Source: https://www.scribd.com/doc/179329919/Guia-Para-El-Desarrollo-Del-Pensamiento-a-Traves-de-La-Matematica
Timestamp: 2017-05-24 11:03:07+00:00

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cuyas bondades y exigencias no son las mismas que las que nos tocó vivir.
Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes. Por un lado. es decir. hemos estado formando parte de un paradigma educativo caracterizado por una enseñanza basada en la transmisión y aprendizaje de contenidos.6% de nuestros estudiantes de Primaria y Secundaria no comprendían con eficacia lo que leían y en la evaluación del rendimiento de los escolares del país realizada por la UMC3 del Ministerio de Educación.
. Diseño Curricular Nacional. Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico. se caracteriza por un enorme desarrollo de las tecnologías y comunicaciones en la que la información se incrementa día a día y los conocimientos se renuevan permanentemente. está la persistencia de esquemas tradicionales de entender y hacer educación. Desde esta perspectiva. Unidad de Medición de la Calidad Educativa. el 41% apenas puede resolver problemas matemáticos simples. pues. En este contexto el Ministerio de Educación propone en el DCN del 2005 un diseño curricular que “tiene como máxima aspiración desarrollar en el estudiante capacidades. en la que confluyen varios factores. conocimientos. la misma realidad con sus carencias ancestrales y su diversidad. con métodos memorísticos. valores y actitudes que le permitan una educación integral para alcanzar su autorrealización.”
. por años. la sociedad actual llamada por algunos sociedad del conocimiento. El reconocimiento del estado actual de la educación en nuestro país no tiene como propósito precisar responsabilidades o lamentarnos como si esto fuera irremediable. que dificulta la aplicación de cualquier propuesta de modo uniforme. si poseen las capacidades que les permitan utilizar los medios de que dispone la sociedad actual. Según los resultados de la prueba PISA aplicada por la OCDE en el año 2001. Pero este cambio será posible sólo si las personas tienen las herramientas para ello. sin utilidad para la vida. utilizando las operaciones elementales (suma. y por el otro. tampoco implica convertirlos en meros receptores esperando que otros se encarguen de traer alguna solución mágica. Este es el otro escenario que no hay que omitir. educamos a estudiantes para la sociedad actual. multiplicación y división). resta. carentes de significado y contexto.INTRODUCCIÓN
La educación peruana atraviesa una grave crisis. sino por el contrario estamos obligados a asumir y tomar conciencia de esta situación y decidirnos a cambiarla. el 79. Sobre ello.
las cuales tienen implicancia en la presencia de nuevos contenidos.
. se propone una gama de actividades lúdicas muy útiles no sólo para hacer más amena las clases de matemática. el razonamiento. la resolución de problemas. las inferencias. la cual pone énfasis en el desarrollo del pensamiento mediante la resolución de problemas y la relación de la matemática con las demás disciplinas mediante la modelación matemática. todas las cuales han sido validadas en la práctica educativa. desarroladas en forma didáctica y con la intencionalidad expresa de contribuir con ello al desarrollo de capacidades en los estudiantes. También se aborda el pensamiento matemático a partir del análisis de las concepciones que se tienen acerca de él en las ciencias vinculadas a su estudio. la creatividad. etc. así como de la evolución de su enseñanza. Todas las capacidades mencionadas son necesarias para cualquier aprendizaje y útiles para la vida. los resultados de las neurociencias y las inteligencias múltiples. En esta guía se presenta como marco teórico referencial un conjunto de ideas como las corrientes psicopedagógicas más difundidas. la síntesis. la interpretación. el análisis. se construyen en base a axiomas y deducciones.mejorar la labor educativa del docente. por lo cual para su aprendizaje exige del estudiante el desarrollo de capacidades como la abstracción. y el rol cada vez más activo de la matemática como herramienta de las demás ciencias. pues consideramos que el docente debe reflexionar al respecto y participar activamente como miembro de la comunidad educativa matemática internacional. Es decir se pondera y toma conciencia de todo aquello que afecte de una u otra forma el proceso de la educación matemática. las analogías. sino en consideración al hecho de haber sido seleccionadas con criterio pedagógico. Finalmente. Cabe señalar que los contenidos matemáticos que se presentan en las sesiones de aprendizaje en el aula.
. Y esto se lleva a cabo de la siguiente manera: Se enfrenta al alumno a una situación nueva. a partir del esquema que ya posee. fundamentalmente. si logra asimilar enteramente la nueva información.1. y más bien los transforma. la suma será 20 x 1 = 20. a un estudiante se le pide calcular: . . aunque con un procedimiento largo lo haría. transforma su esquema inicial en función de la nueva información que es incorparada a
Debemos señalar la posibilidad de que la nueva información el sujeto no la asimile o la asimile parcialmente. pero que se puedan articular con lo que él conoce: “puede agrupar sumandos”..5 + 6 . en el sentido de que no los acumula.3 + 4 . Por ejemplo.1
su andamiaje por reestructuración o subsanación. el estudiante construye activamente sus conocimientos. y como son veinte de éstas.
Sumando en parejas obtiene siempre +1. La construcción del nuevo conocimiento surge cuando de un esquema inicial se pasa a otro de mayor calidad. Esta nueva estrategia ya forma parte de su estructura cognitiva. mediante dos procesos: el proceso de asimilación y el de acomodación. pero que él pueda asimilarlo parcialmente.
Debe buscar otras estrategias.39 + 40
Su esquema le permite realizar sumas más simples. los configura y les da significado acorde en el objeto de su aprendizaje.
ENFOQUE COGNITIVO Para Jean Piaget. Dicha construcción la lleva a cabo. . esto significará que la situación de aprendizaje no estuvo al alcance de él o las acciones para este proceso no fueron efectivas. Ello provoca un conflicto cognitivo: hay una perturbación del esquema inicial que trata de reorganizarse. La acomodación por su parte.1 + 2 . Durante la asimilación el sujeto incorpora la nueva información a su estructura cognitiva. Se produce un nuevo nivel de equilibrio.
Piaget. como tampoco tomarlos al pie de la letra. aparecen importantes tendencias en el contenido del pensamiento (realismo y artificialismo). clasificar. debido a que en este período todavía no poseen la capacidad lógica.
Fase de inteligencia preoperatoria o intuitiva. Son referentes importantes.No se pueden ignorar los estadíos propuestos por J. se plantean todas las posibilidades de interacción o combinación. seriar y resolver problemas que impliquen nociones organizadas similares. pues nos ayudan a dosificar los contenidos seleccionados y los procesos a aplicar. los describimos a continuación:
Actuaciones puramente prácticas. Resumidamente. espacio y cantidad en los niños pequeños sigue una evolución paralela a la de su inteligencia práctica. Ante un problema determinado. El lenguaje tendrá un gran desarrollo.
El adolescente adquiere una mayor capacidad de abstracción.
. El desarrollo de las nociones de tiempo.
Acciones sobre la realidad. El razonamiento adquiere un carácter hipotético deductivo.
Aparece la capacidad de conservar.
deportistas u otros profesionales que más desarrollan un área en particular. sino también porque un mismo sujeto no siempre tiene homogeneidad intelectual en todos los conocimientos. pues según el desarrollo de sus capacidades se encuentra en diferentes etapas. no se debe generalizar.Respecto a los estadíos de J. Piaget sugiere hablar mejor de secuencialidad de las etapas.
Se puede observar que un individuo no es homogéneo en su desarrollo cognitivo. no sólo por los diversos grupos sociales y culturales existentes. Tal es el caso de los artistas. Por ello J. se dan casos en que determinadas áreas están en un
nivel cognitivo distinto al que le correspondería. Piaget. como él mismo lo indicó.
son un fenómeno social.
.ENFOQUE SOCIOCULTURAL Lev Vigotsky considera al individuo como el resultado de un proceso histórico y social en el cual el lenguaje d e s e m p e ñ a u n pa p e l e s e n c i a l . ZP: viene a ser la zona hasta donde podría aprender con la ayuda de otra persona que conozca más que él (profesor o su par). En el enfoque de Vigotsky se pone énfasis fundamentalmente en los conceptos: funciones mentales. etc. naturales y a partir de ellas sólo respondemos al medio en una forma limitada. por sus propios medios. habilidades psicológicas. lo que nos permite desarrollar aprendizajes cada vez más complejos. de mejor calidad. primero corresponden al plano social (intersicológicas) y progresivamente se dirigen al ámbito individual (intrasicológicas). en cambio las superiores resultan de la interacción social con los demás. atención. la sociedad nos moldea con sus características y para desarrollarnos en ella aprendemos sus símbolos. adquirimos conciencia de nosotros mismos. Las posibilidades que tiene el individuo de desarrollar sus habilidades psicológicas mediante la interacción con los demás se denomina Zona de Desarrollo Próximo. Habilidades psicológicas . es decir. Esto quiere decir que nuestro aprendizaje será mayor si la interacción con los demás es más enriquecedora. herramientas psicológicas y mediación. zona de desarrollo próximo. Funciones mentales. formulación de conceptos. Las habilidades de las funciones mentales superiores: memoria. También podemos definirla como la región entre lo que el sujeto es capaz de aprender por sí solo (capacidades reales) y lo que puede hacer con la ayuda de los demás (capacidades potenciales). Zona de Desarrollo Próximo(ZDP).
ZR: viene a ser lo que propiamente puede aprender una persona. Aprendemos socialmente. Vigotsky clasifica las funciones mentales en inferiores y superiores. Considera que el conocimiento es un proceso de interacción entre el sujeto y su medio sociocultural. casi impulsiva. con ayuda de los demás. A este concepto de transformación de las habilidades de lo social hacia lo individual le llama interiorización. Las primeras son genéticas.
pues nos va a permitir tener conciencia de nosotros. de igual modo la interiorización de las habilidades interpsicológicas en intrapsicológicas ocurren debido a la interacción con los demás. diagramas. mapas. son el medio que nos permite pasar de las funciones mentales inferiores a las superiores.
La mediación. Considera al lenguaje como una de las h e r r a m i e n ta s ps i c o l ó g i c a s m á s importantes. etc. Este concepto está
presente en todo momento del desarrollo del sujeto. símbolos. La interacción social a su vez se da mediante las herramientas psicológicas. en general nuestras acciones. internalizar las habilidades psicológicas del plano social hacia el individual. están culturalmente mediados. experiencias.Herramientas psicológicas. Es decir. es decir. el desarrollo en general está mediado por la cultura. A estos se les denomina herramientas psicológicas. pensamientos. nuestras herramientas psicológicas. El desarrollo de las funciones mentales inferiores hacia las superiores se da mediante la interacción social con los demás. controlar nuestra conducta y ejercitar la crítica sobre algunas situaciones socioculturales. conocimientos. nuestra búsqueda de conocimiento. desarrollar nuestra ZDP.
interacción social se produce mediante el uso de signos. gráficos. Nuestros comportamientos. obras de arte. etc.
Veamos dos formas. es decir el estudiante no le dio la importancia necesaria para incorporarlo a su estructura cognitiva.. ____. escribe dos términos semejantes a -8x3y5 :____. para el cual se requiere por parte de los estudiantes de ciertos prerrequisitos: conceptos y procesos matemáticos previos. -5y z.EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE DAVID AUSUBEL
Es bien sabido que la enseñanza tradicional se ha caracterizado por el énfasis en el aprendizaje memorístico o repetitivo. ¿cuáles son semejantes? Alumno : 5n y 7n Profesor : Bien. Esto sucede porque el aprendizaje anterior no fue significativo. Sin embargo. Reiteradamente nuestros docentes se encuentran con un cuadro desalentador cuando van a presentar un nuevo conocimiento. es decir. sin tener en cuenta si la nueva información guarda alguna relación con los conocimientos que posee el alumno. tengo cinco naranjas(5n). ni tampoco se tiene en cuenta el interés del alumno o el entorno que lo rodea. Anoten. de presentar el concepto algebraico de: “TÉRMINOS SEMEJANTES”
Profesor : Ahora vamos a estudiar lo que son los términos semejantes. Profesor : Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal Alumno : ¿Cómo?..9a bc y 12 a bc Profesor : ¿Entendieron? Bien. sus experiencias constituyen un factor de importancia. los docentes siempre identificarán algunas nociones que los estudiantes poseen relacionadas con el nuevo contenido.
. ¿qué son términos semejantes? Alumno : Los que tienen la misma parte literal Profesor : A ver. 8y.. 6x . Profesor :4a bc .
David Ausubel considera que el aprendizaje es significativo sólo cuando el estudiante es capaz de relacionar sus conocimientos previos con la nueva información que se le presenta. ahora 2x .! Alumno : Los que se parecen Profesor : A ver. ocho peras(8p) y siete naranjas(7n). entre otras. se necesita ser creativos. no era de su interés.
Profesor: ¿Qué entienden por términos semejantes?. para no desaprobar. -12x y son semejantes Alumno : ¿Y los coeficientes? Profesor : Pueden ser diferentes Alumno : Por favor más ejemplos profesor. ¿cuáles son semejantes? Alumno : 2x y 6x
Profesor : Entonces. ¿no entiendo? Profesor : Por ejemplo 7x y .¡Semejante es una palabra conocida por Uds. sólo lo aprendió para el momento. Sin embargo estos prerrequisitos sólo los poseen unos cuantos.
Debemos promover el aprendizaje significativo. sin relación con los saberes previos. ha de estar motivado para relacionar lo que aprende con lo que sabe. Lo más aceptable. y haciendo la salvedad de que ninguno por separado propone de manera integral el marco conceptual idóneo para la labor docente. el resultado de un proceso valitivo de construcción y no de una asimilación mecánica y pasiva causada por estímulos preestablecidos.
. sólo así será incorporado a su estructura cognitiva. Usar los medios adecuados para lograr un compromiso del estudiante con su aprendizaje.Debemos resaltar. es posible ubicar el desarrollo de sus diferentes capacidades en diferentes niveles. para que el aprendizaje resulte significativo. Piaget son un referente que debemos tener en cuenta. es pensar que según el contenido y la persona. Es decir él debe tener una actitud favorable para aprender. Vigotsky y Ausubel entre otros a la pedagogía actual. que para la matemática este tipo de aprendizaje representa un modo eficaz de lograr que los conocimientos sean aprendidos significativamente en base a las experiencias del alumno. Todo estudiante tiene saberes previos. pero ya tiene un conocimiento básico. En caso contrario. estaremos afirmando un aprendizaje memorístico acumulativo. incluyendo sus posibles aplicaciones en la vida. la nueva información se debe relacionar de manera sustantiva y no aleatoria con lo que él ya sabe. de modo particular. Teniendo en cuenta los aportes de Piaget. El docente debe conectar didácticamente el nuevo conocimiento con los saberes previos que posee el estudiante y con su utilidad para la vida. quizá no siempre correctos. Aquí los estadíos de J. básicamente. ello implica que antes de presentar un concepto matemático nuevo el docente debe explorar lo que el estudiante conoce sobre el tema. es decir. Estos saberes previos serán sus herramientas para asimilar la nueva información. Reflexionar y decidir sobre qué conocimientos reconstruir y en qué momento hacerlo es una acción permanente en el proceso de enseñanzaaprendizaje. actualmente. sólo así determinará si los conocimientos previos le permitirán construir con cierta facilidad los nuevos
conocimientos e integrarlos a su estructura cognitiva. Una persona no siempre tiene un nivel intelectual homogéneo para todos y cada uno de sus aprendizajes. El aprendizaje en interacción con los demás es más enriquecedor para la persona. podemos proponer las siguientes sugerencias:
El desarrollo y aprendizaje humano es.
Con los conocimientos anteriores no se ha podido entender a plenitud el complejo proceso del aprendizaje debido. conclusiones. pues sólo entendiendo este proceso se podrán diseñar las estrategias y materiales adecuados que se requieren en la enseñanza actual. en función de sus potencialidades. Se debe mediar para que pueda superar el estado de desequilibrio. a que es un fenómeno no sólo biológico y psicológico.
Actualmente es una necesidad en la formación de los docentes el estudio sobre el complejo proceso del aprendizaje. sino también social y cultural.
Además. precisamente. pero más importante aún es enseñarles a que elaboren sus propias estrategias.debe situarse en un contexto real y en situaciones significativas. Para ello. que a pesar de no ser un trabajo totalmente concluido .son de gran utilidad para la mejora de la labor docente. Filosofía. instrumentos que son el marco sobre el cual el docente despliega su acción mediadora. La Zona de Desarrollo Próximo es la posibilidad de aprender con el apoyo de los demás. El estudiante debe ser protagonista de su propio proceso de aprendizaje. sus estilos de aprendizaje y sus formas de actuar.l
El aprendizaje significativo consiste en romper el equilibrio inicial de sus esquemas respecto al nuevo contenido de aprendizaje. El aprendizaje es un proceso activo en el que se experimenta. se cometen errores y se buscan soluciones.como no lo es en ninguna ciencia . Últimamente la Neurociencia nos provee de resultados. Sociología. Biología y otras ciencias permanentemente desarrollan hipótesis.
1. esto sucede reestructurando su esquema inicial hasta que vuelva a reequilibrarse. en el cual intervienen una variedad de factores. de su propia capacidad de imaginar.
. y de no limitar las posibilidades individuales de los estudiantes.en la medida de lo posible .2
La Psicología. de promover aprendizajes significativos en forma autónoma en una amplia gama de situaciones y circunstancias. Ya que el aprendizaje o construcción del conocimiento se da en la interacción social. sugerencias. la enseñanza . debemos presentarles una gran variedad de estrategias que le resulten útiles para hacer frente a diversas situaciones. podemos precisar que nuestra labor pedagógica es lograr que los estudiantes sean capaces de aprender a aprender.
son ejecutadas predominantemente por el hemisferio derecho. Sus investigaciones permitieron establecer que la capacidad de hablar. a partir de la figura sombreada y sabiendo que cada
casillero es un cuadrado de 1cm de lado. trabajar con tareas geométricas. estrategias que estimulen ambos hemisferios.
Se observa que apelamos a la capacidad visual y numérica del estudiante. elaborar mapas conceptuales y rotar mentalmente formas o figuras. e s f u n d a m e n ta l m e n t e ejecutada por el hemisferio izquierdo. escribir. es decir consideramos ambos hemisferios cerebrales. Lo anterior lleva a replantear en las sesiones de aprendizaje.
. combinando las técnicas secuenciales.
Roger Sperry ganó el Premio Nobel de Medicina en 1981 por su trabajo sobre el Hemisferio Derecho del cerebro. Uno de los resultados que los educadores debemos tener en cuenta. mientras que la habilidad para percibir y orientarse en el espacio. leer y razonar con n ú m e r o s . lo cual contribuirá a estimular el hemisferio derecho. es que la efectividad del aprendizaje mejora si el contenido se presenta no sólo en la modalidad verbal tradicional (estímulo del hemisferio izquierdo) sino también en la modalidad no verbal: gráfica. se pide: • • Hallar el perímetro y el área de la región sombreada.
Por ejemplo. Dividir la figura sombreada en dos partes congruentes. pictórica u otra. lineales. de los reportes de investigación en el área de la Neurociencia. es decir de medidas y formas iguales.Sperry2 y colaboradores confirmaron la especialización de los hemisferios cerebrales. con otros enfoques que permitan a los alumnos hacer uso del pensamiento visual y espacial.
desde la parte superior. 4 Herrmann. dos corticales y dos límbicos. A diferencia de cómo históricamente se observaba al cerebro. The creative brain. Education on the Edge of Possibility. N. aun cuando se admite que el cerebro funciona como una totalidad integrada. crear y aprender. y G. debiendo propiciarse un clima agradable y emocionalmente cálido para una efectiva interacción estudiante-docente. imaginación. los docentes deben ser más sensibles a las barreras emocionales del aula de clase que influyen en la calidad del aprendizaje. que determinan
estilos diferentes de procesamiento de información en los individuos. La investigación. R. Ello contribuye a que se establezca un nexo afectuoso con el conocimiento.MacLean presenta un modelo del cerebro formado por tres elementos interrelacionados. La integración que se logre de la coalición de los diferentes centros y el proceso interactivo de información cruzada entre ellos. pero representan un avance significativo que los docentes debemos tener en cuenta. ellos controlan la vida instintiva. Herrmann4. y estudianteestudiante. Entonces. Lake Lure. que no tienen un carácter absoluto o culminado. 1989. emociones.
. Cada núcleo está asociado con un estilo particular de percibir al mundo. mediante este modelo. estos son: el cerebro reptiliano. los cuales pasamos a mencionar: Principio 1. El cerebro es un complejo sistema adaptativo. 5 Por otro lado Caine y Caine y sus colaboradores llegaron a establecer algunos principios de aprendizaje del cerebro. refuerza la idea de que los sentimientos y el aprendizaje son inseparables. en corte transversal. Esto lo postuló Lev Vigotsky pero desde una perspectiva psicológica. Herrmann plantea la arquitectura de su modelo de cerebro como una coalición de cuatro centros cerebrales que operan en forma integrada y situacional. VA: ASCD. emocional e intelectual. pensar. exdirector del Laboratorio del Comportamiento y la Evolución del Cerebro del Instituto Nacional de Salud Mental de Betheda. el sistema límbico y la neocorteza. North Caroline: The Ned Herrmann Group.N. Pensamientos. Alexandria. tal vez una de las características más poderosas del cerebro es su capacidad para funcionar en muchos niveles y de muchas maneras simultáneamente. y así aparecen los cuatro núcleos especializados. respectivamente. ha propuesto el modelo del cerebro total. Herrmann mira al mismo desde atrás. por su parte. predisposiciones y fisiología operan concurrente e interactivamente en la medida en que todo el sistema interactúa e intercambia información con su entorno. 5 Caine. determina el potencial individual de operación cerebral. Caine (1997). formado por cuatro cuadrantes.
Esos sistemas son motivados por premios y castigos. habilidades y experiencias. de tal modo que los individuos pueden ser siempre vistos como partes integrales de sistemas sociales más grandes. Está siempre comprometido. a lo largo de nuestra vida. En realidad. El aprendizaje significativo ocurre a través de una combinación de ambos enfoques de memoria. por lo tanto. el aprendizaje está profundamente influido por la naturaleza de las relaciones sociales. Los educadores. Los educadores deben organizar lo que hacen para facilitar ese subsiguiente procesamiento inconsciente de la experiencia por parte de los estudiantes. Cada cerebro simultáneamente percibe y crea partes y todos. por tanto. ambos hemisferios interactúan en cada actividad. semanas o meses más tarde. y también de lo que está más allá del foco inmediato de atención. por ejemplo. tenemos un conjunto de sistemas para recordar información relativamente no relacionada (sistemas taxonómicos). Principio 3. nuestros cerebros cambian en respuesta a su compromiso con los demás. El aprendizaje implica tanto una atención focalizada como una percepción periférica. En una persona sana. no expresa todo lo que es el cerebro. Principio 4. Para ello hay que diseñar apropiadamente el contexto. ocurrir que parte de la comprensión no se dé durante la clase. De hecho. Por lo tanto.
. La buena capacitación y educación reconocen esto. El aprendizaje siempre implica procesos conscientes e inconscientes. mucho de nuestro aprendizaje es inconsciente. Puede.Principio 2. los detalles de la fiesta de cumpleaños. Tenemos al menos dos maneras de organizar la memoria. introduciendo proyectos e ideas naturalmente "globales" desde un primer momento. incorporando la reflexión y actividades metacognitivas. Así. si bien un aspecto de la conciencia es consciente. y proporcionando los medios para ayudar a los estudiantes a explayar creativamente ideas. estamos biológicamente implementados con la capacidad de registrar experiencias completas. es inagotable y lo motiva la novedad. Incluso las señales inconscientes que revelan nuestras actitudes y creencias interiores
tienen un poderoso efecto en los estudiantes. y también tenemos una memoria espacial/autobiográfica que no necesita ensayo y permite por "momentos" el recuerdo de experiencias. Este es el sistema que registra. sino horas. Principio 6. La doctrina del "cerebro dual" es útil porque nos recuerda que el cerebro reduce la información en partes y percibe la totalidad al mismo tiempo. "Las señales periféricas" son extremadamente potentes. Principio 5. si bien la distinción entre "cerebro izquierdo y cerebro derecho" es real. responde a un contexto sensorial más grande que aquel en que ocurre la enseñanza y la comunicación. pues. El cerebro es un cerebro social. por ejemplo. parte de nuestra identidad depende del establecimiento de una comunidad y de encontrar las maneras para pertenecer a ella. pueden y deben prestar una gran atención a todas las facetas del entorno educacional. el cerebro absorbe información de lo que está directamente consciente.
Otras. Tales oportunidades explican por qué las lenguas nuevas. Se hace entonces menos flexible y revierte a actitudes y procedimientos primitivos. hace el máximo de conexiones cuando es desafiado apropiadamente en un entorno que estimula el asumir riesgos. como también las artes. Cada cerebro está organizado de manera única. Capítulo 4: Entornos enriquecidos y el cerebro
. plantea que para enriquecer el cerebro se debe entender el aprendizaje como un reto. Algunas de estas diferencias son una consecuencia de nuestra herencia genética. hay predeterminadas secuencias de desarrollo en el niño. Los hemisferios cerebrales están p r e pa r a d o s pa r a a b s t r a c c i o n e s complejas entre los 11 y 13 años. sin embargo. dicho proceso ocurre de muchas maneras. lo que implica baja amenaza y alto desafío. Principio 8. lo cual favorece la creación de nuevas conexiones dendríticas. Sin embargo. Y. el cerebro es moldeado por las experiencias de la persona. La baja amenaza no es. deben ser introducidas a los niños muy temprano en la vida.
Autor del libro “Cerebro y aprendizaje”. El desarrollo neuronal no se produce por la solución en sí. mientras están expuestos a una variedad de estímulos o informaciones. El aprendizaje complejo se incrementa por el desafío y se inhibe por la amenaza. El elemento esencial de una amenaza percibida es un sentimiento de desamparo o fatiga. sino por el proceso que involucra la resolución de problemas interesantes. todos tenemos el mismo conjunto de sistemas y. Es por eso que debemos crear y mantener una atmósfera de alerta relajada. En parte. El aprendizaje es un proceso de desarrollo. por lo tanto. Las diferencias se expresan en términos de estilos de aprendizaje. características de lo que significa ser humano. La tensión y ansiedad originales son inevitables y deben esperarse en un aprendizaje
genuino. sin embargo. incluyendo las ventanas de oportunidad (oportunidad de aprender un concepto a una edad determinada) para asentar la estructura básica necesaria para un posterior aprendizaje.Principio 7. el cerebro aprende de manera óptima. Las inteligencias múltiples y vastos rangos de diversidad son. son consecuencia de experiencias diferentes y entornos diferentes. y a su vez se requiere de una retroalimentación interactiva o feedback. todos somos diferentes. Las neuronas continúan siendo capaces de hacer y reforzar nuevas conexiones a lo largo de toda la vida. no hay límite para el crecimiento ni para las capacidades de los seres humanos de aprender más. En parte. diferentes talentos e inteligencias. finalmente. Un importante corolario es apreciar que los alumnos son diferentes y que necesitan elegir. Esto se debe a que el genuino aprendizaje implica cambios que llevan a una reorganización del ser. sinónimo de simplemente "sentirse bien". Principio 9. Una de las formas de enriquecer el entorno es mediante la resolución de problemas. se contrae ante una amenaza percibida. etc. en muchos aspectos. es decir novedoso y desafiante. Por su parte Eric Jensen6 al referirse a la influencia del entorno.
caracterizan el comportamiento humano. existen hemisferios. por ejemplo el uso de rompecabezas. requiere de todo el cerebro. áreas o cuadrantes que cumplen funciones específicas. 2. acertijos. crucigramas matemáticos son excelentes para el cerebro. realizar excursiones. La figura adjunta ilustra esta propuesta:
Retroalimentación ! Específica ! Multimodal ! Oportuna ! Controlada por el alumno
De lo expuesto. desde tres perspectivas teóricas diferentes. se derivan dos conclusiones: 1. porque permite fundamentar el diseño de estrategias metodológicas no convencionales dirigidas a atender las diferentes dimensiones así como el desarrollo de la creatividad. Los hallazgos de la Neurociencia tienen implicaciones para la teoría y la práctica educativa. La Neurociencia constituye un nuevo paradigma que permite analizar y explicar el comportamiento humano inteligente. pero que. Desde el punto de vista de la práctica educativa. Esta condición se expresa en el mecanismo de funcionamiento del cerebro en el cual se relacionan las partes con el todo. es decir. juego de palabras. La característica más destacada en cada uno de los modelos presentados es la holicidad. también practicar juegos lógicos de computadora. al ofrecer explicaciones novedosas que permiten profundizar en las condiciones bajo las cuales el aprendizaje puede ser más efectivo. para operar de manera óptima. a su vez. son complementarias. trabajos grupales. al mismo tiempo. elaborar revistas. En el primer caso. Jensen sugiere variar las estrategias de enseñanza frecuentemente. pero este. realizar proyectos con estudiantes de diferentes edades.
en su capacidad para dirigir personas. lo convierten en un autor de gran impacto en el mundo de la educación. la computación numérica. Lo que no significa necesariamente ser inteligente en las áreas de Matemática y Comunicación. Se expresa en el canto. que brevemente describiremos a continuación: Inteligencia lingüística: es la capacidad involucrada en la lectura y escritura. Corresponde a la inteligencia que puede tener un filósofo. Estos hechos objetivos llevaron a Howard Gardner 7. un atleta. manipular objetos y lograr efectos en el ambiente. Inteligencia lógico-matemática: es la capacidad relacionada con el razonamiento abstracto. un ingeniero o un economista. en 1984. ya sea total o parcialmente. otros usan maravillosamente su cuerpo en la danza o el deporte.
Durante muchos años se pensó que una persona era inteligente si tenía habilidades numéricas y verbales. En la actualidad tiene gran reconocimiento académico por su obra dedicada a la inteligencia y la creatividad humana. un arquitecto. psicólogo de la Universidad de Harvard. en su buena orientación espacial. la derivación de evidencias y la resolución de problemas lógicos. su ritmo y sus pausas. un poeta o un orador. Sus contribuciones conceptuales y teóricas. Está relacionada con el potencial para estimular y persuadir por medio de la palabra. aun en ausencia de los estímulos concretos.
. Inteligencia corporal y cinestésica: es la capacidad para utilizar el propio cuerpo.
Howard Gardner. la ejecución de un instrumento. dependiendo del individuo. Implica controlar los movimientos corporales. otros destacan en la pintura. intérpretes o directores. controlar sus emociones.1. Permite crear modelos del entorno visual espacial y efectuar transformaciones a partir de él. Es decir estamos frente a una diversidad de inteligencias o una inteligencia que se expresa de diversas formas y además con diferente intensidad. por ejemplo. escenarios o rostros. un físico. respectivamente. Actualmente sabemos que las personas exitosas en muchos casos no necesariamente han destacado en estas áreas (Matemática y Comunicación).3
un escritor. un piloto o un escultor. son asertivos. ritmo y timbre de la música. Comprende la inteligencia propia de un artesano. podemos pensar en compositores. Podemos encontrar esta inteligencia en un navegante. por ejemplo la matemática en ese entonces se presentaba como un conjunto de algoritmos o de axiomas y deducciones adquiridas en forma memorística. la dirección orquestal o la apreciación musical. en la solución de problemas o en la interpretación. así como en el escuchar y hablar. Inteligencia espacial: es la capacidad utilizada para enfrentar problemas de desplazamiento y orientación en el espacio. Comprende la sensibilidad para los sonidos y las palabras con sus matices de significado. la composición. Por cierto. Inteligencia musical: es la capacidad para producir y apreciar el tono. un mimo o un cirujano. reconocer situaciones. pero sí saben. con sus derivaciones en el terreno de la práctica. etc. a plantear su propuesta de las inteligencias múltiples. Corresponde a la inteligencia que podemos encontrar en un matemático. pues.
y la naturaleza y estado de los desarrollos culturales o históricos en diferentes dominios. Hay muchas maneras de ser inteligentes dentro de cada categoría. incluyendo la época y el lugar donde uno nació y se crió. o en los deportes. A estas dos últimas inteligencias se las conoce también como “inteligencia emocional”. las propias emociones. reconocer los estados de ánimo personales. Triunfar en los negocios. pares. Una persona puede tener limitaciones en una cancha de fútbol y sin embargo poseer una habilidad asombrosa para tejer una chompa. Esta inteligencia puede estar representada en un político. tener claridad sobre las razones que llevan a reaccionar de un modo u otro. En general. Actualmente se reconoce la existencia de otras inteligencias. • Historia de vida personal. pero en cada campo utilizamos un tipo de inteligencia distinto que no es mejor ni peor. Albert Einstein no es más inteligente que Michael Jordan. No debemos desarrollar en forma exclusiva sólo una de ellas. Que las inteligencias se desarrollen o no depende. De lo expuesto.
Existen muchas formas de ser inteligente dentro de cada categoría. requiere ser inteligente. Gardner reconoce que su modelo es tentativo. como la ecológica ó ambiental la inteligencia moral o la pictórica. se debe tener presente que:
Todos poseemos estas inteligencias. La mayoría de las personas pueden desarrollar todas estas inteligencias hasta cierto nivel. durante o después del nacimiento. según Gardner.
. Inteligencia intrapersonal: es la capacidad para comprenderse a sí mismo. Ninguna es superior a otra. Ninguna inteligencia actúa en forma aislada. incluyendo las experiencias con los padres. un profesor. para percibir y discriminar emociones. y comportarse de una manera que resulte adecuada a las necesidades. esta inteligencia puede estar bien representada en cualquier persona adulta y madura. Debemos propiciar las manifestaciones de todas estas formas de inteligencia en nuestros estudiantes. como conjuntos disjuntos. todas son importantes. Está estrechamente asociada a los fenómenos interpersonales como la organización y el liderazgo. Hay otras formas de inteligencias que no conocemos. incluyendo los factores genéticos o hereditarios y los daños o heridas que el cerebro haya podido recibir antes. docentes. metas y habilidades personales. amigos u otras personas que ayudan a desarrollar las inteligencias o las
mantienen en un nivel de desarrollo incipiente. un líder religioso o un vendedor. lo que demostraría un gran desarrollo de la inteligencia corporal y cinestésica. en mayor o menor medida. motivaciones o intenciones. de tres factores principales: • Dotación biológica. Permite el acceso al mundo interior para luego poder aprovechar y a la vez orientar la experiencia.Inteligencia interpersonal: es la capacidad para entender a los demás y actuar en situaciones sociales. • Antecedente cultural e histórico. pues sus inteligencias pertenecen a campos diferentes. No se puede trazar fronteras rígidas entre ellas.
pero a su vez cómo ésta se relaciona y actúa con las demás. En la figura adjunta.
Yo puedo obtener todas las combinaciones cuyo resultado es 6.Por otro lado. sino hacerlo de manera integral a través de la matemática.
Yo puedo hablar acerca de mi experiencia en agregar más fichas en el juego de doble nueve. según el estilo de aprendizaje de los estudiantes:
Yo puedo leer el enunciado del problema acerca del dominó de 6 puntos. imagínese cómo se vería la persona.
Yo puedo ayudar a encontrar más juegos de dominó que podamos jugar juntos. debemos conocer y seguir investigando sobre la inteligencia LógicoMatemática. Desarrollar una sola inteligencia seria algo así como desarollar un solo músculo del cuerpo.
Yo puedo componer una canción sobre las combinaciones que encontremos usando la música de “Tres ratones ciegos”. se ilustra cómo a través de una actividad se desarrollan las distintas inteligencias. pues no se trata de desarrollar en forma exclusiva una sola forma de inteligencia.
a) Sucesiones numéricas Este concepto es muy conveniente para el desarrollo de capacidades específicas como por ejemplo buscar patrones. ?
1. estereotipos y prototipos. control emotivo y valoración justa. y que desemboca y concluye en un resultado o producto personalizado. 15 . coraje intelectual. indicios. que nos permiten ejemplificar la aplicación de nuestro pensamiento crítico y creativo. Flexibilidad. La fluidez. superando las rutas conocidas o los cánones preestablecidos.2 PENSAMIENTO CRÍTICO. • Identificación de información relevante e irrelevante. Según el D. nuestras actuaciones frente a diversas situaciones deben ser evaluadas por nosotros mismos para ir superando nuestras deficiencias. autorregulación. con la experiencia. Lo anterior implica desarrollar el análisis de la información recibida para formar su
. En la GDC2004 se describen las características de esta capacidad: • • • • • La divergencia.N. A continuación analizaremos dos nociones. 7 . Se considera que las personas que han desarrollado este tipo de pensamiento tienen las siguientes características: mente abierta. Se trata entonces de formar personas reflexivas. capaces de procesar y cuestionar constructivamente la ingente información a la que es sometida para. este pensamiento puede realizarse de diversas formas. no se ajusta a un esquema rígido de acción.4. Según la GDC2004. establecer relaciones. La originalidad.1. cuestionamiento permanente.1. agudeza perceptiva. Se entiende que este tipo de pensamiento es personal. es la capacidad de proponer formas originales de actuación. Y lo más importante permite reforzar en los estudiantes dos ideas: por un lado que para resolver un problema se puede elegir más de un camino y llegar a la misma respuesta(1).N. • Identificación de tendencias.1 PENSAMIENTO CREATIVO. y por otro lado. de esta manera. muy frecuentes en nuestra labor docente. • Identificación de supuestos implícitos. elaborando conclusiones propias y en forma argumentativa. 31 . para el cual se requiere transitar por otros caminos no estandarizados. tales como: • Confirmación de conclusiones con hechos.4. Veamos dichos aspectos. es la capacidad para actuar y conducirse en forma reflexiva..C.. Los docentes si no poseemos estas cualidades. que se puede obtener dos o más respuestas (2) para resolver un problema. (1)¿Cuál es el número que sigue en la sucesión: 3 . • Reconocimiento sobre generalizaciones y subgeneralizaciones.1. etc. podemos aprenderlas y ello se logra con la práctica. En la Guía para el Desarrollo de Capacidades (GDC-2004) se define como el procedimiento relativamente autónomo de una persona que actúa en y sobre su medio ambiente.
propio concepto. constituirse en un consumidor inteligente de sendas informaciones.C. La profundidad de pensamiento. ´ Según el D.
Adquiere importancia si lo analizamos desde un punto de vista crítico y creativo. 31 . 34 . 63 4 8 16 32
Estrategia B 3 2–1 . 88 3 2 1 5 3 2 8 5 3 13 8 4 21 12 33 Estrategia B 5 . pues no sólo se desarrollan las habilidades cognitivas de los estudiantes. identificar relaciones lógicas. Debemos promover la creación de este tipo de situaciones. 21 . 34 . sino también se refuerza la perseverancia. confianza y autoestima de los alumnos.
¡Hemos utilizado diferentes estrategias y obtenido la misma solución! (2)¿Cuál es el número que sigue en la sucesión: 5 .
. 15 . 34 . 55 .
. La utilidad de esta actividad es que nos permite desarrollar habilidades operativas: búsqueda de regularidades. 55 . 13 . Resulta oportuno que el mismo alumno exponga su estrategia o método de solución.Estrategia A 3 . 7 . 21 . 13 . 21 . Ejemplo 1: nos piden completar el número que falta en la tercera figura: 42 60
¿Qué decisión debe tomar el docente?. 13 . 8 . ? Veamos un método que generalmente se enseña: reiterar diferencias hasta encontrar una regularidad: Estrategia A 5 . 7 2–1
. ¿cuál es la respuesta correcta? Es conveniente que situaciones como esta se den durante las sesiones de aprendizaje. 55 . b) Analogías numéricas Este tipo de secuencia numérica no tendría nada de novedoso. que justifique su planteamiento. si nos quedamos en la mera transmisión de esquemas. 8 . 8 .
. Es importante promover la búsqueda de más soluciones y mejor aún si los estudiantes proponen sus propios ejercicios.Todas son válidas.5)x7 28 28 28
4 + 6 + 7 + 7 24 (7 .2k) 28 Así tenemos: K -80 -----4 28 -3 27 -2 26 -1 25 0 24 1 23 2 22 3 21 4 20 ----140 -116 (4+7)k + 6(4.Estrategia B 4 + 6 + 4x8 42 Estrategia C 6x5 + 4x4 . 22 E.5
Incluso podemos hallar una relación que genera infinitas soluciones enteras: (5+9)k + 7(4.4)x6 18 22
5 + 7 + 2(9) . 23.2
6x3 + (7+4):2 23.2k) = 24 .4 4x2 + 7x7. 18 D.4 Estrategia D 6x2 + 4x7 .2 7x3 + (9+5):2
4 + 6 + 2(7) . ya que sólo hay un modelo a tener en cuenta y no es suficiente para determinar una regularidad. pues existen “infinitas respuestas”.. 23 B. Ejemplo 2: ¿Qué número debe escribirse en la segunda figura? A. se requeriría al menos de dos modelos.k
Debemos tener mucho cuidado al proponer este tipo de ejercicios.4 8x2 + 6x7 . las cuales van a ser de utilidad para el desarrollo del pensamiento. 24 C. Lo que si debe evitarse es el empleo de ARTIFICIOS matemáticos. pues verifican los dos primeros modelos.2 42 42
4 + 8 + 6x8 8x5 + 6x4 .5 5
5 + 7 + 9 + 7 28 (9 .2
¿Cuál es la respuesta correcta?. ¿habrá otras respuestas?. Entonces debemos ser críticos y presentar actividades matemáticamente justificables.2
4 + 4 + 7x8 4x5 + 7x4 .
4 TOMA DE DECISIONES.1. el alumno debe estar convencido de que está en juego su formación profesional a futuro. las siguientes: • Es proactiva. Responden a intereses y motivaciones. si el profesor no refleja en su actuar que está convencido de lo que afirma. desarrollar nuestro juicio de valor respecto de la importancia de las variables involucradas en la situación. del pensar. que los orienten en su proyecto de vida. • La reversibilidad de las decisiones. discriminando los riesgos e implicancias de dicha elección. Así como también.
. En más de una ocasión hemos tenido la oportunidad de escuchar la expresión: nadie da lo que no tiene. conveniente y oportuna. • Está orientada hacia el logro de objetivos o metas. en el Primer Estudio Internacional Comparativo (UNESCO 2000).
1. hay que tener en cuenta que los alumnos tienen sus propios intereses. pero debemos aprender a ponderar los beneficios o riesgos de nuestra decisión. referirse a los factores asociados a los resultados. demostraciones del sentir. por parte de los alumnos. asumir responsablemente la decisión adoptada. determinó que el "Clima del Aula” es la variable individual que demostró el mayor efecto positivo sobre un mejor rendimiento en Lenguaje y en Matemática.4. afectivos y conductuales. sin motivación. dirán muchas personas. Los alumnos al percibir este cuadro actuarán de manera displicente.1. entonces esto constituye una desventaja para el liderazgo del profesor. si no se le ve satisfecho con lo que hace.2 EL DOCENTE Y LAS ACTITUDES Según el DCN. las actitudes son formas de actuar. • Implica una complementariedad entre las capacidades analítico-sintética e hipotético-deductiva. El aprendizaje se inicia con la aceptación. Es decir. Según el DCN es la capacidad para optar.4. Las actitudes tienen elementos cognitivos. por la más coherente. La GDC-2004 considera como características del pensamiento ejecutivo o toma de decisiones. si no muestra naturalidad en su trato. al
El docente debe utilizar las estrategias y recursos metodológicos adecuados con los estudiantes para que desarrollen sus capacidades y actitudes en un contexto favorable. A su vez.
En consecuencia el docente debe constituirse en un factor principal de motivación. Por otro lado. de quien esperan un modelo a imitar. un líder a seguir. En un informe que publicó el LLECE . Siempre tomamos decisiones. entre varias alternativas. y se trabajan transversalmente en todas las áreas y espacios. necesitan una persona con la que puedan compartir situaciones que los ayuden a sentirse mejor. de la propuesta y características personales del docente. lo que haga en el día a día tendrá sus implicancias más adelante. si transmite que su trabajo se reduce a soportar las “deficiencias” e inadecuadas actitudes de sus alumnos.
tienen otras propiedades que ni siquiera sospechamos. es el teorema de incompletitud. entonces irremedia blemente encontraremos que la relación 2 2 2 c = a + b es verdadadera
Para el platonismo las figuras geométricas. y que es parte de una disciplina universal que regiría todas las formas de argumentación.
. pero con el mismo origen y método. con el pensamiento aristotélico y con el de la escolástica medieval.CAPÍTULO 2
Es un factor de interés pedagógico la concepción que tenga el docente de la matemática y de la enseñanza de esta ciencia. en gran medida. como las demás ciencias o no. además. A continuación presentamos algunas de las concepciones que se tienen de la naturaleza de esta ciencia. b y de hipotenusa c . evolutiva o estática. publicado en 1931. mediante el empleo de deducciones lógicas. si es exacta e infalible o si es falible. si para el docente la matemática es una creación del hombre o existe fuera de la mente humana. Esta corriente plantea la existencia de dos Lógicas que se excluyen mutuamente: la deductiva y la inductiva. Una afirmación típica de esta escuela es que “La Lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás. si construimos un triángulo rectángulo de catetos a. 2. La deductiva busca la
El resultado más revolucionario de la Lógica del siglo XX. Es decir. corregible. ya que la matemática trasciende la mente humana.1 CONCEPCIONES SOBRE LA NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA El Platonismo Esta concepción considera la matemática como un sistema de verdades que ha existido desde siempre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades matemáticas. con vida propia. las operaciones y las relaciones aritméticas tienen propiedades que descubrimos sólo a costa de un gran esfuerzo. y reducir los teoremas de la matemática. nos resultan de alguna manera misteriosas. El Logicismo Esta corriente de pensamiento considera que la matemática es una rama de la Lógica. atribuida a Kurt Gödel9 (1906) y que coincide. por el que es especialmente famoso. Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos lógicos. inmutable e independiente del hombre. Por ejemplo. y existe fuera de ella independiente de nuestra actividad creadora. pues gran parte de su trabajo pedagógico estará influido por las ideas que posea al respecto. y que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias”.
Y nos corresponde decidir si lo continuaremos haciendo. por la forma como los organiza en estructuras y por la aplicación que les da. siempre provisorias. el desarrollo de la educación matemática y los estudios sobre psicología y sociología del conocimiento. y que sólo existe lo que en ella haya sido construido mentalmente con ayuda de la intuición. sin ser conscientes de ello. culturas y períodos históricos particulares y que. Ha sido importante en este cambio de concepción. El constructivismo matemático es muy coherente con la pedagogía activa y se apoya en la psicología genética. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el mundo real. cada estudiante necesita a su vez realizarlas. los nuevos planteamientos de la filosofía de la Matemática. parte de premisas generales para llegar a conclusiones específicas. la verdad de la Matemática formalista radica en la mente humana pero no en las construcciones que ella realiza internamente. las cuales va refinando a través de la exploración y de experiencias empíricas. ya no se admite nada impreciso u oscuro. parte de observaciones específicas para llegar a conclusiones generales.
. todo tiene que ser perfecto y bien definido. definiciones y teoremas como expresiones formales que se ensamblan a partir de símbolos. Las demostraciones tienen que ser rigurosas. todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante en la generación y desarrollo de sus conocimientos. El Intuicionismo Considera la matemática como el fruto de la elaboración que hace la mente a partir de lo que percibe a través de los sentidos y también como el estudio de las construcciones mentales cuyo origen o comienzo puede identificarse con la construcción de los números naturales. a la luz de la concepción actual que se tiene de esta ciencia. se parte de lo intuitivamente dado. Libertad para construir. es en el sistema escolar donde tiene lugar gran parte de la formación matemática de las nuevas generaciones. se interesa por las condiciones en las cuales la mente realiza la construcción de los conceptos matemáticos. El interés para el educador en conocer estos enfoques referidos a la Matemática tiene como objetivo invitar a la reflexión sobre nuestra práctica pedagógica y reconocer que muchos de nosotros actuamos en coherencia con algunos de estos. 32
En los últimos años. así como todas las formas de conocimiento. En la actividad matemática. El principio básico del Intuicionismo es que la Matemática se puede construir. además. entre otros factores. basadas únicamente en las reglas del juego deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos con los términos y las relaciones. han originado cambios profundos en las concepciones acerca de la matemática escolar. No basta con que el maestro haya hecho las construcciones mentales. representan las experiencias de personas que interactúan en entornos. que son manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o convenios preestablecidos. una vez fijados los términos iniciales y sus relaciones básicas.
El Formalismo Esta corriente plantea que la Matemática es una creación de la mente humana y considera que consiste solamente en axiomas.coherencia de las ideas entre sí. libertad para hacer hipótesis”. Para el formalista la Matemática comienza con la inscripción de símbolos en el papel. de lo finito. el reconocer que el conocimiento matemático. en eso nada ni nadie lo puede reemplazar. sino en la coherencia con las reglas del juego simbólico respectivo.
El Constructivismo Con las ideas constructivistas van muy bien algunos planteamientos de Georg Cantor (1845-1918): “La esencia de las matemáticas es su libertad.
Aceptar que el conocimiento matemático es resultado de una evolución histórica. a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. la culminación definitiva del conocimiento. cuyo dominio proporciona privilegios y ventajas intelectuales. Su valor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas. Estas reflexiones han dado lugar a que la comunidad de educadores matemáticos haya elaborado y plasmado una nueva visión de la Matemática escolar basada en:
Valorar la importancia que tienen los procesos constructivos y de interacción social en la enseñanza y en el aprendizaje de la Matemática. Privilegiar como contexto del quehacer matemático escolar las situaciones problemáticas. puesto que la Matemática es una herramienta intelectual potente.
Estas concepciones influyeron en la educación Matemática.
. Como toda tarea social debe ofrecer respuestas a una multiplicidad de opciones e intereses que permanentemente surgen y se entrecruzan en el mundo actual. constituyen una herramienta potente para el desarrollo de habilidades del pensamiento. y marcaron la pauta en las últimas décadas sobre la prioridad o el énfasis que caracterizó a las corrientes pedagógicas de las matemáticas. en muchos casos. Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías tanto en los diseños curriculares como en sus aplicaciones.El conocimiento matemático en la escuela es considerado hoy como una actividad social que debe tener en cuenta los intereses y la afectividad del niño y del joven. cuyo estado actual no es. de un proceso cultural. La tarea del educador matemático conlleva entonces una gran responsabilidad. Considerar que el conocimiento matemático (sus conceptos y estructuras).
que a veces no entienden nuestros alumnos. Estos han ido apareciendo y evolucionando. que el profesor conozca a grandes rasgos como han ido surgiendo estos conceptos. encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrar las soluciones. Ello lo llevó al concepto de número. se describen los propósitos fundamentales del aprendizaje de la Matemática en la Educación Secundaria: • Aprender a valorar positivamente la Matemática. • Resolver problemas de la vida cotidiana. el NCTM declaraba hace más de veinte años que «el objetivo fundamental de la enseñanza de las Matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas. incluyendo la aplicación de las mismas a situaciones de la vida diaria. no sólo de la Matemática. Constituye una ventaja. pues para comprenderse y establecerse tuvo que pasar. dificultad que tuvieron otras culturas. no sólo como visión del desarrollo de la ciencia matemática sino como recurso didáctico. así cada cifra del número 2118 tiene un doble significado: el propio de su símbolo y el de su posición dentro del número representado. • Adquirir confianza en las propias capacidades para hacer Matemática. pero su tratamiento simbólico eficaz no fue obtenido hasta que en Mesopotamia fue ideado el sistema de numeración posicional. sino que todas las culturas han contribuido a su nacimiento.
. al contrario se trataba de una diversidad con muchas regularidades por descubrir. aunque utilizaban la base 60 sin incluir el cero. Hacer matemática implica que uno se ocupe de problemas.» Asimismo. 2.3 LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA EN LA ENSEÑANZA Es importante que el profesor tenga conciencia de que los conceptos matemáticos no siempre estuvieron tan claramente definidos para ser comprendidos por los alumnos. en el tiempo. pero a veces se olvida que resolver un problema no es más que parte del trabajo. En la OTP-2005.
paulatinamente. muchas veces. Revisemos brevemente algunos momentos de esta historia de la evolución matemática que nos permiten reflexionar sobre el valor de esta ciencia. teniendo en cuenta esta perspectiva pedagógica. • Aprender a razonar matemáticamente. El hombre siempre percibió que el universo no era un montón de fenómenos sin ningún orden. La adopción de este sistema simplificó bastante las operaciones básicas.considerar la «resolución de problemas. construcción y desarrollo y aún están en constante evolución. sino en las demás disciplinas. cientos de años y además hay que observar que no son propiedad exclusiva de alguna cultura en particular.» Se puede observar que hasta la actualidad esta postura es predominante en la enseñanza-aprendizaje. La base sexagesimal usada por los mesopotamios persiste hasta la actualidad y ello lo vemos en nuestra medición del tiempo y de ángulos. El sistema posicional que usamos actualmente fue inventado en la India y llevado a Europa por los árabes.
Se cuenta que en uno de sus viajes a Egipto determinó la altura de la pirámide de Keops. escribieron significativas páginas en la historia de la matemática. inteligible por la razón humana incluyendo la Matemática.
Thales fue capaz de comprender y enseñar lo que había aprendido de su relación con los sacerdotes en Egipto. El texto de los trece libros Elementos de Euclides constituye la obra científica más influyente en todo el transcurso de la historia de la ciencia. Arquímedes y Apolonio (III a. y II a. también concebían un universo ordenado. de C. Pitágoras a lo largo de los cuatro siglos que median entre Thales de Mileto y él (VI a.) y Euclides. La geometría representa el intento de dar racionalidad matemática a las relaciones espaciales. Para medir la altura de la gran pirámide colocó verticalmente un palo en la tierra cerca de esta y midió la longitud del palo y de su sombra. de C. El triángulo rectángulo cuyos catetos son el palo y su sombra es semejante al triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura de la pirámide y la sombra de esta (en el mismo lugar y al mismo tiempo). convirtiéndolo en modelo para todo el
pensamiento científico posterior. 10
entonces h = 481. de C. de C. Estos conformaron el currículo de geometría en colegios y universidades durante los siguientes dos mil años. Por tanto se puede plantear:
770 16 h .25 pies
. Así.Por su parte los griegos que entre los siglos VII a.) afrontaron con éxito la tarea de dar consistencia racional rigurosa al pensamiento matemático. y es en ella donde los griegos tuvieron ocasión de desarrollar el modelo de ciencia deductiva que se impuso posteriormente.
pero ya desde el principio quedando bien presente la incomparable potencia de este instrumento que ha revolucionado la ciencia y tecnología posteriores. después de 1/7 de su vida contrajo nupcias. De esta conjunción de circunstancias nació el cálculo. tuvo la energía suficiente para aprender árabe con el fin de traducir y editar en latín algunas de las obras de Apolonio. Galileo. la creación matemática más influyente en el desarrollo de las diferentes ciencias. Newton. fue Diofanto de Alejandría. ¿podemos hallar cuántos años vivió Diofanto?
La expansión del imperio árabe propició el enlace del occidente europeo con la cultura griega. Por otra parte. al tiempo que
estimuló y preparó el camino para la invención del cálculo infinitesimal. El camino ya estaba preparado." Con esta información. que llegó a un gran florecimiento en la Europa Occidental durante los siglos XV y XVI.estaba escrito en su epitafio: "Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. aparece en forma de un acertijo que . Pascal. hindú y persa. La convergencia del talento matemático en el siglo XVII parece difícilmente repetible. Descartes. En el siglo XVII. La aparición del álgebra fue enormemente influyente en el desarrollo posterior de la Matemática. cada vez más perfeccionados. por obra de Newton y Leibniz. 1/12 en la adolescencia. con Fermat y Pascal. el último exponente de la tradición matemática griega. Descartes con la geometría analítica fue capaz de resolver en forma sencilla y mecánica muchos problemas difíciles de la geometría clásica. De igual modo los árabes fueron quienes en el siglo IX empiezan con las manipulaciones de símbolos. ya de alguna forma presente en los conceptos de la geometría analítica. cuando la barba cubrió su cara. Fermat. y por otra.se dice. para la Teoría de Números. Pero estos desarrollos corresponden a la obra de los grandes matemáticos del siglo XVII. Kepler. También en este período comienza. Huygens y otros más son los nombres más importantes que llenan el siglo con genialidades matemáticas. Halley. el álgebra representa un paso analítico muy importante en el dominio y uso racional del símbolo. A su vez. por la existencia de instrumentos de medida. el enfrentamiento propiamente matemático con otro de los
. en trigonometría plana y esférica. De él se desconoce su lugar y época de nacimiento. que condujeron a los inicios del álgebra.
El único dato acerca de la vida de Diofanto.El matemático que compiló un texto equivalente. Leibniz. del tiempo y de otras magnitudes. Luego de cinco años de casado nació su primer hijo. Fueron muchas las obras de los griegos que llegaron a Occidente por tan tortuosos vericuetos. mediante el alumbramiento del incipiente concepto de función. El hijo vivió ½ de la vida de su padre. por una parte. el famoso astrónomo contemporáneo de Newton. que ha sobrevivido. En sí misma. La infancia de Diofanto duró 1/6 de su vida. Primero en forma incipiente. Arithmetica. su padre buscó consuelo en los números pero no lo logró y murió cuatro años después que él. la actividad matemática del Oriente durante estos largos siglos se destacó por sus importantes logros en astronomía.
etc. pero nunca se halló tal demostración. no tenía solución. Incluso se comenzaba a dudar que fuese posible. con consecuencias prácticas muy importantes. La sistematización del análisis fue obra de Euler: el matemático más prolífico de todos los tiempos. habiéndose hallado demostraciones para potencias inferiores a 100. en la cual aparecía el Teorema de Pitágoras. que an + bn = cn (para n > 2) no tenía solución y que él había encontrado una demostración maravillosa para este teorema. en el conjunto de los números enteros. La principal característica de la actividad matemática del siglo XIX es la fundamentación rigurosa de muchos de los logros conseguidos durante los dos siglos precedentes. como Euler que lo hizo para las potencias 3 y 4. y con el tiempo pasa a convertirse en uno de sus campos importantes y rigurosos. que ha traído de cabeza a los mejores matemáticos de las tres últimas centurias. para n > 2. quien señaló resultados y problemas que dejaron trazadas las líneas de trabajo hasta el día de hoy.
Pierre Fermat a mediados del siglo XVII formuló su famosa conjetura en la que afirmaba que an + bn = cn. Los matemáticos franceses de fines del siglo XVIII se ocuparon activamente en revitalizar la geometría con creaciones como la geometría diferencial.. como tantos otros aspectos de la matemática.aspectos de la complejidad del mundo a nuestro alrededor: la complejidad ocasionada por lo que llamamos el azar. La teoría de la probabilidad nace. en son de juego. El iniciador de esta
. que la dedicación al análisis de los matemáticos del siglo eclipsó la ocupación a cualquier otra rama de la Matemática.
La característica más resaltante del siglo XVIII es la explotación de los nuevos métodos del análisis creados en el siglo anterior a fin de obtener un dominio matemático pleno de diversos campos de la física. de hecho se ofrecía un premio millonario a quién la hallase. Así se llegó al siglo XX. pero que no tenía suficiente espacio para desarrollarla. pero nunca se llegó a una demostración general de esta conjetura. también lo manifestó en alguna de sus cartas a amigos matemáticos de la época. Algunos matemáticos posteriores la demostraron para algunas potencias. a la vez que el dotado de mayor talento expositor. Esta ha sido una de las grandes cuestiones sin resolver. que constituyeron campos nuevos de gran influencia en el desarrollo geométrico posterior.
La segunda mitad del siglo XVIII y comienzos del XIX constituyeron la época de mayor esplendor de la matemática francesa.. La historia es muy sugerente: Resulta que Fermat escribió al margen de una obra de Diofanto. Pero la noticia saltó a finales del milenio: "¡El Teorema de Fermat ha sido demostrado!" A finales de 1994 se ratificó que la demostración del matemático británico Andrew Wiles era correcta y válida.
En lo que respecta a otros aspectos más puramente matemáticos de este período se puede resaltar el trabajo realizado por Fermat en Teoría de Números. la descriptiva y la proyectiva. casi un mito. Sus Institutiones calculi diferentialis y las Institutiones calculi integralis tuvieron tal influencia. aunque el plazo expiraba en el año 2 007.
+ 101 = 50 x 101 = 5050
Cuando al cabo de una hora acabaron sus compañeros. en la primera mitad del siglo.
Relacionado con el intento de profundización en los fundamentos de la matemática que se ha mencionado antes. fue un punto de partida muy importante para tratar de repensar y entender mejor los fundamentos epistemológicos de la Matemática. que por una parte proporcionaba una trascendental herramienta a la Matemática ocupada en las aplicaciones. Lobachevski. Gauss usó un método sencillo: La suma 1 + 2 + 3 + 4 + . . + (50+51) 101 + 101 + 101 + .
. quienes se pueden contar como los últimos matemáticos verdaderamente universales que han poseído un dominio pleno de la mayor parte de la Matemática contemporánea. Bolyai y F. Los matemáticos más importantes y encumbrados entre un siglo y otro son. . Poincaré y Hilbert. está el hallazgo de las geometrías no euclídeas. . . el maestro comprobó sorprendido como el resultado de Gauss que aparecía en la pizarra era el correcto. A la edad de 3 años se cuenta que corrigió la nómina de los empleados de su padre. La naturaleza
epistemológica de la matemática fue analizada con sumo interés. Un día en la escuela cuando tenía 10 años el maestro propuso como ejercicio sumar los 100 primeros números consecutivos. La actividad expansiva. . Weierstrass y toda una escuela floreciente que contribuyó muy eficazmente a la fundamentación sólida del análisis y de otras ramas de la Matemática.. por Cantor. por Fourier: la Teoría Analítica del Calor. La sorpresa de los matemáticos ante construcciones geométricas que contradecían a la euclídea y que eran tan consistentes como ella desde el punto de vista lógico.empresa es Cauchy. Riemann. sin duda. mientras que por otra parte proporcionaba un sinfín de problemas profundos a los analistas matemáticos. la escribió de la siguiente forma:
(1+100) + (2+99) + (3+ 98) + . + 97 + 98 + 99 + 100 . J. Una de las obras cumbres de la matemática aplicada es producida en 1821. Gauss.
Sucesores y seguidores de Gauss fueron Dirichlet. El maestro quedó tan impresionado que de su propio bolsillo compró un libro de aritmética y se lo regaló a Gauss quien rápidamente lo devoró. que fueron publicados en los años 20. con la intención de encontrar por fin una fundamentación sobre la que repose todo el edificio matemático. lo que constituyó un fuerte
estímulo hacia una fundamentación seria del análisis. por Nicolai I. .
Carl Friedrich Gauss fue otro de los genios matemáticos dotados de una excelente habilidad con los números. . continúa incansablemente. en especial del análisis matemático. a través de sus cursos en París. . y de la lógica matemática. . Al final del siglo XIX y comienzos del XX la preocupación por los fundamentos desemboca en el desarrollo de la teoría de conjuntos.
Abundan hechos que posibilitan. fundamentalmente. en su desarrollo. Una clase de geometría donde se trate el estudio de la pirámide como cuerpo espacial carece de importancia. demuestran el carácter ingenioso de aquellos procedimientos en el empeño de mejorar el mundo. las propiedades y todas las demostraciones tienen su procedencia en la práctica vinculada a los procesos reales del mundo y a la existencia de la sociedad civilizada: el surgimiento de la geometría está indisolublemente ligado a los problemas de las crecidas de los ríos y a la construcción de las pirámides de los egipcios antiguos. para ello debemos estar informados del entorno cultural. de la construcción de la matemática. La Historia de la Matemática brinda a los docentes las posibilidades de reconocer. someras por supuesto. la laboriosidad con la cual los griegos estructuraron sus sistemas de conocimientos. ha acumulado un enorme conjunto de hechos que permiten atestiguar que los conceptos que la sustentan. Pero hay varios desarrollos que probablemente dejarán muy marcado. para el estudiante y también para su entorno sociocultural. Esto hace que una descripción somera de la matemática de este siglo sea una tarea imposible. donde nada hay que descubrir. en especial. se debe resaltar la estructuración de los resultados que en el campo de la formación de conceptos matemáticos aportaron desde un pensamiento productivo estos pueblos y que se evidencia en la solución de sus
necesidades a través de la aplicación de estructuras matemáticas. social e histórico que lo rodeaban. Dichos conceptos. si no hay un sentido preciso de abordar con intenciones pedagógicas e investigativas todos los acontecimientos que alrededor de estas civilizaciones penetran en el desarrollo de la cultura universal.
. que la Matemática. Pero junto a ello. para así ser revalorados por los estudiantes.El progreso de la Matemática en el siglo XX es tan espectacular en extensión y profundidad que se ha llegado a afirmar que las creaciones matemáticas en sólo este período vienen a superar toda la producción realizada antes del siglo XX. la utilidad de sus métodos para el futuro de las ciencias y. sino que es una ciencia viva en constante crecimiento y perfeccionamiento y que todos somos partícipes de ello. si en ella no hay referencias claras a las construcciones geométricas de los egipcios y los mayas. para la Matemática. dentro de la clase de Matemática. el sendero de la matemática en el futuro. y por lo tanto de poder aplicar en el trabajo con los estudiantes. resaltar los valores humanos universales desde el conocimiento de la historia de esta ciencia. El estudiante debe estar convencido que él participa en la construcción y que los teoremas y propiedades que descubre o aplica están frescos aun y no pensar que se trata de un conocimiento ya acabado. cuando son considerados en la enseñanza. adquieren importancia si en ellos se percibe su utilidad. Lo expuesto son evidencias.
S.5 x 1+x = x-0.5 x = 0. 1.
Resolver: sen(2x) . . y obtenemos los pares ordenados (0.x-1 = x-0.5 Si x 1: (x) . C. -1).5.5 x = 1.(x-1) = x-0. { 2 2 6 6 43
Notación Winplot: x = abs(x) Notación Winplot: sen(x) = sin(x).5 x . 1). figura 3.cos(x) = 0.= {-0. Luego.cos(x) = 0 cos(x) [2sen(x) 1] = 0 cos(x) = 0 v 2sen(x) 1 = 0 cos(x) = 0 v sen(x) = 1/2 5 3 v x v x v x 2 2 6 6 5 3 .5 Si 0 x < 1: (x) .5
Si x < 0: (-x) .5.5 x x+1= x-0. de donde f(x) = g(x) cuando x = -0.5 -x 1+x = x-0.5 x = -0.5.
.(0. { .(1-x) = x-0.5 v x = 0.iii) Ecuación con valor absoluto:13
Resolver: x .cos(x) .5.5}
Winplot: Graficamos las funciones f(x) = x . identificamos los puntos de intersección de dichas gráficas.x-1 = x-0.5. 0.x-1 y g(x) = x-0. 0) y (1.S.5 C.5 v x = 1.5.(1-x) = x-0. 0 < Solución: x <2
sen(2x) cos(x) = 0 2sen(x).5.
. Actividad: Modifique la medida del ángulo CAB de manera que sea siempre un ángulo agudo. Al ingresar a trabajar con el Wingeom.2. • Modificación de la medida del ángulo CAB Al arrastrar el cursor en la segunda ventana observará que la medida del ángulo CAB aumenta o disminuye. Luego. Luego.4. Las distancias del punto P a los lados del ángulo se determinan por la longitud de los segmentos PB y PC • Desplazamiento del punto P Ubique el cursor en el lugar que se muestra en la gráfica (primera ventana) y luego arrastre hacia la derecha e izquierda y observará que el punto P se desplaza a lo largo de la bisectriz. así como la medida de los segmentos PC y PB . realice el mismo proceso considerando el ángulo CAB obtuso. PAB y PAC.el cual aparece en pantalla como se muestra a continuación:
La pantalla nos muestra el ángulo CAB y su bisectriz AP . abrimos el archivo “Bisectriz” . ubique el punto P en tres posiciones distintas y registre en la tabla adjunta los datos que se solicitan para cada caso.que ha sido elaborado previamente .2 PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO UTILIZANDO EL WINGEOM El objetivo de esta actividad es que el alumno descubra la propiedad de la bisectriz de un ángulo. En la parte superior izquierda de la pantalla se aprecia la medida de los ángulos CAB.
..….……….. ……………………………………………………………………………………………....... estos también pueden ser obtenidos y modificados mediante fórmulas..... En esencia.. formada por líneas y columnas donde el usuario puede disponer de las celdas generadas para almacenar datos numéricos.. ……………………………………………………………………………………………. Estadística descriptiva. además.. es una hoja cuadriculada.. 2...….. Conversión de unidades.. Funciones. …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………...Medida del ángulo CAB
Considerando que AP es la bisectriz del ángulo CAB. …………………………………………………………………………………………...….3 HOJAS DE CÁLCULO: MICROSOFT EXCEL Las hojas de cálculo son uno de los tipos de programas de usuario más extendidos y utilizados en diversidad de contextos..4.... CONCLUSIONES: …………………………………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………………........ ¿Qué relación existe entre las medidas de los segmentos PB y PC cuando el ángulo CAB es obtuso? ……………………………………………………………………………………………. El software utilitario Microsoft Excel se puede aplicar en los siguientes tópicos del área de Matemática: • • • • Valor numérico de una expresión algebraica...…...... …………………………………………………………………………………………..…....…. conteste las siguientes preguntas: ¿Qué relación existe entre las medidas de los segmentos PB y PC cuando el ángulo CAB es agudo? ……………………………………………………………………………………………...…. ………………………………………………………………………………………….
.5 y 25. lo que nos da una idea de la gravedad de esta enfermedad. las cuestiones de seguridad. están retando a los matemáticos con nuevas clases de problemas interesantes que. Actualmente se sabe que la Matemática está presente en diversas actividades. por su parte. Sabida es su estrecha relación con las ciencias físicas y la química. El Índice de Masa Corporal (IMC) es una operación matemática que relaciona el peso con la altura. Y dichos problemas no surgen sólo en el terreno matemático sino en otras áreas o disciplinas del conocimiento. La fórmula es:
Donde W indica el peso en kilogramos. Interactúa con otras ciencias. a su vez.5 MATEMÁTICA Y OTRAS DISCIPLINAS: INTERDISCIPLINARIEDAD
La Matemática y las demás ciencias surgen generalmente respondiendo a una necesidad. Si está por debajo puede haber desnutrición y si está por encima hay sobrepeso. el índice se considera normal. están dando lugar a nuevas aplicaciones. hay que dar su justa importancia a esos kilos de más que pueden repercutir negativamente en nuestra salud. para resolver un problema. H la altura en metros. para tener una idea general sobre la gran aplicabilidad de esta herramienta.
La Organización Mundial de la Salud (OMS) ha definido recientemente la obesidad como “la mayor epidemia del siglo XXI”. en la actualidad existen 250 millones de personas obesas y para el año 2025 prevé que se alcancen los 300 millones. cuando el matemático italiano Vito Volterra desarrolló los primeros modelos de la relación depredador-presa y encontró que podía describir matemáticamente la sucesiva oscilación de las proporciones de depredadores y de presas en poblaciones de peces. Cuando el resultado está comprendido entre 18. la gestión. así como de todos los softwares y aplicativos que usamos en todos los campos.Por ello. Y algunas de estas disciplinas. Los que tarden mucho en incorporarse encontrarán dificultades para ponerse al día. desde el deporte hasta los negocios. Quienes las incorporen temprano tendrán una ventaja competitiva a largo plazo. A continuación describimos brevemente algunas relaciones de la Matemática con otras ciencias y áreas del conocimiento. La Matemática ahora forma parte de proyectos interdisciplinarios.
Matemática e Informática y Comunicaciones: Este amplio campo podría ocasionar tantos cambios en la sociedad como la revolución industrial. Según sus estimaciones. Matemática y Biología: Actualmente la colaboración que más rápidamente crece es la que se da entre la Matemática y la Biología. Existe un consenso generalizado entre sociedades científicas para la utilización del Índice de Masa Corporal o IMC como diagnóstico de obesidad. la toma de decisiones y la modelización de sistemas complejos. con las empresas. Entonces el IMC estará expresado en la unidad Kg / m2. Esta asociación se afianzó en el campo de la Ecología en los años 20.2. las finanzas. La base de los lenguajes de programación y de gestores de datos es la lógica matemática.
ha interpretado un importante papel en el arte y en el concepto de belleza que se ha tenido en distintas épocas. Así define Euclides lo que hoy conocemos por sección áurea (número de oro). dividido en dos partes. objeto de gran sencillez matemática y que. sin embargo. Un ejemplo matemático de lo anterior puede ser la espiral áurea. Supongamos un segmento.x
Según la definición de Euclides. en la que la sección áurea proporciona un factor unificador para las medidas de los distintos elementos arquitectónicos y la consiguiente sensación de armonía. que por comodidad consideramos de longitud 1. Vamos a calcular qué valor debe tener x para que sea la sección áurea del segmento:
x 1. curva compuesta por una sucesión de cuartos de circunferencia tangentes a cuadrados cuyos lados están en razón áurea. se tiene:
Como la razón áurea es el cociente entre la longitud del segmento y el valor de x.
No cabe duda de que la autorreproductividad vista en la construcción anterior permite joyas como El Partenón."Una recta está dividida en extrema y media razón cuando la recta es al segmento mayor lo que este es al menor".
En economía se estudia la Ley de la Oferta y la Demanda.Matemática y Economía: Las finanzas modernas. de gran aplicación en el mercado para la determinación del precio adecuado. Al punto de intersección de la oferta con la demanda se le llama “punto de equilibrio”.
. áreas que utilizan inexorablemente métodos matemáticos. Son muchas las oportunidades de investigación que existen en las zonas limítrofes de la Matemática con la economía y las finanzas.
Matemática y Química: Una de las principales causas del progreso de la química en el siglo XX ha sido la provechosa relación que se estableció con la Matemática para el establecimiento de nuevas teorías y la solución de los problemas emergentes de ella. hoy la Matemática juega un rol central en el funcionamiento diario de los mercados financieros del mundo. la ecuación de oferta q = O(p) relaciona el precio de mercado “p” de un artículo con el número de unidades “q” del artículo que los fabricantes están dispuestos a ofrecer a ese precio. La ecuación de demanda q = D(p) relaciona el precio de mercado “p” de un artículo con el número de unidades “q” del artículo que los consumidores están dispuestos a comprar a ese precio. la oferta de los fabricantes O(p) aumenta y la demanda de los consumidores D(p) disminuye cuando el precio p aumenta en el mercado. En este contexto. tienen una interacción con la Matemática que no se limita a la teoría. aunque no son una ciencia en el sentido tradicional de la palabra. En la mayoría de los casos.
. se puede pedir encontrar la altura del arco a 3. dicho arco tiene la forma de la mitad superior de una elipse y es usado para sostener un puente que debe atravesar un río de 24 metros de ancho. Con el apoyo de la Matemática se logra determinar que:
0.0 minutos 14. un arco semielíptico.
12. Por ejemplo. Por ejemplo:
donde. 6 y 9 metros desde el centro del río.301 t N 2. Sugerencia: seleccionar un sistema de coordenadas rectangulares adecuado. en el campo de la Ingeniería Civil al momento de realizar el diseño y posterior construcción de un puente se puede identificar.5 años 2.3 días
Matemática e Ingeniería: Todas las ramas de la ingeniería se basan en la Matemática. Además.303 log 0 N
t : tiempo transcurrido N0 : masa inicial de materia radioactiva N : masa final de materia radioactiva Vm : vida media E incluso se ha llegado a obtener el tiempo de vida media para algunos radioisótopos. desde el centro del río. por ejemplo se puede plantear que se deduzca la ecuación de la elipse que contiene al arco semielíptico.En la química se estudia el concepto de vida media. que se refiere al tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los átomos radioactivos existentes en un instante inicial. En el centro de arco la longitud de la altura es de 8 metros. Esta descripción nos puede llevar a plantear una situación problemática de la vida real. Es decir obtener modelos que expliquen diversos fenómenos y permitan realizar predicciones. Ello se traduce en la modelización de procesos mediante representaciones matemáticas que permitan resolver una diversidad de problemas. como en la figura adjunta. por ejemplo hacer que el Eje X coincida con el nivel del agua y el Eje Y pase por el centro del arco.
con la participación activa de los estudiantes. El estudiante aprende que cada paso debe estar sustentado con el rigor científico que exigen las demostraciones. Entonces el área del cuadrado mayor equivaldrá a la suma de las áreas de sus partes. Ello es interesante. y el regresivo. de izquierda a derecha. el relacionar los objetos algebraicos con los aritméticos y geométricos le da unidad a la Matemática. es decir.En segundo lugar hay que demostrarles.. 2 2 pero si aplicamos la propiedad algebraica a – b = (a + b)(a – b). Definición de potencia . Para ello el estudiante debe habituarse a demostrarlas. de lado “a + b” ha sido dividido en cuatro partes: un cuadrado de lado “a”. Debemos acostumbrarnos. Es decir: a b
(a + b)2 = a2+ ab + ba + b2. simplificando 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b
En cuarto lugar.. A propósito de los productos notables del álgebra. en el sentido inverso. debemos aprovechar su aplicabilidad. Simplificación de términos semejantes
El resultado anterior es cierto para cualesquiera de los valores reales de a y b. En tercer lugar. tanto docente como estudiantes. como en este caso. En este caso.. a leer e interpretar una demostración.. Además. debemos promover su autonomía en el aprendizaje. hasta encontrar la relación correcta como la que hemos presentado. pues le da integridad y sustento científico a la matemática y el estudiante aprende a valorarla. pues esto favorece que el aprendizaje sea significativo. dar ejemplos y contraejemplos. porque no las aplicamos u otros factores.. obtenemos: 6 7492 – 3 2512 = (6 749 + 3 251)( 6 749 – 3 251) = 10 000 x 3 498 = 34 980 000 . otro menor de lado “b” y dos rectángulos de lados “a” y “b”. No olvidemos que el docente modela cuando está interactuando con los alumnos.¡ Resulta más sencillo! Cuando sea oportuno el docente debe mostrar la aplicabilidad de lo que se realiza. que comprendan la demostración en ambos sentidos: el progresivo. podemos brindar una verificación o “demostración” geométrica.
... senda identidad apelando a sus saberes previos como son las operaciones con polinomios. Así. Por ejemplo. Multiplicación de polinomios . (a + b) (a + b)
= (a + b)..(a + b) = a 2+ ab + ba + b2 2 2 = a + 2ab + b
. el cálculo de 67492 – 32512 con los métodos aritméticos resultaría tedioso. por lo que es comprensible que muchas de ellas las olvidemos. aprenderá a ser creativo si así demostramos serlo. sabemos la cantidad de fórmulas que se presentan y desarrollan en las sesiones de aprendizaje. para nuestro ejemplo utilizamos el concepto de área Se observa que el cuadrado grande.
. le escribía a su celebérrimo colega y amigo Leonhard Euler. Oportunamente el docente puede preparar interrogantes que hagan repensar al alumno sobre algunos procedimientos o situaciones que parecen simples. Por ejemplo. Resulta oportuno utilizar esta conjetura para afianzar el concepto y manejo de los números primos en los alumnos. pero que aún no existe una demostración formalmente aceptada para ellas. CONJETURA DE GOLDBACH Todo gira en torno a una carta fechada el 7 de junio de 1742 que el profesor de matemática en San Petersburgo. Muchas de las cuales aún no han sido demostradas. Así por ejemplo para el 102 podemos encontrar hasta 8 posibilidades: 5 + 97 29 + 73 13 + 89 31 + 71 19 + 83 41 + 61 23 + 79 43 + 59
Esta Conjetura ha sido verificada hasta 100 000 000 000 000 pero todavía no se ha encontrado una demostración matemática para todo número par. Decía René Descartes: "A fin de alcanzar la verdad. en total se podrán trazar 7x4 = 28”. Christian Goldbach. es necesario una vez en la vida poner todo en duda hasta donde sea posible. NOTA: la conjetura nos permite utilizar cuadrados iguales." El mensaje es claro.. entonces. se les puede mostrar el caso particular de un heptágono de la siguiente manera: “si de un solo vértice se pueden trazar 4 diagonales. Lo importante de esta carta lo escribió en el último momento. PARADOJAS Y FALACIAS Las paradojas son un poderoso recurso para desarrollar el pensamiento.” Veamos algunos casos: 90 = 83 + 7 94 = 47 + 47 96 = 37 + 59 2006 = 1003 + 1003
Se entiende que la conjetura no nos afirma que dicha pareja de números primos sea única.LAS CONJETURAS Las conjeturas son juicios que se obtienen a partir de regularidades que se observan en el comportamiento de objetos o hechos. ¿es correcta dicha afirmación?. tenemos otra forma 412 + 152 + 82 + 62 = 2006. el cual se puede 2 2 2 2 expresar como 2006 = 44 + 6 + 5 + 3 .” Como aplicación tomemos el número que representa al año 2006. Para nuestro ejemplo. 600. 396. el cero y hasta puede haber más de una forma para construir el número. cuando trazamos todas las diagonales son 14. Hay muchas conjeturas más que el docente debe investigar. o los que el docente considere conveniente. Otra muy conocida es la siguiente: “Todo número se puede expresar como la suma de 4 cuadrados perfectos. ¿qué está pasando con nuestro razonamiento?
. conjeturaba que: “todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos. pero abrieron grandes campos de investigación matemática y otras que ya lo fueron pero pasaron muchos siglos para ello. pero que no lo son realmente ya que demandan reflexionar más de lo habitual. cuando en una sesión de aprendizaje se hace referencia a las diagonales de un polígono. conducen al estudiante a un gran conflicto cognitivo. Se les puede proponer hallar dos números primos para algunos pares como: 124. como el heptágono tiene 7 vértices. sin embargo. La historia de la Matemática contiene muchos ejemplos de conjeturas. pues su habitual manera de pensar parece que no es suficiente para el desafío que estas proponen. etc. ver figura adjunta.
descubrirán el error en el razonamiento. El término “paradoja” viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo creíble. mientras por otra parte.en general . podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. porque para aclarar el enfadoso razonamiento se necesita hacer un análisis muy detenido de los principios fundamentales que lo afectan.se considera la única ciencia "exacta". A continuación. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales.b
. pueden ser mucho más que amenidades." En la actualidad la palabra "paradoja" tiene varias connotaciones: • Afirmación que parece falsa. Y una paradoja es siempre instructiva.) • Declaración cuya veracidad o falsedad es indecidible. como las de otras ciencias. pero probablemente se debe a la contradicción inesperada que surge en la que . sino de que la forma como los presentamos provocará el conflicto cognitivo en ellos. Luego. Las paradojas matemáticas. que conducen sin embargo a contradicciones lógicas.Es interesante la expresión y actitud de los estudiantes cuando se les plantea este caso. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradójico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. • Afirmación que parece verdadera. Es decir no se puede demostrar que sea falso o verdadero. con a = b (Hipótesis) 2 2) a = a. b números. Es difícil analizar en pocas palabras el atractivo de las paradojas. • Encierra en sí misma contradicciones. o con la mediación del docente. que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. pero en realidad es falsa. ellos mismos. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias. y en consecuencia el desarrollo de sus capacidades. • Cadena de razonamientos aparentemente impecables. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradójico que todos los elementos de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los elementos de algún subconjunto del dado. Vemos pues que no es necesario ir muy lejos de los contenidos que estamos trabajando. y llevarnos hasta nociones muy profundas. presentamos dos falacias para analizar: Ejemplo 1 Tesis: 2 = 1 Argumentación: 1) Sean a. Mucho podemos aprender de las paradojas. aunque en realidad es verdadera.
si a – b = 0. pues sólo podemos cancelar. En tal sentido el alumno ya posee nociones sobre estos recursos de comunicación. usamos cada vez más el recurso gráfico: gráficas estadísticas bidimensionales o tridimensionales. se entiende la matemática como la herramienta que ofrece potentes recursos en la comunicación. ¿CUÁL ES TU DEPORTE PREFERIDO? Generalmente los deportes que se practican con mayor frecuencia en las Instituciones Educativas son: fútbol. de modo que ya tenemos una ventaja y desventaja a la vez. como son los deportes. básquet. A su vez. diagramas de flujos. Por ejemplo podemos aprovechar algunos entretenimientos saludables de los estudiantes. tablas o cuadros de doble entrada. Es decir. En consecuencia lo que sigue ya no tiene justificación matemática y se puede llegar a cualquier relación. el paso 4 es correcto sólo si la base es positiva. por transitividad 2 = -2
La conclusión en ambos ejemplos es falsa y la argumentación. económico y sin ambigüedades” (Cocckcroft.b – b2 4) (a – b)(a + b) = (a – b)b 5) a + b = b 6) b + b = b 7) 2b = b 8) 2 = 1 Ejemplo 2 2= 4=4
= (–2) = –2. los diversos equipos profesionales de las diferentes áreas del conocimiento. aunque parece correcta.
. Así en el ejemplo 1. lo cual contradice a nuestra hipótesis inicial. pues a veces son utilizados para inducirnos hacia una interpretación tendenciosa. Cuando decimos desventaja nos referimos fundamentalmente a la interpretación adecuada e inteligente que debemos hacer de estos recursos. mejor cuando ya se desarrolló el tema y nos queremos cerciorar si los conceptos quedaron claros.2 COMUNICACIÓN MATEMÁTICA La comunidad científica. 1988).3) a 2 – b2 = a. La utilización de las paradojas hay que hacerlas oportunamente. en general. pero este hecho nos sirve para planificar y ejecutar adecuadamente nuestro trabajo pedagógico. los comunicadores y. Así también. mapas. etc. la cual no necesariamente es rigurosa. atletismo y ajedrez. 3. todos para comunicamos y entendernos mejor. contiene uno o más errores que usted debe encontrar.1. el paso 5 es un error. Esto es reconocido en la frase: “La matemática es un medio de comunicación potente. es decir si a = b. pues simplifica la información. para el ejemplo 2. vóleibol. el uso de símbolos matemáticos por diversos equipos de profesionales se hace más cotidiano.
“MICOLE” cursan.. cuadros.E..... • La mayoría de los varones del tercer grado que practican deportes prefieren: ... en dichos grados de estudios.. gráficas y otros a fin de una mejor interpretación de los acontecimientos y tomar decisiones responsables.. en la práctica de estos deportes. Doris y Begonia....... mujeres... • ¿Cuál es el porcentaje de ajedrecistas en el tercer grado? • ¿Cuál es el porcentaje de mujeres respecto del total de los encuestados? • ¿Qué deporte es el más practicado en el primer grado? • Elabora un diagrama de barras sobre los deportes practicados en el primer grado donde se pueda comparar las aficiones de los varones y mujeres... fila y 1ra..Gabino. columna nos expresa que hay 9 varones del primer grado que practican frecuentemente atletismo . varones y …. De la información recogida se obtuvo los siguientes resultados:
Te convencerás que los datos recopilados han sido organizados en esta tabla... mediante la pregunta: ¿Qué deporte practicas con más frecuencia?............... la cual nos permite una mejor lectura y obtener algunas conclusiones.... estudiantes y amigos de la I. COMPLETA Y RESPONDE: • En el segundo grado se encuestaron a . ¡Engloba tres conceptos! • El total de mujeres encuestadas del tercer grado fueron: 0 + 14 + 2 + 7 + 0 + 10 = 33. respectivamente....... En base al cuadro podemos afirmar que: • La celda de la 4ta. tomados al azar...
. Para ello han realizado una encuesta a un grupo de compañeros.... los tres primeros grados de Secundaria y quieren saber las preferencias de sus amigos.... y .. aclarando que estos debían indicar no más de un deporte.. Este es uno de los objetivos de la estadística: organizar información y plasmarla en tablas. • El total de alumnos encuestados en el primer grado fue: .
por ejemplo. Muchas de las funciones que se desarrollan en la Secundaria se pueden expresar mediante una tabla (tabulación). no sólo interpretarla (decodificación). pues este será nuestro objeto de trabajo permanente.3
3. En La OTP-2005 se define como: “una situación a la que se enfrenta un individuo o un grupo para la cuál no se vislumbra un camino aparente u obvio que conduzca hacia su solución. sino expresarla en otra de las formas (recodificación)
REGLA DE CORRESPONDENCIA f(x) 2x .Mediante el desarrollo de la comunicación matemática no sólo podemos aprender a representar ideas mediante los diversos recursos algebraicos o gráficos: codificar. Partamos por precisar qué entendemos por un problema. Su aplicación metodológica requiere mucha pericia por parte del docente al igual que su aprendizaje para el estudiante.”
. cuando tratamos las “funciones” en nuestra labor pedagógica.1.3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En la actualidad esta capacidad es considerada como medular en el quehacer matemático. En tal sentido es conveniente que el estudiante a partir de una de las formas de expresión (codificación) de una función pueda. según vimos anteriormente. sino también a expresar en otra forma de lenguaje lo que se tiene: recodificar. Esto lo vemos. gráficamente o mediante su regla de correspondencia.
realizar conjeturas. buscar relaciones nuevas entre ellos. en suma que propicien el desarrollo de las capacidades fundamentales. 3) Exploración. no sólo matemáticos. a grandes rasgos. Autor de “How to solve it” (1945)
. ¿es la condición suficiente para determinar la incógnita?. que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas. Ello significa responder a las preguntas: • ¿Cuál es la incógnita?. debe aceptar el problema. Procesos para resolver problemas Se han determinado una variedad de pautas que están presentes en el proceso de la resolución de problemas. Es decir entender de qué se trata y qué solicita la situación presentada. Para George Polya17 la resolución de un problema consiste. No está de más reiterar que se debe poner énfasis en proponer situaciones para las cuales no existan a la vista algoritmos que la resuelvan. es preciso poner en juego conocimientos diversos. debe existir un compromiso formal. George Polya: Matemático húngaro. ¿contradictoria?
Juan Antonio García Cruz: La Didáctica de las Matemáticas: una visión general.Juan Antonio García Cruz requisitos siguientes:
1) Aceptación. El individuo o grupo. El compromiso personal o del grupo fuerza la exploración de nuevos métodos para enfrentar el problema. Un problema involucra la aplicación de múltiples capacidades: nos va a exigir una lectura cuidadosa. las cuales describiremos textualmente como él las enunció: Comprender el problema. ¿cuáles son los datos? • ¿Cuál es la condición?. etc. toma de decisiones. que no necesariamente conduzcan a una respuesta única. ¿es insuficiente?. las incógnitas. explorar alguna estrategia que nos permita resolverlo. ¿redundante?. en cuatro fases. las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan. analizar los datos conocidos. Los intentos iniciales no dan fruto. 2) Bloqueo.
16. ! Haré algunas filas más para entender la distribución correcta. en la 3ra de 4 en la 1ra columna. 24. mación. no sólo van de 4 en 4. según la división hecha. a su vez. Mathematical Problem Solving. Academic Press. pues permitirán usar de manera más eficiente
Schoenfeld. Entonces.. Por ejemplo al completar más filas se puede notar que los números 8. Además los números que siguen siempre se ubican hacia la derecha. nos da cuenta de la importancia de tomar decisiones durante el proceso de resolución. ! Es decir si 1794 entre 8 da residuo 1.Resolución COMPRENDER EL PROBLEMA
! ¿Cómo están distribuidos los números? ! Al terminar una fila para pasar a la siguiente se corre una columna y siguen los números. 1792 está en la 2da columna. entonces 1793 si está 8 en 8. En ésta todos los números al dividir entre 8 dan 1 como residuo. entonces 1794 está varían en su foren la 2da. ! En la 1ra. A. entonces estará en la 1ra columna
! En la 1ra y 5ta van de ! ¡Por 1!.
! Puedo continuar ubicando los números y llegar al 1794. en siguen se ubican hacia la las otras columnas derecha. Pero el problema es que a partir de esa columna hay dos posibilidades de continuar: a la derecha o a la izquierda . New York. Columna. pero demoraré demasiado. Estas influyen significativamente durante el proceso. 48. Y los que en 4. .
! Tomaré la 1ra columna. 3ra y 5ta no puede estar porque allí sólo están los impares.. . 32. . sino que allí están todos los números que al dividirse por 4 se obtiene 3 de residuo.. EXAMINAR LA SOLUCIÓN
Hay otras formas de llegar a la solución. pero en otro sentido. es más simple de entender que las otras. ! Sólo puede ubicarse en la 2da o 4ta columna. las llama: decisiones ejecutivas . es decir los múltiplos de 8 están en la 2da columna y el número que sigue corre a la izquierda y los que siguen van a la derecha. a ver a donde llego. luego:
III IV V 1792 1793 1794 Otra forma sería tomando la 3ra. en cambio. Schoenfeld .
Para pensar mejor. • Rigidez en la ejecución de procedimientos. piérdele el miedo. Miguel de Guzmán19 partiendo de las ideas de Polya. Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas ¿qué estoy haciendo?. Nuestra obstinación es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista. una figura. • Seleccionar objetivos centrales y sub-objetivos. Hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución. trata de determinar “el aire” del problema. No te enfrasques en una idea. Más de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situación en la que no es aplicable. • Supongamos el problema resuelto. • Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona. Suele darse más fácilmente cuanto más embebido se esta en la ejecución de una acción.nuestros recursos y habilidades mentales. • Juega con la situación. 66
Miguel De Guzmán (1991). ¿cómo lo usaré después?. Se produce cuando la ejecución de una tarea es tan absorbente que no hay energías disponibles para la evaluación de lo que se esta realizando. Entre ellas cabe destacar:
• Inflexibilidad para considerar alternativas. No te desanimes fácilmente. enmárcala. Lleva adelante tu estrategia • Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior. • Actúa con flexibilidad. • Hazte un esquema. Entre ellas señala: • Hacer un plan. • Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción. Schoenfeld y otros elaboró el siguiente modelo: Familiarízate con el problema • Trata de entender a fondo la situación. Labor
. o porque la situación. Si las cosas se complican demasiado elige otra vía. Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva para salir del bloqueo. • Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo. aunque distinta. Búsqueda de estrategias • Empieza por lo fácil. • Escoge un lenguaje adecuado. una notación apropiada. se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz. ¿para qué lo hago?. ¿por qué lo hago?. Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: cuando haya ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias tendrá para la resolución del problema? • El efecto "túnel". un diagrama. mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución.
. ¿En cuántas regiones queda dividido el plano?
Luego de entender el enunciado se deduce que se trata de un problema que requiere del elemento gráfico.que no pasa por O y que no es paralela a ninguna de las 43 anteriores. Analizando.
Nro. para identificar qué parte del proceso fue dificultoso para muchos de ellos. para luego retomar el problema original.. podemos plantear algunas cuestiones. ?
Entendemos que el número de regiones determinadas depende de la cantidad de rectas concurrentes. 43
7 10 13 16 19 . Entonces debemos hallar la relación matemática entre ellas. Es decir para 43 rectas se generarán: 3x43 + 1 = 130 regiones REFLEXIÓN: Debe haber otra(s) estrategia(s) para abordar la solución. Asimismo. deducimos que es el triple de rectas y uno más. entonces conviene particularizar el problema. es decir trazar sólo las necesarias y tratar de encontrar alguna relación lógica o patrón.. Pero son muchas rectas para dibujarlas y analizarlas a la vez... Rectas concurrentes
Si fuesen 100 las rectas concurrentes, ¿cuántas regiones se generarían? . . . . . . . . . . .. .. . .. .. ............................................................... .. .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. ... . .. . .... . . . .. ........... . . ............................... . ....................................... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ............................ ..... ... . . . . . .. .. ................................................... . .. .. .. ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. ... .. . . . ......... . ... ..
. . . . . . . . . . . . . .. .. ............................................................... .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ... . .. . .... . . . .. ........... . . ............................... . ....................................... .. .. .. .. . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . .. ............................ ..... . . . . . .. .. ................................................... . .. .. .. ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. ... .............. . ... .. ...
. . . . . . . . . .. ........................................... .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ........................................... .. .. .. . . . .. . .... . . . .. ..... . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . .. ....... .. . .. . ..................... .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . .. . ........... .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. ........................................................................... .. .. .. .. .. . . .. . .... ..
. . . . . . . . . . .. .. ................................................. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ......... . . . . . ... ........................ . . ............... .. .. .. .. . .. .. . ............... .. .. .. . .. .. .. .. . ......... ....... . .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. . ....... . .................. .. .. . .. ... .. .. .. ... ........... .. .. . . . .. .. . .. .. .. .. .. .. . ..... . .. ... .. . ........................... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. ........................................ . . . . . .. .. ................................................................. . ................................................... .. .. .. ... ......... . . . . .. ........
v) ¿En cuánto aumenta el número de regiones al trazar una recta que no pasa por “O”? . . . . . . . . . .. .. .. .. ......................................................................... .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. .. . . . . . . . vi) Con las dos informaciones anteriores podemos saber cuántas se generan en total. ¿Cuántas son? . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. .. .. ............................................................................... .. . ............................................. . vii) Si “n” es el número de rectas concurrentes y “r” el total de regiones generadas, ¿cuál es la relación matemática entre ambas variables?
. . . . . ....................... .. . . . . . . . . . ....................... .. . . . . . . . . . ....................... .. . . . . . . . . . ....................... . .. . . . . . . . ... . . . . . . . .. ........... . . . . . . . . ....... . . . . ................... .. . . ....... . . . . . . . . ................... .. . . . . . . . .......... . . ................... .. . . . . . . . . ..................... .. . . . . . . . . ................... .. . . . . . . . . ..................... .. . . . . . . . .. ........ . .. ................. .. . . . . . . . .. ................. .. . . . . . . . ................... .. . . . . . . . ................... .. . . . . . . . . . . . . ........ ..... . . . . . . . . . . . .. ....................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .................................... . . . . . . . . . . . . ............. . . . ... . ............. ......... ..
. . . . ................... .. . ........... .. . . . . . . . ............... . ............. . ................. .. . . . . . . . .. ................... . . . . . . . . ........ . . ..................... . . . . . . . . . .. ..................... . . . . . . . . . ....... . . . . . ..................... .. . . . . . ..... . . . . . . . . . .. ........ . . . . . . ... .. .. . ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . . .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... . .. .. . . .. .. . .. . . . .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
utilizando sólo sumas.3. Las pruebas eran realmente interesantes. MATERIALES: Una pizarra. 25. Casos que ejemplifican este argumento hay muchísimos. 50.3.
3. Una unidad es un número cualquiera entre 1 y 9. tizas o plumones. 100. Como se sugiere en la OTP-2005 su característica de diversión y pasatiempo favorece una predisposición y reacción positiva de los estudiantes. 75.2. • El número objetivo debe ser mayor o igual que 100. Cada prueba consistía en obtener a partir de seis números dados. Su desarrollo se basa en reglas que se deben respetar y aplicando estas se pueden obtener y predecir resultados. cuidadosamente elegidos.
Por ello es conveniente su uso en la Educación Secundaria. Hojas y lápices para cada participante (equipo). descubrir estrategias y ganar. podemos desarrollar gran parte de los contenidos y procesos matemáticos en una forma más amena. sin atentar contra el rigor matemático. sino porque muchos de estos juegos.3. conveniente durante las sesiones de aprendizaje de matemática.1 JUEGOS ARITMÉTICOS QUE PERMITEN EL DESARROLLO DE HABILIDADES OPERATIVAS SÓLO CIFRAS Años atrás se veía en la televisión peruana el programa: "Sólo Cifras".
. restas. no sólo porque su aplicación desarrolla capacidades similares a las de la Matemática. Una decena-centena es uno de los números 10. como por ejemplo las pirámides en Z y otras actividades que presentamos a continuación:
CONSIDERACIONES: • Los seis números de origen pueden ser catalogados como unidades o decenas-centenas. multiplicaciones y divisiones (y manteniéndose dentro del campo numérico de los números enteros positivos). denominado número objetivo. Incluso si adquirimos mayor pericia en su uso. son adecuados para el desarrollo de contenidos y procesos matemáticos.2 ACTIVIDADES LÚDICAS PARA EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO El juego tiene una estructura similar a la matemática. otro número de tres cifras.
Un mismo número no puede usarse dos veces. • Si no se es capaz de obtener el número objetivo. Por ejemplo para la primera prueba del NIVEL I: 10x6x(7–3 )+ 75 + 25 = 340 A continuación proponemos algunas pruebas. con diferentes niveles de dificultad.• No es necesario usar todos los números de origen.
tiene 60 segundos como máximo para formar el número objetivo. • Cada participante o equipo. se procurará acercarse a él lo más que se pueda. según el grado de los estudiantes. En algunos casos puede ser completamente imposible conseguir el número objetivo. El docente adecuará los tiempos y niveles. dependiendo como se esté jugando.
. ya que todos los números se eligen al azar.
7) .10)x10 . para ello se tomará en cuenta el tiempo.(3 . entonces se aceptará la mejor aproximación. Por ejemplo para la prueba: 4 75 6 100 1 5 783
Una buena aproximación sería: 100 x (6 + 1) + 75 + 5 + 4 = 784 RECOMENDACIONES Es conveniente que el docente posea una calculadora para dilucidar con rapidez y exactitud algunas dudas que se puedan presentar.2 = 731 (9 .5 = 219 100x(10 .
10x6x(7-3) + 75 + 25 = 340 (25 + 8:4)x(10x2) + 9 =549 25x9 + 7 = 232 3x100 . • Que logren obtener el número objetivo usando diversas estrategias.(9 .3x9 = 373 (75 + 25 .50:25) = 741
25x(25+4) + 8 .6)x(10+50) + 2 = 182 75x(9+6-4) + 1 = 826 (9 + 2)x(75+6-50-7) = 264 8x7 + 2x(100+10) = 276 (50 + 5)x(7 + 8) + 9 = 834 (50 .6)x4 + 8 = 384
.2) = 298 7x10x3 + (25 + 1): 2 = 223 100 + 5x10 +4 + 9 .7 =156 6x(75 + 8:2) = 474 (100 + 6)x7 .(1 + 9 + 4) = 286 50x4 + 7x2 + 10 . Con los números dados el docente puede generar otras combinaciones de operaciones y obtener nuevos números objetivos para otras pruebas. Durante la ejecución de este juego se van a dar situaciones diversas: • Que no logren obtener el número objetivo.5 .Pruebas
NOTA: Es posible que haya pruebas en las cuales sea humanamente imposible resolverlo.
luego se puede invitar a los que más han ganado. que inicia el jugador A y finalmente lo gana el jugador B.100 +1 = 901 100 x (6 . El que llega a 20 es el ganador.1)x3+9 x 10 = 267 (75x10-50x9-7)x2 = 586
3.2. descubierto o casi descubierto una estrategia ganadora para que lo jueguen públicamente en la pizarra.3. A continuación presentamos un juego. a su turno. puede sumar 1 ó 2 a la cantidad que se tiene.2 ACTIVIDADES QUE PROPICIAN EL DESARROLLO DE ESTRATEGIAS EL JUEGO DEL 20 MATERIALES: lápiz y papel OBJETIVO: llegar a 20 INSTRUCCIONES El primer jugador escribe 1 ó 2. ello hasta que la mayoría descubra o entienda cuál es la estrategia ganadora. luego el segundo jugador agrega 1 ó 2 a lo escrito por el primero. El que gana sigue jugando. y así sucesivamente cada jugador.4) + 3x75 = 425 (50+10 . JUGADOR A JUGADOR B 2 3 4 6 8 9 11 13 15 17 18 20
RECOMENDACIONES: Este juego lo deben practicar los estudiantes en parejas las veces que el docente considere conveniente. nuevamente el primer jugador añade 1 ó 2 a la cantidad que escribió el otro jugador. ESTRATEGIA: Después de jugar varias veces la mayoría concluirá en que el que llega a 17 se asegura la victoria. pues el otro jugador (A) sólo tiene dos posibilidades:
(25-1)x(9+10-2) = 408 2x4x5x25 .
......... • Se pueden jugar con fichas y en lugar de agregar. iniciando con 2 y además conoce la estrategia ganadora.. el otro debe a su turno agregar (4 – n)..... 2 ó 5 casillas a la derecha.. pero si el segundo jugador aumenta en 2.... o sea el último en jugar.. como: si se tratase de llegar hasta 43 y ambos jugadores saben la estrategia....................... ¿gana el que inicia el juego?... C) Pierde el jugador que coloca la ficha en la ultima casilla.. se concluye que el primero en jugar gana........ ¿con qué número se debe empezar el juego para ganar? .... para ello debe quitar 1 ficha y en adelante si el otro quita “n”........ Y si se trata de llegar a 2007......... mueve la ficha 1... a lo que el docente debe llegar con la participación de los alumnos........................ Para llegar a los números ganadores............. el primero debe quitar “3 – n” ........ simplemente hay que completar 3 a lo que diga el otro jugador... se van quitando 1 ó 2 fichas y el que se queda con la última ficha pierde.. Se entiende que el concepto matemático implicado en el juego es la divisibilidad por 3................... es sencillo deducir que el segundo en jugar siempre gana................ B) Cada jugador..
................ • Se tiene el siguiente juego para dos personas: A) En una fila de 40 casillas se ubica una ficha en la primera de la izquierda. VARIANTES Hay muchas... Y así sucesivamente se obtiene que los números ganadores son: 2 5 8 11 14 17 20
Esto significa que un jugador para ganar debe llegar o ubicarse en dichos números. Después de un análisis similar........ el primero le añadirá 1. observe que van de 3 en 3.......... por ejemplo: • Con las condiciones iniciales.... pues basta que a lo que el primero agregue (n). Fundamenta tu respuesta .........Añadir 1 18 17 20 Y B le añade 2
Entonces el objetivo de llegar a 20 se transforma ahora en tratar de llegar a 17..... si cambiamos por los números 1.............. Es decir el concepto matemático es la divisibilidad por 4..... Razonando de modo similar el objetivo de llegar a 17 se transforma en llegar a 14........ A partir de ello se pueden plantear algunas cuestiones.. 2 ó 3. Es decir cuando el segundo jugador aumente en 1. el primero debe añadir 2 más..................... logrando así reconocer la importancia de la Matemática en dicho juego.... a su turno......... En consecuencia gana el que juega primero.......
INSTRUCCIONES Se coloca la ficha en la esquina inferior izquierda. Gana quien coloque la ficha en la esquina superior derecha. como el ajedrez. Para ello si el primero (A) mueve “n” casillas. Juega A y debe mover la ficha un recuadro hacia arriba. una estrategia ganadora. si existe. hacia la derecha o en la dirección de la diagonal (NE). E o bien NE. y así sucesivamente le va completando lo que falta para 6 ó 3:
1 2 3 4 5 6 7 8 5 16 17 18 19 20 1 12 13 14 1 9 10 1
MATERIALES: Un tablero cuadriculado de 8x8.
. Luego de analizar el juego se llega a concluir que gana el que juega en segundo lugar (B). luego le toca jugar de nuevo a A y así sucesivamente. un cuadro hacia el N. debe mover la ficha desde la posición que ahora ocupa. A continuación juega B y del mismo modo. Una ficha PARTICIPANTES: dos jugadores: A y B. es decir “3n” o “6n”. A continuación presentamos un juego ganado por B. Note que A empieza moviendo 1 y B mueve a su vez 5 (le completó 6). el segundo (B) a su vez debe completarle un múltiplo de 3. luego A movió 2 y B a su vez movió 1 (le completo 3).Encontrar.
............................ al que le toca jugar................... Al docente le corresponde sistematizar el razonamiento de los estudiantes..... ¿Si la ficha se encuentra en el casillero (7 .. gana o pierde? .................................... gana o pierde? ..... Los casilleros ganadores son aquellos cuyas coordenadas son números pares.......... y le toca jugar................................................... se debe jugar las veces necesarias para familiarizarse con las reglas y descubrir una estrategia ganadora............................... 7)........ y le toca jugar................................. 6)........ ¿Si la ficha se encuentra en el casillero (6 .......................... gana o pierde? ....... gana o pierde? . 6)..................................
...... 2) y además si sabe jugar...................................... y le toca jugar............. ESTRATEGIA Por lo anterior........................................... se obtiene que inicialmente los casilleros ganadores son los de la Tabla 1 Tabla 1
Y razonando de manera similar podemos deducir los demás (Tabla 2).............................. Puede ser mediante algunas preguntas guías como: ¿Si la ficha se encuentra en el casillero (6 .............. 8)......................................... gana o pierde? ...................... ¿Si la ficha se encuentra en el casillero (8 ... 6)......... Es decir la estrategia ganadora consiste en ubicarse en los casilleros de negro............................................................................. y le toca jugar.................... por lo tanto gana el que inicia el juego moviendo en dirección NE al casillero (2 ............................... ¿Si la ficha se encuentra en el casillero (6 ......................RECOMENDACIONES Como en muchas actividades de este género.......
pues tienen fundamento matemático. vertical-abajo (no diagonal). -¿Existen algunas casillas en donde desearías encontrarte en tu turno? ¿O donde no te gustaría encontrarte? Toma nota de ellas. Piensa un plan de trabajo y escríbelo. Sigue analizando el juego en las casillas más alejadas de la meta. la casilla inferior derecha. Comprueba y redacta las conclusiones. Investiga cómo jugarías si te encuentras en las casillas cercanas a la meta.3 MAGIA MATEMÁTICA Resulta interesante. como recurso motivador.Empieza por el final. Toma nota de las observaciones que vas haciendo. A continuación.VARIANTES Se pueden utilizar tableros de otros tamaños. Final: gana el jugador que llega a la meta. Objetos y tablero: un tablero como el del ajedrez. ¿Quién tiene ventaja. Consulta pautas si te hace falta. presentaremos algunos de ellos. el jugador que empieza o el segundo? ¿Cuándo tiene ventaja cada uno de ellos? Ejecuta el plan.2. 3.
.3. la utilización de “trucos” o “magias” que realmente no lo son. por ejemplo rectangulares TABLERÍN
Número de jugadores: 2. Algunas cuestiones para analizar este juego podrían ser: . obedecen a alguna propiedad que el receptor no lo distingue fácilmente. La meta en el extremo inferior derecho. con 8x7 casillas y una ficha (o un peón) en el extremo superior izquierdo. tantos espacios como se quiera pero un espacio al menos. Instrucciones del juego: cada jugador en su turno mueve la ficha roja en uno de los dos sentidos: horizontal-derecha.
18. 21 ó 26. además hacemos: a+b+c+d = s
Si N’ es el número que se obtiene de cambiar el orden de las cifras de N. Veamos: Consideremos N = abcd . Vemos que la diferencia es 9 .
Hemos descompuesto Son múltiplos de 9 ( 9 ) 9xk= 9 9 + 9 = 9. FUNDAMENTACIÓN Una propiedad de la divisibilidad es “todo número se puede expresar como un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras”. pero usando las mismas cifras que el primero.
Diles que tachen con una rayita una de las cifras del resultado.5 2 7 Le dices finalmente que te diga la suma de las otras cifras. el mayor menos el menor. Entonces la cifra tachada será lo que le falta a la suma que te den para completar un múltiplo de 9.. es decir: 4 + 2 + 7 = 13. Se debe ensayar con varios casos y se observará que la suma de las cifras de los resultados pueden ser: 9. 1964. . Por ejemplo..LA CIFRA TACHADA Se trata de adivinar una de las cifras de un número. Es decir la suma de sus cifras de esta resta será un múltiplo de 9... etc. Entonces si el estudiante le dice que la suma es 10.. En nuestro ejemplo a 13 le falta 5 para ser un múltiplo de 9 (el múltiplo más próximo). 27. Hacer hincapié sobre el cuidado al escribir los números y no equivocarse en la resta. realizando su descomposición polinómica tendremos: N = 1000a + 100b + 10c + d N = (999)a + (99)b + 9c + a+b+c+d N = 9a + 9b + 9c + a+b+c+d N = 9 + 9 + 9 + a+b+c+d N = 9+ s
. Para el caso presentado el resultado (la diferencia) siempre será un múltiplo de 9. les dices que a la derecha escriban otro número.
. Luego: ( 9 + s) – ( 9 + s) = 9 . Por ejemplo: 4.. Luego. respectivamente. la cifra tachada será: 8.. 6 ó 1. .. se tendrá que: N’ = 9 + s. conociendo la suma de las demás MATERIALES: papel y lápiz PROCEDIMIENTO Pídeles a tus alumnos que escriban cualquier número de 3 o más cifras sin que tú puedas verlo. es decir que cambien de orden las cifras del número original Ejemplo: 6491 Seguidamente que resten ambos números. En menos de 4 segundos le dices la cifra que tachó. .
que lo perciban como si fuese cualquier número al azar. Que multipliquen ambos números. EXPLICACIÓN MATEMÁTICA Se tiene: MxN + Mx(999 – N) = Mx999 Es decir: Mx(1000 – 1) = Mx1000 – M Esto es: M . en este caso el 861. pero estos casos los debe dejar para el final y primero “adivinar” las demás respuestas que los alumnos den. para que no se pierda el atractivo.
Hay cálculos operativos que dan la impresión de ser tediosos.
. 2º. INSTRUCCIONES: Los estudiantes deben realizar los siguientes pasos: 1º. TÉCNICA: Basta escribir el multiplicando. es decir lo que le falta para 1000.A. Así. Que te dicten y escriban dos números de 3 dígitos. se tendrá: 861 x 208 = 179 088 4º. recalcándoles que tengan cuidado en las operaciones que realicen.(M) es el complemento aritmético de M. Es decir: 860 139. A. este será 208 (lo obtendrás de 999 – 791). por ejemplo: ¿la cifra es grande o pequeña?. Se tendrá: 861 x 791 = 681 051 3º. mediante la aplicación de propiedades aritméticas o algebraicas. que multipliquen uno de los números iniciales que el docente debe fijar.NOTA: Puede suceder que la cifras tachadas sean: 0 ó 9. Finalmente que sumen ambos resultados: 681 051 + 179 088 = 860 139 Antes que ellos terminen el docente conocerá el resultado y lo escribirá en un papel sin que los estudiantes lo vean. (M) Donde M es el número fijado y C. por ejemplo 861. A continuación. en ese caso usted debe solicitarle una información más. por ejemplo: 861 y 791. por otro que el docente propone. disminuido en una unidad y anotar a su derecha su complemento (lo que le falta a 861 para 1000).1 C . pero reconociendo la forma de los números y los operadores que intervienen se pueden realizar de manera abreviada.
Se escribe 15 / 01 / 70. Sólo queda separar las cifras de dos en dos. al resultado anterior lo multiplicas por 5 y luego le añades 6.
MATERIALES: lápiz. O sea d = 15. Les pides el resultado final y a ello le restas 1000 y se obtendrá: d / m / a. según el grupo o nivel al que vamos a presentar esta situación. que justamente es la fecha de nacimiento del alumno. Es recomendable tener a la mano una calculadora para verificar los resultados y no quede duda alguna de las operaciones que realicemos. a dicho resultado le sumas 2. se pueden usar de dos cifras o de cuatro. tendremos 10x { 2x [ 5x ( 4x [ 25 x 15 + 2 ] + 1 ) + 6 ] + 8 } + 70 25 x 15 15 102 + 8 375 + 2 377 x 4 1 508 + 1 15 1100 + 70 1 509 x 5 7 545 + 6 7 551 x 2 15 102 15 / 01 / 70
. al resultado anterior lo multiplicas por 10 y a ello le sumas los dos últimos dígitos del número del año de tu nacimiento”. papel y calculadora PROCEDIMIENTO. m = 1 y a = 70 Reemplazando. Oralmente se dan las siguientes indicaciones: “al número del día de tu nacimiento lo multiplicas por 25. ahora al resultado anterior lo multiplicas por 4 y le añades el número del mes de tu nacimiento. mas no al inicio para no tergiversar la correcta construcción de los conceptos y principios matemáticos. Es conveniente la presentación de este tipo de particularidades operativas al culminar el desarrollo de contenidos y proceso que están relacionados con él. a dicho resultado lo multiplicas por 2 y le añades 8.
10x { 2x [ 5x ( 4x [ 25 x d + 2 ] + m ) + 6 ] + 8 } + a Por ejemplo: la señora Carmen nació el 15 de enero de 1970.RECOMENDACIONES El número de cifras puede variar.
Se puede deducir que cualquiera de los valores de “p” es el doble que el valor de “t” respectivo más uno.3. ¿cuántos triángulos.
. Es decir: 3 = 2(1) + 1 5 = 2(2) + 1 7 = 2(3) + 1 9 =.4 ACTIVIDADES DE INDUCCIÓN Y GENERALIZACIÓN La búsqueda de regularidades. ... Observa la secuencia de figuras que se muestra en el dibujo que sigue y completa dos tiras más.. El docente puede promover esto en forma lúdica. ACTIVIDAD CON CERILLOS Forma tiras de triángulos como en la figura..3. de patrones es usual en la actividad matemática. ¿Cuántos palillos se necesitan para hacer una fila de 199 triángulos? Con 2 007 palillos.
..... pueden formarse?
RESOLUCIÓN Una forma de observar los datos en cada tira de triángulos es organizarlos en una tabla (tabular) para observar la relación cuantitativa entre el número de triángulos y el de palitos usados. 2(4) + 1 .
a.. . en fila.
dado el primero de los diez números consecutivos que hay que sumar. El docente propone. 834. 837. 83. 840. Parte 4 : Reflexión 1. Esto lo realizará cuatro veces. Cada grupo tendrá que explicar cómo ha obtenido la fórmula. usando sólo lápiz y papel. 19. 839. 836. 16. 6 988.
Parte 2: Búsqueda de estrategias Cada equipo tendrá un tiempo para buscar alguna estrategia que permita ganar rápidamente. cada una de las cuales tendrá un máximo de 5 minutos. ¿Es posible que la suma de diez números consecutivos dé por resultado 735 245? ¿Por qué? Si la respuesta es afirmativa. ¿cuáles son los números que se han sumado?
. 6 984. Parte 3: Generalización mediante una fórmula Se busca ahora escribir una fórmula que permita. 85. 18. : 6 980. Puesta en común Al finalizar la Parte 2 se realiza una puesta en común en la cual se discuten las estrategias propuestas y se analizan aquellas que supuestamente permiten ganar más rápido. 15. 6 986. 80. 12. Puesta en común. 86. 835. 13. 81. 6 982.ACTIVIDAD SOBRE SUMAS DESARROLLO Se arman equipos de cuatro estudiantes y el docente propone el siguiente desafío. 6 983. cualquiera sean los diez números consecutivos que se propongan. 832. Luego. 87. 6 987. 88. 20. a continuación. 2da : 79. 838. comenzar a jugar y escribe en el pizarrón: 1era : 11. obtener como resultado la suma de éstos. 3ra 4ta : 831. Parte 1: Exploración "El profesor les da diez números consecutivos y el equipo que primero encuentre la suma de estos números será el ganador". 82. Se analizan. cada grupo tendrá que presentar la estrategia diseñada y dar razones que justifiquen por qué ella sirve cualquiera sean los diez números consecutivos y por qué creen que permite ganar rápidamente. 6 985. 14. se comparan y se validan las diferentes producciones. 833. 84. 6 989. 17. 6 981.
en la Parte 3. en particular. cada una de ellas proveniente de diferentes regularidades. la validación de un proceso de generalización. En caso de obtenerse una respuesta incorrecta. 3. discutir la equivalencia de diferentes fórmulas posibles.
. El hecho de no conocer de antemano el conjunto de números que el docente propondrá podría funcionar como "motor de generalización": las estrategias locales diseñadas en la primera parte (esencialmente ligadas a estrategias de cálculo mental) no son fácilmente generalizables.
4. el recurso algebraico aparece como un medio para resolver problemas que implican la exploración de regularidades. en este caso. p x 10 + 45 siendo p el primer número de la secuencia 2. de tal manera que la realización de todas las cuentas comience a manifestarse como un método "poco económico" y así motivar al alumno en la búsqueda de otros procedimientos. muchas de ellas deberán reformularse a partir de la exigencia de la producción de una fórmula. La producción de fórmulas es un recurso interesante para la introducción de “las variables” en la clase de Matemática. frente a una respuesta de un grupo. Asimismo.
REFLEXIÓN Se trata de una actividad que puede ser utilizada en los comienzos del álgebra. En la primera parte de la situación. ¿cuáles son los números que se han sumado? COMENTARIOS En la Parte 1. como por ejemplo: 1. el docente controla el resultado de la suma.2. En esta instancia no hay ningún tipo de discusión en relación a la manera de obtener los resultados (cada equipo no deberá divulgar la estrategia que supuestamente le permite ganar el juego). la situación exige la puesta en funcionamiento de un proceso de generalización y abre un espacio para el trabajo sobre la problemática de la validación en las sesiones de Matemática. los números que se proponen son cada vez mayores.
5. ¿Es posible que la suma de diez números consecutivos dé por resultado18 450? ¿Por qué? Si la respuesta es afirmativa. etc. fundamentalmente frente a la exigencia de comunicación. Es importante. u x 10 – 45 siendo u el último número de la secuencia [(c1 + c2 ): 2] x 10 donde c1 y c2 son los números centrales de la secuencia q x 10 + 5 siendo q el quinto número de la secuencia s x 10 – 5 siendo s el sexto número de la secuencia. el juego continúa hasta que aparezca la primera respuesta correcta.
Inicialmente el profesor construye un poliedro que sirva de guía para la actividad de los alumnos y así mismo reconozca con ellos sus elementos. A partir de la construcción y manipulación de estos. El enunciado de dicho teorema es: “En todo poliedro convexo.
El docente a su vez debe hacer el cuadro también en la pizarra. Progresivamente deben ir construyendo sus poliedros: de 4 caras. PROCEDIMIENTO Se invita a los alumnos a construir sus poliedros uniendo los cerillos (aristas) por sus extremos (vértices) con limpiatipo. con la ayuda del docente.
. MATERIALES . como es el caso de los elementos de los sólidos geométricos. No hay que perder de vista que un poliedro es convexo. A su vez deben ir registrando en un cuadro sus elementos. el número de caras aumentado con el de vértices equivale al número de aristas más dos”.Limpiatipo. tomando la información de uno de los grupos.Cerillos o palitos de diente.TEOREMA DE EULER: C + V = A + 2 Se trata de modelar un fenómeno geométrico. seguidamente de 6. luego de 5 caras. si es posible. por ejemplo el interesante teorema de Euler. y así sucesivamente hasta un icosaedro. si sus caras son polígonos convexos. así como sus nombres. los estudiantes pueden descubrir algunas propiedades. .
NOTA: va a suceder que varios datos de la tabla no son los mismos en los grupos. Por ejemplo para el octaedro..Nº de Caras (C) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 .. 30
Nombre Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro Octaedro Nonaedro Decaedro Undecaedro Dodecaedro . mas no de cantidades arbitrarias de ellos. lo cual resalta las diferentes formas de construir estos sólidos y poner énfasis en el entendimiento de un enunciado.. por ejemplo:
.. el cual habla de la relación matemática que hay entre los elementos de los sólidos. 12
Nº de Aristas (A) 6 9 12 15 12 16 24 20 30 . 20
Nº de Vértices (V) 4 6 8 10 6 9 16 11 20 ... tenemos otras posibilidades...
..................................... Por ejemplo se pueden plantear cuestiones como: ¿Es posible construir un poliedro con 9 caras...................... 14 vértices y 20 aristas? .RECOMENDACIONES Una vez terminado el cuadro ellos deben descubrir la relación matemática entre las caras... ¿cuál? • Como el número de aristas A es mayor...............
............................ 24 aristas y 39 vértices? ... Esto puede hacerse didácticamente mediante preguntas guías......................... Y allí no debe terminar la actividad............ por ejemplo: • ¿Qué relación pueden encontrar entre las C............................. ¿Cómo se llama el poliedro?............ que el docente puede utilizar de tal modo que ellos logren formular la relación correcta.................................... ................................................. ¿operando las C con los V podemos obtener el número de A? • ¿Qué operación entre C y V es la que más se aproxima al valor de A? • ¿Si sumamos C + V resulta A? • ¿Cuánto faltaría? • Entonces la relación entre C................... ¿Es posible construir un poliedro con 13 caras........ V o A)........... el número de caras es igual al de sus vértices y tiene 98 aristas............................ V y A de cada poliedro? • Alguno de ellos (C............ ¿cómo es siempre respecto de los otros? • ¿Uno de ellos es siempre mayor que los otros?............................................... sino reflexionar sobre esta.................... ¿El teorema de Euler se cumple para poliedros que no son convexos? ................ En un poliedro.............................. V y A es: C+V A+2
Estas preguntas van de lo más general hacia lo específico................................... con la información que poseen y con la mediación del docente................ vértices y aristas..............................
4. denominándose a dicha suma número mágico.
. logrando formar regularidades. y no darles las respuestas o artificios que inhiben el desarrollo de habilidades.. 7. en estas se pueden distribuir números.3. 6.3. 5.2. Entre ellas están los cuadrados mágicos. COMENTARIO: Se debe permitir al alumno ensayar hasta obtener el cuadrado mágico deseado. triángulos mágicos.
CUADRADOS MÁGICOS Las filas. 2. etc. columnas y diagonales tienen la misma suma.5 FIGURAS Y ESQUEMAS NUMÉRICOS Hay una variedad de casos en los cuales por la forma de las figuras. 3. SUMA 15. limitándolo a repetir las instrucciones. estrellas mágicas. Hay que distribuir los números: 1. de modo que este sea mágico. 8 y 9 en los nueve casilleros de un cuadrado de 3x3. y otras que gozan de propiedades particulares.
3. 2. 14. 4. 5. Es un cuadrado mágico de 4x4. 15 y 16. 9. 12. TRIÁNGULOS MÁGICOS De manera similar hay que distribuir los números: 1. 6.
. Anímate a encontrar las otras soluciones. 10. 8. 13. 6. 8 y 9.EXTENSIÓN: SUMA 34. 7. 11. Hay que distribuir convenientemente los números: 1. SUGERENCIA: Se le puede dar algunos números guía para que ellos completen los demás. 2. 5. 3. 4. 7. de modo tal que la suma de cada lado del triángulo sea 20 Presentamos dos soluciones. pues a medida que aumenta el tamaño de los cuadrados la dificultad aumenta también.
12. 13. 5. 7. 4. 15 y 16 se deben distribuir en las diez regiones. no se tocarán los consecutivos.
. 11.NO CONSECUTIVOS Los números: 1. 8. de modo que dos números consecutivos no se encuentren en dos regiones contigüas (que comparten un mismo lado o vértice). 6. 10. Por ejemplo. Similares estrategias el docente debe promover entre sus estudiantes. 3. algunos estudiantes logran determinar que si en las regiones internas colocamos los impares y en las externas los pares. o a la inversa. 9.
La exploración de soluciones para este desafío nos puede llevar a formular estrategias para encontrar más soluciones. 14. 2.
Es interesante observar que el método usado por la mayoría de los estudiantes es ensayar con algunos números hasta dar con la respuesta. así también en el nivel secundario se pueden presentar estos elementos. Observa el modelo adjunto: En cada pirámide numérica debes ingeniarte y completar los números que faltan en las casillas vacías basándote en esta condición. reemplazando se podrá completar los números que faltan en la pirámide. El número de cada casilla se obtiene de sumar los números de las dos casillas que lo sostienen. pero con una dificultad mayor o con desafíos más interesantes. Muy pocos seguramente detectarán el concepto de ecuación subyacente a esta actividad.
. que teniendo en cuenta la condición nos conduce a plantear la ecuación: x + 3 + x + 5 = 42. A la derecha se observa el uso de esta estrategia. pues son frecuentes en los diarios o en textos de primaria.PIRÁMIDES NUMÉRICAS El uso de estas pirámides nos es familiar. resolviendo x = 17.
Incluso se pueden plantear retos o competencias de a dos. reales o imaginarias. pues durante toda la Secundaria. Aquí resultaría más productivo.
Es importante que los estudiantes puedan crear sus propias pirámides desarrollando así su pensamiento creativo y afirmando la confianza en sí mismos. perduran aún las dificultades de los signos para los jóvenes.RECOMENDACIONES Aquí el docente no debe dejar escapar la oportunidad para comentar con los estudiantes que los conceptos matemáticos están presentes en muchas situaciones lúdicas.
. VARIANTES Se puede extender para el conjunto Z. o por equipos. de forma amena. que como sabemos un buen porcentaje de alumnos tienen dificultades. El docente puede promover en los estudiantes la creación de otros esquemas para lograr un mayor dominio. de las operaciones con números enteros.
CRUCINÚMEROS Completa los números enteros que faltan en cada recuadro. si se tienen los resultados de las filas ( ) y de las columnas ( ).
Para ello descubre los números que deben estar en los círculos.
:(. con las operaciones indicadas. para que el resultado final sea 20.2)
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. Editores e Impresores Av.A.Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de FIMART S. Del Río 111 .
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