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Timestamp: 2020-07-07 13:34:22+00:00

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Libroproyectos.pdf | Estadísticas | Probabilidad
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Jose Guadalupe Saldana Garcia PYE Unidad Abasolo
ºº GLOSARIO alondra_berenice ºº
Silabus Estadistica i Sep-2012
 Los autores Departamento de Didáctica de la Matemática Facultad de Ciencias de la Educación Universidad de Granada 18071 Granada
ISBN: 978-84-694-9152-2 Depósito Legal: GR 4209-2011
Impresión: ReproDigital. Facultad de Ciencias Avda. Fuentenueva s/n. 18071 Granada.
Proyecto EDU2010-14947 y becas FPI BES-2011-044684 y FPU AP2009- 2807;(MCINN-FEDER), becas FPI BES-2008-003573 y FPU AP2007-03222 (MEC-FEDER) y Grupo FQM126 (Junta de Andalucía)
1. Enseñanza de la estadística a través de proyectos. Carmen Batanero, Carmen Díaz, J. Miguel Contreras y Pedro Arteaga
1.1.1. La estadística como cultura
1.1.2. Razonamiento estadístico
1.2. La estadística en las orientaciones curriculares
1.2.2. Educación Secundaria Obligatoria
1.2.3. Bachillerato
1.3. ¿Por qué una estadística basada en Proyectos?
1.4. ¿Cómo elegir un proyecto y trabajar con él?
1.5. Datos, sus tipos, fuentes de datos
1.6. Calculadoras y ordenadores
1.6.1. Cálculo y representación gráfica
1.6.2. Simulación
1.7. Recursos en Internet
1.7.1. Cursos y materiales didácticos
1.7.2. Revistas electrónicas y centros de recursos
1.7.3. Software didáctico en Internet (Applets)
1.8. Escritura del informe
1.9. Desarrollo de competencias básicas a través de proyectos
1.10. Evaluación de proyectos
2. Comprueba tus intuiciones respecto al azar. Carmen Batanero y Pedro Arteaga
2.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
2.4. Actividades de ampliación
2.5. Algunas dificultades y errores previsibles
2.5.1. Intuición en probabilidad
2.5.2. Percepción de la aleatoriedad
2.5.3. Elaboración de gráficos
2.5.4. Otras dificultades
2.6.Análisis del contenido estadístico
3. ¿Cómo son los alumnos de la clase? Carmen Batanero y Carmen Díaz
3.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
3.4. Actividades de ampliación
3.5. Algunas dificultades y errores previsibles
3.5.1. Lectura de gráficos
3.5.2. Tablas de frecuencias
3.5.3. Promedios
3.5.4. Tablas de contingencia
3.6. Análisis del contenido estadístico
4. Estadísticas de la pobreza y desigualdad. Carmen Batanero, Carmen Díaz y M. Magdalena Gea
4.2. Los datos
4.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
4.4. Actividades de ampliación
4.5. Algunas dificultades y errores previsibles
4.5.1. Lectura crítica de datos
4.5.2. Medidas de posición central
Pruebas médicas. Carmen Díaz
5.2. Los datos
5.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
5.4. Actividades de ampliación
5.5. Algunas dificultades y errores previsibles
5.5.1. Probabilidad condicional
5.5.2. Teorema de Bayes
Las matemáticas de la catadora de té. Carmen Batanero
6.2. Los datos
6.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
6.4. Actividades de ampliación
6.5. Algunas dificultades y errores previsibles
6.5.1. Variabilidad y representatividad muestral
6.5.2. Diferentes niveles del mismo concepto
6.5.3. Contraste de hipótesis
6.5.4. Probabilidad condicional
Coincidencias. Carmen Batanero
7.2. Los datos
7.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
7.5. Algunas dificultades y errores previsibles
7.5.1. Percepción de la aleatoriedad
7.5.2. Variable aleatoria
7.6. Análisis del contenido estadístico
8.2. Los datos
8.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
8.4. Actividades de ampliación
8.5. Algunas dificultades y errores previsibles
8.5.1. Comparaciones múltiples en inferencia
8.5.2. Interpretación de intervalos de confianza
8.5.3. Modelización en estadística
8.6. Análisis del contenido estadístico
9. Supervivencia en el Titanic. Carmen Díaz, Gustavo R. Cañadas y Carmen Batanero
9.2. Los datos
9.3. Preguntas, actividades y gestión de la clase
9.4. Actividades de ampliación
9.5. Algunas dificultades y errores previsibles
9.5.1. Estrategias intuitivas en el análisis de tablas de contingencia
9.5.2. Sesgos en el razonamiento covariacional
9.5.3. Concepciones sobre la asociación estadística
9.6. Análisis del contenido estadístico
10. Análisis de los proyectos presentados. Carmen Batanero y Carmen Díaz
10.2. Estructura de los proyectos y análisis de su contenido
10.2.1. Datos y campos de aplicación
10.2.2. Conceptos y propiedades
10.2.3. Lenguaje y representaciones
10.2.4. Procedimientos
10.2.5. Actitudes
10.2.6. Razonamiento
10.3. Ideas para nuevos proyectos
10.3.1. Actitudes hacia la estadística
10.3.2. ¿Existe discriminación laboral hacia la mujer?
10.3.3. España en la Comunidad Europea
10.3.4. Intención de voto en las elecciones al consejo escolar
10.3.5. ¿Tiene ventaja el equipo que juega en su propio campo?
10.3.6. ¿Cuántas lentejas tiene un kilo de lentejas?
10.3.7. ¿Es efectivo el entrenamiento?
Este libro es resultado de la investigación realizada dentro del Proyecto EDU2010-14947, Evaluación y desarrollo de competencias matemáticas y didácticas de profesores. Aplicación a los contenidos relacionados con la estadística y probabilidad, financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovación.
Como parte de dicho proyecto se ha revisado y ampliado el material docente elaborado a lo largo de la experiencia docente de dos de las autoras en varios cursos de Estadística aplicada o Didáctica de la Estadística. La mayor parte han estado dirigidos a profesores en formación en las Facultades de Educación y a estudiantes de Psicología, pero ocasionalmente se han impartido en otras titulaciones. También recoge nuestras ideas y experiencias en la impartición de talleres didácticos a profesores en ejercicio, dentro de congresos dirigidos al profesorado o congresos de estadística.
En todas estas experiencias, así como en el libro que presentamos el objetivo es presentar la estadística como una herramienta en la toma de decisiones y en la investigación o trabajo profesional. Los conceptos y técnicas estadísticas se introducen siempre en el contexto de una investigación, cuyas preguntas motivan la introducción de dichos contenidos.
Se ha tratado de fomentar el razonamiento estadístico, más que el aprendizaje rutinario y descontextualizado de conceptos y propiedades. Puesto que la tecnología hoy día permite aplicar la estadística con gran facilidad, cobra mayor importancia las actividades interpretativas que el cálculo rutinario. Es también muy importante que el estudiante cobre conciencia de la importancia de elegir un método adecuado y adquiera un lenguaje suficiente para consultar a un estadístico en los casos que dude en la elección de dicho método.
En el primer capítulo analizamos algunos puntos importantes de la enseñanza de estadística a través de proyectos, comenzando por la motivación de esta metodología de enseñanza. Argumentamos que el desarrollo del razonamiento estadístico en su sentido más amplio requiere
la integración del aprendizaje de esta materia dentro de pequeñas investigaciones o proyectos y analizamos los pasos en la solución de los mismos. Se reseñan también recursos disponibles en Internet, tanto para la elección de conjuntos de datos y temas de los proyectos, como para el cálculo estadístico, la consulta de los temas o la exploración de conceptos.
La segunda parte del libro incluye algunos ejemplos de proyectos desarrollados para trabajar en la clase de estadística, que podrían ser adecuados a diversos niveles de dificultad, bien en un curso de estadística para secundaria o primeros cursos de universidad. Cada proyecto comienza con la exposición de sus objetivos, el tipo de alumnos a los que va dirigido y los datos utilizados. Una primera parte incluye actividades más elementales, seguidas de otras de ampliación para trabajar con alumnos universitarios. Se ha tratado de mostrar que, con el mismo proyecto es posible trabajar en diferentes niveles educativos y en muchos de ellos se podría dar cabida a un contenido amplio de estadística.
Puesto que el libro está orientado principalmente a profesores, se complementa la presentación de los proyectos con sugerencias didácticas sobre posibles dificultades de los estudiantes, fruto del trabajo de síntesis de la literatura sobre educación estadística. Asimismo se hace un breve análisis del contenido trabajado en el proyecto.
El último capítulo sintetiza el contenido de los diferentes proyectos e incluye ideas para otros nuevos.
Esperamos que el libro sea útil para alumnos y profesores y los motive a adentrarse en el campo de la estadística.
1. Enseñanza de la Estadística a través de Proyectos
Carmen Batanero, Carmen Díaz, J. Miguel Contreras
y Pedro Arteaga
En una sociedad en continuo cambio, como la que nos ha tocado vivir, hemos dejado de asombrarnos por los avances de la ciencia y la tecnología. La estadística ha jugado un papel primordial en este desarrollo, al proporcionar herramientas metodológicas generales para analizar la variabilidad, determinar relaciones entre variables, diseñar de forma óptima experimentos, mejorar las predicciones y la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre.
Según Holmes (2002), la enseñanza de la estadística y probabilidad fue ya introducida en 1961 en el currículo de Inglaterra en forma opcional para los estudiantes de 16 a 19 años que querían especializarse en matemáticas, con el fin de mostrar las aplicaciones de las matemáticas a una amplia variedad de materias. Holmes y su equipo, con el proyecto School Council Project (Holmes, 1980) mostraron que era posible iniciar la enseñanza ya desde la escuela primaria, justificándola por las razones siguientes:
 La estadística es una parte de la educación general deseable para los futuros ciudadanos adultos, quienes precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia aparecen en los medios informativos.
 Es útil para la vida posterior, ya que en muchas profesiones se precisan unos conocimientos básicos del tema.
razonamiento crítico, basado en la valoración de la evidencia objetiva.
 Su estudio ayuda
∑ Ayuda a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la educación obligatoria como posterior, donde con frecuencia aparecen gráficos, resúmenes o conceptos estadísticos.
Esta relevancia ha producido un interés creciente por la enseñanza de la estadística, como se refleja en diferentes documentos curriculares, donde se insiste en la necesidad de comenzarla lo antes posible, y, al menos, en la educación secundaria obligatoria. Se habla de proporcionar una cultura estadística,
“que se refiere a dos componentes interrelacionados: a) capacidad para interpretar y evaluar críticamente la información estadística, los argumentos apoyados en datos o los fenómenos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, pero no limitándose a ellos, y b) capacidad para discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales informaciones estadísticas cuando sea relevante” (Gal, 2002, pp. 2-3).
El término “statistical literacy” ha ido surgiendo de forma espontánea entre los estadísticos y educadores estadísticos en los últimos años, quiere resaltar el hecho de que la estadística se considera hoy día como parte de la herencia cultural necesaria para el ciudadano educado. Como señala Ottaviani (1998):
“a nivel internacional la UNESCO implementa políticas de desarrollo económico y cultural para todas las naciones, que incluyen no sólo la alfabetización básica, sino la numérica. Por ello los estadísticos sienten la necesidad de difusión de la estadística, no sólo como una técnica para tratar los datos cuantitativos, sino como una cultura, en términos de capacidad de comprender la abstracción lógica que hace posible el estudio cuantitativo de los fenómenos colectivos” (p. 1).
Estas recomendaciones se tienen en cuenta en la enseñanza. Por ejemplo, en los recientes Principios y Estándares Curriculares del National Council of Teachers of Mathematic (NCTM, 2000) se recogen los siguientes objetivos para los niños de los niveles de 3º a 5º de primaria:
∑ Diseñar investigaciones para contestar una pregunta y considerar cómo los métodos de recogida de datos afectan al conjunto de datos.
∑ Recoger datos de observación, encuestas y experimentos.
∑ Representar datos en tablas, gráficos de línea, puntos y barras.
 Usar las medidas de posición central, particularmente la mediana y comprender qué es lo que cada una indica sobre el conjunto de datos.
 Comparar distintas representaciones de los mismos datos y evaluar qué aspectos importantes del conjunto de datos se muestran mejor con cada una de ellas.
 Proporcionar y justificar conclusiones y predicciones basadas en los datos y diseñar estudios para mejorar las conclusiones y predicciones.
Objetivos semejantes se incluyen para el resto de la educación primaria y educación secundaria obligatoria, donde o sólo se hace referencia a los conceptos y procedimientos, sino que se enfatiza todo el proceso de razonamiento estadístico, y el sentido de los datos. Sin duda esta es una propuesta curricular avanzada. A una mayor variedad y cantidad de contenidos estadísticos se une también la recomendación sobre un cambio en el enfoque: Se trata de presentar el análisis exploratorio de datos, centrar la estadística sobre las aplicaciones y mostrar su utilidad a partir de áreas diversas.
Estas recomendaciones se recogen y amplían en el proyecto GAISE (Franklin y cols., 2007), para la educación K-12. En estas directrices se indica que la enseñanza de la estadística debe tener como principal objetivo ayudar a los estudiantes a aprender los elementos básicos del pensamiento estadístico, entre otros los siguientes:
 La necesidad e importancia de los datos. Reconocer la necesidad de basar las decisiones personales en la evidencia (datos) y los peligros inherentes del que actúa sobre supuestos que no están respaldados por datos. Reconocer que es difícil conseguir datos de buena calidad y que el tiempo ocupado para formular problemas y obtener datos de buena calidad no es tiempo perdido.
 La omnipresencia de la variabilidad. Reconocer que la variabilidad es ubicua en muchos fenómenos cotidianos. La variabilidad es la esencia de la estadística como disciplina y no puede ser entendida sólo mediante estudio y lectura, sino que debe ser experimentada.
 La cuantificación y explicación de la variabilidad. Reconocer que la variabilidad puede ser medida y explicada, tomando en consideración lo siguiente: (a) aleatoriedad y distribuciones de las variables aleatorias; (b) parámetros de tendencia central y de
dispersión (tendencia y residuo); (c) modelos matemáticos paramétricos; (d) modelos de análisis exploratorio de datos.
Watson (2006) ha llevado a cabo investigaciones sobre la comprensión de los distintos contenidos del currículo de estadística y probabilidad y su relación con el desarrollo de cultura estadística en los alumnos. Según la autora, es importante que los alumnos se enfrenten a problemas estadísticos en los que el contexto juegue un papel importante, ya que es con este tipo de problemas con el que se encontraran cuando acaben la educación secundaria. La autora, teniendo en cuenta los objetivos del currículo de probabilidad y estadística en la escuela primaria y secundaria y relacionándolos con las habilidades que debiera tener una persona adulta estadísticamente culta, define una jerarquía de niveles de cultura estadística útil para evaluar la comprensión de los estudiantes (Watson, 1997). Los niveles propuestos son los siguientes:
 El desarrollo del conocimiento básico de los conceptos estadísticos y probabilísticos.
 La comprensión de los razonamientos y argumentos estadísticos cuando se presentan dentro de un contexto más amplio de algún informe en los medios de comunicación o en el trabajo.
 Una actitud crítica que se asume al cuestionar argumentos que estén basados en evidencia estadística.
Los objetivos anteriores se refieren no sólo a conocimientos conceptuales o procedimentales. El razonamiento estadístico es una componente esencial del aprendizaje. Este tipo de razonamiento, incluye según Wild y Pfannkuch (1999) cinco componentes fundamentales:
 Reconocer la necesidad de los datos: La base de la investigación estadística es la hipótesis de que muchas situaciones de la vida real sólo pueden ser comprendidas a partir del análisis de datos que han sido recogidos en forma adecuada. La experiencia personal o la evidencia de tipo anecdótico no es fiable y puede llevar a confusión en los juicios o toma de decisiones.
 Transnumeración: Los autores usan esta palabra para indicar la comprensión que puede surgir al cambiar la representación de los datos. Al contemplar un sistema real desde la perspectiva de modelización, puede haber tres tipos de transnumeración: (1) a partir de la medida que “captura” las cualidades o características del
mundo real, (2) al pasar de los datos brutos a una representación tabular o gráfica que permita extraer sentido de los mismos; (3) al comunicar este significado que surge de los datos, en forma que sea comprensible a otros.
 Percepción de la variación. La recogida adecuada de datos y los juicios correctos a partir de los mismos requieren la comprensión de la variación que hay y se transmite en los datos, así como de la incertidumbre originada por la variación no explicada. La estadística permite hacer predicciones, buscar explicaciones y causas de la variación y aprender del contexto.
 Razonamiento con modelos estadísticos. Cualquier útil estadístico, incluso un gráfico simple, una línea de regresión o un resumen puede contemplarse como modelo, puesto que es una forma de representar la realidad. Lo importante es diferenciar el modelo de los datos y al mismo tiempo relacionar el modelo con los datos.
 Integración de la estadística y el contexto: Es también un componente esencial del razonamiento estadístico.
Pensamos que la mejor forma de seguir estas recomendaciones es introducir en las clases de estadística el trabajo con proyectos, algunos de los cuales son planteados por el profesor y otros escogidos libremente por los alumnos. En lugar de introducir los conceptos y técnicas descontextualizadas, o aplicadas únicamente a problemas tipo, difíciles de encontrar en la vida real, se trata de presentar las diferentes fases de una investigación estadística: planteamiento de un problema, decisión sobre los datos a recoger, recogida y análisis de datos y obtención de conclusiones sobre el problema planteado.
Este recurso es ya habitual en muchos países, y cada vez más frecuente en España, donde tanto la Sociedad de Estadística e Investigación Operativa como algunos institutos de estadística organizan competiciones de proyectos estadísticos en las escuelas y universidades, siguiendo el ejemplo de Inglaterra (Hawkins, 1991; Holmes, 1997). Por ejemplo, Connor, Davies y Payne (2002) indican que cada vez es más frecuente la realización de estos proyectos por los alumnos de secundaria de entre 14 y 16 años en Inglaterra y el País de Gales, debido a que en su currículo de matemáticas se contempla la realización obligatoria de proyectos. Los proyectos varían desde problemas sencillos de representación de datos, hasta la comprobación de hipótesis o el uso de la simulación.
Nosotros hemos aplicado esta filosofía de enseñanza desde hace algunos años, preparando algunos materiales (Batanero y Godino, 2001)
para asignaturas de estadística aplicada que hemos impartido a alumnos de primer curso de Universidad. Otros ejemplos pueden encontrarse en Anderson y Loynes (1987) y en Batanero (2001), en donde presentamos un curso de estadística para secundaria basado en cinco proyectos, así como en MacGillivray y Pereira-Mendoza (2011), donde se hace una revisión del interés de los proyectos en las clases de estadística.
En los currículos españoles observamos un incremento de los contenidos de estadística que se recomiendan en la escuela primaria. Por ejemplo en el Decreto de Enseñanzas Mínimas de la Educación Primaria (MEC, 2006a) se incluyen los siguientes contenidos dentro del Bloque Tratamiento de la información, azar y probabilidad del área de Matemáticas:
PPrriimmeerr CCiicclloo::
- Gráficos estadísticos: Descripción verbal, obtención de información cualitativa e interpretación de elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos cercanos. Utilización de técnicas elementales para la recogida y ordenación de datos en contextos familiares y cercanos.
- Azar y probabilidad: Carácter aleatorio de algunas experiencias. Distinción entre lo imposible, lo seguro y aquello que es posible pero no seguro, y utilización en el lenguaje habitual, de expresiones relacionadas con la probabilidad.
SSeegguunnddoo CCiicclloo::
- Gráficos y tablas: Tablas de datos. Iniciación al uso de estrategias eficaces de recuento de datos. Recogida y registro de datos sobre objetos, fenómenos y situaciones familiares utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición. Lectura e interpretación de tablas de doble entrada de uso habitual en la vida cotidiana. Interpretación y descripción verbal de elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos familiares.
- Azar y probabilidad: Valoración de los resultados de experiencias en las que interviene el azar, para apreciar que hay sucesos más o
menos probables y la imposibilidad de predecir un resultado concreto. Introducción al lenguaje del azar.
TTeerrcceerr CCiicclloo::
- Gráficos y parámetros estadísticos: Recogida y registro de datos utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición. Distintas formas de representar la información. Tipos de gráficos estadísticos. Valoración de la importancia de analizar críticamente las informaciones que se presentan a través de gráficos estadísticos. La media aritmética, la moda y el rango, aplicación a situaciones familiares.
- Azar y probabilidad: Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación del grado de probabilidad de un suceso
Encontramos también en este documento los siguientes criterios de evaluación, relacionados con el tema:
 Primer Ciclo: Realizar interpretaciones elementales de los datos presentados en gráficas de barras. Formular y resolver sencillos problemas en los que intervenga la lectura de gráficos.
Se trata de valorar la capacidad de interpretar gráficos sencillos de situaciones familiares y verificar la habilidad para reconocer gráficamente informaciones cuantificables. También se pretende evaluar si los niños y las niñas están familiarizados con conceptos y términos básicos sobre el azar: seguro, posible, imposible…
 Segundo Ciclo: Recoger datos sobre hechos y objetos de la vida cotidiana utilizando técnicas sencillas de recuento, ordenar estos datos atendiendo a un criterio de clasificación y expresar el resultado de forma de tabla o gráfica.
 Tercer Ciclo: Realizar, leer e interpretar representaciones gráficas de un conjunto de datos relativos al entorno inmediato. Hacer estimaciones basadas en la experiencia sobre el resultado (posible, imposible, seguro, más o menos probable) de situaciones sencillas en las que intervenga el azar y comprobar dicho resultado.
Se evalúa la capacidad de recoger y registrar una información que se pueda cuantificar, utilizar algunos recursos sencillos de representación
gráfica: tablas de datos, bloques de barras, diagramas lineales
comprender y comunicar la información así expresada. Además, se comprobará que se empieza a constatar que hay sucesos imposibles, sucesos que con casi toda seguridad se producen, o que se repiten, siendo
más o menos probable esta repetición.
1.2.2. Enseñanza Secundaria Obligatoria
Respecto a la Enseñanza Secundaria Obligatoria el Decreto de Enseñanzas Mínimas de la Educación Secundaria (MEC, 2006 b) incluye, entre otros, los siguientes contenidos dentro del Bloque 6, Estadística y probabilidad:
- Diferentes formas de recogida de información. Organización en tablas de datos recogidos en una experiencia. Frecuencias absolutas y relativas. Diagramas de barras, de líneas y de sectores. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos.
SSeegguunnddoo ccuurrssoo::
- Frecuencias absolutas y relativas, ordinarias y acumuladas. Diagramas estadísticos. Análisis de los aspectos más destacables de los gráficos
- Medidas de centralización: media, mediana y moda. Significado, estimación y cálculo. Utilización de las propiedades de la media para resolver problemas. Utilización de la media, la mediana y la moda para realizar comparaciones y valoraciones. Utilización de la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar los cálculos y generar los gráficos más adecuados.
TTeerrcceerr CCuurrssoo
- Necesidad, conveniencia y representatividad de una muestra. Métodos de selección aleatoria y aplicaciones en situaciones reales.
- Atributos y variables discretas y continuas. Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias.
- Media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones. Análisis de la dispersión: rango y desviación típica. Interpretación conjunta de la media y la desviación típica. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. Actitud crítica ante la información de índole estadística.
- Utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para organizar los datos, realizar cálculos y generar las gráficas más adecuadas. Experiencias aleatorias.
- Sucesos y espacio muestral. Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Formulación y comprobación de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos. Cálculo de la probabilidad mediante la simulación o experimentación. Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en diferentes contextos.
CCuuaarrttoo ccuurrssoo OOppcciióónn AA
- Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico a partir de situaciones concretas cercanas al alumnado. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Uso de la hoja de cálculo. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones.
- Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades.
CCuuaarrttoo ccuurrssoo OOppcciióónn BB
- Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias.
- Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otras medidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y
dispersión para realizar comparaciones y valoraciones.
- Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada.
Entre otros criterios de evaluación encontramos los siguientes:
 Formular las preguntas adecuadas para conocer las características de una población, así como recoger, organizar y presentar los datos relevantes para responderlas, utilizando los métodos estadísticos apropiados y las herramientas informáticas adecuadas.
Se trata de verificar, en casos sencillos y relacionados con su entorno, la capacidad de desarrollar las distintas fases de un estudio estadístico:
formular la pregunta o preguntas que darán lugar al estudio, recoger la información, organizarla en tablas y gráficas, hallar valores relevantes (media, moda, valores máximo y mínimo, rango) y obtener conclusiones razonables a partir de los datos obtenidos.
 Valorar la capacidad para utilizar la hoja de cálculo, para organizar y generar las gráficas más adecuadas a la situación estudiada, teniendo en cuenta la adecuación de las tablas y gráficas empleadas, y analizar si los parámetros son más o menos significativos.
Se trata de valorar la capacidad de organizar, en tablas de frecuencias
y gráficas, información de naturaleza estadística, atendiendo a sus aspectos
técnicos, funcionales y estéticos (elección de la tabla o gráfica que mejor
presenta la información), y calcular, utilizando si es necesario la calculadora o la hoja de cálculo, los parámetros centrales (media, mediana
y moda) y de dispersión (recorrido y desviación típica) de una distribución.
 Valorar la capacidad de interpretar información estadística dada en forma de tablas y gráficas y de obtener conclusiones pertinentes de una población a partir del conocimiento de sus parámetros más representativos.
En relación al Bachillerato, el Decreto 1467/2007, de 2 de noviembre, por el que se establece la estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas (MEC, 2007) fija los siguientes contenidos:
MMaatteemmááttiiccaass II,, mmooddaalliiddaadd ddee CCiieenncciiaass yy TTeeccnnoollooggííaa::
- Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables
estadísticas. Regresión lineal.
- Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a posteriori.
- Distribuciones binomial y normal como herramienta para asignar probabilidades a sucesos.
aapplliiccaaddaass
HHuummaanniiddaaddeess yy CCiieenncciiaass SSoocciiaalleess
- Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables.
- Métodos estadísticos. Tablas y gráficos. Parámetros estadísticos de localización, de dispersión y de posición.
- Distribuciones bidimensionales. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervienen dos variables a partir de la representación gráfica de una nube de puntos. Grado de relación entre dos variables estadísticas. Regresión lineal. Extrapolación de resultados.
- Asignación de probabilidades a sucesos. Distribuciones de probabilidad binomial y normal.
- Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes.
- Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del límite, de aproximación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números.
- Problemas relacionados con la elección de las muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales.
- Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida.
- Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencias de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.
Otro aspecto a resaltar de los Decretos, son los criterios de evaluación que se contemplan, entre otros:
 Comprobar la capacidad de apreciar el grado y tipo de relación existente entre dos variables, a partir de la información gráfica aportada por una nube de puntos; así como la competencia para extraer conclusiones apropiadas, asociando los parámetros relacionados con la correlación y la regresión con las situaciones y relaciones que miden.
 Finalmente se pretende evaluar si, mediante el uso de las tablas de las distribuciones normal y binomial, los alumnos son capaces de determinar la probabilidad de un suceso, analizar una situación y decidir la opción más adecuada.
 Valorar tanto la competencia para estimar y calcular probabilidades asociadas a diferentes tipos de sucesos como la riqueza de procedimientos a la hora de asignar probabilidades a priori y a posteriori, compuestas o condicionadas. Con este criterio se evalúa también la capacidad, en el ámbito de las Ciencias Sociales, para tomar decisiones de tipo probabilístico que no requieran la utilización de cálculos complicados.
 Se pretende también comprobar la capacidad para identificar si la población de estudio es normal y medir la competencia para determinar el tipo y tamaño muestral, establecer un intervalo de confianza para μ y p, según que la población sea Normal o Binomial, y determinar si la diferencia de medias o proporciones entre dos poblaciones o respecto de un valor determinado, es significativa. Este criterio lleva implícita la valoración de la destreza para utilizar distribuciones de probabilidad y la capacidad para inferir conclusiones a partir de los datos obtenidos.
Estos documentos se concentran en el desarrollo del razonamiento estadístico, que va más allá del conocimiento matemático y de la comprensión de los conceptos y procedimientos. La modelización, la valoración de la bondad del ajuste de los modelos a la realidad, la formulación de cuestiones, la interpretación y síntesis de los resultados, la elaboración de informes son también componentes esenciales de las capacidades que queremos desarrollar en nuestros alumnos.
Hacemos notar que, además de las referencias a ideas elementales
sobre muestreo, se contempla un razonamiento inferencial intuitivo en el trabajo con análisis exploratorio de datos, al realizar predicciones o tomar decisiones. Del mismo modo se puede deducir el interés de introducir algunas ideas intuitivas sobre asociación entre variables y elementos del diseño experimental, pues sin estas ideas –al menos implícitas- será difícil trabajar realmente la filosofía del análisis exploratorio de datos.
Por otra parte, se valora el nivel de autonomía, rigor y sentido crítico alcanzado al analizar la fiabilidad del tratamiento de la información estadística que hacen los medios de comunicación y los mensajes publicitarios, especialmente a través de informes relacionados con fenómenos de especial relevancia social.
Una vez presentados los contenidos curriculares, desarrollaremos las principales razones que aconsejan la inclusión de proyectos en las clases de estadística. La primera es que, como señalan Anderson y Loynes (1987), la estadística es inseparable de sus aplicaciones, y su justificación final es su utilidad en la resolución de problemas externos a la propia estadística. La historia de la estadística muestra también como ésta recibe ideas y aportes desde áreas muy diversas, donde, al tratar de resolver problemas diversos (transmisión de caracteres hereditarios, medida de la inteligencia, etc.) se han creado conceptos y métodos estadísticos de uso general (correlación, análisis factorial).
Por otro lado, hay que diferenciar entre conocer y ser capaz de aplicar un conocimiento. La habilidad para aplicar los conocimientos matemáticos es frecuentemente mucho más difícil de lo que se supone, porque requiere no sólo conocimientos técnicos (tales como preparar un gráfico o calcular un promedio), sino también conocimientos estratégicos (saber cuándo hay que usar un concepto o gráfico dado). Los problemas y ejercicios de los libros de texto sólo suelen concentrarse en los conocimientos técnicos. Al trabajar con proyectos se coloca a los alumnos en la posición de tener que pensar en preguntas como las siguientes (Graham, 1987): ¿Cuál es mi problema? ¿Necesito datos? ¿Cuáles? ¿Cómo puedo obtenerlos? ¿Qué significa este resultado en la práctica?
Los proyectos estadísticos aumentan la motivación de los estudiantes. No hay nada que haga más odiosa la estadística que la resolución de ejercicios descontextualizados, donde se pida al alumno calcular la media o ajustar una recta de regresión a un conjunto de números. No hay que olvidar que la estadística es la ciencia de los datos y los datos no son
números, sino números en un contexto. La principal característica de un curso basado en proyectos es que el énfasis se da a las tareas, que, al menos aproximadamente, deben ser realistas. Como sugiere Holmes (1997) si los estudiantes trabajan la estadística por medio de proyectos se consiguen varios puntos positivos:
 Los proyectos permiten contextualizar la estadística y hacerla más relevante. Si los datos surgen de un problema, son datos con significado y tienen que ser interpretados.
 Los proyectos refuerzan el interés, sobre todo si es el alumno el que elige el tema. El alumno quiere resolver el problema, no es impuesto por el profesor.
 Se aprende mejor qué son los datos reales, y se introducen ideas que no aparecen con los “datos inventados por el profesor”: precisión, variabilidad, fiabilidad, posibilidad de medición, sesgo.
 Se muestra que la estadística no se reduce a contenidos matemáticos.
Los proyectos se conciben como verdaderas investigaciones, donde tratamos de integrar la estadística dentro del proceso más general de investigación. Deben escogerse con cuidado, ser realistas (incluso cuando sean versiones simplificadas de un problema dado) abiertos y apropiados al nivel del alumno.
Se comienza planteando un problema práctico y se usa luego la estadística para resolverlo. El razonamiento estadístico es una herramienta de resolución de problemas y no un fin en sí mismo. La Figura 1.1. contiene el esquema de la forma de trabajo en la que vemos que la parte puramente “matemática” de la estadística (la reducción, análisis e interpretación de los datos) es sólo una de las fases, y aún la interpretación ha de hacerse en función del contexto del problema planteado.
La fase de planteamiento de preguntas es una de las más difíciles. Los alumnos rara vez comienzan con un problema claramente formulado. Generalmente podrían comenzar sin preguntas claramente definidas y el papel del profesor es ayudarles a pasar de un tema general (deportes) a una pregunta que pueda contestarse (en la pasada temporada, ¿los equipos de fútbol que jugaron en su propio campo, lo hicieron mejor que los que jugaron en campo contrario?). Nolan y Speed (2002) sugieren que el profesor no debe centrarse en la terminología estadística, sino proporcionar estrategias generales que puedan generalizarse a otros datos y contextos.
Figura 1.1. Esquema del desarrollo de un Proyecto
Una lista de puntos a tener en cuenta al plantear las preguntas de investigación es la siguiente:
 ¿Qué quieres probar? ¿Qué tienes que medir /observar /preguntar?
 ¿Qué datos necesitas? ¿Como encontrarás tus datos? ¿Qué harás con ellos?
 ¿Crees que puedes hacerlo? ¿Encontrarás problemas? ¿Cuáles?
 ¿Podrás contestar tu pregunta? ¿Para qué te servirán los resultados?
El trabajo con proyectos en la clase de estadística plantea el problema de la gestión de la clase, de modo que se oriente a los alumnos hacia el aprendizaje de conceptos y gráficos, la ejercitación de las técnicas de cálculo y la mejora en sus capacidades de argumentación, formulación de conjeturas y creatividad.
Aunque la estadística se suele enseñar separada de la probabilidad, nosotros creemos que esta separación es artificial, puesto que, detrás de cualquier estudio estadístico hay una componente aleatoria. Por ello hemos de tratar de relacionar estos dos campos cuando sea posible, y en particular, en los proyectos.
Nos enfrentamos a diario a la necesidad de recoger, organizar e
interpretar sistemas complejos de datos y esta necesidad aumentará en el futuro, debido al desarrollo de los sistemas de comunicación y las bases de datos. El punto de comienzo de la estadística debería ser el encuentro de los alumnos con sistemas de datos reales: resultados deportivos de sus equipos favoritos, medios de transporte usados para ir a la escuela, temperatura máxima y mínima a lo largo de un mes; color o tipo de vehículo que pasa por delante de la ventana, etc.
Uno de los objetivos que debiera incluirse en un curso de estadística es capacitar al alumno para recoger, organizar, depurar, almacenar, representar y analizar sistemas de datos sencillos. Este objetivo comienza por la comprensión de las ideas básicas sobre organización de datos:
codificación grabación y depuración.
De este modo podrán ver que construir un sistema de datos propio y analizarlo no es lo mismo que resolver un problema de cálculo rutinario tomado de un libro de texto. Si quieren que el sistema de datos sea real, tendrán que buscar información cuando les falte, comprobar y depurar los errores que cometen al recoger los datos, añadir nueva información a la base de datos cuando se tenga disponible. Aprenderán a comprender y apreciar más el trabajo de los que realizan las estadísticas para el gobierno y los medios de comunicación. Si comprenden la importancia de la información fiable, se mostrarán más dispuestos a colaborar cuando se les solicite colaboración en encuestas y censos.
En la mayor parte de los conjuntos de datos hay al menos tres componentes: la descripción de las variables, los valores de las variable (campos), que es el cuerpo principal de los datos, y los resúmenes estadísticos de cada variable. Los campos pueden ser de longitud fija o variable, y puede haber campos vacíos. Asimismo, clasificamos las variables según diversas tipologías: cualitativas o cuantitativas; discretas, continuas; nominales, ordinales, datos de intervalo, de razón.
Sobre cada una de estas componentes pueden realizarse operaciones o transformaciones internas (clasificación, recodificación, agrupamiento) y
externas (insertar, borrar, seleccionar
Podemos clasificar variables,
clasificar los casos dentro de una variable o clasificar los resúmenes estadísticos, por ejemplo, por su magnitud. Podemos seleccionar casos por los valores de una variable, o seleccionar variables porque sus valores coinciden en una serie de casos. También es posible determinar relaciones entre estos componentes, por ejemplo, de dependencia, implicación, similaridad (dependencia entre variables; similaridad de sujetos; similaridad de variables). Estos tipos de operaciones deben ser presentadas para casos sencillos a los estudiantes, de modo que sean comprendidas.
Estos sistemas de datos pueden ser la base de trabajos interdisciplinares en geografía, ciencias sociales, historia, deportes, etc. En el caso de que los datos se tomen de los resultados de experimentos aleatorios realizados en la clase, estaremos integrando el estudio de la estadística y probabilidad. Hemos de animar a los alumnos a ser creativos. No todos los datos serán dados por el profesor. Para completar el proyecto
el alumno necesita recoger datos, que, pueden provenir de diversas fuentes,
ser obtenidos mediante diferentes técnicas, y corresponder a diversas escalas de medida y tipos de variables estadísticas (Tabla 1.1).
Tabla 1.1. Tipos de datos en los Proyectos
Naturaleza de la escala de medida
Variables estadísticas incluidas
Anuarios estadísticos, Encuestas, Experimento realizado en la clase, Internet, Prensa, Simulación
Observación, Encuesta, Medida
Nominal, Ordinal, Intervalo, Razón
Cualitativa, Cuantitativa discreta, pocos valores, Cuantitativa discreta, necesidad de agrupar, continua
Es importante que, a lo largo de la educación no universitaria el alumno tenga oportunidad de apreciar esta diversidad de datos estadísticos. Las ventajas de utilizar datos reales, tales como la motivación del alumnado, el poder hacer realidad la interdisciplinariedad o el aprender contenidos que no se adquieren simplemente con problemas tomados de los libros de texto son resaltadas por Hall (2011). Algunas veces los datos se encuentran disponibles, pero hay que saber localizarlos de diferentes fuentes, como libros o anuarios estadísticos. La Internet proporciona en la actualidad datos para cualquier tema por el que los alumnos estén interesados, bien a partir de servidores estadísticos específicos donde los profesores de estadística han puesto sus datos al servicio de la enseñanza, bien recurriendo a organismos oficiales como el INE (Instituto Nacional de Estadística), Eurostat, Unesco u otros. En la Tabla 1.2 mostramos algunos de estos servidores.
Por ejemplo en Connor, Davies y Bradley (2002) se sugieren diversas formas de usar los datos disponibles en el servidor Census at School para
trabajar en educación secundaria. En este proyecto participaron niños de 7
a 16 años quienes contribuyeron a recoger información para formar una
base de datos nacional sobre los niños en las escuelas que luego pudiera usarse para trabajar en las clases de estadística. El servidor es accesible a
las escuelas y contiene materiales didácticos, así como resúmenes y datos que pueden usarse en una variedad de asignaturas, enfatizando así el uso de la Internet y la estadística. Ejemplo del uso del Census at School en la formación de profesores también se presentan en Hall (2011).
Tabla 1.2. Algunas fuentes de datos en Internet
Australian CensusAtSchool Census at School Project Census at School Canada CensusAtSchool International The Data and Story Library GAISE Reports IEA Instituto de Estadística de Andalucia INE Instituto Nacional de Estadística INJUVE Instituto de la Juventud Instituto Nacional de Estadística y Geografía de Mexico Journal of Statistical Education StatLib---Datasets Archive UCLA Statistics Case Studies UNESCO World Health Organization
www.abs.gov.au/websitedbs/ www.censusatschool.org.uk/
www.censusatschool.ca/r000-eng.htm
www.censusatschool.com/ lib.stat.cmu.edu/DASL/ www.amstat.org/education/gaise/
www.juntadeandalucia.es:9002/
www.injuve.mtas.es/injuve/
lib.stat.cmu.edu/datasets/
Un recurso interesante es el llamado “Data sets and stories”, donde se acumulan conjuntos de datos, junto con su descripción y algunas indicaciones de sus posibles usos en la enseñanza. Los datos se pueden recuperar en formato útil para la mayor parte de paquetes estadísticos, hojas de cálculo y calculadoras gráficas. Otra fuente de datos es la revista Journal of Statistical Education que contiene una sección fija sobre datos y proyectos. En su servidor pueden encontrarse artículos que describen estos datos y como usarlos en la elaboración de proyectos y actividades prácticas. Las direcciones de éstos y otros servidores útiles para encontrar conjuntos de datos se presenta en la Tabla 1.2.
Ridgway, Nicholson y McCusker (2008) indican que actualmente hay un consenso, conducido, entre otros por la OECD y la Unión Europea, sobre la necesidad de medir el progreso de los distintos países, con un rango de indicadores, tales como la cohesión social o la riqueza (medidas tanto conceptualmente como técnicamente problemáticas). Todo esto requiere nuevas formas de información y por ello la necesidad de que los ciudadanos sean estadísticamente cultos nunca ha sido mayor. Actualmente
hay agencias y oficinas estadísticas que ponen a disposición de los ciudadanos toda clase de datos, lo que requiere la necesidad de desarrollar una mejor comunicación entre los productores de estadísticas y los consumidores.
Según los citados autores se espera que cualquier persona sea capaz de comprender las informaciones que provienen de diversas fuentes, como por ejemplo los medios de comunicación e Internet. Una observación que realizan es que los datos estadísticos disponibles y sus representaciones suelen ser multivariantes, con interacciones complejas entre las distintas variables, que en muchas ocasiones no están relacionadas linealmente. Esto podría suponer un problema ya que el currículo de la escuela no prepara a los estudiantes para tratar con este tipo de datos.
En la actualidad hay un considerable aumento de nuevas tecnologías y del uso de de Internet por parte de los ciudadanos, ampliándose los medios de comunicación personal. Por ejemplo es notable el aumento del uso de las redes sociales tales como Youtube o Facebook, donde las personas tienen oportunidad de presentar información sobre ellos mismos, y de páginas web donde se pueden encontrar y descargar gran variedad de datos estadísticos sobre diversos temas de actualidad. Los institutos nacionales de estadística y organizaciones como la OECD ofrecen tales datos, además de informes en que aparecen representaciones graficas interactivas sobre datos multivariantes, en las que los usuarios pueden elegir que variables representar y que comparaciones realizar. Para aprovechar su potencial, se deberían aprovechar las posibilidades que brindan las nuevas tecnologías, de manera que se innovase en la presentación de los datos estadísticos en páginas públicas de Internet, proporcionándose también foros de debate en los que se pudiesen interpretar y razonar críticamente sobre los distintos conjuntos de datos (Ridgway McCusker y Nicholson, 2008).
En otras ocasiones los datos son recogidos por los alumnos mediante la realización de una encuesta o a través de un experimento. La encuesta requerirá la elaboración de un cuestionario, fijando los objetivos del mismo, eligiendo las variables explicativas y redactando las preguntas que permitan obtener la información deseada de una forma clara y concisa. Si se pretende extender los resultados más allá de la muestra, la selección de una muestra representativa plantea problemas de tipo teórico y práctico, relacionados con la población objetivo y alcanzada, el marco de muestro, los métodos de selección, la administración del cuestionario y los problemas de no respuesta.
La información que queremos recoger puede corresponder a diversos niveles que se corresponden con diferentes técnicas de obtención de datos:
información consciente y conocida (encuesta), información desconocida, pero que puede deducirse de la observación e información no consciente ni observable (medida). Finalmente es importante considerar la naturaleza de las escalas de medida y tipo de variable estadística, puesto que de ellas depende el método de análisis de datos que se puede aplicar. La elección del conjunto de datos es crítica, pues dependiendo del tipo de datos la gama de técnicas estadísticas será más o menos amplia, ya que no todas las técnicas son aplicables a cualquier tipo de dato. El profesor también puede proporcionar ficheros de datos a los alumnos, para introducir algún tema particular o porque sea difícil de recoger por los propios alumnos.
En principio este tipo de páginas y software tienen un gran potencial para ayudar a desarrollar la cultura estadística de los ciudadanos, pero para ello deben cumplir las siguientes características (Ridgway, Nicholson y McCusker, 2008):
 Alta calidad de los conjuntos de datos disponibles y fiabilidad de las fuentes de información que los proporcionan.
 Alta calidad de las representaciones interactivas y que sean apropiadas para los datos que están siendo representados.
 Comentarios criticos sobre los datos, cuando estos contengan errores de razonamiento.
 Revisión profesional de los errores conceptuales mostrados en los comentarios.
 Facilidades de búsqueda de los distintos conjuntos de datos.
Las calculadoras gráficas se consideran en la enseñanza de la estadística, debido a su bajo coste. Entre las posibilidades que ofrecen a la enseñanza de la estadística, citamos:
 Transmisión de datos (entre calculadoras o calculadora y ordenador). Es posible, por ejemplo, tomar datos de Internet, sobre un tema de interés y transmitirlo a la calculadora, sin necesidad de tener que grabarlos a mano.
 Opciones de manejo de listas y posibilidad de transformación de los datos.
 Cálculos estadísticos y gráficos básicos para una y varias variables.
 Posibilidad de ser programadas.
 Generador de números aleatorios y tablas estadísticas básicas.
Cuando sea posible, los alumnos pueden usar ordenadores para llevar
a cabo sus proyectos, no sólo para el análisis de los datos, sino también
para elaborar sus informes. Los procesadores de texto son hoy compatibles con los programas estadísticos. El proyecto es así un pretexto para aprender estas herramientas que son hoy día esenciales. Es por ello que en el caso concreto de la estadística, los ordenadores son, con mucho, preferible a las calculadoras, cuando estén disponibles. Es un hecho de que un número creciente de alumnos cuenta en su casa o en la de algún amigo o familiar con ordenador personal.
Pratt, Davies y Connor (2011) discuten varias formas de uso del ordenador en la enseñanza de la estadística, que suponen una revolución sobre la forma en que se debe enseñar y se debe aprender estadística. Entre
ellas, resaltamos el uso de gráficos dinámicos interactivos, almacenamiento
y transmisión de datos, exploración de modelos a través de la simulación, y
la posibilidad de comunicación y compartir tareas. Además, las clases de estadística proporcionan actividades interesantes para introducir al alumno en el uso de recursos informáticos habituales, como procesadores de texto y hoja de cálculo, así como para el aprendizaje del manejo de la calculadora
científica y gráfica. Es interesante animar a los chicos a escribir un informe sobre su análisis, ya que la habilidad para producir informes comprensivos
y estructurados donde la información estadística se incorpore y presente
adecuadamente para apoyar la argumentación será sin duda útil en su futura vida profesional, sea cual fuere y es un medio también para el aprendizaje de los procesadores de texto.
Figura 1.2. Pantalla de una hoja electrónica con datos del Proyecto 1
Los ficheros de datos son fácilmente analizables desde una hoja electrónica, que podrían ser utilizadas por los chicos de 14 o 15 años. En la Figura 1.2. mostramos una hoja electrónica, donde hemos introducido los datos del proyecto 1. Este tipo de recurso proporciona una variedad de gráficos y funciones estadísticas. Por ejemplo, podemos usar la función CONTAR.SI, para calcular las frecuencias absolutas con que aparecen los diferentes valores en la tabla de datos.
1.3. Comparación de la longitud de la racha más larga en secuencias reales y simuladas con Statgraphics
disponer de un paquete estadístico sencillo de manejar, y también con los
enriquece notablemente. Como vemos en la Figura 1.3 para Statgraphics este tipo de software permite tener al mismo tiempo en la pantalla salidas numéricas y gráficas, cuyas opciones pueden ser modificadas fácil y rápidamente y aumenta por tanto las posibilidades exploratorias.
El ordenador puede y debe usarse en la enseñanza como instrumento de cálculo y representación gráfica, para analizar datos recogidos por el alumno o proporcionados por el profesor. Un problema tradicional en la enseñanza de la Estadística ha sido la existencia de un desfase entre la comprensión de los conceptos y los medios técnicos de cálculo para poder aplicarlos. La solución de los problemas dependía en gran medida de la habilidad de cálculo de los usuarios, que con frecuencia no tenían una
formación específica en matemáticas. Hoy día la existencia de programas fácilmente manejables permite salvar este desfase y realizar cálculos complejos en pocos segundos sin posibilidad de error. No tiene pues, sentido, hacer perder el tiempo a los alumnos ocupándoles en repetir una y otra vez cálculos tediosos para intentar aumentar su destreza de cálculo, sino que es preferible dedicar ese tiempo a actividades interpretativas y a la resolución de problemas.
Figura 1.4. Statiscope
La capacidad de graficación de los ordenadores permite también incorporar la filosofía del análisis exploratorio de datos, en que los gráficos y el cambio de uno a otro sistema de representación se usa como herramienta de descubrimiento y análisis. El manejo de diversas formas de representación dinámica e interactiva enriquece el significado de los conceptos mostrados a los estudiantes.
Sin embargo, esta mayor facilidad actual de empleo de procedimientos estadísticos, implica, sin embargo, el peligro del uso no adecuado de la estadística. Acostumbremos, pues, a los alumnos a planificar el análisis que quieren realizar incluso antes de finalizar la construcción de su sistema de datos. Si, por ejemplo, quieren hacer un estudio en su escuela para comparar la intención de voto de chicos y chicas en las próximas elecciones al consejo escolar, deben recoger una muestra lo
suficientemente representativa de chicos y chicas en los diferentes cursos escolares y deben recoger datos sobre las principales variables que influyan en esta intención de voto. De otro modo, sus conclusiones pudieran estar sesgadas o ser poco explicativas.
Tabla 1.3. Algunos programas de cálculo y exploración estadística en Internet
Cuwe statistics programs
Elementary introduction to Bayesian statistics
Gasp: The Globally Accessible Statistical Procedures,
Statiscope www.df.lth.se/~mikaelb/statiscope/statiscope-enu.shtml
Stattucino Applet
Vista - The Visual Statsistical System forrest.psych.unc.edu/research/index.html
www.stat.uiuc.edu/~stat100/cuwu
bayes.bgsu.edu/nsf_web/jscript_progs.htm
www.stat.sc.edu/rsrch/gasp
nces.ed.gov/nceskids/Graphing
www.math.montana.edu/Rweb/
www.berrie.dds.nl/
www.statcrunch.com/
statpages.org/
Respecto a los programas estadísticos (software estadístico) existe hoy día una gran variedad, desde programas profesionales, como SPSS o Statgraphics, las hojas de cálculo como Excel o programas específicos para la enseñanza, algunos de los cuales están disponibles en Internet. Tanto la localización de estos programas como de los datos para los proyectos supone un uso didáctico de la Internet que también justifica el empleo de los ordenadores. Hemos incluido una lista de algunos de estos recursos en la Tabla 1.3.
Si no es posible recurrir a los ordenadores, las calculadoras, en especial las gráficas pueden sustituirlos. El volumen de datos en muchos proyectos (como los presentados como ejemplo) hace posible el trabajo con calculadora. Tanto en este caso, como en el del uso del ordenador, se requiere la codificación de los datos en forma numérica. Es importante que el profesor resalte la diferencia entre el código y el valor de la variable. El hecho de, por ejemplo, poder calcular la media de los códigos numéricos asignados a los valores de una variable cualitativa (como el sexo) no indica que tenga sentido el valor obtenido.
Un uso característico del material en estocástica es la simulación. En ocasiones el estudio de un problema de probabilidad es complejo para el alumno. Una pregunta que sin duda se plantea el profesor es si sería disponible realizar un estudio intuitivo de estos temas con ayuda del material concreto, calculadoras u ordenadores. Afortunadamente, contamos con la simulación., que para Heitele (1975) es en estadística algo parecido a lo que constituye el isomorfismo en otras ramas de las matemáticas.
En la simulación ponemos en correspondencia dos experimentos aleatorios diferentes, de modo que a cada suceso elemental del primer experimento le corresponda un suceso elemental del segundo y sólo uno, y los sucesos puestos en correspondencia en ambos experimentos sean equiprobables. Como indica Girard (1997) al trabajar mediante simulación estamos ya modelizando, porque debemos no sólo simplificar la realidad, sino fijar los aspectos de la misma que queremos simular y especificar unas hipótesis matemáticas sobre el fenómeno estudiado. Otras posibilidades de
la simulación se discuten en Fernándes, Batanero, Contreras y Díaz (2009).
Por ejemplo, podemos “simular” el experimento aleatorio consistente en observar el sexo de un recién nacido mediante el experimento aleatorio consistente en lanza una moneda al aire. Ahora bien, son muchos los aspectos que podríamos estudiar sobre un recién nacido, como el grupo sanguíneo, su peso o su raza, que no podrían simularse con el lanzamiento de la moneda. También hacemos una hipótesis (matemática) sobre equiprobabilidad para los dos sexos, independientemente de la raza, sexo y antecedentes familiares. Sólo una vez que hemos hecho estos supuestos, podremos comenzar el trabajo con la simulación. Como indican Chaput, Girard y Henry (2011) la simulación constituye una verdadera modelización en probabilidad.
Lo importante de ésta es que podemos operar y observar resultados del segundo experimento y utilizarlos para obtener información del primero. Por ejemplo, si queremos saber cual es la probabilidad que entre 100 recién nacidos hay más de un 60% de varones, podemos lanzar, por ejemplo 1000 veces 100 monedas al aire, estudiar en cada uno de los 1000 experimentos si hubo o no más de un 60% de nacimientos y obtener una estimación para la probabilidad pedida. La ventaja de la simulación es obvia, incluso en este ejemplo tan sencillo, pues permite condensar el experimento en un tiempo y espacio concreto.Vemos además que la simulación es, en si misma un modelo de la realidad simulada, puesto que simplifica la propia realidad y supone un trabajo de abstracción sobre la misma. Es además un modelo material (o bien algorítmico si usamos un
simulador de una calculadora u ordenador), que nos permite reproducir físicamente el experimento y observarlo y por tanto, permite un trabajo intuitivo sobre el modelo sin necesidad del aparato matemático.
Entre el dominio de la realidad en que se encuentra la situación que queremos analizar y en la que interviene el azar y el dominio teórico donde, con ayuda de la matemática construimos un modelo teórico de probabilidad que debe, por un lado, simplificar la realidad y abstraer sólo sus aspectos esenciales y, por otro, ser útil para interpretar los caracteres retenidos en la modelización, Coutinho (2001) sitúa el dominio pseudo- concreto en el que podríamos trabajar con los alumnos por medio de la simulación.
Mientras que en el dominio de la realidad se efectúa una acción o experiencia concreta y en el dominio teórico es característica la representación formal o simbólica, en el dominio pseudo concreto se opera mentalmente. En este dominio alumno ya ha salido de la realidad y trabaja con una situación abstracta idealizada. Por ejemplo, se imagina que está trabajando con dados perfectos, prescinde de las condiciones del lanzamiento. Al mismo tiempo conserva la denominación de las caras del dado real para nombrar los resultados del dado idealizado. El papel didáctico del modelo pseudo-concreto es inducir implícitamente el modelo teórico a los alumnos, incluso aunque su formulación matemática formalizada no sea posible (Henry, 1997).
Para presentar un modelo se pueden utilizar diversos tipos de lenguajes o representaciones. Incluso podemos usar palabras de la vida común, a las que atribuimos nuevos significados más precisos (como el caso que hemos descrito), usando la analogía. Un caso muy interesante son los modelos de urna. En el caso de observar el sexo de un recién nacido podríamos simularlo sustituyéndolo por el experimento que consiste en elegir al azar con reemplazamiento una bola de una urna en la que introducimos dos bolas de diferente color para representar los dos sexos. Si queremos simular otro experimento aleatorio con dos sucesos en forma que sus probabilidades sean p y q (p+q=1), basta usar una urna en que se mantengan las proporciones p y q para los dos colores de bolas. Simular un experimento con r sucesos diferentes solo requiere usar bolas de r colores distintos, respetando las probabilidades correspondientes.
Cualquier problema probabilístico implica una serie de experimentos aleatorios compuestos de una determinada manera. Cada uno de estos experimentos puede ser “simulado” con un modelo de urnas convenientemente escogido (de una forma algo más compleja y usando una transformación inversa de la función de distribución, incluso los modelos continuos de probabilidad podrían simularse indirectamente, mediante este
Es decir, es posible asignar el experimento consistente en extraer al azar una bola de una urna con una cierta composición de bolas de colores. El experimento compuesto de varios experimentos simples se obtiene componiendo las “urnas” correspondientes a los experimentos simples (obteniendo una hiperurna) y la repetición del experimento global, junto con el análisis de los datos producidos permite una solución aproximada del problema. En este sentido la urna con bolas de colores (fichas, tarjetas) es un “material universal”, válido para estudiar cualquier problema o concepto probabilístico. Por ello la simulación proporciona un método “universal” para obtener una estimación de la solución de los problemas probabilísticos, que no tiene paralelo en otras ramas de la matemática.
Además de la simulación con modelos de urnas y otros materiales manipulativos, las tablas de números aleatorios son también un instrumento de simulación universal, como hemos mostrado con algunos ejemplos presentados en nuestro libro Azar y probabilidad (Godino, Batanero y Cañizares, 1997).
Aunque es importante que los alumnos realicen algunas actividades de simulación con apoyo de material manipulativo, como moneda, dados o ruletas y con tablas de números aleatorios, es realmente el ordenador el que proporciona una mayor potencia de simulación. La mayoría del software estadístico proporciona generadores de números aleatorios, así como de valores de diferentes distribuciones de probabilidad, que pueden, una vez generados, ser analizados con ayuda de los recursos de cálculo y representación.
Otras posibilidades son los módulos de estudio de las diferentes distribuciones de probabilidad con representación gráfica y cálculo de valores críticos y áreas bajo la función de densidad. Unido esto a la posibilidad de extracción de muestras de valores de estas distribuciones de tamaño dado, almacenamiento de las mismas en nuevos ficheros de datos, que pueden ser analizados, proporciona una herramienta muy interesante para la introducción de ideas de inferencia. Finalmente existen programas didácticos específicos para explorar conceptos estocásticos, desde los más elementales a los más avanzados, como, por ejemplo los procesos estocásticos.
Una nueva dimensión en la enseñanza y la práctica estadística está siendo marcada por Internet. En esta sección realizamos un resumen de los
recursos disponibles en la red, continuando el trabajo de Batanero (1998) y Contreras (2009).
El prototipo de los cambios previsibles con las nuevas tecnologías es el curso Chance, desarrollado en cooperación por varias universidades americanas. Este curso presenta el uso de los conceptos básicos de estadística en la prensa. Un boletín electrónico proporciona trimestralmente resúmenes de artículos de prensa que usan conceptos de estadística. Adicionalmente una base de datos contiene planificación de cursos que han utilizado este material y una guía para el profesor.
Las clases de un curso de este tipo se organizan del modo siguiente: se elige un artículo reciente y se preparan algunas preguntas relacionadas. Los estudiantes, en grupos, leen el artículo e intentan contestar las preguntas formuladas u otras relacionadas que surjan durante la discusión. Todo ello se utiliza como base para introducir un tema de estadística relacionado con el contenido del artículo. Siguiendo este modelo, cada vez son más los profesores que incluyen sus materiales didácticos y libros de texto –desde los más sencillos a los más avanzados- y los ponen libremente en Internet. Algunos ejemplos se presentan en la Tabla 1.4.
El profesorado no sólo se actualiza a partir de libros. Las revistas dirigidas a profesores o incluso las revistas de investigación didáctica son una fuente de ideas para el aula y de información sobre las dificultades de los estudiantes. Muchas revistas también se han adaptado y se publican en versión electrónica- acompañada o no de una versión impresa.
The Journal of Statistics Education es una revista publicada desde 1993, electrónicamente, cuyo tema es la enseñanza de la estadística a nivel universitario. La universidad de North Carolina mantiene una base de datos relacionada con esta revista donde se contiene otra serie de recursos para la enseñanza de la estadística. Una diferencia con una revista convencional es que es posible a los lectores mandar comentarios a un artículo o hacer búsquedas automatizadas de artículos sobre un cierto tema. Muchos de estos comentarios serán seleccionados para pasar a ser parte del archivo y, por tanto, del propio artículo. Incluye "teaching bits’ que proporciona resúmenes de artículos de interés para los profesores de estadística.
Tabla 1.4. Cursos y material didáctico
A New View of Statistics Animated Statistics Demonstrations Aula virtual de Bioestadística CAST Concepts & Applications of Inferential Statistics Curso de Inferencia para Bachillerato
Electronic Statistics Textbook Engineering Statistics Handbook Estadística Económica Estadística On-line Exploratory and Graphical Methods of Data Analysis Generalized Linear Models Glossary of Statistical Terms
HyperStat Introductory statistics Material docente Unidad de Bioestadística Métodos Estatísticos e Numéricos
faculty.uncfsu.edu/dwallace/
e-stadistica.bio.ucm.es/index_modulos.html
www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEduc
ativos/mem2001/estadistica/index2.htm
www.statsoft.com/textbook/
www.uv.es/~lejarza/estadistic.htm
mem.uab.cat/mqamador/
www.math.yorku.ca/SCS/Courses/eda/
data.princeton.edu/wws509/
www.stat.berkeley.edu/users/stark/SticiGui/T ext/index.htm davidmlane.com/hyperstat/index.html
www.psychstat.missouristate.edu/sbk00.htm
centros.edu.xunta.es/iesaslagoas/metodosesta/
Stat 101 Modules; Exploratory Statistics student.stat.wvu.edu/SRS/Stat101/stat101fr.ht
links.math.rpi.edu/webhtml/PSindex.html
SticiGui: Statistical Tools for Internet and Classroom Instruction Statistics at Square One Statistics Every Writer Should Know Statistics Tutorials for WINKS Statistics UCLA, Statnotes: Topics in Multivariate Analysis StatPrimer STEPS - STatistical Education through Problem Solving,
The Little Handbook of Statistical Practice Visual Statistics Studio
www.stat.berkeley.edu/~stark/SticiGui/index.
www.bmj.com/statsbk/
www.texasoft.com/tutindex.html
faculty.chass.ncsu.edu/garson/PA765/statnote.
www.sjsu.edu/faculty/gerstman/StatPrimer/
www.stats.gla.ac.uk/steps/home.html
www.tufts.edu/~gdallal/LHSP.HTM
www.visualstatistics.net/
A pesar de su prestigio, este instrumento se ha visto insuficiente y la necesidad de una revista de investigación específica ha sido cada vez más apremiante, sin dejar de reconocer el importante papel que están llenando otras revistas como Teaching Statistics, y Journal of Statistics Education,
orientadas principalmente a profesores (en los niveles de educación básica y secundaria y universitaria, respectivamente).
Para cubrir esta necesidad, IASE puso en marcha la revista Statistics Education Research Newsletter (SERJ) para impulsar y mejorar la investigación específica en educación estadística y al mismo tiempo difundir sus resultados. Una característica específica de esta revista es el aceptar trabajos en tres idiomas diferentes – castellano, inglés y francés- con objeto de ayudar a superar las dificultades lingüísticas que supone para muchos investigadores, especialmente jóvenes- la exigencia de un único idioma posible de publicación de sus trabajos. En la Tabla 1.5 listamos algunas de estas revistas dedicadas específicamente a la educación estadística.
Tabla 1.5. Revistas electrónicas
Chance www.amstat.org/publications/chance
Journal of Statistical Education Statistique et Enseignement
Technology Innovations in Statistics Education Significance
www.statistique-et-enseignement.fr/ojs/
escholarship.org/uc/uclastat_cts_tise
www.wiley.com/bw/journal.asp?ref=1740-
9705&site=1
www.stat.auckland.ac.nz/~iase/serj/
Servidores con recursos
Algunas páginas web preparan listas de recursos para la enseñanza y aprendizaje de nociones estocásticas. Generalmente contienen varios de los citados anteriormente, artículos de investigación o con sugerencias para el aula, vínculos a otros recursos, applets, etc. Presentamos una lista en la Tabla 1.6. Estos servidores son de una gran utilidad porque, a partir de ellos se puede acceder a otras páginas relacionadas con la educación estadística, ya que también suelen contener listas de vínculos relacionados con el tema.
Un vínculo que incluimos por su importancia a nivel internacional en el campo de la Educación Estadística es el de la International Association for Statistical Education (IASE), que es una de las cinco secciones asociadas al International Statistical Institute (ISI), con lo que queremos conectar, a los interesados en la Educación Estadística y en la investigación en este campo, con esta asociación y con su línea de trabajo.
Tabla. 1.6. Centros de Recursos
ARTIST https://app.gen.umn.edu/artist/publications.html
alea-estp.ine.pt/
ASA, Center for Statistics Education
amstat.org/education/index.cfm
www.stat.unipg.it/CIRDIS/
CTI Statistics (University of Glasgow)
www.gla.ac.uk/departments/statistics/
www.ugr.es/~batanero/
Emerging Technologies Statistics
www.emtech.net/statistics.htm
www.estadisticaparatodos.es/
IASE, International Association for
www.stat.auckland.ac.nz/~iase/
Statistical Education ISTAC
www2.gobiernodecanarias.org/istac/webescolar
NCTM, National Council of Teachers
of Mathematics Probability web
www.mathcs.carleton.edu/probweb/probweb.ht
Recursos Educativos para profesores Redemat, Estadística Royal Statistical Society Centre for Statistical Education Web Estadística de Navarra Web Interface for Statistics Education WebStat,
www.ucv.cl/web/estadistica
www.recursosmatematicos.com/estadistica.html
www.rsscse.org.uk/
www.pwpamplona.com/wen/
wise.cgu.edu/index.html
www.stat.sc.edu/webstat/
Esta asociación fue creada en 1991 y está dedicada al desarrollo y mejora de la Educación Estadística. Sus miembros son personas interesadas en la enseñanza de la estadística en cualquiera de los niveles educativos, el desarrollo de software estadístico, la enseñanza de la estadística en empresas o industria, preparación de expertos estadísticos para las unidades estadísticas en el gobierno y el desarrollo curricular, libros de texto y materiales.
La sociedad organiza cada cuatro años el ICOTS (International Conference on Teaching Statistics) y, como conferencia satélite del ICME, las Round Table Conference sobre un tema específico de Educación Estadística. También participa en las reuniones bianuales del ISI con sesiones especiales sobre educación. Además de tener su propia revista y una sección especial en la revista Teaching Statistics, colabora en diversas publicaciones del ISI y en el Statistical Literacy Project. El servidor de IASE es el principal recurso en Internet para la Educación Estadística,
proporcionando enlaces a grupos de discusión, software, revistas, congresos, sociedades y recursos educativos de todo tipo.
Destacamos también los recursos ofrecidos por algunas oficinas de estadística. Los organismos responsables de la elaboración de las estadísticas necesitan la colaboración de los ciudadanos en el proceso de recolección de datos para evitar problemas de no respuesta, no veracidad o información faltante. Por ellos están interesados en aumentar la confianza del público en la confidencialidad de la información y en mostrar como su ayuda en el proceso de una encuesta podrá servir para tomar decisiones acertadas que reviertan en su propio beneficio y en el desarrollo global.
Esta preocupación está llevando a estos organismos a implicarse de una forma activa y creciente en el desarrollo y difusión de recursos para la enseñanza. Un buen ejemplo lo tenemos en el Proyecto ALEA que proporciona instrumentos de apoyo para la enseñanza de la estadística para alumnos y profesores de educación primaria y secundaria.
Asimismo se organizan los mini-censos escolares, con la doble finalidad de dar a conocer a los alumnos lo que es un censo, el tipo de
información recogida y cómo es procesada, y, por otro, aumentar el interés
y colaboración de los padres y en general de los ciudadanos, en la
elaboración del censo. Proyectos similares han sido desarrollados en
relación con el censo 2001 en otros países; por ejemplo, en el Reino Unido, Italia, Sudáfrica, Australia y Nueva Zelanda, quienes realizan en la escuela actividades de comparación del censo escolar en los países participantes, y preparan materiales didácticos, recursos y actividades para la enseñanza de
la estadística, basadas en el proyecto.
Existe una gran cantidad de software disponible en Internet, especialmente para la exploración y simulación (Ver tabla 1.7). En la figura 1.5. mostramos un ejemplo de simulador del aparato de Galton, que, además de visualizar la trayectoria de la bolas permite un recuento del número que cae en cada posición final y comparar con la distribución teórica.
Figura 1.5. Aparato de Galton
Tabla 1.7. Applets estadísticos
Applets for teaching and research
www.stat.sc.edu/~west/javahtml/
Cybergnostic Project
www.stat.sc.edu/~west/applets/cyberg.html
Elementary Statistical Java Applets and Tools,
www.stat.uiuc.edu/~stat100/cuwu/
GASP Initiative - Globally Accessible Statistical Procedures
lstat.kuleuven.be/java/index.htm
www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/
sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/tutorial1.html
www.bbn-
Virtual Laboratories in Probability and Statistics,
school.org/us/math/ap_stats/applets/applets.html
www.du.edu/psychology/methods/concepts/
investigación llevada a cabo de una forma clara y lógica. Los apartados que podría tener este informe, corresponden a las fases de la investigación:
Problema, datos, análisis e interpretación. El informe puede irse realizando según se avanza el trabajo, ayudará a los alumnos a pensar, planificar y llevar a cabo el proyecto, y proporciona un resumen del trabajo realizado. Refuerza, además, el proceso de razonamiento estadístico al tener que relatar para otra persona sus decisiones, acciones e interpretaciones.
El trabajo con proyectos contribuye a la adquisición de las siguientes competencias básicas recogidas en el Decreto de Enseñanzas Mínimas de Educación Secundaria:
 Competencia en comunicación lingüística. Durante el desarrollo del proyecto los alumnos se ejercitan en la construcción y comunicación del conocimiento y la organización y autorregulación del pensamiento. Además adquieren destrezas y actitudes como formarse un juicio crítico, generar ideas y disfrutar expresándose tanto de forma oral (exponiendo las conclusiones obtenidas a sus compañeros) como escrita (redactando el informe del proyecto).
 Competencia matemática. Puesto que han de utilizar y relacionar números enteros, fraccionarios y decimales, los alumnos aplican operaciones básicas, símbolos, formas de expresión y razonamiento matemático. Utilizan las proporciones, funciones, elementos geométricos y de medición. También ponen en práctica procesos de reflexión que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de información, por medio del reconocimiento de las técnicas apropiadas. Al trabajar con los proyectos, los alumnos integraran el conocimiento matemático con conocimientos de otras disciplinas, ya que la parte “matemática” es sólo una fase del proyecto.
 Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. El trabajo con proyectos posibilita la comprensión de sucesos de la actualidad y sus consecuencias y el análisis de fenómenos sociales desde diversos puntos de vista. Hace también posible identificar preguntas o problemas en la vida diaria o en la actualidad y obtener conclusiones basadas en pruebas, con la finalidad de comprender y tomar decisiones. Procura una habilidad progresiva para poner en práctica los procesos y actitudes propios del análisis sistemático de una tarea y de indagación científica, ya que los proyectos se conciben como auténticas investigaciones.
 Tratamiento de la información y competencia digital. En las fases de “recogida de datos” y “organización, análisis e interpretación de los datos”, se habitúa a los alumnos a buscar, obtener y procesar información para transformarla en conocimiento. Los proyectos contribuyen al aprendizaje del uso de calculadora, ordenadores y software y adquirir destrezas de razonamiento para organizar la información, relacionarla, analizarla, sintetizarla y hacer inferencias y deducciones de distinto nivel de complejidad.
 Competencia social y ciudadana, pues se adquieren conocimientos diversos y habilidades complejas que permiten participar, tomar decisiones y responsabilizarse de las elecciones y decisiones adoptadas. Además, se conciencia a los alumnos de la importancia de la estadística en la sociedad actual, implicándose a través de procesos estadísticos en la mejora de la sociedad (participando en los censos, etc.). Por otro lado, los proyectos es aconsejable realizarlos en grupos de 2 o 3 personas, lo cual fomenta la cooperación y la valoración del trabajo de los demás. Finalmente ayuda a tener una actitud crítica y reflexiva en la valoración de la información disponible, contrastándola cuando es necesario, y respetando las normas de conducta acordadas socialmente.
 Competencia para aprender a aprender, se ejercita la curiosidad de plantearse preguntas, identificar y manejar las diversas técnicas y estrategias con las que afrontar una misma situación problemática y afrontar la toma de decisiones con la información de la que se dispone. Se ejercitan habilidades para obtener información y para transformar dicha información en conocimientos propios.
 Autonomía e iniciativa personal. Es preferible que los proyectos sean planteados por los propios alumnos, fomentando así su capacidad de elegir con criterio propio, de ejercitar su imaginación y de llevar adelante las acciones necesarias para desarrollar las acciones y planes personales. Además en el proyecto el estudiante no depende tanto del profesor, pues tiene libertad para elegir las estrategias de resolución.
1.10. Evaluación de los Proyectos
Un punto que sin duda preocupa, tanto a alumnos como a profesores, es la evaluación. En Webb (1993) se concibe la evaluación como un proceso dinámico y continuo de producción de información sobre el progreso de los alumnos hacia los objetivos de aprendizaje. El principal propósito es mejorar el aprendizaje de los alumnos.
Es necesario reconocer la complejidad de la función evaluadora, debido a que ésta debe atender a las múltiples facetas del conocimiento estadístico (comprensión conceptual y procedimental, actitudes). Precisamos todo un sistema para recoger datos sobre el trabajo y rendimiento del alumno y no es suficiente evaluarlo a partir de las respuestas breves dadas a preguntas rutinarias en una única evaluación (o examen). Por el contrario, en un proyecto se reflejan bien los diversos aspectos del conocimiento matemático, que se deben tener en cuenta en la planificación de la instrucción y en su correspondiente evaluación según los estándares del NCTM (2000), algunos de los cuales incluimos a continuación:
 Comprensión conceptual: Dar nombre, verbalizar y definir conceptos; identificar y generar ejemplos válidos y no válidos; utilizar modelos, diagramas y símbolos para representar conceptos; pasar de un modo de representación a otro; reconocer los diversos significados e interpretaciones de los conceptos; identificar propiedades de un concepto determinado y reconocer las condiciones que determinan un concepto en particular; comparar y contrastar conceptos.
 Conocimiento procedimental: Reconocer cuándo es adecuado un procedimiento; explicar las razones para los distintos pasos de un procedimiento; llevar a cabo un procedimiento de forma fiable y eficaz; verificar el resultado de un procedimiento empíricamente o analíticamente; reconocer procedimientos correctos e incorrectos; reconocer la naturaleza y el papel que cumplen los procedimientos dentro de las matemáticas.
 Resolución de problemas: Formular y resolver problemas; aplicar diversas estrategias para resolver problemas; comprobar e interpretar resultados; generalizar soluciones.
 Formulación y comunicación matemática: Expresar ideas matemáticas en forma hablada, escrita o mediante representaciones visuales; interpretar y juzgar ideas matemáticas, presentadas de forma escrita, oral o visual; utilizar el vocabulario matemático, notaciones y estructuras para representar ideas, describir relaciones
 Razonamiento matemático: Utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas; utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y construir argumentos válidos; analizar situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes;
 Actitud o disposición hacia las matemáticas: Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas, comunicar ideas y razonar;
flexibilidad al explorar ideas matemáticas y probar métodos alternativos para la resolución de problemas; deseo de continuar hasta el final con una tarea matemática; interés, curiosidad e inventiva al hacer matemáticas; inclinación a revisar y reflexionar sobre su propio pensamiento y su actuación; valorar la aplicación de las matemáticas a situaciones que surjan de otras materias y de la experiencia diaria; reconocer el papel que cumplen las matemáticas en nuestra cultura, y el valor que tienen como herramienta y como lenguaje.
La evaluación del proyecto debe llevarse a cabo en varias etapas (Starkings, 1997), para proporcionar a los estudiantes ayuda en su ejecución. Esta autora sugiere también que la evaluación de los proyectos, y evaluación individual de cada estudiante participante, debe tener en cuenta el interés del proyecto, su completitud, la corrección de las técnicas estadísticas e interpretación, la claridad del informe, así como la integración del estudiante en el equipo, su esfuerzo individual y su contribución al trabajo colectivo.
Puesto que los estudiantes valoran aquello sobre los que los examinamos, debemos examinarlos sobre las habilidades y conocimientos que para nosotros son más importantes. Una buena evaluación debe asegurar que el estudiante aprende y no sólo que aprueba. Algunos puntos que podrían tenerse en cuenta en la evaluación de un proyecto son los siguientes:
 Pregunta de interés: Si es la pregunta de investigación es relevante, está claramente enfocada y expuesta. Si es una pregunta que se puede abordar con los conocimientos del estudiante. En este apartado podría tenerse también en cuenta la definición de las variables, la descripción de cómo se pueden medir, la exposición correcta de los objetivos y, en el caso de que sea pertinente, la exposición de las hipótesis.
 Diseño de la investigación: Un mismo problema se puede abordar de muchas formas diferentes. Para evaluar el diseño se debe tener en cuenta si se especificó la forma en que el estudiante aborda el problema,, incluyendo la descripción de población y muestra y el modelo en que los estudiantes recogieron datos. Se tendrá en cuenta si los datos permiten resolver la cuestión investigada
 Análisis de datos: Se debe valorar si el análisis de datos es adecuado al tipo de variables y a la pregunta de investigación, si se respetan los supuestos de aplicación de los diferentes métodos y si los métodos están correctamente aplicados.
 Conclusiones: Las conclusiones han de ser consistentes con el análisis; los datos deben apoyar las conclusiones obtenidas Además han de
relacionarse con las preguntas de investigación, objetivos e hipótesis.
 Reflexión sobre el proceso: Es interesante incluir una reflexión sobre las limitaciones del estudio y sugerencias de cómo mejorar el diseño o el análisis.
 Presentación de resultados. La presentación, incluyendo claridad y corrección de los gráficos, organización adecuada en secciones y apartados y correcta expresión escrita es también pertinente.
 Creatividad y originalidad: El último punto a valorar es la originalidad del trabajo y creatividad del alumno.
En este capítulo hemos analizado cómo los proyectos están concebidos para introducir en la clase una filosofía exploratoria y participativa, en concordancia con las recomendaciones recientes sobre enseñanza de la estadística, presentando, tanto un ejemplo propuesto por el profesor, como otro elegido y llevado a cabo por una alumna, como parte de un trabajo en grupo. Lo deseable sería que los propios alumnos eligieran el tema en el que quieren trabajar y elaborasen sus propios proyectos en grupos de dos o tres alumnos, que podrían también conectarse con otras áreas curriculares. Con ello aumentaríamos su interés por la materia.
Como sugieren Murray y Gal (2002) la comprensión, interpretación y reacción frente a la información estadística no sólo requiere conocimiento estadístico o matemático, sino también habilidades lingüísticas, conocimiento del contexto, capacidad para plantear preguntas y una postura crítica que se apoya en un conjunto de creencias y actitudes. Todas estas capacidades se incentivan en el trabajo con proyectos.
Cobb y Hodge (2002) sugieren también que el trabajo en grupos y la perspectiva socio cultural en la clase de estadística centra la atención de los estudiantes en lo que supone la estadística como una parte importante de su aprendizaje. Focaliza su propia identificación como posibles productores de estadísticas con relación a sus propios intereses y problemas.
Finalmente Nolan y Speed (2002) resaltan la importancia de desarrollar la capacidad discursiva de los estudiantes, como medio de ampliar sus habilidades de pensamiento crítico. En la producción de su informe el estudiante debe situar el análisis de sus datos dentro de un argumento coherente y convincente que apoye sus hipótesis. La comunicación de ideas a partir de tablas y gráficos es especialmente importante en el razonamiento estadístico.
2. Comprueba tus intuiciones sobre el azar
Carmen Batanero y Pedro Arteaga
Se trata de realizar un experimento para comprobar si tenemos buenas intuiciones respecto a los experimentos aleatorios. En concreto tratamos de comprobar si somos capaces de simular una secuencia de resultados aleatorios.
Para ello se propone un experimento, donde utilizaremos el dispositivo aleatorio más sencillo posible: una moneda equilibrada, comparando los resultados obtenidos al lanzar realmente una moneda con los simulados.
La finalidad principal es hacer reflexionar al alumno sobre el hecho de que nuestras intuiciones sobre el azar nos engañan con frecuencia. También se les quiere mostrar la utilidad de la estadística en la prueba de nuestras hipótesis o teorías (en este caso la hipótesis de que nuestras intuiciones sobre los fenómenos estocásticos son correctas).
Puesto que las variables a tratar son discretas y las actividades no introducen conceptos estadísticos complejos, el proyecto podría ser adecuado para alumnos a partir de 13-14 años, es decir, desde el comienzo de la educación secundaria. También puede proponerse a alumnos de universidad, utilizando con éstos un análisis más completo de los datos.
Los datos son producidos como resultado del experimento que será realizado por cada uno de los alumnos de la clase. El proyecto es interdisciplinar, como ocurre con muchos proyectos estadísticos y cuyo campo de aplicación es la Psicología, más concretamente el estudio de las
intuiciones. Una vez realizados los experimentos individuales se continúa con algunas preguntas a los alumnos sobre si ellos piensan que tienen o no buenas intuiciones, a lo cual diferentes estudiantes dan respuestas variadas.
Una vez conseguido el interés del estudiante, se centra la discusión sobre la aleatoriedad y la intuición sobre los fenómenos aleatorios. Se pide a los estudiantes que den ejemplos de fenómenos aleatorios, respondiendo en la mayoría con juegos de azar tales como la lotería, lanzar un dado o lanzar una moneda. El profesor añade otros ejemplos diferentes en meteorología o en el nacimiento de un niño (género).
Se continúa la sesión con una discusión sobre si las personas tienen o no buena intuición respecto a los fenómenos aleatorios. El profesor pregunta a los alumnos qué interés puede tener el educar la intuición sobre los fenómenos aleatorios; los alumnos no parecen tenerlo claro. El profesor describe problemas como la ludopatía, la interpretación incorrecta de resultados de pruebas médicas, o la valoración incorrecta de la evidencia en juicios u otras situaciones de toma de decisión.
Se sugiere empezar con preguntas similares a las siguientes y realizar en clase una discusión colectiva.
1. ¿Cómo piensas que deberían ser los resultados de lanzar una moneda 20 veces seguidas? ¿Serías capaz de escribir 20 resultados de lanzar una moneda (sin lanzarla realmente, sino como tú pienses que debieran salir) de forma que otras personas piensen que has lanzado la moneda en realidad? O, ¿podría otra persona adivinar que estás haciendo trampa?
El experimento consiste en inventar una secuencia de 20 posibles resultados al lanzar una moneda equilibrada (sin lanzarla realmente) de modo que la secuencia pueda pasar como aleatoria para otra persona y comparar con los resultados de 20 lanzamientos reales de una moneda. Este experimento está adaptado de otros realizados en las investigaciones sobre percepción subjetiva de la aleatoriedad.
2. Vamos a comprobar qué tal son tus intuiciones respecto a los resultados aleatorios. Abajo tienes dos cuadrículas. En la primera de ellas escribe 20 resultados sin realizar realmente el experimento. En la segunda mitad lanza la moneda 20 veces y escribe los resultados obtenidos. Pon C para cara y + para cruz.
Se da a los estudiantes una hoja de registro como la reproducida a
Comprueba tus intuiciones
continuación y se les pide que completen, en primer lugar la parte de arriba, inventando una secuencia de 20 lanzamientos de una moneda equilibrada, y que traten de repartir las caras y cruces, tal como ellos piensan que podrían salir al azar. Seguidamente cada estudiante lanza 20 veces una moneda y registra los resultados en la segunda parte.
Una vez que los alumnos han realizado el experimento tendrán diferentes resultados. Unos posibles resultados son los siguientes:
Finalizado el experimento, el profesor inicia la discusión sobre cómo comparar los resultados de la totalidad de la clase en las secuencias reales y simuladas. Pregunta a los estudiantes qué se podría hacer para comparar las secuencias producidas por los estudiantes, haciendo alguna pregunta como la siguiente:
3. ¿Cómo podremos distinguir una secuencia realmente aleatoria de otra que hemos inventado?
Se dejará algún tiempo para pensar y a continuación se organiza una discusión colectiva. Seguramente algún alumno sugerirá contar el número de caras y cruces que debe ser aproximadamente igual en la secuencia real, ya que hay las mismas posibilidades para la cara que para la cruz. El profesor cuenta las que obtuvo en su experimento, que fue registrado en la pizarra (10 caras en la secuencia simulada y 11 en la real) y pregunta a los estudiantes que han obtenido ellos, con lo cual cada uno cuenta las caras en sus dos secuencias y van dando las respuestas.
4. Pero, ¿hemos de obtener exactamente 10 caras y 10 cruces? ¿Qué pasa si obtenemos 11 caras y 9 cruces? ¿Y si obtenemos 18 y 2? ¿Qué os parece si comparamos el número de caras en las secuencias real y simulada de todos los alumnos de la clase?
El profesor pregunta si el hecho de obtener 10 caras en la secuencia simulada indica buena intuición. Algunos alumnos dicen que sí, porque ya que hay 20 lanzamientos y las caras y cruces tienen las mismas posibilidades, se ha de esperar más o menos 10 caras en los 20 lanzamientos. El profesor pide levantar la mano a los que obtuvieron 10 caras en la secuencia simulada, que es la mayoría de la clase, resultado que les produce bastante satisfacción, pues indica buenas intuiciones.
Para sacar conclusiones se recogen los datos de todos los alumnos de la clase, tanto del número de caras en las secuencias simuladas como en las reales, para proceder, primeramente al análisis de cada una de estas dos variables y luego a la comparación de las principales diferencias en su distribución. Para ejemplificar la realización de la actividad utilizaremos los resultados obtenidos en una clase de 27 alumnos, quienes obtuvieron los siguientes números de caras en las secuencias simuladas.
5. Hemos recogido el número de caras en las secuencias simuladas por cada alumno de la clase ¿Cómo podríamos organizar y resumir estos datos? ¿Cuáles son el valor mínimo y máximo obtenido? ¿Cómo representar los datos de modo que sepamos cuántas veces aparece cada valor? ¿Cuál es el valor más frecuente?
Tabla 2.1. Número de caras en las secuencias simuladas
El profesor ayudaría a identificar el valor máximo y mínimo y a
organizar un recuento y tabla de frecuencias como la Tabla 2.1. haciéndoles ver su utilidad para resumir la información.
Figura 2.1. Número de caras en secuencias simuladas. Gráfico de puntos
Figura 2.2. Gráfico de barras Figura 2.3. Gráfico de sectores
Núm ero de caras
N. Caras en la secuencia simulada
Una vez realizada la tabla de frecuencias el profesor sugiere realizar una representación gráfica. El gráfico de puntos (Figura 2.1) es muy sencillo de construir con ayuda de un papel cuadriculado y puede ser un paso previo a la introducción del gráfico de barras (Figura 2.2) y gráfico de sectores (Figura 2.3). Mientras en los dos primeros se visualiza mejor el carácter numérico de la variable, la moda, la dispersión y la forma de la distribución, en el gráfico de sectores se visualiza mejor la importancia relativa de cada valor respecto al conjunto de datos. Puede mostrarse también como una aplicación en el tema de las fracciones y servir para introducir o repasar los conceptos de sector circular y amplitud del mismo, así como de aplicación en el tema de la proporcionalidad.
De igual modo se realizaría el estudio del número de caras en las secuencias reales, para finalmente comparar las dos distribuciones y analizar si existen algunas diferencias importantes que indiquen que nuestra intuición respecto a la aleatoriedad nos engaña.

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución