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Dimensionado óptimo
ramificadas considerando
UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEVALENCIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA HIDRÁULICAYMEDIOAMBIENTE
Dimensionado óptimo de redes de
distribución de agua ramificadas
considerando los elementos
Valencia, Octubre de 1993
JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . .
PROBLEMÁTICA GENERAL DEL
OBJETIVOS DE LA TESIS . . . . .
ESQUEMA DE LA TESIS . . . . . .
CAPITULO 2.- FACTORES A CONSIDERAR EN EL DISEÑO LAS DE REDES DE
2.2. FACTORES QUE CONDICIONAN EL DISEÑO . . . . . . . . . . . . .
2.3. EL DISEÑO DE LAS REDES DE RIEGO. DETERMINACIÓN DE
CAUDALES DE CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo de los caudales circulantes. Método probabilístico
de Clèment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 2.2
. . . . 2.6
. . . . 2.10
. . . . 2.16
. . . . 2.17
CAPITULO 3.- FUNDAMENTOS HIDRÁULICOS
3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clasificación de los modelos de una red de distribución . . . . . . .
Hipótesis que se consideran en un modelo de análisis en
régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definición de las variables y conceptos utilizados . . . . . . . . . . .
3.2. SISTEMA DE ECUACIONES GENERALES QUE DETERMINAN EL
ESTADO ESTACIONARIO DE UNA RED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. ECUACIONES DE COMPORTAMIENTO DE LOS DIFERENTES
ELEMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.2 Fórmulas de pérdida de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.3 Factor de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.4 Expresiones explícitas del factor de fricción . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.5 Fórmulas semiempíricas de las pérdida de carga . . . . . . . . . .
3.3.1.6 Tuberías equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementos disipativos singulares (accesorios y válvulas) . . . . . . .
Elementos motrices: bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Válvulas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4.1. Válvulas de retención (VR) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4.2. Válvula reductora de presión (VRP) . . . . . . . . . . . .
3.3.4.3. Válvula sostenedora de presión (VSP) . . . . . . . . . . .
3.3.4.4. Válvula limitadora de caudal (VLQ) . . . . . . . . . . . .
3.4. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Redes ramificadas con un único nudo de altura
conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Redes malladas o con varios nudos de altura conocida . .
3.4.2.1. Formulación por líneas (ecuaciones en q) . . . . . . . .
3.4.2.2. Formulación por nudos (ecuaciones en H) . . . . . . . .
3.4.2.3. Formulación por mallas (ecuaciones en ∆q) . . . . . . .
Métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.2. Métodos de Cross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.3. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.4. Método de la Teoría Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CAPITULO 4.- DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS
4.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN . . . . . . . .
4.3. CLASIFICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN . . . . . . . .
Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conjuntos convexos y no convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas de optimización convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. IMPLICACIONES ECONÓMICAS RELACIONADAS CON EL DISEÑO
DE REDES HIDRÁULICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clasificación de los costes implicados en el diseño de una red . .
Balance entre los costes implicados en el diseño de una
red. Base temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estimación de costes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.1. Tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.2. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.3. Depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE DISEÑO
ECONÓMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Justificación del dimensionado económico de redes desde
un punto de vista hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formulación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera variable . . . . . .5. . . . . . . .63 4. . . . . . . . Aplicación a una serie de tuberías alimentada con altura de cabecera conocida . . . Dimensionado de una red ramificada con diámetros continuos y altura de cabecera conocida . . . . . .5. . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . .7. . .4. . .8. .111 4. 4. . . . . . . . 4. . . . Formulación en diámetros discretos. . .7. . . . . . . 4. . .8. . . . . . . . Método discontinuo de Labye . . . . . .7. . . . . . . . . Aplicación a una serie de tuberías alimentada mediante una estación de bombeo (altura de cabecera variable) . 4. . . . . . 4. . . .57 4. . . . . . . . . . . . . . . .8. . . . . . . Ejemplo. . . .98 4. . . . . . .7. . . . .76 4. . . . . . . . . .8. .27 4. . . . Ejemplo de dimensionado más económico de una tubería de impulsión . . . . . . . . . . . . .3. . . . .2. . 4. . . . .2. . . .8. . . . . . .107 4. . . . . . . . . Curva característica de una serie de tuberías . . . .3. .2. . . . . . . . .6. Formulación en diámetros continuos. 4. . . . . . . . . . .120 4. . . .3.94 4. 4. . . . . . .2. . Formulación en diámetros continuos. . .3. .4. . . . . . DIMENSIONADO ECONÓMICO DE SISTEMAS DE TUBERÍAS EN SERIE . . .1. . . . . .2. . .6. . Formulación en diámetros discretos. .2. . . . . . .7. .27 4. . .98 4. . . . . . . . . . .6. . Dimensionado de una serie de tuberías . . . . . .28 4. . . .7. Aplicación del método de la serie económica al dimensionado de redes ramificadas . . . . . . . . . 4. . .55 4. . . . . .2. . 4. . . . . . . . . . . . . Red ramificada alimentada mediante una estación de bombeo (altura de cabecera variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . 4. . . . . . . . . . .1. . . . 4. 4.40 4. . . . . . . . . . . . . . . . 4. 4. . .6. . . . .2. . .2. . . . . . .3. . . . . . Red ramificada alimentada con altura de cabecera conocida . . . . .2. . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS . . . . .7. . . . .3.3. . . . .7. . . . . .1.47 4. . . . DIÁMETRO MAS ECONÓMICO DE UNA TUBERÍA DE IMPULSIÓN O GRAVEDAD . . .3. . . . . . . . . . .98 4. . . 4. .75 4. Consideraciones sobre la aplicación del método . . . . . .2. . . . . .97 4. . . Ejemplo. . . . . . . . . . . . Introducción . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . .4. . 4. . . . .8. .7. Método de la serie económica . . . .80 4. . . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . Consideraciones prácticas sobre la aplicación del método de la serie económica . Ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . .6. . . Introducción .7. . . . . Introducción . . . .2. .1. . . . . . Otras formulaciones en diámetros discretos . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . .55 4. . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . . . . . .7. . . . . . . . 4. Observaciones sobre el método . . . . . . . .1. . . . . . .7. . . . Concepto de diámetro económico . . . . . . . 4. . . . . . . . . Curva característica de un tramo . . . . .81 4. . Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera conocida. . . . . . .8. . . . . . . . . . .67 4. . .8. . . . . . . . . . . . . . . . .57 4. . . . 4. . . . . .82 4. . . . .97 4. . . . . . . . . . . . . . . Dimensionado de una red ramificada con diámetros continuos y altura de cabecera variable . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . .126 .
Secuencia de nudos y grado de conectividad . . . . . 5. . . . . . . . . .5. Formulación general del problema lineal . . . . . . 5. . . . .134 4. . . .4. . .3. . Características generales de la aplicación . . . .1. . . . .8 5. . 4. . . . . .2. . . . . . . . . . . . .8. . . . . . . . . . 5. Configuración de la red .15 5. . . . . 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. .3. . . . Criterios económicos .140 4. .131 . . . . . . 5. . . . . . . Datos generales . . . . . . . . .2. . . .4. . . . . . . . 5.5. . . Modelo de Programación Lineal para el dimensionado óptimo de redes ramificadas . . . . . . . . 4. . . . .2. . . . INTRODUCCIÓN DE LOS DATOS DE LA INSTALACIÓN . . . . . . . . . . . . . .152 . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . 4. .32 5. . . . . . . . . 5. . . . . . . . . .3. . Características de las redes objeto del dimensionado económico . . . . . . . . . . . Selección de los diámetros de las tuberías instaladas . . . . . . .8.30 5.3. . . . . . . .4. . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . 4.3. . . . . . . . . .156 CAPITULO 5. . . .10 BIBLIOGRAFÍA . 4.1.4. .3.4. . IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO . .3. . Introducción . . 4. . . . . . .2. . . 4. . .5.3.35 5. . . .154 .9. . . 4. . .40 . . Modelo de Programación Lineal para el dimensionado de una red ramificada alimentada mediante una estación de bombeo (altura de cabecera incógnita) . . . . . . . . . . . . .5. . . . . .32 5. . . . . Procedimiento de resolución . . . . . . . . . . . .1. .5. Criterios de diseño . ESTRUCTURA GENERAL DEL PROGRAMA DIOPRAM . 5. Dimensionado de la red del apartado 4. . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . .2. . . .1. . . .1. . 4. . . . . . .4. .24 5. . . . .1. . . . . Inconvenientes de la formulación lineal . . . . . 5. . . . . . 4. . Cálculo de la presión de cabecera mínima . . . 5. . . 5. . . . . Cambio de numeración externa a numeración interna . .5. Reducción del tamaño del modelo . . . . 4.24 5. . . .3. . . .8. . . . . . . . 5. 5. . . 5. . . Otros modelos para el dimensionado óptimo de redes ramificadas . .5. . . . . . . . . .26 5. .3. . . . . .6. . . . . .8. . TRATAMIENTO PREVIO DE LOS DATOS . . . .39 5. . . .2. . . . . . . . .3. . . . . . . . Ventajas de la formulación mediante Programación Lineal 5. . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . .IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO LINEAL PARA EL DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS 5. . . CONCLUSIONES . . . . . . . . .130 . . 5. . . . Modelo de Programación Lineal para el dimensionado de una red ramificada alimentada con altura de cabecera conocida . .21 5. . Características adicionales del programa . . . . . . . . . . . . . . . . .1. .8.8. . . . . .8. . . . . . . . . Características de los modelos de PL .13 5. . . . . . . . . . . . . . . . Asignación de caudales de línea .3. . . . .8. . . . . . . . . . . .5 mediante Programación Lineal . .36 4. . . . .130 . . . . . . . . . . . 5. . . . . . . . . INTRODUCCIÓN . . . . . . . . 5. . . . . . 5. . .4. . . . . . . 5. . . .36 5. . . 5.136 4. . . . . . . . . Análisis de las posibles soluciones . . . . . . .5. .1. .4. . . . . . . .12 5. . . .10 5. . . . . 5. .2. . .16 . . . . .8. . . . . 4.4.2. . . . . . 4. . .8. .4. . . 4.. Aspectos particulares del problema . . . 5. . . . .3. . . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . .18 5. . . . . .149 . . . . . . . . . . .1. 5. . . . . . .5. . . . .1 5. . . . . . . . . . . 4. . .2. . .17 5. . 4. . . . . . .147 . . . . .1. .5. . Ejemplo. . . . . . . . . . . .2 5. . . . . . . . . . 4. . .1. .23 5. Asignación de presiones mínimas a los nudos . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . .71 . .63 . . . . . . . . . ANÁLISIS CON VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. . . . . FUNCIONAMIENTO. . .106 5. . . 5. . . .2 6. . . . . . . . . 5. .97 . . .3. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . 5. 5. . . . . . .8 6.1. . . . Ensamblado y resolución del problema de PL . . . . .8.4. . . . . Introducción . . .9. . 5. . . . .3. . . . . . .6. . . . Dimensionado de una red ramificada mediante el criterio de la serie económica . . . .6. . . . . . . . . . . . . .2.97 . . . . . . . . .7.7. . . . . . . . . . . INFLUENCIA DE LA PRESIÓN DE TRABAJO DE LAS TUBERÍAS EN EL COSTE DE LA RED . . .8. 5. . . . .3. . Introducción . . . . .104 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 6. . . 5. . . . . . . Efecto de las VRPs en el estado de la red . .6. . INTRODUCCIÓN . . . . .2. . . . . . . . . UTILIDADES ADICIONALES DEL PROGRAMA DIOPRAM . . 6. . . . . . Estructura del módulo de análisis con VRPs . . . . . . 5.63 . . . .7. Introducción . . Asignación de parámetros de coste energético . . 6. . . . . . . . Introducción .49 . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . 5. . . . . . . . 5. .INFLUENCIA DE LA PRESIÓN DE TRABAJO DE LAS TUBERÍAS EN EL DIMENSIONADO ÓPTIMO. . . . . BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . .99 5. . . . . . . ETAPA 5. . . . Selección de diámetros candidatos ..6.9.136 5. . . .20 6. Tratamiento implícito del problema: Dimensionado de una red . .48 5. 5. . . . . UTILIZACIÓN DE LAS VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN 6. . . . . . .7. Característica de funcionamiento de una VRP .11 5. . . 5. . . . .5. 5. . . Selección de una VRP . .3. . . . . . . . . . . . Configuración de la solución óptima obtenida . DE PREDIMENSIONADO . . . .5. . Utilización e instalación de las VRPs . . . . . .2. . 5. . . EJEMPLO DE APLICACIÓN . 5. . 5. . . . .56 . . Dimensionado económico de una serie de tuberías .1 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Salida de datos y resultados . . . . . . . . 6. .1. . . . . . . . . . . . . .8. . . .7. . . . . .66 . .2. . . . .95 . 5. 5. . . .4. . . . 6. . 5. . . . . . . . . . . . . .1.98 . . . . . . . . . . . 5. . . . 5.2.12 Cálculo de las presiones estáticas . . . .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 . . 5. . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . Modificación de las soluciones obtenidas . . . . . .112 5. . . . . . .104 5. . . . . . . . . . . . .10 5. . . 5. . INSTALACIÓN Y SELECCIÓN DE VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN . 5.1. . . . . . OPTIMIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL . . . . . .8.48 5. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . .15 6. . . . . . . . . . . . . Características generales y datos necesarios . . .15 6. . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . 5. .54 . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . .2. 5. .4. . . .4. . . . . . . . .112 5.8. . . . . . . . . . .9. .3. . . Configuración de la impresora . . . . . Comparación entre la VRP y la cámara de rotura de carga .9. . . . . . . . . . . . . Estructura del subprograma de Predimensionado . . . . . . 5. . . . . . . . .1.2. . .7. . . . . . . . . . .3. . . .6.42 5. 6. . . . . . . . . .15 6. . . . . . . . . .5. . . .3. . . . . . . . . . . .3. .9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . Base de datos de materiales de tubería . . 5.1. . . . . . . . . . 5. . .2 6. . . . . . . . .110 5. . . . . .2. .3. . . .141 CAPITULO 6. . . . . . . . . Tratamiento explícito del problema: Caso de una conducción en serie de gran longitud .3. Planteamiento general . . . . . . . .4. . . .103 5. . . . . . 6. . .42 5. .2. . . . 6. . . . . . . .3. . . . . . . 5. .25 6. . . 5. . .
. . . . . . . . . . . . . .11 7. . . . . . . . . . . . . . . Solución mediante Programación Dinámica . . . . . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . . . .47 7. . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . .69 CONSIDERACIONES ADICIONALES EN LA OPTIMIZACIÓN DE VRPs EN REDES RAMIFICADAS . . . .4. Introducción . . . . .4. . . .6. . . . . Solución mediante Programación Entera . Posibles VRPs a considerar en una ramificación . . . . . . .5. . . . . . INTRODUCCIÓN . . . . . . . . .41 6. . . . 7. . . . . . . . .4. Aplicación del método de las líneas (ecuaciones en q) . . . . . DIMENSIONADO ÓPTIMO CONJUNTO DE UNA RED RAMIFICADA CON VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN. . . . 7. . . . . . Crítica del método . . . . . . . . . . . .5. . . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. . . 6. . . . . . . . . . .61 7. . .2. . . .2. . . . . . . 7. . . . . Ejemplo de aplicación . 6. .24 7.3. . 7. . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . Aplicación del método de las mallas (ecuaciones en ∆q) . . . . . . . . . . . . . .37 7. . . . . . . . . . . . . .2. . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 7. . . . . . .4.4.4. . . . . .24 7. . . . . . . . Aplicación del método de los nudos (ecuaciones en H) . . . . . . .2. . . .33 6. 6. . .61 7. . . . COMPORTAMIENTO HIDRÁULICO DE LA VÁLVULA REDUCTORA DE PRESIÓN COMO ELEMENTO RESISTENTE . . 6. . 7. . . . . . . . . .7. ESTABLECIMIENTO DE LA PRESIÓN ÓPTIMA DE TARADO . . Análisis de redes ramificadas incluyendo VRPs . 6. . .2. . . . . .39 6. . . . . . .2. . . 6. .1 7. . . . . . . . . . 7.5. . .2 7. . Método de resolución . Introducción .1. .40 6. .37 6. . BIBLIOGRAFÍA . . 7. . .1. . . . 7. . .9 7. . . .4.2. .4. .54 6. . . .5. . . . EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARA LA OPTIMIZACIÓN DE VRPs EN REDES RAMIFICADAS . 6. . . . . . . . . .4. . . . 7.32 7. . . . .2. 7. . . .4. . . . . . Introducción . . . . . . . Solución mediante Algoritmos Genéticos . . . . 7. . . . .2. . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . .2. . . .2. . . . . . . .2.34 6. . . . . . .1. .5. . OTROS FACTORES A CONSIDERAR EN LA SELECCIÓN DE UNA VÁLVULA REDUCTORA DE PRESIÓN . . . 7. . .31 6. . . . . 7. 6.3. . 7. . .2 7. . . CRITERIOS PREVIOS PARA LA IMPLANTACIÓN DE VRPs. . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 7. . . 7. . . . . . . . Optimización de la ubicación de VRPs en una red ramificada . . Efecto de las ramificaciones en la resolución mediante Programación Dinámica . . . . . . .18 7.62 7. . . . . . . . . . Formulación del problema . . . . . . . . . MÉTODO LINEAL . Conclusiones . .4. Análisis de redes malladas que incorporan VRPs . . . . . . . . . . . . .4 7. . . . . . . . . . . .4. . . . . . . . . . .4. . . . . .64 Ejemplo. . . . . . . . . . .8. .55 CAPITULO 7. . .75 . . CONCLUSIONES .29 6. .4. .2. . . . . . . . . . . . 7. . . 6. . . . . . . . . 7. . . . . . . . 7. . . . . . . .3. . . . . .2. . . . . . . .6. . . . . . .5. . . . . 6. . . . . . . .OPTIMIZACIÓN DE REDES RAMIFICADAS CONTEMPLANDO LA UBICACIÓN Y TARADO DE VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN 7. . . . . . . . . . .4. .75 7. . . . . .1.6 7. . . UBICACIÓN ÓPTIMA DE UN CONJUNTO DE VRPs EN UN SISTEMA DE TUBERÍAS EN SERIE . . . MODELIZACIÓN DEL COMPORTAMIENTO GENERAL DE UNA VRP .49 6. . . .3. . . . .5. . . Planteamiento general . . . . .
.2 8. . . .8. . . . . . . . . . . . .83 7. A. . . . . . . . . .BIBLIOGRAFÍA GENERAL . . . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . .1 . .89 7. . . . 7. DESARROLLOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . .94 CAPITULO 8. . . PRINCIPALES LOGROS ALCANZADOS . . 7. 8. . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . . . . . . . . .7. . . . .77 . .81 7. . .6. . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. .. . . . . . .1 8. . .6. . . . . . . 7. . . .6. .. . Ahorro residual por zonas . . . Restricción del número de posibles VRPs. . .ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . Influencia del comportamiento de la VRP como elemento resistente . . . . . . 8. . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . .2. . . . . . . .7. . . . . . . . . . . . . . . . . B. .76 .CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS 8. . . . .10 ANEJO A. . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . .6. .4. . . . . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Presión óptima de tarado de una VRP a partir de varios estados de carga . CONCLUSIONES . . . BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . .3. . .1 ANEJO B. . . 7. . . ..79 . . . . 7. . . CONCLUSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. . . . . . . . . . . . . . Selección de determinadas VRPs fuera del proceso de optimización . . 7. . . Inclusión de VRPs de servicio .2. . . .
. sino que además. Aunque los capítulos siguientes de la Tesis se centrarán exclusivamente en el diseño de las redes ramificadas considerando las válvulas reductoras de presión (VRP) como único elemento de regulación. el agua. hemos querido dar al presente capítulo un enfoque general por coherencia con los capítulos previos. implica que el fluido llena completamente la sección de las conducciones y no está en contacto con la atmósfera salvo en puntos muy concretos y determinados (cuando el fluido es vertido en los puntos de consumo o en la superficie libre de los depósitos). serán expuestos los fundamentos hidráulicos que rigen el comportamiento tanto de las redes ramificadas como malladas.Capítulo 3 FUNDAMENTOS HIDRÁULICOS 3. tanto desde una perspectiva hidráulica como matemática. contemplando determinados elementos de regulación. desde los puntos de producción y almacenamiento hasta los puntos de consumo. El cometido de la red de distribución de agua no consiste solamente en suministrar el fluido al usuario.INTRODUCCIÓN En el presente capítulo abordaremos las bases teóricas del comportamiento de las redes hidráulicas a presión y algunos de sus elementos de regulación (válvulas especiales). La situación ideal de toda red de distribución sería mantener los requisitos de cada uno de los consumidores cualesquiera que fuesen las condiciones de funcionamiento y operatividad. Con ello quedan al propio tiempo establecidas las bases para abordar los futuros desarrollos que se exponen en el Capítulo 8 de la Tesis. una red hidráulica de distribución a presión es un sistema encargado del transporte y distribución de un fluido. La característica del flujo a presión. Desde el punto de vista de la utilidad funcional. en nuestro caso. Así pues. ciertamente 3.1 . en los cuales se ha presentado una panorámica general de la problemática del diseño de redes. en contraposición al transporte en lámina libre. el suministro debe satisfacer una determinadas condiciones de servicio tanto cualitativas como cuantitativas.1.
la tubería es el elemento de la red que permite el transporte del agua. Atendiendo a su aspecto topológico. aun cuando la frontera que los separa no está. las tuberías son el componente principal: desde el punto de vista funcional. Fundamentos hidráulicos este objetivo resulta prácticamente imposible de conseguir. y en segundo lugar el de su representación simbólica. medida. La red de distribución está constituida por una gran variedad de elementos.. válvulas de regulación. completamente definida.Clasificación de los modelos de una red de distribución.1. y en consecuencia. puntos de entrada/salida de algún subsistema. en ocasiones. que conforman una visión simplificativa del sistema dependiendo del cometido para el que se pretenda utilizar. En la práctica se utilizan diferentes tipos de modelos de una red de distribución. control. pero sin duda ninguna. La compatibilización entre estas dos interpretaciones del mismo sistema se consigue mediante la aplicación de modelos. en primer lugar como un conjunto de componentes físicos para dar servicio a los usuarios... mostrando en forma abstracta su estructura topológica. 3.). ó también a aquellos elementos que comunican energía al fluido (elementos activos) como son las bombas elevadoras. al menos a un coste razonable. etc. dada la interdependencia que existe entre todas las variables implicadas. En una primera clasificación podemos distinguir entre modelos de análisis y modelos de diseño. una red de distribución está constituida por nudos y líneas: los nudos se identifican con puntos determinados de la red que tienen un interés concreto por sus características. ó simplemente puntos de conexión de tuberías u otros elementos. Acabamos de referir dos puntos de vista para una misma red de distribución. etc. Puede tratarse de puntos de consumo. y los componentes restantes actúan únicamente como auxiliares de esta función (regulación. cercana al mundo real. 3.2 .3.1. Las líneas representan a los elementos que disipan la energía del fluido (elementos pasivos) tales como tuberías.. basados en un conjunto de relaciones físicas y matemáticas que debidamente formuladas permitan representar adecuadamente el funcionamiento de una red de distribución.
podemos hablar de los siguientes tipos de modelo: A) Modelos de análisis: A. el modelo debe permitir proporcionar la configuración y dimensiones más adecuadas del sistema.). o bien. tomando como punto de partida el funcionamiento que se desea obtener del sistema. el flujo no se desarrolla en régimen permanente en casi ninguna ocasión. Fundamentos hidráulicos Desde un punto de vista muy elemental y sin afán de generalizar. No obstante. Este tipo de modelos reflejan la respuesta del sistema en un instante de tiempo ante unas condiciones dadas de funcionamiento. A. Siguiendo esta primera clasificación. pero cuando los cambios en el tiempo son de pequeña magnitud o se desarrollan muy lentamente.2) A nálisis en régimen no permanente Los caudales que discurren por una red de distribución no se mantienen constantes en el tiempo. en los siguientes apartados del capítulo desarrollaremos los fundamentos del análisis de una red en régimen permanente. mientras que un modelo de diseño posee la utilidad "opuesta". podemos decir que un modelo de análisis permite predecir el comportamiento de una red de distribución a partir de la configuración y características del propio sistema (dimensiones e interconexión de los elementos) y de la situación operativa en la que está funcionando (caudales de consumo. esto es. Constituyen los modelos de análisis más utilizados y debido a su importancia.3 .3. podemos diferenciar dos escalas de variabilidad temporal que dan lugar a los siguientes tipos de modelos: 3. presiones de alimentación. debido tanto a las lógicas fluctuaciones de la demanda como a las operaciones de control que se ejercen sobre el sistema. En este tipo de modelos se considera que el flujo posee un régimen permanente. se mantiene constante a lo largo del tiempo. la hipótesis resulta apropiada.1) A nálisis en régimen permanente. el modo de operación más apropiado del mismo. esto es. En la realidad. etc.
Bajo esta denominación se estudian los fenómenos que acontecen como consecuencia de un cambio brusco en la velocidad de circulación del fluido. A. B) Modelos de diseño y optimización: B. y cuyas consecuencias pueden ser muy negativas.1) Distribución física y conexionado de los componentes de la red (trazado de la red). mantenidos cada uno de ellos a lo largo de un intervalo de tiempo de estudio. afectando incluso a la integridad física de la instalación. El diseño del sistema presenta dos aspectos claramente diferenciados: B. al objeto de establecer los casos en los que pueda aparecer riesgo para el sistema y estudiar las medidas correctoras pertinentes.1) Diseño de la red de distribución.2. o como suele 3.1. etc. B. normalmente de duración diaria. La simulación temporal puede llevarse a cabo considerando la evolución dinámica del sistema. variaciones de nivel en los depósitos.2) Dimensionado de los componentes del sistema.3. Es habitual encontrar en la bibliografía sobre el tema que el tratamiento del dimensionado de los elementos de una red de distribución. arranque y parada de grupos de bombeo. Fundamentos hidráulicos A. posicionamiento de las válvulas de regulación.4 . que suelen corresponder a situaciones en las que cíclicamente se "repite" el estado del sistema.1. En este caso se analiza la evolución de las variables del sistema a lo largo de períodos de funcionamiento determinados.2. Su interés reside en que permiten evaluar las variaciones la presión en los nudos. Estos modelos permiten por tanto analizar situaciones transitorias críticas.1) Simulación de la operación del sistema.1) A nálisis en régimen transitorio. o bien aproximar su comportamiento como una sucesión de estados permanentes.
Existe otro tipo de modelos de diseño. en los cuales el objeto de diseño no es el propio sistema. B. que puede ser acometido planteando una sucesión de estados estacionarios. Cualquier modelo implica una cierta dosis de simplificación. Otro ejemplo claro sería el dimensionado de los depósitos de regulación de una red. mientras que los "outputs" son las estrategias de bombeo y manipulación de las válvulas de la red para conseguir las condiciones de funcionamiento propuestas. de minimizar el coste de operación en el sistema. con el objetivo principal. sino los modos de operación más eficientes del mismo para cumplir con unos determinados objetivos. 3. por ejemplo. se efectúa en base a condiciones de funcionamiento de régimen permanente. 3. Sin embargo.Hipótesis que se consideran en un modelo de análisis en régimen permanente. Fundamentos hidráulicos expresarse. El objetivo del Capítulo 4 es precisamente sentar las bases para el dimensionado de redes de distribución de topología ramificada. el dimensionado de la red.5 . mediante la consideración de los efectos dinámicos en los elementos de la red. aunque no único. no exento de interés. ocasionalmente hay que hacer uso de otro tipo de condiciones. consistente en despojar al mismo de todas aquellas consideraciones cuya relevancia es mínima para el cometido al que se destina. y por lo tanto.1. así como el estudio de los principales métodos tradicionalmente utilizados para acometer esta labor.2) Optimización de las estrategias de operación del sistema..2. o bien. En este tipo de modelos se supone que la red de distribución ya ha sido concebida. sus "inputs" son los datos de la propia red y las condiciones de funcionamiento esperados.3. para acometer el dimensionado de elementos de protección contra el golpe de ariete será necesario plantear condiciones de diseño que incluyan un funcionamiento del sistema en régimen transitorio. sobre la base de estados operacionales en régimen permanente.
monofásico. Un caso particular que no responde exactamente a esta definición. 3. las hipótesis simplificativas que se adoptan para la deducción de las ecuaciones básicas que modelizan el flujo a través de tuberías son: a) Hipótesis referentes al flujo: . .Fluido incompresible. Haciendo abstracción de la red como un sistema topológico compuesto de nudos y líneas. vamos a establecer diversas definiciones en torno a los elementos que componen una red de distribución. c) Hipótesis básicas referentes a las conducciones: .Distribución uniforme de velocidad y presión en cualquier sección transversal del conducto b) Hipótesis básicas referentes al fluido: .3. .Flujo unidimensional en el sentido del eje de la conducción.6 .Definición de las variables y conceptos utilizados.Conducción de características homogéneas y estacionarias: material. sección transversal y espesor constantes. Una tubería es una porción de la línea que posee unas características físicas constantes (fundamentalmente en lo que se refiere al diámetro interno). pero que habitualmente se considera como tal en la bibliografía es el de la línea con consumos distribuidos a lo largo de su longitud. Una línea es un segmento de la red que transporta un caudal constante y no tiene ramificaciones.3.. Un caso 3. Fundamentos hidráulicos En el caso de un modelo de análisis de una red de distribución en régimen permanente. de características homogéneas y newtoniano.1.Invariabilidad temporal de todas las variables relacionadas con el flujo.
Fundamentos hidráulicos particular lo constituyen la tubería equivalente serie y la tubería equivalente paralelo que estudiaremos más adelante. en una red mallada pura puede definirse un conjunto de 3. sin formar ramificaciones. Desde un punto de vista intuitivo. las redes de distribución se clasifican en ramificadas y malladas. Atendiendo a sus características topológicas. mientras que se denominan nudos de presión a aquellos en los cuales la altura piezométrica es un dato conocido (Martínez [13]). inversamente. Se denomina senda. Cuando un nudo ni recibe ni aporta caudal al exterior se denomina nudo de conexión. una malla será redundante o no básica cuando se superponga a dos o más mallas básicas. Una malla se llama independiente. las líneas tienen un significado más general. ya que representan no solamente tuberías o agrupaciones de las mismas.3. Las redes malladas. y que consisten en la representación de un conjunto de tuberías en serie o en paralelo mediante una única tubería cuyas características sean equivalentes a las del conjunto. una red ramificada se caracteriza por una forma arborescente. Un nudo corresponde al punto donde se reúnen dos o más líneas. Cuando un nudo recibe un aporte externo de caudal se denomina nudo fuente. Por el contrario. bien sea con aporte de energía (como en el caso de las bombas) o con disipación de la misma (por ejemplo. cuando un nudo aporta caudal hacia el exterior se denomina nudo de consumo. Se denomina malla a un trayecto cerrado que tiene su origen y final en el mismo nudo. cuyas líneas se subdividen formando ramificaciones. se suele hablar también de nudos de caudal como aquellos nudos en los cuales el caudal aportado o consumido es un dato conocido. sino también cualquier elemento que implique transferencia de caudal. Las propiedades topológicas de una red ramificada consisten básicamente en que no posee mallas y que dos nudos cualesquiera sólo pueden ser conectados mediante un único trayecto. como su nombre indica. básica o no redundante cuando no se superpone con ninguna otra malla.7 . se caracterizan por la existencia de mallas. o bien al extremo final de una línea. simbolizando una válvula). El grado de conectividad (G) es una propiedad del nudo dentro de una red y es igual al número de líneas conectadas directamente al nudo menos uno. Refiriéndonos al esquema topológico de la red. Según el tratamiento matemático que se le da a un nudo en el modelo. serie o trayecto a una sucesión de líneas conectadas todas ellas entre sí.
cualquier par de nudos de la red mallada puede ser unido por al menos dos trayectos diferentes.8 . que aparece entre sus nudos extremos. SISTEMA DE ECUACIONES GENERALES QUE DETERMINAN EL ESTADO ESTACIONARIO DE UNA RED.2. Cada una de las líneas que constituyen el esquema de una red posee unas leyes de comportamiento propias que relacionan el caudal que por ella circula con la diferencia de presiones. en metros de columna de 3. que combina subsistemas de topologías mallada pura y ramificada. Pasemos seguidamente a formular las ecuaciones generales que definen el estado estacionario de una red. 3. la energía específica de un fluido en un sistema de conducciones se cuantifica habitualmente como energía por unidad de peso. La configuración de red mallada pura no es muy habitual. siendo la morfología mas común la que se denomina red mixta. ésta diferencia constituirá la pérdida de carga a través del elemento y si se trata de un elemento motriz. en los cuales G = 0. o mejor dicho. de alturas piezométricas. Algunos autores añaden a la clasificación anterior un nuevo tipo de configuración denominada red en serie. la distribución de caudales a través de una red hidráulica obedece a unas leyes físicas fundamentales que permiten determinar los caudales circulantes para un estado de consumos y para unas condiciones definidas en los puntos de alimentación.3. la altura manométrica aportada al fluido entre la aspiración y la impulsión. aunque en realidad constituye un caso particular de la red ramificada en la cual no existen ramificaciones y todos los nudos cuentan con un grado de conectividad G = 1 excepto los nudos extremos de la serie. En el caso de tratarse de un elemento pasivo. Como es sabido. Independientemente del modo en que la red esté interconectada y de las características propias de cada elemento. Fundamentos hidráulicos mallas básicas que incluyan a todas y cada una de las líneas de la red y en consecuencia.
g= Aceleración gravitatoria = 9'81 m/s2. se desplaza en la conducción hacia posiciones con menor energía específica. es el término de "energía" de presión del fluido. dada por (3. la energía total específica de un fluido en una conducción se cuantifica como: z donde: z = p/γ = p γ v2 2g (3. pero permaneciendo la energía total constante. considerado éste como incompresible y admitiendo que no existen pérdidas por fricción ni aportes de energía. γ= Peso específico del fluido (en el caso del agua. correspondiente a la energía cinética específica del fluido en movimiento. El teorema de Bernoulli afirma que la energía total del fluido.2) . el teorema se generaliza fácilmente para toda la conducción en lugar de una línea de corriente. de modo que la presión atmosférica toma el valor cero.1) Cota geométrica del elemento fluido. Cuando no existeuna unpérdida aporte (si de el energía. Fundamentos hidráulicos donde h(o12 simplemente toma un valorenpositivo cuando representa fluido el se fluido desplaza fluido metros).9 2 p2 v2 γ 2g h1 2 (3. Representa el término de la energía potencial que posee el mismo por el hecho de estar elevado sobre una cota de referencia.3. Ello significa que la energía del fluido puede sufrir transformaciones de una forma a otra a lo largo de la conducción.1). Habitualmente se considera el valor de la presión manométrica. ya mencionada en el apartado anterior. se mantiene constante a lo largo de una línea de corriente. la ecuación de Bernoulli se escribe como: z1 2 p1 v1 γ 2g z2 3. Altura de presión. de que los valores de presión y velocidad son uniformes en cualquier sección transversal de la conducción. Cuando entre dos secciones 1 y 2 de la conducción existen pérdidas por fricción o un aporte de energía. Si se añade la hipótesis adicional. v2/2g = Altura cinética. Suponiendo la incompresibilidad del fluido. 9810 Newton/m3).
. y un valor negativo cuando resulta un aporte de energía. Los desniveles entre LAP y LAG en una sección dada determinan la altura de presión p/γ en dicha sección. pudiendo distinguirse dos tipos. a saber: pérdidas de carga continuas o por fricción (hf). por la pequeña entidad del término cinético. La línea de alturas totales (LAT) se obtiene sumando a la línea de alturas piezométricas el valor de la altura cinética v2/2g en cada sección. las pérdidas 3. es habitual trabajar con la altura piezométrica como medida de la energía específica del fluido.10 . En las redes de distribución suelen presentarse velocidades máximas del orden de 2 m/s. medida respecto al plano horizontal de referencia. como máximo. La línea de alturas piezométricas (LAP) es la representación de la altura piezométrica (suma de la energía potencial y la altura de presión) en cada sección del flujo.2). y de otro lado. En relación a la energía del fluido se suele operar con los siguientes conceptos: Altura geométrica: z Altura piezométrica : H = z + p/γ Altura total: Ht = z + p/γ + v2/2g que dan lugar a las siguientes definiciones: Se define la línea de alturas geométricas (LAG) como la representación de la cota topográfica del eje de cada sección de la conducción referida a un plano horizontal adoptado como referencia. El término h12 de la ecuación (3. y representa por tanto la energía total específica en cada sección del flujo. cuando consiste en una pérdida de energía. que representan la disipación energética que se produce por la circulación del fluido en la conducción. Fundamentos hidráulicos desde el punto 1 al 2).3. de manera que el cambio de altura cinética desde el valor máximo hasta una velocidad cero sería. suele referirse como pérdida de carga. No obstante. del orden de 0'204 m. en aquellas situaciones en las que el término cinético experimenta cambios notables será necesario considerarlo en los balances de energía.
Tales leyes son conocidas también como leyes de Kirchoff.. así como de las alturas piezométricas en los nudos del sistema. considerando una situación invariable con el tiempo. los consumos y aportes de la red y al menos. El calificativo de "pérdidas menores" nada tiene que ver con la magnitud de este tipo de pérdidas. y que seguidamente formulamos. De todas estas variables. como estrechamientos. 3. Las variables del modelo son las siguientes: - Los caudales q internos que circulan por todas las líneas. que se desarrollan en discontinuidades localizadas de la conducción. Para determinar las incógnitas del sistema en un modelo de análisis en régimen permanente de una red de distribución se hace uso de dos leyes generales.. En primer lugar vamos a definir la nomenclatura y el criterio de signos utilizado.11 . o de una forma más general. derivaciones. unas serán datos del problema y otras serán calculadas de acuerdo con las leyes bajo las cuales se comporta el sistema. haciendo referencia a la siguiente figura. En general el problema de análisis en régimen permanente de una red de distribución puede resumirse en la determinación de los caudales que circulan por las líneas de la misma. Los caudales Q externos aplicados en los nudos. en la que se representa la línea que une los nudos i y j.3. etc. que se cumplen independientemente de la configuración y los elementos de que consta la red y que constituyen una particularización de las ecuaciones generales de conservación de la masa y la energía aplicadas al flujo de un fluido incompresible a través de un sistema de tuberías a presión. La pérdida de carga en cada línea. válvulas. La pérdida de carga unitaria o pendiente hidráulica (J) se define como la pérdida de carga contínua por metro de longitud de la conducción J = hf/L. puesto que ocasionalmente pueden ser incluso superiores a las pérdidas de carga continuas. Fundamentos hidráulicos localizadas o menores (hm). La altura piezométrica en los nudos H y su presión p. una altura piezométrica de referencia conocida. a partir de la información disponible sobre las características de todas las conducciones y elementos especiales. las diferencias de alturas piezométricas entre sus nudos extremos. que denominaremos h.
considerado como positivo en el caso de la figura cuando circula del nudo i hacia el nudo j.12 . 3.3) de modo que la pérdida de carga tomará el mismo signo que el caudal de línea. Se considera positivo si es entrante (aporte) y negativo cuando es saliente (consumo). Qi : Caudal inyectado en el nudo i.1. hij será positiva si Hi es mayor que Hj. y por consiguiente. El término Rij se denomina resistencia hidráulica de la línea ij. hij : Pérdida de carga en la línea ij. qij : Caudal que circula entre los nudos i y j. Fundamentos hidráulicos Figura 3.3.. Las pérdidas de carga en un elemento resistente (se trate de una tubería o una pérdida localizada) pueden expresarse de forma general como: hi j Hi Hj Ri j qi j qi jn 1 (3.Esquema de una línea. esto es. si el caudal circula del nudo i al j . n es el exponente del caudal que dependerá de la ecuación de pérdidas adoptada (en el siguiente apartado trataremos de este particular). Hi : Altura piezométrica en el nudo i.
5) i 1 estando extendido ahora el sumatorio a los N nudos de la red. La segunda ley de Kirchoff.. lo que se plasma en la condición siguiente: N Qi 0 (3. que corresponde al principio de conservación de la energía.4) donde el subíndice j hace referencia a todos los nudos conectados directamente al i (conjunto Ai) y siendo N el número total de nudos de la red.N (3. En consecuencia. En lo sucesivo. en una con signo positivo y en la otra con signo negativo.4) se representan un total de N ecuaciones simultáneas aunque no resultan independientes. como a los caudales externos Q. En (3.13 . establece que la suma algebraica de las pérdidas de carga debe ser igualmente nula a lo largo de cualquier malla.5) se puede obtener asimismo sumando las N ecuaciones del tipo (3.. y positivo cuando sale. Para ello es necesario dotar a la malla de un sentido (en la figura anterior se 3. de forma que la suma global de los términos qij es nula. Tal definición incluye tanto a los caudales internos q que circulan por las líneas. ya que cada sumando qij aparecerá tan sólo en dos ecuaciones.. Nuevamente es necesario establecer un criterio de signos ligado con el enunciado anterior. directamente aplicados. puesto que para que se verifique el principio de continuidad en toda la red. la ecuación de continuidad quedará expresada en la forma: j∈Ai qi j Qi 0 o j∈Ai qi j Qi i 1. admitiremos que un caudal interno q es negativo cuando entra en un nudo. la suma neta de aportes y consumos externos debe de ser nula. Así.4).3. y supone que un cierto criterio de signos ha sido previamente establecido. podemos afirmar que de las N ecuaciones de continuidad en los nudos de la red. La condición expresada en (3. una de ellas es combinación lineal de las N-1 restantes y en conjunto. la primera ley de Kirchoff proporciona N-1 ecuaciones independientes. mientras que adoptaremos un criterio contrario para los caudales exteriores.. Fundamentos hidráulicos La primera ley de Kirchoff establece que la suma neta de todos los caudales que confluyen en un nudo debe ser nula.
Dentro del esquema de una red mallada es siempre posible encontrar un subconjunto de líneas que unen entre sí a todos los nudos de la red.. y negativa en caso contrario. Nos plantemos a continuación cuál es el número de ecuaciones de malla independientes que pueden ser planteadas en el contexto de una red. j) ∈Bk (±)i j hij 0 k 1 . la pérdida de carga se considera positiva cuando el caudal recorre el circuito en mismo sentido de la malla.6) donde Bl representa el conjunto de líneas pertenecientes a la malla l y el término (±)ij toma un valor (+1) si el sentido hipotético del caudal qij es el mismo que el de la malla.3. de forma que constituyan una red ramificada. que en la teoría de grafos se conoce con el nombre de árbol de la red. y según este sentido. Con estas convenciones de signos... 3. que debe aplicarse a M mallas independientes de la red. ha adoptado un sentido de recorrido horario). y para ello vamos a recurrir a las definiciones de la teoría de grafos. Dicha red ramificada.14 .2. y (-1) si toma el sentido contrario. esto es N-1. Fundamentos hidráulicos Figura 3. poseerá tantas líneas como nudos menos uno. se expresa en la forma siguiente: (i .Configuración de una malla. M (3. la segunda ley de Kirchoff.
esto es L-(N-1) = L-N+1. obteniendo así un sistema de 2L ecuaciones para resolver las 2L incógnitas (qij y hij en cada línea de 3. mientras que las incógnitas utilizadas hasta el momento son las variables qij y hij.7) M L N 1 que resulta válida para cualquier tipo de red. esto es L-N+1 = M. el número de mallas es nulo. En forma general. habremos obtenido tantas mallas básicas (y por tanto independientes) como líneas posee el coárbol. no se superpone a ninguna malla anterior.6) asciende a M = L-N+1. puesto que el número de líneas es igual al número de nudos menos uno. y donde M representa el número de mallas independientes. L = N-1.7) indica por tanto que el número de ecuaciones independientes de malla del tipo (3. las variables qij y hij de cada una de las líneas ij de la red están ligadas por una expresión que depende de las características del elemento constituyente de la línea correspondiente. La relación (3. sea cual sea su disposición. cuyo número asciende a 2L. a las L ecuaciones anteriores correspondientes a las leyes de Kirchoff deberemos añadir L ecuaciones de comportamiento adicionales. En el caso de una red ramificada o una conducción en serie. M = (N-1)-N+1 = 0. L es el número de líneas y N el número de nudos. será una malla básica. En el árbol de la red no existe ninguna malla de modo que la adición de una nueva línea del coárbol implica la aparición de una nueva malla que además. Sin embargo. Las dos leyes de Kirchoff definen un sistema constituido por un total de (N-1) + (L-N+1) = L ecuaciones independientes. Cuando finalmente se hayan incluido todas las líneas del coárbol en el árbol y para "reconstruir" la red mallada original. la ecuación de comportamiento de una línea puede representarse como: (3. que denominaremos ecuación del comportamiento de la línea y cuya formulación analizaremos en el apartado siguiente. De aquí deducimos la importante relación: (3. puesto que aparece ligada a una línea adicional y en consecuencia.3. Fundamentos hidráulicos El subconjunto de líneas que resta para completar la red mallada original se conoce con el nombre de coárbol y estará constituido por el resto de líneas.15 . siendo L el número total de líneas de la red.8) h i j fi j ( q i j ) En consecuencia.
Sic : Conjunto de líneas del trayecto que une los nudos i y c. que nos permitirán calcular las alturas piezométricas en el resto de los nudos de la red. Recordemos que el sistema de ecuaciones independientes (3. N deben de ser datos y las N restantes incógnitas del problema de análisis. Si existe un único nudo de altura conocida dentro de la red. la solución en caudales sería única. Para este cometido se define un árbol de forma que cualquier nudo de la red quede unido mediante un único trayecto con el nudo de altura conocida. y (-1) si circula en sentido contrario. como vamos a comprobar a continuación. de forma que. más aún. Hi : Altura piezométrica incógnita en el nudo i. Contamos además con la relación (3. 3. para que el problema tenga una única solución es necesario que al menos exista un nudo de altura piezométrica conocida (y en consecuencia. (±)jk: Término que adopta el valor (+1) si el sentido hipotético del caudal qjk está dirigido del nudo i al nudo c.9) donde: Hc : Altura piezométrica conocida en el nudo c. perteneciente al trayecto Sic. puesto que de otro modo sería posible conocer la diferencia de alturas piezométricas entre cada par de nudos de la red pero no así la altura piezométrica de ninguno de ellos. dispondremos de N ecuaciones independientes adicionales que nos permitirán determinar el valor de las N-1 alturas piezométricas y el caudal externo en el nudo de altura conocida (N incógnitas). En realidad.9) son independientes de las ecuaciones de malla puesto que no pueden ser obtenidas como combinación de éstas. hjk : Pérdida de carga en la línea jk. dicho de otra manera. De entre estas 2N variables.9) equivale a la definición de las variables hij. existirían infinitos valores de la altura piezométrica de los nudos que cumplirían con las condiciones del problema. incluso en esta situación. pero solamente N-1 de ellas son realmente independientes. dichas ecuaciones equivalen a formular N-1 ecuaciones de Bernoulli adicionales e independientes de las formuladas hasta ahora. de esta forma podemos escribir N-1 ecuaciones de la forma: Hi Hc(dato) ( ±) j k h j k (j k) ∈Si c (3. Finalmente quedan todavía 2N variables. Las N-1 ecuaciones del tipo (3. Fundamentos hidráulicos la red).Hj disponemos de L ecuaciones. al menos un caudal externo debe de ser incógnita). en total.5) que determina la conservación de la masa en toda la red.3.16 . correspondientes a la altura piezométrica Hi y el caudal externo Qi en cada uno de los nudos de la red. A partir de la definición de hij = Hi .
. más de un nudo cuyo caudal externo es desconocido).9) formuladas en el anterior apartado.3. las relaciones (3. son absolutamente generales e independientes de cómo está constituida la red y del tipo de elementos que la configuran.6).ECUACIONES DE COMPORTAMIENTO DE LOS DIFERENTES ELEMENTOS. 3. obtenemos: ( ±) j k h j k (j k) ∈S m n Hm Hn 0 (3. la resolución del conjunto de ecuaciones planteadas para el caso de una red ramificada resulta mucho más sencilla que en el caso de las redes malladas o redes con varios nudos de altura conocida.9) y (3.17 .4). Fundamentos hidráulicos Cuando existe más de un nudo con altura piezométrica conocida (y en consecuencia. la existencia de un único nudo de altura piezométrica conocida. este último término puede ser asimilado a una nueva línea de la red. esta condición exige no solamente una topología arborescente sino además. Si se consideran las líneas y mallas ficticias como un componente topológico más de la red. este peculiar tipo de línea se conoce con el nombre de línea ficticia y la malla que la contiene.6) e incluso (3. excepto en el término Hm . correspondiente a la ecuación de malla (3. pero cuya pérdida de carga corresponde invariablemente a la diferencia de alturas piezométricas de los nudos m y n. Los aspectos particulares de este caso se desarrollarán en profundidad en el Apartado 3.9). de manera que la relación M = L-N+1 sigue siendo válida incluso considerando estos nuevos elementos ficticios. pero observemos que si Hm y Hn son alturas conocidas en los nudos m y n.10).8) 3. La adición de una línea ficticia comporta la aparición de una malla ficticia. atravesada por un caudal cualquiera.10) que correspondería a una ecuación de malla del tipo (3. Las ecuaciones (3.9) y reordenando sus términos.5) siguen siendo válidas. se denomina malla ficticia. La formulación de las ecuaciones de comportamiento (3. particularizando la ecuación (3. (3. ni real ni ficticia. Bajo este nuevo punto de vista.3. sólo podremos hablar en propiedad de redes ramificadas como aquellas en las cuales no es posible definir ningún tipo de malla.4. puesto que disponemos de N-1 ecuaciones de continuidad que es posible resolver desacopladamente del sistema de N-1 ecuaciones del tipo (3.Hn.
tuberías..Introducción. del o de los elementos hidráulicos que configuran una determinada línea... 3. La ecuación fundamental para las pérdida de carga en una conducción en régimen permanente y uniforme se deduce de la aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento a un tramo de tubería horizontal. a saber. 3. proponiendo expresiones apropiadas para las ecuaciones de comportamiento que relacionan el caudal q con la pérdida de carga h. elementos disipativos singulares.3.1. agrupados por su comportamiento. P es el perímetro de una sección de la conducción transversal al flujo.1. Fundamentos hidráulicos depende.3. como el mostrado en la Figura 3. τ es la tensión tangencial en las paredes de la conducción. A continuación analizaremos el comportamiento hidráulico de cada uno de ellos. Figura 3. Al efectuar una clasificación de los distintos tipos de elementos que usualmente forman parte de una red de distribución. elementos motrices.3. podemos distinguir cuatro tipos diferentes. A1 y A2 son las secciones de la conducción en ambos extremos.1. en la cual p1 y p2 son las presiones a la entrada y salida de la conducción.Tuberías 3.Elemento de una conducción de sección uniforme. ∆L es la longitud del tramo.18 .3. y válvulas especiales. sin embargo.3.
12) C J Rh en la cual C es un coeficiente empírico de ajuste. J es la perdida unitaria (o pendiente hidráulica) y Rh es el radio hidráulico.19 .13) 5 Como acabamos de comprobar. Esta fórmula se obtiene fácilmente a partir de (3. cuestión que más recientemente se ha resuelto mediante la aplicación del análisis dimensional para establecer su relación con el resto de las variables del fenómeno. han sido propuestas numerosas expresiones que relacionasen el caudal con la pérdida de carga en las tuberías a presión. Fundamentos hidráulicos En el elemento de la figura suponemos que las secciones de la conducción son iguales a la entrada y la salida (A1=A2) y consecuentemente. el valor de τ es constante en todo el tramo y consecuentemente. Una de las primeras es la ecuación de Chezy (1775). Si la conducción es de sección circular con diámetro D. que corresponde al cociente entre la sección transversal que ocupa el fluido (A) y el perímetro "mojado" de la sección (P) sobre el que actúa la tensión tangencial τ.2. Sustituyendo en (3.3. 3. la sección de paso del fluido será A=(πD2)/4. Según esta teoría la ecuación de pérdidas puede concretarse en una relación funcional del tipo (Streeter y Wylie [20]): 3. de su diámetro y hasta de su velocidad.12)..11) donde γ es el peso específico del fluido. también son iguales las velocidades (v1=v2). que establece: v (3.11) suponiendo que la tensión tangencial τ es proporcional al cuadrado de la velocidad.1. de forma que el radio hidráulico resulta en tal caso Rh = D/4. que depende del material de la tubería.. la fórmula de Chezy toma la forma: v C J Rh C J D → hf L DC 2 v2 16 L π C 2 2 Q2 D (3. Desde la implantación de las primeras redes de distribución de agua a presión a comienzos del siglo pasado en los EEUU. Al ser las condiciones uniformes. la aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento resulta: p1 A1 p2 A2 (p1 p2) A τ P∆L → τ ∆p A ∆L P γ J Rh (3. la cuestión fundamental para la determinación de la pérdida de carga reside en las conjeturas realizadas sobre el valor de la tensión tangencial τ.Fórmulas de pérdida de carga. y el perímetro mojado P=πD.3.
ν ) donde : D : ε: ε' : m: v: τ: ν: (3. 3. y su estimación podría resultar extremadamente compleja. Expresado en función de parámetros adimensionales. Sustituyendo (3. por lo que se eliminan de la formulación. Velocidad del fluido. Fundamentos hidráulicos φ( D . no ocurre lo mismo con los parámetros ε' y m.20 (3.14) 0 Diámetro de la conducción. ν D ϕ ϕ Re .15) 0 Aunque existen medios físicos para la determinación de la rugosidad ε. Viscosidad cinemática del fluido. m . Rugosidad de las paredes (tamaño promedio de las irregularidades) Separación promedio de las irregularidades. Con estas consideraciones podemos reescribir la ecuación (3. ε r (3. Tensión tangencial. . v . y εr = ε/D se denomina rugosidad relativa. la relación (3. .m . Su expresión en términos de la pérdida de carga hf resulta: hf f L v2 D 2g 8 f L Q2 2 5 π gD y en la cual el coeficiente f recibe el nombre de factor de fricción. τ D D ν (3.17) La expresión anterior es conocida usualmente como ecuación de Darcy-Weisbach.16) donde Re = vD/ν es el número de Reynolds. ε . Factor de forma de las irregularidades (adimensional). ε r 8 v2 D 2g f ( Re .3.14) queda: ϕ v D ρ v2 ε ε . ε r ) 1 v2 D 2g (3. ε . ambos adimensionales. ρ .11) para una conducción de sección circular y diámetro D obtenemos: J ϕ Re . aunque su efecto puede ser incluido en la rugosidad "equivalente" ε. ya que fue inicialmente propuesta por Weisbach en 1855 y posteriormente modificada por Darcy en 1875.18) . τ .16) en (3.15) como: τ ρ v2 vD ε .
Fundamentos hidráulicos 3. siendo éste el atractivo principal que ha hecho de la expresión de DW posiblemente la más utilizada en la hidráulica aplicada. las experiencias de Nikuradse confirman plenamente la fórmula de Poiseuille. log10 εr 2 51 37 Re .22) con la única limitación de que el flujo sea en régimen turbulento (Re≥4000).22) Colebrook presentó en 1938 una fórmula (conocida como ecuación de Colebrook-White) que se ajustaba bastante bien a los valores del factor de fricción f observados experimentalmente para tubos comerciales. en 1911 Blasius propone la siguiente expresión de f para tubería lisa: (3.3. Por otro lado.21) la cual es válida para tubos rugosos con flujo en régimen turbulento plenamente desarrollado.21 .3.20) Re f cuyo aplicación resulta apropiada en un rango de Re mayor que la de Blasius. Von Karman y Prandtl proponen una expresión implícita de f: 1 2 log10 f 2 51 (3. La diferencia principal que aporta la ecuación de Darcy-Weisbach (abreviadamente DW) respecto de la de Chezy estriba en la adimensionalidad del factor de fricción f.19) f 0 3164 Re 0 25 válida para Re = 3 103÷105. En 1933 Nikuradse realiza diversos ensayos sobre tuberías artificialmente dotadas de rugosidad.1. obteniendo: 1 f 2 .20) y Nikuradse (3. 3. Así. en función del número de Reynolds Re y la rugosidad relativa εr.. válida en régimen laminar (Re≤2000): 64 Re f (3. con valores perfectamente calibrados. cuyo resultado se resume en la siguiente ecuación: 1 2 log10 f ε 3 7D (3. f (3.23) la cual engloba a las expresiones de Von Karman (3.3. En 1930.Factor de fricción.
en un ábaco que se conoce en la bibliografía como diagrama de Moody. Posee la virtud de que permite determinar el valor del factor de fricción f a partir de los parámetros adimensionales Re y εr. Fundamentos hidráulicos En 1944. L. imprescindibles en el caso de utilizar ecuaciones implícitas en f tales como las de Von Karman-Prandtl y Colebrook-White. esta vez en forma gráfica.. pero es posible despejar f mediante un sencillo cálculo iterativo de punto fijo.23) en su forma más general. Figura 3. actuando la rugosidad relativa εr como parámetro de las diversas curvas. 3.4.22 . cuya convergencia está asegurada para los valores de Re y εr habitualmente empleados en redes de distribución.3.Diagrama de Moody. El ábaco de Moody es una gráfica log-log del factor de fricción f frente al número de Reynolds Re.4. sin necesidad de recurrir a procedimientos iterativos.F. Moody tras ensayar con nuevos materiales publicó sus resultados. La utilización práctica de la ecuación de Colebrook-White (3. y que muestra la Figura 3. puede resultar incómoda al figurar el factor de fricción f en forma implícita.
5. numerosos autores han propuesto expresiones explícitas del factor de fricción. que sustituido en la función G proporcionará el siguiente valor estimado en la forma f1 = G(f0).Proceso iterativo para el cálculo de f a partir de una expresión implícita. f (3. de las cuales reseñamos a continuación las más conocidas: Moody (1944) f 0 0055 1 20000ε r 106 Re 3. tal y como muestra el diagrama de la Figura 3.3.3.23) en la forma: f 1 G(f) 4 .23 1/3 (3.4. Figura 3.24) Supuesto que conocemos los valores de Re y εr. El procedimiento continúa sustituyendo f0 por f1 hasta que las diferencias entre dos valores sucesivos queden dentro del límite de convergencia.5. Fundamentos hidráulicos Para realizar la iteración de punto fijo. Para eludir el problema del cálculo iterativo.25) . se comienza el proceso iterativo suponiendo un valor inicial del factor de fricción f0.Expresiones explícitas del factor de fricción. 3. se reordena (3.1.. log10 2 εr 2 51 37 Re ..
3.26) 0 44 con una precisión de ±4% en el intervalo de valores Re≥104 y 10-5≤εr≤4 Barr (1975) 103≤Re≤107 4 52 Re log10 Re 7 con una precisión de ±0'30% para los valores 4 103≤Re≤108 y 0≤εr≤0'05.31) 37 103≤Re≤108 y 0≤εr≤0'05. εr (3.30) 37 con una precisión de ±0'33% para los valores 4 Chen (1985) 103≤Re≤108 y 10-6≤εr≤10-2. εr 09 7 Re con una precisión de ±0'58% para los valores 4 Haaland (1983) 10-2. 0 25 Swamee y Jain (1976) f Churchill (1977) (3.28) cuya precisión es de ±1% en el intervalo de valores 5 1 2 log10 f 1 1 8 log10 f 1 f 2 log10 (3. Las desviaciones indicadas en las fórmulas anteriores están referidas al valor de f obtenido mediante la ecuación de Colebrook-White. 3.27) 5 74 εr Re0 9 37 2 (3. Fundamentos hidráulicos cuyo valor se desvía en un máximo de ±5% en el intervalo de valores 4 y εr≤0'01.29) 37 69 Re εr 103≤Re≤108 y 0≤εr≤0'05. Wood (1966) a f b Re c a 0 094 ε r b 88 ε r c 1 62 ε r 0 53 ε r 0 225 1 2 log10 f 0 134 5 1286 εr Re0 89 37 log10 (3. 1 11 (3.24 .
1. cuya expresión.32) 0 355 CH D 0 63 J 0 54 o bien. y en la segunda Ks el coeficiente de Strickler. que depende fundamentalmente del material de la tubería. incrustaciones. una vez transformada a unidades del sistema internacional resulta: v (3. mientras que en tuberías de baja calidad superficial.36) . especialmente en los países anglosajones.33) 0 279 CH D 2 63 J 0 54 Finalmente. que por su gran sencillez han llegado a adquirir una amplia aceptación. podemos citar que un valor CH = 140 correspondería al mejor grado de calidad de una tubería lisa y nueva (Walski [21]). la pérdida de carga hf puede expresarse como: hf 10 61 1 L 1 85 H 4 87 C D q1 85 (3. Como orden de magnitud.Fórmulas semiempíricas de la pérdida de carga. cuya expresión es: v 1 2/3 1/2 Rh J n 2/3 Ks Rh J1/2 (3..34) donde L representa la longitud de la tubería. cabe destacar la fórmula de Hazen-Williams (1903).3. podemos encontrar valores del orden CH = 40÷80.35) siendo. Fundamentos hidráulicos 3. habitualmente denominada fórmula de Manning.5. diversos autores han intentado representar las pérdidas de carga de la conducción mediante fórmulas obtenidas empíricamente.25 10 29 K 2 s L q2 16/3 D (3. y viene tabulado en la mayoría de los textos de Hidráulica. La expresión de Hazen-Williams goza de una gran popularidad. Otra de las expresiones empíricas más comunes es la de Manning-StricklerGauckler. y CH es el coeficiente de Hazen-Williams. expresada en términos del caudal q sería: q (3. Entre ellas. en la primera expresión n el coeficiente de Manning. con mucho tiempo de uso.. etc.3. Reescribiendo la fórmula en términos de la pérdida de carga hf y el caudal q para una tubería de diámetro D obtenemos: hf 10 29 n2 L q2 16/3 D 3. Además de las ecuaciones presentadas.
longitud Li.. y en las grandes obras hidráulicas (aprovechamientos hidroeléctricos.. Figura 3. A ) Tubería equivalente serie: El sistema de tuberías a simplificar está compuesto por T tuberías en serie.37) . la expresión de la pérdida de carga equivalente será: T T hf (equivalente) n hf. trasvases.6. siendo los datos característicos de cada una de ellas su caudal qi. particularmente en Hidráulica Agrícola. Si expresamos las pérdidas de carga en la forma h = R qn. para igual caudal.26 Ri q i i 1 n Req qeq (3. factor de fricción fi y perdida de carga hf.i. etc. en paralelo.6.1. 3.3. y finalmente. En ocasiones resulta conveniente formular el modelo de análisis en régimen permanente de una red considerando la simplificación de algunos subsistemas de tuberías. en el cálculo de pérdidas en canales. que no requieren un gran nivel de detalle para el conocimiento de su estado hidráulico.). Fundamentos hidráulicos La fórmula de Manning es de uso muy común en España. La tubería equivalente serie debe de producir las mismas pérdidas de carga que la serie de tuberías definida.3. como muestra la Figura 3. Con este fin vamos a describir tres situaciones muy comunes que consisten en la simplificación en una tubería única equivalente de un sistema de tuberías dispuestas en serie.i i 1 3.Tuberías equivalentes.6. la equivalencia de una conducción con consumos distribuidos a lo largo de su longitud. diámetro Di.Tuberías en serie.
3. esto es: T (3.27 i 1 qn. podemos sustituir en 1/n hf.7).41) hf (equivalente) hf.38) y en consecuencia. La tubería equivalente paralelo debe transportar el mismo caudal que todas las tuberías del sistema paralelo.i Ri (3.40) qi qeq i 1 mientras que la pérdida de carga equivalente debe ser igual a la que produce cualquiera de las tuberías en paralelo: (3. el sistema de tuberías a simplificar lo forman T tuberías dispuestas en paralelo (Figura 3.i ∀ i Si expresamos las pérdidas de carga en la forma h = R (3. empleando la expresión de hf de Darcy resulta: T Ri → Req i 1 feq Leq 5 Deq T fi L i i 1 Di (3.7. Figura 3.42) . tenemos que: qeq ∀i qi (3.Tuberías en paralelo.39) 5 B) Tubería equivalente paralelo: En este caso. la resistencia hidráulica equivalente será igual a la suma de las resistencias de las tuberías de la serie..40) de la siguiente forma: 1/n qeq hf (equiv) T T qi Req i 1 3. Fundamentos hidráulicos Al no existir derivaciones de caudal en la serie de tuberías.
bien sea en forma discreta o contínua. siendo la magnitud de estos consumos igual a q = Q/T. modificando el cálculo de las pérdidas de carga mediante la inclusión del llamado coeficiente de Christiansen F. Fundamentos hidráulicos y teniendo en cuenta (3. donde Q es el caudal total inyectado en la conducción.45) i 1 Si reescribimos la expresión (3. En primer lugar necesitamos conocer el caudal que atraviesa cada una de las secciones de la tubería. utilizando la expresión de Darcy resulta: 1/2 5 Deq feq Leq T i 1 5 1/2 Di (3.44) fi Li C) Pérdida de carga en una conducción con distribución discreta de consumos: Cuando la conducción alimenta unos caudales distribuidos a lo largo de la misma.28 . el caudal que lo atraviesa es qi = Q-(i-1) q.3. de forma que en el tramo i-ésimo comenzando desde el extremo situado aguas arriba. es posible establecer una correspondencia con una tubería equivalente.43) 1 1/n Ri i 1 y finalmente. Para calcular las pérdidas de carga en la conducción introducimos el concepto de resistencia hidráulica unitaria r = R/L. cuya longitud total es L. Dicho caudal es uniforme por tramos de longitud l. espaciados entre sí una distancia l = L/T. Para esta simplificación se parte de las siguientes hipótesis: el diámetro es uniforme en toda la conducción. la pérdida de carga que se produce en la tubería será: T T hf.45) en función de la resistencia hidráulica R y del 3.41) quedará: T 1 R 1/n eq i 1 1 R 1 → Req 1/n i n T (3.i hf i 1 rl Q i 1 (i 1) q n T r l qn T i 1 i 1 n T r l qn in (3. en consecuencia. Este autor introdujo en 1942 la utilización del coeficiente F para representar de una forma compacta la pérdida de carga en laterales de riego. se supone una distribución discreta de T puntos de consumo.
47) Esta expresión aproximada resulta exacta para un exponente n=2. y el coeficiente de Christiansen valdría en tal caso: F (T →∞) 3. F es el factor de Christiansen.29 1 1 n (3. cuya expresión es: F 1 Tn 1 T in i 1 1 1 2T 1 n n 1 6 T2 (3.. Cuando el número de derivaciones es muy grande.3.Conducción con una distribución discreta y uniforme de consumos. siendo T el número de tramos y n el exponente del caudal en la fórmula de pérdidas. El mismo autor proporciona una fórmula aproximada más compacta del coeficiente F.8. Fundamentos hidráulicos caudal total de entrada Q quedará: T hf r l qn in i 1 R Q T T n T in R Qn i 1 T 1 Tn 1 in R Qn F (3.48) . mientras que para un exponente n=1'75 (correspondiente a fórmula de Blasius) presenta una desviación máxima del 0'16 %. Figura 3. puede llegar a suponerse una distribución contínua y uniforme de caudal.46) i 1 en la cual.
puesto que el caudal transportado es asimismo diferente. consistente en una serie discreta de consumos iguales. sin embargo. La hipótesis resultará aproximadamente válida en el caso de que la diferencia entre las presiones de los extremos de la conducción no sea demasiado elevada en términos relativos a la presión media. si tomamos en consideración la influencia de las tensiones viscosas. con una desviación máxima del 1% sobre la expresión exacta. en una distribución discreta es habitual que la separación de la primera derivación respecto de la entrada (que denominaremos l0) sea distinta de la separación l entre las siguientes derivaciones. b) Al derivar la expresión del factor F se ha supuesto de forma implícita que la resistencia hidráulica unitaria de la tubería (r) se mantiene constante a lo largo de toda su longitud.48) puede ser empleada cuando el número de derivaciones es mayor o igual de 150. Una posibilidad para soslayar esta dificultad es utilizar un valor promedio de r para toda la conducción. a saber: a) La situación que se pretende modelizar. puesto que el caudal que puede ser extraído de una determinada toma dependerá de la presión existente en la misma. el coeficiente de Christiansen F' adopta la siguiente expresión: F r TF 1 r T 1 siendo r l0 (3. es evidente que la resistencia unitaria r es diferente en cada una de las secciones de la conducción. En tanto se utilice una fórmula de pérdidas que no tome en consideración el número de Reynolds. 3. En este caso.49) l donde F corresponde al coeficiente de Christiansen obtenido suponiendo la misma separación l en todas las derivaciones y F' el coeficiente modificado.30 . Sobre la utilización del factor F de Christiansen hay que tener presente dos de las hipótesis que se utilizan implícitamente en su obtención. Sin embargo. Fundamentos hidráulicos La expresión (3. distribuidos a lo largo de la conducción. la hipótesis resulta absolutamente apropiada.3. no existe en la realidad.
de las características del elemento accesorio. uniones en Y).51) o lo que es lo mismo: Le k D → h f r Le q2 (3.52) En el caso de las válvulas. en la forma: h k v2 2g 8k q2 4 π gD (3. estrechamientos).3.3. Las pérdidas localizadas se pueden expresar también en función de la longitud equivalente de tubería Le. Los elementos mencionados producen pérdidas de carga que. al estar originadas por dispositivos concretos se conocen con el nombre de pérdidas localizadas.. esto es: Le v2 D 2g f k v2 2g (3. singulares o menores. de lenteja o mariposa. que se define como la longitud de tubería que produciría la misma pérdida de carga que el accesorio interpuesto.2. collarines. juntas). y tratándose de sistemas con grandes longitudes de tubería recta sin accesorios. En la práctica. referidas ambas variables normalmente al valor aguas abajo de la zona de alteración del flujo salvo indicación en contra. o bien acoplar los cambios de geometría en la sección (conos) y también los dispositivos de control del flujo (válvulas de compuerta. y entre ellos se incluyen aquellos que permiten acomodar el trazado de la red a los accidentes topográficos del terreno (codos. y que usualmente se evalúan como el producto de la altura cinética multiplicada por un coeficiente de pérdidas k.31 . no es habitual modelizar individualmente los accesorios porque las pérdidas de carga producidas por las tuberías son comparativamente muy superiores (salvo en el caso de las válvulas reguladoras). otros que permiten empalmar y derivar tuberías (tes. Fundamentos hidráulicos 3. Los elementos accesorios son imprescindibles en toda red. pero sobre todo.50) 2 en la cual v es la velocidad del fluido y D el diámetro del elemento. Cabe la posibilidad de considerar los accesorios en el cómputo de pérdidas de carga bien sea mediante un incremento de la longitud de cada tubería en la longitud equivalente de los 3.Elementos disipativos singulares (accesorios y válvulas). y k es un coeficiente adimensional que depende de Re. el valor del coeficiente de pérdidas k dependerá del grado de apertura de las mismas.
A continuación se presentan algunas de las singularidades más comunes y los valores que usualmente adopta el coeficiente de pérdidas k. será necesaria la modelización individual de cada elemento para conseguir una caracterización suficientemente exacta de la red.32 . Naturalmente.3. situación muy común en instalaciones industriales. mayorando las pérdidas de carga de las tuberías en un porcentaje del 5÷10%. en el caso de que la pérdidas en los accesorios sean del orden de magnitud de la pérdida en las tuberías. Fundamentos hidráulicos accesorios que incorpora. Ensanchamientos y contracciones Ensanchamiento brusco: h = k (v21/2g) D2/D1 k 1'2 1'4 1'6 1'8 2'0 2'5 3 4 5 0'095 0'23 0'36 0'45 0'53 0'66 0'74 0'82 0'86 ángulo de apertura θ k 10o 20o 30o 40o 50o 60o 75o 90o 0'078 0'31 0'49 0'60 0'67 0'72 0'72 0'67 Ensanchamiento gradual: h = k (v21-v22)/2g 3. suponiendo un régimen turbulento completamente desarrollado. o bien simplemente.
33 .3. Fundamentos hidráulicos Entrada a depósito: h = k (v2/2g) Tipo k (a) Acampanada (b) Recta (c) Encastrada 0'1 1'0 1'0 D1/D2 k 1'2 1'4 1'6 1'8 2'0 2'5 3 4 5 0'09 0'19 0'25 0'31 0'34 0'37 0'39 0'41 0'42 Tipo k (a) Ordinario (b) Acampanado (c) Redondeado 0'25 0'10 0'04 Contracción brusca: h = k (v22/2g) Estrechamiento gradual: h = k (v22/2g) 3.
Fundamentos hidráulicos Entrada desde depósito: h = k (v2/2g) Tipo k (a) Acampanada (b) Recta (c) Encastrada 0'04 0'5 1'0 r/D k 2 8 20 0'3 0'4 0'5 Angulo α k 90o 60o 30o 1'8 0'75 0'25 Codos y derivaciones Codo curvo de 90o: h = k (v2/2g) Codo recto: h = k (v2/2g) Codo de retorno (180o): h = k (v2/2g) k = 1'5 Te estándar: h = k (v2/2g) 3.34 Posición k (a) en línea (b) en derivación 0'6 1'8 .3.
Fundamentos hidráulicos Válvulas Válvula de compuerta: h = k (v2/2g) Apertura k Abierta 3/4 1/2 1/4 0'19 1'15 5'6 24'0 Apertura k Abierta 3/4 1/2 1/4 2'3 2'6 4'3 21'0 Apertura (ángulo α) k Abierta (0o) 30o 40o 50o 60o 0'3 3'6 10 31 94 Válvula de diafragma: h = k (v2/2g) Válvula de mariposa: h = k (v2/2g) 3.3.35 .
. la curva incluye una constante que responde al valor de la ordenada en el origen. No obstante. Fundamentos hidráulicos 3..3. La relación entre la altura de bombeo hb y el caudal trasegado q.9. la altura de la bomba a caudal nulo. la altura que proporcionan disminuye con el caudal. 3. en las bombas que trasiegan mucho caudal con poca altura de elevación puede ser necesario un ajuste de tercer orden o superior. puesto que se trata de un aporte de energía en lugar de una pérdida de carga.Elementos motrices: bombas.36 . esto es.Energía proporcionada por una bomba. o lo que es lo mismo. Figura 3. se conoce como curva característica de la bomba y en la mayoria de los casos se puede ajustar a una expresión general del tipo: hb H0 A q2 Bq (3.53) donde H0 es el valor de hb a caudal nulo. y consecuentemente. Las bombas utilizadas normalmente en los sistemas de distribución presentan además una curva característica fundamentalmente decreciente. La validez de la curva característica está restringida únicamente para los valores hb≥0 y q≥0.3. Presentan la particularidad de que la diferencia de alturas entre el punto de entrada y el de salida del flujo tiene ahora signo contrario al caudal.3. Las bombas son elementos motrices cuya misión consiste en proporcionar energía de presión adicional al fluido. hb = f(q). mientras que A y B son otros dos coeficientes de la curva característica.
es posible trasegar un determinado caudal hacia un depósito elevado.54) estando representado gráficamente en la figura anterior la intersección de las curvas motriz y resistente.37 . a saber: hresistente Hg R q2 (R> 0) (3. sino también del resto de la instalación.3. la curva resistente representa el desnivel geométrico que hay que vencer. En este caso.q) constituido por la altura de bombeo y el caudal trasegado por la bomba. el punto de funcionamiento se obtiene intersectando la llamada curva motriz.10 representa una tubería de impulsión. La ecuación (3.10). Fundamentos hidráulicos Se denomina punto de funcionamiento de la bomba al par de valores (hb. con la curva resistente de la instalación. en la cual mediante la acción de una bomba. El punto de funcionamiento depende no sólo de la bomba utilizada. que es la curva característica de la bomba. En una forma rigurosa. que representa la altura que debe vencer la bomba. que caracteriza el modo de trabajo de la bomba en una instalación dada. De forma gráfica sobre un diagrama h-q. más las pérdidas de carga producidas en la conducción..Punto de funcionamiento de una bomba. la condición de inestabilidad es: d hb d hres > dq dq 3. El sistema sencillo mostrado en la Figura 3. en función del caudal trasegado. Figura 3.53) puede dar lugar a un punto de funcionamiento inestable si B>0 y la curva resistente intersecta en más de un punto a la curva motriz (ver línea discontinua de la Figura 3.10.
o bien. que es donde realmente interesa en la práctica. Fundamentos hidráulicos como correspondería al punto de funcionamiento de menor caudal de la curva a trazos. definiendo la variable g como función del caudal: g B 2A q (3.Transformación de la curva característica de una bomba..55) y con esta nueva variable. al menos en las proximidades de su punto de funcionamiento óptimo.56) Figura 3. la transformación consiste en un desplazamiento de los valores de q para evitar la parte ascendente o inestable de la curva característica (naturalmente siempre que se consideren los valores g≥0.3. que es el tipo más utilizado en las redes de distribución. q≥B/2A).53). En general. Jeppson [8] propone un cambio de variable en la ecuación (3. un ajuste parabólico de dos coeficientes como el siguiente: hb H0 A q2 (3. la curva característica de la bomba se expresará como: hb H0 B2 4A A g2 H0 A g2 (3. Para obviar este problema. La inestabilidad puede ser causa de problemas de convergencia en el análisis de la red.11. Como vemos en la Figura 3. 3.57) resulta suficientemente adecuado para representar el comportamiento hidráulico de una bomba centrífuga.11.38 .
la debida a Chandrashekar [5]: q q0 3.3.A nalogía entre una bomba y un depósito elevado asociado con un elemento resistente. la expresión inversa resulta: 1/2 q H0 hb (3. resulta necesario expresar la curva característica en forma inversa q = q(hb).57) sugiere la analogía funcional entre una bomba y un sistema constituido por la asociación en serie de un depósito intercalado entre la aspiración y la impulsión. Aunque la expresión (3. La expresión (3. con un desnivel H0.57).59) .58) A Algunos autores proponen expresiones más elaboradas. como por ejemplo. evitando posibles problemas de convergencia.12. Ocasionalmente y dependiendo de la formulación del problema de análisis.39 β α hb (3.. dentro de los cuales el ajuste propuesto resulta muy fiable. A partir de la ecuación (3. Fundamentos hidráulicos La expresión (3. no es menos cierto que en condiciones normales el punto de funcionamiento de una bomba no rebasa ciertos márgenes. Figura 3.12.57) asegura la estabilidad en todo el rango de caudales.57) puede desviarse del comportamiento real del elemento para caudales pequeños. y un elemento resistente cuyo coeficiente de rozamiento sea A. tal como muestra la Figura 3.
puesto que la pérdida de carga que provocan depende no solamente del caudal que la atraviesa.. Fundamentos hidráulicos Otro ejemplo es la expresión de cuarto grado propuesta por Donachie [6]: q A B hb 2 C hb 3 D hb 4 E hb (3. sino de otras variables adicionales. Su comportamiento viene representado en este caso por una expresión del tipo: hi j hi j qi j . C. Hi .3. Las válvulas convencionales. al contrario que las tuberías y accesorios que se comportan como elementos bidireccionales. siendo el coeficiente k una función del grado de apertura de la válvula. Hj . la pérdida de carga puede expresarse como hv = k (v2/2g).4. (3. como elementos motrices que son. hay que resaltar también que en condiciones normales de funcionamiento.. Podríamos decir que en el caso de una válvula automática.. De la gran variedad existente de válvulas con funciones especiales.40 .8).3.Válvulas especiales.3. destacaremos 3. al igual que en una válvula convencional.61) en la cual Hi y Hj representan la altura piezométrica en los extremos del elemento. 3. Finalmente. En el apartado presente estudiaremos algunos tipos de válvulas especiales (que denominaremos también válvula automáticas o multifuncionales) cuya ecuación de comportamiento no se ajusta a la expresión hij = fij(qij) apuntada en (3. las bombas son elementos unidireccionales. B. además del caudal trasegado. pero a diferencia de las convencionales. producen unas pérdidas de carga h = k (v2/2g).60) cuyos coeficientes A. en la cual se supone que el coeficiente de pérdidas k es prácticamente invariable con el caudal que atraviesa la válvula. cuyo comportamiento ha sido analizado en el apartado 3. dependiendo únicamente del grado de apertura de la misma. .2. D y E se obtienen mediante una regresión por mínimos cuadrados. el grado de apertura depende del estado de presiones en los extremos de la válvula.
Como ejemplo de tales válvulas especiales podemos citar las válvulas de alivio. podemos expresar su característica como: R R0 si H1 >H2 ( q >0 ) R →∞ si H1 ≤H2 ( q <0 ) (3. válvula sostenedora de presión (VSP) y válvula limitadora de caudal (VLQ). La VR se destina a proteger las instalaciones en algún punto. mientras que H1 y H2 son las alturas piezométricas en el extremo aguas arriba y abajo respectivamente. debido a que se utilizan como prevención para situaciones atípicas o de emergencia.4. al igual que el resto de las válvulas que vamos a estudiar. a saber: válvula de retención (VR). escapando por tanto al ámbito de estudio del análisis de la red en régimen permanente. ventosas.41 . que merecen atención por cuanto que pueden intervenir en el análisis en régimen permanente de la red. Fundamentos hidráulicos cuatro tipos. por ejemplo.3. la resistencia R frente al caudal q (b).. restringiendo el flujo en un sólo sentido.13 representamos el esquema de una VR (a). Existen válvulas que combinan varias de las funciones reseñadas (como por ejemplo.V álvulas de retención (VR). En la Figura 3. para 3. 3. válvula reductora de presión (VRP). la válvula reductora-sostenedora de presión) y también otros tipos especiales de válvulas que no serán estudiadas en este apartado. la pérdida de carga hv frente al caudal q (c) y finalmente. en función del caudal q (d). son elementos unidireccionales que sólo permiten el paso del fluido en un sentido.3. Expresando la pérdida de carga en la VR en la forma hv = R q2. etc.1. Las válvulas de retención. la relación entre las alturas piezométricas a la entrada (H1) y a la salida (H2) de la VR. Su función consiste en evitar el flujo en sentido contrario al establecido.62) en la cual R0 = (8 k)/(π2 g D4) representa la resistencia a válvula abierta. El coeficiente k adopta valores comprendidos entre 1'5÷4'0 (Walski [21]) dependiendo del tipo de válvula de retención. para evitar el vaciado (descebado) de una bomba.
42 . 3.14. para impedir el flujo en sentido inverso cuando la bomba está parada.. Figura 3. Fundamentos hidráulicos realizar el llenado o vaciado de un depósito desde una canalización determinada. etc..13. La siguiente figura representa una instalación típica de VR aguas abajo de una bomba. Figura 3.3.Característica de una VR..V álvula de retención instalada en una impulsión.. para evitar el vaciado de una tubería en pendiente cuando ésta queda sin carga.
3. Fundamentos hidráulicos
En la figura (a) la bomba esta funcionado y la VR actúa como un elemento
resistente con coeficiente de pérdidas k. Sin embargo, en la (b), la bomba está parada
y la VR impide el flujo en sentido inverso: en consecuencia, el tramo de tubería que se
ubica aguas abajo de la VR soporta la presión hidrostática provocada por el nivel del
depósito 2, mientras que el tramo anterior, incluyendo la bomba, soporta la presión
hidrostática debida al nivel del depósito 1.
3.3.4.2.- V álvula reductora de presión (VRP).
La VRP es un elemento diseñado para mantener una presión constante en su
extremo situado aguas abajo, en un valor que se conoce como presión de tarado,
independientemente de la magnitud de la presión aguas arriba, y como su nombre indica,
tienen como misión evitar las elevadas presiones que pueden alcanzarse en algunos
puntos de la red debido, por ejemplo, a las depresiones del terreno, a la cercanía de la
estación de bombeo o a cualquier otra causa.
Sin embargo, la definición anterior no se ajusta totalmente a la realidad y presenta
algunas excepciones. En particular, si la presión aguas arriba se hace inferior a la
presión de tarado, entonces la válvula se encuentra totalmente abierta y no actúa sobre
el sistema, y puede considerarse como un elemento resistente con coeficiente k
Por otra parte, si la presión aguas abajo excede a la de tarado, la válvula impide
el flujo en sentido contrario, actuando como una válvula de retención; se trata pues de
un elemento unidireccional.
Desde esta perspectiva, las VRP se emplean también para controlar el caudal
aportado desde varios puntos de suministro, en función del nivel de la demanda. En este
tipo de aplicación, la VRP actúa como válvula de retención hasta que la presión se
reduce por debajo de su nivel crítico con motivo de una fuerte demanda, en cuyo
momento abre el paso del flujo desde el punto de suministro que está bajo su control.
La presión de tarado de la válvula, o mejor dicho, la altura piezométrica
correspondiente a este valor en el extremo aguas abajo, se representa por Ht.
Suponiendo un comportamiento ideal de la VRP (hv = 0 cuando la válvula está
abierta) podemos expresar las ecuaciones de comportamiento de este elemento en la
R >0 y H2
0 y H2
si H1 >Ht ( q >0 )
si H1 <Ht ( q >0 )
si H2 >Ht o H2 >H1 ( q
donde H1 y H2 son las alturas piezométricas aguas arriba y abajo de la válvula,
Naturalmente, si consideramos el comportamiento real de la VRP y las pérdidas
de carga que provoca estando completamente abierta son tenidas en cuenta, la
ecuaciones de comportamiento (3.63) se expresarían como:
R ≥ R 0 y H2
R 0 y H2
si H1 ≥ Ht
hv ( q >0 )
si H1 <Ht
en la cual R0 = (8 k)/(π2 g D4) representa la resistencia hidráulica a válvula abierta y hv
es la correspondiente pérdida de carga para un caudal dado ( hv = R0 q2 ). El coeficiente
de pérdidas k adopta valores comprendidos entre 4÷10 (Jeppson y Davis [10],
Simon [19]), dependiendo como siempre de la morfología de la válvula.
La Figura 3.15 constituye una representación gráfica de las ecuaciones de
comportamiento (3.64) y muestra la relación funcional existente entre las alturas
piezométricas H1 y H2 en los extremos de la VRP dependiendo del modo de
La zona sombreada corresponde a las alturas piezométricas que verifican H2>H1
o bien H2>Ht, y consecuentemente, q = 0. Por debajo de esta zona, la VRP puede estar
parcialmente abierta, actuando de forma activa para mantener una presión constante a
la salida (recta horizontal), o bien puede estar totalmente abierta, actuando como un
elemento resistente cuya resistencia es R0 (rectas inclinadas 45o); el caudal que atraviesa
la VRP en estos dos últimos casos es q ≥ 0.
Las dificultades que conlleva modelizar su comportamiento han convertido a estos
elementos en objeto de estudio en algunos artículos (Chandrashekar [5], Jeppson y
Davis [9], Salgado et al. [17]).
Figura 3.15.- Característica de funcionamiento de una VRP en función de las alturas
piezométricas en sus extremos.
En el Capítulo 6 se analizará de forma extensa el comportamiento de estos
elementos, puesto que en el Capítulo 7, las VRPs son el objeto de un método de
optimización para redes ramificadas.
3.3.4.3.- V álvula sostenedora de presión (VSP).
La VSP es una válvula automática concebida para mantener una presión mínima
en su extremo situado aguas arriba, en un valor denominado presión de tarado. Su
misión consiste en impedir que la presión descienda por debajo de un nivel
predeterminado en algún punto de la red. La VSP sólo permite el paso de caudal si la
presión en el extremo aguas arriba supera el valor de tarado; en caso contrario, se cierra
restringiendo el paso de caudal para mantener la presión aguas arriba.
En redes de distribución con grandes desniveles puede suceder que las zonas
elevadas queden desabastecidas ante una fuerte demanda en las zonas de cota baja; en
esta circunstancia, la disposición de una VSP permite limitar el caudal suministrado
hacia las zonas bajas en tanto no se mantenga una presión mínima en las zonas altas.
El comportamiento real de la VSP, considerando la pérdida de carga a válvula
abierta queda representado en las siguientes ecuaciones:
R ≥ R 0 y H1
si H2 ≤Ht
si H1 <Ht o H2 >H1 ( q
siendo H1 y H2 las alturas piezométricas en los extremos de la válvula, Ht es la altura
piezométrica de tarado, R0 = (8 k)/(π2 g D4) es la resistencia hidráulica a válvula abierta
y hv es la correspondiente pérdida de carga para un caudal dado ( hv = R0 q2 ).
Aunque el mecanismo de control es diferente en una VSP y una VRP, en ambos
casos se utilizan cuerpos de válvula similares, y por ello, el coeficiente de pérdidas k
toma valores entre 4÷10 también en el caso de una VSP.
Figura 3.16.- Característica de funcionamiento de una VSP en función de las alturas
3. Existen algunas referencias sobre la modelización de VSPs en el análisis en régimen permanente de una red (Salgado et al.16 representa las ecuaciones de comportamiento (3. operando en forma activa para mantener una presión constante a la entrada (recta vertical).4. contabilizado para la válvula totalmente abierta. En tanto el caudal trasegado sea menor que qt.3. En los dos puntos anteriores se ha resaltado uno de los posibles cometidos de las válvulas reductoras y sostenedoras de presión.65) en una gráfica relacionando las alturas piezométricas H1 y H2 en los extremos de la VSP para cada modo de funcionamiento. el caudal que atraviesa la VRP en estos dos últimos casos es q ≥ 0.47 . VRP y VSP. 3. en las cuales q = 0. La VLQ es un tipo de válvula automática que permite controlar el caudal que la atraviesa de forma directa. la VLQ funciona en modo activo. [17]) aunque son mucho menos frecuentes que en el caso de VRPs.. el valor del coeficiente k está comprendido entre 4÷10. o bien puede estar totalmente abierta.V álvula limitadora de caudal (VLQ). la VRP puede estar parcialmente abierta. donde R0 es la resistencia hidráulica correspondiente a un coeficiente de pérdidas k. como un elemento de control de los caudales servidos. actuando como un elemento resistente cuya resistencia es R0 (rectas inclinadas 45o).4. provocando una pérdida de carga variable para mantener el valor del caudal. La zona sombreada corresponde a las alturas piezométricas que verifican H1<H2 o bien H1<Ht. En el instante en que el caudal alcanza el valor de tarado. 3. el caudal trasegado por la VLQ puede variar entre 0 y el valor de tarado qt. impidiendo que supere un valor conocido como caudal de tarado qt. a través de la acción de gobierno sobre las presiones. Por debajo de esta zona. y actúa como un elemento resistente provocando una perdida de carga hv = R0 q2. dependiendo de las presiones del sistema. se trata de un elemento unidireccional que no admite el flujo en sentido inverso al previsto. Al igual que en caso de la VRP y VSP. la VLQ permanece totalmente abierta. Fundamentos hidráulicos La Figura 3. Así. Al igual que la VR.
podemos modelizar su comportamiento por medio de las ecuaciones siguientes: R ≥ R0 R R0 R →∞ si H1 ≥ H2 si H1 H2 si H1 <H2 hv ( q hv qt ) ( 0 <q <qt ) (q (3.Finalmente. la figura (d) muestra un diagrama de la variación de las alturas piezométricas en los extremos de la VLQ. la (b) muestra la variación de la resistencia R en función del caudal q.. H1 y H2 para cada uno de sus modos de funcionamiento.17 hemos representado gráficamente las ecuaciones de comportamiento de la VLQ. La figura (a) es el esquema de una VLQ.66) 0) donde hv representa la pérdida de carga a válvula abierta para el caudal q en cuestión y qt es el caudal de tarado. En la Figura 3. mientras que la (c) representa la variación de la pérdida hv en función del caudal. Figura 3.17.48 . Fundamentos hidráulicos Así.Característica de funcionamiento de una VLQ. 3.3.
Estas son la formulación por nudos (ecuaciones en H). la formulación por líneas (ecuaciones en q) y la formulación por mallas (ecuaciones en ∆q).49 . uno de ellos constituido por las N-1 ecuaciones de continuidad en los nudos (las cuales constituyen un sistema de ecuaciones lineales). orientadas al uso de técnicas de relajación.. las M ecuaciones de equilibrio de malla (3. y ello representa siempre una ventaja en el momento de abordar el cálculo. constituido por las N-1 ecuaciones de continuidad en los nudos (3.9) que nos permite determinar las alturas piezométricas en los nudos de la red.4.4). Fundamentos hidráulicos 3. el análisis de redes ramificadas con un único punto de altura piezométrica conocida puede acometerse de una forma mucho más sencilla resolviendo dos sistemas de ecuaciones desacoplados. independientemente del tipo de formulación adoptada. que han sido y son las más ampliamente utilizadas. Caben.TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE REDES. no se resuelve nunca en conjunto. Se han propuesto distintas formulaciones para resolver el problema de análisis en redes malladas. En los siguientes apartados se presentarán las formulaciones clásicas. 3.3. Finalmente hay que resaltar que existe una gran diversidad de métodos y técnicas numéricas para la resolución del sistema de ecuaciones. que difieren entre sí fundamentalmente en el tratamiento del sistema de ecuaciones. puesto que el sistema puede ser reducido a uno de menor tamaño.8).6) y las L ecuaciones de comportamiento de las líneas (3. por supuesto. tratando las incógnitas q y h simultáneamente. que proporciona los caudales qij circulantes por las líneas. Por esta razón se ha dedicado el apartado 3. Aunque las ecuaciones son absolutamente generales y aplicables a cualquier tipo de red. otras formulaciones diferentes que no consideraremos aquí puesto que escapan del propósito del presente capítulo. y que el lector interesado puede encontrar en la bibliografía especializada.4. y el otro constituido por N-1 ecuaciones del tipo (3.1 al tratamiento de este caso particular. El sistema de 2L ecuaciones que definen el comportamiento de la red en condiciones de régimen estacionario.
podemos indexar las variables de una línea en base al nudo que se sitúa aguas abajo de la misma (ver Figura 3. conocidas las características hidráulicas de las líneas de la red.9) y adicionalmente. también conocido como nudo de cabecera. aunque la altura en dichos nudos deberá constituir una incógnita del problema.4) y teniendo en cuenta la nueva notación introducida. que denominaremos Hc.5) aplicada al conjunto de la red: N 1 Qc Qi i 1 Considerando que cada uno de los nudos de la red ramificada excepto el de cabecera está alimentado desde una única línea.. el caudal inyectado en cabecera. la condición de continuidad (3.N 1 (3. los caudales circulantes se determinan a partir de: Caudal de la línea i : qi j ∈A i Qj ∀i 1. y finalmente. Esta situación no implica necesariamente que se inyecte caudal a la red únicamente a través del nudo de cabecera.3. también es posible plantear caudales entrantes en cualquiera de los nudos restantes. los N-1 caudales Qi consumidos en los nudos diferentes de la cabecera son datos del problema. N-1 ecuaciones de pérdidas del tipo (3. No obstante. Con este planteamiento. N-1 ecuaciones de comportamiento de las líneas. y hj en lugar de hij. en lo sucesivo supondremos que en el resto de los nudos los caudales son salientes. correspondientes a N-1 ecuaciones de continuidad independientes en los nudos del sistema.18). por otro lado.. Para la determinación de estas incógnitas disponemos de 3 (N-1)+1 ecuaciones. al igual que la altura piezométrica en el nudo de cabecera. En este caso. N-1 alturas piezométricas en los nudos diferentes del de cabecera Hi. con lo que en este caso escribiremos qj en lugar de qij. Fundamentos hidráulicos 3. que denominaremos Qc. y por tratarse del caso más común. Transformando las N-1 ecuaciones de continuidad del tipo (3.67) en la cual Ai representa el conjunto de nudos de consumo ubicados aguas abajo de la 3. el nudo de altura conocida suele corresponder al nudo de alimentación de la red.50 .4. N-1 pérdidas en las líneas hij.Redes ramificadas con un único nudo de altura conocida.. aparecen un total de 3 (N-1)+1 incógnitas. correspondientes a N-1 caudales de línea qij.1.
9) en cada uno de los N-1 trayectos definidos. Dado que las características hidráulicas de las conducciones son conocidas. N 1 (3.68) donde Si representa el conjunto de líneas del trayecto que conecta la cabecera de la red con el nudo i (ver Figura 3. Puesto que la red es ramificada.3. .Esquema de una red ramificada con un punto de alimentación. esto es: Altura piezométrica en el nudo i : Hi Hc j∈Si hj ∀i 1. de manera que las alturas piezométricas en los nudos se obtienen de forma inmediata a partir del balance de pérdidas (3.. La presión existente en cada nudo. Fundamentos hidráulicos línea i (ver Figura 3.18). . solamente existe un trayecto que una la cabecera con cada nudo de consumo. se obtiene finalmente restando la cota geométrica del nudo al valor de su altura piezométrica.18). Figura 3. incluyendo por supuesto al nudo i.18. El sistema de ecuaciones (3. sustituyendo los caudales obtenidos qi en las N-1 ecuaciones de comportamiento de las líneas del tipo hi=hi(qi) obtenemos directamente las pérdidas en las líneas hi.51 . 3.67) permite determinar los caudales circulantes por cada línea de la red a partir de los datos de consumo en los nudos de la misma.
pero por cada nudo de altura conocida aparece una nueva incógnita que es el caudal aportado o consumido en el nudo Qi. En el caso particular de una red de topología ramificada con varios nudos de altura conocida se cumplirá que L = N-1. De hecho.4). el sistema de ecuaciones será: j ∈ Ai qi j (ij) ∈ Bk Qi i 1 .. 3.2. En el caso de que las líneas contengan solamente tuberías o elementos resistentes. -1 si es el contrario).4.2.52 ... Formulación por líneas (ecuaciones en q). y el término (±)ij representa el sentido de circulación de qij respecto del sentido de malla (+1 si coinciden. el sistema (3. N 1 (a) (3.Redes malladas o con varios nudos de altura conocida. el sistema de ecuaciones de continuidad está compuesto por N-1 ecuaciones. por lo que resulta evidente que el sistema de ecuaciones de continuidad es insuficiente para determinar las incógnitas qij..8).1.69) ( ±) i j h i j ( q i j ) 0 k 1 . cumpliéndose en general que L > N-1.6). los caudales que circulan por las líneas de la red no pueden ser determinados únicamente a partir de los caudales consumidos y aportados.4. En este tipo de redes. Fundamentos hidráulicos 3. por contraposición con las redes ramificadas con un sólo nudo de altura conocida. pero incluye como incógnitas L caudales de línea qij. más M ecuaciones independientes de malla (3. habiendo sustituido en éstas últimas los términos hij por las ecuaciones de comportamiento de las líneas (3.. La formulación por líneas consiste en el planteamiento del sistema de ecuaciones compuesto por las N-1 ecuaciones independientes de continuidad en los nudos (3. mientras que Bk es el conjunto de líneas que componen la malla k. Veamos a continuación las formulaciones de análisis en régimen permanente más comúnmente utilizadas para este tipo de redes complejas. Si suponemos un sistema con un único nudo de altura conocida. puesto que en general hij = Rij qnij. M (b) en la cual Ai es el conjunto de nudos directamente conectados al nudo i. sino que dependen también de las características hidráulicas de las líneas y de las alturas piezométricas en los nudos.3.69) puede escribirse como: 3.
puesto que cabe la posibilidad de que adopten varios modos de funcionamiento. definido por la propia válvula.. VSP o VLQ en la formulación por líneas plantea dificultades mayores que en el caso de las bombas. En el caso de una VR..70. puesto que el conjunto de incógnitas contiene únicamente caudales. 3.b). M (b) Dado que las únicas incógnitas que intervienen en la formulación son los L caudales de línea qij. si por el contrario.53 . ésta se comporta como un elemento resistente convencional. y como ya se refirió en 3. esta formulación se conoce también como "sistema de ecuaciones en q".10) y que resulta independiente del resto de ecuaciones de malla. N 1 0 k 1 .70) ( ±) i j R i j q i j n (ij) ∈ Mk 1 . aparecerán como nuevas incógnitas tantos caudales de nudo Qi como nudos de altura conocida menos uno.3. sin modificar por tanto las ecuaciones (3. en las ecuaciones correspondientes de malla (3. Por esta razón se seguirá conservando el balance entre ecuaciones e incógnitas..71) La introducción de válvulas especiales tales como VR. El sistema planteado consta de M+(N-1) = L ecuaciones y obsérvese que aún en el caso de que no exista ningún nudo de altura conocida. Para la inclusión de bombas en las ecuaciones de malla (3.b) simplemente se sustituye la ecuación correspondiente.. cuando el caudal lleva el sentido directo.2. pero también es cierto que entre cada par de nudos de altura conocida aparecerá una línea ficticia que dará lugar a una ecuación de malla ficticia del tipo (3.b) aparecerá como incógnita el valor de la diferencia de alturas piezométricas entre sus extremos y simultáneamente. que en el caso de un ajuste parabólico de dos coeficientes será: hi j H0 2 A qi j (3. la altura piezométrica en el extremo aguas abajo es superior a la existente en el extremo aguas arriba.70. VRP.70. Fundamentos hidráulicos j ∈ Ai qi j Qi i (a) (3. Cuando la red cuenta con más de un nudo de altura conocida. el caudal que la atraviesa pasará a ser un dato conocido (q=0). posee una única solución.
10).54 .4. pero la altura piezométrica en el extremo aguas abajo es un dato conocido. Al existir en este caso un nudo de altura conocida en uno de los extremos de la válvula. Frente a la formulación por líneas. 3. el funcionamiento activo de una VLQ implica que el caudal que la atraviesa es conocido e igual al caudal de tarado qt. el funcionamiento en modo activo implica el mantenimiento de una presión constante en su extremo aguas abajo. 3. En el caso de una VRP. Formulación por nudos (ecuaciones en H). sólo que el dato conocido es la altura piezométrica en el extremo aguas arriba.3. que será en este caso una incógnita más en las ecuaciones (3.2.b). Finalmente. en la cual uno de los nudos de altura conocida corresponde al nudo extremo de la válvula en el que se mantiene dicha altura. Por esta razón se conoce también con el nombre de "sistema de ecuaciones en H". el sistema de ecuaciones de continuidad es insuficiente para resolver las incógnitas de los caudales de línea qij.70.2. para plantearlas como ecuaciones de malla ficticia entre dos nudos de altura conocida del tipo (3. La formulación por nudos está basada en el sistema de N-1 ecuaciones de continuidad del sistema. Como se ha destacado en la introducción anterior. será necesario reformular las ecuaciones de malla convencional que incluyen a la válvula en cuestión. las diferencias de comportamiento acontecerán en el caso de un funcionamiento activo de dichas válvulas. hay que destacar dos ventajas fundamentales. sin embargo. debe aparecer un caudal de nudo Qi como incógnita) aunque en este caso las ecuaciones ya no serán lineales. VSP o VLQ funcionado completamente abierta como elemento resistente o bien cerrada. puede plantearse en los mismos términos que una VR. pero se desconoce la magnitud de la pérdida de carga en la VLQ. Fundamentos hidráulicos La inclusión de una VRP. reformulando dichas ecuaciones en términos de las alturas piezométricas en los nudos Hi conseguimos un sistema de N-1 ecuaciones independientes con N-1 incógnitas (recordemos que para cada altura piezométrica Hi conocida adicional. en primer lugar. Lo mismo podemos decir en el caso de una VSP. de manera que en esta situación se desconoce tanto las pérdidas ocasionadas por la VRP como el caudal que la atraviesa. el tamaño del sistema que debe ser resuelto puede ser mucho menor.
. las ecuaciones que definen el comportamiento de la red son las (3.74) tendremos que: y utilizando concretamente la expresión de pérdidas de Darcy (n=2) obtendremos: 3. para el caso de las tuberías o elementos resistentes. Fundamentos hidráulicos puesto que el número de ecuaciones e incógnitas es en este caso igual a N-1. el planteamiento de las ecuaciones de malla (3. Por ejemplo.73) ya que cualquier conjunto de valores de las variables (Hi..b) exige una descripción detallada de la topología de la red. lo que simplifica considerablemente el planteamiento del sistema de ecuaciones. pues al expresar éstas en términos de alturas piezométricas. En segundo lugar.3.Qi) que sea una solución del sistema (3. en la cual se establecen L ecuaciones con L incógnitas (recordemos que en las redes malladas se cumple que L > N-1). N 1 (3.73) en la cual recordemos que Ai representa el conjunto de nudos j conectados directamente al nudo i. como sigue: hi j Hi Hj → qi j hi j ( qi j ) qi j ( hi j ) qi j ( Hi Hj ) (3. así como la definición de mallas independientes dotadas de una orientación. menor que en el caso de la formulación por líneas. mientras que en la formulación por nudos sólo es necesario conocer las líneas conectadas a cada nudo. verificará asimismo las ecuaciones de malla. La transformación de las ecuaciones de continuidad en términos de las alturas Hi se consigue expresando los caudales de línea qij en función de las alturas Hi a través de las ecuaciones de comportamiento de las líneas. quedarán reducidas a un sistema trivial. En definitiva.55 .73). Los parámetros que definen el comportamiento de cada tipo de línea en la forma qij = qij(Hi-Hj) pueden obtenerse con relativa sencillez a partir de las relaciones que se han visto al analizar el comportamiento de cada elemento.70. utilizando la expresión general: hi j n R i j qi j (3.72) de manera que sustituyendo en las ecuaciones de continuidad del tipo (3.4) obtendremos: j ∈A i qi j ( Hi Hj ) Qi i 1 .
78) A qi j se tiene que: qi j Hj Hi H0 Hi A Hi Hj  2 en la cual. aparecerá como incógnita la diferencia de alturas hij. debido a la contribución de otras líneas que inciden sobre los mismos. considerando un ajuste parabólico de dos coeficientes: Hi Hj hi j H0 2 (3.73) que corresponden a los nudos extremos de la válvula. el término correspondiente al caudal que atraviesa la válvula desaparecerá en dos de las ecuaciones nodales (3. En el caso de incluir en la formulación válvulas especiales como VR. la diferencia de alturas (Hj-Hi) se ha escrito en orden inverso al habitual para representar el hecho de que la altura disminuye en sentido contrario al caudal.76) Ri j Hi Hj  La imposición de la altura en más de un nudo de la red no presenta ningún problema en esta formulación. ya que a cambio quedará el caudal Q como incógnita.77) Hj  (3. Para el caso de bombas. las ecuaciones (3. pero el caudal que atraviesa la válvula es conocido qij=0. las alturas piezométricas en dichos nudos extremos seguirán apareciendo en las ecuaciones. de esta forma.3. sin más que considerar la ecuación de pérdidas en la válvula completamente abierta como: hi j 2 Ri j q i j 8k 2 qi j → qi j 2 4 π gD Hi Ri j Hi Hj (3.56 . No obstante. y considerando un funcionamiento como elemento resistente convencional.79) Hj  Cuando se dan las condiciones de presión para que dichas válvulas estén cerradas.73) siguen siendo válidas. VRP. Fundamentos hidráulicos hi j qi j R 1/n ij Hi Hj hi j  1 1/n qi j R 1/n ij (3. el cual aparece explícitamente en la formulación.75) Hi Hj  1 1/n Hi Hj (3. 3. VSP o VLQ.
tan sólo en lo referente a la conexión de líneas y nudos. Este planteamiento facilita la resolución del sistema especialmente cuando es necesaria la eliminación temporal de alguna línea. nos encontramos que el funcionamiento activo supone que la altura piezométrica en uno de sus extremos es conocida e igual a la altura de tarado Ht siendo desconocido el caudal que la atraviesa. Fundamentos hidráulicos El funcionamiento activo es el que plantea las diferencias de tratamiento más importantes.73) en las que intervenga la válvula. en lugar de los términos: Hi Ht Ri j . aunque las alturas piezométricas en sus nudos extremos siguen siendo incógnitas. y que podemos resumir como: El planteamiento de las ecuaciones de la formulación nodal exige un conocimiento mínimo de la topología de la red. y por añadidura. en esta situación. razón por la cual los términos de las ecuaciones (3. en el caso de una formulación por líneas o por mallas exige un replanteamiento de las ecuaciones. Ht Hj Ri j En el caso de la VLQ funcionando en modo activo. por ejemplo. La formulación nodal es la preferida por gran número de investigadores frente a formulaciones por líneas o mallas por varias razones. alguna de las cuales ya hemos adelantado. el caudal que la atraviesa es conocido e igual a qt.3. mientras que la formulación por líneas o mallas requiere información adicional en la definición de mallas independientes y la formulación de las ecuaciones de malla asociadas. cuando intervienen válvulas multifuncionales que pasan de estar abiertas a estar cerradas. En el caso de una VRP o una VSP. las presiones en los nudos. por lo que resulta preferible introducir el caudal qij como incógnita en las ecuaciones (3. esta circunstancia.73) correspondientes a esta línea quedan sustituidos por un caudal conocido qt que pasa a formar parte del término independiente.57 . no se conoce su resistencia hidráulica Rij. la válvula se encuentra parcialmente abierta y en consecuencia. siendo estas sin duda las variables que mayor interés presentan en el análisis de una red 3. mientras que en la formulación nodal solamente se modifican algunos términos de las ecuaciones. La resolución mediante la formulación nodal está orientada a proporcionar el valor de las alturas piezométricas.
Formulación por mallas (ecuaciones en ∆q). esta operación requiere cálculos adicionales.58 . el establecimiento de una hipótesis de caudales.6) y por ello será necesario corregirlos. En consecuencia. El procedimiento de corrección sobre los caudales circulantes debe ser tal que satisfaga las ecuaciones de continuidad en los nudos. lo que en la práctica no comporta grandes dificultades. puesto que la determinación de las alturas piezométricas proporciona directamente el estado operativo de dichas válvulas. En la formulación por líneas o por mallas. Adicionalmente.3.6). Fundamentos hidráulicos hidráulica de distribución. y siguiendo un criterio de signos ligado con el sentido en que el caudal inicialmente asignado recorre la malla.4) en todos los nudos. 3. Por ello es conocido también como "sistema de ecuaciones en ∆q". aparecen al plantear las M ecuaciones independientes de malla (3.2. se puede prescindir de las ecuaciones de continuidad en todos los cálculos posteriores. lo más probable es que dichos caudales no sean compatibles con el principio de la conservación de la energía expresado en las ecuaciones de malla (3.4. La formulación por mallas está basada en una redefinición de las incógnitas del problema de análisis para reducir su número a M (número de mallas). conocidas como caudales correctores de mallas ∆q. Así. Las nuevas incógnitas. una vez se haya establecido la hipótesis inicial de caudales. realizando la corrección de caudales de modo que el mismo caudal es añadido ó restado de todas las líneas que constituyen un circuito cerrado. pero verificando las ecuaciones de continuidad (3. Aunque los caudales propuestos verifiquen las ecuaciones de continuidad en los nudos.3. puede asegurarse el mantenimiento del balance de caudales que proporciona la ecuación de continuidad en todos los nudos de la red. de forma arbitraria. 3. la inclusión de válvulas multifuncionales cuyo estado de funcionamiento está gobernado directamente por el valor de la presión en sus extremos (VR. VRP y VSP) resulta mucho más sencilla. puesto que la resolución del sistema de ecuaciones no proporciona directamente las alturas piezométricas en los nudos. lo que implica asignar un caudal a todas las líneas de la red. como primer paso. La formulación por mallas supone.
que puede ser determinada a partir del balance global de caudales en toda la red expresado en (3. y (-1) en el caso contrario. Conjunto de mallas independientes r que contienen a la línea (ij).59 . El sistema consta de M ecuaciones independientes y no lineales en ∆q.. Caudal corrector en la malla r. podemos reformular el sistema de ecuaciones (3. Coeficiente que adopta el valor (+1) cuando el caudal q*ij sigue el sentido de circulación definido para la malla r. las líneas que no pertenezcan a ninguna malla no intervienen en la formulación. y (-1) en el caso contrario. el caudal de cada línea es corregido con los caudales correctores de todas las mallas a que pertenece.. En las ecuaciones (3. uno de los caudales de nudo Qi será una incógnita del problema.10). M (3. suponiendo que la red está constituida por tuberías y elementos resistentes.80). aumentará el número de incógnitas entre los caudales de nudo Qi. Si en la red existe únicamente un nudo de altura conocida. con las correspondientes ecuaciones de malla ficticia del tipo (3. Si por el contrario.(±)ij - Rij q*ij Mij ∆qr (±)rij Conjunto de líneas que configuran la malla k. Por otra parte.5).80) en la cual se emplea la notación siguiente: . Resistencia hidráulica de la línea (ij). siendo las incógnitas en este caso los M caudales correctores de malla. Caudal hipotético en la línea (ij). Fundamentos hidráulicos Los caudales correctores deberán tener pues un valor único por cada malla. existe más de un nudo con altura conocida. sin atentar con ello por tanto el principio de continuidad. y deberán calcularse aparte como sistemas ramificados. una vez obtenido el estado de equilibrio. pero en compensación aparecerán tantas mallas ficticias como nudos de altura conocida menos uno.Bk . Coeficiente que adopta el valor (+1) cuando el caudal q*ij sigue el sentido de circulación definido para la malla k.6) en la siguiente forma: (i j) ∈Bk ( ±) i j R i j q i j ( ±) i j ∆ q r r r ∈ Mij n 0 k 1 .3. 3. y para su determinación.
cuando un sistema presenta un estado de equilibrio físico definido.1. es muy posible que el sistema no posea solución debido a la incompatibilidad de los datos. para configurar la ecuación del circuito. sino por el comportamiento no lineal que siguen los elementos que componen el sistema. en la formulación por líneas. Si las variables incógnitas se concentran en una zona de la red y los datos se concentran en otra. Una cuestión que va implícitamente ligada con el tratamiento de sistemas no lineales es la referente a la existencia y unicidad de la misma.60 .4. claro está.1.Introducción.Métodos de resolución.. característica que viene determinada no por la propia formulación de las leyes de equilibrio.2.3. No existe hasta el presente ningún método de resolución directa y es por tanto necesario recurrir a métodos iterativos para obtener la solución final.. En términos generales. su ecuación de comportamiento se añade a los sumandos propios de las otras líneas. Para el análisis incluyendo válvulas multifuncionales. 3. las alturas piezométricas en los nudos Hi se determinarán estableciendo el balance de pérdidas de carga en un trayecto desde un nudo de altura conocida hasta el nudo en cuestión. al menos en una parte de las ecuaciones. Fundamentos hidráulicos Una vez calculados definitivamente los caudales circulantes qij y consecuentemente determinadas las pérdidas hij. A este respecto.4. algunos autores han propuesto diversos criterios respecto de las incógnitas a considerar y su correspondiente distribución para 3. aunque dependiendo. La característica común a todas las formulaciones expuestas es que el sistema de ecuaciones a resolver no es lineal.4.3. puede decirse que la solución matemática también existe. 3.3. de la fidelidad del modelo.. para que exista una solución al problema de análisis es necesario que el número y la distribución de las incógnitas en la red permitan la formulación de un número adecuado de ecuaciones independientes. podemos remitirnos a los mismos procedimientos expuestos en el apartado 3. Naturalmente. En el caso de incluir bombas en la formulación por mallas.
3. que solamente 3. las cuales son resueltas secuencialmente. Fundamentos hidráulicos que el sistema sea resoluble (Shamir y Howard [18]. en su artículo original [4] Hardy Cross presentaba dos alternativas posibles a utilizar. 3. fueron adoptados de forma mayoritaria para el cálculo de redes desde su aparición en 1936. fundamentalmente debido al menor número de ecuaciones que se maneja. una correspondiente a la formulación por mallas. mientras que los métodos de linealización. al menos a pequeña escala. y métodos de linealización del sistema de ecuaciones. consisten en la transformación de las ecuaciones no lineales en un sistema lineal que es resuelto para todas las incógnitas en conjunto. como indica su nombre. Hablamos en plural pues. En realidad cuando se habla del método de Cross se hace una referencia implícita sólo al que se aplica a la formulación por mallas. en lo que sigue admitiremos que la solución existe y es única y nos centraremos en algunos de los posibles métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones propuestos. y por los excelentes resultados que proporcionan. En una primera clasificación podemos distinguir entre métodos iterativos de GaussSeidel y Jacobi como son por ejemplo los métodos de Cross. que recibió en principio mucha mayor aceptación que el método aplicado a la formulación por nudos. y otra para la formulación por nudos.Métodos de Cross. Sin embargo.3. La diferencia sustancial entre ambos tipos de métodos es que en el primer caso la resolución implica una simplificación en la que sólo interviene una incógnita por cada una de las ecuaciones. hasta que empezaron a cobrar auge los primeros computadores digitales en los primeros años sesenta. No obstante. obteniendo el valor de una incógnita cada vez. y que se pueden resumir de un modo general en que el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones independientes y que todas las ecuaciones cuenten con al menos una incógnita. el número de mallas resulta menor que el número de nudos. en redes de mayor tamaño.4. Los métodos de Cross representaron el primer intento realizado para resolver manualmente el sistema de ecuaciones planteado. Bhave [2]). como por ejemplo el método de Newton-Raphson y el método de la Teoría Lineal.61 .2.. en general. pensemos que la necesidad de realizar el cálculo manualmente únicamente permitía manejar redes de pequeño tamaño en las que.
sigue verificando el principio de continuidad en los nudos. debido al hecho de haber considerado explícitos todos los signos.3. no es difícil encontrar casos en los que sucede lo contrario. 0 (3.62 . esto es: (i j) ∈Bk ( ±) i j R i j q i j n n ∆ qk n 1 (i j) ∈Bk R i j qi j . que como ya ha sido comentado. En la formulación por mallas. El sistema de ecuaciones representado en (3. superpuestos a los caudales hipotéticos propuestos. observemos que el denominador es > 0.83) n 1 n (i j) ∈Bk Ri j q i j en la cual. ésta se linealiza primeramente mediante un desarrollo de Taylor de la ecuación. Para la obtención de los caudales correctores de malla ∆qk es necesario establecer unos caudales hipotéticos q*ij que verifiquen las ecuaciones de continuidad en los nudos de la red. en el cual se eliminan los términos en ∆qk de grado mayor que uno...80) se simplifica en este caso en la forma: (i j) ∈Bk ( ±) i j R i j q i j ( ±) i j ∆ q k n 0 k (3.81) 1 . proporcionan la siguiente hipótesis de caudales.. Fundamentos hidráulicos resultan calculables mediante las herramientas informáticas apropiadas todavía no disponibles en la época de Cross. el cálculo de los sucesivos ∆qk se llevaba a cabo siguiendo el conocido método de Jacobi de forma que primero se obtienen todos los caudales correctores y a continuación se realizan las correcciones de caudal todas a un tiempo.82) de donde resulta la conocida expresión: ∆ qk (i j) ∈Bk ( ±) i j R i j q i j n (3. M Para despejar la incógnita ∆qk de cada ecuación. 3. En el trabajo original de Cross. antes de comenzar la siguiente iteración. Los caudales correctores de malla. Cross simplifica el sistema de ecuaciones introduciendo una única incógnita por ecuación que es el caudal corrector de la malla correspondiente a la ecuación en cuestión..
3. y será necesario realizar un cálculo iterativo en el cual.4.83) se generaliza sin dificultad ante la presencia de bombas en algún circuito. tales como la aplicación del método de Gauss-Seidel en el cual la corrección de caudales se efectúa inmediatamente tras el cálculo de cada ∆qk sin esperar a que todos ellos hayan sido calculados. La ecuación (3. derivable en x. Para ilustrar el procedimiento vamos a considerar una ecuación de una única variable g(x)=0.63 . Fundamentos hidráulicos A lo largo de los años.3. 3. el real y el linealizado.. 3.3.84) n 1 n (i j) ∈Bk Ri j q i j hb ( qb )  en la cual hb es la altura de la bomba. mediante transformaciones sucesivas del sistema de ecuaciones linealizado. y también para las mallas ficticias. la solución obtenida a partir del sistema lineal no será una solución válida en general. en la forma: ∆ qk (i j) ∈Bk ( ±) i j R i j q i j n hb ( qb ) ± ( Ha Hb ) (3. Los métodos de linealización consisten en alterar la configuración del sistema de ecuaciones no lineal para que resulte un sistema de ecuaciones lineales respecto de las incógnitas planteadas. consiste en la linealización de las ecuaciones considerando los dos primeros términos del desarrollo de Taylor de las mismas. Debido a la no llinealidad del sistema real. conocido como de Newton-Raphson. se consiga una solución que verifique ambos sistemas de ecuaciones. Ha y Hb son las alturas en los nudos extremos de la línea ficticia siendo el nudo a anterior al b en el sentido del recorrido de la malla. y h'b(q*b) representa el valor absoluto de la derivada de la altura de bombeo para el caudal hipotético. que adoptará un signo negativo si el caudal que la atraviesa q*b sigue el sentido de la malla y positivo si es el contrario.Método de Newton-Raphson. El primero de los métodos de linealización que hemos citado. han ido apareciendo técnicas que mejoran la rapidez de convergencia del método de Cross.
86) para este caso obtendremos: G(X) 0 G(X ) 0 0 J( X ) ( X X ) 0 (3.86) Al tratarse de una expresión aproximada. xN ) y G . Fundamentos hidráulicos El desarrollo de Taylor de la función g(x) en un entorno del punto x0 nos proporciona: g ( x0 ) g(x) ( x x0) 2 g ´´(x0) 2! ( x x0 ) g ´( x0 ) .64 . .. . la aproximación lineal nos conduce a: g(x) g ( x0 ) 0 → x ( x x0 ) g ´( x0 ) g ( x0 ) g ´( x0 ) x0 (3.3. gN ( X ) Generalizando la aproximación lineal de (3. Si suponemos que x0 es un punto próximo a una raíz x de la ecuación g(x)=0.. se está aproximando el valor de la función g(x) en el entorno de x0 a una línea recta tangente a la función g(x) en el punto x0. . . cuyos elementos son las derivadas parciales de las funciones gi respecto de las variables xj. . → x( i g ´( x1 ) 1) x( i ) g ( x( i ) ) → g ´( x( i ) ) El procedimiento es susceptible de ser ampliado a un sistema de general de N ecuaciones con N incógnitas del tipo: g1 ( X ) g2 ( X ) G(X) 0 siendo X ( x1 . . no será la solución definitva. (3.88)  0 siendo J la matriz jacobiana de G particularizada para el vector X .87) . esto es: 3. esto es: x1 x0 g ( x0 ) → x2 g ´( x0 ) x1 g ( x1 ) →. . Esta aproximación resultará tanto más exacta cuanto más cercanos sean los valores de x y x0. Por ello será necesario realizar un cálculo iterativo para corregir las desviaciones del valor de x asi obtenido. el valor x obtenido como raíz de la ecuación. y que consistirá en utilizar el valor obtenido en (3.85) Considerando tan sólo los dos primeros términos del desarrollo.86) como dato de entrada en la siguiente iteración. (3. x2 .
91) . esto es. Aplicando el procedimiento a una ecuación de malla obtendremos: ( ±) i j R i j q i j n (ij) ∈ Mk ( ±) i j R i j q i j n 1 (ij) ∈ Mk 3. aunque generalmente lo encontramos aplicado al sistema de ecuaciones en H (método de los nudos). Hay que apuntar que el método de Cross constituye un caso particular de aplicación del método de Newton-Raphson sobre las ecuaciones de malla en ∆q. Una sugerencia muy sencilla para linealizar este sistema de ecuaciones consiste en redefinir los coeficientes (resistencia hidráulica de las líneas) de forma que incluyan una parte del término no lineal.3. y como tal ha sido expuesto.Método de la Teoría Lineal.65 qi j 0 (3. simple y uniforme. para obtener la solución al sistema de ecuaciones G (X)=0 recurrimos de nuevo a un procedimiento iterativo determinado por la siguiente ecuación recursiva: X (i 1) X (i) [J X (i) ] 1 G X (3. tomando como ejemplo las ecuaciones de malla en qij. No obstante las ecuaciones no lineales que se presentan en el análisis de una red en régimen permanente son de un tipo bastante característico. puesto que la no linealidad es de tipo algebraico..89) J ∂gN ∂gN ∂x1 ∂xN   Con este planteamiento.3. 3. los términos debidos a elementos resistentes de cualquier tipo consisten en una resistencia hidráulica multiplicada por el caudal qij elevado a una potencia que podemos suponer constante.4.4.90) (i) El método de Newton-Raphson resulta aplicable a cualquiera de los tres sistemas de ecuaciones descritos. Fundamentos hidráulicos ∂g1 ∂g1 ∂x1 ∂xN (3. El método de Newton-Raphson es de utilidad absolutamente general para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. resultando un conjunto de ecuaciones lineales. añadiendo la simplificación de que en cada ecuación de malla intervenga un único caudal corrector.
66 .3.95) A este respecto. y (n)qij a los caudales obtenidos al resolver el sistema lineal de ecuaciones en la misma iteración. Si denominamos q(inj) a los caudales empleados para determinar los coeficientes en la iteración n. Por tanto puede suponerse que en la primera iteración todos los caudales de línea son iguales a la unidad q1ij=1 y en consecuencia.94) qi j Pero al poner en práctica esta forma de proceder se observa un comportamiento oscilatorio de las soluciones que dificulta y ralentiza la convergencia del proceso.. Cuando se aplica el método de la Teoría Lineal a las ecuaciones en q. el procedimiento anterior puede expresarse formalmente como: (n 1) (n) qi j (3. R'i1j=Rij. Fundamentos hidráulicos de manera que si definimos un nuevo coeficiente: (3. esto es: (n 1) qi j (n) (n) qi j qi j (3. pero sin duda llega a adquirir la mayor importancia y difusión a partir de los trabajos de Wood y Charles [23]. La forma más sencilla de realizar el cálculo iterativo consiste en utilizar los caudales obtenidos en la resolución del sistema linealizado de ecuaciones en una iteración para calcular los nuevos coeficientes que se utilizarán en la iteración siguiente. la estimación de los caudales qij necesaria para determinar los coeficientes R'ij de las ecuaciones.92) n 1 Ri j Ri j q i j obtendremos un nuevo sistema de ecuaciones totalmente lineal: (ij) ∈ M k ( ±) i j R i j q i j 0 k 1 .93) El método de la Teoría Lineal ha sido propuesto por varios autores desde McIlroy [14] en 1949. no afecta en modo alguno a las ecuaciones de continuidad en los nudos y sirve únicamente para conformar un sistema lineal de ecuaciones. Para acelerar la convergencia. Wood y Charles proponen que el caudal propuesto en una iteración sea simplemente la media aritmética entre los caudales obtenidos en las dos 3. M (3. Muir [16] sugiere emplear un caudal para el cálculo de los coeficientes que sea una media geométrica de los caudales propuesto y obtenido de la anterior iteración..
2 el sistema de ecuaciones que determinan dicho comportamiento en función de la topología de la red y del tipo de elementos con que cuenta.67 . Bhave [2] sugiere que considerando la media aritmética de los caudales propuesto y obtenido en la anterior iteración. Una vez revisados los conceptos más generales y los tipos de modelos que pueden concebirse.96) 2 Siguiendo esta misma línea. como las bombas. pasando por elementos motrices. como es el caso de las válvulas multifuncionales. En el apartado 3. desde los elementos resistentes más simples (como tuberías y elementos que provocan pérdidas localizadas) hasta los más complejos..CONCLUSIONES En el presente capítulo se han introducido los conceptos básicos que desde el punto de vista matemático e hidráulico describen una red hidráulica de distribución y su modo de funcionamiento. esto es: (n) q (n 1) ij (n 1) qi j qi j (3. Fundamentos hidráulicos iteraciones inmediatamente anteriores. El apartado 3. aunque se utiliza mayoritariamente sobre el sistema de ecuaciones en q.5. que constituye la representación más usual y accesible del funcionamiento de una red. la convergencia puede resultar aún más rápida.3. para lo cual se ha establecido en 3. 3. esto es: (n) (n 1) qi j qi j (n) qi j (3.4 se ha dedicado a exponer las formulaciones clásicas de los sistemas de ecuaciones que describen el comportamiento de la red en régimen 3. el contenido de los apartados restantes se ha centrado en la modelización del comportamiento de la red en régimen permanente.3 se ha analizado el comportamiento individual de los elementos comúnmente empleados en una red de distribución.97) 2 El desarrollo del método de la Teoría Lineal es aplicable en forma general a cualquiera de las formulaciones que hemos revisado.
Finalmente cabe apuntar que las formulaciones y los métodos que han sido expuestos a lo largo del capítulo no constituyen las únicas vías de abordar el problema de análisis. M. debido a la sencillez de su implementación informática. [3]. Universidad Politécnica de Valencia. Unidad Docente Mecánica de Fluidos. en H y en ∆q). muy apta para computadores de poca potencia. 3.6. Otras aportaciones a este respecto son. el método de Cross pierde efectividad y ralentiza la convergencia. que plantea el equilibrio del sistema como un problema de minimización de la energía disipada. así.68 .M. y Roldán. el trabajo de Kesavan y Chandrashekar [11]. pero el advenimiento de los nuevos procedimientos desarrollados con posterioridad al método de Cross está provocado por la necesidad de analizar sistemas de complejidad y tamaño creciente. J. "A nálisis Hidráulico de Redes". lo cierto es que cada uno de ellos se suele utilizar en una formulación concreta. el método de Cross está comúnmente asociado a la formulación por mallas (sistema de ecuaciones en ∆q). Como cierre de este apartado se han revisado de forma somera y general tres de los métodos más utilizados para la resolución de los sistemas de ecuaciones referidos.3. Ed. Pese a los inconvenientes del método de Cross. el método de Newton-Raphson ha sido el favorito para la resolución del sistema de ecuaciones en H (formulación por nudos) y el método de la Teoría Lineal encuentra su principal campo de aplicación en la formulación por líneas (sistema de ecuaciones en q).. Fundamentos hidráulicos permanente (ecuaciones en q. Aunque los métodos expuestos pueden ser aplicados a cualquiera de las formulaciones referidas. o la aplicación más reciente de los métodos del gradiente para la resolución del sistema de ecuaciones [17]. (1992). la contribución de Collins et al. por ejemplo. así como las simplificaciones que resultan al considerar el análisis de redes ramificadas. que resuelven el problema mediante un planteamiento de las ecuaciones basado en la teoría de grafos. Cada uno de los métodos de resolución presenta ventajas e inconvenientes. del libro Curso de Ingeniería Hidráulica Aplicada a los Sistemas de Dsitribución de Agua. éste sigue siendo todavía el más utilizado. 3. ante los cuales.BIBLIOGRAFÍA [1] Abreu.
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