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I APPAREILS DE MESURE Le champ magnétique étant une grandeur vectorielle, sa r caractérisation se fait en deux étapes : détermination de la direction et du sens de B avec une boussole puis mesure de son intensité. Pour cette mesure, deux cas de figure sont envisageables suivant le champ qu'on étudie : r - B uniforme, d’extension infinie, de faible s r s intensité ⇒ sa mesure relative est basée sur τ = M ∧ B (boussole → cf. § 2.1). r - B localisé, d’intensité plus forte ⇒ on a alors deux types de capteurs : r r r - ceux utilisant dF = I d l ∧ B : balance de Cotton (mesure F), sonde de Hall (mesure ddp). dφ d r r - ceux utilisant e = − = − ∫∫ B . dS : fluxmètre dt dt électronique (mesure d'une ddp). 1.1 Balance de Cotton Réf. (1), p. 217 ; Réf. (2), p. 93 Cette méthode ne présente plus qu’un intérêt pédagogique bien que ce soit le seul dispositif qui permette une mesure absolue du champ magnétique (par la force de Laplace qu’il engendre). Elle ne sert plus en pratique pour les mesures de champ. 1.1.1 Principe de la balance On fait circuler un courant dans un circuit filiforme que l’on met en présence d’un champ magnétique. Ce circuit à l’allure suivante : E
r r r Chaque branche est soumise à une force de Laplace dF = I d l ∧ B . Les branches BC et DE r sont des secteurs circulaires centrés en O → avec l’orientation de B , la force magnétique agissant sur ces branches sera dirigé vers O → leur moment / à O sera nul. A l’équilibre de la balanceΣM/O = 0. BIl a = m g b → Fmag sur DC × a = P× b → avec DC = l 1.1.2 Réglage de la balance Prendre la balance Matlabo. Elle dispose 221
d’un contrepoids constitué par une chaînette qui permet de rééquilibrer le fléau en présence d’un champ. Une échelle, directement graduée en Newton, permet de simplifier la conversion. Placez la branche DC de la balance dans la zone ou se trouve le champ à mesurer (ne pas faire circuler de courant pour commencer). Libérez le fléau de la balance puis ajustez le réglage des pieds de l’appareil pour que l’extrémité du fil à plomb coïncide avec le repère situé sur la base du dispositif. Equilibrez ensuite la balance avec le contrepoids à vis et en rajoutant des masses si nécessaire. On peut aussi jouer sur le curseur qui fixe l’origine de la lecture. Une fois ces réglages effectués, faites circuler un courant de quelques ampères. Réajustez l’équilibre en jouant sur la vis de positionnement de la chaînette. On a alors : ∆m ( N) B= Il
1.2 Fluxmètre électronique 1.2.1 Principe du montage
Biblio : Réf. (2), p. 192 ; Réf. (3), p. 232.
L’AO est en régime linéaire ε = 0 ⇒ V- = 0. On a alors VS = − VC = −
1 idt C∫
On commence avec l’interrupteur fermé : VC = 0 → VS = 0. On place la bobine dans le champ à mesurer. Dès qu’on ouvre l’interrupteur, on sort la bobine de la zone de champ magnétique. Il va apparaître une f.e.m. d’auto induction e = − dφ / dt . Comme V- = 0, on a par conséquent i = e/R. t 1 1 1 ⇒ VS = − e dt = + dφ D’où VS = [φ(t ) − φ(0)] On a donc un fluxmètre. ∫ ∫ RC RC o RC t = 0 : la bobine est dans le champ B → φ(0) = NSB t : la bobine est dans un champ nul → φ(t) = 0
→ VS = −
NS B RC
Le dispositif permet donc de mesurer un champ magnétique. Remarque : Dès qu’on bouge la bobine, le montage intègre les variations de flux → ne pas la bouger dans les conditions initiales. 1.2.2 Problèmes de dérive Les imperfections des amplificateurs opérationnels font que ce montage dérive dans la pratique. En effet, il intègre aussi le courant de polarisation de l’AO ainsi que celui que génère la tension d’offset (quantités ≈constantes) 222
Dérive due au courant de polarisation : Un des écarts de l’AO réel au modèle idéal est la présence de courant aux entrées + et – du composant. La valeur et le sens de ces courants dépendent du type de transistor présent aux entrées de l’AO. On peut donner une limite supérieure de la dérive que va donner le courant de polarisation i – en supposant qu’il circule uniquement dans le condensateur : t i i 1 VS = − ∫ i − dt = − − ∫ dt ⇒ VS = − t C Co C Le courant de polarisation fait dériver le montage → on a intérêt à prendre un AO ayant des courants de polarisation les plus faibles possibles. Les AO 071 ou 081 ont typiquement des courants de polarisation de 100 pA (transistors d’entrée : JFET) contre typiquement 100 nA pour les 741(transistors d’entrée : bipolaires) → on prendra donc un AO 071 ou 081. Dérive due à l’offset Un autre écart de l’AO réel au modèle idéal est la présence d’une petite différence de potentiel (tension d’offset) entre les deux entrées de l’AO. Cette tension de décalage, positive ou négative, provient essentiellement d’une légère dissymétrie des transistors d’entrée de l’AO. Elle dépend des tensions d’alimentation ainsi que de la température → elle fluctue légèrement en fonction du temps. Pour donner une estimation de la dérive que l’offset cause, supposons que la bobine ne subisse aucune variation de flux. Si on ne tient compte que de la tension d’offset, le montage se modélise de la façon suivante :
eD e 1 ⇒ VS = − e D dt = − D ∫ dt ∫ R RC RC
⇒ VS = −
eD t RC
La tension d’offset fait aussi dériver le montage.
On peut exprimer le rapport de la tension due à la mesure du champ B sur les tensions dues aux dérives : VS B NSB = VS OFF + VS I POLA eD + R i− t
Les dérives seront d’autant moins gênantes que NSB est grand. Ce système est donc mieux adapté à la mesure de champs forts. Pour un champ B donné, on a intérêt à prendre une bobine ayant la valeur NS la plus importante possible (inconvénient : la mesure est d’autant moins locale). Enfin, seule la dérive due au courant de polarisation peut être atténuée vis à vis de la mesure de B en prenant une valeur de R faible. Ce choix diminuant la valeur de la tension à mesurer, on aura alors intérêt à prendre pour C une valeur importante. Limitation de la dérive : On peut limiter la dérive de l’intégrateur en jouant sur le réglage de compensation de l’offset. Ce réglage doit être aussi fin que possible → on propose deux montages possibles suivant le matériel dont on dispose :
+ 100 kΩ multitour
100 kΩ monotour
-Ualim
≈ 1 kΩ monotour
Pour un AO 071 ou 081, le constructeur préconise l’emploi d’un potentiomètre de 100 kΩ (branchez ses extrémités sur les deux entrées OFF du composant). Pour que la compensation de la dérive soit la plus fine possible, on conseille de prendre un potentiomètre multitour (montage de gauche). Si on n’en a pas, réalisez le montage de droite. Observez le signal VS avec un oscilloscope permettant une observation en mode ROLL (HP 54603 ou Agilent 54621 par exemple). Ce mode permet visualiser l’évolution de la dérive du montage « en direct » (sans temps de latence due à une base de temps trop lente). Commencez par remettre l’intégrateur à zéro en shuntant temporairement le condensateur C avec l’interrupteur K. Une fois la remise à zéro effectuée, vous devez observer la dérive du montage (prendre un calibre d’observation adapté). Jouez sur le réglage du potentiomètre multitour pour annuler au mieux cette dérive (si vous utilisez le montage de droite, commencez par un réglage grossier avec le potentiomètre de 100 kΩ, puis affinez le réglage avec le potentiomètre ≈ 1 kΩ).
1.3 Sondes à effet Hall C’est l’instrument le plus utilisé pour la mesure des champs magnétiques. Le principe de l’effet Hall est rappelé brièvement en annexe (on peut aussi se reporter à la réf. (2), p. 96). On peut montrer le principe de l’effet Hall à l’aide d’un échantillon de semi-conducteur → se reporter au montage « Semi-conducteur ».
1.4 Manipulation On propose d'étudier quelques caractéristiques des différents systèmes de mesures en mesurant le champ créé par un électro-aimant à pièces plates ou tronconiques. L’électroaimant peut être réalisé a l’aide de transformateurs démontables type Leybold ou Phywe. pièces plates (champ ≈ homogène)
pièces tronconiques (champ ≈ inhomogène)
Précautions : Lorsqu’on alimente l’électro-aimant, les pièces polaires peuvent se coller ensemble si elles sont mal fixées → les fixer fortement et tester l’électro-aimant en charge avant d’insérer les sondes de mesures dans l’entrefer. Pensez aussi à brancher les bobines de façon à ce que leur champ s’ajoute (on peut le vérifier à l’aide des plaques de visualisation des lignes de champ). Manipulation : Mesurez le champ magnétique dans chaque cas en utilisant successivement les appareils suivants : La balance de Cotton Le fluxmètre électronique (à monter) avec la bobine de 566 cm2 (prendre C = 1 µF au minimum et choisir R en fonction de B). Le Teslamètre Phywe (utilise une sonde à effet Hall). Pour le fluxmètre, la mesure de la tension VS peut se faire de deux façons. On peut utiliser un oscilloscope en mode ROLL (cf. § 1.2.2) ou un multimètre numérique. La mesure d’une tension à l’oscilloscope est moins précise qu’avec un multimètre mais la visualisation temporelle du signal permet de mieux repérer la tension à mesurer. La mesure au multimètre peut être plus délicate à cause de l’instabilité du signal due aux problèmes de dérive. A vous de choisir la méthode qui vous convient le mieux. Conclusion : Les mesures doivent se recouper compte tenu des incertitudes pour un champ r homogène, pas pour un champ inhomogène. La balance de Cotton et le fluxmètre mesurent B dans un grand domaine alors que la sonde de Hall effectue une mesure locale. Remarque : La balance de Cotton permet une mesure absolue de B, mais son mode opératoire est long et la mesure n'est pas locale → on la présente juste à titre indicatif. Le fluxmètre électronique effectue aussi une mesure moyenne (grande surface). Son inconvénient majeur est d'être sensible à la dérive mais il est particulièrement utile lorsque l’on veut mesurer le champ au sein d’un matériau (cf. § sur le ferromagnétisme). La sonde à effet Hall est un instrument fiable, elle permet une mesure ponctuelle mais nécessite un étalonnage préalable. Il faut savoir que la quasi-totalité des mesures de champs magnétiques en pratique sont effectués avec cet appareil → on n'utilisera pratiquement que lui.
II CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR DES BOBINES Plusieurs études sont possibles suivant le matériel à votre disposition : champ créé par un solénoïde long, champ créé par des bobines plates. On s’intéressera ici au deuxième cas de figure. Considérons donc une bobine plate circulaire de rayon R possédant N spires ; le champ B créé suivant l’axe perpendiculaire à sa surface a pour expression : R O
µ NI   x  B(x) = o 1 +   2 R   R 
2  −3/ 2
2.1 Manipulation L’étude peut se faire en utilisant le dispositif Jeulin (réf. 292 014) et le Teslamètre T 10 (réf. 291 070) du même constructeur. Ce matériel est simple à mettre en œuvre : le teslamètre peut se fixer directement sur un axe prévu à cet effet et la sonde est directement centrée sur l’axe Ox de la bobine. L’inconvénient de ce dispositif est sa petite taille → l’analyse du champ dans un plan normal à l’axe Ox lors de l’étude des bobines de Helmholtz (cf. § 2.3) est plus délicate. Montage : Les bobines ont un rayon moyen de 6,5 cm et comportent 95 spires chacune. N’en brancher qu’une pour commencer en utilisant une alimentation pouvant fonctionner en générateur de courant (réglage tension à fond, contrôle sur le bouton intensité). Eloignez du dispositif toute source magnétique et tout élément ferromagnétique. Eloignez la sonde de tout champ magnétique ; ajustez le 0 sur le calibre approprié. Centrez ensuite avec soin la sonde sur l’axe de la bobine et mesurez le champ B pour différentes valeurs de x. Voici à titre indicatif une série de mesures pour I = 5 A (la partie de la courbe pour x < 0 a été obtenue par symétrie) : champ créé par une bobine 5 4,5
mesures modèle
B1 (mT)
3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -25
L’accord entre les mesures et la courbe théorique est correct → l’étude du champ créé par une bobine, si elle est rigoureusement menée, constitue un bon moyen pour vérifier l’étalonnage d’une sonde à effet Hall (l’étalonnage est par contre limité ici aux champs faibles).
2.2 Mesure de la composante horizontale du champ terrestre On se sert des résultats vérifiés précédemment. On peut noter que cette partie illustre la mesure d’un champ très faible (BHT = 2.10-5 T) et qu’en plus, pour le mesurer, on produit un champ magnétique du même ordre de grandeur. Manipulation : Réf. (2), p. 68-266 et réf. (1), p. 263. 3 bobines A
boussole Inverseur
Ri : 16 cm Ni : 6 spires
I≤2A!
Eloignez du dispositif toute source magnétique et tout élément ferromagnétique. En l’absence de courant, orientez le plan de la bobine dans la direction Nord-Sud (plan du méridien local du champ magnétique terrestre) → axe boussole // au plan de la bobine. Le bouton de réglage de la tension de l'alimentation étant tourné à fond, ajustez le réglage de l'intensité I pour avoir une déviation notable de l'aiguille de la boussole. Mesurez α, angle de déviation de la boussole par rapport au plan de la bobine. Ramenez V à zéro sans toucher à I (pour éviter des surtensions à l’ouverture), inverser le courant, remettre V à fond → mesurer de nouveau α (on mesure 2α en inversant le courant pour plus de précision). Analyse : Au centre de la bobine, on a (cf. § précédent) : B o = µ o N I / 2R r r B o est perpendiculaire au plan de la bobine. Ce champ s’ajoute à B HT qui est parallèle au plan de la bobine : plan bobine α
r Bo r r r Le champ total est B T = B o + B HT
r B HT
s r s L’aiguille aimantée subit un couple de torsion τ = M ∧ B qui tend à l’orienter dans le sens r B T . On a à l’équilibre : B B co B HT = 0 tg α = = o → tgα ca B HT Pour I donné, mesurez 2α ; calculez B o = µ o N I / 2R ; en déduire BHT = B 0 / tgα Calcul d’incertitude : Si on suppose les incertitudes indépendantes et aléatoires, on a (cf. réf. (4), chapitre 3) : 2
 δB   δ( tgα)  δ(B HT )  =  o  +  B HT  tgα   Bo 
δB o  δI   δR  =   +  Bo  I   R  2
Pour l'incertitude sur la mesure du courant, se reporter à la documentation du multimètre utilisé. L'incertitude sur le rayon des bobines est à évaluer. Signalez qu'on commet aussi une erreur systématique puisque toutes les bobines n'ont pas le même rayon (consultez la notice des bobines Jeulin à ce propos). On calcule le deuxième terme de la façon suivante : δ(tgα ) = →
δ( tgα ) 1 δα δα 2δα = = = 2 tgα tgα cos α sin α cos α sin 2α
d ( tgα ) δα .δα = dα cos 2 α
 δB  δ(B HT )  2δα  =  o  +   B HT  sin 2α   Bo 
Voici à titre indicatif une série de mesures : R = 16 cm N=6 I=1A BHT =
Bo µ NI 4π10 −7 x 6 x 1 = o = tg α 2 R tg α 2 x 16.10 − 2 tg 46
2α = 47 +45
α = 46°
BHT = 2,28 10-5 T
On trouve dans la littérature la valeur suivante : BHT = 2.10-5 T ; Calcul d'incertitude à faire. On peut se poser la question de savoir si l’incertitude sur l’appareillage est la cause principale d’erreur sur cette mesure … Application : Magnétomètres à aimant mobile : ces instruments permettent la mesure de champs faibles comme les anomalies du champ magnétique terrestre (cf. réf. (2), p. 72).
2.3 Etude des bobines de Helmholtz Réf. (2), p. 268-269 et 273-275 ; réf. (1), p. 227 à 235. On rappelle qu'on a des bobines de Helmholtz uniquement dans le cas où elles sont parallèles entre elles et distantes de R, R correspondant au rayon des bobines. Si ces deux bobines sont parcourues par le même courant (même intensité, même sens), leurs champs magnétiques s’ajoutent : x O Bobine (1)
⇒ B = B1 + B2 Bobine (2)
On peut reprendre pour chaque bobine l’expression de B(x) donnée en début de chapitre en effectuant un changement de variable pour la bobine (2) puisque « son origine » est décalée par rapport à la bobine (1) : 2 µo N I   x   B1 (x) = 1 +    2 R   R  
2 µo N I   x − R   B 2 (x) = 1 +    2 R   R  
On peut calculer le champ en deux points particuliers : - au milieu des bobines : B(R/2) = B1(R/2) + B2(R/2) =
µo N I 5 5 R 8
 42 µ NI - au centre des bobines : B(0) = B1(0) + B2(0) =   o = B(R) R 5
Manipulation : Ajustez la distance entre les bobines à R. Branchez les bobines en série de façon à ce que les champs s’ajoutent (on peut le vérifier en mesurant le champ axial au milieu des bobines ; il est nul si les bobines sont branchées dans le mauvais sens). Voici à titre indicatif une série de mesures effectuées avec le même courant qu’auparavant (5 ampères) : 228
première bobine deuxième bobine 7 B1 B2 B1 + B2 mesures
Intérêt des bobines de Helmholtz : Cette disposition permet la production d’un champ magnétique ≅ constant dans une région assez grande (application → mesure du rapport e/m de l’électron). A cet égard, on peut avantageusement compléter cette étude par celle de l’évolution du champ magnétique dans la direction perpendiculaire à l’axe x (cf. réf. (2) p. 273). On peut aussi faire des mesures en différents endroits et quantifier la zone spatiale dans laquelle on peut considérer que le champ est constant avec un % de variation admissible.
III CHAMP CREE PAR UN ELECTRO-AIMANT 3.1 Théorie On se propose d'étudier le champ dans l'entrefer. On considère un électro-aimant à pièces plates. On appelle I le courant circulant dans le bobinage, ℓ la longueur du circuit magnétique et e celle de l'entrefer : NI
longueur de fer ℓ e S r r Théorème d'ampère : ∫ H.d l = Σ I Dans l’entrefer : Be = µoHe Dans le fer : Bf = µoµrHf r r Or φ = ∫∫ B. d S = BS = cte
Hf l +He e = NI ⇔ hypothèse (1)
B Bf l + e e = NI µ oµ r µo
⇔ hypothèse (2)
⇒ BfSf = BeSe 229
Si l’épaisseur de l’entrefer est petite, la section de l’entrefer reste un tube de flux pour B. Cette surface étant ici la même que celle du circuit magnétique, on a par conséquent Bf = Be
 l e  ⇒  + B = NI  µo µr µo 
NI  l e   +   µo µ r µo 
Remarque : Le calcul est fait avec des hypothèses simplificatrices. L’hypothèse (1) suppose v r r r H ⁄⁄ l , B ⁄⁄ S ce qui est discutable aux coudes de l’électroaimant. L’hypothèse (2) φ = cte n'est valable que si les fuites magnétiques sont négligeables. On suppose aussi que la section de l’entrefer reste un tube de flux pour B ce qui est discutable si l’épaisseur est trop grande. Il faut aussi remarquer que dans l’expression Bf = µoµrHf, µr n’est pas constant mais dépend de l’excitation H. Application numérique : Supposons ℓ = 1 m, e = 3 mm, µr = 1000 et calculons la force magnétomotrice NI (cf. réf(5), p. 325) nécessaire pour réaliser dans l'entrefer un champ magnétique égal à un Tesla : B l e  1  1  NI =  +  = + 3.10−3  ≈ 3200A.tours −7  µ 0  µ r µ o  4π10  1000  S’il n'y avait pas d'entrefer, le terme en e disparaissant de la formule, il suffirait de NI = 795 A.tours → un entrefer, même peu large, entraîne un accroissement très important de la force magnétomotrice nécessaire pour réaliser un champ magnétique donné.
3.2 Manipulation On propose de vérifier la relation B = µ o NI / e si e >> l / µ r A Rennes, on peut utiliser le gros électroaimant gris (N≅ 1200 spires) ou un électroaimant réalisé à l’aide d’une carcasse de transformateur Leybold et deux bobines de 500 spires en série (attention aux courants qu’elles peuvent supporter !). La deuxième solution est préférable car on peut comparer la valeur de la pente mesurée au facteur µ o N / e . Réalisez une série de mesures avec un entrefer de 1,5 - 2 cm (il faut une épaisseur e pas trop petite pour avoir e >> l / µ r et pas trop grande pour avoir Bf = Be). Voici à titre indicatif le résultat d’une série de mesures : Champ en fonction du courant dans l'entrefer 0,80 0,70
Champ (T)
0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00 -0,10
Pour mesurer B, utilisez le Teslamètre Phywe. On peut aussi utiliser le fluxmètre électronique car comme ici les champs sont forts, on peut utiliser un produit RC assez grand (R = 100 kΩ, C = 10 µF par exemple) → les dérives du montage ne sont pas très gênantes. La mesure du courant doit être faite avec précautions pour ne pas risquer de détruire l’ampèremètre. Pour ne pas prendre de risque, utilisez un multimètre possédant un calibre 20 A et disposant d’un fusible de sécurité (les appareils bas de gamme n’en disposent pas en général sur le calibre le plus élevé ; dans ce cas, l’appareil porte la mention « UNFUSED » en général). Analyse : Lorsque le courant n'est pas trop fort, µr est grand (cf. courbe de première aimantation) et l'hypothèse e>> µr est assez bien vérifiée ; on a donc une droite. Pour des intensités plus fortes, la valeur de µr diminue et l'hypothèse est de moins en moins bien vérifiée. En admettant qu'on puisse atteindre la saturation complète du matériau ferromagnétique, la courbe B = f(H) finirait par évoluer avec une pente µ0. Exploitation : Faire une régression linéaire sur la première partie de la courbe ; en déduire une estimation du nombre de spires N du bobinage de l'électroaimant.
IV MESURE D'UN CHAMP ALTERNATIF AU SEIN D'UN MATERIAU FERROMAGNETIQUE Se reporter au § 7.3 pour plus de précision.
V MILIEUX MAGNETIQUES 5.1 Introduction Toute matière mise en présence d’un champ magnétique r H subit un effet plus ou moins important de la part de champ. On appelle cet effet l’aimantation. D’un point de vue des équations, on décrit ce phénomène par le champ r d’aimantation volumique M . Lorsque le milieu est linéaire, homogène et isotrope, on relie r r M au champ H par la relation : r r M = χm H χm est appelée susceptibilité magnétique.
r L’aimantation induite par H s’ajoute à lui → le champ global n’est donc plus le même qu’en r r r l’absence de matière. Le champ magnétique global est noté B . Il est relié à M et H par la relation : r r r B = µ0 H + M
r H est souvent appelée excitation magnétique car elle est directement reliée aux courants d’excitation imposés ou aux sources de champ extérieures au système étudié. C’est le champ r magnétique qu’il y aurait en absence de matière. B , quant à lui, correspond au champ compte r r tenu de la réponse de la matière. La relation B = µ 0 H dans le vide n’est donc plus valable en présence de matière. On la remplace par : r r r B = µ H = µ 0µ r H
On peut alors exprimer la perméabilité magnétique à partir de la susceptibilité magnétique en combinant les trois relations précédentes : µ = µ 0 (1 + χ m ) = µ 0 .µ r Avec µ r = 1 + χ m Les milieux matériels se caractérisent donc d’un point de vue magnétique par la valeur de χm, µ ou µr. Pour certains milieux, ces grandeurs sont des constantes positives ou négatives. Leur valeur peut être plus ou moins importante et peut dépendre de la température. Dans d’autres matériaux, ces grandeurs peuvent dépendre de la valeur du champ excitateur ainsi que de l’histoire du matériau. Il existe aussi des matériaux pour lesquels ces grandeurs dépendent du point considéré (milieux inhomogènes) ou de la direction du champ excitateur (milieux anisotropes). Dans ce dernier cas, la relation entre l’aimantation et l’excitation magnétique est tensorielle.
5.2 Action d'un champ B non uniforme sur différentes substances Cette action permet de mettre en évidence les trois grands types de comportement qu’ont les matériaux vis à vis d’un champ magnétique et de les classer en trois familles : diamagnétiques (χ négatif, faible), paramagnétiques (χ positif, plus grand) et ferromagnétiques (χ positif, nettement plus important). Placée dans un champ inhomogène B, une substance magnétique subit la force (cf. réf. (6), p.131) : χ F=( gradB 2 ).τ Où τ est le volume de la substance. 2µ 0 Cette expression montre que les matériaux diamagnétiques seront attirés vers les champs magnétiques décroissants puisque pour eux, χ est négatif. Les composés para et ferromagnétiques (χ positif) seront eux attirés vers les champs croissants. L’action d'un champ magnétique non uniforme constitue donc un moyen de distinguer ces trois types de substance, la distinction para-ferro se faisant sur la différence d'intensité dans la réponse. Montage : Réf. (2), p. 140 Ajustez l'entrefer au minimum. Branchez les bobines (prendre celles pouvant supporter 8 A ; elles sont noires) en série de façon à ce que leur champ s'ajoute. Ne pas tenir les échantillons à la main mais avec le dispositif adapté. On utilise classiquement les échantillons suivants : Bismuth (dia) → orientation ⊥ lignes de champ Aluminium (para) → orientation // lignes de champ Nickel (ferro) → orientation // lignes B même avec champ rémanent
500 spires
Alimentation 30V 10 A
Placez un a un les différents échantillons dans l’entrefer en les orientant à 45° de l’axe de l’entrefer à l’aide de la vis de suspension (soignez particulièrement la position des échantillons dia et para). Attendre qu’ils se stabilisent. Allumez l’alimentation et imposez un courant continu d’au moins 8 A. Observez le comportement de l’échantillon. Dès l'observation faite, arrêtez le courant progressivement ! On conseille d’utiliser une caméra vidéo ou de poser le transformateur à plat sur un rétroprojecteur pour que l’expérience soit visible par tous. Explication : De part et d'autre de l'axe de l'électro-aimant, gradB 2 est négatif lorsqu'on s'en éloigne. Pour les échantillons para et ferro, χ est positif → la force à laquelle est soumise l'échantillon dès qu'il est hors de l'axe de l'électro-aimant sera dirigée vers cet axe. Il sera donc soumis à un couple de forces ayant tendance à le ramener vers l'axe de l'électro-aimant. Pour les échantillons dia, χ est négatif → La force est dirigée dans l'autre sens → Le couple de force aura alors tendance à orienter l'échantillon suivant un axe perpendiculaire à celui de l'électro-aimant. Remarques : Pour les para et les diamagnétiques, la force mise en jeu est très faible → l'expérience n'est pas démonstrative si on tient les échantillons à la main. L'expérience avec les diamagnétiques est la plus délicate car c'est là où la force est la plus faible (prendre un grand fil sans torsion). Une variante de l’expérience précédente consiste à remplacer une pièce tronconique par une pièce polaire plate : l’échantillon paramagnétique a alors tendance à se diriger vers la partie pointue de la pièce tronconique ( gradB 2 fort) alors que l’échantillon diamagnétique a tendance à s’en écarter, voire se diriger vers la pièce plate (zones à gradB 2 plus faible). Avec cette méthode, les effets sont plus forts et la manipulation est plus simple. La moindre impureté peut profondément changer le comportement d’un composé diamagnétique. A titre d'exemple, le cuivre, normalement diamagnétique, est très souvent paramagnétique en pratique du fait de l'oxydation. Les dispositifs permettant de visualiser les lignes de champ magnétique sont une application de cette expérience. A votre avis, quelle est la nature des aiguilles ? On peut montrer les lignes de champ de l’électro-aimant.
VI MILIEUX PARAMAGNETIQUES 6.1 Mise en évidence du paramagnétisme du dioxygène Il est relativement aisé d’obtenir du dioxygène à l’état liquide. La température de liquéfaction du dioxygène étant plus élevée que celle du diazote (-183°C pour O2, -196°C pour N2), il suffit de laisser un tube à essai vide plongé dans de l'azote liquide pendant environ 15 minutes pour en condenser. Le Dewar doit être assez plein pour que le tube, tout en trempant bien dans l'azote ait son extrémité proche du haut du Dewar, sinon l'atmosphère est constituée essentiellement d'azote au-dessus du tube et la condensation de O2 se fait mal. Manipulation : Le but est de montrer la lévitation du dioxygène dans l'entrefer → reprendre le montage du § 5.2 et redressez-le. Faire une image de l'entrefer sur un écran, refroidir les pièces polaires à l'azote liquide puis faire couler du dioxygène le long d'une des 233
pièces polaires, l'électro-aimant étant alimenté. Observez. Verser du diazote permet de refroidir un peu les pôles de l'électro-aimant pour retarder la vaporisation de O2 et pour montrer que le diazote n'est pas paramagnétique ; ce dernier point permet de justifier que le liquide en suspension est bien du dioxygène.
6.2 Mesure de la susceptibilité de FeCl3 On fait cette mesure sur une solution concentrée de FeCl3 en utilisant la méthode de Quincke (cf. réf. (5), p. 295). Manipulation : Réf. (2), p. 341 Remplir le tube coudé (∅INT = 7 mm) avec la solution de FeCl3 à l’aide d’une seringue. Prendre le gros électro-aimant avec les pièces tronconiques (prendre un écartement des pôles assez faible mais sans risque de casse pour le tube). Testez l'électroaimant en charge avant de placer le tube !
pièces polaires électroaimant
Placez la surface libre du liquide légèrement en dessous du milieu des pôles. Mesurez la dénivellation produite par un champ magnétique en projetant sur un écran la branche située hors de l'entrefer, sur laquelle a été accolée une règle transparente. Attention à la définition de h ! Mesurez à la suite la valeur du champ magnétique dans l'entrefer. Exploitation : Soit p la pression hydrostatique en un point du fluide, ρsol sa masse volumique et g le champ de pesanteur. A l'équilibre, la somme des densités volumiques des forces (de pression, de gravitation et magnétique ici) auxquelles est soumis un petit élément de volume doit être localement nulle ; d'ou (cf. réf. (6), p. 134) : 1 − gradp + ρ sol g + χ sol grad B 2 = 0 2µ 0 En notant que g = − grad(gz ) , l'intégration de cette expression dans le fluide (ou ρ = cte) conduit à : 1 p + ρ sol g z − χ sol B 2 = cte 2µ0 En l'absence de champ magnétique, cette relation exprime la loi fondamentale de l'hydrostatique. Si on exprime cette relation aux points A et C des surfaces libres, on trouve (pA et pC étant identiques) : 1 ρ sol g (z A − z C ) = χ sol (B 2A − B C2 ) 2µ0 En notant h la dénivelée et en supposant que Bc = 0, on obtient finalement la formule classique : χ sol h= B 2A 2 µ 0 ρ sol g
On calcule à partir de χsol, la susceptibilité de FeCl3 pur en appliquant une loi approchée d'additivité des moments magnétiques (loi de Wiedman) ; cela suppose que les moments magnétiques n’interagissent pas. En faisant intervenir les masses volumiques et en 234
considérant des moments magnétiques par unité de volume (puisqu'on a considéré des densités volumiques de forces pour obtenir l'expression de la dénivellation), on obtient alors :
ρ SOL
ρ FeCl
M FeCl3 +
Puisque M = χ H , on trouve en divisant l'expression précédente par H le résultat suivant : m FeCl3 m SOL m χ SOL = χ FeCl3 + EAU χ EAU ρ SOL ρ FeCl3 ρ EAU En pratique, vérifiez que le rôle de l'eau est négligeable en mesurant la déviation obtenue avec un tube identique contenant de l'eau pure. On a alors :
χ SOL ≈
χ FeCl
χ FeCl = 3
ρ FeCl ρ SOL ×
χ SOL
ρFeCl3 = 2900 kg.m −3 Pour le corps pur (cf. Handbook, p. B-98) χ FeCl3 ≈ 3.10− 3 SI Influence de la température : Le paramagnétisme correspond à l'orientation de dipôles magnétiques permanents dans le sens du champ appliqué ; c'est donc un phénomène qui dépend de la température au contraire du diamagnétisme qui résulte d'un phénomène intraatomique. On peut montrer cet effet sur FeCl3 en le chauffant lorsqu'il est soumis à l'influence du champ B : le niveau doit diminuer dans la partie du tube soumise au champ.
VII MILIEUX FERROMAGNETIQUES 7.1 Expérience qualitative Réf. (2), p. 113 I = 0 : La boussole s'oriente dans le champ magnétique terrestre (s’il n'y a aucune source de champ parasite). Placez alors la bobine perpendiculairement à la boussole comme l'indique le schéma
1–2A Self de puissance avec noyau amovible
BOUSSOLE 10 - 20 cm
I ≠ 0 : Sans noyau → déviation faible Avec noyau → déviation forte dans le même sens Analyse : Le sens de la déviation étant le même dans les deux cas, l’aimantation induite est dans le sens de l'excitation magnétique. La déviation est forte → l’aimantation induite semble 235
importante. On doit donc s’attendre à des valeurs importantes de µr pour ce type de matériaux. La manipulation suivante permet de préciser ce point.
7.2 Courbe de première aimantation Cette courbe représente l’évolution de B ou de M en fonction de H. Le montage proposé permet de tracer la courbe B = f(H). Notez que la courbe M = f(H) peut s’en déduire à partir de la relation B = µ0(H + M). 7.2.1 Principe du montage Réf. (2), p. 185 C
Le milieu magnétique est le fer du transformateur : Transformateur
VX On a VX = R1I1 où I est l'intensité dans le primaire. D'après le théorème d'ampère, on a r H ∫ .dl = ΣI = N1I1 si on néglige I2 par rapport à I1 (R grand). Soit ℓ la longueur totale du circuit magnétique, on a :
H = N1VX / ( R1l )
La tension VX est donc proportionnelle à H.
Au secondaire du transformateur, on a la tension VY = − dΦ / dt = − N 2SdB / dt où S est la surface de la section du fer. Pour avoir accès à B, il suffit d’intégrer cette tension ; c’est le rôle du montage à amplificateur opérationnel déjà vu lors de l’étude du fluxmètre. On a donc (cf. § 1.2.1) : VY = − N 2 SB / (R 2 C ) La tension VY est donc proportionnelle à B. 7.2.2 Manipulation Attention, il faut désaimanter le matériau avant de tracer la courbe ! Pour ce faire, le plus simple consiste à utiliser une alimentation alternative pour décrire des cycles d'hystérésis d'amplitude décroissante jusqu'à zéro. K
Désaimantation : Transfo Leybold N1 = 500 sp N2 = 250 sp
VX Alternostat
R1 : rhéostat 10 Ω 236
R1 R2 : 100 kΩ
C : 5µF
AO : 081
La désaimantation devra être effectuée après chaque utilisation du montage. Il faut donc deux sources différentes pour cette manipulation. L’intégrateur étant sensible à la dérive, il faut aussi la compenser (procéder de la même façon que pour le fluxmètre ; cf. 1.2.2). On placera enfin un interrupteur aux bornes du condensateur pour remettre l’intégrateur à zéro avant l’enregistrement de la courbe de première aimantation. K
Courbe de première aimantation : Transfo Leybold N1 = 500 sp N2 = 250 sp
U : alimentation continue JEULIN EVOLUTION R30 (30 V 5 A).
Enregistrement : Enregistrez la courbe de première aimantation sur la table traçante IF 3400 (X : ≈ 1V/cm, Y: ≈ 50 mV/cm). N'ouvrir l'interrupteur K qu'au moment de l'enregistrement. On obtient une courbe dont l'allure générale est la suivante : B
B = µ0(H + MSAT) µmax
µ0MSAT
H (A.m-1) µ0H (T)
Déduire de la courbe un encadrement de µ puis de µr (attention aux conversions d'échelles). Estimez la valeur de l’aimantation à saturation (on peut se poser la question de savoir si la saturation est effectivement atteinte). Ramenez progressivement l’alimentation à zéro avant d’arrêter l’enregistrement. Cette deuxième partie de la courbe servira au § suivant. Analyse : Bien que la fonction B = f(H) ne soit pas linéaire, il est toujours possible de définir la perméabilité relative par la relation B = µ.H. La valeur de µ dépend alors fortement de la valeur de H. Il faut bien remarquer à ce propos que la relation entre B et H ne peut s’exprimer à l’aide d’une fonction analytique résultant de considérations théoriques. L’allure de la courbe dépend du matériau utilisé, des dimensions de l’échantillon et des caractéristiques des bobines employées. Elle présente trois parties distinctes : Pour de faibles valeurs de l’excitation H, le champ croit linéairement (déplacement réversible des parois de Bloch). Pour une excitation U plus forte, le champ B croit plus vite que précédemment (début du déplacement irréversible des parois de Bloch). La zone des fortes excitations fait apparaître pour B une tendance à la saturation : lorsque tous les domaines sont orientés dans le sens de H, le champ B continue à croître avec une pente µ0 comme dans le vide. 237
Conclusion : L’aimantation que peuvent prendre les composés ferromagnétiques est effectivement importante surtout en comparaison avec celle des matériaux dia et para. Ceci explique le renforcement notable du champ provoqué par le matériau ferromagnétique dans l’expérience du § 7.1. Cette forte perméabilité a aussi une autre conséquence qui est la canalisation des lignes de champ. L’expérience qui suit permet une mise en évidence du phénomène : bobine
pastille ferromagnétique
Prendre le solénoïde de 14 spires encastré dans une plaque de Plexiglas ; saupoudrez sur cette plaque de la très fine limaille de fer (bouteille B41). Saupoudrez là d'assez haut pour qu'elle se répartisse de façon la plus homogène possible. Placez le solénoïde sur le rétroprojecteur ; en faire son image sur un écran. Envoyez un courant d'environ 10 A avec l'alimentation ELC AL 924 A et visualisez les lignes de champ (dédoubler les cordons d'alimentation pour plus de sûreté). Placez ensuite un matériau ferromagnétique au bord du solénoïde et observez l'évolution des lignes de champ → Un matériau ferromagnétique de part sa perméabilité canalise les lignes de champ (cf. réf. (5), p. 304 pour plus d’explication).
7.3 Phénomène d'hystérésis Ce phénomène s’est manifesté lors du tracé de la courbe de première aimantation : la courbe tracée lors de la remise à zéro de l’alimentation ne se superpose pas à la courbe obtenue lors de la montée en tension → l’aimantation dépend donc de l’histoire du matériau. 7.3.1 Tracé du cycle d’hystérésis On peut très bien reprendre le montage précédent si on le souhaite. On propose ici une variante plus simple à mettre en œuvre mais ne fonctionnant qu’en alternatif → on conseille ce montage si on ne s’intéresse qu’au phénomène d’hystérésis. Montage : Réf. (2), p. 491 Transfo Leybold N1 = 500 sp ; N2 = 250 sp
C VX alternostat
R1 : rhéostat 10 Ω R' : AOIP × 100 kΩ C : 10 µF non électrochimique Le rhéostat R1 sert à la mesure de H (cf. § 7.2.1) : H = N1VX / ( R1l ) 238
Au secondaire, on a encore la tension V2 = dΦ / dt = N 2SdB / dt . Pour avoir accès à B, on intègre cette foi ci la tension au moyen d’un simple circuit RC. On a en effet à tout instant : V2 = R 2 I 2 +
1 I 2 dt ≈ R 2 I 2 C∫
Puisque ici R 2 〉〉
1 (le vérifier !) Cω
On peut alors écrire que I 2 ≈ V2 / R 2 et en déduire la tension aux bornes de C ; on trouve alors : N S 1 V VY ≈ ∫ 2 dt ≈ 2 B La tension mesurée en Y est donc proportionnelle à B C R2 R 2C Remarque : Pour que les formules soient valables, il faut i faible → R2 grand → il faut alors prendre C grand pour que Vs soit mesurable. Observation : Suivant la tension appliquée on obtient différentes courbes dont l'allure générale est la suivante : B
Une fois arrivée à saturation, la courbe ne décrit pas le même chemin lorsque H diminue. Pour une intensité donnée, le champ B est plus fort qu’auparavant. Ce retard à la désaimantation est l’hystérésis magnétique. Ce phénomène est typique des matériaux ferromagnétiques et c’est d’ailleurs grâce à lui que l’on peut avoir des aimants permanents.
BSAT BREM
Mesurez sur cette courbe le champ à saturation BSAT, le champ rémanent BREM et l'excitation coercitive HC. Les tôles de transformateur sont faites avec des aciers au silicium (voir «Handbook» à «transformer steels permeability» ou réf. (6), p. 183). Comparez BSAT et HC aux valeurs données pour des aciers moyens. Il ne faut pas s’attendre à des valeurs proches car on ne connaît pas la composition exacte des tôles de transformateur. A faible excitation, le cycle se rapproche d'une droite dont la pente conduit directement à µr min. On peut aussi estimer les pertes par hystérésis en mesurant l'aire de la courbe ; on évalue cette surface en la divisant en petits carreaux de dimensions connues (tenir compte des facteurs d'échelle) et en mesurant leur nombre. On peut en déduire la puissance perdue par le transformateur : PH(watt) = Scycle × 50 Hz × Sl (volume du matériau magnétique) La mesure n’est pas très précise sur un oscilloscope. Il serait tentant de tracer cette courbe sur Synchronie pour mieux l’exploiter mais l’affaire n’est pas aussi simple. Remarque : En prenant le nombre de spires proposé ci-dessus, vous devez constater que la saturation n'est pas atteinte. Pour l'avoir, divisez par 2 le nombre de spires au primaire (point 239
milieu de la bobine). Pourquoi a-t-on cet effet ? Dans le même esprit, observez l'allure du courant au primaire lorsqu'on applique un signal fort. Interprétez. Rajoutez un petit entrefer dans le transfo à l'aide de la cale prévue à cet effet. Que se passe-t-il au niveau de I1 et du cycle d'hystérésis pour une même tension au primaire ? 7.3.2 Ferromagnétiques "doux" et "durs" Pour les comparer, il faudrait refaire l’expérience précédente en remplaçant le noyau du transformateur par un matériau dur Les carcasses de transformateur en ferro « dur » n’existant pas (pourquoi à votre avis ?), on se contentera ici d'une observation qualitative. Reprendre le montage du § précédent, remplacez la branche supérieure du noyau du transformateur par le bout de carcasse bleu noté « acier dur » et visualisez la figure d’hystérésis sur un oscilloscope (alternostat à 50 % par exemple). Sa section n’étant pas la même que la branche d’origine, revisualisez la figure du transformateur de départ en prenant une même section pour la partie supérieure et comparez. Comparaison : - les matériaux ferromagnétiques "doux" sont caractérisés par une faible excitation coercitive ; leur aimantation peut donc être facilement modifiée ce qui diminue d'autant les pertes par hystérésis. Ils possèdent en général une forte perméabilité. Ces matériaux seront donc utilisés dans les nombreux appareils ou le champ magnétique varie (transfo, électro-aimant, relais …) car minimiser les pertes est alors essentiel. - les matériaux ferromagnétiques "durs" sont caractérisés par un fort champ coercitif ; leur magnétisme rémanent est alors assez difficile à supprimer. Ces matériaux sont donc utilisés pour faire des aimants permanents. Les pertes par hystérésis qu’ils présentent les rendent inaptes à l’utilisation dans les transformateurs. Remarque : En fait, le matériau constituant la carcasse bleue est loin d’être aussi dur que cela (on peut facilement avoir un facteur 1000 ou 10000 entre les deux types de matériau). Il permet cependant de montrer des différences → la qualification de «dur» pour ce matériau est à nuancer. On peut aussi utiliser un bloc d’acier à la place mais l’interprétation est délicate car il n’est pas feuilleté → les pertes ne sont pas les mêmes.
7.4 Expérience de Barkhausen Réf. (2), p.188 ; réf. (7), p. 491 L’hystérésis magnétique des matériaux ferromagnétiques est une conséquence de l’irréversibilité du déplacement des parois entre domaines d’aimantation uniforme (le déplacement d’une paroi nécessitant de l’énergie). Le déplacement discontinu des parois peut être mis en évidence par l’expérience de Barkhausen. Manipulation : A
ampli de puissance MATELCO
A : aimant Ticonal en U B : bobine cylindrique (nombre de spires pas trop important) avec un noyau ferromagnétique
Ampli de puissance : gain préampli → 100 (le mettre à 1 lorsque vous débranchez l’entrée !) Déplacez dans un premier temps l’aimant à proximité de la bobine sans son noyau ; ajuster alors le gain des graves pour éliminer le bruit de ronflement et les mouvements de la membrane dus aux phénomènes d’induction que l’on provoque en bougeant l’aimant. Refaire la même manipulation en plaçant le noyau ferromagnétique dans la bobine et jouer sur le filtre des aigus jusqu’à entendre des petits crépitements. C’est la manifestation du déplacement des parois de Bloch. Analyse : On provoque des variations d’aimantation dans le noyau ferromagnétique en déplaçant l’aimant permanent. Ces variations d’aimantation provoquent l’apparition de fém induites dans la bobine. Ce sont ces fém que l’on entend après amplification. Le son perçu ne varie pas de façon continue. Le crépitement que l’on entend est dû à l’aspect irrégulier et aléatoire du déplacement des parois de Bloch dans le matériau qui génère des fém induites très brève (impulsions électriques) → le son est haché.
7.5 Influence de la température Lorsqu’on augmente la température d’un matériau ferromagnétique, son aimantation décroît. Le ferromagnétisme disparaît au-dessus d’une certaine température TC (température de Curie), variable selon les corps. Ils deviennent alors paramagnétiques. On peut le mettre en évidence en montrant la transition Ferro-Para du fer. Cette manipulation importante car elle montre que le ferromagnétisme et le paramagnétisme sont liés. Manipulation : Réf. (8), p. 326 Réf. (9), p. 215 Fil en acier
On se contente ici d’une manipulation qualitative car on ne dispose pas d’un système de chauffage suffisamment puissant. On observe donc le comportement d’un clou en fer mis en présence d’un aimant lorsqu’on le chauffe.
Coupelle réfractaire Aimant
Camping-gaz !
Analyse : T < 770°C le fer est ferromagnétique ; les moments magnétiques sont ordonnés en domaines ⇒ la susceptibilité χ est forte. T = 770°C transition ferro-para : l’agitation thermique «casse» les domaines. r T > 770°C le fer est paramagnétique ⇒ les moments magnétiques µ des atomes sont désordonnés en l'absence de champ magnétique. En présence d'un champ, ils s'orientent r r de façon à minimiser l'énergie potentielle d'interaction U = − µ ..B compte tenu de l'agitation thermique ⇒ χ ≅ 1000 fois plus faible ⇒ aimantation plus faible.
VIII COMPORTEMENT MAGNETIQUE D’UN SUPRACONDUCTEUR La caractéristique la plus connue des supraconducteurs est le fait que la résistivité de ces matériaux est nulle au dessous d’une certaine température critique TC. Il en résulte que le champ électrique est nul dans le matériau. Ce que l’on sait moins en général, c'est que le champ magnétique B est également nul dans le matériau supraconducteur, ce qui en fait un matériau diamagnétique pur : il est impossible de faire pénétrer un champ d'inductance magnétique dans le volume d'un supraconducteur. Le matériau peut donc constituer un écran magnétique parfait. Ces caractéristiques entraînent des propriétés étonnantes. L’une des propriétés la plus spectaculaire de la supraconductivité est la lévitation d’un aimant au-dessus de la surface d’un matériau maintenu à une température inférieure à la température TC.
8.1 Manipulation Utilisez le matériel spécifique Leybold ; manipulez le supra et l’aimant avec précautions car ils sont fragiles ! aimant
Versez de l’azote liquide dans le récipient jusqu’à ce que le niveau affleure l’échantillon supraconducteur. Posez l’aimant sur le supra ; il se met à léviter lorsque la température du supra est suffisamment basse. Si on laisse l’azote s’évaporer suffisamment longtemps, la lévitation disparaît. L’échantillon n’est plus assez froid. On met ainsi en évidence l’existence d’une température critique au-dessus de laquelle l’état supraconducteur disparaît. On pourrait être tenté de mesurer l’évolution de la résistance de l’échantillon en cours de manipulation. Malheureusement, cette résistance est déjà assez faible à température ambiante (mesurez là avec le Keithley 199 par la méthode 4 fils) et il faut un dispositif adapté (présent à l’oral) à la mesure de très faibles résistances pour que la manipulation soit probante.
8.2 Explications Réf. (7), chapitre 27 Comme on l’a signalé, un supraconducteur a pour propriété essentielle la répulsion des lignes de champ à l’extérieur du matériau (effet Meissner) : r B int = 0 → 8.2.1 Première conséquence La relation de continuité de la composante normale du champ magnétique B à la traversée d’une interface est donnée dans le cas général r r r par la relation n ext . B ext − B int = 0 .Dans le cas d’un supraconducteur, elle devient :
r r n ext .B ext = 0
r B int = 0
⇒ Les lignes de champ à l’extérieur du matériau sont tangentes à sa surface. 8.2.2 Mise en présence avec un champ magnétique En présence d’un 242
r r champ extérieur B 0 , le supraconducteur réagit en créant un champ B C permettant de réaliser r la condition B int = 0 . On a donc : r r uur ur r B0 + BC int = 0 Soit B C int = − B 0 Pour ce faire, des courants surfaciques prennent naissance à la surface du matériau (dans un supra, les courants volumiques sont nuls – cf. réf. (7), p. 512). L’expression de ces courants s’obtient à partir de la relation de discontinuité de la composante tangentielle de B à r r r r l’interface supra-milieu extérieur : n ext ∧ B ext − B int = µ 0 J S r r r n ext ∧ B ext ⇒ JS = µ0 r r Le produit vectoriel n ext ∧ B ext correspond à la composante tangentielle du champ ; c’est en accord avec le caractère surfacique des courants.
8.2.3 Conséquence sur l’aimant L’aimant, de forme cylindrique, est aimanté perpendiculairement aux surfaces circulaires. Il est équivalent, comme source de champ extérieur, à une boucle de courant cylindrique : r r µ B équivalent à I
r r Le moment dipolaire magnétique d’une telle boucle est µ = S . I ; le champ rayonné par un tel dipôle à l’allure suivante : r r r B ext = B µ + B C ext r Bµ r B C ext µ
r Bµ
r r B C int = − B µ
La force qui s’exerce sur l’aimant est celle que subit un dipôle magnétique dans un champ extérieur (cf. réf. (10), p. 368) : r r ∂ (B µ + B C ext ) r ∂B r ∂B z F=µ = µ ext e z = µ ez ∂z ∂z ∂z C’est cette force qui compense le poids de l’aimant. 8.2.4 Remarques - Le champ magnétique à l’intérieur du matériau r r r s’obtient toujours à partir de l’expression générale B = µ 0 H + M . Cette expression s’écrit
r r r r dans le cas d’un supraconducteur : B int = 0 = µ 0 H int + M
r r H int = − M
r r Comme M = χ m H (cf. introduction), on a par conséquent χm = - 1 et µ = µr = 0. D’un point de vue magnétique, un supraconducteur est donc un diamagnétique parfait. - Dans tout ce qui précède, on a parlé de matériau supraconducteur. Il est en fait plus juste de parler de matériaux dans l’état supraconducteur. L’état supraconducteur est, au sens thermodynamique, une phase dans lequel le matériau peut se trouver. Cet état n’est possible que si l’on respecte certaines conditions : - se situer en dessous d’une certaine température critique TC dont la valeur est caractéristique du matériau considéré. - ne pas mettre le matériau en présence d’un champ magnétique B0 trop fort. En effet, l’expérience montre qu’en appliquant un champ magnétique B0 à un matériau supraconducteur maintenu à une température inférieure à la température TC, on observe que le milieu retourne à son état normal dès que le champ est supérieur à une valeur critique BC caractéristique du matériau considéré. 8.2.5 Quelques éléments de la théorie des supraconducteurs L’explication de la supraconductivité trouve son origine dans la mécanique quantique. Supraconductivité à très basse température : L’interprétation permettant d’expliquer la supraconductivité de certains métaux à très basse température repose sur le modèle BCS parce qu'élaborée en 1957 par Bardeen, Cooper et Schrieffer (ce qui leur valut le prix Nobel en 1972). Dans un conducteur ordinaire, le courant est transmis grâce au mouvement à travers le réseau d'électrons indépendants et tous dans des états différents. Ce sont des fermions. Ce mouvement peut être facilement freiné par des processus de collisions désordonnées entre le nuage d'électrons libres et les atomes du réseau, produisant ainsi l'effet Joule. La résistance électrique diminue lorsque la température diminue parce que, dans ce cas, les atomes vibrent moins vite et sur des distances plus courtes. A température absolue nulle, la résistance d'un conducteur ne s'annule pas, car le mouvement du réseau ne s'annule pas, ce qu'explique la mécanique quantique. Il subsiste l'énergie-zéro ("zéro point energy"), qui entraîne notamment l'existence d'une résistivité résiduelle de l'ordre de 0,02 10-8 Ω.m. Or la résistivité d'un supraconducteur est inférieure à 10-25 Ω.m. La supraconductivité est attribuée au pairage d'électrons se produisant à très basse température dans certains matériaux : le courant est transporté par des ensembles formés de deux électrons qui restent en relation l'un avec l'autre via les vibrations des atomes du matériau. Toutes les paires sont dans le même état (ce sont des bosons) : c'est cette cohérence qui empêche la dissipation d'énergie lorsque ces paires sont en mouvement. Cet appariement entre électron peut s’expliquer de la façon suivante : lorsqu'un électron (négatif) se déplace à travers certains réseaux, ceux-ci (positifs) se déforment par attraction vers l'électron. Un autre électron, situé à distance adéquate, voit donc un accroissement de charges positives, ce qui l'attire et le "lie" en quelque sorte à l'électron cause de déformation. La distance entre électrons pairés, dite "longueur de cohérence", est grande par rapport aux dimensions du réseau : elle est de l'ordre de 0.1 µm alors que la distance entre ions dans le réseau est de l'ordre de 0.l nm. On en arrive dès lors à ne plus considérer le mouvement des électrons mais bien des paires d'électrons ("paires de Cooper"). La supraconductivité apparaît lorsqu'il y a synchronisation entre les vibrations des atomes du
réseau et le mouvement des paires, composées de deux électrons de spin et de moments opposés. Cette synchronisation n'est possible que dans le calme relatif existant à très basse température. Si la température augmente, l'énergie thermique rompt les liens de pairage, la synchronisation disparaît et le supraconducteur devient conducteur. Puisque le réseau contribue à la supraconductivité, il n'est pas étonnant de constater que ce ne sont pas les meilleurs conducteurs qui deviennent le plus facilement supraconducteurs. En effet, parmi les métaux supraconducteurs à très basse température, de l'ordre de quelques degrés Kelvin, on trouve notamment le mercure (c’est sur ce métal que l’effet a été découvert en 1911), l'aluminium, le plomb, le zinc et 1'étain. Par contre le cuivre, l'or et l'argent ne sont pas supraconducteurs, même à 0.1 K. Supraconductivité à plus haute température : En 1986 et 1987, A. Müller et G. Bednorz démontrent la supraconductivité à température plus élevée en faisant usage d'oxyde de terres rares dans un mélange lanthane, barium et cuivre. D'autres chercheurs obtiennent ensuite les mêmes propriétés par des oxydes d’YbaCuO. La théorie expliquant la supraconductivité à très basse température dans les métaux, ne s'applique pas telle à ce type de matériaux. Il semble que la théorie explicative nécessite un modèle, déjà esquissé par Bardeen vers 1972, basé sur des couches conductrices entre lesquelles est intercalée une couche semi-conductrice, polarisable, qui produit une attraction entre paires d'électrons dans les couches conductrices. On pourrait dire qu'un électron polarise la couche semi-conductrice, un autre électron tirant avantage de la situation, afin d'obtenir une énergie plus faible lorsque les deux électrons sont au voisinage l'un de l'autre. Les agents interactifs dans la céramique sont des électrons manquants, c'est à dire des trous, créés par des électrons absents de la bande de valence, qui s’apparient et produisent ainsi l'état supraconducteur hautement ordonné. Ce type d'attraction serait suffisamment fort pour résister aux températures élevées.
IX APPLICATIONS Il existe de très nombreuses applications possibles, les matériaux ferromagnétiques étant les plus utilisés. On en cite quelques unes mais la liste n’est pas exhaustive : Fabrication d’aimants : on utilise pour ce faire des matériaux durs. Réalisation de champs intenses dans l'air : cf. § 3.2 Applications basées sur le transformateur : De nombreuses autres applications peuvent être trouvées. Parmi les possibilités de développement, on peut citer le chauffage par induction (réf. (2), p. 491), la pince ampère métrique (réf. (2), p. 503), l'adaptation d'impédance (réf. (2), p. 501). La difficulté ici est de faire apparaître le rôle du matériau ferromagnétique. A cet égard, des expériences intéressantes peuvent être effectuées sur la pince ampère métrique. Linéarisation des coefficients d'auto-inductance : Cf. réf (2), p. 61. On développe deux idées de manipulation à titre indicatif.
9.1 Force portante d'un électro-aimant Cette manipulation est spectaculaire et illustre le principe des systèmes de levage (dans les casses par exemple). Montage : Réf. (2), p. 151
Transfo Leybold : en prendre un avec une carcasse de grande section (force portante plus importante). Le suspendre à une potence solide la tête en bas.
Alim : 30V 2A continu M = 5 kg
Alimentez les bobines de 250 spires de façon à ce que leur champ s'ajoute. Placez un multimètre (calibre 500 mA) pour mesurer le courant passant dans les bobines. M Maintenir la pièce polaire collée au reste de la carcasse du transformateur et augmentez progressivement le courant sans dépasser le courant que peut supporter le milliampèremètre jusqu'à ce que la pièce polaire reste "attachée". Diminuez ensuite progressivement le courant et estimer sa valeur minimum permettant le maintien de la pièce polaire et de la masse M. La force portante par unité de surface est donnée par la relation µ 2N2 1 suivante (cf. réf. (2)) : F = µ 0 r 2 I 2 2 l On pourrait être tenté de vérifier cette relation mais comme µr dépend de l'excitation, cela s'avère difficile → cette manip est qualitative mais spectaculaire.
9.3 Réalisation de capteurs Montage : Alimentez la première bobine (à droite sur le schéma) avec un signal sinusoïdal d'environ une centaine de Hz. Mesurez avec le Keithley 199 la tension aux bornes de la bobine exploratrice au fur et à mesure que la tige de fer à souder rentre dedans. Faire une courbe d'étalonnage. Vérifiez la reproductibilité et la sensibilité du système.
règle bobines 1000 spires tige d’acier
support à crémaillère
Bibliographie : Réf. (1) : Berty Fagot Martin : Electricité pratique, Tome I Réf. (2) : Quaranta : Dictionnaire de Physique, Tome IV Réf. (3) : Quaranta : Dictionnaire de Physique, Tome III Réf. (4) : John Taylor : Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures Physiques Réf. (5) : Fleury Mathieu : Electrostatique, Courants continus, magnétisme Réf. (6) : Bertin Faroux Renault : Electromagnétisme 4 538 C 13728 Réf. (7) : Pérez : Electromagnétisme Réf. (8) : Bruhat : Thermodynamique Réf. (9) : Quaranta : Dictionnaire de Physique, Tome II Réf. (10) : Berkeley : Tome 2 246
ANNEXE : PRINCIPE DE LA SONDE A EFFET HALL INTRODUCTION On fait passer un courant constant dans un barreau contenant des porteurs de charge (e ou trou), lequel est soumis à un champ magnétique. Il apparaît alors une d.d.p. sur les côtés latéraux que l’on mesure par un voltmètre de très haute impédance d'entrée. -
EFFET DU CHAMP MAGNETIQUE On considère ici une conduction par e- dans un barreau de dimensions a, b et c. Les électrons r circulant dans le barreau sont soumis à la B r force : I v a r r r Fmag = q v ∧ B r r r Fmag = − e v ∧B r r c = Idl∧B + + + + + + + + + + ++
Elle tend à dévier les porteurs qui s’accumulent sur la face latérale du barreau. Il se crée alors un champ électrique donc une force à laquelle vont être soumis tous les porteurs de charge du barreau : r r r Fel = q E H = N e E H
r r En régime permanent, les 2 forces se compensent : Fmag = Fel r r r V I d l ∧ B = N e . E H ⇒ I.c.B = N. e . H a VH se mesure avec un voltmètre à très haute impédance d'entrée pour qu'aucun courant latéral ne soit admis à circuler (à Rennes, prendre le Keithley 199). Remarque : S'il n’existe qu’un type de porteurs, N = concentration en porteurs de charges. On peut l’exprimer à partir de la densité de porteur n (nombre d’e- / unité de volume). Si c est l'épaisseur du barreau, on a : N = n abc V IB ⇒ I.c.B = n.a.B.c. e H D’où VH = a nb e S’il existe deux types de porteurs, la formule est plus compliquée car la mobilité des différents porteurs intervient (cf. montage semi-conducteur), mais les sondes utilisent des semi-conducteurs judicieusement dopés pour qu’à température ambiante, on n’ait à considérer qu’un seul type de porteurs. De plus, comme VH est inversement proportionnel à la concentration, l’effet Hall est plus grand dans le semi-conducteur que dans les métaux.
Report "M 15 16 MAGNETISME"

References: § 2
 § 1
 § 2
 § 7
 § 5
 § 1
 § 7
 § 7
 § 3