Source: https://es.scribd.com/doc/54710125/Matematica-Modulos-para-docentes-Primaria-Para-Adultos
Timestamp: 2016-05-26 04:47:14+00:00

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MINISTERIO DE CULTURA Y EDUCACION DE LA NACIÓN
Dr. Carlos Saúl Menem Presidente Lic. Susana Beatriz Decibe
Ministra de Cultura y Educacion
Dr. Manuel Guillermo Garcia Sola
Secretario de Programacion y Evaluacion Educativa
Prof. Sergio España
Subsecretario de Gestion Educativa
Prof. Hilda Maria Lanza
Lic. Irene Beatriz Kit
Directora de Programas Compensatorios
Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4 Módulo 5 Módulo 6 Encuestas para docente
Introducción Contenidos y actividades Eje Números Números naturales Números racionales Fracciones Expresiones decimales Eje Operaciones Adicion sustraccion Eje Me ida Tiempo histórico. Tiempo cotidiano Actividades grupales Evaluación Bibliografia
10 ll 12 15
El Módulo Inicial (diagnóstico), se caracterizo por la integración de todos los contenidos en el contexto significativo de “Un día en la vida de los Costa”. Se penso que era conveniente continuar en el Módulo 1 para alumnos con una línea argumental integradora a partir de situaciones de la vida cotidiana. Se trabajan contenidos de los ejes: Numeros, Operaciones y Medida. Del eje Numeros se sistematizan los contenidos: números naturales, racionales, fracciones (ordinarias y decimales) y expresiones decimales, a partir del conocimiento del sistema de numeración decimal. Del eje Operaciones se plantean la adición y la sustraccion* y se propone considerar la estimación y el cálculo aproximado. Respecto del eje Medida se hace un reconocimiento de las medidas de tiempo usadas más frecuentemente. Seguramente usted habrá registrado las dificultades de los alumnos, en el instrumento diagnóstico del Módulo Inicial. Es probable que la mayoría haya podido leer y escribir correctamente números naturales, como también operar mentalmente con dichos números y con las expresiones decimales. Sin embargo, es frecuente que los adultos tengan dificultades para simbolizar las operaciones (realizar las cuentas por escrito). Por tal motivo, en el Módulo 1 para alumnos, se privilegiaron las actividades que tienden a la comprensión del sistema de numeración decimal (composición y descomposicion de numeros naturales y ex presiones decimales), ya que este tema es fundamental para la construcción de los algoritmos de las operaciones. Los objetivos proponen que el alumno: Aplique las reglas del sistema de numeración decimal a la construcción de los algoritmos de suma y resta. Utilice los algoritmos de adicion y sustracción entre números naturales y expresiones decimales. Resuelva situaciones de adición y sustraccion Reconozca las fracciones como partes de un entero. Resuelva situaciones utilizando las medidas de tiempo de uso comun
* En realidad, suma y resta son los nombres para el resultado de la adición y de la sustracción; pero en el Módulo 1 para alumnos, se usan suma y resta porque el adulto está más
familiarizado con esos nombres.
A continuación se presenta el esquema de contenidos del Módulo 1 para alumnos.
Eje Numeros Numeros naturales
Los números que se utilizan ara contar la cantidad de elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos ni el orden en que se encuentran, se llaman números naturales. Se designa con N el conjunto de estos números:
N=[ 0,1,2,3,4,5...]
El 0 es un número natural porque indica la cantidad de elementos del conjunto vacío. Además de contar, los números naturales permiten indicar un orden o posición: lº, 2º, 3º... Es decir que elnúmero naturaI sur e como resultado de i un proceso de coordinación entre la cardinalidad y la ordinalidad. El numeral es la expresión gráfica del número. Actualmente se utiliza el sistema de numeración decim a lpara simbolizar los números.
En el Modulo 1 para alumnos, las actividades, desde la Nº1 hasta la Nº 11, tienen como propósito la comprensión del sistema de numeración decimal a través del reconocimiento de sus reglas o caracteristicas:
Sistema de numeración decimal, Cada simbolo representa distinta cantidad de unidades, según el lugar que ocupa. Se agrupa de a 10 unidades
La regla de construcción del sistema decimal puede resumirse en: “no más de 9 unidades sueltas cualquiera sea el orden de estas unidades”, ya que se van agrupando 10 unidades en un conjunto de orden superior, de tal modo que en las cifras del numeral 10 está representando el registro simbólico de 1 decena (10 unidades agrupadas) y 0 unidad (no hay unidades sueltas). Es importante destacar el carácter posicional del sistema de numeración decimal. De la posición que ocupe una cifra en un numeral, depende el valor relativo que ella represente, con independencia de su valor absoluto. Por ejemplo, el numeral doscientos veintidós es el registro simbólico de:
Sin mencionar el calificativo absoluto o relativo en la actividad Nº4, se propone el reconocimiento de esos valores. Desde la actividad Nº5 y hasta la Nº l1, inclusive, se trabaja el agrupamiento de a 10, con material representativo: los cuadraditos que corresponden a las unidades, las tiras de 10 cuadraditos a la decena y los cuadrados de 100 cuadraditos a las centenas. Este material facilita el agrupamiento y el canje, razón por la cual se sugiere utilizarlo en las instancias presenciales con aquellos alumnos que presenten dificultades para comprender la composición y la descomposición de números en el sistema de numeración decimal. Si el alumno comprende las reglas del sistema, posiblemente no tendrá dificultades para entender los algoritmos de las operaciones. Con el fin de comprobar el nivel de comprensión del sistema de numeración decimal, usted podrá sugerir a los alumnos que expresen de diferentes formas un numeral, por ejemplo:
Se consideró imp portante que el alumno pudiera comparar el sistema de numeración decimal! especialmente su carácter posicional, con otro sistema que no tiene esa ‘característica. Por tal motivo se presentó el sistema de numeración romano, que no es posicional y sus símbolos están sujetos a otras reglas.
Números racionales Fracciones
Seguramente, si usted tiene 4 hijos y en su casa solo han quedado 2 alfajores, cortará cada uno de ellos en dos partes aproximadamente iguales y les entregara una mitad del alfajor a cada uno de sus niños. Esa mitad aproximada tiene un símbolo que es 1 . A estas partes se las llama fracciones o quebrados.
Al conjunto de números formado por los números enteros y sus partes posibles, positivas o negativas, se lo llama conjunto de números racionales y se lo designa con la letra Q Q= {x/x es número racional } En la vida cotidiana, para nombrar los números racionales, usamos con más frecuencia la forma decimal que la fraccionaria. Lo hacemos cuando decimos que compramos 1,5OOkg. de mandarinas a $1,20 el kg. o que necesitamos 1,75m. de tela para hacer un vestido. Las expresiones fraccionarias e quivalentes o familia de fracciones, representan todas una misma cantidad que llamamos número racional. Por ejemplo: Fracción irreducible Clase o familia de la mitad Fracciones ordinarias Fracción decimal Expresión decimal
En la vida cotidiana se plantean permanentemente situaciones en las que aparecen las partes de un todo. El hecho de compartir una pizza con los amigos, requiere obtener trozos “aproximadamente iguales”. En el Módulo 1 para alumnos, Rosa, Carlos, Berta y Jorge comen una pizza y esto da lugar a tres actividades de reconocimiento de fracciones, la Nº 21, la Nº 22 y la Nº 23.
Se sugiere trabajar con los alumnos la relacion de equivalencia con fracciones simples, tales como:
Es conveniente partir de elementos concretos como, por ejemplo, una tableta de chocolate o un pan lacta1 cortado en rebanadas, insistiendo siempre en que las partes son “aproximadamente iguales”. Para escribir cada fracción las partes deberían ser “exactamente iguales”. Posteriormente podrá utilizarse la representación gráfica (fig. 1, 2 y 3) considerando que las equivalencias son referidas a un mismo entero. Finalmente se simbolizará:
Es importante que en cada caso el alumno pueda reconocer el entero como
Las situaciones de todos los días, oblig an a reconocer las expresiones decimales y a operar con las mismas: en las vid-rieras donde se destacan los precios de los productos, cuando se realizan las compras o cuando se viaja en colectivo se utilizan pesos y centavos. Coherentemente, con la fundamentación del área, es a partir del dinero (tema éste tan significativo para los adultos), que se f introduce el concepto de las expresiones decimales (actividad Nº25 en el Módulo 1 para alumnos). El contenido se sistematiza a partir del conocimiento del sistema de numeracion decimal. Para ello se utiliza el material representativo usado para facilitar los canjes. Se optó por aumentar el tamaño del cuadrado que representa la unidad con el fin de facilitar la división de la misma en diez y cien partes iguales y, también, con el objeto de que no se confunda la unidad con la centena, se optó por representar la unidad agrandada en el dibujo.
Las expresiones decimales son otra forma de expresar los números fraccionarios. Tomando como base la regla del sistema de numeración decimal, trate de que los participantes hagan agrup amientos de a 10, para que ellos mismos analicen qué ocurre hacia la derech a de las unidades en este gráfico:
Después de haber trabajado con los alumnos las actividades Nº27 y Nº28, sería productivo completarlas con este gráfico del siguiente modo:
La comparación con los centavos ayuda a entender el valor de los centésimos y la diferencia entre 0,50 y 0,05, ya que evidentemente no es lo mismo tener cincuenta centavos que cinco centavos.
Eje Qperaciones Adición y sustracción
Resolver una operación significa poder transformar los elementos originales en otros, como consecuencia de las acciones ejercidas sobre los primeros. Si a una lista de 47 invitados se le agregan otros 16, la lista presentará 63 invitados, como resultado de haber transformado los 47 primitivos, luego de sumarle los 16 posteriores.
Como ya se explicito en el Módulo Inicial para docentes, el planteamiento de problemas debe preceder a la enseñanza de las operaciones básicas. Dicho de otra manera, las operaciones deben ser planteadas en forma contextualizada. En el Módulo 1 para alumnos se plantean situaciones problemáticas aditivas relacionándolas con los conceptos de agregar, reunir, juntar, hallar el total, y situaciones de sustracción relacionadas con los conceptos de quitar, disminuir, complementar, hallar la diferencia. Posteriormente, se presentan los algoritmos de ambas operaciones. ¿Qué es un algoritmo? En principio, un algoritmo es un procedimiento. Cotidianamente se utilizan algoritmos, pero se los aplica sin necesidad de comprender su fundamento-. Cuando se usa el televisor, la computadora, el teléfono y tantos otros elementos electrónicos modernos, se ponen en juego una serie de pasos lógicos. Esa secuencia lineal de acciones que deben ser ejecutadas, constituye un algoritmo. Utilizar el teléfono, por ejemplo, responde al siguiente esquema: descolgar el auricular, ,esperar el tono, marcar, etc. Por lo tanto, el aprendizaje de un algoritmo no se reduce a las operaciones aritméticas elementales sino que está presente en el accionar cotidiano. Generalmente, al ejecutar estos al optimos no se los acompaña de una reflexión, ni de una comprensión de su funcionamiento, ya que en determinados actos, un algoritmo es una herramienta que permite resolver ‘problemas, como el de la comunicación, en el ejemplo del t élefono. Para el usuario, entonces, basta con automatizar las acciones, sin analizar el por que de las mismas. En cambio, un técnico, necesita comprender el funcionamiento del aparato electrónico a partir de conocimientos cientificos relacionados con la construcción del mismo. ¿Se puede enseñar a los alumnos la adición y la sustracción simplemente como una serie ordenada de pasos? Se ha demostrado que esto es posible. Basta con recordar nuestros propios aprendizajes. Los algoritmos se pueden aprender como una simple secuencia de acciones que se deben ejercer sobre los números en juego. Podría intentar enunciarles: colocar el minuendo (número mayor) arriba del sustraendo (número menor), de manera que coincidan en columna las unidades del mismo orden. A las unidades del minuendo se les resta las del sustraendo; si no fuera posible se le pide 1 al comp añero (las decenas), y se le suma a las unidades que se tenía; después se restan las unidades del sustraendo.
Sin embargo; esto es solo el procedimiento. La naturaleza del algoritmo matemático no es sólo instrumental sino también un proceso de construcción racional que se apoya’ en aprendizajes anteriores (el sistema de numeración decimal, los propios conceptos de adición y sustracción), a los que al mismo tiempo favorece. La relación entre lo conceptual y lo procedimental (lo instrumental), en el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones, se puede sintetizar así:
Los distintos pasos del algoritmo se recuerdan mejor cuando existen más datos o claves para recuperarlo memorísticamente. Comprender su fundamento científico permite la reconstrucción del mismo, si se ha olvidado alguno de sus pasos.
Por eso, en el Modulo 1 se pro pone a los alumnos utilizar el material representativo para la construcción de algoritmo de la adición y del de la sustracción. Sería conveniente que el adulto tratara de comprender el por que de las acciones que se van realizando secuencialmenre; que pueda relacionar, por ‘llevo 1” con el “con 10 unidades formo una decena que la agrego a la columna de las decenas”.
El tiempo ‘histórico y el tiempo cotidiano se miden con diferentes unidades: unidades mayores para períodos historicos más prolongados como la década y el siglo; unidades menores para el tiempo cotidiano, año, mes, semana, dia, hora, minuto. La actividad Nº14, tiene como objetivo recordar que cada siglo comienza a partir del año 1 de la centena exacta. El tratamiento de este tema es de utilidad ara aplicarlo en el área de las ciencias sociales, al aprendizaje de los períodos h istóricos y a la comprensión de la linea del tiempo. Respecto del tiempo cotidiano, para la resolución de situaciones en las que intervienen horas y minutos (Ej.: actividades Nº39, Nº40, Nº41 y Nº 42), se sugiere estimular el desarrollo de estrategias espontáneas para el calculo. Para comparar tiempos, se podrán utilizar noticias de portivas, estimar el tiempo que demanda una tarea, calcular los tiempos de estud io por día, por semana, etc. A modo de ejemplo, usted podrá presentar en una instancia presencial un problema como éste: Un avión recorre la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B en 1 hora y 20 minutos. El vuelo de retorno lo efectúa en 80 minutos. ¿Cómo explica esto?, teniendo en cuenta que en ambos viajes ,la situación climática y la ruta fueron similares,
Se proponen al unas actividades grupales cuyos objetivos son afianzar los contenidos trata os, especialmente los referidos al sistema de numeración decimal y las operaciones, y para favorecer la integración grupal. Adivinar el número Propósito: trabajar serie numérica e intervalo numerico. Usted piensa en un número y los alumnos deben descubrirlo; para ello, sólo pueden preguntar (tantas veces como sea necesario): ¿es mayor que...? o ¿es menor que....? Usted solamente puede responder sí o no. ¿Cual es mi regla? Propósito: afianzar la serie numérica y el cálculo mental. Usted o un alumno, dicen varios números relacionados por una re la. Por ejemplo: 114, 124, 134,. Los alumnos deben descubrir qué regla se aplicó (en este caso "+ 10").
¿Cómo obtener el numero? Propósito: ejercitar el calculo mental. Se escriben en el pizarrón varios números, por ejemplo: 5; 7; 8; 1; 3; 6; 4; 9. Después usted propone a los participantes que, empleando estos números, formulen cálculos con sumas y restas cuyo resultado sea: 25..., 37..., etc.
Se proponen al unas actividades de evaluación en función de los temas tratados y considerando diferentes niveles de complejidad. Usted podrá seleccionar las que crea convenientes, modificarlas o implementar otras, según las características del grupo de alumnos a su cargo. Actividad Nº1
El número representado es 195. a) El número representado tiene ................... cent.+. .................. dec.+ ................... unid.. b) El número representado tiene.. ................. dec. + ................... unid. c) El número representado tiene ................... unid. en total. d) Agréguele al número anterior, 1 decena, ¿qué número obtuvo ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mialaret, Gastón: La matemática ¿como se aprende, cómo se enseña? Madrid, Visor, 1972. Rico Romero, L., Castro Martínez, Encarnación, Castro Martinez, Enrique: Números y operaciones. Madrid, Síntesis, 1989. Gabba, Pablo: Matemática para maestros. Buenos Aires, Marymar, 1978. Perelman, Y: Problemas y experimentos recreativos. Moscú, 1979. Rey María Esther: Didáctica de la matemática. Buenos Aires, Estrada, 1994. Brindstein, M. y Hyanfling, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993.
Introducción Contenidos y actividades Geometría Operaciones La multiplicación Su naturaleza Los problemas que se resuelven con la multiplicacion Propiedades de la multiplicacion Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva Los errores más fiecuentes La división Su nuturaleza Los problemas que se resuelven con Ia división La propiedad distributiva de la división respecto de la suma Los errores mas frecuentes Estadística Tablas de doble entrada Promedio Evaluación Bibilografia
23 24 24 26 26 27 28 28 29 29 30 33 33 34 35 35 38 38 38
El mundo que nos rodea está constituido no sólo por gran cantidad de objetos de diferentes formas y diseño como por ejemplo, muebles (mesas cuadradas, redondas, rectangulares), utensilios y herramientas (relojes prismáticos, esféricos, cúbicos; ollas cilíndricas, prismáticas), sino también por las transformaciones propias de ciertos objetos o cuerpos, edificios en construcción, ensanchamiento de una calle, cambio de dirección en una avenida, etc. En la vida cotidiana está presente, cada vez más, la geometría, que junto con la aritmética forman un todo. ¿Cómo pensar en los conceptos geométricos de perímetro, superficie y volumen sin re lacionarlos con el concepto de medida? ¿Cómo resolver situaciones geométricas que tienen que ver con longitudes, planos y escala sin el a porte de las operaciones y de los números? Sistemática y paulatinamente, el hombre va tomando- posesión del espacio, orientándose, analizando formas y buscando relaciones espaciales. Intuitivamente, va adquiriendo el conocimiento de su entorno. Por su experiencia, los alumnos adultos poseen algunas nociones intuitivas del conocimiento espacial; es importante capitalizar esos saberes prácticos del adulto. Por eso, a partir de una propuesta, que se origina en la intuición para llegar a la reflexión, se presenta la geometría en el Módulo 2 para alumnos. Intuición y reflexión son dos formas del conocimiento geométrico que se relacionan y se complementan. El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a partir de la intuición, es lo que se llama la percepción espacial. En las actividades que se proponen a los alumnos, se destacan los temas de geometría que caracterizan la percepción espacial: el reconocimiento de formas (actividad Nº6 b: Reconocimiento de cuerpos), de propiedades geométricas (actividad Nº6 a: Paralelismo y perpendicularidad), transformaciones (actividad Nº2: Transformación del plano según desde donde se observe) y de relaciones espaciales (actividad Nº5 c y actividad Nº8 a, b, c y d: Mayor, menor o igual distancia). El Módulo 2 para alumnos, tiene como objetivos que el alumno: Se oriente en planos y croquis. Reconozca distancia entre dos puntos. Diferencie formas geométricas. Reconozca paralelismo y perpendicularidad. Reconozca angulos: rectos, agudos, obtusos y llanos. Aplique los conocimientos del sistema de numeración decimal, y algunas propie-. dades de la multiplicación y división en el uso de los algoritmos. Resuelva situaciones sencillas de promedio.
Se trabajan contenidos de los ejes: Geometría, Operaciones y Estadística.
Situaciones multiplicativas .---
Con respecto al eje Operaciones, a partir de situaciones significativas, se trabaja la multiplicación como suma reiterada entre números naturales y ex presiones decimales. Se plantea la propiedad conmutativa intuitivamente ap‘licada y reconocida. La división se presenta como la operación inversa de la multiplicación y como resta reiterada. Del eje Estadistica, los contenidos que se trabajan son la tabla de doble entrada como recurso organizador de la información y el promedio. Los contenidos del eje Geometría que se abordan son: orientación en planos y croquis, paralelismo, perpendicularidad, ángulos, cuerpos geometricos.
Las experiencias visuales constituyen la base sobre la cual se fundamentan las actividades y abstracciones posteriores. Observar es ver, notar lo común que puede haber en situaciones distintas, lo diferente en objetos y acciones, y lo característico de cada cosa. La observación de los alumnos puede orientarse por medio de preguntas que refieran a aspectos fundamenta les. La actividad Nº1 propone observar un croquis y orientarse en él teniendo en cuenta las indicaciones. En la actividad Nº2 se presenta el mismo croquis, pero variando su orientación y omitiendo las referencias que tenía el anterior. En ambas, la observación se va guiando a través de preguntas, para que el alumno pueda interpretar croquis y orientarse en el entorno espacial que ese croquis representa. Toda observación debe ir acompañada de una acción posterior. Las actividades Nº1 y Nº2, por ejemplo, comienzan con una observación, pero inmediatamente el alumno debe actuar: señalar o indicar lo que se le solicita.
La secuencia propuesta es: primero observar, luego actuar y reflexionar, pero para que se pueda construir el espacio geométrico es imprescindible llegar a la abstracción. Abstraer es, entre otras cosas y siempre refiriendose a la geometria, reconocer lo que hay de común o de diferente en algunas situaciones, simplificar la situación real, esquematizándola como en la actividad Nº4 b, o determinar el campo de validez de una propiedad (actividad Nº6 a). Con este plan se trabajan, en el Módulo 2 para alumnos, desplazamientos y recorridos en planos y cuerpos, las nociones de distancia, paralelismo y perpendicularidad, ángulos y cuerpos. Jean Piaget afirma que: “1 a representación del espacio se debe a las actividades que realiza cada individuo, durante su experiencia diaria“. En el módulo para alumnos se trabaja desde lo intuitivo (que incluye la observación) a lo conceptual o abstracto (que incluye la reflexión y la abstracción). El trabajo con croquis y planos permite a los alumnos adultos ubicarse y localizar referencias y calles, señalar recorridos, identificar distancias además del sentido y la dirección de las calles. Se pretende que el alumno pueda leer e interpretar un plano correctamente y al mismo tiempo, orientarse en el espacio cercano o cotid.iano. Una posible actividad para realizar con los alumnos en los encuentros presenciales podría ser la siguiente: a) formar tres subgrupos; b) cada subgrupo escribe en un papel las indicaciones para ir de una casa a otra; c) se intercambian los papeles; d) después de leer las indicaciones, cada subgrupo representa gráficamente ese recorrido en un croquis o plano; e) vuelven a intercambiar los papeles; f) cada grupo interpreta el croquis o plano y, en forma verbal, es ex resado por un representante de cada equipo. Lo que se expresa verbalmente, debe coincidir con las indicaciones primeras y esto ocurre cuando el croquis o plano responde correctamente a esas indicaciones. Es frecuente que los alumnos se equivoquen al verbalizar los recorridos. Los errores más comunes son confundir sentido con dirección y derecha con izquierda. En la actividad Nº3, a partir de la lectura del plano, se incorpora la noción de calles paralelas y calles perpendiculares, Usted podrá sugerir a los alumnos observar el entorno para encontrar ejemplos de paralelismo y perpendicularidad (en paredes, puertas, ventanas, bancos, escritorios, etc.). Respecto de la noción de ángulo y su clasificación, se recomienda: a) recurrir al plegado de papeles para obtener ángulos rectos, ángulos que son la mitad de un recto y ángulos que son un cuarto de un recto; b) obtener por plegado cuatro ángulos rectos y vincularlos con: la intersección de pares de rectas de direcciones vertical, horizontal; delante, atrás; izquierda, derecha; norte, sur; este, oeste; c) realizar cambios de dirección en una marcha: giro completo; medio giro; cuarto de giro; d) representar gráficamente los desplazamientos realizados.
La representación gráfica, permite que se puedan expresar ideas y conocimientos; es una forma de comunicación en la que se utilizan esquemas, construcciones geométricas, figuras o dibujos. Es una descripción y esta, ya sea verbal o gráfica, obliga a quien la hace a observar, ordenar, situar en el espacio, establecer relaciones entre el objeto que se va a representar y su representación gráfica. Por eso, describir no es tarea fácil, también es necesario tener presente la forma, las características y la ubicación en el espacio del objeto. La representación gráfica también es una herramienta útil, ya que puede ayudar a encontrar estrategias para la resolución de problemas. En geometría, es importante tanto para expresar formas como para comprender razonamientos. Cuando se plantean situaciones problemáticas en las que se pide calcular el perímetro de una figura o el valor de un ángulo de la misma, es común que el alumno, ara facilitar la resolución: a) represente gráficamente la figura, b) ubique en ella los datos que se le aportan. Esta estrategia facilita el razonamiento correcto y la posterior resolución. Por tal motivo, en el Módulo 2 para alumnos, se insiste en los recorridos, las distancias y la re presentación gráfica de las mismas (actividad NQ4 d). E n 1a actividad Nº6, el a lumno debe encontrar el o los planos (representación gráfica) que corresponden al desarrollo del cubo. Se su giere que, de ser posible, los alumnos hagan en cartulina el plano del desarrol lo de un prisma (caja de zapatos) y luego lo armen.
Se analizarán las operaciones de multiplicación y división, teniendo en cuenta: su naturaleza; los tipos de problemas que se resuelven con ellas; las propiedades elementales; los errores algorítmicos más frecuentes que suelen cometer los alumnos.
La multiplicacion Su naturaleza
La multiplicación debe entenderse, en principio, como una operación aritmética entre números naturales. El punto de partida de esta operación son dos números y el punto de llegada otro número distinto (o no) de los anteriores. Ejemplos: 2 x 5 = 10 2x1=2 ¿La multiplicación es una suma abreviada? La interpretación de la multiplicación como una suma abreviada en todos los casos, es un error, ya que la multiplicación no es un caso particular de la suma. Es otra operación que puede definirse a partir de la suma pero no se reduce a
ella. La multi plitación es una o peración aritmética que puede interpretarse como suma ab reviada (sin ser lo mismo) cuando se trabaja con números naturales, por lo menos, en uno de los dos factores. En cambio, no puede pensarse en suma abreviada cuando debe resolverse por ejemplo 0,2 x 0,3 (este caso de multiplicación de dos ex presiones decimales, será tratado en el Módulo 3). Otra interpretación de la multiplicación, es considerarla un producto cartesiano. Un ejemplo práctico de esta interpretación, es el portero eléctrico (para las zonas urbanas), o un tablero de hotel como el que figura en la actividad Nº18 (dibujo del tablero). Hay 5 habitaciones por piso (PB. lº y 2º) O sea que en la PB hay: (PB l), (PB 2), (PB 3), (PB 4) y (PB 5); en el ler.Piso: (1º1), (lº2), (lº3), (1º4) y ( l º 5 ) ; (2ºl), (2º2), (2º3), (2º4) y (2º5). en el 2º Piso: Estos pares ordenados son el producto de los elementos pisos (PB, lº y 2º por los elementos habitaciones (1, 2, 3, 4 y 5). Si se quiere averiguar cuantas habitaciones tiene el hotel en total, basta con multiplicar: 3 (pisos) x 5 (habitaciones) = 15 habitaciones.
Los problemas que se resuelven con la multiplicacion
Los solucionables por suma reiterada (actividades Nº 11, Nº 12, Nº 13, Nº 14 y Nº15). Ejemplo: Un café cuesta $1,30, ¿cuánto debe pagarse por 3 cafés? + $ 1,30 $ 1,30 $ 1,30
$ 1,30 x3 = $ 3,90
El planteo de las dos situaciones multiplicativas son de distinta naturaleza, sin embargo, ambas se resuelven empleando la multiplicación. Es conveniente trabajarlos conjuntamente.
Las propiedades de la multiplicación que se trabajan en el Módulo 2 ara alumnos son: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y s e la resta. El alumno adulto probablemente las aplique intuitivamente. A continuación se le propone una forma de trabajarlas.
Juan quiere saber cuantas latas de aguarrás le quedan después de una venta importante. Revisa primero las cajas y cuenta G latas en cada una. Luego cuenta las cajas y verifica que hay 5. Después calcula 6 x 5 = 30 latas Un amigo que lo ayuda comienza contando las cajas (5) y luego continúa con las latas que h ay en cada caja (6). Entonces, calcula: 6x5=5x6 Cuando se piensa en situaciones en las que se puede intercambiar el orden de las cosas sin que se altere el resultado, se está pensando en operaciones conmutativas. La multiplicación es una operación conmutativa.
¿De qué otra forma se puede expresar 5 x 8? Como 8 = 2 x 4, entonces:
5 x 8 = 5 x ( 2 x 4 )
Sin enunciar la propiedad se puede proponer expresar de otra forma las operaciones:
Finalmente se puede solicitar a los alumnos que verbalicen los procedimientos, antes de enunciar la propiedad.
El planteamiento didactico de esta actividad es muy similar al anterior; se ha reservado el uso de esta propiedad para multiplicar números de dos dígitos. Ejemplo: Hay 12 estantes y hay 15 libros en cada estante. ¿Cuantos libros hay en total? La resolución es 15 x 12, pero como
12 = 10 + 2, entonces se puede expresar la operación
anterior así: 15 x (10 + 2) que se resuelve:
15x10 + 15x2 150 + 30 = 180 6
como 12=6+6
15x6 + 15x6 90 + 90 = 180 ó
como 12=8+4
15x8 + 15x4 120 + 60 = 180
Esta propiedad está ligada a la suma abreviada, por ello su tratamiento puede ser anterior al de la propiedad asociativa, que implica realizar dos multiplicaciones consecutivas.
Las equivocaciones están estrechamente relacionadas con dos aspectos; el primero tiene que ver con el grado de claridad que se tenga del concepto de multiplicación, y el segundo con la dificultad para relacionar el concepto con el procedimiento. Esto último también tiene que ver con haber o no haber construido el algoritmo de la multiplicación. Cuando los errores son tratados solamente como dificultad en el procedimiento y la solución que se da, es la repetición infinita del algoritmo para lograr la mecanización; en realidad, los obstáculos no se superan. Es necesario tratar de comprender la naturaleza del error. Si el problema está, por ejemplo en una incorrecta aplicación de la propiedad distributiva, se tratará de replantear problemas que lleven al uso de esa propiedad, es decir, volver a trabajar los contenidos conceptuales, ya que seguramente alli se encuentra la base del error. Manejar correctamente el algoritmo, significa comprender que, para resolver, por ejemplo: 26 x4 Al multiplicar 4 x 6 unidades, se obtienen 24 unidades que son 2 decenas y 4 unidades sueltas. CDU 2 6 x 4 Se escriben las 4 u. sueltas en la columna de las unidades y se colocan las 2 decenas en la columna de las decenas Al multiplicar 4 x 2 decenas se obtienen 8 decenas a las que se suman las 2 decenas correspondientes a las 24 unidades Se obtienen 10 decenas = 1 centena y 0 decenas sueltas.
Errores en la aplicación de la propiedad distributiva: CDU 3 4 2 x 3 3 4 6 multiplicando mu1tiplicador
Se realizó el producto del multiplicador por las unidades del multiplicando, pero, para las siguientes cifras, se optó por repetir sin multiplicar.
Olvido de las decenas del multiplicador: C D U
3 4 2 x3 5 1.710
* Agregar de manera incorrecta las agrupaciones de a diez: CDU
2.040 (2+3=5;4x5=20).
Las decenas (2) y las centenas (2) son sumadas a las cifras correspondientes (4 y 3) antes de multiplicarla por el 4 (2+ 4 = 6 ; 4 x 6 = 24) Olvidar las decenas o centenas que deben sumarse: CDU
1 4 7 x 8, 8 2 6
Se omitió: a) Al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas, sumar a este resultado las 5 decenas correspondientes a las 56 unidades obtenidas al multiplicar 8 x 7 unidades. b) Al multiplicar 8 x 1 centena, sumar a este resultado las 3 centenas correspondientes a las 37 decenas obtenidas al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas y 32 decenas + 5 decenas = 37 decenas = 3 centenas y 7 decenas sueltas U M C D U
7 x 8 1.176
* Realizar el producto del multiplicador solo por las decenas o centenas que deben sumarse: CDU
3 6 2 x 7
Existen numerosas variantes de errores. Pueden provenir de algún paso, alguna acción, dentro del algoritmo que el alumno olvida o no ha llegado a comprender. El aprendizaje meramente instrumental tiene una rigidez que seguramente generará errores ante algun cambio en la situación original. Es necesario que el alumno pueda relacionar conceptos y procedimientos, para que cada uno de los pasos del algoritmo tenga sentido, Se sugiere partir, entonces, de la revisión de algunos conceptos relacionados con la multiplicación que son: Sistema de numeración decimal. Propiedad asociativa de la multiplicación Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Interpretación de la multiplicación como suma abreviada. Una estrategia que podría facilitar la comprensión de los algoritmos de la multiplicación y d e la división es la construcción de la tabla pita gorica. En el Módulo 2 para alumnos se trabaja con tablas de doble entrada, y l a pitagórica es un ejemplo que, además, puede ser utilizado como recurso cuando el alumno tenga dudas con respecto a las multiplicaciones básicas (tablas de multiplicar), consultándolas cuando fuere necesario.
¿Cómo trabajar esta tabla? En primer lugar, sería conveniente que se les diera a los alumnos para completar. Una vez completada se les puede proponer que tracen la diagonal que va desde el 0 hasta el 100 y plantear por ejemplo: Observen los números a ambos lados de la diagonal. ¿A qué conclusiones se puede arribar? Observe los numeros de las columnas y las filas. ¿Qué diferencias y qué similitudes encuentra? ¿Hay números repetidos?¿ Cuales? Los números que están en la diagonal, ¿en qué se diferencian de los demás? Y todas las preguntas que usted considere oportunas. También se podrá pedir al alumno que registre todas sus observaciones para ser leídas y discutidas en la
De las respuestas y reflexiones de los alumnos surgirán las propiedades de la multiplicación: la conmutativa: simetría respecto de la diagonal; el cero “absorbe” cualquier número (la columna y la fila que lo contienen, tienen como resultado del producto, el cero). De a quí se concluye que cualquier número multiplicado por cero, da como resul tado, cero; la fila y la columna correspondiente al producto de los números x 1, da por resultado el mismo número; de aquí se concluye que cualquier número multiplicado x 1, da ese mismo número; en matemática se dice que el 1 es el elemento neutro de la multiplicación; los números de la diagonal corresponden. todos a cuadrados perfectos. Ej.:
2x2=4 3x3=9 ............................... 10x10=100
En la división se dispone de dos números iniciales (dividendo y divisor) y a partir de ellos se obtiene otro que recibe el nombre de cociente. Cuando en la division, el resto es cero; la división se llama exacta. Cuando el resto no es cero, la división se llama entera. naturales, es otro número natural. Por ejemplo: 3 : 2 = 1,50.
Se debe tener presente que no siempre el cociente entre dos números En este caso el cociente (1,50) es una expresión decimal (número racional),
Por otro lado: 10:5 es igual a 2 porque 2 x 5=10 3 : 2 = 1,50 porque 1,50 x 2 = 3
La división es la operación inversa de la multiplicación. La división no es un caso especial de la sustracción. Es una operación que, sólo a veces, puede resolverse por restas reiteradas.
Los problemas que se resuelven con la division
Si bien la division tiene tres si gnificados: como partición, como reparto y como búsqueda de número de elementos en un conjunto que da lugar a la formación de pares, en el Módulo 2 para alumnos y en éste se trabaja solo en los dos primeros sentidos, ya que en la vida cotidiana se utiliza la división en situaciones asociadas a “repartir” y “partir”. * Cada caja de chiclets cuesta $1,50. Tengo $6, ¿Cuántas cajas puedo comprar? * Con $ 6, puedo comprar 4 cajas de chiclets. ¿Cuánto cuesta cada una? EI procedimiento multiplicativo correspondiente implica repetir $1,5O cuatro veces para obtener $6 en total. $1,50 1 caja $1,50 1 caja $1,50 $1,50 1 caja 1 caja
Las cantidades desconocidas que se deben calcular son distintas para ambos problemas: en el primero: 4 cajas; en el segundo: $ 1,50. En el primer problema, se puede llegar a la solucion por resta reiterada. Tengo $6
He comprado 4 cajas de chiclets. Si quisiéramos resolver el segundo problema de la misma manera, sería imposible ya que no se pueden restar 4 cajas de $6. La división puede resolverse en algunos casos como resta reiterada pero no siempre. El segundo problema es
un ejemplo. Este problema requiere realizar un reparto: los $6 los debo repartir entre las 4 cajas. Las actividades Nº24 y Nº25 del Módulo 2 para alumnos plantean situaciones de este tipo de división. En cambio en la actividad Nº26 se plantean situaciones similares a las del primer problema, ya que se pueden resolver como resta reiterada e implican la idea de partición: se deben "partir” los $6 en x partes de $1,50 cada una.
La propiedad distributiva de la división con respecto.a la suma
El al goritmo clásico de la división resulta de una aplicación inicial de la propiedad distributiva a la derecha (ya que solamente en esa dirección es posible la division respecto de la suma) y de la multiplicación sistemática de la descomposición de los números. Por ejemplo: 458 : 4 se realiza teniendo en cuenta que: (400 + 50 + 8) : 4 = 400 : 4 + 50 : 4 + 8 : 4. Además al realizar 50 : 4 resulta un resto de 1 decena que debe ser convertida en unidades para continuar el algoritmo (18 : 4).
400:4 =lOO 50:4 = 1 0 y sobra 1 decena = 10 unidades
18 : 4 = 4 y sobran 2 unidades ( resto). 114 cociente
Aplicación incorrecta del sistema de numeración decimal En un campo hay 604 manzanos dispuestos en filas de 6 manzanos cada una. ¿Cuántas filas completas tiene el campo? El mayor problema suele presentarse cuando las centenas se agotan en el reparto y no hay decenas que repartir. El alumno, entonces, tiene en cuenta las unidades y olvida las decenas (puesto que no las hay), tanto en el dividendo como, lo que es peor, en el cociente. Lo expresa así:
En este caso, es conveniente utilizar el material que aparece al final del Módulo 1 para alumnos: recortar 6 centenas (cuadrados de 100 cuadraditos) y 4 cuadraditos sueltos (unidades) y realizando los canjes correspondientes, resolver la división construyendo el algoritmo,
Otro procedimiento válido, es la estimación previa a partir de sucesivas multiplicaciones por la unidad seguida de ceros, por ejemplo :
Esto imp lica un imp ortante trabajo de estimación de resultados, ya que le permite al alumno saber que va a contar con centenas, decenas y unida des en el cociente, pues éste va a estar entre 100 y 1.000. Suele ocurrir que, llegado el momento de verificar el resultado con la calculadora, el alumno olvide colocar la coma decimal (en la calculadora, el punto), por ejemplo, si tiene que resolver: 12,5 : 4. Si previamente el alumno estimo que el resultado de 12,5 : 4 tiene que ser un poco mayor que 3 (ya que 12 : 4 = 3), difícilmente podrá aceptar que 12,5 : 4 de por resultado 31. l La primera cifra del dividendo es de menor valor absoluto que la cifra del divisor En la actividad Nº30 del Módulo 2 para alumnos, se plantea el algoritmo 376 : 5 en el que el valor absoluto de la cifra de las centenas es menor que 5 y esto suele ser motivo de errores por la dificultad que presenta. Lo mismo que en el caso anterior se sugiere trabajar con el material que se adjunta al final del Módulo 1 para alumnos. Como las 3 centenas no se pueden “partir” en 5 partes iguales, habrá que canjearlas por decenas (30 tiritas) y sumarles las 7 decenas sueltas. De esta manera, hay que resolver 37 : 5. Se le puede sugerir al alumno que consulte la tabla pita górica o, como se le pro pone en la actividad mencionada, que complete a tabla del 5 para buscar e número que, multiplicado por 5 da un valor que se aproxima a 37. Este procedimiento es equivalente al inverso del utilizado para buscar productos en la tabla pitagórica.
Se lee: “dos por tres, es seis”.
Se lee: “seis dividido tres, es dos”
Aplicación incorrecta de la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma
Rosa cobró este mes $405. Si le pagan $5 la hora. ¿Cuántas horas trabajó? Es un ejemplo similar al mencionado en el caso del campo con las manzanas, ya que también éste tiene 0 en las decenas, pero aquí también se da la otra dificultad: la cifra de las centenas es menor que 5.
No se tienen en cuenta las unidades en el momento de dividir. Si se aplicara correctamente la propiedad distributiva a la derecha, no podría cometerse ese error ya que:
En general, los errores, obstáculos y dificultades de la división, tienen su origen en la incorrecta aplicación de: las reglas del sistema de numeración decimal; la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma; no recordar las tablas y tratar de buscar mentalmente los productos. La actividad Nº27 del Módulo 2 para alumnos, propone el algoritmo tradicional como procedimiento para resolver la operación 733 : 3. Teniendo en cuenta las dificultades que, en general, presenta la división, se utilizaron como recurso visual, tres tonalidades diferentes de un mismo color, con el fin de establecer con facilidad la relación entre la explicación con palabras y la simbolización numérica.
Como en el caso de la multiplicación,. es importante detectar el origen del error para evitar mecanizaciones tediosas que no solucionan el problema.
Las tablas de doble entrada son un recurso valioso para la organizacion de datos y el posterior análisis de los mismos. El adulto está familiarizado con ellas, ya que los medios de comunicación las utilizan como ordenadores de la información. Las actividades Nº19, Nº20 y Nº21, presentan diferentes tipos de tablas, desde un tablero de un hotel, donde los pisos están en la vertical y el número de habitación en la horizontal, hasta una tabla de posiciones de equipos de fútbol. La actividad Nº21, le propone al alumno buscar tablas de doble entrada en diarios y revistas. Se su giere, de ser posible, trabajar con los alumnos los planos de las guías que se venden en quioscos y librerías o en folletos turísticos de las localidades. Con el propósito de facilitar la ubicación de zonas, barrios o calles, esos planos, hechos en escala, tienen en el borde horizontal, números y en el vertical, letras. Trabajar ubicaciones y recorridos implica no solo continuar con la propuesta iniciada en geometría, sino también ejercitar la lectura e interpretación de las tablas de doble entrada.
Es importante favorecer en los alumnos, la comprensión de las informaciones que a diario reciben de los medios para interpretar, críticamente, algunos datos cuantitativos. A continuación se presentan algunas definiciones de conceptos que servirán para interpretar ese tipo de información. El propósito no es que usted los trabaje con los alumnos, sino que los utilice para aclarar dudas cuando la situación lo requiera. Población: conjunto de individuos (de variada naturaleza) sobre el que se efectúan observaciones, Por ejemplo, los habitantes de la ciudad de La Rioja forman una poblacion. Muestra: parte de la población sobre la que se trabaja o se observa. Por ejemplo, se toma una muestra de 100 habitantes de La Rioja. Frecuencia: número de veces que se repite un suceso en la muestra observada. Podría ser la cantidad de mujeres, en la muestra tomada. Promedio (o media aritmetica): es el cociente entre 1. suma de todos los valores obtenidos y el número de observaciones realizadas. Por ejem lo, se podría obtener la edad promedio de la muestra, sumando todas las e dades y dividiendo por el total de las personas de la muestra. Moda: es el valor de mayor frecuencia de la muestra considerada.
EVALUACIIÓN
Se presentan tres actividades de evaluación que usted podrá reformular o modificar según las dificultades y logros de los alumnos durante el desarrollo del módulo. En caso de cambiar los valores de la actividad Nº3, tenga presente que la suma debe tener como resultado un número entero, ya que en el Mo dulo 2 para alumnos, no se trabajó la división con expresiones decimales. l- El restaurante “La Moderna” ofrece comidas para enviar a domicilio. Éstas son algunas de las ofertas: MINUTAS
Un grupo de ocho amigos decide hacer el siguiente pedido: 5 milanesas 2 supremas de pollo 3 hamburguesas completas 4 porciones de papas fritas Y deciden dividir el importe por partes iguales entre los ocho, ¿cuánto pagó . . cada uno?.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *.,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,
2.- Este es el plano de la zona de envío del restaurante “La Moderna”. a) Nombre dos calles que sean perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................,............................................................................ b) ¿Qué clase de ángulo es el que aparece en el plano, limitado por las calles Rivadavia y Belgrano? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) ¿Y el que está limitado por las calles Independencia y San Martín? . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) ¿Roca e Independencia son paralelas? ¿Por qué’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.- Éstos son los gastos diarios de Juan, durante una semana: Lunes Marres Miércoles J ueves Viernes Sábado Domingo $ $ $ $ 8,75 13,00 9,25 19,00
¿Cual fúe el promedio de gastos esa semana?... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bindstein, Mirta y Hanfling, Mirta: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993, cap. 2, 7, 8. Buenos Aires (Provincia). Dirección de Educación Primaria: Matemática para maestros. Buenos Aires, 1991. Catala, Flamarich, Fortuny Aymemmi. Invitacion a la didáctica de la geometria. Madrid, Síntesis, 1989. Chemello, Graciela; Carozi de Rojo, Mónica y otros: “La matemática y su didáctica.Nuevos y antiguos debates”, en Didácticas especiales. Buenos Aires, Aique, 1992. Maza Gómez, Carlos: Enseñanza de la multiplicación y de la división. Madrid, Síntesis, 1991.
Introducción Contenidos y actividades Noción de proporcionalidad Las mediciones La longitud Las escalas Geometría Polígonos Clasificacion de los poligonos La superficie de los polígonos Calculo de superficies Operaciones Evaluación Bibliografía
47 48 49 50 52 52 54 55 56 58
En el Módulo 3 para alumnos se desarrollan contenidos de los ejes Operaciones, Medida y Geometría. En el eje Operaciones, como ya se procedió con otros temas, se trabaja la noción de proporcionalidad a partir de situaciones cotidianas. El propósito es que los alumnos reconozcan si existe o no existe relación de proporcionalidad entre dos magnitudes; y que utilizando las propiedades de la proporcionalidad, frente a una directa, puedan calcular valores no conocidos. Teniendo en cuenta que los adultos hacen este tipo de cálculos utilizando el sentido común, convendría que analizaran que están utilizando tales propiedades. En el eje Medida se comienza diferenciando las magnitudes escalares de las no escalares. Este concepto no siempre es tratado en forma correcta, generándose confusión entre qué cosas pueden ser medidas y cómo, y cuáles son las que no se pueden medir. A. partir de la noción de proporcionalidad y de magnitudes, se desarrolla el concepto de escala, que también se trata en los módulos 2 y 5 de Ciencias Sociales. Es conveniente que los alumnos comprendan no sólo el concepto de escala, sino que lo apliquen para calcular o representar distancias. Dentro de las magnitudes escalares, se desarrollarán, principalmente, el concepto de medir y el de dos de las magnitudes más utilizadas; longitud y superficie. Al iniciar el tema de medidas de longitud se trabajará con unidades no convencionales hasta llegar a la necesidad de utilizar una unidad de medida convencional. Con respecto a la superficie, al igual que en el caso anterior, se comienza con unidades no convencionales hasta llegar a las convencionales establecidas en el SIMELA. En el eje Geometria, a partir de las curvas y los poliláteros se arriba al concepto de polígonos, su clasificación en regulares y no regulares, en el nombre que reci b en según el número de lados y en el reconocimiento de sus elementos. Trabajar con la su perficie de los rectángulos, se considera propósito central ya que a partir de su formula y del concepto de la superficie se obtienen las fórmulas de la mayoría de las restantes figuras planas, Las actividades de cálculo de superficie, son ejemplos de cómo en una misma actividad, se relacionan todos los ejes, ya que también se debe operar y medir. En el Módulo 3 los objetivos tienden a que el alumno: * Afiance la comprensión y la correcta utilización de los al algoritmos de la multiplicación y la división, especialmente con la unidad seguida de ceros.
Conceptualice la noción de proporcionalidad. Comprenada en conceptos de medida: perímetro, superficie y volumen.
* Aplique adecuadamente las unidades convencionales de longitud y superficie * Reconozca los elementos de los poligonos. * Utilice correctamente las fórmulas para calcular superficies y volumenes.
* Emplee el concepto de escala para calcular longitude o para hacer representaciones.
El siguiente esquema sintetiza los contenidos del Módulo 3 para alumnos.
Nocion de proporcionalidad
Si bien el desarrollo de la proporcionalidad directa e inversa son ‘contenidos del próximo módulo, en el Módulo 3 para alumnos se presenta la noción de proporcionalidad en situaciones cotidianas. En general los adultos, no tienen formalizado este concepto pero lo a plicancuando preparan recetas de cocina, mezclas de combustible o de albañilería, y realizan interpretación de planos, mapas u hojas de ruta, etc. En el módulo para alumnos, se han utilizado algunos de estos casos. Es apropiado en las instancias presenciales proponer otras situaciones cotidianas para reconocer si existe o no existe proporcionalidad directa. Respecto a la proporcionalidad, para que reconozcan cómo se relacionan dos magnitudes en forma directamente proporcional, usted puede trabajar con los alumnos a partir del error. Es común que los adultos utilicen criterios para el reconocimiento de magnitudes directamente proporcionales que son incorrectos, por ejemplo, suele pensarse que: “Si al aumentar una, también aumenta la otra, entonces son directamente proporcionales”. Esto no sólo confunde, sino que origina errores en la resolución de problemas ya que utilizan las propiedades de proporcionalidad en situaciones en que no corresponden porque no existe tal relación. Usted podrá dar algunos ejemplos como las boletas de, servicios (electricidad, gas, teléfono, etc.), ara demostrar que esta condición es insuficiente. Es fácil comprobar que al doble de consumo no le corresponde el doble de importe. Otro de los errores relacionados con proporcionalidad, es considerar la razón como sinónimo de fracción. Cuando se utiliza una razón, lo que se está haciendo es indicar la relación que existe entre dos cantidades. Por ejemplo si decimos que de cada 3 personas 3 tas hay 5 bajas y escribimos la razón 3, esta escritu5 ra establece que la relación entre bajos y altos, indica, entre otras cosas: Que hay más bajos que altos. Que la cantidad de personas bajas es “casi” el doble que la cantidad de personas altas. Que en un grupo de 800 personas posiblemente 300 serán altas y 500 bajas, etc. En las relaciones, decir 3 de cada 5 es igual a decir 6 de cada 10 o 30 de cada 50, ya que la relación es la misma.
Si se tiene en cuenta que se opera del mismo modo con las razones y con las fracciones, no es necesario establecer esas diferencias ante los alumnos, pero tampoco deben tratarse del mismo modo. En este sentido, es conveniente que se remarque la lectura correcta de una razón. Por ejemplo, si resulta 5 debe leer6 se “cinco de cada seis” y no "cinco sextos”. La lectura correcta permite marcar la relación entre esas cantidades y no un numero, como resulta de leer “cinco sextos”.
En las razones, al igual que en las fracciones, se escribe la línea de separación en forma horizontal y no oblicua. Sólo después de utilizar correctamente la escritura, la lectura y el concepto de razón, los alumnos están en condiciones de continuar con proporciones. Para comprender qué representan, las proporciones también requieren ser leídas correctamente.
En las roporciones al igual que en las razones, la lectura correcta permite observar la relación que existe entre las cantidades, de tal manera que, en caso de conocer tres de las cuatro cantidades, al calcular la cuarta su resultado se interprete como un resultado lógico y no simplemente como el resultado de una cuenta. En el Módulo 4 para alumnos se tratará nuevamente el tema de la proporcionalidad. En el Módulo 3 se trabaja la proporcionalidad directa porque resulta más sencillo para los alumnos. Si se observaran dificultades con este concepto en algunos adultos, convendría continuar con más ejemplos tratando de que éstos estén de acuerdo con las actividades cotidianas de los alumnos, como las que se enuncian a continuación. a) Si para preparar 4 porciones de gelatina se requieren 2 tazas de agua, ¿Cuántas tazas se necesitarán para 8 porciones? b) Si se gastan 3 panes de jabón en 2 meses, ¿para cuantos meses alcanzarán 9 panes? (Gastando en forma regular el jabón,) c) Si en 3 hectáreas se obtuvieron 15 toneladas de grano, ¿Cuantas toneladas se obtendrán en 6 hectáreas? (Se entiende que el rendimiento por hectárea se considera aquí de manera constante.) d) d) ¿Cuantos kilos de fruta se espera cosechar, si de los 4 primeros frutales se cosecharon 80 kilos y en total existen 400 frutales? (Se supone que los frutales tienen el mismo rendimiento.) Las aclaraciones entre parentesis, indican lo que permanece constante en cada uno de los problemas enunciados. Cuando existe una relación directamente proporcional, es conveniente indicar o buscar la constante de proporcionalidad. Si no se lo explicita, nada garantiza que lo sea. Por ejemplo, en el problema b) es más lógico pensar que no gasta siempre la misma cantidad de jabón. Al señalar que se gas-
ta en forma constante queda claro que se supone una re gularidad en el problema que se plantea. Esto permitirá decir que existe proporcionali dad directa. Por intuición o por sentido comun hallarán y justificarán las respuestas, lo que no quita que se llegue también al resultado siguiendo el procedimiento matemático correspondiente, ya que no siempre el resultado será fácilmente calculable sin utilizar la proporción escrita. En cuanto al procedimiento matemático correspondiente, este se planteará en el Módulo 4. El cálculo aproximado del resultado, en forma mental o por intuición, debe ser estimulado; pero es el procedimiento escrito el que permitirá calcular correctamente en situaciones más complejas. Otra de las. formas de trabajar con proporciones es a través de tablas, éstas tienen algunas ventajas, por ejemplo permiten interpretar los datos de un problema en forma más ordenada, reconocer más fácilmente la constante o calcular varias incógnitas a partir de un sólo enunciado. Trabajar con el concepto de proporcionalidad es necesario para abordar un caso particular de las proporciones que es la escala.
Las mediciones :
En el mundo fisico y sensible, la cantidad se manifiesta de dos ‘modos distintos, para diferenciarlas, se puede partir de las siguientes preguntas:
¿Cuantas hojas tiene este módulo’! * ¿Cuánta agua hay en el vaso!
Para responder a la primera pregunta es suficiente contar y responder con un número, pero no se puede contestar a la segunda del mismo modo. ¿Se puede contar la cantidad de aguã?; En el primer caso la respuesta es. una cantidad discreta o discontinua, y para cuantificarla basta contar una por una las unidades que la integran. En el segundo caso, la respuesta es una cantidad continua y para cuantificarla es necesario utilizar una unidad de la misma especie y determinar cuántas veces cabe esta unidad en el objeto que se quiere cuantificar. Las primeras cantidades se cuentan, porque se trata de cantidades discontinuas; las segundas se miden, porque son cantidades continuas. Es necesario tener presente este tipo de clasificación porque es común que se trabaje con ambas cl ases en forma simultánea. La primera actividad que se propone a los alumnos, es reconocer qué cosas pueden ser o no ser me di‘das con precisión, sin diferenciar entre las cantidades continuas y discontinuas.
Para medir una cantidad es necesario establecer una unidad que puede o no puede ser elegida arbitrariamente. Si se quiere medir una longitud, es log i c o que se piense en unidades tales g como el metro o el kilómetro en lugar de pasos, una ramita o cualquier otro objeto, por ser las primeras de uso frecuente y generalizado. Pero, para construir estas unidades convencionales, la humanidad tuvo que recorrer un largo camino. En la antigüedad, sólo se utilizaron unidades no convencionales (objetos, partes del cuerpo humano, etc,) Transcurrieron muchos siglos hasta que se obtuvieron sistemas de unidades convencionales, universalmente aceptad as. Por eso para estudiar las medidas de longitud, como tambien las de superficie, el camino lógico es a través de las unidades arbitrarias en una primera instancia, para llegar después a las convencionales establecidas en el SIMELA. El uso de unidades no convencionales en una primera instancia, facilita que los alumnos comprendan el concepto de medida. Comenzar con unidades como el metro, que en muchos casos es frecuente, no permite ver por que exísten unidades convencionales. El alumno tendrá que comprender la necesidad de utilizar unidades que resulten comunes a todos. Por ejemplo, su gerir que mida el ancho del aula o la altura de la puerta, utilizando el largo del b orrador o una tiza como unidad de medida de longitud; o bien que el mismo objeto sea medido con diferentes unidades, y que compare y analice los resultados. En los sistemas como el SIMELA, la existencia de multiplos y submúltiplos, tiene por finalidad disponer de unidades más grandes o más chicas que la unidad base, ya que ésta en muchas ocasiones resulta inapropiada. Por ejemplo, para medir la distancia que existe entre su ciudad y la ciudad de Roma, o para medir el largo de una hormiga, ¿el metro es una unidad apropiada? Una vez comenzado el trabajo con unidades convencionales, es importante que se observe si los alumnos tienen la noción del tamaño de cada unidad; si usted detectara dificultades, podría proponer actividades como las Nº4, Nº5 y Nº6 del módulo para alumnos, para que el adulto pueda expresar la equivalencia entre una unidad y sus múltiplos y submúltiplo s . De nada sirve correr la Coma para uno u otro lado, si no se entiende la equivalencia entre las distintas unidades. Las escalas Posiblemente, los alumnos hayan interpretado un plano, un mapa, un molde de costura o el es quema de algún electrodomestico, en estos casos han operado con el concepto de escala, pero quizá no tienen formalizado dicho concepto. Estas experiencias de vida, resultan útiles para desarrollar el contenido de las escalas. Por esta razón se utilizaron en el abordaje del tema, mapas, planos, etc.
Posiblemente, algún alumno podrá preguntar por alguna de las no utilizadas en el módulo, en todos los casos, lo importante es remarcar que solo son maneras diferentes de .expresar lo mismo. El concepto de escala, como ya se expresó; se trabaja también en los módulos 1, 2 y 5 de Ciencias Sociales. Fundamentalmente, lo que debe quedar claro es que la escala es la ‘relación (razón) entre la medida con que se representa una distancia y la medida real de esa distancia. Por lo tanto: 1 100.000 1 : 50.000 indica que por cada cm representado la distancia real es de 100.000 cm. Indica que cada cm representa 50.000 cm.
En los ejemplos anteriores, no se indican unidades, sino que se podrá medir en cm, mm u otra unidad para obtener la correspondencia en la misma unidad.
Esta representación es frecuente en mapas. Muchas veces el segmento está dividido, en segmentos menores para establecer distancias reales más pequeñas. El uso e interpretación correcta de la escala, permite comprender la relación entre magnitudes muy grandes o muy pequeñas. Por ejemplo las dimensiones que tiene el sistema solar y los cuerpos que lo integran, que se estudian en el Módulo 3 de Ciencias y Tecnología, son imposibles de comprender si no es a través de una proporción o un gráfico en escala. La ejercitación adicional se planteará de acuerdo con el tipo de dificultad que presenten los alumnos. Si el problema radica en que no puede o perar con el concepto, será necesario proponer actividades como la Nº30 del Módulo 3 para alumnos y trabajar con planos, mapas o esquemas, para calcular longitudes utilizando la escala que se indique en cada caso. Una actividad para proponer a los alumnos, podria ser dar la medida real de un objeto, y tomando la de su representación, hallar la escala utilizada. Una actividad que integre todo lo anterior, sería representar algún objeto con una escala previamente establecida por los alumnos, por ejemplo la representación del aula, del patio, de un armario, etc.
El edificio geometrico fue construido por los seres humanos a lo largo de muchos siglos. Sobre él se han escrito importantes tratados que generaron discusiones entre matemáticos ilustres; transcurrieron siglos h asta llegar a algunos acuerdos. La enseñanza de la geometria también pasó por períodos criticos. Durante mucho tiempo se enseñó matemática y especialmente geometria, con un ordenamiento, una sistematización y un rigor cientifico que poco tenía que ver con las posibilidades y los intereses personales de los alumnos para aprender matemática. El tratamiento de la geometria en el Módulo 3 para alumnos, va desde la geometría física (de las representaciones gráficas y materializadas), a la geometria abstracta (conceptualizaciones matemáticas). No hay dudas, desde el punto de vista didáctico, de que la geometría del mundo físico es un modelo excelente para el desarrollo de la geometría matemática. Se comenzó el estudio de la geometría (en el Módulo 2) resentando actividades que intentaron poner en contacto a los alumnos con algunos conceptos geométricos. A partir del-Módulo 3 para alumnos se incorpora el lenguaje de las representaciones geometricas.
La idea de poligonal surge al considerar segmentos consecutivos no alineados. Si los segmentos o lados de la poligonal no se cruzan, la poligonal recibe el nombre de simple. De lo contrario se llama poligonal cruzada. En ambos casos puede ser abierta o cerrada. Simples
Dentro de las cuatro posibilidades que se presentan en las poligonales, las cerradas y simples son las que, matemáticamente, reúnen las propiedades más interesantes. Los alumnos deben notar que los puntos del plano quedan divididos en tres clases; los de la poligonal, los interiores a la poligonal y los exteriores a ella. Esta clasificación de los puntos, permite construir el concepto de polígono. La unión entre la poligonal cerrada y simple con su región interior determina un polígono: es importante que se establezca con claridad que al polígono pertenecen tanto los puntos del borde o frontera (poligonal), como también los interiores. Respecto de la actividad Nº 31 (pág. 225) es conveniente que sea el alumno quien compare las dos figuras y establezca las diferencias. Una de las principales, es que la poligonal es una línea en cambio el polígono no. Por eso en la poligonal sólo existe una dimensión, la longitud. En un polígono son dos las dimensiones y, por lo tanto, tienen como propiedad específica la superficie. Esto es tratado para facilitar al alumno la conceptualización de perímetro y de superficie.
Generalmente, la primera clasificacion que se establece entre los polígonos es: convexos y no convexos (o cóncavos). Esta clasificación no fue desarrollada en el Módulo 3 para alumnos, pero si en el grupo surgiera la necesidad de hacerlo, se sugiere la siguiente actividad: presentar dos- poligonos, uno convexo y otro cóncavo! como los siguientes.
Solicitar que indiquen las diferencias que observan entre uno y otro. Muchas serán las diferencias que encuentren, y sin lugar a dudas una de ellas será la propiedad de convexidad de uno de los polígonos. La forma cómo expresen esta condición podrá variar de un alumno a otro, pero el concepto será el mismo. Una figura es cóncava (o no convexa) cuando con un par de puntos pertenecientes a ella puede determinarse un segmento que no está incluido en dicha figura. Es necesario hacer notar que con encontrar al menos un par de untos que cumplan con este requisito, es suficiente para que la figura se clasifique en cóncava. Por lo tanto, para ser convexa no debe existir ningún par de puntos que determine un segmento que no esté incluido en la figura.
a y b determinan un segmento no incluido en el poligono. Es cóncavo.
La clasificación en cóncavo y convexo, no solo se aplica a los polígonos. Por lo tanto es necesario verificar que el concepto sea general y no particular para los polígonos. Por ejemplo con ángulos, con las lentes, etc. Los polígonos, puden ser regulares o irregulares. Con respecto a esta clasificación, es común que se interprete que para que un polígono sea regular “sus lados deben ser iguales”. Si bien es cierto que esta condición es necesaria, no es suficiente. Un polígono es regular si y, sólo sí, si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. La clasificación más utilizada, es la que divide a los polígonos según el número de lados. Algunos de estos figuran permanentemente en nuestro lenguaje, como el triángulo, el cuadrilátero, etc. En general, esta ultima clasificación no presenta dificultades. Es conveniente remarcar que los triángulos y los cuadri: l áteros son polígonos, por lo tanto tienen sus mismas propiedades.
En ningún momento se ha hecho la diferenciación entre superficie y área, porque se considera innecesaria y sólo contribuiría a confundir a los alumnos, ya que la gran mayoría de los adultos utiliza el termino superficie como sinonimo de área y no es necesario establecer su diferenciación.
Algo semejante ocurre con los términos congruente e igual, los adultos en general desconocen la palabra congruente, pero utilizan permanentemente la palabra igual, en algunos casos como sinónimo de congruente. De nada serviría insistir en la diferencia. Al igual que en la longitud, para llegar al cálculo de superficie y al uso de unidades convencionales, se creyó necesario incorporar el concepto de superficie y el uso de unidades no convencionales. Por eso en la actividad Nº40, se ha intentado diferenciar el perimetro de la superficie. A diferencia de las líneas cuya pro piedad es la longitud, la propiedad característica de los polígonos es la superficie. Para medir una longitud se necesita otra longitud, es decir una magnitud de la misma especie, y, para medir una superficie, es necesario utilizar otra superficie como unidad. Se pueden utilizar entonces, baldosas (si se trata de un piso), manzanas (en el caso de un sector de una ciudad), cerámicas o azulejos (en el caso de una pared), etc. Además, el alumno podrá proponer otras unidades posibles para medir superficies y medir la misma superficie con distintas unidades (actividades Nº42 y Nº43). Si bien se puede tomar cualquier superficie como unidad, es conveniente que las últimas que se utilicen durante ‘las actividades’ que se propongan sean cuadrados, ya que el metro cuadrado es una superficie cuadrada. También en este caso el alumno debe ver la necesidad de utilizar unidades convencionales incluidas en el SIMELA, En el tratamiento de los múltiplos y submúltiplos hay dos aspectos centrales a tener en cuenta: la relación entre las unidades y la formación de la idea del tamaño de las unidades de superficie más usuales. Estos dos aspectos se pueden trabajar simultáneamente como en las actividades Nº44, Nº45 y Nº46. Ante dificultades, se puede llevar un metro y con tiza o al gún objeto que permita marcar, dibujar con los alumnos las unidades apropiad;as. Por ejemplo: medir la superficie del pizarrón, del patio o de. una pared. Dibujar entonces cuadrados de 1 m por 1 m, o de 1 dm por l dm de 1 cm 2 2 2 por l cm y luego contar los m , dm o cm . De esta actividad, que puede repetirse con distintos objetos y diferentes unidades, surgen varias situaciones adicionales: a) elegir la unidad apropiada; b) la unidad elegida no está contenida un número exacto de veces; c) la equivalencia (si se eligen dos unidades distintas para medir la misma superficie). En el caso a), se verifica si tienen noción del tamaño de las unidades para elegir la apropiada. De no ser así, al intentar resolver la actividad, se darán cuenta de que es muy pequeña o muy grande la unidad elegida. La situación b) se dará en casos como el siguiente.
Sobre el patio se han dibujado cuadrados de 1 m cada uno, en total hay 12, pero queda superficie del patio sin medir. ¿Cómo se determina la medida de la superficie restante?
Aquí los alumnos pueden proponer: 1) Estimar lo que quedó (más o menos 2 2 2 4m dando un total de 16m ). 2) Completar el resto de la medición con dm (en este caso se dibuja en lo que queda del patio, cuadrados de 1 dm por 1 dm). Finalmente, se podrán comparar las dos respuestas. En c), se presenta una buena ocasión para mostrar equivalencias. Si por 2 ejemplo, la superficie de un pupitre es de 18 dm , al medirla con cuadradítos de 2 1 cm por 1 cm, se obtendrán 1.800cm . Para medir superficies también se utilizan las unidades agrarias, fundamentalmente, la hectarea. Generalmente los hombres y mujeres que trabajan o han trabajado en el campo, tienen presente esta unidad de medida. Con ellos solo será necesario trabajar la equiva lencia con el hectómetro cuadrado (1 hectárea). Con los alumnos que no ten gan una nocion clara del tamaño de una hectárea, 2 se la deberá relacionar con el h m , establecer la manzana de al unas ciudades como una superficie similar (se debe tener presente la irregulari d:ad de las manzanas) . Calculo de superficies En el Módulo 3 se trabajará solo el cálculo (con fórmula) de la superficie de rectángulos. En muchas ocasiones, es pecialmente en geometría, se presentan las formulas para calcular una superficie un volumen o al una medida de la figura geométrica como una imposición del maestro o el libro y que el alumno, sin comprenderla, debe aceptar. En tales casos, los alumnos tienen la sensación de que son el “mandato” de algún matemático que vivió hace mucho tiempo y que d eben ser utilizadas mecánicamente. Las actividades Nº47, Nº48 y, especialmente, la Nº49, ‘permiten que el alumno descubra la fórmula para calcular la superficie de los rectángulos. En el rectángulo de la actividad Nº49, la superficie la obtuvo multiplicando 10 cm por 6 cm, que son las medidas de ese rectángulo, pero el procedimiento se puede generalizar, ya que en todos los casos, el producto de la base por la altura permite hallar la superficie de un rectángulo. Si el alumno, es quien generaliza, podrá:
La obtención, comprensión y utilización de las fórmulas por parte de los alumnos, permite ir de lo concreto y particular a lo general, representativo y abstracto. La fórmula para calcular superficies de rectángulos es fundamental, ya que las fórmulas para el resto de las guras (directa o indirectamente), están relacionadas con ésta. De ser necesario, se pueden proponer actividades similares a la Nº49. Si los alumnos comp renden el concepto de superficie y el de multiplicación, no tendrán dificul tades para aplicar o reconstruir la fórmula para calcular la superficie del rectángulo; de lo contrario, hay que verificar en cual de estos dos conceptos está la dificultad, para poder superarla. Otras actividades podrían ser las que los alumnos -piensen en situaciones cotidianas en donde necesiten calcular las superficies. Por ejemplo, calcular la superficie de un vidrio que debe ser reemplazado, la de una huerta que debe ser abonada o sembrada, la de una pared que se quiere empapelar, etc. Luego de haber hecho calculos simples, se pueden proponer actividades como la Nº51, donde intervienen muchos de los temas desarrollados en el módulo para alumnos. Ejercicios semejantes, pueden realizarse, no sólo a través del gráf ico de las paredes, sino tomando una habitación para graficar sus paredes, medirlas y luego resolver la actividad. El aula siempre ofrece posibilidades mu buenas para generar actividades. En este sentido, es bueno llevar o pedir que los alumnos lleven instrumentos para medir. En este tipo de actividades, la vivencia que se genera por tener que obtener los datos para resolver el problema, generalmente, hace que éstos sean ordenados y utilizados correctamente.
Los algoritmos se olvidan fácilmente cuando no son comprendidos. La comprensión del algoritmo tanto de la multiplicación como de la división, está b asada, principalmente, en un manejo apropiado del sistema de numeración decimal. Los alumnos, en muchas ocasiones operan mal al querer aplicar un mecanismo que no comprenden o no lo recuerdan por haber sido incorporado solo en forma mecánica. Si en un grupo hay alumnos que cometen errores al multiplicar o dividir, en especial con dos cifras, no es conveniente insistir con más cuentas, como máximo se logrará que temporariamente obtengan algunos resultados correctos. En estos casos, es necesario observar las cuentas realizadas por ellos. Se notará que, en general, los errores se relacionan con el sistema de numeración decimal, ya sea porque encolumnan mal o porque transforman unidades de uno a otro orden en forma incorrecta.
Para superar estos errores, es necesario que usted plantee actividades que se refieran al sistema de numeración decimal y luego rehacer junto con los alumnos las operaciones resueltas incorrectamente, indicando por qué se opera de esa manera, para que puedan reconocer la causa de sus errores. En la historieta que introduce al tema multiplicacion y en la actividad Nº12, se sugiere que en lugar de multiplicar por 12, se multipli que por 2 y por 10 y que se sumen los resultados, ya que en esto consiste el algoritmo de la multiplicación por dos cifras. Hasta que el algoritmo no esté comprendido, es conveniente que se utilicen las columnas de C, D y U. Los alumnos solos sabrán cuándo no usarlas más. El mismo tipo de dificultades, presenta la multiplicación de una expresión decimal por un número natural. Por lo tanto, es necesario insistir en las multi plicaciones entre números naturales antes de pasar a agregar una mayor dificultad al utilizar la coma decimal. En las primeras multiplicaciones, es conveniente mencionar que se está multiplicando y que se ob tiene, por ejemplo, en la actividad Nº15: “2 por 4 centésimos, es igual a 8 centésimos” y ubicarlo en la columna que corresponda. Las primeras actividades de multiplicación (actividades Nº12 y Nº15) y de división (actividades Nº23 y Nº24) por dos cifras, es conveniente explicarlas oralmente para facilitar su comprensión, ya que la secuencia indicada para resolver las operaciones y sus justificaciones, pueden no ser comprendidas por todos los alumnos. No se puede agregar más texto a los ejercicios para que no resulten demasiado extensos. La multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros, permite hacer cálculos aproximados del resultado de una cuenta sin necesidad de hacerla con calculadora o escribiéndola. Hay que estimular a los alumnos para que antes de realizar una operación, estimen un posible resultado. De esta manera, si al hacer una cuenta por escrito el cálculo se realiza mal, notarán que el resultado no es correcto y revisarán la cuenta, Por ejemplo, si se tiene que multiplicar 154 por 13, se puede pensar que si se multiplica 154 por 10 y se obtiene 1540, entonces por 13 será al o más, tendrá que dar aproximadamente 2000; si al hacer la cuenta da mucho más o mucho menos, es evidente que hay un error. Es posible que muchos adultos utilicen estrategias semejantes, en estos casos conviene que las compartan con el resto del grupo. Esto los estimulará y permitirá a los otros ir construyendo sus propios procedimientos. Las actividades Nº17, Nº20 y Nº22, permiten que los alumnos descubran la propiedad referida a la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros. Las tablas de equivalencias que se presentan, muestran que siempre ocurre lo mismo, descartando lo que en una sola cuenta podría parecer casualidad. El algoritmo de la division por dos cifras no es distinto al de una cifra, pero tiene sus particularidades. Por ejemplo
¿Se puede dividir 7 centenas por 21 ? Como la respuesta es no, generalmente se dice: “entonces se toma la cifra que sigue”, esto no tiene la justificación correspondiente y comienza a convertirse en un mecanismo incomprensible. Lo correcto es utilizar el sistema de numeración y pensar, “Como no se puede dividir 7 centenas en 21 partes iguales se transforman las 7 centenas en decenas, o sea 70, más 4 que ya se tenían da 74 decenas”. ¿Se puede dividir 74 decenas por 21? La respuesta ahora es sí. El problema es cuánto se obtiene. En la actividad del módulo para alumnos, para poder hallar cada una de las cifras del cociente, se agregaron todos los productos del dividendo por una cifra. Esta es una de las técnicas posibles. Otra forma de hallar la primera cifra del cociente, es por tanteo. Este es el procedimiento más utilizado, pero no es el mejor para iniciar el tema, porque implica muchos cálculos innecesarios que pueden evitarse si el alumno sabe las tablas, o utiliza la tabla pitagórica sabiendo de lo que busca.
ll decenas se transforman en 110 unidades, más las 8 que ya había, da 118, por eso. ,se escribe el 8 junto al ll. Generalmente se dice ” se baja el 8 ”. ¿Por qué?, ¿para qué?. Si no se cambia o justifica este tipo de expresión, se cae en el mecanismo incomprensible. A partir de este paso, el ciclo se repite, se busca el cociente entre 118 y 21 y se sigue...
Si el propósito es obtener un cociente decimal, sólo se necesita mostrar que el 5 obtenido en el cociente corresponde a las unidades, por lo tanto, para continuar, es necesario transformar 13 unidades en 130 décimos (generalmente se dice “se agrega un cero al resto”), obteniendo en el cociente, como próxima cifra 6 décimos, por eso se coloca la coma decimal en el resultado. Sintetizando, para los adultos que ya saben este tipo de procedimientos habrá que justificarlos, mejorarlos y controlarlos. Para los que lo están aprendiendo, es necesario que justifiquen permanentemente. Esto ayudará a que comprendan y no olviden los algoritmos. Recuerde que la calculadora podrá ser utilizada para ‘verificar los resultados.
La siguiente es una actividad de integracion propuesta para la evaluación. Es conveniente tener en cuenta que un error de medición o de calculo, puede motivar que las respuestas que dependan de éste no sean correctas, pero esto no implica necesariamente que el alumno haya procedido mal. Campo “La luz güena”
En el gráfico se ha hecho el esquema de un campo, el recuadro mayor corresponde a los límites del campo; el interior al sector destinado a la vivienda. 1) Mida y escriba cuántos cm tiene el ancho (base) del rectángulo, 2) Si la medida real del ancho del campo es de 900m, ¿cuál es la escala utilizada para la representación?
. . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . , . . . . . , . . . , , , . . . , . , . . , , , , . , . . . , , , . , . .
3) ¿Cuál es el perímetro del campo? 4) Si por cada 25m de alambre perimetral se quiere colocar un cartel, ¿cuántos carteles podrán ubicarse?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * . . . , . . . . . . . . . . . . .
5) Calcule la superficie total del campo 6) ¿Cual es la superficie del sector destinado a vivienda? 7) Si el resto del campo es utilizado para criar animales. ¿Cual es la superficie destinada a esta finalidad?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . , . . . . . . . I ,
8) Exprese esta superficie en hm2, o sea, son . . . . . . . . . . . . . hectáreas Si por ejemplo en el punto 1) el alumno mide mal y en lugar de medir 9cm lee 10cm, la escala ya no será la dada, pero’ si usando lo que él midió (l0cm), calcula como escala 10 cm : 900 m o l cm 90 m 0 como lo exprese, el punto 2) es correcto. Este tipo de situaciones, pueden darse en cualquier punto de la evaluación, y el criterio a adoptar debe ser el mismo.
BlBLlOCRAFIA
Sobre aspectos didacticos
Bandet, J. y otros: Hacia el aprendizaje de las matematicas. Buenos Aires, Kapelusz, 1965. Castelnuovo, Emma: Didáctica de la matemática moderna. Mexico, Trillas, 1972. Márquez, Cristina del Carmen: Enseñar a pensar. Buenos Aires, Kapelusz, 1987, Cuaderno pedagógico Nº57. Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, Capitulo 4. Las mediciones: Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. La medida. Buenos Aires, Plus Ultra, 1982. Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 6. Tapia, Nelly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 6. Poligonos: Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 4. Tapia, NeIly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 5. La superficie, cálculo: Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 8. Tapia, Nelly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 11. Operaciones, potenciacion: Amadori, Li l iana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap.s 5 y 11.
Introducción Contenidos y actividades Operaciones Proporcionalidad Las posibles dificultades de los alumnos Porcentaje Multiplicacion y division de expresiones decimales Medidas de capacidad y peso Geometría Medición de angulos Evaluación Anexo 1: Problemas Proporcionalidad Porcentaje 70 71 71 76 78 80 81 81 82 84 84. 86
La organización de este módulo destaca el concepto de proporcionalidad; se lo considera un tema fundamental por su utilidad en la vida cotidiana y en la a plicación en otras disciplinas como, por ejemplo, la física. Además, de él derivan otros temas como los de escala, porcentaje y descuento. La enseñanza de la matemática está estrechamente ligada a la resolución de problemas. Por tal motivo, el objetivo central de este módulo es presentar algunas herramientas que lo orienten a usted en: * la selección de problemas de proporcionalidad para plantear a los alumnos; * la elección de procedimientos de resolución de problemas de regla de tres y de formas de representación de planteos y soluciones; * la elección de estrategias para superar posibles errores conceptuales y/o de aplicación de procedimientos por parte de los alumnos, Un tema no se agota con la resolución de un solo tipo de problemas. Es conveniente enfrentar al alumno con situaciones que contemplen diferentes aspectos en relación con un contenido particular, de tal forma que nuevos problemas den lugar a nuevas reflexiones y reformulaciones. Por tal motivo, se incorporó al final de este módulo el Anexo 1 con propuestas de problemas, para ser utilizado cuando usted lo crea oportuno. En el eje Operaciones, es prioritario el concepto de proporcionalidad, cuyo tratamiento se inició en el Módulo 3. Dicho concepto, se fue estructurando a partir de la formulación de una secuencia de problemas con nivel creciente de complejidad. El propósito es que el alumno analice y confronte los posibles procedimientos de resolución de situaciones de proporcionalidad y utilice el 1 que le resulte más conveniente * Derivado del concepto de proporcionalidad, se plantea el concepto de porcentaje, que está presente en el quehacer cotidiano del adulto, en situaciones como: calcular el precio de un producto al que se le practica un descuento determinado (10%, 20%, etc.), comprender los descuentos que se le practican en su recibo de sueldo, interpretar noticias periodísticas de actua1p idad (resultado de elecciones, aumento en los servicios, etc.). Su tratamiento permite integrar el eje Estadistica a partir del análisis e interpretacion de diagramas de barras, de torta y tablas de doble entrada. e Otro contenido del eje Operaciones es la multiplicación y división de expresiones decimales. Se trabajan las operaciones mencionadas en situaciones problemáticas, proponiendo, en primer lugar, la estimación del resultado y, en segundo lugar, la resolución exacta, aplicando el algoritmo que corresponda; finalmente, la verificación del resultado con la calcu l adora.
1. En la segunda impresión del Módulo 4 para alumnos se suprimió la resolución de problemas de proporcionalidad por función, debido a las dificultades que la misma presentaba (según encuestas para docentes y alumnos de varias jurisdicciones), Relacionado con la resolución por función sólo se aclara el significado del termino en el lenguaje matemático y se plantea la representacion gráfica de la función. Por tal motivo se mantienen las situaciones que se resuelven sólo con la observación de dicha representación. 69
En el eje Medida, se presentan las medidas de capacidad peso en situaciones de la vida diaria. Esto permite hacer referencia a las unidades convecionales establecidas por el SIMELA, y plantear la resolución de problemas que integran los contenidos del Módulo 4: proporcionalidad, porcentaje y operaciones con ! expresiones decimales. Respecto de la medición de ángulos, se comienza comparando las aberturas de los mismos, con un ángulo patrón (unidad no convencional), para llegar a la unidad convencional. No se realizan o eraciones con estas unidades, ya que el propósito es que el alumno conozca el sistema utilizado para medir ángulos, el instrumento que se utiliza (el transportador) y la forma en que se mide, integrando de esta f orma los ejes Medida y Geometria. Los objetivos del Módulo 4 para alumnos tienden a que el adulto:
Se trabajan contenidos de los cuatro ejes: Operaciones, Medidas, Geometria y Estadistica.
El término proporción y sus derivados (proporcionado, proporcional, desproporción, proporcionalidad, etc.), son utilizados en el lenguaje cotidiano con diferentes significados. En general, no coinciden con el concepto matemático. Por esa razón, el Módulo 4 para alumnos, se inicia con tres viñetas que corresponden a tres situaciones en las que se emplean diferentes acepciones de algún derivado de la palabra proporción. En las viñetas 1 y 2, se utilizan los términos ‘desproporcionada’ ‘proporcionada’ con un sentido estético, que tiene que ver con la armonia de formas. En la viñeta 3, la palabra ‘desproporción’ remite a un desequilibrio entre lo que se ofrece en venta (artículo) y el precio que se le asigna. Las tres situaciones siguientes, si bien plantean situaciones en las que la palabra proporción y sus derivados tienen sentido matemático, sólo en las situaciones 2 y 3 los términos se corresponden, estrictamente, con el concepto de proporcionalidad matemática. Es probable que los alumnos descubran esto, una vez que hayan resuelto toda la secuencia de actividades que se les propone, referida al concepto de proporcionalidad directa e inversa. Es importante tener en cuenta, al enseñar este contenido, que: * La proporcionalidad se inscribe en el campo de lo multiplicativo. Sería significativo comentar con los alumnos en las instancias presenciales que, en los módulos 2 y 3, ellos ya resolvieron situaciones multiplicativas del tipo de: "Un kilo de asado cuesta $ 2,50. Si compro 3 kilos. ¿Cuánto debo pagar?” Estos son problemas elementales de proporcionalidad. Las tablas de multiplicar también son un ejemplo de proporcionalidad, aunque pocas veces sean explicitamente consideradas como tales. * El concepto de proporcionalidad se construye a partir de una serie de contenidos interrelacionados. Las siguientes afirmaciones, remiten a la relación de proporcionalidad directa. Por ejemplo si se plantea que: * un automóvil marcha a 120 km/h; * el plano está dibujado en escala 1: 1000; l para 10 porciones de torta utilizo 200g de crema; * una cañeria expulsó 501 de agua por minuto; * la perfumería rebaja sus artículos el 20%; l con 2 kg de fruta se obtiene 1,5O kg de dulce. La variada complejidad de estas situaciones, está dada, entre otras, por los tipos de números utilizados (naturales, racionales), por la naturaleza de las magnitudes (peso, capacidad, longitud, velocidad, tiempo), por el concepto de medida por los contenidos derivados (porcentaje, escala). T odos estos aspectos se interrelacionan, y así la solución de un problema será producto de la integración de los mismos.
El Módulo 4 para alumnos plantea la secuencia de problemas propuestos y considera: los procedimientos o estrategias de resolución; las diferentes formas de representación de las formulaciones y soluciones; l las posibles dificultades de los alumnos; • los contenidos derivados.
Con respecto a los procedimientos o estrategias de resolución, en el Módulo 4 para alumnos se utilizó el ejemplo planteado en el Módulo 3: la proporción para la mezcla utilizada en la construcción es de “un balde de cal, por 3 baldes de arena”. La actividad Nº4 propone al alumno que complete esta tabla:
Posiblemente, el alumno, completará en b) la relación G-2 porque “si la arena aumenta al doble, la cal también”. Y en c) completará 9-3 porque en este caso la arena aumenta el triple y en d) como es el doble de c) será 18-G y en e) como son los datos de c): P-3 multiplicados por 5, resuelve 3x5 = 15 y 9x5 = 45. Estas estrategias, dan cuenta de las propiedades de la propórcionalidad que el adulto conoce por su experiencia personal. En la instancia presencial, se sugiere que los adultos analicen y confronten los diferentes procedimientos que utilizan. Este espacio de reflexión e intercambio, es útil para despejar dudas y aclarar conceptos. El primer procedimiento de resolución que se propone a los alumnos, para resolver situaciones de proporcionalidad (directa e inversa), es el que surge de la propiedad fundamental de las proporciones y que permite calcular un extremo o un medio desconocidos. La ejercitación de este procedimiento, podría hacerse con aquellos alumnos que presenten dificultades, proponiendo otras situaciones que ten gan que ver con sus intereses o preferencias. También usted podría proponer a :los alumnos que ubiquen la x (incógnita) en diferentes lugares (como medio o como extremo), ya que existe una tendencia generalizada a colocar la x siempre a la derecha y como extremo de la proporción.
Estos son algunos ejemplos similares a los presentados en el Módulo 3 para docentes.
a) Si en 2 meses gasté $30 en transporte, ¿para cuántos meses me alcanzarán $90? (Si gasto siempre lo mismo.)
b) b)¿Cuántos kilos de tomates se espera cosechar, si de las 6 primeras plantas se cosecharon 54 kilos y en total existen 300 plantas iguales? (Suponiendo que tendrán igual rendimiento.)
Es probable que los alumnos puedan resolver los problemas intuitivamente o aproximadamente. Es importante fomentar esa modalidad, pero como ya se expresó en el Módulo 3 para docentes, es el procedimiento el que permitirá siempre el cálculo exacto. Otro procedimiento para resolver problemas de regla de tres, es el de la resolución por función 2 Este es un camino operatorio muy sintético, ya que una vez determinada la característica de la proporcionalidad: directa o inversa, sólo es necesario hallar la constante de proporcionalidad que se obtiene por cociente ordenado entre y y X, en el caso de proporcionalidad directa:
o por producto de y . x en el caso de proporcionalidad inversa:
Este camino o procedimiento, tan sintético, abstracto y formal, debe completarse con la representación gráfica en el sistema de ejes. La ubicación de puntos en el sistema cartesiano resulta de gran utilidad para interpretar los gráficos estadísticos que se presentan en el Módulo 4 para alumnos. Desde el Módulo 2, el alumno ha trabajado la tabla de doble entrada aplicada a diferentes situaciones. Por tal motivo, es probable que la representación cartesiana no ofrezca dificultad, ‘pero si asi fuere, se sugiere trabajar con el grupo, el tipo de gráfico lineal que se presenta a continuación: Es habitual ver este gráfico de temperatura en hospitales o sanatorios, al pie de la cama del enfermo. Si bien no representa proporcionalidad directa será útil para compararlo con los gráficos de proporcionalidad y determinar diferencias.
2. Ver página 65. 73
Los alumnos podrian responder a estas preguntas: ¿Cual fue el dia que el enfermo tuvo mayor temperatura? ¿Qué día tuvo menos temperatura? ¿Le parece que el gráfico indica una evolución favorable? ¿Por qué? También se le podria sugerir al adulto que busque en diarios o revistas, gráficos similares para analizarlos con el grupo. En el método por funciones, es conveniente el trabajo de re presentación gráfica en el sistema de ejes para observar que a cada x le correspon de una y sólo una y.
Es probable que los alumnos propongan como procedimiento de resolución de los problemas de regla de tres, el de reducción a la unidad. Este procedimiento es largo y tedioso, pero es el adulto quien debe optar por el que le resulte más conveniente. Se presenta un ejemplo de los ya trabajados y resueltos por proporciones: Si en 2 meses gasté 3 panes de jabón, ¿para cuántos meses me alcanzarán 9 panes? (Si gasto l a misma cantidad de jabón.) 74
¿Cómo se expresa verbalmente esta solución? En general, es expresada así: “si 3 panes de jabón alcanzan para 2 meses, 1 pan alcanzará para 3 veces menos o s e a 2 . Si bien no es incorrecto, es mejor decir ” 1 pan alcanzará para dos 3 tercios de mes” . ..y 9 panes alcanzarán para 2 de mes por 9”. 3 Frecuentemente se verbaliza sin razonar, como consecuencia de la mecanización de los procedimientos, En el caso de que algún alumno prefiera utilizar el procedimiento de reducción a la unidad, sería conveniente respetar su elección. En ese momento su intervención será fundamental para verificar si aplica mecánicamente el procedimiento. En este caso usted podría orientarlo para que el adulto encuentre la fundamentación a la estrategia utilizada. En la formulación de los problemas y en su resolución, se han utilizado diferentes formas de representación: verbal, por tablas, gráfica,por planteo, etc. Cada una de ellas resu ta más o menos pertinente, según la información que se considere. Por ejemplo: el gráfico cartesiano permite visualizar globalmente el comportamiento de la relación, y es útil también para comparar dos o más relaciones (actividad Nº7). Las tablas de datos son apropiadas para el reconocimiento de las propiedades de la proporcionalidad (actividades Nº8a), NºlO, Nºll). En general, el alumno relaciona cada forma de re presentación con determinadas tareas y procedimientos, por, tal motivo, la uti l ización de diferentes formas de representación, facilita ciertos aspectos particulares de la conceptualización. Si el alumno, es capaz de optar por -una forma de representación que le resulte significativa, se evitará que confu nda el concepto con la representación. Este es un objetivo fundamental en relación con la construcción del concepto de proporcionalidad.
Las posibles dificultades de los alumnos Ya se planteó en el Módulo 3 para docentes, el error que, frecuensemente, cometen algunos alumnos al determinar que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando “a más, más y a menos, menos”. Si esto fuera así, todas l as funciones crecientes, representarían una relación de proporcionalidad directa: el tamaño de los dientes de un ser humano en función de su edad, el peso de una persona en relación con su altura, el área del cuadrado en función de la medida del lado, etc. En el Módulo 4 para alumnos, a continuación de la actividad Nº4, se presentó la tabla incompleta de evolución del peso del bebé Francisco. Se destaca la imposibilidad de completarla porque no hay una constante; en consecuencia, no hay proporcionalidad. También sería oportuno, plantear un ejemplo como el siguiente: Si un bebe crece 3 cm por mes durante los primeros meses de su vida, ¿cuánto crecerá en 10 años? Desde el sentido común, se llega a la conclusión de que ésta es una situación disparatada, ya que si la relación entre tiempo (meses) y talla (cm), fuera directamente proporcional, en 2 meses aumentaría 6 cm, en 4 meses 12 cm y en 120 meses (10 anos), 360 cm (más de 3 metros). Es evidente, que si bien aumenta el tiempo y el bebé crece (aumenta su talla), las magnitudes tiempo y talla no son directamente proporcionales. Sería interesante también que los alumnos propusieran otros ejemplos en los cuales, si bien aumenta o disminuye una magnitud, y la otra, aumenta o disminuye, la proporcionalidad no existe. El trabajo con las tablas -que implica completar datos, buscar fa constante de proporcionalidad, aplicar propiedades de la proporcionalidad- favorece la conceptualizacion del tema y, es posible, que luego de resolver varias de estas situaciones, el alumno no reitere el error. Es importante que usted realice una adecuada selección de los problemas de proporcionalidad para plantear a los alumnos, especialmente, los que relacionan magnitudes inversamente proporcionales. Un ejemplo simple, de facil comprensión, es la relación velocidad-tiempo (cuando la distancia es constante). Pero, ¿qué pasa cuando se da como ejemplo de proporcionalidad inversa la relación “tiem po para finalizar un trabajo-cantidad de obreros”? En este caso, es necesario aclarar a los alumnos que el resultado de esa situación se debe considerar estimativo, aunque la vía de resolución sea matemáticamente correcta. En esa relación (tiempo para finalizar un trabajo-cantidad de obreros), aparece una variable (el rendimiento individual), que no es posible considerar que sea el mismo en todos los casos (obreros).’ A propósito de este tema, se transcribe un cuento de Conrado Nale Roxlo que, en una instancia presencial, podría ser leído y comentado por los alumnos. Regla de tres Como todo padre consciente, acostumbro a vigilar los estudios de mis hijos. Lo bago desde cierta distancia y encerrado en lo que los grandes novelistas Llaman un 76
Porcentaje El tratamiento de este tema, se realiza teniendo en cuenta un propósito del aprendizaje de la matemática: construir los conocimientos matemáticos aplicándolos a situaciones de la vida diaria. Por esa razón, se trabajó el tema porcentaje en diferentes situaciones, que procuran integrar conocimientos de otras áreas del diseño Curricular: Ciencias y Tecnologia, Ciencias Sociales y Formación para el Trabajo. Las actividades Nº17, Nº18 y Nº19, tienen por finalidad, la comprensión del concepto de porcentaje, y de las representaciones estadísticas (diagramas de barras y de torta). Si algunos alumnos tienen dificultades para la comprensión de estos conceptos, se sugiere plantear actividades de este tipo: 6 partidos jugados, 50% ganados. ¿Cuantos partidos se ganaron? escritas correctamente!
100 palabras dictadas, 97 bien escritas. ¿Cual es el porcentaje de palabras
8 partidos de futbol, 4 ganados. ¿Cual es el porcentaje de partidos’ganados? 30 obreros en total, se despidió al 100%. ¿A cuántos obreros se despidió? O bien trabajar con una representación gráfica de este tipo, para relacionar porcentaje, fraccion y expresión decimal. Parcela sembrada con soja
del campo sembrado de soja
0,25 del campo sembrado de soja
25 loo
del campo sembrado de soja del campo sembrado de soja
La proporción entre el sembrado de soja y el total del campo es de 25 a 100. Si bien se presentó el tema porcentaje como un caso especial de proporcionalidad y, en consecuencia, la propuesta de resolución es por proporción porque se la considera la mas económica y adecuada para el a prendizaje de los adultos, recuerde que es fundamental respetar la elección del alumno en cuanto a los procedimientos de resolución. Con respecto al tema porcentaje, pueden surgir estrategias de resolución intuitivas. Por ejemplo, ara calcular 10% de $ 500, generalmente se resuelve dividiendo 500 por 10 ( 50) o, lo que es igual, quitándole 1 cero a 500. Aquí su intervención es importante para valorar estas estrategias que facilitan el calculo rápido con la subsiguiente economía de tiempo y esfuerzo y para posibilitar que el alumno pueda descubrir que esa simpl e ll ‘visión proviene de haber simplificado la expresión que resulta de:
En la actividad Nº22, se propone una situación en la que la incógnita es el tanto por ciento. Hasta ese momento, sólo se había trabajado el tanto por ciento como dato del cual partir. Al tratar el tema proporcionalidad, se recomendó que en el procedimiento de resolución por se trabajara colocando la x (incógnita) en cualquiera de los mesdios extremos (en la forma correcta). Se tendrán en cuenta estas dos soluciones, ambas correctas.
Que es conveniente verbalizar así: a) Sobre 95 millones de personas, murieron 20 millones, sobre un total de 100 personas las muertas serán x 79
b) Si murieron 20 millones de personas sobre un total de 95 millones, habrán muerto x sobre un total de 100. Si fuera necesario usted podría proponer actividades que figuran en el Anexo I u otras que considere conveniente. En las actividades Nº23 y Nº24, se integran los contenidos del eje Estadistica con el tratamiento del porcentaje. Se han seleccionado informaciones aparecidas en diarios y revistas, representadas mediante gráficos de barras y de torta. Seria oportuno trabajar grupalmente estas actividades, solicitando a los alumnos que antes de poner en práctica procedimientos de resolución, estimen el resultado. La misma sugerencia vale para la actividad Nº25.
Multiplicacion y division de expresiones decimales
En la actividad Nº27, del modulo para alumnos se presentan situaciones problemáticas simples en las que se re quiere multiplicar expresiones decimales. Se solicita al alumno que estime o calcule, aproximadamente el resultado. El propósito es que elija uno entre los dos factores (1,25 6 2,90), aquel que más convenga y lo aproxime al número natural que se presente más cercano. Si $2,90 lo convierte en $3, le resultará fácil calcular, aproximadamente el resultado. Posteriormente, se le solicita que averigue el resultado exacto, para lo cual debe resolver la operacion. Al resolver este tipo de operaciones, es frecuente olvidarse de colocar la coma decimal en el producto total, o colocarla mal. Por tal motivo, se propone, en un primer momento, la estimación en relación con un problema. Es poco probable que el alumno estime que 1,25m de tela a $2,90 el metro, cueste, aproximadamente, $30.000. En cambio, cuando el alumno sólo se centra en la operación, este error es frecuente, y, al olvidarse de la coma decimal dé como resultado exacto: $36.250. En el Módulo 3 para alumnos, se’ trabajaron los algoritmos de la multiplicación y de la division por dos cifras. En estos casos, sólo se atendió a la ubicación de la coma decimal. En el caso de la división se plantea la necesidad de convertir el divisor en número natural, y se resuelve aplicando la multiplicación por la unidad seguida de ceros trabajada en el Módulo 3 para alumnos. En este caso se aplica una propiedad de la división: “si se multiplican o dividen dividiendo y divisor por un mismo número, el cociente no se altera”. Las actividades’ Nº30 y Nº31, requieren que el alumno estime, resuelva con exactitud y, finalmente, verifique el resultado con la calculadora.
En el Módulo 3 para alumnos, a partir de una serie de actividades, se llega al concepto de medir y a la necesidad de utilizar unidades convencionales de medición. En el Módulo 4, a partir de una situación cotidiana, conocida por todos, que se relaciona con la prevención del cólera, se introduce la unidad de las medidas de capacidad: el litro, las medidas mayores (múltiplos) y las menores (submúltiplos). Se trabaja de una manera similar para plantear las medidas de peso. 80
Medición de ángulos Se sugiere destacar la semejanza entre la medición de ángulos y la medición de segmentos. Para medir ángulos, tambien pueden utilizarse unidades no convencionales (ángulo “patrón”) como se hizo en la medición de longitudes. Sin embargo, es importante que el alumno llegue a considerar necesaria la utilización de unidades convencionales. Por otra parte la comparación entre ángulos, exige mayores consideraciones que entre segmentos, pues es im prescindible hacer coincidir los vértices y uno de los lados. Si esto esta apren dido por los alumnos, la adquisición de la habilidad para el uso del transportador, no debe ser motivo de preocupación ni ara usted ni para ellos. Lo importante es que los adultos reconozcan que unidades se utilizan para medir ángulos, que comprenda cómo se los miden y que instrumento se utiliza para tal fin.
l Chamorro, C. y Belmonre, J.: El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales. Madrid, Síntesis, 1991, pág. 82.
Las siguientes actividades de evaluación podrán ser modificadas si usted lo cree conveniente, teniendo en cuenta el proceso de aprendizaje de los alumnos, las estrategias que emplean para resolver situaciones y las dificultades que presentaron. La Sociedad de Fomento de Villa Real organizó un festival con motivo de cumplirse el 50 aniversario de su fundación De los 2.000 vecinos que habitan la Villa asistieron 800. a) ¿Que porcentaje de vecinos asistió al festival?
Se recaudó la suma de $ 6.000 para repartir entre los ganadores de las competencias deportivas. Éstos no serían más de 6. Podría ser un solo ganador, 6 2 ó... Para calcular que cantidad de dinero le correspondería a cada uno, se confeccionó una tabla. b) Complete la tabla Cantidad de ganadores 2 3 4 4 G Cantidad de $ para cada uno 6.000 .............
c) Coloque una x en la respuesta correcta En la tabla anterior: a) Hay proporcionalidad directa. b) No hay proporcionalidad. c) Hay proporcionalidad inversa.
Fue elegida por votación de los presentes, la Reina de Villa Real entre 6 jóvenes postulantes. Votaron 600 personas y el resultado obtenido, traducido en porcentajes fue el siguiente: Participante Mónica Victoria María Elena J’imena % de votos 30
15 20 10 .......................
d) ¿Cual fue el porcentaje de votos para Verónica?
e) Del total de votantes {cuántos votaron a Mónica? ¿A Victoria? ¿A Jimena!
Se resolvió entregar un banderín de tafeta, a los ganadores de las competencias deportivas, además del premio en dinero. El diseño del banderín es el siguiente: Escala : 10cm : lcm
,lO cm 10 cm,
f) ¿Cuantos cm de paño se utilizaron para confeccionar los 6 banderines?
g) Si la tafeta tiene 1m de ancho, ¿alcanza lm de tafeta para hacer los 6 banderines? ¿Por qué?
Anexo I: Problemas
El propósito de este Anexo es ofrecer una variedad de problemas, de acuerdo con las dificultades v logros de cada uno de los alumnos, para que usted pueda elegir la secuencia apropiada. Los problemas están agrupados en dos temas: proporcionalidad y porcentaje, aunque muchos de ellos integran otros contenidos como medidas de capacidad y peso, división y multiplicación de expresiones decimales y estadística.
1) Un motor consume 20 litros de combustible en 4 horas. Completar la tabla que relaciona tiempo de marcha del motor con cantidad de combustible que utiliza, suponiendo que el gasto de combustible por hora es siempre el mismo. Tiempo de funcionamiento horas Combustible que consume litros
En una de estas dos listas, A y B las cantidades son proporcionales. ¿En cuál?
..........................................................,.............,............................,.............. ......................................,...........................,...........,,.......
Represente graficamente en un sistema de ejes cartesianos, la tabla en la que hay proporcionalidad.
3) El diagrama siguiente representa parte de una red de caminos. Escala 20Km : lcm
¿Hay proporcionalidad entre los tramos de las rutas 1 y 2? ¿Por qué? ...............................................................
5) El trabajo de una planta industrial requiere un consumo de 12.000 Kg de combustible cada 32 horas. ¿Cuantas toneladas se consumen en 24 horas de funcionamiento? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
6) 5 forocopiadoras iguales, imprimen 2 resmas de papel en 20 minutos. ¿En qué tiempo imprimirán 10 de esas máquinas la misma cantidad de papel?
7) El gráfico representa una pared. a) ¿Qué fracción de la pared está hecha? b) ¿Qué porcentaje de la pared falta hacer?
8) El 44% de una población de 725 habitantes son adultos. ¿Cuántos adultos hay?
.................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................... ..........................................................................................................................................
9) El 90% de la sangre del ser humano es agua. Un adulto tiene 5 litros de sangre en su cuerpo. ¿Cuánta agua contiene?
.................................................................... .. . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un niño tiene 2,50 litros de sangre. ¿Cuanta agua contiene?
10) El gráfico siguiente indica los porcentajes de gastos de la familia Quiroga.
a)¿Qué porcentaje corresponde a otros gastos?
b)¿Si la familia tiene un ingreso de $600. Indique cuántos $ destina para: vivienda $ ........,,................... alimentación $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . otros gastos $ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11) Complete la tabla:
transporte $................
Importe descontar
12) Juan dijo: trabajé 10 meses del año. ¿Qué porcentaje del año trabajó
Sobre aspectos didácticos Castelnuovo, E.: Didáctica de la matemática. México, Trillas, 1990. Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.
Sobre contenidos Cardiello, N.: Elementos de física y química. 3° año. Buenos Aires, Kapelusz, 1970, cap. 6. Chamorro, C. y Belmonte, J.: El problema de la medida. Didáctica de las magnitudes lineales. Madrid, Síntesis, 1991. Depau, C., Tonelli, L, y Cavalchino, A.: Elementos de física y química. 1 o año. Buenos Aires, Plus Ultra, 1979, cap. 7. Magnetti, R. C.: Fisico-química. 1 o año. Buenos Aires, Huemul, 1979, cap. 4. Sadovsky, P) y otros: La proporcionalidad. Buenos Aires, Flacso, 1992.
Introducción Contenidos y actividades Superficie de las figuras Vo1umen de los cuerpos El volumen del cilindro Operaciones
Potenciación Radicación Uso de paréntesis
93 94 95 98 101 102 102 103 104 105 105 107 109
La circunferencia y el círculo Números negativos Evaluación Bibliografía
En este módulo, se profundizan los conceptos tratados en el Módulo 5 para alumnos. Asimismo, se prop onen algunas actividades y estrategias que complementan las planteadas en el citado módulo. Se hace referencia, además, a errores que se ob servan con mayor frecuencia en los adultos. La utilización de material concreto, siempre es aconsejable porque facilita el aprendizaje. Por eso, en este módulo encontrará algunas sugerencias sobre material concreto para agregar al tratamiento de algunos temas abordados en el Módulo 5 para alumnos. En general, las actividades para desarrollar los contenidos del módulo, tienden tanto a lo conceptual como a lo procedimental. A modo de ejemplo: si el contenido es potenciación, son conceptos: potencia, exponente y base y son procedimientos, el reconocimiento de la base y el exponente, cálculos de 2da, 3ra, 4ta... potencia. En la comparación de los volúmenes de dos cuerpos y la separación en términos en un cálculo con varias operaciones, se priorizan contenidos procedimentales. Ocurre lo contrario con las unidades de volumen, la fórmula para calcular el volumen del cilindro, la potenciación, la diferencia entre circunferencia y círculo y los números negativos, donde el énfasis está puesto en los contenidos conceptuales. La incorporación de los números negativos, se fundamenta en la necesidad de su utilización en situaciones tales como el ordenamiento de fechas, temperaturas y otras donde, solo utilizando números negativos, es posible representar sus cantidades. Los objetivos del Módulo 5 proponen que el alumno:
Comprenda la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro (el número . Comprenda y utilice, según el problema, las fórmulas para calcular la longitud de una circunferencia y la superficie de un círculo. Compare el volumen de diferentes cuerpos.
en la lectura de un problema cuya comprensión y resolución requiere el uso de
Escriba y lea números de muchas cifras en su expresión científica.
Utilice e interprete el uso de paréntesis, tanto para resolver un cálculo dudo, como
Comprenda y utilice las fórmulas para el cálculo de superficies de los cudrila’teros. Comprenda la necesidad de la existencia de los números negativos.
Contenidos y actividades A continuación, se presenta el esquema de contenidos del Módulo 5 para alumnos:
Respecto de la potenciacion, se presenta con su definición general, pero el énfasis se pone en los cuadrados, los cubos y las potencias de base diez, ya que son las más útiles a los alumnos para la resolución de situaciones problemáticas, o ara escribir de un modo abreviado (notación cientifica) números de muchas cifras. En la radicación, se trata solo la raíz cuadrada pues, dificilmente, los alumnos deban operar con una raíz de mayor índice. El nivel de complejidad que tiene esta operación hace que se tome, principalmente, en su aspecto de operacion inversa de la potenciación de números naturales. A modo de ejemplos pueden presentarse: ¿Cuál es el lado de un cuadrado cuya superficie es 36m 2? En este ejemplo el alumno puede observar que no se trata de una división sino de una nueva operación, la radicación (en este caso de índice 2), cuya expresión matemática es: sup. del cuadrado = l2*.
* Superficie del cuadrado: lado, 1 . Se sugiere escribir con manuscrita para que no se confunda con 1.
De forma similar puede pensarse en la raíz cúbica: ¿Qué altura tiene un cubo cuyo volumen es de 8 m 3? Vol. del cubo = a
2m =a Si bien la radicación se extiende hasta el índice n, se estima conveniente utilizar sólo el índice 2 y el índice 3 porque teniendo en cuenta la estimación se pueden relacionar: lado y superficie del cuadrado, arista y volumen de un cubo. Aquí nuevamente se cree conveniente el uso de la calculadora como herramienta de trabajo habitual. En algunas aparece la tecla para calcular la raíz cuadrada. Hay diferentes modelos de calculadoras cientificas, pero en todas ellas existe la posibilidad de calcular raíces de cualquier indice o potencias de cualquier exponente. Se explica brevemente cómo se utiliza esta función en las calculadoras. La tecla que corresponde a potenciación tiene la inscripción XY y la que corresponde a radicación Xl/y o X Y; en general la radicación es la segunda función de a misma tecla. Para calcular una potencia, por ejemplo 3s, es suficiente con oprimir 3, luego la tecla xy y por último 5, al apretar el = en el visor aparecerá el resultado, 243 (en algunas calculadoras no es necesario apretar el =). Para calcular raíces el procedimiento es muy parecido, por ejemplo Primero se escribe 286, luego se oprime la tecla X1/y , des pués 4 y por último =; en el visor se lee el resultado 4,1123...(la cantidad de cifras decimales depende de la calculadora); en muy pocos modelos, ante resultados de muchas cifras, aparece en el visor la leyenda “error”; la mayoría lo expresa en notación científica. Superficie de las figuras Antes de comenzar a desarrollar las actividades que tratan sobre algunas de las propiedades de los cuadriláteros, usted puede recomendar a los alumnos que consulten el Módulo 2, en lo referido a los conceptos tales como posiciones de dos rectas (paralelas, perpendiculares, oblicuas), y clases de ángulos (agudos, obtusos, rectos, llanos). Esta revisión será de gran utilidad para poder resolver las actividades propuesta?. 1 Es común encontrar en algunos textos de matemática que los puntos están designados con letras minúsculas y las rectas o conjuntos de puntos con letras mayúsculas. En otros en
cambio, están exactamente al revés. ¿En cuál de los dos casos está mal ?.. En ninguno. Las dos formas son correctas, según la convención que se adopte. En las décadas de 1960 y 1970, con el auge de la teoría de conjuntos, algunos autores comenzaron a utilizar letras de imprenta mayúsculas para las rectas y minúsculas para los puntos. Cambiaron la denominación tradicional por ésta, porque la teoria de conjuntos considera “elementos” a los puntos de la recta, y por convención establece que los elementos se designan con minúsculas y los conjuntos con mayúsculas. 95
En las instancias presenciales, se sugiere trabajar con el geoplano para obtener sin dificultad y con rapidez toda clase de polígonos. Para construir el geoplano se necesita una madera cuadrada de 30 cm por 30 cm y algunos clavos y banditas elásticas (si son de color, mejor). Sobre la madera (de 30 cm por 30 cm) se marcan 36 cuadrados de 5cm de lado a los que se les traza las diagonales. En el punto de intersección de las diagonales de cada cuadrado, se ubica un clavo, si es posible, con cabeza de bronce. Utilizando banditas elásticas, apoyándolas en los clavos se pueden construir triángulos, cuadriláteros y poligonos en general. Cuando usted advierta dificultad enlos alumnos para la construcción de polígonos (especialmente los cuadriláteros que son los que más se trabajan), se recomienda este recurso para ahorrar tiempo ya que la obtención de los polígonos no ofrece dificultad, si el geoplano está bien construido. Además una vez obtenido el polígono, y siempre utilizando las banditas, pueden ubicarse diagonales y alturas. Esto permite comprobar propiedades y realizar transformaciones rápidamente.
Partiendo de los conceptos trabajados en el Módulo 3 para alumnos sobre la superficie del rectángulo y del cuadrado y la característica de los cuadriláteros, se va guiando al alumno para que arribe a la obtención de las fórmulas para calcular la superficie de los triángulos, paralelogramos y rombos. El propósito es que la resolución de situaciones que impliquen la aplicación de fórmulas para calcular superficies de polígonos, no dependa de la memoria de los alumnos, por eso, se recomienda trabajar el concepto de superficie con material concreto y representativo. Se sugieren actividades que incluyen los contenidos: perímetro (Módulo 3), proporcionalidad (Módulo 4) y superficie (Módulo 5)
1) Complete esta tabla teniendo en cuenta que los datos corresponden a un cuadrado. Lado 2cm 3cm 4cm 5cm 10cm Perimetro ......................... ......................... .,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . ......................... Superficie ......................... ........................, ... ................. ....................... .........................
¿El p e r í m e t r o del c u a d r a d o es p r o p o r c i o n a l al lado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Por qué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * . . . . < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . , . . . . . . < . . < . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... . ..,.............,. ¿La superficie d e l c u a d r a d o es p r o p o r c i o n a l al lado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Por qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................,.......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................
2) Complete en la tabla las medidas de las bases y de las alturas posibles para diferentes rectángulos de 32m2 de superficie. Base
. . . . . . . . . . . . . . . . . cm
Altura ................. 8 cm 2 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm 1 cm
Superficie 32 32 32 32 32 32 cm2 cm2 cm2 cm2 cm2 cm2
8 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm
2 cm 1 cm . . . . . . . . . . . . . , . . , . cm
Compare las medidas de la base con las de la altura y exprese cómo se relacionan en cada caso, señalando lo que corresponda. a) En forma directamente proporcional. b) En forma inversamente proporcional. c) Sin proporcionalidad.
3) Calcule la superficie de las siguientes figuras.
2 Expréselas en cm . ¿Qué relación observa entre las dos medidas? ¿A qué se debe? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) Un trabajador construye su casa en un terreno rectangular de 80m 2 de superficie, que tiene 10 metros de frente. La casa ocupa el 50% del terreno. Construye también un galpón de 20m2. a)¿Cuánto mide el fondo del terreno? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b)¿Cuántos m2 cubren la casa? ................................................................................................................................ c)¿Qué superficie queda para jardín? .................................................................................................................. 5) Escriba la fórmula que permita hallar la superficie de un cuadrado conociendo su perímetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6) Calcule la superficie de un cantero cuadrado del jardín cuyo perímetro es de 10m. ........................................................................................................................ 7) ¿Puede calcular la superficie de un triángulo cuyo perimetro es de 40m? ¿Por qué?
Volumen de los cuerpos En el Módulo 3 para alumnos, al trabajar con magnitudes, se hizo mención, entre otras al volumen. Ésta es una d!e las magnitudes que junto con la longitud, la superficie, la capacidad y el peso son de LISO frecuente en las
actividades de todos los dias. Si se pretende que los alumnos puedan comparar y medir el volumen de un cuerpo, se recomienda que las primeras mediciones se hagan utilizando unidades no convencionales, del mismo modo que se hizo con las otras magnitudes. Para ello se podrían utilizar dados o cajas de forma cúbica que permitan comparar y hallar cuántas veces está contenida la unidad en el cuerpo cuyo volumen se quiere medir. En instancias presenciales, se pueden realizar experiencias que permitan medir el volumen de distintos cuerpos (como cajas), los alumnos podrán observar que cuerpos de diferente forma pueden tener el mismo volumen. Esto también se logra, apilando de diferente forma 6 paquetes de galletitas.
Se pueden comparar cuerpos en los que parezca que uno es de mayor volumen que el otro, pero al medirlos comprobar que no es así. Se podría preguntar: ¿Cuál de las pilas de paquetes o cajas ocupa mayor volumen?
Ante cuerpos como los de la figura A y B: algunos alumnos probablemente dirán que A tiene mayor volumen por ser más alto que B. Ante esto surgirá la necesidad de comprobar (contando las cajas o paquetes) que B tiene mayor volumen. Se ha hecho referencia a cuerpos con forma de prisma o que pueden subdividirse en pequeños cubos o prismas. Pero tambien es posible que algunos alumnos se pregunten cómo comparar el volumen de cuerpos cuya forma no permite hacer una subdivisión. Si se quiere saber cuál de los dos tiene mayor volumen, sería necesario conocer el volumen de cada uno de ellos. Pero también es posible saberlo por comparación, sin utilizar la fórmula. La experiencia para hacer esto último es sencilla, los pasos son: a) Llevar al aula un recipiente, si es graduado mejor (como los que se utilizan para medir líquidos o polvos). b) Colocar ag ua hasta cierto nivel, marcar el recipiente a la altura del agua (o anotar dicha altura si está graduado). c) Introducir uno de los dos cuerpos que se quiere comparar, si flota llenarlo con arena o agua, y marcar el nuevo nivel alcanzado por el agua. d) Repetir la experiencia con el otro cuerpo y marcar el nuevo nivel. El cuerpo que tenga mayor volumen, hará subir más el nivel del agua. Este tipo de experiencias se puede repetir cuando los alumnos hayan aprendido a calcular el volumen de un cilindro. Se puede pedir, entonces, que determinen el volumen de cada uno y posteriormente los comparen. El cilindro que se determina con los dos niveles del agua (antes y después de introducir el cuerpo), tiene un volumen igual al del cuerpo sumergido. Sólo después de comprobar que los alumnos adquirieron el concepto de volumen se podrá comenzar a medir con unidades convencionales. Se recurre al SIMELA para utilizar la unidad base, sus múltiplos y submúltiplos. La unidad base para medir volúmenes es el metro cúbico. En general resulta difícil imaginar cual es el volumen que corresponde a 1m3, no es suficiente enunciar que corresponde a un cubo de: lm x 1 m x 1 m.
3 Para que los alumnos tengan noción de lm , se puede solicitar a los adultos que den ejemplos de objetos que tengan lm3 de volumen (una caja de un televisor de 28’ tiene aproximadamente l m3 de volumen).
Más sencillo resulta construir 1dm3 o l cm3 y es conveniente que los alumnos los construyan, o se encuentren en el aula para compararlos con objetos y estimar el volumen que éstos tienen; por ejemplo, armarios, cajas, etc. La relación entre el volumen y la capacidad se pone de manifiesto en la actividad N° 30. Es común que los adultos comparen dos productos comerciales, que tengan diferentes envases y el contenido se indique con distintas unidades para decidir la compra de uno u otro.
En el módulo para alumnos, si bien se trabaja la potenciación en general, se da prioridad a las potenciaciones de uso más frecuente: el cuadrado, el cubo y la potenciación de base diez. Las dos primeras, se relacionan con el cálculo de la superficie y el volumen res pectivamente. La b ase diez permite hacer la descomposición polinómica de números, e incorporar la notación científica, lo que posibilita escribir números de muchas cifras en forma aproximada. Un ejemplo de la notación científica es la actividad NQ12 del módulo para alumnos. Por ejem lo: para abreviar la escritura de la distancia Tierra-Sol (150 millones de km), es útil la potencia de base diez: 6 d (Tierra-Sol)= 1,5 . 10 ’km. Comúnmente, se piensa que el resultado de una potenciación siempre resulta ser un número mayor que 1a base. Esto se debe a que, en general, se proponen e actividades donde la base es un número mayor que 1. En la actividad N 1 del Módulo 5 se observa cómo aumenta rápidamente el resultado a medida que aumenta el exponente. Esto no siempre es así, es aconsejable, entonces, presentar alguna actividad donde la potencia sea menor que la base, por ejemplo: ¿Cual es el volumen de un cubo cuyo lado mide 0,5m? Para contestar esta pregunta habrá que resolver 0,53 = 0,125 El resultado 0,125 es menor que la base 0,5. Si el exponente es aún mayor, menor será el resultado: Ejemplos: 0,55 = 0,03125; 0,58 = 0,003906; 0,512 = 0,000244 Esto se fundamenta en que si se eleva 1 décimo (0,l) al cuadrado, el resultado es 1 centésimo 0 , 12 = 0 , 0 1 y 1 > 1 . 10 100 En este caso, interesa conocer rápidamente el resultado, conviene usar calculadora, porque el objetivo es ordenar los resultados, es decir, compararlos.
Si se tiene en cuenta la definición de potenciación: conocer a y n (base y exponente) permite hallar el número b. Pero ¿qué ocurre si b es un dato y lo que no se conoce es a o n? Por ejemplo, 3 n= 8 1 a 5 = 32 En el primer ejemplo se conoce la base pero no el exponente. ¿3 elevado a que potencia es igual a 81? En el segundo ejemplo no se conoce la base, aquí la pregunta es ¿qué número elevado a la 5 es igual a 32? En el primer caso la operación matemática que permite hallar n es el logaritmo. En el ejemplo logaritmo en base 3. En el segundo caso la operación que permite hallar a es la radicación. En el ejemplo En general,
En el módulo para alumnos se trabajo radicación en el conjunto de los números naturales y sólo con la raíz cuadrada, y en especial, en su condición de inversa de la potenciación de exponente dos. Al igual que en la potenciación, es conveniente leer correctamente la escritura de una raíz, y verificar el resultado elevando al cuadrado dicho numero, como en la actividad N° 16. Dado que la raíz cuadrada de muchos números no es exacta, la estimación en esta operación cobra imp ortancia. Esto se observa en la actividad N°11 del módulo para alumnos, en la cual el resultado se busca por tanteo. Esta dificultad no existe si los alumnos usan calculadoras, y la búsqueda por tanteo es adecuada para dar respuesta a lo que se busca. Si los alumnos disponen de una calculadora, se pueden hacer ambas cosas, buscar la respuesta por tanteo y luego controlar el resultado obtenido, en este caso, se observará también la ventaja y rapidez del uso de calculadoras tal como ya se ha dicho en la presentación del área y en este módulo.
Si se pregunta cual es el resultado del siguiente calculo: 3 + 5 x 2 = es común que los alumnos den como respuesta, 16, Esto se debe a que en nuestro idioma se lee y se interpreta de izquierda a derecha, una a una, las palabras o los signos de la escritura. Pero no ocurre lo mismo con las expresiones matemáticas. Si se le pide a los alumnos que indiquen en orden las operaciones que hicieron dirán:
Tres más cinco, por dos
Tres más, cinco por dos
En el primer caso, Tres más cinco, por dos, primero se suma 3 + 5, y al resultado se lo multiplica por 2, se obtiene 16. En el segundo, Tres mas cinco por dos, a 3 se le suma el resultado de 5 x 2. En este caso el resultado final es 13. Cuando se escribe 3 + 5 x 2 = no se usan comas para indicar cual de los caminos es el que se debe seguir. Esto provoca que muchos alumnos erróneamente contesten 16, eligiendo el primer camino. Pero en matemática hay operaciones que tienen prioridad en un cálculo. Es necesario indicar que las multiplicaciones y las divisiones, se resuelven antes que las sumas y las restas, es decir, que los signos + y - separan términos.
Si se quiere modificar el orden en que se deben resolver las operaciones se deben usar los paréntesis. Si por ejemplo se pretende realizar el cálculo Tres más cinco, por dos, se debe indicar ese orden usando parentesis. Por ejemplo:
(3 + 5) x 2 = 8 x 2 = 1 6
En este caso por tener paréntesis, primero se resuelve la suma y luego se multiplica. La prioridad de unas operaciones sobre otras y el uso de los paréntesis, conviene desarrollarlos simultáneamente. La circunferencia y el círculo La actividad N°22 del módulo para alumnos, propone la búsqueda de la relación entre la long itud de la circunferencia y su diámetro. Tal vez algunos alumnos realicen mal las mediciones necesarias para hallar aproximadamente n; (39l4.;.). De ser necesario podrá repetirse la experiencia en una instancia presencial, realizando la actividad en grupo. Un error frecuente es confundir los términos circunferencia y círculo, usándolos como si fuesen sinónimos. Para aclarar estos conceptos, además de conocer la definición de cada uno de ellos, es necesario que el alumno use cada uno de los términos de manera apropiada y así podrá relacionar la circunferencia con su longitud y el círculo con su superficie. En el módulo de alumnos, bajo el título “Superficie del círculo”, se desarrolla una actividad que permite descubrir la fórmula para calcular la superficie de un círculo. Esta actividad puede ser realizada en la instancia presencial en forma individual o grupal. Sólo se necesita llevar algunos círculos de cartulina, útiles geométricos y tijeras. Números negativos Existe una variedad de situaciones en las que, para cuantificarlas, se necesita un número negativo. Las actividades N°41 y N°42 del módulo para alumnos, son un ejemplo de estas situaciones. Los alumnos podrán percibir de esta manera que los números negativos son una necesidad, ya que no habría una forma matemática de indicar cantidades que son menores que cero. Es suficiente que los alumnos conozcan la escritura y el ordenamiento de los
números negativos. La operatoria con esta clase de números, no está incluida en los contenidos de este Proyecto. Respecto del ordenamiento de números negativos, la actividad N°44 del módulo para alumnos es un buen ejemplo que puede utilizarse con situaciones similares, por ejemplo, con años o con profundidades. Este tipo de ejercicios permite ordenar los números de un modo significativo, con un sentido lógico, s e menor a mayor o de mayor a menor. Para poder comparar los números negativos es conveniente en primer lugar, contextualizar los mismos. Por ejemplo: de 2 temperaturas bajo cero, indicar cuál es la más baja (o menor). En Ushuaia se anotaron las temperaturas siguientes: Alas 6 hs -15°C Alas 8 hs -10°C l A qué hora se registró la menor temperatura? Sin duda, el alumno responderá: “a las 6”, porque - 15°C es menor que -10°C. A modo de sugerencia, pueden tenerse en cuenta otros contextos como los siguientes: a) Juan debe $100 y José $120. ¿Quién debe más? (Aquí se identifica “debe” con el signo -.) b) Un buzo se halla a 500 metros de profundidad y otro a 600 metros. ¿Cuál está más alejado del nivel del mar? (Aquí se identifica “profundidad” con el signo -.) Conviene identificar, entonces, ciertas palabras del contexto con el signo del número negativo. Es importante observar la existencia del cero para poder comparar números enteros, en particular los negativos. Los alumnos deberán concluir que si se comparan dos números negativos, el menor es el que está más alejado hacia la izquierda del cero. Ejemplo:
<-----------I I I I 8 I I I I I
-3 < -1 ; -8 < -4
EVALUACION Las siguientes actividades de evaluación, integran algunos conceptos y procedimientos tratados en el módulo para alumnos. En la primera actividad, el gráfico es sólo un elemento auxiliar, en la segunda, en cambio reemplaza al enunciado. El alumno debe leer e interpretar la información que suministra el gráfico para dar respuesta a las preguntas de la actividad. 1) Un tanque de agua tiene forma cilíndrica. Sus medidas se indican en el dibujo.
h = 1,6m
a) ¿Cuál es la superficie de la tapa? ........................................................,........................................................... b) ¿Cuál es el volumen del tanque? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Si cada dm3 equivale a 1 litro de agua ¿Cuántas gotas de lavandina hacen falta para evitar el contagio del cólera? (Recuerde que por cada litro corresponden 2 gotas.)
d) Si la tapa hubiese tenido 5.024cm2 de superficie, ¿Cuál sería su diámetro?
Recuerde: superficie del círculo = n x r2 entonces x r2 = 5.024cm2 Nuevamente aquí es conveniente usar la calculadora.
2) Observe y resuelva
a) Complete colocando las alturas respectivas: La cima de la montaña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El barco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El submarino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El árbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Marque en el dibujo otro árbol a 300 m y una ballena a -50m c) Ordene las 6 alturas desde la más alta a la más baja.
d) Calcule la diferencia de altura entre:
La ballena y la casa .
El barco y el árbol El submarino y la ballena
La casa y la cima
Bandet y otros: Hacia el aprendizaje de las matemáticas. Buenos Aires, Kapelusz, 1978. Castelnuovo, E.: Didactica de la matemática. México, Trillas, 1990. Márquez, Cristina del Carmen: Enseñar a pensar. Cuadernos Pedagógicos N°57. Buenos Aires, Kapelusz, 1980. Polya G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978. Rey María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. Buenos Aires, Plus Ultra,
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5 y 11 Bindstein, M., Hanflig, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap ll. Tapia, Nelly: Matemática 1. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9. Varela, L., Foncuberta, J.: Matemática dinámica 2. Buenos Aires, Kapelusz, 1973, cap. 5.
Amadori, Liliana: Matemática. 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 4 y 8. Tapia, Nelly: Matemática II. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 7.
Tapia, Nelly: Matemática I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 14. Tapia, Nelly: Matemática I. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 9.
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap. 5.
Bindstein M., Hanflig M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap 6. Tapia, Nelly: Matemática 1. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 13.
Uso de parténtesis
Bindstein, M., Hanflig, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1994, cap 2.
Introducción Consideraciones sobre las actividades
El camino recorrido por el alumno adulto, desde el inicio del Proyecto a partir del Módulo 1 hasta la resolución de la actividades del Módulo 6, se podría sintetizar como un proceso que, a partir de los conocimientos matemáticos intuitivos, incompletos y a veces erróneos, facilito en el adulto la formalización de conceptos y procedimientos matemáticos que se convierten en instrumento para leer la realidad, comprenderla y/o modificarla. El Módulo 6 para alumnos tiene como propósito fundamental que el adulto aplique los conocimientos matemáticos en la resolución de problemas que la vida plantea cotidianamente. Pero el interrogante o cuestión por resolver en todo problema no puede ser solucionado sólo con la aplicación de conocimientos o procedimientos aislados, sino que requiere que el alumno realice un complejo proceso que implica: el análisis de la situación, la elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas (aquí la estimación adquiere singular importancia), la selección de las posibilidades y la toma de decisiones. Al elaborar la estructura y los contenidos del Módulo 6 para alumnos, se tuvieron en cuenta los objetivos generales para el área en el Proyecto de Terminalidad del Nivel Primario para ‘Adultos a Distancia: Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar situaciones de vida cotidiana que requieren su empleo. Adquirir nuevos conceptos y nuevas estrategias para plantear resolver situaciones matematizables vinculadas con lo personal lo laboral y lo comunitario.
Valorar la precisión y la utilidad del lenguaje matemático para representar, comunicar o resolver situaciones. Utilizar las operaciones fundamentales en la resolución de problemas. Aplicar el conocimiento de los sistemas de medidas de 1ongitud peso, superficie, volumen y tiempo, respecto a problemas del entorno. . Aplicar conceptos elementales de estadistica para la interpretación de tablas y gráficos sencillos.
La resolución de las situaciones planteadas en las 18 actividades del Módulo 6 para alumnos implica la aplicación de los siguientes contenidos trabajados en módulos anteriores:
CONSIDERACIONES SOBRE LAS ACTIVIDADES Luego de una breve introducción, en la actividad N°1 del Módulo 6 para alumnos se solicita al adulto que enumere todos los gastos que él considere necesarios para instalar un quiosco. Esta actividad junto con la N°2, en la que debe mencionar las condiciones exigidas por las inmobiliarias para alquilar un local, tienen como propósito la explicitación de los saberes previos de los adultos sobre el tema. Es importante que usted promueva el intercambio de información en las instancias presencia es, ya que en las actividades siguientes se le propone al alumno que h aga un análisis de la situación, lo que le permitirá, posteriormente, tomar decisiones. Sería oportuno insistir en que la correcta evaluación de las posibilidades y la adecuada planificación, de acciones influyen decisivamente en el éxito del negocio. Esta temática se trata en el Módulo 3 de Formación para el Trabajo. Por tal motivo, la actividad N°3 propone analizar los locales que se ‘ofrecen teniendo en cuenta la variable precio-superficie. Esta actividad requiere que el alumno aplique sus conocimientos sobre los siguientes contenidos: Multiplicación y división de números naturales y expresiones decimales. -Móds. 3 y 4
- Medidas de superficie -Mód. 3 - Superficie de rectángulo -Mód. 3 La actividad N°4 del Módulo 6 facilita ese proceso, ya que requiere el análisis de las condiciones de cada local (alquiler, dimensiones, ubicación) y la selección de una posibilidad ara tomar una decisión. En consecuencia, tendrá que analizar: dimensiones, ub icación, monto del alquiler, estado general del local, etc.
Una vez elegido el local y resuelta la actividad N°5, el alumno habrá llegado a la conclusión de que con los $3.000 que tenía como capital no le alcanza, y entonces una alternativa para solucionar el problema es pedir un credito bancario. El propósito de la actividad N° 6 es que el alumno elija el crédito que considere más conveniente teniendo en cuenta los plazos y los intereses. Una vez que el alumno haya completado el gráfico lineal, sería importante plantearle si hay o no una relación de proporcionalidad entre la cantidad de cuotas y el monto de dinero a devolver, recordándole que, si bien al aumentar la cantidad de cuotas, el monto de dinero también aumenta, no existe una constante; por lo tanto, la relación no es de proporcionalidad porque no aumenta en la misma relación. Es fundamental que sean los alumnos quienes arriben a esta conclusión, Los contenidos trabajados en esta actividad son: - Operaciones con números naturales -Móds. l. y 2 - Proporcionalidad - Mód. 4 - Gráfico estadístico - Mód. 4 El objetivo de la actividad N° 7 es que el alumno pueda simbolizar con un número negativo (cuando el caso lo requiera) el estado de su economía. El contenido trabajado: - Números enteros - Mód. 5 En la actividad N°8 el alumno debe representar gráficamente en una escala determinada el local que él eligió. El contenido: - Escala - Mód. 3 Al resolver las situaciones que se plantean en las actividades N°9, N°10, N°11 y N°12, el alumno aplicará sus conocimientos acerca de los siguientes contenidos: - Adición, sustracción, multiplicación y división -Móds. 1,2 y 3 - Medidas de longitud - Mód. 3 - Medidas de capacidad - Mód. 4 - Medidas de superficie - Mód. 5 - Proporcionalidad - Mód. 4 - Superficie de cuadriláteros
- Mód. 5
La actividad N°13 requiere que el adulto interprete gráficos estadísticos y arribe a conclusiones. Es el momento oportuno para destacar el carácter instrumental del area, ya que, de acuerdo con el análisis e interpretación de esos gráficos, se decidirá seguramente la cantidad de golosinas,; chocolates y helados que es conveniente comprar en determinadas épocas del año. Es importante recordar con los alumnos lo tratado en el Módulo 3 de Formación para el Trabajo, referido a la compra de mercadería: - si se compran más mercaderías de las que se pueden vender, no se podrá recuperar la inversión y habrá pérdidas; si se compran menos mercaderias de las que demandan los clientes, se pierde - 1a oportunidad de obtener más ganancias y se corre el riesgo de perder clientela; - la cantidad de mercadería que se puede vender en cierto tiempo determina en parte el plazo de recuperación de la inversión: cuánto tiempo hay que esperar para recuperar todo el capital colocado para que funcione el local. Los contenidos matemáticos trabajados en esta actividad son: - Análisis e interpretación de diagrama de barras y lineales - Mód. 4 La actividad N°14 requiere que el alumno arribe a conclusiones a partir de la interpretación que haya hecho de los gráficos estadísticos de la actividad N°13. Ademas, se complementa con la actividad N°15, en la que deberá: . . . . resolver situaciones sobre cantidad de artículos; comparar precios; es timar resultados; realizar operaciones que le permitan calcular costos.
Todas estas acciones tienen como propósito poder responder a dos cuestiones básicas en la planificación de una actividad comercial: - A qué precio vender la mercadería. - Qué cantidad habrá que vender (traducida en $) para recuperar la inversión. En la actividad N°16 se trabaja el tema “porcentaje”. El desarrollo de este contenido está en el Módulo 4. La última actividad del Modulo 6 es la N°18. Para poder responder a la pregunta que se le plantea, el alumno debe reflexionar sobre algunos temas tratados en el Módulo 3 de Formación para el Trabajo. Con respecto al tema central del Módulo 6: “instalar un quiosco”, será necesario recordar a los alumnos que el comienzo de cualquier emprendimiento resulta sumamente difícil y que suele pasar un tiempo antes de obtener ganancias. Al principio, todo será inversión y trabajo.
La planificación para instalar un quiosco requiere, tal como se explicó en el inicio de este módulo, el análisis de la situación (ventajas y desventajas), la elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas ‘(calcular costos y obtención de posibles ganancias), la selección de posibilidades (obtener un credito, buscar un socio, un lugar, etc.), para poder tomar la decisión con relativa posibilidad de no fracasar en el emprendimiento.
El objeto de la presente planilla es recoger información de los docentes que participan en el Proyecto a fin de evaluar los Módulos para Docentes. Consigna: Después de colocar sus datos personales, Ud debe señalar la respuesta que considere adecuada en la escala de calificación del 1 al 5 que se encuentra luego de cada Item. Las respuestas que señalen el número 1 significan la menor presencia del rasgo del que se busca información. La respuesta que señale al número 5 supone la mayor presencia del rasgo. La información que Ud proporcione será utilizada para el reajuste de este material en una nueva edición y para realizar la evaluación global del Proyecto. 1. Jurisdicción: 2. centro: 3. Nombre del Docente4. Módulo N° 1
“Marque con una X en el número que considere adecuado: 5. Considera Ud que este Módulo para Docentes le ayuda en el uso correcto del material sobre el que trabajan los alumnos:
Rasgo: El módulo ayuda para el uso correcto del material. 6. Las sugerencias le permiten elaborar nuevas actividades para reorientar el proceso de aprendizaje y generar nuevas propuestas para los encuentros con los alumnos: 1 2 3 4 5
Rasgo: El módulo ayuda para la generación de nuevas estrategias de aprendizaje. 7. El módulo incluye orientaciones para la evaluación: 1 2 3 4 5
Rasgo: El módulo ayuda al docente con orientaciones, para la evaluación.
8. Los contenidos del módulo le sirven para profundizar sus conocimientos sobre el tema: 1 2 3 4 5
Rasgo: El módulo ayuda al docente a profundizar sus conocimientos. 9. Usted encuentra explicitaciones sobre las dificultades de la enseñanza y del aprendizaje del área.
Rasgo: El módulo ayuda al docente con la anticipación de dificultades en la enseñanza y el aprendizaje del área.
10. El esquema de contenido que se presenta le sirve a Ud. para organizar los encuentros
Rasgo: Utilidad del esquema de contenido para la organización de los encuentros presenciales
ll. Usted considera que la lectura del módulo para docentes es una buena estrategia de
Rasgo: El módulo facilita la capacitación de los docentes.
12. Señale a continuación otros comentarios que desee hacer con respecto a este módulo:
13. ¿Usted considera que ha recibido este material de trabajo en las fechas convenientes, es decir,
que ha podido disponer de él. cuando lo necesitó? a. b. Si ( No ( ) )
El objeto de la presente planilla es recoger información de los docentes que participan en el Proyecto a fin de evaluar los Módulos para Docentes. Consigna: Después de colocar sus datos personales, Ud debe señalar la respuesta que considere adecuada en la escala de calificación del 1 al 5 que se encuentra luego de cada Item. Las respuestas que señalen el número 1 significan la menor presencia del rasgo del que se busca información. La respuesta que señale al número 5 supone la mayor presencia del rasgo. La información que Ud proporcione será utilizada para el reajuste de este material en una nueva edición y para realizar la evaluación global del Proyecto. 1. Jurisdicción: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Centro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ............... ......... 3. Nombre del Docente- .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Módulo No 2 Área : Matemática *Marque con una X en el número que considere adecuado: 5. Considera Ud que este Módulo para Docentes le ayuda en el uso correcto del material sobre el que trabajan los alumnos:
Rasgo: El módulo ayuda para el uso correcto del material. 6. Las sugerencias le permiten elaborar nuevas actividades para reorientar el proceso de aprendizaje y generar nuevas propuestas para los encuentros con los alumnos: 1
Rasgo: El módulo ayuda para la generación de nuevas estrategias de aprendizaje. 7. El módulo incluye orientaciones para la evaluación:
Rasgo: Es módulo ayuda al docente con orientaciones para la evaluación.
8. Los contenidos del módulo le sirven para profundizar sus conocimientos sobre el tema: 1 2
Rasgo: El módulo ayuda al docente a profundizar sus conocimientos. 9. Usted encuentra explicitaciones sobre las dificultades de la enseñanza y del aprendizaje del área:
Rasgo: Utilidad del esquema de contenido para la organización de los encuentros presenciales. 11. Usted considera que la lectura del módulo para docentes es una buena estrategia de capacitación:
Rasgo: El módulo facilita la capacitación de los docentes. 12. Señale a continuación otros comentarios que desee hacer con respecto a este módulo:
13. ¿Usted considera que ha recibido este material de trabajo en las fechas convenientes, es decir, que ha podido disponer de él cuando lo necesitó? a. b. Si ( ) No ( )
ESTA A DOCENTES
El objeto de la presente planilla es recoger información de los docentes que participan en el Proyecto a fin de evaluar los Módulos para Docentes.
Consigna: Después de colocar sus datos personales, Ud debe señalar la respuesta que considere adecuada en la escala de calificación del 1 al 5 que se encuentra luego de cada Item. Las respuestas que señalen el número 1 significan la menor presencia del rasgo del que se busca información. La respuesta que señale al número 5 supone la mayor presencia del rasgo. La información que Ud proporcione será utilizada para el reajuste de este material en una nueva edición y para realizar la evaluación global del Proyecto.
1. Jurisdicción: 2. Centro:
3. Nombre del Docente: 4. Módulo No 3
“Marque con una X en el número que considere adecuado: 5. Considera Ud que este Módulo para Docentes le ayuda en el uso correcto del material sobre el que trabajan los alumnos: 1
Rasgo: El módulo ayuda al docente con orientaciones para la evaluación.
Rasgo: El módulo ayuda al docente a profundizar sus conocimientos. 9. Usted encuentra explicitaciones sobre las dificultades de la enseñanza y del aprendizaje del área: 1 2 3 4 5
Rasgo: El módulo ayuda al docente con la anticipación de dificultades en la enseñanza y el aprendizaje del área. 10. El esquema de contenido que se presenta le sirve a Ud. para organizar los encuentros presenciales: 1 2 3 4 5
Rasgo: Utilidad del esquema de contenido para la organización de los encuentros presenciales. 11. Usted considera que la lectura del módulo para docentes es una buena estrategia de capacitación: 1 2 3 4 5
13. ¿Usted considera que ha recibido este material de trabajo en las fechas convenientes, es decir, que ha podido disponer de él cuando lo necesitó? a. b. Si ( No ( ) )
CUESTA A DOCENTES
El objeto de la presente planilla es recoger información de los docentes que participan en el Proyecto a fin de evaluar los Módulos para Docentes. Consigna: Después de colocar sus datos personales, Ud debe señalar la respuesta que considere adecuada en la escala de calificación del 1 al 5 que se encuentra luego de cada Item. Las respuestas que señalen el número 1 significan la menor presencia del rasgo del que se busca información. La respuesta que señale al número 5 supone la mayor presencia del rasgo. La información que Ud proporcione será utilizada para el reajuste de este material en una nueva edición y para realizar la evaluación global del Proyecto. 1. Jurisdicción: 2. Centro: . 3. Nombre del Docente: 4. Módulo N° 4 . Área : Matemática
*Marque con una X en el número que considere adecuado: 5. Considera Ud que este Módulo para Docentes le ayuda en el uso correcto del material sobre el que trabajan los alumnos:
Rasgo: El módulo ayuda para la generación de nuevas estrategias de aprendizaje. 7. El módulo incluye orientaciones para la evaluación: 1
Rasgo: El módulo ayuda al docente con orientaciones para la evaluación,
8, Los contenidos del módulo le sirven para profundizar sus conocimientos sobre el tema: 1 2 3 4 5
Rasgo: El módulo ayuda al docente a profundizar sus conocimientos. 9. Usted encuentra explicitaciones sobre las dificultades de la enseñanza y del aprendizaje del ára 1 2 3 4 5
Rasgo: El módulo ayuda al docente con la anticipación de dificultades en la enseñanza y el
aprendizaje del área.
10. El esquema de contenido que se presenta le sirve a Ud. para organizar los encuentros presenciales: 1 2 3 4 5
Rasgo: Utilidad del esquema de contenido para la organización de los encuentros presenciales. 11. Usted considera que la lectura del módulo para docentes es una buena estrategia de capacitacion: 1 2 3 4 5
Rasgo: El módulo facilita la capacitación de los docentes. 12, Señale a continuación otros comentarios que desee hacer con respecto a este módulo:
NCUESTA A DOCENTES
El objeto de la presente planilla es recoger información de los docentes que participan en el Proyecto a fin de evaluar los Módulos para Docentes. Consigna: Después de colocar sus datos personales, Ud debe señalar la respuesta que considere adecuada en la escala de calificación del 1 al 5 que se encuentra luego de cada Item. Las respuestas que señalen el número 1 significan la menor presencia del rasgo del que se busca información. La respuesta que señale al número 5 supone la mayor presencia del rasgo. La información que Ud proporcione será utilizada para el reajuste de este material en una nueva edición y para realizar la evaluación global del Proyecto. 1. Jurisdicción: 2. centro: 3. Nombre de1 Docente: 4. Módulo No 5
8. Los contenidos del módulo le sirven para profundizar sus conocimientos sobre el tema:
Rasgo: Utilidad del esquema de contenido para la organización de los encuentros presenciales. ll. Usted considera que la lectura del módulo para docentes es una buena estrategia de capacitación: 1 2 3 4 5
El objeto de la presente planilla es recoger información de los docentes que participan en el Proyecto a fin de evaluar los Módulos para Docentes. Consigna: Después de colocar sus datos personales, Ud debe señalar la respuesta que considere adecuada en la escala de calificación del 1 al 5 que se encuentra luego de cada Item. Las respuestas que señalen el número 1 significan la menor presencia del rasgo del que se busca información. La respuesta que señale al número 5 supone la mayor presencia del rasgo. La información que Ud proporcione será utilizada para el reajuste de este material en una nueva edición y para realizar la evaluación global del Proyecto. 1. Jurisdicción 2. Centro: 3. Nombre del Docente 4. Módulo No 6
*Marque. con una X en el número que considere adecuado: 5. Considera Ud que este Módulo para Docentes le ayuda en el uso correcto del material sobre el que trabajan los alumnos:
Rasgo: El módulo ayuda para el uso correcto del material. 6. Las sugerencias le permiten elaborar nuevas actividades para reorientar el proceso de aprendizaje y generar nuevas propuestas para los encuentros con los alumnos:
Rasgo: EI módulo ayuda al docente con la anticipación de dificultades en la enseñanza y el aprendizaje del área.
Elaboraron los Módulos para docentes Desarrollo de Contenidos
Prof. Aldo Bruno Pizzo
Desarrollo de Contenidos Módulo 1 Versión Preliminar
Lic. Marta Martinangelo Lic. Pilar Manuela Gimenez
Versión Corrgida Lic. Pilar Manuela Gimenez Módulos 2, 4 y 6
Lic. Pilar Manuela Guimenez
Prof. Bruno Serpa
Coordinación de Procesamiento Didáctico
Lic. Silvina Aida Romero
Lic. Marcelina Norma Beatriz Jarma
Diseño Grafico y Diagramación Juan Cavallero Cía. Versión Corregida
Anabela Plataroti
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Matemática: Módulos para docentes (Primaria Para Adultos) by WinLx1,4K viewsEmbedDownloadDescriptionManual del docente para enseñar Primaria a los adultos.Manual del docente para enseñar Primaria a los adultos.Categories: Types, Instruction manualsRead on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentShow moreShow less
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