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Timestamp: 2018-01-19 09:24:48+00:00

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Nombre d'or, nombre d'art ?...
De Camilles et Justine, cette énigme philosophique : "Est ce que les mathématiques peuvent définir des normes de beauté, comme par exemple la proportion du nombre d'or que l'on retrouve entre autres dans les pyramides d'Egypte ou la naissance de Vénus de Botticelli ? Est-ce que les oeuvres d'art qui sont régies par le nombre d'art peuvent ne pas être belles ? "
=> 29/01/2004 : "Le nombre d'art", quel beau lapsus, chers visiteurs ! Si je comprends bien, vous vous demandez s'il existe des "normes" objectives de la beauté. Et si oui, qu'est-ce qui, mieux que les mathématiques, science "objective" par excellence, permettrait de les identifier. Et si oui encore, pourquoi ladite "norme" ne serait pas un rapport mathématique, une proportion, "comme par exemple le nombre d'or"... Oui, pourquoi pas ? Mais essayons d'y voir plus clair.
Le nombre d'or, ou proportion dorée, est en effet un de ces nombres "magiques" - ou, du moins, "particuliers" - qui excitent l'intelligence mathématique, au moins autant que le nombre pi. On le note généralement phi (la lettre grecque), et sa valeur est d'environ 1.618. Environ, car il s'agit d'un irrationnel (ce n'est pas une fraction) : à ce jour, nous lui connaissons pas moins de 1 milliard et demi de décimales - chiffre record datant de mai 2000. Il est vrai qu'il possède des propriétés mathématiques remarquables. Par exemple, c'est le seul nombre positif dont le carré soit égal à lui-même plus 1. Pour élever phi au carré, il suffit donc de lui ajouter 1 : phi2 = phi + 1. La solution de cette équation donne phi= 1,618...
Et ce curieux nombre apparaît aussi dans la suite de Fibonacci. Dans la suite des entiers de ce mathématicien du XIIe siècle, chaque valeur vaut la somme des deux précédentes, en commençant avec 0 et 1. Cette suite particulière commence donc ainsi :
Le principe est donc simple : 0+1= 1, puis 1+1 =2, puis 1+2 =3, puis 2+3 =5, puis 3+5 =8, etc. Maintenant, si on considère, dans cette suite, le rapport de deux entiers consécutifs qui la compose, on obtient :
1/1 =1, puis 2/1 =2, puis 3/2 =1,5, puis 8/5 =1,6, puis 13/8 =1.625, puis 21/13 =1,615..., puis 34/21 =1.619...
Ainsi, ce rapport tend progressivement vers phi = 1,618... Le nombre d'or est donc la limite de la suite de Fibonacci lorsque le rang des termes tend vers l'infini. Joli, non ? Si l'on peut dire, Fibonacci = phibonacci ! En réalité, il n'y a là aucune "magie". Voyez la démonstration ici (en anglais, mais c'est compréhensible tout de même).
A noter : on aurait pu partir d'une suite "descendante" de Fibonacci. Cela donnerait :
... -55 , 34 , -21 , 13 , -8 , 5 , -3 , 2 , -1 , 1 , 0 (...en continuant comme ci-dessus : 1 , 1 , 2 , 3 , 5...)
On considèrerait donc, cette fois : 1/-1, puis -1/2, puis 2/-3, puis -3/5, 5/-8, etc. Et tout aussi progressivement, on aurait obtenu -0,618... Or ce nouveau nombre est tout bonnement l'inverse de phi. On ne s'en sort pas ! On a donc maintenant : phi - 1 = 1 / phi.
Le nombre d'or a d'autres propriétés "curieuses", mais votre question ne s'adressait manifestement pas au mathématicien... que je ne suis pas ! Vous trouverez d'autres renseignements sur cette proportion en vous promenant sur la toile (entrez "nombre d'or", entre guillemets, dans un moteur de recherche). Toutefois, puisqu'il est question de la beauté, je vous recommande de visiter cette page, qui visualise la suite de Fibonacci telle qu'on l'observe dans la nature (proportions du corps, feuilles, fleurs, et même choux fleurs...).
Il est à noter que le nombre d'or ne semble avoir été nommé que tardivement. Euclide l'avait déjà "repéré", et peut-être, avant lui, Platon, voire Pythagore. Certains prétendent que les Egygtiens, et même les hommes de la préhistoire "connaissaient" (?) ce nombre... Tout dépend, bien sûr, de ce qu'on appelle connaître... sans négliger l'influence de la subjectivité des chercheurs de l'ancienneté du fameux nombre : il n'est pas difficile, en effet, de voir ce que l'on désire voir ! Le mathématicien Luca Pacioli (1445-1517) l'appelait la divine proportion, tandis qu'à la même époque, le peintre Léonard de Vinci le nommait section dorée. L'expression nombre d'or, quant à elle, n'apparaît que vers... 1930. Vous avez bien lu : c'est un dénommé Matila Ghyka, prince roumain, diplomate et ingénieur, qui donne à ce nombre le nom que vous lui connaissez ! Or, sa thèse, développée dans ses ouvrages (L'esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, 1927, et Le Nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale, 1931) est justement celle que vous évoquez : le "nombre d'or" est la clé qui permet de rendre compte de la beauté des choses dans la nature et dans l'art. Certes, il n'est sans doute pas le premier à la soutenir ; il faudrait citer aussi le philosophe allemand Adolf Zeising (1810-1876), qui voyait la "section d'or" dans une foule de monuments, mais le fait est là : l'esthétique du nombre d'or est en fait fort récente. Cette théorie a été sévèrement critiquée, notamment dans un livre, que je n'ai malheureusement pas lu : Marguerite Neveux, Le nombre d'or, radiographie d'un mythe. D'après ce que j'en sais, se fondant sur un important travail de documentation, elle considère que la théorie de Ghyka s'appuie en fait sur de nombreuses approximations. Ainsi, souvent, le rapport 5/8 = 0,625 est estimé équivalent à 1 / phi (ou à phi - 1, si vous préférez) = 0,618. Il y donc aurait de la triche, même si les intentions de Ghyka étaient sincères.
Que penser de cette théorie esthétique ? Les grecs, avec leur summetria (ancêtre du mot français 'symétrie'), avaient-ils raison d'affirmer que la beauté est cette mesure qui est à elle-même sa propre mesure ?
Il faut bien reconnaître que cette théorie est troublante. Ainsi, un site perso propose un simple petit test, je cite : "lequel de ces rectangles vous semble le plus beau, le plus harmonieux ?" Evidemment (?), le plus "beau" et / ou le plus "harmonieux" des rectangles proposés, c'est celui dont les côtés sont dans un rapport 1 / phi (ou phi / 1)... Mais que veut dire "beau" ? Que veut dire "harmonieux" ? Ces deux termes sont-ils d'ailleurs équivalents ? La beauté est-elle l'harmonie ? Le beau est-il toujours harmonieux ? Et l'harmonie est-elle toujours belle ? Comme l'écrit le dictionnaire Lalande de philosophie : "toute harmonie implique un caractère esthétique [mais] c'est une question de savoir si la proposition est convertible" : suffit-il d'un rapport harmonieux pour parler de beauté ?
Bien sûr, ce qui est harmonieux est "bien proportionné", et il est vrai que la proportion 1,618 est ou paraît "satisfaisante" dans les côtés d'un rectangle. Mais alors que veut dire satisfaisant, que veut dire bien proportionné ?
Le mot 'harmonie' vient du grec, qui signifie ajustement, juste rapport : l'harmonie assemble dans une même unité des "éléments" différents. Ces "éléments" peuvent être des choses, des objets : ce chandelier, cette cheminée, et la pièce dans laquelle se trouvent logées ces choses. Ils peuvent être des personnes : par exemple des amis. Mais ils peuvent aussi être des "qualités" des choses ou des êtres : la couleur d'une cravate et la couleur des cheveux par exemple, ou encore, plus classiquement, différents sons. L'harmonie est ainsi cette partie de la théorie musicale qui étudie les rapports justes entre des sons différents joués simultanément. Plus généralement, l'harmonie qualifie le rapport des éléments à l'intérieur d'un même ensemble. L'harmonie est donc convenance, ou théorie de la convenance. Mais en quel sens faut-il l'entendre ? Dans ce que nous jugeons harmonieux, les parties, loin de s'opposer, semblent "s'ajuster" comme pour concourir, pour conspirer à un ordre du tout. En quoi consiste cet ordre ?
Jusqu'au XVIIIe siècle, il apparaît évident à tous que la beauté se confond avec l'harmonie, et même avec l'harmonie intégrale, ou perfection, que Kant définit "l'harmonie du divers en une chose avec une destination interne de celle-ci" (Critique de la faculté de juger, Section I, livre II, § 48, éd. Vrin, p.142). Mais la notion d'harmonie renvoie déjà elle-même aisément à l'idée de finalité : si l'harmonie est le signe d'un ordre, on peut en effet supposer que cet ordre manifeste une fin (au sens du grec telos, "fin", "but"). Kant nomme jugement réfléchissant un tel jugement.
Pour comprendre cela, il faut indiquer que juger, c'est toujours penser le particulier comme contenu dans le général. Mais, comme le remarque Kant, cette opération peut avoir lieu de deux façons : le général (loi, règle, principe) peut être donné ou connu, et le particulier (le fait, l'événement, la chose) y est alors subsumé (rangé). Par exemple, mon livre tombe (=événement particulier) conformément à la loi (générale) de la chute des corps : l'attraction terrestre (=loi universelle) explique donc la chute de l'objet (=particulier). Ce type de jugement est appelé déterminant. Ainsi procède la science. Au contraire, il se peut que seul le particulier soit donné ou connu. Dans ce cas, le jugement tente de trouver le général susceptible d'unifier la diversité dont on part. C'est ce type de jugement qui est appelé par Kant réfléchissant. Et on remarquera que le jugement réfléchissant n'est pas explicatif : ainsi, juger que l'oiseau a des ailes pour voler n'explique, à vrai dire, ni le vol ni l'oiseau. Pour expliquer le vol, je dois évoquer des causes (la forme des ailes, leur position par rapport au centre de gravité de l'animal, la répartition des plumes, la disposition des muscles et la structure du squelette, etc.), non des fins. Cependant, si le mécanisme invoqué comme déterminant le vol est explicatif, il ne dit rien sur l'ordre naturel qui conduit au vol de l'oiseau : la connaissance mécanique du vol nous explique comment l'oiseau vole, au moyen de quels dispositifs, mais ne peut nous révéler si l'oiseau a bien des ailes pour voler. Or c'est pourtant bien manifestement le cas : l'oiseau vole sans doute parce qu'il a des ailes (causalité démontrée par l'entendement déterminant), mais aussi il a des ailes pour voler (finalité supposée par la faculté de juger réfléchissante).
Or le jugement de beauté est un jugement réfléchissant au même titre que le jugement qui me fait deviner une harmonie dans le spectacle des choses. Pourquoi, alors, ne confondrions-nous pas tout bonnement beauté et harmonie, et même beauté et perfection ? Ainsi, pour reprendre l'exemple du rectangle (=particulier), nous ne le jugeons pas harmonieux (ou beau) parce que ses côtés sont dans un certain rapport mathématique (=universel) : si nous devions calculer le rapport numérique de ses côtés pour être en mesure de déclarer qu'il est plus harmonieux que les autres, nous opérerions en effet d'après un jugement déterminant. Mais il n'en est rien : nous trouvons immédiatement que les proportions du rectangle sont harmonieuses, et nous ne mesurons (éventuellement) qu'après coup. Le jugement d'harmonie, si je puis dire, est donc bien un jugement réfléchissant. Il postule, dans la chose appréhendée, la présence d'un ordre, d'une mesure, d'une raison, mais cela immédiatement, sans calcul, sans user du moindre concept. Or il en est bien ainsi également, comme le souligne Kant, dans le jugement de beauté : nous ne jugeons pas qu'une chose est belle d'après les mesures qu'on en a prises, et un homme qui n'est pas du tout musicien peut fort bien trouver, sans aucune analyse musicale, que la pièce qu'il écoute est belle. Il ne la juge donc pas belle parce qu'elle respecte un certain "canon" de beauté, à lui connu, mais elle lui paraît belle, en quelque sorte immédiatement (le "connaisseur", d'ailleurs, est dans le même cas, à ceci près qu'il peut tâcher, ensuite, d'en dire davantage sur la forme et les procédés employés par le musicien à titre de moyens).
Platon et Plotin dans l'Antiquité, et même encore Wolff au XVIIIe s., ont ramené la beauté à la perfection. Du reste, Kant aussi, jusque vers 1763. C'était, en quelque sorte, la vue classique, traditionnelle, sur ce sujet. Mais plus tard, avec la Critique de la faculté de juger (1790), Kant revient sur la question en détail, et procède à la distinction entre beauté et perfection. Certes, observe-t-il, il faut reconnaître, dans les deux cas, qu'un certain ordre final est perçu dans les choses. Pourtant, la perfection désigne une finalité objective interne, ce qui n'est pas vraiment le cas dans le jugement de beauté, qui est subjectif. Tâchons d'expliquer cela (qui n'est pas vraiment très facile...) :
Kant exclut d'abord que la beauté puisse se ramener à la finalité objective externe. "Par finalité externe, écrit-il, j'entends celle par laquelle une chose de la nature sert à une autre de moyen en vue d'une fin" (CFJ, Section II, Dialectique, § 82, p. 236 - je souligne). Cette sorte de finalité s'appelle l'utilité, et il est facile de voir que si une belle chose peut être aussi utile, nous ne la disons en aucun cas belle en raison de son utilité : ce n'est pas parce que mon armoire se révèle "pratique" (= utile) à l'usage qu'elle est belle !
...Kant va même jusqu'à affirmer qu'une chose ne peut nous paraître belle en même temps qu'utile : la beauté est en effet "la forme de la finalité d'un objet, en tant qu'elle est perçue en celui-ci sans représentation d'une fin" (Définition tirée du 3e moment, CFJ, à la suite du § 17, p. 76 - c'est moi qui souligne). Ainsi mon armoire est belle si je considère sa forme, son aspect, sans prendre en compte son utilité (le rangement), et elle est utile lorsque je m'en sers pour ranger de la vaisselle ou du linge, mais alors je perds momentanément de vue sa beauté : la même chose (l'armoire) est donc, pour moi, tantôt utile, tantôt belle. Jamais les deux simultanément : étant désintéressé, le jugement de beauté ne peut coexister avec le jugement d'utilité : le jugement esthétique est de l'ordre de la contemplation, alors que le jugement d'utilité me fait entrer dans la consommation, dans l'utilisation ou l'exploitation de la chose à titre de moyen. Autrement dit, le jugement est esthétique s'il atteint une finalité... qu'il ne cherche pas ! Dans une note attachée à la 3e définition du beau, Kant remarque qu'il suffit que la pensée s'interroge sur l'identité de la fin pour que le "charme" soit (momentanément au moins) rompu : si nous nous demandons à quoi sert tel ou tel objet étrange, dont nous ignorons la fonction, l'utilité, nous rapportons déjà sa forme au concept d'une fin, même "indéterminément" (=sans savoir quelle est précisément cette utilité). Cela n'empêche certes pas l'archéologue qui l'a découvert de le trouver beau, mais tant qu'il est et reste archéologue, son jugement vise la connaissance (= le vrai), non la beauté. Il en est de même du botaniste, qui peut trouver la fleur belle, tant qu'il ne pense pas à sa fonction (= à son utilité), c'est-à-dire au mécanisme de reproduction de la plante auquel elle participe.
Kant reconnaît que le rapprochement est plus tentant entre beauté et perfection : "Une finalité objective interne [= la perfection] se rapproche déjà davantage du prédicat de la beauté, aussi des philosophes célèbres l'ont considérée identique à la beauté, en ajoutant toutefois : si elle est pensée confusément." Malgré cette dernière précaution, Kant estime que cette affirmation n'est pas correcte, et qu' "il est de la plus haute importance de décider, dans une critique du goût, si la beauté peut effectivement se résoudre dans le concept de la perfection" (CFJ, Section I, Livre I, § 15, p. 69).
Or, qu'elle soit interne [= perfection] ou externe [= utilité], "la finalité objective d'une chose ne peut être connue que par la relation du divers à une fin déterminée, et ainsi seulement par un concept." (Ibid., p. 68). En effet, la fin désigne "le concept d'un objet, dans la mesure où il comprend en même temps le fondement de la réalité de cet objet." (CFJ, Introduction, IV, pp. 28-29 - c'est moi qui souligne). Ou encore : "l'objet d'un concept est fin, dans la mesure où le concept en est la cause (le fondement réel de sa possibilité)." (CFJ, § 10, p. 63).
Or, si le principe qui permet et fonde le jugement de perfection est un concept, il ne saurait en être de même pour le jugement de beauté, qui est subjectif. En effet, son principe déterminant ne peut être objectif et se fonder sur un concept - sinon, il y aurait des règles qui permettraient de décréter sans faillir qu'une chose est belle. Mais, justement, il n'y en a pas !
On dira encore que le jugement d'harmonie n'est peut-être pas tout à fait identique au jugement de perfection. Mais si l'harmonie n'est pas exactement la perfection, elle est néanmoins perçue comme appartenant à la chose comme une propriété objective, et la supposition d'un critère mathématique de la beauté serait une telle propriété. Tel n'est pas le cas du jugement de beauté.
...Encore que ce soit, selon Kant, plus subtil ! En effet, le jugement d'agrément est également subjectif : or, agréable et beau sont certainement des notions à distinguer : si l'agrément se dit de la sensation, par essence subjective, et même personnelle (ce café m'est agréable, à moi, et je conçois qu'un autre n'apprécie pas ce goût), la beauté, en revanche, se dit de la chose. Je ne peux pas dire que cette musique m'est belle. Je la juge belle, même si je suis tout prêt à reconnaître que la beauté n'est pas "dans la chose même", mais résulte de ma rencontre (subjective) avec elle. Et il est évident que, dans ce jugement, ce n'est pas la sensation (= l'audition) que je déclare belle. Certes, pourrait-on ajouter encore, le jugement de beauté s'accompagne d'un plaisir : or, ce qui est agréable fait plaisir. Mais d'abord, ce plaisir n'est pas la cause du jugement : ce n'est pas parce que j'éprouve du plaisir à entendre la musique qu'elle est belle, c'est l'inverse. Ensuite, et surtout, le plaisir ainsi ressenti est désintéressé, ce qui n'est pas du tout le cas du jugement d'agrément : le jugement de beauté est contemplatif. On ne peut évidemment le dire de l'appréciation de ce qui est agréable. Je dis tout cela très vite, pour en arriver à l'essentiel : dans le jugement de beauté, je suis subjectif, mais... Mais j'attribue aussi à tout autre homme la capacité de discerner la beauté : "est beau ce qui plaît universellement sans concept" (CFJ, Définition tirée du 2e moment, à la suite du § 9, p. 62 - je souligne). Voilà qui différencie nettement le jugement de beauté du jugement d'agrément : tout en se sachant subjectif, le jugement de beauté prétend à l'universalité ; lorsque nous disons d'une chose qu'elle est belle, nous attendons d'autrui qu'il la trouve belle lui aussi.
Bref, il me semble qu'en suivant Kant, on ne pourrait accepter de réduire la beauté à l'harmonie, si proche, en son concept, de la perfection. En effet, un visage à l'ovale parfait est un visage harmonieux. L'harmonie, pourtant, peut facilement être confondue avec la beauté dans la mesure où cette dernière implique un jeu harmonieux entre l'imagination et l'entendement qu'exprime le jugement de beauté. Mais l'imagination et l'entendement sont dans le sujet pensant, non dans l'objet contemplé : l'harmonie en question est seulement subjective. Rien à voir, donc, avec un critère d'harmonie mathématique, donc conceptuel, et, en un sens, objectif, ni - comme on vient de le voir - avec un critère d'agrément, d'ordre purement sensible : la beauté n'est ni l'intelligible rendu sensible (= l'harmonie), ni le sensible à l'état pur (= l'agrément).
Il reste à comprendre pourquoi la beauté est (ou fut) si souvent confondue avec l'harmonie ou avec la perfection. Kant suggère une réponse à cette question quand il évoque l'idéal de beauté. En effet, l'esprit qui juge esthétiquement est, comme dit un commentateur de Kant, nécessairement "tiraillé par deux exigences contraires" (Louis Guillermit, Commentaire de la CFJ de Kant, aux éd. Pédagogie Moderne, p. 93) : car, d'une part, il procède subjectivement, sans concept, mais d'autre part, il prétend que la satisfaction qui accompagne le jugement esthétique doit pouvoir être éprouvée par tous, donc comme si celui-ci était fondé objectivement sur un concept. De ce tiraillement résulteraient deux tentations : croire qu'il existe des critères objectifs de la beauté (les proportions harmonieuses du corps humain, par exemple chez L. da Vinci, selon la "section dorée"), ou bien postuler l'existence d'un sens esthétique commun à tous les sujets humains.
Quoi qu'il en soit, on peut aussi soupçonner que les partisans de la théorie de la "beauté mathématique" estiment que le bien est d'ordre divin : que Dieu harmonise la nature selon une proportion qui nous "touche" esthétiquement... Dieu sait pourquoi ! Le nombre d'or n'explique donc rien. Nous "percevons" une harmonie, mais nous ne sommes pas dotés d'un entendement capable de "comprendre", et encore moins d'expliquer. Seul l'entendement divin le peut. Seul Dieu, en effet, peut embrasser par la pensée toute son oeuvre, qui est harmonie - que l'homme, fait à l'image de Dieu, mais à l'image seulement, ne peut que "ressentir". Dès lors aussi, les partisans de cette théorie conviendront sans doute assez facilement que Dieu est un mathématicien de génie, qu'il est le véritable inventeur des mathématiques. Le mathématicien, quant à lui, n'est qu'un découvreur : il n'est jamais qu'un second, puisqu'il vient après Dieu, et les mathématiques ne sont donc pas issues de son cerveau : les mathématiques ne créent rien, le mathématicien ne fait que découvrir - partiellement - l'oeuvre cachée.
"Le grand livre du monde, disait en substance Galilée, est écrit en langage mathématique"... Nos "mathématesthéticiens" ne feront aucune difficulté pour revendiquer leur parenté avec Platon : le Beau est l'éclat du Vrai et du Bien. Voyez la devise de l'Académie de Platon : "Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre". Le Beau est la manifestation objective de l'Idée (avec majuscule) avec laquelle nous communions de façon obscure quand nous la ressentons, ou de laquelle nous pouvons nous former une petite idée (avec minuscule) grâce à la science des proportions, aux mathématiques.
Bref, il faut sans doute accepter bien des présupposés pour admettre cette théorie de la beauté mathématique... Ces présupposés sont-ils de simples préjugés, reposant sur de fragiles croyances mystiques ? Y a-t-il, comme on dit, "du vrai" dans cette théorie des "formes" ou des "rapports" mathématiques qui exciteraient notre intelligence par des rapports sensibles harmoniques (ou harmonieux !) ?
Je vous laisse méditer cette note de Leibniz, qui dit (à peu près, car je cite de mémoire) : "la musique est l'exercice d'arithmétique d'un esprit qui ne sait pas qu'il compte" (quelque part dans les Nouveaux Essais sur l'entendement humain), ainsi que ce texte de Ravaisson.
Référence du message : ID 019

References: § 48
 § 82
 § 17
 § 15
 § 10
 § 9