Source: https://es.scribd.com/doc/95468187/Aplicacion-de-Las-Ecuaciones-Diferenciales-en-la-Ingenieria
Timestamp: 2016-05-25 21:25:15+00:00

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1 Página PROLOGO La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
2 Página PRESENTACION El propósito del presente trabajo es de recalcar el tema con mayor profundidad las ecuaciones diferenciales, en ejercicios aplicados esencialmente a los temas que conciernan a ingeniería civil. Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matemáticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto. La teoría de las ecuaciones diferenciales e integrales es con toda seguridad la disciplina de las matemáticas con una más clara motivación aplicada. Estas ecuaciones están asociadas a diferentes fenómenos de la Física (movimiento vibratorio, difusión del calor, etc.), Química (procesos de reacción-combustión), Biología (estudio de especies biológicas), Óptica (procesos de difusión de la luz), Estadística (procesos estocásticos), Economía (optimización del rendimiento), Ingeniería (diseño óptimo de vigas). Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: - Ecuaciones diferenciales ordinarias: Aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. - Ecuaciones en derivadas parciales: Aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
3 Página OBJETIVOS  Definir las nociones básicas de las ecuaciones diferenciales y mostrar ejemplos de aplicación a la ingeniería.  Estudiar la teoría, las técnicas de solución y las aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias  Involucrar al estudiante de manera activa en el proceso de aprendizaje mediante lecturas previas de los  Diferentes temas a tratar y mediante la asignación de problemas que deben ser sustentados en el aula.  Propiciar que el estudiante aprenda a trabajar adecuadamente en grupo y también de manera individual  Posibilitar que el estudiante use eficientemente las herramientas tecnológicas a su alcance, en la solución de los problemas  Desarrollar en el estudiante un pensamiento matemático, en el que vayan a la par la comprensión clara de los diferentes conceptos y una experiencia importante en la modelación y resolución de problemas utilizando las técnicas matemáticas.  Desarrollar en los alumnos habilidades tanto para la comprensión de la demostración de teoremas como para la obtención de conclusiones sólidas a partir de hipótesis dadas y su capacidad para idear demostraciones. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
4 Página INDICE PROLOGO 01 PRESENTACION 02 OBJETIVOS 03 CAPITULO I 1. ECUACIONES DIFERENCIALES 05 1.2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 07 1.3. Ecuaciones Diferenciales Parciales 15 CAPITULO II 2. EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON GRAFICAS 20 2.1. Ecuación Diferencial Separable 20 2.2. Resolviendo y Graficando una Ecuación Diferencial Lineal 23 2.3. Demostración de la Ecuación Diferencial de la Gravedad 25 2.4. Ecuaciones Diferenciales Exactas 27 CAPITULO III 3. RAMAS DE LA INGENIERIA 29 3.1. RESISTENCIA DE MATERIALES 29 3.2. MECANICA DE FLUIDOS 35 3.3. CIRCUITOS ELECTRICOS 38 3.4. GRAVITACION UNIVERSAL 40 3.5. DINAMICA 42 CAPITULO IV 4. APLICACIONES A LA INGENIERIA 46 CONCLUCIONES 62 BIBLIOGRAFIA 63 MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
5 Página CAPITULO I ECUACIONES DIFERENCIALES OBJETIVOS: Establecer los fundamentos necesarios para la intensificación de las técnicas para las ecuaciones diferenciales a partir de sus ecuaciones con premisas, para utilizarlos en las diversas aplicaciones. Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno debe ser capaz de:  Describir el procedimiento seguido de las ecuaciones diferenciales.  Reconocer la forma de la ecuación diferencial sea E.D. Ordinaria o E.D. Parcial INTRODUCCION.- Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: - Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. - Ecuaciones en derivadas parciales: aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: - es una ecuación diferencial ordinaria, donde es la variable dependiente, la variable independiente, es la derivada de con respecto a . - La expresión es una ecuación en derivadas parciales. A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace). Orden de la ecuación El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación. Grado de la ecuación Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
6 Página Ecuación diferencial lineal Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma
, es decir: - Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. - En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. - Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación. Ejemplos: - es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera. - es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales. - es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales. Usos: Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía. - En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es: Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo. - La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden: Donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
7 Página Solución de una ecuación diferencial Tipos de soluciones: Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: 1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. 2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. 3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. 1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS: En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas con respecto a esa variable. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables. Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones. Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de este tipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta. Introducción.- Si F es esta relación o función, la ecuación diferencial ordinaria (EDO) es 1a ························ (*) MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
8 Página La ecuación diferencial lineal más general, de orden n está dada por: Donde los ai representan funciones dependientes de t. Una solución de la ecuación (*) o (**) será una "familia" de curvas o funciones del tipo que substituida dentro de la ecuación la convierte en una igualdad en la que todos los términos son conocidos. Definiciones: Ecuación diferencial ordinaria.- Si y es una función desconocida: de x siendo y
la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma es llamada una ecuación diferencial ordinara (ODE) de orden n. Para funciones vectoriales, , la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m. Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma es llamada una ecuación diferencial explicita. Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma. Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el termino fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada no homogénea. ············ (**) ····································· (1) MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
9 Página Soluciones: Dada una ecuación diferencial una función u: I ⊂ R → R es llamada la solución o curva integral de F, si u es n veces derivable en I, y Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general. Una solución general de una ecuación de orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes de integración. Una solución particular es derivada de la solución general mediante la fijación de valores particulares para las constantes, a menudo elegidas para cumplir condiciones iniciales o boundary conditions. Una solución singular es una solución que no puede ser derivada de la solución general. Tipos de EDOs y forma de resolución: Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución). Existencia y unicidad de soluciones El teorema de Peano-Picard garantiza la existencia de una solución y su unicidad para toda ecuación diferencial ordinaria lineal con coeficientes continuos en un intervalo tiene solución única en dicho intervalo. Para el caso de ecuaciones diferenciales no-lineales no existen resultados análogos al de Peano-Picard. El teorema de Peano-Picard demuestra la existencia mediante una demostración constructiva, para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Puesto que toda ecuación diferencial lineal de orden arbitrario puede reducirse a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, se sigue del teorema de Peano-Picard la existencia y unicidad de la solución. La idea del teorema es simple construye una sucesión de Cauchy funciones cuyo límite es precisamente la solución del sistema. La demostración de la unicidad por otra parte resulta trivial. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
10 Página Soluciones analíticas Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular si los coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables en serie de Taylor o serie de Laurent es aplicable con ciertas restricciones el método de Frobenius. Otra posibilidad es reducir una ecuación diferencial lineal de orden n a un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos generales. Soluciones numéricas Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta, los métodos multipaso y los métodos de extrapolación. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma: Donde es la condición inicial. Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran. Ecuación de variables separables Son EDOs de la forma: En donde es posible "despejar" todos los términos con la variable dependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación: En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación De donde es posible obtener la solución MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
11 Página Ecuación exacta Una ecuación de la forma: se dice exacta si existe una función F que cumpla: y Su solución es entonces: - Ecuación de Coeficientes Homogéneos (llamada comúnmente homogénea). Ecuación lineal Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma: Y que tienen por solución: Como se puede apreciar, esta ecuación es una ecuación diferencial de Bernoulli, con n=0. Ecuación de Bernoulli Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización de la ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano, Johann Bernoulli y presenta la forma: En la cual, si se hace la sustitución z = y
, la ecuación se transforma en una ecuación lineal con z como variable dependiente, resolviéndose de manera análoga. Ecuación de Riccati Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
12 Página Para resolverla, se debe hacer la sustitución , donde yp es una solución particular cualquiera de la ecuación. Ecuación de Lagrange Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma: Resolviéndose con la sustitución y' = p, obteniéndose una solución general y una solución particular. Ecuación de Clairaut Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut,tiene la forma: Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con g(y') = y', por lo cual, su resolución es análoga a la anterior. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden Muchos problemas físicos importantes tanto en mecánica como en electromagnetismo conllevan la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ecuación lineal con coeficientes constantes La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes tiene la forma: La resolución de esta ecuación depende de las raíces del polinomio característico: En función de cómo sean las raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles: - Caso 1: dos raíces reales y distintas , en este caso la solución general tiene la forma: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
13 Página - Caso 2: dos raíces reales e iguales , en este caso la solución general tiene la forma: - Caso 3: dos raíces complejas conjugadas , en este caso la solución general tiene la forma: El último término de esta última ecuación está relacionado con la integral de Duhamel. Ecuación diferencial de Euler o de Cauchy Esta ecuación tiene la forma: Y puede resolverse mediante haciendo el cambio de variable que reduce la ecuación anterior a una ecuación de coeficientes constantes resoluble por los métodos de la sección anterior: Ecuaciones de Bessel La ecuación diferencial de Bessel, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma: Esta ecuación es resoluble mediante las llamadas funciones de Bessel: Además de esta ecuación existe otra ecuación resoluble mediante funciones de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel modificada, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas cilíndricas. Dicha ecuación tiene la forma: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
14 Página Cuya solución viene dada por: Ecuación de Legendre La ecuación diferencial de Legendre, aparece con frecuencia en la resolución del problema de Dirichlet en coordenadas esféricas. La ecuación tiene la forma: Cuando n es un entero una de las dos soluciones independientes que conforman la solución general de la ecuación anterior es el polinomio de Legendre de grado n: Las solución general puede expresarse en la forma: , o bien, Dónde: , y Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior Ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes La ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es de la siguiente forma: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
15 Página Donde los términos representan constantes En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, las soluciones de esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación: En el caso de que todas las raíces sean diferentes la solución viene dada por: En el caso de que existan varias raíces repetidas, siendo mi la multiplicidad de la raíz i-ésima, la solución es de la forma: Las multiplicidades de cada raíz son el exponente de la siguiente descomposición: 1.1 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. INTRODUCCION: Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función u(x1,...xn) tiene la siguiente forma F es una función lineal de u y sus derivadas si, reemplazando u con v+w, F puede escribirse F(v) + F(w), y si, reemplazando u con ku, F puede escribirse como MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
16 Página Si F es una función lineal de u y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace. Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser: Donde u es una función de x e y. Esta relación implica que los valores de u(x, y) son completamente independientes de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial es: Donde f es una función arbitraria de y. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es que tiene la siguiente solución Donde c es cualquier valor constante (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es única; de esta forma se tienen que proporcionar condiciones adicionales de contorno capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función f(y) puede determinarse si u se especifica sobre la línea x = 0. Notación y ejemplos En las ecuaciones en derivadas parciales es muy común denotar las derivadas parciales empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es: Especialmente en la física matemática, se suele preferir el operador nabla (que en coordenadas cartesianas se escribe como para las derivadas espaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
17 Página para escribir la Ecuación de onda (véase más abajo) como (notación matemática) (notación física) Solución general y solución completa Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas. Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en el ecuación de Hamilton-Jacobi requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico. Existencia y unicidad Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el teorema de Picard-Lindelöf, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para una EDP que es analítica en la función incógnita y sus derivadas tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, existen ejemplos de EDP de primer orden cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.
Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables. Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de problemas de Cauchy dependientes del parámetro n para la ecuación de Laplace: con condiciones inciales Donde n es un entero. La derivada de u con respecto a y se aproxima a 0 uniformemente en x a medida que n se incrementa, pero la solución es: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
18 Página Esta solución se aproxima a infinito si nx no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal propuesto o no bien definido, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas. Clasificación de las EDP de segundo orden Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos: Ecuación Nombre Tipo Laplace Elíptica Onda Hiperbólica Difusión Parabólicas Helmholtz Elíptica Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo: - se dice que es elíptica si la matriz tiene un determinante mayor a 0. - se dice que es parabólica si la matriz tiene un determinante igual a 0. - se dice que es hiperbólica si la matriz tiene un determinante menor a 0. EDP de orden superior Si bien las EDP de segundo orden rigen una inmensa cantidad de fenómenos físicos, otra cantidad no tan grande es regida por EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
19 Página - Flexión mecánica de una placa elástica: - Vibración flexional de una viga: - Ecuación de Korteweg-de Vries, que tiene soluciones de tipo solitón, MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
20 Página CAPITULO II EJEMPLOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON GRAFICAS MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
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29 Página CAPITULO III RAMAS DE LA INGENIERIA 1. RESISTENCIA DE MATERIALES: La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica y la ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis por elementos finitos. 1.1 Enfoque de la resistencia de materiales: La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis cinemática. En resumen, para esas geometrías todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones. El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende: - Hipótesis cinemática establece como serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para piezas prismáticas las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y la hipótesis de Saint-Venant para la torsión. - Ecuación constitutiva que establece una relación entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke. - Ecuaciones de equivalencia, son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos. - Ecuaciones de equilibrio que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
30 Página En las aplicaciones prácticas el análisis es sencillo, se construye un esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al tipo de solicitación que presentan los elementos. Esas fórmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anterior. Más concretamente la resolución práctica de un problema de resistencia de materiales sigue los siguientes pasos: 1. Cálculo de esfuerzos, se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas. 2. Análisis resistente, se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: flexión de Bernouilli, flexión de Timoshenko, flexión esviada, tracción, pandeo, torsión de Coulomb, teoría de Collignon para tensiones cortantes, etc. 3. Análisis de rigidez, se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la curva elástica, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los teoremas de Castigliano. 1.2 Hipótesis cinemática: La hipótesis cinemática es una especificación matemática de los desplazamientos de un sólido deformable que permite calcular las deformaciones en función de un conjunto de parámetros incógnita. El concepto se usa especialmente en el cálculo de elementos lineales (e.g. vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hipótesis cinemática se pueden obtener relaciones funcionales más simples. Así pues, gracias a la hipótesis cinemática se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del sólido deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional. 1.2.1 Hipótesis cinemática en elementos lineales: La resistencia de materiales propone para elementos lineales o prismas mecánicos, como las vigas y pilares, en las que el desplazamiento de cualquier punto se puede calcular a partir de desplazamientos y giros especificados sobre el eje baricéntrico. Eso significa que por ejemplo para calcular una viga en lugar de espeficar los desplazamientos de cualquier punto en función de tres coordenadas, podemos expresarlos como función de una sola coordenada sobre el eje baricéntrico, lo cual conduce a sistemas de ecuaciones diferenciales relativamente simples. Existen diversos tipos de hipótesis cinemáticas según el tipo de solicitación de la viga o elemento unidimensional: - Hipótesis de Navier-Bernouilli, que se usa para elementos lineales alargados sometidos a flexión cuando las deformaciones por cortante resultan pequeñas. - Hipótesis de Timoshenko, que se usa para los elementos lineales sometidos a flexión en un caso totalmente general ya que no se desprecia la deformación por cortante. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
31 Página - Hipótesis de Saint-Venant para la extensión, usada en piezas con esfuerzo normal para zonas de la viga alejadas de la zona de aplicación de las cargas. - Hipótesis de Saint-Venant para la torsión, se usa para piezas prismáticas sometidas a torsión y en piezas con rigidez torsional grande. - Hipótesis de Coulomb, se usa para piezas prismáticas sometidas a torsión y en piezas con rigidez torsional grande y sección circular o tubular. Esta hipótesis constituye una especialización del caso anterior. 1.2.2 Hipótesis cinemática en elementos superficiales: Para placas y láminas sometidas a flexión se usan dos hipótesis, que se pueden poner en correspondencia con las hipótesis de vigas - Hipótesis de Love-Kirchhoff - Hipótesis de Reissner-Mindlin 1.3 Ecuación constitutiva Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las que explicitan el comportamiento del material, generalmente se toman como ecuaciones constitutivas las ecuaciones de Lamé-Hooke de la elasticidad lineal. Estas ecuaciones pueden ser especializadas para elementos lineales y superficiales. Para elementos lineales en el cálculo de las secciones, las tensiones sobre cualquier punto (y,z) de la sección puedan escribirse en función de las deformaciones como: En cambio para elementos superficiales sometidos predominantemente a flexión como las placas la especialización de las ecuaciones de Hooke es: Además de ecuaciones constitutivas elásticas, en el cálculo estructural varias normativas recogen métodos de cálculo plástico donde se usan ecuaciones constitutivas de plasticidad. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
32 Página 1.4 Ecuaciones de equivalencia Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos. 1.4.1 Elementos lineales: En elementos lineales rectos las coordenadas cartesianas para representar la geometría y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al eje baricéntrico de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales de inercia. En ese sistema de coordenadas la relación entre esfuerzo normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momento torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es: Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensión para una pieza prismática: 1.4.2 Elementos bidimensionales: Para elementos bidimensionales es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2t y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los esfuerzos se componen de 4 esfuerzos de membrana (o esfuerzos axiles por unidad de área), 4 momentos flectores y 2 esfuerzos cortantes. Los esfuerzos de membrana usando un conjunto de coordenadas ortogonales sobre una lámina de Reissner-Mindlin: Donde Ru,Rv son los radios de curvatura en cada una de las direcciones coordenadas y z es la altura sobre la superficie media de la lámina. Los MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
33 Página esfuerzos cortantes y los momentos flectores por unidad de área vienen dados por: El tensor tensión de una lámina general para la que valen las hipótesis de Reissner-Mindlin es: Un caso particular de lo anterior lo constituyen las láminas planas cuya deformación se ajusta a la hipótesis de Love-Kirchhoff, caracterizada por que el vector normal a la superficie media deformada coincide con la normal deformada. Esa hipótesis es una muy buena aproximación cuando los esfuerzos cortantes son despreciables y en ese caso los momentos flectores por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por: Donde las tensiones que aparecen son las componentes del tensor tensión para una lámina de Love-Kirchhoff: 1.5 Ecuaciones de equilibrio Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para elementos lineales y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en lugar de las tensiones. Las ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones generales de la teoría de la elasticidad lineal: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
34 Página Si en ellas tratamos de substituir las tensiones por los esfuerzos internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales. 1.5.1 Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales rectos: En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma: 1.5.2 Ecuaciones de equilibrio en elementos planos bidimensionales: Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (vx, my) y la carga superficial vertical (qs): 1.6 Relación entre esfuerzos y tensiones El diseño mecánico de piezas requiere: - Conocimiento de las tensiones, para verificar si éstas sobrepasan los límites resistentes del material. - Conocimiento de los desplazamientos, para verificar si éstos sobrepasan los límites de rigidez que garanticen la funcionalidad del elemento diseñado. En general el cálculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teoría de la elasticidad, sin embargo cuando la geometría de los elementos es suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho más simple mediante los métodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elástico. 1.6.1 Elementos lineales o unidimensionales: El cálculo de tensiones se puede obtener a partir de la combinación de las fórmula de Navier para la flexión, la fórmula de Collignon-Jourawski y las fórmulas del cálculo de tensiones para la torsión. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
35 Página El cálculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse a cabo a partir métodos directos como la ecuación de la curva elástica, los teoremas de Mohr o el método matricial o a partir de métodos energéticos como los teoremas de Castigliano o incluso por métodos computacionales. 1.6.2 Elementos superficiales o bidimensionales: La teoría de placas de Love-Kirchhoff es el análogo bidimensional de la teoría de vigas de Euler-Bernouilli. Por otra parte el cálculo de láminas es el análogo bidimensional del cálculo de arcos. El análogo bidimensional para una placa de la ecuación de la curva elástica, es la ecuación de Lagrange para la deflexión del plano medio de la placa. Para el cálculo de placas también es frecuente el uso de métodos variacionales. 1.7 Relación entre esfuerzos y desplazamientos Otro problema importante en muchas aplicaciones de la resistencia de materiales es el estudio de la rigidez. Más concretamente ciertas aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos por encima de cierto valor prefijado. El cálculo de las deformaciones a partir de los esfuerzos puede determiarse mediante varios métodos semidirectos como el uso del teorema de Castigliano, las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o el uso de la ecuación de la curva elástica. 2. MECANICA DE FLUIDOS OBJETIVOS: Nuestros objetivos en este trabajo son los siguientes: Presentar los principios de la Mecánica de fluidos y su aplicación en problemas prácticos. Contar con un enfoque lógico hacia la solución de los problemas. Capacidad de realizar los análisis y cálculos requeridos en las soluciones. Capacidad de valorar el diseño de un sistema dado y recomendar mejoras. INTRODUCCION: Actos tan cotidianos como tomar una ducha, respirar o beber agua, requieren necesariamente la circulación de fluidos. El estudio de la mecánica de fluidos puede ayudarnos tanto para comprender la complejidad del medio natural, como para mejorar el mundo que hemos creado. Si bien la mecánica de fluidos está siempre presente en nuestra vida cotidiana, lo que nos falta conocer es como se expresa esta información en términos cuantitativos, o la manera en que se diseñan sistemas con base en este conocimiento, mismos que se utilizaran para otros fines. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
36 Página El conocer y entender los principios básicos de la mecánica de fluidos es esencial en el análisis y diseño de cualquier y sistema en el cual el fluido es el elemento de trabajo. Hoy en día el diseño de virtualmente todos los medios de transporte requiere la aplicación de la mecánica de fluidos. Entre estos se incluyen tanto los aviones como maquinas terrestres, barcos, submarinos y típicamente automóviles. El diseño de sistemas de propulsión para vuelos especiales y cohetes está basado en los principios de la mecánica de fluidos. También es bastante común realizar estudios en modelo reducido para determinar las fuerzas aerodinámicas y estudiar el flujo alrededor de edificios, puentes y otras estructuras complejas. El diseño de turbo maquinarias como bombas, hélices y turbinas de todo tipo requieren claramente de conocimientos de mecánica de fluidos. La lubricación es también un área de aplicaciones importantes. Los sistemas de calefacción y de ventilación, tanto de viviendas e industrias como de construcciones subterráneas, túneles y otros, así como el diseño de sistemas de cañerías son ejemplos en los cuales las técnicas de diseño están basadas en la mecánica de fluidos. Incluso el sistema de circulación del cuerpo humano es un sistema fluido; de ahí que se dé el diseño de corazones artificiales, máquinas de diálisis, ayudas respiratorias y otros aparatos de este tipo estén basadas en los principios de la mecánica de fluidos. Esto ha dado origen a la aerodinámica y la hidráulica dos ramas importantes de la mecánica de fluidos. DEFINICION: Mecánica de fluidos, es la parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía. La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad. Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
37 Página 2.1 ECUACIONES GENERALES DE LA MECANICA DE FLUIDOS: Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana. Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad). No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes: Ecuación de continuidad: - Forma integral: - Forma diferencial: Ecuación de cantidad de movimiento: - Forma integral: - Forma diferencial: Ecuación de la energía - Forma integral: - Forma diferencial: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
38 Página 2.2 PRINCIPIO DE ARQUIMIDES Y FLOTABILIDAD El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con una fuerza vertical ascendente igual al peso del volumen de fluido desplazado por dicho cuerpo. Esta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newton (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así: E=mg=ρfgV donde ρf es la densidad del fluido, V el volumen del cuerpo sumergido y g la aceleración de la gravedad, de este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje actúa siempre verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de carena. 3. CIRCUITOS ELECTRICOS INTRODUCCION Es tan común la aplicación del circuito eléctrico en nuestros días que tal vez no le damos la importancia que tiene. El automóvil, la televisión, la radio, el teléfono, la aspiradora, las computadoras y videocaseteras, entre muchos y otros son aparatos que requieren para su funcionamiento, de circuitos eléctricos simples, combinados y complejos. Pero ¿qué es un circuito eléctrico? Se denomina así el camino que recorre una corriente eléctrica. Este recorrido se inicia en una de las terminales de una pila, pasa a través de un conducto eléctrico (cable de cobre), llega a una resistencia (foco), que consume parte de la energía eléctrica; continúa después por el conducto, llega a un interruptor y regresa a la otra terminal de la pila. Los elementos básicos de un circuito eléctrico son: Un generador de corriente eléctrica, en este caso una pila; los conductores (cables o alambre), que llevan a corriente a una resistencia foco y posteriormente al interruptor, que es un dispositivo de control. Todo circuito eléctrico requiere, para su funcionamiento, de una fuente de energía, en este caso, de una corriente eléctrica. ¿Qué es la corriente eléctrica? Recibe este nombre el movimiento de cargas eléctricas (electrones) a través de un conducto; es decir, que la corriente eléctrica es un flujo de electrones. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
39 Página ¿Qué es un interruptor o apagador? No es más que un dispositivo de control, que permite o impide el paso de la corriente eléctrica a través de un circuito, si éste está cerrado y que, cuando no lo hace, está abierto. Existen otros dispositivos llamados fusibles, que pueden ser de diferentes tipos y capacidades. ¿Qué es un fusible? Es un dispositivo de protección tanto para ti como para el circuito eléctrico. Sabemos que la energía eléctrica se puede transformar en energía calorífica. Hagamos una analogía, cuando hace ejercicio, tu cuerpo está en movimiento y empiezas a sudar, como consecuencia de que está sobrecalentado. Algo similar sucede con los conductores cuando circula por ellos una corriente eléctrica (movimiento de electrones) y el circuito se sobrecalienta. Esto puede ser producto de un corto circuito, que es registrado por el fusible y ocasiona que se queme o funda el listón que está dentro del, abriendo el circuito, es decir impidiendo el paso de corriente para protegerte a ti y a la instalación. Recuerda que cada circuito presenta Características Particulares. Obsérvalas, compáralas y obtén conclusiones sobre los circuitos eléctricos. Los circuitos eléctricos pueden estar conectados en serie, en paralelo y de manera mixta, que es una combinación de estos dos últimos. Tipos de circuitos eléctricos Circuito en serie: Circuito en paralelo: Circuito con un timbre en serie con dos ampolletas en paralelo: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
40 Página Circuito con una ampolleta en paralelo con dos en serie: Circuito con dos pilas en paralelo: 4. GRAVITACION UNIVERSAL INTRODUCCION: La ley de Gravitación Universal es una ley clásica de la gravitación presentada por Isaac Newton en su libro publicado en 1687, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, que establece una relación cuantitativa para la fuerza de atracción entre dos objetos con masa. Todo objeto en el universo que posea masa ejerce una atracción gravitatoria sobre cualquier otro objeto con masa, aún si están separados por una gran distancia. Según explica esta ley, cuanta más masa posean los objetos, mayor será la fuerza de atracción, y además, cuanta más cerca se encuentren entre sí, mayor será esa fuerza también, según una ley de la inversa del cuadrado. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
41 Página Considerando dos cuerpos de tamaño pequeño comparado con la distancia que los separa, se puede expresar lo anterior en una ecuación o ley diciendo que «la fuerza que ejerce un objeto con masam1 sobre otro con masa m2 es directamente proporcional al producto de ambas masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa», es decir: …………………...(1) Dónde: m1 y m2 son las masas de los dos cuerpos es la distancia que separa sus centros de gravedad y es la constante de gravitación universal. En la fórmula destaca «G», la constante de gravitación universal. Newton no conocía el valor de esta constante, sólo indicó que se trataba de una constante universal, que era un número bastante pequeño, y cuál era su unidad de medida. Sólo mucho tiempo después se desarrollaron las técnicas necesarias para calcular su valor, y aún hoy es una de las constantes universales conocidas con menor precisión. En 1798 se hizo el primer intento de medición (véase el experimento de Cavendish) y en la actualidad, con técnicas mucho más precisas se ha llegado a estos resultados: La fuerza gravitatoria que ejerce el cuerpo 1 sobre el cuerpo 2 se puede expresar también con la siguiente fórmula vectorial, equivalente a la (1): ……………(2) Dónde: es el vector unitario que va del centro de gravedad del objeto 1 al del objeto 2. 4.1 FORMA GENERAL DE LA LEY: Interpretando lo anterior, y dejándose guiar por la fórmula, esta ley establece que cuanto más grandes sean las masas de ambos cuerpos, mayor será la fuerza con que se atraigan, y que a mayor distancia de separación menor será dicha fuerza. Es importante aclarar que la distancia entre los dos objetos se refiere a la distancia existente entre sus centros de gravedad, y que ésta debe ser grande en MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
42 Página comparación con el tamaño de los cuerpos (cuerpos puntuales). Si esto no ocurre, la fórmula (2) deja de ser válida y debe ser sustituida por: Donde: son los volúmenes de los dos cuerpos. son las densidades de los dos cuerpos. Puede verse que si se tienen dos cuerpos finitos entonces la fuerza gravitatoria entre ambos viene acotada por: Donde son las distancias mínimas y máximas entre los dos cuerpos en un instante dado. 4.2 LIMITACIONES: Si bien la ley de la gravitación universal da una muy buena aproximación para describir el movimiento de un planeta alrededor del Sol, o de un satélite artificial relativamente cercano a la Tierra, se han observado algunas desviaciones experimentales no explicables dentro de la teoría newtoniana: La trayectoria del planeta Mercurio no es una elipse cerrada tal como predice la teoría de Newton, sino una cuasi-elipse que gira secularmente, produciendo el problema del avance del perihelio que fue explicado por primera vez sólo con la formulación de la teoría general de la relatividad. La velocidad de rotación de las galaxias no parece responder adecuadamente a la ley de la gravitación, lo que ha llevado a formular el problema de la materia oscura y alternativamente de la dinámica. 5. DINAMICA DEFINICION: La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
43 Página El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se desarrollaran los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, dejándose para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no-mecánicos. 5.1 CALCULO EN LA DINAMICA: A través de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas. El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la newtoniana directamente auxiliados de las leyes de conservación. La ecuación esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) F=m*a donde F es la resultante de las fuerzas aplicadas, el m la masa y la a la aceleración. Leyes de conservación Las leyes de conservación pueden formularse en términos de teoremas que establecen bajo qué condiciones concretas una determinada magnitud "se conserva" (es decir, permanece constante en valor a lo largo del tiempo a medida que el sistema se mueve o cambia con el tiempo). Además de la ley de conservación de la energía las otras leyes de conservación importante toman la forma de teoremas vectoriales. Estos teoremas son: El teorema de la cantidad de movimiento, que para un sistema de partículas puntuales requiere que las fuerzas de las partículas sólo dependan de la distancia entre ellas y estén dirigidas según la línea que las une. En mecánica de medios continuos y mecánica del sólido rígido pueden formularse teoremas vectoriales de conservación de cantidad de movimiento. El teorema del momento cinético, establece que bajo condiciones similares al anterior teorema vectorial la suma de momentos de fuerza respecto a un eje es igual a la variación temporal del momento angular. Ecuaciones de movimiento Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
44 Página La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema conduce a ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas de referencia inerciales. La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, aunque permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas coordenadas generalizadas, que se adapten mejor a la geometría del problema planteado. Además las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea éste inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas permiten encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano. La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias son de primer orden. Además la gama de transformaciones de coordenadas admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual hace aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas. El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que resulta el medio más sencillo cuando se conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento. 5.2 DINAMICA DE SISTEMAS MECANICOS: En física existen dos tipos importantes de sistemas físicos los sistemas finitos de partículas y los campos. La evolución en el tiempo de los primeros pueden ser descritos por un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias, razón por la cual se dice que tienen un número finito de grados de libertad. En cambio la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal se comportan como un sistema de partículas con un número infinito de grados de libertad. La mayoría de sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también existen sistemas de tipo mecánico que son descritos de modo más sencillo como campos, como sucede con los fluidos o los sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un número infinito de puntos materiales, como los sólidos rígidos pueden ser descritos mediante un número finito de grados de libertad. Dinámica de la partícula La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia instantáneas. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
45 Página En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mútua interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho marco se considera que las acciones a distancia viola la causalidad física. En esas condiciones la fuerza sobre una partícula debida a las otras depende de las posiciones pasadas de las partículas. Dinámica del sólido rígido La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías). MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
46 Página CAPITULO IV APLICACIONES A LA INGENIERIA MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
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50 Página VI. Mecánica de Fluidos. Un tanque de forma piramidal de 4,5 m de profundidad constituido como se muestra en el diagrama, está inicialmente lleno de agua. En el fondo del mismo se abre un orificio de 30 cm
de área, dejando que escurra el agua por él. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se vacíe completamente el tanque? Solución: Planteamos: De Bernouilli, la velocidad de salida por el orificio es: gy V 2 =
gy A dv 2
= ¬ dt
… (1) Además , Ady dv = en el cual: 2
) 2 . 1 2 ( + = x A Por geometría: 2
) 2 . 1 2 ( + ÷ = y x y dy y dv
) 2 . 1 2 ( + = … (2) Entonces de (1) y (2): gy A 2
dt dy y
) 2 . 1 2 ( + = Que es la Ec. Diferencial de t en función de “y” MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
51 Página Integrando: dy
gy A
) 2 . 1 2 (
) 44 . 1 ( 2 ) 8 . 4 (
+ + = y y y
= x A VII. Resistencia de Materiales. Una viga de 2L m. de longitud está apoyada en ambos extremos y tiene una carga uniformemente distribuida de W Kg. /m. Tómese el origen de coordenadas en el punto medio (punto más bajo) de la viga y hállese la ecuación de la curva elástica y su flecha máxima. Solucion: Como la viga es uniforme, entonces las fuerzas de reacción en los extremos serán iguales, y la suma de las dos será igual al peso de la viga: WL f 2 2
= ¬ WL f = ¬
) ( X L W ÷
) , ( y x p
Peso de la viga = 2LW Del cual: t = 7934.8 s MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
52 Página La ecuación de la viga es: M
…(1) Hallando el momento M hacia la derecha del punto P: 2
X L W X L WL M
÷ ÷ ÷ = ) (
X L W M ÷ = …(2) Reemplazamos (2) en (1): ) (
X L W
EI ÷ = Integrando: 1
C X X L W
EI + ÷ = …(3) Condición Inicial (C.I.): Para 0 = X , 0 =
Reemplazando la C.I. en (3): 0
= C 1
EI + ÷ = ¬ Realizando la segunda integración 2
C X X L W EIy + ÷ = …(4) MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
53 Página Condición Inicial (C.I.): Para 0 = X , 0 = y Reemplazando la C.I. en (4): 0
= C ) 6 (
y ÷ = ¬ La deflexión máxima se dará cuando L L X ÷ = = (En los extremos) |
VIII. Resistencia de Materiales. Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud L se dobla bajo su propio peso, el cual es w por unidad de longitud. Encuentre la ecuación de su curva elástica. La fuerza hacia arriba 2 / wL , a una distancia x de P , produciendo un momento negativo. La fuerza hacia abajo wx , a una distancia de 2 / x (centro de gravedad de OP) de P , produciendo un momento positivo. El momento flexionante total en P es así: 2 2 2 2
wLx wx x
x M ÷ =
+ ÷ = …….. (3) MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
54 Página Si hubiéramos escogido el lado derecho de P , actuarían dos fuerzas: La fuerza hacia abajo ) ( x L w ÷ , a una distancia 2 / ) ( x L ÷ de P , produciendo un momento positivo. La fuerza hacia arriba 2 / wL , a una distancia x L ÷ de P , produciendo un momento negativo. En este caso el momento flexionante es: 2 2
wLx wx
wL x L
x L w x M ÷ = ÷ ÷
÷ = ……. (4) Lo cual concuerda con (3) y muestra que al calcular el momento flexionante no importa cuál lado de P se use. Con el valor de ) (x M , la ecuación fundamental (2) es: 2 2
y EI ÷ = ' ' (5) Dos condiciones son necesarias para determinar y . Estas son: y =0 donde 0 = x y donde x = L Puesto que la viga no de reflecta en los extremos. Integrando (5) dos veces se obtiene .
y EI + + ÷ = Puesto que 0 = y cuando 0 = x , tenemos c2 = 0. De donde: x c
MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
55 Página W
Puesto que 0 = y cuando x = L , 24 /
wL c = y tenemos, finalmente: ) 2 (
x L Lx x
y + ÷ = (6) Como la ecuación requerida de la curva elástica. Es de interés práctico usar (6) para hallar la máxima deflexión. De la simetría o por el cálculo, l máximo ocurre en 2 / L x = . De donde: IX. Resistencia de Materiales. En la figura determinar el desplazamiento vertical del extremo B. Considérese como constante el producto. Solución: En la fig. (b) Se indica el diagrama del cuerpo libre de la viga, las ecuaciones del equilibrio estático son: ……. (1) ……. (2) De acuerdo a la Ec. Tenemos: MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
56 Página h
Cuando x=0, ; y=0; con lo que son nulas además cuando x=l, . Sustituyendo estas condiciones en la ecuación de giros tenemos: Donde: La ec. de desplazamiento es entonces: Finalmente el desplazamiento solicitado es: Respuesta: X. Resistencia de Materiales. Desarrollar la ecuación que da la fuerza hidrostática que actúa sobre un área plana y localizar la fuerza la cual será aplicada a la estructura de concreto sin que esta falle. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
57 Página Solución: La traza AB representa un área plana cualquiera sobre la que actúa un fluido y que forma el ángulo u
con la horizontal, como se muestra en la fig. Se considera un área elemental de forma que todas sus partículas están situadas a la misma distancia h por debajo de la superficie libre del líquido. En la figura viene representada por la banda con rayado inclinado, y la presión sobre esta área es uniforme. Por tanto, la fuerza que actúa sobre esta área dA es igual al producto de la presión p por el área dA o también: whdA pdA dp = = Sumando todas las fuerzas elementales y considerando que u ysen h = A y sen w P
ydA sen w P
dA ysen w P
whdA P
son constantes y, por elástica, A y dA y
Como u sen y h
= Para situar la fuerza P se procede a tomar momentos como en estática. El eje OX se escoge como la intersección del plano que contiene la superficie con la superficie libre del agua. Todas las distancias se miden a partir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se representa por cp
y que mide la distancia al centro de presión. Como la suma A wh P
58 Página de los momentos de todas las fuerzas respecto al eje OX es igual al momento de la fuerza resultante, se obtiene. NOTA: Se observa que el producto del peso específico W por la profundidad del centro de gravedad es igual a la presión en el centro de gravedad del área. cp
y P y dP × = ×
) ( Pero dA ysen dp
hdA dp
) ( u e
y dA y sen P
) ( u e = cp cg
y A y sen dA y sen ) )( ( ) (
u e u e =
Como }
es el momento de inercia a partir del área plana respecto al eje OX. cp
XI. Fluidos. En t = 0, la válvula de entrada del flujo se abre algo más y la razón de flujo de entrada a 4.5x10
/S. Determine la resistencia promedio R a través de la válvula de flujo de salida y el cambio en altura en función del tiempo. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
59 Página Solución: ¬ La razón de flujo es: H K Q = Del gráfico: 4x10
1 K = K = 4x10
-4 En estado estable
= 4.5x10
H m H 266 . 1 = ÷ m H 266 . 0 1 266 . 1 = ÷ = A ¬ Resistencia: ( )
/ 10 532 . 0
10 4 5 . 4
x dQ
También: Cdh = ( )dt q q
÷ = ÷ Ó i
Rq h
RC = + es la E.D. del sistema planteado Reemplazando datos: 4 4 4
10 5 . 0 10 532 02 . 0 10 532 . 0
= + x x x h
x x 266 . 0 10 532 4 . 106
= + Resolviendo esta E.D. m e t h
) 1 ( 266 . 0 ) (
60 Página XII. Fluidos - Cuerpos sumergidos. Un cilindro circular recto de 2 metros de radio esta verticalmente sumergido en agua cuya densidad es 1000 3
kg m . Si se empuja hacia abajo y se suelta tiene un periodo de vibración de 1 segundo. Hallar el peso del cilindro. Solución: Sea positiva la dirección hacia abajo. Y sea y metros el movimiento del cilindro en el tiempo t. según el principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido, total o parcialmente, en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado. Entonces la variación que corresponda a la fuerza de flotación es: ( ) ( )
E V r h y
µ µ t t
W d y
g dx
(Ley del Movimiento Vibratorio) donde W es el peso del cilindro y g=9.8
m seg , es decir: 2
t + = Se trata de una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes de 2do. orden, resolviendo: ( ) ( )
cos 39200 / 39200 / W
y C W t C sen W t
Vemos que el periodo es: 2 2
39200 / 39200
= = O sea: 2 2 39200
4 39200 39200
61 Página CONCLUCIONES: Las Ecuaciones Diferenciales son muy importantes en nuestra carrera, ya que estas pueden resolver problemas que tengamos en el campo, sea de diferentes ramas como Mecánica de Fluidos, Dinámica, Resistencia de Materiales, también en Ing. Química, Ing. Electrónica, etc. MATEMATICA IV 29 de marzo de 2011
62 Página BIBLIOGRAFIA: - http://www.monografias.com/trabajos12/mecflui/mecflui.shtml#APLICAC Fecha: 22/01/2011 - http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/publicaciones/consejo/boletin50/enpdf/a05.
pdf Fecha: 22/01/2011 - http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_fluidos Fecha: 27/01/2011 - http://mecanikdefluidos.blogspot.com/ Fecha: 29/01/2011 - http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Tecnologia/CIRCUITOS_ELECTRICOS.htm Fecha: 04/03/2011 - http://es.wikipedia.org/wiki/Circuito Fecha: 04/03/2011 - http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_gravitaci%C3%B3n_universal Fecha: 17/03/2011 - http://redescolar.ilce.edu.mx/educontinua/conciencia/fisica/newton/nw8.htm Fecha: 20/01/2011 - http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria Fecha: 20/01/2011 - http://www.scribd.com/doc/8464869/Ecuaciones-Diferenciales-aplicadas Fecha: 20/01/2011 - http://jacobi.fis.ucm.es/~pparanda/EDOs.html Fecha: 21/01/2011 Aplicacion de Las Ecuaciones Diferenciales en la Ingenieria by Jeanm Leonel Labra6,8K viewsEmbedDownloadCategories: Types, School Work, Essays & ThesesRead on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMore informationShow less
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