Source: https://es.scribd.com/doc/93793522/Icfes-Pruebas-Saber
Timestamp: 2016-07-30 21:40:33+00:00

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GRADOS 3, 5, 7 Y 9
Bogotá, D.C., Enero de 2003
PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Álvaro Uribe Vélez MINISTRA DE EDUCACIÓN NACIONAL Cecilia María Vélez White VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN NACIONAL Javier Botero Álvarez DIRECTOR INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR – ICFES Daniel Bogoya Maldonado SUBDIRECTORA DE ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD Magdalena Mantilla Cortés
AUTORES Janneth Carvajal Alvarado Martha Jeanet Castillo Ballén Carlos Antonio Pardo Adames Martha Cecilia Rocha Gaona Claudia Lucía Sáenz Blanco Norma Constanza Triana Restrepo Yuly Marsela Vanegas Muñoz
Fundamentación Conceptual pertenece al documento Programa de Evaluación de la Educación Básica, ISSN: 1692-4096.
Se permite la reproducción parcial o total de este documento siempre y cuando se haga con propósitos educativos y se otorguen los respectivos créditos.
LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE ¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE? ¿CÓMO SE EVALÚA EN LENGUAJE? EXIGENCIAS EN LOS TEXTOS LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS ¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS? ¿QUÉ EVALÚAN LAS PRUEBAS?
3 4 7 9 10 11 16
aplicar y comunicar conceptos y procedimientos matemáticos. Como se verá. aplicadas durante los años 1991. 7 y 9 de la educación básica en las áreas de lenguaje y matemáticas. procesar. enseguida se encontrarán los referentes de la evaluación y aquello que evalúa cada una de ellas.FUNDAMENTACIÓN CONCEPTUAL
Desde 1991. utilizar. de tal manera que se constituyan en una base sólida para la toma de decisiones en las diferentes instancias del servicio educativo. el ICFES inició una nueva etapa de trabajo en el campo de la evaluación de la educación básica. aspectos considerados básicos a la hora de adentrarse en la interpretación y el análisis de los resultados. las pruebas SABER de matemáticas se concentran en evaluar el uso que el estudiante hace de la matemática para comprender. que ha servido de base para numerosos estudios sobre el estado de la educación en el país. la manera como el estudiante usa su lenguaje en los procesos de negociación de sentido. Las pruebas SABER. mientras tanto. conservan la esencia de las realizadas en años anteriores y. Para aproximarse a la fundamentación conceptual de cada una de las pruebas. dan continuidad a los esfuerzos evaluativos que las anteceden. interpretar y divulgar información confiable y análisis pertinentes sobre la educación en el país. El propósito general de este programa de evaluación nacional ha sido el de obtener. 5. han permitido recopilar información sobre los logros de los estudiantes de los grados 3. Las pruebas SABER aplicadas en el mes de octubre de este año. las pruebas de lenguaje buscan evaluar la competencia comunicativa a partir del análisis de la forma como los estudiantes hacen uso del lenguaje para acceder a la comprensión de diferentes tipos de textos. 1992. es decir. y para la definición o reorientación de políticas que fortalezcan la gestión del sector y contribuyan al mejoramiento de la calidad de la educación. en este sentido.
. que ha dado como resultado el desarrollo y la aplicación de las pruebas conocidas en el país como SABER. 1997 y 1998 a una muestra representativa de estudiantes de todo el país.
Se considera que es en la interacción con el mundo como él toma conciencia de sí mismo. 1992). Hymes (1996) en torno a este concepto. se concibe como un hecho social que constituye al hombre como sujeto cultural y discursivo. del otro y del mundo natural y social que le circunda. requiere tener consciencia sobre el papel que juega el lenguaje en la escuela y fuera de ella. interpretar. a la construcción y búsqueda del sentido a través del uso. cognitivo. Desde esta línea teórica se le apuesta a una noción de conocimiento en la que el lenguaje es el elemento esencial: el lenguaje estructura y comunica conocimiento. Una orientación de este tipo. como significa sus experiencias y le da sentido a las experiencias de otros. más que tomarse como un sistema de reglas o un instrumento de la comunicación. Atendiendo a estas exigencias y siendo conscientes de la necesidad de apoyar desde la evaluación la construcción de estos espacios pedagógicos. desde este enfoque. y teniendo en cuenta los postulados de D. Desde los planteamientos de la dimensión de la significación. en la cual el proceso de significación de lo humano es condición indispensable para lograr la formación integral de los sujetos en las diferentes dimensiones de su desarrollo social. y en la manera como los individuos interpretan y significan el mundo a través de él. La asimilación de la lengua. el lenguaje. la significación es el proceso en el cual ocurre la transformación de la experiencia humana en sentido. Sujeto que se construye en su experiencia individual y colectiva con el mundo a través del lenguaje. cultural. Transformación que se da en términos de categorías conceptuales. si el conocimiento se percibe como un proceso en
Es importante señalar que las referencias centrales de la evaluación en lenguaje son los Lineamientos Curriculares y los Indicadores de Logros Curriculares. De esta manera toda actividad del hombre se traduce en discurso y se manifiesta a través de textos. Según Luis Angel Baena (1989. ya que es con y a través del lenguaje como el estudiante construye y desarrolla conocimiento. se entiende por competencia comunicativa la capacidad que tiene un estudiante para comprender. Asumir esta responsabilidad. se percibe como el resultado de la integración progresiva del niño en la comunidad verbal.
. las pruebas pretenden rastrear estados en la competencia comunicativa de los estudiantes. emanados del Ministerio de Educación Nacional. Desde esta óptica. pragmáticas y culturales. en los procesos de socialización. estético y físico.LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE1 La evaluación por competencias en lenguaje desde 1991 ha estado inscrita en el marco de una reflexión teórica sobre el desarrollo del lenguaje. a través de la lectura de textos. El niño se integra a la vida como participante en la negociación de sentidos. En este contexto. y exige a la educación una pedagogía en la que el desarrollo del lenguaje y la construcción de saberes aparezcan en una misma dimensión. a los elementos que intervienen en el proceso de interacción y que tienen que ver con la acción discursiva. organizar y producir actos de significación a través de distintos sistemas de signos lingüísticos y no lingüísticos. supedita el análisis del sistema (de la lengua) al proceso de la significación. en un proceso que está presente desde las más tempranas etapas de su desarrollo cognitivo. tanto en la educación como en la evaluación.
la libertad interpretativa del lector está siendo estimulada y regulada por el texto. Greimas (1971). la evaluación se ha enriquecido con aportes de la textolingüística. El destinatario de un texto llena los espacios vacíos que. 1988. En éste sentido. y que posibilita la transformación de la experiencia humana en sentido. para interpretar o producir textos. a través de la lectura. por naturaleza. sino a las condiciones pragmáticas de la enunciación o contextos enunciativos particulares. además. no ha sufrido mayores modificaciones. motiva en él. entonces la evaluación debe volver la mirada hacia el proceso del conocer. han hecho necesario que se precise cada vez más las implicaciones que ésta tiene para el diseño de los instrumentos.
¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN LENGUAJE? Frente a las teorías que conciben la interpretación como persecución de la intención del autor. la teoría semiótica de la recepción de Umberto Eco (1972. Esta hipótesis. 1977. hablamos de un “saber-saber-hacer” que se sustenta en la posibilidad de una acción. que se cumple en la construcción y apropiación de herramientas. Van Dijk (1972). sin que en ese proceso de aprendizaje exista una conciencia funcional del lenguaje. Umberto Eco (1972. realizando un recorrido por sus diferentes niveles. y no como una bolsa de contenidos. específicamente.J.continua transformación y estructuración en y por el lenguaje. Emile Benveniste (1969). sino también cuando consigue utilizar el lenguaje (y para algunos. Por tal razón. Desde esta perspectiva. Gérard Genette (1989). Teun A. y las teorías que entienden la interpretación como seguimiento de la intención del lector. su lenguaje) en interacciones exitosas. atendiendo no sólo a las reglas del sistema gramatical. sustentada por primera vez en el campo de la evaluación en 1991. y otros. al hecho de que el logro de los estudiantes no podía determinarse en razón de unos contenidos sobre literatura y el funcionamiento gramatical del lenguaje. se considera que el estudiante evidencia su competencia comunicativa no sólo al demostrar qué tanto sabe sobre el lenguaje. Oswald Ducrot (1988). y manteniendo la misma hipótesis de fondo. de un hacer inmerso en ese proceso de desarrollo gradual. En otras palabras. su implementación en el Nuevo Examen de Estado y las recientes aplicaciones de las pruebas SABER. respondió desde un principio. A. En esta línea teórica se han trabajado autores como: Mijaíl M. 1981. sin embargo. el texto contiene. La reflexión que sustenta esta teoría tiene como fundamento la semiótica de Charles Sanders Peirce (1987) y. el concepto de “signo” propuesto por este
. la semiótica y las teorías contemporáneas de la recepción. Se hace referencia aquí a la consciencia que tiene el estudiante sobre el uso del lenguaje. 1974. aprendidos comúnmente de manera memorística y descontextualizada. con base en los conocimientos que el texto le exige y en los movimientos interpretativos que éste. 1995). 1988) afirma la necesidad de buscar en el texto lo que dice con referencia a los sistemas de significación desde los que fue emitido y a su propia coherencia interna. Esto no significa desconocer la importancia del conocimiento teórico sobre el lenguaje y la literatura. 1985. La decisión de rastrear el estado de la competencia comunicativa de los estudiantes. Bajtín (1982). lo que se intenta cuestionar es el aprendizaje de reglas y conceptos.
a la percepción que se hace el lector de los posibles contenidos textuales. hablar de signos es responder a la pregunta por el conocimiento. ¿para qué lo dice?. En un primer momento las hipótesis del lector son amplias y diversas. A la pregunta ¿cómo conoce el hombre? Peirce responde: a través de signos. de aciertos y desaciertos. es como el lector va construyendo hipótesis de lectura acerca de lo que puede decir el texto. dependiendo de las exigencias del texto. a marcar diferentes recorridos de significación del contenido textual. En este juego de conjeturas. El signo en Peirce es el resultado de un proceso de interpretación. este abanico se va estrechando para dar paso al descarte y/o la constatación de ciertas hipótesis. es decir.filósofo norteamericano. debido a que los conocimientos que se activan obedecen. el lector tiene una exigencia de selección de saberes que van desde los más cercanos e inmediatos a su mundo. Son hipercodificados cuando el texto remite a saberes altamente socializados. interpretar un signo es relacionarlo con otros signos que. de manera casi arbitraria. exigiendo del lector un trabajo en función de una hipótesis de lectura global que le permitirá responder a las preguntas: ¿Qué dice el texto?. un signo nos ofrece una versión del mundo. En términos de la semiótica discursiva. se diría que es una interacción entre los códigos desde los cuales lee el sujeto y los códigos desde los cuales el texto prevé sus lecturas. ¿cómo lo dice? ¿quién lo dice?. Para Peirce. de saberes conceptuales sobre temas determinados y situaciones de enunciación particulares. una versión que a su vez debe ser interpretada por otros signos en un proceso que recibe el nombre de semiosis. A medida que se avanza en el proceso de interpretación. En el proceso de evaluación la cooperación interpretativa entre texto y lector se ve mediada por un grupo de preguntas que apuntan. Este proceso de interacción actúa como un abanico de posibilidades interpretativas. de conocimientos previos. Esta concepción. por el carácter exitoso de la comunicación: exigencias del texto (vs) saberes. a la memoria de otros textos. de manera progresiva y regulada por el texto. de saberes que apuntan a las diferentes relaciones entre sujetos y eventos del mundo. En este proceso de cooperación interpretativa. se resuelve en una teoría de la cooperación interpretativa que busca distinguir entre interpretación y uso del texto. Es necesario aclarar que este aspecto remite a la capacidad del lector para elaborar conjeturas e hipótesis razonables sobre el contenido del texto a partir de sus saberes previos. a partir de la organización de cada texto. según el contexto y el universo de discurso. Cada texto hace una exigencia de saberes pertinentes a su estructuración y significados posibles. es como el lector construye el sentido del texto. En este intercambio de saberes conocidos y por conocer. Estos saberes pueden ser hipercodificados o hipocodificados. aplicada a la comunicación y específicamente al proceso de lectura. de generalizaciones y abstracciones.
. hasta los conceptuales y específicos de un metalenguaje. Así. el estudiante se vale. sirven para aclarar o ampliar su significado y su sentido. e hipocodificados cuando el texto exige la interpretación de saberes que requieren de un metalenguaje que no es altamente socializado. En esta medida se podría llegar a decir que la complejidad de cada texto está determinada por la calidad del proceso lector. de representaciones sobre la manera como se perciben y se interpretan experiencias. A medida que el lector avanza en su proceso de interpretación. entre los saberes del texto y los saberes del lector. o para considerar otras que hasta el momento no se habían alcanzado a vislumbrar. capacidades y experiencias del lector.
el proceso de interacción. la cultura y el desarrollo humano le hacen a la educación. por su parte. Desde esta óptica. llegar al trabajo extra-textual (interpretación crítica o propositiva). los efectos emotivos que pueda producir en su receptor. los conceptos de coherencia y cohesión están haciendo referencia al proceso de negociación entre texto y discurso. semánticos y pragmáticos. El texto y el discurso podrían ser considerados como dos elementos diferentes. el estudiante se vale de sus lecturas previas para avanzar. Se entiende por texto toda estructura significante de signos verbales y/o no verbales en la que sus elementos: sintácticos. sus comentarios críticos. y será fundamental distinguir cuándo el interpretante producido por el lector da cuenta del texto y cuándo lo tergiversa. ante la manifestación lineal del texto. sus adaptaciones a otras sustancias de la expresión e. más allá de la infinidad de interpretantes que pueden darse de un texto. Teniendo en cuenta el contexto antes señalado y las exigencias que cada día los paradigmas de la ciencia. En efecto. que negocian y convergen en el mismo proceso de la significación. explícita. en cuanto da cuenta de la presencia efectiva de un texto en otro. Se entiende por interpretación semántica el resultado del proceso por el cual el lector. la llena de significado. en función de un sentido global y de una estructura particular. incluso. que es la que diferencia un texto de otro.¿desde dónde? Si el lector reconoce lo que dice el texto. conforman una red de significación en continua interacción. ya que la coherencia apunta a la orientación intencional del discurso y la cohesión a la organización del texto para lograr la puesta en escena del discurso. entre la experiencia del lector y las exigencias del texto. El texto. y por interpretación crítica. En términos de Genette (1989) la intertextualidad regula el proceso de interpretación. interpreta. sus resúmenes. entre texto y lector. para una semiótica cuyo objeto son las prácticas significantes. En el diálogo con los textos. podrá entrar a responder la segunda pregunta: ¿Qué pienso yo sobre lo que dice este texto con relación a otros textos? Los anteriores interrogantes orientan un proceso que exige pasar del trabajo textual (interpretación semántica) al trabajo intertextual (interpretación semántico crítica) para. Ahora bien. es el que permite organizar y expresar la significación del discurso. la literatura y otras disciplinas. se evidencia cuando el lector consigue producir interpretantes de ese texto. Es importante anotar que es en este proceso en donde el estudiante pone en juego sus saberes sobre el lenguaje. éste no soporta cualquier interpretante. el proceso mediante el cual el lector intenta explicar por qué razones estructurales el texto puede producir esas (u otras) interpretaciones. a niveles de interpretación críticos. desde cierta perspectiva. el discurso es el proceso de significación y a la vez el acto que envuelve el proceso de la enunciación. tiene que ver con los procesos de comunicación y significación que aportan al desarrollo del
. en una lectura relacional. lo deseado en la formación de un estudiante en la educación básica desde el lenguaje. Es de anotar que. los contenidos del texto: son interpretantes de un texto sus ilustraciones. posteriormente. se considera interpretante cualquier nuevo signo que.
desde los proyectos educativos y proyectos de aula. Frente a éste. ¿quién lo dice?. Así. En el proceso de cooperación interpretativa.pensamiento crítico y a la toma de posición de un sujeto en la cultura. en el trabajo con el texto y en el trabajo del texto hacia otros textos. sujetos capaces de comprender. 5. que corresponden al objeto de la evaluación: el proceso de lectura. permite generar dos tipos de resultados: resultados en términos de niveles de logro (ver capítulo 3) y de grupos de preguntas o tópicos. analizar y producir tipos de textos según sus necesidades comunicativas y exigencias del medio cultural. Un perfil de egresado que pueda responder no sólo a los retos que la sociedad le va a exigir sino a su propia actitud hacia la vida y a sus posibilidades de seguir aprendiendo. debe permitir caracterizar estados o momentos que den cuenta. ¿desde dónde lo dice?. capaz de situarse frente a los discursos de la cultura y el conocimiento. se han definido los niveles de logro descritos en las Tablas 1. para conseguir que la práctica pedagógica se convierta en un hacer significativo frente al trabajo con el lenguaje. La estructura de las pruebas prevé la clasificación de las preguntas a parir de la dicotomía entre interpretación semántica e interpretación crítica. en este caso desde la evaluación. Sujetos capaces de adoptar comportamientos multipolares. desde sus experiencias lectoras. social y académico que lo rodea. Dicho recorrido ha permitido hablar de niveles de logro o estados en la competencia comunicativa. interpretar. El proceso de lectura que realiza el estudiante a través de las preguntas. Estos niveles arrojan información sobre lo alcanzado y lo que hay que superar en el proceso de comprensión lectora. de lo que se está logrando y de lo que faltaría por lograr. ¿en qué momento lo dice?. ¿para qué lo dice?. ¿cómo lo dice?. como un hacer particular dentro de la competencia comunicativa.2. a medida que el lector pasa del sentido superficial al sentido profundo del texto. lo esperado de un estudiante que termina su educación básica es la conciencia de uso del lenguaje en diferentes contextos.
¿CÓMO SE EVALÚA EN LENGUAJE? La prueba está compuesta por preguntas de opción múltiple con única respuesta. para las pruebas de los grados 3. la lectura semántico crítica pone en relación esta información con otros textos a partir de presupuestos y conjeturas que son motivados por el texto y por el lector. actualizando conocimientos y saberes más amplios. entonces una mirada sobre el proceso. se ve obligado a realizar una serie de operaciones inferenciales cada vez más elaboradas. Un sujeto autónomo. a manera de diagnóstico. la prueba hace énfasis en la lectura semántica y semántico crítica.
. Mientras la lectura semántica intenta develar el sentido del texto a partir de interrogantes como: ¿qué dice?.1 y 1. Bajo este presupuesto. Si esto es lo que se espera. 7 y 9. es decir. analíticos e integrales en la generación y adquisición de conocimientos.
Se caracteriza por exigir una Se caracteriza por exigir una lectura en la que juega un papel lectura fragmentaria del texto.
En este nivel se agrupan los estudiantes que superan una En este nivel se ubican los comprensión fragmentaria del estudiantes que al entrar en texto y logran realizar un primer comunicación con la prueba nivel de significado del mensaje. importante la selección y síntesis de información.
En este nivel se agrupan los estudiantes que logran establecer relaciones y asociaciones entre partes de la información contenida en el texto para dar cuenta de las relaciones de implicación.
F: COMPRENSIÓN CRITICA
En este nivel se agrupan los estudiantes que realizan una explicación de la interpretación crítica sobre lo leído.
C: COMPRENSIÓN LITERAL A MODO DE PARÁFRASIS. Se identifican. Se caracteriza por exigir una lectura en la que se da cuenta de la información que aparece de manera sugerida en el texto.Tabla 1.2 Niveles de Logro en Lenguaje Grados 7 y 9
Niveles D: COMPRENSIÓN C: COMPRENSIÓN E: COMPRENSIÓN INFERENCIAL LITERAL INTERTEXTUAL DIRECTA E INDIRECTA En este nivel se agrupan los estudiantes que logran superar el nivel En este nivel se agrupan de lectura inferencial y entran en un proceso de los estudiantes que diálogo con el texto. básica para entrar a una que predomina un interpretación crítica de movimiento de información que va del lo leído. además. texto hacia otros textos o de otros textos hacia el texto. para dar local o global. las intenciones. causación. Se caracteriza por exigir cuenta de partes del caracteriza por exigir una lectura instaurada contenido textual. temporalización y espacialización.
. Se saberes de múltiples procedencias. el retienen parte de la información contenida en los textos de manera cual se realiza a través de un local. texto. Este nivel se caracteriza por exigir una lectura en la que predomina la movilización de saberes para conjeturar y evaluar lo que aparece en el texto. Identifican eventos. es decir. objetos y proceso de paráfrasis de partes de la información contenida en el sujetos mencionados en el texto. las ideologías y las circunstancias de enunciación en el texto. en En este nivel se agrupan logran realizar el que se incluye la deducciones y los estudiantes que presuposiciones de la enciclopedia. la realizan una puesta en red de comprensión literal de la información contenida en el texto de manera superficie del texto.1 Niveles de Logro en Lenguaje Grados 3 y 5
B: COMPRENSIÓN LITERAL TRANSCRIPTIVA.
D: COMPRENSIÓN INFERENCIAL DIRECTA. Este una lectura que en el marco del complementa los vacíos nivel se caracteriza por diccionario básico del del texto como condición exigir una lectura en la texto.
así como sus exigencias. Enciclopedia: realiza un trabajo de cooperación y diálogo con el texto. las pruebas hacen énfasis en las preguntas de paráfrasis.Adicionalmente. Se trata de preguntas que operan a niveles locales y globales. Este grupo le solicita al lector reconocer y dar cuenta de los tipos de actos comunicativos presentes en el texto. Gramática: diálogo con el texto. Estas preguntas le solicitan al lector poner en interacción sus saberes previos con los saberes que el texto presenta y posibilita. el lector realiza un trabajo de cooperación y 5. las finalidades y los propósitos de los enunciadores.1 Grupos de preguntas Pruebas de Lenguaje
Es importante aclarar que aunque la estructura contempla estos cinco grupos. Estas preguntas operan a nivel local exclusivamente. Dependiendo del problema tratado. el estudiante debe acudir a la información que le ofrece el texto de manera explícita o implícita. el desempeño frente a determinados momentos de la cooperación interpretativa (saberes del lector – saberes del texto) ha permitido definir cinco grupos de preguntas o tópicos. valiéndose de un acopio previo de información no estrictamente lingüística. Cuadro 1. el verbo supone alguna licencia). se utilizan textos informativos. valiéndose de un acopio previo de información sobre los elementos del sistema de la lengua y su función en la construcción de sentido. sobre diferentes temas. los cuales se diferencian por el tipo de información a la que el lector debe acudir en el momento de enfrentar cada pregunta.
1. y de las circunstancias de producción textual. enciclopedia. como en las pruebas de Estado. 4.
EXIGENCIAS EN LOS TEXTOS Tanto en las pruebas SABER. en los grados de 3 y 5. En los grados 7 y 9. Para resolver estas preguntas. Se trata de preguntas que operan a niveles locales y globales. y a su experiencia comunicativa para develar desde dónde se enuncia y para qué. entre las opciones de respuesta. paráfrasis. aquí el estudiante debe reconocer aquella opción que recoge la información textual pero la presenta de una manera diferente. estas preguntas pueden apuntar a aspectos locales o globales del texto. aquella que repite sin alteración la información que aparece en la superficie textual (cuando se trata de información gráfica. enciclopedia y pragmática. Para resolver estas preguntas. de las intenciones. omisión y síntesis de información. narrativos. el lector 3. Para resolverlas.
. las pruebas hacen énfasis en las preguntas de identificación. Pragmática: Para responder estas preguntas.
Estas preguntas le solicitan al lector ubicar información que aparece de manera explícita y literal en el texto. el lector realiza un trabajo de selección. argumentativos y explicativos. Estas operan a niveles locales o globales. Para resolverlas. Identificación
Aquí se le solicita al lector recuperar información que aparece de manera explícita o implícita en el texto. En el siguiente cuadro. Paráfrasis: simple identificación de información. se define cada uno de ellos. el lector selecciona. Este tópico le solicita al lector reconocer y dar cuenta de la funcionalidad semántica de los elementos gramaticales en la coherencia y cohesión textual. pragmática y gramática. Todas ellas tienen en común el proponer un trabajo sobre la superficie textual que va más allá de la 2.
y no a la comprensión de sus conceptos. literatura y pintura. las pruebas invitan al estudiante a realizar un ejercicio de lectura crítica a nivel de todos los géneros periodísticos. la repitencia. hasta artículos culturales. y en particular de la formulación y resolución de problemas en matemáticas. periódicos. pasando por crónicas. entre otras. literatura y ciudad. Al igual que con los textos verbales escritos. Además. en ella se encuentran desde editoriales. Se trabaja. la apatía. con ítems de selección múltiple con única respuesta. o fragmentos de ensayos. etc. Durante muchos años se han identificado dificultades relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Estas dificultades. un gran número de personas construyen su experiencia lectora sobre esta clase de textos. teatro etc. en las pruebas se intenta que el estudiante realice una lectura en diferentes niveles de interpretación. como la desmotivación hacia el aprendizaje. que son posibles de valorar a través del tipo de prueba masiva. han generado diferentes estudios e investigaciones2 sobre lo que “debería” ser o sobre cómo hacer matemática en la escuela. se ha considerado relevante retomar algunos aspectos de la educación matemática.
2 Entre estas investigaciones se destacan los grupos de investigación de la Universidad de Granada: Luis Rico. literatura y escultura. Se buscan textos de literatura o sobre literatura que permitan hacer lecturas críticas sobre uno o varios fenómenos de la disciplina o con relación a otros campos. se parte del presupuesto de que esta clase de textos constituyen un espacio de significación importante. por ejemplo. limitándose por esto su estudio. existe la tendencia. las altas tasas de mortalidad académica. existen algunas categorías generales desarrolladas en el ámbito de la semiótica de los textos verbales que son pertinentes y válidas para pensar y analizar el problema de la lectura icónica. poesía. las relaciones entre literatura y sociedad. LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS
En los instrumentos de evaluación utilizados para establecer la línea de base que dé indicios sobre la calidad de lo que se enseña y se aprende en matemáticas en la escuela. muchas veces. a la mecanización y a la memoria. Aunque la prueba no posee categorías de análisis de la semiótica de la imagen. de la Universidad de Sevilla: Salvador Llinares.
. cuentos. sobre la puesta de sentidos a través de la imagen. Lorenzo Blanco. y de la Universidad Autónoma de Guerrero México: Crisólogo Dolores Flórez. de considerar la matemática como algo inalcanzable e incomprensible. Textos literarios: ensayos sobre literatura. Textos periodísticos: presuponiendo que. políticos y económicos donde se hacen análisis con detenimiento.Textos de divulgación científica: esta clase de textos son tomados de revistas. libros dedicados a la introducción de las ciencias naturales. Consideramos que hablar de literatura es poner en contacto al estudiante con los correlatos culturales que les subyacen. un tanto generalizada. Así. la deserción y la creencia de que a un buen profesor de matemática no le aprueban la materia un número significativo de estudiantes. en la actualidad. Narrativa icónica: al igual que los textos periodísticos.
la historia de las matemáticas. los conceptos que estudia la matemática se refieren a características de objetos a-temporales y a-espaciales. elementos para la comprensión del lenguaje matemático. la antropología. pues facilitan que el estudiante se pueda acercar a lo que constituye el quehacer matemático. Vasco (1993) plantea que la educación matemática se ubica dentro del octágono de esas disciplinas que permiten pensarla como distinta. estas actividades propias de los matemáticos se consideran fundamentales para desarrollar en la escuela. la lingüística (semiología). la informática y la psicología. Estos objetos. ¿CUÁLES SON LOS REFERENTES DE LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICAS? Para comprender la complejidad de la matemática escolar. La matemática que han llamado algunos autores de "punta" otros de "investigación". que van constituyéndose a partir de la acción del ser humano sobre el mundo”. símbolos. Así mismo. la filosofía. del ser humano y de la sociedad. visualizar o coordinar) sistemas estructuralmente interesantes y utilizar un lenguaje especializado. propiedades y relaciones). esquemas. Por ejemplo. la cual se considera como una disciplina en formación que pretende dar cuenta de los procesos que se dan en la escuela. desde y alrededor de la matemática. y que desde aquí se llamará matemática. como lo define Rodríguez (1996). el planteamiento de líneas de demostración y generalizaciones. Castro. o construcciones que permitan plantear predicciones útiles acerca de tales sistemas. Una de las premisas centrales de esta disciplina establece una diferencia entre la matemática de "punta" y la matemática escolar. la inferencia de resultados. o explicaciones. imaginarios. historias y formas de relacionarse que se atraviesan constantemente. La interdependencia de la educación matemática con estas disciplinas ha permitido tener en cuenta modelos de funcionamiento cerebral en la construcción de conocimiento matemático. esta matemática que se vive y se construye en la escuela es la que se llamará matemática escolar. la construcción de sistemas axiomáticos. es decir. además de los saberes básicos de la matemática (sus objetos. la construcción a lo largo de la
. Este inter-juego. el número no es un objeto que exista en lo concreto. Desde la educación matemática. entre muchas otras. matematizar (cuantificar. 1998). se centra en actividades como el desarrollo de demostraciones rigurosas. tenemos en cuenta que en la institución educativa interactúan. creencias. un mundo de valores.interrogantes de los que se encarga actualmente la educación matemática. gráficos. se considera como un cuerpo de conocimientos dinámico que está en continua expansión. concepciones alrededor de la ciencia. Por su parte. modelos concretos u otros sistemas de representación para desarrollar descripciones matemáticas. que se encarga del estudio y desarrollo de los objetos que han sido llamados matemáticos. estas prácticas pedagógicas alrededor de la matemática. la educación matemática se vale de diferentes disciplinas como la neurología (biología). son “síntesis de ciertas ocurrencias mundanas. como objeto con propiedades y relaciones. Rico y Romero (1997) plantean que el hacer matemático implica interpretar situaciones matemáticamente. de acuerdo con los planteamientos de Pólya (citado en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas. el reconocimiento de conceptos matemáticos que permiten analizar situaciones concretas. El quehacer de esta matemática. pero interdependiente de ellas. la matemática se encarga de crearlo a través de la abstracción.
Desde esta perspectiva y de acuerdo con los Lineamientos Curriculares del MEN. 4) Estimular el trabajo cooperativo. 1995). potenciar su razonamiento y su capacidad de acción. el estudiante debe construir conocimiento significativamente alrededor de los conceptos que han configurado la matemática. cuyo dominio proporciona privilegios y ventajas”.. 3) Lograr que cada alumno participe en la construcción de su conocimiento matemático. plantea:
“El conocimiento matemático en la escuela es considerado hoy como una actividad social que debe tener en cuenta los intereses y la afectividad del estudiante y del joven. es indispensable pensar que los conceptos matemáticos están conectados con la actividad mental de los estudiantes.. 2) Promover la expresión. puesto que la matemática es una herramienta intelectual potente. la participación y colaboración. la discusión y defensa de las propias ideas. la educación matemática plantea que.historia de los conceptos matemáticos en relación con otras disciplinas y con los contextos sociales del momento..
.. desde la educación matemática se plantea que en el contexto escolar el estudiante debe acercarse al quehacer del matemático. En concordancia con esta postura. y. el acercarse al conocimiento matemático implica un proceso de construcción social. elaboración y apreciación de patrones y regularidades. Como toda tarea social debe ofrecer respuestas a una multiplicidad de opciones e intereses que permanentemente surgen y se entrecruzan en el mundo actual. en este proceso va proporcionándole significado a los conceptos matemáticos desde sus diferentes vivencias. La tarea del educador matemático conlleva entonces una gran responsabilidad. (MEN. y las etapas del desarrollo del niño. la matemática escolar debe promover el desarrollo del pensamiento matemático. están en continua construcción. cuando se afirma que:
"Los fines que nosotros consideramos prioritarios en la educación matemática son los siguientes: 1) desarrollar la capacidad del pensamiento del alumno. un pensamiento que facilita matematizar la realidad. el Ministerio de Educación Nacional en la Serie Lineamientos Curriculares para Matemáticas. deducir consecuencias. y debe generar formas de interpretación y de construcción de situaciones desde los avances de la matemática. así como su combinación para obtener eficacia o belleza.." (Rico. 1998)
Ahora bien. el ejercicio de la crítica. permitiéndole determinar hechos. en definitiva. organizar. Este planteamiento es acorde con lo planteado por educadores matemáticos. el cual posibilita al estudiante describir. en donde los objetos matemáticos no están totalmente acabados. en la escuela. interpretar y relacionarse con determinadas situaciones a través de la matemática.. y en el que el estudiante es considerado como uno de los protagonistas fundamentales de la construcción de este conocimiento. En este sentido. Su valor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas. en otras palabras. Teniendo en cuenta los aportes de estos saberes. establecer relaciones. a cuyo domino hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo.
en donde el estudiante mecaniza una serie de algoritmos. Shoenfeld (citado por Trigo) al respecto. la autorregulación o monitoreo. en las que son válidas diferentes estrategias o planes de acción. es decir.Promover el desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes implica abordar un enfoque de formulación y resolución de problemas3 como eje orientador de la actividad pedagógica. el control del proceso de solución. que permitirán la re-elaboración de hechos. pues no puede ser resuelto de forma mecánica. la síntesis y la generalización. como ya se había explicado antes. Así.
En el desarrollo de la resolución de problemas en matemáticas. ha llevado a que los problemas sean usados después de teorizar. Por ejemplo. el conocimiento y la intuición. Así.
3 Si bien el enfoque de formulación y resolución de problemas fue propuesto por la psicología. el papel de la solución de problemas en la matemática de la escuela ha crecido bajo dos concepciones: la solución de problemas vista como una herramienta básica para todos los estudiantes. es decir. explica que en la resolución de problemas intervienen. el razonamiento. pues los problemas se conciben como situaciones en las que los estudiantes identifican. la comprensión. se consideran diferentes tipos de problemas e inclusive diversas formas de clasificarlos. y la solución de problemas vista como una actividad mental compleja. la abstracción. conceptos y relaciones. Son problemas que provocan o condicionan al estudiante para dar una respuesta de forma mecánica. pero las perspectivas bajo las cuales se han pensado los problemas han sido distintas. La solución de problemas vista como herramienta básica. lo que implica limitar las posibilidades de creación de nuevas estrategias. Cabe anotar que los problemas siempre han ocupado un lugar en el currículo de matemática. y de Alan Shoenfeld investigador de la Universidad de Berkeley. incluyendo en ella la evaluación. como la aplicación de un concepto matemático a una tarea específica. se hará referencia a éste. aspectos como los recursos matemáticos. “poner en uso la matemática”. La segunda concepción. la manipulación. desde la educación matemática. 4 Al respecto se destacan las investigaciones de George Pólya y Luz Manuel Santos Trigo. el resolver un problema implica la conjugación de la experiencia previa. que es la disciplina que se ha encargado de reflexionar y realizar estudios frente a la formulación y resolución de problemas matemáticos en el aula. la asociación. estas distintas acciones que posibilitan los problemas se consideran como una aproximación al quehacer del matemático. algunos estudios sobre la forma en que los estudiantes resuelven problemas. pues el problema se constituye en una situación que lleva a que el “resolutor“ (en este caso el estudiante) ponga en juego diferentes procesos para su resolución. Al respecto. resolver un problema requiere poner en acción el sentido construido alrededor de los conceptos matemáticos. así. en dicha relación. Las situaciones que se plantean para las pruebas de matemáticas asumen la segunda concepción. una actividad que involucra procesos cognitivos superiores como la visualización. el análisis. las estrategias heurísticas. considera los problemas como una actividad compleja.
. posibilita la modificación de sus estructuras cognitivas. por lo menos. seleccionan y usan estrategias pertinentes y adecuadas para obtener soluciones válidas en el contexto matemático. y las ideas y creencias acerca de la matemática. Diferentes investigaciones4 han demostrado que este enfoque contribuye al desarrollo del pensamiento matemático. han demostrado que la reflexión que éste hace de sus propias acciones ligadas a este proceso. CINVESTAV (Centro de Investigación y Estudios Avanzados) México. se construyen una o varias soluciones.
por ejemplo: Problemas de traducción simple o compleja. los estructurados y los mal estructurados. Dicha clasificación es la siguiente: Ejercicios de reconocimiento: en los que se pretende resolver. sin embargo. argumentar. Los problemas estructurados requieren un “pensamiento productivo”. Los primeros pueden ser resueltos aplicando directa y mecánicamente una regla que el alumno no tiene dificultad para encontrar. chequear. Esta traducción moviliza conocimientos conceptuales y procedimentales en el estudiante para su resolución. los que demandan la utilización correcta de un término o símbolo del vocabulario matemático pero no hay en ellos invención alguna. […]
Desde otra perspectiva. sin pretender ser exhaustiva. los cuales implican una traducción del enunciado a una expresión matemática. relacionados directamente con contenidos matemáticos. explorar patrones. sugieren la búsqueda o "descubrimiento" de algún modelo para solucionarlo. que se resuelven con la aplicación de un algoritmo conocido y en los que existen criterios para verificar si la solución es correcta. estos requieren el diseño de todo el proceso de solución o parte de éste. pueden contribuir a su diferenciación. son aquellos que requieren del alumno un cierto grado de creatividad y de originalidad. Ejercicios algorítmicos o de repetición: se resuelven con la ejecución de algún algoritmo. Problemas de procesos.
Aunque estas dos categorías no se consideran propiamente dentro de la clasificación de problemas.
. al plantear cómo los avances en la enseñanza de las matemáticas en la educación básica surgen fundamentalmente de una "nueva disposición para resolver problemas". Igualmente. son problemas para los cuales no se puede identificar en forma directa un modelo de solución pues requieren de estrategias como adivinar. Los segundos. Lorenzo Blanco (1991). los problemas mal estructurados carecen de una clara formulación. de un procedimiento que garantice una solución y no existen criterios definidos para determinar cuándo se ha obtenido una solución. Por último. Problemas de investigación matemática. reconocer o recordar un factor específico.Pólya propone una clasificación de los problemas como de rutina y de no-rutina. Fredericksen (citado por Trigo 1996) sugiere tres categorías para la clasificación de los problemas: los bien estructurados. una definición o una proposición de un teorema. También pertenecen a este tipo. para reforzar alguna expresión matemática o para potenciar destrezas de cálculo. toca elementos centrales para el análisis de niveles o grados de complejidad para su resolución. ni desafío a la inteligencia. son semejantes a los bien estructurados. a menudo numérico. en lo cuales la traducción a expresiones matemáticas no está explícita en su estructura por lo que se requiere buscar diversas estrategias de solución Problemas sobre situaciones reales que se requieren matematizar para encontrarles solución. Los problemas bien estructurados hacen referencia a aquellos problemas que aparecen claramente formulados. propone una clasificación de problemas que. Esta matematización es de por sí un proceso complejo que involucra aspectos no solamente de contenido matemático sino de decisión sobre aspectos de la vida real. trabajar hacia atrás.
reflexivo y analítico. Pero. (Rico. requiere de una gran dosis de creatividad y reelaboración de hechos. sino que para llegar a ella se requieren diferentes procesos que se cruzan constantemente como la comprensión. el enfoque de formulación y resolución de problemas se preocupa no solamente por el conocimiento matemático que estructura el estudiante. pues la evaluación basada en éste. como lo han planteado los lineamientos curriculares de Colombia y los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática (NCTM. facilita que el estudiante construya significados sobre y desde la matemática. 1990)”
Desde esta concepción sería importante pensar que la formulación y resolución de problemas debiera ser la directriz del currículo en matemática. puede contribuir a la consecución de los fines de la educación en Colombia al desarrollar un pensamiento crítico. y la verificación. Por ello planteamos que la matemática escolar. a la
. debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática. Confundir los procesos de producción y elaboración del conocimiento matemático con sus resultados cristalizados es un error frecuente en nuestra enseñanza. como tal. la resolución de problemas constituye no sólo una buena estrategia metodológica sino que supone una forma de aproximación más real al trabajo en matemática. esto no significa que se constituya en un tópico aparte del currículo. Así. sino por todos los procesos que intervienen en la construcción del pensamiento matemático.
Ahora bien. sin que necesariamente medien procesos matemáticos. Memorizar y repetir todas las reglas deductivas que operan en un sistema formal fuertemente estructurado constituye a veces una derivación del comportamiento real del matemático. el planteamiento y elección de estrategias. facilitar los procesos de participación y promover el pensamiento científico. conceptos y relaciones. además de los planteamientos anteriores. en el sentido más real del término. pensada desde la formulación y resolución de problemas. en la medida que la usa y la puede relacionar con su cotidianidad. los cuales son necesarios en una formación autónoma. mas bien deberá permearlo en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprehendidos". Historias matemáticas. por ello. lo cual es importante. promover el desarrollo de la autonomía.
Cuando hablamos de problema. A partir de esto. se considera este enfoque como determinante en el diseño de los problemas de las pruebas y la caracterización de los niveles de logro de las competencias en matemáticas. RESOLUCION DE PROBLEMAS es CREAR Y CONSTRUIR matemática.-
Problemas de puzzles son aquellos que acuden al ingenio del resolutor para solucionarlos. se conciben como libros de cuentos que proyectan ciertas cuestiones matemáticas que elicitan la curiosidad y la participación del lector. promueve el desarrollo de procesos cognitivos de orden superior. además. Rico (1990) al respecto señala:
“Resolver problemas no se reduce a usar la matemática conocida. 1998) de los Estados Unidos:
“La resolución de problemas debe ser eje central del currículo de matemáticas. necesario para crear disciplina y habilidades de trabajo. se considera que el trabajo orientado por este enfoque. permite acercar la matemática a situaciones cotidianas. pensamos que resolverlo no es sólo llegar a la respuesta.
se ve como necesario que al enfrentarse a una situación problema. Así. adquiere significado dentro de una estructura. conceptos de orden superior.
. puede hacerse una aproximación al estado del pensamiento matemático de los estudiantes. Uno de tales indicadores son las competencias en matemáticas. para poder dar cuenta de la competencia de un estudiante. y por ende. según lo plantea Rico (1990). Este saber/hacer implica que el estudiante ponga en juego tres aspectos que están integrados y que configuran la competencia como tal. al establecimiento del estado de la calidad de la educación matemática en este aspecto específico. que constituyen lo que se denomina estructura conceptual. De esta forma. constituyendo en ocasiones. El conocimiento matemático: Para establecer desde dónde y cómo se ve el conocimiento matemático escolar. éstos se refieren al conocimiento matemático. Los conceptos se representan mediante sistemas simbólicos y gráficos. “Son los conceptos y las estructuras conceptuales los que constituyen la esencia del conocimiento matemático organizado” (Rico. modelar y matematizar situaciones del mundo real. Conviene tener en cuenta que tomados aisladamente los hechos carecen de significado. logre matematizarla modelándola a partir de las diferentes relaciones que establezca entre los conceptos que le subyacen. a) El conocimiento conceptual se refiere a una serie de informaciones conectadas entre sí mediante múltiples relaciones. y es precisamente en ella que desempeña su papel. Así. el conocimiento conceptual. y permite establecer propiedades e inferir conclusiones a partir de los conceptos básicos de cada estructura. el conceptual y el procedimental. A continuación se hace una breve descripción de los aspectos antes mencionados.vez que permite al estudiante contextualizar.
¿QUÉ EVALÚAN LAS PRUEBAS? A partir de la formulación y resolución de problemas. Las estructuras conceptuales: en ellas los conceptos se unen o se relacionan. Rico reconoce tres niveles en el campo conceptual: Los hechos: son unidades de información que sirven como registro de acontecimientos. a la comunicación y a las situaciones problema. se partió de una concepción en la cual se reconocen dos aspectos. evidenciado por el dominio de los hechos y de los conceptos matemáticos. Es claro que reconocer el estado de pensamiento matemático es un proceso posible. Los conceptos: se consideran como una serie de unidades de información (hechos) conectadas entre sí por medio de relaciones. vistas como manifestación del saber/hacer del estudiante en el contexto matemático. sólo a partir de ciertos indicadores. el manejo significativo de la estructura conceptual va más allá de la memorización de definiciones. el cual se da al interior de una estructura matemática. 1990).
la elaboración de modelos. ii. Así.b) El conocimiento procedimental se refiere a la forma de actuación o de ejecución de tareas matemáticas que van más allá de la ejecución mecánica de algoritmos. la noción de representación "debe tener la dualidad del concepto. Dado que el conocimiento matemático es dinámico. la construcción de tablas. 1997) es un conjunto de enunciaciones y procesos asociados que se llevan a cabo para fundamentar una idea en función de unos datos o premisas y unas reglas de inferencia. tratando de encontrar regularidades y patrones. Pretende descubrir o explicitar generalidades mediante la observación y la combinación de casos particulares. la búsqueda de patrones y regularidades. no se consideran de manera aislada de las estructuras conceptuales subyacentes a las situaciones problema. la simplificación de tareas difíciles. gráficas. los problemas que se incluyen en las pruebas requieren de la traducción y simbolización en diferentes formas de representación usadas en la matemática escolar. ya que éstas permiten elegir. El uso de una estrategia implica el dominio de la estructura conceptual. Siguiendo a Castro. y de representación. tienen significado para quien las utiliza y su ejecución debe darse al interior de una estructura conceptual. En la construcción de las pruebas se toman en consideración algunos razonamientos matemáticos que se pueden caracterizar así: i. símbolos escritos. traducir y simbolizar desde y hacia un lenguaje matemático.
. hablar de estrategias implica ser creativo para elegir entre varias vías la más adecuada o inventar otras nuevas para responder a una situación. Aunque los procedimientos constituyen una herramienta que permite encontrar un resultado. tomando la forma de lenguaje oral. Llevan a establecer relaciones y sentido espacial.
La comunicación: Se refiere a la posibilidad del estudiante para leer y escribir matemática. que permitan descubrir nuevas relaciones o nuevos sentidos en relaciones ya conocidas. dibujos u objetos físicos". para pensar sobre ideas matemáticas y comunicarlas. Entre las estrategias más utilizadas por los estudiantes en la educación básica se encuentran la estimación. así como grandes dosis de creatividad e imaginación. En él se distinguen tres niveles: Destrezas: suponen el dominio de los hechos. métricas. se hace necesario representarlas de algún modo. se distinguen entre destrezas aritméticas. la comprobación y el establecimiento de conjeturas. Según el campo de la matemática escolar donde operen. La comunicación requiere que las representaciones sean externas. Rico y otros. modificar o generar procedimientos que se adecuen a las situaciones en las que sea presentado el concepto. geométricas. la aproximación. Estrategias: consideradas como formas de responder a una determinada situación dentro de una estructura conceptual. Razonamientos en matemáticas: un razonamiento (según Giménez. implica que pueda interpretar.
esquemas gráficos. gráfico (pictogramas. 1999) y que “hacer matemáticas implica más que la simple manipulación de símbolos matemáticos. modelación. entre otros autores. R. mínimos. cómputo. Asumiendo lo anterior. los problemas deben referirse a situaciones cercanas al
Lesh. 1997). tablas. o construcciones que permitan plantear predicciones útiles de tales sistemas” (Rico. gráficas y fórmulas (ecuaciones). el seguimiento y otros tipos de pensamiento de alto rango que reclaman capacidades de representación. 6 Claude Janvier presenta una tabla 4x4 en la que relaciona diversos procesos de traslación involucrando estas mismas cuatro formas de representación: situaciones o descripciones verbales. símbolos. Por ejemplo. Castro. Rico. han trabajado el problema de la representación en matemáticas. entre otros. estos procesos se refieren a medición. no solamente del objeto matemático. mientras la gráfica y la ecuación posibilitan tener una mirada de las características globales de la función estudiada. cuantificar. interpretación. Las formas de representación consideradas para estas pruebas son de tipo verbal (en las que se incluyen los lenguajes natural y simbólico).). concavidad. modelos concretos u otros sistemas de representación para desarrollar descripciones matemáticas o explicaciones. esquematización. por ende. implica utilizar un lenguaje especializado. las tareas que se proponen a los estudiantes a través de estas pruebas. continuidad. Janvier. insisten en la comunicación. etc. visualizar o coordinar) sistemas estructuralmente interesantes. como que "no hay conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación" (Duval. Estas formas de representación se consideran tanto para el enunciado del problema como para las opciones de respuesta presentadas. está implícita o explícitamente reconociendo elementos de los sistemas de representación. Duval. le permite analizar la información.
. se plantea que el significado de las estructuras matemáticas que se trabajan en el aula se pueden rastrear o caracterizar a través de diferentes sistemas de representación que les son propios. una representación tabular da una visión cuantitativa de ésta. implica matematizar (o sea. asumiendo con ellos descripciones que implican presunciones acerca de las relaciones matemáticas que subyacen a la situación problema. asociado a la comprensión de los objetos matemáticos escolares y sus implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje. diagramas. la planificación. sino también desde qué perspectiva el tipo de representación que se plantea. las formas de representación en matemáticas son cruciales para la comprensión de los objetos matemáticos5. E. son instrumentos para la matematización. gráficas) y tabular6. es decir. Cuando un estudiante se enfrenta a resolver un problema que se le plantea. Como lo menciona Di Sessa (citado por LESH. 1997) "Las capacidades matemáticas en las que se hace hincapié. es decir. tanto cualitativa como cuantitativa (variaciones. máximos. Algunos autores plantean aspectos relevantes de la representación en la resolución de problemas.Como ha sido reconocido. crecimiento. Las Situaciones: Las situaciones se refieren a unidades de significado a través de las cuales puede atribuírsele determinado sentido matemático a un problema. A. ofreciendo la posibilidad de modelar conceptos matemáticos. implica interpretar situaciones matemáticamente. pero en cada uno de los cuales se privilegian características diferentes sobre esa estructura matemática. a menudo. lectura. les exigen el reconocimiento. De esta manera. que los estudiantes tienen que ir más allá de pensar con una representación matemática dada para pensar además acerca de la potencia o debilidad relativa de las representaciones alternativas". en el caso de las funciones. Bell.
que se puede distinguir entre familiar y no familiar. De hecho. Al respecto. el verbal. que apunten al desarrollo de un concepto en particular o a la aprehensión de significados que son utilizados dentro de la situación.3 y 1. el simbólico. En las Tablas 1. 5. aunque generalmente se reconoce el uso solamente de problemas tipo texto en los cuales sólo se exige una modelación de un concepto y el estudiante trata de aplicar únicamente conocimientos ignorando lo nuevo que le puede aportar la situación cuando la está desarrollando. la presencia de estrategias generales se hace más notable en el proceso de solución". el uso de diversas representaciones hace que las situaciones sean significativas o modeladoras. el propósito de estas pruebas es determinar niveles de logro (ver capítulo 3) en las competencias en matemáticas de los estudiantes en la educación básica. el pictorial. entre ellos. aplicado y teórico. juegos y situaciones matemáticas.
Teniendo en cuenta los anteriores planteamientos. Santos Trigo (1996) plantea que "cuando los problemas se establecen en contextos específicos como los que se encuentran en los libros de texto. Según Webb (1979). situaciones ficticias o hipotéticas. a través del enfoque de formulación y resolución de problemas matemáticos como estrategia de evaluación. existen varios criterios para clasificar los tipos de situaciones que se pueden proponer. convencional o imaginario. situaciones cotidianas. o una combinación de varios de estos modos y el de escenario-marco. cuando el problema es no familiar. la presentación de los problemas mediante dibujos o grabados. sin embargo. hipotético y de hecho. el manipulativo. En los problemas que se plantean a los estudiantes en estas pruebas. se pretende que las situaciones sean de diverso tipo.4 se describen las características de los niveles de logro para los grados 3. 7 y 9. concreto y abstracto. parece que el conocimiento específico de la materia relacionada juega un papel determinante.
.estudiante.
el problemas el estudiante situaciones la relación entre estudiante debe poner en debe establecer la misma dos variables. Además. la información. nivel D. subyace a estas son requeridas. A una estrategia a seguir. estructurado. caracterizados en su lenguaje por la forma "si sucede x.Tabla 1. Las situaciones a las que hacen referencia son de carácter concreto. sino no explícitas que le diferencia de los grados que el estudiante debe permitan establecer una tercero y quinto.. Estos problemas están planteados en situaciones hipotéticas o no rutinarias para el estudiante. Para resolver estos problemas se necesita solamente una estrategia de un área del conocimiento matemático: aritmética.
En este nivel se ubican los estudiantes que son capaces de resolver problemas no rutinarios complejos. explícita en el enunciado. en el realizar directamente una enunciado de los problemas En este nivel la información modelación. debe establecer relaciones entre los datos y condiciones del problema. los datos no están puestos en el orden en el que el resolutor debe operar con ellos. Requiere establecer submetas y utilizar estrategias involucrando distintos tópicos del conocimiento matemático. Su resolución implica la combinación de estrategias de los diferentes dominios de la matemática como son aritmética y geometría. En estos general.4 Niveles de Logro en Matemáticas Grados 7 y 9
7º y 9º
En los problemas de este nivel no aparecen explícitamente ni datos ni relaciones que permitan En este nivel. está en el orden en que se debe operar para resolverlos.
En este nivel se proponen problemas no rutinarios simples. nivel C y nivel D
Tabla 1. Los problemas. implican dos o más el enunciado y el pueden implicar también la variables que se ponen en establecimiento de búsqueda de una juego en la situación o que relaciones de dependencia regularidad o patrón y en no aparecen en ella pero entre ellas. de tal forma que es imposible resolverlos a través de uno sólo. en la medida en que son situaciones tipo que usan los maestros para “enseñar” ciertos conceptos. Para la resolución de éstos problemas.. Además de que los datos no están organizados. en su mayoría. se diferencian de los del nivel anterior porque en éstos es necesario reorganizar la información para poder resolverlos. estos reorganizar la información estrategia para encontrar la problemas requieren del para establecer un camino solución. Al igual que los anteriores. El su resolución. geometría o estadística. Además. son planteados en situaciones hipotéticas. se requieren otros pasos para su resolución. juego un conocimiento relación en cada una de las matemático más opciones de respuesta. indicar la sin embargo. no se insinúa en el enunciado relaciones estrategia a seguir. es decir. estas relaciones manejo de dos variables en para resolver el problema.3 Niveles de Logro en Matemáticas Grados 3 y 5
En este nivel se proponen problemas rutinarios en los que la información necesaria para resolverlos se encuentra en el enunciado. pasaría que. lo que posibilita aparece explícita la necesaria para resolver los diferentes formas de información necesaria para problemas se encuentra abordar el problema. las cuales se pueden considerar como cotidianas para el estudiante. es decir. Los datos del enunciado no determinan por sí mismos el posible desarrollo de su resolución.
los grados séptimo y noveno se reconocen cuatro niveles de logro: nivel C. 21
. situaciones que no son las típicas en el trabajo de determinados conceptos matemáticos en la escuela.
En este nivel se proponen problemas no rutinarios complejos. nivel E y nivel F.” Para solucionar los problemas también se requiere una sola estrategia de alguna de estos dominios: aritmética. y suele. aritmética y estadística. sin embargo. estudiante debe descubrir implícitamente. el estudiante pone en juego un conocimiento matemático que da cuenta de un mayor nivel de conceptualización logrado. El estudiante debe descubrir en el enunciado relaciones no explícitas que le posibiliten establecer una estrategia para encontrar la solución.
* En los grados tercero y quinto se reconocen tres niveles de logro: nivel B. requiriendo tan sólo de una operación o una relación para su resolución. la información necesaria para resolverlos se encuentra en el enunciado. geometría o estadística.
se establecen relaciones entre un número particular de partes y el número total de partes. Adicionalmente.). partiendo de lo que se ha conceptualizado como competencias en matemáticas.. y las relaciones que se involucran en cada problema. y álgebra. en donde es necesario establecer relaciones entre medidas.. se va haciendo más exigente. la fracción como razón. estadística y probabilidad. se establecen cuatro tópicos en los que se pueden diferenciar más claramente estructuras y estrategias propias de cada uno de ellos: aritmética. la fracción se asume como un índice comparativo entre dos cantidades de una magnitud. En cada uno de los grados se evaluarán los tópicos pertinentes. con el fin de que los resultados puedan sugerir ciertas fortalezas y debilidades que promuevan acciones de mejoramiento. en tanto se reconocen los mismos tipos de problemas y las acciones que implica la resolución de estos. en donde el razonamiento que se pone en juego implica una mirada a la fracción desde la interpretación parte-todo. En quinto. por ejemplo. entre otras que se podrían sugerir (Tablas 1. se han definido grupos de preguntas o tópicos. en grado tercero se analiza desde las representaciones gráficas. en lo nocional del concepto evaluado e ir creciendo en complejidad hasta llegar a la formalización esperada en la educación básica. dependiendo del grado.
. y además. algunos aspectos sobre su organización. y las consideraciones acerca del conocimiento conceptual y procedimental. hechos. semántica. el conocimiento que los estudiantes han logrado construir sobre las fracciones. involucrando fracciones usuales como 1/2. pertinencia y énfasis: • • • El énfasis que se hace en cada uno de estos tópicos está determinado fundamentalmente por el grado para el que se elabora la evaluación. es decir. en donde el nivel B se caracteriza de la misma manera. en el análisis por tópicos. Los recorridos conceptuales pueden iniciarse. conceptos. sino también en contextos en donde se requiere otro tipo de interpretación.5 y 1.6). Desde la caracterización descrita anteriormente sobre conocimiento matemático. haciendo énfasis en el conocimiento matemático. Cabe anotar que esta es una de las posibles formas de organizar el conocimiento matemático. pero la formalidad del lenguaje que se usa para estructurar las situaciones y las preguntas en los dos grados.Es necesario tener en cuenta que si bien la caracterización de los niveles es similar en los diferentes grados. Por ejemplo. la fracción no sólo es vista desde las representaciones gráficas. desde aspectos disciplinares propios de cada grado (sintaxis. Los grados 3 y 5 constituyen un caso particular. geometría y medición. Es importante tener en cuenta. la complejidad de los niveles de un grado a otro es diferente.
conteo. los racionales positivos. rectas. utilizando argumentos matemáticos para describir figuras geométricas. Se evalúan aspectos como: conceptualización de perímetro y de área. se enfatiza el uso de diversas magnitudes en la solución de situaciones. como parte de un todo. Las nociones tratadas en los grados anteriores se van formalizando cada vez más. desde lo estructural y procedimental de este universo numérico. identificación de figuras geométricas a través de sus propiedades. identificar y reconocer propiedades y relaciones. a partir de las relaciones y propiedades que se reconocen en él. se pretende hacer énfasis en el análisis y la comparación. caracterizadas a través de sus elementos y propiedades. Además de explorar otras relaciones en los números naturales. se evalúan aspectos como: nociones sobre la estructura aditiva. racionales y enteros. identificación de patrones numéricos. incluyendo ahora los racionales y los enteros. En el caso de la medición. como un acercamiento cada vez más formal a la probabilidad (dado que ya hay un trabajo sobre las fracciones). enfatizando en su uso en diferentes situaciones significativas (usando el número para medir. transformaciones (rotaciones y traslaciones). Así. lectura e interpretación de gráficas. acercamiento a la estructura multiplicativa. mediciones con unidad patrón (convencional y no convencional). se exploran las propiedades y características de cuerpos. Se evalúan aspectos como: nociones de combinatoria. Cada vez se van ampliando los universos numéricos a evaluar.
En este tópico se proponen situaciones en las que se requiere el reconocimiento de datos en diferentes formas de representación usuales en la estadística. se evalúan aspectos como: nociones sobre estructuras aditiva y multiplicativa. noción de promedio y porcentajes. Grados 3. como decimal. aplicaciones de máximo común divisor y mínimo común múltiplo. propiedades de las figuras. pero vistos desde sus representaciones de fracción y decimal. 5 y 7
En este tópico se enfrenta a los estudiantes al uso significativo de los números naturales.
En este tópico se enfatiza el uso de la medida y el reconocimiento de formas geométricas básicas. Se evalúan aspectos como: aplicaciones de la multiplicación y de la división.Tabla 1. representaciones (gráficas. nociones de perímetro y área en figuras planas. tabulares). como un acercamiento al campo de la combinatoria y la permutación.5 Grupos de Preguntas Pruebas de Matemáticas. se evalúan aspectos como: posibilidades. Se evalúan aspectos como: noción de perímetro y de área por recubrimiento. así como en el análisis de información y en la determinación de probabilidades en espacios muestrales sencillos. En este grado. relaciones de divisibilidad. en situaciones que les exigen una conceptualización de ellos. reconociendo sus unidades y patrones.
. en este grado se explora otro universo numérico.
En este grado. conceptualización de valor posicional. nociones de probabilidad y aleatoriedad. y sus algoritmos en el conjunto de los números naturales. interpretación de información y determinación de porcentajes. y la exploración de las posibilidades y arreglos. movimientos en el plano. 3º Así. propiedades y clasificación de figuras planas y sólidos. posiciones relativas (perpendicularidad. conceptualización y representación de números enteros y racionales. paralelismo). así como en el conteo y las posibilidades. se evalúan aspectos como: reconocimiento de figuras geométricas. en situaciones cotidianas y matemáticas. descomposición de números y factores primos. para ordenar) y explorando sus propiedades y 7º relaciones. superficies y líneas.
En este grado se hace énfasis en el reconocimiento e interpretación de medidas de tendencia central a partir de datos dados. seguimiento de patrones. relaciones de orden en números naturales. como razón). para contar. aunque se siguen utilizando las diversas representaciones de datos. se enfatiza el uso de diferentes sistemas de medida. relaciones y propiedades geométricas. Así. así como algunos movimientos en el plano. noción de fracción (como cociente. 5º Así. En el caso de la medición.
seguimiento de patrones y generalización. Sobre la probabilidad.6 Grupos de Preguntas Pruebas de Matemáticas. traducción de lenguajes dándole sentido desde el contexto amplitud angular). conceptualización y representación de números racionales y sus distintas significaciones. de diversas magnitudes (longitud. se exige su Se evalúan aspectos como: uso de una manera más formal superficie. medida. incógnita. relaciones y (simbólico. capacidad. Se evalúan aspectos como: aplicaciones del concepto 9º de multiplicación y división y sus algoritmos. particular. movimientos en el nociones de probabilidad y variable. utilización de patrones de relaciones métricas. necesarios para la resolución de reconociendo la variable y la diferentes situaciones. gráfico). en el conjunto de los números enteros. Se evalúan haciendo inferencias sobre los datos modelación como elementos aspectos como: conceptualización dados para la toma de decisiones. conceptualización de como: combinatoria y permutación. tabular. incógnita y área del círculo. GEOMETRÍA Y MEDICIÓN ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ALGEBRA Este tópico sólo se introduce para este grado. manejo de la letra como lectura e interpretación de gráficas. porcentajes. promedio y plano. relaciones y interpretaciones y sentidos de propiedades como insumos funciones en diversos contextos. los universos numéricos se amplían en su conceptualización. centrales del trabajo en álgebra.Tabla 1. a través del cual se En este grado se exige el análisis de En este grado. Grado 9
ARITMÉTICA En este grado. medidas de tendencia central. la longitud de la circunferencia y número generalizado. construcción de aleatoriedad. relaciones y de patrones. conceptualización de funciones lineales y cuadráticas.
. Se evalúan aspectos propiedades de objetos ecuaciones lineales con una sola geométricos. y se exige su uso de manera más formal en las diferentes situaciones que se plantean. peso. se enfatiza el uso pretende explorar la comprensión información desde las distintas de teoremas.
(1992) Chamorro. A. Evaluación de la Calidad educativa. L. de profesores de E.17. (1989) Baena. En: Revista lenguaje. (1999) Cano.
. España: Universidad de Extremadura. El grado cero de la escritura. A.BIBLIOGRAFÍA
(1989) Baena. (1992) Baena. 19 y 20. México: Siglo XXI. L. (1994) Bautista. Análisis y propuesta para la evaluación de las regiones planas en la prueba oficial de estado.B y estudiantes para profesores. R. La construcción social de la realidad. (1991) Blanco. Cali: Universidad del Valle. Aprender (por medio de) la resolución de problemas. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. E. En: Problemas de lingüística general II. (1969) Benveniste. Sistemas de representación y aprendizaje de estructuras numéricas. En: Enseñanza de las ciencias. En: Revista lenguaje. (1989) Baena. R. (1997) Castro. No. Semiología de la lengua. España: Alhambra Longman. (1968) Berger. L. A. funcionamiento y función. C. M. Conocimiento y acción en la enseñanza de las matemáticas. En: Revista Lenguaje. Cali: Universidad del Valle. 3. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas. Estructura. No. Barcelona: Gedisa. M.G. E. Buenos Aires: Amorrortu. México: Siglo XXI.. Rico.. Cali: Universidad del Valle. & Luckmann. Realidad mental y mundos posibles. En Grand N. No. En: Revista EPSIOLON. Romero. Funciones del lenguaje y enseñanza de la lengua. E. Revista de Matemática Ciencias y Tecnología Para los maestros de la Escuela primaria. México: Siglo XXI. (1973) Barthes. (1988) Bruner. Ley General de Educación. T. L. 15. (1988) Charnay. J. (1982) Bajtin. vol. No 42. No. En: Revista lenguaje.17. Estética de la creación verbal. L. A. P. Nos. Cali: Universidad del Valle. A. El lenguaje y la significación. Madrid: La Muralla. L. Actos de significación.17. (1994) Congreso de la República de Colombia.
U.. U. Plan de seguimiento 1997-2005. C. Signo. La estructura ausente. Semiosis y Pensamiento Humano. (1998) Hernández. (1997) Giménez. Palimpsestos. Verano. (1977) Eco. Batanero. Madrid: Taurus. Examen de Estado para ingreso a la Educación Superior.gov. Exámenes de Estado: una propuesta de evaluación por competencias. una integración de perspectivas.(1988) Ducrot. U. G. A. (1999) ICFES. En: Revista forma y función.co/calidad/EE2000
. O. Revisión a las técnicas e instrumentos utilizados dentro del proceso evaluativo en matemáticas en la básica secundaria. J. Matemáticas y lenguaje grados tercero y quinto. Semántica estructural. N. Lector in fabula. A. Acerca de la competencia comunicativa.. Resultados Nacionales. Barcelona: Lumen. I. Serie Investigación y Evaluación Educativa. (1976) Hymes. España: Síntesis. Cali: Universidad del Valle. D. Bogotá: ICFES. (1996) Fandiño. Cali: Univalle. Evaluación en Matemáticas. L. (1971) Greimas. (1985) Eco. (1996) Hymes. (1989) Genette. (2000) ICFES. La sociolingüística y la etnografía del habla. (1981) Eco. C. (1999) Duval. (1988) Eco. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. Departamentales y Grandes Ciudades.icfes. Obra abierta. Sociología contra psicoanálisis. (1995) Eco. (1972) Eco. Barcelona: Lumen. Buenos Aires: Paidós.. (1974) Eco. Los límites de la interpretación. En: http://goteron.es Diciembre de 2002. Bogotá: ICFES. Tratado de semiótica general.urg.9. R. U. En: Antropología social y lenguaje. En: http://calidad. Polifonía y argumentación. Barcelona: Labor. Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas. (1996) Godino. D. Barcelona: Lumen. Rocha. U. Barcelona: Lumen. Fonseca. Significado y comprensión de los objetos matemáticos.. U. Madrid: Greidos. Estadísticas nacionales. M. Barcelona: Ariel. J. U. Barcelona: Martínez Roca.
(1996) Ministerio de Educación Nacional.. Mora.. En: Enseñanza de las ciencias. Bogotá: ICFES. (1999) Rojas. No 1. (1998) Rocha. Castillo E. Cerdán F. Consideraciones Metodológicas. En: Revista Latinoamericana de Psicología. Bogotá: ICFES. Matemáticas. (1995) Rico. G.. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional. (1987) Peirce. Sevilla: Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales". (1995) Puig L. España: Universidad de Granada. Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas. M. (1990) Rico. En: Educación matemática. Bogotá: Editorial Magisterio. (1997) Lesh. R. L. (1998) Ministerio de Educación Nacional. M. (1989) National council of teachers of mathemmatics. La Investigación en educación matemática. Examen Tipo año 2001 y año 2002. Los procesos de la escritura. Madrid: Síntesis. Lineamientos curriculares de matemáticas. P. Madrid: Tauros. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional. Vol. & Bustamante. L. La gramática básica de la matemática y competencias matemáticas. La transición Aritmética-Algebra. (1999) Pedraza. L. Rodríguez. J. vol. (1997) Jurado. J. No.
. W. Bogotá: ICFES.M. J.. (1996) Rodríguez. 28. Consideraciones sobre el currículo escolar de matemáticas. Investigación sobre errores de aprendizaje. Pruebas de Matemáticas. México: Fondo de Cultura Económico. Romero.. No. Bogotá: ICFES. P. Transformaciones en las pruebas para obtener resultados diferentes. Oralidad y escritura. (1999) Pardo. Bonilla. (1987) Ong. Garzón. En: Revista EMA. (1996) Santos. 15. Serie Investigación y Evaluación Educativa. Serie Nuevo Examen de Estado. Ch. Serie Nuevo Examen de Estado. C. S.(2002) ICFES. Indicadores de Logros Curriculares. Estándares curriculares de evaluación para la educación matemática. 3. Problemas aritméticos escolares. O. Bogotá: ICFES.. F. C. Matemátización: La necesidad "real" de la fluidez en las representaciones. Exámenes de Estado para Ingreso a la Educación Superior. 3. Obra lógico – semiótica.
Bogotá: ICFES. En: Goldin y McClintonck.
. M. L. C. Estructuras y funciones del discurso. En: Currículum y Cognición. (1999) Sistema Nacional de Evaluación. 2. L. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional. C. A. 1994 y 1997. (1993) Vasco. Task variables in mathematical problem solving. En: Serie nuevo examen de estado. (1994) Vasco. L. Conferencia dada a la Red de Investigadores en Educación Matemática. Evaluación de logros áreas de lenguaje y matemáticas 1992. Barcelona: Paidós. (1988) Vygotsky. Un nuevo enfoque para la didáctica de las matemáticas. área de lenguaje. (1979) Webb. N. M. Vol. T. La enseñanza del pensamiento matemático y la resolución de problemas. La formación social de la mente. Serie Investigación y Evaluación Educativa. De la evaluación de aptitudes a la evaluación de competencias. (1998) Torrado. septiembre 2: Universidad Nacional de Colombia. La educación matemática: una disciplina en formación. Content and context variables in problem tasks. (1996) Schoenfeld. México: Grupo editorial Iberoamérica. (1972) Van Dijk. Bogotá. Philadelphia: Franklin Institute Press.(1996) Santos. E. Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las Matemáticas. México: Siglo XXI. En: Serie pedagogía y Currículo. Bogotá: ICFES.
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