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Conceptos de Cinemática Franklin ErazoCargado por ferazo9760Related InterestsVelocityAccelerationMotion (Physics)Euclidean VectorKinematicsRating and Stats0.0 (0)Document ActionsDescargaShare or Embed DocumentInsertarDescripción: Descripción formal de los conceptos fundamentales de la CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Realizado por: Fis. Franklin Erazo MSc. ferazo@ups.edu.ec Notas de Clase del Curso de Física de 1er año Ingenierí...Ver másDescripción formal de los conceptos fundamentales de la CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Realizado por: Fis. Franklin Erazo MSc. ferazo@ups.edu.ec Notas de Clase del Curso de Física de 1er año Ingeniería de Sistemas Universidad Politécnica Salesiana Campus Sur de Quito-Ecuador Resumen: Se definen de manera formal (utilizando el cálculo diferencial e integral como herramienta) los conceptos de la cinemática como posición, velocidad, rapidez, aceleración media, etc. y se aplican estasCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentFISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag.1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA Fis. Franklin Erazo MSc. ferazo@ups.edu.ec Notas de Clase del Curso de Física de 1er año Ingeniería de Sistemas Universidad Politécnica Salesiana Campus Sur de Quito-Ecuador Resumen: Se definen de manera formal (utilizando el cálculo diferencial e integral como herramienta) los conceptos de la cinemática como posición, velocidad, rapidez, aceleración media, etc. y se aplican estas definiciones en ejercicios del movimiento unidireccional INDICE: CAPÍTULO 2 CINEMATICA DE LA PARTÍCULA 2.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES 2.2 CÁLCULO DE LA POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO 2.3 TIPOS DE MOVIMIENTOS Y ECUACIONES ACTUALIZADO: AGOSTO 2010 FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 2 CAPÍTULO 2 CINEMÁTICA DE LA PARTICULA A continuación se presentan definiciones formales de todos los conceptos fundamentales de la cinemática. Léanse con atención. 2.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES 1) PARTÍCULA Es un modelo teórico. Geométricamente se la representa por un punto y sirve para representar a objetos “pequeños” (relativo a su contexto de estudio). Ejemplo: Un avión en la ruta transatlántica SI se considera una partícula. Un avión estacionado en un aeropuerto NO se considera una partícula. 2) CINEMÁTICA Es una rama de la mecánica que se dedica al estudio y descripción geométrica del movimiento de partículas, es decir sin indagar acerca de las causas que generan el movimiento. 3) SISTEMA DE REFERENCIA Es un conjunto formado por tres ejes imaginarios llamados frecuentemente x, y, z perpendiculares entre sí, en cuya intersección llamada O se ubica el observador (quien mide) del movimiento. fig. 2.1 4) RADIO VECTOR (O VECTOR DE POSICIÓN) ሺrԦ
ሻ Es un vector especial cuyo origen (cola) coincide con el origen del sistema de referencia y su punta coincide con la partícula en observación en un instante dado. fig. 2.2 5) EL MOVIMIENTO Es un fenómeno natural que sufren los objetos permanentemente debido a su cambio de posición en el transcurso del tiempo. Considere una partícula m que se halla en el punto A al tiempo t
, después de un tiempo ∆t, la partícula se hallará en el punto B al tiempo t
. fig. 2.3 Entonces la siguiente proposición en cierta: Si ሺt
ሻ y ሺrԦ
≠ rԦ
ሻ la partícula m experimentó el fenómeno del movimiento. Nótese que la correspondiente proposición recíproca no es cierta. Objeto Contexto Objeto Contexto FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 3 6) REPOSO Estado contrario al del movimiento. Es solamente un estado imaginario, es decir, es una suposición relativa al observador. 7) TRAYECTORIA ( ) S Es el lugar geométrico que determina el vector de posición al señalar los puntos del espacio mientras hace un seguimiento en el movimiento de una partícula. Se nota con la letra S. fig. 2.4 8) FUNCIÓN VECTORIAL DE POSICIÓN ݎԦሺݐሻ Es un conjunto infinito de radio vectores que generan la trayectoria en el transcurso del tiempo. Cuando ésta función depende espacialmente del tiempo tienen la forma: fig.2.5 Ejemplo: ݎԦሺݐሻ ൌ ݐଓԦ ൅ ݐ
ଔԦ െ
ݎԦሺ1ሻ ൌ ଓԦ ൅ଔԦ െ݇
(cuando t=1 s)
ݎԦሺ2ሻ ൌ 2ଓԦ ൅ 4ଔԦ െ
(cuando t=2 s) 9) CAMINO RECORRIDO( ) S
Y ARCO DE TRAYECTORIA ( ) S
Camino recorrido o longitud de trayectoria ( ) S
es justamente la longitud de la trayectoria del movimiento de una partícula. Se mide a manera de una coordenada desde un punto de referencia arbitrario ( ) P sobre la trayectoria, con signo positivo a partir de P en el sentido del movimiento y con signo negativo al contrario. El arco de trayectoria ( ) S
∆ es un tramo del camino recorrido medido sobre la trayectoria. fig. 2.6 Debido a que un arco que subtiende a una cuerda, es siempre mayor a esta, se concluye que r S ∆ ≥ ∆
− = ∆ (ver figuras 2.6 y 2.7) fig. 2.7 Indica el
S (Trayectoria)
ݎԦሺݐሻ ൌ ݔሺݐሻଓԦ ൅ ݕሺݐሻଔԦ ൅ ݖሺݐሻ݇
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 4 10) DESPLAZAMIENTO ሺ∆ݎԦሻ Es un vector que indica el cambio neto de posición de una partícula. Si una partícula sale del punto A y llega al punto B, el desplazamiento es un vector que nace en A y llega a B en línea recta, sin importar la trayectoria. fig 2.8 Notación: ሺ∆ݎԦሻ ൌ ݎԦ
൅ ∆ݎԦ ൌ ݎԦ
∆ݎԦ ൌ ݎԦ
െ ݎԦ
11) VELOCIDAD MEDIA ሺݒԦ
ሻ Es un vector de velocidad constante para un movimiento ficticio, idealizado sobre el desplazamiento. Es un promedio estadístico de velocidad. fig.2.9 Se define como: , Donde A B
12) RAPIDEZ MEDIA ( )
v Es el módulo de la velocidad media. Ejm: Al decir que un tren viaja con una rapidez media de 50 km/h, se entiende que esta es la rapidez constante con la que viajaría un tren imaginario simultáneamente en línea recta sobre el desplazamiento real. 13) CELERIDAD MEDIA ( )
C Es un escalar, es un promedio estadístico de rapidez constante para el movimiento ficticio de una partícula idealizado sobre la trayectoria. Se define como la relación entre el arco de trayectoria S
∆ y el intervalo de tiempo t ∆ . Ejemplo: Al decir que un tren viaja con una celeridad media de 30 km/h, se entiende que ésta es la rapidez constante con la que viaja un tren ficticio simultáneamente sobre la trayectoria. Observación Para un mismo movimiento, se tiene que m m
C v ≤ . Particularmente en el movimiento rectilíneo se tiene que m m
C v = . 14) VELOCIDAD INSTANTÁNEA O VELOCIDAD ሺ࢜ሬሬԦሻ Es un vector de velocidad que indica la velocidad que tiene una partícula en un instante dado. Convencionalmente, éste vector es dibujado siempre tangente a la trayectoria. fig 2.10 x
" t " B
ݒԦ
∆ݎԦ
∆ݐ
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 5 Se calcula como el límite al cual converge la velocidad ࢜ሬሬԦ
cuando 0 → ∆t . Explicación: Considere la figura 2.11. Imagine que se calcula ݒԦ
despues de observar el movimiento de una partícula durante ∆ݐ
. Si el intervalo de observación se acorta a ∆ݐ
, se obtiene ݒԦ
, luego ݒԦ
௠ଷ
, y asi sucesivamente. La figura 2.11 muestra como las velocidades medias se “parecen” cada vez más a ݒԦ Esto explica el significado del anterior límite. fig. 2.11 15) FUNCIÓN VECTORIAL DE VELOCIDAD INSTANTÁNEA ሺ࢜ሬሬԦሻ Es un conjunto infinito de vectores de velocidad instantánea que se van generando al transcurrir el tiempo. Se calcula como la derivada de la función vectorial de posición ௗ௥Ԧ
puesto que: lim
∆௧՜଴
ൌ lim
଴ ∆ݐ
Si se define: ൝
ൌ ݎԦሺݐሻ ; ݎԦ
ൌ ݎԦሺݐ ൅ ∆ݐሻ
ൌ ݐ ; ݐ
ൌ ݐ ൅∆ݐ
Entonces Este último límite especial se conoce con el nombre de “derivada temporal” de la función ( ) t r . Se nota: ݒԦ ൌ
ௗ௥Ԧሺ௧ሻ
ൌ ݎԦ
ሺݐሻ Ejemplo: ݒԦሺݐሻ ൌ ݐ ଓԦ ൅ √ݐଔԦ െ ݁
ݒԦሺ1ሻ ൌଓԦ ൅ ଔԦ െ ݁݇
ݒԦሺ0ሻ ൌെ݇
(cuando t=0 s) 16) RAPIDEZ INSTANTÁNEA O RAPIDEZ ( ) v Es el módulo de la velocidad instantánea y corresponde a la rapidez que tiene la partícula en un instante dado de tiempo. Se calcula como Es decir que es el tamaño al cual converge la longitud del vector ݒԦ
cuando 0 → ∆t es decir, el módulo del vector velocidad instantánea. En general, cuando se tiene una función vectorial de velocidad ( ) t v
, se puede obtener una función escalar de rapidez según la expresión: ( ) ( ) ( ) ( ) t v t v t v t v
+ + = donde la función ( ) t v
está dada por ݒԦሺݐሻ ൌݒ
ሺݐሻଓԦ ൅ݒ
ሺݐሻଔԦ െ ݒ
ሺݐሻ݇
Ejemplo: ݒԦሺݐሻ ൌ െݐ ଓԦ ൅ ݐ
ଔԦ െ3݇
(es la función vectorial de la velocidad instantánea) ݒሺݐሻ ൌ √ݐ
൅ ݐ
൅ 9 (es la función modulo o escalar de rapidez instantánea) ݒሺ1ሻ ൌ √11 ೘
(por ejemplo, cuando t=1 s) 17) CELERIDAD INSTANTÁNEA O CELERIDAD (C) Es el escalar C, definido como el limite al cual converge la celeridad media cuando 0 → ∆t Su valor numérico coincide con el de rapidez puesto que bajo la operación limite de la variable t ∆ , es cierto que r S ∆ = ∆ , por tanto se tiene que: La figura 2.12 muestra geométricamente este límite. Allí se ven varias celeridades medias medidas sucesivamente acortando el intervalo de observación. Se entiende que en el límite, la longitud de arco mide lo mismo que la cuerda que se subtiende. x
" t " 4
" t " 3
" t " 2
" t " 1
" t " 4 " t " 3 " t " 2 " t " 1 < < <
࢜ሬሬԦ ൌ ܔܑܕ
∆࢚՜૙
࢜ሬሬԦ
ݒԦ ൌ lim
ݎԦሺݐ ൅ ∆ݐሻ െ ݎԦሺݐሻ
ݒ ൌ lim
ܥ ൌ lim
ݒ ൌ ܿ FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 6 fig. 2.12 18) ACELERACIÓN MEDIA (ࢇሬሬԦ
) Es un vector de aceleración constante que cuantifica el ritmo constante del cambio de velocidad para un movimiento imaginario uniformemente variado idealizado sobre el desplazamiento. Es un promedio estadístico de aceleración. Se define como: donde ∆ݒԦ ൌ ݒԦ
െݒԦ
y ∆ݐ ൌ ݐ
െ ݐ
. Esta definición se ilustra en la figura 2.13, en este esquema se muestra como el movimiento imaginario MRUV sobre el desplazamiento A-B, ocurre con una aceleración constante ܽ
ሬሬሬሬሬԦ fig. 2.13 19) ACELERACIÓN INSTANTÁNEA ( a a
= ) Es un vector de aceleración que indica la aceleración que tiene una partícula en un instante dado. Convencionalmente este vector siempre apunta al interior de la curva. Se calcula como el límite al cual converge el vector ܽԦ
cuando 0 → ∆t , Es decir: etc t t ...... t
> ∆ > ∆ > ∆ fig. 2.14 En la figura 2.14 se muestra como al reducir el intervalo de tiempo de observación ∆ݐ, los vectores ܽԦ
, ܽԦ
, etc., se parecen cad vez mas al vector ܽԦ. Esto explica el significado del anterior limite. 20)FUNCIÓN VECTORIAL DE ACELERACIÓN ) (t a
Es un conjunto infinito de vectores de aceleración instantánea que se van generando al transcurrir el tiempo, se calcula como la derivada temporal de la función de velocidad ) (t v
puesto que: ܽԦ ൌ lim
∆ݒԦ
Si se considera que: ∆ݒԦ ൌ ݒԦ
െ ݒԦ
y que ∆࢚ ൌ ࢚
donde se define lo siguiente: ݒԦ
ൌ ݒԦሺݐሻ ݒԦ
ൌ ݒԦሺݐ ൅ ∆ݐሻ ݐ
ൌ ݐ ݐ
ൌ ݐ ൅ ∆ݐ entonces se tiene que: Este último límite especial se conoce con el nombre de “Derivada temporal” de la función ) (t v
Notación: ࢇሬሬԦ
∆࢜ሬሬԦ
ܽԦ ൌ lim
ݒԦሺݐ ൅ ∆ݐሻ െݒԦሺݐሻ
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 7 k 4 - j 3 i 2 (2) a
k - 3 ) 1 (
t - 3 ) (
k j i t t a
Observación: No existen palabras especiales para nombrar los conceptos de “Módulo de aceleración media”, ”Módulo de Aceleración”, “Variación de celeridad en el transcurso del tiempo”. Nótese que como conclusión del hecho que bajo la operación 0
→ ∆t
, se tiene que: t
2.2 CÁLCULO DE LA POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO CÁLCULO DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN A PARTIR DE LA POSICIÓN En el caso del movimiento rectilíneo, puede obviarse la notación vectorial sin riesgo de confusión, puesto que para los valores de función vectorial de posición, de velocidad y de aceleración, la dirección resulta implícita mientras que el sentido está dado por los signos de las respectivas funciones escalares. Si suponemos un movimiento rectilíneo variado en general a lo largo del eje x, tenemos las siguientes ecuaciones escalares: Posicion Función de = x(t) Rapidez Media t
∆ ∆ 0 → 0 →
lim lim Si se define x -
x x = ∆ ; donde 0
x(t) x = y ݔ
ݔሺݐ ൅ ∆ݐሻ
se tiene: Esta última expresión es la Rapidez Instantánea, es la definición de la derivada temporal de la función ) (t x , por lo tanto Si se analiza gráficamente el movimiento rectilíneo variado en general se tiene que la rapidez (v) en un instante (t) dado, es la pendiente de la recta tangente a la curva x vs t, este valor es el limite al que converge la pendiente de la recta secante (Rapidez Media), cuando 0 → ∆t fig. 2.15 En los triángulos rectángulos indicados se tiene que: m
Si se imagina que sistemáticamente se acorta el intervalo ∆t
de observación, resulta claro que: v
d x(t) - t) (t
v tg & = =
En resumen, se ha mostrado gráficamente que Un similar razonamiento puede ser aplicado al concepto de aceleración: Partimos de: ) (t v = Función escalar de velocidad
Es el módulo de la aceleración media Ahora, calculamos el límite t
r S ∆ = ∆
v & = =
(t) - ) (
0 → ∆
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 8 Si se define, ∆ݒ ൌ ݒ
donde ݒ
ൌ ݒሺݐሻ ݒ
ݒሺݐ ൅ ∆ݐሻ , se tiene que:
t v ∆t t v
lim es la aceleración instantánea. Esta última expresión es la definición de la derivada temporal de la función escalar ) (t v , por lo tanto, podemos notar de la siguiente manera: o también Similarmente a lo hecho con la velocidad, al analizar gráficamente la aceleración en el movimiento rectilíneo, se tiene que el modulo a de aceleración en un instante dado t, es la pendiente de la recta tangente a la curva v vs. t. Este valor es el limite al que converge la pendiente de la recta secante (módulo de aceleración media), cuando 0 → ∆t fig 2.16 En los triángulos indicados se tiene que m a
= sec α
Si se imagina que se acorta sistemáticamente el intervalo t ∆ de observación, resulta claro que: En resumen, se ha mostrado gráficamente que: Observación: De la misma manera se puede proceder para calcular a a & & & , , etc. EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1) Una partícula se mueve horizontalmente según la función de posición ( )m t t t x 1 2 ) (
+ + = Calcular: a) la posición, velocidad y aceleración al tiempo t=2s b) la velocidad media y aceleración media entre t=1s y t=2s c) el camino recorrido entre t=1s y t=2s Resolución Con el objeto de mostrar la utilidad del cálculo diferencial como nueva herramienta, se resolverá este ejercicio por 3 métodos desde el más elemental al más elaborado. 1
método a) Al observar la función 2
2 1 ) ( t t t x + + = , resulta obvio que se trata de un MRUV acelerado, debido a la similitud con la ecuación fundamental 2
at t v d + = que describe la distancia recorrida en dicho movimiento, de lo anterior se puede concluir dos cosas: 1) ( ) m x 9 2 2 2 1 ) 2 (
= + + = 2) 1 ) 0 ( = x (la partícula parte de la posición P de la figura, es decir adelantada 1m a la derecha del origen) o
fig. 2.17 Comparando las dos ecuaciones: 2
0 at t v d + + = 2
1 2 1 t t x + + = por simple inspección se tiene que s m v 2
= ; y que 1
= a ; es decir que 2
2 s m a = . De manera que resumiendo tenemos un MRUV acelerado con los siguientes datos: s m v 2
2 s m a = Entonces la velocidad al tiempo t=2s puede calcularse con la ecuación at v v + =
, así: ( ) s m v 6 2 2 2 = + = ; o sea s m i v
a & = =
) (t v a & =
) (t x v & = ) (
TAN & =
α α x
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 9 Como la aceleración es constante, tenemos que 2
2 2 s m i ) ( a
Es decir que s m i v
5 = . Ahora se calcula la aceleración media 1 2
De la ecuación at v v
+ = se calcula ) 1 ( v , es decir reemplazando t=1, puesto que en el intervalo mencionado [1,2]s, la función x es monótona. Se tiene: ( ) s m v 4 1 2 2 ) 1 ( = + =
Entonces se tiene que: 2
= . Es decir que 2
2 s m i a
= El camino recorrido coincide en este caso con la longitud de la trayectoria y puede calcularse por la diferencia de coordenadas de posición así: ( ) [ ] ( ) [ ] m
x x S S S o f
5 4 9 1 1 2 1 1 2 2 2
= − = + + − + + =
= − = = ∆ −
Observación Este método anterior sólo es aplicable para los casos muy simples de movimientos conocidos: MRU, MRUV 2
Método Partiendo de la función de posición 1 2 ) (
+ + = t t t x , y sabiendo que: ( ) ( )
lim , se tiene que: Puesto que ݔሺݐሻ ൌ ݐ
൅ 2ݐ ൅ 1). t
− − − + ∆ + + ∆ + ∆ +
(se aplica el límite) 2 2 ) ( + = t t v Similarmente, partiendo de la última expresión, que es una función general de rapidez, se puede obtener una función para el módulo de la aceleración ( )
− − + ∆ +
→ → ∆t
t ∆t t
De modo que 2
, que es una función general de módulo de aceleración. Resumiendo, las 3 funciones generales: de posición, velocidad y aceleración (en módulo) y sus correspondientes valores para t=1 y t=2 son los siguientes: Para t=1 ( )
Para t=2 ( )
Con estos datos se puede fácilmente hallar m
er Método Derivando respecto al tiempo la función general de posición 1 2 ) (
+ + = t t t x se obtiene la función de rapidez así: 2 2 ) ( + = = t t x v & Similarmente, derivando ésta última expresión, se obtiene el modulo de la aceleración así: ( ) 2 = = t v a & Con estas funciones generales, fácilmente se puede hallar los valores pedidos. Ejercicio 2) Una partícula se mueve verticalmente según la función (ݕሺݐሻ ൌ ݁
െ ݏ݅݊ ݐሻ m calcular la aceleración cuando t=1s ( )
− − − + ∆ + + ∆ +
( ) 2 2 2 2 lim
+ = + ∆ + =
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 10 Resolución Nótese que este es un movimiento rectilíneo variado en general. Se proponen los siguientes métodos: 1
método Primero se calcula la función general de rapidez, partiendo de la función dada de posición; así: ݒሺݐሻ ൌ lim
ݕሺݐ ൅ ∆ݐሻ െ ݕሺݐሻ
ଶሺ௧ା∆௧ሻ
െsinሺݐ ൅ ∆ݐሻ െ ݁
൅ sint
ݒሺݐሻ ൌ lim
ଶ௧ାଶ∆௧
െ e
ଶ୲
൅ lim
ݏ݅݊ݐ െ sin ሺݐ ൅ ∆ݐሻ
ଶ∆୲
ݏ݅݊ݐ െ ݏ݅݊ݐ ܿ݋ݏ∆ݐ െܿ݋ݏݐ ݏ݅݊∆ݐ
ሺe
െ 1ሻ
ݏ݅݊ݐሺ1 െ ܿ݋ݏ∆ݐሻ
െ lim
ܿ݋ݏݐ sin∆ݐ
ݒሺݐሻ ൌ e
൅ ݏ݅݊ݐ lim
ሺ1 െ ܿ݋ݏ∆ݐሻ
െܿ݋ݏݐ lim
sin∆ݐ
El último límite es de valor conocido: lim
ୱ୧୬∆୲
∆୲
ൌ 1 (se puede obtener aplicando la Regla de L’hopital) y haciendo un cambio de variable en el primer limite: u=2 ∆t en donde se entiende que cuando ∆t→0 ,entonces u→0, y conjugando en el segundo límite se tiene: ݒሺݐሻ ൌ e
௨՜଴
ሺ1 െ ܿ݋ݏ∆ݐሻሺ1 ൅ ܿ݋ݏ∆ݐሻ
∆ݐሺ1 ൅ ܿ݋ݏ∆ݐሻ
െܿ݋ݏݐ ݒሺݐሻ ൌ 2e
ሺ1 െ ܿ݋ݏ
∆ݐሻ
െ ܿ݋ݏݐ Sabiendo que
ሺୣ
ൌ 1 (se puede obtener aplicando la Regla de L’hopital) y que 1- cos
∆t = sin
∆t, se tiene: ݒሺݐሻ ൌ 2݁
ሺ1ሻ ൅ ݏ݅݊ݐ lim
ሺݏ݅݊∆ݐሻሺݏ݅݊∆ݐሻ
െ ܿ݋ݏݐ ݒሺݐሻ ൌ 2݁
ሺ1ሻ ൅ ݏ݅݊ݐ ൤ lim
ሺݏ݅݊∆ݐሻ
ሺ1 ൅ ܿ݋ݏ∆ݐሻ
൨ െ ܿ݋ݏݐ Sabiendo que el 1
límite del corchete es conocido e igual a 1 (Regla de L’hopital) y el segundo es trivial (se remplaza ∆t=0) e igual a cero, se tiene finalmente que: ݒሺݐሻ ൌ 2݁
൅ ݏ݅݊ݐሾሺ1ሻሺ0ሻሿ െ ܿ݋ݏݐ ݒሺݐሻ ൌ 2݁
െ ܿ݋ݏݐ A Continuación, se procede de manera similar para el cálculo del modulo de aceleración, así: ܽ ൌ lim
∆ݒ
ݒሺݐ ൅ ∆ݐሻ െݒሺݐሻ
Del resultado anterior, se sabe que ݒሺݐሻ ൌ 2݁
െ ܿ݋ݏݐ , entonces se tiene: ܽ ൌ lim
2݁
െ cos ሺݐ ൅ ∆ݐሻ
este límite es igual a : ܽሺݐሻ ൌ 4݁
൅sin ݐ (Se deja al estudiante el proceso del cálculo del límite). De manera que remplazando t=1, queda: ܽሺ1ሻ ൌ 4݁
ଶሺଵሻ
൅ݏ݅݊1 ൌ 30,40
2do Método Se deriva 2 veces, directamente a partir de la función de posición t e t y
− = , así: ( )
Aquí se ha aplicado la regla de derivación de la función compuesta (regla de la cadena). Sustituyendo t=1 en la última expresión, se llega a la respuesta. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD Y POSICIÓN A PARTIR DE LA ACELERACIÓN La Velocidad de una partícula se define como dt
En el movimiento rectilíneo, esta expresión puede reducirse a •
, de donde: ∫ ∫
dx vdt
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 11 ∫
x x vdt
Interpretación Geométrica Como una integral definida es una suma algebraica de áreas alrededor de una curva, en la expresión anterior, se entiende que el desplazamiento corresponde al área A bajo la curva ) (t v en la grafica v vs. t entre t
y t, donde se ha considerado que t=t
, y donde n es un número natural que cuantifica una partición regular, realizada en el eje temporal. fig 2.18 El área mencionada no puede calcularse usando la Geometría clásica Euclideana pues no corresponde a ninguna figura geométrica estándar. Esta área se obtendrá exactamente con el cálculo diferencial, de la siguiente manera: al intervalo 0
− = ∆ se lo divide en n subintervalos de igual ancho n
. A esto se le llama una partición regular donde n es el número de subintervalos, luego se levantan perpendiculares en cada i
t y se determinan las alturas ) (
t v , determinando también de esta manera n rectángulos. El área del i-ésimo rectángulo es ) (
, de manera que la suma de las áreas de todos los rectángulos es ∑ ∑
. Ahora sabiendo que |
+ = ∆ + =
; se tiene: ܣ
ൌ ∑ |
Pero esta última área no es exactamente el área A buscada puesto que como se ve en el gráfico, solo es esta una solución aproximada, cuya exactitud es relativa a n. El área exacta puede hallarse haciendo una partición infinita del intervalo t ∆ , esta se consigue al aplicar el límite así: |
Finalmente, este área es el desplazamiento. Un similar razonamiento puede conducirnos al cálculo de la velocidad a partir de la aceleración. Sabiendo que: dt
, entonces despejando dv adt = , e integrando a cada lado, se tiene: ∫ ∫
, de donde [ ]
adt t v t v
; Interpretación geométrica Igual que la interpretación anterior, se concluye que la variación de velocidad es el área bajo la curva de la gráfica t vs a , y dicho área es: EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1) Una partícula se mueve horizontalmente sobre el eje x según la función ( ) ( )m t t v 1 2 + =
Si se sabe que cuando s t 0 = , la partícula se halla a 1 m a la derecha del origen, calcúlese la poción, velocidad y aceleración al tiempo s t 3 = Resolución Para mostrar la relación y concordancia entre razonamientos elementales intuitivos con la nueva metodología que usa el cálculo integral. Se propone los siguientes métodos |
adt v
∫ = ∆
vdt x
FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 12 1er método: La fórmula de la función 1 2 ) ( + = t t v , nos asegura que se trata de un MRUV, por su similitud con una de las ecuaciones atribuidas a ese tipo de movimiento: at v v
, de donde por simple inspección, de inmediato se reconoce que s m v / 1
= y que s m a / 2 = con estos datos, se puede hallar al tiempo s t 3 = , la velocidad, así: s m v at v v
/ 7 ) 3 ( 2 1 ,
,o sea que s m i v / 7
= la aceleración es constante, de modo que 2
/ 2 s m i a
= , La posición puede calcularse con otra de las ecuaciones del MRUV: 2
at t v d + = , así m d 12 ) 3 )( 2 (
= + = Finalmente, recordando que esta distancia esta calculada a partir de la abscisa m x 1
= , se tiene que la posición final es m x 13 =
fig 2.19 2do Método Primeramente se grafica la función 1 2 + = t v , así: fig 2.20 De aquí puede entenderse que cuando s m v s t / 7 3 = = , además sabiendo que el desplazamiento x ∆ , es el área A bajo la curva t vs v , esta área se calcula como la suma de las tres áreas rayadas indicadas, las que corresponden, como se ve, a un rectángulo y un triángulo, así: triang rect
A A x A + = ∆ = m x 12
) 1 )( 3 ( = + = ∆ Ahora sabiendo que 0
− = ∆ , y recordando que m x 1
= , se tiene que 12 1 = −
x , entonces m x 13 = La aceleración es la pendiente de la recta ) (t v y por tanto se calcula como la función tangente del ángulo ∝ , así: 2
tg a = = ∝ = 3er Método El área baja la curva t vs v en el intervalo entre 0 = t y 3 = t , se calculará usando el criterio del límite de la suma de rectángulos inscritos, así ∑
lim Reemplazando los valores: 0
= t , 3 =
t , se tiene que: ∑
, puesto que 1 2 ) ( + = t t v ¦
= ∞ →
. (Ver anexo 4, propiedades del signo sumatorio) ¦
(ver anexo 4, propiedades del signo sumatorio) ( ) n n
= ) 1 ( 3
) 1 ( 6 3
x x x x , se tiene que m x 13 = FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 13 La aceleración se puede obtener al derivar la función 1 2 ) ( + = t t v así: 2
a = = . Como esta es una función constante, se entiende que 2 ) ( = t a , por tanto 2
a = 4to Método Se obtendrá la posición integrando directamente la función 1 2 ) ( + = t t v , así: ∫
; como 0
− = ∆ , y llamando f
x t x = ) ( , ݔሺ0ሻ ൌ ݔ
ൌ 1, se tiene: ∫
+ + = − (se integra) m t t t x ) 1 ) ( (
+ + = Esta es una función general de posición, de allí que m x 13 1 3 3 ) 3 (
= + + = Similarmente al método anterior, la aceleración 2
/ 2 s m a = se obtiene derivando la función ݒ ൌ 2ݐ ൅ 1 , que resulta ser un valor constante para cualquier tiempo. Observación Solamente debido a la simpleza del ejercicio es que se ha podido aplicar estos 4 métodos. En el caso general del movimiento variado, sólo son aplicables los métodos 3
. Cuando las funciones son más complicadas, el único recomendable es el 4
método, los otros tres anteriores son puramente didácticos. Ejercicio 2) Desde una ventana que está a 40 m de altura, en un edificio de 70m de altura, se lanza un objeto verticalmente hacia abajo con una rapidez de 3 s
. Cuando t=2s, calcular la posición, velocidad y aceleración, medidas desde la terraza del edificio. Resolución: 1
Método: fig. 2.21 Se trata de un MRUV acelerado con los siguientes datos: ¦
Usando la fórmula at v v
, se tiene que s
v 6 , 22 ) 2 ( 8 , 9 3 = + = Desde el punto T, la velocidad es s
6 , 22 − = Usando la ecuación 2
at t v d + = , se tiene que m d 6 , 25 ) 2 )( 8 , 9 (
= + = Desde el punto T la distancia es 25,6+30=55,60m, de manera que la posición es െ55.60ଔԦ ݉. El valor de la aceleración es constante 2
Método Integrando directamente la función módulo de aceleración, a(t)= -9,8
se tiene FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 14 [ ] t c dt adt v
8 , 9 8 , 9 8 , 9
− = + − = − = = ∆
, sabiendo que 0
− = ∆ y notando ) (t v v
= , se tiene: 0
) ( v t v − = -9,8t sabiendo que 0
, nos queda: ) (t v = -9,8t-3 que es una función módulo de velocidad, de donde ) 2 ( v = -9,8(2)-3 ) 2 ( v = -22,6
por lo tanto ) 2 ( v
= -22,6
j , integrando nuevamente nos queda. ∫
) 3 8 , 9 (
+ − − = − , como 0
y = -30m, nos da: y +30= -4,9
t -3 t , de donde 30 3 9 , 4 ) (
− − − = t t t y
,finalmente y(2)= -4,9
) 2 ( -3 ) 2 ( -30= -55,6m Ejercicio 3) Una partícula que parte desde el origen, en reposo, se mueve sobre el eje z según una función de modulo de aceleración ( ) ( )
− = .Calcular la posición cuando t=3s , y la aceleración media entre t=1 y t=3s. Resolución 1
Método Se calculara la función de modulo de velocidad usando el criterio de sumas de rectángulos inscritos, así |
, con el fin de obtener una función general de modulo de velocidad de escogerán los valores de 0
t así: 0
t =0 y t t
lim lim |
v (ver anexo 4, propiedades del signo sumatorio) |
v = -t |
e t v : sea n
= entonces 0 → u cuando ∞ → n ( )
e t v = v=
Los límites de la última fracción son conocidos e iguales a 1. La función escalar 2
= , es una función general de modulo de velocidad y puede ser utilizada para el cálculo de la aceleración media así: t
− v v
m e e −
= de modo que: 2
Para calcular la posición se procede con el siguiente límite ( )
, se remplazan los siguientes valores o t
= ; t t
= ; con lo cual se tiene: −
Procediendo de igual modo que para el cálculo anterior se tiene que FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 15 4
t z , (se deja este desarrollo como trabajo para el estudiante), de manera que el valor pedido es: ( ) m
= + − = 2
Método Se procederá integrando directamente la función ( )
, entre los limites 1 y 3 para t ∫
adt v ; ( ) ( )
1 3 dt e v v
; sea t u 2 = ; dt du 2 = ( ) ( ) [ ]
− = − = |
1 3 e e e v v
− − = − = − ( ) ( )
= − , Ahora remplazando en t
= , nos queda: 2
= 2.3 TIPOS DE MOVIMIENTOS, ECUACIONES A continuación se vera el origen de las ecuaciones de los movimientos rectilíneos simples, a saber: MRU, MRUV, usando el Cálculo Diferencial e Integral. 1) MRU La ecuación principal que rige este tipo de movimiento es t
v = , en donde se entiende que la anterior relación se mantiene siempre constante. ∫
; sea ( )
x t x = una función general de posición ( ) [ ]
c t v x t x
+ = − ; ( ) ( )
t t v x t x − = − ; ( ) ( )
t t v x t x − + = Suponiendo que 0
= x , o sea que ( ) 0 0 = x (parte del origen), que 0
= t (al momento de partir el reloj marca cero), y que bajo estas circunstancias x es la distancia d, se tiene ݀ ൌ 0 ൅ݒሺݐ െ 0ሻ ; vt d = ; de donde, que es la fórmula conocida para éste movimiento. 2) MRUV Las ecuaciones fundamentales para éste movimiento son: 2
at t v d
Para obtenerlas vamos a partir suponiendo que a es siempre constante y positiva, de modo que:
dt a v v ; t
c t a v v ] [ + = − si llamamos ) (t v v
obtenemos una función general de rapidez, se tiene que: ) ( ) (
t t a v t v − = − de donde ) ( ) (
t t a v t v − + =
. Suponiendo que , 0 =
t nos queda: . ) ( at v t v
que es la ecuación conocida para el MRUV
Para el cálculo de la posición se puede partir de la ecuación ) ( ) (
t t a v t v − + = . ∫
dt t v x ) ( dt t t a v x
− + = ∆ )] ( [ ; t
t v x x ]
+ − + = − 2 2 2
at at t v t at at t v x x + − − − + = − 2
at at t tat at
+ − = − 2
t t a t t v x x − + − = − Ahora, suponiendo que 0 =
t , 0 =
x y que d x = , tenemos que: (2) t
+ = FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 16 que es la ecuación conocida para la distancia recorrida en el MRUV
Además se puede derivar una ecuación más utilizando las ecuaciones (1) y (2), así: de ) 1 ( : a
= , remplazando en ) 2 ( nos queda: 2
v v v v v ad − + − = 2 2
v v v v v ad − + − = 2 2 2
v vv v v v v ad + − + − = 2 2
2 v v ad
+ − = EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio 1) Cuando s t 0 = , un móvil pasa horizontalmente sobre el eje x hacia la derecha, por el punto m x 1 = con una rapidez de s
3 . En el mismo instante, m 5 más adelante y a una altura h , se suelta un segundo móvil. Calcular la altura h para que los dos móviles colisionen Resolución fig. 2.22 1er Método El movimiento de A es un MRU regido por la ecuación escalar: t
= : de donde se tiene que o f
= . Si se nota: x x
= ; 1 =
x ; t t
= ; 0 =
t , nos da: 3
v ; Ahora remplazamos 6 = x y despejamos t, así: 6 1 3 = + = t x , entonces s t
= es el tiempo que se demora en llegar a la abscisa x=6. El movimiento de B es un MRUV acelerado, donde 2
g a = = , regido por la ecuación: 2
+ = , en donde se sabe que h d = ; 0 =
v , s t
= entonces nos queda: m m g g h 61 . 13 ) 8 . 9 (
2do Método Para el movimiento horizontal se tiene que, 3 ) ( = t v , entonces ∫
dt t v x
c t x t x ] 3 [ ) ( + = − ; t t x 3 1 ) ( = − , 1 3 ) ( + = t t x , que es una función escalar general de posición en función del tiempo que será utilizada para saber en cuanto tiempo el móvil A llega al punto de coordenadas (6,0), así: 6 1 3 = + t , de donde .
s t = Para el movimiento vertical, se tiene que 8 . 9 ) ( − = t a , entonces: ∫
dt v t v
8 . 9 ) (
] 8 . 9 [ ) ( + − = ; puesto que 0 =
v ; t t v 8 . 9 ) ( − = Ahora, al integrar nuevamente, se obtiene el desplazamiento, así: . ∫
dt t v y
; dt t y t y
; como h y
= y 0 ) ( = t y (ver figura 2.22), nos queda: ݒ
൅2ܽ݀ FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 17 t
[ ) ( +
= − ; 2
) ( t t h − = − que es una función general de posición vertical, remplazando s t
= , finalmente se obtiene . 61 , 13
) 8 , 9 (
m h = |
Ejercicio 2) Una partícula se mueve horizontalmente según la función de posición:. millas e t x
− = . Calcular: a) En qué instante tendrá una rapidez de h
10 ? b) En qué instante tendrá un módulo de aceleración de 2
− ? Resolución a) Se transforman unidades, de millas a m , así: m e
milla t x
. 4 ) (
− = − = l
Ahora se deriva respecto al tiempo: s
e t v t x
12872 ) ( ) (
Se iguala esta expresión a h
10 , pero antes se transforma a s
, así: s
Entonces queda: s t
) 10 16 , 2 ln( 2
78 , 2 12872
b) Se deriva la función de rapidez t
12872 ) (
= para obtener la aceleración, así: s
e t a t v
25744 ) ( ) (
− = = & Ahora, se iguala la anterior expresión al valor 2
− , pero antes se transforma a 2
, así: 2
= ⋅ Entonces nos queda: . 63 . 4
26 . 9 2
) 10 47 , 9 ln( 2
10 7 ., 9
44 , 2 25744
CASOS ESPECIALES En el análisis del movimiento rectilíneo, ocurre a veces que las funciones de posición, rapidez y módulo de aceleración, no están dadas directamente en términos del tiempo t. Consideremos los siguientes tres casos: Caso No1: Cuando la función de rapidez no es una función explicita del tiempo sino de la posición, es decir que: ݒ ൌ ݒሺݔሻ. En este caso el procedimiento que se sugiere es el despeje del diferencial del tiempo dt Ejemplo: Una partícula se mueve según la función ݒሺݔሻ ൌ ሺ4ݔ ൅ 1ሻ
, donde x es la dirección del movimiento medida en metros. Sabiendo que la partícula pasa por el punto x=0m cuando t=0s, calcular la posición cuando t=ln2s ݒሺݔሻ ൌ ሺ4ݔ ൅ 1ሻ ൌ
(definición de rapidez) ݀ݐ ൌ
ସ௫ାଵ
(se despeja dt) ׬ ݀ݐ
(se integra a ambos lados) ׬ ݀ݐ
(Se establecen los límites) ݐ ൌ
ሾ݈݊ሺ4ݔ ൅ 1ሻ ൅ ܿሿ
ൌ భ
݈݊ሺ4ݔ ൅ 1ሻ (se integra) ݁
ൌ 4ݔ ൅ 1 ; ݔ ൌ
െ 1
reemplazando t=ln2, nos queda: ݔ ൌ
ସ௟௡ଶ
ൌ ݁
௟௡ଶ
ൌ ቆ
݉ Caso No 2: Cuando la función módulo de aceleración está dada en términos de la rapidez, es decir ܽ ൌ ܽሺݒሻ. Similarmente al caso anterior, se despeja dt Ejemplo: Una partícula se mueve sobre el eje x según la función ܽ ൌ ሺ2ݒ െ 1ሻ ೘
, donde a es el módulo de su aceleración y v es la rapidez medida en m/s. Sabiendo que la partícula tiene una rapidez de 8m/s cuando t=0s, calcular la rapidez cuando t=1s. FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 18 ܽ ൌ 2ݒ െ 1 ൌ
ଶ௩ିଵ
(se integra a cada lado) ׬ ݀ݐ
(se establecen límites de integración) ݐ ൌ
ሾ݈݊ሺ2ݒ െ 1ሻ ൅ ܿሿ
݈݊ ቂ
ቃ (se integra) ݁
ݒ ൌ
15݁
ݒ ൌ ቆ
ቇ ௠
Caso No3: Cuando la función módulo de aceleración está dada en términos de la posición, es decir, ܽ ൌ ܽሺݔሻ. Se procede a usar el artificio ܽ ൌ
, y luego a despejar dx, de esta manera este caso se reduce al caso No 1 Ejemplo: Una partícula se mueve según la función ܽ ൌ ݔ
, donde t es el tiempo en segundos. Sabiendo que cuando la partícula esta a 1m a la derecha del origen, se mueve hacia la izquierda con una rapidez 2m/s, calcular la rapidez en el instante en que x=3m ܽ ൌ ݔ
ሺdeϐinicion de la rapidezሻ ݔ
ൌ ݒ݀ݒ
ሺartiϐicio: a ൌ
ሻ x
ൌ vdv
; dx ൌ
ሺse despeja dxሻ න ݔ
ൌ න ݒ݀ݒ ሺse integra a cada ladoሻ ௩
න ݔ
ൌ න ݒ݀ݒ
ሺse establecen limites de integracionሻ ቈ
൅ ܿ቉
ሺse integraሻ ݔ
െ 2 ݒ ൌ ට
െ5ሻ ሺse despeja vሻ ݒ ൌ ට
ሺ3
െ5ሻ ൌ
ሺse reemplaza x
ൌ 3ሻ Ejercicio 3) La rapidez de una partícula que se mueve sobre el eje z
está dada por la función 2
= . Sabiendo que 2 = z cuando 0 = t , calcular: a) La posición y rapidez cuando s t 2 = b) ¿En cuánto tiempo alcanza el doble de la aceleración de la gravedad? c) La función de módulo de aceleración en función de la rapidez. Resolución a) 2
(definición de rapidez) ∫ ∫
; sea z u 3 1 + = ; dz du 3 = ; entonces ∫ ∫
ሾlnሺ1 ൅ 3ݖሻ ൅ܿሿ
; reemplazando la condición inicial 0 = t ; 2
= z , nos queda [ ] ) 7 ln( ) 3 1 ln(
− + = z t , (propiedad de los logaritmos) |
, es una función general de posición. Cuando t=2, se tiene: .
) 2 ( m
= Para hallar la rapidez, se deriva la anterior expresión así: 3
t z , entonces e
t v t z
) ( = , luego al remplazar 2 = t , queda: FISICA VECTORIAL UNIVERSITARIA --- FRANKLIN ERAZO --- UPS --- ECUADOR --- 2011 Pag. 19 s m v
) 2 ( = La función de módulo de aceleración se encuentra derivando ) (t v , así: e e
) ( ) ( = |
Al igualar al valor pedido 2݃ ൌ 19.6 y después despejar ݐ, se tiene. 6 . 19
) 4 )( 6 . 19 (
) 6 . 19 ( 4
. 88 . 0 s t = c) La función de módulo de aceleración es: e
) ( = , mientras que la rapidez es: e
) ( = . Usando un artificio se construye la función ܽ así: 7
t a |
pero sabiendo que e
= , nos queda v v a
) ( = = Ejercicio 4) Una escalera de m 10 de longitud, está apoyada sobre una pared vertical, como se muestra en la figura 2.23. Si el extremo inferior A , se retira horizontalmente con una rapidez de s m 3 , hacia la derecha, calcular la rapidez con la que desciende el extremo superior B , en el instante en que A ha sido retirado . 4m fig. 2.23 Resolución Primeramente se escogerá convenientemente un sistema de referencia cuyo observador se hallará en la intersección piso – pared (se podría escoger otro sistema). fig. 2.24 La figura 2.24 muestra una disposición general del sistema, en donde del teorema de Pitágoras se tiene : 10
esto es para cualquier valor de x e y Derivando la anterior expresión con respecto al tiempo nos queda: 0 2 2 = +
y y x x de donde dividiendo entre 2 se tiene: 0 = +
y y x x , despejando ݕሶ que es la rapidez pedida nos da: y
− = , finalmente, reemplazando las condiciones particulares: 4 10
− = = y x , o sea 84 = y , y que 3 =
x , nos queda: m y 31 , 1
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