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Algebre commutative: Chapitres 8 et 9 | N. Bourbaki | download
Strona główna Algebre commutative: Chapitres 8 et 9
Les ?‰l?©ments de math?©matique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une pr?©sentation rigoureuse, syst?©matique et sans pr?©requis des math?©matiques depuis leurs fondements. Ce volume du Livre d Alg??bre commutative, septi??me Livre du trait?©, comprend les chapitres: 1. Dimension; 2. Anneaux locaux noeth?©riens complets. Le chapitre 8 traite de diverses notions de dimension en alg??bre commutative, telles que la dimension de Krull d un anneau. Ces notions jouent un r??le capital en g?©ometrie alg?©brique. Le chapitre 9 introduit, quant ? lui, les vecteurs de Witt et les anneaux japonais. Ce volume est une r?©impression de l ?©dition de 1983.
Liczba stron: 200 / 204
ISBN 10: 3540339426
ISBN 13: 9783540339427
Réimpression inchangée de l'édition originale de 1983
Q Masson, Paris 1983
ISBN-10 3-540-33942-6 Springer Berlin Heidelberg New York
ISBN-13 978-3-540-33942-7 Spnnger Berlin Heidelberg New York
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Dans ce chapitre, tous les anneaux sont supposés commutatifs, les algèbres sont
associatives, commutatives et uni$ères.
Soit A un anneau. Si a est un idéal de A et n un entier négatif, on pose a" = A. Pour
tout idéal premier p de A, on note ~ ( ple) corps résiduel de l'anneau local A,; il est
canoniquement isomorphe au corps des fractions de l'anneau A/p ( I I , 3 3, no 1, prop. 2).
Si A est local, on note m , son idéal maximal et K , = Atm, = ~ ( m , )son corps résiduel.
Soit p : A -+ B un homomorphisme d'anneaux. On note "p l'application continue
de Spec(B) dans Spec(A) associée à p ( I I , § 4, no 3). On dit (V, 2, no 1, déf, 1) qu'un
idéal premier q de B est au-dessus de l'idéal premier p de A si p est l'image de q par ' p ,
c'est-à-dire si p-' ( q ) = p. Soit M un B-module ; lorsque nous considérerons M comme
A-module, il s'agira toujours de la structure de A-module p,(M) définie par la loi
externe (a, m) H p(a).m (A, I I , p. 30).
Soit M un A-module. Si U (resp. V ) est un sous-groupe additif de A (resp. M), on
note U V ou U.V le sous-groupe additifde M engendré par les produits U V , pour u E U
et v E V . Si S est une partie de A , on note SM le sous-module
SM de M ; l'idéal 6
de A engendré par S est égal ù S A et l'on a 6 . M
9 1. DIMENSION DE KRULL D'UN ANNEAU
1. Dimension de Kru11 d'un espace topologique
1. - Soit 1 un ensemble ordonné. Une partiefinie non vide et totalement
ordonnée de 1 est appelée une chaîne de 1. Soit c une chaîne de 1 ; le plus petit et le plus
grand élément de c sont appelés les extrémités de c. L'entier Card(c) - 1 est appelé la
longueur de c. La relation d'inclusion dans l'ensemble des parties de 1 induit une
relation d'ordre dans l'ensemble des chaînes de 1. Une chaîne c de 1 est dite saturée
si elle est maximale parmi les chaînes de 1 ayant les mêmes extrémités que c.
AC VI11 . 2
Pour désigner une chaîne c de longueur n, on écrira souvent : « l a chaîne
i, < ... < in », où les i, sont les éléments de c indexés de façon strictement croissante
par les entiers de O à n.
Soit X rin espace topologique. On munit l'ensemble des parties fermées irréductibles
de X (II, 9 4, no 1, déf. 1) de la relation d'ordre définie par l'inclusion. Lorsque l'on
parlera d'une chaîne de parties fermées irréductibles de X, il s'agira toujours d'une
chaîne au sens de cette relation d'ordre.
2. - On appelle dimension de Krull de l'espace topologique X et on
note dim kr(X) ou simplement dim(X) la borne supérieure dans R de l'ensemble des
longueurs des chaînes de parties fermées irréductibles de X.
Pour tout point x de X, on appelle dimension de Krull de X en x et on note dim,(X)
lu borne inférieure des dimensions des voisinages ouverts de x.
On a dim(@) = - m. Par contre, si X n'est pas vide, l'adhérence de tout point de X
est une partie fermée irréductible de X (II, § 4, no 1, prop. 2) et la dimension de X
est donc + co ou un entier positif. Supposons que X soit séparé et non vide ; alors
toute partie irréductible de X est réduite à un point, et X est de dimension O.
La définition de la dimension de Krull est donc dénuée d'intérêt pour les espaces
séparés, mais elle est spécialement adaptée aux espaces topologiques rencontrés
en Algèbre Commutative (spectres d'anneaux, * schémas *, ...). Dans ce chapitre,
aucune confusion n'est à craindre avec d'autres notions de dimension des espaces
topologiques (par exemple, celle de Lebesgue), et nous dirons simplement « dimension » pour « dimension de Krull ».
1. - Soit X un espace topologique.
a ) Si Y est un sous-espace de X, on a dim(Y) < dim(X), et dim,(Y) < dim,(X)
pour tout point y de Y.
b ) Soient x un point de X et V un voisinage de x dans X. On a dim,(X) = dim,(V).
c ) Soit (Xi),,, une famille finie de parfies fermées de X telle que X = U X,. On a
alors dim(X) = sup dim(X,) et, pour tout point x de X, on a dim,(X)
sup dim,(X,),
où J, désigne l'ensemble des i G 1 tels que x E X,.
Démontrons a). Si Z est une partie fermée irréductible de Y, son adhérence Z
dans X est irréductible (II, 5 4 nu 1, prop. 2) et l'on a 2 n Y = Z. Ainsi, toute chaîne c
de parties fermées irréductibles de Y définit, par passage à l'adhérence dans X, une
chaîne de parties fermées irréductibles de X, de même longueur que c. L'inégalité
dim(Y) d dim(X) résulte de cela. Si U est une partie ouverte de X contenant un
point y de Y, on a donc dim(U n Y) ,< dim(U), d'où dim,(Y) < dim,(X).
Démontrons b). On a par définition dim,(X) < dim,(V), et l'inégalité opposée
résulte de a).
Démontrons c). Soit Z, c ... c Z, une chaîne de parties fermées irréductibles
de X. O n a Zn = U (Znn Xi) et chacun des ensembles Zn n Xi est fermé dans Z, ;
AC VI11 . 3
comme 1est fini, Z , est contenu dans l'un des Xi. Par suite, on a dim(X) < sup dim(Xi),
d'où l'égalité d'après a).
Soient maintenant x un point de X et n
sup dim,(X,), où J, est comme dans
l'énoncé. On a dim,(X) 2 n d'après a), et, pour établir l'égalité, on peut supposer n
fini. Pour tout i E J,, soit Ui un voisinage ouvert de x dans X, tel que dim(Ui n Xi) < n.
Posons U = (n Ui) n ( n Xi) ; l'ensemble U est ouvert dans X. De plus, on a
it1 - J,
dim(U) = sup dim(U n Xi) < n d'après l'alinéa précédent, donc dim,(X) ,< n.
COROLLAIRE. a ) La dimension de l'espace topologique X est la borne supérieure
des dimensions de ses composantes irréductibles (II, Q: 4, no 1, déf. 2).
b) Soit x un point de X. On a dim,(X) 2 sup dim,(Xi), où Xi parcourt la famille
des composantes irréductibles de X qui contiennent x ; il y a égalité si x possède un
voisinage V qui n'a qu'un nombre $ni de composantes irréductibles (ce qui est le cas
par exemple si V est noethérien).
La première assertion est immédiate puisque les chaînes de parties fermées irréductibles de X sont les chaînes de parties fermées irréductibles des composantes
irréductibles de X (II, 4 4, no 1, prop. 5). L'inégalité dim,(X) 2 sup dim,(Xi) résulte
de la prop. 1, a). Soit V un voisinage de x qui ne possède qu'un nombre fini de composantes irréductibles, et soit (Vj)j,J la famille des composantes irréductibles de V qui
contiennent x. Il résulte de la prop. 1, b ) et c ) qu'on a
dim,(X)
dim,(V)
sup dim,(V,);
on conclut en remarquant que chacun des V, est contenu dans l'un des Xi, i E J,,
et qu'on a par conséquent sup dim,(Vj) < sup dim,(Xi).
2. - Soit X un espace topologique. On a dim(X)
sup dim,(X).
En effet, on a par définition dim(X) 3 dim,(X) pour tout x EX. D'autre part,
si Z, c ... c Zn est une chaîne de parties fermées irréductibles de X, pour tout
x E ZOet tout voisinage ouvert U de x, les ensembles Z, n U, ..., Z, n U constituent
une chaîne de parties fermées irrkductibles de U (II, 5 4, no 1, prop. 7). On a donc
dim,(X) 2 n, d'où dim(X) ,< sup dim,(X).
- Si (XJatA est un recouvrement ouvert, ou un recouvrement fermé
loculeinent fini, d'un espace topologique X, on a
sup dim(X,)
Il suffit de démontrer que, pour tout point x de X, on a dim,(X)
où A, est l'ensemble des a E A tels que x
E X,.
Ceci est clair dans le cas d'un recouvre-
AC VI11.4
ment ouvert, et rksulte de la prop. 1, c), dans le cas d'un recouvrement fermé localement fini.
2. Codimension d'une partie fermée
DÉFINITION3. - Soit X un espace topologique.
a ) Si Y est une partie fermée irréductible de X, on appelle codimension de Y dans X
la borne supérieure dans R des longueurs des chaînes de parties fermées irréductibles
de X dont Y est le plus petit élément.
b ) Si Y est une partie fermée de X, on appelle codimension de Y dans X, et on note
codim(Y, X) la borne inférieure dans R des codimensions, dans X, des composantes
irréductibles de Y.
Remarques. - 1 ) La codimension d'une partie fermée Y de X est donc la borne inférieure des codimensions des parties fermées irréductibles de Y. On a
codim(@, X) =
CE et, si X n'est pas vide, codim(X, X) = O. Toute partie fermée
non vide de X contient une partie fermée irréductible (II, 9 4, no 1, prop. 5) ; la codimension dans X d'une partie fermée Y est donc toujours un entier positif ou
elle est nulle si et seulement si Y contient une composante irréductible de X.
2) Si Y est une partie fermée non vide de X, on a codim(Y, X) < dim(X). On a
dim(X) = sup codim(Y, X), où Y parcourt l'ensemble des parties fermées irréduc-
tibles de X. Si Y et Y' sont deux parties fermées de X telles que Y' c Y, on a
codim(Y, X) < codim(Y1,X).
3) Soient Y une partie fermée de l'espace topologique X et (X,),,, (resp. (Y,),,,)
la famille des composantes irréductibles de X (resp. de Y). Pour tout P E B, notons
A(P) l'ensemble des cc E A tels que YI, c X,. Du fait que toute partie irréductible de
X est contenue dans l'un des X, (II, 5 4, no 1, prop: 5), il résulte de la déf. 3 que l'on a :
codim(Y, X)
inf sup codim(Y,, X,) .
aWB)
4) Soient (Y,),, une famille finie de parties fermées de X et Y
U Yi ; on a
inf codim(Yi, X) .
En effet, toute composante irréductible de Y est contenue dans l'un des Y,.
3. - Soit X un espace topologique.
a ) Pour toute partie fermée non vide Y de X, on a
b ) Si Y, Z, T sont des parties fermées de X telles que Y c Z c T , on a
AC VI11 .5
Il suffit de démontrer l'assertion a ) dans le cas où dim(X) est fini. Dans ce cas,
dim(Y) et codim(Y, X) sont finis. Il existe une chaîne Y, c ... c Y, de parties
fermées irréductibles de Y, de longueur n = dim(Y) et une chaîne Y, c ... c Y,,,
de parties fermées irréductibles de X, de longueur p 2 codim(Y, X). On en déduit
que dim(X) b n + p, d'où a). Pour établir b), on peut supposer Y irréductible.
Comme on a codim(Y, Z) < codim(Y, T), l'inégalité est démontrée si
codim(Y, Z) = + m. Sinon, soit Z, une composante irréductible de Z contenant
Y et telle que codim(Y, Z) = codim(Y, Z,). On a codim(Z, T) < codim(Z,, T),
et on voit, comme ci-dessus, que codim(Y, Z,) + codim(Z,, T ) < codim(Y, T),
d'où b).
Un espace topologique X est dit catknaire si, pour tout couple (Y, Z)
de parties fermées irréductibles de X telles que Y c Z, toute chaîne saturée de parties
fermées irréductibles d'extrémités Y et Z est de longueur codim(Y, Z).
Il revient au même de dire que, pour tout couple (Y, Z) de parties fermées irréductibles de X tel que codim(Y, Z) soit fini, toutes les chaînes saturées d'extrémités Y
et Z ont même longueur, et que, pour tout couple (Y, Z) tel que codim(Y, Z) = co,
il n'existe aucune chaîne saturée d'extrémités Y et Z.
Tout sous-espace fermé d'un espace caténaire est caténaire. Pour qu'un espace
soit caténaire, il faut et il suffit que ses composantes irréductibles le soient.
4. - Soit X un espace topologique. Pour que X soit caténaire, il faut
et il sufit que, pour tout triplet (Y, Z, T ) de parties fermées irréductibles de X tel que
Y c Z c T, on ait :
Supposons X caténaire. Compte tenu de la prop. 3, b), il suffit de démontrer la
relation lorsque codim(Y, Z) et codim(Z, T) sont finis. En mettant bout à bout
une chaîne saturée de parties fermées irréductibles d'extrémités Y et Z de longueur
codim(Y, Z), et une chaîne saturée de parties fermées irréductibles d'extrémités Z
et T, de longueur codim(Z, T), on obtient une chaîne saturée d'extrémités Y et T,
de longueur codim(Y, Z) + codim(Z, T). Mais, comme X est caténaire, cette longueur
est nécessairement égale à codim(Y, T).
Réciproquement, supposons que l'on ait codim(Y, T) = codim(Y, Z) + codim(Z, T)
quelles que soient les parties fermées irréductibles Y, Z, T de X telles que Y c Z c T,
et démontrons que X est caténaire. Pour cela, démontrons par récurrence sur l'entier
n 3 O que, pour toute chaîne saturée Z, c ... c Zn de parties fermées irréductibles
de X, on a codim(Z,, Zn) = n. Si n = 0, c'est clair. Soit n > O, et supposons la
propriété satisfaite pour les chaînes de longueur < n - 1. Si Z, c ... c Z, est une
chaîne saturée de longueur n, alors Z, c ... c Zn-, est une chaîne saturée de
longueur n - 1, donc codim(Z,, Zn- ,) = n - 1. Vu l'hypothèse faite sur X, on a
codim(Z,, Zn) = codim(Z,, Z,,_,) + codim(Z,,_,,Zn) = (n - 1 ) + 1 = n.
AC VI11 . 6
- Soit X un espace topologique irréductible et de dimension finie. Pour
que X soit caténaire, il faut et il suffit que, pour tout couple (Y, Z) de partiesfermées
irréductibles de X telles que Y c Z, on ait codim(Y, X) = codim(Y, Z) + codim(Z, X).
La condition est nécessaire d'après la prop. 4. Inversement, supposons-la vérifiée,
et notons c(Z) l'entier codim(Z, X) pour toute partie fermée irréductible Z de X.
Si Y, Z, T sont trois parties fermées irréductibles de X telles que Y c Z c T, on a
et X est caténaire d'après la prop. 4.
5. - Soit X un espace topologique de dimension finie. Supposons que
toutes les chaînes maximales de parties fermées irréductibles de X aient même longueur.
Alors X est caténaire ; pour toute partie fermée irréductible Z de X, on a
pour tout couple (Y,Z ) de parties fermées irréductibles de X le1 que Y c Z, on a
Soient Y et Z deux parties fermées irréductibles de X telles que Y c Z. Soient
Y, c ... c Y, une chaîne telle que Y, = Y et p = dim(Y), Z, c ... c Z, une
chaîne telle que Z, = Z et q = codim(Z, X). Pour toute chaîne saturée T, c ... c T,
telle que T, = Y et T, = Z, la chaîne
est maximale, et de longueur p + q + r ; d'après l'hypothèse faite sur X, on a donc
q + r = dim(X), soit r = dim(X) - dim(Y) - codim(Z, X). Il en résulte que
X est caténaire et que, pour Y et Z comme ci-dessus, on a
Prenant Y
Z, on voit que le second membre est égal à dim(Z), d'où la propo-
3. Dimension d'un anneau, hauteur d'un idéal
5. - On appelle dimension de Krull, ou simplement dimension, d'un
anneau (commutatif) A et l'on note dim(A), la dimension de Krull de l'espace topologique Spec(A)( I I , § 4, no 3, déf. 4). Si p es1 un idéal premier de A, on appelle dimension
de A en p, et on note dim,(A), le nombve dim,(Spec(A)).
AC VI11 . 7
L'application p +-+ V(p) est une bijection décroissante de l'ensemble des idéaux
premiers de A sur l'ensemble des parties fermées irréductibles de Spec(A) (loc. cit.,
cor. 2 a la prop. 14). La dimension de A est donc la borne supérieure de l'ensemble
des loilgueurs des chaînes d'idéaux premiers de A ; elle est égale a - co, + co ou à
un entier positif.
Soit p E Spec(A); les ensembles Spec(A),-, où f parcourt A, forment une base
de la topologie de Spec(A), et p appartient à l'ouvert s p e ~ ( Asi) ~et seulement si f
n'appartient pas à p. Par conséquent, dim,(A) est la borne inférieure des nombres
dim(Af), où f parcourt A - p (II, # 5, nu 1, prop. 1).
Exemples. - 1) On a dim(A) < O si et seulement si A est réduit à O. Pour que l'on
ait dim(A) < O, il faut et il suffit que tout idéal premier de A soit maximal. Les anneaux
intègres de dimension O sont les corps. Un anneau noethérien est de dimension < O
si et seulement s'il est artinien (IV, fi 2, no 5, prop. 9).
2) Les anneaux de Dedekind sont les anneaux noethériens intégralement clos
de dimension d 1 (VII, fi 2, no 2, th. 1). Plus généralement, d'après V, Ci 1, no 2,
cor. 2 a la prop. 9, un anneau est un produit fini d'anneaux de Dedekind si et seulement s'il est noethérien, rkduit, intégralement fermé dans son anneau total des
fractions, et de dimension < 1.
3) Si A est un anneau de valuation (VI, fi 1, no 2, déf. 2), sa dimension est égale à
la hauteur de la valuation (VI, 4, no 4, prop. 5).
4) Soit A un anneau. On a
En effet, si p, c ... c p, est une chaîne d'idéaux premiers de A, de longueur n,
on obtient une chaîne pb c ... c p;,, d'idéaux premiers de A[X], de longueur
n + 1, en posant pf = p,A[X] pour O < i < n, et pi,, = p,A[X] + XA[X].
Par le même raisonnement, on prouve l'inégalité dim(A[[X]]) 3 dim(A) + 1. On en
déduit par récurrence les inégalités
3 dim(A) + n .
dim(A[X,, ..., X,]) 3 dim(A)
dim(A[[X,, ..., X,]])
Nous démontrerons plus loin (fi3, no 4, cor. 3 de la prop. 7 et cor. 3 de la prop. 8) que
l'on a égalité dans les deux formules précédentes lorsque A est noethérien.
* 5) Soit X une variété analytique complexe. Si X est de dimension complexe n
en un point x de X, l'anneau local des germes en x de fonctions analytiques sur X est
de dimension n. *
6) Soient k un corps et A une k-algèbre entière non nulle. Alors on a dim(A) = 0.
Cela résulte du cor. 1 à la prop. 1 de V, # 2, no 1, et du fait que dim(k) = 0.
7) Si n est un nilidéal de A, Spec(A) est homéomorphe à Spec(A/n) (II, # 4, no 3,
remarque). On a donc dim(A/n) = dim(A) ; en particulier, on a dim(A) = dim(A,,,)
où A,,, est le quotient de l'anneau A par son nilradical.
AC VI11 .8
8) Il existe des anneaux noethériens de dimension infinie (p. 83, exerc. 13).
Nous verrons ci-dessous (Ij 3, nu 1, cor. 1 a la prop. 2) que tout anneau local noethérien
6. - Soit A un anneau.
a ) Si a est un idéal de A, on a dim(A/a) 6 dim(A).
b ) Si S est une partie multiplicative de A, on a dim(S-'A) 6 dim(A).
c ) On a dim(A) = sup dim(A/p), où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers
minimaux de A.
d ) Si A n'a qu'un nombre fini d'idéaux premiers minimaux (par exemple si A est
noethérien (II, 4 4, no 3, cor. 3 à la prop. 14))et si p est un idéal premier de A, on a
dim,(A)
sup dimw,(A/q),
où q parcourt l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A contenus dans p.
e ) Soit a un idéal de A qui n'est contenu dans aucun idéal premier minimal de A ;on a
alors dim(A)> dim(A/a) 1. En particulier, si A est intègre, on a dim(A) > dim(A/a) 1
pour tout idéal non nul a de A.
D'après la remarque de II, 5 4, no 3, si a est un idéal de A, l'espace topologique
Spec(A/a) est homéomorphe au sous-espace fermé V(a) de Spec(A). L'assertion a )
résulte de cela et de la prop. 1, a )du no 1. L'assertion b ) résulte de loc. cit., corollaire à la
prop. 13. D'après loc. cit., cor. 2 à la prop. 14, les composantes irréductibles de Spec(A)
sont homéomorphes aux espaces Spec(A/p), où p est un idéal premier minimal de A,
et l'assertion c) résulte du corollaire de la prop. 1 du no 1. Sous l'hypothèse de d ) ,
l'espace Spec(A) n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles ; les composantes irréductibles de Spec(A) contenant p sont les ensembles V(q), où q est un idéal
premier minimal contenu dans p. L'assertion d) résulte alors du cor., 6 ) de la prop. 1
du no 1.
Démontrons enfin e). Il s'agit de prouver que, pour toute chaîne p, c ... c p,
d'idéaux premiers de A telle que a c p,, on a dim(A) 3 n + 1. Vu l'hypothèse faite
sur a, il existe un idéal premier p - , de A contenu dans p,, distinct de p,, et
p - c p, c ... c p, est une chaîne d'idéaux premiers de A, de longueur n
Remarque 1 . - Soit p :A + B un homomorphisme d'anneaux. Alors dim(B) est la
borne supérieure des nombres dim(B/p(p).B), où p parcourt l'ensemble des idéaux
premiers minimaux de A : en effet, pour tout idéal premier minimal q de B, il existe
un idéal premier minimal p de A contenu dans p l ( q )(II, 4 2, no 6, lemme 2) et l'on a
par la prop. 6, a ) ; on conclut par la prop. 6, c).
6. - Soit a un idéal d'un anneau A. La codimension de V(a) dans Spec(A)
est appelée hauteur de l'idéal a et notée ht(a).
AC VI11 . 9
Supposons A intègre. Alors les idéaux premiers de hauteur 1 de A au sens de la déf. 4
de VII, 9 1, no 6, sont les idéaux premiers de hauteur 1 au sens de la définition cidessus.
7. - a ) La hauteur d'un idéal premier p de A est la borne supérieure des
longueurs des chaînes d'idéaux premiers p, c ... c p,, telles que p,, = p.
b) Soient p un idéalpremier de A ~ r at un idéal de A. Alors on a dim(A,/aA,) = - cc
si a n'est pas contenu dans p et dim(AP/aAP)= codim(V(p), V(a)) si a est contenu dans
p. En particulier, si p est un idéal premier de A, on a dim(A,) = ht(p).
c ) Si a est un idéal de A, on a ht(a) = inf ht(p) = inf dim(A,) où p parcourt l'ensemP
ble des idéaux premiers de A contenant a.
L'assertion a ) est la traduction de la déf. 3, a ) du no 2. L'assertion b ) résulte du
fait que l'application q ++q(AP/aAP)est un isomorphisme croissant de l'ensemble des
idéaux premiers q de A tels que a c q c p sur l'ensemble des idéaux premiers de
l'anneau local AP/aAP(II, 5 2, no 5, prop. 11). Soit a un idéal de A ;les parties fermées
irréductibles de V(a) sont les ensembles V(p), où p est un idéal premier de A contenant
a. L'assertion c ) résulte donc de la remarque 1 du no 2.
- Soient p un idéal premier de A et S une partie multiplicative de A ne
rencontrant pas p. Alors ht(p) = ht(Sp'p).
Cela résulte de la prop. 7, a), et de 11, 4 2, no 5, prop. 11.
8. Soit A un anneau.
a ) On a dim(A) = sup dim(A,,) = sup ht(m), où m parcourt l'ensemble des idéaux
maximaux (resp. premiers) de A.
b ) Soient b un idéal de A distinct de A et a un idéal de A contenu dans 6. Alors on a
codim(V(b), V(a)) + dim(A/b) < dim(A/a). En particulier, pour tout idéal b de A
distinct de A, on a l'inégalité ht(b) + dim(A/b) < dim(A).
La première assertion résulte de la remarque 2 du no 2 et de la prop. 7, b). La
seconde résulte de la prop. 3, a ) du no 2 et des relations dim(A/b) = dim(V(b)),
dim(A/a) = dim(V(a)).
On dit qu'un anneau A est caténaire si l'espace topologique Spec(A)
est caténaire (no 2, déf. 4).
Cela signifie donc que, pour tout couple (p, q) d'idéaux premiers de A tel que
q c p, toutes les chaînes saturées d'idéaux premiers de A d'extrémités p et q ont pour
longueur codim(V(p), V(q)) = dim(A,/qA,).
Remarques. - 2) Tout anneau quotient d'un anneau caténaire est caténaire. Pour
que l'anneau A soit caténaire, il faut et il suffit que, pour tout idéal premier p de A,
l'anneau Ap soit caténaire.
3) D'après la prop. 7, b ) et la prop. 4 du no 2, l'anneau A est caténaire si et seulement
si, pour tout triplet (p, q, r) d'idéaux premiers de A tel que r c q c p, on a
AC VI11 .10
dim(A,/qA,) + dim(A,/rA,) = dim(A,/rAp). Si A est intègre et de dimension finie,
alors A est caténaire si et seulement si on a ht(q) dim(A,/qA,) = ht(p) pour tout
couple (p, q) d'idéaux premiers de A tel que q c p. En effet, l'espace topologique
Spec(A) est alors irréductible et de dimension finie, et on applique le corollaire à la
prop. 4 du no 2.
4) Soit A un anneau de dimension finie, dont toutes les chaînes maximales d'idkaux
premiers ont même longueur. Alors A est caténaire, on a ht(p) + dim(A/p) = dim(A)
pour tout idéal premier p de A, et dim(A,/qA,) + dim(A/p) = dim(A/q) pour tout
couple (p, q) d'idéaux premiers de A tel que q c p (no 2, prop. 5).
5) Nous verrons au $ 2, no 4, que toute algèbre de type fini sur un corps est un
anneau caténaire. 11 existe des anneaux locaux noethèriens qui ne sont pas caténaires
(p. 83, exerc. 16).
Dimension d'un module de type fini
8 . Soient A un anneau et M un A-module de type fini. On appelle
dimension de Krull (ou simplement dimension ') du A-module M et on note dimA(M)
(ou dim(M) s'il n'y a pas d'ambiguïté) la dimension de Krull du support de M (II, 9 4,
no 4, déf. 5).
Le support du A-module A est Spec(A) ; la dimension du A-module A est donc
égale à la dimension de l'anneau A.
Soient M un A-module de type fini et a son annulateur ; on a
(II, 5 4, no 4, prop. 17). Par suite coincident la dimension du A-mudule M, la dimension
du A-module A/a, la dimension de l'anneau A/a et la dimension du (A/a)-module M ;
c'est la borne supérieure de l'ensemble des longueurs des chaînes p, c ... c p,,
d'idéaux premiers de A telles que a c p,. D'après la prop. 6, c) du no 3, la dimension
de M est aussi la borne supérieure des dimensions des anneaux (ou des A-modules)
A/p, où p parcourt l'ensemble des idéaux premiers de A, minimaux parmi ceux qui
contiennent a.
Remarques. - 1 ) Soient A un anneau noethérien et M un A-module de type fini.
Il est équivalent de dire que dimA(M)< O, ou que les éléments de Supp(M) sont des
idéaux maximaux de A, ou que M est de longueur finie (IV, 9: 2, no 5, prop. 7).
2) Si M est un module de type fini sur un anneau noethérien A, dim,(M) est la
borne supérieure des nombres dim(A/p), où p parcourt l'ensemble AssA(M)des
idéaux prcmiers de A associés a M (IV, 5 1, no 4 th. 2).
l Si A est un corps, la dimension de Krull de M est < O. Il y aura lieu de ne pas confondre
la dimension de Krull de M et la dimension (ou rang) de l'espace vectoriel M sur le corps A
(A, II, p. 97, déf. 1).
AC VI11 .11
9. - Soient A un anneau et M un A-module de typejini.
a ) Pour tout p E Supp(M), on u dimAp(M,) = codim(V(p), Supp(M)).
b) dimA(M)est la borne supérieure des dimAp(M,),où p purcourt Spec(A) (resp. où p
parcourt l'ensemble des idéaux maximaux de A upparleiiant à Supp(M)).
c ) Soit M' un sous-module de typefini de M ;alors
a ) Soit a l'annulateur de M ; alors l'annulateur du A,-module M, est aA, (II, 5 2,
no 4, formule (9)), d'où dimA,,(M,) = dim(A,/aA,). On conclut par la prop. 7, h) du
6 ) Cela résulte aussitôt de a ) et du fait que dimAp(M,)= - cc si p n'appartient
pas à Supp(M).
c) On a Supp(M) = Supp(M1)u Supp(M/M1)(II, 9: 4, nu 4, prop. 16), et on applique
la prop. 1 du no 1.
Remarque 3. - Sous les conditions de la prop. 9, c), on a codim(Supp(M), Spec(A)) =
inf(codim(Supp(M1),Spec(A)), codim(Supp(M/M1), Spec(A))). Cela résulte de la
formule Supp(M) = Supp(M1)u Supp(M/M1)et de la remarque 4 du no 2.
Cycles associés à un module
Dans ce numéro, on note A un unneau noethérien.
Soit Z(A) le Z-module libre de base l'ensemble des parties fermées irréductibles
de Spec(A); pour toute partie fermée irréductible Y de Spec(A), on note [Y] l'élément
correspondant de Z(A). Les éléments de Z(A) s'appellent parfois des cycles.
Soit M un A-module de type fini. Pour tout idéal premier p de A qui est un élément
minimal de Supp(M), on a O < longAp(M,) < co (IV, Q: 2, no 5, cor. 2 à la prop. 7 e,t
Q: 1, no 4, th. 2) ; on pose
où p parcourt l'ensemble fini des idéaux premiers minimaux de Supp(M).
Remarque. - Pour tout p E Spec(A), on a z(A/p) = [V(p)]. Plus généralement, soit
M un A-module de type fini, et soit (Mi),,,,, une suite de composition de M telle
que pour O < i < n - 1, le module MilMi+, soit isomorphe à Alpi, où pi est un
idéal premier de A (4IV, 9: 1, no 4, th. 1 ) ; alors on a z(M) = 1[V(pi)], où J est la
partie de 1 formée des i tels que pi soit un élément minimal de {p,, ..., p,-,
no 4, th. 2 et Q: 2, no 5, remarque 1).
1 (IV, 5 1,
Pour tout entier d, notons Z,, (resp. Z,, resp. Zad, resp. Zd)le sous-Z-module de
Z(A) engendré par les éléments [V(p)] où p est un idéal premier de A tel que
dim(A/p) ,< d (resp. dim(A/p) = d, resp. ht(p) 3 d, resp. ht(p) = d). On dit que les
AC VI11 .12
éléments de Zd (resp. Zd)sont les cycles de dimension d (resp. de codimension d). On a
Z<d = Z,d-
@ Zd,
-d z3d+1
O zd.
Soit par ailleurs C l'ensemble des classes de A-modules de type fini (A, VIII, $3, no 5),
et pour chaque entier d, soit C?,, (resp. Cad) la partie de C? formée des classes de
A-modules de type fini de dimension < d (resp. dont le support est de codimension
b d dans Spec(A)).
Lemme 1. Soient M un A-module de typejni et d un entier.
a) Pour que M soit de type(:,,, ilfaut et il suffitque z(M) E Zsd ; la projection zd(M)
de z(M) sur Z, parallèlekent à Z,,-, est alors dorznée par
b) Pour que M soit de type
il faut et il suffit que z(M) E Z a d ; la projection
zd(M)de z(M) sur Zd parallèlement à Z3d+ est alors donnée par
Pour que M soit de type e,,, c'est-à-dire de dimension < d, il faut et il suffit que
pour tout idéal premier minimal p de Supp(M), on ait dim(A/p) d d, ce qui signifie
que z(M) E Zdd. Supposons qu'on ait dim(M) d d, et soit p E Spec(A) tel que
dim(A/p) = d ; alors, ou bien p $ Supp(M) et donc M, = O, ou bien p E Supp(M),
et p est un élément minimal de Supp(M) ; le coefficient de [V(p)] dans z(M) est dans
les deux cas longAp(Mp),d'où a). La partie b) se démontre de façon analogue ; on
notera qu'un module M de type fini est de type eadsi et seulement si l'on a M, = O
pour tout idéal premier p de hauteur < d.
D'après la prop. 9, c) et la remarque 3 du no 4, les ensembles C?,, et c~~sont héréditaires (A, V111, $ 10, no 1, déf. l), et l'on peut considérer les groupes de Grothendieck
K(C",,) et K(C"ld)correspondants (loc. cit., no 2) ; pour tout A-module M de type
es, (resp. ead), notons [Ml,, (resp. [Mlad) l'élément associé dans K(C,,) (resp.
K(C3d)). D'après le lemme 1, les fonctions zd et zd sont additives; il existe donc
(loc. cit., prop. 3) des homomorphismes
tels que l,,([M],,) = zd(M)pour tout A-module M de type C,, et id([Nlad)= zd(N)
pour tout A-module N de type e a d .Par ailleurs, puisqueC,,-, c C,, etCdd+l =e>d,
on a des homomorphismes canoniques
Les suites de Z-modules et d'homomorphismes
On a ( , O id = O d'après le lemme 1. Pour tout p E Spec(A) tel que dim(A/p) = d,
on a C,([A/p],,) = zd(A/p) = [V(p)], donc l'homomorphisme 6, est surjectif. D'après
IV, 3 1, no4, th. 1, K((:,,) est engendré par les [A/p],,, où p E Spec(A)et dim(A/p) < d;
par conséquent, tout élément E, de K(C,,) peut s'écrire
5 = i,(q) +
ni[A/pi],,,
K ( ( i S d,), ni E Z et dim(A/pi)=d pour 1 6 i < k ; on a Cd(t)=
et par conséquent cd(\) = O implique 5 = id(q)E Im(id),d'où Ker((,)
On raisonne de même pour la seconde suite.
ni[V(pi)]
Im(i,).
Exemples. - 1) Supposons A noethérien et intègre. Alors on a ZO = Z.[Spec(A)] ;
on a C"' = C et zO(M)= rg(M).[Spec(A)]. Les modules de type e2' sont donc les
modules de torsion.
2) Supposons A noethérien et intégralementclos. Alors Z1 s'identifie au groupe D(A)
des diviseurs de A introduit au chapitre VI1 (3 1, no 3, th. 2, et no 6, th. 3). Les modules
de type e" sont les modules pseudo-nuls (VII, $4, no 4, déf. 2) ; si M est un module de
torsion de type fini, alors zl(M) E Z1 = D(A) est le contenu x(M) de M (VII, 5 4, no 5,
déf. 4). Les prop. 10 et 11 de /oc. cit. sont donc équivalentes à l'exactitude de la suite
K ( P 2 ) + K ( e 2 ' ) + Z1 + 0.
3) Les modules de type C,, sont les modules de dimension < 0, c'est-à-dire les
modules de longueur finie (no 4, remarque 1). On a long,(M) = &(zO(M))
A-module de longueur finie M, où E :ZO+ Z associe à la combinaison linéaire
n,[V(m)] l'entier n m (IV, $2, no 5, corollaire à la prop. 8).
4) Supposons A intègre et de dimension jnie. Posons d = dim(A). Alors on a
C,, = C, Zd = Z.[Spec(A)] = ZO, zd(M) = rg(M).[Spec(A)] = zO(M),et les modules de type e , , sont les modules de torsion.
$ 2. DIMENSION DES ALGÈBRES
1. Dimension et platitude
Soit p :A -, B un homomorphisme d'anneaux. On note (PM) la condition suivante :
(PM) Il existe un B-module N fidèlement plat sur A tel que, pour tout idéal premier q
de B, on ait N O ,~ ( q #
AC VI11 .14
1 ) La condition (PM) est satisfaite lorsqu'il existe un B-module de
type fini, fidèlement plat sur A et de support égal à Spec(B).C'est le cas, en particulier,
si le A-module B est fidèlement plat.
2) L'existence d'un B-module N fidèlement plat sur A implique I'injectivité de p
(1, $ 3, no 5, prop. 8), et la surjectivité de l'application "p :Spec(B) 4 Spec(A) (II, 9 2,
no 5, cor. 4 a la prop. 11).
3) Supposons que p :A -t B soit un homomorphisme local d'anneaux locaux et
qu'il existe un B-module N plat sur A et tel que N OB~ ( q #) O pour tout idéal premier q de B. Alors N est,fidèlement plat sur A et p jouit donc de la propriété (PM) :
en effet on a Njm,N = N @, ~ ( m , )# O, donc N # m,,N et a fortiori N # mAN,
et la conclusion résulte de la prop. 1 de 1,s 3, no 1.
1. - Soit p :A + B un homomorphisme d'anileaux satisfaisant à la
condition (PM).
a ) Soit h : A + A' un homomorphisme d'anneaux. Alors l'homomorphisme
p' :A' -t A' BAB déduit de p satisfait à la condition ( P M ) .
b ) Soient q un idéal premier de B et p = pp'(q). L'homomorphisme canonique
p, :A, -t B, satisfait à Eu condition (PM).
c ) Soient q un ideal premier de B et p = p-'(q). Pour tout idéal premier p' de A
contenu dans p , il existe un idéal premier q' de B au-dessus de p' et contenu dans q.
Soit N un B-module fidèlement plat sur A et tel que N O,, ~ ( q #) O pour tout idéal
premier q de B.
Démontrons a). Le A'-module N' = A' O, N est fidèlement plat (1, 5 3, no 3,
prop. 5) ;soient q' un idéal premier de B' = A' O, B et q son image réciproque dans B.
On a des isomorphismes
comme on a N O,, ~ ( q #) 0, on a aussi N' O, ~ ( q ' #
Démontrons b). D'après les prop. 13 et 14 de 11,93, nu 4, le A,-module Nq est plat.
D'autre part, soit b' un idéal premier de Bq ; il est de la forme bB, où b est un idéal
premier de B contenu dans q (II, $ 3, no 1,prop. 3) ;on a N O,, ~ ( b #) 0 vu l'hypothèse
) isomorphe à N O,, ~ ( b ' )on
, a N,
~ ( b '#) 0.
faite sur N, et comme N, Ollq~ ( b 'est
La remarque 3 permet de conclure.
Démontrons c). L'homomorphisme local p, :A, + Bq déduit de p satisfait à la
condition ( P M ) d'après b). L'application Spec(B,) + Spec(A,) est donc surjective
(remarque 2), ce qu'on voulait démontrer.
- Soit F une partie fermée de Spec(A). Si Y est une composante irréductible de l'image réciproque de F par l'appliccition "p : Spec(B) + Spec(A), dors l'adhérence de "p(Y) est une composante irréductible de F.
Soient en effet a un idéal de A tel que F = V(a) et q l'idéal premier de B tel que
Y = V(q). L'image réciproque par "p de F est la partie V(p(a)B) de Spec(B) et
l'adhérence de "p(Y)est la partie fermée irréductible V(p- ' (q)) de Spec(A).
AC VI11 .16
canonique h :B -+ B O, ~ ( p ) induit
un homéomorphisme de Spec(B 8, ~ ( p )sur
sous-espace Tp)-'(p) de Spec(B)formé des idéaux premiers de B uu-dessus de p.
L'homomorphisme h est composé de l'homomorphisme de passage au quotient
de B dans B/p(p) B et de l'homomorphisme canonique de B/p(p) B dans son anneau de
fractions (p(A - p))- '(B/p(p) B). D'après la remarque et le corollaire à la prop. 13 de
) le sousII, 9: 4, no 3, "h induit donc un homéomorphisme de Spec(B O, ~ ( p )sur
espace de Spec(B) formé des idéaux premiers q de B qui contiennent p(p) et sont
disjoints de p(A - p), c'est-à-dire qui sont au-dessus de p.
Remarque 5. - D'après la prop. 2 et le lemme 1, on a donc, sous les hypothèses de la
prop. 2, l'inégalité
dim(Spec(B)) 3 dim(Spec(A)) +
dim("p- ' (p)) .
ptSpec(A)
2. Dimension d'une algèbre de type fini
3.-Soit
p:A -+ B un homomorphisme
n = sup dim(B O, ~ ( p ) ) On
. a l'inégalité
pe Spcc(A)
On peut supposer dim(A) # - co et n < + co. Soit q, c ... c q, une chaîne
d'idéaux premiers de B ; posons p, = pP'(q,). La suite des p, est croissante, donc
l'ensemble de ses valeurs est de cardinal < dim(A) + 1. Pour chaque p E Spec(A),
l'ensemble des q, tels que p, = p est une chaîne de la partie "p-'(p) de Spec(B),
donc est de cardinal inférieur à dim(B O, ~ ( p ) +
) 1 (no 1, lemme l), et par
conséquent à ( n + 1). Il en résulte que m + 1 < (dim(A) + l ) ( n + l), d'où la
Remarque 1. - Si les anneaux A et B sont noethériens, nous verrons ci-dessous (5 3,
no 4, cor. 2 à la prop. 7) qu'on a l'inégalité dim(B) < dim(A) + n, plus forte que celle
de la prop. 3.
1. - Supposons qu'on ait dim(A) < + co et qu'il existe un entier n tel
que dim(B O, ~ ( p ) <
) n pour tout p E Spec(A). Alors on u dim(B) < + m.
2. - Soient A un anneuu et B = A[X] l'unneuu des polynômes en une
indéterminée à coefficients dans A. On a :
La première inégalité a déjà été démontrée (9 1, no 3, exemple 4). Démontrons la
seconde. Pour tout idéal premier p de A, l'anneau B O, ~ ( p )isomorphe
à K(~)[X],
est principal et n'est pas un corps, donc est de dimension 1 (9 1, no 3, exemple 2), et
l'inégalité résulte de la prop. 3.
Remarque 2. - Nous verrons plus loin (9 3, no 4, cor. 3 à la prop. 7) que, si A est
noethérien, on a dim(A[X]) = 1 + dim(A).
Cependant, quels que soient les entiers n et q avec n + 1 d q d 2n + 1, il existe
un anneau A de dimension n tel que dim(A[X]) = q (voir p. 84, exerc. 7).
3. - Si A est de dimension finie, toute A-algèbre non nulle de type fini
On déduit en effet du cor. 2, par récurrence sur n, que l'anneau AIT,, ..., T,]
est de dimension finie si A est de dimension finie ;u fortiori, tout quotient non nul de
A[T,, ..., T,] est de dimension finie (3 1, no 3, prop. 6).
3. Dimension d'une algèbre entière
Lemme 2. - Soit p :A + B un homomorphisme d'anneaux tel que, pour touf idéal
) entière (V, 1, no 1, déf. 2). Soient q
premier p de A, la ~(p)-algèbreB O , ~ ( psoit
et q' deux idéaux premiers de B tels que q c q' et q # q'. Alors p-'(q) # p- '(q').
En effet, si q et q' sont au-dessus d'un même idéal premier p' de A, on a
dim(B 8, ~ ( p ) 3
) 1 d'après le lemme 1 du no 1, ce qui contredit le fait que
dim(B O , ~ ( p ) d
) O (9 1, no 3, exemple 6).
1. - Soit p :A -t B un homomorphisme d'anneaux faisant de B une Aalgèbre entière.
a ) Soit M un A-module de type fini. Alors on a dim,(M 8 , B) < dimA(M).En
particulier, on a dim(B) < dim(A). Si l'application "p :Spec(B) + Spec(A) est surjective, par exemple (V, § 2, no 1, th. 1) si p est injectif, on a dim,(M @, B) = dimA(M),
et en particulier dim(B) = dim(A).
b ) Soient b un idéal de B et a = pP1(b) son image réciproque dans A.
On a ht(b) d ht(a) et dim(B/b) = dim(A/a). Si "p :Spec B -, Spec A est surjective,
on a ht(aB) < ht(a) pour tout idéal a de A.
c ) Supposons B finie sur A et soit N un B-module de type fini. Alors on a
dim,(N) = dimA(N). En particulier, on a dim(B) = dimA(B).
Démontrons a). D'après la prop. 5 de V, fj 1, no 1, la ~(p)-algèbreB 8 , ~ ( p )
est entière pour tout idéal premier p de A. Soit q, c ... c q, une chaîne d'idéaux
premiers de B ;d'après le lemme 2, les idéaux p, = p- '(qi) sont deux à deux distincts,
donc p, c ... c p, est une chaîne d'idéaux premiers de A, d'où m < dim(A). On a
donc dim(B) < dim(A).
Supposons maintenant que l'application "p soit surjective. Soit p, c ... c p,
une chaîne d'idéaux premiers de A ; il existe donc un idéal premier q, de B au-dessus
de p,. D'après le cor. 2 au premier théorème d'existence (V, § 2 no 1, th. l), on peut
construire, par récurrence sur n, une chaîne q, c ... c q, d'idéaux premiers de B
telle que qi soit au-dessus de pi pour O d i d n. On a donc n < dim(B) et par suite
dim(A) d dim(B).
AC VIII. 18
Cela démontre a) dans le cas où M = A. Dans le cas général, notons a i'annulateur de M, de sorte que le support de M s'identifie à Spec(A/a), et qu'on a
dim,(M) = dim(A/a). D'après II, 4, no 4, prop. 19, le support de M 8 , B est
l'image réciproque par "p du support de M, donc s'identifie à Spec(B/p(a) B), et on a
dim,(M O, B) = dim(B/p(a) B). II reste à remarquer que I'homomorphisme
p' : A/a + B/p(a) B déduit de p fait de B/p(a) B une (A/a)-algèbre entière, et que "p'
est surjectif lorsque "p l'est.
Démontrons b). D'après la prop. 7 du § 1, no 3, il suffit de prouver que
ht(b) < dim(A,) pour tout idéal premier p de A contenant a ; soit p un tel idéal.
D'après V, 2, no 1, cor. 2 au th. 1, il existe un idéal premier q de B au-dessus de p
et contenant 6, et on a ht(b) < dim(Bq)d'après la prop. 7 du 5 1, no 3.
Or Bq s'identifie à un anneau de fractions de la A,-algèbre entière B @, A,,
dim(Bq) d dim(B O, A,) d dim(A,)
d'après la prop. 6 du 1, no 3 et l'assertion a) ci-dessus. On a ainsi prouvé l'inégalité ht(b) < ht(a). Par ailleurs, l'homomorphisme de A/a dans B/b déduit de p
est injectif et fait de B/b une (A/a)-algèbre entière; on a donc dim(B/b) = dim(A/a)
d'après a). Supposons "p surjective et soient a un idéal de A et p un idéal premier
de A contenant a. 11 existe par hypothèse un idéal premier q de B au-dessus die p.
On a aB c q, d'où ht(aB) d ht(q) < ht(p) d'après ce qui précède. Passant à la
borne inférieure, on obtient ht(aB) < ht(a).
Enfin, c) résulte de b) appliqué à l'annulateur b de N.
2. - Soient A un anneau intégralement clos, et B un anneau contenant A,
entier sur A. On suppose que B est un A-module sans torsion. Pour tout idéal a de A,
on a ht(a) = ht(aB). Soient b un idéal de B et a = b n A ; on a alors ht(a) = ht(b).
Soit p l'application canonique de A dans B. Soient a un idéal de A. Si a = A,
la première égalité est claire. Supposons a # A. Comme p est injectif, "p est surjectif (V, $ 2, no 1, th. 1). Par suite aB # B. Soit alors q un idéal premier de B contenant aB. Posons p = q n A. On a a c p, d'où ht(a) < ht(p). Soit p, c ... c p,
une chaîne d'idéaux premiers de A avec p, = p. D'après le deuxième théorème
d'existence (V, $ 2, no 4, th. 3), on construit par récurrence une chaîne q, c ... c q,
d'idéaux premiers de B telle que q, = q et q, soit au-dessus de pi pour O < i < n.
On a n < ht(q), d'où ht(a) ,< ht(q). En passant à la borne inférieure on obtient
ht(a) < ht(aB) ($ 1, no 3, prop. 7). L'inégalité ht(aB) < ht(a) résulte du th. 1, d'où
la première égalité. Soit b un idéal de B. Posons a = p-'(6). On a aB c b, d'où
ht(a) = ht(aB) < ht(b). L'inégalité ht(b) < ht(a) résulte du th 1, d'où le théorème.
Remarque. - Soient A un anneau intègre et B un anneau contenant A, entier sur
A. Soit p un idéal premier de A tel que la clôture intégrale de A, soit un anneau local.
O n peut démontrer que, pour tout idéal premier q de B au-dessus de p, on a
ht(p) = ht(q) (p. 85, exerc. 9) foisque B est ii~tègre.
4. Algèbres de type fini sur un corps
Dans ce numéro, k désigne un corps.
Lemme 3 . Soient A une k-algèbre de type fini et po c ... c p, une chaîne maximale
d'idéaux premiers de A. Il existe un entier n 3 m, une suite (x,, ..., x,) d'éléments
de A, algébriquement libre sur k (A, IV, p. 4), et telle que :
a ) A soit entier sur l'anneau B = k[xl, ..., x,] ;
b) pour tout j tel que O < j < m, l'idéal p, n B soit engendré par les x, avec
l<k<n-m+j.
D'après le lemme de normalisation (V, 9 3, no 1, th. 1), il existe un entier n 2 O,
une suite finie (x,, ..., x,) d'éléments de A algébriquement libre et une suite croissante (h(j)),,,,,
d'entiers < n telle que l'idéal p, n B soit égal à l'idéal premier q,
de B engendré par les x, avec 1 < k < h(j), et que A soit entier sur l'anneau B. Soit j
un entier tel que O < j c m. Par passage aux quotients, on déduit de l'injection
canonique de B dans A un homomorphisme injectif de B/ql dans A/p, qui fait de
A/pl une (B/q,)-algèbre finie. Comme l'anneau B/q, est isomorphe à une algèbre
de polynômes en n - h ( j ) indéterminées sur k, il est intégralement clos (V, 9 1,
no 3, cor. 3 de la prop. 13). D'après le th. 2 du no 3, on a donc
IlenrésultequeI'on a h ( j + 1) < h ( j ) + 1 et qj+, # q,, d'où h ( j + 1) = h(j) + 1.
Mais on a h(m) = n puisque q, est maximal (V, § 2, no 1, prop. l), d'où finalement
h(j) = n - m + j.
THÉORÈME3. - Soit A une k-algèbre de type fini.
a) Pour tout idéal premier minimal p de A, toutes les chaînes maximales d'idéaux
premiers de A d'origine p ont pour longueur l'entier deg.tr,~(p).
b) L'anneau A est caténaire et sa dimension est la borne supérieure des entiers
deg.tr,~(p),où p parcourt les idéaux premiers minimaux de A.
c) Si A est intègre, alors toutes les chaînes maximales d'idéaux premiers de A
ont la même longueur, et la dimension de A est le degré de transcendance sur k du corps
des fractions de A.
Supposons A intègre et considérons une chaîne maximale p, c ... c p, d'idéaux
premiers de A. On a p, = O. On déduit alors du lemme 3 l'existence d'un homomorphisme injectif <p :k[X, , ..., X,] + A de k-algèbres qui fait de A une k[X, , ..., X,]algèbre finie. Par suite, le degré de transcendance sur k du corps des fractions de A
est égal à m, d'où c). L'assertion a) résulte de l'assertion c ) appliquée à l'anneau A/p
et l'assertion b) est une conséquence immédiate de a) et de la prop. 5 du 5 1, no 2.
1. - Soit n un entier positif. On a
dim(k[X,, ..., X,])
AC VI11 .20
Pour qu'une k-algèbre A de typefini soit de dimension n, il faut et il suffit qu'il existe
un k-homomorphisme injectif <p :k [ X ,, ..., X,] -+ A faisant de A une algèbre finie
sur k [ X ,, ..., X,].
Cela résulte du th. 3, du lemme de normalisation (V, § 3, no 1, th. 1) et du th. 1, a )
du no 3.
2. - Soit A une k-algèbre intègre de typefini. Pour tout idéal premier p
de A, on a
En particulier, on a ht(m) = dim(A,) = dim(A) pour tout idéal maximal m de A.
Cela résulte du th. 3 et de la remarque 4 du 4 1, no 3.
3. -Soit A une k-algèbre de typejini et soit f un élément de A qui n'appartienne à aucun idéal premier minimal de A (par exemple un élément de A non diviseur
de zéro, c j IV, 9 1, no 1, cor. 3 à la prop. 2 et no 3, cor. 1 à la prop. 7). On a
dim(A) = dim(AJ).
L'application p ++ pAJ est une bijection de l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A sur l'ensemble des idéaux premiers minimaux de As. Par ailleurs les
anneaux A/p et Af/pAJ =
ont même corps des fractions. Il suffit donc d'appliquer le th. 3, b).
4. - Soient A une k-algèbre de type fini et p un idéal premier de A.
a ) Pour que p soit maximal, il faut et il suffit que le corps des fractions de A/p soit
une extension finie de k.
b ) Soit f E A - p ; l'idéal p est un idéal maximal de A si et seulement si pAf est
un idéal maximal de Af .
Si p est un idéal maximal de A, alors A/p est un corps, donc un anneau de dimension 0 ; c'est une extension de type fini de k dont le degré de transcendance est O
(th. 3, c)), c'est donc une extension finie de k. Réciproquement, si le corps des fractions
de À/p est une extension finie de k, on a dim(A/p) = O donc p est maximal. L'assertion b ) résulte de l'assertion a ) compte tenu que A/p et Af/pAf ont même corps des
L'assertion a) du cor. 4 est une forme du théorème des zéros (V, 5 3, no 3, prop. 1).
5. - Soient A une k-algèbre de typefini, p un idéal premier de A et (pi)itI
la famille des idéaux premiers minimaux de A contenus dans p. On a :
sup dim(A/pi)
dim(A,)
+ dim(A/p)
AC VI11 .22
Passons au cas général. Tout idéal premier minimal p de B est formé de diviseurs
de zéro dans B, donc est au-dessus de l'idéal O de A. 11 en résulte que l'application
p H p .(B
K) est une bijection de l'ensemble des idéaux premiers minimaux de B
sur l'ensemble des idéaux premiers minimaux de B O, K. La proposition résulte
donc de la première partie de la démonstration et de la prop. 6, c ) du 6 1, no 3.
Soit p :A + B un homomorphisme injectif de k-algèbres de type fini.
On a dim(A) < dim(B).
En effet, soit p un idéal premier minimal de A tel que dim(A) = dim(A/p). Il
existe un idéal premier q de B au-dessus de p (II, 9 2, no 6, prop. 16). D'après la prop. 4
appliquée à A/p et B/q, on a dim(A) = dim(A/p) ,< dim(B/q) < dim(B), d'où le
COROLLAIRE.--
Lemme 4. - Soient A et B deux k-algèbres intègres, M un A-module sans torsion,
N un B-module sans torsion. Si l'anneau A @, B est intègre, alors M @, N est un
module sans torsion sur A 8, B.
Soit K (resp. L) le corps des fractions de A (resp. B). Il existe un ensemble 1 (resp. J)
tel que M (resp. N) soit isomorphe à un sous-module de K'" (resp. L'J)). Le (A @, B)module M O, N est alors isomorphe à un sous-module de K(') O, L(", qui est isomorphe à (K @, L)"" ". Comme K @, L est un anneau de fractions de l'anneau
intègre A O, B, c'est un module sans torsion sur A O, B, d'où le lemme.
5. - Soient k' une extension de k, A une k-algèbre de type fini et B
une k'-algèbre de type,fini.
a ) La k'-algèbre A @, B est de type fini et on a
b) Soit r un idéal premier de A @, B ; notons p (resp. q) l'image réciproque de r
dans A (resp. B). On a
dim,(A @, B)
+ dim,(B) .
Posons n = dim(A) et m = dim(B). Il existe d'après le cor. 1 au th. 3 des homomorphismes injectifs d'algèbres cp :k[Xl, ..., X,] -+ A et \I, :kf[Y1, ..., Y,] + B faisant
respectivement de A et B des algèbres finies sur k[X, , ..., X,] et kf[Y1, ..., Y,]. L'homomorphisme cp @ \Cr est alors injectif et fait de A @, B une algèbre finie sur la kt-algèbre
k[X,, ..., X,] O, k'w,, ..., Y,] qui s'identifie à k'[X,, ..., X,, Y,, ..., Y,]. On a
donc dim(A @, B) = n + m d'après le cor. 1 au th. 3, ce qui prouve a).
Remarquons que lorsque A et B sont intègres, A @,B est un k'[X, ,...,X,, Y,, ...,Y,]module sans torsion d'après le lemme 4 et qu'on a donc
dim,(A O, B)
+ m = dim(A) + dim(B)
pour tout idéal premier r de A O, B d'après la remarque 1.
Prouvons maintenant b). Soit r, un idéal premier minimal de A @, B contenu
dans r, et notons p , (resp. q,) l'image réciproque de r, dans A (resp. B). L'anneau
(A 8, B)/ro est isomorphe à un quotient de l'anneau (A/p,) O, (B/qo). On a donc,
d'après a),
dim((A 8 , B)/ro) d dim(A/p,)
+ dim(B/qo).
Appliquant le cor. 5 au th. 3, on en déduit l'inégalité
Inversement, soit p, (resp. q,) un idéal premier minimal de A (resp. B) contenu
dans p (resp. q). D'après la remarque faite ci-dessus, on a
où T est l'image de r par la surjection canonique A 8 , B + (A/po) O,(Blq,).
Le second membre de l'égalittt précédente est évidemment inférieur à dim,(A O , B).
COROLLAIRE.Soient A une k-algèbre de type $ni, k' une extension de k, et A' la
k'dgèbre A 8, k'.
a ) On a dim(A1) = dim(A).
b ) Soient p' un idéal premier de A' et p son image réciproque dans A ; on a
dim,, (A') = dimp(A).
c ) Soient p' un idéal premier minimal de A' et p son image réciproque dans A. Alors
p est minimal et l'on a dim(A'/pl) = dim(A/p).
Les assertions a ) et b ) se déduisent de la prop. 5 en y prenant B = k'. Démontrons c).
L'idéal p est minimal (no 1, prop. 1) et l'on a
Remarque 2. - Supposons l'extension k' de k radicielle. Alors l'application canonique f : Spec(A1)+ Spec(A) est un homéomorphisme.
Soit en effet p E Spec(A). D'après le lemme 1 du no 1, l'espace f -'({pl) est homéomorphe à Spec(~(p)8, k'). Or l'ensemble a des éléments nilpotents de ~ ( pO
) , k'
est un idéal premier (A, V, p. 134, corollaire) et l'anneau quotient ( ~ ( pO
) , kf)/a,
intègre et entier sur ~ ( p )est
, un corps (A, V, p. 16, cor. 1 et p. 10, prop. 1). Par conséquent j -'({ p )) est réduit à un élément. Il en résulte que l'application j est une
bijection croissante de Spec(Ar) sur Spec(A), ces deux insembles étant ordonnés par
l'inclusion des idéaux premiers, donc induit une bijection entre les parties fermées irréductibles de Spec(A) sur celles de Spec(A'). Comme les parties fermées de Spec(A)
(resp. Spec.(A1))sont les réunions finies de parties fermées irréductibles, f est un
Pour une généralisation, voir l'exerc. 24, p. 98.
AC VI11 .24
5 3. DIMENSION DES ANNEAUX NOETHÉRIENS
1. Dimension d'un anneau quotient
1. - Soient A un anneau intègre noethérien, x un élément non nul de A
et p un élément minimal de l'ensemble des idéaux premiers de A contenant x. Alors p
est de hauteur 1 .
Soit q c p un idéal premier distinct de p. On a x 4 q vu le caractère minimal de p.
Comme A est intègre, A, s'identifie à un sous-anneau de A, ;pour tout entier n 3 0,
on note q, l'idéal qnA, n A, de A,. Le caractère minimal de p signifie que l'anneau
local A,jxA, est de dimension 0 ; il est donc de longueur finie (§ 1, no 3, exemple l),
et il existe un entier no 3 O tel que I'on ait
qn + xAp = qn+l + xAp pour tout
n 3 no.
Fixons l'entier n 3 no. Étant donné y E q,, il existe a E A, tel que y - ax E q,+ ;
on a alors ax E q,, d'où a E q, puisque x 4 q, et finalement on a y E q,+ + xq,.
Comme x appartient à l'idéal maximal de l'anneau local noethérien A,, le lemme de
Nakayama montre que l'on a q, = q,, . Comme on a (qA,)" = qnA,, on en conclut
( q ~ , ) "= (qA,P+l pour tout
Comme l'anneau A, est local et noethérien, on a
n 3 n,
(qA,)"
( O } (III, Q: 3, no 2,
corollaire de la prop. 5) d'où (qA,)"" = { O ) et finalement l'idéal premier qA, de A, est
réduit à O. On a donc q = {O}, ce qui prouve que p est de hauteur 1.
2. - Soient A un anneau noethérien, m un entier positiLf et a un idéal
contenu dans le radical de A et engendré par m éléments. On a
L'inégalité dim(A/a) < dim(A) résulte de la prop. 6 du 4 1, no 3. Une récurrence
immkdiate sur rn montre qu'il suffit d'établir l'inégalité
pour tout élément x du radical de A, c'est-à-dire de démontrer que l'on a
dim(AjxA) 3 n - 1 pour toute chaîne p, c ... c p, d'idéaux premiers de A, de
longueur n 2 1, et telle que x E p,. Il suffit de construire une chaîne q, c ... c q,
d'idéaux premiers de A, avec x E q, et cela résulte du lemme suivant :
Lemme 1.-Soient A un anneau noethérien, p, c ... c p, une chaîne d'idéaux premiers
de A de longueur n 3 1 et x un élément de p,. 11 existe une chaîne pb c ... c pn avec
PL = po,p; = ~ " e t x ~ p ; .
Raisonnons par récurrence sur n, le cas n = 1 étant trivial. Supposons donc
que l'on ait n 2 2 et que x n'appartienne pas à p,-, . Soit pn-, un élément minimal
de l'ensemble des idéaux premiers de A contenus dans pn = p, et contenant p,_, + Ax
(II, 9 2, no 6, lemme 2). D'après la prop. 1, l'idéal p;_,/p,-, de l'anneau A/p,-,
est de hauteur 1, et comme p,-, c p,-, c p, est une chaîne de longueur 2, il en
est de même de p,-, c pk-, c pn. On a x E PR-^. L'hypothèse de récurrence
appliquée à la chaîne p, c p l c ... c p,-, c pn-, montre qu'il existe une chaîne
pb c 7; c ... c p;-, c pLPi avec x E p; et pb = p,. La chaîne
satisfait aux conditions exigées.
1. - a) Tout anneau local noethérien est de dimensionfinie. Plus généralement, tout anneau semi-local (II, 5 3, no 5, déf. 4) noethérien non nul est de dimension finie.
b) Soit A un anneau noethérien. Tout idéal de A, distinct de A, est de hauteur finie.
c) Toute suite décroissante d'idéaux premiers d'un anneau noethérien A est stationnaire.
a) Soient A un anneau semi-local noethérien non nul et a son radical ; l'anneau
quotient A/a est artinien et non nul, donc de dimension O (9 1, no 3, exemple 1).
Il existe un entier m 2 O tel que l'idéal a de A soit engendré par m éléments ; on a
donc O < dim(A) < m d'après la prop. 2.
b) Soit a # A un idéal de A, et soit m un idéal maximal de A contenant a. On a
O d ht(a) d dim(A,) d'après la prop. 7 du Ej 1, no 3, et A, est un anneau local
noethérien. Donc ht(a) est finie d'après a).
c) Toute suite strictement décroissante finie (pi),,,,, d'idéaux premiers de A
définit une chaîne p, c ... c p,, d'où n < dim(APo)< + m. 11 ne peut donc exister
de suite strictement décroissante infinie d'idéaux premiers de A, d'où c).
2. - Soit A un anneau local noethérien.
a) Soit x E m,. Alors dim(A/xA) est égal à dim(A) ou à dim(A) - 1. Pour que
l'on ait dim(A/xA) = dim(A) - 1, il faut et il sufit que x n'appartienne à aucun des
idéaux premiers minimaux p de A tels que dim(A/p) = dim(A), et il suffit que x ne
soit pas diviseur de O dans A.
b) Soit a un idéal de A distinct de A tel que dim(A/a) < dim(A). Il existe x E a
tel que dim(A/xA) = dim(A) - 1.
c) Si dim(A) 2 1, il existe x E m, tel que dim(A/xA) = dim(A) - 1.
D'après la prop. 2, dim(A/xA) est égal à dim(A) ou à dim(A) - 1. Pour que l'on
AC VI11 .26
ait dim(A/xA) = dim(A), il faut et il suffit qu'il existe une chaîne p, c ... c p,
d'idéaux premiers de A telle que x E p, et n = dim(A), c'est-à-dire qu'il existe un
idéal premier p, de A contenant x tel que dim(A/p,) = dim(A). Mais un tel idéal
premier p, est nécessairement minimal, et tout élément de p, est donc diviseur
de O dans A (IV, 5 1, no 1, cor. 3 de la prop. 2 et no 4, th. 2). Ceci prouve a).
Soient @ l'ensemble des idéaux premiers minimaux de A, et (D' l'ensemble des
p E (D tels que dim(A/p) = dim(A). On sait (II, 5 4, no 3, cor. 3 de la prop. 14) que Q,
est fini, donc Q,' est fini. Soit a un idéal de A tel que dim(A/a) < dim(A). Pour tout
p E W, on a dim(A/a) < dim(A/p), donc a # p. D'après la prop. 2 de II, 5 1, no 1,
il existe donc un élément x de a qui appartient à aucun des p E Q,', et l'on a alors
dim(A/xA) = dim(A) - 1 d'après a). Ceci prouve b).
L'assertion c) est le cas particulier a = m, de b).
2. Dimension et suites sécantes
Soient A un anneau noethérien, M un A-module de type fini, S une partie du
radical de A, 6 l'idéal de A engendré par S et a I'annulateur de M. On a
donc, si A est local, on a dim,(M) < + m. Par ailleurs, le support du A-module
M/SM est égal à V(a + 6 ) d'après le corollaire de la prop. 18 de II, 4, no 4, d'où
Lorsque S est finie, ou que M n'est pas réduit à O, on a l'inégalité
dim,(M/SM) b dim,(M)
< Card(S) + dim,(M/SM);
lorsque S est finie, cela résulte de la prop. 2 du no 1 et des formules (6) et (7) ci-dessus,
et le cas ou S est infinie est trivial.
DÉFINITION1. - Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de
typefini et S une partie de l'idéal maximal nt, de A. On dit que S est sécante pour M
Si S est sécante pour M, on a Card(S) b dim,(M), donc S est finie. On dit qu'une
famille (xi)., d'éléments de in, est sécante pour M si l'on a
c'est-à-dire si i Hxi est une bijection de 1 sur une partie de m, sécante pour M.
On dit qu'un élément x de m, est sécant pour M si { x } est une partie sécante pour M,
c'est-à-dire si l'on a
dim,(M/xM) = dim,(M) - 1 .
Remarques. - 1 ) Il résulte des formules (6) et (7) que S est sécante pour M si et
seulement si elle est sécante pour A/a, où a est I'annulateur de M.
2) Soient S et Sr deux parties disjointes de m,. Pour que S u S' soit sécante pour
M, il faut et il suffit que S soit sécante pour M et S' sécante pour M' = MISM.
Cela résulte de l'inégalité (8) et de la formule
Card(S u S')
+ dim,(M/(SM + S'M)) dim,(M) =
= (Card(S) + dim,(M/SM) - dim,(M)) +
+ (Card(S1) + dimA(M'/SIM')- dimA(M1)).
3) Soient x E ntAet n 2 1 un entier. Il est immédiat que les modules MIxM et
M/xnM ont même support, donc même dimension. Par suite, x est sécant pour M
si et seulement si xn est sécant pour M. De là et de la remarque 2, on déduit aussitôt
le résultat suivant : soient x, , ..., x, des éléments de mA et n , , ..., n, des entiers > 0 ;
alors la suite (x, , ..., x,) est sécante pour M si et seulement si la suite (x;', ..., x): est
sécante pour M.
Soient A un anneau local noethérien et M un A-module non nul
de type fiv! Pour qu'un élément x de m, soit sécant pour M, il faut et il suffit qu'il
n'appartienne à aucun des éléments minimaux p de Supp(M) tels que
dim(A/p) = dim,(M), et il suffit que l'homothétie x, de rapport x dans M soit injective.
Soit a l'annulateur de M. Dire que x est sécant pour M signifie que x est sécant
pour A/a, le support de M se compose des idéaux premiers p de A tels que a c p
et si x, est injective, l'image de x dans A/a n'est pas diviseur de O dans A/a. La prop. 3
résulte alors du cor. 2 de la prop. 2 du no 1 appliqué à l'anneau A/a.
- Toute suite d'éléments de rn, qui est complètement sécante pour M
( A , X , p. 157, déf. 2) est sécante pour M.
Soit (x,, ..., x,) une suite d'éléments de rn, qui est complètement sécante pour M.
Posons M, = M et par récurrence M, = Mîpl/x,Mip,pour 1 6 i < r. D'après
le cor. 1 de A, X, p. 160, l'homothétie de rapport xi dans M,-, est injective, d'où
dimA(Mi)= dim,(M,-,) - 1 (pour 1 < i < r ) (prop. 3). On a donc
dim,(M) = r + dim,(M/(x,M
... + x,M)),
donc la suite (x,, ..., x,) est sécante pour M.
Remarque 4. -Il n'est pas vrai en général qu'une suite sécante pour M soit complètement sécante pour M (p. 87, exerc. 6). Nous étudierons plus tard les modules sur
un anneau local noethérien pour lesquels toute suite sécante est complètement
BOURBAKI. - Algèbre commutative. - 2
AC VI11 .28
1. - Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de type
fini et S une partie de l'idéal maximal mA de A.
a ) Si M/SM est de longueurfinie, on a Card(S) 2 dim,(M) ;si S est sécante pour M ,
on a Card(S) d dim,(M).
b) Toute partie sécante pour M est contenue dans une partie sécante pour M maximale.
c) Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) S est une partie sécante pour M maximale ;
(ii) S est une partie sécante pour M et Card(S) = dim,(M) ;
(iii) M/SM est de longueurfinie et Card(S) = dim,(M) ;
(iv) S est une partie sécante pour M et M/SM est de longueurjnie.
Comme on a S c m,, le lemme de Nakayama montre que l'on a M/SM # {O),
d'où dim,(M/SM) 3 O avec égalité si et seulement si M/SM est de longueur finie.
L'assertion a ) résulte alors des formules (8) et (9), ainsi que l'équivalence des propriétés (ii), (iii) et (iv).
L'assertion 6) résulte du fait que le cardinal de toute partie de m, sécante pour M
est majorée par l'entier dim,(M).
D'après a), toute partie sécante pour M, de cardinal égal i dim,(M), est maximale.
Il reste à prouver que, si S est sécante pour M et si Card(S) < dim,(M), alors S n'est
pas maximale. Soient a I'annulateur de M, et B l'anneau local noethérien A/(a + SA).
D'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1, il existe un élément x de m, tel que
dim(B/xB) = dim(B) - 1 d'où x $ S. D'après la remarque 2, la partie S u { x ) de
m, est sécante pour A/a, donc pour M d'après la remarque 1.
- La dimension de M est le plus petit des entiers d 3 O pour lesquels il
existe une suite ( x , , ..., x,) d'éléments de rn, telle que le A-module M/
1 x,M soit de
longueur jnie.
Comme @ est une partie sécante pour M, le th. 1, b) démontre l'existence d'une
suite sécante pour M maximale, soit ( x , , ..., xd).Mais alors on a d = dim,(M) et le
x,M est de longueur finie d'après la propriété (iii) du th. 1, c).
A-module M/
Réciproquement si ( x i , ..., x:.) est une suite d'éléments de t?tAtelle que le A-module
xJM soit de longueur finie, on a d' 3 dim,(M) d'après le th. 1, a).
Rappelons (III, 5 3, no 2, déf. 1) qu'un idéal q d'un anneau local noethérien A est un
idéal de définition de A si les topologies q-adique et nt,-adique de A coïncident.
Lemme 2. - Soient A un anneau local noethérien et q un idéal de A. Les conditions
(i) q est un idéal de définition de A ;
(ii) il existe un entier n 3 O tel que m",
q c mm,;
(iii) on a q # A et A/q est un A-module de longueurfinie ;
(iv) V(q)est égal à { m, ) (autrement dit, m, est le seul idéal premier de A contenant
En effet, l'équivalence de (i), (ii) et (iv) a été démontrée en III, (i 2, no 5, et l'équivalence de (i) et (iii) résulte de IV, Cj 2, no 5, cor. 2 à la prop. 9.
Le corollaire du th. 1 permet donc d'énoncer le scholie suivant :
SCHOLIE. La dimension d'un anneau local noethérien A est le plus petit tlc.c <wtirrs
O pour lesquels il existe un idéal de définition de A engendré par d éléments.
3. Premières applications
Soient A un anneau noethérien, V = Spec(A) son spectre. Dans ce numéro, on
appelle hypersurface dans V toute partie de la forme V(x) avec x E A.
4. - Soient X une partie fermée de V, et H l , ..., Hm des hypersurjüces
dans V. Posons X' = X n H l n ... n Hm.
a ) Pour toute partie fermée Y de V contenue dans X', on a
codim(Y, X') 2 codim(Y, X) - m
b) On a codium(Z, X) < mpour toute composante irréductible Z de X'. Si X' est non
vide, on a codim(X1,X) < m.
c ) Si Z est une partie fermée irréductible de V contenue dans X telle que
codim(Z, X) < m, il existe des hypersurfaces H', , ..., Hm telles que Z soit une composante irréductible de X n H', n ... n Hm.
Soient a un idéal de A et x,, ..., xm des éléments de A tels que X = V(a) et
H, = V(x,) pour 1 < i < m. Soit Z une partie fermée irréductible de V contenue
dans X ; il existe un idéal premier p de A contenant a et tel que Z = V(p).
Supposons d'abord que Z soit contenue dans X' et notons 5,l'image de x, dans
l'anneau local noethérien B = A,/aA,. D'après la prop. 7, b ) du (i 1, no 3, on a
codim(Z, X)
dim(B), codim(Z, X')
dim(B/(k,B
+ ..- + 5,B)).
D'après la prop. 2 du no 1, on a donc
codim(Z, X')
> codim(Z, X) - m .
Si Z est une composante irréductible de X', on a codim(Z, X') = 0, d'où
codim(Z, X) < m ;ceci prouve b). On prouve a ) en prenant dans les deux membres de
(11) la borne inférieure sur l'ensemble des composantes irréductibles Z de Y.
Rappelons que V(x) se compose des idéaux premiers de A contenant x.
AC VI11.30
Réciproquement, supposons qu'on ait codim(Z, X ) 6 m, c'est-à-dire dim(B) 6 m.
Comme tout élément de A, est le produit d'un élément inversible de A, par l'image
d'un élément de A, le scholie du no 2 démontre l'existence d'éléments x',, ..., xk de A
dont les images dans B engendrent un idéal de définition de B. Posons Hi = V(x;)pour
1 < i < m. 11 est clair que Z est une composante irréductible de X n Hl n ... n Hm.
1. - Soit H une hypersurjàce non vide dans V. La codimension de H
dans V est égale à O ou 1 .
On a codim(H, V) = 1 si et seulement si H ne contient aucune composante irréductible de V .S'il en est ainsi, toutes les composantes irréductibles de H sont de codimension
1 dans V.
Pour toute composante irréductible Z de H, on a
d'après la prop. 4, b), et l'on a codim(Z V)
sante irréductible de V. On a par définition
codim(H, V)
O si et seulement si Z est une compo-
inf codim(Z, V)
où Z parcourt l'ensemble des composantes irréductibles de H. Le cor. 1 résulte aussitôt
de ces remarques.
2. - Soient X une partie fermée irréductible de V et H une hypersurface
dans V. Trois cas seulement sont possibles :
1) o n a X c H ;
2) l'ensemble X n H est non vide et chacune de ses composantes irriductibles Z
satisfait à codim(Z, X ) = 1 ;
3 ) l'ensemble X n H est vide.
Supposons X' = X n H non vide et distinct de X ; toute composante irréductible
Z de X' est distincte de X et satisfait à codim(Z, X) 6 1d'après la prop. 4, b). Le cor. 2
résulte aussitôt de la.
3. -Si A est factoriel (VII, 9 3, no 3, prop. 2), les idéaux premiers de
hauteur 1 de A sont les idéaux principaux engendrés par les éléments extrémaux de A.
Si de plus A est local, on a dim(A/p) = dim(A) - 1 pour tout idéal premier p de hauteur 1 de A.
Soit x un élément extrémal de A. Alors Ax est un idéal premier car x est extrémal,
de hauteur 1 car A est intègre (no 1, prop. 1). Soit p un idéal premier de hauteur 1 de A.
Alors V(p) est une composante irréductible d'une hypersurface V(Ax) pour un x
convenable (prop. 4, c)).Soit x = y:' une décomposition de x en produits d'éléments
extrémaux tels que y, et y j soient étrangers si i # j. Les composantes irréductibles de
V(Ax) sont les V(Ay,). Donc p = Ayi pour un i convenable. La dernière assertion
résulte du cor. 2 à la prop. 2 du no 1.
Remarques. - 1) Supposons que A soit un anneau local, noethérien et intègre de
dimension d ; soit x un élément non nul de m, et soit H = V(x). D'après le cor. 2 de
la prop. 4, toute composante irréductible de H est de codimension 1 dans X, donc de
dimension d d - 1 (Cj 1, no 2, prop. 3). D'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1, H est de
dimension d - 1 et l'une de ces composantes est donc de dimension d - 1 ; toutes
le sont si A est caténaire. Cependant, il se peut en général qu'il existe une composante
irréductible de H de dimension < d - 1 (cf. p. 87, exerc. 7).
2) Soient x , , ..., x, des éléments de A, et posons Hi = V(x,) pour 1 d i d n.
Supposons qu'il existe un A-module M de type fini de support V = Spec(A), tel que
(x,, ..., x,) soit une suite complètement sécante pour M. Alors toute composante
irréductible de H l n ... n H, est de codimension n dans V :cela résulte facilement du
corollaire de la prop. 3 du no 2.
3) Si l'idéal a de l'anneau noethérien A est engendré par m éléments, on a ht(a) d m.
Cela résulte aussitôt de la prop. 4.
5. -Soient A un anneau noethérien et p c q une chaîne non saturée
d'idéaux premiers de A. Censemble E des idéaux premiers r de A tels que p c r c q
soit une chaîne est infini. On a U r = q et n r = p.
Quitte à remplacer A par A/p, on se ramène au cas où p = {O).
D'après le lemme 1 du no 1, on a q = U r, et la prop. 2 de II, Cj 1, no 1 montre
que E est infini.
Soit y # O un élément de
n r. La hauteur de (1 est finie (no 1, cor. 1 de la prop. 2),
et l'on a ht(q) 2 2 par hypothèse. 11 existe donc un idéal premier q' c q de hauteur 2.
La première partie de la démonstration appliquée à q' montre que l'ensemble E' des
idéaux premiers de hauteur 1 contenus dans q' est infini ;chacun de ces idéaux contient
y par hypothèse. Or l'anneau local noethérien B = Aq8/yA,, est de dimension 1
d'après le cor. 2 de la prop. 2 du no 1. Pour tout r E E', i'idéal premier r/yAq. de B
est donc minimal ; par suite, l'anneau noethérien B a une infinité d'idéaux premiers
minimaux, ce qui est absurde (II, 5 4, no 3, cor. 3 de la prop. 14).O n a donc n r = { 0).
6. - Soienl A un anneau noethérien de dimension 3 2, et h un entier
tel que O < h < dim(A).
a ) A possède une infinité d'idéaux premiers de hauteur h.
b ) Si A est de dimension finie, il possède une infinité d'idéaux premiers p tels que
ht(p) = h et dim(A/p) = dim(A) - h.
Comme la dimension de A est la borne supérieure des hauteurs des idéaux premiers
de A (5 1, no 3, prop. 8), que tout idéal premier de A est de hauteur finie (no 1, cor. 1
de la prop. 2) et que h < dim(A), il existe un entier n > h et un idéal premier p de
hauteur n, donc une chaîne p, c ... c p, = p d'idéaux premiers de longueur n. On a
ht(pi) = i pour O < i < n, d'où ht(r) = h pour tout idéal premier r de A tel que
ph-, c r c p h + , soit une chaîne. L'ensemble E de ces idéaux est infini d'après la
prop. 5, d'où a).
AC VI11 -32
Si A est de dimension finie, on peut supposer qu'on a n = dim(A) dans ce qui
précède. Pour tout idéal r 6 E, on a ht(r) = h, d'où dim(A/r) < n - h, et comme
r c p h + , c ... c p, est une chaîne de longueur n - h, on a dim(A/r) = n - h.
Il existe des anneaux intègres non noethériens de dimension 2 ne possédant
qu'un seul idéal premier de hauteur 1, par exemple l'anneau d'une valuation de
hauteur 2 (VI, $4, no 4, prop. 5).
4. Changements d'anneaux
7. - Soient p :A + B un homomorphisme local d'anneaux locaux
un A-module de type fini et N un B-module de type fini. Posons
noethériens,
B = B O, KA = B/p(mA).B et N = N O, B = N/p(mA).N. On a
et il y a égalité si N est plat sur A.
On peut supposer M et N non nuls. D'après le corollaire du th. 1 (no 2), il existe
une partie S (resp. T) de m, (resp. m,) telle que Card(S) = dim,(M) (resp. Card(T)
dimg@)) et que M/SM soit un A-module de longueur finie (resp. N/TN soit un
B-module de longueur finie). On a p(S) c m,. Soit E le B-module M O, N ; le
B-module E/(p(S).E + T.E) est isomorphe à M/SM O, N/TN, donc est de longueur
finie :d'après les prop. 18 et 19 de II, $ 4, no 4, on a
Il en résulte, d'après le th. 1, que l'on a l'inégalité
Supposons maintenant N plat sur A, et montrons qu'il y a égalité dans la formule
(12). Soit a (resp. b) l'annulateur de M (resp. N). D'après les prop. 18 et 19 de II, $ 4,
no 4, on a
S ~ P P ( E=
) S ~ P P ( Nn
) "P-'(SWP(MN
V(b) n "p- '(V(a))
+ p(a). B) .
O n a par suite
dim,(M O, N )
dim(B/(b
+ p(a).B))
dim,(M)
+ dim&
dim(A/a)
+ dim(B/(b + p(mA).B)).
Posons A' = A/a et B' = B/(b p(a).B) et soit p' :A' -+ B' I'homomorphisme local
déduit de p par passage aux quotients. Puisque l'annulateur de N est b, N est un
B/b-module dc type fini de support égal à Spec(B/b), et plat sur A. L'homomorphisme A + B/b déduit de p possède donc la propriété (PM) du 9 2, no 1 (foc. cit.,
remarque 3) ; par extension des scalaires (loc. cit., prop. 1, a)), on en déduit que p'
possède la propriété (PM). D'après loç. cit., prop. 2, on a donc
et comme l'anneau B'/p1(mA.).B'est isomorphe à B/(b
résulte des formules (13), (14) et (15).
+ p(mA).B), notre assertion
1. - Soit p : A + B un homomorphisme local d'anneaux locaux noethériens.
a ) On a
avec égalité si p fait de B un A-module plat.
b) Supposons que p fasse de B un A-module plat, et soit S une partie de m,. Alors S
est sécante pour A si et seulement si p(S) est sécante pour B.
L'assertion a ) est le cas particulier M = A, N = B de la prop. 7.
Prouvons b). Sous les hypothèses faites, on a
Enfin B'
B @,
B/p(mA).B. Comme p est injectif (1, $3, no 5, prop. 9), on a
B/p(S).B est un module plat sur A'
AISA, d'où
car B1/p(m,.).B' est isomorphe à B. Notre assertion résulte aussitôt des formules (l7),
(18) et (19).
2. - Soit p :A
B un homomorphisme d'anneaux noethériens. On a
< dim(A) + P Esup
dim(B BA~ ( p ) )
SP~C(A)
Soient q un idéal premier de B et p = p-'(q). D'après le cor. 1, on a dim(Bq) ,<
dim(A,) + dim(B, 8, ~ ( p ) ) On
. en déduit (prop. 6, b) du § 1, no 3) l'inégalité
dim(Bq) < dim(A) dim(B O, ~ ( p ) )et, on conclut par la prop. 8 du $ 1, no 3.
AC VI11 .34
3. - Soient A un anneau noethérien et n un entier 2 O. On a
Posons B = A[X,, ..., X,]. Pour tout idéal premier p de A, l'anneau B @, ~ ( pest
un anneau de polynômes à n variables sur un corps, donc est de dimension n (9 2,
no 4, cor. 1 au th. 3). D'après le cor. 2, on a dim(B) < dim(A) + n ;l'inégalité inverse
résulte de l'exemple 4 du 9 1, no 3.
4. - Soient p :A
un idéal de A. On a l'inégalité
B un homomorphisme d'anneaux noethériens, et a
si l'application "p :Spec(B) -+ Spec(A) est surjective. Si B est un A-modulefidèlement
plat, on a ht(p(a).B) = ht(a).
Si B est fidèlement plat sur A, alors "p est surjective (II, 3 2 no 5, cor. 4 à la prop. 11)
et l'on a ht(a) < ht(p(a).B) (5 2 no 1, corollaire de la prop. 2).
Il reste donc à prouver l'inégalité (20) sous l'hypothèse que "p est surjective. Soit p
- idéal premier de A tel que a c p et ht(a) = ht(p) (3 1, no 3, prop. 7). Posons
B = B O, ~ ( pet) notons h l'homomorphisme canonique de B dans B. Si X = " p ' (p)
est l'ensemble non vide des idéaux premiers de B au-dessus de p, on sait (§ 2, no 1,
lemme 1) que i'application "h est un homéomorphisme de spec(B) sur le sous-espace X
de Spec(B). Soit q l'image par "h d'un idéal premier minimal de B; on a
) O et le cor. 1 entraîne l'inégalité dim(B,) < dim(A,). On a
dim(B, @, ~ ( p ) =
d'où le corollaire.
8. - Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, M un A-module de
type fini, Â et M les séparés complétés de A et M respectivement pour la topologie
a-adique.
4 Soient m un idéal premier de A contenant a et fi = rnÂ. Alors fh est un idéal
= dimAm
premier de Â et on a dim~,,(M,)
b ) On a dimÂ(M)= sup dimAm(M,), où rn parcourt l'ensemble des idéaux premiers
(resp. maximaux)de A contenant a. En particulier, on a dimÂ(M)< dim,(M).
a ) Puisque Â/fh s'identifie à A/m, in est un idéal premier de Â. D'après le th. 3 de
III, 3, no 4, Â est plat sur A, donc Â;, est plat sur A,. Par ailleurs l'application canonique de A dans Â induit un isomorphisme de A/a sur Â/aÂ, donc aussi un iso.
conclut en appliquant la prop. 7 aux
morphisme de A,,/rnAm sur Â 1 & t Â n l On
anneaux A,,, et Âln et aux modules Ml,,et Â,%car Ml,, OAniÂfi est isomorphe à Mm
(111, loc. cit. et prop. 8).
b) D'après la prop. 8 de III, § 3, no 4, l'application m H iîi est une bijection de
l'ensemble des idéaux maximaux de A contenant a sur l'ensemble des idéaux maximaux de Â. L'assertion b) résulte de là et de la prop. 9 du § 1, no 4.
1. -Soit A un anneau de Zariski(III,$3, no 3, déf. 2). Pour tout A-module
M de type fini, on a dimÂ(M) = dim,(M).
En effet, la topologie de A est la topologie a-adique, où a est un idéal contenu dans
le radical de A (loc. cit.), c'est-à-dire contenu dans tout idéal maximal m de A. Il suffit
donc d'appliquer l'assertion b) de la prop. 8.
2. - Soient A un anneau noethérien, a un idéal de A, et Â le séparé
complété de A pour la topologie a-udique. On a dim(Â) < dim(A), avec égalité lorsque A
est local et a distinct de A.
dim(A) + n
L'anneau A[[X, , ..., X,,]] est le séparé complété de l'anneau de polynômes
A[X,, ..., X,,] pour la topologie a-adique, où a est l'idéal engendré par X,, ..., X,,;
dim(A[[X, , ..., X,]]) < dim(AIXl , ..., X,])
d'après le cor. 2. On a par ailleurs
dim(AIXl, ..., X,])
d'après le cor. 3 de la prop. 7. Enfin, on a
< dim(A[[X,, ..., X,]])
d'après l'exemple 4 du 5 1, no 3.
Remarques. - 1) Soient A un anneau noethérien et a un idéal de A. Supposons A séparé et complet pour la topologie a-adique, et considérons l'anneau
R = A { XI, ..., X,, )* des séries formelles restreintes (III, 8 4, no 2, déf. 2). On a
dim(R) = dim(A) + n. En effet, R est le complété de l'anneau B = AIXl, ..., X,,]
pour la topologie aB-adique, d'où dim(R) d dim(A[X, , ..., X,,]) = dim(A) + n.
L'inégalité inverse se démontre comme dans le cas des séries formelles.
2) Soient A un anneau local noethérien, identifié à un sous-anneau de son complété Â, et B un sous-anneau de Â contenant A. Supposons que B soit local noethérien
et que l'on ait m,B = m,. Alors, l'injection canonique de A dans B s'étend en un
isomorphisme de Â sur le complété de B (III, 5 3, no 5, prop. 1l), d'où dim(B)= dim(A)
(cor. 2 à la prop. 8). Ceci s'applique notamment à la situation suivante. * Soient k un
corps valué complet non discret, A l'anneau local de l'anneau de polynômes
k[X,, ..., X,] en l'idéal premier engendré par XI, ..., X,, et B l'anneau des séries
Convergentes en XI, ..., X, à coefficients dans k. Alors les hypothèses précédentes sont
satisfaites, et par conséquent on a dim(B) = n.
5. Construction de suites sécantes
9. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de typefini, a une
partie de A stable par addition et multiplication, q, , ..., q, des idéaux premiers de A ne
contenant pas a et r 3 1 un entier tel que
Il existe une suite (x, , ..., x,) d'éléments de a, n'appartenant à aucun des idéaux q, , ..., q,
et telle que la suite (x,/l, ..., x,/l) d'éléments de A, soit sécante pour le A,-module M,,
quel que soit l'idéal premier p E V(a) n Supp(M).
Raisonnons par récurrence sur r. Supposons d'abord r = 1, et notons @ l'ensemble
(fini) des éléments minimaux de Supp(M). Raisonnons par l'absurde et supposons
qu'il n'existe aucun élément x, de a satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Soit
x E a, n'appartenant pas à q, u ... u q,. Il existe par hypothèse un élément p de
V(a) n Supp(M) tel que l'image x/l de x dans A, ne soit pas sécante pour M,. Soit Y
l'ensemble des idéaux q E <D contenus dans p ; alors les éléments minimaux de
Supp(M,) sont les idéaux premiers qA, de A,, où q parcourt Y. D'après la prop. 3 du
no 2, il existe donc un élément q de Y tel que x/l E qA,, d'où x E q. Autrement dit, on a
a c q, u ... u q, u U q. Comme on a a çf q, pour 1 < j < m, la prop. 2 de II,
$1, no 1 démontre l'existence d'un élément q de u> contenant a, d'où
Comme V(a) contient une composante irréductible de Supp(M), ceci contredit
codim(V(a) n Supp(M), Supp(M)) 3 1 .
Supposons maintenant r > 2. D'après l'hypothèse de récurrence, on peut trouver
une suite (x, , ..., x,- ,) d'éléments de a, n'appartenant pas à q, u ... u q, et telle que,
pour tout p E V(a) n Supp(M), la suite (xJ1, ..., x,-,il) d'éléments de A, soit
sécante pour M,. Posons N
1 xiM. Il suffit de construire un élément x, de a
n'appartenant pas à q, u ... u q, et tel que, pour tout p E V(a) n Supp(M), l'élément
x,il de A, soit sécant pour Np.D'après la première partie de la démonstration, il suffit
d'établir les deux relations
d'après le corollaire de la prop. 18 de II, 3 4, no 4, et comme x , , ..., x,- appartiennent
à a, on en déduit (22).L'inégalité (23)résulte alors de Shypothèse (21) et de la prop. 4, a )
du no 3, où l'on fait
d'où X'
Supp(N).
1. - Soient A un anneau noethérien, M un A-module de typefini, pl, ..., p,,
q,, ..., q, des idéaux premiers de A et r un entier > 1. On suppose qu'on a pi q, pour
1 < i < n et 1 < j < m, et dimAp~(M,,)
3 r pour 1 < i < n. Il existe alors une suite
(x,,..., x,) d'éléments de A appartenant à tous les pl et n'appartenant à aucun des qj,
telle que, pour 1 < i < n, les images de x , , ..., x, dans A,, forment une suite sécante pour
le module M,,.
Posons a = n pi. On a MPz# {O), donc pi E Supp(M) pour 1 d i < n, d'où
V(a) c Supp(M).On a
inf (codim(V(p,),Supp(M))) = inf dim(M,,) 3 r
(9 1, no 4, prop. 9), et l'on applique la prop. 9.
2. -Soient A un anneau local noethérien, M un A-module non nul de
type fini et a une partie de m,, stable par addition et multiplication et telle que
long(M/aM) < + m. Il existe une partie de a qui est sécante maximale pour M .
En effet, on a V(a) n Supp(M) = Supp(M/aM) = {m,) (3 1, no 4, remarque l),
donc codim(V(a) n Supp(M), Supp(M)) = dim(Supp(M)) = dim,(M), et on applique la prop. 9.
g 4. SÉRIES DE HILBERT-SAMUEL
1. L'anneau Z((T))
Soit A un anneau. Munissons le A-module AZ de la topologie produit des topologies discrètes. Les éléments (a,) E AZ tels qu'il existe no 6 Z avec a, = O pour
n < no forment un sous-module B de A'. Si pour a = (a,) E B, b E (b,) E B, on pose
ab = c, avec c, =
aib,, on définit sur B une structure de A-algèbre. Soit T
l'élément (O,) de B tel que O, = O pour n # 1 et O, = 1. Alors T est inversible dans B ;
pour tout élément a = (a,) de B, la famille (a,Tn),,, est sommable dans A' et l'on a
AC VI11 .38
Dans la suite de ce chapitre, on notera A((T))la A-algèbre B ;elle contient comme
sous-algèbres l'algèbre A[[T]] des séries formelles et l'algèbre AIT, T- '1 ; leur intersection est l'algèbre A[T] des polynômes.
Remarque. - L'anneau A((T)) s'identifie naturellement à l'anneau de fractions
A[[T]], de l'anneau A[lT]] défini par la partie multiplicative formée des puissances
Pour n, p dans Z, on définit l'entier naturel
[i][ ]
= n-P
Lemme 1 . -L'élément
1 - T de Z((T)) est inversible. Pour tout entier r >. O on a
En effet, 1 - T est inversible dans l'anneau Z[[l], d'inverse
Tm;on a donc
et la formule annoncée résulte de E, III, p. 44, prop. 15.
Soient Q(T) E Z[T, T-'1, r un entier > O, et F
(1 - T)-'Q
E Z((T)).Posons
Alors, d'après le lemme 1, on a
Soit n, la borne supérieure dans R de l'ensemble des entiers i E Z tels que ai # 0.
Pour tout entier n n , , on a a,, = E(n), où Fi est le polynôme de Q[X] défini par
Si l'on pose c
Q(l) =
1ai, on a E(X) = cX'-l/(r - 1) ! + 8(X), où 8 est un
2. Par conséquent, on a
(r - l ) !
+ ~,,nl-~,
où ie nombre rationnel p, tend vers une limite lorsque n augmente indéfiniment. On
en déduit la relation
1 anTnet G = Ci bnTnsont deux éléments de Z((T)),on note « F < G
la relation (( a, d b, pour tout n E Z ». C'est une relation d'ordre compatible avec
la structure d'anneau de Z((T)) (A, VI, p. 18, déf. 1). On a (1 - T)-' B 1. Si
Q E Z[T, T-'1 est 3 0, alors l'entier Q(l) est positif.
Lemme 2. - a) Soit F un élément non nul de Z((T)) tel qu'il existe r E Z, avec
(1 - T)'F EZ[T,T- '1 ;alors F s'écrit de manière unique sous la forme F = (1 - T)-d.Q,
ou Q E Z[T, Tpl], Q(1) # O et d E Z. Si F 3 0, alors on a Q(l) > O et d 2 0.
b) Soient Q, R dans Z[T, T-'1, d, d' dans Z avec Q(l) > O. Si
(1 - T)-d.Q
< (1 - T)-d'.R,
alors, ou bien d < d', ou bien d = d' et Q(1) < R(1).
a) On peut écrire F = (1 - T)-"TnP(T)avec r, n E Z et P(T) E Z[T]. Par division euclidienne, on peut écrire P(T) = (1 - T)PR(T)avec R(T) E Z[T] et R(1) # 0.
Donc F = (1 - T)-'r-P'Q(T), où Q(T) = TnR(T)E Z[T, T-'1 et Q(1) # O. Cela
démontre l'existence de d et Q. Par ailleurs, si (1 - T)*Q(T)= (1 - T)"R(T)avec
r > s et Q, R dans Z[T, T-'1, on a R(T) = (1 - T)'-"Q(T), donc R(l) = O ; cela
démontre l'unicité. Supposons que F soit 2 O ; si on avait d < O, alors on aurait
F(l) = O, ce qui est impossible puisque F est non nul et que tous ses coefficients
sont positifs; on a donc d 2 0 . Si d = O, alors Q = F 3 O, donc Q(l) est positif.
Si d 3 1, alors Q(l) est positif d'après la formule (3). Cela démontre a).
b) Supposons d 3 d'. Alors (1 - T)-d((l - T)d-d'R- Q) ), O ; comme
S(T) = (1 - T)d-d'R - Q appartient à Z[T, T-'1, cela implique S(l) 3 O d'après
Q(l) < O, d'où une contradiction ; si
ce qui précède. Si d > d', on a S(1) =
d = d', on a S(1) = R(l) - Q(l) d'où Q(l) < R(1).
2. Série de Poincaré d'un module gradué sur un anneau de polynômes
Soient Ho un anneau, 1 un ensemble fini et H l'anneau de polynômes Ho[(Xi)it,].
Pour chaque i E 1, soit di un entier > O. Munissons H de la structure d'anneau gradué
de type Z telle que les éléments de Ho soient homogènes de degré O et chaque Xi
AC VI11 .40
homogène de degré d,. Lorsque d, = lpour tout i, on retrouve la graduation usuelle
des anneaux de polynômes.
Soit M un H-module gradué de type fini dont tous les composants homogènes
sont des Ho-modulesde longueur finie ;on appelle série de Poincaré de M l'élément PM
de Z((T)) tel que PM=
longHo(Mn).Tn,et l'on pose QM= P , . n (1 - Tdl).
1. - L'élément Q, de Z((T)) appartient à Z[T, T-'1.
Divisant Ho par l'annulateur du Ho-module M, on se ramène au cas où M est un
Ho-module fidèle. Si a, b E Z sont tels que M soit engendré comme H-module par
Mi, alors M' est un Ho-module fidèle et de longueur finie; par suite,
l'anneau Ho est artinien (A, VIII, § 1, no 3), donc noethérien (loc. cit., Q: 9, no 1).
L'anneau de polynômes H est donc noethérien (loc. cit., 9 1, no 4). Si 1 est vide,
est à support fini, puisque M
on a H = Ho, et la famille d'entiers (l~ng,~(M,))~,,
est un Ho-module de type fini ; d'où le théorème dans ce cas. Raisonnons alors par
récurrence sur le cardinal de l'ensemble 1, supposé non vide ;soientj E 1 et J = 1 - {j).
Notons H' le sous-anneau gradué de H engendré par Ho et les X ipour i dans J ;
considérons i'homothétie (Xj), de rapport X j dans M, son noyau R, et son conoyau S.
On a, pour chaque n E Z, une suite exacte de Ho-modules
donc Rn_,, et Sn sont de longueur finie, et i'on a
Puisque M est un module de type fini sur l'anneau noethérien H, les H-modules
R et S sont de type fini ; comme ils sont annulés par Xj, ce sont des Hl-modules de
type fini. D'après l'hypothèse de récurrence, les éléments P R . n(1 - Tdi) et
P , . n (1 - Tdz)de Z((T)) appartiennent donc à Z[T, T-'1 ; de (4), on tire
c'est-à-dire (1 - Td]).PM= P, - Tdl.PR; on a donc
Exemple 1. - Supposons Ho artinien et prenons M = H. Alors, avec les notations
précédentes, on a R = O et S = Hf, donc d'après (5), on a Q , = QHr; comme on a
QHo= long(Ho), on en tire par récurrence Q, = long(H,), c'est-à-dire
Supposons désormais H muni de la graduation usuelle, pour laquelle di = 1
pour tout i E 1, et posons r = Card(1); on a PM= Q,(T).(l - T)-'. Posons
c, = QM(l).Alors, d'après la formule (2) du no 1, on a :
- a) Si r = O, alors on a longHo(M)= c,.
b) Si r = 1, alors on a longHo(Mn)= c, pour n assez grand.
c) Si r > 1, alors on a longHO(Mn)
= c, -+ pnn'-2, où pn tend vers une
limite dans R lorsque n augmente indéfiniment.
Remarques. - 1) L'entier c, est positif d'après le lemme 2. On peut avoir M # O
et c, = O ( c j prop. 2).
2) Soit O -+ M' + M -+ M + O une suite exacte de H-modules gradués et
d'homomorphismes de degré O telle que M soit de type fini sur H et Mn de longueur
finie sur Ho pour chaque n. Alors, pour chaque n E Z, on a
Q, = Q,. + Qw et c, = c,, + cw.
donc PM = PM.+ P
3) Soit M(p) le module déduit de M par décalage de p de la graduation (A, II,
p. 165, exemple 3). Comme on a M(p), = M,,,, on a PM(,,= T-'PM, QM(,) = TPQM
et c,,,, = c,.
Exemples. - 2) Supposons Ho artinien, et soit M un H-module gradué libre engendré
par s éléments homogènes, linéairement indépendants, de degrés respectifs 6,, ..., 6,.
Alors M est isomorphe à H(- 6,) 0 ... O H(- 6,). D'après les remarques 2 et 3
et l'exemple 1, on a donc
3) Supposons toujours Ho artinien; soit M un H-module gradué, et supposons
qu'il existe une suite exacte de H-modules gradués et d'homomorphismes de degré O
où, pour k = O, 1, ..., n, L, est un H-module gradué libre engendré par des éléments
homogènes linéairement indépendants, de degrés respectifs F,,,, ..., 6,,,(,,. Alors,
d'après la remarque 2 et l'exemple 2, on a
AC VI11 .42
Remarque 4. - On peut prouver (p. 88, exerc. 4) que sous les hypothèses du th. 1,
les Ho-modules Tory(Ho, M) sont de longueur finie, nuls pour j > r, et qu'on a
(- 1Y 1ongHo(Tory(H0,M)).
Tory(Ho, M) sont munis naturellement de graduations et on a
1. -Soit M un H-module gradué. On suppose que M est engendré par Mo
et que Mo est un Ho-module de longueurfinie. Alors on a
De plus, les conditions suivantes sont équivalentes :
(il c, = longHo(Mo);
(ii) PM = longHo(Mo).(l- T)-', c'est-à-dire M = Mo si r
pour EN s i r > 0 ;
(iii) l'hornoriio~~)ll~.~n~e
canonique dc H-modules
est bijectif:
Notons R le noyau de cp. Comme cp est surjectif, on a
PM = PHOMo- PR = longHo(MO)
(1 - T)-" - PR et cM = longH,(Mo) - c , .
Les conditions (i), (ii) et (iii) équivalent respectivement a c, = O, PR = O et R = 0.
On a donc (iii) =s-(ii) => (i) et il suffit de prouver que c, = O implique R = O. Supposons R f O et soit O = Nh c Nh-' c ... c No = Mo une suite de JordanHolder du Ho-module Mo. Soit Rm l'intersection de R et de l'image de H @
dans H O,, Mo ;il existe un entier m compris entre 1 et h tel que Rm # Rm-'. Posons
L = Rm-'IRrn;on a O d c, < c, et il suffit de prouver que c, # O. Or, si k est le
corps quotient de Ho par i'idéal maximal annulateur de Nm-'/Nm, L s'identifie à
un sous-module gradué non nul de k[(X,),,,]. Donc L contient un sous-module
= 1, on a donc c, 3 1
isomorphe à un module décalé de k[(X,),,,] ; comme ckI(
(remarques 2 et 3), ce qu'on voulait démontrer.
Remarque 5. - D'après A, X, p. 160, th. 1, la condition (iii) signifie que ( X I , ..., X,)
est une suite complètement sécante pour le H-module M.
2. - Supposons que Ho soit un corps, et soit M un H-module gradué
de typefini. Soit K le corps des fractions de H. Alors c, est égal au rang du H-module M,
c'est-à-dire à la dimension du K-espace vectoriel M @, K .
Cela est clair si M = H, puisque c, = 1. Par ailleurs, soit x E H, homogène de
degré d, et non nul ; on a (HIxH) O , K = O ; de la suite exacte
O-+H(-d)-+H-+H/xH-+O,
= O. La proposition est donc vérifiée lorsque M
et des remarques 2 et 3, on tire c,,,
est engendré par un élément homogène. Le cas général s'en déduit, puisque tout
H-module gradué de type fini possède une suite de composition dont les quotients
sont de la forme précédente.
Remarque 6. - Sous les hypothèses de la prop. 2, on a donc c, = O si et seulement
si M est un H-module de torsion, ou encore si et seulement si dim,(M) < r ($ 1, no 5,
exemple 4).
3. Série de Hilbert-Samuel d'un module bien filtré
Dans la suite de ce paragraphe, nous utiliserons la notation suivante : si G E Z((T))
et si r E N, on pose G''' = (1 - T)-'G ; en particulier, si G =
a,Tn, alors
a,) Tn .
Si G 3 0, on a G") 3 O pour tout r E N.
Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A et M un A-module de type fini.
Rappelons (III, 3, no 1, déf. 1) qu'une filtration q-bonne sur M est une application
F :n H F, de Z dans l'ensemble des sous-modules de M satisfaisant aux trois conditions suivantes :
a) on a qF, c F,+, c F, pour tout n E Z,
b) il existe no E Z tel que qF, = F,, pour n 3 no,
c) il existe n, E Z tel que Fnl = M.
Si no et n, satisfont aux conditions précédentes, on a, pour tout n E 2,
(rappelons que l'on a posé qr
A pour r
par convention).
Lemme 3. - Si F et F' sont deuxjîltrations q-bonnes sur M, il existe un entier m tel que
Fnc FR_, pour tout n E Z.
En effet, il existe n, tel que F:, c qM-"'M pour tout n, donc F:, c F,,-(,,*_,,,,pour
Lemme 4. - Soit F une filtration q-bonne sur M. Si M/qM est de longueur jnie,
M/F,+ et FJF,,
sont de longueur finie pour tout n E Z.
Avec les notations de (7), on a long(M/F,+,) d long(M/qn-"'+' M) et il suffit
de prouver que q"M/qn+'M est de longueur finie pour tout n. On est donc ramené
au cas de la filtration q-adique. Soit (x,, ..., x,) un système générateur fini
du A-module q, et soit I l'ensemble fini des monômes de degré total n en r variables
AC VI11 .44
Xi, ..., X,. L'homomorphisme de ( M / ~ M )dans
qnM/qnf'M qui applique la famille
m(x1, ..., x,) u, est surjectif. Comme M/qM est de longueur
(u,),,~ sur l'élément
finie, qnM/qn+'M l'est aussi.
Supposons désormais M/qM de longueur finie. Soit F une filtration q-bonne
sur M. Il existe n, E Z tel que F,, = M, donc Fn = M pour n < n, ; on définit
donc un élément HM,, de Z((T)) en posant
C longA,q(Fn/Fn+1.T" E Z((T)) .
1. - On appelle HM,, la série de Hilbert-Samuel du A-module M (relativement à la filtration q-bonne F).
L'application n H long,(Fn/Fn+ ,) s'appelle souvent la fonction de HilbertSamuel de M (relativement a F).
Cela s'applique notamment au cas de la filtration q-adique (F, = qnM); on pose
alors HM,, = HM,q.On a donc
a ) Si F est unefiltration q-bonne sur M, on a
b) Si F et F' sont deux filtrations q-bonnes sur M, il existe un entier m tel
que H&. 2 TmH(')
La partie a) résulte aussitôt de la définition de HG.\ ; la partie b) résulte de a)
et du lemme 3.
THÉORÈME 2. - Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module
de typefini tel que M/qM soit non nul et de longueurfinie et F unefiltration q-bonne
a) Il existe un entier d 2 O, et un élément R de Z[T, T-'1, uniquement déterminés,
tels que R(1) > O et HM,, = (1 - T)-dR.
b) Les entiers d et R(l) sont indépendants de la jiltration q-bonne F choisie.
a) Considérons l'anneau gradué gr(A) tel que grn(A) = qn/qn+'et le gr(A)-module
gradué gr(M) tel que gr,(M) = F,/Fn+,. Puisque l'on a F,, = M et qFn = F n + ,
pour n 3 no, gr(M) est engendré par @ grn(M), donc est de type fini. Par
ni <n<no
ailleurs, si (x, , ..., x,) est un système générateur fini du A-module q, gr(A) est engendré
par gr,(A) et les classes des xi modulo q2, donc est isomorphe à un anneau gradué
quotient de H = (A/q) [Xi, ..., X,]. D'après le th. 1 du no 2, on a
(1 - T)iHM,FE Z[T, T-'1 .
On a HM,, # O et il existe donc d E N et R E Z[T, T-'1 uniquement déterminés tels
que R(l) > O et HM,, = (1 - T)-d.R (lemme 2 du no 1).
AC VIII .45
SÉRIES DE HILBERT-SAMUEL
b) Soit F' une autre filtration q-bonne et écrivons de même
H ~ , , ,= ( 1 - T)-#R'.
D'après la prop. 3, b), il existe un entier m tel que (1 - T)-d'-lR' 2 Tm(l - T)-d- IR.
D'après le lemme 2, b) du no 1, cela implique d' 2 d et, si d' = d, R'(1) 3 R(1).
Échangeant les rôles de F et F', on obtient d = d' et R(1) = R'(1).
Remarque 1. - Avec les notations de a), écrivons R
1 aiTi, et supposons d > 0.
D'après le no 1, la relation HM,, = (1 - T)-dR s'écrit aussi
De même, puisque Hg,),
(1 - T ) - d - l ~ ,on a
Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module de type fini
tel que M/qM soit de longueur finie. Si M # qM, il existe d'après le th. 2, b) des
entiers dq(M) 2 O et eq(M) > O tels que, pour toute filtration q-bonne F sur M,
il existe R E Z[T, T-'1 avec
qM, on pose par convention d,(M)
co, eq(M) = O.
Remarque 2. - Dire que M/qM est de longueur finie signifie que
) V(q)
Supp~M/qM)= S ~ P P ( Mn
est formé d'idéaux maximaux (IV, 9 2, no 5, prop. 7). Nous verrons ci-dessous (no 4,
corollaire au th. 3 ) que dq(M)est la borne supérkure des nombres dimAm(M,,),où nt
parcourt l'ensemble Supp(M) n V(q).
Soient A un anneau noethérien, q un idéal de A, M un A-module
de type $ni tel que M/qM soit de longueur finie et F une filtration q-bonne sur M.
a) Pour que l'on ait dq(M) < O, il faut et il suffit que la suite (qnM)soit stationnaire,
ou encore que la suite (F,) soit stationnaire. On a alors, pour tout n assez grand,
b) Supposons que l'on ait d,(M) > O. On a alors
longA(Fn/Fn
eq(M)ndqtM'-'/(d,(M)
long,(M/Fn+ ,)
+ pnnd@-
eq(M)ndqtM)/dq(M)
! + onnd@- ,
où p, et O, tendent vers une limite lorsque n augmente indéfiniment.
Cela résulte aussitôt du th. 2 et de la formule (2) du no 1.
AC VI11 .46
Remarque 3. - Supposons q contenu dans le radical de A. Alors, d'après le lemme de
Nakayama, la suite (qnM)est stationnaire si et seulement si l'on a qnM = O pour n
assez grand. Il résulte alors de la partie a) du corollaire que l'on a dq(M) < O si et
seulement si M est de longueur finie et qu'on a alors e,(M) = long,(M).
4. --Soient A un anneau noethérien, x,, ..., x, des éléments de A,
x l'idéal qu'ils engendrent et M un A-module de typefini tel que M/xM soit non nul et de
longueur finie.
a) On a d,(M) < r.
b) Si d,(M) = r, alors e,(M) < long,(M/xM).
c) Si la suite (x,,..., x,) est complètement sécante pour M (A, X, p. 157), dors
d,(M) = r et e,(M) = long,(M/xM). La réciproque est vraie si les xi appartiennent au
radical de A.
Soit H l'anneau de polynômes (A/x) [X,, ..., X,]. Munissons G = @ x n ~ / r " + ' M
de la structure de H-module gradué pour laquelle (Xi), est la multiplication par la
classe de xi modulo x2. Avec les notations P,, QG,cGdu no 2, on a HM,,= P,, donc
(1 - T)-dz(M)R= (1 - T)-'QG, où R(l) = e,(M) > O et Q,(1) = c,.
On a donc, soit d,(M) < r et c, = O, soit d,(M) = r et c, = e,(M). Par ailleurs,
d'après la prop. 1 du no 2, on a c, < long(M/xM), et il y a égalité si et seulement si
l'homomorphisme canonique A/x[X, , ..., X,] O,,, M/xM -+ @ xnM/xn+'M est bijecn
tif. Cela entraîne la proposition, compte tenu de A, X, p. 160, th. 1.
5. -Soient O -+ M' -+ M -+ M" -+ O une suite exacte de modules de
typefini sur un anneau noethérien A, et q un idéal de A.
a) Pour que M/qM soit de longueur finie, il faut et il suffit qu'il en soit ainsi de
M'/q M' et M"/q Mu.
b) Supposons M/qM de longueurfinie. Alors l'on est dans l'un des trois cas suivants :
1) d,(M) = dq(M1)> dq(MW) et eq(M) = eq(M1),
2) d,(M) = dq(M") > d,(Mf) et eq(M) = e,(MU),
3) dq(M) = dq(M1)= d,(MU) et eq(M) = e,(Mf) + e,(MU).
a) On a Supp(M) = Supp(M1)u Supp(MU)et l'assertion résulte de la remarque 2.
b) Munissons M d'une filtration q-bonne F (par exemple la filtration q-adique),
M" de la filtration quotient F", et M' de la filtration induite F'. Les filtrations F' et F"
sont q-bonnes (III, $ 3, no 1, prop. 1). Alors on a pour chaque n une suite exacte de
F;/K+, + Fn/F,+, -+ F./C+, -+ O
avec R, R', R" E Z[T, T-'1, ~ ( 1 =) eq(M), R'(1)
tion b) en résulte aussitôt.
eq(Mf),R"(1)
eq(MU).L'asser-
Degré de la fonction de Hilbert-Samuel
3. - Soient A un anneau local noethérien, q un idéal de A distinct de A et
M un A-module de typefini tel que M/qM soit de longueurfinie. Alors l'entier d,(M)
est la dimension du A-m

References: § 4
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