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Timestamp: 2020-01-18 11:55:38+00:00

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Programa de as (Res 2006) | Evaluación | Plan de estudios
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Educación básica. Secundaria. Matemáticas. Programas de estudio 2006 fue elaborado por personal académico de la Dirección
General de Desarrollo Curricular, que pertenece a la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.
Manuel Brito Susana Vargas Rodríguez
La Secretaría de Educación Pública edita el Plan de Estudios para la Educación Secundaria 2006 y los programas correspondientes a las asigna- turas que lo conforman, con el propósito de que los maestros y directivos conozcan sus compo- nentes fundamentales, articulen acciones cole- giadas para impulsar el desarrollo curricular en sus escuelas, mejoren sus prácticas docentes y contribuyan a que los alumnos ejerzan efectiva- mente el derecho a una educación básica de cali- dad. Desde 1993 la educación secundaria fue de- clarada componente fundamental y etapa de cierre de la educación básica obligatoria. Me- diante ella la sociedad mexicana brinda a todos los habitantes de este país oportunidades for- males para adquirir y desarrollar los conoci- mientos, las habilidades, los valores y las com- petencias básicas para seguir aprendiendo a lo largo de su vida; enfrentar los retos que impone una sociedad en permanente cambio, y desem- peñarse de manera activa y responsable como miembros de su comunidad y ciudadanos de México y del mundo. Durante más de una década la educación se- cundaria se ha beneficiado de una reforma cu- rricular que puso el énfasis en el desarrollo de habilidades y competencias básicas para seguir
la actualización de los maestros; realizó acciones
de mejoramiento de la gestión escolar y del equi- pamiento audiovisual y bibliográfico. Sin em- bargo, estas acciones no han sido suficientes para superar los retos que implica elevar la cali- dad de los aprendizajes, así como atender con equidad a los alumnos durante su permanencia en la escuela y asegurar el logro de los propósi- tos formativos plasmados en el currículo nacio- nal.
Con base en el artículo tercero constitucional
y en cumplimiento de las atribuciones que le
otorga la Ley General de Educación, la Secreta-
ría de Educación Pública plasmó en el Programa Nacional de Educación 2001-2006 el compromi- so de impulsar una reforma de la educación se- cundaria que incluyera, además de una renova-
ción del plan y de los programas de estudio, el apoyo permanente y sistemático a la profesiona- lización de los maestros y directivos del nivel, el mejoramiento de la infraestructura y del equi- pamiento escolar, así como el impulso a nuevas formas de organización y gestión que fortalecie- ran a la escuela como el centro de las decisiones
y acciones del sistema educativo.
Para llevar a cabo la renovación del currículo, cuyo resultado se presenta en el Plan y en los Programas de Estudio 2006, se impulsaron di- versos mecanismos que promovieran la partici- pación de maestros y directivos de las escuelas secundarias de todo el país, de equipos técnicos estatales responsables de coordinar el nivel, y de especialistas en los contenidos de las diversas asignaturas que conforman el plan de estudios. En este proceso se contó con el apoyo y compro-
miso decidido de las autoridades educativas es- tatales. De igual manera, y con el propósito de contar con evidencias sobre la pertinencia de los conte- nidos y de los enfoques para su enseñanza, así como de las implicaciones que tiene aplicar una nueva propuesta curricular en la organización de las escuelas y en las prácticas de los maestros, durante el ciclo 2005-2006 se desarrolló en es- cuelas secundarias de 30 entidades federativas la Primera Etapa de Implementación (pei) del nuevo currículo. Los resultados del seguimiento a esa experiencia permiten atender con mejores recursos la generalización de la reforma curricu- lar a todas las escuelas del país. Es innegable el valor que tiene el proceso de construcción curricular arriba expresado. Por ello, y a fin de garantizar que en lo sucesivo se favorezca la participación social en la revisión y el fortalecimiento continuo de este servicio, la Secretaría de Educación Pública instalará Con- sejos Consultivos Interinstitucionales conforma- dos por representantes de instituciones educati- vas especializadas en la docencia y la investiga- ción sobre los contenidos de los programas de estudio; de las instituciones responsables de la formación inicial y continua; de asociaciones y colegios, tanto de maestros como de padres de familia; así como de organizaciones de la socie- dad civil vinculadas con la educación básica. El funcionamiento de los Consejos en la evaluación permanente del plan y de los programas de es- tudio y de sus resultados permitirá atender con oportunidad las necesidades y retos que se pre- senten, instalar una política de desarrollo curri- cular apegada a las necesidades formativas de
los ciudadanos, así como fortalecer en las escue- las la cultura de la evaluación y de la rendición de cuentas.
La Secretaría de Educación Pública reconoce que el currículo es básico en la transformación de la escuela; sin embargo, reconoce también que la emisión de un nuevo plan y programas de estudio es únicamente el primer paso para avanzar hacia la calidad de los servicios. Por ello, en coordinación con las autoridades educa- tivas estatales, la Secretaría brindará los apoyos necesarios a fin de que los planteles, así como los profesores y directivos, cuenten con los re- cursos y condiciones necesarias para realizar la tarea que tienen encomendada y que constituye
la razón de ser de la educación secundaria: ase-
gurar que los jóvenes logren y consoliden las
competencias básicas para actuar de manera responsable consigo mismos, con la naturaleza
que participen activamente en la construcción de una sociedad más justa, más libre y democrá- tica.
Mediante el estudio de las matemáticas se busca que los niños y jóvenes desarrollen una forma de pensamiento que les permita expresar mate- máticamente situaciones que se presentan en di- versos entornos socioculturales, así como utili- zar técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas; al mismo tiempo, se busca que asuman una actitud positiva hacia el estu- dio de esta disciplina y de colaboración y crítica, tanto en el ámbito social y cultural en que se desempeñen como en otros diferentes. Para lograr lo anterior, la escuela deberá brin- dar las condiciones que hagan posible una acti- vidad matemática verdaderamente autónoma y flexible, esto es, deberá propiciar un ambiente en el que los alumnos formulen y validen conje- turas, se planteen preguntas, utilicen procedi- mientos propios y adquieran las herramientas y los conocimientos matemáticos socialmente esta- blecidos, a la vez que comunican, analizan e in- terpretan ideas y procedimientos de resolución. La actitud positiva hacia las matemáticas consiste en despertar y desarrollar en los alum- nos la curiosidad y el interés por investigar y resolver problemas, la creatividad para formu- lar conjeturas, la flexibilidad para modificar su propio punto de vista y la autonomía intelectual para enfrentarse a situaciones desconocidas; asi-
mismo, consiste en asumir una postura de con- fianza en su capacidad de aprender. La participación colaborativa y crítica resultará de la organización de actividades escolares colecti- vas en las que se requiera que los alumnos formu- len, comuniquen, argumenten y muestren la vali- dez de enunciados matemáticos, poniendo en práctica tanto las reglas matemáticas como socio- culturales del debate, que los lleven a tomar las decisiones más adecuadas a cada situación. Los contenidos que se estudian en la educa- ción secundaria se han organizado en tres ejes:
Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida y Manejo de la información. Sentido numérico y pensamiento algebraico alu- de a los fines más relevantes del estudio de la aritmética y del álgebra: por un lado, encontrar el sentido del lenguaje matemático, ya sea oral o escrito; por otro, tender un puente entre la arit- mética y el álgebra, en el entendido de que hay contenidos de álgebra en la primaria, que se profundizan y consolidan en la secundaria. Forma, espacio y medida encierra los tres aspec- tos esenciales alrededor de los cuales gira el es- tudio de la geometría y la medición en la educa- ción básica. Es claro que no todo lo que se mide tiene que ver con formas o espacio, pero sí la mayor parte; las formas se trazan o se constru- yen, se analizan sus propiedades y se miden. Manejo de la información tiene un significado muy amplio. En estos programas se ha conside- rado que la información puede provenir de si- tuaciones deterministas, definidas —por ejem- plo, por una función lineal—, o aleatorias, en las que se puede identificar una tendencia a partir de su representación gráfica o tabular.
La vinculación entre contenidos del mismo eje, entre ejes distintos o incluso con los de otras asig- naturas es un asunto de suma importancia, puesto que la tendencia generalizada en la enseñanza ha sido la fragmentación o la adquisición del conoci- miento en pequeñas dosis, lo que deja a los alum- nos sin posibilidades de establecer conexiones o de ampliar los alcances de un mismo concepto. En estos programas, la vinculación se favore- ce mediante la organización en bloques temáti- cos que incluyen contenidos de los tres ejes. Al- gunos vínculos ya se sugieren en las orientaciones didácticas y otros quedan a cargo de los profeso- res o de los autores de materiales de desarrollo curricular, tales como libros de texto o ficheros de actividades didácticas. Un elemento más que atiende la vinculación de contenidos es el denominado Aprendizajes esperados, que se presenta al principio de cada bloque y donde se señalan, de modo sintético, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como resultado del es- tudio del bloque en cuestión. Aunque la responsabilidad principal de los profesores de matemáticas es que los alumnos aprendan esta disciplina, el aprendizaje será más significativo en la medida en que se vincule con otras áreas. Por ejemplo: el estudio del mo- vimiento rectilíneo uniforme tiene estrecha rela-
ción con el estudio de la función lineal y su re- presentación algebraica y gráfica; el primer tema corresponde a la asignatura de Física y los si- guientes son contenidos matemáticos de los ejes Sentido numérico y pensamiento algebraico y de Ma- nejo de la información, respectivamente. Cabe señalar que los conocimientos y habili- dades en cada bloque se han organizado de tal manera que los alumnos vayan teniendo acceso gradualmente a contenidos cada vez más com- plejos y a la vez puedan establecer conexiones entre lo que ya saben y lo que están por apren- der. Sin embargo, es probable que haya otros cri- terios igualmente válidos para establecer la se- cuenciación y, por lo tanto, no se trata de un orden rígido. Al profundizar en el estudio de los conteni- dos de matemáticas que se proponen para la es- cuela secundaria se pretende que los alumnos logren un conocimiento menos fragmentado, con mayor sentido, de modo que cuenten con más elementos para abordar un problema. Estos programas parten de los conocimientos y las ha- bilidades que los estudiantes obtuvieron en la primaria, para establecer lo que aprenderán en la secundaria. Los contenidos en este nivel se ca- racterizan, así, por un mayor nivel de abstrac- ción que les permitirá a los alumnos resolver si- tuaciones problemáticas más complejas.
En esta fase de su educación, por medio del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, los alumnos profundizan en el estudio del ál- gebra con los tres usos de las literales, concep- tualmente distintos: como número general, como incógnita y en relación funcional. Este énfasis en el uso del lenguaje algebraico supone cambios importantes para ellos en cuanto a la forma de generalizar propiedades aritméticas y geométricas. La insistencia en ver lo general en lo particu- lar se concreta, por ejemplo, en la obtención de la expresión algebraica para calcular un térmi- no de una sucesión regida por un patrón; en la modelación y resolución de problemas por me- dio de ecuaciones con una o dos incógnitas; en el empleo de expresiones algebraicas que repre- sentan la relación entre dos variables, la cual, para este nivel, puede ser lineal (en la que la proporcionalidad es un caso particular), cuadrá- tica o exponencial.
En cuanto al eje Manejo de la información se re- suelven problemas que requieren el análisis, la organización, la representación y la interpreta- ción de datos provenientes de diversas fuentes. Este trabajo se apoya fuertemente en nociones matemáticas tales como porcentaje, probabili- dad, función y en general en el significado de los números enteros, fraccionarios y decimales. El eje Forma, espacio y medida favorece de modo especial el desarrollo de la competencia de argu- mentación. Por ejemplo, para construir, reproducir o copiar una figura, hay que argumentar las razo- nes por las que un trazo en particular es válido o no, tomando como base las propiedades de dicha figura. Lo mismo ocurre si se trata de determinar si dos triángulos son congruentes o semejantes. Finalmente, la comprensión de los diversos conceptos matemáticos deberá sustentarse en actividades que pongan en juego la intuición, pero a la vez favorezcan el uso de herramientas matemáticas para ampliar, reformular o recha- zar las ideas previas. Así, por ejemplo, en el caso de la probabilidad los alumnos anticipan resul- tados, realizan actividades de simulación y explo- ración de fenómenos aleatorios y expresan propiedades, como la independencia, la equipro- babilidad, la complementariedad, etc. De este modo se intenta propiciar el desarrollo del pen- samiento probabilístico.
La formación matemática que le permita a ca- da miembro de la comunidad enfrentar y res- ponder a determinados problemas de la vida moderna dependerá, en gran parte, de los cono- cimientos adquiridos y de las habilidades y acti- tudes desarrolladas durante la educación básica. La experiencia que vivan los niños y jóvenes al estudiar matemáticas en la escuela, puede traer como consecuencias: el gusto o rechazo, la crea- tividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los resul- tados o la supeditación de éstos al criterio del maestro. El planteamiento central en cuanto a la meto- dología didáctica que sustentan los programas para la educación secundaria consiste en llevar a las aulas actividades de estudio que despier- ten el interés de los alumnos y los inviten a re- flexionar, a encontrar diferentes formas de resol- ver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmu- las y definiciones sólo es importante en la medi- da en que los alumnos lo puedan usar, de mane- ra flexible, para solucionar problemas. De ahí que su construcción amerite procesos de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo
convencional, ya sea en términos de lenguaje, como de representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización. Los avances logrados en el campo de la di- dáctica de la matemática en los últimos años dan cuenta del papel determinante que desem- peña el medio, entendido como la situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que si- guen los alumnos para construir nuevos conoci- mientos y superar las dificultades que surgen en el proceso de aprendizaje. Toda situación pro- blemática presenta obstáculos cuya solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antema- no, ni tan difícil que parezca imposible de resol- ver por quien se ocupa de ella. La solución debe ser construida en el entendido de que existen di- versas estrategias posibles y hay que usar al me- nos una. Para resolver la situación, el alumno debe usar los conocimientos previos, mismos que le permiten entrar en la situación, pero el desafío se encuentra en reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, para ampliarlo, para rechazarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación. A partir de esta propuesta, tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conoci- miento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. No se trata de que el maestro busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y pro- ponga problemas interesantes, debidamente ar-
ticulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. Seguramente el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas con base en actividades de estudio cuidadosamente selec- cionadas resultará extraño para muchos maes- tros compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir informa- ción. Sin embargo, vale la pena intentarlo, pues abre el camino para experimentar un cambio ra- dical en el ambiente del salón de clases: los alumnos piensan, comentan, discuten con inte- rés y aprenden, y el maestro revalora su trabajo docente. Este escenario no se halla exento de contrariedades y para llegar a él hay que estar dispuesto a afrontar problemas como los si- guientes:
a) La resistencia de los alumnos a buscar por su cuenta la manera de resolver los proble- mas que se les plantean. Aunque habrá des- concierto al principio, tanto de los alumnos como del maestro, vale la pena insistir en que sean los estudiantes quienes encuentren las soluciones. Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en el salón de clases, esto es, los alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se expresa- rán con libertad y no habrá duda de que reflexionan en torno al problema que tratan de resolver.
b) La dificultad para leer y por lo tanto para comprender los enunciados de los proble- mas. Se trata de una situación muy común, cuya solución no corresponde únicamente a
la asignatura de Español. Muchas veces los alumnos obtienen resultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que corres- ponden a una interpretación distinta del problema, de manera que el maestro tendrá que averiguar cómo interpretan los alum- nos la información que reciben de manera oral o escrita.
c) El desinterés por trabajar en equipo. El tra- bajo en equipo es importante, porque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los demás, porque desarrollan la acti- tud de colaboración y la habilidad para ar- gumentar; además, de esta manera se facili- ta la puesta en común de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud para trabajar en equipo debe ser fomentada por el maestro, quien debe insistir en que cada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver, no de manera individual sino colectiva. Por ejem- plo, si la tarea consiste en resolver un pro- blema, cualquier miembro del equipo debe estar en posibilidad de explicar el procedi- miento que se utilizó.
d) La falta de tiempo para concluir las activi- dades. Muchos maestros comentan que si llevan a cabo el enfoque didáctico en el que se propone que los alumnos resuelvan pro- blemas con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos y resultados, no les alcanza el tiempo para concluir el programa. Con este argumento, algunos optan por continuar con el esquema tradi- cional en el que el maestro da la clase mien-
tras los alumnos escuchan, aunque no com- prendan. Ante una situación como ésta habrá que recordar que más vale dedicar tiempo a que los alumnos adquieran cono- cimientos con significado y desarrollen ha- bilidades que les permitan resolver diversos problemas y seguir aprendiendo, que a en- señar conocimientos que pronto serán olvi- dados. En la medida en que los alumnos comprendan lo que estudian, los maestros no tendrán que repetir una y otra vez las mismas explicaciones y esto se traducirá en mayores niveles de logro educativo.
e) Espacios insuficientes para compartir expe- riencias. Al mismo tiempo que los profeso- res asumen su propia responsabilidad, la escuela en su conjunto debe cumplir la suya:
brindar una educación de calidad a todo el alumnado. Esto significa que no basta con que un maestro o una maestra proponga a sus alumnos problemas interesantes para que reflexionen, sino que la escuela toda debe abrir oportunidades de aprendizaje significativo. Para ello será de gran ayuda que los profesores compartan experiencias, pues, exitosas o no, hablar de ellas y escu- charlas les permitirá mejorar permanente- mente su trabajo.
Una de las tareas docentes fundamentales que ayuda a garantizar que el proceso de enseñan- za, estudio y aprendizaje de las Matemáticas sea eficiente es la planeación de clases, pues ésta permite anticipar expectativas en torno a la
eficacia de las actividades que se plantean y a la vez en relación con el desempeño de los alum- nos, así como de las estrategias didácticas del profesor. Infortunadamente, en muchos casos esta ta- rea ha representado para el profesor un requisi- to administrativo, por lo que sus planes de clase no siempre reflejan lo que realmente sucede en el aula. Con el objeto de lograr los propósitos descri- tos en esta propuesta curricular, es necesario di- señar un modelo de plan de clase que realmente sirva de apoyo para concretar las intenciones di- dácticas que el profesor plantea en su trabajo diario. Las características de un plan de clase funcio- nal, de acuerdo con el enfoque de esta propuesta curricular, son las siguientes:
• Que sea útil, esto es, que le permita al pro- fesor determinar el contenido que se estu- diará en cada sesión y la actividad, proble- ma o situación que considere más adecuada para que los alumnos construyan los cono- cimientos esperados.
• Que sea conciso, es decir, que contenga úni- camente los elementos clave que requiere el profesor para guiar el desarrollo de la clase.
• Que permita mejorar el desempeño docente:
cuando el profesor está planificando, ima- gina, anticipa y visualiza el desempeño de los alumnos; es decir, está conjeturando lo que va a ocurrir en la clase, por ejemplo, las posibles dificultades que tendrán los alum- nos al resolver los problemas que les pro- ponga o los procedimientos que pueden
utilizar. Esta reflexión previa le permite al profesor, en caso de no suceder lo que había previsto, hacer uso de otros recursos, consi- derados o no considerados en su planifica- ción. Consecuentemente, la tarea de la pla- nificación no termina con la puesta en mar- cha del plan de clase; el proceso culmina con
la evaluación de éste. Para ello es necesario que se registren en él las observaciones que ayuden a tomar decisiones para mejo- rar el proceso de estudio. A continuación se presenta un ejemplo de Plan de clase, que intenta cubrir las características seña- ladas.
Prof.(a).:
Curso: Matemáticas 3
Apartado: 2.1. Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que pueden solu- cionarse mediante ecuaciones de segundo grado.
Van a trabajar en equipos para resolver el siguiente problema. Cuando encuentren la solución, traten de asegurarse de que es la correcta. Si lo desean, pueden usar calculadora. El problema dice así: El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?
En caso de que el problema resulte muy fácil, habrá una puesta en común muy breve y ensegui- da se planteará el siguiente problema: El cuadrado de un número, más tres veces el mismo nú- mero, menos 5 es igual a 203. ¿Cuál es ese número?
Sin duda uno de los componentes del proceso educativo que contribuye de manera importan- te para lograr mayor calidad en la práctica do- cente es el que se refiere a la evaluación de los aprendizajes. Al margen de las evaluaciones externas que se aplican en muchas escuelas del país, cuya finalidad es recabar información so- bre el sistema educativo nacional o estatal, los profesores frente a grupo tienen la responsabili- dad de saber en todo momento del curso escolar qué saben hacer sus alumnos, qué no y qué es- tán en proceso de aprender. Para obtener tal in- formación cuentan con una gran variedad de recursos, como registros breves de observación, cuadernos de trabajo de los alumnos, listas de control o las pruebas. La evaluación que se plantea combina dos as- pectos que son complementarios. El primero se refiere a qué tanto saben hacer los alumnos y en qué medida aplican lo que saben, en estrecha relación con los contenidos matemáticos que se estudian en cada grado. Para apoyar a los profe- sores en este aspecto se han definido los apren- dizajes esperados en cada bloque temático. En ellos se sintetizan los conocimientos y las habili- dades que todos los alumnos deben adquirir al estudiar cada bloque.
Es evidente que los aprendizajes esperados no corresponden uno a uno con los apartados de conocimientos y habilidades, pero conviene ex- plicar por qué. En primer lugar, porque los apar- tados de conocimientos y habilidades en cada bloque no son completamente ajenos entre sí, es posible y deseable establecer vínculos entre ellos para darles mayor significado a los aprendiza- jes, incluso algunos de esos vínculos ya están señalados en la columna de orientaciones didác- ticas. En segundo lugar, porque cada apartado de conocimientos y habilidades es parte de una se- cuencia que se desarrolla en varios bloques y a veces en varios grados, de manera que al deter- minar los aprendizajes esperados, entre otras cosas, fue necesario establecer el momento ade- cuado para la evaluación. Con el segundo aspecto se intenta ir más allá de los aprendizajes esperados y, por lo tanto, de los contenidos que se estudian en cada grado; se trata de lo que algunos autores llaman compe- tencias matemáticas y cuyo desarrollo deriva en conducirse competentemente en la aplicación de las matemáticas o en ser competente en mate- máticas. Como esta propuesta se concentra en apoyar la práctica docente y en evitar plantea- mientos que puedan confundir, se hace referen- cia a sólo cuatro competencias que tienen carac- terísticas claras y pueden distinguirse entre sí: el planteamiento y la resolución de problemas, la argumentación, la comunicación y el manejo de técnicas. A continuación se describe cada una de ellas.
• Planteamiento y resolución de problemas. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de pro- blemas o situaciones. Por ejemplo, proble- mas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos; proble- mas o situaciones en los que son los alum- nos quienes plantean las preguntas. Se trata también de que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuá- les son más eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución.
• Argumentación. Cuando el profesor logra que sus alumnos asuman la responsabili- dad de buscar al menos una manera de re- solver cada problema que plantea, junto con ello crea las condiciones para que dichos alumnos vean la necesidad de formular ar- gumentos que les den sustento al procedi- miento y/o solución encontrados, con base en las reglas del debate matemático. Dichos argumentos pueden ubicarse, según las in- vestigaciones que se han consultado, en tres niveles de complejidad y corresponden a tres finalidades distintas: para explicar, para mostrar o justificar informalmente o pa- ra demostrar.
Los argumentos del primer tipo son uti- lizados por un emisor, convencido de la ve- racidad de una proposición o de un resulta-
do, para hacerla entender a uno o más inter- locutores. La explicación puede ser discuti- da, refutada o aceptada. Una explicación que es aceptada en un grupo dado y en un momento dado se con- sidera consensuada (mostrada), con la condi- ción de que ésta se apoye en criterios comu- nes para todos los interlocutores. Una demostración matemática se organi- za mediante una secuencia de enunciados reconocidos como verdaderos o que se pue- den deducir de otros, con base en un con- junto de reglas bien definido. Puesto que la secundaria es el último tra- mo de la educación básica, el énfasis de la argumentación se pondrá en la explicación y la muestra, y sólo en ciertos casos, en ter- cer grado, los alumnos conocerán algunas demostraciones con ayuda del maestro, con la idea de que las utilicen para resolver y validar la solución de otros problemas.
• Comunicación. Comprende la posibilidad de expresar y representar información ma- temática contenida en una situación o del fenómeno, así como la de interpretarla. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la infor- mación cualitativa y cuantitativa relacio- nada con la situación; que se establezcan relaciones entre estas representaciones; que se expongan con claridad las ideas ma- temáticas encontradas; que se deduzca la información derivada de las representacio- nes y se infieran propiedades, característi- cas o tendencias de la situación o del fenó- meno representados.
• Manejo de técnicas. Esta competencia se re- fiere al uso eficiente de procedimientos y for- mas de representación al efectuar cálculos, con el apoyo de tecnología o sin él. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de téc- nicas establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y quienes alcanzan una solución deficiente. Esta competencia no se limita a hacer un uso mecánico de las operaciones aritméticas y al- gebraicas; apunta principalmente al desarro- llo del sentido numérico y del pensamiento algebraico, que se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operacio- nes al resolver un problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación, en el em- pleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se requieren en un problema y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para lograr el manejo eficien- te de una técnica es necesario que los alum- nos la sometan a prueba en muchos proble- mas distintos. Así adquirirán confianza en ella y la podrán adaptar a nuevos problemas. El manejo de técnicas guarda una relación muy estrecha con la argumentación, en tanto que en muchos casos es necesario encontrar razones que justifiquen un procedimiento o un resultado.
La metodología didáctica de los programas de Matemáticas está orientada al desarrollo de estas competencias y por eso exige dejar atrás la postura tradicional que consiste en “dar la cla- se”, explicando paso a paso lo que los alumnos deben hacer y preocupándose por simplificar-
les el camino que por sí solos deben encontrar. Con el fin de ir más allá de la caracterización de las competencias y tener más elementos para describir el avance de los alumnos en cada una de ellas, se sugiere a los profesores estable- cer líneas de progreso que definan el punto ini- cial y la meta a la que se puede aspirar. A conti- nuación se enuncian algunos ejemplos de líneas de progreso que podrían considerarse en la eva- luación del logro de estas competencias. De resolver con ayuda a resolver de manera autónoma. La mayoría de los profesores de nivel básico estará de acuerdo en que, cuando los alumnos resuelven problemas, hay una tenden- cia muy fuerte a recurrir al maestro, incluso en varias ocasiones, para saber si el procedimiento que siguen es correcto. Resolver de manera au- tónoma implica que los alumnos se hagan cargo del proceso de principio a fin, considerando que el fin no es sólo encontrar un resultado, sino comprobar que es correcto, tanto en el ámbito de los cálculos como en el de la solución real, en caso de que se requiera. De los procedimientos informales a los procedi- mientos expertos. Un principio fundamental que subyace en la resolución de problemas tie- ne que ver con el hecho de que los alumnos utili- cen sus conocimientos previos, con la posibilidad de que éstos evolucionen poco a poco ante la ne- cesidad de resolver problemas cada vez más complejos. Necesariamente, al iniciarse en el es- tudio de un tema o de un nuevo tipo de proble- mas, los alumnos usan procedimientos informa- les y a partir de ese punto es tarea del maestro que dichos procedimientos se sustituyan por otros cada vez más eficaces. Cabe aclarar que el
carácter de informal o experto de un procedi- miento depende del problema que se trata de re- solver; por ejemplo, para un problema de tipo multiplicativo la suma es un procedimiento infor- mal, pero esta misma operación es un procedi- miento experto para un problema de tipo aditivo. De la justificación pragmática a la justifica- ción axiomática. Según la premisa de que los conocimientos y las habilidades se construyen mediante la interacción de los alumnos, con el objeto de conocimiento y con el maestro, un in- grediente importante en este proceso es la vali- dación de los procedimientos y resultados que se encuentran, de manera que otra línea de pro-
greso que se puede apreciar con cierta claridad es pasar de la explicación pragmática (“porque así me salió”) a los argumentos apoyados en propiedades o axiomas conocidos. Hay que estar conscientes de que los cambios de actitud no se dan de un día para otro, ni entre los profesores ni entre los alumnos, pero si real- mente se quiere obtener mejores logros en los aprendizajes, desarrollar competencias y reva- lorar el trabajo docente, vale la pena probar y darse la oportunidad de asombrarse ante lo in- genioso de los razonamientos que los alumnos pueden hacer, una vez que asumen que la reso- lución de un problema está en sus manos.
Los contenidos de cada grado están organizados en cinco bloques, en cada uno hay temas y sub- temas de los tres ejes descritos. Esta organiza- ción tiene dos propósitos fundamentales; por una parte, se trata de que los profesores y sus alumnos puedan establecer metas parciales a lo largo del año escolar y, por la otra, se pretende garantizar el estudio simultáneo de los tres ejes durante el curso. Los contenidos, que se han organizado en apartados, se denominan aquí conocimientos y
habilidades, lo cual significa que se privilegia la construcción de significados y de herramientas matemáticas por parte de los alumnos, con base en la resolución de problemas. Se ha procurado que estos enunciados sean suficientemente cla- ros, no sólo en cuanto a lo que se pretende estu- diar, sino también en cuanto a la profundidad del estudio. Por cada apartado se incluye una columna con orientaciones didácticas en la que se fundamenta la necesidad de estudiar los aspec- tos planteados en la columna de conocimientos y habilidades y se dan ejemplos de problemas o si- tuaciones que se pueden plantear para organi- zar el estudio. También se sugieren actividades con el uso de la hoja de cálculo o de geometría dinámica y se establece la vinculación con otros temas de Matemáticas o incluso de otras asig- naturas.
Como resultado del estudio de este bloque te- mático se espera que los alumnos:
1. Conozcan las características del sistema de numeración decimal (base, valor de posi- ción, número de símbolos) y establezcan semejanzas o diferencias respecto a otros sistemas posicionales y no posicionales.
3. Representen sucesiones numéricas o con fi- guras a partir de una regla dada y viceversa.
4. Construyan figuras simétricas respecto de un eje e identifiquen cuáles son las pro- piedades de la figura original que se con- servan.
5. Resuelvan problemas de conteo con apo- yo de representaciones gráficas.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números NúMEROS NATuRAlES
1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicio- nales.
Los sistemas de numeración que utilizan o han utilizado diversos grupos sociales y culturales, como el romano, el sexagesimal de los babilonios o el vigesimal de los mayas, si bien permiten represen- tar cualquier número, no ofrecen las posibilidades del sistema de- cimal de numeración para efectuar operaciones. Aunque el estudio de este tema se inicia desde los primeros grados de primaria, es
necesario que en este curso de primer grado de secundaria se plan- teen actividades para que los alumnos analicen diferentes formas de representar y nombrar números, resaltando las ventajas y desventajas de cada sistema, así como las difi- cultades de su construcción a lo largo de la historia. En el caso del sistema decimal de numeración es muy importante analizar el sistema oral (o escrito con letras), que a diferencia del escrito (en cifras), no es posicional y se descompone con base en potencias de mil, como puede verse en el nombre del siguiente número:
38 005 326 (treinta y ocho millones, cinco mil trescientos veintiséis):
38 (1 000 2 ) + 5 (1 000) + 326
Si en el entorno sociocultural de los alumnos existe un sistema numérico o de medidas distinto del deci- mal, es conveniente dedicar tiempo a analizarlo, con base en las características que ya conocen, tanto del sistema decimal como de otros sistemas.
Vínculos: Español. Tema: Escribir una monografía en la que se integre la información de resúmenes y notas.
La recta numérica se utiliza como recurso para dar sentido a los números fraccionarios. Cuando se aborde la representación de es- tos números deberá explicarse la necesidad de asignar el cero a un punto de la recta, de determinar una unidad y con base en ésta determinar la ubicación de cualquier número. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:
• Ubiquen en la recta numérica
• Representen en la recta numérica
• Ubiquen 3.5 y 1.8 (previamente deben encontrarse representados 2.3 y 4.5).
3 (previamente deben encontrarse representados 1 y
2 e intercalen entre ellos cinco fracciones.
El segundo ejemplo tiene que ver con dos nociones importantes: la densidad y el orden de fracciones. Respec- to a la primera noción, se sugiere realizar una actividad que tome como referencia a la recta numérica para llevar a los alumnos a concluir que, dadas dos fracciones de valores diferentes, siempre es posible intercalar otra fracción. La segunda noción está presente también en esa actividad, ya que en cada etapa del proceso de intercalación están implicadas tres fracciones, la menor, la mayor y la que se intercala. Para determinar el orden de las fracciones podrán utilizarse recursos como las fracciones equivalentes, los productos cruzados y otros. Lo mismo puede hacerse con los números decimales.
Nótese que para ubicar fracciones, las particiones dependen de los denominadores; en tanto que para ubicar decimales, siempre se puede partir en potencias de 10. En la resolución de estos problemas se tendrá oportunidad de revisar conceptos y procedimientos estudiados en la primaria, como los de fracciones redu- cibles e irreducibles, la simplificación de fracciones, la reducción de fracciones a un común denominador y conversión de una fracción a decimal y viceversa.
Significado y uso de las literales PATRONES y FóRMulAS
1.3. Construir sucesiones de números a partir de una re- gla dada. Determinar expre- siones generales que definen las reglas de sucesiones nu- méricas y figurativas.
Para continuar el desarrollo del pensamiento algebraico iniciado en la prima- ria con la construcción de fórmulas geométricas, se sugiere utilizar sucesiones numéricas y figurativas sencillas para encontrar la expresión general que de- fine un elemento cualquiera de la sucesión. Por ejemplo, dada la siguiente sucesión de figuras:
Se pueden plantear preguntas como éstas:
• Si la cantidad de mosaicos que forman cada figura continúa aumentando en la misma forma:
¿Cuántos mosaicos tendrá la figura que ocupe el lugar 10? ¿Cuántos mosaicos tendrá la figura que va en el lugar 20? ¿Cuántos mosaicos tendrá la figura que va en el lugar 50?
Es probable que para responder la primera pregunta los estudiantes dibujen las figuras, pero para contestar la segunda, y sobre todo la tercera, observarán que deben encontrar una regla, que en principio puedan enunciar verbalmente y luego de manera simbólica, hasta llegar a la expresión algebraica usual.
Es necesario no caer en la tentación de decirles cuál es la regla general de la sucesión, sino animarlos a probar distintas alternativas hasta que encuentren una que les satisfaga. El estudio que aquí se plantea respecto a los números naturales deberá continuarse en segundo grado al estudiar los números con signo.
1.4. Explicar en lenguaje na- tural el significado de algu- nas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.
Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en las fórmulas como números generales y no como simples etiquetas que evocan las dimensiones de las figuras, es necesario plantear preguntas que apunten hacia la generalización de procedimientos. Por ejemplo:
• Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm por lado, ¿cómo se puede saber el perímetro del marco? (nótese que no se trata
de calcular el perímetro sino de enunciar el procedimiento). Suponiendo que el lado del marco midiera 28 cm, ¿cómo se determina el perímetro del marco? ¿Y si midiera 35 cm? En general, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado?
Como en el caso de las sucesiones numéricas y figurativas, se insiste primero en que los alumnos expresen en forma verbal el procedimiento o fórmula en cuestión y luego algebraicamente. La idea de que es posible operar con la literal que representa una medida cualquiera se subraya cuando se pide a los alumnos que, por ejemplo en el caso del cuadrado, representen la fórmula del perímetro me- diante una suma o un producto (l + l + l + l o bien 4l). De este modo se inicia también el trabajo con expresio- nes algebraicas equivalentes. Puede seguirse un proceso similar para otras fórmulas sencillas, como las del área del cuadrado y del rectángulo, y las del perímetro de otros polígonos en los que dos o más lados sean del mismo tamaño (por ejemplo, polígonos regulares como el triángulo equilátero, los rombos, rectángulos y romboides).
Construir figuras si-
métricas respecto de un
eje, analizarlas y explicitar
conservan en figuras tales
y equiláteros, rombos, cua-
drados y rectángulos.
En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades de la simetría
axial sin utilizar la nomenclatura formal. En este grado se pretende que, dada
una figura, analicen las propiedades que se conservan al construir su simétri-
ca respecto de un eje (igualdad de lados y ángulos, paralelismo y perpendicu-
laridad). Por ejemplo:
Dada la figura ABCD y su simétrica A’B’C’D’ obsérvese que AD//BC como
A’D’//B’C’
¿Qué otros segmentos son paralelos en la figura original? ¿Se conserva esta misma relación en la figura
¿Qué se puede decir acerca de la medida de los ángulos de la figura original y su simétrica?
¿Cómo son las diagonales de la figura original? ¿Y de la simétrica?
Actividad complementaria: “Propiedades de la simetría axial”, en Geometría dinámica. emat, México, sep,
2000, pp. 58-59.
1.6. Identificar y resolver
situaciones de proporcio- nalidad directa del tipo “valor faltante” en diver- sos contextos, utilizando de manera flexible diver- sos procedimientos.
Aunque este tipo de problemas se plantea desde la primaria, se trata ahora de profundizar en el análisis de los procedimientos que se utilizan y de avanzar en la formulación de las propiedades de una relación de proporcionalidad. Además de los procedimientos que emplean los alumnos de manera espontá- nea, conviene empezar a destacar el factor de proporcionalidad constante, es decir, que hay un factor por el cual se puede multiplicar cualquier elemento del conjunto x, para obtener el correspondiente del conjunto y. Es convenien-
te que en este primer bloque los factores constantes sean enteros o fracciones unitarias. Un ejemplo de los problemas que se pueden plantear es:
• Si una vela de 25 cm de altura dura encendida 50 horas:
¿Cuánto tiempo duraría encendida otra vela del mismo grosor, de 12 cm de altura?
Si los alumnos tienen dificultades para resolver este problema, el maestro puede ayudarles planteando las siguientes preguntas:
¿Cuánto duraría una vela de 1 cm? ¿Cuánto duraría una vela de 10 cm? ¿Y una de 11 cm?
1.7. Elaborar y utilizar pro- cedimientos para resolver problemas de reparto pro- porcional.
Éste es otro tipo de problemas en el que se pone en juego el razonamiento proporcional, cuyo estudio se inicia en este grado, de manera que es impor- tante favorecer el uso de procedimientos informales y discutirlos, incluso si los alumnos tienen en cuenta otros criterios ajenos a la proporcionalidad, tales como la amistad, la edad, etc. Un ejemplo típico de estos problemas es el si- guiente:
• Tres amigos obtienen un premio de $1 000.00 en la lotería. ¿Cómo deben repartírselo según lo que gastó cada uno si uno de ellos puso $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00?
Una variante del problema anterior, donde deben hacerse algunos cálculos para obtener la información ne- cesaria, sería ésta:
• Supongan ahora que el premio es de $1 500.00; si uno de ellos aportó una séptima parte del costo del bi- llete y los otros dos amigos, el resto en partes iguales, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno, si repar- ten el premio proporcionalmente?
Se sugiere buscar ejemplos que consideren diversos contextos culturales.
1.8. Resolver problemas
de conteo utilizando di-
versos recursos, tales como
tablas, diagramas de árbol
y otros procedimientos per-
Representación de la información dIAgRAMAS y TABlAS
Los alumnos han utilizado tablas y diagramas de árbol en la primaria para resolver problemas de conteo. En este grado se trata de sistematizar estos re- cursos y encontrar regularidades que permitan acortar caminos para encon- trar soluciones. La dificultad de estos problemas tiene que ver, entre otras variables, con la cantidad y el tipo de elementos que se van a combinar. Algu- nos ejemplos sencillos son:
Andrea, Bety, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las cuatro amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.
Conviene plantear variantes de este problema para que los alumnos identifiquen regularidades en los pro- cedimientos de solución y logren hacer generalizaciones. Una variante podría ser: Si Caro es la amiga que llegó primero, determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado las otras tres.
En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extracción. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar? Una variante de este ejemplo es: ¿Cuántos números diferentes de dos cifras se pueden formar si la primera ficha que se extrae no se regresa a la caja?
1. Resuelvan problemas que implican efec- tuar sumas, restas, multiplicaciones y di- visiones con fracciones.
2. Resuelvan problemas que implican efec- tuar multiplicaciones con números deci- males.
3. Justifiquen el significado de fórmulas geométricas que se utilizan al calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadri- láteros y polígonos regulares.
4. Resuelvan problemas de proporcionali- dad directa del tipo valor faltante, con factor de proporcionalidad entero o frac- cionario y problemas de reparto propor- cional.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones
2.1. Resolver problemas
aditivos con números frac- cionarios y decimales en distintos contextos.
En este grado los alumnos consolidarán el uso de los algoritmos al resolver problemas, con base en la equivalencia de fracciones, a la vez que echarán mano de recursos suficientemente flexibles como el cálculo mental y la esti- mación. Por ejemplo, al resolver la operación:
15 es casi
40 es casi cero
En el cálculo estimativo con números decimales deberá distinguirse entre problemas en los que interesa considerar la parte decimal y otros en los que ésta puede no tenerse en cuenta, sin que ello afecte el resultado. Por ejemplo, si se estima el monto a pagar en la compra del supermercado, dejando de lado los centavos, puede haber una diferencia considerable con el resultado exacto, puesto que casi todos los precios incluyen 90 o 99 centavos. Al igual que con los números fraccionarios, los alumnos deben distinguir entre los problemas en los que es suficiente una estimación y los que exigen un resultado exacto. Se aprovechará el proceso de resolución de problemas para, en caso necesario, revisar las nociones de números fraccionarios, sus usos y significados en diversos contextos.
Los alumnos deberían saber que la suma es aproximadamente 1 2 , puesto que
20 es casi uno.
Vínculos. Música. Tema: ¿Con qué se hace música? Construir con sonidos. Se sugiere utilizar los valores de las notas musicales para interpretar y construir compases.
que impliquen la multipli- cación y división con nú- meros fraccionarios en dis- tintos contextos.
Éste es un contenido nuevo para los alumnos, puesto que no se incluye en los programas de primaria. Los problemas que llevan a efectuar multiplicaciones o divisiones se ubican en el contexto de la proporcionalidad. Por ello el estu- dio de estas operaciones se relaciona estrechamente con el eje Manejo de la in- formación. Para plantear un problema que implique multiplicar o dividir, pue-
de buscarse una relación proporcional entre dos magnitudes y decidir cuál de estos términos se va a calcular. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:
• Tres niños tienen 2 4 l de jugo de naranja cada uno. ¿Cuántos litros tienen en total?
• Una lancha recorre 38 2
km en 1 4 horas. ¿Qué distancia puede recorrer en una hora?
• En un examen aprobaron ¿cuántos lo aprobaron?
partes de los estudiantes que lo presentaron. Si lo presentaron 240 alumnos,
Los casos más complejos son aquellos donde ambos términos de la multiplicación o de la división son frac- ciones y es muy importante que los alumnos tengan la posibilidad de justificar los resultados con procedi- mientos distintos de los algoritmos, como en el siguiente caso:
partes de un terreno se usaron para construcción y el resto para jardín;
del jardín tiene pasto y el
resto otras plantas. ¿Qué parte del terreno completo tiene pasto?
Es importante que los alumnos vean la relación que existe entre la multiplicación y la división, tanto por la vía de los problemas como por medio de las operaciones. En el primer caso se puede ver que a partir de tres datos tales como:
1 kg de jamón cuesta $80; compré 2 2 kg de jamón; en total pagué $200.
Se pueden formular dos problemas de división y uno de multiplicación.
En el segundo caso conviene que los alumnos se den cuenta de que la división
equivale a la multi-
2.3. Resolver problemas que impliquen la multi- plicación de números de- cimales en distintos con- textos.
En la primaria, los alumnos utilizaron la multiplicación de números decima- les al resolver problemas de proporcionalidad directa, en particular mediante el uso del valor unitario. En ese contexto reflexionaron sobre el significado de esa operación y de su resultado. Ahora se trata de fortalecer esos significados y extenderlos a otros contextos. Para ello puede pedirse a los alumnos que elaboren una tabla que represente una situación de proporcionalidad directa. Por ejemplo, la siguiente:
• Una lancha recorre 7.20 metros por segundo. ¿Qué distancia recorrerá en 2 segundos? ¿Y en 1.9, 1.8, 1.7, …, 1.1 segundos? ¿Y en 0.9, 0.8, 0.7, …, 0.1 segundos? ¿Por qué unos productos son mayores y otros menores que 7.20?
Otros contextos en los que se usa la multiplicación de decimales y en los que conviene reflexionar sobre el significado de los factores y el producto se ejemplifican enseguida:
• El hierro pesa 0.88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos. ¿Cuánto pesa una pieza de hierro del mismo tamaño? ¿Por qué el resultado es menor que 7.20 gramos?
• Hallar el área de una tarjeta rectangular que mide 7.20 por 4.5 cm.
Forma, espacio y medida Formas geométricas RECTAS y áNgulOS
2.4. Utilizar las propieda- des de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geo- métricos.
Se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos de recta, semirrecta y segmento. En caso de haber confusión, es necesario que el maestro explique cuál es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje común en la clase. En relación con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, se sugiere que los alumnos, a partir del trazo, describan las características de cada una de estas figuras y elaboren definiciones. El maestro puede apoyarlos con preguntas y contraejemplos hasta que logren definiciones precisas. De es-
ta manera, los alumnos podrán utilizar la definición que mejor convenga se- gún el problema que se les presente y argumentar su uso según la situación. Ejemplos:
• Dibujar un segmento y su mediatriz. Construir un triángulo con dos de sus vértices en los extremos del segmento. El tercer vértice sobre la mediatriz. ¿Qué tipo de triángulo es?
• Dado un segmento y su mediatriz, dibujar un rombo.
• Dada una circunferencia, localizar su centro.
• Las diagonales de un cuadrilátero son los segmentos que unen dos vértices opuestos. En el cuadrado, las bisectrices y las diagonales coinciden. Dibujar otro cuadrilátero con esta propiedad.
Actividad complementaria: “Mediatriz de un segmento”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 38-39.
2.5. Construir polígonos regulares a partir de dis- tintas informaciones.
El desarrollo de esta habilidad no sólo es importante en sí misma, sino que ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades de las figuras. Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polígonos. Por ejemplo, haciendo un nudo con una tira de papel; con compás, regla y trans-
portador (a partir de la medida del ángulo central); con regla graduada y transportador (a partir de la medida de un ángulo interior); con regla y compás (se basa en el trazo de me- diatrices, bisectrices y perpendiculares); con escuadras graduadas. Se puede iniciar el estudio planteando las siguientes actividades:
• Construyan un hexágono regular, teniendo en cuenta que en esta figura el radio de la circunferencia que la circunscribe es igual a la medida de un lado. ¿Qué instrumentos de geometría se necesitan para hacer dicha construcción? Dividan el hexágono regular en triángulos congruentes que tengan un vértice común
(centro de la circunferencia circunscrita). ¿Qué tipo de triángulos se forman al subdividir el hexágono? Justifiquen la respuesta.
• Construyan un polígono regular de 3, 4, 6 y 8 lados con base en el ángulo central.
• Construyan un cuadrado inscrito en una circunferencia considerando su diámetro. ¿Cómo construyen un octágono a partir del cuadrado inscrito?
Actividad complementaria: “Construcción del paralelogramo”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 50-51. Vínculos: Español. Tema: Revisar reportes sobre observaciones de procesos, por ejemplo, observar y descri- bir los procesos que se siguen para construir polígonos regulares.
Justificar las fórmulas
Medida juSTIFICACIóN dE FóRMulAS
Si bien este tema se aborda desde primaria, en este grado es importante que los alumnos aprendan a reconstruir las fórmulas, si no las recuerdan, para lo cual es necesario que tengan diversas experiencias en la transformación de unas figuras en otras mediante el recorte y pegado o la unión de figuras, a sabiendas de que el área se conserva o se duplica. Por ejemplo, al unir dos
trapecios isósceles congruentes se forma un romboide cuya base es la suma de las dos bases del trapecio y la altura se mantiene. Esto explica por qué la fórmula es base mayor más base menor por altura entre dos.
Manejo de la información Análisis de la información RElACIONES dE PROPORCIONAlIdAd
2.7. Identificar y resolver
situaciones de proporcio- nalidad directa del tipo “valor faltante” en diver- sos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.
En este caso se trata de continuar el trabajo realizado en el bloque 1, pero vol- viendo aún más compleja la tarea mediante el uso de factores constantes de proporcionalidad fraccionarios. El desarrollo de esta habilidad va de la mano con la resolución de problemas que implican multiplicar o dividir números fraccionarios del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico. Conviene hacer notar la relación que existe entre la constante de proporcionalidad y el valor unitario. Por ejemplo: “ por cada uno” equivale a “por ” . A continuación se muestra un ejemplo de los problemas que se pueden plantear:
• Los lados de un triángulo miden respectivamente 5, 8 y 11 cm. Si en un triángulo hecho a escala de éste, el lado correspondiente a 5 cm mide 8 cm, ¿cuánto deben medir los otros dos lados?
En caso de que en el grupo no surja el uso del factor de proporcionalidad, que en este caso es 8 5 , por el cual se puede multiplicar las medidas originales para obtener las nuevas medidas, el profesor puede sugerir este procedimiento y solicitar a los alumnos que lo prueben con otros problemas similares.
2.8. Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de pro- porcionalidad en situacio- nes dadas.
El desarrollo de esta habilidad favorece la comprensión del factor constante fraccionario, que ahora se puede ver como la composición de dos operadores
enteros. Por ejemplo, “por
4 ” puede interpretarse como la composición de
“por 3, entre 4”, o bien, “entre 4, por 3”. Esta misma idea puede extenderse a dos o más factores fraccionarios o para la multiplicación por decimales: “por
100 ” y esto a su vez a “por 17, entre 100”. Para el desa-
rrollo de esta habilidad resultan adecuados los problemas de escala, en los cuales se pueden plantear diversos problemas, como los siguientes:
0.17” equivale a “por
• Una fotografía se reduce con una escala de y enseguida se reduce nuevamente con una escala de .
¿Cuál es la reducción total que sufre la fotografía original?
• Una fotografía se amplía con una escala de 3 a 1 y enseguida se reduce con una escala de efecto final en relación con la fotografía original?
. ¿Cuál es el
Puede vincularse este tema con los problemas de área del eje Forma, espacio y medida. Por ejemplo, si la foto- grafía original es un rectángulo de 216 cm 2 , ¿qué área tendrá la fotografía reducida?
Vínculos: Biología. Tema: La nutrición como proceso vital. La elaboración de dietas balanceadas es un buen contexto para diseñar problemas de proporcionalidad directa.
1. Resuelvan problemas que implican efec- tuar divisiones con números decimales.
2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax + b = c, donde a, b y c son números na- turales y/o decimales.
3. Resuelvan problemas que implican el cálcu- lo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base
× tasa.
4. Resuelvan problemas que implican el cálcu- lo de cualquiera de los términos de las fór- mulas para calcular el área de triángulos, romboides y trapecios. Asimismo, que ex- pliquen la relación que existe entre el perí- metro y el área de las figuras.
5. Interpreten y construyan gráficas de ba-
rras y circulares de frecuencias absolutas
y relativas.
6. Comparen la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios para to- mar decisiones.
Son dos los componentes fundamentales de esta habilidad: saber efectuar la operación que modela el problema e interpretar correctamente el resultado. El primer componente implica que los alumnos enfrenten una diversidad de casos en los que sea pertinente usar la propiedad de multiplicar el dividendo
y el divisor por el mismo número, a sabiendas de que el resultado no cambia. Esta propiedad se vincula con la equivalencia de fracciones y con la idea de proporción. El segundo componente se refiere al significado de los números decimales, que se ha trabajado amplia- mente en la primaria, pero vale la pena repasar porque muy probablemente muchos alumnos siguen pen- sando que, por ejemplo, 2.5 horas son dos horas con cinco minutos, cuando en realidad se trata de dos horas con treinta minutos. A diferencia de la división con números fraccionarios, en este caso hay muchos problemas cercanos al entorno de los alumnos que ellos mismos pueden plantear. Por ejemplo:
• Una cinta elástica puede alargarse hasta 3.3 veces su longitud original. Cuando está totalmente alargada alcanza una longitud de 13.86 metros. ¿Cuál es su longitud normal?
• Una canica pesa 0.026 kg. ¿Cuántas canicas tendrá una bolsa que pesa 1.222 kg? (suponemos que todas las canicas pesan lo mismo).
Significado y uso de las literales ECuACIONES
3.2. Resolver problemas
que impliquen el plantea- miento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizan- do las propiedades de la igualdad, con a, b y c nú- meros naturales o deci- males.
Las ecuaciones son una herramienta básica para la resolución de problemas cuando los procedimientos aritméticos resultan poco eficaces. En este grado el esfuerzo debe enfocarse a que los alumnos logren identificar el valor descono- cido del problema, lo representen con una literal, planteen la ecuación corres- pondiente, interpreten la ecuación como una expresión que sintetiza las rela- ciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema y, finalmente, que sean capaces de resolver la ecuación. Hay que tener en cuenta que los alumnos se enfrentan por primera vez a la necesidad de traducir el texto del problema al código algebraico y a la resolución de ecuaciones. Se sugiere en- tonces planear una sucesión de actividades que favorezca el uso de procedi-
mientos informales y poco a poco familiarice a los estudiantes con el uso de las propiedades de la igualdad. Un ejemplo interesante del tipo de problemas que se pueden plantear es el siguiente:
• Pienso en un número. Cuando lo multiplico por 7 y le resto 9, obtengo 5. ¿Cuál es el número?
• Pienso en un número. Cuando lo multiplico por 3 y le añado 14, obtengo 15.5. ¿Cuál es el número?
• Pienso en un número. Si lo divido entre 4 y le resto 10, obtengo 15. ¿Cuál es ese número?
La gran ventaja de este tipo de problemas es que se pueden simplificar o complejizar tanto como se quiera, de modo que los alumnos vean las ventajas de utilizar ecuaciones.
Actividad complementaria: “Ecuaciones (1)”, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, sep, 2000, pp. 61-62.
3.3. Construir triángulos y
cuadriláteros. Analizar las
condiciones de posibili-
dad y unicidad en las
Forma, espacio y medida Formas geométricas FIguRAS PlANAS
A diferencia de las construcciones geométricas que se realizan en primaria, con base en procedimientos específicos, en este grado se trata de anticipar, probar y justificar los datos que son necesarios y suficientes para llevar a cabo una construcción. Por ejemplo:
Dados dos segmentos que deben ser iguales a dos lados de un triángulo, ¿se pueden dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos triángulos distintos se pueden dibujar con base en esta información?
• Si en un grupo de 40 alumnos cada uno define tres segmentos para construir un triángulo, ¿cuántos trián- gulos distintos podrían construirse en el grupo?
• Dados dos segmentos que representan la base y la altura de un romboide, ¿se puede construir un romboi- de? ¿Cuántos romboides distintos se pueden construir con base en esta información?
• Dados tres segmentos tales que la suma de las longitudes de dos de ellos es igual a la longitud del tercer segmento, ¿es posible construir un triángulo?
Medida ESTIMAR, MEdIR y CAlCulAR
3.4. Resolver problemas que impliquen calcular el perí- metro y el área de triángu- los, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.
Además de resolver problemas en los que los alumnos tengan que utilizar las fórmulas para calcular perímetros y áreas de triángulos y cuadriláteros, es conveniente vincular este conocimiento con otros conceptos, por ejemplo, con las ecuaciones, como en estos ejemplos:
• Si el área de un triángulo es 27 cm 2 , y la altura 9 cm, ¿cuánto mide la base?
• Si uno de los lados de un rectángulo es 12 cm más largo que el otro y su perímetro mide 48 cm, ¿cuál es su área?
Con la variación se pueden establecer vínculos a partir de situaciones como las siguientes:
• Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectángulos cuya área es 24 cm 2 y calculen el perímetro de cada uno.
• Si uno de los vértices de un triángulo se desplaza sobre una recta paralela a la base, ¿qué sucede con el área de cada uno de los triángulos que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro? ¿Por qué creen que suceda esto?
• Si la base menor de un trapecio se desplaza sobre una recta paralela a la base mayor, ¿qué sucede con el área de cada uno de los trapecios que se forman? ¿Qué sucede con el perímetro?
Manejo de la información Análisis de la información
3.5. Resolver problemas
del tipo valor faltante uti- lizando procedimientos ex- pertos.
Los alumnos ya han resuelto una gran variedad de problemas del tipo valor faltante mediante procedimientos muy diversos. Conviene entonces hacer una especie de recapitulación para subrayar el uso de procedimientos exper- tos tales como: el valor unitario, la constante de proporcionalidad y la muy
nombrada regla de tres. En este último caso es importante que los alumnos conozcan al menos una explicación de dicha regla, que puede ser mediante la igualdad de cocientes en las situaciones de proporcionalidad directa.
3.6. Resolver problemas
que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expre- sión fraccionaria o deci- mal.
El desarrollo de esta habilidad tiene un antecedente muy importante en la primaria y un campo de trabajo privilegiado por su amplio uso social. De ma- nera que vale la pena utilizar situaciones de la vida real, tales como el cálculo del iva, el aumento de precios y salarios, las operaciones bancarias, etc., pa- ra profundizar en este tema. Los tipos de problemas que se pueden plan- tear son:
Aplicar el porcentaje a una cantidad:
• ¿Cuánto es el 12% (12/100) de 25?
Determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra:
• ¿Qué porcentaje es 12 de 25?
Determinar la base de un porcentaje (desglosar el iva):
• Si 575 es el total a pagar, incluido el 15% de iva, ¿cuál es la cantidad sin iva?
Es conveniente plantear problemas en los que el porcentaje es mayor que 100, como el siguiente:
• Un productor de piña vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se ven- de a $4.50 el kilogramo. ¿En qué porcentaje se incrementa el precio?
Se sugiere vincular el desarrollo de esta habilidad con el estudio de las ecuaciones de primer grado que se plantea en el segundo apartado del eje Sentido numérico y pensamiento algebraico, y con el último apartado que corresponde al subtema Diagramas y tablas de este mismo bloque.
Actividad complementaria: “Análisis de textos”, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, sep, 2000, pp. 142-143.
3.7. Interpretar y comuni- car información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y re- lativa.
El desarrollo de esta habilidad sirve, en primer lugar, para que los alumnos aprendan a distinguir entre la información que ofrece una frecuencia absoluta y una relativa. Por ejemplo, saber que siete alumnos de un grupo no saben dividir, puede ser mucho o poco en función del total de alumnos; pero si en vez de siete alumnos fuera el 7%, diríamos que es poco, independientemente del total.
En cuanto a la comunicación de información, es conveniente plantear pre- guntas que logren despertar el interés de los alumnos para realizar un estudio completo de la situación, desde la organización para recopilar los datos hasta el análisis y la presentación de resultados, de manera que las tablas o gráficas que se utilicen como medios de representación sean motivo de análisis por parte de los alumnos. Se sugiere vincular este tema con el estudio de porcentajes que se plantea en el primer apartado de este eje y bloque.
Vínculos: Geografía. Tema: Lectura, interpretación y representación de información en gráficas, cuadros, textos, estadísticas, fotografías, imágenes, mapas, planos y croquis.
3.8. Interpretar informa- ción representada en grá- ficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar infor- mación proveniente de es- tudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.
Al analizar la información que se presenta en gráficas circulares es convenien- te reflexionar en torno a la relación entre los porcentajes señalados y las frac- ciones de área del círculo que ocupan. Las situaciones que llevan a esta re- flexión de manera obligada son aquellas en las que las cantidades correspon- den a un todo (no son porcentajes) y se pide una representación circular. En tales casos es necesario calcular los porcentajes y traducirlos a ángulos, sabiendo que 360° corresponden al 100%, o bien, establecer directamente una relación proporcional entre las cantidades y los ángulos. En este caso al total le corresponden 360°. Es importante considerar que en un problema los “todos” pueden ser dis- tintos. Por ejemplo:
• En un grupo de 50 alumnos, 60% son mujeres y 40% son hombres. De estos últimos, 10% usan lentes. ¿Cuántos alumnos del grupo usan lentes?
En los porcentajes de mujeres y hombres el “todo” es el total de alumnos que hay en el grupo, mientras que en el porcentaje de alumnos que usan lentes el “todo” es el 40% del grupo.
Vínculos: Español. Tema: Interpretar la información en tablas, gráficas y diagramas. Geografía, unidad te- mática 3: Composición actual de la población en México y su comparación con las tendencias demográficas de otros países del mundo.
3.9. Enumerar los posibles
resultados de una expe-
riencia aleatoria.
Utilizar la escala de la
probabilidad entre 0 y 1 y
vincular diferentes formas
Establecer cuál de dos o
más eventos en una expe-
riencia aleatoria tiene ma-
yor probabilidad de ocurrir
y justificar la respuesta.
Análisis de la información NOCIONES dE PROBABIlIdAd
La determinación del espacio muestral en una situación de azar se relaciona estrechamente con los problemas de conteo. La dificultad que enfrentan los alumnos para enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria influye poderosamente en el cálculo de la probabilidad de un evento. Por esto se sugiere plantear problemas en los que se vincule el conteo con la probabili- dad. Por ejemplo:
• Si en un salón hay 10 mujeres y 20 hombres y en otro hay 15 mujeres y
hombres, ¿cuántas parejas distintas se pueden formar tomando una per-
sona de cada salón? (Problema de conteo)
• ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar, al azar, una persona de cada salón, se alternen un hombre y una mujer? (Problema de probabilidad)
Además, es conveniente realizar diversas actividades con el propósito de reflexionar y discutir sobre las ra- zones por las que se obtienen resultados diferentes al utilizar la probabilidad empírica o frecuencial y la probabilidad clásica o teórica. Con el fin de favorecer la reflexión sobre la escala de valores de la probabilidad y la comparación de pro- babilidades de dos o más eventos, conviene plantear preguntas como las siguientes: ¿Se podría dar el caso de que el número de eventos favorables sea mayor que el número de eventos posibles? ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? ¿Y el menor valor? ¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir? ¿Y qué significa que la probabilidad sea uno? Si un fenómeno tiene pro- babilidad uno de ocurrir, hablamos de azar? La recta numérica y el primer cuadrante del plano cartesiano son buenos recursos gráficos para reflexionar sobre las preguntas anteriores.
1. Identifiquen, interpreten y expresen, alge- braicamente o mediante tablas y gráficas, relaciones de proporcionalidad directa.
2. Resuelvan problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales.
3. Construyan círculos que cumplan con ciertas condiciones establecidas.
4. Justifiquen y usen las fórmulas para calcu- lar el perímetro o el área del círculo.
Con base en la información de la tabla, resuelve las siguientes situaciones:
• Indica las diferencias entre las temperaturas máximas y mínimas.
–7º
posición de otros números que se les proporcionen, digamos 1 y
nes de números opuestos y valor absoluto.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de los números NúMEROS CON SIgNO
La importancia de este tema radica en el hecho de conocer un nuevo tipo de números que permite resolver problemas para los cuales no hay solución en los números naturales y en la diversidad de contextos en los que se utilizan, tales como temperaturas, ganancias y pérdidas, plano cartesiano, etcétera. Un ejemplo de problema que se puede plantear es el siguiente:
• Ordena de menor a mayor las temperaturas máximas y las mínimas en cada ciudad.
Además de los enteros, otros números con signo que deberán utilizarse en este grado son las fracciones y los decimales. La recta numérica es un recurso útil para dar sentido a estos números, y deberá emplearse como apoyo en la elaboración y justificación de procedimientos para compararlos y ordenarlos. Los problemas que se planteen supondrán el conocimiento de las convenciones: la posición del cero, la unidad de medida y el
orden. Por ejemplo, se puede pedir a los alumnos que ubiquen en la recta numérica el –1 y
4 , a partir de la
2 . Se sugiere además introducir las nocio-
Significado y uso de las operaciones POTENCIACIóN y RAdICACIóN
4.2. Resolver problemas
que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente na- tural de números natura- les y decimales.
Los alumnos deben comprender que la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto constituye una aproximación. Se puede recurrir a contex- tos geométricos para discutir este hecho; por ejemplo, cabe preguntar cuál es la medida del lado de un cuadrado de 40 cm 2 de área. Algunos recursos de aproximación a la raíz cuadrada de números natura- les y decimales mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de procedimien- tos recursivos y de ensayo y error. Es conveniente que los alumnos comparen
las soluciones alcanzadas con los resultados que obtengan al emplear la calculadora. Se sugiere generalizar la idea de que la potenciación y la radicación son operaciones inversas, puesto que si un número se eleva a una potencia n y al resultado se le extrae la raíz n dicho número no se altera. Además de la realización directa de cálculos, se pueden proponer problemas como los siguientes:
• Comparen, sin realizar las operaciones correspondientes: 0.5 2 y 0.05 2 ; la raíz cuadrada de 0.09 y 0.0625
Actividad complementaria: “Raíz cuadrada y cúbica”, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, sep, 2000, pp. 59-60.
Significado y uso de las literales RElACIóN FuNCIONAl
4.3. Analizar en situacio- nes problemáticas la pre- sencia de cantidades rela- cionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión al- gebraica. En particular la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervie- nen en dicha relación.
En los bloques anteriores los alumnos han producido expresiones algebraicas al definir reglas de sucesiones numéricas o al expresar fórmulas geométricas. Ahora se trata de expresar algebraicamente una relación entre dos cantidades que varían. La proporcionalidad directa es un caso particular de las funciones lineales, que al representarse gráficamente en el plano cartesiano da como re- sultado una recta que pasa por el origen. Como en los casos anteriores, se sugiere que antes de que los alumnos re- presenten algebraicamente una relación, la identifiquen y la expresen verbal- mente; esto les ayudará a que la simbolización tenga significado. El uso de representaciones tabulares facilita descubrir las regularidades que se mani- fiestan entre las cantidades relacionadas. Por ejemplo:
• A una cisterna le quedan 50 litros de agua. Al abrir la llave de llenado, caen
10.5 litros por minuto. Elaboren una tabla que represente la relación entre el número de minutos y la cantidad de agua que hay en la cisterna. Si se representa con la letra x el nú- mero de minutos y con la letra y el de los litros, ¿qué expresión algebraica representa (modela) esta si- tuación?
Si los alumnos tienen la posibilidad, pueden utilizar la hoja electrónica de cálculo para resolver este proble- ma. El código utilizado en las fórmulas escritas en Excel es muy similar al algebraico, por lo que constituye un lenguaje intermedio entre éste y el natural. Se sugiere contrastar la situación anterior con la siguiente:
• Luis tiene cinco años y su hermana Patricia tiene dos más que él. Elaborar una tabla y una expresión al- gebraica que represente la relación entre ambas cantidades a partir del nacimiento de Luis.
Nótese que las dos situaciones anteriores pueden representarse mediante una expresión algebraica de la forma y = ax + b. Es importante que los alumnos contrasten y expresen las diferencias entre estas situaciones y las de proporcionalidad (y = kx) del eje Manejo de la información en este mismo bloque. También se pueden realizar actividades que impliquen la elaboración de tablas a partir de la expresión algebraica de una fun- ción lineal.
Actividad complementaria: “Variación lineal (1)”, en Hoja electrónica de cálculo. emat , México, sep, 2000, pp. 53-55.
4.4. Construir círculos a
partir de diferentes datos
o que cumplan condiciones
Usualmente un círculo se construye a partir de la medida del radio, pero es importante que los alumnos sepan determinar esta medida con base en otros datos y ubicar el centro del círculo para que éste cumpla con ciertas condicio- nes. Por ejemplo:
• Dados tres puntos no alineados, tracen la circunferencia que los contiene.
• Dada una cuerda, construyan el círculo al que ésta pertenece. ¿Es única la solución? ¿Cuántos círculos se pueden construir si se trata de la máxima cuerda?
Actividad complementaria: “Cuerdas”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 134-135.
4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferen- cia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.
Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este grado se profundice en el análisis sobre la relación entre la circunferencia y su diá- metro y que los alumnos se familiaricen con la diversidad de problemas que se pueden plantear. Por ejemplo:
• ¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del diáme- tro aumenta al doble? ¿Y si aumenta al triple? ¿Y si aumenta cuatro veces? ¿Qué conclusión se obtiene de este hecho?
• Determinen la relación entre las longitudes de los diámetros de dos círculos cuyas circunferencias miden 12 y 24 m, respectivamente.
Este tipo de problemas permite vincular la geometría con la proporcionalidad directa. La justificación del área del círculo puede hacerse gráficamente o mediante cálculos algebraicos derivados de la fórmula para calcular el área de polígonos regulares.
4.6. Resolver problemas que
impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.
Como ocurre con el estudio de las otras figuras, no sólo se trata de calcular el área y el perímetro, sino también, conocidos el perímetro y el área, se debe calcular la longitud del radio o del diámetro, así como resolver problemas
de cálculo de áreas sombreadas (corona circular); también se debe analizar la relación entre la longitud del radio y el área del círculo, como punto de contraste con la relación entre la lon- gitud del diámetro y la longitud de la circunferencia.
Actividad complementaria: “Relación entre la longitud de una circunferencia y el área del círculo”, en Geo- metría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 68-70.
Manejo de la información Representación de la información gRáFICAS
4.7. Explicar las caracterís-
ticas de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el pla- no cartesiano.
Los alumnos ya saben resolver diversas situaciones de proporcionalidad, han analizado sus propiedades y saben expresar algebraicamente dichas relaciones. Ahora se trata de vincular los conjuntos de valores y la expresión algebraica con la representación gráfica, principalmente para analizar las características de ésta y ver las posibilidades que brinda para calcular valores. Es conveniente
que antes de representar gráficamente una situación de proporcionalidad, se dedique tiempo para que los alumnos se familiaricen con la ubicación de puntos en el plano cartesiano. Para entrar en el desarrollo de esta habilidad se sugiere dar a los alumnos una gráfica ya construida, que represente, por ejemplo, la relación entre litros de gasolina y costo en pesos. Algunas de las preguntas que se pueden plantear en relación con dicha gráfica son: Si el precio de un litro de gasolina aumentara o disminu- yera, ¿de qué manera se reflejaría este hecho en la gráfica? Si se representa con la letra k el precio del litro de gasolina, ¿cuál es la expresión general que modela esta situación? ¿Cuál es la razón de que una recta que modela una situación de proporcionalidad siempre pasa por el origen?
1. Resuelvan problemas aditivos que impli- can el uso de números con signo.
3. Resuelvan problemas que implican una relación inversamente proporcional entre dos conjuntos de cantidades.
4. Resuelvan problemas que impliquen in- terpretar las medidas de tendencia cen- tral.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones PROBlEMAS AdITIVOS
5.1. Utilizar procedimien- tos informales y algorit- mos de adición y sustrac- ción de números con signo en diversas situaciones.
Aunque es posible abordar el estudio de los números enteros a partir de situa- ciones en las que éstos se utilizan, la comprensión de este campo numérico necesita algo más que situaciones concretas. Se han propuesto modelos arit- méticos, algebraicos y geométricos como vía de acceso a los enteros. En los aritméticos, los números negativos son el resultado de sustracciones en las
que el sustraendo es mayor que el minuendo; en los algebraicos, los números negativos aparecen como soluciones de ecuaciones imposibles de resolver con los naturales; en los geomé- tricos, los números negativos se abordan como magnitudes dirigidas en la recta numérica. En el último de estos modelos, la suma se puede interpretar como un avance (a partir del primer suman- do) de tantas unidades como indique el segundo sumando, a la derecha si es positivo, o a la izquierda si es negativo. Ejemplo:
• (+1) + (–3) = –2
Restar es siempre encontrar un sumando desconocido: a – b = x significa que b + x = a
• Así, (+2) – (–3) significa que (–3) + x = +2. Por tanto, en la recta numérica la solución de la resta (+2) – (–3) = +5 se representa como un avance de 5 unidades a la derecha para llegar de –3 a +2
Esta manera de interpretar la sustracción de números con signo es importante porque los alumnos la pueden derivar de la sustracción de números positivos. Sin embargo, como procedimiento podría resultar ineficaz en casos como (+2) – (–3); por ello, se sugiere introducir la sustracción como la operación inversa de la adi- ción, esto es, restar significa sumar el opuesto del sustraendo. Así, la expresión (+2) – (–3) significa sumar el opuesto de –3 al número +2 : (+2) – (–3) = (+2) + (+3) = +5 La idea de operaciones inversas se aplicará más adelante como parte de las técnicas de resolución de ecuaciones.
5.2. Analizar los vínculos
que existen entre varias
representaciones (gráficas,
tabulares y algebraicas),
que corresponden a la mis-
ma situación, e identificar
las que son de proporcio-
nalidad directa.
La posibilidad de representar una misma situación de diferentes maneras es una habilidad importante en todo el estudio de la matemática. Por ello, una vez que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas, me- diante la expresión algebraica y con la representación gráfica, hay que inte- grar estos tres aspectos, planteando problemas que permitan analizar las ca- racterísticas que los hacen comunes para una misma situación. Un ejemplo de estos problemas es el siguiente:
Las coordenadas de uno de los puntos de la gráfica de una relación de
proporcionalidad directa son (20, 50). ¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1? ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta gráfica?
¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con las representaciones anteriores?
a) Luis tiene 50 años de edad y su hija Diana, 20. ¿Qué edad tenía Luis cuando su hija tenía un año?
b) En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?
5.3. Resolver problemas
de áreas en diversas figu-
ras planas y establecer re-
laciones entre los elemen-
tos que se utilizan para
una de estas figuras.
Forma, espacio y medida Medida ESTIMAR, MEdIR y CAlCulAR
Puesto que éste es el último bloque de primer grado, se sugiere plantear pro- blemas que impliquen el uso de diversos conceptos geométricos y de medida. Para ello se pueden presentar problemas de cálculo del área en situaciones cotidianas, así como calcular el área sombreada de las siguientes figuras.
¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el punto M es el punto medio del lado del cuadrado?
¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo mide 1 metro?
Actividad complementaria: “Resolución de problemas de áreas de figuras conocidas”, en Geometría diná- mica. emat, México, sep, 2000, pp. 100-101.
5.4. Reconocer las condi- ciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.
5.5. Identificar y resolver situaciones de proporcio- nalidad inversa mediante diversos procedimientos.
Manejo de la información Análisis de la información NOCIONES dE PROBABIlIdAd
Este tipo de problemas es interesante porque los alumnos tienen la posibili- dad de anticipar una respuesta y, enseguida, buscar algún procedimiento que les permita verificarla. Las razones para establecer si un juego es equitativo o no pueden ser muy variadas y conviene considerarlas y discutirlas, con el fin de que los alumnos se animen a expresar sus ideas. Poco a poco, con la inter- vención de los propios compañeros o del maestro, tendrán en cuenta las res- tricciones que impone el texto del problema. Un ejemplo de las situaciones que se pueden plantear es el siguiente:
Carmen y Daniel juegan a lanzar dos dados. Las reglas son las siguientes: En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 o 2, Carmen gana una ficha. Si resulta 3, 4 o 5, Daniel gana una ficha. El juego se inicia con un total de 20 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador. El juego termina cuando no quedan más fichas. Si tuvieran que jugar, ¿qué jugador preferirían ser? ¿Por qué?
Se sugiere elaborar la gráfica de probabilidad de este juego para percibir las condiciones en las que se realiza y preguntar cómo deberían ser para que el juego fuera equitativo.
Para ejercer con éxito esta habilidad conviene que los alumnos comparen el comportamiento de las variables que son directamente proporcionales con las que son inversamente proporcionales. Es importante que descubran que mientras en un caso los cocientes son constantes, en el otro los productos son constantes. Un ejemplo de una relación de proporcionalidad inversa es el si- guiente:
Una persona da 420 pasos de 0.75 m cada uno para recorrer cierta distancia. ¿Cuántos pasos de 0.70 m cada uno necesitaría para recorrer la misma distancia?
Representación de la información MEdIdAS dE TENdENCIA CENTRAl y dE dISPERSIóN
5.6. Comparar el compor- tamiento de dos o más conjuntos de datos referi- dos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.
En la escuela primaria los alumnos estudiaron las medidas de tendencia cen- tral tomando como base conjuntos de datos numéricos. En este grado se pre- tende profundizar en la comprensión del significado de estas medidas, y no limitarse a su cálculo, para lo cual se puede iniciar el trabajo interpretando gráficas ya elaboradas. Este tratamiento implica reconocer, en un contexto gráfico, las medidas de tendencia central, por ejemplo:
• La precipitación pluvial media mensual en dos entidades se representa así:
A partir de la gráfica anterior se pueden contestar diversas preguntas, como las siguientes:
¿Cuál es el mes en que más llueve en ambos estados? ¿Cuál es el promedio de precipitación pluvial en cada estado? ¿En qué mes la precipitación pluvial fue igual en ambos estados? ¿Cuál de los dos estados es menos lluvioso?
1. Resuelvan problemas que implican efec- tuar sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones de números con signo.
2. Justifiquen la suma de los ángulos inter- nos de cualquier triángulo o cuadrilátero.
3. Resuelvan problemas de conteo mediante cálculos numéricos.
4. Resuelvan problemas de valor faltante considerando más de dos conjuntos de cantidades.
5. Interpreten y construyan polígonos de fre- cuencia.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones proBlemaS mulTiplicaTivoS
1.1. Resolver problemas que impliquen multiplica- ciones y divisiones de nú- meros con signo.
En el curso anterior se dio sentido a los números enteros, fraccionarios y deci- males, positivos y negativos, a través de la representación en la recta numéri- ca de diversas situaciones de comparación, adición y sustracción. Ahora se incorpora la multiplicación y división.
Aunque no existe un modelo que permita justificar la regla de los signos de la multiplicación, hay algunos que ayudan a darle sentido a dicha regla. Uno de ellos consiste en presen- tar series de multiplicaciones como la siguiente, en la que el producto disminuye en 5 cada vez, para llegar a productos de enteros positivos por negativos.
(+5) x (+3) = (+15) (+5) x (+2) = (+10) (+5) x (+1) = (+5) (+5) x (0) = 0 (+5) x (–1) = (–5) (+5) x (–2) = (–10) (+5) x (–3) = (–15)
Al cambiar el orden de los factores de la última multiplicación, puede generarse una serie más en la que el producto aumenta en 3 cada vez, para llegar al producto de dos enteros negativos.
(–3) x (+5) = (–15) (–3) x (+4) = (–12) (–3) x (+3) = (–9) (–3) x (+2) = (–6) (–3) x (+1) = (–3) (–3) x (0) = 0 (–3) x (–1) = (+3)
Puesto que no abundan los problemas reales que impliquen la multiplicación y división de números con signo (multiplicar o dividir temperaturas, elevaciones y depresiones no tiene sentido), se pueden plantear problemas numéricos que seguramente serán retos interesantes. Por ejemplo:
• Pensé un número. Al multiplicarlo por –7 y enseguida restar 49 obtengo cero. ¿De qué número se trata?
actividad complementaria: “Variación proporcional (3)”, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, sep, 2000, p. 58.
1.2. Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresio- nes algebraicas.
Los aspectos algorítmicos del álgebra no van separados del proceso de mode- lación. Esto es, se propone que los alumnos vayan aprendiendo a operar con expresiones algebraicas a medida que sean necesarias en la resolución de pro- blemas. De esa manera, la adición y sustracción de monomios y polinomios podría iniciarse con problemas como los siguientes:
• ¿La suma de tres números consecutivos es divisible entre 3?
• ¿La suma de cuatro números consecutivos es divisible entre 4?
• ¿La suma de cinco números consecutivos es divisible entre 5?
• En general, si n es un número natural, ¿en qué casos la suma de n números consecutivos es divisible entre n?
Siempre que se trabajen temas algebraicos es conveniente insistir en que los alumnos interpreten, simbolicen y manipulen las variables incluidas en los problemas. Así pues, en este caso los alumnos simbolizan un nú- mero natural cualquiera con una literal (por ejemplo, n) y sus consecutivos con n + 1, n + 2… Asimismo, operan la variable como número general para obtener, por ejemplo, n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3, e interpretan la expresión 3n + 3 como un número divisible entre 3.
1.3. Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geo- métricos.
Las identidades algebraicas son un concepto central del álgebra y constituyen la base para la transformación de expresiones algebraicas en la resolución de ecuaciones y en la simplificación de expresiones. El siguiente modelo geomé- trico permite establecer algunas identidades algebraicas sencillas.
1.4. Resolver problemas
que impliquen reconocer,
estimar y medir ángulos,
utilizando el grado como
En la escuela primaria los alumnos estudiaron el ángulo como giro y como elemento de las figuras geométricas. En este nivel de secundaria se pretende profundizar en este conocimiento al identificar ángulos como abertura entre dos planos en situaciones concretas. Asimismo, el desarrollo de este tema per- mite plantear situaciones en las que, mediante deducciones simples, se pueda
calcular la medida de un ángulo, por ejemplo, cuando dos rectas son cortadas por una. Es importante que los alumnos, además de manejar el transportador, sepan utilizar el compás para trazar ángulos. Respecto a las unidades de medida de tiempo, se pueden plantear diversos problemas que los lleven a usar las equivalencias entre horas, minutos y segundos. Por ejemplo:
A las 23 horas 45 minutos hemos terminado de ver, sin interrupción, una película cuya duración es una hora 45 minutos. ¿A qué hora hemos comenzado a verla?
1.5. Determinar mediante
construcciones las posicio- nes relativas de dos rectas en el plano y elaborar de- finiciones de rectas parale- las, perpendiculares y obli- cuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.
Para el desarrollo de estas habilidades es necesario que los alumnos se fami- liaricen con la nomenclatura de recta, semirrecta y ángulo, basándose en el análisis que hagan para responder a preguntas como:
• ¿Es igual la semirrecta ab que la semirrecta ba? Si el punto c pertenece a la semirrecta ab y se encuentra entre los puntos a y b, ¿también pertenece a la semirrecta ba?
Enseguida deberán analizar las diferentes posiciones relativas que pueden tener las rectas sobre el plano y lo que sucede cuando se combinan éstas, para retomar la definición de ángulo. Un problema interesante consiste en pedirles a los alumnos que busquen argumentos para justificar que los ángulos opues- tos por el vértice son iguales, sin recurrir a la medición. Asimismo, los alum-
nos deberán construir sus definiciones para diferentes tipos de ángulos, a partir de la descripción de sus atributos relevantes. Por ejemplo, es probable que definan ángulos adyacentes como “ángulos que comparten un lado y un vértice”, “ángulos que tienen un vértice común” o “ángulos que tienen un lado común”; por tanto, el maestro deberá pedir todas las posibles representaciones de dicha defi- nición, para ver si contiene los elementos suficientes que permitan considerarla matemáticamente correcta, y, en caso de que no sea así, deberá hacer uso de contraejemplos que ayuden a los alumnos a reconstruir sus propias definiciones.
vínculos: Español. Tema: Escribir la biografía (y la obra) de algún personaje, por ejemplo, Euclides. actividad complementaria: “Posiciones relativas de las rectas en el plano”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 102-103.
1.6. Establecer las relacio-
nes entre los ángulos que se forman entre dos rectas pa- ralelas cortadas por una transversal. Justificar las relaciones en- tre las medidas de los ángu- los interiores de los trián- gulos y paralelogramos.
Respecto a los ángulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una secante, no sólo se trata de que los alumnos memoricen los nombres, sino también de que establezcan relaciones de igualdad entre ellos y que busquen argumentos para justificarlas, sin recurrir a la medición. Con la finalidad de mostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, los alumnos pueden partir de un triángulo particular hecho en papel, recortar dos de las puntas del triángulo y colocarlas junto al ángulo que no se cortó. De esta manera podrán argumentar que los tres ángulos, al formar un ángulo de media vuelta suman 180°. Estas conclusiones, si bien se basan en un caso
particular y provienen de una prueba física, sirven como apoyo al establecer relaciones más formales; aunque no se planteen como una meta de la enseñanza en secundaria, tampoco se trata de limitar las posibilidades de los alumnos en la búsqueda de argumentos. Con base en la suma de los ángulos interiores de un triángulo, los alumnos pueden avanzar hacia la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero, dividiendo éste en dos triángulos. A partir de las relaciones de igualdad de ángulos encontrados, los alumnos argumentarán el porqué de la igualdad de los ángulos en triángulos y paralelogramos.
actividad complementaria: “Relaciones de los ángulos entre paralelas”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 104-105.
1.7. Determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.
Las reproducciones a escala son buenas oportunidades para desarrollar esta habilidad. Por ejemplo:
Dada una figura a y el factor de proporcionalidad ( 4 ) que permite obte- ner la figura a’, ¿qué factor permite obtener la figura a a partir de a’?
Este tipo de problemas permite reafirmar la equivalencia entre multiplicar por una fracción y dividir entre la
fracción recíproca.
Así: 6 x
= 6 ÷
4 . Dicho de manera general, m x b a es igual a m
1.8. Elaborar y utilizar procedimientos para re- solver problemas de pro- porcionalidad múltiple.
Hasta el momento, en las situaciones de proporcionalidad estudiadas, se ha analizado la relación entre dos conjuntos de valores. Sin embargo, hay situacio- nes cuya resolución implica relacionar tres o más conjuntos de cantidades. Por ejemplo, se sabe que el volumen de un prisma es proporcional a cada una de sus dimensiones, de manera que se pueden plantear preguntas como las si- guientes:
• ¿Qué pasa con el volumen del prisma si una de sus dimensiones se duplica? ¿Qué sucede con el volumen del prisma si una de sus dimensiones se duplica y otra se triplica? ¿Qué sucede con el volumen si las tres dimensiones se duplican?
Otro tipo de problemas es el siguiente:
• Se calcula que se necesitan 20 litros de agua diarios para cada 3 niños que van a una excursión. ¿Cuántos litros se necesitan si 120 niños salen durante 7 días?
actividad complementaria: “Variación proporcional (3)”, en Hoja electrónica de cálculo. emat. México, sep, 2000.
1.9. Anticipar resultados en problemas de conteo, con base en la identifi- cación de regularidades. Verificar los resultados mediante arreglos rectan- gulares, diagramas de ár- bol u otros recursos.
En este grado se continuará con el desarrollo del razonamiento combinatorio por medio de problemas de conteo, y se utilizarán diagramas de árbol y arre- glos rectangulares como recursos para organizar la información y averiguar el total de combinaciones posibles. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:
• En un edificio nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta con un lugar de estacionamiento. Se han habitado dos departamentos, única-
mente, el de Carmen y el de Daniel, quienes pueden colocar cada noche sus coches en el lugar que prefieran, si no está ocupado. ¿Cuáles son todas las formas en que pueden es- tacionarse? Represéntenlo en un diagrama de árbol.
Ha llegado un nuevo vecino, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionar los coches los tres vecinos? ¿Resultan más o menos maneras que en el caso anterior? ¿Qué ocurrirá cuando todos los departamentos estén ocupados, si todos los vecinos tienen coche? ¿Cuán- tas maneras diferentes habrá de estacionarse?
• Se sabe que dos puntos a y b determinan una sola línea recta. ¿Cuántas rectas quedan determinadas por tres puntos a, b y C, si no son colineales? ¿Y por cuatro puntos no colineales? ¿Y por n puntos no coli- neales?
Con base en la resolución de problemas como los anteriores, los alumnos podrán encontrar procedimientos sistemáticos de enumeración y finalmente enunciar algunas fórmulas de recuento sencillas.
1.10. Interpretar y comuni- car información mediante polígonos de frecuencia.
En general, se sugiere que cada vez que se aborde un tipo de gráfica se desta- quen las características que la distinguen de otras previamente estudiadas, en cuanto a sus convenciones de construcción y a las situaciones o fenómenos
que representan de manera más eficiente. Las gráficas y los diagramas facilitan una apreciación global de las características de un conjunto particu- lar de datos. Cuando se quiere comparar dos conjuntos de datos mediante gráficas, se recomienda represen- tar ambas en un mismo plano cartesiano. Por ejemplo, las siguientes gráficas representan las longitudes de salto obtenidas por dos grupos de estudiantes.
Grupo 2° A
Grupo 2° B
Con base en la información que proporcionan las gráficas se pueden plantear preguntas como las siguientes:
• ¿Cuál es la longitud de salto que más estudiantes lograron en el grupo A? ¿Y en el grupo B? ¿En cuál de los dos grupos se logró el mayor salto?
vínculos: Historia. Tema: 1.2.2. Diversidad cultural en España y América.
1. Evalúen, con calculadora o sin ella, expre- siones numéricas con paréntesis y expresio- nes algebraicas, dados los valores de las literales.
2. Resuelvan problemas que impliquen ope- rar o expresar resultados mediante expre- siones algebraicas.
3. Anticipen diferentes vistas de un cuerpo geométrico.
4. Resuelvan problemas en los que sea nece- sario calcular cualquiera de los térmi- nos de las fórmulas para obtener el volu- men de prismas y pirámides rectos. Establezcan relaciones de variación entre dichos términos.
5. Resuelvan problemas que implican com- parar o igualar dos o más razones.
6. Resuelvan problemas que implican calcu- lar e interpretar las medidas de tendencia central.
2.1. Utilizar la jerarquía de las operaciones, y los pa- réntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos.
Es importante que los alumnos de este grado se familiaricen con el uso de paréntesis en las operaciones, de manera que sepan establecer el orden correc- to para efectuar los cálculos. Hay que tener en cuenta que los paréntesis pue- den usarse en cálculos numéricos, en ecuaciones o al operar con expresiones
algebraicas. Para empezar a reflexionar sobre este aspecto se sugiere realizar un cálculo como 25 + 34 x 16, usando una calculadora que jerarquiza operaciones y otra que no; se pide a los alumnos que expliquen por qué se obtie- nen distintos resultados y qué tendría que hacerse para obtener 569 con la calculadora que no jerarquiza. Se sugiere también explorar formas alternativas de resolver ecuaciones sencillas con paréntesis. Por ejemplo:
2(x + 6) = 30 2x + 12 = 30 2x = 18 x = 9
2(x + 6) = 30 x + 6 = 15 x = 9
2.2. Resolver problemas multiplicativos que impli- quen el uso de expresiones algebraicas.
El estudio de la multiplicación y la división de monomios y polinomios po- dría iniciarse apoyándose en un modelo geométrico, al plantearse problemas como los siguientes:
• En la figura anterior, ¿cuál es el área de la región sombreada?
• ¿Cuál es el área de la región no sombreada?
• ¿Cuál es la medida del lado más largo de la parte no sombreada?
Por otra parte, un modelo geométrico como éste puede servir de apoyo para consolidar los algoritmos de la adición y sustracción, estudiados en el bloque anterior. Para ello pueden plantearse problemas como los si- guientes:
• ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada de la figura anterior?
• ¿Cuál es el perímetro de la región no sombreada?
• ¿Cuál es la diferencia entre estos dos perímetros?
2.3. Describir las caracte-
rísticas de cubos, prismas
y pirámides. Construir de-
sarrollos planos de cubos,
prismas y pirámides rec-
tos. Anticipar diferentes
vistas de un cuerpo geo-
Forma, espacio y medida Formas geométricas cuerpoS geoméTricoS
Una forma de abordar este aspecto es practicar un juego como el siguiente: un equipo de alumnos mantiene oculto un cuerpo geométrico mientras el resto del grupo trata de adivinar cuál es ese cuerpo. Para ello formulan preguntas que sólo pueda responderse con sí o no. Una vez que quienes preguntan tie- nen la información suficiente, realizan los desarrollos planos para construir el cuerpo y compararlo con el original. Luego verificar las diferentes vistas que puede tener un cuerpo, las cuales no se perciben directamente. Estas actividades ayudan a los alumnos a desa- rrollar la imaginación espacial. Por ejemplo:
Dibuja cómo se vería el siguiente cuerpo desde arriba, de frente y de ambos lados.
2.4. Justificar las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirá- mides rectos.
Con base en el trabajo que los alumnos realizan en los últimos grados de la primaria sobre los cuerpos geométricos, podrán justificar la fórmula del volu- men del cubo y luego la de cualquier prisma. Para obtener la fórmula del volumen de pirámides es conveniente que los alumnos comprueben, median-
te el trasvase de arena o algún otro material, que el volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del volumen de un prisma cuya base y altura son iguales que las de la pirámide.
vínculos: Español. Tema: Distinguir entre una argumentación basada en datos o hechos y una basada en opiniones personales. Comparar la calidad de los datos utilizados en las diferentes argumentaciones.
2.5. Estimar y calcular el volumen de cubos, pris- mas y pirámides rectos. Calcular datos desconoci- dos, dados otros relacio- nados con las fórmulas del cálculo de volumen. Establecer relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pi- rámides. Realizar conversiones de medidas de volumen y de capacidad y analizar la relación entre ellas.
El desarrollo de esta habilidad no sólo implica el uso de las fórmulas de volu- men de cubos, prismas y pirámides rectos en la resolución de problemas, sino también el manejo algebraico de las literales, al calcular otros datos diferentes del volumen. Por ejemplo:
• Se quiere hacer un cubo cuyo volumen sea 2 197 cm 3 , uniendo 6 caras cua- dradas. ¿Cuánto debe medir un lado de una cara?
Se pretende que los alumnos resuelvan problemas de variación funcional en contextos geométricos y argumenten sus respuestas. Por ejemplo:
• ¿Cuáles son las condiciones que se deben cumplir para que dos pirámides o dos prismas de igual volumen sean iguales?
• ¿Una pirámide y un prisma con la misma base pueden tener igual volu- men? ¿Por qué?
• ¿Cómo varía el área de la base de un prisma en relación con su altura si el
volumen es constante?
• ¿Cómo varía el volumen de una pirámide en relación con su altura si el área de la base no cambia?
Un antecedente de estos problemas está en el bloque 1, donde se abordaron problemas de proporcionalidad múltiple.
2.6. Resolver problemas
de comparación de razo-
nes, con base en la noción
Un aspecto fundamental es entender que la relación entre dos cantidades pue- de expresarse mediante una fracción (razón), que tiene un significado y es comparable con otras razones. Por ejemplo, la mezcla de 2 litros de anticonge-
(cantidad de anticon-
gelante por cada litro de agua) o con la razón (cantidad de agua por cada
lante con 3 litros de agua se representa con la razón 2
litro de anticongelante). A través de la expresión de razones y su comparación se pueden plantear y resolver diversos problemas, como los siguientes:
• Una mezcla contiene 2 2 litros de anticongelante y 3 2 litros de agua. Otra mezcla contiene 3 4 litros de anticongelante y 4 4 de agua. ¿Cuál de las dos mezclas está más concentrada de anticongelante?
• En una secundaria, 3 de cada 4 alumnos hablan un idioma distinto del español, en primer grado; 4 de cada 5 en segundo y 5 de cada 6 en tercero. ¿En cuál de los tres grados la proporción de hablantes de un idioma distinto al español es mayor?
2.7. Interpretar y calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados, conside- rando de manera especial las propiedades de la me- dia aritmética.
El estudio de este tema requiere plantear situaciones o problemas en los que los alumnos tengan que analizar la información que cada medida estadística proporciona. En especial el estudio se centra en la media, pero es necesario utilizar las otras medidas de tendencia central para comparar sus propieda- des y completar el análisis. Algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear son:
• De acuerdo con el tabulador de puestos de una compañía, los salarios que obtienen los trabajadores son los que se muestran a continuación:
$16 400, $16 000, $12 000, $31 000, $14 600, $15 000, $13 000, $16 200, $12 500, $15 900
¿Cuál es el salario promedio? ¿Consideras que el salario promedio es representativo de lo que gana un trabajador en esa compañía? Justifica tu respuesta.
• Se realizó un estudio para tener información sobre la edad de los compradores de discos, los datos se presentan en la siguiente gráfica:
¿Cuál es la edad promedio de los compradores de discos? ¿Qué dato estadístico (media, mediana, moda) representa el grupo de edad de 15-25 años en la gráfica?
En este ejemplo debe tenerse en cuenta que los datos están agrupados en intervalos de edades, lo cual impli- ca que para calcular la media de las edades debe obtenerse la marca de clase de cada intervalo (que es el punto medio del intervalo correspondiente) y la frecuencia del intervalo (porcentaje de ventas).
1. Elaboren sucesiones de números con sig- no a partir de una regla dada.
2. Resuelvan problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d; donde los coeficientes son números ente- ros o fraccionarios, positivos o negativos.
3. Expresen mediante una función lineal la relación de dependencia entre dos conjun- tos de cantidades.
4. Establezcan y justifiquen la suma de los ángulos internos de cualquier polígono.
5. Argumenten las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano.
6. Identifiquen los efectos de los parámetros m y b de la función y = mx + b, en la gráfica que corresponde.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales paTroneS y FórmulaS
3.1. Construir sucesiones
de números con signo a partir de una regla dada. Obtener la regla que gene- ra una sucesión de núme- ros con signo.
Para el desarrollo de esta habilidad es importante alentar a los alumnos a buscar regularidades, a formularlas y a producir argumentos para validarlas. No se trata de que el maestro enseñe las fórmulas o reglas para que los alum- nos las apliquen, sino de que éstos tengan la oportunidad de ensayar, corregir y validar sus propuestas. A continuación se enuncian algunos ejemplos de problemas que se pueden plantear:
• La regla de una sucesión de números con signo es n – 3. ¿Cuáles son los
primeros diez números con signo de la sucesión? (Debe recordarse que en los problemas de sucesiones, n representa la posición de un número cualquiera en la sucesión)
• Obtener la regla que genera la sucesión –2.5, –1.5, –0.5, +0.5, +1.5
que impliquen el plantea- miento y la resolución de ecuaciones de primer gra- do de la forma: ax + bx + c = dx +ex + f y con parénte- sis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes en- teros o fraccionarios, posi- tivos o negativos.
Una vez que los alumnos encuentran sentido a las ecuaciones, porque con esta herramienta pueden solucionar una gran variedad de problemas, es impor- tante que consoliden la técnica para resolverlas. Conviene que al principio los alumnos se apoyen en las propiedades de la igualdad. Posteriormente podrán usar la transposición de términos, con objeto de hacer más eficiente la resolu- ción de ecuaciones. Se sugiere utilizar el modelo de la balanza como un apoyo concreto para dar sentido a las propiedades de la igualdad, teniendo cuidado de planear la selección de ejemplos de ecuaciones que se pueden modelar con ese recurso, con objeto de evitar aquellos en los que resulta inadecuado, por ejemplo, en los que intervienen números negativos o el valor de la incógnita es negativo, como en 2n + 5= –1
Por otra parte, se sugiere resaltar el papel que desempeñan las ecuaciones como modelos para resolver situaciones problemáticas. En este sentido, un ejercicio útil consiste en pe- dir a los alumnos que propongan ejemplos de situaciones que puedan modelarse con una ecuación como:
2(x – 5) = 18
3.3. Reconocer en situacio- nes problemáticas asocia- das a fenómenos de la físi- ca, la biología, la economía y otras disciplinas, la pre- sencia de cantidades que varían una en función de la otra y representar esta rela- ción mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
Es importante que los alumnos aprendan a reconocer diversas situaciones en las que esté presente la dependencia entre variables y la variación conjunta; es decir, que el cambio en una de ellas implica un cambio en la otra. Estas situa- ciones pueden representarse en tablas o por medio de gráficas y la relación puede expresarse algebraicamente. La habilidad para trabajar con la variación implica la posibilidad de determinar intervalos en los que las variables tomen ciertos valores, o donde la función es creciente o decreciente, positiva o nega- tiva, u otras propiedades de la relación. Un ejemplo del tipo de problemas que se pueden plantear es el siguiente:
• Al rentar un departamento, René debe pagar una fianza de $2 000.00 y
$1 500.00 mensuales de renta. Elaboren una tabla que describa el gasto en vivienda que hace René a lo largo de los meses. Si y representa el gasto total que hace René y x el tiempo en meses, ¿qué expresión algebraica describe esta situación? ¿Qué significa cada uno de los términos de la expresión y = 2 000 + 1 500x en términos de esta situación? Cuando el valor de x pasa de 2 a 3, ¿qué valores toma y? ¿Qué significa esto en términos de la situación?
vínculos: Física. Tema: 1.1.3. Movimiento rectilíneo.
Forma, espacio y medida Formas geométricas
3.4. Establecer una fórmu- la que permita calcular la suma de los ángulos inte- riores de cualquier polí- gono.
El desarrollo de esta habilidad se vincula con la búsqueda de regularidades, su formulación y expresión algebraica. Para apoyar a los alumnos se puede plantear una actividad como la siguiente:
• Dibujen un polígono convexo cualquiera y desde un vértice tracen todas
las diagonales, de tal manera que el polígono quede dividido en triángulos. Marquen los ángulos interiores de los triángulos y expliquen por qué di- chos ángulos forman los ángulos interiores del polígono. Repitan el procedimiento para polígonos con otro número de lados hasta que tengan suficientes datos para obtener conclusiones. Enseguida completen un cuadro como el siguiente:
Núm. de triángulos en los que se subdividió
A partir de los datos del cuadro es posible que los alumnos formulen la regularidad y la expresen simbólica- mente:
(n – 2) • 180°
En esta fórmula, que permite obtener la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono, n representa el número de lados. Un antecedente de este comentario es el sexto apartado del bloque 1 de este mismo grado.
actividad complementaria: “Suma de los ángulos interiores de un triángulo”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 46-47.
3.5. Conocer las caracterís- ticas de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano.
Aquí lo interesante es que los alumnos utilicen los conocimientos que tienen sobre las propiedades de las figuras para que desarrollen la habilidad de ar- gumentar. También los alumnos pueden dibujar figuras regulares e irregula- res que permitan cubrir el plano y explicar qué aspectos tuvieron en cuenta. Asimismo, se les puede solicitar que busquen la combinación de dos o más polígonos que les permitan hacer diseños de teselación del plano, con la fina-
lidad de que también desarrollen su sensibilidad ante las cualidades estéticas y funcionales de los diseños geométricos y acrecienten su curiosidad e interés por investigar sobre formas, con- figuraciones y relaciones geométricas de su entorno.
actividad complementaria: “Recubrimiento del plano con polígonos regulares”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 106-109.
3.6. Construir, interpretar y utilizar gráficas de rela- ciones lineales asociadas a diversos fenómenos.
A partir del estudio que los alumnos han venido realizando con la función li- neal, tanto en el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico como en éste, es posible orientar el trabajo hacia la representación gráfica de diversos fenóme- nos, para tener una idea más clara de ellos y obtener información adicional. Por ejemplo:
• Se sabe que una temperatura de 0°C equivale a 32°F y 0°F equivale aproximadamente a –18°C. ¿Cuál es la temperatura en grados farenheit cuando el termómetro marca 35°C? ¿Cuál es la gráfica que modela esta situación? ¿Qué información adicional se puede obtener de la gráfica?
• En la ciudad de México existe un reglamento que penaliza el hecho de manejar con cierto grado de alco- hol en la sangre. Se sabe que la eliminación de alcohol en la sangre depende del tiempo transcurrido.
Esta variación en la cantidad de alcohol en la sangre conforme transcurre el tiempo puede modelarse me- diante una función lineal. El siguiente cuadro muestra algunos datos de esta variación cuando una persona ha ingerido 5 cervezas con alimento.
grados/litro de alcohol
Si la ley dice que es un delito manejar con 0.75 grados/litro de alcohol en la sangre, ¿cuánto tiempo tendrá que esperar esa persona para poder manejar?
Dos características de las gráficas lineales de la forma y = mx + b que se analizan en este apartado son las siguientes:
a) El punto de intersección de la recta con el eje y determina el valor de b en la expresión algebraica.
b) Al determinar dos valores cualesquiera de x se puede saber qué pasa con los valores de y, si crecen, decre- cen o se mantienen constantes.
actividad complementaria: “Lineales que caen”, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, 2000, sep, pp. 84-86. vínculos: Física. Tema: 1.1.3. Movimiento rectilíneo.
3.7. Anticipar el comporta- miento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.
Se sugiere que los estudiantes elaboren tablas de valores y gráficas de funciones lineales como las siguientes:
y = 2x + 1, y = 2x – 1, y = 2x + 3,
y = 2x – 4, y = 2x +
La intención es que los alumnos relacionen la inclinación y posición de las rectas que se obtienen al variar el valor de b y mantener constante la pendien-
te, que en los ejemplos anteriores es 2. La calculadora graficadora es un recurso que permite apreciar con mucha claridad y de manera ágil cómo cambian las rectas cuando se modifica uno de los parámetros mientras el otro permanece constante.
actividad complementaria: “Analizando gráficas de rectas”, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, sep, 2000, p. 123.
3.8. Analizar el comporta- miento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando cambia el valor de m, mientras el valor de b permanece constante.
Se recomienda que los estudiantes exploren, al tabular y graficar diferentes expresiones algebraicas lineales, el comportamiento del parámetro m en fun- ciones como:
y = –x + 2, y = x + 2, y = 2x + 2, y = –3x + 2, y =
Ahora el énfasis está en reconocer la relación entre los diversos valores de m y la inclinación de las rectas correspondientes. La calculadora graficadora fa-
cilita el logro de este fin. Con las habilidades y conocimientos relacionados con la función lineal de este curso, se espera que los estudiantes puedan manipular de manera más eficiente sus diferentes representaciones (algebraica, tabular y gráfica), desde la perspectiva del conocimiento matemático y de la modelación de diversos fenómenos o situaciones que representan.
actividad complementaria: “Analizando gráficas de rectas”, en Hoja electrónica de cálculo. emat, México, sep, 2000, pp. 123.
1. Resuelvan problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la nota- ción científica.
2. Resuelvan problemas geométricos que implican el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectri- ces en triángulos.
3. Interpreten y relacionen la información proporcionada por dos o más gráficas de línea que representan diferentes caracte- rísticas de un fenómeno o situación.
4. Resuelvan problemas que implican calcu- lar la probabilidad de dos eventos inde- pendientes.
5. Relacionen adecuadamente el desarrollo de un fenómeno con su representación gráfica formada por segmentos de recta.
Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones poTenciación y radicación
4.1. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias en- teras positivas de la mis- ma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número na- tural a una potencia de ex- ponente negativo. Utilizar la notación cientí- fica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
La comprensión del significado de estas operaciones y la habilidad para reali- zar cálculos con ellas es importante por los vínculos que se pueden establecer con otros temas, como la multiplicación, el teorema de Pitágoras o las ecuacio- nes de segundo grado. Tanto para el estudio de potencias de una misma base, como para la potencia de una potencia, pueden plantearse cálculos con núme- ros pequeños que los alumnos puedan resolver mentalmente y en los cuales puedan observar regularidades. Por ejemplo:
2 1 × 2 5 = 2 × 32 = 64 = 2 6
2 × 2 3 = 4 × 8 = 32 = 2 5
4 × 2 5 = 16 × 32 = 512 = 2 9
De este modo se podría hacer la siguiente generalización:
2 m × 2 n = 2 m + n para llegar a establecer que: a m × a n = a m + n
De manera similar se puede abordar el cociente de potencias de la misma base y llegar al exponente negativo. Una forma de hacerlo es la siguiente: Genera- lizar la regla para simplificar expresiones de la forma , a partir de casos
Luego, utilizar el significado de los exponentes para simplificar
Finalmente, utilizar la regla anterior para simplificar
e interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
Con frecuencia, la cancelación de factores en expresiones fraccionarias da lugar a que los alumnos come-
tan errores como el siguiente:
Probablemente este error tenga su origen en un uso indebido del lenguaje. Usar expresiones como “este factor se va con éste” puede inducir a que los alumnos piensen que todos los factores del numerador se anu- lan, por lo que queda 0.
En cambio, generalmente no tienen dificultades cuando se utiliza otro procedimiento para simplificar la
misma expresión. Por ejemplo:
Las razones por las que se cometen errores son complejas. Solamente la participación de los estudiantes en el análisis del error les permitirá comprender por qué no suceden las cosas como ellos piensan.
4.2. Determinar los crite- rios de congruencia de triángulos a partir de cons- trucciones con informa- ción determinada.
4.3. Explorar las propieda- des de las alturas, media- nas, mediatrices y bisectri- ces en un triángulo.
Las construcciones a partir de ciertos datos permiten averiguar si éstos son suficientes y si hay más de una solución correcta. Los alumnos pueden enun-
ciar los criterios de congruencia de triángulos con base en las construcciones
la discusión acerca de la unicidad. Por ejemplo, si se dan dos segmentos que
deben ser iguales a dos lados del triángulo es posible plantear diversas pre-
guntas y situaciones, entre ellas: ¿Se pueden dibujar dos triángulos distintos? ¿Cuántos triángulos distintos puede haber? Lo mismo cabe preguntar para tres segmentos que deben ser iguales a los tres lados del triángulo; para dos segmentos y un ángulo, que deben ser iguales a dos lados y el ángulo comprendido entre ellos; para un segmento y dos ángulos, que deben ser iguales a un lado y a los dos ángulos adyacentes; para dos ángulos, que deben ser iguales a dos de los ángulos del triángulo; para tres ángulos, que deben ser iguales a los ángu- los del triángulo. En cada caso, para responder a las preguntas planteadas, se necesita conocer propiedades como la suma de los ángulos interiores de un triángulo y saber trasladar los ángulos con compás y medirlos con transportador.
actividad complementaria: “Figuras directa o inversamente congruentes”, en Geometría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 124-125.
El maestro podría presentar a los alumnos diferentes definiciones de las líneas del triángulo y pedir que las analicen con el fin de establecer su utilidad, o
bien, si la definición que se da es satisfactoria. De igual modo, se puede pedir
los alumnos que tracen las medianas de diferentes triángulos y que hagan
pasar un hilo por el punto donde se cortan las tres líneas, para comprobar que ése es el punto de equilibrio (baricentro) del triángulo. Otra opción es presen- tar diferentes afirmaciones y que los alumnos determinen si son verdaderas o falsas y que argumenten para justificar su respuesta. Por ejemplo: cualquiera de las alturas del triángulo siempre es menor que uno de sus lados; la altura de un triángulo es menor que la mediana que corresponde al mismo lado; cuando la mediana correspondiente a un lado de un triángulo es también mediatriz de éste, el triángulo es isósceles.
actividad complementaria: “Bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera”, en Geome- tría dinámica. emat, México, sep, 2000, pp. 82-83.

References: resolución 
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