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Temario Matematica Nb2 Ve 2018
Suma de fracciones a partir del método grafico
PLANEACIÒN DEL 10 AL 14 DE NOVIEMBRE DE 2014.docx
Presenting Vocabulary and Activities
lesson plan templet 2
REGLAMENTOEVALUACIONUNEFM
combined tws
EL APRENDIZAJE DE FRACCIONES EN EDUCACIÓN PRIMARIA
UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA EN DOS AMBIENTES1
Dra. Cristianne Butto Zarzar2
Centro de investigación y de estudios avanzados CINVESTAV.
Sistema Nacional de Investigaciones México
Universidad Pedagógica Nacional-Ajusco. México
Fecha de Recepción Septiembre 10, 2013
Fecha de Aprobación Octubre 10, 2013
El estudio investigó el aprendizaje de las fracciones con estudiantes de 6º grado de primaria de una escuela pública
del Distrito Federal, México, D.F en dos ambientes: lápiz y papel y recursos interactivos. Objetivos, describir las
dificultades que los alumnos tenían en el aprendizaje de las fracciones, diseñar y aplicar una secuencia didáctica
que tomó en consideración tanto aspectos matemáticos como cognitivos; y verificar la evolución de las nociones
matemáticas. Los resultados revelaron que algunos estudiantes se encuentran en la transición del campo de los
números enteros hacia los racionales, por lo tanto, surge la necesidad de diversificar los soportes de representación
matemático con el objetivo de propiciar un mejor entendimiento de dicho campo conceptual.
Palabras clave: fracciones, educación primaria, aprendizaje, propuesta didáctica.
THE FRACTION LEARNING IN PRIMARY EDUCATION:
A TEACHING PROPOSAL IN TWO ENVIRONMENTS
The study investigated the learning of fractions with students of sixth grade of a public school in Mexico City in
two environments: paper and pencil and interactive resource. The main objectives are to describe the difficulties
that students have in learning fractions, designing and implementing a teaching sequence that take into account
both mathematical and cognitive aspects, and check the evolution of mathematical notions. The results revealed
that some students are in transition from the cognitive field of integer to rational numbers. This findings point
out the need of diversifying the mathematical representation media in order to promote a better understanding.
Key words: Fractions, primary education, learning, didactic proposal.
Investigación realizada con niños y niñas de 6º grado de primaria en la Universidad Pedagógica Nacional Ajusco y una Es-
cuela pública del Distrito Federal México, titulada: Aprendizaje de las fracciones en dos ambientes: lápiz y papel y recursos
Profesora T/C Titular C, Área Académica Número 4, Universidad Pedagógica Nacional-Ajusco, México, D.F. Dra. en Ciencias
con Especialidad en Matemática Educativa Centro de Investigación y de Estudios Avanzados CINVESTAV, Perteneciente al
Sistema Nacional de Investigadores SNI Nivel 1.
Horizontes Pedagógicos Volumen 15. Nº 1. 2013 / págs. 33-45 / ISSN: 0123-8264 33
fracciones. entonces ¿Cómo podemos hablar de una menores que el todo inicial. de la fracción ½. el como parte de cosas que no son números. Se observa. adecuado del concepto y crea una dependencia con la idea de unidad es oscura y el fraccionamiento es los objetos concretos. por ejemplo. por ejemplo. pueden entender fracción cuando son llamados a como la representación de la conjugación de dos operar. que a pesar de que la mayoría tradicionales de matemática elemental.g. nuevos conocimientos. De acuerdo con esta fracciones requeridas para forzar al estudiante a perspectiva de fraccionamiento. difícil. mística la transposición didáctica al conjunto de transformacio. en ese sentido. creen que esa blemas con ese concepto matemático. resultando en una graduación de señales de partes divididas. representa dividir distintos. los niños cometen referido concepto. Cuando el “todo” partes de un todo no posibilita el entendimiento no es suficientemente claro para los estudiantes. por ejemplo. dividir/pin. De acuerdo con esos autores. de los estudiantes pasan un tiempo razonable de instrucción escolar. surge. El aprendizaje de fracciones en educación primaria: una propuesta de enseñanza en dos ambientes INTRODUCCIÓN de la conjugación de dos acciones: dividir/tomar. tendríamos que el aprender los algoritmos para cada una de las ope- número de partes tomadas es mayor que el número raciones. Davydov y otros (1991). entonces un obstáculo para los niños: ¿Cómo gido. particularmente con denominadores tar). Si las fracciones son parte dividido. Aquí simbolismo a/b pasa a tener un significado restrin. tos que lleven a los niños a comprender mejor la existiendo todo un proceso que genera deformaciones. La fracción ¾. 5/2). De acuerdo con Maia. cosa que es mayor de una cosa de la cuál partimos? Se ciones menores es igual y es una fracción de lo que concluye que el entendimiento de fracciones como fue un “todo” en su forma original. Chaffe-Stengel y Nodding (1982) nes que sufre el saber científico antes de ser enseñado. Chaffe-Stengel y Nodding (1982). critican el fracción hace parte del currículo de educación aprendizaje de concepto de fracción en los manuales básica. continúan enfrentando pro. se el todo en dos partes y tomar una. las representaciones más usuales en Aún así la metáfora sería rudimentaria e impediría la escuela son pizzas. manera de abordar el concepto de fracción en la instrucción escolar es guiado por un modelo con- En el proceso de transposición didáctica3 del campo ceptual parte-todo y el concepto de fracción aparece matemático para la esfera didáctico-pedagógica. que permanece aislado de la comprensión de todos algunos sujetos afirmaban que “el número de arriba los números que están interconectados. creen que es necesaria una secuencia de concep- Este proceso va desde la selección del conocimiento a ser enseñado hasta su adaptación al sistema didáctico.. diversos contextos de uso. con una suma o una resta de acciones: dividir/tomar (dividir/comer. cuando la metáfora “fracción como parte” un todo en cuatro partes iguales y tomar tres. como en el caso de las consigo una idea explícita de que cuando algo es fracciones impropias. posteriormente reafirma la comprensión de la fracción en términos en la multiplicación de fracciones se enseña la regla “ad hoc” ½ × 5 significa “tomar la mitad de 5”. Aquí fracción es vista como una partición. transición de los números enteros a los números del establecimiento de coherencia hasta la creación de fraccionarios. En ofrece pocos elementos para resolver ese problema? ese abordaje. En el contexto escolar. cada una de esas por. pasteles y figuras geométricas la interrelación entre la comprensión simbólica que acaban reduciendo las ideas que involucran el y numérica. se comienza por entender ½ como dividir partes se va a dividir el círculo”. es necesariamente dividido en porciones de un todo. así por es cuántas partes se va a pintar y el de abajo cuántas ejemplo. concluyendo con el saber escolar. Cámara errores sistemáticos derivados de la metáfora de y Cámara (1991) la idea de fraccionamiento trae fracción como parte-todo. De esa manera. Las dificultades típicas que los niños enfren- tan con ese abordaje se presentan al tratar con una Otra falla es la variedad de operaciones sobre fracción impropia (e. Ese abordaje en el concepto de fracción es común El concepto de fracción está presente en los más en los libros de texto para la enseñanza primaria. 34 Revista de la Unidad de Educación de la Facultad de Ciencias Humanas y Sociales . se 3 Transposición didáctica: Chevallard (1985) Denomina introduce como una propiedad adicional.
estima- todo.Cristianne Butto Zarzar Las fracciones como parte constituyente de los •	La existencia de un todo divisible. pues según argumentan de las fracciones constituídas es igual al todo estos autores. evidentemente haustivamente y no se puede subdividir parte la comparación de fracciones es un problema. susceptible de nuevas relación parte-todo surge de las necesidades hu. ideas abstractas. Behr. geométrica a ser subdividida. figuras en azul y blanco. divisiones. 2013 / págs. racional se encuentra en la idea de medida de can- tidades de magnitud y que además este significado En consonancia con la perspectiva Piagetiana. dicho modelo. para la psicología mencionados con anterioridad. Horizontes Pedagógicos Volumen 15. principalmente en lo que Inhelder y Szeminska (1960). (fracción como relación parte-todo) tampoco fue Lesh. pero sentido numérico de las fracciones. corresponda a la cuantificación aritmética. El todo debe ser dividido ex- separadas. diversos autores y en diversas áreas del conoci- miento. La mayoría de los estudiantes partes. Bajo esta concepción. investigaciones desarrolladas por Piaget. por Spinillo y Bryant (1997). manas como lo sostiene Bishop (1999) (citado en •	Atención al principio de invariancia: la suma Escolano y Gairín. es decir. Los mencionados de número racional es una de las ideas más com- autores creen que ese significado de fracción más plejas e importantes de las matemáticas. para las matemáticas el entendimiento de las fracciones es fundamental para comprender las Por otro lado. el concepto de fracción enseñanza y aprendizaje. el concepto de fracción respecta al razonamiento proporcional y afirman involucra una relación parte-parte (cuantificación que los niños poseen ese razonamiento anterior extensiva) y una relación parte-todo (cuantificación al estadio de las operaciones formales y por lo intensiva): la relación parte-parte garantiza que tanto. 33-45 / ISSN: 0123-8264 35 . La igualdad de las partes. la magnitud. es aplicable a una gran cantidad de situaciones rie de obstáculos didácticos como los que fueron y problemas de la vida diaria. la del todo e ignorar las otras partes del mismo equivalencia de fracciones. Escolano y Gairín (2005) mencionan que el origen •	La concepción de cada fracción como una del significado del concepto de fracción como parte y un todo en sí. esta temática ha sido estudiada por operaciones algebraicas elementales. para que la ción y otras ideas importantes que determinan el subdivisión no sea puramente cualitativa. Los estudios de demanda cognitiva. Desde bien fue creado por necesidades del proceso de el punto de vista práctico. Post y Silver (1983) creen que el concepto elaborado por las matemáticas. Nº 1. Los niños sólo usaban una información no numérica para resolver la tarea. y éste provoca una se. pueden aprender ideas básicas sobre mitad un todo puede ser dividido exhaustivamente (sin en edades más tempranas. dificulta la noción desarrollar estructuras mentales necesarias para dar de número racional y obstaculiza la formación de continuidad al desarrollo intelectual. números racionales hacen parte de este estudio el todo necesariamente debe ser dividido en aquí reportado. Además de acuerdo cognitiva constituye un área con la cual se pueden a los autores. dependiendo de la figura procedimientos utilizados por ellos cuando tra. se les pedía escoger cuál Para ellos. bajan con fracciones indican que prefieren tratar •	Exigencia de la determinación del número el denominador y el numerador como entidades de esas partes. 2005). la comprensión de las fracciones implica tenía la misma cantidad (la misma proporción) considerar los siguientes aspectos: de azul que blanco. se contraponen a la ejemplo. La existencia una relación entre el ven las fracciones como “parte de un todo” y los número de partes. perspectiva piagetiana. finalmente. Dichos autores reali- resto) en partes equivalentes: la relación parte-todo zaron un estudio en el cuál pedían a niños que asegura la comprensión de que la parte está siempre compararan ciertos modelos de proporción con contenida en el todo y que juntas lo componen. el origen del concepto de número inicial.
que la formación de un concepto. limitado que los alumnos no podrán comprender ni usar las herramientas necesarias para resolver Vergnaud (1983). matemáticas obedecerían a esa organización. Es importante que ción comprende dos relaciones fundamentales: los educadores estén alertas para entender que el La relación parte-todo y relación parte-parte. El aprendizaje de fracciones en educación primaria: una propuesta de enseñanza en dos ambientes Los resultados muestran la importancia de la que existen lagunas entre el conocimiento que los idea de mitad en el razonamiento proporcional estudiantes poseen en un determinado contenido de los niños. para el referido autor. es decir. A pesar de compartir algunas la referencia ¼ y la referencia al entero como ancla ideas piagetianas. las concepciones que que los estudiantes deben comprender que un los alumnos tienen del concepto de fracción sólo todo es siempre compuesto por elementos sepa. los diversos dominios en tudio. la instrucción escolar Streefland (1993). El todo Zerman (1991). así como también los habilidad de los niños para establecer equivalencias contextos de uso. Sabemos El estudio que presentamos estudió la dificultades 4 De acuerdo con Vergnaud (1982). Según el autor.4 De acuerdo con el autor. En ese sentido. tan parte-parte y parte-todo del concepto de fracción. puntualiza la capaci- existe en una relación entre el número de partes dad de los niños para operar con fracciones. se organizan en campos conceptuales. si ellos son expuestos a establecer rados y que una fracción implica un determinado relaciones entre las diversas ideas que involucran número de partes. como que se hace de las fracciones. pueden cambiar. y. 36 Revista de la Unidad de Educación de la Facultad de Ciencias Humanas y Sociales . afirma que el concepto de frac. El todo puede ser exhaustiva. cimiento emerge de problemas que puedan ser resueltos. en fracciones ellos pueden posteriormente puedan entender las relaciones hacer referencia a un conjunto de situaciones. pero no se puede subdividir partes del todo e ignorar las otras partes. alejándose de la los modelos y teorías son formados a partir de las realidad y utilizando normas rígidas. para sumar fracciones. hace un análisis curricular e iden- debe ofrecer diversas situaciones. y cada concepto isoladamente puede ser mobilizado para la comprensión de diversas situaciones. el segundo consiste en la aproximación mecanicista También afirma que tanto las concepciones. con fracciones. los inva. El aprendizaje del concepto de fracción no puede ser autor resalta algunas características básicas para dirigido exclusivamente sobre la base de definicio- la adquisición de ese contenido matemático. en la evolución del aprendizaje de los niños. argumentan que la ense- cree que el entendimiento de las fracciones no se ñanza tradicional tiende a valorar el cero de los limita apenas a la manipulación de objetos. por ejemplo. en las cuales tifica dos problemas con las fracciones: el primero puedan descubrir diversas relaciones en un mismo es no considerar la complejidad de las fracciones contenido matemático. riantes mencionados deben necesariamente ser complementados tomando en consideración los Singen-Freeman y Goswani (2001). cuando y las divisiones. ese concepto. no coloca ape- nas aspectos prácticos. situaciones que experimenta un sujeto. Por ejemplo. investigaron la soportes de representación. pero símbolos y los niños presentan obstáculos en la también implica en la consideración de aspectos comprensión de los problemas. razonamiento importante para que matemático. como también teóricos y Bezerra y otros (2002). ciertas situaciones problemas. Vergnaud (op cit 1990) afirma entre cantidades continuas y discontinuas. para que una situación que presentan los estudiantes en el aprendizaje de pueda ser entendida necesita combinar varios conceptos las fracciones. en nes. en la lógica que mucho más amplios y los denomina de campos subyace la acción de los algoritmos cuando operan conceptuales. el cono. Tal consideración cognitiva sería aquella propuesta por la idea de campos A continuación se describen los objetivos del es- conceptuales. De acuerdo con ese autor. mente subdividido.
Cristianne Butto Zarzar Objetivos del Estudio El autor propone el anterior esquema conceptual para poder comprender las fracciones. De acuerdo con el esquema anteriormente presen- tado por Kieren (1976) considera que el modelo •	Diseñar y aplicar una secuencia didáctica que posee un orden implícito acerca del pensamiento tome en consideración tanto aspectos mate- de los números racionales. pero que también involucra es importante obtener información acerca de un sistema informal. del modelo contiene el conocimiento básico de •	Reportar la evolución de las nociones mate. del sistema formal a/b. Modelo •	Describir las dificultades que los alumnos Recursivo para el entendimiento de los racionales. sólo requiere de la comprensión de cada idea sino el sistema simbólico ofrece un nivel de abstracción también de cómo se interconectan. es decir. las características de los conocimiento matemático de ese campo concep. las variables y relaciones que intervienen en el describir inicialmente. 2013 / págs. entero o unidad. el nivel IV representa el co- ta de Kieren (1993). y cuestionario final de fracciones. Horizontes Pedagógicos Volumen 15. por lo tanto. MARCO TEÓRICO GENERAL razón y operador que conforman el constructo escalar y funcional. equivalencia y la formación de la unidad. es importante. Partición Equivalencia de cantidad Formando la unidad Diseño y aplicación de un cuestionario inicial Figura 1. En el nivel más bajo máticos como cognitivos. aquí están las ideas de máticas. El autor argumenta que el nocimiento estructural de los racionales. por lo tanto. Constructo: y lo define como la acción en la que el sujeto aprehende del mundo un objeto mental Metodología y concibe el entendimiento de las fracciones por sub-constuctos de los cuales logra reconocer cuatro: El tipo de estudio es de corte cualitativo. partición. Esquema propuesto por Kieren (1976) que exploró las ideas de mitad. cociente. las herramientas intuitivas. pues asume relación parte-todo y parte-parte. razón. Para el mencionado autor. secuencia didáctica en Equivalencia formal Estructura multiplicativa dos ambientes: lápiz y papel e interactivos libres. formal multiplicativo. en el nivel II están las ideas de medida. 33-45 / ISSN: 0123-8264 37 . Participaron del estudio 26 alumnos de 6º grado Campo de los cocientes de primaria de una escuela pública del Distrito Federal cuyas edades oscilaron entre los 10 y 12 Grupo aditivo Grupo multiplicativo años de edad. números racionales. dicho aprendizaje las características elaboradas por los estudiantes solo puede ser visualizado a partir de la idea de sobre dicho contenido matemático. cociente. Las etapas del estudio fueron tres: cuestionario inicial de fracciones seguido de una entrevista clínica individual. el aprendizaje como un conjunto de diversas varia- bles a considerar desde una visión más dinámica. conocimiento integral del número racional no sus significados matemáticos. Función de constructo Constructo escalar Etapas del estudio: Medida Cociente Razón Operador Primera etapa: Diseño y aplicación de un cues- tionario inicial y entrevista clínica individual. En el está el pensamiento El marco teórico se fundamenta en la propues. los fenómenos que ocurren durante la enseñanza y operador y medida. Nº 1. para posteriormente discutir tual. De acuerdo al autor. presentan en el aprendizaje de las fracciones asociadas al modelo matemático.
A continuación se describe en que consiste cada rio inicial.Identificar el número de unidades. escribir fracciones para representar partes de la .Transición de objetos a diagramas. en lápiz y papel. fraccio. de quién se conoce a detalle sus antecedentes sobre el tema a ser investigado por medio del cuestiona. los diagramas. perciben. El aprendizaje de fracciones en educación primaria: una propuesta de enseñanza en dos ambientes fraccionamiento en cantidades continuas. representación cretos. Se trata de 1. situación planteada.	Ampliar la noción de fracción. ya sea en acciones o la unidad. 4. Los pasos realizados en la secuencia propuesta por Coxford y otros (1975) intenta enfatizar los Este tipo de entrevista de acuerdo a Delval (2001) siguientes puntos del concepto de fracción: es un procedimiento para investigar cómo piensan.Repetición de los pasos anteriores pero con contenidos matemáticos en dos ambientes. y se compone de seis partes . 5. representación 2. que el sujeto tiene sobre algunos aspectos de los números racionales. . con palabras.De forma oral a forma escrita: relación parte-parte. unidad.Identificar cantidades mayores o menores de la apariencia de su conducta.	Nombres orales para partes de la unidad. La entrevista clínica individual es un tipo de entre.Identificar partes del mismo tamaño.Números mixtos. .	Unidad descubrir aquello que no resulta evidente en lo que . 1.De una forma concreta a forma escrita. vista que se elabora para un individuo en especial. Coxford y otros (1975).	Representar fracciones con dibujos. El experimentador está en presencia 2. Su objetivo es profundizar en las ideas una de estas partes.	Ampliar la noción de fracción: En lo que respecta a las actividades propuestas . Se diseñaron activida.Fracciones mayores que uno.Identificar fracciones iguales a uno. se tomó como guía el trabajo de .De forma escrita a forma oral. de fracciones propias e impropias.Comparar fracciones.Dividir una unidad en partes iguales.Establecer el nombre de las fracciones.	Representar fracciones con dibujos: fracciones en la recta numérica fracciones propias e . equivalencia y ampliar la noción de fracción.	Partes de una unidad usando materiales con- fraccionaria en la recta numérica. lo que está por debajo de .Usar las fracciones para contestar a ¿cuántos? Segunda etapa del estudio: Diseño y aplicación . ciones). suma y resta de 3. fracciones. impropias con la finalidad de interconectar dichos . 6.Modelo discreto. des en lápiz y papel que exploraron las ideas de: .	Nombres orales para partes de la unidad: sujeto construye sus interpretaciones de la realidad.	Unidad.	Partes de una unidad usando materiales con- del sujeto al que suele estudiar individualmente y cretos: se establece una interacción. de una secuencia didáctica 4. a una situación y se le interroga con el fin de ver . Se pone al niño frente . 6. utilización de conjuntos. namiento en cantidades discretas. los sujetos hacen o dicen.Identificar el número de partes de una unidad. 38 Revista de la Unidad de Educación de la Facultad de Ciencias Humanas y Sociales .	Escribir fracciones para representar partes de Entrevista clínica individual la unidad (traslaciones entre las representa- ciones). El objetivo es estudiar cómo el 3. .	Escribir fracciones para representar partes de Se aplicó una secuencia didáctica en dos contextos: la unidad (traslaciones entre las representa- lápiz y papel e interactivos. fracciones equivalentes. unidad (traslaciones entre las representaciones). (Ver anexo 1). parte-todo y formación de la . que se describen a continuación: .De forma escrita a alguna forma concreta. 5. como el niño justifica y/o argumenta sobre una . actúan y sienten los niños.
juegos animaciones en 2d y 3d. 33-45 / ISSN: 0123-8264 39 . rea- lidad virtual. México). Nº 1. Recurso Interactivo fue verificar si las actividades de la secuencia didác- tica propiciaron un avance conceptual de las ideas matemáticas exploradas en las etapas anteriores. Análisis de los datos El análisis de los datos constó de cuatro niveles de análisis: acierto. equivalencia y Horizontes Pedagógicos Volumen 15. ideas básicas de fracción: partición. contenido ma- temático que presentan los estudiantes para una determinada tarea matemática y que puede servir para guiar al docente acerca de las necesidades edu- cativas de los alumnos (tomado de SIMCE 2007) Nivel de logro alto Balanza para trabajar equivalencia de frac- ciones: recurso Interactivo: balanza para trabajar En este nivel. pero con una para trabajar las fracciones propias e impropias. versión distinta. Niveles de logro para las fracciones Se entiende el nivel de logro como una especie de ruta del proceso de aprendizaje del estudiante en lo que refiere al tipo de pregunta.Cristianne Butto Zarzar Para el contexto de los interactivos. error y no responde. El propósito de este cuestionario Figura 2. 2013 / págs. que exploró ideas matemáticas sobre números racionales que Para las fracciones propias: recurso interactivo se utilizaron en el cuestionario inicial. Estos interactivos fueron utilizados con los estudiantes que participaron en el estudio aquí mencionado. utilizamos los Figura 3. Éstos fueron elaborados para potenciar programas de capacitación y formación por medio de internet. Se trabajaron cinco recursos interac- tivos. medio e inicial) y estrategias de resolución de problemas de pro- blemas y análisis clínico. Recurso interactivo recursos diseñados por el Instituto Latinoamericano de Comunicación Educativa (ILCE. simuladores. aplicación de un cuestionario final. los estudiantes comprenden las tres la idea de equivalencia de fracciones. Los siguientes recursos in- teractivos se trabajaron como parte de la secuencia La tercera etapa del estudio constó del diseño y didáctica. niveles de logro para las fracciones (alto. pero aquí solo se hace mención a algunos de ellos. desarrollan materiales interactivos multimedia. Interactivos de Enciclomedia Tercera etapa del estudio: Diseño y aplicación A continuación se presentarán imágenes de los de un cuestionario final recursos interactivos.
aquí los alumnos que res- planteadas en el cuestionario inicial de fracciones. discreta y en la recta numérica 0% 1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18 y no numérica. Resultados del cuestionario inicial de frac- ciones Nivel de logro medio Sexto 2006 . correctamente todos los incisos. todo. Figura 4. gráfica y numérica. La pregunta trece fue la que obtuvo mayor cantidad de respuestas correctas a pesar de que tenía Análisis clínico de las entrevistas individuales relación en parte con la pregunta uno y dos. algunos de tuvo el objetivo de indagar acerca de las estrate- los alumnos indicaron que se fijaron en la forma gias de resolución de problemas utilizadas por los para relacionar los incisos y que para el inciso que estudiantes para resolver las preguntas planteadas se relacionaba con las preguntas uno y dos. que es el fraccionamiento diantes para resolver las preguntas o situaciones en cantidad continua. No comprenden ni representan % Acierto 69	69	46	58	0	54	50	46	42	0	38	42	81	42	46	65	38	38 de manera satisfactoria las fracciones impropias. también presentan dificultad que respondieron correctamente. El aprendizaje de fracciones en educación primaria: una propuesta de enseñanza en dos ambientes formación de la unidad. diez alumnos lograron responder en la comprensión de las ideas básicas: partición. los alumnos continuación se describen y ejemplifican algunas presentaron dificultades para reconocer la parte del de esas categorías encontradas. sin embargo las en la comprensión de ideas más complejas y en la respuestas de los alumnos que respondieron inco- representación de esas ideas matemáticas. las fracciones en la recta numérica y no numérica. % Error 31	31	54	42	0	46	50	54	58	0	62	58	18	58	54	58	62	62 Preguntas Nivel de logro inicial A partir de los resultados obtenidos en el cues- En este nivel. los alumnos mostraron dificultades en la representación de El segundo nivel de análisis incluye las estrategias fracciones impropias. idea de fraccionamiento A continuación se presentan los resultados ob- en cantidad continua y discreta: representación de tenidos al primer nivel de análisis: acierto. Estas respuestas fueron categorizadas de acuerdo al con- En las preguntas que abordaban la idea de frac- tenido matemático explorado en el instrumento.2007 En este nivel. La pregunta seis abordó la de resolución de problemas utilizadas por los estu- misma idea matemática. 40 Revista de la Unidad de Educación de la Facultad de Ciencias Humanas y Sociales . Cabe se- uno y dos que abordan la idea de mitad. los estudiantes presentan dificultades tionario inicial. Las preguntas tres y cuatro que abordaron la idea de representación Estrategias de resolución de problemas de fracciones propias e impropias. los estudiantes comprenden algunas 100% Porcentaje de alumnos 80% de las ideas básicas de fracción: partición. pondieron incorrectamente mostraron confusión Estas fueron obtenidas a partir de las respuestas con el sombreado de la figura. rrectamente son interesantes. error. sólo en el cuestionario inicial. A cionamiento en cantidad discreta. fueron ñalar que al tener dificultades en la comprensión de las que obtuvieron mayor número de alumnos de las ideas básicas. la idea matemática que se abordó en esta pregunta fue la El análisis clínico de la entrevistas individuales equivalencia de fracciones con figuras. pero 60% presentan dificultad con la idea de equivalencia y 40% la formación de la unidad en fraccionamiento en 20% cantidad continua. Las preguntas equivalencia y formación de la unidad. lo hicieron porque sobraba. de los estudiantes al cuestionario inicial. Comprensión de lo que representan las fracciones Resultados propias e impropias y su representación.
temáticas exploradas en el cuestionario inicial y la valencia de las fracciones ½ y 3/6. emplear la multiplicación del numerador y el de- nominador por el mismo número. pusiste que eso representa una mitad? A: porque como está dividido en dos y está todo Resultados del cuestionario inicial: Estrategias sombreado. pues es una mitad completa de resolución de problemas E: ¿Cómo que completa? En este análisis se toman en cuenta los tipos de A: si. formación de la unidad. diecisiete y dieciocho idea de parte-parte y parte-todo. y se necesitaba categoría de resolución de problema encontrada. consi. Los diez alumnos con nivel de logro alto mostraron comprensión de las ideas: partición. derando los procedimientos y la comprensión de tica que la pregunta trece.	Marca con una cruz las figuras que representan una mitad. en la cuál explica qué hizo y logran ubicar fracciones propias en la recta no para resolver el problema: numérica y presentan dificultades para ubicar E: A ver alumno. consideran Tú pusiste que el cuadrado sombreado totalmente que la fracción es una partición en donde se divide y dividido en dos representa una mitad ¿Por qué y toma. 2013 / págs. hubo diez alumnos que obtuvieron el nivel de logro alto. 33-45 / ISSN: 0123-8264 41 . Los alumnos con nivel de logro medio que fueron ocho. Los alumnos con rio. no obstante Figura 5. cree que es cualquier entero dividido en que la fracción a encontrar era la de los espejos dos partes puede ser una mitad.Cristianne Butto Zarzar La pregunta catorce abordó la misma idea matemá. exploraron la representación decimal de las fraccio- nes en la recta y en la recta numérica. mayor cantidad de alumnos que respondieron A continuación se da un ejemplo de las ideas ma- incorrectamente ya que se pedía encontrar la equi. pero Nivel de logro: inicial no las tres. fraccionamiento en la recta numérica y no numérica. no reconoce la idea equivocaron al responder este reactivo al considerar de mitad. Resultados del cuestionario inicial: niveles de logro para las fracciones De acuerdo a los resultados obtenidos. divide/come. no. comprenden algunas de las ideas básicas. fraccionamiento en cantidad continua y discreta. vamos a empezar con tu cuestiona- fracciones en la recta numérica. sin embargo aquí hubo las actividades propuestas en el cuestionario inicial. presentaron una cruz las figuras que representan una mitad. fracciones en la recta numérica. Respuesta de un alumno al cuestionario presentó mayor dificultad para los alumnos ubicar inicial de fracciones. con la formación de la unidad en A continuación se reproduce parte de la entrevista fraccionamiento en cantidad continua y discreta realizada con el alumno. divide/pinta. muchos de los Pregunta 1 del cuestionario inicial de fracciones. En la pregunta número uno dice: marca con nivel de logro inicial que fueron ocho. presentan problemas ya sea con la idea de equivalencia. Los reactivos dieciséis. en dos y es una mitad completa Horizontes Pedagógicos Volumen 15. alumnos respondieron que no sabían cómo hacerlo. Nº 1. dificultades con las tres ideas básicas. no alerta para la rotos. sí. que no ves que esta toda pintada y dividida respuesta proporcionados por los alumnos. Idea matemática: idea de mitad En la pregunta quince se trabajó el fraccionamiento Categoría: No reconoce la idea de mitad: En en cantidad continua y algunos de los alumnos se esta categoría el estudiante. ocho alumnos con nivel de logro inicial y ocho en nivel de logro medio. equivalencia. 1.
Y la otra A continuación se reproduce parte de la entrevista está dividida en seis partes (se refiere al hexágono). ___ b. la marcarías como una mitad o no E: . está todo blanco.	Escribe la fracción que representa la parte coloreada: la recta numérica tomando como referencia el numerador de las fracciones. El cua- drado no está dividido. como el numerador y idea de fraccionamiento en cantidad continua. para resolver el problema: E: . El aprendizaje de fracciones en educación primaria: una propuesta de enseñanza en dos ambientes E: a ya veo. ya que cuando el entero está subdividido en más de dos partes y la parte sombreada indicaba A: ya le dije (se refiere a las dos explicaciones una mitad. miento en cantidad continua. Comprende la fracción como dos nú- En esta categoría el estudiante no reconoce la meros. Respuesta de un alumno al cuestionario inicial de fracciones. realizada con el alumno. y por qué no marcaste las demás figuras Nivel de logro: inicial A: porque el círculo está dividido en cuatro. fracciones que exploró representación decimal en la recta numérica. c. comprende la fracción como un número.. como para las fracciones puesta de un estudiante al cuestionario inicial de impropias. representar las fracciones propias e impropias.. ___ referencia el numerador de la fracción que se pide que representen en la recta. fracción que está representada en el dibujo. para él eso no representó una mitad. el número de arriba. Comentario: El alumno muestra dificultad para Categoría: No reconoce la idea de fracciona. anteriores) E: si pero. y si al triángulo se le hubiera puesto una línea E: … la pregunta tres dice que escribas la fracción que lo dividiera en dos como el cuadrado ¿qué que representa la parte coloreada.. en la cuál explica qué hizo Y el triángulo no está dividido sólo pintado todo. se incluye otro ejemplo de la res- para las fracciones propias. ¿cómo que por lo mismo? Comentario: El alumno mostró dificultad para A: pues porque son cuatro partes y una está som- identificar una mitad de un entero y para él una breada mitad tiene que estar sombreada totalmente y E: mmm. es que no entendí muy bien Pregunta 3 A: porque son dos (señala los dos triángulos) y tres Idea matemática: idea de fraccionamiento en están sombreados cantidad continua.. y en el inciso C ¿por qué pusiste eso? A: pues claro. los estudiantes representan las fracciones en la recta numérica tomando como a. ya veo dividida en dos. Figura 6. No percibía la equivalencia de E: y en el inciso D. En esta categoría. el de abajo como el denominador. ___ 42 Revista de la Unidad de Educación de la Facultad de Ciencias Humanas y Sociales . me puedes decir hubieras hecho? ¿por qué en el inciso A pusiste esa respuesta? A: ¿Cómo que qué hubiera hecho? A: porque son siete y tres están sombreadas E: o sea. no como una relación. sin alertar para El estudiante presenta dificultad para escribir la la cantidad que está representada en las figuras. porque sería como el cuadrado todo sombreado y dividido en dos A: por lo mismo E: no te entiendo. ___ d. tanto A continuación. Categoría: Representación de las fracciones en 3. ¿por qué pusiste eso? fracciones.
2007 Nivel de logro: inicial 100% Porcentaje de alumnos 80% 60% A continuación se reproduce parte de la entrevista 40% realizada con el alumno. al contrario.692	0	23. diez y once.77 A: porque no alcanzaba con estos dos pedazos. Nº 1.92	84. dos por parejas de estudiantes durante la secuencia didáctica. concibe la recta enumerada lo tanto estas ideas ya no se ubicaron en el cuestio- como un todo y marca las fracciones.08	15. donde colocó 4/5) representación decimal de las fracciones propias A: ¿entonces me equivoque? en la recta numérica y representación decimal de las fracciones impropias en la recta numérica E: mmm. Resultados por parejas de estudiantes en la secuencia didáctica.62	92.38	7.692	7. A: conté tres pedazos Las preguntas que tuvieron mayor número de pa- E: mmm. y para 4/5 ¿Cómo le hiciste? rejas que respondieron incorrectamente fueron las A: conté cinco pedazos y tome cuatro preguntas dos.92	76. fracción? A: ¿en el dos? Conclusiones Comentario: En este caso el alumno tiene dificultad Los resultados arrojados por la secuencia en papel con la idea de unidad y con la representación decimal muestran que el total de los alumnos no presentaron en la recta numérica. ¿estoy mal? E: ¿Por qué colocaste ½ y 2/4 ahí? De acuerdo a los resultados mostrados en la tabla A: Porque dividí toda la recta en cinco y hasta acá y la gráfica por parejas. La idea matemática A: conté cuatro pedazos de los cinco pedazos y que se abordó en la pregunta uno fue la de mitad tome dos y cuartos. pero mira si los cuento como tú dices.92	84. estaba enumerada. 4/5.62	76.	Representa las siguientes fracciones en la recta A continuación se presentan los resultados obteni- numérica: 1/2. 0 1 2 Figura 8. y si te equivocaste ¿dónde pondrías la respectivamente. 2013 / págs.08	15.08	23.38	23.23 % Error 0	23. Divide la nario final. tres.92	69.Cristianne Butto Zarzar Figura 7.31	92. Sexto 2006 . los alumnos presentaron recta en cinco pedazos y empieza a representar las dificultades con algunas de las actividades que Horizontes Pedagógicos Volumen 15. por Preguntas eso lo hice. 1/3. Sin embargo. la equivalencia de fracciones. 2/4. 33-45 / ISSN: 0123-8264 43 . No percibe que la recta está dificultades con la idea de mitad y con la ubicación enumerada y cada numeración corresponde a una de fracciones propias en la recta no numérica. 17. la pregunta uno tuvo el son dos pedazos (señala 4/5) y tome uno 100% de alumnos que respondieron correctamente E: ¿y cómo le hiciste para 2/4? así como la pregunta nueve. hasta temáticas que abordaron fueron: fraccionamiento acá son cinco pedazos y no cuatro (señalo hasta en cantidad discreta. Las ideas ma- E: okey. cinco. En la pregunta nueve se abordó la idea E: para 1/3 cómo lo hiciste de representación de fracciones propias en la recta. por unidad. Respuesta de un alumno al cuestionario fracciones sin considerar ni alertar que la recta ya inicial de fracciones.08	30.31	100	76. en la cuál explica qué hizo 20% para resolver el problema: 0% 1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11 E: ¿Por qué dividiste así la recta en cinco partes? % Acierto 100	76.
Ratio- la comprensión de la equivalencia de fracciones así nal Number Concepts. Academic Press. equivalen. En R. ubicación de fracciones propias reveló que pudieron superar varias de las dificultades e impropias en la recta numérica. J.. razón y operador. El aprendizaje de fracciones en educación primaria: una propuesta de enseñanza en dos ambientes r­ equerían poner en práctica las ideas matemáticas superar algunas dificultades que tenían sobre las de fraccionamiento en cantidad discreta. Por denomina de los problemas de estructura aditiva último. para los números fraccionarios es un proceso lento. Lesh. % Error 31	31	54	42	0	46	50	54	58	0	62	58	18	58	54	58 con el objetivo de que los estudiantes desarrollen Preguntas ideas conceptualmente más elaboradas para que El cuestionario final muestra que las actividades que puedan acceder a ideas más poderosas dentro de presentaron mayores dificultades para los alumnos las matemáticas escolares. estudiantes se encuentran en el nivel inicial. es decir.. se manejarán en el cuestionario final más para los problemas de estructura multiplicativa. cociente. T y Silver. como que requiere de la compresión de los diversos sub- fue la ubicación de fracciones propias en la recta no constructos involucrados en el campo conceptual numérica. R. S. Esto idea matemática a algunos alumnos no les costaba revela que la transición de los números enteros trabajo ubicar fracciones propias cuando ellos mis. tidad discreta ya que en sexto grado se omiten tales contenidos que aunque sencillos de comprender. Hubo avances en Behr. dónde se encuentran las fracciones. Magina. Post. sin embargo hubo avances REFERENCIAS en comparación con el cuestionario inicial como se muestra en la gráfica anterior. Lesh y M. fracciones y transitar hacia niveles más altos. nivel Porcentaje de alumnos 80% que pocos estudiantes de educación básica puedan 60% acceder si la instrucción escolar no les ofrece un 40% modelo conceptual distinto al modelo conceptual 20% parte-todo. F. A (2002).2008 alto. Nueva York. mos establecen sus propios enteros en la recta. lo que cia de fracciones. Landau como en el fraccionamiento en cantidad discreta. Con esta última iniciales encontradas en el cuestionario inicial. Bezerra. en lo que respecta al modelo mate- suelen causar dificultades a los alumnos cuando mático propuesto por Kieren se percibe que algunos se varían las actividades. y Spinillo. lo también coincide con otra transición que Vergnaud que derivó en errores al ubicar tales fracciones. 91. pudieron An exploratory Study. How to A partir de los resultados arrojados se percibe un Promote Childrens Understanding of Fractions? avance conceptual en los estudiantes. M. E (1983). de los la recta numérica. Resultados del cuestionario final de fracciones deben ser trabajadas en la escuela para que los estudiantes puedan transitar para un nivel más Sexto 2006 . equivalencia y la formación de la unidad. donde están las 100% ideas de medida. Por otro lado. como las ideas de partición. Estados Conclusiones Unidos. alumnos las terminaciones propia e impropia.. caracterizado por el nivel II. (eds.).126). les causó confusión a algunos números enteros para los números racionales. Proceedings of the 26th In- 44 Revista de la Unidad de Educación de la Facultad de Ciencias Humanas y Sociales . La ubicación de fracciones impropias en de los números racionales. actividades con la idea de fraccionamiento en can. es importante diversificar 0% 1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16 los soportes de representación y las diferentes re- % Acierto 69	69	46	58	0	54	50	46	42	0	38	42	81	42	46	65 presentaciones de un mismo concepto matemático. Adquisition of Mathematical Concepts and Processes (pp. Esta transición. Por otro lado. Ideas esenciales que Figura 9. fueron la ubicación de fracciones propias e impropias en la recta numérica. en el nivel más bajo del modelo que expresa Resultados del cuestionario final un conocimiento básico de las herramientas in- de fracciones tuitivas.
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