Source: http://nanoffice.com/25540845-Eso-procedimientos-e-instrumentos-de-evaluacion.html
Timestamp: 2018-07-22 20:29:09+00:00

Document:
ESO. Procedimientos e instrumentos de evaluación. - PDF
Download "ESO. Procedimientos e instrumentos de evaluación."
Alejandra Castro Rico
1 ESO Procedimientos e instrumentos de evaluación. Como procedimientos e instrumentos de evaluación se tendrá en cuenta dos aspectos: Procedimientos de evaluación de conocimientos: Las pruebas escritas, al menos dos en cada evaluación (salvo en situaciones excepcionales), en las que se pueden incluir ejercicios importantes de otras unidades anteriores y con los criterios de calificación que se especifican a continuación. Al final de cada evaluación se realizará una prueba global de esa evaluación donde estarán presentes todos los contenidos de esa evaluación. Procedimientos de evaluación de la actitud y el trabajo en clase: Se evaluarán los siguientes aspectos: La actitud en clase El hábito de trabajo personal, tanto en clase, como en las tareas mandadas para casa. La realización del cuaderno y trabajos escritos. La presentación y ortografía en las pruebas y trabajos escritos. El progreso del alumno a lo largo del curso hasta ese momento Criterios de calificación La nota de cada evaluación se calcula a partir de la nota de conocimientos (pruebas escritas) que pesarán un 80 % y la nota de actitud y trabajo que se pondera en un 20 %. La nota de conocimientos de cada evaluación se calcula a partir de las pruebas escritas en las que la prueba global de evaluación tendrá peso 2. Para obtener la calificación de un alumno en el curso, en la evaluación ordinaria, se calcula la nota media de las tres evaluaciones. Si la nota media es cinco o mayor, el alumno supera el área. En caso contrario el alumno debe presentarse a la prueba extraordinaria. Procedimientos y criterios de recuperación Acabada cada evaluación (y antes de la prueba extraordinaria en el caso de la tercera) se realizan exámenes de recuperación. Dichas pruebas se realizarán por todos los alumnos aunque hayan aprobado la evaluación con la posibilidad de mejorar la nota de la evaluación. Para obtener la calificación de un alumno en el curso, en la evaluación ordinaria, se calcula la nota media de las tres evaluaciones. Si la nota media es cinco o mayor, el alumno supera el área. En caso contrario el alumno debe presentarse a la prueba extraordinaria. CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS EN 1ºESO ARITMÉTICA Conocer y aplicar el sistema de numeración decimal. 1
2 Hallar la descomposición polinómica de un número mediante el valor de posición de sus cifras. Hacer operaciones combinadas con los números naturales, usando paréntesis, y atendiendo a la prioridad de las mismas. Representar números naturales sobre la recta natural. Resolver problemas que impliquen una elaboración previa analítica, utilizando números naturales. Conocer el concepto de potencia y sus propiedades. Operar con potencias de exponente natural, utilizando las propiedades si es conveniente. Definir raíz cuadrada entera. Calcular raíces cuadradas sencillas. Adquirir los conceptos de múltiplo y divisor. Distinguir entre número primo y compuesto. Aplicar los criterios de divisibilidad. Conocer y manejar con soltura los del 2, 3, 5, 10 y 11. Descomponer un número en factores primos. Calcular el MCD y el MCM de dos números, aplicándolo a la resolución de problemas. Saber qué es el valor absoluto de un número entero y calcularlo. Comparar y ordenar números enteros. Representar sobre la recta entera números enteros. Saber usar las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. Conocer las reglas de los signos en multiplicaciones y divisiones de números enteros. Saber utilizar las distintas interpretaciones de fracción. Hallar fracciones equivalentes por amplificación y por simplificación. Calcular la fracción irreducible equivalente a una dada. Comparar fracciones de igual y de distinto denominador. Operar: sumas y restas, reduciendo a común denominador. Multiplicación y división de fracciones. Operaciones sencillas de fracciones. Escribir y leer números decimales. Comparar y ordenar números decimales. Operar: sumas, restas, multiplicación y división de números decimales. Resolver problemas sencillos utilizando números naturales, racionales positivos y decimales. 2
3 Distinguir los conceptos de proporcionalidad directa e inversa en problemas cotidianos sencillos. Resolver problemas de proporcionalidad sencillos. Resolver problemas de porcentajes sencillos. ÁLGEBRA Utilizar y expresar enunciados en lenguaje algebraico. Calcular el valor numérico de una expresión algebraica. Realizar operaciones algebraicas sencillas. Hallar ecuaciones equivalentes a una dada. Aplicar el método de resolución general de ecuaciones de primer grado y una incógnita sin denominadores y sencillas. Plantear y resolver problemas sencillos utilizando ecuaciones. GEOMETRÍA Reconocer ángulos centrales e inscritos y su clasificación en agudos, llanos, obtusos, rectos, complementarios y suplementarios. Hallar ángulos interiores desconocidos en triángulos a partir de otros dados. Conocer las diferentes posiciones relativas de dos rectas en el plano: paralelismo, incidencia y perpendicular. Concepto de perpendiculares. Concepto de mediatrices y bisectrices. Clasificar los triángulos según sus lados y sus ángulos. Conocer el concepto de polígono, elementos y clasificación. Conocer el concepto de polígono regular, sus elementos y las relaciones entre ellos. Calcular perímetros de figuras geométricas. Hallar el área de: cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios, rombos y romboides. Calcular el área de un polígono regular. Hallar el área de un polígono irregular descomponiéndolo en otros polígonos conocidos más simples. Diferenciar circunferencia y círculo y reconocer todos sus elementos. Calcular la longitud de la circunferencia y el área de un círculo. 3
4 Resolver ejercicios de aplicación de las fórmulas de longitudes y áreas de polígonos usando distintas unidades. TABLAS Y GRÁFICAS Representar puntos en un sistema de coordenadas cartesianas. Interpretar y construir tablas de valores. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Conocer los conceptos de población y muestra. Distinguir características cualitativas y cuantitativas de una población. Realizar tablas de frecuencias de variables estadísticas sencillas y hacer alguna representación gráfica. CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS EN 2ºESO ARITMÉTICA Adquirir los conceptos de múltiplo y divisor. Distinguir entre número primo y compuesto. Aplicar los criterios de divisibilidad. Descomponer un número en factores primos. Calcular el MCD y el MCM de dos números, aplicándolo a la resolución de problemas. Saber qué es el valor absoluto de un número entero y calcularlo. Comparar y ordenar números enteros. Representar sobre la recta entera números enteros. Saber usar las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros. Conocer las reglas de los signos en multiplicaciones y divisiones de números enteros. Calcular operaciones combinadas con y sin paréntesis de números enteros: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Saber utilizar las distintas interpretaciones de fracción. Hallar fracciones equivalentes por amplificación y por simplificación. Calcular la fracción irreducible equivalente a una dada. Comparar fracciones de igual y de distinto denominador. Operar: sumas, restas, multiplicación y división de fracciones, reduciendo a común denominador. 4
5 Transformar números decimales exactos en fracciones decimales y viceversa. Comparar y ordenar números decimales. Operar: sumas, restas, multiplicación y división de números decimales. Resolver problemas que impliquen una elaboración propia cualitativa utilizando racionales positivos y decimales. Definición de potencias de base fracción y exponente natural y 0. Calcular potencias utilizando la definición y aplicando las propiedades. Operar con potencias de exponente natural, aplicando las propiedades con soltura y rigor. Reconocer magnitudes directamente e inversamente proporcionales. Calcular porcentajes, aumentos y disminuciones porcentuales. Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana en los que aparezcan relaciones de proporcionalidad directa e inversa y porcentajes. ÁLGEBRA Utilizar y expresar enunciados en lenguaje algebraico. Calcular el valor numérico de una expresión algebraica. Sumar, restar y multiplicar expresiones algebraicas. Diferenciar la incógnita, el grado y los términos de una ecuación. Resolver ecuaciones de grado uno, con una incógnita, con y sin denominadores, aplicando el método de resolución general Plantear y resolver problemas sencillos utilizando ecuaciones. GEOMETRÍA Saber aplicar el teorema de Tales a la resolución de problemas geométricos. Conocer y aplicar los criterios de semejanza de triángulos y utilizarlos para reconocer figuras planas semejantes. Interpretar y trabajar con escalas, planos y mapas. Aplicar el teorema de Pitágoras en diversos problemas geométricos. Resolver ejercicios de aplicación de las fórmulas de áreas de figuras planas usando distintas unidades. Distinguir y conocer los poliedros regulares y cuerpos de revolución. Calcular el área de prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas y conocer su desarrollo. 5
6 Pasar de unas unidades de volumen a otras. Calcular el volumen de cuerpos geométricos. Resolver problemas. FUNCIONES Y GRÁFICAS Representar una tabla de valores en unos ejes de coordenadas cartesianas Construir tablas de valores a partir de una descripción verbal, de una gráfica o de una expresión algebraica. Interpretar una gráfica, respondiendo preguntas sobre lo que representa. ESTADÍSTICA Ordenar, agrupar y clasificar datos estadísticos para confeccionar tablas de frecuencias y saber interpretarlas. Representar los datos en histogramas y diagramas de barras y de sectores. Calcular parámetros de centralización. CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS EN 3ºESO NÚMEROS Identificar y distinguir los números naturales, enteros y racionales. Realizar operaciones combinadas con fracciones, aplicando correctamente la jerarquía de operaciones. Potencias. Resolver problemas de fracciones Relación entre una fracción y un número decimal exacto, periódico. Cálculo de fracciones generatrices. Interpretar y manejar potencias de exponente natural y entero. Conocer y aplicar correctamente las propiedades de las potencias. Conocer el concepto de raíz, como inverso de la potenciación. Calcular raíces enteras y exactas por descomposición factorial. Realizar productos, cocientes, potenciación y radicación de radicales en casos sencillos. Obtener términos de una sucesión, dado su término general o dada en forma recurrente Obtener el término general de una sucesión en casos sencillos. 6
7 Reconocer una progresión aritmética, conocer las fórmulas que relacionan los distintos elementos y saber utilizarlas. Reconocer una progresión geométrica, conocer las fórmulas que relacionan los distintos elementos y saber utilizarlas. Resolver ejercicios y problemas en los que intervengan el cálculo del término general, y la suma de determinados términos de progresiones aritméticas y geométricas. ÁLGEBRA Uso correcto del lenguaje algebraico en traducción de enunciados literarios sencillos. Operaciones con polinomios. Manejo algebraico de expresiones: sacar factor común, aplicación de la propiedad distributiva y fórmulas de productos notables. Resolución de ecuaciones de primer grado con paréntesis y fracciones,. Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. Resolución de sistemas de dos ecuaciones de primer grado: método de sustitución, reducción e igualación. Método gráfico Resolución de problemas por medio de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. GEOMETRÍA Identificar los elementos de los cuerpos geométricos básicos: prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera. Conocer y aplicar correctamente las fórmulas para el cálculo de superficies y volúmenes de los cuerpos anteriormente citados. Aplicar el teorema de Pitágoras en el espacio. FUNCIONES Y GRÁFICAS. Conocer los conceptos básicos relacionados con funciones: variable independiente y dependiente, dominio de una función. Analizar e interpretar gráficas como modo de representar las relaciones funcionales entre dos variables. Identificar a la vista de la gráfica de una función alguna de sus características principales: crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad y discontinuidad, tendencia y periodicidad. Dibujar, a partir de su expresión analítica, y mediante una tabla de valores, algunos puntos de una función. 7
8 Identificar y expresar analíticamente la función de proporcionalidad directa: y= mx, a partir de expresiones literarias sencillas. Reconocer gráfica y analíticamente, la función lineal: y = mx +n, así como sus valores característicos: pendiente y ordenada en el origen. Conocer las distintas formas de la ecuación de una recta y saber pasar de unas a otras en casos sencillos. Resolver problemas sencillos en los que intervengan funciones lineales. Saber representar, e interpretar conjuntamente, varias gráficas lineales, en contextos problemáticos sencillos. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Conocer y saber interpretar los diferentes tipos de gráficas estadísticas: Diagrama de barras, histograma, diagrama de sectores. Saber calcular los parámetros estadísticos de centralización de variables discretas y continuas: media, mediana y moda. Saber calcular la desviación típica para variables discretas y continuas. Analizar experimentos aleatorios sencillos. Formar el espacio muestral de un experimento aleatorio y distinguir los sucesos elementales, suceso seguro, el suceso imposible, para casos sencillos. Calcular la probabilidad de sucesos aplicando la Regla de Laplace en casos no muy complicados. CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMATICAS A DE 4º E.S.O ARITMÉTICA Distinguir los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales e irracionales Realizar las operaciones combinadas de suma, resta, producto y división de números reales, respetando la prioridad de operaciones. Conocer y utilizar las propiedades de las potencias de exponente natural, entero y fraccionario. Operar con números en notación científica, con y sin calculadora. Calcular aumentos y disminuciones porcentuales. Resolver problemas de porcentajes. 8
9 ALGEBRA Manejar expresiones polinómicas en una indeterminada conociendo su suma, resta, producto y división. Conocer los métodos de resolución de ecuaciones de grado 1, 2, bicuadradas e irracionales sencillas. Conocer los métodos de resolución numérico y gráfico de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Resolver problemas por medio de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Resolver inecuaciones de grado uno con una y dos incógnitas GEOMETRÍA Aplicar la semejanza de triángulos y el teorema de Pitágoras para la obtención indirecta de medidas. Calcular la distancia entre dos puntos. Conocer la ecuación explícita de la recta. Resolver problemas de incidencia y paralelismo. FUNCIONES Y GRÁFICAS Conocer y utilizar las formas de representación de una función Conocer, calcular e interpretar las características globales de una función: dominio, monotonía, extremos, continuidad... Conocer las expresiones y la representación gráfica de la función lineal, cuadrática, definidas a trozos. Utilizar la representación gráfica de funciones para la resolución de problemas. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. Conocer y saber interpretar los diferentes tipos de gráficas estadísticas: Diagrama de barras, histograma, diagrama de sectores, pirámides de población. Sabe calcular los parámetros estadísticos de centralización: media, mediana y moda. Sabe calcular los parámetros estadísticos de dispersión: desviación media, varianza y desviación típica. Asignar probabilidades en experiencias simples mediante recuento. Ley de Laplace. 9
10 Utilizar tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS B DE 4º de E.S.O. ARITMÉTICA Distinguir los diferentes tipos de números: naturales, enteros, racionales e irracionales. Representación gráfica sobre la recta real de los distintos números. Interpretar y calcular potencias de exponente natural, entero y fraccionario, Realizar operaciones con potencias aplicando sus propiedades. Expresar números en notación científica. Realizar operaciones con números expresados en notación científica, ayudados por la calculadora. Amplificar y simplificar radicales. Reducir radicales a índice común. Realizar operaciones con los radicales aplicando las propiedades. Racionalizar radicales. ÁLGEBRA Calcular el cociente de dos polinomios. Aplicar la regla de Ruffini para dividir dos polinomios. Descomponer factorialmente un polinomio. Opera fracciones algebraicas sencillas. Resolver ecuaciones de primer grado. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolver ecuaciones de 2º grado, bicuadradas e irracionales. Resolver problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales, y no lineales sencillos. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado y representar el intervalo solución. GEOMETRÍA Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo 10
11 Conocer las relaciones fundamentales de la trigonometría y sus demostraciones. Saber deducir las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Resolver triángulos, utilizando las razones trigonométricas. Conocer e interpretar los vectores del plano, mediante sus coordenadas. Operar con vectores en el plano, mediante sus coordenadas. Conocer el concepto de vector posición de un punto y las coordenadas del mismo. Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento. Calcular la distancia entre dos puntos, conocidas sus coordenadas. Conocer la ecuación explícita de la recta. Resolver problemas de incidencia y paralelismo. FUNCIONES Interpretar y determinar: dominio, recorrido, cortes con los ejes, simetrías, continuidad, monotonía, curvatura, máximos y mínimos, etc. Representar las funciones lineales, afines y constantes, determinando e interpretando su pendiente y ordenada en el origen. Representar la función de proporcionalidad inversa (hipérbola). Representar gráficamente las funciones polinómicas de segundo grado (parábola). Determinar el vértice de la parábola y los puntos de corte con los ejes de coordenadas. Representar funciones definidas a trozos. Relacionar gráfica y función, en el caso de funciones lineales, cuadráticas y de proporcionalidad inversa.. Interpretar y representar la gráfica de la función exponencial. Reconocer la función exponencial a través de su gráfica y propiedades. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Conocer y saber interpretar los diferentes tipos de gráficas estadísticas: Diagrama de barras, histograma, diagrama de sectores, pirámides de población. Sabe calcular los parámetros estadísticos de centralización: media, mediana y moda. Sabe calcular los parámetros estadísticos de dispersión: desviación media, varianza y desviación típica. Asignar probabilidades en experiencias simples mediante recuento. Ley de Laplace. 11
12 Utilizar tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. BACHILLERATO MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I BLOQUE I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1. NÚMEROS REALES: OPERACIONES A. Saber distinguir números racionales de números irracionales utilizando las caracterizaciones decimales. B. Obtener aproximaciones decimales por exceso y por defecto. Operar con ellas y determinar los errores cometidos. C. Manejar con fluidez y simplificar expresiones planteadas a base de radicales y potencias. Usar indistintamente expresiones radicales y sus equivalentes en forma potencial. D. Expresar en notación científica números decimales y operar con esta notación. E. Utilizar los números reales para representar e intercambiar información, y para resolver problemas cotidianos o que tengan relación con otras disciplinas. 2. NÚMEROS REALES: ORDENACIÓN A. Clasificar de menor a mayor una serie de números reales utilizando la relación de orden y sus propiedades de la forma más conveniente en cada caso. B. Saber calcular el valor aproximado de una magnitud conocido el límite de error permitido. C. Dominar los diferentes métodos de representación de los números reales. D. Conocer el significado y el cálculo del valor absoluto. Relacionarlo con los subconjuntos de la recta real. 3. POLINOMIOS E. Realizar operaciones con expresiones polinómicas de forma fluida. F. Aplicar el teorema del resto para comprobar la divisibilidad de un polinómio x - a. G. Calcular el resto de divisiones de polinomios, sin necesidad de efectuar la operación. H. Calcular raíces enteras de polinomios. I. Factorizar polinomios de hasta cuarto grado calculando alguna de sus raíces enteras. 4. ECUACIONES E INECUACIONES A. Aplicar técnicas algebraicas y algoritmos conocidos a la comprobación de soluciones y al reconocimiento de ecuaciones equivalentes. B. Resolver ecuaciones de segundo grado. Determinar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado sin resolverla. C. Tantear y factorizar para resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a dos. D. Resolver ecuaciones radicales. Comprobar las soluciones obtenidas. E. Obtener el conjunto solución de una inecuación de forma razonada. F. Traducir al lenguaje algebraico problemas asociados a relaciones lineales o cuadráticas entre variables, resolverlos e interpretar las soluciones según el contexto. 12
13 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS A. Aplicar las reglas de la suma y del producto para obtener sistemas equivalentes. Reconocer la naturaleza de un sistema de dos ecuaciones lineales. B. Resolver sistemas de dos ecuaciones por el método de reducción. C. Obtener sistemas triangulares equivalentes a sistemas de tres ecuaciones. Aplicar el método de Gauss para resolver dichos sistemas. D. Resolver sistemas no lineales. E. Resolver sistemas de inecuaciones lineales. F. Plantear y resolver problemas mediante las técnicas desarrolladas en la unidad. 6. SUCESIONES. PROGRESIONES. MATEMÁTICA FINANCIERA A. Hallar distintos términos de una sucesión a partir de su fórmula general. B. Hallar el término general de una progresión aritmética o geométrica. C. Calcular la suma de términos de una progresión aritmética o geométrica. D. Calcular el capital final obtenido por un capital depositado a determinado interés. E. Calcular anualidades de capitalización. F. Calcular anualidades de amortización. G. Resolver problemas relacionados con la matemática financiera. H. Obtener y utilizar la función de interpolación de primer grado, conocidos dos de sus puntos. I. Obtener y utilizar la función de interpolación de segundo grado, conocidos tres de sus puntos. J. Aplicar la interpolación y la extrapolación a la resolución de problemas de naturaleza no necesariamente matemática. BLOQUE 2: Funciones y gráficas 7. FUNCIONES A. Hallar el dominio de una función a partir de su expresión algebraica. B. Representar funciones elementales a partir de su expresión algebraica. C. Interpretar elementos básicos de una función a partir de su representación gráfica. D. Estudiar el tipo de simetría de una función a través de su gráfica o de su expresión algebraica, y reconocer, si existen, tanto el centro como el eje de simetría. E. Construir la gráfica de la función recíproca de una función por simetría con la gráfica de la función dada. F. Representar la función valor absoluto de una función dada por simetría con su gráfica. G. Operar aritméticamente con funciones y calcular la composición de dos de ellas. H. Calcular la función recíproca de una función dada. I. Transcribir situaciones o fenómenos de tipo social a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del análisis matemático de la misma. 8. TENDENCIA Y CONTINUIDAD A. Calcular el límite de una sucesión, bien estudiando la tendencia de sus términos, bien por métodos algebraicos. B. Interpretar la tendencia de una función a la vista de su gráfica. C. Calcular límites aplicando sus propiedades, o por métodos que permitan salvar las indeterminaciones. D. Interpretar gráficamente el resultado obtenido al calcular algebraicamente el límite de una función en un punto. E. Determinar la continuidad de una función en un punto o en un intervalo. 13
14 9. FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS A. Calcular expresiones exponenciales y logarítmicas. B. Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas a través de sus expresiones algebraicas. C. Obtener la gráfica de una función logarítmica a partir de una función exponencial dada y viceversa. D. Aplicar las propiedades de los logaritmos a la resolución de problemas de cálculo aritmético. E. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas. F. Transcribir una información a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. G. Hallar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera expresado en grados o radianes. Establecer las relaciones que existen entre ellas. H. Reconocer las características de las diferentes funciones trigonométricas y ser capaz de representarlas gráficamente. I. Obtener la gráfica de una función trigonométrica a partir de la gráfica de otra función dada, mediante traslación, dilatación o modificación del período de la función dada. J. Transcribir una información a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. 10. TASAS DE VARIACIÓN Y DERIVADAS A. Calcular la tasa de variación de una función en un intervalo. B. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo. C. Calcular la derivada de una función en un punto aplicando la definición. D. Determinar para casos elementales la función derivada de una función dada aplicando la definición. E. Interpretar geométricamente el concepto de derivada de una función en un punto. F. Hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado. G. Aplicar el concepto de derivada en la resolución de problemas. H. Calcular la función derivada de una función dada aplicando las reglas de derivación y la regla de la función compuesta. I. Aplicar el concepto de derivada, las reglas de derivación y la regla de la función compuesta a la resolución de problemas. 11. ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES A. Estudiar los intervalos de monotonía de una función. B. Estudiar el tipo de curvatura de una función. C. Determinar los máximos y mínimos de una función mediante el estudio de sus derivadas primera y segunda. D. Determinar los puntos de inflexión de una función mediante el estudio de sus derivadas primera y segunda. E. Aplicar el cálculo de los máximos y los mínimos de una función a la resolución de problemas de optimización. F. Estudiar y representar funciones de segundo, tercer y cuarto grado. G. Caracterizar una función a la vista de su gráfica, describiendo sus elementos más específicos. H. Estudiar y representar funciones racionales determinando sus diferentes tipos de asíntotas, si existiesen. I. Aplicar el estudio y la representación gráfica de una función a la resolución de problemas. 14
15 BLOQUE 3: Estadística y probabilidad 12. DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES Y BIDIMENSIONALES A. Aplicar las técnicas de disposición de datos en tablas unidimensionales y bidimensionales, y las técnicas de representación gráfica. B. Calcular medidas de centralización y dispersión de una distribución unidimensional. C. Calcular e interpretar los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional. D. Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretar la relación estadística que describe. Relacionar dicho coeficiente con la nube de puntos. E. Hallar las rectas de regresión y utilizarlas para estimar variables. Establecer la fiabilidad de tales estimaciones estudiando conjuntamente las rectas de regresión y el coeficiente de correlación. 13. DISTRIBUCIONES DISCRETAS. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A. Dominar el cálculo del recorrido, de las funciones de probabilidad y de los parámetros asociados a variables aleatorias discretas. B. Reconocer distribuciones binomiales en situaciones en las que no se especifica este hecho. Trabajar con las funciones de probabilidad y los parámetros asociados. C. Asignar con destreza, y por diferentes procedimientos, probabilidades a sucesos de carácter binomial. D. Resolver problemas de ajuste de distribuciones empíricas por distribuciones binomiales. 14. DISTRIBUCIONES CONTINUAS. DISTRIBUCIÓN NORMAL A. Conocer las características de una distribución continua. B. Dominar los procedimientos de tipificación y cálculo de probabilidades en distribuciones normales. C. Interpretar en términos probabilísticos las características descriptivas de la distribución normal. D. Utilizar la distribución normal para calcular probabilidades surgidas en un caso binomial. E. Resolver problemas de ajuste: verificar las condiciones necesarias y particularizar la distribución normal que mejor ajusta una distribución empírica. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II BLOQUE 1: Álgebra UNIDAD 1. MATRICES A. Realizar operaciones sencillas con matrices aplicando los procedimientos que permiten sumar y restar matrices, multiplicar números reales por matrices, multiplicar dos matrices así como obtener la transpuesta de una matriz dada. B. Resolver ecuaciones con matrices. C. Calcular el rango de una matriz mediante la eliminación de las filas o columnas que a simple vista sean dependientes de otras y la posterior aplicación del método de Gauss. D. Calcular la inversa de una matriz cuadrada de segundo o tercer orden mediante la aplicación directa de la definición o el método de Gauss. E. Aplicar el cálculo matricial para traducir, interpretar, representar y resolver situaciones relacionadas con la vida cotidiana o con las otras ciencias. 15
16 UNIDAD 2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A) Clasificar, estudiar la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método que se considere más adecuado en cada momento y expresando, en su caso, las posibles infinitas soluciones con la ayuda de parámetros. B) Recordar los métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas y el método de Gauss como generalización de los anteriores. C) Discutir y resolver sistemas con parámetros. D) Plantear y resolver problemas e interpretar sus soluciones. UNIDAD 3. PROGRAMACIÓN LINEAL A) Aplicar las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales. B) Captar las ideas básicas de la programación lineal y dominar su lenguaje propio. C) Dominar las técnicas de representación de regiones factibles, obtener sus vértices y encontrar la solución óptima. D) Plantear en términos matemáticos y resolver problemas de programación lineal a partir de un enunciado general. BLOQUE 2: Análisis UNIDAD 4. Límites y continuidad A) Calcular límites de funciones en un punto o en el infinito. B) Estudiar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo. C) Clasificar las discontinuidades de una función por métodos algebraicos y gráficos. D) Aplicar el estudio de la continuidad de una función a la resolución de problemas. UNIDAD 5. Derivadas A) Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo. B) Calcular la derivada de una función en un punto, aplicando la definición. C) Determinar la función derivada de una función dada aplicando la definición para casos elementales. D) Calcular la función derivada de una función dada aplicando las reglas de derivación. E) Aplicar el concepto de derivada y las reglas de derivación en la resolución de problemas. F) Calcular las derivadas sucesivas de una función analizando las regularidades que puedan encontrarse. UNIDAD 6. Funciones derivables A) Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto. B) Estudiar la derivabilidad de una función en un punto y en un intervalo. C) Aplicar los contenidos a la resolución de problemas. 16
17 D) Estudiar los intervalos de monotonía de una función aplicando el teorema de monotonía de funciones derivables. E) Estudiar el tipo de curvatura de una función mediante la aplicación de los teoremas relativos. F) Determinar los máximos y mínimos de una función mediante el estudio de sus derivadas primera y segunda. G) Determinar los puntos de inflexión de una función mediante el estudio de sus derivadas primera y segunda. H) Determinación de parámetros. I) Aplicar el cálculo de los máximos y los mínimos de una función a la resolución de problemas de optimización. UNIDAD 7. ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES A) Estudiar y representar funciones a partir de la gráfica de una función dada. B) Representar gráficamente funciones de distinto tipo estudiando previamente las características que mejor las identifiquen: dominio, recorrido, simetrías, puntos de corte con los ejes, extremos relativos, puntos de inflexión, intervalos de monotonía y curvatura y asíntotas. C) Aplicar el estudio y la representación gráfica de una función a la resolución de problemas. UNIDAD 8. Integrales indefinidas A) Calcular integrales de funciones sencillas: inmediatas, por cambio de variable. B) Obtener la integral indefinida de productos de funciones sencillas mediante la aplicación del método de cambio de variable para su transformación en integrales inmediatas de distintos tipos. C) Aplicar el cálculo integral a la resolución de problemas D) Encontrar la expresión algebraica de una función de la que se conocen determinadas condiciones que verifican sus derivadas sucesivas. UNIDAD 9. INTEGRAL DEFINIDA A) Calcular integrales definidas, mediante la aplicación de la regla de Barrow, de funciones continuas en intervalos cerrados en situaciones en las que la obtención de la primitiva requiera la aplicación de cualquiera de los métodos de integración conocidos. B) Calcular el área encerrada bajo una curva. C) Calcular el área del recinto limitado entre dos curvas. D) Aplicar el cálculo integral a la resolución de problemas. BLOQUE 3: Probabilidad y Estadística UNIDAD 10. SUCESOS. CÁLCULO DE PROBABILIDADES. A) Dominar los conceptos de espacio muestral, punto muestral, suceso y espacio de sucesos de un experimento aleatorio, y en su caso los procesos de construcción. B) Interpretar sucesos obtenidos mediante las operaciones con sucesos. 17
18 C) Saber asignar probabilidades a sucesos mediante procedimientos diversos. UNIDAD11. PROBABILIDAD CONDICIONADA A) Conocer la terminología relativa a sucesos, las operaciones con sucesos y sus propiedades. B) Saber evaluar la influencia que tiene un suceso en la realización o no de otro y calcular las probabilidades en este supuesto. C) Dominar el concepto de independencia entre sucesos y aplicarlo para determinar la probabilidad de la intersección de sucesos. D) Utilizar el teorema de la probabilidad total para calcular la probabilidad de un suceso, considerando previamente todas las circunstancias que pueden presentarse condicionando el suceso. E) Aplicar el teorema de Bayes para obtener probabilidades a posteriori. UNIDAD12. TEORÍA DE MUESTRAS A) Conocer los métodos del muestreo estadístico y extraer muestras de una población. B) Saber determinar las distribuciones muestrales de proporciones, medias, sumas muestrales y diferencias de medias. C) Calcular probabilidades asociadas a distintos estadísticos. D) Aplicar el teorema central del límite a poblaciones con distribuciones diversas. UNIDAD13. Intervalos de confianza A) Estimar parámetros poblacionales a partir de los correspondientes parámetros muestrales. B) Conocer el significado y saber calcular intervalos de confianza para proporciones, medias y diferencias de medias poblacionales, a partir de una muestra. C) Determinar el tamaño mínimo de una muestra dependiendo del error máximo admitido y de la confianza deseada. UNIDAD14. Contraste de hipótesis A) Saber formular las hipótesis nula y alternativa de un problema de contraste. B) Discernir las distintas situaciones que pueden darse en un contraste de hipótesis y relacionarlas con los tipos de errores. C) Realizar contrastes para el parámetro p de una distribución binomial. D) Realizar contrastes para la media de una población normal. MATEMÁTICAS I BLOQUE 1: Aritmética y Álgebra. UNIDAD 1. Números reales. Operaciones. Ordenación 18
19 A. Clasificar números racionales y números irracionales. Calcular aproximaciones decimales de números irracionales y operar evaluando el error cometido. B. Calcular y simplificar expresiones con números afectados por radicales C. Calcular y operar con logaritmos. D. Comparar y ordenar números reales. Representar en la recta real números enteros, racionales y reales sencillos. E. Representar en la recta real subconjuntos de números. F. Realizar conjeturas sobre propiedades o fórmulas sencillas y utilizar el principio de inducción completa para demostrarlas. G. Utilizar los números reales y su orden para resolver problemas relacionados con las propias matemáticas o las otras ciencias. UNIDAD 2. Expresiones algebraicas A. Operar con polinomios: calcular y simplificar expresiones en las que aparezcan operaciones combinadas con sumas, diferencias y productos. B. Obtener el cociente y el resto de la división de dos polinomios y expresar el dividendo en función del divisor, cociente y resto. C. Calcular el valor numérico de un polinomio. D. Hallar las raíces de un polinomio. E. Obtener polinomios determinados por condiciones de divisibilidad o de valores numéricos F. Obtener el valor y, en su caso, el verdadero valor de una fracción algebraica. G. Calcular y simplificar expresiones en las que aparezcan operaciones combinadas con sumas, diferencias, productos y cocientes de fracciones algebraicas. UNIDAD 3. Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss A. Resolver ecuaciones de primer o segundo grado y problemas que requieren la simbolización y resolución de estas ecuaciones. B. Resolver ecuaciones radicales y problemas que requieren la simbolización y resolución de estas ecuaciones. C. Resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales y problemas que requieren la simbolización y resolución de estas ecuaciones. D. Resolver sistemas de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas aplicando el método de Gauss. E. Resolver inecuaciones de primer o segundo grado y, en general, polinómicas y racionales que se puedan escribir como productos y cocientes de factores de primer grado. F. Resolver problemas mediante la simbolización de las relaciones que se incluyan en ellos y la posterior resolución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas o una inecuación Unidad 4. Números complejos A. Escribir un número complejo en todas las formas conocidas sabiendo pasar de una de ellas a otra cualquiera y representarlo en el plano. B. Realizar operaciones con números complejos expresando el resultado tanto en su forma binómica como en su forma polar. C. Calcular todas las raíces, tanto reales como complejas, de ecuaciones. D. Utilizar los números complejos para resolver situaciones geométricas relacionadas con las transformaciones en el plano. 19
20 BLOQUE 2: Geometría UNIDAD 5. Razones trigonométricas A. Expresar medidas angulares en grados o en radianes y calcular las equivalencias entre ellas. B. Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Obtención de ángulos y distancias en situaciones cotidianas. C. Calcular las razones trigonométricas de un ángulo si se conoce una cualquiera de ellas. D. Obtener las razones trigonométricas de un ángulo con ayuda de las de otro que pertenece al primer cuadrante o con las de otros que estén relacionados con él. E. Simplificar y comprobar expresiones trigonométricas y resolver ecuaciones sencillas. UNIDAD 6. Resolución de triángulos A. Resolver triángulos cualesquiera mediante la utilización del teorema de los senos y del teorema del coseno y con el apoyo de la calculadora científica. B. Calcular áreas de triángulos y figuras poligonales mediante una previa triangulación, si fuera necesario, y la aplicación de las herramientas trigonométricas apropiadas a cada caso. C. Calcular distancias y medidas de ángulos en figuras y configuraciones utilizando la resolución de triángulos. D. Aplicar las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos a la resolución de problemas sencillos de topografía. UNIDAD 7. Los vectores en el plano A. Realizar operaciones y simplificar expresiones en las que intervengan números reales y pares de números reales aplicando las herramientas algebraicas adecuadas. B. Representar en el plano vectores dados por sus coordenadas cartesianas y obtener las coordenadas de un vector del cual se conoce la representación de uno de sus representantes. C. Obtener de forma gráfica y algebraica el resultado de sumar dos vectores y el de multiplicar un vector por un número real. Expresar vectores dados como suma de dos vectores que tengan la misma dirección que dos vectores previamente definidos. D. Utilizar el producto escalar para el cálculo de módulos, proyecciones y ángulos de vectores y aplicarlo a la resolución de problemas. E. Aplicar el método de las traslaciones para resolver situaciones de tipo geométrico. UNIDAD 8. La recta en el plano A. Calcular diferentes tipos de ecuación de una recta de la cual se conoce algún elemento que la determine o algún tipo concreto de ecuación. B. Resolver situaciones geométricas sencillas con el apoyo que las herramientas propias de la geometría analítica proporcionan, en particular con el apoyo de las coordenadas de puntos y vectores y de las ecuaciones de rectas. C. Resolver situaciones de incidencia y paralelismo, tales como la determinación de la posición relativa de un par de rectas dadas o la decisión de si un punto pertenece o no a una recta determinada. 20
21 Unidad 9. Problemas métricos A. Calcular ciertas medidas geométricas, tales como distancias y ángulos, con el apoyo de los procedimientos propios de la geometría analítica del plano. B. Hallar ecuaciones de rectas definidas a partir de condiciones relacionadas con su dirección y su posición en el plano. C. Resolver situaciones geométricas sencillas con el apoyo de las herramientas propias de la geometría analítica, en particular de los procedimientos que permiten el cálculo de distancias, el cálculo de la medida de ángulos y la obtención de rectas perpendiculares y lugares geométricos básicos. Unidad 10. Cónicas A. Representar y calcular la ecuación analítica de una circunferencia, de una elipse, de una hipérbola o de una parábola de la que se conocen condiciones, de tipo analítico o geométrico, que la determinan. B. Representar y calcular los elementos de una cónica de la cual se conoce su ecuación. Decidir de qué tipo de cónica se trata. C. Calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia, el eje radical de dos circunferencias y el centro radical de tres circunferencias. D. Utilizar los procedimientos adecuados para resolver situaciones de tipo geométrico relacionadas con las cónicas. BLOQUE 3: Funciones y gráficas. UNIDAD 11. Funciones A. Reconocer la relación funcional entre dos magnitudes en una situación planteada de forma verbal y expresar la función de manera gráfica y algebraica, indicando su dominio. B. Determinar el dominio de existencia en funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas, dadas por su expresión algebraica. C. Obtener el polinomio de interpolación lineal o cuadrática de una función dada por una tabla. D. Representar gráficamente funciones elementales y definidas a trozos. E. Reconocer las sucesiones numéricas como funciones de dominio natural, identificando las sucesiones aritméticas y geométricas, y utilizar las técnicas básicas de obtención del término general. UNIDAD 12. Funciones: límites y continuidad A. Calcular límites de funciones polinómicas en puntos del dominio y en + y. B. Calcular límites de funciones racionales, en valores reales y en + y. C. Calcular límites de funciones irracionales, en valores reales y en + y, identificando y resolviendo los casos de indeterminación. D. Calcular límites de funciones trigonométricas identificando la indeterminación resolviéndola mediante el uso de funciones equivalentes. E. Estudiar la continuidad de una función racional o definida a trozos, reconociendo los posibles puntos de discontinuidad. 0 0 y 21
22 UNIDAD 13. Derivadas A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo y la tasa de variación instantánea en un punto en funciones dadas por su expresión algebraica y en problemas sencillos relacionados con la vida cotidiana o con otras ciencias. B. Obtener el valor de la derivada de una función en un punto en funciones polinómicas, racionales e irracionales sencillas reconociendo su significado geométrico. C. Utilizar la definición de función derivada para obtener derivadas de funciones polinómicas, racionales e irracionales muy sencillas. D. Obtener la ecuación de la recta tangente en un punto a la gráfica de una función bajo distintas condiciones. UNIDAD 14. Operaciones y cálculos con derivadas A. Aplicar las propiedades lineales de la derivación para obtener la derivada de funciones que se expresan como combinación lineal de funciones elementales. B. Obtener la derivada de una función definida como producto o cociente de funciones elementales. C. Aplicar la regla de la cadena para la obtención de la derivada de una función compuesta por dos funciones elementales. D. Obtener la función derivada de una función de tipo potencial-exponencial. E. Aplicar el cálculo de derivadas a la obtención de funciones y valores numéricos en contextos relacionados con problemas geométricos y de otras ciencias. UNIDAD 15. Monotonía y curvatura A. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones polinómicas y racionales sencillas y determinar sus extremos relativos. B. Aplicar el cálculo de derivadas y los procedimientos de caracterización de los extremos de una función a la resolución de problemas sencillos de optimización en distintos contextos. UNIDAD 16. Estudio y representación de funciones A. Obtener las ecuaciones de las distintas asíntotas de una función racional. B. Representar gráficamente funciones polinómicas mediante la obtención de los máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión y los puntos de corte con los ejes de coordenadas. C. Representar gráficamente funciones racionales sencillas a partir de la obtención de sus asíntotas y de la posición de la curva respecto a ellas, completando el estudio de la función con la determinación de sus extremos relativos y los puntos de inflexión. D. Identificar los puntos críticos, los puntos de inflexión y los intervalos de crecimiento de una función a partir de las características de la gráfica de su función derivada. BLOQUE 4: Estadística y Probabilidad. UNIDAD 17. Distribuciones unidimensionales y bidimensionales. A. Obtener e interpretar la madia aritmética y la desviación típica de una distribución estadística unidimensional. 22
23 B. Identificar el tipo de correlación en un diagrama de dispersión y asociar un valor aproximado del coeficiente de correlación lineal. C. Elaborar tablas bidimensionales de frecuencias y obtener a partir de ellas las medias y varianzas marginales, la covarianza y el valor del coeficiente de correlación. D. Analizar el tipo de correlación lineal de un conjunto de datos interpretando el valor del coeficiente de correlación. E. Obtener las ecuaciones de las rectas de regresión de una variable estadística bidimensional y emplearlas para predecir los valores de una variable en función de la otra, analizando la fiabilidad de los resultados así obtenidos. UNIDAD 18. Combinatoria A. Resolver ecuaciones en las que intervengan las expresiones de la Combinatoria. B. Resolver ecuaciones aplicando las propiedades de los números combinatorios. C. Simplificar expresiones numéricas y algebraicas en las que intervengan números factoriales. D. Plantear y resolver problemas de recuento que requieran el uso de una única técnica de la Combinatoria, justificando la adecuación de la misma. E. Plantear y resolver problemas de recuento que requieran el uso combinado de distintas técnicas de la Combinatoria o el ajuste final de resultados en función de las condiciones específicas del enunciado. F. Desarrollar la potencia de un binomio mediante el binomio de Newton. UNIDAD 19. Cálculo de probabilidades A. Formar los espacios muestral y de sucesos asociados a un experimento aleatorio y manejar de forma adecuada el vocabulario propio del lenguaje de sucesos y las operaciones entre estos. B. Asignar probabilidades mediante la regla de Laplace. C. Asignar probabilidades a sucesos expresados en función de otros de probabilidad conocida utilizando las propiedades estudiadas. D. Calcular la probabilidad condicionada de un suceso en experimentos aleatorios simples y mediante los teoremas de la probabilidad total y de Bayes. E. Asignar probabilidades a sucesos resultantes de una sucesión de pruebas homogéneas distinguiendo los casos de dependencia e independencia de los sucesos que lo componen. UNIDAD 20. Distribuciones discretas. Distribución binomial A. Obtener la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, representarla gráficamente y calcular su media y su desviación típica. B. Asignar probabilidades en distribuciones de probabilidad discreta mediante la función de probabilidad. C. Identificar y describir modelos de probabilidad de la distribución binomial, determinar sus parámetros y calcular su media y su desviación típica. D. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios en modelos de probabilidad que siguen una distribución binomial. UNIDAD 21. Distribuciones continuas. Distribución normal 23
24 A. Demostrar que una función es de densidad, en casos sencillos, y utilizarla para calcular la media y la desviación típica de la variable aleatoria y en la asignación de probabilidades. B. Calcular probabilidades en variables aleatorias que sigan una distribución normal mediante la tipificación de la variable y el uso de la tabla de la distribución estándar N(0, 1). C. Distribuir en intervalos de probabilidad conocida las observaciones resultantes de una variable aleatoria continua que siga una distribución normal. D. Reconocer problemas de distribuciones binomiales que se puedan aproximar mediante una distribución normal. Programación de MATEMÁTICAS II BLOQUE 1: Álgebra. UNIDAD 1. MATRICES A. Realizar operaciones sencillas con matrices aplicando los procedimientos que permiten sumar y restar matrices, multiplicar números reales por matrices, multiplicar dos matrices así como obtener la transpuesta de una matriz dada. B. Calcular las potencias n-ésimas de matrices cuadradas en casos sencillos mediante la aplicación del principio de inducción. C. Calcular el rango de una matriz mediante la eliminación de las filas o columnas que a simple vista sean dependientes de otras y la posterior aplicación del método de Gauss. D. Calcular la inversa de una matriz cuadrada de segundo o tercer orden mediante la aplicación directa de la definición o el método de Gauss. E. Aplicar el cálculo matricial para traducir, interpretar, representar y resolver situaciones relacionadas con la vida cotidiana o con las otras ciencias. UNIDAD 2. DETERMINANTES A. Calcular determinantes de segundo y tercer orden mediante la aplicación directa de las correspondientes definiciones. B. Calcular determinantes aplicando sus propiedades y las transformaciones que los simplifican y mediante el desarrollo por los elementos de una de sus líneas. C. Calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada mediante la obtención de su determinante y de la transpuesta de su adjunta, y utilizarla para resolver ecuaciones matriciales. D. Calcular el rango de una matriz con la ayuda de los diferentes determinantes que se pueden formar con sus filas y columnas y habiendo eliminado previamente las líneas en las que se observe, a simple vista, su dependencia lineal. UNIDAD 3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A. Estudiar la compatibilidad y resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando el método que se considere más adecuado en cada momento y expresando, en su caso, las posibles infinitas soluciones con la ayuda de parámetros. B. Discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales que estén afectados por un parámetro y expresar las infinitas soluciones con ayuda de parámetros en los casos en que el sistema resulte ser compatible indeterminado. C. Aplicar las técnicas relativas a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas, con las otras ciencias, con la tecnología o con la vida cotidiana. 24

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución