Source: https://it.scribd.com/document/383408665/Matematica-3%C2%BA-Medio-Guia-Didactica-Del-Docente
Timestamp: 2020-08-04 01:03:04+00:00

Document:
Matemática 3º Medio - Guía Didáctica Del Docente | Evaluación | Aprendizaje
Matemática 3º Medio - Guía Didáctica Del Docente
SalvaSalva Matemática 3º Medio - Guía Didáctica Del Docente per dopo
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Criterios 3[1](3)
3_01_MODELO_PEDAGOGICO__Gonzalez_Suarez__Rodriguez_
Evaluar Diseno Ejecucion y Desarrollo de UD
Tarea 2 Retos de La Formación Docente
87963235 Sesion de Aprendizaje Ept 2011 m 2
PROGRAMACION CURRICULAR 2017.pptx
Tema 4 Orientaciones Para Describir Niveles de Desempeño
Plan if 2018 Prim
Problematic Ass s
TRABAJO FINAL DIDACTICA FLA.docx
Capitulo 6 Los Componentes del Modulo
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EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN
Olga Saiz Maregatti / Viktor Blumenthal Gottlieb
Olga Saiz Maregatti
Viktor Blumenthal Gottlieb
Licenciado en Ciencias, mención Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile.
• Presentación de la Guía Didáctica
• Estructura de la Guía Didáctica
• Resolución de problemas, eje transversal del subsector
• Objetivos Fundamentales Transversales
• Sugerencias para atender la diversidad y distintos ritmos de aprendizaje
• La informática educativa en el sector curricular de Matemática
• Aplicación práctica de la informática educativa al sector matemático
Unidad 1: Un nuevo conjunto… los números complejos Presentación de la Unidad Planificación de la Unidad Desarrollo de la Unidad Errores frecuentes Síntesis de la Unidad
• Ficha de refuerzo
• Actividades de profundización Instrumentos de evaluación Evaluaciones Solucionario de la Unidad
Unidad 2: Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática Presentación de la Unidad Planificación de la Unidad Desarrollo de la Unidad Errores frecuentes Síntesis de la Unidad
Unidad 3: Plano Cartesiano y Homotecia… un nuevo paso en geometría
Errores frecuentes Síntesis de la Unidad
Unidad 4: Rectas en el plano… una mirada analítica Presentación de la Unidad Planificación de la Unidad Desarrollo de la Unidad Errores frecuentes Síntesis de la Unidad
Unidad 5: Probabilidad y estadística… una mirada con mayor profundidad Presentación de la Unidad Planificación de la Unidad Desarrollo de la Unidad Errores frecuentes Síntesis de la Unidad
Índice temático Bibliografía temática Links sugeridos Banco de preguntas Respuestas
La presente Guía Didáctica pretende ser un elemento facilitador y un respaldo a su labor docente. En esta guía usted podrá conocer y entender la estructura y la propuesta didáctica por las que se optaron para organizar el conjunto de los OA, y el tiempo previsto para el desarrollo de cada unidad. Además, le entregará apoyo didáctico para que pueda desarrollar diversas técnicas, estrategias y procedimientos que le permitan fomentar el trabajo autónomo de sus estudiantes.
Presenta información teórica para apoyar el desarrollo de contenidos curriculares nuevos o de mayor complejidad; vincula, a través de una tabla, los contenidos y las actividades propuestas en el Texto del Estudiante, en relación con los aprendizajes que se espera logren los estudiantes; entrega sugerencias metodológicas que permiten enriquecer los aprendizajes de sus estudiantes y que dan respuesta a la diversidad y a distintos ritmos de aprendizaje. También podrá encontrar en ella instrumentos que le ayudarán a reflexionar acerca de su labor docente.
En el inicio de cada unidad se presentan los objetivos de aprendizaje que orientan el tratamiento de los contenidos. Luego, en el desarrollo encontrará:
• Los aprendizajes esperados que lo orientan y los contenidos que se trabajan.
• Sugerencia del tiempo que se le puede asignar.
• Las conexiones con los contenidos de otros niveles.
• La secuencia que se utilizó para el tratamiento de los contenidos en el Texto del Estudiante y una propuesta de secuencia alternativa con indicaciones generales.
• Mapas conceptuales para visualizar los conceptos fundamentales y sus relaciones.
• Comentarios respecto de los contenidos y actividades.
• Los errores en que suelen incurrir los estudiantes, indicando el posible déficit y proponiendo estrategias que permitan evitar o subsanar dichos errores.
• Actividades de refuerzo y descripción de lo que se pretende reforzar con cada una.
También se presentan actividades de profundización, ambas con sus respectivas
soluciones. Su propósito es dar respuesta a los distintos ritmos de aprendizaje de los estudiantes, ya que han sido diseñadas para ser trabajadas en forma individual.
• Referencias a diferentes páginas web, algunas para que amplíe y actualice sus conocimientos en relación con diferentes contenidos, y otras con ejercicios que pueden ser utilizados para evaluar el aprendizaje de los estudiantes en los temas que se indican.
• Bibliografía sugerida para el tratamiento de la unidad con diversas páginas web como complemento al estudio y a la ejercitación, indicando los contenidos correspondientes. Además de algunos textos que serán de utilidad para los contenidos de la unidad.
Al final de esta guía encontrará también, las respuestas a los ejercicios, problemas, actividades y evaluaciones planteadas en la misma.
Estimado docente, hemos diseñado esta Guía Didáctica intentando dar respuesta a todos sus requerimientos y necesidades dentro del aula, con el objetivo de que las orientaciones que en ella se entregan le permitan abordar y utilizar adecuada y creativamente el Texto del Estudiante como un recurso efectivo e indispensable en su labor diaria.
Para todos a quienes nos ha tocado la misión de educar, se hace imprescindible durante el ejercicio de nuestra profesión cuestionarse cuál es la mejor manera de conducir a nuestros estudiantes para que logren aprender lo que les queremos enseñar. Entonces,
y como escucháramos tantas veces en las aulas de las universidades que nos formaron,
vuelven a surgir aquellas preguntas fundamentales: ¿para qué enseñamos?, ¿qué enseñamos?, ¿cuál es la mejor forma de entregar aquello que sabemos y que queremos que otros aprendan?, ¿quiénes son aquellos que tenemos frente a nosotros en la sala de clases?, etc.
Sin duda, cada una de las respuestas a estas preguntas tendrán similitudes y diferencias dependiendo del profesor que las conteste, del área que se enseñe, del tipo colegio en el que se trabaje y, sin duda, de cada estudiante que se nos haya encargado conducir, sabiendo que cada uno de ellos es una persona única e irrepetible que se nos ha encomendado.
Desde este punto de vista, pretender escribir un libro que reúna las respuestas de todos los profesores de Matemática de Chile sería una idea ambiciosa e imposible. Por tanto, pretendemos ser sólo una ayuda para su trabajo en el aula, una guía de trabajo donde se oriente a los estudiantes en el desarrollo de ciertos temas y su aplicación a la vida diaria, una propuesta que comparte la experiencia educativa de años de trabajo en el aula.
Bajo esta perspectiva, debemos destacar algunas directrices que han guiado nuestro trabajo y que son el fundamento que lo ha iluminado:
• El acto educativo debe tratar a cada uno según sus aptitudes. No hay aprendizaje efectivo que no parta de alguna necesidad o interés del alumno. (Paradigma “La escuela nueva”, Odisea. Revista electrónica de pedagogía. Artículo: “Corrientes pedagógicas contemporáneas”. Autor: MC. Héctor Cerezo Huerta).
Desde esta arista, el libro pretende situar a los estudiantes en problemas cotidianos que puedan ser de su interés para generar la necesidad de los nuevos conocimientos. Cada sección del libro está introducida por un problema al que se da solución más adelante, cuando ya se han adquirido los conocimientos necesarios. Las actividades están desarrolladas de manera de respetar el ritmo de aprendizaje de los estudiantes; existen actividades de refuerzo; de trabajo; de profundización. Actividades individuales y grupales. El trabajo grupal da la posibilidad de contribuir al aprendizaje de los pares, de recrear en una escala menor el escenario en que se encontrarán a futuro. Es importante que experimenten que las habilidades y aptitudes de cada uno aportan a que el trabajo grupal sea eficiente y eficaz.
• Lo que se genera en la cognición humana es producto de una combinación de sentimientos, prejuicios y juicios, procesos inductivos y deductivos, esquemas y asociaciones, representaciones mentales, que juntos nos dan elementos para resolver nuestros problemas. (Enfoque constructivista, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad Juárez, Chihuahua. México, Universidad Pedagógica Nacional - Unidad 082).
El desarrollo de cada contenido en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del Docente está trabajado en forma deductiva, tratando de dar las herramientas para que exista desarrollo del pensamiento lógico, que hagan las asociaciones necesarias y logren resolver los problemas que allí se plantean. Los estudiantes son constructores de su futuro y lo harán en la medida en que puedan resolver problemas de manera libre, analizando todos los factores posibles y ponderando las consecuencias de sus decisiones.
• El conocimiento sobre la propia cognición implica ser capaz de tomar conciencia del funcionamiento de nuestra manera de aprender y comprender los factores que explican el porqué los resultados de una actividad puedan ser positivos o negativos (Aprender a aprender, Carles Dorado P., Universidad Autónoma de Barcelona).
El desarrollo de este texto ha privilegiado un espacio donde cada estudiante pueda reflexionar acerca de su propio aprendizaje. Al final de cada sección, el estudiante tiene la posibilidad de contestar algunas preguntas donde revisa su aprendizaje y el proceso que ha realizado para adquirirlo. También es importante que cada vez que haya tenido dudas, vuelva a revisar, repasar y preguntar lo que no ha aprendido bien.
• Las TIC pueden usarse como herramienta de trabajo intelectual por parte del estudiante; le sirven para expresarse, para explorar y para comunicarse. (Ferrán Ruiz Tarragó, “Necesidades docentes en el uso de TIC en el aula”, Mayo 2008, Fundación Chile).
"Ningún sistema educacional escapa de las influencias y nuevas tendencias digitales y de las comunicaciones" (Mario Leyton, Premio Nacional de Educación 2009).
Teniendo en cuenta los avances tecnológicos, se hace necesario que se incorporen las nuevas tecnologías en los laboratorios de computación y se trabaje con herramientas como programas computacionales, planillas electrónicas, calculadoras, sitios de Internet, etc. Nuestro proyecto propone el uso de estas TIC para el trabajo de las unidades; es bueno que cada estudiante tenga acceso a varias fuentes de información.
• La matemática es el alfabeto con el que Dios ha escrito el universo. (Galileo Galilei).
La matemática no solo es una ciencia exacta que desarrolla el pensamiento lógico de los estudiantes. No solo es el “estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y
propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes
y propiedades desconocidas”. El prisma con el que se quiere mirar el estudio de esta
área, en este libro, es aquel que hace que la matemática explique el mundo que rodea
a nuestros estudiantes y dé también la posibilidad de que cada uno de ellos se interese
por estudiarla y verla como una ciencia. La matemática es una disciplina que puede ser alcanzada por todos.
La educación es un acto de amor hacia los estudiantes, donde ambos actores aprenden
no sólo la disciplina que se estudia. Invitamos a cada uno de los profesores y profesoras a trabajar con este libro, a creer y crear en y con sus estudiantes, a reflexionar, pensar, jugar
La Guía Didáctica al igual que el Texto del Estudiante se organiza en cinco unidades entregándose entre otros, sugerencias metodológicas para abordar la diversidad de la clase, planificaciones, bibliografía, evaluaciones complementarias, etc.
Una breve descripción de su estructura es:
• Presentación de la unidad: Se realiza una breve introducción a la unidad en la cuál se fundamenta el desarrollo didáctico del Texto del Estudiante y se apoya al docente en el desarrollo de los conceptos, de manera de abarcar
a toda la clase. Se entrega también un esquema de los contenidos de los
que tratará la unidad y los objetivos de aprendizaje en torno a los cuales se
articulan los conceptos del Texto del Estudiante.
• Planificación de la unidad: Se entrega una sugerencia de planificación que permite abordar la unidad de modo de lograr cada uno de los aprendizajes esperados en el tiempo disponible para ello, con sugerencias de indicadores de evaluación para cada uno de los contenidos.
• Desarrollo de la unidad: En este apartado se introduce cada uno de los contenidos con sugerencias que apuntan a introducir, clarificar y ampliar los conceptos que se enseñarán, indicando diversas maneras de abordarlos de modo de explicar y complementar cada uno de los temas tratados en el Texto del Estudiante.
• Errores frecuentes: Se entrega un listado de los errores más comunes cometidos por los alumnos de acuerdo al contenido abordado, y se sugiere como lograr una mayor comprensión de estos.
• Síntesis de la unidad: En esta sección se fundamenta la síntesis conceptual realizada en el Texto del Estudiante al finalizar cada unidad. Asimismo, se despliega y explica la finalidad de cada grupo de ejercicios presentes en la guía didáctica.
• Instrumentos de evaluación: Debido a que la evaluación debe estar
presente a lo largo de todo el proceso de enseñanza – aprendizaje se señalan
y ejemplifican algunos instrumentos de evaluación que pueden ser utilizados
tanto por el docente en sus distintas evaluaciones como por los alumnos en sus auto-evaluaciones y coevaluaciones. Se entregan además, escalas de evaluaciones que pueden ser utilizadas por el docente al momento de calcular las notas de una evaluación dada o de los ítemes de alternativas que se proponen en el Texto del Estudiante.
• Evaluaciones: De forma complementaria a las evaluaciones entregadas en el texto, se presentan dos evaluaciones más por unidad de modo de apoyar al docente en su labor y reforzar los conocimientos adquiridos por los alumnos.
• Solucionario de la unidad: Se entregan las respuestas de todas las actividades sugeridas en la guía didáctica.
Resolución de problemas, eje transversal del subsector
Matemáticas que sí pueden ser entretenidas Dentro del “Proyecto de mejoramiento de la enseñanza de Matemática con asistencia técnica de Japón”(CPEIP), Chile recibió a tres académicos nipones, quienes han mostrado sus métodos de enseñanza a profesores de nuestro país.
Testimonio pedagógico
Profesores japoneses ofrecen didáctica clase de matemáticas en U. Católica de Valparaíso
Alumnos de séptimo básico de la Escuela Gaspar Cabrales de Valparaíso participaron de la clase que ofreció el investigador en didáctica de la Universidad de Tsukuba, Takao Seiyama.
H abía que romper la barrera del
idioma y crear un ambiente de
confianza. Para eso, el profesor
Seiyama inició la clase con un juego: un entretenido desafío matemático donde el maestro y los alumnos competirían por quién se quedaba con el último de los trece “dulces”dibujados en la pizarra.
Imposible para la audiencia, más de 30 alumnos y 200 profesores básicos, mantenerse ajena a la lúdica lección con que el experto en didáctica inauguraba la jornada en la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.
Fue la clase demostrativa impartida por el profesor Takao Seiyama, investigador de la universidad japonesa de Tsukuba, quien se reunió con un grupo de estudiantes de séptimo básico de la Escuela Gaspar Cabrales de Valparaíso, y presentó ante docentes de la región las estrategias aplicadas en el aula para un mejor aprendizaje de las matemáticas.
Dispuestos en grupos de cuatro, los niños resolvieron junto al académico una serie de problemas matemáticos, específicamente fracciones. En el transcurso del taller, los escolares y el educador descubrieron diferencias en las formas de resolver los planteamientos y buscaron formas comunes para llegar a la solución.
La sesión fue presenciada por más de doscientos profesores y estudiantes de pedagogía de distintos puntos del país, quienes se reunieron el 9 de octubre en el Aula Media de la Facultad de Ingeniería de la Católica de Valparaíso.
“Fue entretenida y dinámica. Aprendí hartas cosas que en el colegio me costaban”. Así describió su experiencia Camila March, alumna de la Escuela Gaspar Cabrales, quien asistió a la clase demostrativa de matemáticas que dictó el profesor Seiyama.
“La capacidad de aprender y el entusiasmo es el mismo en todo el mundo”, manifestó el investigador japonés al término de la clase y afirmó que el único obstáculo para enseñar a niños chilenos es la diferencia de idioma.
Sieyama afirmó que, aunque no ha podido asistir a una clase de matemáticas en Chile, sabe que es un sistema tradicional en el que el educador explica los contenidos a los niños y casi no existe interacción con ellos.
“Para mejorar la enseñanza es necesario construir las lecciones junto con los alumnos, para que ellos participen, y más importante aún es que los estudiantes puedan explicarse entre ellos, utilizando su propio lenguaje”, dijo el docente.
Métodos para imitar
Consultas entre los compañeros, el profesor desplazándose por la sala de clases, un ayudante apoyando el trabajo del maestro, humor, ensayo y error, contacto visual. Eso es parte de lo que se vio en la clase demostrativa. La concentración y el entusiasmo se extendieron hasta después de finalizada la clase, porque los estudiantes continuaron consultando a los profesores japoneses nuevos ejercicios. No hubo espacio para la timidez.
http://www.latercera.cl/contenido/28_61332_9.shtml
Reconocemos esta propuesta como la tendencia pedagógica que nos convoca y desde la cual queremos invitar a los docentes y a la comunidad escolar en general a descubrirla y aplicarla. Tanto la metodología propuesta en el Texto del Estudiante, como el tratamiento didáctico de esta Guía para el Docente, apuntan en esta dirección y será un buen complemento en pos de la consecución de esta nueva mirada que hoy permite a los estudiantes ser actores reales de sus aprendizajes.
Los Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) definen finalidades generales de la educación referidas al desarrollo personal y a la formación ética e intelectual de los estudiantes. Cada sector o subsector de aprendizaje, en su propósito de contribuir a la formación para la vida, conjuga en un todo integrado e indisoluble el desarrollo intelectual con la formación ético-social de los estudiantes. De esta forma se busca superar la separación que en ocasiones se establece entre la dimensión formativa y la instructiva.
Los programas están construidos sobre la base de contenidos programáticos significativos que tienen una carga formativa muy importante, ya que en el proceso
de adquisición de estos conocimientos y habilidades, los estudiantes establecen jerarquías valóricas, formulan juicios morales, asumen posturas éticas y desarrollan compromisos sociales. Los Objetivos Fundamentales Transversales definidos en el marco curricular nacional (Decreto Nº 220) corresponden a una explicitación ordenada de los propósitos formativos de la Educación Media en cuatro ámbitos:
Persona y Entorno.
Los OFT del ámbito Crecimiento y Autoafirmación Personal referidos al interés y capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información.
Los OFT del ámbito Desarrollo del Pensamiento, en especial los relativos a habilidades de investigación y de modelamiento matemático de situaciones y fenómenos, a través de las actividades que suponen selección y organización de información y datos; las de resolución de problemas y de pensamiento lógico,
través del conjunto de contenidos y actividades orientados al aprendizaje
de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y
principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por otro. El desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a tomar decisiones fundamentadas en situaciones sociales.
Los OFT del ámbito Persona y su Entorno referidos al trabajo, y que plantean el desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, así como de flexibilidad, originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar consejos y críticas.
través de los problemas por resolver matemáticamente, es posible ampliar el
trabajo de los OFT con los estudiantes para el desarrollo de su capacidad de juicio, y la aplicación de criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos
Junto a lo señalado, el programa invita al desarrollo de actividades pedagógicas que ponen en práctica los valores y orientaciones éticas de los OFT, así como sus definiciones sobre habilidades intelectuales y comunicativas. Además, el programa se hace cargo de los OFT de Informática, incorporando en diversas actividades y tareas la búsqueda de información a través de redes de comunicación, empleo de softwares y la selección de sitios en Internet.
Fuente: Extraído del Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Formación General Educación Media, Unidad de Curriculum y Evaluación.
Sugerencias para atender la diversidad y distintos ritmos de aprendizaje
Como bien sabemos, los estudiantes son diferentes en sus ritmos de trabajo, estilo de aprendizaje, conocimientos previos, experiencias, etc., lo que condiciona todo proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto lo sitúa, como docente, en la necesidad de educar en y para la diversidad.
La respuesta a la diversidad de los estudiantes debe garantizarse desde el mismo proceso de planificación educativa, ya que es el profesor o la profesora, en cada caso particular, quien debe plasmarla en estrategias concretas, vista la realidad de los estudiantes que tiene en cada grupo-curso. En este sentido, se han de diseñar actividades de enseñanza/aprendizaje de diferente grado de dificultad, de manera que pueda existir una cierta adaptación
las diferencias individuales respecto del aprendizaje.
Marco Curricular nos presenta los Objetivos Fundamentales y Contenidos
Mínimos Obligatorios, que corresponden a cada nivel de enseñanza; los Programas de Estudio nos presentan las orientaciones para la enseñanza de cada sector de aprendizaje, pero nos dan la flexibilidad de adaptar o modificar algunos elementos, siempre que se logre alcanzar las metas propuestas. A continuación se proponen algunas medidas relacionadas con la planificación que sirven para atender las diferencias que pueden presentar los estudiantes por diversas circunstancias. La adaptación curricular consiste en la modificación de algunos o de todos los elementos del currículo. Los estudiantes alcanzarán las capacidades previstas
para su etapa educativa aunque se modifique el resto de los elementos curriculares: contenidos, metodología, recursos didácticos o evaluación. Se cambian los caminos, pero se alcanza la meta propuesta.
Según los objetivos que se pretenden, se seleccionan y jerarquizan los contenidos más apropiados. A través de objetivos y de contenidos, se podrá
favorecer el desarrollo individual de cada estudiante en función de sus características personales, y ofrecerles la atención educativa más conveniente. Por esto es importante considerar, respecto de los objetivos:
• Que posibiliten el desarrollo de todo tipo de capacidades (cognitivas, motrices, de
equilibrio personal, de relación interpersonal y de actuación e inserción social en similar medida y se valore equilibradamente el desarrollo de todas ellas.
• Que posibiliten diferentes niveles de logro de los aprendizajes y que sean adecuados para todos los estudiantes del aula.
• Que se definan con claridad y precisión los objetivos mínimos de cada una de las Unidades Didácticas y los criterios de evaluación. Respecto de los contenidos seleccionados:
• Que sirvan a todos los estudiantes del grupo para alcanzar los objetivos propuestos.
• Que sean significativos y que conciernan a su realidad.
• Que se definan con claridad y precisión los contenidos mínimos para cada una de las Unidades Didácticas.
La metodología ha de ser coherente con los objetivos que se pretenden y con los contenidos que se trabajen. Esta debe ser variada, combinar la exposición del docente (cuando se estime necesaria) con la actividad individual del estudiante y con las tareas en equipo, además debe utilizar distintos recursos que contemplen
y que tengan en cuenta los diferentes estilos de aprendizaje. Difícilmente los
estudiantes pueden trabajar a distinto ritmo y con diferente estilo cognitivo si
deben hacer todos las mismas cosas, en el mismo tiempo y de la misma manera. Hay que favorecer la realización de un mayor número, de más fáciles o más complejas actividades por parte del estudiantado de acuerdo con las diferencias que presente.
Respecto de la metodología, se debe procurar:
• Planificar actividades para determinar cuáles son los conocimientos previos de todos los estudiantes antes de iniciar un nuevo proceso de enseñanza- aprendizaje.
• Tener en cuenta los intereses de los estudiantes en la planificación y desarrollo de la propuesta de enseñanza-aprendizaje y la funcionalidad de los aprendizajes.
• Ir cambiando las situaciones y actividades o, en una misma situación, plantear diferentes tipos de actividades para hacer lo posible por adaptarse a los distintos estilos y motivaciones de los estudiantes.
• Propiciar la actividad externa (manipulación, juego, experimentación, verbalización, etc.) y la actividad interna de reflexión sobre lo realizado (confrontación de los conceptos previos con lo que sucede en la realidad conocida, elaboración de conclusiones, recopilación de lo aprendido, análisis del avance producido desde las ideas previas, etc.).
• Plantear aprendizajes interactivos que permitan establecer relaciones de comunicación eficaces en el seno del grupo y entre estudiantes y docente.
• Crear un clima de respeto, tolerancia y valoración entre los estudiantes, donde la cooperación destaque sobre la competitividad.
• Llevar a cabo en un mismo tiempo actividades distintas dentro de un aula y planificar y desarrollar actividades para realizar en gran grupo, grupo pequeño, por parejas, individualmente, etc.
• Cuidar que todos y cada uno de los estudiantes avance y experimente éxitos.
• Utilizar en el aula refuerzos diversos y adecuados para los estudiantes.
Respecto de los recursos:
• Seleccionar materiales considerando las posibilidades de adaptación y tratamiento de la diversidad que ofrecen.
• Usar materiales atractivos y motivadores, que fomenten el aprendizaje activo, la investigación y la autonomía en todos los estudiantes.
• Utilizar materiales que posibiliten ser trabajados en distintos tipos de agrupamientos.
Hay que mencionar la importancia que tienen, desde el punto de vista metodológico y didáctico, aspectos como la utilización del tiempo, del espacio y del agrupamiento flexible de estudiantes, entre otros.
• En la utilización del tiempo, el docente debe tratar de distribuirlo entre los distintos tipos de tareas que los estudiantes van a realizar con intervenciones del docente, diálogos abiertos, trabajo individual, trabajo en grupo, exposiciones de estudiantes, debates, etc.
• El espacio físico es un elemento muy importante en los procesos de enseñanza- aprendizaje. Hay que tener en cuenta, por ejemplo, la distribución de las mesas según sea el tipo de trabajo que se vaya a realizar (individual, en grupo, exposición, etc.); como también tener a mano los recursos materiales que sean necesarios en cada momento de la Unidad Didáctica, etc.
• El agrupamiento de los estudiantes debe ser flexible, es decir, tener respuesta puntual en función de sus diferencias en niveles de conocimiento, ritmos de aprendizaje, interés y motivación, etc. También se diferencian los agrupamientos
en la realización de trabajos en pequeños grupos, refuerzos para estudiantes con un ritmo de aprendizaje más lento, ampliación para los que presenten un ritmo más rápido, realización de talleres, utilización de diversos recursos materiales (computador, libros de consulta, etc.) y, en general, en función de la naturaleza de las diferentes actividades que se realicen.
La evaluación constituye uno de los factores condicionantes de todas las prácticas educativas. Un modelo de evaluación continua y formativa presupone evaluar procesos y no solo resultados; por lo tanto, debe incorporarse desde el comienzo del trabajo y servir para ofrecer datos permanentes acerca del desarrollo del aprendizaje. Hace posible graduar el ritmo de enseñanza, ajustándolo con el ritmo y el estilo de aprendizaje de cada niño o joven.
Sería interesante que pudiera complementarse cada calificación con una evaluación descriptiva que exprese con palabras los logros que va alcanzando el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para favorecer la autoevaluación del alumnado y su evaluación formativa.
En la evaluación es importante:
• Proponer actividades de evaluación intercaladas en las actividades de enseñanza aprendizaje que sirvan para reorientar y ajustar el aprendizaje de los estudiantes y la práctica docente.
• Plantear diferentes actividades y en distintas situaciones para evaluar un mismo contenido.
• Tomar conciencia de las implicaciones positivas de las actividades coevaluadoras y autoevaluadoras, y practicarlas cuando la situación lo permita.
• Proponer diversos procedimientos, técnicas e instrumentos en las actividades de evaluación.
• Plantear actividades de evaluación acordes con los criterios establecidos.
Para detectar qué modificaciones podría hacer en su planificación, le presentamos algunas interrogantes que le servirán como orientación.
1. ¿Qué es exactamente lo que el estudiante no consigue hacer y usted quisiera que lograra?, esto es, ¿cómo detectar qué objetivo debería trabajar el estudiante?
2. ¿Cuáles son los contenidos (conceptos, procedimientos y actitudes) que, siendo necesarios para alcanzar ese objetivo, ya posee el estudiante?, esto es, ¿cuál es el
punto de partida para la ayuda?
3. ¿Cuál es el primer paso en la secuencia de los aprendizajes que conducen hacia la consecución del objetivo?
4. ¿Cuáles son las decisiones metodológicas más adecuadas al estudiante para ayudarle a dar ese paso?
5. La ayuda que se le ha dado ¿ha permitido al estudiante dar ese paso hacia el objetivo?
La primera interrogante apunta, pues, al “qué enseñar”, a un objetivo concreto de aprendizaje y a los contenidos que con él se relacionan. La segunda tiene que ver con la evaluación inicial y trata de saber cuál es la base de conocimientos del estudiante en relación con los objetivos y contenidos programados antes de planificar las acciones oportunas. La tercera dice relación con la secuencia de tareas más apropiada para acortar la distancia que separa ambos puntos, el de partida y el de llegada. Exige, por tanto, una cuidadosa labor de planificación de estas tareas en orden a conseguir el progreso adecuado.
La cuarta interrogante se refiere a las estrategias metodológicas acordes con su peculiar estilo de aprendizaje y sus expectativas ante el aprendizaje. Apunta, por consiguiente, no ya a la secuencia de actividades, sino a la naturaleza de las mismas, así como a los recursos didácticos y a las condiciones de espacio y tiempo más oportunas. La quinta intenta conocer si se ha modificado el punto de partida de los estudiantes, y puede ahora hacer, por sí mismo, lo que inicialmente no podía sin la ayuda del docente.
Una medida más específica que apunta directamente a ayudar a superar las dificultades de aprendizaje es el refuerzo educativo.
Este supone el menor grado de modificación curricular y organizativa para que un estudiante supere una dificultad de aprendizaje. Se pretende que si este, por motivos circunstanciales, presenta un problema puntual relativo a determinado contenido, debe recibir el apoyo específico del docente para superarlo y continuar el aprendizaje con su ritmo habitual.
Algunas características del refuerzo educativo son las siguientes:
• Se produce cuando se detecta una dificultad en el aprendizaje que impide una evolución favorable del proceso educativo de un estudiante o de un grupo.
• Trata de consolidar los contenidos básicos de un área o áreas determinadas que son claves para aprendizajes posteriores.
• Parte de la consideración del punto en que se encuentra el estudiante para determinar qué es lo básico que necesita adquirir para conseguir una evolución favorable.
• Pretende que los estudiantes adquieran los conocimientos considerados básicos o claves para seguir el programa del grupo.
• No sólo se puede plantear al comenzar el año escolar, sino que puede surgir a lo largo del curso.
En resumen, podemos decir que para atender la diversidad de sus estudiantes dentro de su clase, respetando las diferencias individuales, considerando los conocimientos previos que ellos presentan y respetando los distintos estilos cognitivos y ritmos de aprendizaje, puede:
• Adecuar los objetivos generales de la etapa y de las áreas secuenciándolos y temporalizándolos.
• Seleccionar los contenidos de acuerdo con los objetivos, secuenciándolos, jerarquizándolos y temporalizándolos.
• Aceptar opciones metodológicas para las distintas etapas y para las diferentes áreas curriculares.
• Decidir el o los modelos de evaluación que se llevarán a cabo, tanto en los procesos de enseñanza-aprendizaje como en la evaluación institucional del propio establecimiento.
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/publicaciones/55331/libeso09.pdf
http://www.isei-ivei.net/datos/DIVERSIDAD.pdf
http://centros6.pntic.mec.es/ies.carlos.haya/departamento.html
http://www.campus-oei.org/revista/rie31a04.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/metodologia.html
La informática educativa en el sector curricular de Matemática
En términos generales, la enseñanza apoyada con los medios tecnológicos actuales ofrece grandes posibilidades al mundo de la educación. Estos pueden facilitar el aprendizaje de conceptos y materias, ayudar a resolver problemas y contribuir a desarrollar las habilidades cognitivas.
En el sector de Matemática, en todos sus niveles, es factible hacer uso de las herramientas que proporciona la tecnología, en particular la tecnología informática, con el objetivo de lograr un mejoramiento integral de la docencia en Matemática y, como resultado de esto, en la calidad de los aprendizajes de los estudiantes.
Hay que entender desde el comienzo que la informática no es solo un instrumento técnico para resolver problemas, sino también un modelo de razonamiento.
En ello, la informática encuentra su verdadera identidad, tanto por las cuestiones a las que trata de dar respuesta como por el método que aplica para resolver problemas. Luego, la relación matemática e informática es natural y está dada desde el inicio de la computación, y su uso favorece la comprensión de los conceptos insertos en ella.
La tecnología informática y de comunicaciones provee de diferentes recursos agrupados básicamente en tres líneas: paquete integrado, software educativo
e Internet. Estos recursos constituyen valiosas herramientas para apoyar el
proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes, produciendo cambios significativos en las prácticas pedagógicas, metodologías de enseñanza y la forma en que los estudiantes acceden a los conocimientos e interactúan con los conceptos matemáticos presentes en ellos.
Además de los recursos existentes y mencionados anteriormente, se pueden agregar otras herramientas ampliamente utilizadas en experiencias nacionales
e internacionales de la inserción de la tecnología informática al vitae en el área
matemática, como lo son los lenguajes de programación (Basic, Pascal, etc.), los micromundos (LOGO, etc.), los procesadores simbólicos (Maple, Matcad, etc.) y los procesadores geométricos (Cabri-Géomètre, El Geómetra).
Las computadoras producen imágenes fantásticas, estáticas o animadas. En la circunstancia apropiada “vale más una imagen que mil palabras”. En Matemática, el factor imagen cobra un valor muy importante, pues permite
acercar al estudiante los conceptos, los saca de un plano abstracto para llevarlos
a un plano natural, donde los objetos se mueven, transforman, etc. de acuerdo con las variaciones de valores o aplicación de reglas específicas.
Por otra parte, la informática, apoyada en las comunicaciones, proporciona entornos de trabajo nuevos. Los entornos tienden a ser cooperativos, de forma que el trabajo ya no tiene que ser exclusivamente individual, sino que está integrado por la cooperación de muchos agentes.
Como se puede observar, la tecnología ofrece a los profesores(as) de Matemática, y al mundo educativo en general, buenas posibilidades de producir cambios valiosos y significativos en la forma en que los profesores(as) enseñan y
los estudiantes aprenden. Luego, es nuestra responsabilidad como formadores de los jóvenes del futuro aprovechar la tecnología para crear situaciones de aprendizaje y enseñanza nuevas.
El material trató de ampliar al máximo las posibilidades en términos de recursos y contenidos. Sin embargo, quizás algunas actividades no podrán realizarlas por la falta del software.
En la sección Montegrande de la página web del Centro Zonal usted podrá encontrar otras actividades que hacen uso de estos mismos u otros recursos, así como respaldo de los softwares que se han bajado de Internet; la dirección es www.comenius.usach.cl
Mapa de la Informática Educativa en el Sector de Matemática
La siguiente tabla especifica los recursos posibles de utilizar frente a contenidos matemáticos mínimos de enseñanza media. Se han considerado, como base, todos aquellos contenidos mínimos que hacen mención explícita al uso del recurso informático, y se ha ampliado a otros contenidos del sector en las tres áreas temáticas que lo componen, a saber, Álgebra y funciones, Geometría y Estadísticas y probabilidades.
Estadística y probabilidades:
Geometría: Uso de algún programa computacional geométrico que permita medir ángulos y ampliar y reducir figuras.
Variable aleatoria: estudio
experimentación en casos
Álgebra y funciones: Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica
concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico.
Los procesadores simbólicos son grandes herramientas para manipular elementos algebraicos, definir funciones que posteriormente pueden evaluarse y graficarse, entre otras. Una
alternativa más sencilla son las planillas de cálculo
el programa “El Graficador”. En efecto, la primera
puede realizar todo lo relacionado con los cálculos
“El Graficador”
tablas de valores y “El Graficador”puede graficar esas funciones.
Los procesadores geométricos permiten trabajar y manipular elementos de geometría. Cuentan con las herramientas adecuadas para trazar, transformar, rotar y, en general, modificar figuras geométricas.
(Cabri
Geométrico)
La planilla de cálculo provee de funciones estadísticas que hacen posible realizar experimentos
estadísticos, tabular información
graficarla.
Aplicación práctica de la informática educativa al sector matemático
Como se observó en la tabla anterior, las posibilidades de la informática educativa en el nuevo currículum de enseñanza media, al menos teóricamente, son muchas. Como una forma de “probar” las posibilidades reales se ha optado por ofrecer a continuación un conjunto de actividades prácticas muy realistas, donde se introducen explícita y detalladamente los recursos educativos informáticos en el sector de Matemática. Al momento de revisar las actividades, es probable que se le presenten muy tecnológicamente centradas, y en cierta medida así es. Pero no ha sido por desear transmitir la idea de que todos los contenidos deben ser cubiertos con recursos educativos informáticos, de ningún modo; sólo son ejemplos concretos lo más contextualizados posible a la realidad educativa de la enseñanza media. Es muy importante tener en mente que estas actividades están inmersas en un contexto de enseñanza de larga duración y, por lo tanto, el esfuerzo más valioso será insertarlas en la práctica diaria. Si por algún motivo se observa que son lejanas, perfectamente pueden ser adaptadas a la propia realidad.
Función lineal y otras funciones Objetivo:
Analizar situaciones y/o fenómenos que se pueden modelar utilizando la función lineal. Establecer la dependencia entre las variables y expresarla gráfica y algebraicamente. Identificar e interpretar parámetros de pendiente e intersección con el eje de las coordenadas en la forma y = mx + n de la ecuación de la recta. Reconocer estos parámetros en las respectivas gráficas. Contenido: Función lineal, ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente y de la intersección con el eje de las ordenadas. Condición de paralelismo y de perpendicularidad. Uso de la planilla de cálculo Excel para la manipulación algebraica y gráfica. Actividad propuesta:
Por medio de dos herramientas de software (“Graphmatica” y el programa Excel de Office), se proponen dos alternativas para abordar la actividad siguiente:
estudiar y graficar diversas expresiones de la forma “y = mx + n”. La actividad considerará estudiar distintos valores para m (enteros, fraccionarios y decimales, mayores y menores que cero) y analizar casos con n = 0 y con n ≠ 0. Se espera a través de esta experiencia práctica de usar software para el estudio de la recta, que los estudiantes junto a su profesor(a) puedan descubrir y expresar las relaciones específicas de paralelismo, perpendicularidad, rectas paralelas a los ejes, recta que pasa por el origen y puntos de intersección de rectas con los ejes. Recursos:
Software “Graphmatica” o Software Microsoft Excel. Acciones:
Usando el software “Graphmatica” En esta versión de la actividad se propone usar el software “Graphmatica” que puedes descargar de manera gratuita desde el sitio:
http://graphmatica.uptodown.com/
Guía de aprendizaje sobre rectas Ingresa al software “Graphmatica” y grafica la función de primer grado y = 2x realizando los siguientes pasos:
En la barra de búsqueda (figura 1) escribe la función que graficarás, es decir, y = 2x y aprieta la tecla “Enter”. ¡Muy bien!, ya debes tener en pantalla la gráfica de la función, ¿no es cierto? Tal como se muestra en la siguiente figura (figura 2).
Primera parte Gráfica de rectas de pendientes opuestas Ahora grafica en el mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican; para ello, antes de comenzar debes cambiar el rango de la cuadrícula seleccionando en la barra superior lo que se indica en la figura 3 y a continuación seleccionando los valores indicados en la figura 4, es decir, “Bottom: − 2” y “Top: 5”, los valores para “Left” y “Right” se mantienen igual. Luego, debes seguir el mismo procedimiento anterior para graficar cada función.
a. y = x + 4
b. y = − x + 4
Verifica que la gráfica de:
a. tiene pendiente 1 y constante 4.
b. tiene pendiente − 1 y constante 4.
Grafica también las siguientes funciones:
a. y = 2x + 4
b. y = − 2 x + 4
Los resultados gráficos debiesen ser los que se muestran en la figura 5.
¿Qué podrías concluir con relación al gráfico de funciones ax + b, − ax + b, es decir, de pendientes opuestas y constantes? R: Las rectas de pendientes opuestas e igual valor constante son simétricas. Comprueba con otros ejemplos creados por ti.
Segunda parte Gráfica de funciones constantes Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican. Estas rectas tienen la misma forma y = mx + n, con m = 0 (ver figura 6).
Para realizar estas gráficas, debes escribir el número con punto en vez de coma, es decir, y = − 3.5 e y = − 5.5 y cambiar el rango de la cuadrícula a “Bottom: − 6” y “Top: 2” y dejando los valores para “Left” y “Right” igual. Si se observa la figura 6, se concluye que para cualquier punto de x el valor de y en cualquiera de las funciones es el mismo. Luego se puede deducir que cuando m = 0, es decir, la pendiente es 0, la función es CONSTANTE.
y = y = 1 y =
Graphmatica - Untitled
Find All Graphs
Data Plot Editor
Enter Range of Grid
Autoscale missing coordinate(s)
Current default range: (-8, auto) - (8, auto)
At point (-4,48, 4,93)
Save the current set of graphs to disk
At point (0,31, 1,83)
x – 3y = 4
ON SCREEN: y = –3x + 2
Gráfica de funciones paralelas
Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican.
Ver figura 7 y 8.
b. 2x + 4y = 5
d. x + 2y = 2
En este caso, debes dejar el rango de la cuadrícula como: “Bottom: − 1” y “Top: 5” y los valores para “Left” y “Right” igual.
¿Qué podrías concluir en relación con el gráfico de funciones de igual pendiente? ¿Cómo son, paralelas o perpendiculares? R: Para las funciones que tienen igual pendiente, sus gráficas corresponden a rectas paralelas. Crea otras funciones y grafícalas para comprobarlo.
Cuarta parte Gráfica de funciones perpendiculares Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican, cambiando el rango de la cuadrícula a “Bottom: − 6” y “Top: 3” y dejando los valores de “Left” y “Right” igual. Ver figura 8.
a. y = − 3x + 2
c. 3x + y = 0
d. x − 3y = 4
Observa que las dos primeras funciones que graficaste tienen pendientes
En las segundas funciones ocurre también lo mismo. ¿Qué podrías concluir en relación a los gráficos de funciones cuyo producto de las pendientes es − 1? R: Para las funciones cuyo producto de pendientes es − 1 sus gráficas corresponden a rectas perpendiculares. Crea otras funciones que cumplan estas condiciones y grafícalas para comprobarlo.
Anexos Anexo: Usando el software Microsoft Excel En esta versión de la actividad se propone usar la planilla de cálculo Excel, contenida en el paquete Office, como una herramienta de cálculo y análisis.
Guía de aprendizaje sobre rectas Apresto Dadas las siguientes funciones,
respectivamente. Observa además que el producto de ambas es − 1.
= 2x + 4,
= –x + 4,
= –2x + 4
escríbelas como expresiones de la forma y = mx + n. Así te será más fácil establecer algunas relaciones específicas.
• Abre una nueva hoja de trabajo en Excel y crea allí una tabla de valores como la que se muestra a continuación (ver Figura 9), que permita más
tarde graficar dichas expresiones. Toma valores para x entre –8 y 8 y sigue el procedimiento que se indica.
• Ingresa las expresiones señaladas en las celdas A1
• Para ingresar las fórmulas, simplemente digita la expresión. Por ejemplo,
en B2, escribe x + 4, luego copia esta fórmula al resto del rango B3
• Repite el proceso anterior en el resto de las expresiones.
• Este mecanismo permite definir fórmulas dependientes de variables; entre ellas, funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones trigonométricas, etc.
• Diseña el gráfico de las expresiones (Figura 10). Para crear el gráfico, selecciona el rango que contiene la tabla (A1: E14) y luego utiliza el “Asistente para gráficos”. Utiliza un gráfico tipo XY (Dispersión) con puntos de datos conectados por líneas sin marcadores de datos.
Observa el gráfico que obtuviste y confirma las siguientes aseveraciones:
• Las rectas y 1 e y 2 tienen pendiente positiva, y las rectas y 3 e y 4 tienen pendiente negativa.
• Las rectas y 1 e y 3 son perpendiculares porque tienen igual inclinación, pero sus pendientes son opuestas. Lo mismo ocurre con y 2 e y 4 .
• Las cuatro rectas intersectan al eje y en el 4, que es el valor de n en las cuatro expresiones.
Anexo: “Tablas y gráficos en Excel” Para graficar datos en Excel es necesario crear antes una tabla para los datos donde estos se ingresarán. Luego seleccionar el rango para obtener el gráfico requerido.
1. Crear la tabla de valores
• Ingresa los encabezados en la primera fila.
• En las filas siguientes, ingresa los valores o funciones por graficar.
• Ejemplo: se desea ingresar valores consecutivos para una variable, por ejemplo, valores para x entre –3 y 3:
• Ingresa –3 en la celda A2.
• De la barra de menú, selecciona “Edición”, “Rellenar”, “Series”. Aparecerá la ventana (de la Figura 11).
• Elige en “Series en”la alternativa columnas, para que los valores aparezcan hacia abajo.
• El “Incremento”se refiere a la diferencia entre los valores que desea obtener, por ejemplo 1.
• En Límite ingresa 3. Presiona Aceptar.
Para copiar el contenido de una celda en otras celdas consecutivas:
• Selecciona la celda que deseas copiar.
• Sitúa el cursor del mouse en la esquina inferior derecha de dicha celda.
• Cuando el cursor cambie de forma a una cruz, haz clic y sin soltar el botón del mouse, arrástralo, marcando las celdas en las que deseas copiar el contenido. Para definir una variable que se usará posteriormente en una fórmula:
• Selecciona las celdas que contienen el nombre de la variable y el valor que se asignará.
• De la barra de menú selecciona “Insertar”, “Nombre”, “Crear”. Aparecerá la ventana de la Figura 12.
• Selecciona la opción que corresponda y luego presiona Aceptar.
1 y1 = x + 4
y2 = 2x + 4
Relación entre las gráficas de
4 rectas dadas
1 = x + 4
2 = 2x + 4
3 = − x + 4
4 = −
x   + 4
1 Límite:
Crear nombres en
Fila interior
Agregar celdas como
Valores (y) en
Nombres de las series en la primera ﬁla
Categorías (valores de X) en la primera columna
Nombres Reemplazar de las categtorías series en la existentes primera ﬁla
Reemplazar categtorías existentes
ON SCREEN: y = 3x
2 Find Derivative
Pick Graph Color
2. Graficar los datos de una tabla
• Selecciona el rango de celdas donde se encuentran los datos que deseas graficar.
• Presiona el botón Asistente para gráficos de la barra de herramientas (Figura
• Sigue los pasos indicados en la ventana de diálogo que aparecerá en pantalla y cuando el gráfico esté listo, presiona Terminar.
Para graficar una nueva serie de datos en un gráfico ya creado:
• Selecciona el rango de celdas que contiene los datos de la nueva serie que deseas graficar.
• Presiona el botón copiar de la barra de herramientas.
• Activa el gráfico que tiene creado.
• De la barra de menú elige “Edición”, “Pegado especial”. Aparecerá la ventana de diálogo de la Figura 14. Marca las opciones como se muestra en la figura y luego presiona “Aceptar”.
Anexo: “Graphmatica” Para utilizar este programa correctamente debes escribir cada función con la notación adecuada como te mostramos anteriormente, por ejemplo si quieres graficar la función y = 2,5x, debes escribir y = 2.5x, pues si escribes el número con coma en vez de punto esta no se grafica. Por otro lado si deseas graficar la función y = 3x, también la puedes escribir como y = 3*x y el software reconocerá ambas notaciones. Para graficar una función en una hoja nueva, solo debes seleccionar la opción que se indica en la figura 15, es decir, "View" y luego "Clear Screen". Si deseas observar los puntos pertenecientes a una gráfica debes seleccionar
la opción indicada en la figura 16 y el programa te mostrará una tabla con
los datos asociados. "View" y "Point Tables".
También, mediante este programa puedes cambiar el color de una gráfica,
para ello solo debes posicionarte sobre ella y seleccionar el color que
elegirás. (Figura 17).
Un nuevo conjunto… los números complejos
Esta unidad abrirá un nuevo ámbito numérico para los alumnos. Para comenzar, destaque la importancia de este conjunto numérico y cómo encontramos en la naturaleza formas fractales, que se generan a partir de estos. Si bien el concepto de “fractal” será visto más adelante, usted puede darlo a conocer y contextualizarlo.
Es importante tener en cuenta que, en el proceso histórico de desarrollo de
este conjunto, subyacen algunas ideas fundamentales del trabajo matemático. Destaquemos por ejemplo que, la construcción de los números complejos se hace a partir, fundamentalmente, de las leyes del álgebra en los reales y la ampliación de la raíz cuadrada a números negativos con la definición pertinente de la unidad imaginaria, con lo que este constructo de conocimientos, se basa en conceptos anteriores.
Algunos links de apoyo son:
http://webpages.ull.es/users/rotrujil/WebAMVI/HISTORIA.pdf http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/complejos.pdf
http://es.scribd.com/doc/10040975/NUMEROS-COMPLEJOS
Es bueno hacer una reflexión con los alumnos sobre el ámbito de lo real y lo
imaginario. Por ejemplo, en el siguiente link, http://www.buenastareas.com/ ensayos/Complejos/23659.html, encontramos una reflexión que hace alusión a
fractales mencionados en la introducción, que sería bueno compartir con
alumnos: “¿Cómo distinguir entre lo real y lo imaginario? La realidad de
abuela es que sus ojos ven de forma muy concreta el abuelo muerto años
atrás. Lo que para mi es algo imaginario (trampita de la mente) para ella es
realidad. ¿Cuántos nos hemos levantado sudando o llorando después de un
mal sueño? El sueño en ese instante era una realidad
realidad lo que la mente acepta como tal, nos atrevemos a aﬁrmar que los números imaginarios no son tan imaginarios, son entidades concretas que nuestra mente puede ver, tocar y manipular. Los números “complejos” no son tan complejos o tan imaginarios como lo indica su nombre, mas aún, son tan concretos que gracias a ellos hasta un viejo computador 286 puede pintar ”
fractales tan hermosos como el de Mandelbrot
La sección de conocimientos previos de esta unidad está dirigida a trabajar
la operatoria de expresiones algebraicas como base para el trabajo de la operatoria de números complejos. Se revisan temas como adición, sustracción y multiplicación de números y expresiones algebraicas, haciendo énfasis en la reducción de términos semejantes.
Se trabajan en esta sección habilidades como reconocer, calcular, aplicar,
Asumiendo como
Es importante que se realice la evaluación en cada una de las secciones en las que están propuestas ya que con ellas el alumno podrá evaluar su avance y establecer remediales, en conjunto con su profesor, para aquellos contenidos no logrados.
Algunos links de apoyo a la sección de conocimientos previos son:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=133209
http://www.tareasplus.com/ejercicios-multiplicacion-de-expresiones-algebraicas/
http://campus.almagro.ort.edu.ar/matematica/articulo/84233/expresiones-
Un esquema que resume los contenidos a tratar en esta unidad es el siguiente:
• Módulo de un número
• Números imaginarios
• Representaciones de
un número complejo
• Conjugado de un
aplicación de números complejos
Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener claras las metas de aprendizaje y la planificación de la unidad. Presentamos aquí las metas a alcanzar por los alumnos a través de la unidad y una propuesta de planificación para la unidad.
• Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales, y reconocer su relación con los números naturales, números enteros, números racionales y números reales.
• Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades.
• Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos temas tratados en el nivel, y utilizar heurísticas para resolver problemas combinando, modificando o generalizando estrategias conocidas, fomentando la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas.
• Interesarse por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
• Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento, la flexibilidad y la originalidad.
Planiﬁcación de la Unidad
“Un nuevo conjunto
los números complejos”
Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números reales a los números complejos, caracterización de estos últimos y de los problemas que permiten resolver.
Analizar situaciones en las que no es posible determinar un resultado con los conocimientos disponibles y comprender así la necesidad de un nuevo conjunto numérico que permita realizar estas operaciones.
Clasifica números dados en reales y no reales y examina su pertinencia en un contexto dado.
Identificación de la unidad imaginaria como solución de la ecuación x 2 + 1 = 0 y su utilización para expresar raíces cuadradas de números reales negativos.
Conocer y utilizar la unidad imaginaria para resolver ecuaciones y analizar la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas.
Resuelve ecuaciones del tipo ax 2 + c = 0 , donde a y c son de igual signo.
Extensión de las nociones de adición, sustracción, multiplicación, división y potencia de los números reales a los números complejos y de procedimientos de cálculo de estas operaciones.
Utilizar procedimientos de cálculo entre números reales, en operaciones entre números complejos.
• Deduce las reglas de la operatoria de números complejos a partir de las nociones de la operatoria algebraica y de la de los números reales.
• Resuelve ejercicios que involucren operatoria de números complejos.
Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los números complejos, en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado; operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos.
Extender las propiedades de la operatoria de los números reales a los números complejos.
• Formula conjeturas y demuestra propiedades relativas a los números complejos.
• Verifica las propiedades de los números complejos haciendo una analogía con las definidas en el conjunto de los números reales.
a. Introduciendo la unidad
Para iniciar ésta y otras unidades, es bueno contextualizar los problemas que pueden ser resueltos por los contenidos que aprenderán los estudiantes. Para esto, se debe despertar el interés, planteando varios problemas desde distintos ámbitos, y la necesidad de resolverlos. Se deben tomar minutos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto. Un posible camino es la presentación, la reflexión y la posible solución de situaciones y/o problemas que conduzcan al tema:
Antonio, profesor de Matemática de un liceo del sur de Chile, escribe varias ecuaciones en la pizarra y solicita a sus alumnos que las resuelvan de inmediato. Insiste que todas tienen una respuesta numérica. Uno de sus alumnos descubre que x 2 + 9 = 0 y 2 x 2 + 7 = 0 no debieran estar presentes allí. ¿Por qué? Sin embargo, el profesor sigue teniendo la razón. ¿Cómo encontrar una solución numérica que satisfaga a ambos?
Valentina es una alumna de tercero medio que siempre hace las preguntas más inimaginables para todos. Además, es muy insistente en que le den respuestas claras y bien fundamentadas a sus dudas. Ella piensa: “Si bien es cierto que hay cosas que en un ámbito no tiene solución, en otro la tienen. Entonces ¿por qué no habrá otro universo, con otros números, donde los cuadrados de ellos sean negativos? ¿Y cómo serán esos números? ¿Qué características tendrían? ¿Tendrán relación con los que conocemos? ¿Se podrá operar con ellos? Y si esto ocurriera, ¿habrán leyes que las rijan?”.
Aníbal está mirando cómo su hermana mayor Rocío, dibuja una estrella de nueve puntas. Previamente, hace unos cálculos con unos números compuestos extraños que le permiten después dar la orden precisa a un graficador en su computador. Acto seguido, aparecen en la pantalla las nueve puntas para seguir el dibujo. Días posteriores, su hermano que
está estudiando en la universidad, llega a hacer una tarea de electricidad donde también le aparecen esos números extraños. Además en su
cuaderno dice por allí i 2 = − 1
extraños? ¿Cómo son? ¿Por qué tengo que aprenderlos ahora que estoy en tercero medio? ¿Dónde se aplican?
”¿
Qué es esto? ¿Qué son esos números
b. Preparando cada tema
A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar los conceptos y ejercicios abordados en el texto del estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, para iniciar la preparación de los distintos temas se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los mapas de progreso.
Se trabajan los siguientes:
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento.
• Resolución de problemas, desarrollo del pensamiento lógico.
• Discernimiento de resultados en situaciones cotidianas para ver la pertinencia de ellos.
• Uso de herramientas tecnológicas. (calculadora)
Números imaginarios… ¿qué son?
(Página 14 del libro)
En esta sección se formalizará el concepto de número imaginario al que nos acercamos a través de un diálogo donde se presenta la necesidad de resolver x 2 + 9 = 0 . Note la importancia de formalizar un concepto usando lenguaje matemático.
En el texto pág 14 dice:
“ llamó
x 2 + 1 = 0 , es decir, a √ − 1 y decidió darle el símbolo i. Así, un
número imaginario se define como todo aquel de forma bi donde b es un número real”.
Al definir la unidad imaginaria i, como aquel número que resuelve la ecuación x 2 + 1 = 0 , es decir, a √ − 1, se está queriendo decir que no tiene sentido real, pero si tiene sentido en otro números. Haga notar esta sutileza a sus alumnos.
Dicha ecuación tiene por lo menos una solución y este es un número pero no de los habituales.
Esto presenta una amplitud y novedad en el desarrollo de la resolución de ecuaciones que los alumnos estaban habituados. Específicamente es una ecuación de segundo grado, que ya han resuelto antes sin mencionar su naturaleza.
A partir de la unidad imaginaria, i, se pueden construir otros números imaginarios, que tienen sentido y cuyo nombre no obedece a que estas no existan, por ejemplo, √ − 9 = 3i. Si bien es cierto, que para los alumnos en los años anteriores, la raíz cuadrada de un número negativo no existía, se quería decir que no existía dentro de los números reales. No es una existencia que transgreda lo imposible.
Por ser ésta una solución de una ecuación, tácitamente se está
aceptando que ( √
además, es un número real y negativo. Más aún, que ( √
Es decir, i 2 = − 1 . Nótese que hasta este momento, no hemos tratado en particular ninguna potencia que pudiere existir de i.
unidad imaginaria a aquel número que resuelve la ecuación
− 1 ) 2 tiene un sentido, que es un número, y
− 1 ) 2 = − 1 .
Establezcamos dos observaciones importantes con respecto a la unidad imaginaria:
• Cualquier número real, puede ser expresado como el producto de su opuesto aditivo por − 1. Es decir, como la multiplicación de su opuesto aditivo por la potencia cuadrada de i.
• ¿Todo número real puede ser expresado como producto de dos números imaginarios? Sí, por ejemplo 4 = 4i⋅−i y −5 = 5i ⋅ i. Esto da una caracterización muy especial de los números reales, en el sentido que ellos pueden ser manejados en un universo diferente al que están desarrollados.
Sin embargo, hay una situación, no debidamente aclarada. ¿Qué pasa con − √ − 1? Esta es esta otra solución de x 2 + 1 = 0 , pues
también ( − √ − 1 ) 2 =
En cuanto a la operatoria de números imaginarios, es necesario justificar el porqué se pueden sumar restar, multiplicar y dividir números imaginarios. Ahora bien, es necesario, previamente mostrar de manera no artificial que la multiplicación y división de un real por una potencia de unidad imaginaria es una expresión que tiene sentido. Sin necesidad de profundizar tenemos los siguientes ejemplos:
− 1 y cumple que ( − √ − 1 ) 2 + 1 = 0.
7 i se debe interpretar como
i + i + i + i + i + i + i o − 4i = 4 ( − i  ) = − i + − i + − i + − i
Así, podemos definir las operaciones de la siguiente manera:
a. 2i + 3i = ( i + i  ) + ( i + i + i  ) = 5i
b. 3i ⋅ 2i = 3 ⋅ ( i ( i + i  )  ) = 3 ( i 2 + i 2 ) = 3 ⋅ − 2 = − 6
Note que una diferencia sutil, pero fundamental es la que hay entre 0 y 0i. El número 0 es el neutro aditivo de los números reales y, por lo tanto, se encuentra ubicado en la recta real. En cambio, 0i, es un número imaginario, ubicado sobre el eje imaginario en el plano complejo y, por lo tanto, nada tiene que ver con el 0 real.
En relación a las potencias de i, estas son de fundamental importancia pues, además de ser fácilmente trabajables, las cuatro potencias fundamentales incluyen a dos números reales que son el − 1 y el 1.
Las potencias básicas de i y su periodicidad tienen relación con otras periodicidades en los números reales. Por ejemplo, note que al elevar
3 a un número natural, la cifra de las unidades de los números
resultantes cumplirá la misma periodicidad que las potencias de i. Gracias a esta periodicidad puede existir la clausura en los números complejos y el hecho que cualquier complejo elevado a un número real siga siendo un complejo. Note que las potencias de i con
exponente racional, por ejemplo i
solución de la ecuación x 10 + 1 = 0 . Algunas de las raíces de i se
abordarán mas adelante con detalle.
También se puede justificar que i −1 =
i −1 = i −1 ⋅
tienen sentido ya que es una
1 i  , observe lo siguiente:
_ i     = i i   = 1
Las potencias de i permiten una transición natural hacia los números complejos, ya que estos últimos siempre pueden ser escritos como una combinación de potencias de i. Por ejemplo, i 2 + i = − 1 + i , − 2 i 2 + 3 i = 2 + 3 i
Números complejos… ¿tienen relación con los números imaginarios?
Se ha definido un número complejo como cualquier número de la
forma a + b i, donde a,b ∈
definición de número complejo dicha anteriormente, suena razonable
representarlo como un punto en un plano cartesiano, lo cual descubrió Argand, quien fue contemporáneo de Gauss y Leibniz, quienes hicieron grandes avances en el análisis complejo.
Este plano es de coordenadas rectangulares por lo que consta de dos ejes perpendiculares entre sí, uno horizontal y otro vertical llamados eje real y eje imaginario, respectivamente. La parte real e imaginaria se representaran en su respectivo eje cada uno. La localización de los puntos es igual que en el plano euclidiano. El punto donde se intersectan los ejes es el origen el cual representa a 0 + 0i (cero complejo). En este punto solo coinciden geométricamente el 0 real con el 0 complejo.
A semejanza de cualquier número real, los imaginarios también
pueden representarse gráficamente. Ellos no pueden ubicarse en la recta numérica de los números reales, por tanto se les localiza en otra recta perpendicular, en el origen, a la recta numérica de los números reales. Así de manera natural, el eje horizontal está reservado para los números reales, y el eje vertical, para los números imaginarios. Surge
la pregunta acerca de cuál sería el significado de un par ordenado en
este plano, este no es nada más ni menos que la definición más básica
de lo que es un número complejo. Es necesario hacer hincapié en la gran diferencia entre un número real que sólo se puede presentar en una recta (como un punto), a un número complejo que es un número compuesto y que debe necesariamente representarse en un plano cartesiano complejo (como un par ordenado).
Un ejemplo interesante de hacer con los alumnos es representar gráficamente en el plano complejo, las potencias de i. Note que todas ellas quedan sobre los ejes y que ellas representan rotaciones de i:
R e i es la unidad imaginaria. Por la
Pueden existir ciertas analogías con el plano cartesiano y hacer una relación entre las figuras del plano cartesiano con las del plano complejo, pero su significado es distinto. Por ejemplo, si en el plano complejo se calcula lo que en el plano cartesiano representaría un área, esta en el plano complejo es solo un subconjunto de números complejos.
Otra representación de un complejo es como vector. Así, un complejo puede representarse también como un vector que parte del origen al punto del plano complejo determinado por el par ordenado que lo representa.
Es necesario mencionar las ventajas y desventajas que tienen las diferentes representaciones de los números complejos. Por ejemplo, la notación como par ordenado, da la impresión de un punto que está ubicado cartesianamente a partir del origen. De esta, manera surge naturalmente la distancia a la que se encuentra de dicho origen. En cambio, la notación canónica o binomial, nos insinúa un tratamiento más algebraico. Con respecto a la representación vectorial de un complejo, esta tiene el mérito de indicar el mismo complejo, pero indicando en qué dirección y sentido se encuentra con respecto al origen. Además si la representación vectorial la asociamos con la forma binomial, podemos decir que un complejo se puede descomponer en otros dos complejos, uno como real puro y el otro como un imaginario.
Es necesario, indicar cuando un vector que no está centrado en el origen representa a un número complejo. Para ello, se debe usar una traslación que lleve dicho vector al origen del plano complejo y así poder definir el complejo.
Esta relación de un complejo con una representación a través de un vector abre rápidamente la puerta a concebir un complejo posteriormente usando el módulo y su ángulo de inclinación, como lo veremos más adelante.
En otro ámbito, es importante definir que una ecuación compleja es aquella que involucra números complejos y que tendrá por solución un número complejo. Además, es necesario trabajar las condiciones que se deben cumplir para que dos complejos sean iguales. Debido a la relevancia que tiene en la resolución de ecuaciones que involucren números complejos y en la división de complejos. Miremos el siguiente desarrollo hecho en el libro:
Se quiere dividir los complejos 4 − i y 2 + 3i, entonces podríamos escribir que buscamos un complejo z tal que, 4 − i
2 + 3 i  = z
4 − i = z ⋅ ( 2 + 3i )
Llamamos z = a + b i, entonces se puede escribir que:
− i = ( a + bi  ) ( 2 + 3 i  )
− i = 2a + 3a
i + 2b
i + 3b i 2
i − 3b
− i = ( 2a − 3b ) + (
3a + 2b ) i
2a − 3b = 4
3a + 2b = − 1
4a − 6b = 8
9a + 6b = − 3
13a = 5
⇒ 2 ⋅
4 = 3b
/ ⋅ 2
/ ⋅
− 3b = 4 (remplazando en la 1° ecuación)
Dividiendo por 3 y simplificando, obtenemos que, b =
Algunas comparaciones que podemos destacar entre los números
complejos y los números reales son:
2 + 3 i   = 13 − 14
Sirven para expresar un solo concepto en la resolución de problemas.
Sirven para expresar ideas diferentes pero de manera simultánea. Por ejemplo, representar el concepto de la resistencia en eje real y la interacción entre las reactancias capacitivas e inductivas en el eje imaginario al trabajar en un circuito RLC. (Corrientes alternas en electricidad)
Existen relación de orden, por lo que se puede establecer que un real es mayor o menor que otro.
No existe relación de orden, nunca un complejo es mayor o menor que otro.
Operatoria de números complejos
Frente a la operatoria de números complejos, podemos hacernos algunas preguntas que creemos importante abordar en esta sección.
a. La adición de números complejos:
• ¿Por qué la adición está bien definida?
Debido a que la adición se define como la suma de las partes reales e imaginarias, y como éstas son números reales, el sumar complejos no es otra cosa que una suma de números reales, la que está bien definida en R.
• ¿Qué significa geométricamente sumar dos números complejos?
Podemos mirar la suma de dos complejos como la traslación de un punto bajo la acción de un vector de traslación. Por ejemplo, si sumamos los complejos (5,7) con (2,3 ), tendremos que:
Note que de esta manera es fácil demostrar la conmutatividad de la adición.
Para definir la resta ( a + b i  ) − ( c + d i  ) lo haremos también como una traslación del punto (a,b ) en el vector de traslación (− c, − d ). Esto muestra que el restar el complejo ( c + d i  ) es equivalente a sumar el complejo ( − c − d i  )
b. Multiplicación de números complejos
• ¿Qué significa multiplicar un número complejo por un número real?
Si miramos la multiplicación 2 ⋅ ( 3 + i  ) , tendremos que, esto es dos veces la suma de 3 + i . Por lo dicho anteriormente, el punto ( 3 , 1 ) en plano complejo, se trasladará en el vector (3,1 ). Esto es:
10 3u
Note que esta multiplicación es análoga a la ponderación de un vector por un escalar.
Esta multiplicación debe ser vista como la multiplicación de un complejo real puro k + 0 i con un complejo cualquiera a + b i. Esta, modifica tanto la parte real como la parte imaginaria de este último complejo, obteniéndose ka + kbi. En la práctica esta multiplicación aparece como k ( a + b i  ) = ka + kb i, en forma algebraica.
• ¿Qué sucede al multiplicar dos complejos imaginarios puros?
Al multiplicar dos números complejos imaginarios puros, mi y ni, se obtiene siempre un número real. En verdad, lo que estamos operando es con 0 + mi y 0 + ni. En rigor, el producto - mn es la forma abreviada de - mn + 0i.
Hasta el momento podemos decir que al multiplicar dos números complejos, ya sea ambos reales puros, o imaginarios puros, el producto es un complejo real puro.
• ¿Qué sucede al multiplicar un imaginario puro por un complejo?
Note que al multiplicar algebraicamente
i ( 2 + 3 i  ) = 2 i + 3 i 2 = 2 i − 3 = − 3 + 2 i .
Si miramos gráficamente los complejos 2 + 3 i y − 3 + 2 i,
α = 90 ∘
Observe que al multiplicar un complejo por la unidad imaginaria, se produce una rotación del complejo en 90 º . Al multiplicar un complejo por k i, con k no nulo, se obtendrá una rotación más una ponderación del complejo original.
c. División de números complejos
En el libro se presentan dos formas equivalentes de dividir números
complejas. La primera usa la igualdad de complejos, que ya
analizamos anteriormente. En este caso, la idea matemática que
, se parte de la idea que existe un
subyace es que al calcular
complejo z 3 tal que, z 1 = z 2 ⋅ z 3 .
La segunda forma se basa en un procedimiento análogo al de la
racionalización. Note que, al hacer esto se asume que al
que nunca se ha demostrado anteriormente. Usted puede, usando el
primer procedimiento demostrar a sus alumnos que
realmente 1.
En este último proceso se transformó la expresión equivalente.
Es importante indicar la respuesta de la división como número complejo. Esto último es muy delicado, ya que podría pensarse que la división de dos complejos cualesquiera, debiera simplemente reducirse a la división de un complejo, dividido por un complejo real puro. Y no es esta la idea, pues desvirtúa lo que es el concepto de una división entre dos complejos (primer procedimiento tratado).
c − di
,   esta última expresión existe y es 1, cosa
− di
− di  es
c + di
Propiedades de la adición y multiplicación en los complejos
Es importante que se demuestren o, al menos se muestren algunas de las propiedades. En general, en el estudio de los conjuntos numéricos, las propiedades son tratadas como un tema anexo y casi sin importancia en los distintos niveles. Esto hace que los alumnos no logren dimensionar la gran relevancia que tienen en el sustento y desarrollo de toda la operatoria, teoremas, regularidades, etc.
En esta parte, demostraremos la propiedad de conmutatividad de la adición, dejando el resto para que, en forma análoga, sean trabajadas por usted.
• Conmutatividad de la adición en los complejos.
Sean z = a + bi y z’ = c + di, por demostrar que z + z’ = z’ + z
z + z’ = ( a + b i  ) + ( c + d i  )
= a + bi + c + di
= a + c + b i + d i
= ( a + c ) + ( b + d  ) i
= ( c + a ) + ( d + b  ) i
= c + a + d i + b
= c + d i + a + b
= ( c + d i  ) + ( a + b i  )
= z’ + z
/definición de suma
/Conmutatividad en R
Geométricamente también se puede demostrar de la siguiente manera:
(1+3i)+(4+5i)
Números complejos… módulo y conjugado
(página 37 del libro)
Analicemos un poco más la definición de conjugado de un complejo. Si miramos el plano complejo y las reflexiones con respecto al eje real y al eje imaginario del complejo z = a + bi, tendremos que:
Se aprecian aquí, 4 complejos que tienen una relación interesante. Si miramos la reflexión de z con respecto al eje real, obtendremos el conjugado. Si miramos la reflexión de z con respecto al origen, tendremos el inverso aditivo de él. Si miramos la reflexión de z con
respecto al eje imaginario, tendremos el inverso aditivo del conjugado de z. De aquí se pueden deducir ciertas igualdades como las
complejos tienen igual módulo.
( − z  ) = − z, ( _ z  ) = z . Note que además estos cuatro
Existen varias igualdades que pueden demostrarse a partir del conjugado de un número complejo. Desarrollamos aquí, una de ellas y dejaremos planteadas las demás para ser demostradas en forma análoga:
Sean z = a + b i, z 1 = a 1 + b 1 i y z 2 = a 2 + b 2 i números complejos, luego:
1. El conjugado del conjugado de un complejo es igual al mismo complejo: z = z .
z  ) a + b i  ) ( a − b i  ) a + b i z
2. El conjugado de la suma de dos complejos es igual que la suma de los conjugados de cada complejo: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 .
3. El conjugado de la diferencia de dos complejos es igual que la diferencia de los conjugados de cada complejo: z 1 − z 2 = z 1 − z 2 .
4. El conjugado de la multiplicación de dos complejos es igual que la multiplicación de los conjugados de cada complejo: z 1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2 .
5. El conjugado de la división de dos complejos es igual que la
división de los conjugados de cada complejo:
z ≠ 0 + 0 i.
6. El conjugado del inverso aditivo de z es el inverso del conjugado de z. Esto es:
7. El conjugado del inverso multiplicativo de un complejo es igual al inverso multiplicativo de su conjugado. Esto es: z −1 = ( z  ) −1 .
Algunas proposiciones que se pueden demostrar a partir de lo anteriormente expuesto son las siguientes. No es necesario que usted las demuestre todas con sus alumnos, sin embargo, es bueno demostrar algunas de ellas:
Sea z = a + b i entonces:
− z = − z.
z es un complejo real puro, si y solo si, z = z.
Debemos demostrar en los dos sentidos de la doble implicancia en que se formula este enunciado:
• Si z es un complejo real puro, luego z = z.
Si z es un complejo real puro, quiere decir que z = a + 0 i. Pero como 0 = − 0 podemos rescribir z = a + ( − 0 ) i , o bien,
a − 0 i. Sin embargo, por la definición de conjugado se tiene que a − 0 i = z, por tanto se concluye que z = z.
• Si z = z, entonces z es un complejo real puro.
Como z = z, por igualdad de complejos se tiene, en particular, que Im z = Im z,  esto es, b = − b Recordando que el único real que es igual a su opuesto aditivo es el 0, se tiene que z = a + 0 i.
Esto significa que z es un complejo real puro.
Asimismo, se dejan planteadas otras proposiciones interesantes para su posterior demostración.
2. + z es un complejo real puro y z + z = 2a.
3. − z es un complejo imaginario puro y z − z = 2bi.
Pensemos algunas consideraciones sobre las proposiciones planteadas anteriormente:
Esta es una forma interesante de caracterizar un complejo real puro. Y podemos decir que el universo de los complejos, se divide entre aquellos en que conjugados de sí mismos, con aquellos que no son. Esto evita la pregunta: si tenemos un complejo puro ¿podemos decir que él no tiene conjugado? La respuesta es no, porque basta remitirse a la definición de conjugado y a la propiedad de que el cero real es opuesto aditivo de sí mismo.
z + z = 2a.
Esta misma propiedad puede contemplarse de la manera siguiente:
z + z   = a

References: Resolución 

Resolución 
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