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La Matemática (1935)
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Historia de la Matemática Iberica :: Matematica española : siglo XVII
Por José A. Sánchez Pérez
Este articulo esta publicado en : La Matemática, por José A. Sánchez Pérez ; contenido en : Estudios sobre la ciencia española del siglo XVII ; Asociación de Historiadores de la Ciencia Española, Madrid 1935, pp. 597-633. Contiene las biografías de :
García de Céspedes | Cedillo | Santa Cruz | Carducho | Zaragoza | Caramuel | Omerique
LA universalidad de las ciencias exige que en todo trabajo histórico exista una parte de exposición y otra de crítica’ Aplicando este criterio al caso de hacer un estudio de la Matemática en España durante el siglo xvii se debería exponer, desde luego, el estado de esta ciencia en España al comenzar el siglo y su desarrollo durante toda la centuria, pero además será preciso tener en cuenta otros datos previos para la crítica.
El primero que debe tenerse en cuenta, aunque a mi entender es de poca importancia, es el panorama político y social de España durante el siglo xvii y aquellas otras circunstancias políticas posteriores que puedan influir en el juicio crítico. Otro dato de gran interés para valorizar los trabajos realizados en nuestra patria, es el estado de la Matemática fuera de España en el mismo siglo.
En tercer lugar debe presentarse todo el conjunto de la labor realizada por ¡nuestros matemáticos, con la indicación y el comentario de todas y cada una de las obras, es decir, que se debe dar idea de la Matemática dentro de España.
Y, finalmente, se deben tener en cuenta los conocimientos de Hístoria de la Matemática del siglo xvii, para efectuar su rectificación, si fuera justo, en lo que a España se refiere.
Panorama político y social de España.
La Historia de España nos enseña que los destinos españoles durante el siglo xvii se hallan regidos por los tres últimos monarcas de la Casa de Austria, que son : Felipe III (1598 a -1621), Felipe IV (1621 a 1665) y Carlos II (1665 a l700). El ambiente social y político durante el citado siglo no era el más apropiado para que los españoles pudieran declinarse al cultivo de la Ciencia pura. Ni los tres monarcas de la centuria xvii, ni sus favoritos, sus privados y sus gobernantes se preocuparon del problema cultural de España, pero no exageremos la influencia de la acción política ; no debemos, echar toda la culpa de nuestro retraso científico a los gobiernos, por malos que fueran, que también Inglaterra Francia, Holanda y Alemania, tuvieron a veces gobiernos desastrosos y luchas intestinas y guerras internacionales, y, sin embargo, tuvieron un enorme progreso en, su cultura. Lo que ocurre es que cuando surge el hombre de tipo mental superior, cuando surge el genio, se da a conocer a pesar de las hostilidades que le rodeen ; y, en aras a la verdad, hay que reconocer que en España no han existido genios insignes en el campo de la Matemática.
Se viene repitiendo, como si se tratara de un axioma, que a fines del siglo xvi se inició ya un decaimiento en la afición par los estudios matemáticos ; lo que ocurrió en realidad, es que disminuyó su marcha excesiva el tren de la cultura, para continuar con una marcha más lenta, pero siempre hacia adelante.
Este es el sentido que yo le doy a la decadencia matemática del siglo xvii : España siguió en su progreso un ritmo más pausado que el que llevaron otras naciones, y se fue quedando detrás, a pesar de que seguía su camino sin detenerse.
En el siglo xvi, España, orgullosa de su enorme expansión territorial y de sus nuevas riquezas, envidiadas por toda Europa, manifestó un noble deseo de desarrollar la cultura científica, pero este deseo fué acompañado de una falta de sentido práctico y de medida de las propias fuerzas. Fué funesto para la Ciencia española que a las doce Universidades o Colegios que existían en el siglo XV, se añadiera la creación durante el siglo xvi de diez y nueve Universidades mas, de las cuales sólo han subsistido las de Granada, Santiago y Oviedo. Porque con tal lujo de Universidades, ocurrió lo que era inevitable al resentirse la Administración pública : de una parte resultaba mayor el número de cátedras de Matemáticas, por ejemplo, que el de matemáticos competentes ; de otra parte, los ingresos del Estado no bastaban para cubrir los gastos necesarios y satisfacer ambiciones personales.
Por esto en el siglo xvii comienzan a suprimirse centros y, a Disminuirse las cátedras ; la Academia de Matemáticas de Madrid, creada por Felipe II, se suprimió en el año 1624, aunque los estudios matemáticos se continuaron intensamente en el Colegio Imperial a cargo de los jesuitas ; en la histórica Universidad de Salamanca se llegó a suprimir totalmente la enseñanza de las Matemáticas. En la Casa de Contratación de Sevilla subsistieron los estudios porque eran de absoluta necesidad en sus aplicaciones a la Cosmografía y a la Náutica.
La Matemática fuera de España.
Hagamos ahora, antes de pasar a nuestra propia historia, una rapidísima mención de algunos grandes matemáticos extranjeros, con indicación de sus aportaciones a la Ciencia en el siglo xvii.
Francisco Vieta, francés, muere en París el 1603. Puede considerarse como fundador del Algebra moderna. Representó mediante letras todas las cantidades, tanto conocidas como incógnitas, revisó en un nuevo aspecto el Algebra de los griegos y de los árabes e hizo varios descubrimientos en Algebra y Trigonometría.
En 161.7 muere Juan Neper, barón de Merchiston, genial matemático inglés que inventó los logaritmos y los dio a conocer en la obra Mirifici logarithmorum, canonis descriptio, ejusque usus in utraque trigonometria, publicada en Edlmburgo, 1614.
El creador de la Mecánica y especialmente de la Estática, el belga Simón Stevín o Simón de Brujas, muere en 16120. En 1630 muere el genial Juan Kepler, de Stuttgard, uno de los, fundadores de la Astronomía moderna, que siendo a la vez un gran geómetra, inició por intuición el empleo de infinitamente pequeños, que más tarde dió lugar al Cálculo infinitesimal.
El famoso inglés Henri Briggs, al conocer el invento de Neper, hizo un viaje para ponerse en contacto con el inventor y sugerirle la idea de elegir el número 10 como base de logaritmos. Briggs publicó, en 1618, la primera tabla de logaritmos decimales, y murió en 1631. Galileo Galilei, nacido en Pisa el año 1564 y fallecido en 8 le enero de 1642, se distingue especialmente como renovador de los estudios astronómicos ; considerado como matemático es un precursor del Cálculo de Probabilidades y realizó trabajos que han sido los fundamentos de la Dinámica. El italiano Buenaventura Cavalieri, que murió en Bolonia el 1647, creó el método de los indivisibles, que lo limitó a sus aplicaciones geométricas, sin advertir que su aplicación al Cálculo era el camino de llegar al Cálculo diferencial. No obstante, con. su método logró hacer descubrimientos de interés sobre áreas, volúmenes y centros de gravedad. Con René Descartes son improcedentes todos los calificativos. Es el matemático cumbre, creador de la Geometría analítica, nacido en La Haya, pequeña aldea francesa cerca de Tours, en 1596, y que murió en Estocolmo el año 1650. La primera Geometría analítica fué la publicada por Descartes en 1637.
En 1662 coincide la muerte de otros dos genios geómetras franceses : Blas Pascal y Girard Desargues. Pascal es el que funda el Cálculo de probabilidades, y Desargues es el inventor de la Geometría proyectiva.
Pedro Fermat, también francés, es un fuerte rival de Descartes. Ambos sostuvieron una polémica, a veces descortés, con motivo de haber publicado Fermat en 1637, su método de máximos y mínimos, aplicando los mismos principios que había establecido Descartes en su Geometría del mismo año. La contienda científica duró mucho tiempo : Fermat la llamaba Pequeña guerra contra Descartes, y Descartes la denominaba Pequeño proceso matemático contra Fermat. Intervinieron como reconciliadores el P. Mersenne, Roberval y el padre de Pascal, los cuales lograron que terminase la polémica, convirtiendo a los enemigos en mutuos admiradores. Fermat, a quien tanto debe la Teoría de números y el Cálculo de probabilidades, murió en Toulouse el año 1665.
En 1695 muere el holandés Chrystian Huygens, famoso por sus descubrimientos en Astronomía y en Mecánica y por sus investigaciones sobre las evolventes y evolutas. Por último, aunque terminan sus días en el siglo xviii, se encuentran en plena producción a fines del siglo xvii los inmortales sabios Isaac Newton y Guillermo Leibnitz, y otros insignes matemáticos como Jacobo Bernoulli, John Wallis y Johan Hudde.
Yo reconozco paladinamente que es inútil buscar un matemático español que pueda compararse a los citados extranjeros, pero no puedo admitir la consecuencia que algunos han deducido, afirmando que no existió ciencia matemática española en el Siglo xvii.
Del ser al parecer hay un abismo. ¿Cuántas veces no hemos visto, en noche de Luna llena y nubes sueltas, que éstas marchaban deprisa, a merced del viento, de Saliente a Poniente, y nos ha parecido que la Luna caminaba hacia atrás ? Pues esto mismo ocurrió con la Matemática española, que llevaba una marcha muy lenta en el progreso, mientras que la Matemática fuera de España llevaba una velocidad vertiginosa a impulso de los genios como Kepler, Galileo, Descartes, Newton o Leibnitz.
Si los historiadores de la Matemática hubieran establecido la ,verdad desde el primer momento, hubieran reconocido que el aparente retroceso español era un fenómeno de relatividad en las velocidades del progreso matemático, y hubieran dicho noblemente que en España, a pesar todo, se trabajaba y se adelantaba, aunque fuera a paso de tortuga.
La Matemática dentro de España.
Si se tratara de presentar una Historia general de la Matemática, sería contadísimo el número de matemáticos dignos de mención, en una segunda o tercera categoría ; serían los nombres de Cedillo, García de Céspedes, Zaragoza, Caramuel y Omerique ; podrían agregarse, en relación a España, los del portugués Labaña, el jesuita bohemio Kresa, el italiano Firrufino, el jesuita francés Richard y quizá algún otro, pero como de lo que se trata es de presentar la Matemática española, no hay motivo para prescindir de ninguno de los que en España hicieron profesión de la Matemática o se entregaron intensamente a su estudio por España o para España.
En este trabajo me refiero especialmente a Matemática pura, y por esta causa no habré de mencionar a muchos arquitectos, astrónomos, cosmógrafos y náuticos que, aun siendo matemáticos, no produjeron mas que obras de matemática aplicada.
Conforme anuncié al principio, voy a referirme, en cuanto al tiempo, a los tres reinados que llenan el siglo xvii. Reinado de Felipe III. (Solamente desde 1600 hasta 162l.) En este período recojo los nombres de algunos matemáticos del siglo xvi, que continúan viviendo en el siglo xvii, y los de aquellos otros matemáticos que comienzan a dar frutos de su laboriosidad dentro de las fechas citadas.
Se destacan por su importancia dos figuras, que son : Andrés García de Céspedes y Juan Cedillo Díaz.
Los demás matemáticos son. los de la lista siguiente : Isidro Ribera, Francisco Beroaldo, Julián Firrufino, Victoriano Zaragozano Zapater, Pedro Juan Monzó, Pablo Cibramonte, Rodrigo Dosma Delgado, Sebastián Fernández Eyzaguirre, Pascual Abensalero, Francisco Mora, Antonio Núñez de Zamora, Andrés Avellar, Cristóforo Clavio, Ginés de Rocamora y Torrano, Cristóbal de Rojas, Juan Antonio Ripollés, Gerónimo Cortés, Pablo Albiniano de Rajas, Fr. Bartolomé de S. Pedro Molinos, Nicolás Vibario, Miguel Pérez, Diego Suárez, Juan Bautista Tolrá, Juan Bautista Villalpando y Juan Alonso Molina Cano.
Reinado de Felipe IV (1621-1665).
En estos cuarenta y cinco años figuran a la cabeza, por el mérito de sus trabajos, los tres españoles Miguel Gerónimo de Santa Cruz, Julio Cesar Firrufino y Luis Carducho, y los dos extranjeros Juan Bautista Labaña (portugués) y Claudio Richard (francés).
El resto de los matemáticos de esta época es el que sigue Juan de España, Juan Vázquez de la Serna, Bernardino Barroso, Juan Bautista Morales, Alonso Carranza, Luis de Miranda, F. Vicente Nadal Sancho, Pablo Cerdán, Miguel de Silveira, Lorenzo de Vanderhammen, Vicente Montesinos, Juan de Montemayor, Bartolomé Rico, Juan Serrano, Fr. Lorenzo de San Nicolás, Gregorio Anglesola y Vicente Mut.
Reinado de Carlos II (1665-1700).
Los matemáticos que se distinguen durante este reinado pueden clasificarse en dos secciones.
Primera sección : Matemáticos que mueren dentro del siglo. Sobresalen con exceso de los demás : José Zaragoza, Juan Caramuel y Antonio Hugo de Omerique.
Los matemáticos restantes son : Rodrigo Alvarez, Andrés Dávila Heredia, Pedro Antonio Ramón Folch de Cardona, Vincencio Juan Lastanosa, Fr. Ignacio Muñoz, Juan Carlos Andosilla, Domingo Alegre, Onofre Vicente de Ixar, Iñigo de la Cruz Manrique de Lara, Francisco de Salicis, Alonso de Bacas, Blas Antonio de Cevallos, Domingo de Andrade, Fr. Jerónimo Norte v Escartín, Juan Aparicio, Nicolás Coppola, José Bonet Campodarve, Carlos Powel, Fr. José Domingo Ponti, José Chafreon, Carlos de Sigüenza y Góngora, Antonio Campillo Marco, Leonardo Ferrer, Lorenzo Ferrer Maldonado, Luis de Miranda y José Vicente del Olmo.
Segunda sección : Matemáticos que han nacido en el reinado de Felipe IV, o sea antes de 1665, y que pasan con vida al siglo xviii.
Son los siguientes : Francisco de Seijas y Lobera, José Lupercio Panzano Ibáñez de Aoyz, Sebastián Fernández Medrano, Francisco Antonio Artiga, Jacobo Kresa, Félix Falcó de Belaochaga, Pedro Ulloa, Tomás Vicente Tosca, Juan Clemente Lobera, Antonio de Castañeta y de Iturribálzaga, José Ferragut Sanguino, Juan Bautista Corachán y Baltasar Iñigo.
Por último, he adquirido datos de otros matemáticos españoles del siglo xvii, pero no los suficientes para incluirlos en un determinado período. Me refiero a los siguientes : Chantre, Faille, Francisco Guzmán de Lara, Miguel Gerónimo Hernando, Sebastián Izquierdo, Andrés Puig, Juan Bautista Puig, Fr. Antonio Roldán, Domingo Ucenda Mansfelt, Ximeno y Juan Vélez.
Las listas anteriores, con su centenar de matemáticos, habiendo prescindido, como dije, de arquitectos, astrónomos, náuticos y astrólogos supersticiosos, pero muy competentes en Astronomía, son lo suficientemente elocuentes para sospechar que si no se ha hecho la Historia de la Ciencia española es porque ha sido más cómodo negarla que ponerse a investigar sobre ella.
Ahora bien, por si cabe la sospecha de que en la lista haya matemáticos completamente vulgares, voy a suprimir a todos los de la última lista por no tenerlos bien estudiados, a todos los que acaban sus días en el siglo xviii, a todos los que en cada reinado he señalado como menos importantes y a todos los extranjeros, es decir que voy a conceder que en España durante el siglo xvii no hubo más matemáticos dignos de mención que García de Céspedes, Cedillo, Santa Cruz, Carducho, Zaragoza, Caramuel y Omerique.
Cada uno de estos siete ilustres compatriotas da materia más que suficiente para dedicarle todo el artículo. Procuraré resumir sus biografías todo lo posible.
ANDRÉS GARCIA DE CÉSPEDES.—No he conseguido averiguar los datos exactos de su nacimiento. Ya en el siglo xvi había adquirido fama mundial como cosmógrafo. Su labor personal en dicho siglo puede condensarse en lo siguiente : Inventó Y construyó gran número de instrumentos de Matemáticas y Astronomía ; propuso al rey la creación de un gabinete de Astronomía en El Escorial ; corrigió las tablas de Alfonso el Sabio y de Copérnico ; rectificó las cartas de marcar que en su época se usaban ; fue cosmógrafo mayor del rey ; estuvo en Portugal al servicio del archiduque Alberto ; en Burgos escribió un Tratado de Hidrografía, y escribió un ms. en folio con figura,-, iluminadas, dedicado a Felipe II, que existe en la Biblioteca de Palacio.
En 1577 observó científicamente un eclipse de Luna con Juan López de Velasco.
En 1596 fue encargado de la corrección de cartas e instrumentos de la Casa de Contratación de Sevilla ; el mismo año se le nombró cronista de Indias, y en 1598 escribió un Islario general, cuyo ms. se conserva en la Biblioteca Nacional de Madrid.
Este mismo año observó en Madrid la distancia al polo de la estrella Polar y escribió a este propósito un ms., cuvo original he, consultado en la Biblioteca Nacional (con la signatura 3.036), y de él he tomado los siguientes datos que juzgo interesantes :
Se titula : Regimiento de tomar la altura del Polo en la mar y cosas tocantes a la navegación, dirigido al Rey don Phílippe N. S. tercero deste nombre, por Andrés García de Céspedes, criado del S.º Cardenal Archiduque Alberto. Tiene 143 folios y está fechado en el año 1598.
En la exposición tiene el siguiente párrafo : « Pues habiendo visto muchos regimientos de tomar la altura del Polo, en todos ellos tengo hallados muchos defectos, como en el prólogo deste libro mostraremos, por lo cual me determiné hacer éste, en el cual pongo reglas con demostración, para tomar la altura del Polo, así por el Sol con el Astrolabio, como por la estrella del Norte con la ballestilla. Para lo cual hice nuevas tablas, sacadas de las observaciones que por más de 20 años tengo hechas, como parecerá en el Astrolabio que tengo escrito. Demás de esto también enseño hacer algunos instrumentos muy necesarios, para lo que toca a este particular ... »
Otros párrafos del prólogo dicen : « Convienen con nuestras observaciones las del Doctor Sobrino Capellán del Rey N. S., hombre docto y diligente en Matemáticas, así en teoría como en práctica. También concuerdan con nuestras observaciones las de D. Bartolomé de la Gasca y del licenciado Caravallido, hechas en Valladolid ... » « Después de hacer escrito este libro en este año de 11-995, vino un libro impreso por el Doctor Simón de Tovar que se intitula Examen y censura del modo de tomar la altura del Polo por la estrella del Norte con la ballestilla, al fin del libro diremos los inconvenientes que nos parece que tiene aquella doctrina. »
En el folio 94 verso, explica el cuadrante de Pedro Núñez, según su libro de Navegación, y en el 95 verso, explica otro instrumento anular, también de Pedro Núñez.
En el capitulo 41 trata de la fábrica de un instrumento, de su invención, con, que se puede saber en el mar la variación de la agujaa ; en el 43 enseña la fábrica de un instrumento con que se conoce a cualquier hora en qué rumbo está la guarda delantera y la estrella Polar y otras cosas, como en el uso de él se dirá, y, por último, en el capitulo 46 explica la fábrica de un instrumento con el cual se puede hacer con el Sol, de día, lo que se hacia con el instrumento precedente con las estrellas, de noche.
Pero no son menos importantes los datos que se refieren al siglo xvii acerca de los trabajos de García de Céspedes. En 1602 observó en Valladolid la refracción de los rayos solares, y en 1606 publicó en Madrid dos libros interesantísimos, el primero de los cuales se titula Libro de instrumentos nuevos de Geometría ,muy necessarios para medir distancias, y alturas, sin que intervengan números, cómo se demuestra en la práctica. De más desto se ponen otros tratados, como es uno, de conduzir aguas, y otro una questión de Artillería, en donde se ponen algunas demostraciones curiosas.
Los instrumentos cuya teoría explica, son el cuadrante original de Céspedes, el báculo de Jacob o ballestilla y el nivel de caballete.
Por declaración del autor en esta obra, se sabe que escribió los siguientes libros
1.	Teoría y fábrica del Astrolabio y usos de él.
2.	Comentarios a la Esfera de Sacrobosco.
3.	Comentario a las Teóricas de Purbachio.
4.	Equatórios o Teóricas, por los quales sin tablas se pueden saber los lugares de los Planetas en longitud y latitud. También se ponen instrumentos con que saber los eclipses.
5.	Teóricas según la doctrina de Copérnico.
6.	Perspectiva teórica y Práctica.
7.	Hidrografía general.
8.	Mechanicas, con. la descripción de treinta máquinas diversos.
9.	Relojes de Sol. Su fabricación.
10.	Islario general, con datos históricos.
Además anuncia otra obra de Artillería, en la que se propone corregir algunos errores de Nicolás Tartaglia. El manuscrito que se refiere al número 3 lo he visto en la Biblioteca de la Academia de la Historia, signatura 26-1ª-D-20, y lo titula Teóricas de planetas de Jorge Purbachio, con el comento de Andrés García de Céspedes, traducida al castellano por el mismo y acrecentadas de muchas figuras.
Estas Teóricas - dice su autor - « contienen tres partes : en la primera las teóricas según la doctrina de Copérnico ; en la segunda se declara, según nuestras observaciones, las causas porque van errados los movimientos del Sol y Luna, así en Copérnico como en el rey D. Alfonso ; en la tercera se dice de las estaciones de los planetas con un tratado de paralaxis ».
El tratado de Hidrografía, señalado con el núm. 7, es la segunda parte del Regimiento de navegación. El libro de los relojes de Sol, num. 9, « los enseña a fabricar en cualquiera superficie que sea y a descrevir en ellos todos los círculos que quisieran imaginar en el primer móvil y esto por diferentes caminos ». Existe ms. en la Academia de la Historia, según dice Fernández Duro. El Islario general de todas las islas del Mundo se halla en la Biblioteca Nacional de Madrid.
El otro libro publicado por Céspedes en Madrid, 1606, lleva por titulo Regimiento de navegación que mandó hazer el Rei ,nuestro Señor por orden de su Consejo Real de las Indias. Es de gran interés histórico, porque además de exponer las investigaciones personales para la determinación de la altura del Polo, contiene rectificaciones y observaciones a los trabajos de Labaña, Pedro Núñez, Zamorano, Tovar y otros, De este libro se hizo nueva edición en París, 1620. Andrés García de Céspedes murió en Madrid el año 1611.
(Han estudiado a García de Céspedes : Nicolás Antonio, I, 74 ; Fernández Duro ; Germán Latorre ; Gallardo, t. II y t. III, pág, 22 ; Picatoste, Apuntes, pág. 376 ; Fernández Vallin, paginas 40. 54, 64, 78, 92 y 249.)
JUAN CEDILLO DIAZ.- Son muchos los historiadores y bibliógrafos que le alteran el orden de los apellidos o que le suprimen el segundo. En la Biblioteca Nacional de Madrid (ms. 9.091) he visto manuscritos suyos fechados en 1618 y 1620 ; uno de ellos es un trozo de carta autógrafa con su firma : « El Dr. ju.n Cediilo Díaz ».
No seria injusto que su nombre figurara en las Historias generales de Matemáticas y Astronomía, porque su labor científica acusa un evidente progreso en las cartas de marear, en las aplicaciones de la brújula y del imán y en Hidráulica y Agrimensura.
Se sabe que nació en Madrid, que procedía de familia ilustre dedicada a la enseñanza, que llegó a ser cosmógrafo mayor del rey, catedrático de Matemáticas en la Academia de Madrid v que fue maestro del infante D. Fernando.
En 1610 experimentó desde Madrid a Lisboa una aguja lija (ideada por Fonseca) para dar un informe que le solicitó el Gobierno.
En 1615 dio otro informe sobre los medios de calcular la longitud.
En 1616 emitió otro sobre el proyecto de viaje de Ferrer Maldonado.
Del ms. de la Biblioteca Nacional antes citado, he tomado latos de las tres obras siguientes de Cedillo :
Los seis primeros libros de la Geometría de Euclides, traducidos del latín en castellano por orden del Rey. (Están fechados en el año 1620.)
Los dos libros de la arte de Pedro Nuñez de Saa.
Tres libros de la idea astronómica de la fabrica del mundo y movimiento de los cuerpos celestiales.
Picatoste (Apuntes), Vallin (págs. 208, 226 y 247) y Gallardo (t. II), le atribuyen ademas las obras siguientes, de asuntos matemáticos :
Tratado de la carta de marear demostrada geométricamente en la Academia de Madrid a 19 de octubre de 1616. (En él aprovecha las correcciones de Céspedes en los padrones de la Carta de Contratación)
Dianoia de los aspectos de los planetas ; pensamientos nuevos.
Reglas para hallar el lugar del Sol por las tablas de D. Alfonso ; para calcular el movimiento de Luna y para hallar el lugar de los tres planetas superiores. (Parecen apuntes para la cátedra).
De la calamita, brújula y del nordestear y noroestear de las agujas.
Del trinormo : tratado breve, útil y acomodado para los ingenieros y agrimensores, marineros, arquitectos y artilleros.
Carta náutica y geográfica, descrita en plano, para uso de la navegación, Cosmografía y Astronomía.
Apuntes de Geografía, astrolabio, piedra imán, etc., materias que explicaba en la Academia de Matemáticas de Felipe II.
Varios tratados de Astronomía.
MIGUEL GERÓNIMO DE SANTA CRUZ.- He aquí un aritmético español, cuyos trabajos sobre Aritmética se mantienen todo el siglo XVII en la Casa de la Contratación. No poseo mas datos biográficos que los que él mismo declara en la portada del libro que le ha dado fama de matemático.
Me refiero a la obra Dorado contador, Aritmética especulativa y practica. Contiene la fineza y reglas de contar oro y plata y los aneages de Flandes por moderno y compendioso estilo. Madrid, 1594. Dice ser natural de Valencia y hallarse avecindado en Sevilla.
El autor hizo una reimpresión en Sevilla, 1603. Después se han hecho mas ediciones durante dos siglos justos ; en el Laboratorio Matemático existen las de Madrid, 1625, Madrid, 1643 y Madrid, 1769 ; en El Escorial hay otra edición de 1794. El hecho de que una obra se edite durante doscientos años es más elocuente en favor del libro que todas las alabanzas que puedan hacerse.
Lleva esta Aritmética la aprobación de Pedro Ambrosio de Ondériz, lacónica pero laudatoria, pues dice : « He visto este libro por mandado del Consejo Real de Castilla, y me parece que será de mucha utilidad para los que lo leyeren : y assí se le podrá dar la licencia que pide. Fecha en Madrid a ocho de Mayo de 1594. »
Se divide la obra en dos libros. El primero está distribuido en XXII capítulos. Hasta el capitulo XVI inclusive trata de la numeración y de las cuatro operaciones elementales con enteros y quebrados, abstractos y concretos. Por las citas que hace, aparece claramente que recopila las obras de Nicolás Tartaglia, Juan de Sacrobosco, Miguel Scoto, Juan Pérez de Moya y Marco Aurel.
Los capítulos XVII y XVIII estudian las progresiones aritméticas con más extensión y de un modo más completo que los aritméticos del siglo xvi y aun que los del siglo xx, puesto que llega a dar reglas para la suma de los cuadrados de los términos de la serie de números enteros y de la serie de números impares, en la forma siguiente :
1 2 + 2 2 + 32 + 42+ 5 2+ 6 2+ 7 2+ 8 2+ 9 2+ 10 2+ 11 2+ 12 2 = [(12+13).12.13] : 6.
1 2 +3 2 +5 2 +7 2 +9 2 + 11 2 =[((11 + 13). 11. 13)/2] : 6
Sobre estas fórmulas de Santa Cruz ha hecho el Sr. Gallego Díaz una interesante nota, publicada en la Revista Matemática Hispanoamericana.
En el capitulo XIX trata de la raíz cuadrada. Da la regla práctica idéntica a la regla actual, lo que significa un gran adelanto respecto a Moya y Clavio. Enseña el modo de expresar la raíz aproximada de un numero que no sea cuadrado perfecto, añadiendo a la raíz entera un quebrado que tiene por numerador el resto por denominador el doble de la raíz más una unidad ; des pues de lo cual dice : « Y aunque muchos autores graves dan reglas de aproximar una raíz sorda por otro término, ésta que te ]he mostrado es suficiente, y muy común, porque así lo enseña Fray Juan de Ortega en su Aritmética, y Marco Aurel Alemán assimismo ; y no curen de más aproximación, pues por mucho que se trabajé en aproximar una raíz sorda no llegará a perfección, porque todo número no cuadrado es imposible hallarle raíz discreta, ni racional, porque no la tiene. »
En el capitulo XX, en que estudia la raíz cuadrada de los quebrados y las operaciones con radicales, vuelve a dar « otro arte mas delicado de aproximación » que, en resumen, es la aproximación de la raíz por decimales y por unidades fraccionarías en el sistema de base 60, es ;decir, en minutos, segundos, terceros, etcétera.
El último capitulo del primer libro trata de la raíz cúbica. En el libro segundo expone el estudio de las proporciones, inspirándose en la traducción de Commandino Euclides elementorum libri XV, quizá sobre la edición de Urbino, 1575. Después presenta, las aplicaciones a la regla de tres, compañía, falsa posición, aleaciones, reglas para el oro y la plata y aneages o cuentas de lencería.
En resumen, el Dorado Contador de Santa Cruz, bibliografiado por Nicolás Antonio (II, 137 y 343), Picatoste (Apuntes), Ximeno, Escudero y Peñalver, ha superado a las Aritméticas del siglo xvi y se ha sostenido, sin ser mejorado, todo el siglo xvII.
JULIO CÉSAR FIRRUFINO.- Su padre, Julián Firrufino, era un famoso italiano muy experimentado en Artillería teórica y práctica, que vino a España a requerimiento de Felipe II, para dirigir la Escuela de Artillería creada en Burgos. Desde Burgos pasó a Sevilla, donde residió hasta 1595. Después de esta fecha estableció su residencia en Madrid y fué encargado de una cátedra de la Academia de Matemáticas. En esta época nació su Dirijo Julio César y por eso se cree que nació en Madrid. Nicolás Antonio, en su Biblioteca nova, t. I, pág. 850, dice : « ex italo parente Juliano Firrufino apud nos nisi fallor natus, mathematicae disciplinae professionem ... ». Ni Picatoste, ni Peñalver, que han estudiado la obra de César Firrufino, dan dato biográfico alguno.
Julio César llegó a ser, como su padre, catedrático de la Academia de Matemáticas de Madrid, en la que explicó Geometría y Artillería. Murió el año 1651.
Utilizando datos proporcionados por su padre y con observae ;ones propias, compuso una obra matemática titulada El perfecto artillero. Sin que se sepa la causa le fue prohibida su publicación mediante un real decreto. En vista de ello publicó una obra titulada Práctica manual breve compendio de Artilleria, en Madrid. 1626. Empieza este libro con unas nociones de Geometría que no presentan nada original ni extraordinario.
Pasados algunos años debieron desaparecer las causas de la prohibición antes citada, por cuanto que en 1648 publicó en Madrid la primera obra, con el titulo El perfecta artillero. Theorica y pratica. (Palau, en su Manual del librero reseña esta obra poniendo como pie de imprenta Madrid, 1642) En la anteportada lleva un magnífico grabado con el retrato del autor en una orla muy artística, con las, figuras de Arquimedes y de Euclides, de cuerpo entero, sirviendo de columnatas.
En la redacción del texto se adivina el carácter presuntuoso ]el autor. Comienza, como en la obra anterior, con algunas definiciones geométricas, seguidas de algunos sencillísimos problemas sobre trazado de paralelas y perpendiculares. Sigue la doctrina de Artillería, con muchas aplicaciones geométricas. Al final añade unos Fragmentos matemáticos, que constituyen un libro distinto, aunque ocupa los folios 174 al 213 de la obra.
En la Introducción de estos Fragmentos consigna datos históricos interesantes y una curiosa clasificación de las diversas rama, de la Matemática.
He aquí en forma de cuadro la clasificacion que presenta Firrufino :
Metereocospia
Móviles =	Dioptrica
Astronomía	Gnomonica Altimetría, Profundimetria
Continuas		Planimetria	
Inmóviles =	Geodesia
Latimetria, Lomgimetria	Optica o
Catroptica
Cantidades	Geometría	Estereometria
Perspectiva Scenografica
Absolutas = Aritmética
Discretas	
Comparadas = Música
En la exposición de lo referente a Aritmética produce una gran decepción por su falta de originalidad y, lo que es peor, por su falta de nobleza. Por ejemplo, en el folio 182 del ejemplar que he visto en El Escorial, dice : « Sacar la raíz cuadrada de todo número quadrado y de la irracional la más propinqua, por un nuevo modo curioso », y resulta que sin citar más que la proposición 8.ª del IX libro de Euclides, reproduce el método de Santa Cruz y aplica la extracción de la raíz cuadrada al numero 524.176, que es, precisamente, el mismo ejemplo que trae Pérez de Moya en su Aritmética. La única novedad que introduce es la de separar con comas los grupos de a dos cifras, en vez de emplear puntos debajo de las cifras, como hacían sus antecesores.
En el estudio que presenta de la Trigonometría demuestra conocer al día los métodos trigonométricos, tanto en la resolución de triángulos como en el cálculo del área de un triángulo ,en función de los lados, puesto que sigue el procedimiento que implica la fórmula
S=  p (p-a) (p- b)( p-c).
Al final de los Fragmentos, en el folio 206, trae una breve y curiosa « Historia del Reloj, tomada de una Historia bien antigua ». Dice así : « Menon era pastor en Egipto y mientras apacentaba su ganado observada las sombras de los más altos montes. Por la misma sombra iba escribiendo números en la tierra, dividiéndolos en igual proporción. Hizo un circulo con una cuerda que comprendiese todos los números, tiró líneas desde el centro a ellos y en ese centro puso uno como gnomon, que con el Sol hiciese sombra. Ufano con su discurso lo dejó grabado en un ladrillo cocido 15 años antes de Foroneo, antiquísimo rey de Grecia.
Favio Vestal escribe que el primer Reloj de Sol le ordenó entre los romanos Lelio Papirio Cursor con su inventiva y discurso.
Marco Varron escribe que Marco Valerio Mesala, cónsul, puso el primer Reloj en público, derecho sobre una columna en tiempo de la primera guerra púnica.
Quinto Marcio Filipo, censor de Lelio Paulo, puso otro junto a aquél, ordenado con más diligencia.
Scipión Nasicae, colegial de Lenato, hizo un reloj sobre una torre, que servía también de noche, en el año 595 de la fundación de Roma. »
Después de esta fantasía, expone el modo de hacer un reloj equinoccial universal y termina con una tabla de latitudes de algunas villas y ciudades de España, Italia y Flandes. En resumen, bien está que Firrufino no figure en las Historias generales de la Matemática, pero limitado el campo de investigación a España únicamente, ya merece consignar que Julio Cesar Firrufino es uno de los matemáticos que, sin realizar ningún progreso, mantiene en la cátedra y en sus obras el nivel cultural español y logra infundir entre sus discípulos la afición a las Matemáticas.
Luis CARDUCHO [ O CARDUCHI o CARDUCCI ].- Nació en Madrid a fines del siglo xvi. Era hijo de padres italianos Y sobrino de los célebres pintores Bartolomé y Vicente. Estudió las Matemáticas con Julio César Firrufino en la Academia de Matemáticas de Madrid, cuando estuvo instalada en la casa del marqués de Leganés. Se titula en sus obras « Matemático de Su Magestad », y muere en Madrid a 24 de febrero de 1657.
Publicó en Madrid, 1634, un tratado de Agrimensura práctico titulado Cómo se deben medir las jurisdicciones y demás tierras, sus dificultades y con qué instrumentos. Es autor de una Corografía del rio Tajo y de unos Planos de un Proyecto de un proyecto de canalización del Tajo en 1610. Y finalmente dio a la estampa Elementos geométricos de Euclides, philosopho megarense. Sus seis primeros libros, traducido el texto y comentado, Alcalá, 1637. Esta obra es, en realidad, una traducción vulgar de los seis primeros libros de los Elementos de Euclides ; en sus comentarios tampoco se advierte gran originalidad, sobre todo teniendo en cuenta la traducción y comentarios de Rodrigo Zamorano, en Sevilla, 1577. Pero como no hay libro malo que no tenga algo bueno, encontramos en su obra dos notas ¿e interés. La primera es que anuncia la publicación de varios libros de Perspectiva, Geometría práctica, Artillería, Logaritmos, etc., « que del francés ha traducido añadido » ; ¿e lo cual deduzco que a pesar de las dificultades de comunicación, propias de la época, estaba al corriente del movimiento cultural de Francia. La segunda nota es que conoce y da cuenta de la nueva invención de los logaritmos, siendo la suya la obra española más antigua en que aparece la palabra logaritmos. Recuérdese que Briggs publicó su primera tabla de logaritmos en 1618. Y de modo que su conocimiento en España lleva el retraso de unos veinte años solamente. Tales son los datos que he recogido de Nicolás Antonio (II, 27), Picatoste y Peñalver.
JOSÉ ZARAGOZA.- He aquí una de los mayores prestigios de la Matemática en España durante el siglo xvii. Al tratar de García de Céspedes o de Cedillo se podía argüir que se han formado en el siglo xvi ; al hablar de Tosca o de Corachán cabe hacer la objeción de que aunque nacen en 1651 y 1661, respectivamente, sus producciones son de pleno siglo xviii, pero José Zaragoza es uno de los matemáticos españoles, netos representantes del siglo xvii, porque nació en Alcalá de Chibert, provincia de Castellón, en el año 1627, se educó en Valencia, se dedicó a la enseñanza en Calatayud, Mallorca, Valencia y Madrid, no salió de España y murió en Madrid el año 1679.
Es lástima que no exista un estudio bibliográfico de José Zaragoza sobre la base de un comentario detenido de sus obras matemáticas. Yo voy a aportar todos los materiales que conozco por si alguien quiere aprovecharlos ; quizá nadie más indicado que mi querido amigo D. Armando Cotarelo, que tan perfectamente ha estudiado al P. Zaragoza como astrónomo.
Para la parte biográfica se tienen ya muchas noticias recogidas, especialmente por Ximeno y Sommervogel. Peñalver, en su discurso, añade algunos datos muy interesantes.
Nació, como ya he dicho, en Alcalá de Chibert (entonces villa de Valencia, perteneciente al obispado de Tortasa) en el año 1627. Fue a estudiar a Valencia, en el Seminario de Vives. Pasó después a la Universidad y se graduó de Maestro en Artes. Estando en la Universidad comenzó su afición a las Matemáticas ; llegó a adquirir tal cantidad de conocimientos que se hizo pública su especialidad y, una vez Maestro en Artes, la ciudad de Valencia le ofreció una Cátedra de Matemáticas con aumento de salario. La aspiración de José Zaragoza, en aquel entonces, era conseguir el grado de doctor y una cátedra en la Facultad de Teología, y no admitió el ofrecimiento. Entregado al estudio de la Teología se le despertó la vocación religiosa, hasta el punto de solicitar el ingreso en la Compañía de Jesús, en la que fue admitido el año 1651. Tan rápidamente destacó su saber dentro de la Orden, que le redujeron el tiempo de noviciado y antes de pasados dos años le enviaron a leer Retórica al Colegio de Calatayud. Poco tiempo después, le trasladaron al Colegio de Mallorca para que leyese Artes y Teología. Durante unos cuatro años se le encuentra, sucesivamente, en los Colegios. de Barcelona y Valencia, leyendo Teología. A modo de premio o de ascenso se le nombró prefecto de las Conferencias de Teologia Moral en la Casa Profesa.
Al mismo tiempo se le nombraba calificador en Valencia del Tribunal de la Inquisición.
No decayó en todo este tiempo su afición a las Matemáticas y siguió cultivándolas intensamente, simultaneando sus estudios e investigaciones con la enseñanza de la Teología. Tuvo la suerte de enseñar Matemáticas a D. Diego Felipez de Guzmán, marques de Leganés, cuando éste prócer era virrey y capitán general del Reino de Valencia. Este discípulo pasó a ser capitán general de Cataluña y luego gobernador de Milán ; por todas partes donde iba y en cuantas ocasiones se le presentaban alababa tan encomiásticamente a su maestro, que trascendió hasta Madrid la fama de matemático del P. Zaragoza y le trasladaron a la Corte para encargarle de la cátedra de Matemáticas en el Colegio Imperial. En el año 1671 estaba explicando dicha cátedra, luego el encargo no fue posterior a esta fecha.
Sus dotes científicas causaron tan general asombro, que le llamaron Vir onbnibus scientiis et dotibus ornatissimus, Mathematicorum Patronus pariter et Prniceps.
La suposición social del P. Zaragoza culmina en 1675, cuando el propio rey Carlos II le nombra preceptor suyo en Matemáticas, miembro de su Consejo de la Suprema Inquisición y su consejero privado en multitud de asuntos.
Bajo su dirección se construyó una caja o estuche de aparatos de Matemáticas que regaló al rey en su cumpleaños, en 1675, juntamente con una obra en que se explica el uso de dichos instrumentos. La caja, con catorce aparatos, se depositó en la Biblioteca Nacional de Madrid.
Su fama de matemático trascendió fuera de España ; su nombre era celebrado en París, Lisboa, Roma, Flandes. y América. No puede extrañarse esto, si se tiene en cuenta que la Compañía de los jesuitas era la más interesada en dar a conocer sus glorias científicas y que la organización de la Compañía se dispersaba por todos los ámbitos del mundo. Casi a mediados del siglo xviii se conservan vivos el recuerdo y las alabanzas, como lo prueba el Tratado de los cometas, del P. Joseph Cassani, profesor del Colegio Imperial de Madrid, donde aparece, en la pág. 140, el siguiente párrafo : « El año 1677 apareció el cometa que observó en Madrid el P. Joseph Zaragoza, celebérrimo Maestro en estos estudios y del Rey nuestro señor D. Carlos II, cuya fama, bien merecida, dura ov en las alabanzas de quantos le conocieron ».
Relativamente joven, murió en el año 1679, a los cincuenta y dos años de edad. Por esto causa mayor maravilla su asombrosa fecundidad en el campo matemático.
Las obras publicadas por el P. Zaragoza son las siguientes :
1. Arithmetica universal, que comprehende el Arte menor y mayor, Algebra vulgar y espaciosa. Valencia, 1669. Una extensa nota bibliográfica de esta obra puede verse en la Revista de la Sociedad Matemática Española, t. I, 1911-12, pág. 179.
2. Euclides Nuevo - Antiguo. Geometría especulativa y práctica de los planos y sólidos, Valencia, 1671. [Se titula en la portada : Calificador del Santo Oficio, Catedrático de Teología Escolástica en los Colegios de Mallorca, Barcelona y Valencia y ahora de Matemáticas en los Estudios Reales del Imperial de Madrid.] De esta obra se hizo una nueva edición en Madrid, 1678, y además hizo una traducción latina con el titulo Euclides Novo - Antiquus singulari methodo illustratus. Valencia, 1673.
3. Canon trigonometricus, continens Logaritmios sinuum et tangentium ad singula scrupula totius semicirculi. Radii Logarithmo 10.000.000. Matriti, 1672.
4. Tabula logarithmica, continens undecim numerorum chiliades, cum suis Logarithmis, ab unitate scilicet at 11.100. Dispositis nova methodo et proportioni astronomicae applicatis in gratiam Astronomorum. Matriti, 1672.
5. Trigonometría española, Resolución de los triángulos planos y esféricos. Fábrica de los senos, tangentes, logaritmos y el uso de todos ellos. Mallorca, 1672. Nueva edición en Valencia, 1673, y una traducción latina titulada Trigonometría hispana : Resolutio triangulorum plani & sphaerici, constructio sinuum, tangentium & secantium & logarithmorum, eorunque usus. Valencia, 1673. La Academia de Ciencias Exactas de Madrid posee un ejemplar de la Trigonometría española y otro de la Trigonometría hispana, seguidos ambos del Canon trigonometricus y de las Tabula logarithmica. Sobre ellos publicó una nota bibliográfica D. Luis Octavio de Toledo en la Revista de la Sociedad Matemática Española, t. I, 1914-15, pág. l75.
6. Esfera común celeste y terráquea. Madrid, 1674. De esta obra hizo nueva redacción e impresión con el titulo Esphera en comun celeste y terráquea. Primera impresión. Año de 1675. En Madrid.
7. Fábrica y uso de varios instrumentos mathematicos con que sirvió al Rey nuestro señor Carlos Il el Excmo. Sr. Duque de Medinaceli. Madrid, 1674, y Madrid, 1675.
8. Geometría magna in minimis, in III partes divisa., I. De mínimis in comuni (164 págs.) ; II. De minimis in plano (234 páginas) ; III. De minimis in sólido (291 págs.). Prima editio. Toledo, 1674. Existe un ejemplar en la Biblioteca de El Escorial, 14-II-7.
9. Observations de la comete de 1677, faits a A,rganda, pres de Madrid, envoyées a Cassini’. (En Jlournal des savants, 1677, pág. 214.) Una traducción latina de este trabajo en Archiv. Vatican.a, Spagna, n. 149.
Otras obras del P. Zaragoza que quedaron manuscritas, son las siguientes :
10. Trjgonometria aplicada a la esfera celeste.
11. Trigonometria aplicada a la esfera terráquea.
12. Perspectiva general.
13. Cometa de los años 1664 1665 con el método de hallar el curso de todos los cometas, su distancia, grandor, hipótesis, etcétera. (Hay una copia en los folios 42-92 del ms. de la Bibl. De Ste. Genevieve, de Paris, núm. 1.04.5-3 ; t. 1, pág. 485 del Catálogo.)
14. Geographia de Principes con mapas le láminas de Flandes, Para el Rey nuestro señor Carrlos II.
15. Loca plana Apollonii Pergaei.
16. Data Euclidis singular methodo demonstrata.
17. Trigonographia et Data pro motu [sic en Sommervogel].
18. De Ellipsi et circulo.
19. Pseudogeometria contra Antonium Santonio [o Santinio] et alios authores.
20. Astronomía hypothetica.
21. Astronomía decimalís.
22,. Astroizoniia tigenaria.
23. Dióptrica.
24. Cursus Mathematicus. Seis volúmenes, en folio.
25. Astrononiía nova methodo juxta Lansbergii hypothesim ad meridianum, Matritensem, accommodata, ad long. 1.9 gr. 20 min. Pars I. Continens universa calculi praecepta. Pars II. Continen Tabulas motuum Planetarum. Año 1670. [ Este ms. estuvo en poder del matemático español Joseph Vicente del Olmo, según cuenta Ximeno, y actualmente se halla en la Biblioteca Nacional de Madrid, Aa, 84.]
26. Tabulae motuum, coelestium, juxta nobiliores hypotheses, ad meridianum Matritensem accommodatae, excellentissimo domino marchioni de Leganés dicatae, anno domini 1674. (Contenido en las págs. 32-41 del ms. de la Bibl. de Ste. Genevieve, de Paris, núm. 1.045-3 ; t. 1, pág. 485 del Catálogo..)
27. Tratado de esfera e introducción a la Astronomía. [Este manuscrito se conserva en la Biblioteca Nacional de Madrid, bajo signaturas Aa 115 y Aa 208.] 28. Astronomía teórica Práctica. [También existe en la Biblioteca Nacional de Madrid, Aa 114.]
Para ampliar los datos que aquí he recogido pueden consultarse las obras siguientes : Nicolás Antonio, I, pág. 894 ; Ximeno, Escritores del reino de Valencia, en la dedicatoria, en la aprobación de Mayans y en el t. II ; Vicente de la Fuente, t. 11) página 482 ; Gallardo, t. II ; Vallín, pág. 214 ; Alonso, Revista Calasancia, pág. 146 ; Sommervogel, Blbllotheque de la Compagnie de Jesús ; Peñalver, Discurso de apertura, Sevilla, 1930 ; Sánchez Pérez, Las Matemáticas en la Biblioteca del Escorial.
JUAN CARAMUEL, Y LOBKOWITZ.-La critica histórica se ha conformado con juzgarle como matemático ilustre solamente ; en este sentido se ocupa de él el historiador Cantor, con la circunstancia de que omite que es español. En un reciente folleto de V. Vetter, L’histoire de sciences en Tchecoslovaquie (Bulletin du Comité International des Sciences historiques, mayo 1933), incluye al « matemático español Juan Caramuel » entre los sabios brillantes que formaron la ciencia tcheca ’
La biografía de Caramuel está perfectamente conocida desde el siglo xviii.
Nació en Madrid el 23 de enero de 1606. Fijé hijo de don Lorenzo Caramuel y Lobkowitz, ingeniero, natural de Bohemia, que ejercía en España su profesión, y de D Catalina de Frisia, natural de Flandes. Su abuelo, que era luxemburgués, estuvo en Madrid al servicio de Carlos V. Fue tan evidente y asombrosa su precocidad en los conocimientos matemáticos, que su padre llegó a temer que abandonase otros estudios ; aprendió en Alcalá Gramática, Retórica, Poética y Filosofía inclinado por sus maestros a entrar en la Congregación cisterciense, tornó el hábito en el Monasterio de la Espina ; siguió el estudio de la Filosofía en el Colegio de Monte de Rama, en Galicia ; se dedicó a. la Teología en el Colegio de Nuestra Señora del Destierro en Salamanca ; explicó Teología en los Colegios -de Alcalá de Henares y Palazuelos ; se trasladó a Portugal y después a Lovaina, en cuya Universidad recibió el grado de doctor en Teología, y durante algunos años se dedicó a la enseñanza de esta ciencia ; Caramuel entendía veinticuatro idiomas.
Felipe IV le otorgó varias mercedes, y su Orden le nombró, en 1634, vicario general de Inglaterra, Escocia e Irlanda. después fue abad de San Disibodo en el Palatinado, y coadjutor del arzobispo elector de Maguncia, con el titulo de obispo de Misia.
Al llegar este momento de su vida, tendría Caramuel unos cuarenta años.
Es cierto que era español, porque había nacido en Madrid, pero en sus venas llevaba sangre bohemia, y por esto el final de sus días no lleva el sello de españolismo. Accedió gustoso a los halagos extraordinarios del emperador de Austria y del primado de Bohemia. El emperador Fernando III le nombró abad de los Monasterios benedictinos de Viena y de Nuestra Señora de Montserrat, en Praga. El arzobispo de Praga y primado de Bohemia le hizo su vicario general. Fue encargado de la conversión de bohemios infieles, y lo hizo con tal acierto, que convirtió a. rmás de 34.000 ; el emperador le, hizo sucesivamente obispo de Rocas, de Iprea y de Koenisgretz.
El pontífice Alejandro VII le llamó a su lado y le recibió con singulares muestras de afecto.
Dicen todos sus biógrafos que en 1665 es nombrado obispo de Campania en Nápoles, pero yo he visto en la Biblioteca Nacional de Madrid (ms. 18.725-11) una carta autógrafa en latín con fecha, 27 de septiembre de l659, con la firma Johannes Caramuel EP.s Campaniensis, y, por consiguiente, llevaba ya lo menos seis años de obispo de Campania en el año 1665.
Despuéls fue arzobispo de Tarento y últimamente, según declara en la portada de su Arquitectura civil, impresa en, 1678, era arzobispo de Vegeven, conde de Zem y del Consejo de S. M.
El lunes 7 de septiembre de 1682, murió en Milán, desempeñando el alto cargo eclesiástico.
Todos los biógrafos de Caramuel reproducen el episodio del emperador Fernando III, que empleó toda una tarde en visitar la celda del sabio y en reconocer sus obras manuscritos, que eran más de 260, muchas de ellas en folio, sobre toda clase de materias. El comentario que atribuyen al emperador es así : « Yo no quiero juzgar si los manuscritos que he visto son malos, o buenos ; júzguenlo los lectores que los compran a precio muy subido y los impresores que tantas veces los estampan. Sólo digo que a no haberlo visto, no me fuera nunca creíble que una sola mano y una sola pluma hayan escrito tantas cosas y tan diferentes ;. » No es extraño que Fr. Martin Sarmiento le alabe en forma ardiente, ni que Menéndez Pelavo le califique de portento de la sabiduría, ni que Oviedo y Arce diga que es el símbolo de la Ciencia española del siglo xvii. Pero aunque tales juicios fueran recusados por estar emitidos por compatriotas, suyos, todavía le quedan los autorizados elogios extranjeros, como el del historiador alemán J. J. Brucker, en su Historia criticar Philosophiae, Leipzig, 1743, t. IV, pág. 132, en que le califica de « hombre de singular ingenio ».
Con el titulo Omnium Operum, Caramuelís Catalogus, existe un libro en la Biblioteca de El Escorial (110-111-25). Contiene el catálogo de sus obras y a continuación la denominada Theologia fundainentalis.
El diccionario biográfico matritense de Ballesteros publica un catálogo con sesenta y siete obras de Caramuel.
Y el mismo Caramuel, en su Arquitectura civil, inserta la colección de sus obras con anotaciones sobre las mismas. Seleccionando las obras que tienen relación con las Matemáticas, encontramos las siguientes :
1. Coclestes inetamorphoses. Bruselas, 1639. Transfigura las teóricas circulares de los planetas era G,@Lras formas. (La nota explicativa es de Fernández Diéguez.)
2. Mathesis audax. Lovaina, 164@). Decide, aritmética y geométricam@ente, por números y por lincas, las más graves y todas las dificultades que se disputan en la Lógica, en la Fisica y en la Teologia. (Esta nota es tamb’en de Fernández Diéguez. Sospecho que el libro es de poco interés.)
3. De n(>,yeni syderibus clica joveni @ !issis. 1,ovaina, 1643. Demuestra este tratado que o las observaciones de Rhe@itac son ficticias, o que estos nuevos planetas son verdaderos. (Nota de Fernán,dez Diéguez.)
4. Soll’s et Artis Adtílteria. LGvaina, 1643. Describe ingeniosaniente, y en pocas palabras, los relojes. (Nota de Fernán¿ez Diéguez .)
5. De perpendiculorum inconstancia,. Lovaina, 1643.
6. Boetius, su vida. Praga, 1647.
7. Sublilniwm i’ngeni . orum crity. Lovaina, 1641@). Mide la caída de los graves, consultando cuidadosamente la experiencia.(Nota de Fernández Diéguez.)
8. Cursus mathe@matl’cus. Esta es la linica obra de Caramuel que yo he examinado con interés. Comprende cuatro partes : l.ª Mathesis vetus. 2ª Mathesis nova. 3.ª Mathesis architectónica ; 4ª. Mathesis astronómica y Uranometria. Aunque el Cursus niathematicus lo tuviera terminado en Praga, 1649, la primera edición se hizo en tres tomos, en folio, en Campania, 1667, y Sant-Angelo, 1668. En una nueva edición publicó las dos primeras partes, en dos tomos, con él titulo Mathesis biceps, vetus et nova. Campania, 1670. Al publicar de nuevo la tercera parte, la tituló Archltectura civil, recta y oblicua. Vegeven, 1678. Del Mathesis biceps, vetus et nova existe un ejemplar en la Biblioteca de El Escorial. El libro es magnífico en su presentación y su contenido ; es una enciclopedia de los conocimientos matemáticos de su tiempo.
David Fernández Diéguez y Patricio Peñalver han hecho un estudio critico muy completo. Peñalver señala como interesante una aceptable construcción aproximada de la trisección de un ángulo, aunque lamentándose de que Caramuel no declare que es aproximada, y que por otra parte afirme que los antiguos no resolvieron el problema, por lo cual cabe suponer que creyera exacta su trisección. Asimismo pondera Peñalver una resolución gráfica, original de Caramuel, utilizando dos escalas contiguas, una de números y otra de logaritmos, es decir, que utiliza el fundamento de la regla de cálculo. Aunque este artificio es original de Caramuel, ya había ideado Gunter otro análogo en el año 1650.
En la sección o sintagma quinta, de la Mathesis nova, estudia los logaritmos y dice que « La logarítmica es, ciencia nueva que une la Aritmética con la Geometría ; fue inventada por Neper en el año 1615, adelantada por Briggio y finalmente, creemos, perfeccionada por nosotros ». Dice Caramuel lo que acabo de transcribir, porque después de conocer los trabajos de Neper y de Briggs, inventó un sistema de logaritmos que denominó perfectos. En el sistema de logaritmos caramuelianos la base es 10 9, el logarltmo de 10 10 es cero y el logaritmo de 1 es 10. Según esto, los logaritmos de Caramuel son los complementos a 10 de los logarjtmos de Briggs y, por consiguiente, no tiene que emplear características negativas en los cálculos trigonométricos.
Las tablas de logaritmos publicadas por Caramuel son anteriores a las publicadas por el P. Zaragoza. El descubrimiento de los logaritmos de Caramuel no representa, en el aspecto científico, ninguna ventaja sobre los logaritmos de Briggs, pero evidentemente hay que considerar a Caramuel como precursor de los matemáticos que introducen el cálculo de los cologaritmos. Los historiadores que dan cuenta de las tablas de cologaritmos de V. M. Caillet, de S. W. Holrnan Y de L. G. Gascó, deben también citar las tablas de Caramuel.
No tengo noticia de que ningún, investigador baya estudiado la tercera parte del Cursus mathematicus de Caramuel, que en la edición de Vegeven, 1678, en folio mayor, dedicada al príncipe D. Juan de Austria, lleva por titulo Architectura civil, recta y oblicua. La he visto en el ejemplar de la Biblioteca de El Escorial y la juzgo mucho más interesante que la Matiiesis blceps. Está distribuida en tres tomos. El tomo I contiene IX capítulos de Aritmética, VI de Logarítmica, Radicación. y Trigonometría, y XII de Geometría. El tomo II se refiere exclusivamente a Arquitectura, con abundantes aplicaciones de Matemáticas. El tomo III es el Atlas de figuras, que están dibujadas por Coesar de Laurentiis ; en él aparecen todas las láminas del libro Mathesis biceps.
Caramuel sostuvo controversias científicas con Ticho-Brahe en que puso de manifiesto su enciclopedismo.
No me cabe duda de que Caramuel era, en su tiempo, uno de los hombres más sabios del mundo.
A titulo de curiosidad, sin importancia científica, recordaré que el Compendio matemático del P. Tosca, reproduce, en el tomo I, un problema enunciado en verso por Caramuel, para ser resuelto por regla de tres. He aquí el problema :
« Supónese un León de mármol, que despide agua por ojos, pies y boca ; y se busca lo que el Obispo Caramuel propone en la forma siguiente :
El que fulminó incendios en el Cielo, / y si nie abrasa el Sol, abraso el mundo, / hoy en la tierra convertido en yelo, / por ojos, pies y boca nie difunde, / y con n etar divino / refresco al fatioado peregrino. / Este pilón de inármol esenlpido, / que en pocos días ha sido fabricado, / en dos el primer ojo le ha llovido ; / pero en tres el segundo le ha llorado / en quatro el pie le toca, / y se escupe en seis horas por la boca. / Esto hace un caño solo : / ¿y todos juntos ? Lo defina Apolo. »
(No es, pues, más que el clásico problema de los caños de un estanque con un enunciado caprichoso. Cada uno de los cuatro caños lo llena, respectivamente, en 48, 72, 96 y 6 horas. Los cuatro juntos en 4 h. 43’ 16", 72.)
ANTONIO HUGO DE OMERIQUE.-En la Historia de las Matemáticas, de Montucla, t. II, pág. 167, a pesar de ser una obra tan antiespañola, rinde culto a Omerique, indudablemente por la sugestión del juicio de Newton. Dice Montucla que « España ha tenido, hacia fines : de este siglo xvii, un analista geómetra que mereció consideración y alabanzas a Newton, a saber, el geómetra Hugo Omerique. En su obra quiso establecer el enlace entre el análisis algébrico de los antiguos y de los modernos, y de este modo encontró soluciones elegantes y sencillas, para muchos problemas ».
D. Lucio del Valle, contestando al discurso de ingreso en la Academia de Ciencias de D. José Echegarav, en 1866, se expresó de este modo : « El método empleado por Omerique es el analítico, aplicado ya por los griegos y por los árabes ; suponer el problema resuelto ; establecer relaciones entre los datos y las incógnitas, y deducir de dichas relaciones el valor de las cantidades o magnitudes desconocidas ; pero hay dos circunstancias que dan valor a la obra del geómetra sanlucarense. Es la primera, la unidad que en toda ella preside. Es la segunda, que su método es una combinación del análisis algebraico ,r geométrico, io cual constituye algo grandemente parecido a lo que en la Ciencia moderna se llama aplicación del Algebra a la Geometría. ¿Quién sabe si en otro siglo y cm otros estímulos hubiera sido Omerique el Descartes de nuestra España ?... Y obsérvese, por último, que cuando el inmortal geómetra inglés, el creador del Cálculo, el genio potente que descubrió la atracción, daba valor e importancia a la obra de Omerique, alguna novedad y adelanto debía contener para aquellos tiempos ».
El primer estudio biobibliográfico de Omerique lo hizo Pedro A. Berenguer y lo dió a conocer en la revista Progreso Matemático, Zaragoza, 1895, pág. 116. Recientemente ha publicado un juicio critico sobre el trabajo de Berenguer y sobre la obra de Omerique el catedrático de Análisis matemático de la Universidad de Sevilla, Patricio Peñalver, en su Discurso de apertura del curso 1930-31, Sevilla, 1930, pág. 44.
Comenzaré, pues, por dar un resumen del trabajo de investigación de Berenguer y de las adiciones de Peñalver. Nació Hugo de Omerique en Sanlúcar de Barrameda el día 6 de enero de 1634. Fueron sus padres Hugo Antonio y Maria David, acaso comerciantes, como hasta cierto punto lo hace sospechar la circunstancia de haberle tenido en la pila bautismal un mercader flamenco, llamado Antonio Vicente, siendo su padrino.
No existe ninguna noticia respecto a donde realizó sus primeros estudios. Por referencias de los PP. jesuitas, que le estimaron mucho y le protegieron, se sabe que estuvo avecindado en Cádiz, antes del año 1689. El P. Jacobo Kresa publicó en 1689 unos Elementos de Euclides e insertó dos problemas inventados y resueltos por Omerique. El referido Kresa dice a este propósito : « que en aquel siglo de cultísimos ingenios esperaba de él [de Omerique] la Geometría su mayor pulimento, con el cual tenia resueltos los más difíciles problemas que hablan ejercitado los ingenios de los pasados geómetras ; y que sus trabajos verían pronto la luz ».
Se sabe que Omerique estuvo eón Madrid, donde trató al príncipe Rogelio Ventimiglia, muy versado en Ciencias exactas, quien le comunicó algunos problemas utilizados después por el sabio sanlucarense en su obra Analysis geometrtca.
Nada se sabe de la fecha ni del lugar de su fallecimiento. Por referencias el mismo Omerique, dadas en su Analysis .geometrica, págs. 434 v 435, se sabe que tenia compuesto un Tratado de Aritmética y dos de Trigonometría ; .no se conserva rastro de su paradero ni dato de que se hayan impreso.
En Cádiz, 1691, publicó unas, Tablas [logarítmicas] artificiales.
La obra Analvsis geomtetrica tenia dos partes, pero solamente se imprimió la primera, en Cádiz, 1691.
La parte publicada del Anailysis geometrica forma un volumen de 444 páginas de texto y 22 de preámbulo. La portada es como sigue :
Analalysis geométrica sive nova, et vera methodos resolvendi tam problemata geometrica, quan arithmeticas quaestiones. Pars prima de Planis. Authore D. Antonio Hugone de Omerique sanlucarense. Gadibus, 1698. Está impreso con esmero y lleva figuras intercaladas en el texto.
Dedica la obra al matemático D. José Banet y Campodarve. Antes de la fe de erratas pone el autor una advertencia, donde dice que en su Analysis geometrica « ofrece la solución,., por la verdadera vía analítica, de problemas que desde muy antiguo preocuparon al orbe matemático ». Se halla dividida en Introducción, cuatro libros y un apéndice. En los cuatro libros abundan las consideraciones generales, fecundísimas en resultados transcendentales, a la manera de las que enriquecen la Aritmética universal de Newton, publicada con posterioridad. Tales son, por ejemplo, las que hace al principio del libro II, respecto de las facilidades que proporciona la semejanza de las figuras para la resolución de los problemas. Con la teoría de las cantidades lineangulares, desarrollada en el libro I, resuelve con novedad sorprendente y facilidad suma cuestiones que embarazaron a Pappus de Alejandría, Descartes y Schooten, y en el libro III halla un método directo y elegante para construir un triángulo, dadas su base, su altura y la suma o diferencia de los lados, que el sagaz Gregorio de San Vicente no pudo resolver sin recurrir a las secciones cónicas, ni Vieta, con la regla y el compás, sin apelar a un método indirecto.
En la Introducción resuelve varios problemas, que denomina Propositio, cuyo objeto es determinar segmentos rectilineos, conociendo relaciones entre ellos, sus cuadrados, sus recíprocos, sus diferencias, sus productos, ete. Siguen después las razones y proporciones, citando al margen de cada proposición la correspondiente de los Elementos de Euclides. Incluye una nota sobre Algorithmus rationum, escrita por el P. Powell, y sigue el autor haciendo la traducción analítica de algunas argumentaciones del libro II de Eudides ; termina la Introducción con otras proposiciones, geométricas en su mayoría que vienen a ser escolios que adiciona a la clásica obra de Eudides. En el Apéndice trata de la resolución de triángulos esféricos, basándose en algunas proposiciones que no aparecen consignadas en parte alguna de la obra, pero puesto que en ésta cita el Ana1ysis trigonometrica, parece indudable la existencia de esta obra, que debió hacer en fecha anterior.
Del examen de la obra de Omerique y de las indicaciones hechas por el P. Kresa, deduce Berenguer que la segunda parte del Análisis geométrica, bajo la rúbrica De, problematibiis solidis se da representación analítica a superficies de varias, clases, anticipándose en más de treinta años a los trabajos de Clairaut, de 1731. En cambio, Peñalver cree « que no es de esperar que tratara en la segunda parte la representación cartesiana de las superficies, cuando en la primera silencia la representación analítica de las curvas ».
En la duda, no puede incluirse a Omerique entre los creadores de la Geometría analítica, pero es evidente que en su obra aparecen destellos que permiten considerarle como uno de los precursores.
De la severa y razonada critica que hace Peñalver, desmerece algo la importancia que se había concedido al Análisis geométrica. Reconoce el fuerte espíritu matemático de Omerique y consigna las favorables alusiones que hace Chasles en su Aperçu historique..., pág. 42 y pág. 155, que extracta en esta forma :
« En su Historia de los Métodos geométricos, considera Chasles a Omerique como ono de los que han tratado de restituir total o parcialmente la Sección determinada de Apolonio ; y, en esta empresa, le presenta acompañado de Snellius y Ghetaldi, anteriores a él, y de R. Simson, muy posterior. »
El otro pasaje de la misma Historia, hace Chasles el mas rotundo alegato en pro de la Geometría clásica, aduciendo la predilección que por ella sentía Newton ; y con tal fin, de la obra de Pemberton View of Sir Isaac Newton’s Philosophy (1728), copia el siguiente párrafo, alusivo a aquel sabio : Más de una vez le he oído aprobar la empresa de Hugo de Omerique, de restablecer el antiguo Análisis, y hacer grandes elogios del libro de Apolonio De sectione rationis, que revela mejor que ninguna otra obra de la antigüedad, la naturaleza de aquel Análisis.
Aquí viene como anillo al dedo la expresión de mi reconocimiento a D. Francisco Vera por haberme facilitado una copia de un fragmento de una carta de Newton, que el profesor Pelseneer, de la Universidad de Bruselas, encontró en Oxford. No ,sabe Pelseneer a quién iba dirigida la carta, y sospecha que fue escrita hacia 1699. El documento inglés dice
Y have look into De Omerique’s Analysis Geometrica & find it a judicious & valuable piece answering to yr Title. ffor thern,, is laid more simple for restoring for a Geometer then the .Algebra of the Moderns. ffort it leads him more easily & readilv to the compcsition of Problems & the composition, w ch ít leads him to is usually more simple & elegant then that w ch is foret from Algebra.
O sea, traducido al castellano :
« Señor : He examinado el Análisis Geométrica de Omerique y lo considero como una obra juiciosa y de valor que responde a su título, porque expone en la forma más sencilla el medio de restaurar el Análisis de los antiguos, que es más sencillo y más ingenioso y más a propósito para un geómetra que el Algebra de los modernos. Así, su método, le conduce más fácil y directamente a la resolución de los problemas. Generalmente, llega a resoluciones más sencillas y elegantes que aquéllas otras obtenidas al aplicar los conocimientos del Algebra. »
Yo tengo por seguro que Omerique conocía las obras de Christoforo Clavio (1537-1612), Gregorio de San Vicente (1584-1667), Marino Ghetaldi (1566-1627), Carlo Renaldini (1615-1698), Francisco Schooten, hijo (que muere en 1661), Andrés Tacquet (1612-1660) y Francisco Vieta (1540-1603). El método de Omerique fue aceptado y seguido por el P. Kresa en su libro Analysis speciosa, Praga, 1720 ; por Samuel Horseley en su obra Apollonii Pergaei Inclinatiorum libri duo, Oxonii, 1770, y por Juan Guillermo Carmerer en Apollonii Pergaei De tactionibus, Gotha, 1795.
Finalmente, Omerique publicó un folleto titulado Comercio de las barras de plata. Tablas artificiales para ajustar breve, fácil y puntualmente el valor de una barra, conforme los estilos de España y de las Indias. Cádiz, 1691. 30 hojas en folio. Sobre él puede verse una nota en el Anuario de la Academia de Ciencias, 1898, pág. 173.
Otros datos y citas sobre Omerique pueden verse en Jacobo Kresa, Elementos de Eudides, Bruselas, 1689, págs. 250 y 264 ; Tomás Vicente Tosca, Compendio matemático, t. II, Valencia, 1709, pág. 313 ; Christian F. von Wolf, Kurzer Unterricht von den vornehmsten Mathematischen Schriften, Viena, 2ª.edición 1763, pág. 45 ; Menéndez Pelayo, Ciencia española, t. II, página 90 ; Fernández Vallin, págs. 42 y 214 ; Sánchez Pérez, Las Matemáticas en la, Biblioteca del Escorial.
Los conocimientos de Historia de la Matemática del siglo XVII.
La verdadera Historia de la Matemática no empezó a cultivarse, ni en España ni fuera, hasta mediados del siglo xviii.
El primero que merece el nombre de historiador de la Matemática es J. C. Heilbronner, que publicó su Historia mathesos unive,rsae, en Leipzig, 1742. El interés de esta obra es, mucho mayor en su parte bibliográfica de manuscritos, que en su parte histórica.
A la Historia de Heilbronner siguió la de J. l. Montucla, publicada en primera edición, en dos tomos, en París, 1758. Del examen de esta primera edición se deduce que fué Montucla un formidable investigador. El mismo Montucla preparó una segunda edición en cuatro tomos ; pero muerto en 1799, no pudo publicar más que los dos primeros tomos en París, 1789, y fué Lalande quien se encargó de publicar los tomos III y IV, en París, 1802. Tanto Montucla como Lalande adolecen de un grave defecto, impropio de un historiador : dicho defecto es el de una manifiesta parcialidad hostil a cuanto se refiere a España. Puede explicarse esta hostilidad achacándola al ambiente político que iba preparando la guerra, que estalló pocos años después. Otro historiador importante del siglo xviii es el alemán A. G. Kaestner, cuya obra Geschichte der Mathematik, en cuatro tomos, se fué- publicando en los años 1796, 1797, 1799 y 1800.
En el siglo xix toman impulso los trabajos de Historia de la Matemática. Las Historias generales que más se destacan son las siguientes :
C. Bossut : Essai sur l’histoire générale des Maithématiques. París, 1802.
P. Franchini : Saggio sulla storia delle Matematiche. Lucca, 1821.
H. Suter : Geschichte der Mathematischen Wissenschaften. Zurich, 1873.
M. Marie :Histolre des sciences mathemataques et physiques. En 12 volúmenes, París, 1883-1888.
H. G. Zeuthen : Forelaesning over matematikens historie. Copenague, 1893.
M. Cantor : Vorlesuguen über Geschichte der Mathematik. En cuatro tomos. Las últimas ediciones son, respectivamente, Leipzig, 1907, 1914, 1901 y 1908.
A la vez que se iban publicando estas historias generales en todos los países, menos en España, iban haciendo su Historia particular ; en todos los países, menos en España, se iban creando cátedras de Historia de las Matemáticas.
¿Tenemos, pues., derecho, en lo que a Matemáticas se refiere, a quejarnos de los extranjeros, por su silencio ? ¿O es que queremos que de fuera nos hagan nuestra Historia, a nuestro gusto ? Somos nosotros los que tenemos la obligación de hacerla. Después de hecha, ya tendremos derecho a quejamos.
La labor de investigación española, en el siglo xix, quedó reducida a la publicación de Rico Sinobas sobre Alfonso el Sabio, a la labor bibliográfica de Picatoste y de Vallín, y a algunos trabajos sueltos de Saavedra, Vicuña, Navarrete y Berenguer. Pero frente a ellos existió el influjo negativo del discurso de Echegaray.
En el Siglo XX han realizado investigaciones históricas interesantes Rey Pastor, Cantera, Soriano, Millás, Lorente Pérez y Peñalver. José María Iñiguez ha traducido recientemente al castellano la moderna historia de la Matemática de Wieleitner, y, por último, Francisco Vera está publicando la primera obra de conjunto con el título de Historia de las Matemáticas en España, cuyos cuatro primeros tomos publicados comprenden desde San Isidoro hasta el término de la España musulmana.
Cuando tengamos hecha nuestra Historia, descubriremos a los extranjeros lo que es España y su historia, porque no nos conocen. Hace pocos meses, en noviembre de 1933, oí decir al ilustre ingeniero español Juan de la Cierva : « En el extranjero existe un profundo desconocimiento sobre España. Todavía sangra en muchos lugares del Globo la leyenda negra. Y mientras la pujanza y el crecimiento físico y espiritual de Italia son ventajosamente apreciados en cualquier país de Europa, España sufre el dolor de no ser conocida en su actual prosperidad. Y es menester que todos, todos, curemos con nuestro esfuerzo esa triste ignorancia. »
Yo creo haber aportado mi grano de trigo al granero, señalando los matemáticos del siglo xvii que se esforzaron en que no se detuviera el progreso científico en el suelo español.

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