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Timestamp: 2016-09-30 17:30:52+00:00

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tipler mosca vol. 1 6º ed
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Registro bibliográfico (ISBD) Tipler, Paul A. [Physics for scientists and engineers. Español] Física para la ciencia y la tecnología. Mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica / Paul A. Tipler, Gene Mosca ; coordinador y traductor: José Casas Vázquez; traductores: Albert Bramon Planas… [et al.]. – Barcelona : Reverté, 2010. XXIV , 456, [12] p. : il. col. ; 27 cm. Índice. DL B-25919-2010. – ISBN 978-84-291-4429-1 1. Física. I. Mosca. Gene, coaut. II. Casas-Vázquez, José, coord., trad. III. Bramon Planas, Albert, trad. IV. Título. 53
Physics for Scientists and Engineers, Sixth Edition.
W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York and Basingstoke 41 Madison Avenue, New York (NY) -- U.S.A. -
Copyright © 2008 by W. H. Freeman and Company. All Rights Reserved Edición en español: © Editorial Reverté, S. A., 2010
ISBN: 978-84-291-4429-1 ISBN: 978-84-291-4428-4 Volumen 1 Obra completa
Versión española: COORDINADOR Y TRADUCTOR
Dr. José Casas-Vázquez Catedrático de Física de la Materia Condensada
Dr. Albert Bramon Planas Catedrático de Física Teórica Dr. Josep Enric Llebot Rabagliati Catedrático de Física de la Materia Condensada Dr. Fernando M. López Aguilar Catedrático de Física Aplicada Dr. Vicenç Méndez López Profesor Agregado de Física de la Materia Condensada
Universidad Autónoma de Barcelona España
MAQUETACIÓN: REVERTÉ-AGUILAR CORRECCIÓN DE ESTILO: CARLOS CISTUÉ SOLÁ
EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15. Local B Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 08029 Barcelona. ESPAÑA reverte@reverte.com
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Impreso en España - Printed in Spain Depósito Legal: B-25919-2010 Impresión y encuadernación: Liberdúplex, S.L.U.
Volumen 1A PARTE I
Medida y vectores / 1 El movimiento en una dimensión / 27 Movimiento en dos y tres dimensiones / 63 Leyes de Newton / 93 Aplicaciones adicionales de las leyes de Newton / 127 Trabajo y energía cinética / 173 Conservación de la energía / 201 Conservación del momento lineal / 247 Rotación / 289 Momento angular / 331 Gravedad / 363 Equilibrio estático y elasticidad / 397 Fluidos / 423
Volumen 1B PARTE II OSCILACIONES Y ONDAS
14 15 16 Oscilaciones / 457 Movimiento ondulatorio / 495 Superposición y ondas estacionarias / 533
Volumen 1C PARTE III TERMODINÁMICA
17 18 19 20 R Temperatura y teoría cinética de los gases / 563 Calor y primer principio de la termodinámica / 591 Segundo principio de la termodinámica / 629 Propiedades y procesos térmicos / 665 Relatividad especial / R.1
RELATIVIDAD Y ESTRUCTURA DE LA MATERIA
34 35 36 37 38 39 40 41 Dualidad onda-partícula y física cuántica / 1173 Aplicaciones de la ecuación de Schrödinger / 1203 Átomos / 1227 Moléculas / 1261 Sólidos / 1281 Relatividad / 1319 Física nuclear / 1357 Las partículas elementales y el origen del universo / 1389
APÉNDICES Y RESPUESTAS
Apéndice A Unidades SI y factores de conversión / AP.3 Apéndice C Tabla periódica de los elementos / AP.1 Respuestas de los problemas impares del final de los capítulos / A.viii
Volumen 2A PARTE IV ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Campo eléctrico I: distribuciones discretas de carga / 693 Campo eléctrico II: distribuciones continuas de carga / 727 Potencial eléctrico / 763 Capacidad / 801 Corriente eléctrica y circuitos de corriente continua / 839 El campo magnético / 887 Fuentes del campo magnético / 917 Inducción magnética / 959 Circuitos de corriente alterna / 995 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas / 1029
Volumen 2B PARTE V LUZ
31 32 33 Propiedades de la luz / 1055 Imágenes ópticas / 1097 Interferencia y difracción / 1141
PARTE VI MECÁNICA CUÁNTICA.6 Apéndice de matemáticas / M.1
.1 Apéndice B Datos numéricos / AP.
. Siempre que se considera necesario. Aquí. En la sección Solución.
! EVO NU
En la sexta edición destaca una nueva estrategia de resolución de problemas en la que los Ejemplos siguen un formato sistemático de Planteamiento.Prefacio
La sexta edición de Física para la ciencia y la tecnología presenta un texto y herramientas online completamente integrados que ayudarán a los estudiantes a aprender de un modo más eficaz y que permitirá a los profesores adaptar sus clases para enseñar de un modo más eficiente. un apéndice de matemáticas integrado y nuevas herramientas para mejorar la comprensión conceptual. cada paso de la solución se presenta con un enunciado escrito en la columna de la izquierda y las ecuaciones matemáticas correspondientes en la columna de la derecha. lo que permite a los estudiantes comprobar su comprensión. o información adicional relativa a los conceptos presentados. de manera que a los estudiantes les resulte más fácil seguir el razonamiento. las etapas de resolución de problemas siguen contando con las ecuaciones necesarias al lado. los estudiantes van al Planteamiento del problema. el problema se analiza tanto conceptualmente como visualmente. El texto incluye un nuevo enfoque estratégico de resolución de problemas. Al final del capítulo se incluyen las respuestas para facilitar una comprobación inmediata. hechos interesantes.
Después de cada enunciado del problema. la resolución del problema y la comprobación de sus respuestas. Este formato conduce a los estudiantes a través de los pasos implicados en el análisis del problema. Los nuevos temas de actualidad en física destacan temas innovadores que ayudan a los estudiantes a relacionar lo que aprenden con las tecnologías del mundo real. los Ejemplos van seguidos de Problemas Prácticos para que los estudiantes puedan evaluar su dominio de los conceptos. En esta edición. La Observación sugiere una forma distinta de enfocar un ejemplo o da información adicional relevante para el ejemplo. A la solución le sigue normalmente un Problema Práctico. Solución y Comprobación.
La Comprobación recuerda a los estudiantes que han de verificar que sus resultados son precisos y razonables. Los Ejemplos a menudo incluyen útiles secciones de Observación que presentan formas alternativas de resolución de problemas.
. geometría. • relaciona conceptos matemáticos con conceptos físicos del libro. trigonometría y cálculo.
APÉNDICE DE MATEMÁTICAS INTEGRADO
Esta edición ha mejorado el apoyo matemático a los estudiantes que estudian Matemáticas al mismo tiempo que introducción a la Física o a los estudiantes que requieren repasar las Matemáticas. • proporciona Ejemplos y Problemas Prácticos para que los estudiantes puedan comprobar su comprensión de los conceptos matemáticos. Solución y Comprobación para solucionar satisfactoriamente los problemas.xiv
En casi todos los capítulos se incluye un recuadro llamado Estrategia de resolución de problemas para reforzar el formato Planteamiento. El Apéndice de Matemáticas completo • revisa resultados básicos de álgebra.
Las comprobaciones de conceptos se colocan cerca de temas relevantes. identificados mediante signos de exclamación.
PEDAGOGÍA PARA ASEGURAR LA COMPRENSIÓN CONCEPTUAL
Se han añadido herramientas prácticas para los estudiantes para facilitar un mejor comprensión conceptual de la física.
Las nuevas Comprobaciones de conceptos facilitan a los estudiantes comprobar su comprensión conceptual de conceptos físicos mientras leen los capítulos. para ayudar a los estudiantes a comprender en profundidad conceptos físicos esenciales. ayudan a los estudiantes a evitar errores habituales. de modo que los estudiantes no sólo obtienen una comprensión conceptual básica sino que tienen que evaluar sus respuestas. Los nuevos avisos de errores frecuentes. las notas al margen permiten a los estudiantes ver fácilmente la relación entre los conceptos físicos del texto y los conceptos matemáticos. Estos ejemplos utilizan la estrategia Planteamiento. de modo que los estudiantes puedan releer inmediatamente cualquier material que no comprendan del todo. Las respuestas están situadas al final de cada capítulo para permitir una comprobación inmediata. Estos avisos están situados cerca de los temas que habitualmente causan confusión. Solución y Comprobación.Prefacio
Además. • Se han introducido nuevos Ejemplos conceptuales. de manera que los estudiantes puedan resolver de inmediato cualquier dificultad.
reverte. Para el profesor Instructor’s Resource CD-ROM contiene ilustraciones en formato jpg. Volume 1 (Chapters 1-20. www.andeslibros. o contactando con promocion@reverte.com. a través de su página web.
. Incluye problemas prácticos y cuestiones para mejorar la comprensión de los conceptos físicos. R) 9781429203029 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429203036 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429203012 Study Guide destaca las magnitudes físicas y ecuaciones clave y los errores que deben evitarse. www. tratan de aplicaciones actuales de la Física y relacionan estas aplicaciones con conceptos descritos en los capítulos. Si es usted profesor y piensa utilizar este libro como texto para su asignatura. R) 9780716784791 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429204576 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429205146
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TEMAS DE ACTUALIDAD EN FÍSICA
Los temas de actualidad en Física. que aparecen al final de ciertos capítulos. Estas soluciones también están disponibles en el Instructor’s CD-ROM. o contactando con libros@andeslibros. Estos temas van desde un parque eólico hasta termómetros moleculares y motores de detonación pulsar. R) 978071784678 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429204101 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429204118
Puede adquirir este material en Los Andes Libros S. puede acceder al material complementario registrándose en la siguiente página web. Volume 1 (Chapters 1-20.com. R) 9780716784708 Volume 2 (Chapters 21-33) 9781429202688 Volume 3 (Chapters 34-41) 9781429202671 Answer Booklet with Solution CD Resource son libros que contienen las respuestas de todos los problemas de final de capítulo e incluyen un CD-ROM con sus resoluciones completas.com También está disponible en soporte físico el siguiente material: Para el alumno Student Solutions Manual proporciona la resolución completa de los problemas impares de final de capítulo. presentaciones PowerPoint. Volume 1 (Chapters 1-20.com/microsites/tipler6ed.
Esta nueva edición dispone de gran cantidad de recursos y materiales complementarios para alumnos y profesores. un completo test bank con más de 4000 problemas tipo test y las herramientas para diseñar presentaciones y páginas web. además de test para su comprobación. Todos estos materiales se encuentran disponibles en su versión original en inglés.L.
FLEXIBILIDAD PARA LOS CURSOS DE FÍSICA
Nos damos cuenta de que no todos los cursos de física son iguales. R) 978-84-291-4429-1 Electricidad y magnetismo/Luz (Capítulos 21–33) 978-84-291-4430-7 Mecánica (Capítulos 1–13) 978-84-291-4421-5 Oscilaciones y ondas (Capítulos 14–16) 978-84-291-4422-2 Termodinámica (Capítulos 17–20) 978-84-291-4423-9 Electricidad y magnetismo (Capítulos 21–30) 978-84-291-4424-6 Luz (Capítulos 31–33) 978-84-291-4425-3 Mecánica cuántica. Para facilitar la utilización del libro. 34–41) 978-84-291-4426-0
Apéndices y respuestas 978-84-291-4427-7
. Física para la ciencia y la tecnología se halla disponible en las siguientes versiones: Volumen 1 Volumen 2 Volumen 1A Volumen 1B Volumen 1C Volumen 2A Volumen 2B Física moderna Mecánica/Oscilaciones y ondas/Termodinámica (Capítulos 1–20. relatividad y estructura de la materia (Capítulos R.
y desempeñó un papel importante en el desarrollo de los planes de estudio. Recibió el título de Bachelor of Science en la Universidad de Purdue en 1955 y obtuvo su Ph. Después se trasladó a la Universidad de Oakland en Michigan. en física. en donde su padre era superintendente de las Escuelas Públicas. en donde estudió la estructura del núcleo. excursionismo y camping. Gene Mosca ha sido profesor en la U. Mosca se ha convertido en coautor del libro a partir de su quinta edición.D. Wisconsin. se mudó a Berkeley.D. Realizó sus estudios medios en Oshkosh. En 1982. donde fue uno de los primeros miembros del Departamento de Física. sus aficiones incluyen la música. Durante los siguientes 20 años. Naval Academy.S. donde ahora reside y donde escribió Física preuniversitaria (1987) y la tercera edición de Física (1991). en el Estado de Nueva York. tanto en los laboratorios como en las aulas.
nació en la ciudad de Nueva York y se crió en Shelter Island. en la Universidad de Illinois. donde obtuvo su Ph.Acerca de los autores
Paul Tipler nació en la pequeña ciudad agrícola de Antigo. 1978) y Física (1976. Estudió en la Universidad de Villanova. en
1933. donde fue el impulsor de numerosas mejoras en la enseñanza de la Física. 1982).
. Proclamado por Paul Tipler como "el mejor crítico que he tenido". Es un excelente pianista de jazz y un buen jugador de póker. Impartió la enseñanza durante un año en la Wesleyan University de Connecticut mientras redactaba su tesis. en la Universidad de Michigan y en la Universidad de Vermont. California. Además de la física. enseñó casi todas las disciplinas de la física y escribió la primera y segunda ediciones de sus ampliamente difundidos textos Física Moderna (1969. Wisconsin. Recientemente jubilado.
6 1. el balanceo de un árbol. elaborar nuevas hipótesis.P A R T E
1. otra es el arte y otra es la ciencia. el color del cielo. la salida y la puesta del Sol. Los físicos construyen.)
a humanidad siempre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea.1 1. el vuelo de un ave o de un avión. en consecuencia. prueban y relacionan modelos con el objetivo de describir. Aunque el vocablo ciencia viene del latín y significa “saber”. Es la ciencia de la materia y de la energía. Estas leyes y principios se aplican tanto a fenómenos exó-
.2 1. Como toda ciencia. comprensión del mundo natural. Como demuestran los primeros documentos gráficos. llevar a cabo repetidamente experimentos y observaciones y. especialmente. siempre hemos buscado el modo de imponer orden en la enmarañada diversidad de los sucesos observados. Esta búsqueda para entender ha adoptado distintas formas: una es la religión.5 1. La Física pretende describir los fundamentos del universo y cómo funciona.4 1. la Física se estructura de una forma específica y racional.3 1.7
La naturaleza de la física Unidades Conversión de unidades Dimensiones de las magnitudes físicas Cifras significativas y órdenes de magnitud Vectores Propiedades generales de los vectores
EN UNA PLAYA HAY DEMASIADOS GRANOS DE ARENA PARA CONTARLOS UNO POR UNO. la ciencia no sólo es saber sino. PERO SE
PUEDE OBTENER EL NÚMERO APROXIMADO POR MEDIO DE HIPÓTESIS RAZONABLES Y CÁLCULOS SENCILLOS.)
¿Cuántos granos de arena hay en su playa favorita? (Véase el ejemplo 17 . del espacio y del tiempo. El resultado final es un conjunto de principios fundamentales y de leyes que describen el mundo. explicar y predecir la realidad. Este proceso comporta elaborar hipótesis. el cambio del sonido de un coche cuando pasa.
(Corbis.
James Joule. Examinaremos brevemente la naturaleza de la física. Isaac Newton generalizó los resultados experimentales de Galileo en sus tres leyes fundamentales del movimiento. También aprenderemos algunas técnicas útiles para la resolución de problemas. introduciremos los sistemas de unidades y aprenderemos a usarlos y presentaremos una introducción a la matemática de los vectores. la electricidad. el calor. Por lo tanto. Durante los siguientes doscientos años la experimentación aportó innumerables descubrimientos y surgieron nuevas preguntas. y el reino de la filosofía natural de Aristóteles se extinguió. la física atómica y nuclear.
En este capítulo. luz. el sonido. El acuerdo entre las deducciones de la física aristotélica y los movimientos observados en el universo físico. la energía oscura y partículas con nombres tan peculiares como leptoquarks o bosones como a la vida cotidiana. sonido. ¿Por qué el cielo es azul? ¿Por qué los astronautas flotan en el espacio? ¿Cómo funcionan los reproductores de discos compactos? ¿Por qué un oboe suena distinto de una flauta? ¿Por qué un helicóptero debe tener dos rotores? ¿Por qué los objetos metálicos parecen más fríos que los objetos de madera a igual temperatura? ¿Por qué los relojes que se mueven van más lentos? En este libro. la mecánica. Estos descubrimientos y las nuevas preguntas que planteaban inspiraron el desarrollo de nuevos modelos para su explicación. Se descubrieron los fenómenos térmicos y eléctricos. Sadi Carnot y otros científicos. Sin embargo.1
El vocablo física procede del griego y significa el conocimiento del mundo natural. la luz.2
ticos como los agujeros negros. Por ejemplo. con sus brillantes experimentos sobre el movimiento. el descubrimiento de los rayos X realizado por Wilhelm Roentgen en 1895 y el de la radiactividad por Antoine Becquerel y Marie y Pierre Curie poco
. También trataremos de la exactitud de las medidas. estableció para siempre la absoluta necesidad de la experimentación en la física e inició la desintegración de la física de Aristóteles. Estudiaremos los temas clásicos de la física. aplicaremos los principios de la física para contestar estas y otras cuestiones.C. En la filosofía natural establecida por Aristóteles (384–322 a. Dado que necesitamos la física clásica para comprender el mundo macroscópico donde vivimos. el magnetismo.). Como veremos.
1. Se estableció que el movimiento era el resultado del intento de una sustancia de alcanzar su lugar natural. no nos ha de sorprender que los primeros esfuerzos registrados por el ser humano para reunir sistemáticamente el conocimiento sobre el movimiento de los cuerpos procedan de la antigua Grecia. electricidad y magnetismo— constituyen lo que se denomina física clásica. calor. empezaremos a prepararnos estudiando algunos conceptos previos que se necesitan para el estudio de la física. hay innumerables cuestiones de nuestro entorno cotidiano que pueden explicarse con un conocimiento básico de física. una hipótesis fundamental afirmaba que toda sustancia tenía un “lugar natural” en el universo. Los temas que ocuparon a los físicos durante la última parte del siglo XIX —mecánica. las leyes de Newton referentes a los movimientos de los sistemas mecánicos se asociaron a las igualmente impresionantes leyes de James Maxwell. las explicaciones de los fenómenos físicos se deducían de hipótesis sobre el mundo y no de la experimentación. y la falta de una tradición experimental que derrocase la física antigua. El notable éxito alcanzado por la física clásica llevó a muchos científicos al convencimiento de que la descripción del universo físico se había completado. Fue el científico italiano Galileo Galilei (1564–1642) quien. estableceremos algunas definiciones básicas. las cifras significativas y las estimaciones. Unos cien años después. le dedicaremos las partes I a V de este libro. y algunos relacionados con la expansión y la compresión de los gases. En este proceso esperamos que el lector tome conciencia de la importancia de la física y aprecie toda su belleza. para describir el electromagnetismo y la termodinámica. A finales del siglo XIX. hizo que el punto de vista de los griegos fuera aceptado durante casi dos mil años.
La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor unitario de la misma.2
Las leyes de la Física expresan relaciones entre magnitudes físicas. tiempo. tal como fue desvelada por Einstein en 1903. La generalización de esta idea a la cuantización de todos los tipos de energía es un concepto fundamental de la mecánica cuántica. La teoría de la relatividad especial propuesta por Albert Einstein en 1905 contradecía las ideas de espacio y tiempo de Galileo y Newton. particularmente. la teoría cuántica a sistemas microscópicos. una regla métrica patrón se ajusta 25 veces en dicha distancia.)
. La velocidad de un cuerpo.
En física es importante usar un conjunto consistente de unidades. intensidad eléctrica. Sin embargo. la fuerza. La elección de las unidades estándar para expresar estas magnitudes fundamentales determina un sistema de unidades. En el año 1960 un comité internacional estableció un conjunto estándar para la comunidad científica. estudiaremos la naturaleza del espacio y del tiempo. Por ejemplo. (The Granger Collection. por ejemplo. para medir la distancia entre dos puntos. se definen mediante los procesos que las miden. el tiempo y la masa. En este sistema hay siete magnitudes fundamentales: longitud. Así. temperaEl reloj de agua usado para medir intervalos de tiempo durante el siglo XIII. Algunas de las magnitudes físicas más básicas. Comenzaremos nuestro estudio de la física con los temas clásicos. masa. basta con pocas magnitudes básicas para poder expresar todas las demás magnitudes físicas. En el mismo año. después de abordar la conservación de la energía en el capítulo 7. Decir que una distancia es 25 carece de significado. 2
después parecían estar fuera del marco de la física clásica. la comparamos con una unidad estándar de distancia tal como el metro. Otras magnitudes físicas se definen haciendo explícito el procedimiento de cálculo a partir de las magnitudes fundamentales. es decir. Unos capítulos más adelante. Einstein sugirió que la energía luminosa estaba cuantizada.
Cuando se usa una cifra para determinar una magnitud física. las páginas que ocupa este libro. la energía y la potencia. Una magnitud física se define frecuentemente de forma operacional.Unidades
S E C C I Ó N 1. En consecuencia. el número debe ir acompañado siempre de una unidad. La afirmación de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces la longitud de la unidad metro. con sorprendentes e importantes consecuencias. como la velocidad. el tiempo que se necesita para leer un párrafo o la temperatura de la clase son magnitudes físicas. el trabajo. Así. pueden expresarse en función de tres magnitudes fundamentales: la longitud. Muchas de las magnitudes físicas que se estudiarán. Es importante añadir la unidad metros junto con el número 25 al expresar una distancia debido a que existen otras unidades de longitud de uso común. se calcula dividiendo la distancia por el tiempo invertido en recorrerla. de una forma que define la magnitud física mediante el procedimiento que debe realizarse para medirla. a la que dedicamos la parte VI de este texto. la distancia y la masa. atravesando brevemente el universo relativista imaginado primeramente por Einstein. Toda magnitud física debe expresarse con una cifra y una unidad. trataremos de la cuantización de la energía y de la famosa relación de Einstein entre la masa y la energía. líquidos y gases. y constituye lo que generalmente se denomina física moderna. el momento. Igualmente. de vez en cuando elevaremos nuestra mirada para analizar la relación entre la física clásica y la física moderna.
1. moléculas y núcleos. ha conducido a una comprensión detallada de sólidos. La aplicación de la relatividad especial y. es decir. denominado SI (a partir de Système International). que la luz se propaga en paquetes discretos de energía y no en forma ondulatoria y continua como suponía la física clásica. por ejemplo. tales como átomos. en el capítulo R. Las magnitudes físicas son números que se obtienen a partir de medir fenómenos físicos. E mc 2. como el tiempo. es decir. en el capítulo 2 dedicaremos un espacio a las velocidades próximas a la de la luz.
en el que se toma el pie como unidad de longitud.1 se relacionan los prefijos de los múltiplos y submúltiplos más corrientes de las unidades del SI.001 segundos es un milisegundo (ms). Observése que todos los símbolos de prefijos múltiplos de 106 y superiores se escriben en mayúsculas. Los prefijos pueden aplicarse a cualquier unidad del SI. Existen otros sistemas de unidades como el sistema técnico inglés utilizado en los EE. el gramo y el segundo. El otro
es centi (c). o 10 6.000 000 3 segundos o (b) la longitud de la circunferencia de un meridiano terrestre que es de 40 000 000 metros. se pueden usar otras unidades que son múltiplos o submúltiplos (potencias de 10) de las unidades SI estándar.1
1018 10 10
Prefijos de las potencias de 10* Prefijo
exa peta tera giga mega kilo hecto deca
E P T G M k h da d c m m n p f a
106 103 10 10 10 10 10 10 10 10 10
1 2 3 6 9 12 15 18
deci centi mili micro nano pico femto atto
* Los prefijos hecto (h). deca (da) y deci (d) no son múltiplos de 103 ó 10 prefijo que no es múltiplo de 103 ó 10 se escriben con minúsculas. por ejemplo.Unidades
S E C C I Ó N 1.
Además del SI.1
Use los prefijos para describir: (a) el retraso de la señal al propagarse por el cable de la televisión por cable que es de 0. En la tabla 1. o 103.
y se utilizan con poca frecuencia. 2
Tabla 1.000 001.UU. el prefijo “kilo” que significa 1000. y otros países de habla inglesa. Los prefijos que se usan con más frecuencia en este libro se escriben
en rojo. el segundo como unidad de tiempo y la libra como unidad funda-
. por ejemplo. Estas unidades se expresan mediante un prefijo como. las demás
Muchas veces es necesario trabajar con medidas que son mucho más pequeñas o mucho mayores que la unidad estándar del SI. Uno de estos sistemas es el sistema cgs. Otras unidades cgs son la dina (unidad de fuerza) y el erg (unidad de energía). 0. 1 000 000 watts es un megawatt (MW). en determinadas circunstancias se usan otros sistemas de unidades.
PROBLEMA PRÁCTICO 1. o el prefijo “micro” que significa 0. basado en el centímetro. En estas situaciones.
Esta distancia se mide con un error de pocos centímetros midiendo el tiempo transcurrido en el viaje de ida y vuelta del rayo láser a la Luna después de reflejarse en un espejo (b) allí emplazado por los astronautas del Apolo 14. (a.
1.609 km 149 mi
Si las unidades de una cantidad y el factor de conversión no se simplifican para dar las unidades deseadas.
. veremos que la masa es una elección mejor que la fuerza como unidad fundamental. supongamos que queremos convertir los kilómetros (km) en millas (mi). Por ejemplo. Este método permite fácilmente pasar de una unidad de distancia a otra. el kilómetro.3
Cuando se usan distintos sistemas de unidades es importante saber cómo convertir magnitudes expresadas en una unidad de un sistema en unidades de otro sistema. Si dividimos los dos miembros de esta igualdad por 1.609 km (véase el apéndice A). A continuación. Bruce Coleman).609 km se obtiene 1 mi 1. se multiplican o se dividen en una ecuación algebraica. igual que haríamos con cualquier otra magnitud algebraica para obtener la distancia en la unidad de longitud correspondiente. no es necesario pensar si hay que multiplicar o dividir por 1. la hora. En el capítulo 4. significa que la conversión no se ha realizado correctamente. ya que las unidades indican si hemos escogido el factor correcto o el incorrecto. las unidades pueden tratarse como cualquier otra magnitud algebraica.6
mental de fuerza. La distancia x es precisamente la velocidad v multiplicada por el tiempo t: x vt 80 km h 3h 240 km
Eliminamos la unidad de tiempo. Teniendo en cuenta que 1 mi 1. Actualmente. por tratarse de una propiedad intrínseca de un objeto que es independiente de su localización. McDonald Observatory.609 km 1
Obsérvese que el factor anterior es una fracción igual a 1.609 para pasar de kilómetros a millas. Todos los factores de conversión tienen el valor de 1 y se utilizan para pasar una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida. Cuando estas magnitudes se suman. supongamos que deseamos hallar la distancia recorrida en 3 horas (h) por un coche que se mueve con una velocidad constante de 80 kilómetros por hora (km/h).
Escribiendo de forma explícita las unidades. El factor (1 mi)/(1.609 km) se denomina factor de conversión. el sistema técnico inglés se define en base a las unidades del SI.
(a) Haces de láser emitidos desde el Observatorio Macdonald para medir la distancia hasta la Luna. 240 km 240 km 1 mi 1. b.
Puede resultar útil memorizar los resultados de este ejemplo. donde [d] representa la dimensión de la distancia d y L es la dimensión de la longitud. se escriben en función de las magnitudes fundamentales longitud.61 km:
COMPROBACIÓN Verificar que las unidades. a un país donde las señales de tráfico muestran la distancia en kilómetros y los velocímetros de los coches están calibrados en kilómetros por hora.1
Uso de los factores de conversión
Un empleado de una empresa con sede en Estados Unidos ha de viajar. No obstante. ¿a cuánto equivale su velocidad expresada en metros por segundo y en millas por hora?
PLANTEAMIENTO Utilizaremos el hecho de que 1000 m 1 km. las unidades al final no son las correctas. SOLUCIÓN
1. La unidad indica el estándar que se usa para la medida y la cifra nos muestra la comparación con una cantidad estándar. Puesto que el área es el producto de dos longitudes. el tiempo y la masa son dimensiones. las dimensiones del tiempo y de la masa. En esta ecuación. Las dimensiones de otras magnitudes.609 km
25 m>s
56 mi>h
se han tenido en cuenta los factores de conversión de forma correcta. Multiplicar 90 km/h por 1 mi/1. que suele escribirse 3A4 L 2. Las dimensiones de muchas magnitudes físicas pueden expresarse en función de estas tres dimensiones fundamentales. respectivamente. ya que puede facilitar la conversión de velocidades habituales rápidamente 25 m>s 90 km>h 160 mi>h2
(Eunice Harris/Photo Researchers. tales como fuerza o energía. tiempo y masa.
1. Por ejemplo. Todas las dimensiones se representan con una letra mayúscula. para saber lo que se está midiendo hay que conocer la dimensión de la magnitud física. Para convertir la velocidad en millas por hora. La distancia entre dos objetos tiene dimensiones de longitud y expresamos esta relación como [d] L.4
Dar un valor de una magnitud física comporta dar un número y la unidad en que está expresado. Si con su vehículo viaja a 90 km por hora. se utiliza el factor de conversión (1 mi)/(1. T y M representan. o longitud al cuadrado. La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene sentido si ambas tienen las mismas di-
. Es decir 90 km h 1h 3. se dice que tiene dimensiones de longitud por longitud. La velocidad tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo o L/T.609 km) 1. por encargo de su empresa. Multiplicar 90 km/h por los factores de conversión que transforman los kilómetros en metros y las horas en segundos: 2. así. y L es la dimensión de la longitud.Dimensiones de las magnitudes físicas
S E C C I Ó N 1.6 ks y eliminando los prefijos en ks y km. son las correctas. 4
Ejemplo 1. por ejemplo si se multiplica por 1 km/1000 m en vez de por 1000 m/1 km. [A] representa la dimensión de A. La longitud.)
Conocer estos valores puede ser útil para convertir de forma más rápida las velocidades a unidades con las que esté más familiarizado. Si no
90 km h 90 km h
1h 3600 s 1 mi 1. al final de cada paso.
OBSERVACIÓN El primer paso puede simplificarse sustituyendo 1 h/3600 s
por 1h/3.6 ks 25 m>s
Eliminar estos prefijos equivale a dividir el numerador y el denominador por 1000. Se multiplica la magnitud 90 km/h por una serie de factores de conversión de valor 1 de modo que el valor de la velocidad no varía. el área A de una superficie. 60 s 1 min y 60 min 1 h para convertir los kilómetros por hora en metros por segundo.
La coherencia dimensional es una condición necesaria.)
Área Volumen Velocidad Aceleración Fuerza
Dimensiones de las magnitudes físicas Símbolo Dimensión
A V v a F p r E P L2 L3 L> T L> T 2 ML> T 2 M> LT 2 M> L3 ML2> T 2 ML2> T 3
Muchos de los números que se manejan en la ciencia son el resultado de una medida y.495 m y 2. Veremos inmediatamente que esto no puede ser correcto. B y C deben tener las tres las mismas dimensiones. Se dividen las unidades de presión por las de densidad:
3P4 3r4 3P4
M>LT 2 M>L3 3r43v24
L2 T2 M L3 L 2 a b T M L3 L2 T2 M LT 2
2. Por ejemplo. mientras que la velocidad no contiene la dimensión M.005 m ±0. Determinar una combinación sencilla de densidad y velocidad que nos dé las dimensiones correctas de la presión. La magnitud de esta incertidumbre. no podemos sumar un área a una velocidad y obtener una suma que signifique algo. SOLUCIÓN
1. podemos estimar que hemos medido la longitud con una precisión de ±0.50 m. pero no suficiente. que estamos utilizando erróneamente la fórmula A 2pr para el área de un círculo.2 se ve que la presión tiene dimensiones de M/(LT2).5 cm. ya que 2pr. queremos indicar que probablemente su longitud se encuentra entre 2.
PLANTEAMIENTO En la tabla 1. si B es un área de 500 cm2 y C es 4 m2.503 m. que depende de la habilidad del científico y del aparato utilizado. Al expresar el área de un círculo el análisis dimensional no indicará si la expresión correcta es pr 2 o 2pr 2. para que una ecuación sea correcta. (La expresión correcta es pr 2. Indicamos esta precisión utilizando cuatro dígitos. la densidad es M/L3 y la velocidad L/T. como por ejemplo. 2. El resultado tiene dimensiones de v2. mientras que el área tiene dimensiones de longitud al cuadrado. Se suele dar una indicación aproximada de la incertidumbre de una medida mediante el número de dígitos que se utilizan. frecuentemente sólo puede estimarse. Supóngase. Si tenemos una ecuación como A B C las magnitudes A. tenemos que multiplicar o dividir dimensiones de densidad y dimensiones de velocidad para obtener la masa en las dimensiones de la presión.2
Las dimensiones físicas de la presión
La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad r y de su velocidad v. por lo tanto.5 cm de la longitud establecida. Recibe el nombre de cifra significativa todo dígito (exceptuando el cero cuando
Presión (F> A) Densidad (M> V) Energía Potencia (E> T)
.5 mm. se observa que tanto la presión como la densidad tienen unidades de masa en el numerador. Para determinar con exactitud la relación comenzaremos dividiendo las unidades de presión por las de densidad e inspeccionemos el resultado con respecto a las dimensiones de la velocidad. debemos convertir B en m2 o C en cm2 para hallar la suma de las dos áreas. Por ejemplo.505 m. Las dimensiones de la presión son las mismas que las de densidad multiplicadas por las de velocidad al cuadrado:
COMPROBACIÓN Dividir las dimensiones de la presión por las dimensiones de la veloci-
dad al cuadrado y el resultado tiene dimensiones de densidad 3P4>3v24 M>L3 3r4. Por ejemplo. conocemos su longitud con una exactitud aproximada de ±0.8
mensiones. para expresar la longitud.5
CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ÓRDENES DE MAGNITUD
Tabla 1. es decir. tiene dimensiones de longitud. Si utilizamos un metro en el que se puede apreciar el milímetro y medimos esta misma longitud de la mesa cuidadosamente.
1M>LT22>1L2>T22
1. Además. La suma de B y C exige que las dos magnitudes estén además expresadas en las mismas unidades. Por lo tanto. sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. en lugar de ±0. si decimos que la longitud de una mesa es 2. A veces pueden detectarse errores en un cálculo comprobando las dimensiones y unidades de las magnitudes que intervienen en él.
Una regla general válida cuando se manejan diferentes números en una operación de multiplicación o división es: El número de cifras significativas del resultado de una multiplicación o división no debe ser mayor que el menor número de cifras significativas de cualesquiera de los factores. por lo tanto. la suma sólo puede tener tres cifras significativas después de la coma decimal. es un resultado exacto.Cifras significativas y órdenes de magnitud
S E C C I Ó N 1. Esta se debe expresar como 2 102 m2. Si estimamos que la longitud del radio es 8 m y utilizamos una calculadora de 10 dígitos para determinar el valor del área. que medimos el área de un campo de juego circular midiendo el radio en pasos y utilizando la fórmula del área A pr 2. sólo se conoce una cifra significativa del área.53. Si alguno de los ceros que sigue al cinco fuera significativo escribiríamos el número
.21342. un valor obtenido tras contar mesas no tiene incertidumbre.456
2. más allá de la coma. mientras que el segundo. la respuesta tiene.3
Determinar la resta de 1. 2. lo que implica que el área está comprendida entre 150 m2 y 250 m2. el factor de conversión 1 m/100 cm es un valor exacto porque 1 m es exactamente igual a 100 cm. se escribe 1.
El manejo de números muy grandes o muy pequeños se simplifica utilizando la notación científica. SOLUCIÓN
Restar los números manteniendo sólo 3 dígitos más allá de la coma decimal:
1. El número 0. obtenemos p(8 m)2 201. es decir. este número se escribiría como 1. la distancia entre la Tierra y el Sol. por lo tanto.
PLANTEAMIENTO El primer número. En el ejemplo anterior sólo se conoce una cifra significativa del radio.2 Aplicar la regla apropiada para determinar el número de ci-
fras significativas en las operaciones: (a) 1. 150 000 000 000 m.50 tiene tres cifras significativas. (c) 2. Los dígitos situados detrás del punto decimal no sólo dificultan el cálculo sino que inducen a confusión respecto a la exactitud con la que conocemos el área. El número 2.21342. pero
la diferencia tiene sólo tres. el número 12 000 000 se escribe 1. los números tienen cuatro y seis cifras significativas.) En notación científica.58
0.010 457?
Los valores exactos tienen un número ilimitado de cifras significativas. donde hemos supuesto que ninguno de los ceros que sigue al cinco es una cifra significativa.173
COMPROBACIÓN La respuesta no puede tener una precisión mayor que la cifra menos
precisa de la operación. Una regla general es: El resultado de la suma o resta de dos números carece de cifras significativas más allá de la última cifra decimal en que ambos números originales tienen cifras significativas. Por ejemplo.0619298 m2.213 42
1.00103 tiene tres cifras significativas. particularmente desde que se ha generalizado el uso de calculadoras de bolsillo. La precisión de la suma o resta de dos medidas depende de la precisión menor de estas medidas. 0.453 . tres cifras significativas.
Ejemplo 1. cuatro cifras significativas.
OBSERVACIÓN En este ejemplo.040 y.5 1011 m. aproximadamente.173 42
Cuando trabajamos con números con incertidumbres debemos asegurarnos de no incluir más dígitos de los que incluye la precisión de las medidas. Un error muy común entre los estudiantes. (Los tres primeros ceros no son cifras significativas. el número se escribe como el producto de un número entre 1 y 10 y una potencia de 10.503 tiene cuatro. ya que simplemente sitúan la coma decimal. (b) 1.2 107.040. En esta notación. tres o. De acuerdo con la regla anterior. por ejemplo 102 1 1002 ó 103 1 10002. 5
se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor se conoce con seguridad.1
¿Cuántas cifras significativas tiene el número 0. La mayoría de los ejemplos y ejercicios de este libro tienen dos. es arrastrar en el cálculo muchos más dígitos de los que en realidad se requieren. tiene sólo tres cifras significativas tras la coma decimal.03 10 3. 1. 1. excepcionalmente.040 de 1. Además. tiene cinco. Supongamos. Por ejemplo.4
PROBLEMA PRÁCTICO 1.040
0.03. por ejemplo.
COMPROBACIÓN CONCEPTUAL 1.
ya que si se realiza la operación equivocada se obtiene una respuesta incorrecta a nivel de potencias de 10.
ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Notación científica
PLANTEAMIENTO Si las cifras de un determinado cálculo son muy grandes o muy pequeñas.
PROBLEMA PRÁCTICO 1. los exponentes se suman. se restan o se multiplican.8 Todos los exponentes son adimensionales y no tienen unidades. Esta técnica sirve para minimizar errores de redondeo. el exponente es negativo. en la división. Esta notación permite determinar fácilmente el número de cifras significativas que tiene una cantidad y hace más fácil llevar a cabo los cálculos. y 0. Por ejemplo.93. es conveniente escribirlas en notación científica. OBSERVACIÓN Al resolver un problema evite introducir en la calculadora resultados intermedios.
5. aproximadamente.500 1011 m. añada uno o dos dígitos más (no significativos).
.000 000 01 m 1 10 8 m. Resulta 1000 103 103 3 100 1 1000 103 3. El diámetro de un virus es. Cuando los números son menores que 1. Compruebe con atención cuándo los exponentes se suman.5 1011 m hay sólo dos cifras significativas (el 1 y el 5). Cuando se tengan que introducir los resultados intermedios en la calculadora. se restan. 100 se define como 1. 0.200 1022 18 10 12 120. Por ejemplo. El número 11 en 1011 se llama exponente.0 0. Para hacer el cálculo anterior sin convertir las cifras a la forma decimal hay que reescribirlas de forma que tengan el mismo exponente Ejemplo: Ejemplo: 11200 (102)4 10 12 102 18 102 10 12 102 102 1208 108 10
120. Cuando se eleva una potencia a otra potencia los exponentes se multiplican
COMPROBACIÓN Al convertir a notación científica cifras inferiores a uno asegúrese que el exponente sea negativo. Estas reglas pueden comprobarse fácilmente en los siguientes ejemplos: Ejemplo: Ejemplo: 102 10 103
103 100 1000
2. Vaya con cuidado al sumar o restar números en notación científica si los exponentes no coinciden Ejemplo: Ejemplo: 11. En la notación científica.3
Véase el Apéndice de matemáticas para más información sobre
Aplicar la regla apropiada para las cifras significativas y calcular 2. en 1. igual a 0.
Utilice la siguiente estrategia de resolución de problemas para hacer cálculos con notación científica. Observemos que al escribir los números de esta forma se identifican claramente las cifras significativas. SOLUCIÓN Use las siguientes recomendaciones para resolver problemas con notación científica.1 10 1. dividamos por ejemplo 1000 por sí mismo. es preferible conservar estos resultados en la memoria de la calculadora.8 120. 1.8 4.0001 10 4. Al multiplicar dos números con notación científica. En efecto.34 102 4.10
que hemos de contar y tener en cuenta que el número contado es igual a la tasa de recuento R multiplicada por el tiempo t. lo cual es consistente con que el metro es mayor que el centímetro. Calcular el número de segundos necesarios para contar los átomos si contamos 1 por segundo: 4.02 5. se necesitarían 1022/107 1015 años. Si contáramos un átomo por segundo.02 : 1023 átomos de esta sustancia (número de Avogadro). N. aproximadamente.
PROBLEMA PRÁCTICO 1. Convertir a m3: El factor de conversión (igual a 1) puede elevarse a la tercera potencia sin modificar su valor. Calcular el volumen en cm3: 2.15
3. Determinar el número de átomos de carbono en 1 g:
Rt 6. ¿qué volumen en centímetros cúbicos y en metros cúbicos ocupará este líquido en su estómago?
3 PLANTEAMIENTO El volumen de un cubo de lado es V . Si una persona bebe 1 L de agua.4 Si dividiéramos esta tarea de modo que cada persona contase átomos diferentes.
Ejemplo 1. Estas respuestas son consistentes con el hecho de que el volumen es una longitud elevada al cubo.Cifras significativas y órdenes de magnitud
S E C C I Ó N 1. Para determinar el volumen en m3 hay que termina directamente a partir de transformar los cm3 en m3 utilizando el factor de conversión 1 cm 10 2 m. Obsérvese también que 103 es mayor que 10 3.5
En 12 g de carbono existen NA 6.
110 cm23 103 cm3 103 cm3
1000 cm3 a 10 2 m 3 b 1 cm
10 6 m3 1 cm3
COMPROBACIÓN Obsérvese que las respuestas se dan en m3 y en cm3.
1. El tiempo es igual al número total de átomos N dividido por la tasa de recuento R 1 átomo/s: 2. SOLUCIÓN
1. permitiéndonos cancelar las unidades implicadas.02
5.15 107 s/a (una magnitud que conviene recordar) y convertir la respuesta del paso 3 en años:
1022 átomos 1 átomo>s 24 h 1d 3600 s 1h 1. ¿cuánto tiempo tardaríamos en contar los átomos de 1 g de carbono? Expresar el resultado en años.
PLANTEAMIENTO Necesitamos determinar el número total de átomos.59
COMPROBACIÓN La respuesta puede verificarse estimando que si se necesitan aproxima-
damente 1022 segundos para contar los átomos en un gramo de carbono y un año son unos 107 segundos.15
5.00 a 5.02
365 d 1.00 a 3. 100 000 veces la edad del uni-
OBSERVACIÓN El tiempo requerido es. ¿cuántos años tardaría un equipo formado por 5000 millones (5 109) de personas para contar los átomos que contiene 1 g de carbono?
Un litro (L) es el volumen de un cubo de 10 cm 10 cm 10 cm.02 N R 1023 átomos 12. Utilizar el factor de conversión 3.02 3.0 g 5. El volumen en cm3 se de10 cm.02
1022 átomos 1022 s
107 s>a
1022 s 1022 a
107 s 1015 a
1. Calcular el número de segundos que contiene un año: 5.
donde el símbolo significa “es del orden de magnitud de”.3 especifica los valores de los órdenes de magnitud de algunas longitudes. El siguiente es un ejemplo de problema de Fermi. Por ejemplo. (IBM Research. aproximadamente. (Kent and Donnan Dannon/Photo Researchers. queriendo decir con esto que el cociente entre las alturas es. Podemos decir que una persona típica es tres órdenes de magnitud más alta que una hormiga típica.3
El universo por órdenes de magnitud (m)
10 15 10 10 10 7 10 4 10 2 100 104 107 109 1011 10 1016 1021 1026
Tamaño o distancia
Protón Átomo Virus Ameba gigante Nuez Ser humano Montaña más alta Tierra Sol Distancia Tierra-Sol Sistema solar Distancia de la estrella más cercana Galaxia Vía Láctea Universo visible
Electrón Protón Aminoácido Hemoglobina Virus de la gripe Ameba gigante Gota de lluvia Hormiga Ser humano Cohete espacial Saturno 5 Pirámide Tierra Sol Galaxia Vía Láctea Universo
10 30 10 27 10 25 10 22 10 19 10 8 10 6 10 4 102 106 1010 1024 1030 1041 1052
Tiempo invertido por la luz en atravesar un núcleo Periodo de la radiación de luz visible Periodo de las microondas Periodo de semidesintegración de un muón Periodo del sonido audible más alto Periodo de las pulsaciones del corazón humano Periodo de semidesintegración de un neutrón libre Periodo de rotación terrestre Periodo de revolución terrestre alrededor del Sol Vida media de un ser humano Periodo de semidesintegración del plutonio 239 Vida media de una cordillera Edad de la Tierra Edad del universo
10 23 10 15 10 10 10 6 10 4 100 103 103 107 109 1012 1015 1017 1018
Cuando se realizan cálculos aproximados o comparaciones se suele redondear un número hasta la potencia de 10 más próxima. es decir. masas y tiempos relacionados con la Física. aproximadamente. podemos redondear este número y decir que el orden de magnitud de la altura de una persona es h 100. igual a 103 (relación 1000 a 1).)
El diámetro de la galaxia Andrómeda es del orden de 1021 m. 10 3 m.
Moléculas de benceno del orden de 10 10 m de diámetro. digamos un hormiga. Un orden de magnitud no proporciona cifras que se conozcan con precisión. La tabla 1.1 m.12
. el orden de magnitud de una cantidad puede estimarse mediante hipótesis razonables y cálculos simples. En muchos casos. Tal número recibe el nombre de orden de magnitud. como la altura de la mayoría de las personas se encuentra próxima a 2 m. la altura de un pequeño insecto.)
Distancias familiares en nuestro mundo cotidiano. sino que está más próxima a 1 m que a 10 m ó 10 1 0. vistas mediante un microscopio electrónico de barrido. De igual modo. La altura de la muchacha es del orden de 100 m y la de la montaña de 104 m. El físico Enrico Fermi era un maestro en el cálculo de respuestas aproximadas a cuestiones ingeniosas que parecían a primera vista imposibles de resolver por la limitada información disponible. Esto no quiere decir que la altura típica de una persona sea realmente de 1 m. Almaden Research Center. debemos considerar que no tiene cifras significativas. Diremos que el orden de magnitud de la altura de una hormiga es de 10 3 m. (Smithsonian Institution. puede ser 8 10 4 m ó.
Si suponemos que con 100 cm3 de agua la arena del recipiente se satura. se calcula el volumen de un grano de arena: 3.5 ¿Cuántos granos de arena hay en una playa que ocupa una zona
de 2 km de longitud y de 500 m de anchura? Suponer que la arena ocupa un espesor de 3. que es el espesor de la banda de un neumático nuevo. no hay nada mejor que este reto que propone un profesor de física a sus alumnos consistente en estimar cuántos granos de arena hay en una playa.7
10 5 cm/km por 60 000 km se obtiene. Teniendo en cuenta que la arena ocupa el 90% del volumen de su contenedor. es decir.6
¿Qué espesor de la banda de caucho de un neumático de automóvil se ha desgastado en un recorrido de 1 km?
PLANTEAMIENTO Supongamos que el espesor de la banda de un neumático nuevo es de 1 cm. El resultado es 1. Se despeja el número de granos. Suponemos que la playa ocupa una zona de forma rectangular de 500 m de largo. 10 m.)
OBSERVACIÓN El diámetro de los átomos es de unos 2
1 km recorrido 2 10
m de desgaste por km recorrido
COMPROBACIÓN Si se multiplica 1. SOLUCIÓN
Utilizar la estimación de desgaste de 1 cm por cada 60 000 km de recorrido para calcular la disminución de espesor en 1 km:
desgaste de 1 cm 60 000 km recorrido
desgaste de 1. el grosor desgastado por cada kilómetro de recorrido es equivalente a 1000 diámetros atómicos. 5
Ejemplo 1. suponemos que los granos están tan juntos entre ellos. Una búsqueda intensa mediante Internet nos lleva a estimar que los granos de arena tienen diámetros que oscilan entre 0. Como los neumáticos deben reemplazarse cada 60 000 km. 100 de ancho y que la arena tiene unos 3 m de profundidad. Usando la fórmula del volumen de una esfera. hemos sobreestimado el número de granos de la playa. el volumen real de la arena es de 900 cm3.
PLANTEAMIENTO Primero tenemos que plantearnos qué características asumimos que tiene la playa y su arena.5 10 3 m23
COMPROBACIÓN Para comprobar la respuesta. que el volumen del espacio entre ellos es despreciable comparado con el volumen de la arena.0 mm. divídase el volumen de la playa por el número
de granos que se ha calculado. Una vez lleno echar agua en el recipiente hasta que la arena esté saturada de agua. que su espesor disminuye a razón de 1 cm cada 60 000 km.
. por lo que la respuesta también viene expresada con esta precisión:
V B V G V B
NV G 4 pR3 3 NV G 4 N pR3 3 2. pero desde luego no es 1 mm. ni tampoco 10 cm. Por otra parte.00 m y que el diámetro medio de los granos de sal es de 1.7
¿Cuántos granos de arena hay en una playa?
Póngalo en su contexto
Para evitar caer en la somnolencia durante una clase después de un día cargado de actividades. aproximadamente. podemos admitir que la banda está gastada completamente después de recorrer esta distancia.04 mm y 2 mm. Así. Este resultado coincide con el volumen estimado de un grano de arena o 4/[3p(5 10 4)3]. El volumen VB de la playa es igual al número N de granos por el volumen de un grano VG: 2.)
por lo tanto 3VB 31500 m21100 m213 m2 N 4pR3 4p10. 1 cm.5 105 m3/3 1014 granos 5 10 10 m3/grano.
OBSERVACIÓN Una forma de determinar el volumen del espacio entre los granos consiste en llenar un recipiente de un litro con arena seca. Quizás varíe en un factor de 2. en la playa hay un 90% de los granos calculados en el paso 3 de la solución del problema. Por lo tanto. En nuestro cálculo los números tienen una cifra significativa únicamente.Cifras significativas y órdenes de magnitud
S E C C I Ó N 1. SOLUCIÓN
1. EJERCICIO PRÁCTICO 1.9 1014 3 1014
(Corbis. pero en nuestro problema consideramos que los granos de arena son esferas con un diámetro medio de 1 mm.
(d) el mismo vector desplazamiento junto a un vector que es antiparalelo y que tiene distinta longitud. Si trasladamos o giramos el sistema de coordenadas. dos vectores desplazamiento tienen la misma dirección.5 muestra nuestra trayectoria cuando nos movemos desde el punto P1 hasta un segundo punto P2 y luego a un tercer punto P3. Determinamos la suma geométricamente.
. todos los vectores de la figura 1. 2 y 3 que unen el punto A con el B. son paralelos.
Método para la suma de vectores que consiste en situar los dos vectores uno a continuación del otro. que introduciremos en el capítulo 3). Dos vectores desplazamiento se suman gráficamente situando el origen de uno en el extremo del otro (figura 1.
Los vectores son iguales si sus módulos y direcciones son los mismos.3d) son antiparalelos. Por tanto.1 se refiere al proceso denominado adición de vectores.3c. el mismo vector desplazamiento corresponde a los tres caminos distintos 1. El vector resultante se extiende desde el origen del primer vector al extremo final del segundo. en la figura 1. si tienen direcciones opuestas (figura 1.6
La suma de los dos vectores se denomina suma.
la posición de un objeto. Todos los vectores de esta figura son iguales. 7
Camino 2 Camino 3
Vectores antiparalelos
FIGURA 1.3b. Si dos vectores tienen el mismo módulo y la misma dirección se dice que son iguales.
y P2 B
SUMA Y SUSTRACCIÓN DE VECTORES
FIGURA 1. o la resultante. Gráficamente. Este método para la suma de vectores se denomina “uno a continuación del otro”. (b) el mismo vector desplazamiento con tres caminos diferentes. un vector no depende del sistema de coordenadas utilizado para su representación (excepto los vectores de posición.4 son iguales. Un sistema de coordenadas está formado por dos o tres ejes coordenados perpendiculares entre sí. Así.4 permanecen iguales. Por ejemplo. Un vector puede dibujarse en distintos puntos siempre y cuando se dibuje con el módulo (la longitud) correcto y la dirección adecuada. llamado C S S es la suma de los dos desplazamientos sucesivos A y B : C
1. El desplazamiento resultante de P1 a P3. el vector suma. (c) el mismo vector desplazamiento junto a un segundo vector desplazamiento paralelo pero de distinta longitud. Por el contrario. ya que se tienen en cuenta tanto el módulo como la dirección de los vectores. El signo más en la ecuación 1.Propiedades generales de los vectores
Vector desplazamiento B Vector desplazamiento Camino 1 B
S E C C I Ó N 1. esto significa que tienen la misma longitud y que son paralelos entre sí. aunque no representa el camino real que el objeto sigue. Obsérvese que el vector desplazamiento depende sólo de los puntos extremos y no de la traS yectoria real que seguimos.4
(a) Vector desplazamiento desde el punto A al punto B. todos los vectores de la figura 1. tal como se muestra en la figura 1.5
Supongamos que vamos de excursión a un bosque y que la figura 1.1
A C=A+B
FIGURA 1.6). Si. El desplazamiento de S 1 a P2 viene reP S presentado por el vector A y el desplazamiento de P2 a P3 por B .
ya que la suma de vecS S S S S S tores es asociativa. S existe diferencia en el orden en que sumemos los no S S S B B A . Por S S tanto.16
A B C B B A A A+B=B+A=C
FIGURA 1. S Sea C S S (b) Primero dibujamos A y B con sus extremos unidos. la suma de vectores obedece la vectores. No tiene sentido hablar de la dirección de un vector de módulo cero. Esto se puede demostrar utiliS S B. B .9
C = A − B = A + (− B)
C=A−B ⇒ B+C=A
FIGURA 1. es decir. por lo que a lo largo de este libro no hablaremos ni S usaremos notación vectorial para el vector cero. Por lo tanto. A propiedad conmutativa. El orden en que se agrupan los vectores para sumarlos no importa.7). S S S S S S A B .
. Como puede verse en la figura 1. y gráficamente sumar B con C . sumamos B a A . se S dibuja A y B de modo que coincida su origen y luego se dibuja C del S extremo de B al de A . zando el método geométrico para construir gráficamente el vector suma A S Cualquier vector de módulo cero se denomina vector 0 . Es decir. C A 1 B 2 con S que se obtiene B lo S S Para ello.7
) +B +C A + + (B
Método del paralelogramo para la suma de vectores. (a) Para obtener C . ambos vectores A y B son uno el negativo del otro sólo si tienen el mismo módulo y direcciones opuestas. Por lo tanto.10
Formas alternativas de restar vectores. La diagonal del paralelogramo formado por A y B es igual a C . S S S S B La sustracción del vector S del A .10a). si S S S S S A B 0. S S S La suma de más de dos vectores.8
La suma de vectores es asociativa 1A
C 2. y viceversa. S S Si los vectores A S B tienen el mismo módulo pero tienen la dirección opuesta. consiste en sumar a A el negativo de B . donde el negativo de A se escribe como A .
Obsérvese que C no es igual a A B S S a menos que A y B estén en S la S S misma dirección.
Una forma equivalente de sumar vectores es el llamado método del paraleloS S gramo. es decir.7. El S S S S A B A 1 B 2 (figura 1. y S S el vector C A B es un vector de módulo cero.
FIGURA 1.8) y sumando el resultado al tercero. C A B no implica que C A B. y C . que consiste en desplazar B hasta que coincida S origen con el S A (fisu S de gura 1. 1A B2 C A 1B C 2.
A −A A − A = A + (−A) = 0
FIGURA 1. Un método alternativo de resultado S C S es S sustraer B S A consiste en sumar B a S de los dos lados de la ecuación S S S S S S C A . B A . por ejemplo A . se lleva a cabo sumando primero dos de ellos (figura 1. C es S S el vector que sumamos a B para obtener A .
1. La dirección de C es. y sea de km el S S S C A B .
FIGURA 1.S Dibuje A y B con el origen de B en el extremo de A . y y z de un
B AS La componente de un vector en una dirección especificada es igual al módulo del vector multiplicado por el coseno del ángulo entre la dirección del vector y la dirección especificada. Se obtiene trazando una línea perpendicular a la línea desde el extremo o flecha de un vector.12
AS = A cos θ 1
BS = B cos θ2 = −B cos θ
. dividir A por un escalar s equivale a multiplicar A por 1/s.12.
FIGURA 1.00 km
La flecha que representa a C mide S 5. 7
Ejemplo 1. donde SA es unSvector arbitrario. aproximadamente. teniendo en cuenta la escala 1 cm 1 km. como se muestra en la figura 1. y anes el vector B S tiparalelo a A si s es negativo. Igualmente. por lo que el módulo de C es S de 5. Las dimensiones de sA son las de s multiplicadas por S S S las de A . usamos una escala tal que 1 cm corresponda a un desplazamiento de 1 km.00 km
4.00 km. (Además.11. respectivamente. de 53° al noroeste. La componente del S vector A en la dirección positiva de S es As siendo As S positiva. Usar la escala 1 cm 1 km e incluir los ejes que señalan al norte y al este. corresponde a la suma S S S S S S A A ASes decir. Para encontrar el desplazamiento resultante. se suman gráficamente los dos vectores desplazamiento. En este ejemplo el des-
plazamiento resultante es un vector de longitud 5 km en una dirección 53. La componente del vector B en la dirección positiva de S es Bs siendo Bs negativa. que tiene de módulo ƒ s ƒ A y es paralelo a A si s es positivo. Cuando se determinan las componentes x. S S sA .00 km
0 1 M-108 2 3 4
COMPROBACIÓN La distancia recorrida es 3. y un transportador.8
Una persona se mueve 3 km hacia el este y luego 4 km hacia el norte. Este resultado es consistente con la frase “la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta”. Un vector A multiplicado por un escalar s . A A A 3A . Para dibujar la resultante con exactitud.00 km hacia el este yS 4S hacia S norte.
B 4. si nos movemos 3 km hacia el este y después 4 km hacia el norte es de esperar que estemos más de 45° al norte de nuestro punto de partida.11
OBSERVACIÓN Un vector viene descrito por su módulo y dirección. como indica la figura 1. S 2.Propiedades generales de los vectores
S E C C I Ó N 1. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?
PLANTEAMIENTO El desplazamiento de la persona es el vector que va desde la posición inicial a la posición final.00 km 7. Determinar el módulo y la dirección de C usando el dibujo.00 cm. La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es la longitud de la proyección del vector sobre dicha línea.
A 3. SOLUCIÓN
N C 5.00 km y el módulo del desplazamiento neto es de 5 km.)
La suma y la resta algebraica de vectores se lleva a cabo expresando los vectores en función de sus componentes. Sean A y B los desplazamientos de 3.1° al norte del este.
La expresión 3A .
40 km 429.56 km22
15. hay que caminar 5.2 y 1. Luego.06 km 2. apuntando hacia el 60° S FIGURA 1.2 km Cy por lo tanto. El ángulo entre el vector C y el eje
x es.0° C A
φ θ 60.
.00 cm de largo formando un ángulo de S con el eje x. OBSERVACIÓN Para especificar un vector se necesita saber el módulo y la dirección o
todas sus componentes. Por lo tanto. con un ángulo de 40° con la dirección oeste.40 cm de longitud.56 km o bien 73. Las instrucciones son ir 3. sea A el primer desplazamiento y elegimos el eje x positivo en la dirección este y el eje y positivo en la dirección norte. Dibujamos el diagrama de suma de vectores a escala (figura 1.50 km 2. En
el apartado (a) use el método gráfico dibujando a escala cada uno de los desplazamientos y midiendo el desplazamiento resultante. Calculamos Ax y Ay de las ecuaciones 1. ya que al valor de arctg que le devuelve la calculadora podría tener que sumarle 180°:
5. el ángulo u nos lleva al segundo cuadrante:
COMPROBACIÓN El paso 4 del apartado (b) da de módulo 5.
40.0° 40.00 km en dirección noroeste con un ángulo de 40° respecto del oeste.2° hacia el noroeste
6. Las componentes del desplazamiento resultante C por suma:
Ax Ay Bx By Cx Cy C2 C
13.50 km 2. Usted no desea malgastar el tiempo dando vueltas por la isla.40 km hacia el noroeste con un ángulo de 73.2 km2
B se obtienen
4. Determine la longitud de C .00 km2 cos 60° 13.00 cm de largo. 7
Ejemplo 1. tg u Cx 5. (Necesitará un transportador S para medir los ángulos). de 73.
PLANTEAMIENTO En ambos casos hay que determinar la resultante del desplazamiento. Dispone de un mapa que le indica las direcciones a seguir para enterrar un “tesoro” en un lugar determinado. Finalmente.00 km2 sen 140° Ax Ay C2 x Bx By C2 y 1.2° o 107° u f 107º en la dirección contraria a las agujas de un reloj 73. mida el ángulo S entre la dirección de C y la dirección -x:
desplazamiento resultante es de 5.17 km 29.16). porque quiere acabar pronto para ir a la playa y hacer surfing.56 km 5.06 km 2. el módulo del el origen de A con el extremo de B :
Suponga que usted trabaja en un centro turístico en una isla tropical y está encargado de diseñar una actividad para los turistas de búsqueda de un tesoro. El teorema de Pitágoras nos permite obtener la magnitud de C :
1 1. Al hacer los cálculos vaya con cuidado. Usando un transportador. Para el apartado (b) hay que descomponer cada vector en sus componentes individuales y utilizarlas para calcular el desplazamiento resultante.0° 140° 3.17 km22
14. Estos resultados están de acuerdo con los resultados del apartado (a) dentro de la exactitud de nuestras medidas.2° hacia el noroeste. El ángulo entre la dirección de B y la dirección es 180. ¿En qué dirección debe moverse y cuánto tendrá que caminar para cumplir su objetivo con la máxima rapidez? Determine la respuesta (a) gráficamente y (b) usando componentes vectoriales.17 km arctg1 3. por lo tanto.Propiedades generales de los vectores
S E C C I Ó N 1. dibuje el vector resultante C uniendo S S S C mide 5.2° 180°2 o bien 73. a partir del extremo de A dibujamos el segundo vector B de 4. Para resolver el problema utilizando las componentes vectoriales.57 km 3.00 km2 cos 140° 14. Por
consiguiente. Cy es positiva y Cx es negativa. Primero trazamos los x ejes coordenados correspondientes de modo que el eje x señale hacia el este y la dirección S del eje y hacia el norte.0° (a) 1.2°. De igual modo calculamos las componentes del segundo S S desplazamiento B .57 km 1. es decir. A continuación.40 km.40 km y el apartado 6 concluye que la dirección es de 73.00 km en dirección hacia el nordeste 60° y después moverse 4.16 nordeste.2° respecto a la dirección noroeste. El cociente entre Cy y Cx es igual a la tangente del ángulo u entre C y la dirección positiva de x.00 km2 sen 60°
1. aproximadamente.3: 2. (b) 1. trazamos el primer vector desplazamiento A de 3. En este ejemplo precisamente se ha practicado como calcularlas.2° o 1 73.312 u arctg 1.
00 m2i S13. y k en un sistema de coordenadas S cartesiano (rectangular). Un vector A.4
Propiedades de los vectores Explicación
A B si ƒ A ƒ ƒ B ƒ y sus direcciones y sentidos son iguales C
Representación de las componentes
Ax Ay Az Cx Cy Cz Bx By Bz Ax Ay Az Bx By Bz
Negativo de un vector
A B si ƒ B ƒ ƒ A ƒ y su sentido es opuesto
Bx By Bz Ax Ay Az Bx By Bz
B sA tiene el módulo ƒ BS ƒ s ƒ ƒ A ƒ ƒ y la misma dirección que A S si s es positivo o A si s es negativo
B A sA
sAx sAy sAz
S n n S Dados dos vectores A S14. j . Los vectores unitarios se escriben en negritas con un pequeño ángulo o acento circunflejo en su parte superior. El S vector S n A A >A es un ejemplo de vector unitario que apunta en la dirección de A . y k. Los vectores unitarios que apuntan en la direcciones x. se escriben i .17
PROBLEMA PRÁCTICO 1. determi-
Tabla 1. (b) El vector A en función de los vectores unitarios: S n A j n A k.4.7
La suma de dos vectores A y B puede escribirse en función de vectores unitarios en la forma A
n 1A x i 1A x
n Ay j n B 2i
n A zk2 1A y
n B j n B k2 n 1Bx i y z n 1A n By2j Bz2k z
1. (b) B. Normalmente. j .20
Un vector unitario es un vector sin dimensiones de módulo unidad.00 m2i
n 13. respectivamente.17): A
i k z
n Ax i
n Ay j
n A zk
1. Así.8
Las propiedades generales de los vectores se resumen en la tabla 1. B . cada uno de ellos paralelo a un eje coordenado (figura 1. y y z son adecuados para expresar los vectores en función de sus componentes recn n n n tangulares. (c) A
n 12. n A Ax i y z
(a) Los vectores unitarios n n n i .00 m2j . puede escribirse como suma de tres vectores. el vector A x i tiene módulo ƒ A x ƒ y apunta en la dirección x positiva si Ax es positiva (o la dirección x negativa si Ax es negativo). en general.00 m2j y B S S B. y (d) A nar (a) A.
uno basado en la rotación de la Tierra y el otro basado en un grupo seleccionado de relojes atómicos.uk/time/leap_second. Sin embargo.9 segundos. determinada por la rotación de la Tierra alrededor de su eje y por su movimiento de traslación alrededor del Sol. En 1955. Hay 6 planos orbitales. La medida del tiempo se convirtió en un proceso independiente de las observaciones astronómicas y. requiere que haya 24 satélites básicos en servicio al menos el 70% del tiempo. Sin embargo. Previamente. asumía que el movimiento de rotación de la Tierra es uniforme. el National Physical Laboratory en Gran Bretaña desarrolló el primer reloj atómico de cesio. Esta escala combina la regularidad del tiempo atómico con la comodidad del UT1. inclinados 55° con respecto al plano ecuatorial de la Tierra. Desde 1972. “…la solución adoptada para la sincronización ha sido construir una escala de tiempo atómica que sea la base para medir el tiempo denominada Tiempo Universal Coordinado (UTC).
El sistema de posicionamiento global. se consiguió una definición de segundo mucho más precisa basada en la frecuencia de la radiación emitida durante la transición entre dos niveles de energía del átomo cesio-133. el segundo. A lo largo de la historia. en 23 ocasiones se ha añadido un segundo al tiempo UTC. y muchos países la han adoptado como la base legal para las medidas del tiempo. es importante que ambos sistemas de medir el tiempo se sincronicen. definido como (1/60)(1/60)(1/24) de un día solar medio. En un año normal. la medida del tiempo se realiza por medio de relojes atómicos. Ese año fue entonces bisiesto por un segundo. Cuando este apartado se escribió (mayo del 2006) había 29 satélites operacionales en órbita. en consecuencia. hay otros satélites GPS que se utilizan en órbitas de reserva cuando alguno de los satélites básicos falla. GPS. en tanto que el primer segundo del nuevo año es el 00:00:00 UTC del 1 de enero.co. Por ello. por lo que los relojes antes de cambiar a 00:00:00 UTC señalaron la hora 23:59:60 UTC. Este ajuste fue necesario para sincronizar dos sistemas de medir el tiempo. Además. Sin embargo. (Detlev Van Ravenswaay/Photo Researchers.)
http://www. Por un acuerdo internacional. Es un concepto similar a los años bisiestos que se usan para corregir el calendario.242 días.Temas de actualidad en Física
El año 2005: bisiesto por un segundo
El calendario del año 2005 fue un segundo más largo de lo habitual. el sistema más familiar UT1 sigue siendo importante para sistemas de navegación y astronómicos. Efectivamente.html
. y desde entonces. el último segundo del año es el 23:59:59 UTC del 31 de diciembre. cada uno de los cuales tiene cuatro satélites básicos. recoge datos de un selección de laboratorios que miden el tiempo repartidos por todo el mundo para proporcionar el tiempo internacional estándar. se añade un segundo cuando la diferencia entre el UT1 y el UTC alcanza los 0. un dispositivo que tenía una exactitud mucho mayor que cualquier otro reloj que hubiera existido antes. cada cuatro años el calendario incluye un 29 de febrero. la medida del tiempo se ha relacionado con la posición del Sol en el cielo. Para tener en cuenta el desfase producido al considerar el año de 365 días. denominado actualmente el Tiempo Universal (UT1).”1 La Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sèvres. se añade un segundo para corregir el desajuste. Cuando se dan pequeñas diferencias entre el UTC y el UT1 a causa de las fluctuaciones en la rotación de la Tierra (normalmente son retrasos). Cada satélite básico tiene una órbita con un periodo de 1/2 de un día sideral (1 día sideral 23 h 56 min) y con un radio aproximadamente igual a cuatro veces el radio terrestre. a medida que se ha dispuesto de métodos de medida más precisos se ha hecho patente que la velocidad de rotación de la Tierra presenta ligeras irregularidades. Francia. lo cual implica también que se da una cierta variabilidad en la unidad estándar de medida científica del tiempo. UTC. Este tiempo astronómico. Según el National Physical Laboratory. la International Earth Rotation and Reference System (IERS) anuncia la necesidad de este cambio con unos meses de antelación. el año 2005 se añadió un segundo a la hora 23:59:59 UTC del 31 de diciembre. un año no son exactamente 365 días sino 365.npl.
Las unidades de cualquier magnitud física se pueden expresar en función de estas unidades fundamentales. los exponentes se suman. Notación científica
7. Se suman como los desplazamientos.3 Ay A sen u A 3A 2 x A2 y 1. Orden de magnitud
10. si se siguen. Los factores de conversión. Exponentes Multiplicación División Potencia Al multiplicar dos números. entonces
1. el segundo (s). Dimensiones 6. j . y k. los números muy grandes y muy pequeños se escriben por medio de un factor que multiplica a una potencia de 10. Los dos miembros de una ecuación deben tener las mismas dimensiones. Las unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI) son el metro (m). Las unidades en las ecuaciones se tratan de igual modo que cualquier otra magnitud algebraica. sus componentes x e y son A x A cos u 1. respectivamente S n A j n Ak n A A i 1. Si A forma un ángulo u con el eje x. Cifras significativas Multiplicación y división Adición y sustracción El número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o división nunca será mayor que el menor número de cifras significativas de cualquiera de los factores. Unidades fundamentales
3. Si C y Cy Ay By 1.7
1. el kilogramo (kg). el ampere (A). Al dividir dos números.2 1. Un número redondeado a la potencia más próxima de 10 se denomina orden de magnitud.
9. Por conveniencia. los exponentes se restan. Unidades
OBSERVACIONES Y ECUACIONES RELEVANTES
Las cantidades físicas son números que se obtienen a partir de medidas de los objetos físicos. proporcionan un método adecuado para convertir un tipo de unidad en otra. el mol (mol) y la candela (cd). Vectores Definición Componentes Los vectores son magnitudes que tienen módulo y dirección. Las unidades en las ecuaciones
8. que son siempre igual a 1. de módulo unidad. Conversión
5. La componente de un vector a lo largo de una línea en el espacio es su proyección sobre S dicha línea.6b
Suma de vectores mediante componentes
B .5a
Módulo Suma gráfica de vectores
Dos vectores cualesquiera cuyos módulos poseen las mismas unidades pueden sumarse gráficamente situando la cola de la flecha que representa a uno de ellos en el extremo o cabeza del otro. El resultado de la suma o resta de dos números no tiene cifras significativas más allá de la última cifra decimal en que ambos números originales tienen cifras significativas.
2. dirigidos a lo largo de los ejes x. las determinan sin ambigüedad. Cuando un número que contiene un exponente se eleva a otro exponente. También se pueden definir de forma práctica a partir de operaciones y procedimientos que. el kelvin (K).6a
n n n Un vector A puede escribirse en función de los vectores unitarios i . y y z. los exponentes se multiplican. El orden de magnitud puede estimarse mediante hipótesis razonables y cálculos simples.
¿Cuáles son las unidades finales? (a) m2>s3.00 m. Mostrar S gráficamente tres posibles elecciones para un vector B de forma que S S B A señale en la dirección positiva del eje y.4 1. Su ángulo medido en la dirección contraria a las agujas del reloj desde el eje x está (a) entre cero y 90 grados. (c) 0. (c) Energía. en otros pocos. (b) tres. (a) dos.
FIGURA 1.2 6 Ax (a) A S (d) A 102 105 años 1015 17.
(b) tres. (b) 1>s. Con este dato y sabiendo que la Luna dista 384 Mm de la Tierra. (c) cuatro.6 1. SSM
• Al hacer un cálculo. ¿Cuántos centímetros hay en una milla? SSM • El número 0. muestre la respuesta gráficamente. SSM
• A PLICACIÓN BIOLÓGICA Si se supone que el cuerpo humano está formado esencialmente de agua se puede hacer una sencilla estimación.00 m2j n B 12.000 513 0 tiene ______ cifras significativas.1 5
Respuestas a los problemas prácticos
1.003 2.39 3.524° (figura 1. S S A segráficamente tres elecciones para un vector B de forma que B
ñale en la dirección positiva del eje x. (e) seis. explique por qué no es posible.
• ¿Es posible que tres vectores del mismo módulo sumen cero? Si lo es. (d) 1012. ¿Cuáles son las dimensiones de la presión? • Verdadero o falso: para multiplicar dos magnitudes es condición necesaria que tengan las mismas dimensiones. deben aportarse algunos datos a partir de conocimientos generales. Estimar las moléculas de agua que forman una persona de 60 kg de masa. En los datos numéricos sin coma decimal se deben considerar significativos todos los dígitos.9. (b) 10 6. incluidos los ceros a la derecha del último diferente de cero.00 m2i . donde D es el diámetro de la Luna y rl es la distancia a la misma. • El prefijo mega significa: (a) 10 9. igual a D/rl.)
• El ángulo subtendido por el diámetro de la Luna en un punto de la Tierra es aproximadamente 0.7 (a) 300 ns. (El ángulo u subtendido por la Luna es. La aceleración tiene dimensiones de velocidad dividida por tiempo. • El número 23. para alumnos avanzados La solución se encuentra en el Manual de soluciones Los problemas consecutivos que están sombreados son problemas relacionados. (d) 106. (b) B 3. fuentes externas o estimaciones lógicas.Problemas
Respuestas a las comprobaciones conceptuales
1. (a) una.00 m2i
n 16. (e) m/s.05.2 1. (c) cuatro. (b) 40 Mm (a) 0.3 1. La presión es una fuerza dividida por un área.48 cm.18
• Un vector A señala en la dirección positiva del eje x. SSM
• Un vector A señala en la dirección positiva del eje S Mostrar y. puede exigir síntesis de conceptos Desafiante. (e) 1015.3 km.524°
• Una fuerza tiene dimensiones de masa por aceleración.
CÁLCULO Y APROXIMACIONES
(e) 109. (d) Tiempo.18).
En algunos problemas se dan más datos de los realmente necesarios. hallar su diámetro.
• Demostrar que un pie equivale a 30. • El prefijo giga significa: (a) 103. (e) ocho. (c) s3>m2. (d) siete. Ay 10. (d) cinco. (b) Longitud. SSM
. (b) 106. (c) 109. el resultado final tiene las dimensiones m/s en el numerador y m/s2 en el denominador. (c) 10 3. (e) Todas ellas son magnitudes físicas fundamentales.
Concepto simple.5 1.61 m. un solo paso. (b) 3. (c) A S n 16. • Un vector tiene la componente x negativa y la componente y positiva. relativamente fácil Nivel intermedio.9 10 27 kg. (b) entre 90 y 180 grados. En caso contrario.0040 tiene ______ cifras significativas. La masa de una molécula de agua es 29.1 1. aproximadamente. (c) más allá de los 180 grados. (d) s.
• ¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas no es una de las fundamentales del Sistema Internacional (SI)? (a) Masa.
002 gramos. donde N0 es el número de núcleos radiactivos en el instante t 0. (a) ¿Cuáles son las dimensiones de la constante k? (b) ¿Cuáles son las dimensiones y las unidades SI de kx2?
•• Demostrar que el producto de la masa por la aceleración y la velocidad tiene las dimensiones de una potencia. (b) 0.
• La velocidad del sonido en el aire es 343 m/s. 103 metros 1 kilómetro: (a) 10 12 abucheos. (b) 1. (b) x 1 C1 t2. y l es la llamada constante de desintegración. ¿Cuántos barriles por día supone esta cifra? 19
• Completar las siguientes expresiones: (a) 1. el kilogramo-metro por segundo cuadrado 1kg # m>s22. calcular cuántos barriles de petróleo deben importarse en un año en los Estados Unidos para fabricar la gasolina necesaria para la automoción. Si el espacio entre los centros de átomos de xenon adyacentes es de 5 nm (5 10 9 m). ¿cuáles son las dimensiones de las constantes C1 y C2?
•• Cuando un muelle se estira una distancia x a partir de su posición de equilibrio. ¿Cuál es su altura en centímetros? • Completar las siguientes igualdades: (a) 100 km/h ______ mi/h.24
•• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA En 1989. • Escribir las siguientes magnitudes (que no se expresan en
unidades del SI) usando prefijos (pero no sus abreviaturas). científicos de la compañía IBM consiguieron mover átomos con un microscopio de barrido de efecto tunel (STM). (a) Si una canción típica dura 5 minutos.296 105 km/h2 ______ km>(h # s). el gundo.
• Una milla cuadrada tiene 640 acres. (a) Supóngase que un bebé. t en segundos.
18 •• (a) Estimar cuántos litros de gasolina usan los automóviles cada día en los Estados Unidos y el coste asociado. Las letras IBM se extendían una distancia que equivalía a unos 15 átomos de xenon.
• ¿Cuáles son las dimensiones de las constantes que aparecen en cada uno de los apartados del problema 23?
• La ley de desintegración radiactiva es N1t2 N0e lt. 2 2C1 v 1C2 x22. El público pudo apreciar esta tecnología cuando vio las letras IBM formadas a partir de átomos de xenon sobre una superficie de niquel. SSM
tros. (a) x (e) v2
•• La unidad del SI de fuerza.1). • Hallar el factor de conversión para convertir millas por hora en kilómetros por hora. (c) Calcular la superficie que ocuparían anualmente estos residuos si se supone que necesitan una profundidad media en el vertedero de 10 m. se denomina newton (N). Estimar cuántos pañales desechables se usan cada año en los Estados Unidos. (b) 60 cm ______ in. (c) 100 yd ______ m. SSM 2
• Expresar las siguientes magnitudes usando los prefijos que se recogen en la tabla 1. (d) 30 000 segundos. ¿cuántos megabytes ocupa una canción? (b) Si una página de texto impreso ocupa aproximadamente 5 kilobytes. • Un jugador de baloncesto tiene una altura de 6 ft y 10. ¿Qué dimensiones tiene l?
•• En las ecuaciones siguientes. (b) Calcular el volumen de vertedero ocupado por los pañales. Su camión transporta 4 palés cada uno de los cuales contiene 60 cajas de agua. (g) 1012 toros. (b) metros cúbicos. ¿Cuántos metros cuadrados tiene un acre? •• P ÓNGALO EN SU CONTEXTO Supongamos que usted es un repartidor de una compañía que comercializa agua mineral. y un kilogramo pesa 2.8 in y una altura de 2 ft.)
• La mayor separación entre dos soportes del puente Golden Gate es de 4200 pies. (c) 3 MW. Determinar las unidades del SI de cada combinación: (a) v2>x. (e) 106 teléfonos. ¿Cuál es la velocidad de un avión supersónico que se mueve con una velocidad doble a la del sonido? Dar la respuesta en kilómetros por hora y millas por hora. t en segundos y v en pies por segundo. suponiendo que 1000 kg de estos residuos ocupan 1 m3. (c) Convertir las respuestas dadas en (a) y (b) de metros a millas. (d) 60 mi>h ______ m>s. N(t) es el número que permanece sin desintegrar en el tiempo t. Almaden Research Center. Cada caja contiene 24 botellas de agua de un litro y la carretilla que usa para transportar el agua a los comercios tiene un límite de peso de 250 lb (114 kg. (c) 1 at2. (c) 60 mi>h ______ ft>s. Un CD tiene una capacidad de almacenamiento de 700 MB y puede almacenar 70 minutos de música de alta calidad. (b) 4 ns. (c) litros?
•• En las siguientes expresiones. ¿Cuál es el volumen del cilindro en (a) pies cúbicos.
(Gentileza de IBM Reasearch.
• M ÚLTIPLES PASOS A partir de la definición original de metro en función de la distancia del Ecuador al polo Norte hallar en metros (a) la circunferencia de la Tierra y (b) el radio de la Tierra.2 libras. el módulo de la fuerza (F) viene dado por F kx (ley de Hooke). desde que nace y hasta los 2.45 L de gasolina. ¿cuál es el peso en libras de toda el agua del camión? (b) ¿Cuántas cajas llenas de agua puede transportar en la carretilla? SSM
•• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un megabyte (MB) es una unidad de almacenamiento en la memoria de los ordenadores. (a) 1 000 000 watts. estimar cuántas novelas se pueden guardar en un CD.296 105 km>h2 ______ m>s2.
24 •• Si en el problema 23 se expresa x en pies. Expresar esta distancia en kilómetros. (d) 25 km. (c) 10 6 teléfonos.5 in.) (a) Si un mililitro de agua tiene una masa de 1 g. (b) 1x>a. (b) Si de un barril de crudo se obtienen 73. (f) 10 9 cabras. x está en metros. SSM
•• Un cilindro circular recto tiene un diámetro de 6.
• Escribir cada una de las siguientes magnitudes sin usar prefijos: (a) 40 mW. 10 000 metros 10 km. estimar cuántas veces puede escribirse la palabra “IBM” en una página de 21. usa tres pañales al día. (c) 3 10 6 metros.5 años. (d) x C1 cos C2 t. la distancia x está en metiempo t en segundos y la velocidad v en metros por se¿Cuáles son las unidades del SI de las constantes C1 y C2? C1 C2 t. Por ejemplo. por ejemplo.
. v en metros por segundo y la aceleración a en metros por segundo cuadrado. (b) 109 mugidos.6 cm de ancho. (c) v2 2C1 x.1 y las abreviaturas de la página 5 (tabla 1.
•• Se ha debatido públicamente con frecuencia cuáles son las
consecuencias ambientales de usar pañales desechables o pañales reutilizables de tela. Hallar las dimensiones y las unidades del SI de la constante G en la ley de Newton de la gravitación F Gm1m2 >r2. (d) 10 18 chicos.
• Reescriba los vectores siguientes en función de su magnitud y su ángulo (en el sentido contrario a las agujas del reloj con respecto a la dirección x). Calcular expresándolo en función de ellos. La tolerancia es de 1. ¿Cuántas membranas de este espesor deberían apilarse para conseguir una altura de 1 pulgada? SSM •• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA Hay que perforar un agujero circu1
n n •• Expresar en función de i y j el vector de módulo unidad S S S opuesto a la dirección de cada uno de los vectores A . El lado del taco mide 42.32 ps ______ s. SSM n n 60 •• Los vectores unitarios i y j señalan al este y al norte. lo cual significa que el radio del agujero real no puede diferir en una magnitud superior a esta cantidad.5 cm. Utilizar este dato y el hecho de que 1 cm3 de agua tiene una masa de 1 g para hallar el peso en libras de 1 kg de masa.17 10 3). (b) 12 340 kW ______ MW. (c) Un vector fuerza de 40 lb que forma un ángulo de 120° en la dirección contraria a las agujas de un reloj con la dirección y. y B de 42 lb de módulo y que forma un ángulo de 50° en el sentido de las agujas del reloj con la dirección positiva del eje y.6 (5.72i
en función de los vectores unitarios.Problemas
•• El momento lineal o ímpetu de un objeto es el producto de su masa por su velocidad. (c) 28. (b) (2.5 unidades de longitud.2 10 3.3). Faire CAv2. La primera etapa coincide con el paseo descrito en el problema anterior.4 pulgadas de lluvia. (d) 63.99 104).7j .0 y 5.5 m de componente y. (c) metros cúbicos.00 pie 30.3 107). millas por hora y metros por segundo. SSM • Efectuar las siguientes operaciones redondeando al número correcto de cifras significativas y expresando el resultado en notación científica: (a) (200. El resultado es un vector de 10. Obsérvese que la densidad del agua es 1000 kg/m3.56 10 3). SSM •• ¿Qué combinación de la fuerza y otra magnitud física tiene las dimensiones de la potencia?
•• Cuando un objeto cae a través del aire. SSM • Muchas de las carreteras de Canadá limitan la velocidad de los vehículos a 100 km/h. ¿cuántos años necesitaríamos para contar 1000 millones de dólares? 64 • (a) La velocidad de la luz en el vacío es 186 000 mi/s 3 108 m/s.31 10 9).14)(9. y 5. Demostrar que esta magnitud tiene las dimensiones de una fuerza multiplicada por el tiempo. B y C del problema 57.12j . 65 • La masa de un átomo de uranio es 4. ¿Cuál es la velocidad límite en mi/h?
un orificio de forma cuadrada. y la masa del Sol. se produce una fuerza de arrastre que depende del producto del área superficial del objeto y del cuadrado de su velocidad. Si el agujero real excede al radio deseado precisamente en el margen de tolerancia. (c) sudoeste. y (d) kilogramos.0 10 3 cm. y C 5. (a) construir un esquema y estimar visualmente el módulo y el S S S S ángulo del vector C de forma que 2A C B sea un vector de 35 lb de módulo orientado según la dirección positiva del eje x. (c) 12p/(4. es decir. ¿Qué combinación de estos factores ofrece las dimensiones correctas para el periodo de un planeta?
• CONCEPTUAL Una persona camina 100 m siguiendo una línea recta sobre el plano horizontal. (b) El peso de un pie cúbico de agua es 62.10 mm de material de un lado.0 unidades.0 m ______ mm. ¿cuál es la diferencia entre el área real del agujero y el área requerida para el mismo?
pectivamente. Determinar las dimensiones de C. redondeando hasta el número correcto de cifras significativas.
•• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA Un taco cuadrado debe ajustarse a • En las misiones Apolo a la Luna durante los años 60 y 70. SSM
• Contando dólares a razón de 1 $ por segundo. ¿Cuánta agua ha caído sobre un acre de tierra? (1 mi2 640 acres. MS. (b) (0.25/(4.
• A PLICACIÓN BIOLÓGICA Una membrana celular posee un espesor de 7 nm. n A 3.4 libras y 1. res59
lar de 8.17 105.2 mm. (c) 54. (d) 2. (d) 27.78 10 8) – (5. ¿cuáles son los movimientos posibles de la persona hacia el norte o hacia el sur? ¿Cuáles son los ángulos posibles con respecto de la dirección este que el camino recorrido por la persona puede haber alcanzado?
• Expresar los siguientes números como números decimales sin utilizar la notación de potencias de diez: (a) 3 104. la constante G de la ley de gravitación de Newton (F Gm1 m2 >r2). (a) ¿Cuál es el área del espacio entre el taco y el orificio? (b) Si se hace el taco de forma rectangular limando 0. ¿cuál es ahora el área vacia entre el taco y el orificio? SSM
• M ÚLTIPLES PASOS Se suman dos vectores de 7.99 102). (a) Determinar el vector D n B 1 7. (b) 6.2j . (c) 4 10 6. Estimar gráficamente la longitud y dirección de esta segunda etapa. (b) Un vector velocidad de 25 m/s que forma un ángulo de 40° contrario a las agujas del reloj con la dirección x. S n 4. (c) Un vector fuerza de 50 lb de módulo situado en el tercer cuadrante con una componente x cuyo módulo es de 40 lb. ¿Cuántos átomos de uranio hay en 8 g de uranio puro? 66 •• Durante una tormenta cae un total de 1. y expresar el resultado en notación científica: (a) (1. donde C es una constante. Si la persona se mueve 50 m hacia el este.
• Realizar las siguientes operaciones.78 104). (d) 3. el vector unitario en las direcciones siguientes: (a) nordeste (b) 70° en la dirección de las agujas del reloj contados a partir de la dirección del eje y. SSM • Escribir en notación científica los siguientes valores: (a) 1 345 100 m ______ km.000 000 513) (62.4i n n 1 9. Estimar la velocidad media del vehículo espacial en kilómetros por hora.9 mm y el del orificio 43.470 10 cm de radio en el panel frontal de un monitor.4i 57 •• Dados losS vectores siguientes: S S n 3.0 10 26 kg. (a) Un vector desplazamiento con 8. (a) Mostrar gráficamente al menos una forma mediante la cual puede llevarse a cabo la suma.5 m de componente x. (a) Un vector desplazamiento de 10 m que forma un ángulo de 30° en la dirección de las agujas de un reloj con la dirección positiva del eje y. (b) Expresar la respuesta del apartado anterior en función del módulo y del ángulo con respecto la dirección positiva del eje x.
•• La tercera ley de Kepler relaciona el periodo de un planeta con su radio r.401 (5. La segunda etapa se desarrolla a lo largo de una línea recta.9)(569. (b) pies cúbicos. • Determinar las componentes x e y de los tres vectores siguientes del plano xy. (b) Un vector velocidad con 75 m/s de componente x y 35 m/s de componente y. Utilizar este dato para hallar el número de kilómetros que tiene una milla.
•• Dados los vectores siguientes: A de 25 lb de módulo y que forma un ángulo de 30° en el sentido de las agujas del reloj con la diS rección positiva del eje x. de modo que S S S S D 2A 3C 4B 0. (b) Use el diagrama del apartado anterior para determinar el ángulo entre los dos vectores originales.) Expresar la respuesta en: (a) pugadas cúbicas. el viaje de la Tierra a la Luna duraba unos tres días desde el momento en que la cápsula abandonaba la órbita terrestre.
• A PROXIMACIÓN El destino final de un paseo está a 300 m en la dirección este considerada a partir del punto de partida. (b) Repetir el cálculo del apartado (a) usando el método de las componentes y comparar el resultado con el estimado a partir del apartado (a).
Para una moneda ha obtenido los siguientes resultados (a) y (m) (b) t (s) 10 3. relleno de agua extremadamente
.5° sobre la horizontal 13° Nordeste
NIERÍA . ¿cuánto tiempo cuesta llenarlo? •• La unidad astronómica (UA) se define como la distancia media de la Tierra al Sol. (d) Si se deja caer una moneda desde 1.19 9. (a) Estos datos se relacionan mediante la fórmula T Crn. Para ello. donde B y C son constantes que hay que determinar experimentalmente. ¿Cuál es la aceleración de los objetos que caen en la Luna? SSM
72 ••• HOJA DE CÁLCULO El valor de las acciones de una compañía que cotiza en el mercado de valores varía dependiendo del mercado y del tipo de actividad de la empresa y.) (a) Precio (en dólares) 2.3 10 26 kg. Puede hallarse experimentalmente como en la parte (b) si se conoce g. (c) En la fórmula correcta que relaciona T con L y g interviene una constante que es un múltiplo de p y que no puede obtenerse mediante el análisis dimensional de la parte (a). según el cual el detector contiene 50 000 toneladas de agua? Densidad del agua: 1000 kg/m3.85 (b) Años desde 1980 1 6 11 16 21
••• H OJA DE CÁLCULO La tabla adjunta da el periodo T y el radio r de las órbitas correspondientes a los movimientos de cuatro satélites que giran alrededor de un asteroide pesado y denso.
(a) Periodo T.14 10. a saber. desde el reposo.89 0.496 1011 m. miden que el ángulo que forma con la horizontal la línea imaginaria que apunta hacia el pico es de 7. Calcular la masa de agua que hay en el interior del cilindro. El valor de las acciones de una compañía de ingeniería de materiales denominada Corning. donde t se expresa en años. (a) Expresar la fuerza ejercida tanto por Paul como por Johnny en función de los vectores unitarios.5 km. representando log(y)(ordenadas) respecto log(t)(abscisas).5 km este. Determinar la órbita de este satélite que se ajuste a la misma fórmula. (b) De acuerdo con esta ley de potencias. Para ello.5 20 5. y relaciona la distancia caída y con el tiempo t. Utilizando el valor g 9.5º km norte y 2. puede ser muy impredecible. ••• La posición de un avión que vuela a 5.0 m de altura.
••• Un trineo está en reposo y tres amigos tiran de él sin conseguir moverlo.5° y que la misma línea está orientada 13° hacia el este. Hallar C y n. (a) Evalúe las constantes B y C (véase el método sugerido en el problema anterior). cada cinco años en el periodo 1981 – 2001 evoluciona según la tabla. (b) Demuestre que si se toman logaritmos en la expresión y BtC. se obtiene log(y) log (B) C log(t). A PLICACIÓN A LA INGE H OJA DE CÁLCULO Imagínese que usted es un astronauta
FIGURA 1. ¿cuál sería su radio? (La masa de la Tierra es 5.0 40 7.61 0. hasta Zama. 1.9
Usted espera obtener una relación general entre la distancia y y el tiempo t de la forma y BtC. hallar la fórmula que relaciona T con L y g.)
•• APLICACIÓN A LA INGENIERÍA La compañia canadiense Canadian Norman Wells Oil Pipeline opera desde Norman Wells. (b) Determinar la fuerza que realiza Connie primero expresándola en función de los vectores unitarios y después en forma de módulo y dirección (ángulo). la situamos a 1.600
••• M ÚLTIPLES PASOS El periodo T de un péndulo simple depende de la longitud L del péndulo y de la aceleración g de la gravedad (dimensiones L/T2).68 105 m de longitud tiene un diámetro interno de 12 pulgadas y puede transportar petróleo a 35 L/s. Supongamos que el precio P de las acciones (en dólares) sigue una ley de potencias P BtC. ¿Se corresponde la cifra obtenida con el dato que consta en el sitio web oficial del Super-K.20 años. (a) represente los datos en un gráfico logarítmico (log-log).19) y la distancia horizontal que hay que caminar hasta el pico. En uno de estos experimentos analiza la caída de varios objetos. en los Territorios del Noroeste. n n n si i se orienta hacia el este.44 0.
••• P ÓNGALO EN SU CONTEXTO . cada día 3 de agosto. ¿cuál fue el precio de las acciones de la compañía el 3 de agosto del año 2000? (El precio alcanzado en realidad fue 82. Paul tira en dirección nordeste con una fuerza de 50 lb. SSM
•• Un núcleo de hierro tiene un radio de 5.208
3. (a) Si en un determinado momento el oleoducto está lleno.81 m/s2 y los resultados experimentales de la parte (b). ¿cuál es el volumen total de petróleo en la instalación? (b) Si inicialmente el oleoducto estaba vacío. Johnny estira con una fuerza de 65 lb con un ángulo de 35° en dirección sudoeste y Connie tira del trineo con una fuerza que queremos determinar.088
1. (a) Hallar una combinación sencilla de L y g que tenga las dimensiones de tiempo. (b) Comprobar la dependencia existente entre el periodo T y la longitud L midiendo el periodo (tiempo para una ida y vuelta completa) de un péndulo para dos valores diferentes de L. El año luz es la distancia que la luz recorre en un año. (a) ¿Cuántos electrones por metro cúbico deberían existir en el universo para alcanzar esta densidad crítica? (b) ¿Cuántos protones por metro cúbico producirían la densidad crítica? (me 9. El parsec es la longitud radial desde la cual una UA de longitud de arco subtiende un ángulo de 1 segundo.4 m de alto.2 30 6.374
7.83 $. donde a es la aceleración del objeto. su amigo camina en dirección oeste 1. Desde la nueva posición su amigo sitúa el pico y observa que la línea imaginaria que apunta hacia el pico forma un ángulo de 15° con el norte. (a) ¿Qué distancia hay desde el punto de observación hasta el avión? (b) ¿Con qué ángulo (respecto del norte en el plano horizontal) lo vemos? (c) Expresar el vector posición del avión desde nuestra situación en función de los vectores unitarios. años (b) Radio r.5 km
7. ¿cuánto tiempo tardará en llegar al suelo? (e) En el capítulo siguiente se verá como la relación entre y y t es y 1/2at2. (d) ¿Con qué ángulo de elevación (por encima del plano horizontal de nuestra posición) vemos el avión?
••• A PLICACIÓN A LA INGENIERÍA El detector japonés de neutrinos Super-Kamiokande está formado por un largo cilindro transparente de 39.19
que realiza experimentos de física en la Luna. pero la gente a menudo intenta encontrar patrones del comportamiento en bolsa de los valores a partir de fórmulas matemáticas. su densidad media debe ser al menos de 6 10 27 kg/m3.82 16. desde el punto en que están. j hacia el norte y k verticalmente hacia el cenit.3 50 7. aparentemente. (b) Se descubre un quinto satélite que tiene un periodo de 6. mp 1. en Alberta.98 1024 kg. (c) Compare esta relación lineal con el gráfico de los datos y estime los valores de B y C.88 0.4 10 15 m y una masa de 9.)
1. (a) ¿Cuál es su masa por unidad de volumen en kilogramos por metro cúbico? (b) Si la Tierra tuviera la misma masa por unidad de volumen. ¿Calcule a qué distancia está la montaña de su posición y qué altura tiene el pico?
Amigo 15° Nordeste N
•• Para que el universo deje algún día de expansionarse y comience a contraerse. situada en el estado de Nueva York.10 4.3 m de diámetro y 41. (a) ¿Cuántos parsecs están contenidos en una unidad astronómica? (b) ¿Cuántos metros tiene un parsec? (c) ¿Cuántos metros existen en un año luz? (d) ¿Cuántas unidades astronómicas existen en un año luz? (e) ¿Cuántos años luz contiene un parsec?
••• P ÓNGALO EN SU CONTEXTO Imagínese que va de excursión con un amigo a una zona llana y que deciden estimar la altura del pico de una montaña distante (figura 1. Mientras que usted se queda en el punto de observación. Gm
pura. El oleoducto de 8.67 10 27 kg.11 10 31 kg.0 km de altura.
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