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Timestamp: 2016-12-04 06:05:37+00:00

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VADEMECUM DE ALGEBRA PREUNIVERSITARIA TEORICA PDF ~ RUBIÑOS
El sistema de los números reales es un conjunto no vacío denotado por  con dos operaciones internas llamadas:
1)	Adición (+) :  (a,b) = a+b
2)	Multiplicación (.) :  (a,b) = a.b
y una relación de orden “<”
(<, se lee “menor que”); el cual satisface los siguientes axiomas.
I. A1: Ley de clausura
 a, b   a + b 
A2: Ley conmutativa
 a, b   a + b = b+a
A3: Ley Asociativa  a, b, c   ( a + b ) + c = a + ( b + c )
A4: Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo
Existe un valor único , denotado por “0” (0, se lee cero) tal que  a : a + 0 = a = 0 + a
A5:	Existencia y unicidad del elemento inverso aditivo
 a , existe un valor único denotado por -a tal que:
 a : a + (-a) = 0 = (-a) + a
II. M1:	Ley de clausura
 a, b   a.b 
M2:	Ley conmutativa
 a, b   a.b = b.a
M3:	Ley Asociativa:  a, b, c   ( a . b ) . c = a . ( b . c )
M4:	Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo
Existe un valor único , denotado por “1” ( 1, se lee uno ) tal que  a : a.1 = a = 1.a
M5:	Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo
 a  / a  0; existe un valor único denotado por a - 1 tal que a.	a - 1 = 1 = a - 1. a
III.  a, b, c 
D1: Distributividad por la izquierda
D2: Distributividad por la derecha
IV. O1 =	Ley de Tricotomía Dados a y b ; se cumple una y solamente una de las siguiente relaciones:
a < b	a = b	b < a
O2 =	Ley Transitiva,  a, b, c , se cumple Si; a < b b < c  a < c
O3 =	Ley de la Monotonía i)	 a, b, c ; si a < b  a + c < b + c
ii)	Si a < b 0 < c  ac < bc
iii)	Si a < b c < 0  bc < ac
V.  a, b, c , se cumple 1)	Dicotomía: a = b a  b
2)	Reflexividad: a = a
3)	Simetría: a = b  b = a
4)	Transitividad: Si : a = b b = c  a = c
5)	Unicidad de la adición Si: a = b  a+c = b+c
6)	Unicidad de la multiplicación Si: a = b  a.c = b.c
VI. Todo conjunto A de números reales (A  0: no vacío) acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamado supremo de A.
RECTA REAL (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA)
La recta real es una recta geométrica de infinitos puntos donde cada uno de los puntos establece una correspondencia biunívoca con los números reales, esto nos permite visualizar una relación de orden < (menor que) entre dos o más cantidades, como ilustra la gráfica adjunta.
La relación a < b al graficarla en la recta real nos indica que la cantidad “a” se encuentra a la izquierda de la cantidad “b”. Con respecto a la recta geométrica debemos tener en cuenta lo siguiente:
1.	“0” (cero), es el origen de la recta real, no tiene signo.
2.	Los números negativos son menores que cero.
3.	El cero es menor que cualquier número positivo.
4.	El conjunto A denotado por A =  x / a < x < b 
Se denomina “intervalo abierto” sobre el eje real y tiene dos representaciones matemáticas
X < a; b > ó x ] a ; b [
Se lee: “ x pertenece al intervalo abierto “a” coma “b”
5.	El conjunto B, denotado por B =  x / c  x  d 
Donde los extremos c y d están incluidos, se llama “intervalo cerrado” sobre el eje real y se lee: “x pertenece al intervalo cerrado “c” coma “d” ”, se denota como: x [ a ; d ]
6.	El valor absoluto de un número real “a” denotado por |a| satisface la siguiente regla de correspondencia.
|a| = 7.	La distancia entre dos puntos “a” y “b” sobre el eje real es: |a - b|
TEOREMAS IMPORTANTES EN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 1.	Ecuación de primer grado en una variable  a, b, x ; con a  0. Si ax + b = 0, entonces se cumple que: 2.	Ecuación de segundo grado en una variable  a, b, c, x ; con a  0 / ax2 + bx + c = 0
o también: al símbolo  = b2 – 4 ac, se llama discriminante de la ecuación de segundo grado.
3.	Ecuaciones simultáneas lineales con dos incógnitas
 a1, b1, c1, a2, b2, c2  con; a1 b2  a2 b1, donde:
4.	 a, b  / a.b=0  a = 0 b=0
Adición.- Es la operación matemática, que por medio del signo (+) dos o más cantidades llamadas sumandos se reducen en una sola, denominada suma. La suma de dos números reales está sujeta a las siguientes reglas.
Regla 1.- La suma de dos números reales con el mismo signo está determinada por la suma de sus valores absolutos y el resultado o suma total está afectado por el signo de los sumandos.
a) –3–4 = -7 c) 12 + 30 = 42
b) 5+6 = 11 d) – 12 - 30 = - 42
Regla 2.- La suma de dos números reales de signos diferentes está determinada por la diferencia de sus valores absolutos (El mayor menos el menor) y el resultado o suma total se encuentra afectado por el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.
a) – 10 + 5 = - 5	d) – 3 + 8 = 5
b) – 12 + 2 = - 10	e) 17 – 20 = - 3
c) 12 - 3 = 9	f) – 14 + 6= - 8
NOTA.- En la adición de varias cantidades reales con diferentes signos, se agrupan las cantidades positivas y negativas entre sí y luego se procede a la reducción de acuerdo a las reglas dadas.
a) –6+5-4-3+2-9=(-6-4-3-9)+5+2)
= -22+7
b) –12+3-9-5+4 = (-12-9-5)+(3+4)
= -26+7
SUSTRACCIÓN.- Es la operación matemática que por medio del signo menos (-) obtenemos la diferencia de dos números (minuendo menos sustraendo)
a) Restar –12 de 5: b) Restar 8 de –8: MULTIPLICACIÓN.- Es una adición abreviada, cuya operación matemática por medio del signo por (.) ó (x) nos permite obtener el producto de las cantidades llamadas multiplicando y multiplicador. Esta operación está sujeta a dos reglas respecto a los signos.
Regla 1.- La multiplicación de dos cantidades no nulas del mismo signo es una cantidad positiva Ejm.
a) ( - 3 ) ( - 4 )=12 b) ( 12 ) ( 3 ) = 36	c) ( - 8 ) ( - 2 ) = 16
Regla 2.- la multiplicación de dos cantidades no nulas de signos diferentes es una cantidad negativa Ejemplo:
a) ( - 3 ) (4 )= -12 b) ( 12 ) (-3 ) = -36	Respecto a la ley de signos, vemos que:
i)	Multiplicación de signos iguales es positivo: (+) (+)=+ (-)(-) = +
ii)	Multiplicación de signos diferentes es negativo: (-) (+) = - (+)(-) = -
DIVISIÓN.- Es la operación matemática que consiste en determinar cuantas veces un número está contenido en otro por medio del signo operacional entre (), al resultado obtenido se le llama cociente. El número que se divide se llama dividendo y el que divide se llama divisor. Esta operación está sujeta a dos reglas respecto a los signos.
Regla 1.- La división de dos cantidades no nulas del mismo signo es una cantidad positiva (mayor que cero)
a) c) b) d) Regla 2.- La división de dos cantidades no nulas de signo diferente es una cantidad negativa (menor que cero).
a) c) b) d) Respecto a ley de los signos, en la división de dos cantidades reales no nulas, se observa que:
i) División de signos iguales, es positivo: ii) División de signos diferentes, es negativo: 1)	Adición de fracciones homogéneas 2)	Adición de fracciones heterogéneas 3)	Multiplicación de fracciones.- Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí:
4)	División de fracciones.- Se invierte la segunda fracción y se multiplican los numeradores y denominadores entre sí:
5)	Fracción de fracción.- Se obtiene una fracción equivalente cuyo numerador es el producto de los extremos y el denominador es el producto de los medios.
6)	Posición relativa de un signo en una fracción
POTENCIACIÓN.- Es la multiplicación repetida de una cantidad en un número finito de veces; el resultado final se le llama potencia. Está sujeta a las siguientes reglas respecto a las cantidades negativas.
Regla 1.- Toda cantidad negativa afectada por un exponente par (bajo un paréntesis) es positivo
a)	(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16
b)	(-7)2 = (-7)(-7) = 49
c)	(-8)2 = (-8)(-8) = 64
d)	(-3)6 = 729
Regla 2.- Toda Cantidad negativa afectada por un exponente impar bajo un paréntesis o sin paréntesis siempre es negativo.
a)	(-6)3 = (-6)(-6)(-6) = -216
b)	–63 = - (6)(6)(6) = -216 c)	(-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64
d)	–43 = - (4)(4)(4) = -64
En resumen, respecto a los signos en potenciación debemos considerar
a)	(-)PAR = +
b)	(-)IMPAR = -
RADICACIÓN.- Es la operación inversa a la potenciación que nos permite encontrar un número llamado raíz, tal que elevado al índice del radical reproduce el radicando o cantidad subradical.
a) b) = 16
c) d) Respecto a los números reales podemos hacer la siguiente clasificación:
A.- El conjunto de los Números naturales, denotado por N, donde: N = 1, 2, 3, ........
B.-	El conjunto de los Números enteros, denotado por Z, donde:
Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
C.-	El conjunto de los Números racionales, denotado por Q, donde:
Q = x/x= , p y q son enteros
(q  0)
D.-	El conjunto de los Números irracionales, denotado por I, donde:
I = x/x tiene representación decimal infinita no periódica
E.-	El conjunto de los Números Reales, denotados por , donde:  = x/x es racional ó irracional
F.-	El conjunto de los Números Complejos, denotado por C, donde:
C =  x / x = a + b i ; a b   
i es la unidad imaginaria donde:
i = ; tal que: i2 = -1
G.-	El conjunto de los Números enteros positivos denotados por Z+, donde:
Z+ =  1 , 2 , 3 , ............ 
H.-	El conjunto de los Números Enteros positivos incluido el cero, denotado por Z0+ =  0, 1, 2, 3, 4, 5, ........ 
Asimismo ampliando se tendrían los siguientes conjuntos:
Q+, +, Q -,  -, 0+, 0 -, Q0 -, etc. Es un conjunto de fórmulas que relaciona a los exponentes de las expresiones algebraicas de un solo término, cuando entre estas expresiones algebraicas se realizan operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces. Sus principales leyes sobre el campo de los números reales son:
I. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES
; m, n   II.	MULTIPLICACIÓN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL EXPONENTE
; m  
III.	DIVISIÓN DE BASES IGUALES a  0 m  
IV.	DIVISIÓN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL EXPONENTE
b  0 m  
V.	POTENCIA DE POTENCIA
; m, n  
NOTA: ó VI.	EXPONENTE NEGATIVO
a  0 b  0
NOTA: a - m = VII.	EXPONENTE CERO (a  0)
NOTA.- 00 es indeterminado
VIII.	RAIZ DE UNA POTENCIA
m, n  / n  0
i) ii) IX.	MULTIPLICACIÓN DE RADICALES HOMOGENEOS
; n  / n  0
X.	DIVISIÓN DE RADICALES HOMOGENEOS
n  / n  0
XI.	POTENCIACIÓN DE UN RADICAL
; m, n, p,  /n  0
XII.	RADICAL DE RADICAL
; m, n, p,   XIII.	TEOREMA FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES ; m, n, k,  /mk  0
EJERC.1. Simplificar: E = Solución:
Como, (a m) n = a mn  E = De las fórmulas (I) y (II):
E = a24-18-(-8); con lo cual E = a 14 (Rpta).
EJERC. 2: Efectuar: S = Solución:
Teniendo en cuenta la fórmula ( ( ( am ) n ap ) q ar ) s = a ( ( mn+ p ) q+r)s
S = S = a21-8 b21-14 	S = a13 b7 (Rpta.)
EJERC. 3.- Dar el valor simplificado de E = Solución:
Escribiendo un radical más, se tendría
E = E = Elevando el cubo, los dos miembros de la igualdad:
E3 = E3 = x16 E
 E2 = x16  E = x8 (Rpta)
EJERC. 4.- Simplificar la expresión
Transformando a un solo radical y a un solo exponente:
expresando convenientemente
siendo el exponente igual al índice del radical K = a (Rpta)
La ecuación lineal de primer grado en una variable es aquella que adopta la forma canónica:
 a, b  : ax + b = 0 / a  0
y cuya solución es: DISCUSIÓN:
Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1º	La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones)
Si: a  0 b   2º	La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones)
Si: a = 0 b = 0
3º	La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda)
Si: a = 0 b   / b  0 01.	Resolver: Solución:
Aplicando las siguientes identidades
2. ( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd
( x+3 ) ( x–4 ) = ( x-2 ) ( x+1 )
x2 - 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2
- x – 12 = - x - 2
0x = 10
Como el coeficiente de #x” es cero la ecuación es:
Ecuación Incompatible (Rpta)
02.	Que valor de “x” satisface a la ecuación:
Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se obtiene:
3 ( 3x-2 ) – 4 ( 5x–1 ) = 2 ( 2x-7 )
9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14 Simplificando:
-11x-2 = 4x-14
-15x = -12
de donde:  x = (Rpta)
03.	Resolver la ecuación literal
En las fracciones, siendo el mcm (b, a, a, b) = ab; se tendría
operando y reduciendo:
obtenemos Cancelando: (a-b)
(b-a)x=ab+b2  (Rpta)
04.	Qué valor de “x” satisface a la ecuación:
Debe tenerse en cuenta que los términos que son iguales en los dos miembros de la ecuación se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1 con 1; quedando:
Por proporciones X2 5x-x+5=x2-2x-3x+6
-x+5=6  x = -1 (Rpta)
5n	= m
elevando al cuadrado; se obtiene
25(5x-a) = 5x+a
125x-25a = 5x+a
120 x = 26a
de donde:	x= (Rpta)
06.	Calcular “x” en la ecuación:
Transformando el exponente negativo en positivo y desarrollando el cuadrado del binomio obtenemos:
x2-14x+49 = a x2+6x+9=b
ab+b=ab+a
de donde: b = a
ó: x2+6x+9 = x2-14x+49
 X = 2 (Rpta)
Son todas aquellas ecuaciones que se caracterizan por que la incógnita se encuentra en el exponente.
a)	27 - x+3 = 9 x-1
b)	2 x+2 – 2 x - 3 + 2 x - 1 = 35
c)	d)	Los criterios de solución respecto a la solución de ecuaciones exponenciales son:
1º A bases iguales, los exponentes deben ser iguales, es decir
am = an  m = n ; a  0 a  1
2º En toda ecuación exponencial si las estructuras algebraicas en ambos miembros son iguales, entonces el valor de la incógnitas se obtiene por comparación.
a)	Si: b)	En este tipo de ecuaciones exponenciales, el problema consiste en hacer transformaciones en uno de sus miembros (ó en ambos) de forma que se halle una equivalencia estructural; el valor de la incógnita se obtiene por comparación.
01.	Calcular “x”, sí:
27 = 9 Solución:
Expresando en base “3”; tendríamos (33) –x - 2 = (3 2) x+1
3 -3x - 6 = 3 2 x + 2 igualando los exponentes
-3x-6 = 2x+2
 x = (Rpta)
02.	Hallar el valor de “x” en la ecuación
Transformando los radicales en exponentes fraccionarios, se obtiene:
 (x+2)(x-3) = (x-1)(x-2)
x2-x-6=x2-3x+2
 x = 4 (Rpta).
04.	Resolver:	Solución:
Expresando en la base ; se tendría Igualando los exponentes:
-5x = -15x+6
05.	Que valor de “x” resuelve la ecuación:
Expresando en base “5”
3.9-x+4=272x-3
Colocando en base “3”
3.(32) = (33) 3.3-2x+8 =36x-9
3-2x+9=36x-9
Igualando los exponentes; obtenemos:
-2x+9=6x-9
-8x=-18
 (Rpta)
MONOMIOS, POLINOMIOS, GRADOS
NOTACION DE POLINOMIOS
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 1ER GRADO
INTRODUCCIÓN.- La unidad fundamental de la estructura algebraica es el “término algebraico”
TÉRMINO ALGEBRAICO.- Es el conjunto de letras y números ligados por las operaciones matemáticas de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.
a)	2x3 y2	d) x y2 z1/3
b)	y3	e) –6 ab2 x y z6
c)	- f) -x	Globalmente está constituido por una parte numérica y una parte literal, como se muestra a continuación:
a) -3 x6	b) xy3
En cada una de estas partes se especifican:
signos	exponentes
a) - 3 x6	b) x y3
Es muy importante presentar a los términos algebraicos bajo una notación de forma que nos permita diferenciar las constantes de las variables.
Ejemplo: Para el término algebraico de notación T (x , y) se observa que:
(Notación)	(exponentes)
T (x, y) = -2 x9 y 1/3 z Debemos tener en cuenta:
a)	T (x,y).- Es la notación que nos indica que las únicas variables son las letras “x” e “y”.
b)	Signo.- Indica si el término es mayor o menor que cero.
c)	Coeficiente.- Es la cantidad que afecta a la parte literal; en el caso de que el coeficiente sea un número entero y positivo, nos indica el número de veces que se repite la parte literal como sumando.
a)	+ 6 x2 = x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 (6 veces)
b)	3x y z = x y z + x y z + x y z (3 veces)
Con respecto a la siguiente secuencia:
1 a = a	(a se suma 1 vez)
2 a = a + a	(a se suma 2 veces)
3 a = a + a + a	(a se suma 3 veces)
na = a + a + a +.... + a (a se suma n veces)
De la propiedad de simetría
a + a + a +.... + a = na n  z+
a) a + a + a +.... + a = 80 a
b) x y2 + x y2 + .......+ x y2 = 33 x y2
c) d) d) Exponente.- Es el número que se escribe en la parte superior derecha de una “base”; si el exponente es un número entero y positivo nos indica el número de veces que se está multiplicando la base Ejemplos:
a) x5 = x • x • x • x • x
b) (x3)4 = x3 • x3 • x3 • x3
4 veces	Con referencia a la siguiente secuencia:
a1 = a	(a se multiplica 1 vez)
a2 = a • a (a se multiplica 2 veces)
2 veces	a3 = a • a • a (a se multiplica 3 veces)
3 veces	an = a • a • a •.... • a (a se multiplica n veces)
Por la propiedad de simetría:
a • a • a •…... • a = an n  Z+
a) x • x • x .......... x = x60
60 veces	n2 b) 6 • 6 • 6 .......6 = 6
n2 veces
c) (x-y2) (x – y2) ....... (x – y2) = (x-y2)29
d) z • z • z ,,,,,,,,,,,z = z n-2
(n – 2) veces
Es la expresión algebraica racional entera que consta de un solo término, en el cual los exponentes de sus variables son cantidades enteras no negativas. Ejm:
a)	M (x, y) = -2 x7 y3
b)	R (x, y) =–6 x9 y5 z6
a)	Grado absoluto (G.A.).- Está determinado por la suma de los exponentes de sus variables.
Respecto a los monomios
a) M(x,y) = - 9 x4 y6		G.A. = 4 + 6 = 10
b) R(x,y) = - 6 x4 y6 z3 	G.A. = 4 + 6 = 10
b)	Grado Relativo (G.R.).- Con respecto a una de sus variables, es el exponente que tiene dicha variable, es decir:
Respecto al monomio:
M (x, y) = - 5 x6 y4 z8
G.R. (x) = 6	G.R. (y) = 4
G.R. (z) = 8
Ejercicio 1.- Dado el monomio
M (x, y) = (((x3 y2)3 x2 y)2 x y2)2
Hallar su grado absoluto
M (x, y) = x ((3x 3 + 2) 2 + 1) 2 y32
M (x, y) = x46 y32, de donde
G.A. = 46 + 32 = 78 Rpta.
Ejercicio 2.- Hallar el valor de “n” en el monomio
M (x) = Sabiendo que es de primer grado.
Reduciendo a una sola base y a un solo exponente:
M (x) = M (x) = Siendo M (x) de primer grado, se cumple que:
; mcm = 6
2 (n – 2) + 3(n-3) – 1 (n-1) = 6(1)
2 n – 4 + 3 n – 9 – n + 1 = 6
4 n = 18
Obtenemos: n = Rpta.
Ejercicio 3.- Dado el monomio:
M (x) = Para que el valor de “n”; M(x) es constante.
Dado que: ; se tendría :
M(x) = Reduciendo a una sola base:
M(x) = Como M(x), es una cantidad constante se cumple que:
6(2n – 3) + 2 (2n – 1) - 3 (2n – 5) = 0
12n –18 + 4 - 2 - 6n + 15 = 0
n = 0,5	Rpta.
Ejercicio 4.- En el monomio:
M(x,y)= x3(2a+3b) y4(5a-2b)
G.A. = 83 y G.R (Y) = 20
Determine : (a + b)
Lo cual a su vez implica que:
2a + 3b = 21 ...................	(1)
5a - 2b = 5	..................	(2)
Resolviendo por determinantes:
a = b =  a + b = 8	Rpta
Es la expresión algebraica que consta de dos o más términos, en el cual los exponentes de sus variables son números enteros no negativos. Son ejemplos de polinomios:
a) P(x) = 2x – 3	(binomio)
b) Q(x) = x3 + x2 y + y2	(trinomio)
c) P(x,y) = x2 + 2x y + 3y2	(trinomio)
a)	Grado absoluto (G.A.).- Está determinado por el mayor grado absoluto que tiene uno de sus términos.
P (x,y) = x6 y4 - 2 x7 y8 + x6 y16
10º 13º 22º vemos que: G.A. =22
b)	Grado Relativo (G.R.).- Con respecto a una de sus variables es el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio dado. Ejemplo:
P(x,y) = x6 y3 – 2x9 y7 – x4 y8
G.R.(x) = 9
01.- Dado el polinomio
P (x , y) = 5 x n – 4 y n-3 + x n-6 y n-2
Hallar “n” si su grado absoluto es 9
Sumando los exponentes de cada término, obtenemos:
P (x , y) = 5 x n – 4 y n - 3 + x n - 6 y n - 2
(2n – 7) (2n-8)
Por consiguiente: 2n – 7 = 9
n = 8 Rpta.
02.- Si los términos del polinomio P (x, y, z) = x m + n + y3n + z m + 2
Tienen el mismo grado. Hallar mn
Para este caso, se cumple que:
m + n = 3 n = m + 2
de : m + n = m + 2  n = 2
de : m + n = 3 n
m + 2 = 6  m = 4
 mn = 42 = 16 Rpta.
Polinomio Ordenado: Un polinomio está ordenado con respecto a una letra llamada ordenatriz, si sus exponentes aumentan (ascendentes); ó disminuyen (descendentes).
a) P(x) = 7 - x3 + 2 x 6 – x15 (ascendente)
b) P(x) = x 9 – 2 x 7 – x 3 - 1 (descendente)
Polinomio Completo: Un polinomio es completo con respecto a una letra llamada ordenatriz si sus potencias aumentan o disminuyen desde el mayor exponente hasta el exponente cero en forma consecutiva
a) P(x) = 2x4 + x3 + 6x2 – 7x – 6 (D)
b) P(x)= -5 + 2x – 3x2 + x3 (A)	c) P (x,y) = 3x2 – 5 xy + 3 y2	(D) y (A)
Descendente respecto a “x”
Ascendente respeto a “y”
1.	El número de términos es igual al grado absoluto más uno
2.	Si el polinomio es completo y ordenado la diferencia de los grados relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad.
Polinomio Homogéneo: Este polinomio se caracteriza por que todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.
Ejm: Para el Polinomio:
P(x,y) = x 9 + 2 x 4 y 5 + y 9
9º 9º 9º G.A. = 9º
Polinomio Entero “x”: En este polinomio sus exponentes son enteros y positivos
a)	P(x) = -5 x + 7
b)	P(x) = 2x2 – 3x – 2
Polinomios Idénticos: Estos polinomios se caracterizan por que los coeficientes de sus términos semejantes en ambos miembros son iguales, en efecto:
Si: a x2 + b x + c  d x2+ ex + f
Polinomios Idénticamente Nulos: Estos polinomios se caracterizan por que sus coeficientes valen cero:
P(x) = a x2 + b x + c  0
01.- Si:
A (x – 3) + B (x – 2)  3x – 12
Calcular : E = Solución
Dado que la identidad se cumple para cualquier valor de x, asignamos un valor de x para que una de las incógnitas “A” o “B” se cancelen, es decir:
0 0 1º) x – 3 = 0  x = 3, de donde:
A (3 – 3) + B (3 – 2) = 3(3) - 12
2º) x – 2 = 0  x = 2
A (2 – 3) + B (2 – 2) = 3(2) - 12
E =  E = 0 Rpta.
02.- Si el polinomio:
P (x) = (a– 2) x2 + (b + 3) x + 9 x2 – 5 x
Es nulo, hallar (a + b)
Si el polinomio es nulo, cada coeficiente vale cero, es decir:
P (x) = (a – 2 +9) x2 + (b + 3 – 5) x  0
0 0	1º) a – 2 + 9 = 0 	a = -7
2º) b + 3 - 5 = 0 	b = 2
 a + b = -7 + 2 = – 5 Rpta.
03.- Dado el polinomio homogéneo
P(x, y) = xa+b-1 y b – xy6 - 3y2a + 3b - 6
E = (ab + ba – ab)2
Por ser homogéneo, se cumple:
a + b – 1 + b = 1 + 6 = 2a + 3b – 6
De (I) y (II), se obtiene:
a + 2 b = 8
2 a + 3b = 13 Resolviendo el sistema:
a + 2 b = 8	..........	(1)
2 a + 3b = 13 ..........	(2)
Por consiguiente el valor de “E” es:
E = [ 23 + 32 – (2) (3) ] 2  E = 121 Rpta.
04.- Tres términos consecutivos de un polinomio ordenado y completo en forma descendente están representados por:
P(x)= .... + x a+b+1 – x2a - 1+ 3bx3b-1-....
Calcular el valor de “a”
En este caso se cumple que la diferencia de dos exponentes consecutivos es igual a la unidad, es decir:
a + b + 1 - (2a – 1) = 1 ......... ()
2 a – 1 - (3 b – 1) = 1 ......... (ß)
- a + b = -1 .....................	()
2a - 3b = 1 ……………….	(ß)
Resolviendo para “a”
=  a = 2 Rpta.
La notación de polinomios nos permite diferenciar las constantes de las variables; en efecto, para los polinomios.
A)	P (x) = x3 + ax2 – b2 c
La única variable es “x” y las constantes literales llamadas también parámetros son “a”, “b” y “c”.
B)	P (x, y) = x4 – x3 y2 + 5 a x + 6
Las variables son las letras “x” e “y” y las constantes son “5”, “a” y 6.
Este tipo de notación se hace extensible a cualquier tipo de expresión algebraica.
a)	P (x) = b)	P (x) = c)	P (x,y) = + x y – 9
01.- Sabiendo que:
P(x) = Calcular : P (P (x))
Reemplazando, x por P(x)
P (P(x)) = Como P(x), es conocido
P(P(x)) = Efectuando las operaciones indicadas:
P (P(x)) = P (P(x)) =  P (P(x)) = X Rpta.
02.- Si; F Calcular: E = F(4)
Para calcular F(4), hacemos:
 x – 2 = 4 x – 20
F (4) = (6)3 – (6)2 + (6) – 1
F (4) = 185 Rpta.
03.- Si; f(x) = ax – b
y : g(x) = bx – a
Hallar; h(x) = f(g (x)) - g (f (x))
Operando por partes, tendríamos:
1º) f (g (x)) = a g(x) –b
f (g (x)) = a (bx-a) –b
f (g (x)) = abx –a2 – b
2º) g (f(x)) = b f(x) – a
g (f(x)) = b (ax - b) – a
g (f(x)) = abx – b2 - a De donde:
h (x) = abx – a2 – b –ab x + b2 + a
h (x) = b2 – a2 + a – b Rpta.
04.- Si; P (P(P(x))) = 216x – 215
Calcular: P (x + 2)
Como en la condición el segundo miembro es una expresión de primer grado, entonces P(x) también es de primer grado, es decir:
P (x) = a x + b Operando por partes, tendríamos:
1) P (P(x)) = a P(x) + b
P (P(x)) = a (ax + b) + b
P (P(x)) = a2x + ab + b
2)	P(P(P(x))) = a+b(a2z + ab+b) + b
P(P(P(x))) = a3 x + a2b + ab + b
Teniendo en cuenta la condición:
a3 x + a2 b + ab + b  216 x – 215
Al comparar:
i)	a3 = 216  a =  a = 6
ii)	a2b + ab + b = -215
36 b + 6b + b = -215
43 b = -215
P (x) = a x + b = 6 x – 5
y : P (x+2) = 6(x+2) - 5 = 6x+7 Rpta.
Determinante de orden 2.- Es el desarrollo de una matriz cuadrada que presenta dos filas y dos columnas y cuya representación matemática y desarrollo es:
Ds : Diagonal Secundaria
Dp : Diagonal principal
Ejemplo: El desarrollo de:
 2 = , es :
2 = Dp – Ds = 5(-5) – (-3)(4)
2 = -25 + 12 = -13  2 = -13
Determinante de orden de tres.- Es el desarrollo de una matriz cuadrada de 3 filas y 3 columnas; su representación matemática es:
3 = Y su desarrollo por menores complementarios; es:
3 = a1 - b1 + c1 ó también 3 = a1 (b2 c3 – b3 c2)-b1 (a2 c3 – a3 c2)+
+ c1 (a2b3 - a3b2)
 3 = 2 + 3 + 1  3 = 2 (1 + 6) + 3 (-4 + 10) + 1 (12 + 5)
 3 = 14 + 18 + 17   3 = 49
a1 x + b1 y = c1 .............. ()
a2 x + b2 y = c2 .............. (ß)
Su resolución por la regla de Kramer teniendo en cuenta que:(a1 b2 – a2 b1  0)
x = Determinante de x
y = Determinante de y
s = Determinante del sistema
Ejemplo 1.- Calcular “x” en el sistema:
5x – 3y = 11 .............. ()
4x - 5y = 1 ..............(ß)
De acuerdo a la teoría:
x = 4 Rpta.
Ejemplo 2.- Calcular “y” en el sistema:
-7 x + 5y = -45 ................. ()
4x - 3y = 26 ................. (ß) Solución
Para el cálculo de “y” tenemos:
 y = -2 Rpta. DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN
1.	Si: x, y  R y s  0 el sistema es compatible determinado, y hay una solución única.
2.	Si: x = 0; y = 0 y s = 0, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
3.	Si x  0; y  0 y s = 0, el sistema es incompatible, no tiene solución.
Ejemplo: Dado el sistema
2x + ky = 5 k ........... ()
5x – 4 y = -27 ……….. (ß)
para que valor de “K”; es incompatible
Calculando “x”, vemos que:
Para que no exista solución debe cumplirse que:
-5 k – 8 = 0  k = Rpta.
a1 x + b1 y + c1 z = d1 .............. ()
a2 x + b2 y + c2 z = d2 .............. (ß)
a3 x + b3 y + c3 z = d3 .............. ()
Su resolución por la regla de KRAMER, (donde s 0) es:
= = Ejemplo 1: Calcular el valor de “y” en el sistema:
5 x – 2y + 3 z = 6 ..............	(1)
7x + 3y – 4 z = 6	..............	(2)
-2 x + 4y + 3 z = 5	..............	(3)
Por determinantes, se tendría:
y =  y =1 Rpta.
DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN:
1.	Si: x, y, z  R y s  0, el sistema es compatible determinado.
2.	Si x = 0 ; y = 0; z = 0 y s = 0, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
3.	Si x  0; y  0, y s  0, el sistema es incompatible, no tiene solución:
-2k x – 3 y + (k + 5) z = 13	..........	(1)
x + y - z = 0	...........	(2)
3 x – 2 y + 2 z = 10	...........	(3)
¿Para que valor de “k”; el sistema es compatible indeterminado?
Calculando “x” vemos que:
x = Para que sea compatible indeterminado:
X = 1) –10 k – 20 = 0  K = -2
2) –5 k - 10 = 0  K = -2
 k = -2 Rpta.
El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores, en efecto:
Ejemplo. 1: Hallar el grado de P(x)
Si: P(x)=(x4+ 3) (x6–2x–3) (x3 – 4)
P(x) = (x4 + 3) (x6 – 2x – 3) (x3 – 4)
Gº = 4	Gº = 6 Gº = 3
 Gº [P (x)] = 4 + 6 + 3 = 13
Ejemplo 2: Hallar el grado de R(x)
Si: R(x) = (x2 + 5)3 (x4 – 1)6
Para este caso, el grado correspondiente en cada paréntesis es:
R(x) = (x2 + 5) 3 (x4 – 1) 6
6 24	 Gº [R (x)] = 6 + 24 = 30
El término independiente del producto es igual al producto de los términos independientesde los factores, es decir:
Ejemplo 1: Hallar el término independiente de P(x) en:
P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x – 6) (x7 – 3)
El término independiente en cada paréntesis es:
P(x) = (x3 – x + 2) (x4 – x –6) (x7 – 3)
T.I = 2	T.I = -6 T.I = -3
Ejemplo 2: Hallar el término independiente de P(x) en:
P(x) = (x2 – 1)5 (x4 – x3 – 2)3 .
En este caso, el término independiente en cada paréntesis es:
P(x) = (x2 – 1)5 (x4 – x3 – 2)3
T.I= (-1)5 T.I. = (-2)3
 T.I. [ P(x)] = (-1)5 (-2)3= (-1) (-8) = 8
1)	( )2 = = = 2 2)	( )2 = 2
3)	(2 )2 = 22 2 = 4 (2) = 8
4)	(3 )2 = 32 2 = 9 (2) = 18
5)	( )3 = = = 2 6)	(2 )3 = 23. 3 = 8(2 ) = 16 7)	( )3 = = 3 8)	(3 )3 = 33. = 27 (3 ) = 81 Para un entendimiento coherente respecto a los productos notables y las identidades, los observaremos por grupos:
I.	Cuadrado del Binomio
II.	Cubo del Binomio
* (a + b)3 = a3 + 3a2 b +3 ab2 + b3 * (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3 ab2 - b3 Estas mismas fórmulas se pueden expresar bajo las formas:
* (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
* (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
III.	Diferencia de cuadrados (suma por diferencia)
IV.	Suma y Diferencia de cubos
* (a + b) (a2 – ab + b2) = a3+ b3
* (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
01.	Efectuar
R = (x+a) (x-a) (x2 + a2) (x4+ a4) + a8
* (x + a) (x – a) = x2 – a2
* (x2 - a2) x2 + a2) = x4 – a4
* (x4 – a4) (x4 + a4) = x8 – a8
R = x8 – a8 + a8  R = x8
S = Solución Dado que:
03.	Calcular: R = ( )5
Expresando convenientemente, se tendría:
R = [( - 1)2]2 ( - 1)
[( -1)2]2 = (2 – 2 +1)2 = (3-2 )2
= 9 - 12 + 8 = 17 – 12 Con lo cual, se tendría:
R = (17 – 12 ) ( -1)
R = 17 - 17 – 24 + 12 R = 29 - 41 Rpta.
04.	Si: x – x-1 = Calcular x3 + x-3
Elevando la condición al cubo, se obtiene:
(x + x-1)3 = ( )3
x3 + x-3 + 3x . x-1 (x + x-1) = 6 Dado que: x + x-1 = x3 + x-3 + 3 = 6  x3 + x-3 = 3 Rpta.
V.	Multiplicación de binomios con un término en común.
*) (x +a ) (x + b) = x2 + (a +b) x + ab
**) (x + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x + abc
VI.	Cuadrado del trinomio
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + + 2ac + 2bc VII.	Cubo del trinomio
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + + 3 (a + b) (a + c) (b + c)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3 b2c + + 3c2a + 3c2b + 6 abc
01.	Simplificar
S = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 +
+ (a – b + c)2 + (- a + b + c)2
Desarrollando cada término, se tendría:
S = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc
a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc
S = 4a2 + 4b2 + 4c2 Factorizando “4”: S = 4(a2+ b2 +c2) Rpta
S = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 – - (a-b+ c)3 - (-a + b + c)3
Haciendo el cambio a + b = x
de variables:	a - b = y
se tendría en S.
S = (x + c)3 – (x – c)3 –(c + y)3 – (c-y)3
Desarrollando cada término
S =	x3 + 3x2c + 3xc2 + c3
-x3 + 3x2c – 3xc2 + c3
-c3 - 3c2y – 3cy2 - y3
-c3 + 3c2y2 – 3cy2 + y3
S =	6x2 c - 6c2 y2
S = 6 c [ x2 – y2 ]
S = 6c [ (a + b)2 – (a –b)2 ]
S = 6c [ a2 +2ab + b2 –a2 + 2ab –b2]
S = 6c [4ab]  S = 24 abc Rpta.
03.	Sabiendo que:
F = Hallar : G = Solución:
F = Se transforma en:
F = Haciendo : x2 + x = a
F = F = Como la cantidad subradical es un cuadrado perfecto.
F =  F = a – 16
ó : F = x2 + x – 16
G =  G = x + ó lo que es lo mismo
G = Rpta.
Son expresiones algebraicas que nos permite efectuar operaciones por simple inspección, entre las de mayor importancia, tenemos:
VIII.	Identidades de Legendre
1º) (a+b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)
2º) (a+b)2 - (a – b)2 = 4 ab
IX.	Identidades de Lagrange
1º) (ax + by)2 + (ay – bx)2 = (a2 + b2) (x2 + y2)
2º) (ax + by + cz)2 + (ay – bx)2 +
+ (az – cx)2 + (bz - cy)2 =(a2+b2+ c2) (x2 + y2 +z2)
X.	Identidades de Gauss:
1º) (a + b + c) (a2+ b2 + c2-ab-ac-bc) =
= a3 + b3 + c3 – 3abc
2º) (a + b + c) [(a-b)2 + (a-c)2 + + (b-c)2] = a3 + b3+ c3 – 3abc
XI.	Identidades de Argand
1º) (x2 + xy +y2) (x2 – xy + y2) =
= x4 + x2 y2 + y4
1.) a2 + b2 + c2 = - 2 (ab + ac + bc)
2.) a2b2 + a2c2 + b2c2 = (ab+ ac + bc)2
3.) a3 + b3 + c3 = 3abc
4.) = 5.) = B) Si: a2 + b2 + c2 = ab + ac + b
 a = b = c
01.- Sabiendo que; Calcular: Solución
Sea E : Elevando el cuadrado, se obtiene:
E2 = + E2-2 = Nuevamente elevando el cuadrado obtenemos:
(E2 –2 )2 = + 2
Reemplazando el valor de la condición:
E2 – 2 = De donde:
E2 = 5 	E = Rpta.
02.- Si: Calcular:
R = Solución
Operando en la condición:
(x + y)2 = 4xy
Desarrollando y simplificando, vemos que:
x2 + 2 x y + y2 = 4x y
x2 – 2xy + y2 = 0
(x – y)2 = 0  x = y
Reemplazando “x” por “y” en R; se obtiene:
R =  R = 0 Rpta.
ax2	= Término cuadrático
bx	= Término Lineal
c	= Término independiente
I.	Por factorización.- Si el discriminante
( = b2 – 4 ac) es un cuadrado perfecto, es decir:	  0, 1, 4, 9, 16, 25, ........
10 x2 + 11 x – 6 = 0
Para esta ecuación: a = 10, b=11 y c = -6; el discriminante es:
 = (11)2 – 4 (10) (-6) = 361
2 x	3  15 x
5x	-2  Con lo cual:
(2x + 3) (5 x – 2) = 0
Si: a. b = 0  a = 0 	b = 0	en nuestro caso : x =  x = II.	Por fórmula.- Se aplica la fórmula cuando la factorización no es inmediata Deducción:
ax2 + bx + c  0
dividiendo entre “a”
x2 + adicionando : a los dos miembros de la igualdad:
x = Las dos soluciones o raíces son:
x1 = x2 = De otro lado, siendo:  = b2 – 4 ac
x1 = x2 = Ejemplo: Resolver : x2 – x – 1 = 0
a = 1; b = -1: c = -1
En este caso:	 = (-1)2 – 4(1) (-1)
 = 5	Con lo cual:
;	En la ecuación de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0 (a  0); se cumple que:
x1 = x2 = Las raíces de la ecuación de segundo grado, depende de la cantidad subradical.
 = b2 – 4 a c ( Discriminante)
1º.- Si:  = b2 – 4 a c  0; las dos raíces son reales y diferentes.
2º.-	Si:  = b2 – 4 a c = 0; las dos raíces son reales e iguales.
3º.-	Si:  = b2 – 4 a c  0; las dos raíces son números complejos y conjugados.
Ejemplo: Hallar los valores de “k” en la ecuación:
(k + 1) x2 – (5 k – 3) x + 9 = 0
Sabiendo que sus raíces son iguales
Desde que las raíces son iguales entonces:  = b2 – 4ac = 0, es decir:
[-(5 k – 3)]2 – 4 (k + 1) (9) = 0
25 k2 – 66 k –27 = 0
25 k	9  9k
k	-3  de donde:
(25 k + 9) (k-3) = 0  
k = Siendo la ecuación del Segundo grado:
ax2 + b x + c = 0 ; a  0
x1 = de donde se cumple:
x1 + x2 = 2º) Producto de las raíces:
x1 + x2 = 3º) Diferencia de las raíces:
Ejemplo: ¿Qué relación guardan los coeficientes de la ecuación:
ax2 + bx + c = 0; a  0
Si una de sus raíces es el triple de la otra?.
x1 + x2 = - ........	(1)
x1 • x2 = ........	(2)
x1= 3x2 ........	(3)
3x2 + x2 = -  x2 = - Asimismo: x1 = - Reemplazando en (2), tendríamos:
I.	Conociendo : “x1” y “x2”, raíces de la ecuación de segundo grado, se cumple que:
II.	Conociendo la suma de las raíces : S = x1 + x2 y el producto de ellas mismas P = x1 . x2, la fórmula a utilizar es:
Como las raíces irracionales se presentan por pares conjugados, entonces:
x1 = 2 +  x2 = 2 - con lo cual:
i)	x1 + x2 = 2 + + 2 - = 4
ii)	x1 + x2 = (2+ ) (2- ) = 4-6=-2
3 + 2i;	i = tal que: i2 =-1
“i” es la unidad imaginaria.
Siendo: x1= 3 + 2i  x2 = 3 – 2i
Ya que las raíces complejas se presentan por pares conjugados se tiene que:
i)	x1 + x2 = 3 + 2i + 3 – 2i = 6
ii)	x1 x2 = (3+2i) (3– 2i) = 9 –4i2 = 13
reemplazando en la fórmula, se obtiene:
x2 – 6x + 13 = 0 Rpta.
Ya que las raíces son las mismas, se cumple que:
2a - b = 7 ........ ()
a – b = 2 ........ (ß)
resolviendo () y (ß), obtenemos:
a = 5		b = 3
ax2 + bx + c = 0 ……..	(1)
dx2 + ex + f = 0 .......	(2)
tienen una raíz común; se elimina “x2” y se obtiene la raíz común; es decir:
adx2 + bdx + cd = 0 ……	()
adx2 + aex + af = 0 ……	(ß)
restando () – (ß); se obtiene:
x (bd – ae) + (cd – af) = 0
 x = 01.	En la ecuación de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0 ; a  0
Las raíces son numéricamente iguales y de signo contrario.
Si :	b = 0
02.	En la ecuación de segundo grado:
Las raíces, son recíprocas.
Si :	a=c Es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto hallar una expresión algebraica llamado cociente; obtenida de otras dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor, de tal forma que el valor numérico del cociente sea igual al cociente de los valores numéricos del dividendo y divisor, para cualquier sistema de valores atribuidos a sus letras.
Dividendo	.............. : D
Divisor	.............. : d
Cociente ............. : Q
Resto o residuo ............. : R
A) Cociente exacto (R  0).- El resto de la división es un polinomio idénticamente nulo.
D = d Q ó = Q
B) Cociente inexacto (R  0).- El resto de la división es un polinomio no nulo.
D = d Q + R ó = Q + 1.	En toda división algebraica el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
2.	En toda división algebraica el grado del residuo máximo es una unidad menos que el grado del divisor.
3.	En toda división algebraica el término independiente del dividendo es igual al producto de los términos independientes del divisor por el cociente más el termino independiente del residuo.
4.	Cuando se dividen polinomios homogéneos, el cociente y residuo, también son homogéneos, pero el grado absoluto del residuo es igual al grado absoluto del dividendo.
I.- Para el caso de dos monomios i)	Se dividen los signos de acuerdo a la regla de los signos
= +	= -
ii)	Se dividen los coeficientes
iii)	Se dividen las letras aplicando las leyes de exponentes
a) b) II.- Para el caso de dos polinomios Podemos utilizar cualquiera de los siguientes métodos:
a)	Método general o normal
b)	Método de los coeficientes indeterminados.
c)	Método de Horner
d)	Regla de Ruffini
.- En la división de dos polinomios estos deben ser completos y ordenados en forma descendente, con respecto a una letra llamada ordenatriz; si faltase alguna variable, ya sea en el dividendo o en el divisor, se completarán con ceros.
Este método es aplicable para polinomios completos y ordenados en forma descendente, con respecto a una de sus letras, llamada ordenatriz. Así tenemos:
d	D	I	V	I	D	E	N	D	O
v	i	s	o	R	COCIENTE	RESTO
Ejemplo.- Efectuar por Horner:
Qº = Dº - dº = 4 – 2 = 2
Rºmax = dº - 1 = 2 – 1 = 1
Como los polinomios son completos y ordenados; de acuerdo al esquema de Horner se disponen los términos de la siguiente forma:
4 12 - 17 + 20 - 8 + 7
A continuación aplicamos los siguientes pasos:
1.	Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente.
2.	El primer término del cociente multiplica a los términos con signo cambiado del divisor y el producto se escribe en la segunda fila debajo de los términos de dividendo corriendo un lugar a la derecha.
3.	Se reduce la siguiente columna y el resultado se divide entre el primer término del divisor obteniendo el segundo término del cociente el cual multiplica a los términos cambiados del divisor. El producto resultante se escribe en la tercera fila, debajo de los términos del dividendo corriendo un lugar a la derecha.
4.	Se continua este procedimiento hasta obtener un término debajo del último término del dividendo.
5.	Los coeficientes del resto o residuo, se obtienen directamente de cada una de las columnas que le pertenecen.
Respecto al ejemplo dado, tendríamos:
12 -8 20
 4 12 - 17 + 20 - 8 + 7
3	9 + 6 - 6 - 4 15 + 10
2	3 - 2 + 5 3 + 17 x2 x T.I. x T.I. de donde:
Q (x) = 3x2 – 2x + 5	(cociente)
R (x) = 3 x + 17 (Resto)
Ejemplo: Efectuar por Horner
De acuerdo a las propiedades observamos (respecto a la letra “a”)
G.A. (Dº) = G.A. (Rº) = 4
Por Horner, se tendría:
 4 12 - 23 + 51 - 30 + 20
5	15 - 21 - 10 + 14 25 - 35
-7	3 - 2 + 5 9 - 15 Por consiguiente:
Q (a , b) = 3a2 – 2ab + 5b2
R (a , b) = 9ab3 – 15 b4
En la solución de estos problemas debemos tener en cuenta las siguientes reglas:
Regla Nº 1.- Dos polinomios son divisibles, o uno de ellos es múltiplo de otro, o nos dicen que la división entre ellos es exacta; cuando el resto o residuo de la división es un polinomio nulo.
Regla Nº 2.- Si en una división nos dan como dato el resto, entonces el resto obtenido por Horner y el resto que es dato son polinomios idénticos.
Regla Nº 3.- En toda división exacta los coeficientes del dividendo y del divisor se pueden escribir en sentido contrario y al efectuar la división esta sigue siendo exacta.
Ejemplo 1.- Calcular “a” y “b” en la división exacta:
Por Horner tendríamos:
 1 2 - 1 + 0 + a - b	1	2 + 4 1 + 2 2 5 + 10
2 + 1 + 5 0 + 0
i) a + 2 + 5 = 0		a = -7 Rpta.
ii) –b + 10 = 0  b = 10 Rpta. Ejemplo 2.- Calcular “a” y “b” en la división:
Sabiendo que su resto es 4 x – 3
Aplicando el método de Horner:
 1 3 - 1 + 2 - a - b	1	3 - 3 2 - 2 -1 1 - 1
3 + 2 + 1 4 - 3
De las columnas del resto
i) -a - 2 + 1 = 4		a = -5 Rpta.
ii) –b – 1 = -3  b = 2 Rpta. Ejemplo 3.- Calcular “a” y “b” en la división exacta (Horner inverso)
Escribiendo los coeficientes en sentido contrario, se tendría el siguiente esquema de Horner:
- 1 -2 - 1 - 1 - b + a	1	2 - 2 -1 + 1 -1 4 - 4
2 - 1 + 4 0 + 0
i) -b + 1 + 4 = 0		b = 5 Rpta.
ii) a – 4 = 0  a = 4 Rpta. Este método es aplicable para divisores, binomios o transformables a binomios; es un caso particular de la división por Horner. Se presentan dos casos:
I.- Primer caso : P(x)  x  b
Dividendo	: P(x)
Divisor : x  b
Esquema de Ruffini:
El primer elemento del dividendo se baja y corresponde al primer elemento del cociente, se procede como en la división por Horner y el resultado de reducir la última columna es el resto de la división.
Ejemplo # 1 : Efectuar:
Del esquema de Ruffini, tendríamos:
2 + 0 – 1 + 3 - 2	- 4 + 8 – 14 + 22 2 - 4 + 7 - 11 Con lo cual:
Q(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 11 (cociente)
Rpta.	R(x) = 20 (Resto)
Ejm. # 2 : Hallar “k” en la división:
Sabiendo que es exacta.
Solución Como la división es exacta, el resto es un polinomio nulo, es decir:
X +2 = 0 1 – 2 + k +1 +k
X = -2	- 2 + 8 - 2k-16 4k +30
1 - 4 +(k+8) +(-2k-15) 0
K + 4 k + 30 = 0  k = -6 Rpta.
II.- Segundo caso : P(x)  ax  b
Dividendo	:	P (x)
Divisor	: a x  b
P(x)	En este caso	:
Q (x) = COCIENTE
R (x) = Resto
Ejemplo # 1: Efectuar:
Por Ruffini, se tendría:
5X +2 = 0	15 - 4 + 11 + 6	X =-2/5	- 6 + 4 - 6 15 -10 + 15 0 5
Q (x) = 3x2 – 2x + 3
Ejemplo 2: Determinar “k” en la división:
sabiendo que el resto es: 3k – 2 Solución
Aplicando Ruffini, tendríamos:
2X +1 = 0	10 + 1 + 4 – 5 + 2k
X =-1/2 -5 + 2 - 3 + 4
10 - 4 + 6 - 8 3 k - 2 De la condición:
2k + 4 = 3 k – 2  k = 6 Rpta.
01.	Efectuar:
Haciendo la transformación: x4 = y
Tendríamos: Por Ruffini:
3 - 2 + 0 + 5 - 7	- 9 + 33 – 99 + 282 3 - 11 + 33 - 94 Obtenemos:
Q (y) = 3y3 – 11 y2 + 33 y – 94
R (y) = 275
Como : y = x4 ; en función de “x”
Q (x) = 3x12 – 11 x8 + 33 x4 – 94
R (x) = 275
Este teorema es importante por que nos permite encontrar el resto de la división, sin efectuarla.
Enunciado.- El resto de dividir un polinomio racional P(x) entre un divisor binomio de la forma (a x  b) o cualquier otro divisor transformable a binomio; se obtiene al calcular el valor numérico de P ( )
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA:
En concordancia con los elementos de la división, tenemos:
Dividendo	:	P(x)
Divisor	:	a x  b
Cociente	:	Q (x)
Resto	:	R (x) (incógnita)
De la identidad fundamental:
D  d Q + R
P (x) = (a x  b) Q (x) + R (x)
Evaluando	P(x) para X = Se obtiene:
P ( ) = [a ( )  b ] Q ( ) + R(x)
P ( ) = [  ] Q ( ) + R (x)
Como vemos  = 0; con lo cual:
Resto = R (x) = P ( ) L.q.q.d.
Primer Caso:	Reglas para determinar el Resto:
1º .- Divisor igual a cero : a x  b = 0
2º .- Hallamos el valor de x: x = 3º .- Reemplazamos el valor de “x” en el polinomio dividendo y el valor obtenido es el resto de la división
Hallar el resto de la división:
Aplicando las reglas tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 1 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -1
3º.- Reemplazando en el dividendo; x = -1, obtenemos:
Resto = 2(-1)9 – 3(-1)5 + 5(-1)4 – 7(-1) + 6
(-) Par = +  (-) Impar = -
Resto = -2 + 3 + 5 + 7 + 6
Resto = 19	Rpta.
Ejemplo # 2.- Determine el valor de “k” en la división exacta.
Como la división es exacta, el resto, es igual a cero y de acuerdo a las reglas del teorema del resto tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 2 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -2
3º.- Resto = 0
2 (-2)3 – (3k – 2) (-2)2 – (-2) + 6k = 0
-16 – 12 k + 8 + 2 + 6k = 0
-6 k = 6
 k = –1 Rpta.
Segundo caso: ; (n  2)
Reglas para determinar el resto:
1º.- Divisor = 0  axn  b = 0
2º.- Cálculo de xn  xn = 3º.- Reemplazamos el valor de xn en el polinomio dividendo y el valor obtenido es el resto de la división:
Expresando el dividendo en función de “x2” se tendría:
Aplicando las reglas:
1º.- x2 + 2 = 0  x2 = -2
2º.- Por consiguiente:
R(x) = (-2)2 x + 2 (-2) x – 5 (-2) + 3 x -2
R (x) = 4 x – 4 x + 10 + 3 x – 2
 R (x) = 3 x + 8 Rpta.
es: x – 6. Hallar (a + b)
Expresando el dividendo en función de x2, se tendría: Del teorema del resto:
1º.- x2 + 1 = 0  x2 = -1
2º.- R(x) = a (-1)3 x + 3 (-1)2 x + b (-1) – 5
R (x) = (-a + 3) x – b – 5
Como: R(x)  x - 6	Se cumple que:
(-a + 3) x – b – 5  x – 6
Comparando los coeficientes:
i)	-a + 3 = 1 	a = 2
ii)	–b – 5 = - 6		b = 1
 a + b = 3	Rpta.
Siendo el divisor un trinomio hay que transformarlo a binomio, mediante la identidad
(x2 + x + 1) ( x – 1) = x3 – 1
Con la cual, se tendría :
Expresando el dividendo en función de x3:
Recordemos que: si al dividendo y al divisor se multiplican por una misma cantidad, el cociente no se altera pero el resto queda afectado por la cantidad que se está multiplicando; en consecuencia:
1º.- x3 – 1 = 0  x3 = 1
2º.- Con lo cual:
(x - 1) R(x) = 2(1)8 – 2(1)7 x2 – (1)2 +
+ (1) x2 + 3x – 3
(x - 1) R (x) = - x2 + 3 x – 2
-x2 + 3 x – 2
R (x) = -----------------
Por la regla de Ruffini:
-1 + 3 - 2
x = 1	- 1 + 2 -1 + 2 0
Resto: R(x) = -x + 2 Rpta Son cocientes cuya forma general es:
1º	El resto de la división debe ser igual a cero.
2º	Las bases deben ser iguales 3º Los exponentes deben ser iguales.
Ejemplo: = a3 + a2 b + ab2 + b3
Segundo caso: n : En este caso debe ser impar necesariamente; para que el resto sea cero y el cociente sea notable.
Tercer caso: n : Para este caso debe ser un número par necesariamente, lo cual nos da un resto cero y por consiguiente el cociente es notable.
Cuarto caso: n : Ya sea par o impar, el resto no será cero, por consiguiente este tipo de cociente nunca será cociente notable.
Respecto al CoNo cuya forma general es: Se satisfacen las siguientes propiedades:
2º	El número de términos que tiene en su desarrollo es igual al exponente del dividendo del cociente notable. 3º	El desarrollo de un CoNo es un polinomio homogéneo cuyo grado es igual al exponente del dividendo del CoNo menos uno.
4º	En el desarrollo de un CoNo los exponentes de la primera y segunda base varían consecuti-vamente en forma descendente y ascendente desde el mayor exponente, hasta el exponente cero.
5º	Respecto a los signos de los términos del desarrollo de un CoNo, debemos considerar lo siguiente:
T1 T2 T3 TK Tn Vemos que el término de lugar “k” adopta la forma matemática:
“b”	: Segunda base del CoNo
“n”	: Número de términos de CoNo
“k”	: Lugar que ocupa el término que queremos determinar
i)	TK, es (+)  k, es impar ii)	TK, es (-)  k, es par, pero solo para CoNo de la forma : ó iii)	TK siempre es positivo para una CoNo de la forma Ejemplo#1: Dado el CoNo : hallar el T27
“b” = b	“n” = 31
# 2: Dado el CoNo : hallar el G.A: del T32
1.-	El resto de la división debe ser igual a cero.
2.-	Las bases deben ser iguales
3.-	Los exponentes del dividendo con respecto al divisor deben ser proporcionales y pertenecer al campo de los números enteros positivos, es decir:
4.-	Respecto a los casos que se presentan en los CoNo, deben tenerse en cuenta lo siguiente:
a) Forma : = # par o impar
b) Forma : = # impar
c) Forma : = # par
5.-	Un término cualquiera del desarrollo del CoNo está formulado por:
TK =  (a) m – k p (b) (k-1) q ; 1 k  Ejemplo # 1:
n (n – 7) = 0 	ó
n = 7	Rpta.
Ejemplo 3: Dado el CoNo : hallar el grado absoluto del T22.
“n” : Número de términos = “k” : lugar que ocupa el término = 22
Dado el CoNo : Podemos notar que:
1.-	“n” representa el número de términos
2.-	Si “n” es un número impar existe un término central al cual denotaremos por tc y ocupa el lugar.
3.-	Si “n” es un número par existen dos términos centrales y ocupan los lugares.
4.-	Si “k” es el lugar que ocupa el término del desarrollo de un CoNo y “ k’ ” su término equidistante (término contado a partir del extremo final); se cumple.
a)	k + k’ = n + 1
b)	TK =  (a) n – k (b) k - 1	c)	TK’ = tn+1 - k =  (a) k – 1 (b) n - k
d)	TK y TK’ son de igual signos en los CoNo de la forma :
e)	TK y TK’ tienen signos diferentes para CoNo de la forma: Para reconstruir un cociente notable a partir de los términos de su desarrollo, debemos tener en cuenta las siguientes reglas:
1º	Ley de signos
a) +, +, +, .............. +  b) +, -, + ................-,+  c) +, -, +, .............+, -  2º	Ley de variables.- En el dividendo y en el divisor se escriben como bases del CoNo las bases de los términos extremos del desarrollo.
3º	Variación de exponentes.-Nos determina los exponentes que deben colocarse en las bases del divisor; la variación descendente es para la primera base y la variación ascendente es para la segunda base.
4º	formación del Cociente Notable.- Obtenidos los exponentes del divisor, estos se suman con los exponentes de los términos extremos del desarrollo del cociente notable y obtenemos los exponentes del dividendo, formándose el cociente notable.
1º.- Ley de Signos : 2º.- Ley de variables: 3º.- Variación de exponentes: 4º.- Formación del CoNo: Ejercicio Nº 1.- Dado el cociente notable
Por ser un cociente notable los exponentes deben ser proporcionales, es decir: #t = operando, se tiene:
12 n2 – 18 n + 84 n – 126 = 12 n2 + 12 n + 24 n + 24
#t =  # t = 12 Ejercicio Nº 2.- Al efectuar el desarrollo del CoNo: Hallar el número de términos fraccionarios.
TK = (a) n - k (b) k – 1  Remplazando:
k  k  9,4
i)	P (x) = 2 x2 – 7x + 3 , está definido en Q , R y C ii)	Q (x) = x5 + 3 x - , está definido en R y C, pero no en Q.
iii)	R (x) = x3 – i x + 2 i – 3; esta definición solo en C .... (i = )
No es primo en Q, ni en R; ni en C, ya que se puede expresar como P (x) = (x + 5) (x – 5).
Ejemplo # 3 .- R(x) = x2 + 16 Es primo en Q y en R pero no es primo en C, ya que R(x) = (x + 4i) (x – 4 i)
a)	P(x) = x4 – 36  (x2 + 6) (x2 –6)
b)	P(x)=x4 – 36  (x2 + 6) (x + ) (x - )
c)	P(x)=x4 – 36  (x + i ) ((x - i ) (x+ ) (x - )
I.	Método del Factor Común.- El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente; puede ser monómico o polinómico.
El factor común en este caso es: (a2 + b); de donde
II.	Factorización por agrupación de términos
f = a2 x2 + 2ab x y + b2 y2 + a2 y2 – - 2 ab xy + b2 x2
f = a2 x2 + b2 y2 + a2 y2 + b2 x2
agrupando el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, se tiene:
f = (a2 + b2) (x2 + y2)	Rpta.
III.	Método de las Identidades
A.	DIFERENCIA DE CUADRADOS
B.	TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.- Su forma general es:
am	bn  ambn	am	bn  ambn	2ambn
C. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.- En este caso recordamos los productos notables.
f = x8 – 81 y8 x4 9y4
f = 3 ab (a + b) + 3(a + b)2 c + 3(a + b) c2 Solución
Es decir, dado :
a1 xm	c1 yn  a2 c1
a2 xm	c2 yn  Los factores se toman horizontalmente
Siendo el factor común : 4 a4 b3
16 a4	-b4	 a4 b4
a4	-b4		16 a4 b4
f = 4 a4 b3 (4 a2 + b2) (2 a + b) (2 a – b) (a2 + b2) (a + b) (a – b)
1)	f = x4 + y4 + 2x y (x2 + y2) + 3x y2
2)	g = x6 + 2x5 – 3x4 + 4x2 – 1
3)	f = (a2 + b2 – c2 – d2)2 – 4 (ab + cd)2
4)	f = (z2 – y2)2 (x2 – a2) + 4 x2 y2 z2
Rpta. f = (z2 x + xy2 + az2 – ay2) (z2 x + xy2 – az2 + ay2)
5)	Un factor de: a (a – 1) + a3 – 1 es:
6)	Descomponer en factores: x5 + x + 1
7)	Cuando se factoriza x9 – x hasta donde sea posible en polinomios y monomios con coeficientes enteros, el número de factores primos es:
8)	La expresión x2 – y2 – z2 + 2yz + x + y – z Rpta. (x + y –z) (x – y + z + 1)
9)	Hallar la suma de los factores primos de: a (a2 + ab - 1) – b (b2 + ab – 1)
10)	Factorizar la expresión: x4 + 2x3 – 2x – 1, indicar la suma de los factores primos:
Este método es aplicable para polinomios de la forma:
f = a x2m + bxm yn + c y2m + dxm + + e yn + f
El polinomio debe presentar cierto orden para poder factorizarlo.
1º. Debe tener 6 términos, si falta alguno de ellos, se reemplaza por ceros.
2º.	Con respecto al primer trinomio los exponentes centrales deben ser la mitad de los extremos, y en el cuarto y quinto término se repiten los exponentes centrales.
1.	Estando ordenado los términos del polinomio, se trazan dos aspas de la siguiente forma:
f = (ax2m + bxm yn + cy2n+ dxm + eyn + f
2.	Descomponemos en factores los coeficientes de los términos extremos. Multiplicados en aspa y sumados deben verificar al “cuarto término”.
f = ax2m + bxm yn + cy2n + dxm + eyn + f
a1	f1
a2	f2
Deben cumplirse que: a1 f2
3.	A continuación descomponemos en factores el coeficiente del tercer término. La primera aspa debe verificar al coeficiente del segundo término y la segunda aspa debe verificar el coeficiente del quinto término.
4.	Los factores se obtienen tomando los términos de las aspas en forma horizontal.
f = ax2m + bxm yn + cy2n + dxm + eyn +f
a1xm	c1 yn	f1  a2 f1
a2xm	c2 yn	f2  a1 f2
f = (a1 xm + c1 yn + f1) (a2 xm + c2 yn + f2)
f = 20 x4 – 21 y6 + 13 x2 y3 – 2x2 + + 23 y3 – 6
Ordenando el polinomio de acuerdo a las reglas dadas, se tiene:
f = 20x4 + 13x2y3 – 21y6 – 2x2 + 23y3 – 6
4x2	2  10
5x2	3  -12
-2	Dado que está verificado el cuarto término, descomponemos en factores el “tercer término”
4x2	-3 y3	2  10
5x2	7 y3	- 3  -12
- 2	Como se han verificado todos los términos, los factores son:
f = (4x2 – 3y2 + 2) (5x2 + 7y3 – 3)
f =12a2 –4b2–12c2 – 2ab + 7ac + 14 bc
Ordenando convenientemente, se tendría:
f = 12a2 - 2ab – 4 b2 + 7ac + 14 bc – 12 c3
3a	4c  16
4a	-3c  -9 7
f = 12a2 – 2ab – 4b2 + 7ac + 14 bc –12 c2
3a -2b	4c  16 ac
4a	2b -3c  -9 ac
f = (3a - 2b +4c) (4a + 2b –3c)
El polinomio a factorizar debe tener cinco términos o en su defecto debe completarse con ceros, su forma canónica es:
El problema central consiste en descomponer cx2 en dos términos, dispuestos en la siguiente forma:
c1 x2 c2 x2 tal que : c1 + c2 = c
1.	Se decompone en factores los coeficientes de los términos extremos del polinomio de cuarto grado, de forma que :
a = a1 . a2 y e = e1 . e2
multiplicando en aspa y sumando los productos respectivos, obtenemos “c1”, es decir:
c2 c1 a1	e1 = a2 e1	a2	e2 = a1 e2	c1
Nota: “c2” se obtiene por diferencia
c2 = c – c1
2.	“c2” se descompone en factores c2 = c’2 . c”2 , donde la primera aspa verifica a “b” y la segunda aspa verifica a “d”
c2 c1 a1 x2	c’2x	e1  a2 e1	a2 x2 c”2x e2  a1 e2	c1
3.	Los factores, se toman horizontalmente
f = (a1x2 + c’2x + e1) (a2x2 + c”2 x + e2)
f (x)= 20x4 + 2x3 – 11x2 + 19 x – 15
Descomponiendo en factores los términos extremos, para determinar “c1” se tendría:
f (x) = 20 x4 + 2x3 - 11x2 + 19x -15
-6x2 -5x2 4x2	3 = 15x2 5x2	-5 =- 20x2	- 5x2
Descomponiendo en factores:
c2= - 6x2 se tendría:
f = 20x4 + 2x3 - 11x2 + 19x -15
-6x2 -5x2 4x2	-2x	3 = 15x2 5x2	3x	-5= - 20x2	- 5x2
 f(x) = (4x2 – 2x + 3) (5x2 +3x – 5)
1.	No todos los polinomios de 4to. Grado se pueden factorizar por doble aspa.
2.	Si el polinomio de 4to. Grado es factorizable por doble aspa, debe observarse si cada factor cuadrático es factorizable.
3.	El trinomio : ax2 + bx + c = 0 se puede factorizar, si su discriminante ( = b2 –4ac) es un cuadrado perfecto.
1.	f = 30a2 – 6b2 – 14c2 – 28ab – - 23ac + 25 bc
Rpta. f = (5a - 3b + 2c) (6a + 2b – 7c)
2.	g = 21x2 – 37 xy2 + 12y4 + 48x – - 26 y2 + 12
Rpta. g = (3x – 4y2 + 6) (7x- 3y2 +2)
3. f = 20x2 + 12y2 – 31xy + 2y – 2x - 4
Rpta. f = (5x – 4y + 2) (4x – 3y – 2)
4. g = 28a2 + 6b2 – 12c2 – 29ab-10ac + 14 bc
Rpta. g = (4a - 3b + 2c) (7a - 2b – 6c)
5. f = 12x2 - 29xy + 15y2 + 24 x – 40y
Rpta. f = (4x – 3y + 8) (3x – 5y)
6. g = 20x4+ 9x3 - 20x2 + 21 x - 6
Rpta. g = (4x2 – 3x + 2) (5x2 + 6x – 3)
7. f = 20x4 + 7x3 – 29x2 + 23 x – 21
Rpta. f = (5x2 – 2x + 3) (4x2 + 3x – 7)
8. g = 6x4 - 35x3 + 62x2 - 35 x + 6
Rpta. g = (3x – 1) (x – 3) (2x – 1) (x- 2)
9. f = 20 x4n + 7x3n – 19 x2n + 19xn – 15
Rpta. f = (5x2n – 2xn + 3) (4x2n + 3xn – 5)
10. g = 120x4n – 242x3n + 27x2n + + 135 xn – 54
Rpta. g = (3xn– 2) (4xn+ 3) (5xn – 3) (2xn – 3)
Este método se basa en el criterio del teorema del resto:
i)	Si: P (x) es divisible entre (x – a) entonces P(a) = 0
ii)	Si: P(x) es divisible entre (x + b) entonces P (-b)= 0
Observando en forma inversa
i)	Si: p (a)= 0; entonces un factor es (x –a)
ii)	Si: p(-b) = 0; entonces un factor es (x + b)
El polinomio mónico se caracteriza porque el coeficiente de su máxima potencia es igual a la unidad.
1.	Se hallan todos los divisores del término independiente del polinomio P(x) a factorizar; los divisores se consideran con el signo más y menos.
2.	Cada divisor con signo (+) o signo (-) se evalúa en P(x), si alguna de las evaluaciones vale cero, hemos encontrado un factor lineal.
3.	Se recomienda encontrar una cantidad de ceros igual al grado del polinomio P(x) menos dos.
4.	Los demás factores se encuentran aplicando la regla de Ruffini.
Factorizar : f(x) = x4 – 2x3 – 16 x2 + 2x + 15
Nótese que el polinomio es de cuarto grado, entonces:
1.	La cantidad de ceros a encontrar por evaluación es: 4º - 2º = 2
2.	Los divisores del término independiente “15” son  (1, 3, 5, 15)
3.	Evaluando:
a)	f(1) = 1 – 2 – 16 + 2 + 15 = 0
entonces, un factor es : (x – 1)
b)	f (-1) = (-1)4 –2(-1)3 – 16 (-1)2 + 2 (-1) + 15
f (-1) = 0; entonces, otro factor lineal es: (x + 1)
4.	Por la regla de Ruffini:
1 – 2 – 16 + 2 + 15
1 – 1 - 17 - 15
1 – 1 – 17 - 15 0
- 1 + 2 + 15
1 – 2 – 15 0
 P (x) = (x – 1) (x + 1) (x2 – 2x –15)
El factor cuadrático es más fácil de factorizar, obteniéndose:
P (x) = (x – 1) (x + 1) (x – 5) (x + 3)
Sea, P(x) el polinomio a factorizar:
1º Se hallan los divisores correspondientes al término independiente de P (x) y los divisores correspondientes al coeficiente de la máxima potencia.
2º	Los divisores a evaluar son los divisores del término independiente más las fracciones que se obtienen al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente de la máxima potencia.
f (x) = 6x5 + 13x4–29 x3–43 x2 – x + 6
Como el polinomio es de grado 5 a lo más debemos encontrar “3” ceros.
Los divisores del primer coeficiente y del término independiente son:
f (x) = 6x5 + 13x4 – 29x3 – 43x2 – x+6
 (1, 2, 3, 6)  (1, 2, 3, 6)
 los divisores a evaluar son:
 (1, 2, 3, 6, , , , , )
1)	f (-1) = 6 (-1)5 + 13(-1)4 –29 (-1)3 – 43 (-1)2 – (-1) + 6
f (-1) = 0  Un factor es: (x + 1)
2)	f ( ) = 6 ( )5 + 13 ( )4– 29 ( )3 – 43 ( )2 – ( ) + 6
f ( ) = 0  otro factor es: 3)	f ( ) = 6 ( )5 + 13 ( )4 – 29 ( )3
- 43 ( )2 - ( ) + 6
f ( ) = 0  otro factor es (x - )
Aplicando Ruffini, se tendría:
6 + 13 - 29 - 43 - 1 + 6
x = -1 - 6 - 7 + 36 + 7 - 6
6 7 - 36 - 7 + 6 0
x = - 3 - 2 + 19 - 6
6 + 4 - 38 + 12 0
+ + 2 + 2 - 12	6 + 6 - 36 0
 f (x) = (x + 1) (x + ) (x - ) (6x2 + 6 x – 36)
Simplificando y factorizando el término cuadrático, se obtiene:
f (x) = (x + 1) (2x + 1) (3x – 1) (x + 3) (x – 2)
01. F (x) = x3 – 6x2 + 11 x – 6
G (x) = x4 –10x3 + 35x2 – 50 x + 24
03. F (x)=72 x4 –90 x3 –5 x2 +40 x – 12
04. G (x)=x5 –x4–13 x3 +13x2 +36x –36
05. F (x)= 6 x5 + 7x4 – 15 x3 – 5x2 + 9 x – 2
Las expresiones recíprocas se caracterizan por que los términos de los términos equidistantes de los extremos son iguales. Debemos tener en cuenta lo siguiente:
1.	Si la expresión es recíproca de grado impar, uno de sus factores es (x + 1) y este factor estará multiplicado por una expresión recíproca de grado par.
2. Si la expresión es recíproca de grado par los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales y el último término es positivo.
Ejm: P(x)= ax4  bx3  cx2  bx + a
1.	Se factoriza la variable que se encuentra elevado a un exponente igual a la mitad del grado de la expresión dada.
2.	Se agrupan los términos equidistantes de los extremos quedando en cada grupo un término en “x” y su recíproco.
3.	Se reemplaza el grupo de menor potencia por una letra diferente de “x” y las otras potencias se encuentran en función de esta letra.
F (x) = 6 x4 + 35 x3 + 62 x2 + 35 x + 6
Dado que el grado de F(x) es 4, factorizamos: ”x2”; obteniendo:
F (x) = x2 [6 x2+35 x + 62 + + ]
F(x)= x2 [ 6 (x2 + ) + 35 (x + ) + 62 ]
Haciendo : x + = a  x2 + = a2 – 2
F (x) = x2 [ 6 (a2 – 2) + 35 (a) + 62 ]
F (x) = x2 [ 6 a2 + 35 a + 50 ]
3a 10  20 a
2a	5  15 a
F (x) = x2 [3 a + 10 ] [ 2 a + 5 ]
Como: x + = a; se tendría:
F(x) = x2 [3 (x + ) + 10] [2 (x+ ) + 5 ]
F (x) = (3x2 + 10 x + 3) (2 x2 + 5 x + 2)
Nuevamente por aspa simple:
F (x) = (3x + 1) (x + 3) (2x + 1) ( x + 2)
01.	F (x) = 4x4 – 12 x3 + 17 x2 – 12 x + 4
02.	G(x) =x6– 3x5 + 6x4– 7x3 + 6x2– 3x + 1
03.	F(x) = 8x6 – 36 x5 + 78 x4 – 99 x3 + 78 x2 – 36 x + 8
04.	G (x) = 6x4 + 5x3 + 8 x2 + 5 x + 6
05.	F(x) = 27 x6 – 54 x5 + 117 x4 – - 116 x3 + 117x2 – 54 x + 27
06.	G (x) = 3 x4 + 5 x3 – 4x2 – 5x + 3
07.	F(x) = 12x5 –8 x4 – 45 x3 + 45 x2 + 8 x – 12
MCD.- El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es otra expresión algebraica entera de mayor coeficiente numérico y mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas.
Ejemplo: Hallar el MCD de 36 y 24 Solución
Divisores de 36	Divisores de 24
1 2 3 4 6 12 18 36	1 2 3 4 6 8 12 24
MCD = 12
 MCD (36, 24) = 12
MCM.- De dos o más expresiones Algebraicas es otra expresión algebraica entera de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente entre cada una de las expresiones dada.
5 10 15 20 25 30 60 120
6 12 18 24 30 60 120  MCM (5, 6) = 30
1.	Si dos o más expresiones son primos entre sí, es MCD es la unidad y su MCM el producto de ellas.
2.	Dada dos expresiones algebraicas A y B, su M.C.D. por su M.C.M. es igual al producto de A por B.
3.	M.C.D. (A, B) x M.C.M. (A, B) = A x B
Para determinar el M.C.D. ó M.C.M. de dos o más expresiones algebraicas se aplican las siguientes reglas:
1.	Se descomponen en sus factores primos cada una de las expresiones dadas.
2.	El M.C.D está determinado por el producto de los factores comunes con sus menores exponentes.
3.	El M.C.M. está determinado por el producto de los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes.
Ejemplo: Hallar el M.C.D. y M.C.M. para las siguientes expresiones algebraicas:
A = (x2 – y2)2 ; B = x4 – y4; C= (x2 + y2)2
Factorizando cada una de las expresiones algebraicas
A = (x + y)2 (x – y)2
B = (x2 + y2) (x + y) (x – y)
C = (x2 + y2)2
M.C.M = (x2 + y2)2 (x + y)2 (x – y)2
01.	Hallar el M.C.D. de los polinomios A = x4 – 3x3 – 10 x2 + 7 x – 1
B = x4 – 8x3 + 17 x2 – 8x + 1
C = x3 – 6x2 + 6 x – 1
Rpta. M.C.D. = x2 – 5X + 1
02.	Hallar el M.C.M. de:
A = x3 + 5x2 + 8 x + 4
B = x3 + 3x2 – 4
C = x3 + 6x2 + 12 x + 8
Rpta. M.C.M. = (x + 2)3 (x + 1) (x – 1)
Las fracciones algebraicas, son todas aquellas donde por lo menos hay una letra en el denominador.
Ejemplo: a) b) c) Signos de una fracción.- son tres, el signo del numerador, el signo del denominador, el signo de la fracción propiamente dicha. Así tenemos:
i) ii) A . Fracciones propias.- Se llama así cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador (Nº  Dº). Ejemplos:
a) b) B.	Fracciones impropias.- En este caso el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (Nº  Dº). Ejemplos:
a) b) C.	Fracciones homogéneas.- Son aquellas fracciones que tienen iguales denominadores.
a) ; ; 1.	Cuando se trata de una sola fracción, se factorizan los miembros de la fracción y se cancelan los factores comunes.
Ejm: Simplificar
F =  F =  F = a- b
2.	Cuando es una suma o resta de fracciones; primero se simplifican las fracciones y luego hallamos el M.C.M. Se efectúan las operaciones indicadas y se simplifica la fracción obtenida.
En multiplicación de fracciones se factorizan los miembros de las fracciones y luego se multiplican entre sí.
Para el caso de división de fracciones, se invierte la fracción que actúa como divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.
Observamos que el M.C.M. es (x – 2) con lo cual la expresión quedaría de la siguiente forma:
E = Simplificando:
E = Rpta.
01.	Si : ; calcular
E = Rpta. E = 0
Rpta. E = 03.	Simplificar:
E = Rpta. E = 04.	Si:
a + b + c = 0; calcular:
Rpta. (b2 + bc + c2)3
05.	Si el numerador y el denominador de la fracción reductible:
Admite un divisor común de la forma: (x2 + mx – 6). Indicar su equivalente irreductible.
Rpta. Las cantidades imaginarias se originan al extraer raíces indicadas de índice par a números negativos.
Ejm: ; ; Son cantidades imaginarias.
Unidad Imaginaria.- Está representada por la letra i, el cual matemáticamente nos representa a ; es decir:
i = ; tal que i2 = -1
Nota.- Si queremos efectuar:
E = • , debemos hacerlo con bastante cuidado. Es decir::
E = • • E = i i
Como: = 6  i2 = -1, se tendría  E = - 6	Rpta.
Dado que:	i = i2 = -1
i3 = i2 . i = - i
i4 = i2 . i2 = 1
i7 = - i
Vemos que las potencies de la unidad imaginaria, se repiten en período de 4 en 4 y cuyos valores son i ; -1; - i; 1 
Siendo; 4K: múltiplo de cuatro vemos que:
a)	i4k = 1
b)	i4k + 1 = i4k • i = i
c)	i4k + 2 = i4k • i2 = -1
d)	i4k + 3 = i4k • i3 = - i
Regla.- La unidad imaginaria elevado a un exponente múltiplo de cuatro; su resultado es igual a la unidad.
Siendo; 4k: múltiplo de cuatro se observa que:
a)	i –4k = 1
b)	i - (4 k – 1) = i – 4 k • i = i	c)	i - (4 k – 2) = i – 4 k • i2 = -1	d)	i - (4 k – 3) = i – 4 k • i3 = - i	Regla.- Cuando “i” está elevada a una potencia negativa, si el exponente es múltiplo de cuatro, el resultado es igual a la unidad.
Desde que: 4k = múltiplo de 4
1.	(4k) n = 4k
2.	(4k + 1)n = 4k + 1 ; (n = par o impar)
3.	(4k + 2)n = 4k	; (para n  2)
4.	(4k + 3)n = 4k + 1 ; (para n  2)
01.	Hallar: i 26
Recordemos que un número es múltiplo de cuatro, cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de cuatro, es decir:
i26 = i24+2 = i2 = -1 (Rpta.)
02.	Determinar : i264239
Considerando las dos últimas cifra, vemos que:
i264239 = i 39 = i 36+ 3 = i 3 = - i
03.	Calcular: E = i –793
Observando solo las dos últimas cifras:
i-793 = i-93 = i-96 + 3 = i 3 = - i
04.	Hallar : E = i-2937722649
Considerando solo las dos últimas cifras
E = i-49 =i-52 + 3 = i3 = - i
05.	Simplificar
Efectuando las potencies indicadas
06.	Hallar el valor simplificado de:
En este tipo de problemas se trabaja con las dos primeras potencias.
; donde: Con lo cual:
E =  E = i Rpta.
07.	Calcular : S = Solución
Trabajando con los dos primeros exponentes:
; donde: De donde:
S =  S = 1 Rpta.
08.	Determinar el valor de la sumatoria
S = i2 + 2i4 + 3i6 + 4i8 + ………….. +
+ (2 n – 1) i 4n – 2 + 2 n i 4n Solución:
Se observa que hay “2n” términos, la cual está señalada por los coeficientes. Determinando las potencias de “i”:
S= (-1)+ 2(1)+ 3(-1) + 4(1) + ..... +
+ (2 n – 1)(-1) + (2n) (1)
Agrupando de “2” en “2”, donde cada grupo vale 1; se tiene:
S = 1 + 1 + 1 ................... + 1
S = n Rpta.
Rpta. i	03.	El valor de:
i2 + 3i4 + 5i6 + 7i8 +…. + (2 n – 1) i 2n es : n	Rpta. 04.	El valor de:
E = i -6349 + i -2715 – i-1693
es : Rpta. – i
05.	Calcular el valor de:
es : Rpta. 0,5
06.	Calcular el valor de:
es : Rpta. 5
07.	Hallar el valor de:
es : Rpta. 1
Los números complejos son expresiones matemáticas formadas por una parte real y una parte imaginaria. El complejo se representa por:
Donde i; es la unidad de los números imaginarios y se tiene que:
Parte real : Re  Z  = a
Parte imaginaria : Im  Z  = b
Esto nos indica que el complejo Z está formado por “a” unidades reales y “b” unidades imaginarias.
Con respecto al número complejo.
a) Si; a = 0  Z = bi (# imaginario puro)
b) Si; b = 0  Z = a (# real )
c) Si; a = 0  b = 0  Z = 0 (Complejo nulo)
A.	Complejos conjugados.- Dos números complejos son conjugados cuando tienen igual parte real y en la parte imaginaria solo se diferencian en el signo.
Así tenemos; El complejo de:
a) Z1 = 7 – 2 i es: Z2 = 7 + 2 i
b) Z1 = - 5 – 3 i es: Z2 = -5 + 3 i
c) Z1 = 8 – es: Z2 = 8 + i
En general, el complejo de:
Z1 = a + b i es : Z2 = a – b i
a. Complejo Iguales.- Dos números complejos son iguales, si tienen igual parte real e igual parte imaginaria. Es decir:
Z1 = a + b i es igual a Z2 = c + d i
 a = c  b = d
B.	Complejos Nulos.- Son aquellos números complejos que tienen parte real nula y parte imaginaria nula, es decir:
Z = a + bi = 0  a = 0  b = 0
C.	Complejos opuestos.- Son aquellos números complejos que se diferencian solo en los signos, tanto para la parte real, como para la parte imaginaria, es decir:
Z1 = a + b i es opuesto a Z2 = c + d i
 a = - c  b = - d
01.	Si los complejos:
Z1 = a + 2i y Z2 = (2a – 1) + (3 b + 2) i
Son conjugados. Hallar el valor de (a2 + b2)
Dado que son complejos conjugados; sus partes reales son iguales, es decir:
a = 2 a – 1  a = 1
De otro lado, sus partes imaginarias, solo se diferencian en el signo:
2 = - (3 b + 2)  4 = - 3b
 b = reemplazando en :
E = a2 + b2  E = (1)2 + ( )2
 E = Rpta. D
02.	Cuál es el valor de : b c + c - b si los complejos:
Z1 = ( b – 3) – (c + 2) i
Z2 = 6 –( b – 1) i
Como los números complejos son opuestos, estos se diferencian en el signo, tanto para la parte real, como para la parte imaginaria, es decir:
a) b – 3 = - 6  b = -3
b) – (c + 2) = b – 1  - c – 2 = - 3 – 1
 bc + c – b = (-3)2 + (2)3 = 17
bc + c – b = 17 Rpta.
03.	Calcular (a + b), si a – bi = (2 – 3 i)2
Desarrollando el segundo miembro de la igualdad por productos notables.
a – b i = 4 – 12 i + 9 i2
dado que: i2 = -1 ; entonces:
a – bi = -5 - 12 i   (a + b) = - 5 + 12 = 7 Rpta.
Forma Geométrica o Cartesiana.- Todo número complejo de la forma :
Z = a + bi se puede representan en el plano cartesiano. Debe tenerse en cuenta que:
Z = a + bi  Esto quiere decir que en el eje de las abscisas, tenemos: “a” unidades reales y en el eje de las ordenadas, tenemos “b” unidades imaginarias.
En efecto; la gráfica de:
Z = a + bi ; es: Coana
Afijo de un complejo.- Es un punto del plano complejo, el cual está determinado por un par ordenado (a, b) a = Re (z) : nos representa la parte real
b = Im (z) : nos representa la parte imaginaria
# Complejo	Afijo del # complejo
Z1 = 3 + 5 i	(3; 5)
Z2 = -2 – 2 i	(-2; -2)
Z3 = - 6 + 8 i	(-6; 8)
Z4 = 7 - i
(7; - )
Forma Polar.- Este sistema determina el afijo de un número complejo mediante dos coordenadas polares, una de las coordenadas es el radio vector “r” que es la distancia del afijo (r, ) al polo y la otra coordenada es el argumento “”, llamado también ángulo polar, que está determinado por el eje polar y el radio vector, como muestra la gráfica adjunta.
Haciendo coincidir el polo del eje polar con el origen de coordenadas, obtenemos la gráfica del complejo.
Z = a + bi (En la forma cartesiana)
Z = r (En la forma polar)
Para hacer las transformaciones entre coordenadas, consideramos:
I.-	Transformación de la forma cartesiana a la forma polar.
Dato : Z = a + b i
Incog: Z = r  = r (cos  + i sen )
En el plano Gaussiano por Pitágoras:
Y en el R OAB, observamos que:
r2 = a2 + b2  r = r = z es el módulo del # complejo
Tg  =   = arc tg ; -180º   180º
 : es el argumento del # complejo.
II.	Transformación de la forma polar a la forma cartesiana
Dato : Z = r  = r cos  + i sen 
Incog: Z = a + b i
Con referencia al plano Gaussiano “a” es la proyección de “r” sobre el eje de las abscisas:
a = r cos 
“b” es la proyección de “r” sobre el eje de las ordenadas
b = r sen 
Ejemplo # 1: Representar el complejo
Z = -1 + i en la forma polar
Representando z = -1 + i en el plano complejo:
r =  = 180º -  ; donde tg  = = 1
 = 180º - 45º = 135º
Con lo cual : z =- 1 + i = 135º Rpta.
Ejemplo. # 2. Represente el número complejo
Z = en la forma polar.
Graficando Z = en el plano complejo, con la finalidad de ubicar la posición del argumento.
r = Asimismo:
 = 270º -  ; donde  = arctg  = 60º
 = 270º - 60º = 210º
 z = 210º Rpta.
Ejemplo # 3. Exprese en la forma cartesiana el número complejo Z = 2 120º
Z = r  = r cos  + i r sen 
Z = 2 cos 120º + i 2 sen 120º
Reduciendo al primer cuadrante
Z = - 2 cos 60º + i 2 sen 60º
Z = -2 + i 2 Z = -1 + i  z = 2 120º = - 1 + i Rpta.
A)	Representar en la forma polar los siguientes números complejos:
a) z = - i Rpta: z = 1 300º
b) z = 1 – i Rpta: z = - 45º
c) z = -1 + i Rpta: z = 2 120º
d) z = -5 - i 5 Rpta: z = 10 210º
e) z = 3 - i 3 Rpta: z = 6 315º
B)	Representar en la forma cartesiana los siguientes números complejos:
a) z = 10 –60º Rpta. z = 5 – i 5 b) z = 6 -135º Rpta. z = -3 - i 3 c) z = 2 120º Rpta. z = -1 + i d) z= 50 315º Rpta. z = -25 -i 25 e) z =12 -120º Rpta. z = -6 – i 6 El número complejo z = a + bi se puede representar en las siguientes formas:
1.	Forma Cartesiana
2.	Forma trigonométrica
Z = r cos  + i r sen 
3.	Forma polar
Z = r  = r (cos  + i sen )
4.	Forma exponencial
Z = r e i  = r (cos  + i sen  )
5.	Forma sintética
Z = r Cis () = r (cos  + i sen  ) Considerar que para todas las formas:
r= :módulo del complejo
 = arc tg : Argumento del complejo.
-180º    180º
1.	SUMA ALGEBRAICA.- Para sumar o restar complejos, se suman o restan las partes reales y las partes imaginarias entre sí. En efecto:
Si; Z1 = a + b i y Z2 = c + d i
a)	Z1 + Z2 = a + bi + c + d i
Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d) i
b)	Z1 - Z2 = a + b i – ( c + d i )
Z1 - Z2 = (a – c) + ( b – d ) i
2.	MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS. a) En la forma cartesiana se procede como si fuera el producto de dos binomios; es decir:
Si; Z1 = a + bi y Z2 = c + d i
 Z1 Z2 = (a + b i ) (c + d i )
Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc) i
b) En la forma polar; primero se hace la transformación de la forma cartesiana a polar; es decir, dados:
i)	Z1 = a + b i = r1 1 , donde
r1 =  1 = arc tg ii)	Z2 = c + d i = r2 2 , donde
r2 =  2 = arc tg vemos que :
Z1 Z2 = (r1 1 ) (r2 2 ) = r1 r2 1+ 2 Observaciones:
1.	El módulo del producto es igual al producto de los módulos de los factores:
2.	El argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los factores.
3.	DIVISIÓN DE COMPLEJOS.- a)	En la forma cartesiana; para dividir dos complejos, se multiplica y divide por la conjugada del divisor. Es decir:
Dados; Z1 = a + bi y Z2 = c + d i
En una división de complejos, se debe tener en cuenta lo siguiente:
i) Z = ; es un número real, si: ii) Z = ; es imaginario puro, si: b)	En la forma polar.- Primero se hace la transformación de cartesiano a polar; es decir:
Z1 = a + b i = r1 1
Z2 = c + d i = r2 2
1.	El modulo del cociente, es igual al cociente de los módulos del dividendo y divisor.
2.	El argumento del cociente, es igual a la diferencia del argumento del dividendo y divisor.
4.	POTENCIACIÓN DE UN COMPLEJO.- Para el caso de la potencia de un complejo se puede utilizar el binomio de Newton o la fórmula de DE MOIVRE, la cual veremos a continuación:
Dado; z = a + b i ; al transformar a polar se obtiene:
z = r  Donde r = z = “Módulo”
 = arc tg ; -180º    180º (arg.)
z n = ( r  ) n = r n n 
z n = r n [ cos n  + i sen n  ]
1.	El módulo de la potencia es igual al módulo de la base a la potencia deseada.
2.	El argumento de la potencia es igual al argumento de la base por el exponente de la potencia.
5.	RADICACIÓN DE UN COMPLEJO.- Para extraer la raíz de un complejo se utiliza la fórmula de DE MOIVRE.
Dado : Z = a + bi = r , se tiene para la raíz n-ésima
cuya expresión genérica es:
= donde: k = 0, 1, 2, 3 .........., ( n – 1)
Resolver: x3 : 1
Como; 1 = Cos 0º + i Sen , entonces
X = = ( Cos 0º + i Sen 0º ) 1/3
Por De Moivre; se tiene:
Cos Donde : k = 0, 1, 2
X1 = Cos 0º + i sen 0º  x1 = 1
Para k = 1  x2 = cos 120º + i sen 120º X2 = - cos 60º + i sen 60º
X2 = Para k = 2  x3= cos 240º + i sen 240º X3= - cos 60º + i sen 60º
X3 = 1.	Una de las raíces complejas de la raíz cúbica de la unidad es el cuadrado de la otra.
2.	La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es igual a cero
3.	El producto de las raíces compleja de la raíz cúbica de la unidad es igual a 1
Igualdad.- Es la relación que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor en un cierto orden de ideas.
A: Primer miembro
A = B donde: de la igualdad
B: Segundo Miembro de la igualdad	CLASES DE IGUALDADES
A.- Igualdad Absoluta: Formalmente son identidades que se verifican para cualquier valor numérico de sus letras, en la cual están definidos. Ejemplo:
a)	(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12 x + 8
b)	(x + a) (x – a) = x2 – a2
c)	(x + y)2 + (x – y)2 = 2 (x2 + y2)
B.- Igualdad relativa o ecuación
Se llaman también igualdades condicionales y se verifican para algunos valores de sus variables. Ejemplos:
a)	3x– 2 = x+2; se verifica para x = 2
b)	x3 –6x2 + 11 x – 6 = 0; se verifica para: x = 1  x = 2  x = 3
c)	x2 – 1 = 0; se verifica para x = 1 d)	x4 - 16 = 0; se verifica para x = -2
e)	x5 + 1 = 0; se verifica para x = -1
f)	x7 + x6–2 = 0; se verifica para x = 1
g)	= 5; se verifica para x = 6.
Existen varias formas de clasificar a una ecuación:
A)	Atendiendo al grado.- Las ecuaciones pueden ser, de primer grado, de segundo grado, de tercer grado, etc. Ejemplos:
a) 5 x + 3 = 0 ................... (1º)
b) 3x2 – 11 x- 5 = 0 ........... (2º)
c) 9x3 – x – 2 = 0 ………………. (3º)
B)	Por el número de incógnitas, las ecuaciones pueden ser, de una incógnita, de dos incógnitas, de tres incógnitas, etc. Ejemplos:
a)	De una incógnita:
5x4 – x2 + 3 = 0
b)	De dos incógnitas
3x – 5 y = - 2 ............. (1)
4x – 3 y = 7 ............. (2)
C)	Atendiendo a sus coeficientes, las ecuaciones pueden ser numéricas o literales. Ejemplos:
a)	Numérica: 2x2 – 6x – 7 = 0
b)	Literal : ax4 – bx3 + c = 0
D)	Atendiendo a su solución, las ecuaciones pueden ser compatibles o incompatibles
a)	Ecuaciones compatibles, son aquellas que admiten soluciones y a su vez pueden ser:
a.1) Compatibles determinadas.- Estas ecuaciones presentan un número finito de soluciones.
b) Incompatibles o absurdas. Llamadas también incosistentes, se caracterizan por que no tienen solución.
E)	Atendiendo a su estructura algebraica, las ecuaciones pueden ser:
a) Ecuaciones polinomiales
2x4 – x3 + 3x2 – x – 3 = 0 b) Ecuaciones fraccionarias
c)	Ecuaciones irracionales
d)	Ecuaciones trascendentes
i) 2x-3 + 2 x – 4 = 12
ii) Log (x - 2) – 5 x + 3 = 0
ECUACIONES EQUIVALENTES.- Son todas aquellas ecuaciones que presentan las mismas soluciones.
La ecuación: 5x – 3 = 2 x + 6
La ecuación: x + 2 = 5
Ya que la solución común es: X = 3
ECUACIONES PARCIALMENTE EQUIVALENTES
Son aquellas ecuaciones que por lo menos presentan una solución común. Ejemplo:
La ecuación : x2 – 5x + 6 = 0
Es parcialmente equivalente con la ecuación ; ya que se verifica para x = 2 .
I. Si a los dos miembros de una ecuación, se suma o resta una misma expresión entera, o en forma particular un número, la ecuación resultante es equivalente a la ecuación propuesta. Es decir: Si: A = B  A  m = B  m
II. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplica o divide por una expresión algebraica independiente de cualquier variable (diferente de cero y/o diferente de infinito) Se obtiene una nueva ecuación equivalente a la ecuación propuesta. Es decir:
Si : A = B  m  0  m  	III. Si a los dos miembros de una ecuación se potencian o se extraen radicales de un mismo grado, la ecuación resultante es parcialmente equivalente a la ecuación propuesta.
Dada la ecuación P(x) = 0, la solución de la ecuación es el valor que toma la incógnita, de forma que al remplazar este valor en la ecuación, esta se transforma en una igualdad numérica verdadera.
Ejemplo: La ecuación:
2x2 – 5x = 7 x – 10
es verdadera para x = 5, ya que: 2 (5)2 – 5 (5) = 7 (5) – 10
 x = 5 es solución de la ecuación.
El conjunto solución (C.S.) de una ecuación es el conjunto que está formado por la reunión de todas las soluciones.
Ejemplo # 1.- Las soluciones de la ecuación:
(x – 3) (x + 4) (x – 1) = 0, son: x = 3; x = - 4 ; x = 1
Por consiguiente el conjunto solución es C.S. =  - 4, 1, 3
Ejemplo # 2.- El conjunto solución de la ecuación : (x – 2)3 (x + 1)2 = 0
es: C.S. =  2, -1,, el cual se obtiene cuando cada factor se iguala a cero. No olvidar que la ecuación propuesta tiene por raíces: 2, 2, 2, -1, -1.
A. B = 0  A = 0  B = 0
Es aquella ecuación cuya forma canónica o general adopta la forma:
P(x) = a0 xn + a1 xn - 1+ a2 x n-2 .... … + a n-1 x + a n = 0
Esta ecuación es de grado “n” si y solo si: ao  0 de otro lado ao, a1, a2 ....., an son coeficientes de la ecuación de grado “n”.
Raíz de un Polinomio P(x).- Es el valor que al ser reemplazado en P(x), este toma el valor cero.
Dado el polinomio: P(x)= x3 + 1 una de sus raíces es x = -1
Ya que : P (-1) = (-1)3 +1 = 0 TEOREMA DEL FACTOR.- Si un polinomio P(x) se anula para x = a, entonces (x – a) es un factor de P(x) y por consiguiente “a” es una raíz de dicho polinomio.
Dado P(x) = 0, tal que P(a) = 0 entonces (x – a) es un factor de P(x).
Se cumple que P (x)  (x –a) Q (x)
1.	Cuántas raíces tienen las siguientes ecuaciones:
a)	P (x) = x5 – x + 2 = 0
Rpta. 5 raíces.
b)	P(x) = (x + 3) (x – 2) (x – 4) + x6
Rpta. 6 raíces
c)	P(x) = (x – 4)3 (x + 6)2 (x – 7)3 + 1 = 0
Rpta. 8 raíces
2.	Hallar el conjunto solución en las siguientes ecuaciones:
a)	P(x) = (x-3) (x + 2) (x – 3) (x + 2) = 0
Rpta. C.S. =  -2, 3 
b)	P(x) = (x + 1)3 (x – 2)2 (x + 6)3 = 0
Rpta. C.S. =  -1: 2; -6 
c)	P(x) = (x +1) (x + 2) (x + 3)… (x + n)
Rpta. C.S. =  -1; -2; -3; ...... ; -n 
3.	Determinar las raíces de las siguientes ecuaciones: P(x) = 0
a)	P (x) = (x – 1) (x + 2) (x – 3) (x – 5)
Rpta. x1 = 1; x2 = -2; x3 = 3; x4 =5
b)	P (x) = (x – 1)3 (x + 6)2 (x – 3)
Rpta. x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1; x4 =-6
x5 = -6; x6 = 3
c)	P (x)= x3 – 1 Rpta. x1 = 1; x2 =- x3 = TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA. La ecuación polinomial.
P(x) = ao xn + a1 x n-1 + …. + an-1 x+ an = 0
Con coeficiente ao  0, y grado n  1 con cualquier tipo de coeficientes numéricos tiene por lo menos una raíz ya sea real o compleja.
Ejemplo # 1.- La ecuación: P(x)= 0
P(x) = x4 – 1; tiene una raíz igual a: i = , ya que:
P(i) = i4 – 1 = 1 – 1 = 0
Ejemplo # 2.- La ecuación: P(x)=0
P(x) = x2 – 2; tiene una raíz igual a : - , ya que : P (- ) = (- )2 - 2 = 2 – 2 = 0
Dada la ecuación polinomial de grado “n” y coeficiente principal diferente de cero (ao  0)
aoxn + a1 xn- 1 + a2 xn –2+ ... + an = 0
que también puede ser representada por:
ao [xn+ xn – 1+ xn – 2+ ..+ ]= 0
cuyas raíces son x1, x2, x3 ………,xn
el cual nos representa la ecuación ao (x – x1) (x – x2) (x – x3) .... (x – xn) = 0
cuyo desarrollo en productos notables es:
ao [xn – (x1 + x2 + x3 + …. xn) x n – 1 +
+ (x1 x2 + x1 x3 + …… xn – 1 xn) x n – 2 -
- (x1 x2 x3 + x1 x2 x4+ …… xn – 2 x n – 1 xn) x n – 3 + ...... + (-1)n (x1 x2 x3 + …… xn ) ] = 0
Al identificar los coeficientes, vemos las relaciones correspondientes entre coeficientes y raíces, así tenemos:
A1.- Suma de raíces
x1 + x2 + x3 + …. + xn = - A2.- Suma de los productos de las raíces tomadas de dos en dos o suma de productos binarios.
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 +….+xn-1 xn = + A3.- Suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres o suma de productos ternarios.
x1 x2 x3+ x1 x2 x4 +….+xn-1 xn = - Así sucesivamente:
An.- Producto de todas las raíces.
x1 x2 x3 …... xn-1 xn = (-1)n Ejercicio #1.- Dada la ecuación
5 x4 – 3 x3 + 2 x – 3 = 0
Hallar la suma de sus raíces y su producto correspondiente.
Teniendo en cuenta que la suma de las raíces de una ecuación de grado “n” es igual al coeficiente de xn-1 entre el coeficiente de xn, con signo cambiado; se tendría:
Coef. de x4 = 5
5x4 – 3x3 + 2x – 3 = 0
Coef. de x3 = -3
x1 + x2 + x3 + x4 = De otro lado el producto de todas las raíces de una ecuación de grado “n” es igual a su término independiente dividido entre el coeficiente de xn y multiplicado por (-1)n. Es decir para:
Termino Indepediente. = -3
x1 . x2 . x3 . x4 = (-1)4 (- ) = - Ejercicio # 2.- Resolver: x3 – x2 – x – 2 = 0
Sabiendo que dos de sus raíces suman menos uno.
Sean las raíces: x1, x2, x3
Por condición: x1 + x2 = -1 ..... (1)
Del Teorema de Cardano – Vieta
x1 + x2 + x3 = - = 1 ....... (2)
-1 + x3 = 1  x3 = 2
Siendo x3 = 2, una de las raíces de la ecuación, esta contiene al factor (x – 2), obteniéndose el otro factor, por la regla de Ruffini:
1	– 1 – 1 - 2 2 2 + 2
De donde, tendríamos:
(x –2) (x2 + x + 1) = 0
a)	x – 2 = 0  x = 2
b)	x2 + x + 1 = 0  x = x =  Las raíces de la ecuación dada son:
1)	En las siguientes ecuaciones determinar la suma de las raíces y el producto correspondiente.
a)	2x7 + 3x5 – 5x2 – 7 = 0
Rpta: Suma = 0 ; Producto = b)	3x9 - 2x8 + 7x6 – 5x = 0
Rpta: Suma = ; Producto = 0 c)	4x8 - 5x3 – 2x = 0
Rpta: Suma = 0 ; Producto = 0
d)	7x6 - 2x5 + 5x4 – 3x3 - 6x2 – 8x + 3 = 0
Rpta: Suma = ; Producto = 2)	Resolver: 2x3 - x2- 7x - 3 = 0, sabiendo que dos de sus raíces suman la unidad.
Rpta: ; ; 3)	Resolver: 36x3 – 12x2 – 5x + 1 = 0, sabiendo que una de las raíces es igual a la suma de las otras dos:
Rpta: ; ; 4)	Resolver: x4 – 12x – 5 = 0, sabiendo que admiten dos raíces que suman 2.
Rpta: ; ; Con respecto a las ecuaciones de grado superior a 2; se efectúa en forma general:
(a)	Factorizando la ecuación propuesta e igualando a cero cada factor.
(b)	Por artificios, damos forma de ecuaciones conocidas, por ejemplo las cuadráticas y otras que se estudiaran.
Debe tenerse en cuenta los siguientes principios: P(x)=0
1.	Toda ecuación polinomial de grado “n”, tiene “n” raíces.
2.	En toda ecuación con coeficientes racionales, las raíces complejas se presentan por pares conjugados.
3.	En toda ecuación con coeficientes racionales, las raíces irracionales, se presentan por pares conjugados.
Ejemplo # 1.- Una raíz de la ecuación. P(x) = 0, donde:
P(x) = x4 – 7x3 + 14x²-2x-12
Es : 1- , hallar las otras raíces
Dado que : x1 = 1- , otra de sus raíces será la conjugada : x2 = 1 + ; del teorema del factor.
P(x) = [x-(1- )][x-(1+ )]Q(x)
P(x) = [(x-1)²-( )²] Q(x)
P(x) = (x²-2x-2) Q(x)
Por división : Q(x) = x² -5x + 6
ó : Q(x) = (x-2) (x-3)
P(x) = (x²-2x-2) (x-2)(x-3)=0
Se divide las raíces por:
x1 =1- ; x2 = 1+ ; x3=2;x4=3
Plantean una ecuación es la traducción de un problema del lenguaje materno al lenguaje matemático. Problema 1.- ¿Qué día y hora del mes de abril se verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año? (El año es bisiesto).
Días Transcurridas
1.	Fracción del Mes :--------------------------
De Abril	30 días
2.	Fracción del año: ---------------------------
i.	Para el mes de Abril
Supongamos que hace transcurrido “x” días, entonces su fracción será: ii.	Para el año bisiesto (366 días). Se observa que han transcurrido.
E + F + M + X = 91 + x
31 días 29 días 31 días días
Con lo cual su fracción será : Dado que las fracciones son iguales, se cumple:
ó: x = 8 días
como el día tiene 24 horas  x= 8 días y 3 horas. Han transcurrido 8 días, más 3 horas.
Problema 2.- Un padre tiene 32 años y su hijo 5 ¿Al cabo de cuántos años, la edad del padre será diez veces mayor que la de su hijo?
Sea “x” la cantidad de años que se necesitan para que se cumpla la condición:
Luego el padre tendrá : 32 +x y el hijo: 5 + x
 Se cumple :
32 + x = 10 (5+x)
32 + x = 50+10x
-18 = 9x  x =-2
El signo menos indica que la condición se cumplió:
Hace dos años : Rpta.
Problema 3.- Dispongo de 800 soles y gasto los de lo que no gasto ¿Cuánto no gasto?.
De acuerdo al enunciado No gasto : x
Gasto : 800 – x
De donde la ecuación resultante es:
800 – x = x
4000 – 5x = 3x  x = 500
 No gasto 500 soles Rpta.
Problema 4.- ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque creando el número de horas arrancadas excede en 8 a los del número de hojas que quedan?
Sea “x” el número de hojas arrancadas.
(365 – x) es el número de hojas que faltan por arrancar.
Luego la ecuación resultante es:
x - (365 – x) = 8
de donde : x = 36 Como enero tiene 31 días, quiere decir que se han arrancado 5 hojas del mes de febrero por consiguiente, el día del año que marca el almanaque es el 6 de febrero. Rpta.	01.	Determinar “k” en la ecuación de segundo grado:
(k – 2) x2 – 2k x + 9 = 0
Dado que las raíces son iguales, el discriminante vale cero, es decir:
 = 0  b2 – 4 ac = 0
(-2 k)2 – 4(k – 2) 9 = 0
4 k2 – 4 (9k – 18) = 0
k2 – 9 k + 18 = 0
(k – 6) (k – 3) = 0  ó
02.	La suma de tres números pares consecutivos es 66. Hallar el menor de los números .
El # menor : x
El # del medio	: x + 2
El # mayor	: x + 4
Por consiguiente la ecuación resultante es:
x = 20 Rpta.
03.	Un padre tiene 30 años y su hijo 3.
Dentro de cuantos años la edad del padre es el cuádruple de la de su hijo.
Edad del padre	: 30
Edad del hijo	: 3
Dentro de “x” años Edad del padre	: 30 + x
Edad del hijo	: 3 + x
30 + x = 4 (3 + x)
30 + x = 12 + 4 x
18 = 3 x
x = 6 años
 Dentro de 6 años la edad del padre será el cuádruple de la de su hijo. Rpta.
1.	Un individuo va en un tren que lleva una velocidad de 30 km/hr. y ve pasar en 3 segundos otro tren que marcha en sentido contrario; sabiendo que el segundo tren tiene una longitud de 60 mts, su velocidad es:
a)	35 km/hr	b) 38 km/hr
c) 40 km/hr d) 42 km/hr.
e) 44 km/hr
2.	La cantidad que debe restarse a los dos términos de la fracción para que llegue a ser igual a su cuadrado es:
a) b) c) d) e) 04.	Calcular en que instante del viernes, la fracción de día transcurrido es igual a la fracción transcurrida de la semana.
a) 2 p.m. b) 3 p.m. c) 4 p.m.
d) 8 p.m. e) 9 p.m.
05.	Guillermo tiene hoy cuatro veces los años que tenía Walter cuando el tenía 13 años; Walter tiene hoy 22 años. Hallar la edad de Guillermo.
06.	Un niño robó flores en un jardín, y después de andar 80 pasos empezó a perseguirle el jardinero. El niño da cuatro pasos mientras que el jardinero da tres; pero cinco pasos de éste equivalen a siete de aquel. El número de pasos que dio el jardinero para alcanzar al niño y el número de estos que dio el niño mientras duró la persecución, fueron respectivamente:
a)	600 y 800 pasos b)	900 y 1200 pasos
c)	1200 y 1600 pasos
d)	1500 y 2000 pasos
e)	1800 y 2400 pasos
ax2 + b x + c= 0 ; a  0 A continuación mostraremos diversos ejemplos sobre transformación de ecuaciones a ecuaciones cuadráticas.
Ejem. 1: Resolver
Haciendo la transformación:
donde z  0; la ecuación dada se transforma en:
Z +  z2 – 4z + 3 = 0
Factorizando; (z –3) (z – 1) = 0
Vemos que: z = 3  z = 1
Para: z = 3  = 3
resolviendo: Para : z = 1  = 1 Resolviendo: x = -3	el conjunto solución es: C.S. Ejem. # 2: Resolver la ecuación:
2x2 + 4x – 7 = -5
Expresando la ecuación en la siguiente forma:
2(x2 + 2x + 10 – 10) – 7 = -5 De otro lado; haciendo : = a
tal que (a  0); se tiene:
2 (a2 – 10) – 7 a = -5
2 a2 – 7a - 15 = 0
Factorizando por aspa simple:
2a	3	3 a
a	-5	-10 a
a = 5 : Si
(2a + 3) (a – 5) = 0  v
a = - : No
= 5  x2 + 2x – 15 = 0
x 5 	5 x	x -3 	-3 x
(x +5) (x – 3) = 0  C.S. =  -5, 3 
Ejm. # 3.- Resolver
(x –3) (x – 4) (x – 2) (x – 1) – 120 = 0
Multiplicando los factores “2” a “2” de forma que la suma de los términos independientes sean iguales.
(x2 –5x+ 6) (x2 – 5 x + 4) – 120 = 0
Haciendo la transformación; x2 – 5x = a
se tendría, la ecuación:
(a + 6) (a + 4) – 120 = 0
a2 + 10 a – 96 = 0
Factorizando:	a = 6	(a + 16) (a – 6) = 0  ó
a	= -16
Para: a = 6
x2 – 5 x – 6 = 0  (x –6) (x+1 ) = 0 ó	x = -1
Para : a = -16
x2 – 5 x + 16 = 0  x = x = C.S. = -1;6; ; 
Ejm. # 4: Resolver:
= la ecuación dada, se transforma en:
a + = 2  a2 – 2 a + 1 = 0
(a – 1)2 = 0
	a = 1
volviendo a la variable original:	 x2 – 3x + 2 = x2 + 5x – 8
- 8 x = -10
 x = Rpta.
Determine un valor de “x”, para la siguientes ecuaciones:
01). + = 2
Rpta. x = 2
02). (x –3) (x – 4) (x –5) (x –6) –24= 0
Rpta. x = 7
03). 2x2 – 3x – 2 = 1
Rpta. x = 3
04). =2
Rpta: x = 3
05). x (x + 1) (x + 2) ( x + 3) – 120 = 0
06). 6x2 – 4x – 9 = 17
Rpta. x = 4
07). Rpta. x = 1,7
08) ( x + - 2) (x + + 2) = Rpta. x = 3
Es la ecuación polinomial de cuarto grado que contiene solamente potencias pares de la incógnita, su forma canónica o general es:
ax4 + bx2 + c = 0 ; ( a  0) “a” ; “b” y “c” son los coeficientes;
“x” es la incógnita.
La ecuación bicuadrada:
ax4 + bx2 + c = 0 ; a  0
presenta cuatro raíces, que se obtienen haciendo el cambio de variable:
x2 = y  a y2 + b y + c = 0 ; (a  0) Las raíces correspondientes a esta última ecuación están dadas por:
x2 = y  x =  ; con lo cual:
x =  en consecuencia, las raíces correspondientes de la ecuación bicuadrada son:
ax4 + bx2 + c = 0; se puede resolver por factorización (Aspa simple).
Si: b2 - 4 a c; es un cuadrado perfecto.
Ejem. # 1: Resolver
9 x4 – 13 x2 + 4 = 0
Dado que: a = 9 ; b = -13 ; c = 4
b2 - 4 a c = (-13)2 – 4(9) (4) = 25 ; es un cuadrado perfecto, la ecuación es factorizable; en efecto los factores de:
9 x2 - 4		- 4 x2
x2 - 1 	- 9 x2
-13 x2
Son: (9x2 – 4) (x2 – 1) = 0
Asimismo, cada paréntesis se puede factorizar aplicando diferencia de cuadrados, es decir:
(3x + 2) (3x – 2) (x + 1) (x – 1) = 0
Igualando cada factor a cero las raíces correspondientes son:
x1 = ; x2 = ; x3 = -1 ; x4 = 1
Ejm. # 2: Resolver:
x4 - 15 x2 – 16 = 0
Como: b2– 4ac = (-15)2– 4(1)(-16) = 289
es un cuadrado perfecto, los factores serían:
(x2 – 16) (x2 + 1) = 0
1º) x2 – 16 = 0  x2 = 16	ó
2º) x2 + 1 = 0  x2 = -1 ó x4 = - i
Ejm. # 3 : Resolver:
= Solución:
De la propiedad de proporciones, se obtiene:
91x4 + 91x2 a2 = 90x4 + 90 x2 a2 + 90 a4
x4 + a2 x2 – 90 a4 = 0
Factorizando; se tendría:
(x2 + 10 a2) (x2 – 9 a2) = 0
Igualando cada factor a cero; las raíces de la ecuación son:
x1 = a i i)	x2 = -10 a2	v
x2 = - a i x3 = 3 a	ii)	x2 = 9 a2	v
x4 = -3 a
01)	x4 + 5 x2 + 6 = 0
x1 = i; x2 = - i; x3 = i; x4 = - i
02)	x4 – 68 x2 + 256 = 0
x1 = 2; x2 = -2 ; x3 = 8 : x4 = -8
03)	x4 – 50 x2 + 49 = 0
x1 = 7; x2 = -7 ; x3 = 1 ; x4 = -1
04)	x2 (x2 + 32) = 144
x1 = 6 i; x2 = -6 i ; x3 = 2 ; x4 = -2 05)	(1 + x)4 + (1 – x)4 = 34
x1 = ; x2 = - ; x3 = 2 i
x4 = -2 i.
06)	x1 = ; x2 = - x3 = i
x4 = - i
07)	4 (a2 – b2)x2 = (a2 – b2 + x2) 2
x1 = ; x2 = - x3 = ; x4 = - Respecto a la ecuación:
ax4 + b x2 + c = 0 ; (a  0)
de raíces: x1, x2; x3; x4; se cumple:
de acuerdo con el Teorema de Cardano –Vieta.
I. SUMA DE LAS RAÍCES
II. SUMA DEL PRODUCTO DE LAS RAÍCES TOMADAS DE DOS EN DOS.
x1 . x2 + x3 . x4 = III. PRODUCTO DE LAS RAÍCES
x1 . x2 . x3 . x4 = Conociendo las 4 raíces de la ecuación bicuadrada: x1; x2; x3 y x4. La ecuación a formar adopta la forma:
(x – x1) (x – x2) (x – x3) ( x –x4) = 0
efectuando las operaciones indicadas, tendríamos:
x4 + (x1 x2 + x3 x4) x2 + x1 x2 x3 x4 = 0
01.)	Una de las soluciones de una ecuación bicuadrada es 5. Reconstruir la ecuación; si:
x1 x2 x3 x4 = 225
Si una de las raíces es x1 = 5 ; la otra raíz es: x2 = -5
(5) (-5) x3 x4 = 225  x3 x4 = -9
como x3 = - x4  (-x4) (x4) = - 9
x24 = 9
Con lo cual : x4 = 3 y x3 = -3
X4 +(x1 x2 + x3 x4) x2 + x1 x2 x3 x4 = 0
X4 + (-25 – 9) x2 + (5) (-5) (-3) (3) = 0
 la ecuación será:
x4 - 34 x2 + 225 = 0 Rpta.
02.)	Calcular “m” para que las cuatro raíces de la ecuación bicuadrada:
X4 – (3m + 10) x2 + (m + 2)2 = 0,
formen una progresión aritmética.
Sean las raíces de la ecuación bicuadrada en progresión aritmética.	 x1 . x2 . x3 . x4
 (a – 3 r) . (a – r) . (a + r) . (a + 3r)
de razón “ 2 r”
de las propiedades de las raíces se tiene:
1º.- x1 + x2 + x3 + x4 = 0
a – 3 r + a – r + a + r + a + 3r = 0
vemos que: a = 0, con lo cual
x1 = - 3 r ; x2 = - r ; x3 = r ; x4 = 3r
2º.- x1 . x4 + x2 . x3 = (- 3 r) (3 r) + (-r) ( r )= - 10r2 = 3 m + 10 ..………… ()
3.º.- x1 . x2 . x3 . x4 = (-3 r) (- r) ( r) (3 r) = 9 r4 = (m + 2)2  3r2 = m + 2 ….… (ß)
Dividendo ()  (ß), obtenemos:
=  10 m + 20 = 9 m + 30
 m = 10 Rpta.
1.	Calcular “m” para que las raíces de las ecuaciones bicuadradas estén en P.A.
a) x4 – (4 m + 10) x2 + (m + 7)2 = 0
Rpta. m = 20
b) x4 – (4 m + 2) x2 + (2 m - 5)2 = 0
Rpta. m = 7
c)	x4 – 2 (m + 7) x2 + (2m – 21)2 = 0
Rpta. m = 18
2.	Formar las ecuaciones bicuadradas, conociendo sus raíces:
a) x1 = - ; x3 = Rpta. x4 – 9x2 + 18 = 0
b)	x1 = 2 ; x3 = - 3 Rpta. x4 + 39x2 + 324 = 0
3.	Una de las raíces de una ecuación bicuadrada es 7. Reconstruir la ecuación; si:
x1 x2 x3 x4 = -441
Rpta. x4 – 58 x2 –441 = 0
Es un conjunto de ecuaciones que se verifican para los mismos valores de sus incógnitas. Se presentan diversos casos:
01.- Calcular “x” en el sistema:
x + y = 2 .................... ()
x y = -1 ................... ()
De () : y = 2 – x
Reemplazando en ():
X (2 - x) = - 1  x2 – 2x – 1 = 0
x = 1 + ó x = 1 - 02.- .- Resolver
x + y = 1 .................... (1)
x2 + y2 = 25 ................. (2)
De (1) : y = 1 – x; remplazando en (2):
x2 + (1 – x )2 = 25
x2 + 1 + x2 – 2x = 25
x2 – x - 12 = 0
Factorizando (x – 4) (x + 3) = 0
Para: x = 4  y = - 3
Para: x = -3  y = 4
x2 – 2 x y + 3 y2 = 19 ...... (1)
2x2 – xy + 4 y2 = 38 ...... (2) Solución:
Haciendo la transformación: y = k x en (1) y (2); se tendría:
x2 – 2 x . kx+ 3 k2 x2= 19 ....... ()
2x2 – x . kx + 4 k2 x2 = 38 ....... () Dividiendo ()  ()
38 – 76 k + 114 k2 = 38 – 19 k + 76 k2
k = 0 (No)
38 k2 – 57 k = 0	ó
k = (Si)
Dado que : y = x ; en ............. ()
x2 – 2x . x + 3 . x2 = 19
x2 – 3x2 + = 19 	x2 = 4
x =  2
Para: x = 2  y = 3
Para: x = -2  y = -3
............ ()
............ (ß)
Solución: Aplicando determinantes, tendríamos:
a) = = = De donde: 2 x + y = 8 ......... (1)
b) = = = De donde: x + y = 5 ......... (2)
Resolviendo (1) y (2):
2 x + y = 8 ................... (1)
x + y = 5 .................. (2)
por determinantes.
5.	Resolver el sistema:
(x2 – y2) ( x – y) = 5 ........ (1)
(x2 + y2) (x + y) = 65 ..... (2)
Haciendo ; x = my ; se obtiene:
(m2 – 1) y2 (m – 1) y = 5 .... ()
(m2 + 1) y2 (m + 1) y = 65 .... ()
Dividiendo ()  ():
m2 + 1 = 13 m2 – 26 m + 13
6 m2 – 13 m + 6 = 0
2 m	-3		- 9 m
3 m	- 2 	- 4 m
m = (2 m – 3) ( 3m – 2) = 0	ó
m = Para : m = En ... () : y3 = 5
5 (1) y3 = 5 (8)
Como x = my  x = (2)
Para :  x = 2  y = 3
La Recta.- Su gráfica está dada por la función lineal cuya regla de correspondencia es:
L : y = m x + b ; m , b, x  R
x	0	-b/m
y	b	0
Al coeficiente “m” se le llama pendiente de la recta y es tal que: m = tg 
La Parábola.- Su gráfica está dada por la función cuadrática cuya regla de correspondencia es:
y = a x2 + b x + c ; a, b, c, x  R; a  0
con relación al discriminante  = b2 –4 ac, tendríamos los siguientes gráficos de la parábola.
(:) Si, a  0 la parábola es cóncavo hacia arriba y dependiendo del discriminante, tendríamos:
a)	  0
V (h, k) = V b)	 = 0
c)	  0
II) Si, a  0, la parábola es cóncavo hacia abajo y dependiendo del discriminante tendríamos:
b)	 = 0
La circunferencia.- Su ecuación general es:
Centro ; (h ; k) Radio : r
Asimismo tenemos:
La Elipse.- La ecuación general es:
La Hipérbola.- Su ecuación general es:
Las ecuaciones de grado superior que se pueden presentar es:
(I)	Recta y Circunferencia
x + y = C1
A los más hay 2 soluciones reales.
(II)	Elipse y Hipérbole
A lo más hay 4 soluciones reales.
Entre otras combinaciones. Son relaciones de comparación entre dos o más cantidades reales de diferente valor.
Ejemplo; si:
La edad de Juan es: 20 años
La edad de Pedro es :30 años
La edad de Luis es: 50 años
Se tendrá las siguientes relaciones
1º.-	La edad de Juan es menor que la edad de Pedro.
2º.-	La edad de Luis, es mayor que la edad de Pedro.
3º.- La edad de Juan es menor que la edad de Luis. Intuitivamente estamos comparando magnitudes reales de una misma especie. Las desigualdades solo se verifican en el campo de los números reales que asociado a la recta real podemos observar:
Que para cada número real le corresponde un único punto de la recta real y recíprocamente para cada punto de la recta real, le corresponde un único número real.
La correspondencia bionívoca entre números reales y puntos de una recta real nos ayuda a dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales. Para la gráfica adjunta.
La relación a  b (se lee: a menor que b) significa que al punto A le corresponde el número real “a” y se encuentra a la izquierda del punto B al cual le corresponde el número real “b”.
01:	Orden de Tricotomia.-  a, b  R se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades.
a  b  a = b  b  a
Ejm: Dado los números reales: -6; 3; -3 y 4; se cumple que:
a) – 6  -3 b) 3  4 c) – 6  4 d) – 3  4
02 : Orden Transitivo.-  a, b, c  R
Si : a  b  b  c  a  c
Ejm: En la recta real:
-12  - 2  - 2  8  -12  8
03 : Orden de la Monotonía.-  a, b, c  R
i) Ley aditiva
Si : a  b  a + c  b + c
ii) Ley Multiplicativa
Si : c  R+  a  b  a c  b c Si : c  R-  a  b  b c  a c
1.- “a” es menor que “b” (a  b)
a  b  a – b  0
2.- “a” es mayor que “b” (a  b) a  b  a – b  0
3.- “a” es mayor o igual que “b” (a  b)
a  b  a  b  a = b
4.- “a” es menor o igual que “b” (a  b)
a  b  a  b  a = b
De acuerdo a su estructuración matemática, estas pueden ser:
A.- DESIGUALDADES ABSOLUTAS.- Son aquellas que se verifican en el campo de los números reales y a su vez pueden ser numéricas o literales. Ejemplos:
i) Numéricas ii) Literales
a) 7  0	a) x2  -2	b) 9  2	b) –5  (x – 2)4
c) -  0	c) x6 + y6  0 B.- DESIGUALDADES RELATIVAS.- Estas desigualdades se conocen también con el nombre de inecuaciones y se caracterizan por que se verifican para un conjunto de valores denominados conjunto solución y su representación se visualiza en la recta real.
a)	La inecuación: 4 x – 3  5
Se verifica para todo valor de x mayor que dos (x  2)
Su representación gráfica en la recta real sería de la siguiente forma:
b)	La inecuación: x2 – 25  0 se verifica para todo x, tal que:
X  -5  x  5
Su representación gráfica en la recta real, seria de la siguiente forma:
Más adelante analizaremos la solución explícita de los diferentes tipos de inecuaciones que se presentan.
El conjunto solución de una inecuación se expresa mediante intervalos.
INTERVALO.- Es el conjunto de valores x pertenecientes a la recta real, limitado en sus extremos por los elementos a y b, tal que a  b; a y b pueden o no pertenecer al conjunto de valores x. Intervalo abierto:
i.  a ; b  =  x/a  x  b ; a  b 
ii. ] a ; b [ =  x/a  x  b ; a  b 
el cual expresa: x   a ; b 
[ a , b ] =  x / a  x  b ; a  b 
con lo cual: x  [ a ; b] Intervalos Mixtos
a) a ; b ] =  x / a  x  b ; a  b)
Con lo cual : x   a ; b ]
b) [a ; b  =  x / a  x  b ; a  b 
De donde : x  [a ; b 
c) -  ; a ] =  x /-  x  a ; -  a
De donde : x   -  ; a ]
d) [a ;   =  x / a  x   ; a  )
De donde: x  [a ;  
1.	Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no se altera.
Si :	a  b  a  c  b  c 2.	Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad positiva el signo de la desigualdad no se altera
i) a c  b c
a  b  c  0  
ii)  3.	Si a los dos miembros de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad negativa, el signo de la desigualdad se invierte.
Si: i) a c  b c
a  b  c  0  
ii)  4.	Dos desigualdades de signo contrario se pueden restar miembro a miembro y el signo de la desigualdad resultante es el mismo que hace las veces de minuendo, es decir:
a  b ......................... (  )
c  d ......................... (  )
a – c  b – d  c – a  d – b
5.	Dos o más desigualdades del mismo sentido se pueden multiplicar o dividir miembro a miembro y el sentido de la desigualdad no se altera, siempre y cuando los miembros de las desigualdades sean cantidades positivas.
 a, b, c, d,  R+ a  b ......................... (1)
Si : 
c  d ......................... (2)
a c  bd   6.	Dos desigualdades de signo contrario y miembros positivos se pueden dividir miembro a miembro; el signo de la desigualdad resultante es el mismo que el signo de la desigualdad que hace las veces de dividendo.
c  d ......................... (2)
  a  7.	Si a los dos miembros de una desigualdad se eleva a una potencia impar o se extrae raíces de índice impar, el sentido de la desigualdad no se altera. Es decir:
i) a2 n + 1  b 2n+1
a  b  
ii)  nz+
8.	Si a los dos miembros de una desigualdad de términos negativos se eleva a un exponente par, el signo de la desigualdad se invierte, es decir:
 a, b  R- i) Si a  b  a2n  b 2n
ii) Si a  b  a2n  b 2n
9.	Si: a  R, tal que:
a  0  a2  0
10.	a, b  R y son del mismo signo, entonces:
a  b   a  b   a  b ............ (1)
01) Siendo:	a  0 ............ (2)
b  0 ............ (3)
demostrar que : a3 + b3  a2 b + a b2
De (1) : a  b  a – b  0
Entonces : (a – b)2  0
a2 – 2 a b + b2  0
ó	a2 – a b + b2  ab …….. ( )
De (2) y (3): a + b  0 ......... ()
Multiplicando los dos miembros de () por (a + b), se tendría:
(a2 – a b + b2) (a + b)  ab (a + b)
 a3 + b3  a2b + ab2 (L.q.q.q)
02) Si : a y b son diferentes y positivos, demostrar que:
 Dado que : a  b ; se cumple que:
(a – b)2  0
Desarrollando: a2 – 2 ab + b2  0
Sumando; 4 ab a los dos miembros de la desigualdad, se tendría: a2 + 2 a b + b2  4 a b
(a + b)2  4 a b
Como; 2 (a + b)  0, entonces se tendría al dividir:
  (L.q.q.q)
01.-	Si; a, b  R+ ; a  b; demostrar que:
 02.- Si: a, b, c  R+, demostrar que :
(a + b+ c)2  a2 + b2 + c2
03.- Si; a, b, c  R+ ; a  b  c
a2 + b2 + c2  ab + ac + bc
04.- Si; a  b  c   R+
(a + b + c)2  3 (a2 + b2 + c2) 05.- Si; a  b   R+, demostrar que:
(a3 + b3) (a + b)  (a2 + b2)2
Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse adoptan las formas:
a x + b  0  a x + b  0
a x + b  0  a x + b  0
X; es la incógnita y a, b  R / a  0
01.	Resolver : a x + b  0; a, b  R+
Resolver una inecuación de este tipo es similar a resolver una ecuación de primer grado, solo hay que tener en cuenta las propiedades generales de las desigualdades, en efecto:
Transponiendo b al segundo miembro:
a x  - b
Dado que a  R+, es decir: a  0
x  - graficando en la recta real:
vemos que : x  [ - ;  
 Solución:
Siendo el m.c.m. (2, 3, 12) = 12; un número positivo, el signo de la desigualdad no se altera al efectuar las operaciones indicadas.
6 (3 x – 2) – 4 (5 x – 3)  x – 1
18 x – 12 – 20 x + 12  x – 1
- 2 x  x - 1
- 3 x  -1
multiplicando por (-1) , obtenemos :
3 x  1
 x   x   ;  
03.	Resolver:
(x+1)2 +(x–1)2+(x–2)2  3(x+1)(x–1)
Efectuando las operaciones indicadas obtenemos:
x2 + 2x + 1 + x2 – 2x + 1 + x2 – 4 x + + 4  3 x2 – 3
3x2 – 4x + 6  3 x2 – 3
- 4 x  - 9
4 x  9  x  Gráficamente:
 x  [ ;   Rpta.
a) (2x – 1)2 + (x + 2)2  5 (x – 3) (x + 2)
Rpta. ……………
b) (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2  3 (x + 4)2
Rpta. ...........
c) (x + 1)3 – (x – 1)3  (2 x + 3)
Rpta.............
d) -  Rpta.- ............
e) (2x + 1)3 – (2 x – 1)3   (x + 1) ( x – 1)
Rpta.- ............
f) (5 x + 3) (3 x – 1) + (x + 2)2 
 (4 x – 3)2
Rpta.- .............
g)  1
Rpta.-..............
04. Resolver el sistema
 1 ….... ()
 -1 ….... (ß)
Resolviendo cada inecuación:
De (): m.c.m. (4, 2, 1) = 4
2 x – 3 – 2 (3 x – 1)  4
2 x – 3 – 6 x + 2  4
- 4 x  5
	x  - De (ß): m.c.m. (3, 4, 1) = 12
4 (5 x – 3) – 3 (8 x – 1)  -12
20 x – 12 – 24 x + 3  -12
- 4 x  -3
4 x  3
	x  En la recta real:
Como no hay intersección de las soluciones de () y ()  x  
a)	(3x –1)2  (2x + 3)2 + 5 (x2 -1) .........… (1)
(2x –1)2 + (3x - 9)  13 (x2 + 2x - 3)... (2)
Rpta.- ..............
b)	(x+2)3  (x+1) (x+2) (x+3) ….()
(x-3)3  (x-3) (x-2) (x-4) ….()
Rpta.- ...............
c)	1 …….. ()
1 …….(ß)
Rpta.-................
En la resolución de inecuaciones simultáneas con dos incógnitas podemos aplicar cualquiera de las siguientes reglas.
1º.- Se toman dos inecuaciones de sentido contrario despejando en cada una de ellas la misma incógnita, luego esta incógnita se elimina aplicando el principio de transitividad.
2º.- Se puede eliminar una incógnita restando dos inecuaciones de sentido contrario, habiendo homogenizado previamente los coeficientes de la incógnita que se quiere eliminar.
Ejemplo.- Si “x” e “y” son cantidades enteras y positivas, calcular: (x2 + y2), al resolver el sistema.
5 x – 3 y  2 .............. (1)
2 x + y  11 .............. (2) y  3 .............. (3)
Multiplicando la inecuación (1) por 2 y la inecuación (2) por 5, obtenemos:
10 x – 6 y  4 ............. ()
10 x + 5 y  55 ............ (ß)
restando miembro a miembro () y ()
10 x – 6 y – 10 x – 5 y  4 – 55
-11 y  - 51 y  Dado que : 3  y  = 4,63  y = 4
Reemplazando y = 4, en el sistema:
5 x – 3 y  2 x  2, 8
	2x + y  11	x  3, 5
Aquí observamos que: x = 3
 x2 + y2 = 32 + 42 = 25	Rpta.
Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse adopta la forma canónica
a x2 + bx + c  0  ax2 + bx + c  0
a x2 + bx + c  0  ax2 + bx + c  0
Donde x, es la incógnita y ;
a, b, c  R / a  0
Método del discriminante :
	= b2 – 4 a c
a  0	Caso I	Caso II
  0	X  x1 ; x2	X  -, x1  x2 ,   = 0	X  	X  R - x1 = x2
  0	X  	X  R  X  -,  X1 = ; X2 = ( x1  x2)
a  0	Caso III	Caso IV
  0	X  [x1 ; x2]	X  -, x1  x2 ,   = 0	X = x1 = x2	X  R   0	X  	X  R X1 = ; X2 = ( x1  x2)
(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 12 x 
 (x – 1) (x – 2) (x – 3)
(x+ a) (x+ b) (x + c) = x3+ (a + b + c)x2 + (a b + ac + bc) x + abc
La inecuación dada, se transforma en :
X3 + 6x2 + 11 x + 6 + 12 x  x3 – 6x2 + + 11 x – 6
Simplificando; obtenemos:
12 x2 + 12 x + 12  0
ó	a = 1
x2 + x + 1  0	b = 1
De aquí vemos que:
 = (1)2 – 4 (1) (1)   = - 3
Como :   0  x  R (Caso II)
Son aquellas inecuaciones que al ser reducidas adoptan cualquiera de las siguientes formas:
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an  0
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an  0
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an  0
ao xn + a1 xn – 1 + ..............+ an  0
Donde: x, es la incógnita y n  N / n  3
Además: ao; a1; a2 .... ; an  R / a0  0
Pasos que deben efectuarse:
1º) Verificar que a0  0
2º) Todos los términos de la inecuación deben estar en el primer miembro.
3º) Se factoriza la expresión del primer miembro.
4º) Cada factor se iguala a cero, obteniendo los puntos de ente, que son los valores que asume la incógnita.
5º) Se llevan los puntos de corte en forma ordenada a la recta numérica
6º) Cada zona determinada por dos puntos de corte consecutivos, se señalan alternadamente de derecha a izquierda con signos (+)  (-). Se inicia siempre con el signo más.
7º)	Si la inecuación es de la forma:
P(x)  0  P (x)  0 , con el coeficiente principal positivo, el intervalo solución está representado por las zonas (+).
8º)	Si la inecuación es de la forma:
P(x)  0  P (x) 0, con el coeficiente principal positivo, el intervalo solución está representado por las zonas (-).
Nota. Este método también es aplicable para inecuaciones de segundo grado.
x3 – 6x2 + 11 x – 6  0
Factorizando por divisores binomios. Se obtiene:
(x – 1) (x – 2) (x – 3)  0 x = 2
llevando los puntos de corte (P.C.)
a la recta real; tendríamos que:
x  [1, 2]  [ 3,  
El valor absoluto de un número real x, es el número no negativo denotado por  x  y definido por:
X ; si x  0
 x  =	0 ; si x = 0 -X ; si x  0	Ejemplos:
a)	 5  = 5 d)  -2  = 2
b)	 -5  = -(-5) = 5	e)  -3  = 3
c)	 0  = 0 f)  - 3=3- De los ejemplos podemos observar que:
1.-  x  R ;  x   0
2.-  x  = 0  x = 0
3.-  x  =  - x 
 x, y  R ; se cumple:
a)	- x  =  x 
b)	 x y  =  x  y 
c)	 x 2 = x2  x2 = x2
d)	= x
e)	x + y = x + y  x y  0 f)	x - y = x + y  x y  0 g)	; y  0
h)	x + y  2 En resolución de ecuaciones con valor absoluto, debemos tener en cuenta lo siguiente:
1.- Si x  R, entonces x es el número real no – negativo definido por:
x ; si x  0
x = -x ; si x  0
2.- x = 0  x = 0
3.- x = b  x = b ó x = - b
4.- x = b  b  0
[ x = b ó x = - b ]
01.	Hallar el conjunto solución en la inecuación:
x + 2 (x4 – 1) = 0
Factorizando, se tendría:
x + 2 (x2 + 1) (x + 1) (x - 1)= 0
igualando cada factor a cero.
a) x + 2 = 0 x = - 2
b) x2 + 1 = 0 x = i  x = - i
c) x + 1 = 0	x = - 1
d) x – 1 = 0	x = 1
Nota.- i = ; tal que: i2 = -1 Como x  R; i  -i no son parte de la solución:
 C. S. =  -2, 1, -1 
x2 – x - 3 = x - 3
Para este caso, se cumple la propiedad:
x = b  x = b ó x = - b
X2 – x – 3 = x – 3 ............ ()
X2 – x – 3 = - (x –3) ........ (ß)
De ........... ()
x2 – x – 3 = x –3 	x2 – 2 x = 0
 x = 0  x = 2
De .......... (ß)
X2 – x – 3 = - x + 3  x2 = 6
 x =  x = -  C. S. =  0, 2, ; - 
03.	Hallar el conjunto solución en la inecuación:
 2 x - 1 = x + 2
x = b  b  0  [ x = b  x = - b]
1º.- Universo de solución
x + 2  0  x  -2 x  [ -2 ;  
2 x – 1 = x + 2  2 x – 1 = - x – 2
x = 3  U  x = -  universo
 C. S. =  - , 3 
04.	Resolver:
x - 3 - 2  = 3
1.- Haciendo ; x - 3 = a ........ ()
donde a  0; se tendría:
a - 2 = 3  a – 2 = 3  a – 2 = -3
a = 5	 a = - 1 (No)
2.- En (), dado que: a  0
x - 3 = 5  x – 3 = 5  x – 3 = - 5
x = 8  x = - 2  C.S. =  8 ; -2 
-x - 1 + 2x + 3 = 5
Igualando cada valor absoluto a cero determinamos los puntos de corte en la recta real:
Respecto a los signos de los valores absolutos en cada intervalo se tendría:
a)  -  ; - ] : ( - ) ( - )
b)  - ; 1 ] : ( + )	( - )
c)  1;   :	( + ) ( + )
Analizando en cada intervalo:
a) x   -  ; - ] : - 2x + 3+x-1 = 5
-2x – 3 + x-1 = 5
Como ; -9   -  ; - ]  x = - 9 ; es
b) x   - ; 1 ] : 2x + 3+x-1 = 5
2x + 3 + x-1 = 5
Como ; 1  - ; 1]  x = 1 es solución.
c) x  1 ;   : 2x +3-x-1= 5
2x +3- x+1 = 5
Como ; 1  1 ;   x = 1 no es solución, para este intervalo.
De (a) y (b) C.S. =  -9 ; 1 
01) [5 X – 3] = 7 Rpta: 2 ; - 
02) 2x2 – x - 8 = 7 Rpta. 3 ; - 
03) x2 – 1 = 0 Rpta. -1 ; 1
04) 3x -2 = 2x+3	Rpta. 5 ; - 
05) x-2-1= x-2 Rpta.  ; 
06) 2x2 – x - 3=3 07) 3x + 5 = 2x -3
08) = x
09) = 3
10) x +6 + x-2 = 8
11) x-3 + x-1 + x = 4
12) 5x - 3 = -2x + 4
13) 3x - 2 = x + 6
14) x2 – x- 3 = x2 - 6
Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven teniendo en cuenta las siguientes propiedades:
 x ; a  R; se cumple.
I.- x  a  ( x + a) (x – a)  0
x  a  ( x + a) (x – a)  0
II.- x  a  ( x + a) (x – a)  0
x  a  ( x + a) (x – a)  0
III.- x  a  a  0  [-a  x  a ]
x  a  a  0  [-a  x  a ]
IV.- x  a  x  - a  x  a
x  a  x  - a  x  a
01.	Resolver:
3 x - 2  2x - 1
Dado que : a  b  (a + b) (a – b)  0
para la inecuación dada, se tendría:
(3x – 2 + 2x – 1) (3x– 2 – 2 x + 1)  0
x = (5x – 3) (x – 1)  0 
x = 1	de la recta real:
Vemos que: x   ; 1  (Rpta)
x2 – x  x – 1
Desde que : a  b  a < -b  a  b
La inecuación dada se transforma en:
x2 – x < - (x – 1)  x2 – x  x –1
Resolviendo cada una de las inecuaciones:
1º.- x2 – x  -x + 1 x2 – 1  0
(x + 1) (x-1)  0 
x = 1	en la recta real:
Vemos que: x   -1 ; 1  ..... ()
2º.- x2 - x  x – 1
(x - 1)2  0
x = 1 En la recta real:
Vemos que x   - ;1 U 1,  ... ()
Dado que la solución es () U ():
x  -  ; 1  U  1;   ó x  R - 1
3 x- 2  5
De acuerdo a las propiedades establecidas como: 5  0; entonces:
- 5  3 x – 2  5
sumando “2” a todos los miembros
-5 + 2  3 x – 2 + 2  5+ 2
-3  3x  7
dividiendo entre 3:
-1  x   x  -1 ; 
2 x + 5  5 x - 2
Como: a  b  (a + b) (a – b)  0
en la inecuación dada se tendría:
(2x + 5 + 5x – 2) (2x+ 5 – 5x + 2)  0
(7 x + 3) (-3 x + 7)  0
cambiando el signo de x
x = - (7x +3) (3x – 7)  0
x = en la recta
Vemos	que: x   ; 
 x - 2 - 2x - 1  2
Igualando cada valor absoluto a cero para determinar los puntos de corte en la recta real; vemos que:
La inecuación a analizar es:
- 2 x - 1+  x - 2  2
a)	Para el intervalo:  - ; ]; los signos de los valores absolutos son: (- , -) de donde:
2x – 1 – x + 2  2
x  1
x   -  ; ] ........................ (  )
b)	Para el intervalo  ; 2 ] , lls signos de los valores absolutos son (+ , - ); de donde:
- 2 x + 1 – x + 2  2
- 3 x  -1
x  x   ; 2 ] ................. ( ß )
c)	Para el intervalo : 2;  : los signos de los valores absolutos son (+ , +) de donde:
-2 x + 1 + x – 2  2
- x  3
x  -3
x   2 ;  ] ................. (  )
La solución de la inecuación propuesta estará dado por () U () U ()
- ; - ] U  , 2 ] U 2 ;  = - ;  
 x  R	Rpta.
a)	 2 x - 7  2
b)	 3 x – 1  5
c)	 4 x - 3  2 x - 5
d)	 7 x -3  5x - 4
e)	3 x - 2  x – 2 f)	x + 2 - x - 3  1
g)	x + 2  - x - 3  1
h)	 1
i)	x2 - 1  x + 2 j)	 Son aquellas inecuaciones cuya incógnita se encuentra en el exponente y sus criterios de solución son:
I.	En toda desigualdad, si las bases son iguales y mayor que la unidad, al comparar los exponentes, el signo de la desigualdad no se invierte, es decir:
Si la base es mayor que la unidad (a  1) ; se cumple:
1º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 2º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 3º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 4º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 01.	Resolver
5 2x – 3 – 25 – x + 2  0
Expresando la inecuación convenientemente, se tendría:
5 2x – 3  25 –x + 2
5 2x – 3  25 –2x + 4
como; la base es mayor que la unidad, se cumple que:
2 x – 3  - 2 x + 4
4 x  7
x   x  [ ;  ]
02.	En que intervalo se satisface la desigualdad.
 Solución:
Expresando en base 2
2 -  x - 1  como la base es mayor que la unidad:
- x - 1  ó:	x - 1  recordando:
a  b  b  0  [ -b  a  b ]
 0  -  - x  2
2º.- De otro lado:
- +  x – 1  - - 2 + x  4 x – 4  2 - x
i) 4 x – 4  x – 2	ii) 4 x – 4  2 - x
3 x  2	5 x  6
x  x  x   ; 
interceptando con el universo:
Rpta. C.S.; x  ; 
II.	En toda desigualdad si las bases son iguales y su valor está comprendido entre cero y uno (0  base  1) al comparar los exponentes el signo de la desigualdad se invierte, es decir:
Si la base está comprendida entre cero y la unidad (0  a  1); se cumple.
1º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 2º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 3º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 4º	aP(x)  a Q(x)  P (x)  Q (x) 01.	Resolver
Colocando en base , se tendría:
 Como la base está comprendida entre cero y la unidad.
 x - 3  3
a  b  a  - b  a  b con lo cual:
x – 3  - 3  x – 3  3
x  0  x  6
Rpta: x   -  , o  U  6 ;  
02.	Resolver
Transformando los radicales a exponentes fraccionarios, se tiene:
como la base está comprendido entre cero y la unidad, al comparar los exponentes, el signo de la desigualdad varía, es decir:
como el segundo miembro debe ser cero:
N x = 0
P.C	D	x = 6
Graficando en la recta real:
Rpta. x   -6 ;0  U  6 ;  
Son aquellas inecuaciones cuyas incógnitas se encuentran afectadas por radicales o exponentes fraccionarios.
De otro lado como las inecuaciones solo se verifican en el campo de los números reales, se cumple el siguiente principio fundamental.
Principio fundamental.- En toda inecuación irracional de índice par, las cantidades subradicales deben ser mayores o iguales a cero y esto nos determina el universo dentro del cual se resuelve la inecuación dada.
Ejemplo.- Dada la inecuación
n  z+
entonces la inecuación se resuelve para valores que estén comprendidas dentro de las soluciones de : f(x)  0
Existen diversos casos de inecuaciones irracionales presentaremos algunos de ellos y su forma de resolverlos.
01.	Resolver
El conjunto solución a esta inecuación está determinado por la intersección de los universos de cada radical, es decir;
U1 : X – 3  0  x  3
U2 : 8 – x  0  x  8
Conjunto solución U1  U2
Rpta: x  [ 3 ; 8 ]
1º.- Determinación del universo
x + 3  0  x – 2  0
x  -3  x  2
Universo x  [ 2 ,  
2º- Pasando un radical al segundo miembro.
3º.- Elevando al cuadrado los dos miembros de la inecuación.
X + 3  25 – 10 + x – 2
10  20
4º.- Elevando al cuadrado
x – 2  4
x  6
5º.- Interceptando con el universo
Rpta. x  [ 2, 6 ]
Algunas inecuaciones irracionales de índice par se transforman en sistemas, como las que mostramos a continuación:
a)	Si :  , entonces:
f (x)  0 ................... ()
f (x)  g (x) ............... ()
b)	Si :  , entonces:
f (x)  g (x) ............... ()
c)	Si :  , entonces:
g (x)  0 ................... ()
f (x)  g (x) ............... ()
d)	Si :  , entonces:
f (x)  g (x) ............... ()
Para este caso, se cumple:
16 – x  0 ..................... (1)
16 -  16 – x ........... (2)
De ....... (1)
16 – x  0  x  16
x   -  ; 16 ] .................... ()
De ......... (2)
16 -  16 – x   0
factorizando el numerador:
N: x = 1
x  [ 1 ;   ........... (ß)
Interceptando () y () obtenemos la solución final
Rpta. x  [ 1 ; 16 ]
PAR ORDENADO.- Es un ente matemático formado por dos elementos, denotado por (a ; b), donde “a” es la primera componente y “b” es la segunda componente. En términos de conjunto de el par ordenado (a ; b) se define como:
(a; b) =  a ; a ; b 
Igualdad de pares ordenados.- Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeras y segundas componentes son iguales respectivamente, es decir:
(a; b) = (c ; d)  a = c  b = d
Ejemplo.-1.- Si los pares ordenadas (2x + 3y; 7x - 2y), (13;8) son iguales, hallar el valor de (x-y)
Ya que los pares ordenados son iguales, por definición se cumple.
2x + 3y = 13 ................... (1)
7x – 2y = 8 ..................... (2)
Resolviendo el sistema por determinantes.
1.	Calcular : (x + y) si los pares ordenados.
((a + b) x – (a-b) y; 2a2 2b²) y (4 ab; (a-b)x + (a + b)y) son iguales. Rpta. 2a.
2.	Si los pares ordenados
y son iguales, determine el valor numérico de : Rpta. 17
Dado dos conjuntos A y B no vacíos, se define el producto cartesiano A x B como el conjunto de pares ordenados (a, b) tal que a A  b  B; es decir:
A x B = {(a;b) / a A  b  B}
En el conjunto de pares ordenados (a,b), las primeras componentes se encuentran en el conjunto A y las segundas componentes en el conjunto B.
Ejemplo 2.- Dado los conjuntos
A = {1, 2} y B = {a, b}
Determine a) A x B
a.	Mediante el “Diagrama de árbol”
a	(1; a)
b	(1; b)
a	(2; a)
b	(2; b)
A x B = {(1;a), (1;b), (2;a), (2;b)}
b.	De otro lado
B	A	B x A
1	(a;1)
2	(a;2)
1	(b;1)
2	(b;2)
B x A = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2)}
En este ejemplo vemos que : A x B  B x A
OBSERVACIÓN.- El producto cartesiano se puede extender a tres o más conjuntos no vacíos, es decir:
AxBxC={(a,b,c)/ a A  bB  c C}
Donde (a, b, c) es un terma ordenada definida en términos de conjuntos.
(a, b ,c) = { {a}, {a, b}, {a, b, c}}
1.	Si n(A) es el número de elementos del conjunto A y n(B) es el número de elementos del conjunto B, entonces n (A x B) = n(A).n(B) es el número de elementos del producto cartesiano A x B.
2.	El producto cartesiano en general no es conmutativo , es decir A x B  B x A, a menos que A = B.
3.	A x B = ; si A es vacío o B es vacío.
4.	N (A x B x C) = n(A) . n(B). n(C)
Ejemplo 3.- Dado los conjuntos
A = {X  Z/ 6 < x – 2 < 12}
B ={X  Z/ -4  x + 3 < 9}
¿Cuántos elementos tiene, A x B? Solución :
Para el conjunto A, se cumple:
6 < x – 2 < 12
Sumando 2 a todos los miembros de la desigualdad, se obtiene.
8 < x < 14
A = {9,10,11,12,13}  n(A) = 5
Para el conjunto B, se cumple:
-4  X + 3 < 9
Adicionando –3 a todos los miembros de la desigualdad, se obtiene:
-7  x < 6
B = { -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;-1;-2;
-3;-4;-5}
Con lo cual n(B) = 13
 n (A x B) = n (A).n (B)= (5) (13)= 65
Ejemplo 4.- Dado los conjuntos
Determine gráficamente :
i) A x B ii) B x A
i)	Gráfica de : A x B
ii) Gráfica de B x A
de i) y ii) vemos que : A x B  B x A
1.	Dado los conjuntos
A = {X  N / X2 -2 < 23}
B = {X  Z+0 / X2- 3 < 6}
C = {X  Z / 3 < X –6  12}
¿Cuántos elementos tiene : A x B x C?
Rpta. : 108
Definición.- Dadas dos conjuntos A y B no vacíos, se llama una relación R de A en B a un subconjunto cualquiera de A x B.
R es una relación de A en B  R  A x B
Nota.- Una relación de A en B se llama también relación binaria.
Definición.- Un conjunto R es una relación en A si y solo sí R  A x A
Ejemplo 5.- Dado el conjunto
A = {1, 3, 5} y una relación R en A definida por :
(x , y) R y = x + 2
Cuantos elementos tiene R.
Notemos que el conjunto A x A es :
A x A = {(1;1), (1;3), (1;5); (3;1) (3;3),(3;5),(5,1);(5;3);(5,5)}
Luego una relación R en A de elementos (x, y) tal que y = x + 2 es:
R = {(1;3), (3;5)}; vemos que la relación R tiene 2 elementos.
Ejemplo 6.- Sea el conjunto A = {2, 4 ,6 ,8}. Donde las relaciones R1 y R2 en A están dadas por :
R1 = {(x , y}/ x + y = 10}
R2= {(x , y) / y = x}
Hallar : n (R1) y n (R2)
R1 = {(x, y}/ x + y = 10} entonces
R1 = {(2;8), (4;6),(8;2),(6;4)}
R2= {(x, y)/y =x} entonces
R2= {(2;2); (4;4);(6;6);(8;8)}
 n(R1) = 4 y n(R2) = 4
A.	Relaciones reflexivas.- Dado un conjunto R de pares ordenados R es una relación reflexiva” en A Si :  a  A ; (a ; a) R
B.	Relaciones Simétricas.- Dado un conjunto R de pares ordenados R es una “relación simétrica” en A.
Si : (a;b)  R  (b; a)  R
C.	Relaciones transitivas.- Dado un conjunto R de pares ordenados la relación R en un conjunto A es una “relación transitiva” en A.
Si : (a;b) R (b;c) R  (a;c)  R
D.	Relaciones de equivalencia.- Una relación R en un conjunto no vacío A es una “relación de equivalencia” en A, si en forma simultanea satisface las siguientes condiciones:
i.	R es reflexiva :
 a  A ; ( a ; a )  R
ii.	R es simétrica : (a ; b )  R  (b; a)  R
iii.	R es transitiva.
[(a;b) R (b;c) R]  (a;c)  R
R es una relación de A en B si R  A x B ; donde :
A x B = {(x,y) / x  A  y  B)
Dominio de la relación R .- Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de R, es decir:
Dom (R) = x/ (x, y)  R C. A.
Rango de la relación R.- Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de R, es decir:
Rang (R) = y /(x,y)  R  B
Ejemplo.- Dado los conjuntos
Donde R es una relación de A definida por:
R = (1,5), (2,8), (3,5), (2,7)
Determine : Dom (R) y Rang (R)
Como el dominio está determinado por las primeras componentes.
Dom (R) = 1, 2, 3
De otro lado como el rango está determinado por las segundas componentes :
Rang (R) = 5, 8, 7
1)	Dado los conjuntos:
A = 1, 4, 9  B = 2, 8, 9
R1 y R2 son relaciones de A en B tal que:
R1 = (a, b)  A x B / a  b 
R2 = (a, b)  A x B / a + b  6 
Determine : n (R1) + n (R2) Rpta. 9
2)	Dado el conjunto
A = 1, 2, 3, 4, 6, 8  y la relación R en A : R = (x,y) /5 es divisor de x + y, hallar la suma de todos los elementos del dominio de R. Rpta. ______
3)	Dada la relación R definida en los números reales:
R = (x, y) / x-y  6
el valor veritativo de :
I.	R es simétrica
II.	R es reflexiva
III.	R es transitiva
IV.	R no es de equivalencia
es:	Rpta. V V F V
Dado dos conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación f  A x B, se define:
“f es una función de A en B si y solamente si para cada x  A existe a lo más un elemento y  B , tal que el par ordenado (x, y)  f “.
Observación.- Dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente; para la función f.
(x; y)  f  (x; z)  f  y = z
Siendo A = Conjunto de partida Y	B = Conjunto de llegada
i)	Son funciones:
ii)	No son funciones
Dominio de f: Dom (f)
Se llama también pre-imagen y es el conjunto de los primeros elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de partida A. (Dom (f)  A)
Rango de f = Rang (f)
Llamado también imagen, recorrido o contradominio, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B (Rang. (f)  B)
Ejemplo.- Dada la relación representada por el diagrama sagital.
Hallar Dom (f)  Rang (f)
Vemos que la función está dada por:
f= (a; f) , (b ; e) , (c; f) , (d;h), (i;g)
Dom (f) = a; b; c; d; i 
Rang (f) = f ; e; h; g 
La función f se denomina aplicación de A en B si y solamente si todo elemento x  A sin excepción, tiene asignado un elemento y  B y solamente uno, en tal caso se denota de la siguiente forma:
f : A B  A B
Para este caso Dom (f) = A  Rang (f)  B
Si los conjuntos A y B, de partida y llegada respectivamente de una función f son conjuntos de números reales, entonces f es una función real de variable real y por ello f tendrá una representación gráfica en el plano R2. Existe una relación unívoca entre la variable independiente x y su imagen la variable dependiente y; es decir:
f = (x; y)  R x R/ x  Dom(f)  y = f(x) 
Propiedades Geométrica.- Una relación f  R x R es una función real, si y solo sí, toda recta vertical o paralela al eje “y” corta a la gráfica f a lo más en un punto.
Respecto a las gráficas:
Función constante.- Se simboliza por C y su regla de correspondencia está dada por C (x) = f(x) = k
i) Don (f) R ii) Rang (f) = K
Función Identidad.- Se simboliza por I, y su regla de correspondencia es: I (x) = f (x) = x
Función Valor Absoluto.- Su regla de correspondencia está dada por:
x ; x  0
y = f(x) = x	0 ; x = 0 -x ; x  0	i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [0;  
Función Signo.- Se simboliza por “sgn” su regla de correspondencia está dada por:
-1 ; x  0
y = f(x) = sgn (x)	0 ; x = 0 1 ; x  0	i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = -1, 0, 1
Función raíz cuadrada.- Se simboliza por el signo radical y su regla de correspondencia es:
y = f(x) = 1
i) Dom(f) =[0;   ii) Rang (f) = [0;  
Función cúbica.- Está determinada por la regla de correspondencia.
y = f(x) = x3 Función Escalón Unitario.- Está denotado por U y su regla de correspondencia es:
0 ; x  0
y = f(x) = U (x) = 1 ; x  1
i) Dom (f) = [0;   ii) Rang (f) = 1
Función Cuadrática.- La regla de correspondencia de esta función está dada por:
y = f(x) = ax2 + bx + c ; a  0
1.	a  0
V(h; k) = V i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = [-k;  
2.	a  0
i) Dom (f) = R ii) Rang (f) = - , k 
Es aquella función cuya regla de correspondencia es:
y = f(x) = ; donde x  0
i) Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = R -0 Función máximo entero.- Es aquella función definida por:
f(x) = [x] ; Si n  x  n + 1 ; n  z
Dando valores a n
-2 ; Si –2  x  -1
-1 ; Si –1  x  0
f(x) = [x]	0 ; Si 0  x  1
1 ; Si 1  x  2
2 ; Si 2  x  3
i) Don (f) = R ii) Rang (f) = Z
1.	Hallar el dominio y rango de la función:
f (x) = ; x  0
x ; x  0
Dado que x =
-	x ; x  0
la regla de la correspondencia de la función f(x), donde x  0; es :
; x  0
f (x) ; x  0
i)	Dom (f) = R- 0 ii) Rang (f) = 0, 2
Una sucesión es un conjunto de números que presenta un cierto orden de acuerdo a una ley de formación.
En términos de conjunto las sucesiones se expresan como :
S = {a1, a2, a3, ....., an, ....}
Toda sucesión debe ser determinado a través de su término e-nésimo (an), es decir:
Para n = 1  a1
Para n = 2  a2
Para n = 3  a3
En general un término cualquiera de la sucesión tal como ak, se obtiene a través de an cuando n = k. Son ejemplos de sucesiones :
a.	P = { 3,5,7,9,....., (2n+1),...}
b.	Q = {1,4,9,16,....., n²,.........}
c.	R = {1,1,2,6,24,....,(n-1)!,.....}
Atendiendo al número de términos las sucesiones pueden ser :
a.	Sucesiones finitas.- Son aquellas que tienen un número limitado de términos. Ejemplo:
A = {6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}
b.	Sucesiones infinitas.- Estas sucesiones se caracterizan porque sus términos son ilimitados. Ejemplo:
P = {-1, 2, 7, 14, ....., (n²-2),....}
S = {a1, a2, a3, .........., an, .......}
La serie está representada por Dependiendo de que la sucesión sea finita e infinita, las series serán finitas e infinitas.
Entre los de interés tenemos :
a. Las Progresiones.
-	Progresión aritmética.
-	Progresión geométrica.
-	Progresión Armónica.
b. Series de potencia de los números enteros positivos.
c. Series numéricas relacionadas con los números enteros positivos.
d. Series que involucran combinatorias.
e. Series recurrentes.
Son Sucesiones numéricas cuya ley de formación se establece a través de una suma o multiplicación constante.
Símbolos de una progresión aritmética.
P.A. : Significa progresión aritmética.
÷ : Inicio de una P.A.
a1 : Primer término de la P.A.
an : último término de la P.A.
n : número de términos de la P.A.
r : Razón o diferencia constante.
Sn : Suma de los n primeros términos de una P.A.
m : Medios de una P.A.
Representación general de una P.A.
Las sucesiones aritméticas finitas de razón “r” y “n” términos se representan bajo la forma.
Extremos de la P.A.
÷ a1. a2 ................................. an-1; an
m = n – 2 (medios)
Medios : ó
Razón : r = a2 – a1 ..... = an – an-1 Ejemplos de P.A.
a). ÷ 6.9.12.15.18 
b).	÷ 9.7.5.3.1.-1 
De los ejemplos vistos las progresiones aritméticas pueden ser :
a). P.A. creciente (razón > 0)
b). P.A. Decreciente (razón < 0)
Propiedad 1.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r” el último término es igual al primero más (n-1) veces la razón, es decir :
Sea la progresión aritmética ÷ a1 . a2 . a3 ......... an-2 . an-1 . an
Por definición sabemos que :
ak = ak-1 + r	K = 2, 3,4,....n
Expandiendo :
a2 = a1 +r
a3 = a2 +r
a4 = a3 +r
.	(n-1) veces
an-2 = an-3+r
an-1 = an-2+r
an = an-1+r
an = a1 + r + r+......+r
 an = a1 + ( n – 1) r
Propiedad 2.- En toda P.A. de razón “r” y “n” términos:
÷ a1 . a2...... ap......aq.....an-1.an
el término de lugar “q” en función del término de lugar “p” está formulada por:
aq = ap + (q – p) r
Propiedad 3.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r”, un término cualquiera que ocupe el lugar K-ésimo contado a partir del extremo final es igual al último término menos (k-1) veces la razón, es decir:
ak = an – (k – 1) r
Propiedad 4.- En toda P.A. de “n” términos y razón “r”, la suma de los términos equidistantes de los extremos es una cantidad constante e igual a la suma de los extremos, es decir :
÷ a1, a2...... ap...........aq.....an-1.an
“p” términos	“p” términos
Se cumple que ap + aq = a1 + an
Dado que “ap” y “aq” equidistan de los extremos.
ap = a1 + (p-1) r .............. ()
aq = an - (p-1) r .............. (ß)
Sumando miembro a miembro () y (ß) obtenemos :
ap + aq = a1 + an	l.q.q.d.
Ejemplo : En la P.A.
÷ 7. 12 . 17 . 22 . 27 . 32 . 37 . 42.
÷ 7 . 12 . 17. 22. 27. 32. 37. 42
a1 + an = 12+37= 17+32 = 22+27=49
Propiedad 5.- En toda P.A. de un número impar de términos, el término central “ac” es igual a la semisuma de los términos equidistantes de los extremos e igual a la semisuma de los extremos.
En la P.A. de “n” términos y razón “r”, cuyo esquema es ÷ a1 ___ ap ___ ax.ac.ay ___ aq ___ an
ac = término central
÷ 8 . 12 . 16 . 20 . 24 . 28 . 32
Propiedad 6.- En toda P.A. de tres términos, el término central es la media aritmética de los extremos.
En la P.A. ÷ x. y. z
Se cumple que :	Propiedad 7.- La suma de los “n” primeros términos de una P.A. de razón “r”.
÷ a1 . a2 ……............…... an-1 . an
es igual a la semisuma de los extremos multiplicado por el número de términos, es decir:
En la progresión aritmética.
÷ a1. a2 …………………............ an-1 . an
La suma de los “n” primeros términos es :
Sn = a1+a2 ..........+ an-1+an ......... ()
Sn = an+an-1 ........ +a2 +a1 .......... (ß)
Como la suma de los términos equidistantes es una cantidad constante e igual a la suma de los extremos.
De otro lado, como :
Propiedad 8.- En toda P.A. de un número impar de términos y término central “ac”, la suma de sus “n” términos está dado por :
Sn = ac . n	; n (#impar)
Interpolar “m” medios diferenciales entre los extremos “a1” y “an” de una progresión aritmética, es formar la progresión. En efecto para la P.A.
÷ a1 .............................. an
“m” medios
Los datos conocidos son :
Primer término : a1
Último término : an
Número de términos : n = m + 2
El elemento a calcular es la razón : r
De la fórmula : an = a1 + (n –1) r
Como : n = m + 2  an = a1 + (m+1)r
Obtenemos:	Conocida la razón ya es posible interpolar o formar la P.A.
En la resolución de problemas sobre P.A. es necesario expresar los términos de la progresión bajo las siguientes formas :
i.	Si el número de términos es impar, la razón a considerar es “r”.
Ejm: Para 3 términos; se tendría :
÷ (a – r) . a. (a + r)
ii.	Si el número de términos es par, la razón a considerar es “2r”.
Ejm:	Para 4 términos; se tendría:
÷ (a – 2r) . (a - r). (a + r) . (a + 2r)
01.	En la P.A.
÷ -16 . –13 . -10 ................
Hallar el término de lugar 19.
En toda P.A. un término cualquiera se determina por la fórmula :
a1 = -16	donde: n = 19
a19 = - 16+ (19 - 1) (3)
a19 = 38 Rpta.
02.	En la progresión aritmética.
÷ a ............... 46 ...............b
“m” medios	“m” medios
Determine el valor de m si la suma de sus términos es 782.
En la P.A. se observa que el término central: ac = 46
Número de términos : n = 2m+3
Suma de términos : Sn = 782
Sn = ac . n  782 = 46 (2m+3)
2m + 3 = 17
De donde : m = 7
03.	En la progresión aritmética.
÷ 4.................16..............46
El número de términos comprendidos entre 16 y 46 es el triple de los comprendidos entre 4 y 16. Hallar la suma de todos los términos de la P.A.
De acuerdo con el enunciado tenemos :
÷ 4 ................. 16 ............. 46
“x” term.	“3x” term.
Entre 4 y 16 an = 16
n = x +2
16 = 4 + (x +1)r
= r .......... ()
= r ......... (ß)
Igualando () y (ß)
=  36x +12 = 30x+30
Reemplazando el valor de x = 3 en ()
r =  r = 3
an = 46  n = 15
De donde : S15 = 375
04.	Cuantos términos de la P.A. ÷ 32 . 26 . 20 .......................
Se deben tomar para que su suma sea 72. Rpta. 9.
05.	Si, Sn = 3n (2n – 1) es la suma de los “n” términos de una P.A.
Hallar el término de lugar “p” que ocupa dicha progresión aritmética.
Rpta: 3 (4 p - 3)
Símbolos de una progresión geométrica.
P.G. : Progresión geométrica
: Inicio de la P.G.
tn : último término
q : razón de la P.G.
n : Número de términos
s : Suma de los términos de la P.G.
p : Producto de los términos de la P.G.
S : Suma límite de los infinitos términos de una P.G. decreciente infinita.
Toda progresión geométrica de “n” términos y razón “q” se representa de la siguiente forma :
t1 : t2 : ....................... : tn-1: tn
* Medios Proporcionales
* q  0  q  1 (razón)
Primer Termino	último término
La razón de la P.G. está determinada por la división de dos términos consecutivos de la progresión :
Debemos tener en cuenta lo siguiente :
i.	Si : q > 1, la P.G. es creciente :
q = 2 : 4 : 8 : 16 : 32	La P.G. es creciente
ii.	Si; 0 <1, la P.G. es decreciente.
q = 243 : 81: 27: 9	0   1
La P.G. es decreciente
iii. Si : q < 0 la P.G. es oscilante.
q = 64:-32:16:-8	La P.G. es oscilante
Propiedad 1.-
En toda P.G. un término cualquiera es igual al primer término multiplicado por la razón, donde la razón se encuentra elevado al número de términos menos uno.
Sea la P.G.
t1: t1 q: t1 q²: ..................... : tn
en el cual observamos.
t1 = t1 = t1 q1-1
t2 = t1 q1 = t1 q2-1
t3 = t1 q2 = t1 q3-1
t4 = t1 q3 = t1 q4-1
tn = t1 qn-1
 tn = t1 qn-1	L.q.q.d.
Propiedad 2.- En toda P.G. el producto de dos términos equidistantes es una cantidad constante e igual al producto de los extremos, es decir en la P.G.
t1: ...........: a:x: ............:y:b:..............:tn
(k+1) términos	(k+1) términos.
xy = t1 . tn
Ejemplo : En la P.G.
2 : 6 : 18 : 54 : 162 : 486
Veces que :
6 (162) = 18(54) = 2(486) = 972
Propiedad 3.- En toda P.G. de un número impar de términos, el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.
t1: .............: a:x:b ......................:tn
(k+1) términos (k+1) términos
En la P.G. 3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96 : 192	Término central	Vemos que :
Propiedad 4.- En toda P.G. finita el producto de sus términos es igual a la raíz cuadrada del producto de sus términos extremos, elevado al número de términos de la progresión geométrica, es decir:
Sea la progresión geométrica.
t1 : t2 : ............... tn-1 : tn
El producto de sus términos es:
P = t1 . t2 . ............... tn-1 . tn
ó : P = tn . tn-1 . ............... t2 . t1
multiplicando miembro a miembro.
“n” paréntesis
P² = (t1. tn) (t2. tn-1) ................ (tn. t1)
Dado que el producto de dos términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
P² = (t1 . tn)
	L.q.q.d.
Propiedad 5.- La suma de los términos de una P.G. finita es igual al último término por la razón menos el primer término; todo esto dividido entre la diferencia de la razón y la unidad.
Dado que: tn = t1 q n-1
Propiedad 6.- El valor límite de la suma de los infinitos términos de una P.G. infinita decreciente es igual al primer término dividido entre la diferencia de la unidad y la razón, donde necesariamente el valor absoluto de la razón debe ser menor que la unidad.
; q 1
Interpolar medios geométricos entre dos números dados es formar una progresión geométrica donde los extremos son los números dados.
“m” medios geométricos
la razón que determina la interpolación está dada por:
Ejemplo # 1.- Calcular el valor limite de la suma:
a) b) c) Con lo cual “S” se puede agrupar de la siguiente forma:
S = + + Cada paréntesis representa la suma de infinitos términos de una progresión geométrica infinita de razón q = , por consiguiente:
esta última serie, también es una progresión geométrica infinita decreciente de razón q = ; entonces:
 S = 2 Rpta.
En efecto observemos los siguientes ejemplos:
1.	25 = 32 
2.	3-2 = 	de en base 3
6 es el logaritmo	3. = 8 
de 8 en base en general tendríamos que:
“a” es el logaritmo	Si : ba = N  de “N” en base “b”
1.	= N
2.	Si: Debemos familiarizarnos con estas fórmulas a través de los siguientes ejemplos:
i)	Paso de la forma exponencial logarítmica
1.	Si: 24 = 16  Log 2 16 = 4
2.	Si : 5 –3 =  Log 5 = -3
3.	Si: = 9  Log 9 = 4
ii)	Paso de la forma logarítmica a la forma exponencial
1.	Si: Log 625 = 4  5 4 = 625
2.	Si: Log = -3  7-3 = 3.	Si Log 216 = 6  = 216
a.	Transforme de la forma exponencial a la forma logarítmica o viceversa según convenga:
1) 27 = 128	2) Log 8 = 3
9) 161/4 = 2 10) Log = 1	b.	Aplicando la definición de logaritmo determine “x” en las siguientes ecuaciones:
14. Log 32 = x	23. Log (x-1) = 3 15. Log 125 = 24. Log 5 = 1
16. Log 2401= x	25. Log 29 = x 17. Log 1 = x 26. Log = x
18. Log x = 1	27.Log (x-2)= 0
19. Log 27 = x	28.Log (x-2)= 1
i)	N, es el “número”: N  0
ii)	b, es la “base”: b  0  b  1
iii)	a, es el “exponente” ó logaritmo: a  R
Prob. # 1.- Calcular el logaritmo de en base Solución:
Rpta. Estas identidades nos permite efectuar cálculos rápidos en logaritmos, tan es así que los problemas anteriores pueden efectuarse por simple inspección.
Por identidad sabemos que Expresando convenientemente el segundo miembro tendríamos:
Como :	entonces:
;	mcm = 15
= N ............. (3)
Reemplazando ...(2) en ...(1) obtenemos:
a = Elevando a la potencia “m” los dos miembros de la igualdad, se obtiene.
.......... ()
de otro lado en ... (1) extraemos la a los dos miembros de la igualdad, obteniendo:
.......... (ß)
De ... () y .. () concluimos que:
Ejemplo.- Para que valor de “x” se cumple la igualdad:
1.	En el primer logaritmo el número y la base lo elevamos al exponente 3.
2.	En el segundo logaritmo al número y a la base le extraemos Obteniendo:
 x = 4 IDENTIDAD FUNDAMENTAL Nº 4
Si : N.b = 1 Demostración:
Siendo Nb = 1  ó .	N = b-1	con lo cual : Aplicando la primera identidad obtenemos:
i)	Primer caso.- Cuando la base está comprendida entre “0” y “1” (0 b  1)
Caso Particular : Tabulando, obtenemos los siguientes pares de valores:
Df	X	-	....	-2	-1	0	1	2	...	+
Rf	Y	+	....	9	3	1	1/3	1/9	...	0
Gráfica :	Propiedades de:
1.	D1  R
2.	Rf   0 ;  
3.	y = bx   x  R
4.	Si; x = 0  y = bx = 1
5.	Si, x  0  y = bx  1
6.	Si, x -   y = bx 
7.	Si, x  0  y = bx  1
8.	Si, x    y = bx  0
ii)	Segundo caso.- Cuando la base es mayor a la unidad (b  1)
Df	X	-	...	-2	-1	0	1	2	...	+
Rf	Y	+	...	1/9	1/3	1	3	9	...	+
1. D1  -;   2. Rf   0;  
6. Si, x -   y = bx  0
Función Exponencial	Función Logarítmica y = f(x) = bx
Df   - ;   Rf   0 ;  	Df   0 ;   Rf   -  ;  
 b  R+ - 1
y = bx  Función Directa	Permutando “x” por “y”
Y = Función Inversa
y= i)	Primer caso: Cuando la base está comprendida entre “0” y “1” (0 b  1)
Caso particular: y = Tabulando; obtenemos los valores
Df	X	0	...	1/9	1/3	1	3	9	...	+
Rf	Y		...	2	1	0	-1	-2	...	-
1.	Df  -0;   2.	Rf   -;  
3.	Si, x 0  en R
4.	5.	6.	Si x  1   0
7.	Si: x   -
8.	Si: x  1   1
9.	Si : x  0  
ii)	Segundo caso: Cuando la base es mayor que la unidad (b  1)
Caso particular: y = Tabulando, obtenemos los valores:
Rf	Y	-	...	-2	-1	0	1	2	...	+
Gráfica:	Propiedades de:
1.	D1   0 ;   2.	Rf   -;  
7.	Si: x     
8.	Si: x  1   0
9.	Si: x  0   -
I.	Existen infinitos sistemas, donde cada valor de b (b  0  b 1) es un sistema de logaritmos.
II.	No existen logaritmos de números negativos en el campo de los números reales, pero si en el campo de los números complejos.
III.	El logaritmo de “1” en cualquier base vale “0” y el logaritmo de la base es igual a “1”, en efecto:
i) ii) IV.	El logaritmo de un producto indicado es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
a = ...........	(1)
a = ...........	(2)
Multiplicando ... (1) y ... (2) m.a.m. obtenemos:
V.	El logaritmo de un cociente indicado es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor, es decir:
VI.	El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base, es decir:
VII.	El logaritmo de una raíz es igual a la inversa del índice del radical por el logaritmo de la cantidad subradical, es decir:
a = ........... (1)
Colog N = Log Ejemplo:
a)	colog 27 = - Log 27=- b)	–colog = Log = ANTILOGARITMO
Antilog x = ax Propiedades:
a)	Antilog 3 = 23 = 8
b)	Antilog -1/2 = 4-1/2 = CAMBIO DE BASE “b” A BASE “x”
Log N = Caso particular: Log N = REGLA DE LA CADENA
Debemos tener en cuenta la siguiente notación:
M : Monto = Capital + intereses
C : Capital impuesto
R : tanto por ciento anual; es el interés Producido por 100 soles en 1 año
r : tanto por uno ( r = , es el interés producido por un 1 sol en un año)
t : tiempo que se impone el capital, generalmente en años
Dado un capital C que se impone al interés compuesto al “r” por uno anual, durante un determinado tiempo de “t” años. Calcular el monto “M” que se obtiene al final de este tiempo.
Sabemos que el monto al final del año es igual al capital más el interés, es decir:
Capital + Interés = Monto
C + Cr = C (1 + r)
C (1 + r) + C (1 + r) r = C (1 + r)2
C (1 + r)2+ C (1 + r)2 r = C (1 + r)3
En el “t” año
C (1 + r)t-1 + C (1 + r) t – 1 r = C (1 + r) t
Vemos que el monto obtenido por un capital “C” al “r” por uno de interés compuesto durante “t” años, es:
M = C (1 + r ) t
De esta formula podemos despejar:
a)	El capital: “C”:
b)	El tanto por uno: “r”
c)	El tiempo: “t” 01.	Hallar el monto que se obtiene al imponer un capital de 7 500 soles al 5% de interés compuesto, durante 8 años.
Dato: (1,05)8 = 1,477455
C = 7 500
M = C (1 + r)t
M = 7 500 (1 + 0,05)8
M = 7 500 (1,05)8
Considerando el dato, el monto será:
M = 7 500 (1,477455)
M = 11 080 92 soles (Rpta).
02.	Un cierto tipo de bacterias se reproduce en forma muy rápida de modo que en una hora aumenta su volumen en un 75%. Cuántas horas serán necesarias para que su volumen sea 70 veces su volumen original?
Datos: Log 7	= 0,845098
Log 1,75 = 0,243038
Consideremos un volumen “V” como si fuera el capital depositado a interés compuesto, 70 “V” será el volumen final
Donde: R = 75%  = 0,75. Reemplazando en la fórmula de monto:
C = V	M = C (1 + r)t M = 70 V
70 V = V (1 + 0,75)t
70 = (1,075)t
tomando logaritmos en ambos miembros, obtenemos:
t = 7,59 horas Rpta.
Observación: En la fórmula del monto :
M = C (1 + r)t ; el exponente “t” y el tanto por uno “r” siempre van expresados en la misma unidad, según sea el período al fin del cual se capitalizan los intereses, es decir:
capitalización	Tiempo
Diaria	t (en años)
300 t	r (anual)
r/360
03.	En cuanto se convertirá 50 000.00 soles, impuesto al 5% anual, durante 6 años, capitalizándose los intereses cada trimestre?
Dato: (1,0125)24 = 1,347
De acuerdo con el enunciado del problema:
C = 50 000.00 soles
r = = 0,05 (anual)
r = = 0,0125 (trimestral)
t = 6 años = 6(4) = 24 trimestres
Reemplazando en la fórmula del monto
M = 50 000 (1 + 0,0125)24
M = 50 000 (1,0125)24
Utilizando el dato:
M = 50 000 (1,347)
el monto será:
M = 67 350,00 soles (Rpta).
Anualidad de capitalización.- Se denota por “Ac” y es la cantidad fija que se impone al principio de cada año al “r” por uno de interés compuesto para formar un capital “C”, en un tiempo “t”.
Siendo “t” el tiempo en el cual se desea formar el capital “C”, colocando las anualidades al principio de cada año., vemos que:
La primera “Ac”durante “t” años nos dá un monto de Ac (1 + r)t
La segunda “Ac” durante (t – 1) años nos da un monto de Ac (1 + r)t-1
La última anualidad Ac, durante 1 año, su monto será: Ac (1 + r)
Sumando todos los montos producidos por las anualidades, formamos el capital “C”.
C = Ac(1+r)t + Ac(1+r)t-1 + .... + Ac(1 + r)
C = Ac[(1+r)t +(1+r)t-1 + .... + (1 + r)]
Factorizando : (1 + r)
C = Ac(1+r) [(1+r)t-1 + (1 + r)t-2 + … + 1]
Como los sumados del corchete representan el desarrollo de un cociente notable, obtenemos:
Despejando la anualidad de capitalización:
Anualidad de Amortización.- Es la cantidad fija que se impone al final de cada año al “r” por uno de intereses compuesto para amortizar una deuda “C” y los intereses que produce, a interés compuesto, en un tiempo “t”.
Siendo “t” el tiempo en el cual se debe pagar el capital prestado “C” más sus intereses, colocando las anualidades al final de cada año, se observa que:
La primera anualidad impuesta durante (t – 1) años, nos da un monto de :
Aa (1 + r) t-1	La segunda anualidad impuesta durante
(t-2) años, nos da un monto de :	Aa (1 + r) t-2	La última anualidad impuesta durante el último año es Aa.
La suma de los montos producidos por las anualidades equivalen al capital prestado más los intereses producidos, es decir: C (1 + r) t ; con lo cual se tendría la ecuación:
C(1+r)t = Aa (1+r)t – 1 + Aa (1+r)t – 2... + Aa
Factorizando “Aa” en el 2do. Miembro:
C (1+r)t = Por cocientes notables (reconstrucción)
C (1+r)t = Por consiguiente:
La anualidad de amortización “Aa” para pagar el capital prestado “C” está formulado por:
Se acordó la compra de un terreno en 150 000 soles, cuya cantidad se tomó a préstamos al 4% amortizable en 15 años. ¿Qué cantidad fija se debe imponer a final de cada año para cancelar el préstamo más sus intereses?
Dato: (1,04)15 = 1,8
Solución: Del anunciado tenemos que:
C = 150 000 soles
r = = 0,04
Factorial de un número natural.- Es el producto de todos los números enteros positivos y consecutivos desde el número 1 hasta n inclusive; su notación es:
n ! ó n ; se lee “factorial del número “n”
a)	6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 = 6!
b)	3 = 3 ! = 1 x 2 x 3 = 6 c)	4 = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 En general:
n ! = n = 1 x 2 x 3 x ....... x (n – 1) x n
-3 = No existe
= No existe
- 3	=	-1 x 2 x 3 = -6
=	1.	El factorial de un número se puede descomponer como el producto del factorial de un número menor, multiplicado por todos los consecutivos hasta el número de consideración, es decir
12 = 9 x 10 x 11 x 2
26 = 16 x 17 x 18 ............ x 25 x 26
n = n – k (n – k + 1) (n – k + 2) ..... (n –1) n
donde : k  n
Simplificar : Solución:
Descomponiendo los factoriales:
 E = 3 Rpta.
2.	Si el factorial del número A es igual al factorial del número B, entonces A y B son iguales, es decir:
A = B  A = B	(A  0  B 0)
Ejemplo:Calcular los valores de “n”
( n )2 - 8 n + 12 = 0
Factorizando; tendríamos:
( n -2 ) ( n - 6 ) = 0
a) n = 2 = 2  n = 2
a) n = 6 = 3  n = 3
 C.S. = 2, 3 Rpta.
Observación: El factorial de cero es igual a la unidad, es decir:
 0 ! = 0 = 1 ; Demostración :
Dado que; n = n – 1 x n
para : n = 1  1 = 0 x 1
 0 ! = 0 = 1
3.	Si el factorial de un número “n” es igual a uno, entonces el valor de “n” puede ser cero o la unidad
n = 1  n = 0  n = 1
Ejemplo: Hallar “n”, si:
(n – 2) ! = 1
i) n – 2 = 0  n = 2
(n – 2) ! = 1 
ii) n – 2 = 1  n = 3
 C.S. = 2 ; 3  Rpta.
1.	¿Qué valor de n” verifica la siguiente igualdad:
1024 n – 1 [1 x 3 x 5 ... x (2n – 3)] = 2 (n – 1)
1 x 3 x 5 ... x (2n –3) = = 1 x 3 x 5 ... x (2 n –3) = la igualdad se transforma en:
1024 n–1 x = 2n - 2
cancelando los factores comunes obtenemos:
2n – 1 = 1024  2n-1 = 210
	n – 1 = 10
 n = 11	Rpta.
2.	Si se cumple la relación:
1 1 + 2 2 + 3 + 3 + ... + n n = 2069
Hallar el valor de n.
Cada coeficiente de los términos el primer miembro, se puede expresar de la siguiente forma:
(2–1) 1 + (3-1) 2 + (4-1) 3 + ......
............+ (n+1 –1) n = 5039
de donde el operar, obtenemos:
2 - 1 + 3 - 2 + 4 - 3 + .......
......... + (n +1 - n = 5039 al cancelar, los términos semejantes, se tendría:
- 1 + n + 1 = 5039
n + 1 = 5040
 n + 1 = 7  n = 6 Rpta.
Permutaciones.- Permutaciones de “n” elementos tomados en grupos de “n” son los diferentes grupos que se forman en el cual participando “n” elementos en cada grupo, estos se diferencian por el orden de colocación; matemáticamente:
Pn = n ! = n Ejemplo: Permutar “a”, “b” y “c”
La permutación de “a , b” y “c” es:
Pabc = abc; acb; bac; bca; cab; cba
P3 = 3 ! = 6 grupos; en cada grupo hay 3 elementos, que se diferencian por el orden de colocación.
Variaciones.- Variaciones de “n” elementos tomados en grupos de “k” en “k” son los diferentes grupos que se forman en el cual participando “k” elementos en cada grupo estos se diferencian al menos por un elemento o por el orden de colocación; matemáticamente:
Ejm: Variar “a”, “b” y “c” de 2 en 2.
Combinaciones.- Combinatoria de “n” elementos, tomados en grupo de “k” en “k” son los diferentes grupos que se forman, en el cual participando “k” elementos en cada grupo estos se diferencian al menos por un elemento, matemáticamente :
; k  n
Ejm.: Combinar, “a”, “b” y “c” de 2 en 2
3; grupos en el cual un grupo es diferente del otro por el orden de colocación.
1) 2) 3) 4) 5) 6) Es una fórmula que nos permite encontrar el desarrollo de un binomio elevado a cualquier exponente.
1. (a+b)1 =	a+b
2. (a+b)² = a² + 2ab +b²
3. (a+b)3 = a3 +3a²b+3ab²+b3
4. (a+b)4 = a4 + 4a3b +6a²b²+4ab3+b4
De estos desarrollos observamos :
1.	El desarrollo es un polinomio homogéneo, cuyo grado es igual al exponente del binomio.
2.	El número de términos que tiene el desarrollo es igual al exponente del binomio más uno.
3.	Los exponentes en el desarrollo varían consecutivamente desde el exponente del binomio hasta el expediente cero en forma descendente y ascendente con respecto a “a” y “b”.
4.	Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos en el desarrollo son iguales.
5.	En el desarrollo, cada coeficiente es igual al coeficiente anterior multiplicado por el exponente de “a” y dividido entre el exponente de “b” más uno.
6.	La suma de los coeficientes del desarrollo es igual al número 2 elevado al exponente del binomio.
7.	Si en el binomio, su signo central es negativo, los signos en el desarrollo, son alternados.
(a+b)n = an + nan-1 b + an-2b²+
+ an-3b3 + .........+bn
Coeficientes Binomiales.- Son los coeficientes de los términos del desarrollo de (a+b)n, donde n puede ser entero, fraccionario, positivo y/o negativo.
i.	En el binomio de newton si n es entero y positivo, su coeficiente binomial es:
ii.	Si n es fraccionario, su coeficiente binomial es :
De acuerdo a esto, se tendría.
(a+b)n = cn0 an + cn , an – 1 b + ..... cnn nb
Es un triángulo en el cual, un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que van sobre el en la línea anterior. Es práctico cuando los exponentes del binomio son pequeños.
Ejemplos : Para hallar los coeficientes de (a+b)6; su triángulo de Pascal sería:
(a + b)0 =	1	(a + b)1 =	1 1
(a + b)2 =	1 2 2 (a + b)3 = 1 3 3 1
(a + b)4 = 1 4 6 4 1
(a + b)5 =	1 5	10 10 5 1
(a + b)6 =	1 6 15 20 15 6 1
Dado el binomio:
(a + b)n = c an + c an-1 b + …. + C bn
t1 t2	TK+1
en su desarrollo vemos que:
Ejm. # 1.- Hallar el G.A. del T25 en el desarrollo de (x2 – y3)26
Datos	:	b = -y3
k+1 = 25  k = 24
; 0  k  26
 Grado absoluto = G.A. = 76	Rpta.
1.	Determinar “k” en el binomio (x+1)36, si los términos de lugares (k – 4) y k2 son iguales en sus coeficientes.
Rpta. K = 6
2.	Cuántos términos racionales hay en el desarrollo del binomio.
Rpta. = 6
3.	Simplificar:
4.	Hallar el G.A. del término central en el desarrollo del binomio:
(x3 + y4)22
Definición.- Es la operación inversa a la potenciación que consiste en hallar una cantidad algebraica “b” llamada raíz de forma que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad “a” llamado radicando o cantidad subradical.
Elemento de la radicación:
a) b) c) d) Nota.- i; en la unidad de los números imaginarios, tal que:
a) =  (Real)
b) =  (Imaginario)
c) = + (Real)
d) = - (Real)
Debemos tener en cuenta las siguientes propiedades en cuanto a radicación:
I.	Raíz de una potencia
II.	Raíz de una multiplicación de varios factores
III.	Raíz de una división
IV.	Raíz de raíz
Para extraer la raíz cuadrada de un polinomio, su máximo exponente (grado) debe ser par y se aplica las siguientes reglas:
1º.-	Se ordena y completa el polinomio respecto a una letra – ordenatriz, luego se agrupan los términos de “dos en dos” comenzando por la última cifra.
2º.- Se halla la raíz cuadrada del primer término y obtenemos el primer término de la raíz cuadrada del polinomio. Esta raíz se eleva al cuadrado, se cambia de signo y se suma al polinomio dado, eliminando así la primera columna.
3º.-	Se bajan los dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raíz y se divide el primer término de los bajados entre el duplo del primer término de la raíz. El cociente obtenido es el seguido término de la raíz. Este segundo término de la raíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer término de la raíz formándose un binomio; el binomio formado lo multiplicamos por el segundo término con signo cambiado, el producto se suma a los dos términos que se habían bajado.
4º.-	Se baja el siguiente grupo y se repite el paso 3 y se continua el procedimiento hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor que el grado de la raíz o un polinomio de resto nulo.
Ejm.: Hallar la raíz cuadrada del polinomio
P (x) = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1
En este problema tenemos como datos:
Pº : Grado de polinomio = 4
n : Índice de la raíz = 2
rº : : Grado de la raíz = = 2
Rº : Grado del resto
El grado del resto es siempre menor que el grado de la raíz y su máximo grado, uno menos que el grado de la raíz multiplicada por (n – 1)
Rº = (n – 1) rº - 1
Rº = (2 – 1) 3º - 1  Rº - 2º
Distribuyendo en términos tendríamos:
x2 – 2 x + 1
(x2) (-x2) = -x4
0	2x2
-4 x3 + 6x2	-4x3  2x2 = -2x
4 x3 - 4x2
(2x2 – 2x) (2x)
2x2 – 4x + 1	2x2  2x2 = 1
-2x2 + 4x - 1	(2x2 – 4x + 1) (-1)
 Vemos que:
Hallar la raíz cuadrada de los siguientes polinomios:
a)	P (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
b)	P (x) = 2x6 - 3x5 + 4x3 - 6x + 1
c)	P (x) = 2x8 - x7 + 6x6 - x4 – x2 - 2
d)	P (x) = 2x4 - x3 - 3x2 + 6x – 3
e)	P (x) = x10 + 2x5 + x2 + 2x + 1
Las radicales dobles son expresiones algebraicas que adoptan la siguiente forma:
a) b) c) d) Las radicales dobles se pueden descomponer en la suma o diferencia de dos radicales simples.
Deducción de la fórmula.
De aquí obtenemos el sistema cuyas incógnitas son “x” e “y”
i)	Cálculo de “x” :
; elevando al cuadrado
haciendo : C = ......................... (3)
ii)	Cálculo de “y”
Sustituyendo los valores de “x” e “y” en ... (1) y ... (2), obtenemos las fórmulas de transformación de radicales dobles en radicales simples; sintetizando:
Donde: C = y A2 – B es un cuadrado perfecto.
Pasando 2 al radical interno (pasa como 4)
........... ()
luego en ..... (1)
 E = Rpta.
Si el radical doble se puede expresar en la forma: ; su transformación a radicales simples se obtiene por inspección:
en esta transformación debe tenerse en cuenta que:
1º.- r1  r2
2º.-	r1 + r2 = A
3º.-	r1 . r2 = B
Buscamos dos números “r1” y “r2” cuya suma sea 10 y producto sea 21.
Estos números son 7 y 3, es decir r1 = 7 y r2 = 3, con lo cual se tendría:
01.- Calcular el valor de:
02.- Hallar el valor de:
03.- Hallar la raíz cuadrada de:
04. Qué radical doble dio origen a los radicales simples
Transformación en radicales simples para radicales de la forma
....................... (I)
....................... (II)
Si (I) y (II) se puede expresar en las formas:
donde: A = x + y + z
entonces se tendría que:
Ejemplo # 1: Expresar en radicales simples:
Como:	60 = 4 x 15
84 = 4 x 21
140	= 4 x 35
donde: 3 + 5 + 7 = 15, entonces la transformación a radicales simples es:
= Rpta.
Descomposición en radicales simples para radicales de la forma
La transformación se puede expresar en las formas:
= x + ............. (1)
= x - ............. (2)
Para determinar “x” e “y” utilizamos las relaciones
C = ................... ()
A = 4x3 – 3x C .............. (ß)
y = x2 – C	................ ()
C, se obtiene directamente en () y se reemplaza en (ß)
En (ß) se forma la ecuación cúbica en “x”, la cual se resuelve por tanteos, luego el valor de “x” se reemplaza en () y se obtiene el valor de “y”.
Ejemplo: Hablar la raíz cúbica de: 10 + 6 Solución
Expresando bajo el radical cúbico, se tendría:
= A = 10 y B = 108  C = C = -2
A = 4x3 – 3x c  10 = 4x3 – 3x (-2)
2x3 + 3x – 5 = 0: por inspección vemos que x = 1
Luego en : y = x2 – c
y = 1 – (-2)
 Es la operación que consiste en transformar una expresión algebraica irracional en otra parcialmente racional.
Fracción irracional.- Se llama así a una fracción, cuando el denominador necesariamente es irracional.
Factor racionalizante.- Es una expresión irracional que multiplicado por la parte irracional de la fracción irracional la transforma en racional.
I.	Cuando el denominador irracional es un monomio.
; m  n
En este caso el factor racionalizante multiplica al numerador y denominador y esta dado por:
fr = Entonces:
F = Solución:
El factor racionalizante es: fr = con lo cual:
F = F = II.	Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, de las siguientes formas:
En este caso los factores racionalizantes respectivos son:
f1 = f2 = f3 = Recordemos que:
( ) ( ) = a – b
Ejm. Racionalizar
Multiplicando por el factor racionalizante:
Racionalizando nuevamente:
R = Rpta.
III.	Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio con radicales cúbicos de las siguientes formas:
F1 = F2 = En este caso los factores racionalizantes son:
f1 = f2 = Debe tenerse en cuenta que:
Multiplicando por el factor racionalizante el numerador y denominador, se tendría:
f = f = Rpta.
IV.	Cuando el denominador es un binomio o polinomio de las formas:
a) b)	Debemos recordar:
1) Para todo valor de n :
2) Para n impar:
3) Para n par:
Uno de los factores es el factor racionalizante del otro.
Ejm.: Racionalizar F = Solución
Multiplicando el numerador, denominador por el factor racionalizante, obtenemos:
F = Si en una fracción el numerador y denominador, o ambos se hacen cero o infinito, se obtienen las siguientes formas determinadas.
1) 4) 2) 5) 3) 6) Nota.- La expresión:
; se lee: Límite de la fracción cuando “x” tiende a cero es igual a infinito ().
Formas Indeterminadas.- Son aquellas expresiones que adoptan las formas:
Verdadero valor.- Es el valor que toma la forma indeterminada después de levantar la indeterminación:
Dada la fracción ; tal que . Esto nos indica que el numerados y denominador de la fracción contienen el factor (x – a) que causa la indeterminación.
Para encontrar el factor (x –a) podemos aplicar cualquiera de los siguientes criterios, según convengan:
1.	Factorización por aspa simple: Si P (x) y Q(x) son expresiones racionales de segundo grado.
2.	Regla se Ruffini:
Si P(x) y Q(x) son expresiones racionales de grado mayor o igual que tres.
3.	Cocientes notables: Si P(x) y Q(x) son expresiones racionales binomias.
4.	Racionalización
Si P(x) y Q(x) son expresiones irracionales.
5.	Derivación (Regla de L’Hospital)
Se deriva P(x) y Q(x) en forma independiente.
Ejemplo # 1.- Hallar el verdadero valor de:
cuando x = 1 ó Solución:
Cuando x  1  E = (Ind.)
Para determinar su verdadero valor, levantamos la indeterminación.
1º.- mcm (4, 5, 15, 2, 3) = 60 (índices)
= t  x = t60 : x  1  t  1; se tendría:
E = (Indeterminado)
Por cocientes notables:
 Desde que (Ind.)
Para levantar la indeterminación factorizamos en el numerador y denominador “x” al máximo exponente; después de simplificar, calculamos el límite cuando “x” tiende al infinito.
En forma práctica debemos considerar los siguientes aspectos, respecto a los grados absolutos de P8x) y Q(x).
1º.- Si : Pº (x)  Qº (x)
 2º.- Si : Pº (x) = Qº (x)
 3º.- Si : Pº (x)  Qº (x)
 Ejemplo.- calcular
Tomando el límite (x  )
Levantando la indeterminación, factorizando x con su mayor exponente.
Cuando : x  
Debemos considerar dos casos:
1º.- Si E(x) es una expresión algebraica irracional que toma la forma de ( - ) cuando x tiende al infinito ().
E(x) se multiplica y divide por su factor racionalizante y se lleva a la forma .
Luego de aquí podemos aplicar cualquiera de las reglas prácticas vistas anteriormente. 2º.- Si E(x) es racional y toma la forma indeterminada ( - ) cuando xa Para levantar la indeterminación se efectúa las operaciones indicadas y después de simplificar hallamos Lim E(x) xa
Ejemplo.- calcular
Cuando x    E =  -  (Ind.)
Para levantar la indeterminación multiplicación el numerador y denominador que vale 1 por factor racionalizante, obtenido:
Cuando: x    E = (Ind.)
Factorizando “x” en el numerador y denominador:
Cuando: x  
racionalizando, obtenemos el límite Rpta.

References: RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución