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﻿ Lezioni di meccanica analitica | Felix Ruvimovich Gantmacher | download
الرئيسية Lezioni di meccanica analitica
الطبعة: Prima edizione
الناشر: Editori Riuniti - Edizioni Mir
الصفحات: 261 / 262
ISBN 10: 8835921481
Series: Nuova biblioteca di cultura 210
Collana diretta da Ignazio Ambrogio
a cura di Carlo Bernardini
Feliks Ruvimovic Gantmacher
di meccanica analitica
I edizione: settembre 1980
Titolo originale: Lektsii po analiticeskoi mechanike
Traduzione di Gianni Federici
© Copyright by Edizioni Mir, Mosca
© Copyright by Editori Riuniti
Via Serchio, 9/111 - 00198 Roma
CL 63-214&-8
I. Equazioni differenziali del moto di un sistema
arbitrario di particelle
§ 1. Sistemi liberi e vincolati. Vincoli e loro classificazione
p. 9 - § 2. Spostamenti possibili e virtuali. Vincoli ideali p. 12 - § 3. Equazione generale della dinamica.Equazioni di Lagrange del primo tipo p. 21 - § 4. Principio degli
spostamenti virtuali. Principio di D' Alembert p. 25 - § 5.
Sistemi olonomi. Coordinate indipendenti. Forze generalizzate p. 35 - § 6. Equazioni di Lagrange del secondo
tipo in coordinate indipendenti p. 41 - § 7. Studio delle
equazioni di Lagrange p. 46 - § 8. Teorema della variazione dell'energia totale. Forze potenziali, dissipative e giroscopiche p. 49 - § 9. Analogie elettromeccaniche p. 55 - § 10.
Equazoni di Appell per sistemi non olonomi. Pseudocoordinate p. 58.
II. Equazioni del moto in un campo potenziale
§ 11. Equazioni di Lagrange per forze potenziali. Potenziale
generalizzato. Sistemi non naturali p. 67 - § 12. Equazioni
canoniche di Hamilton p. 72 - § 13. Equazioni di Routh p.
79 - § 14. Coordinate cicliche p. 81 - § 15. Parentesi di
Poisson p. 84.
III. Principio variazionale e invarianti integrali
§ 16. Principio di Hamilton p. 89 - § 17. Seconda forma
del principio di Hamilton p. 97 - § 18. Invariante integrale
di base della meccanica (invariante integrale di Poincaré
- Cartan) p. 99 - § 19. Interpretazione idrodinamica dell'invariante integrale di base. Teoremi di Thomson e Helmholtz sulla circolazione e sui vortici p. 106 - § 20. Sistemi
conservativi generalizzati. Equazioni di Whittaker. Equazioni di J acobi. Principio di minima azione di Maupertuis Lagrange p. 111 - § 21. Moto inerziale. Linee geodetiche
in un moto arbitrario di un sistema conservativo p. 117 § 22. Invariante integrale universale di Poincaré. Teorema
di Lee Hwa-chung p. 119 - § 23. Invarianza del volume
nello spazio delle fasi. Teorema di Liouville p. 125.
IV. Trasformazioni canoniche ed equazioni
§ 24. Trasformazioni canoniche p. 129 - § 25. Trasformazioni canoniche libere p. 133 - § 26. Equazione di Hamilton - Jacobi p. 136 - § 27. Metodo della separazione delle variabili. Esempi p. 142 - § 28. Trasformazioni canoniche applicate alla teoria delle perturbazioni p. 151 - § 29.
Struttura di una trasformazione canonica arbitraria p. 153
- § 30. Criterio di canonicità di una trasformazione. Parentesi di Lagrange p. 158 - § 31. Natura simpliciale della matrice jacobiana di una trasformazione canonica p. 161
- § 32. Invarianza della parentesi cli Poisson in una
trasformazione canonica p. 163.
V. Stabilità dell'equilibrio e moti di un sistema
§ 33. Teorema cli Lagrange sulla stabilità cli mia posizione
di equilibrio p. 166 - § 34. Criterio d'instabilità cli una
posizione cli equilibrio. Teoremi cli Ljapunov e di Cetacv p.
173 - § 35. Stabilità asintotica cli una posizione di equilibrio. Sistemi dissipativi p. 176 - § 36. Stabilità condizionata. Formulazione generale del problema. Stabilità ciel
moto o di un processo arbitrario. Teorema di Ljapunov p.
182 - § 37. Stabilità dei sistemi lineari p. 189 - § 38.
Stabilità nell'approssimazione lineare p. 193 - § ~9. Criteri di stabilità asintotica di sistemi lineari p. 198.
VI. Piccole oscillazioni
§ 40. Piccole oscillazioni di un sistema conservativo p.
203 - § 41. Coordinate normali p. 212 - § 42. Effetto delle forze periodiche esterne sulle oscillazioni di un sistema
conservativo p. 215 - § 43. Proprietà estremali delle frequenze di un sistema conservativo. Teorema di Rayleigh sulla variazione delle frequenze con la variazione dell' inerzia e della rigidità del sistema. Sovrapposizione dei vincoli
p. 217 - § 44. Piccole oscillazioni dei sistemi elastici p.
222 - § 45. Piccole oscillazioni cli un sistema scleronomo
sotto l'azione di forze non esplicitamente dipendenti dal
tempo p. 228 - § 46. Funzione dissipativa di Rayleigh.
Effetto di piccole forze dissipative sulle oscillazioni di un
sistema conservativo p. 231 - § 47. Effetto cli una forza
esterna dipendente dal tempo sulle piccole oscillazioni di
un sistema scleronomo. Caratteristica ampiezza-fase p.
VII. Sistemi con coordinate cicliche
§ 48. Sistema ridotto. Potenziale di Routh. Moti incogniti.
Concezione di Hertz dell'origine cinetica dell'energia potenziale p. 241 - § 49. Stabilità dei moti stazionari p.
Nella letteratura che tratta di meccanica non c'è una sola interpretazione universalmente accettata del termine << meccanica analitica >>. Alcuni autori identificano la meccanica analitica come
meccanica teorica 1 . Altri sostengono che un'esposizione in coordinate generalizzate costituisca fo caratteristica che distingue la
meccanica analitica. Un terzo punto di vista, al quale aderisce
l'autore di questo libro, consiste nel fatto che la meccanica analitica
è caratterizzata sia dallo specifico sistema di rappresentazione, sia
da un insieme definito dei problemi trattati.
La caratteristica del sistema di rappresentazione della meccanica
analitica è che i princìpi generali (differenziali o integrali) servono
come fondamenti, e le equazioni differenziali del moto di base derivano analiticamente da questi princìpi. Il contenuto base della
meccanica analitica consiste nella descrizione dei princìpi generali
della meccanica, da cui derivano le equazioni differenziali fondamentali del moto, e di cui si studiano le equazioni ottenute e i metodi
per la loro interpretazione.
La meccanica analitica costituisce una parte del corso di meccanica
teorica che è compresa nel programma dei corsi di meccanica matematica, fisica ed ingegneria fisica delle università e delle scuole
superiori. Finora il programma generale di meccanica teorica degli
istituti tecnici non contiene la meccanica analitica, ne mantiene
soltanto ·degli elementi, benché la moderna tecnologia ponga problemi che vanno oltre il corso fondamentale di meccanica teorica
diviso tradizionalmente in << statica >>, « cinematica >> e << dinamica
di particelle di un sistema >>.
Gli ingegneri ricercatori, che lavorano in campi diversi della
moderna tecnologia, devono anche affrontare i metodi generali della
meccanica analitica, che forniscono un apparato analitico universale, per investigare problemi complessi in riferimento non solo
1 Per esempio, i noti corsi di meccanica teorica di G. K. Suslov e
Ch. de la Vallée-Poussin furono chiamati corsi di meccanica analitica dagli
ai fenomeni puramente meccanici, ma anche elettrici ed elettromeccanici.
Il presente testo non pretende di coprire completamente il campo
della meccanica analitica. È stato sviluppato da un corso di lezioni
date dall'autore lungo un periodo di sei anni all'Istituto fisicotecnico di Mosca. Questa circostanza ha determinato la scelta del
materiale e del modo di presentarlo.
Il corso di meccanica analitica è di base per le sezioni della
fisica teorica quali la meccanica quantistica, la teoria della relatività
ristretta e generale e così via. Per questo motivo viene data una presentazione dettagliata dei principi variazionali e degli invarianti
integrali della meccanica, delle trasformazioni canoniche, deWequazione di Hamilton - J acobi, e dei sistemi a coordinate cicliche
(ignorabili) (capitoli Il, III, IV, VII); seguendo le idee di Poincaré e Cartan, l'autore usa gli invarianti integrali della meccanica
come base dell'esposizione. Qui essi non rappresentano un << abbellimento » della teoria, ma il suo reale strumento quotidiano.
Le applicazioni tecniche sono associate al considerare sistemi
vincolati che vengono studiati dettagliatamente nel capitolo I. In
una sezione speciale di quel capitolo dedicata alle analogie elettromeccaniche si investiga la possibilità di estendere i metodi analitici
della meccanica a sistemi elettrici ed elettromeccanici. Nei capitoli V e VI vengono date applicazioni della meccanica analitica
alla teoria della stabilità di Ljapunov ed alla teoria delle oscillazioni.
Elementi di moderni metodi di frequenza vengono esposti diffusamente insieme a problemi classici nella teoria delle oscillazioni
lineari. Problemi della dinamica di corpi rigidi sono trattati in
esempi singoli.
Si assume che il lettore abbia confidenza con i fondamenti generali
della meccanica teorica e della matematica superiore. Il testo è concepito per studenti universitari dei dipartimenti di meccanica matematica, fisica ed ingegneria fisica ed anche per gli ingegneri ricercatori ed altri specialisti che sentono il bisogno di estendere ed ap profondire la loro conoscenza nel campo della meccanica.
I. Equazioni differenziali del moto di
un sistema arbitrario di particene
§ 1. Sistemi liberi e vincolati. Vincoli e loro
Il moto di un sistema di particelle P v (v = 1, ... , N) è studiato rispetto ad un qualunque sistema inerziale (galileiano)
di coordinate. Si pone che la posizione e la velocità delle particelle del sistema sono restrizioni di natura geometrica o cinematica, chiamate vincoli. I sistemi con tali vincoli sono detti sistemi
vincolati per contraddistinguerli dai sistemi liberi, dove tali vincoli sono assenti.
Analiticamente un vincolo è espresso dall'equazione
f (t,
1'v, ;.v) = O1,
dove il membro sinistro include il tempo t, i vettori radiali
rv e le velocità Dv= rv di tutti i punti Pv del sistema (v= 1, ...
. . . , N). Nel caso particolare in cui le velocità rv non compaiono
nell'equazione vincolare (1), il vincolo è definito finito o geometrico. Analiticamente questo è espresso come
f(t, 1·.,) = o.
Nel caso generale, il vincolo (1) è chiamato differenziale o cinematico. D'ora in poi ci limiteremo a considerare solo quei vincoli
differenziali le cui equazioni contengono le velocità delle particelle in forma lineare:
L; lv't\,+D=O,
1 Il punto sopra la lettera denota la differenziazione di quella data quantità rispetto al tempo. Tutti i vettori radiali sono costruiti da un solo polo
che è stazionario in un dato sistema di coordinate. Inoltre, l'espressione/ (t,
rv, ;v) è l'abbreviazione della funzione f (t,r1, ... , rN,;1, ... , ;N)- Tale abbreviazione sarà usata in questo testo. Se xv, Yv, Zv sono le coordinate cartesiane
di un punto P v in un dato sistema di coordinate (v = 1, ... , N), allora la
funzione f può essere considerata come una funzione di 6N
scalari t, xv, Yv, zv, ;v,
;v (v = 1, ..• , N). La funzione f e tutte le altre
funzioni che si incontreranno in seguito sono considerate continue, come le
loro deriva te.
dove l vrv è il prodotto scalare tra i vettori lv e rv, ed il vettore
lv~ e lo scalare D sono funzioni specifiche di t e di tutte le r µ
(µ, v = 1, ... , N). Si assume qui che i vettori lv non possono
essere tutti contemporaneamente nulli.
Dato un vincolo finito di tipo (2), un sistema non può occupare
una posizione arbitraria nello spazio in ogni determinato istante
di tempo. I vincoli finiti impongono delle restrizioni sulle posizioni possibili del sistema al tempo t. Ma con un solo vincolo
differenziale il sistema può occupare qualunque posizione arbitraria nello spazio in ogni istante t. In questa posizione però
le velocità delle particelle del sistema non possono essere arbitrarie, poiché il vincolo differenziale impone delle restrizi'oni
su queste velocità.
Ogni vincolo finito di tipo (2) implica, come conseguenza,
un vincolo differenziale la cui equazione è ottenuta differenziando
termine a termine l'equazione (2):
dove 0;. = gradv / (v = 1, ... , N) 1 • l\fa tale vincolo differenv
ziale non è equivalente al vincolo finito (2). E equivalente al
vincolo finito
f (t, 1·v) = e,
dove e è una costante arbitraria. Per questa ragione il vincolo
finito (4) è detto integrabile.
Si noti che nelle coordinate ortogonali cartesiane le equazioni
dei vincoli dalla (1) alla (4) sono espresse come
(t, Xv, Yv, Zv, :l'v, y,., Zv) = O,
Xv, Yv, Zv)
~ (Av,;v + BvYv +Cv;,,)+ D = O2 ,
\'=1
"1 ( a/ •
af • )
L: Dxv xv+ ay,., Yv+ OZv Zv
+iit= 0 .
Il vincolo finito (2) o (2') è denominato stazionario se t non
è presente esplicitamente nell'equazione del vincolo, per esempio
1 Se rv = xv i+ Yv j
zvk, dove i, j, k sono
degli assi coordinati. si ottiene
vettori di base ortogonali
~=_!!J_i+.!ll_J+~k
(v=1, •.. , N).
iJ.r"
d!/v
Òzv
A". Hv r Cv (v = 1, ... , N) sono funzioni scalari di t, x1 , y 1 , z1 ,
Xr,;, YN, ZN.
~•· ,,f_
= O. In tal caso, il membro sinistro dell'equazione· del
differenziale (4) è una funzione lineare ed omogenea delle
,,l,11·ità. Analogamente, il vincolo differenziale (3) o (3') è detto
•d,donario se D = O e se i vettori l,. nell'equazione (3) (e, rispetl I v11nrn11ll', i coefficienti A,., B,. e C,. nell'equazione (3')) non sono
lll11zio11i esplicite di t.
l In sistema di particelle è detto olonomo se le particelle del
,,htnma non dipendono da vincoli differenziali non integrabili.
I l1111que, un sistema olonomo è un qualunque sistema libero di
p11 rl.icelle ed anche un qualunque sistema vincolato con vincoli
I i II i li o differenziali ma integrabili. Tutti i vincoli in un sistema
11l1111omo possono essere scritti in forma finita.
l Jn sistema è detto non olo nomo 1 se ci sono vincoli differenziali
111111 integrabili.
\Jn sistema è detto scleronomo se si impongono solo dei vincoli
~111zionari, altrimenti è reonomo.
\'l11rnlo
Esempio 1. Una particella è vincolata a muoversi su una superficie. L'equa' i11111• di questa superficie è data nella forma
f (x, y, z) = O.
fJ11P~to è un vincolo finito stazionario.
Se la superficie è mossa oppure subisce deformazione, il tempo t compn re nell'equazione della superficie in modo esplicito:
t (t,
11ppure
f (t, x, y,
In questo caso il vincolo è finito ma non stazionario.
Esempio 2. Due particelle sono collegate da un'asta rigida di lunghezza
/Issa I. In tal caso l'equazione vincolare è della forma
(r1 - r2) 2- l 2
(x1 -
x2) 2
Y2) 2
(z1 -
z2) 2 -
f)uesto è un sistema olonomo scleronorno.
Possiamo notare che un corpo rigido può essere visto come un sistema
di particelle equidistanti una dall'altra, che è soggetto a vincoli del tipo (8).
I la questo punto di vista, un corpo rigido libero è un caso particolare di un
~i~tema di particelle vincolato olonorno scleronorno.
Esempio 3. Due particelle sono collegate da un'asta di lunghezza variabile
I =" f (t). L'equazione del vincolo è dunque
(r1 - r 2 ) 2 - / 2 (t) = O
<juesto è un sistema olonomo reonorno.
Esempio 4. Due particelle in un piano sono collegate da un'asta di lunl[hezza costante le sono vincolate a muoversi in modo tale che la velocità del punto
1 I vincoli diffc>renziali non integrabili sono essi stessi frequentemente
d1iamati non olonomi. Qualche volta i vincoli differrnziali integrabili sono
detti semiolonomi.
medio dell'asta ha la direzione dell'asta (il moto di un pattino su un piano).
Le equazioni vincolari sono
Zi=O,
Z2=0,
(:1-:2) 2+~Y1-.Y2) 2- l 2 =0,
\ X1-X2
Questo è un sistema non olonomo perché l'ultima equazione nella (10) definisce un vincolo differenziale non integrabile.
Oltre ai vincoli di tipo (1), che sono detti vincoli bilaterali,
in meccanica si studiano anche i vincoli unilaterali, che sono
espressi nella forma di disuguaglianza
f (t, 1·v, l\,);,::O.
Un esempio ò il caso di due particelle collegate da un filo di
lunghezza l. Questo vincolo è espresso dalla disuguaglianza
l 2-(,·1-r2) 2;;;::o.
Se nella condizione (11) abbiamo il segno di uguaglianza, si dice
che il vincolo è rigido.
Il moto di un sistema su cui agisce un vincolo unilaterale può
essere diviso in parti tali che in alcune parti il vincolo sia rigido
e il moto è come se il vincolo fosse bilaterale, e nelle altre parti
il vincolo non sia rigido e il moto è come se non ci fossero dei vincoli. In altre parole in alcune parti un vincolo unilaterale o è sostituito da un vincolo bilaterale oppure è eliminato completamente.
Per questa ragione d'ora in poi considereremo solo vincoli bilaterali.
§ 2. Spostamenti possibili e virtuali. Vincoli ideali
Siano imposti, su un sistema materiale, d vincoli finiti
fa.(t, 'l'v)=O (a=1, ... , d)
e g vincoli differenziali 1
~ lt1vnv+D13=0
(~=1, ... , g).
Sostituiamo i vincoli finiti con i vincoli differenziali che derivano
da essi:
"' afa.
LJ drv
+ afa.
(a= 1, ... , d).
Il sistema dei vettori Vv sarà chiamato velocità possibili ad un
certo istante t e ad una data posizione possibile (in quell'istante)
del sistema se i vettori Vv soddisfano le d + g equazioni (2) e (3).
Nelle equazioni dei vincoli differenziali al posto di ;v scriviamo
Dunque, le velocità possibili sono le velocità permesse dai vincoli. Per ogni possibile posizione del sistema all'istante t esistono
infiniti sistemi di velocità possibili. Uno di questi sistemi di
velocità è realizzato dal moto attuale del sistema all'istante t.
Consideriamo il sistema degli spostamenti infinitesimi
dr .. =v .. dt (v=1, ... ,N),
dove Vv (v == 1, ... , N) sono le velocità possibili, detti spostamenti
infinitesimi possibili, o più brevemente, spostamenti possibili.
Moltiplicando le equazioni (2) e (3) termine a termine per dt,
otteniamo le equazioni che determinano gli spostamenti possibili
"'1 afa d1· .. + afa dt=O
(a=1, ... , d),
~ lr,vd1· .. +Dfldt=O
Possiamo considerare due sistemi di spostamenti possibili
allo stesso istante di tempo e alla stessa posizione del sistema:
dr .. =v .. dt e d'1· .. =v~dt (v= 1, ... , N).
Sia drv che d'rv soddisfano le equazioni (5), mentre le differenze
61· .. =d'r.. -d1·v (v=1, ... , N)
soddisfano le relazioni omogenee
"'1 afa .i:r
= O (Cl, = 1 ' • • •' d) '
\•=1
~lflv6rv=0
(~=1, ... ,g).
Le differenze 6r .. = d'r.,, - dr.,, saranno dette spostamenti virtuali. Ogni sistema di vettori 6r.,, che soddisfa le equazioni (7)
è un sjstema di spostamenti virtuali. Le equazioni (7) per gli
spostamenti virtuali sono differenti dalle equazioni (5), che
definiscono gli spostamenti possibili in assenza dei termini
a;; dt e D 6dt. Si dice, per questa ragione, che gli spostamenti
virtuali coincidono con gli spostamenti possibili nel caso di vincoli
<< congelati >>.
Infatti, nel << congelamento >>, il tempo t che appare nelle equazioni dei vincoli finiti diventa fisso, cioè il vincolo si congela e la
configurazione rimane la stessa di quella al tempo t. Allora i termini aJia dt non appaiono quando vengono differenziate le funzioni f "' e le prime d equazioni (5) coincidono con le corrispon13
denti equazioni (7). Per un vincolo differenziale, << congelamento >>
significa imporgli un carattere stazionario, per esempio eliminando il termine D 6 dal membro sinistro dell'equazione del vincolo e fissando t che appare esplicitamente nel coefficiente l 6 ..,.
Dunque, anche le ultime g equazioni (5) coincideranno con le
corrispondenti equazioni (7).
Possiamo dire che gli spostamenti virtuali sono quegli spostamenti dei punti di un sistema da una possibile posizione del sistema
al tempo t ad un 'altra infinitamente vicina (allo stesso istante di
tempo t).
Nel caso di vincoli stazionari, gli spostamenti virtuali coincidono con gli spostamenti possibili.
Esempio 1. Una particella è in moto su una sùperficie fissa (fig. 1).
In questo caso, qualunque vettore v costruito dal punto P e tangente
alla superficie in questo punto sarà una velocità possibile. Il corrispondente
spostamento possibile dr ~ v dt analogamente giace sul piano tangente
alla superficie nel punto P. La differenza 6r = d'r-dr di due vettori tangenti è, a sua volta, un vettore tangente. Dunque, ogni vettore costruito
da P e giacente sul piano tangente può essere visto sia come un dato dr che
come un dato 6r. Qui il vincolo è stazionario e gli spostamenti virtuali coincidono con gli spostamenti possibili.
Esempio 2. Il vincolo è una super/ icie S che è essa stessa in moto (come
corpo rigido) con velocità n rispetto al sistema di coordinate originario
In questo caso la velocità possibile v è ottenuta dalla somma di un vettore arbitrario v 1 , che è tangente alla superficie, e della velocità ii:
V= V1
Analogamente, per qualsiasi spostamento possibile
d'r = vi dt
+ u, dt,
anche lo spostamento virtuale
6r = d'r - dr= (v~ -
v1 ) dt
è, a differenza di dr, un vettore che giace su un piano tangente alla superficie
nel punto P (fig. 3). Il vettore 6r è uno spostamento possibile per la superficie S <<fermata».
In coordinate cartesiane, il vettore 6rv è caratterizzato dalle
tre proiezioni sugli assi 6xv, 6yv, 6zv (v = 1, ... , N) e le equazioni (7) che definiscono gli spostamenti virtuali possono essere
scritte nella seguente forma:
( àfo.
à:rv
6xv+
(Ap, Bx,
àfa.
àyv
6yv+
~fa.
l'lzv}=O
+ B,, By,+ e,,' Bz,)
(a= 1, ... , d),
(~ = 1, ... , g).
Se queste d + g equazioni sono indipendenti allora tra i 3N
incrementi virtuali delle coordinate 6xv, 6yv, 6zv ci saranno
n = 3N - d - g incrementi virtuali indipendenti, dove n è detto
numero dei gradi di libertà del sistema di particelle dato.
Si p.ossono applicare rispettivamente ai punti del sistema
P v delle forze F v (v = 1, ... , N) 1 . Se fossero assenti i vincoli
allora, per la seconda legge di Newton, avremmo le relazioni
mvwv = F v (v = 1, ... , N) tra le masse mv, le accelerazioni
w.., e le forze Fv· Dati i vincoli, le accelerazioni Wv = J_ F v (ad
un dato istante t, in una data posizione delle particelle del sistema rv, e per le date velocità v_.) possono essere incompatibili con
i vincoli. Infatti, differenziando rispetto al tempo le equazioni (3)
e (2) termine a termine, otteniamo un 'espressione analitica per
1 Per Fv si intende la risultante di tutte le forze applicate direttamente
alla partice]]a Pv (v = 1, ... , N).
le restrizioni imposte dai vincoli sulle accelerazioni
particelle del sistema 1 :
"1. afo. 'W
L.J arv
+ L.J
( _!!__ afo. ) v
+ _!!__
afo. = 0
~ l13vwv+ ~ --;u-1Jv+dt=0 (~=1, ... , g).
Le accelerazioni Wv = _!_ F v possono non soddisfare queste relamv
zioni. Dunque, i vincoli materialmente effettivi agiranno sulle
particelle del sistema P v con certe forze supplementari Rv (v =
= 1, ... , N); queste forze sono dette forze di reazione dei vincoli z.
Le reazioni che sorgono sono tali che le accelerazioni determinate
dalle equazioni
mvWv=Fv+Rv
(v=1, . .. , N)
sono dunque compatibili con i vincoli.
A differenza delle reazioni Rv (v = 1, ... , N), le forze preassegnate F v (v = 1, ... , N) sono dette forze effettive. Le forze
effettive sono normalmente specificate come funzioni conosciute
del tempo, della posizione e delle velocità delle particelle del
sistema 3 :
flv = Fv (t,
1'µ, Vµ}
(v = 1, ... , N).
Il problema basilare della dinamica di un sistema vincolato
consiste nel seguente.
Date le forze effettive F v = F v (t, rµ, vµ) e le posizioni iniziali
r~ e le velocità iniziali v~. delle particelle del sistema (v = 1, ... , N)
entrambe sono compatibili con i vincoli. Si richiede di determinare
il moto del sistema e le reazioni dei vincoli Rv (v = 1, ... , N) "·
Se non si conosce nulla sulla natura dei vincoli eccetto la definizione delle equazioni (1) e (2) e, conseguentemente, non si conosce
nulla sulle reazioni Rv prodotte da questi vincoli, allora il suddetto problema è indeterminato, poiché il numero delle quantità
scalari Xv, Yv, Zv, Rvx, Rv 11 , Rvz, che devono essere determinate,
1 I membri sinistri nelle relazioni (8) sono linearmente dipendenti dalle
accelerazioni wv. Come si può facilmente vedere dopo la differenziazione,
questi membri sinistri sono dipendenti anche da t, rv, Vv (v = 1, ... , N).
2 Nel ·caso di più vincoli (d
g > 1), Rv è la risultante di tutte le reazioni dei vincoli per il punto Pv (v = 1, ... , N).
3 Nel caso generale, il membro destro della (10) dipende da te anche da
tutti gli spostamenti rlL, e dalle velocità vlL (µ = 1, ... , N).
• Nel caso di un sistema libero, non c'è il problema di determinare le
reazioni e dunque rimane solo il problema di determinare il moto del sistema.
è più grande del numero delle relazioni scalari possibili, cioè delle
equazioni mvXv = Fvx Rvx, mvYv = Fvy + Rvy, mvZv = Fvz Rvz
e delle equazioni dei vincoli (1) e (2) (6N>3N +d+g).
Affinché il problema di base della dinamica possa essere determinato, è necessario avere in più 6N - (3N
g) = 3N - d - g = n relazioni indipendenti tra le quantità ricercate.
Queste relazioni possono essere ottenute se ci limitiamo all 'importante classe dei vincoli ideali.
I vincoli sono detti ideali, se la somma dei lavori delle reazioni
di questi vincoli in ogni spostamento virtuale è nulla, cioè se
~ Rv6rv=0.
Questa equazione può essere riscritta in forma esplicita:
"51 (Rvx 6xv + Rvy 6y., + Rvz 6zv) = O.
(11 ')
Tra le 3N quantità 6x.,, 6yv, 6zv ce ne sono n indipendenti
3N - d - g è il numero di gradi di libertà del sistema dato).
È dunqùe possibile nella (11') esprimere i 3N - n incrementi
dipendenti 6xv, 6yv, 6zv in funzione degli n incrementi indipendenti e uguagliare a zero i coefficienti di questi incrementi indipendenti. Quindi otteniamo le n relazioni mancanti necessarie
a rendere determinato il problema di base della dinamica di un
sistema vincolato.
Dopo aver considerato i seguenti esempi di vincoli ideali,
sarà chiaro quanto la classe dei vincoli, che abbiamo isolato,
è importante e naturale in pratica.
Esempio 1. Una particella è vincolata a muoversi su una superficie liscia
stazionaria (fig. 4).
In questo caso, ogni spostamento possibile dr, come ogni spostamento
virtuale 6r, giace sul piano tangente alla superficie nel punto P, e la reazione
della superficie liscia ha direzione normale alla superficie in questo punto.
Per tale ragione, abbiamo sempre
Esempio 2. Una particella è vincolata a muoversi su una superficie
liscia mobile ossia deformabile (fig. 5).
In questo caso, la velocità possibile della particella e, quindi, lo spostamento infinitesimo dr = v dt non giace sul piano tangente (vedi esempio 2
a pag. 14). Lo spostamento virtuale 6r, che è uno spostamento infinitesimo
possibile per la superficie << fermata » o << congelata », giace sul piano tangente. Poiché la reazione, nel caso di una superficie liscia mobile ossia
,deformabile ha direzione normale alla superficie, segue che R 6r = O (mentre
R dr -=I= O).
Dunque, una superficie liscia, sia fissa che mobile ossia deformabile, costituisce un vincolo ideale.
L'esempio 2 spiega chiaramente perché, quando siano determinati i vincoli ideali non stazionari, è necessario uguagliare
a zero il lavoro delle forze di reazione per arbitrari spostamenti
virtuali e non per spostamenti possibili.
Negli esempi che seguono incontreremo solo vincoli stazionari 1 •
Esempio 3. Due particelle sono collegate da un'asta di lunghezza fissa
e di massa trascurabile (fig. 6).
R 1 e R sono le forze di reazione dei vincoli sulle particelle P 1 e P 2 •
Quindi per fa terza legge di Newton, sull'asta agiscono le forze N 1 = -R 1
e N 2 = -R 2 • Dette me w, rispettivamente, la massa dell'asta e l'accele-
razione del suo centro d'inerzia,/ ed e il momento centrale d'inerzia e l'accelerazione angolare, avremo
/e= L,
1 Dalla definizione di vincolo ideale segue che un vincolo non stazionario è ideale se tutte le sue configurazioni in differenti istanti (viste come vincoli stazionari) sono ideali.
dove L è il momento totale delle forze N 1 e N 2 applicate al centro d'inerzia,
Ma è dato m=O e I= O. Quindi N 1
N 2 = O e L = O 1 . Da queste equazioni segue che le forze N 1 e N 2 e, conseguentemente, R1 e R 2 hanno verso
opposto, cioè sono dirette lungo l'asta.
R 1 6r 1 +R 2 6r 2 = R 1 dr 1 R 2 dr 2 = R 2 (dr 2 -dr1 )= R 2 d (r2 - r1 ).
Posto R 2 =c (r 2 - r1 ) si ha
R 1 Or 1
Or 2 = e (r 2 - r1 ) d (r 2 - r1 )= 2 d (r 2 - r1 ) 2 =0,
poiché ( r 2 - r 1 ) 2 = cost.
Si può ritenere che un corpo assolutamente rigido sia un sistema di
particelle in cui sia applicato un vincolo del tipo sopra considerato su ogni
coppia di particelle. Per questa ragione, un corpo rigido può essere studiato
come un sistema di particelle soggette a vincoli ideali. In assenza di altri
vincoli (oltre a quelli che uniscono rigidamente le particelle del corpo)
un corpo rigido è detto libero.
Esempio 4. Due corpi rigidi sono connessi da una cerniera nel punto A
(fig. 7). Trascurando la massa e le dimensioni della cerniera, si può asserire
(come nel precedente esempio) che R 1
R 2 = O. Quindi,
R 1 or
R 2 or = (R1
R 2 ) or = O.
Esempio 5. Due corpi rigidi in moto hanno le loro super/ ici in contatto
idealmente lisce. (Trascuriamo l'attrito!) (fig. 8). Anche in questo caso abbiamo
R 2 = O. In questo caso, R 1 e R 2 sono dirette lungo la normale comune
alle due superfici. Quindi, la velocità relativa di questi corpi nel punto di
contatto è.v 2 - v 1 , e quindi la differenza tra gli spostamenti possibili dr 2 - dr 1 = (v 2 - v 1 ) dt giace sul comune piano tangente. Dunque,
R 1 Or1
Or 2 = R 1 dr1
dr 2 = R 2 (dr 2
dr1 ) = O.
Esempio 6. Due corpi rigidi si muovono con le loro superfici idealmente
ruvide (dentate) in contatto. In questo caso la velocità relativa di slittamento
è v 2 - v 1 = O. In conseguenza si ha anche dr 2 - dr1 = (v 2 - v 1 ) dt = O;
Se il moto dell'asta non è pianoparallelo, l'equazione scalare le=L è
sostituita dall'equazione vettoriale..!!:.... (Iro) = L, dove I è il tensore d'i1
nerzia e ui è la velocità angolare; per
I= O segue
nuovamente L
dunque, anche in questo caso
R1 6r1
R 2 6r 2
R 2 (dr 2
dr1 )
Un meccanismo complesso può essere considerato come un
sistema di corpi rigidi connessi a coppie rigidamente o a cerniera,
o tali che le loro superfici siano in contatto. Se consideriamo
tutte le congiunzioni rigide come assolutamente rigide, tutte le
cerniere come ideali e tutti i piani di contatto idealmente lisci
o idealmente ruvidi, allora qualunque meccanismo complesso può
essere interpretato come un sistema di particelle soggette a vincoli
Si noti che in molti casi questa idealizzazione non potrà
essere possibile. Per esempio, non considerare le forze d'attrito
può, in certe occasioni, distorcere il quadro fisico di un fenomeno.
In questo caso, la condizione di vincoli ideali dovrà essere rifiutata
e dovranno essere prese altre condizioni dovute alla natura dei
vincoli e delle leggi d'attrito.
Si può però procedere altrimenti. Si possono considerare i vincoli ideali anche in questo caso tenendo conto solo delle componenti
normali delle reazioni delle superfici ruvide e considerando le
forze di attrito come forze effettive sconosciute. L'apparizione di
nuove quantità incognite è compensata da relazioni supplementari che si ottengono dalle leggi di attrito sperimentali.
In questa interpretazione, il concetto di vincoli ideali diviene
quasi universalmente applicabile.
D'ora in poi si assumerà che tutti i vincoli imposti al sistema
siano ideali.
§ 3. Equazione generale della dinamica.
Equazioni di Lagrange del primo tipo
Le seguenti equazioni sono applicate alle particelle di un
sistema vincolato:
dove mv è la massa della v-esima particella, Wv è la sua accelerazione, e F v e Rv sono, rispettivamente, la risultante delle forze
effettive e la risultante delle forze di reazione operanti su questa
particella (v = 1, ... , N). Poiché i vincoli sono ideali, per ogni
posizione del sistema sottoposto a qualunque spostamento virtuale si ha
Sostituendo al posto delle forze di reazione Rv le loro espressioni
ricavate dalle equazioni (1) e moltiplicando entrambi i membri
dell'equazione risultante per -1, otteniamo
~ (Fv-mvWv) 6rv = O.
Questa equazione è conosciuta come l'equazione generale della
dinamica. Essa stabilisce che, dato un sistema in movimento, in
ogni istante di tempo la somma dei lavori delle forze effettive e delle
forze d'inerzia per ogni spostamento virtuale è nulla.
Allora, l'equazione generale della dinamica è sempre valida
per ogni moto che è compatibile con i vincoli e che corrisponde alle
specificate forze effettive Fv (v = 1, ... , N).
Viceversa, può essere dato un certo moto di un sistema, che
è compatibile con i vincoli, che verifica l'equazione generale della
dinamica (3). Quindi assumendo
Rv=mvWv-Fv
(v=1, .. . , N)
otteniamo le equazioni (1) e (2). Dunque, in ogni istante di tempo
è possibile scegliere le forze di reazione Rv tali che, in virtù
della (2), siano compatibili con i vincoli d.ati e per le quali siano
valide le equazioni (1) ottenute dalla seconda legge di Newton.
Ammettiamo che queste forze di reazione Rv siano attualmente
realizzate (<< l'ipotesi di realizzazione di forze di reazione ammissibili>>) e che, in conseguenza, il moto considerato corrisponda
alle forze effettive F" (t, rµ, vµ) (v = 1, ... , N) date. Quindi,
l'equazione generale della dinamica esprime una condizione necessaria e sufficiente affinché il moto compatibile con vincoli corrisponda
ad un dato sistema di forze effettive F" (v = 1, ... , N) 1 .
Possiamo trovare delle espressioni delle forze di reazione R"
per mezzo dei cosiddetti moltiplicatori indeterminati di Lagrange.
Scriviamo le relazioni che definiscono gli spostamenti virtuali
delle particelle di un sistema (vedi § 2):
:~: 6rv=0
(cx=1, .. . , d),
~ l1h>61•v=O
Moltiplicando le equazioni (4) e (5) termine a termine per le
grandezze scalari arbitrarie -Aa e -µ 6 e sommando le equazioni
così ottenute all'equazione (2) termine a termine, otteniamo
~ {Rv- ~
!~: - ~ µ13l13v) 6rv=0.
C<=i
Questa relazione può essere scritta in forma esplicita
{ Rvx-
Aa ::: -
µ13A13v) 6xv+
+{yh,6Yv+{z}v6zv=0.
Qui usiamo {Y}v e {z}v per denotare in forma abbreviata le espressioni che differiscono dal coefficiente di 6xv dato nella formula (6')
sostituendo, rispettivamente, le lettere x, A con y, B o z e C.
Le relazioni (7') del § 2 permettono di esprimere d + g
incrementi diversi dai 3N incrementi virtuali 6xv, 6yv, 6zv in
funzione dei rimanenti n = 3N - d - g incrementi. In questo
caso il determinante J, costituito dai coefficienti degli incrementi
« dipendenti >> nelle equazioni (7') del § 2, è diverso da zero.
Scegliamo d + g moltiplicatori denominati con A.a e µ 13 in
modo tale che nelle equazioni (6') i coefficienti dei d + g incrementi « dipendenti » svaniscano. Si può fare ciò, ed in modo univoco, poiché il determinante J dei coefficienti delle quantità
"-a, µ 13 che sono state determinate non è uguale a zero. Allora ciò
che rimane nella (6') sono solo i termini contenenti gli incrementi
indipendenti 6xv, 6yv, 6zv. Ma allora anche i coefficienti di questi
incrementi indipendenti devono essere uguali a zero.
1 Qui, si tenga presente che l'equazione generale della dinamica (3)
non è in realtà una sola equazione, bensì un insieme di (lquazioni, poiché gli
syostamenti virtuali arbitrari possono essere sostituiti nell'equazione (3)
a posto di 6rv (v = 1, ... , N) in ogni istante t.
In altre parole, i moltiplicatori indeterminati Aa e µ 6 possono
essere scelti in modo che tutti i coefficienti scalari nella (6'),
e quindi tutti i coefficienti vettoriali nella (6), si annullino.
Rv = ~
Aa 88 fa
+ Li µ13l13v
Abbiamo ottenuto un 'espressione generale per le forze di
reazione dei vincoli ideali in funzione dei moltiplicatori indeterminati di Lagrange Aa, µ 6 (a = 1, ... , d; ~ = 1, ... , g).
Mettendo le espressioni (7) per Rv nell'equazione (1) otteniamo le cosiddette equazioni di Lagrange del primo tipo 1
mvWv =
+ Li µ13l5v
A queste equazioni bisognerebbe aggiungere le equazioni di
/a(rv)=O,
~lav;.v+D13=0
'V=1
(a=1, ... ,d;~=1, ... ,g). (9)
Sostituendo ad ogni equazione vettoriale tre equazioni scalari,
possiamo considerare che le equazioni (8) e (9) costituiscono
un insieme di 3N + d + g equazioni scalari in 3N + d + g
incognite scalari Xv, Yv, Zv, Aa, µ 8 • Integrandole otteniamo le
equazioni finali del moto e, nello stesso tempo, dalle equazioni (7)
otteniamo il valore delle forze di reazione dei vincoli. Comunque,
l'integrazione di tale insieme (sistema) di equazioni è normalmente molto complicata a causa del grande numero di equazioni.
Questo è il motivo per cui le equazioni di Lagrange del primo
tipo trovano attualmente un uso limitato. Nei §§ 6 e 10 derive-.
remo le equazioni di Lagrange del secondo tipo per un sistema
olonomo e le equazioni di Appell per un sistema non olonomo.
In queste equazioni il numero di grandezze scalari incognite
(e quindi, il numero di equazioni) è 3N - d, cioè 2d
g unità
in meno che nel sistema di equazioni (8) e (9).
Esempio. Due particelle M 1 e M 2 di identica massa m = 1 sonu unite
da un filo di lunghezza fissa l e di massa trascurabile. Il sistema è vincolato
a muoversi in un piano verticale, in modo che la velocità del punto medio
del filo sia diretta lungo di esso. Determinare il moto di M 1 ed M 2 •
1 Queste equazioni furono ricavate dal matematico J.L. Lagrange nel
suo celebre trattato M écanique analytique ( 1788), in cui furono presentati
per la prima volta i fondamenti della meccanica analitica.
Siano x1, y1 ed x 2 , y 2 le coordinate delle particelle M 1 ed M 2 • Scriviamo
le equazioni di vincolo
; [(x2-x1) 2 +(Y2-Y1) 2- l 2]=0,
(x2-x1) (Y2 + Y1)-(;2 +;1) (Y2-Y1) = O.
Le equazioni di Lagrange con i moltiplicatori indeterminati 11, e µ sono
X1=-11,(x2-X1)-µ(y2-Y1),
Y1= -g-11, (Y2-Y1)+µ (x2-x1)
";2= À (x2-x1)-µ (Y2-Y1),
Y2= -g+1. (y2-Y1)+µ (x2-x1)•
dalle equazioni (11) tenendo conto della prima equa0
Determiniamo 11, e
zione delle (10):
-l2 (Y2-Y1)-l2 [(x2-x1) X1 +(Y2-Y1) Y1],
µ=1z (x2-X1)-Z2 l<Y2-Y1) Xi -(x2-x1) Y1l •
Osserviamo che le equazioni (12) si ottengono dalle (11) se in queste ultime
sostituiamo 1. con - 11, e :i::,
con ·;2 , 2. Così determinando 11, e µ dalle equazioni (12), troviamo
À = l2 (Y2-Y1) + l2 [(x2-X1) X2 + (Y2-Y1) Y2],
µ= 1,2 (x2-x1)-l2 HY2-Y1) X2-(x2-x1) Y2l •
Uguagliando le formule (13) e (14) contenenti le espressioni di µ e ,.,, otteniamo dopo semplici calcoli
(;2-~:) (Y2-Y1)-(y~-y~) (x2-x1)=0,
(;2+;;) (x2-x1)+(Y:+u~) (Y2-Y1)+2g (y2-Y1)=0.
Introduciamo le seguenti notazioni abbreviate:
U=X2-X1,
V=Y2-Y1,
P=x1+x2,
Q=Y1+Y2·
Dunque, le equazioni (10) e (15) saranno riscritte come segue:
{ -~2+~~=z2,
uv-uv=0,
Pv-Qu=0,
(l 7)
Pu+Qv+2gv=0.
Le equazioni (17) mostrano che in un piano (u, v) una particella avente
coordinate u, v si muove lungo una circonferenza di raggio le centro nell'origine; la sua accelerazione è per tutto il tempo diretta verso il centro. Il moto
di questa particella sarà allora uniforme. Per questa ragione,
u=lcosq:,,
v=lsenq:,,
q:,=a=cost,
q:,=at+~.
Secondo la (18) possiamo mettere
P=yu,
Sostituendo queste espressioni nella (19) e prendendo in considerazione le
(17) e le (20), troviamo
f+-z v=O, cioè, /= -2g sen qi.
=- f =
r:x,
-sen qi
t= a: cos qi+2v.
Conseguentemente mediante le (20) e le (21) abbiamo
P=2(v+! cosqi)cosqi,
Integrando troviamo
+x 2 =
p dt=
sen qi + L
Q=2(ì'+! cosqi)senqi.
p d(j)=
san qi cos (j) +-¾(j) + 26,
+u 2 = - -r:x,c o s q i - cos 2 qi+2e.
r:x, 2
Dalle equazioni (16), (20) e (23) otteniamo finalmente
sen qi+ 2r:x, 2 sen (j) cos qi+ 2r:x, 2 qi- 2 cos qi+<'I,
y 1 = _.1.._ cos
m_g_ cos 2 m-.!:.._ sen qi+e
2r:x,2
X2=aS0Il(j)+ 2r:x, 2 Sell(j)COS(j)+ 2r:x, 2 qi+ 2 cos qi+<'\,
y 2 = -a:cosqi- 2r:x, 2 cos 2 qi+ 2 senqi+e,
(j)=r:t.t+~
(dove a, ~. y, 6 ed e sono costanti arbitrarie).
§ 4. Principio degli spostamenti
La posizione d'equilibrio è quella posizione in cui un sistema
rimarrebbe per sempre se le velocità di tutte le particelle fossero
La posizione di un sistema rt (v = 1, ... , N) sarà una posizione di equilibrio se e solo se il << moto »rv (t)
rt (v = 1,
... , N) soddisfa le equazioni generali della dinamica, cioè
quando vale in questa posizione del sistema
~ F'v fn•v
L'equazione (1) esprime il principio degli spostamenti virtuali.
Affinché una posizione (compatibile con i vincoli) di un sistema
sia una posizione di equilibrio, è necessario e sufficiente che in tale
posizione la somma dei lavori delle forze effettive per ogni spostamento
virtuale del sistema sia uguale a zero.
Ordinariamente, il principio degli spostamenti virtuali è applicato a vincoli stazionari. Se i vincoli sono stazionari, allora
il termine << compatibile con i vincoli>> significa che la posizione
del sistema soddisfa vincoli finiti. Dal momento che vincoli
differenziali sono lineari ed omogenei rispetto alle velocità, essi
sono automaticamente soddisfatti quando assumiamo Dv = O
Se i vincoli non sono stazionari, allora il termine << compatibile con i vincoli >> significa che essi sono soddisfatti per ogni t se
poniamo rv = rZ e Dv = O (v = 1, ... , N). Notiamo che in
questo caso gli spostamenti virtuali 6rv (v = 1, ..• , N) possono
essere differenti per differenti t.
Nel caso generale le forze F v dipendono da t, rµ, Dµ (µ =
= 1, ... , N), cioè Fv = Fv (t, rµ, Dr) (v = 1, ... , N). Si
assume allora che l'equazione (1) sia va ida per ogni valore di t
se nell'espressione di F v poniamo tutti gli rµ =
Nei casi particolari più elementari, il principio degli spostamenti virtuali (o, come a volte è chiamato, quando è applicato
ai sistemi scleronomi, il principio degli spostamenti possibili)
al tempo di Galileo era conosciuto sotto il nome di << regola d'oro
della meccanica >> 1 .
Siano le forze F 1 ed F 2 agenti agli estremi di una leva senza
peso in stato di equilibrio. Allora, denotando con F; ed F; le
componenti tangenziali (alle traiettorie possibili) di queste forze,
e con 6l 1 e 6l 2 le grandezze degli spostamenti elementari possibili
corrispondenti, avremo, per mezzo dell'equazione (1), a meno
Tz;= Fi
(un aumento in forza è compensato da una perdita in spostamento
e viceversa - << la regola d'oro della meccanica >>).
Il principio degli spostamenti virtuali è il principio più generale
della statica analitica. E possibile ottenere da questo le condizioni di equilibrio per ogni dato sistema meccanico.
1 Galileo attribuì la prova della << regola d'oro della meccanica » ad
Aristotele. Nella sua forma generale, Hprincipio degli spostamenti virtuali
fu espresso da Bernoulli nel 1717 per la prima volta.
Esempio 1. Deriviamo dall'equazione (1) le condizioni di equilibrio di
un corpo libero e rigido, che nei corsi di meccanica sono ordinariamente
ottenute mediante ragionamenti di statica geometrica. Denotando con v 0
la velocità di una particella del corpo rigido, con ro la velocità angolare del
corpo, con F e Lo il vettore principale ed il momento principale rispetto
al polo O per il sistema delle forze esterne che operano sul corpo rigido, uguagliamo a zero l'espressione del lavoro elementare delle forze applicate al corpo
rigido in uno spostamento infinitesimale arbitrario del corpo 1 :
6A = (Fvo
Lo(o) dt = O.
Poiché i vettori v 0 ed ro sono arbitrari, l'equazione (2) continua a valere
quando e solo quando
F = O, Lo = O.
Queste equazioni sono le condizioni necessarie e sufficienti per l'equilibrio
di un corpo libero.
In modo simile otteniamo le condizioni di equilibrio di un corpo rigido
vincolato. Per esempio, sia O un punto fissato. Allora v 0 = O e l'equazione
(2) ha la forma cSA = Loro dt = O, da cui, per l'arbitrarietà del vettore ro,
otteniamo la condizione di equilibrio desiderata, Lo = O.
Se il corpo può solo ruotare intorno all'asse fissato u (con vettore di
base e), le equazioni (2) assumono la forma cSA = L 0 we dt = O, da cui, per
la natura arbitraria di ro, segue la condizione di equilibrio Lu = O; qui
Lu = L 0 e è il momento principale delle forze esterne rispetto all'asse u.
Esempio 2. Deriviamo le condizioni di equilibrio di un sistema arbitrario
vincolato di corpi rigidi sottoposti all'azione della forza di gravità. Denotiamo con M la somma delle masse di tutti i corpi e con zc la coordinata verticale del baricentro del sistema dei corpi (prendiàmo l'asse z diretto verticalmente verso il basso). Allora secondo l'equaztone (1) otteniamo
cSA = Mg cSzc = O
e, conseguentemente, le condizioni di equilibrio del sistema hanno l'aspetto
cSzc = O.
Così, le posizioni di equilibrio di un sistema dì corpi pesanti sono quelle
in cui il centro di gravità occupa la minima, la massima od ogni altra posizione « stazionaria » sulla verticale (principio di Torricelli).
Esempio 3. Trovare la forma di equilibrio di una catena pesante omogenea
attaccata a due punti. Considerando questa catena come un sistema di corpi
rigidi (anelli) è possibile scrivere la relazione (4). Ma (vedi fig. 9, dove Oxz
1 L'equazione cSA ~, (Fvo
Low)dt può essere ottenuta nel seguente
modo. Denotiamo con 1"; le forze agenti sulle particelle del corpo rigido,
con r; e V; i vettori radiali (tracciati a partire dal punto O del corpo) e le
velocità dei punti di applicazione delle forze F; (i = 1, 2, ... ), rispettivamente.· Allora, usando il segno X per indicare la moltiplicazione vettoriale, troviamo
2J Ftvi dt= _2j F1 (vo+ro X r;) dt=
= [(_2j F1) vo+ro LJ r 1 X Ft) dt
M= _2j Fi cSr; =
la sostituzione di c5r 1 con dr; = v 1 dt è legittima per il fatto che il corpo
rigido è un sistema scleronomo (vedi pag. 11). Mediante la terza legge di
Newton, il vettore principale ed il momento principale delle forze interne
del corpo rigido sono uguali a zero. Per questa ragione _2j F 1 = F e
LJr;
è il piano verticale e z è la verticale)
e poiché la lunghezza di una catena omogenea non cambia durante gli spostamenti, la condizione (4) prende la forma
6)zds=0.
Questa relazione può anche essere scritta come
v + ( :: )
Come si è stabilito nel calcolo delle variazioni, nella classe di curve
A,fx,,z,J
(z) passanti per due specifici punti, la curva che deriva dall'integrale
in valore estremo (più precisamente stazionario), per il quale
6)Fdz=0,
deve soddisfare l'equazione differenziale
_!}___ òF _.!!_=O
dz òx'
( x'
=!:!...)
dz •
1 Questa equazione la ottenne Eulero; vedi pag. 91 e l'osservazione
di pag. 92.
Nel nostro caso F = z
+ { :: )2 . Quindi,
l'equazione (6) assume
y1+(!:)2
Da ciò abbiamo che
y1+( :: )2
yz2-c2 '
dove e è una costante arbitraria. Integrando otteniamo l'equazione di una
z=...:.. [e<x-a)/c+e-<x-a.)/c]=c eh.!..::::.:!:...
dove i valori delle costanti arbitrarie c ed a sono determinati fissando le
condizioni iniziali. Quindi, la forma di equilibrio di una catena omogenea
e pesante è una catenaria 1 .
Esempio 4. Una figura piana rigida può scivolare su due suoi punti A e B
lungo curve stazionarie che giacciono sul medesimo piano. Vogliamo calcolare
sotto l'azione di quale forza F la figura può rimanere in equilibrio (fig. fO).
Oltre alla forza effettiva F, la figura è sottoposta ad altre due forze di
reazione dirette lungo le normali alle curve, e le linee di. reazione di queste
tre forze devono intersecarsi in un solo punto. In altre parole, la linea d'azione della forza F deve passare per il punto di intersezione delle normali alle
curve nei punti A e B, cioè la linea di azione della forza F deve passare per il
centro istantaneo C delle velocità possibili della figura
1 Galileo pensò che la parabola fosse una tale forma di equilibrio.
L'errore di Galileo fu corretto da Huygens.
2 Qui, la grandezza e la direzione della forza F possono essere arbitrarie.
Possiamo arrivare a questa conclusione anche partendo dal princ1p10
degli spostamenti possibili. Infatti denotiamo con O un punto della linea
di azione della forza F. Allora dalla condizione 6A = Fv 0 dt = O concludiamo che v 0 ..L F, da ciò segue che il centro istantaneo delle possibili velocità
della figura è localizzato sulla linea di azione della forza F.
Esempio 5. Alcune applicazioni geometriche. Iniziamo con un'osservazione preliminare. Siano dati, in un piano, una certa curva C ed un punto P
(la curva C può degenerare in un punto in qualche caso particolare). Tracciamo a partire da P la normale alla curva C e denotiamo con r la distanza
lungo la normale dalla curva C al punto P. Cioè r = P 0 P (fig. 11). Applichiamo al punto P una certa forza F diretta lungo la normale P 0 P e consideriamo
F > O se la direzione della forza F coincide con la direzione da P O a P,
altrimenti F < O. Il lavoro elementare della forza F è uguale a 6A =
= F (dr0 dr). Ma dr è composto da due spostamenti elementari: lo spostamento lungo la retta P 0 P (il valore di questo spostamento è dr) e lo spostamento di P causato dalla rotazione della retta P 0 P. Questo spostamento,
come dr O, è perpendicolare alla retta P 0 P, cioè alla linea d'azione della
forza F. Dunque 1 ,
Ci possono essere n curve C1 , C 2 , • • • , Cn e un punto P su uno stesso
piano. Chiamiamo r 1 , r 2 , . • • , rn le distanze (lungo le normali) da P a queste
curve 2 (la fig. 12 corrisponde al caso di n = 2). Sullo stesso piano consideriamo la curva D data dall'equazione 3
1 Quando la curva C degenera in un punto, la formula (10) diventa
un'espressione per il lavoro di una forza centrale.
2 Alcune curve (o tutte) C1 , C 2 , • • • , Cn possono degenerare in un
3 Ogni quantità r1 , r 2 , • • • , rn è una funzione di due coordinate cartesiane del punto P. Per questa ragione, l'equazione (11) è l'equazione
di una certa curva su un piano.
Dimostriamo ora, usando l'equazione (11), come costruire una normale
alla curva D nel punto P.
Per ogni spostamento infinitesimale di P lungo la curva D, otteniamo
"'1 .!l_ dri=O.
L.J ar1
Ora si applicano al punto P le forze F 1 = aaf dirette lungo le normali r 1
(i= 1, ... , n). Dunque, la (12) sarà scritta come
F1dr1=0.
Ora questo, in accordo con l'osservazione preliminare, significa che la somma
dei lavori delle forze F 1 , F 2 , • . . , Fn è nulla nel caso di uno spostamento
arbitrario del punto P lungo la curva D. Ma allora ogni punto vincolato che
si può muovere lungo la curva liscia D, sarà in equilibrio sotto l'azione delle
forze F1, F 2 , . . . , Fn. Dunque, la risultante delle forze F 1, F 2 , • • . , Fn
è diretta lungo la normale alla curva D.
Così abbiamo un metodo molto semplice per costruire geometricamente
una normale alla curva D data dall'equazione (11).
Possiamo considerare alcuni casi particolari:
a) D è un'ellisse. In questo caso, C1 e C2 sono punti (i fuochi dell'ellisse),
l'equazione (11) è data da r1
r 2 - 2a = O, F 1 = 1, F 2 = 1, e la normale
all'ellisse è la bisettrice dell'angolo compreso tra i raggi vettori focali (fig. 13).
b) D è un'iperbole. L'equazione dell'iperbole è r1 - r 2 - 2a = O,
F 1 = 1, F 2 = -1, e dalla costruzione (fig. 14) è facile vedere che la tangente
all'iperbole è la bisettrice dell'angolo fra i raggi vettori focali (mentre la normale è la bisettrice dell'angolo adiacente).
c) D è una parabola (fig. 15), C1 è una linea retta (la direttrice), C2
è un punto (fuoco). L'equazione della parabola è r 1 - r 2 = O. Come nel
caso dell'iperbole, segue dalla costruzione che la tangente alla parabola è la
bisettrice dell'angolo fra il raggio vettore focale r 1 e la perpendicolare r 2 alla
Per il princ1p10 degli spostamenti virtuali, l'equazione (1)
è un caso particolare dell'equazione generale della dinamica
(vedi l'equazione (3) a pag. 21). Comunque l'equazione generale
della dinamica può essere vista come l'equazione che esprime il
principio degli spostamenti virtuali e che caratterizza la posizione
di equilibrio del sistema che risulta se alle forze effettive F v si
aggiungono le forze fittizie inerziali -mvwv (v = 1, ... , N).
Siamo così arrivati al principio di D'Alembert.
Principio di D' Alembert. Ogni posizione di un sistema in moto
può essere rivista come posizione di equilibrio se alle forze effettive
r,=rz
agenti sul sistema in questa posizione aggiungiamo le forze fittizie
Il principio di D 'Alembert permette l'estensione delle tecniche
e dei metodi di soluzione dei problemi di statica a dei problemi
di dinamica. In particolare, permette di determinare le forze dinamiche di reazione con metodi statici. Infatti, in una posizione di
equilibrio, le forze di reazione Rv differiscono da F v - mvwv
solo in direzione:
Fv-mvWv= -Rv
(v=1, ... , N),
(v=1, . .. , N),
cioè le forze di reazione Rv determinate dal principio di D'Alembert sono le forze di reazione dinamiche richieste. E così si può
aggiungere la seguente proposizione al principio di D 'Alembert
sopra formulato:
Quando si considerano le forze inerziali come forze effettive aggiunte, applicate ai punti di un sistema, si sostituisce il problema dinamico
dato con un nuovo problema statico. Nel nuovo problema, le forze
di reazione statiche coincidono con le forze di reazione cercate nel
problema dinamico iniziale.
I seguenti esempi serviranno ad illustrare l'uso dei metodi
statici nella soluzione dei problemi in dinamica.
Esempio 1. Un carro di scorta a una locomotiva pieno d'acqua è in moto
con un'accelerazione w. Si chiede dt determinare la forma e la posizione della
superficie d'acqua.
In assenza di accelerazione la superficie d'acqua è orizzontale. Il piano
dato è perpendicolare, in ogni punto, alla direzione della forza di gravità
applicata all'acqua. Questa posizione statica è applicabile anche nel caso
di moto accelerato del carro se ad ogni elemento di massa dm è applicata
un'ulteriore forza fittizia d'inerzia dJ = -dmw. La superficie d'acqua ·
sarà un piano perpendicolare alla risultante delle due forze: la forza verti-
cale di gravità dmg e la forza orizzontale d'inerzia -dmw (fig. 16). La superficie d'acqua sarà inclinata di un angolo qi rispetto alla direzione orizzontale,
qi=-.
Esempio 2. Scriviamo l'equazione differenziale della rotazione di un
corpo rigido intorno ad un asse fisso u (fig. 17). Ad ogni elemento di massa dm
applichiamo una forza inerziale fittizia -dmw. Si calcoli il momento principale delle forze d'inerzia rispetto all'asse di rotazione
dove I~=
p2 dm è il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse di rota-
zione u. Si denoti con Lu il momento principale delle forze esterne applicate
al corpo rispetto all'asse u 1 • Allora, in accordo con il principio di D'Alembert, il corpo sarà in equilibrio sotto l'azione del momento totale Lu - I u~·.
Quindi (vedi pag. 27), questo momento totale deve essere nullo. Otteniamo
I u'P= Lu-·
Esempio 3. Un albero orizzontale omogeneo e in rotazione uniforme con
velocità angolare w. Un disco omogeneo è montato eccentricamente sull'albero
perpendicolarmente al suo asse, ad ugual distanza dai cuscinetti. Si richiede
di determinare la pressione sui cuscinetti durante la rotazione dell'albero.
Consideriamo le forze inerziali• dmw 2r che corrispondono ai singoli
elementi di massa dm del disco (fig. 18). Sono le forze convergenti dirette
dall'asse dell'albero. La risultante di queste forze è uguale a J = w2
r dm=
= M 1w2rc, dove M 1 è la massa del disco, e re= OC (O è il punto di intersezione del piano del disco con l'asse dell'albero, e C è il centro geometrico
del disco). Si applichi il principio di D'Alembert e si determini la pressione
statica sui cuscinetti, assumendo che tre forze siano applicate all'asse dell'albero 2 : 1) la forza di gravità dell'albero Mg; 2) la forza di gravità del
disco M 1 g e 3) la forza J = M 1 w2rc.
La pressione N su ogni cuscinetto è determinata dalla formula
]\ = 2
+ M 1) u+ 2
M 1W2rc,
La forza N ha un valore massimo
Nmax= ; (M-f-M 1 ) g++ M 1 w 2 0C
in quella posizione del disco quando il centro geometrico C è posto sotto
il punto O ..
Il momento principale delle forze interne è nullo.
La risultante delle forze eJementari cl 'inerzia, per un albero, è nulla
ed è quindi ignorata.
§ 5. Sistemi olonomi. Coordinate indipendenti. Forze generalizzate
Sia dato un sistema olonomo di N particelle P v con i vettori
radiali r:v ~ xvi+Yvi+zvk 1 (v = 1, .• . , N)soggettiaivincoli
!a.~(t,rv)=O (a=1,tr ... ,d)
o (nella notazione equivalente)
fa.(t, Xv, Yv, Zv)=O
(a=1, .. . , d).
Assumeremo che le d funzioni fa. delle 3N variabili Xv, Yv, Zv
(v = 1, ... , N) siano indi pendenti 2 ; qui t è considerato un
parametro. Possiamo dunque esprimere le d coordinate delle
equazioni (1 ') come le funzioni delle 3N - d coordinate rimanenti
e del tempo t, e studiare queste 3N - d coordinate come quantità
indipendenti che definiscono la posizione del sistema al tempo t.
Ad ogni modo non è necessario considerare le coordinate cartesiane per tali coordinate indipendenti. Tutte le 3N coordinate
cartesiane possono essere espresse in forma di funzione di n =
= 3N - d parametri indipendenti q1 , • • . , qn e di t:
(t, qt, · · ·, qn), Yv = ,Pv (t, qt, · • ·, qn),
z,,=x,,(t, q1 , ••• , qn) (v=1, ... , N).
Xv= <Jlv
Quando queste funzioni sono inserite nelle equazioni dei vincoli (1 '), queste ultime divengono delle identità. Assumeremo
inoltre che qualsiasi posizione del sistema, che sia compatibile
con i vincoli ad un dato istante di tempo, possa essere ottenuta
dalle equazioni (2) per certi valori delle quantità q1 , . . . , qn.
Le equazioni (2) sono equivalenti alle equazioni vettoriali
rv=r..,(t,q1, ... ,qn)
(v=1, ... ,N).
Le funzioni scalari (2) e, conseguentemente, le funzioni vettoriali (2') sono supposte continue e differenziabili.
Il numero minimo delle quantità qi, con l'aiuto delle quali
dalle formule (2) si possono ricavare tutte le posizioni possibili
di un sistema olonomo, coincide con il numero dei gradi di libertà
del sistema n = 3N - d (vedi pag. 15).
Le quantità q1 , . . . , qn nelle formule (2) o (2') (n è il numero
dei gradi di libertà) sono dette coordinate indipendenti generalizzate del sistema.
1 i, j, k sono i vettori di base degli assi i, y, z del sistema inerziale di
2 Altrimenti, se avessimo,. pe~ esempio, una relazione come
id= ,Q U1, ... , fd-1, t),
uno dei v~ncoli (nel caso dato, id= O) sarebbe opposto agli altri (per Q (0, ... ,
O, t) $ O) o sarebbe una conseguenza degli altri (per Q (O, ... , O, t) == O).
Per ogni istante di tempo t è stabilita una corrispondenza
biunivoca tra i possibili stati del sistema e i punti di una data
regione dello spazio di coordinate ad n dimensioni (q1 , . . • , qn)Ad ogni posizione del sistema al tempo t corrisponde un punto
dello spazio (q 1 , • • . , qn) che descrive questa posizione del
sistema. Il moto di . .un punto nello spazio di coordinate
(q 1 , • • . , qn) corrisponde al moto del sistema.
Se tutti i vincoli sono stazionari (un sistema scleronomo),
allora il tempo t non apparé esplicitamente nell'equazione (1 ').
E allora sempre possibile scegliere le coordinate q1 , . . . , qn tali
che il tempo t non compaia esplicitamente in entrambe le equazioni (2). D'ora in poi si assume che per un sistema scleronomo le
coordinate indipendenti q1 , • . . , qn siano scelte nel modo suddetto.
Quindi, per un sistema scleronomo, le formule (2) e (2') hanno la
Xv= (Jlv
(q;),
\jl"' (q;),
Z"'=Xv(q;)
(v=1, ... , N)
Esempio 1. Un doppio pendolo (fig. 19) in movimento su un piano ha due
gradi di Ubertà. Dunque come coordinate indipendenti q1 e q2 possono essere
scelti gli angoli q> e 'lj,,
Esempio 2. Un corpo rigido libero ha sei gradi di libertà. Come coordinate
indipendenti possiamo prendere le tre coordinate XA, YA, zA di un punto A
qualsiasi del corpo e i tre angoli euleriani 'lj,, 8 e q> che definiscono la rotazione di un sistema di assi A SY)~ (che è invariabilmente fissato al corpo)
rispetto ad un sistema stazionario di coordinate di assi Oxyz.
Gli angoli di Eulero sono determinati come segue (fig. 20). Tracciamo
per il punto A gli assi Ax1 , Ay1 , Az1 paralleli agli assi Ox, Oy, Oz e nella
stessa direzione. La retta AN che interseca i piani A x1 y 1 ed A STJ è detta linea
dei nodi 1 • Allora 8, « angolo di nutazione>>, è l'angolo fra l'asse Az 1 e l'asse
A~; 'lj,, << angolo di precessione», è l'angolo fra l'asse Ax1 e la retta AN;
q> è l'<< angolo di pura: rotazione » formatò dagli assi AN ed A ç.
Mediante tre spostamenti paralleli, lungo gli assi x, y, z, da xA, YA, zA
il triedro degli assi Oxyz è spostato nella posizione Ax1 y1 z1 • Mediante tre
successive rotazioni, di un angolo 'lj, intorno all'asse Az1 , di un angolo 8
intorno all'asse AN e dell'angolo q> intorno all'asse A~, il triedro Ax1 y1 z1
si sposta. nella posizione A ç'Y)~Dunque, le quantità XA, YA, zA, 'lj,, 8, rp determinano la posizione delle
coordinate del triedro A SY)~ relative al triedro Oxyz, cioè determinano la
posizione di un dato corpo rigido relativa al sistema di assi coordinati iniziali.
Si prenda un punto arbitrario di un corpo rigido. E: determinato specificatamente dalle sue coordinate ç, YJ, S· Quindi le coordinate x, y, z
di questo punto possono essere rappresentate come funzioni delle quantità
xA, YA, zA, ,i,, 8, q>. Allora, per esempio, dalla fig. 20 si può vedere immediatamente che
+ ç sen q> sen 8 + YJ cos q> sen 8 + scos 8.
1 L'asse AN sia diretto in modo tale che la rotazione attorno a questo
asse dall'asse Az1 all'asse A~ avvenga attraverso l'angolo più piccolo in
Similmente, sebbene in modo più complesso, espressioni analoghe si
possono ottenere per x ed y 1 . Queste formule sono un caso particolare delle
formule (2). Esse non contengono esplicitamente t. Un corpo rigido libero
è un sistema scleronomo.
Si noti che nel moto di un corpo rigido le quantità xA, YA, zA ,'i', a, c:p
variano e la scomposizione in tre spostamenti paralleli e tre rotazioni, vista
precedentemente, per passare da Oxyz a A ;ri~ dà la visione del moto arbitrario di un corpo rigido come un moto complesso (composto) che consiste
di sei moti semplici: tre moti di traslazione (lungo gli assi x, y e z) e tre
moti puramente rotazionali (attorno agli assi Az1 , AN ed A~). Poiché in
un moto complesso la velocità angolare è uguale alla somma vettoriale delle
componenti angolari delle velocità, segue che
ro= rolj) ro 8 rocp,
dove ro~,, roa, rocp sono dirette lungo gli assi Az 1 , AN, A~, rispettivamente,
inoltre wlJ)=~, w0 =8 e Wq;=~Esempio 3. Una particella libera M ha tre gradi di libertà. Come coordinate indipendenti possiamo prendere le coordinate cartesiane o altre coordinate del punto. Nel caso quando sono usate le coordinate cilindriche
r, 'lt,, z per q1 , q2 , q3 le formule diventano (fig. 21)
x = r cos 'lt,,
y = r sen 'lt,,
Nel caso di coordinate sferiche r, 'lt,, c:p (fig. 22) abbiamo al posto
x = r cos 'lt, sen c:p,
y = r sen 'lt, sen c:p,
z = r cos c:p.
Esempio 4. Una particella ilf vincolata è localizzata su una sfera mobile
(x - at) 2 + (y - bt) 2 + (z - ct) 2 = r 2 •
Allora n = 2, e la << longitudine » e la << latitudine » sulla sfera (fig. 23)
possono essere utilizzate come coordinate indipendenti:
r cos q1 cos q2 ,
r sen q1 cos q2 ,
r sen q2 •
1 Vedi, per esempio,
G.K. Suslov, Meccanica teorica, Mosca-Leningrado, 1944, pagg. 77 e 83 (ed. russa).
Ad ogni coordinata qi corrisponde. una forza generalizzata
Qi (i = 1, ... , n). Le forze generalizzate sono determinate come
segue. Consideriamo il lavoro elementare delle forze effettive
negli spostamenti virtuali
6A = ~ .P,vf)rv.
differenziali virtuali, cioè i differenziali ad un deterQ}inato
tempo t << congelato
menti virtuali 6rv:
sono gli sposta-
6rv=
~ :;; 6q;
(v=1, ... , N).
Sostituiamo l'espressione (8) nel membro destro della formula
(7) ed esprimiamo il lavoro elementare delle forze effettive negli
spostamenti virtuali in funzione degli incrementi arbitrari elementari 6q; delle coordinate indipendenti q; (i = 1, ... , n):
~ Ii v ~
6q; =
:;; )
Qi6q;,
1 Infatti, quando le funzioni rv (t, q;) (v = 1, ... , N) sono sostituite nelle
equazioni vincolari fa (t, rv) = O (a= 1, ... , d), queste ultime divengono
delle identità. Differenziamo termine a termine le identità ottenute (fissando
un tempo t). Allora troviamo
~ ata 6rv=0
dove 6rv (v = 1, ... , N) sono differenziali virtuali. Ma le equazioni(*) coincidono con le prime d equazioni (7) di pag. 13 che determinano gli spostamenti
virtuali di un sistema olonomo. Conseguentemente i differenziali virtuali dei
raggi vettori sono spostamenti virtuali di un sistema olonomo.
dove i coefficienti di 6q;, le
minati dalle equazioni
forze generalizzate Q; », sono deter-
"'1 F
Q I. _- LJ
òrv
= 1, • • . , ll}.
Si noti che per scopi pratici la formula (10) è lungi dall'essere
sempre usata per trovare la quantità Qi. Invece, il sistema è tale
che, dato uno spostamento virtuale elementare, solo la i-sima
coordinata q; subisce un certo incremento, mentre le rimanenti
Afat,bt,ctJ
coordinate indipendenti non cambiano. Dunque, il lavoro delle
forze effettive 6A i è calcolato per un determinato spostamento
scelto. Allora
Q .- 6Ai
{jqi
Esempio 5. Un corpo rigido è vincolato a muoversi con un moto traslatorio
lungo l'asse x. Quindi n = 1 e l'ascissa x di un punto del corpo A può essere
assunta come coordinata indipendente. Quindi
6A = X 6x,
dove X è la somma delle proiezioni, sull'asse x, di tutte le forze effettive
agenti sul corpo. Ovviamente X è la forza generalizzata per la coordinata x:
Esempio 6. Un corpo rigido è vincolato a ruotare attorno ad un asse fissato u. L angolo di rotazione «p può essere assunto come coordinata indipendente. Allora
6A = Lu 6qi,
dove Lu è il momento totale di tutte le forze effettive rispetto all'asse di
rotazione, e
Q = Lu.
Esempio 7. Un corpo rigido libero. Come coordinate indipendenti prendiamo le tre coordinate xA, YA, zA di un punto A del corpo e i tre angoli
di Eulero ,i,, 0,
l'equazione (9),
(vedi esempio 2 a pagg. 36-37). Allora, in accordo con
6A = Qx 6x+Qy 6y+ Qz 6z+ Q,p 6'1J+ Qe 60+Qcr 6qJ.
Per determinare Qx imponiamo al corpo uno spostamento elementare lungo
l'asse x. Allora 6yA = 6zA = O e 6'1jl = 60 = 6qJ = O. Quindi 6A = Qx6xA.
Paragonando con la (11) otteniamo
Analogamente Qy = Y, Qz = Z. Qui X, Y, Z sono le proiezioni sugli assi
stazionari x, y, z del vettore principale di tutte le forze effettive agenti sul
Ora imponiamo al nostro corpo uno spostamento elementare in modo
tale che solo l'angolo 'ljl cambi, mentre le quantità xA, YA, zA, 0 e (j) rimangano invariate. Allora
6À=Q,~ 6'i).
D'altra parte, lo spostamento elementare del corpo è una rotazione
attorno all'asse Az1 • Quindi, secondo la formula (13),
Q,p=L,p,
dove L,p è il momento totale di tutte le forze effettive rispetto all'asse Az1 ,
attorno al quale si effettua una rotazione di un angolo 'ljl.
In modo del tuttu analogo Qe = Le e Qr.p = L,i,, dove Le e Lrr; sono
i momenti totali delle forze effettive rispetto agli assi AN ed A~.
Possiamo arrivare alle stesse espressioni per le forze generalizzate se
usiamo l'espressione per il lavoro elementare delle forze effettive applicate
ad un corpo rigido (vedi pag. 27) 1 :
6A = R 6rA
dove R e LA sono rispettivamente il vettore principale ed il momento principale del sistema delle forze attorno al polo A. Poiché (cfr. formula (4))
(I) = W,p
Wr.p, dove Cù,p = ~' Cù9 = 0, Cùr.p = ~' e poiché le proiezioni
del vettore LA sulle direzioni dei vettori ro~,, we, Wr.p sono uguali, rispettivamente, a L,p, Le, Lrr,, dalla formula (16) troviamo
6A = X 6xA + Y 6yA + Z 6zA
L,p 6'lj, + Le 60 + Lrp 6qJ.
Paragonando le espressioni (17) e (15) otteniamo le espressioni delle forze
Ora si consideri una certa posizione del sistema come posizione
di equilibrio. Secondo il principio degli spostamenti virtuali
6A= ~ Q,6qi=0.
Ma gli incrementi 8qi delle coordinate indipendenti qi possono
essere del tutto arbitrari. Quindi l'equazione (18) è equivalente
1 Poiché abbiamo a che fare con un sistema scleronomo, al posto di 6
possiamo scrivere d, e viceversa. Quindi dr A = 6r A e 6'1jl = d'ljl = 'ljl dt,
dt e 6(1) = ~ dt.
al sistema di equazioni
Q, = O
1, ... , n).
Quindi, la posizione di 1,1,n sistema olonomo è una posizione di
equilibrio se e solo se tutte le forze generalizzate in questa posizione
sono nulle.
Esempio 8. Secondo l'equazione (19), le condizioni di equilibrio di un
corpo rigido libero possono essere così scritte:
(vedi l'esempio precedente). Qui X, Y, Z sono le proiezioni sugli assi coordinati del vettore principale R delle forze esterne agenti sul corpo, e L,p,
La, L<v sono le proiezioni del momento principale LA di queste forze su tre
direzioni non complanari. Per questa ragione, le equazioni scalari (20)
sono equivalenti a due equazioni vettoriali
LA= O.
Queste sono le condizioni necessarie e sufficienti per l'equilibrio di un corpo
rigido libero che sono già state stabilite a pag. 27.
§ 6. Equazioni
Lagrange del
in coordinate
Per ottenere le equazioni differenziali del moto di un sistema
olonomo in coordinate indipendenti q1 , • • • , qn, procediamo partendo dall'equazione generale della dinamica
(Fv-m./U\1 ) 61·v=0.
Richiamiamo l'espressione, ricavata nel § 5, del lavoro elementare delle forze effettive
<'>A= ~ Fv fo•v = ~ Q; i>q;,
"1 F V arv
QI. = L.J
iJq;
= 1 , • •,, n ) .
Analogamente è possibile rappresentare il lavoro elementare delle
forze inerziali -mvwv (v = 1, ... , N):
<'>AJ =
~ mv'U.,'v <'>rv =
~ Z; i>q;,
dove, in analogia con l'espressione (3),
Z ;= ~
dry or~
mvWv-,- =
mv----=
fJq;
• fJrv
mv1'v fJq; -
fJr~.
L.J mv'l'v dt fJq;
qk +-v
f)qk
= L.J
è linearmente dipendente da
mula troviamo che
(k = 1, ... , n). Da questa for-
= 1, ... , n; v = 1, ... , N).
In altre parole, dalla stessa equazione (6) otteniamo
fJrv _
fJq; -
iJ 2rv
-~ fJq; f)qk q,,
iJ 2rv _
fJq; iJt -
_:!__
(i= 1, ... , n; v = 1, ... , N).
D'altra parte l'espressione (5) per Z; può essere scritta anche nel
Z; = dt L.J
,·=1
• iJr
mv1'v ~ - L.J mv1'v fJq;
= dt-.- -
(i=1, . .. , n),
dove T è l'energia cinetica del sistema:
T = 1 L.J
mv'l'v·
L'equazione generale della dinamica (1) ci dà
6A J = O
oppure, per mezzo delle equazioni (2) e (4),
(Q;-Z;)6q;=0
(i=1, ... , n).
Poiché le q; sono coordinate indipendenti e, per questa ragione
le 6q; sono incrementi assolutamente arbitrari delle coordinate
(i = 1, ... , n), ne segue che la (12) può valere quando e solo
quando tutti i coefficienti delle 6q;, nell'equazione (12), sono
nulli. Perciò l'equazione generale della dinamica (12) è equivalente all'insieme delle equazioni
zi = Q; (i = 1, ... , n)
che secondo le relazioni (9) possono essere anche scritte nella
seguente forma:
dt -.- iJqÌ
iJq · =
(i = 1, ... , n).
Le equazioni (14) sono dette equazioni di Lagrange del secondo tipo
o equazioni di Lagrange in coordinate indipendenti.
Le quantità qi (i = 1, ... , n) sono dette velocità generalizDv = rv sono espresse in
funzione delle velocità generalizzate (ed anche in funzione delle
coordinate indipendenti e del tempo) per mezzo delle formule (6).
Le quantità qi (i = 1, ... , n) sono dette accelerazioni generalizzate.
Dopo aver eseguito l'operazione
il membro sinistro delle
equazioni di Lagrange (14) contiene il tempo t, le coordinate generalizzate qi, le velocità generalizzate qi, e le accelerazioni generalizzate qi (i = 1, ... , n). Le forze generalizzate Qi (i = 1, ...
. . . , n) nel membro a destra delle equazioni di Lagrange sono
ordinariamente specificate 1 come funzioni di t, qk, qk (k =
= 1, ... , n):
Qi = Q; (t, qk, qk)
zate. Le velocità dei punti del sistema
Le equazioni di Lagrange (14) formano un insieme di n equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine in n funzioni incognite qi della variabile indipendente t. L'ordine di questo sistema
è 2n. Si noti che l'insieme di equazioni differenziali, che determinano il moto di un sistema olonomo con n gradi di libertà, non
può essere minore di 2n, poiché per arbitrarietà dei valori iniziali delle quantità q; e q; (i = 1, ... , n), la soluzione del
sistema deve contenere almeno 2n costanti arbitrarie. · Così,
l'insieme delle equazioni di Lagrange in coordinate indipendenti
ha l'ordine il più basso possibile.
Nel caso di un sistema vincolato, le forze di reazione Rv
(v = 1, ... , N) devono essere determinate allo stesso modo. Le
forze di reazione non compaiono nelle equazioni di Lagrange.
Questo è un notevole vantaggio delle equazioni di Lagrange.
Dopo che le equazioni di Lagrange sono state integrate e le funzioni q; (t) (i = 1, ... , n) trovate, le rv = rv (t) sono determi1 Vedi le formule (3) e (6) di questo paragrafo ed anche la formula (10)
a pag. 16 e la formula (2') a pag. 35.
nate (sostituendo queste funzioni nelle formule (2') a pag. 35)
e, conseguentemente, Vv = rv, Wv = rv e , F v (t, rv, rv) (v =
= 1, ... , N). Dopo di ciò le forze di reazione incognite sono
determinate dalle formule
Nel caso di un sistema libero di particelle, le equazioni di
Lagrange sono una notazione compatta delle equazioni del moto
in un sistema arbitrario di coordinate.
Esempio 1. Un corpo rigido è in rotazione intorno ad un asse stazionario u. ·
Consideriamo come coordinata indipendente l'angolo di rotazione c:p. L'appropriata forza generalizzata Q (vedi esempio 6 a pag. 39) è uguale al momento
di rotazione Lu. D'altra parte, T =
Iu~2 ,doveluèilmomento d'inerzia
del corpo rispetto all'asse di rotazione.
L'equazione di La grange
.!:..__!!...__..!!_=Q
ac:p
dopo la sostituzione di
Questa è dunque l'equazione differenziale della rotazione di un corpo
rigido intorno ad un asse stazionario.
Esempio 2. Un pendolo doppio è in moto in un piano (fig. 24). Scriviamo
un'espressione per il lavoro elementare
lìA = m 1 g <'ìz1
dove z1 = 11 cos c:p1 , z~ = l1 cos c:p1
Calcolando <'ìz1 e Oz 2 troviamo
La prima equazione di Lagrange
+ m g <'ìz
cos c:p 2 •
dt [(m1 + m2)
lfcp1
+ m2ltl2cp2 cos (cp1 -cp2)] + m2l1l2cp1cp2 sen (<p1-<pz) =
= -(m + m g/ sen 'Pi•
E lasciato al lettore calcolare la seconda equazione che corrisponde alla
coordinata <p 2.
Esempio 3. Si richiede di determinare le equazioni differenziali del moto
di una particella libera in coordinate sferiche (vedi esempio 3 di pag. 37,
e fig. 22). La velocità delle particelle è uguale alla somma vettoriale di:
m,gl
a) la velocità radiale; h) la velocità di rotazione dovuta alla rotazione del
raggio nel piano del meridiano; c) la velocità di rotazione dovuta alla rota•
zione del piano del meridiano. Le componenti della velocità sono mutuamente ortogonali e dunque
T = - mv2 = - m (r 2 + r 2cp 2 +r 2 sen 2 cp 'lj, 2).
Per trovare la forza generalizzata Q7 , spostiamo la particella lungo
raggio. Allora l'IA 7 = F r l'ìr, dove F r è la proiezione della forza applicata
in direzione del raggio. Da cui Q7 = F r·
Imponiamo ora alla particella uno spostamento elementare lungo
meridiano. Quindi l'IA q, = F q,r l'ìcp, dove F q, è la proiezione della forza
sulla tangente al meridiano 1 . Dunque
Fq,r.
QIIJ = F IIJr sen cp,
dove F ,i, è la proiezione della forza F sulla tangente al parallelo.
1 Tracciamo le tangenti al meridiano e i paralleli nella direzione
dell'appropriato incremento delle coordinate <p e 'lj>.
L'equazione di Lagrange della coordinata r
----=Qr
m (r-np2 - r sen 2 <p 'ljl 2)= Fr,
Per le coordinate <p e 'lj, troviamo
(np + 2r<p-r sen <p cos <p 'ljl 2) = F "''
m (r sen <p1j,+2 sen <p r 1J,+2rcos <p <p'ljl)=F,i,,
Abbiamo ottenuto tre equazioni differenziali del moto di una particella
libera in coordinate sferiche.
§ 7. Studio delle equazioni di Lagrange
Per ricavare le equazioni di Lagrange è necessario trovare
prima l'espressione dell'energia cinetica in funzione del tempo t,
delle coordinate generalizzate qi e delle velocità generalizzate
qi (i = 1, ... , n). Questo è attuato nella forma generalizzata
~ aikqiqk + ~ a;q;
i, 1<=1
Qui, i coefficienti a;k, a;, a 0 sono funzioni di t, q1 ,
definiti dalle equazioni
(i, k=1, ... , n) 1,
mv ( ;v )
(i=1, ... ,n),
La formula (1) mostra che l'energia cinetica di un sistema
olonomo è una funzione. (polinomio) di secondo grado rispetto
alle velocità generalizzate:
Dalle formule (2) si può ricavare che aik = aki (i, k = 1, .·... , n).
aikqiqk,
i, k=i
T O = a0 •
aiqi,
Come è stato spiegato nel § 1, nel caso di un sistema scleronomo,
il tempo non compare esplicitamente nella relazione tra rv e qh
= O (V= 1'
Ma allora, in accordo con le equazioni (3) e (4),
a 0 = O,
ai = O (i = 1, •.. , n)
aikqtqk.
Dunque, l'energia cinetica di un sistema scleronomo si presenta
nella forma di una funzione omogenea di secondo grado (forma
quadratica) delle velocità generalizzate.
Si osservi che in un arbitrario sistema olonomo (scleronomo
o reonomo), la forma di T 2 è sempr{) non degenere, cioè un determinante ricavato dai suoi coefficienti è diverso da zero:
det (atk)i,
:#= O.
det (atk)i, h=i == O
il sistema di equazioni lineari omogenee
~ aikA1i=O
(i=1, ... , n)
ha una soluzione reale non nulla.
Moltiplicando l'insieme delle equazioni (8) termine a termine
per Ai e sommando rispetto all'indice i da 1 a n e utilizzando le
formule (2), otteniamo
O= 'v a;kAiAk = 'v
i, k=:
V=Ì
( 'v mv <Jrv orv )
A;Ak =
Ai :;; ) 2 •
Ì=Ì
Queste N equazioni vettoriali possono essere sostituite da 3N
equazioni scalari:
"'1 ~zv A;=O
LJ uq;
::: A;= O,
Le equazioni (9') mostrano che nella matrice funzionale jacobiana
i)ql
iJqn
{}ql
{JzN
élqn
le colonne sono linearmente dipendenti, cioè il rango p di questa
matrice funzionale è minore di n. Allora tra le 3N funzioni x 1 , y 1 ,
Z1, • • • , xN, YN, zN degli n argomenti q1 , • • • , qn (t è considerato un parametro) ci sono p quantità indipendenti in funzione
delle quali possono essere espresse tutte le rimanenti coordinate
cartesiane dei punti del sistema. Questa è una contraddizione,
poiché il numero minimo di coordinate indipendenti del sistema
deve essere uguale al numero dei gradi di libertà n, mentre fJ < n.
La disuguaglianza (7) è così stabilita 1 .
La proprietà dei coefficienti della forma quadratica T 2 espressa
dalla disuguaglianza (7) è molto importante e ne faremo uso
più volte in seguito. Si osservi che, poiché si ha sempre T 2 ~ O
(T 2 è l'energia cinetica nel caso dei vincoli « congelati >>!) segue
dalla disuguaglianza (7) che la forma quadratica T 2
=-½-
a;1iq/]k
è definita positiva, cioè T 2 ~0, e si ha T 2 = O solo qtiando tutte
le q; (i = 1, ... , n) sono uguali a zero. Dunque, peri coefficienti
1 Il rango della matrice funzionale (10) può essere minore di n nei punti
singolari. In questi punti I 'uguaglianza det (a;1i) k=i = O è possibile
In seguito non considereremo queste posizioni particolari del sistema.
a 1k abbiamo il determinante di Sylvester 1
Inserendo l'espressione (1) dell'energia cinetica nelle equazioni
Òqi
Tt----aq =Q,
(i=1, :··, n)
~ a,,.q,. +(o)= Qi (t, qi, q1)
(i= 1, ... , n).
Qui, il simbolo (* *) indica la somma dei termini che non includono le derivate seconde rispetto alle coordinate del tempo.
I termini a destra delle uguaglianze non contengono le derivate
seconde, poiché nel caso generale sono funzioni delle quantità
t, q1, q1 (j = 1, ... , n).
Poiché det (aik)t k=i =I=- O segue che le equazioni (13) possono
essere risolte nelle derivate seconde e rappresentate nella forma
q; = Gi(t, qk, qk)
Ma allora, come sappiamo dalla teoria delle equazioni differenziali, per certe assunzioni relative ai membri destri Gi, che in
meccanica sono sempre soddisfatte 2 , c'è una e una sola soluzione
delle equazioni di Lagrange per arbitrari valori iniziali, preassegnati, qt
con t = t 0 (i = 1, ... , n). Dunque, il moto di
un sistema olonomo è unicamente determinato dalla specificaone delle posizioni iniziali (q~) e delle velocità iniziali
(qn.
§ 8. Teorema della variazione dell'energia totale. Foru potenziali,
dissipative e giroscopiche
Se le forze generalizzate non dipendono dalle velocità generalizzate
Qi = Q, (t, q1, .•• , qn) (i = 1, ... , n)
e se esiste la funzione Il (t, qi, ..• , qn) tale che
òII
Qi=-Òqi
1 Vedi, per esempio. F.R. Gantmacher, Teoria delle matrici, Mosca
f953, pag. 248 (ed. russa).
2 Per esempio, se le funzioni G1 (i = 1, ••• , n) hanno derivate parziali
continue del primo ordine.
allora le forze Q1 sono dette potenziali e la funzione Il è il potenziale delle forze o energia potenziale. Le equazioni (2), che determinano il potenziale Il, possono essere così scritte 1 :
6A= i~?;cSq;= -cSIT.
Ora consideriamo il caso generale in cui, oltre alle forze potenziali determinate dal potenziale Il, sul sistema agiscono anche
forze non potenziali
Q,-Qi(t,
(i=1, ... ,n).
q1, qi)
--+IQ;
e le equazioni di Lagrange assumono la forma
Tt----aq- --&q· +Q;
(i=1, .. . , n).
Ora consideriamo l'energia totale E, che è uguale alla somma
dell'energia cinetica e dell'energia potenziale
E=T+IT
~~ • Troviamo prima
e calcoliamo la derivata
dt= ~
( &T
d '\1 &T
dt "--i
i=1 ~z
&T • • )
+-.q; +Tt=
( &T _
&T ) •
• . q,
&t •
Prima si fissa il tempo t quando si calcola il differenziale virtuale
6IT. Dunque,
~ &IT
&q; oqi.
oU = Li
a;;-qi
Notando che T = T 2
Lagrange (6), otteniamo 1
e utilizzando le equazioD;i di
=2dt-dt(T 1 +2T 0 )
"1 - '
at+Tt-Tt- LJ Qiqi.
Da ciò, tenendo in considerazione l'equazione (7), otteniamo
L'espressione a destra
dove 6.A è il lavoro elementare delle forze non potenziali Qi,
è la potenza delle forze non potenziali Q1 (i = 1, ... , n). Il
termine a destra
è diverso da zero solo per un sistema reonomo (per un sistema
scleronomo T 1 = T O = O e ~~ = O). Il secondo termine non
è nullo solo quando l'energia potenziale Il è esplicitamente dipendente dal tempo.
La formula (10) determina la variazione dell'energia totale dt
un sistema olonomo arbitrario in moto. Consideriamo qualche casQ
La formula di Eulero "1
~ x i = mf vale
àx1
per una funzione omoge.
nea / (x 1 , , , ., xn) di m-esimo grado, Applicando questa formula alla for~
ma lineare T 1 e alla forma quadratica 1' 2 , troviamo
La validità di questa identità segue anche direttamente dalle espressioni di
T 2 e T1 date a pag. 47.
a) Un sistema è scleronomo. Allora
"'1 -
tit= LJ Qjq,+ae·
b) Un sistema è scleronomo e l'energia potenziaù, non dipenile
esplicitamente dal tempo. Allora
dt= LJ Qiqi.
Per questo sistema la ilerivata ilell'energia totale rispetto al tempo
è uguale alla potenza ilelle forze non potenziali.
c) Un sistema è conservativo, cioè: 1) un sistema è scleronomo;
2) tutte le forze sono potenziali e 3) l'energia potenziale II non
dipende esplicitamente dal tempo. Secondo l'equazione (10), per
un sistema conservativo
at=O.
cioè per qualunque moto del sistema
E= cost = h.
L'energia totale di un sistema conservativo non varia quando
il sistema è in moto.
L'equazione (16), che non contiene le q1 ma contiene la costante
arbitraria h, determina l'integrale primo delle equazioni del
moto. L'equazione (16) è detta integrale ilell'energia.
Le forze non potenziali sono dette giroscopiche se la loro potenza
~ Qilli =0
e dissipative se la loro potenza
è negativa o nulla:
" Nel caso di un sistema scleronomo
~ Fv drv= ~
Oi dq1
etii, dopo aver diviso ogni termine per dt, ricaviamo
FvVv=
Qiqi•
Per questa ragione l'equazione ( 17) esprime la condizione di giroscopici tà
~ F'vVv=O,
~ Q1qi~ O.
Se l'energia potenziale non dipende esplicitamente dal tempo t
allora dalle equazioni (14) e (17) segue che ~ = O, e così per
un sistema scleronomo con forze giroscopiche abbiamo anche che
l'integrale dell'energia è
E = cost.
Ma se tale sistema è sottoposto a forze dissipative allora quando
il sistema è in moto
dt~ o,
cioè l'energia totale diminuisce durante il moto 1 • In questo caso
chiamiamo il sistema sistema dissipativo.
Nelle relazioni (17) e (18) le forze generalizzate fj,. nel caso
generale, dipendono dalle velocità generalizzate. Consideriamo
qualche caso particolare importante in cui questa dipendenza
è lineare ed omogenea.
Q,= ~
(i= 1t .. ·t n)
'Vi1tq1t
e sia la matrice dei coefficienti 'Vik antisimmetrica
(i, k
1, ... , n)
Allora le forze (19) sono giroscopiche.
In realtà, in questo caso
n ,_ •
~ Q,q, = ~ 'Viltqiqlt = ~ "y;;q}
1, • .• • n
i<lt
('Vilt + "i'1ti) q;q7t = o.
e l'equazione (18) la condizione di dissipazione
~ FvVv
,;;;;O.
Nel caso di un sistema reonomo, l'equazione (*) può non valere. Allora
frrv = drv-
a;;v dt
Fv (Vv- Ò;;v} =
e dall'equazione
Fvfirv=
Qif,q 1 segue che
Q;q1,
1 Nel caso di forze dissipative si ha una dissipazione di energia. Di qui
il termine « forze dissipative •·
2 Nel caso di una matrice
antisimmetrica Il Yilt Il, risulta !!empre
'Yii=0(i=1, ... , n).
Questa equazione mostra che l 'antisimmetria della matrice dei
coefficienti "rik non è solo una condizione sufficiente, ma anche
necessaria perché le forze (19) applicate al sistema scleronomo
siano. giroscopiche.
Esempio 1. Per un sistema scleronomo, le forze di inerzia di Coriolis sono
giroscopiche. Infatti, la forza di inerzia di Coriolis applicata ad una parti-
cella P" di un sistema è determinata dalla formula
Fv = -2mv {ro X Vv),
dove mv è la massa della particella Pv, v" è la sua velocità rispetto ad un
sistema non inerziale di assi coordinati considerati, e ro è la velocità angolare rispetto a qualche sistema inerziale di coordinate (v = 1, •.. , N).
~ FvVv=O.
Esempio 2. Sia un corpo rigido con un punto stazionario O sottoposto
all'azione di pitt forze con momento principale L 0 = I (ro1 X ro 2), dove
I è uno scalare, e ro = ro1
ro 2 è la velocità angolare del corpo. Allora le
forze applicate al corpo sono giroscopiche poiché la loro potenza è nulla
L 0 m = O,
Se il corpo rigido possiede una simmetria dinamica, / è il momento d 'inerzia rispetto all'asse di simmetria, ro 2 è la velocità angolare di << pura rotazione>) diretta lungo l'asse di simmetria e ro 1 è la velocità angolare del moto
di precessione, per cui il momento L 0 = I (ro1 X ro 2) è detto giroscopico.
Allora le forze che creano il momento giroscopico sono giroscopiche.
- 2. Sia
- ~ b1kqk (i= 1, ... ,
dove la matrice dei coefficienti b1k è simmetrica:
b;k=bki (i=1, ... ,n)
e sia la forma quadratica
~ b1kqtqk positiva, cioè
~ b,1iq,qk~o.
f,k=f
Allora per un sistema scleronomo la potenza delle forze è
Q,q, = {=1
i, k=1
b,kqiqk -<- o
e le forze Q 1 sono dissipative.
In questo caso la forma quadratica
b11iq;q1i
E facile vedere che le
forze generalizzate (21) sono ottenute dalla funzione dissipativa
di Ray leigh per mezzo di
Qi = - -.- (i= 1, ... , n).
è detta funzione dissipativa di Rayleigh.
àqt
Se il sistema è scleronomo e se l'energia potenziale non dipende
esplicitamente dal tempo, allora in virtù delle uguaglianze (14),
(23) e (25) si ha
'\.--, - •
L...J Q;q;
= -2R.
Questa formula puntualizza il significato fisico della funzione
di Rayleigh: la funzione di Rayleigh raddoppiata rappresenta
quanto rapidamente decresce l'energia totale.
Se la funzione di Rayleigh (24) è una forma quadratica definita positiva delle velocità generalizzate allora si parla di dissipazione totale di energia. In questo caso, chiameremo il sistema
dissipativo definito. Secondo la formula (26), l'energia totale di
un tale sistema diminuisce rigorosamente.
A titolo d'esempio consideriamo le forze di resistenza del
mezzo applicate ai punti del sistema, essendo le forze proporzionali alle potenze prime delle velocità dei punti:
F.,,= -~v.,, (v=1, ... , N).
~ F.,,v.,,= -2R,
R=+~
§ 9. Analogie elettromeccaniche
In questo paragrafo mostreremo come le equazioni della meccanica analitica possono essere applicate non solo a sistemi meccanici ma anche a sistemi elettrici e elettromeccanici.
Consiaeriamo un circuito con un'induttanza L, una resistenza
Re una capacità C collegate in serie (fig. 25). Per questi elementi,
la relazione tra il voltaggio u (la differenza di potenziale ai capi
di ogni elemento) e la corrente i
dove q è la carica)
sarà, rispettivamente, uguale a
(i= !i
u=Ldt,
Jr idt.
Se inoltre il circuito ha una sorgente esterna di forza elettromotrice e(t), allora scriviamo che la forza elettromotrice è uguale
alla somma dei voltaggi applicati ai singoli elementi, e abbiamo
!: + Ri + f ) i dt =
Questa equazione è analoga all'equazione delle oscillazioni
Qui all'induttanza L corrisponde il coefficiente inerziale (la
massa generalizzata) a, alla resistenza ohmica R il coefficiente
di dissipazione b, al coefficiente
dove C è la capacità, corri-
sponde il coefficiente ridotto della forza elastica e; la carica q
corrisponde alla coordinata generalizzata e la forza elettromotrice
e(t) alla forza generalizzata Q(t).
D'altra parte, nel circuito mostrato nella fig. 26, le correnti
che circolano attraverso l'induttore, il resistore e il capacitore
sono additive, cioè
Differenziando termine a termine, otteniamo
Tt + T u = Tt ·
Qui abbiamo un altro sistema di analogie in cui il voltaggio
u corrisponde alla coordinata q, i coefficienti meccanici a, b, c
sono sosti·tm·t·1 d a C , R1
e 1a quan t"t'
1 a dt
alla forza generalizzata Q(t).
Due sistemi elettrici aventi le stesse equazioni (come notazioni) sono due analogie elettriche di/ferenti di uno stesso sistema
All'energia cinetica ed a quella potenziale, alla funzione di
Rayleigh e alla forza generalizzata di un sistema meccanico con
un grado di libertà
R = 2 bq2,
T = 2 aq 2 ,
Q= Q (t)
Il= 2 cq 2 ,
nel primo sistema di analogie corrispondono le quantità
T= 2 Lq 2, R= 2 Rq 2,
e nel secondo, le quantità
r-..!.
c~z '
ii_1_ ~2
-2R'
e=e(t)
Il= -2L uz,
-dt •
Così, i sistemi di analogie elettromeccaniche sono determinati
Meccanica: q
1a elettrica: q
2a elettri-:
ca: u
T= -aq 2
R= - bq 2
-Lq2
-Rq2
2 cq2
Si consideri il circuito elettrico rappresentato nella fig. 27
come esempio di un caso più complesso.
Formiamo le equazioni di Lagrange secondo il primo sistema
di analogie; prima si calcoli
q! +
Raq 3 ,
= 2 L1q~+ 2 L23 (q2-q3)2,
R= 2 R1q 1 + 2 R2q 2
Il= 2C1
(q1 - q2)2.
Inoltre e 2
= e 3 = O. Poniamo
A sen Qt.
Dunque, le equazioni di Lagrange hanno la forma
+ R1q1• + -e
q1- -e q2 = A sen Qt,
L2sq2 - L2aqa + R2q2 + -e q2 - -e qt = O,
L23qs-L2aq2 + Raqs + Ca qa = O.
Queste equazioni saranno le equazioni del circuito elettrico
rappresentato nella fig. 27.
§ 10. Equazioni di Appell per sistemi non olonomi.
Pseudocoordinate
In questo paragrafo ricaveremo le equazioni di Appell che
.determinano il moto di un sistema non olonomo. Consideriamo
applicati a un sistema non olonomo d vincoli finiti e g vincoli
differenziali (vedi § 1). Prima utilizzando solo i d vincoli finiti,
esprimiamo i vettori radiali dei punti del sistema in funzione di
m = 3N - d coordinate indipendenti qi, ••. , qm e del tempo t:
rv=r.,(t, q1 ,
(v=1, .•. ,N)
(-v=1, ... , N).
= 1, ... , N) soddisfano anche i vincoli diffe-
Però, rv e rv (v
renziali 1
~ lpv_,:v+Dp=O
'Y=I
(~=1, ... , g),
dove l 13 v e D 13 sono funzioni di t e rv (v = 1, .... , N).
Sostituendo le espressioni (1) e (2) per rv e rv nelle equazioni
del vincoli (3), rappresentiamo queste equazioni in forma
~ Ap1q1+Ap=0
dove i coefficienti A 131 di q1 e il termine assoluto A 13 sono funzioni
di t e q1, • • ., qm.
Dunque, per un sistema non olonomo le coordinate q1 , • . . , qm
possono assumere valori arbitrari, ma allora le velocità generalizzate q11 • • • , qm non possono essere grandi arbitrariamente; esse
sono legate dalla relazione (4). Considerando i g vincoli della (4)
indipendenti, possiamo esprimere g velocità generalizzate per
mezzo delle equazioni (4), per esempio qn+i, ... , qm in funzione
delle restanti q1 , . . . , qn (n = m - g = 3N - d - g è il numero dei gradi di libertà del sistema; vedi pag. 15). Le velocità
q1 , • • . , qn possono avere valori arbitrari e dunque i valori
delle rimanenti velocità saranno determinati.
Seguiremo però la via più generale e come quantità indipendenti considereremo non le n (n è il numero di gradi di libertà)
velocità generalizzate, bensì alcune delle n combinazioni lineari
indipendenti di queste velocità 2
:Tts=i~f,tqi
(s=1, ... ,n),
dove /, 1 sono funzioni di t e q1 , ••• , qm.
E necessario imporre una sola condizione alla forma lineare (5):
queste n forme lineari, insieme alle g forme lineari
À131q1
(~ =
1, ... , g)
debbono costituire un sistema completo di m = n + g forme
linearmente indipendepti; cioè il determinante composto dai
1 Le funzioni (1), quando sono sostituite nelle equazioni dei vincoli finiti, cambiano queste ultime in identità. Dunque, quando si usa la rappresentazione (1) è necessario considerare solo i vincoli differenziali.
2 Sarà conveniente rappresentare le combinazioni lineari (5) con ~8 ,
nonostante che il simbolo n8 sia privo di significato, poiché il termine destro della (5) può non essere una derivata totale.
coefficienti di queste m forme deve essere diverso da zero. Allora
le quantità 1t 8 (s = 1, ... , n) possono assumere valori arbitrari,
poiché per ogni valore di queste quantità troveremo le corrispondenti qi (i = 1, ... , m), risolvendo il sistema delle equazioni
lineari (4) e (5). In tal modo otteniamo
q;= ~ his1ta+ht
(i=1, ... , m),
dove h 18 e h 1 sono funzioni di t e q1 , • • • , qm.
Le quantità 1t 8 , che sono forme lineari di velocità generalizzate,
possono essere chiamate pseudovelocità, e i simboli 1t 8 , pseu<ÙJcoordinate (s = 1, ... , n). In particolare, le 1t 8 possono coincidere
con alcune velocità generalizzate. Ma nel caso generale le m + n
quantità, 1t 8 e q1 sono legate dalle relazioni (5) e (6).
Per trovare le restrizioni imposte dai vincoli differenziali
sugli spostamenti virtuali 6q 1 è necessario (vedi § 2) scartare
nelle equazioni (4) i termini assoluti A 13 e sostituire q1 con 6q1
(i = 1, ... , n). Così otteniamo
,~ Aa;6q,=0
In accordo con le equazioni (5) introduciamo la notazione
61t 8 = ~ fsl:,qi
(s=1, ... , n).
Per come sono state definite, le forme (4') e (5') sono linearmente
indipendenti. Dunque, i 61t 8 possono assumere valori arbitrari
mentre i corrispondenti 6q 1 saranno determinati dall'insieme
delle equazioni (4') e (5'):
(i=1, ... , m).
6q,=~ hi,61t 8
L'espressione per il lavoro delle forze elementari negli spostamenti virtuali può essere data come
6A= ~ Qi6qi,
dove, come per i sistemi olonomi,
Ql. = ~
L--iv
òq1
(.i =
Nel caso di un sistema scleronomo Bq1 = dqi
con le formule (5) e (5'), 6:rt8 = ;,s dt.
q1 dt dunque, in accordo
Ora, sostituendo nella (7) le espressioni (6') al posto delle 6q,.
6A = ~ Q, ~ h;0 Ò:rt 8 = ~
~ h1,Q1) 6:rt
6A = ~ II 8 b:rts,
Ils= ~ hi 8 Q; = ~ ~ h; 8
(s=1, .. . , n).
i=1 V=1
Chiameremo le quantità Il 8 forze generalizzate corrispondenti alle
pseudocoordinate :rt 8 (s = 1, ••• , n).
In altre parole, sostituendo nella (2) a q; le espressioni (6)
,;.v= s=1
~ evs~s+ev
(v=1, .. . , N),
dove evs e ev (v = 1, ... , N; s = 1, ••. , n) sono certe funzioni vettoriali di t e q1 , • . . , qm.
Dalle equazioni (10) troviamo 1
fn·v= ~ ev 8 6:rt 8
(v= 1, ... , N)
,;;V = ~
eya:fts
dove, nel membro destro della (12), si considerano solo i termini
contenenti le pseudoaccelerazioni :rt 8 (s = 1, ... , n).
Per mezzo delle equazioni (8) e (11) si ricava l'equazione
generale . della dinamica
Le quantità;v• ,is e sono legate dalle relazioni (2), (4) e (5). Eliminanda queste relazioni troviamo le formule (10). Le quantità 6rv, 61181
6q 1 soddisfano le relazioni omogenee (2'), (4') e (5'), che differiscono dalle
(2), (4) e (5) solo per l'assenza dei termini assoluti. Per questa ragione, anche
le formule (11), che sono il risultato dell'eliminazione di 6q1 dalle (2'),
(4') e (5'), si ottengono dalle (10) sostituendo;" con 6rv,
con 6118 ed eliminando i termini assoluti ev.
~ (ns - ~ m\l,;.·\1e'\1s) fots =o.
Poiché 61t 8 sono dei moltiplicatori arbitrari, ne segue che
~ mv1·vev 8
(s = 1, ... , n).
= Il 8
Introduciamo ora l'« energia delle accelerazioni»
• ·2
mvrv = U (t, q;,
J1 8 , 1t 8 )
Si osservi che, in base alle formule (12),
evs=.•an 8
(v= 1' ... , N; S= 1' ••• , n)
le equazioni (15) si possono scrivere come segue:
- ..-=Il 8
Le equazioni (18) le ricavò per primo Appell e per questo
furono chiamate equazioni di Appell.
Queste n = 3N - d - g equazioni differenziali, insieme alle
g equazioni vincolari,
~ A13;q1+A13=0
(~=1, ... , g)
e le n .relazioni differenziali
= f=t
~ f s1q;,
formano il sistema di equazioni differenziali che determina il moto
di un sistema non olonomo.
Scriviamo le equazioni di Appell in forma estesa. Per fare
ciò inseriamo le espressioni (12) nella formula (15) al posto
di r". Allora otteniamo
flp = Ilp (t, q;,
'1: 8 ),
= Ups (t, q;) =
(p, s=1, ... ,n).
mvev 8 evp
Il simbolo (o) nelle equazioni (21) denota i termini che non conten

References: § 1
 § 2
 § 3
 § 4
 § 5
 § 6
 § 7
 § 8
 § 9
 § 10

§ 11
 § 12
 § 13
 § 14
 § 15

§ 16
 § 17
 § 18
 § 19
 § 20
 § 21
 § 22
 § 23

§ 24
 § 25
 § 26
 § 27
 § 28
 § 29
 § 30
 § 31
 § 32

§ 33
 § 34
 § 35
 § 36
 § 37
 § 38

§ 40
 § 41
 § 42
 § 43
 § 44
 § 45
 § 46
 § 47

§ 48
 § 49

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§ 5

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