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Timestamp: 2017-06-25 08:44:49+00:00

Document:
Ecuaciones 3º eso
UNIDAD DIDÁCTICA:ECUACIONES
Unidad realizada por el Seminario de Matemáticas
IDEAS PREVIAS, DETECCIÓN DE ERRORES
ACTIVIDADES (Práctica nº 2)
1. INTRODUCCIÓN A. INTRODUCCIÓN GENERAL
La enseñanza y el aprendizaje del álgebra presentan una dificultad intrínseca a la propia materia; esta afirmación se ve avalada por la tardía aparición de ésta en el panorama general de las matemáticas (tardía en comparación
con la geometría o la aritmética por ejemplo).
Hemos constatado una serie de puntos que consideramos básicos para el aprendizaje del álgebra:
Considerar que el aprendizaje del álgebra pasa necesariamente por el
de un lenguaje nuevo y a la vez artificial y arbitrario. De hecho, muchos de los elementos y símbolos algebraicos tienen una procedencia y una evolución histórica
que, si es conocida, puede facilitar su asimilación. Un ejemplo de esto podría
ser el signo"+" que de tanto ser manejado aparece como la expresión "natural"
de la suma, procede de la "t" de la palabra latina "et".
Otro de ellos es el de la comprensión lectora. A veces cuando
proponemos un problema a los alumnos y éstos no saben resolverlo apropiadamente
no advertimos que la verdadera causa de esto es que el alumno no ha comprendido
realmente lo que se dice en lenguaje ordinario.
Relacionado con lo anterior, está el hecho de que el significado de los términos,
no es el mismo en el contexto algebraico que en el ordinario, que es usualmente
más ambiguo. Es importante por lo tanto que el alumno adquiera el hábito de una
mayor precisión en el lenguaje. Un cuarto punto que consideramos fundamental en cuanto a la metodología
es la resolución previa de problemas utilizando métodos aritmeticos.
A la aritmética se la ha llamado con fundamento, "la gran olvidada".Este
calificativo resume toda una actitud existente por parte de muchos enseñantes.Se desprecian los métodos aritméticos cosiderándolos inferiores, y en consecuencia, no se trabajan previamente lo suficiente éstos métodos
Enlazando con el punto anterior, sería importante evitar el empleo abusivo
de los métodos algebraicos por parte del alumno. La experiencia nos enseña que cuando el alumno "cree"
conocer las técnicas básicas las utiliza indiscriminadamente sin analizar que por otros métodos el problema resultaría más fácil y menos laborioso en su resolución.
B. INTRODUCCIÓN ESPECÍFICA
Aún cuando algunos de los problema que proponemos pueden resolverse
utilizando sistemas de ecuaciones, intentaremos que el alumno los resuelva utilizando
una sola incógnita, aúnqe por vicio adquirido tienda a introducir varias, método que en general le pude resultar más fácil a la hora de plantear el problema,
pero no a la de resolverlo, pues generalmente desconoce el estudio de la compatibilidad de sistemas.
En las actividades se proponen ejercicios que dan lugar a la discusión de la ecuación de primer grado, con ejemplos concretos de cada caso posible (problema
sin solución, con infinitas soluciones y con solución única), y su interpretación
en el problema planteado.
A la hora de resolver un porblema algebraico, es aconsejable que el alumno
siga ciertas pautas. Un esquema posible a seguir es el siguiente:
Leer y comprender el enunciado
Designar la incógnita
Discusión e interpretación de los resultados
Ante resultados no satisfactorios, es decir, que el alumno no llegue a la solución
o bien ésta no cuadre, se podría plantear una serie de interrogantes, como
¿He utilizado todos los datos?
¿He planteado bien la ecuación?
¿Está bien elegida la incógnita?
¿La ecuación está bien resuelta?
2. IDEAS PREVIAS, DETECCIÓN DE ERRORES
Para iniciar el estudio de esta unidad, los alumnos deberán conocer:
Procedimientos de ordenación y representación de los números en la recta numérica.
Método de representación y de lectura de puntos en ejes coordenados.
Proporciones y escalas.
Números racionales. Operaciones elementales.
Números racionales en forma decimal
Manejo de algunas tablas sencillas
Modelo de la Prueba Inicial
Con la prueba inicial a realizar por nuestros alumnos, al comenzar a impartir
esta unidad pretendemos: Conocer las ideas que tienen nuestros alumnos sobre las ecuaciones.
Detectar los errores más comunes cometidos por los alumnos
Detectar vicios adquiridos durante los cursos anteriores
Identificar a los alumnos más capacidados y a los alumnos que
necesiten algún tipo de refuerzo educativo
B. ERRORES DETECTADOS
Una vez realizada y corregida la prueba inicial hemos observado los siguientes vicios y errores:
No identificar claramente las incógnitas y prescinden de las unidades.
Resuelven algunos problemas por otros métodos (de cabeza, cuenta
la vieja, etc.,)y luego se esfuerzan en buscar una ecuación cuya solución coincida con la encontrada.
La segunda pregunta la resuelven muy pocos alumnos, y no de la forma esperada sino por métodos muy originales (asignación de números arbitrarios a cada símbolo, tachando símbolos en los dos platillos, por pesos, etc.,).Esto nos ha permitido detectar alumnos con recursos poco habituales pero efectivos para la resolución.
En el tercer ejercicio hemos observado que gran parte de los alumnos no saben trabajar con números enteros consecutivos cuando hay incónitas. En los apartados c y d, hay una trasposición en algunas operaciones como "el triple de..", "la tercera parte de...".es decir, multiplican el número más grande e igualan y al revés.
El cuarto ejercicio nos ha permitido conocer algunos alumnos que no saben lo que es una ecuación.
En el quinto, errores quitando los denominadores y el signo menos delante de la fracción.
En el sexto, igualan el precio de ambas entradas y resuelven la ecuación con una incógnita.
En el último ejercicio no entienden el enunciado y plantean mal la ecuación. Cuando la resuelven obtienen resultados negativos o fraccionarios y los dan por buenos, restan al revés (suponemos que es una mala comprensión, lectura o interpretación del enunciado). Permite discriminar alumnos con más recursos. 3. TEMPORALIZACIÓN
El tiempo previsto en la programación de la asignatura fue de 3 semanas aproximadamente, después en la práctica fue de 4 semanas motivado por
la gran cantidad de errores detectados en la prueba inicial.
Teniendo en cuenta los objetivos programados, en esta unidad al finalizar
el tema, pretendemos que los alumnos estén capacitados para:
Conocer el lenguaje algebraico para representar, resolver situaciones de la vida cotidiana e interpretar las soluciones.
Trasladar al lenguaje simbólico frases sencillas de contenido
numérico y viceversa.
Reconocer expresiones algebraicas.
Plantear y resolver ecuaciones, utilizando en cada caso el método que mejor convenga.
Simplificar expresiones y fórmulas mediante las reglas de uso de
los paréntesis y de la jeraquía de las operaciones.
Reconocer un valor dado como solución de una ecuación.
Clasificar las ecuaciones según el número de soluciones.
Reconocer dos ecuaciones equivalentes.
Utilizar las fórmulas para calcular un valor en función de otros valores dados.
Conocer algunos hechos históricos del desarrollo del álgebra, en particular de las ecuaciones de primer grado.
-El lenguaje que se utiliza en el álgebra
-¿Qué es una ecuación? ¿Qué es una incógnita?¿Qué es la solución de una ecuación?¿Qué son ecuaciones equivalentes?
-¿Cómo se plantean y resuelven algunas ecuaciones?
-¿Cómo agrupar términos y cómo operar con los paréntesis de las expresiones algebraicas?
-Usos de fórmulas sencillas
-Reconocimiento de expresiones algebraicas
-Traslación al lenguaje simbólico de frases sencillas de contenido numérico
-Utilización de algunos métodos de resolución de problemas
-Reconocimiento de un valor dado como solución de una ecuación
-Reconocimiento y escritura de ecuaciones distintas que tengan la misma solución
-Utilización de la jerarquía de las operacioes y de las reglas de uso de los paréntesis en la simplificación de ecuaciones y de fórmulas
-Utilización de los métodos aritméticos y algebraicos en la
resolución de un mismo problema, escogiendo el método más sencillo en cada situación
-Reconocimiento de la importancia que ha tenido el desarrollo
histórico del álgebra hasta la actualidad
-Incorporación al cálculo de los símbolos algebraicos para resumir e interpretar situaciones concretas
-Valoración de la precisión, la simplicidad y la utilidad del
lenguaje algebraico para representar, comunicar o resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana
-Actitud positiva de los alumnos hacia las matemáticas, con el fin de acabar con la mala fama de esta asignatura
Las características metodológicas con las que queremos desarrollar nuestro trabajo se fundamentan en tres principios básicos:
Enseñanza participativa en la que el aprendizaje dede de ser fruto de una intensa actividad porparte del alumno, basada en la observación, el planteamiento de preguntas, la formulación de hipótesis, la relación con los conocimiento previos, los intercambios de puntos de vista, etc.
El alumno ha de ser el protagonista del proceso de aprendizaje. La construcción del conocimiento matemático es inseparable de la intuición y de las aproximaciones inductivas impuestas por la realización de tareas concretas (en nuestro caso resolución de problemas), próximas a los conocimentos del alumno.
El profesor ha de actuar como elemento canalizador y dinamizador del proceso, planteando una amplia gama de situaciones, utilizando todos los recursos disponibles, en diferentes contextos que ayuden a los alumnos y alumnas a avanzar de lo concreto a lo abstracto.
Se trataría por lo tanto, de una metodología activa en la que la clase se organizará, dependiendo de la actividad, en parejas o pequeños grupos.
Se comenzará por distribuir a los alumnos las actividades fotocopiadas. Se les concederá tiempo para que lean individualmente la actividad y después se le pedirá a la clase que discuta y experimente la situación en pequeños grupos hasta que lleguen a un consenso.
Entonces se animará a cada alumno individualmente a escribir una descripción clara en su cuaderno de clase, enfatizando la necesidad de que escriban la explicación de cómo han llegado a este resultado.
Mientras los alumnos trabajan en esto, el profesor irá recorriendo la clase,
escuchándolos y pidiéndoles que expliquen su razonamiento, pero en esta fase es mejor no ayudarles con ninguna respuesta para no estropear la discusión de la clase.
Al finalizar la clase o al finalizar la actividad se les pedirá a los representantes de los distintos grupos que resuelvan las actividades planteadas, indicando cada no como ha llegado su grupo a esas conclusiones. Se les invitará a los demás alumnos a hacer comentarios a favor o en contra de las decisiones tomadas por sus compañeros exponiendo, asímimismo, sus razonamientos.
Al final de todo será el momento en que el profesor intervenga resumiendo las conclusiones sacadas por los alumnos, haciéndoles pensar en determinadas cuestiones que hayan aparecido, explicando conceptos, definiciones, sistematizando los resultados, resolviendo dudas y atendiendo las dificultades que fueran surgiendo.
De este modo, para el alumno la clase será una actividad creativa, puesto que "hará" matemáticas e intentará descubrir por sí mismo la utilidad del álgebra.
En este sentido hemos procurado, en la medida de lo posible, que el
lenguaje utilizado en las actividades fuese cercano al mundo del
El trabajo individual o en grupo deberá permitir que cada alumno trabaje de acuerdo con sus capacidades y que favorezca la colaboración
entre los compañeros, siendo, a veces, más efectiva la explicación de
un compañero que la del profesor.
La selección de las actividades la hemos hecho huyendo, salvo en los
casos en que la adquisición de una destreza de cálculo o de un procedimiento concreto así lo aconsejen, de los ejercicios rutinarios
de aplicación inmediata de fórmulas o algoritmos.
En este sentido hemos elegido actividades en diferentes contextos buscando la motivación y la proximidad a los conocimientos previos
y a las aficiones de los alumnos.
El abanico de activiades de esta unidad es bastante amplio e incluye:
Ejercicios resueltos para la adquisición de destrezas
Actividades para la construcción y comprensión de
Actividades abiertas de investigación, ajustadas a
los niveles cognitivos de los alumnos.
Actividades que aborden desde un punto de vista matemático
situaciones que permitan realizar debates sobre los temas
tranversales como educación ambiental, Educación del consumidor,
Educación para la salud, etc...
El tratamiento a la diversidad debe producirse
desde el momento de la detección de los distintos niveles de conocimentos y actitudes de los alumnos, en nuestro caso, una vez realizada la prueba inicial. Por ello cada profesor diseñará itinerarios
de aprendizaje diversificados con la inclusión de actividades de
refuerzo que, abordando los mismos conocimientos, presentan el objeto
a estudiar situándolo en contextos diferentes y con distintos
niveles de dificultad. En este sentido ni todos los alumnos han de realizar todas las actividades ni éstas han de ser siempre
las mismas para todos.
En las actividades propuestas se seleccionarán
actividades de refuerzo y actividades de ampliación para aquellos alumnos que hayamos detectado que las necesitan.
8. RELACIÓN CON OTROS BLOQUES
Problemas numéricos susceptibles de ser resueltos
mediante el planteamiento de una ecuación.
Valores que puede tomar la incógnita
Utilización de la calculadora para la resolución
de una ecuación por un método iterativo
Ecuaciones de una recta, posiciones relativas de puntos y rectas.
Fórmulas para el cálculo de áreas y volúmenes.
Problemas geométricos que puedan expresarse mediante
una ecuación, por ejemplo, el Teorema de Pitágoras, Teorema del
cateto, media proporcional, Teorema de la altura, etc.
Problemas geométricos que puedan dar lugar a tratamientos
Escritura de la fórmula (ecuación) de las
dependencias funcionales que sean posibles.
Comprobación algebraica de problemas resueltos
por métodos gráficos.
Puntos de corte con los ejes cartesianos de algunas
funciones de primer grado o constantes.
Cálculo de la tabla de valores para representar
gráficamente una función de primer grado.
Ecuación de la recta de regresión.
Manejo de tablas y gráficos estadísticos.
Utilización de la fórmula de Laplace para sucesos
equiprobables.
Resolución de algunos problemas de azar susceptible
de ser tratados mediante una ecuación.
Como para cualquiera otra unidad de contenidos, partimos de algunos
puntos básicos que podemos, sintetizando quizá excesivamente, resumir
El aula es un lugar donde se establecen fuertes
relaciones personales entre el profesor y los alumnos
que motivan el aprendizaje o provocan una actitud de rechazo hacia él.
La Evaluación es el área del Currículo que más condicina
el resto. Es donde más se refleja la coherencia de un
proyecto y los alumnos son los primeros en detectar y
rechazar cualquier incoherencia.
En el proceso de evaluación hay que tener en cuenta
los resultados, pero también las condiciones iniciales, las
estrategias puestas en marcha, los procesos desencadenados,
los rítmos de consecución, la proporción rendimiento/esfuerzo,etc.
En la práctica habitual docente, la evaluación debe de estar
centrada en resaltar valores y logros más que en corregir
(=enmendar lo errado) deficiencias.
Es muy importante que desde el comienzo del curso,
el alumno conozca el sistema de evaluación que el profesor
va a seguir y que, a lo largo del año académico, experimente
que su participación en el desarrollo diario de la clase
tiene una repercusión afectiva sobre la calificación en
cada uno de los boletines de notas que recibe que, en definitiva, es lo que les importa.
Por último no nos debemos de olvidar de la obligación
que tiene el profesor de evaluar el proceso de enseñanza
sobre todo en los siguientes aspectos como la adecuación
de las actividades a los objetivos propuestos, el desarrollo
de las actividades de aprendizaje, las correcciones y mejoras
introducidas, los materiales utilizados, etc..
La evaluación se realizará de forma sistemática y continua, teniendo en cuenta:
Las obsevaciones realizadas durante el desarrollo de las clases
Los trabajos y actividades realizadas en grupo o individualmete.
Las pruebas escritas realizadas a lo largo del desarrollo de la unidad.
Observación del cuaderno del alumno
Como puntos de referencia para la evaluación de los objetivos anteriormente
programados se tomarán como referencia los criterios de evaluación siguentes:
Utilizar adecuadamente la jerarquía de las operaciones
y los paréntesis en la resolución de problemas.
Resolver problemas referidos a situaciones reales por medio de la simbolización de las relaciones existentes y de la resolución de ecuaciones de primer grado por el método
que más convenga en cada caso.
Usar la calculadora para aproximar convenientemente por defecto o por exceso la solución no entera de algunas ecuaciones.
Elaborar y manejar representaciones (gráficas, figuras geométricas,etc,..) que faciliten el planteamiento algebraico
Utilizar distintos procedimentos (aritmético y algebraico) en la resolución de un mismo problema y argumentar la conveniencia del más adecuado en cada caso.
Los recursos disponibles en el Seminario de Matemáticas para el desarrollo
de esta unidad son:
Grupo Azarquiel:"Ideas para enseñar Álgebra".Síntesis nº 33
G.Polya:"Cómo resolver y plantear problemas". Trillas Socas, M.M., y otros:"Iniaciación al Álgebra"
Revistas SUMA,EPSILON Y LA TORTUGA DE AQUILES.
Materiales manipulables Calculadoras.
Prensa diaria recibida en el Centro. Videos didácticos Serie Ojo matemático. Programa 2: Ecuaciones y Sistemas Direcciones de internet ALGEBRA
HISTORIA MATEMATICAS RECREATIVAS 1
MATEMATICAS RECREATIVAS 2 FIN

References: resolución 
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