Source: https://de.scribd.com/document/306771953/Geometria-Analitica-por-Mendia-Betelu-Alonso
Timestamp: 2019-12-14 04:08:21+00:00

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Geometría Analítica por Mendia Betelu, Alonso | Plano (Geometría) | Geometría
Es un pequeo PDF que trata sobre la Geometrpia Analítica, en sus diversos temas, los inciales, LA RECTA, etc. Sus autores son docentes e alumnos, entre los mas destacados se encuentra a Mendia Betelu y Alonso
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7_EJEMPLO_4-CURVATURA[1].pdf
6. CortesA
formulas_geomtrías_metrica
ARM1J0499Y
Mster de Formacin del Profesorado de Educacin Secundaria Obligatoria
y Bachillerato, Formacin Profesional y Enseanza de Idiomas
mbito Matemticas
Enseanza de las cnicas y los
lugares geomtricos en 1 de
Miguel Mendia Betelu
Introduccin general ...................................................................................................... 9
Parte I: Los lugares geomtricos y las cnicas en el currculo vigente y en los libros
de texto ........................................................................................................................... 11
Lugares geomtricos y cnicas en el currculo vigente .................... 15
Contenidos en primaria: ................................................................................... 16
Contenidos en E.S.O.: ...................................................................................... 17
Contenidos en Bachillerato: ............................................................................. 19
Criterios de evaluacin de lugares geomtricos y cnicas en el
currculo vigente ........................................................................................................... 21
Criterios de evaluacin en primaria: ................................................................ 21
Criterios de evaluacin en E.S.O.: ................................................................... 22
Criterios de evaluacin en Bachillerato: .......................................................... 25
Ejercicios, problemas y cuestiones tipo sobre lugares geomtricos y
cnicas en los libros de texto ........................................................................................ 27
Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 3 ESO ......................................... 27
Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 4 ESO ......................................... 29
Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 1 Bachiller Ciencias ................... 31
Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 2 Bachiller Ciencias ................... 35
Resultados ............................................................................................ 39
Ausencias y presencias en el currculo y en los libros de texto ....................... 39
Coherencia de los libros de texto en relacin con el currculo ........................ 42
Parte II: Anlisis de un proceso de estudio de los lugares geomtricos y las cnicas
en 1 Bachillerato .......................................................................................................... 45
Lugares geomtricos y cnicas en el libro de texto de referencia ... 49
Objetos matemticos involucrados .................................................................. 49
Anlisis global de la unidad didctica ............................................................. 51
Otros aspectos relevantes ................................................................................. 59
Dificultades y errores previsibles en el aprendizaje de la unidad
Dificultades ...................................................................................................... 61
Errores y su posible origen .............................................................................. 62
El proceso de estudio .......................................................................... 63
Distribucin del tiempo de la clase .................................................................. 63
Actividades adicionales planificadas ............................................................... 67
La tarea: actividad autnoma del alumno prevista .......................................... 72
Experimentacin ................................................................................. 73
Mtodo ............................................................................................................. 73
Muestra y diseo de la experimentacin.......................................................... 74
El cuestionario ................................................................................................. 74
Cuestiones y comportamientos esperados ....................................................... 75
Resultados ........................................................................................................ 77
Discusin de los resultados .............................................................................. 81
Sntesis, conclusiones y cuestiones abiertas ...................................... 83
Breve sntesis ................................................................................................... 83
Conclusiones generales del trabajo .................................................................. 83
Cuestiones abiertas .......................................................................................... 84
Referencias .................................................................................................................... 85
Anexos ............................................................................................................................ 87
A. Unidad didctica del libro de texto ........................................................................ 89
B. Transparencias utilizadas durante las clases ...................................................... 115
C. Prueba corta para evaluar la comprensin por parte de los alumnos de la
nocin de lugar geomtrico ........................................................................................ 157
Tabla 1: Contenidos en primaria relacionados con los descriptores de cnicas y lugares
geomtricos ..................................................................................................................... 16
Tabla 2: Contenidos en el primer ciclo de E.S.O. relacionados con los descriptores de
cnicas y lugares geomtricos ........................................................................................ 17
Tabla 3: Contenidos en el segundo ciclo de E.S.O. relacionados con los descriptores de
cnicas y lugares geomtricos ........................................................................................ 18
Tabla 4: Contenidos en Bachillerato relacionados con los descriptores de cnicas y
lugares geomtricos ........................................................................................................ 19
Tabla 5: Criterios de evaluacin en el tercer ciclo de primaria relacionados con los
descriptores de cnicas y lugares geomtricos ............................................................... 21
Tabla 6: Criterios de evaluacin en el primer ciclo de la E.S.O. relacionados con los
descriptores de cnicas y lugares geomtricos (Sigue) .................................................. 22
Tabla 7: Criterios de evaluacin en el tercer ciclo de primaria relacionados con los
descriptores de cnicas y lugares geomtricos (Cont.)................................................... 23
Tabla 8: Criterios de evaluacin en el segundo ciclo de E.S.O. relacionados con los
descriptores de cnicas y lugares geomtricos ............................................................... 24
Tabla 9: Criterios de evaluacin en Bachillerato relacionados con los descriptores de
cnicas y lugares geomtricos (Sigue) ........................................................................... 25
Tabla 10: Criterios de evaluacin en Bachillerato relacionados con los descriptores de
cnicas y lugares geomtricos (Cont.)............................................................................ 26
Tabla 11: Temas del libro de texto relacionados en 3 de E.S.O. con los descriptores
analizados ....................................................................................................................... 40
Tabla 12: Temas del libro de texto relacionados en 4 de E.S.O. con los descriptores
Tabla 13: Temas del libro de texto relacionados en 1 Bachillerato con los descriptores
analizados ....................................................................................................................... 41
Tabla 14: Temas del libro de texto relacionados en 2 Bachillerato con los descriptores
Tabla 15: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin. Parte
del lenguaje. .................................................................................................................... 49
Tabla 16: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin. Parte
de las situaciones. ........................................................................................................... 50
Tabla 17: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin. Parte
de los conceptos. ............................................................................................................. 50
Tabla 18: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin:
procedimientos ............................................................................................................... 50
Tabla 19: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin:
propiedades ..................................................................................................................... 51
Tabla 20: Organizacin de la sesin 1 ............................................................................ 64
Tabla 21: Organizacin de la sesin 2 ............................................................................ 64
Tabla 22: Organizacin de la sesin 3 ............................................................................ 65
Tabla 23: Organizacin de la sesin 4 ............................................................................ 65
Tabla 24: Organizacin de la sesin 5 ............................................................................ 65
Tabla 25: Organizacin de la sesin 6 ............................................................................ 66
Tabla 26: Organizacin de la sesin 7 ............................................................................ 66
Tabla 27: Organizacin de la sesin 8 ............................................................................ 66
Tabla 28: Organizacin de la sesin 9 ............................................................................ 67
Tabla 29: Organizacin de la sesin 10 .......................................................................... 67
Tabla 30: Organizacin de las sesiones 11 y 12 ............................................................. 67
Enseanza de las cnicas y los lugares geomtricos en 1 de bachiller
Tabla 31: Tarea prevista del alumno con cada sesin. ................................................... 72
Figura 1: Primera pgina del tema en el libro ................................................................ 52
Figura 2: Definicin de lugar geomtrico en el libro de texto ....................................... 52
Figura 3: Dibujos auxiliares que figuran en el margen. ................................................. 53
Figura 4: Recordatorios presentes por el libro de texto .................................................. 53
Figura 5: Definicin de circunferencia en el libro de texto ............................................ 54
Figura 6: Representacin y ecuaciones de la circunferencia presentes en el libro de texto
Figura 7: Definicin de circunferencia usando la nocin de lugar geomtrico .............. 54
Figura 8: Resolucin de una circunferencia empleando las frmulas del libro.............. 55
Figura 9: Ejemplo y actividades relativas a la circunferencia en el libro de texto ......... 55
Figura 10: Referencias a la red presentes en el libro de texto ........................................ 56
Figura 11: La elipse del jardinero. La elipse es una cnica. Ilustraciones del libro de
texto. ............................................................................................................................... 56
Figura 12: Encabezado de la seccin de ejercicios......................................................... 57
Figura 13: Ejercicio de ejemplo...................................................................................... 58
Figura 14: Formato del encabezado de la ltima pgina del tema del libro de texto. .... 58
Figura 15: Extracto del libro de texto ............................................................................. 61
Figura 16: Copia de pantalla de un applet de Geogebra relativo a la hiprbola ............. 68
Figura 17: Cono de apolonio en la pelcula de gora .................................................... 69
Figura 18: Fotocopia con las ecuaciones reducidas de la elipse y la hiprbola
proporcionada a los alumnos .......................................................................................... 71
Figura 19: Examen de lugares geomtricos y cnicas propuesto en 1 Bachillerato ..... 75
Figura 20: Histograma de las notas de los alumnos en el examen ................................. 78
Figura 21: Respuesta de los alumnos a las variables de estudio V01 y V02 .................. 79
Figura 22: Respuesta de los alumnos a las variables de estudio V03, V04 y V05 ......... 79
Figura 23: Respuesta de los alumnos a las variables V06, V07 y V08 .......................... 80
Figura 24: Respuesta de los alumnos a las variables V09, V10 y V11 .......................... 80
Figura 25: Grfico que muestra la respuesta porcentual de la clase a todas las variables
Este Trabajo Fin de Mster tiene como objetivo estudiar la actuacin
docente en la didctica de las cnicas y los lugares geomtricos en 1
El trabajo se estructura en dos partes. En la primera parte se realiza un
estudio longitudinal del currculo y en los libros de texto en el tercer
ciclo de Primaria, en ESO y en Bachillerato con relacin al tema
En la segunda parte se propone un proceso de estudio sobre los lugares
geomtricos y las cnicas, que se ha puesto en marcha en un aula de 1
de bachiller en el marco del Practicum II del Mster. Los resultados
extrados de esta experimentacin se fundamentan en un cuestionario
construido ad hoc, teniendo en cuenta asimismo las restricciones
El trabajo concluye con una sntesis, unas conclusiones y unas
Parte I: Los lugares geomtricos y las cnicas en
el currculo vigente y en los libros de texto
En esta primera parte del Trabajo Fin de Mster se analiza cmo se
aborda el tratamiento de los lugares geomtricos y las cnicas en el
currculo y en los libros de texto en el tercer ciclo de Primaria, en
ESO y en Bachillerato.
El anlisis de divide en cuatro captulos. En el primer y segundo
captulo se muestran en forma de tabla los contenidos y criterios de
evaluacin del currculo vigente que hacen referencia a los lugares
geomtricos y las cnicas en cada uno de los grados. En el tercero
se presentan ejemplos de las actividades (ejercicios, problemas,
cuestiones y situaciones) tipo propuestas en un libro de texto de 1
de bachiller, as como en dos cursos anteriores y dos posteriores.
Las conclusiones que se extraen del anlisis comparativo de los
contenidos de ambas fuentes (currculo y libro de texto) se exponen
en el cuarto captulo. El objetivo aqu es valorar la coherencia de los
manuales con relacin al currculo vigente y resaltar las presencias o
ausencias de conocimientos matemticos relativos al tema objeto de
Captulo 1: Lugares geomtricos y cnicas en el currculo vigente
En este primer va a analizarse el contenido de lugares geomtricos y cnicas que hay en
el currculo oficial para educacin Primaria, Secundaria y bachillerato.
Estos contenidos aparecen recogidos en los siguientes Boletines Oficiales del Estado:
Educacin Primaria: B.O.E. nmero 293, concretamente el Real Decreto
1513/2006.
Educacin Secundaria Obligatoria: B.O.E. nmero 5, Real Decreto 1631/2006.
Bachillerato: B.O.E. nmero 266, Real Decreto 1467/2007.
Para facilitar la comprensin y anlisis se han agrupado los contenidos en tres grupos:
Educacin Primaria, Secundaria y Bachiller.
Dado la especificidad del tema tratado y el curso en el que seda, cobra especial
importancia una adecuada eleccin de una serie de descriptores que permitan al lector
hacer un anlisis ms efectivo de la presencia en el currculo de contenidos matemticos
relacionados con los lugares geomtricos y las cnicas. As pues se han escogido los
siguientes descriptores:
Distancias, paralelismo, perpendicularidad: son necesarias estas nociones como
tales para poder llegar a los lugares geomtricos.
La circunferencia y las cnicas: la circunferencia es la cnica ms utilizada y se
introduce en cursos muy tempranos.
Lugares geomtricos. Propiedades geomtricas: el descriptor al que ms
atencin se va a prestar.
Se consider la posibilidad de considerar otros descriptores tales como el uso de
tecnologas, la resolucin de problemas, la parametrizacin algebraica y la
representacin grfica, que inevitablemente aparecen en la didctica de las cnicas. Sin
embargo, dicho anlisis desech por el riesgo de enmaraar el estudio de las cnicas y
su sentido geomtrico como tal.
A partir del 4 curso de la E.S.O. este anlisis slo se efectuar sobre la modalidad A de
4 de E.S.O. y las asignaturas de Matemticas I y Matemticas II dentro del programa
de Bachillerato de Ciencias y Tecnologa. La geometra desaparece de los contenidos de
las matemticas aplicadas a las ciencias sociales casi por completo. La nica referencia
a la misma viene dada mediante la interpretacin geomtrica de la pendiente.
1.1. Contenidos en primaria:
Distancias, paralelismo y Bloque 3. Geometra
La situacin en el plano y en el espacio, distancias,
ngulos y giros.
Sistema de coordenadas cartesianas. Descripcin
de posiciones y movimientos por medio de
coordenadas, distancias, ngulos, giros...
Circunferencia. Cnicas
Formacin de figuras planas y cuerpos
geomtricos a partir de otras por composicin y
Inters por la precisin en la descripcin y
representacin de formas geomtricas.
geomtricos. Bloque 3. Geometra
Regularidades y simetras.
1.2. Contenidos en E.S.O.:
Bloque 4. Geometra.
perpendicularidad. Elementos bsicos para la descripcin Utilizacin
de las figuras geomtricas en el plano. teoremas de Tales y
Pitgoras para obtener
Utilizacin de la terminologa medidas y comprobar
adecuada para describir con precisin relaciones entre figuras.
situaciones, formas, propiedades y
configuraciones del mundo fsico.
Anlisis de relaciones y propiedades la estimacin y el clculo
de figuras en el plano: paralelismo y de longitudes, superficies
de y volmenes.
mtodos inductivos y deductivos para
analizar relaciones y propiedades en el
plano. Construcciones geomtricas
sencillas: mediatriz, bisectriz.
Polgonos regulares. La circunferencia Poliedros y cuerpos de
con los instrumentos de dibujo
Elementos bsicos para la descripcin
de las figuras geomtricas en el plano.
Utilizacin de la terminologa
adecuada para describir con precisin
configuraciones el mundo fsico.
relaciones para resolver
Anlisis de relaciones y propiedades
de figuras en el plano: paralelismo y
cnicas y lugares geomtricos
teoremas de Tales y
y del medio fsico.
4 E.S.O. - A
4 E.S.O. - B
tringulos y el
Pitgoras para la
obtencin indirecta
geomtricos a la
mtricos en el
mundo fsico:
frecuentes en la volmenes.
Poliedros y cuerpos de
4. --Geometra.
figuras a partir de Resolucin
Curiosidad e inters vida cotidiana.
por investigar sobre
Utilizacin de otros
geomtricos en la
medida y clculo
reas, volmenes,
1.3. Contenidos en Bachillerato:
2. Geometra:
recta. Ecuaciones de la recta y el
Posiciones relativas de rectas.
plano en el espacio.
ngulos. Resolucin de problemas
de posiciones relativas.
mtricos relacionados con
el clculo de ngulos,
Idea de lugar geomtrico en el
plano. Cnicas.
Lugares geomtricos. 2. Geometra:
Idea de lugar geomtrico en el Ecuaciones de la recta y el
Tabla 4: Contenidos en Bachillerato relacionados con los descriptores de cnicas y lugares
Captulo 2: Criterios de evaluacin de lugares geomtricos y cnicas en
el currculo vigente
En el captulo segundo de esta primera parte se recogen los criterios de evaluacin que
figuran para el tema de lugares geomtricos y cnicas para los descriptores
seleccionados. Nuevamente han sido extrados de los Reales Decretos 1513/2006,
1631/2006 y 1467/2007.
2.1. Criterios de evaluacin en primaria:
Distancias, paralelismo y 5. Utilizar las nociones geomtricas de paralelismo,
perpendicularidad, simetra, permetro y superficie para
describir y comprender situaciones de la vida cotidiana.
En este criterio es importante detectar que los estudiantes
han aprendido estas nociones y saben utilizar los trminos
correspondientes para dar y pedir informacin. Se
evaluar si dichos contenidos son utilizados con
propiedad para comprender y emitir informaciones
diversas, en particular si son utilizados en la resolucin de
problemas geomtricos del entorno.
--Lugares
geomtricos. 6. Interpretar una representacin espacial (croquis de un
itinerario, plano de casas y maquetas) realizada a partir de
un sistema de referencia y de objetos o situaciones
Este criterio pretende evaluar el desarrollo de capacidades
espaciales en relacin con puntos de referencia,
distancias, desplazamientos y, en ciertos casos, ejes de
coordenadas, mediante representaciones de espacios
descriptores de cnicas y lugares geomtricos
2.2. Criterios de evaluacin en E.S.O.:
5. Estimar y calcular permetros,
y reas y ngulos de figuras
planas, utilizando la unidad de
4. Estimar y calcular
volmenes de espacios y
objetos con una precisin
acorde con la situacin
planteada y comprender los
expresando resultado de la
estimacin o el clculo en
la unidad de medida ms
Se pretende valorar la capacidad
de estimar algunas medidas de
figuras planas por diferentes
mtodos y de emplear la unidad
y precisin ms adecuada. Se
valorar tambin el empleo de
mtodos de descomposicin por
medio de figuras elementales Mediante este criterio se
para el clculo de reas de valora la capacidad para
figuras planas del entorno.
comprender y diferenciar
los conceptos de longitud,
superficie y volumen y
adecuada para cada uno de
comprobar, adems, si se
para estimar el tamao de
los objetos. Ms all de la
habilidad para memorizar
frmulas y aplicarlas, este
criterio pretende valorar el
grado de profundidad en la
conceptos implicados en el
proceso y la diversidad de
mtodos que se es capaz de
descriptores de cnicas y lugares geomtricos (Sigue)
4. Reconocer y describir figuras
planas, utilizar sus propiedades
para clasificarlas y aplicar el
adquirido para interpretar y
describir el mundo fsico,
haciendo uso de la terminologa
Se pretende comprobar la
capacidad de utilizar los
Se pretende evaluar tambin la
experiencia adquirida en la
Lugares geomtricos. 4. Reconocer y describir figuras
descriptores de cnicas y lugares geomtricos (Cont.)
y transformaciones que llevan de instrumentos,
perpendicularidad. una figura geomtrica a otra frmulas y tcnicas
mediante los movimientos en apropiadas
dichos directas e indirectas
movimientos para crear sus en
composiciones y analizar,
geomtrico, diseos cotidianos, comprobar
obras de arte y configuraciones desarrollo
Con este criterio se pretende magnitudes
valorar la comprensin de los desconocidas
movimientos en el plano, para partir de otras
que puedan ser utilizados como conocidas, utilizar
un recurso ms de anlisis en los instrumentos de
una formacin natural o en una medida
El disponibles,
los aplicar las frmulas
movimientos lleva consigo la apropiadas
identificacin de sus elementos desarrollar las
de tcnicas y destrezas
simetra, centro y amplitud de adecuadas
giro, etc. Igualmente los realizar la medicin
se Propuesta.
propiedades, no por su
Se trata de evaluar, adems, la
creatividad y capacidad para
manipular objetos y componer
movimientos para generar
desconocidas a
las tcnicas y
2.3. Criterios de evaluacin en Bachillerato:
3. Transcribir situaciones de la
y geometra a un lenguaje
vectorial en dos dimensiones y
utilizar las operaciones con
vectores para resolver los
problemas extrados de ellas,
dando una interpretacin de las
3. Transcribir problemas
reales a un lenguaje grfico
conceptos, propiedades y
especficas en cada caso
para resolverlos y dar una
La finalidad de este criterio es ajustada al contexto.
utilizar el lenguaje vectorial y Este criterio
las tcnicas apropiadas en cada evaluar la capacidad de
caso, como instrumento para la representar un problema en
interpretacin de fenmenos lenguaje algebraico
diversos. Se pretende valorar grfico
especialmente la capacidad para aplicando procedimientos
transformaciones adecuados e interpretar
objetos crticamente la solucin
geomtricos en el plano.
obtenida. Se trata de
elegir y emplear las
herramientas adquiridas en
anlisis y combinarlas
cnicas y lugares geomtricos (Sigue)
Lugares geomtricos. 2. Transferir una situacin real a
una esquematizacin
geomtrica y aplicar las
diferentes tcnicas de resolucin
de tringulos para enunciar
conclusiones, valorndolas e
interpretndolas en su contexto
real; as como, identificar las
algunos lugares geomtricos del
plano, analizar sus propiedades
mtricas y construirlos a partir
Se pretende evaluar la capacidad
geomtricamente una situacin
planteada, eligiendo y aplicando
adecuadamente las definiciones
y transformaciones geomtricas
que permitan interpretar las
soluciones encontradas; en
especial, la capacidad para
geomtrico las representaciones
simblicas o grficas auxiliares
como paso previo al clculo.
comprobar la adquisicin de las
capacidades necesarias en la
utilizacin de tcnicas propias
de la geometra analtica para
aplicarlas al estudio de las
ecuaciones reducidas de las
cnicas y de otros lugares
geomtricos sencillos.
cnicas y lugares geomtricos (Cont.)
Captulo 3: Ejercicios, problemas y cuestiones tipo sobre lugares
geomtricos y cnicas en los libros de texto
Este captulo contiene un anlisis de los ejercicios, problemas y cuestiones presentes en
los libros de texto que se usan a diario en el centro en el que el desarroll mi prctica
docente. Los cursos analizados son los dos cursos del segundo ciclo de la ESO y los dos
de Bachillerato, dentro de la modalidad de ciencias, dado que en las matemticas
aplicadas a las ciencias sociales no figuran las cnicas ni los lugares geomtricos en
Como el tema tratado no se da como tal hasta 1 de bachiller, la seleccin de ejercicios,
problemas y cuestiones tipo realizada se ha hecho por los diversos temas que tratan los
descriptores analizados en los dos captulos precedentes. Para facilitar su bsqueda al
lector se detalla con sub-sub-secciones el tema del cual ha sido extrado el
ejercicio/problema/cuestin en cuestin, valga la redundancia.
En 4 E.S.O. slo se analiza la opcin A. Y en el bachiller slo se analizan libros de la
opcin de ciencias.
3.1. Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 3 ESO
Los siguientes ejercicios estn seleccionados de los temas 8 y 9 del libro de
Matemticas 3 E.S.O. de la editorial McGraw Hill.
Aunque los temas dedicados a la geometra son el 9, 10 y el 11, que son geometra en el
plano, movimientos en el plano y cuerpos geomtricos respectivamente, un ejercicio se
ha tomado del captulo 8, funciones lineales y el resto del 9.
3.1.1. Extrados del tema 8: funciones lineales
Descripcin: Aunque este ejercicio no sea ni de cnicas ni de lugares geomtricos, es
uno de los primeros que se plantea a los estudiantes que requiere, por llamarlo de
alguna manera, entendimiento geomtrico. Para resolverlo no es preciso resolver (a
estas alturas ya de manera mecnica) el sistema de ecuaciones, sino que puede hacerse
previo entendimiento de la relacin de la recta en el plano con su pendiente y su
3.1.2. Extrados del tema 9: geometra en el plano
Descripcin: Este es un ejercicio muy sencillo en el que se aplica el teorema de
Pitgoras. Sin embargo no basta con sustituir en la frmula, sino que hay que razonar
un poco a partir de la misma.
Descripcin: Aunque no lo explicita, este es un ejercicio a realizar con regla y comps.
Hacerlo algebraicamente supera con creces el nivel exigido en 3 de E.S.O. Sin
embargo, en este ejercicio aparece de manera natural la idea de circunferencia como
lugar geomtrico mediante la ltima pregunta.
Descripcin: Los puntos notables del tringulo son una manera estupenda de acercase a
los lugares geomtricos pues anan propiedades geomtricas como las distancias con la
sencillez de representacin. Nuevamente se pide una resolucin grfica, con regla y
comps, pero es uno de los pocos ejercicios en los que a estas alturas aparece la nocin
de lugar geomtrico.
3.2. Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 4 ESO
Los ejercicios extrados para el curso de 4 de la E.S.O. opcin A son del libro de
matemticas para dicho curso de la editorial Editex. Contiene 3 temas con contenidos
geomtricos: el tema 8 de reas y volmenes, el tema 9 de trigonometra y el tema 10 de
vectores. Los 5 ejercicios seleccionados son del tema 10. Aunque en el captulo 8 se
trata el teorema de Pitgoras y algunas aplicaciones, no se han considerado tiles sus
ejercicios para con el resto del trabajo.
3.2.1. Extrados del tema 10: vectores
Descripcin: Aunque no se suele considerar como tal, la recta en s misma tambin
puede verse como un lugar geomtrico: pasando por un punto, todos sus puntos estn
alineados. Adems es una de las piezas base en el tema de cnicas y lugares
geomtricos. Este tipo de ejercicios contribuyen a que el alumno se familiarice con las
rectas y sus ecuaciones en el plano.
Descripcin: Toda recta puede determinarse con dos puntos. Suena trivial, y lo es; pero
muchos alumnos calculan 3 ms a la hora de dibujar funciones lineales. Adems este
ejercicio fuerza al alumno a seguir una serie de pasos previos para lograr la resolucin.
Descripcin: Este problema obliga al alumno a usar la nocin de vector director.
Primero para averiguarlo y segundo para deducir una propiedad de las rectas a partir de
Descripcin: Se est pidiendo el punto medio. En realidad, en el plano hay infinitos
puntos medios dados dos puntos A y B (la mediatriz). El alumno, cuando se le pregunta
por primera vez, slo ve el que est alineado. Este es un bonito problema para este
Descripcin: Por fin un problema de letra en el que no se explicita lo que se quiere
preguntar. Y por una ilustracin que se incorpora, esta es ms perjudicial que
aclaratoria. Estn pidiendo una recta paralela y no hace falta una foto, en la que las
proyecciones de las paralelas parece que se cortan en el horizonte, para ilustrarlo.
3.3. Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 1 Bachiller Ciencias
Los siguientes ejercicios, problemas y cuestiones han sido seleccionados del libro de
matemticas de 1 de bachiller de la editorial McGraw Hill. Este es el nico curso (y por
lo tanto libro) en el que los lugares geomtricos y las cnicas son tratados como tal en la
Ms adelante se comentar lo qu es el aprendizaje en espiral y cmo se lleva a cabo en
la prctica. El currculo lo contempla y est patente en muchos libros. En particular en
este tambin, y por eso hay ejercicios, problemas y cuestiones relacionadas con los
lugares geomtricos y las cnicas en otras unidades que se han seleccionado en este
anlisis. En particular se han seleccionado 3 de la unidad 10.
Llama la atencin la poca letra presente en los ejercicios/problemas/cuestiones del
tema. Precisamente los lugares geomtricos estn tremendamente presentes en el mundo
cotidiano y la presencia de problemas contextualizados en el libro de texto en los que el
alumno tenga que buscar matemticas en la realidad sera un aliciente estupendo. Sin
embargo, todos los enunciados buscan o una recta, o un lugar geomtrico dado, o una
3.3.1. Extrados del tema 10: Geometra analtica.
Descripcin: Este problema es muy completo pues requiere conocer qu es un
paralelogramo, manejo de rectas en el plano y comprende bien sus posiciones relativas.
Para resolverlo es preciso que el estudiante lo dibuje, mediante un croquis, en el papel
y fije una serie de pasos para su resolucin. Hasta ahora, siempre que haba
paralelogramos u otras figuras planas se peda el clculo del rea, permetro
mediante el empleo de frmulas. En este caso hay que conocer las propiedades
geomtricas que cumplen sus lados para resolverlo. Plantea un conflicto al alumno.
Descripcin: Ejercicio tipo de posicin relativa entre rectas. A estas alturas es ms que
deseable que el alumno no lo resuelva mediante la resolucin del sistema de
ecuaciones, sino que lo haga previo clculo de la pendiente y la ordenada en el origen y
razonando sobre estas. Un punto positivo de este ejercicio es que salen todos los casos
posibles de posiciones relativas entre rectas en el plano.
Descripcin: Esto ya es un problema en condiciones que requiere saber qu es un
cuadrado, reconocer sus elementos, el empleo de distancias y la manipulacin
algebraica de todos estos conceptos. Es quizs un problema demasiado exigente para
dentro de la unidad de geometra analtica, aunque al mismo tiempo una manera
estupenda de entrar al tema de lugares geomtricos. Aunque el enunciado es bastante
explcito, el alumno tiene que leerlo con cuidado e interpretarlo adecuadamente.
3.3.2. Extrados del tema 11: Lugares geomtricos. Cnicas
Descripcin: Podra dudarse en clasificar est problema como ejercicio o no. La
experiencia demuestra que es un problema en toda regla. El alumno tiene que aplicar y
generalizar el concepto de distancia punto-punto y el de distancia punto-recta. Saber
hacer esto algebraicamente es la base para poder resolver matemticamente problemas
de lugares geomtricos. Conviene dar la ecuacin general de la recta (como es el caso)
porque no hacerlo es una variable didctica considerable.
Descripcin: A pesar de que el resultado sea tangente, esto es lo que menos interesa de
esta cuestin. Aqu se plantea al alumno pensar, y no slo una forma de resolverlo sino
dos. Que el alumno se enfrente y entienda este problema es muy positivo.
Descripcin: Ejercicio tipo de emplear la ecuacin cannica de la elipse. No es preciso
entender qu es un lugar geomtrico para su resolucin. Tan slo requiere conocer las
frmulas y un manejo algebraico bsico.
Descripcin: Este es un problema que aunque a priori pueda resultar fcil, su
resolucin puede resultar muy pesada en una clase de 1 de bachiller. Conviene
resolverlo antes de llevarlo a clase y de todas formas puede liar ms que ayudar. Si se
quiere hacer problemas de posiciones relativas de rectas y otras relaciones en el plano,
mejor que sean con circunferencias, que ayudan al alumno a entender mejor qu es un
lugar geomtrico en vez de confundirle con manipulaciones algebraicas,
discriminantes,
3.4. Ejercicios, problemas y cuestiones tipo en 2 Bachiller Ciencias
Los ejercicios de 2 de Bachillerato han sido extrados del libro de matemticas de la
editorial Edeb. Dicho libro dedica 5 temas a la geometra; 2 de ellos a los vectores en
el espacio, uno a la geometra afn, otro a la geometra mtrica y un ltimo tema de
curvas y superficies que en opinin del autor se va un poco de los objetivos. Los
ejercicios/problemas/cuestiones han sido extrados de estos tres ltimos temas.
En este libro no se vuelve a hacer mencin explcita de lo qu es un lugar geomtrico.
Tampoco hay ni rastro de cnicas entendindolas como lugares geomtricos.
3.4.1. Extrados del tema 6: geometra afn
Descripcin: Ejercicio tipo de 2 de bachiller. Dos posibles vas de resolucin. Una
primera sera tratar de resolver el sistema para lo que no hara falta el empleo de la
geometra como tal. La otra va, la deseable, consiste en hacerlo matricialmente,
entendiendo la recta como interseccin de dos planos, su vector director Supone un
escaln superior tras la resolucin de este mismo tipo de ejercicios en el plano.
Descripcin: Otro ejercicio similar. En cierto modo, lograr una buena comprensin de
los lugares geomtricos en 1 de bachiller puede hacer al alumno afrontar estos
problemas con una mayor tranquilidad.
3.4.2. Extrados del tema 7: geometra mtrica
Descripcin: Si en 1 se calculaba la distancia punto-recta ahora se pasa a la distancia
punto-plano. Adems luego se pide un plano paralelo, es decir, un lugar geomtrico.
Este es un buen problema.
Descripcin: Aqu no vale con resolver el sistema de ecuaciones, hay que dar un paso
ms. Este es un buen ejercicio en el que el alumno se enfrenta a las rectas dadas de
diversas formas y en el que tiene que seguir un mismo patrn de razonamiento para
Descripcin: Lugar geomtrico como tal. Se poda preguntar de otra manera evitando
decir que salen dos planos como solucin. Es un muy buen problema aunque no es
posible que los alumnos se enfrenten al mismo porque no es de los problemas tipo que
caen en selectividad. Lo que lo hace interesante es la inclusin de esa 3 dimensin, la
Descripcin: Resolver este problema requiere seguir una serie de pasos que el alumno
tiene que fijar. No tiene mucho de lugares geomtricos pero s de la filosofa que hay
que seguir a la hora de tratar muchos problemas en los que aparecen.
3.4.3. Extrados del tema 8: curvas y superficies
Descripcin: Este es uno de los pocos problemas en los que hay letras, es decir,
parmetros. Sin embargo es de un nivel muy superior al que cabra esperar en bachiller.
Parametrizar la circunferencia es pedir demasiado.
Descripcin: Problema igual a los que haba en el curso anterior. Nuevamente se
cuestiona dnde comienza la importancia geomtrica y termina la algebraica. Nivel
Descripcin: Este ltimo problema est bien, pero es difcil que se vea en un curso
normal de 2 de bachillerato.
En el presente apartado se analizan los tres captulos previos tratados en esta primera
parte del trabajo. Para dicho anlisis, se ha empleado como libro de matemticas de
referencia el siguiente: Elementos de geometra, de G.M. Bruo. La eleccin de este
libro ha sido una recomendacin del Dr. Gustavo Ochoa, director del presente
El libro de referencia es bastante caracterstico. Concretamente la edicin impresa
utilizada data de 1927 y tiene un enfoque orientado a la enseanza secundaria y
preparatoria de aquel entonces. Tiene un enfoque completamente distinto al de los libros
de texto en la forma de mostrar los contenidos.
Este anlisis es muy importante de cara a entender la trasposicin didctica que se
produce, en particular con el tema de lugares geomtricos y cnicas. De ah el contar
tanto con los libros escolares mencionados previamente como con un libro de saber
superior. El captulo tiene dos secciones, la primera trata las ausencias y presencias en
el currculo y en los libros de texto, y la segunda, centrada en la relacin entre los libros
de texto y el currculo.
4.1. Ausencias y presencias en el currculo y en los libros de texto
El aspecto que ms sorprende y dificulta el estudio de la didctica de los lugares
geomtricos y las cnicas es su especificidad. Tan solo se menciona lugar geomtrico en
el currculo en los cursos de 3 de E.S.O. y 1 de bachiller. Adems, en bachiller slo se
estudian en la opcin de ciencias cursada por alumnos que en un futuro encaminarn sus
vidas hacia las ingenieras o hacia la salud. En 4 de la E.S.O. slo se ha analizado la
opcin A. Por eso es muy importante la labor de buscar una serie de descriptores que
recojan nociones previas y relacionadas con la de lugar geomtrico a lo largo del
En relacin a los descriptores, los contenidos y criterios de evaluacin relativos a los
mismos tanto en el currculo como en los libros de texto se presentan en forma de
espiral. Aunque las ausencias comentadas en el prrafo anterior dificultan el
aprendizaje, en general es cierto que para poder adquirir los conocimientos relativos a
un curso se parte de los conocimientos adquiridos el curso anterior dando una vuelta de
tuerca ms. A continuacin se muestra cmo.
En lo relativo a distancias, en el segundo ciclo de la E.S.O. los estudiantes aprenden a
aplicar el teorema de Pitgoras en la resolucin de problemas y a familiarizarse con las
posiciones relativas. Esta base y sobre todo la adquirida en el tema de geometra
analtica plana son fundamentales para poder pasar a este tema. En 2 de bachiller el
manejo de distancias y de relaciones en el espacio aparece en la geometra en el espacio.
Aunque los alumnos conocen la circunferencia, esta slo entra en el temario de 3 de la
E.S.O. junto con los cuerpos de revolucin. Vuelve a entrar en el temario en 1 de
bachiller. La diferencia, en lo que respecta a este descriptor, est entre los alumnos que
cursan dibujo tcnico y los que no lo hacen.
Finalmente, referente a las propiedades geomtricas, estas se tratan en 3 de la E.S.O.,
en 4 el enfoque de la geometra cambia y pasa a centrarse en el clculo de reas,
volmenes, alturas hasta llegar a Bachillerato donde comprender las propiedades
geomtricas, no slo de forma grfica sino algebraica, cobra muchsima importancia.
Para ver esto en los libros de texto se han realizado unas tablas en las que se recogen los
temas relacionados con los descriptores analizados en los distintos libros de texto
8. Funciones lineales:
Obtencin de la ecuacin de una recta
9. Geometra en el plano:
11. Cuerpos geomtricos:
8. reas y volmenes:
10. Vectores:
10. Geometra analtica:
Posicin relativa de rectas
Aplicacin: determinacin de los puntos notables de un tringulo
11. Lugares geomtricos. Cnicas:
Posicin relativa de una recta y una circunferencia. Recta tangente
6. Geometra afn:
7. Geometra mtrica:
Resolucin de problemas mtricos
8. Curvas y superficies:
Curvas en el plano en coordenadas cartesianas
Superficies en el espacio en coordenadas cartesianas
Las diferencias entre el texto de referencia y el libro de texto son considerables. Es ms,
salvo las similitudes matemticas (ambos tratan las mismas nociones), es difcil
encontrar puntos en comn. Con esto no se pretende valorar uno u otro de forma
negativa, simplemente remarcar dos enfoques distintos.
Una de las diferencias principales est en el desarrollo. Al margen de la profundidad
alcanzada por uno u otro texto, el libro de texto parte de la definicin de lugar
geomtrico para luego definir las cuatro cnicas mientras que en el libro de referencia la
nocin de lugar geomtrico es algo anecdtico. No aparece su definicin como tal y las
cnicas se definen como curvas tales que sus puntos cumplen tal o cual propiedad. De
hecho se trata en un primer captulo la circunferencia y en otro aparte, titulado curvas
especiales las otras tres cnicas restantes (sin mencionar la palabra cnica).
El desarrollo del texto de referencia es mucho ms terico. Construye el conocimiento
requerido en cada captulo a base de formular teoremas, corolarios y escolios,
demostrarlos y resolver algn que otro problema, todos ellos, eso s, en funcin de
Sera impensable un enfoque similar en un libro de texto. En este cada tema se
introduce, las definiciones son mnimas y la presencia de teoremas y demostraciones se
reduce al mximo (y no suele darse). Adems hay ejercicios ms sencillos para que el
alumno se familiarice con los conceptos y su aplicacin y finalmente problemas.
Pero sobre todo, la principal diferencia est en el tratamiento. Por ejemplo, en el tema
de circunferencias del texto de referencia se estudia a esta, su centro, el dimetro, los
arcos, posiciones relativas de puntos, rectas y circunferencias con respecto a otra
circunferencia, pero no se hace en el plano cartesiano; es decir, la circunferencia no se
presenta como una relacin en la que aparecen xs, ys y estn igualadas a cero.
Esto me sugiere la siguiente cuestin. Qu tratamiento es ms adecuado usar? Un
tratamiento puramente geomtrico u otro en el que la geometra se mezcla con el
lgebra? Tras haber vivido mi plan de estudios y visto este nuevo creo que en ambos, al
nivel de 1 de bachiller, es ms adecuado el que se plantea en los libros de texto. Sin
duda. No obstante se corre el riesgo de inclinarse demasiado hacia el lgebra y
descuidar la parte geomtrica, aspecto del cual, en mi opinin peca el libro de texto.
Sin haber encontrado similitudes evidentes, este anlisis contrasta un libro con un
enfoque muy matemtico-geomtrico con los libros de texto actuales. La comparacin
no es ni mucho menos odiosa, sino que abre nuevas perspectivas y justifica de manera
adecuada el enfoque visto en los libros de texto normales.
4.2. Coherencia de los libros de texto en relacin con el currculo
Antes de entrar en comparaciones con el currculo, durante la elaboracin de este
trabajo se ojearon varios libros y se lleg a la conclusin de que todos son bastante
similares entre s. Las diferencias principales se encuentran en la distribucin de los
temas, siendo los mismos en un 90%, en el nmero de los ejercicios (no tanto en el
estilo) y sobre todo en la presentacin.
A priori, la coherencia de los mismos con el currculo es clara. A posteriori no tanto.
Por ejemplo, en el libro de 3 de E.S.O. analizado no hay ninguna alusin a la nocin de
lugar geomtrico. Subjetivamente es un libro estupendo en lo referido a presentacin de
contenidos, ejercicios y claridad.
Con el libro 2 de bachiller sucede justamente lo contrario, este trata una serie de
contenidos que estn fuera del currculo.
En el resto de casos la coherencia es clara, lo que era de esperar ya que es el currculo
oficial recogido en los reales decretos el que marca los contenidos mnimos en la E.S.O.
y los contenidos en bachiller. Parte de las diferencias entre libros subyacen en lo que se
conoce como currculo oculto. No es objetivo de este trabajo su anlisis salvo cuando
afecte a la didctica y en el caso concreto del libro de texto seguido durante la estancia.
Otras diferencias se deben a ciertos contenidos adicionales ofrecidos por los libros, que
generalmente se adelantan al currculo sin llegar a profundizar demasiado. En vista a los
mismos es el profesor quien escoge el libro previendo dar dichos contenidos en el curso
por adelantarlos a los estudiantes para otros aos.
Esto no sucede en lo referido a los lugares geomtricos y las cnicas. Como ya se ha
comentado es un tema aislado en 1 de bachiller que requiere un salto de conocimiento
relativamente alto y no presenta una continuidad evidente con el currculo de 2 de
bachiller. Por eso, todo indica a pensar que este es un tema que en muchos centros no se
d, bien por tiempo, bien por avanzar con contenidos que resulten ms necesarios en 2
Parte II: Anlisis de un proceso de estudio de los
Esta segunda parte est nucleada en torno tema impartido durante
las prcticas realizadas durante los meses de abril y mayo del ao
2012 en el colegio San Ignacio (Jesuitas) de Pamplona.
Se va a realizar un anlisis de la docencia del tema de lugares
geomtricos y cnicas en 1 de bachiller. Su desarrollo est
estructurado en 4 captulos. En el primero de ellos se va a analizar el
tema en el libro de texto. En el segundo captulo se resumen las
dificultades y errores previsibles que pueden encontrar los alumnos
al enfrentarse a este tema. El tercer captulo recoge el proceso de
estudio realizado y el cuarto analiza una serie de resultados
obtenidos durante la estancia en el centro.
Finalmente se ha elaborado una breve sntesis, extrado
conclusiones y planteado varias cuestiones abiertas consecuencia
tanto de la experiencia como de su posterior anlisis.
Captulo 5: Lugares geomtricos y cnicas en el libro de texto de
En este captulo va a analizarse el tema 10 del libro de texto de matemticas de 1 de
Bachillerato de la editorial McGraw Hill. El ttulo del tema es Lugares Geomtricos.
Cnicas. Durante las prcticas en el centro este fue el libro de referencia en todo
A la hora de elaborar la primera parte del anlisis del tema en el libro de texto se ha
usado como texto de referencia el artculo Anlisis ontosemitico de una leccin sobre
la suma y la resta, de Juan D. Godino, Vincen Font y Miguel R. Wilhelmi del ao
5.1. Objetos matemticos involucrados
El anlisis de los objetos matemticos involucrados se ha hecho de manera semejante a
la configuracin epistmica emprica presente en la pgina 139 del artculo de
Lugar geomtrico, puntos, propiedad geomtrica, equidistancia, distancia, mediatriz,
segmento, ngulo, bisectriz, recta, plano, expresin matemtica, circunferencia, centro,
radio, ecuacin, posicin relativa, tangente, secante, recta exterior, recta normal,
potencia de un punto respecto de una circunferencia, elipse, focos, constante, ejes,
semi-distancia, cnica, ecuacin reducida o cannica, excentricidad, hiprbola, valor
absoluto, asntota, hiprbola equiltera, ecuacin asinttica, parbola, directriz
Representaciones en ejes cartesianos, dibujos esquemticos (sin letras), proyecciones
de figuras tridimensionales, dibujos instructivos (como trazar una elipse con un hilo,
por ejemplo) No hay ninguna sola foto excepto la de la primera pgina.
1, 1,   + 2 = 0, ,  = , , :  +  1 = 0
 
  +   =   , 5,   =
  ,   = 
 
= 1, | ,  , | = !"#"$, $ > 1,
  
Tabla 15: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin. Parte del
Problemas descontextualizados en los que dadas una ecuacin de algn lugar
geomtrico se pide el clculo de algn elemento del mismo.
geomtrico y alguna condicin adicional se pide determinar otro lugar geomtrico.
Problemas descontextualizados en los que dados una serie de datos relativos al lugar
geomtrico que se explicita, se pide su determinacin algebraica.
Problemas contextualizados en los que el alumno tiene que determinar el lugar
geomtrico sin a priori conocer de cual se trata.
Problemas contextualizados en los que el alumno tiene que idear una serie de pasos
previos a su ejecucin para despus llevarlos a cabo (heurstica).
Tabla 16: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin. Parte de
Posicin relativa entre rectas.
Distancias en el plano entre dos puntos y entre un punto y una recta.
La circunferencia y sus propiedades. El cono.
Coordenadas y grficas cartesianas.
Propiedad geomtrica y lugar geomtrico. Cnicas.
Generalizacin algebraica de la distancia punto-punto y punto-recta.
Posicin relativa entre distintos elementos geomtricos en el plano.
Resolucin sistemas de ecuaciones no lineales.
Relacin matemtica.
Tabla 17: Configuracin epistmica emprica de la adicin y de la sustraccin. Parte de
Descontextualizacin del enunciado del problema
Contextualizacin de enunciados descontextualizados
Encontrar la expresin matemtica de una propiedad geomtrica.
Calcular las ecuaciones de lugares geomtricos en el plano.
Manejo de expresiones no lineales: circunferencia, parbola.
Comprobar si un punto pertenece a un lugar geomtrico.
Determinar la posicin relativa entre distintos elementos geomtricos: recta con cnicas.
Obtencin de rectas que satisfagan determinadas condiciones.
Obtencin de circunferencias que satisfagan determinadas condiciones.
Reconocimiento de los elementos caractersticos de las distintas cnicas.
Representar grficamente un lugar geomtrico segn su expresin matemtica.
Un lugar geomtrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad
(geomtrica).
Descrita la propiedad hay que encontrar su expresin matemtica.
La circunferencia, la elipse, la parbola y la hiprbola son lugares geomtricos.
Tambin reciben el nombre de cnicas.
La circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan una
distancia fija llamada radio de un punto fijo llamado centro.
La elipse es
Una recta puede ser exterior, tangente o secante a una circunferencia. (En el plano)
Hay varias formas de determinar una circunferencia. 3 puntos no alineados es una de
La hiprbola y la elipse pueden expresarse con una ecuacin que recibe el nombre de
ecuacin reducida o cannica. Slo vale para ciertos casos.
5.2. Anlisis global de la unidad didctica
A continuacin se presenta un anlisis ms detallado de la unidad didctica, es decir, el
tema de lugares geomtricos y cnicas del libro de texto de matemticas de la editorial
McGraw Hill. Dicho captulo se ha escaneado y se adjunta en el anexo A de este
El tema est estructurado de la siguiente manera:
10 cuestiones bsicas. 2 cuestiones para investigar
Con un rpido vistazo puede apreciarse que todas las unidades comienzan en una pgina
impar en la que hay una imagen a color y contiene los siguientes elementos:
El nmero de la unidad y el ttulo sobreimpresionados en la parte superior.
Los objetivos de la unidad en la parte inferior.
La ilustracin de inicio est y no est relacionada con el tema al mismo tiempo. En el
tema que se trata aparece una llanta de aleacin en el que aparecen circunferencias y
unos huecos con forma de parbola. Sin embargo, no se hace ninguna ilusin a esta
ilustracin al comienzo del tema.
Todas las unidades del libro siguen el mismo esquema y tienen una extensin ms o
menos similar, entre 20 y 30 pginas. Habiendo 20 unidades en total, el libro contiene
421 pginas; un libro bastante contundente. En particular este tema ocupa 24 pginas y
alberga un contenido relativamente denso y nuevo, como se ver ms adelante.
Figura 1: Primera pgina del tema en el libro
En la pgina siguiente se empieza de lleno con el tema: la definicin del lugar
geomtrico. Todas las definiciones clave del tema aparecen en un rectngulo verde,
con la nocin definida en negrita.
Figura 2: Definicin de lugar geomtrico en el libro de texto
Despus se plantean y resuelven dos problemas contextualizados: el clculo de la
mediatriz y de la bisectriz. En el margen de la izquierda se incluyen tanto unos dibujos
orientativos como la solucin al problema que se plantea y resuelve de la mediatriz:
Figura 3: Dibujos auxiliares que figuran en el margen.
Este tipo de dibujos est presente por todo el captulo y son fundamentales para que el
alumno obtenga una referencia visual de lo que est haciendo. Junto con este tipo de
dibujos, los mrgenes tambin estn sazonados con recuerdas, como este acerca del
Figura 4: Recordatorios presentes por el libro de texto
Cuestin aparte de que los alumnos reparen o no en el uso correcto del valor absoluto en
el ejercicio de la bisectriz, recordarlo nunca est de ms y esta es una aportacin
positiva del libro. Podra potenciarse ms referencindola en el propio contenido del
libro en el que aparece una ecuacin con un valor absoluto, pero esto es una opinin
El esquema general del libro, si se tomara una pgina aleatoria, sera como el de la
pgina 209 que trata el punto 11.2: la circunferencia. En primer lugar se planta su
definicin con letra.
Figura 5: Definicin de circunferencia en el libro de texto
Y despus se caracteriza tanto grficamente como matemticamente; es decir, dando la
ecuacin de la misma.
Las ecuaciones consideradas clave en el libro se remarcan sombrendolas con un
rectngulo azul. En este caso se ha considerado adecuado remarcar dos expresiones
algebraicas para la circunferencia, la dada por su centro y el radio y la anterior
desarrollada. Este tipo de cosas son las que potencian en gran medida la dependencia de
los estudiantes a usar las frmulas como calculadoras en las que no hay ms que
introducir los nmeros que se dan en los lugares adecuados y voil, la solucin. Este
hecho se evidencia en las continuas preguntas durante las clases acerca de si hay que
saberse esta frmula o se le va a dar.
Personalmente, y esta es otra valoracin, el autor de este documento slo hubiera
remarcado esta expresin:
Figura 7: Definicin de circunferencia usando la nocin de lugar geomtrico
Que figura en la tercera lnea del primer prrafo. Aunque este apartado pretenda ser el
mero anlisis de la unidad didctica planteada por el libro, son este tipo de detalles los
que, como se ver a la postre, justifiquen las medidas adoptadas.
De vuelta al libro, tras el planteamiento de las ecuaciones se plantea y resuelve un
ejemplo descontextualizado, nuevamente con resolucin grfica.
Figura 8: Resolucin de una circunferencia empleando las frmulas del libro
Despus hay otra resolucin de un problema de ejemplo y el planteamiento de una
actividad muy similar a los dos ejemplos anteriores.
Figura 9: Ejemplo y actividades relativas a la circunferencia en el libro de texto
A lo largo de las 8 secciones de este captulo hay 7 ejemplos con sus respectivas 7
actividades, una por seccin si exceptuamos la dedicada a la definicin del lugar
geomtrico. Resulta que los 7 ejemplos con sus 7 ejercicios pueden resolverse mediante
el empleo directo de las respectivas expresiones que aparecen sombreadas en cada
seccin o empleando dichas expresiones tras modificar la ecuacin mediante
manipulaciones algebraicas como la complecin de cuadrados (que no aparece detallada
en ningn lugar del tema).
Otro tipo de informacin que aparece en los mrgenes es relativa al uso de las nuevas
tecnologas, en particular internet y la web Descartes. Aqu se presenta un recuadro que
anima a profundizar en el concepto de potencia de un punto respecto a una
Figura 10: Referencias a la red presentes en el libro de texto
Sorprende, y ms en un tema tan presente y fcilmente visible en la realidad como el de
las cnicas, el poco aprovechamiento de este hecho por parte del libro. Este tipo de
anotaciones, tambin al margen, es de lo poco que hay.
Figura 11: La elipse del jardinero. La elipse es una cnica. Ilustraciones del libro de texto.
Tras este vistazo general al tema, la estructuracin de contenidos es la siguiente.
1. Definicin de lugar geomtrico: pgina 208
2. Circunferencia: pgina 209, dos ecuaciones, un ejemplo y una actividad.
3. Determinacin de una circunferencia: pgina 210.
4. Posicin relativa de una recta y una circunferencia. Recta tangente: pginas 210
y 211. Dos ecuaciones, un ejemplo y una actividad.
5. Potencia de un punto respecto de una circunferencia: pgina 212, una ecuacin.
6. Elipse: pginas 213 a 215. Dentro de esta seccin hay 4 sub-apartados. Tan slo
se remarca una ecuacin y contiene 2 ejemplos y 2 actividades.
a. Elementos de una elipse
b. Ecuacin reducida de la elipse
c. Excentricidad
d. Casos particulares
7. Hiprbola: pginas 216 a 219. Con 7 sub-apartados, se remarcan dos ecuaciones
y contiene dos ejemplos con dos actividades.
a. Elementos de una hiprbola
b. Ecuacin reducida de la hiprbola
e. Asntotas de una hiprbola
f. Hiprbola equiltera
g. Ecuacin de la hiprbola referida a sus asntotas
8. Parbola: pginas 220 y 221. Se sombrean 4 expresiones y contiene 3 subapartados para un ejemplo y una actividad.
a. Elementos de la parbola
b. Ecuacin de una parbola
Tras presentar los contenidos del tema, se llega a la seccin de ejercicios. En esta
seccin el color de los encabezados, recuadros y nmeros de pgina cambian del azul al
naranja. Las tres primeras pginas son de ejercicios resueltos y el resto de ejercicios
Figura 12: Encabezado de la seccin de ejercicios
Tanto los problemas propuestos como los resueltos estn clasificados por tipos. En este
tema hay 4 tipos:
Tipo I: Lugares geomtricos
Tipo II: Circunferencias
Tipo III: Elipses e hiprbolas
Tipo IV: Parbolas
Hay 10 problemas resueltos y 55 propuestos. Todos estn escritos a doble columna y la
inmensa mayora de los enunciados no pasan de las 3 lneas de extensin en este
formato. Esto slo puede ser si los problemas estn contextualizados, que resulta ser el
caso. La aparicin de la palabra problemas en el ttulo no debe llevar a confusin, ya
que se mezclan indistintamente tanto ejercicios como problemas y alguna cuestin que
precisamente se ha comentado en el captulo 3. Este es un ejemplo de un ejercicio de los
de aplicar la ecuacin vista en la seccin de la circunferencia.
Figura 13: Ejercicio de ejemplo
La ltima pgina del tema contiene 10 cuestiones bsicas y 2 para investigar. Su
encabezado y pie de pgina son de color morado.
Figura 14: Formato del encabezado de la ltima pgina del tema del libro de texto.
Esta ltima pgina puede ser un recurso til para el alumno, a modo de auto-repaso
previo al examen, si se da el caso de que el profesor sea de los que sigue el libro y
plantea el examen en base al mismo.
El autor considera el libro de texto como un recurso til tanto para el alumno como para
el profesor. Contiene un gran nmero de actividades, est muy bien organizado y es
muy claro. Sin embargo, se considera como slo eso, un recurso, ya que su
planteamiento no es suficiente para una transmisin idnea de la nocin de lugar
La sensacin que transmite es que tan slo el primer punto trata de lugares geomtricos.
El enfoque de las 4 cnicas como lugares geomtricos es ms bien anecdtico en
comparacin con la manipulacin algebraica y el empleo de ecuaciones presente en los
mismos. Adems, la conexin de este tema con el mundo real, algo que puede servir
para motivar el inters del alumnado por las matemticas, no aparece en el libro, y es
una carencia notable.
5.3. Otros aspectos relevantes
La nocin clave de todo el tema es la de lugar geomtrico. Tratarlo en una pgina y
separarlo con un punto de las cnicas no es suficiente si el objetivo propuesto a la hora
de plantear y explicar el tema es que los alumnos entiendan esta nocin y sean capaces
de aplicarla matemticamente.
El punto de partida de este tema se fija con el tema anterior, el de geometra analtica en
el plano. Este tema aade conceptos y nociones nuevas pero que se construyen
mayormente empleando el concepto de distancia punto-punto y distancia punto-recta
vistos en el tema anterior. Consiste en un ejemplo estupendo del aprendizaje en espiral.
Tambin aparecen muchas palabras nuevas para los alumnos: se va a intentar dar el
menor nmero de ellas posible.
Es decir, mi enfoque acerca de la unidad didctica es parcialmente distinto al del libro
de texto. Con las clases se pretendi que los alumnos entendieran primero qu es un
lugar geomtrico y despus que aplicaran esta idea a las 4 cnicas, en vez de separar el
anlisis de estas dos partes tal y como aparece en el libro de texto.
Pero al mismo tiempo es inevitable tener que referirse al libro de texto, porque tanto los
alumnos como yo mismo estamos acostumbrados a ello. Se plantearon la mayora de las
clases en forma de diapositivas, que se adjuntan en el anexo B, pero a la hora del
examen los alumnos se aferran al libro de texto y se les dej claro qu entraba y qu no.
A la hora del planteamiento de la unidad didctica lo ms importante es empezar por
fijar los objetivos que se persiguen en conocimientos y procedimientos (en el centro:
poner el examen). Este fue el consejo que ms veces fue repetido por parte del tutor de
las prcticas. No se puede salir de casa sin saber a dnde se quiere llegar. Desde el
primer momento pude gozar de la libertad y confianza por parte del tutor para
prepararse las clases como ms le apeteciera, pero teniendo siempre claro qu es lo que
quera que aprendieran, esto es, manteniendo la perspectiva.
Los objetivos perseguidos se analizarn en el captulo 8 pero podran resumirse en los
Entender qu es un lugar geomtrico tanto matemtica como grficamente dando
un repaso en espiral al tema anterior de geometra analtica.
Entender por qu las cnicas son lugares geomtricos. Cules son y conocer
alguna aplicacin.
Distinguir funcin de lo que no es una funcin (llammosle relacin).
Resolver problemas descontextualizados que requieran entender y aplicar la
nocin de lugar geomtrico siguiendo unos pasos (heurstica).
Junto con las diapositivas, se hizo uso del programa Geogebra, de vdeos e incluso de
alguna manualidad para poder explicar de la mejor manera posible los lugares
geomtricos y las cnicas.
Captulo 6: Dificultades y errores previsibles en el aprendizaje de la
En este captulo se recogen a priori las dificultades y errores por parte del docente a la
hora de enfrentarse con esta unidad didctica. Sin embargo, en el contexto de estas
prctica es difcil que en 2 semanas un alumno de este mster sea capaz de prever
dificultades en los estudiantes antes de enfrentarse a un tema, por eso parte de las
mismas han sido analizadas a posteriori.
Todas estas dificultades y errores se deben principalmente a dos factores:
Es un tema completamente nuevo para la mayora de ellos. Matemticamente lo
es para todos, pero los que cursan dibujo tcnico muestran unas facilidades
mayores. Plantea un enfoque de la geometra distinto al de todos los cursos
Requiere tener muy claros los conceptos de funcin y ecuacin y el manejo con
relativa soltura de valores absolutos, polinomios y distancias de forma distinta a
la que la estaban aplicando.
La primera dificultad, aparece en la primera hoja del libro de texto, relativa a la nocin
Figura 15: Extracto del libro de texto
Leyendo la definicin de lugar geomtrico los alumnos no van a entender qu es (a no
ser que den dibujo tcnico) jams. Con un ejemplo y un dibujo lo ven a la primera. Sin
embargo, el paso del dibujo a la ecuacin es una dificultad enorme. El concebir el punto
genrico como ,  y entender que el lugar geomtrico que esconde una ecuacin son
los infinitos puntos de coordenadas  e  que la resuelven es la clave del tema. Hay que
hacer ejercicios siempre despus de explicar cada cosa. No importa cuntos ejercicios
pero s que se hagan y pasarse por las mesas viendo el ritmo y los problemas de la clase
La segunda dificultad est relacionada con el aprendizaje en espiral. Previamente han
dado la geometra analtica plana: rectas en el espacio, posiciones relativas, distancias
y este tema es una vuelta de rosca considerable sobre lo anterior. Esta es una dificultad
natural y deseable.
La tercera dificultad es el terror generalizado hacia los parmetros. Ven  e  junto con
 e  y  en la ecuacin de la circunferencia y pierden la perspectiva de cul es el
centro, el radio y qu estn calculando. Por no hablar de plantear cualquier
manipulacin de una ecuacin en la que aparezcan parmetros.
Este es un tema nuevo para la mayora y por eso surge la cuarta dificultad: saber qu les
piden. Esta dificultad est relacionada con la primera. En un problema de calcular la
circunferencia igual no saben que la solucin es la ecuacin de la misma.
La quinta dificultad est relacionada con lo el planteamiento de la unidad didctica. En
esta se pretende que los alumnos se enfrenten a problemas de lugares geomtricos
descontextualizados; es decir, problemas de letra en los que no te piden de forma
explcita el clculo de la circunferencia de centro tal y radio cual. Y es que los
estudiantes no leen, o cuando leen an no somos capaces de entender que es lo que
procesan sus mentes. Sacarles de contexto los pierde y encima debido a la edad en la
que se encuentran se agobian y dejan de entenderlo todo por momentos.
6.2. Errores y su posible origen
Los errores que pueden surgir en este tema son de varias de las reas de las
matemticas, no slo de la geomtrica.
Un error que no tard en aparecer fue el de resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
Por ejemplo, al calcular la posicin relativa entre una recta y una circunferencia los
estudiantes trataron de resolver el sistema aplicando el mtodo de reduccin porque es
al que estn ms habituados. No se fijaron que no era un sistema lineal.
Otro error muy sorprendente est relacionado con el manejo de las expresiones de la
recta en el espacio y el clculo de las pendientes de ciertas rectas, en particular la de las
paralelas al eje OY ( = 5, por ejemplo). Cuando se trabaja con funciones lineales o
afines la recta es una funcin y puede calcularse su pendiente. Sin embargo, en
geometra no se habla de funciones sino de ecuaciones o relaciones (el nombre que se
le dio en clase para diferenciarlas).
Se dio el caso de que en un problema apareci una recta paralela al eje Y los
estudiantes tenan que hallar la perpendicular a la misma. A la hora de afrontar este tipo
de problemas los estudiantes siempre derivan la funcin de la recta para obtener la
pendiente, para as no despejar mal. Sin embargo aqu se quedaron sin saber qu hacer
porque aplicaron mtodos de anlisis a un problema en el que no pueden aplicarse. Aqu
podra haber un obstculo.
Finalmente aparecieron multitud de errores en la manipulacin de expresiones
algebraicas tales como valores absolutos, ecuaciones con radicales e identidades
notables. Siendo un tema nuevo para el alumnado como es este, la presencia de races o
fracciones y el cambio de orden de los trminos son variables didcticas muy
influyentes y que hay que controlar si no se quiere entorpecer el progreso inicial en este
Captulo 7: El proceso de estudio
En este captulo se detallan las 12 sesiones sin contar el examen empleadas para el
desarrollo de este tema. En principio iban a ser 8 pero dada la altura del curso y el curso
en s se dispona de relativa flexibilidad en cuanto al nmero de clases. Adems, aunque
los conceptos y procedimientos presentes en este tema no entran en la selectividad per
se, s que fijan una buena base en el alumno de cara a afrontar la geometra en el espacio
que se da en 2 de bachiller.
La duracin de las clases es de 50 minutos. Todas las clases se dieron en el aula y en
casi todas se emple el can proyector como apoyo. En todas se emple la pizarra.
Pude impartir 9 de las 12 clases de forma autnoma y agradezco a mi tutor semejante
oportunidad y los consejos recibidos. Adems, pude asistir e impartir dos clases en otra
seccin del mismo curso, responsabilidad de otra profesora a la que tambin se lo
Previo al proceso de estudio es importante conocer lo siguiente:
Qu y cmo se quiere ensear: fundamental, porque la docencia en el bachiller
de ciencias est repartida entre dos profesores. Y tienen que dar lo mismo. Por
eso antes de impartir las clases se aclar en unas reuniones de departamento a
dnde se quera llegar. A una de esas reuniones fui con el examen ya hecho y
con una hoja en la que se detallaba lo qu quera ensear para llegar todos a un
A quin se va a ensear: no hay dos clases iguales y esta tampoco fue la
excepcin. La clase en la que imparti el autor es la de ciencias de la salud.
Hay otra clase en la que tambin se da matemticas de la opcin de ciencias,
pero los alumnos de esta van ms encaminados a ingenieras. La diferencia entre
ambas es fundamental. El motivo? El dibujo tcnico. Si bien ambas clases
mostraron las mismas dificultades a la hora de ponerse a resolver el ejercicio
matemticamente, los que haban dado dibujo tenan una soltura tremenda a la
hora de plantear los pasos que resolvieran los problemas que implicaban el
empleo de lugares geomtricos aunque fueran contextualizados.
Con lo anterior se prepararon las clases y los problemas. Del planteamiento inicial se
fueron realizando modificaciones sobre la marcha para adaptarse al ritmo de
aprendizaje. La falta de experiencia y las dificultades inesperadas fueron modelando una
planificacin que es la que finalmente se presenta, con sus aspectos buenos y no tan
buenos. Poda haberse optado por poner la inicial, pero creo que lo segundo no slo es
ms fidedigno, sino que de mucha mayor utilidad.
7.1. Distribucin del tiempo de la clase
En esta sub-seccin se detalla el aprovechamiento de las clases llevado a cabo. Se ha
escogido la forma tabular por ser la ms clara y concisa. Sin embargo, algunas clases
contienen ciertos aspectos que requieren mencin aparte y que aunque se detallan en la
sub-seccin siguiente, se mencionan en esta.
Uno de los objetivos fundamentales es el de que los alumnos sepan enfrentarse a
problemas contextualizados. El primero de estos problemas se plantea en la sesin 2 y el
resto se plantean durante las sesiones 10, 11 y 12. Pero es imposible afrontar un
problema contextualizado sin hacer lo propio con los problemas que se proponen
sacados de contexto. En todos los problemas de geometra se recuerda al alumno dos
cosas: dibujar y ver cuntas soluciones pueden salir.
geomtrico: ver la
definicin del libro. Cerrar el libro.
Situacin: lugar 'aulariano'. Con los
alumnos discutir lugares de la clase
Situacin: clculo de una mediatriz.
Resuelto en el libro. Planteado a los
alumnos Pg. 208.
Situacin: clculo de una bisectriz. De
esa misma pgina del libro.
Responsable Tipo de docencia
Ejercicio 7 Pg. 225.
Tabla 20: Organizacin de la sesin 1
La primera aproximacin de los alumnos al concepto de lugar geomtrico se hace
discretizando el espacio. La fila de alumnos que estn ms cerca de la puerta, los
alumnos que rodean a uno en concreto, a los que ms puede molestar el sol no se
pretende facilitar as tanto la nocin de lugar geomtrico como el hecho de lograr que se
abstraigan del espacio en concreto y saquen propiedades de los puntos que cumplen
ciertas propiedades del mismo.
Teora: introduccin a las cnicas, cono
de plastilina, Hipatia, gora.
La circunferencia. Entender distancias.
Determinacin de la circunferencia en el
plano. Restricciones
Situacin circunferencia que pasa por tres
puntos. Libro pgina 210. Otra forma
Situacin: Problema contextualizado:
riego por pivote.
Tabla 21: Organizacin de la sesin 2
Esta segunda sesin pretende cubrir la carencia descubierta en el libro relacionando las
cnicas con los lugares geomtricos. Para provocar inters en los alumnos se proyect
un fragmento de la pelcula de gora en la que Hipatia, interpretada por Rachel Welsz,
hace mencin al cono de Apolonio de Perge. Despus pas por la clase un cono
elaborado con plastilina en las que podan apreciarse claramente las 4 cnicas.
Revisar el problema del da anterior.
Problema posicin relativa rectacircunferencia, Pg. 210.
Situacin: plantear y resolver el problema
anterior de forma alternativa. Sacar el
centro sin usar frmulas.
Problema 2 de la Pg. 211 sin usar las
frmulas del libro.
Tabla 22: Organizacin de la sesin 3
En todo momento surge por parte de los alumnos la tendencia a emplear las frmulas
que aparecen en las pginas del libro. Mi opinin es que no slo no son necesarias sino
que tambin entorpecen el entender mejor la nocin de lugar geomtrico. No se van a
emplear en ningn momento (salvo las ecuaciones reducidas de la hiprbola y la elipse)
y se va a hacer saber esto al alumno.
Situacin: resolver en clase el ejercicio
resuelto 5 de la pgina 223
Dialgica/constructiva
Tabla 23: Organizacin de la sesin 4
En la planificacin inicial este ejercicio no iba a requerir tanto tiempo, pero a la hora de
la verdad as es como fue. Se ha optado en todo momento por ir al ritmo de la clase en
la resolucin de ejercicios dejndoles a ellos tomar la iniciativa y pasarse por las mesas,
resolver dudas y repasar otros conceptos que pueden salir a colacin mientras se
resuelve este tipo de ejercicios.
Situacin: terminar el ejercicio 5 de la
Problema: 8 Pg. 226
Tabla 24: Organizacin de la sesin 5
Antes de poder resolver problemas contextualizados hay que trabajar bien los problemas
descontextualizados. Y trabajar bien significa asegurarte de que los alumnos los trabajan
bien. Aunque parezca que por que los alumnos asientan lo entienden, esto no suele ser
cierto. Proyectar transparencias puede hacer correr demasiado.
Teora explicar por qu la elipse y la
hiprbola son lugares geomtricos.
Ejercicio sacar una elipse aplicando la
definicin de lugar geomtrico.
Ecuacin reducida de la elipse.
Ejemplo 3 Pg. 214
Tabla 25: Organizacin de la sesin 6
Tanto esta sesin como las dos siguientes rompen un poco con la dinmica de
resolucin de problemas que se llevaba planteando. Se presentan contenidos un poco
ms exigentes de entender pero cuyos problemas se resuelven ms fcilmente:
aplicando las ecuaciones reducidas.
Correccin tarea. Comentario Sper-luna
en relacin con las rbitas elpticas
Reparto fotocopia, explicacin frmulas
de la hiprbola en la fotocopia.
Ejercicio: ejemplo 3 Pg. 214
hiprbola:
problema de proporcionalidad inversa
Tabla 26: Organizacin de la sesin 7
Para evitar perder mucho tiempo se les proporcion una fotocopia a modo de resumen
con las expresiones necesarias para resolver cualquier problema de elipses e hiprbolas.
Se adjunta en el apartado siguiente. La ltima parte de la clase se dedic al
planteamiento y resolucin de un problema de proporcionalidad inversa. El
comportamiento de los alumnos fue sorprendente.
Negociar el examen: fecha
Ejercicios. corregir tarea
Teora: la parbola
Ejercicio 7 Pg. 221
Teora: Funcin Vs. Relacin
Tabla 27: Organizacin de la sesin 8
Se va llegando a la recta final del tema. Puesta del examen. Estudio de la ltima cnica:
la parbola. Relacin entre la parbola vista hasta ahora (funcin cuadrtica) con la
parbola desde un punto de vista geomtrico.
Funcin Vs relacin: pensar ejemplos y
Ejercicio 9 Pg. 224
Marcar normas del juego: qu entra en
Tabla 28: Organizacin de la sesin 9
Resolucin de dudas acumuladas durante
Ejercicio 27 Pg. 227
Tabla 29: Organizacin de la sesin 10
Estos ltimos ejercicios empiezan a ser de una dificultad considerable pero son una
buena base sobre la que lograr que se aventuren mejor frente a los problemas
contextualizados. Estos problemas se plantean y resuelven en las 2 sesiones siguientes y
se adjuntan en la sub-seccin que sigue a la presente.
contextualizados en los que haya que
aplicar la nocin de lugar geomtrico.
Tabla 30: Organizacin de las sesiones 11 y 12
7.2. Actividades adicionales planificadas
Aunque se hace referencia constante al libro de texto, el papel del mismo en el
transcurso de las clases fue principalmente de apoyo, a la hora de extraer ejercicios y
actividades; y referencia, en tanto que los contenidos bsicos figuraban en l.
Sin embargo, se llevaron a cabo diversas actividades adicionales con un resultado
gratamente positivo que comento en este apartado. Estas son:
Forma de presentar los lugares geomtricos.
Acercar las matemticas a sus vidas: pelcula de gora, Sper-luna, cono de
Entrega de formulario-resumen
Empleo de Geogebra
Se comenz presentando el lugar geomtrico en un plano discreto: el de la clase y sus
pupitres. Despus, se pas a su definicin matemtica mediante la mediatriz, la
bisectriz y la circunferencia. En estos tres casos el estudiante puede fcilmente sustituir
cualquier punto en la ecuacin y ver si se verifica. Adems su representacin es muy
sencilla. La elipse se explic empleando el mtodo que siguen los jardineros para
elaborar parterres: con una cuerda, tiza y dos focos. Para la hiprbola se emple
Geogebra y un applet hecho a tal efecto:
Figura 16: Copia de pantalla de un applet de Geogebra relativo a la hiprbola
Y finalmente, la parbola la fueron dibujando ellos. Dibuj una recta vertical y un
punto, anot la definicin de parbola como lugar geomtrico y mientras preparaba el
can fueron saliendo a la pizarra y marcaron de maravilla puntos que equidistaban
tanto de la recta como del punto. (Al principio del tema no fueron capaces en una
situacin similar).
El tema de las cnicas es un tema idneo para subrayar las aplicaciones prcticas de las
matemticas en la vida diaria. Por eso, un lunes tras el fin de semana de la sper-luna
se les explic que las rbitas de los planetas son elpticas, por ejemplo. Adems, se
decidi proyectar un fragmento de gora, pelcula reciente y conocida por todos que
trata de una matemtica (haba un 75% de chicas en la clase) y en la que se comenta
brevemente el cono de Apolonio.
Figura 17: Cono de apolonio en la pelcula de gora
El tema de los problemas contextualizados fue lo ms ambicioso de lo que se llev a
cabo, sobre todo viendo las dificultades que ya aparecan al enfrentarse a los problemas
del libro, todos ellos descontextualizados (calcula la recta que). Adems tampoco se
encontraron problemas de estos en libros de texto por lo que se pensaron algunos para
las clases. Se adjuntan a continuacin.
En el cuarto de mi casa dos de las paredes vienen dadas por las rectas y=0 e
y=x (forman 45). Si siempre guardo mi baln de balonmano 'encajonado' en
estas dos paredes. Dnde quedara el centro del mismo? Radio del baln: 16
Dicen que en la isla de Justin Bieber hay oculto un tesoro. El punto exacto del
mismo se determina con las siguientes pistas:
Una carretera pasa de ecuacin y=-2
La valla de la entrada de su casa tiene forma de parbola: x-4x-4y
Para encontrar el tesoro tenemos que caminar la misma distancia desde la
carretera hasta la valla, que desde la valla hasta la ubicacin del tesoro.
Una pareja de surikatos habita en dos madrigueras, ubicadas en (-5,0) y (5,0)
respectivamente. Como buen cazador de estos bichejos que eres, sabes que cada
noche alternan entre ambas para despistar a los cazadores y que todos los das
buscan gusanos en puntos tales que siempre recorren la misma distancia de 12
unidades para ir a por gusanos y cambiar de madriguera. Por dnde pondras
los cepos?
Tres pueblos de la Ribera han acordado construir el nuevo parque mundial de
atracciones matemticas donde las montaas rusas siguen funciones y los
primos tienen descuento. Los pueblos se encuentran en (1,8), (6,2) y (0,1).
Donde construiran el parque si quieren estar todos a la misma distancia?
Como todos los aos, este ao vaticinan ola de calor. Para estar ms fresquito
que el frigo-pie de Froiln ando pensando en montarme una piscina circular
como la que hizo el de bricomana hace dos sbados. Pero resulta que mi
jardn de mi chal de Gorraiz es triangular y no s cmo montar la pisci. Me
puedes ayudar? Los lmites del jardn vienen dados por una valla de ecuacin x
= 0, otra de ecuacin y =1 y la pared de mi casa, que puede representarse con
la ecuacin y = 3-x.
La ilustre ciudad de Tudela va a celebrar la IX fiesta de la alcachofa y el
ayuntamiento en pleno ha decidido montar una carpa circular en el parque del
Queiles. Dadas tus excelentes aptitudes matemticas te han pedido ayuda para
que les ayudes a montar la carpa en cuestin. La situacin es la siguiente.
Dicho parque est ubicado entre la carretera nacional, que sigue la recta x = 0
y el ro Queiles, que dadas las cuantiosas lluvias acontecidas en este loco mayo,
no est seco y sigue la recta y = 1. Quieren montar la mayor carpa posible
(circular, recuerda) ubicada dentro del parque y con la entrada a la misma por
el punto (2,5). Halla la ecuacin de la carpa.
a) Conociendo el ro y la carretera; por dnde puedes tener la certeza de que
estar el centro?
b) Pero para calcular el centro es precisa alguna condicin ms. PISTA 1: es
un lugar geomtrico. PISTA 2: La carpa 'toca' la carretera, el ro y tiene que
pasar por la entrada.
c) Calcula el centro y halla la circunferencia del permetro de la carpa.
En todos estos problemas la manipulacin algebraica es sencilla a tenor de la
importancia de esta como variable didctica. No se busca que el alumno gane habilidad
en la manipulacin sino en el planteamiento del mismo.
Se ha comentado antes que se pretenda evitar el uso de toda frmula exceptuando las
ecuaciones reducidas de la elipse e hiprbola. Para facilitar a los alumnos su manejo y
ayudarles en su estudio se les hizo entrega de una fotocopia (ver final de la seccin).
Por ltimo, destacar la ayuda vital que en un tema de este tipo supone el software
Geogebra; tanto para el profesor a la hora de resolver y plantear ejercicios como para
todo el alumnado a la hora de entenderlos.
proporcionada a los alumnos
7.3. La tarea: actividad autnoma del alumno prevista
Principalmente la tarea ser la actividad inicialmente prevista o iniciada en la clase que
no ha podido terminarse.
Actividad: terminar el 15-20 min
ejercicio 7 de la Pg. 225.
problema del riego por
pivote en casa
Ejercicio 2 Pg. 211
Ejercicio 3 Pg. 214
Ejercicios 6 Pg. 224 y 4 25 min
problemas 10 min
Ejercicio 48 Pg. 229
Repaso y pensar dudas 25 min
Sesiones 9 - 12
Si el problema ya ha sido
planteado del todo en clase,
terminarlo en casa
Tabla 31: Tarea prevista del alumno con cada sesin.
Relacin con el proceso
Captulo 8: Experimentacin
En este captulo se recoge la experimentacin llevada a cabo con los alumnos a los que
se les dio clase. Para ello se va a definir un mtodo, la muestra y el diseo de
experimento que se realiz. Concretamente fue un examen aunque tambin surgi (sin
poder llevarse a la prctica) otro cuestionario adicional que se adjunta en el anexo C.
Tras estos anlisis preliminares se proceder con el de los comportamientos esperados,
el resumen de los resultados y una discusin acerca de los mismos.
8.1. Mtodo
La evolucin de una teora en didctica de las matemticas puede determinarse por el
contraste entre un anlisis a priori y un anlisis a posteriori. La teora busca validar las
hiptesis que formula (a priori). Los hechos observados permiten (a posteriori) validar
o refutar, total o parcialmente, las hiptesis enunciadas.
La ingeniera didctica (Artigue, 1989) permite abordar el contraste experimental
necesario, que permita determinar condiciones de reproducibilidad de situaciones
didcticas. Aqu, las variables didcticas actan de contraste o reactivo que permiten
de manera controlada provocar en los sujetos modificaciones en sus estrategias de
accin para adaptarlas al medio.
El estudio de la adecuacin de las variables didcticas para determinar cambios en las
estrategias de accin representa un instrumento de validacin interna de las
conclusiones que puedan extraerse de una observacin concreta. En estas condiciones,
se puede definir una situacin reproducible; es decir, en condiciones similares, con un
control del medio, la construccin del conocimiento pretendido ser la misma.
La cuestin de la reproducibilidad de las situaciones incide sobre la fiabilidad de las
observaciones y, sobre todo, sobre su validez. La fiabilidad presupone una estabilidad
en el funcionamiento del sistema didctico; el contraste repetido entre el anlisis a
priori y el anlisis a posteriori permite hacer evolucionar las condiciones del medio
(incluidas las intervenciones del profesor) que garanticen la construccin del saber
pretendido, de tal manera que la situacin devenga reproducible. Es entonces cuando su
validez puede ser aceptada, puesto que la situacin es exitosa y aplicable de manera
En este trabajo, la parte I lugares geomtricos y cnicas en el currculo vigente y en los
libros de texto constituye el estudio previo de la dimensin de enseanza, desde una
perspectiva eminentemente institucional; a saber:
1. El contenido matemtico en el currculo vigente, incluidas las orientaciones y
2. El desarrollo de estas directrices oficiales en los libros de texto escolares.
Este estudio precede al anlisis a priori realizado en los captulos 5, 6 y 7, donde se
abordan las dimensiones:
Epistemolgica: las matemticas presentes en la unidad didctica objeto de
Cognitiva: dificultades y errores de los estudiantes en el aprendizaje de la unidad
De enseanza: descripcin del proceso de estudio implementado.
En el captulo 8, este anlisis a priori es contrastado con los resultados de la
experimentacin, permitiendo una valoracin de los mismos basada en las expectativas
previas (discusin de los resultados), que supone la fase ltima del mtodo de la
ingeniera didctica.
8.2. Muestra y diseo de la experimentacin
La muestra tomada fue la seccin A de 1 de bachiller del colegio San Ignacio (Jesuitas)
de Pamplona. Es un grupo homogneo mayormente perteneciente a la clase media,
media-alta y que cursan la modalidad de salud dentro del bachiller considerado como
cientfico y tecnolgico. A diferencia de otras secciones de este mismo bachillerato, no
dan dibujo tcnico. Este es un detalle reseable relacionado con el tema de lugares
geomtricos en particular.
El objetivo de la experimentacin es averiguar si se han cumplido los objetivos
didcticos siguiendo la docencia descrita en el captulo anterior. Estos objetivos se
determinaron en una reunin de departamento previa y se resumen en:
Los alumnos entienden la nocin de lugar geomtrico, conocen las cnicas, sus
aplicaciones y saben resolver diversos problemas con estas.
Los alumnos son capaces de resolver problemas descontextualizados de lugares
Los alumnos son capaces de plantear y resolver problemas contextualizados de
La experimentacin consisti en la resolucin de un examen elaborado a partir de estos
objetivos y que cont con el visto bueno de los profesores.
Jams me haba visto en la tesitura de fijar un examen y ya desde el primer momento los
profesores vieron que este era demasiado exigente. No obstante, ah es a donde yo
quera que llegaran los alumnos; tena los objetivos claros y poda preparar a conciencia
las clases necesarias para ello. Una oportunidad semejante de proponer, trabajar y
aprender no se tiene todos los das y es un motivo de agradecimiento siempre.
8.3. El cuestionario
El cuestionario empleado consiste en el examen que se adjunta a continuacin. Los
alumnos saban que se iban a enfrentar a este examen con ms de una semana de
antelacin y haban sido preparados para un examen de este tipo; esto es, nos
aseguramos de que no hubiera sorpresas cuando tuvieran la hoja delante.
Consta de 4 preguntas, una terica y las otras 3 prcticas. La duracin estimada es de
unos 45-50 minutos. Sobre 10 puntos, la teora cuenta 1/10 y los otros 9 se reparten por
la prctica. Se proporcionan todas las frmulas requeridas para su resolucin.
Figura 19: Examen de lugares geomtricos y cnicas propuesto en 1 Bachillerato
8.4. Cuestiones y comportamientos esperados
En primer lugar, es un examen distinto al que estn acostumbrados los alumnos. Hay
teora y sobre todo, hay mucha letra. Estn acostumbrados a problemas del tipo halla
la ecuacin de la recta que pasa por y corta a, de 2 3 lneas como mucho y
resolucin ms o menos directa. Sin embargo, en este examen 4 de los puntos dependen
de saber resolver este tipo de problemas.
En las clases se propusieron y resolvieron problemas de este tipo, los alumnos saban
que un problema as iba a caer si bien no saban cul.
En segundo lugar, la base matemtica de los alumnos es bastante dbil. Vienen de dar
geometra plana, lo cual ayuda, pero entender y saber traducir con matemticas la
nocin de lugar geomtrico no es en absoluto fcil. Esto se vea en todas las clases,
cuando me pasaba por las mesas mientras hacan ejercicios.
Tercero, es un examen de matemticas en el que hay teora. Y a los alumnos tambin se
los avis de este hecho. La teora consista en conocer las cnicas, por qu son lugares
geomtricos y recordar alguna aplicacin.
Cuarto, el tema de las frmulas. El libro est plagado de frmulas. En todas las pginas
hay frmulas con las que puede resolverse el ejercicio que se plantea en la parte inferior
de las mismas. Aprender las frmulas no entra dentro de los objetivos; s aprender a
deducir las ms bsicas y saber emplear algunas en concreto, como las ecuaciones
reducidas de tanto la elipse como de la hiprbola. Todas las frmulas necesarias se
proporcionan en la parte inferior del examen.
Quinto, las manipulaciones algebraicas como variable didctica. Operar con races,
valores absolutos, ecuaciones con dos variables aumenta mucho la probabilidad de
que los estudiantes se equivoquen. Por eso la resolucin del examen est pensada para
que sea lo ms sencilla posible, con simplificaciones evidentes y ausencia de nmeros
ms complicados como races cuadradas. Adems, los criterios de evaluacin estn
pensados para ser flexibles con este aspecto.
Sexto, es un examen que repasa multitud de conocimientos previos. Comenzando por
los de geometra analtica vistos en el captulo anterior, tambin hay que recordar qu es
una funcin y se pregunta un problema de proporcionalidad inversa. Todo esto se
repas en las clases.
En resumen, los alumnos se enfrentan a un examen distinto pero para el que se les ha
preparado; es decir, tienen claras las reglas del juego. An y todo no se espera que todos
los alumnos hagan el examen a la perfeccin. A continuacin se analiza esto cuestin a
La primera cuestin es terica, tiene un valor de 1 punto sobre 10 y consiste en citar las
4 cnicas y definirlas y despus, de un par de ellas nombrar alguna aplicacin. Se espera
que esta sea la pregunta regalo y que la hagan bien prcticamente todos.
El segundo es un problema terico dividido en tres apartados que valen 1 punto cada
uno. El primero se resuelve igualando la distancia punto-punto a la distancia punto-recta
(se obtiene una parbola de eje OY). Despus hay que resolver un sistema de
ecuaciones y ver si la parbola calculada puede expresarse como  en funcin de  de
acuerdo al sistema de coordenadas empleado. Las dos ltimas cuestiones dependen de la
primera para poder resolverse. En principio se espera que ms de la mitad de la clase
(50-75 %) obtengan en este problema 2 puntos.
El tercero es el problema. Y es un problema bastante difcil. Por eso y para que al
menos una persona lo hiciera bien se desmenuz el mismo en tres apartados que ayudan
a su resolucin. Sin embargo se hizo de tal manera que el alumno tuviera que pensar en
el lugar geomtrico subyacente; esto es, en el apartado a) no se pide explcitamente que
se calcule la mediatriz. En este problema se espera que en torno a la mitad saquen un
punto bien porque lo entiendan, bien probando. Y que la cuarta parte saque 2 ms
La cuarta pregunta tambin tiene tres sub-apartados en este caso independientes entre s.
El primero consiste en dibujar una elipse dada su ecuacin reducida y localizar sus
elementos principales. El segundo plantea el clculo de una bisectriz. La dificultad en
este est en despejar bien los trminos en la frmula de la distancia punto-recta (algo en
lo que se equivocaban mucho en clase y se insisti bastante). No obstante, dibujando el
resultado aparece de inmediato. Y el tercero y ltimo es un problema muy sencillito de
proporcionalidad inversa. En este no hay interpretacin geomtrica si bien la funcin
que se obtiene es una hiprbola.
Se esperaba que un 80% hicieran bien el de la elipse, un 50% el de la hiprbola y un
60% el de la bisectriz.
En total, y siendo optimista, en vsperas del examen esperaba unos 8-10 aprobados de
los cuales 2-3 por encima del 7.5 y el resto (9-11) suspensos. Nota mnima 2 y mxima
Para analizar los resultados por un lado se ha dividido el examen en variables y por otro
se cuenta con la nota final. Cada apartado del examen es una variable distinta y sirve
para evaluar el conocimiento del alumno de cada uno de los distintos aspectos que se
dieron en las clases y se pretenda que aprendieran. Al margen de los criterios de
evaluacin empleados para fijar la nota, se considera cada apartado por separado como
un sabe/no sabe en funcin de la respuesta del alumno al mismo. Si est en blanco, o
hay errores muy evidentes est claro que no sabe. Si hay un dibujo y planteamientos
matemticos acordes al enunciado, entonces se considera que s que sabe. La duda
puede surgir en los trminos medios pero en las muestras obtenidas los casos son
La nota meda del examen es de 4.4 con una desviacin estndar de 2.4, ambos sobre
10. Hubo 5 aprobados, un 26 %. La nota mxima es de 8.85 y la mnima de 0.5. A
continuacin se presenta un histograma con la distribucin de las notas.
Entre Entre Entre Entre Entre Entre Entre Entre Entre Entre
0 y 1 1 y 2 2 y 3 3 y 4 4 y 5 5 y 6 6 y 7 7 y 8 8 y 9 9 y 10
Figura 20: Histograma de las notas de los alumnos en el examen
Sorprende el hecho de que tan slo 1 persona ha obtenido una nota entre 5 y 7, mientras
que 4 han sacado ms de 7 y el resto han suspendido.
A continuacin se determinan las diversas variables de estudio y se muestran los
V01: Conocer las 4 cnicas por qu son lugares geomtricos. Terica.
V02: Citar 2 aplicaciones de las cnicas. Terica.
V03: Resolver problema descontextualizado: parbola de eje el OY.
V04: Interseccin recta-parbola descontextualizada. Sistema ecuaciones nolineal. Depende de V03.
V05: Diferenciar una funcin de una relacin. Terica-prctica. Depende de
V06: Reconocer y calcular la mediatriz contextualizada.
V07: Reconocer y calcular la parbola contextualizada.
V08: Interseccin lugares geomtricos previos. Depende de V06 y V07.
V09: Dibujar y reconocer los elementos de la elipse partiendo de su ecuacin
V10: Resolver problema descontextualizado: bisectriz ejes de coordenadas.
Similar al V03 pero ms complicado.
V11: Problema contextualizado de proporcionalidad inversa.
Se puede observar que casi todos los alumnos han respondido correctamente a las dos
preguntas de teora.
Figura 21: Respuesta de los alumnos a las variables de estudio V01 y V02
Tan solo la mitad de los alumnos son capaces de plantear y resolver adecuadamente el
ejercicio 2.a. Un resultado un tanto bajo. As pues, no es de extraar que el porcentaje se
reduzca en lo que respecta a las dos preguntas siguientes, porque responderlas
correctamente depende de haber resuelto bien la primera.
Figura 22: Respuesta de los alumnos a las variables de estudio V03, V04 y V05
La inmensa mayora acierta con el apartado 3.a, quizs porque el enunciado lo deja ms
que claro. Los porcentajes se reducen significativamente en el 3.b y el 3.c, lo cual es
perfectamente normal, estas eran a priori las preguntas ms difciles del examen.
Figura 23: Respuesta de los alumnos a las variables V06, V07 y V08
Tambin se pensaba un mayor porcentaje de aciertos en el 4.a, el de la elipse, que se
queda en un 63%. En cuanto a la bisectriz de los ejes coordenados, el porcentaje es
menor que el que aparece con la parbola (V03, 47%). Finalmente, otro problema que
se consideraba regalo tan slo lo hacen bien un 32% de la clase, el de la
Figura 24: Respuesta de los alumnos a las variables V09, V10 y V11
La siguiente grfica aglutina todas las variables estudiadas y permite obtener una mejor
visin de conjunto.. En ella puede apreciarse que tanto la teora como la mediatriz
contextualizada son los problemas que ms aciertos tienen. Junto con estos tan slo el
de la elipse ha sido realizado satisfactoriamente por ms de la mitad de los estudiantes.
El problema con menos aciertos es el 3.c, el que a priori se esperaba que lo fuera.
V01 V02 V03 V04 V05 V06 V07 V08 V09 V10 V11
Figura 25:: Grfico que muestra la respuesta porcentual de la clase a todas las variables
8.6. Discusin de los resultados
Aunque a priori pueden parecer unos resultados malos si se atiende a la media y al
nmero de aprobados, la variabilidad y el nmero reducido de la muestra tampoco
ayudan a sacar conclusiones muy generales. Hubiera estado bien contrastar las notas de
esta clase con las notas de otra seccin, sobre todo para ver la influencia del dibujo
tcnico, pero no se disponen de estos datos.
No obstante s que se pueden extraer aspectos muy interesantes. El primero de ellos es
que tanto el tema (y a la postre el examen) suponen una dificultad considerable para la
mayora de la clase. Puede ser que se haya pretendido llegar demasiado lejos, lo cual
nunca est mal, pero si me hubiera limitado a seguir el libro sin salirme de sus
problemas descontextualizados y sus frmulas es posible
posible que el examen hubiera salido
algo mejor pero les habra servido de mucho menos y a estas alturas tendran todo
Los resultados muestran que los estudiantes conocen qu es un lugar geomtrico,
algunas aplicaciones y lo saben aplicar en situaciones
situaciones contextualizadas y sencillas (89%
aciertan la mediatriz, igualar distancia punto-punto
punto punto a otra distancia punto-punto).
cuanto aparecen elementos geomtricos ms complejos como las rectas este porcentaje
cae, dando igual que el problema este contextualizado
contextualizado o descontextualizado. Este
conocimiento es mucho ms rico que el de saber dibujar y reconocer una elipse, por
Respecto a este ltimo, se dedic una clase y media al mismo con dos ejercicios como
mucho y un 60% de los alumnos lo hicieron bien.
bien. Es un concepto mucho ms sencillo y
La sorpresa la marca el problema de proporcionalidad inversa. En clase tambin slo se
hizo uno de ellos. No tiene que ver mucho con la geometra y el enfoque que se vena
dando en el tema pero tampoco esperaba unos resultados tan bajos.
En cuanto a la diferencia entre funcin y relacin, se ve que hay una relacin entre los
que calculan la parbola (V03) correctamente y determinan que es una funcin y no es
una relacin. Este es un resultado satisfactorio.
Finalmente, aunque los resultados son muy interesantes y dan bastante juego, partiendo
de una idea del director de este TFM, Gustavo, se elabor un cuestionario especfico
para evaluar la comprensin por parte de los alumnos de lo qu es un lugar geomtrico.
Ha sido una lstima que no haya podido plantearse a ningn alumno pero se anexa al
final de este documento porque se considera que puede ser muy til para futuras
Captulo 9: Sntesis, conclusiones y cuestiones abiertas
9.1. Breve sntesis
En este trabajo fin de mster se ha pretendido analizar el tema de la docencia de los
lugares geomtricos y las cnicas en 1 de Bachiller. Toda la informacin analizada se
extrae dentro de un contexto de prcticas universitarias del mster realizadas durante
cinco semanas de los meses de abril y mayo del ao 2012 en el colegio San Ignacio de
El anlisis comienza con una revisin de la legislacin en lo que a los lugares
geomtricos y las cnicas se refiere en base a unos descriptores previamente
seleccionados. A continuacin se analiza el efecto de dichas leyes en los libros de texto
que diariamente se emplean en el centro, especialmente en lo referente a ejercicios,
problemas y situaciones.
La segunda parte del proyecto se ha analizado la docencia del tema de lugares
geomtricos y cnicas llevada a cabo con la clase de 1 Bachiller A del colegio. Para
ello se ha considerado revisar la unidad didctica del libro de texto con un mayor
detalle, se han estudiado los posibles errores y dificultades que pueden aparecer, se
detallan las clases preparadas y dadas y finalmente se evala su impacto mediante un
examen del que se extraen importantes conclusiones.
9.2. Conclusiones generales del trabajo
La primera y principal conclusin a la que llego con este trabajo es la importancia de la
forma de proceder a la hora de preparar una unidad didctica. En este caso comenc por
plantear unos objetivos, fijar un examen y despus preparar las clases para que los
alumnos llegaran a aprobar ese examen. Sin embargo, hubo multitud de cambios de las
clases que inicialmente me prepar a las que detallo en este documento. Esto fue debido
a dos factores: mi falta de experiencia y sobre todo el adecuarme al ritmo de la clase.
Gracias a la confianza y apoyo de mi tutor tuve la oportunidad de equivocarme y
aprender mucho de mis errores. Cada clase es un mundo y no se puede tirar de ella
constantemente en cada sesin. Hay que plantear ejercicios y problemas y ver cmo los
afrontan de forma constante, pasarse por las mesas, resolver dudas y tener siempre muy
claro dnde se est y a dnde se quiere llegar. Si se coloca una piedra mal en el muro de
su aprendizaje hay que derribarlo todo. A m personalmente me sucedi, sent la inercia
de querer dar temas que aparecan en el libro, como el de la obtencin de la parbola en
funcin de un parmetro (Anexo A, Pg. 220 del libro) y perd ms de media clase en
explicar algo que luego no iba a preguntar.
Respecto al tema de cnicas y lugares geomtricos sorprende su aislamiento en el
currculo como puede apreciarse en los primeros captulos del trabajo. Apenas se da
nada en cursos anteriores ni en posteriores y el nivel con el que llegan los alumnos es
muy bajo (en relacin a lo que se exige). No es de extraar que muchos centros no lo
den dado que no entra en selectividad, prefiriendo avanzar con otros temas como
nmeros imaginarios o integrales. Adems entender bien la nocin de lugar geomtrico
requiere de muchos objetos matemticos que al estudiante le cuestan: generalizar el
concepto de distancia hacindolo funcional, manejo algebraico, ecuaciones no lineales,
Sin embargo, es un tema muy til e interesante (para el estudiante). Es til porque si el
alumno lo entiende fija unas bases estupendas para entender la geometra analtica (que
s entra en selectividad), adems si se preparan problemas contextualizados ensean a
los alumnos nuevas formas de afrontar y resolver problemas. Y es interesante porque
como estamos rodeados de cnicas, es un tema propicio a acercar a las matemticas al
mundo cotidiano del estudiante.
Por ltimo quisiera destacar el asunto de los problemas contextualizados. Casi desde el
principio me obcequ con los mismos y aun sabiendo que poda resultar difcil para los
estudiantes tuve la oportunidad de desarrollarlo al considerar que era mucho ms rico
que seguir nicamente las hojas del libro. Ensear a resolver problemas
contextualizados es muy difcil, y antes hay que realizar problemas y ejercicios sacados
de contexto. La experiencia demuestra que terminan por responder muy bien a este tipo
de problemas, que a la postre son los que la vida les deparar.
9.3. Cuestiones abiertas
Al trmino de este trabajo se plantean dos cuestiones abiertas evidentes. La primera est
relacionada con la resolucin de problemas contextualizados no slo relacionados con
los lugares geomtricos y las cnicas sino con la geometra analtica en general. Este
proyecto supone un primer acercamiento al tema desde una perspectiva docente y
supone un buen punto de partida para futuras investigaciones.
La segunda cuestin abierta est relacionada con un estudio ms profundo de cmo los
alumnos entienden y aplican la nocin de lugar geomtrico. Para esta el cuestionario
adjunto en el anexo C puede suponer un punto de partida valiossimo. Este trabajo toca
las dos cuestiones aqu planteadas como una introduccin docente, pero no con la
profundidad que tal vez requeriran.
Artigue, M. (1989). Ingnierie didactique.
Mathmatiques, 9(3), 282-307.
Bruo, G. M. (1927). Elementos de geometra. Pars: Librera de la Vda de Ch. Bouret.
Godino, J. D., Font, V., & Wilhelmi, M. R. (2009). Anlisis ontosemitico de una
Matemtica Educativa, 9(Especial), 133-156.
Gonzlez Prez, G. (2008). Matemticas 4 E.S.O. Opcin A. Madrid: Editex.
Hohenwarter, M., & al, e. (n.d.). Geogebra. Retrieved 2012, from www.geogebra.org
Martnez Mediano, J. M., Cuadra Lpez, R., & Barrado Chamorro, F. J. (2007).
Matemticas 1 Bachillerato. Madrid: McGraw Hill.
Martnez, B., Montesinos, P., Gonzlez, F., & Lpez, C. (2007). Matemticas 3 E.S.O.
MEC. (2006). Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre. BOE 293, de 8 de diciembre,
43053-43102.
MEC. (2007a). Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre. BOE 5, de 5 de enero,
677-773.
MEC. (2007b). Real Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre. BOE 266, de 6 de
noviembre, 45831-45477.
VV.AA. (2009). Matemticas II bachillerato. Barcelona: Edeb.
A. Unidad didctica del libro de texto
B. Transparencias utilizadas durante las clases
C. Prueba corta para evaluar la comprensin por
parte de los alumnos de la nocin de lugar
Se remarca antes que no se les realiz esta prueba por falta de tiempo. Puede resultar un
tanto difcil pero los resultados a extraerse pueden ser de gran ayuda.
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