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Programa 8º Básico by undefined - issuu
Programa de EstudioMATEMÁTICA
8° BÁSICOMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO 2011MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 20113ÍNDICEPRESENTACIÓN5Nociones básicas7Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes7Objetivos Fundamentales Transversales9Mapas de Progreso10Consideraciones generales para implementar el programa12Orientaciones para planificar14Orientaciones para evaluar17MATEMÁTICA20Propósitos21Habilidades22Orientaciones Didácticas23VISIÓN GLOBAL DEL AÑO25Semestre 127Unidad 1. Números y álgebra28Unidad 2. Geometría35Semestre 246Unidad 3. Datos y azar47Unidad 4. Álgebra58MATERIAL DE APOYO SUGERIDO63Anexos:
Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares67Anexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad68Anexo 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad69Anexo 4: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y
Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011714PRESENTACIÓNEl programa es una
Contenidos MínimosEl programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del
Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el
Marco Curricular1.
La ley dispone que cada establecimiento pueda elaborar sus propios programas de estudio, previa
aprobación de los mismos por parte del Mineduc. El presente programa constituye una propuesta
para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios.
•Una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y CMO del
Marco Curricular, lo que se expresa a través de los Aprendizajes Esperados2.•Una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades.•Una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación, presentada a modo de
sugerencia.De manera adicional a estos componentes, se presenta un conjunto de elementos que se
entregan con la finalidad de orientar el trabajo pedagógico realizado a partir del programa y
promover el logro de los objetivos que este propone.
La totalidad de los elementos que componen el programa incluyen lo siguiente:
•Nociones básicas. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están en la base del
Marco Curricular y, a la vez, presenta una visión general acerca de la función de los Mapas
de Progreso.•Consideraciones generales para implementar el programa. Consisten en orientaciones
relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno al mismo.•Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas. Esta sección presenta sintéticamente los
adesarrollar.Tambiénentregaalgunasorientacionespedagógicasrelevantesparaimplementar el programa en el sector.1Decretos supremos 254 y 256 de 2009.
En algunos casos estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del Marco Curricular. Esto ocurre cuando estos OF
pueden ser desarrollados de manera íntegra en una misma unidad de tiempo, sin que sea necesario su desglose en definiciones más específicas.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 20115•Visión global del año. Presenta la totalidad de Aprendizajes Esperados a desarrollar durante el
año, organizados de acuerdo a unidades.•Unidades. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la unidad, incluyen
indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo
destinado a promover estos aprendizajes.•Relaciones interdisciplinarias ®. Se simbolizan con ® las actividades que relacionan dos o
más sectores.•Instrumentos y ejemplos de evaluación. Ilustran formas de apreciar el logro de los
Aprendizajes Esperados presentando estrategias diversas que pueden ser utilizadas para este
fin.•Material de apoyo sugerido. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden ser
utilizados para promover los aprendizajes del sector, distinguiendo entre aquellos para ser
consultados por el docente de los que pueden ser utilizados por los estudiantes.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 20116NOCIONES BÁSICAS
1. Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y
actitudesHabilidades,
actitudes…Los aprendizajes que promueven el Marco Curricular y los programas de estudio apuntan
a un desarrollo integral de los estudiantes. Para tales efectos, esos aprendizajes
involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como las habilidades y
actitudes.…movilizados para
desafíos…Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos, habilidades y
actitudes para enfrentar diversos desafíos, tanto en el contexto del sector de aprendizaje
como al desenvolverse en su entorno. Esto supone orientarlos hacia el logro de
competencias, entendidas como la movilización de dichos elementos para realizar de
manera efectiva una acción determinada.…y que se
manera integradaDeben promoverse
sistemáticaSe trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos, las
habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y, a la vez, se enriquecen
y potencian de forma recíproca.
Las habilidades, los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontáneamente al
estudiar las disciplinas. Requieren promoverse de manera metódica y estar explícitas en
los propósitos que articulan el trabajo de los docentes.Habilidades
…el aprendizaje involucra no solo el saber, sino también el saber hacer. Por otra parte,
socialla continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento demandan cada vez
más capacidades de pensamiento que permitan, entre otros aspectos, usar la
información de manera apropiada y rigurosa, examinar críticamente las diversas fuentes
de información disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos.
Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades, como resolver
problemas, formular conjeturas, realizar cálculos en forma mental y escrita y verificar
proposiciones simples, entre otras.Se deben desarrollar de manera integrada, porque…
conocimientos…sin esas habilidades, los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alumnos
resultan elementos inertes; es decir, elementos que no pueden poner en juego para
comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 20117Conocimientos
Son importantes, porque…Enriquecen la
entorno…los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión
de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar. Les permiten relacionarse
con el entorno, utilizando nociones complejas y profundas que complementan, de
manera crucial, el saber que han obtenido por medio del sentido común y la experiencia
cotidiana. Además, estos conceptos son fundamentales para que los alumnos construyan
Por ejemplo, si se observa una información en un diario que contenga datos
representados en tablas o gráficos, el estudiante utiliza sus conocimientos sobre
estadística para interpretar a esa información. Los conocimientos previos le capacitan
para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en la medida
que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento.Se deben desarrollar de manera integrada, porque…
habilidades…son una condición para el progreso de las habilidades. Ellas no se desarrollan en un
vacío, sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos.Actitudes
…los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva. Siempre están
educaciónasociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Entre los propósitos
establecidos para la educación, se contempla el desarrollo en los ámbitos personal,
social, ético y ciudadano. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y, a la vez, ciertas
A modo de ejemplo, los aprendizajes de Matemática involucran actitudes como
perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos,
trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos
diversos y respeto por ideas distintas a las propias.Se deben enseñar de manera integrada, porque…Son enriquecidas por
las habilidades…en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su desarrollo.
Esosconocimientosyhabilidadesentreganherramientasparaelaborarjuiciosinformados, analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar criterios y
decisiones, entre otros aspectos involucrados en este proceso.Orientan la forma de
habilidadesA la vez, las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los
conocimientos y las habilidades adquiridos. Son, por lo tanto, un antecedente necesario
para usar constructivamente estos elementos.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201182. Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)Son propósitos
en el currículum…Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general, y apuntan al desarrollo
personal, ético, social e intelectual de los estudiantes. Forman parte constitutiva del
currículum nacional y, por lo tanto, los establecimientos deben asumir la tarea de promover
su logro.…que deben
promoverse en toda
escolarLos OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular; conseguirlos
depende del conjunto del currículum. Deben promoverse a través de las diversas disciplinas y
en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo, por medio del proyecto
educativo institucional, la práctica docente, el clima organizacional, la disciplina o las
ceremonias escolares).Integran
actitudesNo se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. Supone integrar esos
aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades.
A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009, estos objetivos seSe organizan en una
matriz común para
mediaorganizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. De
acuerdo con este esquema, los Objetivos Fundamentales Transversales se agrupan en cinco
ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal, desarrollo del pensamiento, formación ética,
la persona y su entorno y tecnologías de la información y la comunicación.OFT
Idioma extranjeroCrecimiento y
personalMatemáticaHistoria, Geografía y Ciencias SocialesBiología
FísicaDesarrollo del
pensamientoEducación Tecnológica
Formación éticaEducación FísicaEducación / Artes Visuales
entornoOrientaciónReligión
comunicaciónFilosofíaMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201193. Mapas de ProgresoDescriben
aprendizaje…Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los aprendizajes
en las áreas clave de un sector determinado. Se trata de formulaciones sintéticas que se
centran en los aspectos esenciales de cada sector. A partir de esto, ofrecen una visión
panorámica sobre la progresión del aprendizaje en los doce años de escolaridad3.
Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el Marco…de manera
Marco Curricular y
estudioCurricular y los programas de estudio. El avance que describen expresa de manera más
gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos establecen y, por lo tanto,
se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. Su particularidad consiste en que
entregan una visión de conjunto sobre la progresión esperada en todo el sector de
¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?Sirven de apoyo
evaluar…Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar (ver las
Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se presentan en el
Además, son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del
aula:…y para atender la
diversidad al
interior del curso•permitenmásquesimplementeconstatarqueexistendistintosnivelesdeaprendizaje dentro de un mismo curso. Si se usan para analizar los desempeños de
los estudiantes. ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión en qué
consisten esas diferencias
•la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendizajes de los
distintos grupos del mismo curso; es decir, de aquellos que no han conseguido el
nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron•expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector, de manera
sintética y alineada con el Marco Curricular3Los Mapas de Progreso describen en 7 niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. Cada uno de estos
niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el Nivel 1 corresponde al logro que se espera
para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico, y así sucesivamente. El Nivel 7 describe el
aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más allá de la expectativa para 4° medio que
describe el Nivel 6 en cada mapa.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201110Relación entre Mapas de Progreso, Programa de Estudio y Marco Curricular
estudiantes deben lograr.Ejemplo:
Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero
negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros.
.Mapa de Progreso
aprendizaje en un área clave del sector, y se ajusta a
las expectativas del Marco Curricular.Programa de Estudio
Orienta la labor pedagógica,
estableciendo Aprendizajes
Esperados que dan cuenta de los
Contenidos Mínimos, y los organiza
temporalmente a través de unidades.Ejemplo:
Mapa de Progreso Números y Operaciones
Comprende los diferentes conjuntos numéricos.
Reconoce los números complejos como…Ejemplo:
Aprendizaje Esperado 8° básico
las operaciones básicas con números
enteros.Nivel 5
Reconoce a los números racionales como…
Reconoce los números enteros como un conjunto
numérico en donde se pueden resolver problemas que
no admiten solución en los números naturales; reconoce
sus propiedades y los utiliza para ordenar, comparar y
cuantificar magnitudes. Establece proporciones y las usa
para resolver diversas situaciones de variación
operaciones con números enteros. Utiliza raíces
cuadradas de números enteros positivos y potencias de
base fraccionaria positiva, decimal positivo o entero y
exponente natural en la solución de diversos desafíos.
Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos
contextos en los que se deben establecer relaciones
entre conceptos. Justifica la estrategia utilizada, las
conjeturas formuladas y los resultados obtenidos,
utilizando conceptos, procedimientos y relaciones
Reconoce que los números naturales…
Utiliza los números naturales hasta 1.000…
MINISTERIO DE EDUCACIÓNUNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN
JUNIO DE 201111CONSIDERACIONES GENERALES PARA IMPLEMENTAR EL PROGRAMA
relevantes al momento de implementar el programa. Algunas de estas orientaciones se
vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en el currículum.1. Uso del lenguaje
deben promoverse
aprendizajeLos docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral, la lectura y la escritura
como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de
Estosejustifica,porquelashabilidadesdecomunicaciónsonherramientasfundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios
de cada sector. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto
del sector Lenguaje y Comunicación, sino que se consolidan a través del ejercicio en
diversos espacios y en torno a distintos temas y, por lo tanto, involucran los otros
sectores de aprendizaje del currículum.
Al momento de recurrir a la lectura, la escritura y la comunicación oral, los docentes
de diversas formas•la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos
propios del sector, textos periodísticos y narrativos, tablas y gráficos)•la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos
especializados del sector•la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante•la realización de resúmenes, síntesis de las ideas y argumentos presentados en los
textos•la búsqueda de información en fuentes escritas, discriminándola y seleccionándola de
acuerdo a su pertinencia•la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabrasEscritura:
•la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo, reportes,
ensayos, descripciones, respuestas breves)•la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas•la presentación de las ideas de una manera coherente y clara•el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos•el uso correcto de la gramática y de la ortografíaComunicación oral:
•la capacidad de exponer ante otras personas•la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada•el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones•el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión, incorporando los conceptos
JUNIO DE 201112•el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para superar
dificultades de comprensión•la disposición para escuchar información de manera oral, manteniendo la atención
durante el tiempo requerido•la interacción con otras personas para intercambiar ideas, analizar información y
elaborar conexiones en relación con un tema en particular, compartir puntos de vista
y lograr acuerdos2. Uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación
(TICs)Debe impulsarse e
uso de las TICs a
aprendizajeEl desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información y
Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos
Fundamentales Transversales del Marco Curricular. Esto demanda que el dominio y uso
de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo que se realiza al
interior de los sectores de aprendizaje. Para esto, se debe procurar que la labor de los
estudiantes incluya el uso de las TICs para:
•buscar, acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes, y
seleccionar esta información, examinando críticamente su relevancia y calidadSe puede recurrir a
tecnologías•procesar y organizar datos, utilizando plantillas de cálculo, y manipular la
información sistematizada en ellas para identificar tendencias, regularidades y
patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector•desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto,
plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de imagen,
audio y video•intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet, como el
correo electrónico, chat, espacios interactivos en sitios web o comunidades virtuales•respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs, como el cuidado
personal y el respeto por el otro, señalar las fuentes de donde se obtiene la
información y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales3. Atención a la diversidad
en consideraciónestudiantes en términos culturales, sociales, étnicos o religiosos y respecto de estilos de
aprendizaje y niveles de conocimiento.
Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. Entre ellos,
•promover el respeto a cada uno de los estudiantes, en un contexto de tolerancia y
apertura, evitando las distintas formas de discriminación•procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación
con el contexto y la realidad de los estudiantes•intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados en el
currículum, pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos
JUNIO DE 201113Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes
Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no
implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. Por el contrario, la necesidad
de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los
requerimientos didácticos personales de los alumnos, para que todos alcancen altas
expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos
para su nivel o grado.
todos logren los
aprendizajesEn atención a lo anterior, es conveniente que, al momento de diseñar el trabajo en una
unidad, el docente considere que precisarán más tiempo o métodos diferentes para que
algunos estudiantes logren estos aprendizajes. Para esto, debe desarrollar una
planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan:
Esto demanda
conocer qué saben
y, sobre esa base,
flexibilidad las
pertinentesconocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los
estudiantesevaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de
aprendizajedefinir la excelencia, considerando el progreso individual como punto de partidaincluircombinacionesdidácticas(agrupamientos,trabajogrupal,rincones)ymateriales diversos (visuales, objetos manipulables)
evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opcionespromover la confianza de los alumnos en sí mismospromover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante4. Orientaciones para planificar
los aprendizajesLa planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los
Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta deEl programa sirve de
planificación a través
elaborados para este
finapoyo al proceso de planificación. Para estos efectos han sido elaborados como un
material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos
contextos educativos del país.
El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los
Aprendizajes Esperados. De manera adicional, el programa apoya la planificación a través
de la propuesta de unidades, de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada
una, y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes.Consideraciones generales para realizar la planificación
La planificación es un proceso que se recomienda realizar, considerando los siguientes
aspectos:MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201114Se debe planificar
la diversidad, el
tiempo real, las
disponibles•la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso,
lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos grupos de alumnos•el tiempo real con que se cuenta, de manera de optimizar el tiempo disponible•las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios•los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares, materiales
didácticos, recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar;
laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA),
entre otrosSugerencias para el proceso de planificación
Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes, debe estar
centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los
alumnos deben aprender. Para alcanzar este objetivo, se recomienda elaborar la
planificación en los siguientes términos:
Lograr una visión lo
más clara y concreta
posible sobre los
dan cuenta de los
aprendizajes…•comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se limite a
listarlos. Una vez identificados, es necesario desarrollar una idea lo más clara posible
de las expresiones concretas que puedan tener. Esto implica reconocer qué
desempeños de los estudiantes demuestran el logro de los aprendizajes. Se deben
poder responder preguntas como ¿qué deberían ser capaces de demostrar los
estudiantes que han logrado un determinado Aprendizaje Esperado?, ¿qué habría
que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado?…y, sobre esa base,
evaluaciones, las
distribución temporal•a partir de las respuestas a esas preguntas, decidir las evaluaciones a realizar y las
estrategias de enseñanza. Específicamente, se requiere identificar qué tarea de
evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado y qué
modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. De acuerdo a este
proceso, se debe definir las evaluaciones formativas y sumativas, las actividades de
enseñanza y las instancias de retroalimentaciónLos docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso, que
entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los
Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use tanto en la
planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase.La planificación anual: en este proceso, el docente debe distribuir los Aprendizajes
Esperados a lo largo del año escolar, considerando su organización por unidades; estimar
el tiempo que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a
logros académicos significativos.
durante el añoalcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año,
dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. Esto debe
desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados especificados en los programas.
Los Mapas de Progreso pueden resultar un apoyo importante
JUNIO DE 201115•identificar, en términos generales, el tipo de evaluación que se requerirá para
demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad•sobre la base de esta visión, asignar los tiempos a destinar a cada unidad. Para que
esta distribución resulte lo más realista posible, se recomienda:
olistar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible
elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el año
completo, considerando los feriados, los días de prueba y de repaso, y la
realización de evaluaciones formativas y retroalimentaciónohacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarizaciónoajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadasLa planificación de la unidad: implica tomar decisiones más precisas sobre qué
enseñar y cómo enseñar, considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos
unidadasignados a la unidad.
•especificar la meta de la unidad. Al igual que la planificación anual, esta visión debe
sustentarse enlosAprendizajesEsperadosdelaunidadyserecomiendacomplementarla con los Mapas de Progreso
•crear una evaluación sumativa para la unidad•idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad•calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana•establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán•generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados, especificando los
tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y retroalimentación•Procurar que los
qué maneraajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantesLa planificación de clase: es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando
que todas sus partes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca
promover y con la evaluación que se utilizará.
Adicionalmente, se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio,
desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se considerarán en cada
una de estas partes. Se requiere considerar aspectos como los siguientes:
•inicio: en esta fase, se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la
clase; es decir, qué se espera que aprendan. A la vez, se debe buscar captar el
interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que aprenderán con
lo que ya saben y con las clases anteriores•desarrollo: en esta etapa, el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la
clase•cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos), pero es central. En él se
debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué aprendieron y
cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para promover su
aprendizaje.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011165. Orientaciones para evaluar
planificaciónLa evaluación forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. No se debe usar solo
como un medio para controlar qué saben los estudiantes, sino que cumple un rol central
en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. Para que cumpla efectivamente con esta
función, debe tener como objetivos:
•ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes•proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los alumnos
y, sobre esta base, retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados
dentro del sector•ser una herramienta útil para la planificación¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación?
Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan
a cabo considerando lo siguiente:Explicitar qué se
evaluará•informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Esto facilita que
puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr•elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca
alcanzar, fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. LasIdentificar logros y
debilidadesevaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. El
análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar resultados
retroalimentaciónretroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. Compartir esta
información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que deben
seguirparaavanzar.Tambiéndalaposibilidaddedesarrollarprocesosmetacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes; a su
vez, esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201117¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la evaluación?
Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo
referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y los ubican en un
continuo de progreso.
evaluaciónLos Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes, en tanto permiten:
•reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar•aclarar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de cada nivel,
sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta
expectativa•observar el desarrollo, la progresión o el crecimiento de las competencias de un
alumno, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa•contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus
aprendizajes¿Cómo diseñar la evaluación?
La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados, con el objeto de
Esperados a
evaluar…observar en qué grado se alcanzan. Para lograrlo, se recomienda diseñar la evaluación
junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas:
•¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la evaluación?
Sidebepriorizar,considereaquellosaprendizajesqueseránduraderosyprerrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. Para esto, los Mapas de Progreso
pueden ser de especial utilidad
•¿Qué evidencia necesitarían exhibir los estudiantes para demostrar que dominan los
Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación que presenta el
programa.…y luego decidir qué
evidencias, métodos,
preguntas y criterios•¿Qué método empleará para evaluar?
Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas escritas,
guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas conceptuales,
informes de laboratorio e investigaciones, entre otros).En lo posible, se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas maneras
y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes puedan
solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje.
•¿Qué preguntas incluirá en la evaluación?
Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Esperados,
que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado•¿Cuáles son los criterios de éxito?, ¿cuáles son las características de una respuesta de
Esto se puede responder con distintas estrategias. Por ejemplo:MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201118ocomparar las respuestas de los estudiantes con las mejores respuestas de otros
alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en los Mapas
de Progresooidentificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el
nivel de desempeño esperado, y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones
realizadas en torno al mismo aprendizajeodesarrollar rúbricas4 que indiquen los resultados explícitos para un desempeño
específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño4Rúbrica: tabla o pauta para evaluarMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201119MATEMÁTICAMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011201. Propósitos formativos del sector
El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en
la vida cotidiana. Entre ellas se encuentran el cálculo, el análisis de la información proveniente de diversas fuentes,
la capacidad de generalizar situaciones, formular conjeturas, evaluar la validez de resultados y seleccionar
estrategias para resolver problemas. Todo esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, ordenado, crítico y
autónomo, y a generar actitudes como precisión, rigurosidad, perseverancia y confianza en sí mismo, que se
valoran no solo en la ciencia y la tecnología, sino también en la vida cotidiana.
Aprender matemáticas acrecienta también las habilidades relativas a la comunicación; por una parte, enseña a
presentar información con precisión y rigurosidad y, por otra, a demandar exactitud y rigor en las informaciones y
argumentos que se recibe.
El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo provocan importantes consecuencias en el desarrollo, el
desempeño y la vida de las personas. El entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros,
beneficios y capacidades de orden superior. Aprender matemática influye en el concepto que niños, jóvenes y
adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades; por lo tanto, contribuye a que la persona se sienta un ser
autónomo y valioso. En consecuencia, la calidad, la pertinencia y la amplitud de ese conocimiento afectan las
posibilidades y la calidad de vida de las personas y afecta el potencial de desarrollo del país.
La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los
estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de
complejidad creciente. Se trata de espacios en los que la cultura, la tecnología y las ciencias se redefinen en forma
permanente y se hacen más difíciles, y las finanzas, los sistemas de comunicación y los vínculos entre naciones y
culturas se relacionan y se globalizan.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011212. Habilidades matemáticas
Al estudiar matemáticas, el estudiante adquiere –como el razonamiento lógico– la visualización espacial, el
pensamiento analítico, el cálculo, el modelamiento y las destrezas para resolver problemas. La tabla siguiente
puede resultar útil para:•observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el sector•focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades•situarse en el nivel, observar las habilidades que se pretendió enseñar en los años anteriores y las que se
trabajarán más adelante•advertir diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanzaHabilidades de pensamiento matemático
requieren el uso
del nivelFormular
verificarlas, para
y ubicarlos en la
y escrita5° básico
significativos6° básico
significativos7° básico
utilizados y de
obtenidos8° básico
significativosI medio
criterios definidosEvaluar la validez
obtenidos y el
empleo de dichos
opiniones y tomar
decisionesFundamentar
decisionesFormular y
conjeturas, en
ubicarlos en la
mental y escritaRealizar
forma mental y
escritaOrdenar
Emplear formas
matemáticoRealizar cálculos
casos particularesMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011Aplicar modelos
lineales que
propiedades223. Orientaciones didácticas
Se ha concebido este sector como una oportunidad para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida. La
matemática es un área poderosa de la cultura, pues permite comprender, explicar y predecir situaciones y
fenómenos del entorno. Por eso, es importante que los docentes se esfuercen para que todos los alumnos del país
aprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina. Estos programas entregan
algunas orientaciones que ayudarán a los profesores a cumplir con este objetivo por medio de la planificación y en
el transcurso de las clases.
Los estudiantes deben explorar en las ideas matemáticas y entender que ellas constituyen un todo y no fragmentos
aislados del saber. Tienen que enfrentar variadas experiencias para que comprendan en profundidad los conceptos
matemáticos, sus conexiones y sus aplicaciones. De esta manera, podrán participar activamente y adquirir mayor
confianza para investigar y aplicar las matemáticas. Se recomienda que usen materiales concretos, realicen
trabajos prácticos y se apoyen en la tecnología, en especial en el ciclo básico.
Es importante que el docente aclare que esta disciplina está enraizada en la cultura y en la historia; asimismo, que
impacta en otras áreas del conocimiento científico, crea consecuencias y permite aplicaciones. Preguntarse cómo se
originaron los conceptos y modelos matemáticos, en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron con la
evolución del pensamiento. Es un ancla importante para el aprendizaje. Se recomienda usar analogías y
representaciones cercanas a los estudiantes, en especial en las etapas de exploración. También se sugiere aplicar
las matemáticas a otras áreas del saber y en la vida diaria como un modo de apoyar la construcción del
Esta disciplina se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas y ayuda a
razonar en vez de actuar de modo mecánico. Por eso es importante invitar a los estudiantes a buscar regularidades.
También se busca desarrollar y explicar la noción de estrategia, comparar diversas formas de abordar problemas y
justificar y demostrar las proposiciones matemáticas. El docente debe procurar, asimismo, que los estudiantes
conjeturen y verifiquen cómo se comportan los elementos y las relaciones con que se trabaja. Deben analizar los
procedimientos para resolver un problema y comprobar resultados, propiedades y relaciones.
Aunque deben ser competentes en diversas habilidades matemáticas, el profesor tiene que evitar que pongan
demasiado énfasis en los procedimientos si no comprenden los principios matemáticos correspondientes.
Usar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente de búsqueda y creación. Un educador puede aprovechar la
equivocación para inducir aprendizajes especialmente significativos, si lo hace de manera constructiva. Se debe
considerar el error como un elemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos los
alumnos alcancen los aprendizajes propuestos.
La clase de matemática ofrece abundantes ocasiones para el autoconocimiento y las interacciones sociales. Es una
oportunidad para la metacognición5: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron?, ¿de qué otra manera es posible? Además,
la percepción que cada cual tiene de su propia capacidad para aprender y hacer matemática, surge de la
retroalimentación que le ha dado la propia experiencia. En ese sentido, el docente tiene en sus manos un poderoso
instrumento: reconocer los esfuerzos y los logros de los alumnos. Otros aspectos que también ayudan a que cada
estudiante aumente la confianza en sí mismo son valorar las diferencias, aceptar los éxitos o las acciones de sus
5Metacongición: manera de aprender a razonar sobre el propio razonamientoMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201123pares, crear un clima de confianza y distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el fracaso, sea propio o
El programa propone usar programas y ambientes digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los
estudiantes. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que se puede
experimentar con ideas matemáticas; también se puede crear situaciones para que los alumnos exploren las
características, los límites y las posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos matemáticos. Los
procesadores geométricos, simbólicos y de estadística son laboratorios para investigar relaciones y ponerlas a
prueba. Con un procesador simbólico, se puede analizar y entender números grandes o muy pequeños. Y se puede
estudiar el comportamiento de funciones, incluso las de alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes con
representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos permiten
experimentar con nociones y relaciones de la geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Se trata de un espacio
muy atractivo para los estudiantes y que los ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más influida por las
Se debe propiciar un ambiente creativo para que los alumnos formulen, verifiquen o refuten conjeturas respecto de
los problemas que abordan. Ese ambiente debe admitir que el error, la duda y la pregunta son importantes y
valiosos para construir conocimiento; asimismo, tiene que valorar los aportes de todos y aprovecharlos para crear
una búsqueda y una construcción colectiva. En ese espacio será natural analizar acciones y procedimientos y buscar
caminos alternativos.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201124VISIÓN GLOBAL DEL AÑO
Unidad 1Unidad 2Números y álgebra
1.EstablecerInterpretar1.Plantear
ecuaciones quede figuras planas ypartir de tablas derepresentan lamultiplicaciones yreconocerlas en diversasfrecuencia, cuyosrelación entre dosdivisiones desituaciones y contextosdatos estánvariables enReconocer algunasagrupados enUtilizarpropiedades de lasintervalosestrategias paratransformaciones isométricas2.3.2.diversos contextos
2.ReconocerRepresentar datos,funciones enConstruir transformacionesprovenientes dediversos contextos,valor de potenciasisométricas de figurasdiversas fuentes,identificar susde base entera ygeométricas planas,en tablas deelementos yexponente naturalutilizando regla y compás ofrecuencias conrepresentarDeterminarprocesadores geométricosdatos agrupadosdiversasTeselar6 el plano conen intervalossituaciones por4.multiplicación ypolígonos regulares,división deutilizando regla y compás oproducirpotencias de baseprocesadores geométricosinformación, envariablesUtilizar las transformacionescontextosrelacionadas enexponente naturalisométricas comodiversos, medianteforma proporcionalVerificar quéherramienta para realizarel uso de medidaspropiedades deteselaciones regulares yde tendenciasemirregularescentral,situaciones deCaracterizar la circunferenciaextendiendo alproporcionalidad,exponente naturaly el círculo como lugarescaso de datosmediante el uso dese cumplen engeométricosagrupados enprogramasCalcular el perímetro deintervaloscomputacionales5.potencias de base
entera ypotencias de base6.7.3.3.Identificary no proporcional
4.positiva, decimalellasconcepto deCalcular el área del círculo yaleatoriedad en elproblemas ende sectores de éluso de muestras ydiversos contextosCalcular medidas desu importanciaque implicanproblemas quesuperficies de cilindros,para realizarproporcionalidadinvolucren lasconos y pirámides, utilizandoinferenciasdirecta yoperaciones confórmulasAsignarproblemas queexponente natural
Resolvernúmeros enteros9.5.gráficos
5.Resolverprobabilidadesimplicany las potencias decilindros y conos, utilizandoteóricas a laproporcionalidadbase entera,fórmulasocurrencia deinversafraccionaria o10. Calcular volúmenes deComprender elAnalizarcircunferencias y de arcos de
8.4.medio de ellasInterpretar yfraccionaria
positiva y61.calcularentera y5.CaracterizarÁlgebrainformación apropiedades de4.1.Unidad 4Datos y azartransformaciones isométricasdeterminar el3.Unidad 3Geometríaestrategias paranúmeros enteros
2.Semestre 211. Resolver problemas eneventos endecimal positiva ycontextos diversos relativos aexperimentosexponente naturalcálculos de:aleatorios conTeselar: “pavimentar” una superficie con figuras regulares o irregulares, sin que queden espacios entre ellas ni se superponganMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201125••perímetros deresultados finitos ycircunferencias y áreasequiprobables7, yde círculoscontrastarlas conáreas de superficies deresultadoscilindros, conos yexperimentalespirámides
•volúmenes de cilindros y
conos7Tiempo estimadoTiempo estimadoTiempo estimadoTiempo estimado55 horas75 horas65 horas45 horasEquiprobable: que tiene la misma probabilidad
JUNIO DE 201126SEMESTRE 1MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201127UNIDAD 1
Esta unidad permite que los estudiantes apliquen sus conocimientos sobre multiplicación y división de
números naturales y sobre adiciones y sustracciones de números enteros, a la multiplicación y la división de
números enteros en casos particulares.
Además, se extiende el trabajo con potencias de bases naturales, fraccionarias y decimales positivas, a bases
enteras con exponentes naturales. Para lograrlo, se realizan actividades orientadas a verificar las propiedades
de estas potencias en casos particulares y a resolver problemas en contextos numéricos donde ellas
•Adición y sustracción de números enteros•Potencias de base natural, fraccionaria y decimal positiva con exponente naturalContenidos disciplinares
•Multiplicación y división de números enteros•Propiedades de la multiplicación y la división de números enteros•Potencias de base entera, fraccionaria y decimal positiva con exponente natural•Propiedades de las potencias de base entera, fraccionaria y decimal positiva con exponente naturalHabilidades
•Argumentar acerca de la validez de las propiedades de la multiplicación y la división de números enteros•Establecer estrategias para resolver divisiones de números enteros•Estimar mentalmente el valor de algunas potencias•Interpretar información expresada en potencias•Conjeturar, argumentar, verificar y aplicar propiedades de las potenciasActitudes
•Trabajo en equipo y mostrar iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversosMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201128Aprendizajes EsperadosSugerencias de indicadores de evaluaciónSe espera que los estudiantes sean capaces de:Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:1.Establecerestrategiasparacalcular•Calculanmultiplicacionesdeenterosutilizandolaestrategia establecidamultiplicaciones y divisiones de números
enteros•Utilizar estrategias para determinar el valor•Calculan divisiones de enteros utilizando la estrategia
establecida2.de potencias de base entera y exponenteUtilizanestrategiasexpresiones del tiponaturalpara(−1)ndeterminancuandoelsignodees un númeronatural
•Utilizanestrategiasexpresiones del tipopara(−a)ndeterminar
cuandoa, nelvalordeson númerosnaturales
•Estiman mentalmente potencias de base entera de un
dígito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo,
estima (-7)4 como 49  49, obteniendo un número
menor a 25003.Determinar propiedades de multiplicación y•división de potencias de base entera yExplican los pasos realizados para determinar las
propiedades de potencias de base entera y exponente
naturalexponente natural
•Calculan potencias de base entera y exponente natural
utilizando las propiedades determinadas4.Verificar qué propiedades de potencias de•Calculanmultiplicacionesdepotenciasdebasebase entera y exponente natural se cumplenfraccionaria positiva y exponente natural, utilizando laen potencias de base fraccionaria positiva,propiedad relativa a multiplicación de potencias dedecimal positiva y exponente naturaligual base entera y exponente natural
•Verifican qué propiedades relativas a la división de
potencias de base entera y exponente natural se
cumplen en potencias de base fraccionaria positiva•Explican de manera escrita los pasos realizados en la
verificación de potencias de potencias de base decimal
positiva y exponentes naturales5.Resolverproblemasqueoperaciones con númerosinvolucrenlas•enterosenteros y laspotencias de base entera, fraccionaria oResuelven problemas relativos a multiplicaciones de•decimal positiva y exponente naturalAplican correctamente la regla de los signos y la
prioridad de las operaciones en la resolución de
problemas de operatoria combinada con números
enteros•Resuelven problemas en contextos cotidianos que
involucren potencias de base entera y exponente
natural•Verifican los resultados obtenidos en función del
contexto del problema•Analizan los procedimientos utilizados en términos de
los resultados obtenidosMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201129Aprendizaje Esperados en relación con los OFT
•Participa activamente en actividades grupales•Es responsable en la tarea asignada•Toma iniciativa en actividades de carácter grupal•Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupalesOrientaciones didácticas para la unidadEsta unidad amplía las operaciones con números enteros, pues incorpora la multiplicación y la división. Al
respecto, se recomienda al docente enseñarlas de un modo similar a las operaciones de adición y
sustracción. Las reglas para operar con números enteros no son muy fáciles de comprender, pero sí de
memorizar; por eso, se debe buscar que los alumnos entiendan y evitar que solo aprendan de memoria los
procedimientos. Se recomienda que docente use metáforas o analogías para ayudarlos a comprender los
procedimientos involucrados, en vez de limitarse a la ejercitación rutinaria.En el tema de las potencias, se pueden aplicar expresiones del tipo(−a) n , donde a(−1) n para calcular potencias del tipopertenece a los naturales.Como estrategia, en las operaciones con potencias se recomienda partir de lo particular y llegar a lo general
(es decir, ejemplificar y trabajar con números para luego generalizar) y realizar también el proceso inverso.
Conviene recomendar a los estudiantes que, cada vez que una expresión algebraica carezca de sentido y
sea difícil de entender, la “lleven” a un terreno familiar; es decir, que estudien su comportamiento para
distintosvaloresnuméricos.Lasactividadesdebenpermitirquecomprendan expresionescomo(−a) ⋅ (−b) , con a, b, n en los naturales; multiplicaciones de potencias expresadas como (−a ) ⋅ (−b) m o
nnna n
(−a ) n ⋅ (−a) m ; potencias de base fraccionaria de la forma (− )
multiplicaciones de potencias con base fraccionaria de la formacona, ben los naturales;a
(− ) n ⋅ (− ) n ó (− ) n ⋅ (− ) m con
da, b, n en los naturales y, por último, con potencias elevadas a otra potencias ((− a) n ) m , con a, n en los
Es habitual que los estudiantes presenten ritmos de comprensión muy variados cuando tengan que
establecer generalizaciones. Por lo tanto, se recomienda diseñar actividades que contemplen el trabajo en
equipo. Ahí puedan aflorar naturalmente líderes intelectuales que apoyen la labor docente al interior de
cada grupo y permitan diversificar los ritmos de producción; eso ayuda a dar tiempos diferenciados a cada
estudiante y, además, posibilita el diálogo y la discusión.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201130Ejemplos de actividadesAE 1
1.Formulan estrategias para multiplicar números enteros y las aplican para calcular multiplicaciones en las que
intervienen estos números. Al respecto, formulan estrategias para:
•multiplicar números de la formaa ⋅ ( −b)•multiplicar números de la forma( − a ) ⋅ ( −b)Observaciones al docente
El profesor puede sugerirles que usen la representación de los números enteros en la recta numérica.
Es importante que no enseñe las reglas de los signos a los alumnos antes de que elaboren las estrategias; deben
establecer juntos dichas reglas a través de estas actividades.
Aplican estas estrategias para realizar cálculos del tipo:
2.− ( −( − a ))
[( − a ) ⋅ ( −b) + c ⋅ ( − d )][ a + ( −b)]•
Formulan estrategias para dividir números enteros y las aplican para calcular divisiones en este contexto
numérico. Por ejemplo, formulan estrategias para:
•realizar divisiones de la formaa : ( −b)Observaciones al docente
Puede sugerir a los estudiantes que expresen la división anterior en la forma•divisiones de la forma− a:b .( − a ) : ( −b)A continuación la utilizan para realizar cálculos del tipo:
3.− ( −( −a )) : ( −b)[(−a ) ⋅ (−b) + c ⋅ (−d )] : [a ⋅ (−b)]•
Resuelven divisiones de números enteros, utilizando las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo, para
a : ( −b) , expresan este cuociente en la forma a ⋅ (− ) .
bMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201131AE 2
1.Usan estrategias para calcular expresiones del tipoa
2.vecesy convierten esta suma en forma de potencias.Utilizan estrategias para estimar potencias de base entera de un dígito y exponente natural. Por ejemplo,
estiman3.−a( −3) 2 ⋅ ( −7) 2 .Verifican en casos particulares que
cálculos del tipo4.(−a ) + (−a) + (−a ) + ..... + (−a) , donde se ha sumado( −a) n( −1) 2 n = 1y( −1) 2 n +1 = −1cuandob( −a ) n , cuando n ∈ N .y cálculos del tipon∈ N ,Por ejemplo:y lo utilizan para realizar2 ⋅ ( −3) 5Emplean estos resultados para resolver cálculos asociados a expresiones donde intervienen potencias del tipob( −a ) n . Por ejemplo: 2 ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) + 3 ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)
Los estudiantes utilizan resultados acerca de potencias del tipo
1.( −a) ny:resultados obtenidos en 7° básico respecto de multiplicaciones de potencias de igual base natural y exponentes
naturales, para determinar propiedades respecto de multiplicaciones del tipoa n ⋅ a m , donde la base es enteray los exponentes son números naturales.
2.resultados obtenidos en 7° básico respecto de potencias de potencias (es decir, acerca de expresiones del tipo(a )n mdonde la base y los exponentes son números naturales) para determinar propiedades respecto demultiplicaciones del tipo(a )n m, donde la base es entera y los exponentes son números naturales.AE 4
Verificar qué propiedades de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en potencias de base
fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural.
1.Comprueban que las propiedades de multiplicaciones de potencias de base entera y exponente natural se
verifican en multiplicaciones de potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural; es decir,
nque2.ma a
  .  =  
b b
bn+ mComprueban que las propiedades de potencias de potencias de enteros de base entera y exponentes naturales
se verifican en potencias de potencias de números de base fraccionaria o decimal positiva y exponentes
nnaturales; es decir, quenm
 a m 
   = a
 b  
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011323.Verifican que las propiedades de divisiones de potencias de base entera y exponente natural se cumplen en
divisiones de potencias de igual base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural; es decir, que4.Comprueban que las propiedades de divisiones de potencias de bases enteras y exponente natural se verifican
en divisiones de potencias de números de base fraccionaria o decimal positiva e igual exponente natural; es
decir, queAE 5
Resolver problemas que involucren las operaciones con números enteros y las potencias de base entera,
fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
1.Resuelven problemas en contextos geométricos que involucren potencias de base fraccionaria positiva y
exponente natural. Por ejemplo, en un cuadrado de lado 10 cm. se unen los puntos medios de sus lados, y en
este nuevo cuadrilátero se vuelven a unir los puntos medios de sus lados, y así sucesivamente. Se pide:2.•determinar el tipo de cuadriláteros que se forman•calcular el área de cualquiera de esos cuadriláteros, por ejemplo, del quinto cuadrilátero formadoAnalizan los procedimientos utilizados y verifican, usando un software geométrico, los resultados obtenidos. En
el caso de la actividad anterior analizan los procedimientos utilizados para determinar el tipo de cuadriláteros
que se forman, y verifican los resultados obtenidos utilizando un software geométrico.3.Usan las operaciones básicas de los números enteros para responder preguntas del tipo:
•la temperatura ha aumentado 2° Celsius cada hora durante 4 horas. ¿Cuánto ha aumentado la
temperatura en ese tiempo?•la temperatura ha disminuido 4° Celsius cada hora durante 5 horas. ¿Cuántos grados ha disminuido la
temperatura en ese tiempo?4.Resuelven problemas sencillos que requieren operatoria con números enteros, del tipo:
•un buzo profesional desciende a 10 metros de profundidad para realizar un experimento, luego sube 27
metros y después desciende 4 veces el descenso inicial. ¿A qué profundidad quedó?5.6.Inventan problemas que se resuelven con las operaciones:
•(−5) ⋅ (−4)•( −10) : 2 + 5 ⋅ ( −6)®Aplican las propiedades de las potencias de base fraccionaria y decimal positiva con exponente natural en
situaciones reales. Por ejemplo:
•En la fisión binaria hay una duplicación idéntica del material genético y de sus mutaciones. Esta
reproducción requiere solo un progenitor, que dará lugar a dos células hijas idénticas, lo que sucede
cuando la célula esta lista para reproducirse; entonces aumenta su contenido celular y su tamaño en forma
alargada. Luego comienza la bipartición, cuando se forma un tabique que se encargará de producir un
estrangulamiento en la célula. En las bacterias, este proceso puede ocurrir cada 20 minutos. (Fuente:
http://infobiol.com/fisionbinaria).MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201133oSi se tiene inicialmente una célula, ¿cuántas habrá después de 6 divisiones?Ejemplo de evaluaciónAprendizaje Esperado
•Utilizan estrategias para determinan el signo de expresiones del tipo•( −1) nUtilizan estrategias para determinar el valor de expresiones del tipocuandon( −a)cuandones un número natural.a, nson númerosnaturales.
•Estiman mentalmente potencias de base entera de un dígito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo,
estiman (-7)4 como 49  49 y obtienen un número menor a 2.500.Actividad
Lea cuidadosamente la situación dada. Responda las preguntas propuestas.
•Estime mentalmente el valor de la expresión
distintos valores de( −2) 2 n+1 + 2 2 n+1paran , sabiendo que n puede tomar solo valores naturales.Escriba su estimación en el recuadro:Criterios de evaluación
Al evaluar, considerar los
••potencias de base un dígitoDé un argumento que apoye la validez de la propiedad de la división deentero.
potencias de igual base aplicada en el ejercicio•Estiman el valor de•Escriba, en términos de potencias, la diferencia entre la octava parte de2 n +3 y la mitad de 2 n +1 . Si la expresión anterior se representa por A ,
calcule el valor numérico de ( A − 1) para distintos valores numéricos de n,Expresan como potencias
productos en que los
factores son potencias de
base entera.•Argumentan acerca de la
validez de la propiedad delconsiderando que n puede tomar solo valores naturales.cuociente de potencias de
•Aplican las propiedades de
problemas matemáticos.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201134UNIDAD 2
En esta unidad, los estudiantes estudiarán las transformaciones isométricas, conocerán el concepto de lugar
geométrico y calcularán áreas en el círculo, perímetros en la circunferencia y áreas y volúmenes en figuras
Esta unidad les permite aplicar los conocimientos trabajados acerca de áreas en 5º básico, ángulos en 6º básico y
construcciones geométricas en 7º básico. Pueden integrar la geometría con otras disciplinas, específicamente con el
arte plástico, pues aprenderán a construir teselaciones, conocerán el número pi, profundizarán sus conocimientos
acerca de figuras tridimensionales (como el cono, el cilindro y la pirámide) y ampliarán su lenguaje geométrico
mediante el trabajo con lugares geométricos.
•Ángulos en polígonos•Construcciones de polígonos•Áreas en triángulos y cuadriláteros•Características de conos, cilindros y pirámidesContenidos disciplinares
•Vectores en el plano•Ejes de simetría•Traslaciones, rotaciones y reflexiones•Teselaciones•Circunferencia y círculo como lugares geométricos•Perímetro de la circunferencia•Área del círculo•Áreas de la superficie de conos, cilindros y pirámides•Volúmenes de conos, cilindros y pirámidesHabilidades
•Construir transformaciones isométricas•Realizar teselaciones•Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos•Comprender el número pi•Calcular el perímetro de la circunferencia•Calcular áreas del círculo y de la superficie de conos, cilindros y pirámides•Calcular el volumen de conos, cilindros y pirámidesActitudes
•Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos•Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversosMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201135Aprendizajes EsperadosSugerencias de Indicadores de evaluaciónSe espera que los estudiantes sean capaces de:Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:1.Caracterizar transformaciones isométricas de•figuras planas y reconocerlas en diversas
situaciones y contextosCaracterizan vectores en el plano y los reconocen en
contextos diversos•Caracterizan la traslación de figuras en el plano•Identifican ángulos y puntos respecto de los que se han
efectuado rotaciones•Caracterizan los ejes de simetría de una reflexión de
figuras en el plano2.Reconoceralgunaspropiedadesdelas•transformaciones isométricasReconocen propiedades de la traslación en traslaciones
de figuras del plano•Explican propiedades reconocidas de la rotación en
figuras que han sido rotadas en el plano3.Construirtransformacionesisométricasde•
•compás o procesadores geométricosRotan figuras en el plano, utilizando regla y compás o
un procesador geométricofiguras geométricas planas, utilizando regla yTrasladan polígonos y luego los reflejan, utilizando regla
y compás o un procesador geométrico•Describenpatronesqueseobservanalaplicarreflexiones a figuras del plano
4.Teselar el plano con polígonos regulares,•utilizando regla y compás o procesadoresDeterminan las condiciones que deben satisfacer los
elementos de los polígonos que participan de unageométricosteselación en el plano
•Determinan las posibles combinaciones de polígonos
regulares con las que se puede realizar una teselación•Teselan el plano solamente con polígonos regulares de
un tipo, utilizando regla y compás o procesadores
geométricosPorejemplo,teselanelplanoconhexágonos regulares por medio de regla y compás
5.Utilizar las transformaciones isométricas como
herramientapararealizar•teselacionestraslaciones y reflexiones
•regulares y teselaciones semirregularesTeselan el plano con un solo polígono regular, utilizando
Construyen la configuración base de una teselación con
más de un polígono regular, utilizando transformaciones
isométricas7.Caracterizar la circunferencia y el círculo•Explican el concepto de lugar geométricocomo lugares geométricos•Explican las diferencias entre círculo y circunferencia,
utilizando el concepto de lugar geométrico6.Calcular el perímetro de circunferencias y de
arcos de ellas•Aproximan valores del número•Calculanπ , utilizando longitudesy diámetros de circunferencias
perímetrosaproximados del númeroaproximadosπ.convaloresPor ejemplo, calculan elperímetro de una circunferencia de radio3cm conπ = 3,14
JUNIO DE 2011367.Calcular el área del círculo y de sectores de él•Calculan perímetros de arcos de circunferencias•Calculan valores aproximados del área de círculos con
valores aproximados deπ•Calculan áreas de sectores de círculos•Calculan la suma de áreas de círculos y la expresan en
un solo término8.Calcular medidas de superficies de cilindros,•Comparan áreas de superficies de conos y pirámidesconos y pirámides, utilizando fórmulas•Aproximan áreas de cilindros, conos y pirámides de
acuerdo a valores distintos de•πCalculan radios y alturas de conos en términos del área
de su superficie9.Calcular volúmenes de cilindros y conos,
utilizando fórmulas•Comparan volúmenes de superficies de conos y cilindros•Aproximan volúmenes de cilindros y conos, empleando
distintos valores de•πCalculan radios y alturas de conos y cilindros en función
de sus volúmenes10. Resolver problemas, en contextos diversos,•Resuelven problemas en contextos geométricos relativosrelativos a cálculos de:a determinar áreas de figuras en que intervienen•perímetros de circunferencias y áreas decírculos. Por ejemplo, calculan el área de la superficiecírculoscomprendida entre un cuadrado y un círculo inscrito en••pirámides
•éláreas de superficies de cilindros, conos y
volúmenes de cilindros y conosResuelven problemas que implican calcular volúmenes
de cilindros en contextos geométricos Por ejemplo,
calculan el volumen del espacio que existe entre dos
cilindros de bases distintas y de igual altura•Resuelven problemas relativos a calcular áreas de
superficies de pirámides en contextos del mundo real.
Por ejemplo, verifican áreas de la superficie de las
pirámides de EgiptoAprendizajes Esperados en relación con los OFTActitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos
•Muestra un método para realizar las transformaciones isométricas•Persevera en la realización de teselaciones•Termina las tareas iniciadas, relativas a los temas tratados•Desarrolla tenacidad frente a obstáculos o dudas que se les presenten en problemas propuestosTrabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
•Participa activamente en actividades grupales•Es responsable en la tarea asignada•Toma iniciativa en actividades de carácter grupal•Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupalesMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201137Orientaciones didácticas para la unidadLa introducción de transformaciones isométricas en 8° básico permite a los estudiantes estudiar la geometría
euclidiana “en movimiento”. De hecho, es recomendable estimularlos para que entiendan que las transformaciones
isométricas, mantienen inalterables los lados y los ángulos de las polígonos transformados. De esta manera, dos
figuras son congruentes cuando existe una transformación isométrica que lleva a una en la otra.
En este nivel se proponen transformaciones solo en el plano euclidiano. Las transformaciones en el plano
cartesiano se verán en I° medio. Por ello, se debe poner el énfasis en las construcciones con regla y compás (o
con un procesador geométrico). Las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones se trabajan en el plano
euclidiano, utilizando instrumentos como la regla y el compás, o procesadores geométricos.
Otro ejercicio que resulta desafiante para los estudiantes es trabajar con los procesos inversos de las
transformaciones isométricas. Es decir, se les entrega algunas figuras trasladadas, rotadas y reflejadas y se les
pide deduzcan los vectores, puntos, ángulos y ejes de simetría respecto de los que se realizaron las
transformaciones en cuestión. Se sugiere diseñar actividades que posibiliten el trabajo en equipo o en parejas.
Los teselados permiten aplicar transformaciones isométricas y resulta interesante establecer las conexiones entre
ambas. En este contexto, surge de manera natural la necesidad de establecer, en el caso de los teselados
regulares o semi-regulares, los polígonos que permiten teselar el plano, que corresponden cuyos ángulos
interiores que concurren en un vértice, suman 360°.
Cuando los estudiantes construyen teselados, la matemática se torna artística; es un buen momento para
observar y fomentar la originalidad en las producciones y el rigor y la perseverancia en el trabajo.
En cuanto al cálculo de áreas de las superficies de las caras de figuras 3D, es importante que el docente diseñe
actividades que estimulen a los estudiantes a deducir las fórmulas para determinar dichas áreas. Resulta de gran
ayuda usar algún software que permita manipular y estudiar las distintas figuras generadas. Se puede hacer de
dos maneras. La primera consiste en que el profesor maneje el programa computacional, lo presente mediante un
proyector y pida que los alumnos participen activamente. La otra opción es que los estudiantes trabajen solos, en
parejas o pequeños grupos frente a un computador; en este caso, se recomienda construir material de trabajo que
sirva para orientar y monitorear el trabajo de los alumnos, pues los de este nivel suelen ser dispersos, les cuesta
concentrarse por períodos prolongados y asocian la utilización del computador al ocio y las comunicaciones más
que al trabajo guiado.Ejemplos de actividadesAE 1
1.2.Caracterizan traslaciones de figuras en el plano y las reconocen en diversas situaciones. Al respecto:
•caracterizan vectores en el plano•caracterizan traslaciones en el plano, en términos de los vectores respecto de los cuales ellas se realizan•reconocen traslaciones de figuras en contextos diversos; por ejemplo, en el arteCaracterizan reflexiones de figuras en el plano y las reconocen en contextos diversos. Al respecto:
JUNIO DE 2011383.4.•caracterizan los ejes de simetría•comprenden que las reflexiones de figuras del plano se realizan respecto de ejes de simetría•reconocen reflexiones de figuras del plano en contextos diversos; por ejemplo, en el mundo de los insectosCaracterizan rotaciones de figuras en el plano y las reconocen en diversos contextos. Al respecto:
•comprenden que ellas se realizan respecto de un punto y en un ángulo dado•reconocen rotaciones de figuras en contextos diversos, por ejemplo, en física®Reconocen transformaciones isométricas en contextos diversos; por ejemplo, en diferentes teselaciones de
M. C. Escher (www.mcescher.com).AE 2
1.Reconocen propiedades de la traslación.Observaciones al docente
El docente puede guiar a los estudiantes, diciéndoles que observen lo que sucede cuando dos puntos (A y B) se
trasladan a puntos A’ y B’ respectivamente.
Se aconseja que revise las observaciones y que juntos concluyan que:
•AB=A’B’ y AA’=BB’•AA’B’B es un paralelogramo2.Los estudiantes giran dos puntos (A y B) respecto de un mismo punto y en un mismo ángulo, y reconocen
propiedades de la rotación.AE 3
Construir transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, utilizando regla y compás o procesadores
1.Trasladan figuras como triángulos, cuadriláteros y pentágonos con respecto de vectores dados, utilizando regla
y compás.2.Rotan figuras como triángulos respecto de puntos y ángulos dados, utilizando regla y compás.3.Reflejan figuras en el plano (triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos) respecto de rectas dadas.Observaciones al docente
•mostrar que basta con trasladar los vértices de las figuras en cuestión para trasladar la figura completa•trabajar con los alumnos para que entiendan cómo determinar el vector de traslación cuando hay figuras que
han sido trasladadas•reconocer punto y ángulo de rotación, dado un triángulo al que se aplicó una rotación•repasar la construcción de rectas perpendiculares•mostrar que basta con reflejar los vértices de los polígonos para que esa figura quede reflejada; los estudiantes
pueden determinar el eje de simetría de una reflexión cuando observan figuras reflejadasAE 4
Teselar el plano con polígonos regulares, utilizando regla y compás o procesadores geométricos.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201139AE 5
Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y teselaciones
1.Determinan las posibles combinaciones de polígonos regulares con las que se puede teselar el plano. Para este
propósito, se les pide encontrar los polígonos regulares de ángulos interioresα , β , γ ,.......cuya sumaα + β + γ + ....... = 360°
Se sugiere que presente una combinación de polígonos regulares que satisfacen la condición de teselación y que
explique la estrategia que se usó.
Puede pedir que, mediante ensayo y error, encuentren las combinaciones de polígonos regulares donde la suma de
los ángulos interiores de cada uno de ellos sea 360°.
2.Teselan el plano solamente con polígonos regulares de un tipo, utilizando regla y compás o procesadores
geométricos. Por ejemplo: con hexágonos regulares (con regla y compás).3.Construyen la configuración base de una teselación semirregular, utilizando regla y compás. Por ejemplo,
construyen la configuración que generan un dodecágono regular, un hexágono regular y un cuadrado, todos de
igual medida.4.Aplican transformaciones isométricas a la configuración base para teselar una región determinada del plano.
Por ejemplo, aplican transformaciones isométricas a la configuración formada por dos octógonos y un
cuadrado.AE 6
2.A partir de la definición de lugar geométrico, construyen los conceptos de circunferencia y círculo.
Utilizando diversa bibliografía, indagan en grupos acerca de las formas de calcular el númeroπ ; por ejemplo,la razón entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro.
En la actividad de indagación, se sugiere que el docente guíe los avances de cada grupo. Sin embargo, cada
estudiante se compromete responsablemente con su rol en el equipo, investiga con seriedad en las fuentes y
participa activamente en las conclusiones que obtienen.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201140AE 7
1.Calculan perímetros de circunferencias de diámetro conocido.2.Calculan el radio de una circunferencia, conocido su perímetro.3.Conocida la medida de un arco de circunferencia, calculan el ángulo asociado a él.AE 8
1.Calcular áreas de superficies donde intervienen círculos. Por ejemplo:
•calcular el área achurada, sabiendo que las circunferencias son concéntricas y que los radios de la mayor y
la menor son, respectivamente, de 10 cm. y 8 cm.2.Deducen que la expresiónπr 2 ⋅ α °
360°es el área de un sector circular de ánguloα , elaboran estrategias paracalcular áreas relativas a sectores circulares y aplican la expresión generada en contextos diversos. Por
ejemplo, elaboran una estrategia para determinar el área de la superficie comprendida entre dos círculos de 3
cm. de radio que pasan, cada uno, por el centro del otro círculo.AE 9
1.Utilizando las redes del cilindro, el cono y diferentes pirámides, conjeturan en grupos acerca de las estrategias
de cálculo de las superficies de estos cuerpos geométricos. Por ejemplo:MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011412.•calculan el área total de un cilindro con los datos de la figura: base de radio 4 cm. y altura 12 cm.•generalizan el resultado para obtener una expresión que represente el área total de un cilindroCalculan volúmenes de figuras donde intervienen conos y cilindros, en situaciones del tipo:
•Un octavo básico, con el afán de reunir dinero, realiza una venta de jugos de piña. Para esto, Francisco
diseña 2 envases; uno con forma de cono de altura 12 cm. y radio 9 cm. y una pirámide de base cuadrada
cuyas medidas son: lado del cuadrado 12 cm. y altura de la pirámide 9 cm. Si prepararon 500.000 cc. de
o¿de qué envase se necesita menos cantidad para envasar todo el jugo?o¿cuántos envases de cada tipo se requieren para envasar el jugo?AE 10
Calcular volúmenes de cilindros y conos utilizando fórmulas.Actividades
1. Verifican, usando diversas estrategias, que el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro de la misma
altura y radio:2. Determinan las dimensiones de tres cilindros expresándolas en cm. con los que se puede envasar 1 metro cúbico
de líquido.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201142AE 11
•perímetros de circunferencias y áreas de círculos•áreas de superficies de cilindros, conos y pirámides•volúmenes de cilindros y conosActividades
1.Resuelven problemas que involucran cálculo de volúmenes de cilindros y conos del tipo:
•calculan el volumen total que ocupan las cuatro cajas cilíndricas para guardar sombreros.5 cm
151520202.5 cmResuelven problemas relativos a cálculos de longitudes de circunferencia en contextos geométricos. Por
ejemplo:3.•calculan el perímetro de una circunferencia inscrita en un cuadrado de área conocida•determinan la cantidad de alambre necesaria para cercar una superficie de forma circularElaboran estrategias para determinar longitudes de arcos de circunferencia y las aplican en contextos diversos.
•Por ejemplo, aplican las estrategias elaboradas para determinar la longitud del arco de circunferencia que
describe un faro al girar 120° a dos millas marinas del faro, dado que una milla marina equivale a 1.852
metros.4.Resuelven problemas que involucran cálculo de áreas de circunferencias del tipo:
•En un jardín cuadrado se quiere sembrar pasto y dejar espacio para instalar una pileta con forma de
semicircunferencia, como indica la figura. Calcular el área en que se sembrará pasto, sabiendo que el lado
del jardín mide 8 m.PiletMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2011435.®Aplican los conocimientos referidos a áreas de superficies para resolver problemas del tipo:
•Para restaurar una pirámide, un grupo de expertos decidió pintarla con un compuesto especial. La pirámide
tiene base cuadrada de lado 10 metros y su altura es de 12 metros. Si un tarro del compuesto especial
tiene la capacidad de pintar 1 m2, ¿cuántos tarros se necesitan?Observaciones al docente
Se sugiere al docente que establezca la relación que existe entre el lado de un cuadrado y su diagonal. Es
importante que los estudiantes verifiquen esta relación en casos particulares.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201144Ejemplos de evaluaciónAprendizaje Esperado
Indicadores de Evaluación•
•Teselan el plano con un solo polígono regular, utilizando traslaciones y reflexiones.
Construyen la configuración base de una teselación con más de un polígono regular, utilizando transformaciones
isométricas.Actividad propuesta
Al evaluar, considerar los siguientes
•Identifican patrones en el teselado.•Explican las condiciones que deben
cumplir los polígonos en un
teselado.•Indican las combinaciones posibles
de polígonos en un teselado.•Identifican las transformaciones
isométricas aplicables para construir
el teselado.•¿Qué tipo de teselado es el de la figura?•¿Cuál es el patrón seguido en el teselado de la figura?•¿Qué tipo de triángulo se utilizó para construir el teselado de la
figura? Justifica.•¿Es posible construir un teselado con un cuadrado y un triángulo
isósceles? ¿Por qué?•¿Con qué transformaciones isométricas se puede construir este
teselado? ¿Aplicadas sobre qué figura? Justifique.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201145SEMESTRE 2MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200146UNIDAD 3
En esta unidad, los estudiantes profundizan en lo que ya han aprendido sobre datos y azar en cursos anteriores.
En datos (estadística) los estudiantes aprenderán a construir e interpretar tablas de frecuencia con datos
agrupados en intervalos. El énfasis está en el análisis de diferentes situaciones que impliquen tomar decisiones
respecto de la pertinencia o no de agrupar datos en intervalos y cuál es un número “razonable” de ellos. Se
espera que los estudiantes comprendan las ventajas y desventajas de agrupar datos, en función de la
información que se gana o pierde. A su vez, se espera que sean capaces de interpretar y producir información,
en diversos contextos, utilizando medidas de tendencia central para datos agrupados. Por último, se profundiza
en los conceptos de población y muestra introducidos en 6º básico, avanzando en la comprensión del concepto
de aleatoriedad al momento de usar muestras y su importancia en la realización de inferencias acerca de la
En azar (probabilidades) se aborda la probabilidad desde un punto de vista teórico con la introducción del
modelo de Laplace; aunque la experimentación con el uso de tablas de frecuencias y gráficos sigue siendo
importante en este nivel. En esta unidad se espera que los estudiantes sean capaces de comparar resultados
experimentales con resultados teóricos, por lo que será importante el uso de herramientas tecnológicas que
permitan simular un gran número de veces un cierto experimento aleatorio y contrastar el gráfico experimental
con el gráfico teórico. Por último, se espera que los estudiantes comprendan los conceptos de espacio muestral,
evento y eventos equiprobables.
Datos agrupados en intervalos, frecuencias de datos agrupados, muestras aleatorias, equiprobabilidad, espacio
muestral, modelo de Laplace.
•Población y muestra•Frecuencias absolutas y relativas•Experimento aleatorio•Probabilidad de un evento•Gráficos de frecuenciaContenidos disciplinares
•Intervalos•Amplitud de un intervalo•Marca de clase de un intervalo•Tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos•Media aritmética y moda para datos agrupados en intervalos•Muestreo aleatorio simple•Equiprobabilidad de eventos•Principio multiplicativo•Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio•Probabilidad teórica de un evento•Modelo de Laplace•Condiciones del modelo de Laplace: finitud del espacio muestral y equiprobabilidadMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200147Habilidades
•Resolver problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con
datos agrupados en intervalos•Construir tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas
tecnológicas•Decidir sobre el tipo de muestra en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de
poblaciones, ejemplifican•Analizar el comportamiento de una muestra de datos, usando medidas de tendencia central y argumentación
acerca de la información que ellas entregan•Identificar el conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y los
eventos o sucesos como subconjuntos de aquel•Utilizar el principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o
eventos•Verificar si un experimento aleatorio cumple con las condiciones del modelo de Laplace•Asignar en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio utilizando
el modelo de LaplaceActitudes
•Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos•Trabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversosAprendizajes EsperadosSugerencias de indicadores de evaluaciónSe espera que los estudiantes sean capaces de:Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:1.Interpretar información a partir de tablas de•Identifican tablas de frecuencias con datos agrupados.frecuencia, cuyos datos están agrupados en•Comprenden el significado de la frecuencia de unintervalos.intervalo en una tabla de frecuencias con datos
•Obtienen información, de diversos contextos, mediante
elanálisisdedatospresentadosentablasdefrecuencia con datos agrupados en intervalos.
2.Representar datos, provenientes de diversas•fuentes, en tablas de frecuencias con datosExplican la pertinencia y ventajas de representar un
conjunto de datos, a través de una tabla de frecuenciaagrupados en intervalos.con datos agrupados en intervalos.
•Aplican criterio para decidir el número de intervalos
apropiados para agrupar un conjunto de datos.•Construyen tablas de frecuencia, con datos agrupados
enintervalos,enformamanualymedianteherramientas tecnológicas.
3.•Interpretar y producir información, en
contextos diversos, mediante el uso departir de una tabla defrecuencia con datos agrupados en intervalos, y lamedidas de tendencia central, extendiendo al
caso de datos agrupados en intervalos.Determinan la media ainterpretan de acuerdo al contexto.
•Determinan la moda, a partir de una tabla de
frecuencia con datos agrupados en intervalos, y la
interpretan de acuerdo al contexto.•Extraen información desde datos numéricos agrupados
en intervalos y resumidos a través de la media o modaMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200148relacionados con una situación o fenómeno.
•Interpretan información, en diferentes contextos, a
través del uso de medidas de tendencia central.•Evalúan la pertinencia del uso de las medidas de
tendenciacentral,deacuerdoaltipodedatosinvolucrados.
•Comparaninformaciónrespectodedosomásconjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia
central y comunican sus conclusiones.
4.Comprender el concepto de aleatoriedad en el•Establecen estrategias para escogermuestras enforma aleatoria de un determinado tamaño, desde unauso de muestras y su importancia en la
realización de inferencias.población específica.
•Utilizan un recurso tecnológico, por ejemplo, una
calculadora, para generar números aleatorios y usarlos
paraextraerunamuestradesdeunapoblaciónespecífica.
•Argumentan acerca de la importancia de extraer
muestras en forma aleatoria para las conclusiones que
se puedan realizar acerca de una población.5.•Asignar probabilidades teóricamente a la
ocurrencia de eventos, en experimentosDescriben el espacio muestral de un experimento
aleatorio dado y obtienen su cardinalidad.•aleatorios con resultados finitos yArgumentan acerca de la equiprobabilidad de cadaequiprobables, y contrastarlas con resultadosresultadoexperimentales.realizando una simulación con apoyo de la tecnología.posibleenunexperimentoaleatorio,Por ejemplo, al lanzar un dado.
•Determinan la probabilidad de ocurrencia de un cierto
evento en un experimento aleatorio, mediante el
modelo de Laplace.•Comparan el valor de la probabilidad de un cierto
eventoenunexperimentoaleatorio,obtenidomediante el modelo de Laplace, con el valor de la
frecuencia relativa obtenida al simular el experimento
un gran número de veces mediante el uso de la
tecnología, y comunican sus conclusiones.
•Comparan el gráfico teórico de los resultados de un
experimento aleatorio, obtenido a través del modelo de
Laplace, y el gráfico de las frecuencias relativas del
mismo experimento simulado mediante el uso de
tecnología, y comunican sus conclusiones.Aprendizajes Esperados en relación con los OFT
Perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos
•Seguir los pasos indicados hasta completar su trabajo•Proponer interpretaciones originales de los datos•Es metódico o metódica en el uso de las fuentes de informaciónTrabajo en equipo e iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversos
•Es responsable en trabajos grupales•Participa activamente en actividades grupales
JUNIO DE 200149•Toma iniciativa en actividades de carácter grupal•Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupalesOrientaciones didácticas para la unidad
Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados, esta unidad se conecta naturalmente con los Objetivos
Fundamentales Transversales. A través del trabajo propuesto en Datos y Azar, se puede incentivar el interés por
conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. Por otro lado, aparte de una actitud
crítica frente a la información, también interesa que los estudiantes sean originales en sus interpretaciones,
metódicos en el uso de de las fuentes de información y, de igual modo, activos y responsables en el trabajo
En la parte estadística (Datos) es importante trabajar con contextos que sean de interés para los estudiantes.
Por ello se sugiere que estos sean extraídos desde diarios, revistas o Internet, de modo que los estudiantes vean
que esta dimensión de la matemática está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para
interpretar y modelar la realidad a través de diversas representaciones. Para este nivel, se sugiere analizar
diferentes situaciones que impliquen tomar decisiones sobre agrupar datos en intervalos y cuál sería un número
“razonable” de ellos. Para este caso se sugiere profundizar en las medidas de tendencia central, esta vez
considerando los datos agrupados en intervalos. En cuanto a los conceptos de población y muestra, se
recomienda proponer a los estudiantes discusiones relacionadas con las formas de seleccionar una muestra,
enfatizando en el aspecto de aleatoriedad y la validez de las conclusiones o inferencias respecto de la población.
Se sugiere el uso de algún recurso tecnológico (calculadora, por ejemplo) para generar números aleatorios.
En la parte de probabilidades (azar) se recomienda proponer a los estudiantes diversas situaciones y
experimentos aleatorios, en los que puedan determinar el espacio muestral conjunto de todos los resultados
posibles y los eventos como subconjuntos de dicho espacio muestral. Por ejemplo, en el caso del lanzamiento de
dos dados existen 36 combinaciones posibles de las caras de los dados. Es importante que los estudiantes
verifiquen este resultado y, luego, sean capaces de determinar otros eventos (subconjuntos), como: “que la
suma sea igual a 7”, o bien “que la suma sea un múltiplo de 3”. Se sugiere, posteriormente, trabajar con el
modelo de Laplace, determinando los “casos favorables” y los “casos posibles o totales”. Es importante que los
estudiantes comprendan que lo primero corresponde a la cardinalidad del espacio muestral y lo segundo a la
cardinalidad del subconjunto o evento. Cabe destacar que los estudiantes ya vienen trabajando desde años
anteriores con las frecuencias relativas, de modo que en este nivel los estudiantes tienen la posibilidad de
contrastar el modelo experimental (frecuencias relativas) y el modelo teórico (Laplace). De hecho, el camino
hacia las probabilidades ha sido justamente ese: de lo experimental a lo teórico. Se sugiere que en este nivel los
estudiantes comparen el gráfico de las frecuencias relativas (tras un gran número de iteraciones por medio de la
tecnología) con el gráfico de las probabilidades obtenidas por la regla de Laplace. Por ejemplo, aplicado al
experimento de la suma de dos dados.
Un tema importante será que los estudiantes tengan claridad en las condiciones que permiten aplicar el modelo
de Laplace. En esto será clave la comprensión acerca de la equiprobabilidad de los eventos elementales y que el
espacio muestral debe ser finito. Se sugiere al docente que trabaje algunos ejemplos donde el modelo de
Laplace no se puede aplicar directamente.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200150Ejemplos de actividadesAE 1
Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos.Actividad
1. Dada una tabla de frecuencias por intervalos, calculan los valores de cada frecuencia relativa y relativa
porcentual. Por ejemplo, en la tabla siguiente se muestran las notas (promedios) de los estudiantes de un curso al
finalizar el segundo trimestre en la asignatura de matemática:
IntervalosdeNotasPunto
medioFrecuencia9
8FrecuenciaFrecuenciarelativarelativa
porcentual[1,0 – 2,0]1,54[2,0 – 3,0]2,56[3,0 – 4,0]3,53[4,0 – 5,0]4,514[5,0 – 6,0]5,59[6,0 – 7,0]6,54Total402. Escriben en su cuaderno las respuestas a las preguntas planteadas por el profesor, extrayendo la información de
la tabla y visualizando la utilidad de cada columna de frecuencias. Por ejemplo:
•¿qué porcentaje de estudiantes tiene nota mayor o igual a 4,0?•¿qué porcentaje de alumnos obtiene nota “roja” en la asignatura en el segundo trimestre?®3. Obtienen información de diversos medios de comunicación que esté presentada en tablas de frecuencia con
datos agrupados por intervalos, la registran en sus cuadernos y la ponen en común, verificando la pertinencia de la
información que entregan las columnas de frecuencias. Por ejemplo, según un estudio10 sobre el uso de facebook
(403 individuos) se obtuvo la siguiente información, considerando el tiempo que permanecen conectados:
Tiempo conectadoPorcentaje5 a 29 min.48%30 a 59 min.22%1 a 3 horas25%Todo el día conectado5%
TotalResponden preguntas del tipo:
•¿cuántos individuos se conectan entre 30 a 59 min.?•¿cuál es la moda del conjunto de datos?•en promedio, ¿cuánto tiempo se conectan las personas?8También conocido como “Marca de Clase”.
También denominada “Frecuencia Absoluta”.
Estudio CADEM Research Facebook, el fenómeno en Chile. Agosto 2008.
www.cadem.cl/media/temas/documentos/Estudio_Facebook.pdf
910MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200151AE 2
1.Obtienen información de todos los estudiantes del curso con respecto de su estatura y a su número de
hermanos. A partir de esto, el docente explicita la necesidad de trabajar con tablas de datos simples y tablas
de datos agrupados por intervalos.2.Registran las estaturas de los estudiantes en una lista y presentar datos en tablas de frecuencia con datos
agrupados.Observaciones al docente
Se sugiere al docente realizar esta actividad en grupo. Después de registrar los datos en una lista, los distintos
grupos representarán los datos obtenidos en tablas de frecuencia con datos agrupados. Cada grupo decidirá sobre el
número de intervalos a utilizar.
Es recomendable que los estudiantes tengan la oportunidad de discutir y decidir cuándo es apropiado usar
intervalos, en función del tipo de datos y el propósito de lo que se quiere presentar.
Es recomendable utilizar una planilla electrónica para simplificar los cálculos de los elementos de la tabla.3.Recopilan datos de interés en los medios de comunicación. Por ejemplo, ingresan a la página del Servicio
Sismológico de la Universidad de Chile11 y obtienen la actividad sísmica de los últimos 2 días:Fecha-hora Local
2010/10/25 17:18:2411MagnitudSensible3NoLocalidad
18 km al NO de Pichilemu2010/10/25 16:25:283.2No26 km al NE de Calama2010/10/25 15:28:483.4No26 km al NE de Calama2010/10/25 15:18:003.7Sí64 km al NO de Valparaíso2010/10/25 14:04:053.5No134 km al SE de Vallenar2010/10/25 13:14:113.3No25 km al N de Pichilemu2010/10/25 10:54:523.2No24 km al O de Navidad2010/10/25 04:45:184.2Sí57 km al NO de Constitución2010/10/25 04:20:413.4No23 km al O de Pichilemu2010/10/25 03:10:074.5Sí56 km al O de Cobquecura2010/10/25 02:45:384.1Sí64 km al NO de Cobquecura2010/10/24 23:03:122.3No32 km al SE de Navidad2010/10/24 22:26:063.7Sí42 km al O de San Antonio2010/10/24 19:56:274.9Sí16 km al O de La Serena2010/10/24 18:11:214.4Sí27 km al S de Rancagua2010/10/24 13:44:414.1Sí19 km al NO de Melipilla2010/10/24 13:39:063No42 km al S de Pichilemu2010/10/24 07:59:183No47 km al NO de Pichilemu2010/10/24 07:53:094.6Sí52 km al NO de Arauco2010/10/24 07:47:004.8No85 km al SE de Ollagüe2010/10/24 06:44:502.7No17 km al O de Navidadwww.sismologia.clMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2001522010/10/24 03:19:362.7No27 km al SE de Pichilemu2010/10/23 23:59:072.5No22 km al SO de Los Vilos2010/10/23 23:54:082.9No13 km al NO de La Ligua2010/10/23 22:55:432.9No81 km al O de San Antonio4.Construyen tablas sencillas por intervalos, verificando que la cantidad de intervalos debe simplificar la
presentación de los datos y no debe dejar que se pierda información importante.Observaciones al docente
Hacer notar a los estudiantes que la variable en cuestión corresponde a la magnitud del sismo, y sobre la cual se
deben construir los intervalos. Para la construcción es necesario identificar la magnitud mínima y la máxima.AE 3
Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central,
extendiendo al caso de datos agrupados en intervalos.
1.A partir de una tabla de frecuencias simple obtenida a partir de datos de su interés, calculan la media de la
muestra (promedio ponderado) y su moda. Por ejemplo, si se considera el consumo eléctrico mensual de un
hogar en KWH.
KWH2.Punto medio12Frecuencia13[144 – 170]6[170 – 196]6[196 – 222]5[222 – 248]7[248 – 274]4[274 – 300]2Total30Construyen en sus cuadernos una tabla por intervalos con información y completan las columnas de
frecuencias. Por ejemplo, a partir de los puntajes obtenidos en la PSU por los estudiantes de un
establecimiento educacional:36154364047532137055343155524572865874232142057366041077044522535180041072977738952047854560141743063056251838382033064578051542762565147876055540074543555236849062032850047069080045858445161038150467747864379046032553167978080060058039070012
13Marca de Clase.
Frecuencia Absoluta.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 2001533.Calculan las marcas de clase o puntos medios de cada intervalo.4.Escriben en su cuaderno conjeturas acerca de procedimientos para calcular la media y la moda en este
conjunto de datos agrupados por intervalos. Verifican sus conjeturas con ayuda del profesor, quien les
proporciona algunos métodos usuales.5.A partir de distintas tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos que proporciona el profesor,
calculan la media y la moda. Escriben el significado de estos valores de acuerdo al contexto del problema.6.Registran conclusiones a partir de distintos experimentos y encuestas obtenidos de distintos medios de
comunicación, de los cuales se conoce la media y/o la moda. Verifican que, en ocasiones, estas medidas
pueden no ser representativas.7.Comparan dos conjuntos de datos y calculan e interpretan sus medidas de tendencia central, visualizando la
importancia de la aleatoriedad de la muestra. Por ejemplo, la misma encuesta para dos muestras distintas.Observaciones al docente
Se sugiere al docente enfatizar en el uso de la marca de clase (punto medio) como un valor de la variable,
representativo del intervalo que corresponde, considerando que al tabular de esta manera, se gana en organización
y presentación de los datos pero se pierde en exactitud.
Como criterio, se pedirá a los grupos estimar el promedio de los datos utilizando los datos agrupados y comparar
con el promedio real.
En esta actividad se sugiere retomar la actividad del registro de estaturas por grupo. Dado que deben trabajar las
medidas de tendencia central, es importante que los estudiantes verifiquen las formas de obtener dichas medidas a
partir de un conjunto de datos agrupados. Por ejemplo, en el caso de la media aritmética se define el “punto medio”
del intervalo y con este valor, como representante, se obtiene la media aritmética con el mismo procedimiento que
para el caso de datos no agrupados. Vale aquí el ejercicio de comprobar qué tan cercanos están la media aritmética
obtenida, con los datos sin agrupar, y la media aritmética con datos agrupados utilizando el punto medio.AE 4
1.Escriben en su cuaderno las condiciones necesarias para asegurar la aleatoriedad de una muestra.2.A partir de una lista, clasifican las muestras en aleatorias y no aleatorias.3.Extraen información y datos de estudios públicos de diferentes medios de comunicación y escriben las
especificaciones de cada muestra escogida.4.Ponen en común los estudios recopilados y la información de sus respectivas muestras en grupos.5.Analizan los resultados de dos encuestas distintas en un contexto significativo, una sobre una muestra aleatoria
y la otra no. Escriben en su cuaderno la importancia de la aleatoriedad de una muestra.Observaciones al docente
Se sugiere al docente guiar a los alumnos en algunos experimentos o encuestas para alcanzar el aprendizaje
esperado.AE 5
Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y
equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200154Actividad
1.Escriben por extensión en sus cuadernos los elementos de los espacios muestrales de distintos experimentos.
•2.escribir el espacio muestral de “lanzar dos monedas al aire”.Lanzan un dado 20 veces cada uno en grupos de 4 o 5 alumnos. Observan y registran en sus cuadernos la
frecuencia relativa de cada resultado (equiprobables).3.Realizan el lanzamiento de dos dados una gran cantidad de veces y registran los resultados para la suma de los
puntajes de las caras. Utilizan apoyo de la tecnología y grafican.4.Determinan las combinaciones posibles para el lanzamiento de dos dados y grafican los resultados “teóricos”
para la suma de las caras. Utilizan un gráfico de barras para estos resultados ideales. Responden a la pregunta
¿qué suma tiene más probabilidades de salir?5.Comparan el gráfico asociado a las frecuencias relativas (experimental) con el gráfico de barras ideal, respecto
del experimento de la suma de los dados. Sacan conclusiones al respecto.6.Calculan probabilidades de eventos asociados al experimento con dados mediante el modelo de Laplace. Por
ejemplo, determinan la probabilidad de que al lanzar dos dados la suma sea menor o igual a 5.7.Comparan la probabilidad teórica con la frecuencia relativa en el experimento de lanzar 100 veces una moneda.
Aumentan el número de lanzamientos usando un recurso tecnológico.Observaciones al docente
Es importante que los estudiantes realicen completamente la experiencia e identifiquen cada etapa del proceso.
Es importante motivar a los estudiantes a que permanentemente realicen conjeturas acerca del resultado del
lanzamiento del dado. Además, como es un contexto lúdico, es recomendable que la experiencia se maneje en
términos de “apuestas”. Ellos deberían partir con una apuesta inicial; sin embargo, a medida que se realice el
experimento puede que sus conjeturas vayan cambiando y modifiquen su apuesta.
Lo fundamental del trabajo con esta actividades la capacidad de observar los patrones o regularidades respecto de
las frecuencias relativas porcentuales para cada resultado. En esto los gráficos cumplen una función importante, ya
que los estudiantes pueden constatar sus conjeturas en forma visual, es decir, pueden “ver” lo que está pasando.
Por lo anterior, cobra relevancia el uso de herramientas tecnológicas que permitan simular experimentos aleatorios
una gran cantidad de iteraciones. De este modo, los estudiantes pueden establecer conclusiones al observar
patrones, los cuales con pocos lanzamientos sería muy difícil observar.
Es necesario que los estudiantes, en cada etapa, utilicen la misma escala y la frecuencia relativa porcentual para
poder comparar los gráficos.
Esta actividad se presta para la utilización de un simulador de lanzamientos.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200155Ejemplo de evaluación
equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales.
•Describen el espacio muestral de un experimento aleatorio dado y obtienen su cardinalidad•Argumentan acerca de la equiprobabilidad de cada resultado posible en un experimento aleatorio, realizando una
simulación con apoyo de la tecnología Por ejemplo, al lanzar un dado•Determinan la probabilidad de ocurrencia de un cierto evento en un experimento aleatorio, mediante el modelo de
Laplace•Comparan el valor de la probabilidad de un cierto evento en un experimento aleatorio, obtenido mediante el
modelo de Laplace, con el valor de la frecuencia relativa obtenida al simular el experimento un gran número de
veces mediante el uso de la tecnología, y comunican sus conclusiones•Comparan el gráfico teórico de los resultados de un experimento aleatorio, obtenido a través del modelo de
Laplace, y el gráfico de las frecuencias relativas del mismo experimento simulado mediante el uso de tecnología, y
comunican sus conclusionesActividad propuesta
Ernesto y Rosa juegan con monedas. El juego consiste en lanzar una moneda dos veces;Criterios de evaluaciónprimero lanza uno (Rosa, por ejemplo), luego el otro y después se alternan. Si en ambos
lanzamientos salen caras o en ambos sello, gana Rosa, pero si salen distintas –en el
primero cara y en el segundo sello o viceversa–, gana Ernesto.Al evaluar, considerar los
siguientes criterios:Preguntas:
1. Describen el espacio•En una instancia del juego, ¿cual es el espacio muestral?, ¿cuántos elementos tiene?•¿Cuál es la probabilidad teórica de que gane Rosa?muestral y determinan su•Los elementos del espacio muestral, ¿tienen igual probabilidad de ocurrencia?, ¿porcardinalidad.qué?2. Argumentan sobre la•Si al repetir 100 veces el juego, se obtiene la siguiente tabla de frecuencias:ocurrencia de los
ResultadosFrecuenciacc22cs24sc28ss26
oelementos del espacio
3. Aplican el modelo de
Laplace para calcular la
ocurrencia de un evento.compare gráficamente los resultados obtenidos en la repetición del experimento
con los teóricos. ¿A qué atribuye la diferencia?o
•equiprobabilidad de¿cuál es la probabilidad, según la tabla, que gane Ernesto en el juego?¿Es un juego justo?4. comparan las
ocurrencia, aplicando
Laplace y las frecuencias
5. Comparan
probabilidades teóricas y
empíricas.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200156UNIDAD 4
En la unidad de álgebra los estudiantes comienzan el reconocimiento de funciones y su distinción con las relaciones en
contextos diversos. Por una parte, la idea es desarrollar el concepto de función asociado a algunas metáforas que facilitan
su comprensión y vincularlo a conceptos matemáticos ya trabajados en años anteriores. Por otra parte, en el trabajo
propuesto los estudiantes deben reconocer conceptos clave como dominio y recorrido, lo que introduce algunos elementos
de lenguaje conjuntista.
En este nivel el trabajo con ecuaciones progresa hacia el planteamiento y resolución de ecuaciones con más de una
incógnita. Por ejemplo, ecuaciones que representan relaciones físicas, fórmulas geométricas o expresiones que reflejen
situaciones de la vida cotidiana, que resulten interesantes para los estudiantes.
La unidad ofrece también la posibilidad de visitar nuevamente tópicos relativos a proporcionalidad directa e inversa, pero
con mayor énfasis en el concepto de variación proporcional y tratado desde el punto de vista algebraico. Todo esto se
incorpora al repertorio de temas que aportan al desarrollo del razonamiento matemático, en especial, la capacidad para
realizar representaciones de objetos abstractos.
Variable, variación proporcional y no proporcional, variación proporcional directa, variación proporcional inversa, función,
dominio y recorrido de una función, ecuación de primer grado con dos incógnitas.
•Proporcionalidad directa e inversa•Representación gráfica de la proporcionalidad directa e inversa•Resolución de problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnitaContenidos disciplinares
•Situaciones de variación proporcional y no proporcional•Situaciones de variación proporcional directa e inversa•Concepto de función y sus diferentes representaciones•Dominio y recorrido de funciones•Ecuaciones de primer grado con más de una incógnitaHabilidades
•Identificar situaciones de variación proporcional y no proporcional•Resolver problemas que involucran variación proporcional directa•Resolver problemas que involucran variación proporcional inversa•Reconocer funciones en diversos contextos•Identificar dominio y recorrido de funciones en diversos contextos•Resolver problemas que involucran funciones en diversos contextos•Plantear y resolver ecuaciones de primer grado con dos incógnitasActitudes
•Trabajo en equipo y muestra iniciativa personal para resolver problemas en contextos diversosMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200157Aprendizajes EsperadosSugerencias de indicadores de evaluaciónSe espera que los estudiantes sean capaces de:Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje:1.Plantear
relaciónecuaciones
entredosquerepresentanvariablesenla•
•contextos.Identificanlasvariablesqueestáninvolucradasensituaciones de la vida cotidiana.diversosDespejan una variable en función de la otra en ecuaciones
que tienen dos incógnitas.•Evalúan ecuaciones planteadas en función del contexto del
problema.2.Reconocer funciones en diversos contextos,•Identifican el dominio y recorrido de una función.identificar•Identifican variables dependientes de otras variables ensuselementosyrepresentardiversas situaciones a través de ellas.diversas situaciones.
•Dan ejemplos de funciones en contextos cercanos.•Utilizan notaciones empleadas en funciones para expresar
dependencias de variables.3.Identificar variables relacionadas en forma•proporcional y en forma no proporcional.Identifican en un contexto determinado,variables quedependen proporcionalmente de otras variables.
•Identifican en un contexto determinado, dependencias no
proporcionales.•Identifican la constante de proporcionalidad en dependencias
proporcionales.•Comparan el cuociente entre valores asignados a variables
para identificar una relación de proporcionalidad directa entre
variables.•Comparan el producto entre valores asignados a variables
para identificar una relación de proporcionalidad inversa
entre variables.•Utilizan la constante de proporcionalidad para argumentar la
proporcionalidad directa e inversa entre variables.4.Analizar,medianteelusodesoftwares•gráficos, situaciones de proporcionalidad.Identifican,utilizandosoftwaresgráficos,situacionesidentificarsituacionesasociadas a proporcionalidad directa.
•Utilizansoftwaresgráficosparaasociadas a proporcionalidad inversa.
•Analizan, utilizando softwares gráficos, datos representativos
de situaciones para determinar si estas son proporcionales.5.Resolver problemas en diversos contextos
queimplicanproblemasqueproporcionalidad
implicandirecta•yproporcionalidadObtienenecuacionesdesituacionesasociadasaproporcionalidad directa.
•inversa.Determinan la constante de proporcionalidad en datos que
varían proporcionalmente y los utilizan para realizar cálculos.•Representan,entablasygráficos,relacionesproporcionalidad directa e inversa entre dos variables.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200158deOrientaciones didácticas para la unidad
La unidad de álgebra se presenta por primera vez en el programa de estudio con autonomía de los temas tratados en
números. Este hecho es particularmente relevante cuando se quiere analizar el enfoque de los temas propuestos en
En relación con tema de funciones, en esta oportunidad se propone desarrollar el concepto de función asociado a
algunas metáforas que facilitan su comprensión y vinculado a conceptos matemáticos que ya fueron trabajados años
anteriores por los estudiantes, como la proporcionalidad directa e inversa. Interesa que los estudiantes analicen las
funciones desde la relación entre dos variables y, en particular, distingan entre variables dependientes e
independientes. Se abandona la clásica progresión que se iniciaba con una rigurosa definición del producto
cartesiano, para luego definir el concepto de relación y terminar presentando las funciones como un caso particular
Es importante que los estudiantes sean capaces de reconocer el dominio y el recorrido de una función. Aunque el
currículo no propone como tema el uso del lenguaje conjuntista, si el docente lo estima conveniente puede utilizar
aquellos términos y conceptos relacionados con teoría de conjuntos que sean necesarios y faciliten el aprendizaje.
Reconocer en una función el dominio y recorrido permite a los estudiantes distinguirlos de una relación cualquiera. El
apoyo de tecnología, especialmente de aquellos softwares que permiten graficar funciones, le permitirán tanto al
estudiante como al docente observar las distintas gráficas de cada función en estudio. Además, el uso de tecnología
facilita la relación conceptual entre la expresión algebraica y su representación geométrica, relación que no es natural
para la mayoría de los estudiantes. Una de las situaciones que se debe evitar es que los estudiantes trabajen con las
expresiones algebraicas que representan relaciones o funciones sin comprender qué describen.
En este nivel, el trabajo con ecuaciones progresa hacia el planteamiento y resolución de ecuaciones con dos
incógnitas en diversos contextos. El énfasis debe estar puesto en que los estudiantes comprendan que las variables
de este tipo de ecuaciones pueden ser despejadas en función de la otra variable, y que el valor que puede tomar la
incógnita dependerá del valor que tome la otra variable. Ejemplos clásicos pueden ser tomados de fórmulas que
representan relaciones físicas. Por ejemplo: la frecuencia (f) de una onda y su período (T) están relacionados a través
de la ecuación:f =1
TLa unidad ofrece también la posibilidad de trabajar nuevamente tópicos relativos a proporcionalidad directa e inversa,
con el agregado que al estar bajo el alero del álgebra se enriquece su trabajo y se potencia el concepto de variación
proporcional. Por ejemplo, los estudiantes podrían concluir que al ser el cuociente entre el perímetro y el diámetro de
cualquier circunferencia siempre el mismo número, se trata de una relación directamente proporcional, interpretando
la igualdadP
= Pi como la expresión que representa dicha situación.
DEsta es la oportunidad para introducir las representaciones algebraicas de una relación proporcional directa o inversa,
y mostrar sus diferencias con representaciones de relaciones que no varían proporcionalmente, aunque cumplan con
alguna de las características de las proporciones. Por ejemplo, es esperable para el nivel que los estudiantes
identifiquen la expresióny = 2 x + 1 como una relación no proporcional, a pesar de que cuando una variable aumentatambién lo hace la otra.
El trabajo en equipo facilita la discusión y análisis de situaciones problema, fomentando el liderazgo intelectual y el
carácter, así como la asignación de roles. El trabajo en álgebra se presta favorablemente para alternar entre reflexión
y estudio personal con el planteamiento y discusión de situaciones problemáticas.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200159Ejemplos de actividadesAE 1
2.Identifican ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Modelan situaciones de la vida cotidiana mediante ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Por ejemplo:
•determinan la ecuación que permite conocer las maneras de envasar 50 kilos de azúcar en bolsas de 2 y 5
kilos•determinan la ecuación que permite conocer las maneras de juntar $10.000 en monedas de $100 y $500AE 2
Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de
1.Modelan situaciones en contextos cotidianos. Identifican variables independientes y otras dependientes de
ellas, y establecen el término función. Por ejemplo, en la situación:
•Marcos cotiza el revelado de fotos en una tienda. Por revelar el rollo le cobran $1.000 y por cada foto que
salga bien le cobran $50. Decide calcular el revelador del rollo dependiendo del número de fotos. Obtiene
la siguiente fórmula:P = 1000 + 50 F , donde Pes el precio que debe pagar por revelarF fotosoidentifican la variable independiente y la variable dependienteocomprenden que la variable dependiente depende de la variable independiente, y a esta
dependencia la llama funciónObservaciones al docente
Se sugiere al docente mostrar modelamientos de situaciones antes de que los estudiantes intenten llegar a un
modelo que represente una situación dada. Se sugiere además guiar al estudiante en el proceso de modelamiento.2.Utilizan la notacióny = f (x )b = 3a − 5 , identifican que b
•para identificar que
está en función deayestá en función dex.Por ejemplo, en la relacióny notan esta dependencia en la formab = f (a)En las siguientes igualdades identifican las variables dependiente e independiente y notan esta
dependencia en la forma
oy = 3z − 4oc = a−5y = f (x )Observaciones al docente
Se sugiere al docente mostrar distintos tipos de funciones en las que una variable dependa de otra variable.
Adicionalmente se aconseja mostrar a modo de ejemplo dependencias de más de una variable.
3.Identifican dominios y determinan recorridos de funciones. Por ejemplo, determinan el recorrido de la función
en la funcióny = 2( x − 1) ,dondextoma los valores en el conjunto de los números naturales imparesmayores que 5 y menores que 16.
4.Representan situaciones en contextos cotidianos a través de funciones.
JUNIO DE 200160AE3Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional.
1.Identifican situaciones que corresponden a variables relacionadas de manera proporcional y situaciones donde
la variación no es proporcional. Al respecto, construyen una tabla con valores de las variables determinadas y a
partir de cálculos realizados con ellas establecen si están relacionadas de manera proporcional.2.Indagan en Internet acerca de situaciones que corresponden a variables relacionadas en forma proporcional y
en forma no proporcional. Argumentando al respecto.Observaciones al docente
Se sugiere al docente mostrar variables que dependen de otra de manera proporcional. También se sugiere que
deje lo más claro posible el significado matemático de este concepto.AE 4
1.Analizan datos correspondientes a situaciones en diversos contextos mediante el uso de softwares gráficos para
determinar si las situaciones que representan estos datos son proporcionales.2.Resuelven problemas relativos a magnitudes proporcionales utilizando softwares gráficos.AE 5
Resolver problemas en diversos contextos que impliquen proporcionalidad directa y problemas que impliquen
1.Comprenden los conceptos de proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa e identifican este tipo de
cantidades en contextos diversos. Al respecto el docente podría presentar a los estudiantes situaciones donde:
•una de las variables involucradas aumenta cuando la otra variable aumenta, pero que no son directamente
proporcionalesy = kx , y a la función y =k
x2.Completan tablas asociadas a la funciónes una constante.3.Calculan la constante de proporcionalidad en proporciones directas y en proporciones inversas, usando datos
de la situación que representan, y la utilizan para obtener valores desconocidos de esa situación. Por ejemplo,
calculan la constante de proporcionalidad en una proporción directax = 10 , y la utilizan para calcular el valor de y
4.cuandoy = kx ,si se sabe quey=5cuandox = 30Resuelven problemas que implican proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa en distintos contextos.Observaciones al docente
Se sugiere al docente mostrar distintas proporciones directas e inversas y reforzar el concepto matemático que
implican estas dependencias mediante exposiciones gráficas.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200161Ejemplo de evaluaciónAprendizaje Esperado
Resolver problemas en diversos contextos que implican proporcionalidad directa y problemas que implican
•Obtienen ecuaciones de situaciones asociadas a proporcionalidad directa.•Determinan la constante de proporcionalidad en datos que varían proporcionalmente y los utilizan para realizar
cálculos.•Representan en tablas y gráficos relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables.Actividad propuesta
A continuación se entrega información relacionada con un hecho real. Lea cuidadosamente la información y responda
a las preguntas propuestas.
Rescate de los minerosCriterios de evaluaciónDe acuerdo con las noticias, el día 13 de octubre de madrugada se
inició el rescate de los 33 mineros atrapados en el fondo de la mina San
José. La velocidad con que la cápsula Fénix se desplaza es de 1 metro
por segundo, demorándose 15 minutos y 40 segundos en hacer un viaje
desde el fondo de la mina a la superficie o bien desde la superficie al
fondo de la mina. El lapso que transcurre entre el rescate de dos
mineros consecutivos, es de 40 minutos.Al evaluar, considerar los siguientes
•Identifican las relaciones de
proporcionalidad entre las variables.•Representan gráficamente la relación
de proporcionalidad entre dosPreguntas.
1. ¿Qué tipo de relación existe entre el número, N, de mineros
rescatados y el tiempo, t, que transcurre en el rescate de los Nvariables
•Resuelven problemas, utilizando lasmineros? Justifique.relaciones de proporcionalidad entre2. ¿Qué relación existe entre el tiempo que toma rescatar un minerovariables.(viaje desde el fondo de la mina a la superficie) y la velocidad de subida
de la cápsula Fénix? Construya un gráfico que represente la relación
3. Si se mantienen invariables los datos entregados en el enunciado,
¿cuánto tiempo tomaría el rescate de los 33 mineros? Justifique.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200162MATERIAL DE APOYO SUGERIDO
ALEKSANDROV, A. y otros. (1976). La matemática: su contenido, métodos y significado. Madrid: Alianza
ALSINA CATALÁ, C. y otros. (1990). Simetría dinámica. Síntesis.
ALSINA CATALÁ, C. y otros. (1988). Materiales para construir la geometría. Síntesis.
ALSINA CATALÁ, C. y otros. Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid: Síntesis.
ALSINA, BURGUÉS, FORTUNY, GIMÉNEZ y TORRA. (1996). Enseñar matemáticas. Madrid: Grao.
ARAYA S., Roberto y MATUS, Claudia. (2008). Buscando un orden para el azar. Santiago: Centro Comenius,
ARGÜELLES RODRÍGUEZ, J. (1989). Historia de la matemática. Akal.
ARIAS, NAFRÍA, DOMÍNGUEZ, SANTISO, DÍEZ, y otros. (1992). Hoja de Cálculo en la enseñanza de las
matemáticas en Secundaria. Madrid: Universidad Autónoma de Madrid.
ARTIGUE, M. (1994). “Una introducción a la didáctica de la matemática”, en Enseñanza de la Matemática.
Selección bibliográfica, traducción para el PTFD, MCyE.
ARTIGUE, Michèle y otros. (1995). Ingeniería didáctica en educación matemática. México: Iberoamericana.
AZCÁRATE, C. y DEULOFEU, J. (1990). Funciones y gráficas. Síntesis.
BERLANGA, R. y otros. (2000). Las matemáticas, perejil de todas las salsas. México: Fondo de Cultura Económica.
BRESSAN, A. M. y otros. (2006). Razones para enseñar geometría en la educación básica. México: Novedades
CALLEJO, L. (1994). Un club de Matemática para la diversidad. Madrid: Narcea.
CEDILLO, T. (1997). Calculadoras: Introducción al álgebra. México: Iberoamericana.
CENTENO, J. (1997). Números decimales: ¿por qué?, ¿para qué? Síntesis.
COFRÉ, A. y TAPIA, L. (1995). Cómo desarrollar el razonamiento lógico matemático. Manual para kinder a 8º
básico. Santiago: Universitaria.
CORBALÁN, F. (1995). La matemática aplicada a la vida cotidiana. Barcelona: Graó.
D’AMORE, B. (2006). Didáctica de la matemática. Colombia: Magisterio.
DE MELLO E SOUZA, J. C. (Malba Tahan). (2002). El hombre que calculaba. Buenos Aires: Limusa.
DÍAZ, J. y otros. (1987). Azar y probabilidad. Madrid: Síntesis.
DUHALDE, M. E. y GONZÁLEZ, M. T. (2003). Encuentros cercanos con la matemática. Argentina: Aique.
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GOVINDEN L., P. (1998). Introducción a la estadística. Mc Graw Hill.
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KOSTOVSKY, A. N. (1984). Construcciones geométricas mediante un compás. Moscú: Mir.
MALILA C., G. (1968). El número de oro. Tomo I: Los ritmos; tomo II: Los ritos. Buenos Aires: Poseidón.
MALILA C., G. (1968). Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Buenos Aires: Poseidón.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. (2009). Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. (2004). Educación matemática. Programa de estudio 8º básico.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. (2004). Matemática. Programa de estudio I medio.
PLANAS, N. y ALSINA, Á. (2005). Educación matemática y buenas prácticas. Barcelona: Grao.
Revista UNO. (1997). Las matemáticas en el entorno. Barcelona: Grao.
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SAAVEDRA G. (2005). Contenidos básicos de estadística y probabilidad. Santiago: Universidad de Santiago.
SADOVSKY, P. (2005). Enseñar matemática hoy. Argentina: Libros del Zorzal.
JUNIO DE 200163SERRANO, J. M. y otros. (1997). Aprendizaje cooperativo en matemática. Universidad de Murcia.
VARGAS-MACHUCA, I. y otros. (1990). Números enteros. Matemáticas: cultura y aprendizaje. Madrid: Síntesis.
VILLANUEVA, F. y otros. (1993). Geometría elemental. Santiago: Universidad Católica de Chile.
VILLELA, J. (2001). Uno, dos, tres… geometría otra vez. Argentina: AIQUE.
WINSTON, H. y ELPHICK, D. (2001). 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales transversales.
Instrumentos curriculares (Mapas de Progreso, Programas de Estudio, etc.):
Red Maestros de Maestros (Mineduc):
Sitio Key Currículum Press de textos de matemática:
www.keypress.com/x19850.xml (Ver capítulos de lecciones en español).
www.keypress.com/x19578.xml (Ver capítulos de lecciones en español).
Textos para el docente y el estudiante educación secundaria México:
www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html
http://telesecundaria.dgme.sep.gob.mx/mat_ed/mat_ed_01.php
Portal Educar Chile:
www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/verContenido.aspx?ID=186119
www.catalogored.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65
Proyecto Descartes, España:
Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, applets de la Universidad de UTAH:
Eduteka, Portal Educativo, Colombia:
www.eduteka.org/directorio, luego elegir la carpeta “Matemáticas” o bien desde el enlace directo:
www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=204
Actividades sugeridas por temas: www.eduteka.org/MI/master/interactivateMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200164Bibliografía para el estudiante
ARIAS, NAFRÍA, DOMÍNGUEZ, SANTISO, DÍEZ, y otros. (1992). Hoja de cálculo en la enseñanza de las matemáticas
en secundaria. Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid,.
DE MELLO E SOUZA, J. C. (Malba Tahan). (2002). El hombre que calculaba. Limusa.
ARAYA, R. y MATUS, C. (2008). Buscando un orden para el azar. Santiago: Centro Comenius, Universidad de
GOVINDEN, P. (1998). Introducción a la estadística. Mc Graw Hill.
Textos para el docente y el estudiante educación secundaria, México:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/aplicaciones.php
Enlace genérico:
•http://nlvm.usu.edu/es/nav;enlaces directos:
•Números y operaciones:•Álgebra:•Geometría:http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_3_t_1.html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_3_t_2.html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_3_t_3.html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_3_t_4.html
•Análisis de datos y probabilidad:
http://nlvm.usu.edu/es/nav/category_g_3_t_5.htmlPortal Educar Chile:
Actividades sugeridas: www.eduteka.org/MI/master/interactivate/
Enlace genérico de las unidades temáticas: www.eduteka.org/directorio; enlaces directos:
•Números y operaciones:•Geometría:www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=362
www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=363
www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=364
JUNIO DE 200165•Probabilidad y estadística:•Álgebra:www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=365
www.eduteka.org/directorio/index.php?t=sub_pages&cat=366Bibliografía CRA
A continuación se detallan publicaciones posibles de encontrar en las bibliotecas de los Centros de Recursos para el
Aprendizaje (CRA) a lo largo del país:
VARIOS AUTORES. Cubos en base dos. Santiago de Chile, s.n., s.f.
VARIOS AUTORES. Sólidos geométricos, Learning Resources,
VARIOS AUTORES. Juegos de naipes ingleses, s.d.
BLUM, R. (2008). Festival de ingenio. Santiago de Chile: RIL.
COLLANTES, J. y PÉREZ, A. (2006). Matecuentos 3: cuentos con problemas. Madrid: Nivola Libros.
GARDNER, M. (2008). El idioma de los espías. Santiago de Chile: RIL.
MOSCOVICH, I. (2006). Imaginación geométrica. México: La Vasija.
SIERRA I FABRA, J. (2000). El asesinato del profesor de matemáticas. Madrid: Anaya.
SNAPE, Ch. y SCOTT, H. (2005). ¡Sal si puedes! México: Limusa.
VARIOS AUTORES. (2007). Apuntes de matemáticas. Barcelona: Parramón.
VARIOS AUTORES. (2005). Usa las matemáticas: soluciona desafíos de la vida real. Madrid: Alfaguara.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200166ANEXOS
Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y
complementaria con el programa de estudio. Estos se pueden usar de manera flexible para apoyar el diseño e
implementación de estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes.
Mapas de Progreso14. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los
aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad15.
Orientan sobre la
progresión típica
aprendizajesPueden usarse, entre otras posibilidades, como un apoyo para abordar la diversidad de
aprendizajes que se expresa al interior de un curso, ya que permiten:
•caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes
de un curso•reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos
de estudiantes que se encuentran en estos distintos nivelesApoyan el trabajo
aulaTextos escolares. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos
Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella, y les entregan
explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación.Los docentes también pueden enriquecer la implementación del currículum, haciendo uso de los recursos
entregados por el Mineduc a través de:
•los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos, audiovisuales, digitales y
concretos que entregan•el Programa Enlaces y las herramientas tecnológicas que ha puesto a disposición de los establecimientos14
En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del
Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas (www.curriculum-mineduc.cl/ayuda/documentos/).
En una página describen en 7 niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años
de escolaridad obligatoria. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el
Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico; el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico, y
así sucesivamente. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”, es decir, va más
allá de la expectativa para IV° medio que describe el Nivel 6 en cada mapa.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 200167ANEXO 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidadObjetivo Fundamental
1.Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de
números enteros.2.Semestre 1Semestre 2Unidades:Unidades:1324xUtilización de estrategias de cálculo que implican el uso de
potencias de base entera y exponente natural, determinar y aplicar
sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria oxdecimal positiva y exponente natural.
3.Reconocerfuncionesendiversoscontextos,identificarsusxelementos y representar diversas situaciones a través de ellas.
4.Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma
no proporcional y resolver problemas en diversos contextos queximpliquen el uso de la relación de proporcionalidad.
5.Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras
geométricas planas, reconocer algunas de sus propiedades exidentificar situaciones en contextos diversos que corresponden a
aplicaciones de dichas transformaciones.
6.Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos,
utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área delxcírculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y
conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos.
7.Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos
están agrupados en intervalos y utilizar este tipo de representaciónxpara organizar datos provenientes de diversas fuentes.
8.Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante
el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datosxagrupados en intervalos.
9.Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su
importancia en la realización de inferencias, y utilizar medidas de
tendencia central para analizar el comportamiento de una muestraxde datos y argumentar acerca de la información que estas medidas
10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos,
en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, yxcontrastarlas con resultados experimentales.
11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar
proposiciones simples, para casos particulares, y aplicar habilidades
básicas del proceso de resolución de problemas en contextos
diversos y significativos, evaluar la validez de los resultadosxxxxobtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar
opiniones y tomar decisiones.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201168ANEXO 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad
Contenidos Mínimos ObligatoriosUnidades:
12Semestre 2
34NÚMEROS
1.Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un númeroxnatural por un número entero negativo y extensión de dichos
procedimientos a la multiplicación de números enteros.
2.Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a laxdivisión de números enteros. Discusión y aplicación de dicho
3.Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el
usodepotenciasdeterminaciónydebaseaplicaciónentera
deyexponentepropiedadesxnatural,relativasalamultiplicación y división de potencias que tienen base entera y
exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o
decimal positiva y exponente natural.
4.Resolución de problemas en contextos diversos y significativos quexinvolucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros,
potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y
exponente natural, enfatizando en el análisiscrítico de losprocedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.
5.Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dosxvariables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis
del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y
6.Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entrexvariables dependientes e independientes en ellas e identificación de
suselementosconstituyentes:dominio,recorrido,usoeinterpretación de la notación de funciones.
7.Reconocimientoyrepresentacióncomounafuncióndelasxrelaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables,
en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas
en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia
con el caso proporcional.
8.Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudesxproporcionales como no proporcionales, mediante el uso de
9.Resolución de problemas en diversos contextos que implican el usoxde la relación de proporcionalidad como modelo matemático.
10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figurasxgeométricas planas a través de construcciones con regla y compás
y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las
invariantes que se generan al realizar estas transformaciones.
argumentacióndeteselacionesacercadelasregularesysemirregularestransformacionesyxisométricasMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201169utilizadas en dichas teselaciones.
12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugaresxgeométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e
identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente.
13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitudxde una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y
estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares
inscritos en la circunferencia.
14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumenxdel cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y
cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un
procesador geométrico.
15. Resolucióndeproblemasensituacionessignificativasquexinvolucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del
círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del
cilindro y cono.
16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretarxinformación a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en
intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante
experimentos o encuestas.
17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados enxintervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas,
a partir de diversos contextos y determinación de la media
aritmética y moda en estos casos.
18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en
algunosexperimentosaleatoriosparainferirsobrexlascaracterísticas de poblaciones, ejemplificación de casos.
19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversosxcontextos, usando medidas de tendencia central y argumentación
acerca de la información que ellas entregan.
20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultadosxson equiprobables, a partir de la simulación de experimentos
aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas.
21. Identificacióndelconjuntodelosresultadosposiblesenxexperimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los
eventos o sucesos como subconjuntos de aquel, uso del principio
multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de
los sucesos o eventos.
22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de unxevento en un experimento aleatorio, con un número finito de
resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201170ANEXO 4: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y
Aprendizajes EsperadosOFCMO11-22323231-2-111-2-3-4510510510511511
12Unidad 1: Números y álgebra
números enteros.2.Utilizar estrategias para determinar el valor de potencias de base
entera y exponente natural.3.Determinar propiedades de multiplicación y división de potencias de
base entera y exponente natural.4.Verificar qué propiedades de potencias de base entera y exponente
natural se cumplen en potencias de base fraccionaria positiva,
decimal positiva y exponente natural.5.Resolver problemas que involucren las operaciones con números
enteros y las potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva
y exponente natural.Unidad 2: Geometría
1.Caracterizartransformacionesisométricasdefigurasplanasyreconocerlas en diversas situaciones y contextos.
2.Reconocer algunas propiedades de las transformaciones isométricas.3.Construir transformaciones isométricas de figuras geométricas planas
utilizando regla y compás o procesadores geométricos.4.Teselar el plano con polígonos regulares, utilizando regla y compás o
procesadores geométricos.5.Utilizar las transformaciones isométricas como herramienta para
realizar teselaciones regulares y teselaciones semirregulares.6.Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos.67.Calcular el perímetro de circunferencias y de arcos de ellas.6138.Calcular el área del círculo y de sectores de él.6139.Calcular medidas de superficies de cilindros, conos y pirámides6146146-1113-14-15utilizando fórmulas.
10. Calcular volúmenes de cilindros y conos, utilizando fórmulas.
11. Resolver problemas en contextos diversos relativos a cálculos de:
•perímetros de circunferencias y áreas de círculos•áreas de superficies de cilindros, conos y pirámides•volúmenes de cilindros y conosMINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201171Semestre 2
Aprendizajes EsperadosOFCMO716717817-19918-191020-21-224536474849Unidad 3: Datos y azar
1.Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos
están agrupados en intervalos.2.Representar datos, provenientes de diversas fuentes, en tablas de
frecuencias con datos agrupados en intervalos.3.Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el
uso de medidas de tendencia central, extendiendo al caso de datos
agrupados en intervalos.4.Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su
importancia en la realización de inferencias.5.Asignar probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en
experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y
contrastarlas con resultados experimentales.Unidad 4: Álgebra
1.Plantear ecuaciones que representan la relación entre dos variables en
diversos contextos.2.Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y
representar diversas situaciones a través de ellas.3.Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no
proporcional.4.Analizar mediante el uso de softwares gráficos situaciones de
proporcionalidad.5.Resolver problemas en diversos contextos que implique
proporcionalidad directa y problemas que implique proporcionalidad
inversa.MINISTERIO DE EDUCACIÓN
JUNIO DE 201172All pages:456789101112131415161718192122232425262829303132333435363738394041424344454748495051525354555657585960616263646566676869707172InfoSaveLikeShareDownloadMorePrograma 8º Básico Published on Oct 6, 2012 Programa Mineduc 8º Básicoluciacortes5FollowAdvertisementRead moreRead moreSimilar toPopular nowJust for youGo explore

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