Source: https://www.scribd.com/doc/305271470/Problema-de-Apolonio-Anonymous
Timestamp: 2018-10-16 19:06:55+00:00

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Por ejemplo.[][] En 1687 Isaac Newton mejoró el método de Van Roomen en su Principia.[][] Sin embargo. La reformulación en términos distancias centro-centro es útil en las resoluciones de Adriaan van Roomen e Isaac Newton que se muestran más abajo.[4] El primer nuevo método de resolución se publicó en 1596. que se anula. de modo que el radio de la circunferencia solución rs se vuelve a anular.Problema de Apolonio 3 solución (en color púrpura) es tangente internamente a la circunferencia negra dada de tamaño medio situada a la derecha.[][] El enfoque original de Apolonio de Perge se ha perdido.[][] Historia Se ha desarrollado un rico repertorio de métodos geométricos y algebraicos para resolver el problema de Apolonio. d2 = r2 + rs y d3 = r3 + rs. la duplicación del cubo (el problema a la obra de este escritor. Este segundo planteamiento del problema de Apolonio se puede generalizar a las circunferencias solución tangentes internamente (para las que la distancia centro-centro es igual a la diferencia de los radios) cambiando las correspondientes diferencias de distancias por sumas de distancias. Por ejemplo.[6] Muchas construcciones. es decir. dependen sólo de los radios conocidos de las circunferencias dadas y no del radio rs de la circunferencia solución. que identificó los centros de las circunferencias solución como puntos de intersección de dos hipérbolas. respectivamente. son Portada de Mathematicae Collectiones de Pappus imposibles utilizando sólo estas herramientas. los sistemas de navegación como el LORAN identifican la posición de un receptor a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de las señales emitidas desde tres posiciones fijas. el problema de Apolonio también se puede formular como el problema de encontrar uno o más puntos tales que las diferencias de sus distancias a tres puntos dados sean iguales a tres valores conocidos. Por tanto. donde recopiló la información sobre los métodos utilizados por Apolonio para estos problemas «imposibles» se pueden resolver utilizando la resolver el problema. Una propiedad muy apreciada en la geometría euclidiana clásica es la posibilidad de resolver problemas utilizando sólo construcciones con regla y compás. las diferencias entre estas distancias son constantes. muchos de de Alejandría. por obra de Adriaan van Roomen. Si la circunferencia solución es tangente externamente a las tres circunferencias dadas.[][5] y también John Casey en 1881. como dividir un ángulo en tres partes iguales. pero François Viète y otros lo reconstruyeron basándose en las pistas de la descripción de Pappus de Alejandría. y también en el posicionamiento hiperbólico o trilateración. r3. pero Menaechmus mostró que el problema puede . pues también hubo científicos árabes que hicieron grandes reconstrucciones en torno a la obra de Apolonio. las elipses y las parábolas este enigma geométrico han sido posibles gracias [] (secciones cónicas). que corresponden a las diferencias en las distancias a los transmisores. el método de van Roomen tiene una desventaja. entonces las distancias entre el centro de la circunferencia solución y los centros de las circunferencias dadas son: d1 = r1 + rs. r2.[] A pesar del éxito en la resolución del problema de Apolonio. Alternativamente. mientras que es tangente externamente a las circunferencias dadas más pequeña y más grande situadas a la izquierda. d1 − d2 = r1 − r2. este último no fue el único que pudo recopilar información sobre esta temática. que consiste en localizar una posición a partir de las diferencias entre las distancias a tres puntos conocidos. Para ver la equivalencia con el enunciado anterior. que plantea la construcción de un cubo con el doble de volumen de un cubo dado) no se puede resolver utilizando sólo regla y compás. sea considerada una circunferencia solución de radio rs y tres circunferencias dadas de radios r1. Los conocimientos sobre intersección de curvas como las hipérbolas. Sin embargo.
el propio libro de Apolonio sobre este problema —titulado Ἐπαφαί (Epaphaí. aunque también se han publicado otras reconstrucciones hechas independientemente por tres autores más. En 1879 Julius Petersen desarrolló por primera vez métodos que utilizan la inversión de la circunferencia.[] Antes del método de resolución de Viète. la resolución de Viète se considera una reconstrucción plausible de la resolución de Apolonio.[] un ejemplo es el método de solución anular de Harold Scott MacDonald Coxeter. Durante el siglo XIX se desarrollaron varias resoluciones geométricas del problema de Apolonio. Regiomontanus dudaba de la posibilidad de resolución del problema de Apolonio con regla y compás. desarrolló un método que precisa solamente el uso de construcciones con regla y compás.[] Viète resolvió en primer lugar algunos casos especiales sencillos del problema de Apolonio. aunque los métodos que utilizaban eran bastante complejos.[] A finales del siglo XVIII y durante el XIX. René Descartes e Isabel de Hervorden se convirtieron en los primeros en proporcionar resoluciones algebraicas.[] Según la descripción de Pappus de Alejandría en el siglo IV.[] desarrollada por Sophus Lie. se desarrollaron otros métodos algebraicos más prácticos por parte de muchos matemáticos. la resolución de van Roomen —que utiliza la intersección de dos hipérbolas— no determina si el problema satisface la propiedad de poder ser resuelto mediante construcciones con regla y compás. que fue precisamente el primero en convencer a su amigo Van Roomen para trabajar en el problema de Apolonio.[8] François Viète.[] Carl Friedrich Gauss.[] Por tanto. destacado matemático francés que trabajó exhaustivamente en el problema de Apolonio.Problema de Apolonio 4 resolverse utilizando la intersección de dos parábolas. «Tangencias».[] Lazare Carnot.[] Otra aproximación utiliza la geometría de la esfera de Lie.[11] y Augustin Louis Cauchy. François Viète. en algunos de estos casos mediante la reducción o la ampliación de las circunferencias dadas. De contactibus)— seguía una aproximación progresiva similar.[7] Por tanto. el método de Gergonne aprovecha la relación conjugada entre las rectas y sus polos en una circunferencia. formulando soluciones para casos especiales más complicados.[12] .[] Mientras que la resolución de Poncelet se basa en el uso de centros de homotecia de circunferencias y en el teorema de la potencia de un punto. que sólo tiene una solución si los puntos son diferentes. como encontrar una circunferencia que pase por tres puntos dados.[10] Nicolas Fuss. desarrolló un método que precisa únicamente el uso de construcciones con regla y [] compás. incluyendo Leonhard Euler. en latín: De tactionibus. Las más notables son las de Jean-Victor Poncelet (1811)[9] y Joseph Diaz Gergonne (1814).
Van Room abordó la solución del problema general a través de la resolución de un problema más sencillo. consistente en encontrar las circunferencias que son tangentes a dos circunferencias dadas.[] Estos cuatro puntos se corresponden con el centro de la circunferencia solución (Z) y los El conjunto de puntos con una relación constante de distancias d1/d2 a dos puntos fijos es una centros de las tres circunferencias dadas (A. Una intersección de estas dos hipérbolas (si existe) da el centro de una circunferencia solución que tiene las tangencias internas y externas escogidas para las tres circunferencias dadas. está basada en la intersección de dos hipérbolas. circunferencia solución y C2 se debe elegir de manera consistente con la primera hipérbola. hipérbola. Newton construyó sus correspondientes directrices. Para cualquier hipérbola. de manera que las diferencias de distancias entre Z y los tres puntos dados tengan valores conocidos. La distancia d1 entre el centro de la circunferencia solución y el de C1 puede ser rs + r1 o rs − r1. Las dos directrices se intersecan en un punto T. y por esta razón los posibles una circunferencia tangente a las dos (en centros de una circunferencia solución deben estar situados sobre dicha rosa). C2 y C3. B y C). Como se muestra en la ilustración a la derecha. r1 y r2. El conjunto completo de soluciones al problema de Apolonio se encuentra cuando se consideran todas las combinaciones posibles de tangencias internas y externas de la circunferencia solución con las tres circunferencias dadas. Las distancias de centro a centro d1 y d2 son iguales a r1 + rs y r2 + rs. publicada en 1596. por ejemplo. y por tanto su diferencia circunferencias dadas C2 y C3. de manera respectiva. Newton construyó una recta que pasa por 5 . refinó el método de van Roomen de manera que los centros de las circunferencias solución se encontrasen en las intersecciones de una recta con una circunferencia. y a partir de sus razones de distancias conocidas. En 1687 Isaac Newton. resolverlo a través de las dos hipérbolas. C1 y C2. respectivamente.Problema de Apolonio Métodos de resolución Intersección de hipérbolas La resolución de Adriaan van Roomen.[][] Dadas las circunferencias C1. la razón de distancias desde un punto Z al foco A y a su directriz es una constante llamada excentricidad. como pueden ser. Se puede crear una segunda hipérbola por la pareja de respectivamente. otra vez dependiendo del tipo de la tangencia elegida. la distancia d2 entre el centro de la circunferencia solución y el de C2 puede ser rs + r2 o rs − r2. Por lo tanto. Observó que el centro de una circunferencia tangente a las dos circunferencias dadas debía de estar situado en un punto de una hipérbola cuyos focos fueran los centros de las circunferencias dadas. la diferencia d1 − d2 entre estas distancias siempre es una constante que es independiente de rs. llamamos a los radios de la circunferencia solución y de las dos circunferencias dadas rs. B y C. Del mismo modo. en la que la tangencia externa o interna de la es independiente de rs.[] Newton formuló el problema de Apolonio como un problema de trilateración: encontrar un punto Z a partir de tres puntos dados A. dependiendo de si se elige que estas circunferencias sean tangentes externa o internamente. en sus Philosophiæ naturalis principia mathematica. En lugar de circunferencia. Esta propiedad de poseer una diferencia fija entre las Dos circunferencias dadas (en negro) y distancias al foco caracteriza las hipérbolas.
derivó un lema correspondiente al teorema de la potencia de un punto. Para resolver los problemas restantes. los radios de las circunferencias dadas que son tangentes internamente también deben variar Δr. Así ya había resuelto los cuatro primeros casos del problema de Apolonio. Reduciendo de nuevo una circunferencia a un punto. ya resuelto. En primer lugar resolvió el caso CRR (una circunferencia y dos rectas) mediante la reducción de la circunferencia a un punto y transformando esto en un caso RRP. Finalmente. esta definición es la base del sistema de coordenadas bipolares). Si el radio de la circunferencia solución varía un incremento Δr. mientras que los radios de las circunferencias dadas que son tangentes externamente deben variar —Δr. que utilizó para resolver el problema RRP (dos rectas y un punto). las circunferencias dadas tangentes internamente se han de ampliar y. . el problema de Apolonio tiene diez casos especiales. lo que convertía el problema en un caso más sencillo ya resuelto. Después resolvió el caso CPP (una circunferencia y dos puntos) y el caso CCP (dos circunferencias y un punto). una recta y un punto) utilizando tres lemas. Siguiendo el método Euclides por segunda vez. en cambio. dependiendo de la naturaleza de los tres objetos dados. las circunferencias dadas tangentes externamente deben reducirse. para mantener las tangencias al tiempo que la circunferencia solución se agranda. Después resolvió el caso CRP (una circunferencia. Entonces derivó un lema para construir la recta perpendicular a una bisectriz que pasa por un punto. porque Apolonio ya había demostrado que una circunferencia se puede definir como el conjunto de puntos que tienen una razón de distancias dada a dos puntos (como acotación al margen. estos diez casos se clasifican con un código de tres letras como podría ser CCP para el caso de dos circunferencias y un punto. Habitualmente. Reconstrucción de Viète Como se explica más abajo. mientras que las circunferencias tangentes exteriormente (las dos circunferencias negras de la izquierda) hacen la transformación contraria. Viète resolvió el caso general CCC (tres circunferencias) reduciendo una circunferencia en un punto. No obstante. la razón de distancias TZ/TA también es conocida. La tangencia entre circunferencias se conserva si sus radios varían en cantidades iguales. el último caso a través de dos lemas. A partir de aquí. rectas (R) o puntos (P). De ese modo. Viète aprovechó el hecho de que se pueden variar a la vez las medidas de las circunferencias dadas y la circunferencia solución mientras se preservan las tangencias (como se ejemplifica en la imagen a la derecha).[][] Viète comenzó resolviendo el caso PPP (tres puntos) siguiendo el método de Euclides que se expone en su obra Elementos. Viète resolvió el caso RRR (tres rectas) utilizando el teorema de la bisectriz.Problema de Apolonio 6 T sobre la que debe descansar el centro Z. las soluciones del problema de Apolonio se pueden encontrar a partir de las intersecciones de una recta con una circunferencia. Viète utilizó este enfoque para reducir una de las circunferencias a un punto (una circunferencia de radio 0). Viète transformó el caso CCR en un caso CRP. que utilizó para resolver el caso RPP (una recta y dos puntos). por lo que el punto Z también está situado en una circunferencia conocida. Dicho de otro modo.[1] El matemático francés François Viète resolvió los diez casos usando sólo construcciones con regla y compás. Una circunferencia solución (en rosa) se debe reducir o ampliar junto con las circunferencias que sean tangentes interiormente (la circunferencia negra de la derecha). que lo transformaba en el caso CCP ya resuelto. los que no contienen circunferencias. y utilizó las soluciones de los casos más sencillos para conseguir resolver los más complicados. que pueden indistintamente ser circunferencias (C).
cada uno correspondiente a una de las ocho circunferencias resolutorias posibles. Por ejemplo. cada pareja de raíces corresponde a una pareja de soluciones que están relacionadas por la inversión de la circunferencia. P y Q son funciones conocidas de las circunferencias dadas y la elección de los signos. La sustitución de estas fórmulas en una de las tres ecuaciones iniciales da una ecuación de segundo grado en la que la incógnita rs se puede resolver mediante la fórmula correspondiente. Del mismo modo.Problema de Apolonio Soluciones algebraicas El problema de Apolonio se puede plantear como un sistema de tres ecuaciones. y3). Como los tres signos se pueden elegir independientemente. hay ocho sistemas de ecuaciones posibles (2 × 2 × 2 = 8). de radios complejos conjugados.[] Como las tres circunferencias dadas y cualquier circunferencia solución deben estar en el mismo plano. con los signos opuestos −si. s2 y s3 en el miembro de la derecha de las ecuaciones pueden ser elegidos de ocho maneras diferentes. Cuando se multiplican. si (rs. ys). no corresponde a ninguna 7 . El primer caso corresponde a la situación común. xs. con el objetivo de encontrar el radio y la posición del centro de la circunferencia solución. El sistema general de tres ecuaciones de segundo grado se puede resolver por el método de las resultantes. las posiciones de los centros de las tres circunferencias dadas se pueden denominar (x1. El tercer caso. y2) y (x3. (x2. que representa la misma circunferencia solución. N. la circunferencia solución rosa es tangente internamente a la circunferencia dada de la derecha y tangente externamente a las circunferencias dadas más grande y más pequeña de la izquierda. una raíz doble degenerada) o dos raíces complejas conjugadas. Por ejemplo. Una manera de evitar este doble recuento es considerar sólo las circunferencias solución con radio no negativo. mientras que la posición del centro de la circunferencia solución se puede denominar (xs. Las dos raíces de cualquier ecuación de segundo grado pueden ser de tres tipos diferentes: dos números reales distintos. dos números reales iguales (es decir. Por tanto. los radios de las circunferencias dadas y el de la circunferencia solución se pueden denominar r1. con signos si. los términos lineales que quedan se pueden reorganizar para dar las fórmulas de las coordenadas xs e ys: donde M. una de las circunferencias dadas es en sí misma una solución del problema de Apolonio y el número de soluciones diferentes se reduce en uno. Restando una ecuación de otra. El segundo caso. y1). como se muestra más abajo. respectivamente. ya que la ecuación con incógnita rs es de segundo grado. En este caso. r3 y rs. si las circunferencias dadas están ordenadas según su radio. Esto podría hacer pensar (incorrectamente) que pueden haber hasta dieciséis soluciones del problema de Apolonio. La condición de que la circunferencia solución sea tangente a cada una de las tres circunferencias dadas se puede expresar con un sistema de tres ecuaciones para las tres incógnitas xs. xs. en la imagen que ilustra la sección anterior. estos términos cuadráticos se anulan. ys). r2. debido a una simetría entre las ecuaciones. y cada elección de signos da hasta dos soluciones. s2 y s3 del segundo miembro de estas ecuaciones. entonces también lo es (−rs. llamados signos. pueden ser igual a ±1. los signos para esta solución serían «. y especifican si la circunferencia solución deseada es tangente internamente (s = 1) o externamente (s = -1) a la circunferencia dada correspondiente. las tres ecuaciones tienen xs2 + ys2 en el miembro de la izquierda y rs2 en el miembro de la derecha. el problema de Apolonio tiene como máximo ocho soluciones independientes. ys) es una solución. en el que las dos raíces son iguales. La sustitución del valor numérico de rs en las fórmulas lineales proporciona los valores correspondientes a xs y ys. y) de sus centros. se corresponde a una circunferencia solución que se transforma en sí misma con la inversión. Sin embargo. sus posiciones se pueden expresar mediante las coordenadas (x. ys y rs: Los tres números s1.+ -». Los signos s1.
como un vector de cinco dimensiones X = (v. rectas y puntos de una manera unificada. el producto de dos vectores tales cualesquiera a la cuádrica es igual a: donde las barras verticales que contienen c1 − c2 representan la longitud de este vector diferencia. ya que una circunferencia solución no puede tener un radio imaginario. Esta fórmula muestra que si dos vectores cuádricos X1 and X2 son ortogonales (perpendiculares) el uno al otro —esto es. cy. Esto proporciona otra manera de contar el máximo número de soluciones y extender el teorema a espacios de mayores dimensiones. entonces sus circunferencias correspondientes son tangentes. que las circunferencias tengan la misma «orientación»). es bilineal): Como (X1|X1) = (X2|X2) = 0 (ambos pertenecen a la cuádrica de Lie) y w1 = w2 = 1 para circunferencias. En este mundo de cinco dimensiones. si (X1|X2)= 0—. el objetivo es identificar vectores resolutorios Xsol que pertenezcan a la cuádrica de Lie y sean también ortogonales (perpendiculares) a los vectores X1. si los dos signos s1 and s2 son diferentes (es decir. las circunferencias son tangentes externamente. las circunferencias son tangentes internamente. cx. Si r no es cero. específicamente. para verlo. la distancia entre sus centros es igual a la suma de los radios: Por tanto. el signo s puede ser positivo o negativo. existe un producto bilineal similar al producto escalar: La cuádrica de Lie se define como aquellos vectores cuyo producto consigo mismos (su norma al cuadrado) es cero. la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre los radios: Por el contrario. el problema de Apolonio se puede formular en términos de la geometría de Lie como el problema de encontrar vectores perpendiculares en la cuádrica de Lie. cy) es el centro de la circunferencia y r es su radio (no negativo).Problema de Apolonio solución geométricamente posible del problema de Apolonio. w. X2 y X3 correspondientes a las circunferencias dadas: La ventaja de esta reformulación es que se pueden aprovechar los teoremas del álgebra lineal sobre el máximo número de vectores linealmente independientes simultáneamente perpendiculares.[][] 8 . s·r). en cambio. donde c = (cx. Curiosamente. En caso de que los dos signos s1 and s2 sean iguales (es decir. es decir.[] Esta geometría representa circunferencias. la norma de sus diferencias es igual a: El producto tiene la propiedad distributiva respecto a la suma y la resta (más precisamente. (X|X) = 0. la norma euclidiana. El parámetro w es cero para las rectas y uno en otro caso. por lo que el número de soluciones se reduce en dos. las circunferencias tienen «orientaciones» contrarias). Sean X1 y X2 dos vectores pertenecientes a esta cuádrica. aunque puede tener cualquier otro número de soluciones de cero a ocho. las que están orientadas en el sentido de las agujas del reloj tienen s negativo. se representa la orientación de la circunferencia: las circunferencias orientadas en contra del sentido de las agujas del reloj tienen s positivo y. el problema de Apolonio no puede tener siete soluciones.[][] Geometría de la esfera de Lie Las mismas ecuaciones algebraicas se pueden llevar al contexto de la geometría de la esfera de Lie.
si una circunferencia pasa por el centro de la circunferencia de inversión. Es importante destacar que si una circunferencia corta la circunferencia de inversión en ángulos rectos (hay interseca perpendicularmente). si P está fuera de la circunferencia. al contrario. sin embargo éstas no simplifican el problema. pero no contiene una tercera. a todas perpendicularmente.[] Parejas de soluciones por inversión Las soluciones del problema de Apolonio aparecen a menudo en parejas.[] Esto se muestra en la ilustración de la derecha. P y P' deben estar alineados. las circunferencias se suelen transformar en otras circunferencias. Bajo la misma inversión. rectas y puntos dados en otras circunferencias. Otras transformaciones plausibles podrían ser las isometrías del plano euclídeo. se dice que la inversión envía el punto P en el infinito (en análisis complejo. En la inversión. se transforma en una recta. el «infinito» se define en términos de la esfera de Riemann). por cada circunferencia solución. existe una circunferencia solución conjugada. no queda afectada por la inversión. pero no contiene las otras dos. circunferencia es el centro radical de las tres circunferencias.[] La estrategia básica de los métodos inversos es transformar un problema de Apolonio dado en otro que sea más sencillo de resolver.[] Una circunferencia solución contiene las circunferencias dadas que la conjugada no contiene. La inversión de la circunferencia de centro O y radio R consiste en la siguiente operación: a cada punto P se le asigna un nuevo punto P como O. y viceversa. deben transformar las circunferencias. Las dos circunferencias resolutorias conjugadas están relacionadas por la inversión. en la 9 . pues sólo desplazan. abajo a la derecha) contiene la tercera circunferencia dada. además.Problema de Apolonio Métodos inversos Un entorno de tratamiento natural para el problema de Apolonio es la geometría inversiva. y viceversa. La inversión en la circunferencia radical no modifica las circunferencias dadas. arriba a la izquierda) con dos circunferencias dadas (negras). dadas tres circunferencias diferentes cualesquiera existe Una pareja de soluciones conjugadas del una única circunferencia —la circunferencia radical— que las interseca problema de Apolonio (circunferencias en rosa). los puntos de tangencia correspondientes a las dos circunferencias resolutorias se transforman el uno en el otro. la solución conjugada (también rosa. entonces P' queda dentro. Existen otras resoluciones inversivas del problema a parte de las descritas anteriormente. En general. donde la circunferencia naranja interseca las circunferencias negras dadas en ángulos rectos. precisamente. rectas y puntos. por lo que las soluciones del problema en el plano corresponden con las soluciones a la esfera. y el producto de las distancias desde P y P' hasta el centro O sea igual al radio R al cuadrado: Así. Cuando P es el mismo que O. El problema de Apolonio en el plano se puede llevar a la esfera con una proyección estereográfica inversa. Las inversiones de la circunferencia corresponden a un subconjunto de las transformaciones de Möbius en la esfera de Riemann. el centro de esta donde las circunferencias negras son las dadas. la ilustración de la derecha. una circunferencia solución (rosa. giran o hacen una reflexión del problema original. Por ejemplo. y que los puntos siempre se transforman en puntos. La inversión tiene la útil propiedad que rectas y circunferencias siempre se transforman en rectas y circunferencias. pero transforma las dos soluciones conjugadas una en la otra. se transforma en sí misma. Las transformaciones examinadas deben cambiar un problema de Apolonio en otro. tal como se explica a continuación. al deshacer la transformación. sin embargo. las soluciones del problema original se encuentran a partir de las soluciones del problema transformado. y no en otras formas. La inversión de la circunferencia tiene esta propiedad y además permite elegir de forma libre el centro y el radio de la circunferencia invertida. y viceversa.
por lo que deben pasar por el centro de inversión. sino que giran como las bolas de un rodamiento rígido o cojinete de rodaduras en el anillo. Cuando dos de las circunferencias dadas son concéntricas. y las distancias ds y dT desde su centro hasta el centro concéntrico común y de este último hasta el centro de la circunferencia no concéntrica. Inversión para obtener un anillo Si dos de las tres circunferencias dadas no se intersecan. Una simple reordenación trigonométrica proporciona las cuatro soluciones. es igual a la suma rexterno + rinterno de los radios interno y externo. Las cuatro soluciones restantes se pueden obtener por el mismo método. Esta fórmula representa cuatro soluciones. de manera general. y la distancia dT = rs ± rnon. las circunferencias soluciones contienen la circunferencia concéntrica interna. las ocho soluciones que corresponden al problema de Apolonio se pueden encontrar. y las dos elecciones por C. En el primer grupo. el radio de las circunferencias soluciones. La circunferencia solución se puede determinar a partir de su radio rs. Por lo tanto. mientras que dos veces su distancia al centro ds es igual a su diferencia. En el segundo grupo. el radio de la circunferencia solución. mientras que dos veces su distancia al centro ds es igual a su suma. el problema de Apolonio se puede resolver fácilmente siguiendo un método de Gauss. existen cuatro soluciones para cada grupo. consistente con las resoluciones algebraicas. En general. las soluciones no contienen la circunferencia concéntrica interna.Problema de Apolonio 10 ilustración los dos azules situados en cada recta verde se transforman el uno en el otro. Así. dependiendo de si la circunferencia solución es tangente interna o externamente a la circunferencia no concéntrica. Por ello. Dos veces rs. las circunferencias soluciones deben situarse dentro del anillo o corona formada por las dos circunferencias concéntricas. pertenecen a dos grupos de un solo parámetro. es igual a la diferencia rexterno − rinterno de los radios interno y externo. . Dos veces rs. y por lo tanto hay un total de ocho soluciones posibles. una nueva constante C ha sido definida para abreviar esto. creado por Carl Friedrich Gauss. se puede escoger un centro de inversión de modo que estas dos circunferencias dadas queden concéntricas. el ángulo θ. El radio y la distancia ds son conocidos. Una circunferencia solución (en rosa) del segundo grupo contiene la circunferencia interna dada (en negro).[] Los radios de las tres circunferencias dadas son conocidos. con el subíndice que indica si la solución es tangente externamente o interna. por este método.[][] Bajo esta inversión. aplicando el teorema del coseno: Aquí. como también lo es la distancia dnon del centro concéntrico común y el centro de la circunferencia no concéntrica. correspondiente a las dos elecciones del signo de θ. que es el centro radical (las rectas verdes que intersecan en el punto naranja en la ilustración). las rectas que unen estos puntos de tangencia conjugados no varían bajo la inversión. Una circunferencia solución (en rosa) del primer grupo se sitúa entre las circunferencias concéntricas dadas (en negro). utilizando las sustituciones por rs y ds indicadas al pie de la imagen que ilustra el segundo grupo. respectivamente. Por lo tanto.
escogiendo dos puntos arbitrarios P y Q en este eje radical.[] El punto de tangencia correspondiente se utiliza como centro de inversión en una circunferencia que interseca cada una de las dos circunferencias tangentes en dos puntos. Cambio de tamaño para obtener una tangencia entre dos circunferencias dadas En el segundo enfoque. Las soluciones del problema invertido deben ser (1) rectas paralelas a las dos paralelas dadas y tangentes a la tercera circunferencia transformada. La reversión de la inversión y el reajuste del radio de todas las circunferencias en Δr produce las circunferencias soluciones tangentes a las tres circunferencias originales. Bajo la inversión. alternativamente. La reversión de la inversión en P y del cambio de tamaño transforma estas rectas resolutorias en las circunferencias soluciones deseadas del problema de Apolonio original. la solución del problema de Apolonio original se obtiene a partir de la solución del problema transformado deshaciendo la inversión y los cambios de tamaño. La misma inversión transforma la tercera circunferencia en otra circunferencia. En tercer lugar. pudiéndose construir dos circunferencias centradas en P y Q y que intersecan las dos circunferencias dadas perpendicularmente. La inversión en una circunferencia centrada en P transforma las dos circunferencias dadas en nuevas circunferencias. Pueden existir hasta cuatro rectas resolutorias. el problema de Apolonio degenera en el caso especial CCP. formando así un sistema de coordenadas bipolares. y por tanto no se pueden encontrar. En todos estos casos. que se pueden construir desde los centros homotéticos interno y externo de las dos circunferencias. las tres circunferencias dadas y la circunferencia solución se pueden cambiar de tamaño a la vez mientras se mantienen las tangencias. Reducción de una circunferencia dada a un punto En el primer enfoque. las circunferencias dadas que se cortan también se pueden cambiar de tamaño para que no se intersequen. La inversión en uno de estos puntos de intersección F transforma las circunferencias construidas en rectas que pasan por F y las dos circunferencias dadas en circunferencias concéntricas. y después de esto se puede aplicar el método de inversión para obtener un anillo. a menudo dos circunferencias dadas se pueden cambiar de tamaño para que sean tangentes entre ellas. Por ejemplo. las cuatro circunferencias se pueden cambiar de tamaño de manera que una circunferencia solución se reduzca a un punto. no obstante. 11 . la solución transformada es una recta tangente a las dos circunferencias dadas transformadas. el problema de Apolonio inicial se transforma en otro problema que puede ser más fácil de resolver. Por este resultado se obtiene que el sistema de circunferencias es equivalente a un conjunto de circunferencias de Apolonio. se pueden reducir a un punto las circunferencias diferentes y así obtener soluciones diferentes. Así. que consiste en encontrar una circunferencia solución tangente a las dos circunferencias dadas restantes y que pase por el punto P. Por tanto. y la circunferencia solución en una recta. Estas dos circunferencias construidas intersecan en dos puntos.[] Así. las circunferencias dadas se reducen o aumentan de tamaño (según el tipo de tangencia) hasta que una de las circunferencias dadas se transforma en un punto P. los radios de las circunferencias dadas son modificados en una cantidad Δr de manera que dos de ellas sean tangentes. Cambios de tamaño e inversión La utilidad de la inversión se puede incrementar significativamente con los cambios de tamaño. las dos circunferencias tangentes se transforman en dos rectas paralelas: su único punto de intersección se sitúa en el infinito después de la inversión. Se construye el eje radical de las dos circunferencias dadas. con la tercera circunferencia dada que se transforma en otra circunferencia (en general). Las ocho soluciones generales se pueden obtener reduciendo o aumentando las circunferencias de acuerdo con las tangencias internas y externas diferentes de cada solución. o bien (2) una circunferencia tangente a las dos paralelas (con radio igual a la mitad de distancia entre las paralelas) y tangente a la circunferencia dada transformada.[][] Como se explica en la reconstrucción de Viète.Problema de Apolonio Dos circunferencias dadas cualesquiera que no se intersecan pueden transformarse en concéntricas de la siguiente manera.
estos dos puntos se podrían identificar como los puntos de intersección de L1 con la circunferencia dada C1. respectivamente.B2 son parejas de puntos antihomólogos. L2 y L3. Uno de los dos puntos ya es conocido: se trata del centro radical G que pertenece a las tres rectas. tres puntos en cada recta. y A3 y B3. cada recta corresponde al eje radical de una pareja potencial de circunferencias soluciones. el polo de I respecto a C1 debe pertenecer a L1. las tres circunferencias dadas tienen un total de seis centros de semejanza. es decir. y se obtiene como resultado el segundo punto de L1. entonces A1. estos dos puntos son los dos puntos de intersección posibles de las rectas tangentes a las dos circunferencias. se pueden considerar las dos rectas tangentes a la circunferencia C1 dibujadas a sus puntos de tangencia A1 y B1 con las circunferencias soluciones. y así encontrar las circunferencias soluciones. construyendo las rectas L2 y L3 que contuvieran A2 y B2. CA y CB. si se conoce R. pero estos puntos no pueden ser los puntos de tangencia. B2. Las dos rectas tangentes de los dos puntos de tangencia de una circunferencia dada intersecan al eje radical R (recta roja) de las dos circunferencias soluciones (en rosa). dos por cada pareja diferente de circunferencias dadas. Gergonne observó una relación recíproca entre estas rectas y el eje radical R de las circunferencias solución. La relación entre los polos y las respectivas rectas polares es recíproca. y B1.B2.A2 y B1. Estas rectas se pueden construir a partir de los polos y del centro radical (en naranja). el polo también tiene que estar situado en el eje radical R de las circunferencias soluciones. La idea de Gergonne era que si se pudiera construir una recta L1 de manera que A1 y B1 se pertenecieran. por otra parte. Los otros cuatro puntos de tangencia se podrían situar de manera análoga. la recta determinada por A1. Gergonne consideró rectas que pasaran por los puntos de tangencia de dos de las circunferencias dadas. Para construir una recta como L1. Gergonne encontró el eje radical R de las circunferencias soluciones desconocidas de la siguiente manera. Para encontrar un segundo punto de las rectas L1. con el orden que corresponde. Sea X3 uno de los dos centros de semejanza de las circunferencias C1 y C2. Los polos (puntos rojos) del eje radical R en las tres circunferencias dadas (en negro) se sitúan en las rectas verdes que unen los puntos de tangencia. si el polo de L1 respecto a C1 pertenece a I. el punto de intersección entre estas dos rectas es el polo de L1 respecto a C1. Gergonne fue capaz de encontrar otros dos puntos por cada una de las tres rectas. debido a que no existe . A2. Sorprendentemente. deben encontrar dos puntos que pertenezcan.A2 y la determinada por B1. Los tres puntos de intersección sobre I son los polos de las rectas que unen los puntos de tangencia azules en cada circunferencia dada (en negro). B3 sus puntos de tangencia con las tres circunferencias dadas. La solución de Gergonne tiene como objetivo localizar estos seis puntos. Como las distancias entre este punto (el polo) y los puntos de tangencia A1 y B1 son iguales. Para entender esta relación recíproca. por definición. se puede encontrar su polo P1 respecto a C1. Cualquier pareja de circunferencias tiene dos centros de semejanza. Por tanto. estos seis puntos se encuentran en cuatro rectas. A3.[] Sean CA y CB una pareja de circunferencias soluciones y sean A1.Problema de Apolonio 12 Resolución de Gergonne El enfoque de Gergonne considera las circunferencias soluciones en parejas. Así. Para demostrar esto.
respectivamente. En resumen. correspondientes a cada combinación de circunferencias. un punto se puede considerar una circunferencia de radio infinitamente pequeño. el caso PPP se puede resolver como se explica a continuación. Algunos de estos casos especiales son más fáciles de resolver que el caso general de tres circunferencias dadas. y las rectas respectivas intersecan a X3. implica que X3 esté situado en el eje radical de las dos circunferencias soluciones.[1] Por ejemplo. Esto proporciona hasta diez tipos distintos de problemas de Apolonio. puntos o rectas. la recta L1 buscada queda determinada por dos puntos: el centro radical G de las tres circunferencias dadas y el polo respecto a C1 de una de las cuatro rectas que unen los centros de homotecia.[1][] A menudo estos casos especiales tienen menos soluciones que el problema general. en el caso RRR. formando un total de ocho soluciones. Los puntos y las rectas se pueden considerar casos especiales de las circunferencias. respectivamente. Los dos casos más sencillos son los que tratan de dibujar una circunferencia que pase por tres puntos dados (PPP) o tangente a tres rectas (RRR).Problema de Apolonio relación de los lados que en cada una de dos o más figuras geométricas semejantes están colocados en el mismo orden. rectas y puntos. El mismo razonamiento se puede aplicar a las otras parejas de circunferencias. rectas y circunferencias El problema de Apolonio consiste en construir una o más circunferencias tangentes a tres objetos dados. que los productos de las distancias deben ser iguales: lo cual. el centro se situará sobre las bisectrices de los ángulos formados en los tres puntos de intersección entre las rectas dadas. el centro es el punto de intersección de dos de las mediatrices. si una recta Lk no interseca la circunferencia correspondiente Ck para algún valor de k. recta y punto dados se indica con el código CRP. y por lo tanto. La repetición de este procedimiento con las otras tres rectas que unen los centros de homotecia da seis soluciones más. a las que se puede designar un código de tres letras. ya que un punto se puede concebir como una circunferencia infinitesimal que es a la vez tangente interna y externa. Del mismo modo. existen cuatro soluciones al problema general RRR. el reemplazo de una circunferencia dada por un punto deja en la mitad el número de soluciones. y una recta se puede concebir como una circunferencia infinitamente grande con el centro también situado en el infinito. para denotar si los objetos dados son una circunferencia. así. El hecho de encontrar los mismos polos respecto a C2 y C3 permite obtener L2 y L3. de modo que tres centros de semejanza de las tres circunferencias dadas deben encontrarse en el eje radical de parejas de circunferencias soluciones. El centro de la circunferencia solución es equidistante a los tres puntos. Por ejemplo. R (L en inglés). o bien P. Sin embargo. Como hay dos bisectrices en cada punto de intersección de las tres rectas dadas. por tanto. En consecuencia. no existe la pareja de circunferencias soluciones para esta recta de centros de homotecia. que pueden ser circunferencias. una recta o un punto. el tipo de problema de Apolonio con una circunferencia. debe situarse sobre la mediatriz del segmento formado por dos de los puntos. Los otros nueve casos que comportan el uso de rectas y puntos se pueden considerar casos límite del problema general. por lo que el nuevo centro se sitúa el punto de intersección de dos de estas bisectrices. C. que Euclides resolvió en la obra Elementos. por ejemplo. se pueden situar los seis puntos y encontrar una pareja de circunferencias soluciones. De ello se deduce. 13 . Casos especiales Diez combinaciones de puntos.
una recta y un punto 4 7 CRR una circunferencia y dos rectas 8 8 CCP dos circunferencias y un punto 4 9 CCR dos circunferencias y una recta 8 10 CCC tres circunferencias (el problema original) 8 Ejemplo (soluciones en rosa. circunferencias dadas en negro) .Problema de Apolonio 14 Tabla 1: Diez tipos de Problemas de Apolonio Índice Código Elementos dados Número de soluciones (en general) 1 PPP tres puntos 1 2 RPP una recta y dos puntos 2 3 RRP dos rectas y un punto 2 4 RRR tres rectas 4 5 CPP una circunferencia y dos puntos 2 6 CRP una circunferencia.
[] y Eduard Study. En una carta del 1643 a la princesa Isabel I de . junto con las tres circunferencias dadas. los centros de las infinitas circunferencias resolutorias forman una hipérbola. Stoll. es posible que en algunos casos haya un número impar de soluciones. como la solución única del caso PPP. el problema de Apolonio tiene cinco soluciones. Si las tres circunferencias dadas son idénticas (están superpuestas). como se muestra en la ilustración de la derecha. con 33 casos diferentes. Si sólo dos de las circunferencias dadas son idénticas. lo que se utiliza en la resolución por intersección de hipérbolas. algunas disposiciones especiales de los objetos dados pueden hacer cambiar el número de soluciones. Sin embargo. Cualquier circunferencia de Soddy. Las dos soluciones restantes corresponden a las circunferencias inscrita y circunscrita en la figura.[][] una rama de la geometría algebraica que busca encontrar el número de soluciones de ciertas cuestiones geométricas por medio de la teoría de intersección. Sin embargo.[13][] Este caso especial del problema de Apolonio también se conoce como problema de las cuatro monedas.[] Sin embargo. Por ejemplo. Un problema de Apolonio sin soluciones. puntos o rectas dadas. la cuestión ya había sido tratada anteriormente por V. el problema de Apolonio no tiene solución si una circunferencia contiene otra. sólo hay dos circunferencias diferentes. no existe ningún problema de Apolonio con siete soluciones. Tres de las soluciones son las mismas circunferencias dadas. y se amplió en 1974[] y la enumeración definitiva. El número de soluciones general para cada uno de los diez tipos de problema de Apolonio se muestra en la tabla superior. o cuando una o tres circunferencias dadas son soluciones por sí mismas (como el teorema de Descartes). se publicó en 1983. la lista de Muirhead no estaba completa. existen también un número infinito de soluciones. si las tres circunferencias dadas son tangentes en el mismo punto cualquier circunferencia tangente al mismo punto es solución. teniendo entonces infinitas soluciones.[] Aunque normalmente las soluciones del problema de Apolonio van en parejas relacionadas por la inversión.[][] Otros métodos de resolución alternativos basados en la geometría de circunferencias y esferas han sido desarrollados y utilizados en dimensiones más grandes. en el otro extremo. y se llaman circunferencias de Soddy.Problema de Apolonio 15 Número de soluciones El problema consistente en contar el número de soluciones de diferentes tipos de problemas de Apolonio pertenece al campo de la geometría enumerativa. ya que cada una es tangente a sí misma con respecto a las otras dos.[][] Circunferencias dadas tangentes entre ellas: circunferencias de Soddy y teorema de Descartes Si las tres circunferencias dadas son tangentes entre ellas. produce un conjunto de cuatro circunferencias que son tangentes entre todas ellas en seis puntos. Una En 1896 Robert Franklin Muirhead realizó una enumeración circunferencia que resolviera el problema (en rosa) debería cruzar la circunferencia discontinua dada (en exhaustiva del número de soluciones para todas las disposiciones negro) para tocar las otras dos circunferencias (también posibles de las tres circunferencias.[] aunque en negro). Los radios de estas cuatro circunferencias están relacionados por una ecuación conocida como teorema de Descartes.[14][15] Las tres circunferencias dadas de este problema de Apolonio forman una cadena de Steiner tangente a las dos circunferencias de Soddy. una teoría en la que se calculan intersecciones dentro de un anillo.
existe un segundo conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre sí en los mismos seis puntos. De estar uno entre tres. Y el caso tres en uno no es quimera. The sum of the squares of all four bends Is half the square of their sum. El beso preciso). o alguno por otros tres a coro rodeado. Aunque este enigma a Euclides asombrara.Problema de Apolonio 16 Inglaterra. The bend is just the inverse of The distance from the center. se dice que dos circunferencias kiss (se besan) si son tangentes y el término «bend» se refiere a la curvatura k de la circunferencia.[][][17] y otra vez en 1936 por Frederick Soddy. For pairs of lips to kiss maybe Involves no trigonometry. Since zero bend's a dead straight line And concave bends have minus sign. [18] . Four circles to the kissing come. y análogamente para las curvaturas k1. el caso es evidente pues son todos besados desde afuera.[] en 1842 por Philip Beecroft. al ser éste uno por tres veces besado internamente.[][] El teorema de Descartes fue descubierto independientemente en 1826 por Jakob Steiner. 'Tis not so when four circles kiss Each one the other three. la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas Es igual a un medio del cuadrado de su suma. para lograrlo habrán de estar los cuatro o tres dentro de uno. La primera estrofa describe las circunferencias de Soddy.[16] René Descartes demostró que: donde ks = 1/rs y rs son la curvatura y el radio de la circunferencia solución. y es su curvatura tan sólo la inversa de la distancia desde el centro. If three in one. mientras que la segunda formula el teorema de Descartes. Cuatro circunferencias llegaron a besarse. En el poema de Soddy. Pueden besarse los labios. The smaller are the benter.[] Soddy publicó el descubrimiento en la revista científica Nature en un poema en inglés llamado The Kiss Precise (en español. mas ¡ay! no sucede igual en geometría. ninguna regla empírica es necesaria: al ser las rectas de nula curvatura y ser las curvas cóncavas tomadas negativas. k2 y k3 y los radios r1. If one in three. respectivamente. pues si cuatro círculos tangentes quieren ser y besar cada uno a los otros tres. Por cada conjunto de cuatro circunferencias tangentes entre ellas. sin mucho calcular. r2 y r3 de las tres circunferencias dadas. beyond a doubt Each gets three kisses from without. Though their intrigue left Euclid dumb There's now no need for rule of thumb. then is that one Thrice kissed internally. sin trigonometría. dos a dos. To bring this off the four must be As three in one or one in three. cuanto menores tanto más curvados.
3.[19] Este tamiz es un fractal. De manera más general. θ2 y θ3.[][][] Este problema esférico puede convertirse en un problema plano correspondiente utilizando una proyección estereográfica. Una vez se han construido las soluciones del problema en el plano. en cuyo caso el problema original es el caso especial en que las distancias son cero. un problema que trató por primera vez Charles Dupin. por ejemplo.[] Por ejemplo. las soluciones correspondientes al problema esférico se pueden determinar invirtiendo la proyección estereográfica.[] Resolviendo el problema de Apolonio para encontrar la circunferencia inscrita repetidamente. es el conjunto límite de los grupos kleinianos. las circunferencias dadas y las que son solución se pueden cambiar de tamaño de tal manera que una circunferencia dada se reduzca a un punto mientras se mantiene la tangencia. se puede considerar el problema de cuatro curvas tangentes que resultan de la intersección de una superficie cuádrica arbitraria y cuatro planos. es decir. La disposición de una circunferencia tangente a cuatro circunferencias en el plano tiene propiedades especiales. formando así un tamiz de Apolonio. el problema de encontrar una esfera que sea tangente a otras cuatro dadas. que fueron clarificadas por A. otros resolvieron (independientemente) el caso de las circunferencias tangentes correspondientes a las circunferencias de Soddy en d dimensiones. esfera. pero que se sabe que es alrededor de 1. En general existen ocho planos que son tangentes. y consiste en construir las hiperesferas tangentes a un conjunto dado de d + 1 hiperesferas. Para la esfera. se pueden llenar los intersticios entre las circunferencias mutuamente tangentes tan finamente como se desee.[24] y muchos otros métodos de resolución se han desarrollado a lo largo de los siglos.[] . Gottfried Leibniz describió por primera vez el tamiz de Apolonio en el siglo XVII.[] El problema de Apolonio se puede extender del plano a la esfera y otras superficies cuádricas.[] Una inversión en este punto reduce el problema de Apolonio a encontrar un plano tangente a tres esferas dadas. Pierre de Fermat trató este problema.[21] El tamiz de Apolonio también posee conexiones profundas con otros campos de las matemáticas. también llamado empaquetado de Leibniz. y es el precursor curvo del triángulo de Sierpinski del siglo XX. Otra generalización es la dual de la primera extensión. es autosemejante y tiene una dimensión de Hausdorff.[25] El problema de Apolonio puede extenderse a d dimensiones. a saber. Larmor en 1891[23] y R. construir circunferencias con tres distancias tangenciales especificadas de las tres circunferencias dadas.[] Esta disposición también es la base del teorema de Casey. que se convierten en las soluciones del problema original cuando se deshacen la inversión y los cambios de tamaño. o en tres ángulos especificados θ1.[] el problema de Apolonio ordinario corresponde al caso especial en que el ángulo de cruce es cero para las tres circunferencias dadas.[] La extensión del problema de Apolonio en tres dimensiones. el problema consiste en construir todas las circunferencias (los bordes de los casquetes Un tamiz de Apolonio simétrico. también conocido como empaquetado de Leibniz o empaquetado apoloniano. Lachlan en 1893. se puede resolver mediante métodos análogos.Problema de Apolonio 17 Generalizaciones El problema de Apolonio puede generalizarse en construir todas las circunferencias que intersecan tres circunferencias dadas en un ángulo θ preciso. que no se conoce exactamente.[] Tras la publicación del redescubrimiento del teorema de Descartes por parte de Frederick Soddy en 1936.[20] y que es mayor que la de una curva regular o rectificable (d = 1) pero más pequeña que la de un plano (d = 2).[] que es una generalización del teorema de Ptolomeo. ya que su creador fue esféricos) que son tangentes a tres circunferencias dadas a la Gottfried Leibniz.[22] un grupo finito tipo Γ generado por la orientación y preservación de ciertos mapas en la 1-esfera sobre .
la ubicación de un avión se puede determinar a partir de la diferencia en el tiempo de llegada de una señal a cuatro estaciones receptoras. p. específicamente en la proposición 21. 117. tres puntos conocidos. Paris: Leopold Cert 1901. cuando el medio de transmisión no es isótropo). 18 . como el GPS. En el volumen uno. es/ oim/ revistaoim/ numero1/ Soddy. (en francés) [17] ( MathWords online article (http:/ / www. (en latín) [25] Reimpreso en Opera Omnia. consultado el 8 de agosto de 2010. Tolos. [10] Reimpreso en Euler's Opera Omnia.[] De manera análoga. p. Traducción que aparece en la versión en español de Circo Matemático. de la obra Principia. html)) (en inglés) [18] Traducción del poema de Soddy (http:/ / www. el problema de Apolonio ha sido aplicado a algunos tipos de problemas de empaquetado. 334–343. dados los límites de un conjunto infinito de circunferencias de Ford. Œuvres de Descartes.Problema de Apolonio Aplicaciones La aplicación principal del problema de Apolonio.[] También se utiliza para determinar la ubicación de animales que emiten sonidos (como los pájaros o las ballenas). al menos.[] Por ejemplo. volume 26. pballew. serie 1.). tal como lo formuló Isaac Newton.[] El caso especial del problema de Apolonio en el que las tres circunferencias son tangentes. Tannery. Adam and P. Eds. Varia opera mathematica. [23] (en inglés) [24] de Fermat P. net/ soddy. 270–275. 74. serie 1. aunque no se corresponde con el problema de Apolonio si la velocidad del sonido varía según la dirección (es decir. Históricamente. es la trilateración hiperbólica. volumen 26. 1679.[] El problema de Apolonio tiene otras aplicaciones. pdf). cuando se busca determinar la posición de un barco a partir de las diferencias en el tiempo de llegada de señales provenientes de tres transmisores sincronizados. pp. volumen VII. oei.[] Fuentes Referencias [8] Simson R (1734) Mathematical Collection. Newton utilizó la solución del problema para construir una órbita en mecánica celeste a partir del centro de atracción y de la observación de rectas tangentes a la órbita correspondientes a velocidades instantáneas. cada uno de los cuales toca muchos otros. de Martin Gardner. las soluciones al problema de Apolonio se utilizaron durante la Primera Guerra Mundial para determinar la ubicación de una pieza de artillería a partir de la diferencia de tiempo en que se oía el disparo desde tres lugares diferentes. [11] (en francés) (en francés) [16] Descartes R. pp.[] mientras que la trilateración hiperbólica es el principio utilizado por los sistemas de navegación Decca y LORAN. Este problema de multilateración es equivalente a la generalización tridimensional del problema de Apolonio y se aplica a sistemas globales de navegación por satélite. que tiene por objeto determinar una posición a partir de las diferencias entre las distancias de. que surgen en campos dispares como los códigos de corrección de errores utilizados en los discos DVD y el diseño de fármacos que se unen a una determinada enzima de una bacteria patógena. (C.[] Finalmente. Correspondance IV. se utiliza en el método del círculo de Hardy-Littlewood de teoría analítica de números para construir el contorno de Hans Rademacher para la integración compleja.
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