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Timestamp: 2018-11-14 14:22:58+00:00

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LES DÉBUTS DE LA PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE: CONCEPTION ET PRINCIPES | Arabic Sciences and Philosophy | Cambridge Core
LES DÉBUTS DE LA PROJECTION STÉ...
March 2015 , pp. 135-166
LES DÉBUTS DE LA PROJECTION STÉRÉOGRAPHIQUE: CONCEPTION ET PRINCIPES
Philippe Abgrall (a1)
Aix Marseille Université, CNRS, CEPERC UMR 7304, 13621, Aix en Provence, France
https://doi.org/10.1017/S0957423914000125
In the Planisphaerium, Ptolemy deals with a method of representing a sphere onto a plane, according to principles which were compatible with the stereographic projection. But this projection will only become a real mathematical concept in the 9th century, when al-Farghānī will demonstrate the fundamental property of this projection. It is only in the 10th century that the first general theory of projections of spheres was worked out by al-Qūhī and Ibn Sahl. This paper addresses the reasons which allow to claim that Ptolemy did not conceive of projection and that this conception was based on the Apollonius' definition of the conical surface.
Dans son traité intitulé Le Planisphère, Ptolémée présente une méthode pour représenter une sphère sur un plan, selon des principes compatibles avec ce qu'on nomme aujourd'hui la projection stéréographique. Mais cette dernière ne sera traitée mathématiquement, en tant que telle, que bien plus tard, au IXẹ siècle, dans l'œuvre d'al-Farghānī qui démontrera notamment la propriété fondamentale de cette projection. Ce n'est qu'au Xe siècle qu'al-Qūhī et Ibn Sahl écriront une première théorie générale des projections de la sphère. Cet article analyse les raisons qui permettent d'affirmer que Ptolémée n'a pas conçu mathématiquement de projection, et que cette conception n'a pu être possible qu'avec l'aide de la définition de la surface conique telle qu'Apollonius l'a exposée dans ses Coniques.
Email: philippe.abgrall@univ-amu.fr
1 Il s'agit de l'azimut du principal lieu saint pour les musulmans, situé à La Mecque et vers lequel les pratiquants doivent se tourner pour effectuer leurs prières rituelles.
2 La projection stéréographique générale est une projection conique de la sphère sur un plan passant par son centre, à partir de l'un des pôles du cercle que ce plan découpe dans la sphère. La projection stéréographique que nous étudions ici est un cas particulier pour lequel le plan de projection est le plan de l'équateur. On qualifie alors cette projection de “polaire” (voir D'Hollander, R., L'Astrolabe – Histoire, théorie et pratique, Institut Océanographique [Paris, 1999], pp. 51–3).
3 II nous est parvenu un traité portant sur l'astrolabe et attribué à cet auteur, dont l'authenticité n'est pas certaine (voir infra, pp. 162–3, note 71).
4 R. Rashed et P. Abgrall, “Les traditions des coniques et le début de la recherche sur les projections”, dans Rashed, R., D'al-Khwārizmī à Descartes: Études sur l'histoire des mathématiques classiques (Paris, 2011), pp. 489–534.
5 En effet, la projection stéréographique transforme les cercles de la sphère en cercles ou droites du plan équatorial. Nous reviendrons sur cette propriété fondamentale tout au long de cet article.
6 Il suffit pour cela de tracer les droites SP et SP′, et de rabattre leur intersection avec la droite AB (Fig. 2).
7 À condition, bien entendu, qu'il ne passe pas par le pôle S.
8 L'un de ces cercles a son centre sur la droite méridienne, c'est le projeté du cercle de hauteur perpendiculaire au méridien.
9 Cette figure est construite à partir de celle que l'on trouve dans l'ouvrage de Rashed, R., Géométrie et dioptrique au Xe siècle - Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham (Paris, 1993), p. CXIII, et qui est reproduite dans Rashed, R., Geometry and Dioptrics in Classical Islam (Londres, 2005), p. 860.
10 En particulier, “The early history of the astrolabe”, Isis, 40, fasc. 3 (1949): 240–56, p. 246, et A History of Ancient Mathematical Astronomy, vol. II (Berlin, 1975), pp. 857–8 et 868–9.
11 Dans son article sur l'origine de l'astrolabe, O. Neugebauer fait reposer cette affirmation sur deux arguments: le premier s'appuie sur l'analyse qu'il fait du texte de Ptolémée, Le planisphère, dont le but principal, selon lui, est de démontrer comment il est possible de résoudre des problèmes de trigonométrie sphérique au seul moyen de la trigonométrie plane. Il est donc plausible, toujours selon O. Neugebauer, qu'Hipparque ait utilisé la projection stéréographique, puisque sans disposer de trigonométrie sphérique, il a pu résoudre de tels problèmes. Le second argument consiste en un témoignage contenu dans une lettre de Synesius de Cyrene, datant du IVe siècle (entre 373 et 414) et affirmant qu'Hipparque fut le premier à étudier la projection de la sphère sur un plan (Dicks, D. R., The Geographical Fragments of Hipparchus [Londres, 1960], pp. 194–205). Néanmoins, C. Anagnostakis a relevé dans sa thèse que Neugebauer lui-même a reconnu qu'Hipparque aurait pu recourir à d'autres méthodes (C. Anagnostakis, The Arabic Version of Ptolemy's Planisphaerium, Ph.D. thesis, Yale University [1984], p. 10 et Neugebauer, A History of Ancient Mathematical Astronomy, pp. 302–4).
12 Notre commentaire se fera à partir de la traduction arabe telle qu'elle se présente dans l'édition publiée par Sidoli, N. et Berggren, J. L., “The Arabic version of Ptolemy's Planisphere or Flattening the Surface of the Sphere: text, translation, commentary”, SCIAMVS, vol. 8, (2007): 37–139.
13 Cette traduction latine a été faite par Hermann de Carinthie, en 1143. P. Kunitzsch a trouvé des traces d'une traduction latine antérieure, qui remonterait à la fin du Xe siècle (“Fragments of Ptolemy's Planisphaerium in an early Latin translation”, Centaurus, 36 [1993]: 97–101, en particulier pp. 98–9). Il compare le texte arabe des deux manuscrits qui ont servi à l'édition de N. Sidoli et J. L. Berggren à celui de la traduction latine de 1143, et conclut que si certaines différences entre les deux textes peuvent être attribuées au caractère parfois libre de la traduction de Hermann, on doit reconnaître l'existence de deux familles différentes (“The second Arabic manuscript of Ptolemy's Planisphaerium”, Zeitschrift für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, 9 [1994]: 83–9, en particulier pp. 85 et 86). Quant à la traduction arabe, dont on ne connaît ni la date, ni l'auteur, P. Kunitzsch affirme qu'elle remonte au début du Xe siècle, voire à la fin du IXe, en s'appuyant sur la citation que l'on trouve dans le texte sur l'astrolabe attribué à Ibn Sinān (“Fragments of Ptolemy's Planisphaerium”, p. 97, “The second Arabic manuscript of Ptolemy's Planisphaerium”, p. 84 et surtout “The role of al-Andalus in the transmission of Ptolemy's Planisphaerium and Almagest”, Zeitschrift für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften, 10 [1995]: 147–55, en particulier p. 152). Néanmoins l'argument principal de cette affirmation présente une faiblesse, dans la mesure où l'authenticité de ce traité n'est toujours pas établie de façon certaine.
14 Les références renvoient à l'édition et à la traduction de N. Sidoli et J. L. Berggren dans “The Arabic version of Ptolemy's Planisphere”, et s'appuient sur le découpage en 20 sections du texte, que les éditeurs ont adopté et qu'ils ont repris de la traduction latine d'Hermann, éditée par Heiberg, J. L. (Claudii Ptolemaei Opera, vol. II, Opera astronomica minora [Leipzig, 1907]).
15 Signalons qu'à la fin du texte, au § 19, l'auteur justifie que le cercle parallèle à l'écliptique et passant par le pôle sud de la sphère, est remplacé par une droite dans le plan (voir infra, p. 151, note 44). Néanmoins, nous ne partageons pas l'hypothèse formulée par N. Sidoli et J. L. Berggren: “Ptolemy knew a simple proof of circle preservation and assumed his readers would be familiar with this” (“The Arabic version of Ptolemy's Planisphere”, com. p. 112).
16 On trouve le plus souvent makāna, parfois badala, et une fois l'expression qāma maqāma (“Ces cercles tracés sont ceux qui se tiennent à la place (taqūmu maqāma) des grands cercles perpendiculaires à l'écliptique” [§ 15, p. 75, l. 435–436; trad. p. 103]). Les traducteurs, N. Sidoli et J. L. Berggren, emploient representing pour traduire les deux premiers termes, et to stand in for pour la dernière expression (“The Arabic version of Ptolemy's Planisphere”, p. 48).
17 Ce terme signifie aussi semblable ou placé en vis-à-vis: “Je dis que ces deux cercles sont les correspondants (naẓīratā) de deux des cercles qui sont sur la sphère solide” (§ 1, p. 55, l. 23; trad. p. 82). On retrouve ce mot dans plusieurs traités écrits en arabe au Xe siècle, notamment celui d'al-Qūhī, où il prendra un sens mathématique spécifiant systématiquement la relation d'un point ou d'un cercle de la sphère à son projeté sur le plan (cf. infra, p. 164). On le traduit alors par homologue.
18 On pourrait faire à ce choix le reproche de gommer les nuances du texte. Mais l'analyse des termes relevés ici dans le Planisphère, révèle que l'auteur ne fait pas usage systématique d'un terme plutôt qu'un autre, en fonction de la situation. À plusieurs reprises, Ptolémée emploie même simplement le verbe tracer (rasama) pour désigner la correspondance: “le cercle dont le diamètre est la droite GI (un cercle de la sphère) est tracé autour du diamètre MN (un cercle du plan)” (§ 16, p. 76, l. 445; trad. p. 104); il arrive aussi qu'il ne précise plus la différence entre les deux cercles, celui de la sphère et son correspondant dans le plan, quand, par exemple, il pose “l'écliptique, le cercle GBHD (un cercle du plan)” (§ 2, p. 57, l. 54–55; trad. p. 84). Nous devons souligner que cette analyse repose sur des bases qui ne sont peut-être pas totalement infaillibles, étant donné qu'on ne dispose que d'une version dont on ne peut affirmer l'authenticité avec certitude.
19 Il faut signaler une exception au § 14. L'auteur débute cette section en expliquant que l'on peut placer les astres fixes à partir de tout ce qui précède: l'étude du tracé des cercles parallèles à l'équateur, le calcul des rayons de ces cercles qui passent par le début des signes, le calcul des diamètres de l'écliptique et de l'horizon à la latitude de Rhodes et la position de leurs centres, ainsi que les ascensions des signes (ascensions droites et obliques à la latitude de Rhodes). Il considère alors le plan dans lequel on veut tracer les cercles définis à partir de l'écliptique, plan qu'il appellera ensuite le tympan, et pose le cercle ABCD comme “le cercle qui est extérieur à tous les cercles et qui en est le plus grand” (§ 14, p. 73, l. 403; trad. p. 101–2). Cela signifie qu'on décide de la taille du cercle qui borde toute la construction dans le plan. Il montre alors comment tracer l'équateur à partir de ce cercle ABCD, et le contexte géométrique reste semblable à ce qui précède.
20 C'est le cas pour toutes les constructions du § 16 au § 19. L'axe est l'axe de la sphère. Cette fois, il semble bien qu'il adopte le point de vue d'une projection orthographique de la sphère sur le colure des solstices. On peut comprendre, comme l'expliquent N. Sidoli et J. L. Berggren, que dès le § 1, le plan de la figure est formée du plan de l'équateur et du colure des solstices, comme superposés (“The Arabic version of Ptolemy's Planisphere”, p. 113). C'est une façon d'interpréter le raisonnement de Ptolémée, mais ce dernier n'explicite jamais que ces deux plans sont comme superposés. Nous ne partageons pas cette interprétation (voir infra p. 144).
21 Ptolémée écrit dans l'introduction: “nous avons disposé les cercles parallèles à l'équateur selon un agencement par lequel, il a d'abord été possible que les grands cercles tracés à partir des cercles inclinés tangents aux cercles parallèles à l'équateur, <situés> de part et d'autre de lui, à la même distance, coupent toujours l'équateur en deux moitiés” (§ 1, p. 55, l. 10–12; trad. p. 82) en précisant seulement, quelques lignes plus loin, que de tels cercles situés sur la sphère au nord de l'équateur ou au sud de celui-ci, se trouveront, dans le plan, respectivement à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle ABCD, tenant lieu d'équateur (§ 1, p. 55, l. 18–20; trad. p. 82). Ce n'est qu'à la toute fin du texte, au § 20 qui tient lieu de conclusion, qu'on peut lire que le centre de l'équateur est aussi le centre pour tous les cercles parallèles à lui (§ 20, p. 80, l. 509–510; trad. p. 108). Tout au long du traité, cette propriété est passée sous silence, bien qu'employée comme une évidence.
22 On peut lire, juste après l'exposé de son projet: “nous avons utilisé des droites à la place des méridiens” (§ 1, p. 55, l. 9–10; trad. p. 82). Il ajoutera plus tard que ces droites passent par le pôle nord, qui est aussi le centre de l'équateur, dans le plan: “toutes les droites qui traversent le pôle E sont à la place des méridiens” (§ 1, p. 57, l. 48–49; trad. p. 84).
23 Notamment A History of Ancient Mathematical Astronomy, vol. II, pp. 857–72.
24 Puisque les cercles parallèles sont remplacés par des cercles concentriques, il est naturel que l'un des pôles de l'équateur sur la sphère se retrouve au centre de tous ces cercles dans le plan. Si l'on reprend l'image de la vision de la sphère à partir du pôle sud, c'est le pôle nord que l'on voit et cela coïncide, ici, avec le fait qu'en un lieu de l'hémisphère nord de la terre, le pôle nord est dans la partie visible du ciel, celle située au-dessus de l'horizon. Juste avant cela, il est écrit: “Que le point E soit le pôle nord, parce qu'on ne peut placer l'autre pôle sur la surface plane, car sa surface s'étend sans limite, comme nous le montrerons par la suite” (§ 1, p. 55, l. 15–16; trad. p. 82). On ne trouve pas d'explication de cela dans la suite du texte. Cette phrase fait précisément l'objet d'un commentaire de Maslama al-Majrīṭī, comme le précisent N. Sidoli et J. L. Breggren (“The Arabic version of Ptolemy's Planisphere”, p. 82, note 23) qui renvoient au travail de P. Kunitszch et R. Lorch, Maslama's Notes on Ptolemy's Planisphaerium and Related Texts, Bayerische Akademie der Wissenschaften, Philosophisch-Historische Klasse Sitzungberichte 2 (Munich, 1994), pp. 14–17. En effet, dans sa note 3, relative au § 4 du Planisphère où Ptolémée calcule les rayons des cercles parallèles à l'équateur et passant par les signes du zodiaque, Maslama explique qu'il est impossible de placer le pôle sud dans le plan, car il devrait être à l'intersection de deux droites parallèles (le diamètre AC de l'équateur et la droite parallèle à ce diamètre et passant par D). Mais il explique ensuite ce que Ptolémée a dû penser. Les droites représentant les méridiens se rencontrent toutes au point E, centre de l'équateur. Si ce point représente également le pôle nord, alors le pôle sud devra être placé sur l'autre point où ces mêmes droites se rencontrent, à l'image des méridiens sur la sphère qui se coupent tous aux deux pôles. Or, les droites ne se rencontrent qu'en un point, donc on en peut placer le pôle sud. C'est ainsi que Maslama comprend que “sa surface s'étend sans limite”. Au § 16, le point D sera désigné par Ptolémée comme “le pôle caché” (§ 16, p. 76, l. 441; trad. p. 104), par opposition au pôle visible. Et ce n'est que lorsque le cercle ABCD représente le colure des solstices qu'il emploiera cette expression (voir infra p. 148).
25 On trouve littéralement dans le texte: “l'écliptique qui est tracé à partir d'un centre qui découpe la droite IM en deux moitiés, de sorte à être tangent [aux] deux cercles au point I et au point M, divise le cercle ABCD en deux moitiés, je veux dire qu'il passe par le point B et par le point D” (§ 1, p. 55, l. 24 – p. 56, l. 26; trad. p. 83). Si l'on se fie au texte, on comprend que Ptolémée a en tête l'écliptique comme exemple de grand cercle incliné, mais que sa construction est générale. C'est en tout cas le sens des hypothèses de sa construction. Après la démonstration, il insiste sur le fait que cette construction est un modèle pour toutes les paires de cercles parallèles symétriques par rapport à l'équateur; puis il explique que si l'on donne aux arcs CG et CH la valeur de l'inclinaison de l'écliptique, 23°51′, alors on obtient, dans le plan, les tropiques et l'écliptique.
26 Pour des raisons évidentes de symétrie, qu'il n'évoque pas.
27 Puisque l'arc CG est égal à l'arc CH, donc égal à l'arc AN.
28 Les seules fois où il place dans le plan des points isolés, cela concerne le pôle de l'équateur (§ 1, voir supra, pp. 143–4, note 24) et le pôle de l'écliptique. Le premier est le seul point de la sphère qui a pour déclinaison 90°, il peut donc être conçu comme un cercle parallèle réduit à un point. Le second, étudié au § 15, constitue la seule exception. Ptolémée emploie précisément la construction à partir du point D, comme on vient de le voir, pour les points I et M dans la première proposition démontrée. Cette étude précède le tracé des cercles parallèles à l'écliptique, dont il s'occupera dans les quatre paragraphes suivants, les derniers avant la conclusion du § 20.
29 Il aurait commencé par placer les points G et N sur le cercle ABCD, de sorte que l'arc CG soit égal à l'arc AN, puis il aurait construit directement I et M.
30 Ptolémée écrit: “le cercle tracé sur le point M, le point B, le point I et le point D, qui est le cercle passant au milieu des signes (l'écliptique), est tangent aux deux tropiques, au point I, le solstice d'été, et au point M, le solstice d'hiver, et divise l'équateur en deux moitiés aux points B et D. Le point B est le point vernal et le point D, le point automnal” (§ 1, p. 56, l. 39–42; trad. p. 84).
31 Si l'on considère que la ligne est une conique, on peut montrer que si IM est un axe pour cette conique, condition due au principe de tangence conservée, et qu'elle passe par les points B et D, alors elle est nécessairement un cercle. Mais rien dans le texte ne permet d'affirmer que c'est ce que Ptolémée a en tête et, en tout état de cause, il ne démontre pas que l'écliptique est remplacé par un cercle. Ptolémée développe le même raisonnement, à partir des mêmes principes, au § 16, lorsqu'il étudie les cercles parallèles à l'écliptique (voir infra, pp. 147–50). Le commentaire de C. Anagnostakis laisse à penser que Ptolémée démontre, au § 16, que le cercle se projette selon un cercle (The Arabic Version of Ptolemy's Planisphaerium, p. 133). Pour sa part, R. Lorch estime que cette démonstration peut être considérée comme une preuve symbolique du fait que le cercle de diamètre IM est la représentation du grand cercle de la sphère (“Ptolemy and Maslama on the transformation of circles into circles in stereographic projection”, Archive for History of Exact Sciences, 49, n° 3 [1995]: 271–84, p. 273, et p. 277 pour le § 16).
32 Les horizons sont les grands cercles de la sphère, dont l'écliptique est un cas particulier. Donc cet énoncé peut parfaitement s'appliquer à deux grands cercles quelconques. Mais ce n'est pas le souci de Ptolémée, dont le but reste de tracer sur le plan les cercles de la sphère qui sont utiles à l'astronome. Par ailleurs, les points auxquels un horizon coupe l'écliptique ne sont pas réellement diamétralement opposés dans le plan. C'est pourquoi il a recours à l'expression “en puissance”, qui signifie pour lui que les points correspondent à des points diamétralement opposés sur la sphère solide. Cette proposition, qui occupe le § 2 et le § 3, repose sur le principe qu'une droite passant par le centre E dans le plan, remplace un méridien. Ainsi, il vérifie par ce principe, que toute droite passant par E, dans le plan, rencontre un cercle représentant un grand cercle de la sphère, en deux points représentant les extrémités d'un diamètre de celui-ci.
33 Le choix qu'il fait pour les deux colures n'est pas dû au hasard. Il est facile de placer ces deux méridiens dans le plan. Par ailleurs, à aucun endroit de son texte Ptolémée n'explique comment tracer un méridien en particulier, autre que l'un des colures. Il indique seulement les principes du tracé: un méridien est une droite passant par E. Ces cercles ne lui servent qu'à garantir que deux points sont diamétralement opposés sur un grand cercle.
34 L'auteur débute son étude des cercles parallèles et perpendiculaires à l'écliptique, au paragraphe précédent. Il annonce clairement son intention au début du § 15: “Pour accomplir notre but, nous devons également montrer comment tracer les cercles qui sont disposés par rapport à l'écliptique comme le sont les cercles que nous avons déjà mentionnés, par rapport à l'équateur” (§ 15, p. 75, l. 424–425; trad. p. 103). Cette étude l'occupera jusqu'à la fin du texte. Dans ce § 15, il commence par expliquer comment tracer dans le plan le correspondant du pôle de l'écliptique, en gardant le même point de vue que dans ce qui précède, c'est-à-dire qu'il commence par poser le cercle ABCD comme l'équateur.
35 C'est-à-dire le colure des solstices, qui passe à la fois par les pôles de l'équateur et par ceux de l'écliptique.
36 À partir de ce paragraphe, et dans toute la suite du texte, Ptolémée pose le cercle ABCD pour le méridien de l'écliptique, autrement dit le colure des solstices (nous avons déjà signalé ce fait, voir supra, p. 7 et note 20). Ptolémée adopte le point de vue d'une projection orthographique dans le plan de ce méridien. Nous pensons qu'ici, le plan de l'équateur, ceux du cercle Γ et de tous les cercles parallèles à l'équateur sont considérés comme perpendiculaires au plan de la figure. Comme le sera le plan du méridien, colure des équinoxes, que Ptolémée introduira quelques lignes plus loin (cf. note suivante). Donc Ptolémée ne superpose pas ces plans. En tout état de cause, il ne le formule pas, et ne le conçoit pas géométriquement.
37 Le méridien est considéré perpendiculairement au plan de la figure (cf. note précédente).
38 Ces deux points sont à l'intersection du cercle SOF, de centre E, et de la droite BD qui passe par le centre E, donc ils sont évidemment diamétralement opposés sur le cercle. On retrouve la cohérence entre le principe selon lequel un cercle parallèle à l'équateur est remplacé par un cercle de centre E, et celui qui fait qu'un méridien est remplacé par une droite passant par ce même point E. On constate la mise en œuvre de ces deux principes dans les procédés que Ptolémée développe au § 1, pour tracer l'écliptique, et ici même au § 16, pour tracer les cercles parallèles à l'écliptique. La ressemblance entre ces deux procédés est frappante. La seule proposition que Ptolémée démontre dans les deux cas est que le cercle qu'il pose dans le plan, pour remplacer le cercle de la sphère, en le définissant à partir du diamètre formé par les deux points de tangence avec deux cercles parallèles à l'équateur, partage en deux moitiés un autre cercle parallèle à l'équateur et correctement choisi. Sa démonstration repose sur les propositions 21, 31 et 35 que l'on trouve au livre III des Éléments d'Euclide et que Ptolémée ne cite pas.
39 Dans le cercle ABCD, l'angle BGQ est droit, car BD est un diamètre, et d'autre part l'angle BHQ a été posé comme droit.
40 Puisque les points B, G, D, I sont sur le cercle ABCD.
41 En effet, BH × HD = HL 2 parce que le point L est sur le cercle de diamètre BD, et que HL et BD sont perpendiculaires.
42 Parce que les points S, O, F sont sur un même cercle de centre E.
43 Pour C. Anagnostakis: “In the Planisphaerium Ptolemy describes the stereographic projection of the celestial sphere from its south pole onto the plane through the equator.” (The Arabic Version of Ptolemy's Planisphaerium, p. 112.) R. Lorch écrit: “In the stereographic projection treated by Ptolemy in the Planisphaerium, the celestial sphere is mapped onto the plane of the equator by projection from the south pole.” (“Ptolemy and Maslama on the transformation of circles into circles in stereographic projection”, p. 271.) Dans l'article le plus récent, celui de N. Sidoli et J. L. Berggren, on peut lire: “Ptolemy's reader is assumed to have a good grasp of the principles of ancient spherical astronomy and […] also assumed to already have some familiarity with the ancient geometry methods used for producing a plan diagram of the sphere that is mathematically equivalent to that produced by stereographic projection. Ptolemy, however, often proceeds in a way that is unexpected from the perspective of projective geometry. Hence, in reading this text, it is often more useful to situate his methods in the context of ancient solid geometry than in that of projective geometry as it was developed by medieval and early modern mathematicians. Hence in our commentary, we generally describe these aspects of Ptolemy's procedures in terms of conic theory, solid geometry and the methods of ancient analemma.” (“The Arabic version of Ptolemy's Planisphere ”, p. 111.)
44 Un seul passage du texte résiste à notre analyse. Au § 19, Ptolémée étudie le cercle parallèle à l'écliptique et passant par le point D qu'il a appelé le pôle caché (Fig. 6). Il affirme que c'est une droite, qu'il place sur la figure, et justifie: “Cela parce que toutes les droites qui sont menées par le point D et qui passent par ce cercle, sont dans un seul plan, qui est le plan du cercle, et l'intersection de ce plan et du plan de l'équateur est la droite MLS, car le plan du méridien qui contient également la droite AC est perpendiculaire à chacun de ces deux plans que nous avons mentionnés” (§ 19, p. 80, l. 501–505; trad. p. 108).
Le style de ce passage, qui se situe à la fin du texte, n'est pas cohérent avec tout ce qui précède. Pour la première fois, il envisage les droites qui passent par le pôle D et par le cercle. Mais alors, pourquoi Ptolémée ne procède-t-il pas ainsi au § 1 pour justifier le tracé des méridiens? La seule hypothèse que nous pouvons formuler pour le moment est une corruption tardive du texte, sans pour autant avoir d'autres éléments pour la soutenir.
45 Ce traité a été édité par Richard Lorch: Al-Farghānī, On the Astrolabe, Arabic Text Edited with Translation and Commentary by R. Lorch (Stuttgart, 2005), édition sur laquelle s'appuie notre commentaire. Son auteur, Aḥmad b. Muḥammad b. Kathīr al-Farghānī, est surtout connu pour avoir rédigé un ouvrage en 30 chapitres qui résume l'astronomie de Ptolémée (Jawāmiʿ ʿilm al-nujūm wa-uṣūl al-ḥarakāt al-samāwiyya). Il était astronome-mathématicien à Bagdad dans la première moitié du IXe siècle. Il a également séjourné plusieurs années au Caire où, sur l'ordre du calife al-Mutawakkil, il dirigea la construction d'un Nilomètre qui fut achevée en 861. Selon R. Lorch, c'est au cours de son séjour au Caire qu'il rédigea son traité sur l'astrolabe, al-Kāmil (ibid., p. 4). Parmi les neuf copies manuscrites utilisées par l'éditeur, l'une porte le titre L'Art complet de l'astrolabe méridional et de l'astrolabe septentrional et de leur justification par la géométrie et le calcul (al-Kāmil fī ṣanʿat al-asṭurlāb al-shimālī wa-al-janūbī wa-al-ʿilalihimā bi-al-handasa wa-al-ḥisāb [ibid., pp. 388 et 389]) et une autre présente une variante de l'introduction dans laquelle l'auteur intitule simplement son traité al-Kāmil (Le Complet [ibid., pp 380 et 381]). Ce titre est celui qu'ont utilisé les successeurs d'al-Farghānī, comme par exemple al-Bīrūnī, dans son ouvrage sur La projection des constellations et l'aplanissement des sphères (éd. A. Saʿīdān dans “Kitāb tasṭīḥ al-ṣuwar wa-tabṭīḥ al-kuwar li-Abī al-Rayḥān al-Bīrūnī”, Dirāsāt al-‘ulūm al-ṭabī‘iyya, vol. 4, n° 1 et 2 [1974–1977]: 7–22, p. 13, et traduction anglaise par J. L. Berggren, “Al-Bīrūnī, on plane maps of the sphere”, Journal for the History of Arabic Sciences, vol. 6, n° 1 et 2 [1982]: 47–112, p. 52).
46 Al-Farghānī, On the Astrolabe, p. 24, l. 2 et 22–26.
47 C'est ainsi qu'il caractérise géométriquement les méridiens.
48 Al-Farghānī, On the Astrolabe, p. 40, l. 5–7. Nous avons traduit le verbe tashakkala employé par al-Farghānī, par prendre la forme. Celui-ci n'emploie pas d'expression qui désigne un déplacement, une transformation géométrique, comme ce sera le cas au siècle suivant, mais son intention est claire comme l'a déjà montré R. Rashed: “Les mathématiques de la terre”, dans G. Marchetti, O. Rignani et V. Sorge (éd.), Ratio et superstitio, Essays in Honor of Graziella Federici Vescovini, Textes et études du Moyen Âge 24 (Louvain-la-Neuve, 2003), pp. 285–318 (notamment p. 299). Al-Farghānī emploie le même verbe pour parler des figures qui prennent la forme de cercles sur la sphère et celles qui leur sont associées par les surfaces coniques dans le plan de l'astrolabe, et qui prennent également la forme de cercles (ou de droites dans certains cas). Après lui, le verbe saṭṭaḥa désignera l'action de projeter, et le nom verbal tasṭīḥ, la projection. C'est ce mot qui donnera l'expression ʿilm al-tasṭīḥ pour désigner la nouvelle “science des projections” (Rashed, “Les mathématiques de la terre”, pp. 287 et 293 sqq.).
49 Ce passage, situé au début du chapitre 2, s'expliquera par la démonstration géométrique qui va suivre. Elle nous fera comprendre que c'est à partir des limites de la représentation sur le plan de l'astrolabe, la circonférence du tympan (la plaque sur laquelle on grave les cercles ou arcs de cercles), qu'il détermine le cercle de la sphère, parallèle à l'équateur, qui correspond à ces limites. Nous insistons sur le fait qu'al-Farghānī n'a pas de terminologie établie pour désigner la relation entre un cercle de la sphère et le cercle tracé sur l'astrolabe, son projeté, mais qu'il la conçoit clairement en la caractérisant.
50 Il n'écrit pas que c'est le plan tangent à la sphère au pôle nord.
51 Le cône de sommet B et de base ABCD est, ici, dégénéré, c'est pourquoi al-Farghānī n'emploie évidemment pas le mot “cône”, ni “conique”; nous le faisons pour traduire son expression du mouvement de la droite qui tourne autour du cercle, à partir d'un point fixe. Ce principe, qui prendra tout son sens dans la suite du texte, est exactement celui sur lequel repose la définition de la surface conique que l'on trouve au tout début du livre I des Coniques d'Apollonius, ce dernier précisant bien évidemment que le cercle et le point fixe ne se trouvent pas dans un même plan (Apollonius de Perge Coniques, tome 1.1: Livre I, commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe par R. Rashed [Berlin, 2008], pp. 252–5; tome 1.2, édition et traduction du texte grec par M. Decorps-Foulquier et M. Federspiel [Berlin, 2008], pp. 6–7). Al-Farghānī ne cite pas les Coniques d'Apollonius, mais il est plus que probable qu'il ait connu ce texte dont la traduction était menée à Bagdad au même moment, comme R. Rashed l'affirme (“Les mathématiques de la terre”, p. 294, et aussi Rashed et Abgrall, “Les traditions des coniques et le début de la recherche sur les projections”, p. 514).
52 Ce résultat découle également des principes du chapitre 1. Dans sa démonstration, l'auteur ne renvoie pas explicitement au chapitre précédent.
53 Il n'effectue pas le tracé de ces cercles ici, il y consacrera la suite de son ouvrage, en calculant la position des centres et les rayons des différents cercles. Al-Farghānī sépare sciemment l'étude géométrique de l'astrolabe du calcul permettant la construction effective.
54 À l'exception près du titre du chapitre: Introduction des propositions géométriques par lesquelles on déduit la cause de la forme de l'astrolabe (Al-Farghānī, On the Astrolabe, p. 26).
55 Al-Farghānī emploie pour cela un raisonnement semblable à celui d'Euclide dans la proposition VI, 8 des Éléments.
56 Al-Farghānī renvoie au livre sur la sphère de Muḥammad ibn Mūsā, l'aîné des Banū Mūsā. L'ouvrage en question s'intitule Pour connaître l'aire des figures planes et sphériques, et la proposition utilisée ici est la proposition 10 (Rashed, R., Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. I: Fondateurs et commentateurs [Londres, 1996], pp. 96–9).
57 Sur la Figure 10, ce n'est pas le cas. Nous avons préféré reproduire la figure telle qu'elle se présente dans l'édition “avec son erreur”. L'auteur représente les deux cercles KLIN et SLO dans le plan de la figure, c'est-à-dire le plan AGI. On pourrait penser qu'il procède à deux rabattements, le premier autour de (KI) et le second autour de (SO), ce qui aurait pour effet de dédoubler le point L. Ainsi, les deux cercles rabattus ne devraient pas se couper en L. En fait, la figure est une sorte de représentation en perspective dont les règles de déformation des cercles ne seraient pas suivies, elle n'est qu'un support de la réflexion (Al-Farghānī, On the Astrolabe, p. 31). Nous donnons ensuite une représentation en perspective (Fig. 11).
58 En effet, la droite LF est l'intersection de deux plans perpendiculaires au plan AGI, les plans des deux cercles KLIN et SLO.
59 En appliquant le résultat de la première proposition, il montre que l'angle ASO est égal à l'angle GIA, puisqu'ils sont tous deux égaux à l'angle ADB. Mais l'angle KFS est égal à l'angle IFO, et il reste l'angle IOF égal à l'angle SKF, donc les deux triangles SFK et FIO sont semblables.
60 Le rapprochement entre cette démonstration et la proposition I, 5 des Coniques, qui sera la référence explicite pour les successeurs d'al-Farghānī (pseudo-Ibn Sinān, al-Qūhī, voir infra, pp. 162–3, note 71), s'impose. L'auteur, dont la proposition peut apparaître comme un cas d'application de la proposition I, 5 d'Apollonius à un cône inscrit dans une sphère, reprend le même cheminement que ce dernier. Cela confirme qu'il a eu connaissance du traité d'Apollonius, au moment où Muḥammad ibn Mūsā s'occupait, avec ses frères, de sa traduction (Rashed, R., Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. III [Londres, 2000], pp. 1–2, 12–13, ainsi que: Apollonius de Perge, Coniques, t. 1.1, pp. 25–30; voir également supra, p. 154, note 51).
61 Il montre que les triangles ALI et ADC sont semblables, et reprend le premier résultat de ce chapitre, à savoir que les triangles AKI et ABC sont semblables. Puisque DC est la moitié de BC, alors LI est la moitié de KI, donc L est le centre du cercle KHI. Or la droite AD rencontre la droite GI en E, et les points E et L sont distincts car l'arc CM est plus petit que l'arc MB.
62 Dans le commentaire qui précède, nous avons en particulier souligné l'importance du cône inscrit dans la sphère, qui lui sert à traduire les problèmes du chapitre 2 dans les termes de la proposition fondamentale du chapitre 1.
63 L'impact que le traité des Coniques d'Apollonius a pu avoir sur le travail d'al-Farghānī ne fait pas de doute. Il est également raisonnable de supposer qu'il était impliqué dans les réflexions que la réception de l'ouvrage a suscitées au sein de la Maison de la Sagesse au milieu du IXe siècle (Rashed et Abgrall, “Les traditions des coniques et le début de la recherche sur les projections”, pp. 512–17, les idées de cette partie sont reprises de l'article de R. Rashed, “Les mathématiques de la terre”).
64 En revanche, la comparaison attentive des deux textes révèle une similitude frappante de leurs structures et des questions traitées. Même si le texte d'al-Farghānī est beaucoup plus homogène et mieux organisé, donc plus simple à comprendre, que celui du Planisphère, il suit un plan très proche de celui-ci. Après avoir posé les principes géométriques, al-Farghānī délimite le tympan sur lequel on doit tracer les cercles de la sphère, en déterminant le cercle extérieur, comme le fait Ptolémée. Il place les méridiens et les cercles parallèles à l'équateur, puis l'écliptique. Pour ce dernier, il reporte l'arc de déclinaison sur le cercle du méridien (voir supra, p. 155). On a vu l'importance de ce procédé chez Ptolémée (voir supra, p. 144). Au chapitre 3, al-Farghānī calcule les rayons des cercles parallèles à l'équateur, puis le rayon de l'écliptique et la position de son centre par le calcul de la distance qui le sépare du centre de l'équateur, questions que Ptolémée a traitées dans son livre (§ 4 à 6), puis ceux des cercles parallèles à l'horizon d'un lieu de latitude 30° (Ptolémée choisit la latitude de Rhodes, 36°). Ainsi de suite, les calculs des ascensions des signes et des lignes d'heures. Ce dernier problème n'apparaît pas dans la version que nous avons lue du Planisphère, mais O. Neugebauer suppose que cette version est incomplète, car Ptolémée a effectivement étudié cette question d'après un témoignage de Philopon (A History of Ancient Mathematical Astronomy, vol. II, pp. 871–2). Bien sûr tous ces problèmes étaient classiques dans le domaine des études sur l'astrolabe, mais la question des sources d'al-Farghānī se pose clairement et n'a pas encore été traitée, à notre connaissance.
65 Comme nous l'avons dit (voir supra, p. 153, notes 48 et 49), al-Farghānī ne parle pas de projection, n'emploie pas le mot qui sera reconnu ensuite, al-tasṭīḥ. Mais l'usage systématique qu'il fait du mouvement d'une droite passant par un point fixe et décrivant la circonférence d'un cercle pour engendrer une surface conique, marque sa volonté de traiter géométriquement et rigoureusement la projection qui devient ici un concept, même s'il ne peut pas encore la nommer, même si elle n'est pas encore constituée comme objet.
66 L'édition, la traduction et le commentaire de ces deux textes ont été publiés par R. Rashed, dans Géométrie et dioptrique au X esiècle, pp. CIII–CXXII, pp. 65–82 et pp. 190–230, et repris avec une traduction anglaise au chapitre VI: Conical and Cylindrical Projections, and Astrolabes, de Geometry and Dioptrics, pp. 849–973; on trouvera un commentaire complémentaire dans Abgrall, P., “La géométrie de l'astrolabe au Xe siècle”, Arabic Sciences and Philosophy, 10.1 (2000): 29–76.
67 Rashed, Géométrie et dioptrique au X esiècle, p. 191.
68 Ibid., p. 192.
69 Toute la partie que nous venons de décrire sera amplement commentée par Ibn Sahl, qui donnera notamment une classification de toutes les projections possibles, sous la forme d'un arbre (Abgrall, “La géométrie de l'astrolabe au Xe siècle”, pp. 74–5).
70 R. Rashed, Géométrie et dioptrique au X esiècle, pp. 192–3.
71 Les Coniques, I, 5 (Apollonius de Perge Coniques, t. 1.1, texte arabe par R. Rashed, pp. 270–5; t. 1.2, texte grec par M. Decorps-Foulquier et M. Federspiel, pp. 20–5). On trouve la même référence à Apollonius, dans un autre texte consacré à l'astrolabe et attribué à Ibn Sinān. Ibrāhīm ibn Sinān, mort en 946, est le petit-fils de Thābit ibn Qurra (voir sa notice biographique et son autobiographie dans Rashed, R. et Bellosta, H., Ibrāhīm ibn Sinān, Logique et géométrie au Xe siècle [Leyde, 2000], pp. 1–19). A. Saidan a publié en arabe ce texte intitulé: Risālat Ibrāhīm ibn Sinān ilā Abī Yūsuf al-Ḥasan ibn Isrāʾīl fī al-asṭurlāb, titre que l'on peut traduire par: Épître d'Ibrāhīm ibn Sinān à Abū Yūsuf al-Ḥasan ibn Isrāʾīl - Sur l'astrolabe, dans Rasāʾil Ibn Sinān (Koweit, 1983), pp. 309–17. La question de l'authenticité de ce texte se pose car il n'est signalé par aucun biobibliographe ancien (Rashed, Les mathématiques infinité simales du IX eau XI esiècle, vol. I, p. 677). Ce texte, que l'on ne peut situer avec certitude, contient une citation du début du Planisphère de Ptolémée (Rasāʾil Ibn Sinān, p. 312). Si l'on compare ce passage à celui du texte de Ptolémée tel qu'édité par N. Sidoli et J. L. Berggren (“The Arabic version of Ptolemy's Planisphere”, p. 55), les différences sont nombreuses, et il est difficile de conclure. Certaines phrases sont identiques, d'autres ont le même sens, mais écrites différemment et ordonnées différemment, laissant supposer qu'il pourrait s'agir d'une autre version du même texte. P. Kunitzsch explique ces différences par le fait que l'auteur cite Ptolémée de mémoire (“The role of al-Andalus in the transmission of Ptolemy's Planisphaerium and Almagest”, p. 152). L'auteur de ce texte donne également les noms de Pappus, qui a rédigé un commentaire au Planisphère (ibid., p. 152), et al-Farghānī. Il démontre la propriété selon laquelle les cercles de la sphère sont projetés selon des cercles sur un plan perpendiculaire à l'axe de la sphère, ici tangent à la sphère comme dans l'ouvrage d'al-Farghānī, et renvoie explicitement au livre I des Coniques d'Apollonius (Saidan, Rasāʾil Ibn Sinān, p. 312). En fait, sa démonstration est moins générale que celle d'al-Qūhī, car il la rédige dans le cas de l'écliptique, qu'il généralise ensuite en se contentant d'affirmer que ce qui vient d'être fait pour l'écliptique, peut s'appliquer aux autres cercles.
72 Rashed, Géométrie et dioptrique au X esiècle, p. 194.
73 Cf. supra, p. 140.
74 Al-Qūhī définit au début du chapitre: “les cercles, les lignes et les points qui sont sur la sphère, sont appelés les homologues (naẓāʾir) des cercles, lignes et points qui sont sur cette surface [de l'astrolabe], les uns par rapport aux autres.” (p. 194.) On peut relever qu'il emploie ce terme “dans le sens inverse” de Ptolémée (voir supra, pp. 140–1, n. 17 et 18), l'objet de la sphère est l'homologue de son projeté sur le plan. Notons tout de même une exception, car une seule fois, il désigne par homologues les projetés de trois points (Abgrall, “La géométrie de l'astrolabe au Xe siècle”, p. 40, note 114).
75 Rashed, Géométrie et dioptrique au X esiècle, p. CXIII et Geometry and Dioptrics, p. 860.
76 Le livre II présente une importante lacune qui nous prive des chapitres 3, 4 et 5 (Rashed, Géométrie et dioptrique au X esiècle, p. CXXXVIII et Geometry and Dioptrics, p. 861).
77 On peut comprendre ici le sens que l'auteur a donné au mot homologue (voir supra, p. 164 et note 74).
78 Voir le détail de l'analyse de tous ces problèmes dans Abgrall, “La géométrie de l'astrolabe au Xe siècle”, pp. 46–71.
79 Dans ces ouvrages intitulés: La projection plane des figures <des constellations> et des sphères et De toutes les méthodes possibles pour la construction de l'astrolabe, al-Bīrūnī fait état des projections connues à son époque (Rashed et Abgrall, “Les traditions des coniques et le début de la recherche sur les projections”, pp. 490–3).
80 Ibid., pp. 526–33.
81 Rashed, Les mathématiques infinitésimales du IX eau XI esiècle, vol. I, pp. 458–673; en particulier p. 458, le commentaire de la proposition 7 p. 463 et celui de la proposition 10 pp. 464–5.
82 Rashed, R., Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle, vol. IV: Méthodes géométriques, transformations pontuelles et philosophie des mathématiques (Londres, 2002), pp. 1–4.
83 Ibid., pp. 4–11 (particulièrement p. 5), pp. 14–24 (étude de l'homothétie comme transformation ponctuelle), et pp. 393–583 (le commentaire, l'édition et la traduction de son ouvrage Sur les connus, et plus particulièrement l'introduction d'Ibn al-Haytham, pp. 444–88).

References: § 19
 § 14
 § 16
 § 19
 § 1
 § 20
 § 4
 § 16
 § 15
 § 20
 § 16
 § 16
 § 16
 § 2
 § 3
 § 15
 § 15
 § 1
 § 16
 § 19
 § 1