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Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 4, 5 et 6 | Nicolas Bourbaki | download
Strona główna Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 4, 5 et 6
Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce troisième volume du Livre sur les Groupes et algèbres de Lie, neuvième Livre du traité, est consacré aux structures de systèmes de racines, de groupes de Coxeter et de systèmes de Tits, qui apparaissent naturellement dans l’étude des groupes de Lie analytiques ou algébriques.
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GROUPES ET ALGÈBRES DELIE
CHEZ LE MÊME ÉDITEUR ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES, par N. Bourbaki. Algèbre, chapitre 4 à 7. 1981, 432 pages. Algèbre, chapitre 10. Algèbre homologique. 1980, 416 pages, 3 figures. Espaces vectoriels topologiques. Chapitres 1 à 5. 1981, 400 pages. Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 4, 5 et 6. 1981, 288 pages.
N. BOURBAKI ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUE GROUPES ETALGÈBRES DELIE Chapitres 4,5 et 6 CHAPITRE IV Groupes de Coxeter et systèmes de Tits CHAPITRE V Groupes engendrés par des réflexions CHAPITRE VI Systèmes de racines MASSON Paris - New York - Barcelone - Milan Mexico - Rio de Janeiro 1981
Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. © Masson, Paris, 1981 ISBN : 2-225-76076-4 Masson S.A. 120 Bd Saint-Germain, 75280 Paris Cedex 06 Masson Publishing U.S.A. Inc. 133 East 58 th Street, New York, N.Y. 10022 Torray-Masson S.A. Balmes 151, Barcelona 8 Masson Italia Editori S.p.A. Via Giovanni Pascoli 55, 20133 Milano Masson Editores Dakota 383 Colonia Napoles Mexico 18 DF Editora Masson Do Brasil Ltda RuadaQuitanda,20/s301 Rio de Janeiro R.J.
INTRODUCTION AUX CHAPITRES IV, V ET VI L'étude des groupes semi-simples (analytiques ou algébriques) et de leurs algèbres de Lie conduit à la considération des structures de systèmes de racines, groupes de Coxeter et syst; èmes de Tits. Les chapitres IV, V et VI sont consacrés à ces structures. Pour orienter le lecteur, nous en donnons ci-dessous quelques exemples. I. Soient g une algèbre de Lie semi-simple complexe et fi une sous-algèbre de Cartan de g (*). Une racine de g par rapport à fi est une forme linéaire non nulle a sur fi telle qu'il existe un élément x non nul de g avec [h, x] = v.{h)x pour tout h s fi. Ces racines forment dans l'espace vectoriel fi* dual de fi un système de racines réduit R. La donnée de R détermine g à un isomorphisme près et tout système de racines réduit esf isomorphe à un système de racines obtenu de cette manière. Un automorphisme de g laissant stable fi définit un automorphisme de fi* laissant R invariant, et l'on obtient ainsi tout automorphisme de R. Le groupe de Weyl de R se compose des automorphismes de fi* définis par les automorphismes intérieurs de g laissant stable fi; c'est un groupe de Coxeter. Soient G un groupe de Lie complexe connexe, d'algèbre de Lie g, et V le sous-groupe de fi formé des éléments h tels que expGBra'A) = 1. Soit Rv le système de racines dans fi inverse de R, soit Q(RV) le sous-groupe de fi engendré par Rv et soit P(RV) le sous-groupe associé au sous-groupe Q(R) de fi* engendré par R (i.e. l'ensemble des As fi tels que \{h) soit entier pour tout Xe Q,(R)). On a alors P(RV) d Td OJRv). De plus le centre de G est canoniquement isomorphe à P(Rv)/r et le groupe fondamental de G à r/Q_(Rv). En particulier, Y est égal à P(RV) si G est le groupe adjoint et Y est égal à Q(RV) si G est simplement connexe. Enfin les poids des représentations linéaires de dimension finie de G sont les éléments du sous-groupe de fi* associé à Y. (*) Nous utilisons librement dans cette Introduction la terminologie traditionnelle ainsi que les notions définies dans les chapitres IV, V et VI.
8 INTRODUCTION II. Soit G un groupe de Lie réel compact connexe semi-simple et soit g son algèbre de Lie. Soient T un tore maximal de G, d'algèbre de Lie t, et X le groupe des caractères de T. Soit R l'ensemble des éléments a non nuls de X tels qu'il existe un élément x non nul de g avec (Ad t).x = u.{t)x pour tout <sT. Identifions X à un réseau de l'espace vectoriel réel V = X<8ZR; alors R est un système de racines réduit dans V. Soit N le normalisateur de T dans G; l'action de N sur T définit un isomorphisme du groupe N/T sur le groupe de Weyl de R. On a P(R)dXdQ(R); de plus, on a X = P(R) si G est simplement connexe et X = Q,(R) si le centre de G est réduit à l'élément neutre. L'algèbre de Lie g(Q complexifiée de g est semi-simple et t(o en est une sous-algèbre de Cartan. Il existe un isomorphisme canonique de V(C) sur le dual de t<c) qui transforme R en le système de racines de g(C) par rapport à t(C). III. Soit G un groupe algébrique semi-simple connexe sur un corps commuta- tif k. Soient T un élément maximal de l'ensemble des tores de G déployés sur k et X le groupe des caractères de T (homomorphismes de T dans le groupe multiplicatif). On identifie X à un réseau de l'espace vectoriel réel V = X®ZR. Les racines de G par rapport à T sont les éléments a non nuls de X tels qu'il existe un élément x non nul de l'algèbre de Lie g de G avec (Ad t).x = <x(t)x pour tout point t de T. On obtient ainsi un système de racines R dans V, qui n'est pas nécessairement réduit. Soient N le normalisateur et Z le centralisateur de T dans G et soient N(A) et Z(k) leurs groupes de points rationnels sur k. L'action de N(A) sur T définit un isomorphisme de N(A)/Z(A) sur le groupe de Weyl de R. Soit U un élément maximal de l'ensemble des sous-groupes unipotents de G, définis sur k et normalisés par Z. Posons P = Z. U. On a P (k)=Z (k). U (k) et P(A) n N(A) = Z(k). De plus, il existe une base (ai, ..., a») de R telle que les poids de T dans U soient les racines de R positives pour cette base; le quadru- plet (G(A), P(A), N(A), S), où S désigne l'ensemble des éléments de N(A)/Z(A) correspondant grâce à l'isomorphisme défini plus haut aux symétries sa. s W(R) associées aux racines a$, est un système de Tits. IV. Dans la théorie des groupes algébriques semi-simples sur un corps local, on rencontre des systèmes de Tits dont le groupe W est le groupe de Weyl affine d'un système de racines. Soit, par exemple, G = SL(n + l,Q,j>) (avec n ^ 1). Soit B le groupe des matrices [en]) s SL(n + 1, ZP) telles que a.ij epZp pour i < j et soit N le sous-groupe de G formé des matrices n'ayant qu'un seul élément non nul dans chaque ligne et dans chaque colonne. Il existe alors une partie S de N/(B n N) telle que le quadruplet (G, N, B, S) soit un système de Tits. Le groupe W = N/(BnN) est le groupe de Weyl affine d'un système de racines de type An; c'est un groupe de Coxeter infini. Pour la rédaction de ces trois chapitres, de nombreuses conversations avec J. Tits nous ont apporté une aide précieuse. Nous l'en remercions très amicalement.
CHAPITRE IV GROUPES DE COXETER ET SYSTÈMES DE TITS § 1. Groupes de Coxeter Dans tout ce paragraphe, on désigne par W un groupe, noté multiplicativement, d'élément neutre 1, et par S un sous-ensemble générateur de W tel que S = S-1 et 1 « S. Tout élément de W est produit d'une suite finie d'éléments de S. A partir du n° 3, on suppose que tout élément de S est d'ordre 2. 1. Longueur et décompositions réduites Définition 1. — SoitweW. On appelle longueur de w (par rapport à S), et l'on note ls(w) ou simplement l(w), le plus petit entier q ^ 0 tel que w soit produit d'une suite de q éléments de S. On appelle décomposition réduite de w (par rapport à S) toute suite s = (su . . ., sq) d'éléments de S telle que w = sx. . .sq et q = l{w). Ainsi 1 est l'unique élément de longueur 0 et S se compose des éléments de longueur 1. Proposition 1. — Soient w et w' dans W. On a les formules: A) l{ww') «: l(w) + /(ai') B) /(or*) = l(w) C) |l{w) — l{w')\ s: liww'-1). Soient (s1; . . ., sp) et (s[, . . ., s'q) des décompositions réduites de w et w' respectivement; on a donc l(w) =p et l{w') = q, et comme on a ww' = 5j . . . sps[ ... st, on a l(ww') 4 p + q, d'où A). Comme S = S-1 et w1 = Sp1 ... sï1, on a /(oj-1) ^ p = l{w) ; remplaçant w par w1, on obtient l'inégalité opposée l(w) ^ ^w1), d'où B). Remplaçant w par ww''1 dans A) et B), on obtient les relations: D) l(w) — l(w') ^ liww'-1), E) ^ww'-1) = liw'w-1) ; en échangeant w et w' dans D), on obtient l(w') — l(w) ^ ^ww') d'après E), d'où C). Corollaire. — Soient s = (su .. ., sv) et s' = (s[, ..., s'q) deux suites d'éléments de S telles que w = sx ... sv et w' = s[ . .. s'q. Si la suite (slt .. .,sp, s[, . . ., st)
10 GROUPES DE COXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV, § 1 est une décomposition réduite de ww', alors s est une décomposition réduite de w et s' en est une de w'. Par hypothèse, on a l(w) =% p, l(w') ^ q et l(ww') = p + q. D'après A), on a donc l(w) = p et l(w') = q, d'où le corollaire. Remarque. — La formule d(w,w') = [(ww'-1) définit une distance d sur W, invariante par les translations à droite, en vertu des formules A) et B). 2. Groupes diédraux Définition 2. — On appelle groupe diédral tout groupe engendré par deux éléments d'ordre 2, distincts. Exemple. —Soit M le groupe multiplicatif {1, — 1}, et soit m un entier ^2 (resp. m = oo). On fait opérer M sur le groupe Z/mZ (resp. sur Z) par (—1).# = —x, et l'on note Dm le produit semi-direct correspondant de M par Z/mZ (resp. de M par Z). Les éléments de Dm sont donc les couples (s, x) avec s = ± 1 et x s Z/mZ (resp. x s Z) ; la loi de groupe dans Dm est donnée par la formule: F) (s, x). (s', x') = (es', e'x + x'). -On note i la classe de 1 modulo m (resp. i = 1) et l'on pose G) p = C— i,o), p' = (-i,o, « = (i,0; on a alors p2 = p 2 = 1 et n = pp'. Les formules (8) tu» = A, ni), prc» = (— 1, m) montrent que Dm est un groupe diédral engendré par {p, p'}. Proposition 2. — On suppose que S se compose de deux éléments distincts s et s' d'ordre 2. (i) Le sous-groupe P de W engendré par p = ss' est distingué, et W est produit semi- direct du sous-groupe T = {1, s} et de P. De plus, on a (W: P) = 2. (ii) Soit m l'ordre (fini ou non) de p. On a m ^ 2 et W est d'ordre 2m. Il existe un unique isomorphisme 9 de Dm sur W tel que cp(p) = s et cp(p') = s'. (i) On a sps~l = sss's = j'j = />-1, d'où (9) spns-1 = />-» pour tout entier n. Comme W est engendré par {s, s'}, donc par {s, p}, le sous- groupe P de W est distingué. Par suite, TP est un sous-groupe de W; comme TP contient s et s' = sp, on a donc W = TP = P u s~P. Pour prouver (i), il suffit donc de montrer que l'on a W ^ P. Si l'on avait W = P, le groupe W serait commutatif, d'où p2 = s2s'2 = 1 ; les seuls éléments de W = P seraient 1
n° 1.3. GROUPES DE GOXETER 11 et p, contrairement à l'hypothèse que W contient au moins trois éléments, à savoir 1, s et s'. (ii) Comme on a s ^ s', on a p ^ 1, d'où m ^ 2. Comme P est d'ordre m et que l'on a (W : P) = 2, l'ordre de W est 2m. Si m est fini (resp. infini), il existe un isomorphisme 9' de Z/mZ (resp. Z) sur P appliquant n sur p; il existe de plus un isomorphisme 9" de M = {1, — 1} sur T appliquant — 1 sur s. Le groupe W est produit semi-direct de T et P; d'après les formules (9) et p7u"p-1 = TTn, on déduit de 9' et 9" un isomorphisme 9 de Dm sur W tel que 9(p) = s et 9G1) = p, d'où 9(p') = s'. L'unicité de 9 résulte de ce que Dm est engendré par {p, p'}. Remarque. — Considérons un groupe diédral W d'ordre 2m, engendré par deux éléments distincts s et s' d'ordre 2. Désignons par st (resp. s't) la suite de longueur q dont les termes de rang impair (resp. pair) sont égaux à s et les termes de rang pair (resp. impair) à s' et soit wq (resp. w'q) le produit de la suite st (resp. s't). On a: »2* = (•"')*, W2k+1 = {ss')kS w'2k = (j'j)* = (ss') -* w'2k+1 = (s's)W = (ss')-k-is. Si s = (s1; . . ., sq) est une décomposition réduite (par rapport à {s, s'}) d'un élément w de W, on a évidemment si ^ si+i pour 1 ^ i < q — 1. Par suite, on a s = sg ou s = st. Si m = 00, les éléments (ss')n et (w')»j pour ne Z sont distincts. Par suite, les éléments wq (q ^ 0) et w'q {q > 0) sont distincts et si s est une décomposition réduite de wq (resp. w'q), on a nécessairement s = sq (resp. s = sq). Il en résulte que l(wg) = l(w't) = q et que l'ensemble des décompositions réduites d'éléments de W &tf l'ensemble des st et des s't. De plus, tout élément de W possède une seule décomposition réduite. Supposons maintenant m fini. Si q ^ 2m, on a % = wq^im et ze^ = œg_2m; si m < q < 2m, on a aij = w'2m~q, w'q = ^2m-«- Par suite, ni s9 ni s£ ne sont des décompositions réduites dès que q > m. On en déduit que chacun des 2m éléments de W est l'un des 2m éléments wq = w'q, wt et w'q pour 1 ^ q < m — 1 et wm = w'm. Ces 2m éléments sont donc distincts et il en résulte comme plus haut que l{wq) = l(w't) = q pour q < m et que l'ensemble des décompositions réduites d'éléments de W est l'ensemble des sq et des s'g pour 0 ^ q ^ m. Tout élément de W distinct de wm possède une seule décomposition réduite; wm en possède deux. 3. Premières propriétés des groupes de Coxeter Rappelons qu'à partir de maintenant, on suppose que les éléments de S sont d'ordre 2. Définition 3. — On dit que (W, S) est un système de Coxeter s'il satisfait à la condition suivante : (C) Pour s, s' dans S, soit m(s, s') l'ordre de ss' ; soit I l'ensemble des couples (s, s')
12 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV, § 1 tels que m(s, s') soit fini. L'ensemble générateur S et les relations (,y.y')m(M') = 1 pour (s, s') dans I forment une présentation (*) du groupe W. Lorsque (W, S) est un système de Coxeter, on dit aussi, par abus de langage, que W est un groupe de Coxeter. Exemples. — 1) Soit m un entier ^ 2 ou oo et soit W un groupe défini par un ensemble générateur S = {s,s'} et les relations s2 = s'2 = 1 lorsque m = oo, s2 = s'2 = (ss')m = 1 lorsque m est fini. Considérons d'autre part le groupe diédral Dm (n°2, Exemple) et les éléments p et p' de Dm définis par G). Puisque p2 = p'2 = 1 et que (pp')m = 1 lorsque m est fini, il existe un homomorphisme/et un seul de W sur Dm tel que f(s) = p et f(s') = p'. Comme pp' est d'ordre m, il en résulte que ss' est lui aussi d'ordre m. Par suite, (W, S) est un système de Coxeter, W est un groupe diédral d'ordre 2m et / est un iso- morphisme (prop. 2). Par transport de structure, on en déduit que tout groupe diédral est un groupe de Coxeter. 2) Soit @n le groupe symétrique de degré n, avec n ^ 2. Soit si la transposition de i et i + 1 pour 1 ^ i < n, et soit S = {sv . . ., sn-i}. On peut montrer (§ 2, n6 4, Exemple et § 1, exerc. 4) que (©», S) est un système de Coxeter. 3) Pour la classification des groupes de Coxeter finis, cf. Chap. VI, § 4. Remarque. — Supposons que (W, S) soit un système de Coxeter. Il existe un homomor- phismesde W dans le groupe {1, — 1} caractérisé pare(.r) = — 1 pour tout* s S. On dit que e(w) est la signature de w; elle est égale à (— \)!^w\ La formule z{ww') = z{w). z{w') se traduit donc par l{ww') = l{w) + l{w') mod. 2. Proposition 3. — Supposons que (W, S) soit un système de Coxeter. Pour que deux éléments s et s' de S soient conjugués (**) dans W, il faut et il suffit que la condition suivante soit remplie: (I) /7 existe une suite finie (su ..., sq) d'éléments de S telle que s1 = s, sq = s' et que SjSj+i soit d'ordre fini impair pour 1 < j < q. Soient s et s' dans S tels que p = ss' soit d'ordre fini 2n + 1. D'après (9), on a sp~n = pns, d'où A0) pnsp~n = pnpns = p~h = s'ss = s', et s' est conjugué de s. Pour tout s dans S, soit As l'ensemble des s' s S satisfaisant à (I). Avec les hypothèses de (I), les éléments sj et Sj+i sont conjugués pour 1 <, j < q d'après ce qui précède, donc tout élément s' de As est conjugué de s. (*) Ceci signifie que (W, S) satisfait à la propriété universelle suivante: étant donnés un groupe G et une application/de S dans G telle que {f{s)f(s'))m<-''''^= 1 pour (s,s') dans I, il existe un homomorphisme g de W dans G prolongeant/. Cet homomorphisme est unique car S engendre W. Une forme équivalente de cette définition est la suivante: soient W un groupe,/un homomorphisme de W sur W et h une application de S dans W telle que f(h(s)) = s et {h{s)k(s'))m(s,°':' = 1 pour (s, s1) dans I et que les h(s) (pour sel) engendrent W; alors/est injectif (donc un isomorphisme de W sur W). (**) Rappelons que deux éléments (resp. deux sous-ensembles) d'un groupe W sont dits conjugués s'il existe un automorphisme intérieur de W qui transforme l'un en l'autre.
n° 1.4. GROUPES DE GOXETER 13 Soit/l'application de S dans M = {1, — 1} égale à 1 dans As et à — 1 dans S — As. Soient s' et s" dans S tels que s's" soit d'ordre fini m; on &f{s')f{s") = 1 si s' et s" sont tous deux dans As ou dans S —As; dans les autres cas, on &f(s')f(s") = — 1, mais m est pair; on a donc {f{s')f{s"))m = 1 dans tous les cas. Comme (W, S) est un système de Coxeter, il existe un homo- morphisme g de W dans M induisant/sur S. Soit s' un conjugué de s; comme s appartient au noyau de g, il en est de même de s', d'où f(s') = g(s') = 1 et finalement s'eA,. C.Q.F.D. 4. Décompositions réduites dans un groupe de Coxeter Supposons que (W, S) soit un système de Coxeter. Soit T l'ensemble des conjugués des éléments de S dans W. Pour toute suite finie s = (s1; . . ., sq) d'éléments de S, on note ®(s) la suite {h, ..., tQ) d'éléments de T définie par : A1) t] = fa . . . sj_i)sj{s1 . .. Jy-i)-1 pour 1 ^j^q. On a t\ = s± et s1 ... sg = tgtg_i. .. t\. Pour tout élément /sT,on note n(s, t) le nombre d'entiers j tels que 1 < j < q et t] = t. Enfin, on pose R= {1,-1} X T. Lemme 1. — (i) Soient w s W et te T. Le nombre (—\)n(s,t) a la même valeur r\(w,t) pour toutes les suites s = (s±, .. ., s g) d'éléments de S telles que w = si. . .sg. (ii) Pour w s W, soit Uw l'application de R dans lui-même définie par : A2) U«(s, t) = (s.y](b>-i, 0, wtw-i) (s = ±l, (eT). L'application w i—*- Uw est un homomorphisme de W dans le groupe des permutations de R. Pour s s S, définissons une application Us de R dans lui-même par : A3) ^(£,0 = (^.(-1)^,^-1) (s = ±l, *eT) où Sg,( est le symbole de Kronecker. On vérifie aussitôt que Uf = IdR, ce qui montre que Ug est une permutation de R. Soit s = (s1; ..., sa) une suite d'éléments de S. Posons w = sq ... s1 et Us = Ug? ... Ug<. Nous allons montrer, par récurrence sur q, que l'on a : A4) Us(£, t) = (s. (— l)nis-f\ wtw-i). C'est évident pour q = 0,1. Si q > 1, posons s' = [sly . . ., J8_i) et W' = 58_i . . . SX. En utilisant l'hypothèse de récurrence, on obtient : U.(s,0 =Vs^.(-l)nis''t\ w'tw'-i)
14 GROUPES DE COXETER ET SYSTÈMES DE TITS Ch. IV, § 1 Or O(s) = (O(s'), w'-'hqw') et n(s, t) = n(s', t) -+- Sw,-i,w, $ d'où la formule A4). _ Soient alors s, s' s S, tels que p = ss' soit d'ordre fini m. Soit s = (.^, . . ., 52m) la suite d'éléments de S définie par Sj = s pour j impair et sj = s' pour j pair. On a 52m .. . si = p~m = 1 et la formule A1) entraîne : A5) t] = pl-h pour 1 ^j^2m. Comme p est d'ordre m, les éléments h, . . ., tm sont distincts et l'on a tj+m = t) pour 1 < j ^ m. Pour tout te T, l'entier n(s, J) est donc égal à 0 ou à 2 et A4) montre que Us = IdH. Autrement dit, on a (UsUg.)m =IdR. D'après la définition même des systèmes de Coxeter, il existe donc un homomorphisme iv 1—*~ Uw de W dans le groupe des permutations de R tel que Ug soit donné par le second membre de A3). On a alors Uw = Us pour toute suite s = (sx,. . .,Sq) telle que w = sg . . . s± et le lemme 1 résulte immédiatement de A4). Lemme 2. — Soient s = (su . . ., sQ), 0(s) = (tu . . ., tg) et w = s1 . .. sQ. Soit Tw l'ensemble des éléments (sT tels que i\{w, t) = — 1. Pour que s soit une décomposition réduite de w, il faut et il suffit que les U soient distints; on a alors Tw = {t1} .. .,tq) et Card (Tw) = l(w). On a évidemment Twc {tu . .., tg}; en prenant s réduite, on en déduit d'abord que Card (Tw) ^ l(w). De plus, si les U. sont distincts, n(s, t) est égal à 1 ou 0 suivant que t appartient ou non à {^, ...,tq}. D'où Tw = {t1} . . ., ta} et q — Card (Tw) ^ l(w), ce qui entraîne que s est réduite. Supposons enfin que l'on ait t% = tj avec i < j. On en tire si = usjw1, avec u = •Ji+i • • • Sj-U d'où aussitôt W = St . . . Si_\Si+i . . . Sj-iSj+i . . . Sq, ce qui montre que s n'est pas une décomposition réduite de w. Lemme 3. — Soient we W et s e S tels que l(sw) < l(w). Pour toute suite s = (s 1; .. .,Sq) d'éléments de S avec w = s± . . . Sq, il existe un entier j tel que 1 < j < q et SS± . . . 5j_l = S± . . . Sj-lSj. Soient p la longueur de w et w' = sw. D'après la Remarque du n° 3, on a l(w') = l(w) + 1 mod. 2; l'hypothèse l(w') ^ l(w) et la relation \l{w)—l(w')\ «: l(ww'-i) = l{s) = 1 entraînent l{w') =p—1. Choisissons une décomposition réduite (si> • • • j sp-i)
n° 1.5. GROUPES DE GOXETER 15 de w' et posons s' = (s, s[, . .., s'p_i) et O(s') = {t[, ■ ■ -, t'v). Il est clair que s' est une décomposition réduite de w et que l'on a t[ = 5; les éléments <i,.. ., £p étant distincts par le lemme 2, on a n(s', 5) = 1. Comme w est le produit de la suite s, on a n(s, 5) = n(s', s) mod. 2 d'après le lemme 1, d'où n(s, s) ^ 0; par suite, s est égal à l'un des éléments tj de la suite 0(s), d'où le lemme. Remarque. — L'ensemble Tw défini au lemme 2 se compose des éléments de la forme w'^w" correspondant aux triplets (w1, w", s) s W X W X S tels que w = w"sw' et l(w') + l(w") + 1 = l(w). 5. La condition d'échange On désigne sous le nom de « condition d'échange » l'assertion suivante sur (W, S) : (E). Soient we~W et se S tels que l(sw) < l{w). Pour toute décomposition réduite (s1, .. ., sQ) de w, il existe un entier j tel que 1 <, j <, q et A6) SS± ... 5;_l = S± ... Sj-lSj. On suppose dans ce numéro que (W, S) satisfait à (E) ; d'après le lemme 3, il en est ainsi si (W, S) est un système de Coxeter. Les résultats de ce numéro s'appliquent donc aux systèmes de Coxeter. Proposition 4. — Soient s s S, «;eW et s = (s±, . . ., st) une décomposition réduite de w. Deux cas seulement sont possibles: a) l(sw) = l(w) + l et (s, Si, . .., sq) est une décomposition réduite de sw. b) l(sw) = l(w) — 1 et il existe un entier j tel que 1 ^ j ^ q, que (s-y, . . ., Sj-1, Sj+i, . . ., sa) soit une décomposition réduite de sw et que la suite (s, slt . . ., J;_i, ^/+1, . . ., sq) soit une décomposition réduite de w. Posons w' = sw; d'après la formule C) du n° 1, on a \l(w) —l[w')\ «: l{s) = 1. Nous distinguerons deux cas : a) l(w') > l(w). On a donc l(w') = q + 1 et w' = ss1 . .. st, donc (s, s1} ..., Sg) est une décomposition réduite de w'. b) l(w') ^ l{w). D'après (E), il existe un entier j tel que 1 < j < q, satisfaisant à A6). On a alors w = ss± .. . Sj_iSj+i . . . sq, d'où w' = s1 . . . Sj_is}+i . . . sq; comme on a q — 1 ^ l{w') <, q, on a nécessairement l(w') = q — 1 et (slf .. ., Jj_i, Sj+i, . .., sg) est une décomposition réduite de w'.
16 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV, § 1 Lemme 4. — Soient w s W de longueur q ^ 1, D Vensemble des décompositions réduites de w, et F une application de D dans un ensemble E. On suppose que Von a F(s) = F (s1) si les éléments s = [s1} .. ., sa), s' = D, .. ., s'q) de D satisfont à l'une des hypothèses suivantes : a) On a s± = 4 ou sQ = s'q. b) Il existe s et s' dans S tels que Sj = s'k = s et sk = s) = s' pour j impair et k pair. Alors F est constante. A) Soient s, s'sD; posons t=(s[, s1; ..., sq_i). Nous allons montrer que si F (s) ¥=F[s'), on a te D et F(t)^F(s). On a en effet w = s'1 .. . s'Q, donc s'^w = 4---4 est de longueur < q. D'après la prop. 4, il existe un entier j tel que 1 < j <, q et que la suite u = D, s1} . . ., 5;_i, Sj+i, .. ., sa) appartienne à D. On a F (m) = F (s1) d'après la condition a); si l'on avait j ^ q, on aurait F (s) = F (m) pour la même raison, d'où F (s) = F(s') contrairement à l'hypothèse. On a donc j = q, d'où t = usD et F(t) = F (s') ^ F (s). B) Soient s et s' dans D. Pour tout entier j avec 0 < j < q, définissons une suite Sj de q éléments de S de la manière suivante : / S0 = [Si, . . ., Sq) si = 0*1» • • •> •*«) *e+i-*= 0^.4,---,^1,4^1^2,-■-,¾) pour q — Apair et 1 < A < y *e+i-*= D> ^î, •■-,^1,4,^2,...,¾) pour g—k impair et 1 < k < q. Notons (H;) l'assertion «s;sD, Sj+i s D et F(s;) ^ F(s;+i) ». D'après (A), on a (H;) ==*► (H;+i) pour 0 < j < q, et (H8) n'est pas satisfaite d'après la condition b). Par suite, (Ho) n'est pas satisfaite. Comme s0 = s' et s± = s, il en résulte que F (s) = F(s'). Proposition 5. — Soient M un monoïde {avec élément unité 1) et f une application de S dans M. Pour s, s' dans S, soit m (s, s') l'ordre de ss'; on pose {{/{s) f{s')I si m{s,s')=2l, Ifini A8) a[s,s') = \(f(s)f(s'))lf[s) « m[s,s')=2l+l, Ifini ( 1 si m(s,s') = oo. Si l'on a a(s, s') = a(s', s) quels que soient s ^ s' dans S, il existe une application g de W dans M telle que A9) gW=f(si)...f(sa) pour tout ï«sW<( toute décomposition réduite [s±, .. ., sg) de w. Pour tout w s W, soient Dw l'ensemble des décompositions réduites de w et Fw l'application de Dw dans M définie par Fw(Ji, ---,½) =/(Ji) .••/(*«)• A7)
n° 1.6. GROUPES DE GOXETER 17 Nous allons prouver par récurrence sur la longueur de w que Fw est constante, ce qui établira la prop. 5. Les cas l(w) = 0,1 étant triviaux, nous supposons q ^ 2 et notre assertion prouvée pour les éléments w avec l{w) < q. Soient w de longueur q et s, s' dans Dw; d'après le lemme 4, il suffit de prouver que l'on a Fw(s) = Fw(s') dans les cas a) et b) dudit lemme. a) La formule Fw{s1; .. .,sa) = f(s1)Fw-(s2, . .-,sQ) = FW'(s1, .. .,sQ„i)f{sQ) pour w' = s1 . . . sq_\ et w" = s2 ■. ■ sq et l'hypothèse de récurrence montrent que l'on a Fw(s) = Fw(s') si s1 = s[ ou sa = s'q. b) Supposons qu'il existe deux éléments s et s' de S tels que sj = s'a = s et sic = s'j = s' pour j impair et k pair. Il suffit de traiter le cas s ^ s'. Les suites s et s' sont alors deux décompositions réduites distinctes de w dans le groupe diédral engendré par s et s'. D'après la Remarque du n° 2, l'ordre m de ss' est nécessairement fini et l'on a, avec les notations de cette remarque, s = sm et s' = s'm. Par suite, on a Fw(s) = a(s,s') et Fw(s') = a(s',s), d'où F„(*) = Fw(*'). 6. Caractérisation des groupes de Coxeter Théorème 1. — Pour que (W, S) soit un système de Coxeter, il faut et il suffit qu'il satisfasse à la condition d'échange (E) du n° 5. Le lemme 3 du n° 4 montre que tout système de Coxeter satisfait à (E). Réciproquement, supposons (E) vérifiée. Soient G un groupe et / une application de S dans G, telle que l'on ait \(f(s)f(s'))m = 1 chaque fois que s et s' appartiennent à S et que ss' est d'ordre fini m. D'après la prop. 5, il existe alors une application g de W dans G telle que l'on ait : B0) g(w)=f(Sl) ...f(sq) chaque fois que w = s1 ... st est de longueur q. Pour prouver que (W, S) est un système de Coxeter, il suffit de prouver que g est un homomorphisme, ce qui est conséquence de la formule B1) g{sw) =f{s)g{w) pour isS, œeW puisque S engendre W. D'après la prop. 4 du n° 5, deux cas seulement sont possibles : a) l(sw) = l{w) -\- 1 : si (sly ..., sq) est une décomposition réduite de w, alors (s, si, . . ., sa) est une décomposition réduite de sw, d'où B1). b) l(sw) = l(w) — 1 : posons w' = sw; on a w = sw' et l(sw') = l(w') + 1. D'après a), on a donc g (w) =f{s)g{sw), d'où f{s)g{w) = g{sw) puisque l'on a (/WJ = i-
18 GROUPES DE COXETER ET SYSTEMES DE TÏTS Ch. IV, § 1 7. Familles de partitions Supposons que (W, S) soit un système de Coxeter. Pour tout s dans S, notons P„ l'ensemble des éléments vu de W tels que l(sw) > l(w). On a les propriétés suivantes : (A) On aflPs= {1}. ses En effet, soit vu ^ 1 dans W et soit (sly .. ., sq) une décomposition réduite de vu. On a q > 1, et (s2, . ■., sa) est une décomposition réduite de s-^w, d'où l{w) = q et l^s-yuv) = q — 1. On a donc vu « PSl. (B) Pour tout s dans S, les ensembles Ps et s~Ps forment une partition de W. Soient vu s W et s s S. D'après la prop. 4 du n° 5, on doit distinguer deux cas : a) l(sw) = l(vu) + 1 : on a alors vu s Ps. b) l(sw) = l(w) — 1 : posons w' = sw d'où w = sw' ; on a alors l(w') < l(sw') d'où a;' e P8, c'est-à-dire wesPs. (C) Soient s, s' dans S et w dans W. Si l'on a w s Pg et vus' « Ps, on a sw = vus'. Soit q la longueur de vu. De » s Ps, on déduit /(ma) = q + 1 ; de air' « Ps, on déduit l(svus') = /(air') — 1 < ? et comme on a l(svus') = l(svu) ± 1, on a finalement /(air') = q + 1 et l(sws') = q. Soient E1; ..., j8) une décomposition réduite de vu et sQ+i = s'; alors (j1s . . ., sg, Sg+i) est une décomposition réduite de l'élément vus' de longueur q + 1. D'après la condition d'échange, il existe un entier j avec 1 < j' < q + 1 tel que B2) 55!... J/-1 = S-l . . . Sj. Si l'on avait 1 < j < q, on aurait sw = s± . . . sj^isj+i . . . sQ contrairement à la formule l(svu) = q -\- \. On a doncj = q + 1, et la formule B2) s'écrit alors sw = vus'. Réciproquement, on a le résultat suivant : Proposition 6. — Soit (Ps)sss une famille de parties de W satisfaisant à (C) et aux conditions suivantes : (A') On a leP, pour tout s s S. (B') Les ensembles Ps ^ s~Ps sont disjoints pour tout s s S. J/ow, (W, S) est un système de Coxeter et Ps se compose des éléments w de W tels que l(svu) > l(vu). Soient s s S et vu s W. De deux choses l'une : a) o)*Ps. Soient (slt .. ., sa) une décomposition réduite de vu et î^y = 51 . . . Sj
n° 1.8. GROUPES DE GOXETER 19 pour 1 < j < q; on pose aussi w0 = 1. Comme on a w0 s Ps d'après (A') et que w = wq n'est pas dans Ps, il existe un entier j avec 1 < j < q tel que œ;_i s Pg et que oj; = wj^isj n'appartienne pas à Pg. D'après (C), on a donc SWj_i = Wj_\Sj. On a donc prouvé la formule SSi . . . Sj_i = Si ... Sj-lSj qui entraîne sw = s1 ... 5;_i5^+i ... s g et /(j») < /(»). è) îoeP,: posons w' = j», d'où w' « Ps d'après (B'). D'après a), on a alors l(sw') < l{w'), c'est-à-dire l(w) < l(sw). La comparaison de a) et b) prouve que Ps se compose des w s W tels que l(sw) > l(w). La condition d'échange résulte de ce qui a été vu en a), donc (W, S) est un système de Coxeter (th. 1 du n° 6). 8. Sous-groupes des groupes de Coxeter Dans ce numéro, on suppose que (W, S) est un système de Coxeter. Pour toute partie X de S, on note Wx le sous-groupe de W engendré par X. Proposition 7. — Soit w dans W. // existe une partie Sw de S telle que l'on ait {si, . . ., sQ} = Sw pour toute décomposition réduite (s1} . .., sQ) de w. On note M le monoïde formé des parties de S avec la loi de composition (A, B) i—»- AuB; l'élément neutre de M est 0. On pose f(s) = {s} pour s s S. Nous allons appliquer la prop. 5 du n° 5 à M et/; on a a(s, s') = {s, s'} pour s, s' dans S si m (s, s') est fini, et il existe donc une application g : w i—»- Sw de W dans M telle que g(w) =f(s1) u • ■ ■ u/(j8), c'est-à-dire Sw = {s1, . . .,sq} pour tout œeWet toute décomposition réduite (s1; ..., sa) de w. Corollaire 1. — Pour toute partie X de S, le sous-groupe Wx de W se compose des éléments w de W tels que Sw c X. Si w = Sj_. .. Sq avec s1} .. .,sg dans S, on a w~l =;î...i1; on en déduit Bo) kw-1 = 5ffi, La prop. 4 du n° 5 montre que l'on a Ssw< c {s} u Sw pour jeSetzo'eW, d'où la formule (a4j Jauf c ow U Ow par récurrence sur la longueur de w. D'après B3) et B4), l'ensemble U des œsW tels que SwcX est un sous-groupe de W; on a XcUcWx, d'où U = Wx. Corollaire 2. — Pour toute partie X de S, on a Wx n S = X. Cela résulte du cor. 1 et de la formule Ss = {s} pour s dans S.
20 GROUPES DE GOXETER ET SYSTÈMES DE TITS Ch. IV, § 1 Corollaire 3. — L'ensemble S est un ensemble générateur minimal de W. Si X c S engendre W, on a W = Wx, d'où X = S n Wx = S d'après le cor. 2. Corollaire 4. — Pour toute partie X de S et tout w dans Wx, la longueur de w par rapport à l'ensemble générateur X de Wx est égale à l${w). Soit (s1} ..., sg) une décomposition réduite de w considéré comme élément de W; on a w = Sj_ ... sa et Sj s X pour 1 ^ j < q (cor. 1) ; par ailleurs, w ne peut être produit de q' < q éléments de X c S par définition de q = ls(w). Théorème 2. — (i) Pour toute partie X de S, le couple (Wx, X) est un système de Coxeter. (ii) Soit (X.i)iei une famille de parties de S. Si X = I 1 X$, on a (iii) Soient X et X' deux parties de S. On a Wx c Wx. (resp. Wx = Wx,) si et seulement si l'on a XcX' (resp. X = X'). Tout élément de X est d'ordre 2 et X engendre Wx. Soient ïeXetais Wx avec lx(xw) < lx{w) = 1- D'après le cor. 4 de la prop. 7, on a donc ls(xw) s; ls(w) = q. Soient des éléments de X tels que w = xx .. .xg ; comme (W, S) satisfait à la condition d'échange (th. 1 du n° 6), il existe un entier j tel que l^j^q et xx±... Xj_± = x±... Xj^iXj. Par suite, (Wx, X) satisfait à la condition d'échange, donc c'est un système de Coxeter (th. 1 du n° 6). D'où (i). Les assertions (ii) et (iii) résultent immédiatement du cor. 1 de la prop. 7. 9. Matrices et graphes de Coxeter Définition 4. — Soit I un ensemble. On appelle matrice de Coxeter de type I toute matrice carrée symétrique M = (m«;)«,;ei dont les éléments sont des entiers ou +oo satisfaisant aux relations : B5) ma = 1 pour tout tel; B6) m%j ^ 2 pour i, jsl avec i ^ j. On appelle (par abus de langage) graphe de Coxeter de type I un couple formé d'un graphe V (*) ayant I comme ensemble de sommets et d'une application f de l'ensemble des arêtes de ce graphe dans l'ensemble formé de -f-oo et des entiers ^ 3. On dit que r est le graphe sous-jacent au graphe de Coxeter (T,f). A toute matrice de Coxeter M de type I, on associe un graphe de Coxeter (T,/) de la manière suivante : le graphe T a pour ensemble de sommets I et pour ensemble d'arêtes les parties {i, j} de I telles que mij ^ 3, l'application / associe à l'arête {i, j} l'élément correspondant mij dé M. (*) Voir l'annexe pour la définition et les propriétés des graphes utilisées ici.
n° 1.9. GROUPES DE COXETER 21 Il est clair que l'on obtient ainsi une bijection de l'ensemble des matrices de Coxeter de type I sur l'ensemble des graphes de Coxeter de type I. Pour faciliter la lecture des raisonnements, on représente souvent un graphe de Coxeter de type I par la figure utilisée pour représenter son graphe sous-jacent, où l'on inscrit en outre à côté ou au-dessus de chaque arête {i,j}\e nombre f({i,j}). On omet généralement d'inscrire ceux de ces nombres qui sont égaux à 3. Si (W, S) est un système de Coxeter, la matrice M = (m(s, s'))ss,eS, où m(s, s') est l'ordre de ss', est une matrice de Coxeter de type S, que l'on appelle la matrice de (W, S) : on a en effet m(s, s) = 1 puisque s2 = 1 pour tout s s S, et m(s,s') = m(s',s) ^ 2 si s *fc s' puisque ss' = {s's)-1 est alors *fc 1. Le graphe de Coxeter (Y, /) associé à M s'appelle le graphe de Coxeter de (W, S). Remarquons que deux sommets s et s' de Y sont liés si et seulement si s et s' ne commutent pas. Par exemple, la matrice de Coxeter d'un groupe diédral d'ordre 2m est ( . j et son graphe de Coxeter est représenté par m o o lorsque m ^ 3 (ou o o si m = 3) et par o o lorsque m = 2. *Le graphe de Coxeter du groupe symétrique @„ est représenté par o o o -o-:—o o (m—1 sommets). # On montrera plus tard (chap. V, § 4) que réciproquement toute matrice de Coxeter est la matrice d'un système de Coxeter. On dit qu'un système de Coxeter (W, S) est irréductible si le graphe Y sous- jacent au graphe de Coxeter associé est connexe (Annexe, n° 2) et non vide. Il revient au même de dire que S est non vide et qu'il n'existe pas de partition de S en deux ensembles S' et S" distincts de S tels que tout élément de S' commute avec tout élément de S". Plus généralement, soit (T^ei la famille des composantes connexes de Y (Annexe, n° 2) et soit S« l'ensemble des sommets de IV Soit W« = Ws le sous-groupe de W engendré par S« (cf. n° 8). Alors les (W<, S<) sont des systèmes de Coxeter irréductibles (n° 8, th. 2) qu'on appelle les composantes irréductibles de (W, S). De plus, le groupe W est produit direct restreint (*) des (*) On dit qu'un groupe G est produit direct restreint d'une famille [Gt)iei de sous-groupes si, pour toute partie finie J de I, le sous-groupe Gj de G engendré par les Gf pour i s J est produit direct des Gf pour i s J, et si G est la réunion des Gj. Il revient au même de dire que tout élément de Gf commute avec tout élément de G, pour i ^ j et que tout élément de G s'écrit d'une manière et d'une seule comme produit \\ gt avec gi^Gt et gt = 1 sauf pour un nombre fini d'indices. Cette dernière condition ïel équivaut à dire que G est engendré par la réunion des G. et que Gf n Gj = \ 1 j pour tout is I et toute partie finie J c I telle que i $ J.
22 GROUPES DE GOXETER ET SYSTÈMES DE TITS Ch. IV, § 2 sous-groupes W$ pour /si. Cela résulte en effet de la proposition plus générale suivante : Proposition 8. — Soit (S<)iei une partition de S, telle que tout élément de Si commute avec tout élément de S; pour i *fc j. Pour tout tel, soit W$ le sous-groupe engendré par S*. Alors W est produit direct restreint de la famille (W<)<si. Il est clair que pour tout i s I, le sous-groupe WJ engendré par la réunion des W; pour j ^ i est aussi engendré par SJ = \J S;. On a donc m; W*nWJ = Wn= {1}, d'après le th. 2 du n° 8. Comme W est engendré par la réunion des W<, cela démontre la proposition. § 2. Systèmes de Tits Dans ce paragraphe, les lettres G, B, N, S, T, W ont la signification indiquée au n° 1 ci-dessous. 1. Définition et premières propriétés Soient G un groupe et B un sous-groupe de G. On fait opérer le groupe B X B sur G par la loi (b, b') .g = bgb'-1 pour b, b' s B et g s G. Les orbites de B X B dans G sont les ensembles BgB, pour g s G, qu'on appelle doubles classes de G suivant B. Elles forment une partition de G; l'ensemble quotient correspondant se note B\G/B. Si C et C sont deux doubles classes, CC est réunion de doubles classes. Définition 1. — On appelle système de Tits un quadruplet (G, B, N, S), où G est un groupe, B et N deux sous-groupes de G et S une partie de N/(B n N), satisfaisant aux axiomes suivants : (Tl) L'ensemble B u N engendre G et B n N est un sous-groupe distingué de N. (T2) L'ensemble S engendre le groupe W = N/(B n N) et se compose d'éléments d'ordre 2. (T3) On a sBw cBwBuBswB pour s<=S et œsW (*). (T4) Pour tout se S, on a sBs¢ B. Le groupe W = N/(B n N) est parfois appelé le groupe de Weyl du système de Tits (G,B,N,S). Remarques. — 1) On verra au n° 5 (cor. du th. 3) que, si (G, B, N) sont donnés, il existe au plus une partie S de N/(B n N) telle que (G, B, N, S) soit un système de Tits. ( *) Tout élément de W est une classe modulo B n N, donc un sous-ensemble de G ; ceci donne un sens aux produits tels que BujB. Plus généralement, pour toute partie A de W, nous noterons BAB le sous- ensemble U BoiB.
n° 2.1. SYSTÈMES DE TITS 23 2) Soit (G, B, N, S) un système de Tits, et soit Z un sous-groupe distingué de G contenu dans B. Soient G' = G/Z, B' = B/Z, N' = N/(Z n N), et soit S'l'image de S dans N'/(B' n N'). Alors on voit aussitôt que (G', B', N', S') est un système de Tits. Dans tout ce paragraphe, (G, B, N, S) désigne un système de Tits, on pose T = B n N et W = N/T. Par double classe, on entend une double classe de G suivant B. Pour tout œeW, on pose C(w) = BwB; c'est une double classe. Nous allons déduire quelques conséquences élémentaires des axiomes (Tl) à (T4). On note w, w', ... des éléments de W et s, s', ... des éléments de S. On a les relations évidentes A) CA)=B, C(ww')<zC(w).C{w'), C{w~i) = C(w)~i. L'axiome (T3) s'écrit aussi sous la forme B) C(j).C(a>)cC(a>)uC(«e>). Comme on a par ailleurs C(sw) c C(s) .C(w) d'après A) et que C(s).C(w) est réunion de doubles classes, il n'y a que deux possibilités C) c(s).c(w) = \^f r/ . s! S"! * 2'!-31 w w ^ / (C(w) u C(sw) si C(w) c C(s). C(w). On a B 7^ C(s) . C(s) d'après (T4) ; faisant w = s dans C) et utilisant la relation s2 = 1, on obtient D) C(f).C(i) = BuG(i). Cette formule montre que B u C(;) est un sous-groupe de G. Multiplions les deux membres de D) à droite par C(w), utilisons la formule C) et la relation B.C(oi) = C(oi); on obtient E) C{s).C{s).C{w) = C(»)uC(«). Si l'on prend les inverses des ensembles intervenant dans les formules B), C) et E) et qu'on y remplace w par w-1, on obtient les formules B') C(ai).C(j)cC(ai)uC(aw) C') C(^).C(,) = S^) si G(aO«G(aO.GW v ' \ i \/ ^C(œ)uC(œ.f) si C(î»)cC(îc),C(j). E') C(œ). C{s). C{s) = C(oi) u C(ws). Lemme 1. — Soient slt .. ., sQ s S et soit w s W. On a C(s± ...sg). C(w) c U C(j<, .. . sipw), tii.--.ip)
24 GROUPES DE GOXETER ET SYSTÈMES DE TITS Ch. IV, § 2 où (îl9 ..., ip) décrit l'ensemble des suites strictement croissantes d'entiers de l'intervalle A, q). On raisonne par récurrence sur g, le cas q = 0 étant trivial. Si q ^ 1, on a C(Ji • • • •fy) ■ C(o;) c G[s^j. C(s2 .. .sg). C(w). D'après l'hypothèse de récurrence, C(s2 ■ ■ ■ sa) ,C(w) est contenu dans la réunion des C(sjx ... sj w), où 2 < Ji < • • • < jp < q- D'après (T3), l'ensemble 0(^).0(¾.. ■Sjpw) est contenu dans la réunion de ^isish • • ■ SJPW) et de C(sjt ... Sj w). D'où le lemme. 2. Un exemple Soient k un corps, n un entier ^ 0, et soit (et) la base canonique de kn. Soit G = GL(», k), soit B le sous-groupe trigonal large supérieur de G (formé des matrices triangulaires supérieures), et soit N le sous-groupe de G formé des matrices n'ayant qu'un seul élément non nul dans chaque ligne et dans chaque colonne. Un élément de N permute les droites keç, on en déduit un homomorphisme surjectif N-*-@re dont le noyau est le sous-groupe T = B n N des matrices diagonales; cela permet d'identifier W = N/T et <Bn. On désigne par Sj A < j < n— 1) l'élément de W correspondant à la transposition dej et j + 1 ; soit S l'ensemble des Sj. Le quadruplet (G, B, N, S) est un système de lits. En effet : L'axiome (Tl) résulte du cor. 2 de la prop. 14 de Alg., chap. II, 3e éd., § 10, no 13. L'axiome (T2) est démontré dans Alg., Chap. I, nouv. éd., Rectif. à la p. 97. L'axiome (T4) est immédiat. Reste à vérifier (T3), i.e. SjBw c Ba;B u BsjwB pour 1 < j < n — l,!osW ou, ce qui revient au même : SjB c BB' u B.f;B', avec B' = wBw-1. Soit G; le sous-groupe de G formé des éléments laissant fixes les ei pour i ^ j, j + 1 et laissant stable le plan engendré par ej et ej+i; ce groupe est isomorphe à GLB,A). On vérifie que G;B = BG;. Comme SjeGj, on a SjBcBGj, et il suffit de prouver la formule G; c (B n G;)(B' n G;) u (B n G})s}(W n G,). Identifions G_* à GLB, k); le groupe B n G; s'identifie au sous-groupe trigonal large supérieur B2 de GLB, k) ; le groupe B' n G; s'identifie à B2 lorsque w(j) < w(j + 1), et au sous-groupe trigonal large inférieur Bâ sinon. Dans le premier cas, la formule à démontrer s'écrit GLB, k) = B2 u B2jB2 où s = (° \);
n° 2.4. SYSTÈMES DE TITS 25 elle résulte par exemple du fait que B2 est le stabilisateur d'un point dans l'action de GLB, k) sur la droite projective Pi(£), et opère transitivement sur le complémentaire de ce point. Dans le second cas, la formule à démontrer s'écrit GLB,A) = B2Bi u B2.fBi; comme Bi = sB^s, elle résulte de la précédente par multiplication à droite par s. 3. Décomposition de G en doubles classes Théorème 1. — On a G = BWB. Vapplication w 1—»- C(w) est une bijection de W sur Vensemble B\G/B des doubles classes de G suivant B. Il est clair que BWB est stable par x 1—»- #_1, et le lemme 1 montre qu'il est stable par produit. Comme il contient B et N, il est donc égal à G. Il nous reste à prouver que C(w) ^ C(w') si w ^ w'. Pour cela, nous démontrerons par récurrence sur l'entier q l'assertion suivante : (Aff) Étant donnés w et w' distincts dans W tels que l$(w) > 4(œ') = <7> on a C(oi) * C(w'). (Pour la définition de l&{w), voir § 1, n° 1.) Cette assertion est évidente pour q = 0, car on a alors w' = 1 et w ^ 1, d'où C(oi') = B et C(w) * B. Supposons que q ^ 1 et que w, w' vérifient les hypothèses de (A8). Il existe jeS tel que sw' soit de longueur q— 1. On a F) h{w) > lt{sw') d'où w =£ sw1. De plus, onara ^ sw'; d'après la formule C) du § 1, n° 1, on a G) l&(sw) Z ls(w) — 1 ^ l&(sw') = q— 1. Vu l'hypothèse de récurrence, C(sw') est distinct de C(w) et de C(sw); de la formule B), on déduit (8) C{sw')nC(s).C{w) = 0. Comme on a par ailleurs C(sw') c C(s) ,C(w'), on a finalement C(w) ^ C(w'). Remarque. — L'axiome (T4) n'a pas été utilisé dans la démonstration précédente. 4. Relations avec les systèmes de Coxeter Théorème 2. — Le couple (W, S) est un système de Coxeter. De plus, pour s s S et œsW, les relations C(sw) = C(s).C(w) et ls(sw) > ls(w) sont équivalentes. Pour tout s eS, soit Ps l'ensemble des éléments w s W tels que C(j).C(bi) = C(sw).
26 GROUPES DE GOXETER EE SYSTEMES DE TITS Ch. IV, § 2 Nous allons vérifier que les Ps satisfont aux conditions (A'), (B') et (C) du § 1, n° 7; les deux assertions du théorème résulteront alors de la prop. 6 du § 1, n° 7. La condition (A') est évidente. Vérifions (B'). Si Pg et s¥s avaient un élément commun w, on aurait aieP, et swe Ps d'où C(j).C(bi) = C{sw), C{s).C{sw) = C(oi). On en déduirait C(j).C(j) .C(w) = C(w) et, d'après la formule E), ceci entraînerait C(w) = C(sw), en contradiction avec le th. 1. Vérifions (C). Soient s, s' eS et w, w' s W avec w' = vus'. On fait l'hypothèse que w s Ps et w' « Pg, d'où (9) C(sw) = C(s).C(w) A0) C(w')<zC(s).C(w') d'après C). De (9) et de la relation w = w's', on déduit A1) C(s)w's'B = C{sw). D'après la formule B'), on a C(w')C(s') cC(io') u C(w's'), d'où immédiatement A2) C{w')s'B<zC(ws')uC{w). Comme C(w') est réunion de classes à gauche gB et que l'on a C(j)C(bi') = C(s)w'B, la formule A0) montre que C(s)w' rencontre C(w') et a fortiori que C(s)w's'B rencontre C(w')s'B. Il résulte alors des formules A1) et A2) que la double classe C(sw) est égale à l'une des doubles classes C(ws') et C(w) ; comme on a sw 7e w, le th. 1 permet de conclure que sw = ws'. Corollaire 1. — Soient wlt ..., wQe W et soit w = w± .. . wq. Si ls{w) = ls(w{) + ■■■ +1S{WQ), on a CH = CH) ... C(wg). En prenant des décompositions réduites des Wi, on se ramène au cas d'une décomposition réduite w = s1 . .. sQ, avec st s S. Si u = s2 . .. Sq, on a alors w = s^u et ls{^iu) > 4(a)> d'où C(w) = Cfo). C(w) d'après le théorème; la formule cherchée s'en déduit par récurrence sur q.
n° 2.5. SYSTÈMES DE TITS 27 Corollaire 2. — Soit w s W et soit Tw la partie de W associée à w par le procédé du lemme 2 du § 1, n° 4. Si t s 1W, on a C@cC(a>).C(o>-i). Si i s Tw, il existe par définition des éléments w', îo'sWetjeS tels que w = w'sw", ls(w) = ls(w') + /sO") +1 et t = ojW-1. D'après le cor. 1, on a C(oi). C(o>-i) = C(oi'). C(j) . C(w»). C(îe)'). C(j). C(oi'-i). D'où: C(oi). C(»-i) ^ C(oi'). C(j) . C(j) . C(îe)'). D'après D), on a C(j) c C(s). C(s). D'où: C(oi). C(oi-i) d C(oi'). C(j) . C(îe)') = C@. Corollaire 3. — Soit w s W et soit Hw le sous-groupe de G engendré par C(oi).C(ari). ite: a) Po«r iowfe décomposition réduite (sls ..., s g) de w, on a C(sj) c Hw /war 1 ^j^q. b) Le groupe Hw contient C(w) et est engendré par C(w). Démontrons a) par récurrence sur j. Supposons que C(j*) soit contenu dans Hw pour k < j. Soit *=(*!... J;-i)j;(Ji • • • ■yy-i)-1- L'élément i appartient à la partie Tw de W définie dans le lemme 2 du § 1, n° 4. D'après le cor. 2, on a C(()cHtt, d'où C(fj)cHB. Comme C(oj) = C(^) ... C(sQ), cf. cor. 1, on a C(oj) cH», d'où è). Exemple. — Le th. 2, appliqué au système de Tits décrit au n° 2, montre que le groupe symétrique @„, muni de l'ensemble des transpositions d'éléments consécutifs, est un groupe de Coxeter. 5. Sous-groupes de G contenant B Pour toute partie X de S, on note Wx le sous-groupe de W engendré par X (cf. § 1, n° 8) et Gx la réunion BWXB des doubles classes C(w), w<= Wx. On a G0 = B, et Gs = G. Théorème 3. — a) Pour toute partie X de S, l'ensemble Gx est un sous-groupe de G, engendré par [J C(s). SSX b) L'application X i—»- Gx est une bijection de $(S) sur l'ensemble des sous- groupes de G contenant B.
28 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV, § 2 c) Soit (Xi)iei une famille de parties de S. Si X = f 1 X<, on a Gx = f 1 Gx . iel tel rf) .SWenJ X«(Y (/««a; parties de S. On a GxcGY (resp. Gx = GT) « et seulement si l'on a X c Y (resp. X = Y). Il est clair que Gx = (Gx)_1; le lemme 1 du n° 1 montre que Gx. Gx <= Gx; d'où a), compte tenu du cor. 1 du th. 2. L'injectivité de Xi—»- Gx résulte de celle de X i—»- Wx (§ 1, n° 8, th. 2). Soit d'autre part H un sous-groupe de G contenant B. Soit U l'ensemble des w s W tels que C(w) c H. On a H = BUB puisque H est réunion de doubles classes. Soit X = U n S; montrons que H = Gx. On a évidemment GxcH. D'autre part, soit « s U, et soit (s1, ..., sg) une décomposition réduite de u. Le cor. 3 du th. 2 entraîne C(sj) c H, d'où sj s X pour 1 < j < q. On a donc u s Wx, et comme H est réunion des C(w) pour « s U, on a bien H c Gx, ce qui achève de prouver (b). Les assertions c) et d) résultent des propriétés analogues des groupes Wx (§ 1, n° 8, th. 2). Corollaire. — L'ensemble S se compose des éléments w s W tels que vo ^ \ et que B u C(w) soit un sous-groupe de G. Les éléments we W tels que B u C(w) soit un sous-groupe de G sont ceux pour lesquels il existe X c S avec Wx = j 1, w ]. Si de plus ai ^ 1, on a nécessairement Card(X) = 1, i.e. iceS. Remarque 1). — Le corollaire ci-dessus montre que S est déterminé par (G, B, N) ; pour cette raison, on se permet parfois de dire que (G, B, N) est un système de Tits, ou encore que (B, N) est un système de Tits dans G. Proposition 1. — Soient X une partie de S, et N' un sous-groupe de N dont l'image dans W soit égale à Wx. Alors (Gx, B, N', X) est un système de Tits. On a Gx = BWXB = BN'B, ce qui prouve que Gx est engendré par B u N'. La vérification des axiomes (Tl) à (T4) est alors immédiate. Proposition 2. — Soient X, YcS «IroeW, On a GxwGY = BWx^WyB. Soient j1} ..., sge X et ti, ..., (8eY. Le lemme 1 montre que l'on a C{s1 ... sg). C(w). C(*i ... tg)<z BWxœWyB, d'où GxwGx c BWXK)WTB. L'inclusion opposée est évidente. Remarque 2). — Notons GX\G/GY l'ensemble des parties de G de la forme GxgGx, g s G; définissons de manière analogue Wx\W/Wy. La proposition précédente montre que la bijection canonique w\—*-C(w) de W sur B\G/B définit par passage au quotient une bijection WX\W/WT -*- GX\G/Gy.
n° 2.6. SYSTÈMES DE TITS 29 Proposition 3. — Soient X c S et g s G. La relation gBg~l c Gx entraîne g s Gx. Soit aisW tel que ge C(w). Comme B est un sous-groupe de Gx, l'hypothèse gBg-1cGx entraîne C(w) .C(œ_1) c Gx, d'où C(w)<zGx d'après le cor. 3 du th. 2, et g appartient à Gx. 6. Sous-groupes paraboliques Définition 2. — On dit qu'un sous-groupe de G est parabolique s'il contient un conjugué de B. Il est clair que tout sous-groupe qui contient un sous-groupe parabolique est parabolique. Proposition 4. — Soit P un sous-groupe de G. a) Pour que P soit parabolique, il faut et il suffit qu'il existe une partie X de S telle que P soit conjugué de Gx (cf. n° 5 pour la définition de Gx). b) Soient X, X' c S et g, g's G tels que P = gGxg-! = g'Gx,g'-\ On a alors X = X' et g'g-* e P. L'assertion a) résulte du th. 3, b). Sous les hypothèses de b), on a et la prop. 3 montre que g-1,?' s Gx. D'où Gx. = Gx et X' = X d'après le th. 3, b). Enfin, on a : g'g'1 = g-g~xg' -g'1 s g&xg~x> d'où b). Si le sous-groupe parabolique P est conjugué de Gx, avec X c S, on dit que X est le type de P. Théorème 4. — (i) Soient Pi et P2 deux soûs-groupes paraboliques de G dont l'intersection est parabolique et soit g s G tel que gPig-1 <=■ P2- Alors g s P2 et Pi c P2. (ii) Deux sous-groupes paraboliques distincts dont l'intersection est parabolique ne sont pas conjugués. (iii) Soient Qj. et Q2 deux sous-groupes paraboliques de G contenus dans un sous-groupe Q de G. Tout g s G tel que gQ,\g~l = Q,2 appartient à Q. (iv) Tout sous-groupe parabolique est son propre normalisateur (*). L'assertion (i) résulte des prop. 3 et 4, et entraîne (ii). Sous les hypothèses de (iii), on a ^Q,^ c Q, d'où g s Q d'après (i). Enfin (iv) résulte de (iii) en prenant Qi = Q2 = Q,- Proposition 5. — Soient Pi et P2 deux sous-groupes paraboliques de G. Alors Pi n P2 contient un conjugué de T. (*) Si H est un sous-groupe d'un groupe G, le normalisateur de H dans G est le sous-groupe %(H) formé des éléments g de G tels que gHg-1 = H. On dit que le sous-groupe H' normalise H si l'on a H'c%(H), auquel cas HH' = H'H est un sous-groupe de G, dans lequel H est distingué.
30 GROUPES DE GOXETER ET SYSTÈMES DE TITS Ch. IV, § 2 Quitte à transformer Pi et P2 par un automorphisme intérieur de G, on peut supposer que B c Pi. Soit geG tel que gBg-1 c P2. D'après le th. 1, il existe iîeN et b, i'sB tels que g = bnb'. Comme T est distingué dans N, on a P2 = gBg-1 = bn&n-H-i => bnTn^b-1 = bTb~i et Pi => B d iTi-i d'où la proposition. 7. Théorème de simplicité Lemme 2. — Soit H un sous-groupe distingué de G. // existe une partie X de S £<;//« <?«« BH = Gx et tout élément de X commute à tout élément de S — X. Puisque BH est un sous-groupe de G contenant B, il existe une unique partie X de S telle que BH = Gx (th. 3). Soient ijsX et s2 s S — X ; soient n± et n2 des représentants respectifs de s1 et s2 dans N. On a n± s Gx = BH et il existe b s B tel que bnx s H. Comme H est distingué dans G, l'élément h = n2bnxn~2x de G appartient à H. D'autre part A e 0(^).0(¾). C(J2). Si la longueur de s2sxs2 est égale à 3, le cor. 1 du th. 2 entraîne C(*2).C(*i).C(*2) = C(wa), d'où h s H n 0(^1^2)- Puisque H n 0(^1^2) est non vide, on a s2sxs2 s Wx. Comme (s2 , ^1, ^2) est une décomposition réduite, on en déduit s2 s X, contrairement à l'hypothèse (§ 1, n° 8, cor. 1 de la prop. 7). On a donc 4(½½^) < 2; si /8(-f 1-^2) = 1, on a y2eS, donc (½¾J = 1, •V2 = •Vi- Si 4(^2) = 2 la propriété (E) du § 1, n° 5 entraîne alors s2s± = ^2, car si ^ ^2- C.Q.F.D. Dans le th. 5 ci-dessous interviendra la propriété suivante d'un groupe U : (R) Pour tout sous-groupe distingué V de U, distinct de U, le groupe des commutateurs (cf. Alg., chap. I, § 6, n° 8) de U/V est distinct de U/V. Tout groupe résoluble vérifie (R) ; en particulier tout groupe commutatif vérifie (R) ; il en est de même de tout groupe simple non commutatif. On peut montrer que le groupe symétrique <Bn vérifie (R) pour tout n (cf. exerc. 29). Théorème 5. — Soit Z l'intersection des conjugués de B, soit U un sous-groupe de B et soit Gi le sous-groupe engendré par les conjugués de U dans G. On fait les hypothèses suivantes : A) U est distingué dans B et B = UT. B) U possède la propriété (R). C) Gi est égal à son groupe des commutateurs. D) Le système de Coxeter (W, S) est irréductible (cf. § 1, n° 9). Alors tout sous-groupe H de G normalisé par Gi est contenu dans Z ou contient Gi.
n° 2.7. SYSTÈMES DE TITS 31 Montrons d'abord que G = GiT. Le groupe GiT contient B, donc est son propre normalisateur (th. 4) ; comme N normalise Gi et T, il normalise aussi GiT, d'où NcGiT; puisque G est engendré par B et N, on a bien G = GiT. Posons maintenant G' = GiH, B' = B n G', N' = N n G', T' =TnG'=B'nN' et W = N'/T'. On a G = G'T puisque G' contient Gi, d'où N = NT. L'injection de N' dans N définit donc, par passage aux quotients, un isomorphisme a : W -*- W. Soit S' = a-i(S). Montrons que (G', B', N', S') est un système de Tits. Comme G = BNB et B = TU = UT, on a G = UNU et, puisque U est un sous-groupe de G', on en déduit G' = UN'U, d'où (Tl) puisque UcB'. L'axiome (T2) est satisfait puisque a est un isomorphisme. Soit œeWet soit w' = a_1(œ) l'élément correspondant de W. On a BœB = BœB' = Bœ'B', puisque B = B'T. On en conclut que G' n BœB = B'ze/B', ou encore que l'injection de G' dans G définit par passage aux quotients une bijection de B'\G'/B' sur B\G/B. L'axiome (T3) est alors immédiat. L'axiome (T4) résulte de B = B'T. Le sous-groupe H est distingué dans G'. D'après le lemme 2 appliqué à (G', B', N', S'), il existe une partie X' de S' telle que B'H = Gr et tout élément de S' — X' commute à tout élément de X'. Vu l'hypothèse D), deux cas seulement sont possibles : a) X' = 0, i.e. B'H = B', et H c B' c B. Si g s G, on a g = g-J, avec gi s Gi, t s T et H c ^Bgj1 puisque Gi normalise H. D'où H c gBg-1; comme Z est l'intersection des gBg-1, on a H c Z. b) X' = S', i.e. B'H = G'; comme G = G'T, on a G = B'HT = HB'T = HB. Comme B normalise U, tout conjugué de U est de la forme fiUh'1, avec h s H. Un tel sous-groupe est contenu dans le groupe UH, d'où Gi c UH, par définition de Gi. On a alors les isomorphismes U/(U n H) ~ UH/H = GiH/H ~ Gi/(Gi n H). D'après l'hypothèse C), Gi/(Gi n H) est égal à son groupe des commutateurs. L'hypothèse B) montre alors que le groupe U/(U n H), isomorphe à Gi/(GinH), est réduit à l'élément neutre. D'où Gi n H = Gi et GicH, ce qui achève la démonstration. Corollaire. — Sous les hypothèses du th. 5, le groupe Gi/(Gi n Z) est simple non commutatif, ou réduit à Vêlement neutre.
32 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV, § 2 Le th. 5 montre que Gi/(Gi n Z) est simple ou réduit à l'élément neutre; d'autre part l'hypothèse C) entraîne qu'il est égal à son groupe des commutateurs; d'où le corollaire. Remarques. — 1) Les hypothèses B), C), D) n'ont pas été utilisées pour démontrer que (G', B', N', S') est un système de Tits. 2) Supposons que Z n U = [ 11. Comme Z et U sont distingués dans B, il en résulte que tout élément de Z commute à tout élément de U, donc à tout élément de Gi. Vu le corollaire ci-dessus, il s'ensuit que Gi n Z est le centre de Gi. 3) L'hypothèse C) est entraînée par la condition suivante : C') U est engendré par les commutateurs b~1u~1bu, avec seU et èsBn Gi. Exemples. — 1) Soient k un corps, n un entier ^ 0, G = GL(n,k), et soit (G, B, N, S) le système de Tits décrit au n° 2. Soit U le groupe trigonal strict supérieur, i.e. le sous-groupe de B formé des matrices dont les éléments diagonaux sont égaux à 1. La condition A) du th. 5 se vérifie immédiatement; il en est de même de B) puisque U est résoluble; la condition D) est vérifiée si n ^ 2, On peut prouver (cf. Alg., Chap. II, 3e éd., § 10, exerc. 13) que C) est vérifiée si n ^ 3 ou si n = 2 et Card(A) ^ 4. Sous ces conditions, on en conclut que Gi/(Gi n Z) est simple et que Gi n Z est le centre de Gi (cf. Remarque 2). Lorsque k est commutatif, on a Gi = SL(n,A), cf. Alg., Chap. III, 3e éd., § 8, no 9. *2) Soit g une algèbre de Lie simple sur C, et soit G le groupe adjoint de g (cf. chap. III). On peut montrer, en utilisant le théorème 5, que G est simple non abélien. ^
ANNEXE GRAPHES 1. Définitions Définition 1. — On appelle graphe combinatoire (ou simplement graphe, lorsqu'aucune confusion n'en résulte) un couple T = (A, S), où S est un ensemble, et A une partie de $(S) formée d'ensembles à deux éléments. Soit r = (A, S) un graphe. Les éléments de A s'appellent les arêtes et ceux de S les sommets de T; on dit que deux sommets x, y sont liés si {x, y} est une arête. Un sommet est dit terminal s'il est lié à un sommet au plus, et point de ramification s'il est lié à trois sommets au moins. Conformément aux définitions générales (Ens. R, § 8), un isomorphisme du graphe V sur un graphe V = (A', S') est une bijection/de S sur S' qui transforme A en A'. Un graphe V = (A', S') est appelé un sous-graphe de V si l'on a S' c S et A' c A; on dit que V est un sous-graphe plein de V si l'on a S' c S et A' = A n $(S') ; il est clair que toute partie de S est l'ensemble des sommets d'un sous-graphe plein de V et d'un seul. Pour faciliter la lecture des raisonnements, on représentera un graphe par un dessin composé de points correspondants aux sommets, deux points étant joints par un trait si et seulement si les sommets qu'ils représentent sont liés dans le graphe. Par exemple, la figure ^od O 0 oiC a b c °e représente un graphe dont les sommets sont a, b, c, d, e et les arêtes {a, b}, {b, c}, {c, d} et {c, e}. 2. Composantes connexes d'un graphe Soit T = (A, S) un graphe. Si a et b sont deux sommets, on appelle chemin joignant a k b toute suite (#0, •.., xn) de sommets de T, avec x0 = a, xn= b, les sommets Xi et Xi+\ étant liés pour 0 < i < n\ l'entier n ^ 0 est la longueur du chemin considéré. On dit que le chemin (x0, .. .,xn) est injectif si l'on a Xi 7^ X] pour i ^ j; si un chemin (x0, ■ ■ ., xn) joignant a à b est de longueur
34 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV minimale dans l'ensemble de ces chemins, il est nécessairement inj'ectif : sinon, il existerait i et j avec 0 < t < j < » et ï( = Xj et la suite [Xq, . . ., Xi,Xj+i, . . ., Xn) serait un chemin de longueur < n joignant a à b. La relation « il existe un chemin joignant a à b » entre deux sommets a et b de r est une relation d'équivalence R dans l'ensemble S des sommets. Les classes d'équivalence pour R s'appellent les composantes connexes de T; on dit que r est connexe s'il existe dans S au plus une composante connexe, c'est-à-dire si deux sommets quelconques de T peuvent être joints par au moins un chemin. Proposition 1. — Soient T = (A, S) un graphe et (Sœ)asL la famille de ses composantes connexes. On note ra le sous-graphe plein de T ayant Sapour ensemble de, sommets. (i) Pour tout oc dans L, le graphe ra est connexe. (ii) Si V = (A', S') est un sous-graphe connexe de T, il existe a dans L tel que S' c Sa. (iii) Pour oc # [B, aucun élément de Sa n'est lié dans T à un élément de Sp (autrement dit, toute arête de T est une arête de l'un des ra). (iv) Soit (S^))sM une partition de S telle que pour X # [i. aucun élément de S'f ne soit lié dans T à un élément de S'y.; alors chacun des ensembles S'A est réunion de composantes connexes de T. (i) Soient oc dans L, et a, b dans Sa. Il existe donc un chemin c=(x0, . . .,xn) joignant a à b dans T; pour tout i tel que 0 < i < n, le chemin (#0, . . ., xi) joint ak Xi dans T, d'où X(sSa; finalement, c est un chemin dans Ta joignant a à b. Par suite, ra est connexe. (ii) Soient V = (A', S') un sous-graphe connexe non vide de T, a un élément de S', Sa la composante connexe de T contenant a. Pour tout b dans S', il existe un chemin c joignant a à b dans V, et a fortiori dans T. Par suite, on a S' c Sa. (iii) Étant donnés oc et C distincts dans L, et des sommets a s Sa et b s Sp, il n'existe aucun chemin joignant a à b, et en particulier aucune arête ne joint a k b. (iv) Soient a dans S{, et Sa la composante connexe de T contenant a; pour tout b dans Sa, il existe un chemin (x0, . . .,xn) joignant a à b dans T. Si i est un entier tel que 0^i<n et *(sS[, on a ï(+i e S( puisque xi est lié à xi+i; par récurrence, on a donc xi s S{ pour 0 < î < n et en particulier b = xn est dans S{. On a donc Sa c S{. Corollaire 1. ■— Pour que le graphe T=(A, S) soit connexe, il faut et il suffit qu'il rtexiste aucune partition (S', S") de S en deux ensembles non vides telle qu'aucun élément de S' ne soit lié dans Y à un élément de S". Supposons T non connexe et soit S' une de ses composantes connexes; l'ensemble S" = S — S' est non vide d'après la prop. 1, (i) et aucun élément de S' n'est lié dans T à un élément de S" d'après la prop. 1, (iii).
An. 3 GRAPHES 35 Supposons r connexe et soit (S', S") une partition ayant la propriété de l'énoncé. D'après la prop. l,(iv), l'ensemble S' contient au moins une composante connexe, d'où S' = S et S" = 0, ce qui est contradictoire. Corollaire 2. — Pour qu'une partie S' de S soit réunion de composantes connexes, il faut et il suffit qu'aucun sommet appartenant à S' ne soit lié à un sommet appartenant à S — S'. La condition est suffisante d'après la prop. 1, (iv). Elle est nécessaire d'après la prop. 1, (iii). 3. Forêts et arbres Soit r = (A, S) un graphe. On appelle circuit dans V toute suite yX-[ ,. . . , Xfij de sommets distincts de V, avec n ^ 3, xt lié à Xi+i pour 1 < i < n et xn lié à Xi. On dit que V est une forêt s'il n'existe aucun circuit dans V ; tout sous- graphe de r est alors une forêt. Une forêt connexe s'appelle un arbre; les composantes connexes d'une forêt sont donc des arbres. Proposition 2. — Soit Y = (A, S) une forêt n'ayant qu'unnombre fini de sommets. (i) Si F possède au moins un sommet, il admet un sommet terminal. (ii) Si r possède au moins deux sommets, il existe une partition (S', S") de l'ensemble des sommets en deux parties non vides telle que deux sommets distincts appartenant tous deux à S' ou tous deux à S" ne soient jamais liés. Supposons qu'il existe au moins un sommet dans V, et soit (x0, . .., xn) un chemin injectif de longueur maximale dans T. Le sommet x0 ne peut être lié à un sommetjy distinct de x0,oc1, . . .,xn sinon il existerait dans T un chemin injectif de longueur n + 1, à savoir (y, x0, . . ., xn). Le sommet x0 n'est lié à aucun sommet xi avec 2 < i <, n, sinon (x0, x1, .. ., xt) serait un circuit dans la forêt T. Donc x0 est terminal. On démontrera (ii) par récurrence sur le nombre m de sommets de T, le cas m = 2 étant trivial. Supposons donc m ^ 3 et l'assertion (ii) prouvée pour les graphes km — 1 sommets. Soit a un sommet terminal de T (cf. (i) ). Appliquons l'hypothèse de récurrence au sous-graphe plein de T ayant pour sommets les sommets x # a de V; il existe donc deux parties non vides et disjointes Si et S'i de S avec Si u S'{ = S — {a}, telles que deux sommets distincts de Si (resp. S'i) ne soient jamais liés. Comme a est lié à un sommet au plus de T, on peut supposer par exemple qu'il n'est lié à aucun sommet de S'i; la partition (Si, S'i u {a}) de S répond alors à la question. C.Q.F.D. Pour tout entier n ^ 1, on note An le graphe dont les sommets sont les entiers 1, 2, ..., n et les arêtes les parties {i, j} avec i—j — ± 1 : 1 2 3 n—\ n
36 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV On dit qu'un graphe V est une chaîne de longueur m ^ 0 s'il est isomorphe à A-m+il ceci équivaut à l'existence dans T d'un chemin injectif (x0, . . ., xm) contenant tous les sommets, les sommets Xi et Xj n'étant pas liés lorsque \j—i\ > 1. Proposition 3. — Pour qu'un graphe soit une chaîne, il faut et il suffit que le nombre de ses sommets soit fini et non nul, et qu'il soit un arbre sans point de ramification. Supposons que le graphe V soit une chaîne (x0, .. ., xm) avec les propriétés énumérées avant l'énoncé de la prop. 3. Il est clair qu'un sommet de F est lié à deux sommets au plus. Pour i < j, le chemin (xt, . . ., xj) extrait du chemin (x0, . .., xm) joint xt à xj; donc T est connexe. Enfin, soit (xPl, . . ., xPn) un circuit dans T; soit pic le plus petit parmi les entiers distincts pi, . . .,pn. Il existe i et j distincts tels que xPk soit lié à xPi et xPj : cela résulte de la définition d'un circuit. Comme on z. pk < pi et pu < pj, on a nécessairement pt = pj = pk -j- 1, ce qui est contradictoire puisque p\, . . .,pn sont distincts. Il n'y a donc aucun circuit dans T. Réciproquement, soit Y un arbre sans point de ramification, à un nombre fini non nul de sommets, et soit (#0, ..., xm) un chemin injectif de longueur maximale dans T. Notons T l'ensemble des sommets autres que x0, .. ., xm. Un sommet b s T ne peut être lié à un sommet xt ; il y a en effet trois possibilités : a) i = 0, mais alors (b, x0, ..., xm) serait un chemin injectif de longueur m + 1 dans T; b) i = m, mais alors (x0, .. ., xm, b) serait un chemin injectif de longueur m + 1 dans T; c) 0 < i < m, mais alors Xi serait lié aux trois sommets distincts Xi-i,Xi+i et b. Comme T est connexe, T est vide d'après le cor. 1 de la prop. 1. Par ailleurs, s'il existait i,j tels que j— i > 1 et que xt, xj soient liés, on aurait un circuit {xi,Xi+i, ...,Xj) dans T. Donc T est une chaîne. C.Q.F.D.
Exercices §1 1 ) a) Soit (W, S) un système de Coxeter et soient sv . . ., sr des éléments de S. Posons w = S} . . . sr. Montrer que si ls(w) < r, il existe deux entiers p et q avec 1 < p < q < r tels que w = s1. .. sp_isp+i .. . sq_isq+i . . . sr. Montrer qu'il existe une suite strictement croissante ./A)) • ■ -,j(k) d'entiers compris entre 1 et r telle que (tyi), . . -, ty*)) soit une décomposition réduite de w. b) Soient (W, S) un système de Coxeter et X, Y, Z trois parties de S. Montrer que Wx n (Wy. Wz) = (Wx n WT). (Wx n Wz) (montrer que tout élément w s Wy. Wz possède une décomposition réduite (slt . . .,sh, *ls . . ., tk) telle que îteYetfjeZet utiliser le cor. 1 de la prop. 7 du n° 8). Montrer que WX.(WT n Wz) = (Wx.Wy) n (WX.W2). 2) Soient (W, S) un système de Coxeter et X une partie de S. Montrer que pour que Wx soit distingué dans W, il faut et il suffit que tout élément de X commute avec tout élément de S — X. 3) Soient (W, S) un système de Coxeter et X, Y deux parties de S. Soit a s W. Montrer qu'il existe un élément w s WxaWy de longueur minimum et un seul et que tout élément Ul' S WjflWy s'écrit sous la forme w' = xwy, avec x s Wx,_)> s Wy et l(w') = l(x) +l(w) + l(y) (on prendra un élément de longueur minimum dans Wx<zWy et on utilisera l'exerc. 1 ). On dit qu'un élément toeW est (X, Y)-réduit si c'est l'élément de longueur minimum dans la double classe Wxa>Wy. Montrer que si w est (X, 0)-réduit, on a l(xw) = l(x) + l(w) pour tout x s Wx et que tout élément de W s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme xw, où x s Wx et w est (X, 0 ) - réduit. Montrer qu'un élément we W est (X, 0)-réduit si et seulement si l'on a l(xw) > l(w) pour tout #eX (écrire w sous la formeyuf, oùjieWj et w' est (X, 0)-réduit). Montrer que pour que ujsW soit (X,Y)-réduit, il faut et il suffit que w soit à la fois (X,0)-réduit et @,Y)-réduit. 4) Soit n un entier > 2. Pour tout entier i avec 1 < ;' < n — 1, on note st la transposition de i et i + 1 dans l'ensemble {1,2, . . ., n}, et H{ l'ensemble des w s <&n tels que iti_1(î) <iti_1(î' + l); on pose S = {s1, . . ., sn-i}. Montrer que (©„, S) est un système de Coxeter et que H{ est l'ensemble des w s <Bn tels que l(w) < l(suv) (utiliser la prop. 6 du n° 7). CJ 5) Soient X un ensemble non vide et W un ensemble de permutations de X. On suppose donnés un ensemble $ de relations d'équivalence dans X, un élément *0sXet une application « : H | *- sa de $ dans W. On note $o l'ensemble des H s $ tels que sa (x0) =x0 mod. H' pour tout H' ^ H dans $, et So l'ensemble des sa pour H dans i£0. On fait les hypothèses suivantes : (i) Pour tout H s $, il y a deux classes d'équivalence modulo H qui sont permutées par sH et l'on asj[= 1.
38 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV (ii) Pour tout Hsî et tout weW, la relation d'équivalence w(H) transformée de H par w appartient à $ et l'on a J^g) = ws-gw-1. (iii) Pour tout w ^ 1 dans W, l'ensemble des He<£ tels que w(x0) =^ x0 mod. H est fini et rencontre $o. a) Prouver que (W, So) est un système de Coxeter (utiliser la prop. 6 du n° 7). b) Prouver que la longueur Zg {w) est égale au nombre d'éléments H s $ tels que w(x0) =^ x0 mod. H. c) Soient E un ensemble fini et X l'ensemble des relations d'ordre total sur E. On note W le groupe des permutations de E, agissant de manière évidente sur X. Soient i et j distincts dans E; on dit que deux éléments R et R' de X sont équivalents mod. H^ si l'on a à la fois R(z, j) et R'(î, j) ou bien R(j, i) et R'(j, i) ; on note stj la transposition de i et/. Soient <E l'ensemble des relations d'équivalence de la forme ïlij et cp l'application de if dans W définie par cp(H^) = sa; enfin soit x0 un élément quelconque de X. Montrer que ces données satisfont aux hypothèses (i) à (iii), et retrouver les résultats de l'exerc. 4. 6) Soient E un ensemble à 6 éléments et F l'ensemble des structures de droite projective par rapport au corps F5 sur E. On note £r le groupe des permutations de E; pour toutae sT, on note à la permutation de F déduite de g par transport de structure. Montrer qu'il existe une bijection m de E sur F, et que l'application g I *- u~1gu est un automorphisme non intérieur de 3E (si ^ est une transposition, w'-su a trois orbites à deux éléments). 7) Construire un groupe W et deux parties S et S'de W telles que (W, S) et (W, S') soient des systèmes de Coxeter isomorphes, mais qu'il n'existe aucun automorphisme intérieur de W transformant S en S' (utiliser l'exerc. 4 et l'exerc. 6). 8) Construire un groupe W et deux parties S et S' de W telles que (W, S) et (W, S') soient des systèmes de Coxeter non isomorphes, l'un d'eux étant irréductible et l'autre ne l'étant pas (prendre pour W un groupe diédral d'ordre 12 engendré par {s, /}oùi et s'sont d'ordre 2 et j ^ s', et poser S = {s, s'} et S' = {(.y/K, s', s'(ss'J}. 9) Soit (W, S) un système de Coxeter de matrice (m(s, s')), et soit W+ le sous-groupe de W formé des éléments de longueur paire. Soit i0eS, Posons gs = ss0. Montrer que la famille C?s)ees-js0j et les relations ^j>f».»»)= 1 pour m(s, s0) ^ co et (ir«grr1)m(*'*') = 1 pour s,s's S — {s0} et m{s, s') ^ 00, forment une présentation de W+. (Soit H+ le groupe défini par la présentation ci-dessus. Montrer qu'il existe un automorphisme oc de H+, de carré l'identité, qui transforme gs en gf1 pour tout seS — {s0}. Si Ha est le produit semi-direct de {1, — 1} et de H+, relatif à oc, définir des homomorphismes Ha -> W et W -+ Ha inverses l'un de l'autre.) Montrer que si les éléments de S sont conjugués (cf. prop. 3), le groupe W+ est le groupe des commutateurs de W (remarquer que les éléments gs sont alors des commutateurs). 10) Soit 2(n le groupe alterné d'ordre n, formé des permutations w s £n de signature égale à 1. Montrer que 2(n est le groupe des commutateurs de <Bn (utiliser les exerc. 4 et 9). Pour tout entier i avec 1 < i < n — 2, posons W{ = sist+i (avec les notations de l'exerc. 4). Montrer que la famille {uî) et les relations u\ = 1, uj = 1 pour i > 2, (utut+iK = 1 pour 1 < i < n — 3 et muj = Ujm pour 1 < i < n — 4 et i + 2 < j < n — 2, forment une présentation du groupe %n (utiliser l'exerc. 9). *11) Soit (W, S) un système de Coxeter. Soit Yx le graphe dont l'ensemble des sommets est S, deux sommets s, s' étant joints par une arête si et seulement si m{s, s') ^ 00. Soient Sa les composantes connexes de Yx. Montrer que W peut être identifié au produit libre des Ws . En particulier, tout uieW s'écrit de façon unique comme un produit w\ . .. Wh, un ^ 1, wt appartenant à un Ws , et oc{ ^ ou+i pour 1 < i < h — 1 ; montrer que la longueur de w est la somme des longueurs des Wi.%. 12) Soit (W, S) un système de Coxeter tel que m(s, s') soit pair pour s ^t s' et soit X une partie de S. Montrer qu'il existe un homomorphisme fx et un seul de W sur Wx tel que/x(.y) = .y pour j s X etfx (s) = 1 pour sgS — X. En déduire que W est produit semi-direct de Wx et du
§ 1 EXERCICES 39 noyau de/x. Montrer que si X c Y c S, il existe un homomorphisme/x y de WY sur Wx et un seul tel que/x = /sï o /y et que W s'identifie à un sous-groupe du système projectif ainsi obtenu des Wx pour X décrivant l'ensemble filtrant des parties finies de S. CJ 13) Soit (W, S) un système de Coxeter. Pour s, s's S, on définit la suite a(s, s') par les règles suivantes : (i) si ss' est d'ordre infini, a(s, s') est la suite vide; (ii) si ss' est d'ordre fini m la suite a(s, s') est de longueur m et ses éléments de rang pair (resp. impair) sont égaux à s' (resp. s). On note a(s, s') le produit de la suite a(s, s'). a) Montrer que l'ensemble générateur S et les relations s2 = 1 et a(s, s') = a(s', s) forment une présentation du groupe W. b) Soit q un entier > 1. Soit S5 l'ensemble des suites de q éléments de S et et soit R5 la plus petite relation d'équivalence dans S5 pour laquelle les suites de la forme (A, a(s, s'), B) et (A, a(s', s), B) (où i,i'eS et où A et B sont des suites d'éléments de S) sont équivalentes. Soit £J l'ensemble des suites s = (si, . . ., st) telles que w(s) = si . .. sq soit de longueur q. Montrer que les suites s, s'eSJ sont équivalentes modulo R5 si et seulement si l'on a w(s) = ie{s') (raisonner par récurrence sur q et appliquer la prop. 5 du n° 5.) c) Montrer que, pour qu'une suite s s S5 n'appartienne pas à £J, il faut et il suffit que ,< soit équivalente modulo R5 à une suite ayant deux termes consécutifs égaux. (On raisonnera par récurrence sur q et on se ramènera à étudier le cas d'une suite {s\, . .., sq) n'appartenant pas à £J mais telle que (slt . . .,^5-1) et (s2, . . .,sq) appartiennent à£J_i; en utilisant l'exerc. 1, on montrera que st ... ss_i = s2 ... ss et on appliquera b).) *14) Soit (W, S) un système de Coxeter et soit (T,f) son graphe de Coxeter. Soit k un entier > 3; si a est une arête de Y, posons fie (a) =f(a) si f{d) ^ 00 <ttfk(a) — k si f{d) = 00. Soit (W*, S) un système de Coxeter de graphe de Coxeter égal à (T,fk) (chap. V, § 4, n° 3, cor. de la prop. 4). Montrer qu'il existe un homomorphisme cp* et un seul de W sur W* induisant l'identité sur S. Montrer que si k divise k', il existe un homomorphisme et un seul cpfc, *■ de WV sur Wfc tel que cp* = cp*, *• 0 cps-. Montrer que l'homomorphisme (9*) de W dans la limite projective des Wfc est injectif (utiliser l'exerc. 13 c)), mais en générai non surjectif, (par exemple, dans le cas d'un groupe-diédral infini).„ 15) (*) Soient A un ensemble et (£ une partie de 5Ç(A). Les éléments de (S seront appelés les chambres de A et une partie F d'une chambre C est appelée une facette, la codimension de F dans C étant le cardinal de C — F. On dit que F est une cloison de C si F est de codimension 1 dans C. Deux chambres C et C sont dites mitoyennes si elles ont une cloison F commune : on a alors C = C ou F = C n C. Une galerie de longueur n est une suite Y = (Co, Ci, . .., C„) de n + 1 chambres telle que C{ et C{+i soient mitoyennes pour 0 < i ^ n — 1. On dit que Co et C„ sont les extrémités de T. La galerie T est dite injective si C{ ^ C(+i pour 0 < i < » — 1 et est dite minimale s'il n'existe pas de galerie ayant mêmes extrémités et de longueur < n. On dit que A (muni de (S) est un immeuble si tout élément de A appartient à au moins une chambre et si deux chambres quelconques sont les extrémités d'une galerie. On appelle alors distance de deux chambres C et C la longueur d(C, C) d'une galerie minimale d'extrémités C et C. Un sous-immeuble d'un immeuble A est une partie D de A telle que D muni de (£ n S($(D) soit un immeuble. a) Montrer que si A est un immeuble, une facette a la même codimension dans toute chambre la contenant, ce qui permet de parler de la codimension d'une facette et d'une cloison de A sans référence à une chambre particulière. Un morphisme d'un immeuble B dans A est une application/de B dans A telle que la restriction de/à toute chambre C de B soit une bijection de C sur une chambre/(C) de A. Montrer que l'image par/d'une facette de B est une facette de même codimension. (*) Les exercices 15 à 24, ainsi que les exercices 3 à 17 du § 2, en grande partie inédits, nous ont été communiqués par J. Tits.
40 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV b) On dit qu'un immeuble est un appartement si toute cloison est contenue dans exactement deux chambres. Montrer que si A est un appartement, tout automorphisme de A (i.e. toute permutation de A conservant (£) laissant fixes tous les points d'une chambre est l'identité. Plus généralement, soit cp un endomorphisme de A et soit C une chambre de A telle que cp(a) = a pour tout as C; soit (C, Ci, . . ., C„) une galerie de A. Montrer que, ou bien la galerie (C, tp(Ci), . .., tp(Cn)) n'est pas injective, ou bien on a tp(s) = a pour tout a appartenant à la réunion des C{. 16) Soit (W, S) un système de Coxeter. Pour .y s S, on désigne par W(«> le sous-groupe Ws_ j,j de W, par A l'ensemble des parties de W de la forme itWW pour w s W et .y s S, et par (£ l'ensemble des parties de A de la forme Cw = {uiW^\seS} pour weW, qu'on appelle chambres de A (exerc. 15). a) Montrer que l'application w I *- Cw est une bijection de W sur (S. b) Montrer que pour que deux chambres distinctes Cw et CW' soient mitoyennes, il faut et il suffit qu'il existe ^ s S tel que w' = ws. En déduire que A (muni de (£.) est un appartement (exerc. 15), qu'on appelle l'appartement de (W, S). Montrer que la longueur d'une galerie minimale d'extrémités Cw et C»- est égale à ls(w~1w'). c) Soit § l'ensemble des facettes de A et soit F s gf. Montrer qu'il existe une partie X et une seule de S et un élément weW tels que On dit alors que F est de type X. Montrer ie¥ que F est de codimension égale au cardinal de X. Montrer que l'application j : F i *- [j i est une bijection strictement décroissante (pour l'inclusion) de § sur l'ensemble des i'eF parties de W de la forme uiWx pour w s W et X c S. Montrer que toute facette de type X contient une facette de type Y et une seule pour tout Y tel que X c Y c S. d) On fait opérer W sur A grâce aux translations à gauche et on pose C = Ce. Montrer que W opère de manière simplement transitive sur S (*)■ Soient Ci, . . ., C„ des chambres de A. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) la suite T = (C0 = C, Ci, . .., C„) est une galerie injective; (ii) il existe une suite s = (slt ..., sn) d'éléments de S telle que C^ = fy(Cj_i) pour 1 < j < n, oh tj est l'élément deO(s) défini au n° 4, formule A1). Montrer que si ces conditions sont satisfaites, la suite s est unique et que Cn = s1 .. . s„(C). Montrer que la galerie T est minimale si et seulement si la suite s(T) = s est une décomposition réduite de w = s^ . .. sn. e) Soit T la réunion des conjugués de S. Pour (sT, on désigne par L( et on appelle mur défini par t l'ensemble des points de A invariants par t. Montrer que L* est réunion de cloisons et que, pour qu'une cloison F soit contenue dans L(, il faut et il suffit quej'(F) soit de la forme kjW|s| avec t = wsw~l. En déduire que, pour toute cloison F, il existe un élément t = t(F) s T et un seul tel que F c L( : on dit que L( est le support de F. Montrer que si wÇLt) = L* (pour itisW), on a w = 1 ou w = t. f) Soient w', w"e\V. Posons C = w'(C), C" = w"(C) et soitT = (C = C, Ci, . .., C„ = C") une galerie injective d'extrémités C et C. Soit tj l'élément de T définissant le mur support de la cloison C3- n C^_i (pour 1 < j < n). Montrer que la suite'F(r) = (w'~1tjw')i^:j^.n coïncide avec la suite 0(s(iti'-1(r))). Pour (sT, soit n(T, t) le nombre de fois que w'~Hw'intervient dans 'F(r). Déduire du lemme 1 du n° 4 que le nombre (— l)"(r> (> ne dépend que de C et C" et non de T : on le notera Y)(C, C, t). Montrer que la relation Y)(C, C", /) = 1 est une relation d'équivalence entre C et C", admettant deux classes d'équivalences permutées par t. On désignera par (£,+(t) celle de ces deux classes qui contient C et par (£"(<) l'autre. Montrer que, pour w s W et ^ s S, la chambre w(C) appartient à (S,+(s) si et seulement si l(sw) > l(w). (*) Soient H un groupe et E un ensemble où opère H. On dit que H opère de manière simplement transitive sur E si l'application h I *- h.x est une bijection de H sur E pour tout *sE; on dit encore que E est un ensemble homogène principal sous H.
§ 1 EXERCICES 41 g) Soit A+(<) (resp. A-(/)) la réunion des chambres appartenant à (£+@ (resp. (£"(/)) (pour (sT). Montrer que A+(/) n A-(/) = ht. (Pour montrer que A+(<) n A-(/) c L(, on se ramènera au cas feS. Si asA+(() n A"((), on posera a = wW'^, avec seS et iti étant @, S — {j})- réduit (exerc. 3). Si w{C) s (£"(<), on a Z(to) <l(w) tt w = ts1 . . .sq avec jjeSet l{w)= q-\- 1. Comme a s A_(/), il existe * s W<e) tel que wx(C) s (£+(<) ; on a alors Z(tot) = 1 + l(wx) = 1 + l(w) + l(x) ; mais twx = sx. .. sqx, d'où une contradiction. On a donc w(C) s (£+@ et /(to) = 1 + l(w) ; si *eW(s) est tel que l{twx) < l{wx), on déduit de l'exerc. 1 que twx = wx' avec *'eWw, d'où ta = a et a s L(.) Les sous-ensembles A+(/) et A-(/) seront appelés les moitiés de A déterminées par le mur L;. On dira que deux points de A sont du même côté (resp. strictement de part et d'autre) de L( s'ils appartiennent (resp. n'appartiennent pas tous deux) à l'une de ces moitiés. Toute facette est contenue dans l'une des moitiés déterminées par Lj. Si deux facettes sont contenues dans des moitiés différentes, on dira qu'elles sont de part et d'autre de ht, ou encore que ht les sépare. h) Soit w s W. Montrer que l(w) est égal au nombre de murs séparant les chambres C et w(C). i) Montrer que l'application tp qui à la moitié A+(<) (resp. A_(/)) fait correspondre le couple A, /) (resp. (—1, /)) est une bijection de l'ensemble 3JÏ des moitiés de A sur l'ensemble R = {1, — 1} X T (cf. n° 4). Reprenons les notations du lemme 1 du n° 4 : montrer que <p(w(M)) = Un,(ç(M)) quels que soient weVf et Ms3Jt. 17) On garde les notations de l'exerc. 16 et on suppose W fini. Soit .§ l'ensemble des murs de A. A tout H s .§, on associe la moitié H+ de A déterminée par H et contenant C. Montrer qu'on peut numéroter les éléments de H de telle sorte que l'application j | *- |j H+ soit strictement décroissante sur l'intervalle I 1, Card (.§) I. (Considérer la famille S des intersections d'ensembles H+ ordonnée par inclusion et considérer une suite (Fo, .. ., Fg) strictement décroissante de longueur maximale d'éléments de g: ; pour tout H s .Ci, il existe un i tel que H+ d F^ pour j > i et H+tFn : montrer que F< = H+ n F{_i.) 18) Soit A un appartement (exerc. 15). On appelle pliage de A un endomorphisme n de A tel que n2 = n et que toute chambre de A soit image par n de 0 ou 2 chambres. a) Soient tz un pliage de A et C une chambre de A telle que 7t(C) = C. Pour toute chambre C mitoyenne de C, on a, ou bien tc(C') = C ou bien 7t(C) = C; si as C, on a tc(<z) = a. Soit (Co = C, Ci, . .., C„) une galerie : montrer que, ou bien 7t(Cj) = Cj pour tout i, ou bien (Co, 7t(Ci), . .., 7t(CB)) n'est pas minimale (et même a deux chambres consécutives égales). En déduire que toute galerie minimale d'extrémités invariantes par n est invariante par 7t. Si (C = Co, Ci, . . ., C„) est une galerie minimale et si Tc(Cn) ^ C„, il existe un indice i avec 0 < i < n tel que tc(C^) = C^ pour 0 < j < i et tc(C^) ^ C^ pour i < j < n. b) Soient Ci et C2 deux chambres mitoyennes distinctes et tc, tc' deux pliages de A. On suppose que tc(C2) = Ci et tc'(Ci) = C2. Soit C une chambre; considérons les trois conditions suivantes : A) tc(C) = C; B) rf(C,Ci) < rf(C,C2); C) tc'(C) * C. Montrer que A) =^» B) =¥■ C) et en déduire que ces trois conditions sont équivalentes. Montrer que tc (resp. tc') est l'unique pliage de A amenant C2 (resp. Ci) sur Ci (resp. C2) (supposons B) vérifiée et soit (Ci, C2, . . ., C'n = C) une galerie minimale : montrer que 7t'(Cj+1) est l'unique chambre distincte de tc'(CJ) et contenant la cloison tc'(CJ n C'j+1)). Montrer que tc((£) et tc'((£) forment une partition de l'ensemble (£ des chambres de A et que Tc(a) = Tc'(a) = a pour tout asTc(A) n tc'(A). Montrer que l'application de A dans lui-même qui coïncide avec tc' sur tc(A) et avec tc sur tc'(A) est un automorphisme involutif de A. On
42 GROUPES DE COXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV l'appelle la réflexion par rapport à la cloison Ci n C2. Montrer que c'est le seul automorphisme non trivial de A laissant fixes tous les points de Ci n C2 (utiliser l'exerc. 15 b)). c) On suppose que A est l'appartement associé à un système de Coxeter (W, S) et on reprend les notations de l'exerc. 16. Soient Ci et C2 deux chambres mitoyennes et t l'élément de T tel que le mur L( soit le support de Ci n C2. Soit M^ la moitié de A déterminée par ht et contenant C^ (pour j = 1,2). Montrer que l'application tz définie par tz(<z) = a si a s Mi et r:{a) = t(a) si a s M2 est un pliage de A tel que 7r(Cz) = Ci et que la réflexion par rapport à la cloison Ci n C2 est l'application a | *- t(a). 19) Soit A un appartement. On suppose que, quelles que soient les chambres mitoyennes distinctes Ci et C2, il existe un pliage (exerc. 18) de A amenant Ci en C2. Soient C une chambre de A et (C()(ei la famille des chambres mitoyennes de C, distinctes de C. On désigne par si la réflexion par rapport à la cloison C n C{ (exerc. 18 b)). On pose S = {i(|i'el} et on désigne par W le groupe d'automorphismes de A engendré par les st. a) Montrer que, pour toute chambre C, il existe w s W tel que C = if(C) (on raisonnera par récurrence sur d(C, C')). b) Montrer que (W, S) est un système de Coxeter (pour i s I, poser PS;= {^eW|^(C)c7i((A)}, où m est le pliage amenant Cj sur C et montrer que les hypothèses de la prop. 6 sont vérifiées : pour démontrer la condition (C), on remarquera que si wePSl et wsj^PSt, on a w(G) r\wsj(G) C7i((A) n.OTi(A). Comme w(C) et wsj(C) sont mitoyennes, on en déduira que st = wsjW1 (exerc. 18 b)). c) Soit F une facette de la chambre C. Montrer que le stabilisateur WF de F dans W est engendré par les si s S tels que FcCnQ (soit w s WF, avec ls(w) > 1 et soit isl tel que w = Siw' avec l{w') = l{w) — 1; d'après la prop. 6, on a w' sPSj, d'où w{C) <zsnzi{A), Fc7i((A) n^{7T{(A) et JisWr). En particulier, on a w{C) = C si et seulement si w = 1. d) Montrer que l'application a\ *-Wjaj est un isomorphisme de l'appartement A sur l'appartement associé à (W, S) (exerc. 16), compatible avec l'action de W. 20) Soient A un immeuble et S un ensemble. On dit que A est numéroté par S si l'on s'est donné une application /de A dans S telle que, pour toute chambre C de A, la restriction de/à C soit une bijection de C sur S. Si F est une facette de A, on dit alors que /(F) est le type de F. Soit A un immeuble numéroté. Un endomorphisme cp de A est dit permis si a et ep(a) sont de même type pour tout a s A. a) Soit cp un endomorphisme de A. Montrer que s'il existe une chambre C de A telle que a et cp(a) soient de même type pour tout a s C, alors cp est permis. Montrer que si A est un appartement et 7i un pliage de A (exerc. 18), alors n est un endomorphisme permis. b) Une partie D de A est dite convexe si, pour tout a s A — D, il existe un endomorphisme permis cp de A tel que cp(*) = x pour tout x s D et cp(a) ^ a. Montrer que toute intersection de parties convexes est convexe et que, pour toute partie D de A, il existe une plus petite partie convexe contenant D : on l'appelle l'enveloppe convexe de D et on la note T(D). 21) Soient (W, S) un système de Coxeter et A l'appartement associé (cf. exerc. 16, dont nous reprenons les notations). a) Montrer qu'il existe un numérotage et un seul (dit canonique) de A pour lequel le type d'une facette F est celui défini à l'exerc. 16 c). On considérera toujours A comme muni de ce numérotage. b) Montrer que les automorphismes permis de A sont les opérations de W. c) Soit D une jiartie de A contenant au moins une chambre. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) D est l'intersection des moitiés de A (exerc. 16 g)) qui contiennent D; (ii) D est convexe;
§ 1 EXERCICES 43 (iii) quelles que soient les facettes Fi et F2 contenues dans D, l'enveloppe convexe de Fi u F2 est contenue dans D; (iv) quelles que soient la chambre Ci et la facette F contenues dans D et quelle que soit la galerie (Ci, ..., C„) telle que FcC„ de plus petite longueur possible, onaQcD pour 1 < i < n. (Pour montrer que (iii) =£► (iv), utiliser l'exerc. 15 b). Pour montrer que (iv) =£» (i), on raisonnera par l'absurde. Soit D' l'intersection des moitiés de A contenant D; soient asD' — D, Co une chambre contenue dans D et (Co, Ci C„) une galerie de plus petite longueur possible telle que asCn. On a alors CjcD' pour tout j. Montrer qu'il existe un entier j avec 0 < j < n tel que CjcDet C^+i et D. Soit M (resp. M') la moitié de A déterminée par le mur support de la cloison Cj n C^+i et contenant C^ (resp. C^+i). Montrer que D et M. Soient ieDn(A — M) et T = (Cj, C[, ..., Cj) une galerie de plus petite longueur possible telle que beC'j,. On aCjcD pour 1 < k < p et Cp c M'. Soit tz le pliage de A d'image M' (exerc. 18 c)) : on a 7i(C^) = C^+i et la galerie 7t(r) n'est pas injective (exerc. 18 a)). Si I"" = (Cj+i, Cj, ■ . ., Cp_2, Cp) est la galerie obtenue à partir de7i(r) par suppression de l'une de deux chambres consécutives égales, la galerie (Cj, C^+i, C2', . . .,CJ_2, Cp) est minimale d'après la définition de T. On déduit alors de (iv) que Q+i c D. Contradiction.) 22) On garde les notations des exerc. 16 et 21. d) Soient (sT et we W. Montrer que les chambres C et w(C) sont séparées par le mur ht si et seulement si l{tw) < l(w) (utiliser le pliage sur la moitié A+(/)). b) Soit w0 s W. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) l(<*><*>0) = Kwo) — Kw) pour tout itieW; (ii) l(tw0) < l(w0) pour tout leT; (iii) quel que soit (sT, les chambres C et w0(C) sont séparées par le mur L(. (Utiliser l'exerc. 16 h) pour montrer que (iii) =^- (i).) Montrer qu'un tel élément w0 est unique et existe si et seulement si W est fini. C'est alors l'élément de plus grande longueur de W et il est caractérisé par : (iv) l(sw0) < l(w0) pour tout seS. De plus, on a w^ = 1, w0Sw0 = S et l{w0) = Card (T). c) On suppose W fini. Montrer que, pour toute chambre Co, il existe une chambre — Co et une seule telle que Co U (— Co) ne soit contenue dans aucune moitié de A. Montrer qu'il existe un automorphisme involutif (non nécessairement permis) cp et un seul de A tel que ç(Co) = — Co pour toute chambre Co et que cp(L) = L pour tout mur L de A. On posera ç(a) = — a pour as A. Si F est une facette, la facette — F = cp(F) sera dite opposée à F. d) Soit Co une chambre de A et soit F une cloison de Co. Montrer que l'enveloppe convexe de CoU (— F) est la moitié de A déterminée par le mur L de support F, et contenant Co. 23) Reprenons les notations de l'exerc. 16. Soit Aut(A) le groupe des automorphismes de l'appartement A. Montrer que si ç s Aut(A), alors <p permute les murs de A, et que cp/cp-1 s T pour tout t s T (utiliser l'exerc. 18). En déduire que W (identifié à un sous-groupe de Aut(A)) est distingué et que Aut(A) est produit semi-direct du sous-groupe E des automorphismes conservant la chambre C par W. Montrer que la loi d'opération de A dans W définit un iso- morphisme de E sur le groupe des automorphismes du système de Coxeter (W, S), ou encore du graphe de Coxeter de (W, S) (cf. aussi exerc. 19.) 24) On appelle immeuble structuré un immeuble I muni d'un ensemble 3t de sous-immeubles satisfaisant aux conditions suivantes : (IS 1) Les sous-immeubles As 3t sont des appartements. (IS 2) Deux chambres de I sont contenues dans au moins un même élément de 3t. (IS 3) Quels que soient Ai, A2 s 21 tels que Ai n A2 contienne une chambre, il existe un iso- morphisme de Ai sur A2 laissant fixes les points de Ai n A2.
44 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV Soit (I, 21) un immeuble structuré. Les éléments de 2t sont appelés les appartements de (I, 21), ou plus simplement de I. a) Montrer que les appartements de I sont deux à deux isomorphes. Soient C une chambre de I et A un appartement de I contenant C. Montrer qu'il existe un endomorphisme p et un seul de l'immeuble I (appelé la rétraction de centre C de I sur A) tel que p(a) = a pour tout a s A et que, pour tout appartement A' contenant C, la restriction de p à A' soit un isomor- phisme de A' sur A (en utilisant (IS 2) et l'exerc. 15 b), on remarquera que, pour tout appartement A' contenant C, il existe un unique isomorphisme pA, de A' laissant fixes tous les points de C). Montrer que p2 = p et que p_1(C) = C. b) Soient A un appartement de I, Co une chambre et F une facette contenues dans A. Soit (Co, Ci, . . ., Cn) une galerie de plus petite longueur possible telle que FcC,, Montrer que C{ c A pour 1 ^ i < n (on raisonnera par l'absurde : si QcA et C{+i ¢ A, considérer la rétraction de I sur A ayant pour centre la chambre de A distincte de C{ et contenant C{ n C<+i). c) Soient A un appartement de I, C une chambre de A, F une cloison de C, C une chambre de I et r = (Co, .. ., Cn = C) une galerie telle que F c Co, de plus petite longueur possible. Montrer que la rétraction p de I sur A de centre C transforme T en une galerie (Ci, ...,Ci = p(C')) telle que F c Cô\ de plus petite longueur possible (considérer un appartement A' contenant C et F, appliquer b) et le fait que la restriction de p à A' est un isomorphisme). d) Soient A un appartement, Ci et C2 deux chambres mitoyennes distinctes contenues dans A, C une chambre contenant Ci n C2 et distincte de Ci et C2, A{ un appartement contenant Cf et C (pour i = 1,2). Soit cp{ (resp. <^î) la rétraction de I sur A (resp. A{) de centre C< (resp. C) et soit ç>t la restriction de cp{ 0 <J/< à A. Soit C une chambre de A; montrer que si rf(C,Ci) < rf(C,Cs), 011 a p^a) = a pour tout asC et d(C, Ci) < d(C, Cs) (considérer une galerie minimale T d'extrémités C et Ci et appliquer c) pour montrer que p^I) est minimale; utiliser alors l'exerc. 15*)). Montrer que, si rf(C,Cs) < d(C, Ci), on apj(C) jt C et pf (C) = p^C) (prendre une galerie minimale T d'extrémités C et C2 et utiliser c) pour montrer que ç>i(T) est une galerie ayant une extrémité égale à p^C) et l'autre contenant Ci n C2, de plus petite longueur possible; en déduire que d(Ci, pi(Ci)) < d(Gz, pi(Ci))). Montrer que çn est un pliage (exerc. 19) de A (montrer que A = Pi(A) U Ps(A) et définir un automorphisme involutif g de A en posant a (A) = ps(a) si aspj(A) et <r(a) = Pi(fl) si as ps(A); montrer que si C est une chambre contenue dans pi(A), onapy^C) = {C, p2(C)}). e) Soit I un immeuble structuré spacieux, c'est-à-dire tel que toute cloison soit contenue dans au moins trois chambres. Montrer qu'il existe un système de Coxeter (W, S) et un seul à isomorphisme près tel que les appartements de I soient isomorphes à l'appartement Ao associé à (W, S) (utiliser d) et l'exerc. 19). Soient A un appartement de I et cp un isomorphisme de Ao sur A. Montrer qu'il existe un numérotage de I et un seul, à valeurs dans S, tel que les types de a et cp(a) soient égaux pour tout as Ao (choisir une chambre C de A et montrer, en utilisant b), que, si A' et A" sont deux appartements de I contenant C, les numérotages de A' et A" prolongeant celui déterminé sur C coïncident sur A'nA"). On dira que le système de Coxeter (W, S) et le numérotage ainsi obtenus sont adaptés à I. Montrer que les rétractions introduites en a) sont des endomorphismes permis. Montrer qu'une partie de I contenue dans un appartement A de I est convexe dans I si et seulement si elle convexe dans A (exerc. 20). f) Gardons les notations de e) et soit 3 l'ensemble des isomorphismes permis de Ao sur les divers appartements de I. Montrer que si cp, <J/ s 3 et si C est une chambre et F une facette de I contenues dans cp(Ao) n^CA-o), il existe un élément itisW tel que tJ;-1(C) = iticp-1(C) et <J;-1(F) = "Jcp-1(F) (considérer un isomorphisme X de cp(Ao) sur <Jj(A-o) laissant fixes les points de cp(A0) n(J;(Ao) et appliquer l'exerc. 21 b) à l'automorphisme tjr1 0 X 0 cp—1 de Ao). 25) Soit I un ensemble et soit 5 l'ensemble des parties finies de I. Pour tout Asjy, on pose e(A) = (— l)Card(A)_ s0it G un groupe commutatif, noté additivement, et soient cp et tj; deux
§ 1 EXERCICES 45 applications de § dans G. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : (i) <p(A) = 2 <KB) pour tout A s g; BCA (ii) <KA) = S £(A— B)<p(B) pour tout A s g. BCA 26) Soit (W, S) un système de Coxeter, avec S fini. Pour toute partie H de W, on désigne par H@ la série formelle à coefficients entiers définie par : H@ = S tllw)- a) On suppose que Card(S) = 2. Montrer que W@ = (\ + t- tm - tm+l)j(\ — t) si W est d'ordre fini 1m W@ = A + 0/A ~ t) si W est infini. b) On suppose que W est fini. Soit w0 l'élément de plus grande longueur de W (exerc. 22) et soit m = l{w0). Montrer que l'on a : W@ = f"W((-') (utiliser l'exerc. 22). c) Soit X une partie de S. On note Ax l'ensemble des éléments (X, 0)-réduits de W (exerc. 3) et Wx le sous-groupe de W engendré par X. On sait (exerc. 3) qu'un élément w s W appartient à Ax si et seulement si l{xw) = l{w) + 1 pour tout xgX, que tout élément w s W s'écrit de façon unique sous la forme w = uv avec weWx et» sAj, et que l'on a alors l(w) = l{u)-\- l(v). En déduire la formule : W(o = wx@.ax(o. d) On conserve les notations précédentes, et on note Bx l'ensemble des w s Ax tels que l{sw) = l{w) — 1 pour tout seS — X. Montrer que l'on a : AX@ = S By@. XCYCS En déduire que ; Bx@ = S e(Y —X)AT@ avec e(Z) = (- l)Card(Z) XCYCS 'utiliser l'exerc. 25). e) On suppose W fini et l'on définit m et w0 comme dans b). Montrer que B0 = {w0} et que ; /»= S e(Y) W(o ycs Wy@ (utiliser c) et d)). f) On suppose W infini. Montrer que B0 = 0 et que l'on a : o=2 s(Y) YCSWy@ g) Montrer que la série formelle W@ est une fonction rationnelle de t (utiliser/) et raisonner par récurrence sur Card (S)). Montrer que cette fonction rationnelle ne s'annule que pour des valeurs de t qui sont des racines de l'unité; montrer que l/W(oo) est un entier. Montrer que l'on a —!— szrmi. W(r!) LL JJ
46 GROUPES DE GOXETER ET SYSTEMES DE TITS Ch. IV §2 1) Soient G un groupe, B et N deux sous-groupes de G et S une partie de W = N/(B n N) ; pour tout itisW, on pose C(uj)"== BwB. On suppose que les conditions (Tl) et (T2) de la définition 1 du n° 1 sont vérifiées, que, quels que soient .y s S et w s W, l'une au moins des deux relations C(j) .C(w) = C(sw) et C(j) .C(sw) = C(w) est vérifiée et que B u C(j) est un sous-groupe de G pour tout sgS. Montrer que la condition (T3) est vérifiée. Si de plus B est d'indice > 3 dans BjC(i), alors (G, B, N, S) est un système de Tits. 2) Soient G un groupe, B et N deux sous-groupes de G et S une partie de W = N/(B n N). Soit Z un sous-groupe distingué de G contenu dans B. Soient B' et N' les images canoniques de B et N dans G' = G/Z. Montrer que l'application canonique de N sur N' définit un isomorphisme de W sur W = N'/(B' n N'). Soit S' l'image de S par cet isomorphisme. Montrer que (G', B', N', S') est un système de Tits si et seulement si (G, B, N, S) en est un. 3) Soient G un groupe, B un sous-groupe de G et (G(w))we w la famille des doubles classes de G suivant B. On dit que B est un sous-groupe de Tits de G s'il existe un sous-ensemble S de W tel que les conditions suivantes soient vérifiées : A) la réunion des C(j) pour seS engendre G; B) pour tout se S, l'ensemble BuC(i) est un sous-groupe de G et B est d'indice >3 dans BuC(j)| C) pour tout je S et tout w s W, il existe un élément w' s W tel que C(j) .C(w) c C(w) U C(w'). On suppose désormais que B est un sous-groupe de Tits de G et on se donne une partie S de W satisfaisant aux conditions A), B) et C). a) Montrer que C(.y)-1 = C(j) et que C(j).C(j) = BuC(s) pour tout sgS, Montrer que, pour tout seS et tout weW, il existe un élément w"e\V tel que C(w) .C(s) cC(it) u C(w"). b) Pour w s W, on appelle longueur de w et on note l(w) la borne inférieure des entiers n > 0 tels qu'il existe slt . . .,sn s S avec C(w) cC(j,) . . , 0(.¾). Montrer que l{w) est fini pour tout we W. Soient u, » s W avec l(u) < l(v) et soit isS; montrer que si C(h)cC(ii).C(j) (resp. C(») cC(i) -0A/)), alors on a C(») = C(a).C(j) (resp. C(») = C(j).C(a)) (on raisonnera par récurrence sur la longueur de u. Si C(») ^

References: l'article 41
 l'article 40
 § 1
 § 1
 § 1
 § 1
 § 4
 § 1
 § 1
 § 1
 § 1
 § 4
 § 2
 § 2
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 § 10
 § 1
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 § 2
 § 1
 § 1
 § 1
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 § 1
 § 2
 § 2
 § 1
 § 6
 § 1
 § 2
 § 10
 § 8
 § 8
 §1

§ 1
 § 4
 § 2

§ 1

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§ 1
 §2