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Timestamp: 2019-03-26 20:47:34+00:00

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1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.S.
1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.S.O:
Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes (*) UN POCO DE HISTORIA
Las Olimpiadas Matemáticas no son una actividad nueva. Ya a comienzos del siglo XX se celebraban competiciones sobre problemas matemáticos y en el año 1959 nacen unas Olimpiadas Matemáticas para alumnos de Enseñanza Secundaria en diversos países del Este de Europa. Desde 1.964, y bajo el patrocinio de la Real Sociedad Matemática Española, se celebra en España la Olimpiada Matemática Nacional dirigida al alumnado del actual 2º curso de Bachillerato. En la Enseñanza Obligatoria, si bien se celebraban algunos concursos de problemas, no es hasta el curso 1984/85 en el que la Sociedad Andaluza de Educación Matemática “Thales” pone en marcha la 1ª Olimpiada para alumnos de 8º de E.G.B. Posteriormente, comienzan a surgir en diversas Comunidades Autónomas las Sociedades de profesores de Matemáticas y con ellas las convocatorias de Olimpiadas a nivel provincial o autonómico. La constitución de la Federación de Sociedades (FESPM) posibilita la organización de las Olimpiadas Matemáticas Nacionales para el actual alumnado de 2º de E.S.O., de las que este curso 2002-03 se ha celebrado ya la decimocuarta edición. En Euskadi, al no contar con Sociedad de Profesores, los asesores de Matemáticas de los Berritzegunes, tras unos contactos con la Federación y con los responsables de la organización de la Olimpiada Española, decidimos impulsar la organización y celebración de la 1ª Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnado de 2º de E.S.O. Planteada la iniciativa al Departamento de Educación del Gobierno Vasco, en concreto a la Dirección de Innovación Educativa, obtenemos no sólo la aprobación sino el apoyo y colaboración, tanto en aspectos organizativos como económicos. A partir de aquí, los tres Asesores de Matemáticas constituimos la Comisión Organizadora de la 1ª Olimpiada Matemática de Euskadi (OME). La OME pretende, entre otras cosas, popularizar las matemáticas, sacándolas del ámbito puramente escolar en el que habitualmente están recluidas y poniendo de manifiesto que las matemáticas subyacen en muy diversas actividades de la vida, no sólo en las ciencias y tecnología, sino que abarcan todas las actividades humanas, incluidas las lúdicas. Estos son los
Que podríamos agrupar en tres grandes bloques: • Fomentar entre los estudiantes el gusto por las matemáticas, planteando actividades abiertas que les ofrezcan la posibilidad de poner en juego su creatividad, de usar estrategias generales de resolución de problemas y disfrutar afrontando retos intelectuales.
(*) Este artículo ha sido elaborado por Alberto Bagazgoitia.
Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa
Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes
Una de las mayores potencialidades de las matemáticas radica en la gran cantidad de aplicaciones, contextos y situaciones diferentes en las que pueden aparecer o en las que sus métodos y procedimientos pueden ser útiles: ciencia, arte, economía, juegos. • Facilitar la relación entre centros, profesores y alumnos, favoreciendo el conocimiento mutuo y el intercambio de experiencias. En torno a las actividades de la Olimpiada, por parte del profesorado, se pueden poner en común modos, formas de hacer y experiencias positivas y en lo que se refiere a los alumnos, las actividades más abiertas favorecen el trabajo en equipo. • Contribuir a la mejora del proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, y a la formación permanente del profesorado apoyando la innovación e impulsando el trabajo en Resolución de Problemas. La Resolución de Problemas ha de ser un trabajo cotidiano en nuestras aulas y la Olimpiada puede ser un elemento dinamizador en la renovación didáctica del profesorado. Y no sólo para los alumnos más brillantes o motivados en matemáticas sino que todos los alumnos obtendrán beneficios de este enfoque que favorece el desarrollo de capacidades de alto nivel.
En enero se envió la convocatoria de esta 1ª Olimpiada Matemática a todos los Centros de la Comunidad, públicos y privados, contando para este proceso con la colaboración de los Berritzegunes, en concreto con la de los asesores del área científico-tecnológica. Por otra parte, las bases y toda la información sobre la Olimpiada se colgó en la red, en la dirección www.berrikuntza.net/mateolimpiada y las inscripciones de los centros participantes también se recogieron a través de esta página web. Debemos agradecer aquí el trabajo de Lukas Rodríguez, asesor de TIC del Berritzegune de Abando, sin el que no se hubiera podido llevar a cabo este planteamiento. La Olimpiada se estructuró en dos fases: La primera, se realizó en cada uno de los centros participantes el día 28 de marzo. La prueba correspondiente a esta fase fue enviada por la Comisión Organizadora y consistió en cinco problemas (se sugería que de esos 5 problemas se seleccionasen 4 para presentar a los alumnos). Cada centro debía elegir dos alumnos que serían los que pasarían a la segunda fase. Previamente a esto, se habían hecho llegar al profesorado modelos de problemas de tipo y nivel similares a los que se pondrían en las pruebas. Para esta primera fase se inscribieron 100 centros de la Comunidad. Por diversos motivos el número total de centros que inscribieron a sus alumnos para la 2ª Fase fue de 92, repartidos de la siguiente forma: CENTROS ALAVA GUIPÚZCOA VIZCAYA TOTAL PÚBL. 6 11 24 41 PRIV. 7 14 30 51 TOTAL 13 25 54 92
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA
La 2ª Fase se realizó el sábado 17 de mayo de 10´30 a 12´30, en cada una de las tres capitales de la CAV: En Bilbao: en el IES Txurdinaga Behekoa. En Donostia: en el IES Usandizaga-Peñaflorida. En Vitoria-Gasteiz: en el IES Samaniego. Tenemos que agradecer la colaboración de los profesores de estos centros, y muy especialmente al profesorado del IES Txurdinaga Behekoa, que ayudaron a organizar esta 2ª fase en la que en total tomaron parte 184 alumnos. La entrega de premios tuvo lugar en Lakua, en el edificio del Gobierno Vasco en Vitoria, y a ella estuvieron invitados además de los 12 alumnos clasificados en los primeros lugares, sus padres y profesores. El acto fue sencillo pero agradable y satisfactorio para todos: Intervino D. Fernando Corbalán con una charla titulada “Las matemáticas en los juegos” que fue seguida con interés y agrado por los asistentes y cerró el acto D.Konrado Mugerza, Director de Innovación Educativa , quien tras unas breves palabras de agradecimiento y felicitación hizo entrega de los premios a los ganadores. Se despidió a los asistentes con un pequeño lunch, y en las conversaciones informales que se desarrollaron a continuación pudimos valorar la satisfacción general de todos los participantes en esta Olimpiada, animándonos a continuar en este camino.
La valoración del proceso seguido en esta 1ª Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnos de 2º de E.S.O. es inequívocamente positiva. Tanto por la participación lograda (100 centros el primer año), como por las opiniones recogidas entre el profesorado, animándonos a continuar y en algunos casos a ampliar a 4º ESO o a mantener en 3º ESO una cierta continuidad, aún siendo de un modo más informal, pero procurando que no se pierda el trabajo realizadocreemos que la actividad ha satisfecho con creces las expectativas planteadas. Por otra parte, y desde el punto de vista estrictamente matemático, o mejor dicho, de la enseñanza de las matemáticas, también se pueden resaltar algunos comentarios o apreciaciones que nos deberían hacer pensar sobre el enfoque que tiene o que le damos a la asignatura en el aula. He aquí algunos de los comentarios recogidos: • “ Algunos alumnos malos en matemáticas hacen estos problemas bien”. El enfoque de Resolución de Problemas puede tener mayor interés para algunos alumnos, al plantear problemas más abiertos y cercanos o que suponen un cierto reto intelectual. Sugerencia para el aula: Deberíamos abrir el enfoque y el tipo de actividades que se realizan en el aula: Necesidad del trabajar la Resolución de Problemas. • “ Esto no son las mate de verdad”. Los alumnos tienen la sensación, transmitida a lo largo de sus ya 8 años de escolarización, de que las matemáticas auténticas son las de los ejercicios mecánicos, resolución de ecuaciones o cálculos algorítmicos, mientras que los procesos de razonar, conjeturar, particularizar, generalizar,... que entran en juego en situaciones más abiertas, sólo sirven para pasar el rato o como entretenimiento sin importancia. Sugerencia para el aula: Trabajar sistemáticamente la Resolución de Problemas y las capacidades generales anteriormente citadas dentro del currículo ordinario.
de cuya convocatoria tendréis puntual información en el curso 2003-04. y como los alumnos mismos dijeron al despedirse el recuerdo que permanecerá durante mucho tiempo. Uno de nuestros representantes. Además de realizarse las pruebas individuales. PARTICIPACIÓN EN LA OLIMPIADA ESPAÑOLA Los dos primeros clasificados en nuestra Olimpiada de Euskadi tenían derecho a participar. No queremos terminar sin agradecer al alumnado participante por su esfuerzo y al profesorado que ha impulsado y animado esta participación por su desinteresada colaboración que es completamente imprescindible para que la Olimpiada pueda celebrarse. Esperamos contar con todos vosotros en la 2ª Olimpiada Matemática de Euskadi. del análisis global de las respuestas del alumnado a los problemas de la 2ª fase. pero el mejor y mayor premio para todos fue la convivencia. en calidad de invitados. 58 alumnos de todas las Comunidades Autónomas. lo que nos debe llevar a plantearnos la importancia real que tiene la Geometría en el currículo. se deduce claramente que la Geometría es el área en que los alumnos tienen más dificultades. recibió dos diplomas. Más allá de las fórmulas elementales. en la Olimpiada Española que se celebró en Logroño entre los días 25 y 29 de junio. Andorra y Marruecos y 21 profesores nos reunimos para convivir y disfrutar en torno y con las matemáticas. correspondientes a las dos pruebas individuales. por equipos y un concurso de fotografía matemática. Javier Goñi. hubo tiempo para otro tipo de actividades lúdicas y de convivencia. 50 SIGMA Nº 23 • zk. de los cinco con que se premiaba en cada prueba a los alumnos más destacados. 23 SIGMA . la capacidad de razonamiento geométrico es escasa.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes Por último.
XIV OLIMPIADA ESPAÑOLA..1 PROBLEMAS: PRUEBAS INDIVIDUALES Y POR EQUIPOS.. Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 51 .CENTROS PARTICIPANTES.. 4.PROBLEMAS 1ª Y 2ª FASE.FOTOS..2 COMUNIDADES AUTÓNOMAS PARTICIPANTES. 7. 6.RELACIÓN DE PREMIOS.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. 2.O: ANEXOS 1. 3.. 7. 5..ALUMNOS PREMIADOS.. 7.PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO.S.
Calcula el área sombreada. B.. Observa los dos primeros casos resueltos y completa los demás. 1. En las siguientes figuras tienes una caja de dimensiones 5. El 1º es de 1 cm. 6.. ¡Muestra cómo y si puedes hazlo de varias formas! 4. ¿Puedes construir. Explica qué precaución deberás tomar para utilizar la menor cantidad de cordel a la hora de atar la caja. 0. En cambio si se tiene. 1. -1. Considera ahora una caja de dimensiones a. el 3º de 3 cm. Un niño tiene una colección de 10 cubos. que verifican a < b < c. 5. c. Después de 20 pasos ¿cuántos cuadraditos contendrá la figura? 52 SIGMA Nº 23 • zk. atada de diversas maneras. 1. y así sucesivamente hasta el 10º de 10 cm. -1. 7 y 13. C y D sufren una transformación.. puedes conseguirlo siempre. -1. dos torres de la misma altura? Muestra cómo o explica "por qué" no puedes hacerlo. En cada compartimento. utilizando todos los cubos. Calcula la longitud de cordel utilizado en cada caso sin tener en cuenta el nudo. En la siguiente secuencia dí el número que ocupa el lugar 214: 0. 16 7 20 101 → → → → → X → A A A A A A → 20 → Β → 40 → 11 → Β → 22 → → Β → → → Β → → → Β → 100 → → Β → 40 → → → → → → C C C C C C → 30 → D → 15 → 12 → D → 6 → → D → → → D → → → D → → → D → 3. PROBLEMAS 1. En el siguiente cuadro. además. la transformación es siempre la misma.. 0. el 2º de 2 cm. un cubo de 11 cm. 0. 23 SIGMA . OBSERVACIÓN: No vale el ir escribiendo hasta llegar al 214. . b. Encontrar una regla que indique cómo se pasa de una figura a la siguiente.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes ANEXO 1 1. porque el problema sería aburrido. 2. los números de partida al atravesar los compartimentos A. de arista.
3. 5. Kutxa bakoitzean aldaketa berdina dugu beti.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.Ez du pena merezi segidaren elementu guztiak idazteak. 0 . 0.c dimentsioetako kutxa dugula non a<b<c diren. B. Ondoko taulan hasierako zenbakiak aldatzen dira A.7 eta 13 dimentsioetako kutxa hiru eratan lotuta. Eraiki al ditzakezu..aren aristak zentimetro bat du luzeera. 16 7 20 101 → → → → → X → A A A A A A → 20 → Β → 40 → 11 → Β → 22 → → Β → → → Β → → → Β → 100 → → Β → 40 → → → → → → C C C C C C → 30 → D → 15 → 12 → D → 6 → → D → → → D → → → D → → → D → 3. Irudian ba duzu 5. Nola egin beharko duzu kutxa lotzean ahalik eta kordel gutxien erabiltzeko. Estudia itzazu bi lehenengo kasuak eta osatu beste laurak. 1 .S. Hurrengo segidan. hamar kuboak erabiliz.arenak 2 zm. -1 .... Eman ezazue irudi batetik hurrengora nola pasatzen den adierazteko erregela bat. 1. 10.aren aristak 10 zm. 2..-tako beste kubo bat baduzu era desberdinetan egin dezakezula lan hori. 0 . -1 .b.arenak 3 zm.. Haur batek 10 kubo dauzka. PROBLEMAK 1.. 4.. Kalkula ezazu zenbat kordel erabili den kasu bakoitzean korapiloa kontutan izan gabe.-1. 6. 1 .. altuera berdineko bi dorre desberdin? zergatik? Egiazta ezazu hamar horien gainera 11 zm. zenbat karratutxo izango du irudiak? Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 53 . C eta D "kutxetatik"pasatzean. aspertuko baitzara... OHARRA. neurria du. zein zenbaki izango dugu 214-garren tokian? 0.etab. Eman dezagun a. 2.O: ANEXO 1 1.. 1. 20 pauso eman ondoren... Kalkula ezazue zati beltzaren azalera.
Si cada lado del triángulo ABC lo prolongamos una distancia igual a su longitud y sabiendo que su área es 1. un músico.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes Inicio 1er paso 2º paso 3er paso 7.. ¿Cuál es el perímetro de la figura? 13. un jardinero y un peluquero. En cada ficha rectangular la longitud del lado mayor es cuatro veces la longitud del lado menor. Tres personas. ¿Cuántos números de 15 dígitos que utilizan exclusivamente los dígitos 3 y 8 son múltiplos de 11? 12. Luis se propone estudiar 14 horas por semana. Un jugador de baloncesto ha obtenido en un partido un 88'88. un camarero. ¿Cuál es el área del triángulo A'B'C'? 10. ¿De cuántas maneras distintas puede repartir sus horas de estudio durante la semana? 16. Pedro sacó 950€ del banco. Averiguar a qué se dedica cada uno sabiendo que: 54 SIGMA Nº 23 • zk. y cada día no menos de 2 horas y siempre un número entero de horas.. 11. Hay un conductor. y no le dieron ninguna moneda. ¿Cuántos números impares divisibles por 5 hay entre 702 y 1501? ¿Cuántos números pares múltiplos de 3 hay entre 205 y 1300? 15. Con 6 fichas rectangulares. ¿Cuál es la suma de todos los dígitos de todos los números enteros positivos que son menores que 100? 8. 14. ¿Cuántos triángulos equiláteros se pueden dibujar en la trama de puntos ilustrada? Calcular también la longitud de los lados de esos triángulos. Pablo. un pintor. por ciento de encestes. El perímetro de una ficha es 30cm. Mikel y Koldo tienen cada uno dos oficios. todas iguales. ¿Cuánto vale D? 9. ¿cuántos ha lanzado y cuántos ha encestado? 17. Si le dieron en billetes de 20€ y de 50€. se armó esta figura. Sabiendo que ha lanzado entre 10 y 20 tiros. 23 SIGMA . ¿Cuántos billetes de cada clase le pudieron dar? Enumera todas las posibilidades. Si el número 5DDDD es divisible por 6 . de lunes a viernes.
lorezain bat eta ileapaintzaile bat daude. 17. Zein da ehun baino txikiago diren zenbaki positiboen digito guztien batuketa? 8. zenbat triangelu ekilatero marraz dezakezu? Zein da triangelu horien alden luzera? 11. 702 eta 1501 zenbakien artean. Pablo. Saskibaloiko jokalari batek egin dituen saioetatik %88. Puntu sare honetan. margolari bat. zenbat tiro bota ditu?.. astelehenetik ostiral bitartera. 11ren multiploak dira? 12.O: Inicio 1er paso 2º paso 3er paso 7. Hiru pertsonek. zenbat hamabost digitotako zenbakietatik. 10 tirotik 20ra bitartean bota baditu. Fitxa bateko perimetroa 30 zm-takoa dela jakinik. Posibilitate guztiak adieraz itzazu. 205 eta 1300 zenbakien artean. Zein da A'B'C' trianguluaren azalera? 10. 14. Laukizuzen itxura duten 6 fitxekin.88. Luisek bere buruari agintzen dio ikasi behar duela astero 14 ordu. zenbat daude bikoitiak eta 3ko multiploak? 15. 3 eta 8 zenbakiak bakarrik erabiliz. musikalari bat. 16. Mota bakoitzeko zenbat bilete eman ahal zizkioten?. eta beti orduen kopurua zenbaki oso bat izanik.. zein izango da irudi horren perimetroa?.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. norabide berean luzatuz. Pedrok 950€ atera zituen banketxetik. zenbat daude bakoitiak eta 5ekin zatigarriak direnak?. Laukizuzen fitxa bakoitzeko alde nagusia txikia baino lau aldiz handiagoa da. Zenbat da D? 9. Astean zehar zenbat eratan bana ditzake ikas-orduak?. lanbide bina dituzte. Gidari bat serbitzari bat. ABC triangelu honen alde bakoitza. 13.S. 5DDDD zenbakia 6rengatik zatigarria bada. 20€eta 50€-ko bileteak eman zizkioten eta txanpon bat ere ez.Eta hoietariko zenbat saskiratu?. bikoizten bada eta jakinez bere azalera 1 (unitatea) dela. egunero bi ordu edo bi ordu baino gehiago sartuz. saskiratzea lortu du. Mikel eta Koldo. denak berdinak izanik. honako irudi hau egin zen. Asma ezazu bakoitzaren lanbidea honako hau ezagututa: Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 55 .
Koldo ganó a los chinos a Mikel y al pintor. El músico y el jardinero suelen ir a pasear con Pablo. Un escalera de 5 metros se apoya en la pared vertical de un edificio. El músico regaló un disco a Mikel y otro a Pablo. 23 SIGMA . Si la parte más alta de la escalera baja 80 cms. La base de la escalera dista 1'4m de la parte más baja del edificio. El pintor compró al camarero una botella de agua.¿qué le ocurre al área? 56 SIGMA Nº 23 • zk. ¿cuánto se desplazará la base de la escalera? 19. 18. El conductor debe 6€ al jardinero.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes • • • • • • El conductor le dijo al músico que tenía el pelo muy largo. Si la base de un triángulo aumenta un 10% y la altura sobre ese lado disminuye un 10%.
Koldok. zenbat desplazatuko da eskailerako oinarria? 19.4 m-tako distantzia dago. Mikeli eta margolariari irabazi zien.O: • • • • • • Gidariak musikalariari ilea oso luzea zuela esan zion.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. Triangelu baten oinarria %10-a handitzen bada eta alde horretako altuera %10-a gutxitzen bada. txino jokuan. Musikalaria eta lorezaina Pablorekin paseatzera joaten ohi dira. Zer gertatzen zaio azalerari? Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 57 .S. Eskailerako oinarritik eraikuntzako atal baxuenetara 1. Musikalariak Mikeli eta Pablori disko bana oparitu zien. 18. Eraikuntza bateko horma bertikalen kontra 5 m-tako eskailera bat jartzen da. Gidariak lorezainari 6€ zor dizkio. Margolariak serbitzariari botila bat ur erosi zion. Eskailerako atal altuena 80 zm jaisten bada.
la relación entre el área del cuadrado y la suma de todas la áreas de los círculos inscritos. pero una es un poco más pesada que el resto.S.O. luego 4. En la figura inferior aparece un cuadrado de lado unidad en el que se inscriben primero un círculo. Por ejemplo 2002 es un número capicúa. 16.. 1ª FASE 1. ¿Cuántos números capicúas hay entre el 1 y el 10. finalmente. Se tienen 9 bolas semejantes en apariencia. ¿En qué columna y en qué fila aparecerá el 2003? Fila A 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 1 8 9 16 17 Columnas B 2 7 10 15 . ¿cuál es el menor número de pesadas que necesitaremos para identificar la bola más pesada? ¿Y si tuviésemos 27 bolas? ¿ y 81?. Calcular..000? 3.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes ANEXO 2 1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI 2002-03 2º E. ¿Cuál sería esa relación para el caso de 10x10 círculos inscritos? ¿Por qué? 58 SIGMA Nº 23 • zk.¿Puedes generalizar? 4. 9 y. 23 SIGMA . C 3 6 11 14 D 4 5 12 13 2. en cada caso. Si sólo disponemos de una báscula de 2 brazos. Un número capicúa es el que es igual leído de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Los números a partir del 1 se colocan en cuatro columnas como se muestra en la figura.
karratuaren azalera eta zirkulu guztien azalera osoaren arteko erlazioa. ALDIKO PROBLEMAK 1. bat lehenengoan. Zenbaki bat bai eskerretik eskubira eta bai eskubitik ezkerrera irakurrita berbera bada. kasu bakoitzean. Zenbakiak. Adibidez 2002 zenbaki kapikua da. Zein zutabetan eta zein lerrotan agertuko da 2003 zenbakia? Lerroa A 1. zenbaki kapikua deritzo. zein da pisatu behar dugu aldi kopuru txikiena bola astunena identifikatzeko? Eta 27 bola izango bagenitu? ¿ eta 81?. Beheko irudiko karratu bakoitzean. Bakarrik bi besotako balantza badugu. Asma dezakezu ondorio orokor bat? 4.O: ANEXO 2 EUSKADIKO 1. Zenbat zenbaki kapikuak aurki daitezke 1-etik 10. lau bigarrenean.H 2.a 3.B. bederatzi hirugarrenean eta hamasei laugarrenean.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. 10x10 zirkulu izango bagenitu.a 5. irudiaren arabera. Itxuraz 9 bola antzekoak dira.a 1 8 9 16 17 B 2 7 10 15 . baina batak besteek baino pisu gehiago du.S. 1-etik abiatuz.a 4. Zutabea C 3 6 11 14 D 4 5 12 13 2..a 2.. hainbat zirkulu agertzen dira. MAILA 1. zein izango litzateke erlazio hori? Zergatik? Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 59 .000-rako tartean? 3. Kalkula ezazu. OLINPIADA MATEMATIKOA: 2002-03 D. lau zutabetan kokatzen dira.
P10 . 23 SIGMA . están sentadas en círculo y jugando a pasarse la pelota de una a otra. . B. P3 . ¿Cuáles fueron los resultados de los partidos? Razónalo 3. 60 SIGMA Nº 23 • zk.. ésta a P7 y así sucesivamente saltando de tres en tres. Éstas son sus papeletas: A 1ºPar 2ºPar 3ºPar 4ºPar 5ºPar 1 * * * * * X 2 B 1ºPar 2ºPar 3ºPar 4ºPar 5ºPar * * * * 1 X 2 * C 1ºPar 2ºPar 3ºPar 4ºPar 5ºPar * * 1 * * * X 2 Finalizados los partidos. naranja y fresa. Si vas sacando caramelos sin mirar. Tenemos una bolsa con 90 caramelos de los siguientes sabores: limón. a) ¿Cuál es el número mínimo de caramelos que tendrás que sacar para asegurarte que tienes por lo menos dos caramelos del mismo sabor? b) ¿Cuál es el mínimo número de caramelos que tienes que sacar para asegurarte de que tienes por lo menos dos sabores diferentes? c) A Elena le gustan sólo los caramelos de fresa o de limón y a Fernando los de naranja o menta.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes 5. Tres amigos A. menta. Diez personas P1. P2. La primera P1 pasa la pelota a P4 . ¿Cuántos cuadrados puedes contar en la figura de abajo? 2ª FASE 1. A y B obtuvieron 3 aciertos y C dos. y C eligen los 5 primeros partidos de la quiniela para hacer sus pronósticos. hay un 20% más de caramelos naranja que de fresa y hay un 10% menos de caramelos de menta que de limón. Hay el doble de caramelos de limón que de fresa.. Al sacar un caramelo al azar ¿quién tiene mayor probabilidad de que sea de su gusto? ¿Cuánto vale esa probabilidad? 2.
Par 4.P 3.. Lehenengoak P1.Par * * * * 1 X 2 * C 1.Par 5.Par 2. 3.Par * * 1 * * * X 2 Partidak bukatzean.Par 3. Zoriz. Gozokiak begiratu gabe ateratzen badituzu: a) Zenbat gozoki atera beharko duzu gutxienez zapore bereko bi gozoki izateko? b) Zenbat gozoki atera beharko duzu gutxienez bi zapore ezberdinetako gozokiak izateko? c) Elenari marrubizko edo limoizko gozokiak soilik gustatzen zaizkio eta Fernandori laranjazkoak edo mentazkoak. Zenbat pausutan itzuliko da pilota P1–enganaino ?.. gozoki bat ateratzean.S. Ak eta Bk hiru asmatu zituzten eta Ck bi. .P2 . zirkulu baten inguruan eserita daude eta batetik bestera pilota pasatzen jolasten ari dira. nork du bere gustokoa izateko probabilitate gehiago? Zenbat balio du probabilitate horrek? 2. Bk eta Ck beraien pronostikoak egiteko kinielako lehenengo bost partidak aukeratzen dituzte.O: 5. Limoizkoen kopurua marrubizkoen bikoitza da. Zenbat karratu konta dezakezu beheko irudian? 2.Par 4.Par 3....Par 2. Poltsa batean zapore hauetako 90 gozoki ditugu: limoizkoak. honek P7–ri eta P7–k P10 –ari. laranjazkoak eta marrubizkoak.Par 2. Zeintzuk izan ziren partiden emaitzak ?. Hamar lagun P1 . Arrazoitu.Par 5. zenbat bira eman dio pilotak zirkuluari ? Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 61 .Par 3..Par 1 * * * * * X 2 B 1. Hauek dira euren papeletak: A 1.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.Par 5. eta horrela hurrenez hurren. ALDIA 1. laranjazkoak marrubizkoak baino %20 gehiago eta mentazkoak limoizkoak baino %10 gutxiago. Hiru lagunek Ak. mentazkoak. P 10 . P4–ri pasatzen dio pilota.Par 4.
Calcular el área limitada por los arcos BGC y AFD y los segmentos AB y CD. BCE Y ECD equiláteros. ¿Puedes generalizar?: Si hay N personas y los pases se hacen de r en r. siendo los tres triángulos ABE. después de cuántos pases volverá la pelota a la primera persona? ¿cuántas vueltas al círculo habrá dado la pelota? 4.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes ¿Al cabo de cuántos pasos volverá la pelota a P1? ¿Cuántas vueltas al círculo habrá dado la pelota? ¿Y si P1 pasa la pelota a P5. 23 SIGMA . P1 P10 P9 P8 P7 P6 P5 P2 P3 P4 62 SIGMA Nº 23 • zk. ésta a P9 y así sucesivamente? Responde a las mismas preguntas si hubiese 30 personas y los pases fuesen de 8 en 8.
Orokor dezakezu N pertsona badaude eta paseak “r-naka” egiten badituzte.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. Zenbat bira eman dio pilotak zirkuluari? 4. eta honek P9–ari.O: Eta P1–k P5–i ematen badio. ABE. Kalkula ezazu BGC eta AFD arkuen eta AB eta CD segmentuen arteko gainazala.S. eta horrela hurrenez hurren. P1 P10 P9 P8 P7 P6 P5 P2 P3 P4 Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 63 . zenbat pase behar dira lehenengo pertsonarenaino pilota itzultzeko?. BCE eta ECD triangelu aldekideak direlarik. zenbat izango dira ? Erantzun itzazu galdera berberak 30 pertsona izango balira eta paseak zortzinaka egingo balituzte.
P. "SAMANIEGO" B.H.E.E.H.H.I.H.TXURDINAGA BEHEKOA IES ANTONIO TRUEBA IES BALMASEDA IES DERIO IES ELEXALDE BHI IES JM BARANDIARAN IES ORTUELLA 64 SIGMA Nº 23 • zk. Nª SRA. LOS HERRAN MENDEBALDEA B.E. I. DE ARANZAZU SAGRADO CORAZÓN .S.I.I.TELLERI ALDE SAGRADO CORAZÓN MUNDAIZ THE ENGLISH SCHOOL TXINGUDI BHI BIZKAIA ABUSU IKASTOLA AMOR MISERICORDIOSO ANAITASUNA IKASTOLA HI ANDER DEUNA IK ARRATIA BHI ARTXANDAPE IKASTOLA ASTILEKU IKASTOLA AVELLANEDA IKASTETXEA BIHOTZ GAZTEA IKASTOLA BURDINIBARRA B.E. REPÉLAGA IES ARRIGORRIAGA I.I. 23 SIGMA . SAMANIEGO INSTITUTO POLITÉCNICO JESÚS OBRERO KOLDO MITXELENA B.H. DEL CARMEN (PORTU) COLEGIO ALEMÁN COLEGIO AYALDE FADURA INSTITUTUA I. CO.E. "ONDARROA-LEKEITIO" B.I.F.H. Nª SRA.H. "NIÑO JESÚS DE PRAGA" KARMELO IKASTETXEA COMPAÑÍA DE MARÍA CPEIPS LA ASUNCIÓN DUNBOA BHI ESKIBEL ERAIN IKASTETX IES USANDIZAGA PEÑAFLORIDA AMARA BHI IKASTOLA EKINTZA IPINTZA INSTITUTUA LA SALLE DONOSTIA LANDABERRI BHI LANGAITZ BHI LAUAIZETA IKASTOLA BHI LEIZARAN B.H.H.S. I.I.S.E.I. MARIA ETA JOSE MENDATA BHI MOGEL ISASI B.I. MINAS B. ESCOLAPIAS IKASTETXEA COLEGIO SAGRADO CORAZON (CARMELITAS) COLEGIO SAGRADO CORAZÓN (CORAZONISTAS) COLEGIO SAN JOSÉ COLEGIO SAN VIATOR COLEGIO URSULINAS I. "ONGARAI" B.S. ARIZMENDI-ALMEN GUNEA AXULAR LIZEOA C. I.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes ANEXO 3 RELACIÓN DE CENTROS PARTICIPANTES ARABA CALASANCIO MM.E.S.S. (LAGUARDIA) I.I.H.I.S. RAMIRO DE MAEZTU (OYÓN) GIPUZKOA ARALAR B.
JAVIER COLEGIO SANTA MARIA IKASTETXEA COLEGIO SANTÍSIMA TRINIDAD CPES NTRA.Ainara Perrino de la Cruz 9.Iñigo Salazar Ruiz de Ocenda 8. SRA...-Miguel Querejeta Pérez 3..Sara Alvarez Martín 10.Edurne Guerrero Basterretxea 12.S.J. ANDRES DE URDANETA COLEGIO SALESIANO SAN PAULINO DE NOLA COLEGIO SAN JOSÉ COLEGIO SAN FCO.Amaia Igual Iturraspe 6..O: COLEGIO CALASANCIO COLEGIO GAZTELUETA COLEGIO LA INMACULADA COLEGIO MUNABE COLEGIO Nª Sª DE BEGOÑA COLEGIO P..Mikel Palmero Lazkoz 7. ZUMARRAGA..HIJAS DE LA CRUZ SATURNINO DE LA PEÑA ANEXO 4 4.DURANGO INSTITUTUA IES SOPELANA DBH IES URIBE-KOSTA IES ZORROTZA BHI IGNACIO ELLACURÍA BHI ITXAROPENA IKASTOLA KANTAURI-AXULAR BHI KIRIKIÑO IKASTOLA LAURO IKASTOLA LOURDESKO AMA PUREZA DE MARÍA SAN ADRIAN BHI SAN FÉLIX IKASTETXEA SANTA MARÍA . Sagrado Corazón (Corazonistas)(Alava) IES Samaniego BHI (Vitoria) IES Usandizaga-Peñaflorida (Guip) Kirikiño Ikastola (Vizcaya) Bihotz Gaztea Ikastola (Vizcaya) IES Zorrotza BHI (Vizcaya) Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 65 . DE LA ANTIGUA EL SALVADOR MARISTAS F. CLASIFICACIÓN: RELACIÓN DE PREMIADOS.Joseba Dalmau Cherino 5..Irati Larreina Pinto 4.Javier Goñi Mola 2..1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.. 1..Imanol Ituiño de Miguel 11.Unai Rodríguez Moreno The English School (Guip) IES Usandizaga-Peñaflorida (Guip) Mendebaldea BHI (Alava) IES Elexalde BHI (Vizcaya) IES Ortuella BHI (Vizcaya) IES Elexalde BHI (Vizcaya) Co..
. que se celebrará del 25 al 29de junio en Logroño.Derecho a participar en la Olimpiada Española.para estudiar inglés durante 1 mes en Inglaterra o Irlanda. PARA EL PROFESORADO: .V. 23 SIGMA . 66 SIGMA Nº 23 • zk. .Diploma.Libro: “Ernesto el aprendiz de matemago”.Libro: “Ernesto el aprendiz de matemago”.Libro: El lenguaje de las Matemáticas.para estudiar inglés durante 1 mes en Inglaterra o Irlanda. .Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes ANEXO 5 RELACIÓN DE PREMIOS.Diploma. 1º Y 2º CLASIFICADOS: . .Libro: “Ernesto el aprendiz de matemago”. .Calculadora gráfica.Beca del G. 3º Y 4º CLASIFICADOS: .V. 5º AL 12º CLASIFICADOS: . .Beca del G.
S.O: ANEXO 6 FOTOS DE ALUMNOS PREMIADOS Javier Goñi Mola Grupo de ganadores con el Director de Innovación Pedagógica Irati Larreina Pinto Mikel Palmero Lazkoz Miguel Querejeta Pérez Amaia Igual Iturraspe Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 67 .1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.
Los aficionados recuerdan de forma muy especial este torneo no sólo porque el club organizador se hizo una vez más con el trofeo. . } Considera los diez primeros "números de Atila" (cuidado con el 111 porque es el peor.. El torneo se disputó por el sistema de liguilla: cada equipo jugó un partido contra los otros tres. 1111. 23 SIGMA . La tabla de la competición quedó así: Partidos Jugados Garnacha Patadín Menisco Broncas 3 3 3 3 Ganados 2 2 1 0 Empatados 1 0 0 1 Perdidos 0 1 2 2 A favor 4 8 1 2 Goles En contra 1 4 6 4 Averigua razonadamente cuáles fueron los resultados de los seis partidos. 11111. 111. PRUEBA INDIVIDUAL:1ª PARTE Problema n°l TORNEO "GARNACHA" DE FÚTBOL En el torneo veraniego "Garnacha" de fúltbol participaron cuatro equipos: el Menisco C. B. el Patadín beportivo y el Garnacha Atlético.F. ya que empieza con uno... 11 . sino también porque no hubo dos partidos que terminaran con el mismo resultado. 68 SIGMA Nº 23 • zk..Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes ANEXO 7 XIV OLIMPIADA MATEMÁTICA NACIONAL PARA ALUMNOS DE 2º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA 7. cuyos centros son respectivamente los puntos E y F. el Real Broncas. y acaba con uno). Clasifica el cuadrilátero AFCE y halla su área. después trazamos las circunferencias inscritas en los triángulos ACD y ABC.1. C y D cuyo lado mide 2 dm trazamos la diagonal AC. llamaremos "números de Atila" (no sé por qué se me ha ocurrido ese nombre) a los siguientes: Atila = { 1 .. Problema n°3 NÚMEROS DE “ATILA” A partir de este histórico momento. Problema n°2 DE CUADRADOS Y CIRCUNFERENCIAS INSCRITAS En un cuadrado de vértices A. sigue con uno.
. ¿cuántos "1" tienes que utilizar si escribes los 10? ¿Y si en vez de los diez primeros. 2 puntos Cada respuesta fallada. tacha con un aspa la letra mal seleccionada y rodea otra. tuviésemos los 1000 primeros números de Atila (no se te vaya a ocurrir escribirlos todos.. Tomando como vértices cuatro puntos de esta trama cuadrada..... Ten presente que: Cada respuesta correcta te aportará . • No contestes al azar.... Se repite esta operación.. ¿Cuántos euros necesitamos en total? PRUEBA INDIVIDUAL: 2ª PARTE • Rodea con una circunferencia la letra de la respuesta que consideres correcta......)? Problema nº4 EMBALDOSAR CON HEXÁGONOS Se tiene un hexágono regular en el plano.. 2.O: ¿Cuántos hay que sean múltiplos de 11?. • Es muy dificil contestar bien a todas las preguntas: concéntrate en las más accesibles.. y tres en cada uno de orden 3..... B) 4cm.S..... Hay 1 + 6 = 7 hexágonos.. • Operación 1: Se rodea colocando alrededor hexágonos iguales a él.. • Si te equivocas... ............ E) Más de 49 C) 39 Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 69 .. 0 puntos DURACIÓN DE LA PRUEBA: 1 hora y 15 minutos 1. .... D) 49. E) Nada de lo anterior C) 4dm...... Si un recipiente cúbico tiene una capacidad de 64 cl.. ¿cuántos cuadrados distintos pueden construirse? A) 17.. 5 puntos Cada respuesta en blanco..... su arista interior mide: A) 4mm.... • Operación 2: Se rodea esta estructura con hexágonos iguales.. ¿cuántos son múltiplos de 3?..... B) 30.... • ¿Cuántos hexágonos hay después de la operación 4? • ¿Puedes decir cuántos hay después de la operación 100? • ¿Cuántos hay despues de la operación n? Después de la operación n.... Ahora hay 1 + 6 + 2 x 6 = 19 hexágonos. queremos poner dos euros en cada vértice de orden 2 (es decir donde se corten dos aristas)..1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.. D) 4m.
Se obtiene a partir de un icosaedro. B) 100. E) 125 6. E) 530 hl B) 5'3. D) 1/4. 23 SIGMA ˘ ˘ ˘ . Benito lanza un tetraedro con las caras numeradas de 1 a 4. 12. ¿Cuántos números naturales menores que 500 son divisibles por 6 o por 8 pero no son divisibles por ambos a la vez? A) 145. M es el punto medio de AB y O es el centro del cuadrado. D) 0’775. B) 1/2. B) 115º. D) 80. entonces la altura disminuyó un: A) 20%. D) 126º. B) 9. 9. En un rectángulo aumentamos la base y disminuimos la altura de forma que su área no varía. 5. de forma que por cada uno de los 12 vértices del icosaedro aparezca un pentágono y que cada una de las 20 caras del primitivo icosaedro quede reducida a un hexágono regular. E) Nada de lo anterior C) 1/3. por cada cruz 1 punto. B) 0’83. B) 90. B) 3. suprimiendo en cada vértice del mismo una pirámide pentagonal. D) 150. . Artura lanza dos veces una moneda. D) 5'3. D) 130. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos obtengan la misma puntuación? A) 3/4. entonces el área (en dm2) del cuadrilátero DMCO sombreado de la figura es: A) 80. D) 80%. C) 40%. E) Faltan datos B) 25%. E) 180 C) 120.+22003 es: A) 1. C) 5.104 l. Uno de estos volúmenes es diferente de los demás. Por cada cara obtiene 2 puntos. El actual balón de fútbol es un icosaedro truncado. B) 140. ¿Cuánto mide el ángulo x de la figura? A) 110º. . E) 130º C) 120º. 7. Si la base se aumentó en un 25%. ¿Cuál es? A) 53 m3. E) 9 4. Si ABCD es un cuadrado de 20 dm de lado. ¿Cuál de estos números está justo en medio de 0’7 y 0’8? A) 0’75. D) 7. Su número total de aristas es: A) 180. C) 0’75. E) Nada de lo anterior 10.107 cm3. E) 15 70 ˘ SIGMA Nº 23 • zk.108 mm3. D) 13. C) 105. ¿En cuántos ceros termina el producto 1203 · 2504 ? A) 7. C) 5'3. E) Nada de lo anterior C) 100 . C) 11. 11. 8. La cifra de las unidades de 1 + 2 + 22 + 23 + .Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes 3.
D) 107. Por su larga experiencia sabe que no más del 7% de los que le traigan se le van a romper. ¿cuál es el mínimo número de caJas que debe pedir para estar seguro de acabar el trabajo? A) 109. Si la media de edad de las mujeres es 25 años y la de los hombres 35 años. Un albañil necesita 10. D) 10. B) 6. entonces el área del triángulo MNP. C) 7. en cm2. E) 0’80. En el mismo vídeo-club Ángel alquila tres vídeos y Benito dos. B) 7/5. En un grupo de hombres y mujeres la edad media es de 31 años.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. E) 5√3. Si vaciamos ambas jarras en una grande.000 ladrillos para cierto trabajo.S. ¿Cuál es el máximo número de años que puede haber entre dos Años Santos Compostelanos consecutivos? (Suponiendo que no es final de siglo). C) 105. E) 3/2. ¿Qué cantidad –en euros– corresponde a Benito? A) 1’60. Pon 4 euros y los repartiremos entre Benito y yo de forma que todos hayamos puesto lo mismo. B) 106. Si ABC es un triángulo equilátero de 12 cm de lado. E) 108 16. D) 12√3. E) 11 14. Si los ladrillos vienen en cajas de 100. Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 71 . la proporción de aceite y vinagre de la mezcla es: A) 5 a 1. C) 1’20. deciden pasar la tarde viendo películas en vídeo. dice Ángel: No alquiles más películas. dos amigos. Carlos. D) 6 a 5. B) 6√3. entonces la razón n° de hombres/n° de mujeres es: A) 5/7. Ángel y Benito.O: 13. Un año se llama "Año Santo Compostelano" si el 25 de julio de dicho año cae en domingo. B) 12 a 5. es: A) 3√3. M y N los puntos medios de AB y AC. Dos jarras idénticas están llenas de una mezcla de aceite y vinagre en la proporción de 2 a 1 en una de ellas y de 3 a 1 en la otra. y P es el punto de intersección de CM y BN. E) 5 a 2. C) 17 a 7. 15. 17. B) 1’50. Como llueve. Cuando otro amigo. D) 1. D) 4/3. C) 2/1. 18. decide sumarse a la vídeo-sesión. A) 5. que ya tenemos cinco. C) 4√3.
en cada una de ellas sufrieran innumerables pérdidas humanas. 1ª PRUEBA Cuando los romanos llegaron a Hispania. del que. han aparecido labradas en el suelo y de forma misteriosa dos de las puntas de aquel singular polígono. su conquista no fue fácil. aunque más tarde descubriría que tan sólo la matrona seguía viva entre aquella maraña de cadáveres de los que se alimentaba. recrean ante vosotros: chicos y chicas procedentes de toda Hispania. hizo fuego en los hogares de las casas y arrimó los cadáveres a las murallas. ¡Y. a Ángulus Rectus. de la tribu Quirina. y sus habitantes resistieron heroicamente numerosos asedios a pesar de que. “¡Ése es el símbolo del poder que explica tan feroz resistencia de esta población!”. He oído decir que. por todos los dioses. cerca de donde estáis vosotros ahora. nieta del senador y cuestor Aurelio Luncino Macedo. Calagurris estaba habitada por un pueblo orgulloso y valiente. su situación estratégica en el Valle del Ebro. algunos de los pasajes más interesantes de la vida de Calagurris . estos mismos personajes. Elegidos otros tantos puntos del mapa urbano. en la naumaquia de Calagurris. tomando como base siete escollos matemáticos que deberéis resolver con presteza y una buena dosis de ingenio. habréis oído hablar: los verones. destruyeron todas las enseñas. fue muy codiciada por el Imperio Romano. y a Prima Aúrea. Dos mil años después. consiguiendo así resistir por más tiempo. que para seguir haciéndoles creer que la ciudad continuaba aún en pie de guerra. a buen seguro. en las idus de marzo del año 62 de nuestra era harían coincidir por primera vez. hubo una valerosa mujer. Sus ojos temblaron y el miedo se apoderó de él cuando descubrió . 23 SIGMA . propiciando una sólida amistad que se prolongaría a través de los tiempos. la matrona. numerosas insignias en forma de polígono estrellado en los puntos más estratégicos de la muralla. Como puerto fluvial. sobrino de Duunviro Cayo Fulcinio Optato. venerables jóvenes. Sin embargo. La ciudad estaba bien protegida por las murallas y el río. cercada Calagurris por Afranio y habiendo perecido de hambre su población. que no conocemos los poderes que se pueden despertar con tal reconstrucción! 72 SIGMA Nº 23 • zk. exclamó. Temerosos. Para que os habáis una idea. aunque con temor decidió asaltar la ciudad. recuperar para el presente tan valiosa insignia!. en vuestro tiempo y en este lugar.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes PRUEBA POR EQUIPOS. El centurión Calígula Pocospelus. CALAHORRA PRESENTACIÓN Siendo Nerón emperador en Roma y el débil y avaricioso Sulpicio Galba gobernador de la Tarraconenses. ¡Qué reconocimiento más preciado para mis antepasados. cuenta la leyenda que el último y definitivo asedio. a lo lejos. las historias de la antigua ciudad romana se han ido mezclando con el presente de esta acogedora y rica ciudad del valle medio del Ebro.
no son signos que sirvan para operar. que nunca dudó en invertir grandes cantidades de dinero para abastecer a las ciudades del imperio con excelentes aguas traídas directamente de los manantiales. encargó a Vitrubio y Plinio una prolongación del acueducto que. al cabo de pocos siglos los hindúes ingeniarían las bases de vuestro sistema de numeración cuya perfección matemática es aún orgullo de todas las civilizaciones. mis buenos amigos los arquitectos Vitrubio y Plinio. son los números romanos. ¡Imaginad si tuviéramos que hacer una simple suma como ésta! Y ¡No digamos una división! CCXXXII CDXIII MCCXXXI + MDCCCLII MMMDCCXXVIII Al parecer.O: 2ª PRUEBA Justo aquí. al otro lado del río. por todos conocidos. Ángulus Rectus. Fue un Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 73 . donde os halláis vosotros ahora. hiciera realidad sus deseos. Para ello. ¿De verdad vais a ser capaces de estimar en pocos minutos la anchura del río? 3ª PRUEBA Estoy segura de que. yo. Titus Maglius. permanecí absorto durante horas resolviendo un problema que. aún teniendo grandes ríos tan cerca de ellas como el Cidacos lo está de la nuestra. La causa de tal desazón ha de buscarse en el afán de nuestro pueblo. quiso hacerla llevar a su villa.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. en este mismo lugar. En aquellos años del siglo II un gran acueducto. de reciente construcción. El agua era tan buena y abundante. dejándola correr sin pausa por ellas. nos traía agua potable y de calidad directamente de la sierra. me propusieron un día en los inicios del siglo II d. a pesar de vuestra juventud. sino abreviaturas destinadas a anotar y retener números.c. por supuesto. Impresionado quedaría si. ¡Ocupada en tan difícil empresa. calculando la longitud del nuevo trazado! Mucho se habla de vosotros. El fin primordial era alimentar día y noche las fuentes donde el pueblo se abastecía de tan preciado manjar pero.S. garantizar la salud de nuestros ciudadanos limpiando las cloacas con la que rebosaba de fuentes y termas. honorables sabios venidos de toda Iberia. que el poderoso patricio. atravesando el Cidacos. pasé horas y horas. Lo que no sé es si os habréis parado a pensar en que no permitían hacer cálculos con facilidad. fuerais capaces de resolver el problema que ocupo durante tanto tiempo mis vdesvelos. si algo conocéis de la cultura en la que me tocó vivir. también suministrar agua a las termas de nuestros baños públicos y.
por idéntico procedimiento. digno de una estatua de mármol. fue testigo priviliegiado de los primeros pasos de la numeración indoarábiga por occidente. cruel y tan igualado. Frente al lugar en que os encontráis ahora. presidía el atrio de autoridades con el senado de la ciudad al completo. También él conserva el honor de haber sido el primero en darlo a conocer a la Europa judía de aquel momento. La ciudad se engalanó con primor. en el convento de Albelda. Densas nubes grises invadieron el cielo de Calagurris acompasando la agonía de los combatientes y la impaciencia del público. un monje llamado Vigila.c. envuelto en un silencio expectante. Octavio contemplaba el espectáculo desde su trono. cuando Roma dominaba todo el orbe conocido. murió en Calahorra el judío Abraham Ben Ezra. Sumas. Si sois capaces de descifrar su funcionamiento es seguro que sabréis calcular esta otra: 3368970 entre 492. 23 SIGMA . dos colosos que dominaban las artes navales con similar pericia. tan revolucionario como la rueda.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes suceso colosal en la historia de la humanidad. Al timón. levantó la mano y. la división tardaría en adoptar la forma que tiene en la actualidad. que ya para entonces era municipio de derecho romano. el mismísimo Octavio Augusto visitó Calahorra. Fue un combate sin tregua ni piedad. allá por el año 26 a. clavó su mirada en el suelo –que era idéntico en forma y colores al que pisáis vosotros–.. se levantaba entonces la Naumaquia. nos ha granjeado numerosos favores de los emperadores romanos. con ademán elegante. acompañado de su séquito personal. Hace apenas 200 años los cuadernos escolares estaban plagados de divisiones como ésta. dio comienzo el espectáculo con el enfrentamiento sobre las aguas del circo de dos embarcaciones de estandartes rojo y blanco respectivamente. 4ª PRUEBA Nuestra fidelidad a Sertorio. Traicionado por la conversión al Islam de su hijo. Cuenta mi abuelo que. En la segunda mitad del siglo X. restas y multiplicaciones eran ya mucho más sencillas que en mi época. en su juventud. que albergaba un lago artificial de 250 m de largo por 60 de ancho. su duumviro. con 74 SIGMA Nº 23 • zk. aediles y quaestores. recogió en un manuscrito aquellas nueve cifras sin saber que acabaría siendo la primera mención conocida de su suo en la Europa cristiana. y queriendo dar por terminado el espectáculo. Cuenta mi bisabuelo que. Y. Ese día. con expresión altiva y mirada ausente. el dominio del fuego o la invención de la escritura. Presagiando el furor de la tormenta que se avecinaba. Unos doscientos años después. Esa tierra en la que os encontráis. sin embargo. las gradas estaban abarrotadas y el emperador. singular construcción. estático. que prometía alargarse eternamente. recorrió gran parte de la cuenca mediterránea enseñando entre sus correligionarios aquel sistema de numeración que ahora es el vuestro. y que ahora llaman la Rioja. y se organizaron grandes festejos para celebrar tan singular acontecimiento. y en el que se celebraban juegos náuticos y simulacros de batallas navales. como no podía ser menos.
“La primera gota de lluvia que caiga a mis pies decidirá la contienda. El arco que veis era una de ellas. ¡Todos querían escuchar a aquél que con su maestría y elocuencia lograba capatar la atención del senado de Roma!.. sintiendo demasiado próximo su final. paralizó la contienda y las gargantes de todos los allí congregados. olvidó a los gladiadores y se dispuso a precipitar lo más posible el momento en el que degustar tan codicioso manjar. pues bien sabéis que detesto que se imponga la razón de la fuerza por encima de la de la inteligencia”.. la multitud se agolpaba aquí.O: un gesto firme. había organizado todo tipo de festejos para agasajar a tan ilustres invitados. Y sin defraudar a los presentes en su ingenio. en visita oficial. Allá por el año 61 d. para presenciar la llegada de Marco Fabio Quintiliano. Uno de ellos. El pueblo. procónsul de la Hispania Tarraconense. Deberá dividirse en ocho partes exactamente iguales. evitando que los mercaderes hagan trampas. sino vuestras mentes. al cual conoceréis como magistrado monetal calagurritano en época de Augusto. y sabiendo Galba que la violencia no era del agrado de Quintiliano.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. Bajó entonces a la arena. con el cargo de abogado del Tribunal Superior. adueñándose del silencio. Esta puerta oriental por la que entraban los viajeros procedentes de Caesaraugusta. dibujó un hexágono regular y dijo: “Este hexágono representa el enorme pastel que mi padre ha mandado elaborar según la receta que traje de Roma.. para agradecer vuestro amable recibimiento. Con sólo 20 años. solicitó parar la contienda y habló así: “En este combate las armas no serán las espadas. convirtió a este planillo en uno de los lugares más concurridos de la ciudad. ¿Podríais calcular la probabilidad que tenía cada uno de seguir vivo? 5ª PRUEBA Difícil será para vosotros imaginar que a Calagurris sólo se pudiera acceder por cuatro puertas. fue enviado por sus padres a Roma para completar su educación. recobrará la libertad”. Quintiliano contestó: “Os agradezco procónsul esta deferencia.c. envuelto en un intenso escalofrío.. Estando sentados en las gradas contemplando la sangrienta lucha de dos prisioneros. Aquél que con mayor premura dé respuesta al desafío que os proponga Marco Fabio Quintiliano. El vencedor será aquél cuyo estandarte coincida con el color de la baldosa en la que venga la gota a caer.S. Todavía se pueden distinguir sobre las piedras las gorronera donde se encajaba. que acompañaba a Galba. dios de la muerte. Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 75 .... había alcanzado gran fama como letrado y orador. invocó a Tánato. enardecido. El otro. El entonces duunviro Cayo Obtusus.. Por todos era conocido. Su voz resonó. y estoy encargado de vigilar y controlar el perfecto funcionamiento de los instrumentos de peso y medidas. morirá”. que tras comenzar su formación en Calahorra y viendo sus excelentes cualidades. 6ª PRUEBA Soy Biznieto del duumiro Lucius Baevius Priscus. antes de ser distribuido por los barrios de la ciudad”. uno de los hijos más ilustres de esta ciudad. méritos que le permitieron regresar a Hispania junto al procónsul Galba.
Para determinar la sanción. os voy a relatar. 23 SIGMA . de esta forma. No disponía aún de fortuna propia. hasta llegar a Astorga y pasaba por ser una de las principales calzadas de Iberia. partiendo desde Tarraco. La romana actual. Y fue este ir y venir de personas de muy distinta procedencia. mantiene la misma estructura de la balanza romana: balanza graduada que cuelga de un gancho. conoceréis el titánico esfuerzo de construcción que emprendió el Imperio para dotarse de una red de calzadas que unieran las principales ciudades romanas. se las ingenió para intercambiarlos. pero sobretodo. Él. remontaba el valle del Ebro. En Calahorra. tenía dos romanas. la cual debía ser proporcional al margen de fraude que cometía en cada pesada. Se sentía capaz de conquistarla y buscó la manera de asegurar cada día un encuentro con esos ojos que tanto le perturbaban. pero pronto comprendió que el corazón de su amada pertenecía a otro hombre y que su deseo era difícil empresa. cada atardecer. y. no tuve más remedio que imponerle una multa. han aparecido varias piezas cuya legalidad garantizo. Un pícaro mercader. tenía que averiguar cuánto pesaría una libra real en cada una de las romanas trucadas: éste es el reto que os planteo a vosotros ahora. de manera exacta. hijo primogénito de una de las familias más ricas de la ciudad. al observar que el peso de uno de los pilones era las tres cuartas partes del otro. llegaba hasta Numancia. de rostro bellísimo y formas generosas. que equilibraban los pesos. a cambio. La que partía de Calagurris. La importancia de nuestra ciudad se debió. Os voy a contar un caso que tuve que resolver en mi tarea de fiel medidor. le entregaría a diario cincuenta sextercios. hoy todavía. Enseguida detecté la ilegalidad de ambas romanas y. venida desde las lejanas tierras galas. pero buscó ayuda en su padre al que le hizo la siguiente proposición: pediría a Falbalá que. en parte. a lo que robaba a cada cliente al comprar y al vender. según las marcas de la varilla graduada. seguís conociendo con el nombre de romana y que todavía está presente en los mercados de vuestros pueblos. por ejemplo. se sintió perturbado por la hermosura de Falbalá desde que la vio y quiso hacerla su esposa. recorriendo todo el valle del Cidacos y atravesando lo que hoy llamáis Puerto de Oncala. y siempre a la misma hora. a su situación estratégica a borde de la que. usar una romana para comprar y la otra para vender. una joven plebeya llamada Falbalá de cabellos abundantes y rojizos. con sus pilones respectivos.. que seguramente formaba parte del instrumento qque. hasta convertirse en leyenda. animadas por la pujanza de nuestra ciudad. se ha hallado un fiel de bronce perteneciente a una statera (balanza de dos platillos) y un contrapeso en forma de joven negro. es decir.Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes En las yacimientos riojanos. ¿Podríais ayudarme en la tarea? 7ª PRUEBA A buen seguro. Del brazo corto se cuelga un platillo con el artículo a pesar y del largo cuelga una pesa deslizante que establece la medición. el que dio origen a la historia que. El joven Valerius. acudiera a su casa a llevar un cántaro de agua fresca con el que acompañar la cena del joven patricio. Se cuenta que llegó a Calagurris. circulando de boca en boca. esa privilegiada posición impulsó el desarrollo de la actividad artesanal y mercantil. aprove- 76 SIGMA Nº 23 • zk. El muy granuja. Valerius vivía obsesionado por la hermosura de la gala y no cejó en su objetivo. Parco Cornelius. estimulada por la importante afluencia de gentes llegadas de zonas muy lejanas.
si para etonces. límite al dispendio que éste solicitaba.LOGROÑO) SOCIEDADES PERTENECIENTES A LA FESPM ANDALUCÍA ARAGÓN ASTURIAS CANARIAS CANTABRIA CASTILLA . exactamente.1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E. El padre. 7.S. como era de esperar.O: charía la ocasión para poner en juego todo su poder de seducción y conquistar los favores de esa mujer a la que tanto amaba. Las visitas de Falbalá durarían hasta que la gala hubiera recibido tantos sextercios como adoquines tenía la calzada en la que se ubicaba su casa y que es. sensible al sufrimiento de su hijo. Falbalá no accedía a sus deseos. poniendo.LA MANCHA CASTILLA .. la vía pública en la que os encontráis ahora. Disponía de todo ese tiempo para seducirla pero.2 LISTADO DE COMUNIDADES AUTÓNOMAS PARTICIPANTES EN LA XIV OLIMPIADA ESPAÑOLA (25-29 Junio 2003 . ESP. accedió al trato.LEÓN CATALUÑA EXTREMADURA GALICIA MADRID MELILLA MURCIA NAVARRA LA RIOJA VALENCIA 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 5 3 estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes estudiantes INVITACIONES ANDORRA ESC. Por eso os facilitaremos un poco los cálculos suponiendo que toda la calzada tiene la misma anchura y distribución de árboles asientos que la que podéis ver aquí.. vosotros disponéis de mucho menos. Valerius dedicó casi tanto tiempo a contar adoquines como a seducir a la bella Falbalá. EN MARRUECOS PAÍS VASCO 2 estudiantes 2 estudiantes 2 estudiantes Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 77 . debería renunciar a ella para siempre.
mentos” e l E s o L “ ia 1482) (Edición Venec ES: EUCLID .
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