Source: https://es.scribd.com/doc/17952061/Estandares-y-Expectativas-de-Matematicas-00-Introduccion
Timestamp: 2017-02-24 12:50:42+00:00

Document:
NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosNoticias & RevistasPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseESTADO LIBRE ASOCIADO DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓNESTÁNDARES DE CONTENIDO Y EXPECTATIVAS DE GRADO
Estándares de matemáticas: Introducción
COLABORADORES El documento de Estándares y Expectativas Generales de Grado del Programa de Matemáticas se desarrolló como producto del esfuerzo y la participación de un equipo de profesionales. El Programa de Matemáticas tiene una deuda de gratitud con los siguientes educadores, por su compromiso y contribución al mejoramiento de la enseñanza de esta disciplina académica en Puerto Rico.
Dr. Jorge M. López Catedrático Departamento de Matemáticas Recinto de Río Piedras Universidad de Puerto Rico
Dr. Edgardo Quiñones Catedrático Escuela Graduada de Educación Universidad Metropolitana
Vicente Jaime Consultor Compañía TRI-LIN
Brunilda Rivera Colón Directora Ejecutiva Comisión de Estándares Programa de Matemáticas
Luz N. Vélez Rivera Sub-directora Ex-Supervisora de Zona Distrito Escolar de Arecibo I
Kindergarten – Tercer Grado Dra. Daisy Méndez Nieves Supervisora de Zona Distrito Escolar Aguadilla Ivelisse Ortiz Feliciano Escuela Purificación Rodríguez Distrito Escolar Coamo Itzel Pérez Pérez Escuela S. U. Diego Bravo Distrito Escolar Arecibo I Petra Vázquez Santiago Escuela Raúl Juliá Distrito Escolar Bayamón II Séptimo - Noveno Grado Lidyana López Díaz Supervisora de Zona Distrito Escolar San Juan III Prof. Elba Velázquez Escuela University Gardens Distrito Escolar San Juan III Prof. Diana Rivera Escuela Pablo Casals Distrito Escolar de Bayamon I Cuarto-Sexto Grado Aileen Velázquez Estrella Escuela Carmen D. Ortiz Distrito Escolar Aguas Buenas Julio A. Pérez Escuela Ofelia Díaz Rodríguez Distrito Escolar Vega Baja Eulalia Reyes Lugo Supervisora de Zona Distrito Escolar Toa Alta José A. Rodríguez González Supervisor de Zona Distrito Escolar Gurabo
Décimo - Duodécimo Grado Lcda. Marisol Ballagas Cacho Escuela Atiles Moreau Distrito Escolar San Juan III José L. de Jesús Morales Supervisor de Zona Distrito Escolar Toa Baja Priscilla Torres Ramos Supervisora de Zona Distrito Escolar San Juan II
Kindergarten – Tercer Grado
José A. Pabón Olivero Escuela Julio J. Henna Distrito Escolar San Juan I Amarilys Salgado Reyes Escuela Julio J. Henna Distrito Escolar San Juan I Ana M. Torres Cartagena Supervisora de Educación Especial Distrito Escolar Bayamón I
Blanca E. Martínez Vallés Supervisora de Zona Distrito Escolar Cayey Rosa Rodríguez Peñalbert Escuela Antonio Valero Bernabé Distrito Escolar Fajardo Zenonita Traverso Bonilla Maestra de Educación Especial Escuela Pablo Casals Distrito Escolar Bayamón I
Lydia Soto Escuela Manuel Fernández Juncos Distrito Escolar Juana Díaz Iris N. Rodríguez Rivera Escuela Berta Zarduondo Cruz Diustrito Escolar Fajardo María Teresa López Escuela Manuel Fernández Juncos Distrito Escolar Juana Díaz
Alice Rivera Toro Escuela Elba Lugo Carrión Distrito Escolar Arecibo II Lydia Alvarado López Escuela Berta Zarduondo Cruz Distrito Escolar Fajardo
Prof. Rocket Caraballo (recientemente fallecido) Distrito Escolar de Mayaguez Tomás Colón Dorta Escuela Luis Felipe Pérez Distrito Escolar Arecibo I Nydia Medina Forte Escuela Brigida Alvarez Distrito Escolar de vega Baja Héctor Román Vega Escuela Sabana Llana Distrito Escolar San Juan III
Décimo - Duodécimo
Prof. Edwin Benvenutti Justiniano CROEM Distrito Escolar Mayagüez Analise Colón Berríos Escuela Miguel Meléndez Muñoz Distrito Escolar Cayey Gerardo Cruz López Escuela Juan Serrallos Distrito Escolar Ponce I José Munera Escuela Superior Vocacional Distrito Escolar Villaba Soraya Lagares Nazario Escuela Trina Padilla Distrito Escolar Arecibo
Equipo de Revisión Especificaciones
Ricardo Almodóvar Rodríguez Supervisor de Zona Distrito Escolar Ponce Mayra Avilés Veléz Supervisora de Zona Distrito Escolar Canóvanas Marie S. Cabán Acevedo Supervisora de Zona Distrito Escolar Trujillo Alto Iria C. Flores Jenaro Supervisora de Zona Distrito Escolar Caguas II Xandra González Maldonado Supervisora de Zona Distrito Escolar Guayama Nelly López García Supervisora de Zona Distrito Escolar Juncos Viviana Nieves Cintrón Supervisora de Zona Distrito Escolar Luquillo José A. Rodríguez Vega Supervisor de Zona Distrito Escolar Villalba Manuel Sevilla Estela Supervisor de Zona Distrito Escolar Bayamón II
Prof. Eliezer Cotto Pomales Departamento de Matemáticas Universidad Politécnica de Puerto Rico Ing. Martha Dumois Departamento de Matemáticas Universidad Politécnica de Puerto Rico Melissa Natal Pantoja Estudiante de Primer Año Universidad Politécnica Arlene M. Irizarry Soto Directora Programa de Kindergarten Nivel Central Prof. Daisy Ramos Superintendente de escuelas Distrito Escolar de Rincón Edith Rivera González Directora Escuela Manuel Fernández Juncos Edsel Colberg CROEM Distrito Escolar Mayagüez Pablo Borges Pimentel Superintendente de escuelas Distrito Escolar de Trujillo Alto
Gracia Ruiz de Talavera Superintendente de escuelas Distrito Escolar de Mayagüez
Agradecemos igualmente los consejos del Prof. Waldo Torres, la Dra. Ana Helvia Quintero, la Dra. Myrna Fuster, el Dr. Edwin Morera, la Prof. Julia Rodríguez, la Prof. Carmen Martínez, la Prof. Sandra García, la Prof. Nercy Pared, el Prof. René Hernández, el Dr. Roberto Colón, el Prof. Edward Caro, la Prof. Mayra Alonso, la Dra. Luz Maritza Fernández, el Prof. Joaquin Padovani, la Dra. María Maldonado, la Prof. Nereida Rodríguez, la Prof. Bethzaida Correa, la Prof. Violeta Santiago y la Prof. Emely Fernández, que de una manera especial apoyaron los esfuerzos del Programa de matemáticas en el proceso de redacción de estos estándares. Comité de Reingeniería Curricular
Ricardo Almodóvar Rodríguez Supervisor de Zona Distrito Escolar Ponce Yolanda Amadeo Alvarado Supervisora de Zona Distrito Escolar Coamo Wanda Ávila Ocasio Supervisora de Zona Distrito Escolar Camuy Mayra Avilés Veléz Supervisora de Zona Distrito Escolar Canóvanas Marie S. Cabán Acevedo Supervisora de Zona Distrito Escolar Trujillo Alto Blanca Estrella Supervisora de Zona Distrito Escolar Cayey Iria C. Flores Jenaro Supervisora de Zona Distrito Escolar Caguas II Xandra González Maldonado Supervisora de Zona Distrito Escolar Guayama Nelly López García Supervisora de Zona Distrito Escolar Juncos Juan Maldonado Toledo Supervisor de Zona Distrito Escolar de Hatillo Julio Montes de Oca Supervisor de Zona Distrito Escolar San Sebastián Viviana Nieves Cintrón Supervisora de Zona Distrito Escolar Luquillo Javier Quiles Oquendo Supervisor de Zona Distrito Escolar Las Piedras Eulalia Reyes Lugo Supervisora de Zona Distrito Escolar Toa Alta José A. Rodríguez Vega Supervisor de Zona Distrito Escolar Villalba Manuel Sevilla Estela Supervisor de Zona Distrito Escolar Bayamón II Rosa M. Vélez Muñiz Supervisora de Zona Distrito Escolar Ponce Janet Dávila Santana Supervisor de Zona Distrito Escolar Ceiba
Sarai Nieves Bernard Escuela Superior Luis Muñoz Marín Distrito Escolar Añasco Marcel Ruiz Escuela Especializada University Gardens Distrito Escolar San Juan II Luis Rosado Escuela Superior José Gautier Benítez Distrito Escolar Caguas I Marta Alvarado Escuela Superior Jaime Collazo Distrito Escolar Morovis Luis Rivera Escuela Superior Antonio Luchetti Distrito Escolar Arecibo Roberto L. Díaz Díaz Escuela Bilingue Ramírez Hostos Distrito Escolar Añasco Félix González Mercado Escuela Superior Josefina León Zayas Distrito Escolar Jayuya Eneid Betancourt Escuela Superior Tomás C. Ongay Distrito Escolar Bayamón II Marisol Ballagas Cacho Escuela Atiles Moraeu Distrito Escolar San Juan III Hilda E. Castejón Escuela Superior Antonio Luchetti Distrito Escolar Arecibo Iris Bermudez Escuela Central de Artes Visuales Distrito Escolar San Juan I José H. Pérez Rosado Escuela Superior Jaime Collazo Distrito Escolar Morovis Gregorio Ruiz Escuela Superior Eugenio María de Hostos Distrito Escolar Mayaguez Yolanda Rivera Escuela Superior Lysander Borerro Terry Distrito Escolar Villalba Nydia Medina Forte Escuela Intermedia Brígida Álvarez Distrito Escolar Vega Baja Manuel Vigo Tosado Escuela Superior Papa Juan XXIII Distrito Escolar Bayamón Egberto Zayas Escuela Superior Urbana Distrito Escolar Salinas Héctor Román Escuela Intermedia Sabana Llana Distrito Escolar San Juan III
Maria de L. Aquino Coordinadora Proyecto CENIT Mirna Rosado Molina Secretaria Ejecutiva Unidad de Escuelas Especializadas Maria E. Morán Ayudante Especial Secretaría Auxiliar de Servicios Académicos Gladys Figueroa Mecanógrafa Programa de Matemáticas Elba R. Santiago Mecanógrafa Programa de Matemáticas Victoria Vives Mecanógrafa Programa de Matemáticas
Finalmente, damos especialmente las gracias a todas las personas –demasiadas para ser mencionadas aquí- que tan generosamente colaboraron desde la preparación del borrador de discusión hasta la elaboración del documento final, particularmente los profesores de las universidades del país, los artistas gráficos y los técnicos del Departamento de Educación.
Introducción El Departamento de Educación cumple con su misión de promover la excelencia educativa para que cada estudiante esté capacitado para contribuir productivamente en la sociedad actual. El Programa de matemáticas, en su compromiso de hacer una realidad la misión del Departamento, presenta este documento que contiene los Estándares de Contenido y las Expectativas Generales de Aprendizaje por Grado, como criterios de excelencia necesarios para lograr cambios significativos en la enseñanza de matemáticas de nuestro sistema educativo. Los Estándares y las Expectativas de Grado representan un componente esencial para promover el cambio en nuestro sistema educativo; y además, contribuye a conectar los cambios curriculares con el desarrollo profesional de los maestros, los métodos de instrucción y la evaluación del aprendizaje del estudiante. Específicamente, estos estándares hacen un llamado a los maestros de matemáticas a reflexionar y dar énfasis e importancia a:       la solución de problemas la comunicación en la matemática el razonamiento matemático la representación la integración de la matemática con otros contenidos la integración de los temas transversales del currículo
Los Estándares y Expectativas de Grado enuncian altas expectativas de ejecución para TODOS los estudiantes –incluyendo estudiantes con impedimentos, limitaciones lingüísticas y estudiantes vocacionales; permiten flexibilidad en las formas en que los maestros conducen sus clases y en el aprendizaje de los estudiantes y ayudan al maestro a definir su currículo sin restringir ideas creativas o el uso de algunos métodos o técnicas instruccionales. Constituyen a la vez, un documento diseñado para establecer un marco amplio de referencia para reformar la enseñanza de la matemática en Puerto Rico. Los mismos requieren de la creatividad y el esfuerzo de los maestros para operacionalizarlos en prácticas educativas que mejoren la calidad de la enseñanza. El Programa de Matemáticas exhorta a la comunidad docente a presentar este documento en todos los foros educativos y que se analice, reflexione y utilice, de manera que las ideas expuestas en el mismo se transformen en instrumentos que faciliten una educación de excelencia en matemáticas.
Base legal La Ley Número 149 del 15 de julio de 1999, según enmendada conocida como Ley Orgánica del Departamento de Educación de Puerto Rico, en su Artículo 5.12 que el Secretario formulará normas de aplicación en todas las escuelas con el fin de darle coherencia a la gestión educativa del Sistema de Educación Pública. En particular, las normas se referirán, entre otras, a: “planes de estudio por grados y niveles” (inciso a) y “a las metas de aprovechamiento específicas para los distintos grados y niveles del sistema” (inciso c). Además, el Artículo 6.03, en su inciso c, dispone que el Secretario en su función de director académico del Sistema de Educación Pública de Puerto Rico: “establecerá un currículo básico para el Sistema de Educación Pública con márgenes de flexibilidad suficientes para que las escuelas lo adapten a sus necesidades y prescribirá el plan de estudios correspondiente a cada grado y nivel del Sistema”. Por otro lado, el Artículo 4.02 establece que “el Secretario, los directores de escuela y los consejos escolares validarán la autonomía docente del maestro, que incluye la libertad para: a. Hacer los cambios que estime pertinentes con el fin de adaptar el temario de los cursos al perfil socio-cultural y geográfico de sus estudiantes. b. Adoptar la metodología pedagógica que según su juicio profesional suscite mejor el interés y la curiosidad de sus alumnos en los temas bajo estudio. c. Prestarle atención singularizada a estudiantes con impedimentos, lo mismo que a estudiantes de alto rendimiento académico o con habilidades especiales. d. Organizar grupos de alumnos para realizar estudios o proyectos especiales relacionados con sus cursos. La autonomía docente que aquí se reconoce no excusará al maestro de cubrir su curso según éste se establece en el currículo maestro del sistema educativo”.
¿Que son los estándares? Un estándar es un criterio que juzgará la calidad del currículo de matemáticas. En su esencia, son aseveraciones sobre lo que se valora en una disciplina, en este caso, en las matemáticas. En resumen, un estándar puede definirse como:     Una afirmación que puede ser utilizada para juzgar la calidad de un currículo matemático o de métodos de evaluación; así, los estándares son declaraciones de qué tiene valor y que no lo tiene. La visión de lo que se pretende que los estudiantes sean capaces de hacer. Un criterio que sirve para juzgar excelencia y calidad. Una aseveración que describe los resultados deseados.
Los estándares representan metas altas pero alcanzables para TODOS los estudiantes. Además, sirven como base para el desarrollo de las Expectativas Generales de Grado y para definir el perfil de competencias que los estudiantes deben conocer y demostrar durante sus estudios escolares. A partir de los estándares y las expectativas:     Se definirán los objetivos, el alcance, la secuencia y la profundidad de conceptos, destrezas y actitudes de cada curso. Se definirán las competencias que los estudiantes deberán dominar en cada curso. Se desarrollarán actividades educativas y la metodología apropiada para atender los diversos estilos de aprendizaje. Se recomendarán los métodos y las técnicas para llevar a cabo la medición y el assessment del aprendizaje.
A continuación se presenta los estándares de contenido y una sinopsis de los mismos. ESTÁNDARES CURRICULARES DE CONTENIDO Los estándares curriculares de contenido presentan un resumen del contenido y las habilidades o destrezas que los estudiantes deben conocer y poder hacer, durante sus estudios y representan la base sobre la cual se desarrollan los currículos de matemáticas. El documento de los estándares curriculares de matemáticas de Puerto Rico incluye una explicación de la necesidad y dirección del cambio, así como los postulados básicos que orientan el proceso de enseñanza-aprendizaje en cada nivel escolar. Resume, además, el contenido que merece más atención y el que merece menos atención.
Las personas encargadas de desarrollar currículo, así como aquellas que deseen mayor información al respecto, deben estudiar todo el documento de estándares de Puerto Rico para asegurarse de que cumplen con todas las disposiciones del mismo. Se han dado tres razones para adoptar formalmente un conjunto de estándares: (1) para asegurar la calidad, (2) para explicitar objetivos, y (3) para propiciar cambios. Para el Programa de Matemáticas, estas tres razones son de igual importancia. En primer lugar, los estándares se usan para proteger al público de un artículo de baja calidad. Por ejemplo, a un farmacéutico no se le permite vender un medicamento hasta que éste no haya pasado rígidos controles, tanto en su fabricación como en lo referente a su efectividad. En este sentido, los estándares son criterios mínimos de calidad. Imponen condiciones necesarias, pero no suficientes, para la obtención de resultados requeridos; no hay garantía de que un medicamento se usado de manera inadecuada por el consumidor. En segundo lugar, los estándares son usados como un medio para expresar intenciones de objetivos. Los objetivos son amplías afirmaciones de intención social. Por ejemplo, podemos estar de acuerdo en que dos objetivos de cualquier examen estandarizado es que sean tanto válidos como fidedignos. Los estándares de evaluación desarrollados por la American Psychological Association describen el tipo de documentación que debe adjuntarse con cada examen acerca de la validez y veracidad de éstos instrumentos. Por último, los estándares se establecen para conducir a un grupo hacia nuevos y deseados objetivos. Por ejemplo, la comunidad médica ha adoptado, y lo revisa periódicamente, un conjunto de estándares para la certificación de especialistas, basados en los recientes cambios en tecnología, investigación, entre otros. Lo que se intenta es mejorar o poner al día la práctica cuando sea necesario. En este sentido, los estándares se basan en una perspectiva informada de lo que se debe hacer a partir del conocimiento y de la experiencia con que se cuenta. Los estándares son necesarios en la matemática escolar por las tres razones anteriores. Ni escuelas, ni maestros, ni estudiantes, ni el público en general cuentan con protección alguna contra material de baja calidad. Parece razonable que cuando se preparen materiales para el salón de matemáticas se diga cómo se relacionan los materiales con los conceptos actuales que hace falta enseñar y se demuestre su efectividad. Para el Programa de Matemáticas lo importante es desarrollar estándares que fueran criterios con el objeto de provocar y facilitar un cambio. Las escuelas han de reflexionar sobre las importantes consecuencias que conlleva el actual movimiento de reforma si es que se quiere preparar adecuada mente a nuestros jóvenes para vivir en el siglo XXI. Los estándares deben ser vistos como facilitadores de esta reforma.
La necesidad de nuevos objetivos Lo que para nosotros es la educación matemática se basa en una revisión de los objetivos educativos. Históricamente. Las sociedades han creado escuelas para:   Facilitar a los jóvenes los diferentes aspectos de la cultura; Proporcionar a los jóvenes de oportunidades de realización personal
Por tanto, los objetivos que todas las escuelas tratan de alcanzar son a la vez reflejo de las necesidades de la sociedad y de las necesidades de los estudiantes. Las demandas de reforma para las matemáticas escolares hacen pensar que se necesitan nuevos objetivos. Todos los países industrializados han experimentado un cambio de una sociedad industrial a una sociedad basada en la información y el conocimiento, y dicho cambio ha transformado tanto aquellos aspectos de la matemática que hace falta facilitar a los estudiantes, como los conceptos y técnicas que deben dominar si se pretende que sean ciudadanos realizados y productivos en el siglo que viene. La sociedad de la información Este cambio social y económico puede atribuírsele, al menos en parte, a lo accesible de las calculadoras, las computadoras y otros instrumentos tecnológicos en nuestros hogares. El uso de toda esta tecnología ha supuesto un cambio drástico en la naturaleza de las ciencias físicas, sociales y de la vida; los negocios; la industria y el gobierno. Unos medios mecánicos de comunicación relativamente lentos – la voz y el papel impreso – han sido reemplazados por la comunicación electrónica, como el correo electrónico y el FAX, haciendo que se pueda compartir la información casi al instante con personas – o máquinas – desde cualquier lugar. La información es el nuevo capital y el nuevo material, y la comunicación es el nuevo medio de producción. El impacto que ha tenido este cambio tecnológico ha dejado de ser una abstracción intelectual. Se ha convertido en una realidad económica. Hoy día, el ritmo del cambio económico se acelera con la continua innovación en las comunicaciones y en la tecnología informática. Nuevos objetivos sociales La escuela, tal como está organizada hoy día, es producto de la era industrial. En la mayoría de los países democráticos, las escuelas regulares se creaban para proporcionarles a la mayoría de los jóvenes la preparación que necesitaban para convertirse en trabajadores del campo, fábricas o comercios. Con este tipo de escolarización, también se suponía que los estudiantes llegaban al grado necesario de educación que les permitiera ejercer un voto bien informado. Por tanto, se exigía de todos los estudiantes una mínima competencia en lectura, escritura y aritmética, y el entrenamiento académico más avanzado se reservaba para una selecta minoría. Estos estudiantes más aventajados asistían a escuelas diseñadas para educar a los futuros dirigentes de la cultura, del mundo académico, de los negocios y del gobierno.
El sistema educativo de la era industrial no satisface las necesidades económicas actuales. Los nuevos objetivos sociales de la educación exigen (1) trabajadores con educación matemática, (2) aprendizaje continuo, (3) oportunidad para todo el mundo, y (4) un electorado bien informado. De estos objetivos se deduce un sistema escolar organizado de forma que proporcione a todos los ciudadanos recursos para toda la vida. 1. Trabajadores con educación matemática. El status quo económico por el cual los empleados de una fábrica realizaban los mismos trabajos para producir los mismos bienes de la misma forma durante décadas no es más que una regresión a nuestro pasado de la era industrial. Hoy día, la supervivencia económica y el crecimiento dependen del establecimiento de fábricas nuevas que produzcan productos y servicios complejos en ciclos de mercado muy cortos. Literalmente, antes de que se vendan los primeros productos se diseñan los nuevos que habrán de reemplazarlos en un mercado en cambio constante. Al mismo tiempo, el departamento de investigación trabaja en el desarrollo de nuevas ideas para que los equipos de diseño atiendan la demanda incesante de productos nuevos que, a su vez, se canalizan hacia el mercado de productos. Las nociones tradicionales de competencia matemática elemental se han visto rebasadas por exigencias cada vez mayores en cuanto a las destrezas y conocimientos que deben poseer los trabajadores; métodos nuevos de producción requieren una fuerza laboral tecnológicamente capaz. El Departamento de Congreso de los Estados Unidos para la Valoración Tecnológica (1988) declara que los empleados han de estar preparados para entender las complejidades de las tecnologías de la comunicación, hacer preguntas, asimilar información nueva y trabajar en equipos de forma solidaria. Las empresas no buscan ya trabajadores con hombros fuertes, manos hábiles y conocimientos matemáticos “de tendero”. De hecho, se afirma que “el crecimiento más significativo en puestos de trabajo entre ahora y el año 2000 se dará en aquellos campos que requieran una mayor educación ”(Lewis 1988, p.468). Henry Pollak (1987), un notable matemático especializado en aplicaciones a la industria, resumió hace poco las exigencias en cuanto a matemáticas de los nuevos trabajadores industriales:        Ser capaz de plantear problemas con las operaciones adecuadas. Conocer técnicas diversas para plantear y resolver problemas. Comprender las implicaciones matemáticas de un problema. Poder trabajar en grupo sobre un problema. Ver la posibilidad de aplicar ideas matemáticas a problemas comunes y complejos Estar preparado para enfrentarse a problemas abiertos, ya que la mayoría de los problemas reales no están bien formulados. Creer en la utilidad y validez de las matemáticas.
Puede verse la diferencia entre las destrezas y la preparación inherentes a estas exigencias y las que adquieren los estudiantes que trabajar en solitario para resolver una serie dada de ejercicios de repetición y práctica. Aunque no sólo se enseñen las matemáticas en la escuela para que los estudiantes encuentren trabajo, estamos convencidos de que la experiencia escolar refleja en cierta medida la de cualquier puesto laboral actual. Esto es particularmente cierto dado que la disponibilidad de este tipo de trabajadores con una educación amplia será un factor importante a la hora de determinar la respuesta que den las empresas a las cambiantes condiciones económicas de hoy día. 2. Aprendizaje permanente. Los asesores laborales, conscientes de la rapidez con que cambian la tecnología y los modos de empleo, afirman que, por término medio, los trabajadores cambiarán de trabajo al menos de cuatro a cinco veces durante los próximos veinticinco años y que cada trabajo requerirá un nuevo entrenamiento en destrezas comunicativas. Por consiguiente, se necesita una fuerza laboral flexible que sea capaz de seguir aprendiendo de por vida; esto implica que las matemáticas escolares deben subrayar una forma de instrucción dinámica. La resolución de problemas – incluyendo el modo en que se presentan los problemas, los significados del lenguaje matemático, y el modo en que se hacen conjeturas y razonamientos – debe ser un punto central durante la escolarización de forma que los estudiantes puedan explorar, crear, acomodarse a condiciones alteradas, y crear conocimientos nuevos de forma activa a lo largo de toda su vida. 3. Oportunidad para todos. Ya no pueden tolerarse las injusticias de las antiguas prácticas escolares. Las estadísticas actuales indican que los que cursan estudios superiores de matemáticas son por lo común jóvenes con altos ingresos económicos. (Universidad de Puerto Rico, 2007) Los estudiantes con bajos ingresos económicos estudian menos matemáticas y están pobremente representados en carreras científicas y tecnológicas. La cuestión no es ya crear una sociedad justa en la que TODOS disfruten de igualdad de oportunidades y de un trato equitativo. Las matemáticas se han convertido en un filtro crítico a la hora de encontrar empleo y una participación completa en nuestra sociedad. No podemos permitirnos que la mayoría de la población carezca de educación matemática: la igualdad se ha convertido en una necesidad económica. 4. Electorado bien informado. En un país democrático donde las decisiones políticas y sociales implican aspectos técnicos cada vez más complejos, es imprescindible que exista un electorado bien informado. Las cuestiones actuales – como la protección del medio ambiente, la economía del hogar, los gastos del gobierno, y el pago de impuestos – llevan consigo muchas cuestiones interrelacionadas. Para resolverlas de forma seria es necesario conocer y entender la tecnología. En este sentido, los ciudadanos han de ser capaces de leer e interpretar información compleja y a menudo contradictoria.
En resumen, la sociedad de hoy exige que la escuela asegure a todos estudiantes la oportunidad de poseer una cultura matemática, ser capaces ampliar su aprendizaje, tener igualdad de oportunidades para aprender y ciudadanos bien informados capaces de entender las cuestiones propias de sociedad tecnológica. A medida que cambia la sociedad, deben asimismo cambiar escuelas.
los de ser una las
Este documento presenta los Estándares y Expectativas de Grado del Programa de Matemáticas y esboza lo que debería valorarse en la enseñanza de las matemáticas. El programa reconoce que se requieren unos estándares y expectativas ambiciosas para lograr una sociedad que tenga la capacidad de pensar y razonar matemáticamente, y una base útil de conocimientos y destrezas matemáticos. Los cinco Estándares de Contenido describen un conjunto coherente de conocimientos y competencias matemáticas; una base comprensiva recomendada para todos los estudiantes, en lugar de un menú a partir del cual tomar decisiones curriculares. Son descripciones de lo que la enseñanza matemática debería lograr que los estudiantes conozcan y hagan. Especifican la comprensión, el conocimiento y las destrezas que deberán adquirir los estudiantes, desde el nivel elemental hasta el secundario. Cada uno de estos Estándares es aplicable a todos los niveles. El conjunto de Estándares, que se discute próximamente con más detalle, presenta las matemáticas que todos los estudiantes deberán tener la oportunidad de aprender. Cada Estándar comprende un pequeño número de dominios comunes a todos los niveles, una base común que marca un enfoque del desarrollo y la complejidad del conocimiento de los estudiantes a medida que avanzan en el currículo. Para cada Estándar de contenidos, se presenta un conjunto adicional de expectativas específicas por grado. A su vez estas expectativas se subdividen en Indicadores de ejecución, mucho más específicos, y que servirán al maestro en el momento de la planificación diaria. Aunque cada uno de los cinco Estándares de Contenido es de aplicación en todos los niveles, el énfasis varía, tanto dentro de cada etapa como en las diferentes etapas. Por ejemplo, la importancia que se da al Estándar de Números es máxima desde Kindergarten al tercer grado, recibiendo menos atención en el nivel superior. El tiempo total disponible para la enseñanza de la asignatura se repartirá desigualmente de acuerdo con las necesidades particulares de cada nivel como se muestra en la siguiente figura:
Este conjunto de Estándares no separan netamente el currículo de matemáticas en bloques sin conexión. Ya que las matemáticas constituyen una disciplina altamente interconectada, las áreas descritas se superponen e integran. Los procesos pueden aprenderse con los contenidos, y los contenidos junto con los procesos. Abundan ricas conexiones e interconexiones. El área de Números, pongamos por caso, impregna todas las demás áreas. Algunos temas del Análisis de datos pueden considerarse una parte de la medida. En Geometría aparecen patrones y funciones. Los procesos de razonamiento, prueba, resolución de problemas y representación intervienen en todas las áreas. La disposición del currículo dentro de estos Estándares se propone como una organización coherente de contenidos y procesos matemáticos significativos. Los cinco estándares de contenido del Programa de Matemáticas describen explícitamente los dominios de contenido que los estudiantes deben aprender. Constituyen un resumen de las habilidades o destrezas que los estudiantes deben conocer y poder desarrollar en cada grado. Además, representan la base sobre la cual se desarrollarán los currículos del programa de matemáticas. ¿Dónde están los Estándares y Expectativas de Grado Doce? A la vista de las disparidades que existen en cuanto a la oportunidad educativa en matemáticas y la creciente necesidad de que todos los estudiantes puedan optar por una educación de excelencia y puedan cumplir con TODOS los estándares que se esbozan en este documento el programa de matemáticas estableció en el nivel superior un currículo central diferenciado. Los años de estudio de nuestros estudiantes en el nivel superior girarán alrededor de un currículo central, diferenciado tanto por la profundidad y amplitud del tratamiento que se da a los temas como por la naturaleza de las aplicaciones. El currículo central puede ampliarse de diversas formas para ajustarse a las necesidades, intereses y niveles de ejecución de cada estudiante o de grupos de estudiantes. En este sentido, el Cuarto Año se convertirá en una experiencia de transición hacia el mundo académico postsecundario o al mundo del trabajo. Para lograr esta experiencia de transición, los estudiantes optarán por el curso de matemáticas que se ajuste a sus metas e intereses.
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• Sentido numérico • Significado de las operaciones • Operaciones y estimados
• Patrones y relaciones • Representación (Ecuaciones, inecuaciones y expresiones) • Modelos matemáticos • Cambio
• Formas geométricas y propiedades • Localización y relaciones espaciales • Transformaciones y simetría • Razonamiento espacial y modelos
• Unidades de medida • Técnicas de medición
• Representación de datos • Análisis de datos • Inferencias y predicción • Probabilidad
El estudiante es capaz de entender los procesos y conceptos matemáticos al representar, estimar, realizar cómputos, relacionar números y sistemas numéricos. El Estándar de Numeración y Operación describe el conocimiento y las competencias básicas relativas a contar, a los números y a la aritmética, así como una forma de comprender los conjuntos numéricos y sus estructuras. Incluye los conceptos y algoritmos de la aritmética elemental y las características de los conjuntos de números que intervienen en los inicios de la teoría de números. El foco de este Estándar es el desarrollo del sentido numérico: la habilidad para descomponer números, utilizar ciertos números como 100 o ½ como puntos de referencia, usar las relaciones entre las operaciones aritméticas para resolver problemas, comprender el sistema de numeración decimal, estimar, dar sentido a los números y reconocer las magnitudes relativas y absoluta de los números. En el nivel elemental, el estudiante entiende el significado de los números en forma gradual. Su comprensión del mundo de los números requiere inicialmente de la manipulación de objetos hasta llegar a la abstracción y formulación de conclusiones. Además, reconoce en contextos tanto aritméticos como geométricos, la necesidad de la existencia de los números más allá de los números naturales, entendiendo que la matemática implica algo más que exactitud, por lo tanto, estima situaciones cuantitativas aplicadas en la vida diaria. Históricamente, el número ha sido la piedra angular del currículo de matemáticas, tanto internacionalmente como en Estados Unidos. (Reys, 2006). Todas las matemáticas propuestas, están fuertemente basadas en el número. Los principios que rigen la resolución de ecuaciones en álgebra coinciden con las propiedades estructurales de los conjuntos numéricos. En Geometría y Medición, los atributos se describen con números. El área de Análisis de Datos y Probabilidad conlleva dar sentido a los números en un contexto. El razonamiento matemático de los estudiantes más pequeños es más probable que se dé sobre situaciones numéricas, y sus primeras representaciones concretas sean probablemente de números. Las investigaciones sugieren que el aprendizaje de los números y operaciones es un proceso complejo para los niños. En estos Estándares, la comprensión del número y las operaciones, el desarrollo del sentido numérico y conseguir fluidez en el cómputo aritmético, constituyen el núcleo de la educación matemática en los niveles elementales. Según van avanzando desde Kindergarten al último nivel, los estudiantes deberán alcanzar una rica comprensión de los números: los que son; cómo pueden representarse con objetos, numerales o rectas numéricas;
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cómo se relacionan unos con otros; cómo están inmersos en sistemas que poseen estructuras y propiedades, y cómo utilizar números y operaciones para resolver problemas.
No podemos minimizar la importancia de conocer las combinaciones básicas de los números: la adición y multiplicación con pares de números de un solo dígito e, igualmente, respecto a la sustracción y la división. Asimismo, es esencial la fluidez de de los cómputos, esto es, tener y utilizar métodos eficaces y seguros para llevar a cabo los cómputos matemáticos. Esta fluidez tiene que ponerse de manifiesto al usar estrategias mentales y anotaciones sobre papel o un algoritmo con papel y lápiz, particularmente con números grandes, en la producción rápida de resultados exactos. Independientemente del método utilizado, los estudiantes deben ser capaces de explicar cuál han empleado, entender que existen distintos métodos y ver la utilidad de métodos que sean eficaces, seguros y generales. También necesitan ser capaces de estimar y juzgar lo razonable de los resultados. La fluidez en el cómputo debería desarrollarse conjuntamente con la comprensión del papel y significado de las operaciones aritméticas en los sistemas numéricos. En determinadas ocasiones, debería disponerse de calculadoras, en particular cuando se necesitan muchos o incómodos cómputos para resolver problemas. El programa de matemáticas reconoce la importancia de las calculadoras en la enseñanza de matemáticas, sin embargo, deben utilizarse una vez el estudiante domine los algoritmos de cómputo fundamentales. SENTIDO NUMÉRICO La comprensión de los números se desarrolla, en el primer nivel, cuando los niños cuentan y aprenden a reconocer “cuántos hay” en colecciones de objetos. Una idea clave es que un número puede ser descompuesto y representado de varias formas. Por ejemplo, 35 es 3 dieces y 5 unos y también, 3 conjuntos de quinces. Pasar de ver “diez” como la reunión de 10 unos, a verlo como 10 unos y también como 1 diez, constituye un primer paso importante en la comprensión de la estructura del sistema de numeración decimal. En el nivel elemental, los estudiantes pueden aprender sobre los tipos de números y sus características; por ejemplo, qué números son impares, pares, primos, compuestos o cuadrados. Además de comprender los números naturales, se puede animar a los niños para que entiendan y representen fracciones usadas en contextos familiares, tales como la mitad de una galleta o una tercera parte de una pizza, y para ver las fracciones como partes de una unidad entera o de una colección. Los maestros deben ayudar a los estudiantes a desarrollar la noción de fracción como división de números. Y, en los niveles intermedios, en parte como una base para el estudio del razonamiento proporcional, los estudiantes necesitan poseer un dominio conceptual amplio de las fracciones como números. El conocimiento y uso de los decimales debería asegurarse bien antes de llegar a los niveles superiores. Con un conocimiento sólido del número, los estudiantes de estos niveles pueden utilizar variables que representen números, para hacer manipulaciones simbólicas con significado.
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La representación de números con diversos materiales físicos debería constituir una parte significativa de la educación matemática en los niveles elementales. En este nivel, los estudiantes deben llegar a comprender que los números pueden representarse de diversas maneras; ver que, por ejemplo, 1/2, 50% y 0.50 son diferentes formas de expresar el mismo número. La comprensión y la habilidad para razonar irán creciendo a medida que vayan representando fracciones y decimales con materiales físicos y sobre la recta numérica, y aprendiendo a generar representaciones equivalentes de fracciones y decimales. Al tiempo que los estudiantes llegan a comprender los números y cómo representarlos, adquieren los fundamentos para entender las relaciones entre ellos. Pueden aprender a comparar fracciones, mediante referencias familiares, como ½. Y, a medida que se desarrolla su sentido numérico, deberán ser capaces de razonar sobre números; por ejemplo, explicar que 1/2 + 1/4 tiene que ser menos que 1, porque uno de los sumandos es 1/2 y el otro es menor que 1/2. A medida que el estudiante entra al nivel intermedio, es importante que sepan desenvolverse bien con fracciones equivalentes, decimales y porcentajes, y de ordenar y comparar números racionales utilizando diversas estrategias. Al pasar de los naturales y los cardinales a los enteros, el estudiante contrastará las propiedades y características de estos conjuntos de números. En el nivel superior, pueden utilizar variables y funciones para representar relaciones entre conjunto de números y para observar las propiedades de las distintas clases de números. Aunque en los niveles superiores se da más importancia a otras áreas que a la de números, los estudiantes deberán ver los conjuntos numéricos desde una perspectiva más global. Deberán aprender las diferencias entre ellos y qué propiedades se conservan y cuáles no al pasar de un conjunto a otro. SIGNIFICADO DE LAS OPERACIONES En los primeros grados, los estudiantes deberán enfrentarse con una amplia variedad de significados para la adición y la sustracción de los números naturales. Investigadores y maestros (Quintero, 1986; López, 2004) han llegado a saber cómo entienden los niños las operaciones, a través de cómo abordan sencillos problemas aritméticos como el que sigue: Yolanda compró 2 galletas. Ahora tiene 5 galletas. ¿Cuántas galletas tenía antes? Para resolver este problema, los niños pueden usar la adición y contar a partir de 2, llevando la cuenta con los dedos, hasta llegar a 5. O bien, reconocer en este problema una situación que involucra la resta y utilizar el hecho de que 5 – 2 = 3. Explorar estrategias de pensamiento como éstas o darse cuenta de que 7 + 8 es lo mismo que 7 + 7 + 1, ayudará a los estudiantes a comprender el significado de las operaciones. Estas exploraciones ayudan también a los maestros a determinar lo que piensan sus
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estudiantes. La multiplicación y la división pueden empezar a tener sentido para los niños en los primeros grados, al resolver problemas que surjan de su entorno; por ejemplo, cómo repartir por igual una bolsa de dulces entre cuatro personas. En el nivel cuarto a sexto, la enseñanza debe orientarse a ayudar a desarrollar el significado de la multiplicación y de la división con números naturales. Al construir y trabajar con representaciones (diagramas u objetos concretos, por ejemplo) de situaciones de multiplicación y de división, los estudiantes pueden llegar a dar sentido a las relaciones entre las operaciones. Deben ser capaces de decidir si deben sumar, restar, multiplicar o dividir para resolver un problema determinado. Para hacerlo, tienen que darse cuenta de que una misma operación puede aplicarse a problemas que parecen totalmente diferentes, saber cómo se relacionan unas operaciones con otras, y tener una idea de qué clase de resultado debe esperar. En el nivel intermedio, deben enfatizarse las operaciones con números racionales. Las ideas de los estudiantes sobre las operaciones, deben adaptarse cuando trabajan con una estructura numérica ampliada (Graeber y Campbell 1993). Por ejemplo, al multiplicar un número natural por una fracción comprendida entre 0 y 1 (p. ej. 10 x 1/4), el resultado es menor que dicho número natural. Esto hecho aparentemente contradice la experiencia previa (con números naturales) de los estudiantes, según la cual, al multiplicar resulta siempre un número mayor. Una de las grandes ideas de Estándares en el nivel intermedio es trabajar con proporciones. Los estudiantes deben llegar a ser competentes en la generación de razones y proporciones numéricas para hacer comparaciones en situaciones que se refieran a parejas de números, como en el siguiente problema: Si con tres paquetes de café pueden hacerse quince tazas de café caliente, ¿cuántos paquetes se necesitan para hacer sesenta tazas? En el nivel intermedio, los estudiantes necesitan también aprender a operar con números enteros. En el nivel superior, cuando aprendan a combinar aritméticamente vectores y matrices, experimentarán con otras clases de conjuntos en los que aparecen números con propiedades y patrones nuevos. A medida que amplía su horizonte matemático, que incluye cardinales, fracciones y decimales, así como las operaciones básicas, el estudiante comprende las ideas comunes que subyacen en todos estos conjuntos numéricos así como las diferencias que existen entre ellos OPERACIONES Y ESTIMADOS Desarrollar fluidez requiere equilibrio y conexión entre la comprensión conceptual y la competencia de cómputo. Por un lado, los métodos de cómputos que se practican repetidamente sin comprenderlos, con frecuencia se olvidan o se recuerdan incorrectamente (Hiebert y Lindquist 1990). Por otro, comprender, pero no tener la
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fluidez necesaria para calcular, puede inhibir el proceso de resolución de problemas (Thornton 1990). A medida que los niños en todos los grados van comprendiendo el significado de los números naturales y de las operaciones de adición y sustracción, la enseñanza debería centrarse sobre estrategias de cómputos para desarrollar fluidez. Los estudiantes generarán una serie de estrategias interesantes y útiles para resolver problemas de cómputos, que deberán compartirse y discutirse. Al final el segundo grado los niños, deberán conocer las combinaciones básicas de adición y sustracción, y tener destrezas de sumar y restar números de dos cifras.
Entre el tercer grado y el sexto grado según van desarrollando las combinaciones numéricas básicas respecto a la multiplicación y la división, tendrían también que desarrollar algoritmos para resolver problemas aritméticos con eficacia y seguridad. Estos métodos deberán aplicarse a números mayores, y practicarse para adquirir fluidez. Investigadores y maestros con experiencia coinciden en que cuando se anima a los estudiantes de los niveles elementales a desarrollar, registrar, explicar y criticar las estrategias de resolución de problemas de cómputo, tiene lugar un número importante de tipos de aprendizaje. Debe discutirse la eficacia de las diversas estrategias. E igualmente respecto a la generalización: ¿Funcionará esto con números cualesquiera o sólo con los dos que intervienen en este caso? Y la experiencia enseña que en las clases centradas en el desarrollo y discusión de las estrategias, surgen naturalmente varios algoritmos “estándar” o pueden ser introducidos oportunamente por el maestro. El hecho es que los estudiantes han de llegar a tener fluidez con los cómputos aritméticos y métodos eficaces y precisos que se apoyen en la comprensión de los números y las operaciones. Los algoritmos “estándar” del cómputo aritmético son un medio para alcanzar esta fluidez. Entre los grados terceros al sexto, el desarrollo de los conceptos de número racional es un objetivo fundamental, lo que debería conducir a métodos informales de cómputo con fracciones. Por ejemplo, un problema tal como calcular ¼ + ½ se resolvería mentalmente con facilidad, porque los estudiantes pueden imaginar ½ y ¼, o pueden utilizar estrategias de descomposición, tal como ¼ + ½ = ¼ + (¼ + ¼). En estos grados, habría que desarrollar y aplicar los métodos de cómputo con decimales, y en el nivel intermedio los estudiantes deben adquirir fluidez operando con números enteros y racionales, tanto en forma de fracción como en forma decimal. En los grados superiores, deben operar con fluidez con números reales, y tener cierta competencia básica con vectores y matrices para resolver problemas, utilizando la tecnología cuando sea apropiado. Parte de la capacidad de calcular con fluidez radica en decidir inteligentemente qué herramientas usar y cuándo usarlas. Los estudiantes deberán tener experiencias que les ayuden a aprender a elegir entre cómputo mental, estrategias de lápiz y papel, estimación y uso de la calculadora. El contexto, la pregunta y los números que intervengan desempeñan papeles importantes en esas decisiones. ¿Permiten los números un cómputo mental? ¿Pide el contexto una estimación? ¿El problema requiere cómputos repetidos y tediosos? Los estudiantes deberán considerar los contextos de los problemas para determinar si es necesario un resultado estimado o exacto, usar provechosamente su sentido numérico y ser capaces de dar racionalidad a sus decisiones.
El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios, empleando números, letras (variables) y signos. El álgebra es una rama de las matemáticas que consiste de reglas formales en las que se utilizan símbolos para representar números o variables. Este sistema de representación algebraico sirve para efectuar operaciones de solución de problemas. El Álgebra tiene sus raíces históricas en el estudio de métodos generales para resolver ecuaciones. El Estándar de Álgebra se centra en las relaciones entre cantidadesincluyendo las funciones-, las formas de representación de relaciones y funciones pueden expresarse usando la notación simbólica, lo que permite expresar ideas matemáticas complejas y analizar el cambio. Actualmente, el trabajo en muchas áreas se apoya en los métodos e ideas del Álgebra. Por ejemplo, las redes de distribución y comunicación, las leyes de la física, los modelos de crecimiento de población y los resultados estadísticos pueden expresarse en el lenguaje simbólico algebraico. Además, el Álgebra también tiene que ver con las estructuras abstractas y con el uso de los principios referentes a éstas en la resolución de problemas expresados con símbolos. Mucho del énfasis simbólico y estructural en el Álgebra puede construirse a partir de la experiencia numérica de los estudiantes. Las ideas incluidas en el Estándar de Álgebra constituyen un componente principal del currículo de la matemática escolar, y ayudan a unificarlo y darle coherencia. La competencia algebraica es importante en la vida adulta, tanto para el trabajo como para la educación postsecundaria. El estudiante del nivel elemental desarrolla intuitivamente las ideas de relación y función, observando la regularidad y trabajando con patrones generalizables. Para lograr esto, necesita apoyarse en materiales concretos e ilustraciones. De esta manera puede reconocer y crear patrones y relaciones. A su vez, el niño observa diferentes representaciones del mismo patrón para identificar sus propiedades. A la hora de generalizar una descripción, el niño usa letras y símbolos, preparándose así para el álgebra. Al reconocer patrones aprende nuevos conceptos, como identificación de color y forma, dirección, orientación, tamaño y relaciones numéricas. Los mismos le sirven para identificar, ampliar y crear patrones. Como resultado, el niño toma conciencia de las estructuras geométricas como numéricas. Al considerar el Álgebra como un bloque del currículo, desde Kindergarten, los maestros pueden ayudar a los estudiantes a construir una sólida base de comprensión y experiencia, como preparación para un trabajo más complejo en Álgebra en los niveles intermedio y superior. Por ejemplo: Una experiencia sistemática con patrones
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puede ayudar a entender la idea de función en la experiencia con números y sus propiedades se fundamenta el trabajo posterior con símbolos y expresiones algebraicos.
Cuando los estudiantes aprenden que las situaciones pueden describirse frecuentemente usando las matemáticas, pueden empezar a adquirir nociones elementales de la construcción de modelos matemática. Muchos adultos equiparan el Álgebra escolar con la manipulación de símbolos: resolver ecuaciones y simplificar expresiones algebraicas. Definitivamente estamos de acuerdo que los símbolos algebraicos y los procedimientos para trabajar con ellos son imprescindibles en el quehacer matemático, pero el Álgebra es más que manipular símbolos. Los estudiantes necesitan comprender los conceptos, las estructuras y principios que rigen la manipulación de los símbolos y cómo pueden usarse éstos para registrar ideas y ampliar su comprensión de las situaciones. Frecuentemente, el Álgebra no se trata explícitamente en el currículo escolar hasta el curso tradicional de Álgebra en la escuela secundaria. Al promover que se estudie desde los primeros niveles, el Programa de matemáticas apoya otras posibilidades de reconfigurar programas en el nivel secundario. En el nivel intermedio hay un mayor énfasis en el Álgebra, propone mucha más Geometría que la que hasta ahora se ha ofrecido normalmente, y aboga por la integración de ambas áreas. Los Estándares para el nivel superior, describen un ambicioso programa de Álgebra, Geometría, Análisis de datos y Estadística, y hacen una llamada a la integración y la conexión entre las ideas. PATRONES, RELACIONES Y FUNCIONES Las primeras experiencias clasificando y ordenando objetos resultan naturales e interesantes a los niños. Los maestros podrían ayudarlos a notar que la secuencia rojo-azul-azul-rojo-azul-azul puede ampliarse añadiendo otra secuencia rojo-azul- azul, o ayudarles a predecir que el duodécimo término es azul, considerando que el patrón rojo-azul-azul se repite indefinidamente. Inicialmente, los estudiantes pueden describir verbalmente la regularidad de patrones, más que con símbolos matemáticos (English y Warren 1998). Entre el cuarto y el sexto grado, pueden empezar a usar variables y expresiones algebraicas cuando describen y amplían patrones. Al final de la escuela secundaria, podría resultarles cómodo utilizar la notación de las funciones para describir relaciones. En los primeros niveles, pueden describir patrones como 2, 4, 6, 8,… fijando la atención en cómo se obtiene un término a partir del anterior. Más tarde, es posible estudiar sucesiones que pueden definirse y calcularse mejor mediante la recursión; tal es el caso de la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,…en la que cada término es la suma de los dos términos anteriores. A medida que los estudiantes avanzan hacia la escuela secundaria, deben desarrollar un catálogo de funciones, centrándose en la comprensión de las relaciones lineales en el nivel intermedio. Luego, deberán ampliar el repertorio y estudiar las características de diferentes tipos de funciones.
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Muchos estudiantes universitarios entienden la noción de función sólo como una regla o fórmula, como “dado n, hallar 2n , para n = 0, 1, 2 y 3” En el nivel intermedio, deben ser capaces de comprender las relaciones entre tablas, gráficas y símbolos, y considerar las ventajas y desventajas de cada una de estas formas de representar las relaciones, según el caso particular. Trabajando con diversas representaciones (verbales, numéricas, gráficas y simbólicas) desarrollarán una comprensión más amplia de las funciones. REPRESENTACION: EXPRESIONES, ECUACIONES E INECUACIONES La comprensión de las propiedades de los números se desarrolla gradualmente desde Kindergarten hasta la escuela secundaria. Mientras los niños cuentan de dos en dos, pueden observar que los números resultantes terminan en 0, 2, 4, 6 u 8, y luego utilizar esta observación de tipo algebraico para ampliar el patrón. Entre los grados cuarto al sexto, al investigar las propiedades de las operaciones con números naturales, pueden descubrir que se puede multiplicar mentalmente 18 por 14 calculando 18 x 10 y añadiendo 18 x 4, esto es, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición. La investigación sugiere que los estudiantes tienen dificultades con el concepto de variable por lo que es importante desarrollar la comprensión de tal concepto a través de los niveles. En los niveles elementales, lo típico es considerar que una variable es el símbolo indicativo de un número determinado, como en + 2 = 11. Más tarde, debería aprenderse que el uso de la variable x en la ecuación 3x + 2 = 11 es muy diferente del uso de la variable x en la identidad 0 x x = 0 y que ambos son completamente diferentes del uso de r en la fórmula A = p r2. La comprensión de la noción de variable requiere mucho tiempo y necesita basarse en una amplia experiencia. La noción de igualdad debería también desarrollarse a lo largo del currículo. Como consecuencia de la enseñanza recibida, los niños perciben generalmente el signo igual desde un punto de vista operativo, es decir, como una señal para “hacer algo” Deberán llegar a verlo como un símbolo de equivalencia y equilibrio. Los estudiantes del nivel intermedio deben empezar a desarrollar destreza para hallar expresiones equivalentes y resolver ecuaciones lineales, tanto mentalmente como con lápiz y papel. En la escuela secundaria, deberán adquirir fluidez operando con símbolos; a mano o mentalmente en los casos sencillos, y con programas simbólicos de ordenador en casos complicados. En general, si los estudiantes se ocupan excesivamente de la manipulación simbólica antes de haber desarrollado un sólido fundamento conceptual para su trabajo, serán incapaces de hacer algo más que manipular de forma mecánica (NRC 1998). La base para un trabajo útil con la notación simbólica debería prepararse durante mucho tiempo. MODELOS MATEMÁTICOS
Uno de los usos más poderosos de las matemáticas es la construcción de modelos de fenómenos físicos. Los estudiantes de todos los niveles deberán tener oportunidades de modelar matemáticamente una amplia variedad de fenómenos, en la forma apropiada para cada nivel. En los niveles iniciales, pueden utilizar objetos, dibujos y símbolos para modelar situaciones relativas a la adición y sustracción de números naturales. Cuando los niños muestran la situación “José tiene 4 manzanas y Bruni tiene 5 más” disponiendo fichas, están empezando a construir modelos. Eventualmente, los estudiantes deberán usar modelos para hacer predicciones, extraer conclusiones o entender mejor situaciones cuantitativas. Estos usos de modelos irán aumentando en complejidad. Los estudiantes de la escuela secundaria deberán ser capaces de desarrollar modelos a partir de su conocimiento de muchos tipos de funciones - para decidir, por ejemplo, si un situación se puede modelar mejor mediante una función lineal o una función cuadrática - y de extraer conclusiones acerca de la situación analizando el modelo. CAMBIO Comprender el cambio es fundamental para comprender las funciones. El estudio del cambio se formaliza en Cálculo, cuando los estudiantes estudian el concepto de derivada. La investigación sugiere que la noción de cambio no es generalmente comprendida con profundidad, incluso después de estudiar cómputo. Si las ideas relativas al cambio reciben un enfoque más explícito desde los primeros niveles, quizás los estudiantes lleguen, con el tiempo, a abordar el cómputo con una base más sólida para entenderlo. Desde Kindergarten hasta el tercer grado, los niños pueden, al principio, describir cambios cualitativos (“crecí más durante el pasado verano”); luego, cambios cuantitativos (“el año pasado crecí dos pulgadas”). Mediante gráficas y tablas, los estudiantes entre el cuarto y el sexto grado pueden empezar a observar y describir cambios; por ejemplo, en la forma de crecer una planta: “crece despacio, luego más deprisa, después va más despacio.“ Y cuando examinan sucesiones, pueden distinguir ente crecimiento aritmético (2, 5, 8, 11, 14, …) y crecimiento geométrico (2, 4, 8, 16, …). Con una considerable atención a la linealidad en el nivel intermedio, los estudiantes podrán aprender que la pendiente representa la razón de cambio constante de las funciones lineales, y estar así preparados para estudiar, en la escuela secundaria, tipos de funciones en los que la razón de cambio no es constante.
El estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico. El Estándar d e Geometría presenta una amplia visión del poder de la geometría, el cual invita a los estudiantes a analizar características de las figuras geométricas y desarrollar argumentos acerca de las relaciones geométricas; así como a usar la visualización, el razonamiento espacial y los modelos geométricos
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para resolver problemas. La geometría es un área de las matemáticas que permite el desarrollo natural de las habilidades de razonamiento y justificación en los estudiantes. A través del estudio de la Geometría, los estudiantes aprenderán sobre las formas y estructuras geométricas y cómo analizar sus características y relaciones. La visualización espacial, esto es, construir y manipular mentalmente representaciones de objetos de dos y tres dimensiones y percibir un objeto desde perspectivas diferentes, es un aspecto importante del pensamiento geométrico.
La Geometría es el lugar natural para el desarrollo del razonamiento y de las habilidades para la justificación, culminando en la enseñanza secundaria con el trabajo con demostraciones. La construcción de modelos geométricos y el razonamiento espacial ofrecen vías para interpretar y describir entornos físicos y pueden constituir herramientas importantes en la resolución de problemas. Las ideas geométricas son útiles para representar y resolver problemas en otras áreas de las matemáticas y en situaciones del mundo real; por eso, la Geometría debería integrarse, cuando sea posible, con otras áreas. Las representaciones geométricas pueden servir de ayuda para dar sentido a las nociones de área y de fracción; los histogramas y las nubes de puntos pueden ayudar a formarse una idea sobre un conjunto de datos, y las representaciones en ejes de coordenadas pueden servir para conectar la Geometría y el Álgebra. El razonamiento espacial es útil en el empleo de mapas, la planificación de rutas, el diseño de planos y la creación artística. Los estudiantes pueden aprender a ver la estructura y la simetría a su alrededor. Usando modelos concretos, dibujos y programas informáticos de Geometría dinámica, pueden implicarse activamente con las ideas geométricas. Con actividades bien diseñadas, las herramientas apropiadas y el apoyo de sus maestros, pueden formular y explorar conjeturas sobre Geometría y aprender a razonar cuidadosamente sobre ideas geométricas, desde los primeros años de escolaridad. La Geometría es más que definiciones; es describir relaciones y razonar. La idea de construir el conocimiento geométrico a través de los niveles, desde el pensamiento informal al más formal, está de acuerdo con lo que opinan teóricos e investigadores (Burger y Shaughnessy 1986; Fuys, Geddes y Tischler 1988; Senk 1989; van Hiele 1986). La Geometría ha sido considerada durante mucho tiempo como el lugar del currículo escolar donde los estudiantes aprenden a razonar y a ver la estructura axiomática de las matemáticas. El Estándar de Geometría incluye un enfoque intenso sobre el desarrollo cuidadoso del razonamiento y la demostración, utilizando definiciones y estableciendo hechos. La tecnología desempeña también un papel importante en la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría. Herramientas como un programado de Geometría dinámica, capacitan para modelar una gran variedad de figuras de dos dimensiones y para tener una experiencia invectiva con ellas. Usando tecnología, los estudiantes pueden generar muchos ejemplos como un medio de establece r y explorar conjeturas, pero es importante que se den cuenta de que generar muchos ejemplos de un determinado fenómeno no constituye una demostración. La visualización y el razonamiento espacial se enriquecen mediante la interacción con animaciones de ordenador y en otros contextos tecnológicos. FORMAS GEOMÉTRICAS, PROPIEDADES Y ARGUMENTOS MATEMÁTICOS Los niños tienen una inclinación natural a observar y describir una diversidad de figuras y empezar a fijarse en sus propiedades. Identificar figuras es importante, pero también debería ser intenso el enfoque sobre sus propiedades y relaciones. Por ejemplo, desde
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Kindergarten al nivel 2, los niños pueden observar que los rectángulos son apropiados para embaldosar porque tienen cuatro ángulos rectos.
En estos niveles, pueden aprender sobre las figuras geométricas utilizando objetos que puedan verse, sostenerse y manipularse. Más tarde, el estudio de los atributos de las figuras y de sus propiedades se hace más abstracto. En niveles posteriores, el estudio puede centrarse en los componentes de las figuras, como lados y ángulos, y en las propiedades de las clases de figuras. Por ejemplo, por medio de objetos o programas de geometría dinámica para experimentar con varios rectángulos, los estudiantes de los niveles 3-5 podrían ser capaces de conjeturar que siempre los rectángulos tienen diagonales congruentes que se cortan en su punto medio. En el nivel secundario, cuando estudian temas como la semejanza y la congruencia, los estudiantes deberán aprender a utilizar el razonamiento deductivo y técnicas de demostración más formales para resolver problemas y probar conjeturas. En todos los niveles, deberán aprender a dar explicaciones convincentes para sus conjeturas y soluciones. Al finalizar sus estudios escolares, deberán ser capaces de describir, representar e investigar relaciones dentro de un sistema geométrico, y de expresarlas y justificarlas con argumentos lógicas. Y, también, de comprender el papel de las definiciones, axiomas y teoremas, y de elaborar sus propias demostraciones. LOCALIZACIÓN Y RELACIONES ESPACIALES Al principio, los niños aprenden nociones de posición relativa como arriba, detrás, cerca y entre. Más tarde, pueden hacer y usar rejillas rectangulares para localizar objetos y medir la distancia entre puntos situados en rectas horizontales o verticales. Las experiencias con el plano de coordenadas rectangulares les serán de gran utilidad cuando resuelvan problemas más complejos de Geometría y Álgebra. Desde el cuarto grado en adelante, el plano de coordenadas puede ser útil cuando trabajen en el descubrimiento y análisis de propiedades de las figuras. Es importante que le estudiante aprenda a hallar distancias entre puntos del plano al usar escalas sobre mapas o la relación pitagórica. En el nivel intermedio, pueden representarse rectas analíticamente, y en la escuela superior, triángulos y círculos; de este modo se establece una conexión fundamental entre Álgebra y Geometría. Los estudiantes deben adquirir experiencia en el uso de una gran variedad de representaciones visuales y de coordenadas para analizar problemas y estudiar matemáticas. En los niveles elementales, por ejemplo, puede mostrarse una interpretación de la suma de números naturales mediante la recta numérica, y ésta puede utilizarse más tarde para representar operaciones con otros tipos de números. Entre los grados tercero al sexto, las cuadrículas y las configuraciones de puntos pueden ayudar a los estudiantes a entender la multiplicación. Más tarde, pueden considerarse problemas más complejos. Por ejemplo, al tratar de minimizar la distancia que tendría que recorrer una ambulancia para llegar a un nuevo hospital desde cualquier lugar del barrio, los estudiantes pueden utilizar distancias medidas en las calles. En la escuela secundaria, podría pedirse a los estudiantes que hallaran la ruta más corta de un avión, entre dos ciudades, y que compararan los resultados usando un mapa, con los obtenidos usando un globo terráqueo. Si se tratara de minimizar las distancias a varias ciudades viajando en carro, podrán usarse grafos. Los estudiantes
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de la escuela secundaria deberán utilizar coordenadas cartesianas, tanto para resolver problemas como para verificar sus resultados. TRANSFORMACIONES Y SIMETRÍA Los niños llegan a la escuela con ideas intuitivas sobre cómo pueden moverse las figuras. Pueden explorar movimientos como deslizamientos, reflexiones y giros usando espejos, plegado de papel y papel de calco. Más tarde, su conocimiento sobre las transformaciones debería llegar a ser más formal y sistemático. Entre el cuarto grado y el sexto, los estudiantes pueden investigar los efectos de las transformaciones y empezar a describirlos en términos matemáticos. Mediante programados de geometría dinámica, los estudiantes pueden empezar a aprender qué atributos se necesitan para definir una transformación. En el nivel secundario, deberán aprender a comprender lo que significa que en una transformación se conserve la distancia, como ocurre en las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones. En secundaria, deberán aprender diversas formas de expresar las transformaciones, incluyendo el empleo de matrices para mostrar cómo se transforman las figuras en el plano de coordenadas, así como la notación de función. También, deberán empezar a comprender los efectos de la composición de transformaciones. Y, en todos los niveles, una adecuada consideración de la simetría proporciona una mejor comprensión en el campo de las matemáticas, del arte y de la estética. RAZONAMIENTO ESPACIAL Y MODELOS GEOMÉTRICOS En los primeros años, los niños deberán desarrollar destrezas de visualización a través de experiencias con distintos objetos geométricos y mediante tecnología que les permita girar, reducir y deformar figuras de dos y tres dimensiones. Más tarde, desarrollarán confianza analizando y dibujando vistas en perspectiva, enumerando sus componentes y describiendo atributos que no pueden verse pero sí inferirse. Los estudiantes, a medida que desarrollan sus conocimientos sobre congruencia, semejanza y transformaciones, necesitan aprender, física y mentalmente, a cambiar la posición, la orientación el tamaño de los objetos de forma sistemática. Un aspecto fundamental de la visualización espacial requiere tratar con figuras de dos y tres dimensiones y sus representaciones. Los niños de la escuela elemental pueden plegar las figuras de dos dimensiones, usualmente hechas de papel, para formar objetos tridimensionales, como un paso para aprender a predecir si ciertos desarrollos corresponden a determinados cuerpos. Eventualmente, los estudiantes deberán interpretar y dibujar perspectivas de objetos desde arriba y de lado. Esta habilidad puede desarrollarse retándoles a construir una estructura dándoles solamente perspectivas de frente y de lado. En los niveles intermedios y en la enseñanza secundaria, se les puede pedir averiguar el mínimo número de bloques necesario para construir la estructura. En la escuela secundaria, los estudiantes deberán ser capaces de visualizar y dibujar otras secciones transversales de las estructuras y una variedad amplia de cuerpos geométricos.
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El estudiante es capaz de utilizar sistemas, herramientas y técnicas de medición para establecer conexiones entre conceptos espaciales y numéricos. El estudio de la medición es fundamental en el currículo de matemática debido a sus aplicaciones en muchos aspectos de la vida. El Estándar de Medición incluye la comprensión de los atributos, unidades, sistemas y procesos de medición, así como la aplicación de técnicas, herramientas y fórmulas para determinar medidas. La medición es el empleo de diversas unidades, mediante las cuales se evalúa las propiedades de un objeto, asignando valores numéricos. A través de este estándar, el estudiante es capaz de entender los procesos matemáticos incluidos al presentar, estimar, realizar cómputos y relacionar números y sistemas numéricos. La medición puede servir como una forma de integrar los diferentes dominios de la matemática, debido a que ofrece oportunidades de aprender y aplicar este conocimiento en otras áreas de las matemáticas como la numeración, la geometría, las funciones y las estadísticas. La medición consiste en asignar un valor numérico a un atributo de un objeto; por ejemplo, a la longitud de un lápiz. A niveles más complejos, la medición supone la asignación de un número a una característica de una situación; tal es el caso, por ejemplo, del índice de precios al consumo. En este Estándar se hace énfasis principalmente en la comprensión de qué es un atributo medible y en llegar a familiarizarse con las unidades y procesos usados en la toma de medidas. Desde Kindergarten al noveno grado, los estudiantes deberán llegar a ser hábiles en el uso de instrumentos, técnicas y fórmulas para medir, en situaciones diversas. El estudio de la Medición, desde Kindergarten hasta la escuela superior, es importante debido a su práctica y su presencia constante en muchos aspectos de la vida diaria. Ofrece también la oportunidad de aprender y aplicar otros aspectos de las matemáticas, como las operaciones con números, las ideas geométricas, los conceptos estadísticos y las nociones de función. Resalta las conexiones dentro de las matemáticas y entre éstas y otras áreas como las ciencias sociales, las ciencias, el arte y la educación física. La medición se presta especialmente al uso de materiales concretos. De hecho, es improbable que los niños puedan llegar a tener un entendimiento profundo de ella sin manipular materiales, hacer comparaciones físicamente y utilizar instrumentos de medida. Los conceptos relativos a la medida deberán crecer en complejidad y amplitud a través de los niveles, y los programas de enseñanza no deberán repetir el mismo currículo de medida año tras año. Sin embargo, el énfasis debería ser mayor en el nivel elemental que en el nivel superior.
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UNIDADES Y SISTEMAS DE MEDIDA Un atributo mensurable de una característica cuantificable de un objeto. Los segmentos de recta tienen longitud, las regiones planas tienen área y los objetos físicos tienen masa. Según los estudiantes avanzan en sus estudios, debería ampliarse el conjunto de atributos a medir. Reconocer que los objetos poseen atributos medibles es el primer paso en el estudio de la medida. Durante los años que van del Kindergarten al tercer grado, los niños empiezan por comparar y ordenar objetos utilizando expresiones como más largo y más corto. En esta etapa, la longitud debería ser el centro de atención, aunque deberán también explorarse el peso, el tiempo, el área y el volumen. En los próximos grados, deberán aprender más a fondo lo relativo al área, perímetro y volumen, y a la temperatura y la medida de ángulos. También aprenden que las medidas pueden obtenerse por medio de fórmulas, y que no siempre es necesario hacerlas directamente con instrumentos de medida. Eventualmente, los estudiantes se basan en estas primeras experiencias para continuar su estudio del perímetro, área y volumen, y empezar a explorar magnitudes derivadas, como la velocidad. Deberán también llegar a ser competentes midiendo ángulos y en la comprensión de las relaciones entre ángulos. En secundaria, deberán comprender cómo las decisiones sobre la unidad de medida y la escala, pueden afectar a las medidas. Cualquiera que sea el nivel, los estudiantes deberán tener muchas experiencias informales para la comprensión de los atributos, antes de utilizar instrumentos para medirlos o recurrir a fórmulas para hacerlo. A medida que los estudiantes avanzan en sus estudios en la escuela, no sólo debe ampliarse el repertorio de atributos medibles, sino que debería también desarrollarse la comprensión de las relaciones entre atributos. En los niveles elementales, se puede explorar cómo el cambio en los atributos de un objeto, afecta a ciertas medidas. Por ejemplo, separando y reagrupando de otra forma las piezas de una figura, puede cambiar el perímetro pero no cambia el área. En los niveles medios, puede ampliarse esta idea explorando cómo puede variar la superficie de un prisma rectangular y permanecer constante el volumen. Tales observaciones pueden ofrecer una primera visión de conceptos matemáticos complejos, tales como la invariabilidad bajo ciertas transformaciones. Las unidades que utilizan los estudiantes para medir y las formas en que las utilizan deberán ampliarse y cambiar a medida que avanza sus estudios en el nivel elemental En este nivel, los niños deberán empezar el estudio de la medida usando unidades no convencionales. Debe animárseles a emplear una variedad de objetos; por ejemplo: sujetapapeles para medir longitudes, losetas cuadradas para medir áreas y vasos de papel para la medida de volúmenes. También deberán tener oportunidades de usar centímetros, libras y horas. La “estandarización” de las unidades debería surgir más tarde, cuando los estudiantes se den cuenta, por ejemplo, que utilizando el pie de Abel para medir el largo de la clase, da un resultado distinto que haciéndolo con el pie de Elvira. Estas experiencias les ayudan a ver la conveniencia y coherencia del uso de las unidades estándar. Mientras que avanzan hacia el nivel secundario, deberán aprender
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a usar las unidades convencionales para medir nuevos atributos como el volumen y la densidad. En la escuela secundaria, al medir atributos abstractos, deberán emplear unidades más complejas, tales como la libra por pulgada cuadrada y el día por persona. A veces, los niños tienen dificultad para entender que para medir atributos diferentes, se necesitan unidades distintas. Aprender cómo elegir la unidad apropiada es parte importante de la comprensión de la medida. En los grados elementales, debe aprender que la longitud puede medirse mediante instrumentos lineales, pero el área no se puede medir directamente así; deberán ver que para medir áreas necesitarán unidades cuadradas. Los estudiantes del cuarto al sexto grado medios deberán aprender que las unidades cuadradas no sirven para la medida de volúmenes, y deberán explorar el empleo de unidades cúbicas. En todos los niveles, los estudiantes tendrían que aprender a hacer elecciones convenientes de unidades o escalas, dependiendo de la situación del problema; una elección adecuada es algo importante. Por ejemplo, aunque la longitud de un campo de fútbol puede medirse en centímetros, el resultado puede ser difícil de interpretar y usar. Al finalizar la enseñanza elemental, los estudiantes deberán tener un conocimiento razonable del papel de las unidades en las mediciones. El sistema métrico posee una organización interna sencilla y coherente. Cada unidad se relaciona siempre con la unidad anterior mediante una potencia de 10: un centímetro es diez veces mayor que un milímetro, un decímetro es diez veces mayor que un centímetro, y así sucesivamente. Dado que el sistema de medidas inglés es todavía predominante en Puerto Rico, los estudiantes deberán aprender ambos sistemas y conocer algunas equivalencias aproximadas entre uno y otro; por ejemplo, saber que una botella de dos litros de refresco es algo más que medio galón. El estudio de los dos sistemas empieza en la escuela elemental, y los estudiantes deberán aprender a hacer conversiones simples de uno a otro. Luego del cuarto grado deben llegar a tener destreza en estas conversiones y aprender algunas referencias útiles para efectuarlas. El estudio de los sistemas de medida puede contribuir a entender aspectos del sistema decimal de numeración, como el del valor posicional. Al hacer conversiones, los estudiantes aplican su conocimiento de las proporciones. El importante que el estudiante comprenda que toda medida es una aproximación. Deben familiarizarse con esta noción en entre el cuarto y el sexto grado mediante actividades en las que midan determinados objetos, comparen sus medidas con las obtenidas por otros y observen que muchos de los valores no concuerdan. De la discusión en clase de estas observaciones pueden extraerse ideas sobre la precisión y la exactitud. En el nivel intermedio, debe continuarse desarrollando una comprensión de las medidas como aproximaciones. Luego del noveno grado, los estudiantes deberán llegar a reconocer la necesidad de utilizar un número significativo de cifras decimales cuando calculan con medida.
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TÉCNICAS Y FÓRMULAS PARA LA MEDICIÓN Las técnicas de medición son estrategias usadas para determinar una medida, tales como contar, estimar y utilizar fórmulas o instrumentos. Estos últimos son lo que la mayoría de la gente asocia con la medición; entre otros: reglas graduadas, cintas métricas, recipientes, escalas, relojes y cronómetros. Las fórmulas son relaciones generales que proporcionan medidas cuando se especifican valores para las variables que intervienen en ellas. En los primeros grados, los estudiantes deberán aprender a utilizar una variedad de técnicas, incluyendo contar y estimar, y de instrumentos como las reglas graduadas, las escalas y los relojes analógicos. En los niveles elemental e intermedio, deberán continuar usando estas técnicas y desarrollar otras. Además, deben empezar a adaptar sus instrumentos corrientes e inventar técnicas nuevas para hallar medidas más complicadas. Por ejemplo, podrían usar papel cuadriculado transparente para hacer un cómputo aproximado del área de una hoja de árbol. Los estudiantes de los niveles medios pueden utilizar las fórmulas del área del triángulo y del rectángulo para calcular la de un trapecio. Una técnica importante de medición en Secundaria es la de aproximaciones sucesivas, precursora de conceptos del Cálculo. Los estudiantes de los niveles elementales deberán empezar a desarrollar fórmulas para el cómputo de perímetros y áreas. Luego del cuarto grado, deberán formalizar estas técnicas y desarrollar fórmulas para determinar el área y el volumen de prismas y cilindros. Muchos niños de los niveles elementales tienen dificultad para entender las nociones de perímetro y área. Frecuentemente, estos niños emplean fórmulas como P = 2l+ 2a o A = l x a sin entender cómo se relacionan estas fórmulas con el atributo que se está midiendo o con la unidad de medida que se está utilizando. Los maestros tienen que ayudarles a ver las conexiones entre la fórmula y el objeto real. En la escuela secundaria, cuando se usan fórmulas para resolver problemas, los estudiantes deberán darse cuenta que las unidades de medida se comportan como las variables en los procesos algebraicos, y que pueden usar esta observación para organizar sus conversiones y cómputos. La estimación de medidas es otra técnica que debería desarrollarse. Las actividades de estimación, desde Kindergarten hasta tercer grado, deberán centrarse en ayudar a los niños a que comprendan mejor el proceso de toma de medidas y el papel que desempeña el tamaño de la unidad que se emplee. En la escuela elemental y en la intermedia, deberán darse muchas oportunidades a los estudiantes para hacer estimaciones por comparación con alguna referencia. Por ejemplo, un alumno podría estimar la altura del maestro observando que es una vez y media más alto que él. Entre cuarto y el sexto grado, deberán usarse mapas y hacerse dibujos sencillos a escala. En el nivel intermedio, los estudiantes deberán ampliar sus conocimientos del empleo de escalas para resolver problemas que conlleven factores de escala. Estos
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problemas pueden ayudarles a dar sentido a las relaciones de proporcionalidad y a desarrollar una comprensión de la semejanza.
En la escuela secundaria, deberán estudiarse aspectos más complejos del uso de escalas, incluyendo el efecto del cambio de escala en un problema. También deberán llegar a entender los cambios no lineales de escala, tales como el de escala logarítmica, y cómo se usan tales técnicas en el análisis de datos y en la construcción de modelos.
El estudiante es capaz de utilizar diferentes métodos de recopilar, organizar, interpretar y presentar datos para hacer inferencias y conclusiones. El razonamiento estadístico es esencial para desempeñarse como un ciudadano y un consumidor informado. El estándar Análisis de Datos y Probabilidad lleva a los estudiantes a formularse preguntas acerca de diferentes temas y recolectar, organizar y mostrar datos relevantes para responderse esas preguntas. Además, este estándar enfatiza el aprendizaje de métodos estadísticos apropiados para analizar datos, hacer inferencias y predicciones basadas en los datos; comprender y usar los conceptos básicos de probabilidad. Este estándar conduce a que los estudiantes formulen preguntas que puedan contestarse mediante datos y que afronten lo que esto requiere: la recolección de los datos y su uso apropiado. Deberán aprender a recolectar datos, organizar los propios y los ajenos, y representarlos en gráficas y diagramas que resulten útiles para responder a las preguntas. Incluye también el aprendizaje de algunos métodos para analizar los datos y algunas formas de hacer inferencias y obtener conclusiones a partir de ellos. También se abordan los conceptos y las aplicaciones básicos de la Probabilidad, haciendo énfasis en cómo se relacionan ésta y la Estadística. Es abrumador el número de datos disponible para ayudar a tomar decisiones en los negocios, la prensa, la política, la investigación y la vida ordinaria. Las encuestas sobre consumo orientan el desarrollo y el estudio de mercado de los productos. Los sondeos de opinión contribuyen a definir estrategias en las campañas políticas. Los experimentos se usan para valorar la seguridad y eficacia de nuevos tratamientos médicos. Las estadísticas se manipulan frecuentemente con objeto de influir en la opinión pública o sobrevalorar la calidad y eficacia de los productos comerciales. Los estudiantes necesitan saber Análisis de datos y otros aspectos relativos a la Probabilidad para poder razonar estadísticamente. Son habilidades necesarias para llegar a ser ciudadanos bien informados y consumidores inteligentes. Para comprender las ideas estadísticas fundamentales, los estudiantes deben trabajar directamente con datos. En énfasis del trabajo con datos acarrea el que los estudiantes encuentren nuevas ideas y procedimientos nuevos según progresan a través de los niveles, en lugar de repasar las mismas actividades y los mismos tópicos. El Análisis de datos y la Estadística permiten a maestros y estudiantes establecer conexiones importantes entre ideas y procedimientos sobre Números, Álgebra,
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Medición y Geometría. Trabajar con el Análisis de datos y con la Probabilidad ofrece a los estudiantes una forma natural de conectar las matemáticas con otras asignaturas y con las experiencias de la vida cotidiana. Además, los procesos inherentes a los datos y la estadística servirán a los estudiantes en el trabajo y en la vida. Algunas de las cosas que los niños aprenden en la escuela les parecen predeterminadas y acotadas por reglas. Al estudiar Análisis de datos y Estadística, pueden también aprender que las soluciones a algunos problemas dependen de las hipótesis que se establezcan y tienen cierto grado de incertidumbre. REPRESENTACIÓN DE DATOS Los niños sienten una curiosidad natural acerca de su mundo; por eso formulan con frecuencia preguntas como éstas: ¿cuántos?, ¿cuánto cuesta?, ¿qué clase de…?, ¿cuál de éstos? Tales preguntas proporcionan la oportunidad para empezar el estudio del Análisis de datos y de la Probabilidad. A los niños les gusta hacer preguntas sobre cosas cercanas a su experiencia, como qué clase de mascotas tienen sus compañeros o cuáles son sus pizzas favoritas. A medida que avanzan en los niveles de escolaridad, las preguntas que hacen para investigar pueden basarse en hechos e intereses corrientes. Por ejemplo, los estudiantes pueden interesarse por el reciclaje, la conservación o las reclamaciones a los fabricantes. Pueden hacer preguntas como ¿es mejor usar platos de papel o de plástico en la cafetería? ¿qué tipo de batería dura más? En el nivel secundario estarán preparados para proponer e investigar problemas que exploren temas complejos. Los niños pueden diseñar planes simples de recolección de datos para tratar de responder a las preguntas planteadas. En los primeros niveles, el maestro podría ayudar a formular la pregunta o proporcionar hojas de registro, listados o diagramas, en los que anotar los datos recogidos. Los “datos” podrían ser objetos reales, tales como los zapatos de los niños presentados en un diagrama de barras, o los propios niños colocados por áreas de interés. A medida que van pasando de nivel, deberán invertir más tiempo planificando la recogida de datos y evaluando cómo funcionan sus métodos para obtener información sobre las preguntas. En los niveles medios, se debería trabajar más con datos recogidos por otros o generados mediante simulaciones. En la escuela superior, deberán comprender los diversos propósitos de las encuestas, los estudios de observación y los experimentos. Una idea fundamental en el nivel elemental, es que los datos pueden organizarse u ordenarse, y que el “cuadro” resultante proporciona información sobre el fenómeno o la pregunta. Eventualmente a medida que progresa el estudio de esta estándar en el nivel elemental, los niños deberán adquirir destreza en la representación de sus datos, utilizando con frecuencia diagramas de barra, tablas o diagramas de puntos. Deberán aprender lo que significan los diferentes números, símbolos y puntos. Es un gran paso reconocer que algunos números representan los valores de los datos, y que otros representan la frecuencia con que se presentan tales valores. Cuando los estudiantes
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empiecen a comprender las formas de representación de datos, estarán preparados para comparar dos o más conjuntos de éstos. Los libros, los periódicos, la Internet y otros medios, están llenos de representaciones de datos y, al final de la etapa elemental, los niños deben aprender a leerlas y comprenderlas.
Los estudiantes del nivel intermedio deberán empezar a comparar la eficacia de diversas clases de representaciones, al organizar los datos para un análisis posterior o al exponerlos con claridad a un auditorio. Cuando los estudiantes traten con conjuntos de datos mayores o más complejos, pueden registrarlos y representarlos rápidamente en gráficos utilizando la tecnología, ya así, poder centrarse en el análisis de estos datos y en comprender lo que significan. ANÁLISIS DE DATOS Aunque los niños están frecuentemente más interesados en su propia muestra de datos en un gráfico (hay cinco personas en mi familia), colocando la información de todos los estudiantes en un lugar se atrae la atención hacia el conjunto de datos. Más tarde, deberán empezar a describir el conjunto de datos como un todo. Aunque esta transición no es tan fácil, los estudiantes pueden, por ejemplo, observar que “vienen más estudiantes en autobús a la escuela que de todas las otras formas juntas”. Deberán ir comprendiendo el significado de la agregación de datos. A medida que los mayores empiezan a ver un conjunto de datos como un todo, necesitan herramientas para describirlo. Las medidas de centralización (media, mediana y moda) y de dispersión (rango, desviación típica), y los atributos sobre la forma de la distribución de datos llegan a ser útiles a los estudiantes como descriptores. En los niveles elementales, los conocimientos de los estudiantes se pueden basar en ideas informales como las de mitad, concentración o punto de equilibrio. Con mayor complejidad en la escuela secundaria, los estudiantes deberán elegir estadísticos específicos de acuerdo con las cuestiones que han de contestar. Los estudiantes deberán aprender lo que significa hacer comparaciones estadísticas válidas. En los niveles elementales, podrían decir que un grupo tiene más o menos que otro de un determinado atributo. Luego, deberán cuantificar estas diferencias comparando estadísticas específicas. Eventualmente, se debería pasar de analizar y describir un conjunto de datos a comparar dos o más conjuntos. Según se va pasando a la escuela secundaria, los estudiantes necesitarán nuevas herramientas para identificar semejanzas y diferencias entre los conjuntos de datos; entre ellas, histogramas, gráficos de tronco, gráficos de caja y nubes de puntos. También necesitarán investigar asociaciones y tendencias en datos bivariantes, incluyendo nubes de puntos y líneas de ajuste, y análisis de residuos y correlación en el nivel superior. INFERENCIAS Y PREDICCIONES Los estudiantes deberán llegar a comprender los elementos básicos del análisis estadístico: seleccionar una muestra adecuada, recoger datos de esta muestra, describir la muestra y hacer inferencias razonables que relacionen la muestra y la población. Al principio, los niños trabajan con más frecuencia con datos censales; por ejemplo, con una encuesta sobre la clase de helados favorita de cada niño de la clase.
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La noción de que la clase puede considerarse como una muestra de una población mayor, no es obvia en estos primeros niveles.
Los estudiantes mayores de la escuela elemental y los de los niveles medios, pueden llegar a adquirir nociones sobre inferencia estadística, pero desarrollar la comprensión de la idea del proceso de muestreo es difícil. Las investigaciones han puesto de manifiesto que los estudiantes entre los grados cuarto a octavo suponen que su propio juicio es más digno de crédito que la información que se obtiene de los datos. Al final del nivel intermedio y en la enseñanza secundaria, los estudiantes deberán utilizar las ideas de selección de muestras e inferencia estadística, y empezar a comprender que hay maneras de cuantificar el grado de certeza de los resultados estadísticos. En el nivel superior, los estudiantes deberán usar simulaciones para aprender sobre distribuciones de muestras y hacer inferencias informales. En particular, deberán saber que las técnicas estadísticas básicas se utilizan para controlar la calidad en el mundo laboral. Deberán graduarse de la escuela secundaria capacitados para juzgar la validez de los argumentos basados en datos, como lo que aparecen en la prensa. PROBABILIDAD La probabilidad está conectada a otras áreas de las matemáticas, sobre todo a los Números y la Geometría. Sus ideas sirven de base a la recolección, descripción e interpretación de datos. En los primeros grados, las ideas sobre la probabilidad deberán tratarse de manera informal. Los maestros deberán basarse en el vocabulario en desarrollo de los niños, para introducir y resaltar nociones de probabilidad; por ejemplo: probablemente tendremos recreo esta tarde o es improbable que llueva hoy. Los niños pueden empezar a construir un cierto conocimiento de la probabilidad y el azar haciendo experimentos con objetos concretos, tales como sacar fichas coloreadas de una bolsa. A medida que avanzan sus estudios en el nivel elemental, los estudiantes pueden considerar ideas de probabilidad mediante experimentos (usando monedas, dados o spinners) con resultados teóricos conocidos o a través de designar sucesos familiares como posibles, improbables, probables o ciertos. Los de los niveles medios, deberán aprender y usar la terminología apropiada y ser capaces de calcular probabilidades de sucesos compuestos sencillos, como el número de veces que se espera que salgan dos caras cuando se lanzan dos monedas al aire 100 veces. En grados más avanzados, deberán calcular probabilidades de sucesos compuestos y entender los sucesos condicionados e independientes. Los estudiantes deberán poder avanzar desde situaciones en las que la probabilidad de un suceso se puede determinar fácilmente, a situaciones en las que la toma de muestras y las simulaciones les ayudan a cuantificar la probabilidad de un resultado incierto. Muchos de los fenómenos con los que se encuentran los estudiantes especialmente en la escuela, tienen resultados predecibles. Cuando se lanza una moneda no cargada, es igualmente probable que salga cara o cruz. Lo que resultará de un lanzamiento determinado es incierto; incluso si en diez lanzamientos seguidos ha salido siempre cara, para mucha gente va contra la intuición que el lanzamiento undécimo tenga sólo
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un 50% de posibilidades de salir cruz. Si un suceso es aleatorio y se repite muchas, muchas veces, la distribución de resultados forma una tendencia. La idea de que los sucesos individuales no son predecibles en tal situación, sino que sólo puede predecirse una tendencia, es un concepto importante que sirve de fundamento al estudio de la inferencia estadística.
Implicaciones de los Estándares y Expectativas de Grado
Los Estándares y la Equidad: Grandes expectativas para TODOS Hacer realidad de que estos Estándares y Expectativas sean para todos los estudiantes, desde el Kindergarten hasta el nivel superior, no sólo es un objetivo fundamental sino también un importante reto. Alcanzar este objetivo requiere aumentar las expectativas de aprendizaje para todos los estudiantes, desarrollar métodos efectivos de apoyo, y proporcionar, a estudiantes y maestros, los recursos necesarios. Todos los estudiantes, independientemente de sus características, impedimentos, limitaciones lingüísticas y/o circunstancias personales, deben tener oportunidades para estudiar matemáticas y apoyo para aprenderlas. La equidad no significa que todos deban recibir la misma instrucción; por el contrario, exige que se hagan adaptaciones razonables y apropiadas para proporcionar la posibilidad a todos los estudiantes de alcanzar las expectativas que esbozamos en este documento. Todos los estudiantes necesitan acceder cada año a un currículo coherente y estimulante, enseñado por maestros de matemáticas competentes y de alta calidad. Además, el aprendizaje y aprovechamiento de los estudiantes deberán ser evaluados e informados de manera que se señalen las áreas que requieran una atención adicional inmediata. Equidad en educación matemática supone un reto frente a una creencia, muy extendida en nuestra sociedad, de que sólo algunos estudiantes son capaces de aprender matemáticas. Esto, conduce a bajas expectativas para demasiados estudiantes. Las bajas expectativas son especialmente problemáticas, ya que los estudiantes pobres, los que no tienen dificultades con el idioma, los que sufren alguna discapacidad, las mujeres, los estudiantes con bajos niveles de pobreza, los estudiantes que siguen estudios en escuelas vocacionales y otros estudiantes, han tenido tradicionalmente muchas más probabilidades de ser las víctimas, que sus colegas de otros grupos demográficos. Las expectativas tienen que aumentar: las matemáticas pueden y deben ser aprendidas por todos los estudiantes. Equidad requiere que se haga partícipe, de palabra y obra, a todos los estudiantes, de grandes expectativas de aprendizaje. Los maestros comunican expectativas al interactuar con sus estudiantes durante las clases, a través de sus comentarios a las tareas escritas, cuando asignan grupo a los estudiantes, por medio de la presencia o ausencia de apoyo constante a los que se esfuerzan por conseguir grandes logros, y en sus contactos con los adultos significativos en la vida del alumno. Estas acciones, junto con las ya realizadas y las decisiones tomadas fuera del salón de clases para asignar a los estudiantes diferentes clases o currículo diferentes, determinan las oportunidades de aprender e influyen en las creencias que tienen los estudiantes en su capacidad para tener éxito en matemáticas. Las escuelas están obligadas a asegurar que todos los estudiantes participen en un programa de educación sólido que apoye su
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aprendizaje matemático. Las grandes expectativas pueden alcanzarse en parte con programas que interesen al estudiantado y le ayuden a considerar la importancia y la utilidad, para su provenir, de un estudio continuado de las matemáticas. Mayores expectativas, no bastan para alcanzar el objetivo de una educación matemática igualitaria para todos los estudiantes. Todos deberán tener acceso a un programa de matemáticas excelente y equitativo, que proporcione un sólido apoyo para su aprendizaje, y considere los conocimientos previos, las capacidades intelectuales y los intereses personales. Algunos estudiantes pueden necesitar mayor ayuda para enfrentarse a grandes expectativas en matemáticas. Por ejemplo, algunos de ellos pueden necesitar acomodos en la evaluación. Otros estudiantes con algún tipo de discapacidad pueden necesitar más tiempo para completar sus tareas, o bien, les beneficiarían más las evaluaciones orales que las escritas. Los que tengan dificultades en matemáticas pueden necesitar recursos adicionales, como programas especiales, clases particulares, ayuda de sus compañeros o de estudiantes de niveles más avanzados. También, aquellos estudiantes con especial interés por la disciplina o excepcional talento para ella, pueden necesitar programas más ricos o más recursos para estimularlos y comprometerlos. El talento e interés de estos estudiantes tienen que alimentarse y apoyarse para que tengan la oportunidad y la guía necesarias para sobresalir. Las escuelas deben tener cuidado en acomodar las necesidades especiales de algunos estudiantes, sin entorpecer el aprendizaje de otros. La tecnología puede contribuir a alcanzar la equidad en la clase. Por ejemplo, las herramientas tecnológicas pueden proporcionar oportunidades a todos los estudiantes para explorar ideas y problemas matemáticos complejos; pueden aportar programas tutoriales estructurados para aquellos estudiantes que necesitan enseñanza complementarias y ejercitación en las tareas, o pueden conectar a estudiantes de comunidades rurales a oportunidades educativas o recursos intelectuales de los que no disponen con facilidad. Las computadoras con programas de reconocimiento y creación de voz pueden ofrecer a maestros y compañeros de clase el acceso a ideas matemáticas y argumentos desarrollados por los estudiantes con discapacidades, quienes, de otro modo, serían incapaces de compartir sus pensamientos. Además, la tecnología puede ser eficaz para atraer a los estudiantes que se desentienden de las matemáticas cuando el enfoque no es tecnológico. Es importante que todos los estudiantes tengan oportunidades de usar la tecnología en forma adecuada para acceder a ideas matemáticas interesantes e importantes. El acceso a la tecnología no debe convertirse en otro componente de la desigualdad educativa.
Los Estándares y el Currículo: Hacia un currículo coherente Un currículo es algo más que una colección de actividades. Tiene que ser coherente, estar centrado en matemáticas importantes y bien articulado a través de los diferentes grados y niveles del sistema educativo. Un currículo de matemáticas determina, en gran manera, lo que los estudiantes tienen oportunidad de aprender y lo que realmente aprenden. En un currículo coherente, las ideas matemáticas están entrelazadas y se construyen unas sobre otras, para que así profundice la compresión y el conocimiento del estudiante y aumente su habilidad para aplicarlas. Un currículo efectivo se centra en unas matemáticas importantes; matemáticas que preparen para un estudio continuado y para la resolución de problemas en diferentes entornos: el salón de clases, su hogar o el mundo del trabajo. Una buena articulación del currículo incentiva a los estudiantes para ir aprendiendo ideas matemáticas cada vez más complejas a medida que avanzan en sus estudios. En un currículo debidamente articulado, las conexiones deberían destacarse, tanto en el currículo como en las lecciones y en el material de enseñanza. Un currículo realmente coherente organiza e integra ideas matemáticas importantes para que los estudiantes puedan ver cómo se basa una en otras o se conectan entre sí y, consecuentemente, los capacite para desarrollar conocimientos y destrezas nuevos. Al planificar las lecciones, los maestros deberán esforzarse en organizar los contenidos para que las ideas fundamentales formen un todo integrado. Las ideas centrales correspondientes a contextos diversos deberán establecerse cuidadosamente, prestando la debida atención a la terminología, las definiciones, la notación y los conceptos y destrezas que van apareciendo en el proceso. Secuenciar coherentemente las lecciones a lo largo de las unidades y los niveles de enseñanza, supone un desafío. Por lo demás, es necesario que los maestros sean también capaces de adaptar y sacar provecho de las oportunidades que se presenten para enfocar las lecciones en direcciones no previstas. Por otro lado, los currículos deberán centrarse en contenidos y procesos que sean merecedores de la atención y el tiempo que le dedican los estudiantes. Los temas matemáticos se consideran importantes por ser útiles para desarrollar otras ideas matemáticas, enlazar diferentes áreas de las como disciplina y como creación humana. Es de destacar también la importancia de los conceptos matemáticas para la resolución de problemas en matemáticas y en otros campos. Nociones básicas como las de valor posicional, equivalencia, proporcionalidad, función y tasa de variación deberán ocupar un lugar prominente en el currículo, ya que capacitan para entender otras ideas y sirven de conexión entre diferentes áreas de matemáticas. El pensamiento matemático y las habilidades de razonamiento, incluyendo formular conjeturas y desarrollar sólidos argumentos deductivos, tienen importancia porque sirve de base a nuevas ideas y promueven un estudio posterior. Muchos conceptos y procesos, tales como la simetría
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y la generalización, pueden ayudar a profundizar en la naturaleza y belleza de las matemáticas. Muchos autores (Hargreaves, 1998; Drake, 1998; Quintero, 2005; López, 2005) destacan el esfuerzo que debe realizarse para dejar de trabajar el currículo de manera fragmentada y buscar puentes que permitan construir currículos en los que el énfasis no sean los contenidos, sino la manera en la que éstos se relacionan entre sí. Este enfoque puede atender: la reducción y duplicidad de destrezas y conceptos; un mayor grado de pertinencia para los estudiantes, dándole un contexto de su realidad; una visión integradora por parte del estudiante de los temas e ideas tratadas, en lugar de un cuadro fragmentado y desconectado de su realidad. A diferencia del currículo regular, en el que los conceptos y destrezas se presentan en un orden jerárquico y específico, hay más libertad para ordenar los mismos, aunque en el interior de un área temática es necesario cierto orden. Este nuevo enfoque permite la enseñanza de las destrezas en contexto y con sentido para el estudiante, atemperándolas a las necesidades y exigencias de la nueva economía del conocimiento. Además, el currículo debería ofrecer experiencias que permitan ver que esta disciplina se utiliza poderosamente para modelar y predecir fenómenos del mundo real. Debería enfatizarse también los procesos y destrezas que fundamentan la capacidad para cuantificar de los estudiantes. Unos ciudadanos inteligentes deberán ser capaces de juzgar afirmaciones, descubrir falacias, evaluar riesgos y sopesar pruebas (Price, 1997). Aunque reconocemos la naturaleza dinámica de los documentos curriculares, el currículo en sí no se necesario que permanezca invariable. Son posibles y, en cierto modo inevitables, diferentes configuraciones de ideas matemáticas importantes. La importancia relativa de algunos tópicos puede cambiar con el tiempo, como respuesta al cambio de sensibilidad en cuanto a su utilidad y a nuevas demandas y posibilidades. Por ejemplo, la recursión, la iteración y la comparación de algoritmos están recibiendo mayor atención en las matemáticas escolares debido a su creciente relevancia y utilidad en el mundo de la tecnología. Asimismo, aprender matemáticas supone acumular ideas e ir construyendo, sucesivamente, conocimientos más profundos y perfeccionados. El currículo debería proporcionar una guía que ayude al maestro a conducir a sus estudiantes a niveles crecientes de complejidad y profundidad de conocimiento. Tal guía requiere un currículo bien articulado, para que los maestros sepan qué matemáticas han estudiado sus estudiantes en los niveles anteriores y qué debe enfatizarse en los siguientes. Según van subiendo de nivel, los estudiantes deberán comprometerse más profundamente con las ideas matemáticas, y se espera que aumente su comprensión y habilidad para aplicar sus conocimientos.
Sin una clara articulación del currículo a través de todos los niveles, es inevitable la duplicación de esfuerzos y la revisión constante. Un currículo bien articulado asesora a los maestros en cuanto a las ideas matemáticas importantes, o los temas principales que deben recibir especial atención en cada momento. También les guía y asegura respecto a la profundidad de tratamiento de determinados conceptos y destrezas, y sobre cuándo se espera que concluya este tratamiento.
Los Estándares y el Assessment La evaluación y el assessment son una parte integral de la instrucción matemática, que contribuye significativamente al aprendizaje de todos los estudiantes. Cuando se presenta en conexión con los Estándares, se centra, a veces, en utilizar los exámenes para certificar los logros de los estudiantes, pero tiene otros propósitos importantes. Debería ser algo más que un mero examen al final del período de enseñanza para ver cómo trabaja los estudiantes en condiciones especiales; debería constituir una parte integral de la enseñanza que informe al maestro y le sirva de guía para la toma de decisiones. No sólo debería hacerse a los estudiantes, sino también para los estudiantes, para guiar y mejorar su aprendizaje. La afirmación de que la evaluación y el assessment debería enriquecer el aprendizaje puede sorprender: Después de todo, si la evaluación comprueba lo que los estudiantes han aprendido y son capaces de hacer, ¿cómo puede tener también consecuencias positivas para el aprendizaje? Las investigaciones indican que considerar la evaluación como una parte integral de la práctica de la clase, se asocia con la mejora del aprendizaje. Una buena evaluación puede enriquecer el aprendizaje de diversa formas. Primero, las tareas que se propongan en una evaluación pueden transmitir un mensaje a los estudiantes respecto a qué clase de conocimiento matemático y qué capacidades se evalúan. Este mensaje puede, a su vez, influir en las decisiones que tomen los estudiantes; por ejemplo, si es conveniente o dónde conviene esforzarse al estudiar. En consecuencia, es importante que los trabajos propuestos en la evaluación sean merecedores de la atención prestada y del tiempo empleado por los estudiantes. Debería incluirse actividades que sean coherentes con las realizadas en la clase y, a veces, las mismas. Cuando los maestros emplean técnicas de evaluación como las observaciones, las conversaciones y las entrevistas, o los diarios interactivos, los estudiantes probablemente aprendan al expresar sus ideas y al contestar las preguntas que les formulan. La retroalimentación (feedback) a partir de tareas de evaluación puede ayudar también a los estudiantes a fijar objetivos, asumir la responsabilidad del propio aprendizaje y llegar a ser aprendices más independientes. Por ejemplo, las puntuaciones asignadas a cada cuestión y las instrucciones para realizar el examen, pueden servir de ayuda a los maestros para analizar y describir las respuestas de sus estudiantes a tareas complejas y determinar sus niveles de competencias. Pueden ayudar también a los estudiantes a comprender las características de una respuesta completa y correcta. De igual forma, las discusiones en clase, en las que los estudiantes presentan y evalúan diferentes enfoques en la resolución de problemas complejos, pueden agudizar su ideas de la diferencias entre una respuesta excelente y una mediocre.
Mediante la propuesta de buenas tareas y la discusión pública de criterios para determinar la corrección de las respuestas, los maestros pueden cultivar tanto la disposición como la capacidad del alumnado para implicarse en la autoevaluación de sus trabajos y reflexionar sobre las ideas propuestas por otros. Para asegurar la profundidad y la calidad del aprendizaje de todos los estudiantes, la evaluación y la enseñanza debe estar integradas de forma que aquélla llegue a construir, en lugar de algo ocasional, una parte rutinaria de actividad docente. Tal evaluación proporciona también la información que necesitan los docentes para tomar decisiones apropiadas. Además de las evaluaciones formales, tales como los exámenes, los maestros deberán estar continuamente recabando información sobre el progreso de sus estudiantes, mediante preguntas durante el desarrollo de las lecciones, entrevistas individuales, etc. Cuando los maestros tienen información útil sobre lo que los estudiantes van aprendiendo, pueden apoyar su progreso hacia objetivos matemáticos significativos. Las decisiones relativas a cuándo y cómo repasar los conocimientos previos, cómo analizar un concepto difícil o cómo adaptar los tareas para los estudiantes con problemas de aprendizaje o para los que necesitan aprender. La evaluación es una primera fuente de datos sobre los que se basan estas inferencias, y las decisiones que tomen los maestros serán tan buenas como lo sean aquéllos. La evaluación debería reflejar las matemáticas que todos los estudiantes necesitan conocer y son capaces de hacer, y centrarse en su compresión y en sus destrezas procedimentales. Los maestros necesitan tener una idea clara de lo que se debe enseñar y aprender, y la evaluación debería estar en consonancia con dicha idea. Al proporcionar información sobre el progreso individual y colectivo en cuanto a estos objetivos, la evaluación puede ayudar a garantizar que cada uno avance productivamente en la dirección apropiada. Para toma decisiones acertadas, los maestros deberán buscar la convergencia de indicios a través de diversas fuentes. La evaluación formal proporciona un único punto de vista sobre lo que los estudiantes hacen en una situación muy particular (con frecuencia, trabajar individualmente en tareas de lápiz y papel, con un tiempo limitado para realizarlas). Depender excesivamente de este modo de evaluar puede dar una idea incompleta y tal vez distorsionada del rendimiento de los estudiantes. Ya que esto muestran lo que saben y pueden hacer de modos distintos, las evaluaciones deberán dar ocasión a múltiples enfoques, para obtener así una imagen más acabada y permitir que cada uno muestre sus mejores potencialidades.
Los maestros pueden utilizar muchas técnicas de evaluación, incluyendo preguntas abiertas, tareas de ejecución donde hay que elaborar la respuesta, donde hay que seleccionar una respuesta entre varias, tareas prácticas, observaciones, conversaciones, diarios de clase y cuadernos de trabajo. Todos estos métodos pueden ser apropiados para la evaluación de la clase, pero algunos pueden aplicarse más fácilmente a objetivos determinados. Por ejemplo, las preguntas de respuesta simple o donde hay que elegir una respuesta entre varias, sirven para averiguar si los estudiantes saben aplicar procedimientos. Las tareas donde hay que elaborar la respuesta o las tareas prácticas, pueden mostrar mejor su capacidad para aplicar las matemáticas en situaciones complejas o nuevas. Las observaciones y conversaciones en clase pueden proporcionar puntos de vista sobre el pensamiento de los estudiantes. Mediante los diarios de clase y los cuadernos de trabajo, los maestros pueden seguir los cambios en el pensamiento y el razonamiento de los estudiantes a través del tiempo. Cuando los maestros seleccionan métodos de evaluación, deberán considerar la edad, la experiencia y las necesidades especiales de los estudiantes. Tienen que asegurarse de que todos tengan oportunidad para demostrar clara y totalmente lo que saben y pueden hacer. Cuando está bien hecha, la evaluación y el assessment ayuda al maestro en la toma de decisiones sobre contenidos o formas de enseñanza (frecuentemente llamada evaluación formativa), puede usarse también para juzgar los logros de los estudiantes (evaluación sumativa). Las mismas fuentes de datos pueden reunirse para obtener una visión del progreso individual de los estudiantes. Para obtener el máximo valor de la evaluación, los maestros necesitan superar la consideración superficial de tarea “correcta o incorrecta”, y centrarse en cómo piensan los estudiantes al hacer las tareas. Deberán hacer esfuerzos para identificar las ideas válidas de los estudiantes-sobre las que puede basarse un posterior progreso-más que centrarse únicamente en los errores o conceptos falsos. Reuniendo datos de una variedad de fuentes, es más probable que se obtenga una imagen más exacta de lo que cada alumno sabe y es capaz de hacer, aunque ello sea menos directo que promediar calificaciones de exámenes. Ya sea de la evaluación formativa, esto es, dirigida a guiar la enseñanza, o de la sumativa, cuyo objetivo es evaluar el progreso del alumnado, el conocimiento de los maestros es determinante para reunir información útil y extraer inferencias válidas. Los maestros tienen que tener muy claros sus objetivos matemáticos, entender lo que sus estudiantes piensan acerca de las matemáticas, tener un buen control de los posibles significados de la evaluación de conocimientos y ser hábiles al interpretar la información proveniente de múltiples fuentes. Para que los maestros alcancen la necesaria formación al respecto, la evaluación debe convertirse en el foco principal de su preparación y desarrollo profesional.
Los Estándares y la Profesionalización de la Docencia La nueva visión de la enseñanza de las matemáticas no es suficiente para lograr el cambio en los núcleos escolares. Es necesario contar con maestros que tengan conocimientos actualizados en su disciplina, así como en los nuevos desarrollos educativos. Para alcanzar la excelencia de la enseñanza de matemáticas, los maestros deben convertirse en agentes de cambios constructivos. Esto se logra al incorporar nuevos enfoques en sus practicas educativas y demostrar su compromiso como educador. Además deben facilitar el aprendizaje de sus estudiantes promoviendo el razonamiento, la comunicación, la imaginación, la creatividad, la solución de problemas y la búsqueda del conocimiento. Estas cualidades los capacitaran para utilizar los métodos y técnicas de enseñanza más efectivas, y así, lograr las metas del programa. De igual forma, los facultaran para hacer las revisiones necesarias al currículo, de manera que les permitan servir mejor al sector de la comunidad que atienden Los Estándares y el papel de la tecnología La tecnologías electrónicas, tales como calculadoras y computadores, son herramientas esenciales para enseñar, aprender y “hacer” matemáticas. Ofrecen imágenes visuales de ideas matemáticas, facilitan la organización y el análisis de los datos y hacen cálculos en forma eficiente y exacta. Ellas pueden apoyar las investigaciones de los estudiantes en todas las áreas de las matemáticas, incluyendo números, medidas, geometría, estadístic y álgebra. Cuando los estudiantes disponen de herramientas tecnológicas, se pueden concentrar en tomar de decisiones, razonar y resolver problemas. Los estudiantes pueden aprender más matemáticas y en mayor profundidad con el uso apropiado de la tecnología. El Programa de Matemáticas sugiere que la tecnología no se debe utilizar como un reemplazo de la comprensión básica y de las intuiciones; más bien, puede y debe utilizarse para fomentar esas comprensiones e intuiciones. En los programas de enseñanza de las matemáticas, la tecnología se debe utilizar frecuente y responsablemente, con el objeto de enriquecer el aprendizaje de las matemáticas por parte de los alumnos. El poder gráfico de las herramientas tecnológicas posibilita el acceso a modelos visuales que son poderosos, pero que muchos estudiantes no pueden, o no quieren, generar en forma independiente. La capacidad de las herramientas tecnológicas para hacer cálculos amplía el rango de los problemas a los que pueden acceder los estudiantes y además, les permite ejecutar procedimientos rutinarios en forma rápida y precisa, liberándoles tiempo para elaborar conceptos y modelos matemáticos.
Igualmente, el nivel de compromiso y apropiación por parte de los estudiantes, de ideas matemáticas abstractas, puede fomentarse mediante la tecnología. Enriquece el alcance y calidad de las investigaciones ya que provee una manera de visualizar las ideas matemáticas desde diferentes perspectivas. La tecnología también suministra un punto focal, cuando los estudiantes discuten entre sí y con su maestro, acerca de los objetos que muestra la pantalla y los efectos que tienen las diferentes transformaciones dinámicas que permite realizar la tecnología. La tecnología ofrece además a los maestros opciones para adaptar la instrucción a necesidades específicas de los alumnos. Los estudiantes que se distraen fácilmente, pueden concentrarse mejor cuando las tareas se realizan en computador, y aquellos que tienen dificultades de organización se pueden beneficiar con las restricciones impuestas por un ambiente de computador. Los estudiantes que tienen problema con los procedimientos básicos pueden desarrollar y demostrar otras formas de comprensión matemática, que eventualmente pueden a su vez, ayudarles a aprender los procedimientos. Las posibilidades de involucrar estudiantes con limitaciones físicas con las matemáticas, se incrementan en una forma dramática con tecnologías especiales. La tecnología no reemplaza al maestro de matemáticas. Cuando los alumnos utilizan herramientas tecnológicas, muchas veces trabajan de formas que los hacen aparecer como independientes del maestro; sin embargo esta es una impresión engañosa. El docente juega varios roles importantes en un aula enriquecida con la tecnología, toma decisiones que afectan el proceso de aprendizaje de los alumnos de maneras importantes. Inicialmente el docente debe decidir si va a utilizarse tecnología, cuándo y cómo se va a hacer. A medida que los estudiantes utilizan calculadoras y computadores en el aula, el docente tiene la oportunidad de observarlos y fijarse cómo razonan. A medida que los estudiantes trabajan haciendo uso de la tecnología, pueden mostrar formas de razonamiento matemático que son difíciles de observar en otras circunstancias. Por lo tanto la tecnología ayuda en la evaluación, permitiendo a los maestros examinar los procesos que han seguido los alumnos en sus investigaciones matemáticas, como también, en los resultados obtenidos, enriqueciendo así la información disponible para que los maestros la utilicen cuando van a tomar decisiones relacionadas con la enseñanza.
La tecnología influye no solamente en la forma en que se enseñan y aprenden las matemáticas, sino que juega también un papel importante respecto a qué se enseña y cuándo aparece un tópico en el currículo. Si se tiene la tecnología a mano, los niños pequeños pueden explorar y resolver problemas relacionados con números grandes, o pueden investigar características de las formas utilizando software dinámico de geometría. Estudiantes de escuela primaria pueden organizar y analizar grandes grupos de datos. Alumnos de los grados medios pueden estudiar relaciones lineales y las ideas de inclinación y cambio uniforme con representaciones de computador y realizando experimentos físicos con sistemas de laboratorio basados en calculadoras. Los estudiantes de los grados superiores pueden utilizar simulaciones para estudiar distribución de muestras, y pueden trabajar con sistemas algebraicos de computador que ejecutan eficientemente la mayor parte de la manipulación simbólica que constituía el foco de los programas de matemáticas tradicionales de las escuelas. El estudio del álgebra no debe limitarse a situaciones simples en las cuales la manipulación simbólica es relativamente sencilla. Utilizando herramientas tecnológicas, los alumnos pueden razonar acerca de asuntos de carácter más general, tales como cambios en los parámetros, y pueden elaborar modelos y resolver problemas complejos que antes no eran accesibles para ellos. La tecnología también diluye algunas de las separaciones artificiales entre los diferentes temas de álgebra, geometría y análisis de datos, permitiendo a los estudiantes utilizar ideas de un área de las matemáticas para entender mejor otra. La tecnología puede ayudar a los maestros a conectar el desarrollo de habilidades y procedimientos con un desarrollo más general de la comprensión matemática. En la medida en que algunas habilidades anteriormente consideradas esenciales se vuelven menos necesarias debido a las herramientas tecnológicas, se puede pedir a los estudiantes que trabajen en niveles más altos de generalización o abstracción. El trabajo con manipulables virtuales (simulaciones en computador de manipulables físicos) o con Logo, puede permitir a niños pequeños ampliar su experiencia física y desarrollar una comprensión inicial de ideas sofisticadas, tales como el uso de algoritmos. El software dinámico de geometría puede permitir la experimentación con familias de objetos geométricos, con un enfoque explícito en transformaciones geométricas. En forma similar las herramientas gráficas facilitan la exploración de características de las clases de funciones. Sin embargo, el Programa advierte que la tecnología no es una panacea. Como con cualquier herramienta de enseñanza, puede usarse adecuada o deficientemente. Los maestros deben utilizar la tecnología con el fin de mejorar las oportunidades de aprendizaje de sus alumnos, seleccionando o creando tareas matemáticas que aprovechen lo que la tecnología puede hacer bien y eficientemente. Recomienda que los maestros sean bien cautelosos en sus decisiones en torno a la tecnología.
Finalmente el programa de matemáticas recalca que la tecnología NO DEBE UTILIZARSE PARA SUSTITUIR EL DOMINIO DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES BASICAS SENCILLAS EN NINGÚN NIVEL ESCOLAR. EL PROGRAMA DE MATEMÁTICAS INSISTE EN QUE EL ESTUDIANTE DEBE EFECTUAR CON FLUIDEZ LAS OPERACIONES BÁSICAS CON LOS DIFERENTES CONJUNTOS NUMÉRICOS, AL IGUAL QUE LAS MANIPULACIONES ALGEBRAICAS FUNDAMENTALES ASI COMO ENTENDER EL SIGNIFICADO DE LAS OPERACIONES Y LA FORMA EN QUE SE RELACIONAN ENTRE SÍ.
Estructura organizacional del documento Los estándares en este documento están divididos por dominios que se espera constituyan el elemento unificador y asegure la alineación del currículo a través de los niveles. Estos dominios se descomponen en expectativas generales de aprendizaje, las cuales se descomponen a su vez en indicadores de evaluación con objetivos mucho más específicos. Cada indicador se identifica por medio de un código que incluye el estándar, el dominio, el grado, y el número de la expectativa y el indicador
E. DO. 10. 1. 1
Estándar, Dominio, Grado, Expectativa, Indicador
NUMERACIÓN Y OPERACIÓN (N)
MEDICIÓN (M) (UM) Unidades de medida (TM)Técnicas de medida
ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD ( E) (RD) Representación de datos (AD) Análisis de datos (IP) Inferencia y Predicción (PR) Probabilidad
(SN) Sentido numérico (PR) Patrones, relaciones y funciones (SO) Significado de (RE) Representación las operaciones (OE) Operaciones y estimados (MO) Modelos matemáticos (CA) Cambio (FG) Formas geométricas LR) Localización y relaciones espaciales (TS) Transformaciones y simetría (MG) Modelos geométricos
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