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aritmetica...
Author: Sonia Ramos Taype
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Pamer Química 1er Año
quimicaFull description
Aritmetica Sem 1 Pamer
Pamer II Bimestre 2013
I. Mesopotamia I II. Mesopotamia II III. Egipto I IV. Egipto II V. Egipto III VI. Fenicios VII. Hebreos VIII. PersasDescripción completa
Exigimos más! Ejemplo: Sean las magnitudes A, B, C, D y E. • Elegimos Elegimos "A" "A" como magnitud magnitud referencial. referencial. • Comparam Comparamos os "A" con las las demás demás magnitud magnitudes. es. A DP B; cuando c uando C, C , D y E son constantes. A IP C; c uando B, D y E son constante s. A IP D; cuando c uando B, C y E son constante s. A DP E; cuando c uando B, B , C y D son constantes.
C. Propiedades Sean las magnitudes A, B, M y N.
A DP B  B IP A M IP N  N IP M A DP B  AK DP BK M IP N  MK IP NK
K Q
A DP B  A IP 1 B 1 M I P N  M DP N
• Finalme Finalmente nte la relación relación será: será: A  C  D  K B E 
Operación del problema
Para pintar el Estadio Nacional se contratan 8 personas que afirman pueden terminar la obra en 10 días, laborando 8 horas diarias. Al terminar el quinto día de trabajo se decide incrementar la jornada a 10 horas diarias y contratar más personas para culminar el resto de la obra en 2 días. Calcule la cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional.
Se cumple para la obra "b":
Ubicación de incógnita
Conclusión y respuesta
El más perjudicado es el socio A, pues es el mayor de todos ellos. Respuesta: A)
E) 1 6
del socio C. Como el reparto se realizó un año después, calcule la cantidad que
Ubicación de incógnita Piden: Cantidad de personas que se deben contratar en forma adicional (x)
Análisis de los datos o gr áficos
10 días, 8 h/d
recibe el socio que más se perjudica. UNI 2009-II
M(x  1) A) 3(x  2) B)
M(x  2) x 1
M(x  3) x 1
M(x  1) x 3
8 personas (8+x)personas 5 días
10h/d normalmente 8
UNI SEMESTRAL SEMESTRAL 2013 - III
A  B  C  k x 1 x  2 x 5 A  B  C A       (x 1) (x 2) (x 5) x  1
M A  3x  6 x  1  A 
M(x  1) 3(x  2)
M(x  1) Respuesta: A) 3(x  2)
Problema 3 De las magnitudes Z, W, X, se sabe que Z es directamente proporcional a X 2 y W es inversamente proporcional a X 2. Si N = Z + W y X = 1 implica que N = 6;
personas 8h/d culminarían en
Operación del problema Dentro de 1 año:
Tres socios A, B, C deberían repartirse una utilidad de M dólares proporcionalmente a sus edades, las cuales son x del socio A, (x – 3) del socio B y (x – 6)
D) 1 4
x  8
Se pide hallar lo que recibe el socio que más se perjudica.
(8  x)  2  10 10  8  8  5
X = 0,5, implica que N = 9. Determínese N si X  2 .
M(x  1) E) 2(x  3) 7
Exigimos más! UNI 2008 - II Análisis de los datos o gr áficos
Dado que Z DP X 2, entonces
Z a X2
 Z  ax 2
D) 1 0 E) 1 2
Dado que W IP X 2, entonces WX 2 = b W 
Ubicación de incógnita Nos piden hallar N para X  2 .
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Para ara X = 1:
6 =a+ b
1 a : 9= + 4b 2 4 Resolviendo: a = 4, b = 2
 Cuando X 
N4
 2
Operación del problema Además N = Z + W
2 , reemplazando: 
9 Respuesta: C) 9
APLICACIONES CON MAGNITUDES PROPORCIONALES DESARROLLO DEL TEMA
En este caso, los problemas se resuelven mediante la aplicación de la denominada "regla de tres compuesta". La regla de tres compuesta es un procedimiento de cálculo cuyo objeto es hallar una cantidad de una determinada magnitud a partir del conocimiento conoci miento de otras cantidades correspondientes a magnitudes relacionadas con ella proporcionalmente. La practica de la regla de tres compuesta consiste en la aplicación simultanea de varias reglas d e tres simples que puedes ser directas o inversas.
REGLA DE TR TRES A. Directa Directa
La regla de tres directa es un procedimiento de calculo que consiste en, dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes que corresponde a una determinada cantidad de la otra magnitud. ab  a b  a'  x a '  x La regla de tres directa se basa en el hecho de que, cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, la razón de dos cantidades de una de ellas es igual a la razón de las dos cantidades correspondientes de la otra.
II. REPAR REPARTO TO PROPO PROPORCI RCIONA ONAL L Este capítulo estudia la forma de repartir una ca ntidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores llamados "índices" de proporcionalidad.
B. Inve Invers rsa a
A. Reparto simple simple directo directo
La regla de tres inversa es un procedimiento de cálculo que consiste en, dadas dos cantidades correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estás magnitudes que corresponde a una determinada cantidad de la otra magnitud.
Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los índices de proporcionalidad. Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente: a) Se suma suman n los los índi índice ces. s. b) Se divide divide la canti cantidad dad a repartir repartir entre entre dicha dicha suma, siendo el cociente la "constante" de proporcionalidad porcionalidad (K). c) Los partes partes se obtienen obtienen multipl multiplican icando do cada cada "índic "índice" e" por la constante de proporcionalidad (K).
ab  a x  a'  b a '  x La regla de tres inversa se basa en el hecho de que, cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón de dos cantidades de una de ellas es igual a la razón inversa de dos cantidades correspondientes de la otra.
C. Comp Compue ues sta
En la realidad, la relación de proporcionalidad no tiene por qué afectar exclusivamente a dos magnitudes, sino que puede suceder que una magnitud esté relacionada proporcionalmente proporcionalmente con otras varias. UNI SEMESTRAL 2013 - III
APLICACIONES CON MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más! Paso 2: 25 K = 750
K = 30 Paso 3: 6 x 30 = 180
7 x 30 = 210 12 x 30 = 360 Propiedad
Luego: 15 x 18 = 270; 10 x 18 = 180; 5 x 18 = 90; 3 x 18 = 54 C. Repart Reparto o compues compuesto to
En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera: a) Se convierte convierte la la relación relación I.P. I.P. a D.P D.P.. (invirtiendo (invirtiendo los índices). b) Se multiplica multiplican n los índices de las dos relaciones relaciones D.P. c) Se efectú efectúan an un reparto reparto simple simple direc directo to con los nuevos índices.
En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12 se obtuvieron como resultado 180, 210 y 360… pero… ¿Qué pasaría si se reparte la misma cantidad D.P D.P.. a 6 x 2, 7 x 2 y 12 x 2? Veamos… D.P.
24 x 15 50k
Son las mismas partes.
Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en forma I.P. a 3 y 9.
360 50k = 750 k = 15
B. Reparto Reparto simp simple le inver inverso so
Se hace en forma I.P. a los índices para ello se invierten los índices y luego se efectúan un reparto directo, como ya se conoce. Luego: 12 k = 12 x 36 = 432 6 k = 6 x 36 = 216
Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10.
La magnitud magnit ud A es D.P. D.P. B y a la vez I.P. C.
Cuando A es 15, B es 18 y C es 8, determi determina el valor de C, cuando cuando Aes 10 y B es 9. A) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Una rueda "A" de 81 dientes engrana con otra rueda "B" de 45 dientes. Si la rueda "A" gira a razón de 10 RPM, ¿cuántas vueltas dará la rueda "B" en 8 minutos? A) 125 B) 185 C) 165 D) 1 3 2 E ) 14 1 44
 Valor de A   Valor de C  Valor de B
15  8  18
10   x  9
x6
 el valor de C es 6. Respuesta: C ) 6 UNI SEMESTRAL 2013 - III
(#dientes)(#vueltas) = K Entonces: (81)(10) = (45)(x)  x = 18  8(18) = 144
Respuesta: E) E) 144 10
El precio de un libro varía en forma proporcional al número de hojas que posee e I.P. I.P. al número de ejemplares editados. Si un libro de 480 páginas, del cual se han editado 1500 ejemplares, cuesta S/. 32, ¿cuánto costará un libro de 300 hojas si se editan 500 ejemplares más? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 Resolución:
Precio recio  # de ejem ejemp plare ares  hojas # de hoj  32  1500  x 2000   240
300 x = 30 Respuesta: C) C) 30
TANTO POR POR CIENTO CIENTO DESARROLLO DEL TEMA
II. REGLA REGLA DEL DEL TAN TANTO TO POR POR CIENT CIENTO O La idea consiste en dividir una cantidad en 100 partes iguales y luego tomar de ellas tantas partes como se indique:
REGL RE GLA A DEL DEL TAN ANTO TO POR POR CU CUAN ANTO TO A. Concepto Concepto
Es un procedimiento aritmético que nos permite determinar que "TANTO" (parte) representa una cantidad con respecto a un todo "CUANTO".
a por cient iento o : a%   a 100 Ejemplos:
Ejemplo: En cierta panadería, por cada 20 panes que se compra obsequian 3. Si compro 80 panes; ¿cuántos me regalan?
• 20 por por cie cient nto: o: 20%   20 100 150 • 150 150 por por cie cient nto: o: 150 150% %  100
400  4 • 400 400 por por cie cient nto: o: 400% 400%   100
Obsequian 3 por cada 20 < > el 3 por 20
 Tanto por   Fracción         ciento   o entero 
Ejemplo: El 20% de 300 es    20%  300  20  300  60 100
a El a por b de N :  N b   Tant Tanto o cuan cuanto to
Ejercicios • El 4 por por 7 de de 63: 63: ..... ....... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. •
En general El a% de N: a% N  a  N 100
2 El 3 por 4 de los de 720 ..................... 5
Ejercicios • El 40% 40% de 7000: 7000: _________ _____________ ________ ________ _______ ___ _____ ___ __ _____ ___ _____ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ____ ___ _ • El 30% 30% de 80: _______ ___________ ________ ________ ________ _______ ___
B. Casos partic particulares ulares del tanto tanto por cuanto cuanto
• Tanto por ciento (%)  a por ciento: a%  
• Tanto por mil o oo  b por mil: b o oo  
_____ ___ __ _____ ___ _____ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ____ ___ _ • El 20% 20% del del 75% del 50% 50% de 16 000: ______ _________ ___
_____ ___ __ _____ ___ _____ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ ____ ___ _ 11
Exigimos más! A. Equivalencias Equivalencias
De ttant anto o por por cien ciento to a fracc fracció ión n o ent entero ero 10%   10  1  Décima parte  100 10 20%   20  1  Quinta parte  100 5
Luego: 130% N – 26% N = 104% N Respuesta: 104% de la cantidad inicial.
25 1 25%     Cuarta parte  100 4
50 1  La mitad 100 2
100%   100  1  Total 100
Forma práctica Cantidad inicial: "N" Luego del aumento y descuento: + 30% – 20% Queda: N × 130% × 80% = 104% N
De frac fracci ción ón a tant tanto o por por cien ciento to
Respuesta: 104%
50%  
1   1  1  1  100%  25% 4 4 4 7   7  100%  35% 20 20 •
¿Qué ¿Qué tanto tanto por por cien ciento to es es 6 de de 15? 15? ____________ ___________________ ____________ ____________ ___________ ____ ____________ ___________________ ____________ ____________ ___________ ____
¿De ¿De qué qué núm númer ero, o, 36 36 es su 80%? 80%? ____________ ___________________ ____________ ____________ ___________ ____ ____________ ___________________ ____________ ____________ ___________ ____
En un aula aula hay 24 varone varoness y 16 mujer mujeres, es, calcule: a) ¿Qué ¿Qué tanto tanto por ciento ciento son los varones varones del total? b) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres mujeres?? c) ¿Qué ¿Qué tanto tanto por ciento ciento son las las mujere mujeress de los varones?
Ejercicios • Un artí artículo culo se ofrecía ofrecía en una una tienda tienda en S/. S/. P; P; si el vendedor realiza dos descuentos sucesivos del 20% y 10%. Calcule el descuento único equivalente a estos dos descuentos sucesivos. ___ _______ ___ ____ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ _______ ____ ___ ____ ___ _ ___ _______ ___ ____ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ _______ ____ ___ ____ ___ _ ___ _______ ___ ____ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ _______ ____ ___ ____ ___ _ •
Calcul Calcule e el el aume aumento nto único único equi equival valent ente e a tres tres aumentos sucesivos del 50%, 20% y 25%. ___ _______ ___ ____ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ _______ ____ ___ ____ ___ _ ___ _______ ___ ____ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ _______ ____ ___ ____ ___ _ ___ _______ ___ ____ ___ ______ ___ ___ ______ ___ ___ _______ ____ ___ ____ ___ _
D. Aplica Aplicacio ciones nes comercial comerciales es
B. Operaciones Operaciones con con el tanto tanto por ciento ciento Aplicados sobre una misma cantidad.
1 . A d ic i ó n 20% A + 30% A = ___________________ 120% B + 45% B = ___________________ N + 30% N = ________________________ 2. Sust Sustra racc cció ión n 40% A – 10% A = _ ____________________ N – 25% N = _________________________ C. Aumentos y descuentos descuentos sucesivos sucesivos Si a una cantidad se le aumenta el 30% y luego de la nueva cantidad se le disminuye su 20% entonc es se obtiene:
Ejemplo: El comerciante Alejandro Chumpitáz adquiere instrumentos musicales al por mayor en una fábrica, al verificar el costo de un solo saxofón sería $500; él lleva a su tienda los instrumentos y ofrece el saxo en $800, pero al momento de la venta realiza un descuento del 25%. ¿Cuánto ganó dicho comerciante en la venta del saxo? Resolución: Aumento Aumen to o incremen i ncremento:300 to:300
D=25% 800=200
P C=500 compra
P V=6 00 vende
P F=8 00 00 ofrece
Respuesta: ganó $100 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Exigimos más! Se observa:
La ganancia líquida sería de $70 y ya no $10 0. PC  G  PV
GNeta  (Gastos)  GBruta
PF  D  PV PC  (incremento)  PF
2. Cuando la ganancia, ganancia, perdida perdida o increment incremento o se expresen en tanto por ciento y no se mencione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de costo.
P V: Precio de venta PC: Precio de costo PF: Precio fijado o precio de lista. Observaciones:
3. Cuando Cuando el descue descuento nto se expres exprese e en tanto tanto por por ciento y no se mencione respecto de quien, se debe considerar que es respecto del precio de lista.
1. Cuando se mencione mencionen n gastos gastos o impuestos. impuestos. Ejemplo: Si en la aplicación planteada mencionaban gastos de $30 por mantenimiento, entonces
4. En caso casoss de pér pérdi dida da (P V < PC).
GBruta =100
Pérdida GNeta=70 Gastos=30
P V =600
PC =500
PF =800
PC – (Pérdida)  PV
Problema 1 Un libro se ofrece en venta recargándose el r por ciento del precio del costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante? UNI 2010 - I
100 (100  r)
r  10 0 100r
(100  r) r
Operando: p 
0,01  1r  0,01  1 r
Resolución: Sea el precio de costo: 100 K
1 = (1 + r%)(1 – p%)
Precio de Precio de = costo venta
Al venderse se hizo un descuento del 10% del precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó? A) 15% B) 12% C) 1 7 % D) 20 20% E) 7 %
Operación del problema Entonces: X = (1 + r%)(1 – p%)X
Análisis de los datos o gráfic os Se aumentó (r%) y luego le rebajaron (p%), quedando al final:
Resolución: Ubicación de incógnita
Cuánto le rebajaron al estudiante. UNI SEMESTRAL SEMESTRAL 2013 - III
1 0,01  1 r
Nota: La Nota: La respuesta se asumirá por cada 100 unidades monetarias.
17 K 100%  17% 100K
Problema 2 Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en 30%. 13
Se observa: observa: G = 17 K
Respuesta: C) 17%
Problema 3 Una tienda vende un producto haciendo descuentos primero uno de 15% y luego otro de 15%. ARITMÉTICA
Exigimos más! Una segunda tienda, que tiene el mismo producto y al mismo precio de lista, realiza un descuento del 30%. ¿Cuánto de descuento (en %) o de incremento (en %) debe efectuar la segunda tienda para que en ambas tiendas el producto tenga el mismo precio final? La respuesta aproximada es: UNI 2007 - I
Sea Sea el el prec precio io del del prod product ucto: o: P
1° Tienda: 2 descuentos suceviso del 15% y 15% •
PF  85%  85 8 5% P  1
289 P 400
B) Incr Increm emen enta ta 3,2% 3,2%
2° Tienda:
C) Desc Descuen uenta ta 6,4% 6,4%
Un descuento único del 30%
E) Incr Increm emen enta ta 5,2% 5,2%
PF  280 P 2 400
El incremento sería: PF  PF  9 P 1 2 400 x%  28 0P   9P  400  4 00
A) Descuenta 3,2%
D) Incre Increme menta nta 6,4% 6,4%
Como: PF  PF ; entonces debe incre2 1 mentarse en la 2. a tienda para que ambas tiendas tengan el mismo precio final.
x%  3, 2%
PF  70% P  7 P  280 P 2 10 400
3,2 Respuesta: B) Respuesta: B) 3,2
REGLA REGLA DE INTERÉS I DESARROLLO DEL TEMA I. DEFIN DEFINICI ICIÓN ÓN Es un procedimiento procedimiento aritmético que nos permite obtener la ganancia (interés) generada a partir de cierta suma de dinero bajo ciertas condiciones financieras o comerciales.
Ejemplo: David, Ejemplo: David, luego de recibir su primer sueldo de $ 500 acude a un banco a depositarlo, en dicho banco le ofrecen devolverle $ 600 si deja su dinero por un año, analizar e identificar los elementos que intervienen. Resolución: C : capital r%: tasa tasa de inte interé réss I : interés
4% bimestral 6% trimestral 24% anual
t: tiempo M: mon monto to D. Inter Interés és (I) (I) Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce o genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajo ciertas condiciones previamente establecidas.
Se observa: Se gana 100 de 500 en un año           r%  20%
E. Monto onto (M) Es el acumulado del capital con el interés generado.
A continuación detallaremos con mayor precisión las características de los elementos que intervienen en la regla de interés.
M  C I Observación: En este capítulo estudiaremos tres clases de interés: Simple, compuesto y continuo.
II ELEM ELEMEN ENTO TOS S A. Capital Capital (C) Es la suma de dinero o bien material que se va a prestar, depositar o alquilar alquil ar por determinado periodo de tiempo.
III. INTERÉS SIMPLE SIMPLE Es cuando el interés generado generado no se acumula al capital, sino hasta el final del proceso de préstamo; es decir el capital permanece constante durante todo el periodo de imposición. Se cumple: (Interés) DP (tiempo)
B. Tiem Tiempo po (t) (t) Es el periodo durante el cual se v a a ceder o imponer el capital.
Ejemplo 1: Andrea deposita deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará pagará una tasa del 10% anual. Si ella r etira su dinero al cabo de 3 años, calcule el interés generado. Respuesta: Respuesta: _______
C. Tasa de de interés interés (r%) (r%) Nos indica que tanto por ciento del capital se va a generar al cabo de cierto periodo de tiempo ya especificado. Ejemplo: 20% anual anual sign signif ific ica a que que cada cada año año se va a ganar el 20% del capital. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Se cumple: I= C × r% × t
M = C × (1 + r% × t)
r% y r% y t en las mismas unidades. 15
Exigimos más!
Problema 1 En la cuenta de ahorros del banco A se remuneran los depósitos con 1,5% de interés anual, libre de mantenimiento, pero no se remuneran los primeros S/. 500 de la cuenta. El banco B paga 1% de interés y cobra S/. 1 por mantenimiento en el mismo periodo. Si Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo y Dernaldo Dernaldo tienen respectivamente S/. 1250, S/. 2130, S/. 4320 y S/. 7 450, ¿cuántos de ellos deberían depositar su dinero en el banco A para obtener mayor beneficio en un año? UNI 2011 - I A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Resolución: Ubicación de incógnita N = cantidad de personas que les favorece depositar en el banco A.
Análisis de los datos o gr áficos Capitales: Arnaldo (A): S/. 1250 Bernaldo (B): S/. 2130 Cernaldo (C): S/. 4320 Dernaldo (D): S/. 7450 Beneficios: Banco A: 1,5% libre de mantenimiento, sin considerar primeros S/. 500. Banco B: 1% y cobra S/. 1 de mantenimiento. Operación del problema Sea el interés I. I = C x r% x t
Capital Personaje
IB - S/ S/.1 .1
12,50 - 1 =11,50
21,30 - 1 = 20,30
Cernaldo
43,20 -1 = 42,20
Dernaldo
74,50 - 1 = 73,50
Comparando las columnas I A; IB – 1 se escoge cuando: I A > IB – 1 Cumplen: Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo.
 3 personas. Respuesta: D)
Problema 3 El monto de un capital durante 1 año y 3 meses es S/. 2250 y durante 2 años y 9 meses es S/. 2790. Hallar la tasa de interés anual. A) 30% B) 40% C) 6 0 % D) 2 0 % E ) 21%
Resolución: Nos piden la tasa anual: x% anual
Problema 2 El plazo (en meses) al que debe imponerse un capital a una tasa de interés del 10% bimestral, capitalizable cuatrimestralmente, para que se incremente en un 72,8%, es: UNI 2010 - II
Sabemos: M  C  (1  r%  t)
  2790  C  1  x%  33 ...() 12
2250  C  1  x%  15 ...() 12
Al dividir ( )  ()
x%  20%
Ubicación de incógnita Piden: El plazo (en meses) al que debe imponerse un capital. Análisis de los datos o gr áficos •
Tasa: asa: 10% 10% bim bimestr estral al < > 20% 20% cuatrimestral.
Capit Capitali alizab zable le cuat cuatrim rimes estra tralm lmen ente. te.
Mont Monto o = C + 72, 72,8% 8%C C = 172, 172,8% 8%C C
Otra forma Por proporciones: I  540  I  450 15 18
C = 2250 – 450 = 1800
En los primeros 15 meses
C(1+r
%) n
I = C x r% x t 450  1800 
depositado beneficiado 1250
Capital beneficiado
Conclusión y respuesta  3 periodos   3  4  12 meses
r A =1 =1,5 ,5% %
rB=1, =1,5% 5% Mant. Mant.:S/.1 :S/.1
172,8%C = C (1 + 20%) n
x%  15 12
x%  20% n
1728   120   n  3   1000  100 
Respuesta: D) 20% 20%
REGLA REGLA DE INTERÉS II DESARROLLO DEL TEMA I. IN INT TERÉS ERÉS CO COM MPU PUES EST TO
II. IN INTE TERÉ RÉS S CO CONT NTIN INUO UO
Es cuando el interés generado en cierto periodo de tiempo se acumula al capital anterior formando así un nuevo capital, para el periodo siguiente y así sucesivamente. Dichos periodos se denominan periodos de capitalización. Cuando se aplique interés compuesto, el capital no permanece constante pues se va incrementando con cada capitalización.
Es un caso particular del interés compuesto, en el cual los periodos de capitalización se hacen cada vez más pequeños que podría suponerse una capitalización instantánea; es decir el número de periodos tiende a infinito esto ocurre cuando el tiempo de capitalización tiende a cero, por ello que el monto cuando se considere interés continuo se calcula como un límite.
M  C  L im 1  r% n n
Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará pagará una tasa del 10% anual, capitalizable anualmente. Si ella retira su dinero al cabo de 3 años, calcule el interés generado.
Luego se deduce que el monto con interés continuo que se obtiene al depositar un capital de S/. C a una tasa del r% y durante un tiempo t es: M = C × er% x t
Respuesta: ________
e  base de los logaritmos neperianos r% y t en las mismas unidades.
M = C × (1 + r%) t
¿En cuánto se convertirán 7 mil soles al 48% anual en 5 meses? UNI Nivel fácil A) S/. 8400 B) S/. 940 0 C) S/. 800 0 D) S/. 95 954 0 E ) S/. 78 789 0
t = 5 meses M = ¿? M = C X (1 + r% X t) M = 7000 x (1 + 4% x 5) M = 8400 Respuesta: A) S/. 8400 Problema 2
Resolución: C = 7000 12  r% = 48% anual  4% mensuales
Calcule el interés procedente de imponer S/. 8000 al 20%, capitalizable semestralmente durante 18 meses. UNI Nivel difícil
A) S/. 3500 C) S/. 2400 E ) S/. 28 2800
B) S/. 2748 D) S / . 2 6 4 8
Resolución: Mencionan "capitalizable semestralmente" por lo cual identificamos que es una pregunta de interés compuesto para ello expresaremos la tasa y tiempo en las unidades de la capitalización "semestres". C = 8000 r% = 20% anual < > 10% semestral t = 18 meses <> 3 semestres ARITMÉTICA
REGLA DE INTERÉS II
Exigimos más! M = C x (1 + r%) t M = 8000 (1 + 10%) 3 = 10648 I 
M  C  I  2648 
Respuesta: D) S/. 2648
¿Cuánto es la mayor de las partes?
18%A  24%B  12%C 3A  4B  2C
Resolución: La renta nos indica el interés generado en un año.
Al dividir en tre 12
Al dividir div idir un capital en tres partes, se impone la primera al 3% bimestral, la segunda al 12% semestral y la tercera al 1% mensual. Se sabe que las tres producen rentas anuales iguales y el capital total es de S/. 26 000.
Por condición: A  3%  6  B  12%  2  C  1%  12
C  6  2000  12000 
El mayor mayor
Respuesta: S/. 12000
REGLA REGLA DE DESCUENTO DESCUENTO I DESARROLLO DEL TEMA
ELEM EL EMEN ENTO TOS S
II. CLASES CLASES DE DESCUENTO DESCUENTO
A. Descuento comercial comercial (Dc), externo o abusivo abusivo Se calcula respecto al valor nominal.
A. Letra de cambio o pagaré pagaré
Es un documento comercial, en el cual un a persona (deudor) se compromete a pagarle a otra persona (acreedor) un dinero en una determinada fecha (fecha de vencimiento). B. Valor alor nominal nominal (Vn) (Vn)
Dc  Vn.r%.t ... (I)
Es la cantidad de dinero que está escrita y especificada en la letra de cambio; el deudor debe pagar esta cantidad en la fecha de vencimiento.
Vac  Vn – Dc ... (II)
Va Va c: valor actual comercial Al reemplazar (I) en (II):
C. Descu Descuen ento to (D) (D)
Vac  Vn(1 Vn(1  r%t)
Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio, cuando es pagado con anticipación a su vencimiento.
Félix tiene una deuda de S/. 1200, si decide cancelar dicha deuda 5 meses antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 4% mensual. Identifique los elementos que intervienen y calcule el descuento comercial y cuanto se pagará por dicha letra.
D. Valor Valor actual actual (Va (Va))
O llamado valor efectivo, es el valor que toma la letra de cambio al momento de ser cancelado. E. Tiempo Tiempo de de desc descuen uento to (t) (t)
Es el periodo desde el momento en que se cancela la deuda hasta la fecha de vencimiento.
Resolución: Vn = __________ _____ _____ t = ____________ r% = __________
Tenemos: Va  Vn – D Estudiaremos dos formas de hacer el calculo del descuento. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Dc = ___________ 19
VaC = ___________ TEMA 8
REGLA DE DESCUENTO I
Exigimos más! B. Descuento racional (DR); interno interno o matemático matemático Se calcula respecto al valor actual (Va)
DR  VaR.r .r%.t  (I)
VaR  Vn. – DR  (II)
DR : Descuento racional Va Va R : Valor actual racional
VaR = ___ _______ __
DR = _____________
III. PROPIED PROPIEDADE ADES S Relaciona los descuentos para una sola letra de cambio.
De (I) y (II) se puede despejar el valor actual racional respecto al valor nominal. (I) : DR = VaR . r% . t (II): VaR = Vn – DR
Va V ac
r% y t
Va V aR DR
Tenemos: (I) en (II):
Dc = Vn . r% . t
r%.t  VaR  Vn – VaR .r%.t
DR = VaR . r% . t
VaR .(1 + r%t) = Vn  VaR 
Vn 1  r%t
Dc  DR  VaR  Vac
Dc – DR  DR .r%.t
Vn 
Si para el ejemplo 1, consideramos descuento racional, calcule el descuento y cuánto se pagó por dicha letra.
Dc.DR D c – DR
UNI A) 4 letras Nivel intermedio C) 8 letras B) 30 C) 22 E ) 2 le letras E ) 29 29 Resolución:
B) 6 letras D) 10 letras
Se firma una letra por $ 6000, si esta letra se cancelara 5 meses antes de su A) 27 D) 2 5 vencimiento al 4% mensual de descuento, ¿cuánto sería su valor actual? UNI Resolución: Nivel fácil Datos: Vn  270  A) S/. 4400 B) S/. 3400 DC.DR  Vn  D C) S/. 5000 D) S/. 4800 DC  DR  3 C  DR Aplicando vencimiento común: E ) S/. 5020 DC.DR 1k.1  2k.3  3k.5  ...  nk.(2n  1) 270  tv  3 1k  2k  3k  ...  nk Resolución: DC . D R = 810 2 2 Vn = 6 000; t = 5 meses; 2(1  2  32  ... n2)  (1 2  3 ... n) Evaluando: DC = 30 y DR = 27 tv  r% = 4% mensual 1  2  3 ...  n  DR = 27 Se cumple: n(n  1)(2n  1) n(n  1) 2.  Va Va c = Vn (1 - r% . t) 6 2 Respuesta: A) 27 tv  n(n  1)     2 Va Va c = 6000(1 - 4%. 5) Problema 3 2 ( 2 n 1 )  Va Va c = 4800 tv  1 Al calcular calcular el vencimient vencimiento o medio medio de "n" "n" 3 letras cuyos valores nominales son proPor dato: 9  tv  11 Respuesta: D) S/. 4800 porcionales a 1, 2, 3,… y cuyos venci2(2n  1) 9  1  11 mientos son 1, 3, 5,… meses respectivaProblema 2 3 mente, se obtiene un número entre 9 y La diferencia entre el descuento co7 < n < 8,5 mercial y racional de una letra de 270 11 meses. ¿Cuál es el número de letras? dólares es de 3 dólares. ¿Cuál es el UNI  n = 8 Respuesta: C) 8 letras Nivel intermedio descuento racional? 
REGLA REGLA DE DESCUENTO II DESARROLLO DEL TEMA I. CA CAM MBIO BIO DE LETRA ETRAS S
3. Todos los descuent descuentos os son comerciales comerciales y a la misma misma tasa.
Es un procedimiento en el cual el deudor cambia una forma de pago por otra, considerando que no se perjudique el deudor ni el acreedor en el momento del intercambio, se cumple:
Vn1 t1
de val valor ores es  Suma uma de de va valore ores   Suma de      actuales del    actuales del   primer grupo   segundo grupo      de letras de letras    
1. er Grupo de letras
Vn2 t2 <> Vn tv=?? Vn3 t3
Por ser cambio de letras se cumple: Va1 + Va Va2 + Va Va3 = Va Va Dc1 + Dc2 + Dc3 = Dc Vn1.r%t1 + Vn2r%t2 + Vn 3r% t 3= Vn . r% t v
Vn3 
tv 
Va1  Va2  Va3  VaI  VaII
Vn1.t1+Vn2.t2+Vn3.t3 Vn
Como Vn = Vn 1 + Vn 2 + Vn 3 Tenemos:
II. VENC VENCIM IMIE IENT NTO O CO COMÚ MÚN N Es un caso especial de cambio de letras con tres condiciones: co ndiciones: 1. Se cambian cambian varias varias letras letras por una sola sola letra (letra única). 2. La suma de valores valores nominales nominales del del grupo grupo de letras letras es igual al valor nominal de la letra única. Vn1 + Vn 2 + Vn3 = Vn
Vn = Vn1  Vn2  Vn3
r% para todas las letras
2.o Grupo de letras
Letra única
Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: I. La difer diferenc encia ia entre entre el el desc descuen uento to comercial y el descuento racional es igual al interés simple que gana el descuento racional. UNI SEMESTRAL 2013 - III
II. II. Valor actua actuall de un descu descuent ento, o, es igual al valor nominal más el descuento. III. III. Descuento Descuento es la rebaja rebaja que que sufre el valor nominal de una transacción comercial, al ser efectiva, antes de la fecha de vencimiento. UNI 2012-II 21
A) V V V C) VF V E ) FVF
B) VVF D) VFF
Dar el valor veritativo de las proposiciones I, II y III. ARITMÉTICA
REGLA DE DESCUENTO II
A) 740 C) 7 44 E ) 7 48
I. Se sabe que: DC = Vnr%t .....(1) DR = VaR %t .....(2)
B) 742 D) 746
Hacemos (1) – (2): DC – DR = Vnr%t – Va R r%t DC – DR = (Vn – Va R )r%t DC – DR = DR r%t
La primera de S/. 80 000 pagadera paga dera dentro de 30 días; la segunda de S/. 200 000 pagadera en 60 días y la tercera de S/. 400 000 con un plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de interés es constante. UNI 2010-I
II. Por definic definición: ión: Va = Vn – D Laproposición ióndice: Va= Vn+ D (F) III. II I. Conside onsiderand rando o que que en en la trans transac ac-ción comercial, el descuento se aplica al documento, rebajándolo del del valor valor nominal, al hacerla hacerla efectiefectiva antes de la fecha de vencimienvencimiento (V). Resumen
Aplicación de fórmula, teorema o propiedad Va  Vn x 1 – R% x t 
Un empresario firma una letra por S/. 48 000 a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento anual. Luego de transcurridos 3 meses decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en Australia. Calcule la diferencia entre la cantidad que recibió y canceló el empresario en nuevos soles, sabiendo que el acreedor cobra una comisión del 0,2% sobre el valor nominal, nomina l, si se cancela al final. UNI 2011-II
B) 71 días D) 73 días
I. V II. F III. V Respuesta: C) VFV
A) 70 días C) 72 días E ) 74 días
Tiempo de letra Única (t). Análisis de los datos o gr áficos
Solución del problema Va1  48000  1 – 7 x 8   45760  1 00 12  Va2  48000  1 – 7 x 5   46600  100 12 
Conclusión y respuesta Piden: 46600 –  45760  96   744 Respuesta: C) 744
En vencimiento común, se cumple: 80000 80000x3 x300  200000 0000x60 x60  40000 400000x 0x990 680000 680 000 t  74,11... días (Aproximado)   74 dí t
Un deudor tiene que pagar al banco tres letras.
Respuesta: E) 74 días
ESTADÍS ESTADÍSTICA TICA I DESARROLLO DEL TEMA I.
PARTE ARTES S DE DE LA EST ESTAD ADÍS ÍSTI TICA CA
A. Estadística Estadística descriptiva descriptiva
En una posta médica de Lima se observa que en el presente mes se han atendido un grupo de 1200 personas de las cuales hemos recopilado una muestra de 20 edades, las cuales mostramos a continuación y en base a esta información luego procederemos a clasificarlos clasificarlo s tomando como variable las mismas: mismas:
Se encarga de recopilar, clasificar, analizar e interpretar datos. B. Estadís Estadístic tica a inferenci inferencial al
02; 09; 10; 12; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27;
Llamada también deductiva. Tiene por objetivo deducir leyes de comportamiento de una población a partir del estudio de una muestra.
27; 27; 32; 33; 34; 38; 42.
III. ETAPAS ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTAESTADÍSTICA
II. CONCEPT CONCEPTOS OS DE DE TÉRMIN TÉRMINOS OS USADO USADOS S EN LA ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA
A. Recopilación de datos datos
Los métodos más usados son los censos, encuestas
y entrevistas.
Conjunto de personas, elementos o unidades que presentan características comunes y observables, a ser analizados o estudiados y de los cuales se desea informa-
B. Organiz Organizaci ación ón de datos datos
Se organizan, clasifican y tabulan los datos de modo
ción, de acuerdo a un objetivo previamente establecido.
que facilite su presentación y posterior interpretación. i nterpretación. B. Mue Muestra stra C. Presenta Presentación ción de datos datos
Subconjunto de datos tomado dentro de la población y que van a ser seleccionados en forma ade-
La representación se realiza principalmente a trav és
cuada de tal manera que represente en forma ob jetiva a la población. población.
de tablas o gráficos.
IV. ELEMENTOS DE UNA TABLA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
C. Varia ariab ble
Es una característica de la población que interesa al investigador ya que le servirá como un indicador del objeto de estudio planteado y que puede tomar diferentes valores.
Para el ejemplo N° 1: A. Alcance(A) Alcance(A) Intervalo cerrado en la cual se considera como límites al menor y mayor de los datos.
Existen dos tipos: •
Variab ariable less cual cualit itati ativa vass
Variab ariable less cuan cuanti titat tativ ivas as
A: [02 ; 4 2] 2]
límite inferior 23
límite superior TEMA 10
Exigimos más! B. Rango Rango o recor recorrid rido o (R) Es la amplitud del alcance, se calcula como la diferencia del mayor y menor de los datos. Ejemplo: R = 42 – 2 = 40
G. Frecuenc Frecuencia ia absoluta absoluta simple(fi) simple(fi)
Es el número de datos contenidos en un determinado intervalo de clase. Se cumple: f1  f2  f3  ...  fk = n
C. Intervalo Intervalo de de clase clase (Ii) (Ii) Es una clasificación de los datos en subgrupos. Ejemplo: Se podría tomar un intervalo I = [10: 20  , aquí estaran aquellas personas cuyas edades sean mayores o iguales a 10 pero menores que 20.
H. Frecuencia Frecuencia absoluta absoluta acumulada acumulada (Fi) (Fi)
Es la acumulación ordenada de cada una de las frecuencias absolutas simples. I. Frecuenc Frecuencia ia relativa relativa simple simple (hi)
D. Número Número de de clase clases s (K) Es el número de categorías o intervalos en el que se va a dividir la información.
Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre el número total de datos. f h1= 1 h1 + h2 + h3 +...+ hk = 1 n
Regla de Sturges: K = 1 + 3,322logn
J. Frecuencia Frecuencia relativa relativa acumulada acumulada (Hi)
n : número de datos
Es la acumulación de frecuencias relativas. "Por lo general las frecuencias la expresamos como un tanto por ciento".
Ejemplo: K = 1 + 3,322 Log 20 = 5,32 Si K = 5,32, se recomendaría tomar 5 intervalos o
V. GRÁFI GRÁFICOS COS O DIAG DIAGRA RAMA MAS S
un valor cercano que podría ser 4 ó 6.
A. Histograma Histograma
E. Ampli Amplitud tud o ancho ancho de clas clase e (W)
Son diagramas de barras o rectángulos, cuyas bases representan los intervalos de clase y las alturas, las frecuencias absolutas o relativas.
Es la diferencia entre el límite superi or e inferior de cada intervalo. Ejemplo: En I2 = [10: 20  W = 20 – 10 = 10 F. Marca Marca de clas clase(X e(Xi) i)
Es el punto medio de cada intervalo. xi 
(Lími (Límite te inferio inferior) r)  (Lími (Límite te superio superior) r) 2
Ejemplo: En I2 = [10: 20  x2=
B. Diagram Diagrama a escalo escalonado nado
Las frecuencias absolutas o relativas pero acumu-
10+20 = 15 2
Exigimos más! Si de las 20 personas que se atendieron en la posta 4 se atienden en dental, 3 en pediatría, 8 en tópico y los 5 restantes en medicina general. N° de personas <> ángulo <>% 20 360° 100% 1 18° 5% 3 34° 1 5%
C. Gráfic Gráfico o Circu Circula larr
Llamado también de sectores o del Pastel. Se utiliza para comparar las partes con el total.
 Son verdaderas I y III
Del gráfico: Respuesta: E) I y III
Para cubrir el puesto de mecánico-electricista se recibieron solicitudes de 200 postulantes. En el cuadro siguiente se presenta la distribución de los pos-
I. Se afirma: I.
El porc porcen entaj taje e prome promedio dio de de desa desapr proobación por curso es 36%.
II. El porce porcentaj ntaje e de aproba aprobación ción del del curso curso D es el 60% del porcentaje de aprobación del curso B. III. III. La tasa de de desaprobación desaprobación del del curso E es el 60% de la tasa de aprobación en el curso C. ¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? UNI 2009-II
A) Solo I B) Solo II C) So lo lo III
El prom promed edio io de de aprob aprobaci ación ón será será:: MA  60%  80%  50%  60% 70% 5 320%  = 64% 5 Por lo cual el promedio de desaprobación será: 100% – 64% 6 4% = 36% .. (Verdadera)
 
60 6 0%
 
"D" con respecto a "B" es: 60%  100%  75% ......... (Falsa) 80% III. III. Desaproba Desaprobación ción de E: 100% – 70% = 30% Aprobación de C: 5 0%
Piden: 30%  100%  60% 50%
E) Solo olo I y II III
...(Verdadera)
tulantes según experiencia laboral en el área:
Entonces la experiencia laboral mínima para el 90% de los postulantes es: UNI 2008 - II
A) 7,4 años B) 8,4 añ años C) 10, 4 años D) 12,4 años ños E ) 14, 4 años ARITMÉTICA
Exigimos más! Se observa que en el intervalo [2  5) se se tiene 12 de frecuencia.
Resolución: Piden: x, analizando el último intervalo:
En el siguiente intervalo: [5  8) estará lo restante: 18,75 – 12 = 6,75 Luego: ancho de clase: 3 El tiempo de servicio para el 25% de los trabajadores es: UNI 2005 - I A) 5,55 años B) 6,3 5 años Respuesta: E) 14,4 años C) 7,10 años ños D) 14, 14,82 año añoss Problema 3 E ) 15 ,3 ,30 añ años La tabla siguiente presenta la distribución de los trabajadores de una empresa Resolución: según el tiempo de servicio en años. Pide: 25% (75) = 18,75 35%  25%  a  1, 4 2 a x = 13 + a x = 14,4 años
3  15  x  1, 35 x 6, 75
Luego: 5 + 1,35 = 6,35
Respuesta: B) 6,35 años
ESTADÍS ESTADÍSTICA TICA II DESARROLLO DEL TEMA
I. MEDI MEDIDA DASS DE TEND TENDEN ENCIA CIA CENTR CENTRAL AL (PARTE I)
Se observa: (menor dato)  MH  MG  MA  (mayor dato)
Cuando se estudia el tema de promedios se indicó que era un valor representativo de un conjunto de datos, en esta primera parte en medidas de tendencia central, estudiaremos algunos de los promedios para datos no clasificados y clasificados.
B. Para datos datos clasificad clasificados os
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
A. Para datos datos no clasificados
Sea un grupo de "n" datos: a 1, a 2, a 3,...an
1. Med Media ia aritmé aritméti tica ca MA,X
a + a + a + ... + an X 1 2 3 n 2. Med Media ia geomé geométric trica a
MG,X G 
XG = n a1 × a2 × a3 × ...an 1. Med Media ia aritmé aritméti tica ca
3. Med Media ia armó armóni nica ca (MH, X H)
n 1 + 1 + 1 + ... + 1 a1 a2 a3 an
 xi × f i
 MA,X 
=  xi × hi
x f +x f +x f +x f +x f X = 11 2 2 3 3 4 4 5 5 n
Ejemplo: Sean números 6; 3 y 12. 2. Med Media ia geomé geométri trica ca (MG, X G )
MA = 6+3+12 = 7 3
f X G = n  Xi i
MG = 3 6 ×3 × 3 × 12 = 6 MH =
3 = 36  5, 14 1 +1+ 1 7 6 3 12
XG = n X1f1 × X 2f2 × X 3f3 × X 4f 4 × X5f 5 27
3. Me Media dia armó armónic nica a MH,XH
n f XH =  i xi
III. MEDIDAS MEDIDAS DE DISPERSI DISPERSIÓN ÓN
f1 + x1
Las medidas de dispersión consisten en obtener medidas (valores) referenciales de un grupo de datos, que nos permitan medir que tan dispersos o alejados estan los datos con respecto a este valor de referencia.
n f2 f 3 f 4 + + x2 x3 x5
A. Para datos datos no clasificados clasificados
Sean un grupo de "n" datos: a1 , a2 , a3 , ..., an
II. MEDID MEDIDAS AS DE TEN TENDEN DENCIA CIA CENT CENTRAL RAL A. Media aritmética aritmética ( MA , x )
1. Vari Varia anza nza (s 2 ó 2 ) n
 xi2
  xi  x 
S 2  i1
2  i1  x S n
2. Desviaci Desviación ón estand estandar ar (S ó  )
B. Mediana Mediana (Me; (Me; Xm) Xm)
i1
1. Para datos datos no clasifi clasificado cados s
 x i2
 x2
B. Para datos datos clasific clasificados ados
Se ordena los datos en forma creciente y luego: Si la cantidad de datos es impar, la mediana será el termino central. Si la cantidad de datos es par, la mediana será el promedio de los dos datos centrales.
2. Para Para datos datos clasific clasificado ados s
Se emplea la siguiente relación: n F   2 me 1    xW Me  Lme  f me
Calculamos la media (X) .
C. Moda oda (Mo) (Mo)
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un grupo de datos.
Luego: 1. Vari Varia anza nza  S2 ó  2  n
Se considera al valor mas repetitivo, que puede ser uno o mas valores.
S2  i1
Se emplea la siguiente relación:
 fi
 xi2  fi
2. Desviaci Desviación ón estan estandar dar (S ó  )
Mo  L mo 
d1  d2
S 28
n ARITMÉTICA
 x i2  fi
Indique la alternativa correcta después de determinar determinar si cada c ada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado: I. La frec frecuen uencia cia relativ relativaa es el coci cocient entee entre la frecuencia acumulada del i–ésimo intervalo y el número total de datos. II. II. La media mediana na de de un conj conjunto unto de n datos, es el valor que más veces se repite. III. III. Si {18, 19, 16, 17, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviación estándar es mayor que 1,7.
x  18  19  16  17  14  16, 8 5
VVV VV F FVV FFV FFF
A partir del gráfico, tenemos
2 2 2 2 2   18  19  16  17  14 – (16,8) 16, 8)2
,96  1,72 ,72046   2,96 Donde   1,7 Respuesta: D) FFV D) FFV
El gráfico de barras representa los montos de inversión extranjera en millones de dólares en los últimos 4 años. De la información del gráfico se puede afirmar:
I. Verdadero El porcentaje de crecimiento anual de la inversión en millones de dólares ha ido disminuyendo.
Respecto a lo anterior, se tiene lo siguiente:
I. Falsa Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del iésimo intervalo y el número total de datos. f hi  i n
II. Falsa Porque la mediana de un conjunto de n datos es el valor que divide al conjunto de datos, previamente ordenados, en dos partes iguales. III. Verdadera
I. El porc porcen enta taje je de crecim crecimien iento to anual anual de la inversión en millones de dólares ha ido disminiyendo. II. II. La invers inversión ión en millon millones es de dólares dólares ha crecido en un porcentaje constante. III. III. La inversión inversión en el el último año ha sido más del 100% de la inversión en el 1er año.
II. Falso La inversión en millones de dólares ha crecido en un porcentaje constante. III. Verdadero La inversión en el último año ha sido más del 100% de la inversión en el 1.er año.
Respuesta: D) VFV
Indique la alternativa que corresponde a la verdad o falsedad de las afirmaciones. UNI 2011-II
VVV VVF VFF VFV FFV 29
La tabla muestra los valores y frecuencias de las notas de los alumnos de Álgebra. Con la información mostrada se puede afirmar: I. La medi mediaa es meno menorr que que la la medi median ana. a. II. II. La moda moda es mayor mayor que que la media mediana. na. III. III. La media media es mayor mayor a 13. ARITMÉTICA
Moda: valor cuya frecuencia frecue ncia es la mayor de todas. UNI 2011-II
VVV VV F VFF FFF FFV
De la tabla, hallaremos hallaremos la media ( x ), la mediana (Me) y la moda ((Mo) Mo) de las notas.
Resolución:  fi x i Recuerda que: Media   f i Donde: f i: frecuencia xi : valor Mediana: valor que ocupa el lugar central cuando todos los valores están ordenados.
Me = 14 (de los 75 valores, la l a mediana es aquel valor que ocupa el lugar 38, el cual corresponde a la nota 14).
x  25588101512 15142516 518 75 x  13, 47
Mo = 16 (es el valor cuya frecuencia es 25, la mayor de todas las frecuencias). I. Verdadero La media es menor que la mediana porque porque x = 13,47 < Me = 14 II. Verdadero La moda es mayor que la mediana porque Mo = 16 > Me = 14 III. Verdadero La media es mayor a 13 porque x = 13,47 13,47 En consecuencia, las tres proposiciones pro posiciones son verdaderas. Respuesta: A) VVV
REGLA DE MEZCLA I DESARROLLO DEL TEMA
I. MEZCLA
B) El precio precio al cual debería debería venderse venderse el kg de mezcla mezcla para obtener una ganancia del 20%.
Es la unión de dos o más sustancias en cantidades arbitrarias, conservando cada una de ellas su propia naturaleza (peso, volumen, densidad, etc).
Las mezclas se realizan generalmente con fines comerciales o para alterar la calidad de algunas sustancias. Ejemplos: •
La gasolin gasolina a es una mezcla mezcla de de hidroc hidrocarbu arburos. ros.
Las joyas joyas son la la unión unión de de metal metales es precios preciosos os con otros componentes que permitiran aumentar su durabilidad, pero en algunos casos disminuyen su calidad y costo (unión de metales "aleación").
Costo total (S/.): 5×6+25×12+20×16 (S/.): 5×6+25×12+20×16 = 650 Cantidad total (kg): 5+25 (kg): 5+25 + 20 = 50 Pm 
En las las bebida bebidass alcohólica alcohólicass debería debería verificars verificarse e su grado alcohólico antes de ingerirse pues hasta cierto grado alcohólico son permisibles para el consumo humano, si sobrepasan este grado podrían resultar dañinas.
(costo (costo total) (cantidad total) total)
Pm  650  13  Pm  S / 13 50 Respuesta: S/. Respuesta: S/. 13
II. II. PREC PRECIO IO MEDI MEDIO O (PM) Es el precio de costo por unidad de mezcla, a dicho precio se le conoce también como "precio de equilibrio" pues no genera ni ganancia ni pérdida.
Nota: Si Nota: Si los 50 kg de mezcla se venden a P m = S/. 13 el kg, no se genera ni gananc ia ni pérdida; pues se obtendría la misma cantidad de dinero, si se vende cada ingrediente por separado.
B) Se con consi side dera: ra:
Un comerciante dispone de 3 bolsas que contienen cebada, con fines comerciales va a realizar una mezcla de las mismas de la siguiente manera:
Precio Precio <> medio costo Nota: El precio medio se obtiene como un promedio ponderado, es por ello que debe estar comprendido entre el menor y mayor precio.
Luego de mezclarlas, con respecto a los 50 kg de mezcla obtenida, calcule: A) A ) El precio de costo por kg (precio medio). UNI SEMESTRAL 2013 - III
REGLA DE MEZCLA II
Exigimos más! Luego:
Se considera: Grado o pureza de un alcohol (G°) El grado alcohólico o pureza nos indica que tanto por ciento de una mezcla alcohólica es el alcohol puro.
Pv = 13 + 20% 13 = 15,6
Respuesta: S/ 15,6
I) Se mezcla mezclan n 12 litros litros de alcoh alcohol ol puro puro con 18 litros litros de agua. Calcule el grado de pureza de la mezcla.
Debido Debido a que que el precio precio medio medio no gene genera ra ni ni gananc ganancia ia ni pérdida, debe cumplirse:
Pérdida aparente
En el ejemplo: Respuesta: 40° En general En una mezcla alcohólica:  Volumen de    alcohol puro  G   x 100   Volumen total     de la mezcla 
II) II) Se tienen 80 litros litros de un alcohol de de 70°, entonces: entonces:
G. A. = P. A 7(5) + 1(25) = 3(20) 60 = 60 II) II) En general, general, si mezclam mezclamos os "n" ingredi ingrediente entess cuyas cantidades y precios son:
Volumen de alcoho l puro  70% 80 = 56
C1 + C2 + C3 + .. .... + Cn  Ca Cant ntid idad ad to tota tall P1 P2 P3 Pn Pm
 30% 80 = 24
C P +C P + C P +...+ Cn Pn Pm = 1 1 2 2 3 3 C1 + C2 + C3 .. ...+C n
Se mezclan 20 litros de un alcohol de 70° con 30 litros de otro alcohol de 80°. Calcule el grado alcohólico de la mezcla resultante:
Pm es el precio precio ponde ponderado rado de los los precios unitarios
(Costo to (Costo tottal al)) (Cantidad (Cant idad total total))
III. MEZCLA MEZCLA ALCOHÓLICA ALCOHÓLICA Es un caso particular de una mezcla, donde las componentes son alcohol puro y agua.
Gm 
70  20  80  30  76 20  30
Exigimos más! Observaciones:
II) II) En el el ejerci ejercicio cio ante anterio rior: r:
Se mezclan mezclan "n" alcoholes alcoholes cuyos volúmenes volúmenes.. V 1
G1 Gm 
G1V1  G2 V2  G3V3  ...  Gn Vn V1  V2  V3 ...  V3
G.A. = P. A. 6° × 20 = 4° × 30 120° = 120°
Se cumple: Ganancia aparente
III) III) Cuando se mencione mencione alcohol alcohol puro o agua sola: sola:
Además: Además: menor grado
mayor grado
100º < > 100%
0º < > 0%
A) 0,774 0,7 74 B) 0 , 7 7 5
Se mezclan dos clases de café en la
C) 0 , 7 7 7
proporción de 1 a 2 y la mezcla se vende con un 5% de beneficio. Después se mezclan en proporción de 2 a 1 y se vende la mezcla con 10% de bene-
D) 0 ,7 ,7 78 78 E ) 0,779 Resolución:
ficio. El precio de venta es igual en ambos casos. Determine la relación de los precios de las clases de café. UNI Nivel fácil
26 C) 20 D)
12 E) 23
105% a  2b  110% 2a  b 3 3
Lm  4L  5.1  0, 9 45
a  20 b 23
L = 0,775 Respuesta: B)
Respuesta: B) 0,775
Problema 2 Una aleación con un peso de 4 kg se funde con 5 kg de plata pura y resulta 0,9 de ley. ¿Cuál es la ley de aleación aleac ión primitiva?
¿Cuál es la ley obtenida al fundir 20 gramos de oro de 18 kilates, 20 gramos de oro de 800 milésimos, 30 gramos de oro de 6 décimas y 30 gramos de cobre?
Exigimos más! A) B) C) D) E)
12,78 K 10,75 K 17,90 K 11,7 11,76 6 K 11,8 1,80 K
Ley 
(Peso Peso oro oro puro puro)) (N kila kilate tess)  (Peso total) 24
Recordar: cuando el oro es el metal fino.
20 0, 75  20 0, 800  30 0, 6  30 0 20  20  30  30 
Lm  0, 49 
Luego: Cobre
Lm 
(N kilate kilates) s) 24
(N° kilates) = 11,76 k
20 g + 20 g + 30 g + 30 g = Leyes: 18 =0 ,75 0, 800 24
Respuesta: D) D) 11,76 k
REGLA DE MEZCLA II DESARROLLO DEL TEMA ALEACIÓN Es la mezcla mezcla de dos o más metales mediante el proceso de fundición (proceso en el cual se unen los metales ya sea en estado líquido o gaseoso); por convención en los metales se considerará: En el ejemplo anterior: Liga  8  0, 40 20
  40%
Ley o pureza de una aleación
Se funden funden "n" "n" lingote lingotes, s, cada cada uno uno con su resp respec ectiva tiva ley: ley:
En una aleación la ley nos indica que parte, fracción o porcentaje representa el metal fino en dicha aleación.
(Peso metal fino) (Peso total de la aleación) Lm
W1L1  W2L 2  W3L 3  ...  Wn L n W1  W2  W3  ...  Wn
Se funden 12 gramos gramos de plata con 8 gramos gramos de zinc. Calcule la ley de la aleación resultante. Resolución:
menor ley
mayor ley
Ley + Liga = 1
II) II) En los casos casos en que se menci mencione one metal metal fino u ordinario ordinario puros:
Nota: El Nota: El metal ordinario determina la liga en una aleación, nos mide la "impureza".
metal fino metal ordinario UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
Ley = 1 ó 100% de pureza Ley = 0 ó 0 % de pureza ARITMÉTICA
Exigimos más! Ejemplo: Si se tiene un lingote cuya composición es 15 gramos de oro y 5 gramos g ramos de de cobre. ¿De cuántos kilates es dicho dicho lingote? l ingote?
ates  N kilates 24
(N° kilates) = 18
Respuesta: 18 k
NUMERACIÓN DESARROLLO DEL TEMA El número surge con la necesidad del hombre de expresar o asociar una cantidad cantidad a los objetos o elementos que lo rodean. Por ejemplo, la ciencia a comprobado con sus descubrimientos de vestigios prehistóricos, dibujos en piedra con marcas y símbolos que reflejan una forma de conteo, es decir el hombre prehistórico ya tenía una noción de cantidad. Durante el transcurso de la historia, las culturas, imperios o naciones se han caracterizado por su particularidad en el estudio y representación de los números, tanto como su aplicación en las matemáticas, que permitieron en gran medida su avance tecnológico, científico, militar, económico; como han sido la cultura romana, egipcia, china, árabe, etc. En nuestro caso desde que somos niños nos enseñan en los colegios a escribir y pronunciar correctamente las letras (palabras) y los números (numerales), y muchas veces nos hemos preguntado ¿para qué?; por ejemplo, elegimos un alumno del aula y le hacemos las siguientes preguntas: Nombre Edad Peso Estatura Dirección Dirección de domicilio Teléfono Ahora analizamos, analizamos, ¿cuántos números habrá utilizado utilizado en sus respuestas?
La idea idea en en su mente mente es el el núme número ro.. Si él coge coge una piedra piedra y realiza realiza mar marcas cas sobre sobre la la tierra tierra indicando el número de manzanas que observa:
Representación: II II II III I I III , XI V, V, 14 , ...  (Numeral)
Se pueden utilizar una o más cifras
Vemos Vemos la diferenc diferencia ia entre número (idea) (idea) y numeral numeral (representación) pero es frecuente que en diversos libros o exámenes de admisión lo consideren lo mismo, por lo cual los estudiaremos en forma indistinta.
Número Número Es un ente matemático que nos da la idea de cantidad. Sirve para cuantificar los elementos de la naturaleza.
Numeral Es la representación gráfica de un número. Ejemplo: XII, 347, .......
Cifras Es un símbolo que se utiliza para representar representar un número.
SISTE SISTEMA MA POS POSIICIONA CIONAL L DE DE NUMERA NUMERACI CIÓN ÓN Es un conjunto de principios que rigen la correcta representación y escritura de los numerales. Básicamente son dos los principios que necesitamos conocer. A. Principio del orden "Toda cifra en un numeral ocupa un lugar y posee un respectivo orden".
Cifras: 0, 1, 1 , 2,3 , 4, 5, 6,7, 8,     9 cifras s ignificativas ignificativas
Analicemos Analicemos el siguiente diagrama, diagrama, un niño observa un árbol con catorce manzanas. UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
Exigimos más! • Pasando 153 a la base 6
B. Principi Principio o de la la base base Todo sistema posicional de numeración tiene una determinada base, la cual es un número entero que indica cuantas unidades de cierto orden son necen ecesarias para formar una unidad en el orden inmediato superior. En forma práctica indica de cuanto en cuanto se están agrupando las unidades simples. En base 10: diez unidades unidades de un determinado determinado o rden formarán una unidad del orden siguiente (superior).
2. De bas base e m a bas base e 10 (
Ejemplo: En el gráfico inicial, in icial, si el niño observa catorce manzanas, vamos a representarlas cada una por una bolita y luego por agrupación expresaremos en las bases diez, ocho, cinco y tres.
Ejemplos: 6738 = 6000 + 700 + 30 + 8 6738 = 6 x 103 + 7 x 10 2 + 3 x 10 1 + 8 4527 = 4 x 7 2 + 5 x 7 1 + 2 = 333 24135 = 2 x 5 3 + 4 x 5 2 + 1 x 5 1 + 3 = 358 2001003 = 2 x 3 5 + 1 x 3 2 = 495 300004 = 3 x 4 4 = 768 3. De base base m a bas base en
2  Base 
0   Ci fra    Base 
Ejemplo: Expresar 2413 5 en la base 8. D. Algunos Algunos sistemas sistemas de numeración numeración
Cifra Cifrass usa usadas das en base base n:  0, 1, 1, 2, 3, 3, ..., ..., (n - 2),  (n 1) cifra máxima
C. Cambi Cambio o de base base
1. De base base 10 10 a otra otra base base n (
Ejemplos: • Pasando 25 a la base 7
Cuaternario Cuaternar io
Heptanario Heptanario
Octanario Octanario
0; 1; 2; 3; 4; ....; 7
Nonario Nonario
0; 1; 2; 3; 4; ..... ; 8
0; 1; 2; 3; 4; ..... ; 9
Undecimal Undecimal
0; 1; 2; 3; ......; (10)
Duodecimal Duodecimal
0; 1; 2; 3; ..... ; (11)
0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3
II. REPRES REPRESENT ENTACIÓ ACIÓN N LITERAL LITERAL DE UN NUMERAL
• Pasando 25 a la base 4
Cuando se desea denotar a un numeral en forma general, conociendo alguna información sobre él (ya sea con respecto a las cifras o a la base), se pueden emplear letras que representen a las cifras. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Exigimos más! Ejemplos: • ab representa a un numeral de 2 cifras, por ejemplo: 10; 11; 12; 13; ...; 99.
abab  ab  102  ab  101  ab
abcabc 4  abc 4  4 3  abc 4  65  abc 4
a25 puede estar representando a: 125; 225; 325; 425; ...; 925
ab0ab 6  ab 6  63  ab 6  217  ab 6
Numera Numerall de 3 cifras cifras conse consecutiva cutivass crec creciente ientes: s:
a b325  ab 5  5 2  32  25  a b 5  1 7 5
a(a  1)(a  2)
123, 234, 345, 456, 567, 678, 789
IV. PROPI PROPIEDADE EDADES S
a5(a ) = 151; 254; 359.
3m(m  2) = 3026; 3136; 3246; 3356
4(m  1)(m  3) =4407; 4517; 4627
A. Bases sucesiv sucesivas as
Numeral capicúa Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes, del centro del numeral, son iguales.
abcdcban
 Ked c b a 1c
Ejemplos: 4774; 2528; 19491
 7 + 4 + 2 + 4 + 5 = 22 7
= 32(9+2+4+3+2+4)
= 32 24 = 3 × 24 + 2 = 74
aba; abba;
= 1  2  3  ...  n 
mnpp mnppnm nm7; somo somoss
12 13  1(n1)
III. DESCOMPO DESCOMPOSICI SICIÓN ÓN POLI P OLINÓMIC NÓMICA A
n(n  1) 2
abc .. pq  a nk 1  bnk 2  cnk 3  ...  pn  q  k cifras
B. Numera Numerall de cifras máximas máximas
abcd n = a × n 3 + b × n2 + c × n + d
( n  1)(n  1)(n  1).....(n  1)  nK  1
aaa 4 = a × 4 + a × 4 + a = 21a
abb abba 5 = a×5 a×53 + b×52 + b×5 + a = 126a + 30b Ejemplos:
a03a 03a5 = a × 53 + 3×5 + a = 126a + 15 A. Descomposición polinómica por bloques bloques
abcden  abn  n3  cde n ab a bcde n  abn  n3  cdn  n  e ab a bcde n  a  n4  bcn  n2  den ab abcde n  abc n  n2  de n ab a bcde n  abn  n3  c  n2  den Ejemplos: 4758 = 4700 + 58
Base 10 9 = 10 - 1 99 = 10 2 - 1 999 = 103 - 1 9999 = 104 - 1
Bas e 6 5=6 -1 556 = 62 - 1 5556 = 63 - 1 555 56 = 64 - 1
Bas e 8 7=8 -1 778 = 82 - 1 7778 = 83 - 1 77778 = 8 4 - 1
Bas e 4 3=4 -1 334 = 42 - 1 3334 = 43 - 1 333 34 = 44 - 1
C. Intervalo Intervalo de de un num numeral eral
nk 1  a bc ... de n  nk   "k" cifras
Exigimos más! Ejemplos:
= 1(213)(123 )9 = 1(2×3+1)(1×3+2)9 = 1759
212211 3
= (2123)(2113)27 = (2×32 + 1×3 + 2) (2×32 + 1×3 + 1) 27 = (23)(22)27
102  abc  103 73  abcd 7  74 35  abcdef 3  36 ¿Cuántos numerales de tres cifras hay en base 8?
V. CA CAMBI MBIO O DE BASE BASE ESPE ESPECI CIAL AL
B. De base base nk a base n Cada cifra de la base n k se lleva por po r divisiones sucesivas la base "n" y cada una nos dará "k" cifras en la base n; a excepción de la primera cifra que podría generar menor número de cifras.
A. De base n a base nk Se forman bloques de k en k cifras de derecha a izquierda, luego cada bloque se descompone polinómicamente y el valor que resulte será una cifra en la base nk . a b c d e f n  a bn a b c d e f n  a bc n
Ejemplo: Expresar 7849 en base 3.
Ejemplos: 212211 3 = (213) (223) (113 )9 = (2×3+1)(2×3+2)(1×3+1) (2×3+1)(2×3+2)(1×3+1)9 = 7849
Problema Problema 1 ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras? UNI 2010-I
Problema Problema 2 Sabiendo que: a00a(6)  bc1, 0 es el cero, a  0 , determine la suma (a + b +c)
B) 24 E) 2 7
Ubicación de incógnita Halle los valores de la base (n) Análisis de los datos o gráficos 1234  abcn
n2  abc n  n3 ;
n2  1234  n3
Desarrollando la desigualdad: 3
A) 12 C) 1 4 E) 1 6
1234  n  1234
10, ...  n  35, ...
{11, 12, 12, 13, 13, ..., ..., 35} 35}  n   25 valores valores
Respuesta: C) 25 UNI SEMESTRAL 2013 - III
B) 12 D) 1 4
Ubicac Ubicac ión de de incógnita: a+b+c
Conclusiones Por terminación, se observa que a = 3 bc1  217 × 3 = 651 = bc1 a = 3, b = 6, c = 5 a + b + c = 14
Por Desigualdad aparente: 7  n 5  n  6
a o oa (6)  bc1
Por descomposición polinómica y reducien ciendo do:: 217a  bc1
a2b (7)  a51(n)
Operación del problema problema (Propieda (Pro piedad) d)
UNI 2006–I
UNI 2008-II Nivel intermedio A) 11 B) 13 C) 1 3 D) 1 5 E) 1 5
A) 23 D) 2 6
Problema 3 De la igualdad a2b(7)  a51(n) calcule el valor de: a + b + n.
Ahora: a2b(7)  a51(6) •
a x 72  2 x 7  b  a x 6 2  5 x 6  1
13 a  b  17  
 a  b  n  1  4  6  11
A) 11 Respuesta: A)
Respuesta: C) 14 40
TÉCNICAS TÉCNICAS DE CONTEO DESARROLLO DEL TEMA En este capítulo desarrollaremos métodos para realizar un conteo rápido y poder conocer de cuántas maneras puede ocurrir un acontecimiento; por ejemplo. • ¿Cuánt ¿Cuántas as jugad jugadaas se pue puede denn hace hacerr en en la TINKA TINKA?? • ¿De cuánt cuántas as maner maneras as difere diferente ntess se pueden pueden ubicar ubicar 2 personas en una carpeta de 4 asientos?
Rpta.: ________________
PRINCI PRINCIPI PIO OS FUN FUNDAM DAMEN ENTA TALES LES DEL CONTEO
B. Principi Principio o de Multipl Multiplic icación ación
Son dos principios básicos para el conteo:
Si un determinado suceso A ocurre de “m” maneras diferentes y por cada uno de estos el suceso B ocurre de “n” maneras diferentes, entonces los sucesos “A” seguido de “B”, o “A” y “B” simultáneamente ocurre de “m x n” maneras diferentes.
A. Principio de Adición
Si un determinado suceso A ocurre de “m” maneras diferentes y un suceso B ocurre de “n” maneras diferentes entonces, el suceso “A o B” (en sentido excluyente) se podrá realizar de “m + n” maneras diferentes.
Se desea enviar una pareja mixta de nadadores a las olimpiadas y se dispone de 8 varones y 15 damas. ¿Cuántas parejas diferentes se podrán formar? Rpta.: ________________
Aplicación Aplicación 1:
En un centro comercial se desea comprar una camisa, esta prenda se vende en: • 13 tiendas del 1. er nivel • 15 tiendas del 2. o nivel ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una tienda para hacer esta compra?
Rpta.: ________________ Aplicación Aplicación 2:
Mario para viajar de Lima a Chiclayo dispone de 11 líneas de transporte terrestre y 5 de transporte aéreo. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir el medio de transporte? Rpta.: ________________ Aplicación Aplicación 3:
De cuántas maneras diferentes puede ir de A a B sin retroceder ni repartir ningún tramo. UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
Se tienen 3 cajas vacías, de cuántas maneras diferentes se pueden distribuir 4 conejos en dichas cajas. Rpta.: ________________ Aplicación 6:
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar 3 dados? Rpta.: ________________ Aplicación 7:
De 10 alumnos, se desea formar un comité integrado por un Presidente, Secretario y Tesorero. ¿Cuántos comités se pueden formar? Rpta.: ________________ ARITMÉTICA
II. FAC ACTOR TORIA IAL L DE UN UN NÚME NÚMERO RO
Sea n   se define como factorial de "n" denotado por n! al producto de los enteros consecutivos del 1 al n. Ejemplo: 0! = 11 (por convención) 1! = 1 2! = 1 x 2 3! = 1 x 2 x 3 4! = 1 x 2 x 3 x 4 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 También: • 5 !  1 2  3  4  5 4!
P(n, n) Pn
Aplicación 8:
De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren sentarse en los extremos. Aplicación 9:
Se tiene un aula de 25 alumnos 5 de talla alta, 10 de talla intermedia y 10 de baja estatura. De cuántas maneras se les podrá ordenar para formar una batallón de desfile.
8 !  7 ! 8
b. Permutación Permutación con elementos repetidos repetidos
8 !  5! 6  7  8
5!  4 ! 5
Permutar las letras: A, A, B, B, B. Luego si se tiene "n" elementos donde hay r1 : elementos de una primera clase. r2 : elementos de una segunda clase.
5!  3! 4  5 Técnicas de conteo
Permutación a. Permutación Permutación lineal lineal con elementos elementos diferentes diferentes Son todos los ordenamiento s que se pueden
r3 : elementos de una k-ésima clase.
formar con parte o con todos los elementos que conforman un conjunto.
El número de permutaciones diferentes que se pueden formar con ellos será:
p(n,r1 ,r2 ,. ,.....r4 ) 
Dado el conjunto: A  a,b, c,d,e c, d,e  de cuántas maneras se podrán ordenar sus elementos si los tomamos de: a. 2 en 2 b. 3 en 3 c. orden ordenam amos os todos todos
n! r1 ! r2 ! r3 ! ...  rk !
Donde: r1  r2  r3  ...  rk
 n
Aplicación 10:
Cuántas palabras de 10 letras con sentido o no se pueden formar con las letras de la palabra ARITMÉTICA.
c. Permut Permutaci ación ón circula circularr
4 20; pero 
Es un arreglo u ordenamiento de elementos diferentes alrededor de un objeto en estos ordenamientos no hay primer, ni último elemento, por hallarse todos en un ciclo cerrado imaginario. Ejemplo: De cuántas maneras se pueden or-denar 4 elementos alrededor de un objeto.
4 5  4  3 !  5 !  20 3! (5  2) !
5  4  3  60 5
5  4  3  2! 2 !  5 !  60 2! (5  3) !
c) 5 4 3 2 1 5  4  3  2  1  5 !  120
Luego: se tienen "n" elementos diferentes al ordenarlos en "r" en "r" el número de maneras está dado por: P(n, r)  UNI SEMESTRAL 2013 - III
n! 0  r (n  r) !
La idea es mantener fijo un elemento y permutar los restantes. Luego dados "n" elementos, al ordenarlos alrededor de un objeto se podrá hacerlo de:
n
P0(n)  (n  1) ! 42
Exigimos más! Aplicación Aplicación 12:
Se sientan 8 personas alrededor de una mesa, de cuántas maneras se podrá ordenar. Rpta.: ________________
5 parejas de novios juegan a la "ronda". ¿Cuántas rondas podrán formar si cada pareja no se separa?
c n0  1
c nn  1
c nr  c nnr
III. COMBINA COMBINACIO CIONES NES
n! 0 r r !( !(n  r) !
Aplicación Aplicación 13:
Aplicación 13:
Son diferentes "grupos" o subconjunto que se pueden formar con parte o todos los elementos de un conjunto. Ejemplo: Cuántos subconjuntos se pueden formar con los elementos de:
Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos no colineales. Rpta.: ________________ Aplicación 14:
Con 8 varones y 3 damas cuántos comités de 4 personas se pueden formar de modo que: A. A . Hayan 2 varones y 2 damas. B. Siempre Siempre esté Tatian Tatianaa en en el grupo. grupo. C. Haya Haya al menos menos 2 mujere mujeres. s. D. Haya Haya a los más más tres tres varones varones.. Rpta.: Rpta.: ________________
A  a,b, c,d c, d A. Binarios Binarios
b , a, c , a, d , b, c , b, d , c, d a,       B. Ternari rnarios os
a, b, b, c ,a, b, d , a, c, c, d , b, cd cd Conclusión: Luego el número número de combinaciones (o subconjuntos) subconjunto s) que se pueden formar con "n" elementos diferentes tomados de "r" en "r", se calcula:
Permu ermuttaci aciones ones   Ordena denami mieentos ntos Comb Combin inaacion cionees  Agrup grupac aciiones ones
problemas resueltos Problema 1
Análisis de los datos o gráficos
El dueño de un concecionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición tendrán sólo 3 autos, el dueño calcal cula que existen 210 maneras maneras diferentes de ordenar la exhibición, ¿cuántos autos le quedan por vender?
La cantidad de ordenamientos de "n" autos tomados de 3 en 3 es 210.
A) 4 C) 6 E) 8
B) 5 D) 7
Hallar el número de autos que quedan por vender. UNI SEMESTRAL 2013 - III
n !  2 10 (n  3) ! n (n  1)(n  2)  210 
UNI 2008 - II
n 
¿De cuántas formas puede ordenarse los elementos del conjunto {V; S; #; *}?
Respuesta: D) 7
A) 6 C) 1 6 E) 3 2
B) 8 D) 2 4
7 autos Resolución:
Método práctico .......
Ubicación de incógnita (n autos)
Nos piden el número de ordenaciones Análisis de los datos o gráficos
n x (n-1) x (n-2) = 210 n=7 43
Dado que hay 4 elementos y tácitamente nos indica ordenarlos todos. ARITMÉTICA
Exigimos más! Operación del problema
Cantidad de = P 4 = 4! =24 ordenaciones 4
D) 25 2 E ) 26 0
Observación: Respuesta: D) 24
Para ir de A a B hay tres formas:
Determine el número de trayectorias que permiten permiten ir de A hacia B sólo con desplazamientos hacia arriba o a la derecha.
En el problema: m = 5 y n = 5 Número de trayectorías 
A) 196 B) 20 4 C) 22 5
5  5 !
5!5!
10!  10  9  8 7 6 5!  252 252 5!5! 5! 120 120
Por lo tanto, el número de trayectoria de A hacia B es 252.
Respuesta: Respuesta: D) 252
SUCESIONES SUCESIONES NUMÉRICAS DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFIN EFINIC ICIÓ IÓN N
Observación: Observación : El término serie, en matemática, se refiere a la suma indicada de los términos de una sucesión numérica.
Una sucesión numérica es una lista de números que tienen un primer número, un segundo número, un tercer número, y así sucesivamente, llamados términos de la sucesión. Cada término tiene un orden asignado, es decir, decir, que a cada uno le correspond correspond e un número ordinal (n ). ). Sea t 1 , t 2, t 3 ,...... Los términos de una sucesión, entonces a cada uno le corresponde un valor “ n ”, ”, según su posición. Así: t1  n  1 primero  t2 
t3 
1. Sucesió Sucesión n Pol Polinom inomia iall Es aquella sucesión ordenada en la que cada término a partir del segundo es igual al anterior aumentado en una variable o constante denominada razón. Si la razón es constante se llama progresión. Toda sucesión aritmética o polinomial tiene por ley de formación un polinomio, pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbico, etc.
 segundo   tercero 
Sea la Sucesión polinomial:
En matemática superior se define la sucesión de números (reales) como una función analítica cuyo dominio es los números naturales y su rango los números reales. En notación not ación matemática. f;    Es una expresión matemática, que relaciona la posición o lugar de cada término y el término en sí, de una sucesión, con la cual se puede obtener cualquiera de los términos de la sucesión. La posición se expresa mediante el número ordinal n. La ley de f ormación ormación también es llamada; fórmula de recurrencia, término general o término enésimo, y se representa como t n . Ejemplo: Si tn=n2+1 Entonces: n
 1  t1  12  1  2
 2  t2  22  1  5
 3  t 3  32  1  10
 4  t 4  42  1  17
n 1
tn  t1 C0 
n1
 k1C2
 . ..  aC aCp 1
Sabiendo a
Que: Cb 
a!  a  b ! b !
2. Sucesi Sucesión ón Geomét Geométric rica a Es una sucesión ordenada en la cual el primer término y la razón son diferentes de cero, y cada término a partir del segundo se obtiene multiplicando al anterior por una razón variable o constante. Si la razón es constante se denomina progresión geométrica.
La sucesión será: 2,5,10,17,... UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
 r1 C1
Exigimos más! Sea la sucesión geométrica.
5. Sucesión Sucesión de Tribonac Tribonacci ci o Ferenberg Ferenberg Es aquella en la que cada término a partir del cuarto es la suma de los tres anteriores. 1, 1, 2, 4, 7, 13, ....
Si q1  q2  q3  ....  q (Cte. Razón Geométrica)
6. Sucesi Sucesión ón Armóni Armónica ca Es quella cuyos recíprocos (inversos) de sus términos forman una progresión aritmética. Ejemplo:
tn  t1  q 
3. Sucesión Sucesión de Fib Fibonacci onacci Es aquella en la que cada término a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. 1, 1, 2, 3, 5, 8,.......... tn  1 5
n
     1  5    1  5    2    2        n
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; ... 3 7 11 15
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ... 3 5 7 9
7. Sucesión Sucesión de Número Números s Primo Primos s Formada por los números naturales que poseen solo 2 divisores. 2, 3, 5, 7, 11; 13; 17;.........
4. Sucesi Sucesión ón de Lucas Lucas Es la sucesión en la forma más general de la sucesión de fibonacci.     tn   1  5    1  5   2   2     
Reto al Ingénio ¿Cuál es el término que continua, continu a, en la sucesión? 8; 27; 125; 343; 1331; ....
problemas resueltos Problema 2 Problema 3 Problema 1 Indique el número que continúa en la Determine el número que continúa en Considerando la sucesión: siguiente sucesión: la sucesión mostrada. –1; 0; 1; 0 ; 1; 2; 3; 6; ... 75; 132; 363; 726; ... 5, 13, 25, 41, 61, ... el siguiente término es: UNI 2012 - I UNI 2011 - II UNI 2012 - II A) 118 0 B) 125 4 A) 77 B) 85 A) 8 B) 10 C) 1 3 5 3 D) 1 45 2 C) 9 2 D) 9 6 C) 1 1 D) 1 2 E ) 1 55 1 E) 1 4 E ) 10 9 Resolución: Piden x. Se tiene la sucesión:
Resolución: Nos piden el número que continúa. Analizamos la sucesión: sucesión:
Resolución: En la sucesión se observa lo siguiente :
x = 2 + 3 + 6 = 11 Respuesta: C) 11
Respuesta: B) 85
Respuesta: C) 1353
CUATRO CUATRO OPERA OPERACIO CIONE NES SI DESARROLLO DEL TEMA I.
ADICI DICIÓN ÓN
Es una operación matemática, que consiste en reunir dos o más cantida c antidades des (sumandos) en una so la cantidad (suma). a
Suma Suma de los "n" "n" prime primero ross cubos cubos perf perfect ectos. os. S = 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 S=
Base 10 1
3 6 28 +
. .. an
an 1 1 a 1
Observación: Se recomienda restar en forma vertical.
Suma Suma de los "n" "n" primer primeros os enter enteros os positiv positivos. os. S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n
Suma Suma de de los los "n" "n" prim primer eros os pare pares. s. S = 2 + 4 + 6 + ... + (2n)
Suma Suma de los "n" "n" prime primeros ros imp impare ares. s. S = 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1)
se presta 10
se presta 8
8 2 5 –
6 1 48 –
1. En toda toda rest resta a se cump cumple: le: M + S + D = 2M
2. Para Para un numera numerall de tres tres cifras cifras::
Suma Suma de los los "n" prime primeros ros cuad cuadra rados dos perfec perfectos. tos. 2 2 2 2 S = 1 + 2 + 3 + ... + n S=
M – S = D
S = n(n + 1)
Operación que consiste en que dado dos cantidades (minuendo y sustraendo) hallar una tercera cantidad (diferencia) tal que:
n(n + 1) S= 2
II. SUSTRACC SUSTRACCIÓN IÓN
n(n + 1)(n + 2) 3
Suma de: S
Suma de: S = 1 2 + 2 3 + 3 4 + ... + n(n +1)
s um uma nd ndo s sum a
Observación: Se recomienda colocar los sumandos en f orma vertical.
UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
CUATRO CUA TRO OPE RACIONES I
8 1 4 –
7 8 1 –
x cifras
Observación: En forma práctica se puede calcular restando de 10 a la última cifra y las restantes restamos de 9.
III. COMPLEMENTO COMPLEMENTO ARITMÉTICO ARITMÉTICO Es lo que le falta a una cantidad para ser unidad del orden inmediato superior.
3 cifras 9 –4 –4 9– 8 1 0– 0– 3
CA(( N ) = 10x – N CA
CA( 4 8 3 ) = 5
CA(( 7 ) CA
CA(8 6 3 )
En general •
CA( 38 )
0 ento nce s
CA( ab abcc ) = (9 –a)(9 –b)(10–c)
CA(( 681 ) = 103 – 681 = 319 CA
problemas resueltos Problema 1 Si (a + b + c)2 = 2 025.
A) 8 C) 9 E) 1 0
Hallar el valor de: S = abc + bca + cba Nivel fácil
A) 489 5 C ) 4 69 5 E ) 4 05
B) 490 5 D) 49 4 99 5
B) 7 D) 5
Calcula la suma de todos los números capicúa de 4 cifras. Nivel intermedio
Resolución: Debemos hallar los números de la forma abc tal que: a b c +
Resolución: Se tiene: (a + b + c)2 = 2 025 Entonces: a + b + c = 45 Escribiendo los numerales en forma vertical y sumando ordenadamente. 4 4
S = 4 9 9 5
Respuesta: D) 4 995 Problema 2
¿Cuántos ¿Cu ántos números de 3 cifras existen existen tales que sumado con el número que resulta de invertir el orden de sus cifras se obtiene un número capicúa de 4 cifras? UNI SEMESTRAL 2013 - III
935 444 143 480 480 495
Si el resultado tiene 4 cifras cifras se deduce que x = 1. En las unidades tenemos: a + c = 11 En las decenas: 2b + 1 = ...y < 10 Entonces: y=1 b=0 De la condición anterior tanteamos:
b c a a c b
Los números son: 209; 209 ; 308; 308 ; 407; 407; 506; 506; 605; 605; 704;803;902     8 números úmeros
Respuesta: A) 8 números 50
Resolución: Los números son: 1001; 1111; 1221; ....; ....; 9779; 9889; 9999 a pesar de no formar una progresión aritmética, podemos observar que: 1001+9999=1111+9889=1221+9779=... Las sumas de los términos de la sucesión que son equidistantes de los extremos, son iguales. Entonces como existen: a b b a =90 números
Se forman 45 parejas, y la suma de todas ellas es: 45(1001 + 9999) = 495 000 Respuesta: E) 495 000 ARITMÉTICA
CUATRO CUATRO OPERACIONES OPERACIONES II DESARROLLO DEL TEMA
MULTIPLI MULTIPLICA CACIÓ CIÓN N
II. DI DIVI VISIÓ SIÓN N Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son números enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.
Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto. Origen:
D d r q
M  M  M  ...  M  P 
r:resid r:residuo uo
m veces veces
Mm = P
A. Exacta (residuo (residuo 0) En general: D d D= d 0 q
Donde: M = multi ltiplic plica ando ndo factor N = multiplicado ador P:Producto
B. Inexa Inexacta cta (resi (residuo duo > 0)
1. Por defecto defecto En general
1. Si se se multi multipli plica ca::
Dd r q
2 4 3x 6 5 1er produc producto to parcial parcial 1 2 1 5 1er
1458 15795
3 . Si: abc  4 = .......... 2
D d re qe
(# impar) (.... 5) = ..... 5 (# par) (... 5) = .......0
+
Propiedades de la división inexacta 1. qe = q + 1 2. rmax = d – 1 3. rmin = 1 4 . r + re = d
5. Se cumple umple::
Donde: 0 < re< d qe : cociente por exceso re : residuo por exceso
4. Se cumple umple::
q e – re d
2. Por exceso En general:
Donde: 0 < r < d q : cociente por defecto r : residuo por defecto
2do producto parcial Producto Total
2 . Si: abc  7 = .......... 6
D =d q +r
0 2 6 49
CUATRO CUATR O OPERACIONES II
Problema 1 Si a y b son dígitos tales que: (a + b) 2 = 144 Hallar: ab + ba. A) 100 B) 101 C ) 13 2 D) 7 2 E) 7 6 Resolución a + b = 12. Entonces ab + ba = 132 Respuesta: C) C ) 132 132 Problema 2 Si se aumenta 10 a los dos factores de un producto éste quedará aumentado en 1100.
¿Cuál será dicho producto si la dif erencia erencia de los factores es 20? A) 480 0 B) 3500 C ) 2 40 0 D) 1 50 0 E ) 6 30 0 Resolución a.b P
a + 10 b + 10 = P + 1100 a + b = 100 De : a – b = 20 Entonc es : a = 60 b = 40 P = 240
Problema 3 La suma de dos números es 323. Al dividir el mayor de los números por el otro, se tiene 16 de cociente y residuo máximo. El número mayor es: A) 302 B) 234 C) 305 D) 30 30 4 E ) 24 3 Resolución a + b = 323 a = 1 6b + b – 1 a = 17b – 1 en to nce s 18b = 3 24 b = 18 a = 30 5
Respuesta: C) 2400
Respuesta: C) 305
DIVISIBILID DIVISIBILIDAD AD I DESARROLLO DEL TEMA I.
DIV IVIISIB SIBILI ILIDA DAD D
II. MULTI MULTIPLI PLICI CIDA DAD D A. Definición
A. Definición Un número entero A es div isible entre otro número entero positivo positivo B si y s olo si la división de A entre B es exacta. Así:
Un número entero A es múltiplo de otro número entero positivo B si y solo si A puede expresarse como el producto de B por otro número entero. Así:
Ejemplos: Ejemplos: • ¿Es 42 divi divisib sible le entre entre 6?
Sí, porque: 40 = 8 x (5)
Sí, porque: 42 6 0 7 •
¿Es ¿Es –36 –36 múlti múltipl plo o de 9? Sí, porque: –36 = 9 x (-4)
¿Es ¿Es 30 30 múl múltip tiplo lo de 13? 13? No, porque: 30  13 k; k  
¿Es ¿Es 40 40 múl múltip tiplo lo de –5? –5? No, porque: 5   
¿Es 30 divi divisib sible le entre entre 8? No, porque: 30 6
¿Es –32 divis divisib ible le entre entre 8? Sí, porque: 32
¿Es ¿Es 40 40 múl múltip tiplo lo de 8?
Nota : Ceroes Ceroes múlt múltip iplo lo de cualq cualquie uierr número entero entero positivo positivo.
8  exacta a  No es exact 3 
¿Es 40 divi divisi sibl ble e ent entre re –5? –5?
 4; 8;12;...  N  4  4k 0  4; 8; 12; .. ... 
No, porque: 5    •
¿Qué núm númer eros os son son los los diviso divisore ress de 12? 12? Son: 1; 2; 3; 4; 6 y 12
¿Qué núm númer eros os son son los los diviso divisore ress de de –30? –30? Son: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15 y 30
¿Qué ¿Qué núme número ross son son múlti múltipl plos os de 4? o
¿Qué ¿Qué núme número ross son son múlti múltipl plos os de 9? 9;18;27;...  M  9  9k 0 9; 18; 27; .. ...  o
Nota : El1es divis divisor or de todo todo númeroenter númeroentero o UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
B. Notació Notación n de número número que es múltiplo múltiplo de algún algún módulo Ejemplos:
Si N es múlti múltipl plo o de de 6: 6: N  6 N  6  k ; k  
5 
2. Sustracción o
n n n
45  80
Si A es es múlt múltip iplo lo de 13: A  13 A  13  k ; k  
Ejemplos: 42
III. NÚMEROS NO DIVISIBLES DIVISIBLES POR CIERCIERTOS MÓDULOS
Cuando un número no es múltiplo del módulo con el que requerimos trabajar.
3. Multiplicación Multiplicación
an n
6 x 20  120 
6x 5  5
De los cuales planteamos que: 52 = 9(5) + 7  52 = 9(6) – 2
4. Cuando varios factores se expresan con respecto al mismo módulo
(n  a)  (n  b)  (n  c )  n  a  b  c
En general: Ejemplos: o
(7 2)(7 5)  7 2  5  7 3 o
(13 4)(13 7)  13 4  7  1 3 2 o
(8 6)(8 2)(8 3)  8 6  2  3  8 4
Entonces: o
(7 2) 2)3  7 2 3  7  1 (7 3) 3)2  7 32  7  2 (9 5) 5)2  9 52  9  7
Tener en cuenta los siguientes casos:
IV. IV. PRINCIPIOS PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD
(7  2) 2 )2  7  2 2  7  4
A. Principio de las operaciones operaciones
(7  2) 2 )3  7  23  7  1
(7  2) 2) 4  7  2 4  7  2 o
(7  2) 2 )5  7  25  7  4
n n n n UNI SEMESTRAL 2013 - III
Exigimos más! En general:
Además: o o o 6 1 6  5 Bo o  30  5   10  5 10  5
n   ; a  ; k  
o 1 4 1 0  C  o  1 2 8
B. Otros Otros pri princip ncipios ios o  B2  o  o B  42  B  3  o  A  7
  A  5 A  35  ;  A  7o  o
o o 14  4  84  4 o  12  4
En general se observa que:
2. En otro sentid sentido, o, teniendo teniendo cierta información información con respecto a un número (por ejemplo): o o A  5  A  MCM(5 MCM(5; 9) o o  A  9 A  45 o  o B 4  CM(4;6 ;6;;15) 15) o  B  MCM(4 o B 6  o  B  60 B  15 
C. Principio Principio de Arquíme Arquímedes des o
Si: A  B  n además A y n no poseen divisores o
comunes, excepto la unidad entonces se s e cumple B  n. Donde  A,B    y n   .
N  a , N  b y N  c
• Si: 5a  9
 N  MCM(a; b; c)
• Si: 9x  10 o
 a 9
3. Cuando un númer número o deja siempre siempre el el mismo resiresiduo al dividirse entre entre varios módulos:
 x  10 o
• Si: 26a  11
• Si: 6m  55
 a  11
 m  55
También También podrían pod rían presentarse presentarse casos como el siguiente:
En general: Si: N  a
o  o N 8 2  N 2 42   o  N  12  2 
5a  13  10 , el cuál se puede despejar de la siguiente
r , N  b  r y N  c  r
 N  MCM(a; b; c)  r
5a  13 10   5a  10  13 o
  5(a  2)  13
o 12 3  60  3 N o 15 3
Lo anterior puede presentarse con requerimiento de un paso previo:
o o 5  4 A    35  4 7o 4  UNI SEMESTRAL 2013 - III
 a  2  13   a  13  2
• Si: 4m  15  7   4m  15  8 o
 m  15  2 53
Exigimos más! o
Si: 6c  10  4
 3c  5  2   3c  5  3 o
 c  5 1
Así: o • Si: 6m  8
• Si: 22x  55 o
 3m  4
 2x  5
m 4
x5
Problema 1 En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son varones. Si la octava parte de los varones son ingenieros y la séptima parte de las mujeres son economistas, ¿cuántos varones no son ingenieros? UNI 2008-I Nivel fácil A) 12 B) 21 C) 3 0 D) 8 4 E) 9 6 Resolución: Piden, ¿cuántos varones no son ingenieros? Sea a la cantidad de ingenieros varones. Sea B) la cantidad de mujeres economistas.  Número de varones = 8a  Número de mujeres =7b 1 3 1 = 8 a + 7b 
° 7+5
° 7+a
C) n  7t  2 / t    7s  1 / s   D) n  7r  3 / r    7r  4 / r   E) n  7t  6 / t    7r  3 / r   Resolución: Debemos encontrar la forma que debe tener "n" para que: o
E(n) (n)  7 Desarrollando E(n): E(n)  n2  (n2  2n  1)  (n2  4n  4)
(n2  6n  9)  ...  (n2  18n  81)
Agrupando: Agrup ando: o
E(n)  10n2  90n  285  7 o
2n2  18 n  57  7 
o71
 o74 
 a : 5; 12
Resolución: Sea: N  # cocos en total • Del Del enun enunci ciado ado se puede puede deduc deducir ir::
2n2  4n  7 6
n2  2n  7 3
Dado que piden: 8a – a = 7a = 84 Respuesta: D) 84
(n  1)2  7 4
E(n)  n2 (n 1)2  (n  2)2  ...  (n  9)2,n , n  o
Entonces podemos decir que E(n)  7 si: UNI 2008-II Nivel intermedio
 n  1  7 2 o
n  7 1
Desp ejan do :
 265 k  26 5  1024
n  1  7 2 o
n  7 3
n 7 6   
n  73 
n{7 t 6 / t}
{ 7r 3/ r  }
 k  1024 1
Como piden el "N" mín, será para: k = 1024 – 1 – 1 = 1023 N
A) No existe n   / E(n)  7
 15625k  11529  1024
B) n  7r  5 / r    7t  4 / t  
15625k 25k  115 11529   N  156 1024
Problema 2 Consideremos la expresión: expresión:
o    4  4  4  4  4 5k     (N  1)x  1 x  1 x  1  x  1 x  1  5  5k 5 5 5 5 5       
Además 8a > 7b  a =12
Problema 3 Cinco amigos recogieron en una isla un cierto número de cocos y acordaron repartirlos al día siguiente. Durante la noche uno de ellos dec d ecidió idió separar su parte y para ello dividió el total en cinco partes y dio el coco que sobraba a un mono y se fue a dormir. dormir. Enseguida, otro de los amigos hizo lo mismo, dividiendo lo que habia quedado por 5, dando el coco que sobraba a un mono, uno tras otro hicieron lo mismo, dando a un mono el coco que sobraba. En la mañana se repartieron los cocos sobrantes quedando un coco. ¿Cuál ¿ Cuál es el número mínimo de cocos que se recogieron? UNI 2006-II Nivel difícil A) 14 521 B) 14 581 C) 14621 D) 15 581 E ) 15 621
156 15625x 1023 023  1152 11529 9  15621 1024 Respuesta: E) 15 621
6 / t  N}  {7r - 3 / r  N} E) n  {7t --6 54
DIVISIBILID DIVISIBILIDAD AD II DESARROLLO DEL TEMA
RES ESTO TOS S PO POTEN TENCIALES LES
II. CRITERIO CRITERIOS S DE DIVISI DIVISIBILI BILIDAD DAD Son un conjunto de reglas que aplicadas a las cifras cifras de un numeral, nos permite determinar su multiplicidad respecto a cierto módulo, de tal manera que el residuo se puede calcular en forma directa y de modo más sencillo, con algunas excepciones, como veremos. Cada sistema de numeración numeración tiene sus propios criterios criterios de divisibilidad y para conocerlos nos valemos de los restos potenciales.
Se llama restos potenciales de un entero "E" (diferente de cero) respecto respecto a un módulo "m", a los residuos que dejan la sucesión de potencias enteras y positivas de E al ser divididas entre el módulo "m". Así si tenemos las potencias: E 1; E 2; E3; E4; ... Entonces: o
E1  m r1; E2  m r2 ; E3  m; E4  m  r4 ; ...
Sea el numeral: N  ...... ...edcba(B)
Donde: r1; r2; r3 ; r4 ; ........, son los restos potenciales de E respecto al módulo m.
Entonces: N  ... ....  e x B 4  d x B3  c x B2  b x B  a
Gaussiano Gaussiano (g) Se llama gaussiano de un entero E respecto a un módulo m a la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí y diferentes de cero, que se repiten ordenada y periódicamente.
Si queremos llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad se tiene que det erminar erminar la multiplicidad, según el módulo "m", de:
Ejemplo: Calcular los restos 161 = m9 + 7 162 = m9 + 4 163 = m9 + 1
Reemplazando: potenciales de 16 respecto al módulo 164 = m9 + 7 167 = m9 + 165 = m9 + 4 168 = m9 + 166 = m9 + 1 169 = m9 +
9. 7 4 1
1642  9  1; por que : 42 42  3
1632  9  4; porque : 32  3  2
En conclusión: "Las cifras del numeral, de derecha a izquierda, se multiplican por los restos potencial de la base en que está el numer nu meral, al, respecto respecto al m ódulo investigado, i nvestigado, luego se reduce en operaciones de adición y/o sustracción hasta llegar a la forma general de los criterios de divisibilidad".
Aplicaciones: 1628  9 7; porque : 28  3 1
N  m .. ...  e x r4  d x r3  c x r2  b x r1  a
16m3  m9  1  Ge nerali za ndo 16m31  m9  7  m32  m9  4 16
El gaussiano es: g = 3
N  ....  e x (m  r4)  d x (m  r3)  c x (m  r2)  b x (m  r1)  a
Los restos potenciales son: 7; 4; 1
B1  m  r1; B 2  m  r2 ; B 3  m  r3; B4  m  r4 ;. ... .
Ejemplo: Determinar el criterio de divisibilidad de un numeral expresado en base 7 respecto al módulo 5. Resolución
Sea el numeral: N  ...... ...fedc fedcba ba(7) 55
DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDA D II
Exigimos más! Donde:
N  ... ..  f x 75  e x 74  d x 73  c x 72  b x 71  a
 1 7  72   Pe ro 73   4 7  75
N  ....  f x (5  2)  e x (5  1)  d x (5  2) o
 c x (5  1)  b x (5  2)  a
52 o
 5  4  5  1 (exce so)
 d 1  c  b  N  5  (. ... .  2  f  1  e  2 2 1 a)    
 5  3  5  2 (exc eso)
 5 1
o o  E  5  N  5 Por lo tanto:  o o  E 5 r N 5     r 
 52
DIVISIBILIDAD DIVISIBILID AD I I
Aplicando su criterio: criterio:
9  4a  9 2
El numeral de la fo rma:
cd  ab  99 ... (1)
4a  9 2  9 2  18  9  20
a a a. ..a  9 2
 a5
40 cifras
Hallar "a".
c d  a b  37 Respuesta: A) 5
UNI Nivel fácil
Problema 2 o
Sea el numeral abcd  99 y c d  ab  37, calcular:
E) 1 0
a+b+c+d UNI
aaa...a  9  2 Aplicando el criterio del 9:
D) 2 0
E) 1 3
 aa a  ... a  9 2   40 cifras
40a  9  2 o
(9 4)a  9 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III
2ab  37  99 2ab  62 ab  31  a  3  b  1
 c d  31  3 7
o 99 ab  37  ab  99  198 (No cumple)
cd  68 Resolución:
 c=6  d=8
 a + b + c + d = 18
En el numeral: o
Respuesta: B) 18
abcd  99 57
Exigimos más! Problema 3
Aplicando el criterio criterio del 11 en: o
a23b  11  b2 b23a  9
a 2 3 b  11   a  2  3  b  1 1 
Calcule b.a
UNI Nivel difícil
o  4 (No cumple) b  a  9 5  13
 b + a = 13
a  b  11 1
b–a=1
2b = 14
... (1)  b=7
A) 45 B) 4 8
Aplicando el criterio criterio del 9 en:
C) 5 0 D) 4 2 E) 5 5
b23a  9
 b.a = (7)(6) = 42
Respuesta: D) 42
 b  2 3a  9
NÚMER NÚMEROS OS PRIMOS PRIMOS DESARROLLO DEL TEMA
Recon Reconoc oce er los núme número ross prim primos os y com compu puest estos os..
Descom Descompon poner er can canónic ónicam amen ente te un un número número para para rea realiza lizarr un estudio de sus divisores.
Aplica Aplicarr el teore teorema ma de de Euler Euler en la resolu resoluci ción ón de de proble problemas mas concretos.
Luego los Z + son clasificados en dos conjuntos de números: • Simples Simples:: {1, 2, 3, 5, 7, 11, 11, ... ...}} • Compues Compuestos tos:: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ... ...}} En general: A. Números Números simpl simples es Son aquellos números que tienen a lo más dos divisores.
I. CLASI CLASIFI FICA CACI CIÓ ÓN DE LOS LOS NÚME NÚMEROS ROS ENTEROS POSITIVOS
1. La unid unidad Es el único Z + que tiene un solo divisor.
Dado el conjunto numérico: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... }
2. Primos Primos abso absoluto lutos s Son aquellos números que poseen exactamente dos divisores, usualmente se dice "número primo". {2, 3, 5, 7, 11, ... }
B. Núme Números ros compue compuestos stos Son aquellos números que tienen más de dos divisores: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ... } Todo número compuesto tiene por lo menos un divisor primo. En esta primera parte vamos a realizar un estudio amplio sobre el conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, ... }
Los cuales presentan las siguientes propiedades: I. La sucesi sucesión ón de los números números primos primos es es infinita infinita y no existe fó rmula alguna para determinar determinar todos los números primos. n Fermat supuso que el número ( 22  1) es primo; donde "n" es un entero positivo.
Se observa que: – 1 tiene un so lo divisor divi sor.. – 2, 3 , 5, 7, 11 ... tienen solo 2 divisores. – 4, 6 , 8, 9, 10, 12 ... tienen más de dos divisores. UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
Exigimos más! II. Todos los números primos, primos, a excepción excepción del 2 son impares. III. Los únicos números consecutivos que son primos es el 2 y 3. IV. IV. Todo número primo mayor que que 2 es de la forma o
Se dirá dirá que el el númer número o es es compu compues esto to si por lo lo menos en un caso resulta divisible. Ejemplo 1: ¿163 es un número primo? 1.er paso:
( 4  1) ó ( 4  1). Número primo
163  12, .. ...
2.o pa paso:
{2, 3, 3, 5, 5, 7, 11 11}
3.er paso:
163  2  1
163  3  1
163  5  3
4 .- 1
163  7  2
163  11 9
Lo contrario no siempre se cumple:
Conclusión: 163 es número primo.
25 es 4  1 pero no es primo. •
Ejemplo 2: ¿221 es un número primo?
Todo número número prim primo o mayor que 3 es de la forma forma o
1.er paso:
(6 1) ó (6  1).
14, .. ...
2. paso: aso:
{2, {2, 3, 5, 7, 11, 11, 13} 13}
22 1  2  1
221  3 2
22 1  5  1
6+ . 1
22 1  7  4 o
221  11 1
En muchas muchas oportunidad oportunidades es se prese presenta nta un número, número, por ejemplo 163; 221 2 21 ó 317, 3 17, y se pregunta si es primo, evidentemente que contestar la pregunta nos demandaría algún tiempo, pues tendríamos que determinar si es o no divisible div isible por algún entero, inferior inferio r al al número. Para estos casos se tiene un procedimiento práctico:
221  13 = 13x17
Conclusión: 221 no es número primo.
II. CLASIFI CLASIFICAC CACIÓN IÓN POR GRUPO GRUPO DE NÚNÚMEROS
Algoritmo Algoritmo para determinar si un número es primo 1.er paso Se calcula la raíz cuadrada aproximada (por defecto) del número.
A. Números primos entre sí (PESI)
Se les denomina también primos relativos o coprimos y son aquellos que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo 1:
2.o paso Se indican todos los números primos menores o iguales a la raíz cuadrada aproximada.
¿8; 12 y 25 son PESI?
3.er paso Se determina si el número es o no divisible entre cada uno de los números primos indicados en el paso anterior. • Se dirá que que el el númer número o es primo, primo, si si no resulta resulta ser divisible por ninguno de los primos indicados. UNI SEMESTRAL 2013 - III
8; 12 y 25 son PESI. ARITMÉTICA
Exigimos más! Ejemplo 2: ¿9; 15 y 21 son PESI?
8; 15 y 21 no son PESI 2 a 2.
Propiedades I. Si varios varios númer números os son PESI dos a dos entonces entonces son PESI. Los contrario no siempre ocurre. II. Dos o más números consecutivos consecutivos siempre siempre son PESI. En el caso de tener un número compuesto, por ejemplo 504 y se quisiera conocer cuántos divisores tiene o cuántos de sus divisores tienen cierta característica, es necesario tener una herramienta que nos permita responder las interrogantes y esta herramienta es el el teorema t eorema fundamental d de e la aritmética.
9; 15 y 21 no son PESI.
B. Números Números primos primos entre entre sí 2 a 2
Son aquellos grupos de números que al ser tomados de 2 en 2 pares de número son PESI. Ejemplo 3:
II III. I. TEOREMA FUNDAMENTAL DE DE LA ARITMÉTICA
¿8; 9 y 25 son PESI 2 a 2?
Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos, esta representación es única y se le denomina "descomposición canónica del número". Ejemplo: Descomponer canónicamente el número 1400. Resolución:
1400 700 350 175 35 7 1
8; 9 y 25 son PESI 2 a 2.
Ejemplo 4: ¿8; 15 y 21 son PESI 2 a 2?
2 2 2 5 5 7 1
3 2 2 x 5 x7
1400 =
descomposición canónica (D.C.)
UNI 1990 Además, por dato del de l problema: problema:
Hallar el valor de "n" para que el número de divisores de N = 30 n sea el doble del número de divisores de M = 15 . 18n
N = 30n = 2 n . 3n . 5n CDN
E) 9 UNI SEMESTRAL 2013 - III
n+ 1 = 8
(n  1)(n  1)(n  1)  (n  1)
M = 14 x 18 = 2 . 32n+1 . 5 n
D) 8 
3 
(n + 1)3 = 2 . 4(n + 1)2
n7
(n  1)(2n  2)2
4(n  1)2
Respuesta: C) 7 ARITMÉTICA
Exigimos más! Problema 2
A) 8 C) 1 2 E) 1 6
Luego, por dato:
Calcule la raíz cuarta del producto de todos los enteros positivos menores que 2500, que tengan exactamente 5 divisores positivos. (Sugerencia: Vea cuál es la forma de los números enteros positivos que tienen exactamente 5 divisores). A) 210
C) 2 2 5
D) 25 25 6
E ) 19 6 UNI 1996 - II
p4 < 2500 p < 7, ... 
Resolución: Como "r" es el menor primo absoluto 2  34  54  74  210 de 3 cifras, r = 101. Además p; q; r están en progresión Respuesta: A) 210 aritmética de razón "t". Luego: q = 101 – t (2 cifras)
Si tienen 5 divisores positivos, son de la forma: p4. p: primo
UNI 1997 - II Nivel difícil
2; 3; 3; 5; 5; 7
Sean p, q y r enteros de 1, 2 y 3 cif ras respectivamente, que son primos absolutos y están en progresión aritmética de razón t, siendo r el menor primos absoluto de 3 cifras. ¿Cuántos divisores tiene t?
B) 10 D) 1 4
p = 101 – 2t < 10 (1 cifra) t > 45,5 Para t = 48, q = 53 y p = 5 Finalmente t = 48 = 2 4 x 31 .  CDt = 5 2 = 10 Respuesta: B) 10
ESTUDIO ESTUDIO DE LOS DIVISORES DIVISORES DESARROLLO DEL TEMA I. TABL TABLA A DE DI DIVIS VISORES RES
Los Los divi diviso sorres son son::
Ejemplo: Elaborar una tabla de los d ivisores ivisores de: a) 200 b) 504
1; 2;3; 4 ; 6;8;9;12 ;8;9;12;1 ;18 8;24;36; 72     
Resolución: 200 = 2 3 x 52 Divisores de 2 0
compue st os
       
CD72 = 12
CDSIMPLES = 3
CDPRIMOS = 2
CDCOMPUESTOS = 9
CDPROPIOS = 11
Divisores 1 2 5 = 5 5 10 20 40 40 de 5 2 5 = 25 25 50 100 200
CDN  (1  1) ( 2  1) ( 3  1)...(k  1)
Además: De aquí en adelante trabajaremos en función del número: N  P1
1
2
CDN  CD SIMPL ES  CD COMPUESTOS
D .C.
III. SUMA DE DE DIVISO DIVISORES RES (SD (SD(N) )
II. CANTI CANTIDA DAD D DE DIVI DIVISO SORES RES (CD (CD(N) )
Ejemplo: Calcule la suma de los divisores de: 200 y 2205.
Ejemplo 1: Halle la CD de los números: a) 200 b) 540
Resolución: • 200 = 23 x 52
Resolución (a): 200 = 2 3 x 52 (D.C.)  CD(200) = (3 + 1)(2 + 1) = 4 . 3 = 12
24  1 53  1 465  SD(200)  2  1 x 5  1  15 x 31  46
Resolución (b): 540 = 2 2 x 33 x 5 (D.C.)  CD(540) = (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 3 . 4 . 2 = 24
2205 = 32 x 5 x 7 2
33 1 52 1 73 1  SD(2205)  3  1 x 5  1 x 7  1  4446
Ejemplo 2: En general:
Analice los divisores de 72. Resolución: 72 = 23 x 3 2 (C.D.)(72) = 4.3 = 12 UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
S D(N) (N)
p11 1  1 p22 1  1 pk k  1  1  x x...x p1  1 p2  1 pk  1 ARITMÉTICA
ESTUDIO DE LOS DIVISORES
IV. IV. SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVIDIVISORES (SID(N))
Resolución: 1, 2, 3, 4, 5, 6, (7)
Ejemplo: Calcule la SID de: 200.
1, 2, 3, 4, .... , 12, (13)
Resolución: 200 = 2 3 x 52 sus divisores son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100 y 200
Cada uno de los enteros positivos menores que 7, es PESI con 7. (7)  6 y (13)  12
Sumando sus inversas: inversas:
En general: Si p es primo entonces:
11 1 11 1  1  1  1  1  1  1 1 2 4 5 8 10 20 25 40 50 100 200
(p)  p  1
200  100  50  40  25  20  10  8  5  4  2 1 200
 SID(200) 
Ejemplo 2: Calcule (8); (9) y (625) .
SD(200) 465 93   200 200 40
SID(N) (N)
SD(N)  (N) N
8 = 2 3; 9 = 3 2 y 625 = 5 4
(23)  23  22  2 2 (2  1)  4 (32 )  32  3  3(3  1)  6
V. PRODU PRODUCTO CTO DE LOS LOS DIVISO DIVISORES RES (PD (PD(N))
(54 )  54  53  53 (5  1)  500
Ejemplo: Calcule el producto de los divisores de 72.
En general: Si p es primo y  es un entero positivo entonces:
Resolución: 72 = 23 x 3 2 CD(72) = 4 x 3 = 12
(p )  p1(p  1) Ejemplo 3: Halle: (72) y (200).
Observemos estos divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Resolución: • 72 = 23 x 32  (23 x 3 2) =  (23) x  (32)  (23 x 3 2) = 4 x 6 = 24  (72) = 24
Multiplicando 2 a 2 los divisores equidistantes, tenemos: 1 x 72 = 72 4 x 18 = 72 2 x 36 = 72 6 x 12 = 72 3 x 24 = 72 8 x 9 = 72 De aquí inducimos que: PD(72) = 72.72.72.72.72.72 = 726
200 = 23 x 5 2
 (23 x 5 2) = 2 2(2 – 1) x 5(5 – 1 ) = 4 x 20  (200) = 80
PD(72)  72 2  7212 En general:
En general: PD(N) (N)  N
CD(N) (N)
VI. FUNCIÓN FUNCIÓN DE EULER (n)
(N)  P111(P1  1) .P22 1(P2  1)....Pk k 1(Pk  1)
Se define para todo los enteros positivos N y representa representa la cantidad de números enteros positivos menores que N y que son primos relativos (PESI) con N. Algunas veces la función es llamada indicador de N.
Si n > 1 entonces la suma de los enteros positivos menores o iguales a "n" y PESI con "n" es:
Ejemplo 1: Calcule: (7) y (13). UNI SEMESTRAL 2013 - III
Si: N  P1 1 . P2 2 . P3 3 ...Pk
1 . n. n . (n) 2 64
Exigimos más! Ejemplo: Calcule la suma de los números enteros positivos menores o iguales que n y PESI con n, donde: n = 200
 50   50  b        10  2  1 2  b = 12  5   52  En la práctica se realizan divisiones sucesivas:
200 = 2 3 x 52 S
 (200)  80 Para 3
1 x200 x80  8000 2
VII.FUNCIÓN (N)
Esta función se llama parte entera de n. Ejemplos: [13] = 13 [2; 13 ] = 2
 a  16  5  1  2 2
[5; 3 ] = 5 [3; 8 ] = 3
 b  10  2  12
VIII VIII.TEORE .TEOREMA MA DE EULE E ULER R La utilidad que presta la función es básicamente para determinar los exponentes de los factores primos del factorial de un número.
Si m > 1, además a y m son PESI, entonces:
Sea el número:
Ejemplo: 
n !  p1 1 p2 2p3 3 ...pk
a(m)  m 1 8 y 25 son PESI; como  (25)  20
n  n   n  1      2    3   ...  p1   p1   p1 
8 (25)  25  1 o
820  25 1
IX. IX. TEOREMA TEOREMA DE WILSON WILSON
Ejemplo: Calcule los exponentes 3 y 5 en 50!
Si p es primo entonces: (p  1) ! 1  p
Resolución: 50! = 3a . 5 b .... (D.C.)
I. 5 es prim primo o entonc entonces: es: 4! 4! + 1 = 25 25 = 5
 50   50   5 0 a           16  5  1  22  a = 22  3   32   33 
II. 7 es primo primo entonce entonces: s: 6! + 1 = 721 = 7
problemas resueltos Análisis de los datos o gráficos Problema 1 Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo múltipl o o de 30, que tiene un total de 24 diviabc  30 .... ...... .... .... .... .... .... .... .... ....( ..(1 1) sores. Al multiplicarlo por 10 se forma CD(ab CD(abc) c)  24... 24..... ..... ...... ...... ..... ..(2 (2)) un nuevo número cuya cantidad de 15  CD(abc)..........(3) divisores es 15/8 de la cantidad de diCd(10  a bc)  8 visores del número original. Calcule la suma de las cifras del menor número Operación del problema que cumple las condiciones indicadas. o UNI 2012-II Si a bc  3 0 entonces al descomponer A) 8 B) 9 C) 10 canonicamente tiene como divisores D) 11 11 E ) 12 12 primos al 2, 3 y 5. Para que abc sea mínimo, el exponente del 2 es mayor. Resolución: Ubicación de incógnita Suma de cifras del menor número de tres cifras abc. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Conclusiones y respuesta abc  360 a b  c 9 Resumen El dato (3) no es necesario en la resolución y solo será usado para comprobar. Respuesta: B) 9
Problema 2 El número N = 3 b . 5a (con a  1) tiene tres divisores más que M = 2 a . 53 . Determine la suma de las inversas de los divisores de M. ARITMÉTICA
Exigimos más! UNI 2011 - II B) 1,852 1,8 52 D) 1 ,2 4 8
A) 1,5 64 C) 2 ,1 8 4 E ) 1 ,3 8 4
Reemplazo en M = 2 2  5 3
SID(M) (M) 
SD(M) M
23 – 1  54 – 1  2 – 12 53 – 1  2,184 2 5
Resolución: Ubicación de incógnita Sea SID(M) la suma de inversas de los divisores de M.
Respuesta: C) 2,184
Análisis de los datos o gráficos Necesitamos hallar "a" sabiendo que a  1.
Problema 3 Si el número número N que se factoriza como N = 51 (117n), tiene la tercera parte del número de divisores de 31 1040, determine el valor de "n".
Operación del problema N  3b  5a 
M  2a  53 
 CDM  3 (b  1)(a  1)  (a  1)  4  3 (a  1) (b – 3)  3 CDN
  
UNI 2011 - I
N  51x(117) n 1 CD(N)  CD(311040)... () 3
Operación del problema Sea la descomposición canónica de N = a x . by. cz CD(N) = (x + 1)(y + 1)(z + 1) N = 51(117)n = 32n+1 x 13 n x 17 1 311040=28 x 35 x 5 1 De  ::
(2n  2)(n  1)2  1 (8  1)(5  1)(1 1) 3 (n  1)2  9
n  2
El valor de n es 2.
Ubicación de incógnita Calcular "n"
Respuesta: B) 2
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) DESARROLLO DEL TEMA OBJETIVOS • • • •
En general: Para los números A, B y C.
Calcu Calcula larr el el MCD y MCM de de un conju conjunt nto o de núm númer eros os.. Deduc Deducir ir las las prop propied iedad ades es que cumple cumplen n el el MCD MCD y MCM. MCM. Establ Establec ecer er rela relacion ciones es entre entre el MCD y MCM. MCM. Aplica Aplicarr las las propi propieda edade dess en en la res resoluc olución ión de proble problema mass concretos.
MCD( A; A; B; B; C) C)  K Ejemplo 3 Halle el MCD de: 8, 10 y 15 Resolución: 8, 10 y 15 son PESI  MCD(8; 10; 15) = 1
I. MÁXIM MÁXIMO O COM COMÚN ÚN DIVI DIVISO SOR R (MC (MCD) D) Dado un conjunto de números se define al MCD de estas como aquel número que cumple las siguientes condiciones: I) Es un divis divisor or común común.. II) II) Es el mayor de los divisores comunes. comunes.
Si A, B y C son PESI  MCD(A;B;C) = 1 Ejemplo 4 Calcule el MCD de: 18; 6 y 30 Resolución: 18 = 6 x 3; 6 = 6 x 1 y 30 = 6 x 5  MCD(18; 6; 30) = 6
Ejemplo 1 Sean los números: 30 y 45 Hallando sus diviso res: 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45 Divisores 1, 3, 5, 15 Máximo comunes 45)  15  MC D( 30 , 45
II. MÍNIMO MÍNIMO COMÚN COMÚN MÚLTIP MÚLTIPLO LO (MCM) (MCM)
Ejemplo 2 Sean los números 24; 60 y 84 Hallando sus diviso res: 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 Divisores comunes
Dado un conjunto de números se define el MCM de estas como aquel que cumple lo siguiente: I) Es un múl múltip tiplo lo comú común. n. II) II) Es el menor de estos múltiplos múltiplos comunes. Ejemplo 1: Sean 4 y 6 Hallemos sus múltiplos. 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ... 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...
CD(24;6 24;60;8 0;84) 4)  12  MCD(
Los divisores comunes de un conjunto de números son los divisore div isoress de su MCD.
Si A = B C= B MCD(A; B; C) = B
12 , 24, 36, ... Mínimo
 MCM(4; 6) = 12 Múltiplos de 12: 12, 24, 36, ... 67
MCD - MCM
Exigimos más! Cada número se puede expresar:
Ejemplo 2: Sean: 10, 15 y 30 Observemos Observemos sus múltiplos:
80 = 40 x 2 120 = 40 x 3
10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...
son PESI
15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, ... 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, ... Múltiplos comunes
En general: Sean los números A, B y C. MCD(A; B; C) = k, luego:
30 , 60, 60, 90, 90, ... Mínimo
A = K x
 MCM(10; 15; 30) = 30 Múltiplos de 30: 30; 60; 90; ...
B=Kx q C=Kx r
Observación: Los múltiplos comunes de un co njunto de números son los múltiplos de su MCM.
Hallando el el MCM: 80 2 1 1 1
Ejemplo 3: Halle el MCM de: 8 y 9.
200 40 5 2 x 5 3 5 5 1 1200
120 3 3 1 1
 MCM(80; 120; 200) = 1200
Resolución: 8 y 9 son PESI  MCM(8; 9) = 72
Expresamos al MCM en función de cada número: 1200 = 80 x 15 1200 = 120 x 10 1200 = 200 x
Si dos números A y B son PESI, entonces:
MCM(A;B) = A.B En general: Sean los números A, B y C donde MCM(A; B; C) = m, luego:
Ejemplo 4: Calcule el MCM de: 4; 5 y 7  MCM(4; 5; 7) = 140
m=Ax p m=Bx q m=Cx r
Si los números A, B y C son PESI dos a dos entonces: MCM(A; B; C) = A. B .C
Ejemplo 2: Calcule el MCD y MCM de: 60; 96. Resolución:
III. MÉTODOS PARA PARA EL CÁLCULO DEL MCD Y MCM
60 30 15 5
A. Descomposición Descomposición simultánea simultánea
120 60 30 15 3
200 100 50 25 5
96 12 8 5 8 8 1 12.5.8
MCM(60; 96) = 12.5.8
2 2 x 2 5
 MCM(60; 96) = MCD(60; 96).5.8
Además: 60 = 12 x 5
2 x 5 = 40 40
96 = 12 x 8
60.96 = 12.12.5.8
60 x 96 = MCD . MCM
MCD(80; 120; 200) = 40 UNI SEMESTRAL 2013 - III
60 5 1 1
Luego: MCD(60; 96) = 12
Calcule el MCD y MCM de 80; 120 y 200. Resolución: 80 40 20 10 2
96 2 48 2 24 3 8 2 2.3 = 12 12
Exigimos más! •
En general para dos números A y B. Si MCD(A;B) = k
A = k x p B =kx q
El MCM MCM de dichos chos núme números ros es el produc producto to de sus sus divisores primos comunes y no comunes elevados cada uno a su mayor exponente.
B. Divisiones Divisiones sucesivas sucesivas o algoritmo de Euclides Euclides Teorema En toda división entera inexacta el MCD del dividendo y el divisor es el MCD d el divisor y el residuo.
MCM(A;B) = m Entonces: I) m = k x p x q II) A x B = k x m
Ejemplo 3 Analic Analicemos emos que sucede sucede con el MCD y MCM de los números números 60; 90; 105. MCD(60; 90; 105) = 15
 MCD(D;d) = MCD(d;r)
Ejemplo 1 Calcule el MCD de 156 y 120. 156 120 36 1 120 36 12 3 36 12 0 3
60 = 15 x 4  60 x 8 = 15 x 8 x 4 90 = 15 x 6  90 x 8 = 15 x 8 x 6 105 = 15 x 7  105 x 8 = 15 x 8 x 7  MCD(60 x 8; 90 x 8; 105 x 8) = 15 x 8
 MCD(156;120) = M CD(120;36)  MCD(120;36) = MCD(36;12)  MCD(36;12) = 12
 MCD(156; 120) = 12
Si MCD(A; MCD(A; B; C) = k  A B C  K MCD  ; ;    MCD(An; Bn; Cn) = kn  MC n n n n
Euclides ordenó todas estas divisiones del siguiente modo:
Donde: n es Z+ MCM(60; 90; 105) = 1260 1260 = 60 x 21  1260 x 6 = 60 x 6 x 21 1260 = 90 x 14  1260 x 6 = 90 x 6 x 14 1260 = 105 x 12  1260 x 6 = 105 x 6 x 12  MCM(60 x 6; 90 x 6; 109 x 6) = 1260 x 6
Ejemplo 2 Al calcul calcular ar el MCD MCD de A y B por las las divisiones divisiones sucesivas sucesivas los cocientes fueron 2; 1; 3 y 2 respectivamente. Halle los números si su MCD es 10.
Si MCM(A; B; C) = m  A B C  m MCM  ; ;    MCM(An; Bn; Cn) = m x n  MC n n n n Donde n es Z +
En general: sean los números A y B donde A > B
A. Descomposición Descomposición canónica canónica
q2 q 3 q 4
Ejemplo Halle el MCD y MCM de los números A, B y C do nde: A = 2 5. 32. 53 B = 2 3. 34. 52. 72 C = 2 4. 36. 54 .11
MCD(A;B) = r3 No olvidar que las divisiones se pueden realizar por defecto o exceso.
Entonces: MCD(A;B;C) = 23 . 32 . 52 MCM(A;B;C) = 2 5 . 36 . 54 . 72 . 11
Ejemplo 3 Calculemos el MCD de 144 y 56. Divisiones por defecto 144 56
En general, dadas las descomposiciones canónicas de varios números: • El MCD de dichos chos núme números ros es el el produc producto to de de sus divisores primos comunes elevados cada uno a su menor exponente. UNI SEMESTRAL 2013 - III
Divisiones por exceso 144 56
Exigimos más! 32
Sean los números: A  (n  1)(n  1)(n 1)(n  1)...(n 1)...(n  1)n  na  1   
a cifras
B  (n  1)(n  1)(n  1)...(n  1)n  nb  1    
Por defecto: 144
b cifras
C  (n  1)(n  1)(n  1). ..(n  1)n  n c  1
  
c cifras
 MCD(144;56) = 8  MCD(A;B;C) = n
Por exceso: 144
MCD(a,b,c)
Ejemplo Calcule el MCD de los números:
A  624  1 B = 660  1 C = 628 – 1  MCD( A ; B ; C)  6 MCD ( 24 ;6 0 ;28 )  1  6 4  1
 MCD(144;56) = 8
problemas resueltos Problema 1 Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. Si m y n son son núm númer eros os ent ente eros no divisibles por 3, entonces la suma o la diferencia de ellos es un múltiplo de tres. II. Si m y n son múlt múltiplos iplos de 3 com m > n > 0 entonces el cociente m/n es un múltiplo de tres. III. III. Si m y n son múltiplos múltiplos de tres tres con m, n > 0 entonces MCD (m, n) es un múltiplo de tres. UNI 2010 - I A) VV V B) VFV C) VFF D) FV F E ) FFF Resolución: Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de las proposiciones.
Análisis de los datos o gráficos I.
Sean m = 3 + r 1 / r1 = 1 ó 2 o
y n = 3 + r 2 / r 2 = 1 ó 2 o
(r1 + r2 ) ó  m + n = 3 + (r o
m – n = 3 + (r (r1 – r 2) Reemplazando los posibles valores de r1 y r2 , se obtiene que una de las conclusiones es verdadera. (Verdadero) UNI SEMESTRAL 2013 - III
II. m  3  3 K1 m 3K 1 K 1    o n 3 K2 K 2 n  3  3 K2 K 1 K 2 No es múltiplo de 3 y no necesariamente entero. (Falso) III.
m  3 K 1
(3 K1; 3 K 2 )  MCD (3
N  3 96  r Como N es el mayor posible, r = 3 Además: N = 396 k + 3 < 10 000 396 k < 9,997 k < 25,... k máx = 25  K máx  396  25  3  9903
n  3 K 2 (m  0  n  0)
D) 21 Respuesta: D)
Problema 3 El MCD (A; B) es d y el MCM (A; B) es m.    o Determinar el número de divisores de 3 Respuesta: B) VFV B(B > A) sabiendo que el producto md = 3024. A) 9 B) 10 C) 6 D) 12 E) 8 Problema 2 Sea N el mayor número de 4 cifras que UNI 1998 - I al dividirlo por 4, 6, 9, 11 y 12 se Nivel difícil obtienen restos iguales. Luego, la suma Resolución: de las cifras de N es: md = 3024 = 2 4 . 3 3 . 7 A) 17 B) 18 C) 20 D) 21 E) 23 Por propiedad: M = dpq(p y q pesi) UNI 1996-II Reemplazando: d2 . p . q = 24 . 3 3 . 7 Asumiendo: d = 2 2 . 3 = 12 (máximo Resolución: Por dato: valor de "d"). Se tiene: o  4 r MCD (K (K1; K2 ) (Verdadero)  3 MC
o 6 r  o o N   9 r  N  MCM(4; 6; 9;11;12)  r  o 11 r o 12 r 70
 CDB  3  2  2  12
D) 12 Respuesta: D) ARITMÉTICA
NÚMEROS RACIONAL RACIONALES ES I DESARROLLO DEL TEMA
I. CONS CONSTRU TRUCC CCIÓ IÓN N DE LOS LOS NÚMERO NÚMEROSS RACIONALES •
2 Al g raficar raficar la clase  3  tenemos:  
Conside Considera ramos mos las las pareja parejass de númer números os enter enteros os (a; b) donde b  0 . a se denota (a; b). A "a" se le llama numerador y b a "b" se le llama denominador. Al conjunt conjunto o de estos estos númer números os se les les denot denota a por Q. Es decir: p Q  { / p  Z , q  Z, q  0} q
II. EL CON CONJU JUNT NTO O COCIE COCIENT NTE E
2  La gráfica de   son puntos contenidos en una recta  3 que pasa por el origen, esta recta tiene pendiente.
Z x Z* cuyos cuyo s elementos elementos son las clases de equivalencia,  es decir, los números racionales, se representan por Q.
Tan 
a  a   Z x Z*  Q    / (a; b)  Z x Z* , donde   número b    b   racional.
IV. IV. NÚMEROS NÚMEROS FRACCIONARI FRACCIONARIOS OS Son aquellos racionales que no son enteros.
III. CLASE CLASE DE EQUIV EQUIVALENCIA ALENCIA
3 11 11 2 ; ; , 4 5  8    
Es el conjunto de todos los pares ordenados equivalentes entre sí a a . b Ejemplo: 2  6 4 2 2 4  ; ; ; ; ;...  ... 3    9 6 3 3 6 
Son nú números fracci accion onar ario ioss
4 15 1 5 36 ; ; 2  5  1 2   No so son nú núme ro ros fracci accion onar ario ioss
A. Fracción Fracción
Son aquellos números fraccionarios cuyos términos son positivos.
 Representante canónico
10 5 8 7 ; ; ; 8  4  16 4    
6 5 7 ; ; 7 3  9  
No son fracciones
• Si F es es frac fracció ción: n: a  Numerador F b  Denominador
1. Una clase clase de equivale equivalenci ncia a tienen infinitos infinitos reprerepresentantes. 2. El representant representante e canónico canónico de una clase clase de de equivalencia tiene los términos simplific ados. UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
3  2  es la inve rsa de  2  3
Donde: a y b  Z   A  B 71
NÚMEROS RACIONALES I
Exigimos más! Propiedades: 1. Siend Siendo o n  Z A An a. Si: f1   1 y f2  B Bn  f1  f 2
B. Clasificación Clasificación de fracciones fracciones
Sea la fracción A . B 1. Por la la comparación comparación de su valor valor respect respecto o a la unidad
Ejemplo: f1  8  1 y f2  8  2  10 10 10  2 12 8  10  10 12 b. Si: Si: f1  A  1 y f2  A  n B B n  f1  f 2
2. Por su denom denominad inador or  Siendo k  Z .
Ejemplo: f1  10  1 y f2  10  6  16 4 4  6 10  10  16 4 10 2. Dadas las las fracciones irreduc irreductibles: tibles: f 1  a y f 2  c b d se cumple que, si:
3. Por la cantidad de divisore divisores s comunes de de sus términos
a c   k b d donde k  Z  b = d .
3. Dadas las las fracciones irreduc irreductibles: tibles:
f 1 
f 2 
f 
A partir de una fracción irreductible irreductible se pueden pueden obtener todas las fracciones equivalentes a ella.
Se cumple que: MCD(f ; f ; f ) 
MCD(a;b;c) , MCM(m;n;p)
MCM(f ; f ; f )  1 2 3
MCM(a;b;c) MCD(m;n;p)
4 <> 8 <> 12 <> 16 < >...<> 4n ; (n  Z+) 7 14 21 18 7n 4. Por grup grupo o de fraccio fracciones nes
B. Fracción Fracción conti continua nua simple
Son desarrollos del forma: f  a0 
1 a1 
1 a2 
1 a3  ....
a 0  ; ai   (i  1) UNI SEMESTRAL 2013 - III
Exigimos más! Notación lineal: f   a0 ,a , a1 ,a , a2 , a3 
20 1 1   13 1 1
1 1 6
Ejemplo: Exp Ejemplo: Expresa resarr como fracción continua simple:
a) 20 13
 1, 1, 1, 6 
Por el algoritmo de Euclides Coeficientes
1 4 20 13 7 7 6
b) 30 11
 30   3,3,1,2 11
(2) 
 ( 5) 
(3) 
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es ver-
na ttu ural
dadera (V) o falsa (F):
II. Demostra Demostración ción por contradicc contradicción: ión:
no e s na nat ur ural ... Fal so
La suma suma de de un un númer número o natur natural al y un número entero es un número natural.
a = 5 y b = 2, entonces 2 = 5.c luego c no es entero ... Falso
II. II. Sean Sean a y b dos núm número eross enter enteros, os, entonces existe un número c entero tal que a = bc.
III. III. Por la teoría de los números trans-
III. III. La cantidad cantidad de eleme elementos ntos del concon junto de los núme números enteros enteros positivos múltiplos de siete, es igual a la cantidad de elementos del con junto de los números números naturales. naturales. UNI 2010 - I Nivel fácil
A) VV V B) VFF
finitos fini tos de Cantor: ... Falso
Ubicación de incógnita Determinar el valor de verdad de las proposiciones.
Demost Demostrac ración ión por contrad contradic icción ción::
Respuesta: E) FFF
Operación del problema Problema 2
En un día los 3 hacen:
Juan y Pedro pueden pintar un auditorio en 5 días, Juan y Carlos lo pueden hacer en 6 días y Pedro con Carlos lo pueden hacer en 5 días. ¿En cuántos días puede Pedro pintar el auditorio? UNI 2009 - II
1  1  1  2  17 de obra 5 6 5 60 Entonces ntonces Pedro en un día día hace:
 17  1  7 60 6 60
Se pide hallar cuanto tarda Pedro en hacer el trabajo solo.
Hallar el trabajo diario de cada uno.
E ) FFF
 Pedro lo hace en
A) 8 4 7
60 días, esto 7
equivale a 8 4 7
B) 9 2 7
Respuesta: A) 8 4 7
C) 9 3 7 D) 9 4 7
E) 9 5 7
Clasifique como verdad verdadero ero (V) o falso f also (F) cada una de las siguientes afirmaciones:
Exigimos más! 1.  a, b números enteros, número racional.
a es un b
2.  a, b números enteros, a  b es 1  a2 un número racional. 3 . Si k   y k 2 es par, par, entonces en tonces k es par. UNI 2009 - I Nivel fácil
A) FVV B) FFV C) V F V
b) Soluc Solució ión n del del pro proble blema ma
D) VFF E ) FFF
Es falso falso,, cua cuand ndo o b = 0. 0.
Es verd verda adero dero,, porque porque en (1  a 2  0)
Piden: Indicar el valor de verdad de cada proposición. • Operación del problema
2 Es ver verdad dadero; ro; K  2. K  Z  o
K 2
a) Aplic Aplica ación ción de de teore teorema ma Recordar:  Número   A    racional  B
ab ; 1  a2
A  Z  B  Z  0
Respuesta: A) FVV
NÚMEROS RACIONALE RACIONALES S II DESARROLLO DEL TEMA Un número aval es la expresión lineal de una fracción expresada en cierta base, se obtiene al dividir los términos de la fracción. Ejemplo 1
En general, en toda fracción, al realizar la división de su numerador con su denominador, genera un número llamado Aval, Aval, dependiendo la base en que está expresado. Un número aval consta de 2 partes:
Y se puede puede desdoblar, desdoblar, ambas partes partes con su respectiva respectiva base:
Observación: Trabajaremos inicialmente con fracciones irreductibles para facilitar las operaciones, los números del ejemplo se llaman decimales debido a que están expresados en base 10, además el decimal que se genere puede ser exacto o periódico dependiendo de los factores que posea el denominador. Ejemplo:
24,4 27 27 = 2 4 + 0, 42 427
36 1, 45 45  3 61  0, 45 45
254,368 = 2548 + 0,368
48, 5269  489  0, 5269
DESCOM DESCOMPO POSI SICI CIÓN ÓN PO POLIN LINÓMI ÓMICA CA DE UN NÚMERO NÚM ERO AVAL
A. En base 10
parte e enter entera a  24 : part
3  4  5 7 2, 34 345  7 x101  2 x10  101 1 02 103
0 , 63  0, 6 363.. .  
6  3  6  3  . .. 10 102 103 10 4
Se observa que a partir de la coma decimal y hacia la derecha todos los dígitos serán divididos entre las potencias consecutivas de 10.
24,52 24,526 6 52: part parte e noperió noperiódi dica ca 6 : partepe arteperi riód ódic ica a  UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
NÚMEROS RACIONALES II
Exigimos más! B. En otras otras bas bases es
TABLA DE NUEVES 2
261, 45238  2  8  6 8 1  
42, 517  4 71  2 
9  32
99  32  11
9 9 9  33  3 7 9 999  32  11  101
9 99 99  32  41  27 1 abc, def ghn  a n2 b  n1  c n0  
999999  3 3 7  11  13  37
 ... 7
Exigimos más! Observación Así como podemos podemos expresar expresar una fracción fracción en su forma decimal o aval, también se puede llevar de su forma decimal o aval a la fracción que la origina, a dicho proceso denominaremos fracción generatriz. Ejemplo:
Expresar 3/4 3/ 4 en los sistemas: decimal, exaval y heptaval. Resolución:
3  0.75  0.43  0.51 7 6 4 
II. FRAC FRACCI CIÓN ÓN GENER GENERA ATRIZ TRIZ
 . Justificaremos para 0,abc
2  0, 45  2  45  243  27  99 99 11 2, 45   245  2  243  27 99 11  99 
Observación Para determinar si una fracción irreductible genera un aval (decimal) exacto o periódico, ello dependerá del denominador denomin ador.. Estudiaremos primero en el sistema decimal. UNI SEMESTRAL 2013 - III
III. COMO DETERMI DETERMINAR NAR EL NÚMERO NÚMERO DE CIFRAS EN EL PERIODO
Ejemplo: ¿Cuántas cif ras periódicas genera f  1 ? 113
Cuando el denomimador de una fracción irreductible no tiene factor 2 ni 5. El decimal que se genera es periódico puro y para determinar el número de cifras en su period periodo o se ten tendrí dría: a: o
irred irreduc uctib tible; le; p es primo primo
(p  2 p  5) f  N  a, bc ...de p x cifras cifras
Rpta. 242 cifras
Expresa 0,74 9 en base 4. UNI A) 15 Nivel fácil C) 17
A) 0, 314
 B) 0,749 
C) 2 7 D) 4 0
C) 0,709 D)
E) 2 0
 0,64 4 
E) 0,524
0,74 9 
54
74 9  79 60 5   80 9 72 6 6
2  4 0, 31 3 11 . .. . (4 (4)  base 4 2  4 base
23  11  53   x
 a b  88
  0, 74 9  5  0, 314 6 
Respuesta: B) 0,31 4
 a + b + c + x + y + z = 15 Respuesta: A) 15
Problema 2 Si se cumple que:
 88  
a+b+c+x +y+z
Problema 3 ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles, generan un decimal con 3 cifras no periódicas y 2 cifras en el periodo; si el denominador es de 2 cifras?
abc, 32 328  342, xy x yzmn6 Calcule:
Cantidad de valores de N:
2311
= 2 2  1  110  10 = 40 Respuesta: D) 40 ARITMÉTICA
POTENCIACIÓN DESARROLLO DEL TEMA I. POTENC NCIA IAC CIÓ IÓN N
Un número es potencia perfecta de varios grados si y solo si es potencia perfecta del MCM de dichos grados.
A. Definición Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces.
Así tenemos: tenemos: P  K x K x K x ... x K  Kn    
II. CA CASO SOS S PAR PARTIC TICULA ULARES RES
nfactores
A. A. Pote Poten ncia cia perf perfe ecta cta de grado grado 2 o cuad cuadrrado ado perf perfe ecto cto
Donde: K : Base ( K  +)
n : Ex Exponente ( n  +) P : Potencia Potencia perfecta perfecta de grado grado "n "
K2  a2 x b2 x c 2 .... (D.C.) Observación: Un
número es cuadrado perfecto si y solo si tiene una cantidad impar de divisores.
Un mismo número puede ser potencia perfecta de varios grados. Tal es el caso del número 64.
B. Potenci Potencia a perfecta perfecta de grado 3 o cubo perfe perfecto cto 3
K  a x b x c3 .... (D.C.)
III. CRITERIOS CRITERIOS DE INCLUSI INCLUSIÓN ÓN Y EXCLUEXCLUSIÓN DE CUADRADOS Y CUBOS PER FECTOS
B. Teorema Teorema fundamental fundamental Para que un número entero positivo sea potencia perfecta de grado "n" es condición necesaria y suficiente que los exponentes de los divisores primos, en su descomposición canónica, sean múltiplos de "n".
Según su última cifra:
Concluimos que: Ningún número cuadrado perfecto puede terminar en cifras 2, 3, 7 u 8. A. Por la terminación en cifras cifras cero • Par Para un cua cuadr dra ado per perfecto fecto::
a bc...d 0. 0... 0  K 2  n  2  abc...d  N2 
n cifras cifras
De donde: Si ab c.. .d 0...0  K 2  K  N 0...0 N2
2m c ifra s
m c ifra s
Para Para un cubo cubo per perfec fecto to::
C. Por criterios criterios de divisibilidad divisibilidad o
Con res respe pecto cto al al módul módulo o 4: 4: Para Para todo K    , se se cumple que (en forma exclusiva):
Con resp respec ecto to al al mód módulo ulo 9:  Para todo K   , se cumple que (en forma exclusiva):
a bc...d 0. 0 ... 0  K 3  n  3  abc...d  N3 
ncifras
De donde: Si ab c. ..d 0. 0 ...0  K 3  K  N 0... 0 N3
n c ifra s
m ci fras
B. Por la termi terminaci nación ón en en cifras cifras 5 • Para Para un cuadr cuadrad ado o perfec perfecto to::
a.. .bc5  K 2  c  2  a.. .b  N(N  1)
Además: b  0  b  2  b  6 De donde: Si  a.. .b c5  K2  K  N5 N(N1)
Para Para un cubo cubo per perfec fecto to:: a...bc5  K 3  (c  2  c  7)
¿Cuantos números de tres cifras son potencias perfectas de grado 3? A) 6 B) 5 C) 8 D) 9 E) 4
Nminimo  22  31  13 13  15 156 (Sum Sumadecif adecifras) as)  12 Respuesta: A) 12
a bc  k3 100  abc  999 3
100  k  999 4, ...  k  9, ... k :5; :5 ; 6 ;...;9 ;.. .;9  5 valores valores
Respuesta: B) 5 Problema 2
Sea el número: N A) 12 B) 16 D) 1 8 E) 2 0
N  5 N  k 3 13 18 N  k 3 13 N 
2  32 2 1 (2  3  13  m3)  k 3 13 UNI SEMESTRAL 2013 - III
mnm  k 3 e nt ntonc es es : mn mnm  34 3 Lentes de contacto: wz  92  81 Colonia: pq   2   3  p q   6  2 6  6 4
La señorita Cynthia sale de compras y lleva una cantidad de dinero en soles que es un cubo perfecto y capicúa de tres cifras, al llegar a una óptica de inmediato compra unos lentes de contacto con una cantidad de dinero que es el mayor número de 2 cifras que tenga una cantidad impar de divisores, luego pasa a otra tienda y se enamora de una colonia cuyo precio es un número de 2 cifras que es una potencia perfecta de grado 2 y 3 a la vez y la compra. Como a ella le gustan las matemáticas, piensa por un momento y dice si a la cantidad de dinero que aun me queda le extraigo su raíz cuadrada el residuo por exceso sería de la forma ab. ab . ¿Cuántos números de la forma xyxy(7) existen y que sean potencias perfectas del mismo grado que ab ? A) 3 B) 1 C) 7 D) 4 E) 2 80
Le qu queda : 34 3  81  64  1 98
198  14, ..... rexceso  152  198  27  ab  3 (cubo perfecto) mismo grado que ab. ab . xyxy (7) dado que del mismo Entonces:
xyxy(7)  3
Por descomposición en bloques: 50  xy(7)  3 xy
(7)  52  21  (5 (51  22   3)  3
xy (7)  51  22  3 10(7 )  xy(7 )  66(7) 10(7)  51 22  3  66(7)   1 (único (único valor)
Respuesta: B) 1 ARITMÉTICA
RADICACIÓN DESARROLLO DEL TEMA
RADICA RADICACIÓ CIÓN N
Donde: K : Raíz cuadrada aproximada de N rd : residuo residuo por defecto re : residuo residuo por exceso exceso
Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que, dados dos números llamados índice y radicando, se calcula un tercer número llamado raíz, donde este último elevado a la raíz produce al radicando. Así tenemos:
• Raíz Cúbica (de índice 3) – Exacta Exacta
N K 0  N  K 3 3
n N  K  Kn  N
Donde: N : Radicando (N  +) n : Ín dice de la Raíz (n  +  n  1) K : Raíz enésim enésimaa
– Inexacta
B. Casos particulares particulares
• Raíz cuadrada (de índice 2) – Exacta Exacta
N K 0  N  K 2
K: Raíz cúbica aproximada de N rd: Residuo por defecto re: Residuo por exceso
Si un número es un cuadrado perfecto tiene una cantidad impar de divisores y viceversa: Si : N  k 2  CDN  (Número impar)
problemas resueltos ¿Cuántos valores puede tomar ab ?
De un número positivo que no tiene raíz cúbica exacta. Si a este número se disminuye en 721, entonces su raíz cúbica disminuye de una cantidad en una unidad, pero el residuo no se altera. Determine la suma de las cifras de la diferencia entre el número y el residuo. A) 16 D) 1 9
B) 17 E) 2 0
En el problema: r
Cantidad de valores de ab
1  2  2  3  3  4  . ..  n(n  1)  n(n  1)(n  2) 3
 ab 
( ( )
K -1  N–721=(K–1) 3+r..... (  )
Restando  y : 721 = 3K 2 – 3 K+1 K=16 En (): N = 163+r N – r = 4096
3N3 = K 2 (cuadrado perfecto)
Reemplazando, tenemos:
3 N - 721 r
Cub Cubo pe perfec fecto menor nor que 100 100 Cuántos valores toma N.
N3 < 100
8  9  10 3
 k
Simplificando: .. .. .
B) 2 D) 4 UNI 2011 - I
Nos piden diferencia entre el número y el residuo N – r = ¿?
K  N=K 3+r
UNI 2008 - I Análisis de los datos o gráficos C) 18 ab  (2  6  12  20  ...  72)  k 2
A) 1 UNI 2011 - II C) 3 E) 5 C) 3
ab  3  2 4  5  k2
Como: 3N3 = K 2
K3
 ab  15   2 
95 15  12  15 1 5  2 2  60 1 5  3 2  1 35
Operación del problema o o K2  3  3N 3N3 N  3
Luego: N = 3 Como N3 < 100 N  3 (único valor) Total de números que cumplen: 1 Sólo un número cumple las condiciones: N 3 = 27
Hay dos soluciones Método práctico
Suma de cifras: 19
Respuesta: B) 2 Respuesta: D) 19
Sea 2 ab  6  ab  12 ab 20 ab ... 72 ab un número natural, cuya cantidad de divisores es impar.
¿Cuántos números enteros menores que 100 existen que son cubos perfectos y que al ser multiplicados por 3 se convierten en cuadrados perfectos?
Cubos perfectos menores que 100: 1; 8; 27; 64 Se triplican: 3; 24; 81; 192 Sólo es cuadrado perfecto: 81 Cumple sólo un número. Respuesta: A) 1
LÓGICA PROPOSICIONAL I DESARROLLO DEL TEMA I. INTR NTROD ODUC UCC CIÓ IÓN N
P(9): 9 > 6 es verdadero. P(2): 2 > 6 es falso.
La lógica estudia la forma de razonamiento. Es una disciplina que se utiliza para determinar si un argumento es válido, tiene aplicación en todos los campos del
El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional.
saber; en la filosofía, para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener dife-
rentes interpretaciones; sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. Los matemáticos usan la lógica, para demostrar teoremas e inferir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación, para revisar programas y crear sus algoritmos, es utilizada en el diseño de computadoras. Existen circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con los
1. Propos Proposici ición ón simple simple Son proposiciones que no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación. Ejemplo: Cincuenta Ejemplo: Cincuenta es múltiplo de diez. 2. Propos Proposici ición ón compuesta compuesta
bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecomunicaciones (telefonía móvil, internet, ...)
Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación. Ejemplo: 29 Ejemplo: 29 es un número primo y 5 es impar.
II. II. ENUN ENUNC CIAD ADO O Es cualquier frase u oración que expresa una idea.
III. CON CONECTIVO ECTIVOS S LÓGICOS LÓGICOS A. Proposición
Símbolos que enlazan dos o más proposiciones proposiciones simples para formar una proposición compuesta. Los conectores lógicos que usaremos son:
Son oraciones aseverativas que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s. Ejemplo: • Túpac Túpac Amaru Amaru muri murió ó deca decapita pitado. do. • •
9 < 10 45 = 3 – 2
B. Enunciado abierto
Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad. Ejemplo: Si: P(x) : x > 6
Oper era aci ción ón lóg ógiica
Sign gniifi fic cad ado o
p si y sólo si q
“o ...... o ......” ......”
Se cumple que: UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
LÓGICA PROPOSICIONAL I
Exigimos más! Observación: La negación es un conector monádico, afecta solamente a una proposición.
IV. IV. OPERACIONES OPERACIONES LÓGICAS Y TABLAS TABLAS DE VERDAD La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que
pq
E. Bicondicional Bicondicional
la componen y se determina mediante una tabla de verdad.
Vincula dos proposiciones proposicione s mediante el conectivo lógico: ".............. si y sólo si ..............".
A. Conjunción
Vincula dos proposiciones proposicione s mediante el conectivo lógico "y".
pq
pq
F. Negación Negación
Afecta Afe cta a una sola propo sició n. Es un operado r monádico que cambia el valor de verdad de una proposición:
B. Disyunción Disyunción
Vincula dos proposiciones proposicione s mediante el conectivo lógico "o".
pq
La cantidad de filas en una tabla es:
# filas = 2 n C. Disyunción Exclusiva
Donde n es la cantidad de proposiciones simples.
Vincula dos proposiciones proposicione s mediante el conectivo lógico: "o ..........., o .............".
pq
lecular es tautológico .
D. Condicional Condicional
Vincula dos proposiciones proposicione s mediante el conectivo lógico: "Si ............, entonces ..............". UNI SEMESTRAL 2013 - III
Cuando Cuando los valores valores del operador operador principa principall son todos verdaderos se dice que el esquema mo-
Se dirá dirá que el el esquem esquema a molec molecula ularr es contra- dictorio si si los valores del del operador principal principal son todos falsos.
Si los valores valores del oper operador ador principa principall tiene tiene por por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es contingente o consistente . ARITMÉTICA
V. LEYES DE ÁLGEBRA ÁLGEBRA PROPO PROPOSIC SICIO IONAL NAL
6. Leyes Leyes de de Identi Identida dad d
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares moleculares complejos y expresarlos expresarlos en forma f orma más sencilla. sencil la. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso.
p  V  V ; p F  p p  V  p ; p F  F 7. Leyes Leyes del Compleme Complemento nto p  ~p  V p  ~p  F
1. Ley de Idempo Idempotenci tencia a
8. Ley del Condici Condicional onal p  q  ~ p q
ppp ppp
9. Ley de de la Bicond Bicondicio icional nal 2. Ley Conmut Conmutati ativa va
p  q  (p  q)  (q  p) p  q  (p  q)  (~ p  ~q) p  q  ~ (p  q)
pqqp p  q  q p
3. Ley Asoci Asociati ativa va 10.Ley de Absorción
(p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r)
p  (p  q)  p p  (p  q)  p p  (~ p  q)  p  q p  (~ p  q)  p  q
4. Ley Dist Distri ributi butiva va p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
11.Leyes de "De Morgan" 5. Ley de de la Doble Doble Negaci Negación ón
~ (p  q)  ~ p  ~ q ~ (p (p  q)  ~ p  ~ q
~ (~ (~ p)  p
Problema Problema 1 Si la proposición:
 p   q  r
 s
es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es: UNI 2012 - I A) FFVV B) FVV F C) V FV FV F D) V VF VFF E ) FV FF FF Resolución: Nos indican que  p   q  r   s 
Para que  r   s  sea falsa solo cumple ple si amb amba as son verd verda ader deras: as: r  V ; s  V. Luego, para que  p   q  sea verdadera, se tiene diversas opciones: p  V; q  F; p  V; q  F; p  F; q  F . Solo se presentan en las alternativas: p  F; q  F; r  V; s  V. Respuesta: A) FFVV A) FFVV Problema Problema 2 Señale el circuito equivalente a la proposición:  p  q  p   p    p  q  
es falsa, luego: v F          p  q   r  s   F UNI SEMESTRAL 2013 - III
q
Resolución:  p  q  p   p    p  q  
Por la ley de la condicional se transforma a:     p  q   p   p  p  q 
Por Morgan llegamos a:  p  q  p   p  p  q 
UNI 2012 - I A)
En el primer corchete se aplica absorción: 85
Exigimos más! p   p   p  q  
p (1)  q (2)   p (2)
Aplicando Apl icando nuevament e absorción absor ción se reduce a: p, lo cual en circuitos lógicos equivale a:
q (2)  p (2)   q (1)
III.  p (2)   q (1) B) V V F
q(2) : Si x  2  22  4  0 (F (F)
C) V F V p
Considere: 2
p(x) : x  A  {a   / a  4} q(x) : x 2  4  0 Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
p(1)  q(2)   p(2)  V  F   V  V
D) FF V E ) FV F
q(1) : Si x  1  12  4  0 (F (F)
A) VV V
De: q(x) : x 2  4  0
Resolución: Se pide el valor de verdad de las siguientes proposiciones: De: p(x) : x  A  {a   / a2  4}
q(1)  p(2)   q(1)
F  V   F  F III.  p(2)   q(1)
FVV Luego: VFV
p(1) : Si x  1  1  4 (V) p(2) : Si x  2  22  4 (V (V)
Respuesta: C) VFV
LÓGICA PROPOSICIONAL II DESARROLLO DEL TEMA I.
CUANTIF CUANTIFIC ICADORE ADORES S
Ejemplo: Sea f (x) : x2 – 5 < 8, donde: x  Z , la proposición:
A. Cuantific Cuantific ador Universal Universal
 x  Z / x 2  5  8 es verdadera:
Sea la función proposicional f (x) sobre un conjunto A, el cuantificador cuantificador  ("para todo") indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función proposicional f (x) sea verdadera.
II. CIRCUITOS CIRCUITOS LÓGICO LÓGICOS S Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar representar una proposición utilizando utiliz ando un circuito lógico:
 se lee: “Para todo”
Ejemplo: Sea f (x) : x3 + 2 > 5 don de de x  N.
A. Circuito serie
La proposición cuantificada es:
Dos interruptores conectados en serie representan
 x  N ; x 3  2  5 es falsa.
una conjunción. p
B. Cuantificador existencial existencial
Sea f (x) una función proposicional sobre un conjunto A el cuantificador cuantificador  (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A, la fu nción proposicional
 p q
B. Circuito Paralelo
Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción.
f (x) es verdadera.
 se lee: “Existe algún”
Problema Problema 1 Sean p, q, r proposiciones lógicas. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
S i (p  q)  r y (p  q)  r s on verdaderas,
verdadera. II. p  q y p   q son proposiciones equivalentes. 87
III. Si (p  q)  r y  r  q s o n proposiciones falsas, entonces p es verdadera. A) VV V B) VVF C) VFF D) FVF E ) FFF ARITMÉTICA
LÓGICA PROPOSICIONAL II
Exigimos más! Conclusión y respuesta I. F II . F I II . V
Problema Problema 2
Se debe determinar los valores veritativos de las proposiciones I, II y III.
Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
Análisis de los datos o gráficos I.  p  q  r v  y  p q  r v   r v II.  p  q p  q III.  p  q  r F    r  q F    p v
 p  q  r  p   q  r  II.  p  q   p  q III. q  p  q  (q  p)
Sean p, q, r proposiciones lógicas.
C) FV F
Con la proposición I.
Respuesta: D) FFV
Problema 3 Si la proposición: (p   q)  (r   s)
es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es: A) FFVV B) FVVF C) V FV F D) VVFF E ) FV FF
Analizamos por el absur absurdo: do: r  F
 p  q  F  V    p  q   F  V 
Indique verdadero (V) o falso (F)
Resolución: Ubicación de incógnita Halle el valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden).
Se contradice, no puede ser ambas verdaderas. r
I. V Con la proposición II. pq p q, q, la cual es la negación p q de II. F Con la proposición III.
 r  q F  r F q F
(p  q)  r  p  (q  r)
Falso. No se asociatividad.
(p 
II. ( p q)  p  q   
q)  (r   s)  F
la Operación del problema (p 
q)  (r   s )  F
p  p  q .. . e y as a s oc ia ti va
 v q   V
III. F Conclusiones y respuesta I. V II. F III. F Respuesta: C) VFF C) VFF
p  q  p .. .le y d e la la co c o n dici on ona l
V  
     
Luego:  p  q   r p  F   F entonces p F
III. q  (   q)  (q  p) p    q  ( p
q)... ley de de la la co con dicion al
q  p ..... l ey ey de de ab absorción 
( q  p) .. ... le y de d e Mo Mo r ga n
(q  p) .. ... ley de l a c on ondic io io na nal
V   
  
Conclusiones y respuesta Se deduce: r  V sV entre p y  q al menos 1 debe ser una verdadera. Rpta: p ; q ; r ; s F F V V Respuesta: A) FFVV
TEORÍA DE CONJUNTOS I DESARROLLO DEL TEMA
I. IDEA DE CONJUN UNTO TO
IV. IV. DETERMINACIÓN DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO CONJUNTO
Es la agrupación de objetos reales o abstractos a los cuales llamaremos elementos.
A. Por extensión extensión
Los Los día díass de la la sema semana na..
Las Las letr letras as del alfabe alfabeto to griego griego..
Los númer números os par pares es comprendid comprendidos os entre entre 20 y 37.
Se indican los elementos uno a uno. Si no se puede puede indicar a todos, entonces solo algunos, los cuales harán notar la secuencia en la cual se encuentran los demás.
II. NOTA NOTACI CIÓN ÓN DE UN CONJ CONJUNT UNTO O
A = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
B = {4; 9; 16; 25; 36; .......; 169}
C = {3; 6; 9; 12; 15; 18; ...........} D = {11; 15; 19; 23; 27; .....; 47} E = {3; 6;11;18; 27; 38; ....; 146} B. Por Por comp compren rensi sión ón
En vez de indicar los elementos, se dá a conocer la forma que tienen estos, al igual que sus propiedades o las condiciones para para su formación. f ormación. Otros conjuntos:
M = {2; 3; {4;5}; 9} ; P = {a; b; c; d; .....; z}
A  {x / x  , 3  x  11}
III. RELACIÓN RELACIÓN DE PERTENENC PERTENENCIA IA
B  {n2 / n  , 2  n  14}
Se da de elemento a conjunto, se dice que un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte de él. En general se da de la siguiente forma:
C = {3;6;9;10;15;18;........} {3;6;9;10;15;18;........}
(Elemento)  (Conjunto)
E  {x 2+ 2 / x  , x  12}
D  {4a  7 / a  , 0  a  11}
Siendo A = {3; 7; 16; 11; {2; 3}}, se puede afirmar que: 3 A 8 A 5 A {3; 2}  A UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
7A 11  A 2A {3; 7}  A 89
V. NÚMERO NÚMERO CARDIN CARDINAL AL DE DE UN UN CONJUN CONJUNTO TO (N(A))
B. Igual Iguald dad
A  B  A  B  B  A
Si: A = {2;3;12;12;2;4;8}  n(A)  5
Esto se dará solo si A y B poseen los mismos elementos.
Si: B = {5;4;{3;4;7};3;18;3;30;5}  n(B )  6 Si: C = {2;3;{7;2};{2;7};2;4;9;5;60}  n(C)  7
C. Comp Compara arabl bles es
Dos conjuntos A y B sson on comparables si bien A  B o bi en B  A. (El caso de igualdad queda excluido) excluido)
VI. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTOS A. Inclusión
D. Disju Disjunt ntos os
A  B  x  A  x  B
Dos conjuntos A y B son disjuntos si no poseen ningún elemento en común.
Se lee: "A está incluído en B" "A está contenido en B"
E. Coordinabl Coordinables es o equipoten equipotentes tes
"A es subconjunto de B" "B contiene a A"
Si se dice que dos conjuntos A y B son coordinables o equipotentes entonces poseen el mismo número de elementos, esto es para con juntos finitos.
Esto se dará solo si todos los elementos de A le pertenecen también a B. Ejemplos:
VII.CLASES DE CONJUNTOS
Si M = {1; {1; 2; 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 8} y N = {2; 4; 6; 8}
A. Conjunto finito
Notamos que todos y cada uno de los elementos elementos de N le pertenecen también a M.
Es aquel conjunto que tiene una cantidad limitada de elementos.
Por lo tanto: __________________________ •
A  x / x  , 21  x  30
Si B  {x / x  , 3  x  30} y
B  x / x  , 2  x  12
D  {n2 / n  , 2  n  6}
Notamos que todos y cada uno de los elementos de D le pertenecen también a B.
B. Conjunt Conjunto o infinit infinito o
Por lo tanto: __________________________
Es aquel conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos. Ejemplos:
Si en do :
C  x / 21  x  30
A  {5;7; 2; 4; 3; 9}
D = {x/x es una estrella en la galaxia}
B  {2; 3; 3; 4; 4; 5} 5} C  {2; 3; 3; {7 {7; 2} 2}; 4 ; 9} 9}
VIII.CONJUNTOS ESPECIALES
podemos afirmar lo siguiente: B A A  B C
7;4
A
8A
A. Conjunto nulo o vacío
7; 7 ;2  C
2; 3;9
(    ) Es aquel conjunto que no posee elementos. En ese caso n(  ) = 0. ,
 A
B B
En general la inclusión se plantea de la siguiente forma:
A  x / x  , 12  x  x  5
(con (conju junt nto o)  (conj conjun unto to)) UNI SEMESTRAL 2013 - III
B  n2  3 / n  , 7  n  n3  27 90
Exigimos más! B. Conjunto Conjunto unitari unitario o
Es aquel conjunto que posee sólo un elemento.
Siendo A = {3; 5; 9}, sus subconjuntos (o todos aquellos conjuntos incluidos en A) serán:
3 , 5 , 9 , 3; 5 , 3; 9 , 5; 9 ,           
A  x / x es par  3  x  5
B  (n  5)0 / n  , 7  n
Subconjuntos Propios de A
C  2n  5   / 3  n  11 7
En consecuencia, el conjunto potencia de A será: P(A) 
3 ; 5 ;9 ; 3; 5 ; 3; 9 ; 5; 9 ;; A
C. Conjunto Conjunto univers universal al (U) (U)
Es aquel conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos presentes en cierto estudio. Los elementos del Conjunto Universal son de la misma naturaleza de los elementos de los conjuntos estudiados en aquel caso.
 Número de    n(A)  subc onjuntos   n(P(A))  2   de A  
 Número de    n(A)  1  subconjunto s   2  propios de A   
 Número de subcon-    propios de A   2n(A)  2  juntos propios  que sean     
Ejemplo: Siendo los conjuntos estudiados.
A  1; 4;9 4; 9;16;25 ;16; 25 B  1;4;7;8; ;4;7;8;10 10;1 ;12 2;13 ;13;16;1 16;19 9 C  2; 4; 4; 6; 6; 7; 7; 9; 9; 10
• Los conjuntos universales que se pueden considerar son:
B  P(A)  B  A
U1  x / x  , x  30 U2  
Siendo A  3;7; 2; 3 ; 4, podemos afirmar que:
3; 4  P(A) porque 3; 4  A 5  P(A) P(A) porqu orque e 5  A
7  P(A) porque 7  A
2; 3  P(A) porque 2; 3  A
3; 2  P(A) porque 3; 2  A F. Par Par orde ordena nado do
Como su nombre lo indica, es un conjunto de dos elementos donde se respeta el orden de los mismos para distinguir al par. El par ordenado se usa de muchas formas: para indicar algunas operaciones en forma
D. Familia Familia de conjuntos conjuntos
Es aquel conjunto conjunto cuyos cuy os elementos son todos conjuntos. conjunto s.
abreviada, la posición de un punto según un sistema de referencia, etc. En general es de la forma:
M  7 ; ; 4; 3; 7 ; 3; 2 ;1; 2;10; 20 N
3; 5 ; 4; 9;16 ; 27 ; M 
E. Conjunto potencia potencia de otro conjunto conjunto ( P(A) )
Es aquel conjunto formado por todos los subcon juntos de A. ( a; b)  ( c; d)
P(A)   x / x  A UNI SEMESTRAL 2013 - III
a  cb d
problemas resueltos Problema Problema 1
Se define: Hipercubo unidimensional al intervalo [0;1] sus vértices son {0;1}. Hipercubo bidimensional al producto cartesiano [0,1]  [0,1]; sus vértices son aquellos del cuadrado así formado. Hipercubo tridimensional al producto cartesianos [0,1]  [0,1]  [0,1]; sus vértices son aquellos del cubo así formado. Y al Hiper Hipercu cubo bo tetr tetra adime dimens nsion iona al al al prod produc ucto to cartesiano [0,1]  [0,1]  [0,1]  [0,1]. ¿Cuántos vértices tiene el hipercubo tetradimensional?
40 productos poseen exactamente dos defectos. 10 productos poseen exactamente tres defectos. ¿Cuántos productos no poseen defecto? UNI 1993-II Nivel intermedio
D) 15 15 0
E) 6 0
C) 190 UNI 1993–I Nivel difícil
Haciendo un diagrama de Venn:
E) (A B) C
A  (x, y)  R 2 /
D) A  B
C) A  B
B) B – A
Resolución: Tenemos:
UNI 1993-II
La región sombreada es:
y  2x  2y 2
D) 1 6
E) 3 2 Resolución:
Según los datos: Unidimensional: [ 0,1 ] Bidimensional:
B  {(x , y)  R 2 / y  1  x 2}
[ 0,1] ,1]  [0,1 0,1]
  (x  y  z)  ( a b c)  180  40
[ 0,1] ,1  [0,1] ,1] [0,1 0, 1] ]   
 x  y  z  10 0
Tetradimensional: [ 0, 1] 1]  [ 0, 1] 1]  [0, 1] 1]  [0 , 1] 1]    4 veces veces
B  (x, y)  R 2 / y  1  x 2
 z  a  c  10  m  200 x y b 
 m  50
Respuesta: D) 16
Respuesta: B) 50
La intersección es: A  B' = A – B (propiedad)
En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos A, B y C como los más importantes. Se analizaron 200 productos con el siguiente resultado: 65 productos poseen el defecto A. 63 productos poseen el defecto B. 82 productos poseen el defecto C. UNI SEMESTRAL 2013 - III
y  x  2y 2
B  (x, y)  R 2 / y  1  x 2 92
Respuesta: A) A) A – B ARITMÉTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS II DESARROLLO DEL TEMA
I. OPERA OPERACI CION ONES ES CON CONJ CONJUN UNTO TOSS
C. Diferencia Diferencia
A  B  x / x  A  x  B Sean los conjuntos:
O sea: A – B = {3; 5}
A = {2 ; 3; 4; 5} y B = {2 ; 4; 6; 8; 10; 12} y U = {1; 2; 3; 4; ........; 15}
A. Unión
A  B  x / x  A  x  B O sea: A  B  2; 3; 4;5;6;8;10;12 4;5; 6;8;10;12 Casos:
D. Diferencia simétrica
AB  x / x  (A  B)  x  (A  B) O sea: AB  3; 5;6; 8;10;12;14 8;10;12;14
B. Intersección Intersección
A  B  x / x  A  x  B
O sea: A  B  2;4 2; 4 Casos:
Exigimos más! E. Compleme Complemento nto
AC  A'  A  x / x  U  x  A
C. Asociativa Asociativa
(A  B)  C  A  (B  C)
Osea: AC= 1; 6;7;8;9;10; 6;7; 8;9;10;11 11;12;13 ;12;13;14;15 ;14;15
(A  B)  C  A  (B  C) D. Distributi D istributiva va
A  (B  C)  (A  B)  (A  C) A  (B  C)  (A  B)  (A  C) E. De De-Morgan De-Morgan
(A  B)C  AC  BC (A  B)C  AC  BC F. Conjunto producto o producto cartesiano F. De Absorción Absorción
A  B  (x; y) / x  A  y  B) A  (B  A)  A A  (B  A)  A A  (B  A C)  A  B
Sean ahora: A = {2;4} y B = {1;2;3}, { 1;2;3},
A  (B  A C)  A  B
luego: G. De la la Unidad
A  B  (2;1);(2;2);(2;3);(4;1);(4; (2;1);(2;2);(2;3);(4;1);(4; 2);(4;3) 2);(4; 3)
A  U  U A  U  A A    A A    
n(A  B)  n(A)  n(B)
A  B  B  A H. Del complemento
II. LEYES LEYES DEL DEL ÁLGEBRA ÁLGEBRA DE CONJ CONJUNT UNTOS OS
A  A C  U A  A C  
A. De potencia
(A C)C  A
A  A  A A  A  A
I. Adici Adicional onales es B. Conmutati Conmutativa va
A  B  A  BC A  B  (A  B)  (B  A) UC   C  U
A  B  B  A A  B  B  A A  B  B  A
problemas resueltos Además
Problema Problema 1
Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2 n subconjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subconjuntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 subconjuntos. El producto cartesiano P x Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que el número de elementos de Q \ P es:
Dato: 42  60%  m
m  70
n(P  Q) = n(P) . n(Q) =18 =182 
 n(Q) (Q) = 14
 n(Q
– P) = n(Q) – n(Q  P)
A) 5 
= 14 – 7 = 7
Total : 100 7 2
   350
C) 7 Conclusiones y respuesta
n(Q – P) = 7
Respuesta: C) 7 C) 7
Dados los conjuntos P y Q se pide la cantidad cantidad de elementos elementos Q \ P < > Q – P
Tenemos que: •
Nº sub subcon conjun juntos de (P  Q)= 2n(P  Q)
= 128 = 27 n(P  Q) = 7
En un colegio el 60% aprobó Aritmética, el 32% aprobó Álgebra y los que aprobaron Aritmética y Álgebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron Aritmética y Álgebra, calcule el número de alumnos del colegio. A) 340
= 64 = n(P – Q) = 6
Análisis de los datos o gráficos Q 6
entonc es A  C  B I. A  B  C  B entonces
II. Si: A  B  A  B  C  A  B en to nc es III. C  A \ B  CC entonces C  A  B A) VVV B) VFV C) FVF D) FFV
D) 370 E) 380
Nº subco ubconj njun unto toss de (P – Q) = 2n(P – Q)
Respuesta: B) 350
Halla el valor de verdad de cada proposición Recordar: A \ B = A – B Análisis de los datos o gráficos
I) P–Q P Q n(P) = 6 +7 = 13
Se observa que no necesariamente A  C  B porque en la región I po dría haber elementos. 
En la proposición nos indican que C  A B  C  B  A , lo cual es
Sol o I I I
II no tiene tien e elementos, nos indican
incorrecto porque en la región II podrían haber elementos.
en la proposición que C  A  B
 falsa
región I podrían haber elementos.
Sol o I
 B  A   Cc     , por lo cual Solo Solo III
lo cual es incorrecto, porque en la
PROBABILIDADES I DESARROLLO DEL TEMA
DEFINI DEFINICIÓ CIÓN N CLÁS CLÁSICA ICA DE PROBABI PROBABI-LIDAD
3. Si el evento es es seguro seguro entonces su su probabilidad probabilidad es es uno.
Dado un experimento aleatoria E, que puede ocurrir de n formas, todos igualmente factibles, y un evento A que es un subconj su bconj unto unt o del experiment expe riment o E, que
Si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces:
puede presentarse en k de las n formas, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A es:
P  AU AUB   P  A  P B  – P  A  B 
P  A   K n
Ejemplo: La probabilidad de que llueva en el Cusco el 15 de enero es 0,10 de que truene 0,05 y de que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene en ese día?
Luego, la probabilidad de que no ocurra A es: P  A '   n – k  1 – k  1 – P  A  n n
Ejemplo: Sea el experimento aleatorio E: lanzar un dado, entonces el espacio muestral está dado por:
Sean: A: Llueve L lueve en el Cusco el 15/01 1 5/01
E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B: Truene en el Cusco el 15/01
Sea el evento A: obtener un seis.
Luego: A = {6}... un caso posible. La probabilidad de obtener un seis es:  P  A   1  0,16 6 Observaciones:
1. Tómese en cuenta cuenta que la probabilida probabilidad d de un evento evento es un número comprendido de cero a uno.
Luego: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A  B)
0  P  A  1
P(AUB) = 0,10 + 0,05 – 0,03
2. Si el evento evento es imposibl imposible e entonces entonces su probabilida probabilidad d
 P(A  B)  0, 12
es cero. UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
PREUNI 2007 - I
En una fila se ubican doce amigas, pero dos de ellas no se hablan y no quieren estar juntas. ¿Cuál es la probabilidad de que se cumpla esta condición?
PREUNI 2007 - I Nivel fácil
2/7 1/ 6 3/ 5 2/ 3 5/ 6
ganar $10 si obtiene al menos cinco puntos o perder $5 en caso contrario. El jugador espera ganar en el juego.
B) 0 C) 1
Para que sea una función de probabilidad se debe cumplir que:
 f(x)  1
Resolución: Casos a favor: 12 !  11!  2 ! Casos totales: 12!
Entonces: 1 2 !  11 !  2 ! P 1 1 12 ! 6
P  5 6 Respuesta: E) 5/6 Problema 2
x 1
E: lanzar un dado
f (1)  f (2)  f (3)  .. .  1 2
K 1 K 1 4 4
 K 1  1 4  4
4
K 1 3
      1 4
 1    K 4  1 1 1    4
E  {1 ; 2; 3; 4 ;
 ...  1
  ...  1 
pierde$5 encadacaso
5; 6} 
gana$10 encada caso
K  3 Entonces: Respuesta: B) 3
Hallar el valor de K para que la f unción: f(x)  K 1 ; x  1; 2; 3; ... 4 Sea una función de probabilidad.
Se tiene un juego de azar que consiste en lanzar un dado y que el jugador puede
E(x)  10  2  ( 5) 5)  4 6 6  E( x )  0 Respuesta: B) 0
PROBABILIDADES II DESARROLLO DEL TEMA
I. PROBAB ROBABIILIDA LIDAD D COND CONDIICION CIONAL AL
Sean los eventos: A: Obtener un número número par. par.
La probabilidad que se ha estudiado hasta ahora está
B: Obtener un número menor que 4.
referida a todo el espacio muestral del experimento aleatorio E, entonces:
Entonces: A = {2; 4; 6} B = {1; 2; 3}
P  A   P(A /E / E)
Luego: A  B  2
Se lee: probabilidad de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido E.
P(A  B)  1 y P  B  3 6 6 P A  B  1 / 6 1  P A / B    3/6 3 P B 
Con frecuencia nos interesa conocer la probabilidad de un evento, donde dicho evento está condicionado a la ocurrencia de un subconjunto del espacio muestral, es decir se tiene que el evento B ha ocurrido y se quiere saber la probabilidad de que haya ocurrido el evento A.
Un diagrama de Venn, asociado a este caso puede ilustrarnos más más sobre la solución.
n  A  B   1 y n B   3  P A / B  1 3
Se lee: probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B.
Observaciones: Ejemplo:
1. Si la probabil probabilida idad d de ocurrenc ocurrencia ia de A no afecta afecta la probabilidad de ocurrencia de B entonces A y B son eventos independientes.
Sea el experimento E: lanzar un dado y observar el número de su cara superior.
Luego: P  A  B   P  A  – P B 
Entonces: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
Exigimos más! 2. Si la probabili probabilidad dad de ocurrenc ocurrencia ia de A imposibilita imposibilita la probabilidad de ocurrencia de B entonces A y B son mutuamente excluyentes.
III. DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA Si una variable x puede tomar los valores discretos x 1, x2, x3, ... x k cuyas respectivas probabilidades son P 1,
P2, P3, ...Pk , tales que:
P A  B   0
P1  P2  P3  ...  Pk  1 Ejemplo:
Entonces se ha definido una distribución dist ribución de probabilidad discreta. La distribución de probabilidad se representa usualmente en una tabla, tal como lo que se muestra a continuación.
Sea el experimento E: lanzar simultáneamente un dado y una moneda. Luego el espacio muestral es:
E = {(1; C); (2; C); (2; S); (3; C); (3; S); (4; C); (4; 5); (5; C); (5; S); (6; C); (6; S)} C. cara y s: sello Donde:
P(x): Función de probabilidad
A: Obtener en el d ado un seis B: Obtener cara en el dado
Ejemplo: Sea el experimento aleatorio E: lanzar una moneda 3 veces y definimos la variable aleatoria x: número de caras que se obtienen. Entonces:
Entonces: A = {(6; C ); (6; S)} B = {(1; C); (2; C); (3; C); (4; C); (5; C); (6; C)}
E = {CCC; CCS; CSC; SCC; CSS; SCS; SSC; SSS}
A  B   6;C 
x toma los valores: 0, 1, 2 ó 3.
 P  A  B   1 . .. 12
Luego la tabla de distribución de probabilidad es:
También: P  A   2  1 y P B   6  1 12 6 12 2  P  A  B  1 . 1  1 . .. 6 2 12
los eventos eventos A y B son independientes. independientes.
Notese que la suma de las probabilidades de la tabla es igual a uno.
IV. IV. ESPERANZA ESPERANZA MATEMÁTICA: MATEMÁTICA: E(X)
Ejemplo: Sea el experimento E: lanzar un dado y los eventos A: obtener un múltiplo de 4, B: Obtener u n número impar.
Si x es una variable aleatoria discreta que pueda tomar los valores x 1, x 2, x3, ..., xk con probabilidades P 1, P2, P3, ...Pk respectivamente, tales que: P1 + P 2 + P 3 + ... + P k = 1, entonces la esperanza matemática de x o la media de la variable aleatoria x es:
Luego: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
E  x   P1 X1  P2 X2  P3 X3  ...  Px xk
A = {4}
B = {1; 3; 5} Ejemplo:
A  B   0  0. 6 Esto significa que los eventos A y B son mutuamente  P  A  B 
excluyentes. UNI SEMESTRAL 2013 - III
De la tabla de distribución de probabilidad anterior: E(x) =0. 1  1. 3  2. 3  3. 1 8 8 8 8 12 3  E x     1, 5 8 2 ARITMÉTICA
Problema Problema 1 Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas. A) 0,5 0, 5 D) 2
3 2 1 5 1 P[x = 4] = 8  7  6  5 = 56
 Piden Piden :
24  2  26   2 91 91 91 7
(1°, 2° y 3° defectuosas y 4° no defectuosa)
Respuesta: B) 7 Tabla
x P[x]
3 4 5 1 56 56
Problema 3 Sean E un espacio muestral, A y B subconjuntos de E, y P: (E)   0,1 una función de probabilidad tal que
Ubicación de incógnita Esperanza matemático o valor esperado. E(x) Análisis de los datos o gráficos *
P(A) = 0,5, P(B) = 0,4. Si A y B son
E(x) =  xiP(xi)
independientes, halle
5 15 5 E(x) = 1  8 + 2  56 + 3  56 1 84 + 4  56 = 56
Una caja aja con con 8 bombi bombill lla as de las las cuales 3 son defectuosas y 5 no defectuosas. Proba Probarr bombi bombilla llass hast hasta a enco encont ntra rarr una no defectuosa.
Se determina la función de probabilidad. Como se tienen 3 bombillas defectuosas, al máximo de extracciones para obtener una bombilla no defectuosa es 4.
P[x]: probabilidad de obtener la 1era bombilla no defectuosa en la extracción x. *
5 P[x = 1] = 8 (1° no defectuosa)
3 5 15 P[x = 2] = 8  7 = 56 y
D) 0 ,8
Respuesta: C) 1,5
Ubicación de incógnita Se pide hallar P(A  Bc)
Problema Problema 2 Para representar a un colegio en las olimpiadas matemáticas del 2007 se han preseleccionado 10 alumnos varones y 5 mujeres. El comité organizador del evento decide que cada colegio participante envíe solo tres alumnos. Calcule la probabilidad que el citado colegio envíe a todos sus representantes del mismo sexo. A) 1/7 D) 4/ 7
Sea x: número de bombilla extraídas.
(1° defectuosa defectuosa)
A) 0,1 0, 1
P A  BC
 E(x) = 1,5
B) 2/7 E) 5/7
Análisis de los datos o gráficos •
P(A) = 0,5
P(B) = 0,4
A y B so so n in in d ep ep e nd nd i en en te te  P(A  B) = P(A) . P(B)
Además: P(A  Bc) = P(A) . P (Bc )
C) 3/7 Operación del problema
Ubicación de incógnita Piden la probabilidad que las 3 personas escogidas sean del mismo sexo.
P(A  Bc) = P(A) + P(Bc ) – P(A  Bc)
Análisis de los datos o gráficos Dato: 10 varones y 5 mujeres
c , 5 , 6  P (A) . P (B )  0  0   1,1
0,5 . 0, 6
    
0,30    
3 2 5 5 P[x = 3] = 8  7  6 = 56 (1° y 2° defectuosas y 3° no defectuosa)
Operación del problema Conclusión y respuesta P(vvv) 
10 9 x x 8  24 15 14 13 91
P(mmm) 
 P(A  Bc )  0, 80
5 3 2 x 4 x  15 14 13 91 101
Respuesta: D) 0,80 ARITMÉTICA
Report "Aritmética - Pamer"

References: Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución

Resolución 

Resolución 
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