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Timestamp: 2020-08-04 16:29:31+00:00

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Las herramientas TIC y el futuro de la educación. Parte 4b: Uso de cerebros humanos e informáticos como herramientas en la resolución de problemas de matemáticas – AGATE
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Publicación #251, 15 de Febrero del 2019
Parte 4b: Uso de cerebros humanos e informáticos como herramientas
en la resolución de problemas de matemáticas
Este es el segundo de los dos boletines informativos de IAE que exploran una versión de la estrategia de seis pasos de George Pólya para intentar resolver una amplia gama de problemas matemáticos (Pólya, 1957). El boletín anterior discutió los primeros dos pasos en el diagrama que se muestra en la Figura 1 a continuación, y proporcionó información de fondo sobre ¿Qué es la matemática? y ¿Qué es un problema de matemáticas? En resumen, la resolución de problemas de matemáticas y matemáticas son partes rutinarias de nuestra vida cotidiana y un componente integral de la educación PreK-12.
Algunas de las ideas más importantes del boletín anterior se recogen en la cita anterior. La referencia de Descartes a “cada problema que resolví” puede interpretarse como todas sus experiencias de aprendizaje anteriores. Y, por supuesto, todos los matemáticos se dan cuenta de que aprenden de sus fracasos cuando intentan resolver un problema en particular. Cuando estamos trabajando para resolver un problema, nos estamos basando en nuestro trabajo anterior exitoso y no exitoso, y el de otros que vinieron antes que nosotros. La lectura y la escritura fueron una ayuda muy importante para lograr dicha colaboración a lo largo de los siglos. Ahora tenemos computadoras. Son otro gran salto hacia adelante en términos de construir sobre el propio trabajo anterior y el de aquellos que vinieron antes que nosotros.
Este boletín actual discute los pasos 3 a 6 en el diagrama que se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Proceso de seis pasos para resolver problemas matemáticos
Información de fondo para el paso 3
Sospecho que la mayoría de las personas no se dan cuenta de cuán profundamente las matemáticas y las herramientas para resolver problemas de matemáticas están integradas en su vida cotidiana. Por ejemplo, supongamos que te pregunto qué hora es. Echa un vistazo a su reloj u otro dispositivo de cronometraje y lee la respuesta analógica o digital en un formato de 12 horas o de 24 horas. Está utilizando una herramienta para resolver un problema relacionado con las matemáticas. Mi cerebro recibe la respuesta numérica que me dice y la traduce en un significado personal para mí.
Decir el tiempo implica el uso de las matemáticas, pero no es un problema de matemáticas puras. Se refiere a la medida del tiempo. La cuantificación es una parte rutinaria de nuestra vida cotidiana. El desarrollo de relojes de pared precisos y relojes de mano fue un gran logro, y ciertamente cambió nuestras vidas.
Piense en algunos tipos más de máquinas u otras ayudas para la cuantificación. Me subo a la balanza y leo mi peso. Miro un calendario y leo la fecha. Miro los artículos en una tienda y leo los precios. En todos estos ejemplos, mi educación informal y formal me ha ayudado a agregar un significado personal al problema que se está resolviendo.
Sin embargo, a veces la cuantificación no es tan simple. Supongamos que estoy pensando en comprar un producto “sin pago inicial, y pagos mensuales fáciles”. Hmm. ¿Cuánto me cuesta y qué significa este método de pago para mí?
Aquí hay un ejemplo más complejo. Supongamos que estoy pensando en comprar una casa o un condominio. Necesito pensar en los costos de cierre, el pago inicial, las tasas de interés, los impuestos, los servicios públicos, los seguros, el costo de mantenimiento, los pagos mensuales, etc. Las matemáticas involucradas en el tratamiento de este problema son relativamente complejas, y van más allá de la educación matemática de la mayoría de los graduados de secundaria.
Dejando de lado la diversión, piense en los cazadores-recolectores antes de la invención de la agricultura. El dinero, la compra a tiempo, el pago de intereses, los impuestos y otros aspectos de la propiedad de “vivienda” aún no se habían inventado. Me resulta divertido pensar en qué tan compleja se ha convertido la vida, y en los roles esenciales de la educación informal y formal para ayudarnos a aprender a enfrentar los problemas de hoy y los que enfrentaremos en nuestro futuro.
Continuando con el ejemplo de la compra de una casa, puedo hacer uso de la Web. Puedo encontrar un sitio interactivo que reúna la información necesaria de mí paso a paso y me proporciona respuestas para diferentes plazos de préstamos, como 15 años, 30 años, o lo que sea que escoja. Todavía me quedan cuestiones como si puedo comprar una casa y si sería una buena decisión comprar una casa.
En resumen, estos ejemplos ayudan a ilustrar varios aspectos vitales de la educación matemática. Primero, hay comprensión: dar sentido a una situación problemática planteada por el hombre en la que las matemáticas pueden ser una ayuda útil para resolver la situación problemática. A continuación, se plantea un problema a resolver. Tercero, se está creando un problema de matemáticas puras cuya solución creemos que nos será útil para resolver el problema. Cuarto, está el problema de si podemos resolver el problema de matemáticas. En quinto lugar, está el problema de si haber resuelto el problema matemático resulta útil para resolver la situación del problema original.
Para una amplia gama de problemas matemáticos que las personas encuentran en su vida cotidiana, ahora tenemos herramientas que pueden ayudar enormemente a resolver o realmente pueden resolver el problema matemático. Esto nos lleva de nuevo al paso 3 en el diagrama de seis pasos.
Paso 3: Resuelve el problema de matemáticas puras
Durante miles de años, los humanos han estado acumulando varios tipos de problemas matemáticos que se pueden resolver y que tienen métodos conocidos de solución. Puede llevarle a una persona años de estudio aprender a resolver un tipo particular de problema matemático.
Solo piense en el tiempo que le toma a un estudiante típico desarrollar velocidad y precisión al hacer aritmética en números enteros, fracciones y números decimales. Los maestros de álgebra de primer año a nivel de 8º o 9º grado encuentran que muchos de sus estudiantes aún no han dominado la aritmética en fracciones.
Los estudiantes que están interesados ​​en estudiar matemáticas a un nivel más profundo bien pueden terminar un año de cursos de cálculo mientras aún están en la escuela secundaria. Pero, todas esas matemáticas son una parte muy pequeña de la totalidad de las matemáticas conocidas que se cubren a fondo en la literatura matemática. Es decir, incluso un doctorado en matemáticas no está ni cerca de preparar a una persona para resolver la gama completa de problemas matemáticos que ocurren en las diversas disciplinas de estudio.
Conoces algunas de las capacidades de las calculadoras de mano. Incluso una calculadora económica puede sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros y números decimales. Pero, una calculadora tan barata también puede tener teclas para M +, M y CM (Borrar memoria). Para agregar 2/7 a 5/13, primero hace 2/7 = y almacena el resultado en la memoria mediante el uso de la tecla M +. Luego, se calcula 5/13 = y se agrega el resultado al número en la memoria mediante el uso de las teclas + y MR. Si tiene una calculadora de este tipo, ¿ha aprendido a usar estas tres teclas? Muchos propietarios de estas calculadoras no lo aprenden.
Para otro ejemplo de la complejidad de una calculadora simple, considere el cálculo (1/3) x 3. El resultado es 0,9999999 en mi calculadora de ocho dígitos. Sin embargo, esperamos que la respuesta sea 1. Hmm. ¿En qué nivel de grado aprenden los estudiantes a lidiar con esta dificultad? Mi punto es que incluso una calculadora simple es una herramienta bastante compleja.
Y, ¿qué pasa con las calculadoras científicas y gráficas? Ahora se permite que las calculadoras se usen en una variedad de exámenes estatales y nacionales. Por ejemplo, citando de SAT Conjunto de evaluaciones: Política de la calculadora (SAT, 2019, enlace):
Si está tomando una Prueba de Materia en Matemáticas, traiga una calculadora aprobada el día de la prueba. Los centros de prueba no proporcionarán una.
Las únicas pruebas de cierta materia para las que se permiten las calculadoras son el Nivel de Matemáticas 1 y el Nivel de Matemáticas 2. Usted debe guardarlos cuando no esté tomando un examen de matemáticas. Una calculadora científica o gráfica es necesaria para estas pruebas. Recomendamos usar una calculadora gráfica en lugar de una calculadora científica.
Ahora es común que el uso de tales calculadoras sea una parte rutinaria del plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria en los Estados Unidos.
Ahora contamos con sistemas informáticos que pueden resolver la gama completa de tipos de problemas de matemáticas puras que los estudiantes generalmente estudian en los grados K-12 y en los primeros años de un currículo de matemáticas típico de la universidad. Estos se denominan sistemas de álgebra computacional o CAS (Wikipedia, 2019, enlace):
Un sistema de álgebra computacional es cualquier software matemático con la capacidad de manipular expresiones matemáticas de manera similar a los cálculos manuales tradicionales de matemáticos y científicos. El desarrollo de los sistemas de álgebra computacional en la segunda mitad del siglo XX es parte de la disciplina del “álgebra computacional” o “computación simbólica”, que ha estimulado el trabajo de algoritmos sobre objetos matemáticos, como los polinomios.
Observe la sección en negrita. Para mí, esto se parece mucho a la primera mecanización de fábricas que luego es seguida por su automatización. Antes de que tuviéramos la producción en masa en fábricas, teníamos métodos manuales para producir los productos. Ahora, hemos automatizado tales fábricas mediante el uso de computadoras.
Algunos aspectos de un CAS están incorporados en calculadoras de mayor nivel. Algunos CAS son gratuitos y otros se pueden comprar. El CAS Mathematica desarrollado por Stephen Wolfram viene en un sistema disponible comercialmente (Mathematica, 2019, enlace) y una versión gratuita menos extensa (Wolfram Alpha, 2019, enlace). Citando el blog de Stephen Wolfram (Wolfram, 21/6/2018, enlace):
El 23 de junio celebramos el aniversario 30 del lanzamiento de Mathematica. La mayoría del software de hace 30 años ya se ha ido. Pero no Mathematica. De hecho, se siente de muchas maneras, incluso después de 30 años, que realmente estamos recién empezando. Nuestra misión siempre ha sido muy importante: hacer que el mundo sea lo más computable posible y agregar una capa de inteligencia computacional a todo.
Nuestra primera gran área de aplicación fue matemáticas (de ahí el nombre “Mathematica”). Y hemos seguido empujando las fronteras de lo que es posible con las matemáticas. Pero durante los últimos 30 años, hemos podido construir sobre el marco que definimos en Mathematica 1.0 para crear todo el edificio de capacidades computacionales que ahora llamamos Wolfram Language, y eso corresponde a Mathematica como lo es hoy.
En breve resumen, CAS y otras ayudas para resolver una gran variedad de problemas matemáticos continúan mejorando a través de una combinación de programas mejores (más inteligentes) y computadoras más rápidas. Me gusta especialmente el título del blog de Stephen Wolfram: “Hemos recorrido un largo camino en 30 años (¡pero aún no has visto nada!)”. Puse en negrita la segunda parte del título que sugiere que tales capacidades informáticas van a mejorar y mejorar. Me parece obvio que una educación matemática moderna incluiría una introducción sustancial de las ayudas informáticas disponibles actualmente para resolver problemas matemáticos. Ha habido algún progreso. ¡Pero mi predicción es que todavía no has visto nada!
Pasos 4, 5 y 6: Retrocede a través de los pasos 2 y 1
Recuerde, comenzamos con una situación problemática mal definida que parecía ser de naturaleza matemática. Al final del Paso 3, hemos producido una respuesta matemática a un problema de matemáticas puras. Este resultado matemático puede o no ser útil para nosotros para resolver la situación del problema original mal definida.
Quizás la primera pregunta es si no resolvimos correctamente el problema de matemáticas. Si utilizamos cálculos mentales o de papel y lápiz, existe una posibilidad razonable de que hayamos cometido un error. Si utilizamos una calculadora, es posible que hayamos ingresado un número de manera incorrecta, que se haya presionado accidentalmente una tecla de operación incorrecta o que se hayan leído los resultados de la calculadora de manera incorrecta.
Si utilizáramos una computadora, hay todo tipo de cosas que podríamos haber hecho mal. Tal vez haya escuchado la expresión “Basura adentro, basura afuera”. Usando una computadora, es posible que hayamos procesado una gran cantidad de datos. ¿De dónde vienen los datos? ¿Qué tan preciso es? ¿Cómo se relacionan los datos con el problema original en cuestión?
¿Qué programa (s) de computadora usamos para llevar a cabo los cálculos matemáticos? Si estamos haciendo un análisis estadístico, por ejemplo, tal vez usamos un programa estadístico incorrecto. Es posible que nuestros datos no cumplan con los requisitos matemáticos para que el programa produzca resultados significativos. Si utilizamos un programa de computadora de manera interactiva, ¿cómo sabemos que no cometimos un error de teclado o una decisión equivocada en la interacción? ¿Cómo sabemos que los programas que utilizamos no contenían errores?
El punto es que solo porque una computadora se use para resolver un problema de matemáticas puras no significa que el resultado sea correcto.
Los pasos 4-6 son un proceso de conversión de los resultados matemáticos producidos en el paso 3 a un lenguaje que otros pueden entender y relacionan los resultados con la situación del problema original. ¿Qué significan los resultados matemáticos en relación con el problema original que se expresó en lenguaje natural? Hablamos de sentido numérico, sentido matemático y sentido común. Es fácil preguntar si los resultados de las matemáticas tienen sentido común. Pero, cada persona tiene su propio sentido común. Puede intentar explicar los resultados a otras personas y preguntarles si los resultados parecen razonables. Si los resultados no tienen sentido, es muy probable que se hayan producido errores al realizar los pasos 1-3.
Finalmente, piense cuidadosamente sobre el significado de los resultados que ha obtenido. Al principio, en el paso 1, es posible que no haya planteado el problema exacto que realmente quería resolver. Como se señaló en el boletín anterior, la presentación de problemas suele ser la parte más difícil de la resolución de problemas.
Además, piense detenidamente si usted u otras personas realmente quieren usar los resultados que ha producido. Tal vez los procesos propuestos que deben ocurrir para implementar los resultados de su análisis matemático resulten terriblemente erróneos en términos de tales objetivos en relación con los valores humanos, los derechos humanos y el mejoramiento del mundo.
Este y el boletín anterior tratan sobre el uso de las matemáticas para ayudar a resolver problemas y realizar tareas. Los problemas y tareas son planteados por las personas. Estas personas deben tener y utilizar la información humana sobre qué problema se plantea y cuáles serán los efectos secundarios si se implementa una solución propuesta. Las matemáticas y las computadoras pueden ser muy útiles, tanto para desarrollar posibles soluciones como para analizar los posibles efectos del uso o la implementación de las soluciones propuestas.
Nuestro análisis de la resolución de problemas mediante el uso del procedimiento de Pólya combinado con ayudas electrónicas para el cálculo sugiere la necesidad de un cambio importante en la educación matemática. A veces, me parece útil la siguiente analogía: la ortografía es la escritura como el cálculo es la matemática (hacer y usar las matemáticas).
Por escrito, ciertamente es deseable que uno evite cometer errores de ortografía. Pero, eso es una pequeña parte de la comunicación escrita efectiva. De manera similar, ser rápido y preciso para hacer cálculos con lápiz y papel no hace que uno sea un usuario de matemáticas productivo.
Los educadores de matemáticas deben prestar mucha atención a la cantidad de tiempo que se dedica a evaluar y al currículo de educación matemática en el paso 3. Este es el paso en el que las computadoras son bastante buenas y se están volviendo mejores y mejores. A mí me parece lógico que nuestro sistema de educación matemática deba disminuir sustancialmente el tiempo y el esfuerzo que ahora dedicamos a ayudar a los estudiantes a desarrollar la velocidad y la precisión en los cálculos manuales, y dedicar mucho más tiempo a ayudar a los estudiantes a entender y hacer rutinariamente los otros cinco pasos. Estos pasos requieren pensamiento crítico, conocimiento de las capacidades y limitaciones de las matemáticas, y conocimiento sobre los usos de las matemáticas en todo el currículo y en sus vidas.
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