferred. It is remarkable that there are some students that tend to interpret the derivative in terms of algorithmic process as well as dependence of the algebraic expression of the function. On the other hand, it is clear that students reveal difficulties to move from function graph to derivative function graph. Key words: Mathematics teaching, analysis learning, calculus teaching and understanding, obstacles, derivative.
Profesor del Departamento de Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. csalazar@pedagogica.edu.co Profesor del Departamento de Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. hdiaz@pedagogica.edu.co Profesor del Departamento de Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. mbautist@pedagogica.edu.co
No. 26 • Segundo semestre de 2009 • pp. 62-82
Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
En este artículo se presentan algunos resultados obtenidos en el proyecto de investigación “Análisis de obstáculos y descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional” relacionados con el estudio de los niveles de comprensión de la derivada logrados por un grupo de seis estudiantes de la universidad que cursaban el espacio de cálculo diferencial. El interés por el desarrollo de este trabajo surge porque se identificaron dificultades en los procesos de enseñanza y aprendizaje en el espacio académico de cálculo diferencial y por el reconocimiento de los planteamientos de Contreras et al. (2000, p. 1) acerca de que uno de los fenómenos didácticos característicos de la enseñanza del análisis matemático es la “algebrización del cálculo diferencial” que reduce el concepto derivada a las operaciones algebraicas y trata de forma simplista las ideas específicas del análisis, como la razón de cambio instantánea, obstaculizando la construcción de una comprensión compleja de la derivada. A partir del análisis de los antecedentes, y de identificar en ellos dificultades y tensiones comunes a las experimentadas en los espacios académicos interesados en la formación inicial de profesores en torno a la derivada, y de las apreciaciones de profesores de matemáticas de la Universidad acerca de las dificultades que aparecen en el proceso de enseñanza-aprendizaje de este concepto, parece necesario caracterizar diferentes niveles de comprensión, a partir de distintos tipos de tareas propuestas a estudiantes,
con el propósito de modificar, a futuro, los procesos de instrucción en favor de la comprensión de dicha noción; este trabajo pretende aportar a esta tarea desde la identificación de diferentes niveles de comprensión de la derivada en el grupo mencionado. Se plantearon como objetivos para abordar el estudio: desarrollar el marco conceptual pertinente para el análisis del problema en consideración; definir los instrumentos para la recolección de información teniendo en cuenta que se pretende llevar a cabo un estudio longitudinal sobre la comprensión de la derivada, es decir, del mismo grupo de estudiantes se recogerá información en tres momentos distintos de su acercamiento al concepto de derivada: después de su proceso de instrucción en la educación media, durante el desarrollo de un curso que aborda el estudio de la derivada y en los inicios del curso de cálculo integral; recoger y depurar la información obtenida a través de los instrumentos, definir categorías de análisis pertinentes para la información y elaborar el reporte del análisis de la información. La población que es objeto del estudio está compuesta por seis de los 29 estudiantes que cursaron el espacio académico cálculo diferencial del Proyecto Curricular de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional en el II semestre de 2007. Como antecedentes se consultaron documentos relacionados con algunas ideas previas del concepto de derivada, interpretaciones de dicho concepto y obstáculos en el aprendizaje del mismo, entre otros; de manera sintética se pre-
Según Sánchez-Matamoros et al. Badillo (2003) propone una revisión de la perspectiva de Dubinsky. El nivel Intra se caracteriza por el enfoque de un solo objeto en aislamiento desde otras acciones. los procesos y los objetos se pueden organizar en esquemas. 2003) alude a la propuesta de Piaget sobre el proceso de abstracción reflexiva (que según Piaget. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . indican que los significados que construyen los alumnos están vinculados a determinados modos de representación y que tales significados no están conectados. como la velocidad o aceleración instantánea o como un algoritmo. procesos y objetos. (2008) los resultados de algunas investigaciones en las que se ha analizado el papel de las representaciones en la construcción de una comprensión de la idea de derivada. la teoría APOE de Dubinsky (citado por Meel. algunas de éstas son: la derivada como el límite de la razón del incremento de la función cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. una ampliación de métodos algebraicos y no un estudio de la matemática del cambio. Contreras considera fundamental identificar concepciones de la derivada tales como: concepción de razón de cambio instantáneo. Identificar las dificultades en la comprensión de los conceptos matemáticos en general. concepción numérica (asociada históricamente a la idea de límite de Cauchy) y concepción algebraica (asociada al uso de los métodos algebraicos en el concepto de derivada). 2 0 0 9
sentan a continuación los antecedentes más representativos. En este mismo sentido. El nivel Inter se caracteriza por el conocimiento de las relaciones entre las distintas acciones. Inter y Trans para la comprensión de la derivada. En este sentido. objetos y/o esquemas. En el desarrollo de un esquema se definen tres niveles particulares: Inter. El nivel Trans se caracteriza por la construcción de una estructura coherente que subyace en algunas de las relaciones descubiertas en el nivel Inter del desarrollo. concepción geométrica (asociada históricamente a la idea de pendiente de la tangente de Fermat). se reconocen diferentes concepciones de la derivada que pueden ser construidas por los estudiantes a partir de la información proporcionada por libros de texto y programas de estudio. La teoría APOE (Acción–Proceso– Objeto–Esquema) establece que el desarrollo de la comprensión comienza con la manipulación de los objetos físicos o mentales previamente construidos en términos de acciones. Finalmente. procesos y objetos. ha generado trabajos de investigación que pretenden describir como se transforma y evoluciona el acercamiento al objeto matemático. a veces. y de la derivada en particular. las acciones se interiorizan para formar procesos que se encapsulan para formar objetos.Tec n é. como la pendiente de la tangente en un punto de una curva. siguiendo a Dolores (1998). En primer lugar. afirman que
. 2 6 . replanteando los rasgos que la caracterizan en términos de acciones. las acciones. Intra y Trans. es el mecanismo mediante el cual
un individuo se mueve de un nivel de comprensión a otro). Contreras (2000) plantea que la enseñanza del Cálculo ha sido. desde dicha caracterización describe los niveles Intra. procesos.
por una parte. La primera. implica considerar que la naturaleza dual (estructural –operacional) de los constructos matemáticos se advierte en las descripciones verbales y a través de varios tipos de representaciones simbólicas.Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
los estudiantes pueden considerar los contextos gráficos y algebraicos como modos separados donde se aplican algoritmos sin relación para resolver problemas. diferentes perspectivas respecto de la comprensión. 1994). 1992. lo que implica.
En la actualidad se reconocen en el campo de la Educación Matemática. Sánchez–Matamoros et al. la segunda perspectiva es aporte de Davis y Vinner (1986) y describe la comprensión como generador de imágenes del concepto y definiciones del concepto. citados por Sánchez – Matamoros et al. afirman que un aspecto común en las teorías de comprensión. propuesta por Bachelard (1938). La progresión es gradual y no necesariamente lineal. de relaciones y procesos y que la comprensión se desarrolla a través del cambio de operación en el mundo de las operaciones físicas para operar en el mundo de las operaciones mentales. propuesta por Kaput (1985) se refiere a la comprensión a través de operar con representaciones múltiples. De acuerdo con Dubinsky y McDonald (2001). Para la caracterización de los niveles de comprensión se tomaron las dos últimas perspectivas. se refiere a la comprensión como la superación de obstáculos cognitivos (genéticos. Uno de estos cambios se relaciona con la incorporación de la triada propuesta por Piaget y García (1983. ya no como una secuencia de actos físicos que se han interiorizado y condensado. sino como un objeto con estatus epistemológico en matemáticas. (2006). propuesta por Sfard (1991. Por otra parte. éstas son simples. de lo cual se infiere que la comprensión es la capacidad de percibir un proceso. 1989. la teoría APOE ha experimentado cambios a partir del análisis de datos y de la explicación de los mismos. Meel (2003) cita los autores y posturas dedicadas a este caso. que de alguna manera caracteriza el pensamiento matemático avanzado. 2006) y citada en los antecedentes en cuanto que trata los niveles Intra. los ejemplos son locales y cuando se establecen generalizaciones. didácticos y epistemológicos). Cornu (1991) y Sierpinska (1990). la tercera perspectiva. a continuación se caracterizan los tres niveles:
•	Nivel Intra: en este nivel se analizan los eventos particulares u objetos en términos de sus propiedades. Por otra parte. “es concebir la construcción de la comprensión de una noción matemática a través de la metáfora de la construcción de un objeto que se puede manipular en sí mismo a partir de un proceso que generalmente es realizado paso a paso”. propone la comprensión como construcción de las concepciones operativas y estructurales. éstas no establecen relaciones entre la acción y el sistema de
. la cuarta y última perspectiva. considerar que los sistemas de representación contribuyen en la comprensión de objetos matemáticos. En cada uno de estos niveles se produce la reorganización del conocimiento adquirido durante el nivel anterior. Inter y Trans. aunque se realizan acciones repetitivas.
Gráfica: encapsulación del proceso 2. b.b. b. a un proceso simple en el que los dos puntos son cada vez más cercanos.a. •	Nivel Inter: en este nivel el sujeto usa y compara las ideas que tiene aisladas y reflexiona acerca de ellas. A través de síntesis de las transformaciones en el nivel Inter. a. Desde estas trayectorias conciben la descomposición genética del concepto. son fundamentales en el desarrollo del concepto de derivada. 4. El sujeto puede establecer relaciones y deducir de una operación inicial. una vez la haya comprendido. entendida como una descripción detallada en términos de las construcciones mentales. a. la velocidad media puede ser considerada como el precedente de la velocidad instantánea. a partir de las cuales se construye el concepto de derivada. 2 0 0 9
condiciones a través del cual se pueden extender las aplicaciones. En problemas físicos. para determinar la razón instantánea de cambio de una variable con respecto a otra. para obtener la definición de derivada de una función en un punto como el límite del cociente diferencial en el punto. entre otras acciones. Encapsulación del proceso 2. De acuerdo con el modelo APOE. (1997) sugieren que hay dos trayectorias que se relacionan entre sí. 3. Analítica: interiorización de la acción 1. 2. Las anteriores ideas. el estudiante construye y tiene conciencia de que el esquema está completo y puede percibir nuevas propiedades globales que eran inaccesibles en los otros niveles. Analítica: acción de calcular la razón de cambio media determinando el cociente diferencial.
Interpretaciones del concepto de derivada
hipotética de un concepto que permite conjeturar cómo se desarrolla la comprensión. otras operaciones que están implicadas o que pueden coordinarse con operaciones similares. que van de lo particular a lo general. •	Nivel Trans: aquí el estudiante reflexiona sobre las relaciones y desarrolla nuevas estructuras. 2. esta última a su vez es un caso particular de razones de cambio entre variables que dependen del tiempo.
El concepto de derivada ha estado ligado históricamente con el estudio de problemas de variación. 3. Asiala et al. Gráfica y analítica. La descomposición genética de un concepto. lo cual implica cuantificarla en un intervalo y en un instante. Gráfica: interiorización de la acción 1.b. por esta razón se denomina de esta forma a la trayectoria de aprendizaje
. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . es una forma de organizar hipótesis acerca de cómo se produce el aprendizaje de los conceptos. Gráfica: acción de trazar una cuerda entre dos puntos de una curva.a. para obtener la recta tangente como la posición límite de las rectas secantes y determinar la pendiente de la recta tangente en un punto de la gráfica de una función. y 2. establecer diferencias en intervalos y conjeturar sobre las variaciones.a. junto con la acción de calcular la pendiente de la secante que contiene a la cuerda. como se describe a continuación:
Trayectoria gráfica y analítica de la derivada
1. 2 6 . a un proceso simple como la diferencia cuando el intervalo de tiempo se hace cada vez más pequeño.Tec n é. Analítica: encapsulación del proceso 2.b. a. b. lo cual lo lleva a construir relaciones y transformaciones. 1.
• Procesos cuando x varía en un intervalo. se llevó a cabo durante el primer año del proyecto. el cálculo de la derivada de la función inversa. Interpretación gráfica de la derivada en un punto. o como límite (a partir de su definición formal). • Inclusión de la derivada como herramienta para la consecución de otro fin. en esta oportunidad se consideraron cuatro asuntos adicionales: • Interpretaciones atribuidas a la derivada. De acuerdo con lo expuesto. bosquejo de la gráfica de la función derivada). que se consideraron en el estudio. • Conocimiento procedimental en términos de habilidades y destrezas asociadas al cálculo de derivadas. Interpretación gráfica de la derivada como una función. f ( x ) .Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
En la tabla 1 se presentan los rasgos característicos. 6. 76) son los que debe coordinar un individuo para tener un esquema consistente y coherente de la derivada. de los niveles de comprensión de la derivada. la investigación se organizó en cuatro etapas:
. en esta fase se elaboraron los atributos y aspectos que se indagarían en el primer instrumento y se definieron la estructura y preguntas que lo conformarían. f ' (a) es la pendiente de la recta tan• gente. • Identificar f ' ( x ) con la recta tangente en cada punto.
Etapa de diseño: caracterizada por la construcción de los fundamentos conceptuales del trabajo y la discusión y consolidación de instrumentos para el acopio de información. mínimos. recolección de datos. Diversas coordinaciones para obtener la gráfica de la derivada. • Interpretación de f ' ( x ) para un valor de x como la pendiente. Este aspecto tiene que ver con la interpretación de la derivada como pendiente de la recta tangente. • Interpretación gráfica de f (x ) para un valor de x. • Trazado de la gráfica de la función derivada. como razón de cambio. p. • Coordinar varias interpretaciones de la derivada. • Necesidad de la fórmula de la función para derivar. • Inclusión de la derivada en una red conceptual. los cuales como lo postula Badillo (2003. Tiene que ver con las relaciones que el estudiante ha construido entre el concepto de derivada y otros conceptos como función y continuidad. análisis de datos y resumen de resultados. Este asunto está relacionado con el uso de la derivada para el análisis de funciones (determinación de máximos. Al analizar los aspectos que se indagarían en el instrumento final y que permitirían determinar la comprensión de los estudiantes sobre el objeto derivada. Este contenido tiene que ver con el uso que el estudiante hace de las reglas de derivación y el uso que hace de teoremas o del método de derivación implícita. • La derivada vista como una función que a cada valor de x le hace corresponder la pendiente de f (x ) en ( x.
Esta investigación de tipo cualitativo interpretativo asume la propuesta de Fox (1981) sobre las etapas a considerar en el proceso de investigación: diseño. se incorporaron algunos elementos teóricos a la caracterización inicial de los cuestionarios. en términos de los esquemas algebraico y gráfico de la derivada. concavidad.
En la tabla 1 se presentan los distintos niveles de comprensión acerca de la derivada y las características que configuran a cada uno de éstos. Etapa de análisis y sistematización de resultados: se llevó a cabo desde la aplicación del primer cuestionario. En el anexo 1 se presenta el cuestionario final. los conocimientos previos de los estudiantes en cuanto al análisis de la variación. tabulares
y simbólicas y algunos aspectos relacionados con la comprensión lograda sobre el objeto derivada. por otra parte. Se determinaron los rasgos de la comprensión que serían explorados atendiendo a las características de la población en el momento de la aplicación.Tec n é. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . el uso de representaciones gráficas. Algunas características tienen asociadas las preguntas del cuestionario final (no se incluyen en este artículo las correspondientes a los demás cuestionarios). considerando que el seguimiento que podía hacerse de las respuestas de los tres instrumentos mejoraría las posibilidades de interpretación de las respuestas de los estudiantes. el algebraico y el gráfico. Los criterios para la construcción del instrumento final se inscriben en la teoría APOE y en la descomposición genética de la derivada.4 a. Con este cuestionario se pretendía identificar. La etapa de presentación de resultados: condujo al grupo de investigadores a la identificación de las respuestas que se consideran evidencia. El cuestionario inicial se aplicó a los 29 estudiantes que iniciaban el espacio académico de cálculo diferencial (de los cuales sólo se consideraron 6. Por ejemplo.
Etapa de recolección de datos: se llevó a cabo durante el segundo semestre de 2007 y el primer semestre de 2008. El propósito del segundo cuestionario fue recoger información acerca del análisis que realizan los estudiantes respecto de la variación presentada en situaciones particulares. Para el análisis de la información obtenida en los tres cuestionarios se consideraron los 6 estudiantes de la población que participaron en la aplicación de los tres cuestionarios. los demás fueron considerados para la identificación de obstáculos. 2 0 0 9
Los aspectos definidos como componentes de la estructura de los cuestionarios se concretaron en la tabla 1 y permitieron clasificar las preguntas y establecer la pertinencia de cada una de ellas. 3. que permitieron ilustrar las inferencias presentadas en el análisis acerca de la caracterización de los niveles de comprensión de los estudiantes del caso. El cuestionario final se cualificó de acuerdo con los resultados de la aplicación experimental y su propósito fue el mismo de dicho instrumento. debido a que los resultados de éste fueron fundamentales en la toma de decisiones para la construcción de los dos cuestionarios posteriores. por una parte.
. asunto que no se reporta en este artículo). identificar también las ideas iniciales sobre derivada y las relaciones que podrían encontrar entre las diversas interpretaciones atribuidas a ésta. significa el literal a de la pregunta 4 del tercer cuestionario o cuestionario final. modelado de formas de variación a través de ciertas funciones y uso de diversos sistemas de representación de funciones. clasificadas en dos tipos de esquemas. lo cual permitió determinar de manera específica los atributos y características de la derivada implícitos en cada pregunta. 2 6 .
se realizó el análisis a partir de las respuestas de los 6 estudiantes. es igual a ese valor. los cuales no siempre permanecen abiertos. En la respuesta del estudiante 27 (figura 1) se observa que es capaz de determinar el valor de f ' ( a ) una vez que ha obtenido la expresión para f ' ( x )
Pregunta 4 (Cuestionario final)
b. Con qué rapidez cambia el volumen de agua en t =2? Explique su respuesta. para determinar la razón de cambio instantánea en un punto.
Se vierte agua en un recipiente cilíndrico por medio de un sistema de dos grifos.
Niveles de comprensión del esquema algebraico de la derivada
En la respuesta del estudiante 7 a la pregunta 4 del cuestionario final (figura 2) se observa que aunque se le proporciona la expresión algebraica para la función.
En este aparte se presentan. En cuanto a los niveles de comprensión. sino que encuentra una razón de cambio media a partir de dos valores.Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
El análisis de los resultados se realizó a partir de las respuestas de los estudiantes a los ítems propuestos en los cuestionarios descritos en la metodología. La función que representa el volumen de agua vertida en el reci-piente en m3 con respecto al tiempo (minutos) es
Nivel Intra
Para calcular f ' ( a ) se calcula primero f ' ( x) y posteriormente se evalúa en x=a. Figura 2
(Transcripción de la respuesta del estudiante 27)
En t = 2 el volumen de agua cambia con rapidez Figura 1
ya que la derivada
en 2. a manera de ilustración.
. no determina la función derivada. tomadas a manera de estudio de caso y luego se realizó un análisis global con base en las respuestas de los estudiantes.
Nivel Inter No han construido la relación entre la derivada como función y la derivada en un punto. algunas respuestas ofrecidas por los estudiantes en el cuestionario final y se indica la característica correspondiente de acuerdo con la tabla 1. (Transcripción de la respuesta del estudiante 7)
La rapidez hace referencia a este valor ya que esta hace referencia al cambio de altura sobre cambio en tiempo.
Las siguientes gráficas corresponden a la misma función f en el intervalo a. el esbozo de la representación gráfica de la función derivada no concuerda con los resultados anotados por el estudiante en los literales anteriores.Tec n é. para determinar que una función cumple con las condiciones establecidas.
Pregunta 6 (Cuestionario final)
El estudiante 17 responde los literales a y b de la pregunta que se presenta en la figura 4. La respuesta dada es: “En b ya que al derivar la función y reemplazarla por b la pendiente es mayor que las demás. en términos de la derivada de la función relacionada con la representación gráfica.
Pregunta 3 (Cuestionario final)
6. Para todo x.
representación gráfica de la función derivada. 2 0 0 9
Nivel Trans Entienden la función derivada como una función que a cada valor de x le hace corresponder la derivada de f (x) en dicho punto del dominio y que sobre ella se pueden realizar otras operaciones como la segunda derivada. b
(Transcripción de la respuesta del estudiante 7)
Una función que cumple las condiciones planteadas es
a. 2 6 . esto significa que el estudiante no relaciona los criterios de la primera derivada con las implicaciones de éstos para la representación gráfica.
Como se ilustra en la pregunta de la figura 3 y la respectiva respuesta del estudiante 7. En la gráfica A ubique un punto de la curva donde se encuentre la mayor de las pendientes de sus rectas tangentes. sin embargo. calcula su valor para algún punto del dominio y a partir de la primera derivada determina la segunda derivada. el alumno determina la función derivada de la función propuesta.”
Niveles de comprensión del esquema gráfico de la derivada
Calculan el signo y aplican el criterio de la primera derivada pero no generalizan la técnica para hacer la
. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . Encuentre una función real f que cumpla las siguientes condiciones. Explique su respuesta.
pero en el siguiente intervalo 6 y 7 seg. Estime en qué instantes de tiempo la altura del nivel del agua de los dos recipientes aumenta con la misma rapidez.
b. Explique su respuesta. se infiere que establece diferencia entre variación media y variación instantánea. La explicación dada es: “Ya que en los puntos c y en d son los máximos y mínimos de la función.
Pregunta 2 (Cuestionario final) Dos recipientes de diferente forma en los que la máxima altura que puede alcanzar el nivel del agua es 400 mm se encontraban inicialmente vacíos. debido que entre 5 y 6 seg el recipiente B aumenta 25 mm y el recipiente A aumenta 26 mm. pues a partir de los posibles valores para la rapidez media. tal vez un valor mayor pero muy cercano a 6 seg. En la gráfica B ubique los puntos donde la derivada es cero. indica el instante en el cual la rapidez toma determinado valor en un instante.
Altura del nivel del agua Recipiente A Recipiente B
a. Explique su respuesta. La respuesta dada es: “En el intervalo ya que la segunda derivada determina puntos de inflexión o cambio de curvatura.”
De la respuesta ofrecida por el estudiante 27 a la pregunta que se presenta en la figura 5. Explique su respuesta. En la tabla se registran las alturas del nivel del agua con respecto al punto más bajo en los primeros nueve segundos
0 0 0 3 65 16 7
1 13 1 4 91 31 8
2 39 6 5 117 51 9
c. Explique. En la gráfica C ubique los intervalos donde la segunda derivada es positiva. (Transcripción de la respuesta del estudiante 27): "Aproximadamente en 6 segundos.” Esboce la gráfica de la función derivada. el recipiente A aumenta de nuevo 26 mm y el recipiente B aumenta 30 mm.Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
Nivel Inter
Diferencian entre la variación media y la variación instantánea en diferentes contextos." Figura 4 La respuesta dada es: “Ya que si f tiene ese comportamiento inicia en -∞ y termina en -∞ luego la debe iniciar en ∞ y terminar en -∞ ” Figura 5
pero así mismo la rapidez con que aumenta la altura va disminuyendo debido a la forma semiesférica del recipiente.
En las respuestas ofrecidas por el estudiante 7 a las preguntas relativas al enunciado que se muestra en la figura 7.
Pregunta 1 (Cuestionario final) (Transcripción de la respuesta del estudiante 27)
Interpretan los cambios que se producen en los puntos críticos cuando la función se somete a transformaciones. Explique su respuesta. Explique su respuesta. se observa que se establece relación entre las transformaciones que experimenta la gráfica de la función y los cambios que experimentan los puntos críticos. "El punto crítico de es simplificado o elongado respecto al eje y. 2 6 . la gráfica es decreciente porque la rapidez va disminuyendo a medida que pasa el tiempo y además porque la gráfica de la altura en función del tiempo es cóncava hacia abajo. En cada ítem se define una función ." b. se observa que realiza una descripción de la forma en que obtiene la gráfica de la función derivada a partir de la gráfica de la función."
"La gráfica es una curva cóncava hacia abajo y creciente debido a que a medida que pasa el tiempo la altura va aumentando.Tec n é. ya que en general estamos diciendo que es una transformación de . es decir que los valores de la pendiente se van haciendo cada vez más
Cabe resaltar que en los casos analizados solamente uno de los estudiantes muestra los rasgos característicos de la derivada en el nivel Trans. E pi s t e m e y Di d a x i s N o .
. También incluye en su descripción que la gráfica de f ( x ) es cóncava hacia abajo."
c. determine el valor de x en el que se encuentran los puntos críticos de. En tal descripción incluye que la variación de la pendiente de la tangente disminuye." Figura 6 Nivel Trans
En la respuesta del estudiante 27 a la pregunta que se presenta en la figura 6. razón por la cual la gráfica de f ' ( x ) es decreciente. "En este caso el punto crítico de será trasladado c unidades hacia arriba. 2 0 0 9
Construyen la gráfica de f ' ( x ) a partir de la gráfica de la función aplicando el criterio de la primera derivada para describir la variación local y global de la función.
pequeños y esto se refleja en que la gráfica de la rapidez en función del tiempo es decreciente. en cada caso (Transcripción de la respuesta del estudiante 7): a. "El punto crítico de es trasladado c unidades hacia la izquierda. esto puesto que como en los casos anteriores es una transformación de .
Pregunta 5 (Cuestionario final) Suponga que la función real tiene un único punto crítico en . Explique su respuesta."
"Como la rapidez representa la derivada de la altura en función de el tiempo.
En algunas se indica las que hacen referencia al cuestionario final. se observa que intentan determinar la razón media de cambio como una cantidad a partir de dos valores de la variable independiente y sus respectivos valores de la variable dependiente.
Tienen una única interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la gráfica.
Aunque cuatro estudiantes interpretan la derivada como la pendiente de la tangente a la gráfica.2 Aplican tanto las reglas de derivación como la definición del límite de las razones de cambio pero no son concientes de la relación entre las dos
Los estudiantes interpretan la derivada en cada punto como la pendiente de la tangente.
No se observa tendencia de los estudiantes para determinar la derivada por medio de la definición del límite del las razones de cambio.Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
Análisis del grupo con respecto a los niveles de comprensión del concepto de derivada
A continuación se presenta el análisis de las respuestas ofrecidas por los seis estudiantes a quienes se les aplicaron los
tres cuestionarios. sin embargo no hacen uso de intervalos cada vez más pequeños para la variable independiente ni hacen mención a la derivada como función. Preguntas 3. En las situaciones en las cuales se propone a los estudiantes determinar la razón instantánea de cambio.
Para calcular f ' (a) se calcula primero f ' ( x) y posteriormente se evalúa en x = a . para determinar la razón de cambio instantánea para un valor determinado recurren a la variación media y no determinan el valor de la derivada en el punto de interés. Pregunta 3. Cuando los estudiantes abordan situaciones referidas a la velocidad presentan menor dificultad para resolverlos que en aquellas referidas a la rapidez de cambio en otras situaciones. y 3. referida al llenado de un recipiente. en relación con cada una de las categorías que determinan los niveles de compresión. Pregunta 3. o bien mediante la definición por medio del límite. sin embargo se observa esta tendencia aún en los puntos en los cuales la función derivada no existe. se observa que los estudiantes determinan primero f ' ( x) para obtener posteriormente el valor de f ' (a ) . Pregunta 3. d. se observa cierta tendencia a interpretar la derivada en términos del algoritmo utilizado para realizar cálculos. entendidas tanto números y como funciones. la pendiente de la recta y el límite de las tasas medias de variación.Esquema algebraico de la derivada. Utilizan la razón de cambio sólo en situaciones de velocidad instantánea. lo cual significa que no presentan confusión entre la expresión obtenida para la derivada y la ecuación de la recta tangente.
Tabla 1. en términos de la razón de cambio instantánea para algún valor de la variable independiente. No establecen relación entre f ' ( x) y f ' ( a ) en las aplicaciones de razón de cambio o de pendiente de una recta. En las preguntas en que se indagó por el valor de la derivada en un punto. por lo general acuden a las reglas de derivación. c. Cabe aclarar que las preguntas planteadas en este sentido proporcionan la función en su representación algebraica.7
Dos de los estudiantes obtienen una expresión para la derivada de la función. sin embargo.2. C o n f u n d e n f ' ( x) c o n l a expresión simbólica de la recta tangente a la curva en un punto fijo.4
No coordinan la razón de cambio. como en la pregunta 2 del cuestionario final.
.4 b. Niveles de comprensión Rasgos característicos Descripción a partir de los resultados Nivel Intra .
Asocian a la función derivada la interpretación según la cual a cada valor de x del dominio le corresponde el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.7
Sólo un estudiante establece relaciones entre la pendiente de la recta tangente y la razón de cambio en situaciones que se refieren a velocidad instantánea y a razón de cambio instantánea. no en todos.6
Sólo dos estudiantes realizan traducciones entre diferentes representaciones de la función y de la función derivada para proponer una función con las condiciones presentadas para la función que han de conseguir como ejemplo.Tec n é.Esquema algebraico de la derivada Los estudiantes que determinan el valor de la razón de cambio instantánea a partir de la expresión algebraica de la función. posteriormente calculan la razón de cambio para determinado valor a partir de dicha función. sin embargo. Pregunta 3.
Hacen traducciones entre diferentes representaciones de las funciones y de las funciones derivada.
Nivel Trans .4 b y 3. no establecen la relación en torno a las propiedades que debe cumplir la función a partir de las características de la primera y la segunda derivada. no la tienen en cuenta para el cálculo de la razón instantánea de cambio. sin embargo. la justificación del uso de las reglas de derivación se observa a través del seguimiento de pasos secuenciales para la resolución de problemas. inclusive cuando son interrogados por el significado de la derivada en un punto particular lo afirman explícitamente. Pregunta 3.6
Cuatro de los estudiantes consideran que la primera derivada es una función y que la segunda derivada se obtiene a partir de la primera derivada. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . Uno de los estudiantes no determina el valor de dicha pendiente. Niveles de comprensión Rasgos característicos Descripción a partir de los resultados Nivel Inter .
Por lo general.7 Hacen uso coordinado de la pendiente de la recta tangente y la razón de cambio en algunos contextos particulares. Se observa que cuatro de los estudiantes asocian los valores de la derivada en cada punto con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Interpretan la pendiente como el coeficiente en la ecuación de la recta tangente.
No han construido la relación entre la derivada como función y la derivada en un punto. Los estudiantes asocian la pendiente de la curva en un punto con el coeficiente de la recta tangente. en la expresión para la recta. 2 0 0 9
. sino que utilizan expresiones relacionadas con la razón de cambio media. se observa que aunque algunos estudiantes determinan la expresión para la función derivada. Pregunta 3. sin embargo. Pregunta 3.2 Aplican correctamente las reglas de derivación y justifican el uso de las mismas Pregunta 3.Esquema algebraico de la derivada Entienden la función derivada como una función que a cada valor de x le hace corresponder la derivada de f (x ) en dicho punto del dominio y que sobre ella se pueden realizar otras operaciones como la segunda derivada. 2 6 . la reemplaza por la expresión algebraica obtenida.
1 Determinan en una gráfica los puntos en los que la derivada de la función toma valores máximos. no hacen generalizaciones en torno a lo global. Nivel intra . excepto uno. no pueden construir la gráfica de la función derivada.
Para los estudiantes. como afirma un estudiante.
Determinar la gráfica de la función derivada a partir de la gráfica de la función es una tarea que resulta de mayor dificultad para los estudiantes. b. algunos estudiantes al ser indagados acerca del instante en que la razón de cambio es máxima o mínima responden en términos de un intervalo y no de un instante. Por otra parte.
En las respuestas de los estudiantes a las preguntas que requieren obtener características de la razón de cambio a partir de la gráfica de la función. sin embargo. dada la gráfica de la función.
Presentan dificultades en la resolución de problemas de razón de cambio a partir de la información gráfica de la función.Esquema gráfico de la derivada Calculan el signo y aplican el criterio de la primera derivada pero no generalizan la técnica para hacer representación gráfica de la función derivada.
No esbozan la gráfica de la función derivada a partir de la función sin antes pasar por la gráfica de la función. Pregunta 3. e interpretan los resultados obtenidos. Por otra parte. no pueden construir la gráfica de la función derivada a partir de esta información. resulta de menor dificultad determinar los puntos críticos de la función.Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
Tabla 1. Se observa en sus respuestas una tendencia a asociar la gráfica de la función con una expresión algebraica a partir de la cual se puede obtener una expresión para la función derivada y posteriormente encontrar la gráfica de la función derivada. coordinan y justifican las técnicas de derivación. se encuentra que no se obtiene el valor de la razón de cambio instantánea. se observa que los estudiantes tienen dificultades. en virtud de que.3 En algunos contextos tienden a confundir la variación media con la variación instantánea. la expresión simbólica de la derivada y posteriormente la representación gráfica de la función derivada. en particular cuando se trata de razones de cambio negativas. se observa en las respuestas que los estudiantes buscan la razón de cambio instantánea a partir de la variación media. Además. la expresión simbólica de la función. Sin embargo. Pregunta 3. sin embargo no hacen una representación adecuada de la gráfica de la función derivada. Niveles de comprensión Rasgos característicos Manejan. mínimos o nulos. algunos no aplican adecuadamente el procedimiento de derivación implícita. directas e indirectas. se requiere que transcurra un tiempo. Pregunta 3. Preguntas 3.3 d en relación con 3 a.1 y 3. en general. Pregunta 3. La justificación de la aplicación de las técnicas se determina a través de la secuencia de pasos seguidos en el procedimiento.7 Descripción a partir de los resultados Los estudiantes presentan dificultades en la interpretación de los resultados obtenidos. se observa que algunos estudiantes no construyen la gráfica de la función derivada aunque describen los cambios que experimenta la razón de cambio en algunos puntos. c Los estudiantes. En el caso particular de razones de cambio negativas se encuentra que hay mayor dificultad que cuando se trata de razones de cambio positivas.
A partir de la gráfica. De este hecho se infiere que aunque utilizan el criterio de la primera derivada para referirse a algunos puntos de la gráfica. Por otra parte. determinan el signo y aplican el criterio de la primera derivada.
a partir de su pendiente. Dos estudiantes consideran que aunque los puntos de corte de una recta secante a la gráfica de la función. Pregunta 3.2 Interpretan la gráfica de la recta tangente como el límite de las rectas secantes y como la recta más próxima a la gráfica de la función en el entorno de un punto. 2 0 0 9
Tabla 1. siempre se tendrá una secante y no consideran que la tangente sea el caso límite de las rectas secantes en esta situación. a nivel global. Pregunta 3. sean cada vez más cercanos.
Se observa que los estudiantes aplican el criterio de la primera derivada para determinar los puntos en los cuales la derivada es cero o es máxima. para magnitudes diferentes al espacio que dependen del tiempo.6 En general se observa que los estudiantes predicen correctamente el comportamiento de los puntos críticos de una función cuando se somete a transformaciones. salvo en el caso de la función que se obtiene a partir de la transformación g ( x ) = f (cx) . Diferencian entre la variación media y la variación instantánea en diferentes contextos. no les resulta fácil transitar de la gráfica de la función hacia la gráfica de la función derivada. Las preguntas en las que se debe relacionar las características de la primera y la segunda derivada en relación con la gráfica de la función son las que resultan de mayor dificultad para los estudiantes.5 Manejan con propiedad los criterios de la primera y segunda derivada para describir tanto la variación local como la variación global de una función representada gráficamente. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . Al igual que en el nivel trans del esquema algebraico.
Nivel Trans .3 y 3.Esquema gráfico de la derivada Pueden coordinar gráficamente el objeto pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto con el objeto razón de cambio en un punto. no pueden establecer relación entre los resultados que se obtienen a partir de la aplicación de dicho criterio y la forma de la gráfica de la función derivada. 2 6 .Tec n é. cabe decir que se observa dificultad de los estudiantes en la construcción de funciones.
Los estudiantes tienden a determinar el valor de la variación instantánea a partir de la variación media. con excepción de un estudiante.Esquema gráfico de la derivada Interpretan los cambios que se producen en los puntos críticos cuando la función se somete a transformaciones Pregunta 3. Niveles de comprensión Rasgos característicos Descripción a partir de los resultados Nivel inter . calcular la razón de cambio instantánea.6
Se observa que dos estudiantes asocian la razón de cambio instantánea con la pendiente de la recta tangente a la gráfica en determinado punto. sin embargo.
. Pregunta 3. Lo anterior le permite transitar de la gráfica de la función a la gráfica de la función derivada. dadas algunas características para las funciones primera y segunda derivada. si bien teóricamente establecen qué información proporcionan la primera y la segunda derivada. Sólo un estudiante recurre a la gráfica de la función que representa la situación para construir la gráfica de la recta tangente y. Construyen la grafica de f ' ( x ) a partir de la gráfica de la función aplicando el criterio de la primera derivada para describir la variación local y global de la función.
la tangente es el caso límite de las rectas secantes. no les resulta fácil transitar de la gráfica de la función hacia la gráfica de la función derivada. tienden a calcular la derivada a partir de la expresión algebraica para los intervalos y no indican que la derivada no existe. • En problemas en los que se pide al estudiante construir la gráfica de la derivada a partir de situaciones en determinados contextos. • En situaciones en las que se suministra la información a través de una representación gráfica. cabe decir que la interpretación más común de la derivada en el grupo de estudiantes. En este sentido. • Aunque los estudiantes establecen teóricamente la información que proporcionan la primera y la segunda derivada. lo cual concuerda con la denominada algebrización del cálculo diferencial y la concepción algebraica aludidas en los antecedentes. sin embargo. obtienen la razón de cambio instantánea por medio de la variación media y no como el valor de la derivada en el punto de interés. En este mismo sentido. los estudiantes determinan el signo de la derivada en cada punto. se observa mayor dificultad cuando los valores de la derivada son negativos. se infiere que se les dificulta hacer generalizaciones de lo global. En las funciones a trozos.
La justificación de los estudiantes acerca del uso de las reglas de derivación. tres estudiantes no consideran que cuando los puntos de corte de una recta secante a la gráfica de la función son cada vez más cercanos. se relaciona con la pendiente de la recta. se observa una dificultad en los estudiantes para la construcción de funciones cuando conocen algunas características de las funciones primera y segunda derivada. • Se observa dependencia a la expresión algebraica para describir la razón de cambio de una función.Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
En cuanto a los niveles de comprensión del esquema algebraico de la derivada
En cuanto a los niveles de comprensión del esquema gráfico de la derivada
• Dos estudiantes que determinan una expresión para la derivada de una función. los estudiantes tienen dificultades para asociar la razón de cambio instantánea con la pendiente de la tangente a la gráfica de la función. se observa una tendencia de los estudiantes a asociar la gráfica de la función con una expresión algebraica conocida para luego determinar la expresión algebraica de la derivada y posteriormente construir la gráfica de la función derivada. • En las situaciones que se refieren a la velocidad instantánea se obtienen más respuestas acertadas que cuando la situación se refiere a la razón de cambio de otras variables diferentes a la posición de un objeto en movimiento. No obstante.
. indican en la gráfica los puntos críticos. sin embargo. dejando de lado la interpretación como la razón de cambio instantánea o como la pendiente de la recta tangente. Por otra parte. En el mismo sentido. algunos estudiantes obtienen la función segunda derivada a partir de la primera derivada. En este sentido. no obtienen la representación gráfica de la función derivada.
• Se observa que a partir de la gráfica de la función. Estas caracterizaciones concuerdan con lo descrito en los antecedentes en cuanto a la forma en que los estudiantes consideran los contextos gráficos y algebraicos en forma separada. no establecen la relación en torno a las propiedades que debe cumplir la función f (x ) en algunos intervalos del dominio. se basa en una descripción de los pasos seguidos para la resolución de problemas. En estos estudiantes se observa una tendencia a interpretar la derivada en términos del proceso algorítmico utilizado para obtenerla. aplican el criterio de la primera derivada. en las que no existe la derivada en algunos puntos.
6. Carolina María Luque Zabala. A. Análisis de un manual de 2º de Bachillerato-Logse. (1997). (2006). Julio). 16 (4). García. 2 6 . (2008). 221-271. 85-98. 3.) The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study. y S. Modelos y teorías de la comprensión matemática: Comparación de los modelos de Pirie y Kieren sobre el crecimiento de la comprensión matemática y la Teoría APOE. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Enseñanza de las Ciencias. C. J. Se contó con la participación de los estudiantes del Proyecto Curricular de la Licenciatura en Matemáticas Sandra Carolina Sánchez Suesca.. La derivada como objeto matemático y objeto de enseñanza y aprendizaje. (2003. M. & M. Fox. Hitt (Ed. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . M. D. D. 2 0 0 9
Asiala. Dolores.Tec n é. G. Contreras. M. The Development of Students’ Graphical Understanding of the Derivative.. Algunas ideas que acerca de la derivada se forman los estudiantes en sus cursos de cálculo. Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Tesis Doctoral no publicada. 399-431. Buenos Aires: Editorial Siglo XXI. et al. 11(2). Concepciones y obstáculos en la noción de derivada. (2003). Meel. (1983). G. El proceso de investigación en educación. San Fernando (Cádiz). APOS: A constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research. La comprensión de la derivada como objeto de investigación en didáctica de la matemática. 267-296. IX congreso sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas “THALES”. Blanco.. El desarrollo del esquema de derivada.
Anexo 1. Badillo.. En F. Sánchez-Matamoros. Yully Maritza Martínez Hernández. Pamplona: Editorial Eunsa. y E.) Investigaciones en Matemática Educativa II. Mc Donald. F: Grupo Editorial Iberoamérica. Jorge Edwin Lasso Rosa y Juan Carlos Jiménez Ruiz. E. Bachelard. Journal of Mathematical Behavior. Holton (Ed. Caracterización del cuestionario final
Un depósito de agua con forma de semiesfera cuyo radio es R se empieza a llenar por medio de un grifo que vierte agua con rapidez constante de L litros por minuto. (1981). Relime Vol.
Dubinsky.. No. Llinares. En D. (1998). Cottrill. (2001). 257-272.
En el proyecto “Análisis de obstáculos y descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada en los estudiantes de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional” participaron los autores del presente artículo y los profesores José Torres Duarte y Edwin Alfredo Carranza Vargas. (2000). Universidad Autónoma de Barcelona. La formación del espíritu científico. 275-282.. México D. 24 (1). En Profesores de Colombia. y S. Llinares. G. Dubinsky. Sánchez – Matamoros.
• Coordinación gráfica entre el objeto pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto. De mantenerse la regularidad observada.
Caracterización de acuerdo con los niveles de comprensión
Esquema algebraico de la derivada
Dos recipientes de diferente forma en los que la máxima altura que puede alcanzar el nivel del agua es de 400 mm.
c. con el objeto razón de cambio en un punto.
a. conjeture cuál de los dos recipientes se llena en menor tiempo. • Esbozo de la gráfica de la función derivada a partir de la gráfica de la función. Estime en qué intervalos de tiempo la rapidez con la que crece la altura del nivel del agua del recipiente A es menor que la rapidez con la que crece la altura del nivel del agua del recipiente B.
a. En el momento en que el cronometro indica 3 segundos. b.Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
Esquema gráfico de la derivada. En la gráfica A ubique un punto de la curva donde se encuentre la mayor de las pendientes de sus rectas tangentes.
Esquema gráfico de la derivada
0 0 0 3 65 16
7 169 106
1 13 1 4 91 31
8 195 141
2 39 6 5 117 51
9 221 181
Altura del nivel del agua Recipiente A Recipiente B 6 143 76
• Diferencia entre la variación media y la variación instantánea en diferentes contextos. Explique su respuesta.
• Determinación del signo y aplicación del criterio de la primera derivada para hacer representación gráfica de la función derivada. la pendiente de la recta y el límite de las tasas medias de variación. no en todos. En la tabla se registran las alturas del nivel del agua con respecto al punto más bajo en los primeros nueve segundos
• Uso coordinado de la pendiente de la recta tangente y la razón de cambio en algunos contextos particulares. ¿en cuál de los dos recipientes aumenta la altura con mayor rapidez? Explique su respuesta d. • Resolución de problemas de razón de cambio a partir de la información gráfica de la función. Explique su respuesta. Estime en qué instantes de tiempo la altura del nivel del agua de los dos recipientes aumenta con la misma rapidez. Explique su respuesta. entendidas como números y como funciones. se encontraban inicialmente vacíos. para magnitudes diferentes al espacio que dependen del tiempo. • Coordinación entre la razón de cambio.
. Explique su respuesta.
10] se introduce mayor cantidad de agua? Explique su respuesta. Lo anterior
Esquema algebraico de la derivada. En la gráfica C ubique los intervalos donde la segunda derivada es positiva. 5]. 2 6 . ¿Con qué rapidez cambia el volumen de agua en t = 2? Explique su respuesta. mínimos o nulos y a partir de ello.
b. • Relación entre la derivada como función y la derivada en un punto. [5. 2 0 0 9
permite transitar de la gráfica de la función a la gráfica de la función derivada y viceversa.¿En cuál de los dos intervalos de tiempo [0. E pi s t e m e y Di d a x i s N o . • Construcción de la gráfica de f ' ( x ) a partir de la gráfica de la función aplicando el criterio de la primera derivada para describir la variación local y global de la función. La función que representa el volumen de agua vertida en el recipiente en m3 con respecto al tiempo (minutos) es:
 t+4 V (t ) =   3
0≤t≤5 5 < t ≤ 10
c. los cuales no siempre permanecen abiertos. ¿Cuál es el volumen máximo de agua que se vierte en el recipiente? Explique su respuesta. c.Tec n é. construcción de la gráfica de la función derivada. ¿En qué instante el volumen de agua en el recipiente cambia con mayor rapidez? Explique su respuesta. Explique su respuesta
Se vierte agua en un recipiente cilíndrico por medio de un sistema de dos grifos. • Determinación en una gráfica de los puntos en los que la derivada de la función toma valores máximos. d. b. ¿Qué puede decir de la rapidez de cambio del volumen en el instante t=5? Explique su respuesta. • Manejo con propiedad de los criterios de la primera y segunda derivada para describir tanto la variación local. e.
• Determinación del signo y aplicación del criterio de la primera derivada para hacer representación gráfica de la función derivada. En la gráfica B ubique los puntos donde la derivada es cero. • Relación entre f ' ( x ) y f ' ( a ) en las aplicaciones de razón de cambio o de pendiente de una recta. Explique su respuesta
a . como la variación global de una función representada gráficamente.
• Aplicación de las reglas de derivación y de la definición del límite de las razones de cambio y relación entre las dos.
Interpretación de la pendiente como el coeficiente en la ecuación de la recta tangente. b. e interpretación de los resultados obtenidos.
Suponga que la función real f (x ) tiene un único punto crítico en x0 . Explique su respuesta. determine el valor de x en el que se encuentran los puntos críticos de g (x ) .Descripción de niveles de comprensión del concepto de derivada
• Cálculo de f ' ( a ) . Manejo. Explique su respuesta.
Relación entre f ' ( x ) y f ' ( a ) en las aplicaciones de razón de cambio o de pendiente de una recta. coordinación y justificación de las técnicas de derivación. encuentre este punto. g ( x) = f ( x + c) Explique su respuesta. En cada ítem se define una función g (x) . • Aplicación correcta de las reglas de derivación y justificación del uso de las mismas. directas e indirectas.
El conjunto de todos los puntos (x. Aplicación correcta de las reglas de derivación y justificación del uso de las mismas. g ( x) = f ( x) + c Explique su respuesta. Existe un punto en el que la recta tangente a la curva es perpendicular al eje x.
Consideración de la función derivada como una función que a cada valor de x le hace corresponder la derivada de f (x) en dicho punto del dominio sobre el cual se pueden realizar otras operaciones como la segunda derivada.
• Interpretación de los cambios que se producen en los puntos críticos cuando la función se somete a transformaciones. Manejo con propiedad de los criterios de la primera y segunda derivada para describir tanto la variación local. c. como la variación global de una función representada gráficamente. en cada caso
a. y) y tales que e − y = x forma una cierta curva en el plano. d.
Traducción entre diferentes representaciones de la función y de la función derivada. f ' ' ( x) < 0 . g ( x) = f (cx) Explique su respuesta.
Construcción de la gráfica de f ' ( x ) a partir de la gráfica de la función aplicando el criterio de la primera derivada para describir la variación local y global de la función. f ' (0) = −1 y f ' (1) = −3 . Lo anterior permite transitar de la gráfica de la función a la gráfica de la función derivada y viceversa. • Relación entre f ' ( x ) y f ' ( a ) en las aplicaciones de razón de cambio o de pendiente de una recta.
Encuentre una función real f que cumpla las siguientes condiciones: Para todo x.
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