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Timestamp: 2017-06-26 17:15:21+00:00

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Gödel : des théorèmes d’incomplétude à la théorie des concepts
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1. La critique du « point de vue syntaxique » de Carnap
2. Gödel et les machines de Turing
3. Théorie des concepts vs finitisme
1 C’est le titre du chapitre rédigé par J. Y. Girard dans l’ouvrage collectif : Le théorème de Gödel(...)
1Ce qui a motivé cet exposé est un cours sur les théorèmes d’incomplétude de Gödel, qui me fit découvrir un aspect des travaux de Gödel allant à l’encontre de l’idée que je me faisais de lui. Jusqu’alors, en effet, sans aller jusqu’à croire que les théorèmes de limitation amenèrent « la chute de la maison Hilbert », comme le suggère J. Y. Girard1, je pensai que Gödel avait mis fin au rêve d’omnipotence de Hilbert, résumé en une formule célèbre « en mathématiques il n’y a pas d’ignorabimus ». En bref, Gödel symbolisait pour moi la reconnaissance de l’irréductible limitation de la pensée mathématique. L’étonnement surgit lorsque je réalisai que le dernier projet de Gödel, sa théorie des concepts, était en fait la visée d’un nouvel absolu, une théorie cherchant notamment à établir les notions de définissabilité absolue et de prouvabilité absolue, c’est-à-dire indépen­dantes de tout langage formel et de toute théorie.
2Je me propose donc dans cet exposé de suivre l’itinéraire de Gödel, qui l’a amené des théorèmes de limitation à cette théorie des concepts. Nous verrons au passage quel rôle, dans cet itinéraire, joua Turing, à qui Gödel reconnaissait d’avoir donné une définition absolue de la calculabilité. On comprend mieux, par ailleurs, la position de Gödel quant aux conséquences de ses théorèmes de limitation à partir des critiques qu’il a énoncées sur les idées de Carnap. Je commencerai donc par comparer les deux points de vue, de Carnap et de Gödel, et la critique de Gödel à l’encontre de Carnap.
1. La critique du « point de vue syntaxique »2 de Carnap
2 L’expression est de Gödel dans son article « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage » (...)
3Je rappellerai d’abord brièvement le contenu des théorèmes dits de limitation que Gödel présenta comme thèse d’habilitation et publia en 1931. Le premier théorème énonce en substance que tout système formel assez puissant pour contenir l’arithmétique contient des propositions indécidables, c’est-à-dire ni démontrables ni réfutables dans le système. Une conséquence de ce premier théorème est qu’il existe des propositions formulables dans le système considéré, qui sont vraies mais qui ne sont pas démontrables ; autrement dit, le vrai excède le démontrable. Le second théorème, qui apparaît comme une conséquence du premier, énonce que la consistance d’un tel système (suffisamment puissant) ne peut être démontrée à l’intérieur du système ; autrement dit, une telle démonstration de consistance demande des outils plus puissants que ceux contenus dans le système, et oblige donc à « sortir » de ce système. Ainsi, les théorèmes d’incomplétude établissaient la nécessité de concevoir les mathématiques, non comme un système unique, mais comme une série indéfinie de systèmes superposés – chaque système exigeant d’être englobé dans un système plus grand afin de démontrer sa non contradiction, ou de démontrer ou réfuter ses propositions indécidables, le nouveau système présentant à son tour la même exigence, etc. Sur cette conséquence des théorèmes de limitation, Carnap et Gödel sont d’accord :
4Carnap écrit :
3 Carnap, « Die Mathematik erfordert eine unendliche Reihe immer reicherer Sprachen », dans Carnap, (...)
La mathématique exige une suite infinie de langages toujours plus riches3.
et Gödel :
4 Gödel, « Remarks before the Princeton bicentennial conference on problems in mathematics », 1946, (...)
Il n’existe aucun formalisme qui embrasserait toutes ces étapes [du développement mathématique]4
Cependant Gödel poursuit ainsi :
mais cela ne doit pas exclure que toutes ces étapes (ou au moins toutes celles qui donnent quelque chose de nouveau pour le domaine de propositions qui nous occupe) pourraient être décrites et rassemblées d’une manière non constructive.
Je reviendrai sur cette dernière partie de la proposition de Gödel. Pour l’instant restons sur l’acception commune, par Carnap et Gödel, de cette conséquence des théorèmes de limitation : la nécessité de concevoir le développement des mathématiques comme une série infinie d’étapes ou de langages toujours plus riches. Ces différentes étapes ou ces différents langages sont engendrés en ajoutant de nouveaux axiomes au système axiomatique considéré, permettant d’obtenir la consistance du système et/ou la démonstration (ou réfutation) des propositions indécidables de ce système. 5La divergence des points de vue de Carnap et Gödel concerne la conception des mathématiques et plus particulièrement la nature des axiomes ajoutés. Selon Carnap, tel que le décrit Gödel, 5 Gödel, « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage », § 1. Cet article est paru dans le (...)
les mathématiques peuvent être réduites à une syntaxe du langage (et ne sont en fait rien d’autre que cela). C’est-à-dire que la validité des théorèmes mathématiques consiste seulement en ce qu’ils sont des conséquences de certaines conventions syntaxiques concernant l’usage de symboles et non en ce qu’ils sont la description de faits [states of affairs] appartenant à un certain domaine d’objets5.
6 On peut plus précisément citer Carnap dans l’Aufbau : « La logique (y compris les mathématiques) n (...)
et Gödel cite Carnap : « Les mathématiques sont un ensemble d’énoncés auxilliaires sans contenu ni objet »6. C’est essentiellement sur ce point que porte la critique de Gödel ; selon lui les mathématiques ont un contenu inéliminable. Et il pense donner la preuve de l’existence de ce contenu par la nécessité d’ajouter aux axiomes et concepts déjà contenus dans le système considéré, d’autres axiomes et concepts au moins également puissants, afin de prouver la consistance de ce système. 7 Gödel, « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage », p. 15. Gödel précise ce qu’il ente (...)
En règle générale, les concepts et les axiomes qui appartiennent au secteur des mathématiques dont la consistance est prouvée, ne figurent pas nécessairement parmi ceux qui suffisent à l’établissement d’une preuve formalisée de consistance, ou qui puissent en être dérivés. Il existe certaines possibilités de remplacer quelques-uns d’entre eux par d’autres. Mais le fait même que, si quelques-uns des concepts ou axiomes essentiels du système ne sont pas contenus dans le système utilisé pour la preuve de consistance, d’autres également puissants (et également problématiques, si l’on ne fait pas confiance en l’intuition mathématique), doivent être présents, ce fait révèle un principe que l’on pourrait appeler : « la non-éliminabilité du contenu mathématique d’un système axiomatique par l’interprétation syntaxique »7.
Selon Gödel, ces axiomes et concepts qu’il est nécessaire d’ajouter pour prouver la consistance d’un système axiomatique ne peuvent recevoir de fondement que de deux manières :
soit en admettant qu’ils sont perçus par une intuition mathématique, soit par induction empirique, c’est-à-dire par justification à partir des résultats obtenus dans les applications :
8 Gödel, op. cit., p. 16.
Que les mathématiques ont bien un contenu (dans n’importe quel sens acceptable du terme) se manifeste par le fait que, de quelque manière qu’elles soient édifiées, en totalité ou en partie, on a toujours besoin à leur propos de certains termes indéfinis et de certains axiomes (c’est-à-dire d’assertions non démontrables). Il n’existe de fondement rationnel (et pas simplement pratique) pour ces axiomes que si leur vérité (ou celle de propositions qui les impliquent) peut être directement perçue (grâce à la signification des termes ou par une intuition des objets qui tombent sous ces derniers), ou si on accepte (à l’instar des hypothèses physiques) sur la base d’arguments inductifs en invoquant, par exemple, le succès de leurs applications 8.
Par cette thèse, qui fait écho à la solution donnée par Aristote au problème de la connaissance des principes premiers des sciences – on sait que, selon Aristote, ces principes, qui ne peuvent être connus de façon déductive, sont saisis par une intuition intellectuelle, le nous –, Gödel s’oppose à la notion carnapienne de « vrai par convention » :
9 Gödel, op. cit., p. 17. Il n’est pas possible d’éliminer l’intuition mathématique ou l’induction empirique en avançant que les axiomes mathématiques sont vrais par convention9. 10 Gödel, op. cit., p. 17. Cette démonstration ne me paraît pas vraiment convaincante : si les axiome (...)
La preuve que donne Gödel de cette affirmation repose sur ses théorèmes de limitation. Une démonstration de consistance d’un système demande l’ajout d’axiomes d’au moins égale force, et la justification de ces nouveaux axiomes ne peut se faire que par une nouvelle démonstration de consistance, sans laquelle ces axiomes sont sujets à réfutation. Ce que Gödel résume en disant que « si l’on accepte l’intuition mathématique comme allant de soi, l’existence d’un contenu des mathématiques est évidemment admise. Si on la rejette, les axiomes mathématiques deviennent réfutables et pour cette raison ont un contenu »10. 11 Beth, « Carnap’s views on the advantages of constructed systems over language in the philosophy of (...)
12 Gödel, op. cit., p. 7-8.
6Il reste à savoir ce que Gödel entend par « contenu ». On pourrait penser que ce contenu des axiomes est d’ordre logique. La position de Gödel serait alors proche de celle de Frege et du logicisme, et Carnap apparaitrait, en opposition à ce dernier, défendre des thèses formalistes. Il n’en est rien, bien sûr. D’une part, la position de Carnap n’est pas celle des formalistes. Pour la résumer en une formule, nous reprendrons les termes de Beth qui parle à son propos d’une « fusion du logicisme et du formalisme »11. Il s’agit pour Carnap de réinterpréter le formalisme en « sauvant » le logicisme : la méthode formaliste qu’adopte Carnap consiste à compléter la construction d’un système formel par celle d’un système sémantique qui assure au premier une interprétation. (Pour Carnap, énoncé « sans contenu » s’oppose à énoncé « empirique », c’est-à-dire doué d’un contenu factuel). La suite du texte de Gödel, d’autre part, montre que ce dernier se démarque des thèses logicistes : « si l’on réduit les mathématiques à la logique (dans le sens du système Frege-Russell), alors on doit adopter des axiomes concernant les termes primitifs de la logique, axiomes dont certains sont si peu triviaux qu’ils sont rejetés comme faux ou dénués de signification par de nombreux mathématiciens »12. Réduire les mathématiques à la logique, c’est-à-dire concevoir le contenu mathématique comme étant d’essence purement logique ne peut, selon Gödel, que conduire à une impasse. Pour lui le contenu des mathématiques n’est ni purement logique ni purement syntaxique, il consiste en des faits mathématiques, qui doivent, par ailleurs, être distingués des faits empiriques. C’est ce qu’il précise au § 37 :
On peut montrer que le raisonnement menant à la conclusion selon laquelle il n’existerait aucun fait mathématique, n’est rien d’autre qu’une pétition de principe, en ceci que « fait » y est identifié dès le départ à « fait empirique », c’est-à-dire à « fait synthétique en rapport avec des sensations.
La question de savoir ce qu’il en est, selon Gödel, du contenu mathématique est renvoyée à la question de savoir ce qu’il en est des faits mathématiques. Avant de tenter de répondre à cette question, et pour mieux y répondre, nous allons faire le détour par la notion de calculabilité telle que l’a définie Turing, et suivre la réflexion de Gödel sur cette définition. On peut en effet établir un parallèle entre la notion de calcul effectuable par une machine de Turing, qui est à la base de la définition de la calculabilité par Turing, et celle de système formel ; ce parallèle permet de reprendre d’une autre manière la question du contenu mathématique.
7La nécessité d’une définition de la notion de calculabilité est une conséquence directe du théorème d’incomplétude. En effet, une formule mathématique possède la propriété métamathématique « être une formule démontrable » utilisée par Gödel dans la démonstration de son théorème, si son code possède une certaine propriété arithmétique qui lui est associée. Vérifier qu’une formule est démontrable revient donc à trouver une procédure de décision (un algorithme de calcul) déterminant si un nombre n, le code de la formule, vérifie cette propriété arithmétique. Or l’existence d’une procédure de décision, et par suite la démontrabilité de la formule, se traduit par la calculabilité d’une fonction : la fonction définie par f(n)=1 si n est le code d’une formule démontrable, f(n)=0 sinon. L’existence d’une procédure de décision est ainsi liée à la définition de la calculabilité. Une telle définition doit délimiter l’ensemble des fonctions calculables. 8En 1934, Gödel et Church avaient proposé des définitions équivalentes de la calculabilité, c’est-à-dire des définitions délimitant le même ensemble de fonctions calculables. La définition de cette notion que donne Turing en 1937 a l’avantage de garder un lien avec la notion intuitive : une fonction est calculable si, pour chacun de ses arguments, on peut déterminer sa valeur en un nombre fini d’étapes. L’idée intuitive de ce calcul est associée à celle de gestes mécaniques. Turing explicite ce caractère mécanique en associant la calculabilité à la notion de « réalisable par une machine ». La définition de Turing, qui repose sur la description de machines dans le langage naturel, est indépendante de tout formalisme, contrairement aux définitions de Gödel ou de Church. D’où son caractère absolu. Gödel en reconnaît la valeur et remarque le lien étroit qui existe entre les travaux de Turing et les siens propres et notamment l’apport de Turing dans la définition d’un système formel :
13 Cf. Gödel, Le théorème de Gödel, p 142.
Grâce à certains travaux qui ont suivi cet article [il s’agit de l’article de 1931 établissant l’incomplétude de certains systèmes formels], notamment ceux de A.M. Turing, nous disposons désormais d’une définition sûre, précise et adéquate du concept de système formel […] (note ajoutée par l’auteur le 28 août 1963)13.
Et Gödel précise encore en note (n. 2, p. 142) « selon moi, les termes “système formel” ou “formalisme” ne devraient être utilisés que pour ce concept […]. La propriété caractéristique [de ces systèmes formels] est qu’en eux, et en principe, le raisonnement peut être entièrement remplacé par des règles mécaniques ». Ainsi la notion de système formel, et par suite celle de démonstration, se trouve associées à la notion de calcul, et non plus à la notion de vérité, de laquelle, au contraire, les premiers (système formel et démonstration) se séparent. 14 Lassègue, Turing, p. 70.
9L’idée d’associer la notion de calculabilité à celle de « réalisable par une machine », qui, comme le remarque J. Lassègue dans son ouvrage sur Turing14 relève plus de la thèse que de la définition, permet de formuler autrement la question de l’existence d’un contenu mathématique, ou de faits mathématiques. Réduire le développement des mathématiques à une simple série d’étapes engendrant des systèmes formels de plus en plus complexes peut en effet se traduire par la réduction de l’esprit mathématicien (l’esprit humain) à une machine. C’est la position adoptée par Turing. Gödel critique cette position, comme étant « une erreur philosophique dans le travail de Turing » :
15 Gödel, « Some remarks on the undecidability results », dans Collected Works,vol 2, p. 306.
Dans son 1937 p. 250 (1965, p. 136), Turing donne un argument qui est supposé montrer que les procédures mentales ne vont pas au-delà des procédures mécaniques. Cependant, cet argument n’est pas concluant. Ce que Turing néglige complètement est le fait que l’esprit, en pratique, n’est pas statique, mais en développement permanent, c’est-à-dire que nous comprenons les termes abstraits de plus en plus précisément à mesure qu’on les utilise, et que de plus en plus de termes abstraits entrent dans la sphère de notre compréhension15.
Gödel donne l’exemple du concept d’infini qui, dit-il, n’est actuellement pas suffisamment compris pour recevoir une procédure bien définie, et que la construction d’une telle procédure demandera d’avancer de façon substantielle dans notre compréhension des concepts de base des mathématiques. 10La position adoptée par Gödel est de reconnaître que l’esprit humain dépasse toute machine possible, que, contrairement à une machine, il est capable d’intuition ; et c’est cette capacité intuitive qui, selon lui, donne accès au contenu mathématique, et plus particulièrement au contenu des mathématiques non finitaires. Nous allons voir que c’est une alternative au finitisme hilbertien, dont les théorèmes d’incomplétude ont montré l’insuffisance, que propose Gödel avec sa théorie des concepts.
11Ainsi, ce qui, selon Gödel, signe l’échec des positions de Carnap et de Turing, est le recours, indispensable en mathématiques, aux concepts non finitistes, c’est-à-dire aux concepts abstraits et aux concepts transfinis. Tant que l’on reste au niveau de mathématiques finitaires, le point de vue syntaxique est acceptable. D’ailleurs, Gödel entend le terme « syntaxe » comme un équivalent de « finitime » :
16 Gödel, « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage », n. 18, p. 25-26.
Je crois que ce l’on doit entendre par « syntaxe », si le programme syntaxique doit servir son objectif, équivaut exactement au « finitisme » de Hilbert, c’est-à-dire, qu’il consiste en ces concepts et raisonnements, qui, se référant à des combinaisons finies de symboles, sont contenus dans les limites de « ce qui est directement donné dans l’intuition sensible » (« das unmittelbar anschaulich Gegebene »). Cf. Hilbert, Math. Ann. 95 (1925), p. 171-17316.
Comme exemples de concepts abstraits, Gödel cite ceux de « fonction » et de « preuve » :
17 Gödel, op.cit., n° 19, p. 26.
« Preuve » et « fonction » sont des exemples de concepts abstraits, si l’on comprend ces termes dans leur signification originelle qui les dote d’un contenu [« contensive »], c’est-à-dire si « preuve » signifie non pas une séquence d’expressions satisfaisant à certaines conditions formelles, mais une séquence d’actes mentaux [thoughts] convainquant un esprit sain, et si « fonction » signifie non pas une expression du formalisme, mais une règle intelligible et précise associant des objets mathématiques (dans le cas le plus simple des entiers à des entiers)17.
On trouve également une description de ce que Gödel entend par concepts abstraits dans le dernier texte qu’il a publié, en 1958, « Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes » :
18 Gödel, « Über eine noch benützte Erweiterung des finiten Standpunktes », 1958, Collected Works, vo (...)
Pour l’essentiel, nous devons compter comme abstraits (ou non intuitifs) des concepts d’ordre 2 ou plus, c’est-à-dire des concepts qui ne comprennent pas de propriétés ou de relations d’objets concrets (comme les combinaisons de symboles), mais se rapportent à des constructions mentales (Denkgebilde) (comme les preuves, les expressions douées de sens, etc.). Les preuves de cohérence feront usage de cette inspection (Einsicht) des constructions mentales qui s’adresse non pas aux propriétés combinatoires (spatio-temporelles) des combinaisons de symboles qui les représentent, mais à leur sens18.
Les concepts abstraits se distinguent donc des expressions symboliques qui les représentent. Ils sont encore constructifs, mais la construction est ici mentale, et non plus spatio-temporelle comme dans le finitisme hilbertien. L’ontologie requise est celle de l’intuitionnisme, et non plus seulement l’ontologie finitiste (ontologie d’objets concrets, de simples signes) de l’arithmétique contentuelle conçue par Hilbert.
19 Gödel, « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage », n° 19, p. 26.
Avec les concepts transfinis, l’exigence ontologique monte encore d’un degré. Comme exemple de concept transfini (c’est-à-dire non constructif), Gödel cite notamment « il existe », « si, dit-il, cette tournure signifie l’existence objective sans que l’on tienne compte de la possibilité de produire effectivement ce dont l’existence est affirmée »19. Ainsi, un concept est abstrait s’il correspond à une série d’actes mentaux, transfini s’il est non constructif. Le concept « ensemble infini » est un concept abstrait s’il s’agit de l’infini potentiel, transfini s’il s’agit de l’infini actuel. Les concepts transfinis ne peuvent donc pas être atteints par une construction. Ce sont eux qui exigent l’intervention d’une intuition non sensible. Concepts abstraits (faisant intervenir un processus mental) et concepts transfinis (non constructifs) s’opposent aux concepts finitistes ; « forment l’ensemble des concepts “non finitistes” ». Le finitisme est à la fois lié à l’intuition sensible et à l’idée de construction. Pour accéder aux concepts non finitistes, c’est-à-dire à une mathématique non kantienne, non constructible dans l’intuition sensible, il faut, selon Gödel, élaborer une théorie des concepts. 20 « one has good reason », Gödel, « What is Cantor’s continuum problem ? », Collected Works, vol. 2, (...)
21 Gödel, op. cit., p. 264.
22 Gödel, op. cit., p. 260. 12Le but de cette théorie des concepts est de justifier les concepts et propositions qui dépassent le finitisme. Selon Gödel, l’indécidabilité de certaines propositions, et les théories rivales qui en découlent, ne sont que l’expression d’un inachèvement. Pour lui, une décision ontologique est en général rendue possible par les conséquences mêmes des différentes théories concernées. L’hypothèse de continu conjecturée par Cantor, par exemple, selon laquelle il n’y a pas de puissance (d’aleph) intermédiaire entre la puissance du dénombrable et celle du continu, a des conséquences peu probables en topologie. Cela constitue, selon Gödel, une « bonne raison »20 pour penser que « le rôle du problème du continu en théorie des ensembles conduira à découvrir de nouveaux axiomes qui rendront possible la réfutation de la conjecture de Cantor »21. Selon Gödel donc, en général, les résultats d’indécidabilité ne font que marquer l’état d’inachèvement du système axiomatique, les axiomes de ce système ne contenant pas « une description complète » de la réalité22. Cette description complète de la réalité, Gödel pense que l’esprit humain peut l’atteindre, c’est là ce que Wang appelle l’« optimisme rationaliste » de Gödel, nouvelle version du rationalisme hilbertien. À la différence du rationalisme hilbertien qui pensait pouvoir se satisfaire d’une ontologie minimale réduite à quelques signes et de méthodes pures (Methodenreinheit) finitaires, Gödel n’hésite pas à recourir à des méthodes et outils « impurs », plus puissants, et à une ontologie plus large. Cette ontologie s’appuie sur la croyance en une capacité d’intuition intellectuelle, qui joue pour la perception des objets abstraits ou transfinis un rôle analogue au rôle que joue l’intuition sensible pour saisir les objets concrets.
23 Gödel, op. cit., p. 268.
Mais, malgré leur distance à l’expérience sensible, nous avons aussi quelque chose comme une perception des objets de la théorie des ensembles que l’on reconnaît à ce que les axiomes s’imposent à nous comme étant vrais. Je ne vois aucune raison à ce que nous ayons moins confiance en cette sorte de perception, c’est-à-dire en l’intuition mathématique, que dans la perception sensible, qui nous induit à construire des théories physiques et à s’attendre à ce que les futures perceptions sensibles s’accordent à celles-là ; et de plus, à croire qu’une question qui n’est pas décidable maintenant a un sens et pourra être décidée dans le futur23.
Ces objets mathématiques ne se réduisent pas à la perception, ou à l’intuition, que l’on en a. Le réalisme de Gödel apparaît clairement dans ce qui suit :
24 Gödel, op. cit., p. 268.
Il semble plutôt que, comme dans le cas de l’expérience physique, nous formions aussi nos idées de ces objets sur la base de quelque chose d’autre qui est immédiatement donné. Seulement cet autre chose ici n’est pas, ou pas d’abord, les sensations […] Nous ne pouvons pas créer des éléments qualitativement nouveaux, mais seulement reproduire et combiner ceux qui sont donnés. Évidemment, le donné sous-jacent aux mathématiques est étroitement lié aux éléments abstraits contenus dans nos idées empiriques. Il ne s’ensuit cependant aucunement que les données (data) de ce second ordre […] sont quelque chose de purement subjectif, ainsi que l’affirmait Kant. Elles représenteraient plutôt aussi un aspect de la réalité objective, mais, en tant qu’opposée aux sensations, leur présence en nous peut être due à une autre sorte de relation entre nous et la réalité24. 25 Gödel, op. cit., p. 258.
26 Gödel, op. cit., p. 261.
Ce réalisme s’accorde à l’« optimisme rationaliste » de Gödel. En effet, Gödel semble exclure l’idée d’objets mathématiques transcendant nos capacités de connaissance. Si, selon lui, ces objets « existent indépendamment de nos constructions et de l’intuition individuelle que nous avons d’eux », leur connaissance « requiert seulement que les concepts mathématiques soient assez clairs pour nous rendre capables de reconnaître leur justesse (soundness) et la vérité des axiomes qui les concernent »25. On peut donc dire que pour Gödel la compréhension des concepts et la reconnaissance de la vérité des axiomes excèdent les capacités définitionnelles et démonstratives, mais sans tomber dans le domaine de l’inconnaissable. Autrement dit, les capacités de justification excèdent les capacités démonstratives de l’homme. Un des moyens de justification évoqué par Gödel est le « succès » de la théorie, en entendant par succès « la fécondité des conséquences, en particulier des conséquences « vérifiables »26. 27 Frege, Nachgelassene Schriften, p. 147, tr. fr., p. 160. Cf. aussi la préface aux Grundgesetze où (...)
13On peut alors reformuler le théorème d’incomplétude de Gödel en disant qu’il établit que nos capacités de justification excèdent la simple prouvabilité dans un système formel. Dans tout système formel suffisamment puissant, il existe des propositions indécidables, c’est-à-dire non prouvables (et non réfutables), dont nous pouvons, cependant, justifier métamathématiquement la vérité (ou la fausseté), c’est-à-dire que nous pouvons tenir pour vraies (ou fausses). C’est le cas de la formule indécidable construite par Gödel, qui affirme sa non prouvabilité. Remarquons au passage que la distinction entre le reconnaître pour vrai ou l’être-vrai (au sens de logiquement vrai, c’est-à-dire de prouvable) et le tenir pour vrai (das Fürwahrhalten) avait été auparavant établie par Frege, mais ce dernier, au contraire de Gödel, considérait le tenir pour vrai comme un simple acte psychologique, associé à « la versatilité des pensées des individus »27, alors qu’il considérait le reconnaître pour vrai ou l’être-vrai comme étant de l’ordre de la logique, c’est-à-dire des « lois de l’êre-vrai ». On trouve donc chez Gödel une revalorisation des moyens et capacités de justification non logiques, qui n’est pas un retour au kantisme, mais qui s’appuie plutôt sur l’intuition intellectuelle et l’expérience mathématique. Les différents modes de justification reconnus par Gödel nous paraissent respectivement liés à un aspect de la vérité mathématique. Nous en avons distingué quatre. D’abord une justification métamathématique qui relève d’un statut sémantique de la vérité – c’est le cas, par exemple, de la justification de la proposition indécidable mais vraie utilisée par Gödel dans la preuve de son théorème d’incomplétude : la proposition qui affirme sa non prouvabilité est vraie puisqu’elle n’est pas prouvable. Ensuite, une justification par une démonstration hors du système concerné – c’est le cas des démonstrations de consistance qui nécessitent l’utilisation de moyens plus puissants que ceux donnés par le système ; la vérité de la proposition démontrée (ici la consistance du système) est d’ordre syntaxique. Troisièmement, une justification par les conséquences de la proposition – c’est le cas de l’hypothèse du continu que j’ai évoqué (cette hypothèse doit, selon Gödel, être considérée comme fausse, contrairement à la conjecture formulée par Cantor, car elle a des conséquences non plausibles en topologie) ; la vérité qui en découle est d’ordre pragmatique et n’est que probable. Enfin, la justification par pure intuition qui, selon Gödel, donne une compréhension des concepts, dont la vérité, finalement, relève de la simple croyance. Conclusion
28 F. Rivenc, Recherches sur l’universalisme logique, 1993, p. 257.
14Je conclurai rapidement sur cette reformulation des théorèmes d’incomplétude et sur la notion de vérité qu’elle implique. Ainsi entendus, comme établissant le dépassement de nos capacités de justification par rapport à nos capacités de démonstration, ces théorèmes permettent de dire que le vrai excède le démontrable, mais sans entrer dans le domaine de l’inconnaissable : le vrai est ce qui peut être justifié, non nécessairement de façon démonstrative. Cette conception pragmatiste de la vérité évite de tomber dans une conception conventionnaliste à la Carnap, dont l’expression même « vrai par convention », comme le remarque François Rivenc, a quelque chose d’un oxymore28. Le point sur lequel il semble plus difficile de suivre Gödel est que, selon lui, semble-t-il, ces capacités de justification pourraient atteindre le système mathématique complet, l’ensemble de toutes les étapes du développement des mathématiques. C’est ce que suggère la seconde partie de la phrase de Gödel que nous avions citée au début de notre exposé et dont nous avions réservé alors le commentaire.
Il n’existe aucun formalisme qui embrasserait toutes ces étapes [du développement mathématique] mais cela ne doit pas exclure que toutes ces étapes (ou au moins toutes celles qui donnent quelque chose de nouveau pour le domaine de propositions qui nous occupe) pourraient être décrites et rassemblées d’une manière non constructive.
29 Cf. Frege, Grundgesetze, 1893, trad., p. 330.
Cette position absolutiste nous paraît être une tentative de « sortir de sa propre peau » (« aus der eigenen Haut zu fahren »), comme le disait Frege, dans sa préface aux Grundgesetze, à propos de qui tenterait de nier les principes de la logique, « de reconnaître une loi et d’en douter tout d’une haleine »29. On peut voir là le paradoxe de Gödel qui, avec ses théorèmes de limitation, a su mettre fin au rêve hilbertien d’une maîtrise de la connaissance mathématique, pour mieux revenir à ce rêve d’absolu avec sa propre théorie des concepts.
30 Hilbert, lettre à Frege du 29 déc. 1899, Frege/Hilbert, Correspondance, trad. p. 227-228.
15Une alternative à ce rêve d’absolu pourrait être donnée dans une acception des objets mathématiques, non plus comme entités, mais comme processus. Une telle acception apparaît chez Hilbert, par exemple, en ce qu’il considère les définitions des objets mathématiques, non plus comme des déterminations closes, mais comme des définitions en évolution, au gré du développement du système axiomatique, c’est-à-dire véritablement comme des processus. Cette conception des objets ou des concepts comme processus s’exprime nettement dans la correspondance de Hilbert avec Frege. « Il est impossible pour moi, écrit Hilbert, de donner en trois lignes une définition complète. Chaque axiome apporte quelque chose à la définition et donc chaque nouvel axiome modifie le concept »30. Contrairement à Gödel, il n’y a donc pas pour Hilbert de concept absolu en mathématique, et c’est en renonçant à cette conception d’une détermination close des concepts et des objets, me semble-t-il, que l’on renoncera à la tentative (ou à la tentation), vouée à l’échec, d’un système absolu. Haut de page
Beth Evert Willem, « Carnap’s views on the advantages of constructed systems over language in the philosophy of science », dans The philosophy of Rudolph Carnap, Paul A. Schlipp (éd.), La Salle, Open Court, The Library of Living Philosophers, 1963.
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1 C’est le titre du chapitre rédigé par J. Y. Girard dans l’ouvrage collectif : Le théorème de Gödel, p. 155.
2 L’expression est de Gödel dans son article « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage » (à propos de cet article, cf. plus loin, note 5).
3 Carnap, « Die Mathematik erfordert eine unendliche Reihe immer reicherer Sprachen », dans Carnap, Logische Syntax der Sprache, 1934, § 60, p. 165, etdans The Logical Syntax of Langage,1937, § 60c, p. 219.
4 Gödel, « Remarks before the Princeton bicentennial conference on problems in mathematics », 1946, dans Collected Works, vol. 2, p. 151. 5 Gödel, « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage », § 1. Cet article est paru dans le 3e volume des Collected Works de Gödel (p. 334-356 pour la version III et p. 356-362 pour la version V). Il a été traduit en français par Dominique Fagnot et Gerhard Heinzmann dans Dialogue 34 (1995), 3-34. Gödel travailla assidûment à ce texte pendant plusieurs années (1953-1956), en écrivit six versions successives – la dernière sous le titre « Is Mathematics Syntax of Langage ? » –, mais renonça finalement à le publier. Il estimait avoir démontré que la conception syntaxique des mathématiques était inadéquate, mais n’être pas parvenu à donner une réponse satisfaisante à la question : « qu’est-ce que les mathématiques ? ».
6 On peut plus précisément citer Carnap dans l’Aufbau : « La logique (y compris les mathématiques) ne consiste qu’en conventions réglant l’usage de signes et en tautologies sur la base de ces conventions. Les signes de la logique (et des mathématiques) ne désignent donc aucun objet » (Carnap, Der logische Aufbau der Welt, 1928, § 107, p. 150). 7 Gödel, « Les mathématiques sont-elles une syntaxe du langage », p. 15. Gödel précise ce qu’il entend par « également puissants » : il en donne deux interprétations. Pour ne pas entrer dans des subtilités qui alourdiraient mon propos, je ne citerai que la première qui est directement l’expression du théorème d’incomplétude : « les axiomes utilisés dans la preuve de consistance doivent avoir le même pouvoir démonstratif (et même, en fait, un pouvoir légèrement plus grand) à l’intérieur de la combinatoire finitiste (ou de la théorie finitiste des nombres) que ceux qui sont prouvés consistants ».
9 Gödel, op. cit., p. 17. 10 Gödel, op. cit., p. 17. Cette démonstration ne me paraît pas vraiment convaincante : si les axiomes sont seulement réfutables (et non réfutés), ne faudrait-il pas dire qu’ils peuvent avoir un contenu ?
11 Beth, « Carnap’s views on the advantages of constructed systems over language in the philosophy of science », dans The philosophy of Rudolph Carnap, 1962, p. 476, cité par Rivenc dans Recherches sur l’universalisme logique,p. 166-8. 12 Gödel, op. cit., p. 7-8.
14 Lassègue, Turing, p. 70.
18 Gödel, « Über eine noch benützte Erweiterung des finiten Standpunktes », 1958, Collected Works, vol. 2, p. 240.
20 « one has good reason », Gödel, « What is Cantor’s continuum problem ? », Collected Works, vol. 2, p. 264.
22 Gödel, op. cit., p. 260. 23 Gödel, op. cit., p. 268.
25 Gödel, op. cit., p. 258.
27 Frege, Nachgelassene Schriften, p. 147, tr. fr., p. 160. Cf. aussi la préface aux Grundgesetze où Frege fait la différence entre ce qui est vrai (das Wahrsein) et ce qui est tenu pour vrai (das Fürwahrgehaltenwerden), notions que « les logiciens psychologistes (die psychologischen Logiker), dit-il, confondent ».
30 Hilbert, lettre à Frege du 29 déc. 1899, Frege/Hilbert, Correspondance, trad. p. 227-228.Haut de page
Jacqueline Boniface, « Gödel : des théorèmes d’incomplétude à la théorie des concepts », Noesis, 14 | 2008, 131-147.
Jacqueline Boniface, « Gödel : des théorèmes d’incomplétude à la théorie des concepts », Noesis [En ligne], 14 | 2008, mis en ligne le 28 juin 2010, consulté le 26 juin 2017. URL : http://noesis.revues.org/1661 Haut de page
Maître de conférences, Centre de Recherche d'Histoire des Idées CRHI/JE 2443, Université de Nice-Sophia Antipolis
Les mathématiques : une science sans histoire ? [Résumé]
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 § 37
 § 60
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 § 1
 § 107