Source: https://www.scribd.com/document/194169012/geometria8-Circunferencias
Timestamp: 2018-11-18 23:39:40+00:00

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hoja cálculo tarea 2
mapa matematicas
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Seccion Transversal 2016
CURVAS VERTICALES-CAMINOS-MUT-con-DG2018-SE.pdf
GeometriaII12-analitica
GeometriaII4-angulopoliedro
GeometriaII13-ecuaciondelarecta
Geometria17 Poligonos Regulares
AlgebraII-VIIIDerivadas
Cap2 Analisis Vectorial
AlgebraII-IIMatricesyDeterminantes
_pn___t____Al___sx__________r_________/_________\t___\t__4___/_ny___Jn____t__________c ____,_ c_ _ _pp rpqtp _a_s;_____J_____t_ n___c__o___J_un_o_d__e__lo__s_po_cos
_; __/ __?___' _,,_,,_ ,___'_ " ,,__,_'______,,,,__n_,_,_,,
_ I_Cu_e Fe_Cl
___ 5_;,' _,_' __,',_/_. k_;:__vv, ,,~___^___^'__^v_-_____,__ '_':__R_
OBlmVOS n
_ Conocer l_ propiedades y tos elementos que se _o__ a la circ_nfe_nci_
_ _tudia_, las prOpiedades de_los _ul_s q_e se pueden _ a _a _ircunfer_n__
_ Aplicar de mane_ adecuada __ propiedades de cîrc__e__nci_
i Di_eren__ las _sicianes rela_v_ de dos c_c_fe_ncias caplan_e5.
lNTRODUCClON _, _ ; ,__
obseNar el bOrde de la LUna O el SOl, el homb Fe tUVO laS __ __,__,V_ ,'_ '_ , _
N,nerasnoc_lonesde c__,cunfe,enc__a cuandocoriun,na,an;, ,L __do'__ ? _ _ ___? ___
_f_ t _ t t,? ;, I _' _ , 1 _;
o un limón el contorno de la sección __,__ ,, J__; __ ;, ?_,,, - __x
./_/;m__\_ ' planatiene Formadecircunferenciay __,_,O,_,,_,__,,,__0____, ,,,__
,,N_ ____'____",,M____'''_^,_%_ ?__ que equidista del cenEFo, esto!levo a t_____'o__,?___ _ _ ß_ J_,_ y_ ?__, j
_,_ _____,_,_,,,,_ _ _^ __, _ _;_,_ ', __y ___ conocef las ,._me,as ,o _.edades de ____ _,_ i_; _' _,',__ __ _ __ '_ '__ __,,_
e ;_ _ _ __n : _ _' _ ' ^_' :_ ;-' _ __ _ __ ' : __ _ ' '' _ _____ ___, ella _ _ _? ^_ _ _ ' _ ^ ' _ _ h __ ___ _m -___ _ ' _
. _?n ''__ _,_'_,,?4?_q,, '_.,,_,___,x__ _ por h_NstonNa sa__nos ue h,ce ma/s , __?_ _ _ ^_,__-/___ ' '' '
'._ ______-____^_s__'__ __, '' _____Sn_,__ _!__ ; '_'_
' _/_ , ,_,__ _/_____ __x de 2000 anOS a.n.e, se deScubnÓ la ___ __,_,,,_,,___,__v',_ m?_,_n_ mm,
_ , __ ;,_ _,'u ,,,_, ;_ __ _ _eda. Los egipcios, aprovech0do que Abod y m,_em,,_,.
S SUS te_enOS ef_ ll00S, deSpl_b_ laS m,tem;__,,s med;e,o_s en Jnglote,,, _e
\ ' r__ _a SUS COnS_CClOneS US_dO Ricardo de WaIIin_ord, pro Fesor en OXord
_n 4? _"_ _ ? _oncos de __les que luego hacían y obod de un monosterio. _n lo imogen,
_ " _, , _;v_ _ ,__ pos_b_emente estg Fenómeno de se le ve trobojando con _n co_s
_ ' _ =,x.. _''____ ,_?_,,,_%__, r_adufa .lns .lro, _'hombre a cfe_ _a rudimentario.
-__ _'-'______'__'_",__ rueda.
;_ _, ' / n'____ ;_m_/ Enlaactualidad,sabemosquelarueda ,_,___
1q 'V _? _ ;_i\\m_ _'_?, ,_ '_?
y ._!_h?__ _ _,_' __J es un obleto muy impo_anle para el __,m
Xv ,,,,, , , _,_ _ transporte le_estre, de ahí la necesidad
del estudio de la circunferencia _,
CO_Of U_ ImOn Y Ul1O _Ordn/O . . . / , q\__ _??
_ muest,o uno djstribucin Vlamente_ SUS _fO_le a eS tam len _ _ ;_____?~
rodial, dande eI _orde se aseme/a SRfVlfan para eStU laf OtfaS I_UfaS, ta eS , /
o Yno CirCunfe,enCId- como los potíeonos regulares. _ Wno p_senta (__ _ circun_reMia.
_r___M= {A. _' ___: l__ó_celes _ _ = gOO-2 _ //__ _ ________'_%Tmn_hv_ _ 297 . entonces r . __s._?v____n. '__ _ _ ~ ' '''___'V_m__.n_._ m_J _ recta ' _ 3 .'.____' _ _ /_ ___ "mv__.?'% ._./' circunferencia de radio r a una recta dada ?^ ' co_Ianar e _ich_ circunfer_n_'ie.t _' _iterior.5.' r ' ___ m_TOi _ d > r _ l_ recta es exte_o_.a g _ _ _ r_/ . _ r_ ( T} v. _\ -_ m_OTS=_O^ \__ T l D_ r a _\ \_ _' . d_ _) _ ci_c__nferen_ja _e ob__N_ __ > r OM > r.. _ __. . __t_ RECrAT_NGENTE Es aq_ella recta que interseca a la' Otra Form_ de demostrar circunferencia en un solo pun__._m_.B}.OJV > r v _. _0P \'\_ ._ _ / S _ _____"__ ""^'V''\'^__'_?'v"_%___~_'_"_m_q ^?_ Sea d la dist_ncia _el centr_ _e una i (aJ._n. _. Es aquella recta que interseca a la En el llmlte CUandO P' Se aprOXlm_ a circunferencia en dos puntos._ __Funmto_s_tfg___tac_r_ge(nc) rtM\(\_ \\_____ _MM __ __ _________r MM_.____h_' \ .O Es aquella recta que tie_e __dos sus puntos __terio_es a la circun Ferencia. _e_dlCular _l radlO Se_m_ntO ra l_ en e ' ' ' ' ' ' __a así cualq__ie-? _tro punto _istint_ _e Tque se ubi__a __n _7. Enla F_g_ra8. '_r r '' ta"_ente " l" ._/__y._/n es la longitud def menor segmenlo traza__ _e _ a_/JJ+.. El punto de intersección se denornina punto de tangencia. entonces .S. _r__.'em_.' _0.?M___. ' ._. _ _ En la __gura 8 ._._O r S /' .____'^_ 7 . c_umpljrá que es may_r _ue _. T es llamado _ __ _ntode tangencia.. __far_ urag6 a _ estan entea c_/_enr _ d<r _ IareCtaRSS_Cant__ ý.6 Teorema __a rect_ tengente_ a una circunferencia es En _a f'gUra 8'_ (b).._'_ ____%__. tiendea_Jr _ m__Tl=90 Además A_: cuerda . En l_ F..g. f REe_AE_ERlOR r -.. (bJ D _jgur_8.J s CAPíTULo Vl l l Circu_fere_cias RECT_tEt_N_E s _ e observa que _s es secante en P' y T a r__.
g Detinitión _ La medida de un a_co AB es igua} a: _ _x. un a.8. en ___ _e _os NotaciÓn _p__. _j_ma _cu me. _ (a J X si _B e.J .7.nc._/__?.n_lo/ _ _ _ _ _x lo__ _llntos de la circunfe_-encia _ue estn en X_ e\textenor.:n A _.._.lrc.__ .._._yu._t_txt_x__ _/ _x____m____?___ _s__h _(s_ad_o___ue_AmyB_ nnonso_nextnr_Bedme__As__yd_eB_lymltosdmotu_s _____.. a l_ '_nión de A._'___?. ' x___'r. _ .) se _ '_ _ ia r___-_ca 8.un€c d_ untO_ de __ _. __.7..8(b) Ad: arco m_nor y _ n ___%_ .. _ _____._.' _ ._ . _ _ i_ ' ' s_ ll_me ___o menur d_ la misma a la unión ' ' lntt_n Ort_t _ _n_U 0 C__t_al S_ _lll_ drrO _ . 'Lo regi_n _ _ _ \_enor . __ _'__ res. jndicaf_ ALB o Bl_A \ _ _ _/ _ ..BytodOS_O._ _ 36O_ menOS la medlda del afCO menUf _ cualquiera dc los Semi_lan05 _eterm!nados _ _ _ __ COfres_On_lente. se Jtame semi_irr__nieren_ia x.' '_ (._ l800._ ' _yIB:arc_mavoF.___ ' . .co men. p0r Ia _ecta AB.. ' .. . . _4__' _!__!to c__ntr_f.t _/ / .s.. AB: L1rco correspon_iente al _. e I_anla afCOS en €en_Tal a l_S arCOS rnenU?_%____à__ .g __n _a n___L_ra 8.___ _ .unf_. _'''\ ..___\ lumbreras Editores G eo met r ía _N_U_Ot _SOtl__Ot _ _ _lRC_NFEREMC__ ÁN_U_O tENrRAL ' ' ' Xx' nv v''_'_M '' _ _ _ _ _n_. _. _s aquel án_u_o c_lv._ ''tt_t . _ ___!-_jr'e e__ cl centco d__ s una c irc'unfe rc ncia.. Dc la r_€ura 8._r a __ _.sD..n Para l__ medida en grados sexagesimales de l_n n afCO AB CUalqUlera._.en_. St eS Un a. es_ t_.._________tt__vc_o_rof___et_______ph__o__nn__ndl_______en__t/e/__ec_____p_n_uo_00 _ _9____.a ' _ d'__ne_o de un_ circunferen_ia de centr0 _. B y todas los puntos de __ ci. . A . / .a quç. / .cun(e. _ _ _ . . semicircun Terencias y _r__os mayores. _ _ F_ cO.CO mayOr. Se _ndlCará COmO mAB... si _d e5 una semicircunferencia. SeanAB diámetro de una circunferenc__a vH . _. UntOSde taClrcunferenCl_ v n qu__ e___tan/ en l3 re€ión intey_ i___r _el ___B. _ _ ' Si L es un punto distinto da A y 8 al arcu se __ semipl_o.' _ (bJ F_ur_8N7 F. _ _ . _ lamedidadel ánguloc_ntrai correspondiente-. 298 .
m n_ /_ _x _ Teorema La medida del _nglllo inscr_to e__ igual a ld mitad de la medi4a deI ar__ conespondien_c._._ _ ' __ _ h ' ' ' '____ ' " ' _ 3 . El __rco cuyos puntos son intej_ces _l ._ a._ A d.En_t_?_?Ql_?_ ___rr n2_B n __ _q o__qvJ7 _ Q_F__g\uf08__Jt Bo_Dt+ll__AJ_t0 __gB___ CAPITULO Vl l l Circunferencias _ _N_U_O INS_RltO A Es aquel ángulo en el que su _'értic'e se ubica P O._.___ n . g\ _ an_U O _nSCnta_ eS e aYCO COrreSPOnd_ Ffgur__._?__ __q.x-----. ._.._ _ __ _ ^_'_ _ _' _'n n_v A veces e_s conveniente c_nsiderar a la cjfcunferencja com_ __. x = a + ß _OQd y _OQA: isóscel_s _QOA: isósceles _AQ_O: m_40_ = x+d+_ = 2x D9 QA08: x+a+x _ 0 ta 0__ r Cenf: _ _ X_. a g en la cjfcunfef_ncia y s _ _ s l a d o s c o n l i e n e n d 0 s ._ngulocentral _\ Por dennición m_40B = mAB ' _ ...OrqCe_tf_' = t X=_ t X 2'22 29_ . _rc_t a_. m_ = 0 _aQB y __QA: isóscetes.j_ _ e __-X_a_ '_\ _'\\ G \_ '_ __ '_ _ B Ffgu__8_ll QB: diámeLro. _ x_ _x ._ g a.n ue no _ Enla n_Ufa __l_ __ tenga extremos._ x o./ cuerdas. En este _aso _se c_nsjde Fa _u x _QB_ á___lo iElsCritO ..n___g ax _ -> mAP_=3600-0 .?__ ___Cl___ . mAB ar_gura X= Demo_tr_rión Consideremos los tres casos siguientes: AA x._.. medida 3GO^. AB : efc_ c_rr_s p_n_iente al aA QB _. n w _ / m __ .
(cJ gura8. ''' X = Enla Flgura8.espo.cho áng.15(bJ= x = a+0 (I) En _a ng. Es aqueI Óeulo cuyo vé_ice es un punto . d. _nto _._DE_re_ml _ostra_ctl______D__t__/a_/___________\/_\l_\/o___/_/_//_m/_/l_J4Bn_g/_AB+0_xm_ B__ _ AegApts_u_gn_u__c_a_osano2__nt_Dg_p___u__at__lc_rt_o_E_l__yc__ptu|atl_e__o__w__xn__Ro)____r(\0_\_\2n_J\______\____\___A_\_______ 2 ________________________o_ f___ ((_)) LumbFeras Ed itores Geometría _NG__0 E_lNSCRl_O Otr0 form_ de demosrrar _s aquel ángulo adyacente y suplementario /_ a un ángulo insc__o. . (I) en (IlJ. (El ángulo central (bJ _ la f_gura 8. \\ _____ .l5 (aJ se traza por B la recta tangente _._o.ra g _6(aJ p.d. \ ' .n 0 mA8 a_ _ Teo_mg _ D la medida deI ángulo intejor es igual a correspondientes por dicho ángulo y el ángulo Reempla2ando (lIJ en (lJ o ues_o po.ente.ii mAB + mB_ co..a medida del ángulo exinscjto es igual a ..l5(a):_ X-. e_ ve____ ...x__ +g __ l.nter_.c.o_n interior a una circun Ferencia./' 8_/'. po. la semisuma de las medidas de los arcos _.ito ABD .________. _0o '-_---------^-: c . ' a^gUlO 'n'C^tO _. mAB mBD TeO_ma EnB. Por ángulo semiinscrito _ABC es ángulo exinscrito.. / . a f_gura g. ' x__mA_+mB_ __' +m_D 30a .2 _. _ 5(aJ _ara el a/ ngulo _n.
.. o dos __cha c l_ . .2 Por medidas de Ógulo exterior al _P_B S l\ a P '\ . m_ _.B _TPQ .. 0/2 B En la F_gura 8. P: punto exterior __ y P_: secantes a la ciTcun Ferencia _RA : ángulo extejor..cunferencia Demos__rión A o_ D__'2 \\\ c !... Por ángulo inscrito mqCBD= ....J6 P _ 0 a ' _. X=-+_ (Cj ____ _ . l7(a)... .... M v N: puntos de eangencia mA8+mCD ___ __pM. una secante y tangente.. aga .... _.- Fceura8.0a _' DP_.... a/n ulo exte__ ... 0 y a son medidas de los arcos correspondientes aláguloAP_.-_... PQ 'secanTe Pax _ _pr : a. _ r an_UlO InSCI__tO: _l = . In_DA= .. ii.. ánguIo exterior D ' ..____tgG_eu_nlteosaEp____d_t2___E___2_DR_x_|__0______R________(___b_____J__D_0___0tB_12t _____2_______g__________________ cBD 2 __g___c _______o__r_(\\d_l_ Jotl_t___ t____A_ a_ cApjTu Lo vl l _ Circunferencias Demostración T ....0 '"____ raJ . x_a_0 _''_. ' _J2 _ . punto de tar_gencja P :puntoexterior C . Teore_a La medida del áng_ilo exterior es igual a la Es aquel án3ulo cuyo vértice es un punto semidiferencia de las medidas de los arcos eiterior a una circun Ferencia y sus lados pueden correspondientes por dicho ángulo.r: dos secante_. pax.... ..
..:... secantes a una circun._.._._ ' Si æ_ / __....:_....:_.. --__ox _._''_._ ' ' Por ángulo semiinscrito F_u_ 8..:' ' I9 Dos rectas paralelas.__.:..''..____.. _..:'''_'.._'_''''_.. _.. .._'___.__ ....q___.:...'_.:":'':...__.. ... se cumple a_ . en este caso Ferencia determinan arcos de igual medida (arcos congruentes).._. UNtER____l_.:_.. ..Además. .'_._. . __:: _ ..: X_..__.mqKNM=a _p_1N......___p__ o_____________ra___ngug_lol____n____A_____sc2rlto\__\______________________________________________________________________________________________________g__________ _____ _____ __________ _A____ __________________________________t_________________2_\___________________\_______________________________________\______________________\________o________ _2______________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________ Lu m b reras Ed itores _ eom gtrja oK N '_2 __ a S D2 : . \\ g '_ O p. 0 a mqTSQ=-2 ' X+2=2 _PSr i'_ '_ ii a-0'_i_ N _ X _ '_ i i a i 2''_i X+-=....:'_.'.__..aX g ' \ 0/2 .'''''...'._. _ ' mA_=m __ _ 304 .__'''_'''_::...| _ 2 2 _' ' ' ''''''' ''''' '''_ ' '''''' También _PMN es isósceles.:...._''_''._:.:.....' ._....':'.:'.. Además. _.____'_ '_''__'__ '' ' ' ' '' __ ''_...____:._ 'P''''' '''''''''''''''''''''' ' ' _ 2 _ x+0--_1'8_ ________ ''' PR0_ilED__DE_ DE'..Jr 0 pof ángulo semiinscn't m_PTS= 0a _ _ .._ M e_ _.''..''' ' . __ __ _'' C__ l_ RC..'_!. m_MN=-. t\ \\\ B _l \\ B __ ì __ 2 _2 CDr (_J (bJ Si __ //_2 _ _m_C__ ..'___. '' .__'5''_j"''___.. ._ _ P 8/ j_ T ' . ..
m_ = m_O_ -./ O '__'_\R c D . ! \\a /// / R '.a (_cent_l) mAC mCD_ rnqCO_ = a (gcentral) 2 _ .t o e n _ _ m_O_ = m__O_ _ a . _AOB__CO_(c_o /n ._ .. La mediatnz de toda cuerda de una a. 305 ._o _.A C. r c u n f e r e n c _. R.'. c. __ = mA_ que si m_ =m_D_ lII.' R__ _\ _B ì _\\ rcJ __8_l8 _AD: ángulo insc_to en _ Si AB _ CD = a.._ _____ncaA___a_Dtgc_________2B __\ __t_/_/ na/t/F___oc(f0bee?J8nn__telo9n___c_ecsenA_LtB_rt_lo__t Ltdtc)eDdt tlc_ha CAPíTULO Vl l l Circunf_rencias Demosnac_ón DemosN0cjón ___ ._. _ AC A __0_ _. _o_ cuerdas de igual rnedida dete_inan c _.nscn. a c o n t./_v_._ en una misma circun Ferencia_ arcos de igual c _. n f e r e n c _. traaamos OA_ O__ OC y O_ _ _ _ OA=OB_OC=ODR m _ rn__=a=_ . _' __ a O \\\ a X _ a \\\\ \ _.'.'i A // ' g __ " . _J como_ //æt a__ __ __ma l2An_ogamente _ caso antenor se demuestra -.. O ' _ B!D B (a) SjAB_CD M _ Sea _: media_z de AB y O: cen_o de _ __x_mCD_ _ 'a. medidaynceversa.
. _ A i__! .. punto que equidista de A y-_ pertenece a æ..' 0 ' _ ' _ ' ^ ' _ ' _ _ ^ ^ _ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ' _ ^ ^ _ ^ ' ^ ' 0 ' ^ _ _ D ' _ ' ' ^ ' O " ' ' ' ^ ' _ ' ' ^ ' i ' _ P ' ' ^ ' ^ ' ' ' ' ^ ^ ' ' _ ' D 0 ^ O ^ ' ^ _ ' ^ ^ ^ ^ ' ^ ^ ^ ' ^ ' ^ ' L _ ____ ^'.i.0^'__.// / . ..__.0'o_D. \_\ P _ _\ punto extejor a una misma circunferencia A_ _B ' 'U F_' ur _a8_O Si __ es mediatnz de AB. O pertenece a _._.. es decir._ fV_._ _''''''.' _. ...__aRAg(A_t_c2)__22a0p__g__ _g____ _ad_ dppd Lu mbreras Ed ito res G eomet r ía æ PA y P_ : rectas tangentes a r__. ...__ ' D _ _ _ ^ _ _ ' ' O ' ^ ^ ^ i _ ' O O P O O ' ' 0 ' ' ' d 0 ' ' ' ' _ ' O O .....i_i_0. __A: _gulo semiinscnto % o p _m__Am__o0' _AP_: isósceles 306 .'_t_'_!_.'g_.__.o _8_i__.. sean A B untos de tan enc_. __ ''__!___ O__..^^'__.. A y B : puntos de tangencia..__... _... asíPA=P_d.________________________p____________0__________________n_____0o______0_0o____0_00_______vo_______D00_______________po____p_0___0__D____________o___v_______v_____p____0__________g_________________D0____0_D______0_op____D___D___0p_________________p_0_____l_______0p_______0__0_____o___0_0______0______0____o_v____0___p0__D0_____________0___________________0_0____t|Jlt0D_00__________0__go_o__o______0_____0__________________D_/_0B__o_0__A__0_00__0po0__0o__0__bp__0po_0_0_o_p0p_0__o_o____0_______________o_______0_o__d___p_0__p_0___D0_0__0p0__0___po__p______po_00_00___0o______0_________________________o_______0____0_______D_____000_D_D_D_0_____o_0_____0__o0_____D___0_D0_D0_00p0___0__0o_0_0__o_o_______0_____0_'D0__o__00__0__00____p_____p000_0____0p_______0___________0__0_______0____00______.__-.'00o. .'__.i' i'__''..._ -. (bJ Si O es cen_o de _ _ OA O_ = R. F_ur_.. . 0 dicha circun Ferencia. /' .__.'_. .i._.. _ O Ml Ag _ _8 _0 _0'_..0._.''o_.._. '_@v''''''' '0__^^^'000__''_o._'0'''.''i'__.a ..0. A _M.... entonces todo . ..D..= e. F_ur_8__ OStUl8dO Desde un punto extenor a una circunFerencia _AB: ángulo semiinsc_to solo se pueden trazar dos rectas tangentes a m__. ___:__ .'''' Oi' ____^^.. O equidista de A y B._____o_______0_________00_0_00_____0__o0_____v_o_________o_0_____0o00o_ooo_op_0p0____Do____0_oo_p___00_ _v p_L ___/g/y/g//_ppB/__o/ttIJJt______o__AB.._._ B .v.__i__'_'_ ' '___ _'0_''__''0_'d__'0''_0''___'_0 '__ '__'_'__'__'___'__''__''__'__'_'_''___'__'__ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ ' _'' '__'__ '_''__ _'_'___ _'__ ' '__ _ __' _ . .9_''___. '' _''a __.._'_...._.../ SiAMMB=e_______'_o . 8_l __8___'__. ' . _ mqPAB-..'_ =' _i__i_!_'_' _. .J 'o0_^^'0........_^''_..i. i. t_._ _..__.. Dem ostr_cjón ''''.. Ja __..// O:cen_ode_ .
.........\\ 0 el semiplano superior determinado por 0_02 )...__0__'_..._... entonces %J y _2 se intersecan en das puntos._!_'_!. De (a < b + c.!. ....... .e=..p _ F_ur08....._.a.. iii''_._..!_._.." _a0'_''_ ''___ o/' J eIDAOBP:trapezoidesimétrico _____^'_._"__'....0'0Dd_DD.'''__.. %J y _2 se intersecan en dos puntos (P y Q).'.''__._....... En Forma análoga sea Q un punto de %_ ubicado en el _miplano inferior determinado por O_02 . __i' ____ J a ___'_o../. b < a + c y c < 0 + b. existe un Boa c 0_0A _águlo ABC con lados de langitud 0.i..L.. De esta manera concluimos que P también pe_enece a '\ _ _a qUe _j eS el COn_UntO de puntOS del planO qUe diSta b unidades respecto de 02).'''_. __'.. _.. b y c.. luego.n._... Q02 = CA = b y de esta manera hemos demostrado que Q también pertenece a _2..A OA=08=R _______. que mæo o _mgc_A_a (A en %J \ __b I.'..' a yb respec_vamente donde O_02 = c.'=''_.' _ _ _ _ po. 02 y radios _ .__!...._...''. __ R. _r el a '\ o a _ teo._! ...''_''_o....._=.!_.=...b < a + c_ c < 0 + b)...''__. ubicamos un punto p sobre i'' __ %z _p de tal mane..'...c. _a mgC%A = a y m_CAB = 0 A un lado de la recta o_o.._g_..' ____.._i. ii''''_. _ ..g..=._''_.'._=!.. Euclides basó esta aFlnnación en que ._ BCA .D_ _'_____ood''___'''. 0 ''__ 'ii__'_'''_ 0 B P __.._. '' >..'v_o..._.'...0!.. Entonces el _ O_Q02 _ _ dCA (Teorema L.. a ___ __9. _r el teorema de existencia de un tnágulo..'.!!.. R _ ' .... ha de ser en dos puntos.''..__......=..''__. i!i. _ J ''__a _.._o_.d'^_D.O' ... pero en una %2 exposición deductiva de la Geometa..!.....o. _?_.!..._3 ____i__''i_ Axiomao teorema Si dos circunferencias se intersecan...'.d'_.A...!'__... luego PO.a.ii'''__.=._ii_''___._. . 12._.!..______ _____0___DD_0__0_DD0______0___0_________________________0__________0v__o____00v___0_vo_v_v_____v______________%0__0__000__0o0_0d__o00___0__0__e0__0_0_0___0_00____0_____0__o___________0____________0_________0____o______0_0_000g______q_q0_o__00_D00_0__Do_____0______________c___a_0___0___0_0__d0_______________0___0_0_00_0__0________________0_____________g_________q_____0_______________ ___0_(s__q_p___________p___e________0__0_____0__________L__o__ _o0o____________0____0__0___)0___p_0_0._.. =._. tal que mKQOJ02 = mgC%A = a.. _ J 'a ' o demostrarse en cuanto teorema... .__0__000_po_______0___q___________________q__q_______0___0___0__0____________pL__o_________0___________________oL__0p_0l_0_____0____0__0____0o____D____000__D_0_0_0D_00o__op_00____000_oo_p__0p_0__0p0_00__000_00000_____oo_0__0__o___0__00_________v____0____0_vv______r___o___l___D_Do____0_b_D0D_t0_o0__0_o0o_o_00_0DD0p____0p_____00____0D__0_0__00_____0__0_0__oo0_0000p_0_____0_oo_oo_o_____o__00____o______0__o__oo_o_o_o____________v_0___________________________________0______0___0o__o______o0o__0________0o______p_00______ CAPíTU LO V I l l Circun_erencias_ ... R intuitivamente parece que ello es endente. Ios cuales estan/ en lados opuestos a la recta que pasa por C loscentros..._... mediatn'z de_ _g _____0''_...__^...._....0.'. _b Demostrac_ón.=.'''0.'_....' Sean %_ y _2 dos circun Ferencias de centros OJ.)._^^_D. una aF_rmación de esta clase debe enuncia Fse en cuanto axioma ostulado I.i!!._0_'___....'_. = CA = b.J0 ' ycomoPA --P_-._p R ___'/ .i...'___?'_' _'__' "__ __'___o0 _____'_'_'_'_'"_'_'_'_'_'_'_'_'a_''_'_'_'_'_o0_D '_'_''_'0"_'_'_'0'_'_'_'_'_'_v__qv_'_ ''_'_ '__'''''_o__'_'_"_'_'_'_''0'_''_'_'_'"_'_'_'__'_'_'_'_ _'0__0 o'_'_' -0'_'_''_'__0'_''' 0 ''_'''_'__'''_'__'_'_"o "0o'"ooo0'o'0_'0'0a_'_____'_'_'_''_''0 _''__'__0'_'-_'_'__"'''0'a'"0""_'_"0'_''"'"_'"_"_'0''_'____'_'_'_'_''"_'_'___"0'_'0'"0_''____'-___'-''__'''__'_____"__'''_'_''____'__0__'__0_'_'_''0 a'o' "aa00"0'0'__"___"_'_'0__.ema L A L a con ruen j e tnán ulo odemos C ''' t l _egurar que _ O _PO._.='...__.b___ _ PO:Bisectjzdelg__ ________'''_.....!..... si _ < b + c..'._.0 _... 307 .._!. Por lo tanto.=..
_ %-_g____= '" B c_ ___ _ '__: (bJ mIrador de ronohuora (ArequipaJ .?'____'_m _-"___ R // _\ R __ _ _ ' _c__ _m?_m__? _______ _i? // '\ ?_ _ __a__C^_m_^__ ^_ 0 " 0_._._ _ __ > . F . d _\ ^ ._ w_w ' _.'..'__.__n _ _aJ .. rniqM_--mAN_ B ._"__ _"hn X . _'' .N. . . ' '\_'__ _' A ( ' =.__ ' .^_-_ 1 ' ' ..t _I_ _=m ' . 308 . .. ___._'n \_u'_j'_'\ tIRC_NfERENtIA_ E_ERlOREt Sea OO_ = d .._ _ '_!__ '._v__?___'. __ _ ?___ _?._.4_n5 . % v _ _ .. ?_.._...'n '_' '_''_'_' ____? "_.? Los boses d_ _di_cociones circu Iores nos muestro ___ 8_6 circun_rencios exteriwes. __'_ '__v-_' '_ 0_______C __X..._hW____'h_'______'^_'. _ // '_ _:' ' __ __ '/'_ '-?___ ./ m__c(ón . _q _? _ _. _ __ m _. '____ _'_____' nv_DE''h_''M/ __ _ n _.__y _ ".5_. v._. _ d = OM+MN+N0_ = R+MN+r lfCUn erenClaS SOn extenOfeS Sl nO Se .n_ _ _.____ '_ ""a n_'^ ' "'V_'_=___? _= 2 t m =m s ._^> _s__.. longj_ud_ pof lo _anto 0_A=OJB=R _j % o___o___ Por lo itanto O __AO_ es un rombo l2 t . .__ _ .___ .9..Si __ _ m.__a M à)__02 ^_ ' ' _ . compuesco por orcos F__ 8_S de c1rcunferencia.'_v_/.._ ^__. _ __ m _ _ __ __ ?__^______d_ _^_____ __a____ 0_ ___ V?______r _ ._.._._ _ . '_ _ __ '_4 _R\_ /'R_R ..____._ ___ _'_ x....\ ._n_.__ s\h\_n"''V _.'_% __' ____ O O ' __X_ ____''____n_ _ ?"_^_"?_ __ .__?_ ' __ __'. __._____DsRl_o____sc__Rl_llo\/\_yMA_\MA_t/M/N__/A_oN____ t m_ _ ___t_r ___t_ _?__._ _.___n?____________________w____nc____y___x_/___n_h_y_yx_t_______t___?______m_t______m_____ Lumbreras Editores G eometria _ DOSClrCUn FerenCiaSCOn__enteSqUeSe intef.c y n__n c -_ u __ _ _ __a _. . entonces sus radios son de igu_ Secan determinan dos arcos con_ruentes.. 5 _ _ _ _? '. . d>R+r InterSeCan y SUS re_lOneS lnterlOreS SOn COntUntOS _sjuntos.._ _ _._.______o?c____B_R_____q__?________\\0tcv__t_o___n_??.?.' .
t j_ l _\ 2 /_ P %..'. t B t_ A 1 T 2 _J .___% ll_ o o_ _ __ ___ fet\ \c_ tJalJIJtan_ eent/_e a _ e_n p___l__ cApjTu Lo v _ _ _ Circunferenc ias CIRCUNFERENCl_t tEC_N_Et _J__._.:_.._../' '\?_ '_ í o2. %_ 'OT ._. \\\\\ // _ _.__'. %. 02T = f.// '\\ .._._....:._.. : feCta t__ente a _j e_ P..._ _ _____^:_____'_.._.___./ R'\\ .. .. tjNenen a_ Sea R > r.__.__'''_. = {i.:__:'_..m_. 010j d _ R-r<d<R+r _a n gentes exteri ores _ng_lo determinado por dos Sl tlene SOlO Un pUntO en COmÚn y SUS tircunferentiat tetantes regiones intejores son conjuntos disjuntos.._._.._.. radjo f son __: ángUlO FOCmadO _Of t_ y l2 _gentes exte_ores./. Q} N_rcun Ferenc__as son secantes s_...:. _. medida del Ógulo dete_jado por ést_ es 900.. ' o2 o ì\ ' ___' ' '' :__ ' ''_ : '' ' '_ _: ' ''______ ''_ __ :_ ' '! :_'' ' '' '' ' ' ' ' ' ' ' '' ' '' '' '__ ' _ '''__'_ ' _ _ ' '' ' ' _ ' _ ' '' '' C'__' V ' ''_ ''_:: __' ' '' '_ ' '' _ __''_ ''_' __'_' _ 02 /' _ _i í Q F_ura8_8 F_u_8_JO 309 ... O_ = r.. Se denornina así al águlo formado %j por las rectas tangentes tf_adas a ambas %2 circun Ferencias en uno de sus puntos comunes.= {_ T es punto de tangencia _u_ 8_9 O(T = R. __O_ F_u_8_r _' __ ^____.:.__..._.:.n OjP = R. entonces en el _O_PO. OJ02 = d _( _ _2 = (i. \\ // .__. Si las circunferencjas _1.._...:'_. .:_.'____..__. radjo R y _.:_..! o.'N_? _' \\\ .:__._.... Q) _ d=R+r _f ('lN Teo_ma t..__. a Fjfrn_os que los centros _P_: Ó_UlO determinadO pOr %j y _j ?_ el punto de tangencia son colineales ' Cl ftu nfetenClaS Ort090na le_ _antes propiamente dithos (secantes_ son dos circun Ferenci_ sec0tes.. donde la s_ _-enen dos puntos en cornún.._.__.. '\\\goo _ . ./td' _\ % '' p R .
_ \\ rn_OJr02=90^ . 02 y T son colineales. interna de la otra. m_TO_ = mqPTD. de radio r son tangentes intejores. entonces los centros y el punto de tangencia son colineales.oo _dy _ í'f \'\\R l . // ' _\\ _RoT_. _ esnormalde _ y ._3 3tO .// í Una cifcun Ferencja es intenor a otfa.nte__o. n y una de Del postulado de la tangente común a dos cu_as __ones _.Jl %J_ _2= {T) T: punto de tangencia _\ R %_ '\\\\ 01T = R_ 02T = f_ OJ02 = d _\O_ 02 ------.-. = 900 %j _ _ _ 2 entoncesO __ yO __ _ Por lo tanto OJ. 02 _ _2 ) _. entonces m_O. F_' yr_ 8._lsas reR_sg _d __ _/R /o __ \ f r g _ ___t_ N 2 y Lumb reras Ed itores G eomet ríat J t a n g e n t e a _2 . %j 22. F_ur_8. tj t an g e n t e a %J _ l2. ' 02 / / td_ '\ .' 02 O_( O l _ _J . P_ 2 + f2 __ F_u_8.TP= 900 y rn_O2TP_-90^ .-P i m -f _d_\ \r 2' Teo_ema Si las ciicunferencias __ de radio R y _. I 2. tJ es normal de _j r . / ' ' ' \ CIRCUNFERENCIA lNrER lOR linteriores) R .es esta conten_Nda en la re __o/ n tangen tes. . si está contenida en la región intenor de la otra y no se intersec_. __ tangente a _j y _j en T.J_ 7a ngentes i nteriores __ t__enen un so_o punto en comu.1 2 -.
B. D ' _\ ' _ Q '_ D NC ~J Si A .N. j ' _ _p _ N _N \\ /.én m__Dm_0B=a y m_AC= m_CA= 0 __P_:= 2a eOrem_ _APC:_ 20 I. Por la propiedad IV de la circunferencia '__ P_a_j:PAPC '_ r Para_2:P_=P_ '\\ ..37 (_J Prolongamos las tangentes comunes r_ extejores _ y CD hasta P. 0'_-_-i' . 0t / ' _ _ .'. A M \\_ !. \ \ _ a .-'_Nq _ i_ _ ' / t . s__ A g c D.T______//_\_ /t||_t F_y(_bJ8_36 ___ _ \ _J __AB_\__\\\c_D__pp B lu m breras Ed itores G eomet r ía 1angente com_n interior Demos__ción At l t2. \\_. \ _' . B 2.' %j J. !. \\\ _ . p y e son puntos de t_genc__ AB=CD (I) entonces AC//BD (lI) Ad = CD = MN y AM = MP = QN = NC 312 . a=0 A _ AC//BD \\ . . g D / '' _ C / /. (b) í F_ura8. C y D son puntos de tangencia. _ . PA-P_=PC-P_ _ Así tambi.// _ _.
__AMM_gAB____cMM\\DpQ\____\\m_Fm__+yf__8__8 _ \ %_1__\\\\ n_22 _((t Br ||Q M_p__ \__ )%y2_ CAP ITU LO V l l l Circunferenc ias Dem ostr_ ción DRm ostr_cjó n AmM _ _. \\ .m m+_ _. 3.enP. M (_J Si __ y _2 son tangentes extejoies en T AB tangentea_. __ y _.rnBNT rn_TP = m_TP . TP: bisectjz extejor del _AT_e mAMT -. ._r D _+n NnC _"._.P B . N B// \\ %j \\ %j ' ''\\ T '\\ A _ . _ (bJ bJ F_ur_8..En _j: a= _ an_UlO SemllnSCrltO _ 2m+_=_+2n Simplincando mn . n_ . mAMT_m_NT _AM=MP=QNNCy AB=CD=MN 4.: tangentes extejores en T.39 De la propiedad IV de la circunferencia. N _/ _ Q '\_ /' . _ /' . Trazamos la taJqente cornún intenor a r__ NQ NC=n _ mæT_ = m_QTA = a NP=ND=n+_ mAM^r En _1: a= _ (án_ulO SemiinSCritO) De ta propiedad anterior mBNT '.
.._ ' 00 _ R\\ .'.r_ B p .r . _ ' '' (aJ (aJ 0_02 l AB y Si T es punto de tangencia.' t\\ ...__.as secan_es el segrnento 6.\\ M _./' '\ r_.-'''' ' ' .9l Trazamos _ tangente común intenor a _j y _._. B que une los centros es pa_e de la mediatriz de Ia cuerda co_nún a las circunferencias. mqBTP = m_TM ._ . A . 0 '\ --. '_ // _ . r_ __ m_rVB -_ _ En _J _ 0 _A = O JB = R m__rp = rn_pT = g En _j: O_ = O_ r _ En el ___ _ OJA02B: trape2oide simét_co m_TM _+0 _ Porpropiedad 0_02 _nediatjzdet18...' \.--.:___''_'.__.__'_.._ j _\ " M _2 _\ J R /_ '_r \_ T _ %_ ._ B ' _ _ ' ' (bJ F_ur_8.90 _ F(gur_8.&''''''''''__'''_''. entonces _=M_ mATmB_ 314 . . ___D + \\ // _ 2 . R ..rcun Ferenc_.Jl_ ))_ _ Lumb reras Ed itores G eom etría Demostr_cjón Demostr0ción __ ' \\ !.5__ _E_n_d_oscml __ ____ __(_b_. AM = MB . ' . ' A A _ __ TO 1 02 V.'.'_.
..rr __.! S Q _ . _ De la propiedad anterior_ r T __amos _ r _ngenle com ún _le jor m_r A L _ m_r y s a%j y r_. . aT .'. mMS=mSN n _j_ a = _ án_U O SemllnSCntO . Dado que T es punto de tangencia _N y la . _ _2 _ _ aa'' A j.._1 Luego se _aza la recta _ (tangente a _j en S). _ _ 2 aa _ _ %_ ' a 2 _ '_ a _M'N 'Pì_ M..J __ . .'.Ly __ _ _ (aJ (aJ 315 . mAT=mBr 8.consideramos d d _ _ CUer a e _ SeC0te a 2_ COnCIUl asíquem_Tl=mqNrl m_rP_m_QrN . Si TyLsonpuntosdet_gencia. m_TS=m_TN .M _ __ 2 .'.' ' a _ M .'.! _' _ _ _ .m_lT=m_QSr mAT (ángulo semiinscntoJ por lo cu_ JaN// _ : a = _ án_UlO SeInIlnSCnlO 2 De _a propiedad _ de _a circunferenc_ mBT .L N __ _ . (bJ _ iN ' _ _'U_'' (bJ ' s e _fO On_a Tl ha5la S SE F_ura8.__E ___l_ %2_nn((llrll_ l 1_l_____ _ ))_| __l_%_n _Jl_9(J_g_J __m_aos_que _ULO Vl l l CircunfeFenc ias Dem os_0 cfón D_m oslración g l _' T !_ > _ _0 .
mMM ' 2 _N ' IO. M y B son colineales.. 316 .95 F_ur_8.' _' ' . _ ß=y N ' ._ i A _ ^ 0 (_J s_ M y N son puntos de tangenc_a Si M y N son puntos de tangencia Entonces A _ M y N son coIineales. Cnv -_2 _. M y N son colineales.' '_ .._P : ' _''_ __ . N. m_Ti=m_r_ _ 9.N. _N' _ ' _ ' l (bJ F_u_8.99 Sea mqMNO_ = Tn_M0_ = a (_ iSÓSCeleS) Se prolongan TP y rQ hasta los puntos M ' y Para la circun Ferencia: N: POf prO_iedad qUe Se ha deS_COlladO mMN = l800_2a (ángulo centr_) antejorrnente c M-o // A-B nnl' mm rnqAON= l800-2a _ mqTPQ = rnrQ/2 (ángulo inscjtoJ P_a se mic i rcun Fere ncia: mqTM'N' = rnTN/2 (ángulo inscjto) n rnAN = I800-2a (ángulo centralJ Porlocualsenota _ n _ n n SenotamMN=mAN MN// M 'N_ rnMM ' mNN (propiedad) n _r lo tanto A ._____M__r_Q_N _rN_l(__b_Jtt_g _ _om_o_ _ ll_l __M t_t B Lu mbreras Ed itores Geomet ría Dem oslr_ció n Dem osrr_ cjón T _N ''_0 y _l /'. t_ _l M ___ rl l _ ! N _ . 'l _l N _ 'lM _ _l '.
_^_.. __ _ . .. .o..__. .^__ o . .^.__ ___. ____^^__.o ^._. . . ^ ^' _ ^^_ . . ^'_. __0g' De ahí. ^^ _^' _ o ^^ _ _ Q_ _ _ ' __ __^. . ^_. .'__'_. . __ ^ . _^'0. __ ._ a . el a_e de razonar coITectamente sobre dibujos _%___'_ _ _''. ._''._0 ___v_. ^^_.... . . __^_. a e ^o _ __ ' _ _ _ 0 __ __ _.o. _ .. ^'_. . '. ^^ _ ^^ % _ ^^ ^ _ ^^' _ ^^ _ . __ V___ __ _ m.''. ^ _^''_ ^^''_ ^^''_. . . .-.''__ ^^''_. . como queamas demostrar. _a _ _ _ n gg __ _t _ _ _ __ . ^ ^' _ ^^_ .___. . .. _'. ..^.^__.. ._.''_.. . _ ^^. ._ _. .'__ _. ^^''_.^^'_0.^^o'_.^'__.0. . . ^^ __ ^^ _ ..__.._ __0. _. _'__^__. ^'_. _.. ^^_..^'__ .__c___c__________o_0oo0__n______________%___0e__0_. . ^^'. a y b resultan par_elas a r . ^^''__.. . .D__ Una construcción esmerada nos mos_aa que los puntos C y D no son distintos.__._._.. ^^ _ ^ . ejemplo. ''. . ___'.______________. . ^^'_.^'_. ^^''__.^_'_^.^_. mostrado por P tr_amos dos circun Ferencias con diáme_os RA y P_ (A y B en r ) ___0_^'_.. .'c_ ._ .. ^^''__. .^''_ _. a __ . . b ' %'____ ^ ^'''__. _._.__ . 0 . . _ oq_ _ _0D_ _. ___ m _. .__ . ^ .. ^^' _ ^^ _ . ^'. _^' ^^__ _ . ... .__. __.. :_ .^'.. ^^''_. . . . . . _ ... .Q8(a). _^ . ..^._ .. c . . pero como la '0_____^^_o.. . . _ %_. ._ _._. _^_ _ _ .. . . . .. a__'V . __^ _ _ __ ^' ^^_ ^' _ __ . ^^''._''a_'_ _._.___ ._ ^^ ^__^_ ^^a^__% ___ __%__a. .__ _ __ _ _ %o _ _ _' _q^_ _ ^ ^' _ ^^_ . ^^'_'_ ^^'_ ^^'_. . ^''_... . . . _^_. . .. . ^^'_ ^^'_ ^''__ ^''_ ^^''_.^__ . _ ._. .^__. ^^''__. .. ^^'oo._%^''_ '^''_^_''. _a __ _ _ __ _' _ æa _ C _' æ _ _ % _ ^ ^^. ._.. por Io tanto C = D _. ^^ __.^''_. ..^'.._D___c __. por ^_'__^''__v._ . ._ _.. ^^''__.^_^_._ _ 0 ^_. . . .^'_.. _ _ _ ^ _^' _ . . . ... . . pero que no conesponde a la __0_0_0.^^__ . _ ^^__.a __ __^ __ _~ :__ 0' _. V^o _. .^ _'_. __e n _ _ _._._ . ._ . . ^ ^' _ ^^_ ^ ^' _ ^^_ ^ ^' ^^_ .^ _'^' ___%^ _^''% ^__ ^_^a ^'. ._a_0___0_______________m__m____. a^'_ .^_ a% %0 ^^'_.. ^. _ ^ _ .. .^ ._o. a _. m_C_y la m_0A miden 90^. _. _. _'. ^^' _ ^^ _ .. . . __^'_._ . ^^'__. ^^''__.^a^_. . __%%_._. __. ._ c o n0. ___. .^0_'a__.____0_o0_____________x___o_0__0.^'_. ^^''_.v ._.. ^^'__. ... . . . __ . ^^' _ ^^ _ .. . .'_ ^'__^''. _. .^__ . _ .___aa_. _. .___.__ __0 __0" _ __ ____.___8 _a_a _'%_M__' ____-__c__-__ __^__ _ _^^% __^'''''' ^^ ___. _ 0 ' 0 _ .. ^^_.^_._ _g. _. ^^''_. _ . ^^''_. ^^'_. .^ _ .^ __ ^ _ ... . _. . . _ . _ _ .. L' ____ ^ ^._o. ^ _^c. . ^^__. _q . A D^ B __0__ _. . __. _^__._. .. ^''___ _. ' _ __ . %v. ^'_. . . . ._. . _^__. ._Q_____o_______________o__. ^'_.^^''_..'. .__^'0__. ^^''__. .. ._' ^ ^ ^ ^%^_o ^^Y ^ ___ _'. ^'__ .. ^' ^ .'__ . 0_____^^'__.. ._0'' __v _' _-. _.._. ^^' _'. ^ ^'. _ . . .^ ^^ ^ ^^_._^''_''_. _ ..^_. .. _ :_ .^% ._. . _ _.. . ..____0_____0o_______________________. ^'_. _ _.. v . . . . _%_ .. ^' _ ^^ _ . _ ..^_ . .0. ^^''__. . ..^_ .^^''_.__.__ _óndeestáele_r? _._ o^0_ a . __ _. ^^'_. .:__^ Esto conlIeva a que a y b se confundan.0_. ._ _ / __ _ _ _ _ _ __ _'_' _ _'_ __ . . ^^''__. _ _._^'_. ^'_._. ^^__.. ._o _~_ __. _ _ mj _i _. ^^''_. . _^''__ __^''.^'___. . o que todos los tnángulos son isósceles _?_._^_ . . _^v _ _.^^''.. ^^' _ ^^. . . _ . . ^^__.. __o _ ^ . ^^''_. .^'_.^^^~_^'_v Demoslr0rión ^_''..'. . .'_ . ^^ ^^ ^^' _ ^^ _ .' . _ . % _ : ___ ____0 __ ao _0_ 0^0 .. _ v_ _."0. . _ .^a . . . . ^'_. ^^_. _ ^ ^ ''__. . ^'_. . . ._ ^^'_^''_0. ^'. ___. .^^. v .''_. ^^''_. . _' _^_' _ ^^_ ^' _ __ _ ^ _ ___' _ _' __ . _.__%a _ \ _________. ^^ . . . 0_ .'^ _^' __. __^_^_ __ b ^'___^^^^'__. ^^__ . _ _ __q _ _ _ :_ _ ' ___ _m. _. . .''_.__. . a ^ _ _ æo _ _ a 0 __ . .._.^''_' _'_. __o__0. .'_. '^'_ ^^'_.. .^__ . ^^.. .. ^ ^' ^. . ^'_... . g o . ^^0. .^'_. ^^__ . _0 . ^'_.. _v__ __ _..^a . ^^__. ._.^_ . __ . . . _ _ %. . .. eslarecta.^__. . . ^'__. ^_. _ ._ ^ ^'o ^^__o_ _?. . ''.^.a .^^'_.% _ . . ' ^' . ^ _ . . ^^__. ._ .^ _.. ^^''__. . :_._ . ''__^^'__. .___''^^0_^'_c'_'___'_i'_^'_' _ ^''___^^'__. ^^_._00_.' . .. '_____''_.. 0 _ ____ _ a_0 ._ _c ._ o a . ^''_.^''__..^' _ ^ _ .^__ . ^^.D_D __._ .''__. a ^^ _^'_ ^^a ^' ^^_.v ._'_Dn'_'^__%a _..^''__. ._ __. __ __ _ _ . ^^''_. .. . ^' __.^^''o. . ^^. .^_.^^o .________. . .__ 0 . C D 0 B ___0^^'__. ^^ _ _^' _ .o _ ________ _' __^.^__ . . ^^'_.. . .'_ f ''c.^_ ._ ' . que un ánguIo recto es igual a un án€ulo obtuso. . . ._ _ .^^^'o. . . _'_ _v. a ___^^'_._. _ _. .^_^ a . _~'__ __''' %a ___. _ ___ __ _ _ _ _^ o c_ y^ e % __ %o _ 0_ _ .^'^D _. . _0 ___._ v_ ' _ .. . _? . __ 318 . . _. ^^__.'. . . _ .^''_^^''_.^._ __ ..^ ^.^__. . . .^'_ . %_ _ 0 _^ .^''_. Podemos demostrar. . _^''__ ^^ _'_. . _..^ _^ . ._ . _ _ ^_ _ ^' _ '^ _ . .___m_--_ __ . .''_. ^^__.^'_.0 _^! _ _8_'' _ _'_____-' _ _ _\ _ __ _ ___ _o _ __ _' _ _ _^e _ _ g_ _n _.^''_. ^ ^^. . . ^'_.^'' ^^_''_'_^^__^^'% ^^'' _^^o_ ___^o_%_oæ_'__ ___. _.^'_. .._.. ^''_.^^'_. .. .^^o'o.. .0_. ._. _ .'_ .^_. ^'_ ._. .^0. ._. ___. _^__.^^ ^^'^^'' ^^''^^'_^^''^^'.__o.^''_. ^'_.^''_.^'_. ^ _ __' _.^''_. ^^.^^''_. . ^^' _ ^^ _ . ^^_. . . .'._. . . _ _ _ _. . ___ ^_ .^''. . ..' _ __ 0 __ _^ _ _ _ _ __ _ __ _ ^^ _ ^ _ ^ _' ___ a D ._'_ ___'_^''__. .__ __. . _^^ _ _ . ._' P ^'_0o_^^'__.. Veamos un eJemplo: Por un punro P exteJior a una recta r podemos rrazar dos para Ielas a _____^^'_0.s__. . . _ . ._^''_'^^''. .. .æ.____ .^_..^_._ _^'^ _ ___ _ _ __ _ ' ^^' ^. ^^''_._._ ^_ ^'_ ^ ^_ _ _ _ _ ^_ ^a ^ ^ _ ^ ^ ^_ _ _^_ ^ ^_ __ _ ^_'__ _oo a ^ _ __ _ ^ ___ . ^' _ ^^_ ._ _0 q' 0 _ ^ __ _~ _ . . . . ^'_.__ . ^^__. _ __ _ _ _ .m_ _. ^'_. . ^^ _^' _ .^''_.__ _ ._ Se ha dicho a menudo que la geometa es.. ^ ^' _ ^^_ . 0 ._ .%__.^^_..^''_. ^^' _ ^^ _ . ^'_.''D._ _______'__^ ^.^^o Doo. .. ^^''_. o _0. . . . . ^_. Y^ _' _ _ _ _a _ _'_..'. _ _. ^ ^' _ ^^_ . ^^''_.. . ._ . . . ^'_ .^''_. _%o. _ . _ .'_. ^' ^'_.'_. ^'_. _ . ^^''_._a ._..' _ _ . . . . . __. .._^'_ a partir de Flguras construidas de una forma que aparece aceptable.^__ . ^^''_.^'_ . . .^'_._^''oo.^.^'_o . . _ . entonces mæCA m_0_ 900. . ..0__.____..^^''_v.. _ .O.'_. . _o_' Teorema paradóJico ____^^'_. ^^_. .. . __ _ __ _ ..__%_0o__ _'_ _ ___^_ ^.. . ._ .^__ . ^^' _ ^^ _ . _..^^''_. . _ _ a _ ' _ ._. ._._. ^''_._______________o_0______ooo_______o_ooo__D_p ___ lu mbreras Ed itores G eometría_ ._____^D F_ur080_8 a_e?_^^'_.. _ _'_ ^a ^ ___M._____________o0_. ^ ^' _ ^^_ . ^' o _ a' _%. .__________0vv______oo___o_0__0_____o______ _ Q__ A _ _ __ _____ _ _ _ _ ____ __ _ ___ _________ _ _ __ _ ___ __ ___c0o0_0__0______o000__0________c_________o____D______0____________o______v_o_0_______0______________o___c______________________æ__oecc_____________oo_0___________________0_______0vv0o_o_o_o_?___0_0________v__0_o_o__0_____0______v_o___________pec0o_______." _ o __^a _^___^. .^ . _. 0_ __.. ^ ^ '''__.^'''oo __'"_. . ^''_. .. a ^^_. .^''___ __'__ __''_'_g_______. ^^''_.. _ .' En la F_gura 8. . .. . ^. _.^ ' ''___._____. realidad._._ . . ^^_.00v________________. .._0 . ._.._ .. a veces._. _ _ m _ __ __ _0 _ _ __ ___ %.^ _ a. __ __ P '0__'^'__.:^_ ralsos.^. ^_^'. la geometría tampoco se encuen_a a salvo de paradojas somrendentes..^^_. ^'_. _^_.. _.. . __'..o. . por P trazamos las rectas a y b pemendiculares a PC y PD respectivamente. . . o v _ . ^ ^' _ ^^_ .^^o__o _ ___ ^: a=b ______^^''_. _. . ... __D _ .'. . .. ^ ^' _ ^^_ ^ ^' _ ^^_ . ! _ __ _ . . ._ __'_ .
?___n_v..._.__.__.._.___?___. .._u.___ __. ___ co _rrondo l__ es_r_fI_ . .0.... _lo ci_mos el ' del f_' eno _ pr_isi6_n de l_ _uinoccm' .._?_____ _ __n'. N_.\________l____x______.6 al_n_ ob__. w r_ón de l_ m_id_ de Entó_n_ _bre Ia obly_ _ de la _líp__ ._). Hi_o __l_e_e __ ' _ _.?2___a denn___ nte_en __ 60dHdlp Ad_____t___R_...x_ç_ Mm__. y_ _q. 9.) _n a__n_ _u_. _.ê.__o_________...n._ .... _ _ ? _ ':J_ SUS pri_S _d-_ en NiC_ ViittÓ Babit__ l_ _ _ a At__.9q__ _??? _ ._ _ ? _ _ __ _.._r_).___v_____ _____'__'. Hi_co._??_. ._c%_?_______l____t._______s___v__t__. _í mismo lle_ a la _steNdad u_ ct_iF1ución _ m_ de l O00 _e1la5 con la posici6n de rna_0_a de eIl_. _..9__y______5___._^'m ....._. de __m& y aI__ e ___ C_ a C ____0_ 0 _ 0 O q_ _ _ ._6________g______o__t__la______ob____?_?R__ __?_t__(d2h0yq?9?____d_t2?r___?__?4_____t____s?__. _ _-____ _-_' u _.__n__ ___ _?__rn_??_______q___vx_______t_ __.._____M_____. S__n _ hi__ Hip_co fue un severo cr_tico de lo_ conocimìent0_ _ _dqui_dos __ _e erKoM_..._t_._?__3__. __._ __. i__.v.. Tamb__ d_mos meMi0nw que de la miciat_m de HipaK0 hoy sobrewve _ _ivi5ión de la _ cir_nf_Mia en 360 _dos sex_esimal_.___._.y___...._6______v______?.._____________._tn__.. 'v_ e n.\___?_v_b._ ___ ' .__m___v.._C_?_.__ __? . ___._?n_____t_. __? '._.__?_ _? _ %_' ' On e_ 'U_ _ _! ____ ^____n_e._. _m '_ ._ ._''_"' ??__q'" __.\ _9_ _._. d __ de la _mja como i__ __&i_ n__ _ .n _ _ a..____ _e_/.. __ ___ _ __.._ (B._^______a__._ ' _ _._______(______?e_\__._____ _ del_T___' De 5_s g_d_ d_u_mientos astronom' jos... .. d d_ _ _on loS _l_f_ que f___ 00 __0 _ áún _ llCea Y _ _l_ . ? .m__y_t_________s_mc__________s?__________m____4%mns_?___t__.__._._:.?._'__ _ ____._m_._. _' _ du_e l_ _i_ de _ din_' PtD1om_.__.?__?_'__^.________m___.__._c...__.____... n._._".._?__?_____._?.._J__._ _n.._ __0L.._____t___.._'S_ _ _. 5u medida _ de la duración del _o y _ l_ d____ _ l_ dí_ y _u _ubrimi_tode l__.x_._:^_%___...__ _y_._._e_x_____uy_?_?___.v__________.es .. e._.
.2 ir i _...o.D_ 20\__ --_ ?i'' a-_--4oa (_IJ _ M__2._p________________________________ __A_n_ .. p Or angUlO eXtenOf en la ClrCUn FerenCla mayOf i... goo c 00_ n) i6oo B) l7oo c) i8oo .' x ! +a= 2000 I .. _ _rD _X -30^ ' F rn . 'C _i .. _de lam_D=x P . si T es punto de m_TF-._. /_ Ree _nplazando i .. a _Ura. .=. .' '__ .:. De la circunferencia menor . D_ i_ A .. 8_... . F_u_8.:::.. InAB m = 8 O. / .._.. .__\ 'N __(l)y(IIJ A B T _''_' a = l200..'. Pbránguloextejor _ ! Tc0 _0./ M N i' 8ooí C _' x A .' i.o. _ = 800 F_y_ 8. A)92o B)l Ioo c)115o ' ' D)12oO E) 13oo _ Resolución .D _ En la F_gura MN//A8 CD DA Calcule mNP ?. T .so i 323 .M.x=lIO^ ' B _... 'a i_ B t. D D) _goo E) 2ooo . 80^+ß-a 2oo 0 \\\'_-_ i__ _2 .._ proD_gm____n2__p_B tlrJIJJl_ __________________________________n_____________________ t '0 ' ro bI emas Qesueltos Pf0al_m8 1 Por ánguto semiinscrito en la circunferencia _ n n _ menoc ... 30^ .: . ..l ".49 Re.. Calcule rn_D.._____:m...-2 = 40^ _ rn_TD = 400 tangencia. .pB._ i_ _ C __ F i .o_uc_.::__. mFC=300 y e m_DG = 200.// .' G .
______ 18tloo ___/_//l/8_oo/y/___\\ __ __.B ___8. A..' /// . _ son puntos de tangencia.Q ______ ___ ____ __ _4 _t _____ __ftt__xgoa_DD/ _ M_ ___ _____ _______ Lumb reras Ed itores Geometría Pide mNP = x. _u_8_S1 324 . c_cu_ex. m__ _ 920 y mAM= 900..!. 3x+_+_+_+ 18oo _ _ 36ooP or ángu lo inscr i to _ o x _ _ 8 oo :. r y _ son pun_os de _gencia.. Como CD = DA _ mqC_D _ m_TA = 0 mBM=mCM_ 20 n _ . P__l__3 proD__mg_ _ _a f_gura.Calculex.8x _N _r _ mjr = _M = 2g Por ángulo semiinscjto Si m_Pr= rn_RTP=3x _nC_ mTN = 20 _ CN//Mr mqRTe __ . X .. .'./P / / !. p. De la Flgura.R _ . R..n__T -_ _ ym_CN = m_CDT = 900 apr y....'_.! ..:__. x=l80 cLAn__G_ '_"' ''"''''''''''''''''''''''i''''"'"''''"''''' '''''''' '' ___'___: __..e/n Por ángulo inscrito: EnPT 6x y mQT -../// __ o_ a _ _0 A) lOO B) l20 C) l60 A ' D) 18o E) 22o3o' n)3oo B)340 CJ430 Resolución D) 42o E) 45o Resolución //_... Se prolongan AP y BQ hasta N.. Se traZan CT Se _ra_ _r tangente en r. ._____ _ :':.Sl A ' goo _denx.D. T ''' ?.___ _ ' ' N /// ' ''' M _4X _ A._.
'.. _''''''''''''' '_'''__'__''______ _ BPPC=C_=OP--a ._____.. _ _ a H .:: G .''_.:___e?....'.... x=55030' ii. _ m_AP = 530/2 __i _cu_e x....:.__.':..:. En la circun Ferencia rnayor: _?_. !.__.___?'''' _S30/2 m_o =2x ~ ".__:_____..__._:.. se sabe que mND = mMD / _._ 4.._..A _ ' D X=370+ i ._..x=430 i _.'. _ _a2ar O_ _OP_: notable de 530/2.. o _?__i __._.._ r p'_. ._._?_ _......gura.. __AD: nOtable de 53^/2i l27O/2 _ _ m_QAD=53^/2 _. _rnNDmMD 37o_ _ s3oJ2x 7_ M la circunferencia rnayor __^ ' __0530 0 .. i.._. ABcD es un cuad..''_'''''.:_'?_.ado.. s y T son puntos de tangencia.. I27^/_._ _ m_AQ=370 i_ ... OSBP: cuadrado _ OP = B a ? __ >''_''_'._'"..53 i 2740+2x= ' Pidenx...'..'''''_''''''_ Por dato en la circunferencia rnenor y rnayor s 0 _ _ _a_ _ _ _ _ _ _ _ ________:__n? 4 _ ___9 D_M O o m =20=rn . ._ 4 _CH_:mqCH_= 37^ _t._.. __n__._. R..._. 92o + 92o + goo + _ = 36oo 37o R ' o ...___.....___... O ._...:.__. i. s.. ic = c_.._.... puntos _P_A: notable de 530/2..i_ 325 .....__ . '''''''_''''''_'_.'. Bta+a+a_ Oran_UOlnSC_tO 0 0!_ .:_?_.. 2x_ 860 . __l_m8 5 _ rn__o -_ 53o/ ''D _ _a F._:._.._..:_....''. DeldatoPC=C__ '_ .... Figura8..____.''. por propiedad rnQ_T = m_QH_ = 37o _.......'_::_'__:' _.. p c EnA_ seobserva: i...:::'__...._.... A) 54o BJ 55o cJ 55o3o' t' D) 56030' E) 63030' _cLA._. .___...' Por teorema _O es bisectnz _' . ..:.....'::_:'::.____:.... ..' _ m__O = m_O_T = 530/2 t ...__________0__________p____0____ _Bs__ 36JoJ l _ __ 0_ ____________________ TrazaA_amo_s_op__y_os_ 2_ 37o DD CAP ITU LO V l l l Circunferenc ias Pidenx Resolución Por propiedad..__...... _o. ._.. Q.:..:._.._._.._. I27^/2 ..i _ _ mqrIQ=370/2 .. o '' Or angUlO eXtefnO en el tfla' ngUlO _ ' 370 _.___''''''''':.. ... .______:_. ..'_.. 0.
.A r D R_olución %_ ' F___8...A. D __u_ón ........_.__R ____l_lJAJ_Jglll_l__6ogo__l__>%_HAc/ 8oo_ %___A08D______________________________________________________________________________________________p_____t____a_n___________________t___________D00coD_ Lumbreras Ed itores G eometría __l8m86 Pr_al_m8J En la n_gura...B. . C B __ / _ _X . ' D)_2oo e) _3oo 24.. CatCUle m BCD. Calcule x.. .. x=l600 Seanm__P=ß ym_CF=0 ..._'__..:.-....2g %j ..î_._._.._-_.....s9 __ 2 _......A X 0 B _o ^ A)3oo g)33o c)36o_ __ D /_ ' D)3go EJ 4go I6_P _ _' _ 2 _/' ....n. En Iaf_gura.' '' _ _KBpc.____K _ 0t_ '' ___D _m = ym = _ ior ángulo intenoc en la semiciccunrerencia de _ diáme_o_. 2qo+x _ D+g (_) 326 .55 a+0_ I60 Pidenx.' A d... _ _m_7_=800 ----_-.!_--:--_----_0_.__:______.:____. C A) _40o BJ 16oo c) 15oo _._'''___'___. __ -.n. ior Ógulo insc_lo en __ ''' __..._2 F__8. 0' _ x__a+g (_J 0_'-----:._.__:___:___:_________:__:_:.0 y rnCD = a _ .CyDsonpuntosdetangencia. K a+0 -. _0.:...\'' F PidenmBCD=x 2 _ ___ Sea mA8 = m8C -..mBC y m__ = l600....
.CalCUteX./' En _AD_: isósceles _ x+x +lOOO_l800 .__t__Ax____39_o _x _ll _ Q_0 ___ () _dexnx____t______ 2 /l__t\__/_ g_lD cApjTu Lo v _ _ _ C ircun ferenc i_ De __. SimP_ -. como m____ _6oo _ m_____2_ Porángulo inscrito _ _m_PAD=lOOO Seam_P_A=a PorÓgulo insc_to _mPC=mGF_20P Prop_'edad: _F _ m _ = 2a+4_ Poránguloexterior 2a+40-20 /' x=a+0 /..56 __l_m88 _gÚnlafl_ura. veTnos que Resoluctón mBP=2ß ymBD_ E De_2se tiene m_c=28 ym_c _2x G OC án_UlO SemllnSCntO _ m_ RAD =' _+g+ _18oo __ x tg _ Reemp_a2ando (_) en (_l) A _1000 0! B 3x+24^+x l800 ___\t .'' \'''______ 0n_ Fjgu_8.l600. x=400 n)38o B)4oo C)42d D)4qu E)48o ._ .-.
.. a_ ngu_o se_._. _ y G son puntos de mAC = 820..eam^p___ 2a SetrazaC_: mqC_D=90 .'.denx+y _denx..20 _ x+a.__. l800. ..(3600-2x-2a-D) . LpQ __ a Sea m_CE = m__l a y m_C_ = 0 . B 0. Calcule x.nscn. _^ a 0 y __ ' _ ' %2 820 4loD ^ Q --. /n_p_ . x+y=22lO 2 _____.l80^ + x+a+ 328 .. mAB = _ y C.to.--. ._psEelng_t__raAl2_ca la_cuerdaa__ycFo_my__fu008___t_l5l_r_ 0 _ __ __t_t8_o_o__A_2n__FgDxo_x x _ _t_o2a cg_ ___ D8oD L u m b reras E d ito res G eomet ría Pro_l_m8 9 tr__l__8 10 Según la f_gura.nc___o _ _ng_Qc__a Delvé_iceC. m.n u_osem_. P y Q son puntos de tangencia y De Ia F_gura.'''''''._ _ _ 0 _ ^ L C_F 1 F_yIa8.o ___ G _ AJ22_ B)22lO . t %j B _ 0' / l8__x X ta %2 ß 't . tangencia.ectas pa.a_e_as En __: _r ángu lo ex ter ior I8_-x+4IO =y _goo 2g 2x+2a.c__to _ mqL_Q __ 2a _ _: Por propiedad: m_CE = m_G_C _ 0 ._n.._d'...o. C)2240 A)goo__/4 B)7_o__/2 c)goo__2 DJ 2260 E) 2270 Dj goo _ D_ Ej 45o _ _/2 ResoIución Reso_uc_.S8 .. _._.._o .ng.a+0=900 (I) _p// -c En %j: Por ángulo semiinsc__o: mBG = 2(x+a) . Calcule x+y._edad de . a.
. m_AE -.o c. \ D _' X ^_ 'l\ A _0F D e la ngwa. Si m_L=mLF.3go B.P s _ __Dc=_8oo 2'n En_:_+_n_D+2a= _ mBD=l_O^-3a (lll) CLAVE ' _ Reemplazando (II) en (l) FfoDl_m8 11 x _ 2a .( l 800 . D.-2 5a o E3a 2 2 .59 _denx._ B D__o_ución _ L ' l_200 2a c E D _ _ A. . _ _ ReSOlUCiÓn A_a _u _ F_ur_8._.__ _cal AD))___9D__x9o l\.3a) De la f_wa.l28o2oaa__AA F /_ __Av__D CA__TU LO V l l l Circunferenc ias 360^-2(0+aJ = _+ß (II) En r_: Porángulo extenor o_ _8oo___+_ a_3a-mD_ Reempla2ando (I) en (IIJ _ mDn_ _ . 2 _Ur08. X c .o _ a0a. CUleX. a'D' _ %: Por ángulo extenor _ _ L ' 10200 _0_D _ 2a-m X=_ . __ 3a ' _'l _' D)49a E)s3o a_ '. _ y F son puntos de t_encia.2l. rnBC = 2a y m CF = 3a.a.4..c_cWex. . A. 2 an\B\_B )F_/2/__49oooo pronD__|____Dm__5__a_n__2._ _ . B. x_goo-. 3a B)3a6oo cJ5a -+600 -.4. x__5a_goo .mgAD__goo .
.ci. _mQl900 ''. _'''''''' Si m_NC=m_CN8' _ mBC=mC_' ''_??'__??''__ Pro_l_m8 13 '_"' _'c__m'_'_'_''_''_'_''''_ ''w''0'_'a"_''0a'0_' "'_''_0___'__e''w''_ d-_oo'_'0'o_o_'_'_'_o''0_' '''"__0_'_'__''_''_''''''''''_''''_''' '__''' '_'_9 '' '''_' _''_'___d_d'_'_'0'0'0_'0_'0''_'__'0_'0_'0_'__'__'__'0_00'00_0'_a000'a'00a0_00_0__"'_0____'__0'__0'____' '_'''_' Continuando con nuestro problema Calcule m_B.__._Obse. x=900 Mo N P _'_... \__' ___g'!._.. Por _guIo inscnlo ''a___0_o''_.iYa..0..mBC = 0 Porángulo intejor A'r ' o a+ /2 . '_.?...in ....c.'_ . Calcule x._?? .6_ __?'''_._._._..6l D) l QOO E) l 500 330 .D_e x_a__Fleu2r_a_AM_2Nr yM..... _''''''' __yr_8.B __ _\ /'_ ./ B . '/ /_c ''__i''' --=. Por propiedad mAF_ = l200 _ m_ = mF_ = _ se. ________'_'___%__\______' _ ______"_'__oo____o_o_'_"0'_0_"_0o__'0"__0'___"________0__0___0__'____D_0_0_00___0__w____a______________'_ mQL=mQF-mLF _. x=450 '_'__?^'___..' .o. _. mC_'-..'. x _\_.'. c_AvE_ _g ?.l Bl/plson___cu______a____cd__________f__0_a________d________0____o______________s__________t__ _pr___o__0__________000_0___0______________R___o_0__00_0______________0______4lsg_n___8__gnn _lll /\n\/ l____n___ _______________________o_______oo__0__00_________o_oo_______o___0________o_______0_o__________ Lumbreras Ed itores Geometría Pidenx. Re8olución Ar '\ _ A ._ _''____ __?'..??_.cun Fe.?__?...^Q0.. m_A _ a y m_c -_ g _ m_l = _n_=300 De la sem.____.e/___ n)8oo B)7so c)9oo DJ Io5o EJ l2oo _ú la F_u_ mAB + _nBC = 280O...'0 ' l'45ò/q5o B " C D _ o _' _ __qs_p. O N_\ . _'denm_-_x. _m_L_l2oo-3_=9_ _':_..?..._. C '' _'B' AJ 1 1oo B) 12oo c) _3oo _ur0 8._.'._'.encia _opiedad: m__ = 900 _ m AFQ= l80^ y x+a+8 = l800 (l) rnQF= l2_ Se nota de la circunferencia mayor ._.. .l. B _a+0=900 (ll) _ Reemplazando en (II) en (I) l' . .I 0_i.
. 20+2a __TAg m__Q_ ' 2 300+n+ _= I800 (I) ._.-. 2 aD _ \_i x -_-_----N..'.m_l___15 _gún la ngura. a B __ _ _Di _Q A o ' C _ A) 12oo B) 135o C) lOOO nJ 8o B) l20 c) l6o .___. m_Nl = a mjjT = m_M ..A! an' '' ' ' __''._ D) _ 27o E) l 500 DJ 2oo E) 24o .. _'_'''':'_0n'_ _ . N :_\ '_..?.. . a+e_l5oo i. aCUea+. _ _enClaym = OO._ 0'_ '_ __.. ._J _den X_ Se sabe que al tra2ar QT _a _nqQ_N = 0:..6_ _ura8. 2a ._ __ __ _ _'_._. P L '__ i .. ' .. 400--0+a (Il) _D:a+p__+n (_t) . X=IQOO . aD ' B "_\ C !_ _' F_ura8.2800 (dato) r deb_do a que _ y+e=l4_ m_r=m_M _ _P_Q_ m__Q = _ De la cifcunferencia mayof iU _a_ar la cuerda B_ (el tra2o es imagina_o) m_TQ _ 3oo (_gulo inscnto) .__ 2y ' 0 __'.. A B P y Q son puntos de n n _ ' ' Delang_m'C=80O y m_ _40O...________ ____ p_Q_6 0c l2D_ D_______ ______________________ _p_rdoecul_n|_g_eamx+_N___6 ___DB______0_0____________0_vE_ __E_____________________ CA_íTU LO Vl l l Circunferenc ias ResoIuctón Resoluión _7 _g _ __\ _ _3_o_ __. _ _MNL_ x+0+a = I800 (IJ Tambjén se sabe que al prolongar ___ pasa _r f Como 2Y+2D -. a.. ReemPlazandO (II) en (I) Reempla_ndo (I_) en (_) x+40^ = l800 3_ + a + 8 _ l8oo .
Por propiedad LT = PQ = m En _a sem. _g_8..enc.c B ___ c a+c_b _"4oo "r 800 _ f a+b_2c 4oo __'0-_. 332 .= 2_ _ m_rSC = 700 ..N. CalcUle BL._ A _o' r0 C PidenBL_x.a m_ _ 6_ Sea AM = q = AM' y _ Lg_f .ci. 0+c-b '_ .e_e. BC = a y AC = b.___EDBL_s_es__ 2 ____ _______v__E__________a_______ s ____\\_B __Lr_b_0 _t_ lumb Feras Ed itore_ Geometría Resolución b + c . Ls__.65 ea l7=m_TP= _den x..66 iro_lgmg t7 De la F_gura _=x+m+ Q+r (l) e la f_gura AB = c..CN=t=CN' Por_gulo_scnto 800 m_lC=-2 _400 Por áneulo insc_to _ x+m+_ 400 x+m m_CA = ._'.i_''''''_D f''t''_N. __m n _LSO: se tiene LS = LO = r q ì _ x+6oo_8oa _ im... ^''_'_'-D 7_ 2 .n Fe._. b= 2m+ _+q+r (ll) B c=x+m+g (III) Sumando (l)y (Ill) a+ c=2x+M+ _+r+g (N) L __...x=2oo A _' QN' C tg+m+_tmt t_ ''i ' ' '''' F__r08.ó. ' '\_ ._ s D)__ E)2a+_-c ___ rv:_..c. ReemP_a2andO {II)e 0 '\\ ' 0+r=2x+b __ ..______i&___C______._ a + b .
. m_oc _ _n_oc = 2_ (ángulo centralJ 333 . M y C son puntos de tangencia. Si OL = a.._.._n_OBC a F_yr_ 8. m_AC=m_BC= Se prolonga AQ hasta L.._edad de_ t.. __r. mNMC = 2_ (ángulo ex insc_to) mLC = 2D (ángulo inscrito) ....'''_:_. \\ ! .._. _es la circunferencia inscrita y B En la F_gura.::....::.. .o_sce_es m__C '' m_CM_ '' D _ a+._... 1 ...._L 0_ ! aJ \\ ! . Orma el t_án_UlO BSQ..2a-r ' _' 2a+ r A) 8oo B)4oo c)5oo a+3r D)6oo EJ 7oo Resolución Resolución B .._ .....r \\\ '2_ !O r o0 ._...r ' . %_ _.'..61 .:. C _r teorema: m04BO -._.68 _r ángulo inscrito y semiinscjto Piden0...:_::_. _denBH=x. Ja _ _ \\ .. ro .::.___:. O ._. es punto de tangencia.:.'.!.. B.. _! B d0 . .._._L .. dOnde Se nOta qUe Por propiedad (IV) de circunferencia _.:.E... calcule BH en calcule g. funcióndeayr.a_n ulo . 0D 0 A)a+2r B)a+r C)..V0_0 ____________________\_ g j_-------=_-_-= A Qa_H C S g_a0-------D 0 _ _ M0_\ F_ura8. 0_ \\\ ._ \\\\ \__ _ x _ \\_ ____\f _ ._..__gtT_Da2Ja B__o__At_o_J|l __ ___ l _H_0 cE)\__2 _____tll MN__0 p\ \ __Dl_ _ _ L cApjTu lo v _ _ l C ircun_erencn ias Pr__l_m8 t8 Pr__l_ma t9 En la Flgura.
. 0D ._. 600+370 97^ 0 _0 m_ ._j --j \ _.. En Q: 0 + 0 + 0 = l 800 _oNp: notable de 3oo y 6oo . Pr_al_m820 En la Flgura._-ro_/ x_'.70 _.L. _KNl: x + 300 + m_QlN= I80^ _\ a___ :l gJo \\\ ' _. Calcule x.A.70 A) _ _ 4^30' B) I 06030' C) l l O030' rn_QTD = 53o D) lo2o3o' EJ 1olo3o' n _mOQ= Resolución POf án_UlO InSCntO en la ClrCUn FefenCla. 3_ _ 2.._/ X+_=l80 K _? _ _ 2_ _ . en el cuadrado ABCD.) Pidenx._.x_loIo3o' t_+a_ F_u__8. se tiene una circunferencia inscrita ___se_ac___ _ _ v ___ .'/. _ m_QO m_QO = 0 Se nota Nl: pa_e de la _nediatri2 de OT. ! X-/ _L?'! /// 2 > _.= l800 \\ _______ _\\\0T _./"'.' _ S__.\_c__ __.. _ _T B C __ . . 0=600 __D CornoQ7=7D=2_ entonces Q es punto de taneencia.69 _0 ^ J____5_^ 3_ ._ 2 _ \_\ "'\\\'\\\__ ___:^'__.._B__\\t\_t\\\\\\\\ _llJ/ /. 0 x0 F_y_8.\_\ x + 300 + .____ 0 o._\ e__L_l_N_ _/___y___32%7___o___ __ ___ l ID2 _ _____v_____ Lumbreras Editor_ Geomet r ra _NOQ_ _LOQ (L._ !. m_QTO_=m_O_TD __ AD Debido a la F_gura 8..
_.______..__i'_.:._.'o..ii.:..__/___...'_'_.__.^'__.'''.i.i_i'..:.. ......_...::____.._'..:.__ii__.:_. todos comeríamos un trozo con eI '"'' '_..'....__.^^^'_. ' ' _'._...__.'.....'_:.._..._....._._..._.''' ''''___'''_...''__.....^_.''__:''''''''_..._... __^___'' _'..i........_......:._'_|__...:_____.. durante et refrigerio...''_'''_'_''?.. manera.____. __.___.iiii..'... ''_:_...'i''''_.____.:..iii_iii.._.....__...'''_ i''''_.^^.. peda_o conrenga una so Ia anchoa? De esta '' '_._i.._..iii_ii. d._.'.s__________0__________________0_________________________w0_______t____0____0_________________0____0_____________________________________ _______________0___0__________________________0________________________ __ __ _ ______0_0_p______0__________0_%_____0000________%______0__0_____________________________________0_______....i_ii.'''_ i''''_..i.i_.aa.__._:!._..!_'!'''''''__i__.^'_.....:'__..___:_':_...__.._.'_..__.:..___:__...i._.i'_ii..______________._.:__'''.__.___.''_.__...__._....'''''':_''''''_.''''ii..0___________...:.:_.._i._.ii.'''_..___.._...i.iii_i...__i'''_i ''''_'''_. .._.. Haga _sted el corte _Puede usted a_dar a estos matemáticos_ Dieciséis matemáticos decidieron ordenar dos pizzas de anchoa....._.'_i...._'__...._. ..::__.._._:__.'_ii........__0._._.''_'__..__.__ _!_________'______ ______..:.._.___.i...'_.__.'''__.:. "'__v_____._...ii'__..........'__'..'...i. i .iiii'ii._._...^___a^'_.__.iii_.. .i_ii__._'.____':_..j__'__j_i._.'...._.|'_i....'._o__._____________________t___....._.____0__0_____ooo_o_ooo_o__oo__00000_0_____0____._.___.__. . descubrieron que había l 6 pequeos . .i_._g___00____...''__:'_::?''_:__'''''''''_'_...i__._._.'''_....__.._i..?' Dispuesto a tomar la iniciativa._'_..._.i.''_:''':_'___ m'__'_:_''_'''''_ :_ ''": _ __'__' ii.._'_._v:':..'_.._____....ii.''_i..___'_::_''__'_..0^'.''_...__.._._.....i'_i....__i_._... ''''__''''_..'.ii.._......__.._._. .___._.___:.__'._..''__. .._.._...._. _____......^''_..__'''''_''"___'_'.'''__ i'_.......:_i_.....iii''''''_'._ .i_0_ _._n_.__.'..'':...i'__'_.. una con una anchoa....:...''_'..i_i.._:.''__ i''''_. .^'__..___.._.._. .i.___:_.__@_____00______________00__nv________0________0_____________0_________0_____t____a__________a_______00___________0________________0__0______________________________00___0__________0________o______0________________________________________________________ ___ io b l e m a s Qecreati_os ...__.i__._.'__''___'_æ''' '_'_'__ni_''''''''_.^_.i''_..__.. . También observaron con ''' ::..iiiiii._ _ ' ...'''__'''..i_'_i_i_.:.._._________0_____________________...__....._:.'i'''|_'i''i_i'''"''.__..... _'_____gi......'__...._._..'_..._..._..'''__'''_i'''__ i''''_...__'':...'__i'''_'''__i_.'_i..._.._m.. ''''__''''_..ii'_i._'__:_____-:.i._..^''_...:'_'. pa_jr l_ segunda de m_nera que cada d'.._''''''' deljc ioso ac omp a am ien to ..:..''_.____.._.._.'._.... l.i.^'^.._^^'._H t_______l___________________________________________________________________________ _ d_______________________________________________________________________________t_____________________p_0____________s_0______________________________________c______r____ _c_______________________u_________n_________0________p_o_________F__________e_ __________________________r_________________e____tncl_as para _/ ______________________ _ v________________0_______9______________________________________0___________0____________9_________________________________n_________________q___0___________________o__d___________0__v________________________________m________________v____________w_____________\___0_____________0_________9_____0_0_____________________________m__0______________________________________\_____________________t__D_______________t__00__0_____o_o_______________..i'._i__^^^^_^^'___^'_^^''.ii_i._._.a.^'__..:_'__.ç___:.....?._. ^' ' ' ' :. .__'...'_i..:.____:''''':'_'_'...:.'''__ i''''_.:._:______.:_._...__..."ii...''_i''_i''__ i''_.._ .'''__ i'''_. ueamos si i _ ._M_:__':'' reCl li SU pe l O...ili....i..___..._9..v...'''_''...iii'_i.._^^__._. 0 .___...__..__. señaló.....i.. ?_'''_''''.. ' ' '' '''' ' ...._.. ..._...''_'_........i.._-____..'_?__. _.. .._'__' _:'_.__..__'0_'__''_._.._ii.''.l._':.'_''_.__'_:_.._'': i...i..'_i.:__....l''_'....•'ii....:._o_a__00 seiS en una y diez en la otra.__:.....^'_......_.._.''___.''''____. iPodemos _0__æ____.iii_iii.._:._.''__''''.'.._.. el jefe del ..'_il'_.''_i''_..... i'' '''' ''''_'''. uno por cada '_:0________.._.i'_.:..__........_..._.._..i''_... _^___ga.__'_..__.:.i''__''_. matemático.__..._.i.'_.i.''''''_'..8.__.._v_..__:''_'..i..i._._i.'_''_::''''.'_..m... En tono grave agregó: Hoy '''._. '''''''''''''''.'..i....___. grupo sacó un cornpás con un lápiz muy aguzado de su bolsillo e hi2o tres cortes circulares en la primera...._.'__.._...i'i'''_'_ii_'....'''.._.___..i. Resolución ::_ __:_ Esta es la piz2a dividida en lO pedazos.._.....'''__ i'''_._:...._._..i_iiiii...'_iiii..i'_ii...._.__...___._ __._..ii''_. cada ..'':''_:'._:'_ somos capaces de r_soluer otro.__'_i'__i'.iii_iii.:... pescados distribuidos en las dos pi2zas: .:__.^^ooooo..'_.i..''__ i''_.__...._._..__0_______________.^'__^^_....._'..ii_i.:...._..___..: hemos resuelto un gran dilema..._...ii''_'_i..'''_ i''''_ '''__''''_..i_'_....______'_'_0_'_'______'__.:__:._.|_i.....i..i'' i'''_'''''' '''....0i .__.i. '__'''..._....__.._..'_'......ii....:....a__.:____:__.i.i._.''.._._:_.. .._:___.'ooo'......ii'_...: _..:.....:.__:..:..__....._ desgano que no estaban cortadas.. '__ soluciones? djuj4jrla de modo que cada corte tenga una _'_0______'_i _'_0__æ_i___ __ _'' anchoa.'..^'__.. _Puede encontrar otras ____^_'______ ....e_.__..._._:.i'....:. eStOS eStU lOSOS _..._____._.______:.:'._._..____..''__ i''''_. ._.D_.'!'"_..''':._._..
veces la dislancia del pun_o medio de L_ a m_CNM LO_ (_e NP). por el cual se _raza la P respectivamente. Sl O es el cenlro del rectángulo ABCD. _. _0 fobIemas _fODueStos I. calcute la mN_. calcule x. a + 0 = 26^. tal que AN interseca a la tangente _M (M es punto de tangencia). OB y AB en tos puntos M. Si en la prolongación de AC tangente a OA . C '. se tr_n una _angen_e AB (B es punto de langencia) y una secante A_C_ ' . B y C. 4. N y se ubica el punto N. Sg tjene una circunfefencia en la cual se 6_ _ un cuadran_e AO_ de centro O se ubi_n los puntos A. identif_que 0._2 _n___ ___t ___T/ / ___ _ _ _ c __ _D__)_9oNo _ _______ E_)___ooo_D_t .N las cuales Forman un águlo cuya medida O _ _ / es g._nAB. m Cl mLO. lal que B_ AC y lnSCrlbe Una CifCUn FerenCia de CentfO OJ _nA8 = InBC. y la circunferencia en el punto L. En la ngura. SegÚn la F_gura. Desde un punto A exterior a una '' '_qj circun Ferencia. Si ON es cuatro prolongación de BC es pemendicular a MN. Sj m__D=3g y D es punto medjo de_ ___' d arco C_. AD A) 3oo B) 34o c)36o A) l l ^ B) l l 030' C) l 50 D) 4oo e) 42o DJ 15o3o' EJ 18o3o' 3. Halle x. D // _ _' '\ L aa '\ A \\_ ___ O \ \ _ \ D \\\ AJ26o B)32o _c)52o D)46o E)4oo _ _ A)500 B)600 c)8oo . mNr = 2(mMrJ. mCM A) _/5 B) _/4 c) __ A) 250 B) 680 CJ 750 D)__ E) _ D)76o E) 82o 336 . 0 es punto de tangencia y De_ermine mCD . Según la ngura.
r_ ___ADAD)))e_31l87aoo23Flog_|u/_F/a//_/_/a/Bc)l_Jflc_8uoln_lIF_el?_rlencltaEce))Js32ta6o_ool_3nobstcn_taal )__l__çJ_ABDncDt) _ cn)) GAPíTULO V l l l Circunferencias 1. A. AB __ Bc. M y C son puntos de t_encia. N. De la n. c_cule x. IO. calcule x. G P_l A B ____ U /__/ A_D ____ n)55o B)6_ c)65o _C 337 . Si AC=b. De la F_gura_ la circunferen_ia está inscnta _ _ CUadfadO _ Si mP_ =mQF= InGl = m_S.calculeMN.B_-2b C2C.gufa. BC A 16o B _go c _ go 3 o_ // . Calcu_e x. ^ DJb-c E) c-b ' _ _a cuadrado A8CD. las circunferencias son inscritas A7 I OO _) l _O CJ l 50 y ___cnIas al __gulo_C. i. L. De la F_gura. D)22o3ot E26o3o1 I I. AD BQc x0 _. dado que m__C = M y B m_ _ M N B AcM c+b . En la r_gura. D J _go E) 2 oo AB=c.
calcule la A) 80 B) l40 C) l6 m_DC. _ . .____n _0 __///_///// ___0 _ ___ _ __ _x_____ _ __ Lumbreras Editores C eomet rí4 l2. 338 . De la f_gura. N y T son puntos de tangencia. calcule x. r _ \_ Si mAB >2 l 60. Si LO = 3(AL). _ Q 3 l %j '0_ M _O. CaICUle X.\\_ _ ALO A. %j y _.B\ . B. estan/ inscntas en los tn_gulosABCyABH. De la flgura. De la flgura A. . n)33o BJ34o c)35o D)36o E)37o B aD l _. De la f_gura. C son puntos de t_gencia. M. D)26o3o_ E) 2go __ I_.' D \\\ ! _ \ '' C \\_ n)1ooo B)9oo c)8oo '\ D) Iloo E) 12oo \\ l 3. c_cule el mayor entero de x. rn__c -m_B _2ooo. ' _a__ x_ __ L A H C "N '\ 0 n) l5o B)3oo c)37a _^_ . o. TyL son puntos de tangencia. __ ' OT LN _ l . De la f_gura. .= rOj = Ml = -./ n)6o B) 7o c)8o aL D) 16o E) _4o B ^X ' C I6.
.' 'N J . N y L son puntos de tangencia. r = l 6 crn. D. mBL=mLC y mAB=l760. B. C_cule la EnCD. B F ' . \\\\ _' N A A)42o B)48o c)52o DJ560 E)600 cJ _76o DJ l880 EJ l8_ 339 .' C r A L B ._ '_L _D ' A . Según la F_gura. _ .'r A) l20o BJ 14oo '' C)60^ A)lOcm B )8cm DJ400 E) IOO^ C)6 cm D)4 cm E) 2crn l8.B Bi 'LC xL o '__o. . C. B. halle x. De la F_gura. L . Si el tján gulo ABC es tangencia. De la f_gura. determine la ' distanciade Tal_.__t ___A Jlt D_l_J _/ l c __\\\\\\\_n _///_t n tll n CAP ITU LO V l l I C ircunfeFencas l T. De la ngura.' . D. los puntos A. _ y F son puntos de l 9. Si rnAB = I 080. Calcule rn FC. 20. . equilátero y _lTC un cuadrado. CD //AB.
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