Source: https://www.scribd.com/document/39535046/inecuaciones
Timestamp: 2017-10-22 21:45:08+00:00

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x + = 0 . x + = 0 2 3 4 1 1 1 x = 0. Los términos en x (los coeficientes) deberán ser siempre positivos. 1 3 1 − . x− 1 1 1 = 0. Ejemplo. INECUACIONES RACIONALES.0 4 1 . Si la inecuación tiene el signo <. Los intervalos . +∞ 2 Rpta: x ∈ −∞. la solución estará dada por la unión de los intervalos “negativos” (llevan el signo -) y si tiene el signo ≤ . c). x = − 2 3 4 Ubicando los “puntos críticos” en la recta numérica: Por tener signo ≥ 0. los intervalos (+) serán cerrados.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano b).2.7. d). los intervalos serán cerrados. Se pueden presentar los siguientes casos: a) b) c) P(x) >0 Q(x) P(x) ≥0 Q(x) P(x) <0 Q(x) 89 . Factorizando la expresión aplicando la regla de ruffini: x x− 1 2 x+ 1 3 x+ 1 ≥0 4 Hallando los puntos críticos: x =0. x = − .∞ y + ∞ son considerados abiertos en la solución final. x = . 4. Resolver: 24x 4 + 2x 3 − 5x 2 − x ≥ 0 Resolución.
+∞ 7 ( x − 4 ) ( x + 5 )( x − 3 ) 2) Resolver: >0 ( 3x + 2 ) (2x + 1)(x + 4) 8 Resolución. se obvia en la solución (teniendo en cuenta si puede o no ser “cero”) Tendríamos: 90 . x = −2 .. los valores críticos en sus intervalos respectivos siempre serán “bola abierta”….1 [2. • • Cuando un factor tiene exponente natural impar.”o” El método más práctico es el de los “puntos críticos” Ejemplos.Matemática I d) P(x) ≤0 Q(x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios ordenados en “x“ completos o no. x-1=0 x =2. x = 1 Deben ser " bola abierta " para evitar la in det er min acion de dividir entre cero ∴ x ∈ −2. sólo lo consideraremos una vez como factor. Para la solución al factorizar Q(x). Cuando un factor tiene exponente natural par. x+2=0 . 1) Resolver: Resolución. Q(x)= x2+x-2=(x+2)(x-1) Tenemos: x−2 ≥0 (x + 2)(x − 1) x−2 ≥0 x2 + x − 2 Los puntos críticos serán: x-2=0 . Entonces P(x)= x-2 .
x = 3 .2. x = −5 . Resolver: 4 x + 2 < 8 x + 2 Resolución. siempre que N > 1 (el sentido no cambia) 91 . Entonces estamos en el primer caso: Si : Nf ( x ) > Ng( x ) <2 2 x+2 < 2 . −4 1 . 3( x − 2 ) x+2 f(x) > g(x) . x x+2 2x 3.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ( x − 4 ) ( x + 5 )( x − 2 ) > 0. 1. Nf ( x ) > Ng( x ) 2). x + 5 = 0 . Colocamos 4 y 8 en base 2: x x−2 (2 ) 2 x x+2 < ( 23 ) x + 2 2. x − 3 = 0 . ( 2x − 1)( x + 4 ) 1 Con 3x + 2 ≠ 0 x≠− 2 3 Los puntos críticos serán: x − 4 = 0 . x = 1 . INECUACIONES EXPONENCIALES Se presentan únicamente las formas: 1).3 2 4. x−2 x+2 x−2 Efectuando “el exponente de exponentes”…. +∞ − x = − 2 3 4. siempre que N > 1 (el sentido no cambia) Ejemplo. x = −4 2 Rpta: x ∈ −5. ademas N ∈ R Si : Nf ( x ) > Ng( x ) f(x) > g(x) . 2x − 1 = 0 . x ∈ R.8. 2 Se observa que N=2 (2>1)……. Nf ( x ) < Ng( x ) Tanto en f(x) como g(x). x + 4 = 0 x = 4 .
2) La base de un logaritmo no puede ser menor que cero(tampoco cero) 92 . logb 1 = 0 VI.008 ) x −1 x −2 x −1 x−2 ≥ ( 0.logb A n V. x−2 ( 0. II. loga N = logb N (cambio de base) logb a Tener en cuenta que: 1) Los logaritmos sólo se extraen a números reales.2. logb b = 1 VII. Resolver: Resolución. logb n A = . INECUACIONES LOGARITMICAS Debemos recordar previamente que si: logb N = x ⇔ N = b x Notacion Logaritmica Notacion exp onencial Además de las siguientes propiedades del logaritmo: I.008 ) x −1 ≥ x −1 ( 0.04 ) x −1 ≥ ( (0.04 ) x+4 Transformando convenientemente ( 0.2(<1) Entonces: 3 ( x − 1) x−2 x −1 Re solviendo la inecuacion por puntoscriticos : x ∈ 1.9. la solucion sera x ∈ −∞.2 ≤ 2 ( x + 3) [3.2) ) 3 Estamos en el caso 2 Se observa que N=0. −2 6. logb A n = nlogb A 1 IV. +∞ 2.5] 4. logb AxB = logb A + logb B logb A = logb A − logb B B III.Matemática I 2x 3(x − 2) − <0 x+2 x+2 Re solviendo.2)2 ) x −1 x −3 x−3 ((0.
Además hemos tomado log22. a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo. 1. la hemos bajado tomando logaritmo a ambos miembros.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Se presentan entonces dos casos: I CASO: La base b es mayor que 1. + ∞ Rpta. Resolver: 2x > 3 2 x > 3 ⇔ log2 2x > log2 3 ⇔ x log2 2 > log2 3 ⇔ x > log2 3 ∴ x ∈ log2 3.y ∈ R Si : b > 1 ∧ 0 < x < y Luego : Si : x > 0. b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo negativo Por ello . 93 . b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo positivo.dados x. 0 < b < 1 logb x >N logb x <N 0<x<bN x>bN logb x < logb y Ejemplos.dados x. Por ello . 0 < b < 1 x > 0. para aplicar la propiedad: logb b = 1 2 3 2.y ∈ R Si : b > 1 ∧ 0 < x < y Luego : Si : x > 0. b > 1 x > 0. b > 1 logb x >N logb x <N x>bN x<bN logb x < logb y II CASO: La base b es 0 <b <1 a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo. Resolver: 2log8 (x − 2) − log8 (x − 3) > Resolución. Por estar la incógnita como exponente.
x ≠ 4 x>3.Matemática I 2log8 (x − 2) − log8 (x − 3) > En (*) : 2 3 ∧ ∧ ∧ log8 ( x − 2) x−3 2 2 > 2 2 .3 >0 x−3 ∧ x−3 > 0 .x − 3 > 0 x ≠ 2. x≠4 4. x > 3 ∴ x ∈ 2.2. INECUACIONES CON RADICALES 1.. y números ℜ Entonces: 0 ≤ 2.- TEOREMA si n es un Z+ par entonces: n x ≤n y ⇔ 0≤ x ≤ y x < n n y ⇔ 0≤ x < y 4...(*) 3 ( x − 2) x−3 2 >0 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2) x −3 x−3 2 x −3 > 83 >4 −4 >0 2 x ≠ 2.- TEOREMA Sean a y b números R. entonces : a < b ⇔ a ≥ 0 ∧ b > 0 ∧ a < b2 a ≤ b ⇔ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 ∧ a ≤ b2 94 ..x ≤ y ⇔0 ≤x ≤y LEMA : Sean x . x > 3 ∧ ( x − 2) 2 − 4(x − 3) x −3 x 2 − 8x + 16 ∧ >0 x−3 >0 ∧ x ≠ 2. y números ℜ 0 ≤ x < y ⇔0≤x< y 3.LEMA : Sean x .. +∞ ( x − 4) 2 4.10.- TEOREMA Si n es una Z+ impar entonces a) b) c) d) n n n n x ≤n y⇔x≤y x <n y⇔x< y x ≥0⇔x≥0 x <0⇔x<0 5..
0 > ∴ A = x ∈[ − 4 . 1.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 6. + ∞ > ) ∧ 0 ≤ x + 4 < 4 ( x ∈ < − ∞ . − 1] ∪ [ 2 . 2 x −x −2 2− x +4 ≥ x −3 Resolución Por el teorema: a ≥ b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] Calculo del universo: 2 x −x −2 2− x +4 ≥ 0 ( x2 − x − 2 ≥ 0 ∧ 2 − A x+4 >0) ∨ ( x2 − x − 2 ≤ 0 ∧ 2 − B x+4 <0) Calculo de A: A: 2 x −x −2 ≥ 0 ∧ x +4 < 2 x +4 < 4 ( x − 2)( x + 1) ≥ 0 ∧ ( x ∈ < − ∞ . − 1 ] Calculo de B: B: 2 x −x −2 ≤ 0 ∧ 2< x +4 ( x − 2)(x + 1) = 0 ∧ ( x − 2) ( x + 1) = 0 4 < x +4 ∧ 0 ≤ 4 < x +4 0≤4 (x − 2 = 0 ∨ x + 1 = 0 ) ∧ ( x = 2 ∨ x = −1 ) ∧ ∧ 4 < x +4 ℜ ∧ 0<x 95 . entonces : ∨ ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b2 ) (b ≥ 0 ∧ a ≥ b2 ) a >b⇔ a≥0∧ b<0 a ≥b⇔ a≥0∧ b<0 EJEMPLOS Resolver las inecuaciones dadas y representar sus soluciones sobre una recta real. + ∞ > ) ∩ x ∈ [ − 4 . − 1] ∪ [ 2 .- TEOREMA Sean a y b números R. − 1] ∪ [ 2 . + ∞ > ) ∧ − 4 ≤ x < 0 ( x ∈ < − ∞ .
− 2] ∪ [ 1 . 1] ∪ { 2 } Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo. + ∞ > ) ∧ [ ℜ ∧ x ∈ < − 2 2 . − 2] ∪ [ 1 . + ∞ > ) ∧ 0 ≤ 1 ∧ x − 8 < 0 ( x ∈ < − ∞ .x − 1 > x −4 Resolución Por el teorema: a > b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a > b )] Calculo del universo: 2 x + x −2 + 3 2 9 − x −1 ≥ 0 ( x2 + x − 2 + 3 ≥ 0 ∧ A 9 − x2 − 1 > 0 ) ∨ ( x2 + x − 2 + 3 ≤ 0 ∧ B 9 − x2 − 1 < 0 ) Calculo de A: A: 2 2 x + x −2 ≥ −3 ∧ 1 < 9− x 2 ( x + 2)(x − 1) ≥ 0 ∧ 0 ≤ 1 < 9 − x 2 2 ( x ∈ < − ∞ . − 2] ∪ [ 1 . 2 x + x −2 +3 2 9. 1] ∪ { 2 } 2. 2 2 > ] ( x ∈ < − ∞ .S. = x ∈ U = [ − 4 . + ∞ > ) ∩ x ∈ < − 2 2 .Matemática I (x = 2 ∨ x = − 1 ) ∩ x > 0 ∴ B = {2} Sustituyendo A y B U = x ∈ [ − 4 . − 2] ∪ [ 1 . ∴ C. 2 2 > ∴ A = x ∈ < −2 2 .2 2 > Calculo de B: 96 . −2] ∪ [ 1 . + ∞ > ) ∧ [ ℜ ∧ (x − 2 2)(x + 2 2) < 0 ] ( x ∈ < − ∞ .
5 > ] ( x ∈ < − ∞ . − 2 ] ∪[ 4 . −1] ∪ [ 4 . − 2 ] ∪ [2 . − 1] ∪ [ 4 . Resolución 2 x − 3x − 4 21 − 2 x −4 ≥ x −8 Por el teorema: a ≥ b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] Calculo del universo: 2 x − 3x − 4 21 − ( 2 x −4 ≥ x −8 x 2 − 3x − 4 ≥ 0 ∧ 21 − A x2 − 4 > 0 ) ∨ ( x 2 − 3x − 4 ≤ 0 ∧ B 21 − x2 − 4 < 0 ) Calculo de A: A: 2 x − 3x − 4 ≥ 0 ∧ 2 x −4 < 21 ( x − 4)( x + 1) ≥ 0 ∧ 2 x −4 < 21 2 ( x ∈ < − ∞ . + ∞ > ) ∧ [ ( x ∈[ 2 . − 1] ∪ [ 4 . − 2 ] ∪ [ 1 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano B: 2 x + x −2 + 3 ≤ 0 ∧ φ ∩ 2 9−x < 1 2 9−x < 1 ∴ B = φ Sustituyendo A y B U = ( x ∈< − 2 2 . = x ∈ U = < − 2 2 . + ∞ > ∪ x ∈ < − ∞ .S. + ∞ > ) ∧ 4 ≤ x < 25 ( x ∈ < − ∞ . 2 2 > 3. − 2 ] ∪ [ 1 . 5 > ) ∴ A = x ∈ < −5 . + ∞ > ) ∧ 0 ≤ x − 4 < 21 2 ( x ∈ < − ∞ .5> 97 . + ∞ > ) ∩ ( x ∈ < − 5 . − 2 ] ∪ [ 1 . − 1] ∪ [ 4 . − 2 ] ) ∩ x ∈ < − 5 . ∴ C. 2 2 > Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo. 2 2 > ) ∪ φ = x ∈< − 2 2 .
∴ C. 5 > ) ∪ φ Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo. = x ∈ U = x ∈ < − 5 .S. − 2 ] ∪ [ 4 . − 2 ] ∪ [ 4 . 2 x − 5x + 4 − 2 2− x −2 ≥ x −6 Resolución Por el teorema: a ≥ b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] Calculo del universo: 2 x − 5x + 4 − 2 2− ( x−2 ≥ 0 ∧ 2 − x − 2 > 0 ) ∨ ( x2 − 5x + 4 − 2 ≤ 0 B ∧ 2 − x − 2 < 0 ) x2 − 5x + 4 − 2 ≥ 0 A Calculo de A: A: 2 x − 5x + 4 ≥ 4 ∧ x−2 < 4 2 0 ≤ 4 ≤ x − 5x + 4 ∧ 0 ≤ x − 2 < 4 98 . 5 > 4.Matemática I Calculo de B: B: 2 x − 3x − 4 ≤ 0 ∧ 21 < 2 x −4 ( x − 4)( x + 1) = 0 ∧ 21 < x2 − 4 2 ( x − 4) (x + 1) = 0 ∧ 0 ≤ 21 < x − 4 ( x −4 = 0 ∨ x +1 = 0 ) ( x = 4 ∨ x = − 1) ∧ ℜ ∧ ∧ 0 ≤ 21 ∧ 2 21 < x − 4 2 25 < x ∨ ( x = 4 ∨ x = − 1) ∩ ( x > 5 ∴ B = φ x < −5 ) Sustituyendo A y B U = (x ∈ < − 5 .
0] ∪ [ 5 . + ∞ > ) ∩ x ∈[0 . 6 > ∴ A = x ∈[ 5 . Resolución Determinar por extensión el conjunto A: A = { x ∈ ℜ / 2x + 3 x − 5 ≥ 0 } x ≥ 5 − 2x 3 a ≥ b Por el teorema: ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] x ≥0 ∧{ 5 − 2x 5 − 2x 5 − 2x 2 <0 ∨[ ≥0 ∧ x≥( ) ]} 3 3 3 25 − 20x + 4x2 )} ] 9 x ≥0 ∧{x > 5 2 ∨ [x ≤ 5 2 ∧ x ≥ ( 2 x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ [ x ≤ 5 2 ∧ 4x − 29x + 25 ≤ 0 ]} 99 . + ∞ > ∴ B = φ Sustituyendo A y B U = x ∈[ 5 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2 4 ≥ 0 ∧ 4 ≤ x − 5x + 4 ∧ 2 ≤ x < 6 ℜ ∧ x ( x − 5) ≥ 0 ∧ 2 ≤ x < 6 ( x ∈ < − ∞ . ∴ C. + ∞ > ( x ∈ [0 . 1] ∪ [ 4 . 1] ∪ [ 4 . Si A = { x ∈ ℜ / 2x + 3 x − 5 ≥ 0 } y B = { x ∈ ℜ / x − 6 x − 2 + 8 > 0 } . 6 > ∪ φ Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo.S. 6 > Calculo de B: B: 2 x − 5x + 4 − 2 ≤ 0 ∧ 4< x−2 x2 − 5x + 4 ≤ 4 ∧ 0 ≤ 4 < x − 2 2 0 ≤ x − 5x + 4 ≤ 4 ∧ 0 ≤ 4 ∧ 4 < x − 2 2 ( x − 5x + 4 ≥ 0 2 ∧ x − 5x + 4 ≤ 4 ) ∧ ℜ ∧ x >6 [ (x − 4)(x − 1) ≥ 0 ∧ x (x − 5) ≤ 0 ] ∧ x > 6 [ ( x ∈ < − ∞ . 6 > 5. + ∞ > ) ∧ x ∈[2 . 5] ) ∩ x ∈ < 6 . hallar A ∩ B . = x ∈ U = [ 5 . 5 ] ] ∩ x ∈ < 6 .
hallar el complemento de A en B. + ∞ > A = x ∈ [1 .x .( x2 + 7x − 8). + ∞ > C. 5 2] } x ≥ 0 ∧ x ∈ [1 . = x ∈[2 .( x . Si A = { x ∈ Z / 3 . x + 6 . 25 4] )} x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ x ∈ [ 1 .3x − 2 4x + 21 . 4 x + 3 .(x3 − 27) ≤0 2.(x − 12).x ≤ 0 } y 2 B = { x ∈ A / ∃ y ∈ Z/ x = y } . + ∞ > ∩ x ∈[2 .( x + 1) 1.S. + ∞ > EJERCICIOS PROPUESTOS 3 2 4 5 7 x − 9x − 10 .Matemática I x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ [ x ≤ 5 2 ∧ (4x − 25 )(x − 1) ≤ 0 ]} x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ ( x ≤ 5 2 ∧ x ∈ [1 .2) . 100 . + ∞ > Determinar por extensión el conjunto B: B = { x ∈ ℜ / x −6 x − 2 + 8 > 0 } x −2 < x +8 6 a <b ⇔ Por el teorema: x − 2≥ 0 ∧ [ 2 a ≥ 0 ∧[ b > 0 ∧ a < b ] x +8 x +8 2 > 0 ∧ x−2 < ( )] 6 6 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ 36 (x − 2) < x + 16x + 64] 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ 36x − 72 < x + 16x + 64] 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ x − 20x + 138 > 0] 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ (x − 10) + 38 > 0] x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ ℜ] x ≥ 2 ∧ x > −8 B = x ∈ [2 . + ∞ > Nos piden: Hallar A ∩ B = x ∈[1 . Resolver : 12 .
1) .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 3 2 2 x − 1 . 1. a ≥ 0 .4 > → 1 4−x <1 3x − 5 ≤ 20 1 )∈ < 0 .( x3 − 13x + 12) 3.( x . a + b ≤ a + b (desigualdad triangular) PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES 1.11. a = −a 4). ∀a ∈ R 3). x < y ⇔ [ y > 0 ∧ ( − y < x < y)] 2 2 2. Demostrar la validez de cada uno de las siguientes proposiciones: a) Si x < 3 → c) x ∈[−5 . 1 > x+5 b) Si x . ab = a b 5). Determinar el valor de m para que la inecuación: .b ≠0 b b 6).( x3 + 8x2 + 4x − 48) 4. Resolver: ≥0 3 (x + 4) . INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO. se cumpla x2 + x + 1 4. x < y ⇔ x < y ⇔ x 2 = y 2 4. x > y ⇔ [ y ≥ 0 ∧ (x > y ∨ x < − y) ] 3.2. 1).3 < ∀ x ∈ℜ .1 < 4 → ( 101 . x + y ≥ x + y EJEMPLOS. x2 − mx + 1 < 3 . ∀a ∈ R 2). a ≥ a. a a = .
c ∈ ℜ a + b + c ≤ a + b + c Resolución a) Si x < 3 → x <3 ↔ ↔ ↔ 1 4− x <1 −3 <x < 3 −3 <− x < 3 Multiplicando por -1: Sumando + 4: 1 < 4−x < 7 ↔ ↔ 1 1 < <1 7 4− x Pero como 1 > −1 7 −1 < 1 <1 4−x 1 <1 4−x ∴ La afirmación es verdadera. c) x ∈[−5 . b) Si x . b. > x −5 8 2 ∴ La afirmación es falsa.1 < 4 → ( 1 )∈ < 0 .4 > → 3x − 5 ≤ 20 3x − 5 ≤ 20 ↔ − 20 ≤ 3x − 5 ≤ 20 ↔ − 20 ≤ 3x − 5 ≤ 20 ↔ − 15 ≤ 3x ≤ 25 Sumando + 5: Dividiendo entre 3: 102 . 1 > x+5 x -1 < 4 ↔ − 4 < x − 1 < 4 ↔ − 4 < x − 1 < 4 Sumando + 6: ↔ 2 < x −5 < 8 Invirtiendo: ↔ 1 1 1 < < 8 x −5 2 1 1 1 ∈ < .Matemática I d) x < 1 → 1 − 5x 2x − 3 <6 e) Si a.
25 ] 3 ∴ La afirmación es falsa. En las siguientes implicaciones. demostrar que el consecuente también es verdadero.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ↔ − 15 3x 25 ≤ ≤ 3 3 3 25 3 ↔ −5 ≤ x ≤ x ∈[ − 5 . el antecedente es verdadero. 1. d) x < 1 → 5x − 1 2x − 3 <6 i ) x < 1 ↔ −1 < x< 1 ↔ −1 < x< 1 ↔ − 5 < 5x < 5 ↔ − 6 < 5x − 1 < 4 Multiplicando por 5: Restando – 1: ii ) x < 1 ↔ − 1 < x < 1 ↔ −1 < x< 1 ↔ − 2 < 2x < 2 ↔ − 5 < 2x − 3 < −1 Multiplicando por 2: Restando – 3: Invirtiendo: ↔ −1 < 1 1 <− 2x − 3 5 Multiplicando en aspa i) y ii) 5x − 1 6 < 2x − 3 5 5x − 1 2x − 3 −4 < − < 6 5 6 5x − 1 6 < < 5 2x − 3 5 ∴ La afirmación es falsa. 103 .
Matemática I a) Si x ∈ < 0 .q. b ∈ ℜ a − b ≤ a + b d) x − 1 < 1 → x + x − 2 = 2 Resolución a) Si x ∈ < 0 .d. 1 > → 2x x+3 ↔ − 2x x +3 < 2 3 < 2 3 ↔ − 2x 2 2 < < 3 x+3 3 6 2 2 < 2− < 3 x+3 3 Multiplicando por .1: ↔ − ↔ ↔ 6 2 2 Sumando + 2: < − 2< 3 x+3 3 6 4 8 < < 3 x+3 3 3 x+3 3 < < 4 8 6 Invirtiendo: Multiplicando por 6: Restando – 3: ↔ 18 18 < x + 3< 4 8 3 3 <x< 4 2 3 3 . b ∈ ℜ a − b ≤ a + b a−b 2 2 2 2 = (a − b) = a − 2ab + b ≤ 2 2 2 ≤ a − 2 ab + b =( a − b ) a−b 2 2 ≤( a − b ) a − b a−b ≤ l.q. 104 . 1 > → c) Si x < 1 → 2x x +3 < 2 3 x +5 x +1 <3 b) Si a. > 4 2 ↔ − x∈ < − ∴ La afirmación es falsa. b) Si a.
Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) Si x 1 −1 < x+2 7 y x > 0 → x > 12 b) Si x ∈[ − 3 . con c > 0 Resolución a) Si x 1 −1 < x+2 7 y x > 0 → x > 12 x−x−2 x+2 1 7 x 1 −1 < x+2 7 ∧ x >0 → < ∧ x >0 2 x+2 < 1 7 ∧ x >0 x + 2 > 14 ∧ x > 0 ( x + 2 > 14 ∨ ( x > 12 ∨ x > 12 x + 2 < − 14 )∧ x > 0 x < − 16 )∧ x > 0 105 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano c) Si x < 1 → x+5 x +1 x+5 x +1 <3 x+5 x +1 <3 4 ↔ − 3< <3 ↔ − 3< 1 + ↔ −4< 4 x +1 <3 Restando . 2] → x3 − 2x2 + 3x − 4 < 28 c) Si a−b ≤ c → a < b + c.1: Invirtiendo2: Multiplicando por 4: Restando – 3: x +1 <2 ↔ − 1 x +1 1 < < 4 4 2 ↔ − 1< x + 1 <2 ↔ − 2 < x < 1 Pero -1 > -2 ↔ − 1 < x <1 x <1 ∴ La afirmación es verdadera. 2.
b = c = 1 . b) Si x ∈[ − 3 . Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones para números reales. c > 0 [ − 1000 − 1] < 1 .− 1 10 > x −7 Resolución a) Si x < 0 → ( x − 1) 3x − x2 − 2) > 0 ( 106 . se tiene que: Por ejemplo si [ a − b] < c . 2] → x3 − 2x2 + 3x − 4 < 28 Ya que si x ∈[ − 3 . 2]. a) Si x < 0 → (x − 1) 3x − x2 − 2) > 0 ( c) x2 − 7x + 10 < 0 → 2x − 7 < 3 b) x+2 3 < x+3 2 → x −5 < 2 d) x < 3 → ( 1 )∈ < − 1 4 . pero a < b + c. podemos elegir x = − 3 3 2 En este caso: x3 − 2x2 + 3x − 4 = ( − 3) − 2(−3) + 3( − 3)+ 2 = − 27 − 18 − 9 + 2 = − 58 Luego: x3 − 2x2 + 3x − 4 < 28 − 58 58 < 28 ∴ La afirmación es falsa. con c > 0 a = − 1000 . pero 1000 < 1 + 1 ∴ La afirmación es falsa.Matemática I ∴ La afirmación es verdadera. 3. c) Si a−b ≤ c → a < b + c.
1: Sumando + 1: ↔ 6 < x + 3 < 10 ↔ 1 1 1 < < 10 x + 3 6 1 1 1 <− < − 6 x+3 10 ↔ − ↔ ↔ 5 1 9 < 1− < 6 x + 3 10 5 x+2 9 < < 6 x + 3 10 9 x+2 9 < < 10 x + 3 10 x+2 9 < x+3 10 ↔ − ∴ La afirmación es falsa. c) x2 − 7x + 10 < 0 → 2x − 7 < 3 2 x − 7x + 10 < 0 2 (x − 7 2 ) − 9 4 < 0 2 (x − 7 2 ) < 9 4 107 . 2 > − {1 } ∴ La afirmación es verdadera. b) x+2 3 < x+3 2 → x −5 < 2 x −5 < 2 ↔ −2 < x −5 < 2 Sumando + 8: Invirtiendo: Multiplicando por .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2 ( x − 1) [ −( x − 3x + 2) > 0 ] 2 ( x − 1) ( x − 3x + 2) < 0 ( x − 1)( x − 1)( x − 2) < 0 2 ( x − 1) ( x − 2) < 0 2 ( x − 1) ( x − 2) < 0 x <2 ∧ x ≠1 x ∈ < − ∞ .
− 1 10 > x −7 ↔ −3 < x < 3 ↔ − 10 < x − 7 < − 4 ↔ ↔ − 1 1 1 < <− 4 x −7 10 1 1 1 ∈ < − .q.y ∈ ℜ Luego: i) (a + b) − a ≤ a + b + a b ≤ a+b + a a − b ≥ − a+b ii) (a + b) − b ≤ a + b + b a ≤ a+b + b a − b ≤ a+b Por i) y ii). Demostrar que ∀ a .d. se tiene: − a+b ≤ a − b ≤ a+b Por el Teorema: x ≤ b ↔ b ≥ 0 ∧ − b ≤ x ≤ b a − b ≤ a+b l.− > x −7 4 10 ∴ La afirmación es verdadera. 108 .Matemática I −3 2 < x −7 2 < 3 2 − 3 < 2x − 7 < 3 2x − 7 < 3 ∴ La afirmación es verdadera. b ∈ ℜ : Demostración a − b ≤ a+ b Aplicaremos la desigualdad triangular para la resta: x−y ≤ x + y .q. ∀ x . d) x < 3 → ( x <3 1 )∈ < − 1 4 . 4.
5 > → ( Resolución a) x -5 < 2 → 1 )∈ < 1 10 . 1 4 > 8− x x+2 x+3 < 2 3 x −5 < 2 ↔ −2 < x −5 < 2 Sumando + 8: Invirtiendo: Multiplicando por .5 < 2 → c) 0 < x < 1 → b) x < 1 → x+2 x+3 < 2 3 1 1 < <1 3 x+2 x+5 x +1 <3 d) x ∈ < − 2. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) x .1: Invirtiendo2: ↔ −4< 4 x +1 <2 109 . ↔ − b) Si x < 1 → x+5 x +1 x +5 x +1 <3 <3 ↔ − 3< x+5 x +1 4 <3 ↔ − 3< 1 + x +1 <3 Restando .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 5.1: Sumando + 1: ↔ 6 < x + 3 < 10 ↔ 1 1 1 < < 10 x + 3 6 1 1 1 <− < − 6 x+3 10 ↔ − ↔ ↔ 5 1 9 < 1− < 6 x + 3 10 5 x+2 9 < < 6 x + 3 10 9 x+2 9 < < 10 x + 3 10 x+2 9 < x+3 10 ∴ La afirmación es verdadera.
6.b = a − b y Luego: a+ b =a+ b 110 . entonces: a = a . 1 4 > 8− x 1 1 1 < < 10 8− x 4 4 < 8 − x < 10 − 10 < x − 8 < − 4 −2 < x < 4 Invirtiendo: Multiplicando por – 1: x ∈ < − 2.4 > ∴ La afirmación es falsa. d) x ∈ < − 2.5 > → ( ↔ ↔ ↔ ↔ 1 )∈ < 1 10 . c) 0 < x < 1 → ↔ 1 1 < <1 3 x+2 1 1 < <1 3 x+2 Invirtiendo: Restando – 2: ↔ 1 < x+2 < 3 ↔ −1 < x < 1 x <1 ∴ La afirmación es falsa. a .Matemática I ↔ − 1 x +1 1 < < 4 4 2 Multiplicando por 4: Restando – 3: Pero -1 > -2 ↔ − 1< x + 1 <2 ↔ − 2< x <1 ↔ − 1 < x <1 x <1 ∴ La afirmación es verdadera. Demostrar que si 0 ≤ b ≤ a → Demostración a − b ≤ (a + b)(a − b) Como: 0 ≤ b ≤ a. b = b .
se tiene: z = c−d (a− b)+(b−c) +(c−d ) ≤ a− b + b−c + c −d a −d ≤ a − b + b−c + c−d 8.( a − b ) ≥ 0 También: 8 abc ≥ 8 abc (8 ..b.c.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Sabemos que: . Demostrar que ∀ a. Demostrar que ∀ a.8 ) abc ≥ 0 .y.. Pero: x+y ≤ x + y x = a− b haciendo: y = b − c .c.( a − c ) ≥ 0 .b ≤ b a−b ≤ a+b /+ a / (a − b) ≥ 0 2 (a − b) ≤ (a + b)(a − b) a−b ≤ a − b (a + b)(a − b) ≤ / (a + b)(a − b) 7.z ∈ ℜ ... se cumple: ( a + b ) ( a + c )( b + c )≥ 8 abc Demostración 2 a . ∀ u.(**) 111 .b.d ∈ ℜ : ..( b − c ) ≥ 0 Esclaro que: 2 b .d ∈ ℜ : Demostración a−d ≤ a− b + b−c + c−d Desde la desigualdad triangular: u + v ≤ u + v .v ∈ ℜ Es posible demostrar la siguiente desigualdad: (x +y) z ≤ x +y + z ≤ ( x + y )+ z + x + y +z ≤ x + y + z . ∀ x.(*) 2 c ..
(*) Caso 2: b ≥ 0 en este caso: b < c + a .... se tiene: a ( b − c )2 + b ( a − c )2 + c ( a − b )2 + ( 8 − 8 ) abc ≥ 0 a 2 ( b + c ) + ac ( b + c ) + ab ( b + c ) + bc ( b + c ) ≥ 8 abc ( a 2 + ac + ab + bc ). Sean los números reales a. b. c tales que a y c son signos diferentes demostrar que si a< b < c → b ≤ a + c . entonces: c es positivo y a negativo.x x = 2 . Demostrar que: Demostración 2 + x − 2..(**) ∴ 0≤ b < c b < c De (*) y (**) b < a + c 10. −1) ( ∴ a > b b < a b < a + c .Matemática I Luego. de (*) y (**). ∴ a< 0 < c a b 0 b c Caso 1: b < 0 en este caso: −a> − b > 0 ∴ a < b < 0 /. ( b + c )≥ ( a + b ) ( a + c )( b + c ) ≥ 8 abc 9..( b + c ) ≥ 8 abc 8 abc [ a ( a + c ) + b ( a + c ) ] . c tiene signos diferentes: Como a < c.. si x > 2 112 . Demostración. Sabemos que a < b < c y a. si 0 < x < 2 4 x ..
En los ejercicios siguientes.3 > → 0 < x < 3 → 0 < 7x < 21 → 2 < 7x + 2 < 23 Dado que: 7x + 2 > 0 → ∀ x ∈ < 0. si x ∈ < 0 . partiendo de la condición dada.1 > Eliminamos las barras del valor absoluto. esto es: Si x ∈ < 0 . si x ∈ < 0 . si x ∈ < −5 .− 2 > Resolución 4x + 1 − x − 1 x a) E = .1 > . 4x + 1 − x − 1 x 7x + 2 − 3x + 2 x a) E = b) E = .3 > Elimínanos las barras del valor absoluto. si x ∈ < −3 . hallar el valor de la expresión E en el intervalo indicado. si x ∈ < 0 .1 > → 4x + 1 = 4x + 1 Si x ∈ < 0 .1 > → 0 < x < 1 → − 1 < x − 1 < 0 Aquí se observa que: x − 1 < 0 Por lo tanto: E = 4x + 1 + x − 1 x = x − 1 = −(x − 1) 5x =5 x b) E = 7x + 2 − 3x + 2 x .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Si: 0 < x < 2 ( 2 + x ) − (2 − x ) x = 2 + x − 2 + x 2x = =2 x x Si: x > 2 ( 2 + x ) + (2 − x ) 2 + x + 2 − x 4 = = x x x 11.3 > → 7x + 2 = 7x + 2 113 .− 4 > c) E = d) E = 3 3x − 8 − 5x + 24 2x 6x + 32 − 4 8 − x 5x . si x ∈ < 0 . partiendo de la condición dada. esto es: Si x ∈ < 0 .3 > .1 > → 0 < x < 1 → 0 < 4x < 4 → 1 < 4x + 1 < 5 Dado que: 4x + 1 > 0 → ∀ x ∈ < 0.
Si x ∈ [1 .− 4 > Elimínanos las barras del valor absoluto. − 4> → − 5 < x < − 4 → −15 < 3x < −12 → − 23 < 3x − 8 < − 20 Aquí se observa que: 3x − 8 < 0 3x − 8 = −(3x − 8) Si x ∈ < − 5 . 3] ↔ 1 ≤x≤3 x −5 ≤M 2x + 1 Restando – 5: ↔ −4 ≤ x −5 ≤ −2 ii) Si x ∈ [1 . esto es: Si x ∈ < − 3 . 3]. − 2 > → − 3 < x < − 2 → − 18 < 6x < − 12 → 14 < 6x + 32 < 20 Dado que: 6x + 32 > 0 → ∀ x ∈ < − 3. si x ∈ < −3 . si x ∈ < −5 .3 > → 0 < 3x < 3 → 2 < 3x + 2 < 5 Dado que: 3x + 2 > 0 → ∀ x ∈ < 0. partiendo de la condición dada.− 2 > → 6x + 32 = 6x + 32 Si x ∈ < − 3 .− 2 > → − 3 < x < − 2 → 2 < − x < 3 → 10 < 8 − x < 11 Dado que: 8 − x > 0 → ∀ x ∈ < − 3.3 > → 3x + 2 = 3x + 2 Por lo tanto: E = 7x + 2 − 3x − 2 x = 4x =4 x c) E = 3 3x − 8 − 5x + 24 2x .− 2 > → 8 − x = 8 − x Por lo tanto: E = 6x + 32 − 4 (8 − x) 10x = =2 5x 5x 12.Matemática I Si x ∈ < 0 . partiendo de la condición dada. tal que Resolución i) Si x ∈ [1 .− 2 > Elimínanos las barras del valor absoluto.− 4 > → 5x + 24 = 5x + 24 Por lo tanto: E = − 3(3x − 8) −(5x + 24) − 14x = =−7 2x 2x d) E = 6x + 32 − 4 8 − x 5x . 3] ↔ 1 ≤x≤3 Multiplicando por 2: Sumando + 1: Invirtiendo: ↔ 2 ≤ 2x ≤ 6 ↔ 3 ≤ 2x + 1 ≤ 7 114 . esto es: Si x ∈ < − 5 . hallar el menor numero M.− 4 > → − 5 < x < − 4 → − 25 < 5x < − 20 → −1 < 5x + 24 < 4 Dado que: 5x + 24 > 0 → ∀ x ∈ < − 5.
6] ↔ ↔ 1 x ≤ ≤5 6 2 15 ≤2x≤6 Invirtiendo: Multiplicando por 2: Sumando + 6: Invirtiendo: ↔ 1 3 ≤ x ≤ 10 ↔ ↔ 19 ≤ x + 6 ≤ 16 3 1 1 3 ≤ ≤ 16 x + 6 19 Multiplicando en aspa i) y ii) 15 x +3 3 ≤ ≤ 16 x + 6 19 115 . 6] ↔ ↔ 1 x ≤ ≤5 6 2 15 ≤2x≤6 Invirtiendo: Multiplicando por 2: Sumando + 3: ↔ 1 3 ≤ x ≤ 10 ↔ 10 3 ≤ x + 3 ≤ 13 ii) Si 2 x ∈ [1 5 . tal que x+3 ≤M x +6 Resolución i) Si 2 x ∈ [1 5 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ↔ 1 1 1 ≤ ≤ 7 2x + 1 3 Multiplicando en aspa i) y ii) − − 4 x −5 2 ≤ ≤− 7 2x + 1 3 4 x −5 4 ≤ ≤ 7 2x + 1 7 x −5 2x + 1 ∴ M= ≤ 4 7 4 7 13. 6]. Si 2 x ∈[1 5 . hallar el menor numero M.
hallar el menor numero M. 1 > ∪ < 2 . hallar el menor numero M. Si 2x .Matemática I − 4 x −5 4 ≤ ≤ 7 2x + 1 7 ≤ 4 7 x −5 2x + 1 ∴ M= 4 7 14. Si 1 x ∈( < − ∞ .1 Restando + 4: Invirtiendo: ↔ 1 1 ≤ ≤1 7 2x − 1 116 . + ∞ > )'. 1 > ∪ < 2 . 2 ] ↔ 1≤ 1x ≤2 ↔ 12≤ x ≤1 x −7 ≤ M x+5 Invirtiendo: Sumando + 5: ↔ 11 2 ≤ x + 5 ≤ 6 ↔ 16≤ 1 ≤ 2 11 x +5 Invirtiendo: Multiplicando por – 12: ↔ − 24 11 ≤ − 12 ≤ − 12 6 Sumando + 1: x+5 12 ≤ −1 x+5 ↔ − 13 11 ≤ 1 − ↔ − 13 11 ≤ Pero como: 13 > −1 11 x −7 ≤ 13 11 x+5 x −7 ≤ 13 11 x+5 ∴ M= 13 11 15. tal que Resolución i) 2x − 5 ≤ 3 ↔ − 3 ≤ 2x − 5 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 2x − 1 ≤ 7 x+2 ≤M 2x . + ∞ > )' = 1 x ∈ [ 1 . tal que Resolución 1 x ∈( < − ∞ .5 ≤ 3 .
tal que 3 − 2x 2x − 3 ≤M → ≤M x −1 x −1 3 − 2x ≤M x −1 Resolución. Si 2 x ∈ [1 6 . hallar el menor numero M. Si x ∈ [1 . hallar el menor numero M. 3] → 1 ≤ x ≤ 3 -3 ≤ x ≤ 3 Pero como: 1 > − 3 x ≤3 ∴ M= 3 17.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ii) 2x − 5 ≤ 3 ↔ − 3 ≤ 2x − 5 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 2x ≤ 7 Restando + 5: Dividiendo entre 2: Sumando + 2: 11 2 ↔ 1 ≤x≤ 7 2 ↔ 3 ≤ x+2 ≤ Multiplicando en aspa i) y ii) 11 x+2 ≤ ≤3 14 2x − 1 −3 ≤ x+2 ≤3 2x − 1 ≤3 Pero como: 11 > −3 14 x+2 2x + 1 ∴ M= 3 16. tal que Resolución x3 + 2x ≤ M → x2 − 2x + 8 x x2 + 2 2 (x − 1) + 7 ≤M → x ≤M x3 + 2x ≤M x2 − 2x + 8 x ∈ [1 . 1 2]. 3]. 117 .
3 ≤ 21 ii) 2 x ∈ [1 6 . 1 2] ↔ 16≤ 2x ≤12 ↔ 2≤ x ≤6 2 Invirtiendo: Multiplicando por 2: Restando – 1: Invirtiendo: ↔ 4 ≤ x ≤ 12 ↔ 3 ≤ x ≤ 11 ↔ 1 11 ≤ 1 ≤1 3 x −1 Multiplicando en aspa i) y ii) 5 2x − 3 21 5 21 ≤ ≤ Pero como: > − 3 x −1 11 3 11 − 21 2x − 3 21 ≤ ≤ 11 x −1 11 ≤ 21 11 2x − 3 x −1 ∴ M= 21 11 18.Matemática I i) 2 x ∈ [1 6 . hallar el menor numero m tal que ∀ x ∈ ℜ : x2 − 4 x + 2 − 6 ≥ m Resolución 2 x − 4(x + 2)− 6 ≥ 0 2 x − 4x − 8 − 6 ≥ 0 118 . 1 2] ↔ 16≤ 2x ≤12 ↔ 2≤ x ≤6 2 Invirtiendo: Multiplicando por 4: Restando – 3: ↔ 8 ≤ 2x ≤ 24 ↔ 5 ≤ 2x .
= x ∈ < 5. hallar los números reales que satisfagan la desigualdad dada. dar el intervalo solución: Resolver: 3 − 2x < 3x − 8 21. En los ejercicios del 21 al 36.+ ∞ > 119 .S.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2 ( x − 2) − 4 − 8 − 6 ≥ 0 2 ( x − 2) − 18 ≥ 0 2 ( x − 2) ≥ 18 ∴ M = 18 I. + ∞ > ∩ x ∈ <11 5 . + ∞ > ∩ x ∈ < 5 . Resolución Por el teorema: a < b b≥0 ∧ [ −b<a< b] 3x − 8 ≥ 0 ∧ [ − ( 3x − 8) < 3 − 2x < 3x − 8 ] x≥83 x ≥83 x≥ 8 3 ∧ [ − 3x + 8 < 3 − 2x ∧ ∧ [x>5 ∧ ∧ x>5 5x > 11 ] ∧ 3 − 2x < 3x − 8 ] x > 11 5 x ∈ [ 8 3 . + ∞ > −∞ +∞ 11 5 83 5 ∴ C.
3 4 > −∞ +∞ 34 1 ∴ C. Resolver: 2x2 − x ≥ 5x Resolución Por el teorema: a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ − b 2 2x − 3 ≥ 5x 2 2x − 5x − 3 ≥ 0 (2x + 1) ( x − 3) ≥ 0 ∨ ∨ ∨ 2 2x − 3 ≤ − 5x 2 2x + 5x − 3 ≤ 0 (2x − 1)(x + 3) ≤ 0 Calculando los puntos críticos: − ∞ + − 1 2 − 3 + + ∞ − ∞ + − 3 − 1 2 + + ∞ 120 .S. Resolver: 5x − 4 > 3x − 2 Resolución Por el teorema: a > b ⇔ a > b 5x − 4 > 3x − 2 ∨ 2x > 2 ∨ ∨ a < −b 5x − 4 < −(3x − 2) 5x + 3x < 4 + 2 x>1 x>1 ∨ 8x < 6 ∨ x<34 x ∈ < 1 . 3 4 > ∪ < 1 . = x ∈ < −∞ . + ∞ > ∪ x ∈ < −∞ . + ∞ > 23.Matemática I 22.
2x − 1 = 0 x+3 =0 x =1 2 x = −3 x ∈ < − ∞ . −1 2 ] ∪ [ 3 . + ∞ > x ∈[ − 3 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2x + 1 = 0 x −3 = 0 x = −1 2 x=3 .S. = x ∈ < − ∞ . − 2 ] ∪ [ − 1 . = x ∈ < + ∞ . 1 2 ] ∪ [3 . 1 2 ] − ∞ + ∞ −3 −1 2 1 2 3 ∴ C. .S. Resolver: 2 2 x − 2x − 5 ≥ x + 4x + 1 Resolución 2 2 Por el teorema: a ≥ b ⇔ a ≥ b ⇔ (a + b)(a − b) ≥ 0 2 2 2 2 [( x − 2x − 5) + (x + 4x + 1)][(x − 2x − 5) − ( x + 4x + 1)] ≥ 0 2 ( 2x + 2x − 4) ( − 6x − 6 ) ≥ 0 2 2( x + x − 2) [ − 6 ( x + 1) ≥ 0 ] 2 ( − 12)(x + x − 2) ( x + 1) ≥ 0 2 12( x + x − 2)( x + 1) ≤ 0 ( x + 1)(x − 1)(x + 2) ≤ 0 Calculando los puntos críticos: x+2=0 x +1 = 0 x −1 = 0 x = −2 x = −1 x =1 −∞ − -2 + -1 − 1 + + ∞ ∴ C. 1 ] 121 . + ∞ > 24.
Resolver: 7.Matemática I EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Resolver: x + 2 x + 1 − 2x − 5 < 3 5. Resolver: ( x − 2 + x + 2 ) ( 1 − x − 2 − x ) ≥ x2 − 6 2. Resolver: 2x + 8 ≤ x + 1 + 3 4. Resolver: ( x −1 − 3 − 5 − x − 4 ) ( x −1 − 3 + 5 − x − 4 ) ≤ x − 6 13. Resolver: x −3 5− x ≥ 2− x x +1 12. Resolver: 6x2 − 3x + 3 < 2x2 + 9x − 2 6. Resolver: 2 x + 3x + 11 x−2 ≤3 11. a) = ∈ℜ − < → − > 122 . Resolver 14. Resolver: 3 x − 3 2 − 2 x − 3 < 8 3. Resolver: x +1 −2 2− x ≥1 10.Resolver: 2 x −4 − x −9 ≤ x − 2 x −6 − x + x + 2 x −2 <3 x −8 − x + x +4 x+2 <3 9. Resolver: 8. Expresar los siguientes conjuntos como un intervalo de números reales. Resolver: − − + − − − + − − − + − − − + + − − ≥ − ≤ − −6 + + 15.
INECUACIONES CON MAXIMO ENTERO 3.12. ∀x ∈ R. se define “el máximo entero no mayor de x” denotado por x . 1.2. x ≥ a ⇔ x ≥ a 5. ∀a ∈ Z 123 . Hallar 4. x = x ⇔ x∈Z 3. MAXIMO ENTERO Definición. a un número entero “n”.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano b) c) = = ∈ℜ 1+ − − + − + ≤ − − − ∈< − 16.11. (n ∈ Z) tal que: n≤ x<n+1 De lo cual indicamos: x = n ⇔ n ≤ x < n +1 Luego : x ≤ x < x +1 Siempre que: n = x : Sea un número entero 3. x ≤ x < x + 1 4. ∀x ∈ R.11. x ∈ Z 2. = ∈ℜ − < y = ∈ℜ − − + < − − . Si: a ∈ Z. PROPIEDADES. Si : x < a ⇔ x < a.1. Siendo “x” un número real.Hallar m de modo que la solución de x −3 2 ≤ 7 2 + ≤ − sea la misma de: 17. Sean ∩B.
0 ≤ n < 1 13.Matemática I 6. x+m = x +m x + y > x + y . ∀ x. Si : m ∈ Z 8. Si : y > x y ≥ x + 1 ≥ x .∞ > x+2 =5 ⇔ 5≤ x+2< 6 ⇔3≤x<4 / −2 x ∈ [3.2 > ∪[3. n > 0 se tiene que : x n = x n Ejercicios resueltos con máximo entero 1. ∀x ∈ R 10. Si : a ∈ Z y x ≤ a ⇔ x < a + 1 7. x − 1 < x ≤ x . y ∈ R 9. si Resolución x − 1 + 2 x ≥ 17 (#) x + 2 = 5} . Sabemos que: x − 1 = x − 1 sustituyendo en (#) Se tiene: 2( x − 1)2 + 5 x ≥ 17 2 x 2 x 2 − 4 x + 2+5 x ≥ 17 + x − 15 ≥ 0 2 (2 x − 5)( x + 3) ≥ 0 (2 x − 5 ≥ 0 ∧ x + 3 ≥ 0) ∨ (2 x − 5 ≤ 0 ∧ x + 3 ≤ 0) ( x ≥5 2 ∧ x ≥ −3) ∨ ( x ≤5 2 ∧ x ≤ −3) (x ≥ 3 ∧ x ≥ −3) ∨ (x < 3 ∧ x < −2) x ∈< ∞. Si : n = x − x 12. ∀x ∈ R 0 ≤ n <1 y= x 11. ∀x ∈ R y cualquier n ∈ Z. Si : x ∈ R / x = y + n.4 > 124 . Si A = {x ∈ ℜ/ x − 1 + 2 x ≥ 17 . ∀y ∈ Z. hallar A.
3 > ∪ [ 4 . si x + 2 = 5 } . + ∞ > ) ∪ ( x ∈ < ∞ . Si A = {x ∈ ℜ/ x − 1 + 2 x ≥ 17 q . hallar A. p Del enunciado: q .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2. ∞ > ) A = x ∈ <−∞ . 4 > )' ∪ ( x ∈ < ∞ .Expresar el conjunto A en términos de intervalo: x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 a) A = {x ∈ ℜ / ≤ 2 . − 2 > ∪ [3 . ∞ > ) A = ( x ∈ < − ∞ .+∞ > A' = φ 3. si p p → q ≡ ~ p ∨ q ≡ p' ∪ q A = ( x ∈ [ 3 . − 2 > ∪ [3 . si x 2 − 4x − 6 < − 3 2 } b) A = {x ∈ ℜ/ Resolución 10 − 3x − x 2 2 ≤ 9 ↔ x − 1 = 3} a) A = {x ∈ ℜ/ x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 q x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 ≤ 2 . si x2 − 4x − 6 < − 3 2} p −2 ≤ 0 x − 4 + 2x + 3 − 2 x − 1 + 2 x −1 −1 ≤0 Calculando los puntos críticos −∞ x −4 = 0 2x + 3 = 0 x −1 = 0 x =4 x = −3 2 x =1 + ∞ -3 2 1 4 125 .
2 > 2 iii) U = [ − 3 2 . − 3 2 > 4 −(x − 4)−(2x + 3 ) + 2 x − 1) + 2 ( −(x − 1) − 1 ≤0 − x −1 −x ≤0 126 . = x ∈ < 0 . = φ 1 1 ii) U = [1 . + ∞ > ) ∩ U C. + ∞ > ) ∩ U C.2 = x ∈ [ 1 . 1 > 3 3 vi) U = < − ∞ . 1 > 3 −(x − 4)+(2x + 3 ) + 2 x − 1) + 2 ( −(x − 1) − 1 ≤0 3x + 7 ≥0 x ( x ∈ < − ∞ .S.Matemática I i) U = [ 4 . 2 > ∪ x ∈ [11 .S. 4 > 2 −(x − 4)+(2x + 3 ) − 2 x − 1) + 2 ( ( x − 1) − 1 ≤0 − x + 11 x−2 ≤0 x − 11 x−2 ≥0 ( x ∈ < − ∞ . 2 ]) ∩ U C. − 7 3] ∪ x ∈ < 0 . + ∞ > 1 (x − 4)+(2x + 3 ) − 2 x − 1) + 2 ( ( x − 1) − 1 ≤0 x+3 ≤0 x−2 ( x ∈ [ − 3 .S.
2 > A = (x ∈ < − ∞ . b) A = {x ∈ ℜ / 10 − 3x − x2 p 2 ≤ 9 ↔ x −1 = 3} q 10 − 3x − x 2 10 − 3x − x2 2 ≤ 9 ≤3 127 .2 ∪ C. 2 > ∪ x ∈ < 0 . 0 > ∩ U C. 1 3 4 C. − 1 ] ∪ [ 5 .2 > ∪ [ 5 . 2 > A = x ∈ < −∞ .S. = C. −1 ] ∪ < 0 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano x +1 ≤0 x x ∈[−1 . 2> 3 x2 − 4x − 6 < − 3 2 x2 − 4x − 6 < −1 2 x − 4x − 6 < −1 2 x − 4x − 5 < 0 ( x + 1) ( x − 5) < 0 x ∈ < −1 .5> Del enunciado: q .S. = φ 4 C.S. 1 > ∪ φ ∴ q = x ∈ < 0 . si p p → q ≡ ~ p ∨ q ≡ p' ∪ q A = ( x ∈ < − 1 . + ∞ >) ∪ x ∈ < 0 .S. 5 > )' ∪ x ∈ < 0 . = φ ∪ x ∈ [1 . + ∞ > Rpta.S.S. ∪ C. ∪ C.S.
Matemática I −3 ≤ 10 − 3x − x 2 ≤ 3 ∧ ∧ 10 − 3x − x 2 ≥ −3 10 − 3x − x 2 ≥ −3 10 − 3x − x2 ≤ 3 10 − 3x − x 2 < 4 10 − 3x − x 2 ≥ −3 ∧ 10 − 3x − x2 < 16 x∈ ℜ ∧ 0 ≤ 10 − 3x − x2 < 16 0 ≤ 10 − 3x − x2 ∧ 10 − 3x − x 2 < 16 2 x + 3x − 10 ≤ 0 ( x + 5 )+ ( x − 2) ≤ 0 x ∈ [ −5 . 5 > Del enunciado: p ↔ p ≡ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ q) p ↔ q ≡ (p ∧ q)∨(~p ∧ ~ q) ≡(p∩q)∪ ( p' q' ≡(p∩q)∪ ( p∪q)' ∩ ) A = ([ − 5 . − 5 > ∪ < 2 . + ∞ > ) A = x ∈ < − ∞ . 2 ] ∪ [ 4 . 2 ]) ∩ ([ 4 . 5 > ) ∪ ( [ − 5 . 4 > ∪ [ 5 . 5 > )' A = φ ∪ [([ − 5 . − 5 > ∪ < 2 .+ ∞ > 128 . 2 ] ∩ [ 4 . 5 > )' ] ' A = (< − ∞ .2] p ≡ x ∈ [ −5 . 5 > q ≡ x ∈ [4 . + ∞ > ) ∩ (< − ∞ . 4 > ∪ [ 5 . n∈ x −1 = 3 ⇔ 3 ≤ x −1 < 4 ⇔ 4 ≤ x <5 x ∈ [4 .2] ∧ ∧ ∧ 2 x + 3x + 6 > 0 x∈ℜ x∈ℜ x −1 = 3 Por el Teorema: x = n ⇔ n ≤ x < n +1 .
Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 4. x − 2 x −2 ≤0 Resolución Completando cuadrados: ( x 2 − 1) − 3 < 0 ( x 2 − 1) < 3 ( x 2 − 1) < 3 x −1 < 3 − 3 < x −1 < 3 x −1 > − 3 ∧ x −1 < 3 x > 1− 3 ∧ x < 1+ 3 x > −1 ∧ x < 3 x ≥0 ∨ x < 3 x ∈ [0 . 3 > b. Resolver 2 a. 2x2 + 5x − 2 < 1 129 .
1 2> Entonces: C. = x ∈ < − 3 . 1 2 > c. + ∞ > ) ∩ x ∈ < − 3 .S.− 3 2 > ∪ < − 1.Matemática I Resolución Por el Teorema: x < n ⇔ x<n x2 + 5x − 2 < 1 ⇔ 2x2 + 5x − 2 < 1 ⇔ 2x2 + 5x <3 ⇔ 2 − 3 < 2x + 5x < 3 ⇔ 2 2x + 5x > − 3 ∧ 2 2x + 5x < 3 ⇔ 2 2x + 5x + 3 > 0 ∧ 2 2x + 5x − 3 < 0 ⇔ (2x + 3) ( x + 1) > 0 ∧ (2x − 1) ( x + 3) < 0 ⇔ ( x ∈ < − ∞ .− 3 2 > ∪ < − 1 . 5+ x 5−x ≤1 Resolución 130 .
n∈ 2 4x 5x − 4 ≤ 1 ⇔ 2 4x − 5x − 4 < 2 ⇔ 2 4x − 5x − 6 < 0 ⇔ (4x + 3) ( x − 2) < 0 ⇔ x∈ < − 3 4 . + ∞ > C.S. + ∞ > d. = x ∈ < − ∞ . 2 4x − 5x − 4 ≤ 1 Resolución Por el Teorema: x ≤n ⇔ n ≤ x < n +1 . − 5 3] ∪ < 5 . 2 > 131 . 5 3] ∪ < 5 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Por el Teorema: x ≤ n ⇔ x < n +1 5+x 5− x < 2 ⇔ 5+x <2 5− x ⇔ 5+x 5−x −2 ≥ 0 ⇔ 5 + x − 10 + 2x <0 5− x ⇔ 3x − 2 <0 5−x ⇔ 3x − 5 >0 x −5 x ∈ < − ∞ .
Hallar x + 2 +6 ≥ 0} y A B' 132 . x 2 −9 + ( x 2 −2 x − 15 ) ≤ 0 h. 2 > EJERCICIOS PROPUESTOS. Dados los conjuntos A = { x ∈ ℜ / 2( x + 2) − 8 B = { x ∈ℜ / x −1 2 + 2 x 2 = 57 }. x f. x −1 +2 x ≥ 17 .S.Matemática I C. Hallar el conjunto solucion: 4 2 − 10 x +9 ≤ 0 e. x 2 − 12 + ( x 2 − x − 6) ≥ 0 g. Expresar el conjunto A en términos de intervalo: x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 a) A = { x ∈ ℜ / ≤ 2 .= x ∈ < − 3 4 . 2 x − 2x ≥0 2. si x+2 = 5 } . 1. hallar A. Si A = { x ∈ ℜ / 4. si 2 x − 4x − 6 < −3 2 } b) A = { x ∈ ℜ / 10 − 3x − x2 2 ≤9 ↔ x −1 =3} 3.

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