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Timestamp: 2016-05-06 01:48:27+00:00

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Números y ÁlgebraSEMESTRE 2UNIDAD 3
Números y GeometríaUNIDAD 4
Datos y AzarMATERIAL DE APOYO SUGERIDOAnexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curricularesAnexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidadANEXO 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidadPrograma de EstudioMATEMÁTICA
Datos y Azar Material de apoyo sugerido Anexos: Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares Anexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad Anexo 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad Anexo 4: Relación entre Aprendizajes Esperados. Números y Geometría Unidad 4. habilidades y actitudes Objetivos Fundamentales Transversales Mapas de Progreso Consideraciones generales para implementar el programa Orientaciones para planificar Orientaciones para evaluar Matemática Propósitos Habilidades Orientaciones didácticas VISIÓN GLOBAL DEL AÑO Semestre 1 Unidad 1. Números y Álgebra Unidad 2. Geometría Semestre 2 Unidad 3. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
PRESENTACIÓN Nociones básicas Aprendizajes como integración de conocimientos.
. organizados de acuerdo a unidades Unidades. a la vez. Esto ocurre cuando esos OF se pueden desarrollar íntegramente en una misma unidad de tiempo. Ilustran formas de apreciar el logro de los Aprendizajes Esperados y presentan diversas estrategias que pueden usarse para este fin Material de apoyo sugerido. Se simbolizan con ® las actividades que relacionan dos o más sectores. sin que sea necesario su desglose en definiciones más específicas.PRESENTACIÓN
El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año escolar. lo que se expresa a través de los Aprendizajes Esperados2 una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno a él Propósitos. También entrega algunas orientaciones pedagógicas importantes para implementar el programa en el sector • • Visión global del año. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden emplearse para promover los aprendizajes del sector. 3 Relaciones interdisciplinarias. ofrece una visión general acerca de la función de los Mapas de Progreso • • Consideraciones generales para implementar el programa. se distingue entre los que sirven al docente y los destinados a los estudiantes
Decretos supremos 254 y 256 de 2009 En algunos casos. Presenta todos los Aprendizajes Esperados que se debe desarrollar durante el año. El presente programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes3 • • Instrumentos y ejemplos de evaluación. a modo de sugerencia. Todos los elementos del programa incluyen: • Nociones básicas.
Además. estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del Marco Curricular. Junto con especificar los Aprendizajes Esperados propios de la unidad. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las habilidades a desarrollar. La ley dispone que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas de estudio. se presenta un conjunto de elementos para orientar el trabajo pedagógico que se realiza a partir del programa y para promover el logro de los objetivos que este propone. habilidades y orientaciones didácticas. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: • • • una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y los CMO del Marco Curricular. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están en la base del Marco Curricular y. Esta propuesta pretende promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo de los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el Marco Curricular1. previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc.
comparar y evaluar la confiabilidad de las fuentes de información y realizar interpretaciones. los conocimientos y las actitudes no se adquieren espontáneamente al estudiar las disciplinas. examinar críticamente las diversas fuentes de información disponibles y adquirir y generar nuevos conocimientos.
Habilidades. porque…
…sin esas habilidades. a la vez. Por otra parte.
la continua expansión y la creciente complejidad del conocimiento demandan cada vez más capacidades de pensamiento que permitan. entre ellas. las habilidades y las actitudes se desarrollan de manera integrada y. Esto supone orientarlos hacia el logro de competencias. habilidades y actitudes
Los aprendizajes que promueve el Marco Curricular y los programas de estudio apuntan a un desarrollo integral de los estudiantes. elementos que no pueden poner en juego para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven expuestos. resumir la información. es decir. Las habilidades. los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los alumnos resultan elementos inertes. Para tales efectos. Se trata una noción de aprendizaje de acuerdo con la cual los conocimientos. Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos. desarrollar una investigación. porque… …el aprendizaje involucra no solo el saber. sino también el saber hacer. ubicarse en el tiempo. habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafíos.
. conocimientos y actitudes…
Habilidades Son importantes. entre otros aspectos. Se deben desarrollar de manera integrada. usar la información de manera apropiada y rigurosa.NOCIONES BÁSICAS
1. se enriquecen y potencian de forma recíproca. Requieren promoverse de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes. tanto en el contexto del sector de aprendizaje como al desenvolverse en su entorno. esos aprendizajes involucran tanto los conocimientos propios de la disciplina como las habilidades y actitudes. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades. Aprendizajes como integración de conocimientos. entendidas como la movilización de dichos elementos para realizar de manera efectiva una acción determinada.
A modo de ejemplo. los aprendizajes involucran actitudes como el respeto hacia personas e ideas distintas. El conocimiento previo lo capacita para predecir sobre lo que va a leer.
. si lee un texto informativo sobre el cuidado de los animales. de manera crucial. un antecedente necesario para usar constructivamente estos elementos. Esos conocimientos y habilidades entregan herramientas para elaborar juicios informados. Por ejemplo. verificar sus predicciones a medida que asimila el texto y construir este nuevo conocimiento. porque… …los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión de los estudiantes sobre los fenómenos que les toca enfrentar.
A la vez. sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos. Siempre están
asociados con las actitudes y disposiciones de los alumnos. Además. analizar críticamente diversas circunstancias y contrastar criterios y decisiones. el saber que han obtenido por medio del sentido común y la experiencia cotidiana. el interés por el conocimiento. se contempla el desarrollo en los ámbitos personal. el emprendimiento y la apreciación del paisaje natural. Se deben enseñar de manera integrada. el estudiante utiliza lo que ya sabe para darle sentido a la nueva información. ético y ciudadano. ciertas disposiciones. estos conceptos son fundamentales para que los alumnos construyan nuevos aprendizajes. porque…
…son una condición para el progreso de las habilidades. la valoración del trabajo. Ellas no se desarrollan en un vacío. porque… …en muchos casos requieren de los conocimientos y las habilidades para su desarrollo. a la vez. Se deben desarrollar de manera integrada.Conocimientos Son importantes. entre otros aspectos involucrados en este proceso. social. Les permiten relacionarse con el entorno.
Actitudes Son importantes. las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los conocimientos y las habilidades adquiridos. Son. Ellos incluyen aspectos de carácter afectivo y. Entre los propósitos establecidos para la educación. por lo tanto. la responsabilidad. utilizando nociones complejas y profundas que complementan. porque… …los aprendizajes no involucran únicamente la dimensión cognitiva.
por medio del proyecto educativo institucional. estos objetivos se
organizaron bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media. por lo tanto. De acuerdo con este esquema. la disciplina o las ceremonias escolares). formación ética. la persona y su entorno y tecnologías de la información y la comunicación.
Historia. el clima organizacional. conseguirlos depende del conjunto del currículum. Los OFT no se logran a través de un sector de aprendizaje en particular. social e intelectual de los estudiantes. Objetivos Fundamentales Transversales (OFT)
No se trata de objetivos que incluyan únicamente actitudes y valores. y apuntan al desarrollo personal. A partir de la actualización al Marco Curricular realizada el año 2009.
Integran conocimientos. Geografía y Ciencias Sociales
. Deben promoverse a través de las diversas disciplinas y en las distintas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo. Forman parte constitutiva del currículum nacional y. los establecimientos deben asumir la tarea de promover su logro. la práctica docente. Supone integrar esos aspectos con el desarrollo de conocimientos y habilidades. ético. los Objetivos Fundamentales Transversales se agrupan en cinco ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal.2. desarrollo del pensamiento.
es decir. se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. ¿Qué utilidad tienen los Mapas de Progreso para el trabajo de los docentes?
Pueden ser un apoyo importante para definir objetivos adecuados y para evaluar (ver las Orientaciones para Planificar y las Orientaciones para Evaluar que se presentan en el programa). son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula: • permiten más que simplemente constatar que existen distintos niveles de
aprendizaje dentro de un mismo curso. Los Mapas de Progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el Marco
Curricular y los programas de estudio. El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”. ayudan a caracterizar e identificar con mayor precisión en qué consisten esas diferencias • la progresión que describen permite reconocer cómo orientar los aprendizajes de los distintos grupos del mismo curso.3. Por ejemplo. Además. Si se usan para analizar los desempeños de los estudiantes. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico. es decir. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. A partir de esto. de aquellos que no han conseguido el nivel esperado y de aquellos que ya lo alcanzaron o lo superaron • expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector. El avance que describen expresa de manera más gruesa y sintética los aprendizajes que esos dos instrumentos establecen y. de manera sintética y alineada con el Marco Curricular
Los Mapas de Progreso describen en 7 niveles el crecimiento habitual del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector. por lo tanto. Mapas de Progreso
Son descripciones generales que señalan cómo progresan habitualmente los aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. Su particularidad consiste en que entregan una visión de conjunto sobre la progresión esperada en todo el sector de aprendizaje. y así sucesivamente.
. ofrecen una visión panorámica sobre la progresión del aprendizaje en los doce años de escolaridad4. va más allá de la expectativa para 4° medio que describe el Nivel 6 en cada mapa. Se trata de formulaciones sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector.
Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva. reconoce sus propiedades y los utiliza para ordenar.
Mapa de Progreso Entrega una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área clave del sector.
Marco Curricular Prescribe los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios que todos los estudiantes deben lograr. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos.
Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta 1. reconocer algunas de sus propiedades.000… Nivel 1 Utiliza los números naturales hasta 1. Contenido Mínimo Obligatorio Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos…
Programa de Estudio Orienta la labor pedagógica. decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos. utilizando conceptos. y se ajusta a las expectativas del Marco Curricular. Ejemplo: Objetivo Fundamental 7º básico Establecer relaciones de orden entre números enteros. Establece proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional. y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en diversas situaciones. procedimientos y relaciones matemáticas. Justifica la estrategia utilizada. Ejemplo: Mapa de Progreso Números y Operaciones Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos… Nivel 6 Reconoce los números complejos como… Nivel 5 Reconoce a los números racionales como… Nivel 4
Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden resolver problemas que no admiten solución en los números naturales.000 para…
Progreso. las conjeturas formuladas y los resultados obtenidos. comparar y cuantificar magnitudes. Ejemplo: Aprendizaje Esperado 7° básico Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicarlos en la recta numérica. estableciendo Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. y los organiza temporalmente a través de unidades.
ensayos. la lectura y la escritura
La lectura. porque las habilidades de comunicación son herramientas
fundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a distintos temas y. la escritura y la comunicación oral. descripciones.
1. Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación. los docentes deben procurar: Lectura:
la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos propios del sector. la escritura y la comunicación oral deben promoverse en los distintos sectores de aprendizaje
Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos relevantes al momento de implementar el programa. por lo tanto. reportes. textos periodísticos y narrativos. síntesis de las ideas y argumentos presentados en los textos la búsqueda de información en fuentes escritas. Uso del lenguaje
Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral. discriminándola y seleccionándola de acuerdo a su pertinencia la comprensión y el dominio de nuevos conceptos y palabras
Escritura: • • • • • la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo. Al momento de recurrir a la lectura. involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum. Algunas de estas orientaciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en el currículum. Esto se justifica. tablas y gráficos) la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante la realización de resúmenes. respuestas breves) la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas la presentación de las ideas de una manera coherente y clara el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos el uso correcto de la gramática y de la ortografía
Comunicación oral: • • • la capacidad de exponer ante otras personas la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones
y manipular la información sistematizada en ellas para identificar tendencias. analizar información y elaborar conexiones en relación con un tema en particular.• • • •
el uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión. como el correo electrónico. sociales. manteniendo la atención durante el tiempo requerido la interacción con otras personas para intercambiar ideas. se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: •
buscar. espacios interactivos en sitios web o comunidades virtuales respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs. Para esto. plantillas de presentación (power point) y herramientas y aplicaciones de imagen. examinando críticamente su relevancia y calidad procesar y organizar datos. cabe señalar: • promover el respeto a cada uno de los estudiantes. étnicos o religiosos y respecto de estilos de aprendizaje y niveles de conocimiento. regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector
desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto. señalar las fuentes de donde se obtiene la información y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales
3. evitando las distintas formas de discriminación
. Entre ellos. en un contexto de tolerancia y apertura. el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre los
estudiantes en términos culturales. como el cuidado personal y el respeto por el otro. Uso de las Tecnologías de la Información y Comunicación (TICs)
El desarrollo de las capacidades para utilizar las Tecnologías de la Información y Comunicación (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del Marco Curricular. y seleccionar esta información. audio y video
intercambiar información a través de las herramientas que ofrece internet. compartir puntos de vista y lograr acuerdos
2. acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes. incorporando los conceptos propios del sector el planteamiento de preguntas para expresar dudas e inquietudes y para superar dificultades de comprensión la disposición para escuchar información de manera oral. utilizando plantillas de cálculo. Atención a la diversidad
En el trabajo pedagógico. Esa diversidad conlleva desafíos que los profesores tienen que contemplar. chat. Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo que se realiza al interior de los sectores de aprendizaje.
el docente considere que precisarán más tiempo o métodos diferentes para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes. rincones) y materiales diversos (visuales. trabajo grupal. Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta de
apoyo al proceso de planificación. considerando el progreso individual como punto de partida incluir combinaciones didácticas (agrupamientos. es conveniente que. Para esto. El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los Aprendizajes Esperados.
. definir con flexibilidad las diversas medidas pertinentes
estudiantes evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de aprendizaje definir la excelencia. pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos
Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. para que todos alcancen altas expectativas. Se aspira a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado. de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una. el programa apoya la planificación a través de la propuesta de unidades.• •
procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación con el contexto y la realidad de los estudiantes intentar que todos los alumnos logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum. la necesidad de educar en forma diferenciada aparece al constatar que hay que reconocer los requerimientos didácticos personales de los alumnos. sobre esa base.
En atención a lo anterior. Orientaciones para planificar
La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los aprendizajes de los estudiantes. y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes. Por el contrario. Para estos efectos han sido elaborados como un material flexible que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos contextos educativos del país. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los procesos y recursos necesarios para lograr los aprendizajes que se debe alcanzar. al momento de diseñar el trabajo en una unidad. De manera adicional. objetos manipulables) evaluar de distintas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones promover la confianza de los alumnos en sí mismos promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante
Esto demanda conocer qué saben y.
debe estar centrada en torno a ellos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los alumnos deben aprender. Se deben poder responder preguntas como: ¿qué deberían ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado Aprendizaje Esperado?. Esto implica reconocer qué desempeños de los estudiantes demuestran el logro de los aprendizajes. se requiere identificar qué tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado y qué modalidades de enseñanza facilitarán alcanzar este desempeño. Una vez identificados. es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las expresiones concretas que puedan tener. recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar. las actividades de enseñanza y las instancias de retroalimentación
Los docentes pueden complementar los programas con los Mapas de Progreso. entre otros
Se debe planificar tomando en cuenta la diversidad. considerando los siguientes aspectos: • • • • la diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso. Para alcanzar este objetivo. Específicamente. laboratorio y materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA). que entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los aprendizajes. considerando su organización por unidades. De acuerdo a este proceso. decidir las evaluaciones. lo que implica planificar considerando desafíos para los distintos grupos de alumnos el tiempo real con que se cuenta. estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad y priorizar las acciones que conducirán a logros académicos significativos. las estrategias de enseñanza y la distribución temporal
a partir de las respuestas a esas preguntas. el docente debe distribuir los Aprendizajes Esperados a lo largo del año escolar.Consideraciones generales para realizar la planificación La planificación es un proceso que se recomienda realizar. se debe definir las evaluaciones formativas y sumativas. decidir las evaluaciones a realizar y las estrategias de enseñanza. sobre esa base. de manera de optimizar el tiempo disponible las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares.
La planificación anual: en este proceso.
. ¿qué habría que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado?
…y. las prácticas anteriores y los recursos disponibles
Sugerencias para el proceso de planificación Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes. se recomienda elaborar la planificación en los siguientes términos:
comenzar por una especificación de los Aprendizajes Esperados que no se limite a listarlos. materiales didácticos. el tiempo real. Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta se use tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase.
Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y los requerimientos a considerar para cada unidad
sobre la base de esta visión. dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos
asignados a la unidad. qué aprendieron y de qué manera
La planificación de clase: es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que todas sus partes estén alineadas con los Aprendizajes Esperados que se busca promover y con la evaluación que se utilizará. considerando los feriados. es decir. asignar los tiempos a destinar a cada unidad. qué se espera que aprendan. se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio. desarrollo y cierre y especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de estas partes. Los Mapas de Progreso pueden resultar un apoyo importante
identificar. se debe buscar captar el interés de los estudiantes y que visualicen cómo se relaciona lo que aprenderán con lo que ya saben y con las clases anteriores
. se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase. en términos generales. el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes. La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: • especificar la meta de la unidad.Para esto el docente tiene que: •
alcanzar una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año. especificando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y retroalimentación ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes
Procurar que los estudiantes sepan qué y por qué van a aprender. Para que esta distribución resulte lo más realista posible. Al igual que la planificación anual. y la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación o o hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planificadas
La planificación de la unidad: implica tomar decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar. A la vez. los días de prueba y de repaso. esta visión debe sustentarse en • • • • • • los Aprendizajes Esperados de la unidad y se recomienda complementarla con los Mapas de Progreso crear una evaluación sumativa para la unidad idear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad calendarizar los Aprendizajes Esperados por semana establecer las actividades de enseñanza que se desarrollarán generar un sistema de seguimiento de los Aprendizajes Esperados. Se requiere considerar aspectos como los siguientes: • inicio: en esta fase. se recomienda: o o listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible elaborar una calendarización tentativa de los Aprendizajes Esperados para el año completo. Esto debe desarrollarse a partir de los Aprendizajes Esperados especificados en los programas. Adicionalmente.
debe tener como objetivos: • • ser un recurso para medir progreso en el logro de los aprendizajes proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los alumnos y.
. Esto facilita que puedan orientar su actividad hacia conseguir los aprendizajes que deben lograr elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca alcanzar. Para que cumpla efectivamente con esta función. fundados en el análisis de los desempeños de los estudiantes. Las evaluaciones entregan información para conocer sus fortalezas y debilidades. retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector • ser una herramienta útil para la planificación
informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán.
5. a su vez. El análisis de esta información permite tomar decisiones para mejorar resultados alcanzados
retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase
cierre: este momento puede ser breve (5 a 10 minutos). No se debe usar solo como un medio para controlar qué saben los estudiantes. sino que cumple un rol central en la promoción y el desarrollo del aprendizaje. esto facilita involucrarse y comprometerse con ellos. pero es central. En él se debe procurar que los estudiantes se formen una visión acerca de qué aprendieron y cuál es la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para promover su aprendizaje.•
desarrollo: en esta etapa. También da la posibilidad de desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes. Compartir esta información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que deben seguir para avanzar. Orientaciones para evaluar
Apoya el proceso de aprendizaje al permitir su monitoreo. sobre esta base. retroalimentar a los estudiantes y sustentar la planificación
Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes. se recomienda diseñar la evaluación junto a la planificación y considerar las siguientes preguntas: • ¿Cuáles son los Aprendizajes Esperados del programa que abarcará la evaluación? Si debe priorizar. Para lograrlo. considere aquellos aprendizajes que serán duraderos y prerrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. • ¿Qué preguntas incluirá en la evaluación? Se deben formular preguntas rigurosas y alineadas con los Aprendizajes Esperados. al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus aprendizajes
¿Cómo diseñar la evaluación? La evaluación debe diseñarse a partir de los Aprendizajes Esperados. los Mapas de Progreso pueden ser de especial utilidad • ¿Qué evidencia necesitarían exhibir sus estudiantes para demostrar que dominan los Aprendizajes Esperados? Se recomienda utilizar como apoyo los Indicadores de Evaluación que presenta el programa.
…y luego decidir qué se requiere para su evaluación en términos de evidencias. debates. al conocer la descripción de cada nivel. informes de laboratorio e investigaciones. entrevistas. que permitan demostrar la real comprensión del contenido evaluado
. métodos. en tanto permiten: • • reconocer aquellos aspectos y dimensiones esenciales de evaluar aclarar la expectativa de aprendizaje nacional. la progresión o el crecimiento de las competencias de un alumno. mapas conceptuales. sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa • • observar el desarrollo.
En lo posible. con el objeto de
observar en qué grado se alcanzan. se deben presentar situaciones que pueden resolverse de distintas maneras y con diferente grado de complejidad. Para esto. informes.¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la evaluación?
Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos y los ubican en un continuo de progreso. guías de trabajo. preguntas y criterios
¿Qué método empleará para evaluar? Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (pruebas escritas. para que los diversos estudiantes puedan solucionarlas y muestren sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. ensayos.
y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje o desarrollar rúbricas5 que indiquen los resultados explícitos para un desempeño específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño. Por ejemplo: o comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. Se pueden usar los ejemplos presentados en los Mapas de Progreso o identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado.•
¿Cuáles son los criterios de éxito?. ¿cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? Esto se puede responder con distintas estrategias.
En consecuencia. por una parte. observar las habilidades que se pretendió enseñar en los años anteriores y las que se trabajarán más adelante advertir diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza
. el estudiante adquiere –como el razonamiento lógico– la visualización espacial. el desempeño y la vida de las personas. sino también en la vida cotidiana. y las finanzas. el cálculo. jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo provocan importantes consecuencias en el desarrollo. rigurosidad. Todo esto contribuye a desarrollar un pensamiento lógico. El entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros. el pensamiento analítico. Entre ellas se encuentran el cálculo. evaluar la validez de resultados y seleccionar estrategias para resolver problemas. la pertinencia y la amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las personas y afecta el potencial de desarrollo del país. Habilidades Al estudiar matemáticas. por otra. La tabla siguiente puede resultar útil para:
observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el sector focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades situarse en el nivel. 2. formular conjeturas. que se valoran no solo en la ciencia y la tecnología. Aprender matemáticas acrecienta también las habilidades relativas a la comunicación. contribuye a que la persona se sienta un ser autónomo y valioso. el análisis de la información proveniente de diversas fuentes. perseverancia y confianza en sí mismo. a demandar exactitud y rigor en las informaciones y argumentos que se recibe. Aprender matemática influye en el concepto que niños. ordenado. la capacidad de generalizar situaciones. La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones y prepara a los estudiantes para que entiendan el medio y las múltiples relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de complejidad creciente. la calidad. el modelamiento y las destrezas para resolver problemas. por lo tanto.Matemática
1. crítico y autónomo. beneficios y capacidades de orden superior. Propósitos
El aprendizaje de la matemática ayuda a comprender la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. la tecnología y las ciencias se redefinen en forma permanente y se hacen más difíciles. y a generar actitudes como precisión. enseña a presentar información con precisión y rigurosidad y. Se trata de espacios en los que la cultura. los sistemas de comunicación y los vínculos entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan.
La matemática es un área poderosa de la cultura. explicar y predecir situaciones y fenómenos del entorno. Orientaciones didácticas Se ha concebido este sector como una oportunidad para que los estudiantes adquieran aprendizajes de vida.Habilidades de pensamiento matemático
4° básico Resolver problemas en contextos significativos que requieren el uso de los contenidos del nivel 5° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos 6° básico Resolver problemas en contextos significativos 7° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos. Los conceptos matemáticos: profundidad e integración Los estudiantes deben explorar en las ideas matemáticas y entender que ellas constituyen un todo y no fragmentos aislados del saber. De esta manera. podrán participar activamente y adquirir mayor
. Tienen que enfrentar variadas experiencias para que comprendan en profundidad los conceptos matemáticos. para algunos casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita
Formular y verificar conjeturas. utilizando los contenidos del nivel Analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos 8° básico Resolver problemas en contextos diversos y significativos I° medio Analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos
Formular conjeturas y verificarlas. en casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Realizar cálculos en forma mental y escrita Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático Realizar cálculos en forma mental y escrita Emplear formas simples de modelamiento matemático Verificar proposiciones simples. Por eso. para casos particulares Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables Diferenciar entre verificación y demostración de propiedades
3. pues permite comprender. Estos programas entregan algunas orientaciones que ayudarán a los profesores a cumplir con este objetivo por medio de la planificación y en el transcurso de las clases. sus conexiones y sus aplicaciones. es importante que los docentes se esfuercen para que todos los alumnos del país aprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina.
relaciones o procedimientos matemáticos. Por eso es importante invitar a los estudiantes a buscar regularidades. Aprendizaje matemático y desarrollo personal La clase de matemática ofrece abundantes ocasiones para el autoconocimiento y las interacciones sociales. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático El programa propone usar programas y ambientes digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. la percepción que cada cual tiene de su propia capacidad para aprender y hacer matemática. Un educador puede aprovechar la equivocación para inducir aprendizajes especialmente significativos. si lo hace de manera constructiva. crear un clima de confianza y distinguir de qué modo enfrenta cada uno el triunfo o el fracaso. Internet ofrece múltiples ambientes con
. También se busca desarrollar y explicar la noción de estrategia. propiedades y relaciones. Deben analizar los procedimientos para resolver un problema y comprobar resultados. crea consecuencias y permite aplicaciones. sea propio o de los demás. que impacta en otras áreas del conocimiento científico. Otros aspectos que también ayudan a que cada estudiante aumente la confianza en sí mismo son valorar las diferencias. Aunque deben ser competentes en diversas habilidades matemáticas. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que se puede experimentar con ideas matemáticas. que los estudiantes conjeturen y verifiquen cómo se comportan los elementos y las relaciones con que se trabaja. Se debe considerar el error como un elemento concreto para trabajar la diversidad en clases y permitir que todos los alumnos alcancen los aprendizajes propuestos. ¿de qué otra manera es posible? Además. Los procesadores geométricos. en especial en el ciclo básico.confianza para investigar y aplicar las matemáticas. También se sugiere aplicar las matemáticas a otras áreas del saber y en la vida diaria como un modo de apoyar la construcción del conocimiento matemático. Preguntarse cómo se originaron los conceptos y modelos matemáticos. comparar diversas formas de abordar problemas y justificar y demostrar las proposiciones matemáticas. Es un ancla importante para el aprendizaje. el docente tiene en sus manos un poderoso instrumento: reconocer los esfuerzos y los logros de los alumnos. también se puede crear situaciones para que los alumnos exploren las características. En ese sentido. los límites y las posibilidades de conceptos. El uso del contexto Es importante que el docente aclare que esta disciplina está enraizada en la cultura y en la historia. Con un procesador simbólico. aceptar los éxitos o las acciones de sus pares. simbólicos y de estadística son laboratorios para investigar relaciones y ponerlas a prueba. Uso del error Usar adecuadamente el error ayuda a crear un ambiente de búsqueda y creación. ¿cómo lo hicieron?. Es una oportunidad para la metacognición6: ¿cómo lo hice?. Y se puede estudiar el comportamiento de funciones. Se recomienda que usen materiales concretos. el profesor tiene que evitar que pongan demasiado énfasis en los procedimientos si no comprenden los principios matemáticos correspondientes. en qué períodos de la historia y cómo se enlazaron con la evolución del pensamiento. El docente debe procurar. Se recomienda usar analogías y representaciones cercanas a los estudiantes. incluso las de alta complejidad. Razonamiento matemático y resolución de problemas Esta disciplina se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas y ayuda a razonar en vez de actuar de modo mecánico. en especial en las etapas de exploración. realicen trabajos prácticos y se apoyen en la tecnología. asimismo. asimismo. se puede analizar y entender números grandes o muy pequeños. surge de la retroalimentación que le ha dado la propia experiencia.
. asimismo. tiene que valorar los aportes de todos y aprovecharlos para crear una búsqueda y una construcción colectiva. de modo de comparar caminos alternativos. Clima y motivación Se debe propiciar un ambiente creativo para que los alumnos formulen. Los procesadores geométricos permiten experimentar con nociones y relaciones de la geometría euclidiana. En ese espacio será natural analizar acciones y procedimientos y buscar caminos alternativos de una búsqueda y construcción colectiva.representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. la duda y la pregunta son importantes y valiosos para construir conocimiento. verifiquen o refuten conjeturas respecto de los problemas que abordan. Se trata de un espacio muy atractivo para los estudiantes y que los ayudará mucho a formarse para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. cartesiana o vectorial. Debe constituirse en un espacio en el que es natural el análisis de las acciones y procedimientos. Ese ambiente debe admitir que el error.
Calcular de muestras inciden multiplicaciones y en el estudio de una cocientes de población. Semestre 2 Unidad 3 Unidad 4 Números y Geometría Datos y Azar 1. de orden entre 2. Conjeturar y verificar tipo de análisis que algunas propiedades7 se quiere realizar. por ejemplo. utilizando regla y compás o un 6. Predecir la exponente natural. multiplicación de potencias de igual exponente. reconocerlas en contextos diversos. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. relativas a cambios en el perímetro de
Se refiere. Construir ángulos. Analizar información de exponente natural presente en diversos cuya base es un tipos de tablas y número fraccionario gráficos.VISIÓN GLOBAL DEL AÑO
Semestre 1 Unidad 1 Unidad 2 Números y Álgebra Geometría 1. Seleccionar formas 2. realización de 6. Establecer estrategias para reducir términos semejantes. igualdad entre dos razones. Construir rectas que no admiten perpendiculares. 8. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. solución en los paralelas y números naturales y bisectrices de que pueden ser ángulos. utilizando operaciones. Interpretar potencias 1. potencia de una potencia. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. usando numéricos. 9. usando resueltos en los regla y compás o números enteros. o decimal positivo. simetrales. Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. en la recta numérica. 3. 2. en casos particulares. probabilidad de 5. Comprender el experimentos significado de la raíz aleatorios simples. 7. Comprobar números enteros y propiedades de ubicar estos números alturas. datos de acuerdo al 3. Establecer relaciones geométricos. bisectrices y 3. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. Reconocer una geométricos. Interpretar potencias de organización y de base 10 y representación de exponente entero. proporción como una 4. Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. regla y compás o 4. Sumar y restar transversales de gravedad de números enteros e interpretar estas triángulos. Formular y verificar conjeturas. Identificar problemas 1. Construir triángulos a a la adición y sustracción de partir de la medida de sus lados y/o números enteros y aplicarlas en cálculos ángulos.
. 8. potencias de base y 4. y problemas que involucran proporcionalidad. 7. regla y compás o procesadores 5. procesadores 2. Reconocer procesadores propiedades relativas geométricos. cuadrada de un número entero positivo. Calcular ocurrencia de multiplicaciones y eventos a partir de la cocientes de frecuencia relativa potencias de base 10 obtenida en la y exponente entero. 10. Caracterizar expresiones procesador semejantes y geométrico. método de selección 4. Reconocer que la base y exponente naturaleza y el natural. de las potencias de 3. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas.
polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. 12. Formular y verificar conjeturas. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras Tiempo estimado 63 horas Tiempo estimado 40 horas Tiempo estimado 77 horas Tiempo estimado 40 horas
. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. en casos particulares. Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. y las potencias de base 10 y exponente entero b. Resolver problemas en contextos diversos: a. 11.
UNIDAD 1 Números y Álgebra Propósito Se espera que en esta unidad los estudiantes sean capaces de resolver problemas de adición y sustracción con números enteros. Esta unidad también propone un trabajo con razones y proporciones y, si bien es cierto que este tema puede trabajarse desde una mirada algebraica, para este nivel el enfoque es numérico. Es decir, se busca que los estudiantes comprendan los alcances de comparar dos magnitudes, estableciendo el cuociente entre ambas, y puedan resolver diversas situaciones cuyos modelos representan situaciones de variación proporcional. El álgebra progresa naturalmente junto al ámbito numérico, ya que en este nivel se trabajan expresiones donde los factores de los términos involucrados en ellas están en el ámbito de los enteros y las fracciones y decimales positivos. El trabajo con ecuaciones que se propone en este nivel continúa naturalmente ampliando el ámbito numérico, ya que tanto los coeficientes como los valores incógnitos pueden ser números enteros, decimales o fracciones positivas. Conocimientos previos • • • Operatoria con números naturales Razón como cuociente entre cantidades Ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números naturales
Conceptos clave Números enteros, proporciones. Contenidos disciplinares • • • • Números enteros Adición y sustracción de números enteros Proporción como igualdad de razones Ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros, fracciones o decimales positivos
Habilidades • • • • • • • • Analizar si un problema tiene soluciones en el conjunto de los números naturales Resolver problemas que implican ordenar u operar con números enteros Usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional Discriminar entre las relaciones proporcionales directas e inversas Resolver problemas que involucran cálculo de porcentajes usando proporciones Plantear ecuaciones de primer grado con una incógnita que representan distintas situaciones Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros Resolver problemas y formular conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos
Actitudes • • Actitudes de perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
Aprendizajes Esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que pueden ser resueltos en los números enteros. • • •
Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Dan ejemplos de problemas que admiten solución en los números naturales. Dan ejemplos de problemas que admiten solución en los números enteros. Explican diferencias que se presentan en las ecuaciones asociadas a problemas que admiten solución en los números naturales y las ecuaciones asociadas a problemas que admiten solución en los números enteros. Ordenan de mayor a menor y viceversa números enteros. Intercalan números enteros entre dos enteros. Ubican en la recta numérica números enteros sujetos a restricciones dadas. Por ejemplo, ubican en la recta numérica números enteros menores que -4 y mayores que -10. Realizan adiciones y sustracciones de números enteros en la recta numérica. Explican sumas y restas de números enteros. Utilizan y elaboran estrategias para sumar y restar números enteros. Identifican sumas y restas de números enteros en diversos contextos e interpretan estas operaciones en función del contexto.
Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicar estos números en la recta numérica.
Sumar y restar números interpretar estas operaciones.
Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos.
Transforman la sustracción entre dos números enteros en una adición de estos. Por ejemplo: 70 – 45 = 70 + (-45) Reconocen propiedades de la adición en los números enteros. Calculan sumas y restas de números enteros utilizando propiedades. Comparan los cuocientes entre dos razones para plantear una proporción. Argumentan si dos razones forman una proporción utilizando el teorema fundamental de las proporciones. Determinan el término desconocido de una proporción. Discriminan en el entorno entre las relaciones proporcionales y las no proporcionales. Identifican expresiones semejantes y no semejantes en contextos algebraicos y reconocen las diferencias. Reconocen expresiones semejantes en contextos geométricos. Por ejemplo, reconocen que los lados de triángulos expresados en centímetros son expresiones semejantes. Reducen sumas de términos semejantes utilizando estrategias establecidas. Convierten sumas y restas de términos en expresiones semejantes y las reducen. Por ejemplo, la suma
Reconocer una proporción igualdad entre dos razones.
Caracterizar expresiones semejantes reconocerlas en contextos diversos.
Establecer estrategias para reducir términos semejantes.
2a + 3b + 3c + a la expresan en la forma 2( a + b + c ) + ( a + b + c ) y posteriormente la
Resolver problemas que impliquen plantear y solucionar ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos, y problemas que involucran proporcionalidad.
Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el ámbito numérico de los enteros, fracciones positivas o decimales positivos. Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solución del problema. Identifican la incógnita del problema y le asignan un nombre de x por ejemplo. Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enunciado del problema. Resuelven correctamente la ecuación resultante. Verifican si la solución de la ecuación es la solución del problema. Comunican en forma oral o escrita las soluciones del problema. Utilizan las propiedades de la adición en el conjunto de los números enteros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas. Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos contextos. Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa.
en particular en la relevancia que estos números tuvieron en la resolución de problemas y en la representación de cantidades negativas.
. Para evitar este tipo de errores es fomentar el trabajo y desarrollo de actividades en parejas o grupos pequeños. (como las deudas. Esto le permitirá entregarles actividades a los grupos de acuerdo con sus capacidades. que llevan a errores que permanecen por largo tiempo. buscando de esta manera apoyar el establecimiento de conexiones entre estas dos áreas. Esta es una de las razones por la cual es común en este nivel encontrar estudiantes que generan reglas.
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • • • • Participar de manera propositiva en actividades grupales. Se puede observar con los estudiantes que el cero representa situaciones distintas. Cuando un estudiante no comprende lo que está haciendo. Los algoritmos tradicionales de “pasar de un lado para otro” generan aprendizajes de reglas mecánicas no siempre comprendidas. generalmente incorrectas. No es fácil para los estudiantes entender las reglas para sumar y restar con números enteros. Por ejemplo. que posibiliten comparar entre ellas y con magnitudes que no se relacionan proporcionalmente. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos • • • Tener un orden y método para el registro de información. las temperaturas o altitudes). Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos numéricos y algebraicos en actividades grupales. Terminar los trabajos iniciados. Se recomienda poner especial cuidado en los procedimientos seleccionados para resolver ecuaciones de primer grado con números positivos y negativos. rigor. en el contexto de la altitud. situando a los estudiantes en su contexto histórico. cero grado no representa “templado”. por sobre la ejercitación rutinaria. Una discusión atractiva en la presentación del conjunto de los enteros es la interpretación del cero. Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. “pasando” el 3 positivo al otro lado de la igualdad. en un contexto de temperaturas. Se recomienda la utilización de metáforas y representaciones visuales para facilitar la comprensión de los procedimientos involucrados. Se sugiere trabajar actividades que ofrezcan la posibilidad de observar la proporcionalidad directa e inversa en variados contextos. por el solo hecho de asociar el signo negativo a la sustracción. También resulta interesante presentar los números enteros a partir de situaciones que no tienen solución en los números naturales. Se recomienda iniciar el trabajo con los números enteros.
Orientaciones didácticas para la unidad En esta unidad. sino el punto de congelación del agua. Ser responsable en la tarea asignada. se propone un trabajo integrado entre álgebra y números. a partir de un grupo de reglas válidas. los estudiantes presentarán sistemáticamente problemas para despejar una ecuación del tipo x – 3 = 5. el cero representa el nivel de mar). Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presenten en problemas matemáticos numéricos y algebraicos. se les puede mostrar que dos variables no necesariamente están en proporción directa cuando el crecimiento de una de ellas implique el crecimiento de la otra. dependiendo del contexto en que se encuentra (por ejemplo. Es preferible que estos grupos estén compuestos por estudiantes de capacidades similares. tanto para intentar grabar ideas y conceptos como para recordarlos más tarde. Por ejemplo si no se ha trabajado correctamente la interpretación del signo negativo de un número (diferente al signo de la sustracción).Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Actitudes de perseverancia. su única posibilidad es apelar a la memoria.
Los estudiantes indagan en diferentes medios de comunicación para extraer situaciones contextualizadas que estén representadas por números enteros (que incluya positivos y negativos). Luego los estudiantes argumenten qué diferencia este tipo de problemas con otros que admitan solución en los naturales.
. y argumentan acerca de las estrategias empleadas. AE 2 Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicar estos números en la recta numérica.Ejemplos de actividades AE 1 Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales pero que pueden ser resueltos en los números enteros. 4. Los estudiantes dibujan la recta numérica que utilizan para ubicar números naturales y la extienden a aquella que incluya el cero y números enteros negativos. El docente exhibe a sus estudiantes ejemplos de problemas que no tienen solución en los naturales: • • En contextos cotidianos En contextos matemáticos
Por ejemplo: En una semana de invierno en una ciudad se registraron las siguientes temperaturas mínimas: lunes: -2ºC martes: -5ºC miércoles: 0ºC jueves: 1ºC viernes: 4ºC sábado: -6ºC domingo: -6ºC o ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas esa semana en esa ciudad? o ¿Qué número sumado con el doble de 5 da como resultado 0? A continuación les pide que propongan problemas similares. El docente exhibe a sus estudiantes situaciones cuyos modelos son ecuaciones con soluciones en los números naturales y les propone que: • • Inventen ecuaciones con solución en los naturales Inventen problemas cuyo planteamiento sean ecuaciones con soluciones en los naturales
3. que los números negativos cercanos al cero son mayores que los más alejados de él. Actividades 1. 5. Actividades 1. Establecen resultados respecto de la posición de los números ubicados en ella. mayores son. Por ejemplo: a) b)
2 x + 1 = 17 3 x − 2 = 16
2. por ejemplo. El docente y sus estudiantes revisan estas propuestas de problemas y caracterizan estas diferencias. Exponen las situaciones encontradas y justifican la necesidad de un conjunto numérico con números negativos. 2. que mientras más a la derecha se encuentren los números. Los estudiantes resuelven mentalmente y de manera escrita una lista de ecuaciones de primer grado cuya solución es un número natural.
Actividades 1. por ejemplo: Ubican en una línea de tiempo las siguientes fechas: • • • • • • El año 1492 DC corresponde al año del descubrimiento de América y al comienzo de los tiempos modernos La invención de la escritura data del año 3000 AC El año 476 DC marca el fin de la Edad Antigua En el año 1789 DC se produjo la Revolución Francesa La Segunda Guerra Mundial finalizó el año 1945 DC Los primeros desarrollos de la agricultura están fechados en el 8000 AC aproximadamente
AE 3 Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones. 50-35+24-36-47. suman y restan números enteros. información referida a fechas importantes. Actividades 1. ubican enteros mayores que -20 y menores que -4 y que sean pares. lo que es una proporción y la razón de proporcionalidad o factor de conversión. en este ejemplo (-35-36-47)+(50+24) y expresan el resultado como una resta. Los estudiantes ubican números enteros en la recta numérica de acuerdo a restricciones dadas. Les pide que: • Reconozcan razones en contextos diversos
.. por ejemplo. 4. donde se realicen adiciones y sustracciones con números de distintos signos. les presenta pares de sumas: -24+(-48) 35+(-10) -48+(-24) -10+35 -8+(-15) Les propone que efectúen las operaciones involucradas y que reconozcan la propiedad conmutativa de la suma. para que luego el docente observe los errores y los haga reflexionar sobre ellos. El docente muestra a sus estudiantes una serie de situaciones relativas a proporciones y define los elementos involucrados en ellas. define lo que es una razón. AE 4 Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. Leen datos sobre temperaturas máximas y mínimas y responden preguntas del tipo: • • • ¿Cómo se determina la diferencia de temperaturas en un día? ¿Cuál fue la máxima variación de temperaturas registradas? ¿Qué se puede decir con respecto a la suma de las variaciones registradas? Observaciones al docente Es importante no entregar a priori reglas como “restar dos números negativos.. de manera que los enteros negativos queden asociados con los enteros negativos y los positivos con los positivos. en este caso 74-118 2. 4®. El docente trabaja sumas de enteros y les pide que reconozcan propiedades de esta operación. 40-75-23 como 40+(-75)+(-23) 3. ubican enteros que se encuentren entre -5 y 5. se propone que el docente plantee ejercicios numéricos o problemas.3. AE 5 Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones. De esta manera. Los problemas de temperaturas no cubren todas las posibilidades de operaciones con números enteros. de menor a mayor. Expresan restas de enteros positivos como sumas. por ejemplo. por ejemplo. Por ejemplo. Por otra parte. es importante también que redacten en su propio lenguaje las conclusiones. Ordenan.” sino que incentivar a los estudiantes a que observen los diferentes casos y que hagan las asociaciones correspondientes entre la adición y la sustracción. Ordenan. Con el fin de completarlas.
Por ejemplo. − y 4 . 4. modifican el exponente de
2x 2y 5
para que sea semejante a
3. donde a es una constante. − 5 y 2a 2 . calculan perímetros de polígonos. − 5vu 2 . − 7 y 4 ux 2 . Por ejemplo. A partir de una lista de términos algebraicos de la forma abc . conocido que la relación entre el lado de un cuadrado y su perímetro es proporcional. x. 7uv 2 . 3 y . 4 x. 5 y 4 . donde a. AE 7 Establecer estrategias para reducir términos semejantes. Reducen términos semejantes en sumas y restas de expresiones algebraicas. Actividades 1. plantean ecuaciones que permiten completar los valores de la siguiente tabla. b. 5 x 2 u
. o fracciones positivas.
2 3 = x 4
2 x = 0. AE 6 Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos. identifican los términos semejantes. Aplican la reducción de términos semejantes en cálculos en contextos diversos. Utilizan distintas estrategias para resolver ecuaciones que se transforman en la forma son números enteros. Deducen que la razón entre el peso de un cuerpo y su masa es constante. cuyos lados están expresados mediante términos algebraicos con coeficientes en el ámbito de los racionales y entregan el resultado de manera reducida. se podría plantear la ecuación
1 4 = 7 x
®5. Por ejemplo. . o decimales positivos y Por ejemplo:
ax = bc .• •
Relacionen razones con proporciones en situaciones en contextos diversos Determinen la constante de proporcionalidad en situaciones de proporcionalidad en contextos diversos
es la incógnita.5 2 3
4. Lado del cuadrado 1 2 3 7 36 48 15 Perímetro 4
En el caso del perímetro asociado al lado 7. modificando su parte literal. identifican los términos que son semejantes en las listas siguientes: • • •
2 x . 3u 2 v. Convierten términos no semejantes en términos semejantes. Plantean ecuaciones relativas a situaciones que involucran pares de magnitudes proporcionales.4a 2 . Por ejemplo. e identifican el valor de esa
como el cálculo de calificaciones conocidas algunas notas y el promedio. Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes fraccionarios o decimales positivos. uno de sus ángulos interiores mide 30°.3 y así eximirse del examen final. Plantean ecuaciones. El docente caracteriza la proporcionalidad inversa y pide a sus estudiantes que comparen ambos tipos de proporciones y que den conclusiones al respecto. 6.8. El docente presenta a sus estudiantes problemas sobre enteros.
. y en su resolución aplica propiedades referidas a adiciones y sustracciones. Por ejemplo: En un triángulo cualquiera. Por ejemplo:
de → ⋅ . Actividades 1.8. Observaciones al docente Se sugiere al profesor cerciorarse que la resolución de la ecuación no se transforme en un procedimiento mecánico. 6. lo traduce en la forma
2x + 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 6
Les propone que traduzcan expresiones del lenguaje común al lenguaje matemático y viceversa.7.AE 8 Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. 5. y problemas que involucran proporcionalidad. Solo le falta una nota para cerrar el promedio y sus notas hasta el momento son: 5. evaluando la pertinencia de la solución en el contexto original del problema.5. Plantean y resuelven ecuaciones relativas a problemas en contextos diversos. 6. doble → 2
y las utiliza para traducir expresiones en lenguaje común a
lenguaje matemático. Por ejemplo: Marisol está calculando la nota que necesita para obtener de promedio un 6. evaluando la pertinencia de la solución en el contexto original del problema.7. 3. utilizando lenguaje matemático. El segundo ángulo interior es el doble del tercero. 6. y expresiones en lenguaje matemático a lenguaje común. 2. Por ejemplo: la suma entre el doble de un número y el triple de 5 equivale a cuatro veces 6. Además debe poner atención en la interpretación que los estudiantes hagan de los resultados finales. Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros. El docente caracteriza la proporcionalidad directa y discute con ellos ejemplos referidos a situaciones donde se presenta este tipo de proporcionalidad. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que justifiquen matemáticamente sus respuestas. 5. Plantear la ecuación que relaciona los ángulos interiores del triángulo. ¿Cuál es la nota mínima que necesita para obtener el promedio deseado? 4. Posteriormente les pide que indaguen en libros de matemática y en Internet acerca de problemas donde se aplican estas propiedades para su resolución. y pedir que expliquen el resultado obtenido. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que justifiquen matemáticamente sus respuestas.2. 8. 6. El docente entrega a sus estudiantes una serie de equivalencias entre palabras del lenguaje común y el lenguaje matemático.
¿Cuántos bombones de cada tipo hay en la caja? Preguntas: 1. Criterios de evaluación Una caja contiene 70 bombones rellenos con manjar. Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solución del problema. Identifica las incógnitas del problema: número de bombones rellenos con manjar. número de bombones rellenos con licor de naranja. Utilizan las propiedades de la adición en el conjunto de los números enteros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas.
4. Resuelve la ecuación en forma correcta. Comunican en forma oral u escrita las soluciones del problema. x por ejemplo. Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enunciado del problema. Establece una ecuación cuya solución es la solución del problema. Si representamos por z el número de chocolates rellenos con licor de naranja ¿qué representa la expresión ? Al evaluar. Comunica. 5. 3. por escrito. Justifique. la solución del problema. 4. fracciones positivas o decimales positivos. Léalo cuidadosamente y responda las preguntas planteadas. ¿Qué datos del enunciado es o son irrelevantes para la solución del problema? 3. Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos contextos. 5. Verifican si la solución de la ecuación es solución del problema. considerar los siguientes criterios: 1. número de bombones. Escriba una ecuación cuya solución sea respuesta a la pregunta planteada en el problema. Resuelven correctamente la ecuación resultante.Ejemplo de evaluación
Aprendizaje Esperado Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. Distingue los datos relevantes de los irrelevantes del problema. El número de bombones rellenos con manjar es el doble que el número de bombones rellenos con licor de naranja. licor de naranja y licor de guinda. y el número de bombones rellenos con licor de naranja es el doble que el número de bombones rellenos con licor de guinda.
Indicadores de Evaluación • • • • • • • • • • Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el ámbito numérico de los enteros. y problemas que involucran proporcionalidad. Identifican la incógnita del problema y le asignan un nombre. 2. 6. ¿Qué datos entrega el enunciado que son necesarios para resolver el problema? 2.
Actividad propuesta A continuación se presenta un problema. Reconoce las relaciones entre datos e incógnitas del problema. Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa. Responda la pregunta del problema.
y la copia de segmentos y ángulos. base de estas construcciones. alturas. las bisectrices. trazados fundamentales. transversales de gravedad. a través de las construcciones geométricas con regla y compás o un procesador geométrico. Conocimientos previos • • • • Rectas paralelas y perpendiculares Bisectrices. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
. Contenidos disciplinares • • • • • Trazados fundamentales en el plano mediante regla y compás o un procesador geométrico Construcción de ángulos y triángulos mediante regla y compás o un procesador geométrico Caracterización de elementos lineales del triángulo mediante regla y compás o un procesador geométrico Justificación de construcciones geométricas realizadas mediante regla y compás o un procesador geométrico Redacción de pasos de una construcción mediante regla y compás
Habilidades • • • • • Realizar trazados fundamentales en el plano Efectuar construcciones de triángulos según lados y ángulos Realizar construcciones de ángulos Caracterizar elementos lineales de triángulos Realizar justificaciones de construcciones
Actitudes • • Actitudes de perseverancia. como las perpendiculares. y se construyen ángulos utilizando regla y compás o un procesador geométrico.UNIDAD 2 Geometría Propósito Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de resolver desafíos que estimulen el pensamiento y la imaginación. y la posibilidad de desarrollar la deducción. rectos y obtusos Triángulos según sus lados y según sus ángulos
Conceptos clave Construcciones de triángulos. las paralelas. La unidad se inicia con los trazados fundamentales en el plano. justificación de las construcciones. simetrales Ángulos agudos. rigor. construcciones de ángulos. Se construyen triángulos a partir de las medidas de sus lados y/o ángulos. Se caracterizan los elementos lineales de los triángulos y se comprueban algunas de sus propiedades. (que son las bases de las construcciones).
Construir ángulos. Utilizan construcciones de ángulos hechas para construir mediante regla y compás polígonos regulares. utilizando regla y compás. Por ejemplo. Comprueban. Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas para construir triángulos. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos. Determinan si un conjunto de datos son suficientes para construir un triángulo. Redactan pasos para construir triángulos. utilizando regla y compás o un procesador geométrico. paralelas y bisectrices de ángulos. Construir rectas perpendiculares.
Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. utilizan los ángulos 60° y 90° para construir el ángulo 150°.5° mediante bisecciones del ángulo de 60°. construyen hexágonos regulares utilizando el ángulo 60°. utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Construyen paralelas a lados de triángulos. Por ejemplo. utilizando regla y compás. Construyen ángulos mediante regla y compás o un procesador geométrico.Aprendizajes Esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1.
. simetrales.
3. construyen 7. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. Dividen segmentos en partes iguales. utilizando regla y compás. la relación que existe entre las alturas. bisectrices y transversales de gravedad de un triángulo equilátero. utilizando regla y compás. • • • • 2. dadas las medidas de sus lados. utilizando construcciones de ángulos conocidas. utilizando instrumentos manuales o procesadores geométricos. Construyen la altura de un paralelogramo. utilizando instrumentos manuales o un procesador geométrico.
4. Comprobar propiedades de alturas. • •
Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Bisecan ángulos que se forman entre rectas oblicuas. Utilizan regla y compás para construir ángulos mediante bisecciones consecutivas de ángulos. Por ejemplo. propiedades de las bisectrices de un triángulo.
. rigor. Las construcciones en geometría permiten a los estudiantes sistematizar y ordenar instrucciones. Estas tienen que seguirse de forma rigurosa para completar con éxito la construcción. tal y como lo sugieren los Aprendizajes Esperados.Aprendizajes Esperados en relación con los OFT Actitudes de perseverancia. Desarrollar tenacidad frente a obstáculos o dudas que se le presenten en problemas propuestos sobre construcciones. debido a que el producto al que tienen que llegar los estudiantes es muy concreto. si el objetivo es construir un ángulo de 30º. si la secuencia de pasos está correcta. se sugiere trabajar junto a los alumnos la redacción de los pasos que se deben dar para lograr las construcciones pedidas. El docente debe resaltar en todo momento la secuencia. está puesto en la construcción de figuras geométricas a través de regla y compás o por medio de un software de geometría. Terminar las construcciones iniciadas. Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. El monitoreo de actividades de construcciones geométricas resulta ser más fácil que otros temas.
Orientaciones didácticas para la unidad El foco de esta unidad. el orden y el respeto de los conocimientos que los estudiantes ya poseen: por ejemplo. puede resultar más exitoso partir de la construcción del triángulo equilátero y posteriormente realizar la bisección de un ángulo interior del triángulo. Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada.
Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • • • • Participar de manera propositiva en actividades grupales. Por lo tanto. Las construcciones geométricas se prestan para trabajar en grupos y ambientes distintos a la sala de clases. Así los estudiantes podrán verificar (con regla y compás o con un procesador geométrico). flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos • • • Demostrar un método para realizar las construcciones geométricas.
Los estudiantes verifican esa propiedad usando regla y compás. a modo de ejemplo. Los estudiantes caracterizan las alturas.
∈ L. El docente da a sus estudiantes las propiedades de las transversales de gravedad de triángulos y les pide que utilizando regla y compás las verifiquen. bisectrices y transversales de gravedad de: • • • Triángulos rectángulos Triángulos equiláteros Triángulos isósceles
2. Por ejemplo. L). que al ejecutar estos pasos se logra la construcción. Con este propósito los estudiantes observan ángulos y encuentran sumas y restas de ellos utilizando regla y compás. utilizando regla y compás de pizarra. Denotar por A y B los puntos en los que la circunferencia corta a L Paso 2: con centro en A y con centro en B trazar circunferencias CA y CB de radio r Paso 3: trazar la recta que pasa por P y cualquiera de los puntos que pertenecen a CA pedida
Los guía solicitándoles que repasen la construcción de rectas perpendiculares a una recta L que pasa por un punto P
Observaciones al docente Se sugiere al profesor mostrar. utilizando regla y compás o procesadores geométricos.Ejemplos de actividades
AE 1 Construir rectas perpendiculares. L) denota la distancia entre P y L. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos. muestra la redacción de los pasos para construir la perpendicular a L que pasa por P cuando P ∉ L:
cuando P • • • Paso 1: con centro en P y radio r>d (P.
AE 2 Comprobar propiedades de alturas. El profesor. trabajar la copia de ángulos sobre rectas y la copia de ángulos sobre las rectas que determinan los lados de ángulos. Trabajan copiando ángulos y trazos. trazar una circunferencia. 2. Actividades 1. el docente dice a sus estudiantes que las bisectrices de un triángulo se cortan en la razón 2 es a 1. cuando sea posible. previo a la determinación de sumas y restas de ángulos. Esta es la recta
El docente verifica. simetrales. Observaciones al docente Se sugiere al profesor. Actividades 1. usando regla y compás o procesadores geométricos. El docente solicita a sus estudiantes que redacten los pasos para la construcción de una recta paralela a una recta L que pase por un punto P del plano y que verifiquen la construcción ejecutando los pasos.
. una construcción de rectas paralelas diferente a las construidas por los estudiantes. paralelas y bisectrices de ángulos. Se sugiere al docente revisar las redacciones hechas por los estudiantes en conjunto con ellos y dar indicaciones para mejorarlas en caso que ellas presenten imperfecciones. donde d (P.
Actividades 1. ejecutando los pasos redactados. transversal de gravedad y bisectriz de un triángulo isósceles coinciden. 3.3. Por ejemplo. Construyen un triángulo equilátero de lado cualquiera y lo utilizan para construir un ángulo de 30°. Verifican la construcción redactada ejecutando los pasos mediante regla y compás.
AE 4 Construir ángulos. Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo ABC. Utilizan Geogebra para construir ángulos de distintas medidas. Se sugiere al docente mostrar al estudiante redacciones técnicas relativas a la construcción con regla y compás.
Observaciones al docente Es importante que el docente sugiera a sus estudiantes que. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. redactan los pasos para construir el triángulo de lados:
. elaboran una estrategia para construir el ángulo de 150° y la verifican utilizando regla y compás. AE 3 Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. Elaboran estrategias para construir mediante regla y compás ángulos y las verifican utilizando regla y compás. el ángulo CAB= el ángulo CBA= β. realicen un bosquejo del triángulo que se desea construir y que se guíen en él para redactar esos pasos. utilizando instrumentos manuales o un procesador geométrico. 2. por ejemplo. Por ejemplo. dados el lado AB = c. Actividades 1. A continuación verifican esas construcciones. “trazar un arco de circunferencia con centro en un punto dado y con un radio dado”. Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo de lados dados. Con regla y compás verifican si la altura. previo a la redacción.
5. usando regla y compás o procesadores geométricos. 2. 3.Ejemplo de evaluación Aprendizaje Esperado Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. comprendido entre ellos mide 65°. ¿Está de acuerdo con esa afirmación? Fundamente su respuesta. 3. Argumentan por qué es posible o no la construcción del triángulo en la situación N°1. Discuten las soluciones posibles. Se afirma que una condición necesaria (pero no suficiente) para construir un triángulo es que uno de los datos dados sea uno de sus elementos lineales y que. considerar los siguientes criterios: 1. 1 cm y 8 cm de largo. Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas para construir triángulos. Pregunta: ¿Es posible construir dicha figura? • • Si su respuesta es sí. Indicadores de Evaluación • • • Determinan si un conjunto de datos son suficientes para construir un triángulo. 4. Construir un triángulo si se sabe que sus lados miden 10 cm y 9 cm y el ángulo. sin embargo. Criterios de evaluación 1.
. correctamente. se puede construir un triángulo conociendo solo datos lineales (sin datos angulares). Argumentan. Se tienen tres varillas de 4 cm.
2. utilizando dichas varillas. Se quiere construir una figura triangular. Construyen el triángulo apoyados en una figura análisis. de modo que la longitud de los lados de la figura coincida con la longitud de las varillas. Redactan pasos para construir triángulos dados las medidas de sus lados. fundamente y construya con regla y compás una representación geométrica de ella Si su respuesta es no. su acuerdo o desacuerdo con la afirmación dada en la situación N°2. Establecen si con los datos de la situación 1 se puede o no construir un triángulo.
Actividad propuesta Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las preguntas. argumente por qué no es posible su construcción Al evaluar.
y verifiquen estas conjeturas formuladas. teorema de Pitágoras. extendiendo sus propiedades a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural y a potencias de base 10 y exponente entero. potencias de base 10 y exponente entero. variación de perímetros de polígonos. Se les presenta la oportunidad de trabajar el concepto de raíz cuadrada. incluyendo el matemático. conjeturen con respecto a ellas. además.UNIDAD 3 Números y Geometría Propósito Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de profundizar sus conocimientos con respecto a las potencias de base y exponente natural. Se espera que los estudiantes interpreten estos números. y utilizar este conocimiento para aplicar el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos diversos. de utilizar estrategias para obtener el volumen de prismas rectos y pirámides. su cálculo y su estimación. volumen de prismas y pirámides. apliquen algunas de sus propiedades. Conocimientos previos • • • Potencias de base y exponente natural Perímetro de figuras planas Elementos de prismas rectos y pirámides
Conceptos clave Potencias de base fraccionaria o decimal. y de formular y verificar conjeturas relacionadas con el volumen y perímetro de las formas geométricas en estudio. Esta es la ocasión que tienen. Contenidos disciplinares • • • • • Potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de base 10 con exponente entero Raíz cuadrada de un número entero positivo Teorema de Pitágoras y teorema recíproco de Pitágoras Estudio de la variación en el perímetros de polígonos Volúmenes de prismas rectos y pirámides
Habilidades • • • • • • Interpretar información expresada en potencias Conjeturar. verificar y aplicar propiedades de las potencias Establecer relaciones entre potencias y raíces cuadradas Resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras Utilizar estrategias para calcular volúmenes de prismas rectos y pirámides Formular y verificar conjeturas con respecto a la variación del perímetro de polígonos al variar sus elementos lineales
Actitudes • Trabajo en equipo y la iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
. raíz cuadrada.
multiplicación de potencias de igual exponente. Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente entero.
. Multiplican potencias de base y exponente natural utilizando propiedades. Dividen potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y exponente natural utilizando propiedades. Estiman en forma mental y de manera escrita números que son cuadrados perfectos.
Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo.
8. Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos geométricos. de base 10 y • •
Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural.
Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. potencia de una potencia.
9. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. de manera manual o utilizando un procesador geométrico. Identifican en forma mental y de manera escrita números que no son cuadrados perfectos.
5. Identifican situaciones que pueden ser representadas por medios de potencias de base 10 y exponente entero. Verifican en casos particulares el teorema recíproco de Pitágoras. en forma manual o utilizando un procesador geométrico.
Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en
Se refiere. • • 2. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. Interpretan información expresada por potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. Interpretar potencias exponente entero.Aprendizajes Esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Relacionan raíces cuadradas con números positivos. Dividen potencias de base y exponente natural utilizando propiedades. Verifican conjeturas relacionadas con las propiedades de las potencias de base y exponente natural.
Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero.
Conjeturar y verificar algunas propiedades8 de las potencias de base y exponente natural. por ejemplo
3. Descubren regularidades relativas a propiedades de las potencias de base y exponente natural. Reconocen la unidad de medida de volumen en contextos diversos.
Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras.
6. Multiplican potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y exponente natural utilizando propiedades. por ejemplo. Calculan en forma mental raíces cuadradas en casos simples.
4. Relacionan la raíz cuadrada de un número entero positivo con las potencias de exponente dos.
Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras.
7. Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras.
Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. por ejemplo. Resolver diversos: a)
Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los cambios que se producen en el perímetro de rectángulos cuando varían sus lados. Construyen ángulos rectos. y las potencias de base 10 y exponente entero Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras
Aprendizajes Esperados en relación con los OFT El trabajo en equipo y la iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • • • Proponer ideas durante el trabajo con sus pares en la clase.
11. Evalúan las soluciones de problemas resueltos en función del contexto del problema. Por ejemplo. calculan los lados de triángulos rectángulos. Tomar iniciativa en relación al trabajo colectivo. Utilizan las propiedades de las potencias de base y exponente natural para resolver problemas que involucren este tipo de potencias. Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los cambios que se producen en el volumen de prismas rectos cuando varían las medidas de los lados de su base y su altura. Utilizan estrategias para obtener el volumen de pirámides rectas expresando los resultados en la unidad de medida correspondiente.
12. Ser responsable con los compromisos asumidos en actividades grupales. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. Utilizan las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero para resolver problemas que involucren este tipo de potencias. Resuelven problemas relativos a cálculos de lados en triángulos rectángulos. en casos particulares. Formular y verificar conjeturas. construyen el ángulo recto dividiendo una cuerda en 23 partes iguales. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de paralelogramos cuando varían las medidas de sus lados. Utilizan estrategias para obtener el volumen de paralelepípedos y expresan el resultado en la unidad correspondiente.contextos diversos. Utilizan la calculadora para resolver problemas que involucren raíces cuadradas de números enteros positivos cuando su resultado es un número irracional. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. utilizando el teorema recíproco de Pitágoras.
Interpretan información relativa a volúmenes de cubos en contextos diversos.
10. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el volumen de prismas rectos cuando varían las medidas de los lados de su base y su altura.
. Formular y verificar conjeturas. en casos particulares. Aplican el teorema de Pitágoras para calcular longitudes en figuras planas. Verifican que un triángulo no es rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de rombos cuando varía la medida de sus diagonales.
. los estudiantes tendrán la posibilidad de resolver problemas en contextos matemáticos y cotidianos aplicando ambos teoremas. en el caso de potencias con base fraccionaria. También resultan desafiantes actividades conducentes a detectar ciertas reglas que se dan con las potencias de base decimal. debido a la edad de los estudiantes del nivel (que en general son enérgicos y dispersos). trabajando no solo su verificación directa. debería surgir naturalmente la regla que dice “el exponente multiplica tanto al numerador como al denominador”. se debe poner el énfasis en la detección de regularidades. por ejemplo (0. su verificación y sus aplicaciones con algún software geométrico. es probable que requieran de un monitoreo permanente. sin embargo. La utilización de material concreto ayuda en la verificación de las relaciones que se producen. multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. En este contexto. se amplía el campo de potencias con base y exponente natural a potencias también con exponente natural. por lo que el énfasis debe estar solo en la relación que tiene la raíz cuadrada de un número entero positivo con las potencias cuadradas. es decir. las potencias pueden ser representadas como una multiplicación iterada. Finalmente.02)4. presentar a los estudiantes actividades que involucran variaciones en las medidas de las aristas de prismas y pirámides. en el caso de las figuras 3D. la raíz cuadrada aparece de manera casi natural y puede ser trabajada tanto con resultados naturales como decimales. pero con base fraccionaria o decimal positivo. El teorema de Pitágoras es una buena instancia para verificar propiedades y relaciones geométricas. las actividades que se les presenten a los estudiantes deben facilitar el establecimiento de conjeturas y su posterior verificación. En este contexto. por ejemplo. En el desarrollo de potencias de este tipo. que son posibles de resolver sin necesidad de realizar la multiplicación. se sugiere profundizar la comprensión de estos teoremas. Dado que el exponente aún es un número natural. De esta manera. en el nivel todavía no se ven los números irracionales. En la medida de lo posible. ya que esto facilitará la realización de conjeturas relativas a los cambios que se producen en el volumen de estos cuerpos cuando varían las medidas de sus aristas y les facilitará la verificación en casos particulares de las conjeturas formuladas. Las propiedades de potencias son una ampliación normal de las propiedades de las potencias para base y exponente natural. verificando que las propiedades ya estudiadas para potencias son válidas también para potencias de base fraccionaria y decimal positiva. El docente puede hacer actividades que posibiliten que los estudiantes conecten sus conocimientos previos con los nuevos conceptos.Orientaciones didácticas para la unidad
En esta unidad. El trabajo en parejas o grupos de discusión resulta ser atractivo para los estudiantes. Sin embargo. sino también su recíproco.
Los estudiantes realizan las siguientes actividades: • Conjeturan acerca de la multiplicación de potencias del tipo números naturales Observaciones al docente Respecto de la conjetura: El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. que comprueben la propiedad conjeturada en la multiplicación:
75 ⋅ 73
Se refiere.Ejemplos de actividades
AE 1 Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. Identifican potencias de base 10 y exponente entero en la conversión de kilómetros a centímetros y de centímetros a kilómetros. potencia de una potencia. que expresen multiplicaciones del tipo
a n ⋅ a m donde
la base y los exponentes son
23 ⋅ 2 4
2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2
Que posteriormente relacionen los exponentes de la multiplicación multiplicación anterior: 2
2 3 ⋅ 2 4 con el exponente del resultado de la
Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario hasta que descubran un patrón y lo generalicen. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. Esa será la conjetura. AE 2 Interpretar potencias de base 10 y exponente entero. Identifican potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural en la expresión que representa el volumen de un cubo de arista 2. por ejemplo. AE 3 Conjeturar y verificar algunas propiedades9 de las potencias de base y exponente natural. por ejemplo. 3. comparan la masa de la tierra expresada en gramos con la masa de un electrón expresada en gramos. Actividades 1. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. 2. por ejemplo. Actividades 1. Por ejemplo. Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente entero.
Verifican la conjetura formulada Observaciones al docente El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. multiplicación de potencias de igual exponente.
Verifican la conjetura formulada Observaciones al docente El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. Los estudiantes ahora: • Conjeturan acerca de potencias de potencias. por ejemplo. Esa será la conjetura. Por ejemplo. de esta
10 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5
. en este caso que descomponga manera
y que aplique el procedimiento anterior. por ejemplo. que comprueben la propiedad conjeturada en la potencia de potencia:
AE 4 Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural. Por ejemplo. Aplican este resultado para resolver expresiones del tipo:
10 3 ⋅ 2 2 ⋅ 5 4
Observaciones al docente Se sugiere al profesor que repase con sus estudiantes descomposiciones de números en forma multiplicativa. es decir. acerca de expresiones del tipo los exponentes son números naturales Observaciones al docente Respecto de la conjetura: El profesor puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. Actividades 1. Los estudiantes establecen procedimientos para calcular potencias de distinta base natural y exponentes naturales iguales. para calcular
43 ⋅ 53
Observaciones al docente Se sugiere al profesor que previo al establecimiento de estos procedimientos trabaje con sus estudiantes la conmutatividad de la multiplicación y que ejercite la multiplicación de números en paréntesis. que en el caso de la multiplicación. utilice esta propiedad y el trabajo con paréntesis para expresar
( 4 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) = ( 4 ⋅ 5) ⋅ ( 4 ⋅ 5) ⋅ ( 4 ⋅ 5)
2. que expresen multiplicaciones del tipo
donde la base y
(5 ⋅ 5 ⋅ 5)4
Que posteriormente expresen exponentes de
(5 ⋅ 5 ⋅ 5)4 en
(5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5)
y que relacionen los
con el exponente del resultado de la multiplicación anterior: 5
Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario hasta que descubran un patrón y lo generalicen.2. AE 5 Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero.
AE 7 Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. Observaciones al docente Se sugiere al docente que dé al estudiante estrategias para aproximar raíces cuadradas. Por ejemplo. Identifican otras figuras. 3. Relacionan raíces cuadradas con potencias de exponente dos. 4. que ciertas figuras son rectangulares. Aplican el concepto de raíz cuadrada para estimar medidas. Elaboran estrategias para determinar. en primer lugar. triángulos equiláteros y semicírculos que satisfacen el teorema de Pitágoras. verifican utilizando el teorema recíproco de Pitágoras si una ventana de forma rectangular está cuadrada. Actividades 1. actividades relacionadas con el cálculo de cuadrados de números enteros positivos y.
AE 8 Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. estiman el lado desconocido de un polígono.
2. Observaciones al docente Se sugiere al docente trabajar. en segundo lugar. Por ejemplo.
. Verifican en casos particulares que: • • La suma de las áreas de triángulos equiláteros construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo La suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo
2. distintas a cuadrados. en contextos cotidianos. Utilizan el teorema recíproco de Pitágoras para verificar que para construir un segmento perpendicular a otro segmento una posibilidad es unir los segmentos y dividir en doce partes iguales esta unión. si la medida de dicho lado está expresada por una raíz cuadrada. Actividades 1.3. Los estudiantes resuelven las siguientes operaciones con potencias: •
15 3 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4
24 3 2 2 ⋅ 34 20 3 10 −5
AE 6 Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. trabajar actividades asociadas al cálculo de raíces de cuadrados perfectos.
que dibuje un triángulo rectángulo de
. que asigne valores a sus lados en centímetros y que registre el perímetro. Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta deducción. y que construyan un paralelepípedo a partir de la altura del hexágono y la altura del prisma. sugerirles que construyan un paralelepípedo de aristas 6 cm. sugerirles que en la base del prisma relacionen el lado del prisma con la altura del hexágono que se forma.AE 9 Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. Utilizan estrategias para deducir el volumen de pirámides rectas de base cuadrada. Por ejemplo. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. Utilizan las propiedades de potencias para establecer unidades de medidas que expresen volúmenes. Por ejemplo. • La variación del perímetro de triángulos rectángulos cuando varían sus catetos
Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. Por ejemplo. Por ejemplo. Los estudiantes formulan conjeturas relativas a: • La variación del perímetro de pentágonos cuando varían sus lados
Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. calculan la cantidad de agua que se necesita para llenar una piscina de largo 8 m. y que formule la conjetura. Actividades 1. para transformar
m 3 en cm 3
3. Utilizan estrategias para deducir el volumen de prismas rectos de base hexagonal. Por ejemplo. Calculan volúmenes de prismas rectos y pirámides en contextos de la vida cotidiana y las expresan en las unidades de medida correspondiente. Por ejemplo. de una pirámide recta de base cuadrada de lado 6 cm y altura 9 cm. en casos particulares. Actividades 1. 5. calculan el volumen de un paralelepípedo de aristas 20 cm. 6 cm y 9 cm con material concreto y que a partir de él formen la pirámide. de un prisma recto de base hexagonal de lado 8 cm y de altura 12 cm. Por ejemplo. que dibuje un pentágono. y así sucesivamente. Por ejemplo. Utilizan las propiedades de potencias para transformar unidades de medida. 2. A continuación que varíe en 2 cm el lado del pentágono y que registre el perímetro. Después que descubra regularidades en la secuencia de datos de los lados y del perímetro del pentágono. 4. AE 10 Formular y verificar conjeturas. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. Por ejemplo. 30 cm y 25 cm. Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta deducción. A continuación que varíe en 1 cm el lado del pentágono y que registre el perímetro. ancho 6 m y alto 2 m.
que calcule la hipotenusa de manera aproximada y que registre el perímetro aproximado.
2. A continuación que varíe en 2 cm el lado de los catetos. Luego. y que formule la conjetura. y las potencias de base 10 y exponente entero Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras
Actividades 1. Resuelven problemas relativos a cálculos de áreas y volúmenes en contextos cotidianos. que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondientes a los catetos y al perímetro del triángulo. Por ejemplo. } 3.
En la variación del volumen de pirámides de base cuadrada y triangular cuando varían los lados de su base y su altura
2. Los estudiantes formulan conjeturas relativas a: • La variación del volumen de prismas rectos cuando varían los lados de su base y su altura Observaciones al docente Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. transforman expresiones. en casos particulares. para obtener soluciones de ecuaciones del tipo Por ejemplo. Por ejemplo. aplicando propiedades de potencias. y así sucesivamente.catetos 3 cm y 4 cm. Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas en pentágonos de lados dados y en triángulos de catetos dados. AE 11 Formular y verificar conjeturas. que calcule la hipotenusa de manera aproximada y que registre el perímetro aproximado. y que formule la conjetura. Después. Después. A continuación que varíe en 1 cm el lado de los catetos. que calcule su hipotenusa y que posteriormente calcule su perímetro. Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas en prismas de lados de la base y altura dados y pirámides de base cuadrada y triangular de datos de la base y la altura dados. aplican propiedades para ecuación
a x = b . que varíe en 2 cm los lados de la base y de la altura del prisma recto y que registre el perímetro. A continuación que varíe en 1 cm cada uno de los lados de la base y la altura y que registre el volumen. Utilizan las potencias de base 10 y exponente natural para analizar las distancias que separan a diversos
cuerpos celestes. donde b se relaciona con potencias de a 3 expresar 8 en la forma 2 y para concluir que 3 es la solución
®2. AE 12 Resolver problemas en contextos diversos: • • Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. Actividades 1. Por ejemplo: • Calculan la cantidad de centímetros cúbicos que están contenidos en 1 litro de agua
. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. que dibuje un prisma recto. y así sucesivamente. Resuelven problemas en contextos matemáticos: • Relativos a cálculos de valores. que asigne valores en centímetros a los lados de su base y a su altura y que registre su volumen. que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondientes a los lados de la base y de la altura del prisma.
cada una de las cuales dona tres kilos de arroz (etapa 2).
7. ¿cuánto arroz se recolecta en la etapa 9? 5. b) que determinen si estos elementos tienen factores comunes. Observaciones al docente Se sugiere al docente entregar a sus estudiantes estrategias para encontrar tríos pitagóricos de máximo común divisor 1.•
Calculan la medida de superficies rectangulares cuyos lados están expresados en potencias de 10. modelan la siguiente cadena alimenticia: una persona desea recolectar arroz para una campaña benéfica. kb .b .c
de manera que el máximo
6. Utilizan tríos pitagóricos tales que su máximo común divisor sea 1 para calcular lados de triángulos rectángulos. Resolver problemas en contextos diversos utilizando el teorema de Pitágoras. de un triángulo de catetos 2 cm y 3 cm Determinan áreas de triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras Utilizan el teorema de Pitágoras para resolver problemas en contextos geométricos. c) que dividan los números por ese factor hasta obtener este tipo de tríos. cada una de las cuales dona 3 kilos de arroz. k ∈ N
que satisfacen la condición anterior.c
que satisfacen la condición
Observaciones al docente Es importante que el docente guíe a sus estudiantes a que deduzcan que de los tríos a . los estudiantes determinan el perímetro del trapecio rectángulo de la figura
. y si es así. c que satisfacen la condición: la suma de los cuadrados de los primeros dos términos es igual al cuadrado del tercer término. b . Por ejemplo. la siguiente estrategia: a) que encuentren un trío pitagórico. 10. que si encuentran el trío 6. Por ejemplo. Por ejemplo: • • • • • Obtienen de manera práctica el ángulo recto utilizando los tríos pitagóricos Calculan perímetros de triángulos rectángulos Estiman perímetros de triángulos rectángulos cuya hipotenusa no es un número entero. con ese propósito (etapa 1) contacta tres personas. Por ejemplo: de un rectángulo de largo
10 3 cm. y ancho 10 −1
4. 5. determina los valores de
a . Utilizan propiedades de potencias para modelar situaciones.b . y que dividan estos números por 2 hasta obtener el trío pitagórico 3. y así sucesivamente. por ejemplo. determinen que estos números tienen un factor común que es el 2. kc . Por ejemplo. por ejemplo. después cada una de estas personas contacta otras tres personas. 4.
Es importante que el docente guíe a sus estudiantes a que deduzcan tríos común divisor entre ellos sea 1 y que satisfagan la condición
a . 8. se obtienen tríos
ka . Determinan tríos pitagóricos. Por ejemplo.
.Observaciones al docente Se sugiere al docente trabajar actividades relacionadas con trazados de segmentos en figuras. de manera que sus estudiantes visualicen figuras desde otras perspectivas.
¿Qué conocimiento geométrico serviría para apoyar el método descrito por Juan para construir ángulos rectos? Justifica. 3. Y entonces. Explica la situación basándose en el teorema de Pitágoras.
Actividad propuesta Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las preguntas. Fija uno de los extremos de la cuerda de modo que quede tensa y mueve el otro extremo. Este le indica que use la “regla de los tres nudos”. Indicadores de Evaluación: • • • • Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras. y coloca la cuerda de modo que el segundo nudo quede en la estaca. a partir del nudo mide 30 cm y haz un segundo nudo finalmente haz un tercer nudo a una distancia de 40 cm del segundo. ¿Cuál es esa? –le pregunta Pedro-. Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras. en las esquinas. ¿Es verdad que el procedimiento descrito por Juan permite construir ángulos rectos? Justifica.¿qué hago ahora? Juan: Clava una estaca en el lugar donde quieres dibujar tu ángulo recto. fija ahí el extremo libre de la cuerda. tendrás un ángulo recto. Le manifiesta su problema al maestro Juan. en forma manual o utilizando un procesador geométrico. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. ¿Y? -pregunta Pedro. 2. midiendo la distancia entre el primer y tercer nudo hasta que esa distancia sea igual a 50 cm.Ejemplo de evaluación
Aprendizaje Esperado Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. mi amigo. 2. Construya un triángulo rectángulo de catetos iguales a 30cm y 40 cm respectivamente. a lo que Juan le responde: toma una cuerda y en uno de sus extremos haz un nudo. de manera manual o utilizando un procesador geométrico. ¿Cuánto medirá la hipotenusa? ¿Por qué?
. Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos geométricos. Reconoce al inverso el teorema de Pitágoras. Al evaluar. sean realmente rectos. Verifican en casos particulares el teorema recíproco de Pitágoras. 3. que tiene más experiencia. considerar los siguientes criterios: 1. No sabe cómo asegurarse de que los ángulos.
Nudo 2 Preguntas:
1. conocido la longitud de los catetos. Criterios de evaluación El maestro Pedro tiene que construir un radier rectangular.
En esta unidad. en función del tipo de análisis que se desee realizar.UNIDAD 4 Datos y Azar Propósito El propósito de esta unidad es profundizar en las habilidades de interpretar. se profundiza en los conceptos de población y se muestra como algo fundamental en el estudio de la estadística. También cobra relevancia el uso de herramientas tecnológicas para simular un gran número de veces un cierto experimento aleatorio. evento de un experimento aleatorio. azar. comparar y analizar información a partir de diversos tipos de tablas y gráficos en diferentes contextos. así como también en la capacidad de organizar y representar datos a través de los instrumentos mencionados. En este nivel se enfatiza el trabajo con tablas de frecuencia a partir del registro de los resultados de experimentos aleatorios. tablas de frecuencias. Por otra parte. para los ejes de un sistema de coordenadas Razones y proporciones Cálculo de porcentajes Comparación de cantidades
Conceptos clave Población. barras múltiples. de modo que sea también posible comparar más de un evento. Conocimientos previos • • • • • Gráficos de línea. por ejemplo. probabilidad. Será importante la iteración de cada experimento e ir registrando lo que sucede con la frecuencia relativa para cada evento. fundamentalmente en contextos extraídos de los medios de comunicación. los estudiantes trabajarán con tablas y gráficos revisados en años anteriores (gráficos de barras. profundizando en el estudio de situaciones de incerteza y experimentos aleatorios. frecuencia relativa. barras y circulares Selección de escalas numéricas. lanzar dos monedas. de líneas y circulares). en esta unidad los estudiantes continúan su trabajo con el tópico de probabilidades. Contenidos disciplinares • • • • • • • • • • Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual Población Muestra Representatividad de una muestra Experimento aleatorio Evento de un experimento aleatorio Ocurrencia de un evento Probabilidad de ocurrencia de un evento
Habilidades • • • • • • • • Extraer información desde datos organizados en tablas y gráficos Resolver problemas utilizando datos organizados en tablas y gráficos Representar un conjunto de datos a través de tablas y gráficos Comparar información gráfica Evaluar críticamente información gráfica Utilizar herramientas tecnológicas en la construcción de gráficos Obtener muestras aleatorias desde una población Estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento asociado a un experimento aleatorio
Actitudes • • • Actitudes de interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos Una actitud crítica frente a la información gráfica presente en los medios de comunicación Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos
. adecuadas a los datos. experimento aleatorio. Se espera que los estudiantes reconozcan que la naturaleza de la muestra y el método de selección inciden en el estudio de la población. Por otro lado. El énfasis en este nivel está puesto en el análisis crítico de la información y en la selección de las formas de organizar y representar los datos. frecuencia.
) para identificar los resultados
2. que involucren la comparación de dos o más conjuntos de datos seleccionando la representación gráfica más adecuada. porcentual o acumulativa.
Predecir la probabilidad eventos a partir de la
de ocurrencia de frecuencia relativa
Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. que usualmente aparece en los medios de comunicación. Deciden y argumentan acerca del número y las formas de extraer muestras. relativa. Evalúan si las conclusiones presentadas en los medios de comunicación son pertinentes apoyándose en la información gráfica. Evalúan si una tabla o tabla de frecuencia es suficiente para organizar un conjunto de datos o si es necesario construir un gráfico para comunicar información. Seleccionan la representación gráfica más adecuada para la representación de un conjunto de datos y justifican su elección basándose en el tipo de datos involucrados. Identifican elementos que caracterizan a una muestra representativa. monedas. y evalúan la pertinencia sobre las conclusiones obtenidas en el estudio. gráficos de barras.
4. Establecen estrategias para escoger muestras de un determinado tamaño desde una población específica. Leen e interpretan información a partir de datos organizados en gráficos que usualmente aparecen en los medios de comunicación. Comparan información gráfica. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. seleccionando el tipo de frecuencia10 según el análisis que se requiera hacer. circular o líneas y seleccionan aquel que les permita responder mejor las preguntas planteadas. en diversos contextos. ruletas. etc. Resuelven problemas. Por ejemplo. de modo que las conclusiones se generalicen a la población. •
Sugerencias de Indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Leen e interpretan información a partir de datos organizados en diversos tipos de tablas. Argumentan si una muestra es o no representativa a partir de diferentes ejemplos. Señalan las ventajas y desventajas de las estrategias establecidas para escoger muestras de un determinado tamaño desde una población específica. por ejemplo de barras. tablas de frecuencia donde se incorpora la frecuencia relativa porcentual. Resuelven problemas que involucren la construcción de tablas de frecuencias. Por ejemplo. Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con dados. de líneas y pictogramas.
3. con las descripciones o textos que les acompañan y evalúan la coherencia entre ambas. Comparan información extraída de diversos tipos de gráficos y tablas y comunican sus conclusiones.
Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. circulares. Organizan un conjunto de datos en diferentes tipos de gráficos. Identifican la muestra tomada desde estudios y encuestas publicadas en medios de comunicación.Aprendizajes Esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1.
Una actitud crítica frente a la información gráfica presente en los medios de comunicación • Verificar las fuentes de información. • Evaluar las conclusiones enunciadas.
. • Evaluar las formas de representación de los datos (gráficos. Señalan si un suceso es más o menos probable. • Demuestran responsabilidad en la tarea asignada.
Sobre 100 para que el análisis tenga sentido. • Proponen alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.
Actitudes de interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos • Buscar información cuantitativa por iniciativa propia. • • •
posibles y los registran en tablas de frecuencia que involucren una gran cantidad de iteraciones11.obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. tablas y medidas de tendencia central y de dispersión). • Formular preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada. a partir de la interpretación de información entregada en una tabla de frecuencia. • Toman iniciativa en actividades de carácter grupal. Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento. a partir de la simulación (un número grande de iteraciones) de un experimento aleatorio usando tecnología. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • Participan de manera propositiva en actividades grupales. Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir del registro de los resultados de un experimento aleatorio en tablas de frecuencias.
algo que es muy difícil de percibir con pocos lanzamientos (por ejemplo. esta unidad se conecta naturalmente con los Objetivos Fundamentales Transversales. tomados de diarios. De este modo será posible observar con más claridad las regularidades de ciertos eventos. se puede incentivar el interés por conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. el terreno es propicio para promover una actitud crítica frente a la información presente en los diferentes medios de comunicación y el trabajo en equipo en la resolución de problemas que involucren el análisis de datos. al lanzar dos monedas.Orientaciones didácticas para la unidad Tal como lo sugieren los Aprendizajes Esperados. En la parte de probabilidades (Azar) se recomienda proponer a los estudiantes diversas situaciones y experimentos aleatorios. y que observen y busquen regularidades en la información.cara” o “sello sello”).
. Es importante dejar que los estudiantes lean. que respondan preguntas y resuelvan problemas de manera grupal e individual. a través de representaciones como tablas y gráficos. por medio de experimentos. Por otra parte. También pueden evaluar la coherencia de los gráficos presentes en los medios de comunicación y los textos asociados con los datos del estudio en cuestión. analicen e interpreten situaciones expresadas a través de tablas y gráficos. Se sugiere seleccionar situaciones en que los estudiantes resuelvan problemas que impliquen interpretar información presentada en diversos tipos de tablas y gráficos. socioeconómico o de género. a través de los cuales puedan registrar los resultados en tablas de frecuencia y establecer comparaciones entre los distintos eventos. A través del trabajo propuesto en Datos y Azar. También se puede discutir sobre si para determinada situación basta con organizar un conjunto de datos en una tabla (de frecuencia. se puede considerar el lanzamiento de dos monedas o dos dados unas 200 veces por lo menos. de modo que los estudiantes vean que la Estadística está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad. Se sugiere crear situaciones en las que los estudiantes decidan la manera de organizar un conjunto de datos y el tipo de gráfico que mejor comunique la información. revistas o Internet. Es importante que los estudiantes conjeturen acerca de los resultados y luego los verifiquen o refuten. El énfasis debe estar en el registro de la frecuencia relativa para los diferentes eventos y en las regularidades observadas a medida que se aumenta el número de lanzamientos.000 o más repeticiones). Se sugiere trabajar la parte estadística (Datos) con contextos de interés para los estudiantes. el evento “cara y sello” es más frecuente que los eventos “cara . En cuanto a los conceptos de población y muestra.000. por ejemplo) o si es necesario emplear algún gráfico. Finalmente. 5. Por ejemplo. Cabe señalar que en esta unidad es importante el trabajo con herramientas tecnológicas que permitan realizar simulaciones de los experimentos aleatorios (1. se recomienda proponer a los estudiantes discusiones relacionadas con las formas de seleccionar una muestra. se debe ser cuidadoso con cualquier situación de sesgo cultural. con el concepto de representatividad y si las conclusiones de un estudio pueden ser o no generalizables a la población.
El docente podría utilizar este mismo gráfico. del jueves 13 de agosto de 2009.
Responden preguntas cuyas respuestas se extraen del gráfico. Observaciones al docente Es importante motivar a los estudiantes para que observen los gráficos. con el apoyo del profesor. por ejemplo: ¿Qué significa cada barra?. o bien ¿qué se está comparando? Responden preguntas más específicas respecto del gráfico. Se sugiere que los estudiantes. Observan tablas y gráficos de interés obtenidos desde distintos medios de comunicación y escriben información relevante en el contexto. ¿qué representa el eje X?. ¿qué representa el eje X?. Actividades 1. discuten acerca de cierta información presentada en un gráfico. comprendan el contexto y entiendan los números que aparecen. Se sugiere orientar el trabajo mediante preguntas del tipo ¿qué significa cada barra?.Ejemplos de actividades AE 1 Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos.
El gráfico aquí presentado fue extraído del diario La Tercera. extraída desde un diario local12. tales como: ¿en qué años las concentraciones de smog fueron más bajas? ¿En qué año las condiciones del aire fueron más críticas? ¿Qué sucede con la calidad del aire en el 2009? El profesor debe evaluar las respuestas entregadas por los estudiantes y llegar a una interpretación correcta en conjunto con ellos. puedan analizar a fondo la información presentada y que evalúen la pertinencia de las conclusiones entregadas por los medios de comunicación y las contrasten con sus propias conclusiones. o bien ¿qué se está comparando? Luego introducirlos a situaciones más específicas que se pueden extraer desde el gráfico.
. Comunican las conclusiones. o bien utilizar otro para la actividad. Proponen otras preguntas que puedan ser respondidas desde el gráfico. Por ejemplo.
Miniwatts Marketing Group.240.972 34.792.470 21.556.735 63.852 813.201 6.511 212.5% Oriente Medio 3.450 592.1% Africa 5.2% Oceania/Australia 1.960 Usuarios.779.836.397
Usuarios de Internet por Zonas Geográficas
Latinoamérica/Caribe 10.336.924 344.420 828.4% Norte América 13.2.319.700.097.com/stats.224. mencionando la fuente.948. Por ejemplo: • Observan una tabla y gráfico como los siguientes Usuarios del Internet y Población por Países y Regiones13 Regiones África Asia Europa Oriente Medio Norte América Latinoamérica / Caribe Oceanía / Australia TOTAL MUNDIAL Población (2010) 1.htm (consultado el 03/10/2010)
.470 1.500 205. ¿qué región tiene mayor cantidad de usuarios conectados?
© 2000-2010. dato más reciente 110.970.1%
Europa 24.856 475.6%
Asia 42. o bien ¿qué regiones tienen una cantidad similar de usuarios conectados? En relación a su población total.272.exitoexportador. ¿qué región es la que tienen menor población?. Verifican cada uno de los porcentajes que muestra el gráfico circular Discuten la manera en que la información de la tabla pueda ser representada en un gráfico de barras múltiples u otras representaciones Responden preguntas tales como: ¿qué región es la que tiene mayor población?. Se aseguran de que aparezca organizada en tablas y en distintos tipos de gráficos para compararla con la hallada por otros estudiantes u otros grupos.930.845. www.946 266.013. Recopilan información en diferentes medios de comunicación.124.609.834.050 3. ¿qué región tiene una mayor cantidad de usuarios conectados?.1%
Comparan la información de la tabla con la información del gráfico.121.
la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual. 3. Realizan un estudio14 en el colegio con respecto al uso de Facebook en relación con dos aspectos: • Frecuencia de uso: ¿Cuán a menudo te conectas a Facebook? Alta Media Baja Todos los días 2 a 3 veces por semana 1 vez por semana Cada 2 a 3 semanas 1 vez al mes o menos
Red de amigos: ¿Cuántos amigos tienes en Facebook?
3 a 19 20 a 37 38 a 70 70 a 300 Más de 300 2. por ejemplo: Encuestar a 40 personas sobre su preferencia de equipo de fútbol de primera división de Chile con el siguiente espacio muestral: Colo-Colo. construyen una tabla de frecuencias que incluya las columnas de frecuencia. además de la frecuencia.
AE 2 Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. como www. Realizan una encuesta de un tema de interés. Responden preguntas sobre la idoneidad de la muestra escogida tales como: • • ¿estos resultados son representativos de la realidad de su barrio? ¿comuna? ¿región? ¿país? ¿qué elementos aseguran que la muestra sea o no representativa?
Para esta actividad.pdf
. Determinan la mejor forma de organizar la información (información básica. de modo que los estudiantes visualicen su importancia. categorizando las respuestas. U. Actividades 1. AE 3 Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. de Chile. Se sugiere al docente propiciar el intercambio de la información e investigación individual con el objeto de motivar la búsqueda por iniciativa propia en los estudiantes. Estas actividades apuntan a que los estudiantes verifiquen las fuentes de información. otros. U. los estudiantes se pueden apoyar en otros estudios anteriores otros anteriores. Española. tabla de frecuencias simple o diferentes tipos de gráficos).cl/html/difusion/estudios_difusion/Uso%20de%20Facebook/Uso%20de%20Facebook%20-%20ICCOM%202008. Cobreloa. frecuencia relativa y frecuencias relativas porcentuales. La presentación de información proveniente de diversas fuentes genera inquietudes en los estudiantes y ellos formulan preguntas. U. realizando la construcción en el cuaderno. A partir de los datos no organizados. recogidos a través de la encuesta anterior. evalúen las conclusiones enunciadas y participen de manera propositiva en actividades grupales. Actividades 1. 2. Católica. 3. Escriben los criterios que utilizaron para escoger la muestra (encuestados).iccom.Observaciones al docente Se sugiere al docente incluir tablas que incluyan.
Actividades 1. por ejemplo. Conjeturan acerca de la probabilidad “a priori” de obtener un determinado resultado. completan una tabla de frecuencias simple que incluye la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de cada resultado. Describen en su cuaderno experimentos y encuestas en los cuales los resultados no son representativos de la población porque la muestra tampoco lo es. 4.
AE 4 Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. Observan la columna de frecuencias relativas y determinan qué resultados tienen mayor y menor probabilidad de ocurrencia. Observaciones al docente Se sugiere al docente que este tipo de actividades sean desarrolladas en grupos de trabajo a fin de promover la discusión entre los estudiantes.
.4. los relativos a: • • La suma de los puntajes de los dados El producto de los puntajes de los dados
3. 2. Un tercer integrante debe registrar los resultados en la siguiente tabla: N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Con esta información. 5. realizan un análisis crítico sobre la validez o pertinencia de las conclusiones que se enuncian. A partir de distintos estudios extraídos de medios de comunicación. En grupos de 3 o 4 estudiantes realizan una actividad de repetición de un experimento aleatorio y uno de ellos registra los resultados obtenidos. Por ejemplo: Dos miembros del grupo deben lanzar un dado cada uno 50 veces. Consideran para el lanzamiento de dos dados como resultados.
a 5 mil o 10 mil. 6. por ejemplo. Se sugiere incorporar el uso de tecnología. que permita la simulación de experimentos aleatorios y una gran cantidad de iteraciones. Utilizan alguna herramienta tecnológica para simular los resultados del lanzamiento de dos dados y elevar el número de lanzamientos. Analizan la existencia de tendencias de datos representados en tablas de frecuencias o gráficos de barras. cara o sello? Si se lanzan dos monedas. Responden preguntas del tipo: • • Si se lanza una moneda.5.
. sello-sello o mezclado?
Observaciones al docente Se sugiere al docente que este tipo de actividades sea desarrollado en grupos de trabajo a fin de promover la discusión entre los estudiantes. con respecto al lanzamiento de dados o monedas con ayuda de la tecnología. cara-cara. Por ejemplo. ¿qué resultado es más probable. ¿cómo podrían ser representados los posibles resultados? ¿a qué resultado apostarían. Buscan regularidades.
) para identificar los resultados posibles y los registran en tablas de frecuencia que involucren una gran cantidad de iteraciones15. Resultados Posibles 1 2 3 4 5 6 De acuerdo a los resultados obtenidos y registrados en la tabla responda las siguientes preguntas: 1. Construye la tabla de frecuencia con los resultados. 4. ruletas. 5. Compara eventos de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia. Predice acerca de la probabilidad de ocurrencia. ¿Con qué probabilidad? Una vez que hayas respondido a la pregunta anterior. Cada integrante del grupo debe lanzar 25 veces su dado y registrar los resultados en una tabla. ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor ocurrencia? • “que salga un número mayor o igual a 3” • “que salga un número par” 2. Al lanzar nuevamente un dado. Finalizados los lanzamientos. que crees que ocurrirá. 3. Compara eventos de acuerdo a la ocurrencia según la tabla de frecuencias. Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir del registro de los resultados de un experimento aleatorio en tablas de frecuencias. Señalan si un suceso es más o menos probable. uno por integrante. se deben resumir los resultados totales -resultados de los 125 lanzamientos– en la siguiente tabla. 3. 2. ¿qué es más probable: “que salga un número mayor que 2 o que salga un número menor que 5”? Justifique.
Actividad propuesta La siguiente actividad se realizará en grupos de 5 personas.
Sobre 100 para que el análisis tenga sentido. Realiza el experimento aleatorio. monedas.Ejemplo de evaluación
Aprendizaje Esperado Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples.
. Si lanza nuevamente un dado. Explique lo ocurrido. considerar los siguientes criterios: 1. lance el dado y contraste el resultado con su predicción. Indicadores de Evaluación • • • • Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con dados. Cada grupo recibe 5 dados. etc. Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa porcentual Criterios de evaluación: Al evaluar. Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento. a partir de la interpretación de información entregada en una tabla de frecuencia. a partir de la simulación (un número grande de iteraciones) de un experimento aleatorio usando tecnología.
Portus. Julia.MATERIAL DE APOYO SUGERIDO
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Todas las Unidades BLUM. s.f. Ivan..n.l. ¡Sal si puedes! México: Limusa. (2005). Imaginación geométrica. Madrid: Alfaguara.n. Usa las matemáticas: soluciona desafíos de la vida real.
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y les entregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella. el Nivel 2 corresponde al término de 4° básico. En una página describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. digitales y concretos entregados a través de estos El Programa Enlaces y las herramientas tecnológicas que este ha puesto a disposición de los establecimientos
En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas (www.
Los docentes también pueden enriquecer la implementación del currículum.cl/ayuda/documentos/). El Nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”.ANEXOS
Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y complementaria con el programa de estudio. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad17. que describe el Nivel 6 en cada mapa. audiovisuales. entre otras posibilidades. es decir.
. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Orientan sobre la Pueden ser usados. Estos pueden ser usados de manera flexible para apoyar el diseño e implementación de estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes. y así sucesivamente. haciendo uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de: • • Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos. ya que permiten: de los • caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes de un curso aprendizajes • reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles Apoyan el trabajo didáctico en el aula Textos escolares. como un apoyo para abordar la diversidad de progresión típica aprendizajes que se expresa al interior de un curso. Mapas de Progreso16. Por ejemplo.curriculum-mineduc. el Nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de 2° básico. va más allá de la expectativa para IV° medio.
Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. Comprender que los números enteros constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números naturales. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. Predecir acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de resultados de experimentos aleatorios simples. Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas. 9. Emplear formas simples de modelamiento matemático.
Es importante que las ecuaciones involucradas tengan procesos de resolución que no contemplen la multiplicación y división de enteros negativos. reconocer algunas de sus propiedades. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. 11. caracterizar sus elementos lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares. 3.Anexo 2: Objetivos Fundamentales por semestre y unidad
Objetivo Fundamental 1. expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente y formular y verificar conjeturas.
7. y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en diversas situaciones. en forma manual y usando procesadores geométricos. calcular o estimar su valor y establecer su relación con las potencias de exponente dos.
5. utilizando multiplicaciones y divisiones y aplicarlas en situaciones diversas. y seleccionar formas de organización y representación de acuerdo a la información que se quiere analizar. en casos particulares.
. 13. Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros18. Emplear proporciones para representar y resolver situaciones de variación proporcional en diversos contextos. Establecer relaciones de orden entre números enteros. ya que estas operaciones no corresponden a este nivel. aplicar las habilidades propias del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos. 2. y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos fomentando el interés y la capacidad de conocer la realidad. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de 10 con exponente entero. 12. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos. identificando términos semejantes y estrategias para su reducción. utilizando los contenidos del nivel. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. conjeturar y verificar algunas de sus propiedades. relativas a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales.
10. fracciones o decimales positivos.
6. en situaciones que implican la resolución de problemas. los datos y el contexto del problema. 3. Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita. 11. y su aplicación en diversas situaciones. Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los números enteros. empleo de procedimientos de cálculo de dichas operaciones. Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de 10 con exponente entero y su aplicación para representar números decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero. 7. Interpretación de una proporción como una igualdad entre dos razones cuando las magnitudes involucradas varían en forma proporcional. en el cálculo de porcentajes. una fracción positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales al conjunto de los números enteros y caracterización de estos últimos. Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo en relación con potencias de exponente 2. proporciones. utilizando herramientas tecnológicas. ÁLGEBRA 9. la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta. Traducción de expresiones en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa.ANEXO 3: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad
Contenidos Mínimos Obligatorios NÚMEROS 1. argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo y su aplicación en la resolución de problemas. por ejemplo. reconocimiento de ellas en distintos contextos y establecimiento de estrategias para reducirlas considerado la eliminación de paréntesis y las propiedades de las operaciones. Caracterización de expresiones semejantes. utilizando la simbología correspondiente. 5. establecimiento y aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente. considerando comparaciones de enteros negativos entre sí y de enteros positivos y negativos. interpretación de la ecuación como la representación matemática del problema y de la solución en términos del contexto. Interpretación de potencias que tienen como base un número natural. Semestre 1 Unidades: 1 2 Semestre 2 Unidades: 3 4
. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan adiciones y sustracciones con números enteros. 10. potencias y raíces como las estudiadas. enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución. formulación y verificación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones. 4. y empleo de procedimientos de cálculo mental de raíces cuadradas en casos simples o de cálculo. 8. Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos. 2.
Predicción con respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio simple y contrastación de ellas mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de sus formatos decimal. transversales de gravedad. construcción de rectas paralelas y perpendiculares.GEOMETRÍA 12. y construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra. Análisis y discusión de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir de las medidas de sus lados y de sus ángulos.
También conocidas como mediatrices. la relación de dependencia entre estas variables. cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado en milímetros. DATOS Y AZAR 17.
. Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de base rectangular o triangular y de pirámides. afectan los datos recolectados y las conclusiones relativas a una población. argumentando en cada caso acerca de sus ventajas y desventajas en relación con las variables representadas. Caracterización de la representatividad de una muestra. Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar y comunicar información. 15. mediante construcciones con regla y compás o un procesador geométrico. el método de selección. en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de Pitágoras. y el tamaño de ella. 20. en casos particulares. Transporte de segmentos y ángulos. 16. como fracción y porcentual. al variar la medida de uno o más de sus elementos lineales. y verificación. 21. mediante regla y compás o un procesador geométrico. la información a comunicar y el tipo de datos involucrado. 18. Verificación. del teorema reciproco de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos. a partir del tamaño y los criterios en que esta ha sido seleccionada desde una población. Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volumen de cuerpos geométricos. Análisis de ejemplos de diferentes tipos de tablas y gráficos. 13. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población. en casos particulares. construcción de ángulos y bisectrices de ángulos. obtenida desde diversas fuentes. 14. 19. centímetros y metros cúbicos y aplicación a situaciones significativas. Determinación del punto de intersección de las alturas. mediante el uso de un procesador geométrico. bisectrices y simetrales19 en un triángulo.
utilizando regla y compás o un procesador geométrico. OF CMO
1 2 2 2 3 6 6
1 3 2 2 6 10-11 9
6 . Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que pueden ser resueltos en los números enteros. 5. 7. Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. simetrales. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
Semestre 1: Aprendizajes Esperados Unidad 1: Números y álgebra 1. Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones. usando regla y compás o procesadores geométricos. 2. usando regla y compás o procesadores geométricos. 4. 8. 3. Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos. utilizando regla y compás o procesadores geométricos. Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones. paralelas y bisectrices de ángulos. Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicarlos en la recta numérica.
. Construir ángulos. Comprobar propiedades de alturas.ANEXO 4: Relación entre Aprendizajes Esperados. Construir rectas perpendiculares. y problemas que involucran proporcionalidad.
3. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos. 2. 4.13
2 – 6 – 8 -11
Unidad 2: Geometría 1. Establecer estrategias para reducir términos semejantes. 6.
Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. en casos particulares. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. 3.
4 -8 . Resolver problemas en contextos diversos: • Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. 8. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. multiplicación de potencias de igual exponente. 10. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural. Formular y verificar conjeturas. 12. Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. por ejemplo. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. 2. 9. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. Formular y verificar conjeturas. potencia de una potencia. 5. 4. 11.
Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. 7. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales.
. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. Interpretar potencias de base 10 y exponente entero. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población.Semestre 2
Aprendizajes Esperados Unidad 3: Números y Geometría 1.14
17 17-18 19
Se refiere. OF CMO
4 4 4 4 4 5 5 8 9
4 7 4 4 7 5 5 14 15
2. y las potencias de base 10 y exponente entero • Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras Unidad 4: Datos y Azar 1. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. 3. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. Conjeturar y verificar algunas propiedades20 de las potencias de base y exponente natural.13
4 – 7 – 8 . Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. 4. en casos particulares.
6. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero.
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