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ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA EL TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA III: LÍNEAS (1D), POLÍGONOS Y OTRAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS (2D) 1 .
Badillo, Edelmira y Edo, Mequè.
3. Objetivos generales del taller
4. Contenidos matemáticos desarrollados
5. Desarrollo de actividades 5.1.Material para maestros (as) 5.2.Material para alumnos (as)
Desde hace unos años estamos introduciendo una manera innovadora de ver la geometría en la escuela aprovechando la riqueza y la complejidad que nos proporciona el arte (Badillo y Edo, 2004 a, b). A continuación les presentamos un entorno de aprendizaje y enseñanza para los conceptos de líneas, tipos de líneas y polígonos en el ciclo superior de primaria a partir del estudio de una selección de cuadros y esculturas de los autores Paul Klee, Wassily Kandinsky y Alexander Calder, que nos ha permitido trabajar con igualdad de importancia los aspectos artísticos y los matemáticos asociados a estas obras de arte.
Como ya resaltamos en el taller de arte y geometría I: ángulos (Badillo y Edo, 2004 a, b) y en el taller de arte y geometría II: Triángulos (Badillo y Edo, 2006, 2007 a, b), nuestra propuesta tiene su origen en la línea de trabajo desarrollada en los últimos años por Edo y otros, centradas en el diseño y aplicación de situaciones didácticas en las que se relacionan arte y matemática en Educación Infantil y el Ciclo Inicial de primaria (Edo, 1999, 2000, 2003).
Proponemos una metodología en la que conjuntamente maestros y alumnos se involucran en un proceso de reflexión sobre la funcionalidad de los conceptos geométricos para interpretar y crear “producciones artísticas”. Resaltamos al mismo tiempo emociones, sentimientos y valores en el estudio y creación de una composición artística, sin dejar de lado el desarrollo de competencias matemáticas como: (1) el papel de la definición y la demostración matemática, (2) la importancia del uso del lenguaje matemático en el aula, (3) el uso de diferentes representaciones de los conceptos matemáticos, etc. Todo esto desde una visión constructivista de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, en la que maestros y alumnos construyen conceptos matemáticos, alternando procedimientos intuitivos, geométricos y algebraicos, que
1 Estos orientaciones didácticas que a continuación reproducimos están relacionados con las experiencias «Taller de Arte y Geometría en el ciclo superior de Primaria: Ángulos» y «Taller de Arte y Geometría en el ciclo superior de Primaria: Triángulos (1ª y 2ª part3)» de esta obra.
contribuyen a desarrollar un pensamiento geométrico en alumnos de primaria, con el propósito de justificar, interpretar y explorar elementos artísticos y espaciales de su entorno inmediato (Badillo y Edo, 2004 a, b; Torres y Juanola, 1998 a, b).
Desde este referente en el que se sugiere el diseño de actividades didácticas que integren la geometría y el arte en educación infantil y primeros cursos iniciales de primaria, hemos propuesto el desarrollo de una unidad didáctica en la que se da un tratamiento integrado y coordinado entre la geometría y el arte, como un espacio de reflexión que nos permite trasladar al aula de geometría una visión dual de la matemática. Es decir que ayude a los niños a integrar y trasladar la visión que tienen de los conocimientos matemáticos como un sistema formal abstracto de auto contenido hacia entenderlos como un instrumento que permite la resolución de problemas prácticos en contextos reales (Onrubia y otros, 1999).
Todo lo anterior implica la adopción de diferentes estrategias de enseñanza y de diferentes tipos de evaluación, en la que la responsabilidad del proceso de regulación de la construcción del conocimiento sea compartida entre alumnos y maestros. Por tanto, se tendrá en consideración: la auto-evaluación, la hetero-evaluación y la co-evaluación como parte integral de la formación de los alumnos (Badillo, 2003a).
La propuesta didáctica que queremos compartir con ustedes se implementó en el aula durante el curso académico 2007-08 en las clases de 5º y 6º de primaria de la Escuela Salesiana Mare de Déu de la Mercè de Badalona de dos líneas. El taller de Arte y Geometría que se desarrolló durante el primer y segundo trimestre del curso 2007/08 dedicando una hora de clase semanal forma parte del proyecto sobre “Geometría y medida” que estamos liderando en nuestra escuela en el marco de una de las asignaturas complementarias que ofrecemos. Aprovechamos este espacio para agradecer a los alumnos que formaron parte de esta experiencia por su actitud y compromiso a lo largo del taller y a todas las tutoras y las profesoras de plástica de la escuela que colaboraron durante todo el desarrollo del taller haciendo un seguimiento de las producciones artísticas de los alumnos desde la asignatura de plástica.
Creemos conveniente resaltar que la escuela tiene una gran diversidad multicultural y étnica en el alumnado. Aproximadamente, el 10% del alumnado son inmigrantes (mayoría chinos, magrebís, Europa del este y sudamericanos), con una gran movilidad y deserción escolar. El nivel socio-económico de las familias de la escuela es muy bajo y una gran parte de ellas son familias desestructuradas. Igualmente, nos encontramos en las diferentes aulas con casos de niños con necesidades educativas especiales (ACI). Por tanto, hemos de resaltar la diversidad social y cultural como una riqueza añadida al contexto de la experiencia, sin dejar de lado la complejidad en la gestión del aula que esta pluralidad implica y, la validez y viabilidad que dan los resultados de esta innovación para reproducirlos en las diferentes aulas de nuestro entorno (Badillo y Edo,
2. Planteamiento teórico:
Los planteamientos teóricos que sustenten este taller se basan en una visión constructivista del aprendizaje y la enseñanza en el que la actividad matemática que se genera en el aula tiene en cuenta diferentes criterios que han sido señalados de forma
recurrente por la investigación psicoeducativa reciente en el ámbito de la educación matemática (Onrubia et al., 2001; Badillo y Edo, 2004a), tales como:
• Contextualizar el aprendizaje de las matemáticas en actividades auténticas y significativas para los alumnos.
• Activar y utilizar, como punto de partida, el conocimiento matemático previo, formal e informal, de los alumnos.
• Orientar el aprendizaje de los alumnos hacia la comprensión y la resolución de problemas, teniendo en cuenta variedad de sistemas de representación y traducción entre sistemas de representación: gráficos, tablas, ecuaciones, descripciones verbales, etc.
• Vincular el lenguaje formal matemático con su significado referencial o su uso en la cotidianidad. • Avanzar de manera progresiva hacia niveles más altos de abstracción y generalización: construcción del conocimiento mediante un proceso de abstracciones reflexivas que empiecen en acciones; éstas se interioricen en procesos; finalmente estos procesos se encapsulan en objetos (Teoría APOE, Dubinsky et al., 1997; Badillo, 2003b)
• Promover sistemáticamente la enseñanza en la interacción y la cooperación entre alumnos. Por tanto, resaltamos la importancia del trabajo cooperativo.
• Ofrecer a los alumnos las oportunidades suficientes de “hablar de matemáticas” en el aula.
• Atender los aspectos afectivos y motivacionales implicados en el aprendizaje y dominio de las matemáticas. (Onrubia et al., 2001; pp. 498)
Las actividades y contenidos que desarrollaremos a continuación fueron diseñadas a partir de los aspectos anteriormente enunciados: (1) la naturaleza dual de la matemática (relación del pensamiento intuitivo geométrico y el pensamiento formal matemático), (2) el uso de representaciones, (3) la importancia de la definición matemática y la demostración matemática y del uso del lenguaje matemático y, (4) la autorregulación de los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Igualmente, en relación con el proceso de descripción y análisis de una producción plástica, realizada por los mismos alumnos o por algún artista reconocido, es bueno hacerla siguiendo alguna pauta establecida (Edo y Gómez, 2006). Roser Gómez, especialista en educación visual y plástica, recomienda realizar este análisis en tres fases (figura A.).
La fase inicial se centra en una Descripción objetiva de los elementos que se reconocen en la obra (líneas, puntos, manchas, figuras, volúmenes, superficies, texturas, colores, etc.). Elementos que forman parte del alfabeto visual y plástico y que al mismo tiempo, muchos de ellos, son conceptos básicos del currículum matemático de primaria. La segunda fase consiste en una Evocación creativa centrada en la mirada subjetiva de cada espectador: ¿Qué podría ser?, ¿qué me sugiere?, ¿qué me recuerda?, ¿qué me provoca?, etc. La tercera fase consiste en un Intento de síntesis centrado en la pregunta: ¿Qué título le pondrías? Obviamente se hace antes de haber comunicado cual es el título que le puso el autor.
Al seguir esta pauta observamos que la primera fase, la más objetiva y más conectada con la matemática, dota al alumno de una serie de “herramientas” derivadas del análisis de la forma que permiten que la segunda fase, la más subjetiva y creativa, llegue a ser más interesante, rica en matices y diversa dentro de una misma aula. Siguiendo esta pauta conseguimos entonces que la primera mirada, geométrica y objetiva, se conecte y convierta en elemento necesario para aumentar la capacidad de interpretar y crear composiciones artísticas, vinculándose al mismo tiempo el desarrollo de sentimientos y emociones estéticas. En la tercera fase, cuando se imaginan un posible título, aparecen a menudo elementos claves de la descripción objetiva o de la evocación creativa, por tanto entendemos esta parte de la actividad como un intento de síntesis de las conversaciones anteriores. Veremos, más adelante, algunos ejemplos de algunas de estas fases.
Análisis de un cuadro con alumnos de primaria
¿Qué ves? ¿Qué hay? ¿Qué elementos reconoces?
¿Qué podría ser? ¿Qué me sugiere? ¿Qué me recuerda? ¿Qué me provoca?
Descripción objetiva de los elementos que se reconocen en la obra (líneas, puntos, manchas, figuras, volúmenes, superficies, texturas, colores, etc.)
Evocación creativa centrada en la propia mirada subjetiva
3. Objetivos generales del taller:
Al igual que en el Taller de arte y geometría I: ángulos (Badillo y Edo, 2004 a, b) y en el Taller de Geometría II: triángulos 1ª y 2ª parte (Badillo y Edo, 2006, 2007 a, b), los objetivos generales que nos planteamos al diseñar e implementar el taller de geometría sobre el concepto de triángulo fueron los siguientes:
1. Utilizar obras de arte conocidas para la introducción, construcción y evaluación de conceptos geométricos (conceptual).
2. Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicación de los conceptos geométricos desarrollados (conceptual/procedimental).
3. Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los conceptos geométricos desarrollados (procedimental/conceptual).
4. Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los autores de las obras seleccionadas (actitudinal).
4. Contenidos matemáticos:
En el presente taller hemos propuesto la siguiente secuencia de contenidos para que los alumnos lleguen a construir un esquema rico y variado de los conceptos líneas, tipos de líneas y de polígonos:
1. Introducción de las líneas y los polígonos a partir de las obras de dos autores: Wassily Kandinsky (Cuadros) y Alexander Calder (Esculturas: móviles).
2. Clasificación de líneas: curvas, poligonales, abiertas, cerradas, paralelas, perpendiculares y secantes.
3. Perímetro de una línea poligonal cerrada (1 D).
4. Diferencia entre línea poligonal y polígono.
5. Definición de polígonos y elementos de un polígono.
6. Clasificación de polígonos según el número de lados y los tipos de ángulos.
Triángulo. Clasificación según la longitud de los lados y los tipos de ángulos:
equilátero, escalé, isósceles, acutángulo, obtusángulo y rectángulo. Cuadriláteros. Clasificación según el criterio de paralelismo de los lados. Otros.
7. Diferencia entre círculo y circunferencia. Elementos.
8. Perímetro de figuras planas. Cálculo de perímetros.
9. Unidades de medida de áreas. Conversión de unidades.
10. Área y superficie de figuras geométricas planas. Cálculo de área directa e indirecta.
5. Desarrollo de actividades:
5.1 Material para maestros (as).
• Hoja para el diseño de la portada del dossier.
Con el propósito de favorecer la creatividad de los alumnos se les proporciona una imagen de las pinturas de Wassily Kandinsky: “Amarillo, rojo y azul” y “Composición VIII”, para 5º y 6º, respectivamente. Dándoles libertad para que construyan a partir de la imagen de la pintura la portada del dossier. Se hace énfasis que tomen como referencia el convenio establecido para describir una obra de arte famosa: Apellido y nombre del autor, año de creación, título de la obra, dimensiones, técnica utilizada, y lugar de exposición.
• Actividad 1. Familiarización e introducción al tema.
Se presentaran dos tipos de actividades de familiarización. Un primer grupo (1.1) de actividades buscan, por un lado, que los alumnos construyan las relaciones entre arte y geometría y, por otro lado, obtener las ideas previas de los alumnos en relación con los conceptos de línea y tipos de línea, polígonos y clasificación de polígonos, según sus lados y según sus ángulos. Un segundo grupo de actividades se centran en el estudio de los rasgos más significativos de la vida y obra de los pintores escogidos (1.2-1.3). Los objetivos que nos planteamos con estas actividades son:
Identificar las ideas previas que tienen los niños sobre líneas y tipos de líneas, polígonos y clasificación de polígonos, según sus lados y según sus ángulos. a partir de la pinturas de Wassily Kandinsky (1.1).
Introducir a los niños en la interpretación de las obras de arte, emitiendo juicios valorativos, expresando los sentimientos y emociones que les transmite el autor, resaltando los elementos artísticos y las técnicas que se utilizan, a partir de la contemplación de las formas geométricas esbozadas en el cuadro de Kandinsky
(1.1-1.2).
Motivar a los niños hacia la investigación de los rasgos más importantes de la vida y obra de este pintor, centrándonos en la relación con la Geometría (1.2-
Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden en el estudio de estos conceptos (1.3).
• Fotocopia de la portada del dossier (Anexo I: figura 1 a y b)
• Fotocopia de la actividad 1. Comentarios de la imagen de las figuras 1.
2. Maestra/o:
• Transparencia de la figura 1 a y b (Anexo I: Pinturas de Wassily Kandinsky: “Amarillo, rojo y azul” y “Composición VIII”)
• Transparencias: interpretación personal de la obra (Anexo II), descripción de la vida y obra del autor (Anexo III) y objetivos del taller (Anexo IV)
• Fotocopia ampliada y plastificada del cuadro de Wassily Kandinsky.
• Papel (colocado en la pizarra) para escribir las ideas de los alumnos
c) Agrupamiento:
Trabajo en gran grupo, en pequeño grupo y exposición del profesor.
d) Desarrollo de la actividad 1:
1.1. Comentamos la imagen de la figura 1 (a y b) del material del alumno.
Se presenta la figura 1 a o b, de la pintura de Wassily Kandinsky, para:
a. Formular hipótesis de estas líneas, respondiendo interrogantes del tipo:
¿Cuando ves esta imagen qué ideas te vienen a la cabeza? ¿Qué crees que forman?, ¿De donde crees que las hemos sacado?, ¿Dónde las podrías encontrar? ¿Qué objetivo tiene la presentación de esta imagen?, ¿Para qué nos servirá en clase de matemática?, etc.
b. Sacar conclusiones de la imagen presentada (intentando remarcar tanto elementos constructivos del cuadro como, medida, relación, proporción, peso, agrupamiento, dirección, movimiento, ritmo; como elementos expresivos, armonía / contraste, equilibrio / inestabilidad, neutralidad / acento, unidad / fragmentación)
c. Observar las ideas previas de los niños sobre líneas, tipos de líneas, paralelas y perpendiculares; y sobre polígonos y tipos de polígonos. Por eso, se les entrega una fotocopia de la figura 1 a o b, según el curso, y de la actividad 1, donde se les plantean los siguientes interrogantes
[En una hoja se anotarán las aportaciones de los niños antes del desarrollo de las actividades]
d. Cuándo observas esta imagen ¿qué palabras relacionadas con la geometría te
imaginas? Es decir, ¿qué elementos geométricos identificas? [Se pondrá énfasis en el uso del lenguaje formalizado de las matemáticas, mediante el uso de palabras sinónimas que ayuden a la comprensión de los términos matemáticos]
e. ¿Qué tipos de líneas identificas?
f. ¿Qué diferencias encuentras entre ellas? ¿Cómo las clasificarías?
g. ¿Podéis explicarlo con vuestras palabras o definir la diferencia entre línea poligonal cerrada y polígono?
h. ¿Puedes identificar polígonos en el cuadro? ¿Qué tipos de polígonos identificas?
i. ¿Qué partes crees que tiene un polígono? ¿Qué otras cosas ves en el cuadro?
[Se trata de enfatizar la importancia del rigor matemático, de la demostración matemática, tanto gráfica como algebraica]
j. ¿Conoces el transportador? ¿Para qué sirve esta herramienta o instrumento geométrico? ¿Sabes utilizarlo?
k. Ahora intentaremos juntos describir este objeto, el transportador, ¿qué observamos que tiene? ¿Si lo comparamos con una regla, qué significado pueden tener estas líneas? ¿En qué unidades se miden los ángulos de un polígono? ¿Y los lados de un polígono?
[Se presenta, nuevamente, la pintura completa de Wassily Kandinsky, para buscar la interpretación personal de los alumnos (Anexo II)]
l. ¿Qué significado tiene esta imagen?
m. ¿Qué podría ser?
n. Coloquémonos en el lugar del pintor. ¿Qué idea o sentimientos creéis que quiere transmitir con esta obra?
o. ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de colores, la posición y colocación de las líneas, la secuencia de las líneas, del fondo, ¿cuántos planos vemos? ¿Cuál creemos que es el principal y por qué? etc.
p. ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué título le pondrías?
1.2. Descripción por parte de la maestra de la obra haciendo referencia a (Anexo III):
Posteriormente, después de la puesta en común en gran grupo, y de las respuestas individuales que los alumnos han dado a las anteriores preguntas, nos centramos por un lado, en el estudio de los rasgos más significativos de la vida y obra de los pintores escogidos, y por otro lado, intentamos hacer emerger las sensaciones que les provoca este cuadro.
Para motivar la investigación de la obra de Wassily Kandinsky y la de otros pintores que permiten el estudio de estos conceptos geométricos, expusimos de manera dinámica los rasgos más importantes de este pintor, presentando su fotografía, su firma y pactamos con los alumnos que en próximas sesiones ellos mismos presentaran otras pinturas de su obra y de otros autores que nos ayudaran en el estudio de estos conceptos geométricos.
Igualmente, presentamos los objetivos del taller de geometría (Anexo IV): Las matemáticas como herramienta para interpretar y para crear obras de arte.
1.3. Motivación para investigar de forma individual sobre:
a. Características más importantes de la vida y obra de este pintor, centrándonos más en la relación con las matemáticas (Geometría).
b. Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a estudiar este tema: líneas, tipos de líneas; polígonos y clasificación de polígonos, etc.
Actividad 2. Definición, representación y construcción de líneas poligonales cerradas y de polígonos.
Consideramos que para entender los conceptos geométricos (matemáticos) es esencial que los alumnos sean capaces de razonar, es por ello que hemos diseñado una serie de actividades partiendo del cuadro, que buscan que los alumnos encuentren sentido y aplicación a las matemáticas, mediante el desarrollo de ideas, la exploración de conceptos, la justificación de los resultados obtenidos y, la formulación y demostración constante de conjeturas. Sin embargo, hemos de entender que el razonamiento y la demostración no se pueden enseñar, sino que éstas tendrían que ser parte consciente y esencial de la actividad matemática que se genera en el aula durante toda la escolaridad (NTCM, 2000).
Con esta actividad perseguimos el siguiente objetivo:
Construir progresivamente los siguientes conceptos: líneas, clasificación de líneas (abiertas y cerradas; poligonales y curvas), perímetro y el concepto de polígono.
• Fotocopia de la actividad 2.
• Geoplanos isométricos y cuadriculares. Un Geoplano de cada tipo por parejas de alumnos.
• Hilo de cobre de 0,6 mm. de diámetro.
• Trozos de papel de diferentes tipos (de celofán, de seda, de diferentes colores, etc.)
• Pegamento y cinta adhesiva.
2. Maestros:
• Transparencia del esquema conceptual sobre líneas (Anexo V)
• Transparencia del esquema conceptual sobre polígonos (Anexo VI)
Trabajo en parejas, individual y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 2:
En esta actividad se hace énfasis en la construcción del concepto de polígono a partir de un trabajo previo de los conceptos de línea y tipos de líneas. La fuerza de la actividad recae sobre un trabajo manipulativo de los alumnos que les ayude a ir construyendo progresivamente el concepto de polígono a partir de la definición de línea poligonal
cerrada. Es decir, que se hace énfasis en la necesidad de que desde un primer momento los alumnos hagan conjeturas sobre las diferencias y las relaciones que existen entre objetos unidimensionales (1D), como es el concepto de línea poligonal cerrada, y objetos bidimensionales (2D), como es el concepto de polígono. Para ello, sugerimos la utilización de recursos y procedimientos manipulativos, como el geoplano y los trozos de alambre de cobre, que favorezcan la construcción colectiva y progresiva de los conceptos geométricos. En este sentido, el tipo de situaciones que se le presentan en los diferentes apartados buscan que los alumnos hagan conjeturas sobre los objetos geométricos y a partir de un trabajo manipulativo puedan llegar a demostrar o modificar sus conjeturas iniciales.
Finalmente, nos gustaría resaltar de esta actividad, la importancia que otorgamos a los procedimientos de medida directa e indirecta. Por ello, nos gustaría llamar la atención sobre la necesidad de que los alumnos comprendan los atributos mesurables de los objetos, y las unidades, sistemas y procesos de medida. De allí que propongamos situaciones en las que los alumnos tengan que aplicar técnicas e instrumentos apropiados para obtener la medida de objetos unidimensionales, desde parámetros estándar (uso de la regla) y no estándar (establecer una unidad de referencia, como por ejemplo separación entre clavo y clavo del geoplano).
Actividad 3. Actividad plástica con Tangram.
2. Los procedimientos utilizados en la construcción de los objetos geométricos (líneas, ángulos, polígonos, otras figuras planas, etc.) que conforman la producción artística.
4. Título de la producción artística, nombre de los autores, y la descripción de los sentimientos que quiere transmitir con su producción artística.
• Fotocopia de la actividad 3.
• Tangram de 7 piezas. Un juego por parejas de alumnos.
• Tarjetas plastificadas de figuras de objetos construidas con el Tangram (Anexo VII).
• Fotocopia del Tangram de 7 piezas recortables en papel de dibujo. Uno por cada alumno (Anexo VIII).
• Cartulina de color en DNA 3.
• Ceras, rotuladores, Plastidecor, colores, etc.
• Breve historia del Tangram de 7 piezas (Anexo IX).
Trabajo en parejas, individual, en pequeño grupo y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 3:
Inicialmente, se les presenta el Tangram de 7 piezas y se les pregunta si conocen qué es y si saben la historia de este juego (Anexo IX). Posteriormente, se lee una breve historia de este juego chino y se les proporciona un Tangram de 7 piezas por pareja con la consigna de que identifiquen las piezas y que las clasifiquen (en algunos casos se les da la opción de que hagan un mapa conceptual de la clasificación de las figuras o piezas del Tangram). Esta primera parte se desarrolla con gran facilidad y agilidad.
La segunda parte consiste en reproducir con el Tangram, en parejas, algunas figuras que les proporcionamos en unas tarjetas plastificadas. Esta actividad que aparentemente resulta fácil, es potente porque nos permite detectar las dificultades que presentan algunos alumnos en la ubicación, distribución y representación espacial, que es una de las competencias básicas que deben desarrollarse durante esta etapa de escolaridad.
Esta dificultad aumenta cuando se les pide a los alumnos el paso de la bidimensión manipulativa (construcción de una figura con el Tangram) a la bidimensión estática o representación abstracta de la figura construida (dibujo en papel cuadriculado). A continuación mostramos algunos ejemplos en los que se esboza lo anteriormente descrito:
Finalmente, se organizan en grupos de tres alumnos y se le proporcionan un Tangram recortable a cada alumno, una cartulina de color por grupo y material de plástica (rotuladores, ceras, Plastidecor, etc.) y se les pide que libremente, se pongan de acuerdo sobre una temática que sea el eje vertebrador de una composición artística con los tres Tangram del grupo. Una las condiciones es que cada figura se tiene que formar usando todas las piezas del Tangram. Igualmente, se hace énfasis en que la producción artística tiene que ser argumentada y justificada.
figura geométrica plana.
Unidades de longitud y perímetro de una
Esta actividad está muy relacionada con la actividad 2, tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las características y propiedades de los objetos geométricos de una dimensión (líneas curvas y líneas poligonales cerradas) y dos dimensiones (polígonos y figuras planas en general) y desarrollar razonamientos matemáticos sobre las relaciones geométricas.
• Fotocopia de la actividad 4.
• Geoplanos (isométrico y cuadricular). Un juego por parejas de alumnos.
• Metro, regla y cinta métrica de más de 3 metros.
• 5 trozos de alambre de cobre de 0, 6 mm. de diámetro.
• Escuadra y transportador de ángulos.
• Papel de diferentes tipos: cuadriculado, de seda, de celofán, etc.
Trabajo en parejas y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 4:
Somos conscientes de la necesidad de que los alumnos vayan construyendo conocimiento informal y formal sobre líneas, diferentes tipos de líneas y una variedad
de figuras bidimensionales mediante actividades de dibujarlos y visualizarlos y con nociones intuitivas sobre los objetos geométricos unidimensionales y bidimensionales adquiridas a través de los años de interacción con objetos de su cotidianidad. Desde esta visión, las situaciones que hemos diseñado para esta actividad 4, buscan que los alumnos investiguen relaciones manipulando el geoplano y dibujando, midiendo, visualizando, comparando, transformando y clasificando los diferentes objetos geométricos unidimensionales y bidimensionales, siempre argumentando y justificando cada una de las afirmaciones y conclusiones a las que lleguen (NTCM, 2000).
En este sentido, es como planteamos una serie de situaciones que buscan relacionar intra-matemáticamente conceptos que muchas veces, por restricciones del currículo, les presentamos a los alumnos de forma inconexa, creando diferentes compartimentaciones de los contenidos matemáticos. Por tanto, en esta actividad queremos resaltar la necesidad de mostrar a los estudiantes que los contenidos de medida y geometría están fuertemente relacionados y su estudio y conocimiento puede proporcionarles herramientas para la resolución de problemas de la cotidianidad. Por tanto, como maestros no podemos olvidar que los conceptos y las destrezas sobre la medida pueden desarrollarse y utilizarse a lo largo de todo el curso escolar y en diferentes unidades de las diferentes asignaturas del currículo o disciplinas científicas, y no deben ser tratados como una unidad de estudio separada o aislada.
Lo anterior descrito, justifica el hecho de que las situaciones 3 y 6, pretenden llevar a los estudiantes a la medida de objetos relacionados con el contexto que les envuelve. Son situaciones abiertas que intentan promover la aplicación justificada de técnicas e instrumentos apropiados para su medida, atendiendo a los atributos de cada uno de los objetos (entender que para obtener las dimensiones de una pista básquet (2D) necesariamente se requiere la medida de dos dimensiones unidimensionales: ancho y largo. Mientras que la medida de una de las dimensiones o bien el largo o el ancho es independiente o no requiere la medida de la otra dimensión). Es decir, los polígonos y las figuras geométricas planas (2D) contienen implícitamente la unidimensión (1D), ancho y largo. El caso contrario no es condicional (la 1 D no contiene la 2D). En último lo que nos proponemos es que los estudiantes sean capaces de componer y descomponer figuras geométricas planas de dos dimensiones con el fin de calcular áreas y perímetros.
Otro aspecto a resaltar es que las situaciones buscan que los alumnos sean críticos cuando miden un objeto. Es decir que el resultado que obtienen de la medida debería tener sentido. Es por ello que dedicamos una atención especial a las estimaciones y a los sistemas de referencias que se convierten en herramientas y recursos para que los alumnos puedan reconocer en la vida real cuando es razonable una medida. Con este propósito aconsejamos que las situaciones que se planteen a los estudiantes para estimar medidas e instrumentos de medidas sean escogidas de tal manera que los estudiantes puedan utilizar su conocimiento del tamaño de objetos y cosas conocidas que puedan servirles de referencia, tales como las que proponemos: la longitud del lápiz, de su altura, de la altura de la puerta, etc. Igualmente, a partir de estos patrones de referencias deberían ser capaces de utilizarlos para estimar medidas grandes, como la longitud de 20 pistas de básquet, etc.
Finalmente queremos comentar algunas reflexiones que podrían tenerse en cuenta a la hora de resolver la situación 10. Algunas de las posibles respuestas de los alumnos podrían ser:
Creemos conveniente resaltar que las respuestas de los alumnos que pueden generar riqueza para la construcción y relación de los conceptos de perímetro (1 D) y de superficie (2), son:
a) Con relación al perímetro de una figura geométrica.
Sin necesidad de medir, los alumnos podrían llegar a la conclusión de que la longitud constante de los trozos de alambre de cobre de 12 cm., es el valor del perímetro de todas las figuras geométricas. Es decir, este grupo de alumnos tienen claro que el perímetro es una longitud (1D) y puede ser igual en diferentes figuras geométricas, independientemente de la forma y del tipo.
Midiendo, los alumnos con la ayuda de la regla podrían medir la longitud de cada uno de los lados y posteriormente sumarlas. Así encontrarían que siempre el resultado es 12 cm., deduciendo que el perímetro es una longitud (1D) que resulta de la suma de los lados de un polígono. Sin embargo, no podemos dejar de hacer preguntas que le permitan a los alumnos llegar a la generalización descrita en el párrafo anterior.
b) Con relación a la superficie de una figura geométrica.
Según cálculo indirecto y medida no estándar, los alumnos con la estrategia de dibujar los polígonos en papel cuadriculado o milimetrado y tomando como referencia un cuadrado de la hoja pueden contarlos y encontrar el valor de la superficie. Lo interesante es que los alumnos observen y comprendan que pueden encontrarse y construir diferentes figuras geométricas que tienen el mismo perímetro (1 D), pero no necesariamente tienen la misma superficie (2D) y forma.
Según cálculo directa y medida estándar, si los alumnos conocen procedimientos algebraicos para calcular el valor de la superficie de las figuras más conocidas, podrían a partir de conocer el valor de las diferentes dimensiones de las figuras calcular directamente su área. Sin embarco, también deberíamos ayudarles a constatar y argumentar la generalización comentada en el párrafo anterior.
• Actividad 5. Diferencia entre circunferencia y círculo.
Esta actividad está muy relacionada con las actividades 2 y 4, tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las características y propiedades de los objetos geométricos de una dimensión (líneas curvas cerradas como la circunferencia) y de dos dimensiones (figuras geométricas planas en general como el círculo) y desarrollar razonamientos matemáticos sobre las relaciones geométricas.
b) Materiales: como la circunferencia
Fotocopia de la actividad 5.
Geoplano isométrico y cuadricular (uno por grupo).
5 trozos de 10 cm. de alambre de cobre de 0,6 mm.
Mapa conceptual de círculo y circunferencia (Anexo X)
Trabajo individual y puesta en común en gran grupo.
Desarrollo de la actividad 5:
partir de un trabajo previo sobre la definición de líneas curvas y poligonales abiertas
cerradas podemos llevar a los alumnos a definir y a diferenciar los conceptos de
círculo y circunferencia. En general los alumnos de manera generalizada llegan a definir la circunferencia en términos unidimensionales como “la línea curva cerrada
que tiene la misma distancia desde un punto llamado centro a cualquiera punto de la
línea curva”. Y, el círculo lo definen como “la circunferencia que tiene fondo o superficie”. Sin embargo, en muchos casos tenemos que ayudarles a identificar y definir cada uno de los elementos que los conforman.
En lo que respecta al ejercicio 3 de esta actividad, se les propone a los alumnos conseguir y demostrar el valor del número pi (π) a partir de un procedimiento manipulativo. La dificultad de este ejercicio puede estar en el concepto de perímetro o longitud de una circunferencia. Si previamente se ha trabajado el concepto de perímetro como longitud de una figura geométrica plana, los alumnos no tendrán gran dificultad para resolverla. Sin embargo, si tendríamos que ayudarles a construir dos circunferencias con los dos trozos de alambre de 10 cm. y 20 cm, respectivamente. Una opción es proporcionarles en papel dos circunferencias que cumplan estas condiciones o proporcionar objetos manipulables que cumplan con estas condiciones. A partir de aquí es fácil, usando calculadora o calculando las divisiones, que los alumnos deduzcan que la relación que hay entre el perímetro o longitud de la circunferencia y del círculo y su diámetro siempre es una constante (3, 1416…) que se conoce en geometría como el número pi (π = 3, 1416…).
Lo interesante es que los alumnos puedan generalizar la anterior relación, sin necesidad de comprobarlo con circunferencias concretas. Es decir, que lleguen a comprender que el valor del número pi (π = 3, 1416…), es independiente del tamaño de la circunferencia, ya que si la longitud aumenta el diámetro también aumentará y se conserva el valor de esta constante de proporcionalidad directa que es el número pi (π = 3, 1416…).
Finalmente, queremos hacer énfasis en la diferencia entre circunferencia como una línea curva cerrada (1 D) y círculo como figura geométrica plana con superficie (2D). En este sentido al remarcar, manipular y visualizar que la circunferencia sólo tiene longitud con la ayuda del material que le proporcionamos, puede ayudar a los estudiantes a comprender y dotar de significado a la relación entre estos objetos geométricos, ya que el círculo tiene al mismo tiempo longitud = perímetro(1 D), midiendo el contorno del círculo y tiene superficie (2 D) calculando el espacio que se genera entre los radios (siempre cumpliendo la relación de proporcionalidad directa
entre el diámetro y la longitud de la circunferencia que es el número pi):
A = πr.r = πr 2
Actividad 6. Construcción de producciones artísticas a partir del estudio de la obra de Kandinsky.
2. Los procedimientos (geométricos y/o algebraicos) utilizados en la construcción de los objetos geométricos (líneas, ángulos, polígonos, otras figuras planas, etc.) que conforman la producción artística.
Producción individual, descripción y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 6:
Creemos conveniente resaltar dos aspectos interesantes de este tipo de actividades. Por un lado, el clima de interés y de relajación que aporta el entorno del arte y la plástica. Realmente los alumnos disfrutan al ver como conceptos geométricos y matemáticos les ayudan a inspirarse y crear producciones artísticas cálidas, cargadas de muchos sentimientos y emociones. En el momento del trabajo de plástica, los alumnos escuchan música, en muchos casos escogidas por ellos, y disfrutan de una hora de relajación y creación individual.
Por otro lado, intentamos proporcionar otra motivación extrínseca al trabajo sobre la plástica y la geometría, como un medio para promover: (1) la argumentación matemática, (2) la expresión verbal y escrita y, (3) la imaginación y la creatividad. Es así, como nació la idea de crear una Galería de Arte en la que se pudieran exponer los “mejores cuadros” pintados y argumentados por los niños y niñas de todas las clases de nuestra escuela. Es decir, que se reserva un espacio de cinco cuadros por clase, y en total se exponen por trimestre 60 cuadros de los alumnos de 1ro a 6to. Los cuadros seleccionados por votación democrática de la clase y, sólo en caso de empate los maestros de la escuela hacemos la selección definitiva, deben de cumplir los cuatro criterios esbozados al inicio de la actividad (apartado a).
A continuación presentamos una foto de la galería y un ejemplo de cerca de uno de los trabajos seleccionados por los alumnos de 6to. Todos los cuadros de los alumnos seleccionados al exponerse van acompañados por el nombre del autor, el título del cuadro y la foto del autor (a). Esto ayuda a que todas las personas de nuestro centro valoren las producciones artísticas que elaboran nuestros alumnos y asocien cada cuadro con su autor.
A continuación presentaremos algunos ejemplos de trabajos realizados por niños de
quinto y sexto de primaria de la Escuela Salesiana Mare de Déu de la Mercè de
Badalona donde implementamos el taller. Todos los ejemplos que presentamos siguen
el modelo, expuesto en el apartado a), que sugerimos a los niños y niñas sobre la
construcción de producciones artísticas. Para ilustrar la forma como trabajaron los niños
y niñas este tipo de actividad, a continuación presentamos cuatro ejemplos de producciones artísticas realizadas por alumnos de quinto y de sexto.
Concretamente en el primer ejemplo queremos resaltar el valor artístico y creativo de esta producción, ya que su autor, es un alumno que siempre había mostrado poco interés por la plástica. Cuando resultó seleccionado por los compañeros verbalizó que todo era gracias a la geometría que le ayudaba a inspirarse, y le gustaba este tipo de arte que estábamos estudiando, la obra de Kandinsky y Klee, en el que los conceptos geométricos simulan y representan objetos de la realidad. Otro aspecto a comentar es la ternura de los sentimientos que transmite y, queremos aprovechar para resaltar que desde cualquier área curricular, en este caso la matemáticas, podemos trabajar valores como el derecho a la igualdad de oportunidades, a la equidad, el respeto por los otros…
Martínez, (2008). La cara del mundo.
Técnica: Lápiz, rotulador negro, ceras y fijador de ceras.
Sentimientos: Los polígonos representan los diferentes países que forman al mundo. Hay colores más vivos y alegres que representan a las sociedades que tienen la suerte de vivir bien (comida, ropa, y hasta lujos) y los colores tristes y oscuros representan a los países pobres que tienen poco o nada. El cuadro es un sueño, no es la realidad… porque he pintado muchos más países ricos que pobres… y he pintado a los pobre pequeñitos… Espero no despertar de este sueño o que cuando me despierte se haga realidad y sean más los niños que tiene de todo y sean felices de verdad.
Conceptos geométricos: Diferentes tipos de líneas, figuras geométricas planas, polígonos y ángulos.
El segundo ejemplo que hemos seleccionado, es de una alumna de la china, son curiosos los sentimientos que quiere transmitir con el cuado: “libertad para todos los seres vivos”. No sabemos si este grito de libertad va ligado a su situación personal o cultural. Sin embargo queremos resaltar que en todos los cuadros que ha pintado y justificado lo hace explícito. La justificación matemática que hace esta alumna es muy interesante, enfatiza en el concepto de figuras geométricas planas en general, demostrando una claridad conceptual entre la diferencia entre objetos unidimensionales y bidimensionales, diferencia entre línea y figuras planas. Igualmente, la diferencia entre figuras poligonales y figuras no poligonales, pero clasificándolas correctamente como figuras bidimensionales.
Rou, M. (2007). El bosque de colores.
Técnica: Yo para hacer este cuadro he utilizado pinturas y ceras.
Sentimientos: Los sentimientos que quiero expresar con este cuadro son: alegría y libertad. Alegría: por los colores del fondo que representan flores y árboles. Libertad: porque todos somos libres en este mundo, no debemos de capturar animales, tienen derecho a estar libres, hasta todos nosotros!!!
Conceptos geométricos: cosas de una dimensión como líneas y tipos de líneas (poligonales, curvas, rectas, etc. Y cosas de dos dimensiones, aunque no hice exactamente polígonos, sino más bien figuras geométricas planas en general.
El tercer ejemplo que hemos seleccionado, es de un niño que presenta algunos rasgos de déficit de atención e hiperactividad, y queremos valorar la motivación y la capacidad de concentración que ha mostrado durante el desarrollo de taller y, más concretamente, en las sesiones de plástica. Es un alumno que ha mostrado una gran evolución conceptual y actitudinal. Sin embargo, en el segundo trimestre, tuvimos que gestionar el hecho de que su cuadro no fue seleccionado y hubo momentos en que no quería participar más y se mostraba muy triste. Este es un aspecto que como maestros debemos de tener en cuenta, la Galería de Arte puede convertirse en una fuente de conflictos y de desinterés
cuando los niños no son escogidos, pero consideramos que el hacer énfasis en la democracia y en el respeto por las ideas de los otros nos ayudó a gestionar las diferentes emociones que fueron surgiendo durante todo el desarrollo del taller.
Moyano, A. (2007). Las líneas curvas y horizontales
Sentimientos: este cuadro es precioso porque representa la amistad. Todas las partes de las figuras geométricas se unen por la línea negra. Siempre hay personas que se preocupan por unir a otras. Así como todo está unido en el universo y en la tierra.
Conceptos geométricos: Líneas y tipos de líneas, ángulos y figuras geométricas planas con área y perímetro.
Finalmente, el último ejemplo seleccionado es de una alumna que tiene un gran nivel en matemáticas, en particular, y podríamos definirla como una “buena” estudiante en general. La riqueza de este cuadro lo podemos apreciar desde diferentes competencias:
la expresión plástica, la expresión verbal, la argumentación geométrica y la imaginación y creatividad.
Queremos resaltar de este cuadro diferentes aspectos en los que hemos insistido a lo largo del taller como son: (a) el uso adecuado de los conceptos geométricos en el aula de primaria, claridad que muestra la alumna en el uso de los conceptos de líneas (1D), polígonos y figuras no poligonales pero definiéndolas también como planas (2D); (b) diferencia entre 1D y 2D; (c) el uso de ejemplos y no ejemplos de los conceptos matemáticos, cuando verbaliza la construcción de polígonos y no polígonos; y, (d) el trabajo sobre no prototipos de los conceptos, evidenciado en la identificación de polígonos en diferentes posiciones o rotados.
Díaz, M. (2007). El mundo “MIMI”.
Técnica: He utilizado lápiz, rotulador negro, pinturas y ceras.
Sentimientos: Los sentimientos que quiero expresar con este cuadro son: alegría, tristeza, orden y confusión. Este cuadro nos representa los diferentes sentimientos que podemos tener en nuestra vida. Hay momentos en que estamos felices que serían los colores vivos
y otros en los que perdemos a un ser querido o sufrimos, el negro… También a veces
planificamos cosas como los cuadritos y no nos salen bien, por eso hay espacios en
blanco y no todo está lleno de colores. Y las diferentes tipos de líneas poligonales y curvas que están en el medio del cuadro, nos representan las separaciones entre los
u blos.
Conceptos geométricos: Líneas y tipos de líneas: poligonales, curvas, rectas, paralelas,
secantes y perpendiculares, y diferentes tipos de polígonos y ángulos. Y en algunos casos
si observan bien hay escondido algún polígono regular y otros que no son polígonos sino
otras figuras planas.
• Actividad 7. Medida y escala (OPCIONAL).
Comprender y visualizar la interrelación y la funcionalidad de los conceptos en la resolución de situaciones de la cotidianidad. Relacionar los bloques conceptuales de medida, geometría, numeración y tratamiento de la información, en la resolución de situaciones de la cotidianidad. Desarrollar destrezas en la visualización y en el razonamiento sobre las relaciones espaciales. Comprender los atributos mensurables de los objetos y las unidades, sistemas y procesos de medida.
• Fotocopia de la actividad 7.
• Metro y cinta métrica (más de 3 metros)
• Papel milimetrada, cuadriculado y hojas en blanco.
• Cartulina de diferentes colores.
• Tijeras, pegamento y cinta adhesiva.
• Cámara digital y trípode.
Producción individual, trabajo en parejas y justificación en grupo grande.
d) Desarrollo de la actividad 7:
En esta actividad se han diseñado una serie de situaciones que buscan que los alumnos encuentren relaciones intra-matemática entre los diferentes conceptos del currículo. Concretamente, relacionamos los bloques conceptuales de medida, geometría, numeración y tratamiento de la información, con el propósito que los estudiantes puedan ver de manera global la interrelación y la funcionalidad de los conceptos en la resolución de situaciones de la cotidianidad.
Inicialmente, se les recuerda a los estudiantes aspectos conceptuales sobre el sistema internacional de medidas de longitud y la conversión de unidades. Posteriormente, en los ejercicios del 1 al 3, se proponen la resolución de una serie de conversiones de unidades de longitud, usando estrategias de cálculo mental y escrito para multiplicar y dividir por la unidad seguida de cero (10, 100, 1000, etc.)
En la actividad 4, se presenta una situación de la vida real en la que pueden aplicar los conceptos anteriormente trabajados. Esta actividad se puede complementar y enriquecer con la lectura de planos de la ciudad y el cálculo aproximado de distancias en el plano.
Concretamente, la secuencia de interrogantes que se proponen en las situaciones 5 y 6, persigue que los alumnos busquen medios para describir, analizar y comprender un aspecto concreto y básico de la realidad, como es la lectura e interpretación de planos. Progresivamente, se lleva a los alumnos a la construcción de objetos a escala y a la
justificación del proceso aplicado, tanto para aumentar como para disminuir su tamaño real. Por último, se explica el convenio matemático para expresar escala, el significado asociado al cálculo de escalas, tanto para disminuir (1:10.000) como para aumentar (10:
1), así:
Siempre que realices un dibujo de un objeto o de una persona cualquiera de manera que cada centímetro del dibujo se corresponda con una medida más grande o más pequeña que en la realidad, estás utilizando el concepto de escala.
Diremos que el dibujo está hecho a escala 1:2, si el dibujo que has obtenido del objeto de la vida real es más pequeño pero conserva sus proporciones reales. Es decir, es exactamente la mitad del real, porque cada centímetro del dibujo corresponde a 2 cm. de la realidad.
La actividad 10, integra los bloques conceptuales de la geometría, medida, numeración, tratamiento de la información y análisis de datos. Se parte de una situación significativa como es la medida de la altura de todos los niños de la clase y se propone el registro de toda la infomación en una tabla de datos.
Posteriormente, se propone a los alumnos hacer una gráfica a tamaño real y se escoge un lugar de la clase para construirla con tiras de cartulina de diferentes colores y se decide la escala real en la que se construirá, que generalmente es de 10 cm. Lo interesante de esta primera parte de la actividad es que los alumnos se encuentran frente a la situación de seleccionar las unidades, los instrumentos de medida y las escalas apropiadas para resolver el problema planteado. Igualmente, el tener que manejar un
número de información tan grande (la altura de 26 alumnos de la clase), les permite ver la necesidad y la potencia del uso de instrumentos para recoger, organizar y presentar datos relevantes, como es el uso de tablas, para posteriormente, hacer el tratamiento y el análisis de la información.
De igual manera, se plantean una serie de interrogantes que ayudan a los alumnos al análisis y la interpretación de la información. En este caso concreto, se propone una traducción de los datos representados en la tabla en una gráfica de histograma. Inicialmente, a tamaño real, y se propone el análisis cualitativo y cuantitativo de los datos unidimensional y bidimensionales. Posteriormente, se propone que la gráfica realizada a tamaño real en la pared la realicen a escala en una de papel cuadriculado. En efecto, se plantea la necesidad del estudio de las variables que intervienen en la situación problema y del uso de escalas para poder graficar la información en los ejes de coordenadas.
Finalmente, para resolver los apartados del 10 d) al k), se hace una foto de frente a cada uno de los alumnos manteniendo la misma distancia, y se imprime en papel a una escala de 1: 10, sin decírselo a los alumnos. El objetivo de esta secuencia de actividades es que lleguen a encontrar la escala de la foto y, relacionar la representación gráfica real de su altura con una situación significativa como es el análisis de las escalas de las fotos.
• Actividad 8. Construimos móviles con polígonos a partir de la obra de Alexander Calder.
4. Título del cuadro o de la escultura, nombre del autor, y la descripción de los sentimientos que quiere transmitir con su producción artística.
• Fotocopia de la actividad 8.
• Hilo de aluminio de varios colores.
• Hilo de cobre de 0,4 mm. (o hilo de nylon de caña de pescar)
• Palillos de madera cilíndricos de aproximadamente 3 mm. de diámetro.
• Separadores de plástico de varios colores.
• Tijeras y lápiz.
Imágenes de una selección de obras de Alexander Calder (Anexo XI)
d) Desarrollo de la actividad 8:
1.1. Comentamos la obra del autor.
Inicialmente se presenta un power point con la obra del autor (ver anexo XI), sin explicar el objetivo de la sesión. Siguiendo el modelo de análisis que proponemos para el tratamiento del arte y la geometría, en esta primera fase inicial nos centramos en buscar que los alumnos lleguen hagan una Descripción objetiva de los elementos que se reconocen en la obra del escultor Alexander Calder, haciendo preguntas del tipo:
o ¿Cuando ves estas imágenes qué ideas te vienen a la cabeza? ¿Qué observas?,¿Qué objetivo tiene la presentación de esta imagen?, ¿Para qué nos servirá en clase de matemática?, ¿Identifiques objetos geométricos?, etc.
Posteriormente, en la segunda fase intentamos que los alumnos puedan observar las diferentes obras y puedan evocar sentimientos y emociones que les transmite el autor con su obra, mediante preguntas del tipo:
o ¿De donde crees que las hemos sacado?, ¿Dónde las podrías encontrar? ¿Qué podría ser?, ¿qué me sugiere?, ¿qué me recuerda?, ¿qué me provoca?, etc.
Finalmente, en la tercera fase se busca que los alumnos hagan un intento de síntesis de los objetos geométricos y artísticos observados, centrado en la pregunta: ¿Qué título le pondrías? Obviamente se hace antes de haber comunicado cual es el título que le puso el autor.
1.2. Descripción por parte de la maestra de la obra haciendo referencia a:
En un segundo momento y después del trabajo inicial sobre la evocación de las ideas previas de los estudiantes y de la verbalización de las emociones se presentan las obras seleccionadas del autor con sus títulos y se les ofrece a los estudiantes la posibilidad de que ellos utilicen los conceptos que hemos venido estudiando en las actividades anteriores (polígonos y figuras geométricas planas) en la creación de una escultura con las características que nos ofrece Alexander Calder, como son los móviles.
Para motivar la investigación de la obra de Alexander Calder y la de otros escultores que permiten el estudio de estos conceptos geométricos, les proporcionamos a los estudiantes la ficha de la actividad en la que de manera dinámica se esbozan los rasgos más importantes de este pintor, presentando su fotografía, su firma y pactamos con los alumnos que en próximas sesiones ellos mismos presentaran otras pinturas de su obra y de otros autores que nos ayudaran en el estudio de estos conceptos geométricos.
Motivación para investigar de forma individual sobre:
a. Características más importantes de la vida y obra de este escultor americano, centrándonos más en la relación con las matemáticas (Geometría).
b. Proponer y justificar otros artistas y obras concretas que nos ayuden a estudiar este tema: polígonos, clasificación de polígonos y, en general, figuras geométricas planas.
1.4. Creación de la producción artística: móviles.
Queremos resaltar que la actividad plástica que requiere la construcción de los móviles es bastante laboriosa y entretenida. Por tanto sugerimos que se desarrolle de manera coordinada con el/la profesor (a) de plástica. Las pautas para la construcción y justificación de la escultura es la siguiente:
Diseñar la escultura o móvil con papel y lápiz.
Trazar diferentes tipos de polígonos con lápiz y regla en los separadores. Esta fase es preciosa porque ayuda a que los alumnos construyan de manera libre polígonos y figuras geométricas en forma no prototípica, saliéndose de los ejemplos o prototipos tradicionales que se trabajan en el aula de primaria.
Clasificar los polígonos, registrarlos en una tabla y justificar su clasificación.
Recortar los polígonos y las figuras geométricas planas construidos.
Montar el móvil con el material proporcionado.
Esta actividad está muy relacionada con las actividades 2, 3, 4 y 5. Tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las características y propiedades de los objetos geométricos de una dimensión (líneas poligonales cerradas y el concepto de perímetro) y dos dimensiones (polígonos, figuras planas en general y el concepto de superficie de una figura plana) y desarrollar razonamientos matemáticos sobre las relaciones geométricas.
• Fotocopia de la actividad 9.
• Papel cuadriculado o milimetrado
• Tangram de cuatro piezas de cartulina recortable.
• Tijeras, lápiz, regla y pegamento.
Producción individual, trabajo en grupo pequeño, descripción y justificación en gran grupo.
d) Desarrollo de la actividad 9:
Esta actividad es complementaria a las actividades 2, 3, 4 y 5. Lo que nos interesa es ayudar a los estudiantes a construir las relaciones entre objetos geométricos unidimensionales y bidimensionales. En este sentido el diseño de las situaciones que hemos propuesto en estas actividades permite que los estudiantes en un entorno de juego y diversión, como es la manipulación de las piezas del Tangram puedan llegar a argumentar y a consolidar la definición de los conceptos de perímetro y superficie de una figura plana que consideramos funcionales para resolver problemas de la cotidianidad y, para dotar de significados a los procedimientos y formulas que generalmente le proporcionamos sin ningún tipo de razonamiento.
La primera parte de la actividad está centrada en la construcción del Tangram de 4 piezas, se les puede plantear a los estudiantes que construyan un cuadrado de 10 x 10 cm. y plantearles una situación abierta como: “Divide este cuadrado en cuatro partes iguales que tengan la misma forma y el mismo área”. Esta situación problema da mucho juego y algunas de las respuestas que pueden dar los alumnos son:
Posteriormente, nos quedamos con el tangram de 4 piezas que está formado por las diagonales del cuadrado y lo construimos con cartulina y lo recortamos, así:
Una vez recortado, hemos de decidir si queremos trabajar simultáneamente medida indirecta o medida directa del perímetro de las figuras que formaremos y de su área. En este caso, sería necesario que una de las caras del tangram sea de papel cuadriculado o milimetrado, de tal forma que los alumnos puedan hacer una medida directa de las dimensiones de las piezas. Seguidamente, los alumnos en forma individual o en parejas hacen un reconocimiento de las cuatro piezas que forman el tangram y se les pide que identifiquen sus elementos. Al respecto, queremos resaltar que cada una de las piezas es un triángulo rectángulo isósceles 2 que a los alumnos les cuesta diferenciar porque no están en posición prototípica pero que es interesante que aprendan a identificarlos y acostumbrarse a verlos en diferentes posiciones. Por tanto, sus elementos son los siguientes:
La segunda situación pide la relación que hay entre el perímetro del cuadrado y la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles, que es:
Perímetro ■ = H + H + H + H = 4H
Antes de comenzar a mover las piezas, que sería partir de la situación 3, se han de dejar claras las normas del juego y de la solución de las actividades:
1. Siempre se han de utilizar todas las piezas del Tangram.
2. Sólo se tienen que hacer el número de movimiento que se indiquen.
2 Si estáis interesados en consultar una propuesta didáctica sobre el tratamiento del concepto de triángulo, elementos y clasificación, sugerimos la lectura del documento «Taller de Arte y Geometría en el ciclo superior de Primaria:
Triángulos I y II parte» de esta obra.
3. Cada figura que se obtiene se ha de dibujar en la ficha de la actividad, antes de pasar al movimiento de fichas de la actividad siguiente.
4. Se ha de escribir por escrito la solución de cada ejercicio antes de pasar al siguiente.
5. IMPORTANTE: no podemos deshacer la figura obtenida. Es decir, cada movimiento de ficha parte de la figura que se obtiene en el ejercicio anterior y no del cuadrado inicial.
Una posible solución de la situación 3 es:
• Forma y perímetro
• La superficie (las mismas 4 piezas)
Perímetro▲= H + H + C + C + C + C = 2H + 4C
Una posible solución de la situación 4 es:
= H + C + H + C + C + C = 2H + 4C
Una posible solución de la situación 5 es:
= H + C + C + H + C + C = 2H + 4C
Una posible solución de la situación 6 es:
Forma y perímetro Se mantiene:
mismas 4 piezas)
= C + C + C + C+ C + C = 6C
A manera de conclusión y para tener claro a la hora de poner en común los resultados y argumentar las respuestas, queremos resaltar los siguientes aspectos claves de esta actividad:
El trabajo sobre diferentes maneras de representar una figura geométrica plana. Es decir que se representan las figuras en posiciones no prototípicas dando más riqueza a los esquemas conceptuales de los estudiantes.
Se puede visualizar que podemos encontrar figuras con la misma superficie, el mismo perímetro y diferentes formas. Pero de igual manera podemos encontrar figuras con diferentes formas, diferente perímetro y la misma área.
Se trabaja de manera lúdica y manipulativa conceptos tan abstractos como el de perímetro y área de figuras plana
o La potencia de la actividad radica en que de manera concreta y visual los alumnos pueden construir figuras con la misma área porque las piezas que se utilizan siempre son las mismas. Es decir, siempre se mantiene constante la variable área y podemos observar las relaciones que pueden surgir con el perímetro y la forma.
Actividad 10. Cálculo de área de polígonos regulares e irregulares.
Esta actividad tiene como objetivo que los estudiantes puedan analizar las características y propiedades de los objetos geométricos de una dimensión (líneas poligonales cerradas y el concepto de perímetro) y dos dimensiones (polígonos, figuras planas en general y el concepto de superficie de una figura plana) y desarrollar razonamientos matemáticos sobre las relaciones geométricas y el cálculo de áreas y perímetros.
• Fotocopia de la actividad 10.
• Geoplano isométrico y cuadricular (uno por parejas)
d) Desarrollo de la actividad 10:
La primera actividad busca que los estudiantes comprendan y argumenten la diferencia entre perímetro y superficie, es una actividad que se puede realizar ayudándose con el geoplano (reproduciendo en el geoplano los polígonos que aparecen en la trama cuadricular) y calculando de manera directa o indirecta el valor de su perímetro y de su área.
En general, los estudiantes encuentran de manera rápida y bien argumentada la solución, las figuras que tienen la misma superficie son el rectángulo, el triángulo rectángulo- isósceles y el cuadrado que está rotado 45º. Atención con los errores que pueden tener los estudiantes al identificar los polígonos representados en forma no prototípica (en posiciones no convencionales). Los polígonos que tienen el mismo perímetro son el cuadrado de 8 unidades y el hexágono irregular de 8 unidades. Igualmente, atención con los errores en el sistema de referencia de unidad de longitud, más concretamente al considerar la diagonal del cuadrado como una unidad, así:
• En el caso del triangulo rectángulo-isósceles, si tomamos de referencia el segmento que va de clavo a clavo del geoplano o de la trama cuadricular y lo representamos como 1 unidad.
1, 4 unidades
Afirmar que el perímetro del triángulo rectángulo-isósceles es igual a 6 unidades, porque la diagonal es 1,4 unidades y no 1 unidad. Por tanto, el área del triángulo es aproximadamente 6,8 unidades o 7 unidades.
• Igualmente, en el caso del cuadrado girado 45º, cometen el error de considerar que el perímetro es 4 unidades, ya que el perímetro sería aproximadamente 5,6 unidades o 6 unidades.
En lo que respecta a la segunda situación, se presentan una serie de situaciones con una gran potencia visual, representadas en un lenguaje gráfico, que ayudarán a que los estudiantes, progresivamente, deduzcan la ecuación o fórmula o relación para el cálculo del área de paralelogramos: cuadrado, rectángulo, romboide. Nos gustaría llamar la atención sobre las diferencias y relaciones que hay entre el cuadrado y el rectángulo. Recordemos la definición de rectángulo: “cuadrilátero que tiene sus dos pares de lados opuestos paralelos (paralelogramo) y sus cuatro ángulos rectos (90º)”. Hasta aquí podríamos estar hablando del cuadrado y del rectángulo. Sólo podemos distinguirlos cuando se añade que sus cuatros lados tienen la misma longitud o son iguales. Por tanto, no olvidemos que el cuadrado es un rectángulo especial, el que tiene sus cuatro lados de la misma longitud (Ver esquema conceptual de polígonos, ver anexo VIc).
Igualmente, en el ejercicio 3, se plantea una secuencia para que los alumnos deduzcan la ecuación para calcular el área de un triángulo, a partir de la ecuación encontrada y justificada para el cálculo del área de un cuadrilátero. Es importante enfatizar que todo cuadrilátero paralelogramo se puede dividir, por lo menos, en dos triángulos semejantes. Por tanto, el área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo. Así:
A ▄ = b x h
A■ = b x h = l x l
Al trazar una de sus diagonales a los anteriores paralelogramos, obtenemos dos triángulos semejantes. En el caso del rectángulo, se forman dos triángulos rectángulos - escalenos. Por su parte, al trazar la diagonal del cuadrado se forman dos triángulos rectángulos-isósceles y, finalmente, en el paralelogramo romboide, se forman dos triángulos obtusángulos-escalenos (Ver mapa conceptual del concepto de triángulo, anexo VIb).
Por tanto, el área de cada uno de los triángulos que se forma al trazar la diagonal es la mitad del cuadrilátero. Es decir, la mitad del producto de la base por la altura, así:
A ▲ =
Como hemos podido observar al trazar las diagonales de los diferentes paralelogramos de la situación, se obtienen diferentes tipos de triángulos. Sin embargo hemos podido visualizar y podemos generalizar que independientemente del tipo de triángulo, se obtiene que la fórmula o ecuación para calcular su área siempre es la misma: la mitad del área del paralelogramo, que ya en el ejercicio 2, demostramos que independientemente del tipo de paralelogramo es el producto de la base por la altura.
El ejercicio 4, se propone para comprobar si los estudiantes han comprendido conceptualmente el concepto de área de un triángulo. Es una actividad que consideramos visualmente potente porque permite que los estudiantes puedan manipular conceptos que muchas veces los transmitimos de manera acrítica y los alumnos terminan memorizando fórmulas sin significado alguno. Algunos aspectos conceptuales a tener en cuenta de esta actividad son:
1. Encontramos representados cada unos de los triángulos según sus ángulos: el triángulo I es obtusángulo-escaleno, el triángulo II es rectángulo-isósceles y el triángulo III es acutángulo-escaleno (Ver mapa conceptual del concepto de triángulo, anexo VIb).
Al tener un triángulo de cada tipo según sus ángulos, nos encontramos que la actividad permite visualizar lo que ocurre con, por lo menos, una de sus alturas. En el caso de los triángulos acutángulos las alturas SIEMPRE están dentro y en
consecuencia el ortocentro siempre estará en el interior del triángulo. En el caso de los triángulos rectángulos por lo menos dos de sus alturas coinciden con los catetos del triángulo y la tercera es interna, por tanto el ortocentro coincide con el vértice que une los dos catetos. Y, finalmente, en los triángulos obtusángulos dos de sus alturas están fuera y sólo una es interior; en consecuencia, el ortocentro está fuera del triángulo obtusángulo.
1. Los tres triángulos representados en la trama coinciden en tener por lo menos una de las alturas y una de las bases iguales. Por tanto, los estudiantes tendrían que concluir que el área de los tres triángulos es la misma y en cambio el perímetro de los tres triángulos es diferente, ya que la longitud de sus lados es diferente.
Las situaciones 6 y 7, al igual que en las situaciones 4 y 5, buscan que los alumnos puedan llegar al cálculo de áreas de cualquier polígono irregular a partir del concepto de área de un paralelogramo y del concepto de área de un triángulo. Concretamente, se les propone una estrategia de descomposición de los polígonos irregulares en rectángulos o triángulos que puede ser funcional para el cálculo de áreas de objetos de la vida real (superficie de hojas, cartulinas, terrenos, pistas de básquet, su habitación, etc.)
Actividad 11. Suma interna de los ángulos de un polígono:
Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de los ángulos internos de un triángulo suman 180º, independientemente del tipo de triángulo.
Que los alumnos lleguen a deducir, demostrar y argumentar que la medida de los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360º, independientemente del tipo de cuadrilátero
Promover progresivamente e individualmente a los alumnos a hacer conjeturas sobre los objetos geométricos y demostrar dichos argumentos con diferentes tipos de procedimientos: geométrico, algebraico, etc.
Promover el uso de diferentes procedimientos (intuitivo, gráfico o geométrico y algebraico) para abordar la solución de situaciones que involucren diferentes tipos de triángulos mediante el uso de diferentes sistemas de representaciones de los conceptos geométricos utilizados.
• Transportador (uno o más)
• Lápiz y papel de diferentes colores
• Ficha del dossier de la actividad 11.
Trabajo individual y en grupo grande.
d) Desarrollo de la Actividad 11:
A continuación, presentaremos un ejemplo de una secuencia de actividades que buscaba que los alumnos llegaran a demostrar las condiciones suficientes y necesarias que ha de cumplir la suma de los ángulos internos de un polígono para que sea un triángulo y para que sea un cuadrilátero. Esta actividad parte de conceptos elementales previamente construidos en el aula por los alumnos como son: los conceptos de segmentos, ángulos, polígonos (triángulos y cuadriláteros), partes y clasificación de triángulos y cuadriláteros.
La primera situación busca de manera progresiva que los alumnos lleguen a deducir y generalizar la condición que han de cumplir la suma interna de los ángulos de un triángulo. Esta actividad tiene un gran peso manipulativo y está estructurada de tal manera que los alumnos si van aplicando los conceptos previos estudiados pueden llegar al enunciado de una definición y a la demostración de la misma, mediante procedimientos geométricos, algebraicos y numéricos.
En general es una actividad que valoramos como positiva porque para todos los alumnos es relativamente fácil llegar a demostrar el teorema de la suma interna de los ángulos de un triángulo, y para nosotras, como maestras, fácil de gestionar la sesión. Sin embargo para que los alumnos puedan resolver la actividad con éxito tenemos que darles algunas consignas que facilitaran sus procesos de definición y demostración:
1. Recordarles que inicialmente tienen que clasificar los triángulos según sus lados y según sus ángulos. Esto permite que los alumnos den importancia a los elementos de un triángulo y a la importancia que tienen a la hora de definir la clasificación de cada uno de los triángulos.
Ordinariamente los alumnos en sus esquemas de triángulo tienden a separar la clasificación de triángulos según sus lados y según sus lados en cajones diferentes, evidenciando errores conceptuales. Así,
a) El triángulo BCA es Rectángulo y escaleno
b) El triángulo EDF es Acutángulo e isósceles
c) El triangulo GHI es obtusángulo y escaleno
2. Antes de recortar cada uno de los triángulos tienen que identificarlos y
representarlos teniendo en cuenta las convenciones matemáticas (ver figura adjunta). Esto permite un trabajo sobre los diferentes sistemas de representaciones y el uso de lenguaje matemático en el aula (geométrico, algebraico y numérico). Un aspecto importante es señalar de manera clara los vértices del triángulo para que después sea más fácil el recortarlos y unir el puzzle de los tres ángulos del triángulo y obtener así un ángulo plano de 180º.
En lo que respecta a la segunda actividad, los aspectos anteriormente descritos les permitirán demostrar la suma interna de los ángulos de un cuadrilátero que siempre es 360º, independientemente del tipo de cuadrilátero. Resaltamos que inicialmente tendríamos que pedir a los estudiantes que clasifiquen los cuadriláteros atendiendo a sus elementos: ángulos y lados (paralelismo de los lados).
5.2 Material para los alumnos (as).
Los documentos ilustrativos de este taller, se encuentran en “El Taller de Arte y Geometría III: líneas (1D), polígonos y otras figuras geométricas planas (2D)”, en la pestaña de desarrollo curricular.
BADILLO, E. y EDO, M. 2007a. «Taller de arte y geometría en el ciclo superior de primaria II: Triángulos (1ª PARTE) ». En C. Tomás y M. Casas (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CD-ROM, 39 pág.
BADILLO, E. y EDO, M. 2007b. «Taller de arte y geometría en el ciclo superior de primaria II: Triángulos (2ª PARTE)». En C. Tomás y M. Casas (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CD-ROM, 25 pág.
BADILLO, E. 2006. Art i Geometria CS. 27ª. Escola d’Estiu del Vallès Occidental. L’educaci, ara. Documento inédito sin publicar.
BADILLO, E. y EDO, M. 2006a. «Taller de arte y geometría II: triángulos. Documentación para el taller». En C. Tomás y M. Casas (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CD-ROM, 45 pág.
BADILLO, E. y EDO, M. 2006b. Els conceptes de triangle, elements i tipus a partir del quadre Tranquil·litat (1930) de Wassily Kandinsky. Guix, 329, 49-57.
BADILLO, E. y EDO, M. 2004a. «Taller de Arte y Geometría en el Ciclo Superior de Primaria I: Ángulos». En C. Tomás y M. Casas (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CD-ROM, 28 pág.
BADILLO, E. y EDO, M. 2004b. «Taller de Arte y Geometría I: Documentación para el taller», Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En C. Tomás y M. Casas, (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Wolters Kluwer Educación. Barcelona. CDROM, 35 pág.
BADILLO, E. 2003a. La Matemática como herramienta para interpretar y crear Obras de Arte. Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas (JAEM).
BADILLO, E. 2003b. La derivada como objeto matemático y como objeto de enseñanza y aprendizaje en profesores de matemática de Colombia. Tesis Doctoral. Universitat Autònoma de Barcelona.
CASTELNUOVO, E. 1981. La matemática. La Geometría. Barcelona: KETRES EDITORA S.A.
DUBISNKY, E. et al. 1997. A Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathemathics Education. Research in Collegiate Mathemathics Education. 2, 1-32.
EDO, M. 2003. Intuir nociones geométricas desarrollando emociones estéticas. Ponencia núcleo temático 3. Actas de las XI Jornadas sobre el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas (JAEM).
EDO, M. 2000. Mundo matemático. Formas en el espacio. En: Anton, M. y Moll, C. (Coord.). Educación infantil. Orientaciones y recursos (0-6 años). Barcelona:
CISSPRAXIS. SA, pp. 301-409.
EDO, M. 1999. “Reflexiones para una propuesta de geometría en el parvulario”, en Suma, 32, pp. 53-60.
EDO, M. y GÓMEZ, R. 2006. «Matemática y arte en infantil a partir del cuadro “Bailando por miedo” de Paul Klee», Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En: M. Antón, y B. Moll (coord.). Educación Infantil. Orientaciones y Recursos (0-6 años). Barcelona: CISSPRAXIS.
GRUPO CERO. 1996. MATEMÁTICAS. IV TERCER ciclo. Materiales curriculares para la educación primaria 6-12 años. Madrid: MEC-EDELVIVES.
NTCM.
ONRUBIA, J. et al. 1999. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: una perspectiva psicológica. En: Coll, C., Palacios, J., Marchesi, A. (Comp.). Desarrollo psicológico y educación 2. Psicología de la educación escolar. Madrid: Alianza. P. 487-508.
TORRES, M., y JUANOLA, R. 1998a. Dibujar: mirar y pensar. Consideraciones sobre educación artística. Barcelona: Rosa Sensat.
TORRES, M., y JUANOLA, R. 1998b. Una manera de enseñar artes plásticas en la escuela. 140 ejercicios para educación infantil y primaria. Barcelona: Rosa Sensat.
7. Listado de anexos:
Anexo I. Imagen de los cuadros de Wassily Kandinsky: Fig. 1 a) Amarillo, rojo y azul (1925) y Fig. 1 b) Composición VIII (1923)
Tranquilidad de Wassily Kandinsky.
Anexo III. Descripción de los aspectos más relevantes sobre la vida y obra de Wassily Kandinsky.
Anexo IV. Presentación del taller de Arte y Geometría.
Anexo V. Mapa conceptual sobre líneas.
Anexo VI. Mapa conceptual sobre polígonos. VI a) Polígonos en general, VI b) Triángulos y VI c) Cuadriláteros.
Anexo VII. Tarjetas para plastificar con dibujos en Tangram.
Anexo VIII. Tangram recortable.
Anexo IX. Breve historia del Tangram
Anexo X. Esquema conceptual sobre círculo y circunferencia.
Anexo XI. Imágenes de una selección de obras de Alexander Calder.
Kandinsky, W. (1925). Amarillo,rojo y azul 3
3 Anexo I. Cuadro para estudiar los conceptos de línea y polígonos en 5º de primaria.
Kandinsky, W. (1923). Composición VIII 4
4 Anexo I. Cuadro para estudiar los conceptos de línea y polígonos en 6º de primaria.
Interpretación personal 5
1. ¿Qué significado tiene esta imagen? ¿Qué podría ser?
2. Colócate en el lugar del pintor, y, piensa sobre: ¿Qué ideas o
sentimientos crees que quiere transmitir con esta obra?
3. ¿Qué podemos destacar de los colores, la intensidad de
colores, la posición y colocación de las líneas, la secuencia de
las líneas, del fondo? ¿Cuántos planos ves? ¿Cuál crees que es
el principal y por qué, etc.?
4. ¿Qué palabras podrían salir en el título de este cuadro? ¿Qué
Descripción de los aspectos más relevantes sobre la vida y obra de Wassily Kandinsky. 6
Biografía: nació en Moscú, en el seno de una familia acomodada, y aunque pasó más de la mitad de su vida en Alemania y Francia, conservó un fuerte vínculo emocional con su ciudad. Durante sus primeros treinta años, la pintura sólo fue la afición apasionada de un joven soñador y romántico, pero convencional. Estudió Derecho y Economía, y su brillante carrera académica le deparó una cátedra en Estonia, a la que renunció para trasladarse en 1896 a Munich y dedicarse a la pintura.
(1896) Renuncia a su carrera exitosa como economista y abogado y se traslada a Munich para dedicarse a la pintura.
(1901) Se transforma en animador de pequeñas asociaciones de artistas modernos que promueven exposiciones. Phalanx, fundado en este mismo año, es el primero de esos grupos, que expone obras impresionistas,. simbolistas y modernistas, las tres influencias más visibles en los primeros cuadros de Kandinsky.
(1916-1908) Viaja por Europa en compañía de Münter y expone en los Salones de Otoño y de los Independientes en París, donde conoce el fauvismo y el cubismo.
(1909) En ese año funda la Nueva Asociación de Artistas de Munich, conocida por sus siglas en alemán NKVM con Jawlensky, Kubin y Münter entre otros, al tiempo que empieza a fraguarse el entramado ideológico que desembocará en la abstracción.
(1912) Abandona la NKVM para fundar junto con Jawlensky y Münter El Jinete Azul. Conoce a Paul Klee, entre otros pintores contemporáneos famosos.
(1914) El estallido de la Primera Guerra Mundial en 1914 devuelve a Rusia, donde la Revolución de 1917 promueve una de las vanguardias artísticas más activas y singulares del siglo
(1917) Se casa con Nina Adreevsky, su segunda y definitiva esposa, y cuatro años después vuelve a Alemania en un viaje de trabajo del que no retornará.
(1922-1933) Walter Gropius le ofrece formar parte del claustro de la Bauhaus, donde dirigirá el Taller de Pintura Decorativa y el curso de iniciación. Allí se reencontró con su amigo Paul Klee, y junto con él, Jawlensky y Feininger formarán Los Cuatro Azules. Durante estos años la obra de Kandinsky se disciplina; al color se añade la geometría y la interacción de la forma, y su pintura se aprovecha de las múltiples tendencias que coinciden en distintos momentos en la Bauhaus.
(1933) Obligado a abandonar Alemania por el ascenso del nazismo, que incluye su obra en la siniestra nómina del arte degenerado, se instala en Neully, cerca de París. Allí espera encontrar un clima propicio, pero la escena francesa está entonces dominada por corrientes poco afines a la abstracción.
(1944) Muerto en este año, no pudo ver su definitiva
consagración tras el triunfo de la abstracción en los años de posguerra. Sus últimas obras se alejan de la geometría de la Bauhaus, optando por formas orgánicas y
biomórficas.
Presentación del Taller 7
TÍTULO: Los conceptos geométricos como una herramienta para interpretar y crear obras de arte.
conocidas para la
introducción, construcción y evaluación de conceptos geométricos (conceptual).
o Interpretar obras de arte conocidas a partir de la aplicación de los conceptos geométricos desarrollados (conceptual/procedimental).
o Crear y justificar producciones artísticas como resultado de la aplicación de los conceptos geométricos desarrollados (procedimental/ conceptual).
o Conocer y valorar los elementos conceptuales, históricos y biográficos de los autores de las obras seleccionadas (actitudinal).
Es una línea poligonal con fondo… Es una figura geométrica plana.
Según el número de lados y ángulos pueden ser:
Polígonos de 3 lados, 3 vértice y 3 ángulos
Polígonos de 4 lados, 4 vértice y 4 ángulos
Polígonos de 5 lados, 5 vértice y 5 ángulos
Polígonos de 6 lados, 6 vértice y 6 ángulos
Polígono o figura geométrica plana
Ninguna Diagonal
1 lado diferente
Se clasifican según sus:
2 ángulos agudos
Anexo VI c
2 parejas de lados opuestos paralelos
Se clasifican según sus lados y ángulos:
NINGÚN lado paralelo
4 lados iguales y 4 ángulos rectos.
2 lados iguales (entre si) y 4 ángulos rectos
ángulos agudos y 2 ángulos obtusos
2 lados iguales (entre si)
2 lados opuestos paralelos
Todos los lados diferentes y NO paralelos Ángulos agudos y obtusos
lados opuestos NO paralelos
ángulos agudos y 2 obtusos
FIGURAS PARA CONSTRUIR CON EL TANGRAM 9
TANGRAM RECORTABLE PARA LA ACTIVIDAD DE PLÁSTICA 10
10 Anexo VIII
Breve historia del Tangram 11
El Tangram (chino: , pinyin: qī qiǎo bǎn; "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría") es un juego chino muy antiguo, consistente en formar siluetas de figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Las 7 piezas llamadas Tans, que juntas forman un cuadrado, son las siguientes:
• 5 triángulos de diferentes tamaños, 1 cuadrado y 1 paralelogramo romboide
11 Anexo IX
Línea curva cerrada con la misma distancia desde el CENTRO.
Sólo tiene longitud.

References: resolución 
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