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Evaluación Del Diseño Sísmico de Estructuras Nuevas Ubicadas en La
VIGAS-FLEXION
Resistenica MOrea
Monografía - Vigas de Sección Rectangular
1.1 Análisis de secciones de vigas con flexión simple
Memorias Casa de La Cultura V1
Resumen Union Viga Columna
ELU CORTANTE
Hipotesis Para Determinar La Resistencia Nominal a Flexión
Guia Comp a Flexion 2010
IC-801
4.1 Teoría de Flexión.
4.1.1 Teoría de flexión para concreto reforzado
COMPORTAMIENTO A FLEXIÓN
Se trata de seguir la variación de la curvatura conforme varía la deformación unitaria para cada incremento de carga.
ε = deformación unitaria en un punto dado y = distancia del eje neutro al punto de medición
De esta forma se obtiene un Diagrama de Momento–Curvatura que refleja el comportamiento a flexión de la viga. Ver figura 4-7.
Después del agrietamiento, la fuerza de tensión en el concreto se transfiere al acero. Esto trae como resultado una disminución del área de sección efectiva del concreto que resiste el momento aplicado.
Además, la rigidez de la sección de la viga disminuye
M = E I φ ⇒
= φ = κ =
Es decir, I disminuye conforme el área efectiva disminuye y por lo tanto EI disminuye. Este es el estado ante solicitación de “servicio”. La grieta más grande medida en este estado es de .0006 in. Observe la gran ductilidad de la viga de concreto reforzado a pesar de que el concreto simple no es un material muy dúctil:
En el nivel de “servicio” (punto C) la deflexión en el centro de la viga es
∆ m s = .31 in =
En la condición última (punto E) dicha deflexión a aumentado a
∆ m u = 2.0 in
en donde L es la longitud de la viga.
Para este ejemplo, podemos definir dos tipos de ductilidad, ductilidad de desplazamiento y ductilidad de curvatura mediante las siguientes expresiones
Ing. Guillermo Santana, Ph.D.
µ ∆ =
µ φ =
.00035 =
donde ∆ m y es una deflexión de “fluencia” y ∆ m u es la deflexión última ambas medidas en el centro de en la viga.
SUPOSICIONES BÁSICAS EN TEORÍA DE FLEXIÓN
1. Secciones planas se mantienen planas después de la deformación, i.e., distribución lineal de deformaciones unitarias. (ACI 318-02 Artículo 10.2.2)
2. Existe compatibilidad de deformaciones unitarias entre las barras de refuerzo y el concreto en todo nivel. (ACI 318-02 Artículo 10.2.2)
3. Esfuerzos en el acero y en el concreto son computables a partir de las deformaciones usando las relaciones constitutivas, σ − ε. El artículo ACI 318-02 Artículo 10.2.4 obliga a usar el modelo elastoplástico para el acero.
4. Se desprecia la resistencia del concreto ante tensión (ACI 318-02 Artículo 10.2.5)
5. Se declara falla en el concreto cuando la deformación unitaria de compresión alcanza un valor predeterminado, ε cu . Este resulta en una estimación conservadora de la resistencia. Según ACI 318-02 Artículo 10.2.3, ε cu = 0.003.
6. Relación esfuerzo – deformación para concreto puede suponerse como rectangular, trapezoidal, parabólica o cualquier otra forma que prediga la resistencia en concordancia con pruebas de laboratorio. ACI 318-02 Artículo 10.2.6.
De la figura 4-11 se puede tomar
f c ″ f c ′
area bajo la curva σ − ε
area de envolvente
(Ver figura 4-12)
k 2 = razón de distancia de centroide de compresión C a la fibra extrema de compresión sobre distancia entre esa fibra y el eje neutro.
C = k 1 k 3 f c ′ b c
para sección de ancho b.
La figura 4-13 muestra los valores k 1 ×k 3 versus f c ′ provenientes de pruebas de laboratorio.
El ACI 318-02 Artículo 10.2.7 permite el empleo de un “bloque de esfuerzos rectangular equivalente” para los cálculos de resistencia última. Este bloque rectangular equivalente se presenta en la figura 4-14. El valor de β 1 es definido de la siguiente manera:
β 1 = .85 para f c ′ ≤ 4000 psi
β 1 = 1.05 – .05   
1000   ≥ 0.65 para f c ′ > 4000 psi
El bloque rectangular representa una muy buena aproximación para vigas. También lo es
para columnas hechas de concreto con una resistencia f c ′ de hasta 6 ksi. Después de este
nivel y con excentricidad pequeña, el modelo del bloque rectangular sobrestima la
capacidad. Esto se debe a que β 1 está escogido como cota inferior de datos
experimentales, lo cual sobrestima el brazo de palanca del momento.
Las siguientes ecuaciones han sido propuestas como posible corrección al problema de
sobreestimación mencionado arriba:
α 1 = .85 para f c ′ ≤
 fc′ − 8000 
α 1 = .85 −  
β 1 = .85 para f c ′
≤ 4000 psi
β 1 = .85 – .15  
 fc′ − 4000 
  para f c ′ > 8000 psi
  ≥ 0.70 para f c ′ > 4000 psi
4.2 Análisis de vigas de concreto reforzado
Se deben satisfacer dos requisitos para el análisis y el diseño de vigas y columnas de
concreto reforzado. Estos son:
1. Compatibilidad de esfuerzos y deformaciones.
2. Equilibrio de fuerzas y momentos.
4.2.1 Análisis de la capacidad a flexión de una viga de sección transversal general
El uso del equilibrio y la compatibilidad de deformaciones en el cálculo de la capacidad
de una sección transversal arbitraria tal como la que se muestra en la figura 4-15
involucra cuatro pasos que se ilustran en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4-1 Cálculo de la capacidad de flexión (o de momento) de una viga.
La viga mostrada en la figura 4-15 es de concreto reforzado de peso normal y de
resistencia a la compresión de f c ′ = 3000 psi. Además, tiene como refuerzo 3 barras #8
con una resistencia a la fluencia de f y = 60,000 psi.
Suponemos fluencia en el acero y por lo tanto T = A s f y .
A s = 3 N° 8 = 3 × .79 in² = 2.37 in²
f y = 60 000 psi para grado 60
T = A s f y = 2.37 in² × 60 000 psi = 142 200 lb
Cálculo del área de bloque de esfuerzos de compresión (C = T).
C = T = 142 200 lb
por geometría de la sección
A = (½ a)(a) = ½ a²
C = (.85 f c ′)(½ a²) ⇒
142 200 lb × 2
.85 × 3 000
Verificación de f s = f y (compatibilidad de deformaciones).
ε cu = .003
para f c ′ = 3000 psi, β 1 = .85 ⇒ c = 10.56/.85 = 12.42 in.
por triángulos semejantes
c ε s = .003 ×
22 – 12.42
12.42 = .00231
para acero de grado 60
psi = .00207 < .00231
f s = f y
(acero está en fluencia)
Capacidad nominal reducida φ M n .
M n = C × jd = T × jd = T ×   d –
= φ [A
s f y
×  d –
φ M n = .9[2.37 in² × 60 000 psi ×   22 –
2×10.56 
 in]
φ M n = 1.92 × 10¤ in-lb = 1.92 × 10¤ / 12 000 ft-kips
φ M n = 160 ft-kips
← Capacidad de flexión (o de momento) de diseño
4.2.2 Fallas en Tensión, Compresión y Falla Balanceada
Dependiendo de las propiedades de la viga, las fallas a flexión pueden darse de tres
1. Falla en tensión. El acero fluye antes de que el concreto se aplaste (alcance la deformación unitaria límite). Tal viga es denominada como sub-reforzada.
2. Falla en compresión. Aplastamiento del concreto antes de que el acero fluya. Tal viga es denominada como sobre-reforzada.
3. Falla balanceada. Aplastamiento del concreto y fluencia del acero en forma simultánea. Tal viga es denominada como de refuerzo balanceado.
En la viga de prueba mostrada en las figuras 4-5 a 4-7, el refuerzo fluyó antes de ocurrir
la falla del concreto a compresión y por tanto la viga falla en tensión. En el momento de
falla (punto E en la figura 4-7) la curvatura en la sección de momento máximo era
aproximadamente cuatro veces mayor que el de fluencia en el acero (punto D).
resultado, la viga se deformó considerablemente y desarrolló anchas grietas en la fase
final de carga. A este tipo de comportamiento se le denomina dúctil en vista de que el
diagrama momento–curvatura o el diagrama carga-deflexión presente una región plástica
bastante grande (D-E en la figura 4-7).
En la figura 4-16d se presentan los diagramas de momento–curvatura para las tres vigas
mostradas en las figuras 4-16a, b y c. Las vigas difieren únicamente en la cantidad de
refuerzo. Cuando se alcanza la falla, el acero de la viga A ya ha fluido, tal como se
muestra en el diagrama de deformaciones unitarias. Esta viga presenta una falla por
tensión y tiene una respuesta de momento–curvatura dúctil como se ve en al figura 4-16d.
Esto cuando la razón de refuerzo mecánico
ω = ρ f
En el caso de la viga B de la figura 4-16, el concreto de la fibra extrema de compresión
alcanza la deformación unitaria de aplastamiento de 0.003 antes de que el acero entre en
el rango de fluencia. A este comportamiento se le denomina falla por compresión. El
diagrama momento–curvatura para esta viga no presenta la respuesta dúctil post-cedencia
de la viga A. Ante una sobrecarga, esta viga podría fallar repentinamente de una manera
frágil. Este tipo de falla ocurre cuando la razón de refuerzo mecánico ω = ρ f
En el caso de la viga C, la distribución de deformaciones unitarias cuando se alcanza la
falla, mostrada en la figura 4-16c, involucra de manera simultánea el aplastamiento del
concreto y la cedencia del acero. Este caso, que también exhibe una falla frágil como se
muestra en la figura 4-16d, marca un límite entre fallas dúctiles de tensión y fallas
frágiles de compresión―de ahí el nombre falla balanceada.
El ACI 318-02 ha presentado la terminología secciones controladas por compresión para
secciones en las que la deformación unitaria en la capa extrema de acero de tensión en el
estado límite último es igual o menor que la deformación de cedencia,
tracción. Tales secciones desarrollan fallas de compresión o bien fallas balanceadas. Las
secciones que presenten una deformación unitaria en la capa extrema de acero de tensión
en el estado límite último es igual o mayor que 0.005 en tracción se denominan secciones
controladas por tensión. Las secciones que caigan entre estos dos límites se denominan
secciones de transición.
En ediciones anteriores del ACI 318, se obligaba al uso de secciones que presentaran
falla por tensión. En la actual edición, ACI 318-02 Artículo 10.3.5 exige que para vigas
no presforzadas y sujetas a una fuerza axial menor que 0.10
f ′A
el valor neto de la
deformación unitaria ε t ante resistencia nominal no deberá ser menor que 0.004. Esta
condición no precluye el uso de secciones no controladas por tensión. Habría sido mas
apropiado usar un límite de 0.005.
4.2.3 Análisis de vigas rectangulares con refuerzo de tensión únicamente
ECUACIONES PARA M n Y φ M n : ACERO DE TENSIÓN EN FLUENCIA
El procedimiento esbozado en la sección anterior se puede utilizar para derivar
ecuaciones para el cálculo de la capacidad de momento para el caso particular de una
Considerese la viga mostrada en la figura 4-17. Utilizando el equilibrio de la sección
transversal, se puede concluir que, si C = .85f c ′ ba y T = A s f s entonces, la profundidad a
del bloque rectangular equivalente de esfuerzos será
A s f s
.85f c ′ b
Si hay cedencia del acero de refuerzo, f s = f y , por lo tanto,
A s f y
Es posible expresar las ecuaciones para M n y φ M n de varias formas si se considera M n =
T × jd o M n = C × jd o aun en forma adimensional. De lo anterior:
M n = T × jd pero T = A s f y
jd = (d – a/2)
M n = A s f y  
φ M n = φ [A s f y   d −
Esta es la ecuación básica de capacidad a flexión en vigas.
M n = C × jd pero C = (.85 f c ′)ba, jd = (d – a/2)
M n = (.85 f c ′)ba   d −
o bien φ M n = φ [(.85 f c ′)ba   d −
Para un enfoque no dimensional, se puede sustituir A s = ρ bd en la expresión para a,
′ .85
La razón de refuerzo mecánico ω, se utiliza aquí debido a que es usada frecuentemente
como una medida del comportaminento de la viga porque incorpora las tres principales
variables que lo afectan.
M n = f c ′ bd² ω   1 −
2 × .85 
φ M n = φ [f c ′ bd² ω (1 − .59ω)]
Esto es usualmente expresado como
φ M = φ
o bien, como el diseño más económico corresponde a φ M n = M u ,
Donde M u y M n están en unidades de ft-kips y b y d están pulgadas.
En las ecuaciones anteriores, el término φ k n es
= φ 
f ω (1 −
está expresado en psi. La tabla A-3 presenta valores de φ M n para varias
resistencias de acero y de concreto así como razones de reforzamiento.
DETERMINACIÓN DE LA CONDICIÓN f s = f y
En las derivaciones presentadas en la sección anterior, se ha supuesto que el acero estaba
en la fase de cedencia y que por lo tanto, f s = f y . Se hace necesario entonces verificar si
esto sucede cada vez que se analiza o se diseña un viga. La fi gura 4-18a muestra la
sección transversal de una viga con dos capas de refuerzo de tensión. Considerese la
situación en la cual la viga desarrolla falla balanceada. Para ese caso, la distribución de
deformaciones unitarias se muestra en la figura 4-18b. La profundidad del eje neutro al
momento de falla balanceada es c b . Por triángulos semejantes:
Sustituyendo ε
= 0.003 y multiplicando arriba y abajo por
E = 29, 000, 000
psi se tiene
87, 000 +
en donde f y está expresado en psi. Recordar que si
c ≤ c
al momento de alcanzar la falla,
f s = f y . Adicionalmente, podemos expresar las ecuaciones anteriores en términos de la
profundidad a del bloque rectangular equivalente de esfuerzos:
= β 
ccl = β 
87, 000 + f
en donde f y está expresado en psi. Para verificar si f s = f y en diseño, se debe verificar si
a d ≤ a
d . En la tabla A-4 se presentan valores de
tanto de concreto como de acero.
d para diferentes resistencias
Durante el diseño, la ubicación exacta del centroide del acero no es conocida sino hasta el
que el refuerzo final es escogido. Por esta razón es más fácil definir las distribuciones de
deformaciones unitarias en términos de la distancia d t , hasta la capa de refuerzo más
alejada de la cara de compresión. La deformación unitaria neta de tracción en la capa de
acero más alejada se denomina ε t . El término deformación unitaria neta se refiere a la
deformación en el acero a la resistencia nominal, y no incluye deformaciones unitarias
debidas a preesfuerzo, flujo plástico, contracción, o temperatura. En otras palabras, para
una viga de concreto reforzado, la deformación unitaria de tracción es la deformación, ε s ,
debida a las cargas vivas y a las cargas muertas factorizadas actuando sobre ella. El ACI
318-02 Artículo 10.3.3, define una sección como controlada por compresión si la
deformación unitaria neta, ε t , es menor o igual que la deformación unitaria de cedencia a
la tracción, ε y . La distribución de deformaciones unitarias correspondiente al límite de
control por compresión se muestra en la figura 4-18c. En ella, la profundidad del eje
neutro es c ccl y la deformación unitaria ε y ocurre en la capa extrema a tracción a una
profundidad d t .
Utilizando un procedimiento de triángulos semejantes, podemos encontrar
en donde f y está en psi.
El ACI 318-02 Artículo 10.3.4, define una sección como controlada por tensión si la
deformación unitaria neta, ε t , es mayor o igual a 0.005 en tracción. La distribución de
deformaciones unitarias correspondiente al límite de control por tensión se muestra en la
figura 4-18d. En ella, la profundidad del eje neutro es c tcl . Utilizando triángulos
0.375 β
son independientes del sistema de unidades. Los valores
están dados en la tabla A-4.
LÍMITE SUPERIOR DEL REFUERZO EN VIGAS
No hay límite al acero colocado en una sección transversal de viga, en su lugar se
establece en el ACI 318-02 Art. 10.3.5 que para vigas no presforzadas y sujetas a una
fuerza axial menor que 0.10
el valor neto de la deformación unitaria ε t ante
resistencia nominal no deberá ser menor que 0.004. Este valor se encuentra actualmente
en revisión por el Subcomité 318-D. Es posible que para la edición ACI 318-05 se
incremente el límite a 0.005. Adicionalmente, se establece
φ = 0.90 para secciones
controladas por tensión y φ = 0.65 para las controladas por compresión, y con aros o
estribos normales (o bien φ = 0.70 para elementos con refuerzo en espiral). Como no se
puede usar refuerzo helicoidal en vigas, entonces se puede decir que para vigas
controladas por compresión, el factor de reducción es φ = 0.65. Adicionalmente, para
vigas ubicadas entre estos dos límites, el ACI 318-02 especifica una transición lineal
entre φ = 0.90 y φ = 0.65 dada por
La anterior relación se puede expresar también en términos de ε t
En el pasado, la normativa ACI 318-99 (Artículo 10.3.3) ponía un límite superior al acero
de refuerzo utilizable en una viga, a traves de exigir que
ρ ≤ 0.75 ρ
de manera que esta
no estuviera sobre-reforzada. El propósito de la regla era garantizar un comportamiento
de falla dúctil en la viga. Esto es aproximadamente equivalente a requerir un ε s de 1.8 a
2.0 veces ε y al momento de falla. Debido a la variabilidad de las resistencias reales tanto
del concreto como del acero (subresistencia en el concreto y sobreresistencia en el acero)
y a la variabilidad dimensional, tal como el peralte efectivo, una viga que nominalmente
cumpliera con
ρ = 0.75 ρ
podría desarrollar una falla a compresión. Adicionalmente,
resulta usualmente difícil colocar el acero y el concreto en un viga con ρ superior a 0.5ρ b ,
y tales vigas tienden a deflectarse y agrietarse excesivamente. Por todas estas razones
resulta una buena práctica limitar el máximo porcentaje de acero de
. El límite de control por tensión actual corresponde a
ρ = 0.563
viga rectangular con refuerzo de tensión únicamente.
Ejemplo 4-2 Análisis de vigas con una capa de refuerzo de tensión en fluencia.
Ejemplo 4-3 Análisis de vigas con una capa de refuerzo de tensión en estado elástico.
4.3 Diseño de vigas rectangulares
4.3.1 Factores generales que afectan el diseño de vigas rectangulares
UBICACIÓN DEL REFUERZO
El concreto se agrieta debido a la tracción y como resultado se requiere refuerzo en donde
la flexión, las cargas axiales, o los efectos de retracción de fraguado causen esfuerzos de
La figura 4-22a muestra la deflexión de una viga simplemente apoyada cargada
uniformemente para la cual se tiene un diagrama de momentos como el mostrado en la
figura 4-22b. Como esta viga está sometida únicamente a momento positivo, se
desarrollan esfuerzos flexionantes de tracción en su parte inferior. Se requiere refuerzo
longitudinal para resistir estos esfuerzos de tracción que debe ser colocado muy cercano a
la cara inferior de la viga como se muestra en la figura 4-22c. Como el momento es
mayor en la zona central, se requiere más refuerzo longitudinal allí que en los extremos
de la viga, por lo cual no es necesario extender todas las barras hasta los apoyos. En la
figura 4-22c algunas de las barras son cortadas dentro del vano de la viga.
Una viga en voladizo desarrolla momentos negativos a todo lo largo y se deflecta como
se muestra en la figura 4-23a, con la superficie cóncava hacia abajo, de manera que la
tracción por flexión y las grietas se generan en la cara superior. En este caso el refuerzo
se coloca cercano a esa cara como se muestra en la figura 4-23c. Como el momento es
mayor en el empotramiento, se requiere más refuerzo allí que en ningún otro sitio. En
algunos casos parte de las barras pueden terminar antes de llegar al extremo libre de la
viga. Se debe notar, sin embargo, que las barras deben estar ancladas en el apoyo.
Usualmente, las vigas de concreto reforzado son continuas a través de los apoyos y bajo
cargas gravitacionales generan diagramas de momento y deflexiones como las que se
indican en la figura 4-24. De nuevo, se necesita refuerzo en la cara de tensión de la viga,
la cual está en la parte superior en las regiones de momento negativo hacia los apoyos y
en la parte inferior en las regiones de momento negativo en el centro de los vanos. Dos
posibles emplazamientos del refuerzose muestran en la figura 4-24c y d. Hoy en día, el
emplazamiento de barras rectas mostrado en la figura 4-24c es usado de forma casi
exclusiva. Se debe notar que el corte o la terminación de las barras se extiende hasta
después de los puntos de inflexión, como se muestra. Esto se hace primordialmente para
tomar en cuenta los saltos en los puntos de inflexión debidos a agrietamiento de cortante
y para permitir cambios en las cargas y en los patrones de carga.
En adición al refuerzo longitudinal, refuerzo transversal denominado estribos son
colocados para proveer resistencia a fuerzas de cortante y para facilidad constructiva
como sostén de las diferentes capas de acero de refuerzo longitudinal. Estos estribos se
muestran en la sección transversal de la viga en la figura 4-24.
Antes de 1965, era práctica común doblar el acero de la cara inferior hacia la cara
superior cuando esta ya no se requería para resistir momento positivo. De esta forma, la
barra doblada podía servir de refuerzo negativo y también de refuerzo positivo en la
misma viga. Este sistema es ilustrado en la figura 4-24d.
En conclusión, es importante que el diseñador pueda visualizar la deformada de la
estructura. El refuerzo para fl exión se coloca en la cara de tensión de los elementos. Este
es el lado convexo de la deformada.
CONSTRUCCIÓN DE VIGAS Y LOSAS DE CONCRETO REFORZADO
El elemento a flexión más simple es la losa en una dirección mostrada en la figura 4-1.
La formaleta para esa losa consiste en una superficie plana, generalmente constuida de
madera contrachapada apoyada sobre viguetas de madera o de acero. Siempre que sea
posible, la formaleta se construye de manera tal que puedan ser reutilizadas en varios
pisos. Esta debe ser lo suficientemente fuertes como para soportar el peso de el concreto
no fraguado además de las cargas de construcción tales como los trabajadores, las
batidoras de concreto, etc. Adicionalmente, la formaleta debe estar alineada
correctametne y combada (arqueada hacia arriba), si fuera necesario, de manera que el
piso terminado sea plano después de que ésta sea retirada.
El refuerzo debe estar apoyado sobre dados colocados en la formaleta, los cuales
sostienen la barra a la distancia correcta sobre la formaleta hasta que el concreto haya
fraguado. Los dados mencionados pueden ser observados en la figura 4-25.
La formaleta para las vigas son generalmente fabricadas de madera contrachapada. El
tamaño de la formaleta de la viga es escogido de manera que permita su reutilización en
vista del alto costo de fabricación. Algunos diseñadores prefieren escoger vigas de 12 in
o de 16 in de ancho en vista de que estas dimensiones caben bien en el ancho de una
lámina de madera contrachapada de 4 ft × 8 ft.
La figura 4-25 muestra el refuerzo para dos vigas y una losa. En las vigas se han usado
estribos cerrados y el refuerzo superior está apoyado en la parte superior de los estribos.
Aun falta por colocar el refuerzo para momento negativo en la losa. Frecuentemente, el
acero para momento positivo, los estribos y los barras para el apoyo de los estribos son
armadas en taller y colocadas en la formaleta posteriormente.
RELACIÓN ENTRE PERALTE DE LA VIGA Y DEFLEXIÓN
La deflexión de una viga puede ser calculada mediante ecuaciones de la forma
Manipulando esta ecuación de manera algebraica y haciendo suposiciones respecto a la
deformación unitaria del acero y la profundidad del eje neutro da como resultado la
ecuación de la forma
De esta forma, para cualquier razón de deflexión contra longitud de vano, ∆ , es posible
especificar razones de vano contra peralte, d , el cual, si es excedido, pueda resultar en
deflexiones inaceptables. La Tabla 9-(a) del ACI 318-02 da espesores mínimos
calculados de esta forma para elementos que no sirvan de apoyo a particiones u otro tipo
de construcciones que puedan ser dañadas por la distorsión. Estos espesores mínimos son
frecuentemente usados en la selección de peraltes globales de vigas y losas.
RECUBRIMIENTO Y ESPACIAMIENTO DE BARRAS
Es necesario tener un recubrimiento entre la superficie de la viga o losa y la barra de
refuerzo por cuatro razones fundamentales:
1. Para unir o adherir el refuerzo al concreto de manera que ambos actúen conjuntamente. La calidad de la adherencia crece conforme el recubrimiento es mayor. Se requiere un recubrimiento de al menos un diámetro de barra para este propósito en vigas y columnas.
2. Para proteger el refuerzo de acero ante la corrosión. Dependiendo del medio ambiente y de tipo de elemento, se requieren diferentes espesores de recubrimiento desde I hasta 3 in. según se especifica en ACI 318-02 Sec. 7.7. En ambientes altamente corrosivos, tales como en el caso de losas en zonas costeras, el espesor del recubrimiento debe ser incrementado. En el Comentario del ACI 318-02 Sec. 7.7 se sugieren métodos para satisfacer el requisito de incremento en el recubrimiento para elementos expuestos al clima. Un ejemplo de un método alterno podría ser el uso de una membrana impermeabilizante sobre la superficie expuesta.
3. Para proteger el refuerzo de la pérdida de resistencia debida a sobrecalentamiento por fuego. En general, un recubrimiento de H in. en una losa estructural debe proveer una capacidad de una hora de incendio, mientras que un recubrimiento de
11 in. sobre los estribos de vigas corresponde a una capacidad dos horas de
4. En algunos casos se provee un recubrimiento adicional sobre la superficie de losas, en particular en garages y fábricas, de manera que el desgaste y la abrasión debidas a tráfico no reduzca el recubrimiento necesario para otros propósitos.
Para este curso, los espesores de recubrimiento a utilizar estarán basados en el ACI 318-
02 Art. 7.7.1 a menos de que se de otra especificación.
La ubicación de las barras de refuerzo dentro de una viga debe permitir la colocación de
suficiente concreto en todos sus lados de manera que las fuerzas puedan ser transferidas
desde y hacia ellas; suficiente espacio para que el concreto fresco pueda ser colocado o
compactado alrededor de las barras; y suficiente espacio para permitir que el vibrador
alcance el fondo de la viga.
La figura 4-26 muestra los espaciamientos y la ubicación de barras requeridos por ACI
318-02 Arts. 3.3.2, 7.6.1 y 7.6.2. Cuando las barras son colocadas en dos o más capas,
las barras en la capa superior deben ser colocadas directamente encima de las barras de la
capa inferior para permitir que el concreto y el vibrador puedan pasar a través de las
capas de refuerzo. La figura 4-27 muestra los posibles conflictos que pueden surgir de la
colocación de barras de refuerzo.
CÁLCULO DE PERALTE EFECTIVO Y ANCHO DE ALMA MÍNIMO PARA UNA DISPOSICIÓN DADA DE BARRAS
El peralte efectivo, d, de un viga se define como la distancia desde la fibra extrema de
compresión al centroide del refuerzo longitudinal de tensión tal como se muestra en la
Ejemplo 4-4 Cálculo de d y de b mínimo.
Calcular d y b mínimo para una viga con barras colocadas como se muestra en la figura
4-28. El tamaño máximo de agregado grueso especificado es H in. El peralte de la viga
es 24 in.
Esta viga tiene dos tamaños de barra. La barra de mayor diámetro está colocada en la
capa inferior, para maximizar el peralte efectivo y por lo tanto el brazo de palanca.
Nótese también que las barras están colocadas simétricamente con respecto al eje vertical
de la sección transversal. Las barras de la capa superior están colocadas directamente
encima de las de la capa inferior. Mediante la colocación en las caras externas de la
sección se puede dar apoyo a las barras de la capa superior atándolas al estribo.
De acuerdo al ACI 318-02 Sec. 7.7.1, el recubrimiento libre hasta los estribos debe ser de
1.5 in. (Fig 4-26b). De acuerdo al ACI 318-02 Secs. 7.6.2 y 3.3.2, la distancia mínima
entre capas de barras debe ser el mayor valor entre 1 in. y 12 veces el tamaño máximo de
agregado grueso, que en este caso resulta en 12 × H = 1 in.
Cálculo de centroide de barras.
Area, A (in²)
Distancia desde la base, y (in.)
Ay (in³)
× 1.00 = 3.00
1.5 + I + (1×17) = 2.44
× 0.79 = 1.58
2.44 + (1×17) + 1 + (1×1) = 4.50
Total A = 4.58
Total Ay = 14.42
El centroide está localizado a una distancia Ay A = y = 14.42 4.58 = 3.15 in. de la base
de la viga. El peralte efectivo es d = 24 – 3.15 in. = 20.8 in.
Cálculo de b mínimo.
Este cálculo se lleva a cabo sumando los tramos a lo largo de la capa de refuerzo más
congestionada. El radio interno mínimo del doblez del estribo es igual a dos veces el
diámetro de la barra utilizada, d s , que para un estribo de #3 es H in. (Ver ACI 318-02 Art.
7.2.3). Para barras #11 o menores habrá un espacio entre la barra y el estribo como se
indica en la figura 4-28:
espacio = 2d s – 0.5d b = 2 ×
I - 0.5 × 17 = 0.19 in.
El espaciamiento horizontal mínimo entre barras es el mayor de los siguientes tres
valores 1 in., 12 veces el tamaño máximo de agregado grueso y un diámetro de barra (ver
figura 4-26b). En este caso el valor mayor es 9/8 in. La suma de los tramos a lo largo de
capa de refuerzo seleccionada es
b min = 1.5 + I + 0.19 + 5(17) + 0.19 + I + 1.5 = 9.76 in.
R/ Por lo tanto el ancho mínimo b puede ser tomado como 10 in. y el diseño puede ser
hecho tomando d = 20.8 in.
En general se puede estimar el peralte efectivo de manera satisfactoria usando:
Para vigas con una capa de refuerzo,
h − 2.5 in.
Para vigas con dos capas de refuerzo,
d h − 3.5
El valor de d no debe ser sobrestimado porque la práctica constructiva normal tiende a
dar valores de d menores que los mostrados en planos constructivos.
Para losas de concreto reforzado el recubrimiento mínimo es de H in en vez de 11 in., y
solo se usa una capa de refuerzo. El refuerzo utilizado es usualmente de barra #3, 4 o 5.
Para este caso, se puede estimar el peralte efectivo usando:
Para losas en una dirección de hasta 12 ft de vano,
h − 1 in.
Para losas en una dirección de vano mayor que 12 ft,
d h − 1.1 in.
Al igual que en el caso de las vigas, para las losas en una dirección, es importante no
sobrestimar d porque la práctica constructiva normal conduce a valores finales de d
menores que los mostrados en planos.
En general, para vigas b no debería ser menor que 10 in. y preferiblemente no menor que
12 in., aun cuando se pueden encontrar casos extremos de vigas con dos barras de
refuerzo y de 7 in. de ancho. El uso de capas de refuerzo en donde las barras estén
excesivamente próximas puede conducir a falla por fracturamiento a lo largo del plano
del refuerzo. Una falla de este tipo puede conducir a pérdida de anclaje en la barra así
como a corrosión. En la figura 4-6 se pueden observar este tipo de grietas horizontales en
el tramo central del vano. La tabla A-6 presenta anchos mínimos de alma para varias
escogencias de capas de barras de refuerzo.
Si el momento de agrietamiento de una viga excede la resistencia de la viga después del
agrietamiento, podría ocurrir una falla repentina cuando la viga se agrieta. Por esta razón
ACI 318-02 Sec. 10.5 fija una cantidad de refuerzo mínimo igual a
200 b d
b d ≥
en donde las resistencias del acero y del concreto están en psi.
Para el caso de vigas T estáticamente determinadas con el ala en tensión, el refuerzo
mínimo, el refuerzo de acero mínimo debe ser el mayor de dos resultados, 1) el de la
ecuación anterior sustituyendo b w por 2b w , o 2) el de la ecuación anterior sustituyendo b w
por el ancho del ala, b f .
Los requisitos descritos anteriormente no necesitan ser aplicados si se ha colocado un
área de refuerzo al menos un tercio mayor que la capacidad requerida en cada sección de
4.3.2 Diseño de Vigas Rectangulares con Refuerzo de Tensión
El primer tipo de problema de diseño es el caso en el cual las dimensiones de la sección
de concreto han sido establecidas previamente por razones no estructurales sino talvez de
apariencia arquitectónica, utilización de formaletas, resistencia al fuego, etc. En este
caso, b y d (o h) son conocidos y solo se hace necesario calcular A s .
Ejemplo 4-5 Diseño de refuerzo cuando b y h son conocidos.
Por razones arquitectónicas es necesario que la viga mostrada en la figura 4-29 sea de 24
in. de ancho por 24 in. de alto. Las resistencias del concreto y del acero son 3000 psi y
60,000 psi, respectivamente. Además de su propio peso, la viga debe soportar una carga
muerta de servicio superimpuesta (no factorizada) de 1.0 kip/ft y una carga viva de
servicio de 2.45 kip/ft. Calcule el área de refuerzo requerida en el centro del vano y
seleccione las barras refuerzo.
Cálculo del momento factorizado, M u .
Peso por pie de viga =
Ejemplo 4-6 Diseño de una viga para la cual b y d no son conocidos.
Ejemplo 4-7 Uso de ayudas de diseño para calcular una viga rectangular cuando b y d no son conocidos.
Ejemplo 4-8 Diseño para flexión de una losa en una dirección.
Una losa de concreto reforzado y en una dirección consiste de una única luz de 10 ft.
(3.05m) y está sometida a una carga viva de 120 psf (5.75 kPa) y una carga muerta de 20
psf (0.96 kPa) además de su propio peso. Diseñe la losa y encuentre el tamaño y el
espaciamiento del acero de refuerzo en el centro de la losa suponiendo momentos debidos
a apoyo simple. Además, considere concreto de peso normal con f c ′ = 4000 psi (27.5
MPa) y f y = 60,000 psi (413.5 MPa).
De la tabla 9.5(a) del ACI 318-02, para losa en una dirección con apoyos simples h mín :
L 10 × 12
20 = 6 in. (152.4 mm)
Para flexión, podemos suponer d = 5 in (127 mm)
Tomamos un ancho unitario de losa para hacer el diseño. Suponer el ancho unitario igual
a 1 ft. = 12 in.
Peso propio de una faja de 12 in. de ancho =
144 × 150 = 75 lb/ft (3.59 kN/m)
Por lo tanto w u = 1.6 × 120 + 1.2 × (20+75) = 306 lb/ft
306 × 10²
8 × 12 = 45900 in-lb
(o bien w u = 14.6 kN/m, M u = 5.18 m-N)
Suponemos un brazo de momento   d −
Usando M u = φ A s f y   d −
≈ 0.9 × 5 in. = 4.5 in.
45900 = 0.9 × A s × 60,000 × 4.5 ⇒ A s = 0.189 in² para cada 12 in. de losa.
Revisión por ensaye y ajuste del brazo de momento:
0.189×60000
= 0.85×4000×12 = 0.278 in. (7.06 mm)
con lo cual 45,900 = 0.9 × A s × 60,000   5 −
0.278 
→ A s = .175 in²
(@ 12 in.)
Usando barra # 4 @ 12 in. centro a centro con un A s = .20 in² (también podría ser #3 @ 6
in., espaciamiento máximo permitido 3h = 18 in.)
12 = 0.0033, ρ mín = 60000 = 0.0033
= 0.0031 O.K.
Se debe revisar la capacidad de cortante y el refuerzo requerido para temperatura y
l 1 = 10 ft, t = 6 in
4.4 Vigas T
Usualmente vigas tienen forma de T o de I y otras veces tienen refuerzo tanto en la zona
de tensión como en la de compresión.
Vigas cuyas secciones transversales no son simétricas con respecto al eje de carga o vigas
con flexión en dos ejes requieren tratamiento especial. En estos casos el eje neutro, en
donde la deformación unitaria es cero, en general no resulta ser paralelo al eje con
respecto al cual actúa el momento resultante.
Cuando las vigas tienen refuerzo en tensión distribuido en varias capas a lo largo del
peralte, o bien son fabricadas a base de dos tipos de concreto, o contienen refuerzo que no
es elasto-plástico, entonces se debe considerar la compatibilidad de deformaciones
unitarias en los cálculos.
4.4.2 Aplicaciones prácticas de vigas T
Durante la construcción, el concreto es colado primero en las columnas. Ver ACI 6.4.5.
Después de su endurecimiento, se procede a colar el concreto de la losa y las vigas en
forma monolítica. Ver ACI 6.4.6. Resultado: La losa funciona como ala de la viga que
deja de ser rectangular y se torna de sección T. Ver figura 4-31. Para el alcance de este
curso, se pueden definir vigas rectangulares como las vigas de entrepiso cuya zona de
compresión es la indicada en la figura 4-32b y 4-32c. El comportamiento de viga T se
alcanza en el caso mostrado en la figura 4-32d.
4.4.3 Ancho efectivo del ala y refuerzo transversal
Para una viga T simplemente apoyada, se nota que en el apoyo el ala no está sometida a
esfuerzos de compresión. Sin embargo, a la mitad de la luz, todo el ala está sometida a
compresión. La transición requiere de esfuerzos horizontales de cortante en la interfase
alma-ala. Como resultado, se genera un efecto retardado del cortante en donde las
porciones del ala más cercanas al alma están sometidas a esfuerzos más altos. Ver figura
La distribución de esfuerzos de compresión debidos a flexión en la losa que constituye el
ala de una serie de vigas paralelas se vuelve máxima sobre el alma, decayendo hacia la
mitad de la distancia entre vigas. Ver figura 4-36. En los apoyos la variación
mencionada se vuelve más pronunciada. Utilizaremos un ancho efectivo de ala b que
cuando es sometido a un esfuerzo uniforme f c(max) , desarrolla la misma fuerza de
compresión que la desarrollada cuando se considera el ancho real b 0 . Ver figura 4-36.
La estimación del ancho efectivo se hace a través de considerar soluciones elásticas. La
estimación depende entonces de:
a. Tipo de solicitación superimpuesta (uniforme, concentrada)
b. Tipo de apoyos.
c. Espaciamiento entre vigas.
d. Rigidez relativa entre losa y viga
(Este análisis elástico NO considera el agrietamiento del ala observado en experimentos)
ACI 318-02 Art. 8.10.2 propone las siguientes reglas:
1. Ancho de losa que participa como ala de viga T menor que una cuarta parte de la luz.
2. La proyección del ala a cada lado del alma menor o igual que ocho veces el espesor de la losa y menor o igual que la mitad de la distancia libre entre vigas.
Los artículos 8.10.3 y 8.10,4 consideran vigas T exteriores y vigas T aisladas. ACI
representa una solución conservadora basada en los resultados de la solución elástica.
4.4.4 Análisis de Vigas T
En referencia a la figura 4-37, el equilibrio de la sección se satisface con C = T = A s f y (si
el acero fluye) en donde C actúa en el centroide de la sección sometida a compresión. En
este caso, la sección sometida a compresión es más profunda que h f . De lo anterior, M n =
Cjd = Tjd. Para evitar el cálculo del centroide del área de compresión (no se conoce a
todavía), consideresen dos vigas hipotéticas: En primera instancia, Viga F con una zona
de compresión que consiste en las dos proyecciones del ala, a ambos lados del alma y con
un área total A f sometida a esfuerzos de 0.85
conducentes a una fuerza de compresión
C f . Por equilibrio, deberá haber un acero de tensión con área A sf de forma tal que C f = T f
= A sf f y . A sf es parte del A s de la viga y tiene su mismo controide. La capacidad a flexión
de esta viga es
d − h
2 ) . En segunda instancia, una Viga W con un ancho b w
y con un área de compresión b w a que equilibra el acero restante (A s – A sf ) = A sw . La
capacidad será M nw .
Finalmente, la capacidad total de la sección será M n = M nf + M nw .
Area de zona de compresión =
b − b
Fuerza en zona de compresión
0.85 f ′
b − b w
Para calcular el área de acero requerido para equilibrar esta fuerza, suponiendo fluencia
Area de acero de tensión
= A − A
Fuerza de compresión C
= 0.85 f ′ b a
0.85 f b
Viga T = Viga W + Viga F
′ 
− .5 a
d − .5 h
Cuando a = h f , la viga es rectangular.
d − .5 a
La verificación de si f s = f y se efectúa comparando
87000 +
con el valor a
ACERO MÁXIMO PARA VIGAS T
Se debe revisar el ACI 318-02 Artículo 10.3.5.
Al igual que en el caso de vigas rectangulares, se debe garantizar que
s ,min
. De acuerdo con la ecuación ACI 10.3 la cantidad de acero
mínimo de satisfacer lo siguente
Para el caso de una viga T en la cual el ala esté en tensión ACI 318-02 Artículo 10.5.2
Ejemplo 4-9 Análisis de capacidad de momento positivo de una viga T. Ejemplo 4-10 Análisis de capacidad de momento negativo de una viga T. Ejemplo 4-11 Análisis de viga T con eje neutro en el alma.
4.4.5 Diseño de vigas T
Incluye la escogencia de sección transversal y área de refuerzo requerido. El espesor y el
ancho del ala se determina usualmente durante el diseño de la losa. El tamaño de la viga
sigue estando gobernado por los mismos criterios anteriores. En el caso de vigas T
continuas, los esfuerzos de compresión en el concreto se vuelven más críticas en las
regiones de momento negativo. En ellas, la zona de compresi ón está ubicada en el alma
de la viga. Usualmente el tamaño del alma se escoge de manera que
punto de máximo momento negativo. Una vez escogidas las dimensiones de la sección
transversal, se puede calcular el área de refuerzo de acero según lo desarrollado
Para el momento negativo, suponer j = 0.875, para el positivo, suponer j = 0.95 (a es muy
pequeño en este caso).
Ejemplo 4-12 Diseño de refuerzo de una viga T.
Diseñar una viga de sección transversal como la mostrada en la figura 4-38 con una luz
de 20 ft. La sección debe resistir un momento positivo de 230 ft-kips. Usar f c ′ = 3000 psi
y acero Grado 60.
4.5 Vigas con acero de compresión
4.5.1 Efecto del refuerzo de compresión sobre la resistencia y el
En el caso de la presencia del refuerzo de compresión, el equilibrio C = T donde T = A s f y
se satisface a traves de un doble aporte de la capacidad a compresión: C c + C s = C en
donde C s = fuerza de compresión tomada por el acero de compresión y C c = fuerza de
compresión tomada por el concreto. En vista de lo anterior, el efecto neto de la presencia
del acero de refuerzo en compresión es la reducción de la profundidad a de la zona de
concreto a compresión. Ver figura 4-41.
El efecto del acero de refuerzo de compresión se puede ver en el incremento del brazo de
palanca j 1 d a j 2 d. Por tanto, el incremento de capacidad es pequeño si el acero de tensión
fluye. Ver figura 4-42.
Para razones de reforzamiento normal, ρ ≤ 0.015, el incremento en capacidad de
momento es menor que 5%.
Conforme d′ crece así disminuye la participación del refuerzo a compresión (porque ε s ′
disminuye). Ver figura 4-41c.
4.5.2 Razones para usar refuerzo a compresión
1. Reducción de las deflexiones provenientes de cargas sostenidas. Ver figura 4-43.
Flujo plástico del concreto en la zona de compresión transfiere la carga del concreto al
acero de compresión, reduciendo los esfuerzos en el concreto. En vista de la presencia de
esfuerzos menores en el conc reto, el flujo plástico es menor lo cual conduce a una
reducción en las deflexiones a largo plazo.
2. Incremento en la ductilidad. Ver figura 4-44.
Presencia de acero negativo obliga a fluencia del acero positivo en forma más temprana.
3. Cambio del modo de falla de compresión a tensión. Ver figura 4-45.
Para ρ > ρ b , ρ′ = 0 genera falla controlada por compresión. Si el refuerzo de compresión
fluye, la distribución de deformaciones unitarias y curvatura al momento de falla en la
viga serán esencialmente las mismas que en una viga con refuerzo en tensión únicamente,
y con una razón de refuerzo (ρ − ρ′). A (ρ − ρ′) se le denomina razón de reforzamiento
efectivo. Usualmente, diseñadores añaden acero de compresión de manera tal que (ρ − ρ′)
≤ 0.5 ρ b . Dos casos donde comúnmente se usa acero de compresión son en la región de
momento negativo de vigas T continuas y en la región de momento positivo en vigas T
invertidas (usadas para apoyar paneles prefabricados de entrepisos).
4. Facilidad de fabricación.
Para sostener los aros desde sus cuatro esquinas.
4.5.3 Análisis de vigas con re

References: Artículo 10
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