Source: https://www.scribd.com/document/50402140/Algunas-cuestiones-relativas-a-la-argumentacion-duval
Timestamp: 2018-09-23 12:38:00+00:00

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Algunas cuestiones relativas a la argumentación (duval)
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Algunas cuestiones relativas a la argumentación
Raymond Duval IUFM de Lille
La iniciación de los estudiantes del ciclo básico de la escuela secundaria a la prueba en matemáticas ha tenido por costumbre privilegiar el uso de la demostración formal -- con todas las restricciones de rigor que ella impone. Sin embargo desde hace una década se ha aumentado la atención a la argumentación como medio para convencer, sea a uno mismo o a los otros. La convicción es sin duda una condición necesaria para que una prueba funcione como tal. El propósito de esta nota no es de buscar las razones que explican este desplazamiento de interés. Algunas razones son evidentes: la necesidad de poner el acento sobre el trabajo de investigación para el cual la demostración aparece como su resultado, y el caracter incomprensible de las exigencias y ventajas de la demostración para un gran número de alumnos. En esta perspectiva, abordaremos sucesivamente la emergencia de una problemática de la argumentación, considerando que ambas nociones son fundamentales para poder analizar los procesos de argumentación e indicaremos algunas vías de entrada para estudiar el lugar de la argumentación en el aprendizaje de las matemáticas.
I. La emergencia de una problemática de la argumentación
El interés por la argumentación ha aparecido como un interés por las formas de razonamiento que escapan a las normas y los esquemas lógicos y que surgen espontáneamente tan pronto como hay un debate con alguien. Esta emergencia se puede ver tanto fuera de las matemáticas como en la enseñanza de las matemáticas. ¿Cuáles son sus características principales? 1. Fuera de las matemáticas Por empezar ha habido un redescubrimiento del carácter irreducible e irremplazable de las lenguas naturales en relación a las lenguas formales, en lo que concierne a facilitar de manera económica la comunicación entre individuos. Esto comenzó con Wittgenstein quien, a partir de 1930, empezó a reaccionar contra toda la filosofía surgida de los Principia Mathematica de Russel y Whitehead (1910). Todo un enfoque pragmático del discurso en las lenguas naturales ha resultado como consecuencia de aquello (Searle, 1969; Ducrot, 1972). Ha habido luego interés por dar cuenta de todas las situaciones donde no se trata solamente de comunicar sino tambien de convencer y justificar. En esta área, las obras de Perelman (1958) y de Toulmin (1958) han señalado un punto de partida. Esto ha conducido, entre otras cosas, a estudiar las formas de contradicción (Grize 1983) que se ponen en juego en los debates, y a subrayar el caracter dialógico de los razonamientos que pretenden convencer (Grize 1996). 2. En la enseñanza de las matemáticas
Por lo menos hasta la mitad de la década de los setenta. 99-105) quien había asimilado el argumento al modelo de modus ponens (o paso de deducción) añadiéndole ciertos "calificativos" y posibilidades de restricción. 1973) devenía posible y que las interacciones entre los estudiantes podían tomarse en cuenta como factores de aprendizaje. Todas ellas toman valor de justificación cuando alguien las utiliza para decir "por qué" él acepta o rechaza una proposición. Pero contrariamente a lo que pensaba Toulmin (1958. lo que conduce igualmente a privilegiar la comunicación para favorecer la confrontación de puntos de vista. Dos nociones esenciales para analizar los procesos argumentativos: argumento y discursividad 1. o todo lo que es utilizado. p. De esta breve memoria propongo retener el hecho de que la problemática de la argumentación se situa en el punto de convergencia de un doble reconocimiento. Ella merece sin embargo que uno se detenga un poco. la noción de argumento es una noción puramente funcional. Y el reconocimiento del vínculo estrecho entre la prueba y la convicción. El título de la obra de Toulmin da una caracterización excelente de la argumentación: The Uses of Argument. para justificar o para refutar una proposición. incluso a priori indeterminable. Es dentro de esta nueva perspectiva que se comenzó a desarrollar un interés en las formas de argumentación que aparecen en el marco de una resolución de problemas.El modelo de Piaget del desarrollo del razonamiento en el niño y el adolescente (1957) ha sido desde hace mucho tiempo la referencia obligada para analizar los problemas del aprendizaje de las matemáticas en el ciclo básico de la escuela secundaria.en un momento en el que el uso de actividades de investigación como método de enseñanza de las matemáticas (Glaeser. II. La noción de argumento parece evidente. una definición. El trabajo de Nicolas Balacheff sobre la prueba y la demostración en el ciclo básico de la escuela secundaria (1982) fue el primero en tomar en cuenta esta nueva situación. Y aquello condujo a preguntarse si no serían las fromas de argumentación el camino para descubrir la demostración.lo que conduce ipso facto a reconocer la importancia de la lengua natural. o incluso la explicitación de una contradicción. Dicho trabajo propuso una aproximación más completa a la iniciación a la prueba. El reconocimiento del papel importante de la comunicación y de las interacciones sociales en la adquisición de conocimientos&emdash. tal vez. esta noción de argumento es estructuralmente indeterminada y. historia. partiendo de las actividades de investigación de un problema. Pero rápidamente tal modelo se reveló inadaptado por cuanto no permitía analizar las dificultades encontradas por los alumnos cuando se trataba de hacer una demostración y no permitía tomar en cuenta las condiciones del trabajo en grupos&emdash. Aquel modelo daba un lugar esencial a la implicación (el "si… entonces…") y relativizaba el rol del lenguaje en el desarrollo del razonamiento proposicional (las "operaciones formales"). Esto es así pues aquello que puede tomar valor y fuerza de argumento no depende solamente del dominio de conocimientos (matemáticas. Aquello puede ser el enunciado de un hecho. derecho. Una primera noción es la de argumento. un resultado de la experiencia. política…) sino tambien del . el recuerdo de una regla. Un argumento es la respuesta a la pregunta "por qué enuncia o cree tal cosa usted?" Como se ve. una creencia comunmente compartida. Se considera como argumento todo aquello que se ofrece. a veces simplemente un ejemplo.
su utilización no es la de argumento sino la de herramienta. Diremos en ese caso que se trata de una argumentación retórica. Un contexto de producción se determina en función de dos puntos. Y la experiencia muestra que. La fuerza de un argumento va a depender principalmente de su adaptación a la situación y no tanto a su resonancia en el universo del interlocutor: se trata de asegurar que la solución "funciona" o que puede "funcionar. La segunda noción fundamental es la de discursividad. Este es un punto importante. Ello corresponde a la dinámica de cualquier situación de investigación o de debate. oponerlo a otros argumentos.pues son las restricciones del problema las que determinan la elección de los argumentos y no las creencias del destinatario. De hecho. hay una especie de inversión de prioridades: Se toma en cuenta principalmente las convicciones del interlocutor. Paradojalmente se podría decir que estas restricciones constituyen un invariante en la comunicación&emdash. La respuesta es menos evidente de lo que uno podría creer. Por otra parte está lo que está en juego: convencer a otro o sino disminuir los riesgos de error o de incertidumbre en la elección de una dirección de trabajo. 2. un argumento suele perder su "fuerza. resolver un conflicto de intereses. una argumentación no puede reducirse al empleo de un solo argumento. resolver un problema que presenta restricciones técnicas o lógicas. Ellas pueden consistir en una explicación. uno puede tener necesidad de recurrir a muchos argumentos para obtener la convicción. Uno no puede presentar un teorema como argumento a menos que uno quiera justificar una proposición como conclusión necesaria a partir de ciertas hipótesis. Por una parte está aquello que motiva el recurso a los argumentos: sopesar el sentido de una decisión a tomar. el contexto de producción es radicalmente diferente de otros contextos de la actividad social donde se producen argumentos." Y en todo caso. para la mayoría de los alumnos. una simple pregunta puede tener valor o fuerza de argumento que impela a tomar distancia de una idea dada.contexto particular que motiva el recurso a los argumentos. para que se resuelva un conflicto de intereses. Si bien la utilización de teoremas es central tanto en la resolución de problemas como en las pruebas. un teorema está estructuralmente muy determinado tan pronto como no hay sino un sentido funcional reducido a la sola organización de deducciones válidas o al desarrollo de calculos. En efecto. Es ademas referirse al contexto de producción del argumento. en el sentido amplio de este término. Los argumentos siempre ocupan un lugar en un discurso. En matemáticas. el motivo y lo que está en juego en la argumentación son las restricciones propias del problema a resolver. La noción de argumento es una noción más global que la de teorema e implica que uno toma en cuenta dos dimensiones. a propósito de la busqueda de la solución de un problema. es decir en una serie de operaciones sucesivas que ponen en funcionamiento un sistema semiótico. Para convencerse basta preguntarse si acaso un teorema puede ser considerado un argumento." Diremos en ese caso que se trata de una argumentación heurística. En matemáticas. Una argumentación implica que uno puede evaluar un argumento. Pero cuando se trata de convencer a alguien para que tome una decisión. Fuera de su contexto de producción. o en las ciencias. es decir describir el . Hablar de argumento es de entrada referirse a la elección de un tema donde uno busca obtener un fin determinado. esta utilización de teoremas suscita dificultades serias. Además. o para obtener consenso en relación a un asunto. la fuerza de un argumento es variable. Por ejemplo. Por otra parte las argumentaciones susceptibles de convencer de lo apropiado de una proposición no siempre dan cuenta de un razonamiento.
lo que él ha observado en las transformaciones figurales entre cuadrados y triángulos. Pero insistir en la lengua natural no es sin embargo suficiente. con las expresiones de la lengua natural. la argumentación implica siempre la puesta en funcionamiento de la lengua natural. Porque a través de los casos particulares uno puede ver como funcionan las cosas. Tomemos por caso la relación enunciada en el teorema de Pitágoras. y no solamente aquella del razonamiento. Aun cuando los argumentos utilizados dan cuenta de otros registros de representación! Porque tambien hace falta explicitar por que las transformaciones figurales o los calculos pueden considerarse como respuesta a un problema planteado. De esta manera. 197-218).funcionamiento de un sistema y mostrar el lugar de aquello que la proposición a justificar enuncia. mientras que las lenguas formales no permiten sino uno. Pudiendo poner en funcionamiento múltiples formas de discurso. De una forma más interesante. 33-38. éste puede justificar la proposición de Pitágoras describiendo. Para convencer de lo apropiado de la proposición uno puede mostrar varias aplicaciones numericas o verificar que la relación se cumple para cualesquiera sean las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Uno puede darse una idea considerando las siguientes distinciones: Relaciones entre una proposición dada y otra proposición Relación de Justificación (constitutiva de un argumento) la primera proposición se presenta como "Tesis" razones relativas razones relativas a las al restricciones de la interlocutor situación o del problema argumentación heurística argumentación retórica Relación de Derivación (constitutiva de un paso de deducción) la primera proposición se presenta como "Hipótesis" o "Premisa" directa: por un instanciación enunciadoinferencia mediador semántica teorema. . Retomamos aquí la fuerte intuición de todos aquellos que desde Wittgenstein a Jean Blaise Grize han tratado de comprender los mecanismos de la argumentación en relacion con esos dos polos que son la convicción de un sujeto y la comunicación entre sujetos. p. Estas verificaciones numéricas o esas reconfiguraciones geométricas no constituyen una demostración en sentido estricto. Es por eso que ellas devienen esenciales para estudiar. desde una perspectiva del aprendizaje. todas las cuestiones relativas a las relaciones entre argumentación y demostración. pero son argumentos que convencen (o pueden convencer) de lo apropiado de la proposición de Pitágoras. definición lógica de una lengua demostración Estas distinciones se refieren a funciones cognitivas muy diferentes. la producción de argumentos en la argumentación heurística se hace principalmente al nivel de un trabajo sobre casos particulares o ejemplos. Y si se requiere al sujeto que cambie el registro de representación. se puede efectuar una de las muchas reconfiguraciones posibles de cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo (Padilla 1992. El punto decisivo está en otro lado: Hay dos grandes mecanismos de desarrollo de un discurso en la lengua natural.
Aquella observación tiene sus consecuencias en lo que concierne a un estudio de la argumentación. aritmética. En el caso de la argumentación en matemáticas. Más radicalmente. conflicto." Sin embargo. …).). …). es decir en función de su solución o de sus soluciones. tal como Vygotskii lo ha explicado (1985. 1.. En efecto.. no existe todavía ningun nivel intermedio de análisis. este pasaje requiere una reorganización o una reestructuración de la expresión. probabilidades. El contexto de producción de los argumentos Hay diferentes factores que determinan el contexto de producción de un argumento: la posición del interlocutor con respecto a quien ofrece el argumento (cooperación. 2. Esto nos lleva nuevamente a la cuestión de saber si la práctica de las matemáticas hoy en día podría llegar a ser totalmente oral. 360-368. encontrar la solución a un problema. Nos parece sin embargo que la noción de problema se mantiene todavía muy genertal y que la elección de un problema matemático preciso para observar a los estudiantes se mantiene muy dentro de lo contingente. frecuentemente por razones pedagógicas y . uno relee). desde el punto de vista de los procesos de argumentación heurística. La argumentación retórica se desarrolla sobre todo dentro del modo de expresión oral. el motivo de la argumentación (tomar una decisión. Solamente en los últimos años se ha prestado atención a la importancia de esas diferencias que se pasaban por alto al hablar de "lenguaje" o de "prácticas de lenguaje. 376). el contexto de producción está determinado por el problema a resolver.III. Para ser más preciso: el análisis del problema elegido se hace frecuentemente hacia abajo. y no hacia arriba. disminuir los riesgos de error o de incertidumbres ante una elección. Entre la extrema generalidad de la noción de problema y el caracter siempre particular de los problemas planteados. el pasaje de un modo de expresión oral a un modo de expresión escrita es complejo y presenta dificultades serias aún al nivel del ciclo básico de la escuela secundaria. Pero. p. Los modos de expresión: lengua hablada o lengua escrita Las capacidades de aprehensión y el nivel comprensión accesibles en relación a una cuestión o un tópico no son siempre los mismos en las posiciones alternativas de hablarescuchar y las de redactar-releer (uno no lee. es decir en función de las variaciones posibles de los datos y de las variaciones de distancia que resultan entre el enunciado y la inicialización de los tratamientos matemáticos pertinentes. álgebra. y el objectivo en mira (hacer que alguien cambie de punto de vista. Cuáles son los puntos de partida posibles para un estudio de la argumentación heurística? No tenemos aquí la pretensión de ser exhaustivos. El problema que se plantea es de saber si la argumentación heurística está ligada de manera privilegiada a alguno de esos dos modos de expresión. Ese es ciertamente uno de los puntos mas importantes de consenso entre los investigadores en didáctica. Y la comparación podría tambien hacerse de acuerdo con los varios dominios dentro de la matemática: geometría. . no se dispone de una clasificación elemental de problemas que permitan comparar entre ellos problemas puramente matemáticos con problemas de aplicación de las matemáticas. Indicaremos solamente cuatro puntos de partida con el propósito de subrayar la complejidad de los fenómenos relativos a una problemática de la argumentación en el marco de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Pero si uno piensa esta cuestión desde un punto de vista cognitivo.. finalmente. Se puede imaginar esta cuestión desde un punto de vista estrictamente matemático y postular que estos procesos son homogéneos: en ese caso se podrá afirmar una continuidad cognitiva entre argumentar. detrás de esta cuestión está todo el problema de las interferencias entre el contexto de una argumentación retórica y el de una argumentación heurística. Todas las operaciones discursivas pueden ser reagrupadas alrededor de cuatro grandes funciones discursivas: designar los objetos. concerniente a los textos de prueba implicaría una ruptura con el modo oral de expresión? Como se ve. entre quienes los diferentes registros de representación de la práctica de las matemáticas puestas en juego son todavía poco o nada coordinadas. Argumentación versus demostración Se trata aquí de la cuestión de la homogeneidad de los procesos a través del desarrollo completo de una actividad matemática: luego de las primeras fases de investigación hasta el establecimiento de la prueba matemática de la solución encontrada.lo que. cuando se habla de lenguaje en matemáticas a no considerar sino algunas de las varias operaciones discursivas. Ella implica necesariamente la puesta en funcionamiento de un "lenguaje" sea natural o formal. para las cuales no disponemos aun suficientes datos de observación verdaderamente explotables. 4. Existe un lenguaje matemático como se suele decir? Esta pregunta no nos parece una pregunta bien planteada. . generar otras proposiciones a partir de una proposición dada y. Puede ser que este sea uno de los aportes de un ambiente informático: permitir la disociación completa de esos dos tipos de contextos. Ello implica evidentemente privilegiar el modo de expresión oral. Y el punto de vista cognitivo no puede despreciarse cuando uno se refiere al aprendizaje de las matemáticas por alumnos pequeños. nivel funcional.didácticas. Las páginas que Freudenthal (1978) consagra a la distinción de tres niveles de lenguaje en matemáticas (nivel ostensivo. integrar a la proposición enunciada su valor de toma de responsabilidad epistémica por parte de quien la enuncia. y demostrar. es decir hasta su demostración o su "prueba formal"&emdash. El problema no es un problema de la lengua que se utiliza sino de las operaciones discursivas que uno puede hacer con una lengua. explicar. 3.una expresión cuyo empleo frecuentemente reviste una connotación negativa. se privilegia las situaciones de cooperación y de discusión entre estudiantes para el trabajo de resolución de problemas.es decir. Y aquello conduce a formular dos preguntas. Cuales pueden ser entonces las funciones y el aporte de un pasaje al modo de expresión escrito? Solamente satisfacer una función de comunicación y de institucionalización&emdash. decir alguna cosa sobre aquellos objetos de tal suerte de tomar ipso facto un valor epistémico (vgr. Las operaciones discursivas puestas en funcionamiento Hemos insistido en el caracter fundamental de la noción de discursividad. Ahora bien lo que es notable es la tendencia. y nivel de las convenciones simbólicas que permiten tomar en cuenta variables) nos parecen reveladoras de una actitud todavía muy extendida: la reducción del lenguaje a la sola función discursiva de designar objetos. la respuesta es muy diferente. enunciar una proposición). una especie de prolongación del modo de expresión oral? O tambien funciones de tratamiento y de control&emdash.
al menos para los alumnos. Ahora bien. Recherches en didactique des mathématiques. Pero terminemos llamando atención a una situación paradojal de la enseñanza de las matemáticas. Dordrecht : Reidel Publishers Glaeser G. Cambridge University Press Vygotski L. I.. Pensée et langage (traduction française 1985 ).En referencia a las capacidades que un alumno puede tener disponible para controlar la pertinencia de los argumentos producidos cuando el busca demostrar una conjetura que ha sido formulada y retenida como plausible: Son ellas considerablemente desarrolladas cuando él ha comprendido las diferencias de funcionamiento discursivo entre las "pruebas discursivas" y las argumentaciones retóricas. (1955) De la logique de l'enfant à la logique de l'adolescent.U. (1958) The Uses of Argument.R. (1982) Preuve et démonstration en mathématiques au collège. (1978) Weeding and Sowing. (1934). Estamos casi tentados a decir que es más facil hacer acceder a los estudiantes a la demostración que a un manejo diestro de la argumentación.. Pédagogie de l'exercice et du problème. (1969) Speech Acts.F. Uno de los intereses de una problemática de la argumentación es de alumbrar esta situación paradojal. Paris : P.F. Olbrechts-Tyteca L.F. Piéraut-le Bonniec G. Grize J. Pero. Thèse. La importancia que se reconoce a la comunicación y a las interacciones sociales en didáctica conduce necesariamente a dar una prioridad de hecho al lenguaje natural. Perelman C. (1996) Logique naturelle et communications. Paris : P. (1973) Le livre du problème. se insiste mucho sobre el momento de la elaboración de una conjetura.. son los argumentos que conducen a derivar y a sostener una conjectura igualmente útiles para encontrar la manera de probar dicha conjetura? .S. existe en un segundo plano. (1990) L'influence d'une acquisition de traitements purement figuraux sur l'apprentissage des mathématiques. Lyon : Cedic Grize J. (1958) La nouvelle rhétorique.U.U. al menos el del lenguaje natural. 3(3) 262-306 Ducrot O.En referencia al trabajo del matemático profesional. Searle J. (1983) La contradiction.. Strasbourg : Université Louis Pasteur. Padilla V. al menos a la argumentación retórica. B. Paris : Editions sociales. B. Algunas cuestiones relativas a la argumentación Raymond Duval IUFM de Lille . essais sur les opérations de la pensée. (1972) Dire et ne pas dire.U. más familiares o más espontáneas? Se ve entonces la complejidad de los problemas ligados al estudio de la argumentación. al mismo tiempo no se busca retener sino modelos cognitivos de aprendizaje en los cuales el rol del lenguaje. Paris : P. Paris : Hermann Freudenthal H. Cambride University Press Toulmin S. Traité de l'argumentation (2 volumes) Paris : P. Inhelder B.F. Referencias Balacheff N. Piaget J.
2. a partir de 1930. I. Sin embargo desde hace una década se ha aumentado la atención a la argumentación como medio para convencer. Fuera de las matemáticas Por empezar ha habido un redescubrimiento del carácter irreducible e irremplazable de las lenguas naturales en relación a las lenguas formales. En esta perspectiva. 1969.La iniciación de los estudiantes del ciclo básico de la escuela secundaria a la prueba en matemáticas ha tenido por costumbre privilegiar el uso de la demostración formal -. En la enseñanza de las matemáticas El modelo de Piaget del desarrollo del razonamiento en el niño y el adolescente (1957) ha sido desde hace mucho tiempo la referencia obligada para analizar los problemas del aprendizaje de las matemáticas en el ciclo básico de la escuela secundaria. abordaremos sucesivamente la emergencia de una problemática de la argumentación. Por lo menos hasta la mitad de la década de los setenta. Esta emergencia se puede ver tanto fuera de las matemáticas como en la enseñanza de las matemáticas. Esto comenzó con Wittgenstein quien. Esto ha conducido. Aquel modelo daba un lugar esencial a la implicación (el "si… entonces…") y relativizaba el rol del lenguaje en el desarrollo del razonamiento proposicional (las "operaciones formales").con todas las restricciones de rigor que ella impone. las obras de Perelman (1958) y de Toulmin (1958) han señalado un punto de partida. considerando que ambas nociones son fundamentales para poder analizar los procesos de argumentación e indicaremos algunas vías de entrada para estudiar el lugar de la argumentación en el aprendizaje de las matemáticas. Ducrot. a estudiar las formas de contradicción (Grize 1983) que se ponen en juego en los debates. Todo un enfoque pragmático del discurso en las lenguas naturales ha resultado como consecuencia de aquello (Searle. ¿Cuáles son sus características principales? 1. entre otras cosas. En esta área. y el caracter incomprensible de las exigencias y ventajas de la demostración para un gran número de alumnos. Ha habido luego interés por dar cuenta de todas las situaciones donde no se trata solamente de comunicar sino tambien de convencer y justificar. El propósito de esta nota no es de buscar las razones que explican este desplazamiento de interés. 1972). La emergencia de una problemática de la argumentación El interés por la argumentación ha aparecido como un interés por las formas de razonamiento que escapan a las normas y los esquemas lógicos y que surgen espontáneamente tan pronto como hay un debate con alguien. sea a uno mismo o a los otros. empezó a reaccionar contra toda la filosofía surgida de los Principia Mathematica de Russel y Whitehead (1910). Pero rápidamente tal modelo se reveló inadaptado por cuanto no permitía analizar las dificultades encontradas por los alumnos cuando se trataba de hacer una demostración y no permitía tomar en cuenta las . La convicción es sin duda una condición necesaria para que una prueba funcione como tal. Algunas razones son evidentes: la necesidad de poner el acento sobre el trabajo de investigación para el cual la demostración aparece como su resultado. en lo que concierne a facilitar de manera económica la comunicación entre individuos. y a subrayar el caracter dialógico de los razonamientos que pretenden convencer (Grize 1996).
El trabajo de Nicolas Balacheff sobre la prueba y la demostración en el ciclo básico de la escuela secundaria (1982) fue el primero en tomar en cuenta esta nueva situación. incluso a priori indeterminable. historia.lo que conduce ipso facto a reconocer la importancia de la lengua natural. Y el reconocimiento del vínculo estrecho entre la prueba y la convicción. el recuerdo de una regla. Esto es así pues aquello que puede tomar valor y fuerza de argumento no depende solamente del dominio de conocimientos (matemáticas. lo que conduce igualmente a privilegiar la comunicación para favorecer la confrontación de puntos de vista. Y aquello condujo a preguntarse si no serían las fromas de argumentación el camino para descubrir la demostración. De esta breve memoria propongo retener el hecho de que la problemática de la argumentación se situa en el punto de convergencia de un doble reconocimiento. Uno no puede presentar un teorema como argumento a menos que uno quiera justificar una . a veces simplemente un ejemplo. Pero contrariamente a lo que pensaba Toulmin (1958. La respuesta es menos evidente de lo que uno podría creer.condiciones del trabajo en grupos&emdash. Si bien la utilización de teoremas es central tanto en la resolución de problemas como en las pruebas. Una primera noción es la de argumento. El reconocimiento del papel importante de la comunicación y de las interacciones sociales en la adquisición de conocimientos&emdash. para justificar o para refutar una proposición. Para convencerse basta preguntarse si acaso un teorema puede ser considerado un argumento. Ella merece sin embargo que uno se detenga un poco. su utilización no es la de argumento sino la de herramienta. 1973) devenía posible y que las interacciones entre los estudiantes podían tomarse en cuenta como factores de aprendizaje. Aquello puede ser el enunciado de un hecho. derecho. Se considera como argumento todo aquello que se ofrece. Un argumento es la respuesta a la pregunta "por qué enuncia o cree tal cosa usted?" Como se ve. Por ejemplo. partiendo de las actividades de investigación de un problema. p. o todo lo que es utilizado. esta noción de argumento es estructuralmente indeterminada y. o incluso la explicitación de una contradicción. una creencia comunmente compartida. una definición. Dicho trabajo propuso una aproximación más completa a la iniciación a la prueba. La noción de argumento parece evidente. Dos nociones esenciales para analizar los procesos argumentativos: argumento y discursividad 1. 99-105) quien había asimilado el argumento al modelo de modus ponens (o paso de deducción) añadiéndole ciertos "calificativos" y posibilidades de restricción. política…) sino tambien del contexto particular que motiva el recurso a los argumentos. una simple pregunta puede tener valor o fuerza de argumento que impela a tomar distancia de una idea dada. la noción de argumento es una noción puramente funcional.en un momento en el que el uso de actividades de investigación como método de enseñanza de las matemáticas (Glaeser. a propósito de la busqueda de la solución de un problema. Todas ellas toman valor de justificación cuando alguien las utiliza para decir "por qué" él acepta o rechaza una proposición. Este es un punto importante. un resultado de la experiencia. tal vez. II. El título de la obra de Toulmin da una caracterización excelente de la argumentación: The Uses of Argument. Es dentro de esta nueva perspectiva que se comenzó a desarrollar un interés en las formas de argumentación que aparecen en el marco de una resolución de problemas.
2. Además. Un contexto de producción se determina en función de dos puntos. De hecho.pues son las restricciones del problema las que determinan la elección de los argumentos y no las creencias del destinatario. Para convencer de lo apropiado de la proposición uno puede mostrar varias aplicaciones numericas o verificar que la relación se cumple para cualesquiera sean las longitudes de los lados de . Pero cuando se trata de convencer a alguien para que tome una decisión. Fuera de su contexto de producción. Ellas pueden consistir en una explicación. Hablar de argumento es de entrada referirse a la elección de un tema donde uno busca obtener un fin determinado. En efecto. resolver un conflicto de intereses. Tomemos por caso la relación enunciada en el teorema de Pitágoras. oponerlo a otros argumentos. un teorema está estructuralmente muy determinado tan pronto como no hay sino un sentido funcional reducido a la sola organización de deducciones válidas o al desarrollo de calculos. Porque a través de los casos particulares uno puede ver como funcionan las cosas. una argumentación no puede reducirse al empleo de un solo argumento. es decir en una serie de operaciones sucesivas que ponen en funcionamiento un sistema semiótico. En matemáticas. Por una parte está aquello que motiva el recurso a los argumentos: sopesar el sentido de una decisión a tomar. Es ademas referirse al contexto de producción del argumento. La fuerza de un argumento va a depender principalmente de su adaptación a la situación y no tanto a su resonancia en el universo del interlocutor: se trata de asegurar que la solución "funciona" o que puede "funcionar. uno puede tener necesidad de recurrir a muchos argumentos para obtener la convicción." Y en todo caso. Ello corresponde a la dinámica de cualquier situación de investigación o de debate. En matemáticas.proposición como conclusión necesaria a partir de ciertas hipótesis. Una argumentación implica que uno puede evaluar un argumento. Y la experiencia muestra que. De esta manera. el motivo y lo que está en juego en la argumentación son las restricciones propias del problema a resolver. Por otra parte las argumentaciones susceptibles de convencer de lo apropiado de una proposición no siempre dan cuenta de un razonamiento. La noción de argumento es una noción más global que la de teorema e implica que uno toma en cuenta dos dimensiones. Diremos en ese caso que se trata de una argumentación retórica. para que se resuelva un conflicto de intereses. en el sentido amplio de este término. o para obtener consenso en relación a un asunto. para la mayoría de los alumnos. esta utilización de teoremas suscita dificultades serias. la fuerza de un argumento es variable. La segunda noción fundamental es la de discursividad. hay una especie de inversión de prioridades: Se toma en cuenta principalmente las convicciones del interlocutor. resolver un problema que presenta restricciones técnicas o lógicas. un argumento suele perder su "fuerza. o en las ciencias. Por otra parte está lo que está en juego: convencer a otro o sino disminuir los riesgos de error o de incertidumbre en la elección de una dirección de trabajo. la producción de argumentos en la argumentación heurística se hace principalmente al nivel de un trabajo sobre casos particulares o ejemplos. el contexto de producción es radicalmente diferente de otros contextos de la actividad social donde se producen argumentos. es decir describir el funcionamiento de un sistema y mostrar el lugar de aquello que la proposición a justificar enuncia." Diremos en ese caso que se trata de una argumentación heurística. Los argumentos siempre ocupan un lugar en un discurso. Paradojalmente se podría decir que estas restricciones constituyen un invariante en la comunicación&emdash.
se puede efectuar una de las muchas reconfiguraciones posibles de cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo (Padilla 1992. Uno puede darse una idea considerando las siguientes distinciones: Relaciones entre una proposición dada y otra proposición Relación de Justificación (constitutiva de un argumento) la primera proposición se presenta como "Tesis" razones relativas razones relativas a las al restricciones de la interlocutor situación o del problema argumentación heurística argumentación retórica Relación de Derivación (constitutiva de un paso de deducción) la primera proposición se presenta como "Hipótesis" o "Premisa" directa: por un instanciación enunciadoinferencia mediador semántica teorema. Cuáles son los puntos de partida posibles para un estudio de la argumentación heurística? No tenemos aquí la pretensión de ser exhaustivos. Aun cuando los argumentos utilizados dan cuenta de otros registros de representación! Porque tambien hace falta explicitar por que las transformaciones figurales o los calculos pueden considerarse como respuesta a un problema planteado. p. Pudiendo poner en funcionamiento múltiples formas de discurso.un triángulo rectángulo. mientras que las lenguas formales no permiten sino uno. con las expresiones de la lengua natural. definición lógica de una lengua demostración Estas distinciones se refieren a funciones cognitivas muy diferentes. Y si se requiere al sujeto que cambie el registro de representación. . la argumentación implica siempre la puesta en funcionamiento de la lengua natural. desde una perspectiva del aprendizaje. pero son argumentos que convencen (o pueden convencer) de lo apropiado de la proposición de Pitágoras. Estas verificaciones numéricas o esas reconfiguraciones geométricas no constituyen una demostración en sentido estricto. todas las cuestiones relativas a las relaciones entre argumentación y demostración. Indicaremos solamente cuatro puntos de partida con el propósito de subrayar la complejidad de los fenómenos relativos a una problemática de la argumentación en el marco de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. y no solamente aquella del razonamiento. 33-38. 197-218). Pero insistir en la lengua natural no es sin embargo suficiente. éste puede justificar la proposición de Pitágoras describiendo. lo que él ha observado en las transformaciones figurales entre cuadrados y triángulos. Retomamos aquí la fuerte intuición de todos aquellos que desde Wittgenstein a Jean Blaise Grize han tratado de comprender los mecanismos de la argumentación en relacion con esos dos polos que son la convicción de un sujeto y la comunicación entre sujetos. El punto decisivo está en otro lado: Hay dos grandes mecanismos de desarrollo de un discurso en la lengua natural. Es por eso que ellas devienen esenciales para estudiar. III. De una forma más interesante.
concerniente a los textos de prueba implicaría una ruptura con el modo oral de expresión? Como se ve. y no hacia arriba. …). aritmética. Solamente en los últimos años se ha prestado atención a la importancia de esas diferencias que se pasaban por alto al hablar de "lenguaje" o de "prácticas de lenguaje. se privilegia las situaciones de cooperación y de discusión entre estudiantes para el trabajo de resolución de problemas. Y la comparación podría tambien hacerse de acuerdo con los varios dominios dentro de la matemática: geometría. En el caso de la argumentación en matemáticas. En efecto. conflicto. Más radicalmente. desde el punto de vista de los procesos de argumentación heurística. este pasaje requiere una reorganización o una reestructuración de la expresión. Entre la extrema generalidad de la noción de problema y el caracter siempre particular de los problemas planteados. álgebra. tal como Vygotskii lo ha explicado (1985. probabilidades. Los modos de expresión: lengua hablada o lengua escrita Las capacidades de aprehensión y el nivel comprensión accesibles en relación a una cuestión o un tópico no son siempre los mismos en las posiciones alternativas de hablarescuchar y las de redactar-releer (uno no lee. Aquella observación tiene sus consecuencias en lo que concierne a un estudio de la argumentación.1. Cuales pueden ser entonces las funciones y el aporte de un pasaje al modo de expresión escrito? Solamente satisfacer una función de comunicación y de institucionalización&emdash. Esto nos lleva nuevamente a la cuestión de saber si la práctica de las matemáticas hoy en día podría llegar a ser totalmente oral. 376). La argumentación retórica se desarrolla sobre todo dentro del modo de expresión oral. encontrar la solución a un problema. no existe todavía ningun nivel intermedio de análisis. Ese es ciertamente uno de los puntos mas importantes de consenso entre los investigadores en didáctica. disminuir los riesgos de error o de incertidumbres ante una elección. El contexto de producción de los argumentos Hay diferentes factores que determinan el contexto de producción de un argumento: la posición del interlocutor con respecto a quien ofrece el argumento (cooperación. no se dispone de una clasificación elemental de problemas que permitan comparar entre ellos problemas puramente matemáticos con problemas de aplicación de las matemáticas." Sin embargo. es decir en función de las variaciones posibles de los datos y de las variaciones de distancia que resultan entre el enunciado y la inicialización de los tratamientos matemáticos pertinentes. 2. una especie de prolongación del modo de expresión oral? O tambien funciones de tratamiento y de control&emdash.. …). detrás de esta cuestión está todo el problema de las . el motivo de la argumentación (tomar una decisión. el contexto de producción está determinado por el problema a resolver. p.lo que. el pasaje de un modo de expresión oral a un modo de expresión escrita es complejo y presenta dificultades serias aún al nivel del ciclo básico de la escuela secundaria. y el objectivo en mira (hacer que alguien cambie de punto de vista. es decir en función de su solución o de sus soluciones. Para ser más preciso: el análisis del problema elegido se hace frecuentemente hacia abajo. frecuentemente por razones pedagógicas y didácticas.. El problema que se plantea es de saber si la argumentación heurística está ligada de manera privilegiada a alguno de esos dos modos de expresión. .es decir. 360-368. Pero.). Ello implica evidentemente privilegiar el modo de expresión oral. uno relee). Nos parece sin embargo que la noción de problema se mantiene todavía muy genertal y que la elección de un problema matemático preciso para observar a los estudiantes se mantiene muy dentro de lo contingente.
explicar. Y aquello conduce a formular dos preguntas. Existe un lenguaje matemático como se suele decir? Esta pregunta no nos parece una pregunta bien planteada. Todas las operaciones discursivas pueden ser reagrupadas alrededor de cuatro grandes funciones discursivas: designar los objetos.. Y el punto de vista cognitivo no puede despreciarse cuando uno se refiere al aprendizaje de las matemáticas por alumnos pequeños.una expresión cuyo empleo frecuentemente reviste una connotación negativa. Ella implica necesariamente la puesta en funcionamiento de un "lenguaje" sea natural o formal. 3. Pero. decir alguna cosa sobre aquellos objetos de tal suerte de tomar ipso facto un valor epistémico (vgr. Ahora bien lo que es notable es la tendencia. cuando se habla de lenguaje en matemáticas a no considerar sino algunas de las varias operaciones discursivas. integrar a la proposición enunciada su valor de toma de responsabilidad epistémica por parte de quien la enuncia. entre quienes los diferentes registros de representación de la práctica de las matemáticas puestas en juego son todavía poco o nada coordinadas.interferencias entre el contexto de una argumentación retórica y el de una argumentación heurística. finalmente. generar otras proposiciones a partir de una proposición dada y. Argumentación versus demostración Se trata aquí de la cuestión de la homogeneidad de los procesos a través del desarrollo completo de una actividad matemática: luego de las primeras fases de investigación hasta el establecimiento de la prueba matemática de la solución encontrada. son los argumentos que conducen a derivar y a sostener una conjectura igualmente útiles para encontrar la manera de probar dicha conjetura? . y nivel de las convenciones simbólicas que permiten tomar en cuenta variables) nos parecen reveladoras de una actitud todavía muy extendida: la reducción del lenguaje a la sola función discursiva de designar objetos.En referencia a las capacidades que un alumno puede tener disponible para controlar la pertinencia de los argumentos producidos cuando el busca demostrar una conjetura que ha sido formulada y retenida como plausible: Son ellas considerablemente desarrolladas cuando él ha comprendido las diferencias de funcionamiento discursivo entre las . enunciar una proposición). se insiste mucho sobre el momento de la elaboración de una conjetura. Las páginas que Freudenthal (1978) consagra a la distinción de tres niveles de lenguaje en matemáticas (nivel ostensivo. Se puede imaginar esta cuestión desde un punto de vista estrictamente matemático y postular que estos procesos son homogéneos: en ese caso se podrá afirmar una continuidad cognitiva entre argumentar. al menos para los alumnos. . la respuesta es muy diferente. 4. nivel funcional. Las operaciones discursivas puestas en funcionamiento Hemos insistido en el caracter fundamental de la noción de discursividad. es decir hasta su demostración o su "prueba formal"&emdash. Pero si uno piensa esta cuestión desde un punto de vista cognitivo. Puede ser que este sea uno de los aportes de un ambiente informático: permitir la disociación completa de esos dos tipos de contextos. para las cuales no disponemos aun suficientes datos de observación verdaderamente explotables. El problema no es un problema de la lengua que se utiliza sino de las operaciones discursivas que uno puede hacer con una lengua. y demostrar.En referencia al trabajo del matemático profesional.
Searle J. (1972) Dire et ne pas dire.. Pensée et langage (traduction française 1985 ). (1990) L'influence d'une acquisition de traitements purement figuraux sur l'apprentissage des mathématiques. Grize J.U.F. Referencias Balacheff N.U. La importancia que se reconoce a la comunicación y a las interacciones sociales en didáctica conduce necesariamente a dar una prioridad de hecho al lenguaje natural. existe en un segundo plano.. Cambride University Press Toulmin S. Piaget J.F. Ahora bien. Strasbourg : Université Louis Pasteur. Recherches en didactique des mathématiques.F. Paris : Editions sociales. más familiares o más espontáneas? Se ve entonces la complejidad de los problemas ligados al estudio de la argumentación. al menos a la argumentación retórica. Perelman C. Inhelder B..U. al mismo tiempo no se busca retener sino modelos cognitivos de aprendizaje en los cuales el rol del lenguaje. Piéraut-le Bonniec G. Estamos casi tentados a decir que es más facil hacer acceder a los estudiantes a la demostración que a un manejo diestro de la argumentación.html .R. Paris : P. Thèse. Traité de l'argumentation (2 volumes) Paris : P.F.U. Paris : Hermann Freudenthal H. (1969) Speech Acts. Lyon : Cedic Grize J. I."pruebas discursivas" y las argumentaciones retóricas. 3(3) 262-306 Ducrot O. (1958) La nouvelle rhétorique. Uno de los intereses de una problemática de la argumentación es de alumbrar esta situación paradojal. Dordrecht : Reidel Publishers Glaeser G. (1973) Le livre du problème. (1955) De la logique de l'enfant à la logique de l'adolescent. Cambridge University Press Vygotski L. al menos el del lenguaje natural. http://www-didactique. (1978) Weeding and Sowing. Padilla V. Paris : P. (1958) The Uses of Argument. (1934).fr/preuve/Newsletter/991112Theme/991112ThemeES. Paris : P. B. Olbrechts-Tyteca L. (1983) La contradiction. Pero terminemos llamando atención a una situación paradojal de la enseñanza de las matemáticas. (1982) Preuve et démonstration en mathématiques au collège.imag. B.S. Pédagogie de l'exercice et du problème. (1996) Logique naturelle et communications. essais sur les opérations de la pensée.
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