Source: https://www.scribd.com/document/106412098/Analisis-y-Resolucion-de-Circuitos-III
Timestamp: 2018-10-23 18:56:53+00:00

Document:
INFORME N°1 laboratorio de circuitos electricos I
practik 1 apli
Métodos de Análisis de Circuitos
Leyes de Kirf
Trabajocolaborativo1 Guia 2014 01
Yael Circuitos
1495568324_45__Clase%252B1.5.pdf
Lección de Circuitos Rc
Tema 5 Flujo de Gas a Través de Medios Porosos - Copia
1.1- Enunciado de las Leyes de Kirchhoff. Definición de Nodo y Lazo Cerrado. Las Leyes de Kirchhoff son el punto de partida para el análisis de cualquier circuito eléctrico. Sin embargo, antes de proceder al enunciado de las mismas, es menester definir lo que es un nodo y un lazo cerrado en un circuito eléctrico. Se denomina nodo a todo punto perteneciente a un circuito donde se unen dos o más elementos. En el circuito de la Figura 1.1 pueden identificarse cuatro nodos, indicados con las letras A, B, C y D.
Previo a determinar el concepto de lazo o camino cerrado, debe definirse que es una rama. Como primera definición, puede decirse que una Rama es todo camino que une dos nodos. Ante esto y siguiendo con el circuito de la Figura 1.1 se observa que el mismo esta constituido por 6 ramas: AD, AB, BC, CD y CD nuevamente, tal como se indica en la Figura 1.2:
El nodo D se extiende a lo largo de toda la parte inferior del circuito. Esto se debe a que cualquier segmento de línea continuo en un diagrama circuital debe interpretarse siempre como una conexión de resistencia nula. También puede establecerse desde un punto de vista eléctrico que en un nodo solo puede fijarse una única tensión, mientras que por una rama siempre circula una única corriente. Ahora puede determinarse que es un lazo cerrado. Comenzando en un nodo cualquiera, se establece un Lazo Cerrado, al ir uniendo distintas ramas de un circuito, y llegar al nodo de partida, sin haber pasado más de una vez por cualquier nodo intermedio. Pueden determinarse en el circuito de la Figura 1.1 cinco lazos cerrados: - Ug, R1, R3, R5 - Ug, R1, R3, R4 - Ug, R1, R2 - R2, R3, R4 - R4, R5
Por convención se toma con signo positivo las corrientes entrantes al nodo y con signo negativo las salientes. 2 . la suma de cargas que llegan a ese nodo por unidad de tiempo debe ser igual a la suma de cargas que dejan dicho nodo. por el momento alcanzan a los fines de poder enunciar las Leyes de Kirchhoff. identificando previamente cada elemento que compone el circuito. La primer Ley de Kirchhoff o Ley de Kirchhoff para la corriente.2 representa una suma algebraica.2) La expresión 1. Ejemplo 1. hallar las corrientes y tensiones en cada resistencia. Por convención se le asigna con signo positivo a un aumento de tensión y con signo negativo a una caída. La manera de escribir en forma de ecuación a la 2° Ley de Kirchhoff. como un nodo se halla siempre sobre un conductor ideal y estos no pueden almacenar cargas eléctricas. Como la ecuación 1. Esto implica que se considera a los conductores como “reales”.2 es la manera de enunciar en forma de ecuación a la 1° Ley de Kirchhoff. Tomando la definición de corriente que es la velocidad de variación de carga respecto del tiempo: i (t ) = Por lo expresado anteriormente se tiene que: dq (t ) dt (1. sin embargo más adelante se reverán estos conceptos. establece que: “L a suma algebraica de todas las corrientes en cualquier nodo de un circuito. es igual a cero” En la definición de rama. es igual a cero” Como en la primer Ley. aplicando las Leyes de Kirchhoff. es decir. no disipan energía. Estas definiciones. y se ha cerrado el lazo pasando solo una vez por algún nodo intermedio. se extiende a lo largo de todo el conductor debido a que un segmento de línea continuo en un diagrama circuital se considera como una conexión de resistencia cero. Ahora bien. no concatenan campo magnético y no almacenan cargas eléctricas.3.En todos los casos se ha tomado como nodo de partida al D. debe asignarse un signo algebraico a las tensiones a lo largo del recorrido del lazo cerrado. La Segunda Ley de Kirchhoff o Ley de Kirchhoff para la Tensión. está dada por la siguiente expresión: ∑U k =1 n k (t ) = 0 (1.1: En el circuito de la Figura 1. el nodo D.1) ∑i k =1 n k (t ) = 0 (1. aplicando las Leyes de Kirchhoff e identificando los elementos que componen el mismo. establece: “La suma algebraica de todas las tensiones a lo largo de cualquier camino cerrado en un circuito. debe asignarse un signo algebraico a cada corriente en el nodo.3) Se analizará ahora un circuito simple.
C y D. Aplicando la 1° Ley de Kirchhoff a los cuatro nodos: nodo A: nodo B: nodo C: nodo D: I1 – IUg = 0 I1 + I2 + I3 = 0 . R3. con lo cual se debería contar con 6 ecuaciones.IUg – Ig – I3 = 0 (1. se observa el circuito indicando los nodos y corrientes que circulan por cada rama.6) (1. R2. En la Figura 1. suponiendo el sentido indicado. Ug. 3 lazos cerrados. la cual se vuelve a escribir a continuación: I 1 + Ig + I 3 = 0 (1. IR3.6) que I1 = IUg e Ig = I2 con lo cual puede concluirse que cuando un nodo conecta únicamente dos elementos. UR2 y UR3. las cuales son IR1.4) (1.Ug -R2-I2. En primer lugar se deben identificar los elementos que componen el circuito: 4 nodos señalados con las letras A.8) 3 . I2.4.7) Se observa de las ecuaciones (1.A priori. I2-R2-R3. la corriente que circula por uno de ellos es idéntica y de igual sentido que la corriente que circula por el otro. R1. B. R1. IR2.4) y (1. UR1. se está en presencia de 6 incógnitas. 5 ramas identificadas con los elementos que contienen.I2 + Ig = 0 . R1. Aplicando esta noción a fines prácticos de la resolución del circuito.5). la única ecuación útil es la (1.5) (1.Ug -R3.
17) El signo negativo de I3 indica que la circulación de corriente por la resistencia R3 es contraria a la supuesta inicialmente. Sin embargo se ha sumado una incógnita más que es UCD (la tensión en bornes de la fuente de corriente). 1.15) I3 = Entonces I3 valdrá: IgR1 + Ug − ( R1 + R3 ) (1. El circuito divisor de tensión se muestra en la Figura 1. Solo resta conocer I1 e I3. Sin embargo.10) (1. conociendo la corriente en una resistencia. así que tomando la ecuación del nodo B y la ecuación del lazo 2.Hasta ahora se cuenta solo con una ecuación y con 6 incógnitas. por lo tanto. Aún se precisan 2 ecuaciones más.13) I 1 = Ig − I 3 (1.2 – El Circuito Divisor de Tensión y el Circuito Divisor de Corriente. se obtiene: Lazo 1: Lazo 2: Lazo 3: I1R1 – Ug – IgR2 + UCD = 0 (1. se cuenta con los denominados circuitos divisores de tensión o corriente. Si se aplica la 2° Ley de Kirchhoff a los lazos cerrados del circuito. o disminuir la corriente que circula por una resistencia. aplicando la Ley de Ohm.14) − IgR1 − I 3 R1 − Ug − I 3 R3 = 0 (1.12) (1.5: 4 .9) I1R1 – Ug – I3R3 = 0 – IgR2 + UCD + I3R3 = 0 (1.11) Se cuenta con 4 ecuaciones. es un dato conocido. Ante estos requerimientos. solo debe optarse por una incógnita por cada resistencia. I2. con lo cual se está en condiciones de poder resolver el problema. De esta forma hay un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas. se conoce en forma directa la tensión en dicho elemento. Como el generador de corriente impone la corriente en la rama. según sea el caso. queda establecido el sistema de ecuaciones necesario: I 1 + Ig + I 3 = 0 I 1 R1 − Ug − I 3 R3 = 0 Desarrollando: (1.16) I3 = − IgR1 + Ug ( R1 + R3 ) (1. En algunas aplicaciones es necesario contar con diferentes tensiones a partir de una sola fuente independiente de tensión. De esta manera se disminuye el número de incógnitas de 6 a 3.
no se ha conectado ninguna carga.20) La ecuación (1. Teniendo Ug como punto de partida y Us como meta.18) I Ug = Aplicando la Ley de Ohm para calcular Us: Ug R1 + R2 (1. esta fracción será siempre menor a 1. Analícese ahora el circuito de la Figura 1. suponiendo que en bornes de R2. en este caso IUg. por simple inspección. habrá un número infinito de combinaciones de R1 y R2 que generarán la razón apropiada para la tensión de salida deseada. Como es obvio. Aplicando La 2° Ley de Kirchhoff al lazo cerrado. pero considerando la resistencia de carga: La expresión de la tensión de salida está dada en este caso por la siguiente expresión: Us = Req R1 + Req Ug (1.Analizando este circuito aplicando las Leyes de Kirchhoff.5.20) indica que Us es una fracción de Ug.21) 5 .19) U S = I Ug R2 = Ug R2 R1 + R2 (1. por lo tanto la tensión de salida Us es siempre menor que Ug. la corriente que circula por R1 y R2 es la misma. se obtiene: Ug = I Ug R1 + I Ug R2 con lo cual la corriente que circula por el lazo está dada por: (1.
donde la Req es: Req = R2 RC R2 + RC (1.23) se transforma en la ecuación (1. Está compuesto por dos resistencias en paralelo a través de una fuente de corriente. El circuito divisor de corriente se ilustra en la Figura 1.26) Las ecuaciones (1.22) reemplazando la ecuación (1. Este Circuito se diseña a los fines que la corriente que entrega la fuente se divida y solo la porción deseada de esta sea aplicada a la resistencia R2. 6 .22) en la expresión de Us: Us = R2 Ug R1 (1 + ( R2 / RC )) + R2 (1. no perturba la razón Us / Ug.24): IgR1 R2 R1 + R2 (1.20) cuando RC →∞ esto indica que mientras se cumpla que RC >>R2 la inclusión de la carga en el divisor de tensión.26) muestran que la corriente Ig.23) La ecuación (1.25) I2 = (1.7. se divide entre las dos resistencias en paralelo de tal forma que la corriente en cualquiera de ellas es igual a la corriente que entra al par en paralelo multiplicada por la resistencia en la otra rama y dividida por la suma de las resistencias. La tensión en las resistencias está dada por la siguiente expresión: U = I 1 R1 = I 2 R2 = Separando las igualdades de la ecuación (1.25) y (1.24) I1 = IgR2 R1 + R2 IgR1 R1 + R2 (1. Aplicando la Ley de Ohm y la Ley de Kirchhoff para la corriente se pueden hallar las corrientes que circulan en ada resistencia.
ya que cumple con sus dos principios necesarios: la aditividad y la homogeneidad. por ende esta última es lineal.27) La ecuación (1. sin embargo la Ley de Ohm es lineal y todas las operaciones aplicadas a la ecuación (1.27) es una función lineal. son a su vez funciones lineales. al recorrer un lazo cerrado. se cuenta con una infinidad de combinaciones entre R1 y R2 a los fines de poder obtener la corriente deseada que circule por la resistencia de carga. Análogamente se procede con la ecuación (1. sin embargo esto no afectará el resultado final al cual quiere arribarse y se omiten a los fine de facilitar el desarrollo. La ecuación (1.27) es lineal. no son más que la derivada o la integral de una función lineal.Ante esto y como en el caso del divisor de tensión.2) De esta forma puede verificarse que las Leyes de Kirchhoff son expresiones lineales.27) no es más que la 2° Ley de Kirchhoff aplicada junto a la Ley de Ohm. una red pasiva compuesta por elementos lineales y una carga RC: 7 .3 . sino toda la expresión en general. ¿Cómo se aplican estas aseveraciones a la resolución de circuitos? Supóngase un circuito como el de la figura. consecuentemente (1. 1.28) Por simple inspección puede aseverarse que se trata de una función lineal. De esta manera la ecuación (1. Estos casos desde un punto de vista matemático (desde el punto de vista de la resolución de circuitos se verá a continuación). Sea un lazo cerrado constituido por elementos activos y pasivos. No se está analizando las funciones ik(t) en particular. Estas dos operaciones (la derivada y la integral). Si: principio de aditividad f(ax) = a f(x) principio de homogeneidad El segundo y tercer término (la parte dinámica) de la ecuación (1.27). Siendo rigurosos los elementos constantes como R. por lo cual la función resultante sigue siendo lineal.3) puede transformarse en una expresión más genérica: dik (t ) n 1 t ∑U k (t ) = ∑ R ik (t ) + ∑ L dt + ∑ C ∫ ik (t ) dt k =1 k =1 k =1 k =1 −∞ n n n (1.27) son lineales. Se asevera que la ecuación (1.Las Leyes de Kirchhoff y la Linealidad: Aditividad y Homogeneidad. No debe perderse el objetivo al cual quiere arribarse. son en esencia. L y C. la Ley de Ohm aplicada a un inductor y un capacitor. compuesto por una excitación Ug.27) en su expresión más elemental: U =I R (1. deberían estar afectados también del subíndice k. Si se analiza la Ley de Ohm solo para la parte estática de la ecuación (1.27) es una suma de funciones lineales. Alguna función o todas las ik(t) pueden ser funciones no lineales.
La “cancelación” de una fuente de energía. si la suposición fue correcta. la respuesta total del sistema es la suma de todas las respuestas individuales. Es decir IRc = K IS. anulando todas las demás. para la resolución de circuitos engorrosos. siempre que se excita un sistema lineal con más de una fuente de energía independiente. simplemente extraerla del sistema. debido a que trabajamos con sistemas lineales.29) Esta constante K.9: 8 . De esta manera cuando se trabaja con una fuente independiente de tensión. Cabe aclarar que la suma de las respuestas individuales debe efectuarse respetando el signo de cada una de ellas. lo que se debe anular es la intensidad que circula por la rama que la contiene. se debe obtener entre los bornes AB. Establece que. una tensión UAB de igual magnitud que la de la excitación.Si se establece en forma arbitraria que por RC circula una corriente IS y se recorre la red desde la resistencia de carga hacia la excitación. sino anular su aporte de energía al circuito. donde cada respuesta individual es la interacción del sistema a una sola fuente. será la misma que se utilizará para obtener la verdadera corriente que circula por la carga RC. Para la fuente de tensión esto se logra cortocircuitando sus bornes. varía según el tipo de fuente y no significa (como se verá a continuación). Este es el principio de aditividad o superposición. lo que se debe anular es la diferencia de potencial entre sus bornes. Para cancelar la intensidad que entrega al circuito una fuente de corriente. Aunque esta manera de resolución es muy engorrosa. El Principio de Superposición es la característica más relevante de un sistema lineal y una herramienta fundamental para el análisis de circuitos. Cuando el caso es una fuente de corriente. ya que permite simplificar en forma notoria la resolución de problemas. al multiplicarla por IS. 2. el cual da origen al teorema que lleva su nombre y que combinada con otros métodos se convierte en una herramienta de gran utilidad. se debe dejar a circuito abierto la rama que la contiene. obteniendo de esta manera una diferencia de tensión nula entre los mismos. El Principio de Superposición. al llegar a Ug. Esto se ilustra en la Figura 1. es necesario que se cumpla a los fines de poder aplicar el segundo principio. De esta manera se cumple con el principio de homogeneidad o escalamiento establecido precedentemente. En caso contrario la diferencia entre Ug y UAB será una constante K tal que se verifique: Ug = K U AB (1.
Ejemplo 2. se ejemplificará la aplicación del Principio de Superposición.Tomando el circuito de la Figura 1. Si se cortocircuitan los bornes de Ug se obtiene el circuito siguiente: 9 .3. Como primer paso se debe anular una fuente de energía.1: Calcular la corriente que circula por la resistencia R3 aplicando el Principio de Superposición. Se opta por la fuente de tensión.
31): (1. Aplicando Las Leyes de Kirchhoff al nodo A y al lazo cerrado R1-R3: I '1 + I ' 2 − I ' 3 = 0 (1. con lo cual no circula corriente y puede desafectarse del circuito la rama I2 – R2. R2 también queda a circuito abierto.30) y reemplazando en (1. indica que las mismas.12 compuesto solo por un lazo cerrado por el cual solo circula una corriente: I”1 = I”3 (1. De esta forma se obtiene el circuito de la Figura 1.La notación de las corrientes con una comilla.31) ( I '3 − I ' 2 ) R1 − I '3 R3 = 0 (1.30) I '1 R1 + I '3 R3 = 0 Despejando I1’ de (1.32) I '3 = I ' 2 R1 ( R1 + R3 ) (1.33) es la expresión de la corriente que circula por la resistencia R3 solo por la causa de la acción de la fuente de corriente.34) 10 .33) La ecuación (1. son debidas exclusivamente a la acción de la fuente de corriente Ig. poniendo uno de sus bornes a circuito abierto: Al abrir uno de los bornes de la fuente de corriente. Ahora anulando la fuente de corriente.
14.38) Donde I’2 no es más que la intensidad que entrega la fuente de corriente.39). es decir Ig: I3 = IgR1 + Ug ( R1 + R3 ) (1. se pretende hallar la componente de Us debido a la acción de la fuente de tensión. impone la corriente sobre la rama que contiene la resistencia R3. Ahora todas las magnitudes intervinientes.17) salvo el signo negativo de esta última debido a la suposición errónea del sentido de circulación. ambas componentes de I3: I3 = I’3 +I”3 (1.35) (1.39) Como era de esperar la ecuación (1. no constantes. es que estás nunca se desactivan. hallar Us aplicando el principio de superposición. Una consideración importante al aplicar el Principio de Superposición a circuitos que contienen fuentes dependientes. El siguiente ejemplo sirve para aplicar esta aseveración Ejemplo 2.2: En el circuito de la figura. Ahora la fuente dependiente de corriente.Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff al lazo cerrado del circuito obtenido: − Ug + I "3 ( R1 + R3 ) = 0 I "3 = Ug ( R1 + R3 ) (1. abriendo uno de sus bornes. De esta manera debe cumplirse que: 11 .36) Solo resta sumar respetando su signo. Como primer paso. Para esto se debe anular la acción de la fuente de corriente. por la ausencia de la fuente de corriente. obteniéndose el circuito de la Figura 1. es idéntica a la ecuación (1.37) I3 = I ' 2 R1 Ug + ( R1 + R3 ) ( R1 + R3 ) (1. llevan el índice prima.
40) es que U’3 =0 lo que implica que por R3 no circula corriente o en otras palabras las fuentes dependientes se hallan a circuito abierto.40) De esta forma la única solución posible para la ecuación (1. Analizando el lazo cerrado compuesto por Ug. R1 y R2: − Ug + I '1 R1 + I '1 R2 = 0 I '1 = Ug ( R1 + R2 ) (1.4U "3 − I " R 2 = 0 (1.U '3 = ( 0. obteniéndose el siguiente circuito: Aplicando la 1° Ley de Kirchhoff a los nodos A y B: I "1 +0. se desactiva la fuente de corriente cortocircuitando sus bornes.42) U ' s = I '1 R2 ⇒ U's = UgR2 ( R1 + R2 ) (1.41) (1.44) 12 .4 U '3 ) R3 (1.43) Como próximo paso.
47) (1. De la misma manera. es que circule por ellos la misma corriente.1. se llega a la misma conclusión que al especificar un nodo esencial.4 R3 U"s = (1. no son más que elementos que se encuentran en serie. la rama y el camino o lazo cerrado. un lazo cerrado es todo camino que se recorre uniendo distintas ramas de un circuito sin haber pasado más de una vez por cualquier nodo intermedio y llegar al nodo de partida. aunque si debió tenerse en cuenta la variación de los parámetros a los cuales las mismas estaban afectadas. Debe observarse que al aplicar el Principio de Superposición.4U "2 + I " R 3 Donde: (1. cuando se describió el nodo. Antes de comenzar con la descripción del Método de Nodos.48) Reemplazando: U"s U"s + 0. Por último. se observa que la corriente que entra a un nodo formado por la unión de dos elementos es la misma que sale.4U "3 − =0 ⇒ R1 R2 U" I 2 − 0. Un nodo está definido como la unión de dos o más elementos.4 R3 )( R1 + R2 ) (1. como todo tipo de lazo cerrado que en su recorrido no contenga otro lazo. 3. Así los elementos que quedan incluidos dentro de una rama.46) (1. en ningún instante se anularon las fuentes dependientes. ante lo cual este tipo de nodos pierden interés para el análisis circuital.4U "3 R1 R2 ( R1 + R2 ) I 2 R3 U "3 = 1 + 0.49): 0.1. Sin embargo en el Ejemplo 1. Solo se considerarán los nodos que unen tres o más elementos. Volviendo a dibujar el circuito de la Figura1.50) U"s = 0.I 2 = 0.4U "3 − 3 = 0 ⇒ R3 Sustituyendo la ecuación (1.51) Sumando las componentes Us’ y Us” se obtiene la tensión Us buscada. Método de Nodos. Como nueva definición se introduce el concepto de Malla. al anular alguna fuente independiente. ahora este elemento queda determinado por la unión de dos nodos esenciales.4 I 2 R3 R1 R2 (1 + 0. es conveniente reformular las definiciones vistas en la Sección 1.45) U"s R1 U"s I "R 2 = R2 U" I "R3 = 3 R3 I "1 = (1.49) (1. llamándose a estos “nodos esenciales”. considerando que la rama queda definida por la unión de dos nodos.1: 13 .50) en la (1. Recordando que la condición primordial que define una configuración serie.
En primer lugar se deben identificar los nodos del circuito. R2. R2. cuyas incógnitas son las tensiones de nodos desconocidas. En el siguiente ejemplo se aplican estos conceptos. R4. deben hallarse las tensiones UA y UB. Esto es. Se asignan las tensiones U1. R4. en términos de las tensiones de nodo. R1. nodos y mallas. donde las incógnitas son las tensiones de nodo. El número de nodos.1) las mallas obteniendo de esta manera las ecuaciones necesarias. Este nodo recibe el nombre de Tierra. R1. al que confluyen mayor número de ramas. R3. Uno de estos nodos debe establecerse como nodo de referencia. se obtienen las n-1 ecuaciones simultáneas. expresando la corriente que circula por cada rama. De esta forma. el Método de Nodos. R3. Aplicando La Ley de Kirchhoff para la corriente a los n-1 nodos.1) ecuaciones restantes. CD. Con estos conceptos. En forma sintética. pueden identificarse los siguientes elementos: tres nodos esenciales: B. considerando un circuito de n nodos: . 14 .Debe optarse por un nodo de referencia. CD. R1. R5. R4. omitiéndose en adelante esta aclaración y haciéndose referencia a ellos solo como nodos. Aplicando la Ley de Kirchhoff para la tensión a las mallas del circuito se obtienen las r (n . refiriendo estas tensiones al nodo de referencia. Ug. BD. R2. pues se supone que su tensión es nula. Ug. La razón de esto se debe a que el número de corrientes desconocidas en un circuito es igual al número de ramas r. es menor o igual que el número lazos cerrados. se establece un método sistemático para escribir el número de ecuaciones necesarias para resolver el circuito. Lo más conveniente es optar por el nodo inferior pues es el que conecta mayor número de ramas. R5. R4. en término de las tensiones de nodo. en ves de optar por las tensiones en los elementos como variables del circuito. Esta reformulación de las definiciones anteriores no es arbitraria. R3. R5.1: En el circuito de la figura tomando como nodo de referencia al C. El Método de Nodos utiliza para el análisis circuital. ramas y mallas en un circuito determina el número de ecuaciones simultáneas que es necesario obtener a los fines de poder resolver el circuito. La aplicación de la ley de Kirchhoff para la corriente al enésimo nodo no genera una ecuación independiente ya que esta puede obtenerse de las n . es más conveniente ya que reduce el número de ecuaciones simultáneas que deben resolverse. las tensiones de nodo como variables del sistema. ya que contienen otros lazos cerrados. Si n representa el número de nodos en el circuito.Se aplica la 1° Ley de Kirchhoff a cada uno de los n-1 nodo. al contar las ramas. en las cuales se desconoce la corriente. . pueden obtenerse n . cinco lazos cerrados: Ug. De aquí en más cuando se haga referencia a los nodos de un circuito estos serán los esenciales.1 ecuaciones independientes al aplicar la 1° Ley de Kirchhoff. BC. U2. Como segundo paso se aplica la 1° Ley de Kirchhoff a cada nodo (salvo el de referencia).(n . R4. Se debe aplicar la 1° Ley de Kirchhoff a n . se está en condiciones de encarar el Método de Nodos. Como se observa los dos primeros lazos cerrados no son mallas. Ejemplo 3. R1. implica realizar los siguientes pasos. y tres mallas: Ug. También se observa que el número de nodos esenciales es menor que el número de nodos y el número de mallas. Una vez designado el nodo de referencia. R3. la tensión en cualquier nodo es la diferencia entre la tensión de dicho nodo y el de referencia. De esta forma. se deben referenciar todas las tensiones de los demás nodos a la tensión de referencia. Esta elección. C y D. R2. .Se obtiene de esta forma un sistema de ecuaciones simultáneas. cinco ramas: BD.Considerando estas nuevas definiciones. se precisan r ecuaciones independientes para hallar las r corrientes desconocidas. pero expresando las corrientes desconocidas que circulan por cada rama. Un-1 a los restantes n-1 nodos.1 nodos y la 2° Ley a r .1 ecuaciones anteriores.
52) (1.53) Expresando las corrientes desconocidas en términos de las tensiones de nodos: R1 U I2 = A R2 U −U B I3 = A R3 U I4 = B R4 U g −U A I1 = U g −U A (1.58) (1.61) 15 .57) Reemplazando estas expresiones en las ecuaciones (1. a la corriente que circula por la rama que lo contiene.53): U A U A −U B − =0 R1 R2 R3 U A −U B U B − +I =0 R3 R4 − (1. se denota con el subíndice de cada resistor.59) Desarrollando estas ecuaciones: U A( 1 1 1 1 Ug + + ) −U B = R1 R2 R3 R3 R1 (1.54) (1. Aplicando la 1° Ley de Kirchhoff a los nodos A y B: I1 − I 2 − I 3 = 0 I3 − I4 + I = 0 (1.56) (1.60) − UA 1 1 +UB ( + ) = I R3 R3 R4 (1.55) (1.52) y (1.A fines prácticos.
se obtienen las tensiones en los nodos A y B. con lo cual pueden conocerse las corrientes que circulan por las ramas del circuito. Sin embargo la Ley de Kirchhoff para la corriente debe satisfacerse en un supernodo como en cualquier nodo. la corriente que circula por la fuente de tensión. Esto simplifica el análisis circuital pues una tensión nodal ya es conocida.64) G1 + G2 + G3  − G3  − G3  U A  G1  U g  = G3 + G4  U B   1   I       Resolviendo este sistema de ecuaciones. 3.En términos de conductancia: U A (G1 + G2 + G3 ) − U B G3 = U g G1 (1. Al aplicar la 1° Ley de Kirchhoff en el supernodo AB. Analizando el circuito de la Figura1.18 se aplica este concepto.1 Casos Especiales: -Nodo con Tensión Conocida: Si una fuente de tensión se encuentra entre un nodo y el nodo de tierra. -Supernodo: Si una fuente de tensión (dependiente o independiente) se encuentra entre dos nodos de no referencia. no es posible conocer a priori.66) 16 . estos forman lo que se denomina un supernodo.62) − U A G3 + U B (G3 + G4 ) = I En forma matricial: (1.65) U D −U A U A U B U B −U D − − − + Ig = 0 R1 R2 R3 R4 (1. debe verificarse: I1 − I 2 − I 3 + I 4 + I g = 0 En término de las tensiones de nodo: (1. la tensión del primero está dada directamente por la fuente de tensión. Al aplicar la 1° Ley de Kirchhoff.
Ejemplo: Sea el circuito de la figura: El circuito contiene tres nodos.71) Sustituyendo en las ecuaciones de nodos y escribiendo las mismas en términos de las conductancias: 17 . En el siguiente ejemplo se ilustra la aplicación del método de tensiones de nodo a un circuito con fuentes dependientes.67) Considerando que en el nodo D. se debe expresar esta corriente en término de las tensiones de nodo: I3 = U A −UB R3 (1.66).68) es posible obtener las tensiones de nodo del circuito analizado. Al nodo C concurren cuatro ramas. nodo con tensión conocida: A partir de las ecuaciones (1. (1.68) (1.Aplicando la 2° Ley de Kirchhoff a la malla compuesta por los nodos ABC y recorriéndola en el sentido de las agujas del reloj: −U A −U g ' +UB = 0 ⇒ UB −U A = U g ' UD =Ug (1. se deben complementar las ecuaciones de las tensiones de nodo con las condiciones que imponen la presencia de dichas fuentes. -Fuentes Dependientes: Cuando el circuito contiene fuentes dependientes. es decir.67) y (1. UB. Las tensiones de nodo están dadas por: U A U A −U B − =0 R1 R2 R3 U A − U B U B kI 3 − U B − + =0 R3 R4 R5 − U g −U A (1. se verifica lo expuesto en el primer caso. I3. sin embargo se está en presencia de 3 incógnitas: UA.69) (1. A los fines de eliminar I3. por lo tanto se requieren dos ecuaciones para describir el sistema. por lo cual se selecciona como nodo de referencia.70) Se han obtenido las dos ecuaciones de nodos que definen el circuito.
las ecuaciones de las tensiones de nodo pueden escribirse de la siguiente manera: G11 G  21  . Es posible obtener las ecuaciones por la sola inspección del circuito....... G2 n   . Gnn  U gn   I n    GV = I donde: Gkk = Suma de las conductancias conectadas al nodo k.  Gn1 o simplemente: G12 G22 . corresponden a las conductancias conectadas en común entre ambos nodos con signo negativo. Tomando el sistema de ecuaciones en forma matricial dado por el ejemplo 3. no es necesario aplicar la Ley de Kirchhoff para la corriente.2 Enfoque Sistemático del Método de Nodos: Se pretende establecer un procedimiento generalizado para el método de nodos.   =  . Este procedimiento es válido para circuitos que contienen con fuentes independientes. . G se denomina matriz de conductancia. con n+1 nodos.1: G1 + G2 + G3  − G3  − G3  U A  G1  U g  = G3 + G4  U B   1   I       Se observa que cada uno de los términos de la diagonal principal es la suma de las conductancias conectadas directamente al nodo A o B.72) − U A (G3 + kG5 G3 ) + U B (G3 + G4 + kG5 G3 ) = 0 En forma matricial: (1. mientras que los términos que se encuentran fuera de esta..   .  .73)  G1 + G2 + G3 − G − kG G 5 3  3 − G3  U A  G1  U g  = G3 + G4 + G5 + kG5 G3  U B   0   0       (1.. Gkj =Gjk = Negativo de las sumas de las conductancias que se conectan entre los nodos k y j con k≠j. 18 .U A (G1 + G2 + G3 ) − U B G3 = U g G1 (1... . Cuando todas las fuentes son independientes. .      ...74) 3.   . G1n  U g1   I 1    . Generalizando con un circuito con fuentes independientes. Ik = Suma de las corrientes independientes que llegan al nodo k. Los términos del lado derecho de la ecuación son la suma algebraica de las corrientes que entran a cada nodo. con las corrientes entrantes tomadas como positivas. Uk = Tensión desconocida en el nodo k. U es el vector de salida e I es el vector de entrada.
depredador1983

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