Source: https://es.scribd.com/doc/82365683/Aplicaciones-Del-Cabri-a-La-Geometria-Euclidiana-Final-Fina
Timestamp: 2017-05-24 05:00:00+00:00

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CONTENIDO INTRODUCCIÓN 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1.DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 1.2.FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 2. JUSTIFICACIÓN 3. OBJETIVOS 3.1. OBJETIVO GENERAL 3.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS 4. MARCO REFERENCIAL 4.1. MARCO TEORICO 4.1.1. GEOMETRÍA DINÁMICA 6 6 6 7 9 9 9 10 10 10
4.1.2. INTRODUCCION DE HERRAMIENTAS EN LA GEOMETRÍA DINÁMICA 11 4.1.3. CABRI-GEOMETRE II PLUS 4.1.4. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO 4.1.5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMA 4.2. MARCO CONCEPTUAL 4.2.1. SEGMENTO 4.2.2. ÁNGULO 4.2.2.1. CLASIFICACION DE LOS ANGULOS 4.2.2.2. ÁNGULOS Y RECTAS PARALELAS 4.2.3. TRIÁNGULOS 4.2.3.1. CLASES DE TRIÁNGULOS 4.2.3.2. CRITERIOS DE IGUALDAD 4.2.3.3. LINEAS Y PUNTOS NOTABLE 4.2.3.4. RECTA DE EULER 12 14 15 15 15 15 16 19 23 24 26 28 30
CARACTERÍSTICAS DEL MÓDULO 5. MARCO METODOLOGICO 5. ESTRUCTURA DE UN MÓDULO 6. BIBLIOGRAFIA 9.1.1.5.2. RECOMENDACIONES 8.1. MÓDULO DE APRENDIZAJE 5. CONCLUSIONES 7.1. INFOGRAFIA
32 32 32 34 36 37 38 39
Se enfatizó en el uso de la computadora con software diseñado específicamente para lograr que se convierta en un valioso auxiliar de estudiantes y maestros. La visualización de los entes geométricos presenta una gran dificultad en su interpretación para la enseñanza. convirtiéndose la computadora en una herramienta virtual para lograr mejorar ese tipo de visualizaciones y los procesos deductivos e inductivos en los estudiantes. En este trabajo se diseño una estrategia con tecnología computacional para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría dinámica en la secundaria para jóvenes en un rango de edad entre 13 y 15 años. hace que sea especialmente interesante reflexionar acerca de cómo esas tecnologías pueden coadyuvar en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. es innegable el interés que despierta el uso de este tipo de materiales en el salón de clases y fuera de éste.INTRODUCCIÓN
Se ha vuelto frecuente observar cómo los continuos avances tecnológicos tienen una incidencia muy significativa en todos los planos de la sociedad.
. El hecho de que las matemáticas sean una disciplina fundamental para estos avances.
entre otras pero ninguna de estas se ha interesado en el desarrollo de la actividad a la cual nos dedicamos en este trabajo. José. teniendo en cuenta una perspectiva constructivista en la Resolución de Problemas. con la intervención de un software matemático como CABRI GEOMETRE II PLUS. relaciones y propiedades de los triángulos. GAVILÁN. Actualmente. en nuestro medio no se encuentra un módulo que facilite la construcción de los conceptos de la mayoría de los elementos notables del triángulo. Debido a esto nos permitimos usar el software CABRIGEOMETRE II PLUS en la creación de un módulo con estudio y construcción de algunas componentes. ¨resolución de problemas de geometría con Cabri II¨ 2.1. Helena. resolución de problemas de geometría con Cabri II
.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA El uso de computadoras y software hoy día y su proliferación en el aula de clase nos lleva a interesarnos en la implementación de estos medios virtuales como apoyo a la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. construcción en Cabri para la comprensión de los tópicos de razón y proporción simple y directa 2 BARROSO. Por la búsqueda hecha sobre los trabajos realizados con la ayuda de CABRI GEOMETRE II PLUS hemos encontrado diferentes investigaciones tales como: ¨construcción en Cabri para la comprensión de los tópicos de razón y proporción simple y directa¨ 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ¿Qué fortalezas ofrece la elaboración de un módulo con estudio y construcción de algunas componentes relaciones y propiedades con CABRI GEOMETRE II PLUS en el aprendizaje de los elementos notables del triángulo?
LEDESMA. 1. Ricardo.
Gracias a este paradigma se logra ver que los estudiantes mejoran sus competencias argumentativas interpretativas y propositivas.
CAMPOS. JUSTIFICACIÓN
Actualmente el fácil y buen uso de herramientas virtuales por los estudiantes de secundaria nos lleva a interesarnos en la construcción de un módulo para la enseñanza y el aprendizaje de algunas relaciones y propiedades de los triángulos apoyados en el programa dinámico CABRI-GEOMETRE II PLUS. la construcción de contraejemplos que permiten el rechazo o modificación de las mismas. resolver problemas para luego inducir y deducir propiedades comunes. Marcos.com/doc/20443334/pR0YECTO-fINAL-mATE
. la formulación y verificación de conjeturas. “Desde la perspectiva de la educación matemática. elaborar una estrategia de resolución basada en: simplificar el problema. y a la vez potencian la formalización. Con la elaboración de este módulo se busca mejorar en los estudiantes el desarrollo del Pensamiento Geométrico. O sea mejorar el paso que tiene que realizar el estudiante de secundaria en los curso Sexto y Séptimo de la visualización (perceptual) a la justificación (argumentación) en geometría Euclidiana. buscar analogías con otros conocidos. Es un recurso que permite explorar y manipular objetos geométricos favoreciendo la
realización de actividades de carácter experimental como complemento para la resolución analítica de problemas” 3. de destrezas y habilidades que le permitan emitir conjeturas. entendemos que ofrece un impulso para ampliar y mejorar las estrategias en la resolución de problemas. Un ejemplo viene dado por las posibilidades que brindan los programas basados en la "geometría dinámica". Maestría en ciencias matemáticas y su didáctica http://www. descomponerlo en otros más sencillos. ya que la herramienta de arrastre posibilita el descubrimiento de elementos comunes.2. la incorporación de los programas de ordenador.scribd.
“Desde el año 2000 un grupo de educadores matemáticos de 24 Universidades Colombianas y de 120 instituciones educativas de educación básica y media, bajo el liderazgo del Ministerio de Educación Nacional, ha venido implementando el proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al currículo de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”, tendiente a mejorar el proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas. (I.N.T.C.M). El impacto positivo de este proyecto en el sistema educativo se ha basado en resolución de problemas, estrategias y procesos de formación gradual en el conocimiento y manejo técnico de los sistemas computacionales gráficos y algebraicos y la reflexión pedagógica y didáctica respecto a sus posibilidades en la promoción del desarrollo del pensamiento matemático” 4. Según Fernando Hitt: “El avance tecnológico ha influido notablemente en el desarrollo de nociones teóricas que antes se tomaban en cuenta pero que no eran consideradas como cruciales en términos de explicar el aprendizaje de conceptos geométricos. Estos aspectos teóricos son la base para entender el estudio de las diferentes representaciones de los objetos geométricos y su papel en la construcción de conceptos. Ahora, con la tecnología, es importante el estudio de las diferentes representaciones de los objetos geométricos en ambientes muy diferentes a los que se seguían en el pasado” 5.
CASTIBLANCO, Ana. Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia. http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-106534_archivo.pdf 5 HITT, Fernando. Una Reflexión Sobre la Construcción de Conceptos Matemáticos en Ambientes con Tecnología. http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/fernandoHitt.pdf
3.1 OBJETIVO GENERAL Elaborar un módulo para la construcción de algunas componentes, relaciones y
propiedades de los triángulos con apoyo del software CABRI-GEOMETRE II PLUS, logrando un desarrollo dinámico de la geometría por parte del estudiante y una mejor motivación por el estudio de esta área de las matemáticas.
3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS • Diseñar un Módulo para el aprendizaje de algunas componentes, relaciones y propiedades de los triángulos apoyados en el programa CABRI GEOMETRE II PLUS con énfasis en la resolución de problemas. • Fomentar en el estudiante el gusto por el trabajo en equipo y el modo de descubrir regularidades en un entorno de tecnologías computacionales de manera significativa. • Valorar el manejo de un programa de ordenador como una herramienta formativa para descubrir regularidades en geometría Euclidiana con énfasis en los triángulos.
4. MARCO REFERENCIAL 4.1. MARCO TEORICO La geometría como una herramienta para interpretar, entender y apreciar mejor el mundo en que vivimos, y que constituye una importante fuente de modelación y ámbito por excelencia para desarrollar el pensamiento espacial y procesos de nivel superior y en particular, formas diversas de argumentación. Y por lo dicho en los lineamientos curriculares: “Desde esta perspectiva se contemplan énfasis en el que-hacer matemático como: el desarrollo de la percepción espacial y de las intuiciones sobre las figuras bi y tridimensiónales, la comprensión y uso de las propiedades de las figuras y las interrelaciones entre ellas así como del efecto que ejercen sobre ellas las diferentes transformaciones, el reconocimiento de propiedades , relaciones e invariantes a partir de las observaciones de regularidades que conduzcan al establecimiento de conjeturas y generalizaciones, al análisis y resolución de situaciones problema con diferentes miradas desde lo analítico, desde lo sintético y lo transformacional” 6. 4.1.1. GEOMETRÍA DINÁMICA Para lograr el desarrollo de pensamiento geométrico se sugiere el enfoque de geometría dinámica que parte de la actividad del estudiante y su confrontación con el mundo. Se da prioridad a la actividad sobre la contemplación pasiva de figuras y símbolos, a las operaciones sobre las relaciones y elementos de los sistemas. Se trata pues de hacer cosas, de moverse, dibujar, construir producir y tomar de estos esquemas el material para la conceptualización o representación interna; la geometría dinámica es una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración y representación del espacio. El aspecto critico de la geometría dinámica está en el modo de arrastre; los objetos geométricos son netamente variables, características que no se hace explicita en la
presentación usual de la geometría. Por lo cual queremos mostrar cómo la geometría con
Lineamientos curriculares. MEN, Cooperativa Editorial Magisterio. 1998, p. 33
que es fija. Con estos programas las figuras geométricas pueden construirse por medio de acciones y en un lenguaje que son muy próximos a los que se usan en el universo familiar de "papel y lápiz”.2 INTRODUCCIÓN DE HERRAMIENTAS EN LA GEOMETRÍA DINÁMICA “Los programas de geometría dinámica fueron diseñados con la intención específica de poner a disposición de los estudiantes un ambiente para la exploración experimental de la geometría. determinar patrones generales. además el trabajo en estos ambientes da lugar a un hecho importante en términos didácticos el cual es la posibilidad de que los estudiantes visualicen el problema desde varias representaciones. y en especial el programa CABRI GEOMETRE II PLUS ya que la
conceptualización de los objetos geométricos no se hace a partir de unas pocas representaciones pues la posibilidad de trasformar de manera continua las construcciones. El software de geometría constituye un medio 11
. después de haber hecho una construcción.CABRI-GEOMETRE II PLUS puede convertirse en una ayuda para la solución de dificultades experimentadas por los estudiantes. etc. mover ciertos elementos arrastrándolos libremente y observando cómo otros elementos responden dinámicamente al alterar las condiciones. permite observar un gran número de representaciones asociadas. En efecto se reconoce que el trabajo de geometría dinámica permite investigar construcciones matemáticas y su significado. estos programas permiten a los estudiantes. En contraste con la construcción de papel y lápiz. Existen otros programas de geometría dinámica como: GeoGebra. lo cual permite que identifiquen y exploren cualidades asociadas al proceso. Winplot. Math type. formular y explorar. Entonces una gran motivación para desarrollar este tipo de trabajo es la geometría dinámica. Wathprof. La posibilidad de exploración del comportamiento de las
figuras geométricas permite una interpretación matemática de las mismas y favorece la conceptualización. trabajar en problemas no rutinarios. Padowan graph. Al tener un contexto de exploración se favorece en la clase un ambiente de construcción de conjeturas y la creación de sus propias estrategias para solucionar una situación problema.1. mediante la opción arrastre de una figura. 4.
4.poderoso para verificar conjeturas verdaderas y es muy útil para construir contraejemplos de conjeturas falsas” 7.  Ganar familiaridad con ciertas claves visuales de configuraciones geométricas.  Examinar combinaciones de elementos que sirven para crear otros. Cabri Geometre fue uno de los primeros programas de geometría dinámica con una serie de características que lo han ido convirtiendo en un recurso muy especial para las clases de matemáticas de todos los niveles.asp
. Les facilitan a los estudiantes:  Aprender a aplicar el razonamiento implícito en procedimientos. es mucho más que una regla y compás para computadoras. generan figuras y realiza construcciones fáciles. rápidas y exactas. Ha sido el fruto del trabajo colaborativo de matemáticos.es/weborriak/recursosinternet/RecInternet/Cabri/Cabri. CABRI-GEOMETRE II PLUS 8 Este programa de geometría dinámica ha abierto nuevas posibilidades para la geometría escolar. El Cabri es el más popular.1.html 8 MORA. La principal novedad es que las figuras dejan de ser estáticas para presentarse en forma de animaciones para que podamos observarlas desde distintos puntos de vista. y completo. lo realmente innovador es que los diseños pueden ser concebidos para que podemos modificar ciertos parámetros en la construcción y comprobar los efectos de nuestros cambios.ehu. Introducción a herramientas de geometría didáctica http://weblog.3. http://divulgamat.mendoza.  Ir más allá de la observación directa. fácil de usar y versátil.edu.
DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS.ar/info_mate/archives/2003_12. José. Si bien es cierto que este programa.  Evitar errores comunes asociados a la utilización de "papel y lápiz". Pero no es sólo el movimiento de las figuras lo que les proporciona interés para el aprendizaje de las matemáticas. pedagogos y programadores. Recursos didácticos en Internet.
Incluye procedimientos clásicos de la geometría como la construcción de lugares geométricos o la posibilidad de transferir medidas de un lugar a otro y de un objeto a otro. podemos preparar menús personalizados con los que limitamos las herramientas disponibles para realizar una tarea. Este programa tiene una gran facilidad para el uso no solo para las personas experimentadas en esté si no que cualquier persona sin un conocimiento previo sobre el software ya que:  El estudiante encuentra un entorno amigable. ángulos y áreas para hacer la comprobación de conjeturas. Desde un punto de vista numérico medimos distancias. La geometría aquí deja de ser algo estático como ocurre en los libros de texto y presenta animaciones que pueden interactuar con el estudiante.  El profesor puede diseñar macros.Puede ser utilizado tanto para construcciones elementales en los primeros cursos como otras mucho más complejas en las que intervengan multitud de objetos entrelazados. se establece muy claramente la diferencia entre “construir” y “dibujar”. Cabri tiene grandes posibilidades en la exploración de situaciones. por la forma de trabajar. El programa aprende con nosotros con la producción de macros o procedimientos generales que permiten obtener una figura compleja a partir de unos elementos iníciales prefijados. Inicialmente sólo controla unas pocas herramientas que irá ampliando con la exploración y la resolución de problemas.  Para el usuario avanzado la principal característica de Cabri es su gran versatilidad: es capaz de adaptarse a la representación y análisis de situaciones muy diversas  Para la resolución de problemas. que ayuden a sus estudiantes a comprender los conceptos geométricos y las relaciones entre ellos. pero también nos podemos colocar desde una perspectiva geométrica para observar la relación entre las los objetos de una construcción y sus propiedades lo que facilitará la adopción de nuevas estrategias de resolución. Disponemos de una herramienta para cambiar las condiciones establecidas para un determinado elemento.
construcción de modelos.4 DESARROLLO DEL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO La investigación sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico indica que este sigue una evolución muy lenta desde las formas intuitivas iníciales hasta las formas deductivas finales. Es el del rigor.4. Van Hiele propone cinco niveles del desarrollo del pensamiento geométrico que muestra el modo de estructurar el aprendizaje de la geometría 9. ni se entiende suficientemente el significado el rigor de la demostraron. 58-59
. pueden estudiar geometría
Lineamientos curriculares. Los estudiantes razonan formalmente sobre sistemas matemáticos. es cuando el razonamiento se hace rigurosamente deductivo. Nivel 3. los teoremas pero aún no sé hacen razonamientos abstractos. Ellos pueden clasificar figuras jerárquicamente mediante la ordenación de sus propiedades y dar argumentos informales para justificar sus clasificaciones. Es el nivel de visualización. Es el nivel de análisis. Nivel 2. Nivel 4. El modelo de Van Hiele es la propuesta que describe con bastante exactitud esta evolución y que es de gran aceptación a lo que se refiere a la geometría escolar. Llamado de ordenamiento o de clasificación. en él se entiende el sentido de los axiomas las definiciones. Las relaciones y definiciones empiezan a quedar clarificadas pero solo con ayuda y guía. Estas propiedades van siendo comprendidas a través de observaciones efectuadas durante trabajos prácticos como mediciones. Es el razonamiento deductivo. MEN. Nivel 5. Cooperativa Editorial Magisterio. de conocimiento de las componentes de las figuras de las propiedades básicas.1. dibujo. En este nivel los objetos sobre los cuales los estudiantes razonan son clases de figuras de la misma forma. 1998. Nivel 1. llamado también de familiarización en el cual el estudiante no detecta relaciones entre las figuras y entre sus partes. En este nivel sobre los cuales se razona son las propiedades de las figuras. p.
ayuda a ponderar la importancia del empleo de distintas representaciones y la búsqueda de distintos caminos de resolver un problema.sin modelos de referencia y razonar formalmente manipulando enunciados geométricos tales como axiomas definiciones y teoremas. Los rayos son los lados del ángulo y el punto común es el vértice.5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: A muchos estudiantes y maestros no les gusta hacer (resolver) problemas.2 MARCO CONCEPTUAL 4. lleva tiempo.1.2 ÁNGULO: un ángulo es la unión de dos rayos con un punto en común. En particular el empleo del software dinámico se puede transformar en una herramienta que permita a los estudiantes generar representaciones que permiten visualizar elementos claves alrededor de la solución. al no ver una solución inmediata de un problema. con el software dinámico tienen oportunidades de aprender a experimentar. Los estudiantes no sólo pueden mirar. comparar y cambiar figuras de manera directa. convencidos de que el problema está más allá de sus capacidades.
. La solución de problemas. Un ejemplo. en muchos casos. 4.
4. es decir sabemos dónde empieza y dónde termina por lo tanto la podemos medir.2. sino también medir.2. o a que no le han hallado gusto a esta actividad para el desarrollo de las matemáticas. En este trabajo queremos mostrar qué papel juegan los programas de geometría dinámica para el desarrollo de estrategias de resolución de problemas.1 SEGMENTO: un segmento de recta es una porción de recta con principio y con fin. 4. podríamos decir que tal vez se deba a que principalmente no han tenido éxito en resolverlos. Además. En general. con frecuencia se dan por vencidos.
Obtusos: el ángulo mide más de 90º
Rectos: el ángulo es igual a 90º.4.2.1 CLASIFICACION DE LOS ÁNGULOS: Los ángulos se clasifican según su medida. y según su posición.
. según su suma. • Según su medida los ángulos se clasifican en:  Agudos: el ángulo mide menos de 90º.
Llanos: el ángulo es igual a 180º.
Suplementarios: dos ángulos son suplementarios si la suma es igual a 180º
Según la suma los ángulos se clasifican en:  Complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma es igual a 90º.
Opuestos por el vértice: los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.Según su posición los ángulos pueden ser:  Consecutivos: tienen el vértice y un lado en común.
Adyacentes: son consecutivos y sus lados no comunes están en la misma recta.
2 ÁNGULOS Y RECTAS PARALELAS:  Ángulos colaterales internos: son ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.2.
Ángulos colaterales externos: son ángulos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de la rectas.4.2.
Ángulos alternos externos: son ángulos externos que se encuentran en uno y otro lado de la secante.
Ángulos correspondientes: son ángulos que se encuentran a un mismo lado de la secante.
Ángulos alternos internos: son ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante. un interno con un externo. formando parejas.
Si las rectas cortadas por la secante son paralelas entonces cumplen las siguientes relaciones:  Los ángulos colaterales son suplementarios. es decir su suma es de 180 grados
Ángulos opuestos por el vértice: son aquellos que tienen en común el mismo vértice y se oponen uno al otro.
∡𝑏𝑏 ≅ ∡𝑓𝑓.
∡𝑎𝑎 ≅ ∡𝑒𝑒.
Los ángulos correspondientes son congruentes. ∡𝑐𝑐 ≅ ∡𝑔𝑔. ∡𝑑𝑑 ≅ ∡ℎ
Los ángulos alternos son congruentes.
Si se traza una secante a dos rectas paralelas y se conoce la medida de uno de sus ángulos. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto.3 TRIÁNGULOS: es un polígono de tres LADOS.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. es el segmento que une los vértices A y C. Es decir: El lado 'a'. que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES.
4. El lado 'b'. B y C. es el segmento que une los vértices A y B. es posible determinar la medida de los otros ángulos. 23
. El lado 'c'. pero en minúscula. es el segmento que une los vértices B y C.
Los vértices se denotan por letras mayúsculas: A.
���� ≅ 𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 ���� 𝐴𝐴𝐵𝐵
Escaleno: los tres lados tienen diferente medida. al ángulo que forman las rectas sobre las que se apoyan dos de sus lados incidentes en un vértice. es decir tienen la misma medida.
���� ≅ 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵 ����
.  Según sus lados: • Equilátero: sus tres lados son congruentes “≅”. Algunas de las propiedades que cumplen los triángulos son: Propiedad 1: Un triángulo tiene tres ángulos. El ángulo. Propiedad 2: (Propiedad Triangular) Las longitudes de los lados de un triángulo no pueden ser cualesquiera. cumpliéndose siempre que: "la suma de la medida de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados".2. Para que pueda construirse el triángulo. se denota con la misma letra que el vértice correspondiente.
Isósceles: Solo dos de sus lados son congruentes.1 CLASES DE TRIÁNGULO: los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos. la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados o.Se llama ángulo de un triángulo. lo que es lo mismo: "cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos" 4.3.
∡𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 < 900 25
. Ángulo obtuso. ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 < 900
900 < ∡𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 < 1800 Acutángulo: la medida de los tres ángulos son menores de 90 grados.
∡𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 = 900 . ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 < 900 .
Obtusángulo: la medida de un ángulo es mayor de 900 grados y menor de 1800.
∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 < 900 .
Según sus ángulos: •
���� ���� ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≠ 𝐴𝐴𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵𝐴𝐴
Rectángulo: la medida de un ángulo es de 90º grados o ángulo recto y dos agudos. ángulos agudos. ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 < 900 .
Además.3. los otros dos ángulos (aparte del obtuso) tienen que ser agudos. Para ver si dos triángulos son congruentes basta con comprobar la congruencia de parte de sus elementos. O dicho de otra forma: Todo triángulo tiene que tener siempre DOS ángulos AGUDOS. es también equiángulo" (los tres ángulos son iguales. catetos". y por tanto. el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos. CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de manera que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. y miden 45º". 4. luego los ángulos agudos también son iguales. "Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto y sus catetos iguales.
.2. Esos elementos vienen determinados por los criterios de congruencia de triángulos. si recordamos que la suma de la medida de los tres ángulos de un triángulo SIEMPRE suma 180º. En un triángulo obtusángulo.2. "En el triángulo rectángulo. pudiendo ser el tercero: • • • AGUDO (en cuyo caso el triángulo será acutángulo) RECTO (en cuyo caso el triángulo será rectángulo) OBTUSO (en cuyo caso el triángulo será obtusángulo)
De acá podemos deducir unas características que enunciaremos en la siguiente propiedad:
Propiedad 3: • • • "El triángulo equilátero. los otros dos ángulos (aparte del recto) tienen que ser agudos. se deduce lo siguiente: • • En un triángulo rectángulo. Son las condiciones mínimas que se deben cumplir para que dos triángulos sean congruentes. de 60º cada uno).
∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ∡𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸.
CRITERIO 2: Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo.•
CRITERIO 1: Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con
los tres lados de otro triángulo. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒. 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ 𝐷𝐷𝐷𝐷. entonces los dos triángulos son congruentes.
���� 𝐷𝐷𝐷𝐷 ���� 𝐷𝐷𝐸𝐸 ���� 𝐷𝐷𝐸𝐸 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ ���� . 𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ 𝐷𝐷𝐸𝐸. ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ∡𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸. entonces los dos triángulos son congruentes. ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸
De donde podemos deducir la propiedad: 27
. 𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ����. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸
respectivamente congruentes con los dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo.
• ���� ���� ���� ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ 𝐷𝐷𝐷𝐷. entonces los dos triángulos son congruentes. Esto es conocido como el Postulado de la Congruencia LLL. 𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ����. 𝑒𝑒𝑒𝑒 ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸
CRITERIO 3: Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son
���� ���� ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ ∡𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸. 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒. Esto es conocido como el Postulado de la Congruencia LAL. Esto es conocido como el Postulado de la congruencia ALA.
alturas. ����) trazado de forma
perpendicular desde un vértice del triángulo (ABC) al lado opuesto o a una prolongación de él. baricentro y circuncentro. En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices que concurren en un punto llamado incentro.
. de las cuales se originan los puntos llamados incentro. y se llama paralela media correspondiente al tercer lado". 4. ����) trazados desde cada vértice al lado opuesto y que demedian a los
ángulos correspondientes de dichos vértices.
Y encontramos las siguientes propiedades: Propiedad 5: "Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo" es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados. En todo triángulo se pueden trazar tres alturas que concurren en un punto común llamado Ortocentro.2. medianas y mediatrices. LINEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO: En un triángulo pueden trazarse unas rectas especiales que se denominan líneas notables del triángulo. Propiedad 6: "El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo" • ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 ALTURAS: se llama altura al segmento (𝐴𝐴𝐶𝐶 . Estas son bisectrices. ����. ����. • BISECTRIZ: las bisectrices de un triángulo (ABC) son los segmentos ���� 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐶𝐶 (𝐴𝐴𝐴𝐴 .3. ortocentro.Propiedad 4: "La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad. los segmentos que se forman son de la misma longitud.3.
𝐵𝐵𝐴𝐴 ) que une un vértice de En todo
un triángulo (ABC) con el punto medio (O. o incluso. la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en dos triángulos congruentes" Propiedad 9: Al igual que con las alturas sucede que: • • • "El Ortocentro de un triángulo rectángulo es el vértice correspondiente al ángulo recto" "El Ortocentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo" "El Ortocentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo" ���� ���� ���� MEDIANAS: se le llama mediana al segmento (𝐴𝐴𝐵𝐵.
. exterior al mismo.
triángulo las medianas se concurren en un punto llamado baricentro o centro de masa.Y las propiedades que tenemos son: Propiedad 7: Una altura puede ser interior al triángulo. y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo"
ACUTÁNGULO: "Las tres alturas son interiores al triángulo" OBTUSÁNGULO: "La altura respecto al mayor de sus lados es interior. siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo"
Propiedad 8: "En un triángulo isósceles. Q) del lado opuesto. 𝐴𝐴𝐶𝐶 . coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo). si el triángulo es:
• • • RECTÁNGULO: "La altura respecto a la hipotenusa es interior. P.
Propiedad 10: "Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo.2.4 RECTA DE EULER: Una vez trazadas las rectas y puntos notables del triángulo con la ayuda de tres de estas podemos trazar la llamada recta de Euler que enunciaremos en la siguiente propiedad:
. P. que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto" • MEDIATRICES: se le llama mediatriz a la recta perpendicular trazada por el punto medio (O. independientemente del tipo de triángulo que sea" Propiedad 11: "Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área" Propiedad 12: "El baricentro de un triángulo.
Propiedad 13: "Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicho lado" Propiedad 14: unas características del circuncentro son:
• • • "El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa" "El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo" "El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"
4. Q) de un lado del triángulo. En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices que concurren en un punto llamado circuncentro.3. es un punto interior al mismo.
la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro. Además. La distancia del baricentro al Circuncentro es la mitad que la distancia del baricentro al Ortocentro. El baricentro está ENTRE el Ortocentro y Circuncentro.Propiedad 15: El Ortocentro.
A G: ORTOCENTRO H: BARICENTRO O: CIRCUNCENTRO G O RECTA DE EULER
. Baricentro y Circuncentro) se llama RECTA DE EULER. Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.
El trabajo parte siempre del conocimiento previo y de las experiencias de los estudiantes. MÓDULO DE APRENDIZAJE 10: El módulo de aprendizaje es un recurso didáctico diseñado por el profesor para lograr el desarrollo de competencias de diverso orden. quienes motivados por un propósito común desarrollan actividades en un tiempo determinado. MARCO METODOLÓGICO
5. el que se confronta con nuevos desafíos o conocimientos. Alma. Entre ellas destacamos: • • • La progresión analítica en las estrategias.umce. y el profesor debe asumir la función de orientarlo a través de la proposición de actividades y del manejo de las distintas variables que inciden en él. la metacognición del proceso de aprendizaje. constructivista y comunicativa funcional.cl/revistas/extramuros/extramuros_n03_a03. 5. completación.5. como son los ítems de selección múltiple.1.html
. con conocimientos actualizados sobre las competencias cognitivas que deben activarse y con la disposición de los profesores y profesoras para cambiar antiguos esquemás. pregunta con respuesta breve.1. desde las más simples a las más complejas. Todo el proceso está basado en el rol activo del estudiante. el aprendizaje del estudiante será autónomo y se evitará la memorización.1.
HERMANSEN. Destacamos esto para acentuar que cualquier aprendizaje no se mejora con actividades absolutamente originales sino que con una nueva visión. las cuales son evaluadas y retroalimentadas permanentemente. CARACTERISTICAS DEL MÓDULO: Las características de los módulos de aprendizaje tienen estrecha relación con su orientación cognitiva. • Para la realización de todas estas actividades se utilizarán reactivos conocidos. Nelly. Integra diferentes estrategias y conocimientos a través de la participación activa del profesor y del estudiante. etc. OLGUIN. además. Así. El módulo promueve. Módulos http://www.
A través de su participación.
. que son altamente valorados en la teoría constructivista. el aprendizaje significativo. de carácter cognitivo y se origina siempre en un desequilibrio entre lo que el estudiante sabe y lo que quiere saber. • la motivación. autónoma y creativa. Esta motivación es interna. produciéndose. el rol protagónico del estudiante y el carácter orientador de la tarea del profesor. Desde el punto de vista del estudiante el módulo de aprendizaje facilita: • su participación protagónica y activa en el proceso de aprehensión del conocimiento. desde la cual puede reorganizar su aprendizaje. el interés o la necesidad de aprender. ante las cuales el estudiante podrá asumir una actitud crítica. actitudes y valores.¿Cuál es la concepción de aprendizaje que subyace en esta propuesta didáctica? Naturalmente. Ambas actividades suponen una retroalimentación para el estudiante. Este monitoreo se da mediante la autoevaluación y la coevaluación. por cuanto sus nuevos esquemas mentales le permitirán interpretar reflexivamente las realidades que enfrente. • la aplicación del conocimiento adquirido a nuevas situaciones. el desarrollo de habilidades cognitivas. de esta manera. por cuanto el aprendizaje requiere de su actividad interna y de una actitud alerta frente a los estímulos que recibe y procesa. Éstos se relacionan con los nuevos conocimientos y el estudiante los incorpora a sus esquemas. • el monitoreo de su avance en el proceso de aprendizaje. el estudiante se compromete con la adquisición de contenidos. factores de cuya concurrencia depende el aprendizaje a través de módulos. destacaremos algunos aspectos de esta concepción desde el punto de vista del estudiante. • la activación de los conocimientos previos del estudiante. precisan del predominio de una concepción cognitivoconstructivista del proceso de aprender. del profesor y de la situación de aprendizaje que implica el módulo. si es necesario. Por lo tanto.
Propósito: En este apartado se consignarán los aprendizajes esperados. pues ambos colaboran en el desarrollo de las competencias del estudiante. Un proceso.Desde el punto de vista del profesor el diseño de módulos de aprendizaje le permite al profesor: • orientar y guiar al estudiante durante el proceso de aprendizaje. propio de esta herramienta. el módulo promueve: • • El trabajo interactivo de profesor y estudiante. promover el proceso metacognitivo de los estudiantes. el profesor puede reorganizar los contenidos del módulo.
. en términos de que pueden incorporarse nuevos recursos y/o nuevas situaciones de aprendizaje que lo enriquezcan. el profesor deberá utilizar estrategias adecuadas (como metodologías activas e investigadoras) y participar interactivamente con el estudiante. en este caso. de carácter dinámico y participativo y de niveles de complejidad progresivamente ascendentes • la flexibilidad. siempre y cuando respete el carácter inductivo-deductivo. organizadas sistemática y jerarquizadamente. es comprendido como una serie de etapas muy relacionadas entre sí. que pretenden lograr un propósito determinado en un tiempo específico. 5.1. sociales y culturales. De esta manera. • • evaluar constantemente los progresos de los estudiantes y aplicar estrategias remédiales para los posibles problemas que puedan surgir. Desde el punto de vista de la situación de aprendizaje.2. la motivación previa y la metodología general de trabajo. ESTRUCTURA DE UN MÓDULO 1. para que después de la toma de conciencia de su aprendizaje y de las estrategias que han aplicado sean capaces de responder eficientemente a nuevos desafíos cognitivos. 2. la aplicación de estrategias para activar el proceso cognitivo. Para ello.
8. Evaluación: Será permanente y siempre formativa. Planteará el contenido como un problema que deberá ser resuelto acudiendo a las estrategias que el módulo plantee. 4. Introducción: Presentará el tema de modo atractivo y sugerente.2. 3. 7. 5. pues promueve la activación de competencias intelectuales. a través de actividades que el estudiante deberá desarrollar. resúmenes y/o mapas conceptuales. 6.
. Síntesis: Deberá ser elaborada por los propios estudiantes. quienes podrán llevar a cabo esta tarea a través de gráficos. nos parece que este recurso didáctico responde a las exigencias del mundo actual. sociales y valóricas. Metacognición: En esta etapa el estudiante dará cuenta en forma consciente de las operaciones cognitivas que ha seguido para lograr el aprendizaje esperado. Aplicación práctica: Resolución de problemas específicos. Resolución del problema: En este apartado se procurará resolver el problema. En conclusión. esquemas. Planteamiento del problema: Se hará a partir de la presentación de un texto y los desafíos generados por él. que permiten la formación integral de una persona que participará eficaz y eficientemente en esta sociedad.
CONCLUSIONES • Con la elaboración del módulo para la construcción de algunas componentes. Buscando mejorar el desarrollo del
Pensamiento Geométrico desde la visualización (perceptual) a la justificación (argumentación) integrando diferentes estrategias y conocimientos a través de la participación activa del docente y el estudiante. interpretativas y propositivas y a la vez potencian la formalización. descomposición y comparación del problema con otros. 36
.6. • El módulo fue diseñado específicamente para lograr que se convierta en un valioso auxiliar para estudiantes y maestros. Todo esto contribuye a mejorar en los estudiantes sus competencias argumentativas. quienes son motivados por un propósito común desarrollar actividades en un tiempo determinado. relaciones y propiedades de los triángulos con el apoyo del software CABRIGEOMETRE II PLUS se pretende logra un desarrollo dinámico de la geometría
por parte del estudiante y una mayor motivación por el estudio de esta área. •
El módulo de aprendizaje se utiliza como un recurso didáctico diseñado para lograr el desarrollo de competencias de diverso orden integrando diferentes estrategias y conocimientos a través de la participación activa del profesor y del estudiante. • Con la aplicación del módulo los estudiantes mejoran y desarrollan destrezas y habilidades que les permiten proponer hipótesis y elaborar estrategias en la
solución de problemas de pensamiento geométrico basadas en la simplificación. El programa también permite a los estudiantes medir.
Con el empleo del software CABRI-GEOMETRE II PLUS
herramienta que permite a los estudiantes visualizar elementos claves en la solución de problemas. las cuales son evaluadas y retroalimentadas permanentemente. comparar y cambiar las figuras de manera directa permitiéndole aprender a experimentar y buscar distintas soluciones para resolver un problema cosa que se tardaría mucho tiempo con los medios tradicionales.
La aplicación del módulo le facilitara a los estudiantes la participación protagónica y activa en el proceso de percepción del conocimiento. la activación de los conocimientos previos del estudiante. que son altamente valorados en la teoría constructivista y la motivación. el interés o la necesidad de aprender. Con una presentación del tema mediante un texto y la resolución de problemas que a través de actividades el estudiante deberá desarrollar.
Con el uso del computador y el software CABRI GEOMETRE II PLUS el estudiante encuentra un entorno amigable donde es fomentado el gusto por el trabajo en equipo y el modo de descubrir regularidades en un entorno de tecnologías computacionales de manera significativa.
El módulo está estructurado de tal forma que el tema se atractivo y sugerente para el estudiante.
dejando atrás los métodos rutinarios en los cuales el único que tenía el conocimiento era el docente y la participación del estudiante era casi nula. RECOMENDACIONES Debido al gran contenido que tiene la geometría euclidiana se recomienda que se sigan trabajando en temas que no se tomaron encuentra en este módulo. logrando que por el mismo construya su conocimiento y así afianzar su aprendizaje hacia una educación integral.7. diciéndoles que el software lo maneja como uno solo. además de guardarlo en algún medio magnético al finalizar cada clase para que pueda ser evaluado. Debido a la complejidad de algunos temas trabajados en el módulo no es fácil iniciar cada taller con un problema de aplicación pero se trata que en la mayoría de los temas se desarrollen de manera que los estudiantes deduzcan la solución de cada una de las
actividades propuestas dejando a una lado las metodologías clásicas donde el que se limitaba a dar el conocimiento era el profesor. Gracias a la participación que hoy tiene el estudiante dentro y fuera del aula de clase se recomienda diseñar módulos que se desarrollen a través de la resolución de problemas para los diferentes contenidos del área de matemáticas.
. Se recomienda que cada taller que se realice sea supervisado por el docente con el fin de evitar copias entre los estudiantes. haciendo talleres que fomenten la participación activa del estudiante. Al hacer uso del software CABRI GEOMETRE II PLUS para la construcción de algunos elementos este no hace una diferenciación entre los conceptos RAYO Y SEMIRRECTA por lo cual se recomienda se haga una aclaración previa a los estudiantes sobre estos. Se recomienda que en cada taller el profesor sea un orientador para el estudiante.
Colombia: Enlace Editores LTDA.8. GAVILÁN. MEN (2004). Fernando. Introducción a herramientas de geometría didáctica LEDESMA. HERMANSEN. Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de la Educación Media de Colombia. 1998. Recursos didácticos en Internet. Serie Lineamientos Curriculares. Módulos de aprendizaje: una Propuesta didáctica HITT. Maestría en ciencias matemáticas y su didáctica CASTIBLANCO. Lineamientos curriculares. BIBLIOGRAFIA BARROSO. Cooperativa Editorial Magisterio. Nelly. 58-59 MEN (1999).
. Pensamiento Geométrico y Tecnología computacionales. Resolución de problemas de geometría con Cabri II CAMPOS. MEN. MORA. Alma. Una Reflexión Sobre la Construcción de Conceptos Matemáticos en Ambientes con Tecnología. Bogotá. Helena. Ricardo. Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas: Apoyo a los Lineamientos Curriculares. José. p. MEN. p. OLGUIN. Cooperativa Editorial Magisterio. DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS. José. 1998. Construcción en Cabri para la comprensión de los tópicos de razón y proporción simple y directa. Ana. Marcos. Enlace Editores Ltda. 33 Lineamientos curriculares.
http://www.mendoza.pdf http://www.9.scribd.es/weborriak/recursosinternet/RecInternet/Cabri/Cabri.umce.de/journals/BAMV/conten/vol10/fernandoHitt.html http://www.colombiaaprende.asp
.ar/info_mate/archives/2003_12.com/doc/20443334/pR0YECTO-fINAL-mATEII http://www.co/html/mediateca/1607/articles-106534_archivo.cl/revistas/extramuros/extramuros_n03_a03.edu.edu.html http://divulgamat.pdf http://weblog.emis.ehu.
El objetivo principal de este módulo es presentar a los estudiantes un software que puede ser utilizado como una herramienta didáctica para la enseñanza de la geometría Euclidiana haciendo un énfasis en algunas componentes, relaciones y propiedades de los triángulos. En este caso se trabajará con el software dinámico CABRI GEOMETRE II PLUS y se presentarán actividades que pueden realizarse en el salón de clases.
Una de las estrategias para mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría es la utilización del módulo como una herramienta válida para la organización de dichos procesos. Otro factor relevante es la motivación pedagógica en el estudiante, alternativas que faciliten el desarrollo de las habilidades cognitivas en la geometría, para que los estudiantes construyan en forma favorable su conocimiento. Además desde la perspectiva de la educación matemática, la incorporación de CABRI GEOMETRE II PLUS, entendemos que ofrece un impulso para ampliar y mejorar las estrategias en la resolución de problemas. Esto gracias a las posibilidades que brindan los programas basados en la "geometría dinámica", ya que la herramienta de arrastre posibilita la formulación y verificación de conjeturas o la construcción de contraejemplos que permiten el rechazo/modificación de las mismas.
ACTIVIDAD 1: Hacer una manipulación libre de cada una de las opciones que nos
despliegan los menús del software y ver los atributos que este tiene para la construcción de entes geométricos muy importantes.
.TALLER 1
CABRI GEMETRE II PLUS OBJETIVO:
hacer una exploración del software CABRI GEOMETRE II PLUS y
reconocer algunos de los atributos que este tiene para el desarrollo de las actividades que se llevarán a cabo en el desarrollo de este módulo.
 Manipulación libre del software CABRI GEOMETRE II PLUS. Además de esto familiarizarnos con el software para tener un gran desempeño en las actividades siguientes. 1. Explorar y manipular algunas de las opciones que encontraremos en los menús del software CABRI GEOMETRE II PLUS.
 Punto: esta opción nos permite trazar un punto en cualquier parte de la zona de trabajo. Girar y dilatar: con la cual podemos cambiar el tamaño de una figura a la vez la vamos girando. Dilatar/reducir: la cual nos permite aumentar o disminuir de una figura. Punto de intersección: esta opción nos marcara los puntos de intersección entre dos objetos que se intersecan en uno o más puntos.
. • • Punto sobre un objeto: en esta opción se marcara el punto únicamente sobre un objeto realizado con anterioridad. Girar: nos permite realizar giros de una figura o de algunos elementos de esta.Las opciones que encontramos son: PUNTERO
Apuntador: Nos permite mover una figura completa o únicamente algunos elementos de esta al lugar que nosotros queramos.
. • Triángulo: en esta opción tendremos que marcar tres puntos no colineales sobre la mesa de trabajo los cuales nos generaran un triángulo que tiene sus vértices en cada uno de ellos. • Polígono: esta opción nos ayudara para construir un polígono irregular de n lados el cual se generara a partir de una serie de puntos no colineales y para finalizar la construcción el último punto a dibujar se ubicara sobre el primero dibujado. Vector: al seleccionar esta opción tendremos que marcar dos puntos sobre la mesa de trabajo y se obtendré un vector que tiene como origen el primer punto que marcamos y el segundo punto nos indicará la dirección del vector. • • • Segmento: al elegir esta opción nos va a realizar un segmento de recta determinado por dos puntos.LINEAS
 Recta: en esta opción se marcara un punto en la mesa de trabajo y se obtendrá una línea recta que pasa por este punto. • Polígono regular: en esta opción para dibujar un polígono regular marcaremos para comenzar dos puntos y después moveremos el mouse de forma circular hasta obtener el polígono deseado y marcaremos un tercer punto en ese instante. Semirrecta: se marcara un punto sobre la mesa de trabajo a partir del cual se generara una línea recta que tiene como origen dicho punto.
semirrecta.
Recta paralela: al igual que para trazar una recta perpendicular debemos tener como referencia un punto por el cual pasara nuestra recta y un objeto (recta. Arco: Para realizar esto tenemos que tener en cuenta tres puntos. semirrecta.CURVAS
Circulo: para realizar este tipo de figuras marcamos inicialmente un punto y movemos el mouse hasta lograr el tamaño que queremos.
Recta Perpendicular: para trazar una recta perpendicular debemos tener como referencia un punto y un elemento (recta.
Punto medio: con esta opción podemos trazar el punto que equidistan entre dos puntos ya estén sobre un elemento (recta. segmento o vector) al que queremos trazar la perpendicular y escogemos el punto por el cual queremos que pase nuestra recta perpendicular y el elemento o viceversa. segmento o vector) del cual trazaremos la paralela. segmento o vector) o sobre la mesa de trabajo. semirrecta. El punto inicial del arco.
. el punto final y el punto de la circunferencia por el cual queremos que el arco pase.
segmento o vector) que pasa por el punto medio de dos puntos seleccionados sobre este.  Perpendicular?: nos permite saber si dos rectas son perpendiculares. MEDIR
.  Equidistantes?: nos permite saber si dos puntos están a la misma distancia de otro.
 Alineados?: nos permite saber si dos o más puntos están sobre una misma recta.
Bisectriz: en esta opción debemos escoger tres puntos y nos trazará una recta que pasará por el segundo punto que escogimos la cual nos sirve para bisecar un ángulo.•
Mediatriz: esta opción nos permite trazar una recta perpendicular a un elemento (recta. semirrecta.  Perteneces?: nos permite saber si un punto pertenece a una recta segmento circunferencia etc.  Paralela?: nos permite saber si dos rectas son paralelas.
Nombrar: con esta opción podemos agregarle nombre a cada uno de los elementos que los requieran.• • •
Distancia o longitud: nos permite hallar la distancia entre dos puntos de un elemento (recta. semirrecta. Área: esta opción nos permite hallar el área de un polígono regular e irregular y de circunferencias seleccionando el elemento al que queremos hallarle el área. Marcar un ángulo: en esta opción lograremos trazar un arco que nos representará un ángulo el cual realizaremos ubicando tres puntos sobre un ángulo teniendo en cuenta que tenemos que hacerlo en el mismo sentido en el que lo nombramos. Medida de un ángulo: esta opción nos permite hallar la medida de un ángulo seleccionando tres puntos que los conforman teniendo en cuenta que lo tenemos que hacer en el mismo sentido en el que los nombramos. Texto: acá podemos agregar textos que creamos pertinentes en el trabajo que estamos realizando. segmento o vector).
En este menú observamos unas opciones que nos ayudarán a personalizar nuestras construcciones y otras más que nos facilitarían un poco el trabajo como lo son los ejes del plano cartesiano y una rejilla que nos permite mejorar algunas de nuestras construcciones.
 Conceptos básicos. elementos del ángulo y tipos de angulos.
rayo.  Clasificación de los ángulos. rectas paralelas. el segundo ángulo deberá medir menos de 90° y el tercero deberá medir exactamente 90°. clasifique los tres ángulos según crea pertinente.
. segmento. Además de esto deberán describir la forma en la cual realizaron la construcción de cada uno y los componentes que utilizaron para realizarlos” Los estudiantes al empezar a desarrollar la tarea vieron la necesidad
de conocer y
diferenciar algunos conceptos preliminares para el desarrollo de esta los cuales trabajaremos a continuación. Desarrollar los procesos del pensamiento del estudiante des de la observación hasta el análisis a través de la construcción.TALLER 2
CONCEPTOS ELEMENTALES OBJETIVOS:
Construir progresivamente los siguientes conceptos: recta.
“el profesor de geometría al finaliza la clase les dijo a sus estudiantes que deberían traer para la siguiente clase dibujados tres ángulos con las siguientes características cada uno: el primer ángulo deberá medir más de 90°. rectas perpendiculares para llegar a las definiciones de ángulo.
 Concepto:……………………………………………………………………..  Concepto:…………………………………………………………………….  Concepto:…………………………………………………………………….ACTIVIDAD 1:
Haremos un breve repaso por algunos conceptos básicos que son
necesarios para el estudio de algunas propiedades y relaciones de los triángulos y sobre algunas formas de escritura geométrica ya que es muy importante para poder involucrarnos con el tema que nos concierne.. Construir una recta. por lo observado de cada una de ellas dar una idea.
i.  Definición:……………………………………………………………………
.  Definición:…………………………………………………………………… SEGMENTO:  Idea:…………………………………………………………………………. Se hará una discusión sobre la actividad para dejar claros los conceptos básicos.. un segmento. concepto o definición de: RECTA:  Idea:…………………………………………………………………………. una semirrecta un vector y un rayo nombrar cada uno de los puntos necesarios con una letra mayúscula.  Definición:…………………………………………………………………… SEMIRRECTA:  Idea:………………………………………………………………………….
......  Concepto:……………………………………………………………………. con la ayuda del icono comprobar propiedades y completar los siguientes enunciados:
 La recta AB es paralela a la recta………………
 La recta AB es perpendicular a las rectas………………....... 𝐴𝐴𝐷𝐷 ����  El segmento 𝐴𝐴𝐵𝐵 no es paralelo al segmento………………… 53
 El segmento ���� es perpendicular a……………................. …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… iii..  Definición:…………………………………………………………………… ii..... Construir la grafica indicada..  El segmento ���� es paralelo al segmento……………..VECTOR:  Idea:………………………………………………………………………….  Concepto:……………………………………………………………………....................  Definición:…………………………………………………………………… RAYO:  Idea:………………………………………………………………………….. De los elementos anteriores ¿Cuáles se utilizaran para poder construir los ángulos que el profesor dejo de tarea a los estudiantes?.. ¿Hacen falta algunos conceptos para completar la tarea o son suficientes los ya estudiados?. 𝐴𝐴𝐷𝐷
Con ayuda del ejercicio propuesto con anterioridad definir: RECTA PERPENDICULAR: …...……….............………...................................... �����⃗ que tengan el mismo extremo como se observa en la 𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐴𝐴 figura.........  Ubicar un punto R en la mediatriz........................ vii.. No…..........
Con la ayuda del software desarrollar las siguientes actividades....…………………………………………………........ ¿Necesitará uno o alguno de los conceptos sobre rectas paralelas y rectas perpendiculares para construir alguno de los ángulos propuestos en la tarea? SI….. ¿Qué sucede?.... ………………………………………………………………………………......iv.......
v...  Construir un segmento de recta ����.......
 Medir el ángulo ∡𝐵𝐵𝐴𝐴𝑂𝑂 y el ángulo ∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝑂𝑂.........  Definir mediatriz: ………………….. Con la ayuda del software realizar las siguientes construcciones:
........ ¿Cuáles?.... vi......  Construir dos rayos �����⃗........ RECTA PARALELA: …………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….................………………………………………...………………………………………………… ……………………………………………….........
����  Construir la mediatriz del segmento 𝐵𝐵𝐶𝐶 ........................... ………………………………………..................... 𝐵𝐵𝐶𝐶  Construir el punto medio Q......
........................................... ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝑂𝑂.. ........................................ ………………………………………………………………………………………................  Ubiqué un punto R sobre esta en el interior del ángulo ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶........................ 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐 ..................  Ejemplo: constrúyase un polígono con lados congruentes con los segmentos dados
A Segmentos dados
A B Poligono resultante
................ Teniendo en cuenta lo realizado anteriormente dar una definición para ángulo.............................. viii........................................ 𝐴𝐴𝐵𝐵 ....................  Que sucede con estos dos ángulos......................
 Por lo observado defina bisectriz………........................ Con la ayuda de las definiciones de recta paralela y recta perpendicular estudiadas ���� ���� ���� 𝐴𝐴𝐴𝐴 ................................ Mida la longitud del ángulo formado por estos rayos ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶............
 Con la ayuda de Cabri construya la bisectriz del ángulo ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶.....…………………………………………….....
i....................................  Mida la longitud de los ángulos ∡𝑂𝑂𝐵𝐵𝐴𝐴.................. .....
Realizar la siguiente construcción y contestar las preguntas planteadas:  Construir el ángulo ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵.  Ubíquese el punto D en la intersección de las dos circunferencias trazadas con ������⃗  Construya el rayo 𝐴𝐴𝐷𝐷 .......  Ubiqué un punto X en el rayo �����⃗..
 En qué caso utilizaríamos este procedimiento para trazar el rayo ������⃗ del ángulo 𝐴𝐴𝐷𝐷 ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵…………………………………………………………….. 𝐴𝐴𝐴𝐴
�����⃗  Marqué el punto de intersección Y de la circunferencia con el rayo 𝐴𝐴𝐵𝐵 ... ....  Con X como centro tracé una circunferencia que pase por Y.. del ángulo ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵.... ∡𝐷𝐷𝐴𝐴𝐵𝐵
������⃗  El rayo 𝐴𝐴𝐷𝐷 es la………………. anterioridad...……………………………………………………………………………...... ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷..
...  Mida los ángulos ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵..
 Con Y como centro tracé una circunferencia que pase por X..  Tracé una circunferencia con centro en A y que pase por el punto X..A
 ii..
es un subconjunto de una recta…… están entre A y B…… extremo……. el punto
ninguna. es un rayo 𝐴𝐴𝐷𝐷 . En caso de ser falso dar una corrección para hacer verdadera la definición. en el interior de ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 de manera que lo divide en dos ángulos de la misma medida……  El punto medio de un segmento es el punto C entre A y B de tal forma que la distancia de A a C es la misma que de C a B……  La mediatriz de un segmento es la perpendicular a un segmento ���� por 𝐴𝐴𝐴𝐴 cualquier punto C de este….
. la separa en dos líneas continuas llamadas es el extremo de ambas semirrectas y no pertenece a …. Si B está en una de las semirrectas entonces. ésta se denota por
 Las rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y no se intersecan……  Las rectas perpendiculares son rectas que se intersecan y forman ángulos mayores a 90º…… ����  Un segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 .
semirrectas. es el conjunto de los puntos A y B y todos los puntos que �����⃗  Un rayo 𝐴𝐴𝐴𝐴 .  Un ángulo es la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo ������⃗  La bisectriz de un ángulo ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵..CONCEPTUALICEMOS
i. Con el trabajo realizado en esta actividad vamos a contestar verdadero (V) o falso (F) según se crea pertinente.  Las rectas intersecantes son dos rectas con un punto en común……  Un punto sobre una línea recta.
Home. la primera base la segunda base y la tercera base.ii. están en las esquinas de un cuadrado.7 m. dos rayos.
i. En un diamante de beisbol la segunda base está a la misma distancia de las dos líneas de foul.
i. Teniendo en cuenta que la distancia entre bases es de 27 m y el montículo del lanzador esta a 18. Construir dos rectas perpendiculares. ¿está el montículo del lanzador en el punto medio entre?:  ¿Home y la segunda base?  ¿la primera base y la tercera?  Ninguna de las anteriores. nombras los puntos como se muestra en la figura y realizar las siguientes actividades.
Construya con la ayuda del software las actividades propuesta por el profesor en la tarea que hasta donde crea es posible con la información adquirida hasta el momento.
Recordar algunos conceptos sobre clasificación de ángulos y
las tareas propuestas con la ayuda del software para lograr un mejor
entendimiento sobre clasificación de ángulos ya que son conceptos muy importantes para realizar un estudio sobre triángulos.
. ¿Cuáles? ………………………………. + 𝑚𝑚∡ … .P M
 Medir el ángulo ∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵 …… ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵. …………………………………………………………………………….
.  𝑚𝑚∡ … .  ∡ … ... 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝑁𝑁
 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵 es……. ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝑁𝑁.. 𝑚𝑚∡𝑀𝑀𝐴𝐴𝐵𝐵  𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵 es…….  𝑚𝑚∡ … .. SI….... + 𝑚𝑚∡ … .  ∡ … ..
 𝑚𝑚∡ … .. ∡𝑀𝑀𝐴𝐴𝐶𝐶. ∡𝑀𝑀𝐴𝐴𝐵𝐵.. 𝑚𝑚∡𝑁𝑁𝐴𝐴𝐵𝐵
 Podemos deducir una clasificación para los ángulos con respecto a la actividad anterior..  𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵 es…….  La suma de la medida de que par de ángulos me forman un ángulo de 90º. NO…. 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵
 La suma de la medida de que par de ángulos me forman un ángulo de 180º. + ∡ … .. + ∡ … . + 𝑚𝑚∡ … .. 𝑚𝑚∡𝑀𝑀𝐴𝐴𝐶𝐶
 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵 es…….
 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵 es……..
 Compararlo la medida de ∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵 con la medida de los ángulos ∡𝑁𝑁𝐴𝐴𝐵𝐵..
......... ¿Qué tienen en común?.............……………………………………………………………. ¿Qué tienen en común?............ Construir la siguiente grafica y con la ayuda de esta dar respuesta a los interrogantes planteados a continuación:
 Tomar la medida de los ángulos indicados y decir que tienen en común este par de ángulos.................  𝑚𝑚∡𝐸𝐸𝐵𝐵𝐷𝐷….....................................  𝑚𝑚∡𝐸𝐸𝐵𝐵𝐺𝐺…...............  𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐸𝐸….............. .................  Conoce una clasificación para este tipo de ángulos SI…..... 𝑚𝑚∡𝐺𝐺𝐵𝐵𝐷𝐷…............ 𝑚𝑚∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷…...........  𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐷𝐷…....................... ……………………………………………………………………................................. ¿Qué tienen en común?....... ii.................. ……………………………………………………………………...................... 𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵…............................. 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵…. Conoce una clasificación para este tipo de ángulos SI…. ……………………………………………………………………...... NO….... ¿Cuáles?............. ¿Qué tienen en común?.................................... …………………………………………………………………….......................................
..... ....................... ¿Cuál?......
 Según lo observado que podemos deducir:………………………........ …………………………………………………………………….................... NO…...
.  Tomar la medida de los ángulos indicados sumarlos y ver que tienen en común ese par de ángulos...... = …… tienen en común…………… ……………………………………………………………………....................  𝑚𝑚∡𝐺𝐺𝐵𝐵𝐵𝐵…... + 𝑚𝑚∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷…....... + 𝑚𝑚∡𝐸𝐸𝐵𝐵𝐴𝐴…. = …… tienen en común……………...................... .…………………………………………………………….. ¿Cuál?.........  𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐸𝐸….  ∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐺𝐺 𝑦𝑦 ∡𝐺𝐺𝐵𝐵𝐷𝐷 tienen en común…………………………  ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑦𝑦 ∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐵𝐵 tienen en común…………………………  ∡𝐺𝐺𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑦𝑦 ∡𝐴𝐴𝐵𝐵B tienen en común…………………………  ∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐷𝐷 𝑦𝑦 ∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐷𝐷 tienen en común…………………………
 Según lo observado podemos deducir alguna características de estos…………………………………. ¿Cuál?.................……………………………………………………………......................................
............…………………………… …….......…………………………... …………………………………………………………………….
 𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐷𝐷…...
 Conoce una clasificación para este tipo de ángulos SI…...
 Conoce una clasificación para este tipo de ángulos SI…........ = …… tienen en común…………….. = …… tienen en común……………..... .................... ……………………………………………………………………............. NO…...............…………………………………...... Ubicar los ángulos indicados a continuación y decir que tienen en común..... + 𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐺𝐺….
 𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐵𝐵𝐸𝐸…... NO…. ……………………………………………………………………... + 𝑚𝑚∡𝐸𝐸𝐵𝐵𝐴𝐴…............
Teniendo en cuenta lo desarrollado construir la figura. NO….
SEGÚN SU MEDIDA Agudo Obtuso Recto Llano SEGÚN SU SUMA Complementarios Suplementarios Consecutivos SEGÚN SU POCICION Adyacentes Opuestos por vértice
Con respecto a ésta
SEGÚN SU MEDIDA Agudo
SEGÚN SU SUMA Llano Complementarios Suplementarios
SEGÚN SU POCICIÓN Consecutivos Adyacentes Opuestos vértice
∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵
∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 ∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐴𝐴 y ∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐵𝐵 ∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐴𝐴 ∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐵𝐵
.DESARROLLEMOS
i. Si lo es en cada casilla anotar un ángulo de los ya trabajados que crea pertinente para esta clasificación. completar la tabla marcando con una “X” donde corresponda. Con base en lo experimentado con anterioridad es posible realizar la siguiente tabla SI….
Dar una definición para cada uno de los siguientes enunciados:  Ángulos consecutivos:………….  Si la suma de la medida de dos ángulos es igual a 90º entonces estos son………….. y miden menos de 90º.. según su………….  Ángulos opuestos por el vértice:………………………………………………….………………………………………………… …………………………………………………………………………………….  Los ángulos se pueden clasificar según su…………. …………………………………………………………………………………….
.∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷 y ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷 y ∢𝐷𝐷𝐷𝐷𝐴𝐴 ∢𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷 ∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷 ∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐴𝐴 y ∢𝐴𝐴𝐷𝐷𝐵𝐵
i. ii. en…………. y según su…………  Según su medida los ángulos se clasifican en…………. y tienen un ángulo igual a 90º. y en………… y miden 180º.  Ángulos adyacentes:……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………. en………… y miden más de 90º y menos de 180º. Completar los siguientes enunciados según lo desarrollado con anterioridad. y si la suma de la medida de dos ángulos es igual a 180º entonces estos so ………….
.iii. La lente de la cámara está en la misma posición en la misma posición en todos los dibujos. NO….. La distancia focal de la lente es de 50 mm longitud con una película de 50mm. 45 mm y 55 mm de longitud. Determine el ángulo visual de unas lentes sabiendo que: • • La distancia focal de la lente es de 20 mm longitud con una película de 50mm.
¿Con lo propuesto en esta actividad es posible completar la tarea propuesta por el profesor en la clase de geometría? SI…. ¿Qué información utilizo para completar la tarea? ………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….. El diagrama siguiente ilustra la relación entre la distancia focal y ángulo visual.
Ängulo visual Lente
Distancia focal Pelicula
El diagrama muestra que la distancia focal más corta corresponde al ángulo visual más grande y a la vez la distancia focal más larga corresponde al ángulo visual más pequeño.
i. 45 mm y 55 mm de longitud.
El ángulo interno C 𝐴𝐴𝐵𝐵 ����
B ? ? A 50º C ? ? E
En el ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 de la figura.
ii. 45 mm y 55 mm de longitud. El segmento ���� es paralelo a ���� cuanto miden los ángulos indicados con 𝐷𝐷𝐵𝐵 signo de interrogación.•
La distancia focal de la lente es de mm longitud con una película de 50mm. los lados ���� 𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐵𝐵 son congruentes.
𝐴𝐴𝐴𝐴 mide 50º.
un triangulo que contenga un ángulo mayor de 90°.un triangulo en el cual sus angulos sean menores de 90°. y realice una clasificación según las características encontradas en estos”
. vértices y ángulos. Les pide que a cada uno de estos triángulos les coloque un nombre.TALLER 3
TRIÁNGULOS OBJETIVOS:
Que Los estudiantes dominen el concepto de triángulo
Que hagan relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo. “un profesor le da a los estudiantes para que construya un conjunto de triángulos de las siguientes características: un triangulo con sus tres lados de la misma magnitud.  Clasificación de triángulos.
 Definición de triángulo: lados.  Criterios de congruencia de triángulos. un triangulo con dos lados de magnitudes iguales y uno desigual. Que clasifiquen triángulos según sus lados y sus ángulos. un triangulo que contenga un ángulo de 90°. un triangulo que contenga un ángulo mayor de 90°y sus tres lados de magnitudes desiguales y un triangulo con dos lados de la misma magnitud y un angulos mayor de 90°.un ángulo que contenga un ángulo de 90° y dos lados iguales. un triangulo con sus tres lados de diferente magnitud.
ACTIVIDAD 1: En esta actividad vamos a estudiar los aspectos más básicos de los
triángulos..... A
este mismo triángulo se les puede dar otros cuatro nombres. pero no está de más que los repase y haga los ejercicios propuestos. Se da por entendido que ya se conocen los conceptos sobre ángulos estudiados con anterioridad... …………………………………………………………………………………………
ii.... Esta actividad la realizaremos en su totalidad con el software CABRI GEOMETRE II PLUS.
∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 y ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 son dos nombres para el triángulo que se muestran de la figura. que ya deberían conocer..
Construir la siguiente figura y nombrar los puntos que hagan falta y nombrar los triángulos que sean posibles.. ¿Cuáles son?....
.Para que los estudiante puedan realizar lo propuesto por el profesor es necesario que desarrollen las actividades propuestas en este taller.
.  El lado b es el segmento que une los vértices........
Construir con la ayuda del software los triángulos dados por el profesor y nombrar cada uno de los triángulos de a cuerdo a lo visto. 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 del ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 suman: . ∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵..... y…  El segmento que une los vértices B y C es……
v.... ∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴  La medida del ángulo ∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 es: ...
 La medida de los ángulos 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵..  La medida del ángulo ∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 es: .. 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵....…... ∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴  Los lados a. ∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵.
Con lo observado en la siguiente figura nombrar los segmentos de cada uno de los triángulos enunciados en el ejercicio anterior....  La medida del ángulo ∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 es: ..iii.......
. Con la ayuda del software construir un triángulo y en este ubicar:  Los vértices A. B y C  Los ángulos ∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵.
Completar los siguientes enunciados teniendo en cuenta la grafica anterior:  El triángulo está conformado por tres…………… que se nombran con letras mayúsculas. Con la opción Medida de un ángulo vamos a medir los ángulos ∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵. 68
ii. b y c del triángulo (∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵).......
.. g= 5cm......... M(1...... K(5. Dibujar ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 triángulos indicados si es posible:
 a= 9cm....1)....... H(5.... F(2.......3 ° A 1 1
56.3 ° B
 D(1......... e= 4cm..5)
C 67...2)  G(1... C(3.. Con la ayuda del software construir los segmentos que conforman los lados del triángulo con las medidas indicadas y tratar de unirlos por sus extremos para formar los  d= 3cm....... Dibujar ∆𝐴𝐴𝐷𝐷𝐸𝐸 vi.iii.......
𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 + 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 + 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 =.. e= 9cm.
¿Cuál?....... h= 8cm........ E(5...... Dibujar ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸  f= 1cm........ ¿Por qué?........ b= 5cm.. I(-3...... NO…........... f= 2cm... … …
Con lo observado en la actividad anterior es posible deducir alguna propiedad de la medida de los ángulos internos de un triángulo...... SI….…………………………………………………… ………………………………………………………………………………… v... g= 1cm. Dibujar ∆𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷
Es posible realizar cada uno de los triángulos de la actividad anterior SI…......... c= 5cm...... f= 4cm........ B(5..
Con la ayuda del software ubicar los siguientes de puntos del plano cartesiano construir el triángulo correspondiente..2).-2)  J(1....1)..... h=5cm.......4 °
56. Dibujar ∆𝐴𝐴𝐷𝐷𝐺𝐺  c= 2cm. tomar la medida de los ángulos internos de estos y sumarlos........3) iv..
 b= 3cm..-2).. NO….. e= 6cm.  A(1.....-1).3).. Dibujar ∆𝐸𝐸𝐺𝐺𝐷𝐷  a= 5cm..........2).2).. d= 8cm..
la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados o.…………………………………………………………………… vii. Comprobar cada una de estas propiedades si es posible en los triángulos que se propusieron al inicio del taller. Los que creas que se pueden construir realízalos en CABRI GEOMETRE II PLUS. Con la ayuda de esta propiedad y corroborando con la ayuda de una gráfica interrogantes:  Si dos lados de un triángulo tienen longitudes de 2 y 5 centímetros. c= 5cm  d= 3cm. d= 8cm. ¿Cuáles son las longitudes posibles del tercer lado? ix. lo que es lo mismo: “cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos”  a= 5cm. e= 4cm. e= 6cm.) viii. g= 1cm. e= 4cm  f= 1cm. Para que pueda construirse el triángulo. h=5cm  Este enunciado es verdadero o falso. (…. contestar las siguientes  a= 9cm. para comprobar si el enunciado es verdadero o falso. b= 5cm.. f= 2cm  b= 3cm. h= 8cm
. entonces la longitud del tercer lado es mayor que…. g= 5cm  c= 2cm. y menor que…. e= 9cm.  Las longitudes de los lados de un triángulo no pueden ser cualesquiera.…………………………………………………………………………………………… ……………………….  Si las longitudes de dos lados de un triángulo son 7 y 9 centímetros. El enunciado anterior es conocido como “propiedad triangular”. Dada el siguiente enunciado será posible decir cuáles de los triángulos se puede graficar sin necesidad de recurrir al dibujo de estos.
Con lo trabajado en esta actividad fue posible avanzar en el enunciado que encontramos al inicio del taller........ Con ayuda de las actividades anteriores completar los siguientes enunciados:  Un triángulo es un polígono de …. ¿Qué?... lados. cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros dos” (…..
……………………………………………………………………………………….... pero en minúscula.. los lados son los segmentos del triángulo que unes dos vértices y se denotan por la misma letra del ……………………...) iii.
.CONCEPTUALICEMOS
i.. que viene determinado por tres puntos no colineales llamados ……………  Los vértices de un triángulos se denotan por ………………….... ii... SI…......... NO….)  La propiedad triangular de los triángulos se puede definir de la siguiente forma “Las longitudes de los lados de un triángulo no pueden ser cualesquiera. Para que pueda construirse el triángulo. Decir si es FALSA (F) o VERDADERA (V) cada uno de los siguientes enunciados y construir una grafica que corrobore su respuesta:  La suma de la medida de los tres ángulos internos de un triángulo es igual a 180º (….. la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados o. lo que es lo mismo.. ……………………………………………………………………………………….
debe decidirse si cada triángulo es o no posible. c. Los tres lugares principales de trabajo en una cocina son la Nevera. y pueden representarse como los puntos de un triángulo. decídase si los triángulos cumplen con la regla establecida. Estufa-lavadero a. d. e. Hay un posta en medio de una plaza. Según una regla de arquitectura. Después. se muestra una tabla de “triángulos de cocina” posibles. b. el lado más corto del triángulo debe estar entre el lavadero y la estufa. “los tres lados del triángulo de la cocina deben sumar más de 12 pies y menos de 22 pies”. la estufa y el lavadero. Primero. ¿con qué ángulo deben incidir los rayos del sol sobre la plaza para que el poste proyecte una sombra que tenga la misma longitud que el poste? ii. A continuación. Además.PROBLEMATICEMOS
i. 5 pies 10 pies 6 pies 3 pies 3 pies Estufa-nevera 4 pies 11 pies 8 pies 7 pies 8 pies Nevera-lavadero 8 pies 11 pies 7 pies 4 pies 4 pies
q = 1 cm (….)  El ∆𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 de lados j = 2 cm. l = 4 cm (….)  El ∆𝐺𝐺𝐷𝐷𝐺𝐺 de lados g = 6 cm...  ¿Se puede deducir una clasificación para los triángulos según el criterio que se utilizo para relacionar el par de ángulos dados? …………………………. f = 7 cm (….ACTIVIDAD 2:
Ya conocidas algunas definiciones y propiedades sobre triángulos
procederemos en esta actividad a hacer una clasificación de estos.  El ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 de lados a = 5 cm. b = 5 cm.. t = 3 cm (…. e = 3 cm. i = 6 cm (…..)  El ∆𝑂𝑂𝑅𝑅𝑅𝑅 de lados r = 3 cm.. c = 5 cm (…. p = 1 cm..
 El ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 de lados d = 4 cm.. h = 3 cm. s = 2 cm.)
 ¿Qué criterio utilizo para relacionar los anteriores pares de triángulos? …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………  ¿Cuántos tipos de triángulos diferentes se pudieron construir?………….)
 El ∆𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 de lados o = 1 cm.. k = 3 cm.
Con base en el ejercicio anterior contestar:
 ¿Hay una relación entre los siguientes pares de triángulos?
 El ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 y el ∆𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 ………………………………………………………  El ∆𝐺𝐺𝐷𝐷𝐺𝐺 y el ∆𝑂𝑂𝑅𝑅𝑅𝑅 ………………………………………………………
 El ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 y el ∆𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 …………………………………………………….. Verificar si pueden construirse (SI) o no (NO) los triángulos con las características dadas.
............... j = 4 cm.)
iv.............)  El ∆𝐺𝐺𝐷𝐷𝐺𝐺.............. 𝑚𝑚∡𝐷𝐷 = 60º...... o = 3 cm................................ a = 3 cm (…......... g = 5 cm........... ………………………………………………………………………………......... 𝑚𝑚∡𝐶𝐶 = 145º. iii.…… ……………………………………………………………………………. 𝑚𝑚∡𝐴𝐴 = 130º............ …………………………………………………………………………….........  El ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵... d = 3 cm (….………………………………………………….............. c = 4 cm........  El ∆𝐺𝐺𝐷𝐷𝐺𝐺 y el ∆𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽 ……………………………………………………….............. 𝑚𝑚∡𝑅𝑅 = 80º...................
 El ∆𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽...........  ¿Se puede deducir una clasificación para cada uno de estos triángulos con base al criterio que los relaciono? ….........
.. r = 5 cm.........)
 El ∆𝑂𝑂𝑅𝑅𝑅𝑅.. 𝑚𝑚∡𝐷𝐷 = 90º........ i = 6 cm (…..... ………………………………………………………………………………....)
 El ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 y el ∆𝑂𝑂𝑅𝑅𝑅𝑅 ………………………………………………………  ¿Qué criterio uso para relacionar los anteriores pares de triángulos? ....)
 El ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸..... k = 3 cm (…..... Verificar si pueden construirse (SI) o no (NO) los triángulos con las características dadas.............. t = 2 cm (…....... q = 6 cm (…...... .... 𝑚𝑚∡𝐽𝐽 = 90º...... f = 4 cm........)
 El ∆𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴...
Con base en el ejercicio desarrollar los siguientes enunciados:  ¿Existe una relación en los siguientes pares de triángulos?  El ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 y el ∆𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 ……………………………………………………................
. ¿Qué características tienen cada uno de estos ángulos medidos? ………………….. ………………………………………………………………………………………. Con esta actividad es posible hacer una clasificación de las pedidas en el enunciado que se encuentra propuesto al inicio del taller.... SI…..... Construir la siguiente grafica con la ayuda del software y tomar la medida de los ángulos y de los lados de los triángulos necesarios para completar la tabla con una “X” donde corresponda. NO…. justifique sus respuestas..... Mida los ángulos faltantes en cada uno de los triángulos anteriores.... CONSTRUCCIÓN DIFICULTADES
... v. ……………………………………………………………………………...... ¿Cuál?............... Con la ayuda del software construir un triángulo que cumpla cada una de las característica que se enumeran en la clasificación y hacer una breve descripción de cómo se construyeron y las dificultades encontradas en el desarrollo de la actividad..
i...…… ……………………………………………………………………………....... TRIÁNGULO EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO ACUTÁNGULO ii. ……………………………………………………………………………………….
..... Triángulo rectángulo isósceles SI (…) NO (…) c........................................... Triángulo obtusángulo isósceles SI (…) NO (…) e...................................... . ........... ¿Cuáles?........................... Triángulo acutángulo escaleno SI (…) NO (…) b...............................................
iv................
Decir si es o no es posible construir la siguiente serie de triángulos. a......................... Triángulo acutángulo isósceles SI (…) NO (…) f..................TRIÁNGULO
∆𝐴𝐴𝐷𝐷𝐺𝐺
∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵
“∆”
∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐺𝐺
∆𝐴𝐴𝐷𝐷𝐸𝐸 ∆𝐷𝐷𝐸𝐸𝐺𝐺
iii...................... SI…................................ Con ayuda del software construir los triángulos para corroborar sus respuestas............................ Triángulo rectángulo escaleno SI (…) NO (…)
... NO…...
Es posible que un triángulo se pueda marcar en más de una casilla............. Triángulo acutángulo equilátero SI (…) NO (…) d.....................................................
 ¿Cuántos ángulos obtusos como máximo puede tener un triángulo? ………..……………………………………………………………. SI…........ Completar un cuadro como el que se desarrollo en esta actividad con los triángulos propuestos al inicio del taller... Sabiendo esto y la definición de triángulo acutángulo podemos deducir algo...........................................
....... los otros dos ángulos (excepto el obtuso) tienen que ser……………………………… c..... los otros dos ángulos (excepto el recto) tienen que ser……………………………… b...........g........ ………………………………………………………………………………......................... Con la ayuda del software realizar un triángulo rectángulo....... v.. En un triángulo rectángulo... En un triángulo obtusángulo..
…………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… vi...... ¿Qué?........ a........... Construir la grafica y tomar las medidas y realizar las actividades que crea pertinente para dar óptima respuesta a las siguientes preguntas:  ¿Cuántos ángulos agudos como máximo puede tener un triángulo? …....... Si recordamos que la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo es de 180º............  ¿Cuántos ángulos agudos  ¿Cuánto como mínimo puede tener un triángulo?
……………………………………………………………………………………......... No…. vii..... un triángulo obtusángulo y un triángulo acutángulo tomar la medida de cada uno des sus ángulos y completar los siguientes enunciados....…………………………………………………………………………..................... suman los ángulos agudos de un triángulo rectángulo?
……………………....………….......... Se puede concluir algo de la actividad anterior SI (…) NO (…) ¿qué? ……………………………………………………………………………..
Plantee una solución completa al ejercicio planteado al inicio del taller.
Según sus ángulos: • • • Rectángulo: tiene un ángulo de 90º grados o ángulo recto y dos agudos. trazar los segmentos 𝐴𝐴𝐷𝐷 . ¿Cómo pueden colocarse cuatro triángulos obtusángulos para formar un triángulo obtusángulo más grande de la misma forma que el original? ���� ���� ���� ���� ���� Construir un pentágono regular ABCDH.
Según sus lados: • • • Equilátero: sus tres lados son congruentes “≅”.
ii.CONCEPTUALICEMOS
i. ángulos agudos. Isósceles: Solo dos de sus lados son congruentes. Cuatro triángulos equiláteros pueden colocarse para formar un triángulo equilátero más grande. es decir tienen la misma medida. 𝐴𝐴𝐵𝐵 . 𝐵𝐵𝐷𝐷 como se observa y ubicar los puntos E.
Por lo anterior podemos concluir que los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos. 𝐴𝐴𝐷𝐷 . Escaleno: los tres lados tienen diferente medida. F y G y realizar las siguientes actividades: 78
ii. Obtusángulo: tiene un ángulo mayor de 900 grados y menor de 1800. 𝐴𝐴𝐷𝐷 .
i. Acutángulo: los tres ángulos son menores de 90 grados. Ángulo obtuso.
Con la ayuda del software construir cada una de las siguientes figuras y dar solución a las actividades planteadas. como uno de los lados iguales. 𝐴𝐴𝐴𝐴
ACTIVIDAD 3: en esta actividad analizaremos cuantas y que combinaciones de las
necesitan para determinar un triángulo con tamaño y forma particulares (congruencia de triángulos).
seis partes de un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵. como lado desigual. lados (a.
. ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵) se
 Citar los triángulos isósceles que tengan ����. c) y ángulos (∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵. ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴. b. 𝐴𝐴𝐴𝐴
 Citar dos triángulos isósceles que tengan ����. como uno de los lados.D F E G
 Citar los triángulos isósceles que tengan ����. 𝐸𝐸𝐺𝐺
𝑚𝑚∡𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 = 85º. NO…..
. x = 4 cm....... 𝑚𝑚∡𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 = 90º.
 ∆𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴...  Nombrar los lados de cada triángulo nombrado con anterioridad y tomar la medida de la longitud de cada uno.. ¿Qué se puede observar? ...5 cm....
 ∆𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽..5 cm. 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 = 65º. ¿Cuáles? …………....... g = 2. t = 7 cm. q = 3 cm...........
 ∆𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋... 𝑚𝑚∡𝑅𝑅𝑂𝑂𝑅𝑅 = 90º.. b = 2..... ii.. c = 4 cm...
………………………………………………………………………………. Nombrar cada par de triángulos que están coloreados. b = 2..... ………………………………………………………………………………... l = 3 cm. x = 6.... s = 5...  ∆𝐺𝐺𝐷𝐷𝐺𝐺.....5 cm......…….....  ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵...  Tomar la medida de los ángulos internos de cada par de triángulos.. ∡𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 = 30º...
 ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵................ ∡𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 = 100º.. k = 4 cm.. 𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐸𝐸𝐺𝐺 = 65º...5 cm... ∡𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 = 70º. Si no es posible construirlo decir por qué.....
 ∆𝑂𝑂𝑅𝑅𝑅𝑅.. ………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………….... SI…. 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐵𝐵𝐴𝐴 = 50º... Conociendo algunas características de un triángulo construir otro triángulo con las características dadas si es posible.
 ∆𝐷𝐷𝐸𝐸𝐺𝐺......  ¿Qué podemos decir de cada par de triángulos que se nombraron?.. j = 6 cm.. 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 = 65º.  Se evidencia una correspondencia entre los lados de cada par de triángulos y los ángulos que forman dos de estos lados....5 cm.. f = 4 cm.
¿Qué elementos de un triángulo son suficientes conocer para construir un triángulo con unas características dadas? ………………………………………. Contestar las siguientes preguntas y construir una grafica que justifique su respuesta. ���� de un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 es posible
. 𝐴𝐴𝐵𝐵 . ���� de un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 es 𝐴𝐴𝐴𝐴 ���� 𝐴𝐴𝐵𝐵 ���� 𝐴𝐴𝐵𝐵  ¿Si conocemos la longitud de los lados 𝐴𝐴𝐵𝐵 . …………………………………………………………………………………….
medida del ángulo ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 comprendido entre estos es posible construir el medida del ángulo ∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 es posible construir el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 con las
���� y la medida del lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 comprendido entre estos es posible construir el ���� y la medida del lado 𝐴𝐴𝐵𝐵 comprendido entre estos es posible construir el posible construir el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 con las características del inicial? SI….. NO…. construir el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 con las características del inicial? SI…. NO….iii. iv. ���� ����  ¿Si conocemos la longitud de dos lados 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐵𝐵 de un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 y la triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 con las características del inicial? SI…. NO….
 ¿Si conocemos la longitud de los lados ���� 𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐵𝐵 de un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 y la 𝐴𝐴𝐴𝐴 ����  ¿Si conocemos la longitud de dos ángulos ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑦𝑦 ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 de un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵  ¿Si conocemos la longitud de dos ángulos ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑦𝑦 ∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 de un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 con las características del inicial? SI….
 ¿Si conocemos la longitud de los lados ����. características del inicial? SI…. NO…. NO…. Sabiendo que un triángulo tiene seis partes (tres ángulos y tres lados). triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 con las características del inicial? SI….
Lado ���� ≅ ����. C es el punto medio de 𝐴𝐴𝐷𝐷 y D es el punto
���� En la figura. Ángulo 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑂𝑂𝑅𝑅
���� � ���� ��� ���� ���  ∆FGH ≅ ∆IJK Lado 𝐸𝐸𝐺𝐺 ≅ 𝐺𝐺𝐽𝐽. Lado 𝐸𝐸𝐷𝐷 ≅ 𝐺𝐺𝐽𝐽 “……. ¿Existe una forma que nos permita demostrar que él ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷 ≅ ∆𝐴𝐴𝐷𝐷𝐷𝐷 “≅ símbolo para congruente”? Halla la medida de los elementos que se usaron para dar tu respuesta.
Construir el triángulo indicado y otro congruente a este utilizando las medidas que se quiera y los elementos usados en cada uno como se indica en el ejemplo. ���� ≅ ���� “LAL” 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐷𝐷𝐸𝐸  ∆ABC ≅ ∆DEF Lado ���� ≅ 𝐷𝐷𝐷𝐷 .”
𝑚𝑚∡𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 ≅ 𝑚𝑚∡𝑂𝑂𝑅𝑅𝑅𝑅 “……. el ∆𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷 es isósceles. Lado 𝐴𝐴𝐴𝐴 ����
 ∆OPQ ≅ ∆RST Ángulo 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐵𝐵𝐴𝐴 ≅ 𝑚𝑚∡𝑅𝑅𝑂𝑂𝑅𝑅. Lado 𝐺𝐺𝐷𝐷 ≅ 𝐽𝐽𝐽𝐽 .
���� medio de 𝐵𝐵𝐴𝐴 .i. Ángulo 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 ≅ 𝑚𝑚∡𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸.
Lado 𝑀𝑀𝑁𝑁 𝐶𝐶𝐴𝐴 ���� ���� ���� ����� ���� �����  ∆FGH ≅ ∆IJK Lado 𝑋𝑋𝑋𝑋 ≅ 𝑈𝑈𝑈𝑈 . Ángulo
���� �� ��  ∆ABC ≅ ∆GHI Ángulo 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 ≅ 𝑚𝑚∡𝐺𝐺𝐺𝐺𝐷𝐷 . entonces los dos triángulos son congruentes. Son las condiciones mínimas que se deben
cumplir para que dos triángulos sean congruentes……  Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo. estos elementos vienen determinados por los criterios de congruencia de triángulos. entonces los dos triángulos son congruentes……  Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo. Esto es conocido como el Postulado de la Congruencia LLL……  Si dos ángulos y el lado de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado de otro triángulo. Ángulo 𝑚𝑚∡𝑀𝑀𝑁𝑁𝐽𝐽 ≅ 𝑚𝑚∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵. entonces los dos triángulos son congruentes. Lado 𝑋𝑋𝑋𝑋 ≅ 𝑈𝑈𝑉𝑉 “……. entonces los dos triángulos son congruentes…… 83
.” ���� ���� 𝑁𝑁𝐽𝐽 ≅ 𝐴𝐴𝐵𝐵 “…….” 𝑚𝑚∡𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 ≅ 𝑚𝑚∡𝑂𝑂𝑅𝑅𝑅𝑅 “……. Lado 𝐵𝐵𝐴𝐴 ≅ 𝐺𝐺𝐷𝐷 . Esto es conocido como el Postulado de la congruencia ALA……  Si dos lados y un ángulo de un triángulo son respectivamente congruentes con los dos lados y ángulo de otro triángulo. Lado 𝑋𝑋𝑋𝑋 ≅ 𝑈𝑈𝑉𝑉 .
Decir si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F)  Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de manera que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes……  Para ver si dos triángulos son congruentes basta con comprobar la congruencia de parte de sus elementos. ∆LMN ≅ ∆OPQ Lado ����� ≅ ����.
entonces los dos triángulos son congruentes.  Un ingenioso estudiante de geometría usó este método para encontrar la distancia entre el muelle y la isla: también que ∡3 ≅ ∡4. Constrúyase el ∡1 ≅ ∡2 y hágase
A 3 P 4
I Isla
ii. ¿demostrar que los triángulos que se forman son congruentes?
. formando un polígono regular. Postulado de la Congruencia LAL…… Esto es conocido como el
i. ¿Por qué la distancia del muelle a la isla 𝐷𝐷𝐺𝐺 es la misma que ����?
Elíjase un punto P en la orilla del rio. Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con los dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo. Localícese la intercepción A de los lados de los
Muelle D 1 2
��� 𝐷𝐷𝐴𝐴 ∡1 𝑦𝑦 ∡3. Realice la construcción geométrica del siguiente ejercicio y justifique lo realizado por el estudiante.
En la siguiente figura se ha superpuesto un cuadrado sobre otro congruente.
ACTIVIDAD 1: Conocer las rectas y líneas notables del triángulo y dibujarlas con
ayuda del software.
 Líneas notables del triángulo.
Construir un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 y realizar las siguientes actividades.TALLER 4
LINEAS Y PUNTOS NOTABLES OBJETIVOS: Hacer un estudio de las líneas y puntos notables del triángulo y unas
propiedades de estas con la ayuda del software y desarrollar unos problemas de aplicación concernientes al tema.  Puntos notables del triángulo.
 Trazar la bisectriz de cada ángulo del triángulo.
.  Que sucede con el punto de intersección “I” de las bisectrices cuando movemos libremente uno de los vértices del triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵……………………………… …………………………………………………………………………………….
 Ubiqué el punto de intersección “I” de estas bisectrices.
i.  A medida que se mueve uno de los vértices del triángulo que pasa con las bisectrices………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….  Seleccione un vértice del triángulo y muévalo libremente sobre la zona de trabajo.
 Mover libremente cada uno de los vértices del triángulo observar y describir lo que sucede con el punto de intersección de los segmentos………………………...................... de estas?.....  ¿Qué nombre reciben estos segmentos y su punto de intersección?.... 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐶𝐶𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐸𝐸 “P” del lado “e” y el punto medio “Q” del lado “f”............ ���� ......................... la segmento perpendicular al lado “b” que inicie por el vértice “B” y la segmento
iii...............  Ubicar el punto de intersección “O” de los segmentos trazados con anterioridad........ ����....
ii. Construir el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 y realizar las siguientes actividades  Construir los segmentos ���� ............... ……………………………………………………………………………………........ el punto medio  Ubicar el punto de intersección “B” de los segmentos trazados........
iv..........  Acutángulo:………………………………………………………………... ¿conoce un nombre para este tipo de rectas y uno para el punto de intersección Construir un triángulo ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 y realizar las siguientes actividades: perpendicular al lado “c” que inicie por el vértice “C”...… ……………………………………………………………………………….………………………………………………………………….  Rectángulo:…………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………....... …………………………………………………………………………………….
.....  En el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 ubicar el punto medio “O” del lado “d”........  ¿Qué nombre reciben estos segmentos y el punto de intersección de Construir el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 y realizar las siguientes actividades: 86 estos?..  Qué sucede cuando el triángulo es:  Obtusángulo:……………………………………………………………….
 Trazar el segmento perpendicular al lado “a” y que inicie por el vértice “A”.  Mover libremente cada uno de los vértices del triángulo y observar que sucede con el punto “O”......… ………………………………………………………………………………...........
..  Ubicar un punto sobre la bisectriz. ………………………………………………………………………………........  Obtusángulo:………………………………………………………………  ¿Qué nombre reciben estos segmentos y el punto “C”?... En el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 ubicar el punto medio “O” del lado “d”............. Con la ayuda de Cabri construir un triángulo isósceles. el punto medio “P” del lado “e” y el punto medio “Q” del lado “f”....  Trazar una de las bisectrices de cada triángulo.....  Tome la medida de estos segmentos..  Podemos deducir una propiedad de lo observado SI… NO…
¿qué?.... el segmento perpendicular al lado “e” que parta del punto “P” y el segmento perpendicular a “f” que parta del punto “Q” y que finalicen en el lado opuesto al punto medio indicado......... un triángulo escaleno y un triángulo equilátero nombrar los vértices de cada uno y realizar las siguientes actividades...  Acutángulo:………………………………………………………………......
..  Construir el segmento perpendicular al lado “d” que parta del punto “O”........ sucede con el punto “C” cuando el triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 es:  Rectángulo:………………………………………………………………...........  Trazar desde este punto un segmento perpendicular a cada uno de los lados del ángulo que lo conforman.....
i..………………………………………….............  Mover libremente cada uno de los vértices del triángulo ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐸𝐸 y decir que  Ubicar el punto de intersección “C” de los segmentos trazados...
FALSA…... y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo…….. Justifique su respuesta con la ayuda de una construcción en el software.  El incentro está ubicado en el……………… del triángulo sin importar el tipo de triángulo...
............ siendo las otras dos exteriores al triángulo…… iv. un triángulo acutángulo y un triángulo obtusángulo contestar verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones:  En un triángulo rectángulo la altura respecto a la hipotenusa es interior. La siguiente definición: “En un triángulo isósceles......… ……………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………......  Grafique las otras dos bisectrices de cada triángulo. Construir y nombrar los vértices de un triángulo rectángulo...... ¿cuáles?.. ii...  En un triángulo obtusángulo la altura respecto al mayor de sus lados es interior.  El ortocentro de un triángulo obtusángulo está ubicado en el……………… del triángulo. De acuerdo a la actividad realizada pudimos deducir algunas características o propiedades de la bisectriz y del incentro. la altura correspondiente al lado no congruente divide al triángulo en dos triángulos congruentes” es
VERDADERA…......
……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… iii.  En un triángulo acutángulo las tres alturas son interiores al triángulo……. v........ Ubicar el punto de intersección del las alturas de los triángulos anteriores y completar los siguientes enunciados con lo observado:  El ortocentro de un triángulo rectángulo está ubicado en
el…………………correspondiente al ángulo………………  El ortocentro de un triángulo acutángulo está ubicado en el……………… del triángulo.  Ubiqué el incentro.
..  ¿Dónde están ubicadas las medianas de los triángulos? ……….... ¿Qué se
observa?..vi... ¿Qué relación se observa?.........
Con la ayuda del software trazar tres triángulos cualesquiera diferentes y realizar las siguientes actividades:  Ubicar los puntos medios de cada segmento que conforman el triángulo............……………………………………………………………………… ……...... un triángulo rectángulo................ un triángulo obtusángulo y realizar las siguientes actividades:  Ubicar el punto medio de cada lado del triángulo y nombrarlos................  Trazar las medianas y el baricentro (punto de intersección de las alturas) de cada uno y contestar la siguiente pregunta con lo observado...……………………………………………………………...  Trazar una de las medianas de cada uno..
……………...  Ubicar el punto de intersección de las mediatrices de cada triángulo (Circuncentro).……………………………………………………………….... …………………………………………………………………………………...............................  Trazar las medianas restantes y medir el área de cada uno de los triángulos resultantes....
. …………………... y tomar la medida que hay del baricentro a cada vértice del triángulo.  Trazar una recta perpendicular a cada lado del triángulo que pase por el punto medio de dichos lados (mediatrices)...……………………………………………………………  Tomar la medida que hay desde el punto medio de cada lado del triángulo al baricentro.... viii........................... y un triángulo acutángulo.........…………….………………………………………………………………….........  Con lo realizado ¿Qué se puede concluir de las medianas?..……………… ……………………………………………………………………………….... ¿Qué se observa? ……..............
vii......
Trazar y nombrar los vértices de un triángulo obtusángulo.......  Medir el área de cada uno de los triángulos resultantes.. un triángulo acutángulo. Trazar y nombrar los vértices de un triángulo rectángulo......
...........................  Trazar dos medianas........................ xi.......... Realizar la siguiente construcción y contestar las preguntas enunciadas.... ¿Qué pasa con el tercer punto?....  Medir la longitud de estos segmentos.............  Que características tiene el circuncentro de cada uno de los triángulos: Rectángulo:……………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Acutángulo:……………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Obtusángulo:…………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ix.. marcar la intercepción de estas con la letra K.. ¿Qué pasa con estas longitudes? ……………………………………………………………………………....................... Trazar los segmentos que una el circuncentro con los vértices de los triángulos................................... Trazar tres triángulos cualesquiera diferentes cada uno y realizar las siguientes actividades:  Ubicar en cada uno de ellos el ortocentro. ..................  ¿Qué pasa con el punto W al unir P con K?  ¿Qué características tienes estos tres puntos P.. ¿Qué pasa?....  Trazar dos mediatrices.................  Construir un triángulo ABC................. el baricentro y el circuncentro.… ………………………………………………………………………………........................ marcar el punto de intersección de estas con la letra P... A los triángulos del ejercicio anterior trazarles una circunferencia con centro en el circuncentro y que pase por uno de los vértices del triángulo................... x........................  Unir con una recta P y K. W?
................... K.... marcar el punto de intersección de estas con la letra W.....................……………………………………………………………………………..  Trazar una recta que pase por el dos de estos puntos.......................  Trazar dos de las alturas.. ¿Qué tipo de circunferencia es esta?...
C. B.  Cuando logremos la condición anterior ¿Qué pasa con la recta de Euler?
i. Con una línea relacionar los puntos notables del triángulo con las rectas notables del triángulo que corresponda.  ¿Qué sucede con la recta que une P con K?  ¿Qué pasa con la intersección de las medianas?  ¿Qué pasa con la intersección de las alturas?  ¿Qué pasa con la intersección de las mediatrices?  ¿Qué triángulo debemos construir para que las medianas las alturas y las mediatrices sean la misma? Mida los ángulos y sus lados. Mueva los puntos A. compárelos y esto le permitirá determinar la clase de triángulo.  Circuncentro  Bisectrices
 Baricentro
 Alturas
 Incentro
 Mediatrices
 Ortocentro
 Medianas
. del triángulo... desde un
vértice del triángulo…………………… o a una prolongación de él.……… bisectrices que concurren en un punto llamado……………....... perpendicular trazada por el punto medio de un………….... En todo triángulo se pueden trazar ...  Se le llama mediatriz a la……………. Tres pueblos desean construir un pozo para abastecer de agua las tres ciudades...  Las bisectrices de un triángulo son los segmentos trazados desde cada………… al lado opuesto y que………………...
 Una vez trazadas las rectas y puntos notables del triángulo con la ayuda de tres de estas podemos trazar la llamada... mediatrices que se cortan en un punto llamado………………………………. del lado opuesto.
 Se llama altura al segmento
trazado de forma………………. En todo triángulo las…………....
i. se intersecan en un punto llamado…………….…. alturas que concurren en un punto común llamado…………….ii. En todo triángulo se pueden trazar. o centro de masa.. Tres pueblos están unidos entre sí por carreteras rectas una empresa desea construir un hipermercado que este situado entre los tres pueblos y después construirá vías de
. Cada alcalde desea que las conducciones de agua hasta su pueblo no sean más largas que las de cualquiera de sus vecinos por ello han decidido perforar en un lugar que se encuentre a la misma distancia de los tres.....  Se le llama mediana al segmento que une un………….
Completar los siguientes enunciados según lo realizado con anterioridad.......... ¿Cuál es ese punto? ii...... En todo triángulo se pueden trazar……. de un triángulo con el…………………….... a los ángulos correspondientes de dichos vértices.
absceso desde el centro comercial hasta cada una de las carreteras. Hacer un esquema grafico de la solución.
. Describa el método que utilizaran para localizar el punto en el que estará situada el centro comerciar. con la condición de que estas tres conexiones sean lo más corto posible y tengan la misma longitud.
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