Source: http://www.uhu.es/luis.contreras/tesistexto/cap3.htm
Timestamp: 2020-06-07 03:11:48+00:00

Document:
MARCO TEÓRICO SOBRE EL PAPEL DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL AULA
Uno de los hitos que marcarán el final de siglo, en el ámbito de la educación matemática, será la abundante literatura en relación con la Resolución de Problemas.
Durante este último cuarto se ha hecho un esfuerzo importante por unificar la terminología y universalizar las excelencias. En educación matemática y en investigación en educación matemática la resolución de problemas ocupa un lugar destacado; por otro lado, los nuevos currículos apuestan por orientar la matemática escolar de la enseñanza obligatoria desde la perspectiva de la resolución de problemas.(1)
Entre los profesores de matemáticas, a casi nadie le resulta ajeno el término y, sin embargo, bajo esa aparente uniformidad se esconde una gama de significados diferentes. Nos será fácil encontrar a dos profesores que nos aporten, en esencia, una misma definición del término; un poco menos fácil que le otorguen el mismo papel en el currículo y bastante difícil que, de hecho, utilicen de igual forma la resolución de problemas en sus aulas.(2) Esta diversificación de significados en la práctica no es exclusiva en la Resolución de Problemas (en adelante RP), pero en ella se hace especialmente patente, debido al abuso de los términos "problema", y "ejercicio" indistintamente.
Kilpatrick (1985) hizo un análisis retrospectivo de los diferentes enfoques que había tenido la investigación en RP, tanto la efectuada por matemáticos como por psicólogos. Refiere que las primeras aportaciones se hicieron desde una perspectiva psicologicista, analizando algunas variables del sujeto dentro de un marco amplio que enfatizaba las relaciones que se dan en el aula, entendida como contexto social. Afirma que, para él, la entrada en el dominio de la resolución de problemas se debió a los trabajos sobre problemas verbales, y cita, como contribución relevante, la clasificación hecha por Polya (1981) desde una perspectiva pedagógica. Continúa analizando otros trabajos que se centraban en el comportamiento de los resolutores de problemas en la línea del uso de heurísticos identificados por Polya. Estos estudios permitieron elaborar esquemas clasificadores de procesos en RP y apreciar diferentes grados de complejidad en función del comportamiento del resolutor. Esta línea de trabajo, que estuvo vinculada a los que trataban de medir cómo la instrucción en RP potenciaba la capacidad resolutoria, se ha ido orientando progresivamente hacia la monitorización. Cita, por último, la introducción del ordenador en los estudios sobre RP, muchos de ellos vinculados a las investigaciones del tipo "novel-experto".
Todos estos aspectos están recogidos en las áreas problemáticas que señala Vale (1993) en relación con líneas de investigación desarrolladas en RP por diversos autores:
a) Procesos usados por los alumnos (Kantowski, 1977; Lee, 1982; Putt, 1978).
b) Modelos de enseñanza en RP (Charles y Lester, 1986; Fernandes, 1988; Kantowski, 1977).
c) La influencia del trabajo en grupo en la RP (Schoenfeld, 1985, 1987; Noddings, 1985).
d) La RP en los programas de formación de profesores (Charles y Lester, 1982, 1986).(3)
Silver (1985) señaló algunas deficiencias que, a su entender, habían tenido alguno de estos estudios. En primer lugar se refería al papel del profesor en la instrucción en RP, destacando la ausencia de "una buena descripción de lo que realmente sucedía en las aulas cuando se enseñaba RP" (p.248), para concluir este primer punto llamando la atención sobre la necesidad de estudiar el papel del profesor vinculado a los estudios sobre toma de decisiones, creencias y el paradigma proceso-producto. En segundo lugar denunciaba la escasa referencia a diferencias individuales, tan sólo consideradas en los estudios novel-experto, ámbito donde estima (y éste es el tercer aspecto) deberían realizarse más estudios. En la segunda parte de su trabajo proponía diez temas que consideraba fundamentales en la investigación sobre el conocimiento de los procesos de enseñanza y aprendizaje en la resolución de problemas matemáticos: aspectos afectivos, sistemas de creencias, el sistema aula, análisis conceptuales, el trabajo cooperativo, aspectos cognitivos individuales (donde incluye la metacognición), la representación, el profesor y las nuevas tecnologías (donde podrían situarse los estudios sobre inteligencia artificial).
Pongo énfasis en dos de ellos porque caracterizan, como ya he señalado, este trabajo. Cuando se refiere a sistemas de creencias lo hace en dos direcciones; de un lado, con carácter general, y en relación con las creencias de los alumnos, y, de otro, particularizando en la RP y en relación con las creencias de los profesores (en un sentido amplio que las situaría dentro de las concepciones). Cuando se refiere al profesor, retoma esta idea señalando que los estudios sobre creencias de los profesores deberían especificarse en relación con la RP, como aspecto particular de la enseñanza de la Matemática en el cual la metodología empleada en los estudios de carácter general podría adaptarse.
En este marco se desarrolla este trabajo, pero dado que en él la identificación de las concepciones acerca del papel de la RP en el aula (CRP) se considera como punto de partida para diseños de programas de formación, podría encuadrarse también en el cuarto apartado establecido por Vale (1993).
En este capítulo comenzaremos por reunir algunas aportaciones relevantes en relación con el término resolución de problemas, veremos después cómo éste adquiere significados distintos y ocupa lugares diferentes en la construcción del conocimiento matemático escolar y, finalmente, nos interesaremos por acercarnos al tratamiento real que tiene en las aulas.
III.1 ¿QUÉ ES RESOLVER PROBLEMAS?
Es común, al intentar contestar esta pregunta, partir del término problema para finalizar especificando las acciones que conducen a su resolución. Esta opción tiene la ventaja de centrar la atención en el proceso, puesto que los aspectos relativos a uno de sus términos han sido previamente aclarados. Sin embargo, como hace Brownell (1942), una definición global contribuye a una visión holística de la actividad:
"La resolución de problemas se refiere (a) exclusivamente a tareas perceptivas y conceptuales, (b) cuya naturaleza puede comprender el sujeto por razón de su naturaleza original, de su aprendizaje previo o de la organización de la tarea, pero para la cual no conoce de momento ningún medio de satisfacción. (d) El sujeto experimenta perplejidad en la situación problemática, pero no excesiva confusión... La resolución de problemas se convierte en el proceso por el que el sujeto se desembaraza de su problema... Así definido, podemos considerar los problemas situados en una zona intermedia de un continuo que abarca desde el "enigma", en un extremo, hasta la totalmente familiar y comprensible situación en el otro." (p. 416)
En esta definición podemos aislar los elementos principales sobre los que continuar nuestro análisis: las características diferenciales del contexto, de la tarea y las del sujeto (condiciones que debe reunir el que la afronta y los cambios que éste experimenta). El grado de importancia que adquiera cada uno de estos elementos en el combinado nos conduce a toda la especificidad recogida en la literatura sobre la cuestión.
Así, si enfatizamos las características de la tarea estaremos midiendo grado de dificultad de las misma, tipo de conocimiento que requiere y contexto al que se refiere. En esta línea podemos situar las aportaciones de Kantowski (1981):
"Un problema es una situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor no tiene un procedimiento o algoritmo que le conduzca con certeza a una solución." (p. 113).
El mismo Kantowski (1980) define:
"Un problema es una situación para la que el individuo que se enfrenta a ella no posee algoritmo que garantice una solución. El conocimiento relevante de esa persona tiene que ser aplicado en una nueva forma para resolver el problema." (p. 195).
En este mismo sentido se manifiestan Carl (1989) y Agre (1982). Para aquél:
"La resolución de problemas es el proceso de aplicación de los conocimientos previamente adquiridos a situaciones nuevas y no familiares" (p. 471).
Por su parte, Agre (1982) extrae del significado de la palabra griega problema la idea de la existencia de dificultad:
"Para calificar como problema el proceso de resolución o de definición tiene que juzgarse que posea al menos un poco de dificultad." (p. 130).
El contexto es el aspecto que resaltan Blum y Niss (1991), que entendiendo por problema:
"una situación que conlleva ciertas cuestiones abiertas que retan intelectualmente a alguien que no posee inmediatamente métodos/procedimientos/algoritmos, etc directos suficientes para responder" (p. 37),
distingue dos clases de problemas matemáticos, aplicados y puros:
"Las cuestiones o situaciones correspondientes al primero pertenecen a un segmento del mundo real,...mientras que en el segundo la situación está completamente sumergida en algún universo matemático." (p.37, 38).
Añaden también la idea de situación problemática, que aporta al concepto de problema cierta flexibilidad en el sentido de que la situación puede ser algo más natural, que surge de un contexto de investigación o de indagación:
"El punto de partida es un problema aplicado o, como también lo llamamos, una situación problemática real. Esta situación tiene que ser simplificada, idealizada, estructurada, sometida a condiciones e hipótesis apropiadas, y tiene que ser precisada más por el resolutor de acuerdo con sus intereses. Eso conduce a un modelo real de la situación original que, por una parte, todavía contiene rasgos esenciales de la situación original, pero, por otra parte, está ya esquematizado de tal manera que (en la medida de lo posible) permite su abordaje con medios matemáticos" (p. 38)
Si, por el contrario, ponemos el énfasis en el sujeto, estaremos analizando los fines y el grado de implicación o compromiso. Éste es el caso de Confrey (1991) que, desde la plataforma del constructivismo radical,(4) utiliza el término problema para aclarar lo que considera útil e importante en la clase de matemáticas.
"La estructura no está en el problema -está en el significado definido social y contextualmente de las palabras al ser interpretadas por el que las escucha... Para el constructivista, el problema sólo queda definido respecto al resolutor. Un problema es sólo un problema en la medida en que es sentido problemático por el resolutor. Definido de esta forma, como obstáculo hacia la que un estudiante se dirige, un problema no posee status independiente. Con el objetivo de diferenciar este enfoque del empleo típico de problemas en las aulas de matemáticas, he elegido el término problemático, en referencia al "obstáculo" que halla el estudiante." (p. 117).
Dicha relevancia se hace aún más patente en el tercer presupuesto de la posición constructivista:
"Tercer presupuesto: Los problemas desempeñan un papel crucial en la construcción de conocimiento. Los problemas residen en la mente del estudiante - no en los libros de texto o en la matemática. Los problemas poseen discrepancias, obstáculos que el estudiante quiere resolver y así cataliza la acción. Para aceptar algo como problemático un individuo tiene que creer que puede ser resuelto - y actuar como si el problema y la solución fueran preexistentes. El ciclo de identificación de situaciones problemáticas, actuar y operar sobre ellos y después reflexionar sobre los resultados tiene carga emocional, es motivador y exigente. Es este proceso de construcción de conocimiento el lado crítico para los investigadores/profesores constructivistas." (p. 119).
Implícito en el debate sobre el continuo ejercicio-problema al que nos referíamos más arriba, cuando citábamos a Brownell (1942), está también el carácter subjetivo de los problemas y, consecuentemente, el grado de implicación de quien lo aborda. Así, Agre (1982) dice que
"Lo que es un problema para una persona puede no serlo para otra, y lo que es un problema para una persona un día puede no serlo un próximo día." (p. 130),
y Andler (1987), citado por Dias (1993),
"afirma que el concepto de problema, considerado en sentido estricto, se caracteriza por tres rasgos fundamentales. En primer lugar la subjetividad:
"El problema debe su existencia a mi decisión de crearlo, o de reconocerlo como tal" (p.100).
Dentro de las aportaciones que enfatizan los fines (si lo miramos desde la perspectiva de la enseñanza) o de los logros que permitirá obtener (si lo hacemos desde la del aprendizaje), cabría destacar a Branca (1980), para quien resolver problemas es "fin, proceso y destreza básica" (p.3), a Charles et al.(1987), que lo definen como método de investigación, y a los que lo integran como proceso característico del pensamiento matemático (Baroody, 1993; Mason et al., 1982). Para Baroody (1993) es una tendencia de enseñanza que, aunque no generalizada, es recogida en las nuevas propuestas curriculares; por ejemplo, la NCTM (1991) en los Estándares define la "Matemática como resolución de problemas" (p.15).
A modo de síntesis ofreczco la siguiente tabla resumen:
Brownell (1942) Perplejidad del sujeto ante la situación problemática; situado en un continuo entre el "enigma" y la situación familiar y comprensible.
Carl (1989) Aplicación de conocimientos previamente adquiridos a situaciones nuevas.
Kantowski (1980; 1981) El resolutor no tiene un procedimiento o algoritmo que le conduzca a la solución de forma inmediata. El conocimiento relevante del sujeto ha de ser aplicado de una forma nueva.
Branca (1980) Fin, proceso y destreza básica.
Agre (1982) El proceso de resolución posee un cierto grado de dificultad.
Mason et al. (1982) Proceso característico del pensamiento matemático.
Andler (1987) Un problema debe su existencia a la decisión del resolutor de reconocerlo como tal.
Charles et al. (1987) Método de investigación.
Blum y Niss (1991) Incluye cuestiones abiertas que retan al resolutor; éste no posee medios suficientes para responder.
Confrey (1991) Hay un problema en la medida que es sentido como tal por el resolutor; poseen obstáculos que hay que resolver.
N.C.T.M. (1991) Hacer Matemáticas.
Baroody (1993) Proceso característico del pensamiento matemático.
Cuadro 9. Síntesis de algunas aportaciones sobre la definición de problema.
Aunque mi opción personal sobre la RP es considerarla básicamente una investigación enmarcada en un proceso natural de indagación donde quienes lo afrontan han de reunir determinadas condiciones iniciales (en cuanto a conocimientos y grado de compromiso) que permitan superar los retos que supone y que, en la medida que se van alcanzando los fines perseguidos (por el resolutor o instructor), proporciona en los sujetos que lo abordan un cambio sustancial respecto de su situación de partida, en este trabajo incidiremos sobre el papel que los profesores le otorgan a la RP en sus aulas.
III.2 ¿CUÁL ES EL PAPEL DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL CURRÍCULO?
Para el NCTM (1991) la respuesta es clara, es un procedimiento constructivo: "Es esencial desarrollar en todos los estudiantes la capacidad de resolver problemas si se quiere que sean ciudadanos productivos..." (p.6)"
y una forma de hacer Matemáticas:
"...que los estudiantes se conviertan en personas matemáticamente instruidas...expresión [que] denota la capacidad de un individuo para explorar, formular hipótesis y razonar lógicamente, así como usar de forma efectiva un determinado número de métodos matemáticos para resolver problemas...=saber= las matemáticas es >usar= las matemáticas. Una persona descubre o crea conocimiento en el curso de una actividad que realiza con un fin" (p. 7).
Estas orientaciones pueden encontrarse también en los diseños curriculares españoles. Entre otros, las podemos encontrar en las Orientaciones Didácticas y para la Evaluación del Diseño Curricular Base para la Educación Primaria en el área de Matemáticas. En relación a este documento, Puig (1992) hace un recorrido destacando cuatro claves: RP como contenido prioritario, como medio de aprendizaje y refuerzo de contenidos, como método más conveniente para aprender matemáticas y como aplicación. El problema está en la dosificación o elección de cada uno de estos ingredientes que, como señala el autor, está sujeta a las distintas "concepciones de la naturaleza de las matemáticas y de su enseñanza que...tiene consecuencias distintas a la hora de diseñar el curriculum o desarrollarlo" (p.10). Desde luego, no es lo mismo entender RP:
"como aplicación de los conocimientos previamente adquiridos y de los métodos, los algoritmos o los procedimientos rutinarios propios de un dominio conceptual" (p.11),
que entenderlo de forma independiente de un contenido matemático concreto y no sólo entendido cómo aprender a resolver problemas, sino de forma integrada con el contenido:
"para que los aprendizajes que se institucionalicen sean los que se pretenden enseñar" (p.11).
Puig continúa con una idea en la que coincide con Blanco (1997) y que, aunque ya ha sido esbozada en el capítulo anterior, conviene volver a señalar. La experiencia de un profesor, desde su aprendizaje como alumno hasta el momento de actuar en el aula, ha estado impregnada de situaciones que llevan a identificar problema exclusivamente como vehículo para aplicar y poder probar que se conoce un determinada concepto, método o procedimiento rutinario. Esta consideración tiene consecuencias nefastas por la escasa rentabilidad matemática que conlleva.
Sin ánimo de ofrecer una clasificación de tipos de problemas, sino más bien intentando poner de relieve la gama de significados con los que se identifica la RP, me gustaría citar uno de los trabajos de Polya (1981) en el que, desde una perspectiva pedagógica, decía que se puede diferenciar entre:
a) Los que se resuelven mecánicamente aplicando una regla que acaba de conocerse (una regla delante de tu nariz).
b) Los que pueden resolverse aplicando algo que se ha dado antes, en los que el resolutor ha de tomar alguna decisión (aplicación con alguna elección).
c) Los que requieren combinar dos o más reglas o ejemplos dados en clase (elección de una combinación).
d) Los que también requieren combinación, pero que contienen ramificaciones y requiere un alto grado de razonamiento personal (aproximación al nivel de investigación). (Vol. 2, p.139)
Polya establecía que el orden determina el grado de dificultad y el valor educativo; hoy el interés se centra en los niveles c) y d).
En el mismo sentido me gustaría tratar la aportación de Kilpatrick (1985) cuando establece que la RP se ha entendido o puede entenderse como un proceso de:
a) Ósmosis, caracterizada por la repetición de ejercicios y ejercicios (condición necesaria-con matices- pero no suficiente) que desestima la capacidad de resolución de problemas no escolares. Además plantea problemas afectivos. "Ningún programa de formación en RP tendrá éxito si tiene efectos negativos sobre las actitudes y las creencias de los estudiantes" (p.9).
b) Memorización y desarrollo de estrategias algorítmicas que se aplican en situaciones similares. No es válida cuando se enfrentan a un problema nuevo y a veces tienen dificultad para encontrar el algoritmo adecuado.
c) Imitación, como los modelos de identificación de características de buen resolutor para ser enseñadas.
d) Cooperación, conocer los procedimientos de otros mejorando los propios, negociar, discutir, ampliar el abanico conceptual y procedimental.
e) Reflexión, no sólo se aprende haciendo, se aprende haciendo y pensando en lo que se hace y se ha hecho. Estamos hablando de metacognición (conocer cómo aprendo).(5)
Finalmente, y con la misma intención seguida con los dos autores anteriores, me gustaría retomar la aportación de Gaulin (1986) al esquema de Hatfield (1978) [que, como señala Blanco (1997), establece tres perspectivas que "son asumidas generalizadamente" (p. 84)]. Para Gaulin caben cinco interpretaciones:
a) La de aquellos que entienden que todo consiste en proponer más problemas.
b) La de los que quieren buscar y emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.
c) La de algunos pedagogos, más que los especialistas en Matemáticas, que abogan por problemas genuinos, que promuevan la búsqueda y la investigación, más que ejercicios y problemas rutinarios.
Estas tres pueden encuadrarse en el primer tipo de Hatfield (Teaching for Problem Solving), que interpreta cómo enfocar la enseñanza de la matemática elemental hacia la capacitación del alumno para resolver problemas.
d) El segundo tipo establecido por Hatfield (Teaching about Problem Solving) que puede entenderse como enseñar heurística: aprender a buscar estrategias para resolver problemas.
e) El tercer tipo (Teaching via Problem Solving) que puede interpretarse como enfatizar la RP como medio progresivo de enseñanza de la Matemática (a través de la RP).
Naturalmente, la gama de significados que se otorga a la resolución de problemas en el aula mantiene una correspondencia biunívoca con estas tipologías reseñadas y, a efectos prácticos, nos será fácil identificar el significado o significados que un profesor les otorga en su aula con uno o varios eslabones de una cadena que va desde la consideración de la RP como ejercicios hasta su consideración como investigación.(6)
Para Vila (1995a), de acuerdo con Callejo (1994), pueden establecerse cinco niveles en el continuo ejercicio-problema: Ejercicios, cuestiones prácticas, problemas no contextualizados, situaciones problema y problemas de estrategia.
Los Ejercicios suelen ser propuestos con la finalidad de mecanizar/automatizar determinados procedimientos presentados en el aula o para ayudar en la comprensión de determinados conceptos.(7) Sus enunciados contienen indicios claros de los procedimientos que se espera que utilicen los estudiantes; son precisos, concisos y bastante estandarizados; inducen a la obtención de un sólo nivel de respuesta; se proponen de forma repetitiva y jerarquizada.
Las Cuestiones Prácticas (o problemas contextualizados) se suelen proponer en relación a un conocimiento matemático concreto con la finalidad de fijar dicho conocimiento. Mantienen cierta conexión con la vida real o, de alguna manera, resultan ser una aplicación de la matemática en situaciones reales o a otras ciencias.(8) Sus enunciados son verbales, también contienen indicios de los procedimientos que se espera sean utilizados normalmente relacionados con el contexto del enunciado. Son propuestos durante el desarrollo de unidades didácticas, después de éstas, en las que se han expuesto los procedimientos para su resolución. Suelen elaborarse listados de ellos.
Los Problemas no contextualizados tienen la finalidad de dotar de significado a los conocimientos matemáticos movilizados en el aula. Aunque coinciden con las cuestiones prácticas en el énfasis de los conocimientos matemáticos a utilizar, aquellas comportan una aplicación de determinados conocimientos, mientras éstos implican el uso de un saber matemático más general. Suelen admitir más de un procedimiento de resolución y se proponen sin vinculación a un contexto matemático concreto. Su resolución suele necesitar una argumentación expresa, son singulares y, por tanto, no admiten ser encuadrados en listas relacionadas. En su resolución las estrategias de tipo intelectual son muy relevantes.
Cuando un profesor propone una Situación Problema, pretende que sus alumnos construyan los conocimientos matemáticos necesarios para su resolución, lo que concede al problema una finalidad educativa. No se busca tanto la funcionalidad como la construcción del saber. Suelen ser imprecisos, abiertos y singulares y constituyen el origen de las formulaciones, presentaciones o construcciones matemáticas implicadas.
Los Problemas de Estrategia tienen como finalidad desarrollar estrategias intelectuales polivalentes. Suele importar más mostrar que se ha adquirido una estrategia que poner de relieve que se ha construido un determinado saber. Normalmente la artillería matemática que necesitan está a disposición de todos los alumnos y el enunciado, de alguna manera, supone un reto (Lester, 1980) para ellos.
Para Abrantes (1989) y Borasi (1986) son ocho y siete, respectivamente, los niveles: Ejercicios, problemas verbales, problemas para plantear ecuaciones, problemas para demostrar (estos dos últimos sólo los plantea Abrantes; Borasi añade problemas como pruebas de conjeturas), enigmas o problemas para descubrir, problemas de la vida real,(9) situaciones problemáticas y situaciones.
Un Ejercicio no está contextualizado, tiene una formulación explícita, única y cerrada, y para su resolución -por un proceso único y de carácter exacto- se prevé el uso de algoritmos previamente conocidos.
Los Problemas verbales y los Problemas para plantear ecuaciones muestran explícitamente el contexto en el enunciado. Coinciden con los ejercicios en cuanto a formulación, método de resolución y carácter de la solución.
Los Problemas para demostrar difieren de los anteriores solamente en que admiten más de una formulación.
Las Pruebas de conjeturas muestran parcialmente el contexto en el enunciado. Su resolución, que supone el conocimiento de determinadas teorías, pasa por la obtención de nuevos algoritmos. La solución es, generalmente, única (aunque no necesariamente).
En los Enigmas para descubrir el contexto aparece totalmente explícito en el enunciado; su resolución pasa por la existencia de actos de "insight".
Un Problema de la vida real puede tener varias soluciones, que pueden ser aproximadas; presenta una formulación parcial con muchas alternativas posibles. El contexto figura parcialmente en el enunciado, de cuya exploración y modelización depende la solución.
Cuando un problema admite varias soluciones, su formulación está sólo sugerida y por tanto admite alternativas de reformulación y el contexto aparece sólo parcialmente en el enunciado que es problemático, estamos ante una Situación problemática.
El último nivel es el más general. El contexto aparece parcialmente en el enunciado, que inicialmente no tiene problema, su formulación es inexistente -incluso implícitamente- por lo que para ser abordado es necesario que sea convertido en problemático. Estamos ante una Situación.
Para Carrillo (1995) existen siete niveles:(10) Ejercicios, problemas, problemas como problemas, problemas con institucionalización de los aprendizajes, problemas con heurísticos, problemas con reflexión y problemas con observación.
Los Ejercicios rutinarios han de ser sustituidos por problemas, pero de manera que podamos tener la paciencia suficiente para que los alumnos hagan sus propuestas de abordaje sin dar recetas que los conviertan en ejercicios, es decir, tratándolos como problemas. Sin embargo es preciso que, de vez en cuando dispongamos de tiempo para socializar los aprendizajes que se van produciendo, otorgando a los problemas un carácter de institucionalizadores de los aprendizajes.(11) Los alumnos han de ir superando retos para los cuales no siempre disponen de las herramientas adecuadas. Su entrenamiento debe contener nuevos heurísticos, así como posibilidad para tomar conciencia de todos los actos realizados y los efectos de su planificación (reflexión) y capacidad para extraer los aspectos más relevantes de la resolución (observación).
A modo de síntesis, partiendo de las directrices curriculares, la resolución de problemas debería servir básicamente para desarrollar la capacidad de explorar, conjeturar y razonar. Esto puede conseguirse se vincule o no lo anterior a contenidos matemáticos concretos, lo que determina las dos grandes pautas de actuación en RP.
No obstante, debería reservarse tiempo para desarrollar toda la diversidad de tareas del continuo ejercicio-problema (desarrollado de diversas maneras por los distintos autores)(12), siempre que se sea consciente de los fines que pretendemos alcanzar en cada momento concreto (automatizar procedimientos, potenciar relaciones significativas, desarrollar la creatividad, desarrollar heurísticos, buscar vínculos con la realidad, adquirir valores racionales, institucionalizar aprendizajes,...).
III.3 REVISIÓN DE ANTECEDENTES SOBRE EL USO DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL AULA(13)
Nos gustaría poder admitir que los esfuerzos por integrar la resolución de problemas en el currículo de matemáticas ha tenido frutos evidentes. Sin embargo, una somera revisión a los estudios sobre el uso que de ellos se hace en el aula nos indica que aún estamos en el camino. Como señalaba Kilpatrick (1985), los diferentes puntos de vista que la gente sostiene acerca de los tipos de problemas o sobre los diferentes énfasis con que estos tipos son tratados en el currículo no han sido aún diferenciados en las investigaciones sobre RP. Su posición era compartida con Grouws, Lester, Silver y Thompson (Silver, 1985).
La afirmación de Kilpatrick está perdiendo vigencia en los últimos años. Comenzaré, por ejemplo, con el trabajo de Fernandes y Vale (1994), que establecen que factores externos, como el contexto donde el profesor desarrolla su labor, pueden actuar en sus prácticas a modo de potenciadores o reductores en cuanto al uso de la resolución de problemas(14); aunque, al igual que el resto de los que han estudiado el comportamiento(15) de los profesores en las aulas, mantienen que son las creencias de los profesores las que determinan con más fuerza éste y otros aspectos de sus metodologías.
Sin embargo, como señala Cooney (1985), no basta mantener unas "adecuadas" creencias; llevar a la práctica una instrucción de ese tipo requiere no sólo una adecuada preparación para la gestión del aula, precisa también y, principalmente, del papel que los profesores dan a los problemas en el aprendizaje, de los fines perseguidos, del papel que otorgan a los alumnos,... Estas situaciones de conflicto son especialmente fuertes en los profesores principiantes.
Block, Dávila y Martínez (1990, 1991), en un estudio con 48 maestros de enseñanza básica, destacan las siguientes características en el uso de los problemas en el aula:
Estandarización a través de la resolución de problemas modelo (observación y repetición como fuentes de aprendizaje).
Sugerencias sobre cómo leer y qué hacer(16) ante el enunciado (pues los errores se deben a falta de atención, lectura mal hecha o desgana).
Organizar los pasos: destacar los datos, hacer las operaciones(17) y escribir el resultado, en la idea de que a cada problema le corresponde una operación determinada.
Dar pistas directas o indirectas(18) y destacar las palabras clave del enunciado.
La interacción se limita a la oferta pública por el profesor de respuestas a preguntas específicas o señalar los errores para su corrección; el alumno ha de hacer lo que el maestro espera que haga.
Normalmente los trabajos son recogidos para su posterior calificación(19); en el mejor de los casos se realiza una sesión de corrección que consiste en mostrar la forma correcta.
Los algoritmos tienden a perder su carácter de herramientas adaptables, se vuelven conocimientos en sí (objetos culturales) cuya adquisición orienta las acciones de enseñanza, tanto más cuanto el profesor conoce las reglas pero no su fundamento.
Grouws, Good y Dougherty (1990), en un estudio con 25 profesores de un nivel equivalente a secundaria obligatoria, encontraron cuatro grandes grupos que clasificaron bajo los siguientes títulos que, no siendo disjuntos, adquieren su matiz por un cierto énfasis en alguna característica:
A. RP es enunciar problemas (seis sujetos).
B. RP es encontrar soluciones a los problemas (diez sujetos).
C. RP es resolver problemas prácticos (tres sujetos).
D. RP es resolver problemas de pensar (seis sujetos).
Las tres primeras se centraban en la naturaleza de los problemas y sus aspectos computacionales, mientras que la cuarta lo hacía en los procesos que se utilizan para llegar a la solución.
Para el primer grupo, la forma de enunciar un problema era un factor decisivo; éstos pueden resolverse mediante cálculos concretos, mediante transformación del enunciado en una ecuación,...como los que suelen aparecer en los libros de texto. Analizar una estrategia, buscar un patrón,...no formaba parte de sus concepciones sobre RP.
El segundo grupo, el más numeroso, enfatizaba la RP como resolución, aunque los procesos eran entendidos de distintas formas. Algunos entendían procesos como los pasos que hay que dar (leer el problema, determinar la incógnita, resolverlo -lo que incluye cálculos- y comprobar).
Los sujetos del tercer grupo ponían el acento en los contextos. Los problemas, para ellos, debían tener vínculos con la vida real aunque para su resolución hubiera que aplicar la computación (cálculos). La razón fundamental era que este tipo de problemas tiene más sentido para los estudiantes.
El cuarto y último grupo daba importancia a la incorporación de ideas a los procesos; requerían el uso de cosas nuevas y diferentes a lo ya conocido, no incorporaban rutinas y exigían un alto nivel de pensamiento. Los profesores expresaban su deseo de obtener procesos y soluciones múltiples y creativas de sus estudiantes.
Básicamente todos reconocían la importancia de los pasos (citados arriba) para resolver un problema, la cuestión era la importancia concedida a uno u otro y el significado otorgado. Así, los del cuarto grupo entendían la resolución como aprendizaje y uso de heurísticos (hacer una tabla o un dibujo, encontrar uno más simple,...), mientras que otros enfatizaban la capacidad de elegir la operación adecuada, definir las variables,... Para todos fue importante encontrar una respuesta correcta. Ninguno otorgó importancia a la generalización o extensión del problema.
La estructura de sus clases fue muy similar. Casi todos los casos contemplaban el comienzo como una exposición de modelos de resolución por el profesor con el objetivo de que los estudiantes emularan su comportamiento cuando resolvieran ellos solos. La mayor parte de los profesores usaban los problemas de su libro de texto(20). En ninguno de los casos era la RP la línea directriz de la instrucción y el tiempo dedicado a la RP era siempre inferior al dedicado a cuestiones que, para ellos, tenían más incidencia ante el posible éxito en las pruebas específicas.(21)
La resolución de problemas es vista, muchas veces, como un elemento motivador o como una forma para introducir un tema(22). Éste es el caso del profesor de secundaria descrito por Cooney (1985).
En uno de los casos descritos por Marcelo (1987) el sujeto encara la enseñanza como una secuencia repetitiva corrección de ejercicios-explicación-ejercicios (p.7) que no presentan una gran dificultad. Esta forma de entender los problemas es también descrita por Franco y Texeira (1987).
Ernest (1992) estableció tres grandes grupos de profesores en función de sus interpretaciones de la resolución de problemas(23). Para el primero de ellos, la RP consiste en la ejecución de tareas no rutinarias y con respuesta cierta, impuestas por el profesor. En este sentido, la RP tiende a estar ubicada al final de las sesiones de transmisión de contenidos matemáticos con la intención de aplicar conocimientos y competencias aprendidas con anterioridad. Los problemas sirven, por tanto, para aplicar, reforzar y motivar el aprendizaje. En el segundo grupo situó a aquellos profesores para los que la RP es un medio para desplegar estrategias y procesos matemáticos y para descubrir las estructuras y verdades matemáticas. Para que ello sea posible, el profesor tiene que elegir y planificar detalladamente los contextos para la adecuada experimentación de los alumnos. De esa experiencia se espera que surja el conocimiento de los alumnos. En el tercer grupo, la RP es considerada como una metodología de construcción social del conocimiento, en el marco de la negociación de significados.
Chapman (1997), en un estudio de tres profesores con experiencia en primaria y/o secundaria, encontró tres tendencias(24); a Cindy se la etiquetó con "comunidad", en el sentido de humanista con énfasis en la dinámica de grupos y con un interés especial en los problemas cotidianos y de aplicación a la vida. A Lillian se la identificó con "aventura", en sus frases se encontraba con frecuencia el término "curiosidad", asociado a esfuerzo, perseverancia y asunción de riesgos. Para ella era muy importante la reflexión sobre los procesos de resolución y la capacidad de emitir ideas. La clave de Amy era el "juego", término que incluía diversión, gratificación y estrategias personales. El término más usado por ella fue "desafío".
Lo anterior pone de relieve la rica gama de significados que el término RP tiene para los profesores, aunque, desde luego, en esos matices y diferencias es indudable que juegna un papel importante los contextos en los que se han hecho esos estudios.
El abanico que hemos presentado como muestra podría hacernos pensar que, si bien hay diferentes tendencias progresistas en cuanto al uso de la RP en las aulas, existe también un cierto equilibrio entre ellas. Sin embargo, como señala Parra (1990), en el contexto escolar referido a primaria, un problema es generalmente un medio de control de la adquisición de determinado tipo de conocimientos.
El supuesto más frecuente es, según esta misma autora, que un problema se plantee para presentar nuevos contenidos, el profesor intenta ganar la atención de los alumnos y, luego, es él quien lo resuelve poniendo de relieve la importancia de recurrir, para ello, a determinados algoritmos. Suelen también plantearse vinculados a un determinado contenido matemático que se pretende reforzar o evaluar, y de manera que las operaciones o los pasos a dar estén claramente sugeridos en el enunciado. Por ello, es claro que no reflejan en absoluto la actividad matemática real:
"El problema escolarizado es una historia que nos cuenta algún tipo de actividad en la que el protagonista tiene que contar o que medir " (Parra, 1991, p.59),..., "privilegian los aspectos puramente aritméticos en detrimento de los geométricos, combinatorios o lógicos...la historia se inicia regularmente con el protagonista; los datos...están ordenados, son numéricos, explícitos, ni sobran ni faltan; los verbos que describen las acciones...son generalmente palabras claves de la resolución; hay una única pregunta con la que termina el enunciado; la respuesta esperada es numérica y única y normalmente tienen por objetivo el reforzamiento de algoritmos ya estudiados" (Parra, 1990, pp.15,16,17).
Esta idea contrasta claramente con la de Swenson (1994), para quien una situación problemática rica puede ser más valiosa que una docena de ejercicios formales o rutinarios problemas verbales siempre que:
a. motive a los niños a enfrentarse a una dificultad que realmente necesita ser resuelta;
b. estimule a los aprendices a indagar en las circunstancias del problema;
c. los aprendices tengan que seleccionar los datos relevantes;
d. los aprendices estén motivados a desarrollar una variedad de estrategias para resolver el problema; y
e. los aprendices emitan sus propios juicios sobre la aceptabilidad de varias soluciones.
Vila (1995a), en un estudio con 4 profesores de Matemáticas de secundaria (11 de BUP) encontró dos perfiles distintos:
a) Tres de ellos tenían una tendencia a relacionar la RP y los conocimientos matemáticos de una forma unidireccional. Para ellos la idea de problema conllevaba inevitablemente referencias a conocimientos matemáticos y RP se asociaba a la manipulación adecuada de datos. Un problema podía servir para motivar o atraer, para evaluar o repasar. Solían ponerlos al final de los temas para aplicar conocimientos adquiridos. Para ellos, la capacidad de RP, a pesar de ser innata, estaba vinculada a la cantidad de conocimientos adquiridos. Los profesores esperaban que el proceso de resolución se adecuara a la instrucción por ellos realizada.
b) El cuarto tendía a entender problema como herramienta para favorecer el pensamiento matemático. Los problemas podían ser abiertos, con finalidad múltiple, podían realizarse en cualquier momento del proceso, solían realizarse en grupos y la capacidad de resolución no se adquiría por 'observación'. No valoraba unas vías frente a otras ni la cantidad de conocimientos implicados.
En un estudio posterior (Vila, 1995b) el mismo autor matiza sus hallazgos al encontrar diferencias a través de introducción de nuevas categorías. Así estudia las creencias de cuatro profesores de secundaria sobre qué es un problema y qué es resolver problemas, sobre cuál es el lugar de la resolución de problemas en los procesos de enseñanza-aprendizaje y en relación con los enunciados de los problemas (en cuanto a su finalidad y en cuanto a las características específicas del texto).
En relación con el primer aspecto, identificó tres tipos de profesores (A, B y C):
- El tipo A enfatizaba los procesos de resolución y los recursos matemáticos implicados, la manipulación adecuada de los datos contenidos en el enunciado.
- El tipo B resaltaba los procesos de resolución vinculados a situaciones difíciles de la vida y la importancia de revisar la solución
- El tipo C enfatizaba el razonamiento y el carácter abierto y la importancia de explorar, disponer de un control de los estados afectivos y necesidad de revisar la solución.
En cuanto al lugar de los problemas en los procesos de enseñanza-aprendizaje, identificó 4 perfiles (dos de ellos emergieron de la categoría A anterior, los otros dos se corresponden con las categorías B y C) que responden a los siguientes esquemas:
A.1 Los problemas sirven para motivar a los alumnos y valorar la adquisición de determinados conocimientos, pero sus pautas reducionistas conviertían los problemas en ejercicios.
A.2 Los problemas han de servir para aplicar los conocimientos y, posteriormente, evaluarlos. La consecuencia es similar a la anterior pero cuidando aspectos afectivos del aula.
B. Los problemas han de servir para dotar de carácter aplicado a la Matemática y para mejorar las situaciones difíciles de la vida. Éstos también caían en el reduccionismo anterior.
C. Los problemas sirven tanto para valorar la construcción de conocimiento como para ayudar a adquirir estrategias de tipo intelectual, combinando los ejercicios con los problemas que ayudan a pensar matemáticamente.
En cuanto a los enunciados, detectó dos categorías:
1. Según la finalidad, los tipos A y B usaban prioritariamente ejercicios o cuestiones prácticas de aplicación, el tipo C usaba, además de lo anterior, un cierto número de problemas no contextualizados, de estrategia y situaciones problema.
2. Y según las características específicas del texto, los tipos A y B facilitaban toda la información necesaria haciendo referencia a una situación concreta, los problemas no contenían información innecesaria, imprecisiones, contradicciones, proponían la obtención de un único resultado numérico y tendían a la estandarización. El tipo C, aunque encaraba problemas en el sentido amplio, confesaba no estar seguro de haber hecho lo adecuado ni de haber creado el entorno más propicio para la resolución.
En definitiva, los trabajos referenciados ponen de manifiesto que, junto a una tendencia de identificar los problemas con situaciones algorítmicas más o menos estandarizadas con proceso y solución únicos, se han identificado comportamientos encaminados a conseguir mayores niveles de pensamiento en la línea de la investigación sobre problemas cotidianos; que mientras en algunas aulas el alumno trabaja sólo sobre una gama de tareas bajo un criterio de secuenciación externa, en otras comparte significados con los otros y aprende de sus errores; que conviven las actitudes de emulación con la de búsqueda autónoma, frustración y gratificación, aplicación y construcción, así como memoria y reflexión.
III.4 INSTRUMENTO DE ANÁLISIS DEL PAPEL QUE LOS PROFESORES OTORGAN A LA RP EN EL AULA.
Cuando somos los usuarios de los informes de investigación nos parece, con frecuencia, que alguno de los elementos que utiliza el investigador salen como por arte de magia.
En nuestro caso, podría parecer natural que, partiendo de la base del modelo teórico para el análisis de las concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, hayamos podido elaborar un modelo específico para poder analizar el papel que los profesores otorgan a la RP en el aula; de hecho, el final ha sido éste, pero no mediante una adaptación. Como veremos a continuación, nuestro modelo actual conserva de aquél las tendencias y categorías, adapta algunos indicadores para el punto de vista específico de la resolución de problemas y aporta toda una nueva colección de subcategorías e indicadores para caracterizar la actividad del aula en relación con la resolución de problemas.
El proceso seguido para obtener un instrumento que me permitiera categorizar los aspectos relevantes que diferenciaran los diversos modos de entender y/o utilizar la resolución de problemas en el aula ha sido complejo. Inicialmente, la intención fue "explotar" el primer indicador de la tendencia investigativa de las tablas CEAM (concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática) que, bajo el nombre resolución de problemas, parecía encerrar distintos significados. De hecho, el primer indicador de la categoría Ametodología@, en cada una de las tendencias de esas tablas, recogía inicialmente esos significados (ejercitación repetitiva, ejercitación reproductiva, experimentación, resolución de problemas). Bajo esas etiquetas intenté obtener un listado de indicadores característicos a partir de los estudios teóricos y empíricos que se han reseñado en el apartado anterior (cuyas claves he destacado en "negrita") seleccionando aquellos que nos podían aportar mayor o mejor información diferenciadora. Ese listado se categorizó sin diferenciar tendencias y así nació el germen del modelo actual:
Posibles categorías e indicadores sobre la concepción de los problemas escolares
* Tipo de información que contiene el problema
suficiente, escasa, demasiada
* Contexto del enunciado
formal, conceptual, cotidiano, instrumental
* Variedad de contenidos conceptuales que abarca
1 núcleo, varios núcleos
* Calidad de la herramienta que el profesor prevé usará el alumno, heurísticos que desea desarrollar (planificación-exploración)
intuitivo, artillería pesada, modelos (manipulativo, gráfico)
* Tipo de tarea que implica
trabajo individual (reforzar/corregir), trabajo en grupo, confrontación colectiva (análisis/discusión)
* Posibilidades de abordar el problema
vía standard, diversidad de abordajes
* Fin matemático que se persigue con el problema
obtención de un resultado (nivel de análisis del resultado: heurístico de verificación), niveles de generalización -papel de los ejemplos-(ídem)
* Fin didáctico del problema
para motivar el comienzo de un tema, para aplicar conocimientos teóricos, para evaluar, para construir conocimiento
* Uso del error
sanción, corrección para buen fin, información obstáculos, instrumento para conflicto cognitivo
* Contenido en claves semánticas
explícitas, implícitas, no contiene
* Ambiente del aula
* Resolutores
el profesor (solución correcta), los alumnos (individualmenteYproceso standard, "como si" fuera el profesor), los alumnos en gran grupo (Yconsenso de solución óptima y búsqueda de posibles mejoras)
* Valoración del profesor de la calidad de un problema en función de la cantidad de conocimiento matemático que se necesita para su resolución (clasificación de un listado de problemas)
* )Qué hace el profesor desde que enuncia el problema hasta que lo da por concluido?
A la vista de este listado me planteé la siguiente cuestión: Con estos indicadores, )es posible obtener un cuadro similar al elaborado para analizar las concepciones sobre la Matemática y su enseñanza, con 4 tendencias en resolución de problemas, conservando las categorías?
Una primera organización del listado me permitía ver que los elementos que aportaban más información eran los criterios de selección del problema (relacionados con Sentido de la Asignatura), forma de plantearlo (que podría ubicarse en Concepción del Aprendizaje), interacciones durante la resolución (que contienen información sobre Metodología, Papel del Alumno y Papel del Profesor) y forma de organizar la corrección (que estaría dentro de Evaluación). Por tanto, parecía razonable organizar los elementos del listado bajo las tendencias y categorías utilizadas para el estudio sobre la Concepción de la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática (CEAM).
En un primer momento obtuve una descripción por tendencias que se ajustaba al listado anterior, pero que no ofrecía el mismo número de indicadores por tendencia. En una segunda fase intenté completar esas lagunas mediante una "traducción" a resolución de problemas de algunos indicadores de CEAM. Ello condujo a la siguiente estructura:
Problemas como ejercicios
Listado externo (texto, libro de problemas,...)
Aplicación de conceptos impartidos; al final de los temas
Secuencias exhaustivas (muchos ejercicios de muchos conceptos) no organizadas
Sentido para la asignatura
Afianzar conceptos
Resolución formal; vía prioritariamente deductiva
Problemas bien definidos. Resolución con "artillería pesada"
Papel de los problemas en el aprendizaje
Ampliar y reforzar el campo conceptual; problemas monográficos
Entrenamiento en procesos formales de prueba
Imitación de estilos deductivos del profesor: estandarización
Resolución individual
Para aplicar la teoría
Las capacidades resolutorias están definidas
Resolver problemas gusta o no gusta
Papel del alumno en la R.P.
Intenta aplicar los conceptos teóricos
Capta y repite estilos
Acepta procesos y resultados
Papel del profesor en la R.P.
Enuncia el problema
Proporciona claves semánticas explícitas
Espera y corrige respuestas de los alumnos
Expone la resolución correcta
Los problemas en la evaluación
Elemento sancionador; énfasis en el resultado
Cuantificación ponderada de las partes
Correcto o incorrecto ajustado al esquema previsto por el profesor
Recuerdo de fórmulas y otros hechos
Aplicación mecánica de conceptos impartidos
No valoración de estilos y estrategias personales
Entrenamiento en ejercicios tipo, de refuerzo
Problemas a la par con la teoría
Erradicación del error; sanción
Problemas como ejercicios; cuestiones teóricas
Listado organizado
Secuencias estructuradas; espiral conceptual
Aplicar conceptos y asimilar procesos
Resolución formal de problemas de corte real
Aplicar y estructurar conceptos; problemas monográficos
Identificar los elementos de los procesos formales de prueba
Comprensión de los estilos resolutores del profesor: estandarización
Para dotar de un significado pragmático a la teoría; para introducir un tema
A veces, el contexto consigue enganchar a rezagados
Plantea y contextualiza el problema
Proporciona claves semánticas implícitas y explícitas
Elemento sancionador; se consideran los pasos e intentos dentro de un marco convencional
Procesos adecuados o inadecuados ajustados al esquema previsto por el profesor
Identificación de nociones a aplicar
Identificación y aplicación de algoritmos adecuados
Los problemas sensiblemente por encima de la teoría
Corrección del error para buen fin
TENDENCIA ESPONTANEÍSTA
Problemas como actividad potenciadora del descubrimiento
Selección aleatoria de problemas cotidianos
Potenciar el descubrimiento espontáneo de nociones
Secuencias aleatorias dependientes del contexto
Adquirir procedimientos y fomentar actitudes positivas
Abordaje intuitivo de problemas cotidianos
Problemas. Válidos para modelizar
Dotar de significado a los conocimientos; problemas polivalentes
Potenciar los procesos intuitivos
Tomar conciencia de las estrategias personales
Resolución por grupos
Para implicar a los alumnos en su aprendizaje
Las capacidades resolutorias pueden potenciarse
Cuando el alumno se siente capaz de crear, se implica
Desarrolla una actividad de ensayo-error.
Prueba; mantiene una actitud empírica
Expresa su opinión sobre los eventos
Sugiere problemas
No hay claves semánticas explícitas
Orienta en momentos clave
Aporta sus conclusiones a la resolución colectiva
Instrumento formativo que permite reorientar el proceso
Valoración del esfuerzo, la implicación del alumno y la dinámica de los grupos
Significado de las nociones construidas
Valoración de estrategias personales
No se valoran los eventuales logros conceptuales
Advertencia sobre la existencia del error
TENDENCIA INVESTIGATIVA
Problemas con institucionalización de los aprendizajes
Colección organizada acorde con los objetivos planteados
Entrenamiento en R.P. en un marco flexible de adquisición de conocimiento
Enfoque procedimental inmerso en redes conceptuales organizadas
Aprendizaje de heurísticos y análisis de procesos para la formalización de conceptos
Resolución matemática de problemas: inducción-deducción
Elaboración de conocimiento conceptual y procedimental
Problemas abiertos. Condiciones iniciales susceptibles de ser modificados generando nuevos problemas
Contribución a la construcción de redes semánticas. Problemas polivalentes
Aspectos metacognitivos que favorezcan la construcción autónoma del conocimiento
Adquisición de estilos heurísticos
Individual y colectiva. Negociación final en gran grupo
Como eje de la construcción de conocimientos
Aborda el problema como una investigación
Analiza y pule su estilo personal de resolución
Discute las aportaciones de los demás y las suyas propias
Genera problemas e implica a los alumnos
No proporciona claves semánticas
Canaliza las aportaciones positivas o negativas
Organiza la discusión final
Instrumento formativo que permite reorientar el proceso y valorar la evolución
Valoración de variables personales y disciplinares con explicitación de vías de mejora
Discusión de la calidad de los procesos y mejora de los mismos
Adquisición de heurísticos y significados conceptuales
Relevancia de las nociones construidas
Valoración de estrategias personales; análisis de alternativas
Simplificación del problema manteniendo la estructura matemática subyacente
Reflexión y análisis de los eventuales logros conceptuales
Utilización constructiva del error; sugerencia de heurísticos
La versión actual supone la sexta versión de un instrumento que, antes de iniciar el estudio de campo, fue aplicado experimentalmente en varios estudios preliminares. Como describí en el caso del instrumento de segundo orden para el análisis de las concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, al primer modelo teórico (primera versión), construido como se ha citado anteriormente, fueron sucediendo otras versiones que recogían las modificaciones(25) sugeridas de la aplicación experimental. A las revisiones que esa fase previa obligó, hay que añadir aquellas a las que ha sido sometida durante su aplicación en este estudio de casos. Cada revisión de esta fase ha obligado a revisar también el análisis efectuado el mismo número de ocasiones. Esta versión tiene la siguiente estructura de categorías/subcategorías e indicadores por cada una de las cuatro tendencias (figura entre paréntesis el número de indicadores por subcategoría):
CÓMO SE CONCIBEN (1)
CÓMO SE ELIGEN (1)
CUÁNDO Y CÓMO SE USAN (1)
CÓMO SE ORGANIZAN (1)
* SENTIDO EN LA ASIGNATURA
CÓMO SE RESUELVEN (1)
TIPO DE PROBLEMAS (1)
* PAPEL EN EL APRENDIZAJE
* PAPEL DEL ALUMNO
QUÉ HACE (3)
* PAPEL DEL PROFESOR
CÓMO REPARTE RESPONSABILIDADES (1)
CÓMO SE CONCLUYE (1)
* LOS PROBLEMAS EN LA EVALUACIÓN
QUÉ SE VALORA (6)
CÓMO SE VALORA (1)
PAPEL DEL ERROR (1)
Estas categorías y subcategorías, con sus correspondientes indicadores por tendencia (cuadros 10 y 11), constituyen el Instrumento de segundo orden para el análisis de las tendencias didácticas en resolución de problemas. La descripción detallada (formato narrativo) de estas tendencias es la siguiente:
En esta tendencia se conciben los problemas como ejercicios que suelen ser propuestos por el profesor al finalizar un período de instrucción de corte teórico con la intención de que se apliquen los conocimientos impartidos. Los problemas suelen provenir de listados externos (texto, libros de problemas,...), extensos y sin una organización específica por el profesor.
La perspectiva que implícitamente soporta esta metodología es que aplicando la teoría se asimila y afianza aquella. Coherentemente, los problemas están bien definidos (con proceso y solución únicos), requieren unos conocimientos concretos (los impartidos) y se resuelven por procesos prioritariamente deductivos.
De esta manera se está asumiendo que se aprende ampliando y reforzando el campo conceptual, mediante un entrenamiento individual en los procesos formales y por imitación de los estilos del profesor, con lo que los problemas son monográficos y estandarizados. Así entendido el aprendizaje, al alumno se le exige una capacidad que, de no poseer, le lleva a la autoexclusión; en tal caso se dirá que al sujeto no le gustan los problemas.
En este contexto, el alumno capta y repite estilos y acepta procesos y resultados; su actividad se limita a intentar identificar los conceptos o algoritmos a aplicar. El profesor es el protagonista exclusivo del proceso; enuncia el problema, espera y corrige (sancionando) las respuestas de los alumnos, proporciona claves semánticas explícitas y, finalmente, expone su resolución como la correcta.
De los productos de los alumnos se valora fundamentalmente el resultado, calificando ponderadamente sus aspectos (expresión numérica, simplificación,...). La evaluación es, por tanto, un elemento sancionador donde lo correcto o incorrecto queda determinado por el esquema previsto por el profesor. Se valora la capacidad de recordar fórmulas y otros hechos y la aplicación mecánica de los conceptos impartidos, obviándose los estilos y estrategias personales. En las pruebas, se valoran los problemas en la medida que éstos sirven para comprobar la adquisición de la teoría. No se pueden cometer errores; de detectar alguno hay que erradicarlo con la misma mecánica que se utiliza para la recuperación: el entrenamiento para el refuerzo.
La tendencia tecnológica
La filosofía reproductiva de la metodología en esta tendencia lleva a que los ejercicios en que son convertidos los problemas se suelan plantear como cuestiones teóricas, al final de los temas y como aplicación de la teoría impartida. Provienen de un listado organizado según orden creciente de complejidad, en una estructura de espiral conceptual, en función de los conceptos que abarca.
La resolución de problemas se utiliza para dotar de un significado práctico a la teoría. No siempre se usan para el mismo fin; a veces sirven para introducir un tema, otras para sondear conocimientos previos, opiniones,...y otras como modelo para conducir el hilo de la teoría. Los problemas suelen tener proceso y solución únicos y, aunque se abordan formalmente, mantienen una cierta vinculación con la realidad.
Ello pone de manifiesto la idea de que aplicando sobre problemas monográficos se estructuran los conceptos. Aprender, bajo este esquema, consiste en identificar los elementos en los procesos formales de prueba y comprender los estilos resolutores del profesor, con lo que los problemas son estandarizados. Así entendido el aprendizaje, al alumno se le exige una capacidad que, de no poseer, le lleva a la autoexclusión. No obstante, a veces el contexto consigue involucrar a estos sujetos.
En este contexto, el alumno capta y repite estilos y acepta procesos y resultados; su actividad se limita a intentar asimilar los conceptos teóricos aplicándolos y reconstruyendo procesos. El profesor es el protagonista principal del proceso, aunque concede algún protagonismo al alumno; plantea y contextualiza el problema, espera y corrige (con intención de enmendar) las respuestas de los alumnos, proporciona claves semánticas implícitas y explícitas y, finalmente, expone su proceso de resolución como el más correcto.
De los productos de los alumnos se consideran, además del resultado, los pasos e intentos dentro de un marco convencional. La evaluación es, por tanto, un elemento sancionador donde los procesos se consideran adecuados o inadecuados en función del esquema previsto por el profesor. Se valora la capacidad de identificar las nociones y algoritmos a aplicar, obviándose los estilos y estrategias personales. En las pruebas, se valoran los problemas en la medida que éstos sirven para comprobar la capacidad de aplicar la teoría. Cuando se detecta algún error se corrige en aras de obtener un mejor producto final. La mecánica que se utiliza para la recuperación es el entrenamiento para el refuerzo.
La tendencia espontaneísta.
En esta tendencia, los problemas se conciben como actividad potenciadora del descubrimiento, como vehículo para potenciar el descubrimiento espontáneo de nociones. Se seleccionan de forma aleatoria aquellos problemas cotidianos más acordes con el contexto (que marca la secuencia) y el ambiente de la clase.
Los problemas, desde esta perspectiva, sirven para adquirir procedimientos, fomentar actitudes positivas y para implicar a los alumnos en su aprendizaje. Son situaciones que invitan a actuar, válidas para modelizar y sin un fin conceptual concreto. Suelen identificarse con problemas cotidianos que se abordan de forma intuitiva (admitiendo, por tanto, múltiples procesos) y que pueden poseer múltiples soluciones.
De esta forma, se establece que se aprende dotando de significado a los conceptos, tomando conciencia de las estrategias personales y potenciando los procesos intuitivos. El trabajo más adecuado es el de grupos, en situaciones donde el alumno se sienta capaz de crear (lo que le hace implicarse) consiguiendo ampliar sus capacidades resolutorias.
El alumno suele desarrollar una actividad de ensayo-error. Al ver que sus opiniones y aportaciones son potencialmente relevantes mantiene una actitud empírica.
Hay un protagonismo compartido. El profesor sugiere problemas y estimula en momentos clave manteniendo el interés. En los atascos no proporciona claves semánticas explícitas y, al final, aporta sus conclusiones a la resolución colectiva.
La observación del proceso de resolución puede permitir, en su caso, reorientar el proceso de aprendizaje y, por tanto, la valoración de los problemas se hace desde una perspectiva formativa. Se valoran el esfuerzo, la implicación, la dinámica de grupos, las estrategias personales y el significado de las nociones construidas. Se analiza la calidad de los procesos y no preocupan los eventuales logros conceptuales. Ante situaciones erróneas existe una llamada de atención y, en bloqueos graves, se procede a un cambio de actividad.
La tendencia investigativa
Los problemas tienen, en esta tendencia, un carácter de instrumento institucionalizador de los aprendizajes en un marco de socialización. Se resuelven problemas durante todo el proceso de aprendizaje dentro de un marco flexible de adquisición de conocimiento conceptual y procedimental. Se organizan acorde con los objetivos planteados y su secuencia responde a un enfoque procedimental inmerso en una red conceptual organizada.
Se utilizan para el aprendizaje de heurísticos y toma de conciencia de procesos que permiten construir y formalizar conceptos. Se resuelven incluso problemas abiertos, se plantean situaciones en las que las condiciones iniciales son susceptibles de ser modificadas para generar otros problemas y sus múltiples vías de resolución, que concuerdan con los procesos matemáticos de resolución (inducción-deducción) pueden conducir a múltiples soluciones.
Para poder contribuir a la construcción de redes semánticas, los problemas son polivalentes. Tienen como objetivo la adquisición de estilos heurísticos y la potenciación de aspectos metacognitivos que favorezcan la construcción autónoma del conocimiento. Se combina el trabajo individual y el de grupo, en situaciones donde el alumno se sienta capaz de crear (lo que le hace implicarse) consiguiendo ampliar sus capacidades resolutorias; hay una negociación final en gran grupo.
El alumno aborda un problema como una investigación, discute las aportaciones de los demás cuestionando las suyas propias y analiza y pule su estilo personal de resolución. El profesor genera problemas, orienta, canalizando las aportaciones positivas o negativas, en los atascos sugiere heurísticos (pero no proporciona claves semánticas) y organiza la discusión y la síntesis final.
La observación del proceso de resolución puede permitir, en su caso, reorientar el proceso de aprendizaje y conocer su evolución y, por tanto, la valoración de los problemas se hace desde una perspectiva formativa. Se valoran las variables personales, la adquisición de heurísticos, los significados construidos y la relevancia de los mismos. Se discute la calidad de los procesos con la intención de mejorarlos, se valoran las estrategias personales y se analizan alternativas. Las situaciones erróneas se aprovechan con un fin constructivo y, en bloqueos graves, se procede a la simplificación del problema manteniendo intacta la estructura matemática subyacente.
La versión sintética (tablas) que ofrecemos en las páginas siguientes, cuya lectura es análoga a las ofrecidas en el capítulo II como instrumento de segundo orden para el análisis de las concepciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática, constituye el instrumento de segundo orden para el análisis de las concepciones sobre el papel de la resolución de problemas en el aula.
Tabla CRP
CATEGORIAS/TENDENCIAS R.P. TRADICIONAL TECNOLÓGICA ESPONTANEÍSTA INVESTIGATIVA
GÍA cómo se conciben 1 Problemas como ejercicios Problemas como ejercicios; cuestiones teóricas Problemas como actividad potenciadora del descubrimiento Problemas con instituc. de los aprendizajes
cómo se eligen 2 Listado externo no organizado Listado organizado según el orden creciente de la complejidad de los conceptos a impartir Selección aleatoria de problemas cotidianos en función de la motivación y el contexto de la clase Colección organizada acorde con los objetivos planteados
cuándo y cómo se usan 3 Al final de los temas, como aplicación de la teoría impartida Al final de los temas, como aplicación de la teoría impartida Como vehículo para potenciar el descubrimiento espontáneo de nociones Durante todo el proceso como entrenamiento en un marco flexible de adquisición de conocimiento conceptual y procedimental
cómo se organizan 4 Secuencias exhaustivas no organizadas Secuencias estructuradas; espiral conceptual Secuencias aleatorias dependientes del contexto Enfoque procedimental inmerso en redes conceptuales organizadas
ASIGNATURA para qué 5 Para asimilar y afianzar la teoría, aplicando aquella Para dotar de un significado pragmático a la teoría; para introducir un tema, para sondear y para simular la construcción del conocimiento Adquirir procedimientos y fomentar actitudes positivas; para implicar a los alumnos en su aprendizaje Aprendizaje de heurísticos y análisis de procesos para la construcción y formalización de conceptos
cómo se resuelven 6 Resolución formal; vía prioritariamente deductiva Resolución formal de problemas de corte real Abordaje intuitivo de problemas cotidianos Resolución matemática de problemas: inducción-dedución.
tipo de problemas 7 Problemas bien definidos.Resolución con "artillería pesada", con proceso y solución únicos Problemas bien definidos. Resolución con "artillería pesada", con proceso y solución únicos Problemas que invitan a actuar; válidos para modelizar; sin un fin conceptual concreto; de proceso y solución múltiples Problemas incluso abiertos. Condiciones iniciales susceptibles de ser modificadas generando nuevos problemas; de proceso y solución múltiples
APRENDIZAJE se aprende.... 8 Ampliando y reforzando el campo conceptual; problemas monográficos Aplicando se estructuran conceptos; problemas monográficos Dotando de significado a los conocimientos; problemas polivalentes Contribuyendo a la construcción de redes semánticas. Problemas polivalentes
Procesos 9 Entrenamiento en procesos formales de prueba Identificar los elementos de los procesos formales de prueba Potenciar los procesos intuitivos Aspectos metacognitivos que favorezcan la construcción autónoma del conocimiento
mediante... 10 Imitación de estilos deductivos del profesor. Estandarización Comprensión de los estilos resolutores del profesor. Estandarización Tomar conciencia de las estrategias personales Adquisición de estilos heurísticos
mediante... 11 Resolución individual Resolución individual Resolución por grupos Individual y colectiva. Neg. final en gran grupo
aptitud matemática 12 Las capacidades resolutoras están definidas Las capacidades resolutoras están definidas Las capacidades resolutoras pueden potenciarse Las capacidades resolutoras pueden potenciarse
actitud 13 Resolver problemas gusta o no gusta A veces, el contexto consigue involucrar a más alumnos Cuando el alumno se siente capaz de crear, se implica Cuando el alumno se siente capaz de crear, se implica
qué hace 14 Intenta identificar conceptos y algoritmos a aplicar Intenta asimilar los conceptos y procedimientos teóricos aplicándolos; reconstruye procesos Desarrolla una actividad de ensayo-error Aborda el problema como una investigación
15 Capta y repite estilos Capta y repite estilos Prueba; mantiene una actitud empírica Analiza y pule su estilo personal de resolución
16 Acepta procesos y resultados Acepta procesos y resultados Es considerada su opinión sobre los eventos Discute las aportaciones de los demás y las suyas propias
PROFESOR cómo reparte responsabilidades 17 Inicia y protagoniza el proceso de forma exclusiva Plantea y contextualiza el problema dando algún protagonismo a los alumnos Sugiere problemas Genera problemas e implica a los alumnos
interacciones 18 Proporciona claves semánticas explícitas Proporciona claves semánticas implícitas y explícitas No hay claves semánticas explícitas No proporciona claves semánticas; sugiere heurísticos
19 Espera y corrige respuestas de los alumnos Espera y corrige respuestas de los alumnos con intención de enmendar Estimula en momentos clave; mantiene el interés Orienta, canalizando las aportaciones positivas o negativas
cómo se concluye 20 Expone su resolución como la correcta Expone su proceso de resolución como el mas correcto Aporta sus conclusiones a la resolución colectiva Organiza la discusión y la síntesis final
EVALUACIÓN qué se valora
21 Elemento sancionador; énfasis en el resultado Elemento sancionador; se consideran los pasos e intentos dentro de un marco convencional Instrumento formativo que permite reorientar el proceso Instrumento formativo que permite reorientar el proceso y valorar la evolución
22 Cuantificación ponderada de las partes Cuantificación ponderada de las partes Valoración del esfuerzo, la implicación del alumno y la dinámica de los grupos Valoración de variables pers. y disc. con explicitación de vías de mejora
cómo se valora 23 Correcto o incorrecto ajustado al esquema previsto por el profesor Procesos adecuados o inadecuados ajustados al esquema previsto por el profesor Discusión de la calidad de los procesos Discusión de la calidad de los procesos y mejora de los mismos
24 Recuerdo de fórmulas y otros hechos Identificación de nociones a aplicar Implicación de los alumnos Adquisición de heurísticos y significados conceptuales
qué se valora 25 Aplicación mecánica de conceptos impartidos Identificación y aplicación de algoritmos adecuados Significado de las nociones construidas Relevancia de las nociones construidas
26 No valoración de estilos y estrategias personales No valoración de estilos y estrategias personales Valoración de estrategias personales Valoración de estrategias personales; análisis de alternativas
reactivación 27 Entrenamiento en ejercicios tipo, de refuerzo Entrenamiento en ejercicios tipo, de refuerzo Cambio de actividad Simplificación del probl. manteniendo la estructura matemática subyacente
preocupación por la teoría 28 Problemas a la par con la teoría; de hecho sólo sirven para medir aquella Los problemas se valoran pues ponen de relieve la aplicabilidad de la teoría No preocupan los eventuales logros conceptuales Reflexión y análisis de los eventuales logros conceptuales
papel del error 29 Erradicación del error; sanción Corrección del error para buen fin Advertencia sobre la existencia del error Utilización constructiva del error
1. Sin embargo, como establece Ernest (1992), ello no ha conducido hasta ahora a una traslación de esta filosofía a las aulas, donde la característica más destacable es el aprendizaje rutinario e instrumental. Para el autor, una de las razones de ello está, como ya comenté en el capítulo anterior, en la influencia negativa que los sistemas de creencias de los profesores han ejercido sobre estas orientaciones (Ernest, 1985).
2. Estas formas tienen una poderosa influencia en las actitudes que generan en los estudiantes. Schoenfeld (1987) identificó cuatro básicamente: entender la Matemática como un conjunto de procedimientos formales desligados de la vida real, que los problemas de Matemáticas se pueden resolver en 10 minutos o menos, que las formas de un argumento son más importantes que su fondo y que sólo los genios pueden hacer Matemáticas. Estas actitudes pueden y deben transformarse a través de la Resolución de Problemas. En estos mismos términos se expresan Garofalo y Lester (1985) y McLeod (1988, 1992) que han analizado también el papel de las emociones (placer/frustración) ante determinada tipología de problemas.
Como señala García (1992), hemos acostumbrado a los alumnos a identificar problemas con ejercicio y proceden intentando buscar en su memoria una réplica para "copiar" y, si pasados unos minutos no la encuentran, piden una clave al profesor.
En el mismo sentido, podemos contribuir a cambiar la visión de la valoración de los problemas, concediendo más importancia a los procesos que a los propios resultados y fomentando las estrategias personales como punto de partida (Flener, 1990; Charles et al., 1987).
Worth (1982) llama la atención sobre la necesidad de cambiar la concepción de problema que tienen los estudiantes para poder propiciar un cambio actitudinal que les permita afrontar las tareas de resolución de problemas desde una posición más autónoma, lejos del típico "¿qué hago?" (Lichtenberg, 1994).
3. Naturalmente, la relación de autores citados por Vale en cada apartado podría ampliarse. Por ejemplo Blanco (1997), Callejo (1994, 1996), Carrillo (1998) y Puig y Cerdán (1996) tienen aportaciones relevantes en los apartados b) y d). Resulta compleja la tarea de destacar más autores en esos apartados. Por otro lado, podría añadirse otra línea como la metacognición, en el que podemos citar los trabajos de Schoenfeld (1987), Puig (1996) y Carrillo (1996).
4. En Von Glasersfeld (1991) puede encontrase información detallada sobre esta corriente de pensamiento a la que también pertenece Confrey.
5. Como decía Lester (1985, p.66), "la intención principal de la instrucción en resolución de problemas matemáticos no es equipar a los estudiantes con una colección de estrategias y procesos, sino más bien hacerlos capaces de pensar por sí mismos. El valor de la instrucción en estrategias y procesos debería juzgarse en la medida en que las estrategias y procesos ayudan a formar un pensamiento flexible e independiente". También tienen cabida en este nivel el aprendizaje de las destrezas constructivas matemáticas (inducción, inducción completa, deducción, reducción al absurdo,...) o de procedimientos discriminatorios (contra ejemplos, análisis de la dimensión de los problemas,...). Estos procesos, por tanto, no se entienden como meros "métodos, procedimientos, estrategias y heurísticos que los estudiantes usan en RP" (Branca, 1980, p.4), sino también una forma de pensamiento en la resolución de problemas no algorítmicos. Esta forma de pensamiento incluye "la coordinación de conocimientos, experiencias previas, intuición, actitudes, creencias y varias habilidades" (Charles, Lester & O'Daffer, 1987, p.7). Naturalmente, cabría en este apartado la presentación de los contenidos matemáticos mediante problemas o situaciones problemáticas (Polya, 1980; Kantowski, 1977; Putt, 1978).
6. En este trabajo me intentaré alejar de posturas radicales en cuanto a qué es y qué no es un problema. No obstante, el contraste entre las características de los ejercicios y las de los problemas puede arrojar luz sobre los distintos papeles que los profesores dan a los problemas en el aula. A tal respecto, como dice Lichtenberg (1994), desde el NCTM se sugiere no utilizar el término problema a actividades de cálculo descontextualizadas.
7. La dicotomía creatividad/rutina es utilizada a veces como elemento clasificador de los problemas. Así LeBlanc et al. (1980) los clasifican en estandarizados (caracterizados por la identificación y aplicación de algoritmos) y de proceso, con tareas no algorítmicas.
8. También el momento del aprendizaje en que son planteados los problemas suele ser un criterio clasificador; en este caso, los problemas de aplicación de Kransky (1987) ocuparían los momentos finales de una unidad. Este autor también distingue entre problemas de traducción y no rutinarios.
9. En esta línea se sitúa Ponte (1991) que orienta los problemas escolares desde tres perspectivas: problemas de la vida para los que el alumno dispone de conocimiento suficiente, situaciones del mundo real que pueden explorarse con diferentes procedimientos matemáticos e investigaciones abiertas.
10. Estos niveles se refieren al grado de compromiso o evolución del resolutor desde la perspectiva del instructor.
11. El autor utiliza el término institucionalizar en el sentido de hacer explícito y organizar el conocimiento adquirido bajo una estructura coherente.
12. Aunque, como señala Gouveira (1996) hay características que podrían considerarse como objetivamente diferenciales, en cuanto al tipo de datos, el tipo de proceso y solución, el obstáculo que supone, el papel del alumno o las capacidades que exige.
13. A lo largo de este epígrafe iré destacando en negrilla aquellos aspectos de los trabajos revisados que me proporcionarán indicadores para la elaboración de un instrumento de segundo orden con el que analizar y catalogar los datos de los profesores referidos al papel que otorgan a la resolución de problemas.
14. Entre estos factores puede estar la propia administración educativa. Un estudio reciente (Roulet, 1996) ha puesto de manifiesto que, a veces, las reformas curriculares no alcanzan el nivel de la formación de algunos profesores en el ámbito de la resolución de problemas y dificultan, por ello, la puesta en práctica de una verdadera concepción investigativa de la enseñanza. En mi modesta opinión, desgraciadamente, ese no es nuestro caso.
15. Recordemos los trabajos de Thompson (1985). Allí, la autora señalaba que uno de los aspectos donde mejor había evidenciado las diferencias entre concepciones y práctica fue en el papel otorgado a la resolución de problemas en el currícula matemático.
16. No incluye una valoración de procedimientos alternativos de representación, como modelos geométricos.
17. Se entiende operaciones en sentido de algoritmos "ad hoc", sin posibilidad de adaptación de éstos a través de estrategias personales. Curiosamente los niños a veces no usan el algoritmo porque no lo dominan, pero disponen de estrategias para llegar felizmente al resultado.
18. En las pistas indirectas se deja ver un dilema de los profesores que quieren que sus alumnos resuelvan de forma autónoma, pero a la vez desean que obtengan éxito (en sentido de solución correcta).
19. Que no debe confundirse con evaluación. De hecho se pone de relieve una escala de valores que infravalora los procedimientos de resolución no convencionales y formales.
20. Esta idea es también reseñada por Bush (1986).
21. Se refiere a las pruebas de estado, externas al centro donde se desarrolla la formación.
22. Stanick y Kilpatrick (1989) distinguen entre problemas como contexto, como destreza y como arte. Entre los primeros se encuentran los problemas para enseñar matemáticas, para motivar, para divertirse, para aprender otros conceptos y destrezas o para reforzar conceptos y destrezas enseñados anteriormente.
23. El contexto del trabajo de Ernest va más allá del mero agrupamiento de tendencias o comportamientos en RP. En su trabajo establece una vinculación entre sus modelos de concepción de la Matemática (Absolutista, Absolutista progresista y Falibilista) y el modo de entender la RP en el aula. Conviene aclarar que este autor entiende problema en el sentido de situación no rutinaria.
En el mismo sentido se sitúa el trabajo de Dougherty (1990); en él se intentan establecer relaciones entre las concepciones sobre la matemática y los "sistemas cognitivos" que amparan la práctica instruccional (a nivel general y en RP en particular). Se identifican cuatro sistemas cognitivos (identificables con lo que en este trabajo se ha entendido como concepción) cada uno de los cuales se empareja con una práctica concreta de aula que, bajo la denominación genérica de A, B, C y D, mantienen en sus descripciones las características de las tendencias didácticas descritas en al capítulo II.
Aunque reconozco la importancia de las relaciones entre la Concepción de la Matemática y el papel otorgado a la RP, no serán contempladas en este trabajo.
24. El término usado por la autora es el de metáfora, entendido como una forma de comprender cómo pensamos sobre ciertos aspectos, damos sentido a la realidad,..., una manera de ver las cosas (Schön, 1979, p. 254). Este término ha sido utilizado por Lakoff & Johnson (1980) y Schön (1983). En la literatura sobre el conocimiento del profesor se mantiene que las estructuras metafóricas (no usando esta terminología) marcan el camino de cómo pensamos y actuamos en la enseñanza (Connelly & Clandinin, 1988; Elbaz, 1991; Grant, 1991).
25. A veces añadiendo matices, otras veces mediante fusión de indicadores o supresión de otros, ganando coherencia dentro de cada tendencia y progresividad de una tendencia a otra.

References: RESOLUCIÓN 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 

Resolución 
 Resolución 

Resolución 
 resolución 

Resolución 

Resolución 
 resolución 

Resolución 
 resolución

 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 resolución

 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución