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Timestamp: 2020-08-04 23:29:05+00:00

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Guia Instructor Primm At | Educación primaria | Aritmética
Guia Instructor Primm At
Edgar Míreles
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Resenias de Los Recursos Materiales Seleccionados Primaria
2º Básico Lenguaje y Matemática - Profesor@ Marcela Basualto Sánchez
Proyecto Del Plan Lector
Lego Prodel 2016 Red
La Guía del Instructor del Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria fue elaborado por la Sociedad Matemática Mexicana y la Universidad de Sonora en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.
Sociedad Matemática Mexicana Universidad de Sonora
Agustín Grijalva Monteverde
en C. Martha Cristina Villalva Gutiérrez
en C. Ana Guadalupe del Castillo Bojórquez
en C. Jorge Ruperto Vargas Castro
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2008 Argentina 28, colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite
La presente guía tiene el propósito de servir de apoyo a los instructores del curso de actualización “La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria” . Para el éxito de este curso, la labor del instructor es esencial y en él recae la responsabilidad de conducir el trabajo cotidiano de los profesores-estudiantes.
Las principales responsabilidades del instructor son las siguientes:
a) Capacitación de los profesores-estudiantes.
b) Asesoría académica de los profesores-estudiantes.
c) Elaboración y entrega de un informe del desarrollo del curso.
d) Resolver los imprevistos que surjan en su ámbito correspondiente.
En lo referente a esta Guía, se contemplan aquí orientaciones generales y se describen, discuten y analizan las actividades del Material del Participante, con base en las cuales se organiza el trabajo de los profesores-estudiantes del curso.
En concordancia con los planteamientos centrales que se hacen en la presentación del Material del Participante, las actividades están diseñadas para que los profesores estudiantes discutan y analicen las diversas situaciones problemáticas que se les presentan, en tres momentos diferentes: en el primero de ellos el trabajo deberá ser individual, en el segundo se discutirán sus propuestas de solución en pequeños grupos y, finalmente, deberá realizarse una discusión grupal, con la conducción del instructor.
Curso de Actualización La Problemática de la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas en la Escuela Primaria
La participación del instructor en cada uno de esos momentos es de suma importancia y debe estar atento para intervenir según corresponda a la etapa que los profesores estudiantes estén viviendo. Así, cuando el trabajo de los profesores -estudiantes sea individual, el instructor hará actividades de monitoreo y podrá auxiliar (sin resolver totalmente las situaciones propuestas), con impulsos o pequeños “tips” que los ayuden a avanzar en las soluciones.
Cuando el trabajo se realice en pequeños equipos, el instructor se asegurará que todos los profesores-estudiantes participen directamente, expongan sus opiniones individuales, comparen sus soluciones con las de sus compañeros y colaboren en la determinación de conclusiones generales del equipo.
En lo que respecta a la discusión plenaria del grupo, el instructor tendrá especial atención de considerar todas las propuestas, opiniones y sugerencias de cada equipo, promoviendo una discusión rica y el establecimiento de conclusiones generales, en las que se señalen los conocimientos aprendidos, las posibles formas didácticas de tratar estos temas con los niños y las demás a que dé lugar el análisis de cada situación.
Para desarrollar su trabajo, el instructor debe tomar en cuenta que el curso está dividido en cuatro secciones, estimándose que a cada una deberá dedicársele 10 horas. Las primeras 10 horas, correspondientes a la sección “El Papel de los Problemas, los Juegos, la Calculadora y la Computadora en la Enseñanza de las Matemáticas”, son particularmente importantes porque se ejemplifica la metodología de trabajo con la que se desarrolla el Curso de Actualización en su totalidad.
Con la discusión que se hace respecto a los problemas y los juegos, se ilustra la forma de trabajar en el Curso, pues tanto la dinámica de grupo como el tratamiento de los temas y contenidos disciplinarios se harán con base en la resolución de situaciones problemáticas. La propuesta se basa en consideraciones
generales relacionadas con aspectos cognitivos, epistemológicos y didácticos, por una parte, como también en los objetivos de la enseñanza en la Escuela Primaria.
Las situaciones problemáticas que se abordan, aunque están íntimamente relacionadas con las que se discuten en la Escuela Primaria, están diseñadas para profesores-estudiantes y para llevarse al aula, con los niños, requieren de un proceso de transformación. Con ellas, los profesores-estudiantes podrán enfrentarse a circunstancias similares a las que viven los niños, encontrándose y sensibilizándose con problemas referentes al entendimiento y comprensión de las situaciones, las notaciones empleadas para su solución, los procedimientos que se ponen en juego, las propiedades que satisfacen los objetos matemáticos involucrados, las justificaciones o argumentaciones en que se apoyan sus reflexiones y las concepciones mismas que en su actividad construyan de los objetos matemáticos.
Es decir, la problemática a la que se pretende enfrentar a los profesores trasciende a la sola enumeración y definición de objetos involucrados o aplicación de procedimientos estándar y automáticos de resolución de problemas, atendiendo a los diferentes aspectos que se involucran en el trabajo matemático.
Asimismo, en esta sección se discuten algunas situaciones problemáticas en las que las calculadoras y las computadoras juegan un papel esencial y son un ejemplo de cómo los profesores pueden apoyarse en sus potencialidades para desarrollar en los niños determinadas habilidades y competencias.
Con el propósito de que cada instructor cuente con orientaciones pertinentes sobre la forma de desarrollar su trabajo, en esta guía se incluyen, para cada una de las secciones del Material del Participante, los siguientes elementos:
Las características generales de la sección, su estructura, sus propósitos y las expectativas en los resultados de su discusión.
Una estimación de los tiempos que deberá dedicársele a cada actividad o grupo de actividades.
Una descripción de cada actividad o cada grupo de actividades, en la que se contemple:
a) Descripción de la actividad o grupo de actividades.
b) Material necesario para la actividad o grupo de actividades.
c) Aspectos metodológicos que deben tenerse presentes.
d) Contenidos y otros aspectos en los que debe centrarse la discusión.
En algunos casos se ejemplificarán las posibles respuestas que cada profesor- estudiante puede hacer de una determinada situación problemática, de tal manera que el instructor cuente con elementos suficientes del tipo de discusiones que deberán promoverse tanto en los momentos de trabajo individual como en los de análisis y discusión en equipos y dinámicas de todo el grupo.
Por otra parte, tomando en cuenta que las posibles discusiones y análisis que se desprendan de las actividades pueden ser muchos y variados, se pueden hacer profundizaciones en aspectos de contenido matemático disciplinario, en aspectos metodológicos y en variantes de los problemas, por mencionar algunas de ellas.
También se contemplan en esta guía orientaciones sobre la necesidad de realizar una actividad de cierre de cada sección, en la cual debe incluirse una breve discusión y análisis sobre:
a) Lo que se aprendió
b) La forma de aprender
c) Las estrategias didácticas
Por último, atendiendo a los criterios establecidos en el Curso, los cuales ya fueron señalados en el Material del Participante, los criterios generales de evaluación son los siguientes:
• Asistencia regular y participación activa en las sesiones del Curso de
• Presentación escrita de una situación problemática por sección, que sea una variante de las discutidas en el Material del Participante.
Debe destacarse que para la evaluación final del Curso de Actualización, cada profesor-estudiante presentará el diseño de una secuencia didáctica en la que se empleen los materiales de apoyo con que cuentan, de acuerdo al grado escolar de su elección. Por tal motivo, los criterios de evaluación que se promoverán en este Curso de Actualización, se encuentran encaminados en ese sentido.
El papel de los problemas, los juegos, la calculadora y la computadora en la enseñanza de las matemáticas
En el curriculum matemático de la escuela primaria se propone la resolución de problemas como estrategia de enseñanza, pues se considera que el plantear y resolver problemas constituye la fuente esencial para la construcción del conocimiento matemático.
En ese sentido, se consideró importante que la primera sección del curso esté destinada a la reflexión sobre la importancia que tiene en la enseñanza
10 de la matemática, la actividad de resolución de problemas. No se pretende hacer una discusión de carácter teórico sobre el particular, sino impulsar el que los profesores-estudiantes vivan la experiencia de un proceso de estudio organizado con base en el tratamiento de situaciones problemáticas, tal y como están organizados los libros de texto y materiales de apoyo de la escuela primaria, pero que además reflexionen sobre esa experiencia.
Así pues, esta sección del Módulo I está destinada al estudio de algunas situaciones problemáticas, donde el eje conductor es el planteamiento y resolución de problemas, así como el diseño de nuevos problemas a partir de introducir variantes en uno ya conocido. Enfatizamos que en todas ellas está presente la búsqueda de la problematización de los profesores-estudiantes, enfrentándolos a situaciones que les representen un reto, una dificultad, pero que pueden ser abordados con sus conocimientos. Además de favorecer el surgimiento de esos estados de conflicto, interesa también la reflexión sobre las condiciones que
propician su aparición, de tal manera que todo este proceso les pueda servir a los profesores-estudiantes como referencia en su práctica cotidiana.
Más allá de la solución de los problemas y situaciones mismas, el instructor deberá enfatizar su comprensión, el análisis de las estrategias propuestas y de los procedimientos que se emplean para llevar a cabo dichas estrategias, la visión retrospectiva de las soluciones y las características diferentes que se presentan al variar las condiciones de los problemas o en las reglas de los juegos.
Se distinguen dos partes en la sección: la primera, donde se presentan situaciones problemáticas, considerando a los juegos como otra alternativa para diseñarlas; la segunda parte donde se muestran aplicaciones para usar la calculadora y la computadora en la enseñanza.
El tiempo total asignado a esta sección es de diez horas y el desglose por actividades, junto con los tiempos estimados para la implementación de cada una, es el siguiente:
Actividad Bienvenida y presentación de los participantes …………
… 1.- Cálculo de áreas ……………………………………………… 40 minutos
2.- Las monedas defectuosas …………………….…….………. Una hora 10 minutos 3.- El premio de los marineros ………………………….………. Una hora y media 4.- El juego de Nim ………………………………………….…… Una hora 10 minutos
…… 6.- Determinando cantidades numéricas ………………….… 7.- Ejercicios con exponentes ……………………………….…
5.- Un juego con dados ……………………………………
8.- Conceptos de distancia ……………………………………… Una hora
Al término de esta sección está propuesta una actividad de cierre, a la cual se asignó una hora. El tiempo propuesto es una estimación, así que cada
instructor tiene la libertad de hacer los ajustes que considere convenientes, dependiendo de las características de su grupo y de las condiciones en las cuales esté desarrollando su trabajo. De cualquier manera se recomienda hacer una planeación del desarrollo de la sección, e irla ajustando según las circunstancias, pero teniendo como meta no eliminar ninguna de las actividades. En caso de que se hubiera cubierto el contenido propuesto, y hubiera tiempo excedente, en la página Web se encontrarán sugerencias de actividades complementarias.
Todas las situaciones problemáticas propuestas en esta sección, tienen la característica común de permitir variaciones que conducen a situaciones cada vez más complejas y matemáticamente más interesantes. Este es un punto que debe ser explotado por el instructor, pues es una de las habilidades que es deseable desarrollar en los profesores-estudiantes y que les resultará de gran utilidad en su práctica docente.
12 Las actividades deberán trabajarse de forma similar, iniciando con acercamientos individuales de cada profesor-estudiante a las situaciones propuestas, posteriormente en discusiones de pequeños equipos, estructurados a juicio del instructor, y por último en discusiones del grupo en su conjunto. Pueden presentarse algunas variantes en este esquema general, pero en cada momento, el instructor deberá estar atento al desarrollo de las actividades, con el fin de intervenir para hacer sugerencias o preguntas que ayuden a la reflexión de los profesores-estudiantes y les permitan seguir adelante. Lo deseable es que esas intervenciones no se limiten a validar o descalificar los argumentos o procedimientos presentados, sino que la discusión pueda retomar estos argumentos para activar la actividad intelectual de los participantes.
Al término de las actividades se deberá impulsar que los profesores- estudiantes analicen las diferentes habilidades de carácter general que pueden desarrollarse cuando este tipo de actividades se realizan en equipo. Estas habilidades están ligadas a la comunicación de las ideas, a la organización de la
información, a la argumentación y a la validación de opiniones diferentes a las propias.
Es muy importante también que al final de la sección, el instructor dedique
un espacio a la reflexión grupal sobre los siguientes tres aspectos:
a) Lo que aprendieron.- No solamente los conceptos que hayan surgido,
sino la identificación de las habilidades específicas que cada actividad o bloque de actividades les demandó.
b) Cómo lo aprendieron.- Este punto se refiere a los procesos que cada
participante tuvo que realizar para aprender; por ejemplo, el papel que jugó el intercambio de opiniones en los equipos y grupalmente, si hubo conocimientos previos conscientemente empleados, si la forma en la que estaban diseñadas las actividades impactó sus estrategias, etc. c) Cómo se les enseñó.- El papel que jugó el (la) instructor(a). ¿Cuáles son las actividades propias del instructor que identifican y cuál es el valor que le otorgan dentro de su proceso de aprendizaje?
Las reflexiones finales señaladas tienen asignado un lapso de una hora.
A continuación daremos una descripción de cada una de las actividades
propuestas en el Material del Participante, destacando los aspectos que nos parecen más relevantes y que son aquellos en los que el instructor deberá poner mayor atención durante su trabajo con los profesores-estudiantes.
Descripción y propósitos. Un recurso frecuentemente utilizado en el planteamiento de problemas matemáticos es el uso de representaciones gráficas de diferentes tipos: diagramas, figuras geométricas, dibujos, mapas, por citar algunos. Se inicia la primera sección del Módulo 1 con un problema de este estilo, que parte de una situación expuesta mediante una ilustración que contiene la información a partir de la cual deberán responderse las interrogantes formuladas. Con esta situación se pretende que los profesores-estudiantes pongan en juego su percepción geométrica y los recursos con los que cuentan para determinar el área de las figuras solicitadas
Al ser la primera situación con la cual se trabajará, se buscó que fuese relativamente sencilla, para motivar la participación de los asistentes al curso. La actividad se inicia con preguntas sencillas sobre la situación presentada, esperando que quienes las contesten tengan éxito al hacerlo y acepten el reto de ir abordando las siguientes preguntas, las cuáles paulatinamente serán más complejas. Se resalta así la importancia del trabajo que realizan los profesores cuando planean su actividad docente, la cual inicia con la selección adecuada de situaciones problemáticas que les sirvan de base para conducir la actividad de aprendizaje, que sean ricas en posibilidades y mediante preguntas adecuadas puedan motivar la actividad de los estudiantes. En ese sentido, el instructor tendrá en cuenta cómo es que se va guiando esta actividad mediante preguntas, que van desde las más sencillas hasta aquéllas adecuadas al nivel de los participantes.
Material. El Material del Participante, lápiz y papel.
Organización del trabajo. Tal y como se señaló en la presentación de la sección, los acercamientos a la actividad serán en tres niveles: individuales, por equipo y posteriormente por el grupo. En los dos primeros momentos, el instructor deberá integrarse a la actividad monitoreando el accionar de los profesores-estudiantes, y aunque por el grado de dificultad de la situación expuesta no se espera que se presenten mayores complicaciones, es necesario estar atento a la evolución del trabajo.
Cuando se inicie la discusión por el grupo, el instructor buscará ir incorporando las respuestas de los equipos, promoviendo los consensos y deteniéndose en aquellos momentos en los cuales se presenten diferencias de opinión, para, mediante cuestionamientos apropiados, lograr que las respuestas inadecuadas se modifiquen.
Discusión: Al finalizar la actividad, los profesores-estudiantes deberán intercambiar opiniones sobre la pertinencia del diseño de la actividad que se les presenta, así como sobre la importancia que reviste el diseño y la selección de situaciones adecuadas para promover el aprendizaje de sus estudiantes.
Descripción y propósitos. El problema de esta Actividad es una versión típica de los llamados “problemas de pesadas”, en los cuales la situación que se plantea consiste en la determinación del mínimo número de pesadas necesarias para satisfacer una cierta condición. Ha sido seleccionado para trabajarse con los profesores-estudiantes por la riqueza de posibilidades que ofrece, pues permite la reflexión sobre las características generales que se han señalado sobre la interpretación, sobre la elaboración de estrategias de solución, la ejecución de las estrategias, elaboración de conjeturas, de argumentaciones y validación de
resultados. Además de lo anterior, tiene la intención de mostrar cómo se puede generar una estrategia para vencer el reto propuesto.
Si bien posee un grado de dificultad mayor que el de la Actividad 1, éste no es tan alto como para impedir la acción de los participantes. Uno de los cuestionamientos que seguramente aparecerá es en relación al tipo de balanza que se está utilizando para las pesadas de las bolsas; este hecho puede ser aprovechado por el instructor para incluir, si lo cree conveniente, las opciones de la balanza como una de las variantes del problema y discutir en qué sentido se modifica o no la solución.
Materiales. El Material del Participante, lápiz y papel.
Organización del trabajo. Se sugiere seguir las recomendaciones de la Actividad 1. En este caso, se espera que los momentos de intercambio cuando se trabaje en equipo o de manera grupal sean más intensos, por lo que la oportuna intervención del instructor es muy necesaria para canalizar apropiadamente la discusión.
Discusión: Al finalizar la actividad los profesores-estudiantes intercambiarán opiniones sobre las dificultades para comprender el problema, sobre las estrategias usadas para resolverlo, tanto las exitosas como las que no fueron adecuadas y sobre las posibilidades de formular variantes del problema. Otra vertiente de discusión interesante consiste en comparar este problema con el de la Actividad 1.
El premio de los marineros
Descripción y propósitos. Este problema es representativo de cómo una situación puede ser modificada por un profesor para variar el grado de complejidad, pero sin perder el interés para el que la trabaja. Se destaca el hecho
del tipo de estrategia con el cual puede ser resuelto el problema, que es diferente a las que surgieron en las Actividades 1 y 2, dado que en la primera parte del problema la solución es relativamente sencilla cuando se recurre al llamado “razonamiento en reversa” o “razonamiento hacia atrás”.
Esta heurística, que consiste en partir del dato o datos finales e ir hilando razonamientos intermedios de los cuales se puede deducir lo que se busca, es de mucha utilidad para resolver cierto tipo de problemas, pero no es sistemáticamente desarrollada en la escuela.
A la situación inicial se agregaron variantes que si bien conducen a tratamientos más complicados, resultan más retadores y por tal razón, de mayor interés. Un elemento extra en este problema es que se puede algebrizar, esto es, plantearlo mediante una ecuación lineal, opción que resulta ser más laboriosa, tanto por la construcción de la ecuación como por su solución.
Organización del trabajo. Se recomienda seguir las indicaciones propuestas para las actividades anteriores. Debido al mayor nivel de dificultad del problema, es de esperarse que en los incisos finales, el instructor tenga necesidad de participar proporcionando los impulsos necesarios para evitar que el accionar de los profesores-estudiantes se limite o incluso se paralice.
Discusión: Se insiste en la conveniencia de comparar estrategias, escogiendo al final la que se considere que es la más económica y argumentando el por qué se categoriza así. Además de lo anterior, un ejercicio interesante con el que podría cerrarse la actividad es solicitar a los profesores estudiantes que propongan un problema y formulen una posible generalización del mismo.
Descripción y propósitos. Este es un juego muy antiguo y conocido y al cual se le pueden agregar variantes de diferentes tipos. La versión que aquí se propone no es complicada y permite ilustrar que los juegos son un campo fértil para diseñar situaciones problemáticas, que agregan a lo retador de un problema el aspecto lúdico, de diversión.
Por sus características, el juego permite la identificación del patrón de movimientos que debe seguirse si se quiere ganar. Si a juicio del instructor la adaptación presentada resultara demasiado complicada, puede sustituirla por una versión más simple, como podría ser el considerar solamente una fila de fichas. En el otro sentido, si el patrón se identifica rápidamente, se puede sugerir una nueva condición para el número de objetos que se retiran, o el agregar otra hilera de ellos.
Materiales. 15 fichas de plástico por cada pareja de profesores-estudiantes.
Organización del trabajo. Los participantes serán agrupados en equipos de dos miembros, quedando a juicio del instructor si él organiza a las parejas, o los deja en libertad de seleccionar a su respectiva pareja. Después de un lapso razonable, el instructor iniciará la discusión grupal.
Discusión. En primera instancia, deberán discutirse las propuestas de estrategia ganadora de las parejas, para posteriormente intercambiar opiniones sobre las posibilidades que ofrecen los juegos para el desarrollo de habilidades tanto matemáticas como de razonamiento general y señalar otros ejemplos de juegos que se consideren útiles a tal fin.
Descripción y propósitos. Esta actividad es otro ejemplo de cómo un juego puede ser adaptado para diseñar una situación problemática que involucra razonamientos, procedimientos y conceptos matemáticos; en su desarrollo se necesitan hacer agrupaciones de las pérdidas y ganancias que se van generando, las cuales conducen al manejo de un sistema de numeración en base 4. A diferencia de lo que sucedió en la Actividad 4, el juego que aquí se presenta es azaroso, por lo cual no es posible diseñar una estrategia que lleve con certeza al triunfo.
El propósito es que los profesores-estudiantes reflexionen sobre las dificultades que conlleva el manejo de un sistema de numeración, y que en esa dirección se sensibilicen sobre los conflictos que viven sus alumnos cuando están aprendido el manejo del sistema de numeración en base diez.
Material: Un juego de dos dados y 150 fichas de plástico (30 rojas, 50 azules y 70 amarillas) por cada grupo de 3, 4 o 5 profesores-estudiantes, según sea la organización de los equipos que jugarán.
Organización del trabajo. Puesto que el juego se puede realizar entre tres, cuatro o cinco jugadores, el instructor organizará, o dejará en libertad de organizarse, a los profesores-estudiantes en equipos con el número de integrantes que se considere conveniente.
Se otorgará un lapso conveniente para que los equipos jueguen, debiendo el instructor estar al pendiente de que las reglas del juego hayan sido entendidas y
que éste se esté efectuando adecuadamente. Después de ello, el instructor, procederá a organizar la discusión grupal.
Discusión: Al concluir el juego, los profesores-estudiantes intercambiarán opiniones sobre las dificultades para agrupar conjuntos de 4 en 4 y representar agrupaciones hechas de esta manera, comparando las actividades con las que realizan los escolares al hacer agrupaciones con base en el número 10.
Determinando cantidades numéricas
Descripción y propósitos. En esta actividad se proponen algunas situaciones que propician el desarrollo de habilidades para la aproximación, el fortalecimiento de significados a las operaciones aritméticas básicas y son una muestra de las posibilidades que ofrece la calculadora para estimular el análisis aritmético,
20 contrario a la creencia de algunos docentes y padres de familia de que estos aparatos sólo vienen a sustituir los algoritmos propios de la aritmética y representan un obstáculo para el aprendizaje de los niños.
Materiales. Una calculadora por cada profesor-estudiante. Esta calculadora deberá por lo menos ejecutar las operaciones aritméticas elementales y el cálculo con exponentes.
Organización del trabajo. Al inicio la actividad debe realizarse de manera individual, después de lo cual, a juicio del instructor, se procederá a organizarse por equipos de tres miembros, al interior de los cuales se comentará sobre las estrategias que cada miembro siguió para llegar a algún resultado, o cuáles fueron sus dificultades, en caso de que alguno no lo hubiese logrado. Posteriormente, el instructor propondrá la discusión grupal, con la temática sugerida en el siguiente apartado.
Discusión: Al finalizar la actividad, los profesores-estudiantes intercambiarán opiniones y puntos de vista sobre cuáles son el tipo de situaciones que deben abordarse con el uso de calculadoras y propondrán otras actividades para ello.
Ejercicios con exponentes
Descripción y propósitos. En esta actividad se continúa trabajando con situaciones como las anteriores, pero ahora se incluye a la operación potenciación, que en el caso de los algoritmos de lápiz y papel son prácticamente imposibles de ser tratados. Las posibilidades que ofrece la calculadora para hacer los cálculos con rapidez y precisión, permiten centrar la atención en los significados que tiene la operación de elevar un número a una potencia fraccionaria, que es uno de los aspectos que se pierde de vista cuando no se hace uso de este apoyo tecnológico.
Materiales. Una calculadora por cada profesor-estudiante, la cual deberá por lo menos ejecutar las operaciones aritméticas elementales y el cálculo con exponentes.
Organización del trabajo. Se puede reproducir el esquema que se planteó para la Actividad 6.
Discusión: Como parte final de la actividad, los profesores-estudiantes externarán sus opiniones sobre la conveniencia de incluir este tipo de ejercicios en la enseñanza primaria, determinando aquellos que se consideren apropiados para los escolares y los grados en los cuales debe hacerse.
Descripción y propósitos. Con esta actividad se pretende introducir el uso de un
software de geometría dinámica, preferentemente gratuito como el GeoGebra, en el diseño de actividades didácticas. Dicho software puede ser descargado desde distintos sitios de Internet, localizables con cualquier buscador.
La intención de esta actividad es ejemplificar el tratamiento didáctico que puede hacerse de aspectos geométricos, y cómo dicho tratamiento es potenciado con los recursos del software de geometría dinámica, pues se facilita la manipulación rápida y con mayor precisión de los objetos geométricos involucrados. En este caso particular se maneja el concepto de distancia, primero entre dos puntos del plano cartesiano, y posteriormente entre un punto y una recta
Material. Lo ideal es trabajar esta actividad en una sala de cómputo con una computadora por profesor-alumno, en donde deberá estar previamente instalado el software. En caso de que esto no sea posible, se requiere por lo menos la 22 disposición de una computadora con cañón y pantalla para proyección.También es necesario tener a la mano el Manual del participante y un lápiz.
Organización del trabajo. Es deseable que la actividad se lleve a cabo en un centro de cómputo, con una computadora por profesor-estudiante. En caso de que el número de computadoras sea menor que el de participantes, el instructor decidirá cuál es la mejor organización posible, agrupándolos por parejas, ternas, o un número mayor de integrantes. Si solamente si dispusiera de una computadora y equipo de proyección, el instructor estructurará la actividad de manera que el mayor número de profesores-estudiantes tenga acceso a su manejo.
Si se considera pertinente, se dedicará un periodo corto a conocer las generalidades del paquete y sus comandos básicos, pero preferentemente los participantes lo explorarán libremente antes de iniciar la actividad, al final de la
cual se procederá a la discusión grupal, con los tópicos sugeridos en el apartado siguiente.
Discusión: Los profesores-alumnos intercambiarán sus puntos de vista sobre las diferencias que se perciben al discutir estos tópicos con sus estudiantes contando sólo con lápiz y papel y el hacerlo con un software como el que aquí se propone.
En esta parte de la Guía, el instructor encontrará algunas orientaciones sobre el propósito y la naturaleza de las actividades propuestas en la sección llamada “Aritmética” del Material del Participante, así como algunas sugerencias metodológicas específicas sobre el trabajo a realizar en el salón de clases con los profesores-estudiantes.
En la sección mencionada se plantean situaciones problemáticas sobre 24 algunos tópicos que pertenecen principalmente al eje temático: Los números, sus relaciones y sus operaciones, aunque también se abordan en la parte final de la sección algunas nociones del eje temático denominado Medición. El primero de estos ejes está presente en todos los grados de la escuela primaria y es al que más tiempo de enseñanza le reservan los programas oficiales.
Las situaciones problemáticas a través de las cuales se forman y desarrollan los conceptos relacionados con estos dos ejes son, fundamentalmente, situaciones en las cuales se plantea un problema de cuantificación, es decir, son situaciones en las que, por lo general, se formula un pregunta sobre cuántos son los elementos de cierto conjunto o cuánto mide una cierta magnitud.
Es necesario plantear este hecho, reflexionarlo y analizarlo con los profesores con el fin de que puedan distinguir entre el problema: cuantificar; y la herramienta matemática a utilizar: los números, sus relaciones y sus operaciones,
de tal manera que, a través de las experiencias que vivan en este curso, vayan haciéndose cada vez más conscientes de la necesidad de diseñar o
seleccionar situaciones problemáticas para la enseñanza que permitan a los niños,
a la par que conocer las herramientas mencionadas, aprender a utilizarlas en situaciones diversas.
De acuerdo con lo establecido en el párrafo anterior, consideramos de suma importancia que, a través de las experiencias preparadas para esta sección, los profesores puedan enriquecer su bagaje de situaciones problemáticas que se resuelven utilizando los números, sus relaciones y sus operaciones, además de reflexionar sobre las diversas formas en que pueden ser presentadas y utilizadas en el aula.
Las actividades que integran la presente sección fueron diseñadas tomando en cuenta los propósitos generales que persigue la educación matemática en la escuela primaria, en particular aquellos que se refieren al desarrollo de:
La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas. La capacidad de anticipar y verificar resultados. El pensamiento abstracto a través de distintas formas de razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias. 1
Una vez realizadas todas las actividades de esta sección, es importante que
el instructor esté al pendiente de que la relación entre los objetivos anteriores y las
actividades realizadas, sea incluida como tema en las reflexiones finales que el profesor-estudiante compartirá con el grupo.
1 SEP. Educación básica. Primaria. Plan y programas de estudio. México, 1993.
Materiales usados. Con respecto a las actividades que contiene esta sección, el Material del Participante es autosuficiente, solamente se requiere de lápiz y papel para trabajar en ellas. Algunas actividades están diseñadas para que el profesor- estudiante escriba sus respuestas directamente en el Material del Participante, en esos casos el instructor dará las indicaciones para así se haga.
La sección está integrada por 7 actividades y el tiempo total asignado a esta sección es de diez horas en total, se sugiere distribuir estas diez horas de la manera siguiente:
1.- Contando en base 5 .…………………………………………… Una hora 2.- Calculando en base 5 ………………………………….………. Una hora y media
3.- Diversos procedimientos para sumar y restar …….…………. Una hora 4.- Diversos procedimientos para multiplicar y dividir …….….… Una hora y media
Una hora y media Una hora Una hora Una hora
6.- Partir y repartir ……………………………………………….…
5.- Combinando operaciones .………………………………
7.- Comparar y medir ……… 8.- Reflexiones finales …
La distribución de tiempo propuesta es una estimación, así que cada instructor tiene la libertad de hacer los ajustes que considere convenientes, dependiendo de las características de su grupo y de las condiciones en las cuales esté desarrollando su trabajo. De cualquier manera se recomienda hacer una planeación del desarrollo de la sección, e irla ajustando según las circunstancias, pero teniendo como meta no eliminar ninguna de las actividades. En caso de que se hubiera cubierto el contenido propuesto, y hubiera tiempo excedente, en la página web se encontrarán sugerencias de actividades complementarias.
propuestas, posteriormente en discusiones de pequeños equipos, estructurados a juicio del instructor, y por último en discusiones del grupo en su conjunto. Pueden presentarse algunas variantes en este esquema general, pero en cada momento, el instructor deberá estar atento al desarrollo de las actividades, con el fin de intervenir para hacer sugerencias o preguntas que ayuden a la reflexión de los profesores-estudiantes y les permitan seguir adelante. Lo deseable es que esas intervenciones no se limiten a validar o descalificar los argumentos o procedimientos presentados, sino que la discusión pueda retomar estos argumentos para activar la actividad intelectual de los participantes.
Al término de las actividades se deberá impulsar que los profesores- estudiantes analicen las diferentes habilidades de carácter general que pueden desarrollarse cuando este tipo de actividades se realizan en equipo. Estas habilidades están ligadas a la comunicación de las ideas, a la organización de la información, a la argumentación y a la validación de opiniones diferentes a las propias.
Es muy importante también que al final de la sección, el instructor dedique un espacio a la reflexión grupal sobre los siguientes tres aspectos:
Descripción. El sistema de numeración decimal es el de uso más extendido, resulta por ello una herramienta indispensable para interactuar con el mundo que nos rodea. Las nociones básicas sobre este sistema se presentan a los niños desde el primer grado y están presentes en el resto de la escuela primaria, aunque la reflexión sobre las reglas para formar y operar con números en base 10, aparecen de manera explícita hasta el sexto grado. Nuestro sistema de numeración tiene reglas de formación arbitrarias que obedecen principalmente a una convención social, pero su utilización cotidiana pudiera llevar a la conclusión de que estas son las únicas reglas posibles. Tomando en cuenta estas reglas se han diseñado los algoritmos aritméticos que todos hemos aprendido en la escuela.
Las dos actividades que nos ocupan han sido concebidas para que el profesor reflexione sobre las reglas de formación de un sistema posicional y la razón de ser de sus algoritmos respectivos. Se ha seleccionado una base distinta a la base 10 con el propósito de que el profesor-estudiante experimente por sí mismo las dificultades que enfrentan los niños al intentar dar significado a las reglas de agrupamiento y de escritura, así como a las reglas que rigen los algoritmos, cuando están intentando familiarizarse con un sistemas de numeración como el nuestro.
El instructor se encargará de precisar los propósitos enunciados para estas dos actividades y de justificar ante los profesores-estudiantes la inclusión en el curso de actividades como éstas, que han sido concebidas para promover la reflexión del profesor–estudiante sobre algunas dificultades específicas enfrentadas los niños y de ningún modo para transferirse a las aulas de la escuela primaria.
Organización del trabajo. Estas dos primeras actividades se realizarán en forma individual primeramente y las dificultades para realizarlas serán discutidas en equipo entre los profesores. Al final un representante de cada equipo expondrá un cálculo escrito de los contemplados en la Actividad 2, justificando las reglas que rigen el algoritmo.
Discusión. Al final de las actividades realizadas se propone que los profesores- estudiantes intercambien opiniones sobre las dificultades que enfrentan los niños cuando están aprendiendo a escribir y leer cantidades en base 10 y a operar con ellas, así como sobre las estrategias didácticas que pueden favorecer los primeros acercamientos al sistema de numeración decimal.
Descripción. El cálculo mental es una de las tres formas principales de cálculo incluidas en los programas de educación primaria. Estas tres formas de cálculo, que incluyen el cálculo mediante algoritmos escritos y el cálculo con calculadora pueden complementarse, pero cada uno tiene sus propias ventajas y requiere de habilidades diferentes.
El cálculo mental, se caracteriza por el uso exclusivo de procesos mentales, no utiliza lápiz ni papel, ni se apoya en otros dispositivos como la calculadora o la computadora. Este cálculo puede ser exacto o estimado, pero las actividades incluidas aquí se refieren solamente al cálculo exacto.
Las estrategias usadas para realizar un cálculo mental dependen de las habilidades con las que se cuente para transformar los datos y las operaciones de la situación planteada, en otros datos y/o en otras operaciones que puedan ejecutarse mentalmente; estas estrategias son por lo tanto flexibles y personales, Por esta razón el instructor deberá dejar que cada profesor-estudiante genere su
propia estrategia de cálculo, de tal manera que se pongan a discusión en el grupo todas las estrategias generadas, aunque no se trata de uniformizar dichas estrategias sino de analizar las propiedades de los números y las operaciones que entran en juego en cada una de ellas.
Así, por ejemplo, en el ejercicio 1a) de la Actividad 4 se trata de calcular el producto de 125 y 24, el profesor-estudiante pudiera organizar el cálculo de alguna de las maneras siguientes, tan solo por mencionar tres de las posibles:
125 × 24
125 × (20 + 4)
125 × 20 + 125 × 4
(1000 × 0.125) × 24
1000 × 3
(100 + 25) × (24)
2400 + (25 × 24)
2400 + 25 × (25 – 1)
2400 + 625 – 25
2400 + 600
Cada una de estas estrategias requiere de habilidades distintas y de la familiaridad con propiedades numéricas diferentes, por ello, el instructor tendrá
que organizar el trabajo para que las diferencias entre una estrategia y otra quede en evidencia lo que cada una de estas estrategias requiere.
El cálculo mental tiene entre otras ventajas, las siguientes:
1. Es una herramienta indispensable para hacer estimaciones numéricas.
2. Permite una interpretación más significativa de los números con los que se está operando.
3. Mejora la comprensión de las propiedades y de la estructura del sistema numérico.
4. Ayuda a entender la reversibilidad de las operaciones aritméticas.
Tomando en cuenta estas ventajas, está claro que la enseñanza del cálculo mental no debe centrarse en la rapidez con la que se ejecuta, sino en mejorar la comprensión de las propiedades de los números y sus operaciones. Por otra parte, la resolución de problemas no es un proceso independiente de los recursos aritméticos utilizados para resolverlos y aquí el cálculo mental juega un papel importante en la medida que puede mejorar la comprensión del problema y enriquecer las significaciones de las relaciones entre las cantidades involucradas en el mismo.
En las actividades 3, 4 y 5, se plantean situaciones y operaciones que deben resolverse mentalmente, se consideran primero operaciones de suma y resta, posteriormente de multiplicación y división. Al final se concluye con una actividad integradora que incluye ejercicios más complejos sobre las cuatro operaciones aritméticas básicas.
Organización del trabajo. Se propone que los profesores-estudiantes resuelvan los ejercicios de cada actividad de manera individual. Luego se sugiere que el instructor solicite a cada equipo la selección de uno de los cálculos propuestos en las actividades; el equipo seleccionará, tres maneras diferentes de resolver el
cálculo seleccionado y se analizarán en el equipo las propiedades de los números y las operaciones que se utilizan en cada una de estas tres maneras distintas de hacer el cálculo. Una vez concluidas las tres actividades que conforman este grupo, un representante de cada equipo compartirá con el resto del grupo el análisis hecho por el equipo, sobre uno de los cálculos mentales realizados.
Discusión: Al concluir las actividades, se propone que los profesores-estudiantes intercambien opiniones al respecto de cómo los cálculos mentales están ligados a la significación de los resultados y a la solución de situaciones problemáticas, y se contrasten con otras opciones de cálculo, como serían los algoritmos realizados con lápiz y papel, o con calculadoras y computadoras. La discusión deberá también incluir el tema sobre las posibles estrategias de enseñanza del cálculo mental a los alumnos de primaria.
Descripción. Las investigaciones realizadas sobre los problemas de aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria, muestran que los alumnos enfrentan serias dificultades para adquirir los significados apropiados de las fracciones, por lo cual la enseñanza de este tema resulta un reto para los maestros de todos los grados escolares, pero principalmente a partir del tercer grado. Dichas investigaciones también indican que son muchos los factores que influyen para que esto sea así: la diversidad de significados que tienen las fracciones en función de los contextos en que se usan, las pocas experiencias que los niños tienen con ellas antes de iniciar su estudio en la escuela, el uso prematuro de la representación simbólica, el significado que tienen los números para los niños como consecuencia de sus experiencias previas trabajando con los números naturales, entre otros.
Dependiendo del contexto en el que aparezca, una fracción puede significar, una parte de un todo, una razón, un cociente de enteros, un operador o
una medida, por hablar de las significaciones principales con las que se trabaja en la escuela primaria. En las dos últimas actividades de esta sección se proponen situaciones problemáticas que ponen en juego algunas de estas significaciones.
En la actividad 6 se plantean dos problemas de reparto, planteando un contexto en donde una fracción representa la relación parte-todo. En un primer problema, dado el todo se busca la parte y luego se propone un problema “inverso” en donde dada la parte se busca el todo. En cambio en la Actividad 7 las fracciones aparecen como respuesta a problemas de medición, en donde se trata principalmente de comparar unas magnitudes geométricas con otras y expresar con fracciones estas comparaciones.
Organización del trabajo. Estas actividades se realizarán en forma individual y los equipos discutirán posibles variantes de las situaciones planteadas. Al final el instructor pedirá a un representante de cada equipo que ponga a consideración del grupo la versión modificada de alguna de las situaciones planteadas, resaltando las dificultades que la modificación introduce.
Discusión: Al finalizar estas actividades, los profesores-estudiantes deberán opinar sobre la necesidad de que el estudio de las fracciones contemple no sólo aspectos algorítmicos, sino fundamentalmente las posibilidades que ofrecen para interpretar y resolver situaciones problemáticas diversas, asociadas a diferentes significaciones para las mismas. Es importante que en esta discusión los profesores-estudiantes puedan mostrar situaciones problemáticas en donde las fracciones tengan una significación distinta a la que tienen en las dos actividades realizadas.
La comprensión de la organización espacial del mundo que vivimos requiere un aprendizaje que se puede sistematizar. El acercamiento al estudio de la Geometría se abordará a través de la observación, de construcciones de figuras, de la manipulación de sus elementos y de la búsqueda de relaciones, que se tratarán de argumentar y verificar.
34 Así, la finalidad de esta sección es promover el desarrollo de habilidades propias del pensamiento geométrico y la construcción de conocimiento a través de observaciones, manipulaciones, descripciones y argumentaciones. En general el ambiente propuesto es de juego y retos utilizando materiales manipulables. En dicho ambiente, las estrategias utilizadas en cada situación pueden diferir, y en este sentido, se aprovecha la diferencia (o coincidencia) para inducir las discusiones con base en argumentos que validen esas estrategias en términos de generalidad o economía.
La manipulación y construcción de figuras geométricas contribuirá a un conocimiento más elaborado sobre las mismas, pasando de las nociones fundamentalmente perceptivas a la conceptualización de las formas y figuras mediante la detección de regularidades y la consideración de elementos y relaciones.
Las habilidades que se busca desarrollar son de construcción de estrategias y conjeturas, así como de integración del “hacer” y “reflexionar” para poder producir argumentos propios que determinen su ámbito de validez.
Los retos que se plantean tienen un contexto lúdico a través de situaciones problemáticas en donde la manipulación o la estimación pueden ser el centro de la estrategia seleccionada.
Para el tratamiento de las actividades de esta sección, se estima que los tiempos en los que pueden cubrirse son los siguientes:
1 y 2. Doblado de papel .…………………………………………… 5 horas
3, 4, 5 y 6 Construcción ….……………………………….………. 3horas
7 y 8. Medición y cálculo de áreas …….………………….………. 2 horas
Descripción. Las actividades se inician a partir de un segmento dibujado en una hoja de papel translúcido. Se generan estrategias adecuadas para la construcción de: el punto medio, una línea perpendicular, una línea paralela y la mediatriz del segmento dado, solamente apoyándose en el doblado del papel. La finalidad es que cada vez que una estrategia dé el resultado esperado, se argumente por qué sí funciona y si funcionaría en general.
Las definiciones que se proporcionan están en calidad de información para dar seguimiento a las actividades que las requieren. No se pretende que se memoricen. Si el resultado de algún trazo resulta “equivocado”, el instructor deberá asegurarse qué interpretación se le ha dado a esa definición, promoviendo la discusión sobre ella.
Más adelante se les solicita a los participantes que tracen las tres mediatrices, medianas, bisectrices y alturas en cuatro triángulos diferentes, como los que se muestran a continuación, con la finalidad de que aseguren la funcionalidad de su estrategia.
Sugerencia: Puede ser conveniente que entre los integrantes del equipo se dividan el trabajo. También es conveniente que en un triángulo sólo realicen un tipo de trazo pues, si se intentan todos, los dobleces pueden confundir demasiado su referencia.
Esta actividad lleva implícita una situación de estudio adicional acerca de las características de los puntos de concurrencia (circuncentro, baricentro, incentro, ortocentro). A juicio del instructor, él (ella) puede tomar la iniciativa de inducir el estudio de los que considere convenientes, mencionarlos como información o dejar como tarea su investigación. Este punto puede ser retomado posteriormente para ser analizado con el uso de tecnología, particularmente con software de geometría dinámica.
Material. Hojas sueltas de papel translúcido (al menos 20 hojas) para cada uno de los participantes.
Organización del trabajo. El material se reparte para trabajar individualmente, aunque pueden estar en equipos de dos a cuatro personas. El instructor promueve la discusión grupal en cada actividad, particularmente después de cada uno de los trazos requeridos.
Discusión. Se sugiere que después de cada trazo se compartan, en forma grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los argumentos utilizados para conjeturar su generalidad, se logre algún acuerdo sobre la o las que se consideren más adecuadas.
Actividades 3, 4, 5 y 6
Descripción. Esta es una secuencia que está organizada para que una experiencia inicial de construcción de una torre (Actividad 3), se vea impactada por los resultados que se obtendrán al analizar propiedades de cuadriláteros y de triángulos (Actividades 4 y 5), de tal manera que al construir de nuevo la torre en un segundo intento (Actividad 6), se logre poner en evidencia cómo el conocimiento geométrico –en este caso la propiedad de rigidez de los triángulos- determina la estabilidad de la torre construida.
Es fundamental que no se den orientaciones sobre la construcción de la torre a los equipos, pues serán las estrategias espontáneas que se pongan en juego las que justamente le darán sentido a la secuencia de estas cuatro actividades. Nos parece también importante señalar que el ambiente de competencia entre equipos para lograr construir la torre más alta (que se mantenga estable), uniendo palillos con bombones, en un tiempo de 15 a 20 minutos, genera mucho entusiasmo. Los participantes se sienten “fuera de clase”, es decir, están jugando a ganar utilizando su ingenio. Resulta favorable aprovechar “el fracaso” de mantener las torres erguidas y mantener el ambiente de juego (dar premios, tomar fotos, etc.). Se discute lo que funcionó mejor para lograr la mayor altura y lo que no funcionó.
Cuando se abordan las Actividades 4 y 5 las torres se dejan por un lado, como si se pasara a otra cosa. Es hasta que se han hecho suficientes reflexiones sobre las propiedades de las figuras estudiadas cuando el instructor pide que de
nuevo retomen el reto de volver a construir su torre y seleccionar un equipo ganador. Es aquí en donde se verá si efectivamente las reflexiones hechas acerca de la rigidez del triángulo se asumen como un conocimiento funcional para enfrentar dicho reto.
Por otra parte, en sí mismas las Actividades 4 y 5 dan lugar a diversas situaciones en donde la observación, las conjeturas, los argumentos, las descripciones y el enunciado de definiciones cobran especial importancia. Todas estas acciones son componentes importantes del pensamiento matemático en general y del geométrico en particular.
Material. Se necesitarán palillos de dientes y bombones miniatura como conectores. Tiras acoplables. Estas pueden hacerse de cartoncillo, madera, plástico, etc., aunque serán proporcionadas como material recortable.
Organización del trabajo. Se trabaja en equipos de dos a cuatro personas que permanecerán durante toda la secuencia. Durante la construcción de las torres el instructor asume el papel de juez imparcial que otorgará o no premios. Durante las Actividades 4 y 5 los equipos trabajarán sobre las actividades escritas usando el material propuesto y el instructor será el guía de las discusiones. Durante la Actividad 6 el trabajo independiente en cada equipo es importante, la comparación de las torres finalmente construidas de nuevo, se plantea como la situación que detone la oralización de las reflexiones hechas.
Discusión. Las preguntas que se encuentran en las actividades pueden servir de guía para el instructor al terminar la construcción de la torre por primera vez. En las Actividades 4 y 5 se puede solicitar que cada equipo lea en voz alta la regla que escribió para determinar si es posible o no construir un cuadrilátero o un triángulo dadas las longitudes de cuatro o tres segmentos respectivamente y propiciar la discusión en todo el grupo sobre las diferentes maneras de enunciarla. Igualmente es conveniente promover la discusión permanente entre equipos conforme van avanzando en las actividades. Finalmente las preguntas hechas en la Actividad 6 pueden ser la guía para la discusión grupal una vez que se han respondido al interior del equipo.
Actividades 7 y 8
Descripción. La finalidad de estas actividades es promover la reflexión sobre lo que significa medir, identificando algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud y superficie. Se utilizarán, de inicio, unidades no estándar, para posteriormente dar paso a la discusión de las convenciones establecidas en la determinación de unidades de medición.
Las actividades están diseñadas para mostrar una manera de construir el concepto de medición de forma significativa, ayudando a los participantes a establecer estrategias de cálculo y/o propuestas de algoritmos para la determinación de perímetros y áreas. Se insiste en evitar el uso de fórmulas pre- establecidas a cambio de que sus estrategias los lleven a establecer una regla general que podemos llamar fórmula, y que en este caso cobran sentido.
En pocas palabras, hemos de procurar siempre que los procedimientos heurísticos precedan a todo formalismo. Así, el cubrir totalmente una superficie con una figura conocida estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del área de una superficie. Una vez establecidas las reglas para el
cálculo del área de un cierto tipo de superficies (como podría ser un rectángulo) y entendiendo el área como la medida del espacio encerrado en una figura plana, y mediante la descomposición de una figura en otra a manera de rompecabezas, se podrán establecer reglas para la determinación del área de otro tipo de figuras. Algo similar puede hacerse para la determinación de longitudes y volúmenes.
Nos parece importante enfatizar que se le ponga especial atención al cálculo del área de los triángulos formados dentro de los tres polígonos en la Actividad 8. Generalmente los profesores asumen que la altura (apotema del polígono) una vez calculada para uno de ellos (nótese que no todos tienen idea de cómo calcularla), va a ser la misma para todos en los demás polígonos. La discusión puede orientarse incluso a que reflexionen si cuando dejan como ejercicio calcular el área de un polígono regular de n número de lados con determinada longitud, cualquier medida de apotema es posible.
Material. Para la Actividad 7 se requiere un juego por participante de los triángulos rectángulos que se muestran a continuación. Se recomienda algún material colorido y rígido. La reproducción debe mantener las medidas exactas para el éxito de la actividad: El instructor deberá asegurarse que el material recortable del participante sea exacto.
Para la Actividad 8 se requiere un juego de dos o tres hojas de papel bond y tijeras, por participante.
Organización del trabajo. El material se reparte para trabajar individualmente, aunque pueden estar en equipos de dos a cuatro personas. El instructor promueve la discusión grupal en cada actividad.
Discusión. Se sugiere que conforme avanzan en las actividades, se compartan, en forma grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los resultados expresados se establezca la diferencia entre medir y calcular.
Enfatizamos que al finalizar las actividades será necesario promover las reflexiones entre los participantes acerca de:
Lo que aprendieron: No solamente conceptos o definiciones, sino el tipo de “trabajo geométrico” que realizaron en términos de las habilidades específicas que cada tarea demandó, por ejemplo, en cuanto a la necesidad de visualizar propiedades de las construcciones hechas, junto a la capacidad de buscar estrategias y argumentos para validarlas y determinar su generalidad. Cómo lo aprendieron: Los procesos que cada quién tuvo que realizar para aprender. Por ejemplo, cómo usaron o relacionaron lo que ya sabían, el papel que jugaron las actividades propuestas, los materiales y el ambiente de intercambio de opiniones que se propició, entre otros. Cómo se les “enseñó”. El papel que jugó el (la) instructor(a). ¿Qué hizo?
El presente material está diseñado para apoyar el desarrollo de las actividades de la sección denominada “Datos y Azar”, y a través de él se pretende incidir en la actualización de profesores en lo referente a la enseñanza de los ejes “La Predicción y el Azar” y “Tratamiento de la Información”, contemplados en la educación matemática prevista para la escuela primaria, que tratan ideas, nociones y conceptos así como situaciones o fenómenos de esa naturaleza.
Los contenidos matemáticos involucrados en estos ejes corresponden a la Estadística y/o a la Probabilidad, disciplinas matemáticas entre las que existe una relación complementaria, correspondiendo a la Probabilidad, la mayoría de las
42 veces, el papel de sustento de la Estadística. En la actualidad, las múltiples aplicaciones de dichas disciplinas invaden prácticamente todos los campos de actividad humana y su amplio reconocimiento social es constatado por su creciente presencia en comunicaciones de índole periodística, en el mercado laboral y en el ambiente cultural.
Por tal motivo la promoción de su aprendizaje en todos los niveles educativos escolares, deviene en una imprescindible meta de carácter cultural y, por lo tanto, la pertinencia de que los profesores del nivel básico dispongan de los medios que les permitan revisar y ponerse al día tanto en los conocimientos como en los recursos didácticos que demanda su ejercicio profesional en lo referente a estos ejes, es de fundamental importancia.
De igual forma, no es suficiente que los profesores hayan desarrollado nociones del enfoque que se propone para el tratamiento didáctico de estos
contenidos, sino que es imprescindible que estén convencidos tanto de su pertinencia como de su eficiencia para lograr los objetivos en la educación matemática. Para eso consideramos estratégico que los profesores-estudiantes experimenten ser sujetos de aprendizaje en el tratamiento didáctico de los contenidos de estos ejes -con esta metodología- reflexionando acerca de sus propias acciones en las actividades realizadas, para comprender lo que es lograr un aprendizaje significativo, al implementar un aprendizaje tal y como lo hace un profesional de la Estadística. Asimismo, que los profesores-estudiantes reconozcan la importancia de la reflexión de los resultados obtenidos, en el papel de la comunicación y socialización en el aprendizaje, así como en la identificación y superación de una dificultad de aprendizaje.
Con estas consideraciones nos planteamos como objetivo general de la sección: Que los profesores-estudiantes desarrollen comprensiones acerca de la problemática en el tratamiento didáctico de las ideas que permiten describir y explicar el comportamiento de fenómenos ligados al azar y acerca de los métodos y técnicas para la obtención de nueva información a partir de la que se tiene; de acuerdo a las planificaciones curriculares para ese nivel educativo.
El objetivo general de esta sección se logrará si se alcanzan los siguientes objetivos específicos:
1. Ampliar sus conocimientos sobre las diferentes características de los datos y la forma en que éstos se articulan en las diferentes técnicas y métodos estadísticos que permiten caracterizar el comportamiento de una variable estadística. Adicionalmente, reflexionar sobre los significados de estas técnicas y la forma en que pueden ser tratados didácticamente en la escuela primaria. 2. Ampliar sus conocimientos sobre aquellos aspectos que permiten caracterizar a los fenómenos azarosos y sobre los elementos que permiten representar su variación, desarrollando criterios que le
permitan adecuar estos aspectos y elementos para que puedan ser tratados didácticamente en la escuela primaria. 3. Realizar una revisión crítica de la forma en que se propone sean tratados didácticamente estos contenidos en las consideraciones curriculares para la escuela primaria, así como de los materiales de apoyo a esas actividades.
La distribución de tiempos estimados para el tratamiento didáctico en cada uno de las actividades de la sección “Datos y Azar” es la siguiente:
Actividad 1.- Información general del profesor-estudiante
……………… 2.- Antes del lanzamiento de monedas ………………….………. Una hora
Tiempo estimado Dos horas y media
3.- Experimentando con Monedas …………
4.- Experimentando con monedas dobladas …….…………
5.- Haciendo pulseras ………
……………………………… 6.- Utilizando cuentas del mismo color
Actividad 1 Información general del profesor–estudiante
Descripción. Esta primera actividad es un ejemplo del tipo de actividades didácticas que se recomiendan para un curso introductorio donde se traten estos contenidos, ya que los contextos de la situaciones problemáticas que se plantean son bien conocidos por los alumnos del mismo o, al menos, son fáciles de evocar por ellos. Esto permite que se sientan más en confianza para recurrir a sus creencias e intuiciones para emitir sus respuestas y, en ese sentido, facilitan el trabajo del profesor en cuanto la detección de las dificultades para la comprensión de los contenidos estadísticos.
Un aspecto que debe resaltarse es que la recopilación de datos es en si misma una actividad de la que llamamos Tratamiento de la Información y que uno de los instrumentos de recopilación de datos es la encuesta, por lo cual en los libros de texto de de la escuela primaria se proponen lecciones que acerquen a los niños al tratamiento de la información desde la fase de recopilación. Es importante que el instructor promueva estas reflexiones en sus grupos. Tomando en cuenta que el objetivo de esta actividad es que los profesores- estudiantes usen algunas técnicas de la metodología estadística para obtener nueva información a partir de la información con que se cuenta, las situaciones problemáticas planteadas en esta actividad están dirigidas a que los profesores- estudiantes pongan en juego características de los datos, las cuales nos permiten describir el comportamiento de la variable estadística que se trate.
Por ejemplo: En las preguntas 2, 3 y 4, se trata de encontrar valores de ciertas características de los datos como frecuencias de valores de variables, mientras que en la pregunta 2 el problema se restringe a eso, en la pregunta 3 tiene que combinarse con el valor relativo de los datos (años de servicio) para responder la tarea; en la pregunta 4 se plantea una situación similar, donde además deben considerar el total de datos (total de profesores entrevistados); aunque en estas preguntas no se problematiza en qué sentido estas características permiten describir el comportamiento de las variables en cuestión, como en la pregunta 5.
De acuerdo a como están planteadas las situaciones problemáticas de la Actividad 1, podemos abordarlas de acuerdo a diferentes estrategias didácticas, entre las que sugerimos:
Problematizar la forma en que se pueden frasear ciertas características de los datos de acuerdo al contexto; tal es el caso de las preguntas 1, 2, 3, 8, 10, y 12. La principal dificultad que se enfrentaría es la poca información o formación de las personas acerca de las nociones y criterios estadísticos.
Plantear preguntas que se centren en la explicación del comportamiento de ciertas características de un conjunto de datos, en términos del comportamiento de otras características de los mismos; esto se puede lograr con el planteamiento de las preguntas 4, 7 y 13. En este caso, la principal dificultad que se presenta es la articulación de diferentes características de los datos para explicar el comportamiento de otra de esas característica. Profundizar en la resolución de problemas tan abiertos como los que significan preguntas tales como la 5, la 7, la 9, las cuales pueden incluir preguntas como las de los puntos anteriores. Aparte de las anteriores en este caso la principal dificultad es la metodología propia de la Estadística, donde ésta se concibe como una disciplina que se centra más en el comportamiento de conglomerados de datos, que en comportamientos particulares.
Por supuesto que estas diferentes estrategias pueden ser complementarias, pero de ninguna manera se recomienda un tratamiento lógico secuencial en cuanto al grado de complejidad (en la página Web puede encontrar recomendaciones estratégicas más específicas).
centrarán en:
La coincidencia de las soluciones individuales. Los argumentos que justifican las respuestas emitidas. El sentido en que las respuestas obtenidas significa la obtención de nueva información a partir de la información con que se cuenta.
Mientras que las actividades de cierre deben centrarse en:
La información que provee cada uno de los resultados obtenidos; donde el instructor puede aprovechar para informar el nombre de la característica en cuestión. Por ejemplo: Frecuencia, frecuencia relativa, total de datos, valor, valor relativo, rango o recorrido, moda, etc. La forma sistemática en que son estudiados los datos de acuerdo a las técnicas y métodos de la estadística.
Actividad 2 Antes del lanzamiento de Monedas
Descripción. Las situaciones problemáticas que se plantean en ésta corresponden a una actividad típica donde lo que se pretende es establecer los puntos de partida, en lo que a contenidos se refiere. En este caso, con respecto a aquellas ideas y conceptos que nos permiten describir y explicar los fenómenos aleatorios, llamadas por algunos autores ideas básicas o ideas fundamentales, a saber: Espacio Muestra, Espacio de Eventos, Combinatoria, Medida de Probabilidad, Independencia, Variable Aleatoria.
El propósito de esta actividad no es sólo que los profesores-estudiantes pongan en juego sus intuiciones y concepciones acerca de estas ideas fundamentales y acerca de aquellas ideas y elementos que permiten caracterizar y representar a estas ideas fundamentales sino que, también, el instructor detecte aquellas ideas erróneas que son persistentes y las que tienden a desaparecer con este tipo de actividades.
Discusión. Las discusiones grupales, ya sea por equipos o en plenarias, se centrarán en contrastar tanto las soluciones emitidas como las argumentaciones y justificaciones de las mismas, tomando como base:
La coincidencia en las respuestas individuales
La reflexión acerca de qué ideas perduran, cuáles cambian y en qué sentido. Las nuevas ideas y elementos que surgen en el desarrollo de esta actividad. Aquellas que resultan más polémicas.
El instructor puede decidir aplicar el cuestionario completo y realizar los tratamientos didácticos planteados, o bien aplicar bloques de preguntas escogidas referentes a una de las ideas fundamentales.
Actividad 3 Experimentando con monedas
Descripción. El objetivo principal de esta actividad es abordar una idea experimental de la medida de probabilidad, a partir de estudiar el comportamiento de las características de los datos observados.
Esta actividad gira alrededor de una de las ideas fundamentales que ha sido discutida en la actividad anterior. En este caso, la actividad se centra en abordar la idea de probabilidad de manera experimental, respaldada teóricamente en la Ley de los Grandes Números, así como en la observación del comportamiento estadístico de una variable y se desarrolla a partir de las comprensiones acerca de las características de las observaciones de los experimentos que describen ese comportamiento. Particularmente: Frecuencias, Frecuencias Relativas, Frecuencias Relativas Acumuladas y la estabilidad de estas últimas.
Para esta actividad se recomienda:
Desarrollar las tareas de los puntos 1 y 2 en equipos de dos personas centrándose en el problema de calcular los valores observados de las
características mencionadas y la gráfica de las mismas, con respecto al número de observaciones. Responder los cuestionamientos del punto 3 en grupos formados por 2 ó 3 equipos, al comparar el comportamiento de las gráficas obtenidas.
Discusión. La discusión en una reunión plenaria se centraría en desarrollar la idea de estabilidad, de los valores de las frecuencias relativas acumuladas alrededor de un valor y la relación de este valor con las ideas discutidas en la actividad anterior. Para la actividad de cierre se recomienda usar simuladores de experimentos aleatorios, preferentemente de juegos de azar, para centrar la discusión en las ideas de probabilidad y azar.
Materiales. Aparte del Material del Participante, monedas de 20 ó 50 centavos (una por cada dos estudiantes)
Actividad 4 Experimentando con monedas dobladas
Descripción. El propósito de ésta es reforzar el concepto de probabilidad tratado en la Actividad 3, para que surja como la idea predominante en la interpretación de esa medida.
Las situaciones problemáticas, así como las estrategias didácticas sugeridas son esencialmente las mismas, salvo algunos cuestionamientos que se retoman de la Actividad 2.
Discusión. Se recomienda centrar la actividad de cierre sobre la relación entre condiciones equitativas de los juegos y las condiciones de equiprobabilidad. Para este caso se recomienda el uso de simuladores de juegos de azar, en los que se puedan manipular los diferentes parámetros. Es importante señalar que la
discusión aquí descrita no se limita a la Actividad 4. Se trata de integrar las inquietudes surgidas a lo largo de las Actividades 2, 3 y 4, en una sola discusión que las tome en cuenta.
Materiales. Aparte del Material del Participante, monedas de 20 ó 50 centavos dobladas (una por cada dos estudiantes).
Actividades 5 y 6 Haciendo pulseras/Utilizando cuentas del mismo color
Descripción. El propósito de estas actividades es que el profesor-estudiante experimente la necesidad de comprender los aspectos relacionados con el lenguaje y la notación matemática en el desarrollo de comprensiones de los conceptos alrededor de la combinatoria, una de las ideas fundamentales ligadas al azar.
Las actividades giran alrededor de resolver problemas combinatorios de acuerdo al modelo de colocación, en contraste con los modelos de extracción y partición. Se mantiene fija la relación “igual número de lugares que de objetos”, diferenciándose la Actividad 5 de la Actividad 6, porque en la primera no hay repetición. De esta manera lo que se problematiza en la Actividad 5 es el orden. En el caso de la Actividad 6, se trata tanto del orden como de la repetición.
Otra diferencia entre las dos actividades es que en la primera de ellas sólo se pide la lista de acomodos, mientras que en la segunda algunas de las tareas incluyen el conteo del total de esos acomodos. De acuerdo a nuestra experiencia, la dificultad principal para la realización de las diferentes tareas consiste en distinguir los acomodos, condición necesaria para obtener el total de ellos; la estrategia consiste en contar con una forma adecuada de representar a los arreglos, independientemente de que haya repetición o no.
Se recomienda que en ambas actividades, las situaciones problemáticas sean resueltas una por una de manera personal por los profesores-estudiantes. Posteriormente, en la discusión por equipos y grupal, debe promoverse la introducción de la notación combinatoria.
Discusión. En las actividades de cierre se recomienda que el profesor introduzca las notaciones para los modelos combinatorios en juego y los que les sirven de contraste; asimismo, que el instructor encauce la discusión hacia la relación de la combinatoria con los fenómenos aleatorios.
Materiales. Aparte del Material del Participante, listón de 20 cm. de largo 5 canutillos de diferentes colores (o equivalentes) para la construcción de pulseras (por cada 3 estudiantes).
Actividad de Cierre de la Sección. El instructor deberá encausar esta discusión hacia las relaciones entre las Ideas básicas que se trataron en las diferentes actividades de esta sección; sobre todo en términos del concepto Espacio de Probabilidad.
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