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Timestamp: 2017-05-22 16:49:29+00:00

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Analyse der Online-Strategien der V...
by njwagner
Aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas escolares. Casos y perspectivas fue ela-borado por la Dirección General de Desarrollo Curricular, que pertenece a la Subsecre-taría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública, con la colabo­ ación rdel Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional.Coordinación generalLeopoldo F. Rodríguez GutiérrezNoemí García GarcíaCoordinación académica por la Secretaría de Educación PúblicaErnesto López OrendainHugo Balbuena CorroCoordinación académica por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del InstitutoPolitécnico NacionalErnesto Sánchez SánchezAutoresCarmen Batanero Bernabeu, Universidad de Granada, EspañaÁngel Gutiérrez Rodríguez, Universidad de Valencia, EspañaVerónica Hoyos Aguilar, Universidad Pedagógica Nacional, MéxicoGonzalo López Rueda, Escuela Normal Superior, MéxicoSalvador Llinares Ciscar, Universidad de Alicante, EspañaMariana Sáiz Roldan, Universidad Pedagógica Nacional, MéxicoErnesto Sánchez Sánchez, Cinvestav-IPN, México Coordinación editorial Gisela L. Galicia Diseño de portada e interiores Lourdes Salas Alexander Corrección de estilo y formación Leticia Dávila Acosta Primera edición, 2011 D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2011	Argentina 28, Centro, CP 06020 Cuauhtémoc, México, DF ISBN: 978-607-467-053-0 Hecho en México Material gratuito/Prohibida su venta 6.
ÍndicePresentación	9Introducción	111. Didáctica de las matemáticas y el profesor de los niveles básicos	15 Introducción	15 Un día en la clase de matemáticas de la maestra Carmen	17 Las tareas en la clase de matemáticas	22 El aprendizaje: la relación entre lo matemático y lo cognitivo	25 La cultura en el salón de clases	31 Conclusión: el papel del profesor en el desarrollo de competencias	352. Sentido numérico y pensamiento algebraico	37 Sentido numérico	37 Pensamiento algebraico	48 7.
3. Forma, espacio y medida	59 Aprendizaje de la geometría durante la educación básica	60 Aprendizaje de la medida de magnitudes durante la educación básica	714. Manejo de la información	79 Datos, gráficas y medidas de tendencia central	79 Azar y probabilidad	92 Relaciones de proporcionalidad	1015. La tecnología para el aprendizaje de las matemáticas	109 Sentido numérico	110 Pensamiento algebraico	114 Forma, espacio y medida	117 Azar y probabilidad	123 Relaciones de proporcionalidad	1266. Pautas para la formación continua de los profesores de matemáticas	129 Tareas profesionales del docente	130 Competencias docentes	132 Oportunidades de aprendizaje profesional para el docente	135 Tres pautas para la formación continua de los profesores de matemáticas	147Bibliografía	149	8.
1.	Didáctica de las matemáticas y el profesor de los niveles básicos Ernesto Sánchez Sánchez, Cinvestav, ipn, México Salvador Llinares Ciscar, Universidad de Alicante, España IntroducciónLa didáctica de las matemáticas abarca múltiples ámbitos de reflexión e indagación,tales como el desarrollo de teorías educativas, el currículo, la política educativa,la formación de profesores, el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas y elaula de matemáticas. Sin embargo, en este capítulo vamos a identificar las tareasprofesionales que definen la enseñanza de las matemáticas y nos centraremos enlos conocimientos de didáctica de las matemáticas que pueden ser pertinentespara el docente de los niveles básicos en la realización de esas tareas; es decir, ex-pondremos los conocimientos que ayuden al profesor a comprender las situacionesde enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en las aulas de educación pri-maria y secundaria, y que puedan utilizar para la toma de decisiones docentes. En el proceso de enseñanza y de aprendizaje que ocurre en una clase de ma-temáticas identificamos tres elementos y sus relaciones, generadas en un contextosociopolítico determinado: el estudiante, el contenido matemático y el profesor(llamado triángulo didáctico, véase figura 1.1). De manera específica, en una si-tuación de enseñanza de las matemáticas, un profesor debe gestionar una parte 15 14.
problemas. Los alumnos ya resuelven de manera eficaz divisiones entre números de variascifras. Por ejemplo, en el tema de la división entera (la división inexacta) los estudiantes sue-len realizar, de manera correcta, los cálculos en ejercicios como los siguientes: Realiza estas divisiones y haz la prueba: a) 23451 : 4	d) 58788 : 69 b) 48623 : 58	e) 17346 : 23 c) 14030 : 46	f) 5572 : 37 En este tipo de ejercicios, los alumnos de la maestra Carmen suelen utilizar con precisiónel algoritmo de la división y son capaces de realizar la prueba de la división. Sin embargo,se ha dado cuenta de que, al parecer, algunos alumnos tienen dificultades para responderalgunas cuestiones. Por ejemplo, anticipar qué tan grande va a ser el cociente de la división;es decir, determinar de cuántas cifras va a estar compuesto el cociente, antes de hacerningún cálculo y saber justificarlo: ¿cuántas cifras va a tener el cociente del ejercicio aanterior?, ¿cuántas tendrá el cociente del ejercicio f? Cuando realizan el algoritmo de la división, a algunos alumnos se les dificulta identificar lasunidades con las que están trabajando en cada momento. Así, al realizar la división del incisoc, cuando escriben lo que aparece en la figura 1.2, tienen dificultades para responder la pre-gunta: ¿qué tipo de unidad es el 23?, así como para justificar y argumentar su respuesta. Figura 1.2. División parcial. Por todo esto, la maestra Carmen decidió centrarse en los significados de la relaciónaritmética vinculada a la división entera (D = dxc + r). Para el inicio de la clase de hoy, plan-tea a sus alumnos los siguientes problemas: 18 17.
Del fragmento del registro de observación de la clase de la maestra Carmenpodemos identificar cuatro dimensiones que la articulan (Fennema y Romberg,1999), las que nos permitirán generar una reflexión sobre el conocimiento de didác-tica de las matemáticas pertinente para que el docente promueva el desarrollo dela competencia matemática de los estudiantes en el aula: •	Las características de las tareas matemáticas (problemas, ejercicios, actividades). •	El aprendizaje: la relación entre lo matemático y lo cognitivo en un contexto social. •	El desarrollo de una cultura matemática en la clase: las normas y reglas que rigen el discurso y la comunicación matemática en el aula. •	El papel del profesor en el desarrollo de clases de matemáticas que potencien la generación de la competencia matemática. Las tareas en la clase de matemáticasLas tareas constituyen las referencias sobre las que se articula la enseñanza y, portanto, son un factor fundamental que determinan el aprendizaje. Se entiendepor tareas matemáticas los ejercicios, los problemas o las actividades de con-tenido matemático que se realizan en la clase (no a lo que tradicionalmente sellama la tarea, que consiste en ejercicios o problemas para resolver en casa). Enseguida se resaltarán características de las tareas en su relación con tres aspectosfundamentales que intervienen en la actividad escolar: el contenido, el aprendi-zaje y la gestión de la clase.a)	Contenido. Las tareas se elaboran o eligen para ofrecer a los estudiantes opor- tunidades de aprendizaje de los diversos contenidos del Programa de estudio de Matemáticas del grado correspondiente; al hacerlo así, se asume que los temas y conceptos que el programa prescribe son ideas matemáticas centrales que los estudiantes requieren aprender. 22 21.
La tarea que la maestra Carmen sugirió a sus estudiantes cubre parte de los conocimientos y las habilidades prescritos en el segundo bloque del 5º gra- do del Programa de estudios (sep, 2009) que indica: 2.4 Encontrar las relaciones D= c × d + r (r < d) y utilizarlas para resolver problemas. Como se verá más ade- lante, este tema es fundamental para la comprensión de la división aritmética.b)	Aprendizaje. En la elaboración o elección de las tareas es importante conside- rar los conocimientos que ya poseen los estudiantes y prever posibles dificulta- des, errores y falsas concepciones que surjan cuando las tareas se realicen en el salón de clases. Además, es necesario considerar la trayectoria hipotética del aprendizaje que estos pueden desarrollar al resolver las tareas. En relación con esta cuestión, los resultados de las investigaciones sobre didáctica de las mate- máticas proporcionan conocimiento acerca de las características del aprendi- zaje matemático de los estudiantes, se identifican y caracterizan dificultades, errores comunes y concepciones de éstos en cuanto a diversos temas de las matemáticas escolares (véase la siguiente sección y los demás capítulos de este libro), incluso proporcionan información sobre cómo los estudiantes aprenden las matemáticas.	Una característica de la tarea que eligió la maestra Carmen era que repre- sentaba un desafío para los alumnos, aunque podía resolverse a partir de sus conocimientos previos, pues sólo requería las operaciones de suma, resta y mul- tiplicación; es decir, temas que ya se vieron en grados anteriores. Sin embargo, la manera en que se presentó permitió desarrollar en los estudiantes procesos matemáticos que potenciaron su comprensión de la división y de la perspectiva estructural de las expresiones aritméticas.	Así, la forma (c = a ×  + b) en que la maestra Carmen presentó las igualdades aritméticas en las tareas dadas a sus estudiantes, colocando las operaciones a la derecha del signo igual, tenía como objetivo intentar superar el significado que muchos alumnos de primaria dan al signo igual: como anunciando el resultado de una operación aritmética que debe realizarse de izquierda a derecha (por 23 22.
ejemplo, la expresión 24 + 73 =  dificulta que la vean indicando una equivalen- cia entre las dos partes, porque lleva a interpretar el signo = como el resultado de alguna operación). La presentación de las actividades en la forma en que la profesora lo hizo intenta crear contextos para que los alumnos empiecen a de- sarrollar una interpretación del signo igual para una equivalencia matemática y no sólo se vea como una visión operativa (tener que hacer cuentas para buscar un resultado). El contexto fue el de las relaciones aritméticas en la división entera (D = dxc + r) mediante un problema que resultó asequible y estimulante para sus alumnos. En otras palabras, la actividad propuesta por la maestra Carmen le permitió enfatizar el significado de las expresiones aritméticas (por ejemplo: 837 =  × 64 + 52) como objetos (estructuras) más que como procedimientos de cálculo que deben realizarse. En este sentido, una visión estructural de la igual- dad aritmética es lo que permitió al equipo de Susana generar su procedimiento de solución.c)	Gestión de la clase. La elaboración y elección de las tareas también depende de la concepción que el profesor tenga sobre cómo se crean condiciones en el aula para que los estudiantes aprendan y, por tanto, de la flexibilidad y las posibilidades que ofrecen para ser manejadas en clase. La tarea elegida por la maestra Carmen debe verse, asimismo, desde la perspectiva en que la presentó a sus estudiantes y la manera en que gestionó las respuestas de sus estudiantes. En este sentido, su elección estuvo guiada por la convicción de que los alumnos aprenden resolviendo problemas y creando un ambiente de discusión en clase. En consecuencia, esperaba que los estudiantes se comprometieran con la tarea y se presentaran diferentes procedimientos de solución e, incluso, resultados distintos. Esto permitiría generar la discusión. Con estas ideas, la profesora fue capaz de tomar decisiones con base en las diferen- tes reacciones de sus estudiantes frente al problema. Si pensara que los alumnos aprenden mediante explicaciones y después ejercicios y práctica, quizá hubie- ra elegido otro tipo de tareas, y planteado su gestión en el aula de manera 24 23.
diferente; por ejemplo, una batería de ejercicios para resolver después de dar una explicación de cómo hacer un caso general. El aprendizaje: la relación entre lo matemático y lo cognitivoUna amplia clase de investigaciones en didáctica de las matemáticas ofrece co-nocimientos sobre los procesos de aprendizaje de contenidos matemáticos espe-cíficos, muchos referidos a tareas muy precisas. La pregunta fundamental "¿Cómoaprenden los niños contenidos matemáticos?" se multiplica en muchas preguntasen las que se debe precisar el contenido matemático. Los estudios de didáctica, enrelación con el aprendizaje en general, prevén dificultades y falsas concepcionesen los estudiantes respecto a contenidos específicos y, a veces, también indicancómo utilizar esos conocimientos en la clase y su potencial para la evaluación. La situación de la clase de la maestra Carmen nos sirve de ejemplo y nos permitesubrayar aspectos que requieren considerarse al analizar el aprendizaje. Estos aspec-tos son: a) El contenido matemático y las dificultades de comprensión del signo deigualdad; b) Las características de la implementación de las tareas; y c) La evalua-ción de la actividad matemática de los alumnos.a)	Contenido matemático y la comprensión de signo de igualdad. En la escuela suele aprenderse el aspecto operacional de la división; esto quiere decir apren- der los pasos que deben seguirse para obtener el cociente y el resto de un número que se divide entre otro. En México, este procedimiento suele llamarse el método de la casita, cuya representación queda como se muestra: 25 24.
Por ejemplo, si se divide 428 entre 12, se obtiene como cociente 35 y como resto 8; el procedimiento mediante el cual los estudiantes obtienen esos números queda representado de la siguiente manera: 35 12 428 68 8................(1)	En cambio, la formulación estructural del algoritmo de la división pre- senta un aspecto diferente; dicha formulación se conoce desde la época de Euclides (300 a. C.) y es la siguiente (en lenguaje moderno): Dados dos números enteros positivos B y A, con A > 0, existen dos enteros q > 0 y r, con 0 ≤ r < A, tal que B = q × A + r	Un ejemplo de esta proposición se obtiene al aplicarla al ejemplo anterior; significa que dados los números 428 y 12 existen los números 35 y 8 (con 8 < 12) tal que: 428 = 35 × 12 + 8…………..(2)	La proposición no nos informa sobre el procedimiento a seguir para encontrar el cociente y el resto, pero establece, de manera precisa, la relación estructural de todos los elementos presentes en la división entera en términos de una igualdad y de las operaciones de multiplicación y suma. La forma de organizar los elemen- tos de la división con residuo recuerda la técnica de comprobación de una división.	Es muy importante que los estudiantes asocien la expresión (2) a la repre- sentación del procedimiento de la división (1) y viceversa, así como que el pro- cedimiento (1) los lleve a la expresión (2). Una manera de establecer y fortalecer esos vínculos es mediante los problemas que la maestra Carmen propuso a sus 26 25.
estudiantes, en este caso, pidiéndoles encontrar el valor faltante en expresiones similares a la siguiente: 428 =  × 12 + 8	Un aspecto que se resolverá en la proposición del algoritmo de la división de Euclides es que la división se formula sólo en términos de las nociones de mul- tiplicación, suma e igualdad. Sin embargo, esta noción de igualdad conlleva dificultades para los estudiantes. Como ya se mencionó, en relación con la ta- rea que la profesora Carmen sugirió a sus alumnos, hay dos formas de entender el signo = : una, como un operador, y, dos, como una relación de equivalencia. El signo de igualdad se interpreta a manera de operador cuando se mira la parte izquierda de la igualdad como las operaciones que hay que realizar para obtener el valor de la parte derecha; en cambio, se interpreta como una re- lación de equivalencia cuando se entiende a manera de proposición que es verdadera si las expresiones de ambos lados representan una misma cantidad, y falsa cuando representan cantidades distintas.	En los problemas que administró la maestra Carmen es necesario ver al sig- no de igualdad como una relación de equivalencia, porque hay que encontrar un número que haga verdadera la igualdad. A muchos niños el problema les puede resultar extraño, incluso sin sentido, ya que pueden estar acostumbrados a encontrar el signo de igualdad como un operador y no haber tenido nunca la oportunidad de enfrentarse a problemas en los que se requiere entenderlo como una relación de equivalencia.	Las dificultades con el significado relacional del signo de igualdad se pre- sentan en estudiantes de diferentes niveles, desde primaria hasta bachillerato, como lo muestran varios informes de estudios de didáctica, como los de Kieran (1981, 2006), y Baroody y Ginsburg (1983). Recientemente, Seo y Ginsburg (2003) llevaron a cabo una investigación con estudiantes de Taiwán de 2º de primaria. 27 26.
Estos autores analizaron cómo se presenta el signo de igualdad en los proble- mas y ejercicios en los textos; cómo enseña y utiliza el signo de igualdad una pro- fesora en sus clases de matemáticas; y las concepciones del signo de igualdad de los niños. En seguida resumiremos esta última parte de la investigación, que parte de tres entrevistas.	En la primera entrevista, a los niños se les presentó sólo el signo = y se les pi- dió que dijeran qué era; 14 de 16 niños respondieron que era el “signo de igual”. Cuando se les pidió explicar qué quería decir dicho signo, sólo dos sugirieron un significado relacional (es decir, respondieron que “es igual a”); los otros 14 lo interpretaron como un símbolo operador; por ejemplo, tres respuestas de tipo operacional fueron: “el resultado es”, “la suma da”, “el total es”.	En la segunda entrevista, el signo = se presentó en enunciados numéricos canónicos de suma o resta de la forma: a+b=c o a–b=c	(por ejemplo: 2 + 3 = 5). Los participantes en este caso dieron las mismas respues- tas que en la primera entrevista. Los dos niños que interpretaron el signo igual como un símbolo relacional en la primera entrevista volvieron a responder que significaba “lo mismo que” y los 14 niños que lo interpretaron como un operador, lo interpretaron de la misma manera.	En la tercera entrevista, a los alumnos se les presentaron enunciados de la forma: c=a+b o c=a–b	(por ejemplo: 5 = 2 + 3) y se les pidió que explicaran qué quería decir la expresión y el signo de igualdad. 13 de los 16 niños respondieron que la expresión no decía nada; algunos dijeron que estaba invertida (“La escribió volteada, maestra”, “Debería ponerla al revés, ¿no?”, etc.). Sólo tres niños, que interpretaron el 28 27.
signo de igual como un operador en las primeras entrevistas, aceptaron que la expresión c = a + b tenía sentido y argumentaron que ya la habían visto en otro lado. Los dos niños que en la primera y segunda entrevistas vieron el signo de igualdad en su aspecto relacional estuvieron dentro de los 13 que no le en- contraron significado a la expresión. Los autores deducen que no es suficiente tener una idea relacional del signo igual, sino que es necesario familiarizarse con problemas y situaciones en que el signo se utilice en su forma relacional.	El conocimiento matemático del algoritmo de la división y del signo de igualdad, muestran la profundidad de la, aparentemente, simple tarea que puso la maestra Carmen a sus estudiantes.b)	Características de la implementación. No sólo los conocimientos mencionados fueron puestos en juego por la profesora Carmen en su lección; también la rela- ción entre lo matemático y lo cognitivo, como un aspecto del aprendizaje, que- da reflejada por una concepción de cómo adquieren los niños los conocimien- tos y una posición sobre cómo deben enseñarse los contenidos matemáticos.	No basta con saber los contenidos y las dificultades del tema, ya que la profesora pudo haber dictado en su clase la relación entre el procedimiento de la división y la estructura del algoritmo de la división e insistir con los niños para que lo aprendieran; haber explicado los significados del signo de igualdad e ilus- trar con ejemplos cómo a veces el significado del signo no es llevar a cabo una operación; preparar una batería de ejercicios con todas las variantes posibles y organizarlos del más simple (operacional) al más complejo (relacional); poco a poco enseñarles los procedimientos para resolverlos y después dejar a los ni- ños resolver, individualmente, todos los ejercicios, procurando ayudarles cuando tuvieran dificultades. Sin embargo, de seguro ella sabe que los conocimientos adquiridos de esta manera no son tan eficaces para desarrollar un pensamiento matemático, como lo es que los estudiantes resolvieran los problemas con sus propios recursos, conocieran procedimientos de otros y discutieran la validez y calidad de los resultados y procedimientos que permitieron alcanzarlos. 29 28.
c)	Evaluación de la actividad matemática de los alumnos. Determinar en qué me- dida los estudiantes aprendieron el contenido de la enseñanza para asignarles una calificación ha sido, durante mucho tiempo, el objetivo de la evaluación. Pero, las nuevas tendencias de la evaluación sugieren que su propósito principal es ser un medio para obtener información y llegar a conocer las dificultades y concepciones de los estudiantes, y hacer un seguimiento de su aprendizaje (Llinares y Sánchez, 1998; Giménez, 1992). Este conocimiento permitiría al docen- te ajustar su proyecto de enseñanza para optimizar los resultados. Se mencionó que el propósito de la evaluación es conocer los aprendizajes alcanzados por los estudiantes, pero también las dificultades para aprender los contenidos es- pecíficos, así como las concepciones que tienen acerca de ellos, esto facilita la toma de decisiones del profesor, sus estrategias para mejorar la clase y la asig- nación de calificaciones.	La tarea que la maestra Carmen eligió para trabajar con sus alumnos le permitió darse cuenta de que los alumnos no asocian la expresión c = a ×  + b con la división con resto de c entre a, a pesar de que poseen los anteceden- tes para hacerlo. También le ayudó a observar que los estudiantes descubren estrategias propias y las pueden comparar con otras de sus compañeros y eva- luarlas. Por otra parte, la puesta en común de los diferentes procedimientos de resolución encontrados por los equipos en clase crea la oportunidad para que los alumnos justifiquen sus propuestas; además, con la petición de la maestra Carmen a sus estudiantes de que argumenten lo que se hace, le permite ob- tener información sobre la comprensión de sus alumnos de las diferentes ideas matemáticas. Este aspecto es relevante porque, para evaluar la resolución de problemas, la profesora debe ir más allá de recopilar las respuestas escritas de sus alumnos y apoyarse en las explicaciones que los diferentes alumnos realizan en clase. 30 29.
La cultura en el salón de clasesSe vieron dos aspectos importantes de la didáctica de las matemáticas para la ac-tividad docente del profesor: la naturaleza de las tareas y los elementos para suaprendizaje. Ahora se adoptará un punto de vista más global al centrar la atenciónen la noción de cultura matemática en la clase de matemáticas; ésta incluye unconjunto de significados compartidos acerca de las interacciones entre los profeso-res, los alumnos y el contenido matemático dentro del salón de clases; tales signifi-cados determinan los comportamientos que ahí se producen y su efectividad. La cultura matemática en la clase está determinada por los siguientes aspectos: •	Dirigir la actividad hacia ideas matemáticas centrales. •	Favorecer unas determinadas características de la interacción: a)	La interacción de los estudiantes con relación a las matemáticas. b)	El tipo de actividad cognitiva que desarrollan en relación con el conte- nido matemático. •	Establecimiento de normas sociomatemáticas. Actividad con la que el profesor ayuda a crear normas sociomatemáticas (porejemplo, cómo se determina la verdad matemática en el aula). Actividad dirigida hacia ideas matemáticas centrales. En las diferentes áreasde las matemáticas hay ideas que son la base para comprender otras muchasnociones matemáticas y que es deseable que todos los estudiantes adquieran ymanejen a un nivel más o menos profundo. La mayoría de estas ideas se sugierenen los programas de estudio, aparecen por primera vez en el grado escolar enque se considera que los estudiantes son maduros para comprenderlas, y luego seincluyen reiteradamente en grados subsecuentes, pero de manera más comple-ja o elaborada. Por ejemplo, las nociones de número (entero, racional), de figurageométrica, de variable, de probabilidad y de datos, a partir de su aparición enalgún grado escolar se vuelven a revisar a lo largo de varios grados. Hay otras ideas, 31 30.
De esta manera, las características de la interacción se determinan por la gestiónque el docente hace de la lección diseñada, sus decisiones ante eventos impre-vistos ocurridos en clase y la actividad que desarrollan los estudiantes. Es decir, lacultura del salón de clases queda determinada por la manera en que se gestionay realiza la situación de enseñanza y de aprendizaje. En particular, algunas carac-terísticas son las siguientes: •	El profesor debe proporcionar determinado tipo de apoyo para el desarrollo de las tareas que los estudiantes deben realizar. •	Establece tiempo suficiente para que los alumnos mejoren sus propios procedi- mientos. •	Es conveniente mantener permanentemente la exigencia de que los alumnos pro- porcionen explicaciones, argumenten, justifiquen y expliquen de manera adecua- da los procedimientos seguidos. En el fragmento de registro de clase ya descrito, la manera en la que la maes-tra Carmen gestionó la situación de enseñanza como de resolución de problemas,permitió resaltar aspectos de la relación entre los estudiantes, el contenido ma-temático y ella misma, que ayudan a desarrollar una determinada cultura mate-mática en el aula. Por ejemplo, dio oportunidades a sus alumnos para hablar dematemáticas y que organizaran datos de una determinada manera para que lesayudara a obtener información relevante y resolver la tarea. Además, les permitió ydio tiempo —al plantearles la resolución de la segunda igualdad— para que com-pararan la eficacia de los procedimientos que utilizaron en la resolución de la pri-mera igualdad. La posibilidad de poner en funcionamiento los dos procedimientos enla resolución de la segunda igualdad crea el contexto para hablar de las ventajas ylimitaciones de los procedimientos, introducir la idea de expresiones equivalentes ysubrayar el potencial de generar y organizar información. Así, la profesora estable-ce relaciones de apoyo y confianza con los estudiantes. 33 32.
Establecer normas sociomatemáticas. Un aspecto intrínseco a la manera enque se genera la interacción y ayuda a configurar una determinada cultura en elaula de matemáticas son las normas sociomatemáticas, reglas —algunas vecesimplícitas— que rigen la comunicación en el aula y determinan lo que los estudian-tes pueden llegar a concebir como una actividad matemática verdadera y lo quees o no lícito hacer en una clase de matemáticas en relación con las matemáticasque deben aprenderse. Por ejemplo: •	El convencimiento de que el grupo entero debe valorar las ideas expuestas y los métodos usados. •	Los alumnos eligen y comparten diferentes métodos de resolución. •	Los errores al realizar las tareas y de comprensión forman parte del proceso de aprendizaje. •	La argumentación y la explicación matemática es la que fundamenta la corrección del error. En la clase, la maestra Carmen establece normas de respeto y valoración delas ideas de los demás. De las ideas que cada equipo propone se considera lo queimporta y se subraya lo que puede ser genuino de cada aproximación. Por ejem-plo, con la propuesta del equipo de Eduardo en la que se resalta el papel que puedetener el organizar la información de manera adecuada para obtener informaciónrelevante y resolver la tarea; o en la última respuesta de Inés, donde se resaltan lasrelaciones numéricas en que se apoyaba su propuesta, así como la estimación y elcálculo mental. Esta forma de actuar de manera sistemática a lo largo del cursopermite a los alumnos desarrollar confianza en sí mismos como solucionadores deproblemas, lo que se traduce en confianza al formular preguntas y hacer propues-tas para la resolución de los problemas. 34 33.
Conclusión: el papel del profesor en el desarrollo de competenciasLas tareas, el aprendizaje, la gestión y la evaluación constituyen componentes prin-cipales de la didáctica de las matemáticas que conciernen directamente a la ac-tividad del profesor y que debe considerar a la hora de hacer su proyecto docente.Tales componentes se traducen en los siguientes deberes del maestro: •	Crear ambientes de aprendizaje en el aula de matemáticas. •	Lograr que los estudiantes reflexionen sobre las matemáticas que están haciendo. •	Propiciar la comunicación de las ideas matemáticas que se producen en el aula. •	Evaluar el nivel de comprensión de los conceptos matemáticos que alcanzan sus estudiantes. Para desempeñar este papel es fundamental que el docente conozca el con-tenido matemático que debe ser aprendido por los estudiantes y sepa qué conoci-miento didáctico posee en relación con dicho contenido, pues estos le permitiránseleccionar tareas para generar actividades matemáticas, gestionar la comunica-ción y el discurso matemático en el aula, evaluar el desempeño de sus estudiantesy encontrar formas de mejorar las tareas y su propia gestión de la clase. En los siguientes capítulos se describirá un conjunto importante de resultados dela investigación en didáctica de las matemáticas que forman parte del conocimientodidáctico que es fundamental que el docente adquiera, con el fin de que esté mejorpreparado para cumplir con las responsabilidades que se enumeraron antes. En la exposición de tales resultados se encontrarán elementos de diversos tiposque podrán utilizase como base para diseñar actividades de clase, pero cabe des-tacar que aún requieren de cierta elaboración para ser adaptados y aplicados alentorno específico en que el profesor desarrolla su actividad. Esta tarea de adap-tación debe ser realizada por el profesor. El contenido visto en este capítulo puedeser una guía para llevar a cabo dicha tarea. 35 34.
2.	Sentido numérico y pensamiento algebraico Ernesto Sánchez Sánchez, Cinvestav, IPN Verónica Hoyos Aguilar, Universidad Pedagógica Nacional, México Gonzalo López Rueda, Escuela Normal Superior de México Sentido numéricoLa aritmética tiene un lugar privilegiado en las matemáticas de los niveles básicos;los docentes, los elaboradores del currículo, los investigadores y todos los que opi-nan e influyen en la educación reconocen su importancia fundamental para lavida diaria, la formación y el desempeño profesional, y el cultivo del pensamientocientífico. El aprendizaje y la enseñanza de la aritmética es el área de la didáctica delas matemáticas que más se ha estudiado; las operaciones con un solo dígito, lasoperaciones con números de dos y más dígitos, la estimación, el sentido numérico,la resolución de problemas, son temas de esta extensa área de la didáctica. Esteapartado se dedicará específicamente al sentido numérico. El sentido numérico consiste en los conocimientos, las habilidades y las intuicio-nes que una persona desarrolla acerca de los números y sus operaciones. Implicala habilidad e inclinación hacia el empleo del conocimiento numérico, de maneraflexible, para formular proposiciones matemáticas, desarrollar estrategias útiles paramanipular números, realizar operaciones y resolver problemas. Alguien con sentidonumérico utiliza los números y métodos cuantitativos como un medio de comuni- 37 35.
cación, procesamiento e interpretación de información; además, está convencidode que las matemáticas son útiles y aprecia su belleza. McIntosh, Reys y Reys (1992) proponen un modelo en que se distinguen trescomponentes fundamentales del sentido numérico: a)	El concepto de número. Consiste en el conocimiento de, y la facilidad con los números. En este componente se incluyen habilidades para identificar, saber y manejar el orden de los números, las diversas representaciones de un mismo número, las magnitudes relativas y absolutas, y un sistema de estrategias para acotar números. b)	Las operaciones con números. Es el conocimiento y la facilidad para las opera- ciones. Incluye la comprensión del efecto de las operaciones en los resultados, el conocimiento de las propiedades de la operaciones (conmutatividad, asociati- vidad y distribución), su aplicación en la creación de procedimientos de estima- ción y cálculo mental, y entender las relaciones que hay entre las operaciones. c)	Las aplicaciones de los números y sus operaciones en la solución de problemas. Es la aplicación de los conocimientos sobre los números y sus operaciones en situacio- nes que requieren un manejo cuantitativo. Involucra habilidades como determinar la operación necesaria en relación con el contexto de un problema; ser conscien- te de que existe más de un camino correcto para encontrar una solución; ser pro- clive a utilizar métodos o representaciones cada vez más eficientes; y, finalmente, la inclinación para revisar los datos y resultados en función del contexto original. Aunque el sentido numérico implica habilidades complejas, su desarrollo co-mienza desde antes de ingresar a la escuela y continúa a lo largo de toda la prima-ria. Existen descripciones detalladas de cómo los niños progresan en la habilidad deoperar con dígitos. Thompson (1999) describe el proceso por el que se pasa paradominar la suma: en el nivel más básico utilizan material concreto, en un segundonivel, cuentan sin material recitando la serie numérica utilizando estrategias cada 38 36.
En cambio, ningún estudiante de nivel medio fue capaz de responder correc-tamente esa pregunta; la mayoría creía que 3/5 es la fracción que sigue a 2/5, porejemplo: La diferencia entre 2 y 3 es 1. Entonces la fracción que sigue a 2/5 es 3/5. Por lo tanto, no hay fracciones entre 2/5 y 3/5. En relación con la habilidad de contar con un sistema para acotar números, dela tercera componente del modelo visto arriba, se incluyeron preguntas como: -	Sin calcular la respuesta exacta, ¿piensas que el producto 72 × 0.46 es más que 36 o es menos que 36? -	Sin calcular la respuesta exacta, ¿piensas que 62/5 ÷ 15/16 es mayor que 62/5 o es menor que 62/5? -	Sin calcular la respuesta exacta, ¿crees que la suma 5/11 + 3/7 es mayor que 1/2 o menor que 1/2 ? Seis de nueve estudiantes de alto nivel utilizaron adecuadamente procedi-mientos para responder, mientras que sólo uno de nivel medio tenía un sistema parahacerlo. Los autores concluyeron que aunque muchos estudiantes se desempeñanmás o menos bien en algoritmos escritos, no han desarrollado su sentido numérico. Se puede concluir este apartado con la recomendación de que el profesor incluyaen su proyecto de enseñanza actividades específicas para ofrecer la oportunidad a susestudiantes de desarrollar un sentido numérico; para este fin, los problemas mostradosen la investigación referida pueden dar una idea de cómo elaborar esas actividades. Significados de las fracciones. El área de las matemáticas elementales de mayorriqueza y complejidad es el de las fracciones, razones y proporciones. Esta compleji-dad se refleja en el hecho de que las fracciones se pueden ver con varios significados.Con ayuda de un análisis matemático y didáctico emergen cinco formas en las que 42 40.
de repetición y práctica) se realizan en menos tiempo, pues es seguro que los estu-diantes habrán encontrado formas personalizadas y niveles sintácticos de proceder. Los autores señalan que las reglas sintácticas que los alumnos produzcan alo largo de la secuencia de enseñanza luego se aplicarán a la resolución de lasnuevas situaciones. Por ejemplo, la ecuación 8x – 3 = 5x + 6, hará que el profesorregrese nuevamente al punto E, donde se enfrentaron nuevas situaciones proble-máticas, para volver a desencadenar los pasos A al D, tratando de obtener unaecuación reducida de tipo aritmético. Por último, desde el punto de vista de losautores, con la estrategia de la repetición y la práctica, se logrará rebasar la utiliza-ción de un modelo concreto de resolución para llegar a utilizar un nuevo lenguajemás abstracto, cada vez más sintáctico y más cercano a los procedimientos co-nocidos de resolución algebraica. Sobre la generalización en álgebraUn tema actual y novedoso del álgebra es el de la generalización. Radford (2006)aborda el tema de su aprendizaje mediante el descubrimiento de patrones porparte de los estudiantes de 13 y 14 años de edad. Algunas preguntas a las que tratade responder esta investigación son: •	¿Cómo comprenden los estudiantes lo que es común a un patrón? •	¿Cuáles son los mecanismos (lingüísticos o de otro tipo) por medio de los cuales los estudiantes generalizan lo que observaron que es común a todos los términos de una secuencia? •	¿Cómo expresan los estudiantes la generalidad? Para responder se considera la siguiente situación. Teniendo en cuenta las imá-genes que aparecen en la figura 2.9, se pide a los estudiantes (que están agru-pados en equipos de 2 a 4 miembros) que encuentren el número de círculos quedeben aparecer en las figura 10 y 100 de la secuencia: 55 53.
figuras que se están considerando tienen la misma forma, pero, al mismo tiempo, sondiferentes: lo que las hace diferentes, nos está sugiriendo Doug, son los dos últimoscírculos dispuestos diagonalmente al final de cada figura (véase la imagen 2.10.):	1	2	3 Figura 2.10. Doug resalta los dos últimos círculos en un intento de notar algo común en los términos de la secuencia. Radford hace ver que la comprensión de Doug de lo que es común es diferentede la de Mel (véase líneas arriba); también es diferente lo que Doug expresa al respec-to. Así, mientras que Mel vio las figuras como hechas de dos líneas horizontales y expre-só la generalidad en forma verbal, Doug vio las figuras construidas de manera recursi-va por la adición de dos círculos diagonales arreglados y expresados dinámicamente,mediante gestos y palabras. En este ejemplo, Doug comenzó a hacer aparente unaestructura matemática general y a objetivarla. Para lograrlo, utilizó dos medios semió-ticos de objetivación: las palabras y los gestos. En conclusión, lo que se observó en elsalón de clases desde el primer día fue que el acto perceptual de notar algo se des-dobla en un proceso mediado por una actividad multisemiótica (palabras habladas,gestos, dibujos, fórmulas, etc.), en el curso de la cual el objeto que será visto emergeprogresivamente. A este proceso de notar el autor le llamó proceso de objetivación. La objetivación del conocimiento es un constructo teórico para dar cuenta dela manera en que los estudiantes se involucran en algo que notan y a lo que dansentido; desde esta perspectiva, los salones de clases son más bien vistos como zo-nas interactivas de actividades mediadas que transmiten valores científicos, éticos,estéticos y otros, cultural e históricamente formados, que los estudiantes objetivanpor medio de la participación reflexiva y activa. 58 Recommended

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