Source: https://www.scribd.com/document/80392624/Ecuaciones-en-Circuitos
Timestamp: 2018-10-19 00:35:13+00:00

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Descarga de un condensador. Si tenemos un condensador con una capacidad de C faradios cargado inicialmente con Q0 culombios y lo conectamos en serie con una resistencia de R ohmios, entonces se produce una corriente eléctrica que descarga el condensador.
1 Puesto que la caída de potencial en el condensador es C q(t), donde q(t) representa la carga eléctrica en el instante t, y la caída de potencial en la resistencia es Ri(t), donde i(t) es la 1 intensidad de corriente, debe ocurrir Ri(t) + C q(t) = 0. Teniendo en cuenta que, como funciones del tiempo, la intensidad de corriente es la derivada de la carga, i(t) = q 0 (t), esta igualdad queda
¿Podemos calcular el valor de la carga q(t) para cada instante t > 0 a partir de esta igualdad? Esta pregunta plantea un problema en el que el objeto desconocido que deseamos encontrar es una función, la función q, y no un número, como era lo habitual hasta ahora. La expresión 1 Rq 0 (t) + C q(t) = 0 se llama ecuación diferencial porque en ella aparecen involucradas la función incógnita q y su derivada q0 . ¿Qué es una ecuación diferencial? Una ecuación diferencial es una igualdad en la que aparece una incógnita que debemos calcular, sólo que esta incógnita es una función deﬁnida en un intervalo, no un número, y la igualdad involucra la función y una o varias de sus derivadas. Las ecuaciones diferenciales son una de las principales herramientas de las matemáticas porque se usan habitualmente para construir modelos matemáticos de problemas de la ciencia y la ingeniería; en palabras de S. Lefschetz, las ecuaciones diferenciales son “la piedra angular de las matemáticas aplicadas”.
Lección 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Un poco de historia. La historia de las ecuaciones diferenciales comienza a ﬁnales del siglo XVII con los trabajos de I. Newton (1642—1727) y G. Leibniz (1646—1716). Con el desarrollo posterior de la mecánica, la física, y el electromagnetismo, las ecuaciones diferenciales encontraron uso creciente como instrumentos para la descripción matemática de los fenómenos naturales. Hasta el siglo XIX la cuestión primordial era encontrar soluciones explícitas para las ecuaciones diferenciales que surgían en el estudio de problemas en la mecánica y la física. Los trabajos de L. Euler (1707—1783), los Bernoulli (ocho miembros de esta familia suiza fueron matemáticos a lo largo del S. XVIII), J. d’Alembert (1717—1783), J.L. Lagrange (1736—1813) y P.S. Laplace (1749—1827) conﬁguran este período. Se trataba de encontrar métodos de resolución que, para tipos particulares de ecuaciones, permitieran representar las soluciones mediante fórmulas que involucraran los datos de las ecuaciones, o bien como suma de una serie. Para los casos más simples la resolución se alcanzaba por integración y de ahí que se denominara integración de ecuaciones diferenciales al procedimiento general de búsqueda de soluciones. En el período que comentamos aparecen los primeros intentos de obtener aproximaciones numéricas de las soluciones, como el método poligonal de Euler. Será a lo largo del siglo XIX cuando las ecuaciones diferenciales sean objeto de una teoría matemática con pretensiones de rigor y generalidad (en paralelo con lo sucedido, por la misma época, en otras ramas de las matemáticas). Son matemáticos de ese siglo los que plantean y abordan los problemas básicos que conformarán la teoría de las ecuaciones diferenciales hasta nuestros días: existencia y unicidad de soluciones, estudio de propiedades locales y globales de las soluciones, justiﬁcación de los métodos de integración, etc. Contenido de esta lección. En la asignatura de “Cálculo” de primer curso has podido estudiar algunas clases de ecuaciones diferenciales de primer orden, que son aquéllas en las que sólo aparece la derivada primera de la función incógnita, y cómo se resuelven. Por ejemplo, ya sabes que la 1 ecuación Rq0 (t) + C q(t) = 0, que modela la descarga de un condensador, es una ecuación con las variables separadas y que para resolverla se procede de la siguiente manera: se escribe la ecuación 0 1 como q = − RC y se calcula una primitiva de cada miembro q Z 0 Z q (t) 1 t dt = − + c ⇒ |q(t)| = ec−t/RC , dt ⇒ log(|q(t)|) = − q(t) RC RC siendo c la constante de integración. Usando que q(t) > 0 y que la carga del condensador en el instante inicial es Q0 , se tiene Q0 = q(0) = ec con lo que obtenemos la solución de la ecuación diferencial: q(t) = Q0 e−t/RC . Aquí vamos a empezar estudiando las ecuaciones lineales de primer orden. Después estudiaremos un método numérico, el método de Euler, que nos permitirá resolver ecuaciones de primer orden de forma aproximada cuando no sea posible hallar su solución mediante una fórmula. El resto de la lección –lo más importante, con diferencia– lo dedicaremos al estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden: la estructura de sus soluciones y los métodos para resolver las que tienen coeﬁcientes constantes. Ecuaciones lineales de primer orden. El tipo más importante de ecuaciones diferenciales lo constituyen las ecuaciones lineales, que consisten en igualar a una función dada una combinación lineal de la incógnita y sus derivadas cuyos coeﬁcientes son funciones de la variable independiente. La ecuación lineal de primer orden se suele escribir como y 0 + p(t)y = q(t) donde p y q son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R.
el núcleo de la aplicación lineal L. si llamamos L a la aplicación L(y) = y 0 + p(t)y. La idea central es la siguiente: como la solución general de la ecuación homogénea es y (h) = ce− p(t) dt . escribiéndola como y 0 /y = −p(t) e integrando. entender la estructura lineal de la ecuación. Es muy fácil ver que esta estructura se traslada prácticamente tal cual a nuestra ecuación L(y) = y 0 + p(x)y = q(t) porque su solución general viene dada por y(t) = y (h) (t) + y (p) (t). Una de ellas es usar que. esto nos dice que las soluciones de la ecuación homogénea forman un subespacio vectorial de dimensión uno del espacio de las funciones derivables y que dicho espacio vectorial. Hay varias formas de probar la fórmula anterior. Imponiendo que (y (p) )0 + p(t)y (p) = q(t). La ecuación y 0 + p(t)y = q(t) se llama lineal ya que la parte que afecta a la función y actúa sobre ella de manera lineal. Veamos cómo calcular y (h) e y (p) . Para buscar una solución particular de la ecuación completa emplearemos una técnica que se conoce como el método de variación de los parámetros y fue inventada por Lagrange. es entonces de naturaleza similar a la de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b. Es decir. Sabemos que la solución general de un sistema Ax = b podemos escribirla como x = x(h) + x(p) . el primer miembro de la ecuación se convierte en la derivada de μ(t)y(t) (de ahí el nombre de factor integrante) y la fórmula se deduce integrando y despejando y. En particular. tras multiplicar por μ(t). μ(t) ³ + v −p(t)e− p(t) dt ´ + p(t)ve− p(t) dt (1) (2) . nos queda q(t) = (y (p) 0 ) + p(t)y p(t) dt (p) =ve 0 − p(t) dt = v 0 e− = v 0 (t) . buscamos una solución particular que sea de la forma y (p) (t) = v(t)e− p(t) dt = v(t)/μ(t). está generado por la función 1/μ(t) = e− p(t) dt . es decir. en otros términos) y x(p) es una solución particular del sistema completo Ax = b. La ecuación. donde x(h) es la solución general del sistema homogéneo asociado Ax = 0 (el núcleo de la matriz. Si la resolvemos. Esta técnica la volveremos a usar en varias ocasiones por lo que es importante aprenderla bien desde el principio.Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 3 Vamos a ver que la solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden viene dada por la fórmula ∙ ¸ Z 1 y(t) = c + q(t)μ(t) dt μ(t) donde c es una constante arbitraria y la función μ. nuestra aplicación L actúa linealmente sobre el espacio vectorial de las funciones derivables en un intervalo. lo que se hace es buscar una solución particular de la ecuación completa y (p) que sea de la misma forma salvo que en el lugar de la constante c ponemos una función v(t) que debemos determinar. donde A es una matriz de orden m×n y x ∈ Rn y b ∈ Rm son vectores. es la función deﬁnida por μ(t) := e p(t) dt . Es mucho más instructivo. De la misma forma que la matriz A actúa linealmente sobre el espacio vectorial Rn . escrita como L(y) = q(t). porque procederemos de manera parecida con otras ecuaciones. donde y (h) es la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y) = y 0 + p(x)y = 0 e y (p) es una solución particular de la ecuación completa. entonces L es una aplicación lineal porque L(a1 y1 + a2 y2 ) = a1 L(y1 ) + a2 L(y2 ). nos queda y (h) = ce− p(t) dt = c/μ(t). La ecuación homogénea asociada y 0 + p(t)y = 0 es de variable separadas. que se llama factor integrante de la ecuación. donde c ∈ R es una constante arbitraria.
la parte EC se conoce como régimen permanente del circuito. Z 1 (p) y (t) = v(t)/μ(t) = q(t)μ(t) dt. e R Por ejemplo. obtenemos la fórmula dada antes ∙ ¸ Z Z 1 1 (h) (p) q(t)μ(t) dt = c + q(t)μ(t) dt . (Q0 −EC)e−t/RC se llama régimen transitorio porque sus efectos sólo son visibles al comienzo (observemos que decrece exponencialmente). en consecuencia. se produce una corriente eléctrica. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias q(t)μ(t) dt y. nos queda q(t) = EC + (Q0 − EC)e−t/RC . RC R ∙ ¸ Z e(t) t/RC c+ dt . Si la escribimos como q 0 (t) + entonces su solución general viene dada por q(t) = e −t/RC e(t) 1 q(t) = . En esta expresión. escribiendo la solución general de la ecuación y 0 + p(t)y = q(t) en la forma y = y (h) + y (p) . . y(t) = y (t) + y (t) = c/μ(t) + μ(t) μ(t) Aplicación a los circuitos RC y LR. debe ocurrir Rq 0 (t) + 1 q(t) = e(t) C 1 q(t) C y la caída de potencial en la que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. μ(t) R Finalmente. Cuando conectamos en serie un condensador con una capacidad de C faradios y una resistencia de R ohmios a una fuerza electromotriz de e(t) voltios y cerramos el circuito. para un voltaje constante e(t) = E voltios y condición inicial q(0) = Q0 culombios. porque es el término al que tiende a largo plazo. i (t ) e(t ) C R Puesto que la caída de potencial en el condensador es resistencia es Ri(t) = Rq 0 (t). el resto. también se produce una corriente eléctrica. Si lo que conectamos es una inductancia de L henrios con una resistencia de R ohmios a una fuerza electromotriz de e(t) voltios y cerramos el circuito.4 Despejando v 0 e integrando nos queda v(t) = Lección 1.
habitualmente. 2 El método de Euler La ecuación y 0 = sen (ty + y 2 ) no es de ninguno de los tipos que estudiaste el curso anterior y. como ya hemos comentado. El problema de la integración numérica de ecuaciones diferenciales. obteniendose ∙ ¸ Z e(t) Rt/L −Rt/L c+ dt . es decir. La razón de ello es que. las correspondientes ecuaciones lineales de los circuitos RC y LR para el caso en que la fuerza electromotriz es alterna e(t) = E0 sen (ωt). conocido como método de la poligonal de Euler o. la mayoría de los procesos físicos y químicos involucrados en éstas se modelan mediante una o varias ecuaciones diferenciales que. e i(t) = e L que. tanto analógicos como digitales. no se pueden resolver mediante una fórmula. no hay ningún método que nos permita resolverla y obtener su solución mediante una fórmula. R que. los primeros computadores. la ecuación que gobierna este circuito es Li0 (t) + Ri(t) = e(t) que también es una ecuación diferencial lineal de primer orden y puede resolverse de forma similar. En esta sección vamos a estudiar un método de resolución numérica de ecuaciones diferenciales de primer orden. Ante ecuaciones como ésta lo que se plantea en la práctica es usar un método que nos proporcione su solución de manera aproximada. De hecho. método de Euler. tanto ordinarias como en derivadas parciales. fueron diseñados con el propósito de resolver este tipo de problemas. . que dado un punto t nos permita obtener una aproximación numérica lo suﬁcientemente buena del valor y(t) de la solución en dicho punto. simplemente. nos queda ¢ E¡ i(t) = 1 − e−Rt/L . cuyo estudio se escapa de los objetivos de esta asignatura. como ejercicio. Resuelve.Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 5 i (t ) e(t ) R L Puesto que la caída de potencial en la inductancia es Li0 (t). presenta un régimen transitorio y un régimen permanente. que es el más básico y simple de entender y sobre el que se basan métodos más potentes y soﬁsticados. de hecho. en el caso de un voltaje constante e(t) = E voltios y condición inicial i(0) = 0 amperios. es el más importante del cálculo numérico aplicado a las distintas ramas de la ingeniería. de nuevo.
y(ti )) + y 00 (ξ i ). con lo cual puede probarse que el problema de valor inicial tiene solución única en el intervalo de trabajo [t0 . El método de Euler. y(ti+1 ) = y(ti ) + (ti+1 − ti )y (ti ) + 2 0 Usando que y satisface la ecuación diferencial y 0 = f(t. El método de resolución numérica de problemas de valor inicial más sencillo es el método creado por Euler en 1768. . . La idea del método es truncar el desarrollo de Taylor de y para quedarnos con su parte lineal. Supondremos que la función f(t. y(ti ) ≈ wi . podemos escribir ti = t0 + ih. 1. . 1. además su sencillez permite estudiar algunos aspectos de interés sobre las causas de los errores inherentes al método. n. existe un punto ξ i ∈ (ti . la fórmula anterior nos proporciona una aproximación de y(ti+1 ): y(ti+1 ) ≈ wi+1 := wi + hf (ti . y) y escribiendo h en vez de ti+1 − ti nos queda h2 y(ti+1 ) = y(ti ) + hf(ti . . . tF ]. Supondremos que los n + 1 nodos en los que vamos a trabajar están igualmente espaciados así que. en este contexto. . . Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Planteamiento del problema y notación. Llamaremos wi a la aproximación del valor exacto y(ti ) que vamos a ir obteniendo en cada nodo i = 0. es el germen de métodos posteriores más efectivos. y) con y(t0 ) = y0 para los valores de t en un intervalo [t0 . tF ] en el que t0 representa el instante inicial de la situación descrita por la ecuación y tF el instante ﬁnal hasta el que deseamos llegar.6 Lección 1. De acuerdo con el teorema de Taylor. i = 0. La distancia común h entre dos nodos consecutivos se llama tamaño de paso. Aunque apenas se utiliza en la práctica debido a que es poco exacto.L. . . tomando h = (tF − t0 )/n. 2 Si disponemos ya de una aproximación wi ≈ y(ti ) y h es pequeño. ti+1 ) tal que (ti+1 − ti )2 00 y (ξ i ). wi ). Queremos resolver el problema de valor inicial y 0 = f (t. Cauchy en 1840. terreno en el que no entraremos en esta asignatura. y) es continua y admite derivadas parciales continuas. El método tiene también importancia teórica ya que es la base del primer teorema de existencia y unicidad de soluciones a los problemas de valor inicial dado por A. reciben el nombre de nodos t0 < t1 < t2 < · · · < tn−1 < tn = tF . Una vez encontradas estas aproximaciones en los nodos. n. El primer objetivo es encontrar los valores aproximados de la solución del problema en un conjunto preﬁjado de puntos que. veremos un método que nos permitirá generar aproximaciones en los demás puntos del intervalo de trabajo [t0 . tF ]. de manera que podemos despreciar el término que contiene h2 .
0561 0. cuya cuarta columna recoge los errores absolutos ti 0. cuya solución exacta es y(t) = t + e−t . se conoce con el nombre de interpolación lineal a trozos.7 0.1 0. wi ) para todos los nodos.9 1. de ahí el nombre de método poligonal de Euler que recibe este procedimiento.Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 Partiendo del dato inicial y(t0 ) = y0 .0000 0.1 obtenemos la siguiente tabla. wi ).0000 1.0174 1.2493 1. La gráﬁca que se obtiene es una línea quebrada.0000 1.2874 0.1314 0. una versión soﬁsticada de la “regla de tres”. podemos aproximar la gráﬁca de la solución y(t) uniendo dos puntos (ti .0192 Interpolando estos valores linealmente obtenemos la correspondiente poligonal de Euler.1783 0.3066 1.0290 0. ti+1 ].3487 0. n − 1. si queremos hallar una aproximación del valor y(t) de la solución en un punto t comprendido entre dos nodos ti < t < ti+1 .1065 1.0 0.0183 1. 7 i = 0. .0703 1. wi ) consecutivos mediante un segmento recto. wi+1 ).5 0. .0142 1.2 0. es decir wi+1 − wi (t − ti ). wi ) y (ti+1 .1966 1.0 y(ti ) 1. Interpolación lineal.0100 0. 2.8 0. .0160 1.0187 1.0048 1. .3 0. .0191 1.0000 0.3679 wi |wi − y(ti )| 1. 1] con h = 0.4 0.0189 1. h y(t) ≈ wi + Esta técnica.0408 1. 1. Consideremos el problema de valor inicial lineal y 0 = −y + t + 1 para 0 ≤ t ≤ 1 con y(0) = 1. “lineal” porque se usan segmentos rectos y “a trozos” porque se usan segmentos distintos en cada subintervalo [ti .2305 0.1488 1. entonces la aproximación viene dada por el valor de la ordenada en t de la línea recta que pasa por los puntos (ti . Veamos un ejemplo. wi+1 = wi + hf(ti .0118 1. Si aplicamos el método de Euler en el intervalo [0. Más concretamente.6 0. podemos ir calculando los valores wi de forma iterativa: w0 = y0 . Una vez que tenemos las aproximaciones (ti .0087 1.0905 0.0048 1.
Planteémonos obtener tal integral mediante la regla del trapecio.0561 (0.3 0. Z ti+1 h (f(ti . y(s))ds ≈ (f(ti .05 1 0 0. no podemos obtener el valor exacto de la integral ni. el de y(ti+1 ). Observemos que Z ti+1 Z ti+1 0 y (s)ds = y(ti ) + f(s. Predecimos tal valor usando el método de Euler para obtener que Z ti+1 h f (s. los redondeos.25 1. Es decir.2 0. por otro. El método de Euler mejorado.8 1. los valores dados por el método de Euler no coinciden con los valores exactos de la solución y los errores van aumentando conforme añadimos puntos.35 1.0770 (aquí y en la tabla sólo se han mostrado los cuatro primeros decimales). y(ti )) + f (ti+1 . y(ti )) + f(ti+1 .4 y 0. y(ti+1 ))) = (f(ti .42) ≈ 1. 2 ti .5 y(0. en este método obtendremos una primera aproximación a dicho valor (que obtendremos con el método de Euler) y.7 0.2 1.0561 + 1. Grosso modo.4 Lección 1. f(s. Un pequeño progeso con respecto al método de Euler en la búsqueda de métodos numéricos para aproximar la solución de un problema de valores iniciales viene dado por el método de Euler mejorado. y(ti ) + hf(ti .42) = 1. introduciremos un factor que la corrige y mejora. 0. y(ti+1 ) = y(ti ) + ti ti Puesto que desconocemos y(s) en la anterior expresión.0905 − 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.0630. y(ti )))) .1 mientras que el valor exacto es y(0.4 0. usando ésta. Supongamos conocido el valor de y(ti ). y(s))ds.15 1. Obviamente queremos obtener la mejor aproximación posible al valor de y(ti+1 ). Lo vamos a deducir por un camino distinto al anterior.3 1. y(ti )) + f (ti+1 .8 0.5 0.1 0. Las causas de los errores son por un lado el error asociado al truncamiento de la serie de Taylor y.1 1.6 0. y(ti+1 ))) .42 − 0. por tanto.42 comprendido entre los nodos 0. Para terminar de ilustrar esta técnica.9 1 Tal como se esperaba. y(s))ds = (ti+1 − ti ) 2 2 ti De nuevo nos encontramos con que no conocemos el valos de y(ti+1 ) que ha aparecido en la anterior expresión.4) = 1. veamos cómo calcularíamos una aproximación del valor de la solución en el punto t = 0.
3 Otras ecuaciones de primer orden Como ya hemos comentado. Es interesante observar que en el método de Euler el error cometido es del orden de h mientras que en el método de Euler mejorado.0 y(ti ) wi (Euler) |wi − y(ti )| (Euler) wi (Euler mejorado) |wi − y(ti )| (Euler mejorado) 1. (1 − n) .0000 1. 2 9 Si llamamos wi a la aproximación de y(ti ) que vamos obteniendo con el método de Euler mejorado.4 0. 1.6306 0.4365 2.4800 0.2 0. Es el caso de la ecuación diferencial de primer orden dada por y 0 + p(t)y = q(t)y n con n ∈ Z. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Bernoulli.8 1.5836 1. y(ti ) + hf (ti .0 0. wi )) + f (ti+1 . Puesto que u0 (t) = (1 − n)y 0 (t)y(t)−n obtenemos que u0 (t) y(t)n + p(t)u(t)y(t)n = q(t)y(t)n . hay muchas otras ecuaciones diferenciales de primer orden de las que no se puede encontrar una solución de forma explícita.9766 0.000 0.0000 1.4599 3.2 obtenemos la siguiente tabla. 2 El método recién introducido precide primero y después corrige el valor de la aproximación de y(ti+1 ). y(ti )) + f(ti+1 . el error es del orden de h2 . donde recogemos también los errores abosultos cometidos por ambos métodos. en algunos casos sencillos.0428 1.3038 2. ti 0.0311 Este sencillo ejemplo pone de maniﬁesto la mejora introducida con el nuevo método. lo que pone de maniﬁesto la mejora realizada.0028 1. y(ti )))) . A pesar de ello.0317 1. cuya solución exacta es y(t) = 2et − t − 1. wi + hf(ti .0000 1.0204 3.2000 0.1757 2. concluimos que h wi+1 ≈ wi + (f(ti .Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 Concluimos así que y(ti+1 ) ≈ y(ti ) + h (f (ti .1036 1. n 6= 0. Consideremos el problema de valor inicial lineal y0 = y + t para 0 ≤ t ≤ 1 con y(0) = 1.0442 0.0000 0.5768 0.6510 2.0068 2.8560 0.6 0. Si aplicamos los métodos de Euler y de Euler mejorado en el intervalo [0. Para resolverla hacemos el cambio de variable u(t) = y(t)1−n . un cambio de variable adecuado nos permite llegar a dicha solución.0125 2.4054 0.2400 0.3472 0. wi ))) . Veamos un ejemplo. 1] con h = 0.2428 1.
Puesto que la solución general de esta escuación es u(t) = log(t) + 1 + ct. una vez obtenida v(t). Veamos un ejemplo. ¿Por qué no ha salido ésta en la anterior expresión? La ecuación de primer orden y 0 = p(t) + q(t)y + r(t)y 2 recibe el nombre de ecuación de Ricatti. Dividiendo por y(t)2 obtemos que −tu0 (t) + u(t) = log(t). Derivando y sustituyendo obtenemos que u0 (t) = −y 0 (t)/y(t)2 y −tu0 (t)y(t)2 + y(t) = y(t)2 log(t). Para ello observemos 1 que si y1 (t) es una solución particular de la ecuación de Ricatti. derivando obtenemos v0 (t) 0 que y 0 (t) = y1 (t) − .10 Lección 1. 1 log t En este caso t ∈ (0. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Simpliﬁcando llegamos a que la función u veriﬁca la ecuación lineal de primer orden dada por u0 (t) + (1 − n)p(t)u(t) = (1 − n)q(t). podemos simpliﬁcar la anterior expresión para obtener ¶ µ v 0 (t) y1 (t) 1 1 − . siendo c una constante 1 . concluimos que y(t) = log(t) + 1 + ct general de la ecuación anterior. sustituimos en la expresión de y(t). hacemos el cambio de variable t t u(t) = y(t)1−2 = 1/y(t). Al igual que con la ecuación de Bernoulli. q(t) = y n = 2. Un breve análisis permite observar que la función y(t) = 0 también es solución de la ecuación de Bernoulli. Esta ecuación puede convertirse en una ecuación lineal de primer orden mediante un cambio de la variable dependiente siempre que se conozca una solución. es la solución arbitraria. Consideremos la ecuación de Bernoulli ty 0 + y = y 2 log(t). Efectivamnete. Sustituyendo ahora en la ecuación vemos que v(t)2 ¶ µ ¶2 µ v0 (t) 1 1 0 y1 (t) − + r(t) y1 (t) + = p(t) + q(t) y1 (t) + v(t)2 v(t) v(t) ¶ µ ¶ µ 1 y1 (t) 1 2 . = p(t) + q(t) y1 (t) + + + r(t) y1 (t) + 2 v(t) v(t) v(t)2 Puesto que y1 es solución de la ecuación. Por tanto. la sustitución y(t) = y1 (t) + v(t) transforma la ecuación de Ricatti en una ecuación lineal. p(t) = . ∞). Es decir. . siendo c una cosntante arbitraria. + r(t) 2 + = q(t) v(t)2 v(t) v(t) v(t)2 Multiplicando por v(t)2 obtenemos −v0 (t) = q(t)v(t) + r(t) (2y1 (t)v(t) + 1) . que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. v0 (t) + (q(t) + 2y1 (t)r(t)) v(t) + r(t) = 0.
i (t ) R L e(t ) C Esta ecuación. como antes. y hemos visto antes. Diremos que una función y ∈ C 2 (I) es solución de dicha ecuación cuando y 00 (t) + p(t)y 0 (t) + q(t)y(t) = r(t) para todo t ∈ I. se produce una corriente eléctrica gobernada por la ecuación diferencial 1 Li0 (t) + Ri(t) + q(t) = e(t) C donde. Para ﬁjar una solución particular de la ecuación debemos dar una condición inicial con la que podemos determinar el valor de dicha constante. q y r son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R. Se sabe del curso anterior. . que para resolver una ecuación diferencial de primer orden hace falta calcular una primitiva. la constante de integración correspondiente. obteniéndose como solución general una familia de soluciones que depende de dos parámetros y que para ﬁjar una solución particular de la ecuación debamos dar dos condiciones. Cuando conectamos en serie una inductancia de L henrios. escrita como Lq 00 (t) + Rq0 (t) + 1 q(t) = e(t).Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 11 4 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Circuitos LRC. C es una ecuación diferencial lineal de segundo orden –“lineal” porque actúa de manera lineal sobre la incógnita y “de segundo orden” porque la derivada de mayor orden que aparece involucrada es la derivada segunda– y. un condensador con una capacidad de C faradios y una resistencia de R ohmios a una fuerza electromotriz de e(t) voltios y cerramos el circuito. q(t) representa la carga eléctrica en el instante t e i(t) = q 0 (t) es la intensidad de corriente. Si la función r(t) es idénticamente cero en I. La ecuación lineal de segundo orden se suele escribir como y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = r(t) donde p. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Veamos un ejemplo. digamos p(t) = p y q(t) = q para todo t ∈ I. Si las funciones p(t) y q(t) son constantes en I. Cabe pensar que para resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden haga falta calcular dos primitivas. se dice que la ecuación es homogénea. se dice que la ecuación es de coeﬁcientes constantes. obteniéndose como solución general una familia de soluciones que depende de un parámetro. como hemos dicho. es el tipo más importante de ecuaciones diferenciales que aparece en las aplicaciones.
c2 ∈ R. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejemplo. Si la función y(t) representa un movimiento cuya variable independiente t es el tiempo. Entonces el problema de valores iniciales y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = r(t). Si ﬁjamos y 0 (0) = 0 e y 0 (1) = 2e(e − 1). con lo cual y 0 = 2e2t + c1 et . Si ﬁjamos y 0 (0) = 0 e y 0 (1) = 1. Como nos sugiere el ejemplo. Si ﬁjamos y(0) = 0 e y(1) = 0. llegamos a y = e2t + c1 et + c2 solución general que. Sean p(t). El teorema clave es el que nos dice que los problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden tienen siempre solución única. La linealidad del primer miembro de la ecuación y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = r(t) nos permite hacer un análisis de la estructura de sus soluciones similar al que hicimos para la ecuación diferencial lineal de primer orden y al de los sistemas de ecuaciones estudiados en “Álgebra”. nos queda z 0 − z = 2e2t que es una ecuación lineal de primer orden. 0 con y(t0 ) = y0 e y 0 (t0 ) = y0 tiene solución única en I. entonces y = c1 y1 + c2 y2 también es una solución de y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0. Consideremos la ecuación y 00 − y 0 = 2e2t en I = [0. Es decir. En otras palabras. entonces la solución es única y = e2t − (e + 1)et + e.12 Lección 1. lo que nos ofrece varias posibilidades. Para determinar una solución particular debemos imponer dos condiciones. entonces la solución no es única ya que para cualquier c2 ∈ R la función y = e2t − 2et + c2 veriﬁca ambas condiciones. integrando otra vez. existe una única función y ∈ C 2 (I) veriﬁcando que y 00 (t) + 0 p(t)y 0 (t) + q(t)y(t) = r(t) para todo t ∈ I. q(t) y r(t) son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R. En la Lección 5 estudiaremos algunos problemas de contorno especiales ligados a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Aquí estudiaremos a fondo la resolución de los problemas de valor inicial para las ecuaciones con coeﬁcientes constantes y para algunas ecuaciones con coeﬁcientes arbitrarios. Si hacemos el cambio de variables y 0 = z. En lo que sigue supondremos que p(t). veamos cuatro ejemplos. a su vez. Se veriﬁca que si y1 e y2 son soluciones de la ecuación homogénea y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0 y c1 . Estructura algebraica de las soluciones de una ecuación homogénea. y(t0 ) = y0 e y 0 (t0 ) = y0 . Las condiciones del caso (1) se llaman condiciones iniciales porque en ellas se ﬁjan el valor de la función y el de su derivada en un sólo punto de I. Sea t0 ∈ I y sean y0 e y0 dos números reales cualesquiera. La ecuación y 00 +p(t)y 0 +q(t)y = 0 se llamará ecuación homogénea asociada a y 00 +p(t)y 0 +q(t)y = r(t) que. 2. q(t) y r(t) funciones continuas en un intervalo 0 I ⊂ R. 1]. (3) y (4) se llaman condiciones de contorno porque en ellas se ﬁjan los valores de y o de y 0 en los extremos del intervalo I. efectivamente. entonces dar condiciones iniciales en t = 0 no es más que ﬁjar la posición y la velocidad en el instante inicial. así que no hay solución que veriﬁque dichas condiciones. las . Resolviendo esta ecuación obtenemos z = 2e2t + c1 et . 4. la teoría de las ecuaciones lineales de segundo orden con condiciones iniciales es muy distinta de la teoría con condiciones de contorno. llamaremos ecuación completa. 1. Las condiciones de los casos (2). Teorema de existencia y unicidad. depende de dos constantes. entonces nos queda un sistema incompatible para c1 y c2 . 3. Si ﬁjamos y(0) = 0 e y 0 (0) = 1. entonces la solución es única y = e2t − et . de donde.
en el sentido de que dada una solución y de la ecuación homogénea. en el sentido de que dada una solución y de la ecuación completa. Además. necesitamos hallar dos soluciones independientes de la ecuación homogénea y una solución particular de la completa.1 e y1. con y(t0 ) = 0 e y 0 (t0 ) = 1 entonces y0. este espacio vectorial es de dimensión dos (lo que casa con el comentario de que la solución general de una ecuación lineal de segundo orden debería depender de dos constantes). entonces c1 y1 +c2 y2 es la solución general de dicha ecuación. si y1 e y2 son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea (las anteriores. En realidad. Supongamos que conocemos la solución general c1 y1 (t) + c2 y2 (t) de la ecuación homogénea. si y0. Sean y1 e y2 dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0 y sea y0 una solución particular de la ecuación completa y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = r(t). Entonces y0 + c1 y1 + c2 y2 es la solución general de dicha ecuación. Además. v(t) = y1 (t)2 Hallada esta función v.0 es la solución del problema de valor inicial y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0. ya que una vez que tenemos y1 .1 es la solución del problema de valor inicial y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0.0 son linealmente independientes. podemos adaptar el método de variación de parámetros haciendo lo siguiente: buscamos una nueva solución y2 como y2 (t) = v(t)y1 (t) donde v(t) es una función que debemos calcular. El teorema de estructura que acabamos de ver nos dice que para resolver la ecuación homogénea de forma general necesitamos hallar dos soluciones particulares linealmente independientes. c2 ∈ R tales que y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) para todo t ∈ I. ¿Qué ocurre con la ecuación completa? Resolución de la ecuación completa. con y(t0 ) = 1 e y 0 (t0 ) = 0. Imponiendo que y2 = vy1 sea solución de la ecuación homogénea nos queda una ecuación para v cuya solución es Z 1 − p(t) dt e dt. basta con calcular una solución. El método de variación de parámetros. existen c1 . más concretamente. Fórmula de Liouville. existen c1 . por ejemplo). digamos y1 . La idea central del método de variación de los parámetros es suponer que los coeﬁcientes c1 y c2 de la solución general c1 y1 (t) + c2 y2 (t) de la ecuación homogénea pueden variar (de ahí el nombre del método) y buscar una solución particular de la ecuación completa de la forma y0 = v1 (t)y1 (t) + v2 (t)y2 (t) . para resolver la ecuación completa de forma general. En la siguiente sección veremos cómo calcular soluciones linealmente independientes para las ecuaciones con coeﬁcientes constantes. c2 ∈ R tales que y = y0 + c1 y1 + c2 y2 . De acuerdo con esto. la función y2 = vy1 es una solución de la ecuación homogénea que es linealmente independiente de y1 . Veremos ahora como se puede adaptar el método de variación de los parámetros para hallar soluciones particulares de la ecuación completa a partir de la solución general de la ecuación homogénea.Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 13 soluciones de la ecuación homogénea forman un espacio vectorial. e y1.
entonces las funciones y1 (t) = em1 t e y2 (t) = tem1 t son soluciones independientes de la ecuación homogénea y 00 + py 0 + qy = 0 cuya solución general es. Para ello imponemos que y0 veriﬁque la ecuación completa y 00 + p(t)y 0 + q(t) = r(t) y también. y cada uno de estos casos se trata de manera diferente. y(t) = c1 em1 t + c2 em2 t . que se 0 0 veriﬁque la igualdad v1 y1 + v2 y2 = 0 en I.14 Lección 1. las funciones v1 y v2 buscadas son Z Z −y2 (t)r(t) y1 (t)r(t) dt y v2 (t) = dt. 0 0 0 0 v1 (t)y1 (t) + v2 (t)y2 (t) = r(t). y(t) = (c1 + c2 t)em1 t . entonces. luego. Raíces reales iguales. W (t) 0 0 donde W (t) = y1 (t)y2 (t) − y2 (t)y1 (t) se llama determinante wronskiano de y1 e y2 . Sus raíces son p p −p + p2 − 4q −p − p2 − 4q m1 = y m2 = . Empezamos construyendo lo que se conoce como ecuación auxiliar: m2 + pm + q = 0 y resolviéndola. Raíces reales distintas. tras un par de simpliﬁcaciones. lo que. . reales e iguales (si p2 = 4q) o complejos conjugados distintos (si p2 < 4q). calcular una solución particular de la completa por el método de variación de parámetros. por conveniencia. Usando la regla de Cramer obtenemos 0 v1 (t) = −y2 (t)r(t) W (t) y 0 v2 (t) = y1 (t)r(t) . 5 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeﬁcientes constantes En esta sección veremos cómo se resuelve la ecuación homogénea con coeﬁcientes constantes y 00 + py 0 + qy = 0 donde p y q son dos números reales. basta calcular una solución de la ecuación homogénea porque podemos calcular una segunda solución linealmente independiente usando la fórmula de Liouville y. nos lleva al sistema 0 0 v1 (t)y1 (t) + v2 (t)y2 (t) = 0. Si la ecuación auxiliar tiene una raíz real doble m1 = m2 . Si m1 y m2 son números reales distintos. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias donde v1 (t) y v2 (t) son dos funciones que debemos determinar. v1 (t) = W (t) W (t) En deﬁnitiva. entonces las funciones y1 (t) = em1 t e y2 (t) = em2 t son soluciones independientes de la ecuación lineal homogénea y 00 +py 0 +qy = 0 cuya solución general es. entonces. 2 2 Estos números m1 y m2 serán reales y distintos (si p2 > 4q). En consecuencia.
Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 15 Raíces complejas. Algunas sugerencias. A la vista de r(t) ¿cómo elegimos la forma de y0 (t)? No puede darse una respuesta general. Si m1 y m2 son números complejos. entonces se busca como solución particular un polinomio de grado n (si cero no es raíz de la ecuación auxiliar) o n + 1 (si cero es raíz simple de la ecuación auxiliar). un seno. podemos hallar una solución particular de la ecuación completa usando el método de variación de parámetros. así que buscamos una solución particular de la forma y0 (t) = at2 + bt + c. así que lo que se plantea es buscar como solución particular una combinación adecuada con coeﬁcientes indeterminados que se calculan imponiendo que la función veriﬁque la ecuación. .) 1. Como las partes real e imaginaria de estas dos soluciones las podemos obtener mediante una combinación lineal de ellas mismas. pero sí podemos dar una relación de los casos más simples. La razón es que las derivadas de una de estas combinaciones vuelven a ser funciones del mismo tipo. y(t) = eat (c1 cos(bt) + c2 sen (bt)). Imponiendo que y0 veriﬁque la ecuación llegamos a 2a − (2at + b) + 2(at2 + bt + c) = 2t2 − 2t para todo t. donde j = −1 es la unidad imaginaria. o bien. Si r(t) es un polinomio de grado n. pero puede conducir a integraciones tediosas. una exponencial. y(t) = k1 eat cos(bt + k2 ). podríamos construir las soluciones em1 t = e(a+bj)t = eat (cos(bt) + jsen (bt)) em2 t = e(a−bj)t = eat (cos(bt) − jsen (bt)) que son soluciones complejas. b = 0 y c = −1. entonces. Imitando lo que ocurre en el caso de raíces reales distintas. deducimos que las funciones y1 (t) = Re(em1 t ) = eat cos(bt) e y2 (t) = Im(em1 t ) = eat sen (bt) son soluciones reales e independientes de la ecuación homogénea y 00 + py 0 + qy = 0 cuya solución general es. Ejemplo. El método de los coeﬁcientes indeterminados. así que √ podemos escribir m1 = a + bj y m2 = a − bj. nos ﬁjamos en que r(t) = 2t2 − 2t es un polinomio de segundo grado. entonces son conjugados. Vimos en la sección anterior que si tenemos dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Igualando los coeﬁcientes del polinomio de la izquierda y del polinomio de la derecha. obtenemos 2a = 2. −2a + 2b = −2. Para hallar una solución particular de y 00 − y 0 + 2y = 2t2 − 2t. 2a − b + 2c = 0 luego a = 1. existe un método que permite hallar una solución particular de la ecuación completa y 00 + py 0 + qy = r(t) cuando la función r(t) es un polinomio. adquirir experiencia con ellos permitirá abordar casos más complicados con soltura. lo que nos da la solución particular y0 (t) = t2 − 1. Si la ecuación tiene coeﬁcientes constantes. siendo ahora k1 y k2 las constantes arbitrarias. un coseno o una combinación de sumas y productos de tales funciones. (En lo que sigue m1 y m2 son las soluciones de la ecuación auxiliar. Este método funciona siempre.
C 1 C En ambos casos la ecuación auxiliar es Lm2 + Rm + q −R ± R2 − 2L 4L C = 0. Una vez calculados a y b. En el caso de exponenciales multiplicadas por senos o cosenos. derivando la expresión anterior. (iii) y0 = ct2 eat si a = m1 = m2 . (ii) y0 = cteat si a = m1 y a 6= m2 . (a + jb)tejαt . Aplicación a los circuitos LRC. respectivamente. igual o menor que 2 L/C– y cuál es su conducta a largo plazo.16 Lección 1. de que p R sea mayor. la ecuación diferencial del circuito nos queda Li00 (t) + Ri0 (t) + 1 i(t) = e0 (t). Si r(t) = sen (αt) o r(t) = cos(αt). puede merecer la pena escribir estas últimas en términos de exponenciales complejas. se produce una corriente eléctrica gobernada por la ecuación diferencial Lq 00 (t) + Rq 0 (t) + 1 q(t) = e(t). entonces se busca como solución particular la correspondiente combinación de las soluciones particulares propuestas. entonces se busca como solución particular (i) y0 = a cos(αt) + bsen (αt) si αj 6= m1 y αj 6= m2 . entonces. Si r(t) es una combinación de las funciones anteriores. C Alternativamente. Hemos visto que cuando conectamos en serie una inductancia de L henrios. entonces se busca como solución particular (i) y0 = ceat si a 6= m1 y a 6= m2 . 3. Si r(t) = eat es una exponencial. LC m= R =− ± 2L − Dos problemas importantes son saber si un circuito de este tipo presenta o no una conducta oscilante –lo que dependerá del signo del discriminante de la ecuación auxiliar. Otra buena opción en estos casos es trabajar con la exponencial compleja y buscar una solución particular de la forma (a + jb)ejαt o. . Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2. cuyas soluciones son sµ R 2L ¶2 1 . si elegimos como incógnita la intensidad de corriente i(t). lo que se conoce como su régimen estacionario. un condensador con una capacidad de C faradios y una resistencia de R ohmios a una fuerza electromotriz de e(t) voltios y cerramos el circuito. es decir. la parte real de la solución obtenida es la solución particular correspondiente a un segundo miembro con la función coseno y su parte imaginaria es la solución particular correspondiente a un segundo miembro con la función seno. 4. (ii) y0 = at cos(αt) + btsen (αt) si αj es una raíz de la ecuación auxiliar.
Una ecuación de la forma t2 y 00 + pty 0 + qy = r(t) 17 se llama ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden y se reduce a una ecuación lineal con coeﬁcientes constantes mediante el cambio de variable independiente t = es . 4. 4. deshacemos el cambio de variable para obtener la solución y(t) = z(log(t)). si llamamos z(s) = y(es ). y 0 = −7(y − t) + 1 para 0 ≤ t ≤ 4. con y(0) = 0.2. Interpola los valores obtenidos para calcular una aproximación al valor de la solución en el punto t = 0. Para ello.1. y 0 = y − t2 + 1 para 0 ≤ t ≤ 2. 3. Si la corriente es nula cuando t = 0.32. Interpola los valores obtenidos para calcular una aproximación al valor de la solución en el punto t = 0. 3. halla la corriente en cualquier instante posterior. 2. Ejercicio 2 Una inductancia de 2 henrios y una resistencia de 10 ohmios se conectan en serie con una fuerza electromotriz constante de 100 voltios. Compara los resultados con la solución exacta. con y(0) = 0 y h = 0. 2. Ejercicio 1 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial. y 0 + y = 2et con y(0) = 2. y 0 + ty = cos(2t) con y(0) = 1. con y(0) = 0 y h = 0.Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 Ecuaciones de Euler-Cauchy. y 0 − 2t−1 y = −t2 y 2 . Repite el ejercicio cuando la fuerza electromotriz vale E = 100sen (60t) voltios. y 0 = 1 + t2 y para 0 ≤ t ≤ 2.1. 1.32. Compara los resultados con la solución exacta. t2 y 0 + 2t3 y = y 2 (1 + 2t2 ). Ejercicio 3 Aproxima la solución de cada uno de los problemas de valor inicial siguientes usando el método de Euler con el tamaño de paso que se indica. y 0 + y/t = 3t con y(1) = 2. 2. y 0 − 2ty = t con y(0) = 0.5 y h = 0. . entonces la función z satisface la ecuación z 00 + (p − 1)z + qz = r(es ) donde las derivadas que aparecen son derivadas de z con respecto a s. Ejercicio 4 Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones de Bernoulli: 1. y 0 = 1 + tsen (ty) para 0 ≤ t ≤ 1.2. con y(0) = 3 y h = 0. 6 Ejercicios 1. Una vez resuelta.
4t2 y 00 + 5y = 0. y 0 = 1 + t2 − 2ty + y 2 . y 00 − y 0 − 2y = 5e−t + t2 − 1. y 00 − 2y 0 + y = et sen (t). t2 y 00 − 3ty 0 − 5y = t2 log(t). 3. 2. 3. (t2 + 1)y 00 − 2ty 0 + 2y = 0. con y(0) = 1 e y 0 (0) = 0. en su caso. t2 y 00 − 4ty 0 + 6y = t4 − t2 . 2. 3. Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones de Euler-Cauchy. con y(0) = 1 e y 0 (0) = 4. Ejercicio 6 En los siguientes casos. 1. y 00 + 4y = 8sen (2t). 1. 4. 2. 2. 1. 4. y 0 = (1 − y)(t + y). 5. 4. Ejercicio 7 Resuelve las siguientes ecuaciones con coeﬁcientes constantes. el método de variación de los parámetros para hallar una solución particular de la ecuación completa. y 0 = −t5 + t−1 y + t3 y 2 . con y1 (t) = et . 1. t2 y 00 + ty 0 − y = 3t2 . y 00 − 4y = e2t .18 Lección 1. 3. con y1 (t) = t2 − 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejercicio 5 Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones de Ricatti: 1. con y(0) = 0 e y 0 (0) = 1. y 00 − 2y 0 + 5y = 5t − 2 + 4et . 2. 3. y 00 − y 0 = t2 . con y(0) = 2 e y 0 (0) = −1. halla la solución general de la ecuación usando la solución y1 de la ecuación homogénea que se da para calcular una segunda solución linealmente independiente y. con y1 (t) = t. y 00 + y 0 − 2y = 2(1 + t + t2 ). (1 + t)y 00 − 2y 0 + (1 − t)y = 2 − t + t2 . . con y(0) = 0 e y 0 (0) = 0. Ejercicio 8 Resuelve los siguientes problemas de valor inicial. y 00 − y = t + 4et . t2 y 00 − ty 0 + y = log(t). sabiendo que y1 es un polinomio de primer grado. 5. t2 y 00 − t(t + 2)y 0 + (t + 2)y = t3 . y 00 + 4y 0 + 4y = cos(2t). y 00 + 2y 0 = 3tet . 4.
Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 19 7 Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores Ejercicio 10 Se conectan en serie una resistencia de 2000 ohmios y un condensador de 5 · 10−6 faradios con una fuerza electromotriz de 100 voltios. Ejercicio 15 Construye las aproximaciones a la solución del problema de valor inicial y 0 = ty 2 + e−y + 1 y(1) = 0 que se obtienen aplicando tres pasos del método de Euler con h = 0. Ejercicio 16 Construye las aproximaciones a la solución del problema de valor inicial y 0 = sen (y) + ty y(0) = π/2 que se obtienen aplicando tres pasos del método de Euler con h = 0. 1. Si en el instante inicial el circuito está descargado. Ejercicio 13 Resuelve el problema de valor inicial y 0 = 1 + t + y + ty con y(0) = 0. (2) Resuelve la ecuación ty 00 − (1 + t)y 0 + y = 0 sabiendo que tiene una solución común con la ecuación del apartado (1).4] y utiliza dichas aproximaciones para interpolar el valor de la solución en t = 1.4]. Halla todas las funciones f para las que se veriﬁca (f g)0 = f 0 g 0 .1 segundos si I(0) = 0. Ejercicio 14 Usa el método de Euler para calcular aproximaciones numéricas a la solución del problema de valor inicial y 0 = 2 − ty 2 con y(1) = 1 con tamaño de paso h = 0.2 para t ∈ [1.2.3. ¿cuál será la carga en el condensador al cabo de 10 segundos? Ejercicio 12 Sea g la función g(t) = t2 .25. Escribe los resultados con cuatro cifras decimales. (Trabaja con dos cifras decimales). Ejercicio 18 (1) Resuelve la ecuación diferencial y 0 + y − 2et = 0. Escribe los resultados con cuatro cifras decimales. ¿Cuál es la corriente para t = 0. Ejercicio 17 Usa el método de Euler para calcular aproximaciones numéricas a la solución del problema de valor inicial con y(1) = 1 y0 = y2 − t con tamaño de paso h = 0.01 amperios? Ejercicio 11 Se conectan en serie una resistencia de 2000 ohmios.1 para t ∈ [1. . un condensador con una capacidad de 5 · 10−3 faradios y un generador que proporciona una fuerza electromotriz alterna de e(t) = 10sen (100πt) voltios. 1.
. L = 17 henrios y C = 0. Ecuaciones diferenciales. Simmons. 3. Capítulos 1 y 2. (1) Si cargamos el condensador y no introducimos fuerza electromotriz. Edwards y D. Ejercicio 22 Resuelve el problema de valor inicial y 00 + 2y 0 + 5y = 5t2 − t con y(0) = 1 e y 0 (0) = −4. Ejercicio 21 Resuelve el problema de valor inicial y 00 + 4y = 3 cos(t) con y(0) = 2 e y 0 (0) = −2. Penney. Ejercicio 23 Resuelve el problema de valor inicial y 00 + y 0 − 2y = 6et con y(0) = 0 e y 0 (0) = 4. Ejercicio 20 Halla la solución general de la ecuación y 00 + y 0 − 2y = 0.E. sabiendo que y1 (t) = t es una solución de dicha ecuación.9/3-EDW] C. Ejercicio 25 Los componentes de un circuito eléctrico de tipo LRC tienen los siguientes valores: R = 18 ohmios.05 faradios. Ecuaciones diferenciales elementales.9/2-BRA] M.F. pero hay mucha más información que puedes consultar. [517. en fase o retrasada con respecto al voltaje de entrada? Ejercicio 26 Resuelve el problema de valor inicial t2 y 00 − 3ty 0 + 3y = 3 log(t) − 4 con y(1) = −2 e y 0 (1) = 9. En los que se referencian a continuación está todo lo que hemos visto aquí. Capítulos 1. 5 y 8. Ejercicio 24 Inventa una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeﬁcientes constantes ay 00 + by 0 + cy = f(t) cuya solución eneral sea y(t) = c1 et + c2 e−2t + sen (t). algo que en la mayoría de los libros ocupa varios capítulos. ¿se descargará de forma oscilatoria? (2) Introducimos una fuerza electromotriz e(t) = 60sen (2t) voltios. 2 y 3. [517. 2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ejercicio 19 (1) Calcula la solución general de la ecuación (t2 − 1)y 00 − 2ty 0 + 2y = 0. 8 Bibliografía En esta lección hemos extraído lo esencial de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales de primer y segundo orden. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. (2) Calcula una solución particular de (t2 − 1)y 00 − 2ty 0 + 2y = t2 − 1.H. Capítulos 1. ¿Cuál será el régimen permanente (o estacionario) de la carga? ¿Está la intensidad de salida adelantada.9/2-SIM] G. Braun. [517.20 Lección 1.
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