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Timestamp: 2019-03-25 01:43:37+00:00

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Tratado de Geometría con secuencias didácticas
GEOMETRIA DEL COLEGIO SAN MARCOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA
L.A_ACTIVIDADES_TRIGO 3° COLEGIO SAN MARCOS
SOL_RM 1º
4. ALGEBRA 1° - ACTIVIDADES
05 SOLUCIONARIO TRIGO 2°
Unidad III - Sesion 16
coLección inteLectum evoLución
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Maratón matemática
se utilizó como texto durante dos mil años e incluso hoy. como Eudoxo. pero se considera que Euclides hizo diversos descubrimientos en la teoría de números. •	De	todas	las	grandes	virtudes	del	mundo	la	más	necesaria	e	indispensable	para	lograr	el	éxito	es	la	perseverancia.Recuerda Euclides (300 a.) Matemático griego. cuya obra principal.! ¿Cuántos fósforos como mínimo se deben quitar para formar cuatro cuadrados del mismo tamaño? A) 5 D) 2 B) 4 E) 1 C) 3 . fue una traducción del árabe al latín. propiedades de los números.. la Óptica.	pero	que	muchas	veces	no	estás	de	humor	para	hacer. proporciones en general. C. Los Cálculos (una colección de teoremas geométricos). magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. •	La	disciplina	te	permite	hacer	todas	esas	cosas	que	en	tu	corazón	sabes	que	debes	llevar	a	cabo. Los Elementos. La primera edición impresa de las obras de Euclides. ¡Razona.	nuestras	vidas	son	solo	notas	pasajeras	en	el	lienzo	de	la	eternidad. una revisión de las obras de matemáticos anteriores. los Fenómenos (una descripción del firmamento). Enseñó Geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. la mayoría de los historiadores cree que alguna o todas estas obras (aparte de los Elementos) se le han adjudicado erróneamente. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. Elementos de Geometría.	por	eso. la División del canon (un estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido durante mucho tiempo a Euclides. Sin embargo. Probablemente.	ten	la	sensatez	de	disfrutar	de	tu	viaje	y	saborear	el	proceso. de Euclides. Reflexiona •	En	el	esquema	general	de	las	cosas. las secciones geométricas de los Elementos fueron.. es un extenso tratado de matemáticas dividido en trece volúmenes sobre materias tales como geometría plana. en un principio. que apareció en Venecia en 1482.
Aplicamos lo aprendido tema 1: 1 TRIÁNGULOS En un triángulo ABC se cumple AB + BC = 30 cm. Calcula el valor de x. A) 5° D) 15° 4 5 B C) 31 cm En el interior de un triángulo ABC. se traza la bisectriz interior BE. Luego se ubica un punto M sobre AC. m+EAC = 2x / m+EBC = 5x. si la m+A = 80° y la m+C = 40°. m+OAC = 3x y m+OCB = 2x.° D) 8° E) 9° E x 44° A) 20° 6 C) 12° En la figura: AB = CE. Calcula el valor de x. Si: m+ABE = m+ECA = x. A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80° . se toma el punto O. de modo que OA = OC = AB. Calcula el valor de x. En el interior de un triángulo ABC. A) 5° 6 B) 30 cm E) 33 cm B) 6° C) 7° Intelectum 5. A A) 29 cm D) 32 cm B) 10° E) 18° 22° B) 30° 38° C) 45° C D) 60° E) 37° En un triángulo ABC. Si: m+ABC = 12x. Calcula la m+AEB. Calcula el mínimo valor entero que puede asumir el perímetro. se toma el punto E. de tal manera que AE = BE y AB = EC. calcula el menor valor entero de BM. A) 6 cm D) 10 cm 3 B) 4 cm E) 9 cm 2 C) 2 cm Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 5 cm. si AC = 20 cm.
si la m+BAC = 50°. además el TFEH es el triángulo órtico del TABC. calcula q. B 9. O es el ortocentro. 14 B B) 20° C) 30° D) 35° E) 45° Los lados de un triángulo ABC. ¿Entre qué valores se encuentra el perímetro del triángulo ABC? M H C E) 35° 10. A 13. C N 3. B 6 4 H G A C x A) 12 11 F A B) 9 C) 5 D) 7 A) 75° E) 10 Si en un triángulo ABC. E 7. ¿Cuánto mide el ángulo ABE? A) 50° 9 B) 60° C) 80° D) 55° 8 ¿Qué fracción de la longitud de la hipotenusa es la distancia del ortocentro al baricentro de un triángulo rectángulo? B) 1 3 A) 1 2 E) 75° Calcula el valor de x. 10 B C) 1 4 D) 1 6 E) 1 8 Calcula la m+FHE. Si el ángulo ADC es 125°. D 13 B) 5 C GEOMETRÍA . tienen longitudes: AB = 10. B C) 30° A) 20 < 2p < 26 C) 16 < 2p < 22 E) 26 < 2p < 30 5. Calcula MN.ACTIVIDADES UNIDAD 1 7 . D A) 15° α 4. D B) 15 < 2p < 20 D) 24 < 2p < 30 Claves D) 20° 8. A A 2. B 11.7 En un triángulo ABC se trazan AE y BF (alturas) que se intersecan en D. E 14. 12 C E B) 80° C) 85° D) 30° E) 60° En la figura H es el ortocentro y O es el circuncentro del triángulo ABC. Si BH = OB. M y N son los puntos medios de AB y OC.3. B 65° 1. BC = x . si G es baricentro del TABC. respectivamente. si el triángulo MNH es el triángulo órtico del triángulo ABC. B θθ H O A A) 12 C) 13 D) 20 A) 15° E) 21 Calcula α. si: AB = 24 y OC = 10. B 12.5 y AC = 2x . C B) 25° 35° 6.
C) 45° θ A 180° A) 50° D) 80° C B) 60° E) 90° C) 70° . Rectángulo y escaleno ( ) α = 90° y b = 37° 7. calcula x.Practiquemos Nivel 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 1. AN o BM en los recuadros según corresponda. & α+b+q α C) 15° 40° 180° B θ 60° Triángulo elíptico & α+b+q β Intelectum 5. Relaciona los gráficos con los conceptos I. Rellena con BM. < o = según corresponda. En la figura. Triángulo parabólico ( ) III. Equilátero y acutángulo ( ) α = b y q > 90° II. y y B) 15° E) 30° Si: β β α α 2θ A) 10° D) 18° Triángulo hiperbólico & α+b+q 180° β θ 9. Triángulo elíptico ( A) 30° D) 20° ) 6. si a + b = 260°. 5. calcula q. ▪ es mediatriz y bisectriz. Si E es el excentro del TABC. calcula x. α 8 C) 25° x H ▪ Si: α B) 20° E) 35° b N ▪ Si: 3α Calcula x. 60° Relaciona teniendo en cuenta el gráfico: 3β β α 3. Rellena los recuadros con los símbolos >. ▪ es ceviana interna y mediana. B) 36° E) 18° En la figura mostrada. II. calcula q.° 4θ B) 12° E) 20° E θ α 4θ Del gráfico. si tenemos el siguiente gráfico: ▪ x β A) 15° D) 30° B 4. Triángulo hiperbólico ( 3x ) β α 2α 2β x 2. Triángulo parabólico β C) 20° Del gráfico. ▪ es ceviana externa y altura. θ I. Isósceles y obtusángulo ( ) q =b y b=α III. a A M αα θθ a a A) 10° D) 25° C 8.
Si AB = BC y CH es altura. En la figura G es el baricentro del triángulo ABC. Calcula x. 15. Calcula BH. calcula x. si O es el ortocentro del triángulo ABC. Según la figura. halla b. A A) 100° D) 40° B) 5 E) 10. las cuales se intersecan en el punto P. se traza la ceviana BD. calcula x. B G 40° C A) 50° B) 40° C) 30° D) 60° E) 80° 14. 28° B) 2 E) 6 2 A C M C M x x B G A) 2 2 D) 4 2 B A B A 50° C) 6 22. A) 36° B) 40° C) 72° halla la distancia del circuncentro al lado D) 10° E) 18° AC. En un triángulo isósceles ABC se traza la altura BH y la mediana AM. Si. Calcula x si G es baricentro del triángulo ABC.5 40° M C) 18° b a A θ C) 28° B) 22° E) 16° B B αα C 21.5 B P c C 17. calcula BH. AC = 3BG. 45° x A A) 65° D) 40° C B) 25° E) 30° C) 35° B) 80° E) 50° C) 140° 50° . la m+A es 80° y la m+B es 60°. ortocentro y O el circuncentro. si PM = 2 y m+BPM = 45° A) 7 D) 8 B) 6 E) 9 C) 10 A) 4 2 m D) 2 m B) 4 3 m E) 2 3 m C) 4 m 19. En el triángulo ABC. Q P A x 70° A) 100° D) 90° 12. Halla x. En un triángulo ABC. si G es baricentro del triángulo ABC y GM = 1 18. Si MP es altura del TABM y MQ es altura del TBMC. Calcula BC. 25. si BD es bisectriz. calcula x. GEOMETRÍA . Si AC = BC. A partir del gráfico.θ C) 3 2 23. En un triángulo acutángulo ABC.ACTIVIDADES UNIDAD 1 9 . En la figura. Resolución de problemas 38° 32° A D B) 68° E) 92° O x C A) 26° B) 28° C) 27° D) 36° E) 30° x D B) 105° E) 125° 45° C C) 110° 24.θ θ + 12° x A 75° A) 100° D) 115° B 50° . L es el halla el ángulo BAC. Halla x. calcula m+DOC. tal que AB = BD = DC. A B) 110° E) 130° C C) 120° H B H C D B) 4 E) 7 C) 5 13. En la figura mostrada calcula x. B 20° a a β β α 52° 48° A B) 40° E) 19° 40° O x A) 25° D) 15° C 64° θ θ α B C) 30° A) 72° D) 88° 11. θθ A) 2 D) 6 G A) 7 D) 3. BL = 8 m.10. Si: a + c = 7. 20. Calcula x. Si PH = 3 y BD = 4. 66° C) 82° x 60° A) 20° D) 24° θ A) 16° D) 32° B) 18° E) 42° 16.
28° A θ II A) 9° D) 20° I α C B α α 90° ▪ H ! región I. El incentro de un triángulo obtusángulo está ubicado en el exterior del triángulo. ( ) B) VFV C) VFF D) VVF E) FVF A) 30° D) 60° B) 42° E) 21° 34. si a I. En la figura.° h z A β β 2x C) 200° C) 84° Resolución de problemas Razonamiento y demostración αα x θ θ 28. y A) 360° B) 180° 10 Intelectum 5. Halla q. II . ( ) II. II A a x α A) 30° D) 15° B 3x 20° C III 20° b 40° ▪ Todo triángulo determina dos regiones en el plano.30. calcula x. El baricentro de un triángulo siempre está ubicado en su interior. < o = según corresponda. si: AB + BC = 24 B 29. calcula (x + y + z). ( ) III. A) VVV C) 19° 33. si a 90° 3x 42° 90° ▪ H ! región II. Calcula x. Rellena las recuadros con los símbolos >. ( ) ▪ IV es la región interna del 9ABC. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ( ▪ II es la región relativa a AC. Calcula el máximo valor entero que toma h. Coloca V (verdadero) o F (falso) según lo mostrado en la siguiente figura. 27. ▪ H = B. En la figura. NIVEL 2 Comunicación matemática 2α 26. ( ) A) 20° D) 35° x 40° B) 15° E) 25° C) 30° 32. ( ) ) ▪ I . si a B) 15° E) 17° D) 300° E) 270° A) 13 D) 10 H B) 12 E) 9 C C) 11 . III es la región externa del 9ABC. Sea H el ortocentro del 9ABC. Todo triángulo tiene tres excentros. Calcula x. c I IV B) 20° E) 18° C) 10° 31.
A) 65° C) 45° φ a b β = 2 +β = a+ 2 48. siendo O el circuncentro del triángulo ABC. siendo O el circuncentro del triángulo PBC y la m+BAC = 65°. B A) 18° B) 20° C) 24° D) 36° E) 42 α I θ θ A E 2x C 43. S Le C M B 2a A a R T H E) 110° A) 30° B) 60° C) 37° D) 53° E) 30° A) 30° B) 60° C) 75° D) 37° E) 45° 42. calcula α (I es incentro del TABC). BC = AB y BC ⊥ CE. luego se trazan las cevianas AP y BQ. Si: BI = CE. si la m+OGB = 15°. Halla la distancia del baricentro a dicha recta exterior. tal que: AC y DC son diámetros. si BG = LG = 4(AL). 39. α 41. y. En un triángulo acutángulo ABC. BC = 10. En la figura: AB = 9.m+C = 28°. A) 8 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9 A es el circuncentro del TRST. AM = SC ( ) ( ) ( ) ( ) 47. B D) 13° NIVEL 3 I. se trazan las alturas AP y CQ. si: AQ = PQ = PB = BC C A) 22°30’ B) 40°30’ C) 15°30’ D) 25°30’ E) 30°30’ P x A B Q 37.Calcula la m+OPC. Calcula x. B E) 53° 45. En un triángulo ABC. calcula x. si x. I es el incentro y O el circuncentro. m+A . BN = 7 y AP = 4. Halla: m+APQ A) 15° B) 20° C) 30° D) 36° E) 40° 36. Completa los recuadros con los valores del siguiente gráfico. IV. A) 60° D) 36° 44. Halla la m+OBG. La suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una recta exterior es 42. además BP = BQ. Del circuncentro O se traza OG perpendicular al lado AC. que contiene al circuncentro del triángulo ABC. Si los ángulos AIC y AOC son suplementarios. Del gráfico. AH es la mediatriz de RT. AC = 7. C es el baricentro del TRST. calcula la medida del ángulo determinado por PQ y OB . Calcula x. En un triángulo ABC. ¿Qué punto notable es K respecto al triángulo ABC? B P 60° Q K A C A) Incentro B) Cincuncentro C) Ortocentro D) Baricentro E) Excentro GEOMETRÍA . Calcula x. En un triángulo ABC. z son máximos enteros. P C) 15° B) 14 E) 45° 40. calcula la medida del ángulo B. Si: AP = PQ = QC. tal que: m+BAP = m+QBC = 30°. BM = 6. AB es tangente. En un triángulo ABC isósceles (AB = BC) la m+ABC = 100°. siendo G el baricentro de la región triangular ABC.35. Coloca V (verdadero) o F (falso) según el siguiente gráfico. donde Le es la recta de Euler. 38. A) 30° B) 60° B) 60° C) 55° D) 50° A) 9° B) 75° C) 90° D) 100° B) 18° A) 21 L x G A C B x α α A C D x M z A N y P C E) 12° C) 18 D) 24 E) 28 Comunicación matemática 46. Del gráfico. III. II.ACTIVIDADES UNIDAD 1 11 . se traza la ceviana interior BP.
A) 4 C) 2 3 E) 4 2 B) 2 2 D) 2 E) 4 3 m 39. Se tiene un triángulo ABC. Si G es baricentro del TABC. M y R son puntos medios de BC y CD . Un valor entero para BC puede ser: 49. C 54. Resolución de problemas Razonamiento y demostración . D 8. calcula x. B 17. 47. tal que: AM = MC = BM.θ x B) 30° E) 60° 12 Intelectum 5. respectivamente. Si BH = 4. B 5x α B) 35° E) 60° 58. En la figura. E 13. de incentro I. C 14. C 32. A 22. A 50. B 15. m+ABD = 25° y m+DBC = 75°. C 35. I es el Calcula HC. A 12. la prolongación de EF corta a BC en Q. A) 18° B) 24° C) 27° A) 3 m B) 4 m C) 4 2 m D) 30° E) 36° α B) 40° D) 50° B α x Nivel 1 1. la m+BGC = 90°. 28. 27. 62. m+B = 120°. si su exradio relativo a BC incentro. se traza la altura BH. B Nivel 3 46. calcula x. B 18. cuadrado. En un triángulo isósceles ABC.B x α A B) 15° D) 20° 70° x 80° B) 16 E) 15 C) 7 A) 2 D) 6 B) 3 E) N. A 60. B 49. En un triángulo rectángulo ABC recto en B. θ 4 8 2α θ B 54. B 11. C 62. C A) 35° C) 45° E) 55° 2α C l a ve s α A G 3 N 61. A 24. α A) 30° D) 50° 29. Halla la m+A. Según el gráfico. A 37. B 34. D 16. 2. E 52. C 40. calcula x. A 43. B 6. C 41. En la figura AB = BC. 55. D x A) 10° C) 15° E) 20° A) 8 D) 18 B) 6 E) 10 10. 75° A A) 5° D) 15° θ D) 2 m B 53. Calcula la altura relativa al lado AC. A) 30° C) 45° E) 10° 60. Calcula la m+ABC. Calcula AG. m+B = 24°. C 51. se traza la mediana BM. A A) 5 D) 9 C C M 56. C 36. C 33. E 31. A E D A) 60° D) 120° C) 7 20. de baricentro G. m+C = 2m+A. D 23. A) 24° D) 45° B) 4 m E) 6 m 25° θ C) 45° 48. Calcula x. halla BQ. se toman los incentros E y F de los triángulos AHB y BHC respectivamente. x C) 36° D 2x C B) 7° E) 12° C) 10° 59. 3. C) 4 57. E 30. Halla m+DAI. se traza IH ⊥ AC. recto en B. A. A 59. 4. 5. 50. calcula x. B A) 2 m D) 5 m 52. m+A = 78°. B 25. D 45. A 7. mide 4 m. C 51. B 53. D 44. m+GBC = 30° y GC = 2 m. C 21. C Nivel 2 26. Calcula la la distancia del ortocentro al circuncentro es m+OPR.° C) 3 m 58. C 57. En un triángulo ABC. En la figura. Se tiene un triángulo rectángulo ABC. E 9. además BR + AM = {P}. si: AC = CD = DE. E 55. 2x C B) 12° D) 18° B) 90° E) 100° C) 75° x 72° . E 61. siendo O el centro de dicho 12. Del gráfico. En un cuadrado ABCD. B 56. A 38. E 42. B 19. En un triángulo ABC. D es el circuncentro.
si ED = 21. 12 10 A) 20 6 B) 6 B) 10 3 En la figura el triángulo ABC es equilátero. (C es punto medio de AD). 37° 2 B 37° E 30° A) 4 x 30° A x C) 8 D) 5 E) 10 H A) 6 3 + 2 D) 4 3 C B) 8 E) 6 C) 8 3 GEOMETRÍA . AB = 6 3 + 8 . calcula x. 4 45° C B) 4 D C) 5 D) 6 E) 7 C) 16 D) 18 E) 24 De la figura. B 60° E A 37° A) 60 5 21° 16° D B) 50 C) 40 C D) 80 30° 6 3 E) 70 De la figura. B 53°/2 A 45° D E 30° C 6 n A B) 7 A) 3 3 C) 2 5 D) 5 A) 3 E) 2 De la figura. calcula el valor de n2 + 1. Calcula EH.Aplicamos lo aprendido tema 2: 1 Triángulos rectángulos notables Halla AB. si BC = 2 . calcula x.ACTIVIDADES UNIDAD 1 13 . 2 B En la figura mostrada. calcula AB.
5 5. B D) 9 m 6. B Claves 14 Intelectum 5. calcula x. halla la longitud de la altura BH. 12 B C D) 6 E) 8 C E M A B) 4 C) 4 Halla MN. E 13.° B) 0. C A . 8 A) 3 15° N D B) 4 C) 6 D) 5 E) 6 2 Los ángulos de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética. 8 De la figura. A B) 3 m 4. calcula x. A 10.7 De la figura mostrada. 10 B) 10 B 11 C) 2 D) 5 E) 3. Encuentra la medida del lado del cuadrado inscrito en el triángulo. 14 B) 2H( 3 + 1) E) 2H( 3 . si el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero AED tienen lados iguales. calcula x . B R Q E) 7 m A) 1 8. C A) 8 m C 1. x x 45°/2 2 2 +2 A) 2 9 100 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) 5 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 y uno de sus ángulos 15°. A 14. B 12. relativa a la hipotenusa. C C) 2 m C) 2 D) 3 E) 2 3. la hipotenusa mide 4 y el ángulo C mide 22. D S x P 2.5°. Calcula su perímetro en función de la altura H. C 9. A 7.5 A) 7 Calcula x. si se sabe que uno de sus lados está sobre la hipotenusa.1) C) 4H 3 En un triángulo ABC recto en B. x A 53° 53° 10 A) 8 13 D E B) 6 C) 10 D) 9 A) 3H( 2 + 2) D) 3H( 3 + 1) E) 7 El triángulo ABC es equilátero y su perímetro es 48 m. B 11. Además P es punto medio del lado AC.
Calcula PQ.Practiquemos Nivel 1 5. Completa los círculos con los valores correspondientes. 2 B A) 3 3 B) 5 C) 3 2 D) 4 E) 6 2 De las figuras mostradas. Según el gráfico. calcula BC. x A 15 30° A) 93 B) 103 23° 8 37° C 11. si: BC = 14 m. 30° P 60° C De la figura. A) 9 3 m B) 14 3 m C) 12 3 m D) 8 3 m E) 10 3 m B β Q E 3. 30° N C Según el gráfico. 53°/2 37°/2 10 C En la figura. Según el gráfico. 2 B Comunicación matemática 1. Calcula AC. calcula x. D 30° θ D En la figura. BC = 30 m. A 5 9. Razonamiento y demostración 4. A) 30 B) 10 C) 5 D) 10 2 E) 7 2 45° Completa los recuadros en función de a. H A 4a 36° 6. calcula CD. halla: x + y . B B A) 20 m B) 26 m C) 28 m D) 14 m E) 29 m C A 37° 53° β α θ C A α 8. A 7. si: AE = 4 5 y CD = 3 10 . Completa los recuadros. B 3 y C) 83 5 5 10 10 30° D) 69 E) 79 A 45° x E 30° C A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 75° GEOMETRÍA .ACTIVIDADES UNIDAD 1 15 . A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6 6 x+4 x+2 4 x+6 11 10. calcula AB. BH = 5 2 . B A) 2 B) 3 C) 2 D) 3 E) 5 4a 18° 2. calcula el valor de x. Del gráfico.
AB = 8 m y BD = BC = 5 m. A) 30° 36° 4 F 13. En el gráfico. Calcula AB. En la figura. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. tal que BC = AM. Si: 2(HM) = BH y m+HAM = 18°30'.18. B n(n + 2) A 16 Intelectum 5. En un triángulo ABC se traza la mediana BM en cuya prolongación se ubica el punto E tal que m+ECM = m+MCB.° A) 8 B) 10 C) 12 D) 7. 10 . AC = 26 m.5 E) 15 20. Completa las fórmulas restantes para que los triángulos rectángulos sean pitagóricos. ME = 2 y m+BEC = 45°. 4 B A) 4 B) 6 C) 2 2 D) 2. Calcula DE. AC = 32. E) 45° 15. En el gráfico. Si: m+BCA = 37°. luego se traza AH perpendicular a BM (H ! BM ). B D) 60° 30° + α α α A C Q E) 30° B A) 2 B) 3 3 C) 2 2 D) 2 E) 4 2 30° A 15° C 8 21. Calcula la distancia del punto A a BC . B A) 6 m B) 8 m C) 7 m D) 5 m E) 9 m 2n + 1 A 2 2n + 2n + 1 2(n + 1) 30° C D 24. BQ = 5. Resolución de problemas 12.5 E) 2 3 E α α C A A) 2 B) 6 C) 4 2 D) 4 B) 53° C) 26°30' D) 37° B 15° . C D A A) 6 B) 7 C) 9 D) 15 E) 12 60° B E 22. calcula BC. Calcula la distancia de P a BQ . Calcula AC. AC = 64 m. Según la figura. calcula m+ABM.2 5 30° 15° C A) 2 m B) 3 m C 2m D) 5 2 m E) 13 2 m . 30° H C 23. Llena los recuadros con los valores correspondientes en la siguiente figura. B A) 20 m B) 22 m C) 24 m D) 25 m E) 26 m M Nivel 2 Comunicación matemática A 17. Calcula HM.2α A) 2 B) 6 C) 3 D) 4 3 E) 5 3 α 15° Q P C 16. calcula m+MBC. BE = EC y EF = 2. En la figura. AC = 12. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. En el gráfico. Calcula BC. A Razonamiento y demostración E) 2 2 14. Calcula DC. A) 30° B) 37° C) 45° 19. Si en la figura. En la figura.
C Comunicación matemática B 8 2 28. C A) 37° B) 53° C) 45° D) 60° E) 72° 5 a Razonamiento y demostración C C 9. 2. calcula PQ si PQRS es el siguiente gráfico se cumple la siguiente un cuadrado . de tal manera que su extremo superior quedó apoyado en el suelo a una distancia de 16 m de su base. E 25. Calcula BD. E 33. Calcula x. Demuestra el teorema de Pitágoras si en 35. Calcula m+BAD.2 E) 6 B 45° 7 37. B 21. A 13. relación de áreas: B 25. 29. E B) 53° E) 33° C l a ve s A) 30° D) 26°30’ GEOMETRÍA . Calcula m+ACB. C 8. En un triángulo ABC. 4. E 14. 3. 18. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B. Si BC = 4 y CD = 10. En la figura. Calcula x. por C se traza una perpendicular a AC que interseca en D a la bisectriz exterior de A. B Nivel 3 28. 38.30. Resolución de problemas C) 37° b c C 26. ¿a qué altura del suelo se rompió? c c B E R 20 Resolución de problemas A) 30° B) 45° C) 37° D) 53° E) 60° A S Nivel 1 1. A) 2 + 2 B) 3 6 C) 4 2 D) 2 . Según el gráfico. C Nivel 2 F B) 5 E) 4 2 15° 36. A 24. Si un bambú de 32 metros de altura ha sido roto por el viento. C 36. B 6.ACTIVIDADES UNIDAD 1 17 . EB = BF y EF = 2(AE) = 2(FC). y se ubican los centros H e I de cada cuadrado respectivamente.2 2 A 41 C) 32 m H 5 24 B) 12 m E) 16 m D 8° A 8° 37° C A) 3 B) 5 C) 4 D) 10 E) 13 34. m+BAC = 2m+BCA. x III b 31. Demuestra que los segmentos HM e IM son iguales. B 11. D 15. A 35. Si: AB = 8. demuestra que HM e IM forman un ángulo recto. A 5. B 12. En la figura. 32. Del problema anterior. si: AC = 6 4 . Halla x. P BD = 5 y DC = 13. AC = 18 m. 38. En la figura. B 9 A 30° A) 9 m D) 10 m C B) 9 2 m E) 6 2 m C) 7 2 m 34. E 20. A 7. B 10. Del problema anterior halla una expresión general que permita hallar los lados del enésimo término de la serie de triángulos pitagóricos. x 40 C 45°/2 x 33. 12 45° A A) 20 m D) 18 m 26. Calcula BC. E 22. B A b A) 3 D) 2 A a I a II 27. AC = 20. En un triángulo escaleno ABC se construyen dos cuadrados sobre los lados AB y BC. A + B + C = I + II + III Q se traza la ceviana interior BD. B 29. C 27. B 13 3 25 A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20 4 30° Nivel 3 4 C) 4 17. A 32. 30. C 16. 31. Halla los siguientes términos de la serie de triángulos pitagóricos. si M es el punto medio de AC. C 23. 19. B 37.
5 C) 7. siendo AH y AP: diámetros. BC = 9 y AC = 10. C B B E A A) 1 B) 3 A H P O C) 2 18 Intelectum 5. si el y triángulo EBF y el trapecio AEFC tienen igual perímetro. calcula PO. B B y x 8 F E A A C A) 1/2 3 α α E B) 3/2 C) 2/3 D) 1/3 A) 10 E) 1/4 Calcula CE.Aplicamos lo aprendido tema 3: 1 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA En la figura: AB = 8. B B α α A C 9 D E C 53° F α φ O α φ A C E A) 15/4 5 B) 10 C) 15/2 D) 25/2 A) 5.5 E) 25 Si: AH = 12 y AE = 1 . si: DE // BC. BC = 12 y AC = 10.5 E) 3. 12 4 D B) 10. Halla FE. Calcula OC. Calcula x .° D) 1. si: AB = 3.5 . BE // CD. 2 Calcula BC. AD = 9 y AE = 6.5 D) 7 E) 6 En la figura mostrada. BF = 2 y FO = 3. EB 3 6 B) 6.5 C) 13 D) 11 E) 12 En la figura.5 A) 1 F D E B) 2 C) 3 D) 4 E) 2.
E 11. Calcula BT. calcula ON. E 7. AB = c. Luego se traza RF // BC (F en AB). además OP = 8 y OQ = 18. la mediatriz de BC. Halla el circunradio del triángulo ABC. D 13 C) b _a + bi 2. A) 24 C) 26. Halla AF. Calcula BD.ACTIVIDADES UNIDAD 1 19 . Si: RF = 1 y RC = 6 . P B M C 2 5 O N 4 A A) 2 9 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8 A) 5 Si: O es centro AB = a. A A) 3 P 4. T A A) ab _a + b i B) a + b 2 D) a _a + b i B) 23 A) 3 D) 2 6 E) ab Un trapecio ABCD. corta a AC en el punto R. L Q O A) 10 E) 6 10. E B) 4 C 3. BH = b. 10 H D Q B) 6 C) 7 D) 9 E) 11 En un triángulo ABC. D A 14. B 13. es: A) ac B) a 2 + c 2 D) 2ac a+c E) ac a+c C) a + c 4 En el siguiente gráfico: L es mediatriz de AC. Calcula la distancia del punto de intersección de los lados no paralelos a la base mayor. A 8. O es el circuncentro del triángulo ABC. La longitud de la bisectriz interior BD. se traza una tangente a la circunferencia.6 En un triángulo ABC (BC = 9) se trazan la bisectriz AD y la mediana BM que son perpendiculares. 8 Del gráfico. B 11 B O GEOMETRÍA .7 En un trapecio las bases miden 2 y 6 y su altura mide 4. Por C.5 12 E) 25. cortando a la prolongación de AD en el punto F. Si: BC = 10 y AC = 16. C B 1. además AD = 2CD. B 12. BC = a: y m+B = 120°. si: m+OMA = m+BPO. está inscrito en una circunferencia. C 9. 14 B) 2 E) 2 6 C) 4 En un DABC. Halla AB.5 D) 27. D B) 12 C) 16 D) 14 E) 20 Claves D) 2 5. isósceles AB = BC. (T es punto de tangencia). B C) 5 6.
( ) a = a+b+c y F c b y ) x= a b θ c Construye un triángulo desde el vértice A y cuyas dimensiones sean la mitad de las dimensiones del TABC. calcula AF. Dos figuras congruentes son necesariamente semejantes. calcula x. Q III. B β A 6 C B) 7 20 Intelectum 5. ( ) x = a+c II. 5 6 B B α α A A D R C S Razonamiento y demostración 4. PQRS es un cuadrado. Son elementos homólogos aquellos elementos que cumplen la misma función en dos triángulos semejantes. B A 9 6 Relaciona los teoremas y sus expresiones. 10. Teorema de los bisectrices armónicas. Si: AP = 9 m y SC = 16 m. 1. Si: AB = BC y RS = 12. x B) 37° C) 45° L3 D) 60° C E) 15° Del gráfico. III.Practiquemos Nivel 1 6. ( ) ( ) E 7.5 F 11. E D E) 4 C F E x D) 9 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 c B α α β A) 8 A) 7 B) 9 C) 8 D) 6 E) 10 C A P Q D A) 14 B) 15 C) 16 D) 12 E) 18 . x A) 8 B) 9 C) 12 D) 10 E) 14 En la figura. BC = x + 2. AB = x. Halla x. Teorema de la bisectriz exterior. 2. Calcula x. Si: BD = 40. BF = 4 y FC = 12. Calcula el lado del cuadrado. Calcula x si: a // b // c . AP = PQ = QD. θ Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. DE = 10 y EF = 14.° 3 C) 7. Dos figuras semejantes son necesariamente congruentes. si: L1 // L2 // L3. En la figura ABCD es un rectángulo. II. A) 50 m B) 10 m C) 21 m D) 15 m E) 12 m En la figura. ( 3. calcula AR. Calcula AB. ( ) a 8. b R Q y P C 4 A B A C S P B c C I. de acuerdo al siguiente gráfico. x B θ Comunicación matemática θ A C A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Resolución de problemas 9. L1 A D a L2 B E b 10 6 A) 30° 5. Teorema de la bisectriz interior.
( ) III. Toda recta transversal a un haz armónico es dividida por este en segmentos que están en proporción armónica. RQ = 3.+ j +h =1 i g k ace = bdf i =b+c . A i L2 17. Calcula TP (T es punto de tangencia).30667 aproximadamente. El valor de la razón de la proporción áurea es 1.8 B) 4.25 N A D C E Resolución de problemas 21.ACTIVIDADES UNIDAD 1 21 . BC = 18.4 E) 3. Teorema de Ceva ( ) II. En la figura. Si: PR // AQ. si AB = 12. ( ) II. A) 5 B) 4 T C) 3 P D) 2 E) 1 14. a d 15.5 20. A Q O ( ) B D B R a A 19. B A) 2 B) 3 C) 3. calcula TB. En un triángulo ABC: AB = 10. Teorema de Gergonne ( ) . d k T e A A) 15 2 C I. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I.5 D) 4.2 L3 Nivel 2 Comunicación matemática L1 3x B) 14 3 C) 10 3 D) 8 3 E) 4. A) 1. BC = 9 (T es punto de tangencia). Construye un triángulo desde el punto interior I y cuyas dimensiones sean la tercera parte de las dimensiones del TABC.61803 aproximadamente.5 B) 9. Calcula QC. BR = 2.. b A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5x .1 13.8 C) 2 D) 2. AD = 4 y DE = 1. Si: L1 // L2 // L3. Calcula BC.5 D) 7. halla x. A) 18 l C O B) 24 C) 21 D) 28 E) 27 22. Relaciona los teoremas y sus expresiones de acuerdo al siguiente gráfico.5 E) 6. B A) 10. La bisectriz interior del ángulo B divide a AC en dos segmentos cuya diferencia de sus medidas es 6.5 E) 3 j g f α α S h B 18.2 C) 3.5 C) 8.2 x 2x . En la figura. El valor de la razón de la proporción cordobesa es 1. si: AB = 6 y PR = 2(BP).5 R P C A Q C GEOMETRÍA . Teorema de Van Aubel ( ) III. además PC = RC. B A C A) 3. si: AB = 8 y BC = 6. Si O y Q son centros. c B T . Calcula AC. En la figura calcula AD. Razonamiento y demostración B P A α α C R 16.2 B) 1.5 E) 1. QP // AC. NE // BC. PB = 4.12. calcula EC si: DN // BE.2 D) 3.
el segmento MD = 3. B Nivel 3 3.6 m E) 4.23. AB = 6 m y AC = 14 m. En un triángulo ABC. respectivamente. (R > r).r 25. MN // AC. MF = OA. 6 ! B) 6. Cocina C: ______ C) 0. A 7. D 34. E Nivel 2 5. son radios de las semicircunferencias tangentes a AC y a la altura BH. B 26. Sobre los lados AB. 6 E) 2. D E) R .1 m b A C) 4.2 A) 15 24. A 4. C S B) 3. calcula AB. sabiendo que b = 12 m y h = 8 m. Si: AB // PQ. E 32.25 C) 2a _a + b i O 1. E 18.2 m E) 8.3 8.2 C) 2. A N A) 7 m B) 3. Calcula DQ. E Además 1 cm en el plano equivale a 1 m en tamaño real. Del gráfico halla x. Si: BE = x + 4 y EC = x . Si: 5DE = 2AD y BC = 12. 30. C 22. BC y AC de un triángulo ABC se ubican los puntos P. calcula EC. 14. En el siguiente plano de distribución de 29. 1 cm C Q Nivel 1 B D C l a ve s C R B) 2a _a + b i /2 M . calcula BC.1 D) 9. Halla AC. D 33. PS = 6. E 25.5 m 26. Cuarto B: ____ C a B M B A 30. C 27.° F 15. triángulo ABC.6 m D) 5. II.6 E) 3. 32. Calcula MN. DE // BC. 19. sabiendo que la mediana BM y la bisectriz BD. AB = 6 y BC = 14.r 11.8 m P S A) 6. En la figura O es centro de la circununa casa. En un triángulo ABC.8 Comunicación matemática A) 9 D) 18 E) 27 D) 12 E) 24 E) 14 B R A F D C) 15 C) 9 r θ+α B) 12 D) 24 34. por el baricentro se traza una paralela a AC que interseca a BC en E. Q y R. AP = 8. r y R. de modo que PBQR es un B rombo cuyo lado se pide calcular sabiendo que AB = 4 y BC = 6. halla las áreas de los cuartos A. Halla la QC = 1. B) 2 E) 1. calcula el lado del cuadrado PQRS.1 m A) 9 Q D A Resolución de problemas 27. 35. Si: PQ // BC y RS // AB. D 29. 6. I.75 9. En la figura. E 35.7 ! C E C) 7. E C) 2. D C 23. B longitud de AB. En la figura AB = BC. C β β A 16. ferencia. B y la cocina. 22 Intelectum 5. 12. Construye un triángulo desde el punto D) 2. En la figura.4 B) 2.2 D) 2.5.8 m 24. determinan sobre AC.r 2 17. A 20. Cuarto A: ____ III. C R B) Rr C) Rr 2 D) R 2 . R Q P A) 5. 28.2 m exterior E y cuyas dimensiones sean los tres quintas partes de las dimensiones del 31.5 D) 1. E r 2. AR = 2. SE = 5. C 31. A 21. RD = 3. D x A A) 2 Rr 10. AM = MB. β β A) 2. B 1 cm A) 1. Halla BH. D 13. θ α A C) 18 B) 18 C E Nivel 3 B) 15 33. B B h Razonamiento y emostración H C A) 4 Rr B) 4 R 2 r 2 D) R + r E) 2 R 2 + r 2 C) R . A) 2 ab P B S A A C b D) b _a + b i /2 E) 2b _ a + b i 28.
halla x en función de a y c. PQ = 1) . C A D a H 3 B) a2 c 2 x Un rectángulo ABCD tiene por base AB = 16 cm. A) 12 cm 4 B) 11 cm C) 10 cm D) 9 cm E) 8 cm En la figura. calcula x. 6 B) 9 C) 12 E) 7 Si Q y C son puntos de tangencia (AB = 4. Si la distancia del segmento MN mide 8 cm.ACTIVIDADES UNIDAD 1 23 . calcula PQ siendo: AT = 2 y TC = 9. la altura del rectángulo es: B c 2 A) a c 3 RELACIONES MÉTRICAS 2 C) c a 3 D) c 2 a 4 E) a3 c En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 y la altura relativa a la hipotenusa mide 6. BC y CD y la circunferencia tangente a los lados CD. OP = 24 y PQ = 1. Calcula el cateto menor. A P D) 6 P T Q B A) 5 Q B) 6 C C) 4 2 A D) 7 E) 6 2 B A) 5 B) 7 C C) 13 D) 6 E) 17 GEOMETRÍA . T Q x P O B) 6 5 A) 3 5 5 C) 5 D) 3 3 A) 10 E) 6 3 Del gráfico. DA y AB se intersecan en los puntos M y N.Aplicamos lo aprendido tema 4: 1 Del gráfico. calcula AQ. La circunferencia tangente a los lados AB. Si O es centro y T es punto de tangencia.
68 12 5.6 cm B) 2. se dibujan dos semicircunferencias. con AB y BC de diámetros. de modo que PA 9 PB. si un punto del menor arco AB. A Claves 24 Intelectum 5.n 3.8 cm C) 8 D) 3 E) 10. 8 Halla x si T es punto de tangencia. C A) 10 .28 14 E) 38 Se tiene un T ABC. respectivamente. la mediatriz de AC corta a BC en el punto F. mide: A) 4 3 E) 7 En un TABC. A) 6 13 D) 8 PA y PB son tangentes a una circunferencia de radio r.7 Halla x. cuyas diagonales miden 6 y 8 cm. D 9. respectivamente. siendo perpendiculares entre sí. 6. Halla AB. si: AF = 7 y FC = 24.n 2 8. A) 29 cm 11 C) 7 1. respectivamente. x T x θ 25 8 θ 11 E) 12 A) 32 E) 30 cm A) 9. E D) 25 cm C) 34 B) m + n E) mn C) m .88 7. Sea M el punto medio de PQ y N el punto medio de AC. recto en B.28 12. E B) 17 cm En un T ABC. se toman los puntos P y Q de los catetos AB y BC. halla AB. recto en B.° B) 8 3 E) 5 cm C) 26 D) 3 3 E) 2 6 En un triángulo rectángulo ABC (B = 90°). A 13. A C) 34 cm 10 B) 30 4.4 cm C) 6. recto en B. tal que AB = 6 y BC = 8. E 11.32 10. La longitud del segmento tangente común a estos arcos. Halla r. Si: BF = 3 y FC = 5. B 14. calcula MN si: AP = m y QC = n. A) 8.4 cm D) 4. dista 8 y 9 cm. A D) 9. Exteriormente. de PA y PB. B B) 9. se traza la bisectriz interior BF. B B) 4 D) 36 Halla la longitud de la altura de un trapecio. A) m 2 + n 2 / 2 D) m 2 . D C) 10. B 9 B) 6 2.
c) -r C) b c (b + r) -r E) b M A r 2r . O H B A) 4 B) 5 C) 7 D) 10 E) 14 3 3 3 14. C P C 2 Marca las alternativas correctas. teniendo 5. Teorema n. La proyección del punto medio de uno de los catetos sobre la hipotenusa determina sobre ésta dos segmentos cuya diferencia de cuadrados es igual a 729. Si: PH = 6. Por un punto A de la C circunferencia menor se traza una tangente que corta a la otra circunferencia en los puntos B y C. calcula a + b. calcula AB. calcula PQ. calcula x. mQR = mRC . si: AM = a. MN = b y AB = AC. ▪ 12 = 12 + 12 c a b 6. la altura relativa a la hipotenusa es igual a 21. en cuenta el siguiente gráfico: B M A B R A N P C M Q B N D ! ! Del gráfico. tal que el cuadrilátero ABHQ es un trapecio isósceles. calcula x. b B) a 2 + 2b 2 C) 2 ab E) 2ab En la figura. si: m+ABD = 90°. se traza la ceviana interior AP y en el triángulo ABP se traza la altura BH.75 H x O P N A b r (b + c) A) 2 c (b . Relaciona teniendo en cuenta el siguiente gráfico: 1. a A m x y E n d A c B D II. A) 2 D) 11. 1 ▪ 2 = 12 + 12 z x y 1 1 ▪ 2 = 2 + 12 c x y 3 C) 1 2 10. 9. calcula QC. Se ubica en AC el punto Q. AM = 6 y AB es diámetro. B C I. En un triángulo ABC recto en B. C a A) a + b D) a 2 + b 2 2 ▪ x2 = a b y B A) 15 D) 5 3 D II. En el interior de un paralelogramo ABCD se ubica al punto P. Teorema de Viette: (x + ad + = + b+ c ( C B) 2/3 ) ) C) 2 P A) 3 6 D) 28 B) 27 E) 42. c+b E) 5 Q c I.75 y AH = 12. 2. A) 27 B) 6 C) 18 D) 13. Si la longitud del mismo cateto es igual a “b” y de la hipotenusa es “a”. B 2 E) 1 2 2 12.° 6 de relaciones métricas en el triángulo rectángulo. 4. IV. III. calcula MN. BC Calcula BP. D) 2/5 E) 3/2 Q C) 4 15 C) 12.° 5 de relaciones métricas en el triángulo rectángulo. A b z B) Resolución de problemas b y c a A) 1 3 2 Calcula BC. La prolongación de PQ corta a la tangente en N.c b+c r (b + r) +b D) c B) C) 81 13. Si AP = 8.ACTIVIDADES UNIDAD 1 25 .6.5 B) 16 x 7. tal que (PB)2 + (PD)2 = 43 y (PA)2 + (PC)2 = 75. 5 B) 6 B) 4 E) 3 A) 13.5 E) 9 GEOMETRÍA . En un triángulo rectángulo ABC (recto en B). si NB = 3 y BC = 9. si P y Q son puntos de tangencia: 8. II. Teorema n.Practiquemos Nivel 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática A I. BD CD MN AC ( ) proyectante de B ( ) eje de proyección ( ) proyectante de A ( ) proyección de AB A) 2b (a + b) B) 2a (a + b) C) b (a + b) D) a (a + b) E) a + b B x A H 2 ▪ a2 = x y b 2 ▪ c2 = a b z 4 2 Completa los recuadros teniendo en cuenta los valores presentes en el siguiente gráfico. 3. Teorema de Ptolomeo: )( + y) = (m + D) 3 P A) 1/4 C C) 4 En el gráfico: BP = 1 y PC = 4. Teorema de Packein: (bc) = y( d) III.6 E) 8 Del gráfico. Halla AN. Se tienen dos circunferencias secantes en los puntos P y Q.75 D) 9. calcula AB .
A R A) 2 B) 2 2 Q C) 3 2 B D) 1 2 26 Intelectum 5. Calcula PQ .r) D) R(R + r) A B 2 H 53° R C E A) 3 6 D) 6 B) 4 E) 9 C)7 Nivel 3 Comunicación matemática P C) 9 27. Coloca V (verdadero) o F (falso). Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda y teniendo en cuenta el siguiente gráfico (I es incentro del TABC). calcula AB.r) 2 cm 2 N r M r A A) 3 2 D) 2 3 B) 6 E) 27 E) 1 A) 5 y 12 D) 7 y 9 B) 3 y 4 E) 5 y 8 C) 7 C) 36 25.2r) E) R(2R . si: DS = 6 cm ) (ABCD y DEFG son cuadrados). Calcula AE. calcula RQ. calcula AH2 . Además se 2 2 2 cumple que: (MC) + (NC) = (AM) Q B M 24. B) R(R . Siendo R (circunradio) y r (inradio).° B T B) 12 2 E) 72 A) R(R + 2r) C) R(R . según corresponda teniendo en cuenta el siguiente gráfico: P B a x h Q r I. 17. calcula MN. x = 2Rr II. Calcula la medida de los catetos de un triángulo rectángulo. teniendo en cuenta los valores presentes en el gráfico: B A B A C L1 C 3a a T R A S p b R C) 6 y 8 β R Q I P S θ A θ O T α α C . ABCD es un cuadrado. RC B de tangencia: Nivel 2 Comunicación matemática Q 15. Del gráfico mLP = m+APC. En un triángulo calcula el cuadrado de la distancia del incentro al circuncentro. ( E T F Px C B S 1. La altura relativa a la hipotenusa mide 4. Del gráfico. En la figura m+AEK = 90°. Si: LQ = 1 y QB = 1/2. B) M 10 L2 D A) 16. Si HD = 6. EH = AE. En la figura.CT2. 1 = 1 + 1 x r R IV. donde L y P son puntos de tangencia. Calcula x. P y R son puntos 23. Desde C se traza la tangente CT a dicha semicircunferencia. si: (PN)(NQ) = 18 y NT = 2. calcula m+ABM. ab = 2hR III. En el gráfico.19. Completa los espacios en blanco con valores numéricos. Rr = p (R + r + 2 Rr ) 12 5 +1 4 6 C) 3 + E) 3 1 2 3 -1 2 +1 7 D) 6 ( ) ( ) ( ) 20. B β 22. donde A.8. y m+NMC = m+MAN. R = 5 y (HB)(AC) = 91. C P A) 144 D) 18 Resolución de problemas D L B) 6 E) 9 E) 2 cm A) 53°/2 B) 37°/2 C) 45° D) 90° E) 16° M A) 5 D) 8 C N H 26.44 15 N A R D G K Q A C Razonamiento y demostración A) 2 5 cm 5 B) 3 cm C) 3 cm D) A C N ! 18. y S es punto medio de DT. cuyo perímetro es igual 24. si AB = MC 21. se prolonga AD hasta E y tomando como diámetro a AE se traza una circunferencia que interseca a CD en H. En la figura AB = 12 y BC = 16.
Del gráfico. 37. En una circunferencia se inscribe el triángulo ABC. E 33. III. QR = 4 y B es punto de tangencia. R Resolución de problemas Nivel 1 1. 2 BP Q C A A) 8 m D) 6 3 m A P B C O B) 12 m E) 6 2 m C) 9 m Razonamiento y Demostración A) 1 3 B) 12 13 C) 13 D) 5 12 6 E) 2 3 30. D 24. Calcula AC. M 17. si AB = 7. 29. en función de a y c. C E B A) 60° B) 45° C) 30° D) 53° E) 16° C l a ve s 29. 28. De la figura. A 21. A 20.(QC) 2 que: B) b2 . a2 + b2 = c2 + d2 2 38. C 22. ! mMN = 90°. B 35. BC = 1 y CD = 2. Calcula PD. P D A 2 D C B c P a A 2 IV. 2. B 31. si se cumple PB . C 13. B Nivel 2 15.ACTIVIDADES UNIDAD 1 27 . si: PQ = 6 y BR = 3 (O es centro). b + d = (x + y + z) B) 5 /3 E) 2 C) 9 2 /5 B P Q R + 33. B 8. Q es el conjugado isogonal de T ( ) lado AB son 2 m y 6 m respectivamente. En un triángulo ABC. Si: AP = 3 1 . ac + bd = (x + y + z)(m + n) ( ) II. donde se trazan las alturas AP y BM (H: ortocentro). P es el conjugado isogonal de S ( B b m C z y O x n A) 3/2 D) 2 d I. B 7. B Además m+ABQ = 2m+APB y QC = 6 A P α Q C 2α B A) 3 B) 12 C) 4 3 D) 8 E) 9 31. C A 34. si 6r = R. E 25.AB = 2 (AB) 2 . E 14. (“O” es centro) D) 15 m E) 17 m II. E 32. 4. B 12. D 36. C 23. 3. 9. 16. calcula (AM)(MC) . C Nivel 3 27. Calcula AE. si las distancias de H y O al tangencia. A 5. Coloca V (verdadero) o F (falso) según Q corresponda y teniendo en cuenta el A) 205 m B) 13 m C) 209 m siguiente gráfico. P es el exentro del triángulo ABC. A 38. C r P D O C Q P R Q A A) 3 D) 6 2 B) 6 E) 8 C) 5 2 36. D 30.I. En la figura PQ = 2. D 6. donde H es ortocentro O es circuncentro. Halla la longitud de la tal que QP // RD y además R es punto de ) mediana CM. R 28.a2 E) ab 3 35. además HO = 5 m. E 10. C 37. Calcula BD .(BP)(PC) sabiendo que b > a. Si HP = a y HM = b. Calcula QC. B 11. si: P. (x + y)ad = z(bc) ( ) ( ) ( ) III. N r A a A) a2 + 2c2 D) ac r D b B) a2 + c2 E) ac E B c C) 2ac GEOMETRÍA . calcula b2. Calcula AB. E 19. D 18. además D y P son R puntos de tangencia. Q y E son puntos de tangencia: A) 4 a 7 C P B) 2 a a 3 Q 4 C) a E 3 3 D) a 2 4 E) A B 3a 3 C) ab 34. D A) a2 + b2 D) ab 2 26. calcula m+QCA. R es el conjugado isogonal de O ( ) 32.
respectivamente. se han trazado la altura y la mediana relativas al lado mayor. 6 y 7.5 4 E) 32 6 B) 5 C) 5. A) 6 B) 4 7 C) 5 3 D) 3 2 E) 2 6 .Aplicamos lo aprendido Relaciones Métricas EN Triángulos Oblicuángulos tema 5: 1 En el gráfico. Halla la altura relativa al lado que mide 6. Calcula AD.1 En un triángulo ABC. AB = 5.3 E) 5. halla x.2 D) 5. En un triángulo de lados 4. 13 y 15. BC = 7 y AC = 6. halla la medida de la mediana CQ. 13 3 x 26 2 104 A) 12 B) 13 C) 11 D) 14 E) 10 En un paralelogramo ABCD el lado AB mide 8.° 71 D) 51 A) 5. Halla la distancia entre el pie de la altura y el pie de la mediana. las diagonales AC y BD miden 10 y 2 31 . A) 2 7 E) 3 3 En un triángulo ABC. A) 2 3 5 2 B) 4 3 C) 3 D) 5 3 A) 17 B) 34 C) 28 Intelectum 5. B) 4 3 C) 7 2 D) 3 5 E) 3 3 Los lados de un triángulo miden 5. Calcula la medida de la mediana relativa al lado AC. se cumple que: (BC)2 + (AC)2 = 100 y AB = 8.
5 y 6. El perímetro del triángulo.375 B) 5 C) 3 D) 6 E) 8 B) 5 6 C) 6 5 D) 3 2 E) 6 2 En un trapecio ABCD. calcula: AC A) 33 4 E) 9 En un triángulo cuyas longitudes de sus lados son proporcionales a los números 4. B C) 3 2 10 B) 0. B B) 2 6 En un trapecio ABCD. B 9 B) 150° 8 6. AE = 4 y m+ABP = m+C.2 En un TABC.A) 1 D) 4 E) 5 A) 7 B) 12 C) 15 D) 21 E) 10 E) 0. E 7 GEOMETRÍA . AB = 21. BF = 3. se cumple: BC2 = AC2 + AB2 + Entonces el ángulo A mide: 2. E A) 120° 3 (AC)(AB). B E) 60° Las longitudes de los lados de un triángulo obtusángulo. AB = 5. CD = 7 y AD = 11. Halla la distancia entre los puntos medios de BC y AD. AC = 5. 4. A En un TABC. si: AB = 6. es: A) 6 13 D) 165° En un TABC. A 11. A) 2 3 11 C) 135° 8. es: 5. E B) 9 14 D) 0. son tres números enteros y consecutivos. la bisectriz interior AF corta a la ceviana BE en el punto P. BC // AD. BC = 12. B 12. Si AB = 4 y BC = 7. AB = 3. 14.125 Se tiene un TABC donde la medida del ángulo A es el doble de la medida del ángulo C. la longitud de la menor bisectriz es 10. A 13. Halla AP. C Claves D) 6 7. CD = 13 y AD = 26. B C) 12 10. BC = 6. A) 16 B) 14 C) 15 D) 7 E) 13 9.1 3. La proyección de AB sobre AD mide: 1. El máximo valor entero de BC.ACTIVIDADES UNIDAD 1 29 . el ángulo A es agudo. Calcula la longitud del menor lado. BC // AD. C A) 8 12 C) 0.
Halla m+BAC. En un paralelogramo ABCD: AB = 3. = 1 (x + y + z)(x + y .2(x + y + z)x = d2 2 12. 30 Intelectum 5. calcula el valor de x.Practiquemos Nivel 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 4.y)(y + z . c = b + y + 2xy 2.2(x + y)x 2 B x a2 + (x + y + z)2 . 3 a 2 II. calcula x. z C z 2xy Rellena los espacios en blanco con los valores presentes en el siguiente gráfico: a H 2z 8 d2 = c2 + z2 + 2zy B E) 1/3 Calcula el valor de x. El teorema de Apolonio nos permite calcular la ceviana de un triángulo. BP + PQ = AP ( ) III.x) III. I. 8. Halla el máximo valor entero de AC. coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: En la figura. D) 3 y ´ 6 4 c2 = a2 + (x + y )2 . B) 11 C) 12 D) 13 B) 60° E) 105° A P C E) 14 10. El teorema de Packein solo se cumple en triángulos rectángulos. Según el gráfico. 4 3. 1 a 2 3 III. a A d c x H y P Comunicación matemática 14 A) 30° B) 37° C) 53° D) 60° E) 45° C z 5. ( ) . Calcula la longitud de la altura de dicho trapecio. En la figura. sabiendo que 14. A) 10 II. El teorema de Herón también se cumple en triángulos obtusángulos.y)(y + z . coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: En la figura: AB = BC = AC = 2 5 . BQ + QC = AQ ( ) II. ( ) ( ) III. = 1 (x + y + z)(x + y . = 1 (x + y + z)(x + y)(x + z)(z + y) 2z II. si: (AB)(BC) = 32 el ángulo B es agudo. O es centro y DM = MC = 3. B) 2 A Resolución de problemas Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda y teniendo en cuenta el siguiente gráfico.z)(x + z . ( ) . A x d2 = b2 + (y + z)2 .2(x + z)y II. AP = BP + PC ( ) Razonamiento y demostración En un TABC. 2 c + + c-9 2 + + 2 k= 2 2 k= 2 c=4 2 O C 2 + 2 + c-2 D 2 + A) 1 2 + E) 5 B P 3 I.° D) 4 B c 2 C) 1 13. De la figura calcula BP. Marca las alternativas correctas teniendo en cuenta el siguiente gráfico: 1. A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 B En un trapecio las bases miden 12 y 26 y los lados no paralelos miden 13 y 15. Teorema de Euclides (ángulo agudo) 2 Nivel 2 13 x b A) 30° B) 53° C) 45° D) 60° E) 75° 15 B 11. A) 45° D) 135° θ θ C) 120° Q A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 C) 3 . se cumple que: BC2 = AC2 + AB2 + 2 (AC) (AB) . Teorema de Euclides (ángulo obtuso) 2 2 2 A) 1/2 d = c + z + 2(y + z)z 6.z)(x + z . 9. Si en un triángulo ABC. ( ) M 60° C Q C A C) 3 D) 4/5 E) 3/2 I.x) 4 B) 3 Q x y 2 A) 2 b a A x 7. BC = 5 y AC = 7. AB = 3 y BC = 7. Calcula OM. y BP = PQ. ( ) . Según el gráfico. 5 B) 1 C) 2 α α N I. b M I. Calcula la m+A.
(AQ) = 24. si: AQ2 + QD2 = 100. si: (AF)(FC) = 20.5 D) 6 E) 7 8. C 23. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 31. ( ) III. La suma de los cuadrados de las medianas de un triángulo es 81. En la figura se muestra dos circunferencias concéntricas. La naturaleza de un triángulo depende de los ángulos internos del mismo. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Calcula PD.5 B) 9. D E) 4 9. ( ) 29. Calcula AC. A 20. A 6. AN = 3 y NB = 5. 26.ACTIVIDADES UNIDAD 1 31 . En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) B A N se toma un punto F de AC. El teorema de Carnot solo se cumple para triángulos acutángulos. donde AB = 13. MN = 1 y D) 13. C E) 4 13. CB .2 E) 7. D) 3 7. C 29.5 17. B P Nivel 3 20. es tangente a AC en D. Halla la suma de cuadrados de los lados.15. A C) 2 Nivel 1 B) 6 Razonamiento y demostración C l a ve s A) 1 P GEOMETRÍA . Halla la suma 22. D 11. Calcula la distancia del baricentro al lado AC. En el gráfico calcula MN. Halla AB.5 B) 10 C) 12 distancia del circuncentro al baricentro si 24. se trazan las alturas AH y CQ.2 21. B 31. MB = MD. ¿cuánto mide el radio de la circunferencia si el radio de la semicircunferencia mide 9? O1 R Resolución de problemas 2 2 +m A) 2Rr B) 2R2 C) 2(R2 + r2) D) 4Rr E) R2 + r2 2 =z +m 23.5 B) 6. D O 14. C D) 5 A) 5.75 E) 15 su circunradio mide 3 cm. si: O y O1 son centros.5 E D 26. 2 2 Q n O z A 28. calcula A) 8. Q 28. B) 4. A) 108 D) 112 B) 144 E) 116 C) 100 30. En la figura. SiendoABCD un romboide. calcula: K = 4(AM)2 + (BD)2. 19. Los lados de un triángulo ABC miden: AB = 13. C Nivel 2 30. C C) 4 D 22. AD = DE = 3. si: AB = 5. A) 1 B) 5 C) 4 R D) 6 E) 4. Calcula AC. m y 2 x O C C) 3 13 16. Halla k. III. B) 3 E) 20 C B 16. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC. 27. A) 5. CH = 25. Si: AQ = 9 y QC = 4. E) 92 α 25.5 25. Calcula BD. En el romboide ABCD. Se tienen dos circunferencias concéntricas de radios r y R (R > r). BF = 8. En un triángulo acutángulo ABC. Se tiene un triángulo ABC tal que: C) 80 M AB = BC = 2AC. 5. A 3. B Nivel 3 C Q A D A) 2 61 B) 18 3 D) 61 E) 10 Comunicación matemática 27. BC = 7. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo escaleno es 28. x + 2 . 18. D 21. BC = 20 y AC = 21. 19. B 24. Rellena lo recuadros en blanco con los de los cuadrados de las 3 medianas. la suma de los cuadrados de las distancias de un punto cualquiera de una de las circunferencias a los extremos de un diámetro de la otra es igual a k. C A) 2 D) 5 A A) 10 B) 120 C) 100 D) 81 E) 64 10. D C) 6 M 2. Si la distancia de B a la D) 90 N bisectriz interior del +A mide 6 . 17. BC = 20 y AC = 21. valores presentes en el gráfico siguiente: A) 28 B) 21 C) 35 D) 24 E) 14 B x P 2 I. D 4. El teorema de Chadú solo se cumple para cuadriláteros inscriptibles. ( ) II. B A C D 2 2 = 2 + D 2 +n =y + II. D 12. En un triángulo ABC se tiene que: (AB)2 + (BC)2 + (AC)2 = 9 cm2.16 PB2 + PC2. Si: (AB) . AC = 6. halla la A) 10.75 C) 9. C O1 15. 1. D) 10. calcula BQ.5 C) 7. B) 2 2 cm C) 1 cm A) 3 cm B C Resolución de problemas A) 85 D) 2 cm E) 2 3 cm α B) 95 18.
C) 30° A A) 3 B 3.° 6.I1N = 3 & I2H + HM . Calcula la m+MLN A) 217° B) 210° C) 180° D) 120° E) 90° . por ser un triángulo notable de 53° con lado I2H = 3 & I1I2 = 5 De la figura. α + b + q + g = 540°. P d d M C R Primero construimos un triángulo ABC tal que I2 I1 // AC. CR = RQ y AQ = 7. el cuadrilátero AQI2N es inscriptible. B α/2 α M 2β x γ A) 81° 2. se ubica el incentro I2 de su triángulo órtico MNQ (M en BC y N en AC).α 7. L M C A) 2 3 B) 2 2 C) 3 3 D) 6 2 E) 6 3 En un triángulo ABC isósceles. BS + AB = RC. Del dato m+MQN = 106° Como QI2 es bisectriz del triángulo MQN & m+MQI2 = m+I2QN = 53°. 4. Calcula I1I2. AB = DC y MN = NP. Resolución: A 53° Q N θ 53° d θ I2 53° H 53° I1 αα B 1.d = 3 & I2H = 3 Nos piden I1I2: El I2HI1. calcula α. AC R N θ C) 3/2 θ D) 2 B C E) 5/2 De la gráfica. Calcula α.5° B) 37°/2 S S B) 4 D) 15° Según la figura.Matemática En un TABC de incentro I1. AH = HP. H B α α B) 1 α A L A) 1/2 D) 7 A) 53°/2 C) 127°/2 α α A C C) 10 Si AN = LC. 32 E) 3. si BP es mediatriz de AD. BL y exterior CN. calcula: NC AL A R R E) 22. donde AC // I1 I2 . 2 Q P C P B) 45° B H D 90° . si m+MQN = 106° y la diferencia de las distancias de I2 a BC y AC respectivamente es 3. Halla x. De la gráfica. 5. donde la base es AC. Calcula PC.5 C D) 127°/4 E) 143°/4 De la gráfica.I2N = 3 & I2 H + d . B) 100° φ C) 90° N α θ φ A D) 74° A) 60 E) 60° De la gráfica. se trazan las bisectrices interiores AM. Halla AB . & m+I2QN = m+I2AN = 53° Del dato AC // I1 I2 : m+I2AN = 53° & m+HI2I1 = 53° De la gráfica: • Por paralelismo: I1P = I2 N = d • Por proyección: I1R = HM = d Por dato: I2M . Intelectum 5. AB = BC. B y L son puntos de tangencia y BR = AR.
planos inclinados. Galois se reveló como un griego de primer orden. pero su trabajo rutinario de clase en matemáticas fue siempre mediocre.	sonreír	auténticamente. Cuando comenzó a asistir a la escuela. Rápidamente se dedicó a observar. en realidad se llamaba Galileo Galilei. Sus trabajos se hallan coleccionados en obras matemáticas de Galois. las premisas acumuladas en la ciencia se transforman en una etapa cualitativamente nueva de su desarrollo. representa un vivo ejemplo de cómo. artículo que este último perdió. Más tarde estudió con aprovechamiento álgebra y análisis en las obras de maestros tales como Lagrange y Abel. que era un genio para las matemáticas. pero el significado de estos trabajos es enorme. Su obra principal es la teoría que él llamó de las ecuaciones algebraicas. tardó mucho tiempo en ser conocida. y apenas obtenida la libertad. pero plena de activas luchas políticas y un interés apasionado por los estudios matemáticos.! Señala el par que continúa en la serie: 2-4. estudios sobre termometría.24 . A) 8 . Galois Evaristo (1811-1832) Matemático francés nacido y fallecido en París. A los 16 años Galois sabía ya lo que sus maestros no habían logrado descubrir. murió en un desafío cuando aún no había cumplido los veintiún años. Estaba predestinado por su padre para ser médico hasta que escuchó una conferencia sobre geometría y se dedicó al estudio de las matemáticas y las ciencias. •	Lo	más	proactivo	a	nuestro	alcance	es	ser	feliz. el griego y el álgebra..	tenemos	“habilidad	de	respuesta”.	sobre	lo	que	somos.	La	felicidad. pero hoy es la parte esencial de todos los manuales de álgebra.	de	controlar	nuestras	vidas	y	de	influir	poderosamente	en	nuestras	circunstancias	trabajando	sobre	el	ser. trayectorias de proyectiles. •	Somos	responsables. pero se sintió inmediatamente fascinado por la geometría de Legendre. Curiosamente nació tres días antes de la muerte de Miguel Ángel.. sus manuscritos y borradores apenas ocupan 120 páginas en un libro de pequeño formato.	es	una	elección	proactiva.42 B) 7 .. y sus profesores lo consideraron como un muchacho rutinario de clase de matemáticas.Recuerda Galileo (1564-1642) Astrónomo y físico italiano nacido en Pisa y fallecido en Arcetri..	y	de	esta	manera	provocar	un	cambio	positivo	en	lo	que	está	allí	afuera. ¡Razona. Entre sus experimentos más famosos destacan el estudio del péndulo. No obstante su prematura muerte.	como	la	desdicha. Galois escribió pocos trabajos. Por sus fuertes ideas republicanas y revolucionarias fue encarcelado dos veces. Reflexiona •	El	enfoque	proactivo	consiste	en	cambiar	de	adentro	hacia	afuera	y	ser	distinto. Aunque universalmente conocido por su primer nombre. como Galois expuso su teoría de forma muy concisa. 3-9..35 E) 6 . A los 17 años desarrolló sus escritos fundamentales en un artículo que envió a Cauchy.30 C) 8 . mostró poco interés por el latín. corta. Su vida.48 D) 7 . 5-20. medir y mirar todos los objetos cuantitativamente para descubrir alguna relación matemática que permitiera describir el fenómeno con mayor simplicidad. en la actividad de un hombre dotado. estudios sobre el movimiento continuo y resistencia de materiales.
ACTIVIDADES UNIDAD 2 35 . BD = 2 y la ! 2 ! mAB = mBC . A) 5 D) 7 6 B) 10 E) 11 C) 8 Halla el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 3. halla el valor del lado de dicho polígono. B. estos inscritos en una misma circunferencia. C y D tal que: AC = 6 . Calcula la medida del ángulo formado por AC y BD.3 3 .2 C) 6 2 . Halla x. Si la diagonal de un pentágono regular mide ( 5 + 1).2 + 2 B) 4 2 + 2 . halla su perímetro. Halla AE. se ubican los puntos consecutivos A. A) D) 5 B) 45° E) 30° B) 6 E) 3 3 6 x A) 4 2 .Aplicamos lo aprendido tema 1: 1 polígonos REGULARES En una circunferencia cuyo radio mide 2 . ´6 ´10 ´5 A) 100° D) 90° B) 108° E) 60° C) 120° A) 16 D) 12 B) 18 E) 15 C) 20 GEOMETRÍA . hexágono regular y un decágono regular.2 4 C) 2 3 En la figura se muestran las longitudes de los lados de un pentágono regular. A) 60° D) 53° 3 C) 37° La longitud del lado de un dodecágono regular ABCDE… es 6 . Si el radio mide 4. En una circunferencia se encuentra inscrito un polígono regular de 16 lados.2 + 3 D) 2 2 + 2 E) 2 2 + 2 .
B Q C θ P A) 2^ 2 + 2h cm C) 4^ 2 . Calcula el perímetro del polígono formado al unir los puntos medios de los lados consecutivos de dicho polígono.2 m E) B) 53° E) 12° En una circunferencia de centro Q y radio 2 m. E M A B) 30° E) 50° 4. B P D 2. ° 3 m 2 E) 3 m A) 3 m C) 1 8. B 10. B r O C) 2 3 m 3.2 E) 3 5. C 9. E 12. A) 36° D) 42° 8 10 6 /5 m 3 /2 m B) E) Se tiene un cuadrado de 4 cm de lado. B) 8 2 E) 6 2 A) 4 2 D) 4 C) 49° 6 /7 m 6 /4 m C) 8 Si ABCD es un cuadrado. BC = 5 + 1 y la m+C = 18°. A) D) 2m En un triángulo ABC obtuso en A se sabe que AB = 2.1h cm E) 2^ 2 + 1h cm ! ! A) 15° D) 60° Si PQ // RS. S B) D) 4 m 7. Halla la apotema del polígono que resulte al unir los extremos de estas prolongaciones. N x Q C) 45° En un hexágono regular de 2 m de lado. además. B R 14 L 1.7 9 En un triángulo rectángulo ABC. 12 C) 7 /6 m En una circunferencia de radio 2 .2 m 11 2. la mPR = m SB = 30°.1 B 6. Si la bisectriz relativa a la hipotenusa mide igual que el cateto menor. B 11. A) 2 2 . D A) 2 3 D) 3 . Calcula x si r = 3 + 1. perpendiculares entre sí. Calcula la medida de dicho cateto. C Claves 36 Intelectum 5. Calcula el lado de este octógono regular. La recta que une el punto A con el punto medio O de BC. recto en B. se trazan los diámetros AB y DE. lado del hexágono regular inscrito corta a DE en N. AC = 2 m. se inscribe un octógono regular. Calcula la m+B.2 m B) C) 2 + 2 m D) 3 2 . se prolonga cada uno de sus lados la misma longitud de su lado y en un mismo sentido. A 13. C 14. B B) 2 3 .2 h cm A . Sobre cada lado se ubican dos puntos de manera que los ocho puntos son los vértices de un octógono regular. A 13 B) 4^ 2 + 2h cm D) 4^2 . Calcula QN. calcula q si además PQL es un triángulo equilátero.
x = R ^ 5 + 1h 2 2. A 3 Calcula el circunradio de un triángulo ABC sabiendo que AB = 4. La longitud de su apotema es casi equivalente a la longitud de su circunradio.62 = . . x = R ^ 5 + 1h 6.24 + . Hexágono regular III. Si EN = ND = R 10 . calcula x. Triángulo equilátero II.24 = .5 B . BC = 12 y AC = 13.52 Razonamiento y demostración B) 9 3 E) 36 3 B) 5 E) 3 2 E) 3 3 C) 12 3 C)2 2 El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 4.3 E)2 5 + 2 5 -1 C) 3 5 . en donde R es el circunradio del 2 pentágono regular ABCDE.82 + .ACTIVIDADES UNIDAD 2 37 . 6-3 3 . BC = 3 3 y la m+B = 30°. A) 2 2 + 2 B) 2 4 . . x = 2R ^ 5 + 1h II. II.10 III.1 D) 2 .62 + . La longitud de sus lados también aumenta.2 2 D) 2 2 + 2 2 E) Además P. En el siguiente gráfico marca la opción correcta teniendo en cuenta el siguiente gráfico. Comunicación matemática 1. Octogono regular A) I y II D) Ninguno B) Todos E) II y III C) I. Halla el perímetro del nuevo hexágono regular formado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del primero. Calcula AE. C) 3 El lado de un hexágono regular mide 6. Calcula el lado de un octógono regular inscrito en la misma circunferencia. A) P D) 10. Calcula la longitud de una de las diagonales de un pentágono regular cuyo lado mide 2.24 = . . C . 3. entonces: A) 1 7. III. El lado de un dodecágono regular ABCD. B C) 2 4 . R y T son puntos de tangencia. En cuáles de los siguientes polígonos regulares se cumple que: ..JKL mide C C) 5 + 1 I. Su área es casi igual al área de la circunferencia circunscrita a dicho polígono regular.2 5 . A) 3 D) 7 9.. I.2 E) 10 5 Nivel 2 11.Practiquemos Nivel 1 5. .4 B) 2 A) 6 3 D) 18 3 II. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: Si el número de lados de un polígono regular se incrementó considerablemente. III.6 A .52 4.10 D E 2 I. 8.n > apn 75° A) 2 3 B) Comunicación matemática R T Q 5 +1 D) 2 5 Halla la medida de PQ. II y III GEOMETRÍA . si m+QRC = 75°. Pentágono regular IV.2 2+ 2 B) 5 . B Marca la opción correcta. teniendo en cuenta el siguiente gráfico: A C A 18° 36° x x M N A) 36° B) 54° C) 72° D) 30° E) 60° C B E R D O Resolución de problemas I.
En la siguiente circunferencia dibuja un decagono regular con la ayuda de un compás. Calcula la m+PQR. si OE = SE.3 cm E) 4 2 + 3 cm 17.782 y cos(51. Calcula HP. Completa los valores correspondientes en el recuadro. Halla el perímetro del nuevo hexágono que se forma al unir los puntos medios de los lados del hexágono original.43°) = 0. ° C) 135° C) 6 2 Nivel 3 C) 48° 15. A H B P G C D F A) b + a 2 D) b . respectivamente.3 cm D) 8 2 .a A) 2 2 .2n . Halla la altura relativa a la hipotenusa. por A y C se trazan AP y CQ perpendiculares a las bisectrices de los ángulos C y A. M y N son puntos medios de AB y AC.43°) = 0. Si uno de sus ángulos mide 7°30’. A) 6 D) 4 2 B)3 2 E) 10 C) 12 19. P B) 7 E) 5 2 8 an . B R A R O Razonamiento y demostración 13. recto en B. En la figura el radio de la circunferencia mide 2 7 . Si ABCDEFGH es polígono regular.623 n R 5 U 6 7 A) 96° D) 127° B) 108° E) 143° 38 Intelectum 5. B) 2b . si FP = b 2 y DP = a. si AC = 6 2 . Halla la mNR .a C) 2b + a B E) b + a M ! 14. además: sen(51. si Q y L son puntos de tangencia. Calcula MN. A C N R N Q P L A M A) 28° D) 38° O1 A) 6 D) 5 R B O B) 36° E) 30° Q S Comunicación matemática 4 T O1 E O 20. el triángulo ! E ABC es equilátero. E es punto de tangencia. En un triángulo rectángulo ABC. Resolución de problemas 16.12. PQ = US y QR = TS.3 cm B) 2 2 + 3 cm C) 4 2 . El perímetro de un hexágono regular es 24 3 m . teniendo en cuenta que los polígonos regulares se encuentran inscritos en la misma circunferencia de radio igual a 4.n apn An . A) 24 m D) 8 3 m B) 36 m E) 18 m C)12 3 m 18. Se tiene un triángulo rectángulo ABC cuya hipotenusa mide 16 cm. Halla PQ.
T. calcula la longitud del circunradio del triángulo AIC.1h u D) ^ 10 . P C) 3 4 . tomando como centro los vértices A y D y con radio a se trazan los arcos BD y AC. 3(AB) = 8(PQ) y OP = 5 u. la m+ABC = 108° y su incentro es I. (Q y R puntos de tangencia). E 29. A 24. D GEOMETRÍA . En un cuadrado ABCD de lado 4. si la longitud de su lado es una cantidad entera. 19. D 7. E 18. Calcula el valor de AQ si m+OPL = 17°. la diagonal BD interseca a las diagonales AC y EC en los puntos P y Q. B 25. A 26.2 h u B) ^ 5 . si el circunradio del triángulo ABC es R. D Nivel 3 20. C 23. B y H son puntos de tangencia) r E) 1 m 6m C) 2 + 2 m en F. B 5.1 m R 2 B) c 5 + 2 m R 2 D) c 5 + 1 m R 2 E) ^ 5 + 1h R B) 5 E) 2 5 A) 56 D) 72 R Q C) ^ 5 + 1h A O B Nivel 1 1. Si AB = ^3 + 5 h . entonces la longitud de PQ es: (A. A' Resolución de problemas 25. Calcula la medida de BQ si ABCDE es un pentágono regular de circunradio 6. B M B) 26. En un hexágono regular ABCDEF se construye interiormente un cuadrado BCMN. B 8. Calcula el perímetro del polígono. A 16.5 h 23. 28. C 22. T C B) 4 4 . D 13.2 3 29. En un polígono regular. Calcula AN si el radio de la circunferencia circunscrita al hexágono mide 2 + 3 m . el número total de diagonales es la tercera parte de la diferencia entre el perímetro y el número de ángulos rectos que equivale a la suma de las medidas de sus ángulos internos. En la siguiente circunferencia dibuja un heptágono regular con la ayuda de un compás (el heptágono regular debe estar circunscrito a dicha circunferencia). B 21. secantes 22.3 h B) ^2 + 3 h D) ^ 2 . En un pentágono regular ABCDE. B 15. A A) 2 m 4. P. E 27. B 14. Del gráfico. 12° N D) 2. Halla CD si m+AOB = 60° y r = 2 3 . C 6. D 17. En un triángulo ABC. C 12.ACTIVIDADES UNIDAD 2 39 . Halla la distancia entre los puntos medios de AF y FD .3 h E) ^ 6 + 2 h D) 3 4 + 2 3 E) 4 4 + 2 3 A) c 5 .3 m 27.21. A O iente circunferencia d Razonamiento y demostración E Q D A) 3 2 D) ^5 + 5 h ! ! C B) 2 3 E) 3 5 C) ^5 . 9. C) ^2 10 + 2 5 h u 2. 3. A P B D O A) ^2 2 . D 10.2 5 h u L R C) C) 10 B) 63 E) 86 24.2 3 28. E) 5R 2 5 u C) 69 Cl aves A) ^2 .2 3 A) 2 D) 2 r H A) 2 4 . E Nivel 2 11.
siendo G el baricentro del TABC y además: STABC = 36 m2. halla el área de la región sombreada. en el cual la base mide 16 cm y el circunradio 10 cm. Halla el área de la región triángular PBQ. AC = 2 m. 2 A) L 4 2 L D) 8 C) L 3 2 Halla el área de la región triangular correspondiente a un triángulo isósceles. halla el área del cuadrilátero ABEF. CF = 1 m. que determina figuras equivalentes. 1 En la figura. A Calcula: TDBE A<ADEC B D G A 2 A) 20 cm D) 32 cm2 40 Intelectum 5. Si los triángulos ABC y CEF son equiláteros. Halla la longitud del segmento paralelo a dicho lado e intersecado por los otros dos. siendo el triángulo obtusángulo. tiene longitud L.Aplicamos lo aprendido tema 2: ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES En la figura. ° 2 B) 12 cm E) 28 cm2 C) 30 cm 2 A) 9 11 D) 1 2 E C B) 9 13 E) 3 5 C) 1 . Exteriormente se construye el cuadrado ACDE. 6 C) 4 3 m2 3 2 B) L 6 2 E) L 16 2 C) L 12 En la figura: G es baricentro del TABC. BE y BD cortan a AC en los puntos P y Q. BE = 3EC y DB = 3AD. 2 B B E G C A 2 2 A) 4 m D) 6 m2 3 Uno de los lados de un triángulo tiene longitud L. D) L 3 5 C) 3 m B) L 2 2 E) L 3 4 F A) 2 3 m 2 3 D) 7 3 m2 4 2 B) 2 m E) 9 m2 A) L 2 C A 4 B) 3 3 m2 2 E) 3 2 m2 2 La hipotenusa AC de un triángulo rectángulo isósceles ABC.
10 M A 13 C B G1 A A1 M B 11 G A) 10 m2 D) 25 m2 C) 81 m2 Si G1 y G2 son los baricentros de los triángulos ABM y AMC. calcula el área de la región sombreada. C A F 2. C 9. 12 8m Q B) 15 cm2 E) 25 cm2 4. D 12. 14 C B B N M L A C A) 26 cm2 19 D) 4 cm2 ! C) 26. CD = 9 m y AD = 12 m. calcula el área de la región sombreada. Si: A1 = 10 m2. D 7 GEOMETRÍA . Calcula el área de la región triangular ABC. A) 16 D) 24 B) 18 E) 28 Halla el área de la región triangular OPL. respectivamente. D B) 81 cm2 25 E) 3 cm2 C) 62 m2 Claves B) 22 m2 E) 28 m2 D P 5. C A C) 20 3. B 6m C) 18 cm2 Los lados de un triángulo ABC son números enteros en progresión aritmética. Del gráfico G y N son baricentros de los triángulos BMC y ABC. calcula A2.En la figura: DE // BC y DF // AB. Calcula el área de la región sombreada. B 13. B 7. 8 B B E N A C D A) 60 m2 D) 64 m2 B) 72 m2 E) 68 m2 B) 15 m2 E) 30 m2 G2 A C B) 30 m2 E) 50 m2 C) 40 m2 Halla el área de la región sombreada.6 m2 10. si: BF = 3 cm y AC = 10 cm. A A) 20 m2 D) 24 m2 O 6. Si el área de la región triangular AED es 25 m2. si ATABC = 80 m2. si el valor de dicha área es númericamente igual a su perímetro.ACTIVIDADES UNIDAD 2 41 . D 11. B 8. el área de la región triangular DFC es 9 m2. B O P T A) 10 m2 D) 16 m2 D 6m B) 12 m2 E) 24 m2 C) 15 m2 En la figura mostrada. Calcula el área de la región triangular ABC. si AB = 6 m. 9 A2 1. C 4m C E A) 10 cm2 D) 20 cm2 C 4m D F A) 20 m2 D) 36 m2 14. Si: AC = 5 m y AB = 12 m. C P C) 20 m2 De la figura.
Calcula el área de la región triangular ABC.
Relaciona las regiones triangulares cuyas áreas tengan igual valor.
A) 20 3
Halla el área de la región triangular ABC, recto en B, si
MN = NB = 5.
42 Intelectum 5. °
D) 50 3
Si G es el baricentro del triángulo ABC recto en B, la distancia
del baricentro de dicho triángulo a los puntos medios M y N de
los lados BC y AC miden 5 m y 3 m respectivamente. Calcula el
área de la región triangular AGN.
A) 4 11 m 2
D) 4 10 m 2
Si AB = 6; BC = 8, AD = DC y m+D = 60°. Halla el área del
triángulo ADC.
Si ADABC = 4 715 , entonces es inradio del DABC es igual a
En la figura SDABC = 48, calcula SDMNP.
En un cuadrado ABCD se ubica un punto M interior tal que
m+AMD = 90° y el producto de las áreas de las regiones
triangulares AMB y CMD es 48 cm4. Calcula el área de la región
triangular AMD.
A) 2 5 cm 2
D) 3 3 cm 2
C) 3 11 m 2
Se tiene un triángulo rectángulo ABC, se construye exteriormente
el cuadrado ACDE. H es la proyección del punto D sobre AB.
Si AB = 4 y BC = 6, calcula el área de la región DEH.
B) 3 10 m 2
E) 5 11 m 2
B) 2 6 cm 2
E) 4 3 cm 2
C) 6 3 cm 2
10. El área de una región triangular ABC es 64. Sobre AB y BC se
toman los puntos M y N respectivamente, tales que AB = 4BM y
BN = NC. Calcula el área de la región triangular MBN.
15. Si ABCD es un cuadrado y APQ es un triángulo equilátero,
calcula: 2
11. De la figura:
Calcula Sx.
Si AB # BC = 1088, entonces:
y ADABC =
12. En el DABC, m+ABE = m+DBE y la distancia del punto D a AC
mide 3, además, G es baricentro del DABC.
16. En la figura: S1 = 5; S2 = 2.
Completa los recuadros con los símbolos >; < o =, según
A) 6 m2
D) 9 m2
13. Según el gráfico T es punto de tangencia y OT = LE + TB = 8 cm.
Calcula el área de la región sombreada.
Calcula el área de la región triangular cuyos vértices son los
centros de las circunferencias.
B) 575 cm 2
E) 599 cm 2
C) 576 cm 2
20. En un triángulo ABC (3AB = 2BC), se traza la bisectriz interior
BD y se ubican los baricentros G1 y G2 de los triángulos ABD
y BDC respectivamente. Calcula la razón de las áreas de las
regiones triangulares ABG1 y BG2C
Si: r1 + r2 + r3 = (r1)(r2)(r3) = 6
A) 571 cm 2
D) 591 cm 2
19. En un triángulo ABC la circunferencia inscrita es tangente a BC
y AC en M y N respectivamente. Calcula el área de la región
triangular MCN si: AB = 8 cm; BC = 15 cm y AC = 17 cm.
14. En la figura (AP)(PQ) = 16. Calcula: Ax
B 7 m2
E) 10 3 m 2
18. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos,
cuyos radios miden r1; r2 y r3.
17. El área de una región triangular ABC es 72 m2, por el baricentro
G se trazan paralelas a AB y BC, que intersecan a AC en los
puntos E y F respectivamente. Calcula el área de la región
triangular EGF.
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 2
26. De la figura, mostrada, OK = NK = 2 y OM = 3. Calcula el área
21. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda, si se sabe
que QRST es un trapecio.
▪ A= B
▪ D = 12C
▪ E= B
▪ E=C
▪ D = 12A
22. Completa los recuadros en la siguiente figura, si se sabe que:
1235 , el área de dicha región es
son números enteros.
1235 y AB y BC
A) 7 5 /6 m 2
D) 9 5 /5 m 2
23. Calcula el área de la región triangular sombreada, si AB = 32 m
y BC = 18 m (P, Q y T son puntos de tangencia).
A) 256 m2
B) 224 m2
C) 236 m2
D) 244 m2
E) 212 m2
25. Halla el área de la región triangular TOK, si el área de la región
triangular AOB es 6 m2.
44 Intelectum 5. °
A) 4,5 m2
B) 5,5 m2
D) 3 m2
E) 1,5 m2
B) 7 6 /5 ; 7 6
E) 12 6 /5; 12 6
C) 9 6 /5; 9 6
30. Del gráfico, calcula a, si el área de la región triangular ABC es
27 m2 y además la media geométrica de m y n es 6.
C) 106°
D) 74°
A) 45 m2
B) 55 m2
C) 66 m2
D) 75 m2
E) 65 m2
C) 8 5 /3 m 2
29. El exradio relativo al lado BC de un TABC mide 4. Calcula el área
del TABC, si los segmentos determinados por la circunferencia
exinscrita sobre el lado BC miden 1 y 2.
24. Según la figura mostrada calcula el área de la región sombreada.
Si ED = 10 m y AP = 6 m. (O: centro del cuadrado ABCD).
B) 5 5 m 2
E) 5 5 /2 m 2
A) 3 6 /5 ; 3 6
D) 11 6 /5; 11 6
E) 18/7
27. En un triángulo ABC la circunferencia exinscrita es tangente a
BC y a la prolongación de AC en M y N respectivamente. Calcula
el área de la región triangular BNM, si: AB = 7 m; BC = 8 m
y AC = 9 m.
28. La circunferencia inscrita a un TABC es tangente a AB en M y
a BC en N. Las prolongaciones de MN y CA se intersecan en P.
Calcula el área de la región triangular MPA y PBC, si AB = 5,
BC = 7 y AP = AC = 6.
m+BAC > m+BCA
B) 27/14
C) 27/8
C l a ve s
si la mediatriz de AC interseca a BC en N. C M N A) 12 m2 D) 30 m2 3 ÁREAS DE REGIONES cuadrANGULARES D B) 16 m2 E) 32 m2 C) 24 m2 Dado un triángulo ABC. donde el área de su región es 18 m2. Calcula el área máxima. 1 B A 2 Calcula el área de una región trapecial. A) 12 m2 D) 24 m2 B) 18 m2 E) 48 m2 A) 24 m2 D) 27 m2 C) 9 m2 C) 20 m2 6 D E B) 20 m2 E) 32 m2 C) 25 m2 Calcula el área de una región trapecial isósceles circunscrita a una circunferencia cuyas bases miden 8 y 18 m. A) 144 m2 D) 156 m2 B) 146 m2 E) 172 m2 C) 150 m2 GEOMETRÍA . si su altura es media proporcional entre sus bases. C B O A A) 6 m2 D) 10 m2 5 B) 8 m2 E) 12 m2 Las diagonales de un trapezoide miden 6 m y 8 m. Se traza la altura BH. A) 18 m2 D) 39 m2 4 B) 26 m2 E) 42 m2 C) 34 m2 Calcula el área de la región ABCD si BCDE es un paralelogramo.Aplicamos lo aprendido tema 3: En la figura el área de la región cuadrangular ABCD es 48 m2. Calcula el área de la región cuadrangular ABNH. ADABO = 4 m2 y A 6 COED = 10 m2. calcula el área de la región sombreada (M y N son puntos medios).ACTIVIDADES UNIDAD 2 45 . cuyas bases miden 4 y 9 m.
m+A = 80°. A D) ` m . trazada a un metro de distancia de la base dada.3 m m2 2 C) c 153 . B 11. Si se trazan los segmentos paralelos AF y CE. si ABCD es un cuadrado y FD=K. D 13. D A) 9 m D) 12 m D 6. I es incentro del triángulo ABC.n m h 2 C) c m + 2n m h 2 12. El área de la región rectangular. C B) ` m + n j h 2 B) 22 m2 E) 10 m2 E) c 153 . F B C C A) 12 cm2 D) 11. A 14. A E) c 2m . C A 8 2. calcula el área de la región trapecial. D 7 . siendo L punto de tangencia.n j h 2 14 8. distantes 2 m entre sí. con la condición de que sus lados sean paralelos a las diagonales del cuadrado. Calcula la longitud de la paralela a las bases. calcula el área de la región ABLD. C Claves 46 Intelectum 5. C 2 13 L 4. RM = 2 y el ángulo BRM mide 45°.2 m m2 2 En un cuadrado de 6 m de lado se inscribe un rectángulo de 8 m de diagonal. es: A) 2 m2 D) 4 m2 7.5 cm2 Una de las bases de un trapecio mide 10 m. entonces el área de la región paralelográmica que se forma. B) 10 m E) 14 m 10 12 C I A P D Q A) k/2 D) k/4 B) k/3 E) k/ 3 C) k/ 2 10. en el cual M es punto medio de BC. B B) 11 cm2 E) 11. m+D = 50°. Halla el área de la región rectangular QIPD. 1. A) 24 m2 D) 12 m2 C) 11 m Dado el rectángulo ABCD. El área de la región rectangular ABCD es k.3 m m2 2 D) 3 c 133 .2 cm2 Halla el área de una región rombal ABCD. D D) 2K A 2 C) K 4 C) 4 5 m2 3.Calcula: A4ABCD + A4AFCE. BC // AD.2 m m2 2 En un trapecio ABCD. de modo que F ! DC y E ! AB. ° C) 26 m2 Sea ABCD un cuadrado cuyo lado mide 6 m. Si AB = m. BC = n (m < n) y la altura del trapecio es h. A) mh 2 C) 11.8 cm2 B) 2 5 m2 E) 5 m2 5. es: A) c 133 .9 m m2 2 B) 3 c 153 . su altura 4 m y el área 32 m2. A 2 B) K 2 E) 2 K2 A) K 11 B D E 2 9 Si el área de la región cuadrada es 16 cm2. A 9. AM corta a BD en el punto R.
P A) 2 cm2 4. calcula el área de la región sombreada. Comunicación matemática 1. P Indica el área de las respectivas regiones cuadrangulares.EFGA). donde D es simétrico a B. si las distancias de O a los lados BC y CD son 2 y 3. ABCD es un rectángulo.5 u 5u 6u 6. (S ! QO). isósceles. si PB = 2 3 cm. A1 A 2 9. se ubican los puntos P.ACTIVIDADES UNIDAD 2 47 . Si A. En el gráfico. Calcula el área de la región limitada por el rombo PQRS tal que QS = 2(SO) = 2a. respectivamente y la m+ABC = 135°. B) 16 2 E) 24 2 En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O. A) 252 D) 284 B) 128 E) 112 C) 96 10. Se tiene un rectángulo ABCD. Q C) 6 cm2 D) 8 cm2 E) 10 cm2 C B A2 D A) 2 cm B) 4 cm 2 C) 6 cm 2 D) 8 cm2 C) 18 2 B) a2 6 E) a2 10 C) 2a2 5 En un triángulo ABC. A) 12 2 D) 20 2 T L A D Resolución de problemas 6 E H 12 G 9 A C C A2 A1 Completa el recuadro en blanco teniendo en cuenta los valores presentes en el siguiente gráfico. Si: BE = 8 cm y EC = 2 cm.A2. A 10 u 3u 74° 15 u 37° 12 u N A= A= 3 5u 2. Si BF = 6 y DE = 4. En el gráfico.Practiquemos Nivel 1 5. el cuadrilátero ABCD es un trapecio rectángulo. luego se traza BF perpendicular a la prolongación de DE. Q 8. C O B B) 4 cm2 C) 13 cm2 En un romboide ABCD siendo O punto de intersección de las diagonales. calcula el área de la región cuadrangular ABCD.ABCD = 9 (A.5 u 5. A) a2 5 D) 2a2 10 En la figura. la altura que parte de B mide 8 y el perímetro 32. calcula A1 + A2. siendo A1 y A2 las áreas de las regiones sombreadas. desde D se traza DE ⊥ AC. Q y R. (T es punto de tangencia). calcula el área de la región cuadrada ABLN. Calcula el área de la región ABCD. con AB = BC. F E B A= B C) 16 cm2 En el gráfico. Si: (AD)(BQ) = 8 cm2. 8u L A) 14 cm2 B) 15 cm2 D) 18 cm2 E) 20 cm2 2. calcula: A1 . entonces b = Razonamiento y demostración 3. 11 15 A) 20 cm2 B) 12 cm2 D) 18 cm2 E) 10 cm2 A D b 7. si: AL = PL y (AL)(OC) = 16 cm2. Calcula el área de la región rombal ABCD. respecto de AC. 5 5u A= C B E) 10 cm2 A) 10 D) 40 B) 20 E) 80 C) 30 GEOMETRÍA .
B . B u 9 u2 F A H 105 u2 u E A) 284 I. Calcula el área de la región paralelográmica BCDK. calcula el área de la región paralelográmica DILO. A E) 420 Si mAE = 3 mEL y RA // DO (L y A son puntos de tangencia). Calcula el área de la región sombreada. respectivamente. 609 y el área de la región trapezoidal . donde ABCD es un rombo. Calcula el área de la región limitada por el rombo. C + E = A . si el lado del cuadrado mide b. Si: NQ = 5 y la m+BAD = 74°. Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABFL y BCQR. si BP = 2 y PD = 1. Calcula el área de la región trapezoidal BCDH. A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) 32 Nivel 3 Comunicación matemática 21. En la figura. C ! O E R A) 5 B) 2 5 C) 7 D) 4 7 E) 2 7 14. En un rombo ABCD en BC se ubica el punto medio M. exteriores al triángulo. B C D α 17. si SK = KE = 2 y CD//NA (T: punto de tangencia). A. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. III. Calcula el área de la región rectangular ABCD. Halla el área de la región cuadrangular AFRC. A D Resolución de problemas 2 D 10 C α 2 u2 21 u2 A B C A) 10 m2 B) 12 m2 C) 14 m2 D) 16 m2 E) 18 m2 6 A B) 32 3 C) 6 3 D) 36 E) 36 2 20. Calcula el área del cuadrilátero que se forma al unir los vértices libres de los triángulos equiláteros.16. BD y AC son números enteros (AC 1 BD). además. si AP = 9 y DP = 13.ABCD es igual a 8 290 . B) 216 E A) b2 ^ 3 + 1h D) b2 ^2 + 3 h A . Nivel 2 Comunicación matemática E 11. Razonamiento y demostración P D) 356 19. De la figura. Las diagonales del rombo intersecan a AM y MD en N y Q. En el gráfico. si AB = DC. Completa los recuadros en la siguiente figura si: senq = 16 290 . siendo AR = 8. ABCD = 4(B+ D) ! C D T S D K B A E O N D P B A 48 Intelectum 5. B 13 C θ 24 18 A 39 D .D 2 B C) 324 18.1h E) b2 ^4 + 3 3 h I 13. ° L A) 2^3 + B) 3^3 + C) 3 21 D) 4^4 + E) 2^2 + A) 14 B) 24 14 C) 3 14 D) 12 14 E) 8 D A) 36 3 21 h 21 h 21 h 21 h 15. C C) 3b2 B) b2 ^2 3 . completa los recuadros.ABCD = 2(D + E + B + C) II. si ABCD es un paralelogramo y AFBC es un trapecio. 12. (BD)(BE) = 20 m2 y 2(AH) = 3(HD). Sobre los lados de un cuadrado se construyen exteriormente triángulos equiláteros.
D 10. E 13. A 25. 30 E) 10 5 % 7 28. si los radios OA y OB intersecan a la circunferencia menor en N y M. E 1. En la figura. el área de la región romboidal PQRS es 12 cm2. C 22.QMNR es un trapecio. determina EF. 9. D 2. B A) 3 5 12 D) 5 H B) 3 4 11 E) 5 H G M D B) 2 m E) (4 . 18. B 21. 28. B A C 29. D 24. 19. D 30. EFGH es un cuadrado donde EH//AB y HG//AD según se muestra la figura. En la figura. B Nivel 3 27. Calcula el área de la región cuadrangular ACBO. C Nivel 2 17. Calcula el área de la región cuadrangular ANMB. C) 6 5 % 7 Resolución de problemas R C 3b B) 11 5 % 7 Nivel 1 7. S Completa los recuadros con los signos corresponda. B GEOMETRÍA . b M a a P B D E A) 9 5 % 7 N A Q 26. 29. En un cuadrante AOB de radio 2. B 23.22. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 m. calcula la razón entre el área de la región romboidal ABCD y el área de la región sombreada. 6PQRS es un paralelogramo y . BC = 5 y CD = 9. Se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. B 5. C) 584 Q C) 3 2 B 23. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD tal que AB = 6.ACTIVIDADES UNIDAD 2 49 . C 14. Se traza la cuerda AB que es tangente a la circunferencia menor. es porque la altura disminuye en: • B C • A E • E 2C • D C • B E A) 1 D) 2 3 >. E 3.2 2 ) m C) 3 m ! C) 2 3 D C) 2 5 2 B) 2R 15 2 C) 3R 3 16 2 E) 7R 3 15 C l a ve s C M A F B) 2 2 E) 2 6 2 A) R 3 16 2 B) 5 cm E) 8 cm2 E 30. C 15. C 6. C 11. D 4. R N P S M 2 2 A) 4 cm D) 7 cm2 A) 3 2 D) 6 C) 6 cm 2 D) 3R 3 15 25. en AB se ubica el punto C de modo que la longitud del segmento que une los puntos medios de AC y OB es igual a 3 . < o = según B) 2 E) 3 N A M L A) ( 2 + 4) m D) 4 m 40 B C N A) 600 D) 576 B) 592 E) 560 24. Calcula la medida del radio de la circunferencia inscrita. A 12. la región cuadrangular ECGF es de área 4 m2. 8. En el gráfico. E 26. En el gráfico. si 2(BM) = MH y AH = HD. OA = R y la m+AOB = 120°. respectivamente. D 16. AM = MD. Si BN = NA. calcula: 3A + B. Si la base de un rectángulo aumenta en 12% y el área no varía. C 20. calcula el área de la región limitada por el cuadrado BLMN. Si: MS = 2(PM) y QN = NM. Razonamiento y demostración A D) 8 5 % 7 27.
así ! como DE con centro de A.3 ) cm2 E) (2p + 3 3 ) cm2 50 Intelectum 5. (O es centro de la semicircunferencia) 6 2 A) pR 18 2 B) pR 6 2 D) pR 8 2 E) pR 9 2 C) pR 3 La longitud del lado del triángulo equilátero ABC es 2a. ° B B) (12p . Halla el área de la región encerrada por el triángulo curvilíneo DME. A O 2 3 cm A) (15p . S 45° C B) 1 2 E) p 2 A) p 3 D) 1 5 C) R 2 2 B) 2R 2 E) R 2 8 x S A Halla la longitud del radio de una circunferencia tangente interior a un círculo de radio R. calcula el valor de x.18 3 ) cm2 C) (9p . Halla el área de la región exterior a la circunferencia e interior al sector. C) 2 En el semicírculo.2 3 ) cm2 2 A) a ^5p + 3 h 6 2 B) a ^5p . que determina dos regiones equivalentes.3 3 ) cm2 D) (8p .Aplicamos lo aprendido tema 4: 1 ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES Sean las regiones A1 y A2 limitadas por dos circunferencias de igual radio. A2 = 400p m2. calcula el área de la región sombreada.3 h 4 2 a E) ^4p . A) 10 m D) 6 10 m 3 B) 5 10 m E) 2 10 m 2 A) R 2 D) R 2 4 C) 3 10 m En la figura. trazándose luego los arcos DM y EM con centros en B y C. tal que A1 + A2 = 100p m2 y A1 . Sobre las prolongaciones de AB y AC se toman BD = a y CE = a.6 3 h 6 2 a C) ^5p + 3 3 h 8 2 D) a ^3p . 4 B π En un sector circular de ángulo central 60° y radio R se halla inscrita una circunferencia. Halla el radio de las circunferencias.2 3 h 4 D B M A C E .
Si AN = PB. B C 5.3 3 ) cm2 D) (3p + 3 ) cm2 2. AN y NB .ph 1. B 2 B) πR 12 2 C) πR 8 2 D) πR 4 2 E) πR 2 Claves D B) 2p Halla el área de la porción de círculo mostrada.2) m2 C) 4(p . AM = OM = 2 3 cm y MN ^ OA. B 8. 3.p/4) 2 2 r E) (5 . ABCD es un cuadrado.6 3 ) cm C) (2p .p) m2 D) 5(p + 2) m2 D 14 C) 3p D) 4p E) p 2 B C 2 B) r (5 . de modo que PB = 2 2 . Halla el área de la región sombreada. A 9.3 ) cm2 E) (4p + 2p) cm2 2 GEOMETRÍA . B) 3(4 .ph 4. A B A) 8(p .ph E) 36^3 3 . C A) (5p . halla ! 8 Calcula el area de la región sombreada. 10 B) 2 . respectivamente. B 13 A) 12^6 3 .p) C 12. de centro O. halla el área de la región sombreada.3) m2 14.1h D) p 2 .1 2 A) 4 . B 11 B) (4p .p/8) 2 R A O 2 A) πR 16 10. A) r2(5 . C C 12 B) 18(4 . Con centro en P y radio PB se traza un arco de circunferencia que corta a OA en el punto N. A a N M O B Halla el área sombreada si el lado del cuadrado mide 4 m.2) m2 E) 2(p . se toma el punto P. A 7.p La figura muestra un cuarto de círculo y un semicírculo. B 11.7 Sobre el radio OB de un cuarto de círculo AOB. calcula el área de la región sombreada si a = 6 m.p) D) 36^6 3 .ACTIVIDADES UNIDAD 2 51 .p C) 2 + p D) 2p E) 4p En el siguiente gráfico. Calcula el área de la región sombreada. A A A A) p De acuerdo a la figura.ph C) 6^3 3 . A A) p 2 + 2 C) p 2 + 1 4 p 2 E) 2 9 D 2 B) 2^p 2 . B C S ! 2 el área de la región encerrada por AB . B A Si el lado del cuadrado ABCD mide 4. D 13.p/2) 2 2 r C) (5 -p/16) 2 2 D) r (5 . sabiendo que los arcos AB y BC miden 90° y 45°. E D B 6.
p Ea2 4 8 2 + 6 + p E a2 C) . Sea el triángulo ABC. = = C) p .2 2 Entonces: AB A) 2 . A+B= A) 36p R B 3.p/2 A D R 2.π E a2 4 10. Halla el área de la región sombreada.ph B) 8^2 3 . Determina el área del círculo circunscrito al triángulo ABQ.1h . E) 32p II. halla el área de la región sombreada. 8 2 . en su punto medio. A) 1/2 III. 4 8 2 8 E a2 + D) . 6. D) 8 m2 p p B) 64p C) 16p r D) 24p De las siguientes gráficas indica cuáles son lúnulas: I.2 6 7 ψ r CD C C ψ A A Si ABCD es un cuadrado. R R Si el área de un círculo se duplica al aumentar su radio en ^ 2 . donde Q es la intersección de la perpendicular trazada a BC en B y con la prolongación de AC.p D) 2 E) 3 Halla el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado a y PQ es tangente al arco AC (de centro D). BC = 5 y AB = 4.Practiquemos Nivel 1 5. B Comunicación matemática 1.πh C) 4^p . A) . ° C E) 4 3 . Qa A) II 2π Del gráfico calcula A3. Foco r R R B) 3/5 C) 1 B) I C) II y III D) IV E) I y IV A P B D C Razonamiento y demostración 4. si AC = 3. 9.2 B) 2p . recto en A. C) 14 m2 A3 r2 r1 18 2 Completa: A = 16 4 B= A r3 2 4 E) 15 m2 7. Si: A 2 7 B D) 2 2 . si R = 8 y r = 4. B R A) 4^2 3 . IV. R Resolución de problemas 8.3 h 60° D) 8^p . 8 2 . Halla el área sombreada. 8 2 + 8 . A) 95 p 8 100 D) p 9 B) 100 p 7 100 E) p 12 C) 90 p 8 .8 .8 + p Ea2 4 B) . E) D A) 12 m2 A2 A1 B) 10 m2 De la figura. halla el radio original. si A1 = 4 m2 y A2 = 6 m2.3 h A 52 Intelectum 5. 3 E) . si: R = 4 3 .
11. tangente entre sí dos a dos.2) D) R2(3p .2) C) 18 m2 Resolución de problemas 18.8 12. C A) 10 m2 D) 12 m2 Ay B) 15 m2 E) 28 m2 D C) 2R2(p . si AB es diámetro. Halla el área de la región sombreada. halla el área de la región sombreada: (ABCD: cuadrado). Halla Ax + Ay si: A1 = 10 m2 y A2 = 18 m2 B A2 D A+B+C+D= Razonamiento y demostración 14.8 C) 4p .1) Ax 40 m 2 = D A R1 R = 2 = R3 3 2 R R1 R2 D) = = 3 2 4 5 B) C) R1 = A = B A2 A3 R R2 = 3 2 3 A1 A) R2(p . En cada uno de los cuales se inscribe una circunferencia. Del gráfico A2 B A1 9 B) 4p . El lado de un cuadrado mide 8 m. Calcula el área comprendida entre las tres circunferencias.3) B 16.ACTIVIDADES UNIDAD 2 53 . FH = 2.1 E) 4p .p C) 3 2 + p GEOMETRÍA .p E) 2 3 .1 D) 2p .2p) m2 C) (16 . ¿Cuál debe ser la relación de R1. Dadas tres circunferencias de radio 2 . En la figura.4p) m2 E) (12 . OA = OB.4p) m2 19.4p) m2 R B) R2(p + 2) E) R2 (p . donde O es punto de tangencia. A) 2 + p D) 2 3 + p B) 3 2 .5p) m2 D) (64 . Calcula el área de la corona circular formada por los círculos inscritos y circunscrito al cuadrado. C) 32 2 p m2 F Nivel 2 A Comunicación matemática O A) 2p .4 C A R2 A4 R1 Completa los recuadros con los signos >. se unen los puntos medios de los lados opuestos formándose cuatro cuadrados. sean iguales entre sí? 21 A3 H B) (4 . De la figura: C 7 A A1 R3 A) R1 = Se cumple: R R2 = 3 2 3 R R R E) 1 = 2 = 3 3 5 7 17. respectivamente. A) 8 2 p m2 D) 64 2 p m2 B) 16 2 p m2 E) 16p m2 15. R2 y R3 para que las áreas del círculo A1 (interior) y los dos anillos A2 y A3. En un cuadrado de 8 m de lado. ATABC A4 ATABC A1 + A2 A4 A1 + A3 13. El área de la región cuadrangular curvilínea que se forma en el centro es: A) (12 . < o =. según corresponda.
(AB: diámetro). R 30. D 18. entonces R = B O 2 2 A) R ^6 3 . AB.14). es: 54 Intelectum 5. si: I. Si A = 12p. 7. 25. BC y AC. P y Q. 22. En la figura: O 40° R D A Si A G E DOE F C yA EOF Razonamiento y demostración 23. 8.92 25. respectivamente.48) m2 A) 2. 23. L.66 m E) 6 m C) 7.ph B 45° A A) 45° D) 135° B) 11. E 10.ph B) R ^8 3 . Según el gráfico.3ph 8 24 2 2 R R ^12 3 . el área sombreada.9 3 + 8h D) ^4p + 9 3 h C) ^12p . ° P = R L R Q A) ^8p + 4 3 .82 9. C 30. D 11. si: AC = 20 m. Nivel 3 C) 1. calcula el área de la región sombreada. Si A + R2 = 27. C2 y C3 son semicírculos de radios iguales. 2.9h B) ^6p . De la figura: A) 35p . entonces R = 6 22.5ph C) 48 36 E) R2 ^5 3 .9 3 Nivel 2 A 21.5 m2 y 28. que se retira del disco C1.9 3 C) 35p + 9 3 E) 30p . . se funde el sobrante de los discos para obtener un sector circular de 4 2 r de radio. Además. A) 4 m D) 8 m 26. en metros cuadrados. A C) (96p . de modo que uno de sus bordes región sombreada en función de R. 13.20. C R A θ 29. el área de la región sombreada en función de lado L del cuadrado. AB = 16 m. si R = 2 6 . D E) (48p .9 3 h E) ^8p + 3 3 . 6. se traza una cuerda a la circunferencia mayor que es tangente a la menor. calcula el área de la de ancho.25. II. 1. son diámetros de las circunferencias. C 26.76) m2 B) 1 ` p . entonces 9 R= p+1 III. C 28.ph D) ^18 3 .96) m2 A) 1 `1 .91 E) 1. pero es atravesado por un camino pavimentado recto de 3 m 24. Calcula el área de la región sombreada.15 17.6 3 D B B A B E C Comunicación matemática 1. Si: C1. E 16.p j L2 2 4 C) 1 L2 4 1 E) pL2 8 C l a ve s C A 27. E B) (48p . D 29. pasa por el centro.24 D) 2. = 32p.9h B) 53° E) 180° C) 90° Las áreas que limitan dos circunferencias concéntricas son 78.047 AO = OB = R. Sea C1 un disco de metal de 3r de radio y C2 un disco de radio r. es: C O R 2 A) pR 3 2 pR D) 2 B) 2pR2 C) 4pR2 E) 6pR2 Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. entonces la longitud de esa cuerda es: (considerar que p = 3. Con centro en A se traza otra circunferencia de igual radio. C R B) 30p + 9 3 D) 30p . Resolución de problemas B C1 C2 C3 28. A2 . Halla el área de la región sombreada. C 19. E 27.1j L2 2 2 D) 1 `1 . A es un punto de una circunferencia de radio 1. E 20. entonces.69) m2 B) 0.5 m 21. 4. E 24. ¿Cuál es el ángulo de este sector? Nivel 3 B 12. En consecuencia. El área común a ambos círculos será aproximadamente. 14. 3.p j L2 2 8 Nivel 1 A) (50p . Según el gráfico.50) m2 D) (50p . Un jardín circular de 12 de diámetro está sembrado de pasto.26 m2. son puntos de tangencia. 5. C 15.
2.1) 2 G S S R S F R S E R S S R ´ R A S ´ S & R = k2 ( 5 . calcula el área del triángulo que tiene como vértices los puntos construidos.1) 10 + 2 5 S B 36° S ´ h 36° ´ N b S P 72° R R D S S R 18° S C S H S R J I Dividimos los pentágonos regulares ABCDE y FGHIJ en regiones triangulares congruentes ( S y R ). luego vemos que: A8ABCDE = 3 S + R y A 8FGMIJ = 18 S + 11 R Luego. respectivamente. de modo que: EF // AC y FL // AB. Halla la razón de sus áreas. el producto de la longitud del segmento que une el incentro a un vértice y el circunradio del triángulo que se origina al unir el incentro con los otros dos vértices restantes. F y L. Si el área del triángulo ABC es 5.k En un triángulo cuyo circunradio mide 14 m. h = k 10 + 2 5 .5 o 5+ 5 5. es igual a 171 m2.1) 10 + 2 5 C) 14 cm2 E) 24 cm Dado un triángulo ABC. los diagonales AC y BD se intersecan en el punto P. vemos que: ATPBC = R = 1 hb / ATEBP = S = 1 . Calcula AM. se ubica M en el lado AB y N en el lado BC tal que la recta MN divide al triángulo en dos regiones equivalentes y de igual perímetro. Asignamos los valores: .h 2 2 Pero el BNP es notable de 18° y 72°. calculamos S y R en el pentágono ABCDE. Reemplazando en las fórmulas de áreas: Resolución: R = 1 (k 10 + 2 5 ) 2k ( 5 . BC = 24 y AC = 15. A) 6S B) 13 S 2 D) 15 S 2 E) 8S C) 7S En el triángulo ABC se tiene que AB = 14. A) 1 m D) 4 m (18) 2k2 10 + 2 5 + 11k2 ( 5 .1) donde b es la base del triángulo PBC (b = PC) 1.5 `x= 7+3 5 2 igual a “S”.11 2 6k + k 5 . A) 18 cm2 B) 16 cm2 2 2 D) 20 cm 3.ACTIVIDADES UNIDAD 2 55 .1) 10 + 2 5 2 2 k2 x = 36k +2 11 2 5 k . B. C y D. se tienen los puntos E. C) 3 m 4. el punto simétrico de B respecto de C y el punto simétrico de C respecto de A. halla el área del cuadrilátero que se obtiene al trazar paralelas a las diagonales AC y BD. En un trapezoide ABCD. BC y AC de un triángulo ABC. B) 2 m E) 5 m (3) 2k2 10 + 2 5 + k2 ( 5 . BPC. por los vértices A. se construyen: el punto simétrico de A respecto de B. & S = 2k2 10 + 2 5 Finalmente nos piden: A8FGHIJ =x A8ABCDE S S R S = 1 (4k) k 10 + 2 5 2 x = 18 S + 11 R 3 S + R x= x = 25 + 11 5 e 5 . Halla la longitud del segmento que une el incentro con el circuncentro del primer triángulo. b = 2k( 5 . Si el área del cuadrilátero que tiene por vértices los baricentros de los triángulos ABP. Demuestra: S9ABC = S9EBF + S9LFC GEOMETRÍA . PCD y APD es 2 cm2.Matemática En un pentágono regular se trazan las diagonales que forman en su interior otro pentágono regular. A) 8 3 B) 7 2 D) 5 2 E) 11 5 C) 13 6 Sobre los lados AB. = 4k.
En el siglo XX.	humilde. Los diarios de su juventud muestran que ya en sus primeros años había realizado grandes descubrimientos en teoría de números.	osado.! Indica la figura siguiente: A B D E C . Por ejemplo. realizaba trabajos en teoría de potencias junto a estudios del magnetismo. Gauss es uno de los más importantes matemáticos de la historia.	útil. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas en su forma más general por Riemann.	resuelto	y	dinámico. Aunque descubierta primero por Gauss. un área en la que su libro Disquisitiones arithmeticae (1801) marca el comienzo de la era moderna. desarrolló métodos estadísticos al mismo tiempo que investigaba la órbita de un planetoide recién descubierto. •	El	éxito	no	es	más	que	otra	manera	de	nombrar	la	ilimitada	capacidad	que	tienes	tú	de	llegar	a	ser	más	creativo. •	Toma	la	decisión	de	que	tendrás	éxito. A menudo combinó investigaciones científicas y matemáticas..	luego	invierte	cada	gramo	de	tu	energía	mental	y	física	en	el	esfuerzo	a	hacerlo	realidad.	valiente.RECUERDA Gauss y la geometría no euclidiana Reflexiona Un descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea.	Reflexiona	cuidadosamente	tus	resoluciones	y	la	ordenación	de	tus	actos.	Haz	que	crezcan	sin	cesar	tus	conocimientos	y	tus	habilidades. En ella se pueden trazar al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no pertenece a esta.	el	mayor	desarrollo	de	cultura	y	de	resultados. a partir de los trabajos de Einstein.	comprensivo.. se le han encontrado también aplicaciones en física. Los mismos resultados fueron descubiertos y publicados por separado por el matemático ruso Nikolái Ivánovich Lobachewski y por el húngaro Johan Bolyai. ¡Razona. este tuvo miedo de la controversia que su publicación pudiera causar. o estudiaba la geometría de superficies curvas a la vez que desarrollaba sus investigaciones topográficas. con su descubrimiento de las múltiples paralelas. En su tesis doctoral presentó la primera demostración apropiada del teorema fundamental del Álgebra.	con	el	fin	de	procurarte	el	mayor	número	posible	de	ventajas	y	de	evitarte	todas	las	dificultades	que	puedas. •	Ten	la	determinación	de	lograr	de	tu	inteligencia	y	de	tus	energías.
Calcula QC. calcula el área del triángulo AGB. perpendicular al plano del triángulo. Si F'G' = 8 cm. A) A) 10 cm D) 15 cm B) 15 E) 30 31 cm2 4 C) 4 31 cm2 3 3 31 cm2 E) 4 B) 4 31 cm2 D) 31 cm2 2 . 6 cm y 9 cm. A) 5 D) 8 3 B) 6 E) 9 2 C) 7 En la figura. G es la proyección de C sobre el plano Q. Si el área del triángulo ABC es 30 y el ángulo diedro que forman ABC y el plano Q mide 37°. A) 10 D) 18 4 B) 12 E) 25 En la figura. sabiendo que: QM = 5. calcula el área de la región triangular AEC.° B) 12 cm E) 17 cm C) 14 cm C) 20 El diámetro de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC mide 12 cm. calcula FG. BP = 4 y PM = 6. Si BE = 1 cm. Por F y G se trazan perpendiculares a dicho plano que lo intersecan en F' y G'. se traza PM (M se encuentra en el plano Q) de modo que la proyección de PM sobre el plano es 7. respectivamente. si PA = 13. La distancia de un punto P a un plano Q es 24.Aplicamos lo aprendido tema 1: 1 Rectas y planos en el espacio Por el vértice A de un triángulo ABC se levanta la perpendicular AM al plano del triángulo. respectivamente. halla AC. 6 58 Intelectum 5. luego se trazan las perpendiculares AP a MB y AQ a MC. P C B A C B A) 18 D) 15 5 30° 5 3 A Q G Q C) 7 B) 20 E) 24 A) 20 D) 219 C) 22 Dos puntos F y G situados a uno y otro lado de un plano Q distan de dicho plano. Halla PM. Por B se levanta BE.
D C) 3 17 Claves 12. A) 2. ABC es un triángulo equilátero de lado L. siendo AB el lado común. 2 A) L 2 2 B) L 3 2 D) L 12 E) 2L2 A) 21 cm D) 2 21 cm 14 C) 3 cm Se tiene un triángulo equilátero ABC y por B se levanta la perpendicular BD a su plano. Halla la medida del ángulo de cruce. FB = 3. calcula la distancia entre O y AB. además en la circunferencia está inscrito el trapecio ABLG cuya base mayor es AB y cuya altura mide 3. D 9 B) 6 2 cm E) 2 3 cm ABC es un triángulo equilátero que pertenece a un plano perpendicular a un cuadrado ABDE. B) arctan 7 D) 120° A) 12 D) 3 15 B) 2 15 E) 2 17 5. calcula la distancia desde AB al pie de la perpendicular bajada desde P. E 13 10 B) 1 cm E) 2 cm 2 C) L 6 P y Q son dos planos perpendiculares.BA es un segmento perpendicular al plano del triángulo rectángulo CAD. Si O es el incentro del triángulo CBD y AO es perpendicular a dicho triángulo. A 7. calcula el área de la región triangular BMC. C 13. si AB = BD. 6. de modo que AB = AC = AD = 6 cm. Si AF = 4. C A) 8 cm D) 2 2 cm 8 2. si AB = BD = 21 cm. B 9. calcula la distancia de F a MG.6 D) 2. C) arctan B) 2 2 cm E) 6 cm A) 2 cm D) 3 2 cm B) 2. siendo F un punto del arco AB y BM = 1. perpendicular al plano ABC.5 cm Un punto P dista 12 cm de un plano. A 14. Halla la distancia de F a LG. E 10. si AF = 13. Halla la mínima distancia entre BC y DA. entre BC y DA. Se une M con B y C. por A se levanta AM. C 8. AB es diámetro de una semicircunferencia contenida en P y ABMG es un rectángulo contenido en Q.5 Se tiene un triángulo equilátero ABC y por B se levanta la perpendicular BD a su plano. E 11 C) 4 3 cm 4. Un segmento de recta AB = 8 cm está en el plano. B E) 75° 2 4 12 C) 2.8 A) 2 cm D) 3 cm 3. si AP = BP = 13 cm. de modo que 2AM = L. B) 3 cm E) 3 21 cm C) 4 cm Una circunferencia de diámetro AB = 10 y un triángulo isósceles AFB (AF = FB) se encuentran ubicados en planos perpendiculares entre sí. E 7 GEOMETRÍA . 1.ACTIVIDADES UNIDAD 3 59 .4 E) 3 A) arctan 8 C) 2. B 11. Calcula la longitud del lado del triángulo ABC. El segmento que une los puntos medios de AC y BD mide 1 cm.
Una recta puede estar incluido en el plano ( ) 60 Intelectum 5. Calcula la distancia de P al punto medio de AC. Determina las proyecciones sobre el plano R.5 m 6P y 6Q = 6R 4.° Se tienen dos planos paralelos P y Q distantes 4 m. Si DM = 1. A) 1 m D) 2 m Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. 7. CF = 4 y M es punto medio de EF. calcula FM. si: AB = 5 m. F R B C L // 6R A R G) A) 14 D) 12 2 P Q B) 15 E) 13 D M C) 18 Resolución de problemas H) 6. calcula MD.Practiquemos NIVEL 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 1. B) 2 m E) 3 m C) 3 m Por el vértice B de un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza BP perpendicular al plano de dicho triángulo. R 2. si AE = 2. si PB = 8 y AC = 12. . L C) B P Q R B) 12 m E) 7 m C) 13 m Según el gráfico AE y CF son perpendiculares al plano del cuadrado ABCD cuyo lado mide 6. AB = 4 y BF = 12. Si: AB = 13 m y la distancia del punto A al plano P es 12 m. 3. el punto A pertenece al plano P y el punto B pertenece al plano Q. Halla la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano P. F L // 6R M L B D) R A L E) D R A) 5 D) 2 7 P 5. A A A) R R B) P A) 5 m D) 12. Un punto pertenece a una recta ( ) IV. 6P = 6R L F) C E B) 6 E) 3 3 C) 2 3 En la figura BF es perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Un punto está incluido en el plano ( ) III. Calcula la proyección de AB sobre el plano Q. Una recta pertenece a un plano ( ) II.
se traza BQ perpendicular al plano que lo contiene. C) 8 20. Halla la distancia de un vértice al centro de una cara opuesta. A) 6 B) 2 5 C) 2 3 D) 3 5 E) 4 18. Si AD = 1. En un cubo. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Por el baricentro G de un triángulo rectángulo recto en B se traza GH perpendicular al plano que contiene al triángulo. Se tiene un triángulo equilátero ABC y una semicircunferencia ! de diámetro AB ubicados en ! planos perpendiculares. OP = 4 y OP es perpendicular al plano que contiene al cuadrante. Si G es el baricentro del TABC. ! C) 9 Se tiene un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABQ ubicados en planos perpendiculares. calcula FG. Un plano se proyecta sobre otro plano como un punto IV. Calcula la distancia entre los puntos P y C. En un ángulo triedro la suma de sus ángulos diedros varía entre: 0° y 360° ( ) ( ) IV. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. cuyas aristas tienen longitud a.A) 15 D) 10 8. A) 3 B) 4 C) 9 D) 7 E) 8 NIVEL 3 Comunicación matemática C B C) 24 15. calcula el área de la región sombreada. En la figura FG es perpendicular al plano del triángulo ABC. IH = 3. La proyección de dos rectas alabeadas sobre un plano pueden ser paralelas ( ) ( ) GEOMETRÍA . Se tiene un rectángulo ABCD y un triángulo equilátero ABQ ubicados en planos perpendiculares. Dos puntos coplanarias pertenecen a un plano ( ) IV. AB = 6. BF = 7 y la mediana EM del triángulo DEF es paralela al plano P. IH es perpendicular al plano ABC (I: incentro del TABC). Se tiene un triángulo ABC contenido en el plano P. Dado un triángulo rectángulo ABC: m+A = 90°. calcula la distancia de Q al punto medio de CD. B) 14 E) 5 6 B) 5 E) 3 6 2 C) B) 15 E) 18 B) a 2 /2 E) a 2 /2 11. Calcula el área de la región triangular AQC. A) 4 2 I. A) 7 B) 2 2 C) 3 D) 6 E) 4 19. AB = 6 y AC = 8. En un ángulo triedro el valor de una cara es mayor a la suma de las otras caras ( ) 12. si: AC = 6 y BQ = 4. Si AB = 2. Si el ángulo entre QC y el plano del rectángulo mide 30° y QC = 2 3 . calcula el área de la región rectangular ABCD. AC = 18 y BF = 10.ACTIVIDADES UNIDAD 3 61 ( ) ( ) . F D) 3 6 E) 5 2 B) 53° C) 75° D) 45° E) 36° B) 6 3 C) 2 6 D) 3 5 E) 4 3 17. Una recta se proyecta como un punto en el plano II. en AB se ubica el punto P tal que m AP = 60° y AB = 4. se trazan AD. Un ángulo diedro se forma por dos planos B) 16 A 16. A) D) 9. Si 3(BH) = 2(AC). En un ángulo triedro la suma de los valores de sus III. Por tres puntos pasa un plano ( ) Razonamiento y demostración 13. Un punto en el espacio se proyecta como una recta en el plano III. Dos planos tienen una recta en común ( ) II. Comunicación matemática G A B) 6 E) 5 2 A) 12 2 A) 60° NIVEL 2 A) 5 D) 4 C Resolución de problemas C) a 3 /2 caras varía entre: 180° y 540° B O C) 20 10. A) a/2 D) a 6 /2 P 7 Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC recto en B. Calcula HC. BF y CE perpendiculares al plano P situados a un mismo lado del plano. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: ( ) II. Tres puntos colineales pertenecen a una recta ( ) III. calcula CE. Si m AC = 16°. A) 12 D) 24 14. calcula el ángulo entre BH y el plano del triángulo.
28. Si AB = 2 y MP = 2 3 . C Nivel 3 26. 27. D B H Nivel 1 1. ABD. Se tiene un cuadrado ABCD. E 29. D Nivel 2 17. son puntos medios de las aristas AB. M. AC = 10. E 23. Un triángulo isósceles proyectada sobre un plano puede ser un triángulo isósceles II. E 24. C 7. se traza MP perpendicular al plano de dicho cuadrado. 25. Un rectángulo proyectado sobre un plano puede ser un cuadrado IV. siendo O centro del cuadrado. R y Q. Indica cuántas proposiciones son falsas: A) L 2 /3 D) L 6 /5 I. T A) D) 8 2 E) 10 B) 2 2 E) 2 6 3 6 D) 17 24.° C) 30 28. siendo M punto medio de AB. son los vértices y las aristas: AB. E 11. el sólido es regular. R = 4 y OA = 3. D 13. E 18. D B C) L 3 /3 Resolución de problemas E) 4 Razonamiento y demostración B) L 6 /3 E) L 3 /3 6. En un tetraedro regular. se traza la perpendicular NP al plano de dicho cuadrado. E 5. B. En un plano se ubican los puntos A y B. halla la longitud de la altura. calcula el área de la región ATB (T es punto de tangencia). cuyas aristas tienen longitud L. calcula el área de la región triangular POB. m+AOD = 127° (O: punto de intersección de AC y BD). Se llama altura del tetraedro. D) 45° A B) 37° E) 45° 26. CD. 62 Intelectum 5. Por el vértice B de un rectángulo ABCD se levanta una perpendicular BP al plano del rectángulo. Las regiones triangulares ABC. FE y DE. PB = 4. La proyección de dos rectas alabeadas sobre un plano pueden ser rectas secantes A) 2 B) 1 C) 3 D) 0 22. D 8. A 21. E C C) 5 C l a ve s 2. ACD y BCD se llaman caras. Por el vértice C de un cuadrado ABCD se traza la perpendicular CP a su plano. BC. si: 4BM = 5NP = 20 cm. A) 30° D) 53° Q M E A A) 53° B) 30° F N C) 75° A) 15 R ! semicírculo. O B A) 15 B) 12 B) 20 A) 10 D) 20 E) 60° 23. Si las caras del tetraedro son triángulos equiláteros. además AB = 2 y PA = 10 . AC y BD. Si mCT = 135°. El sólido ABCD de la figura. D 25. calcula PC. se llama tetraedro. Si M es punto medio de AD y MB + AN = {O}. D 16. respectivamente. Según el gráfico. C y D. calcula BP. 12. los puntos A. A 20. P R C) 14 A C) 60° 27. AD. OA es perpendicular al plano que contiene al C D) 10 E) 25 C) 10 3 B) 10 2 E) 10 5 B) 3 2 E) 3 A) 3 3 D) 2 C) 2 6 29. Halla la medida del ángulo de cruce entre las rectas MN y RQ. C 14. Un triángulo isósceles cuyo lado desigual es paralelo al plano se proyecta como un triángulo isósceles III. A 22. A 4. Por el punto medio N del lado CD de un cuadrado ABCD. N. AF. B 15. . Calcula la medida del ángulo que forma OP con el plano que contiene al cuadrado. 3. (Por ejemplo DH).21. B 19. B 9. a la distancia de un vértice a la cara opuesta. B 10. Calcula el área de la región triangular POC. La figura muestra un cubo. Si AP = 6. exterior al plano se ubica el punto P de modo que AP y BP forman ángulos que miden 30° y 45° con dicho plano respectivamente.
A) 2 3 B) 4 9 D) 1 2 E) 1 6 C) 1 3 GEOMETRÍA . siendo la suma de las longitudes de sus aristas 36 cm.ACTIVIDADES UNIDAD 3 63 . A) 36 cm2 2 C) 7 Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de 20 vértices. A) 16 D) 22 4 C) 6000° Halla el área total de un tetraedro regular. halla m. sabiendo que la diagonal del octaedro es igual a la altura del tetraedro. 9 caras cuadrangulares y m caras pentagonales.Aplicamos lo aprendido tema 2: 1 Un poliedro tiene 33 vértices y está conformado por 8 caras triangulares. A) 20 D) 72 6 B) 24 E) 18 B) 40 E) 56 C) 36 Halla la relación de áreas de un octaedro regular y un tetraedro regular. A) 1800° D) 6480° 5 POLIEDROS C) 30 Calcula el número de diagonales de un icosaedro regular. A) 10 D) 12 3 B) 13 E) 8 B) 720° E) 7200° D) 36 3 cm2 B) 6 3 cm2 E) 24 3 cm2 C) 24 cm2 Halla la suma del número de caras de un dodecaedro regular con el número de vértices de un icosaedro regular.
Halla el área de la sección determinada al intersecar la superficie del poliedro con un plano paralelo a una cara. D 11 A) 1/3 D) 2 B) 2/3 E) 1/2 5. D 3 B) a 4 12 2 Considerando como vértices los puntos donde se cortan las dos diagonales de cada cara de un hexaedro regular se obtiene un octaedro. Construya un octaedro regular uniendo los centros de cada cara del cubo. 3 A) a 3 B) 1/2 E) 3 A) 2 3 cm2 C) 32 2 cm2 E) 22 2 cm2 Halla el área de la proyección de una cara de un tetraedro regular sobre otra si el área total del tetraedro es 600 m2. A D) 3 a2 3 8 C) 3 a2 3 10 C) 3/2 3. C A) 3a2 3 8 1. que pasa por el punto medio de una arista. construya un tetraedro regular uniendo los vértices no adyacentes con rectas contenidas en las caras. A 13. es: 4. AT 3 AT D) 4 2A T 5 AT E) 6 A) B) AT 2 A) 20 m D) 60 m2 2 B) 30 m E) 70 m2 C) 50 m 12. D 2 E) 3a 3 2 6. tomando como referencia un vértice. si se sabe que la arista de uno de ellos tiene igual medida que la diagonal del otro? A) 1/3 D) 5/2 9. 2 13 C) 10 8. D B) 3 a2 3 4 Se da un cubo de arista a. calcula el área de la superficie total del octaedro. C 3 E) a 12 C) 1 3 C) a 8 10. C 11. B) 3 cm2 D) 42 3 cm2 En un tetraedro regular. 2. calcula el volumen del octaedro. La razón entre el área total del tetraedro y el área total del octaedro. B 7 . el lado del tetraedro será: 2 2 A) MN 3 B) MN D) MN 3 2 E) 3 MN 2 C) MN 2 ¿Cuál es la relación entre las áreas totales de dos hexaedros regulares. también regular. determina el área total del poliedro que se forma al unir ordenadamente y consecutivamente los puntos medios del poliedro dado (considere: área del tetraedro = AT). C 14. D 9 La arista de un octaedro regular mide a. A 3 D) a 6 14 7. Si las aristas del hexaedro miden a.° En un octaedro regular la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide 1 cm. D Claves 64 Intelectum 5.Dado un tetraedro regular de arista a. si el segmento que une los puntos medios de dos aristas opuestas es MN.
Si un poliedro no cumple el teorema de Euler. III.Practiquemos NIVEL 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 1. F B IX 3 8 ( ) ( ) ( ) ( ) B) 13 E) 16 C) 14 El volumen de un cubo de arista 1 equivale a k veces lo que mide su diagonal. Un poliedro no convexo es un poliedro irregular. a a a V Halla el área de la región sombreada. vértices y aristas es 32. si el sólido es un cubo de arista a. B) De las figuras cuáles son poliedros no convexos: I. Calcula el área de la región triangular AOC. a XI C XII G F B 10 m O H A C) De las figuras cuáles son poliedros irregulares: E A) 80 2 m2 B) 50 2 m2 D) 20 2 m2 E) 25 3 m2 C) 20 5 m2 Resolución de problemas D) De las figuras cuáles son poliedros regulares: 6. A) a2 3 2 B) a2 3 4 D) a2 2 2 E) a2 2 C) a2 En el cubo que se muestra. Determina el área de la región rectangular ABFE. Calcula k.ACTIVIDADES UNIDAD 3 65 . Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: En un poliedro irregular no se cumple el teorema de Euler. es un poliedro convexo. H VI E A D G VII VIII a a a a X A) 36 cm2 D) 18 cm2 a a a a a a a 5. Completa los espacios en blanco según corresponda: I a a II a a a a a a a a a a a III a a IV 4. E) Qué figura no es un poliedro: En un poliedro la suma de los números de caras. IV. 3. A) 3 D) 3 9 B) E) 3 3 3 C) 3 6 GEOMETRÍA . Calcula el número de aristas. Un poliedro regular es un poliedro convexo. C) 18 2 cm2 En el cubo mostrado O es el centro de la cara EFGH. II. A) 12 D) 15 7. el lado mide 6 cm. C B) 36 2 cm2 E) 72 cm2 A) De las figuras cuáles son poliedros convexos: 2.
A) 3 D) 2 3 G 6 m 5 B) 6 m 3 E) 6 m C) 2 6 m 3 17. 66 Intelectum 5. El teorema de Euler se cumple para todos los poliedros. A) 3 m B) D) 7 m E) 2 2 m 2 m C) 6 m 18.8. ( ) III. entonces dichos poliedros son conjugados. calcula el área de la región sombreada. La figura muestra un cubo en el cual se pide el ángulo que forman las rectas alabeadas BE y CF. ( ) III. Halla la distancia entre los baricentros de dos caras de un tetraedro regular de arista 3. Un hexaedro de caras regulares es un poliedro regular. ( ) B) Solo I E) I y II C) Solo II Razonamiento y demostración 13. B C D F E G H 14. ( ) II. A) 2 6 m 5 D) 12. B) 9 3 m2 2 E) 27 3 m2 A) 9 3 m2 D) 18 3 m2 9. si ambas diagonales parten del mismo vértice. ( ) B) VFV E) FFF C) VFV I. Calcula su arista. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Halla el ángulo formado por las diagonales de dos caras contiguas de un cubo. F En un cubo de 3 2 m de arista se une tres vértices no consecutivos. El poliedro conjugado de un icosaedro es un dodecaedro. Calcula la distancia desde un vértice hacia el centro de la cara opuesta. A) 8 m3 D) 64 m3 B) 12 m3 E) 32 m3 6 m.5 2 C) 45° Comunicación matemática A) 45° B) 30° C) 60° D) 70° E) 37° C D A) 5 2 NIVEL 2 A) I y III D) II y III O 15. A) 2 D) 1 B) 1/3 E) 3 C) 4 .5 2 E) 4 2 Si: AP = 6 y PC = 2. La figura muestra a un hexaedro regular ABCD . A) 2 3 m2 B) 4 3 m2 D) 8 2 m2 E) 8 3 m2 C) 4 2 m2 20. calcula PF. ¿Cuáles son verdaderas? A C) 1. Halla el área de la región triángular formada. Si el número de caras de un poliedro es igual al número de vértices de otro y viceversa. Para algunos poliedros no convexos el teorema de Euler aún es válido.° C D B) 4 13 E) 2 26 C) 2 13 Resolución de problemas 16. Calcula el área total del sólido que se forma al unir los puntos medios de las caras de un cubo de 8 m3 de volumen. si O: centro del cuadrado DHGC y P: centro del hexaedro. en el cual su área es igual a 24 m2. En un cubo la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es de 3 m. B C) 6 B) 60° E) 75° B) 3 2 D) 4. C) 27 m3 19. Si AB = 6. Todos los hexaedros tienen cuatro diagonales.EFGH. ( ) II. En la figura ABCD . F G E H B P A A) 26 D) 13 11. A) VVF D) FFV P A B) 5 E) 2 2 A) 30° D) 15° H E C) 18 6 m2 La arista de un cubo mide 2.EFGH es un hexaedro regular. Calcula la distancia de un vértice a la diagonal de un cubo. 10. Si la distancia de un vértice a la diagonal del cubo mide halla el volumen.
C) FFF 22. La figura muestra a un hexaedro regular ABCD-EFGH. En un octaedro regular. D B) 3 E) 6 C) 6 3 D B) E) C) 2 6 3 7 6 C l a ve s 7. calcula el área de la superficie total del octaedro. Existe un poliedro que tiene 7 aristas. C 16. D 29. la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta a dicho vértice mide L. C Nivel 2 17. D 9. halla la distancia del centro a una cara. La figura muestra a un tetraedro regular P-ABC. si BC = 3. En un octaedro regular de arista “a”.ACTIVIDADES UNIDAD 3 67 . C 15. B 13. A 10. Calcula la distancia de G a la base ADC. calcula la medida de la altura de dicho tetraedro. si PG es altura. E 18. B 12. Si a = 6 21. C 3. G es baricentro de la cara BCD. B 30. D 11. ( ) A) VFF D) VVV B) VVF E) FVV A) 6 D) 2 I. D Nivel 3 27.NIVEL 3 Resolución de problemas Comunicación matemática 26. y OM = 2. B F B A) 2 m B) 3 m C) 1 m D) 2 m E) 3 m G 3/2 C) 1 27. D 28. C 2. C 8. A) 1 H 29. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. La figura muestra a un tetraedro regular B . Calcula AM. ( ) III. B 22. Halla el área del octaedro regular donde la distancia entre los centros de gravedad de dos caras opuestas que tienen un vértice común es 2/3. ( ) II. Si AC = 4 7 . ( ) III. Si M y N bisecan a BC y DC en O. 25. A 19. 2 3 C) E) 4 3 B D) C) L2 30. C 4. P A) 2 3 B) 4 C) 6 M A D) 2 2 E) 24. el cual es el resultado de desarrollar la superficie de un tetraedro regular. Todos los poliedros regulares están inscritos en una esfera. ( ) II. B 25. G E G B) 3L2 3 E) L 3 A) 9 3 2 D) 3 3 C C D 28. B 21. En la figura se pide la arista del cubo sabiendo que el área de la región sombreada es 3 3 m2 . Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: A) VFF D) FVV B) 6 E) 1/6 6. C GEOMETRÍA . C 24. Si una recta interseca un sólido en 2 puntos. ( ) B) VVV E) FFF C) VFV 23. significa que es un sólido convexo. D 26. B 23. La figura muestra el paralelogramo ABCD.ACD. Existen tres poliedros conjugados. Calcula: FO A) 8 B) 12 C) 10 D) 16 E) 20 A F E A) L2 3 D) 2L2 3 B) 2 3 3 B C H A D O N C A B M G A A) 3 D) 2 Nivel 1 C 1. El segundo teorema de poliedros se cumple para todos los poliedros no convexos. C 20. C 5. Existe un poliedro regular no convexo. PM = MG y PB = 4. A 14.
si A'B' = 24 cm y A'C' = 10 cm. además la altura del prisma es igual al diámetro de la circunferencia inscrita en la base inferior. parte de A. en busca de su comida en E. Una astuta hormiga. calcula su volumen. respectivamente. B) 4 3 E) 3 A) 2 3 D) 5 3 4 En la figura se muestra el desarrollo de la superficie lateral de un prisma hexagonal regular. Halla el volumen del prisma. el volumen del paralelepído obtenido excede en 568 al volumen del cubo inicial. A) 9 m3 D) 5 m3 3 B) 8 m3 E) 4 m3 2 C) 10 m3 Un prisma recto cuyas bases son cuadrados de 4 cm de lado tiene un área total de 144 cm2. si el lado de la base mide 2 m. siguiendo la trayectoria ABCDE. siendo la m+B'A'C' = 90°. de menor longitud posible. Si las aristas de un cubo se aumentan en 2. M A 5 N A) 240 cm2 D) 480 cm2 68 Intelectum 5. Halla la longitud de la diagonal de este cubo. Halla la longitud de dicha trayectoria. debido a que la cara ANEM está rociada con un insecticida. 4 y 6. 8 A) 100 cm3 D) 113 cm3 5 B) 110 cm3 E) 112 cm3 C) 115 cm3 Calcula el área lateral de un prisma triangular ABC-A'B'C'.Aplicamos lo aprendido tema 3: 1 PRISMA El área total de un prisma regular hexagonal es el triple de su área lateral.° B) 320 cm2 E) 960 cm2 C) 420 cm2 A) 9 D) 28 B E D C 3 B) 13 E) 32 C) 42 . calcula el volumen del prisma. 10 A) 12 3 D) 4 3 6 C) 6 3 B) 2 3 E) 5 3 C) 3 3 La figura muestra una caja en forma de un prisma regular pentagonal.
B A) 120 m3 D) 75 m3 8 4. Halla el volumen del sólido. A Calcula el volumen de un prisma recto triangular en el cual el área de una cara lateral es 20 m2. 12. E B) 120 m3 E) 150 m3 10 B) 114 m2 E) 150 m2 1. A 10. Calcula el volumen del paralelepípedo. tiene área 12. B 9. Halla el volumen del poliedro MBCNPQ. midiendo la intermedia 3 m. 6. mientras que la distancia desde la arista opuesta hacia dicha cara es 6 m. A) 240 cm3 D) 230 cm3 11 C) 60 m3 8. E A) 8R3 D) 2R3 12 C) 130 m2 3. 4. 5. B 13. A B) 250 cm3 E) 270 cm3 Halla el volumen del tronco de prisma recto cuya base es un triángulo isósceles ABC de lados AB = AC = 116 m y BC = 8 m. A) 14 cm3 D) 8 cm3 C) 6R3 C) n 2 R 12 La base de un tronco de prisma oblicuo triangular.C) 210 cm3 C) 110 m3 A) n 2 R 8 B) n 2 R 6 D) n 2 R 4 E) n 2 R 3 14 B) 20 E) 32 2 C) 30 El volumen del prisma regular ABC-A'B'C' es 18 cm3. sus aristas laterales miden 6 m y están inclinadas 30° sobre el plano de la base y se proyectan siguiendo la dirección de los menores lados del rectángulo de la base. sabiendo que las aristas laterales estan inclinadas 60° respecto a la base y tiene longitudes 3. E 13 A) 124 m2 D) 140 m2 En un paralelepípedo rectangular las diagonales de las caras miden 61 . D C) 10 cm3 7. Se toman M y N. cuadrados inscritos en circunferencias de radio R. A) 100 m3 D) 140 m3 14. C Claves B) 3R3 E) 4R3 Un prisma recto tiene por bases. respectivamente. A 11. las aristas laterales están en progresión aritmética. si podemos trazar una circunferencia de radio R que es tangente a 2 aristas laterales opuestas y toca a cada base en un punto. puntos medios de las aristas laterales BB' y CC'. 106 y 117 cm. A) 24 3 D) 10 3 Halla el volumen de un prisma regular de 12 aristas. Calcula la altura del prisma. A 9 B) 90 m3 E) 80 m3 Un prisma tiene por base un rectángulo de lados 5 y 4 m. La superficie lateral es igual a nR2. D 7 GEOMETRÍA . 2. respectivamente. Calcula el área total del prisma. B) 12 cm3 E) 6 cm3 5.ACTIVIDADES UNIDAD 3 69 . Las prolongaciones de A'N y AC se cortan en P y las de A'M y AB en Q.
3. VI A M C F B A) 1 VII VIII IX X 6. si su base es un hexágono regular de x/2 de lado. el segmento que une el centro de una base con el punto de intersección de las diagonales de una cara lateral mide 4 y además forma con dicha base un ángulo que mide 60°. Calcula el volumen de agua contenido en el sólido mostrado. Halla la relación entre sus áreas laterales si F.° E) 5 Halla el volumen de un prisma recto cuyas aristas laterales miden 16 cm y su base es un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.Practiquemos NIVEL 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 1. A) 400 cm3 D) 1200 cm3 B) ¿Qué sólidos son convexos? C) ¿Qué sólidos no son prismas? C) 3 Resolución de problemas 5. De las figuras: A) 3 3 x3 B) 3 3 x3 8 D) 3 3 x3 4 E) 5 3 x3 8 8. Calcula el volumen de dicho prisma. M y G son los puntos medios de AB. La altura es 3 3 y las aristas forman ángulos de 60° con la base. cuya sección recta es un hexágono regular de área 24 3 . A) 64 D) 48 2 A) ¿Cuáles son prismas rectos? B) ¿Cuáles son prismas cuadrangulares? D) 4 Calcula el volumen de un prisma recto de x metros de altura. A) 144 D) 140 70 Intelectum 5. A) ¿Qué sólidos son no convexos? B) 2 G B) 180 E) 100 C) 50 . BC y AC. 2. C) 3 3 x3 2 B) 500 cm3 E) 800 cm3 C) 600 cm3 En un prisma cuadrangular regular. IV V B) 170 E) 330 C) 300 En la figura se tienen dos troncos de prisma triangulares regulares. De las figuras: 7 7 4 10 6 I II III A) 350 D) 270 4. B) 64 3 E) 86 C) 48 Halla el área lateral de un prisma oblicuo. 7.
5 y 4 cm. Si el volumen del tetraedro determinado por la base superior y el vértice B es 12 3 cm3.ACTIVIDADES UNIDAD 3 71 . A) 24 3 m3 B) 10 5 m3 D) 4 2 m3 E) 8 m3 C) 20 m3 D GEOMETRÍA . III. MN dista de la base 10. En un tronco de prisma recto de aristas laterales 3. M. y el área lateral del prisma es igual al área total del tetraedro.9. A) 120 5 m2 B) 360 m2 D) 180 m2 E) 240 5 m2 C) 240 m2 20. La base de un prisma recto es base de un tetraedro regular de altura 2 6 cm. Calcula el área lateral de un prisma oblicuo. IV. A) 180° . II. cuya sección recta es un hexágono regular de 30 3 m2 de superficie. A) 5 3 cm2 B) 6 3 cm2 D) 8 3 cm2 E) 9 3 cm2 2 C) 9 3 cm2 19. II. Un prisma recto siempre está inscrito en un cilindro recto. 2 A) a ^ 5 + 2h 2 B) 7 cm C) 2 6 cm E) 11 cm 17. Halla el volumen de un prisma oblicuo triangular sabiendo que el área de una cara lateral es 5 cm2 y la distancia de la arista opuesta a esta es 10 cm. 5 m. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: C) a2 c 5 + 1 m 2 Resolución de problemas 3 A) L NIVEL 2 I. A) Solo I D) III y IV B) Solo III E) Solo IV ( ) ( ) ( ) ( ) C) I y II Dos prismas semejantes pueden ser iguales ( Dos prismas con diferentes bases son semejantes ( Dos prismas semejantes pueden tener alturas iguales ( Si dos prismas son semejantes y uno tiene base hexagonal no convexa el otro tendrá base hexagonal no convexa ( ) ) ) ) Razonamiento y demostración 13. son puntos medios de las aristas.a 18. P y Q. O1 y O2 son centros de las caras. El área lateral del prisma oblicuo es: F P E O2 G Q H B A N M C O1 18 3 3 3 B) L 2 3 E) L 3 4 3 3 C) L 18 2 16. B) 5 3 cm3 C) 30 cm3 A) 20 cm3 2 D) 10 cm3 E) 25 cm3 10.2a E) 45° + a C) 90° . entonces el volumen del prisma hexagonal de base regular inscrito en el prisma triangular es: 3 D) L Comunicación matemática 11. A) 50 cm3 D) 40 cm3 B) 54 cm3 E) 20 cm3 C) 60 cm3 B) a2 ^ 5 + 1h D) 2a2 ^ 5 + 2h 2 E) a ^ 5 + 2h 4 15. la base es un triángulo cuya área se desconoce. A) 6 cm D) 2 7 cm 12.a D) 90° . la altura del prisma es 10 3 m y las aristas están inclinadas 60° con respecto a la base. Halla el volumen del sólido si la otra base mide 12 m y está contenida en un plano que forma un diedro de 60° con el plano de la base desconocida. 4. En un tronco de prisma triangular recto. Dos prismas semejantes tienen la misma altura. Dos prismas congruentes tienen el mismo volumen. por los triángulos isósceles PMQ y SNR. En el hexaedro ABCD-EFGH de arista “2a”. En un prisma oblicuo de bases regulares la proyección del vértice A sobre la base PQR coincide con el centro de dicha base. Las caras laterales están formadas por los trapecios PMNS y QMNR. Si la arista básica mide L y las aristas laterales están inclinadas 30° respecto a la base. En un prisma cuadrangular regular el ángulo entre la diagonal y una cara lateral mide 30° y el área de la base es 4 cm2. Además MN = 4m. N M Q A) 145 m3 B) 200 m3 C) 245 m3 D) 345 m3 E) 260 m3 R P S 14. N.5 m. Un prisma oblicuo siempre está inscrito en un cilindro oblicuo. En un prisma la medida del diedro determinado por su base y la sección recta es a. Calcula la medida del ángulo que forma la arista lateral con la base de dicho prisma. sabiendo que la base es un rectángulo de dimensiones 5 y 12 m. la base ABC es una región equilátera y las aristas laterales miden 8. Indica cuáles premisas son falsas: I. Halla el volumen del poliedro mostrado. calcula el área de la base. III.2a B) 180° . Calcula la longitud del menor recorrido para ir de un extremo de dicha diagonal al otro sobre la superficie lateral del prisma. IV. Halla el volumen del prisma.
La figura muestra a un prisma recto cuadrangular regular lleno de agua.3 m partes del recipiente. C 16. E 18. Calcula el volumen de las partes no comunes a los dos prismas. ( ) III. La base común es el triángulo equilátero FGI cuya longitud de su lado es “3a”. D 5. la arista lateral forma con la base un ángulo de medida a y la proyección de uno de los vértices coincide con el centroide de la base. ( ) II. B 11. Sabiendo que las aristas laterales están inclinadas 60° respecto a la base y tienen longitud 4. IV. A C) 3 3 a3 tan α 4 29. En un prisma triangular regular. B 13.5a 3 E) a D) 30 B) 41 3 5 E) 48 3 5 A) 50 2 m3 D) 56 2 m E) 4 C) 43 3 5 3 B) 52 2 m3 E) 58 2 m C) 54 2 m3 3 C l a ve s 1. una cara lateral es un rectángulo de lados 3 2 y 6. Dos prismas de igual altura e igual área lateral son congruentes. Sean ABCIGF y CDEIGF dos prismas iguales incrustados oblicuamente. Si el volumen del tronco de prisma PBM-EFH es los 2 del prisma dado y AP = 2. entonces el volumen del prisma es: 2. II. B Nivel 2 17. 23. C 8. que se descompone por una de sus diagonales en un triángulo equilátero de 12 cm de lado y el otro isósceles. A 26. E 30. A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 ( ) ( ) ( ) 25. En un prisma oblicuo el área de la sección recta es mayor al área de la base. E 10. Sabiendo que el volumen del líquido derramado es los c 2 . A 14. C 23.5a B) 4. D 28. Dicho prisma se inclina “a” apoyándose en una arista básica. E 12. E 15. Razonamiento y demostración a C) 480 3 cm3 26. en la arista AE se ubica el punto P. 19. tiene por base a un cuadrilátero inscriptible. B 6. En un tronco de prisma oblicuo el área de la sección recta es paralelo una de las bases. Halla a. 2a A) 30° A) 28. Dos troncos de prismas semejantes tienen la misma forma poligonal en las bases.5 30. A 21.5a E 3 72 Intelectum 5. calcula la distancia de la arista opuesta a la cara ABCD. en la arista DH se ubica el punto medio M. E 24. D Nivel 3 27. los centros de sus caras laterales y el centro de una base son los vértices de un tetraedro regular cuya superficie total tiene por área 9 3 m .NIVEL 3 Resolución de problemas Comunicación matemática 21. C C) 31. Un prisma recto de 10 cm de altura. Las bases de un prisma recto son los romboides ABCD y EFGH. En un prisma triangular de base regular cuyo lado mide a 3 . Las aristas miden “2a” y están inclinadas 60° respecto al plano de sus bases no comunes ABC y CED. Nivel 1 G 3 B) 15 A) 40 3 5 D) 44 3 5 B) 60° 2 a3 cos α Además. Marca la alternativa correctamente: I. A) 230 2 cm3 D) 360 cm3 27. A 3. B 4. Dos prismas oblicuas congruentes tienen el mismo ángulo de inclinación. ( ) IV. Halla el volumen de un tronco de prisma recto. cuyas bases son un triángulo equilátero FED y un triángulo rectángulo isósceles ABC. el área de la base es 12. Dos prismas congruentes tienen bases poligonales congruentes. III. F I B A) 2. ( ) A) VVFF B) VFVF C) FVFV D) FFVV E) VVVV 22. 4 3 a2 senα B) D) 2 a3 sec α E) 270 5 A) 20 α C) 85° D) 15° E) 45° 24. C 9. Calcula el volumen del prisma. C 29. C . En un prisma oblicuo la altura es mayor a la arista lateral. Dos prismas de igual volumen son congruentes. C 20. En un prisma oblicuo triangular el área de una cara lateral ABCD es 5. Calcula PE. C 22. E 25. 5 A) 12 B) 9 C) 18 D) 6 E) 15 ( ) E) 0 B) 720 3 cm3 E) 480 2 cm3 7. Calcula el volumen del prisma.° D 3 C) 4a 3 D) 5. Indica cuántas son falsas: I. siendo los mayores lados las aristas laterales.
A) 3 2 /π D) 1/p 3 B) 2 /π E) 2/p B) 128 m3 E) 260 m3 B) 48 m3 E) 42 m3 C) 56 m3 En un cilindro de revolución cuya área lateral es 24 m2 y de altura 3 m. h = altura).ACTIVIDADES UNIDAD 3 73 . A) 4p 2 m3 D) 32p m3 B) 16p m3 E) 36p m3 C) 8 2 m3 GEOMETRÍA . A) 32 m3 D) 245 m3 5 CILINDRO C) 7 m Si las áreas de las superficies laterales de dos cilindros de revolución semejantes. A) 24p D) 45p 6 B) 6 m E) 9 m B) 36p E) 54p C) 81p Un cilindro de revolución. si el cubo está inscrito en el cilindro. son entre sí como 4 a 9.Aplicamos lo aprendido tema 4: 1 Halla la relación del área total de un cubo y el área lateral de un cilindro de revolución. siendo el volumen del menor 16p. A) 5 m D) 8 m 4 C) 210 m3 Un cilindro circular recto está inscrito en un cubo de arista 2a. tiene un área total de 12p m2. Calcula el volumen del mayor. Calcula el volumen del cubo. halla la menor distancia para trasladarse desde el borde de la base superior al borde de la base inferior. A) 64 m3 D) 36 m3 2 C) 3 2 /π Halla el volumen de un cilindro de revolución de 64 m2 de área total y además: 1 + 1 = 1 r h 4 (r = radio de la base. Calcula su volumen. cuya altura es igual al diámetro de la base. diametralmente opuesta (trasladándose por la superficie del cilindro). El volumen del cilindro es 16p m3.
A) 128p m3 D) 216p m3 8. E B) 440p m3 E) 560p m3 14 C) 126p cm2 Calcula el volumen de un cilindro recto inscrito en un prisma cuadrangular regular de 10 m de alto. Si el área de su superficie lateral es 64p m2. A) 380p m3 D) 540p m3 B) k 3 18 k 3 E) 9 5. Se suelta un trozo de metal y el nivel del agua sube en 4 cm. calcula el volumen del cilindro. D Claves 74 Intelectum 5. si el desarrollo de la superficie lateral tiene un área de 180p m2 y la distancia entre los centros de las bases de dicho cilindro mide 15 m. A) k 2 D) k 2 12 Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. A A) 90p m2 D) 100p m2 11 A) 84p cm2 D) 160p cm2 B) 160p m3 E) 156p m3 C) 192p m3 3. calcula la razón entre el área de la base del cilindro y el área de la superficie hexaédrica. A 9 A) π N 2 r . donde el área de su sección recta es 36p m2 y su generatriz mide 8 m. A 13. B 9. si OA = 14 cm y BM = 6 cm. 8 Calcula el área lateral del cilindro de revolución mostrado. Si la razón entre los volúmenes del cilindro y el hexaedro es k. A) 150p m3 D) 180p m3 Calcula el volumen de un cilindro recto.13 cm3 E) 200 cm3 12 B) 112p cm2 E) 168p cm2 La longitud del segmento que une los centros de las bases de un cilindro circular recto es igual a la longitud de la diagonal de un hexaedro regular. si la diagonal de la base mide 12 2 m . A B) 170. Calcula el área de la superficie lateral. C) 80π m2 C) 160 cm3 C) 480p m3 7. E D) π M 2 C) M πN 2 1. D 14. A M Se tiene un cilindro oblicuo. E 11. ¿cuál es el volumen del trozo de metal? A) 180 cm3 D) 314 cm3 13 B) 96p m2 E) 108p m2 10 6. el área de la sección perpendicular a la generatriz es M y el área de la sección que contiene al eje del cilindro es N. B E) π MN 2 B O 4.7 En un cilindro circular recto. Si el diámetro del cilindro es 10 cm. C B) N πM 2 2. B 10.° C) k 3 3 B) 300p m3 E) 360p m3 C) 120p m3 En un cilindro de revolución la generatriz y el diámetro son de igual longitud. B 12. Halla el volumen del cilindro.
r R F S E (I) (II) (III) Q r P 360° B) 2 π A) π 2 r (IV) a b a b (VII) (V) (VI) a a 4. A r r H B r b G B) 36p m3 E) 108p m3 C) 54p m3 Si AB 8 medio de BC. se tiene un cilindro de revolución. 5 m 2 π D) 6 m π A) C) ¿Cuáles sólidos no son cilindros? 7. calcula BF . (X) De las figuras: C) π 3 C De la figura. H 2. 3. A) ¿Cuáles son cilindros rectos? 8. calcula el área de la superficie lateral del cilindro. calcula r si el volumen es numéricamente igual al área lateral. De las figuras: En la figura se muestra un cilindro recto y un paralelepípedo rectangular los cuales son equivalentes.ACTIVIDADES UNIDAD 3 75 . Siendo E un punto de CD. B) 4 m π 10 E) m π C) 5 m π Calcula el volumen de un cilindro recto circunscrito a un cubo cuya diagonal mide 6 3 m. A) 24p m3 D) 72p m3 B) ¿Cuáles son cilindros con base circular? C) ¿Cuáles son cilindros con base elíptica? D Según el gráfico. Si PSRQ es congruente con ABCD. CE = 8 cm y ED = 9 cm. tal que OE 9 AE. Halla el área total del A) 260p cm2 D) 276p cm2 B) 270p cm2 E) 280p cm2 C) 275p cm2 GEOMETRÍA . Si se cumple (AM)(NH) = 12 m2. b (VIII) (IX) 5. D) 3 π E) p A) 2 B) 8 C) 3 D) 4 E) 5 A) 12p m2 B) 24p m2 C) 28p m2 D) 18p m2 E) 30p m2 N A A) ¿Cuáles sólidos son convexos? Resolución de problemas 6. B) ¿Cuáles sólidos son no convexos? El área lateral de un cilindro recto de revolución es 25 m2 y su altura con el diámetro de la base son congruentes. Halla la medida de su altura.Practiquemos NIVEL 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 1.
El cilindro tiene como mínimo 4 vértices. II. La figura muestra a un cilindro de revolución lleno de agua. la generatriz está inclinada 60° respecto a la base y la altura es el doble del diámetro de la sección recta.5° C) 30° 11. si ABCD es un trapecio isósceles (AB // CD). al centro de la otra es 241 cm. Un cilindro oblicuo tiene sección axial. A) 1152 cm3 5π 1125 D) cm3 4π B) 1100 cm3 3π 144 E) cm3 5π C) 1112 cm3 5π 19. r r A) 53° B) 60° C) 63°30' D) 71°30' E) 75° 14. A) 2p m2 B) p m2 D) 2π 2 m2 E) 2p m2 4R R C) π 2 m2 A) 26. Si al área de la superficie lateral del mayor cilindro es el doble del área de la superficie total del menor. además. es un rombo de diagonales 12 cm y 16 cm. A) 900p m2 D) 784p m2 B) 864p m2 E) 748p m2 15. O N M A) 48p m2 B) 30p m2 2 C) 38p m D) 36p m2 E) 18p m2 76 Intelectum 5. respectivamente. Calcula el área lateral de un cilindro de revolución. Un cilindro recto es un sólido convexo. A) S π B) S π C) S 3π D) S 5 E) S 2π 20. Cuántas proposiciones son falsas: A) 1 E) 36° 16. II. La directriz del cilindro tiene líneas rectas. Cuántas proposiciones son verdaderas: B La generatriz del cilindro es curva. Calcula el área total de un cilindro recto circunscrito a una esfera de 12 m de radio.9. Un cilindro tiene el área de sus bases diferentes. Comunicación matemática I. calcula el área de la superficie lateral del cilindro. sabiendo que una sección perpendicular a la base tiene área 2 m2 y determina en ellas arcos de medida igual a 90°. A) 170p cm2 D) 180p cm2 Razonamiento y demostración x C E) 0 12. En el gráfico se muestran dos cilindros de revolución. IV. Según el gráfico. Halla el área total de un cilindro de revolución en el cual la diagonal axial mide 17 cm y la distancia de un punto de la circunferencia de una base. Si el área de la región triangular OMN es 3 m2. En la figura se tiene dos cilindros de revolución. III. Calcula a. B) 3 C) 4 A D) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) E) 0 13. A) 3 B) 1 C) 4 D) 2 ( ( ( ( ) ) ) ) I.° A) 2 B) 4 D C) 8 D) 12 E) 16 Resolución de problemas 17. Halla el volumen del sólido. A) 180p B) 192p C) 200p D) 177p E) 195p . se tiene un cilindro de revolución. Un cilindro recto puede estar inscrito en un cilindro oblicuo. Un cilindro siempre está inscrito en un prisma. C) 800p m2 10. D) 45° B) 150p cm2 E) 140p cm2 C) 152p cm2 18. la suma de las áreas de las bases es S y la generatriz mínima mide cero. calcula x. IV.5° NIVEL 2 α B) 18. Se le inclina hasta derramar la mitad de su contenido. El radio de la sección recta de un cilindro oblicuo mide 2 3 . III. Calcula el volumen del cilindro. Calcula la razón de volúmenes de dichos cilindros. de bases iguales. El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro oblicuo de bases elípticas. Calcula el radio de la base de un tronco de cilindro circular recto cuyas bases forman un ángulo diedro cuya medida es 60°.
Dos troncos de cilindro semejantes poseen altura y área de la base proporcionales. Si V1 y V2 son los volúmenes de los sólidos obtenidos al girar la región rectangular ABCD. Se traza BH = AC. Calcula la razón entre las áreas de las superficies laterales cilíndricas. Si dos troncos de cilindro tienen bases iguales. A) 8p B) 4p C) 6p D) 16p E) 12p B D C M T B C O2 N D A) 5 2 B) 1 2 A) 132 π 5 25 B) 124 π 5 13 C) 33p D) 264 π 5 25 B) 546 B N 3 A) 5π m B) 56 π m3 C) 9p m3 D) 36p m3 E) 30p m3 C) 3 2 D) 4 5 E) 2 5 C) 672 D) 736 E) 824 30.ACTIVIDADES UNIDAD 3 77 . 8. Si BM = 2 m y 3(OM) = 2(MN). respectivamente. C 23. AM = 5 y ND = 4. ( ) II. En el gráfico. En el gráfico la sección axial del cilindro recto mayor es una región cuadrada. D Nivel 3 27. E 13. A Nivel 2 17. C 25. 9. O Resolución de problemas 29. ( ) A) VFF D) VFVF B) FFVV E) FVFV C) FFVF A) 6 13 C) 1 4 3 E) 7 27. Se tiene un recipiente cilindrico conteniendo agua hasta sus dos terceras partes. Un tronco de cilindro oblicuo puede inscribirse en un tronco de cilindro recto. si AB = 13. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: 6R I. B 15. A R O1 E) 16° ( ) IV. Determina el ángulo que debe inclinarse el recipiente para que el agua empiece a caer. E Nivel 1 GEOMETRÍA . C 1. Calcula el volumen del prisma. ABCD. son congruentes. es un rectángulo. el área de la superficie lateral del prisma recto mostrado menos el doble del área de la cara ABCD es 8.26. donde R = 2r y 3(AB) = 5(O1O2). Calcula el volumen del cilindro de radio r. B 2. D 14. V Halla 1 . ( ) III. Dos cilindros circulares rectos son semejantes y de áreas totales de 18p cm2 y 50p cm2. En un prisma recto ABC-A'B'C' se inscribe un cilindro circunscrito a una esfera. ( ) III. Si dos cilindros rectos tienen igual altura y bases iguales. C 4. A 5. A 21. D 16. D 6. Si dos troncos de cilindro tienen alturas iguales. ¿En qué relación están sus volúmenes? A) 27 125 B) 9 29 C) 17 21 D) 7 8 E) 21 25 C l a ve s E) 13 3 π M O1 28. ( ) IV. Razonamiento y demostración 23. En la figura se muestran dos cilindros de revolución. 29. son congruentes. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Dos troncos de cilindros congruentes poseen volúmenes iguales. si: AH = 4 HC 25 V2 A) 438 25. C 22. R A) 37° B) 53°/2 C) 37°/2 D) 53° 22. C 12. C 20. Calcula el área de la superficie lateral del cilindro. D 19. A 24. C 28. Un cilindro tiene superficie poligonal. BC = 15 y AC = 14. son semejantes. A 30. NIVEL 3 Comunicación matemática 21. calcula el volumen del cilindro de revolución mostrado. A 10. B 18. 24. A 3. B 11. alrededor de AB y BC. Dos cilindros semejantes deben de tener áreas laterales iguales. ( ) A B) 2 5 D) 7 15 7. ( ) II. B 26.
si la gráfica (b). M OP = 2a PM = a 3 OR: es la altura.4sen2 α sen2a 2 3 3 d2 1 . ¿Cuántos metros de toldo se necesitará para cubrir el techo (superficie de un semicilindro). 78 Intelectum 5. B) arccos c 2 m 5 C) arccos c 1 m 6 13 a 2 P 2800p m2 5880p m2 7350p m2 4900p m2 5000p m2 A) arccos c 3 m 5 D) arccos c 1 m 5 a 3 R Paso 5: Del TOMR: Para alfombrar el piso rectangular de un stand ferial (como se muestra en la figura) se necesitaron 9800 m2 de alfombra. FG. ON = 2a 60° MN = a 3 a N N N Paso 2. es equivalente al tronco de prisma mayor de la gráfica (a). F 4. 3. Halla el volumen del prisma. por Pitágoras OR = Dos regiones rectangulares congruentes ABCD y ABC'D'. entonces la medida del ángulo diedro O-NP-M es: Resolución: C M a 3 a O 60° 60° 2a 60° a 3 θ 2a B P Paso 4. TOMP. P O Por dato OM 9 6MNP & OM 9 MR y q = ángulo diedro O-NP-M & tanq = a & q = arctan c 2 m 3 3a 2 5. Del TOPN (isósceles): A • O M 1. si el largo del stand es al ancho como 8 es a 1? A) B) C) D) E) 2. si la sección recta de la gráfica (a) es el doble de la gráfica (b). Del triedro y el plano PMN: • El TOMN . Un plano perpendicular a OC determina los puntos M.4senα sen2a 2 D' A' E' F' E) 3 3 d2 1 + 4sen2 α sen2a 2 El coseno del ángulo diedro que forma la base del cubo con el plano que contiene a los puntos medios de las aristas EF. De los datos: • Del triedro O-ABC: m+AOC = m+BOC = 60° • Plano PMN 9 OC 60° M a 3 N O Paso 3.° G E 6. Del TNMP: • Es un T equilátero & NP = a 3 y MR es la altura de TNMP. B) 15 3 p E) 36 3 p a 3 2 C) 20 3 p P R 13 a 2 θ R A) H D 3 41 C) 1/2 C A En un prisma hexagonal regular ABCDEF-A'B'C'D'E'F' la longitud de la diagonal mayor del prisma es d y la medida del ángulo A'DF' es a.A'B'C' es 1/3. cada uno de los planos corta a solo una de las bases en un único punto. Si AD = 2AB. Forman un ángulo diedro cuya medida es 60°. N y P al intersecarse con OB y OA. El área lateral de la parte del cilindro comprendido entre estos dos planos es: A) 18 3 p D) 25 3 p 2a C B calcula la medida del ángulo que forman las rectas BD y AC '. Halla EE'. 2a 3a 2 a M A) 3 3 d3 1 . OB y OC son tales que: m+AOC = m+BOC = 60°.4sen2 α sen2a D A B) E F 2 C) 3 3 d3 1 + 4sen2 α sen2a 2 C' B' 3 D) 3 d3 1 . B A L C M D E F B' A' E' D' (a) C' (b) F' A) B) C) D) E) 9 8 7 6 5 . Sí m+MNP = 60°. & MR = 3 a 2 B) 1 3 D) 2/3 E) 3/4 B En la gráfica (a y b) se muestran dos prismas rectos. AM = MA' = 3 y la razón de volúmenes de los sólidos ABCML y MLC .Matemática Tres rayos no coplanares OA. AB y BC. es: C) arccos c 4 m 5 Un cilindro circular recto de altura 15 2 y radio 6 es cortado por 2 planos paralelos que forman un ángulo de 30° con el eje del cilindro. si OM = a & por triángulos notables: a 60° a 3 O Paso 1.
demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. Monge.	esta	es	la	clave	de	que	logres	su	absoluta	confianza. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones. sistematizó la geometría analítica de una manera formal. semejanzas y propiedades afines.. También estudió las tangentes. En segundo lugar. Salmon. Fue Euler quien. Clebsch y otros. intersección de curvas.	¡No	vayas	por	la	vida	pretendiendo	tener	siempre	la	razón! ¡Razona. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano. curvas trascendentes. Reflexiona •	La	confianza	de	sí	mismo. lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas. En la segunda mitad del siglo se introdujeron solo mejoras parciales. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra. •	El	éxito	ha	sido	y	será	siempre. 70.. y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden.. Maupertius.	es	la	clave	de	todo	logro. 30. Todos estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra Introducción al análisis que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica. las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado. que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. 670. A) 900 B) 425 D) 2400 E) 3070 C) 1000 . Destacaremos entre otros los nombres de G. las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas. Braikenridge.! ¿Qué número continúa? 10. definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes. y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Enumeración de las curvas de tercer orden.	refuerza	la	habilidad.	duplica	la	energía. Steiner. obteniendo un total de 72 tipos de curvas. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas. Maclaurin. introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio. estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. en 1748. Lacroix y Menier. clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta.	¡Haz	todo	espontáneamente	y	el	mundo	notará	la	luz	que	irradias! Sin embargo. diámetros y simetrías. pues en lo fundamental. problemas de curvaturas. composición de ecuaciones de curvas complejas. las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling. la geometría analítica ya estaba formada. Shall.Recuerda Geometría analítica Bajo esta denominación se considera aquella parte de la Geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. 190.. •	Siempre	procura	comprender	a	tu	interlocutor. las oblicuas y polares. Con posterioridad a Newton. Las puertas a esta rama fueron abiertas ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat. .	el	resultado	natural	de	lo	que	una	persona	es	y	no	de	lo	que	finje	ser. pero solo incluían problemas planos. estudiando sus propiedades generales.	expande	la	capacidad	mental	y	aumenta	la	fuerza	personal. Nicolle. Silvestre.
5 m3 B) 20 m E) 21 m C) 22 m Calcula la relación entre los volúmenes de la pirámide regular y el cilindro de revolución mostrados. A) 110 3 3 m3 D) 108 2 m3 5 PIRÁMIDE C) 48.Aplicamos lo aprendido tema 1: 1 El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 74 m3.5 m2 E) 8 m2 B) 108 3 m3 E) 105 3 m3 B) 144 2 E) 72 C) 144 3 ¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular regular si su arista básica mide 66 m y su arista lateral mide 7m? A) 50 m3 D) 49 m3 4 C) 100 3 m3 La base de una pirámide regular es un hexágono de perímetro 36 cm. ¿cuánto mide el área de la otra base? A) 10 m2 D) 9 m2 3 B) 9. calcula su volumen (en cm3).15 m 6 B) 45 m3 E) 49.ACTIVIDADES UNIDAD 4 81 .16 m D) 20. Si su altura mide 6 m y el área de una de las bases mide 16 m2. A) 20.5 m3 El área de la superficie lateral de una pirámide cuadrangular regular es 6300 m2 y la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y la base es 74°. Si cada arista lateral mide 10 cm. Calcula la distancia del centro de gravedad de la base a una cara lateral de la pirámide.8 m2 Calcula el área lateral de una pirámide hexagonal regular sabiendo que el lado de la base mide 6 m y que el apotema de la pirámide forma con el plano de la base un ángulo cuya medida es 60°. A) 3 2π B) 2 2π D) 2 4π E) 3 4π C) 6 3π GEOMETRÍA . A) 144 D) 144 6 2 C) 8.
tal que ABC y OCB son triángulos equiláteros. A) 18 3 m3 D) 27 3 m3 C) 576 m2 Se tiene una pirámide O-ABC.° 3 h 2 C) 3 3 4 C) h 2 E) h 5. Calcula el volumen. 14 B) 5 3 4 E) 4 3 4 D) 8. A) 308 m2 D) 504 m2 11 B) 416 m2 E) 252 m2 B) 28 m3 E) 48 m3 10 B) 300 m3 E) 250 m3 12 Calcula el volumen de un tronco de pirámide ABC-DEF. D 14. si AO = 6 m y AB = 4 3 m. D 12. Calcula su volumen. A) 24 m3 D) 36 m3 13 A) 200 m3 D) 240 m3 C) 20 3. respectivamente. además la altura del tronco mide 9 m. E B) 468 m3 E) 480 m3 C) 9 2 m3 Dada una pirámide cuya altura mide h unidades. respectivamente. Calcula el valor de: H = (VA)2 + (VC)2 .(VB)2 . cuya arista lateral y de la base miden 25 m y 14 m.Calcula el área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular. Calcula su volumen. E 9. si el perímetro de la base superior mide 24 m y su inradio 1 m. A A) 16 D) 24 8 1. La altura de la pirámide es 8. B 9 B) 18 E) 28 La altura y una arista lateral de una pirámide regular cuadrangular miden 12 m y 13 m. ¿A qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para que los sólidos determinados sean equivalentes? A) h 4 A) 460 m3 D) 475 m3 B) 15 6 m3 E) 9 3 m3 Calcula la distancia del vértice de una pirámide cuadrangular a un plano paralelo a su base el cual la divide en 2 sólidos equivalentes.(VD)2 2. A) 2 3 4 D) 4 2 C) 32 m3 C) 150 m3 La arista lateral y de la base de una pirámide regular triangular miden 5 m y 3 3 m. E 7 . C C) 470 m3 B) h 3 6. D Si tiene una pirámide V-ABCD tal que ABCD es un paralelogramo cuyas diagonales miden AC = 10 y BD = 8. E 11. A 7. respectivamente. B 10. 4. D 13. B Claves 82 Intelectum 5. y el perímetro de la base inferior mide 36 m y su inradio mide 6 m.
¿Cuánto mide su arista básica? A) 1 h B) 2 7. Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuya altura mide 6 y el radio de la semiesfera inscrita con su círculo máximo sobre la base de la pirámide mide 2. A) 1. De la figura: A) ¿Qué pirámides son regulares? B) ¿Cuáles son pirámides irregulares convexas? B) 5/2 B) 2 E) 5 C) 3/2 D) 3 E) 2 C) 3 D) 4. A) 42 B) 18 C) 32 D) 48 E) 24 GEOMETRÍA . C) 3 Calcula a qué distancia del vértice de una pirámide triangular. ¿Cuánto mide la altura de la pirámide? A) 4 B) 2 C) 1 D) 3 E) 5 10. Luego se vierte al recipiente una cierta cantidad de agua. cuya altura es 3. halla la razón entre los volúmenes del tronco de pirámide y la pirámide menor. A) 1. en la cual AB = 6 cm. se debe trazar un plano paralelo a la base para que las dos partes resultantes estén en la razón de 8/19. Calcula el volumen de agua añadido. de tal forma que el recipiente quede totalmente lleno. 3.Practiquemos NIVEL 1 Razonamiento y demostración Comunicación matemática 1. 5.5 E) 5 Se tiene una pirámide hexagonal regular V-ABCDEF. De las figuras: A) 8 B) 6 C) 7 D) 9 E) 5 h (I) (II) h (III) h (IV) h (VII) (VIII) El siguiente recipiente de base cuadrangular contiene 16 m3 de agua. A) 250 cm3 D) 162 cm3 9. Calcula el volumen de la pirámide.ACTIVIDADES UNIDAD 4 83 . h (V) De la figura mostrada. A) ¿Qué pirámides son convexas? B) ¿Qué pirámides son no convexas? C) ¿Qué pirámides tienen base cuadrangular? 2. A) 36 m3 B) 38 m3 C) 40 m3 D) 52 m3 E) 73 m3 (VI) h h 4. Calcula el volumen del sólido V-BCDE. D) 4 Calcula el volumen de una pirámide que tiene por base una de las caras de un cubo cuya arista mide 3 y el vértice se encuentra en una de las diagonales del cubo.6 (XI) 2m Resolución de problemas 6. (X) 3m B) 312 cm3 E) 200 cm3 C) 400 cm3 Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuya arista lateral forma con la base un ángulo que mide 37° y el volumen es 32. BV = 12 cm.5 8. (IX) Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuya área de su superficie lateral es 64 y su apotema mide el doble de su arista básica.
las pirámides son semejantes. I. II. Además el segundo piso tiene una altura de 6 m. troncos de pirámides semejantes. Dos pirámides semejantes tienen bases iguales. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda. NIVEL 2 Comunicación matemática 11. II. III. II. Si dos troncos de pirámide son congruentes. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda. su base es convexa. Resolución de problemas A) 4. B) 2/3 C) 1/2 D) 1/4 E) 3/2 NIVEL 3 Comunicación matemática 21. Una pirámide irregular está inscrita en un cono. Dos pirámides congruentes tienen la misma área lateral. Una pirámide convexa solo es una pirámide regular. IV. Calcula la altura del primer piso. el cruce de las cuatro diagonales determinan seis pirámides. ¿Cuánto mide la altura? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 20. IV. A) 48 m2 D) 6 2 m2 B) 10 3 m2 E) 16 3 m2 C) 8 13 m2 19. A) 1 D) 4 B) 2 E) 5 I. En una pirámide cuadrangular regular. Dos pirámides semejantes pueden ser iguales. IV. Los troncos de dos pirámides congruentes serían congruentes si tuvieran la misma altura. Dos pirámides congruentes tienen sus respectivos troncos de pirámides congruentes. si el radio de la circunferencia inscrita en la base mide 2 y la altura mide 4 2 . Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuyas caras laterales forman con la base un ángulo que mide 53° y el área de la superficie lateral es 60. Una pirámide no convexa es una pirámide irregular. I. el área de la superficie lateral de esta pirámide es igual al doble del área de la superficie de la base. III.ACFD. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero inscrito en un círculo de 2 cm de radio. IV. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda. ( ) ( ) ( ) ( ) 22. Halla el volumen de la pirámide B . A C B D E B) 10 m3 C) 15 m3 2 2 B) arctan 3 2 2 D) arctan 2 3 E) arctan 3 2 8 C) arctan 3 2 4 17. A) 36 D) 32 3 B) 36 3 E) 18 3 C) 16 3 18. Dos pirámides congruentes poseen bases diferentes. E) 3 cm3 I. Dos pirámides semejantes pueden tener alturas iguales. I. III. las pirámides son congruentes.° D) 4 cm3 ( ( ( ( ) ) ) ) 23. II. III. Calcula el valor del ángulo diedro que forma una cara lateral con la base. Calcula el volumen de la pirámide. F Si el volumen de la pirámide B . Dos pirámides semejantes tienen sus respectivos. Halla el área lateral de una pirámide regular de base triangular. una arista lateral forma un ángulo de 37° con el plano de la base. III. Si dos troncos de pirámides poseen volúmenes diferentes.5 cm3 C) 2 cm3 Si la pirámide es no convexa su base es convexa. II. En una pirámide la proyección de la altura sobre el plano de la base siempre se proyecta en la base. y el de la planta baja 48 m2. 12. IV. 84 Intelectum 5. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Si dos troncos de pirámide son semejantes. Una pirámide tiene como mínimo 5 vértices. ABCDEF es un prisma oblicuo. Halla el volumen de una de dichas pirámides. Si en dos troncos de pirámides sus bases son iguales son troncos de pirámides congruentes. son troncos de pirámides congruentes.DEF es 10 m3. Se tiene una pirámide cuadrangular regular cuya altura es 3 m. En un cubo de lado 2.16. Si la pirámide es convexa. Una pirámide regular está inscrito en un cono. Un ingeniero fanático de las pirámides construye su casa como se muestra en la figura. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Razonamiento y demostración 13. A) 25 m3 A) arctan D) 20 m3 A) 4/3 E) 24 m3 14. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Calcula su área lateral si su base tiene un área de 16 m2. ( ) ( ) ( ) ( ) . C) 3 15. Si el piso de la segunda planta tiene un área de 27 m2.5 cm3 B) 3. En la figura mostrada.
Calcula el volumen de dicha pirámide. Calcula el volumen de la pirámide Q-ABC. 13. 16. D 19. A 4. la longitud del segmento OD. 17. En una pirámide cuadrangular regular se cumple que 5ASB = 3ASL. en la arista AD se ubica el punto O. C 3. En la figura se muestra una pirámide regular de base cuadrangular de volumen 2 3 . Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya arista mide a unidades. A Resolución de problemas 28. la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo de la base mide 22 m y la longitud del radio de la circunferencia inscrita a una cara lateral mide 11 m. C 22. C 27. calcula el área de la superficie lateral de la pirámide. QB es perpendicular al plano P. E 2. Si la altura de la pirámide mide 6 m. En una pirámide triangular regular. Q C B B A) 80 m3 D) 100 m3 A B) 60 m3 E) 90 m3 C) 50 m3 25. además. B 27. A) 94 m3 D) 95 m3 B) 92 m3 E) 99 m3 C) 96 m3 GEOMETRÍA . D D) 3 6 m3 2 C) 2 3 m3 6 7. D 29. 26. el área de la región ABCD es el doble del área de la región PCD. D E) 3 2 m3 6 8. C 21. B 12. Se tiene una pirámide regular cuadrangular cuya área de la superficie lateral es 300 y el centro de su base dista de una de sus caras 6. 14. B 28.ACTIVIDADES UNIDAD 4 85 . ¿Cuánto mide su arista lateral? 3 60° 29. 15. calcula el volumen de la pirámide. A) 1524 3 m2 B) 1564 3 m2 D) 1624 3 m2 E) 1684 3 m2 B) 3 E) 3 C) 1584 3 m2 31. Se tiene un hexaedro regular ABCD-EFGH. C 6. E B) 60° D) 106° 24. E 9. sabiendo que: QC = 15 m.2h a B) 2a 3 D) a 3 E) a 6 3 30. D C) 53° 31. D B) 6 2 m3 3 Nivel 1 A) 2 6 m3 3 C l a ve s 26. E) 74° 30. si la altura de la pirámide ABCO es congruente al segmento OD. QA = 13 m y AC = 106 m. C 11. si DS = 2 m. A) 80° 23. es: A) ^ 6 . B Nivel 2 5. Se tiene una pirámide cuadrangular regular P-ABCD. A Nivel 3 1. Se traza DS ⊥ AG (S ! AG). Calcula el volumen de la pirámide S-ABCD. Siendo: ASB: área de la base.Razonamiento y demostración 24. D 10. Calcula la medida del ángulo entre dos caras laterales opuestas. ASL: área de la superficie lateral. E 18. A) 300 D) 500 A) 2 D) 2 C) a 2 B) 600 E) 700 C) 400 C) 4 25. 20.
° B) p m3 E) 2p m3 C) 5p m3 B) 6 7 p m3 E) 7 8 p m3 C) 9 7 p m3 En la figura OH = HP = 2 cm. 3 A) πa 27 3 π D) a 2 5 B) π m3 4 E) 2π m3 3 3 B) πa 4 3 π E) a 6 2 4 3 C) πa 8 Calcula el volumen de un cono equilátero cuya generatriz mide 2 3 m. Halla el volumen del cono. A) 8 7 p m3 D) 5 7 p m3 6 A 86 Intelectum 5. A) π m3 6 D) π m3 12 3 C) π m3 3 Halla el volumen del cuerpo generado al rotar un triángulo equilátero 360° alrededor de uno de sus lados que mide a.Aplicamos lo aprendido tema 2: 1 CONO Calcula el volumen del cono mostrado sabiendo que la diagonal del hexaedro mide 3 m. A) 8 cm3 3π B) 8π cm3 3 D) 4 cm3 3π E) 2 cm3 3π El desarrollo de la superficie lateral de un cono recto es un sector circular de 16 m de radio cuyo ángulo central mide 45°. Halla el área lateral del cono. AO = OB = 3 cm. Halla el volumen de un cono de revolución en el cual el área lateral es tres veces el área de la base y la altura mide 4 cm. P H A) 3p m3 D) 4p m3 C) 4π cm3 3 O A) 9 5 p cm2 D) 8 5 p cm2 B B) 6 5 p cm2 E) 6p cm2 C) 4 5 p cm2 .
ACTIVIDADES UNIDAD 4 87 . B 11 2 π cm3 3 3 2 cm3 E) 7 A) 2 2 π cm3 3 3 2 cm3 D) 4 B) 3π^ 2 . A) 3 m2 D) 2. AN = 6 y MO = 4. A C' N B B) 49 2 π E) 108 2 π C) 98 2 π 3.5 m2 E) 3.1h D) 4π^ 5 + 1h GEOMETRÍA . la m+TNO = 53°. A 8. A 13 A B 1. B 10. C 7. 14 B) 64π 2 3 128 π 6 E) 3 C) 32 6 3 La figura muestra un cono de revolución. PH = 2 6 . H A B A) 2π^1 + 2 h C) 5π^ 5 + 1h E) 4π^ 5 .1h En la figura se tiene un cono de revolución. V C A 37° T B A A' B' R O A) 256 2 π D) 100 2 π 6. D 11. Calcula el volumen del cono. A 5.2 m2 8 Calcula el volumen de un cono de revolución cuya generatriz tiene una longitud igual a g y la medida del ángulo desigual de su sección axial es 2a. Halla el área de la sección paralela a la base trazada por el punto medio de la altura. calcula el área de la superficie total del cono de revolución. A 9. VM = MB. C) 2. B A) 40π cm3 3 20 B) π cm3 3 10 C) π cm3 3 5 π D) cm3 3 E) 25π cm3 3 B H 4. AH = 2.7 El área de la base de un cono circular recto mide 10 m2. VT = TO y el volumen del cilindro es 72p. 10 V A) πg3 sen2 α cos α 3 B) πg3 sen2 α 3 C) πg3 cos α 3 D) πg 3 3 E) 2 πg 3 3 El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular cuyo ángulo central mide 120° y su área 3p cm2. V A B) 2. Calcula el área de la superficie lateral. Calcula el volumen del cono circular recto cuyo vértice pertenece a la cara ABC. B Claves 12. 12 P M B) 32p E) 36 3 π A) 128π 3 3 64 D) π 6 3 C) 64p El gráfico ABC-A’B’C’ es un prisma recto cuyo volumen es 240 cm3 y BB’ = A’C’. tal que la m+AVB = 90°. D A) 36p D) 12 2 π 2 cm3 5 V N O C) En el gráfico se tiene un cono de revolución. A 14. Calcula el área de la superficie lateral del cono. A 13. Calcula el volumen del cono.7 m2 9 B) 2.3 m2 En el gráfico BH = 2 y VH =3. HB = 6.
Calcula el volumen del cono recto mostrado.
D) 14p
D) 32p
C) 10p
Calcula el área lateral del cono recto mostrado.
E) 12p
B) 12p
E) 16p
C) 27p
En la figura BC = 5/4 m, halla el volumen del sólido que se
obtiene al girar la región triangular ABC, 360° alrededor de AC.
A) 5p/3 m3
D) 6p/5 m3
A) ¿Qué sólidos son convexos?
B) 5p/12 m3
E) 7p/6 m3
C) 7p/12 m3
En el gráfico, calcula el volumen del cono de revolución, si el
volumen del cilindro es 30 cm3.
B) ¿Qué sólidos son no convexos?
C) ¿Qué sólidos no son conos?
A) 45 cm3
D) 40,5 cm3
A) ¿Cuáles son conos rectos?
B) ¿Cuáles son conos oblicuos?
C) ¿Cuáles son conos de revolución?
88 Intelectum 5.°
B) 80 cm3
E) 50 cm3
En un cono de revolución las medidas de la altura y la generatriz
están en relación de 4 a 5. Halla el área de la base si el área
total del cono mide 216p cm2.
A) 81p cm2
D) 54 3 p cm2
B) 72 2 p cm2 C) 56 3 p cm2
E) 96p cm2
La generatriz de un cono circular recto forma con su base un
ángulo de 53°. Halla el área total del cono, si su altura mide
B) 3π m2
C) 5π m2
A) 4π m2
D) p m2
E) 2p m2
14. En el gráfico se tienen conos de revolución. Si g2 = 2(g3), siendo
g = generatriz de los respectivos conos. Calcula la siguiente
Volumen del cono 1
Volumen del cono 2 + Volumen del cono 3
Se tiene un sector circular de radio 3 m cuyo ángulo central mide
2p/3 rad. Halla el área total del cono formado con este sector
A) 4p m2
D) 4,5p m2
B) 3p m2
C) p m2
10. Calcula el área lateral de un cono recto de revolución, sabiendo
que el segmento mediatriz de una de sus generatrices limitada
por la altura del cono mide 4 m, y la altura de este sólido mide
A) 83p m2
D) 38p m2
B) 50p m2
E) 40p m2
15. Calcula el volumen del cono circular recto mostrado si VA = g,
TB = a (T es punto de tangencia).
C) 80p m2
A) πa g
11. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
I. Dos conos semejantes pueden ser iguales.
II. Dos conos semejantes tienen bases iguales.
III. Dos conos semejantes pueden tener alturas iguales.
IV. Dos conos semejantes tienen sus respectivos troncos
de cono semejantes.
g2 - a
I. Dos conos congruentes poseen bases diferentes.
III. Los troncos de dos conos congruentes serían
congruentes si tuvieran la misma altura.
IV. Dos conos congruentes tienen sus respectivos
troncos de cono congruentes.
13. En el gráfico se muestra un cono circular recto y un cilindro de
revolución que es equivalente al cono parcial, cuyo diámetro de
su base es AB. Si la longitud de la altura del cono total es 4,
calcula la longitud de la altura del cono parcial.
C) πa
E) πa ^g + ah
16. En la figura, se muestra un tronco de cono recto. Calcula el área
II. Dos conos congruentes tienen la misma área total.
B) πa g
12. Indica qué proposiciones son verdaderas:
A) 5πA
B) πA
C) 2πA
D) 3πA
E) 4πA
17. La generatriz de un cono de revolución mide 5 cm. Halla el
volumen si el desarrollo de su superficie lateral forma un sector
circular de 216°.
A) 10p cm3
D) 6p cm3
B) 8p cm3
E) 12p cm3
C) 18p cm3
18. Halla el volumen de un cono de revolución si una generatriz mide
10 y está inclinada 53° con respecto a la base.
A) 86p
C) 96p
E) 90p
19. En un cono de revolución, la mediatriz de una generatriz pasa
por el centro de su base. Halla la razón entre el área de la base
y el área lateral de dicho cono.
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
20. El desarrollo de un tronco de cono es el área de un trapecio circular
que tiene por radios 4 m y 10 m, además 180° de ángulo central.
Calcula la altura del tronco de cono.
B) 2 3 m C) 3 3 m D)
2 m E) 3 2 m
26. En el gráfico V-ABCD es una pirámide regular cuadrangular,
O es centro de la base ABCD y VA = AB. Calcula la razón de
volúmenes del cono circular y la pirámide (P, Q y T son puntos
de tangencia).
21. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
I. Un cono recto siempre está inscrito en un cono oblicuo.
II. Un cono oblicuo tiene sección axial.
III. Dos conos congruentes tienen el mismo volumen.
IV. Dos conos semejantes tienen la misma altura.
22. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
I. La directriz del cono tiene líneas rectas.
II. La generatriz del cono es una línea curva.
III. Un cono siempre está inscrito en una pirámide.
IV. En un cono oblicuo su altura coincide con su centroide.
D) 9π 3
E) 15 π 3
C) 12p
A) π 3 m3
D) 4p m3
90 Intelectum 5.°
B) π cm3
D) 6 π cm3
E) 2p cm3
B) 2p m3
C) 3p m3
E) π 3 m3
E) 6p
29. En un cono de revolución el vértice dista de la base 10 m y
el radio de la esfera inscrita mide 4 m. Calcula el área de la
A) 100p m2
D) 126p m2
B) 118p m2
E) 136p m2
C) 120p m2
30. En la base de un cono de revolución de 8 m de altura, se traza
una cuerda de 8 2 m de longitud, además, la distancia del
centro de dicha cuerda al vértice mide 2 17 m. Halla la medida
del ángulo formado al desarrollar el cono.
A) 214°
25. En el gráfico se tiene un cono de revolución, VM = 3(MP) y
m ST = m TP = 45°. Si el volumen de la pirámide M-OSTP es
1 cm3, calcula el volumen del cono.
28. En un cono de revolución, el ángulo de desarrollo mide 180° y
la altura mide 2 3 . Calcula el área de la superficie lateral de
dicho cono.
A) 4 2 π cm3
27. En la superficie del desarrollo de un cono equilátero se inscribe
una circunferencia de radio 1 m. Calcula el volumen del cono.
24. En el gráfico se tienen dos conos rectos y VM = MN. Calcula la
razón entre los volúmenes de los conos menor y mayor.
23. En la figura se tiene el cono circular recto, VC//AB,
m+VAM = m+MAO y VC = 6. Calcula el volumen del cono.
B) 6π 3
C) 218°
cuando gira alrededor de L1 . al girar 360° alrededor de la recta N. ¿Cuánto costará pintar la superficie exterior. R 5 B) $120 E) $500 L B) 148p u3 E) 296p u3 C) 150p u3 Halla el volumen que se genera al girar 360° la región sombreada alrededor del eje. Calcula el área de la base del casquete esférico.ACTIVIDADES UNIDAD 4 91 . Pintar el piso de un reservorio de petróleo que tiene forma de una semiesfera.Aplicamos lo aprendido tema 3: 1 Esfera y sólidos de revolución El área de un casquete esférico es 80p m2 y el radio de la esfera que lo contiene mide 10 m. B 7 5 H 6 35° M D A) 142p u3 D) 254p u3 C) 18 2 π u2 C) $160 Calcula el volumen generado por la región sombreada al dar una revolución sobre L1 . si el pago por cada metro cuadrado es el mismo? A) $100 D) $200 4 A 55° E U 15° P C L 360° A) 32 6 π u2 D) 54 3 π u2 B) 36 6 π u2 E) 16 6 π u2 Calcula el área de la superficie generada por el cuadrado KLSG cuyo lado mide 4 m. A) 62p m2 D) 70p m2 3 B) 64p m2 E) 72p m2 2 C) 68p m2 Calcula el área de la superficie generada por el cuadrado PERU de lado 4. cuesta $100. eje S G L 15° K A) 32p 6 m2 D) 40p 2 m2 2 N B) 30p 3 m2 E) 34p 6 m2 C) 38p 6 m2 A) 11p2 u3 D) 3p2 u3 2 2 B) 13p2 u3 E) 9p2 u3 C) 10p2 u3 GEOMETRÍA .
PD = 4.° El área total de la superficie de un segmento esférico de dos bases es 11p cm2. C P 6 9 5. A) 3 m 9 B) 3 m 6 D) 6 m 3 E) 3 m 2 C) 12 6 m 9 14 B) 4 cm E) 6 cm C) 2 cm En la figura. D A) 50p 2 u3 D) 20p 2 u3 A) 3 2 . Calcula la razón entre las áreas de la superficie esférica y la superficie lateral del cilindro de revolución.7 Halla el volumen generado al girar el círculo de radio r. B 6 3 4. Halla el valor de n. 30° R 15° A) 70p 2 u3 D) 76p 6 u3 3 9 A eje 8. C 13. cuyo lado mide 6. A C D) A) 3 cm D) 5 cm En la figura. 10 B) 9 E) 18 C) 27 Halla la relación de los volúmenes entre las esferas inscrita y circunscrita en un mismo hexaedro regular. eje θ Halla el radio de la semiesfera inscrita en un tetraedro regular cuya arista mide 1 m. AP = 2. B 11 B) 54p 2 u3 E) 40p 2 u3 3 6 2. C 9. 360° alrededor del eje mostrado (q = 15°). E 13 C) 30p 2 u3 B) 1. la región sombreada. A Q 6 2 C) B) 3 2 2 2 3 E) 3 C) 3. es fundida para obtener n pelotitas de radio 1 cm. sabiendo que la diferencia entre las longitudes de los radios de las bases es 1 cm. C 11. ABCD y PQRD son cuadrados. C A) 4 2 3 4 3 D) 3 D C) 73p 2 u3 10. D 12. Halla la longitud del radio de la base mayor. la altura del segmento es 1 cm y el radio de la esfera que lo contiene mide 3 cm. B 14. A A E) 6. B B) 72p 2 u3 E) 70p 3 u3 7. 360° r A) pr3 u3 D) 4p2r3 u3 9 8 B) 2p2r3 u3 E) 4p2 3 r3 u3 2 C) 2π r3 u3 3 A) 3 D) 6 Calcula el volumen generado al girar la región triángular equilátera. Halla el volumen que se genera al girar 360° alrededor del eje. A y C son puntos de tangencia. D Claves 92 Intelectum 5. r Una bola de plomo de radio 3 cm.
si: BN = 5 m y ON = 4 m. 9. 10. 2. IV. A) 6p m3 B) 9p m3 C) 3 6 π m3 D) 6 3 π m3 Comunicación matemática R 12. IV. Un cono es un sólido de revolución. Una recta perpendicular al eje de giro genera un sólido de revolución. Un segmento que interseca al eje de giro (no perpendicularmente) forma una superficie de Una esfera de radio 6 cm es fundida y ( ) revolución. ( ) ) ) ) 13. ( ) fundido y convertido a una esfera de radio R. Una región plana. I. Una línea curva coplanar y no secante al eje de giro genera un sólido de revolución. R R (III) R ¿Cuántas proposiciones son incorrectas? 3. III y IV E) II y IV A) 3 π ( ) 11. Una región plana paralela al eje de giro genera un sólido de re2 2 A) 144p cm B) 36p cm ( ) volución. Un sólido de revolución puede ser generado por una superficie secante y coplanar al eje de giro. coplanar y no secante con el eje de giro genera un sólido de revolución. ( ) II. Indica V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Una región plana secante al E) 54p cm2 eje de giro genera un sólido de Un cono de radio 6 y generatriz 10. si a = 6 cm. convertida en un cilindro de radio 4 cm y altura h. D) 36p cm2 C) 48p cm2 III. Una región plana no convexa. 2 2 A) 24 3 π u B) 24p u A) Solo I B) I y II C) Solo II C) 24 3 3 π u2 D) 24 3 2 π u2 E) 48π 3 3 u2 D) I. Un semicírculo de diámetro AB. Calcula el volumen del sólido generado si: AB = 6 m NIVEL 2 Resolución de problemas 7. Si V y A son el volumen y área total de un octaedro regular.ACTIVIDADES UNIDAD 4 93 . Una figura plana. ( III. ( ) A) 3 D) 0 B) 210p m3 D) 218p m3 Según la figura. Razonamiento y demostración 4.Practiquemos NIVEL 1 Comunicación matemática 1. ( ) III. Un sector circular genera un anillo esférico. Una línea curva. II. ( II. respectivamente. Eje a a a 60° Halla la relación entre las áreas de un hexaedro regular y de la superficie esférica circunscrita al hexaedro. Un cubo genera un sólido de ( ) revolución. ( ) IV. Halla la superficie de la esfera. Un segmento circular genera un sector esférico. Halla la superficie lateral del cilindro. gira alrededor de su diámetro en un ángulo de 60°. Un cilindro es un sólido de revolución. Calcula el volumen generado por la región sombreada al dar una revolución B) 2V C) 3V A) V A A A alrededor de L. II. B) 0 E) 4 B) 4 E) 1 2 ( ) ( ) 8. coplanar y no secante con el eje de giro genera un sólido. ( IV. E) 3V 2A E) 12p m3 ( ) C) 1 C) 2 2 O E) 36 3 π cm3 ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? I. D) 4V 3A B A B) 4 π C) 5 π D) 2 π E) 3 2π GEOMETRÍA . alabeada con el eje de giro genera una superficie de revolución. III. calcula el radio de la esfera inscrita en el octaedro. es revolución. coplanar y secante al eje de giro forma un sólido no convexo. O Vesfera Vcono Vcilindro = = x y z 6. Una recta perpendicular al eje de giro genera una superficie de revolución. halla: x + y + z A) 144p cm3 B) 120p cm3 C) 36p cm3 D) 108p cm3 (V) A) 2 D) 3 L N 2 A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 (IV) I. Señala qué porción de sólido o superficie esférica son: R R R H (I) 3 A) 220p m C) 216p m3 E) 246p m3 (II) 5. Halla el volumen generado. Indica cuáles son verdaderas: I.
haciendo rebalsar el agua.p) cm 17.3) cm E) ( 3 + p) cm R (IV) 360° 3 16. calcula el área de la superficie esférica inscrita en el octaedro. Un segmento circular y secante con el eje de giro forma una su( ) perficie de revolución.14. si AB = 5.° 2 B) 9p m E) 7p m2 C) 5p m (VI) 360° (VII) B) (3 + p) cm D) (6 . En un recipiente cúbico de 6 cm de lado. A) 32 3 π 360° B 3 A 360° (III) R N 360° B Razonamiento y demostración E B) 10π m2 9 D) 9π cm2 16 360° (VIII) 360° (IX) 360° (X) 2 22. 9 2 m3 . lleno de agua. al girar 360° alrededor del eje. el volumen de la esfera es 32 3 π . Si: R = 6 m y HN = 5 m. coplanar y no secante al eje de giro forman ( un sólido no convexo. Cal. En la figura AB // OT. Un rectángulo.NIVEL 3 cula el perímetro del cuadrado. III. Calcula el área de la superficie de la F semiesfera. BC = 6 y AC = 7. II. (T es 21. Luego se retira la pelotita. A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 A) 18 3 π B) 3 3 π D) 12 3 π E) 15 3 π C) 9 3 π A) 16π m2 C) 9π m2 10 E) 12p m2 18. AB = R 3 . La región cuadrada ABCD. En la figura. Calcula el volumen del sólido generado por la región sombreada. coplanar y no secante al eje de giro forma un ( ) sólido de revolución. Calcula el volumen del cono equilátero. cuando gira 360° al. A B Q T 360° A) 72p cm2 B) 96p cm2 C) 100p cm2 D) 108p cm2 E) 144p cm2 A) (6 + p) cm C) (p . Un área circular. Comunicación matemática eje C D ) 360° θ E) 0 A A) 5 cm D) 8 cm B) 6 cm E) 4 cm C) 12 cm (II) (I) 15. Dado un octaedro regular de volumen punto de tangencia y O es centro). ¿Qué altura de agua queda en el recipiente? 2 A) 3p m D) 6p m2 O H 94 Intelectum 5. si el radio de dicho cuadrante mide 3 m. Indica cuántas premisas no son falsas: I. Calcula el área total del sólido generado al girar la región de un cuadrante alrededor de uno de sus radios en un ángulo de 18°. quedando un poco de agua en el recipiente. 60° A H O 3 A) 30p m D) 40p m3 B) 32p m E) 42p m3 C) 36p m B r C B) 64p D) 64 6 π 27 E) 27p C) 32 π 27 (V) Resolución de problemas 20. genera un sólido de 4π 6 cm3 de volumen (q = 15°).19. coplanar con el eje de giro genera un sólido ( ) de revolución. Una región plana. se introduce una pelotita de 3 cm de radio. 360° (XI) 360° (XII) . Halla el volumen de la esfera. IV. el cono es de revolución y el área de su superficie lateral es 18p rededor de AB. cm2.
D 12. Calcula el radio de la esfera inscrita en un octante de esfera de radio 4. AB = 13. cuya proyección de su arco tiene por longitud la mitad del diámetro correspondiente. C) 3 20 27. 6. C Nivel 2 18. D D E E D D 8. Si: BC = 15 m y q = 37°. A 32.23. 24. Calcula el volumen de una cuña esférica equivalente a un sector esférico. se inscribe una esfera de radio r. la razón de los volúmenes de los sólidos generados por las regiones sombreadas al girar 360° alrededor de L es 80/13. Calcula el volumen del sólido generado por la región rectangular ABCD alrededor de L. D 21. Calcula x. D) 200 2 π u3 E) 560 2 π u3 A E B) 1 21 D) 4 25 E) 2 9 L 360° B A) 2( 3 . A 14.ACTIVIDADES UNIDAD 4 95 . cuáles generan sólidos no convexos: 29. C 33. 7. C 28. B Nivel 3 23. qué superficies generadas pueden ser formadas por generatrices: B) 26° 30' E) 30° 30. 5. Calcula el volumen del sólido generado por la región triangular ABC al girar 360° en torno a L. de radio 3 cm. 24. 3. C 11. B 31. Del gráfico. sea el mayor posible. De las figuras mostradas. 26. A 10. 25. Razonamiento y demostración A) 250 2 π u3 A B B) 300 2 π u3 26. A 27. ¿En qué relación están los volúmenes de los sólidos generados al girar las regiones GEA y CBA? (G es baricentro del triángulo ABC). ambos en una misma esfera. D 17. De las figuras mostradas. A 16. A 9. A 20. 2. α C 2-1 B) 2( 2 . D 22. Dicho sector es generado por un sector circular. 360° A 3 L 31. Halla el volumen del cono parcial que determina el plano que contiene los puntos de tangencia de la esfera con las generatrices del cono. indica cuáles generan sólidos de revolución convexos: x L 360° A) 15° D) 22° 30' 25.1) 32. Según la figura. E 15. En un cono equilátero. 4. C 30. De las figuras mostradas. A) 15° D) 60° C Resolución de problemas G A) 2 27 360° 8° C) 300 2 u3 C B C) 18° 30' B) 12p cm3 E) 18p cm3 C) 15p cm3 C l a ve s Nivel 1 1. 19. E 29.1) D) D L B) 30° E) 90° C B) 7500p m3 L C) 7200p m3 D) 5800p m3 E) 6200p m 3 360° θ A θ D 3 -1 3 B) πr 3 3 E) 2πr 3 A) 10p cm3 D) 16p cm3 28. Determina la medida del ángulo a de modo que el volumen generado al rotar la región cuadrada en torno a L. AC = 14 y BC = 15. E GEOMETRÍA . A) 5750p m 3 A) πr 6 3 D) πr 9 C) 45° B E) C) 2( 3 + 1) 3 C) 3πr 8 33. D 13.
es el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360° alrededor de L . Halla el radio de la esfera circunscrita.ABC.° C) H 3 3 A) L 5 8 3 B) L 5 12 3 D) L 2 10 3 E) L 2 12 3 C) L 2 8 El centro de la esfera inscrita en una pirámide cuadrangular regular coincide con el centro de la esfera circunscrita a dicha pirámide. R=3 A) 1136 π 3 B) 852p y O ▪ El área de la circunferencia: A = pR2 = p . m+ABP = q y m+BCP = a halla el volumen de la pirámide P . La medida del ángulo diedro en una arista de la base es: A) arccos( 3 .1) C) arccos c 2 m 2 D) arccos c 3 m 3 7. = 2p(A) x En el gráfico adjunto. La altura del cilindro de mayor área lateral inscrito en el cono es: B) H 2 Calcula el volumen de una pirámide de base triangular en la que dos de sus caras son triángulos equiláteros de lado L y las otras dos son triángulos rectángulos isósceles. En la figura mostrada PA es perpendicular al plano del TABC y AB es perpendicular a BC. A) H 9 96 ` VSol. Entonces el volumen de dicho cono es. B A Q x 5. respectivamente. Determina el volumen generado por la región sombreada al girar en torno al eje y. A) (ab) 3. la curva es un segmento de circunferencia de radio 10 y el segmento OA mide 6.1) B) arccos( 2 . 9 ▪ Por el teorema de Pappus . P 360° α C α α θ θ x R 2. Halla el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360° alrededor de L. Del gráfico: ▪ Por la bisectriz CO: a + q = 90° & m+POC = m+COQ = a ▪ Por ángulos opuestos: m+CBR = m+PBO = a ▪ Del DPBQ (isósceles): BH = HO = BO = 1 2 α C Del dato: AB = 1 y BO = 2 & R = AO = 3 D) 2H 5 E) 3H 4 B 3 A) a tan2asen2q 12 3 D) a tan2asenq 12 3 3 B) a tanasen22q C) a tanasen2q 12 12 3 E) a tanasen2q 12 .Matemática En la figura P y Q son puntos de tangencia. = 162p2 C) 568 π 3 D) 568p B) a + b 3 E) ab 3 D) (3ab) 4. P A R L B O Q Resolución: Sea: VSol. C ▪ Por semejanza de triángulos: PHO a CPO PO = HO & 3 = 1 = x = 9 CO PO x 3 A α B Hα O L 1. ! Si m PQ = 2a y BO = 2(AB) = 2. Si BC = a. P C) 5 96 u 8 C A El radio de la base de un cono circular recto mide R unidades y su altura mide H unidades.Guldin: VSol. E) 1136p C) ab 2 A) 5 96 u 7 B) 3 97 u 8 D) 3 96 u 8 E) 5 97 u 8 Intelectum 5. 9 ) . = 2p(p . 9 El área lateral de un cono de revolución mide b y la distancia del centro de la base a una de sus generatrices mide a. E) arccos c 6 m 3 Las bases de un tronco de cono de revolución son dos círculos de radios 3 y 6 unidades. 6. si la generatriz mide 5 unidades.
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