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Timestamp: 2018-03-20 12:05:57+00:00

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LOGICA - CUANTIFICADORES
Uploaded by Cristhian Garcia
INVESTIGAR SOBRE TEMA GENERAL: CUANTIFICADORES FUNCIONES LOGICAS Y CONJUNTO DE VALIDEZ
TAMBA FUEGO – CARAMELO EL CANTANTE EL DIA DE MI SUERTE TU AUSENCIA What up non blondes Lo pasado pasado Ella ya me olvido Ojitos negros Sandro Fabula Sé que estas llorando por mí Naila
Prof. Víctor Bravo1
Predicados Cuantificadores Preguntas
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Agenda 1 Predicados
Tautologías y Contradicciones Definiciones 2 Cuantificadores Definiciones Implicaciones y Equivalencias Lógicas 3 Preguntas
Predicados Cuantificadores Preguntas Tautologías y Contradicciones
Tautologías útiles Tautologías útiles Ley del absurdo (p ! q ^ :q) ! :p Ley de la importación (p ! (q ! r )) ! (p ^ q ! r ) Ley de la exportación (p ^ q ! r ) ! (p ! (q ! r )) Ley del silogismo hipotético (p ! q) ^ (q ! r ) ! (p ! r ) Ley de la adjunción p ^ q ! p ^ q Ley de la simplicación p ^ q ! p Modus tollendo pollens :p ^ (p _ q) ! q Modus tollendo tollens :q ^ (p ! q) ! :p Ley de la separación p ^ (p ! q) ! p
Tipos de elementos en la lógica de Predicados Constantes Objetos concretos, formando un universo de discurso, un conjunto U. Variables Objetos genéricos que normalmente denotamos con las letras x, y, z, . . . y que podrán sustituirse por objetos de U.
Predicados ¿Qué es un predicado? Los predicados son sentencias abiertas, en las que se incluyen una o más variables. También se les llama función proposicional. Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos, si no se especifican los valores de las variables. Un predicado se convierte en una proposición cuando todas las variables que aparecen en él, se remplazan por opciones permisibles del universo de discurso.
Representación de predicados ¿Cómo se representan los predicados? Los predicados se representan por símbolos del tipo p(x), q(x) o p(x,y), q(x,y,z), etc. Por ejemplo: Si p(x) = x > 100, p(x) se convierte en proposición al sustituir x por algún número natural. p(101) es Verdadera. p(50) es Falsa.
Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones
Definición de cuantificador ¿Qué es un cuantificador?
y) Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Cuantificador Universal En lenguaje natural decimos. .... p(x) es verdadera. Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Cuantificador Universal ¿Qué es un cuantificador universal? Indica que una proposición es Verdadera para todos los valores de una variable en un “universo” en particular. y) $ 9x.. y p(x. Importante Siempre debemos denotar el universo del discurso. si existe al menos un elemento x del universo tal que p(x) sea verdadera. Notación: 9x p(x) ó 9x9y p(x. es la Cuantificación. para el cual p(x) es verdadera. ya que para algunos “universos” la proposición puede ser verdadera y para otros “universos” es falsa. y) $ 8x. Notación 8x p(x) ó 8x. para todos los valores de x en el dominio. y p(x. si todas sus variables se cuantifican. 8y p(x.Otra forma de crear una proposición o de cerrar una función proposicional abierta. Cerramos p(x) al escribir 9x p(x).... donde el universo consiste en todos los números reales. Una proposición abierta se cierra. y) Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Cuantificador Existencial En lenguaje natural decimos.. Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Cuantificador Existencial Veamos un ejemplo Si p(x) es “x < 100” Tenemos. De lo contrario es falsa. La proposición es Verdadera. Formas de expresarlo: “Hay un x” “Para algún x” “Para al menos un x” “Existe un x tal que” Resumiendo. Trataremos con dos tipos de cuantificadores: 1 Existencial 2 Universal Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Cuantificador Existencial ¿Qué es un cuantificador existencial? Denota que existe “al menos” un elemento x del Universo.
y” Resumiendo. si existe al menos un x para el cual p(x) es falsa.. si para cada reemplazo de x. Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Traducciones de Cuantificadores Lo que se traduce en: 8x p(x) ! q(x) donde: x : dominio: de todas las personas p(x) : es estudiante de la clase de Matemáticas Discretas q(x) : vive en Mérida Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Ejemplo 2 Cuantificadores Frase en lenguaje natural Algún venezolano es medallista olímpico Se traduce en: Existe al menos un venezolano que cumple con la condición de ser medallista olímpico Las variables Existe al menos un venezolano x que cumple la condición que x es medallista olímpico Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Ejemplo 2 Cuantificadores . si la persona x es un estudiante de la esta clase.. entonces: 9x(p(x) ^ q(x)) Predicados Cuantificadores Preguntas Implicaciones y Equivalencias Lógicas ¿Como funcionan las tautologías y contradicciones? . p(x) es verdadera.Formas de expresarlo: “Para todo x” “Para cada x” “Para cualquier x” “Para todo x y y” “Para todo x.. La proposición es Verdadera. Predicados Cuantificadores Preguntas Definiciones Traducciones de Cuantificadores Frase de ejemplo Todo estudiante de la clase de Matemáticas Discretas vive en Mérida Traducción: Se define el dominio: todas las personas p(x) : estudiante de la clase de Matemáticas Discretas q(x) : vive en Mérida Frase lógica Para todo persona x.continúa. entonces la persona x vive en Mérida.... Es falsa. Predicados q(x) x es un futbolista p(x) x es venezolano Construyamos la proposición El dominio es de todas las personas.
_ Julio Verne Cuantificadores Los cuantificadores permiten que una expresión regular coincida con un número o un rango de números de cualquier caracter. Los cuantificadores se colocan entre llaves ({ y }). Tiene la forma general {[apariciones-mínimas][. {0.Si la implicación lógica p(x) ! q(x) es verdadera para cada x del universo. entonces se escribe: Implicación 8[p(x) ! q(x)] y se dice que p(x) implica lógicamente a q(x) Predicados Cuantificadores Preguntas Implicaciones y Equivalencias Lógicas Equivalencias lógicas Dos proposiciones p(x) y q(x) son lógicamente equivalente.1} Lo mismo. una clase de caracteres o un subpatrón. {.) {5.[apariciones-máximas]]} Su uso se explica mejor en este ejemplo: {1} Exactamente 1 aparición. {5. otro la tornará en realidad. Predicados Cuantificadores Preguntas Preguntas. Dudas y Comentarios _ Si un hombre se imagina una cosa. pero con menos trabajo .10} Como mínimo 5 y como máximo 10 apariciones.1} Cero o 1 apariciones.} . si se escribe: Equivalencia 8x[p(x) $ q(x)] Cuando la bicondicional p(x) $ q(x) es verdadera para cada x del universo.
}. Los procesadores de expresiones regulares modernos. Ejemplos en contexto Estos son algunos ejemplos que utilizan cuantificadores: ^\d{4. las expresiones regulares tratan de coincidir con la mayor parte posible de la cadena buscada. encuentra cualquier número de apariciones. proporcionan los medios para «desactivar la codicia». sin máximo. /?> . podría tener una casilla de comprobación llamada «Coincidencia mínima».Como mínimo 5 apariciones. + (signo más) Similar a {1. al menos 1 aparición.5}\s Coincide con los dígitos en «1234 ya» y «12345 ahora». aunque en los entornos gráficos depende del interfaz el tener acceso a esta característica. pero no con los de «567 once» ni los de «223459 algún lugar». \s+ Coincide con uno o más espacios en blanco. cero o 1 apariciones. ? (signo de interrogación) Similar a {0.} Coincide con «blablabla» y con el «bla» de «blanco» o «tabla».}. conociéndose este comportamiento como codicioso. hay algunas abreviaturas: * (asterisco) Similar a {0. Además. un diálogo de búsqueda que permita expresiones regulares. Por ejemplo.1}. (bla){1. Codicia Cuando se utilizan cuantificadores sin máximo. Además podría haber una indicación sobre que el comportamiento predeterminado es el codicioso.
. es verdad que . vivo)]. [niño (X) => le_gusta (X. . [cartero(Z) ^ mordió (boby. Z)]. Un cuantificador se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Por lo que es deseable reemplazarlos con alguna representación equivalente. los cuantificadores son difíciles de usar. Establece que "existe un X. es verdadera para todos los valores posibles de la variable que es cuantificada. indica que la fórmula bien formada.. El cuantificador universal permite referirse a todos los individuos del universo del discurso. ² Los cuantificadores: . . Los cuantificadores que típicamente se utilizan en lógica de predicados son: El cuantificador universal...$ . Establece que "para todo X. Desde el punto vista de representación.Cuantificador universal (para todo). . El cuantificador existencial permite referirse a algunos de los individuos del universo del discurso. " Y. también pueden ser cuantificadas. helados)]. Por ejemplo: "X.. más fácil de manipular. " A continuación se dan algunos ejemplos de predicados cuantificados: " X. es verdadera para algún valor o valores dentro del dominio.Cuantificador existencial (existe). dentro de su alcance.. . " indica que la fórmula bien formada. tal que . dentro de su alcance.. . El caso del cuantificador universal es más simple ya que se asume a todas las variables como universalmente cuantificadas. " El cuantificador existencial.Coincide con «/>» en «<cerrado/>» así como con «>» en «<abierto>». $ Z.. Existen dos tipos de cuantificadores. cuyas características resumimos en la siguiente tabla: Nombre Notación Se lee cuantificador universal Para todo x. Las variables. cuantificador existencial Existe por lo menos un x. Por ejemplo: $X.. [mamífero (Y) => nace (Y...
forman una frase. disciplina que estudia métodos de formalización del conocimiento humano "de los métodos de formalización de frases declarativas". las frases declarativas simples. esta función. La definición de lógica.T.O.I. representado por .teniendo en cuenta la estructura interna de las proposiciones. Se escribe .U. que hace a la cláusula verdadera. Esto inicia una unidad de comunicación de conocimientos.De quién se afirma: objeto" (Jose Emilio Labra Gayo. Para la resolución de problemas reales. Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad."Qué se afirma: relación . Si se asume que existe una función capaz de determinar los valores de la variable que hace la cláusula verdadera. •Lógica de predicados: Estudia las frases declarativas. entonces simplemente se remueve el cuantificador existencial y se reemplaza las variables por la función que retorna dichos valores.I. Podemos distinguir: . Los objetos y las relaciones entre los objetos serán los elementos básicos. Daniel Fernández Lanvin. Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma que se leen "para todo x. las cuales tienen significado ellas mismas o la unión entre ellas. las cuales se les denomina proposiciones. debe ser conocida y definida. Se escribe .(Jose Emilio Labra Gayo.El cuantificador existencial es más difícil de reemplazar. entre ellas podemos distinguir: frases imperativas. El cuantificador existencial garantiza la existencia de uno o más valores particulares (instancias) de la variable cuantificada. es verdad que p" y "existe por lo menos un y tal que q es verdad". E. El cuantificador universal.) La lógica se clasifica: •Lógica proposicional o lógica de enunciados: Se parte de un elemento simple. El lenguaje está formado por frases. . frases interrogativas y frases declarativas. (2) La proposición (2) suele interpretarse como la equivalente de la proposición LÓGICA DE PREDICADOS El lenguaje es el instrumento que se usa para la comunicación entre humanos. llamada función de Skolem. (1) La proposición (1) suele usarse como la equivalente de El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una propiedad. y toman el valor verdadero o falso. Daniel Fernández Lanvin.
O." (Jose Emilio Labra Gayo.L.L.O. Con la lógica de predicados intentamos conseguir sistemas de demostración automática de teoremas.E. Daniel Fernández Lanvin.T.) Lógica de Predicados (LP de Orden Cero).tn) es un término" (Jose Emilio Labra Gayo.) Definimos a continuación las reglas sintácticas para construir fórmulas: Definición 1:El alfabeto de la lógica de predicados estará formado por los siguientes conjuntos simbólicos: •Conjunto de Símbolos de Variables(VAR): Es un conjunto de las últimas letras del alfabeto en minúsculas.g.t2. Definición 2: Término es una cadena de símbolos que representan a objetos y dependen de las siguientes reglas: •"Toda variable o constante individual es un término. E.I.I.U.también utilizaremos subíndices: •Conjunto de letras de función(FUNC): Representaremos a este conjunto por las letras f. Daniel Fernández Lanvin.) •"Si t1.tn son términos y fn es una función de aridad n entonces fn(t1.I. Incluimos subíndices para poder diferenciar las funciones: •Conjunto de letras de Predicado (PRED): Se representan mediante letras mayúsculas.T. Símbolos de conectivas: ¬ = Negación ∨= Conectiva "o" ∧ = Conectiva "y" → = implicación ↔ = Doble implicación o equivalencia Cuantificadores: ∃=existencial ∀=Universal Signos de puntuación: Paréntesis ( ) y coma. Se distingue: • "Qué se afirma (predicado o relación) • De quién se afirma (objeto)" (Jose Emilio Labra Gayo. Partimos de elementos básicos como las frases declarativas simples o proposiciones que son aquellos elementos de una frase que constituyen por sí solos una unidad de comunicación de conocimientos y pueden ser considerados Verdaderos y Falsos.O. La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle.I.I.O. Daniel Fernández Lanvin.U. E. considerando la estructura interna de las proposiciones.I.h.t2. por ejemplo: •Conjunto de símbolos de Constantes (CONS): Este conjunto lo forman las primeras letras del alfabeto en minúsculas.U.I.T.) . Se utilizan subíndices.T.I.U.L. E. Se tomarán como elemento básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos.
Ejemplo sobre lógica de predicados Dada la siguiente expresión -La variable x está ligada ya que aparece en el ámbito del cuantificador universal y además .I. a diferencia de LP0.I.I..I. "Todo átomo (P.U.Church y Turing lo demostradon de forma independiente.).T.) es una fórmula bien formada.I.. la deducción: "Todos los informáticos son listos.. el problema es que. (A ∨ B) y (A ⇒ B). lo podemos formalizar de la siguiente manera usando predicados: I(x)=”x estudia informática” y L(x)=”x es listo” como: "Existen estructuras deductivas que la lógica de proposiciones no puede formalizar de forma adecuada. 3. No existe un procedimiento de decisión que nos permita decidir si para una fórmula. E. Definición 3: Un átomo es una cadena de símbolos de la forma: donde Pn es un predicado de aridad n y sin términos Definición 4: Definimos el conjunto de fórmulas bien formadas (fbf): 1.O.) Podemos hacer razonamientos con la deducción natural.T. Las variables en lógica de primer orden pertenecen a un dominio. luego Pedro es listo" (Jose Emilio Labra Gayo. Daniel Fernández Lanvin. y reglas de deducción natural. por ejemplo.U. Así de esta manera. sólo que admite los cuantificadores ( ∀ y ∃ ). Pedro es informático. E. Daniel Fernández Lanvin. "Si es una fórmula bien formada.O.R.T.I. E. 4. Si y son fórmulas bien formadas. es una extensión de lógica de predicados de orden cero.U.). Daniel Fernández Lanvin.q y r independientes y la fórmula resultante “p∧q→r” no sería válida. Pueden existir constantes y las fórmulas en esta lógica se pueden unificar de formas nuevas que antes no teníamos o podíamos." 2. Lógica de primer orden En lógica de predicados de primer orden "se permite la cuantificación de variables" (Jose Emilio Labra Gayo. se formaliza el razonamiento: En la lógica de predicados de primer orden (∀x (Informático(x)→Listo(x))∧ Informático (Pedro))→ Listo (Pedro) La lógica de predicados de primer orden es la más básica. la lógica de primer orden no es predecible.I. también lo son (A ∧ B).esta es válida o no.U." (Jose Emilio Labra Gayo. ¬ A también lo es.S.O.•Todos los términos posibles se generan aplicando únicamente las dos reglas anteriores Cualquier término lo generamos a partir de las dos reglas dichas anteriormente.) En lógica de predicados de orden cero lo formalizamos con tres proposiciones p.O. La LP1 es suficiente para formalizar la teoría de conjuntos.T. Daniel Fernández Lanvin.Q. (Se denominará fórmula atómica). E.I. No hay más fórmulas. tienen una asignación. Ejemplo: Tenemos la frase “Todos los estudiantes de informática son listos” (Jose Emilio Labra Gayo.
las fórmulas sin variables libres se llaman fórmulas cerradas y las que sí tienen. -Ámbito de los cuantificadores Podemos definir ámbito de los cuantificadores aquella zona de una fórmula que se ve afectada por sus efectos. 2.esta no la tiene como variable de cuantificación. Son variables diferentes si no están en el radio de acción del mismo cuantificador o si una es libre y la otra no. tendremos que: Para evitar confusiones innecesarias. Las variables que se encuentran en su “radio de acción” se llaman variables ligadas y las no afectadas. Son la misma variable si están en el radio de acción del mismo cuantificador o si las dos son libres. Según el ejemplo anterior. Ejemplo de variables libres y ligadas: Cuando dos variables se muestran con la misma letra. fórmulas abiertas. y)] Ú Q(z. A su vez. z) → ∃yR(u.la tiene como variable de cuantificación. variables libres. el ejemplo anterior también se podría haber escrito así: ∀u[P(u) Ù ∃tQ(t. podemos decir que: 1. x) . -Se dice que la variable y es una variable libre ya que aunque está en el ámbito del cuantificador universal.
. . . . . . ... . ... . .. . . . .7 Desarrollo ... . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .... .. .. .. .. .... . .. .. . . .. . .. . . . . .. . .. .. .. . . . . . . . . .. . .. .. . . . . . . .. . . . . . . .. . .. . .. . . .. . . .. ... .. . . . .. . . . .. .. .. . . . . . . . . .. .. . . . . .. . ... .. . . ... .. . .2 Acerca del trabajo . . . . . .. . . . . . . . . 14 Objetivo .. . .8 Actividades . . . . . . . . . . . ... . .. ... . . .. . . . . . . . .. . ... . . . . . .. . . . . . ... .. .. . . .. . .. . . . . . . . 14 Actividades .. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. .... . . . . . . .. .. .. ..... ... . . . . . . .. . . . . .5 Introducción . .. ... . . .. . . . .. .. . . .. . .. . .. .. . . . . ... .. .Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Curso: Matemática Discreta usando ISETL Año 2007 Responsable del curso: Sylvia da Rosa (docente del InCo) Participa: Luis Sierra (docente del InCo) Alumno: Diego Martorell 2 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Índice Índice ... . ... . .. . . . .. . .. . .. ... .. .. . . . . .... .. . . . . . . . .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . ... .. .. . . . . . . . .. ... . . . .. . ..8 Objetivo .. .. . . .. . ... . . . . . .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . . . .. .4 Fundamentación . . . . .. .. ... . . . . . . . . . . ... . . .. . . . . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . . ... . . .. . . . .. . .. . .. . ... . . . . .. . . . . . . . ... .. . . . ... . . . . .. ... . .. . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . .. . . . . . .... .. .. ...9 Módulo I I .. . . . . . . . . . . . . ... ... . ... . . .... . . . . . . ... . . . . . . .. .. .. . . . ... .. . . . . . . . . . . ... . . ...8 Ejemplo de resolución . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. ... .. ... . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . .. .. .. .. . . . . .. .. .. . . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . .. .. . . .. . 14 . . . . .. . . . . . .. .. ... ... .. . . . . .. . . . . . .. .. . . . . . . . . . ... .. . .. . . ... .. . .. .. . . . . ... . . .. . . .. . ... . .. . . . . ... . . ... . . .. . . .. . . .. .. . . . . . . . . .. ... . . . . .8 Módulo I . .. . . . . . .. . . .. . . .. .. .. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Notación de algoritmos . . . . . . . . . . 20 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Introduccion a la inteligencia artificia l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 La matemática discreta como formación básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Año 2007 3 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Introducción a la lógica . . . . . . . . . . . . . 24 Cálculo Proposiciona l . . . . . . . . . 22 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Pequeño Manual de ISETL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Bibliografía . . . . . 26 Notación de las operaciones básicas . . 21 Módulo IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Módulo II I . . . . . . . . . . . . . . 24 Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ejemplo de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Año 2007 4 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Manual de ISETL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¿Qué es matemática discreta? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Aprenda a crear Diagramas de flujo . 22 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ejemplo de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Y por último manejar el concepto ligado de funciones lógicas de una o varias variables. como ser la presentación de los temas con un relacionamiento de por qué y para qué se enseña. el formar una persona para que sea una máquina de aplicar fórmulas o sacar cuentas. y que considero interesante. mientras que los que carecen de acceso o lo usan desde hace menos de un año . entre 15 y 16 años. estudiar la consistencia y validez de distintos razonamientos. Es un tema bastante amplio.Martorell Acerca del trabajo Este trabajo es resultado de lo aprendido durante el Curso de Matemáticas Discreta usando ISETL dictado por la Ing. sería bueno también manejar esto. Luego de haber analizado las distintas posibilidades que ISETL ofrece para trabajar con Matemática. Obviamente existen otros aspectos importantes que serían de gran ayuda para el desarrollo de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. por ejemplo la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) indica que la mayoría de los alumnos. la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas se encuentra en un momento díficil. Además. La idea es la de tratar este tema. desde lo más básico. que utilizan un ordenador desde hace cinco años tienen resultados superiores a la media en matemáticas. el cual busca la integración de la enseñanza en el aula con la utilización de recursos informáticos. Sylvia Da Rosa. como son las tablas de verdad. en niveles universitarios. como también podría ser encarado para un nivel como el de primer año de Profesorado de Matemática. para ello nos debemos asistir en las calculadoras y en las inumerables herramientas que nos proveen las computadoras. En lo que respecta a mi reciente experiencia como alumno. Son datos verificados. no recuerdo haberme acercado a ese tipo de justificaciones con frecuencia. que surgen de varias investigaciones. pudiéndose aplicar en un nivel secundario. pero la búsqueda de soluciones son pocas y sería bueno que todos los que en cierto modo formamos parte de el sistema educativo colaboremos. lo cual me hubiese resultado más interesante. Muchas veces se enseña Matemáticas sin hacer uso de distintos recursos didácticos que están al alcance pero que se ignoran. Incluso. Son muchas las razones. Una forma de hacerlo es mediante este trabajo. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -.Año 2007 5 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Fundamentación Actualmente. creando algoritmos y demás que permitan el cálculo de cualquier tipo de predicados. no creo que sea lo mejor. he encontrado un tema interesante como lo es el de la lógica proposicional. sería bueno comenzar a utilizarlos con mayor frecuencia.
En resumen. El orden de presentación de los distintos puntos no debería cambiar. el cual depende del grupo y sería fijado en base a las dificultades que vayan surgiendo. la relación entre las proposiciones y la lógica funcional. El primero. Se trata de cubrir una serie de conceptos básicos relacionados con la lógica proposicional y las funciones lógicas. En tercer lugar. Luego. las definicionas a considerar serían: Proposición Tipos de proposiciones Valor de Verdad . leyes y reglas lógicas. lo que si es flexible es el tiempo destinado a cada uno de ellos.Año 2007 7 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Introducción A continuación se presenta la propuesta de trabajo para implementar en el aula. para conocer la consistencia y validez de un razonamiento.Año 2007 8 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Desarrollo Módulo I Objetivo En esta primera parte. como segunda parte. En éste no se pretenderá trabajar sobre conceptos. Se estructurará el tema en cuatro módulos. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -.Año 2007 6 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell aula y alcanzar un desarrollo del aprendizaje y enseñanza de la Matemáticas mejor. el concepto relacionado de valor de verdad y las distintas tablas de verdad en cuestión. es oportuno realizar este trabajo visto que un lenguaje como ISETL nos permite agregar un recurso más para trabajar en el Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. se introducirán los conceptos básicos de la lógica proposicional. un cuarto módulo acerca de la lógica aplicada a la Matemática y a la Programación. Por último. de donde se desprenden los conceptos de Funciones Lógicas y Conjuntos de Validez. Siendo más explícitos.obtienen unos resultados por debajo del nivel general de su curso. sino que se intentará ver si el alumno ha captado que la lógica y la matemática están más cerca de ellos y en todos los ámbitos donde se desarrollan. la relación de las proposiciones con ciertos teoremas. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. que tratará acerca de lo que es una proposición.
Simbolizar las proposiciones anteriores y realizar las correspondientes tablas de verdad. Ejemplo de resolución Ejercicio 1) Proposición Tipo Simbolización José es alto simple p: José es alto --. condicional y bicondicional). Ejercicio 2) __________________________________________________________________ ____ __ Pensar una algoritmo que dada una proposición nos indique si se trata de una tautología. disyunción. en uno de los ejemplos se pide realizar un algoritmo o diagrama que le permitirá al estudiante implementarlo luego en ISETL de la forma correcta. por ejemplo. Si es jueves. Ejercicio 1) __________________________________________________________________ ____ __ Clasificar las siguientes proposiciones en simples y compuestas: Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. conjunción. Ejercicio 1-ISETL) ________________________________________________________________ Mediante ISETL.Operaciones básicas Tablas de verdad Tautología Contradicción Contingencia Cabe aclarar que el alumno no solo manejará conceptos de lógica. Actividades Mediante los dos ejercicios que se presentan a continuación. una contradicción o una contingencia.p . imprimir en pantalla las distintas tablas de verdad de las operaciones básicas (negación.Año 2007 9 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell José es alto José no es alto Marcos es alto y Pedro es bajo. se formarán los conceptos mencionados anteriormente. Ejercicio 2) – ISETL) ______________________________________________________________ Implementar lo anterior en ISETL mediante una función. la mejor forma de definir lo que es una proposición e introducir que tipos de ellas existen será mediante ejemplos y simples ejercicios como los que se presentan a continuación. Julio estudia ISETL.
p impl q. end. end. Julio estudia ISETL. end. compuesta p: Marcos es alto q: Pedro es bajo p^q Si es jueves. Tabla de verdad del bicondicional Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. end. q. false] do write p. end. false] do write p. q in [true. q.Año 2007 11 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell for p. false] do write p. q. p and q. Tabla de verdad del condicional for p. . writeln.q in [true. Tabla de verdad de la conjunción for p. writeln. false] do write p. writeln. q. false] do write p. end. not p. compuesta p: Es jueves q: Julio estudia ISETL p -> q Ejercicio 1-ISETL) Curso de Matemática Discreta usando ISETL -.Año 2007 10 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Tabla de verdad de la negación for p in [true. Tabla de verdad de la disyunción for p. p or q.José no es alto simple p: José es alto --. writeln. p impl q.p Marcos es alto y Pedro es bajo. q in [true. q in [true. writeln. false] do write p. writeln. Tabla de verdad del condicional for p. q in [true. (p impl q) and (q impl p). q..
la Curso de Matemática Discreta usando ISETL -.Año 2007 14 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Módulo II Objetivo En esta segunda parte. En caso de que estos sean diferentes.Año 2007 Inicio Proposición Tabla de verdad de la proposición ¿Existen dos valores de verdad La proposición es una contingencia La proposición es una contradicción La proposición es una tautología ¿El valor de verdad que se repite es Fin SI SI NO NO 13 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell proposición será contingente. Actividades . Se irían obteniendo los distintos valores de verdad y comparando el que se obtiene con el anterior. se trataría el tema de las reglas lógicas y las leyes lógicas. tendremos que la proposición es una contradicción o una tautología y sabremos a cual de los dos casos corresponde por el último valor de verdad hallado. de lo contrario. estudiar la validez y consistencia de un razonamiento. las cuales le permitirán al alumno.Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. ya habiendo introducido y manejado los conceptos básicos relacionados con la lógica proposicional.Año 2007 12 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Ejercicio 2) Ejercicio 2-ISETL) Una forma de implementar la situación anterior en ISETL sería mediante una función a la cual se le pasase la proposición. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -.
se presentarán dos caminos. será necesario definir lo que es un razonamiento. La otra forma de conocer la validez de un razonamiento consiste en estudiar su consistencia. debemos recurrir a otro método conocido como prueba fórmal. para cada permutación de valores de las proposiciones simples en cuestión. Si el razonamiento es inconsistente (la conjunción de las premisas es falsa). en la cual se aplican leyes y reglas lógicas.Las siguientes actividades pretenden. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. definiremos a una regla lógica como una proposición tautológica y a una ley lógica como la equivalencia entre dos proposiciones. se comenzará a aplicar la función programada anteriormente para determinar si las proposiciones dadas son o no reglas lógicas. Doble Negación. un concepto cercano a la realidad y ejemplificado. en el primer caso. esta función recibirá dos proposiciones por lo que exigirá un grado mayor de complejidad. Identidad. a partir de lo desarrollado en el módulo I. al cual llamaremos condicional asociado al razonamiento. uno de ellos consiste en analizar el valor de verdad del condicional existente entre las premisas (como antecedente) y la conclusión (como consecuente). Simplemente. En esta ocasión diremos que un razonamiento es un conjunto de proposiciones (simples o compuestas). Dilema Constructivo. Para conocer la validez de dicho razonamiento. etc. Si éste es tautológico. formar el concepto de Regla Lógica y de Leyes Lógicas para luego aplicarlos en el análisis de la validez y consistencia de un reazonamiento. que los valores de verdad de éstas. Entendemos por equivalencia. son los mismos.). visto que podrá recurrir al algoritmo realizado para determinar si las proposiciones presentadas pertenecen o no al conjunto de las tautologías. Luego se darian a conocer los nombres por los cuales dichas reglas y leyes son conocidas comunmente (Ley de De Morgan. Para ello. el razonamiento será válido. el alumno observará que lo hecho en el ejercicio 2 del primer módulo es útil. Ejercicio 1) __________________________________________________________________ ____ . En cuanto a la implementación en ISETL.Año 2007 15 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Mediante el ejercicio 3. En los dos primeros ejercicios. Por otro lado se pedirá la implementación de una función que permita conocer si dos proposiciones son equivalentes. En este caso. Modus Ponens. decimos que el mismo es válido mientras que si el razonamiento es consistente (la conjunción de las premisas es verdadera). el alumno podrá ser capaz de decir si un razonamiento es o no consistente y/o válido. a las cuales llamaremos premisas que se relacionan con una premisa (simple o compuesta) a la que denominaremos conclusión.
(p->q) ≡ (p^-q) .Año 2007 17 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell ¿Cómo haría para investigar la válidez de un razonamiento en ISETL . decir si las siguientes proposiciones son reglas lógicas: p -> p [ (p->q) ^ p] -> q ( p ^ q ) -> p [ ( p->q) ^ (r->s) ^(pvr) ] -> (qvs) Ejercicio 1-ISETL) ________________________________________________________________ Curso de Matemática Discreta usando ISETL -.Año 2007 16 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Verificar los resultados obtenidos en el ejercicio anterior mediante ISETL. determinar si las siguientes.(pvq) ≡ (-p^-q) (p <-> q) ≡ [ (p -> q) ^ (q -> p) ] Ejercicio 2-ISETL) ________________________________________________________________ Implementar una función. a la cual se le pasan dos proposiciones y determina si las mismas son equivalentes o no. Ejercicio 3) __________________________________________________________________ ____ __ Investigar la consistencia del siguiente razonamiento y determinar si es válido o no: u -> r (r^s) -> (pvt) q -> (u^s) -t q -> p Ejercicio 3-ISETL) ________________________________________________________________ Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. Ejercicio 2) __________________________________________________________________ ____ __ Sabiendo que una ley lógica es una equivalencia entre dos proposiciones. son o no leyes lógicas: p≡p (p->q) ≡ (-pvq) .__ Sabiendo que una regla lógica es una proposición perteneciente al conjunto de las tautologías.
q. V [-u]=0. verificamos que es consistente y recurrimos a la prueba fórmal. Ejercicio 2) Todas son leyes lógicas y basta realizar las tablas de verdad correspondientes para observar que se da la equivalencia de valores. Si encontrásemos alguna contradicción. el razonamiento es válido. .utilizando el código desarrollado en los ejercicios anteriores? Analizar e implementar en ISETL una función que permita saber si un razonamiento es consistente o no. se encuentren valores de verdad diferentes. Supongo que V [(p -> (q^r)) ^ (q -> s) ^ (s -> t) ^ ((s^t) -> -u) ^ u] = 1 por lo tanto: V [p -> (q^r)] = 1 y V [q -> s] = 1 y V [s -> t] = 1 y V [(s^t) -> -u] = 1 y V [u] = 1 Cómo V [u] = 1. luego realizar lo mismo con la segunda y finalmente comparar uno a uno los valores almacenados en las listas. r. y la forma de saberlo es realizando las tablas de verdad correspondientes. el razonamiento sería inconsistente y por tanto válido. t y u que haga que la conjunción de las premisas sea verdadera. s. donde observamos que definitivamente. Ejercicio 3) El razonamiento es válido. diremos que no es una ley lógica.Año 2007 18 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell 2) q -> s 3) s -> t 4) (s^t) -> -u 5) u -p Suponemos que existe una permutación de valores de verdad para p. será necesario aplicar la función implementada en el Ejercicio 1-ISETL del primer módulo. En caso de que al comparar. Ejercicio 1-ISETL) En este ejercicio. de lo contrario podremos afirmar que si lo es. Ejercicio 2-ISETL) Una forma de realizar este ejercicio. 1) p -> (q^r) Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. De lo contrario recurriremos a la prueba fórmal. Ejemplo de resolución Ejercicio 1) Todas las proposiciones son reglas lógicas. sería realizando la tabla de verdad de la primera proposición y guardar los valores de verdad que se van obteniendo en una lista.
en caso de encontrar una asignación de valores que haga a esta conjunción falsa. P(a) es una proposición.(q^r) Ley de De Morgan en 8) Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. se definirá lo que es una Función Lógica. Ejercicio 1) . Actividades En los siguientes ejercicios. De lo anterior. luego de haber abarcado una serie de conceptos importantes se procederá a relacionar las proposiciones con la lógica funcional lo que nos llevará a introducir los conceptos de Funciones Lógicas y Conjuntos de Validez. bastaría con conocer todos los valores de verdad que la conjunción de las premisas toma. Por otro lado. Previo a la presentación de los ejercicios. Sabemos que V [s] = 0 y que V [q -> s] = 1. diciendo que: si tenemos un conjunto A no vacío. por lo que V [s] = 0 y elijo V [t] = 0. Finalmente V [p -> (q^r)] = 1 y V [q^r] =0 porque V [q] =0. deducimos que el razonamiento es consistente. 6) . V [(s^t) -> -u] = 1 y V [-u] = 0 entonces V [s^t] = 0. se pretende dejarle al alumno.Año 2007 19 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell 10) -p Modus Tollens entre 1) y 9) Ejercicio 3-ISETL) Para saber si un razonamiento es consistente. entonces V [p] = 0 y elijo V [r] = 1.(s^t) Modus Tollens entre 4) y 5) 7) -s v -t Ley de De Morgan en 6) 8) -q v -s Dilema Destructivo entre 2). para que pueda ver la relación existente entre temas que pueden parecer distantes pero que están muy ligados como son los conjuntos. una simple noción de lo que es una Función Lógica y de lo que es un Conjunto de Validez. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. la lógica proposicional y las funciones. P(x) es una función lógica definidad en dicho conjunto si y sólo si al tomar un elemento cualquiera de A. por lo que recurriremos a la prueba fórmal. Tenemos que V [s^t] = 0 y V [s -> t] = 1.Luego. 3) y 7) 9) . definiremos Conjunto de Validez como el conjunto de aquellos elementos de A que hagan que la proposición mencionada anteriormente sea verdadera.Año 2007 20 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Módulo III Objetivo En este tercer módulo. de lo contrario solo diremos que es válido. diremos que el razonamiento es inconsistente y válido. de donde V [q] = 0.
G:={x : x in {1 . 10} | x + 0 = 1}. atados a una costumbre o tradición. Ejercicio 1-ISETL) En este ejercicio se introduce el concepto de conjunto mediante ISETL. Ejemplo de resolución Ejercicio 1) F(x) es una función lógica y su conjunto de validez está compuesto por el número 1.10} .8.Año 2007 22 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Módulo IV Objetivo La idea de este módulo es la de observar si los alumnos han logrado comprender la relación que existe entre la lógica. G(x) es una función lógica cuyo conjunto de validez es el conjunto vacío ya que no existe ningún natural que al sumarle nueve a su doble.. no las observamos. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. mediante la siguiente línea el alumno habrá encontrado los distintos conjuntos de validez de las funciones lógicas F y G. para .2. 10} | 2*x + 9 < 0}.4. Curso de Matemática Discreta usando ISETL -. Sería bueno detenerse como lo hicimos en esta ocasión mediante este curso.Año 2007 21 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Obtener el conjunto de validez de las funciones anteriormente presentadas.5.3. esta suma resulte ser negativa.7. la Programación y todo lo que es el mundo de la electrónica y las computadoras que tan cerca de ellos están.Año 2007 23 Lógica proposicional y funciones lógicas usando ISETL Diego Martorell Conclusiones A lo largo del desarrollo del curso y de esta investigación he observado una serie de cosas que son muy importantes que quizás en el apuro de todos los días. la Matemática. decir si son funciones lógicas y si lo son hallar el o los conjuntos de validez correspondientes: F(x): x + 0 = 1 G(x): 2x + 9 < 0 Ejercicio 1-ISETL) ________________________________________________________________ Curso de Matemática Discreta usando ISETL -.__________________________________________________________________ ____ __ Sean f(x) y g(x) definidas en A={0.9. F:={x : x in {1 .6..1. acostumbrados a una forma de aprender y de enseñar que no se ha renovado mucho en los últimos años.
por lo que ellos deberían innovar. aquellos docentes que siguen enseñando con el mismo cuaderno y de la misma forma que como lo hacían cuando comenzaron. que aquellos docentes de “gran experiencia”.ver lo fantástico que sería poder utilizar las nuevas tecnologías antes de que dejen de ser nuevas. Creo en una educación diferente que debe ser mejorada entre aquellos que si tienen experiencia junto a aquellos que buscan y estudian formas de innovar como ser la utilización de este lenguaje como recurso didáctico. cambiar y pensar en caminos que permitan mejorar una situación que se está dando en el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas que no es la deseada. y sin ánimos de críticar y desprestigiar. se puede observar la existencia de enormes dificultades que son en parte generadas por la forma en que se enseña. me gustaría agradecer a la docente que guío el curso así como también a todos los compañeros que con su experiencia y su participación en clase. . Por último. De mi parte. pero no tengo la oportunidad. desde el liceo hasta incluso en ámbitos Universitarios. Sería bueno. me hubiese gustado trabajar con un grupo de estudiantes. se dieran cuenta de que los alumnos y el mundo cambian. no tengo experiencia como docente pero si la tengo como alumno y de ésta experiencia se aprende y mucho. me permitieron ver aspectos importantes de la Matemática.
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