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Timestamp: 2018-05-26 17:17:03+00:00

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PRISMA Es el sólido geométrico que tiene por bases polígonos paralelos e iguales y por caras laterales paralelogramos.
I. Los prismas se clasifican según sus bases en: a) Prisma triangular, si su base es un triángulo. b) Prisma cuadrangular, si su base es un cuadrilátero. c) Prisma pentagonal, si su base es un pentágono.
II. PRIMA RECTO. Es aquel prisma que tiene sus aristas laterales perpendiculares a las bases; sus caras laterales son rectángulos; arista lateral igual a la altura del prisma. AL = Area Lateral 2pB = Perímetro de la base SB = Area de la base
h = Altura AT = Area total
III. PRISMA REGULAR Es un prisma recto, cuyas bases son polígonos regulares.
IV. PRISMA OBLICUO Es aquel prisma cuyas aristas laterales son oblicuas a las bases, sus caras laterales son paralelogramos (romboides), la altura es menor que la arista lateral. Sección Recta del Prisma (SR) Es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales.
SR = Área de la sección recta. 2pSR = Perímetro de la sección recta.
V. PARALELEPÍPEDOS Son prismas cuyas caras son todos paralelogramos.
Clasificación: a) Paralelepípedo Rectangular Es un prisma, llamado también caja rectangular, ortoedro o rectoedro. Todas sus caras son rectángulos.
Nota: (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ac+2bc+2ab
Suma de las ² 3 dimensiones = D² + AT
b) CUBO O HEXAEDRO REGULAR Es paralelepípedo en el cual todas sus caras son cuadrados.
c) ROMBOEDRO Es un paralelepípedo oblicuo. Todas sus caras son rombos.
TRONCO DE UN PRISMA TRIANGULAR RECTO Es el sólido que se determina al interceptar a una prima recto con un plano no paralelo a su base.
TRONCO DE UN PRISMA RECTANGULAR OBLICUO Es el sólido que se determina al interceptar a un prisma oblicuo con un plano no paralelo a su base.
PIRÁMIDE Es el sólido geométrico que tiene como base un polígono que tienen un vértice común que viene a ser el vértice de la pirámide y los otros dos vértices de cada triángulos coincide con los vértices de la base respectivamente.
Clasificación: I. Por el número de lados de su base en: a) Pirámide triangular, si su base es un triángulo, llamado también tetraedro. b) Pirámide cuadrangular, si su base es un cuadrilátero. c) Pirámide pentagonal, si su base es un pentágono, etc.
II. PIRÁMIDE REGULAR. Es una pirámide cuya base es un polígono regular, sus caras laterales son triángulo isósceles iguales. El pie de la altura coincide con el centro de la base. APOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR: Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista básica.
Ap = Apotema de la Pirámide ap = Apotema de la base.
III. PIRAMIDE IRREGULAR: Es aquella que no cumple con las condiciones de la pirámide regular. TEOREMA Si se corta una pirámide cualquiera por un plano paralelo a la base se obtiene una pirámide parcial semejante a la pirámide total. Propiedades 1) Si dos pirámides son semejantes, las áreas de sus bases son proporcionales a los cuadrados de sus dimensiones homólogas. 2) Los volúmenes de dos pirámides semejantes, son proporcionales a los cubos de sus dimensiones homólogas.
TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR Es el sólido que se determina al interceptar a una pirámide regular con un plano paralelo a su base. Sus caras laterales son trapecios isósceles iguales. Apotema del Tronco de Pirámide Regular: Es el segmento que une los puntos medios de las bases de una cara lateral.
a) 120 b) 121 c) 122 d) 123 e) 124
Resolución C : Número de Caras del prima x : Número de Caras laterales
2. Hallar el número de vértices de un prisma que tiene 120 aristas. a) 80 b) 81 c) 82 d) 83 e) 84 Resolución V : Número de vértices del prisma X : Número de caras laterales X =  x = 40 V = 2x  V = 2(40)
V = 80 Rpta. a 3. Hallar la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un prisma que tiene “A” aristas
a) 120º (A-2) b) 180º (A-2) c) 360º (A-2) d) 240º (A-3) e) 240º (A-2) Resolución X : Número de caras laterales S: Suma de las medidas de los ángulos de todas las caras del prisma. 1) S = 2 [180º(x-2)]+360ºx ..(1) 2) x = ....(2) 3) Reemplazando (2) a (1) S = 360º S = 120ºA – 720 + 120ºA S = 240º A – 720º
4. La distancia de un vértice al centro de la cara opuesta de un cubo es . Calcular el área total. a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 28 Resolución
1) 2x = a x= ...(1) 2) Pitágoras a2+x2= 2 ...(2) 3) Reemplazando (1) en (2) a2 + = 6 a2 = 4 4) AT: Area Total AT = 6a2 AT = 6(4) AT = 24 Rpta. d
5. Calcular el volumen de un hexaedro regular cuya diagonal mide 20 cm. a) 80 cm3 b) 800 cm3 c) 400 cm3 d) 80 dm3 e) 8 dm3 Resolución
1) Dato D = 20 cm...(1) 2) Formula D = a ...(2) 3) Igualando (2)=(1) a = 20 cm a = 20cm a = 2dm 4) Volumen = a3 Volumen = (2dm)3 Volumen = 8dm3 Rpta. e 6. Calcular el volumen de una pirámide regular, si su apotema mide 15 y la arista de la base mide 18 a) 314 b) 628 c)972 d) 916 e) 428
1) Pitágoras h2+92 =152 h = 12...(1) 2) Volumen = ..(2) 3) B : Area de la base
B = 243 ..(3) 4) Reemplazando (1) y (3) en (2) Volumen Volumen = 972 Rpta. c
7. El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 74cm3. Si su altura mide 6cm y el área de una de sus bases es 16cm²? ¿Cuál es el área de la otra Base? a) 3cm2 b) 6cm2 c) 8cm2 d) 9cm2 e) 4cm2 Resolución Volumen = 74 = 37 = 16 + b+4
37 = 16 + x2 + 4x x2 + 4x – 21 = 0 (x + 7) (x - 3) = 0 x = 3
a) 100 b) 125 c) 90 d) 80 e) 75 Resolución El volumen del prisma triangular oblicuo vale la mitad del paralele-pípedo.
Volumen = Volumen = 75 Rpta. e
1. En un prisma recto triangular ABC – A´B´C´, MB´= 5, AB = BC = 6, mABC = 120°. Calcular el volumen del prisma si “M” es punto medio de AC. A)12 B)24 C)24 D)36 E)18
A) 432 B)156 C) 312 D) 104 E) 300
3. En un recipiente cúbico que contiene 35m3 de agua se introduce un cubo macizo de modo que el agua se eleva hasta alcanzar el nivel del recipiente. Si la arista del cubo macizo es la mitad de la arista del recipiente, calcular el volumen del recipiente. A) 20m3 B) 40 m3 C)60 m3 D) 80 m3 E) 100 m3
4. La base de un prisma triangular regular es inscriptible en una circunferencia de radio igual a 83 cm. Si la altura del prisma es el doble del apotema de la base. Hallar el área lateral del sólido. A) 576 B) 192 C) 576 D) 288 E) 288
5. El desarrollo de la superficie lateral de un prisma triangular regular es un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 3m. Hallar el volumen del prisma. A) /2 B) 2 /3 C) 2 D) 3 /2 E) 3
6. Calcular el volumen de un prisma regular cuadrangular ABCD – EFGH, si el área de la base es 4m2 y m EBH = 30°. A) 16m3 B) 6 m3 C)8 m3 D) 4 m3 E) 5 m3
A) 80u3 B)120u3 C)140u3 D) 160u3 E) 180u3
8. La arista lateral de un paralelepípedo rectangular mide 4cm y las otras dos medidas están en la relación de 1 a 3. Si el área total es 88cm2. Calcular el volumen del paralelepípedo. A) 32cm3 B) 60cm3 C)36cm3 D) 24cm3 E) 48cm3
9. La base de un prisma recto es un rombo de área S. Las áreas de las secciones diagonales son iguales a S1 y S2. Haller el volumen del prisma. A) B) C) D) E)
A) 120 B) 120 C) 125 D) 100 E) 125 .
11. En una pirámide triangular, su apotema mide 16 y sus aristas laterales miden 20. Halle el área lateral de dicha pirámide. A) 570 B) 600 C) 576 D) 610 E) 616
12. Si una pirámide posee 242 aristas. Calcular su cantidad de vértices y su cantidad de caras. A) 120 ; 120 B) 122 ; 122 C) 124 ; 121 D) 118 ; 126 E) 126 ; 118
RESOLUCIÓN Sea “n” el número de lados de la base del prisma: C: Números de caras del prima V: Número de vértices A: Número de aristas
Piden:C = n + 2 Dato:V + A = 50 2 n + 3 n = 50 n = 10 C = 10 + 2 = 12 RPTA.: D
2. Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas. El área lateral del prisma es 864
A) 2 592 B) 2 590 C) 3 024 D) E)
Piden: Dato: RPTA.: A
Piden: “n” Dato:
Piden: Dato:
6. Calcule el área total de un paralelepípedo rectangular cuya diagonal mide 50 y sus dimensiones suman 82. A) 4 000 B) 4 224 C) 4 424 D) 4 624 E) 4 864 RESOLUCIÓN
Piden: ………..(I) Dato: ……………………………(II) a + b +c = 82………………………..(III) Elevamos
Piden: …………………………………..(I) Dato: Área de una cara = 50
ah =50 En (I)
A) B) C) 2 D) E) 4
Piden: ……………………..(I) Dato: r = 2  h = 2 4 a = 2  En (I)
Piden: …………………..(I) Dato: Dato:
 h = 6 En (I)
A) 300 B) 384 C) 328 D) 382 E) 381
Piden: …………….…(I) Dato:  b = 4
En (I) RPTA.: B
Piden: ….(I) EN LA BASE: 
 h = 2 En (I)
 RPTA.: C
A) 32 B) C) 16 D) E) 18
Piden: …………(I) Diagonal:
Piden: ………………….(I) Dato:
En (I) RPTA.: E
Se observa: es diagonal del octaedro y diagonal del cuadrado ABCD. AM = AB = a Dato:  a = 3 Piden:
15. Calcule el número de arista de una pirámide donde la suma del número de caras con el número de vértice es 16. A) 7 B) 21 C) 12 D) 14 E) 16 RESOLUCIÓN Sea: “n” el número de lados de la base de la pirámide. Piden: A =2 n ….....…………………(I) Dato: C + V = 16
n +1 + n + 1 = 16 n = 7
En (I) A = 14 RPTA.: D
A) 40 B) 48 C) 36 D) 60 E) 50
 V = 48 RPTA.: B
Pide: Área sólido= 4 A + 4 A =? * 4A: Ubicados en las caras del tetraedro. * 4A: Ubicados en el interior del tetraedro.
 RPTA.: D
 x = 8 RPTA.: A
A) B) C) 6 k D) 2 k E)
Dato: Volumen Pirámide= Piden:
A) 4 000 B) 4 224 C) 4 424 D) 4 624 E) 4 864
A) 7 B) 21 C) 12 D) 14 E) 16

References: Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución

 Resolución

 Resolución 
 Resolución 

RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN

 RESOLUCIÓN