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Timestamp: 2020-01-19 03:06:19+00:00

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Analyse mathematique III: Fonctions analytiques, differentielles et varietes, surfaces de Riemann | Roger Godement | download
Main Analyse mathematique III: Fonctions analytiques, differentielles et varietes, surfaces de Riemann
Ce vol. III expose la théorie classique de Cauchy dans un esprit orienté bien davantage vers ses innombrables utilisations que vers une théorie plus ou moins complète des fonctions analytiques. On montre ensuite comment les intégrales curvilignes à la Cauchy se généralisent à un nombre quelconque de variables réelles (formes différentielles, formules de type Stokes). Les bases de la théorie des variétés sont ensuite exposées, principalement pour fournir au lecteur le langage "canonique" et quelques théorèmes importants (changement de variables dans les intégrales, équations différentielles). Un dernier chapitre montre comment on peut utiliser ces théories pour construire la surface de Riemann compacte d'une fonction algébrique, sujet rarement traité dans la littérature non spécialisée bien que n'éxigeant que des techniques élémentaires. Un volume IV exposera, outre,l'intégrale de Lebesgue, un bloc de mathématiques spécialisées vers lequel convergera tout le contenu des volumes précédents: séries et produits infinis de Jacobi, Riemann, Dedekind, fonctions elliptiques, théorie classique des fonctions modulaires et la version moderne utilisant la structure de groupe de Lie de SL(2,R).
ISBN 10: 3540661425
ISBN 13: 9783540661429
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Roger Godement Analyse mathématique III Fonctions analytiques, différentielles et variétés, surfaces de Riemann
Godement • Analyse Mathématique III
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Roger Godement Analyse mathématique Fonctions analytiques, différentielles et variétés, surfaces de Riemann Springer
Roger Godement Université Paris VII Département de Mathématiques 2, place Jussieu 75251 Paris Cedex 05 France Mathematics Subject Classification (2000): 30AXX, 30EXX, 30FXX, 42AXX, 58AXX Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Godement, Roger: Analyse mathématique / Roger Godement. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer Vol. 3. Fonctions analytiques, différentielles et variétés, surfaces de Riemann. - 2001 ISBN 3-540-66142-5 ISBN 3-540-66142-5 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York est membre du groupe BertelsmannSpringer Science+Business Media GmbH http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002 Imprimé en Allemagne Maquette de couverture: design & production GmbH, Heidelberg Printed on acid-free paper SPIN 10637582 41/3142/YL -543210
Table des matières du volume III VIII - La Théorie de Cauchy 1 §1. Intégrales de functions holomorphes 3 1 - Résultats préliminaires 3 (i) Le théorème fondamental (TF) du calcul différentiel et intégral 3 (ii) Calcul différentiel dans R2 4 (iii) Fonctions holomorphes 7 2 - Le problème des primitives 8 (i) Primitives locales d'une fonction holomorphe 8 (ii) Intégration le long d'un chemin. Chemins admissibles 10 (iii) L'intégrale le long d'un chemin comme intégrale de Stieltjes 12 (iv) Une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une primitive 14 (v) Cas d'un domaine contractile 17 3 - Invariance de l'intégrale par homotopie 19 (i) Chemins homotopes 19 (ii) Différentiation par rapport à un chemin 21 (iii) Effet d'une homotopie linéaire sur une intégrale 23 (iv) Le théorème d'invariance par homotopie 25 § 2. Les formules intégrales de Cauchy 32 4 - Formule intégrale pour un cercle 32 (i) Intégrales en 1 jz 32 (ii) Longueur d'un chemin 34 (iii) La formule intégrale de Cauchy pour un cercle 36 (iv) Modes de convergence des fonctions holomorphes 37 (v) Analyticité des fonctions holomorphes 41 (vi) Série de Laurent 42 5 - La formule des résidus 44
VI Table des matières du volume III (i) La formule des résidus 44 (ii) Formule intégrale de Cauchy: cas général 48 (iii) Nombre de zéros et de pôles d'une fonction 49 (iv) Résidus à l'infini 51 (v) Invariance du résidu par représentation conforme 53 (vi) Fonctions sur la sphère de Riemann 56 6 - Le théorème de Dixon 58 7 - Intégrales dépendant holomorphiquement d'un paramètre 62 § 3. Quelques applications de la méthode de Cauchy 66 8 - Transformée de Fourier d'une fraction rationnelle 68 (i) Intégrales absolument convergentes de fonctions rationnelles 68 (ii) Intégrales semi-convergentes de fonctions rationnelles 71 (iii) Transformées de Fourier absolument convergentes 72 (iv) Transformées de Fourier semi-convergentes 76 9 - Formules sommatoires 79 10 - La fonction gamma, la transformée de Fourier de e~xxs^1 et l'intégrale de Hankel 82 (i) La fonction gamma 82 (ii) Transformée de Fourier de e~xxs+1 85 (iii) L'intégrale de Hankel 86 11 - Le problème de Dirichlet pour le demi-plan 89 12 - La transformation de Fourier complexe 98 (i) Généralités 98 (ii) Un théorème de Paley-Wiener 101 (iii) Fonctions holomorphes inégrables une bande 102 (iv) Fonctions holomorphes intégrables dans un demi-plan 106 13 - La transformation de Mellin 108 (i) Questions de convergence 108 (ii) Prolongement analytique d'une transformée de Mellin 110 (iii) Exemple: la fonction zêta de Riemann 113 (iv) Un théorème de type Paley-Wiener 115 14 - La formule de Stirling pour la fonction gamma 123 15 - La transformée de Fourier de l/cosh7rx 131 IX — Différentielles et Intégrales à Plusieurs Variables 139 § 1. Calcul différentiel classique 139 1 - Algèbre linéaire et tenseurs 139
Table des matières du volume III VII (i) Espaces vectoriels de dimension finie 139 (ii) Les notations tensorielles 141 2 - Calcul différentiel à n variables 154 (i) Fonctions différentiables 154 (ii) Dérivation des fonctions composées 157 (iii) Différentielles partielles 159 (iv) Difféomorphismes 161 (v) Immersions, submersions, subimmersions 163 3 - Calculs en coordonnées locales 163 (i) Difféomorphismes et cartes locales 163 (ii) Repères mobiles et champs de tenseurs 165 (iii) Dérivées covariantes dans un espace cartésien 169 § 2. Formes différentielles de degré 1 175 4 - Formes différentielles de degré 1 175 5 - Primitives locales 177 (i) Existence : calcul en coordonnées 177 (ii) Existence des primitives locales : formules intrinsèques 179 6 - Intégration le long d'un chemin. Images réciproques 181 (i) Intégrales d'une forme différentielle 181 (ii) Image réciproque d'une forme différentielle 183 7 - Effet d'une homotopie sur une intégrale 185 (i) Différentiation par rapport à un chemin 185 (ii) Effet d'une homotopie sur une intégrale 187 (iii) L'espace de Banach C1/2(/;£) 189 § 3. Intégrales de formes différentielles 192 8 - Dérivée extérieure d'une forme de degré 1 192 (i) L'analyse vectorielle des physiciens 192 (ii) Formes différentielles de degré 2 193 (iii) Formes de degré p 196 9 - Intégrales étendues à un chemin de dimension 2 201 (i) La dérivée extérieure comme intégrale infinitésimale 203 (ii) La formule de Stokes pour un chemin de dimension 2 205 (iii) Intégrale d'une image réciproque 208 (iv) Un exemple dans le plan 209 (v) Version classique 211
VIII Table des matières du volume III 10 - Changement de variables dans une intégrale multiple 214 (i) Cas où <p est linéaire 215 (ii) Lemmes d'approximation 219 (iii) La formule du changement de variables 224 (iv) Formule de Stokes pour un chemin de dimension p 226 §4. Variétés différentielles 230 11 - Qu'est-ce qu'une variété? 230 (i) La sphère dans R3 230 (ii) La notion de variété de classe Cr et de dimension d 231 (iii) Quelques exemples 233 (iv) Applications différentiables 236 12 - Vecteurs tangents et différentielles 238 (i) Vecteurs et espaces vectoriels tangents 238 (ii) Vecteur tangent à une courbe 241 (iii) Différentielle d'une application 242 (iv) Différentielles partielles 246 (v) La variété des vecteurs tangents 247 13 - Sous-variétés et subimmersions 248 (i) Sous-variétés 249 (ii) Sous-variétés définies par une subimmersion 252 (iii) Les sous-groupes à un paramètre d'un tore 255 (iv) Sous-variétés d'un espace cartésien: vecteurs tangents 260 (v) Espaces de Riemann 262 14 - Champs de vecteurs et opérateurs différentiels 264 15 - Champs de vecteurs et équations différentielles 266 (i) Réduction à une équation intégrale 267 (ii) Existence des solutions 268 (iii) Unicité de la solution 269 (iv) Dépendance des conditions initiales 270 (v) Exponentielle d'une matrice 273 16 - Formes différentielles sur une variété 275 17 - Intégrale d'une forme différentielle 277 (i) Variétés orientables 277 (ii) Intégrales de formes différentielles 281
Table des matières du volume III IX 18 - La formule de Stokes 284 X - La Surface de Riemann d'une Fonction Algébrique 289 1 - Surfaces de Riemann 289 2 - Fonctions algébriques 295 3 - Revêtements d'un espace topologique 300 (i) Définition des revêtements 300 (ii) Sections d'un revêtement 302 (iii) Relèvements d'un chemin 303 (iv) Revêtements d'un espace simplement connexe 307 (v) Revêtements d'un disque pointé 311 4 - La surface de Riemann d'une fonction algébrique 312 (i) Branches uniformes globales 312 (ii) Définition de la surface de Riemann X 313 (iii) La fonction algébrique T{z) comme fonction méromorphe sur X 316 (iv) Connexité de X 319 (v) Fonctions méromorphes sur X 321 (vi) Le point de vue purement algébrique 322 Index 327 Table des matières du volume I 331 Table des matières du volume II 335
VIII - La Théorie de Cauchy § 1. Intégrales de fonctions holomorphes - §2. Les formules intégrales de Cauchy - § 3. Quelques applications de la méthode de Cauchy Nous avons montré au Chapitre VII, § 4 comment l'utilisation des séries de Fourier permettait d'obtenir une très appréciable partie de la théorie classique des fonctions holomorphes ou analytiques dans C. En fait, la méthode universellement adoptée pour les établir consiste, idée fondamentale de Cauchy, à intégrer les fonctions holomorphes le long de courbes tracées dans leurs domaines de définition et, par ce moyen, à établir une version du "théorème fondamental du calcul différentiel et intégral" (TF) s'appli- quant aux fonctions holomorphes, après quoi l'on en déduit une infinité de conséquences. Je n'en exposerai qu'une très faible partie. La théorie générale des fonctions analytiques est d'une étendue illimitée1 et les résultats dont on a besoin dans les domaines des mathématiques où l'on rencontre des fonctions holomorphes sont par contre très limités dans la grande majorité des cas. Par exemple, un résultat aussi célèbre que le théorème de Riemann sur la représentation conforme des domaines simplement connexes ne sert que très rare- 1 Les deux volumes de Reinhold Remmert, Funktionentheorie (Springer, 1995, existe aussi en édition anglaise), plus de 700 pages très concentrées, peuvent donner une idée de ce qu'est la théorie générale des fonctions analytiques, mais ne traitent pas des surfaces de Riemann, des fonctions algébriques, des fonctions elliptiques et automorphes, des équations différentielles dans le domaine complexe, des fonctions spéciales, etc., domaines qui exigeraient quelques milliers de pages supplémentaires et ont de toute façon fait l'objet d'exposés spécialisés. Parmi les très nombreux autres exposés disponibles, citons Walter Rudin, Real and Complex Analysis (McGraw-Hill, 1966, disponible aussi en français), Jean Dieudonné, Calcul Infinitésimal (Hermann, 1968), utile en particulier par ses nombreux exercices, Eberhard Freitag & Rolf Busam, Funktionentheorie (Springer-Verlag, 1995) qui cite beaucoup d'autres titres, Serge Lang, Complex Analysis (Springer, plusieurs éditions), John B. Conway, Fonctions of One Complex Variable (2 vol., Springer, 1978-95), Carlos A. Berenstein &: Roger Gray, Complex Variables. An Introduction (Springer, 1991).
2 VIII - La Théorie de Cauchy ment, même s'il est recommandé de le connaître pour la " culture générale" ; et quant à classifier les surfaces de Riemann simplement connexes, ce qui serait beaucoup plus utile, cela demanderait des développements beaucoup trop difficiles. Les résultats et méthodes fort élémentaires que nous exposerons dans ce chapitre suffisent largement, par exemple, au chapitre que nous consacrerons à la théorie des surfaces de Riemann ou à celle des fonctions elliptiques et modulaires. Il vaut donc beaucoup mieux apprendre à utiliser les idées fondamentales que des foules de théorèmes généraux, si ingénieux et profonds soient-ils, sauf bien sûr si l'on tient à se spécialiser dans la théorie générale. La théorie de Cauchy (il vaudrait beaucoup mieux dire : de Cauchy et Weierstrass) a fait et continue à faire l'objet d'innombrables exposés ne différant les uns des autres que par des détails d'exposition ou de style ; ne voyant pas l'utilité de les reproduire une énième fois, j'ai tenté, lorsque c'était possible, de ne pas les suivre, notamment à propos de l'homotopie. On verra au Chapitre suivant que, mis à part le théorème des résidus qui en est une conséquence facile, la méthode de Cauchy rentre dans le cadre beaucoup plus général des formes différentielles à plusieurs variables.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 3 § 1. Intégrales de fonctions holomorphes 1 - Résultats préliminaires (i) Le théorème fondamental (TF) du calcul différentiel et intégral (Chap. V, § 3). Dans sa version la plus simple, on se donne une fonction continue / sur un intervalle 7 C M et, en choisissant un a G I. on pose F(x) = f f(t)dt; J a on obtient ainsi une fonction dérivable telle que F'(x) — f(x) pour tout x E I. Inversement, toute primitive de / est, à une constante additive près, donnée par cette formule. Si, cas moins simple, on part d'une fonction / réglée2, la formule précédente définit une fonction F continue qui, en tout x G I. admet des dérivées à droite et à gauche données par Ffo) = iim F(x^h)-F{x) = + nm + h=0 a h=0 h>0 h>0 et une formule analogue à gauche. En particulier, la dérivée F'(x) existe en dehors de l'ensemble dénombrable D des points de discontinuité de /. Si, inversement, on a dans I une fonction réglée / et une fonction continue F qui, en dehors d'une partie dénombrable de 7, admet une dérivée égale à f(x). alors F est, à une constante près, encore donnée par la formule standard (Chap. V, §3, n° 13). On dit alors que F est une primitive de /. Pour simplifier le langage, nous dirons qu'une fonction F est de classe C1//2 dans I si c'est une primitive d'une fonction réglée que nous noterons toujours F' ; elle est déterminée sauf peut-être pour une infinité dénombrable de valeurs de la variable: ambiguïté sans importance qu'on peut lever en posant F'(x) = F'd(x) pour tout x. Il ne suffit pas pour cela que F soit dérivable en dehors d'un ensemble dénombrable. On adopte la notation C1/2 Rappelons qu'une fonction / définie sur un intervalle I C R est dite réglée si elle vérifie les trois conditions équivalentes que voici : (a) elle possède des valeurs limites à droite et à gauche en tout point de I ; (b) pour tout intervalle compact K C I et tout r > 0, il existe une partition de K en intervalles sur chacun desquels / est constante à r près; (c) il existe une suite de fonctions étagées qui converge vers / uniformément sur tout compact K C I (donc sur I si I est compact). Chap. V, n° 7, Théorème 6. La somme, le produit et le quotient de deux fonctions réglées sont encore du même type. Si / et g sont de classe C1//2, le produit fg est une fonction continue qui, en dehors d'un ensemble dénombrable, admet une dérivée f'{t)g{t) + f(t)g'(t), laquelle est une fonction réglée ; fg est donc une primitive de f'g + fg\ ce qui permet d'appliquer la formule d'intégration par parties aux fonctions de classe C1^2 définies plus bas.
4 VIII - La Théorie de Cauchy parce que C° signifie que F est continue, ce qui est moins restrictif, tandis que C1 signifie que F' existe partout et est continue, ce qui Test davantage. (ii) Calcul différentiel dans R2. Soient U un ouvert de M2 et / une application de U dans R ou M2. On dit qu'elle est différentiable en un point c G U si, /iGl2 étant un vecteur variable, f(c + h) — f(c) est " approximativement linéaire" en h pour h assez petit ; de façon précise, on exige l'existence d'une application linéaire de R2 dans R ou R2, l'application linéaire tangente à / (ou application dérivée, ou différentielle) de / en c, notée /'(c), telle que l'on ait f(c + h) = f(c) + f'(c)h + o(h) quand la longueur \h\ du vecteur h tend vers 0 ; on a donc (1.1) f{c)h = —f(c + th) pour t = 0. ai Si c = (a, b) on a f(a + u,b + v) = f(a, b) +pu + qv + o(\u\ + \v\) où les coefficients p, q. éléments de R ou R2 selon les cas, ne dépendent pas de u, v. Ce sont les dérivées partielles3 p - Dif(c) = hm , u=0 U 9 = #2/(c) = hm de / au point c. Si = (w, v) G R2, on a donc (1-2) f'{c)h^D1f{c)u + D2f(c)v. Si, dans le cas d'une fonction à valeurs dans R2, on pose f{x,y) = (fi(x, y), f2(x, y))-, l'application f'(c). pour c = (a, 6), transforme donc h — (u, v) en le vecteur (1.3) f'(c)h = 2?i/(c)îx + £>2/(c)t; - = (£>i/i(c), £>i/2(c)) ^ + (Z?2/i(c), D2f2(c)) v = = {D1f1(c)u + D2fi(c)v,D1f2(c)u + D2f2(c)v) . Si inversement les dérivées partielles existent quel que soit c G U et sont continues dans U, auquel cas on dit que / est de classe C1 dans U, alors 3 Une notation telle que D\f(c) représentera toujours la valeur au point c de la fonction D\f.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 5 / est différentiable en tout point de U. Si D\f et D2f sont à leur tour de classe C1, on dit que / est de classe C2, et ainsi de suite. On a alors (1.4) DxD2f = D2Dxf. Au lieu de la notation f'{c)h, on écrit souvent df(c;h) = f(c)h; pour h = (u, v), on a évidemment df(c; h) — u si / est la fonction coordonnée (x,y) i-> x, df{c\h) = v si / est (x,y) i-> y et df{c,h) — h si / est4 l'application identique z = (x, y) \-> (x,y). On peut donc écrire df [c; dzfo h)] = Di/(c)ofo(c; ft) + D2f(c)dy(c; h) ou, en abrégé, (1.5) df(c; dz) = Difi^dx + D2f(c)dy . On aura aussi besoin du théorème de dérivation des fonctions composées dans deux cas. (a) Supposons / de classe C1 dans U et soit \x : I —> U une fonction définie dans un intervalle I de R, d'où une fonction composée p = f o /x : t \-> f [ii(t)]. En tout point t où ji est dérivable, il en est de même de p et l'on a (1.6) P'to =/>(*)] **'(<), image du vecteur5 //(£) G R2 par l'application linéaire tangente à / en fi(t). Si / et fi sont de classe C1, il en est de même de p ; si / est de classe C1 et /i de classe C1/2, la fonction p, évidemment continue, est de classe C1/2 car p'(t) existe en dehors d'un ensemble dénombrable et est réglée comme produit de la fonction continue /; [//(£)] par la fonction réglée n'{i). La fonction p est donc une primitive de /; [//(£)] 4 La lettre 2 désigne ici le point de coordonnées x, y de R2 plutôt que le nombre complexe x + iy. C'est dans la théorie des fonctions holomorphes qu'il est indispensable de regarder les points du plan comme des nombres complexes. Cela dit, il n'est pas interdit d'utiliser la lettre z pour désigner un point de R2 ou de tout autre ensemble. 5 Si p(t) = (pi(t), fi2(t)), p!{t) est le vecteur (^[(t),p'2(t)). Si l'on ne fait pas de distinction entre un point ou vecteur (u, v) G R2 et le nombre complexe u + iv G C, le nombre complexe //(£) devient la dérivée usuelle de la fonction à valeurs complexes fJ>(t). Mais cette interprétation n'est généralement pas compatible avec la formule (6), car dans celle-ci f [//(£)] est une application linéaire de M2 dans R2 et non pas un simple nombre complexe. C'est seulement si / est holomorphe que l'on peut interpréter les trois dérivées figurant dans (6) comme des nombres complexes. L'existence de ces deux interprétations possibles des éléments de R2 conduit fréquemment à des confusions qui ne se produisent pas, et pour cause, dans Rn, avec n > 3.
6 VIII - La Théorie de Cauchy (b) Si g est une application d'un ouvert V C M2 dans U, d'où à nouveau une application composée p = f o g : V —> M2, alors p est différentiable en tout point c G V où g l'est, et l'on a (1.7) p'(c) = /'[s(c)]o</(c), composée ou produit des applications linéaires tangentes à g en c et à / en #(c). On retrouve facilement ce résultat en écrivant que p(c + h) = f [g(c + h)}~f [g(c) + g'(c)h} ~ f l9(c)} + f l9(c)} 9'(c)h = p(c) + /' [g(c)} g'(c)h, mais ce n'est pas là une démonstration. La formule précédente s'écrit aussi sous la forme (1.8) dp(z; dz) = df \g(Zy, dg(z; dz)] : dans la différentielle df(z;dz) de /, on remplace z et dz par g(z) et la différentielle de g au point z, comme Leibniz le savait déjà. Lorsqu'on identifie les points de M2 à des nombres complexes, toute fonction /(x, y) = (/i(x, y), /2(x, y)) à valeurs dans M2 s'identifie à la fonction à valeurs complexes z 1—> h{z)+iÎ2{z), les dérivées partielles s'identifiant alors aux fonctions £>i/ = A/i + iDif2 , Z?2/ = D2fi + i£>2/2 • Dans le cas (a), la fonction composée p(t) — j\ Ht)]+if2 Ht)] est à valeurs complexes ; si l'on pose = ^i(t) + 2/x2(£) et D = d/dt, on a = Di/i [//(t)] D^(t) + £>2/i [/*(*)] £Vx2(t) + + i {Dxf2 Ht)} Dm(t) + D2f2 \n(t)] Dpi2{t)} = = {Di/i [/i(t)] +iDi/2 [/i(t)]}DMl(t) + + {L>2/! [/z(*)] + iD2f2 [fjL(t)]}DfjL2{t) ; on retrouve donc la même formule p'(t) = Dxf Ht)} Dfi.it) + D2f Ht)} Dp2(t) mais où, cette fois, il s'agit des dérivées usuelles, à valeurs complexes, de fonctions à valeurs complexes. Dans le cas (b), il faut supposer que l'on compose deux fonctions f et g holomorphes pour obtenir une formule simple ; voir plus loin.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 7 (iii) Fonctions holomorphes. Soit / une fonction à valeurs complexes définie dans un ouvert U de C et supposons-la différentiable en c G U en tant qu'application de U dans R2. Elle possède donc une différentielle f'{c) : R2 —> R2 qui est linéaire sur le corps R. Il se peut qu'elle soit C-linéaire, i.e. de la forme h i-> ah, où a G C est une constante (à savoir la valeur de l'application pour h = 1) ; cela signifie qu'on a alors f(c + h) = f(c) + ah + o{h) lorsque \h\ tend vers 0, relation où c, h, a, /(c), etc. sont, cette fois, des nombres complexes. Le nombre a, qui caractérise /'(c), est alors donné par la relation (1.9) a=lim/(^)-/(c) h=o h où l'on fait tendre h vers 0 par valeurs complexes non nulles. On dit alors que / est dérivable au sens complexe au point c de U et l'on pose a = /'(c). La notation f'{c) désigne donc à la fois un nombre complexe et une application linéaire de R2 dans R2 ; cette ambiguïté apparente tient au fait que, dans R2, les applications de la forme h i-> ah, où a G C est une constante, ne sont autres que les applications C-linéaires ; il est donc naturel de ne pas faire de distinction entre une telle application et le coefficient a qui la détermine ; généralisation aux applications d'un corps K dans lui-même qui sont linéaires sur K : ce sont les fonctions x ^ ax des potaches. La fonction / est dite holomorphe dans U si la limite f'{z) existe pour tout z G U et est fonction continue de z (Chap. II, § 3, n° 19) ; il revient au même d'exiger que / soit C1 comme fonction de (x, y) et vérifie la relation de Cauchy (1.10) Dlf = -iD2f (=/') (Chap. III, §5, n° 20), laquelle exprime exactement la C-linéarité de la différentielle (2). Il existe pour les fonctions holomorphes une formule de dérivation des fonctions composées formellement identique à celle de la théorie des fonctions d'une variable réelle. On l'utilise dans deux cas. (a) Considérons d'abord un intervalle 7 C R, un ouvert U C C, une application \i : 7 —> U et une fonction / définie et holomorphe dans U, d'où une application composée p : t »->► / [p(t)} de 7 dans U. Si /i est dérivable en un point t de 7, il en est de même de p et l'on a (î.ii) P'{t) = fW)]»'(t) où /' désigne la fonction définie par la limite (9). Ce résultat s'étend immédiatement au cas d'une fonction composée de la forme p — f o p, où pi est une
8 VIII -. La Théorie de Cauchy fonction de plusieurs variables réelles 5i,... , sp : en notant Di l'opérateur de dérivation partielle relatif à Sj, on a (1.11') Dip(sU • • • , Sp) = f [/i . . . , Sp)] DifJL (5i, . . . , Sp) , car pour dériver par rapport à 5;, on fixe les autres variables, ce qui ramène à (n). (b) Si maintenant l'on remplace I par un ouvert V de C et fi par une fonction g : V —> U holomorphe dans V, l'application composée p de V dans C est encore holomorphe et l'on a (1.12) P'{z) = f[g{z)]g'{z) pour tout z G V. La formule (12) est en effet exacte d'après (7) si on y interprète les dérivées g' et p' comme des applications linéaires de R2 dans R2 et le second membre comme l'application composée de /' [g(z)] et gf(z). Ces applications sont par hypothèse C-linéaires. Mais si, dans C, on compose deux applications C-linéaires h •->• ah et h \-> bh, on obtient l'application h h-» abh; la formule (12) s'obtient donc en substituant aux applications pf(z), etc. les nombres complexes correspondants. Comme on l'a montré au Chap. VII, dire qu'une fonction / est holomorphe dans un ouvert G revient à dire qu'elle est analytique dans G, i.e. possède en tout a G G un développement en série entière f(z) = Sn>o Cn (z ~ a)n converge et la représente dans un disque de centre a et, en fait, dans le plus grand disque de centre a contenu dans G\ la série entière qui, au voisinage de a, représente / n'est autre que sa série de Taylor /(*) = £/(B)(°X*-0)[nl n>0 où, rappelons-le, on pose z^ = zn/n\. Les termes " holomorphe" et " analytique" sont donc synonymes. Néanmoins, tous les résultats que nous démontrerons dans ce chapitre reposent uniquement sur la définition initiale des fonctions holomorphes, autrement dit, n'utilisent pas l'analyticité de celles-ci, résultat que nous retrouverons par la méthode traditionnelle de Cauchy. Nous maintiendrons donc la distinction stricte entre les fonctions " holomorphes " et les fonctions "analytiques" aussi longtemps que nous n'aurons pas démontré à nouveau l'équivalence entre ces deux notions. 2 — Le problème des primitives (i) Primitives locales d'une fonction holomorphe. L'un des problèmes de base de la théorie des fonctions holomorphes consiste, étant donnée une telle fonction / dans un ouvert U de C, à trouver une primitive de / dans U, i.e. une
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 9 fonction holomorphe F telle que F' = /. Si U est un disque de centre a, le problème possède toujours une solution puisqu'une série entière peut se dériver terme à terme (Chap. IL n° 19) : (2.1) f(z) = £ cn(z - a)n F(z) =c+Y,cn(z- a)n+l/(n + 1) où c est une constante arbitraire. Une démonstration n'utilisant pas l'analy- ticité, et qui se généralise aux formes différentielles, consiste à observer que si / est holomorphe dans le disque D : \z\ < R et si F' = /, la fonction t^F(tz), définie au minimum dans [0,1] pour z £ D donné, a pour dérivée Ff(tz)z = f(tz)z d'après (11) ; le TF montre alors que, si F(0) = 0, on a pour tout z G D. Si, inversement, on définit F dans D à l'aide de cette formule, alors F est holomorphe et vérifie F' — f. Pour le voir, on observe que la fonction de (t,x,y) sous le signe J est C1, ce qui permet de dériver sous le signe J par rapport à x ou y ; posant D\ = d/dx et D — d/dt, on a alors, en omettant les limites d'intégration et en notant que D\z = 1. puisque / est holomorphe, on a Di/ = /' et f'(tz)z est la dérivée de f(tz) par rapport à t ; il vient donc, en intégrant par parties, d'où D\F = /. Si maintenant on remplace D\ par D2 = d/dy, le calcul reste le même à ceci près que D2f — if • On trouve alors D2F = if : par suite, F vérifie la condition de Cauchy et l'on a F'{z) — D\F{z) — f(z), cqfd. La méthode vaut plus généralement pour tout domaine étoile G. i.e. dans lequel il existe un point a tel que, pour tout z G G, le segment de droite [a, z] soit contenu dans G : remplacer tz par a+t(z — a) dans (2). C'est par exemple le cas d'un ouvert convexe, de C — R+ en choisissant a sur l'axe réel négatif, etc. Mais on trouvera plus loin un résultat moins restrictif quant à G. Revenons au cas général. Ce que l'on vient d'établir signifie que toute fonction holomorphe / dans un ouvert quelconque G admet une primitive au voisinage de chaque point de G ; mais ce résultat local n'implique aucunement l'existence d'une primitive globale, i.e. valable dans G tout entier, comme on l'a déjà vu (Chapitre IV, §4) à propos de 1/z et sa pseudoprimitive Cog z : on y reviendra plus loin. n>0 n>0 (2.2)
10 VIII - La Théorie de Cauchy (ii) Intégration le long d'un chemin. Chemins admissibles. Soit / une fonction définie et holomorphe dans un ouvert connexe G de C, i.e. un domaine, et supposons que / possède dans G une primitive F. Si nous étions dans R, le TF (2.3) F(z) - F(a) = f /(C)dC = /(*) J a où, en dépit des notations, z et la variable d'intégration £ sont réels, permettrait de calculer F à une constante additive près. Mais intégrer d'un point a G G à un autre point z G G n'a à première vue aucun sens dans C. Toutefois, nous savons - c'est (1.11) - que si fi : I —> G est une application d'un intervalle / cl dans G. i.e. un chemin6 dans G. on a (2.4) ~F W)] = F' fr(t)] M'(0 = / [/*(<)] /.'(<) en tout point où la dérivée fi'(t) existe. Si /x est de classe C1. si I = [u,v] et si fi(u) = a, n(v) = z, la version la plus simple du TF montre donc que (2.5) F{z)-F{a) = jj[fi{t)}fif{t)dt puisque le dernier membre de (4) est fonction continue de t ; la formule (2) s'obtient pour fi(t) = tz. Ce résultat est encore valable si fi est de classe C1/2 : la formule (4) est valable en tout point où /i possède une dérivée, donc en dehors d'une partie dénombrable de I, et la fonction / [/x(t)] //(£) est réglée ; la fonction continue F [fi(t)] est donc une primitive de celle-ci, d'où (5). Un chemin de classe C1/2 sera encore dit admissible. Si l'on pose, à la Leibniz, £ = //(£). on a d( = p!{t)dt, de sorte qu'au second membre de (5) on intègre l'expression f{C)dÇ, ; ceci conduit à définir Y intégrale de f le long d'un chemin n par (2.6) fj{OdC = JifW)}^\t)dt comme on l'a fait au Chap. V, equ. (5.16), pour la formule de Cauchy pour un cercle. On pourrait justifier la notation introduite au premier membre de (6) en observant que, si l'on choisit une subdivision de I — [u, v] par des points u = to < ti < ... < tn = v et si l'on pose Q = fi (U). l'intégrale (5) est approximativement égale à 6 Tout le monde utilise la lettre 7 pour noter un chemin. J'utiliserai la lettre \x parce que (i) les " concepteurs" des claviers d'ordinateurs ont eu l'heureuse idée d'y faire figurer une et une seule lettre grecque, à savoir /x, (ii), raison plus sérieuse, la fonction fi{t) intervient par la mesure de Radon (ou de Stieltjes) dfi(t) = n'(t)dt qu'elle définit, comme on le verra un peu plus loin.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 11 et donc, non moins approximativement, à f (Ci) (Ci+i — Ci) d'après la formule des accroissements finis ; d'où la notation (6). Le lecteur n'aura aucun mal à ajouter à ce raisonnement schématique les s qui le rendront correct en utilisant une subdivision de I sur les intervalles de laquelle les fonctions considérées sont constantes à e près ; voir le point (iv) plus bas. On notera que l'intégrale (6) ne dépend pas uniquement de la " courbe" fjb(I) décrite par fi(t) lorsque t décrit I: celle-ci en effet ne change pas si l'on remplace l'application /x par v(t) = /i(ip(t)) où cp est une application surjective d'un intervalle J dans I ; supposant (p de classe C1 pour simplifier, on a alors d'après la règle de dérivation d'une fonction composée ; en posant F(t) = / [//(£)] p!{t). on a donc comme I = ip(J). l'égalité de ces deux intégrales semble résulter de la formule de changement de variable dans une intégrale (Chapitre V, § 6, n° 19). Mais celle-ci concerne des intégrales orientées. L'égalité suppose donc que ip applique l'origine (resp. l'extrémité) de J sur l'origine (resp. l'extrémité) de I. Dans le cas contraire, la relation précédente n'est vraie qu'au signe près. Dans la pratique, on se borne à des " changements de paramètre" cp qui sont strictement croissants, ce qui élimine les difficultés et permet de se ramener à des chemins pour lesquels I = [0,1], ce que nous supposerons toujours par la suite sauf mention explicite du contraire. Les chemins admissibles ou de classe C1/2 couvrent tous les cas qui se présentent. Dans la pratique, on peut même presque toujours partager I en intervalles sur lesquels la fonction /i est C1, voire linéaire. Mais ces chemins de classe C1 (ou linéaires) " par morceaux", comme on les appelle, ne s'utilisent pas plus simplement que les chemins de classe C1/2 à partir du moment où l'on a compris ce qu'est une primitive d'une fonction réglée. En utilisant le Théorème 12 bis du Chap. V, n° 13, on voit que si l'on considère un chemin comme la trajectoire d'un point mobile, on peut caractériser les chemins admissibles en leur imposant les conditions suivantes :
12 VIII - La Théorie de Cauchy (a) l'application fi est continue. (b) elle possède en tout point t des dérivées à droite et à gauche, (c) celles-ci sont égales en dehors d'une partie dénombrable D de I (on peut avoir D — I D Q par exemple, mais il vaut mieux éviter ce genre de chemin dans les calculs pratiques ... ), (d) la dérivée à droite (ou à gauche) est une fonction réglée de t, i.e. possède des valeurs limites à droite et à gauche quel que soit t ou, au choix, est limite uniforme sur I de fonctions étagées. fig. I- La trajectoire du mobile /i(t), qui peut passer plusieurs fois par le même point, admet donc en dehors de D un " vecteur vitesse" //(£), la trajectoire pouvant changer de direction ("points anguleux") aux points de D. Elle possède une tangente en tout point où fi'(t) existe et est non nulle, le cas où n'{t) = 0 pouvant se traduire par un point de rebroussement7 comme le sait tout automobiliste qui tente de se garer entre deux voitures. (iii) L'intégrale le long d'un chemin comme intégrale de Stieltjes. Il est parfois commode d'interpréter l'intégrale (6) comme une intégrale de Stieltjes (Chap. V, §9, n° 32) par rapport à la mesure de Radon ou de Stieltjes complexe définie dans I par la fonction ji(t). Nous n'avons, au Chap. V, défini les intégrales de Stieltjes dans un intervalle I de M que par rapport à des fonctions réelles et croissantes afin d'obtenir des mesures positives, mais la méthode s'étend de façon évidente aux fonctions qui sont des combinaisons linéaires à coefficients complexes de fonctions croissantes8. C'est le cas de 7 Exemple : t h-* (t2, t3) en t = 0, avec I = [-1,1]. 8 On appelle cela classiquement les fonctions à variation bornée. Caractérisât ion directe : il existe une constante M positive finie telle que l'on ait
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 13 toute fonction p de classe C1/2, car en utilisant la formule standard p! = Re(//)+ — Re(//)~ + ..., on transforme p en une combinaison linéaire de fonctions croissantes puisque primitives de fonctions positives. On obtient ainsi dans I des mesures de Radon complexes au sens du Chap. V, § 9, i.e. des formes linéaires continues sur l'espace C°(I) muni de la norme de la convergence uniforme, tout au moins si I est compact, seul cas qui nous intéresse ici. Comme toute fonction de classe C1/2 est continue, la formule (32.1) du Chap. V, § 9 définissant la mesure d'un intervalle J = (u, v) C I relativement à fi se réduit à p(J) — p(v) — fi(u) quelle que soit la nature de J. L'intégrale / f(t)dfi(t) d'une fonction / continue ou plus généralement réglée se définit alors comme l'intégrale de Riemann usuelle: à toute partition finie I = J\ U ... U Jn de J en intervalles, on associe la somme ^ / (tp) fi (Jp), où tp G Jp ; l'intégrale f f(t)dfi(t) est la limite de ces sommes lorsque la partition considérée devient de plus en plus fine. Si l'on choisit les Jp de telle sorte que / soit constante à r près sur chaque Jp (caractérisâtion des fonctions réglées), on a puisque f(t) est, quel que soit t, égal à r près à la valeur en t de la fonction étagée égale à / (tp) dans chaque Jp. La notation norme ou masse totale de la mesure fi, est, rappelons-le, le plus petit nombre positif tel que l'on ait pour toute fonction continue et, en fait, réglée. On a \\p\\ = p(I) si la mesure fi est positive, i.e. si la fonction fi(t) est réelle et croissante. L'essentiel dans (8) n'est du reste pas la valeur exacte de \\p\\ ; toute constante indépendante de / fera l'affaire. Mais voir le n° 4, (ii). Pour montrer que l'intégrale curviligne (6) est aussi une intégrale de Stieltjes, rappelons d'abord qu'on a établi au Chap. V une formule (32.15) disant que, pour toute fonction fi(t) réelle, croissante et de classe C1 dans I et pour toute fonction / continue dans I, on a elle s'étend trivialement au cas où fi est à valeurs complexes. En fait, la formule (9) reste valable si fi(t) est C1/2. On peut, pour le voir, supposer (2.7) (2.8) (2.9) J2\»(ti+i)-»(ti)\<M quels que soient les points ti < t<i < ... < tn de l'intervalle considéré. Voir par exemple Rudin, Chap. 6.
14 VIII - La Théorie de Cauchy que p! est positive, i.e. que \x est croissante. Comme p est une primitive de //, on a tout d'abord p,(J) =fi,(v)-n(u) = J p! (t)dt pour tout intervalle J = (u, v) C I. En utilisant comme plus haut une partition suffisamment fine de J, on peut supposer la fonction réglée //' constante à r près sur chaque Jp, d'où, quels que soient les tp G Jp, (2.11) \p (Jp) - p! (tp) m (Jp)\ < m (Jp) r , où m est la mesure de Lebesgue usuelle. En remplaçant chaque terme \x (Jp) par p! (tp)m(Jp) dans la somme de Riemann ^ f (tp) p (Jp), on commet donc une erreur inférieure à m (Jp)r = ll/ll/mCOrî d'où </i(/)r+||/||/m(I)r, |y f(t)dn{t) - J2 f (tP) ^ (tP) m (Jp) cqfd. On peut donc écrire (6) sous la forme (2.10) Iji0dC = SifW)] Mt) dans tous les cas, conformément aux idées de Leibniz. (iv) Une condition nécessaire et suffisante d'existence d'une primitive. Revenons à une fonction holomorphe / dans un domaine G de C. Si elle admet une primitive F dans G et si l'on choisit un point a de G, on a, comme on l'a vu au début de ce n°, (2.12) F(z) - F(a) = f /(CR J fi pour n'importe quel chemin p admissible joignant a à z dans G. L'intégrale de / le long d'un tel chemin dépend donc uniquement des extrémités de celui-ci. Dans le cas général, on pourrait être tenté de construire une primitive à l'aide de la formule précédente, en choisissant arbitrairement sa valeur au point a, par exemple F (a) — 0. Mais cette définition de F est parfaitement ambiguë : la valeur de l'intégrale peut fort bien dépendre du choix du chemin p joignant a k z dans G comme le montre déjà le cas9 de la fonction Si elle était indépendante du chemin dans ce cas, l'intégrale de 1/Ç le long du chemin t «->> exp(27rz£) joignant le point a = 1 au point z = 1 serait égale à celle qu'on obtient en intégrant le long du chemin "constant" t \-> 1, i.e. à 0. Or l'intégrale sur le cercle s'obtient en intégrant sur [0,1] la fonction 2m et n'est donc pas nulle. On reviendra en détail plus loin sur les intégrales en 1/z.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 15 1/z. La notation F(z) utilisée n'a donc a priori aucun sens ; la seule notation sensée consiste à poser pour tout chemin d'intégration10 /z. Comme dans le cas du logarithme d'un nombre complexe z ^ 0 (Chap. IV. §4 ou Chap. VIL n° 16). on obtient pour chaque z G G un ensemble T(z) de valeurs possibles de la " fonction " cherchée, à savoir tous les nombres obtenus en intégrant / le long d'un chemin ji joignant a k z dans G ou, dans le cas du logarithme, tous les nombres obtenus en utilisant une branche uniforme de Cog le long d'un chemin joignant un point fixe a au point z (ce qui, on le verra, revient à intégrer l/£ le long de ce chemin). Mais comme dans le cas du logarithme, le problème est de construire une vraie fonction F holomorphe, et en particulier continue, telle que F(z) G T(z) pour tout z G G. Dans le cas du logarithme, on avait vu que c'est possible si et seulement si la condition suivante est réalisée : si, pour un a G G donné et un chemin variable fi : I —> G d'origine a dans G, on considère la branche uniforme t i-> L(t) de Cog z le long de fi qui prend en t = 0 une valeur donnée dans l'ensemble Cog a, la valeur L(l) de cette branche ne doit dépendre que de l'extrémité z = fi(l) de /i. Le problème des primitives admet une réponse identique comme on va le voir. Tout d'abord, si / possède une primitive F dans G, l'intégrale (13) ne dépend que de z. Supposons inversement que, pour a fixé, la valeur de l'intégrale (13) soit, quel que soit z, indépendante du chemin \x \ on peut alors parler sans ambiguïté de la fonction F(z) ainsi définie. La fonction F est alors une primitive globale de /. Considérons en effet un point b G G quelconque et soit D C G un disque ouvert de centre b. La formule (2) adaptée au point b fournit alors une primitive Fp de / dans D, et l'on a Fd(z) — Fo(b) = j f(C)dÇ où l'on intègre le long du segment de droite [b, z]. Comme on peut ajouter à Fq une 10 Les mathématiciens qui ont inventé le " calcul des variations " il y a presque trois siècles avaient déjà eu l'idée de considérer des fonctions d'une courbe variable dans le plan, sur une surface ou dans l'espace, courbe le long de laquelle on intègre une fonction donnée ; il y a un siècle, le mathématicien Vito Volt erra appelait cela des fonctions de ligne. Lorsqu'on a dans M3 une surface " lisse " 5, on peut par exemple chercher les courbes de longueur minimum tracées sur S et joignant deux points donnés : les géodésiques ; la longueur d'une courbe /i est fournie par (4.8) et en la comparant à celle d'une courbe " infiniment voisine" on obtient une équation différentielle qui caractérise les géodésiques. Un problème de mécanique fort ancien consiste, étant donnés deux points A et J5, à trouver une courbe joignant A à B et telle qu'un mobile la parcourant sous l'action de la pesanteur se déplace de A à B dans le temps minimum. Fermât savait déjà que la trajectoire d'un rayon lumineux allant d'un point A à un point B à travers un milieu dont l'indice de réfraction varie est celle qui minimise le temps de parcours. Etc. (2.13)
16 VIII - La Théorie de Cauchy constante, on peut supposer que Fr)(b) — F(b). Pour calculer F(z) en un point z G D, on doit intégrer / le long d'un chemin quelconque joignant a à z dans G ; on peut par exemple choisir un chemin joignant a à b dans G puis b à z dans D ; l'intégration le long de l'arc joignant a à b fournit par définition F (b) et l'arc joignant b k z, par exemple le rayon, fournit, comme on vient de le voir. FD(z) — FD(b) = Fd(z) — F(b) ; en additionnant, on trouve donc F(z) — Fd(z) dans D. Il en résulte que F est holomorphe et vérifie F' — f dans D. donc globalement dans G puisque b est arbitraire. Par suite : Théorème 1. Pour qu'une fonction f holomorphe dans un domaine G possède une primitive dans G, il faut et il suffit que l'intégrale de f le long de tout chemin admissible dans G ne dépende que des extrémités de celui-ci. En particulier, l'intégrale de / le long d'un chemin fermé, i.e. tel que /i(0) = p(l). est nulle. Cette condition est en fait suffisante pour assurer l'existence d'une primitive. Si en effet fiufi2 : [0,1] —> G sont deux chemins joignant un point donné a au même point z, on obtient un chemin fermé [0,1] —> G en suivant d'abord le chemin [0,1/2] —> G donné par t \-ï /zi(2£), puis le chemin: [1/2,1] —> G donné par t \-> /i2(2 — 2t) ; il est clair que l'intégrale de / le long du premier est égale à l'intégrale le long de /ii, et que l'intégrale le long du second est opposée à son intégrale le long du premier. L'intégrale le long du chemin total11 : [0,1] —> G est donc la différence entre les intégrales le long de \x\ et \i2> Par suite, celles-ci sont égales quels que soient /ii et d'où le résultat d'après le Théorème 1 : pour que f possède une primitive dans G, il faut et il suffit que son intégrale le long de tout chemin fermé dans G soit nulle. Autre démonstration du théorème 1. Plaçons-nous dans un disque ouvert D c G de centre z. Pour aller de a à un point z + h G D. on peut suivre un chemin joignant a k z puis le rayon [z, z + h], i.e. le chemin t h» z + th ; il est alors clair que F(z + h) — F(z) est l'intégrale le long de ce rayon, d'où F(z + h) — F(z) — J f(z + th)hdt où, comme toujours, on intègre sur [0,1]. Il s'ensuit que F(z + /i) - F(z) - f(z)h = J [f(z + th) - f(z)} hdt ; / étant continue, on a \f(z -h th) — f(z)\ < r quel que soit t G / pourvu que \h\ < r' (continuité uniforme sur un compact) ; d'où F(z + h) = F(z) + f(z)h + o(h) 11 Lequel peut n'être pas C1 si fii et fi2 le sont, d'où la nécessité d'admettre des chemins ... admissibles ou, à tout le moins, C1 par morceaux.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 17 lorsque h tend vers 0, ce qui montre l'existence de F'(z) = f(z), cqfd. (v) Cas d'un domaine contractile. Si nous ne connaissions pas le théorème 1, une idée naïve pour tenter de construire une primitive consisterait à choisir arbitrairement pour tout z G G un chemin jiz joignant a à z et à poser F(z) = F (pz). Si étrange que cela puisse paraître, cette idée fournit le résultat à condition que pz dépende de z d'une façon pas trop ... arbitraire, ce qui, on va le voir, implique une restriction drastique sur G. La formule (2) utilisée dans le cas d'un domaine étoile rentre visiblement dans ce cadre, mais repose sur un choix trop providentiel des \iz. Assignons donc à tout z G G un chemin fiz : t G [0,1] — joignant a à z — x + iy = (x,y) dans G et posons H(z,t)=pLz(t), d'où H(z, 0) = a, H(z, 1) = z pour tout z G G. Pour montrer que la fonction (2.14) F(z) = F(nz)= f /«R = f' f[H(z,t)]DH(z,t).dt, où D = d/dt, est une primitive de /, il suffirait de montrer qu'elle possède par rapport k x et y des dérivées partielles D\F et D2F égales k f et if respectivement. Supposons pour cela que l'on puisse dériver sans problème sous le signe J - ce serait miraculeux si les \iz étaient choisis au hasard - et calculons comme l'auraient fait Euler ou Cauchy ; le calcul est analogue, en un peu moins simple, à celui qu'on a effectué à propos de la fonction (2). En utilisant les formules de dérivation d'un produit et d'une fonction composée et les relations DD\ — D\D, D\f — on trouve12 (2.15) DxF(z) = j D1{f[H(z,t)]DH(z,t)}dt = = j {f [H{z,t)\ D1H(z,t).DH(z,t)+ + / [H(z, t)} DiDH(z, i)} dt = = j {f [H(z,t)]DH(z,t).D1H(z,t)+ + f[H(z,t)] DD1H(z,t)}dt = = jD{f [H(z, t)] D1H(z,t)}dt = f [H(z, 1)] D1H(z, 1) - -f[H(zMDiH(z,0) 12 Dans une notation telle que DH(z, t).D\H(z, t), le point de ponctuation signifie que l'opérateur D s'applique à H(z,t) et non pas au produit H(z,t)D\H(z,t).
18 VIII - La Théorie de Cauchy d'après le TF. Mais puisque h(z,0) = /j>z(0) = a est indépendant de z et en particulier de x, on a dih(z,0) = 0 ; et puisque i7(z, 1) = /jlz(1) — z — x + iy, on a dih(z, 1) = 1. Il reste donc d\f(z) = f(z). Si l'on remplace d\ = d/dx par d2 = d/dy, le calcul est identique à ceci près que l'on a d2f = if et d2h(z, 1) = i ; d'où d2f(z) = if(z). La fonction f est donc holomorphe et est une primitive de /. Tout cela est du calcul formel. Pour le justifier, il faut appliquer le théorème de dérivation sous le signe f (Chap. V, n° 9, Théorème 9). Si l'on refuse des subtilités provisoirement inutiles, cela suppose que la fonction / [h(z, t)} dh(z,t) que l'on intègre dans (14) possède, par rapport à x et y, des dérivées partielles qui soient des fonctions continues du couple (z,£) g g x i. Puisque / ne pose pas de problème, les dérivées de h(z,t) et de dh(z,t) par rapport à x et y doivent donc exister et être continues dans G x 7. On a aussi utilisé la formule ddi = d\d ; c'est justifié si h est de classe G2 dans13 G x 7, auquel cas les conditions précédentes sont évidemment vérifiées. Le calcul (15) et la relation f' — f sont donc justifiés pourvu qu'il existe une application h.gxi —>G vérifiant les conditions suivantes : (i) i7(z, 0) = a, i7(z, 1) — z pour tout z G G, (ii) h est de classe G2 au sens précisé dans la note précédente. C'est le cas de l'application (z, t) i-» tz pour un domaine étoile autour de l'origine. L'existence d'une application continue i7, mais non nécessairement G2, de G x 7 dans G vérifiant (i) pour un point a G G s'exprime en disant que le domaine G est contractile sur a. Si l'on pose ht(z) = 77(1 — t, z), on obtient alors une famille à un paramètre t d'applications continues ht de G dans lui-même qui commence par l'application identique z \-> z et, à la fin du processus, applique G sur le point a; chaque z G G décrit au cours de la " contraction" une trajectoire t »->• if (1 — t, z) qui le fait passer de sa position initiale au point a. On peut montrer que s'il existe une contraction de classe 13 Ceci pose un problème puisqu'on n'a défini les fonctions de classe c2 que dans un ouvert d'un espace cartésien ; or i est compact et g ouvert, de sorte que le produit G x / C C x R = R3, cylindre vertical ayant pour base g et pour hauteur 1, n'est ni ouvert ni fermé dans R3. La solution consiste à imposer à h d'être c2 dans l'ouvert Gx]0,1[ et à if et à ses dérivées d'ordre < 2 d'être les restrictions à celui-ci de fonctions définies et continues dans g x i. Cela donne un sens aux dérivées aux points de la forme (2,0) ou (z, 1) et la relation d\d — dd\, étant valable en (z,t) pour 0 < t < 1, reste valable pour t = 0 ou 1 par passage à la limite. On pourrait aussi, plus simplement, supposer h définie et de classe c2 dans G x J, où J est un intervalle ouvert contenant 7, ce qui, dans la pratique, ne change rien aux résultats.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 19 C° de G sur un point, il en existe aussi une qui soit C2 et même C°° ; ce n'est pas très difficile à établir, sans être pour autant très facile. Si l'on admet ce point14, on obtient donc un résultat plus général que celui du n° 1 relatif aux domaines étoiles, mais il sera à son tour généralisé (?) plus bas : Théorème 2. Toute fonction holomorphe définie dans un domaine contractile G C C possède une primitive dans G. Corollaire. Une couronne circulaire r < \z\ < R n'est pas contractile (ce qui est physiquement évident), car la fonction 1/z n'y possède pas de primitive : son intégrale le long d'un cercle de centre 0 s'obtient en intégrant 27rz sur [0,1], donc est égale à 2ni en dépit du fait que le chemin d'intégration est fermé. Par contre, C — R_ est contractile et même étoile (considérer les homothéties de centre 1), ce qui explique pourquoi, dans ce domaine, la fonction 1/z possède une primitive, à savoir n'importe quelle branche uniforme de la pseudo-fonction Cog z. 3 - Invariance de l'intégrale par homotopie (i) Chemins homotopes. Le calcul (2.15) de dérivation sous le signe J resterait valable si l'on y remplaçait la fonction H(x, y, t) par n'importe quelle fonction de plusieurs variables réelles prenant ses valeurs dans G. Le cas le plus simple est celui d'une application15 a : I x I —y G de classe C2, i.e. vérifiant les conditions suivantes: (a) g est de classe C2 dans l'ouvert intérieur à I x I c R2 ; (b) les dérivées partielles d'ordre < 2 de g se prolongent par continuité16 à 7x7. 14 C'est en fait inutile, le théorème 2 étant une conséquence du théorème 3 que l'on démontrera plus loin. L'intérêt du théorème 2 tel qu'on l'expose ici ne réside que dans sa démonstration et, à ce titre, ne constitue qu'un exercice de calcul. 15 Pour des raisons qui apparaîtront au chapitre 9 - analogie entre intégrales curvilignes (dimension 1) et de surface (dimension 2) -, on pourrait appeler a un chemin de dimension 2 dans C ; le lecteur généralisera sans peine à une dimension quelconque. Il n'y a pas de terminologie orthodoxe ; certains, comme Serge Lang, parlent comme en topologie algébrique, et à tort, d'un simplexe de dimension 2. La nôtre suggère qu'un tel "chemin" fait passer continûment d'un chemin usuel fio : t i—>> cr(0,£) à un autre, /ii : t v-ï cr(l,£), de même qu'un chemin usuel, de dimension un, fait passer continûment d'un point, chemin de dimension 0, à un autre. 16 Comme 7 x 7 est compact, cela signifie exactement qu'elles sont uniformément continues dans l'ouvert ]0, l[x]0,1[: Chap. V, §2, n° 2, Corollaire 2 du Théorème 8.
20 VIII - La Théorie de Cauchy Une telle application définit deux familles de chemins de classe G2 dans G, à savoir (3.1) ps:t^g(s,t) et (3.2) vt : s .—► <r(s,t). Comme g est continue, on peut considérer que la famille des chemins ps constitue une " déformation" de po en Le fait que l'on puisse déformer un chemin en un autre par cette méthode, ou même à l'aide d'une application seulement continue g de I x I dans G, s'exprime en disant que les deux chemins considérés sont homotopes. Un premier cas utile est celui d'une homotopie à extrémités fixes de po à p\ : on suppose alors que ps(0) = g(s,0) et ps(l) = g(s, 1) sont indépendants de s. Un autre cas est celui où, po et p\ étant fermés, les chemins intermédiaires ps le restent pendant la déformation : cr(0, t) = g(1, i) quel que soit t ; on dit alors que po et p\ sont homotopes en tant que chemins fermés. En dehors de ces deux cas, la condition d'homotopie est toujours réalisée (donc sans intérêt) parce que, d'une part, tout chemin p est homotope à un chemin " constant" par g(s, t) = p [(1 — s)t], et parce que, d'autre part, deux chemins " constants" sont toujours homotopes comme on le voit en joignant le premier au second par un chemin dans G et en déplaçant le premier le long de celui-ci pour l'amener sur le second. On peut donner de l'homotopie à extrémités fixes une interprétation intéressante en dépit de son aspect quelque peu abstrait. Remarquons d'abord que, muni de la norme \\p\\i = sup \p(t)\ et des opérations algébriques évidentes (addition, produit par un nombre complexe), l'ensemble C (J) de tous les chemins continus17 I —> C est un espace vectoriel norme complet (critère de Cauchy pour la convergence uniforme), i.e. un espace de Banach (Chap. III, Appendice, n° 5). On peut donc définir des chemins dans C°(I) comme dans tout espace topologique: ce sont les applications continues h : [0,1] — I —> G°(J). Pour tout s E I, h(s) = ps est donc un chemin dans C, et si l'on pose a(s, t) — ps(t), on obtient une application a de Ix I dans C ; il est clair que t \-ï a(s, t) — ps(t) est continue pour tout s. Ceci dit, montrons que l'application h : I —> C°(I) est continue si et seulement si l'application a : I x I —> C l'est. Si en effet la seconde est continue, elle l'est uniformément puisque I x I est compact (Chap. V, §2, n° 8) ; cela signifie en particulier que pour tout r > 0, il existe un r' > 0 tel que 17 Un " chemin" continu n'est pas autre chose, au vocabulaire près, qu'une fonction à valeurs complexes définie et continue dans I.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 21 \s — s\ < r => |<r(s, t) — cr(s\ t) \ < r pour tout t G I ; mais puisque h(s) G C°(I) n'est autre que le chemin t \-> cr(s, i), cette relation s'écrit (3.3) <r'=> ||Ms)-M«,)||7 <r, d'où la continuité de h. La réciproque revient à prouver que (3) implique la continuité de a(s,t) en tout point (s,t) G I x I. Pour le voir, partons de l'inégalité |cr (s', £') — cr(s, £)| < |cr (s', i') — cr (s, t') | + |cr (s, t') — cr(s, t)| et choisissons un r > 0. Si |s — s'| < r', le premier terme du second membre est < r quel que soit t' d'après (3) ; mais comme la fonction t h-» cr(s, t) est continue pour s donné, le second terme du second membre est, pour (s,t) donné, < r si \t — t'\ est assez petit, cqdf. Considérons maintenant un ouvert G de C et, dans C°(J), soit C°(I,G) l'ensemble des chemins I —> G; il est ouvert dans C°(I) car si p G C°(I,G), l'image n(I) est un compact de G dont la distance R à la frontière de G est strictement positive18 ; il est alors clair que tout chemin v : I —> C tel que \\H - v\\i < R est encore un chemin dans G, d'ailleurs homotope à p par a(s,t) = (1 - s)p(t) + 8v(t), segment de droite joignant \x à v dans C° (I). Il est clair d'autre part que, pour a, b G G donnés, l'ensemble C^^iG) des chemins continus I —> G joignant a à b dans G est une partie fermée de l'ouvert C°(I,G). Il en est de même de l'ensemble des chemins fermés dans G. En conclusion, deux chemins d'extrémités a et b données dans G sont homotopes à extrémités fixes si et seulement si on peut les joindre par un chemin continu dans l'espace C° fe(C7) de tous ces chemins. Résultat analogue pour l'homotopie entre chemins fermés. (ii) Différentiation par rapport à un chemin. Dans l'espace vectoriel C1/2(7) des chemins admissibles I —> C, on peut définir une norme en posant ||/x|| = + muni de celle-ci, C1/2(7) est complet. Si en effet (fin) est une suite de Cauchy, les fonctions jin(t) et p>'n(t) convergent uniformément vers des limites \x et v qui sont respectivement continue et réglée ; la relation p(s) — fi(t) — / v(x)dx J s 18 Soit F cette frontière ; la fonction d(z, F) est continue sur le compact //(/), donc atteint son minimum en un point a G p(I) ; si ce minimum était nul, il existerait une suite de points de F convergeant vers a, d'où a G F puisque F est fermé, contradiction.
22 VIII - La Théorie de Cauchy prouvant que /x est une primitive de u s'obtient alors par passage à la limite. Il est par ailleurs clair que, comme dans l'espace C°(I), l'ensemble G1/2 (7; G) des /i G G1/2 (7) tels que /x(7) C G est ouvert dans G1/2 (7). Revenons maintenant à la formule (2.13) (3.4) Ffr) = f /(CR = f f Ht)} n'(t)dt J v Jo qui définit une fonction dans G1/2 (7; G). Il peut paraître étrange de la diffé- rentier par rapport à /x, mais puisqu'elle est définie dans l'ouvert C1/2(7; G) de l'espace de Banach G1/2(7), on peut imiter la définition (1.1) valable dans M2. Ici, c et h seront remplacés par un /x G G1/2(7; G) et un u G G1/2(7), de sorte qu'il faut dériver par rapport à s l'expression F -\~ su) — J f [p(t) + su(t)} \fi'(t) + su\t)} dt = = J f [/Ji(t) + su(t)} dp(t) + s J f W) + M*)} dv(t), laquelle, pour tout u, a un sens pour \s\ assez petit. Pour dériver sous le signe f [Chapitre V, §2, Théorème 9 ou §9, formule (30.15)], il suffit de vérifier que / [/x(£) + su(t)] est fonction continue de (s,t). ce qui est évident, et possède par rapport à s une dérivée fonction continue de (5, t) : l'existence de celle-ci est claire - c'est /' [fi(t) + su(t)\ u(t) - de même que sa continuité puisque les fonctions f'.fietu sont continues. On trouve donc, en style télégraphique, J f'(n + su)udfi + J /(/x + su)du + s j /'(/x + su)udu — — J /'(/x -h su)u(d/j, + sdu) -h J f(fi + su)u'dt ; en intégrant par parties la dernière intégrale, opération légitime puisque les fonctions /(/x -h su) et u sont de classe C1/2, celle-ci s'écrit encore t=i r f(p + su)u — / + su)(n' + su')udt\ t=o J puisque [//(£) + suf(t)] dt — dfi(t) + sdu(t), la dernière intégrale s'écrit f f'(n + su)u(d/i -f- sdu) et neutralise le premier terme de l'avant dernière formule ; on trouve donc finalement (3.5) £f(M + «/)=/ [n(l) + «/(l)] - / [MO) + su(0)] 1/(0). Tout cela suppose évidemment que l'on se borne aux valeurs de s telles que /x + su G G1/2(7; G). Le lecteur aura probablement l'impression d'avoir
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 23 rencontré plus haut des calculs analogues ; Cauchy en avait eu plus ou moins vaguement l'idée: il développait f[p(t) + sv(t)] en série entière par rapport à s et calculait le coefficient de s ; ses calculs ont depuis longtemps disparu des manuels. Bonne raison pour les réintroduire en rectifiant son idée simpliste mais finalement juste puisqu'on la voit réapparaître, sous une forme très généralisée, dans la version du calcul des variations que l'on trouve par exemple dans H. Cartan, calcul différentiel, où l'on différentie par rapport à fi une fonction de la forme F(/X)= / f[t,fjl(t),fjl'{t)]dt. j a Notons d'autre part qu'en présence d'une formule telle que (5), on a immédiatement l'idée d'en déduire une expression de f(fi+sv) en appliquant le TF. Nous le ferons un peu plus loin. exercice i. Soient {1q et [i\ deux chemins dans g et a : i x i —> g une homotopie de jiq à /xi ; on note f (s) l'intégrale de la fonction f(z) le long du chemin /jls. En supposant a de classe c2, trouver pour f'(s) une formule analogue à (5). (iii) effet d'une homotopie linéaire sur une intégrale. Nous pouvons maintenant revenir au comportement d'une intégrale lorsque l'on "déforme" un chemin d'intégration po en un chemin p\ sans sortir du domaine g où la fonction / à intégrer est définie et holomorphe. La difficulté provient du fait que, pour 0 < s < 1, les chemins intermédiaires ps sont continus mais non nécessairement admissibles. On la tourne en modifiant l'homotopie de telle sorte que les jis soient admissibles ou, ce qui revient au même, en montrant que l'on peut passer de po à p\ par une succession d'homotopies linéaires entre chemins admissibles, i.e. de la forme (3.6) a(s,t) = (1 - s)p0{t) + 8fn(t) = n8(t) où s, t G i = [0,1]. Une telle homotopie existe toujours si p\ est suffisamment voisin de po au sens de la convergence uniforme : si r > 0 est la distance de po(i) à la frontière de g, on a cr(s,t) G g quels que soient s,t G i pourvu que l'on ait \\fi\ — fio\\i < r- Or le chemin (6) est de la forme po + sv avec v(t) = iii(t) - fj,0(t). On peut donc appliquer (5) à la fonction f(ps), d'où (3.7) [ /(c)dc = / m)] M*) - M*)] t=[ • ds jus t=o Supposons tout d'abord qu'il s'agisse d'une homotopie à extrémités fixes. On a alors fi\(i) — p$(t) = 0 pour t = 0 ou 1, la dérivée est nulle quel que
24 VIII - La Théorie de Cauchy soit s et l'intégrale est donc indépendante de s G [0,1]. Autrement dit, on trouve dans ce cas que (3-8) / /(C)dC= / /(CR- Supposons maintenant que tous les chemins /xs soient fermés, i.e. que /xs(l) = /is(0) pour tout s. Un petit calcul montre que le second membre de (7) est encore nul quel que soit s. d'où à nouveau (8). Sans utiliser ces hypothèses, le TF appliqué à la relation (7) montre, en intégrant sur [0,1]. que (3.9) f /(CR-/ /(CR= Z"1/[/*.(!)]Mi)-A<o(l)]<k- - f/[^(o)]^(o)-Mo)]*. ^0 y fig. 2. Comme /ii(l) — Mo(l) est la dérivée de /xs(l) par rapport à s, le premier terme n'est autre que l'intégrale de / le long du chemin s \-> /xs(l), le second étant de même l'intégrale de / le long du chemin s //s(0). La relation obtenue signifie donc que, si l'on intègre / le long du chemin fermé 7 représenté ci-dessus, orienté de façon cohérente, on trouve zéro. Ce serait évident si / possédait une primitive dans G. mais c'est ce qu'on ne suppose pas. On s'abstiendra de généraliser à n'importe quel chemin fermé : en tant que chemin fermé, 7 est homotope au chemin consistant à parcourir /io deux fois en sens inverse, donc est homotope à un point, et le fait que l'intégrale de / le long de 7 est nulle s'explique par le Théorème 3 que l'on démontrera bientôt.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 25 (iv) Le théorème d'invariance par homotopie. Les chemins po et p\ étant toujours admissibles, supposons seulement que l'homotopie a qui déforme po en pi soit C° ; on ne peut plus dériver les intégrales ni même les écrire. Mais on peut approcher l'homotopie donnée par des homotopies linéaires et utiliser le point précédent, ce qui, on va le voir, fournit à nouveau les mêmes résultats. L'image a(lxl) c G étant compacte, sa distance à la frontière de G est > 0 comme on l'a déjà dit ; choisissons un r < R. Comme a est uniformément continue sur le compact I x 7, il existe un r' > 0 tel que (3.10) \s-s'\ <r' k \t-t'\ < r' |<r(s, t) - a (s', 01 < r, ce qui, pour t — t1, montre en particulier que (3.10') \8-s'\<r'=> \\ps ~ /V ||7 < r ; voir les remarques terminant le point (i). Cela dit, choisissons un entier n, donnons à s des valeurs de la forme sp = p/n avec 0 < p < n et soit vv le chemin ps pour s — pjn. Il n'est peut-être pas admissible, mais on peut l'approcher par un chemin jp linéaire par morceaux, donc admissible, en choisissant pour sommets successifs de 7P les points de paramètre tq = q/n de upi i.e. les points apq = a(p/n,q/ri). fig. 3. Si n est assez grand, le carré Kpq de sommets (sp,tq), (sp+i,tq), (sp+i, tq+i), (fip+i, tq+\) dans I x I est de diamètre < r' ; son image par a est donc, d'après (10), contenue dans le disque Dpq de centre apq et de rayon r. Or celui-ci est convexe et contenu dans G puisque r < R. Il en résulte que :
26 VIII - La Théorie de Cauchy (a) le segment de droite joignant apq à ap,q+\ est contenu dans G quel que soit q, de sorte qu'il en est de même du chemin 7P obtenu en juxtaposant ces segments pour les différentes valeurs de q ; (b) pour tout t G [tq, tq+i], le segment de droite joignant a (sp, t) à a (sp+i, t) est contenu dans G puisque ses extrémités sont dans Dpq. On peut donc passer de 7P à 7P+i par une déformation linéaire ne faisant pas sortir de G. On montrerait par le même raisonnement que l'on peut passer par des déformations linéaires de po à 71 et de 7n-i à p\. Si donc l'on complète la définition des 7P, donnée pour 0 < p < n, en posant 70 = /^o et 7n = p\, on obtient dans G une séquence de chemins admissibles (et même, mis à part le premier et le dernier, linéaires par morceaux) 7o = Mo, 7i,-•• , 7n = Mi tels que l'on passe de chacun au suivant par une déformation linéaire dans G. Il est clair que si la déformation a dont nous sommes partis est une homotopie à extrémités fixes, les chemins intermédiaires 7P ont eux aussi les mêmes extrémités que les deux chemins donnés. Comme on a vu au point (iii) qu'une homotopie linéaire à extrémités fixes ne modifie pas l'intégrale, les intégrales le long de 7P et 7p+i sont égales quel que soit p. Si, de même, po et p\ sont fermés et le restent au cours de la déformation or donnée, 7P est fermé quel que soit p et le reste pendant la déformation linéaire qui l'amène sur 7P+i, d'où à nouveau des intégrales égales. En conclusion : Théorème 3. Soient G un domaine dans C, / une fonction holomorphe dans G et po, p\ deux chemins admissibles dans G. Pour que les intégrales de f le long de po et p\ soient égales, il suffit que Vune des deux conditions suivantes soit vérifiée : (a) Il existe dans G une homotopie à extrémités fixes de po à p\, (b) po et pi sont fermés et homotopes dans G en tant que chemins fermés. Exercice 2 (démonstration directe du Théorème 3). On reprend la construction et les notations ci-dessus en supposant par exemple que g est une homotopie à extrémités fixes ; tout revient à montrer que les intégrales le long de 7P et 7P+i sont égales quel que soit p. On considère pour cela le chemin fermé 7P<? constitué des segments de droite joignant apq, ap,q+i, ap+ijg+i, ap+i,q et a>pq dans l'ordre indiqué; en utilisant l'existence d'une primitive de / dans Dpq, montrer que l'intégrale de / le long de ce chemin est nulle. Montrer que la différence entre les intégrales de / le long de 7P et 7P+i est égale à la somme, étendue à q, des intégrales le long des 7pq et conclure19. 19 Pour des démonstrations voisines, voir Dieudonné, Éléments d'analyse, vol. 1, (9.6.3) ou Remmert, Funktionentheorie 2, Chap. 8, §1, n° 5 et 6.
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 27 Le théorème 3 fournit un nouveau théorème d'existence des primitives. Il suffit pour cela de supposer la condition (b) vérifiée quels que soient /zo et pi ; dans ce cas, tout chemin fermé \x est en effet homotope en tant que chemin fermé à un chemin " constant" t \-ï a, où a G G est choisi au hasard, de sorte que l'intégrale de / le long de \i est nulle. Le théorème 1, ou son équivalent en termes de chemins fermés, montre alors que / possède une primitive dans G. On montrera au chapitre suivant dans un cadre plus général que les conditions (a) et (b) sont équivalentes. Les domaines dans lesquels elles sont vérifiées quels que soient les chemins continus fermés po et p\ sont dits simplement connexes. Corollaire 1. Toute fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe G de C possède dans G une primitive globale. Corollaire 2. Soit f une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe G ; supposons que f ne s'annule pas dans G. Il existe alors une fonction g holomorphe dans G telle que e9^ = f(z) pour tout z G G ; elle est unique à l'addition près d'un multiple de 2ni. Puisque / ne s'annule pas dans G, la fonction /'// est définie et holomorphe dans G, donc admet une primitive 5; on a alors {e9)' = g'e9 = e9f'/f, i.e. (e9)' f - e9f = 0, donc {e9/f)' = 0, de sorte que la fonction e9 est proportionnelle à / ; en ajoutant à g une constante, on peut supposer que e9 — f. Toute autre solution holomorphe g\ doit vérifier la condition g\{z) — g(z) G 2niZ quel que soit z, ce qui exige évidemment que le premier membre soit constant, cqfd. La relation e9 = f signifie que l'on a g(z) G Cog f(z) pour tout z G G, en notant d'une manière générale Cogw l'ensemble des z e C tels que exp(z) = w (Chapitre IV, §4). Une telle fonction g s'appelle une branche uniforme de la pseudo-fonction Cog f{z). On a ^) = log|/(z)|+z.Arg/(z), où l'argument de f(z) doit, en chaque point, être choisi de telle sorte qu'il soit fonction continue de z. A partir d'une telle branche g, on peut définir des branches uniformes des non moins pseudo-fonctions f{z)s, où s G C est donné et non entier : ce sont les fonctions es'9^z\ Pour s = 1/p avec p entier, on obtient ainsi des solutions holomorphes de l'équation h(z)p = f(z) ; elles se déduisent de l'une quelconque d'entre elles en la multipliant par une racine pe de l'unité. Tout cela suppose G simplement connexe. Le cas de la fonction f(z) — 1/z dans G = C — {0} montre que cette hypothèse est essentielle. En fait, on peut montrer que le Corollaire 1 caractérise les domaines simplement connexes, mais ce résultat est rarement utilisé.
28 VIII - La Théorie de Cauchy Corollaire 3. Soit f une fonction holomorphe dans un domaine G. L'intégrale de f le long de tout chemin fermé homotope à un point dans G est nulle. Ce résultat explique le Théorème 2 que nous avions démontré en utilisant, hypothèse maintenant inutile, une homotopie de classe C2. Tout domaine G contractile est simplement connexe ; si en effet a est une contraction sur un point a G G et si \x est un chemin fermé dans G, l'application (s, t) \-ï a [1 — s, /i(£)] est une homotopie de \i sur le chemin constant t^aau cours de laquelle \x reste fermé. Ce résultat trivial admet une réciproque qui l'est beaucoup moins : dans C, tout domaine simplement connexe G est non seulement contractile mais homéomorphe au disque unité \z\ < 1 ; sauf si G = C, cas exclu par le théorème de Liouville sur les fonctions entières, il existe même dans G une fonction holomorphe qui applique bijectivement G sur le disque unité D : \z\ < 1 et dont l'application réciproque est holomorphe (Riemann). Toute bijection / : U —> V d'un ouvert sur un autre qui est holomorphe ainsi que l'application réciproque g : V —> U s'appelle une représentation conforme de U sur V ; l'existence d'une telle représentation signifie que U et V sont " isomorphes " du point de vue de la théorie des fonctions analytiques : tout ce que l'on peut dire des fonctions holomorphes ou harmoniques dans U se traduit immédiatement en termes de fonctions holomorphes ou harmoniques dans V. Comme la relation g [f{z)\ = z montre que les dérivées de / et g sont inverses l'une de l'autre en des points qui se correspondent, on a nécessairement f'{z) ^ 0 pour tout z e G. Si inversement cette condition est vérifiée, alors /, à défaut d'être un homéomorphisme global (il faudrait supposer / injective), transforme tout ouvert de U, et en particulier U lui-même, en un ouvert de C. On l'a établi au Chapitre III, § 5, n° 24 à l'aide du Théorème d'inversion locale : en posant f = p + iq, l'application qui transforme le point (x, y) e M2 en le point (£, rj) tel que £ + irj = f(x + iy) s'écrit encore Ç = p(x,y), r) = q(x,y), de sorte que son jacobien Jf(x,y) = D1p(x,y)D2q{x,y) - D2p{x,y)D1q(x,y) est, d'après les équations de Cauchy, égal à D1p(x,y)2 + D1q(x,y)2 = \nz)\2 , donc est non nul, d'où le résultat. Si l'on suppose en outre que / : U —> V = f(U) est injective, / est un homéomorphisme [car l'image réciproque d'un ouvert Uf C U par /_1 est alors f(Uf), donc est ouverte] et le théorème d'inversion locale montre que l'application réciproque g : V —> U est,
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 29 comme /, de classe C1 en tant que fonction de deux variables réelles. Elle est holomorphe, car de la relation g [f(z)] = z résulte que la matrice jacobienne de g en ( = f(z) est inverse de celle de / en z ; or les fonctions holomorphes sont caractérisées par le fait que leur matrice jacobienne en n'importe quel point est de la forme il suffit donc de vérifier que l'inverse d'une telle matrice est encore du même type. Plus simple : l'inverse de toute application C-linéaire est C-linéaire. On a établi tout cela au Chapitre III. § 5. mais il n'est pas inutile de le rappeler ici. On verra au n° 5 (Théorème 7) que la relation f'(z) ^ 0 est en fait une conséquence de l'injectivité de /, autrement dit que les représentations conformes ne sont autres que les applications holomorphes bijectives. Le fait qu'un domaine simplement connexe G autre que C soit isomorphe au disque unité est l'un des résultats les plus célèbres de Riemann ; sa démonstration laissait passablement à désirer tout en étant fondée sur une méthode dépassant de beaucoup le cadre de la théorie des fonctions holomorphes (le " principe de Dirichlet " des spécialistes des EDP) ; on a trouvé depuis des démonstrations plus simples20 et abondamment étudié le comportement d'une représentation conforme / de G sur le disque unité au voisinage de la frontière de G : si par exemple G est borné et si sa frontière se compose d'un nombre fini d'arcs de courbe simples, ou si G est borné et convexe, / se prolonge en un homéomorphisme de l'adhérence G de G sur le disque fermé Si / est une représentation conforme de G sur le disque unité D, il est clair que toute autre représentation conforme g de G sur D est de la forme ho f. où h — go /-1 est une représentation conforme de D sur lui-même, et inversement. On est ainsi conduit à déterminer les représentations conformes de D sur D, exercice beaucoup plus facile que de démontrer le théorème de Riemann : ce sont exactement les applications donnés par (3.11) h(z) = (az + b)/(bz + â) =£ où aa - bb = 1. Exercice 3. (i) Montrer que (11) est définie pour \z\ < 1. (ii) Montrer que CC - 1 = (zz — l)/|5z + à\2 et en déduire que h(D) C D. (iii) En observant que h~l est encore de la forme (11), montrer que h(D) = D. (iv) Soit / une représentation conforme de D sur D telle que /(0) = 0 ; montrer qu'on a /'(()) ^ 0 et f(z) = zg(z) où g est holomorphe et vérifie \g(z)\ < \z\~~1 dans D. (vi) En utilisant le principe du maximum, montrer qu'on a \g(z)\ < 1/r pour \z\ < r < 1 et en déduire que \g(z)\ < 1 dans D (cas particulier du z\ < 1. Voir par exemple le Chap. 14 de Rudin et, pour des exemples, le Chap. X de Dieudonné, Analyse infinitésimale.
30 VIII - La Théorie de Cauchy On peut justifier une autre idée "évidente", à savoir qu'un domaine est simplement connexe si son complémentaire ne possède aucune composante connexe compacte, autrement dit si G ne possède pas de " trous ". On peut même aller beaucoup plus loin21 et examiner les domaines dont le complémentaire possède un nombre fini de composantes connexes compactes Ki(l < i < n). Un premier résultat, que la figure 4 rend lui aussi " évident", 21 Voir les chapitres 8 et 14 de Remmert, Funktionentheorie 2, notamment les indications historiques sur le théorème de Riemann au chapitre 8, et surtout le vol. 2 de Conway, qui démontre tout. fig. 4. lemme de Schwarz : Chap. VIL §4, n° 15, cor. 3 du théorème 11). (vii) Montrer que, si /(0) = 0, on a \f(z)\ < \z\ et |/_1(z)| < \z\. En déduire que f(z) = azoù\a\ = l. (viii) Montrer que, pour toute représentation conforme f de D sur D, il existe une fonction (11) telle que ho f laisse fixe le point 0. En déduire que / est de la forme (11). Exercice 4- Soit P le demi-plan lm(z) > 0. (i) Montrer que l'application z i y (z-i)/(z-\-i) est une représentation conforme de P sur D. (ii) En déduire que les représentations conformes de P sur P sont les transformations (3.12) z i—> (az+ b)/(cz + d) avec a,b,c,deR, ad-bc=l. Pour Riemann, un domaine était simplement connexe lorsque toute " coupure'" - tout arc de courbe simple joignant deux points de sa frontière - le décompose en deux domaines disjoints; ce n'est visiblement pas le cas d'une couronne circulaire par exemple. L'équivalence entre ces deux définitions est intuitivement évidente, mais la démontrer est une autre affaire ...
§ 1. Intégrales de fonctions holomorphes 31 est qu'il existe alors dans G des chemins fermés ^ tels que Ki soit " intérieur" à [ii et Kj " extérieur " à fii pour tout j• ^ i ; on expliquera plus précisément ce que signifient ces termes un peu plus loin (n° 4, (i)). Un second résultat, sensiblement moins " évident" mais qui implique trivialement le premier, est qu'un domaine borné à n trous possède une représentation conforme sur un domaine obtenu en ôtant d'un disque ouvert, éventuellement C tout entier, n disques compacts deux à deux disjoints convenablement choisis et éventuellement réduits à un point. Cette généralisation du théorème de Riemann, démontrée au début du siècle par Paul Koebe, est suffisamment difficile pour que même Remmert se borne à la mentionner à la fin de ses quelque 700 pages de théorèmes généraux sur les fonctions analytiques. On peut aussi montrer que le nombre de trous est le même pour deux domaines homéomorphes, mais c'est là un cas très particulier de théorèmes beaucoup plus généraux de topologie algébrique. En fait, tout ce sujet est caractérisé par un mélange de méthodes de théorie des fonctions analytiques et de topologie qu'il est parfois difficile à séparer les unes des autres ; leur généralisation aux fonctions de plusieurs variables complexes a donné lieu à de remarquables découvertes franco-allemandes après la guerre ; elles sont, en un sens, plus facilement compréhensibles que celles de la théorie à une variable parce que plus générales et n'utilisant pas de raisonnements "élémentaires" ad hoc qui masquent les vraies raisons des phénomènes. Il existe aussi des liens étroits entre ces théories et le problème qui consiste à approcher les fonctions holomorphes dans un domaine donné G par des fonctions simples, des polynômes ou, quand ce n'est pas possible, des fonctions rationnelles n'ayant pas de pôles dans G. Si par exemple G est simplement connexe, et seulement dans ce cas, toute fonction / holomorphe dans G est limite d'une suite de polynômes en z qui converge vers / uniformément sur tout compact de G ; ce résultat, et d'autres plus généraux, est dû à Cari Runge22 (1885). A dire vrai, Runge n'a pas vu que l'approximation par des fonctions rationnelles conduisait au résultat en question dans le cas d'un domaine simplement connexe. Notons que, dans un autre ordre d'idées, Runge s'est intéressé aux spectres atomiques dans l'espoir de découvrir des formules simples permettant d'en calculer les fréquences, comme Balmer l'avait déjà fait pour l'atome d'hydrogène ; comme on le sait maintenant, cela reviendrait à calculer les valeurs propres de l'opérateur de Schrôdinger correspondant ; ce problème est encore trop difficile pour notre époque, l'atome d'helium, et a fortiori les suivants, continuant à résister à toute résolution exacte. Après 1900, lorsque Félix Klein crée à Gôttingen la première équipe de mathématiques appliquées, l'une de ses recrues sera Runge, le premier grand spécialiste de l'analyse numérique. Il recrute aussi Ludwig Prandtl, qui sera jusqu'en 1945 le plus grand spécialiste allemand, voire mondial, de l'aérodynamique, cependant que le premier brillant élève de Prandtl, le Hongrois Theodor von Kârmân qui émigré au CalTech à la fin des années 1920, jouera le même rôle aux USA jusqu'à la fin des années 1950. Voir Paul A. Hanle, Bringing Aerodynamics to America (MIT Press, 1982).
32 VIII - La Théorie de Cauchy § 2. Les formules intégrales de Cauchy 4 — Formule intégrale pour un cercle (i) Intégrales en 1/z. Des intégrales portant sur les fonctions l/(z — a) interviennent partout dans la théorie des fonctions holomorphes et il importe de savoir les calculer ; on suppose évidemment que le chemin d'intégration /x : / —> G ne passe pas par a. Supposant a = 0 pour simplifier, la définition de f dz/zse réduit à l'intégrale de /if(t)//i(t) sur l'intervalle / ; cette fonction étant réglée comme p!\ elle admet une primitive L(t) et le résultat cherché sera, selon le TF, la variation de L(t) entre les extrémités de /. Mais si l'on pose h(t) = exp [£(£)], on a hf(t) = Lf(t)h(t) ; comme Lf(t) = \j!(t)/fi(t), on voit que la fonction continue h(t)//i(t) a une dérivée identiquement nulle en dehors d'un ensemble dénombrable de valeurs de t, donc est constante. En ajoutant à L une constante convenable, on peut donc supposer que (4.1) exp[L(t)]=fjL(t) pour tout tel. Comme L(t) est continue, cela signifie, par définition, que L(t) est une branche uniforme de la pseudo fonction Cog z le long de ji au sens du Chap. IV, §4, (vii) et (viii). Rappelons à nouveau que, pour nous, la notation Cog z désigne non pas un nombre complexe déterminé sans ambiguïté, mais, bien au contraire, Y ensemble des £ € C tels que exp(C) = z. Rappelons aussi en passant (Chap. VII, fin du n° 16) qu'une branche uniforme de Cog z dans un domaine G C C* est, de même, une (vraie) fonction holomorphe L - la continuité suffirait - définie dans G et vérifiant L(z) G Cogz, i.e. (4.2) exp[L(z)] = z, pour tout z G G. Contrairement à ce qui se passe dans le cas d'un chemin, une telle branche n'existe pas toujours, notamment si G = C* ; pour qu'elle existe, il faut et il suffit que, pour tout chemin p dans G, la variation d'une branche uniforme de Cog z le long de /x, ou, ce qui revient au même, de l'argument de z, ne dépende que des extrémités du chemin considéré. Vérifié par les moyens du bord au Chap. IV, §4, (ix), ce résultat n'est autre que le théorème 1 du § 1 appliqué à 1/z. Si, au lieu d'intégrer 1/z, on intégrait l/(z — a) pour un point a non situé sur le résultat serait évidemment le même. En conclusion : Théorème 4. L'intégrale de l/(z — a) le long d'un chemin admissible /i dans C — {a} est égale à la variation d'une branche uniforme de Cog(z - a) le long de \i. Une telle branche est de la forme (4.3) L(t) = log \n(t) -a\+ i.A(t)
§ 2. Les formules intégrales de Cauchy 33 où le log est la fonction élémentaire définie dans et où t \-+ A(t) est. à son tour, une branche uniforme le long de p de la non-moins-pseudo fonction Arg(z — a), i.e. une fonction continue telle que Ton ait quel que soit t. Si l'on suppose p fermé, le terme log \p(t) — a\ de (3) a les mêmes valeurs en t — 0 et t = 1 puisqu'il ne dépend que de p(t) ; sa variation le long de p est donc nulle, de sorte qu'au facteur i près, celle de L(l) - L(0) est égale à la variation A(l) — A(0) de l'argument de p(t) — a. Mais comme les diverses valeurs possibles de l'argument d'un nombre complexe diffèrent entre elles de multiples de 27r, on a avec un nombre entier Ind/X(a) qu'on appelle Y indice de a par rapport à p, à moins que ce ne soit l'indice de p par rapport à a. Comme on l'a expliqué à la fin du Chap. IV, §4, c'est, physiquement, le nombre de rotations qu'effectue la demi-droite d'origine a passant par p(t) lorsque t varie de 0 à 1, nombre positif ou négatif calculé en tenant compte des sens des rotations effectuées ; on justifiera ce point au Chap. X, n° 3, (iii). Il est clair que Ind/Lt(a) ne dépend que de la classe d'homotopie de p dans C — {a}. Par suite, et en posant Supp(/x) = p(I), support du chemin p, on obtient l'énoncé suivant : Corollaire. Pour tout chemin fermé p dans C et tout a G C — Supp(/x), on a On notera qu'en dehors du compact p(I) = Supp(/x), image de / par p, le premier membre de (6) - et donc le dernier - est une fonction continue de a puisque la fonction du couple (t, a) que l'on intègre sur [0,1] est continue (Chap. V, n° 9, Théorème 9). Comme a (->• Ind^(a) est à valeurs dans Z, on en déduit que l'indice d'un point a relativement à un chemin fermé p ne dépend que de la composante connexe de a dans l'ouvert C —Supp(/x). D'après (6), il tend visiblement vers 0 lorsque \a\ augmente indéfiniment ; on en déduit qu'il est nul dans la composante connexe non bornée de C — Supp(/x) ; celle-ci est unique car elle contient au minimum l'extérieur de tout disque D contenant Supp(/x), de sorte que les autres composantes sont contenues dans D, donc bornées. On note parfois Ext(p), extérieur de p, l'ensemble des z G C — Supp(/x) où l'on a lndu(z) = 0, et lnt(p), intérieur de p, l'ensemble des z où (4.4) p(t) — a — \p(t) — a\. exp (4.5) A(1)-A(0) =27r.IndM(a) (4.6)
34 VIII - La Théorie de Cauchy fig. 5. Freitag-Busam, p. 240 Ind/X(z) ^ 0 ; l'extérieur de /i contient la composante connexe non compacte de C — Supp(/z), mais peut être strictement plus grand. Ces notions n'ont aucun rapport avec celles qu'on a définies au Chap. III. n° 1 relativement à une partie quelconque de C et se réfèrent plutôt à ce qu'on a dit à la fin du Chap. III, §4 (théorème de Jordan) dans le cas d'une courbe "simple", i.e. homéomorphe au cercle unité T. Ce cas prétendument simple étant déjà fort subtil, on aurait tort de croire que le cas général le soit moins même si, dans la pratique, tout est toujours à peu près évident. (ii) Longueur d'un chemin. On a souvent besoin de majorer une intégrale J f(Q<K = J fW)]n'(t)dt. En posant (4-7) ll/llM = sup|/[,i(t)]|, ^ tel norme uniforme de f le long de ji. i.e. norme uniforme, au sens du Chap. III, n° 7, de / sur l'ensemble Supp(/i) = fi(I) des points de la" courbe" que décrit fi(t). on trouve évidemment que J f(Odc\<\\f\\».j\»'(t)\dt.
§ 2. Les formules intégrales de Cauchy 35 L'intégrale figurant au second membre s'interprète géométriquement. Si en effet l'on choisit une subdivision assez fine u — to < t\ < ... < tn = v de J = [u, v] pour que p! soit constante à r > 0 près23 dans chaque intervalle partiel, on a J \p!(t)\ dt = ^T \p! (**)| (U+i - U) à m(I)r près , où m(I) est la longueur usuelle de J. Mais en posant d = p(U). on a (TF) cU+i Ci+i - C. = / t*'(t)dt Jti et le second membre de cette relation est. à r(£i+i — U) près, égal à fjLf(ti)(ti+i — U). Si donc on écrit que j i/A*)i<ft = 5]iCi+i-Cii on commet une erreur majorée par m(I)r + XX^+i — 2m(I)r. Or le second membre de la relation précédente n'est autre que la longueur usuelle du chemin linéaire par morceaux joignant les Ci ; ce chemin est d'autant plus voisin de /i que la subdivision considérée est plus fine. Il est donc raisonnable de définir la longueur d'un chemin /x par la formule (4.8) m(/x) = J \fi'(t)\dt, où l'on intègre sur I : on intègre par rapport au temps la vitesse scalaire (et non pas vectorielle) du mobile le long du chemin. La lettre m suggère une analogie avec la longueur ou mesure usuelle d'un intervalle dans R. La conclusion de ces raisonnements est l'inégalité (4.9) J (1 < m(n).\\ Ce résultat remplace l'inégalité quasi triviale rencontrée en variables réelles et est constamment utilisé. On notera que si l'on remplace p(t) par i/(t) = /x [<£>(£)] où (p est une application C1 d'un intervalle J C M sur l'intervalle / où est définie /x, ce qui ne modifie pas Supp(/x), on trouve m(i/) = j \vt[ip(t)]<p'(t)\dt = j \n'[p{t)]\'\<P'(t)\dt; 23 Rappelons nos conventions de langage (Chapitre III, n° 2). Une fonction numérique / est constante à r près sur un ensemble E si l'on a \f(x) — f(y)\ < r quels que soient x, y G E. Une égalité a = b est vraie à r près si \a — b\ < r.
36 VIII - La Théorie de Cauchy la formule du changement de variable dans une intégrale (Chap. V. §6. n° 19), dans laquelle figure la fonction <p'(t) elle-même et non pas sa valeur absolue, ne fournit donc l'égalité m(p) = m(u) que si <p' est de signe constant, i.e. si <p est monotone : il est généralement reconnu que si l'on va de Paris à Marseille en suivant l'itinéraire Paris-Lyon-Dijon-Lyon-Marseille, on parcourt davantage de kilomètres que par la voie directe. La longueur d'un chemin est donc, en dépit de la terminologie, une notion cinématique et non pas une notion géométrique applicable à l'ensemble Supp(/x) = p(I). En fait, il vaudrait mieux appeler " trajet " ce que tout le monde appelle " chemin ", mais il est trop tard24. (iii) La formule intégrale de Cauchy pour un cercle. Les calculs du n° 3, (iii) expliquent la formule intégrale de Cauchy pour un cercle (Chap. V, n° 5), à savoir (4.10) où a est intérieur au cercle p : t h-> R. exp(27rzt) de centre 0 le long duquel on intègre et où / est holomorphe dans un disque ouvert D de rayon > R. L'application >a+(l-*)(C-a) est en effet une contraction de D sur le point a ; pour s donné, c'est l'homo- thétie de centre a et de rapport 1 — 5, laquelle transforme p en un cercle ps entourant a et dont le rayon tend vers 0 lorsque s tend vers 1 : exemple de déformation linéaire. Le second membre de (10), où l'on intègre une fonction holomorphe dans l'ouvert D — {a}, ne change donc pas si l'on y remplace p par ps avec s < 1, inégalité stricte. Mais pour tout r > 0, il y a un r' > 0 tel que |C - 0| < r' => |/(C) - f(a) - /'(a)(C - a)| < r|< - a\ puisque / est dérivable au point a. Si donc s est suffisamment voisin de 1 pour que ps soit contenu dans le disque |£ — a\ < r', et si l'on remplace /(Ç) par f(a) -h /'(a)(Ç — à) dans l'intégrale le long de ps. on commet sur la fonction /(C)/(C — a) à intégrer une erreur majorée par r quel que soit £; compte- tenu de la majoration standard (9), l'erreur sur le second membre de (10) est donc majorée par m(ps)r. où m(ps) est la longueur de ps. Si l'on admet que, pour une circonférence parcourue une seule fois, notre savante définition de la longueur coïncide avec celle d'Archimède - c'était du reste la sienne puisqu'il approchait un cercle par des polygones inscrits, sans toutefois aller jusqu'au 24 Chemin : toute voie qu'on peut parcourir pour aller d'un lieu à un autre. Trajet : action de traverser l'espace d'un lieu à un autre. (Littré).
§ 2. Les formules intégrales de Cauchy 37 bout ... -, il est clair que s \-> m(ps) est bornée dans /; en fait, m(ps) est le produit de la longueur du cercle initial par le rapport d'homothétie 1 — 5. L'erreur commise sur le second membre de (10) est donc, à un facteur constant près, majorée par r. Autrement dit, on a = lim/(a) / -^- + / f\a)dC JasQ-a Jus Au second membre, la contribution de f'{a) est nulle puisque l'on intègre le long d'un chemin fermé une fonction constante. Il reste à évaluer l'intégrale de 1/(C — a) le long de jis ; on peut, pour ce faire, remplacer ps par un contour fermé qui lui soit homotope en tant que chemin fermé dans l'ouvert C — {a} où la fonction l/(£ — a) est holomorphe ; par exemple, par un cercle de centre a. D'après le corollaire au Théorème 4, c'est le produit de 2tti par l'indice de a par rapport à un tel cercle, évidemment égal à 1. Compte tenu du facteur /(a), le résultat final est donc bien 2nif(à). C'est l'une des démonstrations de Cauchy lui-même. (iv) Modes de convergence des fonctions holomorphes. Rappelons que la formule (10), conséquence immédiate de la théorie élémentaire des séries de Fourier, est l'outil essentiel dans la démonstration du théorème de Weier- strass sur les limites de fonctions holomorphes (Chap. VII, §4, n° 19). Si en effet / est holomorphe dans un ouvert G, si K est un compact de G et si r > 0 est strictement inférieur à la distance de K à la frontière de G, on peut, pour tout w G K, appliquer (9) en prenant pour p le cercle |£ — w\ = r ; posant £ = w + re(t), d'où dÇ = 27rire(t)dt et /(o = E^(n)Hrne(f)n/n!> n>0 on a alors (4.12) f^(w)/n\ = J f(w + re(t))r-ne(t)-ndt où l'on intègre sur [0,1]. Si donc on désigne par K(r) l'ensemble, compact et contenu dans G, des points dont la distance à K est < r et si l'on passe au maximum du premier membre sur K, on trouve que (4.13) (n) „<n\r-n\\f\\K{r). ce qui prouve que, dans l'espace vectoriel des fonctions holomorphes dans G, l'application f h-> f(n>) est continue pour la topologie de la convergence com-
38 VIII - La Théorie de Cauchy pacte25 ; si en effet une suite (fp) converge uniformément sur tout compact de G vers une limite /, les dérivées successives de / au sens réel, identiques à des facteurs constants près à ses dérivées au sens complexe, sont dans le même cas ; la fonction limite est donc G°°, elle vérifie la condition de Cauchy par passage à la limite, sa limite est donc holomorphe et comme les dérivées au sens réel convergent uniformément sur tout compact vers celles de /, le résultat annoncé s'ensuit (Chap. VII, n° 19, théorème de Weierstrass). En fait, on peut parvenir à la même conclusion que Weierstrass en faisant sur la convergence de la suite (/n) des hypothèses en apparence beaucoup plus faibles que la convergence compacte. Considérons en particulier le cas de la convergence Lp(l <p< +00) de la théorie de l'intégration, définie par la norme (4.14) \\f\\p=(^JJG\m\Pdrn(z))) i/p où l'on intègre sur l'ouvert G donné26 par rapport à la mesure usuelle dm(z) = dxdy. Il s'agit de montrer que, pour des fonctions holomorphes dans G, la relation (4.15) lim||/-/n||p = 0 implique \im fn(z) = f (z) uniformément sur tout compact K de G, i.e. qu'on a une majoration (4-16) H/H* < MK\\f\\p valable pour tout compact K C G et toute fonction / holomorphe dans G. Comme du reste on a aussi, dans ces conditions, lim/nr^(z) = f^r\z) uniformément sur tout compact quel que soit r, on trouvera aussi bien des majorations (4.16') pour tout r G N. (r) < MkA k Rappelons (Chapitre III, Appendice, n° 8) que celle-ci est définie par les semi- normes / 1-» II/IIk, où K (Z G est un compact quelconque. L'inégalité obtenue montre que si / converge uniformément sur K(r), alors converge uniformément sur K. Pour définir l'intégrale (14), qui porte sur une fonction continue positive, on doit utiliser la méthode valable pour les fonctions semi-continues inférieurement (Chap. V, § 9, n° 33, théorème 31) : on considère dans R2 les fonctions continues positives partout < |/(z)|p dans G et nulles en dehors de compacts contenus dans G; l'intégrale de |/(z)|p est alors la borne supérieure des intégrales de ces fonctions. Il reviendrait au même de considérer la borne supérieure des intégrales de \f(z)\p étendues aux compacts K C G, ce qui supposerait que l'on sache intégrer sur un compact quelconque (même référence).
§ 2. Les formules intégrales de Cauchy 39 Pour prouver (16), considérons à nouveau le compact K(r) C G. Pour tout a G K, le disque D(a,r) est contenu dans K(r) et l'on a f(a)= [ f[a + re(t)]dt. Jo Si l'on admet qu'en coordonnées polaires x = pcos27r£, y = psin27rt, la mesure dm(z) = dxdy est donnée par dxdy — 2npdpdt, on voit que // f(z)dxdy = 2tt [ pdp f f [a + pe(t)) dt = irr2f(a) ; JJ D(a,r) JO JO puisque 7rr2 est l'aire du disque D(a, r), cela signifie que la valeur d'une fonction holomorphe au centre d'un disque est égale à sa valeur moyenne dans le disque. Comme D(a, r) C K(r) pour tout a G K, on a donc (4.17) 7rr2||/||K < [f \f(z)\dm(z) < ff = \\f\\i, J J K(r) J J G ce qui, si p = 1, démontre (16). Si 1 < p < +oo, on applique l'inégalité de Hôlder (Cauchy-Schwarz pour p = 2) aux fonctions / et 1 sur K(r), d'où (\ !/p / \ 1/(ï liK{r) ^Pdm^J (/f dm^) où l/p + 1/q = 1 (Chap. V, §3, n° 14) ; la première intégrale est inférieure à ll/Hp et la seconde ne dépend pas de /, d'où (16). On obtiendrait (16') de façon analogue à partir de (12). Le lecteur vérifiera facilement que la relation (16) subsisterait si, au lieu de définir ||/||p à l'aide de la mesure usuelle dxdy, on utilisait une mesure dfi(z) — p(z)dm(z), i.e. la formule (4-18) H/llp = (|j \f(z)fp(z)dxdyyP où la " densité " donnée p est continue et à valeurs strictement positives ; il suffit de remarquer que, sur K(r), le minimum m de p est > 0, d'où // \f(z)\*dm(z) < i // \f(z)\*p(z)dm(z) JJ K(r) m JJ K(r) quelle que soit la fonction /. On déduit de ce résultat que, pour toute mesure dp(z) de la forme (18), l'espace vectoriel norme 7ip(G,fi) des fonctions holomorphes telles que \f(z)\'dn(z) < +oo
40 VIII - La Théorie de Cauchy est complet27 : l'inégalité (16) transforme en effet toute suite de Cauchy pour la norme Lp en une suite de Cauchy pour la convergence compacte, d'où une limite holomorphe qui, on le présume aisément, est aussi la limite Lp des fn. C'est évident si l'on dispose des résultats les plus simples de la théorie de Lebesgue28. En particulier H2(G,p), muni du produit scalaire (f\g) = fj f(zMz)dn(z), est un espace de Hilbert qui joue un rôle important dans certaines questions, notamment la transformation de Fourier complexe, la théorie des fonctions modulaires, la représentation conforme, etc. On peut en fait démontrer beaucoup plus comme Laurent Schwartz l'a observé il y a un demi-siècle. Soient G un ouvert de C et V(G) l'espace vectoriel des fonctions C°° et à support compact dans G. Comme dans R (Chapitre V, § 10), on peut l'utiliser pour définir des distributions dans G. Pour tout r G N, on définit dans V{G) une semi-norme (Appendice au Chap. III, fin du n° 8) Nr(tp) = £ sup \l%D*tp(z)\ = E H^VIIg p,q<r où D\ et L>2 sont les opérateurs de dérivation par rapport aux coordonnées réelles x, y de z. Notant V{G,K) le sous-espace des <p G V(G) nulles en dehors d'un compact donné K C G, une distribution dans G est alors une forme linéaire <p T(<p) sur T>(G) qui est continue au sens suivant : pour tout compact K c G, il existe un r G N et une constante Mk(T) > 0 tels que l'on ait \T((p)\ < MK(T)Nr(<p) pour toute (p G P(G, K). Comme dans R, on peut définir les dérivées succesives des distributions en itérant les formules qui définissent les dérivées premières 2?iT : y>.—» —T (Dw) , D2T:<p^-T {D2<p) 27 Comme on le verra au n° 12, il peut être réduit à zéro si l'ouvert G n'est pas borné, notamment, cas trivial, si G = C car, dans ce cas, (17) s'applique pour tout r > 0. 28 Si l'on a une suite de Cauchy (fn) dans un espace Lp et si lim fn(x) = f(x) existe presque partout, alors / G Lp et lim ||/ — fn\\p = 0 (Chap. XI). Dans le cas qui nous occupe, les fn et / sont continues et la suite converge uniformément sur tout compact ; il s'agit donc en réalité d'un théorème sur les intégrales de Riemann. Mais le démontrer élément air ement demande beaucoup plus d'ingéniosité que le recours aux marteaux-pilons de Lebesgue.
§ 2. Les formules intégrales de Cauchy 41 de T. Si T est définie par une fonction / de classe G°° dans G, i.e. si il est immédiat de vérifier que D{T est définie par la fonction Dif : on intègre par parties29 par rapport à x ou y comme dans R. On peut alors généraliser la notion de fonction holomorphe en disant qu'une distribution T dans G est holomorphe si elle vérifie la condition de Cauchy ou. ce qui revient au même, si T s'annule sur toutes les fonctions de la forme dip/dz. Cela posé, (i) toute distribution holomorphe est définie par une fonction holomorphe, autrement dit cette généralisation n'en est pas une ; (ii) si une suite Tn de distributions holomorphes converge vers une distribution T, i.e. si alors T est holomorphe (évident sur la définition) ; (iii) si fn et / sont les fonctions holomorphes définissant Tn et T, alors fn{z) converge vers f(z) uniformément sur tout compact de G. Lorsqu'il s'agit de fonctions holomorphes, toute définition de la convergence plus restrictive que la convergence au sens des distributions implique donc la convergence compacte; ce résultat couvre tous les types de convergence que l'on rencontre en pratique, en particulier la convergence Lp examinée plus haut. (v) Analyticité des fonctions holomorphes. La formule de Cauchy pour un cercle suppose seulement / holomorphe au sens initialement défini au Chap. II, n° 19. Nous avons montré directement au Chap. VII, n° 14, grâce à la théorie des séries de Fourier, qu'en fait toute fonction holomorphe est analytique, i.e. développable en séries entières, et en avons déduit (10). La formule de Cauchy fournit une autre démonstration de l'analyticité, celle de Cauchy que tout le monde recopie et qui procède en sens inverse. Il suffit, dans (10), de remplacer a par une variable z et d'écrire que développement en série géométrique justifié dès que \z\ < |£| = R. Pour z donné, cette série de fonctions de £ converge normalement (Chap. III, 29 Comme ip est nulle en dehors d'un compact K C G, la fonction sous le signe / est la restriction à G d'une fonction C°° dans R2 et nulle en dehors de K, donc en dehors d'un carré I x I où I est un intervalle compact dans R. D2T = %D{T limTn(<p) = T{ip) pour toute cp G V(G), i/(c-*) = cV(i-*/o= £*nc —n-1 n >0
42 VIII - La Théorie de Cauchy n° 8) sur le cercle |£| = R puisqu'elle y est dominée par la série Y2<ln/R'> avec q — \z\/R < 1 ; comme la fonction / est continue sur le cercle, on peut intégrer terme à terme, d'où (4.19) 27rif(z) = Y,CnZn avec cn = j fiOC^dÇ où l'on intègre le long du cercle de rayon R. cqfd. Cette démonstration montre, comme celle du Chap. VIL que le développement (19) est valable dans le plus grand disque D de centre 0 contenu dans le domaine G où f est holomorphe. Comme en effet tous les cercles de centre 0 sont homotopes entre eux en tant que chemins fermés dans le domaine G — {0} où la fonction /(C)C~nl que l'on intègre est holomorphe. l'intégrale représentant les cn est indépendante de R aussi longtemps que le disque fermé \z\ < R est contenu dans G: comme la série entière converge alors pour \z\ < R, le résultat s'ensuit. Ce raisonnement montre aussi que la formule intégrale de Cauchy pour un disque caractérise les fonctions holomorphes dans ce disque puisqu'elle implique un développement en série entière, ou bien parce que l'on intègre sur un compact une fonction qui dépend holomorphiquement du paramètre z, ce qui permet d'appliquer les théorèmes de dérivation sous le signe f. (vi) Série de Laurent. Considérons une fonction / holomorphe dans une couronne circulaire G : r < \z\ < R et soit z un point de G. Choisissons des nombres rf et R' tels que r < rf < \z\ < R' < R et une demi-droite D d'origine 0 ne passant pas par z ; soient A et B les points où elle rencontre les cercles de rayons r' et R'. Considérons le chemin fermé ji obtenu en parcourant AB, puis la circonférence \(\ — Rf dans le sens positif, puis BA, fig. 6.
§ 2. Les formules intégrales de Cauchy 43 puis le cercle |£| = r' dans le sens négatif. Il est évidemment homotope dans G — {z} à une circonférence 7 de centre z contenue dans G. Les intégrales de /(C)/(C — z) Ie l°ng de ces deux chemins étant égales, la formule de Cauchy pour un cercle montre que Il est clair que la contribution du segment de droite AB au calcul est nulle puisqu'on le décrit deux fois en sens inverses. Il reste donc la différence entre les intégrales étendues aux circonférences |£| = R' et \(\ = r' parcourues dans le sens positif. Pour ICI = R', on a \z/C\ < 1 et donc l/(C-z) = l/C(l-^/C) = E^' -n-1 , la contribution de la circonférence |£| = R' à l'intégrale (13) est donc, comme au point (v), la série entière Vcnzn avec 27ricn= [ /(OC"'1^. n^u J\<\=R' Pour |C| = r'. on a \Ç/z\ < 1, ce qui permet d'écrire que 1/(C -z) = -1/2(1 - Ç/z) = - Cz-"-1 ; n>0 le produit par /(£) s'intègre à nouveau terme à terme : il s'agit manifestement de séries normalement convergentes. En remplaçant n par — n — 1 où, cette fois, n < 0, on obtient une contribution égale à Y^cnzn avec 2mcn = [ /(C)C"n_1dC n<0 J\<\=r' comme on le voit facilement. La formule (13) fournit donc, dans la couronne r' <

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