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MODELO DE EVOLUCIÓN DE POBLACIÓN HUMANA DE MALTHUS
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Guillermo Vargas Suárez
1 Anuario del Centro de la Universidad Nacional de Educación a Distancia en Calatayud. N.º 23, pp , 2017 MODELO DE EVOLUCIÓN DE POBLACIÓN HUMANA DE MALTHUS Andrés MARTÍN SÁNCHEZ Estudiante de Grado en Matemáticas de la UNED de Calatayud Resumen: En este artículo se detallan las resoluciones a las actividades propuestos en la asignatura Herramientas Informáticas para la Matematica del segundo curso del Grado en Matemáticas. Así, se recrean en Maxima y Scilab (y adicionalmente en Excel y Geogebra) diversas situaciones de modelos de población y alimentos, constatándose la ocurrencia o no del fenómeno conocido como catástrofe malthusiana (predicho por Tomas Maltus) según el cual el crecimiento de población sigue una ley exponencial, mientras que el de alimentos es aritmético por lo que según que situación no habrá suficiente alimento para la población mundial. Palabras clave: Catástrofe malthusiana, maxima, scilab, hoja de cálculo, geogebra. Abstract: In this article we give detail to the solutions relative to the proposed activities in the subject Informatic Tools for Maths of the second course in the Maths Degree. So, several situations of population models and food are recreated in Maxima and Scilab (and additionally in Excel and Geogebra), confirming the occurrence (or not) of the phenomena known as Malthusian catastrophe (predicted by Tomas Maltus) according to which, the growth of the population follows an exponential law, while food growth follows an arithmetical law, and therefore, depending on the situation, there won t be enough food to feed the world population. Keywords: Malthusian catastrophe, maxima, scilab, worksheet, geogebra. El presente trabajo recoge las soluciones a las actividades propuestas en la Prueba de Evaluación a Distancia de la asignatura Herramientas Informáticas para las Matemáticas del Grado en Matemáticas, estando formado el Equipo Docente por D. Fernando Morilla García y D. Miguel Ángel Rubio González. Los enunciados de la PEC se entrecomillan. El demógrafo Thomas Malthus realizó estudios sobre la evolución de la población humana. En su modelo sobre la evolución de la población se producía un fenómeno conocido como la catástrofe malthusiana (CM).
2 244 Andrés Martín Sánchez El modelo que propone Malthus es el siguiente: Donde P(t) es la población humana en el año t, r es la tasa de crecimiento de la población, A(t) es la cantidad de alimentos disponibles para la población, k es la tasa de crecimiento de los alimentos, A 0 es la cantidad de alimentos disponibles para la población inicial P 0 (población en t=0) y es la cantidad de alimentos disponibles por persona. De forma que cuando el valor de es inferior a un cierto valor (a min ), el alimento mínimo que necesita una persona para sobrevivir, se producirá la CM. ACTIVIDAD 1 Enunciado Determinar, mediante integración directa en Maxima de las ecuaciones diferenciales del modelo, las expresiones para P(t) y A(t) en función de las condiciones iniciales y de las tasas de crecimiento. Observación: Si lo desean pueden contrastar sus resultados empleando las funciones específicas de resolución de ecuaciones diferenciales. SOLUCIÓN Cálculos a lápiz y papel Resolvemos mediante integración directa la ecuaciones diferencial relativa a la población P(t) resultando un modelo exponencial para la población. Realizamos lo mismo para la ecuación diferencial de la cantidad de alimentos A(t)
3 Modelo de evolución de población humana de Malthus 245 Cálculos en Maxima El entorno de Máxima permite estructurar el código con una elegante indexación. En la Figura 1 se muestra cómo se ha hecho esto para la solución de la actividad 1. Figura 1. Índice en Maxima de las soluciones de la actividad 1 En las Figuras 2 y 3 desarrollamos el anterior esquema mostrando dos vías de cálculo de la función población y de alimentos a través de integración y mediante ecuaciones diferenciales, proporcionando una alternativa a la solución que pide el enunciado. Figura 2. Soluciones por integración en Maxima de la actividad 1
4 246 Andrés Martín Sánchez Figura 3. Soluciones por cálculo diferencial en Maxima de la actividad 1 ACTIVIDAD 2 Enunciado Calcular con Maxima el instante de tiempo de mayor bonanza, que corresponde al valor máximo de SOLUCIÓN Cálculos a lápiz y papel Con las expresiones de P(t) y A(t) anteriormente calculadas, obtenemos α(t) como La derivada igualada a cero nos proporciona el extremo relativo en [0, )
5 Modelo de evolución de población humana de Malthus 247 Determinamos la naturaleza del extremo relativo, evaluando el signo de la primera derivada alrededor del punto crítico. Como la derivada es positiva a la izquierda del punto crítico, y negativa a la derecha del mismo, pasa de ser creciente a decreciente en dicho punto, y el extremo relativo es un máximo relativo. Cálculos en Maxima En Maxima las soluciones se han estructurado según el índice de la Figura 4 (encabezados de los apartados en que se ha dividido la solución) Figura 4. Índice en Maxima de las soluciones de la actividad 2 El código de las soluciones junto con los comentarios y la ejecución del mismo se muestran en las Figuras 5 y 6. Así, en la Figura 5, se muestra el código donde se definen las funciones calculadas por cálculo infinitesimal en el apartado anterior y el ratio de alimentos por persona y en la Figura 6, se maximiza dicho ratio, constatando los cálculos a mano, tal como cabía esperarse.
6 248 Andrés Martín Sánchez Figura 5. Definición en Maxima de la función población, alimentos disponibles y cantidad de alimentos por persona de la actividad 2.
7 Modelo de evolución de población humana de Malthus 249 Figura 6. Maximización en Maxima de la función alfa (t) de la actividad 2
8 250 Andrés Martín Sánchez ACTIVIDAD 3 Enunciado Representar gráficamente en Maxima P(t), A(t) y para los siguientes parámetros y condiciones iniciales: P 0 = [personas] r=0.04 [1/año] A 0 = [kg de alimentos] k=0.2 [1/año] Y utilícelas para justificar si, suponiendo que cada persona necesita un mínimo de 100 kg de alimentos, se producirá CM y cuándo. SOLUCIÓN Gráficos con Maxima Seguimos el esquema en que hemos mostrado las soluciones a las anteriores actividades; es decir, el índice en Maxima y luego el desarrollo de dicho índice (ver Figura 7). Figura 7. Índice soluciones en Maxima de la actividad 3 En la Figura 8 se muestra el código y la representación gráfica de la población.
9 Modelo de evolución de población humana de Malthus 251 Figura 8. Cálculos de la población humana en Maxima de la actividad 3 Idénticamente, se muestra en la Figura 9 el código y la representación gráfica de la función de alimentos. Figura 9. Cálculos de los alimentos en Maxima de la actividad 3
10 252 Andrés Martín Sánchez Finalmente, se define el ratio de alimentos por persona y su representación gráfica en Maxima (ver Figura 10). Como comentarios al código, se concluye el tiempo de ocurrencia de CM que pide el enunciado. Figura 10. Cálculos del ratio de alimentos por persona en Maxima de la actividad 3 Gráficos con Geogebra Adicionalmente puede recrearse la situación en Geogebra con la siguiente solución (ver Figura 11), que coincide con la calculada en Maxima (ocurrencia de CM a los 80 años). Figura 11. Solución Geogebra actividad 3
11 Modelo de evolución de población humana de Malthus 253 ACTIVIDAD 4 Enunciado Recrear gráficamente otras situaciones, en primer lugar con distintos valores de k (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1), incluyendo el valor del apartado anterior. Y en segundo lugar con distintos valores de r (0.03, 0.04, 0.05, 0.06). Se producirá CM y cuando? Hacer un programa en Scilab que permita realizar dichos cálculos de manera numérica. Cómo afectan los parámetros en el tiempo (t cm ) en el que se produce la CM? SOLUCIÓN Cálculos con Máxima Previo a la resolución en Scilab, planteamos la resolución en Maxima en las Figuras 12, 13, 14, 15 y 16. Figura 12. Índice Maxima soluciones actividad 4 Figura 13. Declaración constantes iniciales en Maxima soluciones actividad 4
12 254 Andrés Martín Sánchez Figura 14. Recreación en Maxima ley de población y alimentos actividad 4
13 Modelo de evolución de población humana de Malthus 255 Figura 15. Representación gráfica en Maxima ratio de alimentos actividad 4 Figura 16. Conclusión Maxima Ocurrencia CM actividad 4 (r=0,04)
14 256 Andrés Martín Sánchez Se muestra en la Figura 17 la parte de código de Maxima en que se calcula y se justifica la ocurrencia de catástrofe malthusiana para k=0,2 Figura 17. Gráfi ca y Conclusión Maxima Ocurrencia CM actividad 4 (k=0,2)
15 Modelo de evolución de población humana de Malthus 257 Cálculo con Scilab Los cálculos en Maxima realizados anteriormente no son más que una guía para la resolución en Scilab que es lo que realmente pide la actividad. Para dicha resolución, se define una función que utiliza el clásico método de la bisección de cálculo numérico para obtener la raíz de una función en un intervalo dado (ver Figura 18). Figura 18. Código auxiliar de la función bisección en Scilab de la actividad 4
16 258 Andrés Martín Sánchez La función anterior se utilizará en las siguientes líneas de código (ver Figuras 19 y 20) para calcular los tiempos en que se produciría la catástrofe malthusiana a partir del ratio de alimentos por persona para los distintos valores de k y r que pide el enunciado, almacenando los resultados en un array y mostrando los resultados. Figura 19. Bucle de cálculo en Scilab de la actividad 4
17 Modelo de evolución de población humana de Malthus 259 Figura 20. Cálculo de tiempos de CM en Scilab de la actividad 4 Mostramos los resultados del bucle (ver Figuras 21 a 26) que recorre los tiempos para las combinaciones (k,r) las mostramos en columnas por facilitar la visualización aunque en la consola aparezca un resultado tras otro.
18 260 Andrés Martín Sánchez Figura 21. Display de los tiempos de CM para k=0, k=0.2 y k=0.4 Figura 22. Display de los tiempos de CM para k=0.6, k=0.8 y k=1
19 Modelo de evolución de población humana de Malthus 261 Figura 23. Matriz de tiempos de CM para las combinaciones de k y r de la actividad 4 Figura 24. Display en Scilab de los tiempos de CM de la actividad 4 Figura 25. Gráfica en Scilab de la influencia de r sobre los Tiempos de CM
20 262 Andrés Martín Sánchez Figura 26. Gráfi ca en Scilab de la infl uencia de k sobre los Tiempos de CM Gráficos con Geogebra En Geogebra, se puede resolver gráficamente el apartado con la función deslizador y activando el rastro tal como se muestra en las Figuras 27 y 28. Figura 27. Solución en Geogebra de la actividad 4 para k=0,2
21 Modelo de evolución de población humana de Malthus 263 Figura 28. Solución en Geogebra de la actividad 4 para r=0,04 Gráficos con una hoja de cálculo En las Figuras 29 y 30 se grafican en una hoja de cálculo todas las situaciones de ratio de alimentos por persona para los distintos valores de k (0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1) y r (0,03, 0,04, 0,05 y 0,06). Figura 29. Gráfi ca hoja de cálculo ratio de alimentos k=0
22 264 Andrés Martín Sánchez La gráfica del ratio de alimentos para k=0,2 confirma uno de los cálculos de Scilab que pide el enunciado, en que los tiempos de ocurrencia de catástrofe malthusiana para los distintos valores de r ( 0,03, 0,04, 0,05 y 0,06) son 119, 79, 58 y 44 años aproximadamente. Figura 30. Gráfica hoja de cálculo ratio de alimentos k=0,2 En el haz de gráfica del ratio de alimentos para k=0,4 (ver Figura 31) la intersección de la gráfica para r=0,04 (línea roja) y un ratio de 100 kg/persona confirma los cálculos de Scilab de que el tiempo de ocurrencia de CM para dicha combinación (k=0,4 y r=0,04) se produce aproximadamente a los 101 años. Figura 31. Gráfica hoja de cálculo ratio de alimentos k=0,4
23 Modelo de evolución de población humana de Malthus 265 La siguiente gráfica (ver Figura 32) confirma que el tiempo de ocurrencia de CM para la combinación r=0,04 y k=0,6 se produce aproximadamente a los 116 años. Figura 32. Gráfica hoja de cálculo ratio de alimentos k=0,6 Las Figuras 33 y 34 recrean gráficamente en Geogebra el ratio de alimentos para k=0,8 y k=1. Figura 33. Gráfica hoja de cálculo ratio de alimentos k=0,8
24 266 Andrés Martín Sánchez Figura 34. Gráfica hoja de cálculo ratio de alimentos k=1
25 Modelo de evolución de población humana de Malthus 267 ACTIVIDAD 5 Enunciado Manteniendo las condiciones del apartado 3, qué valor debería tener la tasa r para que la CM se produjera dentro de 100 años? Emplear Scilab para calcularlo SOLUCIÓN Cálculo con lápiz y papel Se trata de resolver la siguiente ecuación que se resuelve, tomando logaritmos: Cálculo con Scilab Figura 35. Comentario código función bisección (Aquí el código reproduce la misma función bisección del apartado 4-Figura 22) Figura 36. Código scilab cálculo r actividad 5
26 268 Andrés Martín Sánchez La ejecución del código da el resultado esperado, tras los cálculos con lápiz y papel, tal como se muestra en la Figura 37. Figura 37 Ejecución scilab cálculo r actividad 5
27 Modelo de evolución de población humana de Malthus 269 CONCLUSIONES En este trabajo de la asignatura Herramientas Informáticas para las Matemáticas se pide calcular con Maxima y Scilab el modelo de Malthus de población y cantidad de alimentos y la razón entre ambos. En el punto 1, se confirman con Maxima la expresión de la población (P(t)) y la cantidad de alimentos (A(t)), calculada con lápiz y papel: En el punto 2, se calcula el máximo de la función α(t)=a(t)/p(t), a través de Máxima, confirmando los cálculos manuales: En el punto 3, se grafican en Maxima las funciones de P(t), A(t) y α(t), para lo valores de k=0,2 y r=0.04 y se concluye que para dichos valores se produce catástrofe malthusiana (CM), es decir, α(t)<100 kg/persona, a los 80 años. En el punto 4, se recrean gráficamente en Máxima otras situaciones para distintos valores de k y r, y en Scilab se ha calculado mediante el algoritmo de bisección de cálculo numérico, los tiempos en que se produce CM, que son 120 años, 79 años, 58 años y 44 años para k=0,2 y r=0,03 hasta 0,06 respectivamente. Por otra parte para r=0,04 y k=0, k=0.4, k=0.6, k=0.8 y k=1 son los tiempos 9 años, 102 años, 116 años, 124 años y 131 años respectivamente. Estos tiempos de CM ilustrados gráficamente mediante Scilab, permiten concluir la influencia de los valores de k crecientes y r decrecientes en el aumento de los tiempos de CM (como cabía esperar de la expresión de α(t)). Los cálculos se han confirmado con Geogebra y la hoja de cálculo En el punto 5, se vuelve a utilizar el algoritmo de la bisección en Scilab, para determinar el valor de r en que se produce CM para t=100 años, confirmando el valor obtenido mediante calculo manual con un r de 0,034. En definitiva, el trabajo muestra las potencialidades de Máxima y Scilab como herramienta de cálculo simbólico y numérico respectivamente (que se han complementado con las herramientas de Geogebra y la hoja de cálculo) aplicado a eventuales casos de catástrofe malthusiana.
28 270 Andrés Martín Sánchez REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARENAZ, MANUEL (2013). Tema 4: Programación Orientada a Resolución de Problemas (4.1) Conceptos de Algoritmo, Función, Programa y Librería. [Tutoría Intercampus de Herramientas Informáticas para Matemáticas]. UNED BAUDIN, MICHAËL (2011). Introduction to Scilab. The Scilab Consortium. Disponible en FRAILE MARINERO, JUAN CARLOS (2013). Tema 4.- Programación orientada a la resolución de problemas. [Tutoría Intercampus de Herramientas Informáticas para Matemáticas]. UNED Palencia. FRANCO, DANIEL (2013). Tema 2: Ficheros ejecutables Scilab y Maxima [Apuntes asignatura Herramientas Informáticas para Matemáticas]. UNED FRANCO, DANIEL (2012). Tema 3: Cálculos Matemáticos Básicos. [Tutoría Intercampus Herramientas Informáticas para Matemáticas]. UNED MORILLA GARCÍA, FERNANDO, RUBIO GONZÁLEZ, MIGUEL ANGEL (2012). Apuntes elaborados por el equipo docente para la asignatura Herramientas Informáticas para Matemáticas. UNED RODRÍGUEZ RIOTORTO, MARIO (2011). Primeros pasos en Maxima. Disponible en

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