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Exercices résolus des compléments d'analyse du cours de mathématiques | Arnaudies | download
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a.elmahdi
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03 August 2017 (17:43)
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Ce site m'est intéressant pour des livres de mathématique et de statistique.
27 August 2019 (14:27)
JLM. Arnaudiès P. Delezoide H. Fraysse Exercices résolus des compléments d'analyse du cours de mathématiques - 3 Classes préparatoires 1er cycle universitaire DUNOD
Exercices résolus des compléments d'analyse du cours de mathématiques ■ 3
Exercices résolus des compléments d'analyse du cours de mathématiques - 3 JJVL Arnaudiès P. Delezoide Maître de conférences Professeur de Mathématiques supérieures Université de Paris VI au Lycée Louis le Grand, Paris H. Fraysse Professeur honoraire de Mathématiques spéciales au Lycée Pierre de Fermât, Toulouse Classes préparatoires 1er cycle universitaire DUNOD
Ce pictogramme mérite une explication. Son objet est d'alerter le lecteur sur la menace que représente pour l'avenir de l'écrit, particulièrement dans le domaine de l'édition technique et universitaire, le développement massif du photocopillage. Le Code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit en effet expressément la photocopie à usage collectif sans autorisation des ayants droit. Or, cette pra tique s'est généralisée dans les établisse- 75006 Paris). ments d'enseignement supérieur, provoquant une baisse brutale des achats de livres et de revues, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd'hui menacée. Nous rappelons donc que toute reproduction, partielle ou totale, de la présente publication est interdite sans autorisation du Centre français d'exploitation du droit de copie (CFC, 3 rue Hautefeuille, ©Dunod, Paris, 1995 ISBN 2 10 002587 2 Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans le consentement de 1*auteur, ou de ses ayants droit, ou ayants cause, est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. La loi du 11 mars 1957 n'autorise, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, que les copies ou reproduction; s strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective d'une part, et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration.
En mémoire de Gaston Julia
TABLE DES MATIÈRES Introduction CHAPITRE II Séries entières 1 § II.l Rayon de convergence, exercices 1, 3, 5, 9, 10, 13, 16 1 § II.2 Fonction définie par une série formelle, exercices 1,3, 16 4, 7, 10, 12, 13 § II.3 Fonction définie par une série formelle (suite), exerci- 33 ces 3, 5 § II.4 Fonctions de variable réelle développables en série en- 37 tière, exercices 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 20, 22 CHAPITRE III Compléments sur les séries entières 66 § III. 1 Composition et réversion, exercices 3, 4, 6 66 § III.2 Notion de fonction analytique complexe, exercices 2, 70 3, 6 § III.3 Notions sur le logarithme complexe, exercices 2, 4 73 § III.4 Fonctions usuelles dans le champ complexe, exercices 77 1, 2, 3, 4, 5 § III.5 Un théorème d'Abel, exercices 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 87 17, 19 CHAPITRE IV Séries de Fourier 115 § IV. 1 Généralités, exercices 1, 4, 6, 8, 9 115 § IV.2 Formule de Parseval, exercices 1, 2, 4 123 § IV.3 Première étude de la convergence ponctuelle, exercices 126 1, 3, 5, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 25 § IV.4 Opérations sur certaines séries de Fourier, exercices 1, 162 2,3 § IV.5 Un théorème de Jordan, exercices 2, 3, 4, 5 166 CHAPITRE V Dérivées partielles, différentielles 171 § V.l Dérivées partielles du premier ordre, exercice 1 171 § V.2 Différentiabilité, exercices 1, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 16 173
VIII Table des matières § V.3 Dérivées partielles et fonctions composées, exercices 185 3,4 § V.4 Dérivées partielles d'ordre quelconque, exercices 1, 2, 189 4,7 § V.5 Interversion de dérivations, exercices 1, 2, 6, 7 197 § V.6 Formules de Taylor, exercices 2, 3, 4 206 § V.7 Extrema locaux, exercices 2, 3, 5, 6, 9,10 212 CHAPITRE VI Applications du calcul différentiel 225 § VI. 1 Fonctions implicites, exercices 2, 3, 6, 9 225 § VI.2 DifFéomorphismes. Inversion locale, exercices 1, 3, 4, 231 5, 6, 7, 10 § VI.3 Sous-variétés. Hyper sur faces, exercices 1, 3, 5, 6, 7, 8, 238 9, 10, 11 § VI.4 Extrema liés, exercices 1, 2, 4, 5, 9, 10, 11 249 CHAPITRE VII Théorie des intégrales multiples 261 § VII.1 Pavés, ensembles pavables, exercices 1, 2, 3, 4, 5, 8 261 § VII.2 Fonctions en escalier et leur intégrale, exercices 1,2, 270 3,4 § VIL3 Fonctions bornées intégrables, exercices 2, 3, 7 273 § VII.4 Ensembles bornés mesurables, exercices 1, 2, 3, 4 276 § VII.5 Sommes de Riemann, exercices 1, 4, 5 282 § VII.6 Invariance affine de l'intégrale, exercices 2, 4, 5 284 CHAPITRE VIII Calcul des intégrales multiples 292 § VIII. 1 Approximation en moyenne, exercices 1, 2, 5 292 § VIII.2 Superposition d'intégrales, exercices 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10 294 § VIII.3 Applications du théorème de Fubini, exercices 1, 2, 4 306 § VIII.4 Changement de variable, exercices 1, 2, 3, 5, 8 310 § VIIL5 Intégrales généralisées, exercices 1, 3, 4, 5, 8, 11, 18, 320 20 § VIII.6 Aires et intégrales de surface, exercices 1, 4, 7, 9 335 CHAPITRE IX Equations différentielles linéaires 347 § IX. 1 Généralités, exercice 1 347 § IX.2 Equations linéaires scalaires du premier ordre, exerci- 350 ces 1, 2, 4
Table des matières IX §IX.3 Equations linéaires scalaires à coefficients constants, 355 exercices 1, 2, 5, 7 §IX.4 Systèmes linéaires carrés à coefficients constants, exer364 cices 1, 2, 3, 7, 9, 12 §IX.5 Equations linéaires du premier ordre à inconnue vec379 torielle, exercices 3, 6, 8, 11, 12, 19, 21, 24 CHAPITRE X Equations différentielles 398 §X.l Généralités, exercices 5, 6 398 §X.2 Théorèmes d'existence, exercices 1, 2, 5 399 §X.3 Techniques élémentaires usuelles, exercices 1, 8 403 §X.4 Autres techniques usuelles, exercices 2, 3, 4, 8, 9 412 §X.5 Deux exemples concrets, exercices 1, 2, 4 432 APPENDICE 2 Sur les équations /(#, y, y') = 0 440 exercices 1, 2 APPENDICE 3 Différentiabilité des solutions 442 exercice 1 Bibliographie 444
INTRODUCTION Nous présentons ici le troisième de la série de quatre livres d'exercices corrigés correspondant au Cours de Mathématiques de J. M. Arnaudiès et H. Fraysse, un pour chaque tome. Dans ces livres de cours, nous avons sélectionné environ un exercice sur cinq, en variant les niveaux, mais surtout en les choisissant aussi représentatifs que possible. Nous avons aussi donné la réponse à un assez grand nombre des exercices les plus ardus. Toutefois, nous n'avons pas classé les questions par ordre de difficulté, car un tel classement comporterait une trop grande part de subjectivité. Chacun sait que bien souvent, les énigmes sont loin d'être résolues par ceux que l'on attend, et qu'inversement, ce ne sont pas toujours ceux que l'on aurait cru qui "sèchent"... donc, au lecteur d'apprécier le prix de son effort ! Pour chaque exercice, nous avons tenu à donner une solution très développée, en l'ouvrant au maximum sur son environnement mathématique ; car il est bien plus bénéfique à tous égards d'étudier un exercice en relation avec cet environnement que l'exercice pour lui-même, isolément. Le rôle de l'association d'idées en mathématiques est bien connu. Le grand mathématicien Hadamard disait que pour résoudre une question épineuse, après avoir bien "séché" sur elle il faut l'abandonner, puis "penser à côté". Les exercices de mathématiques évoquent l'art des illusionnistes : un spectateur passif pourrait s'extasier toute sa vie devant ces tours de magie sans jamais en percer le secret. De même, un "bachoteur" naïf pourrait lire des centaines d'exercices de mathématiques sans augmenter sa capacité à en résoudre de nouveaux, s'il n'essayait de comprendre un peu ce qui se passe dans les coulisses, c'est-à-dire de bien situer la question dans son environnement. L'idéal serait d'apprendre à en composer de nouveaux, ou même plus simplement à en présenter de connus sous un jour original, qui les rende méconnaissables au spectateur passif... Nous avons voulu la plus grande rigueur dans la rédaction des solutions, au moins autant que pour les livres de cours. Le résultat, nous l'espérons, est un outil de travail de fond, pour les préparations de longue haleine, qui au-delà du souci immédiat de la réussite à tel ou tel concours, préserve le plus large contact avec la science. Il va de soi que nous remercions d'avance ceux de nos lecteurs qui voudront bien nous faire part de leurs remarques et suggestions. Nous remercions vivement les Éditions Dunod, et tout particulièrement Gisèle Maïus, d'avoir entrepris la publication de ces ouvrages, qui s'imposaient pour donner leur pleine efficacité aux quatre livres de cours. Les auteurs
Chapitre II SÉRIES ENTIÈRES § II. 1 RAYON DE CONVERGENCE Exercice 1 Trouver le rayon de convergence R des séries formelles an Xn dans les cas suivants : a) an = (ch^)71" b) an = an" ( a > 0 , a G R ) c) an =n -ième décimale après la virgule dans le développement décimal de y/2 2 d)an=(l + ^)" e)an = (l + ^f f) an = 0 si n = 0 mod (3), an = 22p+i si n = 3p + i («€{1,2}) 1 p) an = sin(na 6) (a > 0,0 e R) A) an = - sin(n 7r \/3) a) Nous utiliserons ici la formule de Hadamard (Théorème IL 1.2). On sait que quand n tend vers l'infini : ch(l/n) - 1 + ~+o(Jp) d'où Log(ch(l/n)) ~ ~ . On a donc ici : LogQn 1 a-3 ~ — n n 2 On en déduit que : -si a > 3 , y/an —► -hoo , d'où R = 0 ; n—►oo -si a = 3 , x/ân —► i , d'où = e-1/2 ; n—*oo z -si a < 3 , y/an —> 1, d'où R = 1. 6) Nous utilisons encore la formule de Hadamard. On a ici : Log(an) na 1 Loga . n
2 Chapitre II Séries entières Si a = 1 alors R = 1 ; si a > 1 : - si a > 1 - si a = 1 - si a < 1 si a < 1 : - si a > 1 - si a = 1 - si a < 1 ^/ân —► -hoo , d'où R = 0 , n—>oo v^ân = a , d'où R = 1/a, 1, d'où R = 1 \/a~n —► 0 , d'où R = +oo , n—>oo x/ân = a , d'où R = 1/a , y/a~n —► 1, d'où .R = 1. c) Comme pour tout neN, 0 =ss an ^ 9, on en déduit R ^ 1. La suite (an) ne tend pas vers zéro quand n tend vers l'infini, sinon an (entier) serait nul à partir d'un certain rang, et y/2 serait un nombre décimal. La série ]T an n'est donc pas convergente, et par conséquent R > 1 est exclu. Nous en déduisons R = 1. d) On obtient facilement l'égalité : Log(|qw|) = nLogA | 2cosn0 , 1 Soit g : ] — l,+oo[ —> (R telle que #(0) = 1/2 et pour tout x G ]-l,-hoo[, x^O, Log (1 -f x) = x — x2 g(x) ; on sait que g est continue. On a : Log(|an|) _ 1 —&VI u =cosn<9+ un , n 2 n où pour tout n ^ 2 : n / cos. 1 \2 cosn0 . 1 2 \ n nz J \ n nz Comme un —► 0 , on voit que : Log(|on|) L = lim sup = hm sup cos n 0 . n—KX> Il n—►oo Il est alors clair, puisque la fonction exp est continue croissante, que R = e~L . Justifions l'égalité L = 1 (a priori L ^ 1 ), d'où = e_1 : -si 6 $l 7r Q , comme l'ensemble {e1 n6>, n G Z} est dense dans U , il est clair que L = 1 ;
Rayon de convergence 3 -si 6 — 2 np/q , où p et q sont des entiers premiers entre eux, q > 0 , on a pour tout k G N , coskq6 = 1, donc L = 1. e) On a ici : Log(|a„|)=nLo / cosn#\ n 2 En utilisant la même méthode que dans le cas précédent on obtient : Log(|an|) 1 On en déduit : cos nO + vn où vn —► 0 . 2 n—►oo UmsupLog(K|) = l efc R = e-1/2 n—►oo Tl Z j) Soit r G R+ . En reprenant les notations de l'énoncé, on a an rn — 0 si i — 0 et sinon : anrn = 22?+V3p+î - 2VZ (4r3)p . Il est clair que la suite (an rn) est bornée si, et seulement si, 4r3 ^ 1. Nous en déduisons R = 2~2/3 . g) La suite (an) étant ici bornée, on a R ^ 1. Supposons > 1, pour tout réel r , 1 < r < i?, la suite (\an\ rn) est bornée ; choisissons un tel réel r et posons : Vn G N K| = |sin(na0)| ^ ^ . On remarque que l'ensemble des suites réelles (un) telles que sin(un) G 0(r~n) est un sous-groupe additif (formules de trigonométrie). Supposons d'abord a entier naturel (a > 0). On voit facilement (déterminant dans la base canonique) que les polynômes Xa, (X + l)a,..., (X + a)a , éléments du Q-ev Q[X] , sont Q-linéairement indépendants et forment par conséquent une base du Q -ev Qa [X] , de dimension a -h 1. Le polynôme 1 est donc combinaison linéaire à coefficients rationnels de ces polynômes ; il existe donc un entier relatif non nul q, qui est combinaison à coefficients entiers relatifs de ces polynômes. Notons : q = n0 Xa + m (X + l)a + ... + na (X + a)a . Comme les suites (sin ((n + k)a 0)) , pour k G [0,a] , sont toutes dominées par la suite (r_n) , il en est de même pour la suite constante (sing#) ; on
4 Chapitre II Séries entières a donc sin q 6 = 0. On en déduit qu'il existe un entier relatif m tel que qQ — m-K , soit 6 = (ra/g)7r ; on peut supposer m et q premiers entre eux. On remarque que la suite (sin na 6) ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs et est de limite nulle, donc est nulle pour n assez grand. On en déduit que q divise na m, donc na , pour n assez grand. L'entier q divise donc par exemple deux entiers premiers entre eux, de la forme na et (n -h l)a , ce qui n'est possible que si q = 1 ; dans ce cas, 6 est un multiple entier de n , la suite (an) est identiquement nulle et R = oo . Supposons a non entier ; soit p entier, p > a . Pour tout entier k e |[0,pj, on a : <" + *)■ - ('+ ;)* - "* ('+"~n + • ■ ■+ G) (s)")+ *<»> • où Vk(n) e o(na~p) . Il existe des rationnels (ro,..., rp) tels que : p / \ Yrk(n + k)a ~ ( )na-p; k=0 xy/ il suffit en effet que ces coefficients rationnels vérifient les équations : ro + n -h ... 4- rp = 0 H 4- 2r2 + ... +prp = 0 r1 + 2p-1r24-...+pp-1rp = 0 ri -h 2P r2 + ... 4- rp = 1 . Il existe donc des entiers (no,..., np) et un entier non nul q tels que : (n + k)«~q(a\ na"". rr> . AA a (a — 1)... (a — p 4 1) , Notons que le coefficient = : n est pas nul car a n'est pas entier. Comme : sin f^nfc(n + t)as) € 0(r~n) , V/c=0 et que na p —► 0 , nous en déduisons na p 6 G 0(r n). C'est impossible, n—>oo sauf si 0 = 0; dans ce cas la suite (an) est identiquement nulle et R = oo .
II.l Rayon de convergence 5 En résumé : R = 1, sauf si, soit aG M et 6 G 7r Z, soit a £ Z et 0 = 0; dans ces deux cas la suite (an) est identiquement nulle et R = oo . /i) Remarquons que la suite (an) est bien définie pour n > 0, car \/3 n'est pas rationnel. On a ici pour tout n G N* , ^/|an| ^ 1, donc R ^ 1. Montrons .# = 1. Soit n G , et m 6 N l'entier le plus proche de ny/3, on a donc l'encadrement m — 1 /2 ^ n \/3 ^ m + 1/2 . On en déduit : ,V3- m |3n2-ra2 1 1 — J ^ ^ n m n \/3 + ra 2n a/3 + 1/2 car 3n2-m2 est un entier non nul. Pour tout xG [—1/2,1/2] on a l'inégalité (de convexité) |sin7rx| ^ 2 |x| , et donc en particulier pour x — n y/3 — m ; on obtient donc : sin(n7r\/3) = sin((n y/3 — m) 7r) Nous en déduisons : n m 1 71x73 + 1/4 VnG |an| ^n\/3 + l/4 . Le rayon de convergence R majore donc le rayon de convergence de la série 5^(2 n y/3 + 1/4) zn qui est 1. Nous en déduisons finalement R = 1. Exercice 3 Soit S = J2anXn G C[[X]], avec (Vn) an ^ 0. On suppose que pour un entier p 5? 2 et des nombres complexes /i,... ,/p convenables, on a : (Vi€[l,p]) ► ûpn+i-1 n-*°° Calculer le rayon de convergence de S en fonction des U . ■ Soit i G [l,pfl , on a : apn+i _ apn+i apn+l ap(n-l)+p &p (n- &pn+i—p apn+i-l flpn ap(n— l)+p— 1 a p (n-l)-f-i donc : pn+i Xpn-H—p l{ . . . Il lp ... /^-f-l — l\ , . . lp . Montrons que le rayon de convergence R de la série entière S est
6 Chapitre II Séries entières Soit r > 0 , tel que 0 =^ rp \h ... lp\ < 1. Pour tout i G [l,pj ,ona: \apn+i-p\ rPn+i-P n-+oo \h...lp\ rp <1 . Nous en déduisons que la suite (|apn+i| rpn+ï)nÇ^ est bornée. Ceci étant vrai pour tout i G [l,pj , nous en déduisons que la suite (|an| rn) est bornée, et que par conséquent r ^ R. Soit maintenant r > 0 tel que rp \l\...lp\ > 1. On a alors pour tout |/i...g rp>l Aucune des suites (|apn+i| rpn+*)n€N n'est bornée, et a fortiori, la suite (l^nl rTl) n'est pas bornée. Nous en déduisons r ^ R. Si l'un des U , où iG [l,p] , est nul, il est clair que R — +oo ; sinon on voit que R = l/^\h...lp\. Exercice 5 : Soit S = Ylan Xn G C[[X]] , de rayon de convergence R . Trouver le rayon de convergence des séries formelles suivantes : a) £(a„)pX" (p€N,p^2) 6) £a«*np (p e N, p s* 2) c)Ea„P" (pëN,p>2) d) 1 + |a„| e) X>« cos n (9) X" (0 € tt Q) /) £(an sin n 0) Xn (6 e tt Q) 5) si R>0, Y,—,Xn ■ Le rayon de convergence de la deuxième série entière sera noté R'. a) Soit r G R+ , la suite (|an|p rn) est bornée si, et seulement si, la suite (\an\ rn/p) est bornée. Nous en déduisons R' = RP . 6) Soit r G R+ . Si rp > R, la suite (\an\ rnp) n'est pas bornée, donc r ^ R! \ nous en déduisons </R ^ R! . Si rp < R, la suite (|on| rnp) est bornée, donc r ^ R! ; nous en déduisons v^R ^ -R' . En conclusion R! = c) Supposons d'abord # > 0 ; il existe alors un réel p > 0 tel que la suite (\an\ pn) soit bornée. Pour tout r G R, tel que 0 ^ r < 1, on voit
II.l Rayon de convergence 7 facilement que r^p^ < pn pour n assez grand, et par conséquent que la suite (|an| r^pT^) est bornée; nous en déduisons R' ^ 1. Supposons R < +00 ; il existe alors un réel p > 0 tel que la suite (|an| pn) ne soit pas bornée. Pour tout r G IR, tel que r > 1, on voit facilement que r(pn) > pn pour n assez grand, et par conséquent que la suite (|an| r^pTl^) n'est pas bornée ; nous en déduisons R' ^ 1. On voit donc que si 0 < R < +00 , alors R' = 1. Si = 0, ce qui précède prouve Rf ^ 1 ; si R = +00 , on a iî' ^ 1. La remarque suivante prouve que dans ces deux cas, R' n'est pas déterminé par R. Soit e R* , si pour tout n G N, an = R''^^ , alors la série entière Yj o>n Xp" a pour rayon de convergence R', et la série entière Y an Xn a pour rayon de convergence 0 si R' < 1 et +00 si R* > 1. d) On a pour tout n G N les inégalités : 1 + an et 6n ^ 1 . Nous en déduisons R' ^ R et ^ 1, d'où i?' ^ sup {1, R} . Supposons i2; > sup{l,i?} ; la série 53&n est alors convergente, d'où bn —> 0 , et comme pour tout n G N : n—+00 a™ = l-bn nous en déduisons bn ~ |an|, et finalement R = R' ,ce qui est contradictoire. On a donc l'égalité i?' = sup {1, R} . e) y) Notons .R' le rayon de convergence de la première série entière et R" le rayon de convergence de la seconde. On a bien sûr Rf ^ R et R" ^ R, mais comme pour tout n G N : |an cos n6\ + |an sin n6\ ^ |on| , on voit que R' > R et R" > R est impossible. L'un des deux rayons est donc R. g) Soit p un réel tel que R > p > 0 (# > 0). La suite (anpn) étant bornée, il existe un réel B > 0 tel que pour tout n G N : B
8 Chapitre II Séries entières Pour tout réel r > 0 on a alors, pour tout n eN : n! n! \/v B ( v \ n La série —r ( - ) étant toujours convergente, on en déduit R' = +00 . n! V PJ Exercice 9 : Soit S = J2anXn G C[[X]], de rayon de convergence R, avec n 0 < R < 4-00. Pour n G N , on pose : Sn = £ °>k Xk . Si k=0 zo G C* , trouver le rayon de la série formelle Sn(zo) Xn . ■ Nous noterons R' le rayon de convergence recherché. Montrons R' ^ R/ \z0\. Soit r un réel tel que 0 < r < R' (s'il en existe). La suite (Sn(zo) rn) étant bornée, il existe un réel B > 0 tel que pour tout n G N : \Sn(zo)\ ^ | • Nous en déduisons, pour tout n > 0 : La suite (|an| (|zo| r)n) étant bornée, on a \zo\ r ^ R. Nous pouvons en déduire l'inégalité R' ^ R/ \z$\ . Nous recherchons maintenant une minoration de R'. _ Supposons d'abord |zo| < # ; on a alors Sn(z0) —> S^o) • n—►00 Si S^o) 7^ 0 » d'après la règle de d'Alembert, = 1 ; remarquons que ce n'est pas en contradiction avec la majoration trouvée. Supposons maintenant S(zo) = 0 . On a alors pour tout n G N : 00 00 fc=n+l /c=n+l Soit r un réel tel que \zo\ < r < R ; puisque la suite (anrn) est bornée, il existe un réel B > 0 tel que pour tout n G N :
II.l Rayon de convergence 9 Nous en déduisons, pour tout n G N : |S„(*o)|< J2 B B \z0\ r-\zo\ [fol r Comme la suite |5n(^o)| i—fn ) est bornée, r/\zo\ ^ R' • Ceci étant vrai V \zo\ J pour tout r G ]|zo|, R[, nous en déduisons R' ^ R/ \zq\ . Supposons maintenant \zq\ ^ R. Soit r > 0 un réel tel que r |^o| < -R (et par conséquent r < 1 ). La suite (|an| (r |^o|)n) est bornée, et il existe par conséquent un réel B > 0 tel que pour tout n eN : ' ™ (r \zo\)» Nous en déduisons que pour tout n G f^J : 5 |Sn(*b)|r*^r»£; 1 -r On a donc r ^ R'. Ceci étant vrai pour tout r > 0 et r < R/ \zq\ , nous en déduisons encore l'inégalité R' ^ R/ \z$\. R ~ Conclusion : On a l'égalité R! = -—-, sauf si \zo\ < R et que S(zo) ^ 0, \zo\ auquel cas R' = 1. Exercice 10 Soit (an)nS5i une suite dans R* telle que la série Yan/n converge. Trouver le rayon de convergence de la série formelle £(ai a2...an)r.i Posons so = 0 et pour tout n > 0 : Sn = ai + — + ... + — • 2 n La suite (sn) est convergente. On observe que pour tout n > 0 , an = n (sn — sn_i) , et par conséquent : ai 4 ... 4 an _ si 4 2 (s2 - si) + ... 4- n (sn - sn_i) _ -Si - s2 ... — sn_i 4nsn so 4 si 4-... 4- sn_i n
10 Chapitre II Séries entières D'après le théorème de Cesaro appliqué à la suite (sn)neN ' ai + ... + qw ^ Soit r G R* , il existe un entier N tel que pour tout n ^ N, on ait l'inégalité : ai + ... + on 1 n r En utilisant l'inégalité arithmético-géométrique, nous obtenons : ai ai... an ai 4-... 4- o»n On a donc, pour tout n ^ N , l'inégalité ai a2 ... an rn ^ 1. La suite (ai a2 ... an rn) est donc bornée. Ceci étant vrai pour tout r > 0 , nous en déduisons que le rayon de convergence cherché est 4oo . Exercice 13 : (_l)Ent(\/^) Montrer que la série formelle ^ Xn a un rayon de convergence égal à 1, que la série entière associée converge en tout point du cercle d'incertitude, mais qu'elle n'est absolument convergente en aucun point de ce cercle. ■ Il est clair que le rayon de convergence de cette série entière est 1, et qu'elle n'est absolument convergente en aucun point du cercle d'incertitude, puisque pour tout n ^ 1 : (_l)Ent(v^) I Montrons maintenant que pour tout 0 G R , cette série entière est convergente Rappelons le principe de la transformation d'Abel. Soient (un) et (vn) deux n suites réelles ou complexes. On pose pour tout n G N, sn — ^ uk ; on a k=0 alors uq — so , et pour tout n > 0, un = sn — sn_i . Pour tout n > 0 on a l'égalité suivante : u0 vo 4- ui vi 4 ... 4 un vn = s0 vo 4- (si - so) vi 4 ... 4 (sn - s„_i) vn = = S0 (Vo ~ Vi) 4 . . . 4 Sn_i (vn-l - Vn) 4 Sn Vn •
II.l Rayon de convergence 11 On en déduit de manière la plus générale que si la suite (snvn) est convergente de limite L, et que la série Ylsn (vn — ^n+i) est convergente de somme S , alors la série ]T un vn est convergente de somme S + L . Supposons d'abord e1 9 ^ 1. Posons pour tout n > 0 : /_-,\Ent(Vn) un=ein° et vn = ( lj n On peut convenir u$ — vo = 0. On sait que la suite (sn) est dans ce cas bornée. On en déduit facilement sn vn —► 0. Montrons que la série n—►oo Y\vn-vn+\\ est convergente, nous pourrons, d'après ce qui précède, en déduire que la série Yl sn (vn — Vn+i) est absolument convergente. Pour tout entier n > 0 on a 1 1 \vn - vn+i\ = n n 4 1 sauf si n est de la forme n = p2 — 1, auquel cas : . 11112 \vn - vn+i\ = - + ——- = —- 4- -j . n n4-l n n4l pz 2_ ~2 * On voit donc que la série Y \vn — vn+\\ est convergente et que : V K ~ Vn+l| = ( --TT ) + Y) 4 = 1 + X] • n>0 n>0 x 7 p>0 ^ p>0 ^ D'après ce qui a été dit plus haut, la série ^ un vn est convergente. Supposons maintenant e1 6 = 1. Posons pour tout n > 0 : un = (-l)Ent(^) et «n = - . n On convient no = vo = 0. Majorons la suite (sn). Pour tout p e N* on pose xp = sp2 _ x . On obtient : (p+i)2-i zp+1-zp= Yl (-l)P = (-l)P((P+l)2-P2)-(-l)P(2p+l). Nous en déduisons : xp+2 - xp = (-l)p+1(2p + 3) + (-l)p(2p + 1) = 2 , d'où x\ = so = 0, X3 = 2 , £5 = 4, et pour tout k ^ 0, a;2fc+i = 2 A: ; on trouve aussi #2 = #i — 3 = — 3, £4 = — 5, et pour tout k ^ 1, #2fc =
12 Chapitre II Séries entières -2k-1. Soit maintenant n > 0 et p entier tel que p2 ^ n < (p -f l)2 , on a alors : n sn=xp+ ^(-l)p = xp + (-lHn-p2 + l) . k=p2 Si p est pair, on a l'encadrement : -p = -p - 1 + 1 ^ sn ^ -p - 1 -h ((p + l)2 - p2) = p , et si p est impair : -p - 2 = p - 1 - ((p + l)2 - p2) ^ sn ^ p - 1 - 1 = p - 2 . Nous en déduisons que dans tous les cas |sn| ^ p H- 2 ^ y'n -f 2 . Il est alors clair que la suite (sn vn) est convergente (de limite nulle), et que la série Y sn (vn — i>n+i) est absolument convergente. La série ^2 un vn est donc convergente (transformation d'Abel), ce qu'il fallait démontrer. Exercice 16 : ^ _. , , \z (1 — z)l4 Pour n g f^J, on pose un(z) = a) Etudier la convergence simple et uniforme dans C de la série de fonctions Ylun(z) (on exécutera un croquis). b) On développe chaque un(z) par la formule du binôme: un(z) = bk zk . Soit S la série entière Y bk zk . Mon- 4nssfc«s2.4n k^1 trer que RCv(S) = 1. Comparer avec les résultats du a) (phénomène de "supra-convergence"). c) Montrer que la série entière S diverge pour z — —\ et converge pour tout zgU \ {—1} . ■ a) Soit z e C fixé ; si \z\ |1 — z\ ^ 2 , la suite (un(z)) n'est pas de limite nulle et la série J2 un(z) n'est donc pas convergente ; si \z\ |1 - z\ < 2 , il est clair que la série ^wn(z) est absolument convergente. L'ensemble des complexes z du plan d'Argand-Cauchy tels que \z\ |1 — z\ < 2 est l'intérieur de l'ovale de Cassini, ensemble des points du plan dont le produit des distances aux points 0 et 1 est 2.
II.l Rayon de convergence 13 y Si la convergence de la série est uniforme sur le domaine D, elle est aussi uniforme sur l'adhérence de D (critère de Cauchy uniforme), la convergence est donc simple en tout point de D, d'où D C {z G C | \z\ |1 — z\ < 2}. Inversement, si cette condition est vérifiée, le maximum sur D de la fonction continue z i—► \z\ |1 — z\ est atteint en un point de D (compacité) ; ce maximum est donc < 2 ; il est alors clair que la convergence est uniforme sur D . Les parties de C sur lesquelles la convergence est uniforme sont donc les parties dont l'adhérence est incluse dans l'intérieur de l'ovale de Cassini. b) Pour n eN fixé, on a l'égalité : -m-£:£(î)<-i>*«*- e h=0 x 7 k=4n v 7 Pour k e N fixé, s'il existe un entier n tel que 4n ^ k ^ 2 • 4n , alors cet entier est unique et on pose : dans le cas contraire, on pose bk = 0. Remarquons &o = 0 » &i = 1/2, 62 = —1/2 , 63 = 0 . Pour n G f^J et z G C , nous noterons : n
14 Chapitre II Séries entières Soit z G C , on voit que pour tout n eN : 2 4n n 5>iwfc = £ k=0 m=0 Si |z| < 1, alors \z\ (1 + < 2, et il est clair que ces sommes partielles sont majorées ; la série Y2 bk zk est donc absolument convergente. Nous en déduisons R ^ 1. Pour z e C quelconque, et pour tout n eN on a : *(l-*)j4W 2 En particulier pour z = — 1 : ;[>** = è(-ir = -i+èi=»-i. k=0 m=0 m=l La série Y^bkZk n'est donc pas convergente en —1. Nous en déduisons R ^ 1, et finalement R = 1. Si |z| |1 — z| < 2 et |z| > 1, la suite extraite (s2-4™ (z))nen est convergente, mais la série entière n'est pas convergente. Le cas \z\ = 1, z ^ — 1, est résolu dans la question suivante. A (i + l*|) 2 c) Nous avons déjà vérifié que la série entière n'était pas convergente pour z = — 1. Si z e U \ { — 1} , alors \z\ |1 — z\ < 2 et la suite (s2-4«(*)) est convergente. Intuitivement, il reste à démontrer que les sommes partielles à l'intérieur des "paquets" de la série sont (uniformément) de limite nulle, notion à préciser évidemment. Nous poserons z — — eîd (#£R), e1(9^l. Soit m G N , on pose pour q G [0, 2 m] : Majorons les modules de ces sommes. Posons pour tout n eN : k=0
II.l Rayon de convergence 15 \°»n*\«B\2^)-l)«2BKq Si q > m , on a l'égalité : &2rn,q = -*('-(ï))*-+MU")-£))+ 9 Nous en déduisons la majoration : ^-(i2:)-)-((2:)-(T))-(T)^(2: On a donc pour tout q G [0,2m]] : La formule de Stirling nous donne l'équivalent : 2m\ (2m)2me-2mv/4ïm 22m i r^i n^j —=== m J m2me~2m27rm Jixm Il existe donc un réel C, qui ne dépend que de 0 , tel que pour tout m > 0 et tout q G [0, 2 m] : On sait que la suite (Sn) est bornée; soit B G M tel que pour tout n G N, \Sn\ ^ B . Rappelons enfin que la suite ((2™))fc(E[0 2mj est d'abord croissante de 0 à m puis décroissante de m à 2m. Pour g G |l,2ra] on a l'égalité : 02m* = So + (^) (Si - So) + ■ ■ ■ + (2^) (Sq - 5,_i) = -*(i-cr))-^.(c*"0-(r))+cr)*- Si q ^ m , on en déduit l'inégalité : '2m\ \ _ /2m
16 Chapitre II Séries entières Revenons au problème principal. Soit p G N, tel que 4n ^ p ^ 2 • 4n ( n > 0 ). On a alors pour z = —el° l'égalité : z4n P~*n /4n\ z4" Avec les notations précédentes, on en déduit la majoration : 1 C \sp(z) - s2.^-i{z)\ ^ C /4n 2n D'autre part, si 2 • 4n < p < 4n+1, alors sp(z) — S2-4"(*) = 0- Comme la suite (s2-4™ (*))n€N est convergente, on voit que la suite (sp(z))pe^ est convergente, ce qu'il fallait démontrer. § ii.2 FONCTION DEFINIE PAR UNE SÉRIE FORMELLE CONVERGENTE Exercice 1 : Donner la somme des séries entières suivantes dans leur disque de convergence : a) Y (cospnO) zn ( 0 G (R,p G ) c) e n3*i fcn + r ( /c G N*, r G [1 -fc,fc- 1] et ici zeU) d) £(-l)n<7nX2",avec <rn = £ i ^ e^|^n,où Q(X) = (X-r1)...(X-r,) avec q e et H < ^2 < • • • < rq , les Ti G Q , et P G Cg_i[X] ; (si nécessaire, on se bornera à z réel). ■ La série formelle sera notée S = J2an Xn , et son rayon de convergence R. a) On a ici pour tout n G N, |an| ^ 1, donc i2 ^ 1. Comme d'autre part la suite (cosp (nô))neN ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini (cf.§11.1 Exemple 3), la série J2an ln n'est P85 convergente, d'où R = 1.
IL 2 Fonction définie par une série formelle. 17 cosp x = Y2 ^k cos ^ x ' k=0 on a alors, pour tout z g c tel que \z\ < 1 : oo P \ 00 £ anzn = ^ ^ ^ (eikndzn + e-[knezn) n=0 fc=0 n=0 _ e>kez l-e~ïkez k=0 x en réduisant au même dénominateur on obtient facilement : p Y2<*n zn = J2XkTz 1 — cos(kO) z . 2 cos(fc0) z + z2 ' 6) le rayon de convergence est ici R = -foo. en reprenant les notations précédentes, nous obtenons : \ °° '\kn 6 ~n i „ —i knô ~n Afc \—> e Z -f e Z k=0 P n=0 fc=0 n=0 53^(exp(eifc*z)+exp(e-ifc*z)). c) d'après la règle de d'alembert le rayon de convergence est 1. posons pour tout t g [0,1[ : ip(t) = rs(tk) = Y,± n k+r nk -f r on voit que <^(0) = 0 , et que pour tout t g [0,1[ : tk+r- vf(t) = j2tnk+r~1 = e~l\ d'où, pour tout te [0,1[ _ tk l-tk ' pour p e N* posons, pour tout x g R (linéarisation) :
18 Chapitre II Séries entières et pour tout x G ]0,1[ : t rx1/k Tk+r-l On peut calculer cette intégrale, puisque c'est l'intégrale d'une fraction rationnelle dont on connaît les pôles. Posons pour tout t G [0,1[ : / i \n +n k+r ,(t)=^<-(.)=£fci^_. On voit que -0(0) = 0 , et que pour tout t G [0,1[ : t/,'(t) = Vt-iw^-1 = e-1 -^r = J^l. m v\) ) 1+tk 1+tk D'où, pour tout t G [0,1[ : pt k+r-l *<«) — /„ tttdt' et pour tout x G ]—1,0[ : On peut calculer cette intégrale, puisque c'est l'intégrale d'une fraction rationnelle dont on connaît les pôles. d) On sait que on ~ log?7- et par conséquent R — 1. Pour tout z G C , tel que \z\ < 1, et tout n > 0 on a : k=0 m=l m=l k—vn D'où: S„(z) = - + m=l \m=l
11.2 Fonction définie par une série formelle. 19 é) On sait que le rayon de convergence est 1. Comme deg P < q = deg Q , et que les rationnels (n,..., rq) sont distincts, il existe des complexes (Ai,..., \q) tels que (décomposition en éléments simples) : On est donc ramené à calculer, pour z g C, \z\ < 1, des sommes de séries de la forme >^ où p g Q . ^ n - p T Soit p g Q, posons p = d + - , où d eZ, k e et re[0,k-ll. Avec A: ces notations on a : °° zn-d 00 zn-d 00 zm 00 n — n ' ri. — d — r /k —' m. — r lk. ' ^—' n — p n — d — r lk ^-^ m — r/k ^—' km — r n=d+l n=d+l ' m=l ' m=l Comme rg [0, fc — 1] nous pouvons utiliser le c) pour obtenir le résultat. Exercice 3 : Trouver un équivalent quand x tend vers -f oo , de : /w-E(» + ;) n=l N 7 n ! On a la relation : n'z Log ( 1 + - ] - n2 ( - - -ij + -ij + o Nous en déduisons : n/ \ 2 3n \ ™ / / Ve v 3 n v n Comme an z2 71 —► 0 , on en déduit l'égalité : n—►oo ÔM„ 1 ~ (-1)"^" -Log(l + *2) n=l Voir le chapitre III.3 pour la définition du Logarithme d'un nombre complexe.
20 Chapitre II Séries entières Ecrivons pour tout n G 14- n (1 + wn) , comme un ~ -— , il existe un réel K > 0 tel que pour tout n G N*, 3n K \Un n + 1 est +oo. Pour tout x > 0 on a : . Il est alors clair que le rayon de convergence de la série entière x'" ^ en xn ^ en Un xn v n=l v n=l v n=l v Nous en déduisons : e"-l V5 if y, (ex)" e" - 1 ex e o(eex - 1) . On a donc la relation : Exercice 4 : Soit / = ^2 an zn une série entière de rayon de convergence R > 0 , les an étant non tous nuls pour n ^ 1. Pour r G [0, R[, on pose : I{r) = ± fj\f{ré°)\*Ae. oo a) Montrer que /(r) = ]T |an| r2n . En déduire que I est de n=0 classe et strictement croissante sur [0, R[. b) Pour u G ]—oo,Logi?[ on pose (p(u) = Log(i"(eu)). Montrer que (p est croissante et convexe. c) Trouver lim (^(^)) Qn notera X( /*) cette limite. d) On suppose < +oo et f bornée sur le disque 2)Cv(/) = {z G C | |z| < . Soit M un majorant de |/| sur 2)cv(/) (M G R+ ). Montrer:
11.2 Fonction définie par une série formelle. 21 (Vre[0,tf[) J(r)^M2 (1 xU) La série entière sera notée S, et la fonction associée à 5 sur son disque de convergence /. Pour tout n e N et tout z G C, on posera Sn(z) = n a) Soit r G [0,i?[ fixé. Posons M(r) = J2 \ak\ rk > et Pour tout neM, oo Pn(^) = ]c rfc ; on a bien sûr pn(r) —► 0 . Pour tout 6 G R et pour tout n G N : |Sn(reitf)|^^|afc|rfc^M(r), et par conséquent |/(rel6>)| ^ M(r) . Nous en déduisons : |/(reie)|2-|5n(rei0)|2 ^ *(\f(rei0)\ + \Sn(rei9)\)\\f(rei9)\ - \Sn(reie)\ ^ ^2M(r) \f(reie)-Sn(rei9)\^2M(r)pn+1(r) . La suite de fonctions de 0 : ^|Sn(reI0)|2^ est donc uniformément convergente vers la fonction ^|/ (r el6>) |2^ . Nous en déduisons : de Pour tout n e N on a l'égalité : f'2 7t _ p2 7t / " \Sn(réd)\2dO= f *Sn(reie) Sn(reiS) d6 = Jo Jo = *hôkrhrk j2\^h-k^6de = 2^Yj\ak\2 r (/i,fc)g[0,nl2 0 k=0 On obtient donc en passant à la limite l'égalité demandée : j(r)=àj[a'i/(re^)ia<w=ê0|ofc 2 r2k
22 Chapitre II Séries entières La série entière Yl \ak\2 z2k ayant pour rayon de convergence R , il est clair que l'application r I(r) , définie sur [0, R[ est de classe . Cette application est aussi strictement croissante, car les coefficients \ak\2 sont tous ^ 0 , et ne sont pas tous nuls pour k > 0. b) L'application / est à valeurs dans R+ , et comme elle est strictement croissante, on en déduit I(r) > 0 pour tout r G ]0, R[ ; cela justifie la définition de la fonction tp. L'application cp est strictement croissante car composée d'applications strictement croissantes. Montrons qu'elle est convexe en prouvant (p" ^ 0 . Pour tout u G ]—oo, LogR[, on a : e"/'(e") En dérivant et en posant r = e" , on obtient : „, . rr(r)I(r)+r2I"(r)I(r)-r2r2(r) V («) = • Pour tout r G ]0, R[, on a : oo oo I(r) = ^2\ak\2 r2k d'où r J'(r) - ^2k \ak\2 r2k , /c=0 /c=0 et: oo r2I"{r) = J22k(2k-l) \ak\2 r2k . fc=0 Nous en déduisons, en application de la proposition IL2.1 (II) (produit de séries entières convergentes) que : rI'(r)I(r) = Y/( £ 2 k \ak\2 \ahf ) r2" , 71=0 \fc + fc=7l / que : r2/"(r)/(r) = £ £ 2fc(2fc - 1) |afc|2 \ah\2 r2" n=0 \/i+fc=n / et que : oo / (r/'(r))2 = £ ^ 2A2fc|afc|3 71=0 \h+k=n
II. 2 Fonction définie par une série formelle. 23 = \ H (k-h)2\ak\2\ah\2 . h+k=n L'application cf" est donc 25 0, et l'application (p convexe. c) En posant u = Log r on voit que la limite cherchée est : lim u—► — oo u Cette limite, finie ou infinie, existe bien car la fonction (p est convexe et a une direction asymptotique ( u —* — oo ). Soit p le plus petit entier > 0 tel que ap ^ 0. On peut alors écrire pour tout r G [0, R[ : I(r) = \a0\2 + \ap\2 r2*> J(r) , où J est une fonction continue et J(0) = 1. Si ao ^ 0, il est clair que : Log(/(r)) Logr r—o dans le cas contraire on obtient : Log (J(r)) Log(|ap|2 J(r)) Log r Log r r-»o Dans tous les cas on a donc : Log(J(r)) Log r r-*o 2 val 5= X(/) . Nous obtenons donc : I2(r)(p"(u) = f^( (2k + 2k(2k-l)-2h2k) \ak\2 \ah\2 ) r2n .= n=0 \h+k=n / = 4E( E fc(fc-^)l«fe|2K|2)r2n. n=0 \h+k=n / Les coefficients qui interviennent ici sont positifs, en effet, pour tout n eN : J2 k(k-h) M2 M2= 53 h(h-k) |afe|2 K|2 = h+k=n k-\-h=n
24 Chapitre II Séries entières d) En utilisant la définition de I(r), on voit que pour tout r G [0, R[, I(r) ^ M2 (d'où M > 0). On a donc pour tout u G ]-oo,Logi2[, </?(îz) ^ 2 Log M. La fonction ip est croissante, elle a donc une limite L^2 Log M , quand tend vers Log R par valeurs inférieures. On peut donc la prolonger sur l'intervalle ]-oo,Logiî] par une fonction (p , continue, croissante et convexe, telle que £>(Log R) = L . La fonction (p étant convexe la fonction : ip(u) — L u i—► —— , u — Log R est croissante sur l'intervalle ]—oo,Logi?[. Nous pouvons en déduire en particulier qu'elle majore sa limite en — oo qui est par définition X(f). On a donc, pour tout u G ]—oo,Logi2[ : u-Logfl ' ' soit encore, puisque u — Log R < 0 : ¥>(«) « X + (u - Log R) « 2 Log M + X(/) (u - Log R) . Nous en déduisons, pour tout r € ]0, R[ l'inégalité : Log (/(r)) « 2 Log M + X(/) (Log r - Log R) , d'où: (s)*"- Par continuité cette égalité est vérifiée pour r = 0 (si X(f) = 0, il faut convenir 0° = 1 ). Exercice 7 a) soit (an)n€n une suite dans (R* telle que le rayon de convergence de T = e an Xn soit égal à 1 et que la série an soit di- Q vergente. Soit (cn)n€^ une suite dans C telle que — —► À G an n-»oo C . Que peut-on dire du rayon de convergence de U = e Cn Xn ? oo Prouver que 71=0 e Ont» t-l 71=0 a. b) Applications: 1 ^ xn bl ) En admettant que Log = > — pour tout x réel 1 - x ^—' n 71=1
II.2 Fonction définie par une série formelle. 25 tel que |x| < 1, donner un équivalent simple lorsque a—>1 ( a e ir), de l'intégrale: /(a) r1 ck_ Jo v(i-*2)(i v(l-*2)(1-A2*2) ' 62) si a > 0 , montrer l'existence de / € r* tel que : na-ltn l.\ \n=l t -> 1 a) soit pour tout n E N an g c tel que cn = àn an ; comme àn —► à , n—>oo la suite (an) est bornée, et on en déduit RCV(U) ^ RCV(T) = 1, d'après la proposition ii. 1.4 ; il y a même égalité des rayons de convergence si a ^ 0. montrons maintenant f(t)= e antn —> +°° • comme pour tout n g n, n=0 f<i an > 0, il est clair que la fonction / est croissante sur ]0,1[. elle a donc une limite lorsque t 1, finie ou infinie. si cette limite L était finie, on aurait alors, pour tout t g ]0,1[, et pour tout N e N : N n=0 < N donc pour tout N e N , en passant à la limite lorsque t —> 1 : e an ^ L . n=0 la série e an serait convergente, ce qui est contraire à l'hypothèse. on a donc L = -f oo . pour tout t g ]0,1[ on a l'égalité : e Cntn n=0 e(An-A)ontn /(*) — à = n=0 /(*) soit M un majorant de la suite (|àn — à|). pour tout e > 0, il existe un entier N tel que : (vn > at) |an - a| ^ e/2 . pour tout t g ]0,1[, on a l'inégalité : N e|an-a|anr M^antn+e/2 e «n^ n=0 n=0 n=AT+l N e «n^ /(*) /(*) M n=0 /(*) + e/2 .
26 Chapitre II Séries entières Comme /(£) —> +00, il existe un réel a, a < 1, tel que pour tout t e ]l-a,l[ : N e "ntn n=0 < e/2 , M- /(*) d'où: n=0 00 e «ni" n=0 -A e |A„-A| antn 71=0 Ht) < € On a donc bien : 00 e Cntn n=0 00 > ' n=0 61) En faisant dans l'intégrale le changement de variable t = costp, où cp G [0,7r/2], on obtient pour tout À G ]—1,1[ : r12 _i/9 I(X) = / (l - À2 cos2 (/?) ' dy>. Pour tout x G ] —1,1[ on a (1 — x)-1/2 = anxn , où ao = 1, ai = 1/2, n=0 et pour tout n > 0 : _ 1 -3...(2n- 1) a™ — 2nn\ la convergence de la série étant uniforme sur tout intervalle de la forme [—r,r] , où r G [0,1[. On en déduit que pour tout À G ]-l, 1[ : /(A) = VA2nan / cos2n<pdtp. n=o J<> On sait que (intégrales de Wallis) pour tout n G N : r/2 2n J 1 .3...(2n-1) tt (2n)! tt 1 tt x cos vd* =—2^—r^r^r On a donc : /.tt/2 ^n / < 70 cos2 n cp dcp > 1 7t 1 7rn 2 2n 2n + 2
11.2 Fonction définie par une série formelle 27 D'après le a), on a donc : rm A2" iLogO-A2) 1 ^-^ = -2 * A< -2L°g(1-A) • A —* 1 n=0 A —> 1 62) Pour tout t G ]-l, 1[ on a: oo n=0 où ao = 1 et pour tout n G M* : a(a + 1)... (a + n — i) n ! On sait que : n*n! r» , a (a + 1) ... (a -f n) n—oo (cf. tome 2 du cours, formule (5) du § VIII.4.). Nous en déduisons : „a-l n n—>oo T(a) La série entière T = ^2anXn vérifie donc les hypothèses du a). Posons co = 0 et pour tout n G N* , cn = na-1 . D'après le a) on a : oo oo Dent" E^Q_1*n n=0 _ n=l . p(a) ^ n=0 d'où: n=l Exercice 10 : On donne g G C avec \q\ < 1. Pour z G C on pose f(z) = oo n (1 - qn z), ce qui a un sens car le produit infini écrit est n=l absolument convergent (cf. tome 2, §IX.6). a) Vérifier : (l-qz) f(q z) = f(z).
28 Chapitre II Séries entières b) Montrer que s'il existe S g C[[X]] , S = e an Xn , telle que f(z) — S(z) pour tout z, on a nécessairement : ao = 1, qn(n+l)/2 a" = (i-g)...(i-gn) pour n* 1 • n(n+l)/2 c) Soit S = 1 -f e ("l)n n \ n *n . Vérifier que Rcv(S) = +oo . Calculer lim S(qn z) pour z g C fixé. Donner n—►oo une relation entre S(z) et S(qn z), et en déduire que 5(z) = /(z) pour tout z g C (donc / est une fonction entière, c'est- à-dire la somme d'une série entière de rayon -f oo ). ■ a) On a pour tout z g C : oo oo (l-qz)f(qz) = (l-qz) - qn+1 z) = \\{\ - qm z) = f{z) . n—1 m=l b) Dans les conditions de l'énoncé, d'après le a), on a pour tout z g C : oo oo oo (1 - qz) f(qz) = (1 - qz) ]t an qn zn = £ <zn g» *» - £ a„ qn+l zn+1 = n=0 n=0 n=0 oo oo - a0 4- E (a« ~ an-i) Qn zU = f(z) = E an z" ' n—1 n=0 Il y a identité des coefficients des séries entières, on a donc pour tout n g , (an — an_i) qn = an , soit encore : g- an — an_i gn - 1 Comme ao = 1, on en déduit que pour tout n g N* : nn nn-l 0 n(n+l)/2 " (qn-l)(q"-l-l)...(q-l) ( ' fi (1 _ gk) k=l ce qu'il fallait démontrer, c) On vérifie : |an_i| l-gn
II. 2 Fonction définie par une série formelle. 29 comme S est continue et que \q\ < 1, il est clair que pour tout z e C fixé, S(qn z) —► 5(0) = 1 . d'autre part, les coefficients (an) ont justement été n—►oo déterminés de telle sorte que pour tout z G c , S(z) = (1 — qz) S(qz). on a donc pour tout n G : S(z) = (l-qz)(l-q2z)...(l-qnz)S(qnz) . on en déduit, en faisant tendre n vers 00 : S(z)=Y[(l-qnz) = f(z), ce qu'il fallait démontrer. 71=1 Exercice 12 pour n G n , on pose : pn = card {(ai,... ,an) G Nn \ ol\ 4 2a2 4-... 4- nan = n} , et S — 1 4 e Vn Xn . pour z G c, |z| < 1, on pose g(z) = 00 1 h (ce qui a un sens car le produit infini écrit est abso- 71=1 ± — Z lument convergent). N 1 a) pour tv G , montrer que çn{z) = Yl ï n s'écrrt (pour 71=1 1 ~~ 2 00 |z| < 1) gN(z) = 1 4 e Pn,N £n ? où les pn^ sont à préciser. 71=1 pour n fixé trouver lim pn n - en remarquant que, si t G TV—►00 [0,1[, 0 < ^ en déduire: (vt G [0,1[), la série S converge au point t et sa somme vérifie S(t) = g(t) ; puis : flcv(5) = l. 6) on fixe z G c tel que \z\ < 1. montrer directement que 00 _ 1 4 e Pn,N zn —► 's'(^) (on considérera le premier membre 71=1 TV—00 comme somme d'une série de fonctions de at), et en déduire: S(z)=g(z).m a) pour tout z G c, |z| < 1 , et tout tv G n* , on a : le rayon de convergence de la série entière S est donc +00 .
30 Chapitre II Séries entières Pour tout k G [1, iV] définissons la série formelle : q=0 D'après la proposition II.2.1 (II) (produit des séries formelles) le rayon de convergence de la série formelle S\ ... Sn est ^ 1, et pour tout z G C, \z\ < 1 , en posant 77n = Si... Sn , on a l'égalité : Si(z)...SN(z) = nN(z) = gN(z) . D'après la définition du produit des séries formelles on a donc, pour tout z G C, \z\ < 1 : oo / \ oo n—0 \qi+2q2+...+NqN=n I n=0 où pour tout n G N et pour tout N G N* : Pn,N = card {(gi,..., qN) G NN | qx 4 2g2 + ... 4- N qN = n} . Supposons N > n ; si (gi,... , gw) G NN et gi 4 2g2 4 ... 4 N qN = n , alors il est clair que gn+i = ... = qN = 0 . On voit donc que si N ^ n alors Pn,N = Pn,n = Pn • Remarquons enfin que pour n fixé, la suite {Pti,n)n€N est croissante, car si N < Nf, l'application : (gi,...,g7v) (gi,...,gN,0,...,0) G NN' , est une injection de l'ensemble : {(qi,-'-,qN)etoN \q1+2q2 + ... + NqN =n} , vers l'ensemble : G N"' | gi 4 2g24...4iV,g^ = n} . Pour tout t G [0,1[, et pour tout N e N* , gN+i(t) = 1 ^ • La suite (gN(t)) est donc croissante et par conséquent gN{t) ^ g{t). Pour tout Ke^J, pour tout N eN* et tout t G [0,1[, on a donc : K ^2pn9Ntn ^gN(t)^g(t) . n=0
11.2 Fonction définie par une série formelle. 31 Pour K et t fixés, en prenant N ^ K (donc n ^ N si n ^ K ), on obtient d'après ce qui précède : K 71=0 La série entière 5 = YlPn Xn est donc convergente en tout t G [0,1[. Pour terminer, comme pour tout n G N et tout N G N* , pn,N ^ Pn i on obtient pour tout N eN* et tout t G [0,1[ : oo oo 9N(t) = J2pn,Ntn ^p„in *= g(t) . 71 = 0 71=0 En faisant tendre N vers l'infini, t G [0,1[ étant fixé, on en déduit : oo 71 = 0 D'après ce qui précède, le rayon de convergence de la série entière S est ^ 1 , mais puisque pour tout n G N , pn ^ 1 (solution nulle), on en déduit RcAS) = 1. b) Soit z G C , |z| < 1 fixé. D'après le a), la série \z\n est convergente. Pour tout k G N et pour tout N G M , on a l'inégalité : oo oo oo n=/c+l n=fc+l n=fc-fl La convergence des séries Y^Pn,N zn vers Qn{z) est donc uniforme par rap- 71 port à N , pour N e N . Comme pour tout k fixé, on a : k k z—' TV—>-oo z—' 71=0 71=0 d'après le théorème de la double limite (cours tome 2, § XII.2.2), on a : oo N—+oo z—' 71=0 On en déduit que pour tout z G C, |z| < 1, S(z) = g{z), ce qu'il fallait démontrer. Exercice 13 : || Soit S = £>nXn G C{X} de valuation ^ 1. On donne
32 Chapitre II Séries entières A g C tel que |A| < 1, et z g C tel que |z| < RCv(S). Montrer ~ oo ^ _ que la série e S(Xk z) converge et que ]T S(Xk z) = T(z), où k k=0 T g C {X} est à préciser et a même rayon de convergence que S.m Soit r g ir tel que 0 < r < RCV(S). Comme la suite (anrn) est bornée, il existe un réel B > 0 tel que pour tout n g N : . i b m ^ ^ • Comme ao = 0 , pour tout z g C tel que |z| < r , on a la majoration : OO | in z\ s(z) ^£ki|.r^£^r = ^ B n=l n=l Soit z € c fixé tel que \z\ < RçV(S). Choisissons un réel r tel que \z\ < r < RCV(S). Pour tout A e c , |A| < 1, et pour tout k € N on a : 5(A *)| ^ £ kl |A| |*| ^ —^ ^ —. n=l La série e z) est donc absolument convergente. k Les majorations trouvées ci-dessus prouvent aussi que pour tout A g C, |A| < 1 , et pour tout z g C , |z| < RCV(S), la famille (an Xkn zn)(n^eN2 est absolument sommable. En intervertissant l'ordre des sommations on obtient l'égalité des sommes : oo / oo \ oo et: fc=0 \n=l oo / oo fc=0 n=l \k=0 / n=l oo n On a donc T = £ —*n • n=i 1 - an Les séries entières S et T ont bien même rayon de convergence car pour tout A g C, |A| < 1 : , , laj 1 - Xn\ '
II.3 Fonction définie par une série formelle (suite). 33 § ii.3 FONCTION DEFINIE PAR UNE SÉRIE FORMELLE CONVERGENTE (suite) Exercice 3 Trouver les séries formelles S e C[[I]] telles que : X2S" + (3X-1)S' + S = 1 Pour chacune d'elles, calculer le rayon de convergence. i Ecrivons cette équation différentielle sous la forme : X2 S" + 3 X S' + S = . * + S' . (l-X)2 Comme : oo 71=0 Les solutions sont les séries formelles ^ an Xn telles que : oo oo oo oo J2n{n-±)anXn + Z ^a„nXn + ^a„r = £(n + l)(l + a„+1)In . 7ï = 2 71=1 71=0 71=0 En tenant compte du fait que n(n — 1) an = 0 si n = 0 ou n = 1, et que n an — 0 si n = 0 , cette égalité s'écrit encore : £[n(n-l)+3n + l]anIn = 71 = 0 oo oo - £(n + l)2 an X" = £(n + 1) (an+1 + 1) X" . 71=0 71=0 La série formelle Yl an Xn est donc solution de l'équation différentielle si, et seulement si, pour tout n G N : (n + l)an = an+i 4-1 . Cette relation s'écrit encore : Qn+i _ &_n 1 (n + 1)! ~ n! (n-h 1)! '
34 Chapitre II Séries entières La série formelle an Xn est donc solution de l'équation différentielle si, et seulement si, pour tout n EN : n\ ~ ôï 1 1 1 1 + tt + r-r + • • • + 1! 2! ni Si ao 7^ e, alors |an| ~ |ao — e| n! et le rayon de convergence de la série formelle est nul. Supposons ao = e. D'après le théorème de Taylor, pour tout n e N* il existe un réel c G ]0,1[ tel que : Nous en déduisons : n! (n + 1)! 1 e <an< n -f 1 n + 1 et par conséquent RCv(S) = 1 • Exercice 5 Pour chacune des équations différentielles suivantes, chercher les solutions formelles S G C[[X]] et préciser celles dont le rayon de convergence est > 0 . a) (x2+x)y" + y'+y = 0 b) x2y"'+4x (x-l) y"-y = 3x + 2 o d) xy" - (x + \)yf + \ y = 0 c) (1 + x)y" + y' = (AgC*).b 1 +x a) L'équation s'écrit : (x2y" + y) =xy" + y' . La série formelle ^ an Xn est solution de cette équation différentielle si, et seulement si : - ^[n(n-l)-fl]anXn = ^[n(n-1 ) + n]anXn~1 - ^(n + l)2an+1 Xn . n=0 n=l n=0 Cette égalité est vraie si, et seulement si, pour tout n EN : n2 — n -h 1 an . (n + l)* "n
11.3 Fonction définie par une série formelle (suite). 35 b) Posons z — y + 3x + 2 , l'équation en z s'écrit : (x2 z'" - 4xz") + (4x2 z" - z) = 0 . La série formelle ^ an Xn est solution de cette équation différentielle si, et seulement si : oo oo ^(n(n-l)(n-2)-4n(n-l))anXn-1 + ^](4n(n-l)-l)anJn = 0 , 71=1 71=0 soit encore, si et seulement si : oo oo ^(n + l)n(n-5)an+1In + ^](4n2-4n-l)anIn-0. 71=0 71 = 0 On obtient donc la condition nécessaire et suffisante : : (Vn eN) (n + l)n(n - 5)an+i -h (4n2 - 4n - l)an = 0 . Pour n = 5 on obtient a& = 0, et pour n ^ 4, on obtient a± = as = a>2 = Q>i = «o = 0 . Le coefficient ae est arbitraire, et pour tout n ^ 6 : _ 4n2-4n-l an+i = ;—, i w ^\ 0/71 ' n(n + 1) (n - 5) Si ae = 0 la série formelle est identiquement nulle. Dans le cas contraire, d'après la règle de d'Alembert, le rayon de convergence de la série formelle an Xn est +oo . Pour obtenir les solutions formelles de l'équation initiale, il suffit d'ajouter 3 X H- 2. Le rayon de convergence des séries formelles solutions de l'équation différentielle de l'énoncé est donc toujours -f-oo . c) En posant z = y', l'équation s'écrit : 2 z' + (xz' + z) = 1+x Les séries entières ^ an Xn sont solution de cette équation différentielle si, et seulement si : oo oo oo £(n + 1) an+l Xn + £(n + 1) an Xn = 2 X^1)" Xn . 71=0 71=0 71=0 D'après la règle de d'Alembert, le rayon de convergence d'une solution (non identiquement nulle) est 1.
36 Chapitre II Séries entières (Vn G N) an+i 4- an n + 1 Posons pour tout n e N bn = (—l)nan . On obtient les conditions équivalentes : (Vn g M) 6n - &n+i = ~4r . n + 1 d'où: (Vn G N*) 6n-60-2 + I + + et an = (-l)n6n. Pour toutes les solutions \an\ ~ 2Logn. On voit facilement que le rayon de convergence de toutes les solutions est 1. Le rayon de convergence des séries formelles solutions de l'équation différentielle formelle de l'énoncé est donc aussi 1 (par intégration). d) L'équation s'écrit : xy" — Xy' = xy' — Xy . La série entière ^ an Xn est solution de cette équation si, et seulement si : oo oo ^(n(n-l)-An) anXn-1 = £(n- \)anXn , n=l n=0 soit si, et seulement si : (Vn eN) (n + l)(n - A) an+i = (n - A) an . Posons pour tout n G N bn — n ! an . La condition s'écrit alors : (Vn G N) (n - A) (6n+i - bn) = 0. La suite (bn) est donc, au moins pour n assez grand, constante, et le rayon de convergence des séries entières solutions est donc toujours +oo . Supposons A ^ M . La condition s'écrit (Vn G N) 6n+i = bn , soit encore (Vn G N) an = . Le sous-C-espace vectoriel des solutions est donc de n ! dimension 1 engendré par la série formelle exp X . Supposons A G N . Les conditions s'écrivent : (Vn ^ A) bn = bx et (Vn > A) 6n = 6A+1 . Cette condition s'écrit : 2(-l)n
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 37 On voit que le sous-C-espace vectoriel des solutions est de dimension 2, engendré par la série formelle exp X et par le polynôme : X X2 Xx 1 + ï! + ^r + - + -ât- § ii.4 FONCTIONS DE VARIABLE REELLE DÉVELOPPABLES EN SÉRIE ENTIÈRE Exercice 3 : 1 1.3.....(2n-l) Pour n G N* on pose an = 2n -h 1 2 • 4 • ... • 2n a) Montrer que la série ]T an est convergente. b) En déduire que les séries entières représentant Arc sint et Arg sh£ sont normalement convergentes sur [—1,1] . Leur somme se prolonge donc par continuité aux points 1 et — 1. Ecrire les égalités numériques ainsi obtenues. ■ a) Posons ao = 1. D'après la formule 10 du § IL4, on a pour tout t G ]-l,l[, l'égalité: oo Arc sin t = t an t2 n . 71=0 Les coefficients (an) étant tous > 0 , on en déduit que pour tout t G ]0,1[, et pour tout N e N* : N t ^2ant2n ^ Arc sin t , 71=0 d'où en faisant tendre t vers 1 par valeurs inférieures : N an ^ Arc sin 1 = — . 71=0 La série à termes positifs Yl an est donc convergente. b) Soit Y bn X2n+l une série entière telle que pour tout n G N , \bn\ = an . Pour tout t G [-1,1] et pour tout n G N , on a l'inégalité: |&n£2n+1| =ss
38 Chapitre II Séries entières an . La série de fonctions bn t2n+1 est donc normalement convergente sur l'intervalle [—1,1] , et converge par conséquent sur [—1,1] vers une fonction continue. Pour tout t G ] —1,1[ on a: oo ^an£2n+1 = Arc sin* , n=0 d'où, d'après ce qui précède, en faisant tendre t par valeurs inférieures vers 1 : an = Arc sin 1 = ~ • n=0 De manière analogue, pour tout t G ] — 1,1[ on a (formule (11) du § II.4) : oo £(-irani2n+1=Argsht, n=0 d'où en faisant tendre t par valeurs inférieures vers 1 : oo ^(-l)n an = Arg sh 1 - Log (l + v^) . 71=0 On obtient les mêmes égalités en faisant tendre t par valeurs supérieures vers —1 car toutes les fonctions obtenues ici sont impaires. Exercice 4 Arc sin y/x Soit / : [0,1[-R, x~ y/x(l -X) d) Expliquer pourquoi / est DSEo . b) En utilisant une équation différentielle simple vérifiée par / , trouver son développement et l'ensemble de validité. c) Si S — Tf , donner l'expression de S sur ]—1,0[ à l'aide de fonctions usuelles. ■ d) Posons comme dans l'exercice précédent ao = 1 et pour tout n G 1 l-3-...-(2n-l) „ lrt . „, , n = --——— — - . Pour tout x G JO, 1[ on a 1 égalité : 2i tl ~\~ 1 2*4*...*2 7% Arc sin y/x V 71=0
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 39 (2n + 1) •... - 3 (2n + 1)! .A.rc sin \/x Posons pour tout x G ]0,1[ g(x) = -= et #(0) = 1, de telle sorte yJX que g soit continue sur [0,1[. Pour tout x G [0,1[, on a : oo 9(x) = 0/71 x" ' 71=0 La fonction g est par conséquent développable en série entière au voisinage de 0 dans [0,1[. Le rayon de convergence de la série entière étant 1, le domaine de validité est [0,1 [. En posant /(0) = 1, on a pour tout x G [0,1[ : f(x) = g(x) (1 — x)-1/2 . La fonction x (1 — x)-1/2 , [0,1[ —■> R , étant développable en série entière au voisinage de 0 , et le domaine de validité étant [0,1[, la fonction / est développable en série entière au voisinage de 0 et le domaine de validité est le domaine de définition de la fonction : l'intervalle [0,1[. b) On obtient facilement l'égalité, vraie pour tout x G ]0,1[ : , 1 1 _ 1 Arc sinx 1 - 2s _ 1 - (1 -2x)/(x) / {X} ~ 2 x(l-x) ~ 2 y/x(l-x) x(l-x) ~ 2x(l-x) ' d'où: 2 x (1 - x) f'(x) + (1 - 2 x) /(x) - 1 , soit encore : 2 x /'(x) + /(x) - 2 x (x /'(x) + /(x)) = 1 , ce qui est aussi vrai pour x = 0 . oo Posons, pour tout x G [0,1[, /(x) = ^ 6n xn . D'après ce qui précède on a 71=0 l'égalité formelle : oo oo £(2n + l)6nXn-2^n6n_1Xn = l . n=0 n=l Cette identité est vérifiée si, et seulement si, bo = l, et pour tout n G , (2 n -f 1) bn = 2n6n_i . On a donc 6q = 1 et pour tout n G : , 2n-...-2 (2nn!)2
40 Chapitre II Séries entières c) Complétons la définition de la fonction g en posant pour tout x G ]-l,0] : , x Arg sh J^x 9(x) = " i-x Pour tout x G ] —1,0[ on a l'égalité : oo oo n=0 n=0 La fonction g, définie ainsi, est donc développable en série entière au voisinage de 0 , avec un domaine de validité égal à ]—1,1[. Il en est de même pour la fonction h : x »—► g(x) (1 — x)-1/2 , définie sur ]—1,1[. Les fonctions f et h coïncident sur [0,1[, et par conséquent = Tj = S. Comme le domaine de validité de la fonction h est ] —1,1[, on en déduit en particulier que pour tout x G ] —1,0[ : S(x) = h(x) Arg sh v7-^ _ Arg sh yf^x \J—X y/1 — X \Jx2 — X Exercice 6 : Par intégration terme à terme, donner un DSEo des fonctions suivantes : f etx fn o) ih / dt b) x h-> / expfxe1^) c) x^ (l-xsm2t)adt (a>0) Jo de d) [1 ta-l ta-l{i-ty :tb dt (a>0, 6>0, keN).\ Dans ce qui suit la fonction à développer sera notée x h /(x) . a) Faisons dans l'intégrale le changement de variable t = cos ip, où <p G [0,7r/2] . On a donc pour tout x G R : f(x)= l exp (x cos (p) dtp . Jo Pour x eR fixé, pour tout (p G R, on a l'égalité : exp (x cos (p) = xn cosn <p i 71=0 ni
IL4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 41 „ ni n=0 où pour tout n G foJ, In est l'intégrale de Wallis : rir/2 Jo cosn ip d(p . b) Pour x e IR fixé, pour tout 0 G [0, tt] , on a l'égalité : 00 ein0 exp(xe^) = ^ , n=0 la convergence étant normale. On obtient par intégration : oo t où pour tout n G foi* : JO n ni n=0 r = , e^d,= (-d"-l=i l-(-d" m 2i et Jo = 7r. Pour tout A: G N* J2^ = 0 et J2fc-i = tt; 7 • On a donc, 2/c - 1 pour tout x G : 00 2k—1 ^ = 7r + 2ig(2fc-i)(2*-i)r c) On sait que pour tout t G ] — 1,1 [ : 00 / \ (1+*)a = £(")*". ' Va/ n=0 v 7 la convergence étant normale sur tout intervalle de la forme [—r, r] , où r est un réel tel que 0 < r < 1. Nous en déduisons que pour tout x G ] — 1,1[ fixé, et tout t G [0,7r/2] : (1 - x sin2 t)° = ( n ) sin2n * > n=0 la convergence étant normale. On obtient par intégration : oo t /0) = ££*w.
42 Chapitre II Séries entières /(s) = 5>i)nQj2„xn, n=0 où pour tout n e N , 72 n est l'intégrale de Wallis : t7' • 2n . (2n)! tt fi) L'intégrale est convergente pour tout x G ] —1,1[, mais si 0 < a < 1, elle est impropre en 0. Des méthodes élémentaires étant ici possibles et simples, nous éviterons d'utiliser des théorèmes d'intégration terme à terme. Posons pour tout n G foJ : In= f\l -t)kta~l+nbdt . Jo Pour tout N G , et pour tout x G ] —1,1[, on a l'égalité : f1 /J^ (rtb)N+l\ /(*) = l ^(i-éJ^E^^ + tz^fJ dt' d'où: /(x) = £jB*«+*W 1 (\ ^ 1 dt. Pour tout x G ] — 1,1 [, et pour tout N e N* on a l'inégalité : rl ta-l (1 _ tb(N+l) rl (1 _ 0 ^ / K— J—r dt ^ / v , ! dt . 7o l-xtb J0 l-xtb Comme |x|N+1 —► 0, puisque |x| < 1, on en déduit que pour tout x G n—►oo 1-1, lf : /(x) = £)l„xn n=0 où pour tout n G fol, In est l'intégrale Eulérienne de première espèce (cf. cours tome 2, § VIII.4 p 427) : In= f (i-t)kta-1+nbdt = B(a + nb,k + l) = — Jo (^ kl + nb)...(a + nb + k) ' la convergence étant normale par rapport à te [0,7r/2] . Nous en déduisons par intégration :
HA Fonctions de variable réelle développables en S.E 43 Exercice 8 : Développer en série entière les fonctions suivantes (à l'origine) : 6) x i ► Log (1 + x) x Log (1 — x) d) x t-> Arc tg Q ^ X tg ( a g R ) e) x i-> (1 -f x2)a/2 cos (a Arc tgx) (aeR) oo (-l)"-lxn z) xne^x V -—-—- . ■ n=i nn\ La fonction à développer sera notée /, et la série formelle associé S = Y Q>n Xn . Dans tous les cas ici, / est développable en série entière au voisinage de 0. b) On trouve que pour tout x g ] — 1,1[ : Log(l-x) Log(l+x) 1 + x 1 -x Comme pour tout x g ] — 1,1[ : oo n+1 -i oo n=0 d'après la proposition II.2.1 (II), et la définition du produit de séries formelles, on a pour tout x g ] — 1,1[ : Log (1 - x) 1 + x 71=0 où pour tout n G N : h+l+k=n Nous en déduisons que pour x g ]—1,1[ : /'(x) = 2 X>m+i; ,2m+l m=0 Par intégration ( /(0) = 0 ), on voit que pour tout x g ]-l, 1[ : m=0 2m + 2 71=1
44 Chapitre II Séries entières 2n-l 2b2n-l 1 ^ (-1)* 2n n ^ k Comme : *=ï k A'A ■ L°S2 nous en déduisons : a2n ~ • n—>oo n d) On obtient pour tout x € ]—1,1[ : -2 •tga f'M = (1 + 3;)2 = ~2tgQ i , (1~a;)%tr2n. (l + x)2 + (l-x)2tg2a ' + (1 + x)2 g soit encore : —2 tga - sin 2a (l + tg2a)(l+x2) + 2x(l-tg2a) 1 + 2 cos 2a x + x2 ' On remarque : f>(x) = ~sin2a = 1 (-1 L_\ J v } (x + ei2û)(x + e-i2û) 2i Vei2a + z e-i2a+x/ ' ce qui nous donne pour tout x G ] — 1,1[ l'égalité : 1 / oo oo \ /'(x) = i- I ^(-l)ne-2i(n+1)axn - ^(-l)ne2i(n+1)Qxn - \n=0 n=0 / oo = -^2(-l)nxn sin2(n + l)a . n=0 En tenant compte de la valeur de / en 0 , on obtient : /(x) = Arctg(tga) + f:(-1)rtsin2nQx". n=l e) Posons pour tout x G [R : h(x) = (1 + x2)a/2exp(iaArc tgx) . où pour tout n G N* :
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 45 </(*) = E d'où: (-l)"_1„n-i_ l-e-x 1 n! 71=1 *e"* (f(x)-f(x)) = l-e- Cette fonction à valeurs complexes est de classe , et pour tout x G U : h'(x) = (7IT2 + 7^2) (1 +x2r/2exp(iaArc tgx) =a^l , \ \ + xz 1+ xz J x — 1 d'où (x — i ) h'{x) = a h(x). Posons h(x) = J2cnxn. On obtient : 00 00 00 71 = 0 71=0 71=0 d'où pour tout n e N : 1 n — a Cn+l = : —r Cn . 1 n -h 1 Comme cq = 1, nous en déduisons que pour tout n > 0 : _;wa(g-l) ...(g-n + 1) fa cn ~ 1 • — 1 l n ! \n Il est clair que pour tout n G foJ, an est la partie réelle de cn . On retrouve évidemment le fait que S est paire, et, en convenant ^j^J — 1, on obtient, : Remarquons que si a G N , alors : 00 a s \ J^CnXn = Y^inr]Xn = (l+iX)a , n=0 n=0 ^ 7 6~ 2 " Ces égalités formelles sont en fait vraies pour tout a G IR (cf. cours tome 1, séries formelles). i) Posons pour tout x G U, g(x) = e-* /(x). On obtient facilement par dérivation, pour tout :
46 Chapitre U Séries entières et enfin : x(/'(x)-/(x)) = e*-l , pour tout x G R . Nous en déduisons : oo oo oo 71=1 71=1 71=1 ni On voit donc que pour tout n G N* : 1 nan- an_i = — n ! soit encore : n!an - (n - l)!an_i d'où, comme ao = 0, pour tout n G fol : 1 n 1 Al ni z—' k k=i Nous en déduisons : Logn n—>oo fi ! Exercice 9 Développer en série entière les fonctions suivantes (à l'origine) en cherchant une équation différentielle simple qu'elles vérifient : d) x \-> exp (i À Arc sin x) ( À G R ) b) xh (x + y/l+x2f (a eR) f) x^ex2 / e~t2dt Jo g) x y/l -f y/l -f x2 et ih \/—x -h v7! 4- x2 . ■ La fonction à développer en série entière sera notée /, et la série entière associée S = Ylan Xn . Dans tous les cas proposés ci-dessus, on démontre facilement que / est bien développable en série entière au voisinage de 0 . a) Posons pour tout (f G ]—7r/2,7r/2[ : «,(¥>) =/(sin <p)=elX".
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. (n -h 2) (n -f 1) D'autre part on trouve facilement /(0) = ao = 1 et /'(0) = ai = iA voit donc que pour tout p G : Q ((2fc)2 - a2) n ((»+1)2 - a2) k=0 . • \ ' ~ a2p = TTTTi et a2p+l=lA (2p)! ^ (2p+1)! 6) On voit que pour tout ip G R : /(sM - (sh<p + chy>)a = ea<" . En dérivant on obtient, pour tout (p G U : ch^/^shy?) = aeQi^, puis c^^/'^sh^+sh^/^sh^) = a2eavJ -a2/(sh(^) . Nous en déduisons que pour tout x G U : (1 + x2) /"(x) + x /'(x) - a2 /(x) = 0 . On a donc l'égalité formelle : oo oo E (a2 - n - n(n - 1)) an Xn = ^{n + 2)(n + 1) an+2 Xn , Par dérivation on obtient, pour tout ip G ]—7r/2,7r/2[ : cos ip/'(sin <p) = i\elX<p , puis : -sin (pf (sin (p) + cos2(p/"(sin <p) - -A2eiA* = -A2/(sin y?) . Nous en déduisons que pour tout x G ] — 1,1[ : f"(x)=x2f"(x)+xf'(x)-X2f(x) . On a donc l'égalité formelle : oo oo Y^(n + 2)(n 4- 1) an+2 *n = ]T (n(n - 1) + n - A2) an Xn , n=0 n=0 d'où nous déduisons que pour tout n eN : n2-A2
48 Chapitre II Séries entières 0>n+2 a2 - n2 (n + 2) (n + 1) on trouve facilement ao = /(0) = 1 et ai = /'(())= a. on voit donc que pour tout p G n* : (a2 - (2fc)2) (a2 - (2* + l)2) k=0 . k=0 a>2P = tttt] et a2p+i=a- (2p)! ~~ ~ (2p+l)! f) on trouve facilement que pour tout x G ir : f'(x)-2xf(x) = l . on en déduit l'identité formelle : oo oo oo oo J2nan X"-1 -2^a„ Xn+1 = ^(n + 1) an+1 Xn - 2 ^ o„_i X" = 1 , n=l n=0 n=0 n=l d'où ai = 1, et pour tout n G fol* : 0"n+1 — — an-l • n -f 1 la fonction / étant impaire, cela nous suffit pour déterminer sa série entière. on obtient facilement : OP o2p v1 (VpGN*) a2p+i= v' (2p+l)(2p-l).....3 (2p+l)! ce qui est vrai aussi si p = 0 . g) première fonction : on constate que pour tout cp G ir : /(sM = Vl+chy> = >/2ch(|) . en dérivant on obtient : ch^/'(sh¥?) = ^sh(|) , puis : chV/"(sM + shy>/'(sM = xch(f) = ï/(sh^ • d'où pour tout n G n :
IIA Fonctions de variable réelle développables en S.E. 49 (2p)l ^l 2 (2p+l)! exercice 12 (c/n exemple de point de divergence d'une fonction) : on considère deux suites (an), (6n) dans (r* telles que &n —► 0, 6n —> +00 et (vfc) la série X)an(6n)fc converge. n—►oo nous en déduisons que pour tout x g ir : {l+x2)f"(x)+xf'(x) = \f{x) . la série entière S vérifie donc l'égalité formelle : oo oo (1/4 -n-n(n- 1)) an Xn = ^(n 4- 2)(n -f 1) an+2 Xn , n=0 n=0 et par conséquent, pour tout n e N : _ 1/4 -n2 (n + 2)(n + 1) comme ao = /(0) = \/2 , on en déduit que pour tout p e N* : p-i n(l/4-(2/c)2) ^=kSS° (2p)\ ^' cela détermine la série formelle S, puisqu'elle est paire. deuxième fonction : on a ici, pour tout cp g ir, f(sh(p) = e~^/2 . on voit que la fonction / vérifie la même équation différentielle que dans le cas précédent, et par conséquent que les coefficients de la série formelle vérifient la même relation de récurrence, soit : 1 /4 _ n2 (vn€n) a"+2=(n + 2)(n + l)a"- mais dans le cas présent, on a ao = /(0) = 1, et ai = /'(o) = —1/2 . on obtient donc pour tout p g n* : p—i p—i n(i/4-(2fc)2) n(V4-(2fc+i)2) k=0 , _ 1 fc=0 a2p ~ TTTTi et a2p+i
50 Chapitre II Séries entières a) Vérifier que ces conditions sont satisfaites si (Vn) an = e n et bn = n2 . oo b) Montrer que / : xh f(x) = Yl an cos(bnx) est définie sur n=0 IR et de classe <€°° . c) Montrer que dans les conditions du a), 0 est point de divergence de / (Le., Rcv(Tf) — 0 ). ■ a) Les deux premières conditions sont évidemment vérifiées. Pour tout k G foi, pour tout n G fol, an bn = e~n n2fc ; la série ^ an bk est bien convergente, car par exemple n2 an bk —► 0 . n—►oo b) Posons pour tout n G fol et pour tout x G IR : fn(x) — &n cos(6nx). Comme la série ^2 an est convergente, la série de fonctions fn est normalement convergente. La fonction / est donc définie et continue sur IR. Pour tout k G foi, et pour tout x G IR, on a : fnk) (x) = an bkn cos (bn x + k tt/2) . D'après l'hypothèse, les séries fn^ sont toutes normalement convergentes sur IR . On en déduit que / est de classe . c) Déterminons d'abord dans le cas général les valeurs en 0 des dérivées successives de / . On obtient pour tout k G foi : oo /W(0) = ]tan^ 008(^/2) . n=0 Soit Tf = YLukXk la série entière associée à /. Pour tout A: G fol on a d'après ce qui précède : oo e anbn Uk = cos(A;7r/2) w=0 , . K ! La fonction / est paire et Tf est une série formelle paire. Dans le cas du a), on a pour tout p G foi : oo £ e~nn4p l i n=0 ^ = ^2^ •
11.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 51 Minorons cette suite. On observe que pour tout p € N : On voit que pour tout p € N : vp+1 _ (4p + 4)4p+4 1 -4 (4p)4p (2p + 2)(2p+l) = e_4/1+lvP_(4£±4)4_ et par conséquent que : vu Vv p-+oo Le rayon de convergence de la série entière vp Xp est donc nul. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière Tf est nul. Le lecteur remarquera qu'on a ici un exemple d'une suite uniformément convergente sur IR de fonctions développables en série entière au voisinage de 0 dans IR , qui converge vers une fonction de classe Vo00 , mais non développable en série entière au voisinage de 0 . Exercice 16 d) Prouver que la constante d'Euler 7 est égale à : 1 a 1 - + dt -t /o \t Log(l-t), b) Vérifier que la fonction ip : 1 — 1, lf , v *—r -— - Log(l -1) prolongée par continuité en 0 est dseq , et son DSEo , écrit sous la forme t »—► 1 — ^2 °>n tn , vérifie : n=sl (Vn ^ 1) 0 ^ an - 1 n + 1 00 c) Montrer 7 = > — . ; ^ n n=l a) Posons u = -Log (1 - t), d'où t = 1 — e u ; l'intégrale devient :
52 Chapitre II Séries entières ,1 — e_n u En intégrant sur ]0, +oo[ on en déduit l'égalité : /*+oo 1= <P(u)e~udu = Jo 1 1 1 p+oo p-u _ A-(n+l) u /*+oo = i + i + ... + i- / ® ? du+ / e-(n+1)tt*(u)du. 12 n J0 u J0 Nous avons démontré lors de la résolution de l'exercice 32 (item 9) du § VIII.3, tome 2, l'égalité : r+oo e-u _ e-(n+l)u / du = Log (n -f1) . D'autre part, si M est un majorant de \&\ sur R* on a : Vo I 7o n + 1 Nous en déduisons : J = lim (I + i + ... + i-Log(n + l)] =7. b) Soit g :] —1,1[ —* R, l'application telle que g(0) = 1, et pour tout te|-l,l|\{0> : Soit $ : R* —> R l'application telle que pour tout u G IR* : $(u) = —^ . v y 1 - e~u u Cette application est continue et on vérifie facilement : $(u) —► ^ et —► 1 . > _ 2 u-++oo u —> 0 Nous en déduisons que # est bornée sur OR* , et par conséquent que l'intégrale 7 est convergente. Soit n G N* , pour tout u G IR* , on a l'égalité : <P(u) = 1 + e~u + ... + e-(n-1}u + * nU - - = v ; 1 - e~u u „ — nu _ i / i i = l+e-« + ...+e-("-1)" + ^ -+e-f"'/
11.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 53 n=0 Comme g(0) = 1 , d'après la propriété DSE 3), l'application (p :t »—> l/g(t) est DSE0 , ce qu'il fallait démontrer, et </?(0) = 1. Pour tout t G ]-l,l[, nous poserons f(t) = 1 — p(t) = 1 + -r . Le DSEo de / est Log(l - t) £anX". Posons pour tout t G ] —1,1[ \ {0} : On trouve facilement que pour tout t G 1[ \ {0} , (1 - t) ^'(t) = ^(t)2 . Pour tout t G ]-l,l[\{0}, f(t) = 1 -htx/>(t), d'où ip(t) = (f(t) - l)/t. On en déduit : tf'(t)-f(t) + l _ (f(t)-l)2 U l) t2 t2 Comme l'application / est DSEo , sa série de Taylor S = ^ an Xn vérifie 712*1 la relation : (1 - X) (X S' - S + 1) - (S - l)2 . Cette relation s'écrit : (l-X) (l + X>-l)anX"J =l-2^anX" + 52, d'où: 5^(n 4-1) an Xn = X + ^(n - 1) an Xn+1 + S2 . Comme Val (S2) = 2, on obtient pour n = 1 l'égalité 2 ai = 1, et comme pour tout n ^ 2 , le coefficient de Xn dans S2 est ai an_i -h ... -h an_i ai , on voit que pour tout n ^ 2 : (n + 1) an = (n - 2) an_i + ai an_i + ... -f an_i ai . On voit alors facilement par récurrence que pour tout n ^ 1, an > 0 . D'autre part, on a dans un voisinage de 0 l'égalité : Pour tout t € ] —1,1[, on a :
54 Chapitre II Séries entières soit encore : -Log (1-0 /(*) = -Log(l-t)-* d'où: Nous en déduisons : \q^l * / \p^l / 712*2 n 1 2 "' n- 1 ' soit encore : (Vn G N*) -J_ = ^ + ... + ^.. n +1 1 n Comme pour tout n ^ 1, an > 0 , on en déduit : 1 (1) (Vn G N*) 0 ^ an n + 1 ce qu'il fallait démontrer. oo i c) Soit S la série formelle 5 = Y] Xn . En utilisant les notations J nSo n + 1 précédentes on obtient : oo £0^ = 1-- . 71=1 Comme pour tout n G fol, 0^an^l/(n-fl),le rayon de convergence de la série entière 1/5 est ^ 1. Le rayon de convergence de la série entière S étant 1, d'après la proposition II.2.1, nous pouvons affirmer que pour tout t G IR, |t| < 1 : oo 1 h s(t) Nous en déduisons que pour tout t e ]0,1[ : oo 1 1 tn-i_l + i ^ant -t+Log(l-t)- En posant h(0) = oi = 1/2, et pour tout t G ]0,1[ : , , n 1 1 MO = T + * Log(l-t) '
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.JE. 55 (2) ro+L=i^ô)*-ir-r-,*-i-ï Comme la série ]T — est convergente (majoration (1) du 6)), la série de fonctions — xn est normalement convergente sur l'intervalle [0,1] , et ^—' n 71=1 elle converge vers une fonction continue. Nous en déduisons : oo n oo EX \ r Cln CLn > > — • n < , ^—' n n=l x -+ 1 n=i En passant à la limite dans l'égalité (2) , on obtient : Exercice 18 (théorème de Serge Bernstein) d) Soit a G IR* et g une fonction paire, g : [—a, a] —> R de classe c€°° telle que : (Vn ^ 0) , (Vx G [-a, a]) #(2n)(x) s* 0 . al) Prouver que a^2p^ est croissante sur [0,a] pour tout p. a2) Montrer : 3M ^ 0 tel que V(u,v) O^u^v^a, (VnGfoJ)O^ i^ZJfT fl<»>(M) ^ M . a3) Pour p G N , soit 7P : [—a, a] "£(2*)! 1 gW) (0). Montrer que Ip est paire, positive, égale à : 7o (2 est f 6) Soit / : [—a, a] 2p+l ,(2p+2) (2p + l)! 3 Si a; € ]—a,a[ est fixé, prouver Ip(x) (t)dt. p—►oo de classe telle que : 0 . Qu'en déduit-on ? on obtient une fonction continue, somme sur [0,1[ de la série de fonctions oo o,ntn~l , la convergence étant normale sur tout intervalle de la forme n=l [0,x[, où 0 ^ x < 1. On voit donc que pour tout x G [0,1[ :
56 Chapitre II Séries entières (Vn ^ 0) Vx G [-a, a] f^k\x) ^ 0 . Prouver : Vx G ]-a, a[ , /(x) = ]T i p xn . n=0 c) Appliquer les résultats précédents pour trouver l'ensemble de validité du DSEo de tgz et le rayon de sa série de Taylor à l'origine. ■ a) Pour tout p G N , la fonction #(2p+1) est impaire, donc g(2p+1\0) = 0. Comme la dérivée de cette application est ^ 0 sur [0, a] , l'application a(2p+i) est croissante, donc positive, sur cet intervalle. Nous en déduisons que g(2p^ est croissante sur [0, a]. Remarquons que toutes les dérivées de g sont positives et croissantes sur [0, a). Supposons u < v , d'après la formule de Taylor, il existe c G ]u, v[ tel que : g(v) = g{u) + (v-u) gf{u) + ... + *_Li (v - u)" + ^yjf ^v ~ u> * Les termes de cette somme étant tous ^ 0 , on en déduit : 0 ^ 9—^± (V - u)" « g(v) « g(a) . n ! Par définition, la fonction Ip est paire. Comme les dérivées d'ordre impair de g sont nulles en 0 : 2p+l k (Vx G [-a,a]) IP(x)=g(x) - £ ^^(0) . k=o K' On a donc pour tout x G [—a, a] l'égalité (formule de Taylor-reste intégrale) : Il est alors clair que pour tout x G [0, a] ip(x) ^ 0, ce qui est vrai aussi pour tout x G [—a, 0] puisque la fonction Ip est paire. Supposons x G [0, a[. D'après ce qui précède : 0 ip(x)~7o (2p+i)i 5 w<i*-yo (2p+1)! (a_t)2P+2 di-
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 57 6) Soit g l'application x •—► /(x) + /(—x) ; c'est une application paire et pour tout k e N et tout x G [-a, a], g{2k)(x) = f{2k)(x) + f{2k\-x) ^ 0. D'après a2), on en déduit que pour tout x G [0,a[ : 0 ^ /<»>(*) + /<2*>(-x) = </2fc(x) ^ , mais puisque f^2k^(x) ^ 0 et f^2k\—x) ^ 0, on en déduit que pour tout x G ]-a,a[ : J v ; (a - |x|)2fc Pour tout n G foJ, et pour tout x G ]—a, a[, on a l'égalité : *»,/(*)= fX{^^fin+1Ht)dt, JO n! où i?nj désigne le reste de la série de Taylor de / en 0 . Si n est impair, n = 2p + 1, pour x G ]—a, a[, si x ^ 0 : 1 p f (x-t)2^* (2p + 2)!ff(a) IJW/MI « ^ (2p+l)! (a-i)2"+2 d'' et si x ^ 0, en faisant le changement de variable u = —t dans le reste- intégrale : W (M _ 7/.ï2p+1 d'où: IJW/C*)! * yo (2P + i)! («-t)w dt- On en déduit comme dans le a) : i^p+i f{x) —► 0 . ' p—+00 x — t L'application t »-> étant monotone sur [0,x] , ses valeurs sont com- a — t prises entre 0 et x/a . Nous en déduisons : Ip(x)^(2p + 2)g(a)(^) / (2p + 2) y(o) (^) . Va/ Jo a — t Va/ a — x Comme 0 ^ x < a, on en déduit ip(x) —► 0, ce qui est vrai aussi si p—►oo —a < x ^ 0, puisque Ip est paire. Cela signifie que l'application g est DSEo et que le domaine de validité contient l'intervalle ]— a, a[.
58 Chapitre II Séries entières Pour tout n G N , si n est pair, n = 2p, on peut écrire pour tout x G ]-a,a[ : r2p+l R2pj{x) = WTTy. /(2p+1)(°) + R*p+M ■ Pour démontrer Rn r(x) —> 0, on voit, d'après ce qui précède, qu'il suffit ' n—foo de prouver : i.2p+l Majorons |/(2p+1)(0)| • La fonction /(2p) étant positive et convexe, pour tout t € ]0, o[ on a : /(2p+1>(0) /(2p)(t)_/(2p)(0) /(2P)(i) t-0 et : d'où: /(2p+D(0) > /(2P)(0)-/(2P)(-*) ^ /(2P)(-Q /(2P+1)(0) (2p)!g(a) t (a - t)2P En prenant t = a/(2p + 1) (si p > 0 ), ce qui correspond au minimum de la majoration, on obtient : |/(2p+l)(0) Nous en déduisons, pour tout x € ]— a, a[ : (2p+l)!ff(g) / J_\ a2p+i v 2P/ 2p r2p+l /(2P+1)(0) 2p (2p+l)! et par conséquent, pour tout x G ]—a,a[ : ~2p+l 1 + — g(a) 2pJ yW\fl 2p+l (2p+l)! /(2p+i)(0) —> 0 , ce qu'il fallait démontrer. La fonction / est bien DSEo , le rayon de convergence de la série de Taylor en 0 est ^ a , et le domaine de validité contient l'intervalle ]— a, a[.
11.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 59 c) La fonction tg : ]—7r/2,7r/2[ —> IR est de classe et impaire. Montrons que toutes ses dérivées sont positives sur [0,7r/2[. On sait que pour tout t G [0,7r/2[, tg'(t) = 1 + tg2(t). En dérivant n fois cette identité ( n G N ) on trouve pour tout t G [0, n/2[ : tg(B+1)(*) = è(ft)t8(h)wt8(""fc)(')- Comme pour tout t G [0,7r/2[, tg(t) ^ 0, on voit facilement par récurrence que pour tout n G N , et pour tout t G [0,7r/2[, tgM(t) ^ 0. La fonction tg' est paire et vérifie par conséquent les hypothèses du a), pour tout a G ]0,7r/2[. Cette application est donc DSE0 , le rayon de convergence de la série de Taylor est ^ n/2 , et le domaine de validité est l'intervalle ]—7r/2,7r/2[. Il en est bien sûr de même par intégration pour la fonction tg . Montrons que le rayon de convergence de la série de Taylor est 7r/2 . oo Posons tg(x) = ^2 apX2p~*~l • D'après ce qui précède, pour tout p G N, p=0 ap ^ 0. Si le rayon de convergence de cette série était > 7r/2, la série oo Y2 ap (tt/2)2p+1 serait convergente. On aurait alors, pour tout x G [0,7r/2[ : p=0 oo oo tgx = ^apx2p+1 « £ap(7r/2)2p+1 , p=0 p=0 ce qui est évidemment impossible. Le rayon de convergence de la série de Taylor en 0 de la fonction tg est donc exactement tt/2 . Exercice 19 : Démontrer les identités ci-après ( |a| < 1 ) : T/2Log(l -h a sinx) . 1 r . /a . n2i dx = - 7rArcsina — (Arcsina) . sin x 2 1 v y J a) / » / Jo 7r/2Log(l -ha sin2x) , sin2 x dx = 7r + a - l) . i Pour tout t G ]-l, 1[ \ {0} , posons f(t) = Log (1 +t)/t, et /(0) = 1. On sait que la fonction / est DSEo et que pour tout t G ] — 1,1[ : 71=0
60 Chapitre II Séries entières La convergence de cette série de fonctions est normale sur tout intervalle de la forme [—a, a] , où 0 ^ a < 1. Pour tout n G N on posera (intégrales de Wallis) : />tt/2 pir/2 In = / sinn x dx = / cosn x dx . Jo Jo, On sait que Io = 7r/2 , I\ = 1, et pour tout p e N* : 2p 2p (2p-2) 2 2' et: 2p (2p-2) 2 i2«-n = X - X ... x - X 1 . 2p+1 2p+l (2p-l) 3 a) L'intégrale à calculer est ici : 7 = a / /(a sin x) dx . Jo Comme |a| < 1, on a pour tout x G IR : 00 (—l)n f(a sin x) = — (a sin x)n , n 71 + 1 n=0 la convergence étant normale. On en déduit : où a\ — Io = 7r/2 , a2 = —h/2 = —1/2 , et : 1 1 2» - 2 2 ,w 1 1 (2p~l) 1 7T (Vp>0) 0^ = —Iap= —x-^-x...x-x- On sait que (formule (10) du § IL4), pour tout a, \a\ < 1 : oo a2p+i a2p+1 = — Arc sin a . p=0 k
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 61 Posons pour tout t G ] — 1,1[, g(t) = Arc sin2£ . Cette fonction est développable en série entière au voisinage de 0 et le domaine de validité contient l'intervalle ]-l,l[, puisque c'est le carré d'une fonction qui possède cette propriété. Pour tout cp G ]—7r/2,7r/2[, on a #(sin <p) = (p2 . On en déduit cos (pg'(sin ip) = 2ip, puis cos2 ipg"(sinip) — sin </?g'(sin ip) = 2, et par conséquent, pour tout t G ]—1,1[, (1 -12) g"(t) — t g'(t) = 2 . Nous pouvons oo en déduire que la série de Taylor S = ^2 bn Xn de g en 0 vérifie la relation : 71=0 S" = 2 + X2 S" + 15', d'où : oo oo ^(n + 2)(n + 1)6n+2X" = 2 + ^ (n(n - 1) + n) bnXn , 71 = 0 71=1 et par conséquent, b<i = 1> et pour tout n > 0 : n2 (n H-2) (n + 1) On a aussi 60 = #(0) = 0, et comme S est paire, pour tout p G N , fr2p+i = 0 • Pour tout p > 1, on a : (2p - 2)2 x ... x 22 2p ~ 2p x (2p - 1) x ... x 4 x 3 2 ' d'où: 22 1 2 rt 42 x 22 1 4 x 2 rt 64 = x 1 = - x - x2 ; o6 = = - x x 2 ; 4 4x3 4 3 ' 6 6x5x4x3 6 5x3 et de manière générale pour tout p > 1 : 1 2p-2 2 ft o2r, = — x x ... x - x 2 . 2p 2p 2p-l 3 On remarque que pour tout p G N* , —62? = 2 d2P , et par conséquent : 00 ^ 00 ^ ^a2pa2p = -- ^62pa2p = --Arcsin2a . p= 1 p=i Nous en déduisons finalement : °° 7t 1 I — ^ Ofcftfc = - Arc sin a — - Arc sin2 a , fc=i ce qu'il fallait démontrer.
62 Chapitre II Séries entières ,7r/2 J = a / f(a sin2 x)dx . Jo b) L'intégrale à calculer est ici : rn/2 /o En procédant comme dans a), on trouve : où ci = Io — 7r/2 et pour tout k > 1 : (-l)*"1 r (-l)^-1 (2k-3) x ... x 1 tt k k (2k - 2) x ... x 2 2 Or pour tout a E ] — 1,1 [, on a: 00 VT+â = 1 + ^2 dk 1 k ^k k=l où d\ = 1/2 , et pour tout /c > 1 : (-l)*"1 (2k- 3) x ... x 3 x 1 dk 2k (2k - 2) x ... x 4 x 2 On voit donc que pour tout k > 0, c& = 7r . Nous en déduisons que pour tout a , |a| < 1 : J = ^ afc = tt (VT+a - 1) , ce qu'il fallait démontrer. Exercice 20 : Soit 6 E R \ 2ttZ . Trouver le DSE0 de la fonction : °° cos n9 —;— • ■ n=i x + n On sait que pour tout x > -1 fixé, la série est convergente. Soit x E ]-l, 1[ et p E N* , on a l'égalité : 00 cos nO ^> cos n6 1 ^-f n-h x ^ n 1-fx/n n=l n=l ' = > 1 - x n + ... + (-x n)p + \ 1 \— . ^ n V 1+x/n J n=l x ' 7
11.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 63 Nous en déduisons : /w-Éi-d'fË^^ + t-ir'^'f;^ k=0 \n=l / n=l cos n6 (n + x) Or: donc : cos nO ^ nP+l(n-\-x) n=l v ' oo ^ v 1 ^ n (n 4- x) n=l v 7 cos n0 v ; ^ n^+^n + x) p-oo n=l v 7 On voit donc que pour tout x G ] — 1,1[ : fc=0 \n=l n / Le rayon de convergence de cette série entière est ^ 1 et le domaine de validité contient ]—1,1 [. exercice 22 : Soit (an)n^i une suite complexe telle que la série \an\2 soit convergente. On suppose : oo n (Vt G 1-1/2,1/2]) E ^7=0- 71=1 n t Vérifier que cela a un sens, et montrer (Vn) an = 0 . ■ Soit t G ] — !,![, pour tout n G N* on a l'inégalité : n - t 2 i (n - t)2 bsolume: sera notée f(t) . Soit t G ]-l, 1[ et p G M* , on a l'égalité : On en déduit que la série V —— est absolument convergente ; sa somme n - t «o-Ê^î-ÊïO-c/-)—^)*^)- n=l n=l x ' ' Les séries J2an/nk , pour fc > 0, étant convergentes, nous en déduisons : P / oo \ fc = 0 \7l=l
64 Chapitre II Séries entières Or: rm) = t^1 y —-. pV } ^ nP+x (n - t) n=l v ' oo I I n=l v 7 donc —► 0. La fonction / est donc sur ] —1,1[ somme d'une série p—►oo entière, donc de classe et somme de sa série de Taylor en 0. Or par hypothèse, pour tout t G ] —1/2, l/2[, f(t) = 0 . Nous en déduisons que la série de Taylor de / en 0 est nulle, et donc que / est nulle sur ] —1,1[. Soit N eN* , pour tout t G IR, \t\ < N on peut poser : oo n=N Montrons que çn est sur ]—N,N[ égale à la somme d'une série entière. Nous procéderons comme pour / ( = g\). Pour tout p G N* , et pour tout t G ]-N, iV[,ona l'égalité : n=N n—N N ' 7 Les séries Y2, an/nk , pour k > 0 , étant convergentes, nous en déduisons : 9n ou : p / oo \ fc=0 \n=N / n=7V v 7 Or si M < iV n=7V x 7 v 7 n=7V d'où Rp n(ï) —► 0- La fonction est donc bien sur ]— N, N[ somme ' p—->oo d'une série entière, donc de classe c€°° et somme de sa série de Taylor en 0 . Supposons que les coefficients (an) ne soient pas tous nuls, et soit N le plus petit entier tel que a m ^ 0. La restriction de gjq à ]—1,1[ est /, donc
II.4 Fonctions de variable réelle développables en S.E. 65 est identiquement nulle. Nous en déduisons que la série de Taylor de est nulle et par conséquent gjy = 0 . Donc pour tout t G ]—N, N[, on a l'égalité : 0 = gN(t) = ^— + 9N+i(t) . La fonction gN+i étant de classe sur ]-(N -f 1), (N + 1)[, cette égalité est évidemment impossible. On peut donc conclure (Vn G N*) an = 0.
Chapitre III COMPLEMENTS SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, APPLICATIONS § III. 1 COMPOSITION ET REVERSION Exercice 3 En appliquant la formule de réversion de Lagrange, avec S = X exp (—X) , démontrer que pour z e C et \z\ < 1/e on a : \n=l "' / n=l exp 00 n—1 n! Notons T = Yl ak Xk la réciproque de S. La série entière A — S/X est évidemment exp —X , d'où 1/A = expX et pour tout fceN* : fc71 (l/A)*=expifcX= ^yX m=0 En appliquant la formule de réversion de Lagrange, on trouve que pour tout k e : 1 kk~l kk~l kk~2 k (fc-1)! kl L'égalité S o T = X s'écrit ici X = Texp(-T), soit encore expT = T/X , c'est-à-dire : exp Yl 00 n-l n=l Cette égalité entre séries formelles est de la forme exp o T — U . Comme le rayon de convergence de la série entière exp X est +00 , d'après le théorème III. 1.2, le rayon de convergence de la série formelle U est ^ RCV(T), et pour tout z, \z\ < RCv(T), on a l'égalité U(z) = exp (t{z)^ . On trouve
III.l Composition et réversion 67 facilement l'égalité RCV(T) — 1/e, et on en déduit que pour tout z G C tel que \z\ < 1/e : \n=l / n=l ce qu'il fallait démontrer. Exercice 4 : Justifier le fait que, pour z assez petit, l'équation ye~y — z définit de façon unique une fonction y = f(z). Pour a G C fixé, et z assez petit, prouver : ^(n + a)n_1 n exp(af(z)) = l + ^2- 71=1 Nous utiliserons les résultats de l'exercice 3, en reprenant les mêmes notations. Comme 5 o T — X , que le rayon de convergence de la série formelle S = X exp (—X) est -hoo , et que le rayon de convergence de la série formelle T est 1/e, d'après le théorème III.1.2, on a, pour tout z G C tel que \z\ < 1/e , l'égalité : f (z)exp = z • Pour tout z tel que \z\ < 1/e , l'équation ye~y — z a au moins une solution qui est T(z) . Comme S(z) —► 5(0) = 0 , il existe r > 0 tel que pour tout y G C tel que z—>0 \y\ < r, S{y)\ < 1/e. Puisque T o S = X , d'après le théorème III. 1.2, pour tout y e C tel que \y\ < r, T(S(y)) — y. On voit donc que si 2/iexp(-î/i) = 2/2exp(-j/2), où yx et y2 sont dans {y G C | |?/| < r} , alors 2/1=2/2- Comme T(z) —>T(0) = 0, il existe a > 0 et a < 1/e, tel que pour tout z—>0 z e C tel que |z| < a, T(z) < r ; le nombre complexe T(z) est alors la seule solution dans la boule {y G C | |?/| < r} , de l'équation ye~y = z. Nous désignerons par / la restriction de T à {y G C | |y| < cr} . Rappelons que la série formelle A — S/X est exp (—X) , d'où 1/A = expX et pour tout /c G M : UITL (l/A)h=exp(kX)= Xm. 771 = 0
68 Chapitre III Compléments sur les séries entières La série formelle T étant la série réciproque de S , en appliquant le théorème de Schur (Théorème III. 1.4) on trouve que pour tout n G N* : f-^k(k-n)\ k^n v ' Pour tout a G C , comme T est une série formelle de valuation 1, par définition de la composition des séries formelles : = 1 + E ~k [ \ (m-l)!(*-m)! j * ' /c=l \m=l v ' v y / On reconnaît pour tout k G l'égalité : * am-lfcfc-m 1 ^ (k - 1\ fc_t_n (q + fc)*-1 ^(m-l^fc-m)! (fc-l)!ny „ j (fc -1)! ' Nous en déduisons finalement l'égalité formelle : \k-l k\ k=l Le rayon de convergence de la série formelle exp (al) étant +00, et celui de T étant 1/e, d'après le théorème III. 1.2, on a pour tout z G C tel que \z\ < 1/e on a l'égalité : „p(af(,)).i + f;2fe±*^^. k=l Cette égalité est vraie aussi si \z\ < a , auquel cas y = f(z) = T(z). Exercice 6 : Soit a G C . Montrer que l'équation y — a -f (l/2)(y2 — 1) z définit, pour zety — a assez petits, y = f(z) de façon unique, et que /(z) —► a . Prouver, pour z assez petit : z—+0 JW ^m!2m dtm~lV ; , Les cas a = 1 ou a = — 1 s'avèrent particuliers ; étudions les d'abord. Si a = 1, l'équation s'écrit aussi (?/ - 1) (l - (l/2)(y + 1) z) = 0. Pour z
III. 1 Composition et réversion 69 m € , le polynôme t (X2 - l)m est divisible par (X - 1)(X +1) Supposons maintenant a2 ^ 1. Soit 5 la série formelle : 2X 2X S = (X + a)2-l X2 + 2aX + a?-\' et T = e afc Xfc sa réciproque ( val£ = 1 ). Soit A = S/X , on a : k€N' i-i «* + .>'-!). En appliquant la formule de réversion de Lagrange on trouve que pour tout k e N* : _ 1 1 1 dfc-1 r, 2 ~klj^.¥dx^[[(X+a) ~1} \x=o ' d'où: k=l x 7 La série formelle S est une fraction rationnelle de valuation 1, et son rayon de convergence R n'est pas nul; d'après le théorème III. 1.5, le rayon de convergence R' de sa réciproque T, n'est pas nul non plus. Comme T(0) = 0, il existe rf G ]0,i?;] , tel que pour tout z G C tel que \z\ < r', T(z) < R. D'après le théorème III.1.2, pour tout z G C tel que \z'\ <r',ona: * = S(T(*)) = ~ 2f(z) ■ (T(z)+a)2-l En posant y = T(z) 4- a , on obtient y = a + (1/2) (t/2 — 1) z . donné, 1 est solution, et si z ^ 0 , il y a une seule autre solution —1 + 2/z. On voit donc que / = 1, puisque si \z\ < 1/2, la seule solution y telle que \y - 1| < 2 est 1. Si a = -1, l'équation s'écrit (y -h 1) (l - (l/2)(y - 1) z) = 0 , et on voit que / = -l. La formule de l'énoncé est bien vérifiée dans les deux cas, puisque pour tout dX" (X2-l).
70 Chapitre III Compléments sur les séries entières De manière analogue il existe r g ]0, R] , tel que pour tout u g C tel que \u\ < r, T(S(u)) = u. Si 2/1 et y2 sont deux solutions dans la boule {y g C | \y — a\ < r} de l'équation y — a + (l/2)(y2 - 1) z , alors en posant ^i — y\ — a et u2 = t/2 — û » on a visiblement 5(ui) = .S^) = z, et par conséquent u\ = T(S(ui)) = T(S(u2)) = u2 . Il ne peut donc y avoir dans {y g C | |y — a| < r} qu'au plus une solution de toute équation y — a + (l/2)(y2-l)z,où zgC. Soit r" g ]0,r;], tel que pour tout z e C, \z\ < r", on ait T(z) < r. D'après ce qui précède, a + T(z) est dans la boule {y g C | \y — a\ < r} , la seule solution de l'équation y = a + (l/2)(y2 — l)z. On peut donc considérer que la fonction / est la restriction à {y g C | \y — a\ < r} de la fonction z h-> a-\-T(z). La fonction / est donc DSEa et f(z) —y a . D'après l'égalité z—>o formelle (1), pour tout z g C tel que |z| < r" (donc |z| < R! ) : k=i 2k dt*-1 §111.2 NOTION DE FONCTION ANALYTIQUE COMPLEXE Exercice 2 : Soit cp : [0,2 7r] —> C une fonction continue. Montrer que /»2tt F : c —► c , z i-> / eitz d^ est analytique. ■ Pour tout z g C , et pour tout t g [0, 2 7r] , on a l'égalité : 71 = 0 la convergence de cette série de fonctions de t étant normale sur [0,2 7r] , puisque (p est bornée. Nous en déduisons que pour tout z g C : F(z)= [2\(t)Jt*dt = f^( f2\(t)^dt) zn. Jo n=0 \Jo n> / La fonction F est donc somme d'une série entière de rayon +00 ; elle est par conséquent analytique.
111.2 Notion de fonction analytique complexe 71 Exercice 3 : Soit 2 = {z G C | |*| < 1} , 2 = {z G C | |z|^l} et u = {z G C | |z| = 1} . On donne / : 2 —» C analytique. On suppose que, pour tout zq G U , on peut trouver ro réel > 0 tel que / admette un prolongement analytique gZQ sur l'ensemble 2 U {z G C | |z — zq\ < ro} . Montrer qu'il existe un réel R > 1 tel que / se prolonge en une fonction g : {z e C \ \z\ < R} —» C qui soit analytique. N.B. Le théorème 2 de l'appendice 4 permet d'affirmer que si / est analytique sur le disque ouvert de centre a et de rayon R, alors le rayon de convergence de la série de Taylor de / en a est au moins R. Le lecteur remarquera que ce résultat est faux pour les fonctions analytiques réelles : la fonction Arc tg est analytique sur IR mais le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0 est 1. ■ Pour tout a G C et r > 0 la boule ouverte {z G C | \z — a\ < r} sera noté B(a,r). L'argument de la démonstration est essentiellement géométrique. Soient zq et z\ éléments de U et ro et ri des réels > 0, montrons que si B(zo,ro) H B(z\,ri) ^ 0, alors l'ouvert B(zq, ro) nB(z\,ri) fi2 n'est pas vide. En effet, on peut supposer zo ^ Z\ , et dans ce cas, le segment ouvert ]2o, zi[, qui est inclus dans 2, coupe aussi l'intersection des disques ouverts B(z0,r0) et B(zurx). Soient gZo,r0 :2)U ^(^o^o) —► C et gZlln : 2)U2?(2i,ri) —> C deux prolongements analytiques de / dans les conditions de l'énoncé. Les fonctions gZo,r0 et 9zi,n coïncident sur 2) avec /, donc entre elles, et si B(zo,ro)C\B(zi,ri) n'est pas vide, d'après ce que nous avons remarqué, les fonctions gZo,ro , 9zi,n et / coïncident sur l'ouvert non vide B(zo,ro) C\B(zi,ri) Pi2 ; nous en déduisons, d'après le principe du prolongement analytique, que gZQlr0 et 9zi,n coïncident sur l'ouvert connexe (car convexe) B(zo,ro) D B(z\,ri). Deux fonctions analytiques gZQ,ro et gZl,ri coïncident donc toujours sur l'intersection de leur domaines de définition. Notons E l'ensemble des couples (zo.ro) G U x R* tels qu'il existe sur 2)U5(2o,ro) une extension analytique de / , unique car 2 U B(zo.ro) est connexe, notée gZo,ro • Sur l'ouvert D — (J 2 U B(zo,ro) on peut (z0,r0)eE définir une application g : D —► C , dont la valeur en z est la valeur commune en z des fonctions gZo,r0 » telles que z G 2)L)5(zo,ro)- Cette application prolonge / , car si z G 2), toutes les applications gZ0}r0 ont pour valeur f(z) en z. Cette application est analytique, car si z G D, il existe (zo.ro) G E
72 Chapitre III Compléments sur les séries entières tel que z G 2)n£?(zo, t~o), et g coïncide sur l'ouvert 2)n#(20,7*0) contenant z , avec la fonction analytique gZo,r0 (l'analycité est une propriété locale). Si l'ouvert D contient U, ce qui est le cas dans les conditions de l'énoncé, alors il contient 2 . Soit d est la distance du compact 2 au complémentaire de D , qui est fermé ; on sait que d > 0 . Il est clair que £?(0,1 + d) C D , et par conséquent qu'on peut bien prolonger / en une fonction analytique sur un disque ouvert de rayon > 1, ce qu'il fallait démontrer. Exercice 6 Soit S = x>nXn G C{X} de rayon +00. Pour z G C, on pose f(z) = Y, anZn . a) Soit r > 0. On suppose : (Vz G C) |*| ^ r => Re (/(z)) ^ 0 . Montrer que (Vn ^ 1) |an| ^ ^n^^ • 6) Pour r > 0 on pose sup Re(/(z)) = J3(r). Montrez que si —► 0 , alors S = ao . r r—>+oo c) Soit ip(z) = exp ^(z)^ . On suppose que, pour tout e > 0 il existe K > 0 tel que (Vz € C) |^(z)| « Ke£ W . Montrer que ip est constante. ■ a) D'après le théorème III.1.1, pour tout n G N et tout r > 0, on a l'égalité : 2iranrn= j /(r e1*) e~iné? d0 . J —7T En reprenant la démonstration de ce théorème, on voit facilement aussi que pour tout r > 0 et tout n G , on a : f1" f(reïe)ein0de= ^amrm / e1 (m+n)*d6 = 0 , donc par conjugaison : ^ f(réd)e-'inede = 0 . «/ — 7T Nous en déduisons que pour tout n G N* , et tout r > 0 : 27ranrn -2 T Re(/(reifl)) e"in*d0 . J — 7T
III.3 Notions sur le logarithme complexe 73 2 7r|aJ r71 J-2Re (/(r eïe)) dû = -2Re (^Jf{r e{ e) dO^ = -4 tt Re (a0) d'où: rn |an| ^ -2Re(a0) . 6) Soit r > 0, posons g(z) = f(z) — B(r). On peut appliquer à la fonction g , qui est bien somme d'une série entière de rayon -f oo , les résultats du a). Nous en déduisons que pour tout n e N* : rn \on\ **-2 (Re(ao)-S(r)) , d'où pour tout n G N* et pour tout r > 0 : £(r)-Re(a0) (1) 0^|an|^2- r n On peut en déduire que si B(r)/r —> 0 , alors (Vn G N*) an = 0 , c'est- 7 > + 00 à-dire que S est constante. c) Pour tout e > 0 il existe if > 0 tel que pour tout z G C : = |exp(/(z))| = exp (Re (/(*))) « Kexp(e \z\) , et par conséquent : Re (/'(z)) ^ Log {K)+e\z\ . On voit donc que pour tout r > 0, £(r) ^ Log (if) -fer. D'après la majoration (1) du 6), pour tout r > 0 et tout n G N* : ■ - 0 Log if-fer - Re(ao) la"l ^ ^ ^ • Si n > 1, en faisant tendre r vers +oo, nous en déduisons an = 0. Pour n = 1, en faisant tendre r vers l'infini, nous en déduisons, |ai| =^ 2 e ; mais comme cette inégalité est vraie pour tout e > 0, nous obtenons finalement l^i |=0. La série formelle S est donc constante ; les fonctions S et cp sont par conséquent constantes. Comme pour tout z e C tel que \z\ ^ r , Re (f(z)) ^ 0 , on voit que :
74 Chapitre III Compléments sur les séries entières § III.3 NOTIONS SUR LE LOGARITHME COMPLEXE Exercice 2 Soit p G N , p ^ 3 . Pour k G [0,p - 1] , on pose ak(N) = V (iVçN*). n=0 a) Utiliser le logarithme principal pour démontrer, en posant Cj — e2i7r/p . où p(N) —► 0 , 7 désignant la constante d'Euler. N-+oo b) Mettre les expressions ainsi trouvées sous forme réelle, m a) Pour tout rG la formule (2) du §111.5 nous donne l'égalité : oo -Log(l-wr)= £ m=l m et par conséquent : p-l oo A /p-l r=l m—l \r=\ p-l On sait que si m = k + 1 mod p, alors Y a/m_(/e+1^r = p, et si m ^ r=0 p-i k -f 1 mod p , ^ a;(m-(fc+1))r — o . Nous en déduisons l'égalité : r=0 <$m,fc+lP ~ 1 m=l m où <5m,/c+i = 1 si p divise m — (k -f 1), et <5m,/c+i = 0 sinon. Par définition on a : k+Np N—+oo z—' m m= 1 Dans cette somme les indices qui sont congrus à k -f 1 modulo p sont /c -f 1, qui est le plus petit puisque le précédent serait A; + 1 — p ^ 0, /c + 1 + p , etc, fc + 1 + (iV — 1) p. On voit donc que : (iV-l fe+Np \ / k+Np \ y — y - ) = Hm [pak(N) - y - . ^fc + l+np ^ m) tv-oo r *v ; ^ m) n=0 m=l / \ ra=l /
III.3 Notions sur le logarithme complexe 75 Comme d'autre part : /k+Np \ E - -Log(fc + JVp) — 7 \ 771=1 / nous en déduisons : pak(N) - Log (/c -f Np) —► 7 4- S* , N—»oo ce qu'il fallait démontrer. b) La suite {(Tk(N))NeN* étant à valeurs réelles, on voit que pour tout k G , 5fc a une partie imaginaire nulle. Pour tout r G [l,p — 1] , on peut écrire : 1 - wr = 1 - e2i7rr/p = -2i sin(7rr/p)ei7rr/p . Comme sin(7r r/p) > 0 , et — n/2 < nr/p - 7r/2 < 7r/2 , nous en déduisons : -Log (1 - ur) = -Log (2 sin(7r r/p)) - i (nr/p — n/2) . Comme Sk est réel, on obtient : p—i p-i 5fc = '>>-<fc+1>'- (-Log (1 - U/)) = - E U*.r > r=l r=l où pour tout /c G [0,p — 1] et pour tout rG [l,p — 1] : Uk,r = /2(fc + l)r7r\ T / . /7rr\\ . /2 (k 4-1) r tt\ (nr tt On remarque que Ufc,r = uk,p-r • Si p est pair, p = 2 q , on a donc : q-l Sk = Uk,q + 2^\fc,r , r=l et si p est impair, p = 2 g -h 1 , alors : Q r=l
76 Chapitre III Exercice 4 : Compléments sur les séries entières Soit a et b deux entiers naturels, avec 1 ^ a < b. On note, oo i comme d'habitude, ((s) = Y ~ Pour 1 < 5 < +00 • On se n=l n oo oo /Û\ propose de calculer S = Y c(n) ( t ) «=2 V o / n=2 oo / 1 a) Montrer : S = a Y . . . m=i \bm — a bmJ b) En déduire: 5 = ^ ((a - l)Log(l-c), où C€/ib\{l} désigne {z eC\ zb = l) . c) Ecrire l'expression de S sous forme réelle, m a) Pour tout k e N* fixé, on a l'égalité : v — (-Y - (—\2 1 _ a2 _ / 1 _ 2^fc^U/ ~~U&/ 1-^ ~ kb(kb-a) ~a \kb-a kbj' Comme la série à termes positifs _ f _ est convergente, la famille ^ kb(kb-a) 1 /a\n> k>0 — (r) ) est sommable. En calculant sa somme S de deux manières différentes, on obtient l'égalité : /c>0,n=*2 n=2 fc>0 x 7 6) Posons u; = e2l7r//b . On a l'égalité : 6-1 £ (C - l)Log (1-0 = - (! " ^) ' Notons S" cette somme ; en utilisant la formule (2) du §111.5, nous obtenons : oo 6—1 oo -, / 6— 1 m=l r=l m=l \r=0 Si m est congru à 0 modulo b le terme de la somme intérieure vaut b/m , si m est congru à — a , c'est —b/m .et sinon le terme est nul. On remarque que
III.4 Fonctions usuelles dans le champ complexe 77 § iii.4 FONCTIONS USUELLES DANS LE CHAMP COMPLEXE Exercice 1 : Il Montrer, pour tout z G C , les inégalités suivantes : puisque 1 ^ a < 6 les deux premières éventualités sont bien exclusives. Le premier multiple de b rencontré est b , le premier indice congru —a modulo b est b — a , puisque b — a > 0 . On voit donc que : k=l x 7 On comparant avec les égalités trouvées précédemment on remarque que : S = —(a/b) Sf, c'est-à-dire : 5 = -? E (ca-i)Log(i-o , çe»b\{i} ce qu'il fallait démontrer. c) La somme 5 étant évidemment réelle, il est inutile de calculer la partie imaginaire de la somme, qui est nécessairement nulle. On a : 6-1 S' = £(^-l)Log(l-uo , r=l où lu = e2l7r/6 . Pour tout r G [1,6 — lj , on trouve comme dans l'exercice précédent : Log(l -LJr) = Log (2 sin(7rr/6)) + i (7rr/6-7r/2) , et: uar _ i ^ cos (2 7r a r/6) - 1 + i sin (2 7r a r/b) . Nous en déduisons : 5 = 6-1 [(1 - cos(2 7rar/6))Log(2 sin {nr/b)) + sin(2nar/b)(nr/b - tt/2)] .
78 Chapitre III Compléments sur les séries entières Pour tout z G C , on a : |e" - 1| E n=l Z ni OO i ,n ■E- n=l 1. Pour la deuxième inégalité, on peut utiliser le théorème des accroissements finis: pour tout r > 0 il existe c G ]0,r[ tel que: er — 1 = rec, et par conséquent pour tout z G C : e'*1 - 1 ^ \z\ e1*1 , l'inégalité étant stricte si z ^ 0 . Exercice 2 Montrer que si —n < a < tt , et si n G N , on a : sin az sin 7TZ ch ay ch 7H/ pour tout z e C tel que 2 = n + l/2 + iy (yeR), et sin az Sin 7TZ ch a(n + 1/2) sh7r(n + l/2) ' pour tout z e C tel que z = x + i (n + 1/2) ( x G IR ). i Calculons pour tout z = x + i y G C , où (x, y) G IR2 , le module de sin z et de cos z . On obtient facilement : sin(x -f i y) = sin(x) cos(i y) -f cos(x) sin(i y) = sin(x) ch (y) -f i cos(x) sh (y) , d'où: |sin z|2 = sin2 x ch2y -f cos2 x sh2y — sin2 x(l -h sh2y) -f (1 — sin2 x) sh2!/ = sin2 x -h sh2î/ = ch2y — cos2 x . La première inégalité sera vérifiée si, et seulement si, dans les conditions de l'énoncé : |sin az\2 ch27r?/ ^ |sin 7T2|2 ch2ay , ce qui, d'après ce qui précède, peut encore s'écrire : (ch2ay — cos2 ax) ch27ry ^ (ch27ry — cos2 ttx) ch2ay , soit enfin : cos2 ttx ch2 ay ^ cos2 ax ch27r?/ .
III.4 Fonctions usuelles dans le champ complexe 79 L'inégalité est vraie si x = n 4-1/2 , car on a alors cos ttx = 0 . Pour la deuxième inégalité posons toujours z = x 4- i y , où (x, y) G R2 ; on suppose y > 0. L'inégalité est vérifiée si, et seulement si : |sin az\2 sh27r?/ ^ |sin ttz\2 ch2ay , ce qui s'écrit : (ch2ay — cos2 ax) sh27n/ ^ (sh27n/ 4- sin2 ttx) ch2ay , soit enfin : 0 =^ cos2 ax sh2Try 4- sin2 ttx ch2ay . L'inégalité est donc toujours vraie si y > 0. Exercice 3 : Calculer les parties réelle et imaginaire des nombres suivants, où z G C et z = x + iy , avec (x, y) G R2 . a) za , où z € L et a = a 4- i 6 (a et 6 réels), par exemple i1 . b) Arc sin z , où 2 G T . ■ Rappelons que L = C \ R_ , et T = C \ {x G R | |x| ^ 1} . a) Posons z = pel° , où p> 0 et 0 G ] — 7r,7r[. Par définition : 2a = exp (a Log (z)) = exp ((a + i 6)(i0 4- Logp)) = = exp (a Log p — bô) exp (i (6 Log p 4- ad)) . On a donc : Re (za ) = exp (a Log p — b6) cos (6 Log p + a6) , et: Im (za) = exp fa Log p — bO) sin (6Logp + a0) . Rappelons enfin que : p — \/x'2 + y2 et 6 = Arg (x 4- iy) = 2 Arctg 2/ ^x 4- y/x2 + y2 ^ On obtient donc l'égalité : Re(za) =exp f - Log (x2 4- y2) -26 Arctg ^ ^ ^ - 2 yx 4- \/x2 4- y2 y x cos Log (x2 4- y2) 4- 2 a Arc tg ^ x 4- \Jx2 -Y y2
80 Chapitre III Compléments sur les séries entières et: x 4- \Jx2 4- y2 y x + y/x2 + y2 y X En particulier, comme i = e17r/2 , Log(i) — \ixj2 et par conséquent : b) Pour tout z G T posons Arc sin (z) = u(z)+iv(z), où (u(z),v(z)) G M2 . Puisque sin (Arc sin (z)) = z (formule (17) du §111.4) on a: z = x + iy = sin(u(z) 4- iv(z)) = sinu(z) ch -h i cosu(2;) shv(z) , La fonction réelle cos u ne peut pas prendre la valeur 0 sur T, sinon on aurait y = 0 et \x\ = chv(z) ^ 1, ce qui est exclu. Comme T est connexe et que u(0) = 0 , nous en déduisons que pour tout z G T, u(z) G ]-7r/2, tt/2[ . D'autre part, en notant u au lieu de u(x,y) et v au lieu de v(x,y) (voir aussi l'exercice précédent) : 1 + x2 4- y2 = 1 4- sin2 -h sh2 v = sin2 u 4- ch2 v et x2 = sin2 ch2 v , i1 = exp(i(i7r/2)) exp(—7r/2) . d'où: x = sin u(z) ch v(z) et y — cos u(z) sh v(z) . d'où: sin2u) (X -ch2v) =X2-(l+x2 + y2)X+x2 . Posons : A = (l + x2 + y2)2 - 4x2 = (l - x2)2 + 2(1 + x2)y2 + y4 . Comme sin2 u ^ ch2 v , on voit que : 1 4- x2 -f y2 - y/ 2 et ch2 v = 1 4- x2 4- y2 4- VK 2 Ceci permet de déterminer ch v : chv = ~Wl + x2 + y2 4- \/(ï + x2 + y2)2 - ,
III.4 Fonctions usuelles dans le champ complexe 81 — Arc sin yi+x2+tf2 + v/(l-x2)2 + 2(l+X2)2/2 +V/ Remarquons que d'après cette égalité la fonction (x, y) i—► u(x, y) peut être prolongée par continuité sur C = IR2 ; on vérifie que si |x| ^ 1, la valeur du prolongement par continuité de u en (x, 0) est : ~, ^ a • ( \/2x \ A . / X \ , x 7T u(x,0) = Arc sin —. = Arcsm — = sgn(x) — . K ' \^l+x* + \l-x*\) \\x\J ëV;2 Enfin, puisque y = cos u sh v , nous obtenons : / 2/ ch(v) v = Arg sh —===== = Arg sh yjl-x2/c\i2(v)) \^ch2(*;)-x2 Remarquons que si y ^ 0, on pouvait aussi écrire : v = sgn(y) Argch (^\A + x^ + V2 + - *2)2 + 2 (1 + x2) y2 + y4'^ . Cela nous permet de voir que pour x fixé, |x| ^ 1 : v(x,y) —► Argch f ^=1/1 -h x2 + |1 -x2| ) =Argch(|x|) , y->0+ \V2 / et: v(x,y) —► -Argch (|x|) . y—>0~ II est donc clair que la fonction v n'a pas de prolongement continu. Exercice 4 : Pour z G C, calculer lorsqu 'ils sont définis : Argth(th£) ; Arctg(tgz) ; Argsh(shz) ; Arc sin (sin z) et faire un dessin. ■ puis u, puisque x = sinuchv et u G ]— 7r/2,7r/2[ : u = Arc sin (= \chv/ y/2x
82 Chapitre III Compléments sur les séries entières Le domaine de définition de la fonction th est : D = C \ i (ttZ 4- 7r/2). Supposons que a et b soient deux éléments de D tels que th a = th 6. En réduisant au même dénominateur on obtient : 0 = sh a ch b — ch a sh b = sh (a — b) ; nous en déduisons que tha = thè si, et seulement si, il existe k eZ tel que b = a 4- i k 7r. Soit z = x 4- i y g D , où (x, y) g U2 . Comme th z = th (z), le complexe thz ne peut être réel, que si

References: l'article 40
 l'article 41
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