Source: http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_22.html
Timestamp: 2014-10-22 09:31:10+00:00

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Manual de Maxima: 22. Métodos numéricos
22. Métodos numéricos 22.1 Introducción a la transformada rápida de Fourier • Funciones y variables para la transformada rápida de Fourier 22.2 Funciones para la resolución numérica de ecuaciones 22.3 Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales 22.4 Funciones para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales [ < ]
22.1 Introducción a la transformada rápida de Fourier El paquete fft contiene funciones para el cálculo numérico (no simbólico)
Función: polartorect (magnitude_array, phase_array)
Transforma valores complejos de la forma r %e^(%i t) a la forma
a + b %i, siendo r el módulo y t la fase.
Ambos valores r y t son arrays unidimensionales cuyos
tamños son iguales a la misma potencia de dos.
Los valores originales de los arrays de entrada son reemplazados por
las partes real e imaginaria, a y b, de los correspondientes
números complejos. El resultado se calcula como
polartorect es la función inversa de recttopolar.
Para utilizar esta función ejecútese antes load(fft).
Véase también fft.
Función: recttopolar (real_array, imaginary_array)
Transforma valores complejos de la forma a + b %i a la forma
r %e^(%i t), siendo a la parte real y a la imaginaria.
Ambos valores a y b son arrays unidimensionales cuyos
los módulos y las fases, r y t, de los correspondientes
El ángulo calculado pertence al rango de -%pi a %pi. recttopolar es la función inversa de polartorect.
Función: inverse_fft (y)
Calcula la transformada inversa rápida de Fourier.
y es una lista o array (declarado o no) que contiene los datos a
transformar. El número de elementos debe ser una potencia de dos.
Los elementos deben ser números literales (enteros, racionales,
de punto flotante o decimales grandes), constantes simbólicas,
expresiones del tipo a + b*%i, siendo a y b
números literales, o constantes simbólicas.
La función inverse_fft devuelve un nuevo objeto del
mismo tipo que y, el cual no se ve modificado. Los
resultados se calculan siempre como decimales o expresiones a + b*%i,
siendo a y b decimales.
La transformada inversa discreta de Fourier se define como se indica
a continuación. Si x es el resultado de la transformada inversa,
entonces para j entre 0 y n - 1 se tiene
Véanse también fft (transformada directa), recttopolar y polartorect.
Función: fft (x)
Calcula la transformada rápida compleja de Fourier.
x es una lista o array (declarado o no) que contiene los datos a
La función fft devuelve un nuevo objeto del
mismo tipo que x, el cual no se ve modificado. Los
La transformada discreta de Fourier se define como se indica
a continuación. Si y es el resultado de la transformada inversa,
entonces para k entre 0 y n - 1 se tiene
Si los datos x son reales, los coeficientes reales a y b
se pueden calcular de manera que x[j] = sum(a[k]*cos(2*%pi*j*k/n)+b[k]*sin(2*%pi*j*k/n), k, 0, n/2)
y, para k entre 1 y n/2 - 1,
Véanse también inverse_fft (transformada inversa), recttopolar y polartorect.
Cálculo de los coeficientes del seno y coseno.
(%i17) f(j) := sum (a[k] * cos (2*%pi*j*k / n) + b[k] * sin (2*%pi*j*k / n), k, 0, n/2) $
22.2 Funciones para la resolución numérica de ecuaciones Función: horner (expr, x)
Función: horner (expr)
Cambia el formato de expr según la regla de Horner utilizando x como variable principal, si ésta se especifica. El argumento x se puede omitir, en cuyo caso se considerará como variable principal la de expr en su formato racional canónico (CRE).
La función horner puede mejorar las estabilidad si expr va a ser numéricamente evaluada. También es útil si Maxima se utiliza para generar programas que serán ejecutados en Fortran. Véase también stringout.
Función: find_root (expr, x, a, b, [abserr, relerr])
Función: find_root (f, a, b, [abserr, relerr])
Función: bf_find_root (expr, x, a, b, [abserr, relerr])
Función: bf_find_root (f, a, b, [abserr, relerr])
Variable opcional: find_root_error
Variable opcional: find_root_abs
Variable opcional: find_root_rel
Calcula una raíz de la expresión expr o de
la función f en el intervalo cerrado [a, b].
La expresión expr puede ser una ecuación, en cuyo caso find_root busca una raíz de
lhs(expr) - rhs(expr).
Dado que Maxima puede evaluar expr o f en [a, b], entonces, si expr o f es
continua, find_root encuentrará la raíz
buscada, o raíces, en caso de existir varias.
La función find_root aplica al principio la
búsqueda por bipartición. Si la expresión es lo suficientemente
suave, entonces find_root aplicará el método
de interpolación lineal.
bf_find_root es una versión de find_root para números
reales de precisión arbitraria (bigfloat). La función se evalúa utilizando la aritmética de estos números, devolviendo
un resultado numérico de este tipo. En cualquier otro aspecto,
bf_find_root es idéntica a find_root, siendo la
explicación que sigue igualmente válida para bf_find_root. La precisión de find_root está controlada por abserr y
relerr, que son claves opcionales para find_root. Estas claves toman la forma key=val. Las claves disponibles son:
Error absoluto deseado de la función en la raíz. El
valor por defecto es find_root_abs. relerr
Error relativo deseado de la raíz. El valor por defecto
es find_root_rel.
find_root se detiene cuando la función alcanza un valor menor o
igual que abserr, o si las sucesivas aproximaciones x_0, x_1
difieren en no más que relerr * max(abs(x_0), abs(x_1)). Los
valores por defecto de find_root_abs y find_root_rel son
find_root espera que la función en cuestión tenga signos
Si la función toma valores numéricos en ambos extremos y estos
números son del mismo signo, entonces
el comportamiento de find_root se controla con find_root_error.
Cuando find_root_error vale true, find_root
devuelve un mensaje de error; en caso contrario, find_root
devuelve el valor de find_root_error. El valor por defecto
de find_root_error es true.
Si en algún momento del proceso de búsqueda f alcanza un valor
no numérico, find_root devuelve una expresión parcialmente evaluada.
Se ignora el orden de a y b; la región de búsqueda es
[min(a, b), max(a, b)].
Función: newton (expr, x, x_0, eps)
Devuelve una solución aproximada de expr = 0 obtenida
por el método de Newton, considerando expr como una función
de una variable, x.
La búsqueda comienza con x = x_0 y continúa
hasta que se verifique abs(expr) < eps, donde
expr se evalúa con el valor actual de x.
La función newton permite que en expr haya variables
no definidas, siempre y cuando la condición de terminación
abs(expr) < eps pueda reducirse a un valor
lógico true o false; de este modo, no es necesario
que expr tome un valor numérico.
Ejecútese load(newton1) para cargar esta función.
Véanse también realroots, allroots, find_root y mnewton.
(%i4) assume (a &gt; 0);
(%o4)                        [a &gt; 0]
22.3 Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) que se resuelven con las funciones de esta
sección deben tener la forma
la cual es una EDO de primer orden. Las ecuaciones diferenciales de orden n deben escribirse como un sistema de n ecuaciones de primer
orden del tipo anterior. Por ejemplo, una EDO de segundo orden debe escribirse
como un sistema de dos ecuaciones,
El primer argumento de las funciones debe ser una lista con las expresiones
de los miembros derechos de las EDOs. Las variables cuyas derivadas se representan
por las expresiones anteriores deben darse en una segunda lista. En el caso antes
citado, las variables son x y y. La variable independiente, t
en los mismos ejemplos anteriores, pueden darse mediante una opción adicional. Si las expresiones dadas no dependen de esa variable independiente, el sistema
recibe el nombre de autónomo.
22.4 Funciones para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales Función: plotdf (dydx, ...options...)
Función: plotdf (dvdu, [u,v], ...options...)
Función: plotdf ([dxdt,dydt], ...options...)
Función: plotdf ([dudt,dvdt], [u,v], ...options...)
Dibuja un campo de direcciones en dos dimensiones x y y.
dydx, dxdt y dydt son expresiones que dependen de x y
y. Además de esas dos variables, las dos expresiones pueden depender de
un conjunto de parámetros, con valores numéricos que son dados por medio
de la opción parameters (la sintaxis de esa opción se explica mas al
frente), o con un rango de posibles valores definidos con la opción
Varias otras opciones se pueden incluir dentro del comando, o
seleccionadas en el menú. Haciendo click en un punto del gráfico se
puede hacer que sea dibujada la curva integral que pasa por ese punto;
lo mismo puede ser hecho dando las coordenadas del punto con la opción
trajectory_at dentro del comando plotdf. La dirección de
integración se puede controlar con la opción direction, que
acepta valores de forward, backward ou both. El
número de pasos realizado en la integración numérica se controla
con la opción nsteps y el incremento del tiempo en cada paso
con la opción tstep. Se usa el método de Adams Moulton para
hacer la integración numérica; también es posible cambiar para el
método de Runge-Kutta de cuarto orden con ajuste de pasos.
Menú de la ventana del gráfico:
El menú de la ventana gráfica dispone de las siguientes opciones:
Zoom, que permite cambiar el comportamiento del ratón, de
manera que hará posible el hacer zoom en la región del gráfico
haciendo clic con el botón izquierdo. Cada clic agranda la imagen
manteniendo como centro de la misma el punto sobre el cual se ha hecho
clic. Manteniendo pulsada la tecla Shift mientras se hace clic,
retrocede al tamaño anterior. Para reanudar el cálculo de las
trayectorias cuando se hace clic, seleccine la opción Integrate
La opción Config del menú se puede utilizar para cambiar
la(s) EDO(S) y algunos otros ajustes. Después de hacer los cambios, se
debe utilizar la opción Replot para activar los nuevos ajustes.
Si en el campo Trajectory at del menú de diálogo de
Config se introducen un par de coordenadas y luego se pulsa la
tecla retorno, se mostrará una nueva curva integral, además de
las ya dibujadas. Si se selecciona la opción Replot, sólo se
mostrará la última curva integral seleccionada.
Manteniendo pulsado el botón derecho del ratón mientras se mueve el
cursor, se puede arrastrar el gráfico horizontal y verticalmente.
Otros parámetros, como pueden ser el número de pasos, el valor
inicial de t, las coordenadas del centro y el radio, pueden
cambiarse en el submenú de la opción Config.
Con la opción Save, se puede obtener una copia del gráfico en
una impresora Postscript o guardarlo en un fichero Postscript. Para
optar entre la impresión o guardar en fichero, se debe seleccionar
Print Options en la ventana de diálogo de Config. Una
vez cubiertos los campos de la ventana de diálogo de Save,
será necesario seleccionar la opción Save del primer menú
para crear el fichero o imprimir el gráfico.
La función plotdf admite varias opciones, cada una de las cuales
es una lista de dos o más elementos. El primer elemento es el nombre de
la opción, y el resto está formado por el valor o valores asignados
a dicha opción.
La función plotdf reconoce las siguientes opciones:
tstep establece la amplitud de los incrementos en la
variable independiente t, utilizados para calcular la curva
integral. Si se aporta sólo una expresión dydx, la variable
x será directamente proporcional a t.
nsteps establece el número de pasos de longitud
tstep que se utilizarán en la variable independiente para
calcular la curva integral.
El valor por defecto es 100.
direction establece la dirección de la variable
independiente que será seguida para calcular una curva integral.
Valores posibles son: forward, para hacer que la variable
independiente aumente nsteps veces, con incrementos tstep;
backward, para hacer que la variable independiente
disminuya; both, para extender la curva integral nsteps
pasos hacia adelante y nsteps pasos hacia atrás.
Las palabras right y left se pueden utilizar como
sinónimos de forward y backward.
El valor por defecto es both.
tinitial establece el valor inicial de la variable
t utilizado para calcular curvas integrales. Puesto que las
ecuaciones diferenciales son autónomas, esta opción sólo
aparecerá en los gráficos de las curvas como funciones de t.
versus_t se utiliza para crear una segunda ventana
gráfica, con el gráfico de una curva integral, como dos funciones
x, y, de variable independiente t. Si se le da a
versus_t cualquier valor diferente de 0, se mostrará la
segunda ventana gráfica, la cual incluye otro menú, similar
al de la ventana principal.
trajectory_at establece las coordenadas xinitial
y yinitial para el extremo inicial de la curva integral.
No tiene asignado valor por defecto.
parameters establece una lista de parámetros,
junto con sus valores numéricos, que son utilizados en la
definición de la ecuación diferencial. Los nombres de los
parámetros y sus valores deben escribirse en formato de cadena
de caracteres como una secuencia de pares nombre=valor
sliders establece una lista de parámetros que
se cambiarán interactivamente utilizando barras de deslizamiento,
así como los rangos de variación de dichos parámetros.
Los nombres de los parámetros y sus rangos deben escribirse en formato
de cadena de caracteres como una secuencia de pares nombre=min:max
xfun establece una cadena de caracteres con funciones
de x separadas por puntos y comas para ser representadas por
encima del campo de direcciones. Estas funciones serán interpretadas
por Tcl, no por Maxima.
xradius es la mitad de la longitud del rango de valores
a representar en la dirección x.
El valor por defecto es 10.
yradius es la mitad de la longitud del rango de valores
a representar en la dirección y.
xcenter es la coordenada x del punto situado en el centro
ycenter es la coordenada y del punto situado en el centro
width establece el ancho de la ventana gráfica en
El valor por defecto es 500.
height establece la altura de la ventana gráfica en
NOTA: Dependiendo de la interface que se use para Maxima, las funciones
que usan openmath, incluida plotdf, pueden desencadenar un
fallo si terminan en punto y coma, en vez del símbolo de
dólar. Para evitar problemas, se usará el símbolo de
dólar en todos ejemplos.
Para mostrar el campo de direcciones de la ecuación diferencial
y' = exp(-x) + y y la solución que pasa por (2, -0.1):
(%i1) load(&quot;plotdf&quot;)$
(%i2) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1]);
Para mostrar el campo de direcciones de la ecuación diff(y,x) = x - y^2 y la solución de condición
inicial y(-1) = 3, se puede utilizar la sentencia:
(%i3) plotdf(x-y^2,[xfun,&quot;sqrt(x);-sqrt(x)&quot;],
El gráfico también muestra la función y = sqrt(x).
El siguiente ejemplo muestra el campo de direcciones de un oscilador
armónico, definido por las ecuaciones dx/dt = y y
dy/dt = -k*x/m, y la curva integral que pasa por
(x,y) = (6,0), con una barra de deslizamiento que permitirá cambiar el valor de m interactivamente
(k permanece fijo a 2):
(%i4) plotdf([y,-k*x/m],[parameters,&quot;m=2,k=2&quot;],
[sliders,&quot;m=1:5&quot;], [trajectory_at,6,0]);
Para representar el campo de direcciones de la ecuación de
Duffing, m*x"+c*x'+k*x+b*x^3 = 0, se introduce la
variable y=x' y se hace:
[parameters,&quot;k=-1,m=1.0,c=0,b=1&quot;],
[sliders,&quot;k=-2:2,m=-1:1&quot;],[tstep,0.1]);
El campo de direcciones de un péndulo amortiguado,
incluyendo la solución para condiciones iniciales dadas,
con una barra de deslizamiento que se puede utilizar para
cambiar el valor de la masa, m, y con el gráfico
de las dos variables de estado como funciones del tiempo:
[parameters,&quot;g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05&quot;],
[sliders,&quot;m=0.1:1&quot;], [versus_t,1]);
Función: ploteq (exp, ...options...)
Dibuja curvas equipotenciales para exp, que debe ser una expresión
dependiente de dos variables. Las curvas se obtienen integrando la ecuación
diferencial que define las trayectorias ortogonales a las soluciones del sistema autónomo que se obtiene del gradiente de la expresión dada.
El dibujo también puede mostrar las curvas integrales de ese sistema
de gradientes (opción fieldlines).
Este programa también necesita Xmaxima, incluso si se ejecuta Maxima desde
una consola, pues el dibujo se creará por el código Tk de Xmaxima.
Por defecto, la región dibujada estará vacía hasta que el
usuario haga clic en un punto, dé sus coordenadas a través del menú o
mediante la opción trajectory_at.
La mayor parte de opciones aceptadas por plotdf se pueden utilizar
también con ploteq y el aspecto del interfaz es el mismo que el
descrito para plotdf.
(%i2) ploteq(V,[x,-2,2],[y,-2,2],[fieldlines,&quot;blue&quot;])$
Haciendo clic sobre un punto se dibujará la curva equipotencial que pasa por
ese punto (en rojo) y la trayectoria ortogonal (en azul).
Función: rk (ODE, var, initial, dominio)
Función: rk ([ODE1,...,ODEm], [v1,...,vm], [init1,...,initm], dominio)
La primera forma se usa para resolver numéricamente una ecuación
numéricamente un sistema de m de esas ecuaciones, usando el método
EDO debe ser una expresión que dependa únicamente de las variables
independiente y dependente, y define la derivada de la variable dependiente
en función de la variable independiente.
La variable independiente se representa con dominio, que debe ser
segundo y tercer elementos son los valores inicial y final para esa
variable, y el último elemento da el valor de los incrementos que
deberán ser usados dentro de ese intervalo.
Si se van a resolver m ecuaciones, deberá haber m
variables dependientes v1, v2, ..., vm. Los valores
iniciales para esas variables serán inic1,
inic2, ..., inicm. Continuará existiendo apenas una
variable independiente definida por la lista domain, como en
el caso anterior. EDO1, ..., EDOm son las expresiones que
definen las derivadas de cada una de las variables dependientes en
función de la variable independiente. Las únicas variables que
pueden aparecer en cada una de esas expresiones son la variable
independiente y cualquiera de las variables dependientes. Es importante
que las derivadas EDO1, ..., EDOm sean colocadas en la lista
en el mismo orden en que fueron agrupadas las variables dependientes;
por ejemplo, el tercer elemento de la lista será interpretado como la
derivada de la tercera variable dependiente.
fijos. Si en algún paso una de las variables dependientes toma un
valor absoluto muy grande, la integración será suspendida en ese
punto. El resultado será una lista con un número de elementos igual
al número de iteraciones realizadas. Cada elemento en la lista de
resultados es también una lista con m+1 elementos: el valor de

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
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