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Timestamp: 2020-08-08 18:51:13+00:00

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incertidumbre matraz volumétrico | Densidad | Calibración
incertidumbre matraz volumétrico
Adolfo Brenes
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nch1116-1977
Cuestionario ENAC.doc
Resolutivo CRE 110116.pdf
FUNDAMENTO TEORICO CRIS.docx
cenam2012
INCERTIDUMBRE EN LA CALIBRACIÓN DE UN MATRAZ VOLUMÉTRICO
Sonia Trujillo Juárez Roberto Arias Romero
Advertencia: El presente ejemplo se ha realizado con fines didácticos. Los datos de las condiciones ambientales podrían corresponder a un laboratorio industrial de calibración. Para aplicarlo a una calibración en particular, es necesario considerar las características de los equipos, los datos de medición y las condiciones ambientales específicas durante la calibración.
El Marqués, Qro., México, octubre de 2002.
Incertidumbre en la Calibración de un Matraz Volumétrico / CENAM /octubre de 2002
ESTE DOCUMENTO SE HA ELABORADO CON RECURSOS DEL GOBIERNO MEXICANO.
SÓLO SE PERMITE SU REPRODUCCIÓN SIN FINES DE LUCRO Y HACIENDO REFERENCIA A LA FUENTE:
Trujillo Juárez S. y Arias Romero R., Incertidumbre en la calibración de un matrraz volumétrico. Centro Nacional de Metrología, México, diciembre 2002. Disponible en <http:// www.cenam.mx>
Sonia Trujillo Juárez - Roberto Arias Romero
Resumen. Siguiendo el método propuesto en el documento “Guide to the Expresión of Uncertainty in Measurement” (GUM) [1,2], se presenta la estimación de la incertidumbre en la calibración de un matraz volumétrico a la temperatura de referencia de 20 °C, utilizando el método gravimétrico. Se muestra también el cálculo de la incertidumbre en la determinación de la densidad del agua. La densidad del aire y su incertidumbre se calcula de acuerdo a lo establecido en la referencia [3].
1. Principio de medición y mensurando
La calibración de los recipientes volumétricos de vidrio para laboratorio consiste en determinar el volumen de agua contenida o entregada por el recipiente. Este volumen de agua (V 20 ), se conoce midiendo la masa de agua y determinado su densidad a la temperatura de prueba, para lo cual se mide la masa del recipiente vacío (Mb) y después del recipiente lleno con agua destilada hasta la marca de aforo (Mc); la diferencia de masa de ambas mediciones será la masa de agua contenida en el recipiente, (Ma) 1 . Considerando las correcciones por flotación y la diferencia de temperatura respecto a la temperatura de referencia de 20 °C y la temperatura del recipiente durante las mediciones (T A ), el mensurando V 20 se calcula por medio de la siguiente ecuación por lo que constituye el modelo matemático:
V 20 = (Mc − Mb)
V 20 Es el volumen de agua contenido en el matraz a la temperatura de 20 °C,
[cm 3 ].
Es la masa del recipiente con agua (Mc) menos la masa del recipiente vacío (Mb); es decir, la masa de agua contenida en el recipiente (Ma), [g].
ρ A Es la densidad del agua que se usa en la calibración, calculada con la ecuación (2), [g/cm 3 ]. ρ a Es la densidad del aire a las condiciones ambientales del laboratorio, calculada según la referencia [3], [g/cm 3 ].
Mc-Mb
Es la densidad de las pesas de la balanza (8000 kg/m 3 ), valor convencional según la recomendación internacional No. 33 de la OIML
1 En la mayoría de los casos los instrumentos para pesar se calibran en masa convencional, por lo que Ma esta dado en masa convencional, en este ejemplo no se consideran las correcciones para determinar la masa real por ser despreciables para las incertidumbres que se tienen en estas condiciones.
Coeficiente de expansión cúbica del vidrio de borosilicato (1,0⋅10 -5 K -1 )
[5, 6]. Es la temperatura del agua medida durante la calibración, [°C].
II. Identificación y organización de las fuentes de incertidumbre
1. Medición de la masa del recipiente vacío
La masa del recipiente vacío se mide con una balanza analítica. Las fuentes de incertidumbre relacionadas con esta medición son:
a) Repetibilidad de las mediciones: Variaciones causadas por la estabilidad de la balanza y por las variaciones de la temperatura del aire durante las pesadas.
b) Resolución de la balanza.
c) Calibración de la balanza.
2. Medición de la masa del recipiente con agua
La masa del recipiente con agua se mide con una balanza. Las fuentes de incertidumbre relacionadas con esta medición son:
a) Repetibilidad de las mediciones: Variaciones por el ajuste del menisco, por la estabilidad de la balanza, por las variaciones de la temperatura del aire durante las pesadas y por otras causas desconocidas.
3. Calculo de la densidad del agua
La determinación de la densidad del agua y su incertidumbre se explica en el anexo B.
4. Densidad del aire
La densidad del aire y su incertidumbre se calculan según el ejemplo de incertidumbre para la densidad del aire desarrollado en la referencia [3].
5. Densidad de las pesas de la balanza
El valor convencional de la densidad de las pesas a 20 °C es de 8000 kg/m 3 [4]. La incertidumbre de la densidad de las pesas se obtiene del fabricante de las pesas o se encuentra en el certificado de calibración de las mismas. En este caso particular, la información fue proporcionada por la División de Masa y Densidad del CENAM, que calculó la incertidumbre tomando en cuenta la incertidumbre promedio de las pesas de acero inoxidable clase E 2 de diferentes fabricantes.
6. Coeficiente de expansión cúbica del vidrio
a) Esta fuente de incertidumbre está asociada con la variabilidad de la composición química del material de fabricación del recipiente. Su mejor estimado se toma de la información técnica proporcionada por el fabricante [5,6].
7. Temperatura del agua
Las fuentes de incertidumbre relacionadas con la medición de la temperatura del agua que se utiliza en la calibración son las siguientes:
a) resolución del termómetro utilizado.
b) calibración del termómetro.
c) variaciones de la temperatura del agua durante la calibración.
IIA Organización de las fuentes de incertidumbre
resolución de la balanza
calibración de la balanza
calculada en anexo B
calibración T
estabilidad de T
ρa = f (P, t, H )
fab/normas
calculada según [3]
Figura 1. Diagrama de árbol de las fuentes de incertidumbre.
III Cuantificación y Reducción.
La cuantificación y la reducción de las contribuciones de incertidumbre se realizan en un solo paso en este ejemplo.
a) Repetibilidad de las mediciones:
Se llevan a cabo mediciones repetidas de la masa del recipiente vacío que se calibra (Mb) y se calcula la media para obtener Mb R:
Mb (g)
Tabla 1. Resultados típicos de mediciones repetidas de la masa de un recipiente vacío. En la columna izquierda se indica el número de lectura y en la derecha el valor de la lectura, y al final su promedio.
La incertidumbre debido a la variabilidad en los resultados de la medición de Mb corresponde a evaluación tipo A; de acuerdo con la GUM, esta incertidumbre puede estimarse a partir de la desviación estándar de la media:
u( Mb,R )
− x )
( Mb
− Mb )
b) Resolución de la balanza
≈ 0,005 1 g
La resolución de la balanza es 0,01 g; la incertidumbre estándar se calcula considerando una distribución de probabilidad uniforme:
u( Mb,res )
0,002 9 g
c) Calibración de la balanza:
El certificado de calibración de la balanza indica una incertidumbre de 0,02 g con k = 2.
Incertidumbre estándar:
u( Mb,cal )
2. Medición de la masa del recipiente lleno
d) Repetibilidad de las mediciones:
Se realizan diez mediciones de la masa del matraz lleno con agua hasta la marca de aforo (Mc) y se calcula la media para obtener Mc R:
Tabla 1. Resultados típicos de mediciones repetidas de la masa de un recipiente con agua. En la columna izquierda se indica el número de lectura y en la derecha el valor de la lectura, y al final su promedio. Nótese que el número de lecturas no es necesariamente el mismo que para el recipiente vacío.
La incertidumbre debido a la variabilidad en los resultados de la medición de Mc tiene una forma de evaluación tipo A; de acuerdo con la GUM, esta incertidumbre puede estimarse a partir de la desviación estándar de la media,
u( Mc,R )
− Mc )
e) Resolución de la balanza
≈ 0,019 g
La resolución de la balanza es 0,01 g; la incertidumbre estándar se calcula considerando una distribución de probabilidad uniforme para esta variable aleatoria:
u( M ,res )
f) Calibración de la balanza:
u( M ,cal )
Incertidumbre estándar calculada de acuerdo al anexo B
u(ρ A ) = 6,0⋅10 -5 g/cm 3
El cálculo de la densidad del aire y su incertidumbre estándar se determinan de acuerdo al ejemplo “Incertidumbre en la determinación de la densidad del aire” [3], tomando en cuenta los valores promedio registrados de la temperatura ambiente (19,7 °C ± 0,5 °C), de la presión atmosférica (80 687 Pa ± 50 Pa) y de la humedad relativa (44 % ± 5 %) imperantes durante la calibración
u(ρ a ) = 1,8⋅10 -6 g/cm 3
Densidad de las pesas de la balanza
La variación promedio de la densidad de las pesas de acero inoxidable es de ± 0,08 g/cm 3 . La incertidumbre estándar se calcula suponiendo una distribución de probabilidad rectangular.
0,016 g/cm
0,046 g/cm
Coeficiente de expansión cúbica del vidrio
La norma ISO 4787 [5] y la información técnica que proporciona el fabricante [6] indican el mismo valor de 1,0⋅10 -5 K -1 para el coeficiente de expansión cúbica del vidrio de borosilicato. Asumiendo una variación del valor de ± 5⋅10 -6 , la incertidumbre estándar relacionada con este coeficiente es:
0,000 002 9 K
a) resolución del termómetro.
La resolución del termómetro es de 0,1 °C. La incertidumbre estándar se calcula con base en una distribución rectangular:
u(T ,res )
El certificado de calibración del termómetro indica una incertidumbre de 0,1 °C con
u(T ,cal )
Las variaciones en la temperatura del agua durante la calibración se observan cuando se
mide la temperatura del agua al inicio y al final de la calibración. La incertidumbre estándar se obtiene suponiendo una distribución rectangular:
u(T ,var)
≈°
Para incorporar las diferentes contribuciones a la incertidumbre combinada del volumen se necesita conocer el coeficiente de sensibilidad c i de cada fuente x i en base al modelo, ecuación (1):
Los valores promedio de cada una de las magnitudes de entrada son:
673,661 g
Mediciones, ver III.2
Mediciones, ver III.1
ρ A = ρ a = ρ B =
0,998 265 g/cm 3 0,000 956 g/cm 3 8 g/cm 3
Calculada con la ecuación (2), ver anexo B Calculada según [3] Valor convencional recomendado en RI-33 de la
1,0 x 10 -5 K -1
OIML [4] Referencia [5, 6], ISO 4787
Medida durante la calibración
Los coeficientes de sensibilidad se obtienen por derivación parcial respecto a cada variable de la ecuación (1):
1. Masa del recipiente vacío (Mb):
2. Masa del recipiente con agua (Mc):
1,002 582 cm
−= 20 )
 = − 501,342 cm
Coeficiente de expansión cúbica:
Mb ) 
149,997 cm ·K
  
= 438,8 cm
Densidad de las pesas de la balanza:
0,007 496 cm
1     1 −
0,004 999 cm
La contribución de cada fuente de incertidumbre se obtiene finalmente cuando se multiplica la incertidumbre estándar con su coeficiente de sensibilidad: c x ·u x , (ver tabla 1).
La incertidumbre combinada se obtiene con la suma cuadrática de las contribuciones individuales:
∑ ( c
Mc ·u
u c (V 20 ) = 0,039 cm 3 ;
u Masa b es la incertidumbre estándar de la masa del recipiente vacío, calculada en III.1 u Masa c es la incertidumbre estándar de la masa del recipiente lleno con agua, calculada en
es la incertidumbre estándar de la densidad del agua calculada según el anexo B es la incertidumbre estándar de la densidad del aire, calculada según [3] es la incertidumbre estándar de la densidad de las pesas de la balanza, según III.5 es la incertidumbre estándar del coeficiente de expansión cúbica, calculada en III.6 es la incertidumbre estándar de la temperatura del agua, calculada en III.3
En la evaluación de la incertidumbre estándar combinada del volumen del matraz, a la temperatura de referencia de 20 ºC, se ha despreciado la contribución por correlación entre la temperatura del agua y la densidad del agua. Tampoco se agrega la correlación entre las mediciones de masa del recipiente vacío y lleno, ya que aun cuando puede ser significativa por sí misma, da lugar a una contribución despreciable a la incertidumbre del volumen.
V. Grados de libertad
Los grados de libertad asociados a cada una de las fuentes de incertidumbre se muestran en
El número efectivo de grados de libertad se calcula según la ecuación de Welch- Satterhwaite:
N ∑ u
i 4 (V
ρ A +
ρ A ρ
u c (V 20 )
es la incertidumbre estándar combinada del mensurando V 20 , calculada en IV (0,039 cm 3 )
u i (V 20 ) es la contribución a la incertidumbre de cada una de las fuentes i de V 20
son los grados de libertad asociados a cada una de las fuentes i de V 20 , mostrados en la tabla 1.
VI. Incertidumbre expandida, informe del resultado
La incertidumbre expandida se calcula con la siguiente ecuación:
95 ,45
U = 0,078 cm 3
0,039 · 2,02
donde t 95,45 (v ef ) es el factor derivado de la distribución t de Student con un nivel de confianza de 95,45% y 98 grados de libertad, obtenidos para V 20 .
Finalmente, el resultado de la calibración del matraz volumétrico se expresa de la siguiente manera
Valor del volumen a 20 °C
a 95,45 %
499,99 cm 3
0,078 cm 3
VII. Discusión de los resultados
La principal contribución a la incertidumbre estándar combinada del mensurando (V 20 ) procede de la densidad del agua empleada para realizar la determinación del volumen. A su vez, en el Anexo B se aprecia que la principal contribución a la incertidumbre estándar combinada de la densidad del agua es la incertidumbre debido a las variaciones de temperatura ocurridas durante el trabajo de calibración.
Una recomendación para disminuir la incertidumbre en el valor de la densidad del agua, y en consecuencia para disminuir la incertidumbre en V 20 , es mantener el laboratorio en condiciones estables de temperatura y en equilibrio térmico con el agua.
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP, IUPAC, OIML (1995).
Schmid W., Lazos Rubén – Guía para estimar la incertidumbre de la medición – Abril de 2000 (“Guia-CNM”)
Luis Omar Becerra Santiago y María Elena Guardado González Estimación de la incertidumbre en la determinación de la densidad del aire, CENAM, (2002).
OIML International Recommendation No.33. Conventional value of the result of weighings in the air. Reportig-Secretariat: International Bureau of Legal Metrology.
ISO 4787 Laboratory glassware – Volumetric glassware – Methods for use and testing of capacity. (1984).
Catálogo General Brand 400. Información técnica p.12
ITS-90 Density of Water Formulation for Volumetric Standards Calibration. Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology, Volume 97, Number 3. (1992)
Q. en A. Sonia Trujillo Juárez, Responsable del laboratorio de Pequeños Volúmenes, División de Flujo y Volumen, CENAM. strujill@cenam.mx, Tel +52 (442) 211 05 00 ext 3819.
M. en C. Roberto Arias Romero, Coordinador Científico de la División de
+52 (442) 211 05 00
Flujo y Volumen, CENAM. rarias@cenam.mx, Tel ext 3765.
Anexo A. Tabla 1. Presupuesto de incertidumbre en la calibración de un matraz volumétrico
(u i (y)) 2
6.25E-08
Contribución u i (y)
u c (V 20 ) =
v ef =
U(V20) =
-5.01E-03 cm 3
-3.01E-03 cm 3
-1.00E-02 cm 3
1.90E-02 cm 3
3.01E-03 cm 3
1.00E-02 cm 3
-3.01E-02 cm 3
9.98E-04 cm 3
3.46E-04 cm 3
4.33E-04 cm 3
-1.40E-04 cm 3
-2.50E-04 cm 3
-1.44E-03 cm 3
cm 3 /°
-1.00258 cm 3 /g
1.002582 cm 3 /g
-501.342 cm 6 /g
438,9 cm 6 /g
7.50E-03 cm 6 /g
149.997 ·K
-0.00500 C
Incertidumbre Estándar u(x i )
6.00E-05 g/cm 3
0.04619 g/cm 3
2.89E-06 K -1
0.028 °C
0.28868 °C
A, normal
B, rect.
1.82E-06 g/cmDensidad
ver Ref [3]
B, rect
0.08 g/cm 3
5.00E-06 K -1
grados efectivos de libertad
cmIncertidumbre
0.998 265
174.956Mb
673.661Mc
19.7Temperatura
Anexo B: Determinación de la densidad del agua y estimación de su incertidumbre
La estimación de incertidumbre de la densidad del agua se realiza siguiendo la metodología del presente ejemplo, es decir, el método propuesto en “Guide to the Expresión of Uncertainty in Measurement” (GUM) [1,2].
1. Modelo matemático y mensurando
La densidad del agua se calcula en kg/m 3 en función de la temperatura, utilizando la ecuación de Kell modificada para usarse con la ITS-90 y en el intervalo de 5°C a 40 °C [7], como
999,853 08
6,326 93 10
8,523 829 10
6,943 248 10
3,821 216 10
que al evaluarse para una temperatura del agua de 19,7 ºC da como resultado
ρ A = 998,265 kg/m 3
= 0,998 265 g/cm 3 .
2. Identificación y organización de las fuentes de incertidumbre.
Las fuentes de incertidumbre relacionadas con la densidad del agua son:
Medición de la temperatura del agua:
a) resolución del termómetro utilizado
b) calibración del termómetro
calibración T A
resolución T A
estabilidad de T A
Figura 1 del anexo B. Diagrama de árbol de las fuentes de incertidumbre de la densidad del agua
Cuantificación y reducción
Se realiza la reducción de incertidumbre de cada una de las fuentes con el fin de representar las incertidumbres originales como incertidumbres estándar.
La resolución del termómetro es de 0,1 °C. La incertidumbre estándar se calcula en base a una distribución rectangular:
=° 0,028
El certificado de calibración del termómetro indica una incertidumbre de 0,1 °C con k = 2.
=° 0,05
Las variaciones en la temperatura del agua de calibración se observan cuando se mide la temperatura del agua al inicio y al final de la calibración. La incertidumbre estándar se obtiene suponiendo una distribución rectangular:
La incertidumbre debido a la temperatura u t se calcula sumando cuadráticamente las fuentes de incertidumbre relacionadas,
uuu ++
El coeficiente de sensibilidad de la temperatura c TA se obtiene derivando el modelo matemático 2 respecto de la temperatura; es decir,
= 6,32693 ·10 -2 - 2⋅ (8,523829 ·10 -3 T A ) + 3⋅ (6,943248 ·10 -5 T A 2 ) - 4⋅ (3,821216 ·10 -7 T A 3 )
= - 0,203 kg/(m 3 °C) = - 0,000 203 g/(cm 3 °C)
La incertidumbre de la densidad del agua u(ρ A ), se calcula multiplicando el coeficiente de sensibilidad c TA con la incertidumbre de la temperatura u TA obtenida en el punto 3 de este anexo,
( c ·u( x
V. Informe del resultado
6 ,0 10
El valor de la densidad del agua y su incertidumbre estándar se pueden expresar como:
Valor de la densidad del agua
0,998 26 g/cm 3
6,0·10 -5 g/cm 3
En un cálculo de incertidumbre más riguroso debería asignarse una incertidumbre al modelo matemático con el que se determina la densidad del agua (ecuación 2). Por ejemplo, el Physikalisch-Technische Bundesanstalt (PTB), laboratorio primario de Alemania, asigna una incertidumbre del 0,001% al modelo matemático con el que determina la densidad del agua. En este ejemplo, la contribución del modelo matemático se considera despreciable y se asume que no contribuye a la incertidumbre total.
La densidad del agua y su incertidumbre se calculan en este ejemplo con el fin de utilizar los valores para determinar el volumen de un recipiente volumétrico. En este caso, la densidad del agua es considerada como una variable intermedia, por lo que no es necesario calcular el valor de la incertidumbre expandida.
ANEXO B. Tabla 2. Presupuesto de incertidumbres para la determinación de la densidad del agua
-5,68·10 -6 g/cm 3
-1,02 ·10 -5 g/cm 3
-5,87 ·10 -5 g/cm 3
Coeficiente de sensibilidad, c i
3 /°
combinada = 6,0·10Incertidumbre
-0,00020 g/cm C
Incertidumbree estándar u(x i )
-0,000200,025
0,289 °C±
0,028 °CDivisión
0,998 265 g/cm 3
Valor estimado x i
entrada Xi
Calibración del
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