Source: https://de.scribd.com/document/63771313/Tesis-Doctoral-Modelado-Matematico-de-La-Celula-Cardiaca
Timestamp: 2020-07-09 12:19:47+00:00

Document:
Tesis Doctoral Modelado Matematico de La Celula Cardiaca | Actina | Citosol
speichernTesis Doctoral Modelado Matematico de La Celula Ca... für später speichern
284v02n04a13146201pdf001
Histología Del Musculo
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Decanato de Estudios de Postgrado Doctorado En Ingeniería
MODELADO MATEMÁTICO DE LA
Tesis doctoral presentada a la Universidad Simón Bolívar por:
Rossany Odalys Roche Valencia
Como requisito parcial para optar al grado de Doctor en Ingeniería
Realizado con la tutoría de la Profesora Rosalba Lamanna de Rocco
MODELADO MATEMÁTICO DE LA CÉLULA CARDIACA
Resumen En este trabajo se desarrolla un modelo global de la célula cardíaca que integra tanto la actividad eléctrica como la actividad cinético-química de los diferentes elementos del citosol, el retículo sarcoplásmico y la membrana celular (canales L, canales de Rianodina, bomba SERCA, bomba ATPasa, intercambiador Na + -Ca 2+ , miofibrillas). El modelo, basado en la interpretación de la célula (miocito) como un sistema de micro- reactores químicos interconectados, arroja resultados que concuerdan con los comportamientos reales de excitación-relajación esperados: las dinámicas de concentración de calcio y de voltaje son cíclicas, con forma de campana asimétrica para el calcio y de onda con meseta para el voltaje. Las validaciones del modelo con datos reales muestran además que puede ser fácilmente adaptado a miocitos de diferentes especies animales. La estructura fenomenológica del modelo hace posible, luego de un estudio de sensibilidad, la identificación de cuáles de los elementos celulares están relacionados con diferentes tipos de comportamientos dinámicos, y por lo tanto hace posible el uso del modelo como herramienta en el diseño de protocolos experimentales, para el estudio de efectos de drogas y en el diseño de tratamientos para cardiopatías. Para facilitar precisamente el uso del modelo en investigaciones médicas o para fines académicos, se desarrolla también un simulador basado en la herramienta Guide® de Matlab®. Este programa, que contiene además el modelo de Tang y Othmer (1994) y el modelo de Fox y colaboradores (2001), para fines comparativos, es muy flexible y sencillo de utilizar y dirige al usuario en el proceso interactivo de ajuste del modelo a diferentes situaciones experimentales.
modelado cardiaco, célula cardiaca, contracción-relajación, dinámica de calcio, célula virtual, simulador celular.
MATHEMATICAL MODELING OF THE CARDIAC CELL
A global model of the cardiac cell is formulated, integrating the electrical, kinetic and chemical
dynamical aspects of the different components in the cytosol, the sarcoplasmic reticulum, and
the cellular membrane (L-channels, Ryanodine channels, SERCA-pump, ATP-pump, Na + -
Ca 2+ -exchanger, myofibrilles).
The model, based on the idealization of the cell as a two-interconnected-stirred-tank-reactor system, produces the expected time responses of the excitation-contraction (E-C) coupling, namely the oscillatory-bell-shaped curve in the calcium dynamics and the characteristic plateau phase in the membrane potential. Validations of the model with different real data sets show that it can be well adapted to represent cells of different species. Following a sensibility analysis of the model, the phenomenological structure of its equations allows the identification of the cellular sub-systems that are related to specific or altered dynamics, and hence the applications of the model in experiment design, drug-effect analysis and cardiac-pathology treatment. A simulation program using Matlab® is also presented. It is intended to be the base of a computer aided system, to be used by biologists and doctors, as a research or academic tool. It contains the models by Tang and Othmer (1994) and Fox et al. (2001) as well, for comparison purposes. Its user-friendly interface allows the modification of the model parameters in correspondence with different cellular elements, and hence the testing of the sensibility of the E-C process to drugs and inhibitors.
Cardiac modeling, Cardiac cell, E-C coupling, Calcium dynamics, Virtual cell, Cellular simulation.
LA CÉLULA CARDIACA
ANATOMÍA DE LA CÉLULA CARDIACA.
El Sarcolema.
Las Miofibrillas.
FISIOLOGÍA DE LA CÉLULA CARDIACA
ANTECEDENTES DEL MODELADO
2.2 MODELOS MATEMÁTICOS DE LOS DIVERSOS COMPONENTES
CELULARES DEL MIOCITO
Modelado de los fenómenos físicos – químicos
Modelado de fenómenos eléctricos
MODELOS MATEMÁTICOS DE LA CÉLULA CARDIACA
DESARROLLO DE UN MODELO GLOBAL
EL SISTEMA MIOCITO
Ecuaciones principales de balances
Ecuaciones auxiliares descriptivas
SIMULACIÓN Y VALIDACIÓN DEL MODELO
VALIDACIÓN DEL MODELO CELULAR GENERALIZADO
Procedimiento de validación general
Resultados de simulación del modelo generalizado
Comparación del modelo con otros modelos.
VALIDACIÓN POR ESPECIES.
Obtención de los datos reales.
ESTUDIO DE SENSIBILIDAD DEL MODELO
Perturbaciones en el subsistema cinético-químico
Perturbaciones en el subsistema eléctrico
Efectos de la inyección de Cafeína 10 mM
Efectos de la inyección de Forskolin 1 µM
Efectos de la inyección de Rojo de Rutenio 1 µM
Efectos de la inyección de Tapsigargin 1 µM
EXTENSIONES DEL SIMULADOR
Ayuda para el ajuste de parámetros: Identificación
Ayuda para la síntesis de resultados
6.3 PUBLICACIONES CONCERNIENTES A ESTE TRABAJO.
Técnica de “patch-clamp”
Protocolo Experimental usado para medir concentración de
calcio en el miocito de pollo. Datos experimentales usados para validar el modelo
El programa código de ¨MyocyteSimulator”
Datos experimentales usados para validar el efecto de drogas
Condiciones de borde de las variables del modelo
Parámetros asociados a la geometría del miocito
Parámetros asociados al transporte de calcio en el citosol
Parámetros asociados al transporte de calcio en el retículo sarcoplásmico
Parámetros asociados a las corrientes iónicas
Parámetros asociados a las concentraciones invariables del modelo
Parámetros asociados a las constantes físicas del modelo
Condiciones iniciales para el sistema de ecuaciones diferenciales
Parámetros modificados en el sistema de ecuaciones diferenciales
Valores comparativos entre el modelo de Tang, el modelo de Fox y el
modelo propuesto. Validación del modelo para diferentes especies de miocito
Valores de las constantes cinéticas de reacción para el mecanismo de
reacción de la bomba SERCA planteado por Mahaney et al., 2000. Validación del modelo para diferentes tipos de drogas: Cafeína, Forskolin, Rojo de Rutenio, Tapsigargin.
Diagrama esquemático del miocito
Detalle en las miofibrillas
Canales de Na +
Poro del canal de Na +
Canales de Rianodina
Esquema del intercambiador Na + -Ca 2+
Bomba Na + -K + y su ciclo de activación
Enzima de la bomba SERCA
Ciclo de activación de la bomba SERCA
Dinámica de Calcio
Estados de transición típicos para un canal de membrana
Identificación de los parámetros K m y V max
Dinámica del potencial de membrana y corrientes generadas por la actividad de los canales de potasio
Esquema de miocito para el modelo de Tang y Othmer (1994) y Hamam y colaboradores (2000).
Resultados de las simulaciones del modelo de Hamah: concentración de calcio respecto al tiempo
Esquema de la célula cardiaca utilizado en el modelo de Fox
Resultados de potencial de membrana para el modelo de Fox
Resultados de la concentración molar del ión calcio para el modelo de Fox
Miocito interpretado como sistema de reactores químicos
Membrana celular con dipolo
Asociación entre los elementos celulares del miocito y los parámetros matemáticos del modelo
Programa realizado en Simulink®
Resultados del modelo generalizado para los ciclos de V.
Resultados del modelo generalizado para los ciclos de Ca i 2+ .
Comparación entre el modelo de Tang y el modelo propuesto para la dinámica de Ca i 2+ (miocito generalizado).
Comparación entre el modelo de Fox y el modelo propuesto para la dinámica de Ca i 2+ . Comparación entre el modelo de Fox y el modelo propuesto para la dinámica de V. Comparación entre el modelo de Fox y el modelo propuesto para la dinámica de I Ca . Montaje experimental para el método fluorescente.
Validación de la dinámica de Ca i 2+ para miocito canino. Validación de la dinámica de V para miocito canino. Validación de la dinámica de I Ca para miocito canino. Validación de la dinámica de V para miocito de conejo. Validación de la dinámica de I Ca para miocito de conejo. Validación de la dinámica de Ca i 2+ para miocito de pollo. Detalle de la validación de la dinámica de Ca i 2+ para el miocito de pollo. Dinámica de V simulada para el miocito de pollo. Validación de la dinámica de Ca i 2+ para miocito humano. Simulación de la dinámica de Ca SR 2+ para las diferentes especies de miocito. Simulación de la dinámica de x 2 para las diferentes especies de miocito.
Simulación de la dinámica de P openL para el miocito de perro y de conejo.
Efectos de las perturbaciones en el parámetro
sobre la dinámica de
sobre la dinámica de V
sobre la dinámica de V .
sobre la dinámica de sobre la dinámica de V
Efectos de las perturbaciones extremas en el parámetro
Efectos de las perturbaciones extremas en el parámetro de V .
Simulación de la dinámica de Simulación de la dinámica de V . Ca
Simulación de la dinámica de
Efectos de las perturbaciones en el parámetro K sobre la dinámica de Efectos de las perturbaciones en el parámetro K sobre la dinámica de V .
sobre la dinámica de V . Ca
Figura 4.70
Efectos de las perturbaciones en el parámetro PCa sobre la dinámica de Ca
Efectos de las perturbaciones en el parámetro PCa sobre la dinámica de V .
Efectos de las perturbaciones en el parámetro P CaK sobre la dinámica de Ca
Efectos de las perturbaciones en el parámetro P CaK sobre la dinámica de V
sobre la dinámica de V . sobre la dinámica de
I sobre la dinámica de
pCa max
Efectos de las perturbaciones en el parámetro I NaK max sobre la dinámica de
Efectos de las perturbaciones en el parámetro I NaK max sobre la dinámica de Ca
Ciclo de voltaje y su interrelación con las descripciones matemáticas del modelo. Ciclo de concentración del ión calcio y su interrelación con las descripciones matemáticas del modelo Interfaz de MATLAB®
Pantalla principal del simulador.
Pantalla principal del simulador: comandos para cargar los resultados simulados y experimentales y para realizar gráficos. Pantalla secundaria para el modelo de Tang y Othmer (1994).
Pantalla secundaria para el modelo de Fox y colaboradores (2001). Pantalla secundaria para el modelo propuesto (Roche y colaboradores, 2004). Ejecución de los comandos “Perturbation” y “Run”. Ejecución de los comandos “Run” y “Save”.
Pantalla adicional de sólo gráfico (opción “Only Figure”).
Validación de la dinámica de
Detalle de la validación de la dinámica de
i con inyección de Cafeína 10mM.
con inyección de Cafeína
Simulación de la dinámica de Cafeína 10mM.
Simulación de la dinámica de Simulación de la dinámica de
con inyección de
con inyección de Cafeína 10mM. V con inyección de Cafeína 10mM. Ca
con inyección de Forskolin 1µM.
con inyección de Forskolin
Simulación de la dinámica de V con inyección de Forskolin 1µM.
Detalle de la validación de la dinámica de Rutenio 1µM.
Simulación de la dinámica de V con inyección de Rojo de Rutenio 1µM.
con inyección de Rojo de Rutenio 1µM.
con inyección de Rojo de
con inyección de Rojo de Rutenio 1µM. con inyección de Rojo de Rutenio 1µM
con inyección de Tapsigargin 1µM.
con inyección de Tapsigargin
Figura 5.33. Mecanismos de inferencia difusa.
Simulación de la dinámica de V con la inyección de Tapsigargin 1µM. Pertenencia a un sub-conjunto (a) clásico, (b) borroso.
Varias funciones de pertenencia. Estructura general de un SIB
2 con inyección de Tapsigargin 1µM.
con la inyección de Tapsigargin 1µM.
FQ SERCA
Funciones de pertenencia para la especificación de una entrada en un sistema
difuso. Propuesta para el SIB-A.
Propuesta para el SIB-B.
Esquema para el diseño de autómatas celulares.
“La cuestión más importante para la ciencia no es descubrir nuevos hechos sino descubrir nuevas maneras de pensar en ellos ”. -Sir William Bragg-
Este trabajo está enmarcado en un proyecto franco-venezolano de cooperación científica, financiado por ECOS-Nord (Ministère des Affaires Étrangères, Francia) y FONACIT (Ministerio de Ciencia y Tecnología, Venezuela), titulado: “Modelado de fenómenos
cardiacos: de la célula al órgano”.
En el proyecto participan el grupo venezolano de modelado y simulación del Departamento de Procesos y Sistemas de la Universidad Simón Bolívar, en Caracas, y tres grupos franceses: el Laboratorio de Sistemas Informáticos (A2SI) del Instituto ESIEE (École Supérieure d´Ingénieurs Électroniques et Électrotechniques) de París; la Unidad 99 del Instituto INSERM (Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale), también de Paris; y el Laboratorio LAIL de la Ecole Centrale de Lille, en Lille-Francia.
La principal meta del proyecto es reunir dos aspectos convergentes del modelado de funciones cardiacas: el nivel celular y el nivel orgánico. La presente tesis, realizada en la Universidad Simón Bolívar y en el A2SI del ESIEE (Paris), está dedicada al modelado de la célula cardiaca.
Las células cardiacas, denominadas también miocitos, conforman el tejido del músculo cardiaco y su comportamiento dinámico está a la base del fenómeno contracción-relajación. La cabal comprensión de su funcionamiento es muy importante porque las enfermedades del corazón, que presentan una alta incidencia y son una de las principales causas de muerte en muchos países, están en su mayoría relacionadas con la inactivación o un inadecuado funcionamiento de los miocitos.
El objetivo de modelar el comportamiento celular se justifica porque el modelado cuantitativo en biología experimental permite reemplazar una parte notable de los experimentos in vivo e in vitro por experimentos "in computero". experimentos in vivo e in vitro por experimentos "in computero". Esto también permite definir bien los procedimientos de experimentación en sí mismos, gracias a las capacidades de predicción de los modelos cuantitativos: las simulaciones informáticas y numéricas de estos modelos son comparadas con los resultados de la experimentación biológica sobre el tejido vivo. Las técnicas de identificación finalmente pueden lograr una validación del modelo cuantitativo y su mejor ajuste a los comportamientos reales observados. El desarrollo de drogas de acción específica por ejemplo, para tratar las enfermedades cardiacas, requiere entender de manera más detallada cómo sucede el proceso de excitación-contracción y relajación y cuáles son los elementos celulares involucrados. En este sentido, el modelado matemático representa una excelente herramienta pues permite formalizar cuantitativamente el conocimiento fenomenológico que se posee del comportamiento del miocito, mediante la aplicación de leyes fundamentales de la física y de la bioquímica, y combinarlo con el conocimiento experto (basado en observaciones y datos experimentales).
Es bien conocido que el ión calcio es el principal regulador de la actividad de las células cardiacas. El transporte de este ión hacia el interior y/o exterior del miocito da lugar a fenómenos de naturaleza química (variación de la concentración del ión calcio y otros iones) y eléctrica (caídas de voltaje) que modulan el proceso de excitación-contracción y relajación (Bryan et al., 1994, Guyton et al., 1994).
En la literatura especializada se encuentran trabajos dedicados al modelado de estos fenómenos en dos modalidades:
• Modelado de los elementos celulares: Este tipo de representación es fenomenológica y su principal interés es establecer los mecanismos mediante los cuales los elementos celulares influyen sobre la actividad cardiaca. Estos modelos sólo describen interacciones muy específicas y aisladas para estudiar la naturaleza de un elemento celular en particular más no permiten obtener información global sobre el comportamiento del miocito. Además, como son modelos netamente fenomenológicos algunas propuestas pueden llegar a tener expresiones matemáticas muy complejas y por lo tanto costosas desde el punto de vista
computacional. Ejemplos de estas contribuciones están dadas en los trabajos de: Smith y colaboradores (2000), Fabiato (1985), Rothberg y Magleby (1999), Fujioka y colaboradores (2000), Mahanay y colaboradores (2000), Therien y Blostein, 1999, Kurata y colaboradores
• Modelado de la célula cardiaca como un todo: Existen numerosas contribuciones sobre modelos que intentan representar el miocito integralmente. Algunas formulan la dinámica de transferencia de masa entre los diferentes elementos celulares que se interpretan como “compartimientos” (Tang y Othmer, 1994, Hamah et al, 2000, Roche et al, 2003, Rocaries et al, 2004), describiendo solo los fenómenos cinético-químicos involucrados. Estos modelos logran una buena predicción del comportamiento de la dinámica de calcio pero no pueden predecir el comportamiento eléctrico de la célula y es éste precisamente el que se detecta más rápidamente a nivel clínico en un paciente. Por otra parte, existen modelos dedicados solo a la descripción de los fenómenos eléctricos, que interpretan la célula como una pila o batería, y que obtienen una correcta predicción de la dinámica de voltaje más no de la concentración de calcio. Actualmente existen muchos trabajos realizados bajo esta perspectiva, sin embargo, la mayoría de ellos están basados en las propuestas iniciales planteadas en el modelo de Luo y Rudy, 1994 y en el modelo de Noble, 1994.
Este trabajo de tesis se enfoca fundamentalmente a la obtención de un modelo dinámico global de la célula cardiaca, que contenga una descripción tanto de los fenómenos químicos y de transferencia de masa, como de los eléctricos, y de las interrelaciones entre ellos. Para lograrlo, se propone interpretar la célula como un sistema de micro-reactores químicos interconectados. Naturalmente se incluyen las descripciones disponibles de subsistemas celulares bien conocidos y se trabaja en el mejoramiento de otras. Se desea obtener un modelo que posea una estructura básica fundamentada en la fenomenología del proceso y que permita entonces aislar efectos en elementos específicos del sistema. Sin embargo, los elementos muy complejos y/o imperfectamente comprendidos se representan con estructuras más sencillas de parámetros ajustables. Esto apunta a un doble propósito: evitar una excesiva complejidad del modelo y permitir su adaptación a diferentes situaciones.
En resumen se orienta el desarrollo del modelo a formular de manera que se logre:
• Que las ecuaciones matemáticas del modelo representen tanto la dinámica química como la dinámica eléctrica. Esto permite estudiar las importantes interdependencias que existen entre ellas y representar efectivamente a la célula en su totalidad.
• Que se pueda utilizar el conocimiento fenomenológico existente de cada elemento celular en este modelo global. En este sentido, la estructura del nuevo modelo debe ser capaz de asociar parámetros matemáticos a elementos celulares específicos permitiendo así la identificación de cada una de las partes que componen el miocito.
• Que se garantice el compromiso entre “complejidad” y “computabilidad”, pues si bien es cierto que la fenomenología puede conllevar a expresiones matemáticas complicadas, también es cierto que a partir de éstas deben obtenerse soluciones numéricas a la vez rápidas y precisas.
• Que el modelo pueda ajustarse a distintas condiciones (por ejemplo: estudio de diferentes especies animales) y/o someterse a perturbaciones (por ejemplo: inyección de drogas). Esto tiene como ventaja ampliar el alcance de las aplicaciones del modelo.
Por otra parte, la necesidad de integrar el conocimiento e información generado por los diversos modelos matemáticos formulados y el avance en materia de informática en las últimas décadas han permitido el desarrollo de una gran cantidad de simuladores. Los simuladores celulares, utilizan algún lenguaje de programación (FORTRAN®, C+®, DELPHIS®, MATLAB®) para la resolución numérica automática de los modelos, reproduciendo el comportamiento de una célula real, razón por la cual, muchos investigadores denominan a los simuladores: “células virtuales” (Zhang et al, 2003). Los simuladores permiten modificar los valores de los parámetros del modelo, lo que equivale al estudio de la célula bajo diferentes condiciones. De esta manera se ahorra tiempo y dinero en el diseño de protocolos experimentales y en la búsqueda de tratamientos para las enfermedades cardiacas. Así mismo, los simuladores se usan como herramienta de enseñanza didáctica en el medio académico.
La evolución de las “células virtuales” sigue la misma tendencia que la de los modelos matemáticos globales y hoy día la mayoría de estos simuladores sólo están enfocados en describir de manera parcial el comportamiento de las células cardiacas. Específicamente, todos los simuladores desarrollados hasta el momento y que se describen a continuación, utilizan modelos
del miocito que representan muy bien la dinámica eléctrica pero que fallan en la predicción de la dinámica química:
• OxSoft HEART®: se comenzó a desarrollar desde el año 1984 y está basado en los diferentes modelos propuestos por Denis Noble (Noble et al., 1994) y/o Raimond Winslow (Winslow et al., 1999). Utiliza el lenguaje de programación Borland Pascal® y es bastante rápido: requiere 3 segundos de ejecución de tiempo real para simular 1 segundo del comportamiento celular (Khol y Noble, 2003). La última versión del año 1999, se denomina OxSoft HEART® 4.X (Noble, 1999).
• CardioPrism®: se basa en los modelos propuestos por Luo y Rudy (1994), está dirigido a la industria farmacéutica para el diseño de tratamientos de las enfermedades cardiacas y es netamente comercial (Zenglan, 2001).
• iCell®: es un simulador programado en el lenguaje Java®, el cual es bastante flexible, permitiendo que iCell® pueda ejecutarse en línea desde Internet®, sin importar el sistema operativo disponible en el computador. No obstante, para ejecutar iCell® sin conexión a Internet es necesario pedir un permiso especial a sus creadores (Demir, 1998). También se basa en un modelo eléctrico desarrollado a partir del modelo propuesto por Luo y Rudy
En los últimos años, la disponibilidad de lenguajes de programación que emulan pantallas con gráficos integrados tipo ventanas (Windows®) han permitido el desarrollo de simuladores mucho más potentes desde el punto de vista gráfico. Tal es el caso de LabHeart® (Puglisi y Bers, 2001) que utiliza el lenguaje de programación LabView® para implementar modelos celulares y presentarlos en una interfaz bastante amigable para los usuarios. Sin embargo, LabHeart® es bastante lento, pues para obtener 1 s de simulación de una célula de miocito de cerdo, con un modelo relativamente sencillo como el de Luo y Rudy (1994), requiere ejecutar 10 s de tiempo real en un procesador del tipo Intel Pentium IV 1.8 Ghz. Esto es debido a las limitaciones incapacidad del lenguaje de programación LabView® para resolver con rapidez las complejas ecuaciones matemáticas propias de los modelos celulares (Khol y Noble, 2003).
En este trabajo se pretende también desarrollar un simulador de la célula cardiaca bajo un sistema operativo tipo ventanas que permita al usuario la resolución dirigida del modelo propuesto. Los objetivos en este aspecto se pueden resumir en lo siguiente:
• Que el modelo propuesto pueda ser utilizado por médicos y biólogos para fines académicos o investigativos. En este sentido, el simulador del modelo debe ser intuitivo y amigable sin que esto sacrifique la rapidez y precisión de la resolución numérica, y con una buena ayuda gráfica.
• Que sea posible un proceso de ajuste interactivo del modelo para emular situaciones experimentales reales, indicando al usuario cuáles parámetros asociados a elementos celulares específicos deben ser modificados.
• Que el modelo pueda ser comparado con otros modelos disponibles.
El presente documento está organizado en seis capítulos de la siguiente manera:
• En el capítulo 1 se describe el sistema miocito. Se presenta un breve resumen sobre la anatomía y el comportamiento de la célula cardiaca: se detallan los componentes de la célula que permiten el movimiento de contracción y relajación y se explica la fisiología básica del proceso que da lugar a este movimiento.
• En el capítulo 2 se realiza una revisión histórica de los modelos matemáticos existentes para representar en todo o en parte a la célula cardiaca. Se retoman las leyes fenomenológicas utilizadas en cada caso y se analizan la aplicabilidad y las limitaciones de cada modelo. Se resumen las diferentes contribuciones de modelado de los diversos fenómenos físicos, químicos y eléctricos aislados del miocito y se presenta una breve revisión de los modelos celulares conocidos hasta el presente.
• En el capítulo 3 se desarrolla el nuevo modelo matemático de la célula cardiaca. Para ello, se concibe la célula como un sistema de micro-reactores interconectados que tienen características y fronteras claramente definidas. En función de esta perspectiva se
formulan las ecuaciones del modelo, estipulando las consideraciones físicas, simplificaciones, parámetros y condiciones de borde necesarias.
• En el capítulo 4 se obtiene la resolución numérica del modelo planteado en el capítulo 3, precisando sus variables de entrada y de salida y formulando sus condiciones iniciales. Se realizan las validaciones del modelo en diferentes situaciones que permiten comparar sus resultados con los de otros modelos propuestos en la literatura, y también adaptarlo a células de diferentes especies. En particular se valida el modelo para miocitos de pollo, de perro, y de conejo y para el miocito humano. En este capítulo además se presenta un detallado estudio de sensibilidad del modelo, que permite analizar cuáles variaciones paramétricas inducen cambios y de qué tipo en los perfiles de las respuestas temporales.
• En el capítulo 5 se desarrolla el simulador que contiene el modelo propuesto. Se explican las funciones y comandos diseñados para utilizarlo y se muestra una de sus aplicaciones para validar los efectos que inducen la inyección de ciertas drogas (Cafeína, Forskolin, Rojo de Rutenio y Tapsigargin) en la dinámica de calcio y de voltaje. Así mismo se plantean ideas para extender las capacidades del simulador en el futuro.
• Finalmente se concluye acerca de los aportes de este trabajo y se discuten las perspectivas de avance en esta área de investigación.
“Nada en la vida es para ser temido solo para ser entendido”. -Marie Curie-
La célula cardiaca también llamada miocito o cardiomiocito forma en gran parte el tejido cardiaco y constituye un sistema biológico altamente especializado. En el miocito ocurren una serie de fenómenos electroquímicos muy complejos que involucran principalmente a las especies iónicas Ca 2+ , K + y Na + y que dan lugar a un especial ciclo de contracción y relajación que cumple la célula y que es el responsable del movimiento rítmico del corazón. En consecuencia la comprensión de la dinámica iónica y en especial del ión calcio es indispensable en las investigaciones sobre cualquier aspecto relativo al corazón o sus patologías.
En este capítulo se presenta un breve resumen sobre la anatomía y el comportamiento de la célula cardiaca. En la sección 1.2 se describen los componentes de la célula y aquellos elementos presentes en ella, que permiten el movimiento de contracción y relajación. La fisiología básica del proceso que da lugar a este movimiento se explica en la sección 1.3.
1.2 ANATOMÍA DE LA CÉLULA CARDIACA.
A pesar de las diferentes funciones que realizan las células del cuerpo humano, todas ellas presentan
una estructura común y general (Guyton, 1994). En tal sentido, en la célula cardiaca se distinguen: (i)
la membrana celular o sarcolema que rodea a la célula y la separa del medio exterior; (ii) el citoplasma o
citosol que es una matriz líquida donde están suspendidos todos los elementos celulares; (iii) el núcleo que
sirve para la reproducción celular. Sin embargo, en el miocito existen además otros importantes elementos: (iv) el retículo sarcoplásmico que es una estructura que se encuentra dentro del citosol y actúa como un regulador al acumular o liberar los iones de calcio; (v) las miofibrillas que son haces moleculares (o sarcómeros) que están suspendidos en el citosol y son las unidades contráctiles de la célula.
En la figura 1.1 se muestra un dibujo aproximado de una célula cardiaca y seguidamente se presentan las descripciones de sus diferentes componentes.
Figura 1.1 La célula cardiaca 1 .
1.2.1 El Sarcolema.
El sarcolema es una estructura delgada y elástica formada casi por completo por proteínas y lípidos cuyo papel fundamental es regular el intercambio de iones entre los medios intra y extra celular (Bray et al., 1994). Para ello, la membrana contiene proteínas integrales que protruyen a su través y que proporcionan canales estructurales o poros por medio de los cuales se pueden difundir las
http://www.biology.eku.edu/RITCHISO/301notes3.htm.
“EKU
sustancias hidrosolubles, en especial los iones, desde el interior hacia el exterior de la célula y viceversa. Los poros o canales del sarcolema son altamente selectivos porque su activación depende del tipo de afinidad química y/o eléctrica que presenta cada ión con los elementos que constituyen el canal.
Otras proteínas integrales del sarcolema actúan como proteínas transportadoras para llevar sustancias en sentido opuesto a su sentido natural de difusión, esto es, desde el medio de menor concentración hasta el medio de mayor concentración. Este transporte requiere el consumo de energía la cual proviene del ciclo de transformación del ATP 2 .
Los más importantes canales encontrados en el sarcolema son: los canales de calcio o canales L, los canales de potasio y los canales rápidos de sodio. Así mismo, las principales proteínas transportadoras son llamadas el “intercambiador Na + -Ca 2+ ”, la “bomba Na + -K + ” y la “bomba ATPasa” del sarcolema.
La figura 1.2 muestra un diagrama esquemático de la célula cardiaca donde están señalados los diferentes elementos que la componen y también se muestran las concentraciones iónicas típicas que existen en el medio extracelular y aquellas que hay en el citosol en estado de reposo.
1.2.2 El retículo sarcoplásmico.
El retículo sarcoplásmico (SR) es una estructura en forma de red localizada en el citosol y abrazada al sarcolema mediante interconexiones (invaginaciones del sarcolema) en forma de tubos denominados “tubos T” (Bray et al., 1994). Contiene altas concentraciones de calcio iónico que es liberado hacia el citosol mediante canales llamados “canales de Rianodina” (Fabiato, 1985). El
2 Como es bien sabido el ATP o Adenosin Trifosfato es una enzima sintetizada abundantemente en todas las células, que en medio acuoso sufre lo que se denomina hidrólisis o desfosforilación del ATP. Esto es una reacción química que libera una gran cantidad de energía que es aprovechada por otras reacciones a diferentes niveles en las células (Kargacin y Kargacin, 1997).
calcio liberado es luego recapturado por una proteína transportadora embebida en el retículo sarcoplásmico y denominada “bomba SERCA”. La función principal del retículo sarcoplásmico es controlar la liberación y recaptura de calcio en el citosol. (Ver figuras 1.1 y 1.2).
Concentraciones en el medio extracelular
K + 140 mM
Na + 5-15 mM
Ca 2+ 0,1 µM
Cl - 5-15 mM
Concentraciones en reposo
Na + -Ca 2+
del Sarcolemma
Bomba SERCA
Canales de K +
Bomba Na + -K +
Figura 1.2 Diagrama esquemático del miocito.
1.2.3 Las miofibrillas.
Las Miofibrillas o unidades contráctiles de la célula cardiaca son pequeñas fibras que contienen repetidos grupos moleculares llamados sarcómeros, los cuales representan la unidad básica o elemental de contracción del miocito. El sarcómero está compuesto principalmente por dos filamentos proteicos: miosina y actina y se muestran esquemáticamente en la figura 1.3. La miosina es el filamento grueso del sarcómero, contiene dos cabezas o sitios activos para el ATP y posee un peso molecular de ~470 kDa. Existen aproximadamente 300 moléculas de miosina por cada filamento de actina. La actina es el filamento delgado del sarcómero que contiene además la tropomiosina y la troponina. Este conjunto es denominado el “complejo proteico regulatorio” (ver figura 1.4).
La actina es una proteína globular colocada sobre un arreglo de unidades repetidas que forma una hélice y que está intercalada con la tropomiosina en la relación de 6-7 moléculas de actina por una de tropomiosina (ver figura 1.4). La tropomiosina contiene a su vez intervalos regulares del complejo de troponina el cual está hecho de tres subunidades: troponina T (TN-T), troponina-C (TN-C), que sirve de sitio activo para el calcio y troponina-I (TN-I) la cual inhibe el sitio de activación entre la miosina y la actina (Bray et al., 1994).
Las importantes fluctuaciones que ocurren en la concentración de calcio iónico presente en el citosol dan lugar a las interacciones físicas y químicas que ocurren entre la actina, la miosina, el ATP y el ión calcio, que hacen que el sarcómero cambie de longitud causando la contracción de las miofibrillas. Este proceso se explica en la sección 1.3.
Figura 1.3 Esquema del Sarcómero 3 .
http://www.scientia.org/cadonline/Biology/specialcells/sarcomere.ASP.
“Scientia
Figura 1.4 Detalle en las miofibrillas 4 .
1.2.4 Elementos celulares.
Todas las proteínas (canales y proteínas transportadoras) contenidas en el sarcolema y en el retículo sarcoplásmico juegan un rol importante en la ocurrencia y regulación de los procesos fisiológicos del miocito, por lo tanto, en los próximos párrafos se describe en una forma detallada, la función y composición de estos elementos.
Canales L:
Los canales L o canales de calcio son proteínas muy especializadas que seleccionan los iones de calcio en el exterior, donde se encuentran en menor proporción respecto a los otros iones de Na + y K + , para hacerlos pasar hacia el interior de la célula. Cada canal L está compuesto por cuatro grupos carboxilatos que contienen a su vez subunidades llamadas α1, α2, δ y β (ver figura 1.5) formadas por 300-400 aminoácidos repetidos en secuencias de cuatro5. La subunidad α1, es una subunidad larga de peso molecular 175-230 kDa capaz de responder a cambios de voltaje 6 . El resto del canal es altamente sensible a enlazarse con iones calcio. Para que el canal L se active o se “abra” y deje pasar los iones calcio, es necesario que la subunidad α1 detecte un voltaje positivo en la membrana. La desactivación o “cierre” del canal ocurre cuando existe un voltaje negativo en la membrana y un aumento en la concentración de calcio iónico en el citosol (Chunlei, 2001).
4 Figura tomada de la base de datos de “Harris and Sabbadini Courses” disponible en:
http://www.sci.sdsu.edu/movies/actin_myosin_gif.html.
5 Una revisión más detallada de estos canales puede encontrarse en la base de datos de “Med web Voltage-operated calcium channels (VOCC)” disponible en: http:// medweb.bham.ac.uk/ research/ calcium/ Homeostasis/ VOCC.html # anchor414561.
6 El voltaje es un importante mecanismo regulador en la función de la célula cardiaca y en las funciones que llevan a cabo los diferentes elementos celulares que la componen. Este fenómeno se debe a la diferencia de concentraciones iónicas que existe entre el medio extra e intracelular y la explicación de su comportamiento y papel regulador en el miocito es dado con mayor detalle en la sección 1.3.
Canales rápidos de sodio:
Figura 1.5 Canales L 7 .
Los canales de sodio son proteínas capaces de generar rápidamente un cambio de voltaje en
el sarcolema, de allí que se denominen canales rápidos de sodio. Cada canal posee una
subunidad principal que es una cadena polipéptida de más de 1800 aminoácidos 8 . La cadena
contiene a su vez segmentos con lados no polares que interactúan con los lípidos de la
membrana celular formando grupos denominados alfa hélices de transmembrana. Existen
aproximadamente 24 grupos alfa hélices por cadena polipéptida. En la figura 1.6 se muestra
4 grupos de alfa hélices que forman filas a lo largo del sarcolema. Cada grupo posee una
secuencia similar de aminoácidos constituyendo bloques con una simetría cíclica que permite
formar poros (figura 1.7). Los poros o canales son altamente selectivos pues iones
parecidos al Na + como el ión K + no pueden atravesarlos. La actividad de estos canales está
modulada por el voltaje en el sarcolema (Oin et al., 2000).
7 Figura tomada de Striessnig, 1999. 8 Una revisión más detallada puede encontrarse en la base de datos de “Transport Classification” disponible en:
http://tcdb.ucsd.edu/index.php.
Figura 1.6 Canales de Na + 9 .
Figura 1.7 Poro del canal de Na + 10 .
Los canales de potasio son proteínas que se activan por el calcio intracelular y el voltaje positivo en la membrana (Magleby y Pallotta, 1983, Methfessel y Boheim, 1982, Wong et al., 1982). Una vez abiertos, existe un flujo pasivo de potasio hacia el medio extracelular lo que hace que el voltaje en la membrana celular se haga más negativo. De esta forma los canales de potasio contribuyen a regular el voltaje en la célula lo que es muy importante para su funcionamiento. Algunas de las regiones que conforman el poro del canal de potasio han sido identificadas, encontrándose subunidades llamadas α que forman estructuras muy parecidas a tetrámeros de manera similar a los canales L (Shen et al., 1994). Además dentro de dichos tetrámeros se encuentra también un censor o elemento sensible al voltaje denominado S4 y sitios de alta afinidad con el calcio intracelular (Atkinson et al., 1991; Butler et al., 1993). En la figura 1.8 se muestra un esquema de estos canales de transmembrana.
9 Figura tomada de la base de datos de “Transport Classification” disponible en: http://tcdb.ucsd.edu/index.php. 10 Figura tomada de la base de datos de “Transport Classification” disponible en: http://tcdb.ucsd.edu/index.php.
Figura 1.8 Canales de potasio 11 .
Canales de Rianodina o Canales R:
Denominados así debido a que dichos canales se bloquean con un alcaloide denominado Rianodina, son proteínas embebidas en la membrana del retículo sarcoplásmico que presentan una conformación tetraédrica como se muestra en la figura 1.9. Su conformación tiene dos caras, una hacia el citosol y otra hacia el retículo sarcoplásmico. Los canales de Rianodina son altamente sensibles a los cambios de concentraciones de ión calcio en el citosol, donde tienen sus puntos activos y se abren o cierran de acuerdo a los cambios en dicha concentración (Fabiato, 1985; Tang y Othmer, 1994). La apertura de estos canales permite el paso difusivo de calcio desde el retículo sarcoplásmico hacia el citosol.
Figura 1.9 Canales de Rianodina 12 .
11 Figura tomada de la base de datos de “Transport Classification” disponible en: http://tcdb.ucsd.edu/index.php. 12 Figura tomada de la base de datos de “Diwan, Rensselaer Biochemistry of Metabolism Course” disponible en:
http://www.rpi.edu/dept/bcbp/molbiochem/MBWeb/mb1/part2/casignal.htm.
b) Proteínas Transportadoras:
Intercambiador Na + -Ca 2+ :
El intercambiador Na + -Ca 2+ es una proteína construida por 970 aminoácidos que tiene un peso molecular de 108 kDa. Esta proteína contiene dos grupos de transmembrana que son segmentos separados por un largo lazo citoplasmático de aproximadamente 500 aminoácidos. Los dos grupos de transmembrana contienen sendos sitios reguladores los cuales tienen la propiedad de servir de puentes entre la célula y el medio extracelular para transportar los iones Na + y Ca 2+ en contra de su sentido natural de difusión. Uno de los sitios es afín con el ión calcio (Levitsky et al., 1994) y el otro sitio es modulado por el voltaje del sarcolema. La principal función del intercambiador es extraer calcio del citosol en una relación estequiométrica fija: por cada ión calcio extraído se inyectan tres iones sodio desde el exterior hacia el citosol. La actividad del intercambiador es inversamente proporcional a la concentración de calcio en el citosol. Se considera que el intercambiador es el principal mecanismo de salida de calcio desde el citosol hacia el medio exterior. La figura 1.10 muestra un esquema del intercambiador Na + -Ca 2+ .
Sar colema
Ca 2+ sitio
Figura 1.10 Esquema del intercambiador Na + -Ca 2+ .
• Bomba Na + -K + :
Es una proteína conformada por dos unidades esenciales α y β. La unidad α es catalítica y afín con el Na + y el K + y se encuentra modulada por la hidrólisis del ATP. La unidad β es requerida para la inserción y estabilidad de la bomba Na + -K + en el sarcolema y también para el transporte del Na + y del K + (Therien y Blostein, 1999). La bomba Na + -K + usa la energía derivada de la hidrólisis de una molécula de ATP para extraer tres iones de Na + del citosol e importar dos iones de K + en contra del sentido natural de difusión de ambos iones. La actividad de la bomba Na + -K + es modulada por la concentración del Na + y del K + y por el voltaje. De hecho el aumento de voltaje en el sarcolema estimula la actividad de la bomba Na + -K + . La figura 1.11 muestra el cambio conformacional que ocurre para que la bomba Na + -K + funcione.
• Bomba ATPasa del Sarcolema y bomba SERCA:
Ambas proteínas pertenecen a la misma familia de las bombas tipo ATPasa (MacLennan y Kranias, 2003) por lo cual su estructura y mecanismo de activación son similares. Son proteínas enzimáticas de transmembrana que poseen un peso molecular de 110 kDa (Mahaney et al., 2000). Contienen un sitio de acción específico para el ATP y dos sitios específicos para el ión calcio y usan la energía que proporciona la hidrólisis del ATP para mover el ión calcio en contra del sentido natural de difusión. La bomba ATPasa del sarcolema mueve el calcio hacia el medio extracelular y la bomba SERCA captura el calcio del citosol para llenar el retículo sarcoplásmico. La figura 1.12 muestra la enzima de la bomba SERCA y la figura 1.13 muestra el cambio conformacional que ocurre en la enzima de dichas bombas para que el transporte de los dos iones de calcio tenga lugar.
Figura 1.11 Bomba Na + -K + y su ciclo de activación 13 .
Figura 1.12 Enzima de la bomba SERCA 14 .
http://www.cbc.umn.edu/~mwd/cell_www/chapter2/Na-Kpump.html.
14 Figura tomada de la base de datos de “Diwan, Rensselaer Biochemistry of Metabolism Course” disponible en:
Figura 1.13 Ciclo de activación de la bomba SERCA 15 .
1.3 FISIOLOGÍA DE LA CÉLULA CARDÍACA.
Inicialmente la célula cardiaca se encuentra en condición de reposo (relajada) con un voltaje o “potencial de reposo” y una concentración mínima de calcio en el citosol (0,1 µM). El potencial de reposo existe debido a la diferencia de concentraciones iónicas entre un lado y otro de la membrana
celular (ver figura 1.2). El sarcolema es selectivamente permeable al ión K + pero no al ión Na + , esto
hace que el ión K + tienda a difundirse hacia afuera dejando una carga negativa en el citosol. valores típicos para este potencial de reposo varían entre -90 a -60 mV (Chunlei, 2001).
A partir de esta condición de reposo la célula está preparada para que ocurran una serie de
fenómenos de transferencia de masa, transformaciones químicas y flujos iónicos dentro de ella, que a su vez dan lugar al proceso de excitación-contracción y relajación. Aunque estos fenómenos son simultáneos y continuos dentro del miocito, el proceso de excitación-contracción y relajación puede ser descrito secuencialmente mediante una serie de eventos concatenados como se explica a continuación.
El primer evento (I) o excitación consiste en la entrada del ión calcio desde el medio extracelular
hacia el citosol y ocurre en buena medida por un gradiente de concentración. Este evento se
15 Figura tomada de la base de datos de “Diwan, Rensselaer Biochemistry of Metabolism Course” disponible en:
desencadena a partir de una señal eléctrica externa 16 que estimula el voltaje o potencial del sarcolema (Bray et al., 1994) y hace que el interior de la célula sea menos negativo en voltaje, el cual pasa de - 80mV a 0 mV (figura 1.14). Como consecuencia directa de esta acción, lo canales que son dependientes del voltaje se activan.
En términos de voltaje este período es conocido como despolarización de la membrana. El sarcolema repentinamente se vuelve permeable a los iones de Na + porque los canales rápidos de Na + se abren permitiendo el flujo de estos iones al interior del miocito. A su vez el potencial de membrana aumenta más y rápidamente y comienza a ser más positivo, subiendo hasta los 35 mV (Fox et al., 2001).
Simultáneamente los canales L se activan (Zahradnikova et al., 1999), permitiendo la difusión de iones de Ca 2+ desde el exterior de la célula hacia el citosol. La concentración de calcio extracelular es del orden de 2000 µM, comparativamente muy superior a la del citosol en su estado de reposo (0,1 µM). Este gradiente químico es el que impulsa la entrada de calcio al citosol aumentando su concentración desde 0,1 µM hasta 0,14 µM (Lecarpentier, 1996 - Ver figura 1.15). Estos canales permanecen activos un cierto período en el que en consecuencia el potencial de acción se estabiliza y presenta una forma de meseta o “plateau” típico de los miocitos ventriculares (figura 1.14).
- Segundo evento:
El aumento de la concentración del ión calcio en el citosol, es capaz a su vez de estimular los canales de Rianodina existentes en la membrana del retículo sarcoplásmico el cual es muy rico en este ión 17 . Los canales de Rianodina se abren mediante una reacción química entre el calcio presente en el citosol y la proteína que conforma el canal dando lugar al segundo evento (II) que es un flujo de calcio desde el retículo sarcoplásmico hacia el citosol. Con este flujo adicional de calcio se aumenta
16 La naturaleza de esta señal eléctrica es poco conocida debido a que involucra otros sistemas físicos como el sistema nervioso y el sistema endocrino (Guyton, 1994; Bray et al., 1994), lo cual hace que su descripción sea muy compleja. Por esta razón muchos autores (Jafri et al., 1998; Fox et al., 2001) se han limitado a describirla como un pulso eléctrico que toca el sarcolema sin tomar en cuenta las causas que la determinan. Esta aproximación es suficiente en términos de la comprensión y modelado de la célula cardiaca y su función.
17 Contiene una concentración de iones calcio de ~ 500- 320 µM en estado de reposo (Negretti et al., 1995; Fox et al.,
aún más la concentración del ión calcio en el citosol hasta valores de 1 µM, con una duración
aproximada de 200 ms (Lecarpentier et al., 1996). (Ver figura 1.15).
II y III Fase Meseta
Re- polarización
Figura 1.14 Potencial de membrana.
Figura 1.15 Dinámica de Calcio.
- Tercer evento:
El tercer evento (III) es la contracción de las miofibrillas. El calcio liberado desde el retículo sarcoplásmico irriga las miofibrillas produciéndose una reacción entre las proteínas que las conforman y el ión calcio (Smith et al., 2000). La reacción en un detalle más específico ocurre de la siguiente manera: el ión calcio libre o excedente es atractivo para los sitios activos de troponina C (TN-C). Cuando la TN-C se enlaza al ión calcio se induce un cambio conformacional en el sitio regulador de la troponina-I (TN-I) el cual muestra su sitio activo para que la actina la miosina y el ATP reaccionen. Cuando la hidrólisis del ATP ocurre el complejo actina-miosina formado se desplaza produciendo la contracción del sarcómero o movimiento o deslizamiento de las miofibrillas. Estos ciclos de contracción ocurren mientras la concentración de calcio en el citosol se mantiene elevada. Entre tanto, la dinámica de voltaje continúa en su fase meseta gracias a la lenta inhibición de los canales L (figura 1.14).
- Cuarto evento:
El cuarto evento (IV) consiste en la salida del ión calcio desde el citosol hacia el retículo sarcoplásmico y hacia el espacio extracelular, con la consecuente relajación de las miofibrillas. Con la salida del ión calcio los valores de reposo para el voltaje y concentración de calcio se reestablecen mediante los siguientes mecanismos:
a) Recuperación del valor de reposo para el voltaje: los canales rápidos de sodio y los canales L se cierran y
los canales de potasio junto con la bomba Na + -K + reestablecen rápidamente el potencial de membrana, retornando la célula a un voltaje negativo. Este proceso es conocido como re- polarización de la membrana (ver figura 1.14) y puede tener una duración entre 200 a 400 ms (Fox et al., 2001).
b) Recuperación del valor de reposo para la concentración de calcio: la bomba SERCA, presente en el retículo sarcoplásmico, aumenta su actividad (MacLennan y Kranias, 2003) debido al alto valor de concentración de calcio alcanzado en el citosol (1 µM) y recaptura el ión calcio hacia el retículo sarcoplásmico en contra del gradiente químico utilizando para ello la energía que proporciona la
hidrólisis del ATP. Paralelamente el ión calcio es también extraído del citosol hacia el medio extracelular mediante la actividad del intercambiador Na + -Ca 2+ y de la bomba ATPasa del sarcolema. En consecuencia la concentración de calcio en el citosol se reduce (0,1 µM) y el ión calcio es removido de la troponina TN-C con lo cual se reactiva el sitio inhibitorio de la troponina TN-I lo que provoca la restauración de la longitud del sarcómero y la relajación de las miofibrillas. Este proceso es más lento (figura 1.15) respecto al proceso de recuperación de voltaje de reposo (figura 1.14) ya que el transporte del ión calcio se realiza en contra del gradiente químico y requiere de diferentes cambios conformacionales en las proteínas transportadoras y del consumo de energía.
Un estudio riguroso y detallado sobre la fisiología y anatomía del miocito puede ser encontrado en libros especializados de fisiología celular (Bray et al., 1994; Guyton et al., 1994). En este capítulo se han explicado brevemente los elementos celulares que componen el miocito y los fenómenos químicos y eléctricos que tienen lugar entre ellos y que son esenciales para la contracción y relajación de la célula cardiaca. Otros fenómenos que suceden en el miocito como en todas las células vivas (conversión de energía, ósmosis, tráfico vesicular, etc…) no se han tomado en cuenta porque o bien son poco conocidos o bien su influencia directa en el proceso de excitación-contracción y relajación puede ser considerada poco significativa.
Las descripciones dadas en este capítulo corresponden a los conocimientos mínimos e indispensables que se requieren para entender las contribuciones de los modelos matemáticos existentes que explican la fenomenología de la célula cardiaca y en especial cómo las dinámicas iónica y eléctrica afectan el proceso de excitación-contracción y relajación. Una revisión histórica sobre estos modelos se realiza en el próximo capítulo.
Para finalizar, se ha revelado la clara interdependencia que existe entre el potencial de membrana y la dinámica de calcio y su rol en la activación de las miofibrillas (Berridge et al., 2003), lo cual puede ser resumido de la siguiente manera: (i) Un potencial de acción (pulso externo de voltaje) desencadena un importante flujo difusivo del ión calcio desde el exterior de la célula y después también desde el
retículo sarcoplásmico hacia el citosol debido a la activación de los canales L y de Rianodina respectivamente. (ii) En respuesta al consecuente aumento de la concentración del ión calcio en el citosol, se estimula la actividad de las miofibrillas y éstas se contraen. (iv) Seguidamente se retorna al estado de reposo (relajación de miofibrillas) mediante una gran cantidad de reacciones en cadena, donde intervienen proteínas altamente especializadas como la bomba SERCA y el intercambiador Na + -Ca 2+ que extraen el ión calcio en exceso en el citosol transportándolo hacia el interior del retículo sarcoplásmico y hacia el medio extracelular.
“Las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas, y por regla general pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos”. -Albert Einstein-
Un modelo es la representación matemática aproximada de un sistema, que se utiliza para reproducir y predecir su comportamiento bajo diversas condiciones. Para realizar la representación, los modelos formalizan en un lenguaje matemático el conocimiento que se tiene del sistema, en general, utilizando las leyes que rigen los diferentes fenómenos que ocurren en él.
En el campo de la biología y la medicina, los modelos matemáticos pueden ayudar a mejorar la comprensión de diferentes mecanismos celulares u orgánicos, de las interacciones entre distintos
subsistemas, de la evolución de enfermedades, etc
fácilmente estudiadas a nivel experimental. La resolución de los modelos permite predecir el comportamiento de los sistemas y luego reduce el esfuerzo invertido en realizaciones físicas de experimentos. Esto disminuye drásticamente el tiempo necesario para ejecutar y mejorar las investigaciones con la consecuente disminución de los costos en recursos humanos y materiales. Por ejemplo la industria farmacéutica se ha basado tradicionalmente en el método de ensayo y error para las pruebas de los fármacos y muchos de esos errores se han pagado de manera muy costosa (Kohl et al., 2000). Los modelos matemáticos pueden reducir estos riesgos simulando los efectos no sólo inmediatos sino secundarios de sustancias específicas y ayudando a explorar y estandarizar nuevos protocolos experimentales.
e investigar situaciones que no pueden ser
El modelado matemático de un sistema puede enfrentarse de diferentes maneras, dependiendo del nivel de conocimiento que se posea del mismo. La manera más usual de realizar un modelo es describir matemáticamente todos los fenómenos que ocurren, para lo cual éstos deben ser bien conocidos y comprendidos. Este tipo de modelo se denomina “fenomenológico” y permite identificar y relacionar matemáticamente, mediante parámetros numéricos, los procesos descritos por el modelo con la estructura física del sistema. Los parámetros del modelo poseen entonces un significado físico, por ejemplo: coeficientes de difusión, energías de activación, coeficientes cinéticos, etc. Sin embargo, establecer un modelo fenomenológico puede llegar a ser muy complejo. Además de la dificultad de establecer las ecuaciones del modelo, la medición correcta de los parámetros numéricos asociados a un modelo particular puede conllevar a una vasta cantidad de costosos procedimientos y puede no ser siempre posible.
Otra importante forma de enfrentar el modelado que salva este tipo de dificultades, es la que constituyen las técnicas de “identificación”. La identificación es un procedimiento que permite construir un modelo matemático de un sistema dinámico a partir de mediciones de sus respuestas ante entradas conocidas (Ljung, 1987). La construcción del modelo a partir de los
datos de entrada y de salida del sistema involucra tres aspectos básicos: los datos, un conjunto de familias de modelos matemáticos y la regla que permite verificar la validez del modelo al utilizar los datos (Soderstrom y Stoica, 1990). La elección de la familia (o estructura) del modelo es una etapa esencial y difícil en el proceso de identificación. Cuando se posee conocimiento a priori del sistema éste se puede usar para configurar o poner restricciones sobre la estructura del modelo.
Si no es posible asumir una estructura se debe recurrir a modelos generales como por ejemplo:
modelos lineales entrada-salida, modelos no lineales basados en redes neuronales, etc. Los parámetros en este caso se ajustan con métodos de optimización convencionales (búsqueda de mínimo cuadrático, descenso por gradiente, método de Newton, entre otros) y no reflejan ninguna consideración física. Los modelos resultantes sólo reproducen el comportamiento entrada-salida del sistema y se llaman por tanto de tipo “caja negra”, en contraposición a los modelos fenomenológicos o de tipo “caja blanca”.
A nivel de los sistemas biológicos, específicamente del sistema célula cardiaca, usualmente es de
más interés estudiar con detalle su fenomenología. Actualmente existen conocimientos
adecuados sobre algunos fenómenos celulares de los que se dispone modelos matemáticos relativamente bien comprendidos y aceptados (Fox et al., 2001, Luo y Rudy, 1994), mientras que otros fenómenos aun no pueden ser completamente explicados debido a la enorme complejidad de los mismos. En estas situaciones lo más eficaz es enfrentar el modelado global de la célula combinando los conocimientos comprobados sobre el miocito y estimando los parámetros desconocidos del modelo mediante procesos de identificación que utilicen en cierto grado el conocimiento que se tiene del sistema. Se obtiene así un modelo de tipo “caja gris” que posee una estructura básica fundamentada en la fenomenología del proceso y que permite asociar diferentes efectos a elementos específicos del sistema pero a la vez se mantiene relativamente sencillo y usa parámetros identificados que representan características de elementos no modelados o muy simplificados.
El objetivo de este capítulo es realizar una revisión histórica de los modelos matemáticos existentes para representar en todo o en parte a la célula cardiaca. Se retoman las leyes fenomenológicas utilizadas en cada caso y se analizan la aplicabilidad y las limitaciones de cada modelo. En la sección 2.2 se resumen las diferentes contribuciones de modelado de los diversos fenómenos físicos, químicos y eléctricos aislados del miocito y en la sección 2.3 se presenta una breve revisión de los modelos celulares conocidos hasta el presente.
MODELOS MATEMÁTICOS DE LOS DIVERSOS COMPONENTES CELULARES DEL MIOCITO.
En el sistema miocito ocurren fenómenos complejos de diversa naturaleza, pero principalmente fenómenos de transformación química combinados con transferencia de masa y fenómenos eléctricos. En esta sección se resumen las diversas contribuciones existentes en la literatura sobre estos aspectos, que luego pueden utilizarse en el desarrollo de un modelo global de la célula cardiaca.
El proceso de excitación-contracción y relajación de la célula cardiaca involucra principalmente cambios de concentración del ión calcio en el citosol (transporte del ión calcio) y cambios de
voltaje en el sarcolema (flujos de iones). Por lo tanto el estudio de estas variables dinámicas ayuda a comprender el comportamiento del miocito y de los elementos que lo componen.
2.2.1 Modelado de los fenómenos físico- químicos.
La dinámica de la variable concentración del ión calcio involucra entre otras cosas la actividad de las diferentes proteínas que componen el miocito (canales, proteínas transportadoras y miofibrillas), por lo que el modelado de dicha dinámica implica la descripción matemática del comportamiento de estos elementos celulares.
Los canales del sarcolema cambian su configuración para permitir el paso del calcio hacia el citosol desde el medio extracelular y desde el retículo sarcoplásmico y viceversa. Esto cambios conformacionales son en realidad transformaciones químicas que suceden dentro de las proteínas porque conllevan a la reordenación o redistribución de los átomos para formar otras moléculas.
Las reacciones químicas se estudian considerando los diferentes mecanismos de transformación de un elemento P en otros elementos, y estudiando los cambios físicos y energéticos y la velocidad de transformación de las sustancias.
Un ejemplo sencillo de reacción química aplicado a las transformaciones de las proteínas que constituyen canales es el siguiente:
Figura 2.1 Activación de proteínas.
El elemento P es la proteína en su estado inactivo. Cuando se presenta un estimulo (eléctrico y/
o químico) la proteína se activa (el canal se abre), es decir; se transforma en un elemento
P 1 se recurre a un
mecanismo de reacción que en el caso más sencillo podría ser por ejemplo:
como lo muestra la figura 2.1. Para medir la tasa de transformación entre P y
miden la velocidad de reacción o tasa de cambio entre un elemento y
otro. Estos parámetros pueden depender de la temperatura, concentración de las sustancias y/ o voltaje, por lo tanto se tiene en general:
r i : velocidad de reacción.
C i : concentración para el ión i.
k i : parámetros cinéticos.
El sencillo mecanismo de transición recién propuesto puede ser ampliado a un mecanismo más completo cuando la proteína ( P ) pasa por diferentes estados de transición en reacción conjunta con una molécula típica como el ATP, de la siguiente forma:
P, P , P , P : estados conformacionales de la proteína.
P : fósforo liberado debido a la hidrólisis de ATP.
ADP : Adenosin Difosfato.
: velocidades de reacción.
Este mecanismo podría representar una buena parte de las transformaciones que ocurren en las proteínas de los canales, los intercambiadores, las bombas y las miofibrillas del miocito.
Por otra parte, en general, el modelado fenomenológico (“caja blanca”) de estos elementos es complejo y engorroso y supone conocer con exactitud todos los mecanismos de reacción, es decir, todas las transformaciones o estados de transición de cada proteína bajo estudio. Para ello sería necesario aislar las proteínas y medir todas las velocidades de reacción, las cuales suelen ser muy rápidas y algunas casi instantáneas, requiriéndose para ello, técnicas experimentales que inclusive hoy día aún deben ser perfeccionadas.
Hodgkin-Huxley (1952) plantean un modelo empírico (“caja gris”) que representa a grandes rasgos las transformaciones discutidas arriba. El modelo de Hodgkin -Huxley es específico para canales que son dependientes del voltaje. En tal sentido, la actividad del canal es representada por
un estado abierto ( P ) y otro cerrado ( P ) como en la figura 2.1. El estado cerrado (o inhibido)
, ya que no existen estados intermedios y la transición entre ambos
estados se encuentra modulada por velocidades de reacción únicamente dependientes del voltaje
) las cuales son ajustadas empíricamente de acuerdo con la data experimental
( P ) es en realidad:
disponible. La contribución del modelo Hodgkin-Huxley permite representar varios canales presentes en el sarcolema (Beeler y Reuter, 1977).
Con el paso de los años y los avances en las técnicas experimentales se logran precisar numerosos estados de canal e identificar modulaciones no sólo derivadas del voltaje sino de concentraciones iónicas, como es el caso de los canales L (Brehm y Eckert, 1978).
Otros autores (Luo y Rudy, 1994; Fox et al., 2001) adaptan la teoría de Hodgkin-Huxley agregando estados adicionales de transición y construyendo nuevas relaciones empíricas de velocidad de reacción dependientes no sólo del voltaje sino de las concentraciones iónicas.
El avance computacional hace posible actualmente otros modelados matemáticos para transición de canales. Los modelos Markov (“caja gris”), son modelos estocásticos y probabilísticos sobre los diferentes estados del canal, los cuales suelen ser numerosos (entre 30 y 40 estados diferentes
de transición). Mediante esta técnica es posible medir la probabilidad de apertura del canal
(entre 0 y 1) en función de la concentración iónica, del voltaje y de otros parámetros de ajuste. La ventaja de esta técnica, es que puede obtenerse una fiel representación de los estados del canal donde inclusive se pueden modelar modificaciones genéticas del mismo (Winslow, 2002). Sin embargo, muchas de estas expresiones requieren gran cantidad de parámetros los cuales se obtienen después de numerosos experimentos y conllevan a expresiones matemáticas complejas.
Un ejemplo concreto del modelado probabilístico puede ser visto en la figura 2.2, donde están representados numerosos estados de canal.
Figura 2.2. Estados de transición típicos para un canal de membrana.
La tasa de transición entre un estado y otro, dada por la teoría de Eyring (Urry, 1982), depende
del cambio de entropía, entalpía y carga o valencia del sistema microscópico del canal, como se
 −∆ H
FV 
: constante de boltzmann.
: temperatura absoluta.
h : constante de Plank.
: constante de Faraday.
: constante universal de gases.
r i : tasa de transformación del elemento i
r : valencia para el elemento i.
: cambio de entalpía para el elemento i.
: cambio de entropía para el elemento i.
La probabilidad de apertura o activación del canal está descrita por un sistema de ecuaciones
diferenciales dado por la siguiente ecuación matricial:
∂ P () t
P(t) : vector de probabilidades para medir si el estado del canal está abierto.
W : la matriz con los estados de transición.
La ecuación 2.5 debe satisfacer dos principios fundamentales: (i) la suma de los diferentes estados
de transición debe oscilar entre 0 y 1, (ii) el principio de reversibilidad microscópica derivado del
balance de energía debe cumplirse; es decir, el cambio entálpico y entrópico entre el ciclo de
transición de estados cerrado- abierto - inactivo y el ciclo inactivo- abierto - cerrado deben ser iguales para que el canal pueda cumplir con su ciclo de actividad. Es evidente que con tales requerimientos se debe disponer de una rica data experimental y realizar un vasto cálculo computacional para resolver el sistema y calcular P(t) .
Por otra parte, el modelado matemático de las reacciones químicas que ocurren a nivel de las proteínas transportadoras (bombas) y las miofibrillas encuentra aún muchos más inconvenientes. En cuanto a las proteínas transportadoras, dichas proteínas no sólo interactúan con iones sino con otras moléculas mediante mecanismos de reacción química que no están todavía claros. Adicionalmente las velocidades de reacción se encuentran generalmente moduladas por el voltaje, y por las concentraciones de iones y de proteínas, y es muy complicada la medición de tales variables. Debido a que existen muchas incógnitas sobre los mecanismos de reacción de las proteínas, los modelos propuestos son del tipo “caja gris”, aproximando el comportamiento a las respuestas conocidas del sistema. Uno de los modelos más utilizados de este tipo, ha sido el modelo propuesto por Michaelis-Menten (1913). En este modelo se utiliza el comportamiento observado de muchas proteínas enzimáticas las cuales se saturan a una velocidad máxima de reacción, esto es, alcanzan un nivel de actividad máxima para luego volver a su estado de reposo.
La expresión de velocidad de reacción
r i más conocida de acuerdo a este modelo está dada por:
: valor máximo de velocidad de reacción de la proteína,
: concentración del ión
C a la cual la velocidad de la reacción es la mitad de la
Para determinar gráfica y experimentalmente los valores de
representación de Lineweaver-Burk (Piszkiewicz, 1977) o doble recíproca donde se dibuja el
C i (figura2.3).
inverso de la velocidad de reacción (1/
r i ) frente al inverso de la concentración
Esto genera una línea recta en la cual: (i) la pendiente es
r = 0) es -1/ K
y la ordenada en el origen (1/ C = 0) es 1/ V
, (ii) la abscisa en el origen
Figura 2.3 Identificación de los parámetros
Los diferentes enfoques de modelado explicados hasta aquí para representar la actividad química de las proteínas han servido de base a resultados específicos para cada elemento celular. En los siguientes párrafos se realiza una revisión más específica orientada al modelado de cada elemento presente en el miocito.
a) Modelado de canales:
La apertura de estos canales es estimulada por un cambio en el potencial de membrana (Kamp et al., 2000) pero se ha demostrado que el aumento de la concentración del ión Ca 2+ limita su actividad (Brehm y Eckert, 1978), y luego las velocidades de reacción no son únicamente función del voltaje. Basados en estas observaciones Imredy y Yue (1994)
proponen un mecanismo de transición denominado tipo “switch” compuesto por 12 estados
para los canales L como se muestra a continuación:
O : estado abierto.
i =0, ,4
: estados dependientes del voltaje.
, i =0, ,4
: estados inhibidos por el calcio.
: estado abierto y modulado por el calcio
α, β ,γ ,ω,α', β ' : constantes cinéticas de reacción (Jafri et al., 1998).
a, b, f , g : factores de ajuste (Jafri et al., 1998).
En este mecanismo la apertura de canales depende del voltaje y la inhibición o cierre de los mismos de la concentración del ión calcio. Esta propuesta reproduce el retardo en la desactivación de los canales L, que es determinante en la fase meseta del potencial de membrana. Posteriormente, Jafri y colaboradores (1998) identifican experimentalmente las constantes de reacción asociadas a este mecanismo en miocitos caninos. Sin embargo, los resultados del ajuste no son buenos, porque no se produce la suficiente activación de canales L necesaria para estimular el proceso de excitación-contracción. Además el uso de este mecanismo presupone la resolución de un gran sistema de ecuaciones diferenciales derivado del balance de masa que se genera para cada estado de transición propuesto (12 en total).
Fox y colaboradores (2001), proponen en cambio un mecanismo más sencillo con 3 posibilidades para el canal; a saber:
a) Canal activo: en cualquier instante hay una fracción d
del total de canales activos,
b) Canal susceptible de inhibición por el voltaje: hay una fracción
de estos canales
c) Canal susceptible de inhibición por el voltaje y la concentración del ión calcio: hay una
de estos canales abiertos.
Este esquema de modelado es entonces del tipo Hodgkin –Huxley y para los canales L es en resumen:
Fox y colaboradores realizan el ajuste de este mecanismo a datos experimentales de miocitos caninos (Fox et al., 2001). Los resultados no requieren un excesivo gasto computacional y son satisfactorios en cuanto al período de retardo en el cierre de los canales L correspondiente a la duración de la forma de meseta en el gráfico de comportamiento del potencial de membrana.
1 − f Ca
, β ,α , β
: constantes de reacción dependientes del voltaje.
: constantes de reacción dependientes del voltaje y de la concentración del ión
La actividad de los canales rápidos de sodio depende del voltaje y éstos presentan una apertura muy rápida y breve, por lo que sus mecanismos de reacción pueden ser deducidos estadísticamente mediante los modelos tipo Markov (Oin et al., 2000). Sin embargo, bajo este planteamiento, es necesario realizar el ajuste de todos los parámetros requeridos para los numerosos estados de transición que puedan proponerse. Como alternativa, se formulan mecanismos de transición más sencillos (Kurata et al., 1999), pero debido a la rápida actividad de los canales las constantes de reacción son medidas a voltaje constante con lo cual la dinámica del potencial de membrana no puede representarse.
En resumen, el modelado fenomenológico de los canales rápidos de sodio se encuentra limitado pues no es posible medir con precisión las rápidas velocidades de reacción involucradas en las cinéticas propuestas. Por esta razón, muchos autores como Fox y
colaboradores (2001) y Luo y Rudy (1994) optan por una solución similar a la explicada para los canales L, esto es, reemplazan los numerosos estados del canal por una formulación más sencilla con 3 estados independientes:
a) Canal activo: en cualquier instante hay una fracción m abierta del total de canales
b) Canal susceptible de inhibición rápida por el voltaje: hay una fracción h de estos canales
c) Canal susceptible de inhibición lenta por el voltaje: hay una fracción j de estos canales
Para ajustar los pocos parámetros de reacción se usa la teoría de Hodgkin –Huxley, cuya aplicación permite obtener correctamente la característica de los canales rápidos de sodio. El mecanismo planteado bajo esta perspectiva es como sigue:

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución