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Timestamp: 2017-09-22 19:34:19+00:00

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TEORÍA MATEMÁTICA DEL CONTROL: MOTOR DEL DESARROLLO CIENTÍFICO, TECNOLÓGICO Y SOCIAL - PDF
TEORÍA MATEMÁTICA DEL CONTROL: MOTOR DEL DESARROLLO CIENTÍFICO, TECNOLÓGICO Y SOCIAL
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Virginia Vidal Espinoza
1 TEORÍA MATEMÁTICA DEL CONTROL: MOTOR DEL DESARROLLO CIENTÍFICO, TECNOLÓGICO Y SOCIAL Enrique ZUAZUA Departamento de Matemática Aplicada Universidad Complutense Madrid. Spain Resumen En esta memoria abordamos algunos aspectos de la Teoría Matemática del Control, comenzando con algunas consideraciones históricas generales sobre sus orígenes y evolución. Más adelante, describimos algunos elementos centrales de la Teoría y diversos avances recientes que se caracterizan tanto por su interés Matemático como por su transcendencia desde un punto de vista social, tecnológico e industrial. Por último mencionamos algunos problemas abiertos y los retos que se plantean en esta disciplina para un futuro inmediato. 1 Introducción S. Bennet inicia su libro [8] dedicado a la historia de la Ingeniería del Control con la siguiente cita de Aristóteles del capítulo 3 del primer volumen de Política :... si cada instrumento pudiera llevar a cabo su propia función, respondiendo o anticipándose al trabajo de otros... si la lanzadera tejiese y la púa tocase el arpa sin una mano que los guiara, los patronos no necesitarían ni sirvientes ni capataces. Esta idea, expresada con enorme acierto por Aristóteles, refleja de manera transparente lo que ha sido el motor de la Ingeniería del Control y de su Teoría Matemática: la automatización de los procesos para la liberación y mejora de la calidad de vida del ser humano. Para todos nosotros la palabra control implica actuación. Es verdad también que, a veces, en nuestra sociedad, la palabra control puede ser percibida con un matiz un tanto negativo, en la medida en que puede asociarse a falta de libertad. Pero no es éste el sentido en el que ha de entenderse en el contexto de la Teoría del Control. En este caso la palabra control refleja el esfuerzo humano para intervenir en el medio que le rodea con vistas a garantizar su supervivencia y una permanente mejora en la calidad de vida. Como ocurre en muchas disciplinas, ésta, la Teoría del Control, existía desde mucho antes de que se le pusiera nombre. En efecto, en el mundo de lo viviente, los organismos están dotados de mecanismos de regulación que garantizan el mantenimiento de las variables esenciales.
2 La esencia de la Teoría del Control está inspirada en algunas nociones que a todos nos resultan familiares. Una de ellas es la de feedback. Este término se incorporó a lo que hoy conocemos como Teoría del Control en los años 20 por los ingenieros del Bell Telephone Laboratory. La traducción del término feedback al castellano produce palabras mucho más largas tales como realimentación o retroalimentación. Pero, como decíamos, este término se adopta en los años 20 para la Teoría del Control pero no se acuña en esta disciplina. Se trataba de un concepto ya consolidado en otras áreas tales como la Economía Política. Tal y como se menciona en 1907 en [34], por ejemplo: Es un hecho curioso que, mientras que los economistas políticos reconocen que para un correcto funcionamiento de la ley de la oferta y la demanda ha de haber fluctuaciones, ésto no ha sido reconocido por los mecánicos en relación a la máquina de vapor. El objetivo de los economistas no es suprimir estas fluctuaciones completamente (puesto que entonces se suprimiría también el principio de la autorregulación), sino disminuirlas lo más posible, permientiéndoles que sean lo bastante grandes como para mantener suficiente poder regulador. Esta frase desvela un principio que es válido en muchos aspectos de la vida diaria. Por ejemplo: cuando, yendo a velocidad alta, deseamos frenar un vehículo, no lo haremos de una sola vez sino que el frenado habrá de ejercerse de manera intermitente para no perder el control del vehículo. En el ámbito de las relaciones humanas no cabe tampoco ninguna duda que insistir continuada y permanentemente sobre lo mismo no es necesariamente la mejor manera de convencer a nadie de nada. En el control de sistemas ocurre exactamente lo mismo. De alguna manera, hemos de renunciar a la regla básica que todos hemos aceptado y hasta considerado obvia en nuestra concepción euclideana del universo y asumir que, en la práctica, la distancia más corta entre dos puntos no es necesariamente la línea recta. Para adentrarnos en la teoría del control hemos pues de aceptar que, para controlar los sistemas que surgen en la naturaleza o en el desarrollo tecnológico, frecuentemente muy complejos y con un gran número de parámetros, no se trata simplemente de forzar el sistema para conducirlo de manera monótona e ininterrumpida al objetivo buscado sino que, a menudo, hemos primero de alejarnos del objetivo buscado en armonía con el sistema para después alcanzar el objetivo con un esfuerzo adecuado pero no excesivo. La Naturaleza nos ofrece ejemplos difíciles de mejorar en este terreno. Basta simplemente observar el ritual del depredador que acecha a su presa. Hoy en día la noción de feedback es también común en Biología, Psicología, etc. El principio de causa-efecto ha dejado de entenderse como un fenómeno estático y se aborda ahora desde una perspectiva dinámica a causa de los mecanismos de feedback. Estamos frente al principio causa-efecto-causa. Otra de las nociones que subyace en todo lo que hoy puede considerarse parte del ámbito de la Teoría del Control es la de optimización. La optimización es una técnica que tiene como objetivo aumentar o mejorar el valor de una variable que, en la práctica, puede tomar las formas más variadas: temperatura, flujo de aire, velocidad, rentabilidad, beneficio, información, 2
3 capacidad de destrucción, etc. Las técnicas de optimización son tan variadas que resulta imposible hacer una presentación global y unificada de todas ellas. Por otra parte, la tecnología informática y de la computación han jugado un papel crítico en las aplicaciones de las técnicas de optimización, tal y como ocurre en el control óptimo de cohetes y proyectiles. En efecto, en vista de la complejidad de los sistemas a los que la Teoría del Control ha de hacer en la actualidad, es imposible realizar una implementación eficiente los métodos de control, sin previamente realizar un riguroso trabajo de simulación numérica. Dentro del amplio abanico de teorías, técnicas y problemas que podemos enmarcar en el contexto de la optimización cabe mencionar la teoría de juegos, la programación lineal y nolineal, la teoría del control, etc. Hemos ya mencionado las dos grandes ideas que han servido de inspiración y de motor a la Teoría del Control: el mecanismo de feedback y la optimización. Otro de los términos ligados a la Teoría del Control y de la Optimización es el de cibernética, propuesto por el físico francés A.-M Ampère en el siglo XIX en su clasificación de las Ciencias para referirse a la aún no existente ciencia del control de los procesos. Este término fue rápidamente olvidado hasta que en 1948 el matemático americano Norbert Wiener lo adoptó como título de su libro. Wiener definió la cibernética como la ciencia del control y de la comunicación en animales y máquinas. Esta definición relaciona la cibernética con la Teoría del Control y la Fisiología del sistema nervioso. El sueño de Wiener estaba basado en la idea de que surgiría una creciente sinergia entre el ser humano y la máquina que abarcaría tanto la Matemática como la Psicología: La máquina al servicio del ser humano, imitando al ser humano. Hace unas décadas todo esto no dejaba de parecer un sueño ingenuo. Sin embargo, hoy la situación es completamente distinta pues los desarrollos en la tecnología de la computación han hecho posible un sinfin de nuevas aplicaciones, en robótica, visión por ordenador, etc. El artículo [75] titulado de manera muy elocuente Los humanoides ya están aquí da buena cuenta de estos avances. Todo esto plantea cuestiones nuevas y complejas, con enorme transcendencia ética, y que sin duda condicionarán el devenir de la Ciencia en los próximos años : podemos inspirarnos en los sistemas de la biología para crear máquinas mejores? El comportamiento animal es un criterio para juzgar la eficacia de las máquinas? A medida que nos vayamos adentrando en la Teoría del Control y consultemos las referencias más relevantes veremos que, con fecuencia, también se utiliza el término de Ingeniería del Control. Alguno puede preguntarse si se trata de un lapsus o si ésta última y lo que se denomina Teoría Matemática del Control son disciplinas distintas o incluso concurrentes. Con el objeto de explicar la existencia y utilización de esos dos términos conviene remontarse por un momento a los orígenes de esta historia. Ya en los trabajos de Ch. Huygens y R. Hooke sobre la oscilación del péndulo a finales del siglo XVII, cuyo objetivo último era una medición precisa del tiempo, surgen elementos de lo que hoy conocemos como la Teoría del Control. El objetivo entonces era proporcionar instrumentos que sirviesen a la navegación y, en particular, al control del posicionamiento de los navíos. Estos trabajos fueron después adaptados a la regulación de la velocidad en los molinos de viento. La idea central fue la de utilizar un sistema mecánico de bolas girando en torno a un eje cuya 3
4 velocidad de rotación fuese proporcional a la del molino. A medida que la velocidad de giro aumentaba, éstas se alejaban del eje, accionando así las alas del molino a través de mecanismos ingeniosos. James Watt adaptó este tipo de mecanismos a la máquina de vapor, dando así un enorme impulso a la revolución industrial. En este caso, a medida que la velocidad de las bolas aumentaba, las válvulas se abrían, dejando escapar el vapor. Al disminuir la presión de la caldera, la velocidad disminuía. El problema que se planetó fue entonces el de mantener constante la velocidad de la máquina. El astrónomo inglés Georges Airy fue el primero en intentar realizar un análisis del regulador de bolas de Watt. Pero fue sólo en 1868 que el físico escocés James Clerk Maxwell realizó el primer análisis matemático convincente de la máquina de vapor, explicó algunos de los comportamientos un tanto erráticos que se observaban en las máquinas de entonces y propuso diversos mecanismos de control. Buscando más atrás en la Historia llegaríamos a la conclusión de que también en el diseño de los acueductos romanos, en los que se usaba un sistema de válvulas para mantener un nivel de agua constante, había elementos propios de la Teoría del Control. Hay quien cree que el control de los sistemas de irrigación era un arte bien dominado en Mesopotamia 2000 años A. C. En el antiguo Egipto había trabajadores que se denominaban harpenodaptai o estiradores de cuerdas que estaban especializados en estirar cuerdas para producir largos segmentos rectos. Esto se considera como una evidencia de que ya por entonces se había comprendido no sólo que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta (lo cual podría considerarse el problema más clásico de la Optimización y del Cálculo de Variaciones) sino que éste es equivalente a su versión dual: entre todos los caminos de longitud dada, encontrar el que maximiza la distancia entre los dos extremos. Obviamente la respuesta es nuevamente la línea recta. El trabajo de los harpenodaptai consistía precisamente en producir estas curvas (rectas) maximales. A través de la revolución industrial, las ideas propias de lo que hoy se denomina Teoría del Control fueron haciéndose más y más presentes. Ya en los años 20 los empresarios e ingenieros preferían el procesamiento continuo frente al más tradicional, por lotes, y cuando era posible, utilizaban el control semi-automático o automático. De este modo la Ingeniería del Control germinó y fue comenzando a ser reconocida como una disciplina. En los años 30 se comenzaba ya a asumir que la Ingeniería del Control formaba parte importante del entramado que supone la Ingeniería de Sistemas Complejos. Durante los años 30 se produjo un importante avance en todo lo relacionado con el control automático y las técnicas de diseño y análisis. Las aplicaciones eran numerosas: amplificadores en sistemas telefónicos, el sistema de distribución de plantas eléctricas, estabilización de aviones, mecanismos eléctricos para la industria papelera, química, del petróleo y del acero, etc. De este modo fueron surgiendo gradualmente conceptos sólidos y para finales de esa década se contaba ya con dos métodos emergentes pero diferenciados: un primer método basado en la utilización de ecuaciones diferenciales y un método frecuencial basado en el análisis de la relación entre la amplitud y fase de la entrada ( input ) y salida ( output ). Ya para entonces las instituciones comenzaban a tomar conciencia de la relevancia de la disciplina del control automático. Era el caso, por ejemplo, de la ASME (Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos) de EEUU y de la IEE (Institución de Ingenieros Eléctricos) Británica. Durante la Segunda Guerra Mundial y los años que la siguieron, los ingenieros y científicos 4
5 tuvieron que afinar su experiencia en los mecanismos de control de seguimiento de aviones y de los proyectiles antiaéreos y en el diseño de baterías antiaéreas. Esto supuso un desarrollo aún más importante de los métodos frecuenciales. A partir de 1960 todo lo que acabamos de describir comenzó a conocerse como la Teoría del Control clásica. En la década de los 60 comienza una nueva era en la que se pretende hacer frente a algo que se había puesto de manifiesto durante la guerra: los modelos utilizados hasta ese momento eran inadecuados para representar la complejidad del mundo real puesto que los sistemas reales son no-lineales y están sujetos frecuentemente a perturbaciones ruidosas, no deterministas. Las contribuciones de R. Bellman (programación dinámica), de R. Kalman (filtrado y análisis algebraico de problemas de control) en los Estados Unidos y de L. Pontryagin (Principio del Máximo en el control óptimo no-lineal) en la Unión Soviética establecieron los pilares fundamentales de la investigación en Teoría del Control de las últimas décadas. Hemos comentado aquí los orígenes y algunos hitos históricos de la Teoría del Control que justifican plenamente su reconocimiento como disciplina con nombre propio y su denominación de Ingeniería del Control. Pero cualquier persona familiarizada con las Matemáticas habrá adivinado entre líneas que éstas también han sido protagonistas de excepción de esta historia. En efecto, tal y como mencionábamos anteriormente, a finales de los años 30 ya se adivinaban dos modos de abordar los problemas de control. Uno, pasaba por la utilización de las ecuaciones diferenciales y, por lo tanto, los desarrollos matemáticos notables que se habían producido en este terreno en los siglos XVIII y XIX de la mano de los científicos más célebres de la historia jugaban un papel central. El otro, basado en el análisis frecuencial, sería impensable sin la utilización de las técnicas desarrolladas por el genial matemático francés Joseph Fourier. De ahí que la Teoría del Control permita dos interpretaciones: una desde el punto de vista de la Ingeniería y otra más Matemática. En la práctica, obviamente, no existen fronteras claras ni mucho menos y la Teoría del Control es precisamente una de las áreas de la Ciencia donde las Matemáticas y el mundo de la tecnología se encuentran de manera más fructuosa. El papel de las Matemáticas no ha hecho más que crecer en las últimas décadas en el mundo del control. Como decíamos antes, a partir de los 60 se reconoce la necesidad de adentrarse en el mundo de lo no-lineal y de lo no determinista. Esto explica esa imperiosa necesidad de utilizar cada vez más las Matemáticas para desentrañar los misterios del control de sistemas. Tal y como quedará de manifiesto a lo largo de estas notas, la Teoría del Control y el Cálculo de Variaciones tienen raices comunes e, incluso, algunas veces son disciplinas difíciles de distinguir. La historia del Cálculo de Variaciones está también repleta de grandes hazañas matemáticas. Como ya mencionamos anteriormente, la comprensión de que el camino más corto entre dos puntos es el rectilíneo, puede considerarse el punto de partida del Cálculo de Variaciones. En el siglo I de nuestra era, Héron de Alejandría en su obra La Catoptrique mostró que la ley de reflexión de la luz (ángulo de incidencia igual al de reflexión) puede deducirse de un principio variacional simple que garantiza que la luz sigue el camino más corto. En el siglo XVII Fermat generalizó la observación de Héron y formuló el principio del tiempo mínimo según el cual la luz en un medio de velocidad variable sigue el camino que garantiza el tiempo mínimo de recorrido. Leibniz y Huygens mostraron que la ley de Snell de la refracción se puede obtener a partir del principio de Fermat. En 1691 Jean Bernoulli probó que la catenaria es la 5
6 curva que proporciona la configuración de una curva de longitud dada y de densidad de masa constante cuyos extremos están fijos. El problema del bachistocrono, formulado por el mismo sabio en 1696, es equivalente al de hallar los rayos de luz en el semiplano superior y 0 cuando la velocidad de la luz c esta dada por la fórmula c(x, y) = y. J. Bernoulli probó en 1697 que la solución viene dada por la cicloide. El lector interesado por estas cuestiones históricas podrá consultar el artículo de H. Sussmann [80]. R. Kalman, uno de los grandes protagonistas de la Teoría del Control moderna, en su artículo [42] de 1974 señalaba que, en el futuro, los avances en la Teoría del Control y la Optimización de sistemas complejos vendrían de la mano de progresos matemáticos más que de los tecnológicos. Hoy en día es tan fuerte el impulso de las nuevas tecnologías que es un tanto arriesgado sostener dicha afirmación. Lo que si se puede garantizar es que un avance sustancial en Teoría del Control exige de esfuerzos tanto en el ámbito de la teoría matemática correspondiente como de las tecnologías necesarias para implementar nuevas y más eficientes y robustas estrategias de control. Cabe preguntarse si una disciplina como la Teoría del Control, con un pasado tan rico, y que cuenta con tal diversidad de resultados relevantes está ya cerrada y conclusa. Nada más lejos de la realidad. El incesante avance de las nuevas tecnologías y el progreso de nuestra sociedad no hacen más que aumentar el número de ámbitos en los que la Teoría del Control es necesaria y de plantear problemas matemáticos nuevos y estimulantes. En estas notas no pretendemos, ni mucho menos, hacer un repaso exhaustivo de la Teoría del Control ni presentar el estado del arte en el campo. Se trata de una disciplina tan rica que esta tarea excede con creces las dimensiones de este trabajo. Los lectores interesados podrán estudiar más sobre estos temas a través de la bibliografía seleccionada que presentamos al final del artículo. En este texto nos limitaremos por tanto a presentar algunos aspectos históricos, a describir algunos resultados que han jugado un papel central en el desarrollo de la Teoría y a comentar algunos avances recientes. La elección de los temas es, sin duda alguna, arbitraria y con certeza condicionada por los gustos del autor. Confiamos, sin embargo, que los problemas elegidos permitan transmitir la riqueza y el vigor de la disciplina. Concluiremos mencionando algunos retos y problemas que se nos presenten en el inmediato futuro. El resto de estas notas está organizado del siguiente modo. En la sección 2 presentamos brevemente algunas aplicaciones comunes de la Teoría del Control. En la sección 3, en el marco de un modelo matemático simple, presentamos los problemas del control óptimo y la controlabilidad, comentando sus relaciones y diferencias. En la sección 4, ilustraremos algunas de las dificultades que la gran complejidad de los sistemas de la naturaleza y de la tecnología entrañan a la hora de abordar su control. En la sección 5, introduciremos algunas de las herramientas básicas del control de sistemas analizando el control de un péndulo. En la sección 6, presentaremos uno de los resultados más básicos e importantes: La caracterización de los sistemas de coeficientes constantes controlables en dimensión finita. En la sección 7, abordaremos la extensión de este resultado al marco no-lineal mediante Algebras de Lie y su aplicación al problema del aparcamiento de un vehículo. En la sección 8, analizaremos algunos aspectos básicos de la optimización como son la programación lineal, la convexidad y la dualidad. En 6
7 la sección 9, describiremos brevemente el principio del máximo de Pontryagin, mientras que la sección 10 estará dedicada a la programación dinámica de Bellman y la sección 11 al problema del filtrado de sistemas en presencia de ruido e incertidumbres. En la sección 12, analizaremos brevemente el problema del control molecular mediante tecnología láser, lo cual nos permitirá presentar las Técnicas de Análisis Espectral y de Fourier en el control de sistemas en dimensión infinita gobernados por Ecuaciones en Derivadas Parciales. En la sección 13, describiremos brevemente la Barrera del Támesis, una de las obras más modernas de Ingeniería diseñada para evitar inundaciones en Londres y que consituye uno de los grandes éxitos de la Ingeniería del Control en materia de protección ambiental. Buena parte de la investigación matemática que en la actualidad se desarrolla en Teoría del Control está centrada en los modelos en dimensión infinita o, Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP). La ecuación de ondas, por su transcendencia desde el punto de vista de las aplicaciones, ha sido uno de las más estudiados. En la sección 14 haremos una breve presentación de algunos de los descubrimientos históricos más relevantes que se han realizado en torno a esta ecuación. En la sección 15 describiremos muy brevemente cómo la Optica Geométrica ha de intervenir en el estudio de la misma. La sección 16 estará dedicada a una de las aplicaciones con más impacto social de la Teoría del Control: El control y predicción de los terremotos. Veremos la importancia que las ecuaciones de tipo ondas tienen a la hora de simular y predecir la propagación de ondas sísmicas y sus efectos en nuestras ciudades y construcciones. Este ejemplo muestra con claridad que la ecuación de ondas no es sólo un bello ejemplo de EDP sino que es un instrumento útil para entender el mundo que nos rodea. En esta sección se pondrá también de manifiesto hasta que punto es importante tener una buena comprensión de los modelos matemáticos subyacentes a los fenómenos de la naturaleza que afectan a nuestra vida diaria con el objeto de controlarlos adecuadamente. La sección 17 está dedicada a los Problemas Inversos. Tal y como hemos indicado anteriormente, las fronteras de la Teoría Matemática del Control son a veces difusas y el tema de los Problemas Inversos es uno de aquellos en los que la intersección con la Teoría del Control es más importante. Normalmente, en la teoría de Ecuaciones Diferenciales, nos encontramos ante problemas directos. Por ejemplo, dada una ecuación diferencial y los datos iniciales, calcular la solución correspondiente. Se trata del problema de Cauchy. Esto es así cuando, conociendo las propiedades del medio que nos rodea, las leyes que gobiernan un determinado fenómeno físico y la situación en el presente, pretendemos hacer una previsión de futuro. En definitiva, se trata de aquellas situaciones en las que disponemos de un modelo matemático. Pero en muchas de las aplicaciones más relevantes (prospección petrolífera, tomografía computerizada, etc.) nos encontramos ante problemas inversos. Se trata, como su propio nombre indica, de realizar el proceso inverso y, más concretamente, de identificar los parámetros de una ecuación diferencial de la que desconocemos, por ejemplo, el valor de sus parámetros, que modelice un determinado fenómeno del que conocemos las soluciones o alguna información sobre las mismas. Se trata por tanto de invertir la aplicación que hace corresponder a una ecuación diferencial sus soluciones. Por lo tanto, en esta ocasión, pretendemos determinar las propiedades de un medio o material o las leyes que gobiernan un determinado fenómeno, a través de observaciones y mediciones experimentales reales. Mostraremos mediante un ejemplo cómo, mediante informaciones suficientes 7
8 sobre el problema directo, puede también resolverse el problema inverso. En la sección 18 abordaremos el problema de las aproximaciones numéricas. Se trata de un tema cada vez más relevante puesto que ninguno de los desarrollos que hoy en día se realizan en el ámbito de la Teoría del Control ya sean de carácter tecnológico o teórico, puede ser puesto en práctica sin la intermediación de la simulación numérica. Como veremos, los esquemas discretos que necesariamente habremos de introducir a la hora de aproximar un sistema continuo, pueden generar soluciones espúreas, realidades virtuales, que pueden tener efectos muy negativos a la hora de diseñar estrategias de control adecuadas. A través de esta sección dejamos pues de manifiesto que, a pesar del creciente potencial de cálculo que los cada vez más eficientes ordenadores de hoy en día nos proporcionan, resulta a todas luces imposible un avance seguro y sostenible en el ámbito tecnológico y, en particular, en lo que respecta a la Teoría del Control, sin un análisis matemático sólido y riguroso. Por último, en la sección 19, citaremos algunos ámbitos de la Sociedad, Ciencia y Tecnología en los que la Teoría del Control habrá de jugar un papel importante en los próximos años. Concluimos las notas con una Bibliografía seleccionada pero extensa que puede ser de utilidad a aquellos lectores que deseen profundizar en algunos de estos temas y otros aspectos de la Teoría del Control. A lo largo del período de preparación de estas notas he contado con la colaboración y ayuda mediante sugerencias, referencias, aclaraciones históricas o de algunos conceptos etc., de diversos colegas a los que agradezco sinceramente su ayuda y buena disposición. En particular me gustaría agradecer la ayuda recibida de E. Casas, J. Duoandikoetxea, J. Lagnese, C. LeBris, J.L. Lions, S. Marcus, M. Pinillos, J.P. Puel, R. Rodríguez del Río, P. Rouchon, H.J. Sussmann y P. Zufiría. 2 Algunas aplicaciones comunes Son numerosas las aplicaciones de la Teoría del Control tanto en la vida diaria como en los procesos tecnológicos e industriales más sofisticados. En el libro editado por W. S. Levine [53], se recogen un buen número de ellas. Algunas son tan simples como el mecanismo de funcionamiento de la cisterna de nuestro cuarto de baño. Son muchas las variantes (existen patentes que datan ya del año 1886, tal y como puede verse en la página 4 de [50]), pero todas ellas funcionan sobre los mismos principios básicos. Lo que es más sorprendente es que en un mecanismo tan simple y cotidiano encontremos ya algunos de los elementos básicos de todos los procesos de control. Efectivamente, la cisterna está dotada de válvulas reguladoras, de mecanismos que desencadenan el proceso de control, de mecanismos de feedback que en función del nivel de agua captado por los sensores suministra más o menos agua al depósito y mecanismos que, en caso de algún fallo en el proceso, eviten las siempre tan desagradables inundaciones. Los sistemas de calefacción, ventilación y de aire acondicionado en los grandes edificios son procesos a gran escala consistentes en la interconexión de subsistemas termo-fluidos y electromecánicos. El objetivo de estos sistemas en los grandes centros comerciales es mantener un 8
9 ambiente confortable en su interior y una buena calidad del aire para sus ocupantes en cualquier circunstancia, con un costo operacional bajo y con una alta fiabilidad. La importancia de estos sistemas de control es evidente tanto desde el punto de vista del impacto en la economía y el medio ambiente, como en la salud de sus ocupantes. Antes de diseñar un sistema de control para un proceso es imprescindible entender como funciona. Estos edificios están dotados de una planta central que proporciona aire o agua caliente a diversas unidades periféricas. Estas a su vez proporcionan aire acondicionado en distintas zonas de caraterísticas y tamaños diversos. Frecuentemente, paredes y muros separan a las distintas zonas y en algunas de ellas, incluso en invierno, a causa de sus condiciones de aislamiento y por la gran presencia de público es imprescindible proceder a su enfriamiento. Todo esto hace que el sistema en su globalidad sea sumamente complejo y dotado de diversos mecanismos que incluyen sensores, actuadores, intercambiadores, etc. Podemos pensar que se trata de una cisterna muy compleja y evolucionada. Hemos hablado aquí de los sistemas de calefacción y refrigeración de grandes edificios. No hemos de olvidar a su antecesor: el termostato, que regula la temperatura en casa. Ni que decir tiene que todos estos sistemas son sumamente importantes tanto en lo que respecta al ahorro energético, el respeto al medio ambiente y a la salud de sus habitantes. Sería innumerable la lista de ámbitos industriales en los que la Teoría del Control interviene de manera decisiva. Cabe por ejemplo mencionar el control del ph en las reacciones químicas, la industria papelera, la industria automovilística, seguridad nuclear, defensa, etc. Por ejemplo, en el caso de la producción de papel, se trata de un proceso a gran escala, fuertemente no lineal y estocástico y dominado por los efectos de retardo. No se trata de un sistema lineal, invariante en el tiempo, sino más bien de un sistema caótico. El control del caos es un tema de gran actualidad. Los puntos de vista son a veces duales o incluso contrapuestos. La naturaleza caótica de un sistema puede ser un serio obstáculo para su control pero también puede convertirse en un aliado. Por ejemplo, las impresionantes piruetas a las que estamos acostumbrados en las trayectorias de aviones de combate, están basadas en el control a lo largo de trayectorias inestables. Es sin duda sumamente difícil controlar un vehículo de este tipo. Pero las posibilidades que se le presentan a un piloto experto son muy diversas e insospechadas. Precisamente en el campo de la aeronáutica, el control de la turbulencia juega un papel fundamental. El lector interesado podrá consultar [67] para una descripción del estado del arte en las técnicas de control activo en este ámbito. Hablando de los vehículos de uso común, el control de mecanismos de automoción se encuentra frecuentemente ante requerimientos diversos que, a veces, pueden entrar en conflicto. Se trata de optimizar el consumo de combustible, proporcionando a su vez rendimientos cada vez más altos y de modo que los vehículos sean fáciles de manejar y seguros. Una de las mayores diferencias entre el automóvil de nuestros días en relación a los existentes hace dos o tres décadas reside precisamente en los mecanismos digitales de control basados en el uso de microprocesadores que hoy incorporan. En este ámbito cabe, por ejemplo, mencionar los mecanismos antibloqueo de los que frenos están hoy en día dotados. Lo mismo puede decirse de los aviones. Sin embargo, en este último caso, también son necesarios los mecanismos de control para controlar su posición y trayectoria. 9
10 Las estaciones espaciales que incorporan plataformas, reflectores ópticos de grandes dimensiones, sistemas de comunicación mediante satélites, etc. son ejemplos aún más sofisticados pero que van a ser cada vez más frecuentes y relevantes. El control de robots, desde los más simples, hasta los bípedos que reproducen la capacidad locomotriz del ser humano es otro de los temas que atrae buena parte de la atención de la Teoría del Control que se desarrolla en nuestros días. El lector interesado puede por ejemplo consultar la página web del INRIA (Francia) donde encontrará una presentación e imágenes del robot bípedo antropomórfico BIP2000. Otro ejemplo del que hemos tenido noticias recientemente, es el del vehículo diseñado por el CSIC que viaja sin necesidad de conductor a través de sofisticados mecanismos de control automático. Otro de los mecanismos que se ha convertido en un habitual de nuestros hogares es el de los lectores de discos compactos. Este elemento indispensable de nuestra cadena de música es un mecanismo óptico de descodificicación que reproduce una señal acústica de alta fidelidad a partir de una señal codificada grabada en un conducto espiral implantado en el disco. En estos dispositivos uno de los retos más importantes es obtener mayores velocidades de rotación que permitan una lectura más rápida pero sin que eso afecte a la estabilidad del disco. Los mecanismos de control propios de estos dispositivos han de ser aún mucho más robustos cuando se trata de equipos portátiles. Seguimos hablando de sistemas sofisticados. Pero si observamos el funcionamiento del mecanismo de apertura y cierre de la puerta de un garaje, veremos que, también ahí, la Teoría del Control está presente. Las redes de generación y suministro eléctrico son sin duda alguna otra de las aplicaciones más comunes de la Teoría del Control y que más afectan nuestra vida cotidiana. Basta pensar en lo incómodos que pueden resultar los apagones eléctricos para darse cuenta de ello... Antes hemos mencionado alguno de los ámbitos de aplicación de la Teoría del Control que puede ser importante para la salud del ser humano. A este respecto no cabe olvidar las crecientes aplicaciones en la medicina actual que van desde los corazones artificiales o los mecanismos de suministro de insulina. El número de aplicaciones que podrían citarse es impresionante. Creemos sin embargo que éstas, junto con otras que citaremos a lo largo del trabajo, convencerán al lector de la ubicuidad de los mecanismos de control en el mundo que nos rodea. La Teoría Matemática subyacente es, me atrevería a decir, más impresionante aún. Obviamente, en estas notas no haremos más que presentar algunos de los elementos más simples de la misma. En particular, describiremos el problema del control de un péndulo (sección 5), de un automóvil (sección 7), de algunos procesos que intervienen en el diseño molecular (sección 12) y de algunos problemas relacionados con el medio ambiente (sección 13 y 16). El lector interesado en una introducción a las técnicas matemáticas básicas en la Ingeniería del Control y sus aplicaciones más comunes podrá consultar los libros [23] y [69]. 10
11 3 Controlabilidad versus optimización De manera general, podría decirse que el objetivo central de la Teoría del Control es proporcionar estrategias para conducir el proceso que nos ocupe a un objetivo deseado y/o prescrito. Tareas tales como la colocación de un satélite en la órbita adecuada, la reducción del ruido en los vehículos de transporte o la estabilización de estructuras, son problemas propios de la Teoría del Control. Tanto si adoptamos un punto de vista frecuencial como si optamos por modelizar el fenómeno en cuestión a través de ecuaciones diferenciales, la cuestión acaba siendo por tanto conducir el estado, la variable que nos interesa, al objetivo prefijado mediante la elección de un mecanismo de control adecuado. Existen sin embargo dos matices que pueden diferenciar en la práctica de un modo significativo los problemas que habremos de afrontar. En los problemas de controlabilidad nos interesa descifrar si el objetivo prescrito puede efectivamente alcanzarse de manera exacta y, si esta cuestión admite una respuesta afirmativa, cual es el tiempo mínimo en el que esto es posible, cual es el control menos costoso, etc. Cuando abordamos el problema desde el punto de vista de la Optimización o Control Optimo la cuestión se plantea desde otra perspectiva: con independencia de que el problema de la controlabilidad admita una respuesta afirmativa o negativa, buscamos un buen control, que nos aproxime lo más posible al objetivo prescrito y, éso sí, manteniendo el control dentro de los márgenes de costo admisibles. Se trata pues de un planteamiento aparentemente más modesto puesto que se renuncia a la búsqueda de la perfección. Pero se trata de un punto de vista sumamente realista. En la práctica, este segundo planteamiento puede proporcionar resultados muy satisfactorios y ésto mediante técnicas matemáticas menos sofisticadas. Pongamos un ejemplo sobre el que cualquier persona familiarizada con la resolución de sistemas lineales debería poder reflexionar. En este ejemplo el estado es simplemente un vector x = (x 1, x 2,, x n ) de IR n y éste está gobernado por la ecuación de estado (3.1) Ax = b donde A es una matriz cuadrada n n. Para simplificar el problema supongamos que A es no singular o incluso simétrica, definida positiva, etc. El vector b que aparece en el segundo miembro de la ecuación es el control del que disponemos. La ecuación (3.1) es pues la ecuación de estado que describe el modo en que el control b actúa sobre el estado x. Obviamente, como el sistema en cuestión es inversible, tenemos x = A 1 b, pero no es este el punto de vista que nos interesa pues, en la práctica, la ecuación de estado no es fácil de resolver y/o invertir. Nos imponemos entonces como objetivo que la primera componente del estado x 1 coincida con un valor prescrito x 1. Es decir, imponemos la condición adicional (3.2) x 1 = x 1. El problema de control se reduce entonces a buscar b IR n de modo que la solución de (3.1) satisfaga (3.2). Esto es evidentemente posible. Basta por ejemplo imponer que x = (x 1, 0,, 0) 11
12 y tomar como b el vector resultante de la operación Ax. Pero este procedimiento, basado en el diseño directo del estado que realice el objetivo deseado sin necesidad de buscar previamente el control, en la práctica, es frecuentemente irrealizable. En efecto, en los problemas reales, hemos de elegir primero el control y entonces el estado viene dado como solución de la ecuación de estado o, si se quiere, como la respuesta del sistema al control introducido. El problema de control propuesto es por tanto trivial. Disponemos de tantos controles (las n componentes de b) como de componentes del estado a controlar o incluso de más pues, en este caso, sólo pretendíamos controlar la primera componente x 1. Pero qué ocurre cuando vamos disminuyendo el margen de maniobra del control? Qué ocurre por ejemplo si b 1,, b n 1 están fijos y sólo disponemos del parámetro b n para controlar el sistema? Desde un punto de vista matemático la cuestión se formula del modo siguiente. En esta ocasión (3.3) Ax = c + b donde c IR n es un vector fijo dado y b un vector columna de componentes (0,..., 0, b n ), i. e. b = b n e, donde e es el vector unitario (0,..., 1). El problema de la controlabilidad consiste entonces en estudiar si existe una elección adecuada de b n que garantice que la solución x de (3.3) satisface (3.2). La cuestión es ahora mucho menos obvia, pero en este caso tan simple no es difícil resolverla. La solución x de (3.3) se puede descomponer de la siguiente forma (3.4) x = y + z donde (3.5) y z satisface (3.6) y = A 1 c Az = b n e; i. e. z = b n z, con z = A 1 e. Si queremos poder garantizar que la primera componente x 1 de las soluciones x de (3.3) barre todo IR cuando b n varía en IR, tal y como habíamos exigido en (3.2), es entonces necesario y suficiente que la primera componente z 1 del vector A 1 e que interviene en (3.6) sea no nula. Tenemos de este modo una respuesta precisa al problema de controlabilidad planteado: la controlabilidad se cumple si y sólo sí la primera componente de A 1 e es no nula. Conviene subrayar que cuando la primera componente de A 1 e se anula, la primera componente z 1 de z es nula sea cual sea b n y por lo tanto, con independencia del valor elegido para el control b n, la primera componente x 1 de la solución x de (3.3) coincide con la primera componente de y. Por tanto, en este caso degenerado, la primera componente x 1 de x es insensible al control. El conjunto de valores que x 1 recorre cuando b n varía en toda la recta se reduce a un único punto: y 1. De este modo empezamos a percibir algunos de los aspectos que se plantean de forma sistemática en los problemas de control: Sólo es posible dar una respuesta afirmativa cuando el control o los controles de los que se dispone alcanzan todas las componentes del estado. Dicho 12
13 de otro modo, cuando alguna de las componentes del estado es insensible a la acción del control nos encontramos ante una falta de controlabilidad. El estado permanece siempre encerrado en un espacio de dimensión menor que lo exigido por el problema de controlabilidad. Antes hemos utilizado la palabra degenerado para adjetivar el caso en que la primera componente de A 1 e es cero y hay por tanto ausencia de controlabilidad. Se trata efectivamente de un caso excepcional: la probabilidad de que un número elegido al azar sea cero en la recta real es nula. Pero es realmente tan improbable que en la práctica nos encontremos ante estas situaciones degeneradas en las que se pierde la controlabilidad? Es fácil imaginar que en el caso de sistemas complejos puede resultar muy difícil determinar a priori cuando hay o no componentes insensibles a la acción del control. De hecho, en la práctica, diseñar una estrategia de control que garantice que no estamos en una situación degenerada en la que se produzca una falta de controlabilidad no es tarea fácil. Volveremos sobre este tema en la siguiente sección. Si adoptamos el punto de vista de la optimización o del control óptimo estas dificultades desaparecen. Supongamos por ejemplo que el valor k > 0 es una cota razonable del control b n que en la práctica podemos implementar. En este caso la mejor respuesta posible al problema de control se obtendría minimizando el funcional cuadrático (3.7) J(b n ) = x 1 x 1 2 en el intervalo cerrado y acotado (3.8) I k = [ k, k]. Como J depende continuamente de b n, se deduce inmediatamente la existencia de un control óptimo b k n I k que minimiza la distancia entre la primera componente de la solución x 1 y el objetivo x 1. Vemos por tanto que el problema de control óptimo se resuelve de manera mucho más simple. Este punto de vista es sumamente natural y acorde al sentido común. Ya L. Euler decía: El universo es de lo más perfecto y está diseñado por el creador más sabio. Nada ocurrirá sin que destaque, de alguna manera, la presencia de una regla máxima o mínima. Pero analicemos con un poco más de detalle las relaciones que se presentan en estos dos planteamientos. Se pueden hacer las siguientes observaciones: Si la propiedad de controlabilidad se cumple, para k suficientemente grande, la solución al problema de control óptimo producirá la solución exacta buscada para el problema de controlabilidad. Cuando el objetivo x 1 no es alcanzable, el problema de optimización nos proporciona, de todas maneras, la mejor solución posible. 13
14 La resolución del problema de optimización y el análisis de la evolución del mínimo del funcional J en el intervalo I k a medida que k crece puede ser de hecho un test para la propiedad de la controlabilidad. Cuando este mínimo se estabiliza en torno a una constante positiva a medida que k aumenta podemos sospechar, de manera fundada, que estamos frente a un caso en que el objetivo x 1 no es alcanzable. En vista de todas estas consideraciones cabe entonces preguntarse Es realmente indispensable estudiar el problema de la controlabilidad o podemos contentarnos con el punto de vista de la optimización? La respuesta depende del grado de precisión con que necesitemos calcular el control. Pero hay muchos casos en los que es indispensable que el control no nos conduzca a un estado alejado del objetivo prescrito. Cabe por ejemplo pensar en las tecnologías utilizadas para la estabilización de edificios en caso de terremotos. No sería deseable que el margen de error permitiese el derrumbe de la construcción. Todos somos también conscientes de la importancia de la precisión en el control de las expediciones espaciales, en la aplicación de las técnicas de control tan extendidas en medicina y de muchos otros ejemplos en los que el análisis que hemos presentado del problema de optimización parece, a todas luces, insuficiente. 4 Control y complejidad Como ya hemos dicho anteriormente, los sistemas que en la práctica hemos de controlar son complejos. Pensemos, por ejemplo, en la red internet o en la infinidad de componentes que se acoplan en cualquier obra tecnológica; un automóvil quizás. El ejemplo matricial mostrado en el apartado anterior no deja de ser un simple juguete ante la tremenda complejidad de estos sistemas. Pero ya en él veíamos que las diferentes componentes del sistema no siempre son sensibles a la presencia del control. Esta complejidad no es exclusiva del momento histórico que vivimos. Todo lo que nos rodea y ha existido, incluso antes que el ser humano habitase sobre el planeta Tierra, es intrínsecamente complejo. A nadie se le escapa la complejidad del universo y de su proceso de formación, del de la aparición de la vida o de cualquier otro fenómeno que podamos observar en la naturaleza. Recientemente todos los medios de comunicación se han hecho eco de un avance histórico en la evolución de la humanidad: la descodificación completa del genoma humano. Pero, a pesar de la importancia de este avance, éste no es más que un primer paso que nos muestra la complejidad del lenguaje en el que está escrita la vida. En este punto cabe recordar la anécdota siguiente. En 1256 Alfonso X El Sabio al refugiarse en el Alcázar de Segovia de una violenta tormenta exclamó: Si el Señor Todo Poderoso me hubiese consultado en el momento de la creación del mundo, yo habría recomendado un sistema más simple. La complejidad no es una característica exclusiva de los problemas de control sino que hoy en día es inherente a cualquier ámbito de la Ciencia y de la Tecnología. 14
15 En efecto, los enormes avances que se ha producido en Informática permiten que hoy en día se utilice la simulación numérica en cualquier fase del desarrollo de un proyecto industrial: tanto en la de concepción, desarrollo o calificación. Por otra parte, el creciente éxito de la simulación numérica frente a los métodos tradicionales de la Ingeniería radica en que proporciona ahorros sustanciales en los ensayos y permite que éstos se realicen a escala real y sin las restricciones asociadas a la instrumentación. Este nuevo método científico, basado en una combinación de las Matemáticas que permiten representar y entender las realidades físicas y la Informática que proporciona instrumentos de cálculo, está cada vez más consolidado. Conviene aquí recordar que la invención del transistor en 1947 en los Laboratorios Bell es lo que hizo posible el desarrollo de los ordenadores y, por tanto, en definitiva, el surgimiento de este nuevo método. El resto de las Ciencias no son ajenas a este método evidentemente puesto que los modelos Matemáticos surgen precisamente de la Física, Química, Mecánica, Biología, Economía, etc. Hay sin embargo una dificultad que hoy por hoy supone un verdadero reto: El tratamiento de fenómenos múltiples que a su vez, por acoplamiento, pueden dar lugar a nuevos fenómenos, inesperados y desconocidos. Los fluidos reactivos, que intervienen por ejemplo en la propulsión de naves espaciales, son un buen ejemplo. En estos casos no queda más remedio que realizar un estudio modular, analizando y simulando numéricamente cada elemento por separado, para después ensamblar los resultados mediante códigos multifísicos. Pero esta última es una tarea sumamente compleja en la que aún queda mucho por hacer. Por poner un ejemplo matemático, el lector podrá pensar en las dificultades que entraña ensamblar un método de diferencias finitas con otro de elementos finitos en un modelo híbrido parabólico-hiperbólico tan común en la interacción fludio-estructura. Los ejemplos relevantes de estos sistemas complejos donde el acoplamiento de varios fenómenos distintos puede jugar un papel determinante son muy diversos. Hemos mencionado los fluidos reactivos en combustión tan importantes en la propulsión de naves espaciales. En este ámbito de la tecnología aeroespacial cabe también mencionar la interacción fluido-estructura tan importante en el pilotaje de naves espaciales a causa de las vibraciones que en las mismas produce la combustión. Otros ejemplos importantes son los de la previsión meteolólogica y de los cambios climáticos, donde la interacción entre la atmósfera, el océano, la vegetación, etc. juega un papel clave. El lector interesado podrá consultar el artículo de J. Achache y A. Bensoussan [1] para una descripción más detallada de las perspectivas de la simulación numérica en los ámbitos de la tecnología espacial, la climatología y la meteorología. Por lo tanto, la resolución de cualquier problema relevante exige identificar subsistemas que interactúen de una manera susceptible de ser descrita con cierta facilidad. Volviendo a los problemas de control, en el diseño de sistemas de control automático, la utilización de las funciones de transferencia ha permitido de escribir los actuadores, sensores y controladores y describir las interacciones. Sin embargo, hoy en día, nos encontramos ante el reto de descomponer los complejos sistemas a los que hacemos frente en subsistemas mayores. No existe ninguna teoría definitiva a este respecto, ni mucho menos, pero se trata sin duda alguna de un campo a explorar en el que todos los esfuerzos y aportaciones son bienvenidos. En 15
16 este sentido, nada se puede excluir, y ésto devuelve la razón a Wiener. Las máquinas se orientan cada vez más al cálculo simbólico, paralelo, etc. y emulan de manera creciente al ser humano. Términos como Inteligencia Artificial son hoy en día comunes y están plenamente justificados. Acaso la capacidad del cerebro humano de coordinar el funcionamiento del organismo y de sus diversas componentes no es digna de admiración y de ser emulada? La complejidad del mundo que nos rodea nos obliga, como decíamos, a adoptar métodos de descomposición para poder analizarlo con más facilidad pero también nos obliga a cambiar nuestro punto de vista sobre la modelización de los fenómenos. Los modelos han de considerarse como entidades que evolucionan para adaptarse a un mundo en el que la complejidad es creciente. Cada vez están más caducos debates del tipo modelos discretos/modelos continuos. La necesidad de trabajar con modelos híbridos es cada vez mayor y la Teoría del Control no escapa a esta exigencia. La Informática ha jugado un papel decisivo a la hora de hacer abordables estos sistemas complejos, de carácter híbrido. En efecto, hoy en día los algoritmos iterativos y paralelos permiten estudiar problemas de gran complejidad en un tiempo realista. Cada vez se exige más a los mecanismos de control. Uno de los valores más apreciados es su robustez que garantice su correcto funcionamiento en circuntancias adversas y a la imprevisibilidad y la incertidumbre del entorno. Un ejemplo relevante en este terreno es el de los métodos de control en los programas de pilotaje automático de naves espaciales. Estos han de estar diseñados para hacer frente a numerosas posibles incidencias: vibraciones de la nave causadas por problemas en la combustión y propulsión, extinción y encedido de los motores, vientos, etc. El objetivo de esta sección no es, ni mucho menos, hacer frente a estas cuestiones de gran calado y que en buena medida orientarán la evolución del pensamiento humano en el siglo que ahora iniciamos, sino simplemente describir algunas de las técnicas matemáticas existentes para hacer frente a la descomposición de grandes sistemas y hacerlos así más abordables. En efecto, la teoría matemática está repleta de ideas que apuntan en la dirección de intentar abordar el análisis y el control de sistemas complejos a través de técnicas de descomposición o desacoplamiento. Citemos algunos ejemplos: Resolución de sistemas lineales. Cuando el sistema lineal a resolver presenta una estructura hueca, por bloques, como ocurre frecuentemente al discretizar mediante diferencias o elementos finitos ecuaciones diferenciales, se utilizan métodos de resolución en los que se combinan técnicas propias de resolución del sistema global y de los subsistemas correspondientes a los bloques. El modo más habitual de hacerlo es construir precondicionadores a partir de la resolución de sistemas más pequeños, realizable en un solo procesador, para después abordar la resolución del sistema global a través de métodos iterativos y paralelizados. Métodos multi-malla. Es muy frecuente, tanto en la resolución de sistemas lineales como en la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales, la utilización de las técnicas denominadas multimalla en la que se distinguen las bajas y las altas frecuencias de las soluciones y cada una 16
17 se analiza en el mallado correspondiente estableciendo a la vez mecanismos adecuados de acoplamiento y de paso de una malla a otra. No es difícil imaginar que un mallado, sea cual sea, es incapaz de capturar las oscilaciones que se producen a muy altas frecuencias del mismo modo que un reloj de pulsera común no permite medir milésimas de segundo. Método de direcciones alternadas. Frecuentemente, las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) que surgen como modelos naturales en la Mecánica de Medios Continuos, Relativista, etc., son multidimensionales y habitualmente involucran varias variables espaciales además de la temporal. Los métodos numéricos de resolución reducen el problema al cálculo de la solución de un sistema, a menudo lineal, de ecuaciones algebraicas. Sin embargo, el carácter multidimensional de los problemas en consideración hace que, frecuentemente, el tamaño de estos sistemas sea excesivo. Surge entonces una idea natural. Del mismo modo que un operador diferencial consiste en calcular derivadas parciales iteradas (para después combinarlas) o el Teorema de Fubini asegura que una integral multidimensional puede calcularse mediante sucesivas integrales en una variable, Una EDP multidimensional no puede descomponerse o aproximarse mediante EDP en una sóla dimensión espacial cuya aproximación numérica es mucho más simple? Basta reflexionar un momento sobre las vibraciones de un cuerpo elástico o la evolución de los fluidos para darse cuenta de que ésto es, de entrada, imposible. En efecto, se trata de fenómenos genuinamente multidimensionales que no pueden describirse mediante ecuaciones en las que sólo interviene una variable espacial. Pero el método de direcciones alternadas pone de algún modo remedio a este hecho y descompone la resolución del problema multidimensional en una secuencia de problemas unidimensionales iterados, reduciendo considerablemente el tiempo de cálculo. Se trata de una vertiente más de esta idea general según la cual se pretende abordar la resolución de sistemas complejos mediante su descomposición en subsistemas más simples. Se trata, sin embargo, de un método que está poco explorado desde el punto de vista del control. En efecto, si bien se dispone de resultados fiables que permiten garantizar cuando este método proporciona una buena aproximación de la solución de un sistema dado, no se dispone de resultados definitivos sobre su utilización para el diseño de estrategias de control. El problema de la aproximación de ondas a altas frecuencias mediante métodos numéricos inspirados en los elementos finitos es uno de los problemas abiertos más relevantes que se plantean en el terreno del Análisis Numérico tal y como pone de manifiesto Zinkiewicz [87] en un reciente artículo recapitulativo. Esta cuestión nos adentra en una problemática relevante desde el punto de vista de las aplicaciones y sumamente compleja desde una perspectiva matemática. Ya hemos mencionado anteriormente que al abordar un problema de control desde un punto de vista matemático tenemos que optar entre un modelo u otro o, incluso, elegir entre formularlo 17
18 como un problema de controlabilidad o de control óptimo. Pero sea cual sea el punto de vista elegido y los resultados matemáticos obtenidos, con el objeto de hacer que éstos sean útiles e implementables, el ordenador habrá de intervenir en el proceso de control. Esencialmente el ordenador nos habrá de permitir calcular una buena aproximación del control buscado a través de la resolución numérica de una discretización adecuada del problema de control. En este punto conviene observar, tal y como se indica en [87], que algunos de los modelos que se obtienen a través de discretaciones, por ejemplo mediante el método de elementos finitos, no sólo son relevantes en la medida en que proporcionan una aproximación del modelo continuo, sino que son en sí una manera de modelizar la realidad. En el artículo [87] el lector podrá encontrar una descripción de cómo el método de elementos finitos surgió a través de una interacción entre los dos puntos vista (los que los utilizaban como modelos y los que lo hacian para aproximar EDP) hasta que se consolidó y reconoció ya como un método con nombre propio en Surge entonces una cuestión: El diagrama Modelo/Discretización/Control es conmutativo? En otras palabras, se obtiene el mismo resultado si adoptamos cualquiera de las dos vías siguientes? Vía 1: Discretizamos el modelo y controlamos el modelo discreto como aproximación del modelo continuo. Es la vía: modelo/discretización/control. Vía 2: Analizamos el problema de control del modelo continuo y caracterizamos el control del mismo mediante un Sistema de Optimalidad (conjunto de ecuaciones que caracterizan el control, i. e. el equivalente a las Ecuaciones de Euler-Lagrange en un problema del Cálculo de Variaciones). Posteriormente empleamos un método de discretización para aproximar la solución de este sistema. Se trata de la vía: modelo/control/discretización. Estas dos vías no siempre dan los mismos resultados. Por ejemplo, tal y como se demuestra en [36], la primera puede no dar los resultados buscados en problemas de vibraciones. Esto se debe al problema que mencionábamos antes de la aproximación de ondas a altas frecuencias. Pero esta dificultad no es puramente numérica. En efecto, tal y como se indica en el artículo [87], muchos ingenieros adoptan modelos discretos en lugar de continuos para describir la dinámica del estado. Esto permite frecuentemente evitar todos los problemas derivados del análisis matemático de las EDP y, además, es acorde al sentido común según el cual una estructura continua puede entenderse como el resultado de acoplar un gran número de mini-estructuras 18
19 rígidas articuladas. De este modo, el esquema numérico de aproximación de un modelo continuo puede también interpretarse como un modelo discreto aproximado válido para el análisis del problema en cuestión. Este punto de vista basado en el análisis del control del modelo discreto, i. e. la vía modelo/discretización/control, es correcto en procesos en los que la disipación inherente en los mismos disipa de manera natural las componentes a altas frecuencias. Pero deja de serlo cuando hay perturbaciones no amortiguadas con la misma frecuencia de oscilación que el tamaño del mallado elegido en el modelo discreto. En [62] se aborda esta cuestión en el marco de la aproximación mediante elementos finitos de problemas de control óptimo asociados a EDP elípticas. La conmutatividad del esquema discretización-control es hoy en día un tema en el que hay todavía mucho que entender y no se dispone de resultados sistemáticos que permitan determinar la validez de una y otra vía. Cuando optamos por discretizar el sistema antes de controlarlo, estamos eligiendo hacer uso del control en dimensión finita, mientras que, del otro modo, precisamos utilizar la teoría existente para EDP, también frecuentemente conocidos como Sistemas Distribuidos o Sistemas con Parámetros Distribuidos. La unificación de las teorías del control en dimensión finita e infinita es también un tema en el que aún queda mucho por hacer, si bien en buena medida es una tarea imposible tal y como lo es la unificación de la teoría de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Hemos descrito algunas de las técnicas que se utilizan para descomponer sistemas complejos de modo que su análisis desde el punto de vista del control sea más tratable. Existen muchas otras que giran siempre en torno a la misma idea: identificar las componentes relevantes del sistema, aquellas con características diferenciadas, de modo que tratándolas previamente de manera separada podamos posteriormente acoplarlas y abordar el sistema en su conjunto. Entre ellas, cabe citar: La descomposición de dominios: Cuando el dominio (típicamente un abierto del espacio euclideo n-dimensional, si bien también puede ser un conjunto donde se acoplan dominios de diferentes dimensiones) donde hemos de resolver el problema de control asociado a una EDP tiene una geometría compleja, es natural descomponerlo en subdominios de geometría más simple. La descomposición de dominios introduce un esquema iterativo en el que, resolviendo sucesivamente el problema en cada subdominio, nos vamos acercando a la solución global correcta. No se trata de una idea reciente. Ya en el segundo volumen del libro de Courant y Hilbert [18] podemos encontrar una descripción del método de direcciones alternadas de Schwarz. Existe una amplia literatura al respecto en lo que se refiere a la resolución de EDP. Cabe, por ejemplo, mencionar [50]. Sin embargo, los desarrollos en este terreno en lo relacionado con problemas de control son mucho más recientes y los resultados son mucho menos completos. No es difícil de imaginar, por ejemplo, la dificultad que entraña la resolución de problemas de control asociados a fenómenos de propagación a través del método de descomposición de dominios. En ellos la respuesta al problema de control es típicamente dinámica, muy poco estática y, por tanto, los métodos de descomposición de dominios en los que se impone una elección a priori de la descomposición 19
20 tiene dificultades adicionales para ser aplicados. Desacoplamiento según el tipo de EDP: En las clasificaciones más habituales de EDP se distinguen esencialmente las ecuaciones elípticas, las parabólicas y las hiperbólicas. Pero frecuentemente los sistemas que hemos de abordar en la práctica son más complejos y no obedecen a esta simple clasificación. Es el caso, por ejemplo, en el sistema de la termoelasticidad que describe las vibraciones de un cuerpo elástico y sus cambios de temperatura. En este sistema están simultáneamente presentes componentes parabólicas e hiperbólicas y ésto es relevante desde el punto de vista del control. El control de dicho sistema pasa por identificar adecuadamente las componentes parabólicas e hiperbólicas del mismo y establecer estrategias de control adecuadas para cada una de estas componentes. Esto puede hacerse mediante técnicas de desacoplamiento en las que, como su propio nombre indica, se desacoplan ambas componentes de modo que puedan ser tratadas separadamente atendiendo a las características propias de cada una de ellas y mediante las técnicas correspondientes. Pero, evidentemente, en vista de que ambas componentes están acopladas en el sistema original, el desacoplamiento no puede ser total y se consigue a base de introducir un error. El término de error resulta ser frecuentemente compacto, lo cual indica que, esencialmente, se concentra en las bajas frecuencias pero que es despreciable para las altas. Con estas ideas puede establecerse la controlabilidad de sistemas en los que coexisten diferentes tipos de EDP. El lector interesado puede consultar [88] para un análisis detallado del sistema de la termoelasticidad. 5 Control del péndulo Uno de los problemas más básicos que se plantea en robótica es el del control de un brazo rígido giratorio a través de un motor localizado en el extremo que lo conecta al resto de la estructura. Suponiendo que toda la masa m esté localizada en el extremo libre, que la barra tenga longitud 1 e ignorando la fricción, gracias a la ley de Newton para los objetos que giran, obtenemos la ecuación (5.1) m θ(t) + mg sin θ(t) = u(t), donde θ = θ(t) es el ángulo del brazo con respecto a la vertical medido en el sentido contrario a las agujas del reloj, g es la aceleración debida a la gravedad y u es el momento de torsión externo aplicado. El estado del sistema es en este caso (θ, θ) mientras que u es el control. Para simplificar el análisis suponemos que m = g = 1. La posición estacionaria vertical (θ = π, θ = 0) es un punto de equilibrio en ausencia de control, i.e. con u 0. Pero, obviamente, es inestable. Analicemos el sistema en torno a dicha configuración con el objeto de compensar esta inestabilidad mediante el control u. Teniendo en cuenta que sin θ π θ en torno a θ = π, en una primera aproximación, el sistema linealizado correspondiente en la variable ϕ = θ π puede escribirse en la forma (5.2) ϕ ϕ = u. 20
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