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Timestamp: 2015-01-30 02:33:12+00:00

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Idea Publishing House - Albert Einstein, �ber die Spezielle und die Allgemeine Relaltivit�tstheorie
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�ber die spezielle und die allgemeine Relativit�tstheorie
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(�ber die allgemeine Relativit�tstheorie) Betrachtungen �ber die Welt als Ganzes § 30 Kosmologische Schwierigkeiten der NEWTONschen Theorie Au�er der im § 21 dargelegten Schwierigkeit haftet der klassischen Himmelsmechanik noch eine zweite prinzipielle Schwierigkeit an, welche meines Wissens zuerst von dem Astronomen SEELIGER ausf�hrlich diskutiert wurde. Wenn man sich die Frage �berlegt, wie die Welt als Ganzes etwa zu denken sei, so ist die n�chstliegende Antwort wohl diese. Die Welt ist r�umlich (und zeitlich) unendlich. Allenthalben gibt es Sterne, so da� die Dichte der Materie zwar im einzelnen sehr verschieden, aber im gro�en Durchschnitt �berall dieselbe ist. Anders ausgedr�ckt: Wie weit man auch durch den Weltraum reisen mag, �berall findet sich ein loses Gewimmel von Fixsternen von etwa der gleichen Art und gleichen Dichte.
Diese Auffassung ist mit der NEWTONschen Theorie unvereinbar. Letztere verlangt vielmehr, da� die Welt eine Art Mitte habe, in welcher die Dichte der Sterne eine maximale ist, und da� die Sterndichte von dieser Mitte nach au�en abnehme, um weit au�en einer unendlichen Leere Platz zu machen. Die Sternenwelt m��te eine endliche Insel im unendlichen Ozean des Raumes bilden.22 22Begr�ndung. Nach der NEWTONschen Theorie enden in einer Masse m eine Anzahl ,,Kraftlinien, welche aus dem Unendlichen kommen, und deren Zahl der Masse m proportional ist. Ist die Dichte p0 der Masse in der Welt im Mittel konstant, so umschlie�t eine Kugel vom Volumen V im Durchschnitt die Masse p0V. Die Zahl der durch die Oberfl�che F ins Innere der Kugel eintretenden Kraftlinien ist also proportional p0V. Durch die Oberfl�cheneinheit der Kugel treten also Kraftlinien ein, deren Zahl p0V/F oder p0R proportional ist. Die Feldst�rke an der Oberfl�che w�rde also mit wachsendem Kugelradius R ins Unendliche wachsen, was unm�glich ist. Diese Vorstellung ist an sich wenig befriedigend. Sie ist es um so weniger, als man so zu der Konsequenz kommt, da� unausgesetzt das von den Sternen ausgesandte Licht sowie einzelne Sterne des Sternsystems nach dem Unendlichen fortwandern, ohne jemals wiederzukehren und ohne je wieder mit anderen Naturobjekten in Wechselwirkung zu kommen. Die Welt der im Endlichen zusammengeballten Materie m��te so allm�hlich systematisch verarmen. Um diesen Konsequenzen zu entgehen, hat SEELIGER das NEWTONsche Gesetz dahin modifiziert, da� er die Anziehung zweier Massen bei gro�en Distanzen st�rker als nach dem Gesetz 1/r2 abnehmen l��t. Dadurch wird erzielt, da� die mittlere Dichte der Materie allenthalben bis ins Unendliche konstant sein kann, ohne da� unendlich gro�e Gravitationsfelder entstehen. Man kommt so von der unsympathischen Vorstellung los, da� die materielle Welt eine Art Mittelpunkt besitzen m�sse. Freilich erkauft man diese Befreiung aus den geschilderten prinzipiellen N�ten durch eine weder aus der Erfahrung noch theoretisch begr�ndbare Modifikation und Komplizierung des NEWTONschen Gesetzes. Beliebig viele denkbare Gesetze leisten das gleiche, ohne da� man einen Grund daf�r angeben k�nnte, da� eines von ihnen vor den anderen zu bevorzugen w�re; denn so wenig wie das NEWTONsche Gesetz ist eines jener Gesetze in allgemeineren theoretischen Prinzipien begr�ndet. § 31 Die M�glichkeit einer endlichen und doch nicht begrenzten Welt Die Spekulationen �ber den Bau der Welt bewegten sich aber auch noch nach einer ganz anderen Richtung. Die Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie f�hrte n�mlich zu der Erkenntnis, da� man an der Unendlichkeit unseres Raumes zweifeln kann, ohne mit den Denkgesetzen oder mit der Erfahrung in Kollision zu geraten (RIEMANN, HELMHOLTZ). Diese Dinge sind von HELMHOLTZ und POINCARÉ bereits mit un�bertrefflicher Durchsichtigkeit ausf�hrlich klargestellt worden, w�hrend ich sie hier nur kurz ber�hren kann. Wir denken uns zun�chst ein zweidimensionales Geschehen. Flache Gesch�pfe mit flachen Werkzeugen, insbesondere flachen starren Me�st�bchen seien in einer Ebene frei beweglich. Au�erhalb dieser Ebene existiere f�r sie nichts, sondern es sei das Geschehen in ihrer Ebene, welches sie an sich selbst und ihren flachen Dingen beobachten, ein kausal geschlossenes. Insbesondere sind die Konstruktionen der ebenen euklidischen Geometrie mit den St�bchen realisierbar, z. B. die in § 24 betrachtete Netzkonstruktion auf der Tischplatte. Die Welt dieser Wesen ist im Gegensatz zu der unsrigen r�umlich zweidimensional, aber wie unsere Welt unendlich ausgedehnt. Unendlich viele gleiche St�bchenquadrate haben auf ihr Platz, d.h. ihr Volumen (Fl�che) ist unendlich. Es hat einen Sinn, wenn diese Wesen sagen, ihre Welt sei ,,eben, n�mlich den Sinn, da� sich mit ihren St�bchen die Konstruktionen der euklidischen Geometrie der Ebene ausf�hren lassen, wobei das einzelne St�bchen unabh�ngig von seiner Lage stets dieselbe Strecke repr�sentiert. Wir denken uns nun abermals ein zweidimensionales Geschehen, aber nicht auf einer Ebene, sondern auf einer Kugelfl�che. Die flachen Gesch�pfe mit ihren Ma�st�ben und sonstigen Gegenst�nden liegen genau in dieser Fl�che und k�nnen dieselbe nicht verlassen; ihre ganze Wahrnehmungswelt erstrecke sich vielmehr ausschlie�lich auf die Kugeloberfl�che. K�nnen diese Gesch�pfe die Geometrie ihrer Welt als zweidimensional euklidische Geometrie und dabei ihre St�bchen als die Realisierung der ,,Strecke betrachten? Das k�nnen sie nicht. Denn bei dem Versuch, eine Gerade zu realisieren, werden sie eine Kurve erhalten, welche wir ,,Dreidimensionale als gr��ten Kreis bezeichnen, also eine in sich geschlossene Linie von bestimmter endlicher L�nge, die sich mit einem St�bchen ausmessen l��t. Ebenso hat diese Welt eine endliche Fl�che, die sich mit der eines St�bchenquadrates vergleichen l��t. Der gro�e Reiz, den die Versenkung in diese �berlegung bereitet, liegt in der Erkenntnis: Die Welt dieser Wesen ist endlich und hat doch keine Grenzen. Aber die Kugelgesch�pfe brauchen keine Weltreise zu machen, um zu bemerken, da� sie in keiner euklidischen Welt wohnen. Auf jedem St�ck ihrer Welt, das nicht allzu klein ist, k�nnen sie sich davon �berzeugen. Sie ziehen von einem Punkt nach allen Richtungen ,,gerade Strecken (dreidimensional beurteilt, Kreisb�gen) von gleicher L�nge. Die Verbindung der freien Enden dieser Strecken werden sie als ,,Kreis bezeichnen. Das Verh�ltnis des mit einem St�bchen gemessenen Kreisumfanges zu den mit demselben St�bchen gemessenen Durchmesser des Radius ist nach der euklidischen Geometrie in der Ebene gleich einer Konstanten p, welche unabh�ngig ist vom Durchmesser des Kreises. Unsere Gesch�pfe w�rden f�r dies Verh�ltnis auf ihrer Kugelfl�che den Wert finden, d. h. einen Wert, der kleiner ist als p, und zwar um so erheblicher, je gr��er der Radius des Kreises im Vergleich zum Radius R der ,,Kugelwert ist. Aus dieser Beziehung k�nnen die Kugelgesch�pfe den Radius R ihrer Welt bestimmen, auch wenn ihnen nur ein relativ geringer Teil ihrer Kugelwelt f�r ihre Messungen zur Verf�gung steht. Ist aber dieser Teil allzu klein, so k�nnen sie nicht mehr konstatieren, da� sie sich auf einer Kugelwelt und nicht auf einer euklidischen Ebene befinden; ein kleines St�ck einer Kugelfl�che unterscheidet sich wenig von einem gleich gro�en St�ck einer Ebene.
Wenn also die Kugelgesch�pfe auf einem Planeten wohnen, dessen Sonnensystem nur einen verschwindend kleinen Teil der Kugelwelt einnimmt, so haben sie keine M�glichkeit, dar�ber zu entscheiden, ob sie in einer endlichen Welt oder einer unendlichen Welt leben, weil das St�ck Welt, das ihrer Erfahrung zug�nglich ist, in beiden F�llen praktisch eben bzw. euklidisch ist. Die Anschauung zeigt unmittelbar, da� f�r unsere Kugelgesch�pfe der Kreisumfang mit dem Radius zun�chst bis zum ,,Weltumfang w�chst, um dann bei noch weiter wachsendem Radius allm�hlich wieder bis zu Null abzunehmen. Die Kreisfl�che w�chst dabei immer mehr, bis sie schlie�lich gleich wird der Gesamtfl�che der ganzen Kugelwelt. Vielleicht wird sich der Leser wundern, da� wir unsere Gesch�pfe gerade auf eine Kugel und nicht auf eine andere geschlossene Fl�che gesetzt haben. Aber dies hat seine Berechtigung, weil die Kugelfl�che gegen�ber allen anderen geschlossenen Fl�chen durch die Eigenschaft ausgezeichnet ist, da� all ihre Punkte gleichwertig sind. Das Verh�ltnis des Umfanges u eines Kreises zu seinem Radius r ist zwar von r abh�ngig, aber bei gegebenem r f�r alle Punkte der Kugelwelt das gleiche; die Kugelwelt ist eine ,,Fl�che konstanter Kr�mmung. Es gibt zu dieser zweidimensionalen Kugelwelt ein dreidimensionales Analogon, den dreidimensionalen sph�rischen Raum, welcher von RIEMANN entdeckt worden ist. Seine Punkte sind ebenfalls alle gleichwertig. Er besitzt ein endliches Volumen, welches durch seinen ,,Radius R bestimmt ist (2p2R3). Kann man sich einen sph�rischen Raum vorstellen? Sich einen Raum vorstellen, hei�t nichts anderes, als sich einen Inbegriff ,,r�umlicher Erfahrungen vorstellen, d. h. von Erfahrungen, die man beim Bewegen ,,starrer K�rper haben kann. In diesem Sinne ist ein sph�rischer Raum vorstellbar. Von einem Punkte aus ziehen wir Gerade (spannen wir Schn�re) nach allen Richtungen und tragen auf jeder derselben Strecke r mit dem Ma�stabe auf. Alle freien Endpunkte dieser Strecken liegen auf einer Kugelfl�che. Die Fl�che dieser (F) k�nnen wir mit einem Ma�stabquadrat besonders ausmessen. Ist die Welt euklidisch, so ist F = 4pr2; ist die Welt sph�risch, so ist F stets kleiner als 4pr2. F w�chst mit wachsendem r von Null bis zu einem durch den ,,Weltradius bestimmten Maximum, um bei weiter wachsendem Kugelradius r allm�hlich wieder bis zu Null abzunehmen. Die vom Ausgangspunkt ausgehenden radialen Geraden entfernen sich zun�chst immer weiter voneinander, n�hern sich sp�ter wieder, um schlie�lich im ,,Gegenpunkte des Ausgangspunktes wieder zusammenzulaufen; sie haben dann den ganzen sph�rischen Raum durchmessen. Man �berzeugt sich leicht, da� der dreidimensionale sph�rische Raum dem zweidimensionalen (Kugelfl�che) v�llig analog ist. Er ist endlich (d. h. von endlichem Volumen), ohne Grenzen zu haben.
Es sei bemerkt, da� es noch eine Abart des sph�rischen Raumes gibt, den ,,elliptischen Raum. Er kann als ein sph�rischer Raum aufgefa�t werden, in welchem die ,,Gegenpunkte identisch (nicht unterscheidbar) sind. Eine elliptische Welt kann also gewisserma�en als eine zentrisch symmetrische, sph�rische Welt angesehen werden. Aus dem Gesagten ergibt sich, da� geschlossene R�ume ohne Grenzen denkbar sind. Unter diesen zeichnen sich der sph�rische (bzw. der elliptische) Raum durch Einfachheit aus, indem alle seine Punkte gleichwertig sind. Nach dem Gesagten erhebt sich f�r die Astronomen und Physiker die h�chst interessante Frage, ob die Welt, in der wir leben, unendlich oder nach Art der sph�rischen Welt endlich ist. Unsere Erfahrung reicht zur Beantwortung dieser Frage nicht im entferntesten aus. Die allgemeine Relativit�tstheorie aber erlaubt, sie mit ziemlicher Sicherheit zu beantworten; dabei l�st sich auch die im § 30 dargelegte Schwierigkeit. § 32 Die Struktur des Raumes nach der allgemeinen Relativit�tstheorie Gem�� der allgemeinen Relativit�tstheorie sind die geometrischen Eigenschaften des Raumes nicht selbst�ndig, sondern durch die Materie bedingt. Man kann daher �ber die geometrische Struktur der Welt nur etwas schlie�en, wenn man den Zustand der Materie als bekannt der Betrachtung zugrunde legt. Wir wissen aus der Erfahrung, da� bei passend gew�hltem Koordinatensystem die Geschwindigkeiten der Sterne klein sind gegen�ber der Geschwindigkeit der Lichtausbreitung. Wir k�nnen deshalb die Beschaffenheit der Welt im gro�en in rohester Ann�herung erfahren, indem wir die Materie als ruhend behandeln. Wir wissen bereits aus fr�heren �berlegungen, da� das Verhalten der Ma�st�be und Uhren durch die Gravitationsfelder, d. h. durch die Verteilung der Materie beeinflu�t wird. Hieraus folgt schon, da� von einer exakten G�ltigkeit der euklidischen Geometrie in unserer Welt keine Rede sein kann. Aber es ist an sich denkbar, da� unsere Welt von einer euklidischen wenig abweicht, diese Auffassung liegt um so n�her, als die Rechnung ergibt, da� selbst Massen von der Gr��e unserer Sonne die Metrik des umgebenden Raumes nur ganz minimal beeinflussen. Man k�nnte sich vorstellen, da� sich unsere Welt in geometrischer Hinsicht analog verh�lt einer im einzelnen unregelm��ig gekr�mmten Fl�che, die aber nirgends bedeutend von einer Ebene abweicht, wie etwa die durch schwache Wellen gekr�uselte Oberfl�che eines Sees. Eine derartige Welt k�nnten wir passend eine quasi-euklidische nennen. Sie w�re r�umlich unendlich. Die Rechnung ergibt aber, da� in einer quasi-euklidischen Welt die mittlere Dichte der Materie Null sein m��te. Eine solche Welt k�nnte also nicht �berall mit Materie bev�lkert sein; sie b�te das unbefriedigende Bild, das wir im § 30 entworfen haben. Soll es aber in der Welt eine wenn auch noch so wenig von Null abweichende mittlere Dichte der Materie geben, so ist die Welt nicht quasi-euklidisch. Die Rechnung ergibt vielmehr, da� sie bei gleichm��ig verteilter Materie notwendig sph�risch (bzw. elliptisch) sein m��te. Da die Materie in Wahrheit im einzelnen ungleichm��ig verteilt ist, wird die wirkliche Welt vom sph�rischen Verhalten im einzelnen abweichen, sie wird quasi-sph�risch sein. Aber sie wird notwendig endlich sein m�ssen. Die Theorie liefert sogar einen einfachen Zusammenhang23 zwischen der r�umlichen Ausdehnung der Welt und der mittleren Dichte der Materie in derselben. 23F�r den ,,Radius R der Welt ergibt sich n�mlich die Gleichung
R2 = 2/kr.
Bei Verwendung des C-G-S-Systems ist hierbei 2/k = 1,08 ´ 1027; r ist die mittlere Dichte der Materie. Anhang 1 Einfache Ableitung der LORENTZ-Transformation [Erg�nzung zu § 11] Bei der in Abb. 2 angedeuteten relativen Orientierung der Koordinatensysteme fallen die X-Achsen beider Systeme dauernd zusammen. Wir k�nnen hier das Problem teilen, indem wir zun�chst nur Ereignisse betrachten, die auf der X-Achse lokalisiert sind. Ein solches Ereignis ist bez�glich des Koordinatensystems K durch die Abszisse x und die Zeit t, bezu�glich K´ durch die Abszisse x´ und die Zeit t' gegeben. Gesucht sind x´ und t´, wenn x und t gegeben sind.
Ein Lichtsignal, welches l�ngs der positiven X-Achse vorschreitet, pflanzt sich nach der Gleichung
x = ct oder x  ct = 0
fort. Da dasselbe Lichtsignal sich auch relativ zu K´ mit der Geschwindigkeit c fortpflanzen soll, so wird die Fortpflanzung relativ zu K´ durch die analoge Formel
x'  ct' = 0
beschrieben. Diejenigen Raum-Zeit-Punkte (Ereignisse), welche (1) erf�llen, m�ssen auch (2) erf�llen. Dies wird offenbar der Fall sein, wenn allgemein die Beziehung (x'  ct') = l (x  ct)
erf�llt ist, wobei l eine Konstante bedeutet; denn gem�� (3) bedingt das Verschwinden von x � ct das Verschwinden von x' � ct'. Eine ganz analoge Betrachtung, angewandt auf l�ngs der negativen X-Achse sich fortpflanzende Lichtstrahlen, liefert die Bedingung:
x' + ct' = m (x + ct).
Addiert bzw. subtrahiert man die Gleichungen (3) und (4), wobei man statt der Konstanten l und m bequemlichkeitshalber die Konstanten a = (l + m) / 2
b = (l  m) / 2
einf�hrt, so erh�lt man x' = ax  bct
ct' = act  bx.
Damit w�re unsere Aufgabe gel�st, wenn die Konstanten a und b bekannt w�ren; diese ergeben sich durch die folgenden �berlegungen. F�r den Anfangspunkt von K´ ist dauernd x´ = 0, also nach der ersten der Gleichungen (5): Nennen wir v die Geschwindigkeit, mit welcher der Anfangspunkt von K´ relativ zu K bewegt ist, so ist also (6) Den gleichen Wert v erh�lt man aus (5), wenn man die Geschwindigkeit eines anderen Punktes von K´ relativ zu K oder die (nach der negativen X-Achse gerichtete) Geschwindigkeit eines Punktes von K gegen�ber K´ berechnet. Man kann also v kurz als die Relativgeschwindigkeit beider Systeme bezeichnen. Ferner ist nach dem Relativit�tsprinzip klar, da� die von K aus beurteilte L�nge eines relativ zu K´ ruhenden Einheitsma�stabes genau dieselbe sein mu�, wie die von K´ aus beurteilte L�nge eines relativ zu K ruhenden Einheitsma�stabes. Um zu sehen, wie die Punkte der X´-Achse von K aus betrachtet aussehen, brauchen wir nur eine ,,Momentaufnahme von K´ von K aus aufzunehmen; dieses bedeutet, da� wir f�r t (Zeit von K) einen bestimmten Wert, z.B. t = 0 einzusetzen haben. F�r diesen erh�lt man aus der ersten der Gleichungen (5): x' = ax.
Zwei Punkte der X´-Achse, welche, in K´ gemessen, den Abstand x´ = 1 haben, haben also auf unserer Momentphotographie den Abstand: (7) Bildet man aber die Momentphotographie von K´ aus (t' = 0), so erhalt man aus (5) durch Eliminieren von t mit R�cksicht auf (6): Hieraus schlie�t man, da� zwei Punkte der X-Achse vom Abstand 1 (relativ zu K) auf unserer Momentphotographie den Abstand (7a) haben.
Da nach dem Gesagten die beiden Momentphotographien gleich sein m�ssen, mu� Dx in (7) gleich sein Dx´ in (7a), so da� man erh�lt: (7b) Die Gleichungen (6) und (7b) bestimmen die Konstanten a und b. Durch Einsetzen in (5) erh�lt man die erste und vierte der in § 11 angegebenen Gleichungen. (8) Damit ist die LORENTZ-Transformation f�r Ereignisse auf der X-Achse gewonnen. Sie gen�gt der Bedingung (8a) Die Erweiterung dieses Resultates auf Ereignisse, die au�erhalb der X-Achse stattfinden, ergibt sich, indem man die Gleichungen (8) beibeh�lt und die Beziehungen (9) hinzuf�gt. Da� man so dem Postulat von der Konstanz der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit f�r beliebig gerichtete Lichtstrahlen sowohl f�r das System K als auch f�r das System K´ gen�gt, erkennt man auf folgende Weise. Zur Zeit t = 0 werde vom Anfangspunkt von K ein Lichtsignal ausgesandt. Seine Ausbreitung geschieht nach der Gleichung: oder, wie man durch Quadrieren dieser Gleichung findet, nach der Gleichung (10) Das Gesetz von der Lichtausbreitung in Verbindung mit dem Relativit�tspostulat verlangt, da� die Ausbreitung des n�mlichen Signals � von K´ aus beurteilt � nach der entsprechenden Formel oder (10a) erfolge. Damit die Gleichung (10a) eine Folge der Gleichung (10) sei, mu� sein: (10b) Da f�r Punkte auf der X-Achse die Gleichung (8a) gelten mu�, mu� s = 1 sein. Da� die LORENTZ-Transformation der Gleichung (11) mit s = 1 wirklich gen�gt, erkennt man leicht; (11) ist n�mlich eine Folge von (8a) und (9), also auch von (8) und (9). Damit ist die LORENTZ-Transformation abgeleitet. Die durch (8) und (9) dargestellte LORENTZ-Transformation bedarf noch der Verallgemeinerung. Es ist offenbar unwesentlich, da� die Achsen von K´ denen von K r�umlich parallel gew�hlt werden. Es ist auch unwesentlich, da� die Translationsgeschwindigkeit von K´ gegen�ber K die Richtung der X-Achse hat. Man kann die LORENTZ-Transformation in diesem allgemeinen Sinne � wie eine einfache �berlegung ergibt � zusammensetzen aus zweierlei Transformationen, n�mlich aus LORENTZ-Transformationen im speziellen Sinne und aus rein r�umlichen Transformationen, welche der Ersetzung des rechtwinkligen Koordinatensystems durch ein neues mit anders gerichteten Achsen entsprechen.
Mathematisch l��t sich die verailgemeinerte LORENTZ-Transformation so charakterisieren: Sie dr�ckt x´, y´, z´, t´ durch derartige lineare homogene Funktionen von x, y, z, t aus, da� die Relation (11a) identisch erf�llt wird. Dies will sagen: Setzt man links statt x´ usw. ihre Ausdr�cke in x, y, z, t ein, so stimmt die linke Seite von (11a) mit der rechten �berein. 2 MINKOWSKIs vierdimensionale Welt (Erg�nzung zu § 17) Die verallgemeinerte LORENTZ-Transformation l��t sich noch einfacher charakterisieren, wenn man statt t als Zeitvariable die imagin�re Ö(�1) ct einf�hrt. Setzt man demgem�� und analog f�r das gestrichene System K´, so lautet die Bedingung, welche von der Transformation identisch erf�llt wird: (12) In diese Gleichung geht n�mlich (11a) bei der angegebenen Wahl der ,,Koordinaten �ber. Man sieht aus (12), da� die imagin�re Zeitkoordinate x4 in die Transformationsbedingung genau gleich eingeht wie die r�umlichen Koordinaten x1, x2, x3. Hierauf beruht es, da� in die Naturgesetze nach der Relativit�tstheorie die ,,Zeit x4 in derselben Form eingeht wie die r�umlichen Koordinaten x1, x2, x3. Das durch die ,,Koordinaten x1, x2, x3, x4 beschriebene vierdimensionale Kontinuum hat MINKOWSKI ,,Welt genannt, das Punktereignis ,,Weltpunkt. Die Physik wird aus einem Geschehen im dreidimensionalen Raum gewisserma�en ein Sein in der vierdimensionalen ,,Welt.
Diese vierdimensionale ,,Welt hat eine tiefgehende �hnlichkeit mit dem dreidimensionalen ,,Raum der (euklidischen) analytischen Geometrie. F�hrt man n�mlich in letztere ein neues kartesisches Koordinatensystem (x´1, x´2, x´3) ein mit demselben Anfangspunkte, so sind x´1, x´2, x´3 lineare homogene Funktionen von x1, x2, x3, welche die Gleichung identisch erf�llen. Die Analogie mit (12) ist eine vollst�ndige. Man kann die MINKOWSKIsche Welt formal als einen vierdimensionalen euklidischen Raum (mit imagin�rer Zeitkoordinate) ansehen; die LORENTZ-Transformation entspricht einer ,,Drehung des Koordinatensystems in der vierdimensionalen ,,Welt. 3 �ber die Best�tigung der allgemeinen Relativit�tstheorie durch die Erfahrung Den Proze� des Werdens einer Erfahrungswissenschaft denkt man sich bei schematisch erkenntnistheoretischer Betrachtungsweise als einen fortgesetzten Induktionsproze�. Die Theorien erscheinen als Zusammenfassungen einer gro�en Menge von Einzelerfahrungen in Erfahrungsgesetze, aus denen durch Vergleichung die allgemeinen Gesetze ermittelt werden. Die Entwicklung der Wissenschaft erscheint von diesem Standpunkt aus �hnlich einem Katalogisierungswerk, als ein Werk der blo�en Empirie.
Diese Auffassung ersch�pft aber den wirklichen Proze� keineswegs. Sie �bersieht n�mlich die wichtige Rolle, welche Intuition und deduktives Denken in der Entwicklung der exakten Wissenchaft spielen. Sobald n�mlich eine Wissenschaft �ber das primitivste Stadium hinausgekommen ist, entstehen die theoretischen Fortschritte nicht mehr durch eme blo� ordnende T�tigkeit. Der Forscher entwickelt vielmehr, angeregt durch Erfahrungstatsachen, ein Gedankensystem, das logisch auf eine meist geringe Zahl von Grundannahmen, die sogenannten Axiome, aufgebaut ist. Ein solches Gedankensystem nennen wir eine Theorie. Die Theorie sch�pft ihre Daseinsberechtigung daraus, da� sie eine gr��ere Zahl von Einzelerfahrungen verkn�pft; hierin liegt ihre ,,Wahrheit. Es kann nun zu demselben Komplex von Erfahrungstatsachen verschiedene Theorien geben, die sich sehr bedeutend voneinander unterscheiden. Die �bereinstimmung der Theorien in den der Erfahrung zug�nglichen Konsequenzen kann eine so weitgehende sein, da� es schwer f�llt, der Erfahrung zug�ngliche Konsequenzen zu finden, bez�glich weicher sich die Theorien voneinander unterscheiden. Ein solcher Fall von allgemeinem Interesse liegt beispielsweise auf dem Gebiete der Biologie vor in der DARWINschen Theorie der Entwicklung durch Zuchtwahl im Kampf ums Dasein und in derjenigen Entwicklungstheorie, die sich auf die Hypothese von der Vererbung erworbener Eigenschaften gr�ndet. Ein derartiger Fall von weitgehender �bereinstimmung der Konsequenzen liegt vor bei der NEWTONschen Mechanik einerseits und der allgemeinen Relativit�tstheorie andererseits. Diese �bereinstimmung geht so weit, da� bisher nur wenige der Erfahrung zug�ngliche Folgerungen der allgemeinen Relativit�tstheorie haben gefunden werden k�nnen, zu denen die fr�here Physik nicht f�hrt � trotz der tiefgehenden Verschiedenheit der Grundvoraussetzungen der Theorien. Diese wichtigen Konsequenzen wollen wir hier noch einmal betrachten und auch die bisher dar�ber gesammelten Erfahrungen kurz besprechen. a) Die Perihelbewegung des Merkur Nach der NEWTONschen Mechanik und dem NEWTONschen Gravitationsgesetz w�rde ein einziger um eine Sonne kreisender Planet eine Ellipse um die Sonne (bzw. genauer um den gemeinsamen Schwerpunkt von Sonne und Planet) beschreiben. Die Sonne (bzw. der gemeinsame Schwerpunkt) liegt hierbei in dem einen Brennpunkt der Bahnellipse, derart, da� der Abstand Sonne-Planet im Laufe eines Planetenjahres von emem Minimum zu einem Maximum w�chst und dann wieder zu dem Minimum zur�ckgeht. Setzt man statt des NEWTONschen Anziehungsgesetzes ein etwas anderes in die Rechnung ein, so findet man, da� die Bewegung nach diesem Gesetz immer noch so stattfinden m��te, da� der Abstand Sonne-Planet hin und her schwankt; aber der bei einer solchen Periode [von Perihel (Sonnenn�he) zu Perihel] von der Linie Sonne-Planet beschriebene Winkel w�rde von 360° abweichen. Die Linie der Bahn w�rde dann keine geschlossene sein, sondern w�rde im Laufe der Zeit einen ringf�rmigen Teil der Bahnebene (zwischen dem Kreise des kleinsten und dem Kreise des gr��ten Planetenabstandes) ausf�llen. Nach der allgemeinen Relativit�tstheorie, welche ja von der NEWTONschen etwas abweicht, soll nun ebenfalls eine derartige kleine Abweichung von der KEPLERNEWTONschen Bahnbewegung stattfinden, derart, da� der vom Radius Sonne-Planet zwischen einem Perihel und dem folgenden beschriebene Winkel von einem vollen Umlaufswinkel (d.h. vom Winkel 2p in dem in der Physik �blichen absoluten Winkelma�e) um abweicht. (Hierbei ist a die gro�e Halbachse der Ellipse, e deren Exzentrizit�t, c die Lichtgeschwindigkeit, T die Umlaufsdauer.) Man kann dies auch so ausdr�cken: Nach der allgemeinen Relativit�tstheorie rotiert die gro�e Achse der Ellipse im Sinne der Bahnbewegung um die Sonne. Diese Drehung soll nach der Theorie beim Planeten Merkur 43 Bogen-Sekunden in 100 Jahren betragen, bei den anderen Planeten unserer Sonne aber so klein sein, da� sie sich der Konstatierung entziehen mu�.
Tats�chlich haben die Astronomen gefunden, da� die NEWTONsche Theorie nicht ausreicht, um die beobachtete Bewegung des Merkur mit der der heutigen Beobachtung zug�nglichen Exaktheit zu berechnen. Nach Ber�cksichtigung aller st�renden Einfl�sse, welche die �brigen Planeten auf Merkur aus�ben, zeigt es sich (LEVERRIER 1859 und NEWCOMB 1895), da� eine unerkl�rte Perihelbewegung der Merkurbahn �brig blieb, welche sich von den eben genannten + 43 Sek. pro Jahrhundert nicht merkbar unterscheidet. Die Unsicherheit dieses mit dem Ergebnis der allgemeinen Relativit�tstheorie �bereinstimmenden empirischen Resultats betr�gt wenige Sekunden. b) Die Lichtablenkung durch das Gravitationsfeld In § 22 ist dargelegt, da� nach der allgemeinen Relativit�tstheorie der Lichtstrahl durch ein Gravitationsfeld eine Kr�mmung erfahren mu�, welche der Kr�mmung �hnlich ist, welche die Bahn eines durch das Gravitationsfeld geschleuderten K�rpers erfahren mu�. Ein an einem Himmelsk�rper vorbeigehender Lichtstrahl wird nach der Theorie nach diesem hin abgebogen; dieser Ablenkungswinkel a soll bei einem Lichtstrahl, der in einem Abstand von D Sonnenradien an diesem vorbeigeht, [saniye=Sekunde] betragen. Es sei hinzugef�gt, da� diese Ablenkung nach der Theorie zur H�lfte durch das (NEWTONsche) Anziehungsfeld der Sonne, zur H�lfte durch die von der Sonne herr�hrende geometrische Modifikation (,,Kr�mmung) des Raumes erzeugt wird. Dies Ergebnis erlaubt eine experimentelle Pr�fung durch photographische Sternaufnahmen w�hrend einer totalen Sonnenfinsternis. Letztere mu� nur deshalb abgewartet werden, weil zu jeder anderen Zeit die durch das Sonnenlicht bestrahlte Atmosph�re so stark leuchtet, da� die sonnennahen Sterne unsichtbar sind. Die zu erwartende Erscheinung ergibt sich leicht aus neben-stehender Abb. 4. W�re die Sonne S nicht vorhanden, so w�rde man einen praktisch unendlich weiten Stern in der Richtung R1 sehen. Infolge der Ablenkung durch die Sonne sieht man ihn aber in der Richtung R2, d.h. in einer etwas gr��eren Entfernung von der Sonnenmitte, als der Wirklichkeit entspricht. Abb. 4 In praxi geschieht die Pr�fung in folgender Weise. Die Sterne in der Umgebung der Sonne werden bei einer Sonnenfinsternis photographiert. Es wird ferner eine zweite photographische Aufnahme derselben Sterne hergestellt, wenn die Sonne an einer anderen Stelle des Himmels ist (d.h. einige Monate sp�ter oder fr�her). Die bei der Sonnenfinsternis aufgenommenen Sternbilder m�ssen dann gegen�ber der Vergleichsaufnahme radial nach au�en (vom Sonnenmittelpunkt weg) verschoben sein um einen Betrag, der dem Winkel a entspricht. Der Astronomical Royal Society verdanken wir die Pr�fung dieses wichtigen Ergebnisses. Ohne sich durch den Krieg und die durch diesen geschaffenen Schwierigkeiten psychologischer Art beirren zu lassen, hat sie mehrere ihrer bedeutendsten Astronomen (EDDINGTON, GROMMELIN, DAVIDSON) ausgesandt und zwei Expeditionen ausger�stet, um bei der Sonnenfinsternis vom 29. Mai 1919 in Sobral (Brasilien) und auf der Insel Principe (Westafrika) die photographischen Aufnahmen zu machen. Die zu erwartenden relativen Abweichungen der Sonnenfinsternisaufnahmen gegen�ber den Vergleichsaufnahmen betrugen nur wenige hundertstel Millimeter. Die Anforderungen, welche an die Pr�zision der Aufnahmen und deren Vermessung gestellt wurden, waren also keine geringen. Das Ergebnis der Messung best�tigte die Theorie in durchaus befriedigender Weise. Die rechtwinkligen Komponenten der beobachteten und berechneten Abweichungen der Sterne (in Bogen-Sekunden) sind in folgender Tabelle enthalten: Nummer des Sternes
1. Koordinate
2. Koordinate
0,19
0,22
0,29
0,31
0,46
0,43
0,11
0,10
0,20
0,12
0,04
0,08
0,27
0,09
c) Die Rotverschiebung der Spektrallinien Im § 23 ist gezeigt, da� in einem gegen ein GALILEIsches System K rotierenden System K´ die Geschwindigkeit des Ganges ruhender gleichbeschaffener Uhren vom Orte abh�ngig ist. Wir wollen diese Abh�ngigkeit quantitativ untersuchen. Eine Uhr, die im Abstande r vom Zentrum der Scheibe angeordnet ist, hat relativ zu K die Geschwindigkeit wenn w die Rotationsgeschwindigkeit der Scheibe (K´) gegen�ber K bezeichnet. Bezeichnet v0 die Zahl der Schl�ge der Uhr pro Zeiteinheit (Ganggeschwindigkeit) relativ zu K, falls die Uhr unbewegt ist, so ist die Ganggeschwindigkeit T, der mit der Geschwindigkeit v relativ zu K bewegten, relativ zur Scheibe ruhenden Uhr gem�� § 12 oder mit hinreichender Genauigkeit oder auch gleich Bezeichnet man mit + F die Differenz des Potentials der Zentrifugalkraft zwischen dem Standort der Uhr und dem Scheibenmittelpunkt, d.h. die negativ genommene Arbeit, welche man entgegen der Zentrifugalkraft der Masseneinheit zuf�hren mu�, um sie vom Standpunkt der Uhr auf der bewegten Scheibe zum Mittelpunkt zu transportieren, so ist so da� man hat Hieraus ersieht man zun�chst, da� zwei gleichbeschaffene Uhren in verschiedenem Abstand vom Scheibenmittelpunkt verschieden rasch laufen, welches Ergebnis auch vom Standpunkt eines mit der Scheibe rotierenden Beobachters G�ltigkeit hat. Da nun von der Scheibe aus beurteilt � ein Gravitationsfeld existiert, dessen Potential F ist, so wird das gewonnene Resultat �berhaupt f�r Gravitationsfelder gelten. Da wir ferner ein Spektrallinien emittierendes Atom als eine Uhr ansehen d�rfen, so gilt der Satz: Ein Atom absorbiert bzw. emittiert eine Frequenz, welche vom Potential des Gravitationsfeldes abh�ngt, in welchem es sich befindet. Die Frequenz eines Atoms, das sich an der Oberfl�che eines Himmelsk�rpers befindet, ist etwas kleiner als die Frequenz eines Atoms des gleichen Elementes, das sich im freien Weltraum (oder an der Oberfl�che eines kleineren Weltk�rpers) befindet. Da F = � KM/r ist, wobei K die NEWTONsche Gravitationskonstante, M die Masse, r den Radius des Himmelsk�rpers bedeutet, so m��te eine Rotverschiebung der an der Oberfl�che von Sternen erzeugten Spektrallinien gegen�ber den an der Erdoberfl�che erzeugten Spektrallinien im Betrage stattfinden. Bei der Sonne betr�gt die zu erwartende Rotverschiebung etwa zwei Millionstel der Wellenl�nge. Bei den Fixsternen ist eine zuverl�ssige Berechnung nicht m�glich, weil weder die Masse M noch der Radius r im allgemeinen bekannt sind. Ob dieser Effekt tats�chlich existiert, ist eine offene Frage, an deren Beantwortung gegenw�rtig von den Astronomen mit gro�em Eifer gearbeitet wird. Bei der Sonne ist die Existenz des Effektes wegen seiner Kleinheit schwer zu beurteilen. W�hrend GREBE und BACHEM (Bonn) auf Grund ihrer eigenen Messungen sowie derjenigen von EVERSHED und SCHWARZSCHILD an der sogenannten Cyanbande, ebenso PEROT auf Grund eigener Beobachtungen, die Existenz des Effektes f�r sichergestellt erachten, sind andere Forscher, insbesondere W. H. JULIUS und S. JOHN, auf Grund ihrer Messungen der entgegengesetzten Ansicht bzw. von der Beweiskraft des bisherigen empirischen Materials nicht �berzeugt. Bei den statistischen Untersuchungen an den Fixsternen sind mittlere Linienverschiebungen nach der langwelligen Spektralseite sicher vorhanden. Aber die bisherige Bearbeitung des Materials erlaubt noch keine sichere Entscheidung dar�ber, ob jene Verschiebungen wirklich auf die Wirkung der Gravitation zur�ckzuf�hren sind. Eine Zusammenstellung des Beobachtungsmaterials nebst eingehender Diskussion vom Standpunkt der uns hier interessierenden Frage findet man in der Abhandlung von E. FREUNDLICH ,,Pr�fung der allgemeinen Relativit�tstheorie (Die Naturwissenschaften 1919, H. 35, S. 520. Verlag Jul. Springer, Berlin). Jedenfalls werden die n�chsten Jahre die sichere Entscheidung bringen. Wenn die Rotverschiebung der Spektrallinien durch das Gravitationspotential nicht existierte, w�re die allgemeine Relativit�tstheorie unhaltbar. Andererseits wird das Studium der Linienverschiebung, wenn sein Ursprung aus dem Gravitationspotential sichergestellt sein wird, wichtige Aufschl�sse �ber die Massen der Himmelsk�rper liefern. 4 Die Struktur des Raumes im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativit�tstheorie Seit dem Erscheinen der ersten Auflage dieses B�chleins hat unsere Erkenntnis �ber die Struktur des Raumes im Gro�en (,,kosmologisches Problem) eine wichtige Entwicklung erfahren, die auch in einer popul�ren Darstellung des Gegenstandes erw�hnt werden mu�. Meinen urspr�nglichen �berlegungen �ber den Gegenstand waren zwei Hypothesen zugrunde gelegt worden: 1. Es gibt eine von 0 verschiedene mittlere Dichte der Materie im ganzen Raume, welche �berall dieselbe ist. 2. Die Gr��e (bzw. der ,,Radius) des Raumes ist von der Zeit unabh�ngig. Diese beiden Hypothesen erwiesen sich nach der allgemeinen Relativit�tstheorie als miteinander vereinbar, aber nur dann, wenn man den Feldgleichungen ein hypothetisches Glied beif�gte, welches die Theorie an sich weder forderte, noch vom theoretischen Standpunkte als nat�rlich erschien (,,kosmologisches Glied der Feldgleichungen). Die Hypothese 2 schien mir damals unvermeidlich, da es mir damals erschien, da� man in uferlose Spekulationen geraten w�rde, wenn man von ihr abginge. Bereits in den 20er Jahren jedoch entdeckte der russische Mathematiker FRIEDMAN, da� vom rein theoretischen Standpunkte eine abweichende Annahme nat�rlicher war. Er erkannte n�mlich, da� es m�glich war, die Hypothese 1 beizubehalten, ohne das an sich wenig nat�rliche kosmologische Glied in die Feldgleichungen der Gravitation einzuf�hren, wenn man sich dazu entschlo�, die Hypothese 2 fallen zu lassen. Die urspr�nglichen Feldgleichungen erlauben n�mlich eine L�sung, in welcher der ,,Weltradius von der Zeit abh�ngt (expandierender Raum). In diesem Sinne kann man mit FRIEDMAN behaupten, da� die Theorie eine Expansion des Raumes verlange. Wenige Jahre sp�ter zeigte HUBBLE durch seine spektralen Untersuchungen an extra-galaktischen Nebeln (,,Milchstra�en), da� die von diesen ausgesandten Spektrallinien eine mit der Distanz der Nebel regelm��ig wachsende Rotverschiebung zeigen. Diese kann nach unserem gegenw�rtigen Wissen im Sinne des DOPPLERschen Prinzips nur als eine Expansionsbewegung des Sternsystems im Gro�en gedeutet werden � wie sie nach FRIEDMANs Untersuchung von den Feldgleichungen der Gravitation gefordert wird. Die HUBBLEsche Entdeckung kann insofern also als eine Best�tigung der Theorie gedeutet werden. Es ergibt sich aber eine merkw�rdige Schwierigkeit. Die (theoretisch kaum bezweifelbare) Interpretation der von HUBBLE gefundenen galaktischen Linienverschiebungen als Expansion f�hrt auf einen Anfang der Expansion, die ,,nur etwa 109 Jahre zur�ckliegt, w�hrend die physikalische Astronomie es wahrscheinlich erscheinen l��t, da� die Entwicklung der einzelnen Sterne und Sternsysteme erheblich gr��ere Zeiten erforderte. Es ist gegenw�rtig noch keineswegs sicher, wie diese Inkongruenzen zu �berwinden sind. Es sei auch bemerkt, da� die Theorie des expandierenden Raumes zusammen mit den empirischen Daten der Astronomie keine Entscheidung �ber die Endlichkeit oder Unendlichkeit des Raumes (dreidimensional) zul��t, w�hrend die urspr�ngliche statische Hypothese des Raumes die Geschlossenheit (Endlichkeit) des Raumes ergeben hatte. 5 Relativit�t und Raumproblem F�r die NEWTONsche Physik ist es charakteristisch, da� sie dem Raume und der Zeit neben der Materie unabh�ngige reale Existenz zuschreiben mu�. Denn im NEWTONschen Bewegungsgesetz tritt der Begriff der Beschleunigung auf. Beschleunigung kann aber in dieser Theorie nur bedeuten ,,Beschleunigung gegen�ber dem Raume. Der NEWTONsche Raum mu� also als ,,ruhend, oder mindestens als ,,unbeschleunigt gedacht werden, da� man die Beschleunigung, die im Bewegungsgesetz auftritt, als eine sinnvolle Gr��e betrachten kann. Analoges gilt von der Zeit, welche ja ebenfalls in den Beschleunigungsbegriff eingeht. NEWTON selbst und seine kritischsten Zeitgenossen haben es als st�rend empfunden, da� man sowohl dem Raume selbst als auch dessen Bewegungszustand physikalische Realit�t zuschreiben mu�te; aber es gab damals keinen anderen Ausweg, wenn man der Mechanik einen klaren Sinn zuschreiben wollte. Es ist schon eine harte Zumutung, da� man dem Raum �berhaupt physikalische Realit�t zuschreiben soll, insbesondere dem leeren Raume. Die Philosophen haben seit den �ltesten Zeiten immer wieder gegen eine solche Zumutung sich gestr�ubt. DESCARTES argumentierte etwa so: Raum ist wesensgleich mit Ausdehnung. Ausdehnung aber ist an K�rper gebunden. Also kein Raum ohne K�rper, d.h. kein leerer Raum. Die Schw�che dieser Schlu�weise liegt in erster Linie darin: Es ist zwar richtig, da� der Begriff Ausdehnung seine Entstehung Erfahrungen verdankt, die wir an der Lagerung (Ber�hrung) von festen K�rpern gemacht haben. Daraus kann man aber nicht folgern, da� der Begriff der Ausdehnung nicht berechtigt sei in F�llen, die nicht zur Bildung dieses Begriffes Anla� gegeben h�tten. Solche Erweiterung von Begriffen kann auch indirekt durch ihren Wert f�r das Begreifen von empirischen Befunden gerechtfertigt werden. Die Behauptung, Ausdehnung sei an K�rper gebunden, ist daher zwar an sich unbegr�ndet. Wir werden aber sp�ter sehen, da� die allgemeine Relativit�tstheorie DESCARTES' Auffassung auf einem Umweg best�tigt. Was DESCARTES zu seiner merkw�rdig anmutenden Auffassung gebracht hat, war wohl das Gef�hl, da� man einem nicht ,,direkt erfahrbaren24 Dinge wie dem Raume ohne dringende Notwendigkeit keine Realit�t zuschreiben d�rfe. 24Dieser Ausdruck ist cum grano salis zu nehmen. Der psychologische Ursprung des Raumbegriffes, bzw. dessen Notwendigkeit, ist gar nicht so offenbar, wie es auf Grund unserer Denkgewohnheiten erscheinen mag. Die alten Geometer handeln von gedanklichen Objekten (Gerade, Punkt, Fl�che) aber nicht eigentlich vom Raum als solchem, wie es die analytische Geometrie sp�ter getan hat. Der Begriff Raum wird aber nahegelegt durch gewisse primitive Erfahrungen. Man habe eine Schachtel hergestellt. Man kann Objekte in gewisser Anordnung darin unterbringen, so da� die Schachtel voll wird. Die M�glichkeit solcher Anordnungen ist eine Eigenschaft des k�rperlichen Objektes Schachtel, etwas, was mit der Schachtel gegeben ist, der von der Schachtel ,,umschlossene Raum. Dies ist etwas, was f�r verschiedene Schachteln verschieden ist, etwas, was ganz nat�rlich als unabh�ngig davon gedacht wird, ob jeweilen �berhaupt Objekte in der Schachtel sind oder nicht. Wenn keine Objekte in der Schachtel liegen, so erscheint ihr Raum ,,leer. Bisher ist unser Raumbegriff an die Schachtel gebunden. Es erweist sich aber, da� die den Schachtel-Raum konstituierenden Lagerungsm�glichkeiten davon unabh�ngig sind, wie dick die Schachtelw�nde sind. Kann man diese Dicke nicht auf Null herabsinken lassen, ohne da� dabei der ,,Raum verlorengeht? Die Nat�rlichkeit eines solchen Grenzprozesses ist einleuchtend, und nun besteht f�r unser Denken der Raum ohne Schachtel, ein selbst�ndiges Ding, das doch als so unwirklich erscheint, wenn man die Herkunft dieses Begriffes vergi�t. Man versteht, da� es DESCARTES widerstrebt hat, den Raum als ein Ding zu betrachten, unabh�ngig von k�rperlichen Objekten, das ohne Materie existieren k�nne.25 (Dies hindert ihn allerdings nicht daran, den Raum als fundamentalen Begriff zu behandeln in seiner analytischen Geometrie.) Ein Hinweis auf das Vakuum im Quecksilber-Barometer hat wohl die letzten Kartesianer entwaffnet. Aber es ist nicht zu leugnen, da� schon auf dieser primitiven Stufe dem Raumbegriff bzw. dem Raum, gedacht als selbst�ndiges reales Ding, etwas Unbefriedigendes anhaftet.
25KANTs Versuch, das Unbehagen durch Leugnung der Objektivit�t des Raumes abzuschaffen, kann doch kaum ernst genommen werden. Die Lagerungsm�glichkeiten, verk�rpert durch den Innenraum einer Schachtel, sind in demselben Sinne objektiv wie die Schachtel selbst und die in demselben lagerbaren Objekte. Die Arten, wie K�rper in dem Raume (Schachtel) gelagert werden k�nnen, sind der Gegenstand der dreidimensionalen euklidischen Geometrie, deren axiomatischer Aufbau leicht dar�ber t�uscht, da� sie sich auf erlebbare Situationen bezieht. Wenn nun in der oben skizzierten Weise, anschlie�end an Erfahrungen �ber das ,,Ausf�llen der Schachtel, der Begriff Raum gebildet ist, so ist dies zun�chst ein begrenzter Raum. Diese Begrenztheit erscheint aber unwesentlich, weil man anscheinend stets eine gr��ere Schachtel einf�hren kann, welche die kleinere umschlie�t. Der Raum erscheint so als etwas Unbegrenztes. Ich will nun hier nicht dar�ber handeln, da� die Auffassungen von der Dreidimensionalit�t und der ,,Euklidizit�t des Raumes auf (relativ primitive) Erfahrungen zur�ckgehen, sondern die Rolle des Raumbegriffes in der Entwicklung des physikalischen Denkens zun�chst nach anderen Gesichtspunkten betrachten. Wenn eine kleinere Schachtel s sich im Innern des Hohlraumes einer gr��eren Schachtel S in relativer Ruhe befindet, so ist der Hohlraum von s ein Teil des Hohlraumes von S, und zu beiden Schachteln geh�rt derselbe sie beide enthaltende ,,Raum. Weniger einfach aber ist die Auffassung, wenn s gegen�ber S in Bewegung ist. Dann ist man geneigt zu denken, s umschlie�e stets denselben Raum, aber einen ver�nderlichen Teil des Raumes S. Man ist dann gen�tigt, jeder Schachtel ihren besonderen (nicht als begrenzt gedachten) Raum zuzuordnen und anzunehmen, da� diese beiden R�ume gegeneinander bewegt seien. Bevor man auf diese Komplikation aufmerksam geworden ist, erscheint der Raum als ein begrenztes Medium (Beh�lter), in dem die k�rperlichen Objekte herumschwimmen. Nun aber mu� man denken, da� es unendlich viele R�ume gibt, die gegeneinander bewegt sind. Der Begriff Raum als ein unabh�ngig von den Dingen objektiv Existierendes geh�rt schon dem vorwissenschaftlichen Denken an, nicht aber die Idee von der Existenz einer unendlichen Zahl von gegeneinander bewegten R�umen. Diese letztere Idee ist zwar logisch unvermeidlich, spielte aber selbst im wissenschaftlichen Denken lange keine erhebliche Rolle. Wie steht es aber mit dem psychologischen Ursprung des Zeitbegriffes? Dieser Begriff h�ngt unzweifelhaft zusammen mit der Tatsache des ,,Sich-Erinnerns, sowie mit der Unterscheidung zwischen Sinnen-Erlebnissen und der Erinnerung an solche. An sich ist es fraglich, ob uns die Unterscheidung zwischen Sinnen-Erlebnis und Erinnerung (bzw. blo�e Vorstellung) etwas psychologisch unmittelbar Gegebenes ist. Jeder hat erlebt, da� er im Zweifel war, ob er etwas sinnlich erlebt oder blo� getr�umt hat. Wahrscheinlich kommt diese Unterscheidung erst als Akt des ordnenden Verstandes zustande. Der ,,Erinnerung wird ein Erlebnis zugeordnet, welches als ,,fr�her betrachtet wird im Vergleich zu ,,gegenw�rtigen Erlebnissen. Es ist dies ein begriffliches Ordnungsprinzip f�r (gedachte) Erlebnisse, dessen Durchf�hrbarkeit Anla� gibt zu dem subjektiven Zeitbegriff, d.h. jenem Zeitbegriff, der sich auf die Ordnung der Erlebnisse des Individuums bezieht. Objektivierung des Zeithegriffes. Beispiel. Person A (,,ich) hat das Erlebnis ,,es blitzt. Person A erlebt dabei auch ein solches Verhalten der Person B, das das Verhalten von B mit dem eigenen Erlebnis ,,es blitzt in Beziehung bringt. So kommt es dazu, da� A dem B das Erlebnis ,,es blitzt zuordnet. F�r Person A entsteht die Auffassung, da� an dem ,,es blitzt auch andere Personen teilhaben. Das ,,es blitzt wird nun nicht mehr als ausschlie�lich pers�nliches Erlebnis aufgefa�t, sondern als Erlebnis (oder endlich nur als ,,potentielles Erlebnis) anderer Personen. Es entsteht so die Auffassung, da� das ,,es blitzt, welches urspr�nglich als ,,Erlebnis seinen Einzug in das Bewu�tsein hielt, nun auch als (objektives) ,,Ereignis (event) aufgefa�t wird. Der Inbegriff aller Ereignisse aber ist es, was wir meinen, wenn wir von der ,,realen Au�enwelt sprechen. Wir haben gesehen, da� wir uns dazu bewogen f�hlen, den Erlebnissen eine zeitliche Ordnung zuzuschreiben von der Art: Wenn b sp�ter als a und g sp�ter als b, so ist auch g sp�ter als a (Reihenfolge der ,,Erlebnisse). Wie steht es nun in dieser Hinsicht mit den Ereignissen, die wir den Erlebnissen zugeordnet haben? Am n�chsten liegt es offenbar anzunehmen, da� eine zeitliche Ordnung der Ereignisse existiert, die mit der zeitlichen Ordnung der Erlebnisse �bereinstimmt. Dies tat man auch allgemein und unbewu�t, bis sich skeptische Bedenken geltend machten.26 26Zum Beispiel kann die auf akustischem Wege erlangte zeitliche Ordnung von Erlebnissen mit der visuell gewonnenen zeitlichen Ordnung differieren, so da� man die zeitliche Ordnung der Ereignisse mit der zeitlichen Ordnung der Erlebnisse nicht einfach identifizieren kann. Um zu einer Objektivierung der Welt zu gelangen, bedarf es noch einer zus�tzlichen konstruktiven Idee: Das event ist auch im Raume lokalisiert, nicht nur in der Zeit. Im Vorstehenden haben wir zu schildern versucht, wie die Begriffe Raum, Zeit und event mit den Erlebnissen in psychologische Beziehung gesetzt werden k�nnen. Logisch betrachtet sind es freie Sch�pfungen der menschlichen Intelligenz, Werkzeuge des Denkens, die dazu dienen sollen, die Erlebnisse in Zusammenhang zu bringen und sie dadurch besser �berschauen zu k�nnen. Der Versuch, sich der empirischen Quellen dieser Grundbegriffe bewu�t zu werden, soll zeigen, inwieweit wir an diese Begriffe tats�chlich gebunden sind. Wir werden so unserer Freiheit bewu�t, von der im Falle der Notwendigkeit einen vern�nftigen Gebrauch zu machen, stets ein hartes Gesch�ft ist.
Zu dieser Skizze betreffend den psychologischen Ursprung der Begriffe Raum-Zeit-event (wir wollen sie k�rzer ,,raumartig nennen im Gegensatz zu Begriffen aus der psychologischen Sph�re) haben wir noch etwas Wesentliches nachzutragen. Wir haben den Raumbegriff an Erlebnisse an Schachteln und Anordnung von k�rperlichen Objekten in diesen angekn�pft. Diese Begriffsbildung setzt also schon den Begriff des k�rperlichen Objektes voraus (z.B. ,,Schachtel). Ebenso spielen auch die Personen, welche f�r die Bildung eines objektiven Zeitbegriffes eingef�hrt werden mu�ten, in diesem Zusammenhang die Rolle von k�rperlichen Objekten. Es scheint mir deshalb, da� unseren Begriffen von Zeit und Raum die Bildung des Begriffes des k�rperlichen Objektes vorausgehen mu�. Diese raumartigen Begriffe geh�ren alle bereits dem vorwissenschaftlichen Denken an neben Begriffen aus der psychologischen Sph�re, wie Schmerz, Ziel, Zweck usw. F�r das physikalische wie �berhaupt naturwissenschaftliche Denken ist es nun charakteristisch, da� es im Prinzip mit den ,,raumartigen Begriffen allein auszukommen trachtet und mit ihnen alle gesetzlichen Beziehungen auszudr�cken strebt. Der Physiker sucht Farben und T�ne auf Schwingungen zu reduzieren, der Physiologe Denken und Schmerz auf nerv�se Prozesse, derart, da� das Psychische als solches aus dem Kausal-Nexus des Seienden eliminiert wird, also nirgends als selbst�ndiges Bindeglied in den kausalen Zusammenh�ngen auftritt. Diese Einstellung, welche die Erfassung aller Zusammenh�nge unter exklusiver Verwendung nur ,,raumartiger Begriffe f�r im Prinzip m�glich betrachtet, ist es wohl, was man gegenw�rtig unter ,,Materialismus versteht (nachdem ,,Materie ihre Rolle als Fundamental-begriff verloren hat). Warum ist es n�tig, die Grundbegriffe naturwissenschaftlichen Denkens aus den platonischen olympischen Gefilden herunterzuholen und zu versuchen, deren irdische Herkunft aufzudecken? Antwort: Um diese Begriffe von dem an ihnen haftenden Tabu zu befreien, und damit gr��ere Freiheit in der Begriffsbildung zu erlangen. Diese kritische Besinnung eingeleitet zu haben, ist in erster Linie das unverg�ngliche Verdienst von D. HUME und E. MACH. Die Wissenschaft hat die Begriffe Raum, Zeit, k�rperliches Objekt (mit dem wichtigen Spezialfall ,,fester K�rper) aus dem vorwissenschaftlichen Denken �bernommen, pr�zisiert und modifiziert. Ihre erste bedeutende Leistung war die Entwicklung der euklidischen Geometrie. Deren axiomatische Formulierung darf uns nicht �ber deren empirischen Ursprung (Lagerungsm�glichkeiten fester K�rper) hinwegt�uschen. Empirischen Ursprungs ist im besonderen auch die Dreidimensionalit�t des Raumes sowie dessen euklidischer Charakter (er l��t sich l�ckenlos durch gleichbeschaffene ,,Kuben ausf�llen). Die Subtilit�t des Raumbegriffes wurde erh�ht durch die Entdeckung, da� es keine v�llig starren K�rper gibt. Alle K�rper sind elastisch deformierbar und �ndern ihr Volumen bei Temperatur�nderung. Die Gebilde, deren m�gliche Lagerungen durch die euklidische Geometrie beschrieben werden sollen, lassen sich deshalb nicht losgel�st von dem Inhalte der Physik angeben. Da aber die Physik bei Festlegung ihrer Begriffe schon von der Geometrie Gebrauch machen mu�, so l��t sich der empirische Gehalt der Geometrie nur im Rahmen der gesamten Physik angeben und pr�fen. In diesem Zusammenhange mu� auch der Atomistik gedacht werden und ihrer Auffassung der endlichen Teilbarkeit. Denn R�ume subatomistischer Ausdehnung lassen sich nicht ausmessen. Auch zwingt die Atomistik dazu, die Idee scharf und statisch definierter Begrenzungsfl�chen fester K�rper im Prinzip aufzugeben. Dann gibt es strenggenommen keine selbst�ndigen Gesetze f�r die Lagerungsm�glichkeiten fester K�rper, selbst nicht im Makrogebiet. Trotzdem dachte niemand daran, den Raumbegriff aufzugeben; denn er schien unentbehrlich in dem vortrefflich sich bew�hrenden Gesamtsystem der Naturwissenschaft. MACH war im 19. Jahrhundert der einzige, der ernsthaft an eine Elimination des Raumbegriffes dachte, indem er ihn durch den Begriff der Gesamtheit der gegenw�rtigen Distanzen aller materiellen Punkte zu ersetzen suchte. (Er machte diesen Versuch, um zu einer befriedigenden Auffassung der Tr�gheit zu gelangen.) Das Feld. In der NEWTONschen Mechanik spielen Raum und Zeit eine doppelte Rolle. Erstens als Tr�ger bzw. Rahmen f�r das physikalische Geschehen, in bezug auf welchen die Ereignisse durch die Raum-Koordinaten und die Zeit beschrieben werden. Die Materie wird im Prinzip als aus ,,materiellen Punkten bestehend gesucht, deren Bewegungen das physikalische Geschehen ausmachen. Wenn die Materie als kontinuierlich gedacht wird, so geschieht dies gewisserma�en als provisorisch in solchen F�llen, in denen man die diskrete Struktur nicht beschreiben will oder kann. In diesem Falle werden kleine Teile (Volumelemente) der Materie �hnlich behandelt wie materielle Punkte, wenigstens soweit es sich blo� um Bewegungen handelt und nicht um Vorg�nge, deren Zur�ckf�hrung auf Bewegungen einstweilen nicht m�glich oder nicht zweckm��ig war (z.B. Temperatur�nderungen, chemische Vorg�nge). Die zweite Rolle von Raum und Zeit war die als ,,Inertialsystem. Inertialsysteme waren von allen denkbaren Bezugssystemen dadurch bevorzugt gedacht, da� in bezug auf sie der Tr�gheitssatz G�ltigkeit beanspruchte. Das Wesentliche ist dabei, da� das unabh�ngig von den erlebenden Subjekten gedachte ,,physikalisch Reale als aus Raum und Zeit einerseits und aus, mit Bezug auf diese, bewegten dauernd existierenden materiellen Punkten andererseits aufgefa�t wurde � wenigstens im Prinzip. Die Idee der unabh�ngigen Existenz von Raum und Zeit kann man drastisch so aussprechen: Wenn die Materie verschw�nde, so w�rden Raum und Zeit allein �brig bleiben (als eine Art B�hne f�r physikalisches Geschehen). Die �berwindung dieses Standpunktes hat sich aus einer Entwicklung ergeben, die zun�chst mit dem Raum-Zeit-Problem nichts zu tun zu haben schien � das Auftreten des Feldbegriffes und dessen schlie�lichen Anspruch, den Partikelbegriff (materiellen Punkt) im Prinzip zu ersetzen. Im Rahmen der klassischen Physik stellte sich der Feldbegriff als Hilfsbegriff ein, in F�llen, in denen man die Materie als Kontinuum behandelte. Bei der Betrachtung der W�rme-leitung in einem festen K�rper z.B. wird der Zustand dadurch beschrieben, da� in jedem Punkte des K�rpers f�r jede bestimmte Zeit die Temperatur angegeben wird. Mathematisch bedeutet dies: die Temperatur T wird als mathematischer Ausdruck (Funktion) der r�umlichen Koordination mit der Zeit t dargestellt (Temperatur-feld). Das Gesetz der W�rmeleitung wird als eine lokale Beziehung (Differentialgleichung) dargestellt, welche alle Sonderf�lle der W�rmeleitung umfa�t. Die Temperatur ist hier ein einfaches Beispiel f�r den Begriff des Feldes. Es ist dies eine Gr��e (oder ein Komplex von Gr��en), welche Funktion der Koordinaten und der Zeit ist. Ein anderes Beispiel ist die Beschreibung der Bewegung einer Fl�ssigkeit. In jedem Punkte gibt es zu jeder Zeit eine Geschwindigkeit, die durch ihre drei ,,Komponenten in bezug auf die Achsen eines Koordinatensystems quantitativ beschrieben wird (Vektor). Die Komponenten der Geschwindigkeit in einem Punkte (Feldkomponenten) sind auch hier Funktionen von Koordinaten (x y z) und Zeit (t). F�r die genannten Felder ist es charakteristisch, da� sie nur im Innern einer ponderablen Masse auftreten; sie wollen nur einen Zustand dieser Materie beschreiben. Wo keine Materie vorhanden war, da konnte � gem�� der Entstehungsgeschichte des Feldbegriffes � auch kein Feld existieren. Nun zeigte es sich aber im ersten Viertel des 19. Jahrhunderts, da� die Interferenz- und Beugungserscheinungen des Lichtes sich mit erstaunlicher Sch�rfe erkl�ren lie�en, wenn man das Licht als ein Wellenfeld auffa�te, das dem mechanischen Schwingungsfelde in einem elastischen festen K�rper v�llig analog war. So f�hlte man sich dazu gen�tigt, ein Feld einzuf�hren, das auch in der Abwesenheit ponderabler Materie im leeren Raume existieren konnte. Diese Sachlage schuf eine paradoxe Situation, weil der Feldbegriff gem�� seinem Ursprung darauf beschr�nkt schien, Zust�nde im Innern eines ponderablen K�rpers zu beschreiben. Dies schien um so sicherer zu sein, als man davon �berzeugt war, da� jegliches Feld als mechanisch interpretierbarer Zustand aufzufassen sei, was die Anwesenheit von Materie voraussetzte. So f�hlte man sich gezwungen, auch in dem bisher als leer aufgefa�ten Raume �berall die Existenz einer Materie anzunehmen, die man ,,�ther nannte. Die Emanzipation des Feldbegriffes von der Annahme der Setzung eines materiellen Tr�gers geh�rt zu den psychologisch interessantesten Vorg�ngen in der Entwicklung des physikalischen Denkens. In der zweiten H�lfte des 19. Jahrhunderts wurde es im Anschlu� an FARADAYs und MAXWELLs Forschungen immer klarer, da� die feldartige Beschreibung der elektromagnetischen Vorg�nge einer Behandlung auf der Basis punktmechanischer Begriffe weit �berlegen war. Durch die Einf�hrung des Feldbegriffes in die Elektrodynamik gelang es MAXWELL, die Existenz elektromagnetischer Wellen vorauszusagen, deren prinzipielle Identit�t mit den Lichtwellen schon wegen der Gleichheit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit nicht zu bezweifeln war. Dadurch wurde die Optik im Prinzip von der Elektrodynamik absorbiert. Eine psychologische Wirkung dieses gewaltigen Erfolges war die, da� der Feldbegriff gegen�ber dem mechanistischen Rahmen der klassischen Physik allm�hlich gr��ere Selbst�ndigkeit gewann. Aber dennoch war zun�chst als selbstverst�ndlich angenommen, da� die elektromagnetischen Felder als Zust�nde des �thers gedeutet werden m�ssen, und man suchte mit gro�em Eifer diese Zust�nde als mechanische zu erkl�ren. Erst als diese Bem�hungen stets scheiterten, gew�hnte man sich langsam daran, auf solche mechanische Interpretation zu verzichten. Immer noch haftete jedoch die �berzeugung, da� die elektromagnetischen Felder Zust�nde des �thers seien; so stand es um die Jahrhundertwende. Die �thertheorie brachte die Frage mit sich: Wie verh�lt sich der �ther in mechanischer Beziehung zu den ponderablen K�rpern? Nimmt er an den Bewegungen der K�rper teil oder ruhen seine Teile relativ zueinander? Viele geistreiche Experimente wurden zur Entscheidung dieser Frage unternommen. Als in diesem Zusammenhange wichtige Tatsachen kamen auch in Betracht die Aberration der Fixsterne infolge der j�hrlichen Bewegung der Erde sowie der ,,DOPPLER-Effekt (Einflu� der Relativbewegung der Fixsterne auf die Frequenz des zu uns gelangenden Lichtes von bekannter Emissionsfrequenz). Die Ergebnisse dieser Tatsachen und Experimente (bis auf eines, das MICHELSON-MORLEY-Experiment) erkl�rte H. A. LORENTZ unter der Annahme, da� der �ther an den Bewegungen der ponderablen K�rper nicht teilnimmt, und da� die Teile des �thers �berhaupt keine Relativbewegungen zueinander haben. Der �ther erschien so gewisserma�en als die Verk�rperung eines absolut ruhenden Raumes. Die LORENTZsche Untersuchung leistete aber noch mehr. Sie erkl�rte die damals bekannten elektromagnetischen und optischen Vorg�nge im Innern ponderabler K�rper unter der Annahme, da� der Einflu� der ponderablen Materie auf das elektrische Feld (und umgekehrt) nur darauf zur�ckzuf�hren sei, da� die Teilchen der Materie elektrische Ladungen tragen, die an der Bewegung der Teilchen teilnehmen. Betreffend den Versuch von MICHELSON und MORLEY zeigte H. A. LORENTZ, da� dessen Ergebnis wenigstens nicht im Widerspruch sei mit der Theorie des ruhenden �thers. Trotz aller dieser sch�nen Erfolge war der Stand der Theorie doch nicht voll befriedigend, und zwar aus folgendem Grunde. Die klassische Mechanik, von der doch nicht bezweifelt werden konnte, da� sie mit gro�er N�herung gilt, lehrt die Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme (bzw. Intertialr�ume) f�r die Formulierung der Naturgesetze (Invarianz der Naturgesetze in bezug auf den �bergang von einem Inertialsystem auf ein anderes). Die elektromagnetischen und optischen Experimente lehrten dasselbe mit erheblicher Genauigkeit. Aber das Fundament der elektromagnetischen Theorie lehrte die Bevorzugung eines besonderen Inertialsystems, n�mlich das des ruhenden Licht�thers. Diese Auffassung des theoretischen Fundamentes war gar zu unbefriedigend. Gab es keine Modifikation des letzteren, welche � wie die klassische Mechanik � der Gleichwertigkeit der Inertialsysteme (spezielles Relativit�tsprinzip) gerecht wird? Die Antwort auf diese Frage ist die spezielle Relativit�tstheorie. Diese �bernimmt von der MAXWELL-LORENTZschen Theorie die Voraussetzung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum. Um diese mit der Gleichwertigkeit der Inertialsysteme (spezielles Relativit�tsprinzip) in Einklang zu bringen, mu� der absolute Charakter der Gleichzeitigkeit aufgegeben werden; au�erdem folgen die LORENTZ-Transformationen f�r die Zeit und die Raum-Koordinaten f�r den �bergang von einem Inertialsystem zu einem andern. Der ganze Inhalt der speziellen Relativit�tstheorie ist in dem Postulat eingeschlossen: Die Naturgesetze sind invariant in bezug auf die LORENTZ-Transformationen. Das Wichtige dieser Forderung liegt darin, da� sie die m�glichen Naturgesetze in bestimmter Weise einschr�nkt. Wie steht die spezielle Relativit�tstheorie zum Raumproblem? Zuerst mu� man sich vor der Meinung h�ten, da� die Vierdimensionalit�t der Realit�t durch diese Theorie erst neu eingef�hrt worden sei. Auch in der klassischen Mechanik ist das Ereignis (event) durch vier Zahlen lokalisiert, n�mlich durch drei r�umliche Koordinaten und eine zeitliche Koordinate; die Gesamtheit der physikalischen ,,events ist also als in eine vierdimensionale kontinuierliche Mannigfaltigkeit eingebettet gedacht. Aber gem�� der klassischen Mechanik zerf�llt dieses vierdimensionale Kontinuum objektiv in die eindimensionale Zeit und in dreidimensionale r�umliche Schnitte, welch letztere nur gleichzeitige events enthalten. Dieser Zerfall ist f�r alle Inertialsysteme derselbe. Die Gleichzeitigkeit zweier bestimmter events in bezug auf ein Inertialsystem involviert die Gleichzeitigkeit dieser events in bezug auf alle Inertialsysteme. Dies ist gemeint, wenn man sagt, die Zeit der klassischen Mechanik ist absolut. Gem�� der speziellen Relativit�tstheorie ist es anders. Der Inbegriff der events, welche mit einem ins Auge gefa�ten event gleichzeitig sind, existiert zwar in bezug auf ein bestimmtes Inertialsystem, aber nicht mehr unabh�ngig von der Wahl des Inertialsystems. Das vierdimensionale Kontinuum zerf�llt nun nicht mehr objektiv in Schnitte, welche alle gleichzeitigen events enthalten; das ,,Jetzt verliert f�r die r�umlich ausgedehnte Welt seine objektive Bedeutung. Damit h�ngt es zusammen, da� man Raum und Zeit objektiv unaufl�sbar als vierdimensionales Kontinuum auffassen mu�, wenn man den Inhalt der objektiven Beziehungen ohne entbehrliche konventionelle Willk�r ausdr�cken will. Indem die spezielle Relativit�tstheorie die physikalische Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme aufzeigte, erwies sie die Unhaltbarkeit der Hypothese des ruhenden �thers. Man mu�te daher auf die Idee verzichten, da� das elektromagnetische Feld als Zustand eines materiellen Tr�gers aufzufassen sei. Das Feld wird damit zu einem irreduziblen Element der physikalischen Beschreibung, irreduzibel in demselben Sinne wie der Begriff der Materie in der NEWTONschen Theorie. Bis hierher haben wir unsere Aufmerksamkeit darauf gerichtet, inwiefern die Begriffe Raum und Zeit durch die spezielle Relativit�tstheorie modifiziert wurden. Nun aber wollen wir jene Elemente ins Auge fassen, welche diese Theorie von der klassischen Mechanik genommen haben. Auch hier beanspruchen die Naturgesetze nur dann Geltung, wenn der raum-zeitlichen Beschreibung ein Inertialsystem zugrunde gelegt wird. Nur in bezug auf ein Inertialsystem soll das Tr�gheitsprinzip und das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gelten. Auch die Feldgesetze beanspruchen Sinn und Geltung nur in bezug auf Inertialsysteme. Wie in der klassischen Mechanik ist also auch hier der Raum eine selbst�ndige Komponente der Darstellung des physikalischen Realen. Der (Inertial-)Raum � oder genauer gesagt, dieser Raum zusammen mit der zugeh�rigen Zeit � bleibt �brig, wenn man Materie und Feld weggenommen denkt. Dies vierdimensionale Gebilde (MINKOWSKI-Raum) ist als Tr�ger der Materie und des Feldes gedacht. Die Inertialr�ume mit ihren zugeh�rigen Zeiten sind nur privilegierte vierdimensionale Koordinatensysteme, die miteinander durch die linearen LORENTZ-Transformationen verkn�pft sind. Da es in diesem vierdimensionalen Gebilde keine Schnitte mehr gibt, welche das ,,Jetzt objektiv repr�sentieren, wird der Begriff des Geschehens und Werdens zwar nicht v�llig aufgehoben, aber doch kompliziert. Es erscheint deshalb nat�rlicher, das physikalisch Reale als ein vierdimensionales Sein zu denken statt wie bisher als das Werden eines dreidimensionalen Seins. Dieser starre vierdimensionale Raum der speziellen Relativit�tstheorie ist gewisserma�en ein vierdimensionales Analogon des H. A. LORENTZschen starren dreidimensionalen �thers. Auch f�r diese Theorie gilt die Aussage: Die Beschreibung der physikalischen Zust�nde setzt den Raum als von vornherein gegeben und als unabh�ngig existierend voraus. Auch diese Theorie beseitigt also nicht DESCARTES' Unbehagen betreffend die selbst�ndige, ja sogar A-priori-Existenz des ,,leeren Raumes. Inwiefern dieses Bedenken durch die allgemeine Relativit�tstheorie �berwunden wird, dies zu zeigen, ist das eigentliche Ziel der hier gegebenen elementaren �berlegungen. Der Raumbegriff in der allgemeinen Relativit�tstheorie. Diese Theorie ist in erster Linie aus der Bestrebung hervorgegangen, die Gleichheit der tr�gen und schweren Masse zu begreifen. Man geht aus von einem Inertialsystem S1, dessen Raum physikalisch leer ist. Das hei�t, es existiere in dem ins Auge gefa�ten Teil des Raumes weder Materie (im �blichen Sinne) noch ein Feld im Sinne der speziellen Relativit�tstheorie. Mit Bezug auf S1 sei ein zweites Bezugssystem S2 gleichf�rmig beschleunigt. S2 ist dann also kein Inertialsystem. In bezug auf S2 w�rde sich jede Probemasse beschleunigt bewegen, und zwar unabh�ngig von ihrer physikalischen und chemischen Beschaffenheit. In bezug auf S2 besteht also ein Zustand, den man � wenigstens in erster N�herung � von einem Gravitationsfelde nicht unterscheiden kann. Mit dem wahrnehmbaren Tatbestand ist also die Auffassung vereinbar: Auch S2 ist gleichwertig mit einem ,,Inertialsystem; es ist aber in bezug auf S2 ein (homogenes) Gravitationsfeld vorhanden (um dessen Ursprung man sich in diesem Zusammenhang nicht k�mmert). Wenn man also das Gravitationsfeld in den Rahmen der Betrachtung einbezieht, so verliert das Inertialsystem seine objektive Bedeutung, vorausgesetzt, da� dieses ,,�quivalenzprinzip auf beliebige Relativbewegung der Bezugssysteme ausgedehnt werden kann. Wenn es m�glich ist, auf diesen Grundgedanken eine konsistente Theorie zu gr�nden, so gen�gt sie von selbst der empirisch stark begr�ndeten Tatsache der Gleichheit der tr�gen und schweren Masse. Vierdimensional betrachtet entspricht dem �bergang von S1 zu S2 eine nichtlineare Transformation der vier Koordinaten. Es entsteht nun die Frage: Was f�r nichtlineare Transformationen soll man zulassen bzw. wie ist die LORENTZ-Transformation zu verallgemeinern? F�r die Beantwortung dieser Frage ist folgende �berlegung ma�gebend. Dem Inertialsystem der fr�heren Theorien wird die Eigenschaft zugeschrieben: Koordinatendifferenzen werden durch (ruhende) ,,starre Ma�st�be gemessen. Zeitdifferenzen durch (ruhende) Uhren. Die erste Annahme wird erg�nzt durch die Annahme, da� f�r die relativen Lagerungsm�glichkeiten ruhender Ma�st�be die S�tze der ,,Strecken der euklidischen Geometrie gelten. Aus den Ergebnissen der speziellen Relativit�tstheorie folgert man dann durch elementare Betrachtungen, da� diese unmittelbare physikalische Deutung der Koordinaten f�r relative zu Inertialsystemen (S1) beschleunigte Bezugssysteme (S2) verlorengeht. Ist dies aber der Fall, so dr�cken die Koordinaten nur mehr die Ordnung des ,,Nebeneinander (und damit auch den Dimensionsgrad des Raumes) aus, aber keine metrischen Eigenschaften des Raumes. Man kommt so dazu, die Transformationen auf beliebige stetige Transformationen27
auszudehnen. Dies impliziert das allgemeine Relativit�tsprinzip. Die Naturgesetze m�ssen kovariant sein in bezug auf beliebige kontinuierliche Transformationen der Koordinaten. Diese Forderung (in Verbindung mit der Forderung m�glichster logischer Einfachheit der Gesetze) schr�nkt die in Betracht kommenden Naturgesetze unvergleichlich st�rker ein als das spezielle Relativit�tsprinzip.
27Diese nicht exakte Ausdrucksweise mag hier gen�gen. Dieser Gedankengang ist wesentlich auf das Feld als selbst�ndigen Begriff gegr�ndet. Denn die in bezug auf (S2) obwaltenden Verh�ltnisse werden als Gravitationsfeld gedeutet, ohne da� die Frage nach der Existenz von Massen aufgeworfen wird, welche dieses Feld erzeugen. Dieser Gedankengang l��t es auch begreifen, warum die Gesetze des reinen Gravitationsfeldes unmittelbarer mit der Idee der allgemeinen Relativit�t verkn�pft sind als die Gesetze f�r die Felder allgemeiner Art (wenn z.B. ein elektromagnetisches Feld vorhanden ist). Wir haben n�mlich guten Grund zu der Annahme, da� der ,,feldfreie MINKOWSKI-Raum einen naturgesetzlich m�glichen Sonderfall darstellt, und zwar den denkbar einfachsten Sonderfall. Ein solcher Raum ist bez�glich seiner metrischen Eigenschaft dadurch charakterisiert, dx12 + dx22 + dx32 das Quadrat des mit einem Einheitsma� gemessenen r�umlichen Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Punkte eines dreidimensionalen raumartigen Querschnittes ist (PYTHAGOREIScher Satz), w�hrend dx4 der mit geeignetem Zeitma� gemessene zeitliche Abstand zweier Ereignisse mit gemeinsamen (x1, x2, x3) ist. Dies zusammen kommt � wie mit Hilfe der LORENTZ-Transformationen leicht zu zeigen ist � darauf hinaus, da� der Gr��e (1) eine objektive metrische Bedeutung zukommt. Mathematisch entspricht dieser Tatsache der Umstand, da� ds2 in bezug auf LORENTZ-Transformationen invariant ist.
Unterwirft man nun diesen Raum im Sinne des allgemeinen Relativit�tsprinzips einer beliebigen stetigen Transformation der Koordinaten, so dr�ckt sich die objektiv sinnvolle Gr��e im neuen Koordinatensystem durch die Beziehung aus (1a) wobei �ber die Indices i und k �ber alle Kombinationen 11,12, ... bis 44 zu summieren ist. Die gik sind aber nun nicht Konstante, sondern Funktionen der Koordinaten, welche durch die willk�rlich gew�hlte Transformation bestimmt sind. Trotzdem sind die gik nicht willk�rliche Funktionen der neuen Koordinaten, sondern eben solche Funktionen, da� die Form (1a) durch eine stetige Transformation der vier Koordinaten wieder in die Form (1) zur�cktransformiert werden kann. Damit dies m�glich sei, m�ssen die Funktionen gik gewisse allgemein kovariante Bedingungsgleichungen erf�llen, welche B. RIEMANN mehr als ein halbes Jahrhundert vor Aufstellung der allgemeinen Relativit�tstheorie abgeleitet hat (,,RIEMANN-Bedingung). Nach dem �quivalenzprinzip beschreibt (1a) in allgemein kovarianter Form ein Gravitationsfeld spezieller Art, wenn die gik die RIEMANN-Bedingung erf�llen. Das Gesetz f�r das reine Gravitationsfeld allgemeiner Art mu� also folgende Bedingungen erf�llen. Es mu� erf�llt sein, wenn die RIEMANN-Bedingung erf�llt ist; es mu� aber schw�cher sein, also weniger einschr�nken, als die RIEMANN-Bedingung. Dadurch ist das Feldgesetz der reinen Gravitation praktisch vollst�ndig bestimmt, was hier nicht n�her begr�ndet werden soll. Nun sind wir vorbereitet zu sehen, inwiefern der �bergang zur allgemeinen Relativit�tstheorie den Raumbegriff modifiziert. Gem�� der klassischen Mechanik und gem�� der speziellen Relativit�tstheorie hat der Raum (Raum � Zeit) eine selbst�ndige Existenz gegen�ber Materie bzw. Feld. Um das Raum-Erf�llende, von den Koordinaten Abh�ngige, �berhaupt beschreiben zu k�nnen, mu� Raum-Zeit bzw. das Inertialsystem mit seinen metrischen Eigenschaften schon von vornherein als vorhanden gedacht werden, weil sonst die Beschreibung des ,,Raum-Erf�llenden nicht sinnvoll w�re.28 Gem�� der allgemeinen Relativit�tstheorie dagegen hat der Raum gegen�ber dem ,,Raum-Erf�llenden, von den Koordinaten Abh�ngigen, keine Sonderexistenz. Man habe z.B. ein reines Gravitationsfeld durch die gik (als Funktionen der Koordinaten) beschrieben durch L�sung der Gravitationsgleichungen. Wenn man das Gravitationsfeld, d.h. die Funktionen gik weggenommen denkt, so bleibt nicht etwa ein Raum vom Typus (1), sondern �berhaupt nichts �brig, auch kein ,,topologischer Raum. Denn die Funktionen gik beschreiben nicht nur das Feld, sondern gleichzeitig auch die topologische und metrische Struktur-Eigenschaften der Mannigfaltigkeit. Ein Raum vom Typus (1) ist im Sinne der allgemeinen Relativit�tstheorie nicht etwa ein Raum ohne Feld, sondern ein Spezialfall des gik-Feldes, f�r welchen die gik (f�r das verwendete Koordinatensystem, das an sich keine objektive Bedeutung hat) Werte haben, die nicht von den Koordinaten abh�ngen; einen leeren Raum, d.h. einen Raum ohne Feld, gibt es nicht. 28Denkt man das Raum-Erf�llende (z.B. das Feld) weggenommen, so bleibt immer noch der metrische Raum gem�� (1) �brig, der auch f�r das Tr�gheits-Verhalten eines in ihn gebrachten Probek�rpers bestimmend w�re.
DESCARTES hatte demnach nicht so unrecht, wenn er die Existenz eines leeren Raumes ausschlie�en zu m�ssen glaubte. Die Meinung erscheint zwar absurd, solange man das physikalische Reale ausschlie�lich in den ponderablen K�rpern sieht. Erst die Idee des Feldes als Darsteller des Realen in Verbindung mit dem allgemeinen Relativit�tsprinzip zeigt den wahren Kern von DESCARTES' Idee: es gibt keinen ,,feld-leeren Raum. Verallgemeinerte Gravitationstheorie. Die Theorie des reinen Gravitationsfeldes auf dem Boden der allgemeinen Relativit�tstheorie ist darum leicht zug�nglich, weil wir darauf vertrauen d�rfen, da� der ,,feldfreie MINKOWSKI-Raum mit der Metrik gem�� (1) den allgemeinen Feldgesetzen entsprechen mu�. Aus diesem Sonderfall folgt das Gravitationsgesetz durch eine so gut wie keine Willk�r enthaltende Verallgemeinerung. Die weitere Entwicklung der Theorie ist durch das allgemeine Relativitatsprinzip nicht so eindeutig bestimmt; sie ist in den letzten Jahrzehnten in verschiedenen Richtungen versucht worden. Allen diesen Versuchen gemeinsam ist es, das Physikalisch-Reale als Feld aufzufassen, wobei dies Feld eine Verallgemeinerung des Gravitationsfeldes, das Feldgesetz eine Verallgemeinerung des Gesetzes f�r das reine Gravitationsfeld ist. Ich glaube nun, nach langem Tasten die nat�rlichste Form f�r diese Verallgemeinerung gefunden zu haben,29 war aber bisher nicht imstande herauszufinden, ob dies verallgemeinerte Gesetz den Erfahrungstatsachen gegen�ber standh�lt.
29Die Verallgemeinerung kann man wie folgt charakterisieren. Das reine Gravitationsfeld der gik hat gem�� seiner Herleitung aus dem leeren ,,MINKOW5KI-Raum die Symmetrie-Eigenschaft gik = gki (g12 = g21 usw.). Das verallgemeinerte Feld ist von derselben Art, aber ohne die genannte Symmetrie-Eigenschaft. Die Ableitung des Feldgesetzes ist der des Spezialfalles der reinen Gravitation v�llig analog.
F�r die vorstehende allgemeine Betrachtung ist die Frage nach dem besonderen Feldgesetz sekund�r. Die Hauptfrage ist gegenw�rtig, ob eine Feldtheorie von der hier ins Auge gefa�ten Art �berhaupt zum Ziele f�hren kann. Es ist damit eine Theorie gemeint, welche das Physikalisch-Reale (mit Einschlu� des vierdimensionalen Raumes) durch ein Feld ersch�pfend beschreibt. Die gegenw�rtige Physiker-Generation ist geneigt, diese Frage mit Nein zu beantworten; sie glaubt im Anschlu� an die gegenw�rtige Form der Quantentheorie, da� der Zustand eines Systems nicht direkt, sondern nur indirekt durch Angabe der Statistik der an dem System erzielbaren Me�resultate charakterisiert werden kann; es ist die �berzeugung vorherrschend, da� die experimentell gesicherte Doppelnatur (Korpuskulare und Wellenstruktur) nur durch solche Abschw�chung des Realit�tsbegriffes erzielbar sei. Ich denke, da� ein so weitgehender theoretischer Verzicht durch unser tats�chliches Wissen einstweilen nicht begr�ndet ist und da� man sich nicht davon abhalten lassen soll, den Weg der relativistischen Feldtheorie zu Ende zu denken. Notes
22Begr�ndung. Nach der NEWTONschen Theorie enden in einer Masse m eine Anzahl ,,Kraftlinien, welche aus dem Unendlichen kommen, und deren Zahl der Masse m proportional ist. Ist die Dichte p0 der Masse in der Welt im Mittel konstant, so umschlie�t eine Kugel vom Volumen V im Durchschnitt die Masse p0V. Die Zahl der durch die Oberfl�che F ins Innere der Kugel eintretenden Kraftlinien ist also proportional p0V. Durch die Oberfl�cheneinheit der Kugel treten also Kraftlinien ein, deren Zahl p0V/F oder p0R proportional ist. Die Feldst�rke an der Oberfl�che w�rde also mit wachsendem Kugelradius R ins Unendliche wachsen, was unm�glich ist. Back 23F�r den ,,Radius R der Welt ergibt sich n�mlich die Gleichung R2 = 2/kr.
Bei Verwendung des C-G-S-Systems ist hierbei 2/k = 1,08 ´ 1027; r ist die mittlere Dichte der Materie. Back 24Dieser Ausdruck ist cum grano salis zu nehmen. Back 25KANTs Versuch, das Unbehagen durch Leugnung der Objektivit�t des Raumes abzuschaffen, kann doch kaum ernst genommen werden. Die Lagerungsm�glichkeiten, verk�rpert durch den Innenraum einer Schachtel, sind in demselben Sinne objektiv wie die Schachtel selbst und die in demselben lagerbaren Objekte. Back 26Zum Beispiel kann die auf akustischem Wege erlangte zeitliche Ordnung von Erlebnissen mit der visuell gewonnenen zeitlichen Ordnung differieren, so da� man die zeitliche Ordnung der Ereignisse mit der zeitlichen Ordnung der Erlebnisse nicht einfach identifizieren kann. Back 27Diese nicht exakte Ausdrucksweise mag hier gen�gen. Back 28Denkt man das Raum-Erf�llende (z.B. das Feld) weggenommen, so bleibt immer noch der metrische Raum gem�� (1) �brig, der auch f�r das Tr�gheits-Verhalten eines in ihn gebrachten Probek�rpers bestimmend w�re. Back 29Die Verallgemeinerung kann man wie folgt charakterisieren. Das reine Gravitationsfeld der gik hat gem�� seiner Herleitung aus dem leeren ,,MINKOW5KI-Raum die Symmetrie-Eigenschaft gik = gki (g12 = g21 usw.). Das verallgemeinerte Feld ist von derselben Art, aber ohne die genannte Symmetrie-Eigenschaft. Die Ableitung des Feldgesetzes ist der des Spezialfalles der reinen Gravitation v�llig analog. Back . Yayinlar
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References: § 30
 § 21
 § 31
 § 24
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 § 32
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 § 17
 § 22
 § 23
 § 12