Source: https://es.scribd.com/document/352153646/Magneto-Estatica
Timestamp: 2019-04-22 21:56:44+00:00

Document:
Magneto Estatica
Demostracion de la estatica magnetica
Matlab. Calculo numerico ejericio resuelto
1. Evaluación Numérica de La Respuesta Dinámica
Ingeniería Civil Transición 2017 (1)
interpolaciondenewton
Como Resolver Problemas-2012
1105-46-2014-II-P1A
UAM4263
Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002
Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones
Diferenciales en Derivadas Parciales en Electromagnetismo:
Magnetoestática
Resumen: En el presente trabajo se analiza el planteo general de las
ecuaciones de Maxwell que intervienen en magnetoestática y en particular
en aplicaciones 2D. El objeto final es tomar conocimiento del estado del
arte en cuanto a las herramientas de cálculo de los esfuerzos estáticos en
los bobinados de un transformador de potencia eléctrica de múltiples
arroyamientos. Dentro de este marco se analiza el papel que juegan las
Diferencias Finitas, la forma de plantear el sistema de ecuaciones
implícitas que resuelven la ecuación elíptica de Poisson y las condiciones
de frontera de Neumann que aparecen en magnetoestática. Asimismo se
analiza la estabilidad de la solución y si existe a priori una forma de
seleccionar la grilla de cálculo. Como resultado de este análisis se intenta
contestar en primera instancia la pregunta ¿qué es lo que se usa en la
actualidad?. Como ejemplo particular se analiza una herramienta de
cálculo académica/comercial que desde el punto de vista práctico termina
contestando satisfactoriamente la motivación y objeto de este trabajo.
Las ecuaciones de Maxwell [1][2] resumen las leyes del electromagnetismo clásico.
Básicamente son ecuaciones en derivadas parciales (PDE) y en su forma mas general
involucra las tres dimensiones y el tiempo. Desde sus orígenes han surgido diversos
métodos de análisis y cálculo basados en formulaciones matemáticas de elevada
complejidad, ya sea en el dominio del tiempo o la frecuencia.
Sin embargo, con el advenimiento de las potentes computadoras y sus posibilidades de
cálculo, la resolución con métodos numéricos de las ecuaciones de Maxwell han
evolucionado explosivamente.
Como métodos por excelencia se pueden individualizar el método de los Elementos
Finitos (FE) y las Diferencias Finitas (FD). En los casos planos y en particular
estacionarios, la FE han dominado el mercado. En los casos tridimensionales, ya sea en
el dominio de las frecuencias o en el dominio del tiempo, las FD están en franca
competencia con los FE.
En particular se puede decir que el método de las FD en el dominio del tiempo
(FDTD)[3][4][5] [6] es ya un estándar. Basan su suceso en la simplicidad de
formulación. Básicamente son aproximaciones de segundo orden de las ecuaciones en
derivadas parciales en grillas desfasadas en el tiempo y en el espacio para las 2 variables
independiente del sistema electromarnético (el campo magnético B y el campo eléctrico
E). El efecto de este deslocamiento temporal y espacial permite sistemas de ecuaciones
Gonzalo Casaravilla: gcp@fing.edu.uy pag. 1 de 20
explícitos que a partir de condiciones de borde conocidas permite desarrollar los
cálculos en forma secuencial.
El estado del arte actual indica que los esfuerzos se están volcando hacia un mejor
aprovechamiento de la memoria durante el cálculo y la adopción de estrategias de
procesamiento paralelo adecuadas dada la multigrilla adoptada [4] [13].
Si nos atenemos al objeto inicial de este trabajo y se analizan, por ejemplo, los métodos
de cálculo de los esfuerzos estáticos dentro de transformadores, encontramos cuatro
métodos de cálculo. El método de Rogowski , el método de Rabins (Serie Simple de
Fourier cuyos coeficientes son funciones de Bessel y Struve), el Método de Roth (Serie
Doble de Fourier), el método de las Imágenes y finalmente el ya mencionado FE [7][8].
Queda por tanto planteada las duda de si las FD son adecuadas o no para resolver
problemas magnetoestáticos (o sus análogos electroestáticos)
Respecto a las PED que aparecen en Electromagnetismo se puede decir que son
generalmente ecuaciones Elípticas que se reducen a los tres tipos básicos de Laplace,
Poisson y Helmholtz [9][10][11] [12][13].
En cuanto a las condiciones de borde, existen casos de los tres tipos Neumann, Dirichlet
y, Mixtas [9][10][11] [12][13]. En temas magnéticos generalmente hay condiciones de
borde en las que el campo magnético es perpendicular a una determinada frontera, por
lo que la condición de borde termina siendo que alguna derivada parcial se anule
(Neumann). En cambio para casos en los que intervienen temas Eléctricos (potenciales
eléctricos), las condiciones terminan siendo imponer un valor en la frontera (Dirichlet).
Finalmente en problemas mixtos en donde queremos considerar campos magnéticos y
eléctricos aparecen naturalmente condiciones de borde mixtas.
2 Magnetoestática
Las ecuaciones de Maxwell que intervienen en temas magnetoestáticos son las
ecuaciones de Ampere y Gauss
→ ∂D
→ HIERRO BT: Baja tensión
∇ ∧ H = J+ Ampere AIRE AT: Alta tensión
∇× B = 0 Gauss Bobinado BT 1
donde Bobinado BT 2
H es la inducción magnética Bobinado AT 1
B es el campo magnético
D es el desplazamiento eléctrico Bobinado AT 2
J es la densidad de corriente eléctrica
Figura 1: Corte de un transformador de varios bobinados
El vector ∇ ∧ H es el ROTOR de H
El escalar ∇ × B = 0 es la DIVERGENCIA del campo magnético B
Gonzalo Casaravilla: gcp@fing.edu.uy pag. 2 de 20
y ) ∂x 2 ∂y 2 que es una Ecuación en Derivadas Parciales Elíptica.1. 3 de 20 . y ) 0 ∂y ∂x Por lo que se obtiene así la Ecuación de Laplace-Poisson en coordenadas cartesianas: ∂ 2 A( x. y ) + = − µ 0 J ( x. y ) r ∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇ ∧ = ∇ ∧  i− j  ∂x ∂y ∂z  ∂ y ∂x  0 0 A( x. Si J es nulo. y ) k ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y 2  2 0 ∂A( x. y ) ∂A( x.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 → ∂D Si no hay desplazamiento de cargas libres. se tiene que v r r i j k → ∂ ∂ ∂  ∂A( x.uy pag. y ) r ∂A( x. y ) ∂ 2 A( x. y ) v r r i j k → ∂ ∂ ∂  ∂ 2 A( x. como por ejemplo transformadores del tipo “Core Type” y “Shell Type” cuyo corte podría ser el que nuestra la Figura 1. y ) ∂ 2 A( x. y )  r r ∇ ∧ (∇ ∧ A) = ∇ ∧ = − +  k = µ J ( x . = 0 .edu. por lo que la ecuación de Ampere ∂t → → queda ∇ ∧ H = J → Por otra parte. la ecuación → → 1 Se puede demostrar que ∇ × (∇ ∧ A) = 0 ∀ A Gonzalo Casaravilla: gcp@fing.1 Caso particular a estudiar Desarrollando esta expresión para problemas con simetría plana (2D). de la ecuación de Gauss se tiene 1 que existe A tal que → → B =∇∧ A → → Donde A se define como el potencial vector de B → → Por otra parte en el aire se tiene que B = µ 0 J por lo tanto → → ∇ ∧ (∇ ∧ A) = µ 0 J 2. La densidad de corriente eléctrica J es un dato del problema y se determina en función de las corrientes que recorren los bobinados del transformador.
3 Diferencias finitas aplicadas a la magnetoestática Como ya se ha presentado. y ) r B = ∇ ∧ A =  i− j   ∂y ∂x  por lo que si tenemos en cuenta que el GRADIENTE de A es → ∂A( x. es perpendicular a las mismas. por lo cual se puede demostrar [1][2] a partir de las propias ecuaciones de Gauss y Ampere que el campo magnético B del lado del aire en las interfaces hierro-aire. Otras condiciones de borde como ser las de Dirichlet son de más fácil resolución y no son las que normalmente aparecen en magnetoestática. Por ejemplo. y ) r B = ∇ ∧ A =  i− j   ∂y ∂x  por lo que. 4 de 20 . resultando ∂A( x. y ) r ∇× A = i+ j+ k= i+ j ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y resulta para este caso particular que →  0 1 → B=  (∇ × A)  − 1 0 2. y ) r ∂A( x. y ) r ∂A( x. estudiaremos el caso particular de la ecuación de Poisson con condiciones de borde de Neumann en una grilla rectangular. hecho que debe ser tenido en cuenta como condición de borde en la resolución de la ecuación diferencial. Tendremos (n-2)*(m-2) ecuaciones Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. tendremos que discretizar en la grilla (n x m) de tres formas diferentes q Dentro de la grilla. Luego de calculado A. la ecuación se denomina como de Poisson.2 Condiciones de borde para nuestro caso particular Para el hierro.1.edu.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 se denomina de Laplace y para el caso de que J sea no nulo. y ) r ∂A( x.uy pag. por ejemplo. en el problema 2D planteado tenemos que r  ∂A( x. y ) By = =0 ∂x lo cual resulta en una condición de borde de Neumann. el campo magnético B se determinará de la fórmula ya vista → →  ∂A( x. y ) r ∂A( x. y ) r ∂A( x. se supone que µ=∞. Como se verá. y ) → ∂A( x. la condición de borde en una frontera vertical será que la componente vertical de campo B sea nula.
j − 2 Ai . la aproximación de las derivadas parciales de segundo orden resulta.edu. 5 de 20 . j + Ai +1.   .   S m   An. j       . j   . j +1 + = − µ 0 J ( x. por ejemplo para x ∂2 A Ai −1. Discretización dentro de la grilla Tomando como célula de cálculo la mostrada en la figura.      S=S  con S j =  Ai .Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 q En los bordes sin contar los vértices. j = + O(∆x 2 ) ∂x i . j + Ai . Si definimos el vector S como una columna de dimensión mn con las incógnitas Aij ordenados por las filas de la grilla tal como sigue  S1   A1. j − 2 Ai .y)). Por tanto se tiene un sistema de ecuaciones implícito (resultado de la forma en que se construyen las células de cálculo de diferencias finitas). Tendremos 2*(n-2)+2*(m-2) ecuaciones q En los vértices. j    Por tanto podremos ir formando la matriz Q (mn x mn) que determina el sistema de ecuaciones a resolver tal que QS = G siendo G el término independiente de la ecuación de Poisson (-µoJ(x.uy pag. j −1 − 2 Ai . j 2 ∆x 2 Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Poisson. y ) ∆x 2 ∆y 2 Esta ecuación como ya se ha establecido se puede aplicar en los [(n-2)*(m-2)] puntos interiores de la grilla resultando una serie de ecuaciones que vinculan las incógnitas A i. j + Ai +1. Tendremos 4 ecuaciones Por lo tanto tendremos (m-2)*(m-2)+2*(n-2)+2*(m-2)+4=nm ecuaciones 3. j Ai .j.   .1 Discretización dentro de la grilla j=m y j j=1 i=1 i=n i x Figura2. Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. resulta Ai −1.
...j+1 será nuevamente β y estará en la columna h=i+n(j+1-1)=k+n.n ][1.j multiplicada por α.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 Por ejemplo.0 β 0..2 de la siguiente forma ∂A ∂ 2 A ∆y 2 Ai . siendo los demás nulos.i . En resumen. En el caso de Ai+1...edu.. Luego la incógnita A i...n].. 6 de 20 ... para cada elemento interior de la grilla (i. tendremos la incógnita A i-1. el multiplicador de A i...0 α γ α 0.n ]....[1...uy pag.m    Al recorrer todos los elementos de la grilla...1 ∆y 2 Luego.j).i.j) queda definida la fila k=i+n(j- 1) en la que se calcularán los términos de la matriz Q.. la discretización según x es la misma ya vista.. En este caso podemos hacer una aproximación de primer orden del valor de A i.. por lo que en la posición h=i-1+n(j-1) de la fila k de la matriz Q tendremos dicho valor α..j que corresponde a la coordenada (k.1 2 123 =0 ∂ A 2 (Ai..j) tendremos que se definen algunos elementos de la fila k=i+n(j-1) de la matriz Q... por ejemplo...1 + . k-n k k+n [1...j-1 será β y estará en la columna h=i+n(j-1-1)=k-n y el multiplicador de Ai. para cada punto interior de la grilla (i..n]    A 1..2 − Ai.i.1 ∂y i . 3.....2 Discretización de las condiciones de borde Analicemos el caso de la frontera inferior tal como muestra la Figura 3.1              k 0......2 = Ai ... se aplica la discretización vista.k) de la matriz Q está multiplicada por γ....∆y + 2 .. Paralelamente. + O(∆y 3 ) ⇒ ∂y i ..[1.0 β 0.. se ve como se va delineando una matriz Q tridiagonal...1 i i + 1. j  = − µ 0 J (i..0  Ai .n ][1. resulta que para cada punto (i...... j )              An .1 ) ( ) = 2 + O ∆y ∂y 2 i .j estará multiplicada por α y corresponde a la columna h=i+1+n(j-1)... Para simplificar la notación definiremos 1 1 α= β = γ = -2(α + β ) ∆x 2 ∆y 2 Si observamos la discretización se puede inferir que. por lo que la ecuación de Poisson discretizada aproximada queda Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. Tal cómo fue definido S..
.....0  Ai ....1 ) +2 = − µ 0 J ( x. En este caso se puede hacer una aproximación de primer orden en x e y obteniéndose como resultado (A − A1..3 Discretización de los vértices Tomemos por ejemplo el vértice 1.1  = − µ 0 J (i. y ) = − µ 0 J (1....1 − 2 Ai .. Sm-1. 2 ∆x 2 ∆y 2 j=m y j=1 j=1 i=1 i=n x i Figura 3..n ].uy pag...1) ∆x 2 ∆y 2 que contribuye a la primer fila de Q Gonzalo Casaravilla: gcp@fing.[1.. 7 de 20 .... las filas que estaremos determinando son las filas k=2 ..1              k 0.1 + Ai +1.1 i i + 1..1    En el Apéndice 1 se puede ver como quedan y donde contribuyen en la matriz Q las otras tres condiciones de borde.......1) i..1 ) (A − A1..0 2 β 0.i ... 2 = − µ 0 J ( x...i...0 α γ α 0. q La frontera j=m a las filas interiores de Sm q La frontera i=1 a las primeras filas de S 2....1 tal como muestra la Figura 4. S3. Sm-1....Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 Ai −1...1 (A − Ai .n]   A1.....1)              An .. S3.. q La frontera i=n a las últimas filas de S 2. y ) = − µ 0 J (i.1 ) 2 2 . las filas de la matriz Q que quedan determinadas. 3.. Condiciones en la frontera j=1 Por tanto podemos determinar para los (n-2) puntos en consideración perteneciente a dicho borde..edu. (n-2) del vector S1.. Como j=1... k k+n [1..n ] [1...1 +2 1..
1     − µ 0 J i .. m  k = i + n(m − 1)   BORDE ( j = m)       Ai ..1    En el Apéndice 2 se pueden ver las contribuciones a Q de los restantes tres vértices resultando: q El vértice i=1. m     − µ 0 J1. Discretización del vértice 1. j   k = n + n( j − 1)   BORDE (i = n)      An. 2    − µ 0 J n .[1..edu.... m −1     − µ 0 J i ..... m    A  Gonzalo Casaravilla: gcp@fing..1  − µ 0 J (1. j=1 será la última fila de S 1 q El vértice i=n. m −1     − µ 0 J1.n][1..1)          n +1   BORDE (i = 1)     A1... 2   M  M   M   M  k = 1 + n ( j − 1)   BORDE (i = 1)     Ai.m    VERTICE ( n.. m        nm           − µ0 J i . .... j     0 i. m)      − µ 0 J n . j=m será la ultima fila de la matriz Q Como resumen se podría ver a que lugares de la matriz Q contribuye cada zona de la grilla   VERTICE (1... m    n ..1)              =               An . j    − µ 0 Jn. 8 de 20 ....0 2 β 0. 2     − µ 0 J1.1    − µ 0 J n .n] k = 1  γ 2α 0.. m −1   k = n + n(m − 2)   BORDE (i = n)     An . m −1   nm − n + 1   VERTICE (1..1     − µ 0 J1.. m −1     − µ 0 J n .2    2n   BORDE (i = n)     An ... m)        A1.. 2    GRILLA INTERIOR    A       k =i+n      i.1       An .n]..0 A 1..1   n  VERTICE (n..uy pag..2     − µ0 J i . j   k = i + n( j − 1)   GRILLA INTERIOR   x   A   =   −µ J        i... j=m será la primera fila de Sm q El vértice i=n..1)     A1.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 j=m y j=1 j=1 i=1 i=n i=1 x Figura 4.1 k k+n [1 2..1   1   BORDE ( j = 1)           k =i       Ai ... j          M  M   M   M  k = 1 + n( m − 2)   BORDE (i = 1)     A1..... j     − µ 0 Ji. m −1   k = i + n( m − 2)  GRILLA INTERIOR    A             i ...
y j ) = Ai( j ) = ∑ E w( j ) e siθ s = −1 w=1 El criterio de estabilidad de Von Neumann establece que secuencia de valores E debe ser monótona decreciente por lo que se debe cumplir que E w( j +1) wπ G = ( j) ≤ 1 ∀θ = Ew N Aplicando esta definición a la discretización de la ecuación de Poisson resulta E w( j ) e s (i −1)θ − 2 E w( j ) e siθ + E w( j ) e s ( i+1)θ Ew( j −1) e siθ − 2 Ew( j ) e siθ + E w( j +1) e siθ + =0 ∆x 2 ∆y 2 que dividiendo por E w( j ) e siθ resulta E w( j −1) E w( j ) E w( j +1) ( j −1) ( j +1) −2 + e − sθ −2+e + sθ E − 2E + E ( j) 2 cos θ − 2 E ( j) E ( j) E w( j ) + w w w = + w w =0 ∆x 2 E w( j ) ∆y 2 ∆x 2 ∆y 2 E w( j +1) E w( j ) Si nos atenemos a la definición de G y asumimos que ≈ resulta E w( j ) E w( j −1) 2 cos θ − 2 G −1 − 2 + G ∆y 2 + =0 ⇒ G 2 − 2(a + 1)G + 1 = 0 con a = (cosθ − 1) ∆x 2 ∆y 2 ∆x 2 Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. Para intentar contestar esta pregunta se intentará analizar si el criterio de Von Neumann responde la pregunta planteada. se concluye que esta no es la forma adecuada de resolver este problema.4 Resolución del sistema de ecuaciones tridiagonales Como ya se ha establecido. Una primera aproximación al problema sería invertir la matriz Q y así obtener S.5 Criterio de estabilidad de Von Neumann Supongamos que se puede expresar N A( xi .uy pag. 9 de 20 . Para resolver esta dificultad existen complicados métodos para resolver sistema de ecuaciones con matrices tridiagonales que no serán analizados en este trabajo. 3. y se tiene en cuenta que la inversión de matrices convencional por el método de Gauss-Jordan necesita para matrices tridiagonales aproximaciones de tercer orden [12]. Una forma podría ser aumentar el orden de la discretización.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 3. Si se considera la discretización adoptada donde dentro de la grilla se obtuvieron aproximaciones de segundo orden. pero eso hará aumentar exponencialmente el tamaño del sistema de ecuaciones a resolver. la resolución del problema pasa por obtener S a partir de la ecuación QS=G.edu. En este punto surge la pregunta: ¿ Hay alguna forma de seleccionar a priori la grilla y tener asegurada la convergencia numérica del método de diferencias finitas?.
En particular estas últimas son las mas desarrolladas contándose incluso con una función explícita para resolver la ecuación de Poisson en 2D en coordenadas rectangulares por diferencias finitas para el caso de fronteras de Dirichlet.ansoft. 10 de 20 . parabólicas o elípticas.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 La solución de la ecuación en segundo grado en G es G = a + 1 ± a (a + 2) por lo que se puede ver que no hay forma de acotar a (y por tanto los incrementos en x e y) de tal modo que el módulo de G sea siempre menor que 1 para todo w. la adopción de criterios prácticos como es el de Courant.htm Usa Diferencias Finitas (las define como avanzadas) con Interpolación Cubica.uy pag. Revisando los criterios de selección de grilla de los métodos numéricos como el FDTD.com/products/em/max2d/index. Resulta por tanto que no se puede seleccionar a priori la grilla que asegure convergencia al método de diferencias finitas para la resolución la ecuación de Poisson con discretización de segundo orden de aproximación. por el cual se selecciona una grilla que no avance más que una fracción de longitud de onda de la frecuencia mas alta presente en el fenómeno estudiado [14][15][16].com/fields.alstom. 4.crbond.cfm Usa Elementos Finitos. y posiblemente lo único que se puede hacer. resulta evidente. en particular con condiciones de borde de Neumann. 4 ¿Qué es lo que se usa en la actualidad? A los efectos de saber como se resuelven los problemas magnetoestáticos en algunas herramientas de cálculo del mercado se analizaron algunas de ellas.1 Partial Differential Equations Toolbox de Matlab Esta herramienta cuenta con un interesante conjunto de funciones que resuelven ecuaciones en derivadas parciales. 4.edu.4 Ansoft: http://www. resuelve numéricamente usando Elementos Finitos.technology. Para otros casos.3 Alston: http://www.com/en/rdpolicy/consultancy/slim Usa Elementos Finitos. 4. Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. Usa para este caso métodos de resolución numéricos combinados de transformadas de senos y resolución de sistemas tridiagonales. 4. En el Anexo 3 se muestran algunas de las potencialidades de la herramienta. ya sean hiperbólicas.2 Filds: http://www.
uy pag. su resolución numérica puede presentar problemas. En particular el criterio de estabilidad de Von Neumann no ofrece respuestas concluyentes. En problemas planos se arriba a PDE elípticas (Poisson) con condiciones de borde de Neumann. Del análisis del estado del arte actual se concluye que Difrencias Finitas son adecuadas y son utilizadas casi exclusivamente para resolver problemas electromagnéticos transitorios en los que interviene el tiempo mediante el método Diferencias Finitas en el Dominio del Tiempo. obteniéndose resultados mas que satisfactorios que terminaron contestando la motivación original de este trabajo. Respecto a como se resuelven problemas de magnetoestática (o electroestática).Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 5 Conclusiones Se han planteado las ecuaciones físicas de la magnetoestática derivadas de dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell con sus particulares condiciones de borde. Finalemente se analizararon las herramientas Matlab para la resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Se analizó como se resolvería el problema con Diferencias Finitas arribándose a la conclusión de que si bien el sistema de ecuaciones tridiagonal es relativamente sencillo de plantear.edu. Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. 11 de 20 . el método de Diferencias Finitas es el mas usado.
Dunn http://www.ccs. G. [4] A Memory-Efficient Formulation of the Finite-Difference Time-Domain Method for the Solution of Maxwell Equations. J.nersc.harvard.edu/research/2000iccad01. Sept.edu/~adunn/papers/dissertation/node31.phy.gov/~dhbailey/cs267/Lectures/Lect_11_2000. Guidry.fdtd. Bailey. IEEE Tranasactions on Microwave Theory and Thecniques. Mak S. F.htm [15] Charlie Chen. http://www.edu.html [12] Introduction to Computational Physics. Strayer. IEEE Transactions on Magnetics.harvard. R. J. A. S.A. [9] Applications of Parallel Computers.ornl. D.utexas. A. [3] Numerical Solutions of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media. ‘Generalized FDTD-ADI: An Unconditionally stable Full-Wave Maxwell´s equations.nmr.pdf [14] Modelling requirements for irregular grids http://trigrid. http://www. html [11] Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales. 12 de 20 . Kraus. J.uy/inco/cursos/numerico/mned.org/ [6] FDTD Method. http://www.pdf [10] Differential Equations.nmr.ph.ece. Nesmachnow.edu. K. July 2001.net/tgdocs/node4. Kladas etc all. 1994. Milford [2] Electromagnétics.html [13] Partial Differential Equations. R.wisc.D.uky.gov/guidry/phys594/lectures/diff_equations/pdeelliptic/pdeelliptic. Tae-Woo Lee. Portillo. Yee. IEEE Transactions on antennas and propagation. Kondylis. [8] Leakage Flux and Force Calculation on Power Transformer Winding under Short- circuit: 2D and 3D Methods based on the Theory of Images and the Finite Element Method Compared to Measurements. Fitzpatrick http://farside.fing.pdf [16] Brunel University. S. May 1966.sourceforge.mgh.html Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. Solver for VLSI Interconnect Modeling’http://vlsi. D.uy pag. M. Susan Hagness.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 6 Bibliografía [1] Fundamentos de la Teoría Electromagnética.edu/teaching/329/lectures/lectures. et all. The Finite Difference Time Domain Algorithm http://www. Azziz.edu/~adunn/papers/dissertation/node32. H. Anam. M. Reitz. A. A. [5] Finite-Difference Time-Domain Literature Database.html [7] Cálculo de las Fuerzas de Cortocircuito en Transformadores. http://csep1.edu/~douglas/Classes/cs521-s02/pde/pde.mgh. Narayanan Murugesan. UK. http://www.
m) ∆x 2 ∆y 2 por lo que quedan determinadas las filas de Q correspondientes a Sm con k de (mn-n+2) a (mn-1). m 2 123 =0 ∂ A 2 (Ai.m +2 (A i ... [1.. j 2 ∆x 2 ∆y 2 Por lo tanto podemos determinar para los (n-2) puntos en consideración de dicho borde las filas de la matriz Q.m 2 ∆y 2 Ai −1..i.n].1 i i + 1. las filas que estaremos determinando son las filas k=1+n(j-1) lo cual corresponde a las primeras filas de S 2.m + ....(− ∆y ) + 2 ... m              k = i + n(m ......1) 0. Por ejemplo para i=1..m − 2 Ai .m) resultando ∂A ∂2 A ∆y 2 Ai . con j variando de 2 a (m-1) tenemos (A − A1.......0  Ai .....edu. j ) 2.. S3...n ]   A1....0 α γ α 0.m ) = − µ 0 J ( x. + O (∆y 3 ) ⇒ ∂y i ...[1..m-1 en función de A i. j ) A1.. i=1 e i=n a la matriz Q.m ) ≈2 ⇒ ∂y i ..Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 Apéndice 1: Contribución del las fronteras j=m. y ) = − µ 0 J (1...uy pag...m  = − µ 0 J (i.m ∂y i . i=1 e i=n.. De la misma forma que se analizó j=1. 13 de 20 ..m −1 − Ai .... para la frontera j=m se discretiza igual con la salvedad que la discretización en y sufre un cambio en el orden en los subíndices (se calcula el valor de Ai. Como i=1. m    Con razonamientos similares se puede ver como quedan las filas de Q correspondientes a las condiciones de borde verticales..i .m−1 = Ai ..m + Ai +1... j + A1.. k-n k [1. m)              An.... Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. j −1 − 2 A1..m−1 − Ai . Sm-1.n ].0 2 β 0... j +1 + = − µ 0 J ( x. y ) = − µ 0 J (i.
. j )             =               An ...........1)  0..0 β 0.....1)  0.. S3. j ) An .n] [1.0 β 0. k−n k k+n [1... j +1 2 + = − µ 0 J ( x..0 A 1.. queda (A n −1...... j ) ∆x 2 ∆y 2 cual corresponde a las últimas filas de S 2..............[1... m) 2 .n] [1. y ) = − µ 0 J (1.... Sm-1. j       Apéndice 2: Contribución de los vértices restantes a la matriz Q.... m −1 − A1.n][1... j    Luego en la otra frontera i=n........... Para el vértice i=1...........n ] [1....0 γ 2α 0.......0 β 0....n] k = 1 + n(j ......edu. .... y ) = − µ 0 J (n.. m)             =               An . j  − µ 0 J (1.. [1 .... j − An...1)  0.0 β 0.m 2 ∆x 2 ∆y 2 que será la primera fila de Sm que quedará k-n k [1.n] k = 1 + n(m ..m ) +2 = − µ 0 J ( x....m  − µ 0 J (1..0 2α γ 0..... j )               =              k = n + n(j ..n]....Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 k−n k k+n [1....uy pag...n]... 14 de 20 ...n]...n].....n]   A1.0 A1. j  − µ 0 J (1.......[1.....β 0..0  An..n ] [1..m ) (A 1......[1....0 γ 2α 0..[1.....n]. j −1 − 2 An ... j=m tendremos (A − A1. j + An ...... ...m    Gonzalo Casaravilla: gcp@fing...
... 2 = − µ 0 J ( x.[1..n].......... 15 de 20 ... m −1 − An. y ) = − µ 0 J (n. m ) (A n ..1) ∆x 2 ∆y 2 que será la última fila de S1 que quedará k k+n [1 ..[1.1 − An.n].m                =            k = nm  0...edu.......0 2α γ   An .....n]   A 1......1) Finalmente tendremos el vértice i=n. j=1 tendremos (A n −1. j=m cuya discretización queda (A n −1.1 ) 2 +2 n......0  An.1 ) (A − An..m  − µ 0 J (n......n]   A1....1                =            k = n  0.....n][1. y ) = − µ 0 J ( n ... m − An.... m ) ∆x 2 ∆y 2 que será la última fila de Q que quedará sus elementos así dispuestos k-n k [1.....uy pag...n][1...1  − µ 0 J (n..... m) Gonzalo Casaravilla: gcp@fing...0 2 β 0.....Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 Luego para el vértice i=n..0 2 β 0.. m ) 2 +2 = − µ 0 J ( x....0 2α γ 0.
Llega al extremo de poderse configurarse el tipo de problema a resolver (Generic Scalar. rectángulos. etc.5))+(-1/4)*(sign(x+0. Magnetostatics. Por ejemplo supongamos que tenemos la ventana de transformador en donde hay dos arrollamientos iguales tal como muestra la figura (las figuras son las pantallas de la propia interface de PDETOOL) Supongamos que el arrollamiento 3 es atravesado por corriente entrante con una densidad de corriente tal que µoJ=1 y que el arrollamiento 2 tiene µoJ=-1 (en un transformador la integral de J en un corte de ventana debe ser nula). la mayor dificultad pasa en los casos en que J es variable con las coordenadas x e y.*(sign(y+0. Si por el contrario y más común. Generic System.5)) Notar que esta forma permitiría especificar tantos bobinados como sean necesarios. AC Power Electromagnetics.3)). Por tanto una forma de especificar J analíticamente podría ser: J=(1/4)*(sign(x+0.edu. Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. Structural Mechanics. Permite determinar diversas fronteras (círculos.3)-sign(y-0.PDETOOL Básicamente con esta herramienta se puede intentar resolver muchos problemas en 2D estáticos convencionales en donde aparecen ecuaciones en derivadas parciales.3)-sign(y-0.1)).. Electrostatics. se pueden definir las mismas y especificar cuanto vale J en cada una de ellas.5)-sign(x+0.) y para cada una de las fronteras permite seleccionar si es de tipo Dirichlet o Neumann. J es constante en ciertas regiones. elipses.y) debe ser una expresión analítica. Conductive Media DC.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 Apéndice 3: “Partial Differential Equations Toolbox de Matlab” 1. dado que la especificación de la fuente J(x. Por ejemplo para resolver un problema como el plantado en este trabajo..*(sign(y+0.1)- sign(x-0. 16 de 20 . Diffusion) cambiando la forma de pedir y mostrar los datos de entrada de acuerdo a la aplicación seleccionada. Heat Transfer.uy pag.
para la zona 2 J=-1 y para la zona J=+1. contornos de cada una o diagrama de vectores absolutos o normalizados de los campos B o H.uy pag. para este caso es más fácil especificar para la zona 1.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 Sin embargo. B. Luego la herramienta permite seleccionar la malla de los Elementos Finitos deseada.edu. pudiéndose regular la densidad de la misma. J=0. Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. en 2D ya sea A. H. Luego se obtiene el resultado buscado pudiéndose especificar que variables se desean ver. 17 de 20 .
. condiciones de borde y grillas del problema (PDETOOL exporta todas estas definiciones al entorno Matlab). se puede ver la forma de especificar las condiciones de frontera las cuales se pueden ver en la definición de la matriz b que sigue: % Boundary Condition matrix % Esto define las condiciones de borde en cada frontera % u es el potencial vector que cumple -div(grad u)=mu J con B=rot u % n .uy pag. 0 Neumann) % 3.. La forma de especificarle el problema a la función está normalizado de acuerdo a como trabaja toda la biblioteca PDE de Matlab siendo de gran ayuda el uso de la propia PDETOOL a los efectos de generar las especificaciones geométricas..cantidad de caracteres de q % 4.M (1 Dirichlet..cantidad de caracteres de g Gonzalo Casaravilla: gcp@fing.. en el mismo problema recién visto. grad(u) + qu = g (n es la normal a la superficie) % h u = r % Cada columna es para cada borde % 1.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 También dispone de herramientas de visualización en 3D ya predeterminadas de cualquiera de las variables del sistema 2. Por ejemplo. 18 de 20 .N = 1 si es una frontera % 2.edu.POISOLV Esta es la función Matlab que tiene implementada la resolución de la ecuación de Poisson en una grilla rectangular mediante diferencias finitas pero con condiciones de borde de Dirichlet.
O si es frontera % 7. % En cada columna de t están los vértices de cada triángulo % de la mesh Gonzalo Casaravilla: gcp@fing.nx.1 si es frontera g =[2.6000 -0.0000 1. % p es un par de filas con los valores x.y2 % 6. b =[1 1 1 1 % N (si es 1 es frontera) 1 1 1 1 % M (Si es 1 es Dirichlet) 1 1 1 1 % un caracter 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 48 48 % equivale al 0 48 48 48 48 49 49 49 49 % 1 de Newman pero igual r es 0..3000 -0.char equivalente del valor asignado a g % 9.. % 2.3000 -0.6000 0.6000 0 0 0 0 1.. Luego se puede ver como se especifica geométricamente la propia frontera % Por cada columna se define una recta % 1.x1 % 3. % nx y ny es la cantidad de subdivisiones en x e y % de la grilla.3000 0. % etc.y1 % 5.7000 0.4000 0.t]=poimesh(g.0000 -0. 48 48 48 48 ].7000 0..7000 -0.y de todos los % nodos de % la grilla ordenado desde la izquierda abajo recorriendo % las filas % desde izquierda a derecha etc... 19 de 20 . Luego solo restaría definir la grilla de cálculo para lo cual se cuenta con una función matlab (poimesh) que trabaja de la siguiente menera: [p.0000 2.es 1 si es una frontera.6000 -0...4000 -0.char equivalente del valor asignado a h (49 es 1) % 10.uy pag.e.7000 0...cantidad de caracteres de h % 6.x2 % 4..ny).0000 1.0000 2.4000 -0.edu.0000 2.0000 ].Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 % 5..char equivalente del valor asignado a q (48 es 0) % 8....3000 0.char equivalente del valor asignado a r % tener en cuanta que si se quiere h=22.4000 0. son dos char etc. o si es una subzona.0000 1.cantidad de caracteres de r % 7.
Solo a los efectos de ilustrar respecto a la potencialidad de esta herramienta de cálculo se muestran resultados hechos con PDETOOL para un transformador de varios arrollados. p.e. Si elegimos la grilla adecuadamente. por lo que el entorno de trabajo.f) que no es otra que la función genérica de cálculo por Elementos Finitos que usa la propia PDETOOL para hacer los cálculos.p. 20 de 20 .uy pag. en 3D etc. encontrándose resultados coincidentes luego de achicadas las respectivas grillas adecuadamente. No se muestran los resultados por carecer de significado físico ya que se debió imponer condiciones de borde de Dirichlet dada la limitante al respecto que tiene POISOLV.edu.1. contornos. dará el mismo resultado que la función u=assempde(b.f).0. Por ejemplo la herramienta sirve para observar como por efecto de asimetrías constructivas existen campos tangenciales en las bobinas que traerán como consecuencias esfuerzos dinámicos que deben ser acotados durante el diseño de los mismos. Se destaca que existen funciones Matlab de visualización en 2D. Gonzalo Casaravilla: gcp@fing. Finalmente solo quedaría por invocar la propia función POISOLV u=poisolv(b. resulta sumamente fácil de utilizar. e.Monografía del curso: Métodos Numéricos para la resolución de Ecuaciones Diferenciales Noviembre 2002 Por último sólo resta especificar el término independiente de la ecuación de Poisson que como ya se ha dicho debe ser en forma analítica o por subzonas. luego de comprendido el protocolo.t.p.t.e. que usan los mismos b. Se contrastaron resultado de usar POISOLV (diferencias finitas) y PDETOOL (elementos finitos) sobre un mismo caso. t etc.
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