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Timestamp: 2017-09-24 01:42:17+00:00

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Cálculo I. Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato. Segunda Edición. Autores: - PDF
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Samuel Salas Valenzuela
3 Cálculo I Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato Segunda Edición Autores: Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra Revisión Técnica: Dr. Armando Flórez Arco
5 Cálculo I Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato Segunda Edición
6 Cálculo I Cálculo Diferencial por Competencias para Bachillerato Tercer grado, primer semestre Fases especializadas: Físico-Matemáticas y Químico-Biológicas Primera Edición, Agosto 0. Segunda Edición, Junio 0. Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra Diseño portada: Carol Judith Zazueta Rivera Diseño de interior: Irán Sepúlveda León Carol Judith Zazueta Rivera Eva Margarita Moreno Chávez Revisión Técnica: Dr. Armando Flórez Arco Servicios Editoriales Once Ríos Río Usumacinta 8 Col. Industrial Bravo. C.P. 800 Culiacán, Sinaloa, Méico. Impreso en Méico Edición con fines académicos, no lucrativos 6
7 ÍNDICE GENERAL: Presentación... 9 Dedicatoria y agradecimientos... UNIDAD DE APRENDIZAJE I. FuNCIONES MATEMÁTICAS: MODELACIÓN, graficación Y VARIACIÓN.. Introducción Evaluación diagnóstica Funciones y modelación matemática..... Funciones algebraicas: Defi nición, análisis y grafi cación... 6 UNIDAD DE APRENDIZAJE II. LÍMITES, RAZONES DE CAMBIO Y CONCEPTO DE DERIVADA.. Introducción Variación, límites y continuidad de funciones Variación y razones promedio de cambio Qué es el Cálculo Diferencial? Variación y razones instantáneas de cambio Concepto y defi nición de derivada... UNIDAD DE APRENDIZAJE III. CÁLCuLO DE DERIVADAS MEDIANTE FÓRMuLAS Y TÉCNI- CAS DE DERIVACIÓN.. Introducción..... Reglas y fórmulas básicas de derivación..... Derivadas de orden superior. Derivada implícita Funciones trigonométricas directas e inversas Límites y derivadas de las funciones trigonométricas Funciones eponenciales y logarítmicas Derivada de las funciones eponenciales y logarítmicas... UNIDAD DE APRENDIZAJE IV. APLICACIONES DE LAS FuNCIONES Y LA DERIVADA.. Introducción Aplicaciones geométricas de la derivada Aplicaciones físicas de la derivada..... Aplicaciónes de la derivada al análisis y grafi cación de funciones Aplicación de las funciones y la derivada a la modelación y resolución de problemas de optimización Evaluación sumativa del curso Bibliografía de consulta para el estudiante y el profesor
9 PRESENTACIÓN (CURRICULAR Y DIDÁCTICA): La presente segunda edición de este teto, al igual que en la edición anterior, es un material didáctico de apoyo, para el estudiante y el maestro, para el proceso de enseñanza / aprendizaje de la asignatura de Cálculo I (Cálculo Diferencial de Una Variable) la cual se estudia en el quinto semestre del plan de estudio 009 del bachillerato de la universidad Autónoma de Sinaloa. En el estudio de la asignatura y el teto de Cálculo I, se presentan nuevos conocimientos y una forma específica de pensamiento matemático, en la que el estudiante se enfrenta a procesos dinámicos infinitos de aproimación relacionados con el paso al límite, y también, se profundizan, sistematizan e integran muchos de los contenidos estudiados anteriormente en los cursos de matemáticas. Por lo que esta asignatura, junto con el Cálculo II (Cálculo Integral), brinda posibilidades formativas ecepcionales para el desarrollo de las competencias disciplinares de matemáticas de este nivel educativo. En este sentido queda justificado en el bachillerato el aprendizaje y la enseñanza del Cálculo I. Considerando que el bachillerato universitario tiene carácter propedéutico, el contenido tratado en este teto es de nivel introductorio y elemental, y se desarrolla didácticamente de manera intuitiva e informal, enfatizando en aplicaciones sencillas. Así, pues, los autores hemos dejado, deliberadamente, para los niveles de licenciatura la formalización rigurosa, tan necesaria para la ciencia matemática pero difícil y carente de interés, en la mayoría de los casos, para los estudiantes de la preparatoria. En congruencia con el programa de estudio correspondiente el teto está elaborado para que se trabaje con un enfoque por competencias lo cual implica que deberá ser estudiado y enseñado (por el estudiante y el profesor respectivamente) con una metodología activa y refleiva a través del desarrollo de lecturas y actividades matemáticas individuales y colectivas. Esto en aras de que el alumno logre desarrollar, además de algunas competencias genéricas, un conjunto de competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas. Las cuales se concretizaran en la medida en que los estudiantes adquieran la capacidad de modelar e interpretar matemáticamente el entorno que los rodea, y desarrollen su creatividad, su pensamiento lógico y crítico. Así como, la habilidad para plantear y resolver problemas, y sus capacidades de estructurar y comunicar mejor sus ideas y razonamientos, y de argumentar sus procedimientos y resultados. Bajo estas concepciones del proceso de desarrollo de las competencias matemáticas, en el teto los contenidos de aprendizaje y enseñanza de Cálculo I están estructurados y secuenciados de lo sencillo a lo complejo en cuatro unidades de aprendizaje. Pero, en esta segunda edición del teto, retomando algunas eperiencias y observaciones hechas por algunos profesores y profesoras de esta asignatura, se ha reorganizado una parte del contenido presente en la edición anterior en la idea de hacerlo más didáctico y funcional. Sin embargo, aunque se redujo el teto en general, el contenido básico se mantiene, ya que es necesario para un desarrollo que dé cuenta de la naturaleza lógica y epistemológica de esta rama de las matemáticas superiores. 9
10 De esta manera en la primera unidad sobre las funciones, donde se aseguran las bases matemáticas del Cálculo Diferencial, se activan, sistematizan y profundizan los conocimientos que los alumnos han adquirido sobre los números reales y las funciones elementales. La atención se concentra en el dominio por parte del alumno de procedimientos algebraicos, de modelación, graficación y análisis de las funciones matemáticas. En particular, se presta atención al análisis y determinación de dominios, imágenes, ceros, polos, monotonías, asíntotas, simetrías, inversas y otras propiedades de las funciones que requieren la aplicación del razonamiento matemático y de las habilidades de cálculo algebraico. Las operaciones con funciones se trabajan como sistematización de algo que los alumnos conocen y se introduce una operación nueva: la composición de funciones. Sobre la base del concepto de variación funcional, y a través del análisis de las funciones algebraicas, en esta unidad se introducen intuitivamente dos nuevos conceptos básicos del cálculo, como son el de límite y continuidad de una función, los cuales se retomarán con más formalidad en la unidad. En la segunda unidad se estudian los límites, la continuidad, las razones de cambio y el concepto de derivada. La noción intuitiva de límite que se presenta es básicamente un concepto auiliar para introducir la derivación y, por tanto, lo fundamental es preparar a los alumnos para comprender el concepto de derivada de una función y deducir las reglas de derivación. Respecto al cálculo de límites, lo importante es que los alumnos calculen algunos límites de las funciones mediante aproimaciones y de manera directa cuando sea posible, esto facilitara continuar desarrollando las habilidades aritméticas y algebraicas de cálculo y fijar las propiedades fundamentales de las operaciones con límites. En lo que se refiere al concepto función continua, lo esencial es que los alumnos lo comprendan y lo reconozcan geométricamente, y puedan reconocer que algunas de las funciones elementales son continuas en todos los puntos donde están definidas y lo que esto implica para el cálculo de límites. El concepto derivada se relaciona con el concepto geométrico tangente para su interpretación geométrica, y con el concepto físico de velocidad instantánea para su interpretación física. Aquí es importante, para efecto de profundizar en la conceptualización, que se calculen derivadas de funciones sencillas a partir de la definición de derivada, así como de hallar ecuaciones de rectas tangentes y normales a una curva dada. En la tercera unidad se continua con el estudio de las funciones, en particular con las funciones trigonométricas, eponenciales y logarítmicas, ya que son necesarias para completar el estudio de las reglas, formulas y técnicas básicas de derivación que son el objeto central de estudio de la unidad. Razón por la cual aquí se estudian los límites fundamentales: trigonométrico y algebraico. Al introducir el límite fundamental algebraico, se introduce el número e y se completa el estudio de las funciones elementales con la eponencial y la logarítmica de base e. Aquí hay que tener en cuenta que se trata de un curso introductorio de Cálculo Diferencial y, por esta razón, no se tratan de buscar teoremas fuertes, sino desarrollar las reglas y fórmulas básicas que se aplican en los cálculos usuales de derivación. Por esto es esencial que los alumnos dominen las reglas básicas de derivación y sean capaces de derivar las funciones algebraicas y trascendentes tratando de epresar el resultado en la forma más simplificada posible, lo que conduce a la realización de cálculos algebraicos que contribuyen al mantenimiento de habilidades matemáticas fundamentales. 0
11 El curso termina, en la cuarta unidad, con algunas aplicaciones de las funciones y sus derivadas. Como aplicaciones fundamentales de las derivadas, se determinan las ecuaciones de rectas tangente y normal a la grafica de una función, y también se abordan el análisis y la graficación de funciones mediante la determinación de sus valores etremos (máimos y mínimos) y de los intervalos donde estas son crecientes y decrecientes, además, desde la perspectiva o interpretación física, se calculan velocidades instantáneas o razones instantáneas de cambio, por último, se estudian aplicaciones a la solución de problemas de etremos y/o de optimización. Estas aplicaciones permiten, continuar profundizando en la conceptualización matemática y en el mantenimiento de las habilidades de cálculo con números reales, funciones, inecuaciones, ecuaciones, etc. Además, de permitir continuar desarrollando la competencia para plantear y resolver problemas y contribuir a que los alumnos comprendan cómo la matemática permite modelar y resolver diferentes problemas prácticos de la vida cotidiana, las ciencias y la ingeniería. Sin duda alguna, la importancia de esta unidad didáctica resulta evidente ya que con las aplicaciones del Cálculo Diferencial, el estudiante profundiza e integra funcionalmente sus conocimientos matemáticos previamente estudiados y, además, adquiere nuevos conocimientos, herramientas y habilidades para la formulación y resolución de problemas prácticos más complejos, lo que facilita y promueve el desarrollo de las competencias del área de matemáticas. En resumen: El estudio del Cálculo Diferencial es una gran oportunidad para que el alumno sistematice los estudios matemáticos elementales y continúe desarrollando las competencias disciplinares de matemáticas, a la vez que le abre la puerta de entrada para cursos superiores de matemáticas que les serán necesarios en su futura profesión. Para lograr lo anterior, el enfoque pedagógico-didáctico considerado como el más pertinente y congruente para el desarrollo de las competencias disciplinares básicas de la asignatura de Cálculo I, y del área de matemáticas en general, se fundamenta epistemológicamente en el paradigma constructivista, y psicopedagógicamente está centrado en el aprendizaje del estudiante, así como en su desarrollo personal y social. Esto en razón de que desde los enfoques constructivista y humanista, el estudiante es considerado como un sujeto activo y responsable de su propio aprendizaje y de su crecimiento personal, que logra aprendizajes significativos solo a través del desarrollo de actividades previamente motivadas por conflictos y/o problemáticas contetualizadas en sus entornos reales o perceptivos inmediatos. Estos requerimientos de formación y práctica docente muestran que el problema didáctico crucial para el desarrollo de las competencias matemáticas en el currículo actual del bachillerato, es cómo motivar y activar a los estudiantes para que desarrollen competencias que les posibiliten lograr aprendizajes profundos y de alta calidad. De donde, en aras de que los aprendizajes logrados en los estudiantes sean significativos y funcionales, y de disminuir los altos índices de reprobación, se hace necesario desarrollar la docencia con un nuevo enfoque didáctico congruente con un enfoque constructivista centrado en el aprendizaje individual y cooperativo del estudiante, donde el contenido de aprendizaje se estudie preferentemente contetualizado y con un enfoqué de resolución de problemas y de
12 análisis y autoevaluación constructiva de aciertos y errores. Es importante enfatizar que en la actividad de formular y resolver problemas se despliegan e integran las más variadas motivaciones y actividades características del quehacer matemático competente. Por esta razón el enfoque didáctico de este teto de Cálculo I está orientado a la formulación y resolución de problemas tanto en lo individual como grupal. Durante el proceso de desarrollo de las competencias matemáticas de Cálculo I, si bien es cierto que los aspectos operativos y algorítmicos del Cálculo son importantes, y por ende no deben dejarse de lado, también es cierto que los conceptos básicos subyacentes a tal operatividad deben ser construidos y comprendidos por los estudiantes si se quiere que desarrollen competencias para aplicarlos correctamente en otras disciplinas y en la misma matemática. Por tanto, el maestro desarrollará el curso mediante una metodología de enseñanza que equilibre los enfoques conceptuales, intuitivos, numéricos, algebraicos, variacionales y funcionales. Procurando que la formalización sea más frecuentemente un punto de llegada (cuando sea esta posible) y no de partida. Desde este marco de ideas didácticas generales, finalmente les deseamos respectivamente a los alumnos y profesores mucho éito en el aprendizaje y enseñanza del Cálculo Diferencial y esperamos que este libro les ayude en esta emocionante empresa académica. Teniendo siempre presente que el aprendizaje significativo se logra cuando la bibliografía se transforma en biografía, y que uno de los mejores caminos para lograrlo es la formulación y resolución de problemas matemáticos contetualizados. Estimables lectores, aunque este nuevo teto fue revisado con sumo cuidado en su escritura y edición, desgraciadamente siempre se presentan errores involuntarios, por lo cual les agradecemos de antemano que nos hagan llegar, a la Academia de Matemáticas de la dgepuas (o la dirección electrónica todos los errores que detecten al momento de su lectura, así como sus criticas y sugerencias para mejorarlo conjuntamente con ustedes en futuras ediciones. ATENTAMENTE Culiacán Rosales, Sinaloa, Junio de 0. Muchas gracias: LOS AUTORES
13 DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS Dedicamos este libro a todos los estudiantes, maestros y maestras que hacen, y han hecho, el esfuerzo cotidiano por mejorar la calidad de la educación en general, y del aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en particular, en las aulas universitarias. En especial a los maestros y maestras de Cálculo I del bachillerato de la universidad Autónoma de Sinaloa. Por supuesto, también agradecemos a nuestras familias, amigos y amigas, que nos brindan el marco afectivo y motivacional de apoyo tan necesario para continuar con nuestra difícil, pero grata, tarea docente. Finalmente agradecemos también a los directivos de la Dirección general de Escuelas Preparatorias (DgEP) de la universidad Autónoma de Sinaloa las facilidades para la elaboración y publicación de esta obra. En particular al Dr. Armando Florez Arco por su paciente y eperta revisión técnica del teto. Esta edición del libro se ha realizado en los talleres gráfi cos de Servicios Editoriales Once Ríos, los lectores podrán apreciar la calidad del trabajo que evidencia su profesionalismo, lo que nos produce gran satisfacción, por tal motivo les epresamos nuestro reconocimiento y felicitación.
15 UNIDAD DE APRENDIZAJE I FUNCIONES MATEMÁTICAS: MODELACIÓN, GRAFICACIÓN Y VARIACIÓN Competencia de unidad: Grafica y analiza las funciones algebraicas, y las aplica en la modelación, formulación y resolución de problemas de su vida cotidiana, y de algunas áreas de las ingenierías y las ciencias. COMPETENCIAS DISCIPLINARES QUE PROMUEVE En esta unidad de aprendizaje se contribuye de manera directa a desarrollar las siguientes competencias disciplinares del área de matemáticas: C. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos y operaciones aritméticas, algebraicas y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. C. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. C. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. C. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. C5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. C8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y tetos con símbolos matemáticos y científicos. 5
16 CONTENIDO TEMÁTICO:. Introducción.. Evaluación diagnóstica. Aseguramiento del nivel de partida y reactivación de matemáticas previas al Cálculo Diferencial: Números reales y operaciones con epresiones algebraicas. Ecuaciones e inecuaciones. Razones y funciones trigonométricas. Relaciones y funciones. Lugares geométricos.. Funciones y modelación matemática: La matemática como modelo del mundo. Historia, concepto, definición y notación de función. Análisis (propiedades y gráficas) de las funciones elementales. Evaluación y determinación del dominio, rango, imagen y ceros de las funciones. Función creciente y decreciente, Función par e impar. Operaciones con funciones. Función inversa y su determinación. Clasificación de funciones: Algebraicas y trascendentes.. Gráficacion y Analisis de las funciones algebraicas: Funciones polinomiales, funciones racionales y funciones irracionales. Una versión de la paradoja de Zenón es la famosa carrera entre Aquiles y una tortuga. Aquiles, el más rápido de los hombres, no puede alcanzar a una lenta tortuga si te da una ventaja inicial, pues mientras Aquiles recorre el camino que le separaba inicialmente de la tortuga, la tortuga habrá recorrido un cierto trecho. Cuando Aquiles llegue a recorrer este trecho, la tortuga se habrá desplazado otra porción de terreno, aunque más pequeña, y así sucesivamente. Es decir mientras Aquiles llega al lugar donde instantes antes estaba la tortuga, ésta se habrá movido a otro lugar. De esta forma la tortuga siempre llevará una pequeña ventaja a Aquiles, quién por tanto nunca la alcanzará. Qué te parece? Crees que la Tortuga vencería a Aquiles? Si decides echar una carrera con un caracol, no se te ocurra darle ventaja, porqué... No lo alcanzarías nunca! Si no estás de acuerdo con estas afirmaciones, algo tendrás que pensar para justificarlo. 6
17 UNIDAD DE APRENDIZAJE I FUNCIONES: MODELACIÓN, GRAFICACIÓN Y VARIACIÓN. Introducción En este capítulo se reactivan, sistematizan y se profundizan los conocimientos sobre los números reales y las funciones elementales. La atención se concentra en la modelación, graficación, variación y en el análisis de las operaciones y propiedades básicas de las funciones algebraicas. En particular, desde la perspectiva del pensamiento matematico variacional, se enfatiza en el análisis y determinación de dominios, imágenes, monotonía, asintotas, ceros y otras propiedades de las funciones. También, en base al concepto de variación funcional, se introducen intuitivamente dos nuevos conceptos básicos del cálculo, como son el de límite y continuidad de una función, dando así las bases para su formalización en la siguiente unidad de aprendizaje.. Evaluación diagnóstica sobre conocimientos y competencias matemáticas básicas. Aseguramiento del nivel de partida y reactivación de matemáticas previas al Cálculo Diferencial. El estudio y aprendizaje significativo del Cálculo I (Cálculo Diferencial) requiere entre, otras cosas, de los conocimientos, habilidades y actitudes (competencias matemáticas) previamente adquiridas y desarrolladas, en un cierto nivel de dominio, en los cursos previos de Matemáticas de secundaria y del bachillerato. En consecuencia el estudiante que inicia este curso debe saber hacer operaciones básicas con los números reales y epresiones algebraicas. Debe saber resolver y aplicar las ecuaciones e inecuaciones. Debe saber reconocer, graficar y aplicar las funciones elementales, así como las razones e identidades trigonométricas y los lugares geométricos. también debe saber analizar, graficar y aplicar la línea recta y las secciones cónicas. En razón de lo anterior resulta conveniente adquirir y/o reactivar dichos conocimientos previos para tener altas probabilidades de éito y de acreditación de esta asignatura. Estos conocimientos y habilidades deben quedar manifiestos al realizar el estudiante los ejercicios y problemas de las siguientes actividades de aprendizaje, las cuales a su vez servirán para realizar una evaluación diagnóstica sobre la situación del aprendiz en cuanto a su nivel de desarrollo de sus competencias matemáticas. 7
18 Cálculo Diferencial ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA REACTIVAR, EVALUAR Y DIAGNÓSTICAR CONOCIMIENTOS Y PROCEDIMIENTOS MATEMÁTICOS Act-) Escribe, sin el símbolo de valor absoluto, el valor que representa la epresión: a) ( 7 ) + 7 = b) c) p + = d) 00 = = e) [( 5) 5 ] = f) g) h) = ( 9 + ( ) ) = e p = p e Act-) Verifica mediante cálculos aritméticos que para a R y b R es válida la desigualdad del triangulo: a + b a + b Act-) En equipo colaborativo escribe los siguientes conjuntos en forma de intervalos, y haz su representación gráfica. { R / 7 < < 6} = { Z / 7 < < 6} = { R / < } = {y R / < y 0} = {w R / 0 w 00} = {r R / r < 5} = {t R / t > } = {v R / v } = {u R / u } = Act-) En equipo colaborativo determina el resultado, en forma de intervalos (analiticamente) y graficamente de las siguientes operaciones. (,8) (,6)= (,8) (,6)= (, 5) (5, )= [,0] [9,]= (,) C = (,+ ) [0.58, + ) [, p] (,.) = [, p] (,. ) = R [0,+ ) = Act-5) En equipo de a personas, realiza las siguientes operaciones aritméticas o algebraicas y simplifica lo más posible los resultados: 8 a) (5 )[ 00 ( ) ] ( 9 + ( ) ) [(+ / )( )]= 0 b) d) f) h) ( / + + / )( ) = Si k = 5 /, calcular el valor de k (a b) 6 = 6 (a ab + b ) = c) e) ( 6) ( ) (+) = b + c bc b c g) (y 5y + )( y) = i) ( / / ) = j) l) [( + y) /5 ] 5 = = k) m) (7 ) 8 +5 / (log 6 log 00)= = 8 8 uas
19 unidad I Funciones matemáticas Act-6) Factoriza los siguientes polinomios, y verifica el resultado mediante la multiplicación algebraica y la sustitución (o evaluación) aritmetica: a) 6 9y = b) 6 + = c) = d) + = Act-7) Escribe en que subconjuntos numéricos del conjunto de los números reales (R) se encuentran las raíces de las siguientes ecuaciones: a) + 7 = 5 9 b) c) 5 = 0 d) + 6 = 0 5 = 0 Act-8) Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean: a) = 5 b) = / c) = 6 y y y = = 0 = 0 Act-9) Escribe la definición de función matemática, y grafica ejemplos en un plano cartesiano especificando su modelo analítico correspondiente. Act-0) Determinar el cociente f ( + Δ ) f () =? para los siguientes casos: Δ a) Cuando: f()=5 + 6 b) Cuando: f()= c) Cuando: f()=5 d) Cuando: f()= Act-) En base a la siguiente tabla que muestra la estatura promedio de los adolescentes con relación a su edad. Edad en años (t) 5 6 Estatura promedio en cm (h) Conteste las siguientes cuestiones: a) Cuánto cambia la estatura de los adolescentes de los a los años? b) Cuánto cambia la estatura de los adolescentes de los a los años? c) Cuánto cambia la estatura de los adolescentes de los a los 6 años? d) En qué par de edades consecutivas el cambio de estatura es mayor? e) En qué par de edades consecutivas el cambio de estatura es menor? f) El cambio de la estatura promedio por año es constante o variable? Act-) Determina la pendiente, el ángulo de inclinación y la ecuación de la recta que pasa por los puntos: a) A(, 0) y B(, ) b) C(, ) y D( 5, 6) c) E(0, 8) y F(0, 8) d) G(, 0) y H(, 7) dgep 9
20 Cálculo Diferencial Act-) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, ) y que es perpendicular a la recta 5 + y + 0 = 0. Act-) Calcular la distancia mínima del punto P(, 8) a la recta cuya ecuación es 5 + y + 6 = 0. Act-5) De la siguiente función cuadrática: f()= + 7. Determine: (a) Su gráfica ; (b) las coordenadas de su vértice ; (c) Su valor mínimo. Act-6) Representa la función cuadrática y=9 6+ mediante: (a) una tabla de tabulación (b) un conjunto de pares ordenados (c) una gráfica en un plano cartesiano. Además, determina si tiene valores máimos o mínimos relativos, y los intervalos donde es creciente o decreciente. Act-7) Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola y=, en el punto P(,) de su gráfica. PROPUESTA DE ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE PARA REACTIVAR, EVALUAR Y DIAGNÓSTICAR COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Competencia a evaluar C. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos y operaciones aritméticas, algebraicas y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. ACTIVIDADES Act-8) Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia + y 5=0, y que pasa por el punto P(,) Act-9) Determina el modelo matemático (relación o fórmula) que representa que y es directamente proporcional a e inversamente proporcional al cuadrado de w Act-0) Observa las siguientes figuras: La primera tiene lados, la segunda, la tercera 8. Cuántos lados tendrá la siguiente figura en la serie? Y la n-ésima? Act- Un jardinero quiere cercar su jardín rectangular y cuenta con 50 metros de malla que va a usar totalmente. Determinar el área del jardín como una función de la longitud de uno de los lados del jardín. 0 uas
21 unidad I Funciones matemáticas C. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. C. Eplica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Act-) Un avión que vuela a 900 metros de altura y 00 km/hr comienza a descender con velocidad constante hacia la pista, en una trayectoria recta que está a 7 grados debajo de la horizontal. Cuánto se tardará el avión en tocar la pista de aterrizaje? Act-) El área de un triángulo rectángulo es 0 cm y la hipotenusa mide 6 cm. Cuáles son las longitudes de los catetos? Act-) Un propietario recibió $8, por pago de renta de dos casas en un año, la renta mensual de una era $, más que la otra. Cuál fue la renta mensual de cada una si la más barata estuvo desalquilada meses? Act-5) Un ciclista parte de una ciudad A hacia otra ciudad B y se desplaza a 60 km/hr. Un segundo ciclista parte de a.5 horas después con el mismo destino, y se desplaza a 75 km/hr. Cuánto tardará el segundo ciclista en alcanzar al primero? Act-6) De un cartón rectangular de 0 por 50 centímetros por lado se hace una caja sin tapa, para esto se recortan cuadrados de igual tamaño en las esquinas del cartón y se doblan las cejas con el fin de formar la caja. Qué dimensiones deberá tener la caja para obtener su volumen máimo? Act-7) Comunica y argumenta a tus compañeros por qué son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: P ) Si a < b y c > 0 a c < b c P ) Si a < b y c < 0 a c > b c P ) Si a R, a 0 a 0 = P ) Si a R a < P 5 ) Si a y b R a + b = a + b P 6 ) Si a R, n N (a) n = ( a) n Act-8) Analiza las siguientes igualdades matemáticas y determina (o eplica) por qué son erróneas en lo general, además escribe la igualdad correctamente: a) (a + b) = a + b b) ( + y) n = n + y n c) + = d) ( n ) m = n+m y + y e) log(y) = log() log(y) f) cos(a+b) = cos a + cos b dgep
22 Cálculo Diferencial C. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. C5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Act-9) A partir de la definición de las razones trigonométricas de un triangulo rectángulo demuestra la validez de las siguientes identidades trigonométricas: a) sen α + cos α= b) tan α + = sec α c) cot α + = csc α Act-0) Comunica y argumenta a tus compañeros por qué la suma de las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90 grados. Act-) Comunica y argumenta a tus compañeros por qué el valor del coseno y el seno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre son menores que uno. Act-) Un automóvil se desplaza sobre una autopista recta, de tal manera que en un intervalo de tiempo Δt=0.5 horas se desplaza una distancia Δs=70 kilómetros. (a) Calcular la velocidad promedio del recorrido. (b) Con los datos anteriores se podrá calcular la velocidad instantánea del automóvil a los 6 minutos de su recorrido? Eplica tu respuesta. Act-) La cantidad de teléfonos celulares que un fabricante lanzará al mercado está relacionada con el precio unitario p (en pesos) por la función p()= Determina: (a) Cuántos teléfonos lanzará el fabricante al mercado si el precio unitario es de $ ? (b) Cuál será el precio unitario si lanzan al mercado 0000 teléfonos? En ambos casos analiza los resultados. uas
Cálculo I. Cálculo Diferencial para Bachillerato. Autores: Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra.
Cálculo I Cálculo Diferencial para Bachillerato Autores: Arturo Ylé Martínez José Alfredo Juárez Duarte Faustino Vizcarra Parra Revisión Técnica: Dr. Armando Flórez Arco Cálculo I Cálculo Diferencial
Cálculo Diferencial Efraín Soto Apolinar TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 2010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Cálculo Diferencial Primera edición.

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