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Conicas | Geometría analítica | Elipse
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Circunferencias y Otras Secciones
25 Curvas Conicas Parabola
FORMULARIO SECCIONES CÓNICAS
CCA8_CÓNICAS
matema10
Trabajo de Basica ECUACIONES
Unidad 4. Problemas Clasicos de La Geometria Analitica
Cuarta Unidad Cónicas
ESTUDIO PARTICULAR DE LAS CONICAS
1.1.- Introducción ¿Qué es la Geometría Analítica? Aunque existen algunos antecedentes previos, es Renato Descartes quien al publicar en 1637 su obra “Le Geometrie” pone los cimientos de lo que actualmente conocemos como geometría analítica o geometría cartesiana. Resumidamente se puede decir que su propuesta es hacer la fusión entre la geometría y el álgebra estableciendo un método que lleva a traducir las propiedades geométricas de las figuras a un lenguaje algebraico, para poder operar aplicando sus leyes, y una vez obtenido un resultado, interpretarlo geométricamente. Para dar una idea más concreta de lo que es la geometría analítica, enunciaremos dos de sus problema fundamentales.
 Dada una gráfica hallar su ecuación:
 A partir de una ecuación en dos variables, dibujar su gráfica:
Es decir que la Geometría Analítica es la parte de la Matemática que estudia problemas que, partiendo de conceptos y propiedades puramente geométricos, llega a resultados puramente analíticos mediante desarrollos de tipo algebraico, teniendo sentido, por ejemplo hablar de la “ecuación” de la recta o de la circunferencia. Se estudiarán a continuación algunos conceptos previos
2.- Sistema Coordenado Rectangular Dado un plano cualquiera, un Sistema Coordenado Rectangular, está formado por dos rectas dirigidas y perpendiculares entre sí llamadas Ejes de Coordenadas. Como se observa el gráfico Nº 1 al eje X se le denomina eje de las abscisas, al eje Y, eje de las ordenadas y al punto O, de intersección de ambas rectas, origen de coordenadas.
2. 1.- Ubicación de puntos en el plano Podemos asociar puntos del plano a pares ordenados de números reales. Para ello identificamos cada punto del plano con un par ordenado (x, y) de números reales llamados coordenadas del punto, como se observa en el gráfico Nº 1.
Gráfico Nº1: Sistema Coordenado Rectangular
Siendo x: la abscisa del punto y distancia dirigida desde el eje Y al punto, e y la ordenada del punto y distancia dirigida desde el eje X al punto.
2. 3.-.Lugar Geométrico
Se llama Lugar Geométrico al conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen determinadas condiciones. Todo lugar geométrico del plano es la gráfica cartesiana de una ecuación en dos variables x e y de la forma F(x, y) =0. Sin embargo, la ecuación de un lugar geométrico del espacio es de la forma F(x, y, z) = 0.
Recíprocamente, el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano que satisfacen la ecuación F(x, y) =0 representan una curva en el plano. Y el conjunto de todos los puntos (x, y,z) del
espacio que satisfacen la ecuación
Cabe aclarar que sólo estudiaremos lugares geométricos cuyas ecuaciones sean polinómicas. Teniendo en cuenta que: Una ecuación polinómica o algebraica racional entera es una ecuación en la que las variables están afectadas sólo por las operaciones enteras (suma, resta producto, potencia).
F(x, y, z) =0 representan una superficie.
2. 4.-.LA RECTA en
Hacemos un breve repaso de LA RECTA en 2 La ecuación polinómica de primer grado en x e y es de la forma:
A x +B y +C = 0 (1) y representa una recta en el plano. Existen distintas formas de expresar la ecuación de una recta en el plano. Si se conoce:
 La pendiente y ordenada al origen:
 La pendiente m y un punto
Ecuación Explicita
P 1 (x 1 , y 1 ) :
y – y 1 = m ( x – x 1 )
 Dos puntos de la recta:
Otras ecuaciones son:
P 1 (x 1 ,
y 1 );
P 2 ( x 2 , y 2 ) :
Ecuación segmentaria:
Ecuación General o Implícita:
; a = Abscisa al origen; b =ordenada al origen
Ordenada al origen de la recta, se hace “x = 0” en la ecuación de la recta.
Abscisa al origen de la recta, se hace “y = 0” en la ecuación de la recta.
2. 5.- Distancia entre dos puntos
Dados dos puntos cualesquiera del plano, A (x 1 , y 1 ) y B (x 2 , y 2 ), su distancia
AB , está
Y es igual a la longitud del trazo AB .
Gráfico Nº 2: Segmento de recta AB
Ejemplo Nº 1: Calcula la distancia entre los puntos A ( 2 , – 3 )
y B ( 5 , 1 )
Se puede observar en el gráfico Nº 2 el segmento de recta AB
2. 6.- Coordenadas del punto medio
A ( x 1 ,
B ( x 2
y 2 ) , puntos cualesquiera del plano y M punto medio del
AB , entonces las coordenadas de M son:
M 
Ejemplo Nº2 :
A (8, 6)
B (– 4, 12), determina las coordenadas del punto medio del
M ( 2 , 9 )
M  
coordenadas son:
En el gráfico Nº 3, se observa el punto medio M encontrado.
Ejemplo Nº 3: Completar las siguientes afirmaciones:
Sea el punto P(a , b), entonces:
Gráfico Nº 3: Punto medio M del segmento AB
i) Si a>0 y b>0 el punto está en el …
ii) Si a<0 y b<0 el punto está en el …. cuadrante
iii) Si a=0 y b>0 el punto está
iv) Si a<0 y b=0 el punto está
4.- Las Secciones Cónicas
Una sección cónica es la curva de intersección de un plano con un cono de dos mantos (o dos
hojas). El nombre de cónicas con que se designa a circunferencias, elipses, hipérbolas y
parábolas es debido a estas intersecciones.
 La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
 Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
 La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta
velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
directríz
4. 1.- Superficie Cónica
Una superficie cónica está generada por una recta (llamada
generatriz) que se mueve apoyándose en una curva fija (llamada directriz) y que pasa por un punto fijo (llamado vértice) no contenido en el plano de esa curva
Si la directriz es una circunferencia, la superficie se llama superficie cónica circular.
Gráfico Nº 12: Superficie Cónica
4. 2.- Obtención de las Cónicas como Secciones Planas
Si el plano no pasa por el vértice del cono las curvas que se obtienen son cónicas verdaderas.
Si el plano corta a todas las generatrices se obtiene la elipse. En particular si el plano es además perpendicular al eje se obtiene la circunferencia. Si el plano es paralelo a dos generatrices se obtiene la hipérbola. Si el plano es paralelo a una generatriz se obtiene la parábola. Estas situaciones, se observan en los gráficos que se muestran a continuación.
Gráfico Nº 13: Circunferencia
Gráfico Nº 14: Elipse con eje focal horizontal y vertical
Gráfico Nº 15: Parábola con eje focalhorizontal y vertical
Gráfico Nº 16: Hipérbola con eje real horizontal y vertical.
Si el plano pasa por el vértice del cono, manteniéndose paralelo a su posición primitiva, se obtienen las llamadas cónicas degeneradas. En el caso de la elipse y la circunferencia degeneran en un punto. La hipérbola degenera en un par de rectas que se cortan. La parábola degenera en dos semirrectas paralelas o coincidentes. Estos casos se muestran en los gráficos siguientes.
Gráfico Nº 17: la elipse y las circunferencias degeneran en un punto
Gráfico Nº 18: la parábola degenera en dos semirrectas paralelas o coincidentes
Gráfico Nº 19: La hipérbola degenera en un par de rectas que se cortan
La Ecuación General de una cónica verdadera o degenerada es
una ecuación polinómica de segundo grado en x e y :
Ax 2 + B x y + Cy 2 + D x + E y + F = 0
- Si B=0, resulta:
Ax 2 + Cy 2 + D x + E y + F = 0 que es la ecuación
de 2º grado en dos variables, sus coeficientes determinan el tipo de
La curva cuadrática más simple es la circunferencia.
4. 2. 1.- Circunferencia
“Se denomina Circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro.” Llamamos radio de la circunferencia a la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
4. 2. 1. 1.- Ecuación analítica de la circunferencia:
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las
coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde
al teorema de Pitágoras:
Ecuación canónica de la
2 + y 2 = r 2
Puesto que la distancia entre el centro (h, k) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2
Ecuación Canónica de la circunferencia con centro en C(h , k)
Desarrollando los cuadrados obtenemos:
Si reemplazamos – 2h = D;
– 2k = E;
x 2 + y 2 – 2hx –2ky – r 2 = 0. F = h 2 + k 2 – r 2 tendremos que:
Ejemplo: Si tenemos la ecuación: x 2 + y 2 + 6x – 8y – 11 = 0. Entonces D = 6
h = – 3
Hallemos el radio, F = (– 3) 2 + 4 2 – r 2
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3) 2 + (y – 4) 2 = 36
E = – 8
– 8 = – 2k
C(– 3, 4).
– 11 = (– 3) 2 + 4 2 – r 2 ,
6 = – 2h
4. 2. 1. 4.- Ejercitación
1.- Escribe la ecuación canónica y general de la circunferencia dando sus elementos.
a) La ecuación de la circunferencia con C(0,0) y radio r tiene ecuación………………….
ecuación……
ecuación…………………………………………
d) Si (a,b) y (c,d) son los extremos del diámetro de una circunferencia, cuáles serán las coordenadas de su centro?¿Cuál será la medida de su radio? 2) Si la circunferencia es tangente al eje x se cumple que……………………………. 3) Si la circunferencia es tangente al eje y se cumple que ……………………………. 4) Si la circunferencia es tangente a ambos ejes se cumple que………………………. 5) Si una recta corta a la circunferencia en dos puntos se dice que son………………. 6)Si la recta no corta a la circunferencia se dice que son………………………………
7) El centro de un círculo circunscrito a un triángulo con vértices (0,4) (2,0) y (4,6) se
encuentra en las mediatrices de los lados. Utilice este hecho para encontrar el centro del
8) Escribe las ecuaciones de las circunferencias: pasa por la intersección de 3x+5y- 14=0 y
x-y-2=0 y es concéntrica con: x 2 + y 2 +6x +14y +18=0. 9) Replantee cada metro de un arco de circunferencia de 5 metros de radio. Grafique. 10) En la estructura que se indica calcule las longitudes de todas las barras. (Aclaración:
Dibuje en escala e indique ésta.)
4. 2. 1. 5.- Ejercicios Resueltos
1.- Dadas las circunferencias: a) x
i) Determinar centro y radio. Graficar.
ii) Averiguar si los siguientes puntos pertenecen a las mismas: P12,2; P2 0,4; P37,1
Resolución Ejercicio 1)
i) C2,0; r  2 ,
C0,1; r  3 ,
C3,1;r  4
ii) Si los puntos pertenecen a la circunferencia, deben verificar su ecuación.
Para C a :
P12,2 Ca ? ¿P37,1 P2 0,4 Ca Ca ? ?
Para C b :
P12,2 Cb ? ¿P37,1 P12,2 Ca Cb ? ?
Para C c :
x 3
P12,2 P2 0,4 Cc Cc ? ? P12,2 Ca ?
0 7
   2 2 2
  4 
20 4 
26  4
2 2
4 2
1 1
2 2
 9 
P3 P1   Ca Ca P2  Ca
P1  Cb
P2 P3   Cb Cb
P2 P3 P1    Cc Cc Cc
C c )
2.- Completar el siguiente cuadro:
circunferencia de centro C y
0,0
0,2
Resolución Ejercicio 2.-.
de centro C y radio r
 y  9
 y 
 y 
r=5/2
3.- Representar gráficamente la siguiente circunferencia. Determinar el centro y el radio.
10x 4x 
9y 2y
  3 22 
Resolución Ejercicio 3.-
Esta es la ecuación general de la circunferencia:
Para encontrar centro y radio hay que completar cuadrados:
9
x 2
y x
3 2
  16 4 
Luego, el centro es C 2,3 y el radio es 4 .
¿Te animas a resolver la ecuación b.? ¿Siempre estas ecuaciones representan circunferencias?¿Por qué?. ¡Investiga!
4. 2. 2.- Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Analíticamente: PF  PF  2a
Gráfica Nº 20: Elipse de focos F’ (-c , 0) y F ( c , 0)
4. 2. 2. 1.- Ecuación analítica de la elipse:
Para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c, 0) y F' (– c, 0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados queda finalmente:
Ecuación Canónica de la Elipse con centro en C (0,0) y eje focal el eje x
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (h, k) la ecuación debería de ser:
Ecuación Canónica de la Elipse con centro en
C (h ,k) y eje focal paralelo al eje x
Siguiendo el mismo razonamiento, busca las ecuaciones de las elipses con eje focal eje y
y paralelo al eje y  . Grafica.
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b 2 x 2 + a 2 y 2 – 2xhb 2 – 2yka 2 + h 2 b 2 + k 2 a 2 – a 2 b 2 = 0,
B = a 2 ;
Si hacemos A = b 2 ;
C = – 2hb 2 ;
D = – 2ka 2 ;
E = h 2 b 2 + k 2 a 2 – a 2 b 2
Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
tenemos la ecuación: 4x 2 + 9y 2 + 24x – 8y + 81 = 0, entonces: A = 4
4 = b 2
9 = a 2
Los radios de la elipse son: sobre el eje x , a = 3; sobre el eje y , b = 2. Hallemos C(h, k).
, El centro es C(h, k) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe
tener el valor de 81. E = h 2 b 2 + k 2 a 2 – a 2 b 2 = 81
Como C = 24
24 = – 2hb 2
h = – 3,
D = – 54
– 54 = – 2qa 2
La ecuación de la elipse queda:
(Realice la gráfica).
4. 2. 2. 3.- Ejercitación 1.- Califique con VERDADERO o FALSO cada una de las siguientes proposiciones justificando en cada caso su respuesta:
a) En la elipse los focos equidistan del Centro de la elipse
b) La distancia focal es menor que la longitud del semieje mayor.
c) Los focos se encuentran en el eje menor
d) La elipse es simétrica con respecto de sus ejes y del centro.
a) La excentricidad (e) está dada por
b) Para la elipse el valor de e < 1 por que
c) La relación entre “a”, “b” y “c” es:
3.- Escriba las propiedades focales de la elipse 4.- Relacione cada ecuación de elipse con la gráfica correspondiente
5.- Escriba la ecuación de la elipse que cumple con las siguientes condiciones:
a) Centrada en origen de coordenadas, semieje menor b = 8, foco F 1 (3; 0).
b) Centro C(1;-1), distancia focal 6, e = 2 . Grafique en ambos casos.
7.- Dada la ecuación de la elipse, determine sus elementos y grafique.
a) x 2 +4y 2 -4x-8y-92=0
b) 9x 2 +4y 2 -36=0
4. 2. 2. 4.- Ejercicios Resueltos
1.- Encontrar los elementos de las siguientes elipses y graficar:
Resolución del Ejercicio 1.-
Centro 0,0, el eje mayor está sobre el eje x . a  5;
b  3
A1 5,0; A2 5,0; B1 0,3; B2 0,3
 c 4
F1  4,0; F2 4,0
c  1
b  2 .
C0,0, el eje mayor está sobre el eje y . a  4 ,
A2 0,4; B1  2,0; B2 2,0 A1 0,4;
F1 0, 12; F2 0,
12
C5,2; a  6 ; b  3 . La distancia focal es
y  2 :
y A2 : Cuando
. Para determinar A1
5
x  5
 36
B1 y B2 :
x 5 6  x
 11
Cuando x 5 : 
y 2
A1 11,2; A2 1,2 . Para determinar
x  5 
y  2 3  y
B1  5,1; B2 2,0
F1 0, 12; F2  5 
27,2
Cx0 ,y0 
Resolución del Ejercicio 2.-
Cx0 , y0 
2,0
3.- La primera ley de Kepler afirma que: “Las órbitas de los planetas son elipses que tienen al sol en uno de sus focos”. Calcular la distancia del sol al centro de la elipse, sabiendo que la excentricidad de la órbita terrestre es 0,017 y que a 153.493.000 Km.
Resolución del Ejercicio 3.-
e  0,017
 0,017
La distancia del sol al centro de la elipse es la distancia focal c , de modo que: c  ae
c 153.493.0000,017
c  260.938 Km.
4. 2. 3.- Hipérbola:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
PF'- PF
Gráfico Nº 21: Hipérbola de focos F’(-c , 0) y F(c , 0)
4. 2. 3. 1.- Ecuación analítica de la hipérbola:
Nuevamente ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P(x, y) de la hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro y la intersección de la hipérbola con el eje
x. Entonces tendremos que:
Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c 2 – a 2 ). x 2 – a 2 y 2 – (c 2 – a 2 ) a 2 = 0 (los cálculos los dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse). Nuevamente a partir del dibujo y aplicando el Teorema de Pitágoras podemos obtener que c 2 = a 2 + b 2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Dividiendo cada término por a 2 b 2 obtenemos:
Ecuación Canónica de la hipérbola con C(0,0) y eje focal el eje x
Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (h, k) la ecuación debería de ser:
Ecuación Canónica de la hipérbola con C(h,k), y eje focal paralelo al eje x
b 2 x 2 – a 2 y 2 – 2xhb 2 + 2yka 2 + h 2 b 2 – k 2 a 2 – a 2 b 2 = 0
Si hacemos: A = b 2 ;
La ecuación: Ax 2 – By 2 + Cx + Dy + E = 0,
B = – a 2 ; C = – 2hb 2 ;
D = 2ka 2 ;
E = h 2 b 2 – k 2 a 2 – a 2 b 2
Siguiendo el mismo razonamiento, busca las ecuaciones de las hipérbolas con eje focal eje y  y paralelo al eje y  . Grafica.
4. 2. 3. 2.- Ecuaciones de las Asíntotas de la Hipérbola
Son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" C(0,0) ó C(h , k). Las ecuaciones de las asíntotas para c (0,0)
Como ejercicio, encuentra las ecuaciones de las asíntotas para c (h, k) tanto para el eje real paralelo al eje x como al eje y.
4. 2. 3. 3.- Ejercitación
1.- Considere un cono circular recto de dos hojas. ¿Cómo debe “pasar” un plano cortante para que la sección definida por la intersección del cono con el plano sea una hipérbola?. Grafique.
satisfacen 3.- A partir de la definición como lugar geométrico, determine la ecuación de una hipérbola de centro C (0,0) y eje real x. 4.- Complete y seleccione el signo (+ ó - ) de cada término para que la ecuación dada a continuación defina una hipérbola de centro C(h,k) y eje real paralelo al eje y:
2.- Una hipérbola es el conjunto
(x  )
5.- La excentricidad de una hipérbola es 5/3 y la de otra es 3/2. ¿Cuál de las dos es más cerrada?
6.- Dadas las hipérbolas cuyas ecuaciones se indican, obtenga centro ; longitud del eje real, coordenadas de los vértices, excentricidad y grafique.
b) 25y
7.- En las ecuaciones de los apartados b) y c) del ejercicio anterior obtenga las ecuaciones de las asíntotas. 8.- Obtenga la ecuación de una hipérbola cuyos focos sean los vértices de la elipse
y cuyos vértices son los focos de la elipse dada.
9.- Un cable colgante sujeto en los extremos por columnas de 27 metros de altura separadas 40 metros tiene la forma de arco hiperbólico que en su parte mas baja dista 7 metros del piso. Calcule cada 4 metros, la distancia del cable al piso.
4. 2. 3. 4.- Ejercicios Resueltos
1.- Encontrar los elementos de las siguientes hipérbolas:
Observamos de la ecuación que el centro es 0,0; que a  4 , b  3 y eje real: x .
a  3; A1  4,0; A2 4,0; B1 0,3;
c 5
B2 0,3,
F1 5,0; F2 5,0,
C0,0; b  4 ; eje real: y
A1 0,3; A2 0,3; B1  4,0;
B2 4,0 ,
F1 0,5; F2 0,5,
Observa que: Las hipérbolas de los apartados a). y b) tienen las mismas asíntotas, por eso
se llaman hipérbolas conjugadas.
C0,0; a  2 ,
b  5 ; eje real || al eje
Para encontrar A1 y A2 se hace y 2 :
x 2 1  x
A1 1,2; A2 3,2
x 1 4 
Para encontrar B1 y B2 , se considera x  1, sin olvidar que
estos vértices son imaginarios, es decir la hipérbola no corta al eje y . No consideramos el signo negativo que precede a:
, y
y  2  25  y 5  2
B1 1,7; B2 1,3,
 c 
 y
F1 1
29,2; F2 1
29,2,
2.- Determinar la ecuación de la hipérbola sabiendo que a  8 , b  3 y que:
a) El centro es el origen y los focos están sobre el eje x .
b) Centro 1,4 y eje real || al eje y .
c) Determinar las asíntotas de la hipérbola del inciso a.
d) La distancia focal.
a) C0,0, a  8 ,
ecuación es
b  3 . Como los focos están sobre el eje x , el eje real es x , luego la
b) C1,4, eje real || al eje y , la ecuación es 
c) y 
; y 
4. 2. 4.- Parábola “Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz “.
PF  PQ
El vértice de la parábola es el punto medio entre la directriz y el foco. El vértice y el foco determinan una línea perpendicular a la directriz, a ésta línea se le conoce como el eje de la parábola.
Para una parábola que tiene el vértice en el origen la ecuación es y 2 = 2px, donde p es la distancia entre la directriz y el foco.
4. 2. 4. 1.- Ecuación analítica de la parábola:
Para deducir la ecuación tomamos una parábola de V(0,0) y eje de simetría el eje X.
Gráfico Nº 22: Parábola de V(0,0) y eje
de simetría el eje x
Supongamos que el foco esté situado en el punto F (
p , 0) y la
directriz D es la recta x = – 2 p , por lo tanto el vértice está en su
punto medio (0,0), si tomamos un punto genérico P (x , y) de la parábola debe de cumplirse que: Dist(P,D) = dist(P,F) entonces:
PF  PD
(x 
p  2  
 x
2  px
Desarrollando los binomios
2 Cancelando y reagrupando, p x +p x =
y 2 entonces,
Ecuación Canónica de la Parábola con V (0 , 0)
y eje de simetría el eje x
Observaciónes: 1) Si la parábola se abre hacia la izquierda a ecuación es: y 2 = - 2px (ver Gráfico Nº 24. 2) Si el foco está a la derecha de la directriz, la parábola tiene sus ramas hacia la derecha. Ver Gráfico Nº 23 2) Si el foco está a la izquierda de la directriz, la parábola tiene sus ramas hacia la izquierda. (Ver Grafico Nº 24.)
Gráfico Nº 23: Parábola con foco a la derecha de la directriz
Gráfico Nº 24: Parábola con foco a la izquierda de la directriz
Si la parábola no tiene su vértice en V (0,0) si no en (h, k) entonces la ecuaciones serán:
Ecuación canónica de la parábola con V(h , k) y
eje focal paralelo al eje x
(y– k) 2 =  2 p (x -h)
Desarrollando la ecuación tendremos: y 2 – 2 y k – 2 p x+ k 2 + 2 p h= 0
Si hacemos E = – 2 k;
o de simetría paralelo al eje x.
D = – 2 p;
F = k 2 + 2 p h
y 2 + Dx + Ey + F = 0, Ecuación general de la Parábola con V(h , k) y eje focal
Si el eje de simetría es el eje y , el foco es F (0, 2 p ) y la directriz es
donde p es un
número real y es distinto de cero, entonces la ecuación de la parábola es:
x 2 = 2py
y eje de simetría el eje y
x 2 = - 2py
la parábola se abre hacia abajo. (ver gráfico nº 25)
es la distancia entre el vértice y el foco y entre el vértice y la directriz.
Observación: Se presentan los siguientes casos:
Gráfico Nº 24: Parábola con C(0 , 0) eje focal el eje y , p > 0
Gráfico Nº 25: Parábola con C(0 , 0) eje focal el eje y , p < 0
Si la parábola tiene su vértice (h, k) entonces la ecuación sería:
(x– h) 2 =  2 p (y -k)
Parábola con eje de simetría
paralelo al eje y
Observación: 1) Si (x– h) 2 = 2 p (y -k) la parábola se abre hacia arriba. 2) Si (x– h) 2 = - 2 p (y -k) la parábola se abre hacia abajo. Desarrollando la ecuación tendremos: x 2 – 2 x h – 2 p y+ h 2 + 2 p k = 0
Si hacemos D = – 2 h;
E = – 2 p;
F = h 2 + 2 p k
x 2 + Dx + Ey + F = 0
4. 2. 4. 2.- Ejercicios
1.- Complete as siguientes proposiciones:
a) Una parábola es el conjunto P del plano que satisfacen…………………………….
b) A partir de la definición de lugar geométrico, se puede determinar la ecuación de una
parábola de C(0,0) y eje de simetría el eje X, considerando……………………………
c) La ecuación de una parábola en función de la luz y la flecha es:……… ………………
d) La ecuación de una parábola con eje de simetría el eje Y es……………………………
e) El lado recto de la parábola es:……………………………
f) Enuncie la propiedad focal de la parábola
g) La excentricidad de la parábola es ………………….
h) El parámetro p en la parábola, representa…………………………
i) En la ecuación general de la cónica, distingue cuando se trata de una parábola
porque………………………………………………………………
2.- Determine los elementos de las siguientes parábolas y grafique:
a) x 2 + 6x+ 5y -1=0,
b) y 2 – 3x -2y +4=0
3) Determine la ecuación de la parábola, los elementos restantes y su gráfica si:
a) V(2,3) F( 2,5)
b) V(4,2) y directriz de ecuación x = 2
OY, y pasa por el punto P(2,0)
c) V(3,-2), directriz // al eje
Determine las ecuaciones de las rectas tg y normal a la parábola y 2 = 16x
en P (4,8)
En la estructura colgante que se indica el cable parabólico está suspendido de dos torres de
12 m de altura y su distancia es de 40
m. Calcule las longitudes de los cables verticales que se indican.
6.- En una bóveda de hormigón de arco parabólico de 20 m de luz y 6 m de flecha, calcule las
alturas de las columnas cada 2 metros.
7.- Un arco en forma parabólica y eje vertical tiene 10 m de flecha y 30 m de luz. Halle la
altura de la columna para soporte a 3 m de un extremo del arco.
4. 2. 4. 3.- Ejercicios Resueltos 1.- Encontrar los elementos de las siguientes parábolas y graficar:
c) y
4x
d) x
6y
p=2>0
2p  4
parábola se abre a la derecha del eje y .
El vértice V0,0. El foco está sobre el eje x y tiene coordenadas
( p  0 ), la
p  2 . El parámetro
p  2
  2 ,0   1,0
. La directriz tiene ecuación
2  4
El eje de la parábola es el eje x . Si x 1; y
Observación: Para saber cuánto se abre la rama de la parábola, se reemplaza la coordenada x o y del foco y se determina la ordenada o abscisa del mismo.
V0,0. El eje de la parábola es el eje y .
2p 10
p  5 ,
F  0,
La directriz tiene ecuación

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Resolución 

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