Source: https://es.scribd.com/document/65947176/Ecuacion
Timestamp: 2017-09-19 17:15:54+00:00

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Cargado por Joni Fuenzalida
De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
sin cambiar de signo: El ejercicio está teóricamente resuelto. todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual). Para lo cual recordamos que: Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número. lo hará dividiendo. como estaba multiplicando. si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo.La ecuación quedará entonces así: Como puede verse. por ser sólo constantes numéricas. ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. . En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y. En términos coloquiales: Para despejar la x. Realizamos la simplificación del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será: [editar] Despeje Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. si diera decimal. [editar] Simplificación El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. han quedado a la derecha. simplificamos la fracción y ése es el resultado. debemos simplificar. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2). y los que no la poseen. la igualdad no varía. entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo. Sin embargo.
la solución es: [editar] Ejemplo de problema Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo. Esto significa que podemos sumar. multiplicar.En la ecuación.5263157894737) Por tanto. que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación. simplificado. menos dos. el resultado es el mismo. más tres. quitándome dos. Así obtenemos: Que. es igual al doble de las canicas que tengo. pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x. simplificando. El enunciado está expresado. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. más tres que me dan. dividir. restar. es igual al doble de mis canicas. para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. En este caso. si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos: El problema está resuelto. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuación: Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo? La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo. sin que ésta sufra cambios. [editar] Ecuaciones de segundo grado Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica . resulta: Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra. elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número. vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5.
En ellas todos los términos dependen de la variable incógnita o. lo que les confiere también una característica algebraica: el coeficiente c es nulo (c = 0). En este tipo de ecuaciones. Tengamos por ejemplo: Donde a = 1 y c = −16. tienen x. convirtiéndolo en la operación opuesta. Para su resolución tenemos que distinguir entre tres situaciones distintas: [editar] Ecuaciones de la forma ax² + c = 0 Son un caso particular de ecuaciones de segundo grado en las que no existe el término lineal o término en x. lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambos términos: . Pasamos entonces −16 al segundo miembro: Ahora pasamos el exponente 2. coloquialmente. raíz cuadrada: La ecuación ya está resuelta. lo que les confiere su principal característica algebraica: el coeficiente b es nulo (b = 0). Tengamos: Donde a = 3 y b = 9. b es el coeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes. o sea que está elevada a la potencia 1).Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2). al segundo miembro. Nota: si −c/a fuera un número real negativo (cosa que no ocurre en este caso. donde es −c/a = 4) las raíces de la ecuación serían imaginarias y pertenecerían al campo de los números complejos. o cuadrado. o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones. en las que no existe el término independiente. [editar] Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0 Son otro caso particular de ecuaciones de segundo grado. aunque a veces ambas pueden coincidir entre sí. Esto hace que sea un tipo de ecuaciones muy sencillas de resolver mediante un método similar a las de primer grado. y c es el término independiente (el que no depende de la variable.
[editar] Otro método También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo: . Así es que. Si tenemos la ecuación cuadrática: Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la fórmula general: Si sustituimos las letras por los números. las soluciones son números complejos. b y c serán entonces no nulos o distintos de cero. o lo es el segundo: Por lo tanto. lineal e independiente. uno de los dos factores tiene que ser igual a 0. siendo: a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo. Los tres coeficientes a. que son: -2 y -3 Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo. A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación. por lo tanto. o el primer factor (x) es igual a cero (lo que constituye una de las soluciones). en el que existen los tres términos: cuadrático. las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y −3. [editar] Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0 Son el caso más general de ecuaciones de segundo grado. c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre). b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0.
Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones. como polinomios. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución. resulta: m y n son por lo tanto dos números cuya suma resulta igual a −b. radicales y otras. entonces la expresión: será equivalente a: siendo m y n los dos valores (o raíces) de la expresión. x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. [editar] Tipos de ecuación algebraica Una ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas. puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6.Si hallamos dos números m y n tales que al sumarlos y multiplicarlos entre sí resulten coincidir respectivamente con −b y c. la igualdad: es equivalente a: [editar] Demostración Partiendo de la igualdad: operando. En el ejemplo anterior. obtenemos: Luego. la ecuación se llama id . por ejemplo. luego. expresiones racionales. m = -2 y n = -3. para a = 1. y cuyo producto coincide con c.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad. Algunos ejemplos de ecuaciones lineales: determina la ordenada al origen (el punto (llamado rectangular y son . Una forma común de ecuaciones lineales es: Donde representa la pendiente y el valor de donde la recta corta al eje y).Ecuación de primer grado De Wikipedia. búsqueda Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales. que no contiene productos entre las variables. En el sistema cartesiano representan rectas. es decir. involucrando una o más variables a la primera potencia. Las ecuaciones en las que aparece el término consideradas lineales. una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. la enciclopedia libre (Redirigido desde Ecuación lineal) Saltar a: navegación.
Contenido [ocultar]      1 Formas de ecuaciones lineales 2 Ecuación lineal en el espacio n-dimensional 3 Sistemas de ecuaciones lineales 4 Linealidad 5 Véase también [editar] Formas de ecuaciones lineales Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Ecuación general Aquí A y B no son ambos cero.  Forma paramétrica 1. Las letras mayúsculas representan constantes. mientras x e y son variables. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.  Ecuación segmentaria o simétrica Aquí ni E ni F no pueden ser cero. 2. Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea. Representa una línea en el cartesiano. . cada una en la variable t. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.
interceptando el eje X en E. Un ejemplo podría ser: . ya que lo satisface todo par de números reales x e y. es llamada identidad. Adicionalmente podría haber más de dos variables. Para más información véa: Sistema lineal de ecuaciones [editar] Ecuación lineal en el espacio n-dimensional Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Casos especiales: Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es todo el plano cartesiano. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dos . Otro caso especial de la forma general donde vertical. Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamada inconsistente. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo). en ecuaciones simultaneas. dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. El gráfico es una línea En este caso. [editar] Sistemas de ecuaciones lineales Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. y . todas las variables fueron canceladas. Así una función lineal de dos variables de la forma representa un plano y una función representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.
ecuaciones con dos incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución. [editar] Linealidad Artículo principal: Aplicación lineal Una función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición: donde a es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal Ecuación de segundo grado {{subst:Aviso PA|Ecuación de segundo grado|referencias|wikificar}} ~~~~ . planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas).
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática.Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y=o). la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0. Contenido [ocultar] . La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos. Normalmente. b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. permiten modelar un gran número de relaciones y leyes. ya que junto con las ecuaciones lineales. Expresada del modo más general. son las soluciones reales de la ecuación cuadrática. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. una ecuación cuadrática en es de la forma: con n un número natural y a distinto de cero. si los hubiese.
      1 Historia 2 Clasificación 3 Solución general de la ecuación de segundo grado o 3.. b y c son distintos de cero. cero o negativo. En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.1 Deducción de la fórmula general 2 o 3.Incompleta pura: Es de la forma: . dos números reales e iguales (un número real doble). 2. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia. dependiendo del valor que tome el discriminante ya sea positivo. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya.Completa: Tiene la forma canónica: donde los tres coeficientes a. en su Liber embadorum. o dos números complejos conjugados. Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales y diferentes.2 Deducción para resolver la ecuación de la forma x + mx + n o 3.. La fórmula general se deduce más adelante.3 Teorema de Cardano-Viète 4 Solución mediante cambio de variable 5 Véase también 6 Enlaces externos [editar] Historia La ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo. Se resuelven por factorización. respectivamente. [editar] Clasificación La ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:[cita requerida] 1. por el método de completar el cuadrado o por fórmula general.
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x). llamadas raíces. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene la solución trivial x1 = 0. muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo.Incompleta mixta: Es de la forma: donde los valores de a y de b son distintos de cero. que pueden ser reales o complejas. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma: con a distinto de cero. donde el símbolo "±" indica que los dos valores y son soluciones. dadas por la fórmula general: .donde los valores de a y de c son distintos de cero. por supuesto. x = 0 3. no necesariamente distintas.. . Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada): podremos saber el número y naturaleza de las soluciones: 1. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental. No tiene solución en números imaginarios. [editar] Solución general de la ecuación de segundo grado La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones.
por lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación: Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho: Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho: . se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal. podemos dividir entre a cada término de la ecuación: Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad: Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP). de multiplicidad dos. dicho de otro modo. para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo Como a es distinto de cero. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan). Una solución real doble. si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x). para completar el cuadrado en el miembro izquierdo. 3. podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación. o más brevemente. [editar] Deducción de la fórmula general Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática). Sea dada la ecuación: donde grado.2.
Sin embargo. es decir. Antes de aplicar indiscriminadamente la fórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general con solo suponer que a=1.Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros: Separamos las raíces de la fracción del lado derecho: Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho: Despejamos la incógnita que buscamos: Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general: Es trivial el orden en que se toman los valores de x. aquél en el cual va el signo negativo antes del radical. algunos autores prefieren colocar en primer término el valor menor de x. pero existe para ellas una fórmula particular que vamos a deducir. como se . se sugiere resolver cada ecuación empleando todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el cuadrado. [editar] Deducción para resolver la ecuación de la forma x2 + mx + n Esta forma de ecuación cuadrática se caracteriza por que el coeficiente del término en x2 es 1.
demostrará. La ecuación es: Transponiendo n: Sumando : Descomponiendo el primer término el cual es un trinomio cuadrado perfecto: Transponiendo : Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: Haciendo la relación con la fórmula general tenemos que: la cual es prácticamente igual a la anteriormente deducida: [editar] Teorema de Cardano-Viète Para toda ecuación cuadrática de la forma: de raíces Suma de raíces se cumplen los siguientes dos aspectos: [mostrar]Demostración . es tan similar a la fórmula original que no significa un gran ahorro de tiempo respecto a la fórmula general.
Aplicando el cambio de variable anterior. obtenemos la ecuación y desarrollándola queda (1). tiene una solución inmediata del tipo . Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo . Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. debemos forzar a que .Producto de raíces [mostrar]Demostración Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces. como ya se ha dicho. Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero. el cambio de variable necesario es del tipo . [editar] Solución mediante cambio de variable Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo . es decir Sustituyendo en (1) queda . (2) Esta nueva ecuación está en la forma que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable. y que.
obtenemos la solución de la ecuación original El artificio de esta demostración. despejando la variable en la ecuación (2). Ecuación de tercer grado Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: . c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un campo.1 Ejemplo 1 . que es . queda Dado que con variable en . en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.1 Raíces reales de la ecuación cúbica 4 Raíces múltiples o 4. usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos. y que . Contenido [ocultar]     1 El caso general 2 Discriminante 3 El caso real o 3. b. consiste. por tanto.Por tanto. donde a.
propiedad que hará posible resolver la ecuación. . Se obtiene: con .  Proceder al cambio de incógnita . razón por la cual se le llama método de Cardano. para suprimir el término cuadrado. con p y q números del cuerpo que tienen las siguientes expresiones . La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín. al desarrollar con la identidad precedente. .   5 Segundo ejemplo 6 Véase también 7 Enlaces externos [editar] El caso general Sea un cuerpo conmutativo. donde se pueden extraer raíces. compensado exactamente por que aparece en . vemos aparecer el término Se obtiene: . por ejemplo. según el Teorema Fundamental del Álgebra. Los pasos de la resolución son:  Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ≠ 0). Este es el caso. En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. del cuerpo de los números complejos. En efecto. . que significa Gran Arte o Arte Magno) por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publico en el año de 1545.
. Como se ha introducido una variable adicional (u y v en vez de z).y Como el producto uv está fijado . la ecuación precedente da . . que se sabe resolver. Luego y son raíces cúbicas de . es posible imponerse una condición adicional. con . entonces las otras son .  Pongamos porque auxiliar y . la astucia genial: escribir . Desarrollando: Reagrupando: Factorizando: . . una raíz cúbica de la unidad. las parejas posibles son . y . Así. y . si y y y (que verifican y finalmente En el cuerpo por supuesto son estas raíces cúbicas. Concretamente: ..  Y ahora. Entonces tenemos y . Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación . . que implica .
extensión algebraica cerrada de R. el número de raíces reales no es siempre 3. . [editar] El caso real Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros).Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto . La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de U y V. El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado. Las raíces cúbicas no plantean problemas. por lo tanto. Las que faltan se encuentran en C. Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar  : Si Δ > 0 existe una única raíz real. y [editar] Discriminante Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes.  Demostración de la discriminante equivalencia de la ecuación auxiliar mediante transformaciones de Trinomio cuadrado perfecto Trasformación equivalente en Moviendo al miembro derecho Demostrado que cuando la ecuación posee raices Reales dobles. Las demás son complejas conjugadas.
raíces de multiplicidad dos y tres. Si Δ < 0 existen tres raíces reales. tienen que pasar por cero. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes. por el teorema de los valores intermedios. para donde el signo positivo se usa si esta dada por y el signo negativo se usa si . entonces podemos obtenerlas fácilmente como . Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. ahora la raíz doble se puede presentar si y sólo si se cumple la condición de que . Tales raíces y . según los signos de a y de Δ. En la figura siguiente se registra todos los casos. que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. todas reales. Como son funciones contínuas. para [editar] Raíces múltiples En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples. esto es. Aunque lo más fácil es resolverla con el método Newton-Raphson ya que sabemos que al menos habrá una solución real.  Si Δ = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple. pero donde se calculan como posee tres raíces reales cuando el posee cualquier valor y signo. [editar] Raíces reales de la ecuación cúbica La ecuación cúbica incompleta discriminante . es decir. Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Mientras que De modo que si queremos calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa .
luego y .4 = 0. [editar] Ejemplo 1 Sea la ecuacuón cúbica . Para ello. y . y desarrollando:  x = u + v.y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como . es decir t = x . U y V son las raíces de X² + X .1 = 0. [editar] Segundo ejemplo Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael Bombelli quien fue. V = v³ y nos imponemos U + V = .1 y UV = . La ecuación es x³ . U = u³.1. en pleno siglo XVI). con Cardano. .15x . procedamos a resolverla.   (al dividir por 2) Con x = t + 1. el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento. sigamos los pasos descritos en el primer párrafo. reemplazando: .1.
Pasamos al tercero: x = u + v. En conclusión. u³ = 2 .i) + j²(2 + i) = . así estamos seguros de obtener un x real.i) + (2 + i) = 4. lo que se verifica de inmediato. y v es su conjugado: v = 2 + i.i. que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres. Por lo tanto debería ser más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.4X + 125 = 0. Por lo tanto no tiene raíces reales.15x . Con esto podemos encontrar otra fórmula general para las ecuaciones cúbicas. Las otras raíces son x' = j(2 . x = u + v = (2 . Este método nos permite encontrar las raíces. diferente a las fórmulas de Cardano o Tartaglia. y se toma la raíz cúbica del módulo). Nota: Toda ecuación cúbica completa tiene otra equivalente incompleta o completa condicionada (familia de cúbicas). .Estudiando la función x → x³ .3ab² = 2 (parte real) 3a²b .11 (parte imaginaria) a² + b² = 5 (módulo) Obtenemos a = 2 y b = -1. Cuando Δ es negativo. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. que emplea las partes real e imaginaria: Pongamos u = a + bi.2 + √3 y x" = j²(2 . recordando que uv = -p/3).4 o calculando el discriminante Δ = -13068 < 0. todas reales.11i equivale al sistema: a³ . aunque sólo tengan soluciones reales. V = v³. y de hecho también x' y x". ¡ Es paradójico ! Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones.i) + j(2 + i) = . U + V = 4 y UV = 125 U y V son las raíces de X² .b³ = . y otro algebraico.2 . Hallamos U = 2 .11·i y V = 2 + 11·i. que se puede observar mediante el cambio de variable x=z+k. o sea u = 2 . y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica. U y V son conjugados. nos damos cuenta que esta ecuación tiene tres raíces ( vean el cuadro 3 de la figura). ecuación cuyo discriminante ya hemos calculado y que es negativo. Los dos primeros pasos son inútiles. pasando obligatoriamente por los complejos. U = u³.√3. Hay dos métodos: uno geométrico.
c. Contenido [ocultar]     1 Caso general o 1. búsqueda Gráfico de una ecuación de cuarto grado. b.1 Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas 3 Véase también 4 Enlaces externos [editar] Caso general .Ecuación de cuarto grado De Wikipedia.1 Método de Descartes 2 Ecuaciones bicuadradas o 2. la enciclopedia libre Saltar a: navegación. usualmente a . d y e (siendo los reales o los complejos ) son números que pertenecen a un cuerpo. Una ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica: donde a.
En este cuerpo. donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto también de cuarto orden. al desarrollar . compensado exactamente por que aparece en sustituir x y operando con las identidades notables. pues fue dado por el matemático francés René Descartes (1596-1650) en el año de 1637 en su célebre libro "La Geometría". En un cuerpo algebraicamente cerrado. Tras . es posible factorizar por todo a. Este método es llamado "método de Descartes". y la identidad siguiente es válida: . q y r números del cuerpo. pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas). [editar] Método de Descartes Los pasos de la resolución para el método de Descartes (1637) son:  Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. después de un largo cálculo. lo Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios. (3) método de Euler. Es el caso del cuerpo de los complejos. (4) método de Lagrange y (5) método de Álcala. con p. se obtiene: . obtenemos las condiciones: . El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo. Aunque existen hasta 5 métodos distintos de resolver las ecuaciones cuárticas. la idea genial: factorizar lo anterior en que es posible porque no hay z³ en el polinomio. se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. vemos aparecer el término . (2) método de Descartes. En con la identidad precedente. y  Proceder al cambio de incógnita efecto. Se obtiene: . según el Teorema Fundamental del Álgebra. donde . eso sí.  Y ahora. . estos son: (1) método de Ferrari.Sea K un cuerpo. . para suprimir el término cúbico.
(coeficiente de x²) (coeficiente en x) (término constante) Después de algunos cálculos. que resulta ser una ecuación de tercer y que se puede resolver usando el método de Cardano. Pongamos A = α2. Su forma polinómica es: Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable Con lo que nos queda: El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula: Ahora bien. no se olvide que . hallamos : Es una ecuación del sexto grado.y [editar] Ecuaciones bicuadradas Éstas son un caso particular de las anteriores. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. pero si miramos bien. y . β y γ. grado en la variable Luego se encuentra α. Así las cuatro soluciones serán: . α sólo aparece con potencias pares. Entonces: . y se resuelven para rematar. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. esto no nos da las cuatro soluciones esperadas.
donde Al dividir la ecuación por x2. z1 y z2 Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones de 2o grado: y . puede ser resuelto así: Haciendo cambio de variable: llegamos a Así Esta ecuación da 2 raíces.[editar] Otro caso particular: Ecuaciones casi-simétricas El siguiente tipo de ecuación . se obtiene .
. Las ecuaciones cuasi simétricas poseen la siguiente propiedad. d.Si a0 no es 1 en este método es de todas formas aplicable. búsqueda Polinomio de 5º grado con cuatro puntos extremos. e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente el de los números racionales. las define: si x1. b. que.x4 son las raíces de la ecuación. Dado que el producto de las 4 raíces es m2. por otra parte. y x3. Es de la forma general: donde a. y . luego de dividir la ecuación entre a0. entonces x3x4 = m necesariamente Ecuación de quinto grado De Wikipedia. En matemática. x2. se denomina ecuación quíntica o de quinto grado a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. la enciclopedia libre Saltar a: navegación. entonces x1x2 = m. c. el de los reales o los complejos).
como por ejemplo x5 − x4 − x + 1 = 0. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.1 Factorización de radicales o 1. cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales. Sin embargo. John Stuart Glashan. La resolución de ecuaciones lineales. la gráfica de las funciones quínticas normales se parece a la de las funciones cúbicas normales. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini. lo que dio pie al campo de la teoría de Galois. divisiones y extracciones de raíces. mediante un número finito de sumas. multiplicaciones. también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. George Paxton Young y Carl Runge mostraron en 1885 que cualquier quíntica resoluble irreducible en forma de Bring-Jerrard. cuadráticas. Contenido [ocultar]     1 Búsqueda de raíces de una ecuación quíntica o 1. que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. debe forzosamente tener la siguiente forma: . [editar] Factorización de radicales Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver mediante factorización de radicales. restas.2 Otros métodos analíticos o 1.Debido a que son de grado impar. publicado en 1824. no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales. Otras quínticas como x5 − x + 1 = 0 no pueden factorizarse de manera sencilla. Usando esta teoría. que puede escribirse como (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)2 = 0. La derivada de una función quíntica es una función cuártica. excepto en que pueden poseer un máximo y un mínimo locales adicionales.3 Métodos numéricos 2 Véase también 3 Referencias 4 Enlaces externos [editar] Búsqueda de raíces de una ecuación quíntica Encontrar las raíces de un polinomio (valores de x que satisfacen tal ecuación) en el caso racional dados sus coeficientes ha sido un importante problema matemático. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta mediante factorización.
La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 puede verse definiendo la expresión donde y obtenemos la primera parametrización usando el caso negativo de la raíz cuadrada. Más . En 1858 Charles Hermite mostró que el radical de Bring se podía caracterizar en términos de las funciones theta de Jacobi y sus funciones modulares elípticas asociadas. Leopold Kronecker desarrolló una manera más sencilla de derivar el resultado de Hermite usando Teoría de grupos. con .donde μ y ν son racionales. prácticamente al mismo tiempo que Francesco Brioschi. Por tanto esto es una condición necesaria (pero no suficiente) para que la quíntica resoluble irreducible con coeficientes racionales debe satisfacer la curva cuadrática simple siendo a e y racionales. usando un enfoque similar al más familiar usado al resolver ecuaciones cúbicas mediante funciones trigonométricas. mientras que el caso positivo nos da la segunda con ε = − 1. Spearman y Williams dieron una alternativa. esto da una condición necesaria y suficiente para que se pueda resolver mediante raíces. En 1994. Dado que haciendo un uso juicioso de las transformaciones de Tschirnhaus se puede convertir una quíntica a forma de Bring-Jerrard. Jerrard mostró alrededor de 1835 que las quínticas se pueden resolver usando ultraradicales (también conocidos como radicales de Bring). las raíces reales de t5 + t − a siendo a un número real. [editar] Otros métodos analíticos También existen otros métodos para resolver quínticas.
dando una explicación de por qué deben aparecer. Felix Klein llegó a un método particularmente elegante que relaciona las simetrías del icosaedro.adelante. o si se sabe que las soluciones comprenden sólo expresiones sencillas (como en exámenes). y desarrolló su propia solución en términos de las funciones hipergeométricas generalizadas. [editar] Métodos numéricos Los métodos numéricos como el método de Newton-Raphson o de prueba y error dan resultados muy rápidamente si sólo se necesitan valores aproximados para las raíces. También se pueden usar otros métodos como el de Laguerre o el de Jenkins-Traub para encontrar numéricamente las raíces de una quíntica de forma más fiable. El matemático mexicano Graciano Ricalde Gamboa (1873-1942) descubrió un método para la resolución de la ecuación de quinto grado mediante el uso de funciones elípticas. . la teoría de Galois y las funciones modulares elípticas que aparecen en la solución de Hermite.
ModelosPoblacionales
027 Ec de Segundo Grado Resuelta Paso a Paso

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