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Timestamp: 2020-05-28 14:30:39+00:00

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Séries Entières | Yann ANGELI
Mercredi 23 mars 2016, 8h-11h.
TD du Cours 20 :
exercice 2 : convergence et calcul d’intégrales généralisées (suite)
Cours 21 : Séries entières
1. SÉRIES ENTIÈRES À COEFFICIENTS COMPLEXES
1.1 Notion de série entière (définition)
1.2 Rayon de convergence (lemme d’Abel, définition, exemples)
1.3 Critère de d’Alembert et rayon de convergence (utiliser le critère de d’Alembert des séries numériques pour obtenir le rayon)
1.4 Rayon de convergence et opérations (linéarité, exemple)
2. PROPRIÉTÉS DE LA SOMME D’UNE SÉRIE ENTIÈRE RÉELLE
2.2 Intégration (théorème et exemples)
2.3 Dérivation (théorème)
DM 16 : pour le 30-03-16, exercice 18 du TD §19
Mots-clefs : Cours, Intégrales généralisées, Séries entières
ATS : Révisions (12)
Mercredi 27 mai 2015, 8h-11h.
Rappels : sur les séries entières.
Exercices type oral du concours sur les séries entières.
Mots-clefs : Séries entières
ATS : Séries entières (6) TD
Mardi 31 mars 2015, 10h-12h.
TD du Cours 22 :
exercice 15 : fin (calcul d’une série numérique via le théorème d’Abel et une série entière solution d’une équation différentielle).
exercice 9 : séries jumelles : calcul de séries entières avec des coefficients en cosinus, vus comme parties réelles d’exponentielles complexes
exercice 13 : sommes de séries numériques obtenues par évaluation de séries entières
ATS : Séries entières (5) TD
Lundi 30 mars 2015, 13h-15h.
exercice 1 : détermination du rayon de convergence d’une série entière
exercice 2 : rayon de convergence et somme d’une série entière
exercice 3 : obtenir le développement en série entière en 0 de fonctions données.
exercice 15 : obtenir une somme de série entière via une équation différentielle, puis une somme de série numérique.
ATS : Séries entières (4) Fonctions de plusieurs variables (1)
Lundi 30 mars 2015, 8h-11h.
Cours 22 : Séries entières
4. APPLICATION AUX SÉRIES NUMÉRIQUES
4.1 Spécialisation (exemple)
4.2 Théorème de convergence radiale, (énoncé et exemples).
1. NOTION DE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
1.1 Un peu de topologie (ouvert, fermé et borné)
1.2 Fonctions continues de plusieurs variables (définition, théorème de Weierstrass, exemples)
1.3 Fonctions à valeurs dans Rp (travailler avec les fonctions coordonnées)
2.1 Fonctions de classe C1 (dérivées partielles, exemples, DL d’ordre 1, plans tangents)
Programme de colle, semaine [23] du 07-04 :
§22 Séries entières : Rayon de convergence, sommes et rayons des séries remarquables, intégration, dérivation, théorème de convergence radiale d’Abel. Application aux équations différentielles, au calcul de séries numériques.
§18 Séries de Fourier : coefficients de Fourier an et bn d’une fonction, théorème de Dirichlet et théorème de Parseval, application au calcul de séries numériques.
Mots-clefs : Cours, Plusieurs variables, Séries entières
ATS : Séries entières (3)
Mercredi 25 mars 2015, 8h-11h.
3. DÉRIVATION, APPLICATION AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
3.1 Dérivation (exemples)
3.2 Unicité du developpement en séries entières (conséquences de la parité sur les coefficients)
3.3 Application aux équations différentielles (méthode et exemples)
Révisions dans la perspective du QCM Cefipa.
ATS : Séries entières (2) TD
Mardi 24 mars 2015, 10h-12h.
exercice 5 : rayon de convergence et somme d’une série entière
exercice 6 : prolongement de classe C ∞ d’une fonction à partir d’un développement en séries entières.
exercice 7 : obtenir une inégalité avec une série entière
exercice 12 : estimation de l’intégrale du sinus cardinal entre 0 et 1 à l’aide de séries entières.
ATS : Séries entières (1)
Lundi 23 mars 2015, 8h-11h.
1. SÉRIE ENTIÈRE À COEFFICIENTS COMPLEXES
1.1 Notion de série entière
1.2 Rayon de convergence (et lemme d’Abel)
1.3 Critère de d’Alembert pour les séries numériques et rayon de convergence
2. PROPRIÉTÉ DE LA SOMME D’UNE SÉRIE ENTIÈRE RÉÉLLE
2.2 Intégration
Programme de colle, semaine [22] du 30-03 :
§20 Intégrales généralisées : convergence en l’infini, en un réel (absolue convergence, comparaison par équivalents, encadrements, prépondérance, avec des intégrales de référence en 0 et +oo). Calculs (changement de variable, IPP).
§22 Séries entières : Rayon de convergence, sommes et rayons des séries remarquables, intégration, dérivation.
Mots-clefs : Cours, Séries entières
ATS : Révisions (3) TD
Mardi 29 avril 2014, 10h-12h.
3. Problème d’analyse de Fourier, ATS 2009 (somme de cosinus (somme géométrique, angle moitié), intégrales généralisées, séries de Fourier (Parseval, moyenne), séries entières)
Mots-clefs : Intégrales généralisées, Séries de Fourier, Séries entières
Lundi 17 mars 2014, 13h-15h.
TD du Cours 19 :
exercice 13 : série entière avec coefficients factoriels
exercice 11 : résolution d’une équation différentielle par les séries entières
exercice 8 : séries entières à coefficients trigonométriques
ATS : Séries entières (5)
Mercredi 12 mars 2014, 8h-11h.
Cours 19 : Séries entières
3.1 Dérivation terme à terme (autres exemples)
3.2 Unicité des coefficients d’un DSE (formule de Taylor, influence de la parité)
3.3 Application aux équations différentielles (méthode, coefficients de la série d’exponentielle, exemples de résolution)
4.1 Spécialisation (exemple d’introduction de séries entières pour calculer des séries numériques)
4.2 Théorème de convergence radiale (continuité sur [0,R] d’une série de rayon R convergente en R, exemples)
ATS : Séries entières (4) TD
Mardi 11 mars 2014, 10h-12h.
exercice 13 : somme d’une série numérique par spécialisation
exercice 5 : prolongement de classe C∞ et séries entière
exercice 6 : estimation et séries entières
exercice 7 : valeur approchée de l’intégrale entre 0 et 1 du sinus cardinal, par série entière
ATS : Séries entières (3) TD
Lundi 10 mars 2014, 13h-15h.
exercice 3 : somme d’une série entière
exercice 4 : somme d’une série entière
exercice 2 : développements en série entière
ATS : Séries entières (2)
Lundi 10 mars 2014, 8h-11h.
1.3 Critère de d’Alembert et rayon de convergence (méthode, exemples)
1.4 Rayon de convergence et opérations (propriété et exemple)
2. PROPRIÉTÉS DE LA SOMME D’UNE SÉRIE ENTIÈRE
2.2 Intégration terme à terme (propriété, exemples)
3.1 Dérivation terme à terme (propriété, exemples)
Programme de colle de la semaine du 17 au 21 mars :
§18 Intégrales impropres : définition, exemples de référence (Riemann en 0 et l’infini, exp(-a x) en l’infini et ln en 0), critères (par comparaison, prépondérance, équivalent) pour les intégrales de fonctions positives, intégration par parties, changement de variable (à la différence du changement classique qui demandait des fonctions C1 mais pas forcément bijectives sur l’intervalle fermé, celui-ci demande des fonctions C1 sur l’intervalle ouvert seulement, mais bijectives).
§19 : Séries entières : rayon de convergence (via le critère de de D’Alembert pour les séries numériques), dérivation et intégration terme à terme, théorème d’Abel. Calcul de sommes, développements.
ATS : Intégrales généralisées (4) et Séries entières (1)
Mercredi 5 mars 2014, 8h-11h.
Cours 18 : Intégrales généralisées
4. INTÉGRATION SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE
4.1 Définitions (intégrabilité, exemples)
4.2 Reformulation des propriétés (et remarques autour des différentes théorèmes de changement de variable rencontrés)
1.2 Rayon de convergence (lemme d’Abel, définition-propriété, exemples)

References: §19

§22

§18

§20

§22

§18

§19