Source: http://www.slideshare.net/holsimba/estandaresenmatemticas
Timestamp: 2014-10-22 02:40:22+00:00

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O DESAFIO DAS INSTITUIÇÕES PRIVADAS DE ENSINO SUPERIOR DE BELO HORIZONTE NA FOR……
Estandares de mate
ESTOS SON LOS ESTANDARES GENERALES DE MATEMATICAS COMPLETOS TAL Y COMO SON
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trico. Por ello, como se dijo al tratar sobre el pensamiento lógico, el pensamiento 63 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASespacial y el métrico encuentran en la geometría euclidiana un lugar privilegiado –aun-que no exclusivo– para el desarrollo del pensamiento lógico y éste, a su vez, potenciay reﬁna los dos primeros.• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidasLos conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a lacomprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades, sumedición y el uso ﬂexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situa-ciones. En los Lineamientos Curriculares se especiﬁcan conceptos y procedimientosrelacionados con este tipo de pensamiento, como:• La construcción de los conceptos de cada magnitud.• La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes.• La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes y los aspec- tos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”.• La apreciación del rango de las magnitudes.• La selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos y procesos de medición.• La diferencia entre la unidad y los patrones de medición.• La asignación numérica.• El papel del trasfondo social de la medición16.En relación con los anteriores conceptos y procedimientos, es importante destacarque la estimación de las medidas de las cantidades y la apreciación de los rangos entrelos cuales puedan ubicarse esas medidas trascienden el tratamiento exclusivamentenumérico de los sistemas de medidas y señalan la estimación como puente de rela-ciones entre las matemáticas, las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana, encontextos en los que no se requiere establecer una medida numérica exacta. Otrosaspectos importantes en este pensamiento son la integración de la estimación con losprocedimientos numéricos de truncamiento y redondeo, el tratamiento del error, lavaloración de las cifras signiﬁcativas y el uso de técnicas de encuadramiento, así comola expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación cientíﬁca.Históricamente, el pensamiento métrico se perfeccionó con el reﬁnamiento de lasunidades de medida de longitud, tomadas al comienzo de partes del cuerpo y por tantomuy diversas en cada región y cultura, que fueron luego estandarizadas para el comer-cio y la industria. Se conﬁguraron en distintas regiones y países muchos sistemas deunidades y medidas o sistemas métricos, como el francés, el español, el ruso, el inglés ysu variante norteamericana y, después de la Revolución Francesa, se empezó a diseñarun sistema decimal de pesos y medidas que tuvo varias etapas y conﬁguraciones, comoel sistema CGS (centímetro-gramo-segundo) y el MKS (metro-kilogramo-segundo) y,más recientemente, el SI (Sistema Internacional de unidades y medidas), que es elmás extendido actualmente. Sin embargo, el inglés y el norteamericano siguen siendomuy utilizados en todo el mundo y muchos de los antiguos sistemas locales subsistenmás o menos adaptados a las unidades internacionales. Así pues, el pensamiento mé- 16 Ibid., pág. 63. 19.
64 trico no puede trabajar sin sistemas de medidas o métricos, ni éstos reﬁnarse sin lasCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS notaciones, registros, tablas, abreviaturas y otros sistemas notacionales o simbólicos, en una interacción dialéctica constante y cambiante. En lo que respecta al aprendizaje de sistemas de medida y, en particular del SI, es importante el reconocimiento del conjunto de unidades de medida que se utilizan para cada una de las diferentes magnitudes (la velocidad, la densidad, la temperatura, etc., y no sólo de las magnitudes más relacionadas con la geometría: la longitud, el área, el volumen y la amplitud angular). El estudio de esas primeras magnitudes muestra que el pensamiento métrico no se limita a las matemáticas, sino que se extiende tam- bién a las ciencias naturales y sociales. En cada conjunto de unidades del SI para cada magnitud hay una unidad que sirve de base a las otras, que son mayores (múltiplos) o menores (submúltiplos) de dicha unidad básica. Así se construyen herramientas conceptuales para el análisis y la ejercitación de la equivalencia entre medidas expre- sadas en distintas unidades y la explicitación de las relaciones pertinentes del SI con el sistema de numeración decimal en sus diversas formas escriturales: con coma, con punto y en notación cientíﬁca. Esas relaciones entre el sistema de numeración decimal y cada sistema de unidades del SI para una determinada magnitud (por ejemplo la lon- gitud) se indican por los preﬁjos que expresan los múltiplos (deca-, hecto-, kilo-, etc.) y submúltipos (deci-, centi-, mili-, etc.) de la unidad básica (en este caso, del metro) y su correspondencia con las unidades superiores del sistema métrico decimal (de- cena, centena, unidad de mil, etc.) y con las unidades inferiores (décima, centésima, milésima, etc.). Igualmente, es necesario establecer diferencias conceptuales entre procedimientos e instrumentos de medición, entre unidades y patrones de medida, y entre la precisión y la exactitud de una medición. De especial importancia son aquellas magnitudes que tienen estrecha relación con as- pectos claves de la vida social, como por ejemplo, todo lo relacionado con los servicios públicos, sus procesos de medición y facturación y las unidades respectivas (litro, me- tro cúbico, voltio, amperio, vatio, kilovatio, kilovatio-hora), algunas de las cuales, como ya se indicó arriba, desbordan el campo de las matemáticas y requieren del desarrollo del pensamiento cientíﬁco y del aprendizaje de algunos contenidos de la física. De esta manera, el pensamiento métrico está estrechamente relacionado con las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales y con las competencias ciudadanas, en particular, con lo que al cuidado del medio ambiente se reﬁere, en tanto conviene tener elementos conceptuales claros para hacer un uso racional de los servicios públicos, identiﬁcar cuándo se está haciendo un gasto innecesario de ellos, explicar las razones por las cuales pudo haberse incrementado el gasto y proponer medidas eﬁcaces para el aho- rro del agua, el gas y la energía eléctrica. • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos Este tipo de pensamiento, llamado también probabilístico o estocástico, ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por fal- ta de información conﬁable, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y procedimien- tos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial, e indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura, abordándolos con un espíritu 20.
de exploración y de investigación mediante la construcción de modelos de fenómenos 65 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASfísicos, sociales o de juegos de azar y la utilización de estrategias como la exploración desistemas de datos, la simulación de experimentos y la realización de conteos.El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas es- El azar se relaciona conpecíﬁcos en las repeticiones de eventos o sucesos, y otras veces la ausencia de patrones ocon las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esospatrones, si acaso existen, como es el caso de los estados del esquemas específicos en lastiempo; de la ocurrencia de los terremotos, huracanes u otros repeticiones de eventos o sucesos,fenómenos de la naturaleza; de los accidentes, fallas mecánicas, y otras veces con las situacionesepidemias y enfermedades; de las elecciones por votación; de losresultados de dispositivos como los que se usan para extraer es- en las que se ignora cuálesferas numeradas para las loterías y de las técnicas para efectuar puedan ser esos patrones, silos lanzamientos de dados o monedas o para el reparto de cartas acaso existen, como es el caso deo ﬁchas en los juegos que por esto mismo se llaman “de azar”. los estados del tiempo.En las experiencias cotidianas que los estudiantes ya tienen sobre estos sucesos yestos juegos, empiezan a tomar conciencia de que su ocurrencia y sus resultados sonimpredecibles e intentan realizar estimaciones intuitivas acerca de la posibilidad deque ocurran unos u otros. Estas estimaciones conforman una intuición inicial del azary permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades delos eventos o sucesos, así sean inicialmente un poco arbitrarias, que comienzan conasignar probabilidad 0 a la imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia;asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se consideran igualmente probables, yasignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia.Las situaciones y procesos que permiten hacer un conteo sistemático del número decombinaciones posibles que se puedan asumir como igualmente probables, junto con elregistro de diferentes resultados de un mismo juego, así como los intentos de interpre-tación y predicción de los mismos a partir de la exploración de sistemas de datos, de-sarrollan en los estudiantes la distinción entre situaciones deterministas y situacionesaleatorias o azarosas y permiten reﬁnar las mediciones de la probabilidad con númerosentre 0 y 1. Más tarde, esas situaciones y procesos pueden modelarse por medio de sis-temas matemáticos relacionados con la teoría de probabilidades y la estadística.El empleo cada vez más generalizado de las tablas de datos y de las recopilaciones deinformación codiﬁcada llevó al desarrollo de la estadística descriptiva, y el estudio delos sistemas de datos por medio del pensamiento aleatorio llevó a la estadística infe-rencial y a la teoría de probabilidades. El manejo y análisis de los sistemas de datos sevolvió inseparable del pensamiento aleatorio.Los sistemas analíticos probabilísticos y los métodos estadísticos desarrollados du-rante los siglos XIX y XX se han reﬁnado y potenciado en los últimos decenios con losavances de la computación electrónica y, por ello, hoy día ya no es tan importante paralos estudiantes el recuerdo de las fórmulas y la habilidad para calcular sus valores,como sí lo es el desarrollo del pensamiento aleatorio, que les permitirá interpretar,analizar y utilizar los resultados que se publiquen en periódicos y revistas, que sepresenten en la televisión o que aparezcan en pantalla o en hojas impresas como pro-ductos de los distintos programas de análisis de datos. 21.
66 Por ello, no es ya necesario aprender las fórmulas y procedimientos matemáticosCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS para calcular la media o la mediana, la varianza o la desviación estándar, sino avanzar gradualmente en el desarrollo de habilidades combinatorias para encontrar todas las situaciones posibles dentro de ciertas condiciones, estimar si son o no igualmente probables y asignarles probabilidades numéricas, así como en dominar los conceptos y procedimientos necesarios para recoger, estudiar, resumir y diagramar sistemas de datos estadísticos y tratar de extraer de ellos toda la información posible con la ayuda de calculadoras, hojas de cálculo y otros programas de análisis de datos, con el ﬁn de intentar predecir dentro de ciertos rangos el curso de los acontecimientos respecti- vos y de tomar decisiones lo más razonables posibles ante la imposibilidad de saber con certeza lo que va a pasar. • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos Como su nombre lo indica, este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconoci- miento, la percepción, la identiﬁcación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráﬁcos o al- gebraicos. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos signiﬁcativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo diferencial e integral. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pen- samiento matemático (el numérico, el espacial, el de medida o métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias, en es- pecial a través del proceso de modelación de procesos y situaciones naturales y sociales por medio de modelos matemáticos. En particular la relación con otros pensamientos aparece con mucha frecuencia, porque la variación y el cambio, aunque se representan usualmente por medio de sistemas algebraicos y analíticos, requieren de conceptos y procedimientos relacionados con distintos sistemas numéricos (en particular, del siste- ma de los números reales, fundamentales en la construcción de las funciones de variable real), geométricos, de medidas y de datos y porque todos estos sistemas, a su vez, pue- den presentarse en forma estática o en forma dinámica y variacional. El desarrollo de este pensamiento se inicia con el estudio de regularidades y la detec- ción de los criterios que rigen esas regularidades o las reglas de formación para iden- tiﬁcar el patrón que se repite periódicamente. Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos, sucesos, formas o sonidos, uno detrás de otro en un orden ﬁjado o de acuer- do a un patrón. De esta manera, la unidad que se repite con regularidad da lugar a un patrón. Al identiﬁcar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias, se desarrolla la capacidad para identiﬁcar en qué consiste la repetición de mismo patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto procedimiento, algoritmo o fórmula. 22.
Para desarrollar este pensamiento desde los primeros niveles de la Educación Básica 67 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASPrimaria son muy apropiadas, entre otras, las siguientes actividades: analizar de quéforma cambia, aumenta o disminuye la forma o el valor en una secuencia o sucesión deﬁguras, números o letras; hacer conjeturas sobre la forma o el valor del siguiente tér-mino de la secuencia; procurar expresar ese término, o mejor los dos o tres términossiguientes, oralmente o por escrito, o por medio de dibujos y otras representaciones,e intentar formular un procedimiento, algoritmo o fórmula que permita reproducirel mismo patrón, calcular los siguientes términos, conﬁrmar o refutar las conjeturasiniciales e intentar generalizarlas.Las actividades de generalización de patrones numéricos, geométricos y Las regularidadesde leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las ﬁguras (entendidas comoinvolucran la visualización, exploración y manipulación de los números y las unidades de repetición) seﬁguras en los cuales se basa el proceso de generalización17. Esta es unaforma muy apropiada de preparar el aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo encuentran en sucesiones ode los sistemas algebraicos y su manejo simbólico mucho antes de llegar al secuencias que presentanséptimo y octavo grado. Estas actividades preparan a los estudiantes para objetos, sucesos, formas ola construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal sonidos, uno detrás de otrode una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientesa partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o en un orden fijado o demenos directamente a la expresión algebraica. acuerdo a un patrón.El estudio del cambio también se puede iniciar en la Educación Básica Primaria a travésdel análisis de fenómenos de variación (por ejemplo, el crecimiento de una planta du-rante un mes o el cambio de la temperatura durante el día o el ﬂujo de vehículos frentea la institución durante una mañana) representados en gráﬁcas y tablas. Esta manera deacercarse al pensamiento variacional está muy relacionada con el manejo de los sistemasde datos y sus representaciones. Por el análisis cuidadoso de esas representaciones sepuede identiﬁcar la variación que ocurre y, en algunos casos, llegar a precisar la magnitudde los cambios y aun la tasa de cambio en relación con el tiempo.En la Educación Básica Secundaria, el sistema de representación más directamente li-gado con las variaciones es el sistema algebraico, pero éstas también se expresan pormedio de otros tipos de representaciones como las gestuales, las del lenguaje ordina-rio o técnico, las numéricas (tablas), las gráﬁcas (diagramas) y las icónicas, que actúancomo intermediarias en la construcción general de los procedimientos, algoritmos ofórmulas que deﬁnen el patrón y las respectivas reglas que permiten reproducirlo.El estudio de los patrones está relacionado con nociones y conceptos propios delpensamiento variacional, como constante, variable, función, razón o tasa de cambio,dependencia e independencia de una variable con respecto a otra, y con los distintostipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones, como las li-neales y las aﬁnes (o de gráﬁca lineal), las polinómicas y las exponenciales, así comocon las relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones. El estu-dio de las relaciones funcionales que pueden detectarse en la vida cotidiana, como lasrelaciones entre edad y altura de un niño (o entre edad y masa o peso corporal), entrela temperatura a lo largo de un día y la hora que marca un reloj, etc., permite coordinarcambios de una magnitud Y con cambios de una magnitud X. Esta primera aproxima- 17 Mason, J.; Burton, L. y Stacey, K. (1992). Pensar matemáticamen-ción a la noción la función es la de dependencia funcional entre magnitudes variables. te. Labor. Barcelona. 23.
Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el estu- 68COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS dio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. Es importante también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana, sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas. El desarrollo del pensamiento variacional, dadas sus características, es lento y com- plejo, pero indispensable para caracterizar aspectos de la variación tales como lo que cambia y lo que permanece constante, las variables que intervienen, el campo de va- riación de cada variable y las posibles relaciones entre esas variables. Además, en las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento, también se dan múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas, la puesta a prueba de las mismas, su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización, todo lo cual se relaciona con el pen- samiento lógico y el pensamiento cientíﬁco. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de ciertas representaciones matemáticas –gráﬁcas, tablas, ecuaciones, inecuaciones o desigualdades, etc.– que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en la resolución de problemas. Los objetos algebraicos, como por ejem- plo los términos algebraicos, se reconstruyen como representaciones de funciones y las ecuaciones e inecuaciones se reinterpretan como igualdades o desigualdades entre funciones. De aquí que las múltiples relaciones entre la producción de patrones de variación y el proceso de modelación –y particularmente el estudio de las nociones de variable y de función– sean las perspectivas más adecuadas para relacionar el pen- samiento variacional con el cálculo algebraico en la Educación Básica Secundaria y con la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral en la Educación Media. El desarrollo del álgebra en los Siglos XVI y XVII y el del cálculo diferencial e integral en los Siglos XVII y XVIII mostraron también que el pensamiento variacional no se podía reﬁnar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél. La relación del pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos muestra que el álgebra es un sistema potente de representación y de descripción de fenómenos de variación y cambio y no solamente un juego formal de símbolos no interpretados, por útiles, ingeniosos e interesantes que sean dichos juegos. Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables, constantes, pará- metros, términos, fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones, los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones, por ejemplo), para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición, o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad y el carácter antisimétrico y transitivo de la desigualdad). De esta manera, el cálculo algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación de los valo- res de las mediciones de cantidades relacionadas funcionalmente. Es necesario señalar que el desarrollo de este pensamiento debe también atender al estudio de las actividades matemáticas propias de los procesos inﬁnitos, pues son éstos los que caracterizan el campo conceptual del análisis matemático, en el cual se sitúa el 24.
cálculo diferencial e integral que se suele introducir en el grado 11. Por tal razón es nece- 69 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASsario incorporar tempranamente a los estudiantes en el estudio de los conceptos funda-mentales de ese campo y de las técnicas y métodos de estimación y de aproximación, locual se logra articulando la búsqueda de soluciones no exactas, de intervalos de valoresaceptables, de problemas de estimación de posibles valores en el contexto de medidasde longitudes, áreas y volúmenes y de modelos matemáticos de procesos biológicos, quí-micos y físicos que utilicen expresiones algebraicas. Se refuerza así a la estimación comonúcleo conceptual importante en el desarrollo del pensamiento numérico.Ya desde el comienzo de la Básica Secundaria cobra especial importancia el estudiode los números decimales como sistemas de representación de valores aproximadosy como expresiones inﬁnitas para números racionales e irracionales, así como el cál-culo del área del círculo, de los volúmenes de cilindros, conos y esferas y de las áreasexteriores de los mismos, todo lo cual prepara a los estudiantes para conceptualizar ellímite, la continuidad, la derivada como tasa de cambio instantánea y la integral deﬁni-da como límite de una suma. Relaciones entre los cinco tipos de pensamiento matemáticoLos cinco tipos de pensamiento descritos anteriormente tienen elementos conceptualescomunes que permiten el diseño de situaciones de aprendizaje –y en particular de situa-ciones problema– que integren los diferentes pensamientos y que, a la vez, posibilitanque los procesos de aprendizaje de las matemáticas se den a partir de la construcción deformas generales y articuladas de esos mismos tipos de pensamiento matemático. Entrelos elementos integradores de mayor relevancia se pueden destacar: • El estudio de la variación como una base fundamental para acceder a los procesos de generalización propios de cada uno de los pensamientos. En este sentido, el estudio de las propiedades de los números y sus operaciones y de la manera como varían sus resultados con el cambio de los argumentos u operandos, o de los obje- tos de la geometría y sus características y de la manera como cambian las medidas de las cantidades asociadas con las transformaciones de esos objetos, se propo- nen como procesos de abstracción y generalización a partir del análisis de lo que es invariante en medio de los aspectos variables de un conjunto de situaciones. Muchos de los conceptos de la aritmética y la geometría se suelen presentar en forma estática, pero ganarían mucho en ﬂexibilidad y generalidad y atraerían más el interés de los estudiantes si se presentan en forma dinámica y variacional. • El tratamiento de las magnitudes y sus procesos de medición se constituyen en la base conceptual sobre la cual se organizan los procesos conceptuales de cada pensamiento. El estudio de la variación hace necesaria una referencia a la identiﬁcación de variables, y por tanto, al reconocimiento de las magnitudes y de las medidas de las cantidades asociadas. Así, por ejemplo, ya se señaló a propósito del pensamiento numérico cómo el tratamiento de las magnitudes cobra fuerza en el aprendizaje del concepto de número (medir y contar como base para su aprendizaje), de las operaciones entre números (al operar no solo se opera sobre números, sino también, sobre las cantidades y magnitudes que ellos representan en el contexto del problema que se pretende resolver) y de las relaciones entre ellos (al comparar números es conveniente comparar longitudes de segmentos y trazos o marcas en una recta numérica). 25.
70 • La estimación y la aproximación son dos procesos presentes en los diferentesCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS pensamientos. Ellas son elementos fundamentales en la construcción de los conceptos, procesos y procedimientos relativos a cada pensamiento, princi- palmente al numérico, al métrico y al aleatorio; llaman la atención sobre el carácter inexacto e incompleto de muchos de los resultados de las matemáti- cas y de otras ciencias, y ayudan a organizar formas de pensamiento ﬂexibles asociadas a contextos particulares. De otra parte, muestran que en la mayoría de las situaciones cotidianas lo que se necesita es tener una buena estimación del rango de magnitud de un resultado y no tanto un resultado exacto. • El tratamiento de los conceptos relativos a la medida de magnitudes compues- tas a partir de las relaciones funcionales con respecto a las magnitudes fun- damentales que las componen hace que conceptos como el de área, volumen, velocidad, aceleración, densidad, etc., puedan entenderse como funciones de otras magnitudes más simples. Igualmente, esta aproximación hace que los conceptos relativos al pensamiento métrico se relacionen de manera directa con el numérico y sirvan de puente para el estudio de las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales. • El tratamiento de las situaciones que involucran fenómenos estocásticos hace necesario el recurso a conceptos relacionados con el pensamiento variacional, al igual que el recurso a los conceptos numéricos, en tanto que se deben identi- ﬁcar variables, determinar su comportamiento a lo largo de su posible conjunto de valores, discriminar entre las variables independientes y las dependientes, y determinar, dentro de las posibilidades del fenómeno, la distribución de las va- riables independientes para predecir el posible comportamiento de las variables dependientes para distintos rangos de valores de las dependientes. Los tres contextos en el aprendizaje de las matemáticas El contexto del aprendizaje de las matemáticas es el lugar –no sólo físico, sino ante todo sociocultural– desde donde se construye sentido y signiﬁcado para las activida- des y los contenidos matemáticos, y por lo tanto, desde donde se establecen conexio- nes con la vida cotidiana de los estudiantes y sus familias, con las demás actividades de la institución educativa y, en particular, con las demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas. La palabra contexto, tal como se utiliza en los Lineamien- tos Curriculares18, se reﬁere tanto al contexto más amplio –al entorno sociocultural, al ambiente local, regional, nacional e internacional– como al contexto intermedio de la institución escolar –en donde se viven distintas situaciones y se estudian distintas áreas– y al contexto inmediato de aprendizaje preparado por el docente en el espacio del aula, con la creación de situaciones referidas a las matemáticas, a otras áreas, a la vida escolar y al mismo entorno sociocultural, etc., o a situaciones hipotéticas y aun fantásticas, a partir de las cuales los alumnos puedan pensar, formular, discutir, argu- mentar y construir conocimiento en forma signiﬁcativa y comprensiva. Por ello también se podría decir, como se dijo con respecto a los procesos generales y a los tipos de pensamiento, que hay al menos tres tipos o niveles de contexto o, si se 18 Ministerio de Educación Nacional (1998). Matemáticas. Linea- preﬁere, que hay tres contextos distintos pero muy relacionados entre sí: el contexto in- mientos curriculares. MEN. Bogotá, págs. 36, 38, 41 y 42. mediato o contexto de aula, creado por la disposición de las paredes, ventanas, muebles 26.
y materiales, por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por 71 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASla situación problema preparada por el docente; el contexto escolar o contexto institu-cional, conﬁgurado por los escenarios de las distintas actividades diarias, la arquitecturaescolar, las tradiciones y los saberes de los estudiantes, docentes, empleados adminis-trativos y directivos, así como por el PEI, las normas de convivencia, el currículo explícitode las distintas áreas curriculares y el llamado “currículo oculto” de la institución, y elcontexto extraescolar o contexto sociocultural, conformado por todo lo que pasa fuera dela institución en el ambiente de la comunidad local, de la región, el país y el mundo.Cuando se habla de preparar situaciones problema, proyectos de aula, unidades o pro-yectos integrados, actividades y otras situaciones de aprendizaje, se suele decir queéstas deben ser adaptadas al contexto o tomadas del contexto. Esta recomendaciónsuele entenderse como la búsqueda de una relación cercana con el contexto extraes-colar o sociocultural de los estudiantes; dicha relación es importante para despertarsu interés y permitirles acceder a las actividades con una cierta familiaridad y com-prensión previa, pero no puede olvidarse que este contexto extraescolar o sociocul-tural no se reduce al vecindario, al municipio, al departamento o a la región, sino quese extiende al país y a todo el planeta Tierra, y tal vez al universo entero, pues paramuchos estudiantes el espacio, los planetas, el sistema solar, las estrellas, conste-laciones y galaxias son tan cercanas a su interés y a sus afectos como los accidentesgeográﬁcos de sus pueblos y ciudades.Esta útil recomendación de tener muy en cuenta el contexto extraescolar o sociocultu-ral para el diseño y planeación de las actividades y situaciones de clase no puede servirde excusa para no trabajar también situaciones problema relacionadas con el contextoescolar o institucional, en particular con las actividades que ocurren en las clases dedistintas áreas curriculares como el lenguaje, las ciencias sociales y las naturales, laeducación física y la artística, de las cuales pueden tomarse provechosamente muchostemas y situaciones muy bien contextualizadas para el trabajo matemático. Igualmente,dentro del ambiente de trabajo que se crea en la clase de matemáticas se pueden dise-ñar situaciones problema que a un observador externo le pueden parecer puramenteteóricas y alejadas del contexto extraescolar o del sociocultural, pero que pueden es-tar muy bien contextualizadas en el ambiente de estudio e investigación matemáticaque el docente ha logrado crear en el contexto inmediato de su aula.Así pues, los contextos, los tipos de pensamiento con sus sistemas conceptuales y simbóli-cos más aﬁnes y los procesos generales de la actividad matemática se entrecruzan en cadaclase, en cada situación problema, en cada unidad temática, proyecto de aula o períodoacadémico. En la misma forma, los Estándares Básicos de Competencias en matemáticasse distribuyen según los tipos de pensamiento y sus sistemas, pero involucran también losprocesos generales, reﬂejan los que tradicionalmente se habían llamado “los contenidosdel área”, o sea, los conceptos y procedimientos de las matemáticas, y se reﬁeren a loscontextos en los cuales se pueden alcanzar y ojalá superar los niveles de competenciaseleccionados como estándares para cada conjunto de grados. A su vez, la competenciaprofesional del docente de matemáticas se muestra precisamente en su manera de nave-gar en medio de tantas corrientes y vientos cruzados, ante todo en la toma de decisionesprevias a la realización de cada actividad, en las que es necesario tomar continuamente enel curso de la misma y en las que se toman después de ella como resultado de la evalua-ción que el docente hace de sus alumnos y del éxito de la actividad misma. 27.
72COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS Sobre la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación Conforme a los planteamientos expuestos en el apartado anterior, la enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cual el do- cente planea, gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemático signiﬁcativo y comprensivo –y en particular situaciones problema– para sus alumnos y así permi- te que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen con sus compañeros, profesores y materiales para reconstruir y validar personal y colectivamente el saber matemático. Para comprender de forma más detallada cómo y qué aspectos deben impulsarse, a continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones. Partir de situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo de las matemáticas Las situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo en las matemáticas escola- res son situaciones que superan el aprendizaje pasivo, gracias a que generan contextos accesibles a los intereses y a las capacidades intelectuales de los estudiantes y, por tanto, les permiten buscar y deﬁnir interpretaciones, modelos y problemas, formular estrategias de solución y usar productivamente materiales manipulativos, representa- tivos y tecnológicos. En la comunidad de educadores matemáticos se distingue hoy claramente entre si- tuación y actividad. Por situación se entiende el conjunto de problemas, proyectos, investigaciones, construcciones, instrucciones y relatos que se elaboran basados en las matemáticas, en otras ciencias y en los contextos cotidianos y que en su tratamien- to generan el aprendizaje de los estudiantes. En sus experiencias con el tratamiento de una situación bien preparada, el conocimiento surge en ellos como la herramienta más eﬁcaz en la solución de los problemas relacionados con la misma. Por su parte, la actividad se reﬁere al trabajo intelectual personal y grupal de los estu- diantes, tales como deﬁnir estrategias para interpretar, analizar, modelar y reformular la situación; formular preguntas y problemas, conjeturas o hipótesis; explicar, justiﬁ- car (y aun demostrar) o refutar sus conjeturas e hipótesis; utilizar materiales mani- pulativos; producir, interpretar y transformar representaciones (verbales, gestuales, gráﬁcas, algebraicas, tabulares, etc.); calcular con lápiz y papel o emplear calculadoras y hojas de cálculo u otros programas de computador; comparar y discutir resultados producidos con o sin computador; redactar y presentar informes, etc. En este sentido, la actividad estimulada por la situación permite avanzar y profundizar en la compren- sión, en las habilidades y en las actitudes de los estudiantes, en una palabra: en las competencias matemáticas. La situación problema apunta siempre a distintos contenidos y hacia diversas estruc- turas matemáticas, pero éstos no son evidentes en sí mismos, sino que tienen que ser interpretados activamente por los estudiantes. En esta interpretación intervienen tanto factores sociales y culturales propios de la clase de matemáticas, como los que median a través del ambiente de aprendizaje y el clima institucional y los que provienen del contexto extraescolar. Es importante señalar que un mismo contenido matemático 28.
puede –y en ocasiones debe– presentarse a través de diversas situaciones, como es 73 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASel caso de la multiplicación y sus diversos signiﬁcados, de las fracciones y sus diversasinterpretaciones, etc.La importancia de la naturaleza y la variedad de situaciones es un aspecto determinan-te para la calidad de las actividades de los estudiantes. Es necesario señalar que lasactividades de los estudiantes están inﬂuenciadas por el tipo de instrucciones con quese presentan las situaciones, por el tipo de preguntas que se proponen en ellas, porlos materiales utilizados y por las formas de enseñanza, guía y apoyo de los docentesque median en el tratamiento de la misma.Diseñar procesos de aprendizaje mediados por escenarios culturales y socialesEl aprendizaje se propone como un proceso activo queemerge de las interacciones entre estudiantes y contextos,entre estudiantes y estudiantes y entre estudiantes y pro- Al momento de iniciar elfesores en el tratamiento de las situaciones matemáticas. aprendizaje de un nuevo concepto,Estas formas de interacción tienen importancia capital parala comunicación y la negociación de signiﬁcados. Por ello lo que el estudiante ya sabe sobrese enfatiza en el diseño de situaciones matemáticas que ese tema de las matemáticasposibiliten a los estudiantes tomar decisiones; exponer ( formal o informalmente), o sea,sus opiniones y ser receptivos a las de los demás; generardiscusión y desarrollar la capacidad de justiﬁcar las aﬁrma- sus concepciones previas, susciones con argumentos. Todo ello conlleva a incluir en la or- potencialidades y sus actitudes, songanización del aprendizaje matemático el trabajo en equipo la base de su proceso de aprendizaje.y a fomentar la cooperación entre los estudiantes, la cual noexcluye momentos de competición sana y leal entre ellos ocon otros cursos, grados y colegios.Fomentar en los estudiantes actitudes de aprecio,seguridad y confianza hacia las matemáticasAl momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto, lo que el estudiante yasabe sobre ese tema de las matemáticas (formal o informalmente), o sea, sus con-cepciones previas, sus potencialidades y sus actitudes, son la base de su procesode aprendizaje. Así al docente le parezca que las concepciones previas son erró-neas, las potencialidades mínimas y las actitudes negativas, no dispone de otra basepara que el estudiante mismo inicie activamente sus procesos de aprendizaje. Sóloa partir de ellas puede empezar a cuestionar las preconcepciones, a incrementar laspotencialidades y a modiﬁcar las actitudes para que el progreso en los saberes con-ceptuales y procedimentales le vaya dando la seguridad y la conﬁanza en que puedeavanzar hacia nuevos aprendizajes. En ocasiones, estos saberes previos deben am-pliarse a redes conceptuales más generales, reconstruirse, o incluso descartarsecomo inútiles por el mismo estudiante, pero en ningún caso descaliﬁcarse o serobjeto de burla o reprensión por parte de profesores y compañeros. Esta construc-ción y reconstrucción de sentidos y signiﬁcados matemáticos, que el estudiante viveen la tensión entre lo que ya sabe o cree saber y lo que se le propone para aprender,genera en él una posición activa y una actitud positiva para enfrentar esos nuevosaprendizajes. 29.
74 Si bien esta consideración cuidadosa y respetuosa de las concepciones previas delCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS estudiante, de sus potencialidades y de sus actitudes hacia las matemáticas es ca- racterística de una posición constructivista del aprendizaje, también es necesario reconocer que es una característica distintiva de muchas otras propuestas actuales en la pedagogía de las matemáticas y, en particular, de las teorías del aprendizaje sig- niﬁcativo y de la enseñanza para la comprensión. El reconocimiento de nociones y conocimientos previos, potencialidades, y actitudes del estudiante pone de maniﬁesto –entre otras– dos cuestiones importantes: de un lado, el reconocimiento de que el estudiante nunca parte de cero para desarrollar sus procesos de aprendizaje y, de otro, el reconocimiento de su papel activo cuando se enfrenta a las situaciones pro- blema propuestas en el aula de clase. Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza Como se mencionó antes, desarrollar las competencias matemáticas supone organizar procesos de enseñanza y aprendizaje basados en estructuras curriculares dinámicas que se orienten hacia el desarrollo de competencias. Esto obliga al diseño de proce- sos, situaciones y actividades contextualizadas en situaciones que portan una visión integral del conocimiento matemático, centradas en el desarrollo de las competencias matemáticas, orientadas a alcanzar las dimensiones políticas, culturales y sociales de la educación matemática. Estos elementos imprimen nuevas dinámicas a las prácticas escolares de enseñar y aprender matemáticas que ayudan a estructurar los procesos curriculares y a planear las actividades de aula. De igual modo, es necesario ampliar la visión sobre los textos escolares y las directivas ministeriales como los únicos medios para hacer explicitas las exigencias del cambio. Se trata de generar la necesidad de mirar críticamente la amplia oferta de textos esco- lares que se encuentra en el mercado, de tal forma que se tenga una vigilancia crítica por parte de los docentes sobre la pertinencia, concordancia y coherencia de éstos con los ﬁnes de la educación y las políticas del sistema educativo, en particular con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias. Se trata tam- bién de ampliar, profundizar, y por que no, de trascender los textos escolares y los do- cumentos oﬁciales a través de una amplia documentación bibliográﬁca, disponible hoy en día en múltiples formatos (impresos y digitales) que se pueden obtener a través del Ministerio de Educación Nacional, las Secretarías de Educación Departamental y Municipal, las bibliotecas y centros de documentación de las alcaldías y universidades, la consulta en Internet y el intercambio con otros colegas. Así mismo, la conformación de grupos de trabajo por departamento en cada institu- ción, o de grupos informales de autoformación y de investigación, dejará atrás las pro- puestas de los textos escolares y de los documentos oﬁciales en el avance de los do- centes hacia el perfeccionamiento de sus conocimientos matemáticos, pedagógicos y didácticos, de sus estrategias de enseñanza y del logro de aprendizajes signiﬁcativos y comprensivos en sus estudiantes, que ojalá los lleven mucho más allá de lo que pro- ponen los estándares para cada conjunto de grados. Aprovechar la variedad y eficacia de los recursos didácticos Los recursos didácticos, entendidos no sólo como el conjunto de materiales apropia- dos para la enseñanza, sino como todo tipo de soportes materiales o virtuales sobre 30.
los cuales se estructuran las situaciones problema más apropiadas para el desarrollo 75 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASde la actividad matemática de los estudiantes, deben ser analizados en términos de loselementos conceptuales y procedimentales que efectivamente permiten utilizarlos siya están disponibles, o si no existen, diseñarlos y construirlos.Dicho de otra manera, cada conjunto de recursos, puestos en escena a través de unasituación de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo, permite recrear ciertos elemen-tos estructurales de los conceptos y de los procedimientos que se proponen paraque los estudiantes los aprendan y ejerciten y, así, esa situación ayuda a profundizar yconsolidar los distintos procesos generales y los distintos tipos de pensamiento mate-mático. En este sentido, a través de las situaciones, los recursos se hacen mediadoreseﬁcaces en la apropiación de conceptos y procedimientos básicos de las matemáticasy en el avance hacia niveles de competencia cada vez más altos.Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con ﬁnes educativos(regletas, ﬁchas, cartas, juegos, modelos en cartón, madera o plástico, etc.); o toma-dos de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los ﬁnes que requiera latarea. Entre estos recursos, pueden destacarse aquellos conﬁgurados desde ambien-tes informáticos como calculadoras, software especializado, páginas interactivas deInternet, etc. Estos ambientes informáticos, que bien pueden estar presentes desdelos primeros años de la Educación Básica, proponen nuevos retos y perspectivas a losprocesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en tanto que permiten re-organizaciones curriculares, pues no sólo realizan de manera rápida y eﬁciente tareasrutinarias, sino que también integran diferentes tipos de representaciones para eltratamiento de los conceptos (tablas, gráﬁcas, ecuaciones, simulaciones, modelacio-nes, etc.). Todo esto facilita a los alumnos centrarse en los procesos de razonamientopropio de las matemáticas y, en muchos casos, puede poner a su alcance problemáti-cas antes reservadas a otros niveles más avanzados de la escolaridad19.Refinar los procesos de evaluaciónLa evaluación formativa ha de poner énfasis en la valoración permanente de las dis-tintas actuaciones de los estudiantes cuando interpretan y tratan situaciones mate-máticas y a partir de ellas formulan y solucionan problemas. Estas actuaciones sepotencian cuando el docente mantiene siempre la exigencia de que los estudiantespropongan interpretaciones y conjeturas; proporcionen explicaciones y ampliaciones;argumenten, justiﬁquen y expliquen los procedimientos seguidos o las soluciones pro-puestas20.La evaluación formativa como valoración permanente integra la observación atenta ypaciente como herramienta necesaria para obtener información sobre la interacciónentre estudiantes, entre éstos y los materiales y recursos didácticos y sobre los pro-cesos generales de la actividad matemática tanto individual como grupal. Para obtener 19 Respecto a este tema de los medios informáticos en la enseñanzainformación de calidad sobre las actividades de los estudiantes es necesario precisar de las matemáticas existe una amplia documentación publicada por el MEN, la cual se referencia en la Bibliografía.los criterios de referencia acordes con lo que se cree es el nivel exigible de la activi- 20 Wiske, M. S. (Comp.). (2003). La enseñanza para la comprensión.dad matemática del estudiante en el conjunto de grados al que pertenece. No puede Vinculación entre la investigación y la práctica. Paidós. Buenos Aires, Barcelona, México, págs. 115-120. Ver también:olvidarse que la calidad de los juicios que se emitan sobre el avance en los niveles de República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). Pequeños aprendices, grandes comprensiones (Rosario Jaramillocompetencia de los estudiantes depende de un amplio número de evidencias de las Franco, Directora General de la Obra, 2 vols.). MEN. Bogotá, vol.actuaciones de los estudiantes, obtenidas de diversas fuentes de información y de 1, págs. 95-107. 31.
76 distintas situaciones que estimulen las producciones orales, gestuales, pictóricas yCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS escritas. El registro de las evidencias por parte del docente, complementado con los registros que cada estudiante debe llevar de su propio trabajo –carpetas para la Bási- ca Primaria y diarios de clase y portafolios para la Básica Secundaria y la Media– ayuda para que los estudiantes se apropien de su propio avance y asuman la responsabilidad conjunta en su aprendizaje. La estructura de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas seleccionan algunos de los niveles de avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional. Por ello aparecen en cinco columnas que corresponden a cada uno de dichos tipos de pensa- miento y a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a él, aunque muchos de esos estándares se reﬁeran también a otros tipos de pensamiento y a otros sistemas. En forma semejante, cada estándar de cada columna pone el énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que cruzan dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algo- ritmos), pero suele referirse también a otros procesos generales que pueden prac- ticarse en distintos contextos para contribuir a superar el nivel seleccionado como estándar. Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero, cuar- to a quinto, sexto a séptimo, octavo a noveno y décimo a undécimo) para dar mayor ﬂexibilidad a la distribución de las actividades dentro del tiempo escolar y para apoyar al docente en la organización de ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo que estimulen a los estudiantes a superar a lo largo de dichos grados los niveles de competencia respectivos y, ojalá, a ir mucho más allá de lo especiﬁcado en los estándares de ese conjunto de grados. El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias que se desarrollan gradual e integradamente, con el ﬁn de ir superando niveles de complejidad creciente en el desarrollo de las competencias matemáticas a lo largo del proceso educativo. Los estándares presentados a continuación no deben pues entenderse como metas que se puedan delimitar en un tiempo ﬁjo determinado, sino que éstos identiﬁcan niveles de avance en procesos graduales que, incluso, no son terminales en el conjunto de grados para el que se proponen. Dicho de otra ma- nera, si en un conjunto de dos grados se proponen 12 estándares para un determinado pensamiento, ello no signiﬁca que éstos pueden dividirse por partes iguales entre los grados de dicho conjunto (por ejemplo, seis para un grado y seis para el otro), ni menos todavía puede pensarse en una separación por periodos del año escolar claramente delimitados para cada uno de esos estándares. Por el contrario, se debe 32.
procurar una organización del trabajo escolar que garantice un trabajo integrado de 77 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAStodos los estándares correspondientes a mismo grupo de grados y que atienda a suconexión con los estándares de los grados anteriores y de los siguientes (ver másabajo la sección sobre coherencia vertical y horizontal de los estándares).Si bien en este libro el capítulo de los Estándares Básicos de Competencias en Mate-máticas se encuentra separado de los de otras áreas y del de las competencias ciuda-danas y, además, los estándares están distribuidos por columnas correspondientesa cada tipo de pensamiento y a sus sistemas asociados, esta organización respondeexclusivamente a una necesidad analítica, pues en la práctica del diseño de situacionesde aprendizaje es conveniente que se integren estándares de varios tipos de pensa-miento matemático y de una o más áreas diferentes. En una misma situación problemadel área de matemáticas –y más todavía en proyectos integrados de dos o más deellas– usualmente se involucran conceptos, proposiciones, teorías y procedimientosde diferentes áreas, distintos tipos de pensamiento matemático y todos los procesosgenerales, y en el aprendizaje de un determinado concepto es necesario ubicarlo yutilizarlo en los distintos contextos.Se trata, entonces, de comprender que la organización curricular de cada institución, encoherencia con su PEI, debe buscar el desarrollo de un trabajo integrado en los distintospensamientos, más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de losdemás. Esto se logra si el desarrollo del trabajo en el aula se piensa desde las situacio-nes de aprendizaje –y en particular desde las situaciones problema– más que desdelos contenidos, para aprovechar de esta forma en cada situación las posibilidades derelacionar los distintos estándares y los diferentes tipos de pensamiento matemático.Así mismo, en cada institución se pueden coordinar docentes de distintas áreas paraproponer proyectos integrados que integren dos o más de ellas a lo largo de actividadesprogramadas para resolver problemas de la institución o del entorno, o articuladas alre-dedor de tópicos generadores, narraciones o proyectos productivos21. A través de unosolo de estos proyectos integrados debidamente diseñado y gestionado, los estudiantespueden avanzar con mucha motivación y satisfacción en distintas competencias relacio-nadas con varias áreas y llegar a superar varios de los estándares de esas áreas para unconjunto de grados y aun para otros conjuntos de grados más avanzados.La manera como está formulado cada estándarAsí entonces, los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen encada una de las cinco columnas, que están encabezadas por el tipo de pensamiento res-pectivo y los sistemas asociados a él, se reﬁeren también a la siguiente estructura:Procesos Conceptos Contextosgenerales y procedimientos matemáticosLa estructura descrita es evidente en tanto los cinco procesos generales que seproponen en los Lineamientos Curriculares para toda actividad matemática y que se 21 República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997).describieron arriba (formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos Pequeños aprendices, grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco, Directora General de la Obra, 2 vols.). MEN. Bogotá. Sobrede la realidad; comunicar; razonar, y formular, comparar y ejercitar procedimientos integración curricular, ver también:y algoritmos) constituyen las actividades intelectuales que van a permitir a los estu- Vasco, C. E.; Bermúdez, A.; Escobedo, H.; Negret, J. C. y León, T. (1999). El saber tiene sentido. Una propuesta de integración curri-diantes alcanzar y superar un nivel suﬁciente en las competencias; de igual manera, cular. CINEP. Bogotá. 33.
78 tal como se ha descrito, el desarrollo de las competencias es mediado por diferentesCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS contextos, ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo de las matemáticas, en donde procesos generales como la comunicación y el razonamiento son esenciales para todos ellos. Los estándares para cada pensamiento están basados en la interacción entre la fa- ceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar, se requiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las ma- temáticas formales. El tejido de estos hilos requiere aceptar, tal como se ha descrito en cada pensamiento, que un concepto matemático admite diversas aproximaciones, como por ejemplo, los distintos signiﬁcados de las fracciones o los signiﬁcados de la multiplicación presentes en la estructura multiplicativa; del mismo modo, las pro- posiciones acerca de las propiedades de las operaciones numéricas, de las ﬁguras geométricas, etc., pueden alcanzarse usualmente por más de una vía. En cuanto a cada uno de los cinco tipos de pensamiento (numérico, espacial, métri- co, variacional y aleatorio), si bien es necesario distinguir procesos y procedimien- tos asociados a cada uno de esos tipos (por ejemplo, para el numérico, la lectura y escritura de números), también es necesario reconocer que algunos son trans- versales a varios de ellos, como es el caso de los procedimientos asociados a las representaciones gráﬁcas, pues el uso de gráﬁcas incluye la representación lineal de los números en la recta numérica; la representación de conceptos geométricos por medio de ﬁguras; las representaciones de relaciones entre dos variables por medio de gráﬁcas cartesianas o las representaciones en gráﬁcos de barras en los sistemas de datos. A medida que los estudiantes avanzan en la Educación Básica y Media, la compleji- dad conceptual de sus conocimientos no se evidencia sólo en los aspectos formales de la disciplina que ellos pueden expresar verbalmente o por escrito, sino también en el tipo de procesos generales de la actividad matemática que pueden realizar con solvencia, eﬁcacia y actitud positiva. A medida que los estudiantes vayan dis- poniendo de mejores comprensiones conceptuales, van a poder desarrollar pro- cesos de mayor complejidad y estarán en capacidad de enfrentar el tratamiento de situaciones de mayor nivel de abstracción. Así, los contextos y situaciones dentro de los cuales los estudiantes pueden desplegar su actividad matemática pueden y deben involucrar mayores niveles de complejidad y ofrecerles desafíos cada vez más retadores, para darles oportunidad de avanzar en los niveles de competencia matemática señalados en los estándares del conjunto de grados respectivo y, ojalá, para superarlos ampliamente. Coherencia vertical y horizontal La complejidad conceptual y la gradualidad del aprendizaje de las matemáticas a las que ya se hizo mención exigen en los estándares una alta coherencia tanto vertical como horizontal. La primera está dada por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados. La segunda está 34.
dada por la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los 79 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICASdemás pensamientos dentro del mismo conjunto de grados.Un ejemplo de la coherencia vertical y de la horizontal se presenta en el diagrama si-guiente, que toma distintos estándares relacionados con el pensamiento métrico. Así,la coherencia vertical se hace evidente en el primer ejemplo, porque –si bien el con-tenido matemático es el mismo: la medición– aquello que varía en los estándares depensamiento métrico de un conjunto de grados a otro es la complejidad y precisión delproceso de medición o la de las unidades utilizadas. La coherencia horizontal tambiénes clara en el ejemplo siguiente, porque en los procesos de medición (pensamientométrico) es necesario describir la situación numéricamente (por ejemplo un área ovolumen, la hora del día, la temperatura del salón, etc., en donde los resultados de lasmediciones implican el pensamiento numérico); tener en cuenta las característicasgeométricas de los patrones y gráﬁcos usados para describir los datos (por ejemplo,si en los pictogramas o en las gráﬁcas de barras es importante sólo la altura o tambiénel área de la barra, como sí es importante en las gráﬁcas circulares, lo que involucrael pensamiento espacial) y seleccionar los tipos de gráﬁcas y las convenciones nece-sarias para traducir los datos numéricos de las tablas de datos en el tipo de gráﬁcaseleccionado (pensamiento aleatorio). De 10º a 11º: Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión especíﬁcos. De 8º a 9º: Justiﬁco la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situacio- Coherencia nes tomadas de distintas ciencias. vertical De 6º a 7º: Identiﬁco relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. De 4º a 5º: Selecciono unidades, tanto convencionales como estandarizadas, apropiadas para diferentes mediciones. Pensamiento Numérico: Describo, comparo y cuantiﬁco situaciones De 1º a 3º con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones. Pensamiento métrico Pensamiento Geométrico: Reconozco congruencia y semejanza en- Realizo y describo procesos de tre ﬁguras (ampliar, reducir). medición con patrones arbitra- rios y algunos estandarizados, de Pensamiento Aleatorio: Represento datos relativos a mi entorno acuerdo al contexto. usando objetos concretos, pictogramas y diagramas de barras. Coherencia horizontal 35.
80 Estándares Básicos de Competencias en MatemáticasCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS Primero a tercero Al terminar tercer grado... PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Reconozco signiﬁcados del número en diferentes contex- • Diferencio atributos y propiedades de objetos tridimen- tos (medición, conteo, comparación, codiﬁcación, locali- sionales. zación entre otros). • Dibujo y describo cuerpos o ﬁguras tridimensionales en • Describo, comparo y cuantiﬁco situaciones con números, distintas posiciones y tamaños. en diferentes contextos y con diversas representaciones. • Reconozco nociones de horizontalidad, verticalidad, pa- • Describo situaciones que requieren el uso de medidas ralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su relativas. condición relativa con respecto a diferentes sistemas de • Describo situaciones de medición utilizando fracciones referencia. comunes. • Represento el espacio circundante para establecer rela- • Uso representaciones –principalmente concretas y pictó- ciones espaciales. ricas– para explicar el valor de posición en el sistema de • Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una ﬁgura. numeración decimal. • Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del • Uso representaciones –principalmente concretas y pic- arte y el diseño. tóricas– para realizar equivalencias de un número en las • Reconozco congruencia y semejanza entre ﬁguras (am- diferentes unidades del sistema decimal. pliar, reducir). • Reconozco propiedades de los números (ser par, ser • Realizo construcciones y diseños utilizando cuerpos y ﬁ- impar, etc.) y relaciones entre ellos (ser mayor que, ser guras geométricas tridimensionales y dibujos o ﬁguras menor que, ser múltiplo de, ser divisible por, etc.) en di- geométricas bidimensionales. ferentes contextos. • Desarrollo habilidades para relacionar dirección, distancia • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de y posición en el espacio. composición y de transformación. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de variación proporcional. • Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cál- culo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. • Identiﬁco, si a la luz de los datos de un problema, los re- sultados obtenidos son o no razonables. • Identiﬁco regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculado- ras, ábacos, bloques multibase, etc.). 0 0 Matemáticas 1 -3 36.
81 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS PENSAMIENTO MÉTRICO Y PENSAMIENTO ALEATORIO PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS DE MEDIDAS Y SISTEMAS DE DATOS SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS• Reconozco en los objetos propieda- • Clasiﬁco y organizo datos de acuerdo • Reconozco y describo regularida- des o atributos que se puedan me- a cualidades y atributos y los presen- des y patrones en distintos contex- dir (longitud, área, volumen, capaci- to en tablas. tos (numérico, geométrico, musi- dad, peso y masa) y, en los eventos, • Interpreto cualitativamente datos cal, entre otros). su duración. referidos a situaciones del entorno • Describo cualitativamente situacio-• Comparo y ordeno objetos respecto escolar. nes de cambio y variación utilizando a atributos medibles. • Describo situaciones o eventos a el lenguaje natural, dibujos y gráﬁ-• Realizo y describo procesos de me- partir de un conjunto de datos. cas. dición con patrones arbitrarios y • Represento datos relativos a mi • Reconozco y genero equivalencias algunos estandarizados, de acuerdo entorno usando objetos concretos, entre expresiones numéricas y al contexto. pictogramas y diagramas de barras. describo cómo cambian los símbo-• Analizo y explico sobre la pertinen- • Identiﬁco regularidades y tenden- los aunque el valor siga igual. cia de patrones e instrumentos en cias en un conjunto de datos. • Construyo secuencias numéricas procesos de medición. • Explico –desde mi experiencia– la y geométricas utilizando propieda-• Realizo estimaciones de medidas posibilidad o imposibilidad de ocu- des de los números y de las ﬁguras requeridas en la resolución de pro- rrencia de eventos cotidianos. geométricas. blemas relativos particularmente • Predigo si la posibilidad de ocurren- a la vida social, económica y de las cia de un evento es mayor que la de ciencias. otro.• Reconozco el uso de las magnitudes • Resuelvo y formulo preguntas que y sus unidades de medida en situa- requieran para su solución colec- ciones aditivas y multiplicativas. cionar y analizar datos del entorno próximo. 37.
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas 82COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS Cuarto a quinto Al terminar quinto grado... PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situa- • Comparo y clasiﬁco objetos tridimensionales de acuerdo ciones de medición, relaciones parte todo, cociente, razo- con componentes (caras, lados) y propiedades. nes y proporciones. • Comparo y clasiﬁco ﬁguras bidimensionales de acuerdo • Identiﬁco y uso medidas relativas en distintos contextos. con sus componentes (ángulos, vértices) y característi- • Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en di- cas. ferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con • Identiﬁco, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, la de los porcentajes. inclinaciones, ﬁguras, puntas y esquinas en situaciones es- • Justiﬁco el valor de posición en el sistema de numeración táticas y dinámicas. decimal en relación con el conteo recurrente de unida- • Utilizo sistemas de coordenadas para especiﬁcar localiza- des. ciones y describir relaciones espaciales. • Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución • Identiﬁco y justiﬁco relaciones de congruencia y semejan- requiera de las relaciones y propiedades de los números za entre ﬁguras. naturales y sus operaciones. • Construyo y descompongo ﬁguras y sólidos a partir de con- • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de diciones dadas. composición, transformación, comparación e igualación. • Conjeturo y veriﬁco los resultados de aplicar transforma- • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de propor- ciones a ﬁguras en el plano para construir diseños. cionalidad directa, inversa y producto de medidas. • Construyo objetos tridimensionales a partir de represen- • Identiﬁco la potenciación y la radicación en contextos ma- taciones bidimensionales y puedo realizar el proceso con- temáticos y no matemáticos. trario en contextos de arte, diseño y arquitectura. • Modelo situaciones de dependencia mediante la propor- cionalidad directa e inversa. • Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicati- vas. • Identiﬁco, en el contexto de una situación, la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos. • Justiﬁco regularidades y propiedades de los números, sus relaciones y operaciones. 0 0 Matemáticas 4 -5 38.
83 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS PENSAMIENTO MÉTRICO Y PENSAMIENTO ALEATORIO PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS DE MEDIDAS Y SISTEMAS DE DATOS SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS• Diferencio y ordeno, en objetos y • Represento datos usando tablas y • Describo e interpreto variaciones eventos, propiedades o atributos gráﬁcas (pictogramas, gráﬁcas de representadas en gráﬁcos. que se puedan medir (longitudes, barras, diagramas de líneas, diagra- • Predigo patrones de variación en distancias, áreas de superﬁcies, vo- mas circulares). una secuencia numérica, geométri- lúmenes de cuerpos sólidos, volú- • Comparo diferentes representacio- ca o gráﬁca. menes de líquidos y capacidades de nes del mismo conjunto de datos. • Represento y relaciono patrones recipientes; pesos y masa de cuer- • Interpreto información presentada numéricos con tablas y reglas ver- pos sólidos; duración de eventos o en tablas y gráﬁcas. (pictogramas, bales. procesos; amplitud de ángulos). gráﬁcas de barras, diagramas de lí- • Analizo y explico relaciones de de-• Selecciono unidades, tanto con- neas, diagramas circulares). pendencia entre cantidades que vencionales como estandarizadas, • Conjeturo y pongo a prueba predic- varían en el tiempo con cierta regu- apropiadas para diferentes medi- ciones acerca de la posibilidad de laridad en situaciones económicas, ciones. ocurrencia de eventos. sociales y de las ciencias naturales.• Utilizo y justiﬁco el uso de la esti- • Describo la manera como parecen • Construyo igualdades y desigualda- mación para resolver problemas distribuirse los distintos datos de des numéricas como representa- relativos a la vida social, económica un conjunto de ellos y la comparo ción de relaciones entre distintos y de las ciencias, utilizando rangos con la manera como se distribuyen datos. de variación. en otros conjuntos de datos.• Utilizo diferentes procedimientos • Uso e interpreto la media (o prome- de cálculo para hallar el área de la dio) y la mediana y comparo lo que superﬁcie exterior y el volumen de indican. algunos cuerpos sólidos. • Resuelvo y formulo problemas a par-• Justiﬁco relaciones de dependencia tir de un conjunto de datos prove- del área y volumen, respecto a las nientes de observaciones, consultas dimensiones de ﬁguras y sólidos. o experimentos.• Reconozco el uso de algunas mag- nitudes (longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa, duración, rapidez, temperatura) y de algunas de las unidades que se usan para medir cantidades de la magnitud respectiva en situaciones aditivas y multiplicativas.• Describo y argumento relaciones entre el perímetro y el área de ﬁgu- ras diferentes, cuando se ﬁja una de estas medidas. 39.
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas 84COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS Sexto a séptimo Al terminar séptimo grado... PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas • Represento objetos tridimensionales desde diferentes relativas y de variaciones en las medidas. posiciones y vistas. • Utilizo números racionales, en sus distintas expresiones • Identiﬁco y describo ﬁguras y cuerpos generados por cor- (fracciones, razones, decimales o porcentajes) para re- tes rectos y transversales de objetos tridimensionales. solver problemas en contextos de medida. • Clasiﬁco polígonos en relación con sus propiedades. • Justiﬁco la extensión de la representación polinomial de- • Predigo y comparo los resultados de aplicar transforma- cimal usual de los números naturales a la representación ciones rígidas (traslaciones, rotaciones, reﬂexiones) y decimal usual de los números racionales, utilizando las homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre ﬁguras propiedades del sistema de numeración decimal. bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. • Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones en- • Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones tre números racionales (simétrica, transitiva, etc.) y de y propiedades de semejanza y congruencia usando repre- las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa, etc.) sentaciones visuales. en diferentes contextos. • Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométri- • Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades bá- cos. sicas de la teoría de números, como las de la igualdad, las • Identiﬁco características de localización de objetos en sis- de las distintas formas de la desigualdad y las de la adi- temas de representación cartesiana y geográﬁca. ción, sustracción, multiplicación, división y potenciación. • Justiﬁco procedimientos aritméticos utilizando las rela- ciones y propiedades de las operaciones. • Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numé- ricos. • Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. • Justiﬁco el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. • Justiﬁco la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calculadoras o computadores. • Justiﬁco la elección de métodos e instrumentos de cálcu- lo en la resolución de problemas. • Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo. 0 0 Matemáticas 6 -7 40.
85 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS PENSAMIENTO MÉTRICO Y PENSAMIENTO ALEATORIO PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS DE MEDIDAS Y SISTEMAS DE DATOS SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS• Utilizo técnicas y herramientas para • Comparo e interpreto datos prove- • Describo y represento situaciones la construcción de ﬁguras planas y nientes de diversas fuentes (prensa, de variación relacionando diferen- cuerpos con medidas dadas. revistas, televisión, experimentos, tes representaciones (diagramas,• Resuelvo y formulo problemas que consultas, entrevistas). expresiones verbales generaliza- involucren factores escalares (di- • Reconozco la relación entre un con- das y tablas). seño de maquetas, mapas). junto de datos y su representación. • Reconozco el conjunto de valores• Calculo áreas y volúmenes a través • Interpreto, produzco y comparo re- de cada una de las cantidades varia- de composición y descomposición presentaciones gráﬁcas adecuadas bles ligadas entre sí en situaciones de ﬁguras y cuerpos. para presentar diversos tipos de concretas de cambio (variación).• Identiﬁco relaciones entre distintas datos. (diagramas de barras, diagra- • Analizo las propiedades de corre- unidades utilizadas para medir can- mas circulares.) lación positiva y negativa entre tidades de la misma magnitud. • Uso medidas de tendencia central variables, de variación lineal o de• Resuelvo y formulo problemas que (media, mediana, moda) para inter- proporcionalidad directa y de pro- requieren técnicas de estimación. pretar comportamiento de un con- porcionalidad inversa en contextos junto de datos. aritméticos y geométricos. • Uso modelos (diagramas de árbol, • Utilizo métodos informales (ensa- por ejemplo) para discutir y prede- yo y error, complementación) en la cir posibilidad de ocurrencia de un solución de ecuaciones. evento. • Identiﬁco las características de las • Conjeturo acerca del resultado de diversas gráﬁcas cartesianas (de un experimento aleatorio usando puntos, continuas, formadas por proporcionalidad y nociones básicas segmentos, etc.) en relación con la de probabilidad. situación que representan. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos pre- sentados en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares. • Predigo y justiﬁco razonamientos y conclusiones usando información estadística. 41.
Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas 86COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS Octavo a noveno Al terminar noveno grado... PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Utilizo números reales en sus diferentes representacio- • Conjeturo y veriﬁco propiedades de congruencias y seme- nes y en diversos contextos. janzas entre ﬁguras bidimensionales y entre objetos tridi- • Resuelvo problemas y simpliﬁco cálculos usando propie- mensionales en la solución de problemas. dades y relaciones de los números reales y de las relacio- • Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométri- nes y operaciones entre ellos. cas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitá- • Utilizo la notación cientíﬁca para representar medidas de goras y Tales). cantidades de diferentes magnitudes. • Aplico y justiﬁco criterios de congruencias y semejanza • Identiﬁco y utilizo la potenciación, la radicación y la loga- entre triángulos en la resolución y formulación de proble- ritmación para representar situaciones matemáticas y no mas. matemáticas y para resolver problemas. • Uso representaciones geométricas para resolver y formu- lar problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. 0 0 Matemáticas 8 -9 42.
87 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS PENSAMIENTO MÉTRICO Y PENSAMIENTO ALEATORIO PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS DE MEDIDAS Y SISTEMAS DE DATOS SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS• Generalizo procedimientos de cál- • Reconozco cómo diferentes mane- • Identiﬁco relaciones entre propie- culo válidos para encontrar el área ras de presentación de información dades de las gráﬁcas y propiedades de regiones planas y el volumen de pueden originar distintas interpre- de las ecuaciones algebraicas. sólidos. taciones. • Construyo expresiones algebraicas• Selecciono y uso técnicas e ins- • Interpreto analítica y críticamente equivalentes a una expresión alge- trumentos para medir longitudes, información estadística proveniente braica dada. áreas de superﬁcies, volúmenes y de diversas fuentes (prensa, revis- • Uso procesos inductivos y lenguaje ángulos con niveles de precisión tas, televisión, experimentos, con- algebraico para formular y poner a apropiados. sultas, entrevistas. prueba conjeturas.• Justiﬁco la pertinencia de utilizar • Interpreto y utilizo conceptos de • Modelo situaciones de variación unidades de medida estandarizadas media, mediana y moda y explicito con funciones polinómicas. en situaciones tomadas de distintas sus diferencias en distribuciones de • Identiﬁco diferentes métodos para ciencias. distinta dispersión y asimetría. solucionar sistemas de ecuaciones • Selecciono y uso algunos métodos lineales. estadísticos adecuados al tipo de • Analizo los procesos inﬁnitos que problema, de información y al nivel subyacen en las notaciones deci- de la escala en la que esta se repre- males. senta (nominal, ordinal, de intervalo • Identiﬁco y utilizo diferentes mane- o de razón). ras de deﬁnir y medir la pendiente • Comparo resultados de experimen- de una curva que representa en el tos aleatorios con los resultados plano cartesiano situaciones de va- previstos por un modelo matemático riación. probabilístico. • Identiﬁco la relación entre los cam- • Resuelvo y formulo problemas se- bios en los parámetros de la repre- leccionando información relevante sentación algebraica de una familia en conjuntos de datos provenientes de funciones y los cambios en las de fuentes diversas. (prensa, revis- gráﬁcas que las representan. tas, televisión, experimentos, con- • Analizo en representaciones gráﬁ- sultas, entrevistas). cas cartesianas los comportamien- • Reconozco tendencias que se pre- tos de cambio de funciones espe- sentan en conjuntos de variables cíﬁcas pertenecientes a familias de relacionadas. funciones polinómicas, racionales, • Calculo probabilidad de eventos exponenciales y logarítmicas. simples usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técni- cas de conteo). • Uso conceptos básicos de probabili- dad (espacio muestral, evento, inde- pendencia, etc.). 43.
88 Estándares Básicos de Competencias en MatemáticasCOMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS Décimo a undécimo Al terminar undécimo grado... PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Analizo representaciones decimales de los números rea- • Identiﬁco en forma visual, gráﬁca y algebraica algunas les para diferenciar entre racionales e irracionales. propiedades de las curvas que se observan en los bordes • Reconozco la densidad e incompletitud de los números obtenidos por cortes longitudinales, diagonales y transver- racionales a través de métodos numéricos, geométricos sales en un cilindro y en un cono. y algebraicos. • Identiﬁco características de localización de objetos • Comparo y contrasto las propiedades de los números geométricos en sistemas de representación cartesiana y (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus re- otros (polares, cilíndricos y esféricos) y en particular de laciones y operaciones para construir, manejar y utilizar las curvas y ﬁguras cónicas. apropiadamente los distintos sistemas numéricos. • Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades • Utilizo argumentos de la teoría de números para justiﬁcar geométricas de ﬁguras cónicas por medio de transforma- relaciones que involucran números naturales. ciones de las representaciones algebraicas de esas ﬁgu- • Establezco relaciones y diferencias entre diferentes no- ras. taciones de números reales para decidir sobre su uso en • Uso argumentos geométricos para resolver y formular una situación dada. problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. • Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. • Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos. 0 0 Matemáticas 10 - 11 Nota. La publicación de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas realizada por el MEN en 2003 salió con algunos errores que se cometieron al momento de diseñar la cartilla. En las tablas anteriores aparece la versión original planteada por los expertos que se encargaron de estructurar los estándares. 44.
89 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS PENSAMIENTO MÉTRICO Y PENSAMIENTO ALEATORIO PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS DE MEDIDAS Y SISTEMAS DE DATOS SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS• Diseño estrategias para abordar • Interpreto y comparo resultados de • Utilizo las técnicas de aproximación situaciones de medición que re- estudios con información estadísti- en procesos inﬁnitos numéricos. quieran grados de precisión espe- ca provenientes de medios de comu- • Interpreto la noción de derivada cíﬁcos. nicación. como razón de cambio y como va-• Resuelvo y formulo problemas que • Justiﬁco o refuto inferencias basa- lor de la pendiente de la tangente involucren magnitudes cuyos va- das en razonamientos estadísticos a a una curva y desarrollo métodos lores medios se suelen deﬁnir in- partir de resultados de estudios pu- para hallar las derivadas de algunas directamente como razones entre blicados en los medios o diseñados funciones básicas en contextos ma- valores de otras magnitudes, como en el ámbito escolar. temáticos y no matemáticos. la velocidad media, la aceleración • Diseño experimentos aleatorios (de • Analizo las relaciones y propiedades media y la densidad media. las ciencias físicas, naturales o so- entre las expresiones algebraicas y• Justiﬁco resultados obtenidos me- ciales) para estudiar un problema o las gráﬁcas de funciones polinómi- diante procesos de aproximación pregunta. cas y racionales y de sus derivadas. sucesiva, rangos de variación y lími- • Describo tendencias que se obser- • Modelo situaciones de variación tes en situaciones de medición. van en conjuntos de variables rela- periódica con funciones trigono- cionadas. métricas e interpreto y utilizo sus • Interpreto nociones básicas relacio- derivadas. nadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuen- cias, parámetros y estadígrafos). • Uso comprensivamente algunas me- didas de centralización, localización, dispersión y correlación (percenti- les, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normali- dad). • Interpreto conceptos de probabili- dad condicional e independencia de eventos. • Resuelvo y planteo problemas usan- do conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con remplazo). • Propongo inferencias a partir del es- tudio de muestras probabilísticas. 45.
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95 COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS Créditos de Estándares Básicos de Competencias de MatemáticasCoordinación académica Texto sobre los referentes conceptualesGloria García O., Universidad Pedagógica Nacional de los estándares (páginas 46 a 79) - Carlos Eduardo Vasco, consultor AscofadeFormulación de los estándares - Gloria García O., Universidad Pedagógica Nacional- Myriam Acevedo M., Universidad Nacional de Colombia - Gilberto Obando Z., Universidad de Antioquia- Silvia Bonilla J., Universidad Externado de Colombia- Beatriz Espinosa B., Colegio Nacional Magdalena Ortega El texto ha sido elaborado con base en un documento pre- de Nariño liminar redactado por el grupo que elaboró los estándares- Gilberto Obando Z., Universidad de Antioquia y otro que tuvo como autoras a: Cecilia Casasbuenas, con-- Pedro Javier Rojas G., Universidad Distrital Francisco José sultora Ascofade; Virginia Cifuentes, consultora Ascofade y de Caldas Beatriz Espinosa B., Colegio Nacional “Magdalena Ortega de- Ligia Amparo Torres R., Universidad del Valle. Normal Su- Nariño”. perior Farallones de Cali- Carlos Alberto Trujillo S., Universidad del Cauca Se agradecen los comentarios y aportes a dicho texto de:Participantes en el proceso de validación nacional - Myriam Acevedo M., Universidad Nacional de Colombia- Cecilia Casasbuenas S., consultora Ascofade - Miryam Ochoa, Coordinación General Ascofade, Universi-- Jorge Castaño, Pontiﬁcia Universidad Javeriana - Colegio dad Externado de Colombia Champagnat - Pedro Javier Rojas G., Universidad Distrital “Francisco de- Ana Celia Castiblanco P., consultora Ascofade Paula Santander”- Diego Garzón C., Universidad del Valle - Ligia Amparo Torres R., Universidad del Valle- Grupo de Maestros de Antioquia - Carlos Alberto Trujillo S., Universidad del Cauca- Grupo de Maestros del Cadel Suba - Secretaría de Educa- - Ángela Duarte P., Subdirección de Estándares y Evaluación, ción Distrital MEN- Grupo de Maestros del Colegio José Acevedo y Gómez, Medellín.- Grupo de Maestros de la Normal Superior Farallones de Cali- Grupo de Maestros del Distrito Capital de Bogotá- Grupo Educación Matemática, Universidad del Cauca- Orlando Mesa B., Universidad de Antioquia- Ivan Obregón Sanín, consultor independiente- Carlos Eduardo Vasco U., consultor Ascofade English

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