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Timestamp: 2019-12-11 12:03:11+00:00

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Probabilit reali e probabilit
neutrali al rischio nella stima del
valore futuro degli strumenti derivati
Lattivit di ricerca e analisi della Consob intende promuovere la riflessione e stimolare il
dibattito su temi relativi alleconomia e alla regolamentazione del sistema finanziario.
I Quaderni di finanza accolgono lavori di ricerca volti a contribuire al dibattito accademico su questioni di economia e finanza. Le opinioni espresse nei lavori sono attribuibili
esclusivamente agli autori e non rappresentano posizioni ufficiali della Consob, n impegnano in alcun modo la responsabilit dellIstituto. Nel citare i lavori della collana, non
pertanto corretto attribuire le argomentazioni ivi espresse alla Consob o ai suoi Vertici.
I Discussion papers ospitano analisi di carattere generale sulle dinamiche del sistema
finanziario rilevanti per lattivit istituzionale.
I Quaderni giuridici accolgono lavori di ricerca volti a contribuire al dibattito accademico su questioni di diritto. Le opinioni espresse nei lavori sono attribuibili esclusivamente
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modo la responsabilit dellIstituto. Nel citare i lavori della collana, non pertanto corretto attribuire le argomentazioni ivi espresse alla Consob o ai suoi Vertici.
I Position papers sono documenti di consultazione su ipotesi di modifiche del quadro
regolamentare o degli approcci di vigilanza.
Giovanni Siciliano (coordinatore), Francesco Adria, Simone Alvaro, Valeria Caivano, Monica
Gentile, Nadia Linciano, Valerio Novembre, Paola Possenti, Isadora Tarola
Eugenia Della Libera
Tipografia Revelox s.n.c. (Roma)
www.revelox.it
00198 Roma Via G.B. Martini, 3
t 06.8477.1
f 06.8477612
e studi_analisi@consob.it
ISSN 2281-1915 (online)
ISSN 1121-3795 (stampa)
L. Giordano*, G. Siciliano*
Partendo da alcune ipotesi teoriche circa il funzionamento dei mercati finanziari (mercati completi e principio di non arbitraggio) e circa la dinamica dei prezzi delle attivit finanziarie, i modelli standard sviluppati nellambito della matematica finanziaria permettono di calcolare il fair price di un contratto derivato al momento della sua stipula come valore atteso attualizzato dei possibili pay-off futuri. Se, da
un lato, il fair price ottenuto mediante tale metodologia costituisce uninformazione affidabile e coerente
circa il prezzo equo del prodotto finanziario al momento della stipula del contratto, dallaltro, come ben
noto in letteratura, le distribuzioni di probabilit impiegate nel procedimento di stima dei possibili pay-off
futuri del derivato non rappresentano le reali probabilit di accadimento di eventi futuri e pertanto forniscono informazioni potenzialmente fuorvianti circa la probabilit che ad una data futura il valore di
uno strumento finanziario derivato sia superiore o inferiore a determinate soglie. Ci deriva dal fatto che
tali distribuzioni di probabilit sono risk-neutral, ovvero sono ottenute assumendo lipotesi di neutralit al
rischio degli investitori; tale ipotesi accettabile solo per finalit di pricing del derivato alla data di stipula
del contratto (assumendo che il derivato sia replicabile con le attivit sottostanti e che valga quindi la cosiddetta ipotesi di non-arbitraggio). Il presente lavoro chiarisce pertanto che lutilizzo separato delle informazioni contenute nelle partizioni di probabilit del valore futuro di un derivato finanziario probabilit che sono alla base del processo di pricing dovrebbe avvenire previa opportuna correzione per tener
conto dellavversione al rischio degli investitori, ovvero usando distribuzioni di probabilit reali (cosiddette real world probabilities). Ci, tuttavia, renderebbe tali partizioni di probabilit non univoche e imporrebbe un affinamento della metodologia volta a consentirne limpiego nella regolamentazione sulla trasparenza dei prodotti finanziari; questo, parimenti, non esclude che per finalit interne di risk
management gli intermediari finanziari possano utilmente apportare le correzioni per il premio al rischio
che ritengano necessarie.
JEL Classification: C02, C51, C58, G12, G17, G33
Parole chiave: pricing, fair-value, misura neutrale al rischio, partizioni di probabilit, martingala.
Consob, Divisione Studi. Le opinioni espresse nel presente Quaderno sono attribuibili esclusivamente agli autori e non rappresentano posizioni
ufficiali della Consob, n impegnano in alcun modo la responsabilit dellIstituto. Nel citare i contenuti del presente Quaderno, non pertanto
corretto attribuirli alla Consob o ai suoi Vertici. Si ringraziano Andrea Beltratti, Giuseppe Corvino e Roberto Ren per le preziose osservazioni. Errori e imprecisioni sono imputabili esclusivamente agli autori.
2 Il pricing dei derivati su azioni e le probabilit risk-neutral
2.1 Lapproccio risk-neutral nel pricing dei prodotti derivati
2.2 Limiti informativi delle probabilit risk-neutral
3 Lapproccio risk-neutral per il pricing di strumenti
derivati collegati ai tassi dinteresse (IRS)
3.1 Aspetti generali della valutazione dei contratti IRS
3.2 Il modello CIR
Uno strumento sovente proposto per valutare la potenziale convenienza di
un prodotto finanziario derivato rappresentato dalla stima della probabilit che il
suo valore ad una certa data futura superi un determinato livello (ad esempio, il prezzo al momento della stipula). Nel gergo del dibattito sul tema che si sviluppato in
Italia, questo approccio viene definito come scenario probabilistico.
In questo lavoro verr mostrato come non esiste un modo univoco e non
soggettivo per calcolare gli scenari probabilistici in maniera uniforme per la generalit degli investitori. Il motivo di fondo legato al fatto che non corretto calcolare gli
scenari usando le probabilit cosiddette risk neutral (ovvero pseudo-probabilit)1,
che vengono invece usate correttamente per calcolare il fair price di uno strumento
finanziario alla data corrente o di stipula del contratto. In altri termini, il fair value
del prodotto alla data di stipula ottenuto calcolando il valore atteso scontato della
distribuzione di probabilit a scadenza (a una certa data futura) del prezzo dello
strumento finanziario derivato oggetto di valutazione. Per ottenere tutti i possibili
prezzi a scadenza2 del prodotto finanziario derivato che si intende valutare e le rispettive probabilit ad essi associate occorre simulare le possibili traiettorie del prezzo dellattivit finanziaria sottostante (da cui si ricava il payoff del prodotto derivato).
La simulazione numerica delle traiettorie di prezzo delle attivit finanziarie sottostanti richiede che si facciano alcune ipotesi circa la legge che governa il movimento
dei prezzi delle attivit finanziarie (ad esempio, il moto geometrico browniano nel caso di azioni) e soprattutto la fondamentale assunzione di un mondo risk-neutral (ove
vige la legge del prezzo unico del portafoglio replicante), ipotesi accettabile, come
sar diffusamente spiegato nel lavoro, se lo strumento derivato pu essere replicato
con le attivit sottostanti (cosiddetta ipotesi di non-arbitraggio). Tali ipotesi sono
alla base della moderna teoria del pricing dei prodotti finanziari.
Nel lavoro verranno illustrate in dettaglio le singole fasi di tale processo, ma
quello che rileva evidenziare sin da ora che le pseudo-probabilit non sono interpretabili come probabilit associate ad una previsione dei prezzi futuri, ma derivano
esclusivamente dallestrapolazione dei possibili valori del prodotto finanziario ad una
certa data futura che risultano compatibili (date le ipotesi teoriche sopra esplicitate)
con i dati correnti di mercato (in particolare, come sar illustrato meglio nel lavoro,
con la volatilit implicita del prezzo dellattivit finanziaria sottostante osservata al
momento del pricing del derivato, che lunica informazione che viene utilizzata in
tutto il processo di stima). In altri termini le informazioni contenute negli scenari
probabilistici sono delle mere proiezioni ex-ante dei prezzi futuri di un prodotto finanziario, coerenti con le condizioni correnti di mercato e con le caratteristiche di
strutturazione del prodotto.
Opportunamente identificate in letteratura come pseudo-probabilit, proprio per non confonderle con le probabilit reali o probabilit tout court che si riferiscono, come naturale, alla probabilit di accadimento di eventi futuri.
A scadenza o ad una certa data futura, questo dipende dallholding period che si prende in considerazione al momento del pricing del derivato.
Per la costruzione di scenari di probabilit in grado di fornire informazioni
affidabili ovvero informazioni che realmente si riferiscono alla previsione di un
prezzo futuro si devono usare probabilit reali (real world probabilities), ma a tal
fine necessario fare assunzioni sul premio a rischio richiesto dagli investitori per detenere attivit rischiose. Il premio a rischio varia da soggetto a soggetto e ogni ipotesi su un determinato livello del premio a rischio valido per tutti gli investitori inevitabilmente arbitraria e discutibile; per ci che riguarda, ad esempio, i derivati su azioni, esiste unampia letteratura che documenta la forte variabilit nel tempo (ma
anche fra paesi) del premio al rischio misurato ex post (cio come differenza fra i
rendimenti delle azioni e il tasso risk-free).
Gli scenari probabilistici calcolati sulla base delle probabilit reali finiscono quindi per essere inevitabilmente arbitrari e dipendenti dalle ipotesi sullavversione
al rischio degli investitori. In sostanza, per usare una semplice analogia, luso delle
probabilit risk-neutral per calcolare gli scenari probabilistici equivale a voler misurare una certa distanza in metri utilizzando per ununit di misura che non il metro.
Ci ovviamente non mette in discussione la fondatezza scientifica dellapproccio riskneutral per le finalit di pricing dei derivati n il potenziale valore informativo degli
scenari probabilistici, soprattutto per finalit di risk management; il problema di fondo legato alle difficolt interpretative e alla corretta rappresentazione delle ipotesi
alla base del calcolo degli scenari in modo tale che il fruitore di tale informazione sia
messo in condizione di comprenderne a fondo il giusto perimetro semantico e assumere di conseguenza scelte di investimento consapevoli.
Le argomentazioni appena illustrate valgono in particolare per i derivati che
hanno come sottostante azioni, e ci sar illustrato in dettaglio nel paragrafo 2, ma
argomentazioni sostanzialmente analoghe valgono anche per i derivati che hanno
come sottostante tassi dinteresse, se pure, come sar discusso in dettaglio nel paragrafo 3, vi siano alcune importanti differenze sia tecniche sia di interpretazione economica dei risultati. In particolare, anche il pricing di derivati su tassi dinteresse
pu avvenire in ambiente risk-neutral ma in questo caso lipotesi di premio al rischio
pari a zero per prevedere il valore futuro del derivato equivale ad assumere una precisa teoria che spiega levoluzione futura dei tassi, ossia la teoria delle aspettative pure o non distorte per cui si assume che il valore atteso dei tassi a pronti futuri sia
pari al valore corrente dei tassi a termine. In sostanza, nel mondo dei tassi dinteresse
lipotesi di premio al rischio pari a zero ha, in linea di principio, minori elementi di arbitrariet rispetto al mondo dei derivati azionari perch puntellata da una specifica
ipotesi economica sul comportamento e sulle aspettative degli operatori. Ci non toglie, tuttavia, che vi sono anche altre teorie economiche sulla dinamica dei tassi in
grado di spiegarne levoluzione futura rispetto a quella delle aspettative pure, quali,
in particolare, quella del premio per la liquidit, dei mercati segmentati e dellhabitat
preferito, teorie che invece postulano un premio al rischio diverso da zero3. Inoltre,
la teoria delle aspettative potrebbe essere maggiormente accettabile in condizioni di
andamento normale dei mercati e non invece in caso di forti turbolenze e elevata vo3
Cfr. Castellani, De Felice, Moriconi, Mottura (1993), Un corso sul controllo del rischio di tasso dinteresse, Il Mulino,
pagg. 108-115.
latilit. Peraltro, alcuni studi empirici classici sul mercato americano, in particolare
Fama e Bliss (1987), Campbell e Shiller (1991) e Cochrane e Piazzesi (2005), hanno
ampiamente rigettato lipotesi delle aspettative pure o non distorte. Questi studi mostrano che i tassi forward non sono predittori accurati dei tassi futuri (ovvero che i
tassi a lungo termine attuali non sono una media dei futuri tassi attesi a breve) e che
quindi esiste un premio al rischio diverso da zero nella curva dei tassi.
La conclusione generale quindi analoga a quella valida nel caso di derivati
su azioni e cio che ogni ipotesi sul premio al rischio, necessaria per stimare il valore
futuro dei derivati, comunque arbitraria se riferita alla generalit degli investitori e
ci imporrebbe un affinamento della metodologia degli scenari probabilistici volta a
consentirne limpiego nella regolamentazione sulla trasparenza dei prodotti finanziari.
Questi problemi sono ben noti nel dibattito scientifico internazionale e nel
presente lavoro si cercher di riassumerli in maniera chiara e rigorosa con riferimento
ai derivati su azioni (par. 2) e a quelli su tassi di interesse (par. 3), anche a beneficio di coloro che non hanno familiarit con la letteratura accademica sulla modellistica in questione. Il paragrafo finale sintetizza le questioni aperte in materia di scenari probabilistici illustrate nel lavoro. In Appendice si d conto anche del quadro
normativo europeo del settore.
Per comprendere le argomentazioni tecniche alla base di quanto affermato
nel paragrafo introduttivo necessario ripercorrere brevemente i passaggi e le ipotesi
sottostanti i modelli matematici utilizzati in letteratura per calcolare il prezzo dei
In particolare, necessario illustrare le ipotesi alla base del concetto di riskneutral pricing, perch questo il passaggio centrale per capire le fondamenta e i limiti metodologici degli scenari probabilistici. Ci sar oggetto del successivo par. 2.1,
che contiene unillustrazione sintetica e il pi possibile accessibile anche a chi non ha
familiarit con la modellistica matematica, se pur corredata dei dettagli tecnici necessari per chi volesse meglio approfondire il tema; sebbene si tratti di unillustrazione standard del tema, verranno messe a fuoco con la massima chiarezza le ipotesi
e le interpretazioni economiche alla base della modellistica matematica, al fine di
mettere chiaramente in luce le ragioni delle critiche delineate nel paragrafo introduttivo. Questi limiti degli scenari probabilistici verranno poi chiaramente argomentati
sul piano tecnico nel paragrafo 2.2.
Prima di procedere nel percorso appena enunciato si ritiene utile fornire una
prima panoramica, anche al livello meramente intuitivo, di quale sia la logica e la
meccanica attraverso la quale si ricava il set di informazioni chiamato comunemente
scenario di probabilit e cosa realmente significhino tali probabilit; si tratta cio
di fare uno sforzo di chiarificazione semantica, in assenza del quale risulta distorto e
poco informato qualunque dibattito circa la loro efficacia quale presidio a tutela di
scelta consapevoli degli investitori.
Come detto, il pricing dei prodotti finanziari derivati si basa sul fondamentale principio di non arbitraggio, che consente attraverso diversi gradi di sofisticazione, che tuttavia non aggiungono nulla alla comprensione della logica del processo
di calcolare il prezzo fair di un prodotto finanziario derivato (o prezzo teorico) alla
data corrente (cio al momento della stipula del contratto) come valore atteso
scontato della distribuzione dei prezzi dello stesso derivato ad una data futura (che
pu essere anche antecedente alla data di scadenza del derivato)4.
Alla luce di quanto detto, risulta dunque evidente che per poter procedere al
pricing di uno strumento finanziario derivato occorre stimare la distribuzione futura
(qualunque sia la data futura scelta) dei possibili prezzi dello strumento finanziario in
questione. Il valore futuro di un derivato dipende dal suo pay-off futuro il quale, a
sua volta, una funzione del prezzo dellattivit finanziaria sottostante. Occorre pertanto assumere una legge di movimento che governa la variazione del prezzo
dellattivit finanziaria sottostante dalla data corrente a una data futura prescelta.
I progressi della finanza matematica hanno reso possibile simulare le traiettorie di prezzo delle attivit finanziarie sottostanti il derivato (azioni, tassi di interesse, commodities, etc.) facendo alcune ipotesi circa la legge di movimento dei suddetti
prezzi e assumendo lassenza di arbitraggio in mercati completi, ovvero la possibilit
di replicare il derivato attraverso le attivit sottostanti, adoperando quello che tecnicamente si chiama passaggio dalle probabilit reali alle probabilit neutrali al rischio o pseudo-probabilit. La simulazione numerica (in genere con il metodo Monte Carlo) consente pertanto di ottenere un numero elevato di traiettorie di prezzo, ovvero N prezzi simulati alla data futura prescelta5. Per simulare le traiettorie di prezzo
lunica incognita dellequazione stocastica differenziale (ovvero dellequazione che
descrive il movimento dei prezzi) la volatilit dellattivit finanziaria sottostante,
essendo tutti gli altri parametri dellequazione osservabili o costanti. Per ricavare il
valore della volatilit dellattivit finanziaria sottostante si procede normalmente con
il calcolo della volatilit implicita dellattivit finanziaria sottostante (o della volatilit storica, se non disponibile quella implicita), partendo dallosservazione del prezzo
di mercato di opzioni standard trattate su mercati regolamentati (o su mercati abbastanza liquidi) alla data corrente. In definitiva, lunica informazione che alimenta
tutto il processo il prezzo dellattivit finanziaria sottostante e la sua volatilit implicita al tempo corrente6.
bene chiarire univocamente cosa si intende per fair price (o fair value) del prodotto finanziario derivato. Con il
termine fair price si intende il valore teorico di uno strumento derivato ottenuto attraverso la procedura del pricing
subordinato, ovvero lapplicazione del principio di non arbitraggio tra il derivato da prezzare e il suo portafoglio di
replica. Tale prezzo teorico ottenuto in un ambiente che soddisfa le stringenti ipotesi teoriche di un mercato ideale, ovvero: (i) competitivit (operatori price-taker, massimizzatori e che dispongono delle stesse informazioni); (ii)
non-frizionalit (assenza di costi di transazione, operazioni infinitamente divisibili, mercati continui, possibilit di
vendite allo scoperto e assenza di rischio di insolvenza); (iii) assenza di arbitraggio.
Generalmente almeno 10.000 simulazioni.
Oltre al tasso risk-free che si assume per uguale per tutte le attivit finanziarie (come verr meglio illustrato nel
par. 2.1).
A questo punto del processo di pricing si dispone pertanto di tutte le N possibili realizzazioni del prezzo dellattivit finanziaria alla data futura prescelta. Tali
prezzi si distribuiranno lungo un intervallo pi o meno ampio e alcuni di essi si presenteranno con maggior o minor frequenza rispetto ad altri; ordinando i prezzi lungo
un asse e calcolando la frequenza di accadimento si otterr in sostanza una distribuzione di probabilit dei prezzi a tale data futura; data la relazione funzionale deterministica tra prezzo del sottostante e pay-off del derivato, si pu costruire agevolmente la distribuzione di probabilit del prezzo del derivato a partire da quella
dellattivit sottostante. Il valore scontato atteso del valore del derivato alla data futura cos ottenuto quello che viene chiamato fair price del prodotto finanziario derivato. Il valore atteso si ottiene facendo una media ponderata di tutte le possibili realizzazione di prezzo, usando come pesi le rispettive probabilit (come sar spiegato
oltre si tratta per di pseudo-probabilit ottenute in un contesto risk-neutral); i risultati vengono poi scontati dalla data futura prescelta al tempo corrente.
Quello che verr illustrato in dettaglio nel presente lavoro che:
a) il processo descritto, e lutilizzo delle probabilit risk-neutral su cui si fonda, risulta metodologicamente corretto solo ai fini di pricing, ovvero solo per il calcolo del fair price di prodotti finanziari derivati alla data corrente;
b) la distribuzione di probabilit che viene utilizzata per il calcolo del valore atteso
(ovvero per il pricing del punto precedente) non rappresenta n la probabilit di
accadimento di eventi futuri n una previsione circa i possibili prezzi futuri dello
strumento finanziario derivato. I prezzi alla data futura simulati e le relative
probabilit costituiscono esclusivamente lestrapolazione dei possibili risultati a
scadenza coerenti con lipotesi di neutralit al rischio e con i dati di mercato
correnti, cio essenzialmente con la volatilit implicita dellattivit sottostante.
In definitiva, tali probabilit risk-neutral si riferiscono a tutte le possibili
realizzazioni future del prezzo del sottostante che sono state generate partendo dalla
volatilit implicita e dal prezzo corrente di mercato dellattivit sottostante il derivato. Laggregazione di tali probabilit in diverse partizioni e il calcolo dei cosiddetti
scenari di probabilit, nella misura in cui non si tenga conto del premio per il rischio,
genera informazioni che non rappresentano previsioni di prezzi futuri e pertanto non
devono essere interpretate dallinvestitore come probabilit reali che il prezzo del
derivato ad una data futura sia superiore o inferiore a determinate soglie. Tale errore
interpretativo invece molto probabile per un investitore che non disponga delle conoscenze di calcolo stocastico per interpretare correttamente il contenuto informativo di una distribuzione di probabilit risk-neutral.
Esiste unampia letteratura nellambito del filone della matematica finanziaria che, sulla base di modelli stocastici sulla dinamica dei tassi di interesse e dei prezzi azionari, consente di calcolare il prezzo teorico (fair price) di strumenti finanziari
derivati o di prodotti strutturati (ad esempio, obbligazioni il cui rendimento collegato allandamento di indici azionari, tassi di cambio o altri sottostanti).
Semplificando al massimo, tali modelli consentono di simulare la dinamica
futura dei possibili flussi di cassa (pay-off) di uno strumento derivato o di un prodotto strutturato e di determinare la distribuzione di probabilit del suo valore ad una
certa data futura T. I possibili valori in T vengono poi attualizzati e da qui si ottiene
una distribuzione di probabilit del prezzo alla data corrente t; la media ponderata
(valore atteso) di tale distribuzione di probabilit rappresenta il fair value o il prezzo
teorico del derivato ad oggi. Gli scenari probabilistici sfruttano lintera distribuzione di probabilit del valore in T per inferire da ci la probabilit che il valore dello
strumento finanziario ad una certa data futura sia superiore/inferiore a determinate
soglie. In questo senso, gli scenari utilizzano un sottoprodotto, o una fase intermedia, del processo di pricing.
Il problema centrale, come si vedr meglio di seguito, quello di capire le
ipotesi alla base dei modelli stocastici utilizzati per simulare landamento futuro dei
pay-off del prodotto derivato, che dipende a sua volta dallandamento futuro del
prezzo dellattivit finanziaria sottostante.
Nel caso di un derivato o di un prodotto strutturato legato allandamento di
strumenti azionari, quali ad esempio opzioni call o put, uno dei possibili modelli utilizzabili per simulare landamento futuro del prezzo di unazione il cosiddetto moto
geometrico browniano, cio unequazione differenziale che descrive in un istante di
tempo infinitesimale la variazione del prezzo S di unazione:
la variazione del prezzo dellazione in un istante infinitesimale di tempo, il cosiddetto drift del processo (la cui interpretazione economica, come si dir
meglio fra breve, equivale al tasso di rendimento richiesto per investire in azioni) e
invece la volatilit attesa del prezzo dellazione (detto anche parametro di diffusione del processo);
infine una variabile aleatoria, ossia un cosiddetto processo
di Markov, tale che la variazione W in un intervallo di tempo
dove una variabile causale normale standardizzata (cio media nulla e varianza
unitaria) e tale che i valori di W in due qualsiasi intervalli
In sostanza, lequazione (1) postula che il rendimento di unazione cio
/ nellintervallo temporale
ha una distribuzione normale con media
e che il rendimento dellazione nellintervallo
indipendente dai rendimenti negli istanti temporali precedenti, assumendo con ci lipotesi di
efficienza informativa dei mercati.
Lequazione (1) modella quindi lincremento percentuale del prezzo di
unazione (ossia il suo rendimento) in un istante infinitesimale di tempo, cio
come somma di una componente deterministica proporzionale al valore del parameche genera incrementi/decrementi casuali
tro e di una componente aleatoria
ma indipendenti nel tempo e identicamente distribuiti sulla base di una distribuzione
Il punto cruciale per utilizzare in termini pratici lequazione (1) la stima di
. Infatti, mentre la volatilit normalmente stimata sulla basa della volatilit implicita quotata sul mercato delle opzioni sullazione sottostante alla data in cui si effettua il pricing, rappresenta invece in termini economici il rendimento che i partecipanti al mercato richiedono per investire in azioni, che in equilibrio deve coincidere
con il rendimento atteso dellinvestimento in azioni. Il rendimento richiesto, a sua
volta, dovr essere pari al tasso di interesse privo di rischio r pi un premio al rischio.
Poich il premio al rischio pu variare da investitore a investitore, in funzione del suo
grado di avversione al rischio, lequazione (1) non operativamente utilizzabile poich darebbe luogo a prezzi del derivato diversi a seconda dellinvestitore che effettua
il pricing.
Tuttavia, per i motivi che saranno meglio illustrato di seguito, possibile
mostrare che, sotto certe condizioni di mercati completi ed efficienti e di assenza di
arbitraggio, in luogo dellequazione (1) possibile simulare i prezzi futuri delle azioni
utilizzando la seguente equazione:
dove il premio al rischio richiesto per investire in azioni sostituito dal tasso riskfree r. evidente la grande importanza di questo risultato perch consente di calcolare un prezzo che indipendente dallavversione al rischio degli investitori e che quindi unico per tutti gli operatori.
Lintuizione economica originaria alla base di questo risultato si deve ai lavori degli inizi degli anni settanta del secolo scorso degli economisti Robert Merton,
Myron Scholes e Fischer Black, che poi valsero loro il premio Nobel nel 1997.
Lintuizione economica in realt molto semplice ed sintetizzabile come
segue: se il pay-off di un derivato replicabile con un portafoglio composto
dallattivit sottostante e da un titolo privo di rischio (detto portafoglio di replica),
allora il prezzo del derivato e quello del portafoglio di replica dovranno essere uguali;
in caso contrario, sarebbero possibili operazioni di arbitraggio che riallineerebbero il
prezzo del derivato al valore del suo portafoglio di replica. Dal principio di non arbitraggio consegue direttamente la circostanza che il prezzo del derivato dovr essere
legato a quello del sottostante da una funzione che non dipende dallavversione al
rischio degli agenti economici.
Il Box 1 illustra un esempio di applicazione di questa idea, riprendendo elementi che si ritrovano nei pi diffusi manuali avanzati di matematica finanziaria, che
un utile punto di partenza per capire come possibile effettuare il pricing di un derivato senza fare ipotesi sul premio a rischio richiesto dagli investitori e come introduzione preliminare ai concetti di risk-neutral pricing e probabilit risk-neutral.
Box 1 Risk-neutral pricing e probabilit risk-neutral in un caso semplificato
di valutazione di un derivato su un titolo azionario con 2 possibili stati del
mondo e un solo periodo (modello binomiale uniperiodale)
***Modello di pricing binomiale (CRR)***
Si consideri al tempo t unopzione call su unazione che scade in t+1. Il valore in t+1
dellopzione (C ) dipende dal prezzo dellazione (S ) in t+1, che ha una struttura binomiale. Nel modello
binomiale, si assume che le contrattazioni avvengano su istanti discreti t, t+1, t+2, e che il prezzo S
dellazione sottostante segua un processo stocastico binomiale moltiplicativo. Alla fine di ciascun periodo, cio, il prezzo del sottostante dato dal valore di inizio periodo moltiplicato per un fattore a oppure per un fattore b, con a e b reali positivi, noti e costanti in tutti i periodi. Per semplicit, le realizzazioni al tempo t+1 sono riassunte nel seguente schema:
aS con probabilit p
Ca =max{aS-K, 0} con probabilit p
bS con probabilit 1-p
Cb=max{bS-K, 0}con probabilit 1-p
Quindi il montante unitario dellinvestimento azionario nel generico periodo [t+j, t+j+1] assume il valore a con probabilit p e il valore b con probabilit 1-p.
Si assuma che sia a > b, cosicch un valore del sottostante a scadenza pari a aS indica un movimento al rialzo, un valore uguale a bS denota un movimento al ribasso. Si supponga che lazione non
paghi dividendi e si assumano valide le ipotesi tipiche dei mercati perfetti:
sono consentite vendite allo scoperto e il mercato non frizionale;
gli agenti agiscono come price taker e sono massimizzatori di profitto;
sono esclusi arbitraggi privi di rischio.
Si supponga inoltre che i tassi di interesse risk-free futuri:
i(t+j, t+j+1), j=0,1,,
siano noti in t. Senza grave perdita di generalit si pu assumere un tasso i costante su tutti i periodi,
i(t+j, t+j+1)=i.
Si supporr quindi che:
il tasso di interesse periodale perfettamente prevedibile e costante al livello i.
Quindi, m=1+i il montante unitario non-rischioso nel generico periodo [t+j, t+j+1].
Per evitare profitti da arbitraggi privi di rischio deve essere:
a > m > b.
Infatti, se per esempio fosse a > b > m, sarebbe possibile realizzare un arbitraggio non-rischioso
prendendo a prestito in t al tasso i una somma x e investirla nel titolo azionario. Anche se il mercato
andasse in ribasso, in t+1 si otterrebbe limporto bx dallinvestimento, mentre si dovrebbe restituire
limporto mx, con un profitto certo (b-m)x. Se fosse m > a > b si potrebbe ugualmente realizzare un
arbitraggio vendendo allo scoperto il titolo azionario e investendo il ricavato al tasso i.
Si supponga di costruire un portafoglio composto da azioni e da un investimento di B euro al
tasso risk-free i; denotando con m=1+i, il montante unitario dellinvestimento non-rischioso, il montante dellinvestimento di B euro al tempo t+1 sar pari a mB. Levoluzione del valore di questo portafoglio di azioni e titoli risk-free si pu pertanto schematizzare come:
aS+mB con probabilit p
bS+mB con probabilit 1-p
J.C. Cox, S.A. Ross e M. Rubinstein (1979) mostrano che si pu calibrare il peso della componente azionaria e il peso B di quella obbligazionaria di tale portafoglio in modo da replicare esattamente il pay-off aleatorio garantito dalla call, in modo cio da assumere il valore Ca se il mercato
muove al rialzo e il valore Cb se il mercato va in ribasso, ossia:
Le soluzioni del sistema di due equazioni lineari in due incognite sono:
Per evitare arbitraggi, il prezzo in t della call dovr essere quindi uguale al prezzo in t del portafoglio di replica. Si ottiene quindi:
Tale equazione costituisce una formula operativa per il pricing dellopzione, dato che i valori di
e B sono calcolabili direttamente una volta specificati i parametri del modello di valutazione. La
formula di pricing costruita su parametri osservabili e indipendenti dalle attese soggettive di chi valuta; in effetti nel modello non appare la misura di probabilit p e dunque possibile affermare che
nonostante i partecipanti al mercato possano avere opinioni diverse sulle probabilit degli eventi futuri, sono in ogni caso daccordo circa il valore di mercato dellopzione. In aggiunta, nella formula di
pricing non presente nessun parametro che identifica la propensione al rischio degli investitori e
dunque il prezzo di mercato compatibile con diverse posizioni soggettive rispetto al rischio.
Il modello di pricing formula ipotesi specifiche esclusivamente sulle caratteristiche del processo
di prezzo7, ovvero solo sulla determinazione di aS e bS. Volendo, si pu peraltro determinare una misura di probabilit che, innestata sul processo, porti a determinare un valore atteso scontato pari al prezzo di equilibrio. Tale misura indifferente rispetto alle attese dei singoli.
Sostituendo infatti le espressioni esplicite di e B si pu esprimere il prezzo C in una forma
pi diretta e altrettanto espressiva. Si ha:
e se si definisce:
la (A.4) si pu scrivere nella forma:
Ora il prezzo dellopzione interpretabile come il valore scontato atteso che lopzione pu assumere nei 2 stati futuri del mondo (rialzo e ribasso) ponderati con una nuova misura di probabilit, q e 1-q. Tali probabilit sono dette neutrali al rischio o risk-neutral perch non dipendono dalla
misura di probabilit soggettiva p circa il verificarsi dei 2 possibili stati futuri, n quindi dalla propensione al rischio dei singoli individui.
Generalizzando, si pu affermare che sotto la misura di probabilit neutrale al rischio (q e 1-q)
il valore di uno strumento derivato pu essere espresso non solo come prezzo di non arbitraggio, ma
anche come valore atteso dei payoff a scadenza8. La formula di pricing che si ottiene in forma probabilistica equivalente alla formulazione ottenuta come prezzo di non arbitraggio; infatti si pu dimostrare che:
che equivale alla cosiddetta misura a martingala equivalente, cos come viene definita in Harrison e
Kreps (1979), che trasformando p in q ridistribuisce la massa di probabilit facendo in modo che il
prezzo di non arbitraggio di unattivit finanziaria sia pari al suo valore futuro atteso, scontato al tasso privo di rischio9.
***Esempio numerico di pricing in un modello binomiale***
Ipotizziamo che il prezzo di un titolo azionario in t=0 sia pari a $10 (S0 =10) e che tra un periodo (t=1) possa assumere un valore Sa pari a 14 (a=1,4) oppure un valore Sb pari a 6 (b=0,6); il tasso i
pari al 10%. Supponiamo di voler scrivere unopzione call con strike price pari a K=$10 e scadenza tra
un periodo; il prezzo di non arbitraggio del derivato si determina in questo modo:
Nel caso dellesempio si tratta di un processo stocastico binomiale moltiplicativo.
(q) e (1-q) vengono anche chiamate pseudo-probabilit, per differenziarle dalle probabilit reali p e 1-p.
La dimostrazione che la formula del valore atteso una martingala equivalente al prezzo di non arbitraggio contenuta in Baxter e Rennie (1996).
determiniamo preliminarmente il valore in t=1 della call nei due casi di rialzo e ribasso del prezzo
del sottostante:
Ca = max (0, Sa-K) = max (0, 14-10) = 4
Cb = max (0, Sb-K) = max (0, 6-10) = 0
utilizziamo le equazioni [A.2] [A.3] [A.4] che abbiamo ottenuto dalla soluzione di non arbitraggio
del modello teorico:
Pertanto, dopo un periodo (t=1) in caso di rialzo il portafoglio avr un valore pari a Sa+B1
(14*0,50-3=$4), mentre in caso di ribasso avr un valore Sb+B1 nullo (6*0,50-3=$0), esattamente
come lopzione call (legge del prezzo unico del portafoglio equivalente)10.
Verifichiamo ora che il prezzo teorico dellopzione ottenuto con la formula di pricing derivante
dal principio di non arbitraggio equivalga al valore dellopzione ottenuto sotto la misura di probabilit
neutrale al rischio. Dobbiamo cio verificare che il prezzo di $2,29 determinato come prezzo di non
arbitraggio corrisponda al valore scontato atteso dei payoff sotto la misura di probabilit q (la pseudo-probabilit che abbiamo definito nellequazione A.6):
[A.6 bis]
***Estensione del pricing di non arbitraggio al caso di un generico derivato***
I risultati ottenuti per lopzione call possono essere estesi al caso di un generico strumento derivato con payoff rappresentato nella forma generale
1 dove f la funzione
contrattualmente specificata11 che lega il valore del derivato al valore del sottostante S.
Le condizioni da soddisfare affinch il portafoglio stock-bond replichi il payoff prodotto dal derivato sono espresse dal sistema lineare nelle incognite e B:
10 Limporto B1 equivale alla somma di denaro che si deve restituire al tempo 1, esso non dipende dallo stato del mondo che si realizzer in quanto il
tasso di interesse come detto fisso e pari a i=0,10. Pertanto in t=1 si dovr restituire limporto preso a prestito al tempo t=0 pi gli interessi maturati, ovvero B1=Bm=2,72*1,1=2,99~3.
11 Nel caso di unopzione call si ha
, 0 ; unopzione put si ottiene ponendo
La legge del prezzo unico richiede che il prezzo Y in t del derivato coincida col costo in t del
portafoglio, per cui si ottiene la formula di pricing:
Con passaggi analoghi a quelli effettuati per la call, usando ancora la misura di probabilit
neutrale la rischio q:
si pu scrivere lequazione del pricing come:
Il valore dello strumento derivato pu dunque essere interpretato come valore scontato atteso
dei possibili prezzi nei 2 stati del mondo a e b ponderati per la misura di probabilit q, ovvero riskneutral perch non dipende dallavversione al rischio dei singoli operatori.
***Il significato economico della valutazione risk-neutral***
La formula di pricing [A.12] costituisce un risultato di grande rilevanza, sia teorica che operativa. Nella procedura di valutazione illustrata il fatto pi evidente che la probabilit p di rialzo (e la
probabilit complementare 1-p di ribasso) non hanno alcun ruolo nel pricing e non compaiono n
nellequazione [A.11] n nella [A.12]. Nessuna ipotesi stata inoltre introdotta riguardo al livello di
avversione al rischio degli agenti di mercato.
Secondo il paradigma dellutilit attesa, gli agenti economici, essendo massimizzatori di profitto e avversi al rischio, sono caratterizzati da una funzione di utilit monotona crescente e concava.
Con questa impostazione un criterio per la valutazione del payoff aleatorio Y(T) esigibile in T=t+1, effettuata da un agente con funzione di utilit u(x), costituito dallattualizzazione al tasso risk-free i
dellequivalente certo di Y(t+1), definito dalla:
Secondo questo approccio si avrebbe cio:
o, con notazione compatta:
Per lavversione al rischio lequivalente certo,
atteso di Y(t+1); quindi:
1 , non potr essere maggiore del valore
Questultima espressione evidenzia il fatto che la disuguaglianza una conseguenza diretta
della concavit della u(x). Se si esclude il caso banale
(corrispondente a un payoff deterministico) luguaglianza tra equivalente certo e valore atteso della lotteria potr aversi solo se la funzione
di utilit lineare; cio se lagente che effettua la valutazione indifferente al rischio (risk-neutral).
Solo un agente indifferente al rischio valuter il derivato secondo la regola:
importante a questo punto osservare che, dovendo valere le disuguaglianze di arbitraggio
a>m>b, il coefficiente q dellequazione [A.12] necessariamente compreso tra 0 e 1 e pu quindi essere interpretato come una pseudo-probabilit. Se si accetta questa interpretazione, il fattore tra parentesi quadre nella formula di pricing [A.12] pu quindi essere interpretato a sua volta come una aspettativa in t del payoff aleatorio Y(t+1), calcolata usando le pseudo-probabilit q e 1-q; si pu cio
rappresentare come:
rappresenta laspettativa calcolata in t secondo la probabilit q. Il prezzo del derivato in t pu
essere quindi espressa nella forma:
che esprime il prezzo del derivato in t come valore atteso dei possibili payoff a scadenza ponderati per
la probabilit risk-neutral q scontato al tasso risk-free i 12. In sostanza, il pricing indotto dal principio
di arbitraggio si propone come un criterio di valutazione in ambiente indifferente al rischio. Si tratta
infatti di una modalit di pricing analoga a quella che effettuerebbe un agente neutrale al rischio.
Per chiarire meglio questultimo punto, si deve infatti considerare che, secondo il modello standard dellutilit attesa, agenti economici avversi al rischio e caratterizzati da una funzione di utilit
monotona crescente e concava u(x) valuterebbero il payoff aleatorio Y(T), esigibile in T=t+1, attualizzando al tasso risk-free lequivalente certo di Y(t+1), definito come:
Per lagente avverso al rischio il valore del derivato in t dunque:
Assumendo un agente avverso al rischio, lequivalente certo non potr essere maggiore del valore atteso di Y(t+1); e sar quindi:
La disuguaglianza una conseguenza diretta della concavit della funzione u(x) che esprime
appunto lavversione al rischio dellagente economico. Questo evidenzia appunto come solo un agente
indifferente al rischio valuter il derivato secondo la regola prima evidenziata:
12 Per una dimostrazione formale ma accessibile si veda Baxter e Rennie (1996).
Naturalmente, le condizioni di indifferenza al rischio sono soltanto apparenti: sostituendo nel
calcolo dei valori attesi le probabilit reali p con le pseudo-probabilit q, gli agenti, che si assumono
avversi al rischio, appaiono indifferenti al rischio.
Il senso dellaggiustamento per il rischio prodotto dalla probabilit q evidente se si confronta
la [A.13] con la [A.16]. Laspettativa risk-neutral E Y t 1 svolge, evidentemente, il ruolo di equivalente certo; tuttavia labbattimento per il rischio della somma da attualizzare non ottenuto modificando gli importi secondo la funzione di utilit, ma piuttosto modificando i pesi con cui questi vengono ponderati nel calcolo del valore atteso13.
rilevante il fatto che la forma delle probabilit risk-neutral, e quindi la distorsione dei pesi nel
calcolo dellaspettativa aggiustata per il rischio, la stessa per tutti i derivati scritti sullo stesso sottostante; quindi una caratteristica della dinamica stocastica di S nel mercato.
Questa propriet di aggiustamento per il rischio della probabilit q appare in tutta la sua importanza se si osserva che, mentre lequivalente certo che compare nella [A.13] dipende dalla funzione
di utilit u(x), ed quindi specifico dellagente che effettua la valutazione, laspettativa risk-neutral
definita dalla [A.15] indipendente dalle preferenze, in quanto q resta specificata solo dai valori dei
parametri a, b e m; i primi due sono caratteristici dellevoluzione del sottostante (sono cio incorporati
nei parametri dellequazione stocastica prescelta per la descrizione del prezzo del sottostante), il terzo
un dato di mercato (tasso di interesse di unattivit priva di rischio).
Si conclude quindi che se c accordo tra gli agenti sui parametri a e b che caratterizzano la dinamica del processo S, un derivato su S dovr avere lo stesso prezzo per tutti gli agenti, indipendentemente dalle probabilit soggettive p e dalla personale funzione di utilit u(x). Il prezzo fornito dalla [A.12], o dalla [A.16], ed lunico che esclude la possibilit di arbitraggio. In definitiva, il metodo del
pricing secondo il principio di non-arbitraggio assicura che anche agenti avversi al rischio effettueranno una valutazione del derivato come se fossero soggetti neutrali al rischio (anche se in realt non lo
sono) ed per questo motivo che la probabilit q denominata neutrale rispetto al rischio o riskneutral.
***Le propriet di martingala***
Per apprezzare le propriet probabilistiche di una martingala14 dobbiamo estendere il modello
CRR (ovvero il modello binomiale ad un periodo) alla valutazione di un generico derivato su S con n
passi alla scadenza (ovvero un modello binomiale multi-periodale). Facendo ancora riferimento a un
sottostante che non paga dividendi e a un derivato con generico payoff
quale non sia consentito lesercizio anticipato, evidente che, applicando le stesse considerazioni di
1 . Il segno di questo premio per il rischio dipender
13 In questi casi si parla di risk loading implicito, definibile come
dal valore delle probabilit risk-neutral. Nella valutazione di derivati, L non dipende dallavversione al rischio del valutatore, ma determinato dai
dati di mercato ( cio quello implicitamente incorporato nei prezzi osservati). In questo senso, si pu dire che L esprime laggiustamento per il
rischio richiesto dallagente rappresentativo del mercato.
14 A partire dalla successione di variabili aleatorie , si definisce il processo stocastico nel tempo discreto
. Dato che
noto al tempo n-1 allora si pu scrivere
martingala se
intuitivamente caratterizzare come un processo i cui incrementi costituiscono i guadagni di un gioco equo.
. Il processo una
0. Quindi una martingala si pu
arbitraggio svolte per la call, si giunge a una formula binomiale per il prezzo in t, espressa dalla:
il valore assunto da Y(t+n) dopo k rialzi e n-k ribassi di prezzo.
Il prezzo del derivato fornito dalla formula binomiale [A.17] pu anche essere rappresentato
nella consueta forma di aspettativa risk-neutral scontata:
Questa relazione direttamente collegata a una propriet probabilistica di grande rilevanza. La
[A.18] stata ricavata specificando t come listante corrente e t+n come la data T di scadenza del derivato. Tuttavia, considerando la linea di argomentazione che ha condotto alla [A.18], facile verificare che la relazione dovr restare valida se applicata, in un qualsiasi istante futuro
, alla valutazione di un payoff esigibile in una data successiva
. Deve cio aversi:
Se si definisce allora il processo di prezzo scontato:
Infatti, per la definizione [A.20], risulta:
per la [A.19] si ha anche:
La [A.21] afferma pertanto che il processo di prezzo scontato del derivato una martingala rispetto alla probabilit risk-neutral.
In termini generali si pu affermare che sotto la misura di probabilit neutrale al rischio il valore scontato di un derivato una martingala:
0,1, ,
Da cui si ricava il Primo Teorema Fondamentale dellAsset Pricing secondo cui:
0,1, , .
Si pu dire pertanto che in qualsiasi istante di tempo gli incrementi futuri del processo di prezzo scontato hanno media nulla, se la media calcolata con le probabilit risk-neutral15.
15 Cfr. per una trattazione pi completa Baxter e Rennie (1996) e Shreve (2004).
Il Box 1 ha illustrato in maniera semplificata le idee economiche alla base
dei lavori originali di Robert Merton, Myron Scholes e Fischer Black, mettendo in evidenza, in particolare, il ruolo centrale della condizione cosiddetta di assenza di arbitraggio e di completezza dei mercati (cio la possibilit di replicare uno strumento
derivato usando le attivit finanziarie sottostanti) che alla base dellarticolo originale di Black e Scholes del 197316, dove essi sfruttano lidea che un portafoglio privo
di rischio composto da opzioni e azioni, in mercati efficienti, deve rendere il tasso
risk-free. Ci permette a Black e Scholes di derivare una formula chiusa per il prezzo
del derivato che non dipende dallavversione rischio degli operatori.
Il motivo per cui possibile formare un portafoglio privo di rischio dipende
dal fatto che il prezzo dellazione e il prezzo dellopzione sono entrambi influenzati
dalla stessa fonte di incertezza: le variazioni del prezzo dellazione. In ogni breve intervallo di tempo, il prezzo di una call perfettamente correlato, in modo positivo,
con il prezzo del titolo sottostante ed il prezzo di una put perfettamente correlato,
in modo negativo, con il prezzo del titolo sottostante. In entrambi i casi, quando si
forma un appropriato portafoglio di azioni e opzioni, il profitto o la perdita sulla posizione in titoli viene sempre compensato dalla perdita o dal profitto sulla posizione in
opzioni cosicch il valore complessivo del portafoglio alla fine del breve intervallo di
tempo risulta sempre noto con certezza. Pertanto, in assenza di opportunit di arbitraggi, il tasso di rendimento del portafoglio deve essere pari al tasso di interesse privo di rischio r17.
Quando non esiste una formula chiusa per determinare il prezzo di uno
strumento derivato legato ai prezzi azionari necessario, come prima anticipato, simulare landamento futuro dei flussi di cassa (pay-off). Il problema matematico che si
pone in questo caso tecnicamente diverso, o comunque di carattere pi generale,
rispetto a quello affrontato nel lavoro di Black e Scholes del 1973. Il problema,
quello di dimostrare matematicamente che, ai fini del pricing, possibile usare
lequazione (2) invece che lequazione (1) per simulare i flussi di cassa futuri del derivato.
Infatti, i risultati dei lavori di Robert Merton, Myron Scholes e Fischer Black
sono stati successivamente generalizzati dal punto di vista matematico, mostrando
che, sotto certe condizioni, possibile calcolare il prezzo di un derivato come valore
atteso scontato dei flussi di cassa futuri (pay-off futuri) usando una misura di probabilit risk-neutral diversa dalle probabilit real-world. Tale cambio di misura ha
lenorme vantaggio di rendere fattibile e univoca la simulazione del processo stocastico del prezzo del sottostante in quanto consente di passare dallequazione (1)
che contiene un parametro incognito ovvero non univocamente determinabile, cio
allequazione (2), dove figura invece il tasso risk-free r al posto del drift che inve16 Black, F. e Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy, n81, pp.
17 C unimportante differenza tra lanalisi di Black-Scholes-Merton e lanalisi con il modello binomiale del Box 1. In
Black-Scholes-Merton, il portafoglio che viene formato privo di rischio solo per un breve intervallo di tempo (teoricamente, resta privo di rischio solo per un periodo istantaneamente breve). comunque vero che il tasso di rendimento del portafoglio privo di rischio, in ogni periodo di tempo breve, deve essere pari al tasso di interesse privo di
rischio. questo lelemento chiave che ha consentito a Black e Scholes di ottenere le loro formule di valutazione.
ce facilmente stimabile e dove quindi lunica altra incognita da stimare la volatilit
, che si pu agevolmente ricavare come volatilit implicita estratta dai prezzi di
mercato delle opzioni sullattivit sottostante.
Di seguito si delineano i concetti fondamentali alla base di questo risultato,
rimandando al Box 2 per unillustrazione pi analitica.
Come prima evidenziato, in termini generali, il prezzo di un prodotto derivaal tempo T pari al valore atteso
to al tempo t che genera flussi di cassa aleatori
, , laddove con
si indei flussi cassa futuri attualizzati, cio
dica il valore atteso dei flussi di cassa
sotto la misura di probabilit P, mentre
K(t,T) il fattore di attualizzazione (ossia il prezzo di uno zero-coupon bond che d un
pay-off unitario a scadenza).
possibile dimostrare che, sotto certe condizioni che verranno meglio dettagliate oltre, lo stesso prezzo si ottiene utilizzando una misura di probabilit riskneutral Q, cio si ha che
teso sotto la misura di probabilit neutrale verso il rischio Q,
indica il valore at la cosiddetta deri-
vata di RadonNikodyn e K(t,T) ancora il fattore di attualizzazione.
Se quanto detto rappresenta in termini generali la questione dal punto di vista matematico-probabilistico, applicando alcuni risultati generali della teoria delle
probabilit possibile mostrare che, sotto determinate condizioni di efficienza dei
mercati finanziari e di assenza di arbitraggio, il passaggio da una misura di probabilit real-world (P) ad una misura di probabilit neutrale al rischio (Q) rende possibile il
cambiamento del drift del processo (e non della sua volatilit) che descrive
landamento della variabile aleatoria (nel nostro caso il prezzo di unazione).
In sostanza, questi risultati matematici dimostrano in maniera formale come
sia possibile calcolare il prezzo di uno strumento derivato utilizzando la misura di
probabilit neutrale verso il rischio cambiando unicamente il drift del processo stocastico specificato sotto la misura di probabilit neutrale al rischio. Semplificando al
massimo, questi risultati mostrano come sia legittimo, sotto certe condizioni, usare
lequazione (2) (senza premio al rischio) in luogo dellequazione (1) (con premio al rischio) per effettuare il pricing di una strumento derivato legato allandamento dei
prezzi azionari, ossia usare lequazione (2) per simulare la dinamica futura dei flussi di
cassa del derivato e simularne una distribuzione di probabilit ad una data futura T.
Pi in dettaglio, la derivata di RadonNikodyn e il teorema di Girsanov individuano quali sono le modalit di passaggio da una misura di probabilit reale P ad
unaltra risk-neutral Q nel caso di un moto geometrico browniano, tali che le due misure di probabilit possano risultare equivalenti ai fini del calcolo del valore atteso18. Ci tuttavia non comporta che su insiemi di eventi identici le due misure di pro-
18 Per il Teorema Fondamentale dellAsset Pricing la misura neutrale al rischio sotto lipotesi di mercati completi la
sola misura di probabilit sotto la quale il processo stocastico del payoff finale del prodotto scontato al tasso di interesse privo di rischio una martingala.
babilit assumono valori uguali n che ci sia luguaglianza dei momenti delle distribuzione di probabilit diversi dal valore scontato atteso.
cruciale, inoltre, sottolineare quali sono le condizioni sotto le quali legittimo usare lapproccio risk-neutral per capirne a fondo la logica economica. Tali condizioni sono fondamentalmente quelle di mercati finanziari efficienti e completi definite nellarticolo originale di Black e Scholes.
In sostanza, i risultati matematici che abbiamo sopra illustrato non fanno
altro che generalizzare e formalizzare sul piano analitico le idee di Black e Scholes,
mostrando che, in generale, se sono valide le condizioni di mercati efficienti, di assenza di arbitraggio e di replicabilit del derivato con le attivit sottostanti, possibile utilizzare per (sole) finalit di pricing modelli stocastici che non tengono conto del
premio al rischio dei partecipanti al mercato.
Il Box 2 (che riprende elementi di analisi presenti nei pi diffusi manuali avanzati di calcolo stocastico) fornisce unillustrazione pi formale e analitica dellapparato matematico che consente di dimostrare come il passaggio dallequazione (1)
allequazione (2) rappresenti effettivamente un cambio della misura di probabilit,
ossia un passaggio da un misura di probabilit reale (P) ad una misura risk-neutral
(Q), e come tale cambio di misura assicuri lequivalenza ai fini del calcolo del prezzo
del derivato.
Box 2 Il passaggio dalla probabilit reale (P) alla probabilit risk-neutral (Q)
nel caso del moto geometrico browniano
***Cambio di misura e derivata di Radon-Nikodym***
Il cambio di misura ovvero il passaggio dalle probabilit reali P alle probabilit risk-neutral Q
costituisce un requisito indispensabile per poter trattare lequazione stocastica per la simulazione
dei pay-off del prodotto finanziario derivato. Come abbiamo gi accennato il risultato pi importante
del cambio di misura consiste nella sostituzione del tasso di rendimento atteso del prezzo del sottostane indicato con il simbolo nellequazione [1] con il tasso risk-free, indicato con il simbolo r
nellequazione [2]. Questo risultato di fondamentale importanza perch consente di sostituire un valore incognito ( ) con un valore osservabile e pertanto noto e univoco (r)19.
Consideriamo P e Q come due misure di probabilit su uno spazio di eventi finito e assumiamo che P(w) > 0 e Q(w) > 0 per ogni
. Se definiamo la variabile casuale
allora avremo che valgono le seguenti propriet:
19 Non discuteremo in questa sede le assunzioni teoriche e il dibattito accademico in merito alla definizione e alla conseguente scelta dellattivit
priva di rischio impiegata come benchmark.
(iii) per ogni variabile casuale Y si avr che
, ovvero che il valore atteso della variabile
casuale Y sotto la misura di probabilit Q uguale al valore atteso sotto la probabilit P della variabile casuale Y trasformata attraverso la variabile casuale Z.
La dimostrazione della propriet (iii) si ricava facilmente:
Se passiamo dal discreto al continuo il cambio di misura dalle probabilit reali P alle probabilit
risk-neutral Q si ottiene di nuovo definendo uno spazio di probabilit , ,
e assumendo che Z sia
una variabile non negativa tale che
1. Pertanto, per ogni
si avr
ovvero Q una nuova misura di probabilit tale che:
Possiamo allora affermare che la variabile casuale Z rappresenta la derivata di Radon-Nikodym
di Q rispetto a P, ovvero:
***Moto browniano sotto la misura di probabilit neutrale al rischio***
Il cambio di misura di probabilit, i cui dettagli analitici sono stati forniti nello schema precedente, unitamente ad una applicazione del teorema di Girsanov, consente di realizzare la sostituzione
del parametro con il tasso di interesse risk-free r che costituisce, come detto, la premessa metodologica che rende possibile simulare le traiettorie di prezzo del sottostante e pertanto ottenere la distribuzione di probabilit del prezzo a scadenza del prodotto derivato che si intende valutare.
Teorema di Girsanov: sia W(t), con 0
, un moto Browniano definito su uno spazio , ,
, un generico processo stocastico. Se definiamo:
avremo che, sotto la misura di probabilit neutrale al rischio definita nellequazione [B.2] il processo
anchesso un moto Browniano.
A questo punto possiamo partire con lequazione stocastica che descrive il movimento nel tempo del prezzo delle azioni:
rappresenta il tasso atteso di rendimento dellazione e
la volatilit.
Il processo di prezzo descritto dallequazione [B.6] un moto geometrico Browniano con drift e
pu essere scritto in una forma equivalente anche come:
Supponiamo in aggiunta di avere un processo che descrive il tasso di interesse R(t). Possiamo
allora scrivere il processo di sconto come:
e attraverso unapplicazione della formula di It-Doeblim avremo che:
Il processo di prezzo scontato pertanto sar:
e il suo differenziale :
dove abbiamo definito il prezzo di mercato del rischio come:
Il problema del pricing, in base allidea originaria di Black e Scholes discussa nel testo, consiste
nel passare ad una nuova misura di probabilit Q che escluda la possibilit di arbitraggio. Questa condizione sufficiente per trovare lunica misura martingala di probabilit Q equivalente a P che ci offre
il prezzo di un contingent claim (Harrison & Kreps, 1978).
Per applicare il cambio di misura alla nostra equazione differenziale stocastica facciamo ricorso
alle principali conclusioni del Teorema di Girsanov che stabilisce che sotto la misura di probabilit Q il
definito nella [B.5] moto Browniano. Possiamo allora riscrivere la [B.10]
nei termini del processo stocastico
La misura di probabilit sottesa allequazione [B.11] come detto la misura di probabilit neutrale al rischio equivalente a quella reale e che rende il processori prezzo scontato D(t)S(t) una martingala.
Il processo di presso originario S(t) ovvero quello non scontato ha pertanto un tasso di rendimento atteso uguale al tasso di interesse privo di rischio sotto la misura di probabilit neutrale al
rischio Q. Si pu infatti facilmente verificare che, sostituendo
[ottenuta dalla B.5]
nella [B.6] si ha:
[B.12]
Questo cambio di misura di probabilit ha consentito di sostituire nella [B.6] il tasso di rendimento del sottostante con il tasso di interesse risk-free r. Lunivocit nel valore di r consente di dire
che Q rappresenta lunica misura equivalente di martingala che descrive landamento del sottostante
Questo non significa ovviamente che i prezzi delle azioni siano processi privi di un rendimento
(drift) pari a e che la misura Q contenga le caratteristiche storiche effettivamente comprese nella
misura originaria P. In sostanza, la misura Q e la sua funzione di densit sono meramente un espediente matematico utilizzato per finalit computazionali ed hanno un contenuto informativo ben diverso da quello della densit di probabilit vera P.
Nel Box 3 si illustra, infine, come in concreto vengono simulati flussi di cassa di un derivato e come viene stimato il suo prezzo ad una data futura T, attraverso
metodi di simulazione cosiddetti Monte Carlo.
Box 3 Calcolo del prezzo di un derivato ad una data futura T applicando
probabilit risk-neutral con il metodo Monte Carlo
Le tecniche di simulazione, che rientrano nella classe dei cosiddetti metodi Monte Carlo, sono
utilizzate in finanza come metodi numerici per il pricing di contratti derivati per i quali non sono disponibili espressioni del prezzo in forma chiusa. Nei modelli di arbitraggio il prezzo V(t) di un derivato
sempre esprimibile come il valore atteso, secondo la probabilit risk-neutral, del valore scontato del
payoff fornito dal contratto.
Si consideri un derivato che abbia come sottostante uno strumento finanziario il cui prezzo segue il processo stocastico Y(t), che abbia scadenza in T e payoff
, cio valore a scadenza
espresso come una prefissata funzione f del valore assunto in T da Y. Se i tassi di interesse sono deterministici e costanti al livello i, il prezzo in t del derivato dato da:
Dove laspettativa
calcolata secondo la misura di probabilit risk-neutral, cio la distribuzione di probabilit in base alla quale il processo del prezzo contato
una martingala (Q detta
anche misura a martingala equivalente).
Se la dinamica stocastica del sottostante o la forma della funzione f hanno struttura complessa, pu accadere che non sia possibile ricavare una formula esplicita per V(t); si pu allora utilizzare il
metodo Monte Carlo20 per ricavare il valore numerico dellaspettativa nella [C.1].
Si tratta di simulare un numero N sufficientemente grande di traiettorie di Y dalla data corrente t alla data di scadenza T, di calcolare
in corrispondenza del valore finale di ogni traiettoria e di calcolare quindi la media aritmetica degli N valori di V(T) ottenuti; questa media verr poi
scontata al tasso i. Naturalmente le traiettorie andranno simulate utilizzando lequazione differenziale
stocastica che corrisponde alla misura di probabilit Q e partendo ogni volta dal valore corrente del
prezzo del sottostante, reinizializzando cio la procedura con Y(t).
Il punto di partenza lipotesi sulla forma funzionale della funzione Y(t); se il sottostante il
prezzo di unazione, possibile usare lequazione (2) del moto geometrico browniano illustrata nel testo. Infatti, grazie al passaggio dalle probabilit reali P alle probabilit risk-neutral Q, lequazione (2)
presenta una sola incognita, ovvero la volatilit , che, come detto, pu essere agevolmente estratta
dal prezzo corrente del sottostate Y(t).
Se si indica con
viene quindi ottenuto dalla:
il valore simulato di Y(T) nella k-esima traiettoria, il prezzo del derivato
In termini statistici, a parte il discounting questa procedura pu essere vista come una stima
della media di una distribuzione assegnata, effettuata tramite osservazioni campionarie ripetute. La
differenza rispetto al problema di stima tradizionale sta nel fatto che non si tratta di osservazioni reali,
ma piuttosto generate artificialmente utilizzando la distribuzione di probabilit risk-neutral del sottostante. Se si indica con E il valore dellaspettativa da stimare, cio se si pone:
allora il momento primo della distribuzione dei valori simulati (la media campionaria) pu essere intesa uno stimatore Monte Carlo di E:
Se i valori campionati sono effettivamente generati dalla distribuzione sottostante (cio se il
generatore di numeri casuali non introduce distorsioni), questo stimatore non-distorto; la media della distribuzione di coincide cio con il valore E da stimare.
20 Sullintroduzione dei metodi Monte Carlo si veda J.M. Hammersley e D.C. Handscomb (Monte Carlo methods, London, Methuen, 1964).
Lapplicazione di questi metodi alloption pricing stata inaugurata da P.P. Boyle nel 1977 (Options: a Monte Carlo approach, Journal of Financial
Economics, n. 4, 1977). Pi recenti sviluppi e approfondimenti sono forniti in P.P. Boyle, M. Broadie e P. Glasserman, Monte Carlo methods for
security pricing, Journal of Economic Dynamics and Control, n. 21, 1997.
Riassumendo quanto sopra illustrato, sotto determinate condizioni di efficienza e completezza dei mercati e assenza di arbitraggio, cio di replicabilit dei derivati con le attivit sottostanti, possibile usare, per sole finalit di pricing, modelli
per simulare la dinamica dei prezzi delle attivit finanziarie che non tengono conto
del premio al rischio soggettivo.
La metodologia di pricing sin qui descritta si fonda quindi sullefficienza informativa dei mercati in senso forte, ovvero assume che tutta linformazione sia incorporata nel prezzo corrente di mercato, che come detto lunico input che viene
utilizzato per la stima della distribuzione a scadenza del prezzo del derivato21.
Infatti, lunica informazione che viene impiegata in tutto il processo descritto il prezzo e la volatilit del prezzo del sottostante del prodotto derivato che si intende prezzare:
i. dallosservazione del prezzo di mercato delle opzioni standard si ricava la volatilit implicita del sottostante;
ii. la volatilit implicita a sua volta inserita nellequazione (2) che a questo punto
risulta completa (essendo laltra incognita dellequazione il tasso risk-free r, che
pu essere posto uguale al rendimento dei titoli di Stato ad alto rating o a tassi
iii. si fanno N simulazioni dellequazione (2) e poi si calcola il valore atteso scontato
dei vari pay-off , che quindi il prezzo del derivato alla data corrente secondo la
funzione che lega il prezzo del sottostante al valore del derivato. Se si organizzano in tabella diverse partizioni della distribuzione di probabilit alla data futura T del valore del derivato si avranno i cosiddetti scenari probabilistici.
Questo approccio , come detto, basato sulluso di distribuzioni di probabilit risk-neutral e si illustrato come esso sia corretto da un punto di vista matematico solo per le finalit di pricing e cio di calcolo del fair value del derivato, che dato
dal valore atteso scontato della distribuzione di probabilit dei possibili prezzi futuri
ottenuti simulando landamento dei flussi di cassa del derivato. Si visto, infatti, che
il valore atteso scontato sotto una distribuzione di probabilit risk-neutral (Q ) coincide, in determinate condizioni, con il valore atteso scontato calcolato sotto una distribuzione di probabilit reale (P ) che riflette il premio al rischio.
In sostanza, e semplificando al massimo, i risultati matematici prima illustrati consentono di utilizzare la distribuzione risk-neutral solo per finalit di calcolo
del valore scontato atteso, cio di pricing dei derivati, mentre lutilizzo delle partizioni
della distribuzione di probabilit risk-neutral ad una data futura T (i cosiddetti scenari di probabilit) non fornisce unindicazione reale della probabilit di accadimento dei possibili scenari di prezzo del prodotto derivato, in quanto tali probabilit
sono state ricavate da un modello di pricing di non-arbitraggio che comporta neutralit al rischio, mentre verosimile assumere che gli agenti economici siano avversi al
21 Da cui si ricava la volatilit implicita da utilizzare quale parametro dellequazione differenziale stocastica di cui poi si
simulano le traiettorie.
Il ricorso a distribuzioni di probabilit risk-neutral non rappresenta quindi
uno strumento valido (da un punto di vista informativo) per finalit diverse dal
pricing, quali ad esempio il calcolo delle probabilit di perdite o di guadagni di un derivato o di un prodotto strutturato in un determinato intervallo temporale. Gli scenari probabilistici, che si propongono di fornire ad investitori prevalentemente se non
esclusivamente non sofisticati informazioni sulla probabilit che il prezzo ad una
determinata data futura sia superiore/inferiore a determinate soglie, dovrebbero pertanto tenere conto dei suddetti profili di criticit.
infatti necessario usare probabilit reali, cio probabilit che tengono
conto dellavversione al rischio dei singoli individui; necessario, in sostanza, ponderare i flussi di cassa ottenuti mediante simulazione per le probabilit reali, che riflettono lavversione al rischio del soggetto, e non per le probabilit risk-neutral. In
altri termini, necessario simulare i pay-off del derivato usando lequazione (1) del
par. 2.1, che si basa sullassunto che gli agenti economici sono disposti a investire in
azioni solo se il loro rendimento atteso superiore al tasso risk-free, e non invece
lequazione (2), che ipotizza che gli investitori sono disposti a detenere azioni anche
se queste rendono solo il tasso risk-free.
Ci teoricamente possibile ma rende il problema indeterminato se riferito
alla generalit degli investitori, poich lavversione al rischio ovvero il premio al rischio richiesto per investire in azioni varia fra i partecipanti al mercato e quindi non
possibile calcolare in maniera univoca le probabilit associate alla distribuzione del
valore del derivato ad una data futura con un valore unico per tutti i soggetti. Esiste
infatti unampia letteratura che documenta la forte variabilit del premio al rischio
sul mercato azionario sia nella diverse fasi del ciclo economico sia fra diverse aree
geografiche; Siciliano (2001), ad esempio, mostra come il premio al rischio abbia una
fortissima variabilit se misurato sullarco di circa un secolo e dati pi recenti e aggiornati di Dimson et al. (2003) e Fama e French (2001) confermano queste evidenze.
Questo filone di letteratura nato dal lavoro originale di Siegel (1994) che per primo
ha evidenziato non solo la variabilit del premio al rischio su orizzonti tempo molto
lunghi ma anche il risultato paradossale per cui nel lungo periodo la variabilit dei
rendimenti azionari pu essere inferiore a quella dei rendimenti dei titoli di Stato
Il cosiddetto capital asset pricing model (cosiddetto CAPM) fornirebbe in
teoria un modello di equilibrio per determinare il premio al rischio di un singolo titolo
azionario (o di un portafoglio) ma unampia letteratura empirica (la cui rassegna sistematica al di l degli obiettivi di questo lavoro) ha mostrato chiaramente come il
modello (anche nella versioni modificate che includono altri fattori di rischio oltre a
quello legato alla covarianza con il rendimento del portafoglio di mercato, ossia il cosiddetto Fama-French three factors model) abbia una bassa capacit esplicativa sui
dati storici e quindi il suo utilizzo non pu fornire uno strumento affidabile per la
stima del premio al rischio, come evidenziato, fra gli altri, da Fama e French (2003) e
(2006), Ang e Chen (2003), Campbell e Vuolteenaho (2004), Hou et al. (2011) e Cochrane (2011).
Naturalmente, questo non vuol dire che il metodo degli scenari probabilistici non possa essere utilizzato per finalit di risk management; anzi, gli intermediari utilizzando normalmente questo approccio, ma correggono opportunamente la distribuzione risk-neutral per una misura soggettiva del premio al rischio che riflette le
valutazioni del singolo intermediario circa le prospettive future dei rendimenti azionari. Infatti, unapplicazione dellapproccio degli scenari probabilistici si pu ritrovare nel calcolo del cosiddetto value at risk (VaR), ossia uno strumento base di risk
management che consiste nel calcolo della perdita attesa su un prodotto o strumento
finanziario in corrispondenza di un determinato percentile della distribuzione di probabilit del valore del prodotto finanziario ad una certa data futura. Il calcolo del VaR
richiede quindi di stimare la distribuzione di probabilit del valore di un prodotto finanziario ad una certa data futura, esattamente come nel metodo degli scenari probabilistici, ma facendo ipotesi esplicite sul premio al rischio e dunque usando probabilit reali, come evidenziato nel semplice esempio riportato nel Box 4.
Box 4 Calcolo del VaR e distribuzioni di probabilit real world
Si supponga di dovere calcolare il VaR di un prodotto strutturato il cui prezzo P dipende in modo non lineare dal prezzo S di una azione; il prezzo P pu essere stimato applicando lapprossimazione
laddove e sono rispettivamente la derivata di ordine uno e due del prezzo del prodotto derivato
rispetto ad S, mentre
, cio il rendimento dellazione. La variabile P non ha una distribuzione
nota, ma si pu dimostrare che
ha una distribuzione normale qualora S segua il processo stocastico
definito dal moto geometrico browniano. In questo caso, per calcolare il VaR sufficiente stimare la
distribuzione di probabilit di P estraendo valori di
da una distribuzione normale e applicare
lequazione (2). Nellambito della metodologia appena descritta, la media e la varianza della distribuzione di
vengono stimate su dati storici; poich la media di
stimata su dati storici include il (o
una stima del) premio al rischio, si ottiene una distribuzione di probabilit relativa a P che reale e
non risk-neutral.
Naturalmente, poich in concreto il VaR viene usato per calcolare il rischio su un orizzonte
temporale brevissimo, ad esempio un giorno, possibile di fatto ignorare il problema del premio al rischio e ipotizzare che il rendimento giornaliero di unazione sia pari a zero o al tasso risk-free senza
commettere errori significativi dal punto di vista pratico, per cui il VaR dipende esclusivamente dalla
volatilit ipotizzata (che pu essere anche quella implicita invece che quella stimata su dati storici)22.
Questapproccio invece non corretto, come prima mostrato, quando lorizzonte temporale dellattivit
di risk management si allunga e il VaR viene utilizzato per valutare il rischio di esposizione su orizzonti
di medio-lungo periodo.
22 In questo caso possibile poi applicare la cosiddetta regola della radice quadrata, per cui il VaR a 10 giorni pu essere ai fini pratici calcolato moltiplicando per la radice di 10 il VaR a un giorno (cfr., ad esempio, Banca dItalia, Nuove disposizioni di vigilanza prudenziale per le banche, circolare
n.263 del 27 dicembre 2006).
Lesempio nel Box 5, sebbene riferito al caso di strumenti obbligazionari,
mostra invece chiaramente che anche quando si effettuano le analisi degli scenari per
il calcolo delle perdite potenziali da insolvenza si devono usare le probabilit reali e
non risk-neutral23.
Box 5 Prezzi dei bonds ed evidenza empirica sulle insolvenze: mondo
neutrale verso il rischio e mondo reale
Si definiscano le seguenti variabili:
: tasso di rendimento di uno zero-coupon bond emesso da una societ, con scadenza al tempo T;
: tasso di rendimento di uno zero-coupon bond privo di rischio, con scadenza al tempo T;
: probabilit che la societ fallisca nel periodo compreso tra 0 e il tempo T.
Il valore corrente di uno zero-coupon bond privo di rischio, con valore nominale di $100 e scadenza al tempo T :
mentre il valore corrente del titolo corrispondente emesso dalla societ :
Pertanto, il valore attuale delle perdita attesa :
Assumendo che il tasso di recupero in caso di insolvenza sia nullo, ci sar una probabilit
che, alla scadenza, il titolo emesso dalla societ valga $0 e una probabilit 1
$100. Pertanto, il valore corrente del titolo :
Si noti che nellequazione [D.1] il payoff atteso del titolo viene attualizzato al tasso privo di rischio. Ci significa che la probabilit di insolvenza
una probabilit neutrale al rischio, diversa
pertanto dalla probabilit reale
Dato che il rendimento dello zero-coupon bond emesso dalla societ
23 Hull, J.C., (2000), Opzioni, futures e altri derivati, Prentice-Hall International.
La formula [D.3] ci restituisce pertanto i valori delle probabilit di insolvenza risk-neutral di un
generico zero-coupon bond.
Vediamo ora di dimostrare che le probabilit di insolvenza calcolate su dati storici (probabilit
reale P ) sono significativamente pi basse di quelle che si ottengono sulla base dellanalisi dei prezzi
delle obbligazioni, per via del fatto che le probabilit estratte dai prezzi sono risk-neutral (probabilit
Si considerino ad esempio le obbligazioni con rating iniziale A. Supponiamo che il credit spread
dei bonds a 5 anni sia di 50 punti base e che il tasso di recupero sia nullo24. La probabilit di insolvenza a 5 anni, calcolata in base allequazione [D.3] pari a
ossia al 2,47 per cento. La tavola delle probabilit di insolvenza ricavate dai dati storici (Standard &
Poors, gennaio 2001) mostra che per le obbligazioni con rating A la probabilit di insolvenza a 5 anni
pari allo 0,57 per cento. Quali sono le ragioni che possono spiegare le differenze tra le perdite per
insolvenza calcolate in base ai prezzi delle obbligazioni e quelle osservate storicamente?
Unimportante spiegazione teorica ha a che vedere con la differenza tra mondo neutrale al rischio e
mondo reale25.
Il valore delle probabilit ricavata dal prezzo delle obbligazioni pari a oltre 4 volte lo 0,57 per
cento che si ottiene sulla base dei dati storici. In realt si pu dimostrare che il 2,47 per cento la
stima della probabilit dinsolvenza in un mondo neutrale verso il rischio, mentre lo 0,57 per cento la
stima della probabilit di insolvenza nel mondo reale.
Per dimostrarlo si noti che, in base alla formule di pricing sopra illustrate, il prezzo dello zerocoupon bond inferiore del 2,47 per cento rispetto al prezzo del corrispondente titolo privo di rischio.
Per ottenere questa differenza abbiamo fatto le seguenti ipotesi (entrambe alla base dellequazione
D.1):
il pagamento atteso a 5 anni sullobbligazione inferiore del 2,47 per cento rispetto a quello del
corrispondente titolo privo di rischio;
24 Nellequazione [D.3] il credit spread pari a y(T)-y*(T).
25 Altman stato uno dei primi studiosi ad esaminare le discrepanze nelle stime della probabilit di insolvenza ottenute sulla base dei prezzi dei
bonds o sulla base dellevidenza empirica sulle insolvenze. Dai suoi studi risulta che, anche se si tiene conto dellimpatto delle insolvenze, gli investitori possono attendersi rendimenti significativamente pi elevati sugli investimenti in obbligazioni rispetto agli investimenti in titoli privi di rischio (Measuring Corporate Bond Mortality and Performance, Journal of Finance, n. 44, 1989).
i tassi di attualizzazione dei due pagamenti sono gli stessi.
La seconda di queste assunzioni corretta solo in un mondo neutrale verso il rischio, cio in un
mondo in cui il tasso di rendimento atteso da ogni investimento pari al tasso privo di rischio. La prima assunzione implica una probabilit di insolvenza del 2,47 per cento. Possiamo quindi concludere
che il prezzo del corporate bond coerente con una probabilit di insolvenza del 2,47 per cento in un
mondo neutrale verso il rischio26.
Per ottenere la stessa differenza in un altro modo possiamo fare le seguenti ipotesi:
il pagamento atteso a 5 anni sullobbligazione corporate inferiore dello 0,57 per cento rispetto
a quello del corrispondente titolo privo di rischio (cio utilizziamo le probabilit di insolvenza vere P );
il tasso di attualizzazione del pagamento promesso dal corporate bond pari al tasso di interesse
privo di rischio maggiorato dello 0,38 per cento.
Vediamo perch se inseriamo le probabilit vere P (pari allo 0,57 per cento) allora il tasso di attualizzazione non pu essere quello privo di rischio se vogliamo rispettare la condizione che la differenza relativa di prezzo tra i due bonds sia pari a quella osservata (2,47 per cento). La correzione del
tasso di attualizzazione per tener conto dellavversione al rischio fa s che il prezzo del corporate bond
si riduca di circa l1,9 per cento (=5x0,38)27. Se teniamo conto della riduzione di prezzo determinata
dal minor pagamento atteso (0,57 per cento), si vede che la differenza relativa tra i prezzi dei due zero-coupon bond di circa il 2,47 per cento (=1,9+0,57). La stessa differenza che effettivamente si osserva sul mercato.
Pertanto, se nel mondo reale il tasso appropriato per attualizzare i pagamenti del corporate
bond maggiore dello 0,38 per cento rispetto a quello da utilizzare in un mondo neutrale verso il rischio, la probabilit di insolvenza pari nel mondo reale allo 0,57 per cento. Una maggiorazione
del tasso di attualizzazione in misura pari allo 0,38 per cento quando ci si muove dal mondo neutrale verso il rischio a quello reale non sembra irragionevole.
Questo semplice esercizio mostra come, quando si valutano i derivati creditizi o si stima
limpatto del rischio di insolvenza sul valore dei derivati finanziari (finalit di pricing) si possono usare
le probabilit neutrali al rischio dato che la valutazione viene effettuata in un ambiente neutrale verso
il rischio. Viceversa, quando si effettuano le analisi degli scenari per il calcolo delle perdite potenziali
si devono usare le probabilit del mondo reale. Sulla base del nostro esempio, un investitori che fondasse le proprie decisioni sulle probabilit risk-neutral utilizzate nel pricing ricaverebbe una stima abnorme della probabilit di insolvenza, come detto di 4 volte superiore a quella reale.
26 Si usa volutamente il termine coerenza, in quanto proprio il significato che hanno le probabilit degli scenari probabilistici, non indicando
invece in nessun caso delle previsioni di eventi futuri (come erroneamente possono essere indotti a credere gli investitori).
27 In base allequazione fondamentale della duration il tasso di variazione del prezzo di un titolo uguale al prodotto tra la duration (D) e la
variazione del tasso di rendimento (y):
I limiti informativi delle distribuzioni risk-neutral sono confermati anche da
un ampio filone di letteratura che cerca appunto di correggere le distribuzioni riskneutral per arrivare a stimare delle distribuzioni real world. In questo filone di letteratura si segue un processo inverso a quello illustrato nel par.2.1, per cui a partire dai
prezzi di alcuni prodotti derivati, quali le opzioni, si estrae la distribuzione di probabilit risk-neutral del prezzo del sottostante. Ad esempio, Grundy (1991) sottolinea come la distribuzione di probabilit risk-neutral non coincida con quella real world e dal
confronto fra le due distribuzioni ne deriva una stima dellavversione al rischio degli
investitori. In un lavoro pi recente, ispirato allo stesso obiettivo, Bliss e Panigirtzoglou (2004) sono ancora pi espliciti affermando che: Unfortunately, theory also tells
us that the PDFs [probability distribution functions, ossia le distribuzioni di probabilit
N.d.R.] estimated from options prices are risk-neutral. If the representative investor
who determines options prices is not risk-neutral, these PDFs need not correspond to
the representative investors (i.e., the markets) actual forecast of the future distribution of underlying asset values.
Nellambito di tale ampio filone di letteratura si pone in evidenza, quindi, la
necessit di rappresentare le aspettative degli investitori correggendo le probabilit
neutrali al rischio, derivabili dai prezzi delle opzioni, in modo da ottenere delle distribuzioni di probabilit real world che dovrebbero fornire una rappresentazione
maggiormente accurata delle aspettative di investitori avversi al rischio (fra i paper
pi recenti sul tema vi sono Liu et al., 2007 e Humphreys e Noss, 2012).
Dovrebbe pertanto essere chiaro il trade-off di fondo tra misura di probabilit neutrale al rischio e probabilit reale. Le probabilit neutrali al rischio hanno il
vantaggio di essere oggettive, nel senso che non tengono conto dellavversione al rischio degli investitori che incognita e varia da individuo a individuo, e pertanto possono essere tecnicamente trattate e utilizzate per il pricing dei derivati. Le probabilit
reali che tengono conto dellavversione al rischio di ciascun individuo sono le uniche che fornirebbero una misura attendibile della probabilit di guadagnare/perdere
entro un determinato orizzonte temporale ma hanno il forte limite di essere non univoche, ovvero necessitano di alcune congetture sullavversione al rischio degli individui e pertanto sono soggettive. Lesempio nel Box 6 chiarisce in termini formali, riprendendo il semplice esempio del Box 1 sul pricing di un derivato in un modello binomiale, in che modo lavversione al rischio determini distribuzioni di probabilit risk
neutral diverse da quelle reali.
Box 6 La differenza fra distribuzioni risk-neutral e real world in un caso
semplificato con 2 possibili stati del mondo e agenti avversi al rischio
Riprendiamo il modello del Box 1 dove il prezzo di un derivato Y dipende da un sottostante S
che pu assumere solo 2 valori in corrispondenza di 2 diversi stati del mondo a e b.
Analizziamo ora il valore che un agente rappresentativo avverso al rischio assegna al valore del
sottostante S di un derivato, ad esempio unazione, alla data della sua scadenza T. Egli massimizza
lutilit della sua ricchezza finale U(S) al tempo T; si ipotizza , come avviene usualmente, che lutilit
sia una funzione concava. La ricchezza viene misurata in funzione dellandamento di S, che possiamo
considerare come un indice azionario e che costituisce dunque una buona proxy della ricchezza. In
particolare, lagente rappresentativo massimizza la ricchezza attesa in base alle probabilit vere p e
1-p associate ai 2 stati del mondo, cio:
Questo processo di massimizzazione deve per tenere conto del vincolo che, per largomento di
non arbitraggio discusso nel Box 1, il prezzo S del sottostante alla data futura T, cio il prezzo del contratto derivato forward sullazione sottostante, deve essere pari al prezzo risk-neutral, ossia
. Il prezzo corrente dellazione (il prezzo in t=0), ossia la ricchezza iniziale dellagente, deve
quindi essere necessariamente pari al valore scontato atteso dei payoff del contratto forward in T pesati per le probabilit risk neutral, ossia, come visto nel Box 1:
Risolviamo il problema di massimizzazione vincolata impostando dunque la funzione lagrangiana e risolvendo le condizioni di prim'ordine, come segue:
dopo alcuni passaggi si ottiene:
Si nota che per spiegare la differenza tra probabilit "vere", che indichiamo con p, e probabilit
risk-neutral, che indichiamo con q, necessario specificare una funzione di utilit che interpreti le
preferenze degli agenti economici. possibile dimostrare che, utilizzando una funzione d'utilit neutrale al rischio, come potrebbe essere una funzione lineare, probabilit "vere" e risk-neutral coincidono. Ad esempio:
possibile altres dimostrare, sempre nella cornice dell'esempio semplificato proposto, che funzioni d'utilit che implicano avversione al rischio, come potrebbe essere una funzione logaritmica, determinano probabilit "vere" diverse dalle probabilit risk-neutral. Infatti:
Questa espressione per p determina valori tendenzialmente nulli per q=0, valori pari a uno per
q=1, e valori di p sempre superiori ai valori di q per 0<q<1.
Sfruttando la formula [E.3] che lega le probabilit reali p alle pseudo-probabilit q possibile valutare quanto possano essere diverse p e q quando gli agenti sono avversi al rischio, utilizzando il caso del pricing di una semplice opzione call come nellesempio del Box 1.
Nel Box 1 avevamo determinato il prezzo di unopzione call facendo lipotesi di un modello binomiale ad un periodo e applicando i principi del pricing di non arbitraggio (ovvero di neutralit al rischio). Avevamo pertanto ottenuto sia il prezzo teorico della call (pari a $2,29, equazione A.10) sia le
probabilit risk-neutral pari a q=0,63 e 1-q= 0,37 (equazione A.6 bis).
A questo punto, rimuovendo lipotesi di neutralit al rischio, e quindi ipotizzando che lagente
rappresentativo abbia una funzione di utilit logaritmica avversa al rischio, possiamo agevolmente
passare dalle probabilit neutrali al rischio a quelle reali. Ricorrendo alla formula [E.3] si ha che, nel
caso di un agente avverso al rischio, con probabilit risk-neutral q=0,63 e processo di prezzo del sottostante descritto dal modello binomiale Sa=14 e Sb=6 (cio esattamente il caso descritto nel Box 1), si
ottengono le probabilit vere pari a p=0,80 e 1-p=0,20. La distorsione nellestrazione delle probabilit sotto lipotesi di neutralit al rischio pertanto molto significativa e viene rappresentata graficamente nella Figura 1.
Considerata la significativit della differenza tra le due misure di probabilit si comprende come lutilizzo delle probabilit risk-neutral quale stima dei possibili scenari futuri di prezzo di un prodotto finanziario derivato sono potenzialmente in grado di fornire indicazioni fuorvianti ai risparmiatori che non siano in grado di comprendere le sottili differenze teoriche tra le due misure di probabilit
e dunque la loro effettiva portata informativa.
Figura 1 Probabilit reali e probabilit risk-neutral in 2 diversi stati del mondo ipotizzando un agente
avverso al rischio con una funzione di utilit logaritmica
P(T)=probabilit del prezzo dell'azione in T
S(T)=prezzo dell'azione al tempo T
3 Lapproccio risk-neutral per il pricing di strumenti derivati
collegati ai tassi dinteresse (IRS)
Le considerazioni teoriche illustrate nel par. 2.1 per il pricing dei derivati azionari in un ambiente risk-neutral valgono in linea generale anche per i derivati leganti allandamento dei tassi dinteresse, anche se vi sono rilevanti differenze sia sul
piano economico sia sul piano tecnico.
Per ci che riguarda il profilo economico, mentre il pricing dei derivati azionari un pricing cosiddetto subordinato, nel senso che dipende solo dalla dinamica
del sottostante, nel caso dei tassi dinteresse necessario definire la dinamica del
tasso spot e quindi modellizzare la dinamica dellintera curva dei tassi; ci implica
avere un modello di mercato per la curva dei tassi che poi consente il pricing di
qualsiasi derivato legato ai tassi dinteresse (cfr. Box 7).
***I contratti interest rate sensitive (IRS)***
Un titolo, o contratto, interest rate sensitive (IRS), nominale, un contratto finanziario il cui
prezzo pu essere espresso come una funzione dei tassi di interesse (nominali) di mercato; data questa
dipendenza funzionale, i contratti IRS possono essere anche qualificati come derivati su tassi di interesse (interest rate derivatives). Lesempio pi semplice di titolo IRS il prezzo v(t, T) degli ZCB unitari.
Un modello per titoli IRS che non assuma questi prezzi come dati esogenamente, ma che ne fornisca il
valore sulla base di un numero limitato di variabili esplicative fondamentali svolge anche il ruolo di
modello per la struttura per scadenza dei tassi di interesse (term structure model).
Un modello di pricing per titolo IRS ha lobiettivo di spiegare i prezzi osservati sul mercato e di
assegnare, in modo coerente coi prezzi osservati, il prezzo di contratti non ancora quotati. Diversamente dai modelli di pricing subordinato, com quello di Black e Scholes, un term structure model
non si limita a fornire il prezzo di un asset (il derivato) dato il prezzo di un altro asset (il sottostante),
ma ha lobiettivo di costruire un criterio di valutazione coerente per unintera classe di titoli i titoli
obbligazionari e i derivati di tipo obbligazionario in dipendenza dal valore di una o pi variabili base
i tassi di interesse relativi a scadenza diverse. Un modello per titoli IRS, quindi, assume il ruolo di un
vero e proprio modello di mercato e in generale richieder anche ipotesi sulle preferenze degli agenti
Il tipo di incertezza che caratterizza il prezzo di un titolo obbligazionario ha una struttura pi
complessa di quella tipica dei titoli non obbligazionari. Il prezzo v(t, T) di uno ZCB unitario imprevedibile per t<T ma deve essere uguale a 1 con certezza alla scadenza T; la variabilit di v in funzione di
t, quindi, dovrebbe essere tipicamente decrescente al passare del tempo, fino ad annullarsi per t=T.
Una volta specificato lintervallo di tempo elementare di lunghezza t finita nei modelli discreti, infinitesima nei modelli continui il tasso di interesse di mercato da t a t+t noto in t,
lincertezza riguarda i tassi di interessi futuri, cio fissati dal mercato in t+t e negli istanti successivi.
quindi evidente che un modello stocastico per i tassi di interesse dovr essere strutturalmente intertemporale e non saranno adeguati approcci di tipo uniperiodale, com, per esempio, il CAPM per i titoli azionari.
Nel caso dei tassi dinteresse, a differenza di quanto avviene nel mondo azionario, necessario modellare esplicitamente il comportamento degli operatori e le
loro preferenze verso il rischio. In particolare, data una certa ipotesi sullequazione
stocastica che governa il cosiddetto tasso dinteresse istantaneo o spot rate (cfr. Box
8), lapplicazione dellipotesi di hedging per la valutazione di un derivato simile a
quella usata nel modello di Black e Scholes richiede comunque la formulazione di
unipotesi sulla struttura dei premi al rischio degli operatori. Dal punto di vista economico, ci dipende dal fatto che lhedging avviene fra due contratti IRS con prezzi
diversi per i quali non osservabile un prezzo di mercato alla data corrente (mentre
nel mondo azionario sempre osservabile il valore di mercato del prezzo dellazione
sottostante) e dal fatto che entrambi i contratti dipendono dallo spot rate che non
uno strumento quotato per il quale osservabile il prezzo di mercato. In questo caso,
lipotesi di mercati completi consente comunque, come nel caso dei derivati azionari,
di determinare un prezzo del derivato ad oggi univoco perch espressione di una relazione di non-arbitraggio; tuttavia, a differenza di quanto avviene nel mondo dei derivati azionari, lipotesi di premio al rischio pari a zero per stimare il valore futuro di
un derivato equivale a formulare unipotesi economica esplicita sul comportamento
degli operatori, ossia lipotesi di aspettative pure o non distorte per cui i tassi a
termine impliciti nella struttura dei tassi corrente sono in media previsori non distorti
dei tassi futuri. Naturalmente, si tratta di unipotesi arbitraria o comunque in competizione con altre ipotesi che forse meglio riescono a spiegare la struttura dei tassi,
quali lipotesi del premio per la liquidit, quella dei mercati segmentati o quella
dellhabitat preferito (cfr. Box 9). Ipotesi diverse dal premio al rischio pari a zero possono essere infatti coerenti con le citate ipotesi alternative sulla dinamica della struttura dei tassi28.
Alcuni studi empirici classici sul mercato americano, in particolare Fama e
Bliss (1987), Campbell e Shiller (1991) e Cochrane e Piazzesi (2005), hanno ampiamente rigettato lipotesi delle aspettative pure o non distorte. Questi studi mostrano
che i tassi forward non sono predittori accurati dei tassi futuri (ovvero che i tassi a
lungo termine attuali non sono una media dei futuri tassi attesi a breve) e che quindi
esiste un premio al rischio diverso da zero nella curva dei tassi.
28 Cfr,. Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Mottura C. (1993), Un corso sul controllo del rischio di tasso dinteresse,
Un altro importante limite applicativo dei modelli di stima dei contratti IRS
(uno dei principali il cosiddetto modello CIR e verr illustrato nel paragrafo 3.2)
costituito dalla instabilit della stima dei parametri del modello al momento della sua
implementazione con dati reali e cio dipende generalmente dai seguenti motivi
(Gourieroux e Monfort, 2007; Brandt and Chapman, 2002; Cheng Yong Tang e Song
Xi Chen, 2009):
Errata specificazione del modello: le diverse tecniche enometriche impiegate per
la stima dei parametri del modello possono fornire stime non robuste e quindi
non accurate se il modello non correttamente specificato;
ii. Poich il tasso istantaneo di interesse una variabile inosservabile (artificiale) il
modello pu essere stimato ricorrendo a diverse proxy (tasso interesse a un mese
o tre mesi): i risultati delle stime dei coefficienti del modello possono dipendere
dal tipo di proxy utilizzate fornendo pertanto valori teorici non univoci;
iii. Rischio stimatore: anche assumendo la correttezza del modello, i valori dei parametri stimati possono cambiare, anche sensibilmente, a seconda dellapproccio
econometrico prescelto.
***I modelli univariati nel tempo continuo***
Al tempo t, si indichi con Y(t) il prezzo di un generico titolo IRS. Il problema della valutazione
dei contratti IRS pu essere efficacemente affrontato costruendo un modello stocastico di mercato
definito nel tempo continuo e in cui il rischio di tasso sia caratterizzato da ununica fonte di incertezza. Dato che il periodo di investimento elementare ha lunghezza infinitesima dt, spontaneo adottare
come variabile del modello il tasso istantaneo r(t), lo spot rate29.
In condizioni di incertezza, i valori assunti dalla funzione r(t) sono variabili aleatorie; in altri
termini, il tasso locale di interesse costituisce un processo stocastico r(t) che si assume definito per
ogni t. In questo senso se r(t) lunica variabile di base, si dice pure che lunica fonte di incertezza
che caratterizza la struttura del mercato.
Come ulteriore caratteristica del mercato si assuma che gli agenti economici abbiano opinioni
conformi (homogeneous expectations) sulla variabile base, ci sia cio accordo sulle distribuzioni di
probabilit (la cosiddetta legge temporale di r).
Il modello di mercato adottato per il pricing assume che lintensit istantanea di interesse dei
titoli con vita a scadenza infinitesimale, lo spot rate r(t), sia un processo di diffusione (processo di
Markov), descritto dallequazione differenziale stocastica30:
29 Come nel modello di Black e Scholes lincertezza sar di tipo diffusivo, la dinamica della variabile r(t) sar rappresentata cio come un processo di
30 Supporre che r(t) sia un processo di Markov equivale a dire che la distribuzione di probabilit dei valori futuri di r(t) sia determinata unicamente in
base al valore che il processo assume nellistante corrente e non dipende invece dallintera storia del processo.
dove il coefficiente di drift (media infinitesima)
, e il coefficiente di diffusione
funzioni opportunamente specificate. Le funzioni f e g2 rappresentano quindi la media e la varianza
(per unit di tempo) degli incrementi che il processo r(t) subisce in intervalli di tempo infinitesimi.
un processo di Wiener con varianza istantanea unitaria (moto browniano standard).
In questo modello pertanto lunica fonte di incertezza che influisce sul prezzo Y(t) di un qualsiasi titolo IRS descritta dal processo del tasso istantaneo r(t) che, per la propriet di markovianit,
costituisce la variabile di stato del sistema. Quindi il prezzo Y(t) del derivato sar, in generale, funzione
di r e di t:
e costituir un processo stocastico descritto dallequazione differenziale stocastica:
Possiamo riscrivere lequazione differenziale stocastica del titolo IRS nella forma:
dove i coefficienti percentualizzati sono uguali a:
Prendendo laspettativa dellequazione [F.1] si ha:
per la varianza si ottiene:
Quindi, a e b rappresentano il valore atteso e la deviazione standard del tasso istantaneo di
rendimento ottenuto investendo nel derivato. In generale,
Si pu pertanto definire un prezzo del rischio per il contratto IRS, ponendo:
***Largomentazione di hedging***
Anche per i contratti IRS si pu ricavare una relazione tra i prezzi imposta dal principio di arbitraggio. Dal punto di vista matematico, largomentazione di hedging ha una struttura analoga a quella
utilizzata nel modello di Black e Scholes, ma per ottenere unequazione di valutazione necessario in
questo caso lintroduzione di ipotesi accessorie sulla struttura dei premi al rischio.
Si costruisca un portafoglio composto da una unit di un contratto IRS con prezzo Y1(t) e da
unit di un contratto IRS con prezzo Y2(t). Il valore W(t) di questo portafoglio al tempo t dato da:
e la sua dinamica31 sar descritta dalla equazione differenziale stocastica:
dove le funzioni
renziale stocastica di Yk.
1,2 rappresentano i coefficienti dellequazione diffe-
Per la quota:
il portafoglio ha valore:
e dinamica descritta dalla:
Il portafoglio risulta pertanto istantaneamente non-rischioso, nel senso che il valore di
perfettamente prevedibile in t.
Per evitare arbitraggi privi di rischio, lincremento di valore
ottenuto detenendo questo
hedged portafoglio da t a t+dt dovr coincidere con lincremento di valore (interesse) ottenuto investendo limporto
da t a t+dt al tasso non-rischioso r(t). Dovr cio essere:
Dalle equazioni [F.2] e [F.3], e dopo alcuni semplici passaggi algebrici, si ottiene:
Dato che i contratti IRS Y1 e Y2 sono stati scelti arbitrariamente, lequazione [F.4] afferma che,
per evitare arbitraggi, il rapporto
/ deve essere lo stesso per tutti i titoli IRS quotati sul
mercato. In altri termini la funzione:
31 Per semplicit si fa riferimento a titoli che non pagano dividendo.
definisce una quantit caratteristica del mercato. Con riferimento a un generico IRS, il numeratore
della funzione q esprime la differenza di rendimento atteso tra linvestimento nel contratto IRS e linvestimento al tasso di mercato, rappresenta il compenso richiesto per accettare il rischio
indotto da variazioni non-anticipate del tasso locale (premio al rischio, premio di liquidit o term
premium). Poich il denominatore b come si detto esprime la deviazione standard del rendimento istantaneo fornito dal contratto IRS, la funzione q rappresenta la differenza di rendimento atteso
per unit di rischio; cio interpretabile come il prezzo di mercato del rischio. Essendo indipendente
dal particolare contatto considerato, q funzione solamente dello spot rate r(t) e di t.
, esprime il rendimento istantaneo atteso di una strategia di detenzione
(passiva), consistente nellacquistare il contratto IRS in t e nel detenerlo fino a t+dt; la quantit r(t),
invece, esprime il rendimento di una strategia attiva, nella quale limporto Y(t) viene investito sul
mercato da t a t+dt. Su periodi infinitesimali la strategia di gestione attiva non-rischiosa nel senso
che garantisce il risk-free rate r(t), mentre la strategia di detenzione ha rendimento aleatorio; su periodi finiti la strategia attiva ha un rendimento periodale aleatorio, dipendente dalla traiettoria del
processo r(t), mentre la detenzione garantisce a scadenza un rendimento periodale certo (contrattuale). Non esiste quindi in questo caso una relazione di dominanza tra il rendimento atteso
rendimento istantaneamente non-rischioso r(t); nella valutazione del rischio entrano in gioco le preferenze degli investitori sullallocazione temporale delle risorse finanziarie.
***Lequazione di valutazione***
Dato che il processo r(t) non rappresenta il prezzo di una attivit quotata, lespressione del
prezzo di mercato del rischio non pu essere ricavata direttamente dallosservazione del mercato. In
altri termini, la funzione
, rappresenta una quantit esogena al modello di valutazione, che va
specificata sulla base di ipotesi aggiuntive sulle preferenze degli investitori.
Una volta specificata la forma di q, lequazione [F.5] fornisce un risultato operativo di grande
importante. Riscrivendo la [F.5] nella forma:
e utilizzando le espressioni esplicite di a e b, si ha:
La [F.6] definita come lequazione generale di valutazione per i titoli IRS che non pagano dividendi, caratteristica del modello. Si tratta di unequazione differenziale alle derivate parziali di secondo ordine deterministica, che deve essere soddisfatta dal prezzo Y(t) di qualsiasi contratto IRS in
ogni istante t.
Lequazione di valutazione va risolta sotto le condizioni al contorno che caratterizzano la struttura del titolo da valutare. Il caso pi semplice, cui conviene fare normalmente riferimento, quello di
un titolo IRS definito da un payoff a scadenza; in questo caso il contratto produce alla scadenza T t
un payoff formalizzato dalla:
definito come una funzione F prefissata del valore assunto dallo spot rate in T.
di questo tiolo si ricaver come soluzione dellequazione generale di valutazione [F.6] corredata con la
condizione a scadenza [F.7]32.
***Soluzione in forma integrale e propriet di martingala***
Con riferimento a un titolo IRS con payoff a scadenza Y(T) e che non paga dividendi, si pu dimostrare che la soluzione dellequazione di valutazione [F.6] con condizione a scadenza [F.7] ha la seguente rappresentazione in forma integrale:
F.8]
rappresenta loperatore di media condizionata (al valore di r osservato in t) calcolata secondo
una distribuzione di probabilit caratterizzata dal drift:
e dal coefficiente di diffusione
, . Anche in questo contesto, la distribuzione di probabilit individuata dai parametri e g ha il significato di distribuzione aggiustata per il rischio (risk-adjusted
Tale distribuzione fa s che il rendimento atteso dellinvestimento in un qualsiasi titolo IRS per
il periodo [t, t+dt] coincide col rendimento istantaneo non-rischioso; cio
che esprime il prezzo Y(t) come laspettativa risk-neutral del payoff a scadenza scontato33.
Se si definisce il fattore di sconto stocastico da t a T:
32 Un esempio immediato si ottiene scegliendo F come la funzione costante uguale a 1. In questo caso si pu scrivere infatti
, ; il
contratto IRS coincide con lo ZCB deterministico unitario con scadenza in T. Risulta quindi evidente in che senso il modello di valutazione produce
endogenamente la curva dei rendimenti: risolvendo lequazione generale di valutazione [F.6] sotto la condizione Y(T)=1 si ottiene, al variare di
, la struttura per scadenze dei prezzi
, in vigore in t sul mercato e, di conseguenza, la struttura per scadenza dei tassi a pronti i(t, T).
33 evidente per che, in presenza di rischio di tasso, il fattore di sconto invece di essere deterministico anchesso una variabile aleatoria e compare
quindi allinterno delloperatore di aspettativa.
il prezzo del contratto IRS si pu esprimere nella forma:
Nel caso di Y(T)=1 si ottiene lespressione in termini di aspettativa del fattore di sconto di mercato in t per la scadenza T:
Si pu dimostrare che assumendo le ipotersi di mercati completi sempre possibile costruire
una strategia di investimento dinamica che replica con certezza il payoff del contratto IRS. In queste
condizioni la distribuzione di probabilit risk-neutral Q specificata nella [F.8] unica e corrisponde ad
una fondamentale propriet di martingala.
Per dimostrare le propriet di martingala equivalente si consideri un contratto IRS stipulato al
tempo zero, senza dividendi, con scadenza T e condizione a scadenza
, . Per
si definisca il processo del prezzo scontato:
Sotto le ipotesi adottate, lesclusione di arbitraggi implica che il processo
gala rispetto alla misura di probabilit risk-neutral Q; deve cio aversi:
una martin-
si ricava infatti:
***Relazione con le ipotesi di aspettativa***
La forma della funzione
particolare, la scelta:
corrisponde alla particolare ipotesi di aspettativa adottata. In
equivale ad accettare la teoria delle aspettative in forma pura (pure expectation hypothesis), secondo
la quale i tassi di interesse a termine
, , osservati in t forniscono unaspettativa non distorta
dei tassi a pronti futuri
, ; secondo questa ipotesi i premi al rischio richiesti dagli agenti per i prestiti di diversa scadenza (i premi/sconto per la scadenza o term premium) sono nulli. anche utile osservare che nel caso di funzione q identicamente nulla si ha:
per cui la misura risk-neutral coincide con la probabilit naturale. Si ha quindi in questo caso:
Per ci che riguarda i profili tecnici, i modelli stocastici utilizzati per descrivere la dinamica dei tassi dinteresse sono ovviamente diversi da quelli usati per i
prezzi azionari. Ad esempio, uno dei modelli stocastici pi noti per descrivere la dinamica dei tassi dinteresse quello cosiddetto CIR, sviluppato da Cox, Ingersoll e
Ross (1985).
Affinch lequazione di valutazione [F.6 nel Box 8) possa essere utilizzata
quale strumento operativo per la valutazione dei contratti IRS, necessario specificare la forma delle funzioni f e g, che determinano la dinamica dello spot rate e della
funzione q, che caratterizza la forma dei premi per scadenza34.
Nel modello CIR si assume per la componente deterministica di r(t) una dinamica di tipo mean-reverting, specificata dalla funzione di drift:
questa scelta implica per la componente deterministica dei movimenti di r(t)
una traiettoria esponenziale di avvicinamento al livello , che il valore a lungo
termine del tasso istantaneo35.
La componente stocastica del processo di tasso ha la forma:
con >0.
Questa scelta per il coefficiente di diffusione caratterizza un termine di disturbo di entit tanto pi grande quanto pi elevato il livello di r(t), in accordo con
levidenza empirica che tendenzialmente associa maggior volatilit a periodi di levati
Dalle equazioni (3) e (4) si ottiene lequazione differenziale stocastica meanreverting square-root:
Sulla base delle stesse dimostrazioni matematiche prima illustrate per i modelli sui prezzi azionari, possibile mostrare che, anche in questo caso, per finalit di
pricing, possibile utilizzare unequazione che non include esplicitamente la componente soggettiva del premio al rischio (parametrizzazione aggiustata per il rischio).
La funzione q, che esprime il prezzo di mercato del rischio, ha la forma:
essendo il parametro un numero reale di segno arbitrario. Con questa scelta per le
funzioni di f, g e q, il drift aggiustato per il rischio risulta essere:
34 La forma funzionale di q nel modello CIR stata giustificata nellambito di un pi generale modello di equilibrio economico.
35 La velocit di avvicinamento misurata dal parametro .
Se si definiscono i nuovi parametri:
la (7) pu anche esprimersi nella forma:
si pu cio rappresentare la dinamica risk-adjusted come un processo meanreverting, avendo per opportunamente corretto (con il parametro di premio al rischio) i coefficienti e del processo naturale dello spot rate.
Con le specificazioni (3) (4) e (6) si ottiene lequazione generale di valutazione del modello CIR per i titoli che non pagano dividendi:
Imponendo la condizione a scadenza
1, specifica dei titoli IRS
che assumono con certezza valore 1 al tempo
, la (9) individua il prezzo in t degli ZCB unitari con vita a scadenza , cio il fattore di sconto di mercato per la scadenza
. Si ricava lespressione in forma chiusa:
dove A e B sono funzioni deterministiche che dipendono solamente dalla vita a scadenza del titolo. Dallespressione di v immediato ottenere il tasso di interesse corrispondente che, come funzione di , fissato t, fornisce la struttura per scadenza dei
tassi di interesse in vigore sul mercato al tempo t.
Lespressione esplicita del fattore di sconto (10) ha una rilevante importanza
nelle applicazioni pratiche del modello CIR. Lespressione per A e B ricavata da Cox,
Ingersoll e Ross ha la forma:
Lespressione esplicita del prezzo
specificata dalle equazioni
(11)-(14) contiene tutti e quattro i parametri , , e caratteristici del modello;
questi parametri non compaiono mai separatamente, ma sono aggregati nella forma
e . Ci corrisponde al fatto che il prezzo dello ZCB unitario ma ci vero
in generale per qualsiasi contratto IRS prodotto dal modello determinato dalla distribuzione di probabilit risk-adjusted.
Ai fini della valutazione non quindi necessario specificare separatamente
la distribuzione naturale dello spot rate (cio il valore di tutti e tre i parametri , e
) e la funzione di premio al rischio (cio il parametro ). Come evidenziato dalla equazione generale di valutazione del modello CIR (cfr. equazione 9), solo il parametro
di volatilit del processo naturale dello spot rate gioca un ruolo autonomo nella
procedura di valutazione. Per quanto riguarda gli altri parametri caratteristici del modello, lequazione (8) che specifica la forma del drift del processo risk-adjusted indica
che non necessaria una parametrizzazione estesa, ma sufficiente conoscere la
e il prodotto , anzich i valori separati di , e .
Sulla base di queste considerazioni possibile riformulare le equazioni (11)
e (12) utilizzando i parametri e definiti dallequazione (8) e ottenere quella che
viene chiamata parametrizzazione aggiustata per il rischio:
dove i parametri d e v sono sempre dati dalle equazioni (13) e (14).
A questo punto di fondamentale importanza chiarire che i parametri disaggregati , e non risultano identificati dai valori di e : ci dipende dal fatto
che i prezzi di arbitraggio non sono determinati dalle probabilit naturali, ma dalle
probabilit distorte dalle preferenze36.
Per lutilizzazione pratica del modello necessario assegnare ai parametri
dei valori numerici che siano in qualche modo rappresentativi della situazione del
mercato che si vuole descrivere. Una procedura di stima dellintero set di parametri
, , e pu essere strutturata in due fasi distinte (stima a due stadi):
stima su serie storica: si ricavano i parametri , e , caratteristici della dinamica dello spot rate, da informazioni sullandamento storico di un tasso a breve
termine che possa essere considerato una approssimazione del tasso istantaneo
stima su cross section: si ricava il parametro espressivo dei term premia, integrando linformazione sul tasso a breve con informazioni sui rendimenti osservati a una stessa data su scadenze diverse.
A questo punto possibile tracciare alcune conclusioni di valenza generale
sugli ambiti di applicazione (e i limiti informativi) dei modelli di pricing di strumenti
finanziari derivati aventi come sottostanti tassi di interesse:
pricing: se il modello CIR utilizzato unicamente a scopo di pricing, la conoscenza di tutti i parametri disaggregati non necessaria, ma sufficiente la specificazione dei parametri risk-adjusted. Dato che questa informazione comun-
36 La parametrizzazione proposta da Brown e Dybvig (1986) riformula la parametrizzazione aggiusta per il rischio in
una forma pi adeguata per le procedure di stima.
que contenuta nei prezzi osservati, si possono definire tecniche di stima a partire
dai dati di mercato37;
partizioni di probabilit risk-neutral (scenari di probabilit): i modelli di valutazione dei contratti dipendenti dai tassi di interesse presentano due ordini di problemi se utilizzati a scopi previsivi. Il primo problema deriva dal fatto che
come ampiamente illustrato la riparametrizzazione aggiustata per il rischio del
modello CIR consente, ai soli fini del pricing, di ignorare completamente il parametro espressivo del premio al rischio richiesto dagli investitori e quindi soggettivo e dipendente dalla specifica funzione di utilit degli individui.
Lestrazione delle probabilit a scadenza (scenari di probabilit) richiede invece
la determinazione in forma esplicita del parametro , in assenza del quale il modello resta irrisolvibile; la soluzione che viene adottata per la costruzione degli
scenari quella di porre tale parametro uguale a zero e ci implica da un punto
di vista matematico che la funzione caratteristica del mercato q espressa
dallequazione (6) nulla. Come conseguenza si ha che il drift aggiustato per il
rischio coincide con il drift naturale (equazione 7) e che la misura risk-neutral
coincide con la probabilit naturale. Tale ipotesi in termini economici rappresentata dalla teoria delle aspettative pure (Box 9) i cui limiti sono stati ampiamente illustrati nel paragrafo (3.1). Il secondo problema che limita lutilizzo di
tale modello per lestrazione delle probabilit a scadenza pi propriamente
tecnico e deriva direttamente dalla procedura di calibrazione adottata; il valore
dei parametri stimati cambia infatti al variare della data t di osservazione, in evidente disaccordo col fatto che il modello teorico richiede parametri costanti.
Questo risultato una conseguenza dellestrema semplicit del modello e indica
che un approccio univariato al problema della term structure non produce prestazioni affidabili a livello previsivo ma fornisce elusivamente un criterio di coerenza tra prezzi definiti nello stesso istante di tempo (pricing).
Box 9 Le ipotesi teoriche sulla struttura per scadenza dei tassi di interesse
In condizioni di perfetta prevedibilit le ipotesi di mercato richiedono che i tassi a pronti coincidano con i tassi forward correnti:
In condizioni di incertezza i tassi futuri
, sono numeri aleatori nellistante t, perch in
generale sono aleatori in t i prezzi futuri
; di qualsiasi flusso x di pagamenti.
Sebbene i prezzi (e i tassi) futuri siano caratterizzati da un levato livello di imprevedibilit, que-
37 In questo ambito, un procedimento spesso utilizzato quello cosiddetto di calibratura che consiste nel ricavare il set di parametri risk-adjusted
che meglio riproducono i prezzi osservati sul mercato a una data t fissata. Nel paragrafo 3.1 sono stati altres delineati alcuni problemi di instabilit tipici del procedimento di calibratura dei parametri.
ste quantit entrano necessariamente nei piani finanziari che gli agenti formulano al tempo t: acquistano quindi rilevanza le differenti teorie per la struttura per scadenza dei tassi di interesse proposte
nella letteratura tradizionale.
1. Ipotesi della pura aspettativa
Si tratta della schematizzazione pi semplice, secondo la quale il valore fissato dal mercato per
i tassi a termine coincide esattamente col valore che il mercato (nel senso dellopinione prevalente degli operatori) si aspetta per i tassi a pronti futuri, ovvero:
In altri termini i tassi forward
tassi a pronti
costituiscono unaspettativa non distorta dei futuri
2. Ipotesi della preferenza per la liquidit
I prezzi di titoli di lunga durata risultano maggiormente sensibili a variazioni della struttura dei
tassi rispetto ai titoli di durata pi breve. Secondo la teoria proposta da Hicks, per questo motivo gli agenti economici considerano i titolo a lungo termine come investimenti pi rischiosi, e
essendo avversi al rischio, preferiscono lacquisto di titoli pi liquidi, cio con pi breve maturity.
Ci implica che sul mercato viene richiesto un compenso, o premio di liquidit, per la detenzione di tioli con scadenza pi lunga; in termini di tasso di interesse questo effetto pu essere
schematizzato assumendo la relazione:
0 rappresenta il tasso di rendimento aggiuntivo corrispondente al premio di
liquidit. Secondo questa relazione, il tasso di interesse fissato nellistante attuale t per un investimento sullorizzonte [t, s] uguale al valore atteso del tasso che verr fissato in t per lo
stesso investimento, pi un extrarendimento richiesto come compenso per il rischio derivante
dalla mancata conferma dellaspettativa.
3. Ipotesi dei mercati segmentati
Seconda questa teoria i prezzi di titoli con vita a scadenza molto diversa non possono essere rigidamente interconnessi tra loro sulla base del principio di esclusione di arbitraggi, poich investitori diversi preferiscono, per vari ordini di motivi, detenere titoli appartenenti a un particolare segmento dellasse delle maturity, senza tenere conto dei prezzi degli altri titoli. La forma
dellintera struttura dei tassi risulter quindi come leffetto di forza di domanda-offerta che agiscono separatamente sui vari segmenti.
4. Ipotesi dellhabitat preferito
In questo caso si suppone che il mercato sia popolato da agenti che, pur avendo una convenienza a investire su un determinato segmento di maturity, sono disposti a uscire da questo
habitat preferito investendo anche su titoli con vita a scadenza diversa, se questi offrono un
adeguato premio in termini di extrarendimento. Con questo approccio si mitiga in pratica
lipotesi di mercato segmentato e se ne recupera la compatibilit con le ipotesi di mercato ideale.
Il presente lavoro ha passato in rassegna i concetti della moderna matematica finanziaria alla base dei modelli di pricing degli strumenti derivati, mettendo in
evidenza come lapproccio probabilistico alla base della determinazione del valore teorico dei prodotti finanziari derivati costituisca un potente strumento di valutazione
del prezzo di tali prodotti e di conoscenza dei rischi ad essi associati. In particolare, il
lavoro ha dimostrato come, sebbene le probabilit neutrali al rischio siano uno strumento adeguato (in termini sia metodologici che interpretativi) per valutare il prezzo
alla data corrente di un derivato (fair price), si rende necessario un affinamento metodologico quando si vogliono inferire le probabilit circa il valore del derivato ad una
certa data futura. La ragione di ci risiede essenzialmente nella circostanza che i modelli di pricing di un derivato alla data corrente si basano sullidea fondamentale del
principio di non arbitraggio, cio sullidea che il derivato pu essere replicato usando lattivit sottostante e quindi il suo prezzo non dipende dal premio al rischio; ci
consente di utilizzare una modellistica di simulazione dei pay-off del derivato dove si
assume che il premio al rischio richiesto dagli investitori sia pari a zero, ovvero che gli
investitori siano neutrali al rischio. Questa ipotesi che in termini metodologici consente di risolvere un problema altrimenti insuperabile, ovvero quello di modellare in
modo univoco la legge di movimento del prezzo dellattivit sottostante il derivato
non consente, di converso, di ricavare le probabilit circa il valore del derivato ad una
certa data futura (cosiddetti scenari probabilistici); per stimare queste probabilit,
cio le probabilit reali, necessario tenere conto dellavversione al rischio degli investitori, ossia tenere conto del fatto che gli investitori sono disposti a detenere, ad
esempio, titoli azionari solo se da questo investimento si attendono un rendimento
superiore al tasso risk-free. Ci vuol dire, in concreto, che, per simulare i pay-off ad
una data futura di un derivato che ha come sottostante titoli azionari, necessario
usare un modello in cui si assume che i prezzi azionari crescano ad un tasso che include il premio al rischio, e non invece ad un tasso pari al risk-free come invece implicito nelle probabilit risk-neutral.
Per quanto riguarda i modelli di pricing di strumenti finanziari derivati aventi come sottostanti tassi di interesse (IRS) emerso come sebbene ai fini del solo
pricing la conoscenza di tutti i parametri disaggregati non sia necessaria, essendo
sufficiente la specificazione dei parametri risk-neutral per lestrazione delle probabilit a scadenza (scenari di probabilit) richiesta la determinazione in forma esplicita del parametro di premio al rischio ( , in assenza del quale il modello resta
irrisolvibile. La soluzione che viene adottata per la costruzione degli scenari quella
di porre tale parametro uguale a zero e ci comporta due implicazioni di non trascurabile rilevanza: la prima, in termini meramente economici, che si impone lipotesi
dalla teoria delle aspettative pure, i cui limiti sono stati ampiamente illustrati dalla
letteratura empirica; la seconda, pi prettamente metodologica, che il valore dei
parametri stimati cambia al variare della data t di osservazione, in evidente disaccordo col fatto che il modello teorico richiede parametri costanti.
In definitiva, affinch gli scenari probabilistici possano fornire la probabilit reale di accadimento di un evento futuro e indicazioni circa la probabilit che un
investitore ha di conseguire profitti o perdite su uno strumento finanziario derivato
dovrebbero tenere conto del premio per il rischio. Senza tale correzione, limpiego di
tali scenari quale strumento informativo a tutela dellinvestitore retail potrebbe
quindi fornire indicazioni di difficile interpretazione, in quanto pi che rappresentare
vere previsioni indicano esclusivamente la distribuzione degli scenari di prezzo futuri
che sono compatibili (matematicamente coerenti) con i prezzi e la volatilit del sottostante che si osservano al tempo corrente.
Al fine di ottenere una misura di probabilit corretta occorrerebbe integrare la procedura di stima che stata descritta in questo lavoro con una misura di avversione al rischio degli investitori (cio una misura di premio al rischio); tuttavia,
lutilizzo di probabilit real world, cio corrette per il premio al rischio, impone un affinamento metodologico volto a consentirne limpiego nella regolamentazione sulla
trasparenza dei prodotti finanziari. Unipotesi di premio al rischio che variasse a seconda del singolo investitore e della sua particolare funzione di utilit presenterebbe
tuttavia caratteri di pi o meno accentuata soggettivit.
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Lapproccio della regolamentazione europea in materia di
informativa sui rischi dei prodotti finanziari
Il tema della misurazione dei rischi dei prodotti e strumenti finanziari un
elemento centrale in tutta la regolamentazione sullintermediazione finanziaria, sia
per ci che riguarda i profili di stabilit e sana e prudente gestione sia per quanto riguarda i profili di trasparenza e correttezza nei rapporti fra intermediari e investitori.
Per ci che riguarda il primo profilo, la regolamentazione vigente in Europa
in materia di misurazione della rischiosit degli attivi bancari e di requisiti patrimoniali (Direttiva 76/2010/CE, c.d. Capital Requirements Directive) fa ampio riferimento
allutilizzo di modelli quantitativi simili a quelli illustrati nel precedente paragrafo, in
particolare per ci che riguarda la misurazione del rischi di mercato e di credito derivante dalle esposizioni in titoli e derivati. Tuttavia, le suddette disposizioni non fanno
riferimento ad uno specifico modello quantitativo, rimettendo alla discrezionalit del
singolo intermediario la definizione della specifica architettura del modello da adottare (c.d. modelli interni) in grado di incorporare la complessit dei profili di rischio
caratterizzanti la realt organizzativa in cui lo stesso opera. In tale ambito lAutorit
di vigilanza chiamata a validare preventivamente il modello in termini di tenuta
complessiva dello stesso e non di risultati di volta in volta prodotti.
Per ci che riguarda invece il secondo profilo, la normativa comunitaria in
materia di securities regulation e di trasparenza sui prodotti finanziari adotta un approccio diverso. Ad esempio, la disciplina comunitaria in materia di fondi comuni (direttiva 2009/65/CE) adotta un approccio di misurazione della rischiosit dei prodotti
basato sulla misurazione della volatilit storica. La disciplina in materia di prospetti
informativi (Direttiva 2010/73/UE) ha adottato invece un approccio sostanzialmente
narrativo nellillustrazione dei rischi.
Inoltre, sia la direttiva in materia di prospetti che quella in materia di fondi
comuni (come verr meglio discusso nei par. successivi) sono discipline cosiddette di
armonizzazione massima, e cio non consentono agli Stati membri la possibilit di
chiedere linserimento nella documentazione dofferta di informazioni aggiuntive rispetto a quelle previste dalla disciplina stessa. Infatti, lo stesso considerando 30 della
direttiva prospetto chiarisce che la finalit della massima armonizzazione dovranno
realizzarsi anche attraverso leliminazione delle disparit in termini di efficienza, modalit e durata del controllo dellinformazione fornita in un prospetto, conseguendosi
in tal modo un adeguato livello di equivalenza nelle misure di tutela richieste in ciascuno Stato membro.
Inoltre, si deve tenere presente che, per effetto della disciplina sulla prestazione dei servizi di investimento (Direttiva 2004/39/CE, c.d. MiFID), linvestitore retail
che sottoscrive uno strumento finanziario normalmente assistito da un intermediario che tenuto al rispetto di rigorose regole di condotta in materia di trasparenza e
correttezza dei comportamenti e a obblighi di valutazione delladeguatezza del prodotto rispetto al profilo del cliente per ci che riguarda la sua avversione al rischio e
il suo lorizzonte temporale di investimento. Tali obblighi sussistono anche quando vi
coincidenza fattuale fra emittente e distributore (come nel caso della banca che distribuisce strumenti finanziari di propria emissione).
La disciplina comunitaria prevede dunque che lanalisi del profilo di rischio
dei prodotti consigliati e la connessa predisposizione di procedure per la valutazione
delladeguatezza delle operazioni rientrano nei compiti specifici degli intermediari,
mentre allorgano di vigilanza spetta la verifica della conformit delle medesime procedure ai principi dettati dalla normativa e della loro concreta applicazione
nellinterazione con il cliente. In proposito, si rileva come in un recente documento in
materia di prodotti strutturati, lautorit di vigilanza inglese sui mercati finanziari, la
FCA (Financial Conduct Authority), chiarisca come la determinazione delle modalit di
ingegnerizzazione e di distribuzione dei prodotti, anche strutturati, siano responsabilit esclusiva dellintermediario, che deve dotarsi di procedure idonee ad assicurarne
la coerenza con il profilo della clientela target1.
La Direttiva UCITS IV e la proposta sui PRIPs
La disciplina comunitaria cosiddetta UCITS IV (direttiva 2009/65/CE) in
materia di fondi comuni di investimento ha adottato un approccio di massima armonizzazione del contenuto della documentazione dofferta per gli investitori retail prevedendo nel Regolamento comunitario 583/2010 (le cui disposizioni sono direttamente applicabili negli ordinamenti nazionali) schemi vincolanti in materia di contenuti del documento informativo sintetico contenente le informazioni chiave per gli
investitori (cosiddetto key investor information document, c.d. KIID) basati su metodologie di natura quantitativa ma diverse da quelle discusse nel precedente paragrafo.
In particolare, le linee guida adottate dal CESR (ora ESMA) in attuazione del
Regolamento 583/2010 hanno specificato gli aspetti metodologici da seguire nella
predisposizione dellinformativa veicolata attraverso il KIID, usando un approccio
La Financial Services Authority (FSA), ora FCA, ha pubblicato un documento nel marzo 2012 contenente linee guida
relative alla creazione e distribuzione di prodotti strutturati contenenti regole volte ad assicurare che il product
manifacturer e il distributore del prodotto siano in grado di valutare e misurare i rischi del prodotto che intendono
immettere sul mercato (FSA, Finalised Guidance, Retail Product Development and Governance Structured Product
Review, March 2012).
quantitativo diverso da quello basato sugli scenari di probabilit2. Tali linee guida
prevedono infatti che la metodologia dei calcolo degli indicatori sintetici di rischio di
cui allarticolo 8 e allAnnex I del Regolamento di implementazione del KIID si basino
sulla computazione della volatilit storica dei redimenti del fondo su un periodo campionario di almeno 5 anni; tale volatilit poi rappresentata su una scala numerica di
rischio che va da 1 (rischio basso) a 7 (rischio alto).
Tale regolamentazione stata adottata dopo diverse consultazioni condotte
dal CESR (le risposte a tali consultazioni sono disponibili sul sito della Commissione
Europea)3 e ha tenuto conto delle evidenze di un esercizio di consumer testing commissionato dalla Commissione Europea ad una societ specializzata sulla percezione/reazione degli investitori ai diversi modelli di KIID. Al riguardo (e ci fu parte delle
valutazioni effettuate prima di assumere la decisione definitiva su quale approccio
utilizzare) emerso che gli investitori retail percepiscono indicazioni di natura probabilistica come effettive e stabili, mentre invece i risultati (e quindi le possibilit di
guadagnare o perdere) sono soggetti a continui mutamenti nel tempo secondo la variazione dei parametri sottostanti presi a riferimento nella modellistica impiegata4.
Nella direzione di una completa standardizzazione della documentazione di
offerta, si indirizza pure la proposta di regolamento sui PRIPs della Commissione europea del 3 luglio 2012. In particolare, tale proposta prevede che continui
linterazione tra informazione minima sul prodotto e regole di comportamento
dellintermediario nel momento in cui il prodotto viene offerto ad un cliente retail.
Per quanto riguarda gli strumenti finanziari, le regole sono quelle previste dalla MiFID, mentre per quanto attiene ai prodotti assicurativi saranno quelle contenute
nellinsurance mediation directive (2002/92/EC). La proposta non prevede, allo stato,
alcuna forma di controllo preventiva e/o di approvazione dei prodotto o del key information document (KID) n alcuna possibilit di chiedere informazioni o di ricevere
ex post i KID. Si prevede soltanto che le Autorit possano interrompere la commercializzazione del prodotto e imporre sanzioni.
Infine, la proposta di Regolamento PRIPs del luglio 2012 prevede
linserimento nel KID di performance scenarios solo ove rilevanti avuto riguardo alla
natura del prodotto. In ogni caso, non viene specificato se tali scenari debbano essere
di tipo deterministico (in analogia con lapproccio seguito per il caso degli UCITS
strutturati nelle Guidelines CESR/10-1318) ovvero probabilistici, n fornito alcun
tipo di dettaglio in proposito. Spetter infatti alla Commissione Europea, mediante
ladozione di appositi atti delegati, la specificazione degli elementi informativi prescritti nel KID dei PRIPs.
Ulteriori vincoli discendono dalla Direttiva MiFID per ci che concerne la
prestazione dei servizi di investimento. Questultima infatti prevede che linter2
CESRs guidelines on the methodology for the calculation of the synthetic risk and reward indicator in the Key Investor Information Document, CESR/10-673, July 2010.
Consultation paper - Guidelines on the selection and presentation of performance scenarios in the Key Investor Information Document for structured UCITS.
UCITS Disclosure Testing Research Report.
mediario fornisca allinvestitore uninformativa concernente il tipo specifico di strumenti finanziari [] proposti (cfr. art. 19, par. 3, della Direttiva 2004/39/CE e art. 31,
parr. 1 e 2, della direttiva 2006/73/CE).
Si segnala, da ultimo, che lAutorit portoghese ha di recente emanato, con
Regolamento 2/2012, una specifica disciplina in materia di obblighi informativi concernenti i prodotti finanziari complessi i cui dettagli sono discussi nel Box 7. Si pu
senzaltro osservare che il KID previsto dallAutorit portoghese (che deve essere consegnato dal soggetto che procede alla commercializzazione allinvestitore retail) contiene uninformativa che ha ad oggetto uno strumento finanziario ben preciso e non
un tipo specifico di strumento: in tal senso, la previsione di un KID sembrerebbe costituire un obbligo aggiuntivo rispetto a quelli previsti dalla MiFID5.
Nel contesto normativo italiano non vi una disposizione di contenuto analogo. Al contrario, stato stabilito un generale divieto di introdurre o mantenere
obblighi aggiuntivi rispetto al quadro comunitario di riferimento (c.d. divieto di
goldplating), in sede di recepimento della normativa comunitaria (art. 15 della legge
n. 183/2011).
La direttiva prospetto
La normativa comunitaria in materia di prospetti (Direttiva 2010/73/UE e
Regolamenti attuativi) , come anticipato, una disciplina di armonizzazione massima
che non lascia spazio ad interventi integrativi della disciplina armonizzata da parte
degli Stati membri, restando esclusa ogni possibilit per le Autorit di vigilanza nazionali di esigere in via generale ed astratta linserimento nel prospetto di elementi
informativi non previsti dagli schemi comunitari6.
In tal senso opera, nellordinamento italiano, anche il c.d. divieto generale di
goldplating stabilito dallart. 24-bis della legge n. 246/2005 (introdotto dalla legge n.
183/2011), che vincola sia a livello di legislazione primaria che di regolamentazione
secondaria lattivit di recepimento della disciplina comunitaria. Va tuttavia chiarito che, sulla scorta della disciplina comunitaria di settore, non modificata sul punto,
possibile per lAutorit competente chiedere, allatto di approvazione di un prospetto,
caso per caso, che le informazioni fornite [] vengano completate per ognuno degli
elementi informativi richiesti, sempre che ci si renda necessario nellambito della
singola istruttoria per la corretta comprensione delle informazioni gi richieste e fornite (cfr. art 3 e art. 22, par. 3 del Regolamento comunitario 809/2004, nonch art.
21, par. 3, lett. a, della Direttiva Prospetto).
Al riguardo si rammenta che, secondo quanto previsto dallart. 4, par.1, della Direttiva 2004/39/CE (recepito
nellordinamento italiano allart. 6, comma2, del TUF), gli Stati membri possono mantenere o imporre obblighi aggiuntivi a quelli previsti nella presente direttiva solo nei casi eccezionali in cui tali obblighi siano obiettivamente giustificati e proporzionati, vista la necessit di far fronte a rischi specifici per la protezione degli investitori o lintegrit
del mercato che non siano adeguatamente trattati dalla presente direttiva []. Il par. 3 della norma citata soggiunge poi che gli Stati membri notificano alla Commissione [] gli eventuali obblighi che intendono imporre in applicazione del paragrafo 1 almeno un mese prima della data prevista per lentrata in vigore di tali obblighi.
Le finalit dellarmonizzazione della disciplina possono rinvenirsi, tra laltro, nel Considerando n.30 della Direttiva
Regolamento n. 2/2012 adottato dallAutorit di Vigilanza
portoghese (CMVM) in materia di prodotti finanziari complessi
Con regolamento n. 2/2012, adottato in data 25 ottobre 2012, lAutorit di vigilanza
portoghese sui mercati finanziari (CMVM) ha dettato una disciplina specifica in materia di obblighi informativi concernenti i prodotti finanziari complessi. Tale Regolamento stato emanato in forza di una specifica disposizione contenuta nel Decreto Legge n. 211-A/2008 e va a
sostituire il Regolamento n. 1/2009, gi adottato dalla medesima CMVM sulla base del Decreto
Legge citato.
Il Decreto Legge n. 211-a/2008, che ha la finalit dichiarata di aumentare la stabilit
finanziaria (art. 1), pone una particolare enfasi sulla disclosure concernente i prodotti finanziari complessi, intesi come quei prodotti il cui rendimento dipende in tutto o in parte
dallandamento di un sottostante, ivi inclusi i depositi strutturati. In tale ambito viene espressamente conferito allAutorit di vigilanza il potere di disciplinare i requisiti di disclosure relativi ai prodotti finanziari complessi, al fine di consentire agli investitori di ottenere una conoscenza effettiva delle caratteristiche e dei rischi dei medesimi.
In attuazione dei poteri sopra menzionati, il Regolamento n. 2/2012 introduce, per tutti
i prodotti finanziari complessi, un documento denominato Key Investor Information (KIID), di
cui disciplina il format e i contenuti. Il Regolamento prevede, quindi, la consegna allinvestitore
retail del KIID, che tuttavia non soggetto allapprovazione dellAutorit di vigilanza: tale documento risulta essere aggiuntivo rispetto alleventuale documentazione dofferta gi esistente,
secondo lapproccio gi seguito in ambito UCITS e in coerenza con i lavori in corso in ambito
Responsabile della consegna o messa a disposizione del KIID la market entity: pur
non essendo prevista una definizione al riguardo, da una lettura sistematica del provvedimento
essa pare potersi identificare con lintermediario che presta un servizio di investimento.
Lart. 13 del citato Regolamento prevede che il KIID dei prodotti per i quali il pagamento
degli interessi o lammontare degli stessi, la data di rimborso del capitale o lammontare del
rimborso stesso sono connessi al verificarsi di un evento dovrebbe descrivere lo scenario peggiore e quello migliore. Laddove, se base volontaria, o quando richiesto della CMVM, il KIID presenta scenari od esempi, lart. 13 prevede la presentazione di tre scenari di rendimento, definiti
sulla base di distribuzioni di probabilit dei rendimenti attesi.
Tuttavia, gli scenari introdotti dallAutorit portoghese forniscono esclusivamente un
valore del rendimento (pi o meno probabile) e non un livello di probabilit corrispondente al
verificarsi di un dato evento; inoltre, nella disciplina portoghese, non previsto il confronto
con il rendimento dellattivit priva di rischio e soprattutto non imposta lipotesi di neutralit
In conclusione, pur adottando un approccio che privilegia aspetti di tipo qualitativo, il
KIID contempla linserimento su base volontaria di scenari di rendimento basati su approccio di
tipo probabilistico, senza per altro che via sia alcuna indicazione vincolante circa luso delle
probabilit risk-neutral.
Ci significa che (soltanto) sulla scorta di una specifica valutazione (in base
a motivi ragionevoli) caso per caso, lAutorit di vigilanza potr chiedere linserimento, nel prospetto oggetto di istruttoria, di informazioni supplementari (arg. ex
art. 13, par. 4, Direttiva Prospetto) che si rendano necessarie per completare ovvero
rendere comprensibile, nel singolo caso, ciascun elemento informativo previsto dagli
schemi di prospetto. Tale potere incontra, tuttavia, un limite (intrinseco) nellimpossibilit di modificare il modello di schema di prospetto (basato su una rigida elencazione di argomenti suddivisi in paragrafi) stabilito dal Regolamento comunitario di
attuazione della direttiva (cfr. art. 3 del Regolamento 809/2004 come modificato dal
Regolamento 486/2012, secondo cui Il prospetto redatto utilizzando uno degli
schemi e dei moduli o una delle loro combinazioni di cui al presente regolamento),
Regolamento direttamente applicabile nellordinamento di tutti gli Stati membri.
Il Regolamento comunitario 486/2012, tuttavia, ha specificato quali sono gli
elementi informativi che devono essere inclusi nel prospetto di base o nelle condizioni
definitive (compresa la nota di sintesi: cfr. art. 24), attraverso il rinvio a tre categorie
di riferimento (A, B e C)7 ed ha, dunque, fissato in dettaglio il contenuto standard obbligatorio delle condizioni definitive (riferite alle specifiche emissioni) e, dunque, implicitamente, anche del prospetto di base, prevedendo altres un elenco di informazioni supplementari non rientranti nel contenuto necessario della nota informativa sugli strumenti finanziari che possono essere inserite, su base volontaria, nelle
stesse condizioni definitive, se ritenute utili per gli investitori.
Ne risulta, nellinsieme, un quadro prescrittivo, relativo al contenuto della
documentazione di offerta, rigoroso e stringente. In questo ristretto ambito possibile che lAutorit di vigilanza, caso per caso, richieda allemittente e/o allofferente
linserimento nel prospetto di base di informazioni descrittive che consentano di
completare o rendere comprensibili le informazioni gi rese in ottemperanza al dettato regolamentare. Ci, come gi detto in generale, nei limiti della coerenza dellintegrazione richiesta rispetto allitem previsto dal paragrafo incluso nello schema di prospetto (in altri termini, le integrazioni richieste non devono modificare n snaturare il
contenuto informativo del paragrafo integrato, n comportare linserimento di parti o
paragrafi aggiuntivi).
In relazione alle condizioni definitive (soggette ad un controllo solo ex post
da parte dellAutorit di vigilanza), invece, lAllegato XXI al Regolamento 486/2012,
prevede espressamente la possibilit per lemittente e/o offerente solo su base volontaria, trattandosi di documentazione non soggetta ad approvazione di inserire
un numero chiuso di informazioni supplementari rispetto allo schema.
Ciascun elemento informativo contenuto negli schemi di prospetto stato classificato in tre categorie, le quali determinano il grado di flessibilit con cui le informazioni possono essere fornite nel prospetto di base o nelle condizioni definitive. In particolare, le informazioni di categoria A dovranno essere necessariamente inserite nel prospetto
di base; le informazioni di categoria B verranno incluse nel prospetto d base solo per principi generali, mentre i dati
che siano ignoti la momento dellapprovazione del prospetto di base potranno essere lasciati in bianco e inseriti nelle
condizioni definitive; le informazioni di categoria C dovranno essere veicolate con le condizioni definitive qualora
non siano note nel momento dellapprovazione del prospetto di base.
Si evidenzia che, tra le informazioni supplementari, sono menzionate anche eventuali esemplificazioni che lemittente potr utilizzare per illustrare la natura
di taluni strumenti derivati complessi, allo scopo di fornire agli investitori spiegazioni
chiare ed esaurienti che consentano loro di capire in che modo il valore dellinvestimento influenzato dal valore del sottostante.
Lapproccio normativo connotante il descritto regolamento, dunque, non
rende possibile introdurre nei prospetti e nelle condizioni definitive, neppure su base
volontaria, informazioni non ricomprese tra quelle previste come obbligatorie o come
supplementari, n allocare uninformazione in un documento diverso rispetto a quanto normativamente previsto per la categoria (A, B o C) cui tale informazione deve ricondursi.
Da ultimo, non pu non rilevarsi come si debba tener in ogni caso presente
che la ratio della Direttiva prospetto e del Regolamento di attuazione quella di
massima armonizzazione delle regole circa le informazioni da inserire nella documentazione dofferta a tutela degli investitori, ridurre gli oneri amministrativi per gli emittenti e aumentare lefficienza del regime del prospetto (cfr. considerando n.4 del
Reg. 486/2012), nellottica di una pi agevole comparabilit da parte degli investitori
degli strumenti finanziari offerti (cfr. Considerando n. 10 del medesimo Regolamento
sulla nota di sintesi).
74 agosto 2013
72 dicembre 2012
71 ottobre 2012
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69 luglio 2011
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References: art. 19
 art. 31
 art. 22
 art.
21

art. 13
 art. 3
 art. 24