Source: https://es.scribd.com/doc/115027713/Tema-2-Polinomios-y-ecuaciones
Timestamp: 2018-04-23 15:44:02+00:00

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Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia: L = 2πr, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l 2 , donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a 3 , donde a es la arista del cubo. Valor numérico de una expresión algebraica: El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. Ejemplos: Longitud de la circunferencia: L(r) = 2πr r = 5 cm. L (5)= 2 · π · 5cm = 10 π cm Área del cuadrado: A(l) = l = 5 cm
Expresiones algebraicas comunes: El doble de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuádruplo de un número: 4x La mitad de un número: x/2. Un tercio de un número: x/3. Un cuarto de un número: x/4. Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.. Un número al cuadrado: x 2 Un número al cubo:
Monomio: es una expresión algebraica formada por un solo término. Binomio: es una expresión algebraica formada por dos términos. Trinomio: es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio: es una expresión algebraica formada por más de un término.
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo:
Partes de un monomio: Coeficiente: es el número que aparece multiplicando a las variables. Parte literal: está constituida por las letras y sus exponentes. Grado: es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. Ejemplo: El grado de
Multiplicación de monomios: La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
División de monomios: Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
ax n a n − m = x bx m b
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica. Ejemplo:
Potencia de un monomio: Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.
P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ........ + a1 x + a0
an , an −1 , , an − 2 , a1 , a0 números, llamados coeficientes.
n es un número natural. x es la variable.
an es el coeficiente principal. a0 es el término independiente.
Grado de un polinomio: El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Ejemplos de clasificación de un polinomio según su grado Primer grado: P(x) = 3x + 2 Segundo grado: P(x) = 2 x 2 + 3x + 2 Tercer grado: P(x) = x 3 −
P ( x ) = 2 x 3 + 5 x − 3 ; Q( x) = 4 x − 3x 2 + 2 x 3
1º: Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x P(x) + Q(x) =
2 x3 + 5 x − 3 + 2 x3 − 3x 2 + 4 x
2º: Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = ( 2 x 3 + 2 x 3 ) − 3 x 2 + (5 x + 4 x) − 3 3º: Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4 x 3 − 3 x 2 + 9 x − 3 También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
2 x3 + 0 x 2 + 5 x − 3 2 x3 − 3x 2 + 4 x + 0 4 x3 − 3x 2 + 9 x − 3
4 x3 − 3x 2 + 9 x − 3
P ( x ) = 2 x 3 + 5 x − 3 ; Q( x) = 4 x − 3x 2 + 2 x 3 P(x) − Q(x) = ( 2 x 3 + 5 x − 3) − ( 4 x − 3 x 2 + 2 x 3 )
Sean los polinomios 1º: Ordenamos los polinomios, si no lo están.
P( x) = 2 x3 + 5 x − 3 Q(x) = 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x
2º: Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) − Q(x) = ( 2 x 3 − 2 x 3 ) + 0 x 2 − ( −3 x 2 ) + (5 x − 4 x) + ( −3 − 0)
3º: Restamos los monomios semejantes. P(x) − Q(x) = 3 x 2 + x − 3
Multiplicación de polinomios: Multiplicación de un número por un polinomio: Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 (2 x 3
+ 5 x − 3) = (6 x 3 + 15 x − 9)
3 5 3 2 3x 2 · (2 x + 5 x − 3) = (6 x + 15 x − 9 x )
Multiplicación de polinomios Sean los polinomios P( x) = 5 x − 3 y Q(x) = 3 x 2
1º: Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) Q(x) = (5 x − 3) . (3 x 2 + 4 x) = 5 x.(3 x 2 + 4 x) + − 3.(3 x 2 + 4 x) = (15 x 3 + 20 x 2 ) + ( −9 x 2
− 12 x)
2º: Se suman los monomios del mismo grado. P(x) · Q(x)= 15 x 3 + 11x 2 − 12 x Obteniéndose otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
¡¡¡Recomendación!!! En Internet existen muchos sitios en donde se puede practicar con polinomios. Acá te dejamos dos sitios que te permiten trabajar con aplicaciones sencillas:
2.1.4 Factorización de Polinomios
En matemática, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de “bloques fundamentales”, que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
Métodos para factorizar un polinomio Factor común Diferencia de cuadrados
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) x 2 − 4 = ( x + 2)( x − 2) x 4 − 16 = ( x 2 + 4)( x 2 − 4)
(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ( x + 3) 2 = x 2 + 6 x + 9 (2 x − 3) = 4 x 2 − 12 x + 9
(a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3 ( x + 3)3 = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27 (2 x − 3)3 = 8 x 3 − 36 x 2 + 54 x − 27
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ( x 2 − x + 1) 2 = ( x 2 )2 + (− x) 2 + 12 + 2 x 2 (− x ) + 2 x 21 + 2(− x)1 = =
x 4 + x 2 + 1 − 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x = x − 2 x + 3x − 2 x + 1
1) Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su grado y coeficiente. a) 13x 3 c) 33 x + 1 b) 25 x − 3 d)
3x3 + 2 x3 − 8 x3 =
2 x3 − 5 x3 = d) a 2 bc 3 − 5a 2 bc 3 + 8a 2 bc 3 =
3) Efectúa los productos de monomios.
4) Dados los monomios: A(x)= 3x ; B(x)= −0,3x ; C(x) = a) A + B d) B . C b) A . B e) B . C + A
− 2x 2 , realizar las operaciones que se indican:
c) A + B - C f) (A + B – C). A
x 2 − 5 x + 3 ; Q( x) = 3 x 2 − 8 ; S ( x) = 2 x , realizar las siguientes
Respuestas: a) 4 x 2 − 5 x − 5 ;
b) 3 x 4 − 15 x 3 + x 2 − 40 x − 24
6) Dados los siguientes polinomios: P(x) = 4x2 − 1; Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2; R(x) = 6x2 + x + 1; S(x) = 0,5x2 + 4; T(x) = 3/2x2 + 5 ; U(x) = x2 + 2 Calcular: a) P(x) + Q (x) = d) 2P(x) − R (x) = b) P(x) − U (x) = e) S(x) + T(x) + U(x) = c) P(x) + R (x) = f) S(x) − T(x) + U(x) =
7) Multiplicar: a) (x4 − 2x2 + 2)(x2 − 2x + 3) = b) (3x2 − 5x)(2x3 + 4x2 − x + 2) = c) (2x2 − 5x + 6)(3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =
8) Factorear: a) (x + 5)2 = d) (2x − 3)3 = g) (2x + 5)3 = j) (3x − 2)(3x + 2) =
b) (2x − 5)2 = e) (x - 2)3 = h) (3x − 2)(3x + 2) = k) (3x − 5)(3x − 5) =
c) (3x − 2)2 = f) (3x − 2)3 = i) (x + 5)(x − 5) =
i) x2-25 ; k) (3x − 5)2
Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual, por ejemplo: 2x + 3 = 5x − 2 Una igualdad puede ser: Falsa: 2x + 1 = 2(x + 1) Cierta: 2x + 2 = 2(x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 2x + 2 = 2x + 2 1≠2. 2=2
2.2.1) Definición y tipos de ecuaciones
Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras, como ser: x + 1 = 2, entonces x = 1 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros:
Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. 2x − 3 = 3x + 2 x = −5 2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2 − 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Tipos de ecuaciones según su grado 5x + 3 = 2x +1 5x + 3 = 2x2 + x 5x3 + 3 = 2x +x2 5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de primer grado. Ecuación de segundo grado. Ecuación de tercer grado. Ecuación de cuarto grado.
Clasificación de ecuaciones: Ecuaciones polinómicas enteras Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0 , donde P(x) es un polinomio.
Grado de una ecuación: El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Tipos de ecuaciones polinómicas a) Ecuaciones de primer grado o lineales Son del tipo ax + b =0, con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. Ejemplo: 2x + 1 = -2 2x + 3 = 0 b) Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas Son ecuaciones del tipo
ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0
Ecuaciones de segundo grado incompletas ax 2 = 0 ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 0 c) Ecuaciones de tercer grado Son ecuaciones del tipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.
d) Ecuaciones de cuarto grado Son ecuaciones del tipo ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, con a ≠ 0. e) Ecuaciones de grado n n En general, las ecuaciones de grado n son de la forma: a 1 x f) Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Ejemplo: 2x − 3 = 3x + 2 x + 3 = −2
x = −5 x = −5
Criterios de equivalencia de ecuaciones: f.1) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. Ejemplo: x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5 f.2) Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. Ejemplo: 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 −2= 3 −2 x=1
2.2.2) Ecuaciones de primer grado. Resolución
Recordemos que las ecuaciones de primer grado son del tipo ax + b =0, con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión. Ejemplos: 2x + 1 = -2 2x + 3 = 0
1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita.
2x − 3 = 6 + x
2x − x = 6 + 3 x=9
c) 2( 2 x − 3) = 6 +
4x − 6 = 6 + x
Agrupamos términos, sumamos y despejamos x:
4x − x = 6 + 6 3 x = 12 12 x= 3 x=4 x −1 x − 3 − = −1 6 2
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo, en este caso (6):
x − 1 − 3( x − 3) = −6
x − 1 − 3 x + 9 = −6 − 2 x = −14 2 x = 14 14 x= 2 x=7
3 x + 6 = 2 x + 38 3 x − 2 x = 38 − 6 x = 32
El doble o duplo de un número: 2x La mitad de un número:
El triple de un número: 3x Un tercio de un número:
El cuádruplo de un número: 4x Un cuarto de un número:
Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,.. Dos números consecutivos: x y x + 1.
Un número al cuadrado:
Un número al cubo:
a) El doble del consecutivo de un número es igual a 7 ¿cuál es ese número?
b) La diferencia entre la mitad de un número y el triple de su cuadrado da ocho x − 3x 2 = 8 2 c) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
Perímetro= 2.Base + 2. Altura=30 Pero Base = 2 Altura entonces: Perímetro= 2.(2.Altura) + 2. Altura=30 4. Altura + 2. Altura=30 Y ya quedó formada la ecuación
¡¡¡ Anécdota de color !!! La edad de Diofanto
Diofanto fue un matemático griego considerado el padre del algebra. Vivió en Grecia allá por el siglo III antes de Cristo. Tanta era su pasión por las matemáticas, que en su epitafio dejó el siguiente acertijo:
“Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto; es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñéz ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y , cinco años después, tuvo un precioso niño que , una vez alcanzada la mitad de la edad e su padre, preció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce mi edad” Si aclaramos un poco, Diofanto pasó
1 1 1 de su vida como niño, como joven y más como adulto. 6 12 7
Cinco años después de su boda nació un hijo que murió cuatro años antes que su padre, cuando tenía la mitad de la que sería la edad final del padre. ¿A qué edad murió Diofanto? Si ‘x’ es la edad en la que murió Diofanto, la ecuación se arma de la siguiente manera:
Si reagrupamos en el primer miembro los términos que contienen la edad de Diofanto y enviamos los términos independientes al segundo miembro:
x x x x + + + − x = −5 − 4 6 12 7 2
Al sacar un denominador común en el primer miembro resolvemos:
14x + 7 x + 12x + 42x − + 84x = −9 84
14 x + 7 x + 12 x + 42 x − 84 x = (−9) × 84 − 9.x = (−9) × 84
¡Desafío del Profesor! Usando el lenguaje algebraico , ¿te animás a hacer un acertijo con tu edad?
2.2.3) Ecuaciones de segundo grado. Resolución
Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la denominada resolvente que tiene la siguiente fórmula:
− b ± b 2 − 4ac = 2a
− b + b 2 − 4ac = 2a
− b − b 2 − 4ac = x2 = 2a
¡¡¡No olvidemos que tanto ‘x1 ’ como ‘ x2’ deben satisfacer la ecuación cuadrática!!!
Ejemplos: a) x 2 − 5 x + 6
Lo primero que tenemos que hacer es identificar ‘a’, ‘b’, ‘c’: a=1 ; b=-5 ; c=6
− (−5) + (−5) 2 − 4.1.6 5 + 25 − 24 5 + 1 5 + 1 6 x1 = = = = = =3 2.1 2 2 2 2 x2 = − ( −5) − (−5) 2 − 4.1.6 5 − 25 − 24 5 − 1 5 − 1 4 = = = = =2 2.1 2 2 2 2
− (−7) ± (−7) 2 − 4.2.3 7 ± 49 − 24 7 ± 25 7 ± 5 = = = = 2.2 4 4 4
→ x1 = → x2 =
7 + 5 12 = =3 4 4 7 −5 2 = = 0,5 4 4
Ecuaciones de segundo grado incompletas: Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero. En este caso podemos optar por aplicar la resolvente o por despejar directamente la incógnita. Ejemplos de resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas: Caso 1) La ecuación cuadrática es del tipo: ax2 = 0 Aquí faltan los coeficientes ‘b’ y ‘c’.
La solución es x1=x2 = 0. Ejemplos: a) 2.x2=0 x2=0:2 x2=0 x= 0 x1=x2=0
Caso 2) La ecuación cuadrática es del tipo: ax2 + bx = 0 En este caso falta el coeficiente ‘c’ Empezamos por extraer factor común x: x.(ax + b) = 0
La ecuación se resuelve si i) x=0 ii) ax+b=0 Entonces encontrar las soluciones significa resolver i)y ii) En este caso:
Ejemplo: x2 - 5x = 0 Aplicamos factor común y luego obtenemos: x.(x -5) = 0 Obtendremos:
Caso 3) La ecuación cuadrática es del tipo: ax2 + c = 0 En este último caso falta el coeficiente ‘b’ Igual que antes despejamos ‘x’:
−c a −c a
x =± Luego las soluciones son x1 = +
y x2 = −
¡Advertencia! Algunas ecuaciones cuadráticas no tienen solución en el campo de los números reales. Ejemplo: 2x2 +8 = 0 Si despejamos ‘x’: 2x2 =-8 x2 =-4
x = ± −4
Y como dijimos -o nos olvidamos de decir- la raíz cuadrada de un número negativo da un número imaginario.
Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado:
“b 2 − 4ac “se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos: Caso a) b2 − 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos. Ejemplo:
Caso b) b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble.
Caso c) b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales.
¡¡¡Recomendación!!! En Internet existen muchos sitios en donde se pueden practicar con ecuaciones. Acá te dejamos unos sencillos: http:/phet.colorado.edu/en/simulation/equation-grapher http:/www.vadenumeros.es/actividades/ecuaciones-de-segundo-grado.htm
Ejercicios de ecuaciones de primer grado y cuadráticas
4( x − 10) = −6(2 − x) − 6 x 3x + 1 2 − 4 x − 5x − 4 7 x − = + 7 3 14 6 4 5 = x−3 x−2 x − 3  2x 5x − 3  2 − − 2( x + 1) − = − + 3x 2  3 12  
2( x + 1) − 3( x − 2) = x + 6 5 3 = x−7 x−2 2 x−2   x − (1 − 3 ) + 1 = x 3 
x − 3  2x 5x − 3  2 − − 2( x + 1) − = − + 3x 2  3 12   x + 1 2x − 3 3 1 3 − ) = 3( x − ) − (3 x − 2) 8 16 4 4 8
3 (2 x + 4) = x + 19 4 x −1 x − 5 x + 5 − = 4 36 9
2) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
3) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
4) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
Respuesta: 2.base+2altura=30 , pero tené en cuenta que base=2. altura ; luego : altura=5, base=10
5) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
Respuesta: h + m + n=96 , pero tené en cuenta que m= 2 h, y que n=3(h+m)=3(h+2h)=9h ; luego h=8, m=16 , n=72
6) Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
7) Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? 8) Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió 20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le queda. Se pide: a) Litros de gasolina que tenía en el depósito. b) Litros consumidos en cada etapa. 9) En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana? 10) La dos cifras de un número son consecutivas. La mayor es la de las decenas y la menor la de las unidades. El número es igual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número?
11) Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad de la padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos. 12) Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por separado si uno es el doble de rápido que el otro? 13) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.
La solución de un sistema es un par de números vez ambas ecuaciones. Ejemplo:
Solución; x = 2, y = 3
Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones 1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
2.3.1) Método de sustitución Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2º Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3º Se resuelve la ecuación. 4º El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
1º Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2º Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3º Resolvemos la ecuación obtenida:
4º Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5º Solución
2.3.2) Método de igualación Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación 1º Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2º Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3º Se resuelve la ecuación. 4º El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
1º Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
2º Igualamos ambas expresiones:
3º Resolvemos la ecuación:
4º Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
2.3.3) Método de reducción Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción 1º Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2º La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3º Se resuelve la ecuación resultante. 4º El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Solución: x=2, y=3
2.3.4) Clasificación de sistemas de ecuaciones Sistema compatible determinado Tiene una sola solución.
Solución: x = 2, y = 3 Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas:
Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución:
Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas:
¡¡¡Recomendación!!! En Internet existen muchos sitios en donde se pueden practicar con sistemas de ecuaciones. Acá te dejamos uno sencillo: http:/www.vadenumeros.es/actividades/resolver-sistemas- lineales.htm
1) Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:
5) Resuelve por sustitución, igualación, reducción y gráficamente el sistema:
8) La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
Dato: Este ejercicio figuraba también como problema de ecuación de primer grado con una incógnita. Fijate como con los datos que tenés podés armar un sistema de ecuaciones Respuesta: altura=5, base=10
9) Juan compró un ordenador y un televisor por $2000 y los vendió por $2260. ¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%? 10) ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura? 11) Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay? 12) Antonio le dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis pesos tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno? 13) En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? 14) La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número? 15) Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado $3500. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado $3170. ¿Cuál es el precio de cada artículo?
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