Source: https://es.scribd.com/doc/136951542/Estrategias-de-Matematica
Timestamp: 2017-03-27 05:08:19+00:00

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NavegarInteresesStay InformedCareerPersonal GrowthFiction & BiographiesHealth & FitnessLifestyleCultureNavegar porLibrosAudio librosNoticias & RevistasPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA“Enseñar exige respeto a los saberes de los educandos. Enseñar exige respeto a la autonomía del ser del educando Enseñar exige seguridad, capacidad profesional y generosidad. Enseñar exige saber escuchar”. Paulo Freire.
Entre las finalidades de la resolución de problemas tenemos:        Hacer que el estudiante piense productivamente.gob. Deberá estar relacionado.pe/digesutp/formacioninicial/
. de modo natural. no hay ninguna invención ni ningún desafío a su inteligencia. En este caso. Lo que el alumno puede sacar de un problema como éste es solamente adquirir cierta práctica en la aplicación de una regla única.
1. ► Un problema es rutinario cuando puede ser resuelto aplicando directa y mecánicamente una regla que el estudiante no tiene ninguna dificultad para encontrar. Su resolución puede exigirle un verdadero esfuerzo. Desarrollar su razonamiento. Deberá servir a una finalidad comprensible para él. Hacer que las sesiones de aprendizaje de matemática sean más interesantes y desafiantes. con objetos o situaciones familiares. es que existen los problemas rutinarios y los que no son rutinarios. Equiparlo con estrategias para resolver problemas. desde el punto de vista del alumno. de los conceptos fundamentales y de las relaciones que pueda haber entre ellos.1. Darle la oportunidad de involucrarse con las aplicaciones de la matemática. Enseñarle a enfrentar situaciones nuevas. pero no lo hará si no tiene razones para ello. Darle una buena base matemática.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. la cual es dada por los mismos maestros o por el libro de texto.
Existen muchos tipos de problemas.minedu. La diferencia más importante para los profesores de matemática. ► Un problema no es rutinario cuando exige cierto grado de creación y originalidad por parte del alumno. Un problema no rutinario:    Deberá tener un sentido y un propósito. Tipos de problemas.Su finalidad no debe ser la búsqueda de soluciones concretas para algunos problemas particulares sino facilitar el desarrollo de las capacidades básicas.
Uno de los grandes intereses de la resolución de problemas está en la motivación provocada por el propio problema y. rico en contenidos y que pueda servir de apertura a un capítulo entero de matemática.pe/digesutp/formacioninicial/
. los conocimientos disponibles. lo que puede condicionar o estimular la voluntad de resolver nuevos problemas. además de la natural y analizar estas soluciones desde diferentes puntos de vista matemático. Los contextos de los problemas pueden variar desde las experiencias familiares. además del esfuerzo necesario para su resolución. Algunas veces se debe ofrecer a los alumnos algún problema más amplio. y según las características y necesidades de la realidad.gob.
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Estas situaciones contribuyen a fomentar ambientes pedagógicos cualitativamente diferentes. en la curiosidad que desencadena su resolución. en grupos pequeños y en ocasiones con todo el salón. Situaciones problemáticas de tipo proyecto que los alumnos desarrollan y trabajan en grupos cooperativos. que el alumno no sabría resolver inmediatamente con los conocimientos disponibles.
Problemas sencillos más o menos conectados a determinados contenidos. Así. Esta práctica está conectada a varios factores como son la experiencia previa. Además.minedu. Explorar un problema significa procurar soluciones alternativas. aunque esto último no siempre será posible con cualquier problema. los contextos de los buenos problemas deben abarcar temas diversos e involucrar matemática significativa y funcional. investigan y exploran ideas. pero cuya resolución envuelva algo más que la simple aplicación de un algoritmo. prueban estrategias. escolares o de la comunidad a las aplicaciones científicas o del mundo laboral. que requieren un tiempo mayor y pueden seguir siendo trabajados fuera del aula. el desarrollo de la intuición. Problemas de mayor envergadura. discutiendo y cuestionando su propio razonamiento y el de los demás. consecuentemente. de modo que ellos puedan encontrar una solución y también examinar algunas consecuencias de esa solución. En ellos los alumnos hacen conjeturas. un mismo problema puede tener una resolución aritmética y otra algebraica o geométrica o puede ser resuelto por una estrategia (heurística) sin el uso de conocimientos matemáticos específicos. y explorarlo sin prisa.
Se acepta o rechaza la hipótesis puesta a prueba. 3. 2. John Dewey (1933) señala las siguientes fases en el proceso de resolución de problemas: 1.minedu. entre las cuales podemos citar las de Dewey. distinguiendo diversas fases en el proceso de resolución. 5. 4. según Alan Schoenfeld (1985). Revisa el proceso y saca consecuencias de él. La resolución de problemas. 4. Elaborar un plan.gob.
El reconocimiento dado a este tema ha originado algunas propuestas sobre su enseñanza. Búsqueda de estrategias. Se sugieren posibles soluciones: tentativas de solución. El proceso de resolución de problemas. 3.1. 4. Lleva adelante tu estrategia. De Guzmán y Schoenfeld. Miguel de Guzmán (1994) presenta el siguiente modelo : 1. Se obtienen consecuencias: desarrollo o ensayo de soluciones tentativas.2. El plan de George Pólya (1945) contempla cuatro fases principales para resolver un problema: 1. 3. Se formula y define la dificultad: delimitar el problema en la mente del sujeto. 5
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. Hacer la verificación. Familiarízate con el problema. Comprender el problema. Se siente una dificultad: localización de un problema. Ejecutar el plan.pe/digesutp/formacioninicial/
. 2. Pólya. 2.
Su trabajo juega un papel importante en la implementación de las actividades relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las matemáticas y se fundamenta en las siguientes ideas:
En el salón de clase hay que propiciar a los estudiantes condiciones similares a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso de desarrollo de esta ciencia. el ensayo y el error. el uso de tablas y listas ordenadas. el uso de material manipulable. conocimiento informal del tema. Las creencias determinan la manera como se aproxima una persona al problema. es decir. No es un mecanismo directo de enseñanza. el tiempo y el esfuerzo que le dedica. por ejemplo. pero sí una variedad de procesos de pensamiento que necesitan ser cuidadosamente desarrollados por el estudiante con el apoyo e incentivo del docente”1. Estrategias cognoscitivas.
Dante. que incluyen métodos heurísticos. que se compone de la visión que se tenga de las matemáticas y de sí mismo. hechos. procedimientos y concepción sobre las reglas para trabajar en el dominio. la del procesamiento de la información. Para entender cómo los estudiantes intentan resolver problemas y consecuentemente para proponer actividades que puedan ayudarlos es necesario discutir problemas en diferentes contextos y considerar que en este proceso influyen los siguientes factores: – El dominio del conocimiento. Estrategias metacognitivas que se relacionan con el monitoreo y el control. habilidades o algoritmos matemáticos.pe/digesutp/formacioninicial/
. Están las decisiones globales con respecto a la selección e implementación de recursos y estrategias. El sistema de creencias. Luis Roberto. Didáctica de la Resolução de Problemas de Matemática.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. tales como intuiciones. “enseñar a resolver problemas es más difícil que enseñar conceptos. las técnicas que usa o evita.minedu. que son los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante y que pueden ser utilizados en el problema. definiciones. acciones tales como planear. dibujar diagramas. sin embargo sus trabajos están enmarcados en otra corriente psicológica.Este investigador se considera continuador de la obra de Pólya.gob. establecer metas relacionadas. 2002. evaluar y decidir. São Paulo: Editora Ática. Sus investigaciones se han centrado en la observación de la conducta de expertos y novicios resolviendo problemas. entre otras. descomponer el problema en casos simples.
Como dice Luis Roberto Dante. la búsqueda de patrones y la reconstrucción del problema. invertir el problema.
se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo.
A pesar de que su libro How to Solve It (Cómo plantear y resolver problemas) fue escrito en 1945. el interés por los problemas así como también proporcionarles muchas oportunidades de practicarlos. El problema que se plantea puede ser modesto. el plan muestra cómo atacar un problema de manera eficaz y cómo ir aprendiendo con la experiencia.
Creado por George Pólya. En el prefacio de su libro.3. Por eso conviene acostumbrarse a proceder de un modo ordenado. Pólya recomienda que para desarrollar la capacidad de resolución de problemas es fundamental estimular. siguiendo los cuatro pasos.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. eliminando obstáculos y llegando a establecer hábitos mentales eficaces. Sin embargo. si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas. Pero seguir estos pasos no garantizará que se llegue a la respuesta correcta del problema.1. lo que Pólya denominó pensamiento productivo.
Un algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea y/o resolver un problema.minedu. como si fuera un algoritmo. él dice: "Un gran descubrimiento resuelve un gran problema. Experiencias de este tipo. pero. pero en la solución de todo problema.gob. puesto que la resolución de problemas es un proceso complejo y rico que no se limita a seguir instrucciones paso a paso que llevarán a una solución. su pensamiento y su propuesta todavía siguen vigentes. Es decir. si se resuelve por medios propios. hay cierto descubrimiento. a una edad conveniente. este plan consiste en un conjunto de cuatro pasos y preguntas que orientan la búsqueda y la exploración de las alternativas de solución que puede tener un problema. pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimir una huella imperecedera en la mente y en el carácter". El Plan de Pólya. el usarlos orientará el proceso de solución del problema. La finalidad del método es que la persona examine y remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática. en los alumnos.pe/digesutp/formacioninicial/
Intente organizar los datos en tablas o gráficos.¿Se puede resolver este problema por partes? .¿Es posible estimar la respuesta? Fase 2.
Fase 1. . ¿ha tomado en cuenta todos los conceptos esenciales incluidos en el problema? .gob. Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son: .¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado.¿Cuál es su plan para resolver el problema?
Fase 3. relacionando los datos del problema. Se ejecuta el plan elaborado resolviendo las operaciones en el orden establecido. un esquema o un diagrama? .¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema? . Elaborar un plan. una notación apropiada. Se debe leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la información proporcionada. Ejecutar el plan. verificando paso a paso si los resultados están correctos. Se debe elaborar un plan o estrategia para resolver el problema.minedu. Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final. Hay que elegir las operaciones e indicar la secuencia en que se debe realizarlas. Se aplican también todas las estrategias pensadas. Estimar la respuesta. . completando –si se requiere– los diagramas.¿Qué dice el problema? ¿Qué pide? . En este paso se busca encontrar conexiones entre los datos y la incógnita o lo desconocido.¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda ayudarle a resolverlo? .Comprender el problema.pe/digesutp/formacioninicial/ 8
. se puede responder a preguntas como: .¿Hay diferentes caminos para resolver este problema? .¿Es posible hacer una figura. Para poder resolver un problema primero hay que comprenderlo. ¿usó todas las condiciones?.¿Usó todos los datos?. tablas o gráficos para obtener varias formas de Blog de Formación Inicial Docente http://www2. Para eso.
Según Dante2. En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución obtenida. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.minedu.¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver problemas semejantes? .¿Su respuesta tiene sentido? .resolver el problema. Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son: . en general. Si no se tiene éxito se vuelve a empezar.
Dante.¿Hay otro modo de resolver el problema? .
Fase 4.4. Este mecanismo ayuda en el análisis y en la solución de situaciones donde uno o más elementos desconocidos son buscados. Mirar hacia atrás o hacer la verificación. Luis Roberto.pe/digesutp/formacioninicial/
. para llegar a la solución. En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o la formulación de otros nuevos a partir de él. “El énfasis que debe ser dado aquí es a la habilidad del estudiante en ejecutar el plan trazado y no a los cálculos en sí.gob.¿Está de acuerdo con la información del problema? . Hay una tendencia muy fuerte (que debemos evitar) de reducir todo el proceso de resolución de problemas a los simples cálculos que llevan a las respuestas correctas”. necesitamos desarrollar determinadas estrategias que.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. Se verifica la respuesta en el contexto del problema original. no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino también con relación a la posibilidad de usar otras estrategias diferentes de la seguida.¿Se puede generalizar?
1. se aplican a un gran número de situaciones. op. Las estrategias en la resolución de problemas. cit.
a partir de ellos. números o símbolos.Hacer una figura. esquema o diagrama.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. Esto ocurre porque se piensa mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras. Después de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar sino tomando en consideración los ensayos ya realizados. . más complejo. . ideal e infalible de resolución de problemas. Algunas de las que se pueden utilizar son: -Tanteo y error organizados (métodos de ensayo y error): Consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar que eso no es posible. Lo que se hace.Trabajar hacia atrás: Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema implica un juego con números. un esquema.Buscar regularidades o un patrón: Esta estrategia empieza por considerar algunos casos particulares o iniciales y. . a continuación.gob. una tabla: En otros problemas se puede llegar fácilmente a la solución si se realiza un dibujo.Resolver un problema similar más simple: Para obtener la solución de un problema muchas veces es útil resolver primero el mismo problema con datos más sencillos y. es usar el razonamiento inductivo para llegar a una generalización. en estos casos. Asimismo.pe/digesutp/formacioninicial/
. . es decir. realizando las operaciones que deshacen las originales. buscar una solución general que sirva para todos los casos. aplicar el mismo método en la solución del problema planteado. que cada problema amerita una determinada estrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias.minedu. un diagrama. si se halla la representación adecuada. Es muy útil cuando el problema presenta secuencias de números o figuras. Se empieza a resolverlo con sus datos finales.Es importante que los estudiantes perciban que no existe una única estrategia.
las que deben conducir a escribir la expresión algebraica que se desea.Utilizar el álgebra para expresar relaciones: Para relacionar algebraicamente los datos con las condiciones del problema primero hay que nombrar con letras cada uno de los números desconocidos y en seguida expresar las condiciones enunciadas en el problema mediante operaciones.Imaginar el problema resuelto: En los problemas de construcciones geométricas es muy útil suponer el problema resuelto..
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. ¿Cuántos cuyes y cuántas gallinas tengo?”
Resolución: Paso 1: Comprendiendo el problema. De las relaciones observadas en esta figura se debe desprender el procedimiento para resolver el problema. Se sabe que hay 60 cabezas y 188 patas. jugando.pe/digesutp/formacioninicial/
. Para ello se traza una figura aproximada a la que se desea.
. También se sabe que un cuy tiene 4 patas y una gallina 2 patas. Algunos ejemplos de actividades de resolución de problemas.gob. le dijo a su hijo: “Contando todas las cabezas de mis animales obtengo 60 y contando todas sus patas obtengo 188. Tenemos que hallar cuántos cuyes y cuántas gallinas tiene el papá de Juan. Un día.5.minedu.
tenemos que resolver este sistema de ecuaciones. Debe haber exactamente 188 patas.Paso 2: Elaborando un plan. Tampoco todos pueden ser cuyes porque entonces habría 240 patas. Para verificar si la respuesta es correcta se calcula el total de patas con esos valores.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2.minedu.pe/digesutp/formacioninicial/
.gob. Todos no pueden ser gallinas porque entonces habría 120 patas. Se puede construir una tabla para que el trabajo sea más ordenado. Se intenta hallar la solución dando valores al azar a la cantidad de cuyes y a partir de ellos obtener el número de gallinas. Plan A: En total hay 60 animales. Para poder continuar razonando vamos a hacer una tabla:
Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas. Plan A: Estrategia: Tanteo y error organizados. Paso 3: Ejecutando el plan. Plan B: Estrategia: Plantear ecuaciones. Cantidad de cuyes: Cantidad de gallinas: y Cantidad de cabezas: x + y = 60 Cantidad de patas: 4x + 2y = 188 x
Hemos traducido el problema en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x e y. Para hallar la solución del problema.
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. Blog de Formación Inicial Docente http://www2.52 2y = 52 y = 52/2 y = 26 Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas. Plan B: Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de sustitución: x + y = 60 …  4x + 2y = 188 … De (1) se obtiene: x = 60  y … Sustituyendo el valor de x en : 4(60  y) + 2y = 188 240 – 4y + 2y = 188 240 – 2y = 188 -2y = 188 – 240 -2y = .minedu.gob.Este problema pudo ser resuelto mediante esta estrategia porque se ha trabajado con números relativamente pequeños. si se tratase de números mayores y más complejos necesitaríamos realizar una mayor cantidad de tanteos y podríamos no llegar a la solución. Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de reducción:  x + y = 60  4x + 2y = 188 – 4x – 4y = – 240 4x + 2y = 188 – 2y = – 52 2y = 52 y = 26 Sustituyendo el valor de y en : x = 60  y x = 60  26 x = 34
Sustituyendo el valor de y en  : x + y = 60 x + 26 = 60 x = 60 – 26 x = 34 Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas. Sin embargo.
Entonces contó los adobes que le quedaban para usar en el tercer día y eran 55. ¿Cuántos adobes tenía cuando comenzó a construir el muro?
Resolución: Paso 1: Comprende el problema. En el primer día utiliza de esa cantidad.Plantear ecuaciones es una buena estrategia para resolver problemas con cualquier tipo de números.pe/digesutp/formacioninicial/
. 4x + 2y = 188 4(34) + 2(26) = 188 136 + 52 = 188 es correcto.¿Cuáles son los datos y las condiciones del problema? Antonio tiene cierta cantidad de adobes. Hacer la verificación.minedu. Esta estrategia funciona con mucha facilidad para resolver diversos problemas. Para esto tiene que construir un muro. En el primer día de construcción usó de los adobes que tenía. Sustituimos los valores de x e y para confirmar que se cumplan las igualdades que hallamos al inicio: x + y = 60 34 + 26 = 60 es correcto.¿Qué pide el problema? La cantidad de adobes que tenía al comenzar a construir el muro. en el segundo día usó
de los adobes que tenía.gob. .
Antonio tiene un terreno grande que quiere dividir en dos partes. . sólo se requiere dominar el lenguaje algebraico. Paso 4.
Finalmente. Hallamos la fracción que representa a los adobes que se utilizan el primer y segundo día. Paso 2: Elabora un plan. reducimos a la unidad y hacemos el cálculo.En el segundo día utiliza
de esa cantidad.gob. Total de adobes: x Adobes utilizados en el primer día: Adobes utilizados en el segundo día: Adobes utilizados en el tercer día: 55 El total de adobes es igual a la suma de los adobes utilizados cada día: x+ x + 55 = x x x
Paso 3: Ejecuta el plan. Luego hallamos la fracción que representa a los adobes que se utilizan el tercer día. la cual representa la cantidad total de adobes que tenía para trabajar los 3 días. Plan B: Estrategia: Utilizar una ecuación. Plan A: Estrategia: Hacer un esquema.
Observa que la suma de las fracciones que representan al número de adobes que se utiliza cada día es igual a la unidad. restando a la unidad la fracción anterior.pe/digesutp/formacioninicial/
.minedu. Plan A: Fracción que representa la cantidad de adobes utilizados en el primer y segundo días: + = + =
Le quedan 55 de adobes para el tercer día. mediante una suma de fracciones.
minedu.Fracción que representa la cantidad de adobes utilizados el tercer día: 1 =  =
Como el número de adobes que quedaron para el tercer día es 55. de un modo más esquemático: + + =1  + + =  + + =
55  11 = 5 y 5 x 24 = 120 Respuesta: Antonio tenía 120 adobes cuando comenzó a construir el muro. Plan B: Resolviendo la ecuación que hallamos en el paso anterior: x+ x= x– (1 – ( – x + 55 = x x+ x– – – x + 55 x = 55 )x = 55 Propiedad asociativa
x = 55 11x = 55  24
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. como 1 =
O entonces. se puede afirmar que: equivalen a 55 Por lo tanto: equivalen a 55  11 = 5 entonces equivalen a 5 x 24 = 120
Finalmente.gob. completando la unidad.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2.24 Simplificando 11  x = 120
x = 5  24
Respuesta: Antonio tenía 120 adobes cuando comenzó a construir el muro.
Reducir a la unidad es una estrategia muy útil para solucionar algunos problemas. Paso 4. … . Cantidad de adobes utilizados en el primer día: de 120 = 120 = = 45
Cantidad de adobes utilizados el segundo día: de 120 = 120 = = 20
a. …. Puede utilizar fracciones equivalentes. = 1.gob. c. Hacer la verificación. Al sumar fracciones heterogéneas se debe homogenizar las fracciones.minedu. b.x=
55.pe/digesutp/formacioninicial/
. Fracciones equivalentes a la unidad: = 1. = 1.
Resolución: Paso 1. pero dibujar un polígono de 10 lados con sus diagonales es bien difícil.gob. estudiar el número de diagonales de polígonos con menor número de lados. es decir. El problema pide que se determine el número de diagonales que tiene un polígono de 10 lados. Ejecuta el plan. Comprende el problema. Podríamos dibujar este polígono de 10 lados y contar sus diagonales.pe/digesutp/formacioninicial/
.minedu. Paso 2. Estrategia: Un modo de resolver este problema es utilizando la estrategia resolver un problema más sencillo antes.c) DIAGONALES DE UN POLÍGONO. Elabora un plan. Paso 3.
El polígono de 10 lados tiene 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 diagonales.minedu. Algunas veces un patrón nos puede llevar a encontrar una regla general que puede ser escrita como una expresión algebraica. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo. Extendiendo este patrón: Para el polígono de 11 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44 Para el polígono de 12 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54 …………………………………………………………………………. Blog de Formación Inicial Docente http://www2.pe/digesutp/formacioninicial/ 19
. El polígono de 3 lados tiene 0 diagonales..Colocamos en una tabla los valores que observamos en las figuras anteriores y analizamos la tabla para buscar algún patrón que nos ayude a completarla:
Respuesta: Un polígono de 10 lados debe tener 35 diagonales. El polígono de 4 lados tiene 2 diagonales. Generalizando. El polígono de 5 lados tiene 2 + 3 = 5 diagonales.gob. …………………………. Paso 4.
Por tanto la expresión algebraica n · (n  3)  2 representa el número de diagonales que tiene un polígono de n lados. Ese polígono tendrá n vértices.
Piensa en un polígono de n lados.pe/digesutp/formacioninicial/
. Como de cada vértice salen n  3 diagonales porque de él mismo y los 2 lados contiguos no salen diagonales.minedu.  Veamos otro razonamiento.  Verifica si esta expresión es correcta para calcular el número de diagonales que tiene los de polígonos de 3 a 10 lados. para calcular el número de diagonales que salen de cada vértice tenemos que hacer el producto: n vértices · (n  3) Tenemos que dividir entre 2 ese resultado porque al hacer el producto estamos contando 2 veces cada diagonal. Aplicando esta expresión calcula el número de diagonales que debe tener un polígono de 15 lados. Si d representa el número de diagonales de un polígono podemos escribir: d = n · (n  3)  2 Esta última igualdad es la fórmula que permite calcular el número de diagonales que debe tener un polígono conociendo el número de lados que tiene.gob. inductivo también. Compara tus resultados con la tabla anterior. para determinar el número de diagonales de un polígono de n lados. pues la diagonal que va de un vértice al otro y la que viene de ese vértice a sí mismo es la misma y se está contando 2 veces. ¿Estos polígonos tienen algún nombre especial?
Blog de Formación Inicial Docente http://www2.Para el polígono de n lados: 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n  2) diagonales. Utilizando la fórmula anterior calcula el número de diagonales que debe tener un polígono de 10 lados y de uno de 15 lados. La expresión algebraica 2 + 3 + 4 + 5 + … + (n  2) representa el número de diagonales de un polígono de n lados.
d) CONTANDO CUADRADOS EN UN TABLERO DE AJEDREZ.pe/digesutp/formacioninicial/
.Comprendamos el problema. El tablero de ajedrez tiene 8 filas y 8 columnas. Algunas veces se puede desarrollar una fórmula a través del desarrollo de un patrón. entonces se puede decir que el tablero tiene 8 x 8.gob. es decir.Notas: El razonamiento inductivo es usado para hacer una regla después de ver diversos ejemplos. Pero. el del borde del tablero? Serían entonces 65 cuadrados. ¿y si añadimos el cuadrado grande. ¿Qué nos estarán preguntando en este problema? ¿Podemos ver otros cuadrados? ¿Cómo son los otros cuadrados que podemos contar? Hay muchos cuadrados como estos:
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. pero no siempre garantiza que se encuentre la respuesta correcta del problema. Una fórmula es una ecuación que muestra la relación entre ciertas cantidades. Este parece ser un problema muy sencillo.minedu.
Resolución: . 64 cuadrados. Reconocer un patrón es importante.
el número de cuadrado de cuadrados de 2 x 2 . ¿La situación parece muy complicada? Una estrategia que puede ser conveniente para resolver este problema es “ resolver primero un problema más simple”. 4 cuadrados 2 x 2 y 9 cuadrados 1 x 1 Nº total de cuadrados: 1 + 4 + 9 = 14 u 1 2 + 22 + 32 = 14 3) Observemos este otro:
Hay 1 cuadrado de 4 x 4 ..el número de cuadrado de 1 x 1  que son 64 . esto es. entonces.Ejecutemos el plan.minedu. tenemos que encontrar una forma sistemática para poder contar todos esos cuadrados. empecemos trabajando con tableros más pequeños. 1) Comencemos considerando el siguiente tablero: Tenemos 1 cuadrado 2 x 2 y 4 cuadrados 1 x 1 Nº total de cuadrados: 1 + 4 = 5 u 12 + 22 = 5 2) Consideremos ahora otro tablero:
Tenemos 1 cuadrado 3 x 3 .Elaboramos un plan. necesitamos contar: . de 2 x 2 y 16 de 1 x 1 Blog de Formación Inicial Docente http://www2. .el cuadrado de 8 x 8  que es 1 Vemos. que este es un problema de conteo. 9 de 3 x 3 .gob.pe/digesutp/formacioninicial/ 22
. Si interpretamos de este modo el problema.el número de cuadrado de cuadrados de 3 x 3 . Por lo tanto.…………………………………… .
Blog de Formación Inicial Docente http://www2.gob.Nº total de cuadrados: 1 + 4 + 9 + 16 = 30 u 1 2 + 22 + 32 + 42 = 30 Regresando al problema original.pe/digesutp/formacioninicial/
¿Qué ocurriría si duplicásemos el tamaño del tablero? ¿El número de doble? ¿Y si el tablero fuera rectangular?
nxn (9n)
El número total de cuadrados en el tablero es: 64+49+36+25+16+9+4+1=204 Verifica la forma general que encontramos. . comprobando en cada caso.Generalizando. para cuadrados de n filas y n columnas. Podemos generalizar nuestro resultado para tableros con muchos cuadrados más. Número de cuadrados 1=1 12 = 1 1+4=5 12 + 22 = 5 1 + 4 + 9 = 14 12 + 22 + 32 = 14 1 + 4 + 9 + 16 = 30 12 + 22 + 32 + 42 = 30 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 ………………………………..minedu.Hagamos la inducción: Tamaño del tablero 1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 ………………. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64= 204 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 204
Después de recorrer 2/5 del camino paró a recoger un racimo de plátanos que encontró.000 años. para abaratar sus productos. ¿Cuántos kilogramos de lana de alpaca y cuántos kilogramos de lana de oveja debe comprar para preparar 50 kilogramos de la nueva fibra? 2. Se sabe que el precio de un kilogramo de lana de alpaca es S/. En ese momento se dio cuenta que había olvidado su Blog de Formación Inicial Docente http://www2. Frank Swetz. José estaba regresando del colegio a su casa caminando por la carretera que une su casa y su colegio.gob.pe/digesutp/formacioninicial/ 25
. Pensé en un número de dos cifras. Pero no todos los rectángulos son cuadrados. Luego recorrió 1/4 del trecho restante. 20. 100 y de un kilogramo de lana de oveja es S/. Camino a casa.
Practica las pautas propuestas por Pólya organizándote al resolver los siguientes problemas: 1. ¿En que número pensé? Atención: Un número natural de dos cifras puede ser representado por 10x + y. Cambiando el orden de esas cifras se obtiene un número 45 unidades menores que el primero. María.
e) Problemas propuestos. 4. pero sí un cuerpo de conocimiento naturalmente desarrollado por personas durante un periodo de 5. Si en total ella consiguió 51 puntos ¿cuántas preguntas acertó? 3. El número de dos cifras. María quiere que el costo de un kilo de la nueva fibra sea S/. Ella decidió crear una nueva fibra. Ella gana 5 puntos por cada respuesta correcta y pierde 2 puntos por cada respuesta incorrecta. siendo x la cifra de las decenas e y la de las unidades.minedu. Luisa respondió 20 preguntas en una evaluación.Atención:  Todo cuadrado es un rectángulo. La tejedora cuzqueña.44. La evaluación. La suma de esas cifras es 9. hilando la lana de alpaca con lana de oveja. algunas acertó y otras no. decide comprar menos lana de alpaca. una tejedora cuzqueña de chompas.
La matemática no es algo mágico y amenazadoramente extraño.
140 ahorrados ¿cuánto dinero le queda de sus ahorros? 7. Si ella tenía S/. En un establecimiento comercial se acostumbra solamente pesar mercaderías que tienen un peso entre 1 kg y 40 kg. Regaló a su hermano José 2/9 de sus corderos y a su hermano Miguel 1/6 de sus corderos. recogió su mochila y recorrió 1/2 del total de la carretera. Los corderos.minedu. Las pesas.
. Las compras. Ella se quedó con 22 corderos. 8. Escribe una expresión algebraica que represente el perímetro de la figura con n trapezoides. además. Volvió. ese peso siempre es un número natural. pero todavía no llega a su casa.mochila en el lugar donde encontró el racimo de plátanos. ¿Cuántos corderos tenía antes de hacer los regalos a sus hermanos? 6. Estudia el siguiente patrón. Rosa María gastó 2/7 de sus ahorros para comprar una falda y 3/5 de sus ahorros para comprar un par de zapatos. a) ¿Qué fracción de la carretera todavía tiene que caminar? b) ¿Qué fracción representa lo que ya caminó más que la longitud de la carretera? 5. hasta parar para descansar. Trapecios y más trapecios. Considerando toda la distancia que recorrió. Sonia tiene varios corderos.gob. lo que caminó José es más que la longitud de toda la carretera. Ayuda al dueño del establecimiento determinando cuál es el juego de 4 pesas que él necesita tener para poder pesar sus mercaderías con una balanza de 2 platos.
Mi amigo Samuel asegura que todos los números capicúas de cuatro cifras son divisibles por 11. En ella vas anotando el número de dobleces que observas cada vez que haces un nuevo doblez. Elabora en tu cuaderno una tabla como la siguiente. se les llama capicúas. 5. Determina qué relación hay entre las soluciones de las siguientes ecuaciones: ax2 + bx + c = 0 y cx2 + bx + a = 0.Analiza la tabla que acabas de construir y procura descubrir la relación que hay entre el número de pliegues y el número de dobleces. Pliégala por la mitad.
10. larga y delgada. ¿Cuáles son los números naturales que pueden ser obtenidos como la suma de números naturales consecutivos? Blog de Formación Inicial Docente http://www2. Se pliega una tira de papel. Escribe la fórmula que relaciona el número de pliegues con el número de dobleces. calculando el número de dobleces para 3. siempre por la mitad.9. 12.
. que se leen lo mismo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.Coge una tira de papel larga y delgada.Continúa haciendo sucesivos dobleces. ¿cuántos dobleces ves? . Al desplegarla ¿cuántos dobleces se verá?  Sugerencia para la solución: . 10 veces sucesivas por la mitad. Ecuación cuadrática. 4.pe/digesutp/formacioninicial/ 27
. Números capicúas. Compara tus resultados con los resultados de las observaciones que has hecho para completar la tabla. ¿cuántos dobleces ves? Vuelve a plegar la tira de papel por la mitad y luego pliégala otra vez por la mitad. Al desplegarla ¿cuántos dobleces crees que se verán? Despliega la tira de papel.gob. ¿Será eso cierto? 11. Jugando con números. . Al desplegarla ¿cuántos dobleces crees que se verá? Despliega la tira de papel. .Utiliza esa fórmula para calcular el número de dobleces que debe haber en la tira de papel al plegarla 10 veces. A los números como 45654. Plegado de papel. 6 y 7 pliegues.Verifica la fórmula que hallaste.minedu.
Ellos siempre hacen el mismo recorrido. Determina cuál de los 2 llega primero. Julio corre la mitad de la distancia y camina la otra mitad. Julio y Juan.Manuel formó un triángulo con 3 palitos de fósforo: .13. ¿Cuántos palitos de fósforo utilizamos?  Sugerencia para la solución:
. . Calcula la suma de los n primeros números impares. .
15. Los 2 corren a la misma velocidad y los 2 caminan a la misma velocidad. Todas las mañanas 2 amigos.En seguida construye una tabla como la siguiente: Nº de niveles Nº de palitos de fósforo 1 3 2 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ?
. .Entonces yo puse 6 palitos de fósforo más e hice un segundo nivel a la figura formada por Manuel.Comprueba tu conjetura contando el número de palitos de fósforo en el correcta? .pe/digesutp/formacioninicial/ 28 nivel 7. Ejercitándonos. .minedu. Juan corre la mitad del tiempo y camina la otra mitad.Conjetura el número de palitos de fósforo de la figura con 7 niveles.gob. Sumas. Jugando con palitos de fósforo. desde el punto A hasta el punto B de una pista con una linda vista. En una tarde de domingo Manuel y yo encontramos una caja de palitos de fósforo y nos pusimos a jugar con ellos. se ejercitan juntos.Para resolver este problema puedes en primer lugar tomar algunos palitos de fósforo y jugar como nosotros.Con 165 palitos de fósforo ¿cuántos niveles tendría la figura a construir? Blog de Formación Inicial Docente http://www2. ¿Fue
. 14.Continuamos del mismo modo hasta que tuvimos una figura con 7 niveles.
0. Haz lo mismo con otros números de tres cifras. Voltéalo.05 y S/. ¿Cuántos palitos de fósforo necesitará en total? 16. S/. ¿Qué observas? Justifica el resultado.10.gob.01? 17. Toma un número de tres cifras diferentes.
Blog de Formación Inicial Docente http://www2. 5 utilizando combinaciones de monedas de S/. por ejemplo 465. Ahora invierte el número 198 y suma los dos últimos números obtenidos: 198 + 891 = 1089. Jugando con números. Resta el menor del mayor 564 – 465 = 198. Cambios.Manuel me dijo que cuando tenga tiempo otra vez va a construir una figura con 15 niveles. 564.minedu. ¿De cuántos modos puedes cambiar una moneda de S/. 0.pe/digesutp/formacioninicial/
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