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Respuestas N°2 de la PSU de matemáticas del año 2010.
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26 de agosto de 2010 Proceso de admisión 2011 Documento Oficial Universidad de Chile VicerrectorÍa de asuntos acadÉmicos DEMRE Consejo de rectores UNIVERSIDADES CHILENAS Resolución N°13 Serie DEMRE - UNIVERSIDAD DE CHILE Prueba Matemática ∙ Parte II En esta segunda parte, se pueden encontrar los comentarios de las preguntas 19 a la 35, que corresponden a los contenidos de Álgebra y Funciones y a las habilidades cognitivas de Reconocimiento, Comprensión, Aplicación y Análisis, Síntesis y Evaluación. 2.
RESOLUCIÓN DE LA PRUEBA OFICIAL PREGUNTA 20 DE MATEMÁTICA Dada la fracción m t , con m 0 y t 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es m t PARTE II (son) siempre verdadera(s)? PRESENTACIÓN I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fracción aumenta en 2. II) Si el numerador de la fracción se duplica y su denominador se divide Continuando con la difusión de la Prueba Oficial de Matemática publicada el 24 de junio por 2, entonces la fracción queda igual.de este año, en esta ocasión se comentarán las preguntas N° 19 a la N° 35. Estos ítemes III) Si el denominador de la fracción se divide por 3, entonces la fracciónapuntan a los contenidos del Eje Temático de Álgebra y Funciones y a las Habilidades se triplica.Cognitivas de Reconocimiento, Comprensión, Aplicación y Análisis, Síntesis y Evaluación.Cabe mencionar que los ítemes de Álgebra de esta publicación corresponden a los A) Sólo Icontenidos de los niveles de segundo y tercer año medio y los de Funciones de segundo B) Sólo IIa cuarto medio. C) Sólo III D) Sólo I y II En cada uno de los ítemes se detalla el contenido involucrado, en algunos casos los E) Sólo II y IIIcontenidos previos que se requieren, junto con las operaciones a realizar. Además, seseñala el grado de dificultad con la que resultó el ítem, su porcentaje de omisión y los COMENTARIOerrores más frecuentes que llevan al postulante a marcar algunos de los distractores. Esta es una pregunta del tipo combinada y está referida al contenido de resolución Es importante resaltar que los contenidos de Álgebra y de Funciones son de desafíos y problemas no rutinarios. Para llegar a la solución el alumno debefundamentales para resolver problemas tanto en Matemática como en lo referido a otras analizar los datos entregados en el enunciado junto con las afirmaciones y así llegar adisciplinas, es por lo que los conceptos y algoritmos matemáticos facilitan la resolución de la veracidad o falsedad de éstas.una gran cantidad de problemas que se presentan en la vida diaria. En I) se tiene que a m y a t se le suma 1, entonces la fracción dada queda: COMENTARIOS DE LAS PREGUNTAS (m 1) (t 1) = m t 2 , fracción que es distinta al resultado de la fracción REFERIDAS AL ÁREA TEMÁTICA DE (m 1)(t 1) mt m t 1 m t m t m t 2m t ÁLGEBRA dada en el enunciado m t aumentada en 2, es decir, m t +2= m t por lo que I) es falsa. PREGUNTA 19 En II), al duplicar el numerador y dividir por 2 el denominador de la fracción, resulta 2(m t) 4(m t) = , por lo que la fracción resultante es cuatro veces la fracción m t m t t2 1Si t ≠ 1, entonces la expresión − es igual a 2 t − 1 t − 1 dada, de esta manera la afirmación II) también es falsa. A) t2 − 1 En III), si el denominador de la fracción dada se divide por 3, resulta B) t−1 C) t (m t) 3(m t) t2 − 1 = , que es el triple de la fracción original, por lo tanto III) es D) m t m t 2t − 2 3 E) t+1 verdadera. COMENTARIO Por el análisis anterior, la alternativa correcta es C). Esta pregunta se refiere al contenido de operatoria con fracciones algebraicas, en Este ítem resultó difícil, ya que fue contestado en forma correcta por el 19% de los donde el alumno debe realizar una resta de fracciones con igual denominador, luego postulantes que lo abordaron. La omisión resultó alta llegando al 57%, lo que indica factorizar un binomio como una suma por su diferencia, terminando con una que los alumnos no están acostumbrados a realizar este tipo de desafíos. simplificación de la fracción algebraica resultante. Es así como, se tiene t2 1 t2 − 1 (t + 1)(t − 1) Al analizar los distractores, se observa que los postulantes que optaron por alguno − = = = t + 1, por lo que la alternativa correcta es t − 1 t − 1 t −1 t −1 de ellos, se distribuyeron en forma homogénea, donde el error radica probablemente E). en no saber operar con fracciones o no saber interpretar las afirmaciones. Sorprende que este ítem haya resultado difícil, ya que es un tipo de operatoria recurrente en el trabajo de aula, fue contestado correctamente por el 24% de los estudiantes que la abordaron y la omisión fue alta alcanzando el 38%. El distractor más marcado fue D) con un 13%, quienes se inclinaron por él, lo más probable es que sumaron los denominadores y restaron los numeradores. 3.
PREGUNTA 21 COMENTARIOSi a + 15 = b, entonces se puede afirmar que En esta pregunta se deben interpretar las desigualdades señaladas en el enunciado, para establecer todos los posibles valores que puede tomar (a + b). A) la suma de a y b es 15. B) a es mayor que b. En efecto, el alumno para determinar el mínimo valor que puede tomar (a + b) debe C) a es 15 veces b. comprender que como el mínimo valor que puede tomar a es 0 y el mínimo valor que D) a es menor que b. puede tomar b es −3, la suma de ambos a lo menos tomaría el valor −3. De la misma E) la diferencia entre a y b, en ese orden, es 15. manera, como el máximo valor que puede tomar a es 3 y b es 0, se deduce que el máximo valor que puede tomar la suma de ambos es 3. COMENTARIO Así la respuesta correcta está en la opción A), la que fue marcada por el 34% de los Para llegar a la respuesta correcta el alumno debe interpretar la relación que existe postulantes que la abordaron, resultando un ítem difícil y la omisión fue alta entre dos variables, en este caso a y b. alcanzando el 45%, demostrando que los postulantes no están habituados a este tipo de ítemes. En efecto, el postulante al interpretar la relación a + 15 = b del enunciado, concluye que la variable b es igual a la variable a aumentada en 15 unidades, en otras Uno de los distractores más marcado por los alumnos fue D), con un 6%, palabras, b es 15 unidades mayor que a, por lo tanto a es menor que b. De esta probablemente ellos suman los extremos de ambas desigualdades dándoles 0, sin advertir el sentido que ellas tienen. manera la opción correcta es D), que fue marcada por la mitad de los postulantes que abordaron el ítem, considerado éste como mediano y su omisión alcanzó el 19%. El distractor con la mayor preferencia fue E) con un 18%, quienes lo marcaron, PREGUNTA 24 probablemente, hicieron una mala operación en la igualdad, a + 15 = b, lo escriben como a = b + 15 y luego, a − b = 15. 3 3 Para todo m 0 la expresión m4 ⋅ m2 ⋅ m es igual a A) m PREGUNTA 22 8 B) m73 a 6n − 6 = C) m5 5 D) m7 A) a2n − 6 6 B) a2n − 2 E) m7 1 C) a 2n − 2 COMENTARIO 1 D) a 2n − 6 En este ítem el postulante debe aplicar la definición de una raíz cúbica como 6n − 2 potencia, las propiedades de la multiplicación de raíces de igual índice y la E) a 1 3 3 3 3 multiplicación de potencias de igual base, ellas son: a = a3 , a ⋅ b = ab y COMENTARIO br ⋅ bs = br + s, respectivamente. El contenido que el alumno debe aplicar es la definición de raíz cúbica como 1 6 1 1 5 3 3 3 2+ potencia, es decir, 3 a = a 3 , además debe aplicar la propiedad de potencia de una Así, m4 ⋅ m2 ⋅ m = m6 ⋅ m = m 3 ⋅ m 2 = m 2 = m2 = m5 potencia, factorización y simplificación de fracciones algebraicas. Dicha expresión se encuentra en la opción C), la que fue elegida por el 17% de los 6n − 6 6(n − 1) postulantes que abordaron el ítem. De acuerdo a este porcentaje el ítem resultó difícil ( ) 1 En efecto, 3 a 6n − 6 = a 6n − 6 3 = a 3 = a 3 = a2(n − 1) = a2n − 2 y la omisión alcanzó el 46%. El distractor E) fue el más marcado con el 16% de preferencias por quienes Así, la opción correcta es B), contestada por el 35% de los postulantes que abordaron el ítem, el error que cometen probablemente es que suman los exponentes abordaron el ítem, resultando éste difícil. Llama la atención su alta omisión, la que de las cantidades subradicales y suman el índice de las raíces, considerando el índice alcanzó al 53%, lo que demuestra que es un ítem poco trabajado en clases. de m como 0, es decir, Uno de los distractores más marcados fue C), con un 3%, el error que probablemente se cometió fue una mala aplicación del concepto de raíz cúbica como 3 3 (3 + 3 + 0 ) (4 + 2 + 1) 6 3 m4 ⋅ m2 ⋅ m = m = m7 . 3 1 3 6(n − 1) potencia, obteniendo a 6n − 6 = a 6n − 6 = a = a 2n − 2 . PREGUNTA 23Si 3 ≥ a ≥ 0 y −3 ≤ b ≤ 0, ¿qué valor(es) puede tomar (a + b)? A) Los valores entre −3 y 3, ambos incluidos. B) Sólo los valores entre −3 y 0, ambos incluidos. C) Sólo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos. D) Sólo el 0. E) Ninguno de los anteriores. 4.
COMENTARIOS DE LAS PREGUNTAS COMENTARIO REFERIDAS AL ÁREA TEMÁTICA DE Este ítem se refiere a situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizando la función afín. FUNCIONES Para responder este ítem, el alumno debe interpretar que los ahorros de Alicia van disminuyendo en forma constante cada semana en $ 2.000. Por lo tanto, la gráfica que representa mejor la situación planteada debe ser una línea recta y no una curva, PREGUNTA 25 de esta manera se descartan las opciones A, B y C.Una empresa paga a sus vendedores un sueldo base mensual de $ 180.000 más $ 5.000 Ahora, como en la quinta semana Alicia tiene $ 10.000 y no $ 0, la mejor gráficapor artículo vendido. Si un vendedor vende x artículos en un mes, ¿cuál de las siguientes que representa la situación planteada es la que se encuentra en D), la que fuefunciones representa el sueldo S(x), que le paga la empresa, en pesos? contestada por el 59% de los alumnos, resultando un ítem mediano y la omisión alcanzó el 13%. A) S(x) = 180.000x + 5.000 B) S(x) = 5.000x + 180.000 El distractor B) fue marcado por el 10% de los postulantes, el error probablemente C) S(x) = 185.000x estuvo en considerar que la disminución de los ahorros fue en forma exponencial y no D) S(x) = 185.000 + x lineal. E) S(x) = 5.000·x·180.000 COMENTARIO PREGUNTA 27 Este ítem apunta al contenido de situaciones y fenómenos que se pueden modelar x−y utilizando la función lineal o afín. Su resolución requiere del postulante la capacidad Dado el sistema 3x + 2y = 17 , el valor de es igual a y de comprender la información dada en el enunciado para encontrar la función S(x) 3x − 2y = 1 que representa el sueldo que paga la empresa. 1 A) − Del enunciado se tiene que el sueldo base mensual es $ 180.000; la comisión por 4 artículo vendido es $ 5.000 y que los artículos vendidos son x, luego lo que gana por 10 los artículos vendidos es 5.000x. Entonces, la función S(x) que representa la situación B) − 13 planteada es equivalente a lo que gana como base más lo ganado por los artículos C) 3 vendidos, esto es, S(x) = 5.000x + 180.000 8 D) − Dicha expresión se encuentra en la opción B), la que fue contestada correctamente 5 por el 72% de las personas que abordaron la pregunta, resultando un ítem fácil y la 1 omisión fue del 9%. Estos datos muestran que es un tipo de problema tratado al E) 4 interior del aula. COMENTARIO El distractor más marcado por los postulantes fue D) con un 7%, quienes se inclinaron por él, probablemente sumaron el sueldo base con la comisión obteniendo Esta pregunta está relacionada con la resolución de un sistema de ecuaciones $ 185.000 y a este resultado le agregaron los x artículos vendidos en el mes. lineales con dos incógnitas. Para su solución el postulante debe aplicar algún método que le permita determinar PREGUNTA 26 x−y los valores de x e y, para luego calcular el valor de la expresión . yLa tabla adjunta muestra los ahorros que posee Alicia, después de gastar semanalmente En efecto, si al sistema 3x + 2y = 17 se le aplica el método de reducción, sela misma cantidad de dinero. ¿Cuál gráfico representa mejor esta situación? 3x − 2y = 1 Semana 0 1 2 3 4 5 Ahorros en $ 20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000 deben sumar las ecuaciones obteniéndose que 6x = 18, por lo que x = 3. Reemplazando este valor en 3x + 2y = 17, se tiene que 9 + 2y = 17, llegando a que y = 4. A) Ahorro C) x−y 3−4 1 B) Ahorro Ahorro Ahora, reemplazando x = 3 e y = 4 en , se tiene = − . Dicho valor y 4 4 se encuentra en la opción A). Esta pregunta resultó difícil, ya que la contestó correctamente el 38% de quienes la abordaron y la omisión fue alta, alcanzando el 53%. Lo anterior llama la atención, pues el sistema a resolver es muy rutinario y la valoración de la expresión es sencilla. 0 5 Semana 0 5 Semana 0 5 Semana El distractor más marcado fue E) con un 4%, probablemente los alumnos determinaron bien los valores de x e y, pero al reemplazar estos valores en la expresión dada, no se fijaron en el signo del resultado. D) Ahorro E) Ahorro 0 5 Semana 0 5 Semana 5.
COMENTARIO El alumno para resolver este ítem debe recordar el concepto de valor absoluto cuya definición es − x, si x 0 x = x, si x ≥ 0 A continuación, el alumno debe analizar cada uno de los términos que componen la función f(x), es decir, debe analizar lo que sucede con cada valor absoluto en el intervalo [1, 2[ . PREGUNTA 28 En efecto, en x − 1 se tiene que para cualquier valor de x en el intervalo [1, 2[ la expresión (x − 1) es mayor o igual que cero, por lo tanto x − 1 = x − 1.En la recta de la figura 3, el valor de p es A) 4 y Ahora, para x−2 se tiene que la expresión (x − 2) siempre toma valores 15 B) negativos en el intervalo en que está definida x, así x − 2 = −(x − 2). 4 8 C) 7 D) 5 5 De la misma manera, para x + 2 se tiene que la expresión (x + 2) siempre es 12 E) positiva en el intervalo dado, de tal manera que x + 2 = x + 2. 5 fig. 3 p 10 x Por el análisis anterior, se deduce que f(x) = x − 1 + x − 2 + x + 2 = x − 1 − (x − 2) + x + 2 = x + 3. COMENTARIO Luego, la opción correcta es C) que fue contestada por el 12% de los postulantes El alumno para encontrar la respuesta a la pregunta debe saber calcular la que abordaron el ítem resultando éste difícil. Su alta omisión del 55% indica que los pendiente de una recta que pasa por dos puntos, es decir, debe recordar que la alumnos no trabajan regularmente con este tipo preguntas, en donde no se pide y − y1 calcular el valor absoluto de un número, sino que analizar el comportamiento de una pendiente de una recta dados los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) es m = 2 . x 2 − x1 función valor absoluto definida en un intervalo. Además, el alumno debe recordar que no importa qué puntos se tomen de una El distractor que tuvo un mayor porcentaje de adherentes fue A) con un 15% y recta, la pendiente siempre toma el mismo valor. Es así como, de la gráfica se deduce corresponde a los alumnos que probablemente utilizan las barras que indican valor que la recta pasa por los puntos (0, 8) y (10, 0), luego se tiene que la pendiente de la absoluto como paréntesis llegando a f(x) = 3x − 1. y − y1 0−8 4 recta es m = 2 = = − . x 2 − x1 10 − 0 5 PREGUNTA 30 4 5−8 Ahora, si se toman los puntos (0, 8) y (p, 5) se tiene que m = − = , de 5 p−0 Si f(x) = x2 − 3x − 4 y g(x) = x − 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 15 verdadera(s)? donde −4p = −15, así p = , valor que se encuentra en la opción B). 4 I) f(0) ⋅ g(0) = 0 II) f(x) = g(x) ⋅ (x + 1) Esta pregunta resultó muy difícil, ya que el 12% de quienes la abordaron III) g(3) + f(1) = −7 contestaron correctamente y su omisión fue alta alcanzando el 52%. A) Sólo I El distractor D) fue el más marcado con un 20%, probablemente los alumnos pensaron que p es el punto medio entre el origen y el 10, llegando a p = 5. B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III PREGUNTA 29 COMENTARIOSi f(x) = x − 1 + x − 2 + x + 2 , entonces para 1 ≤ x 2 la función f(x) es igual a En esta pregunta el postulante debe valorar una función cuadrática y una afín, A) 3x − 1 luego con los resultados obtenidos, realizar algunas operaciones de multiplicación y B) 3x + 5 adición que les permitan verificar la veracidad de las igualdades que aparecen en I), C) x+3 en II) y en III). D) x+1 E) x−1 Es así como, en I) se tiene que f(0) = 02 − 3⋅0 − 4 = −4 y g(0) = 0 − 4 = −4, por lo que f(0) ⋅ g(0) = (−4)⋅(−4) = 16, así la afirmación dada en I) es falsa. COMENTARIO En II), se tiene que g(x)⋅(x + 1) = (x − 4)⋅(x + 1) = x2 − 3x − 4 = f(x), por lo que la El alumno para resolver este ítem debe recordar el concepto de valor absoluto cuya afirmación II) es verdadera. definición es En III), como f(1) = 12 − 3⋅1 − 4 = −6 y g(3) = 3 − 4 = −1, se tiene que − x, si x 0 g(3) + f(1) = −1 + −6 = −7, luego III) es verdadera. x = x, si x ≥ 0 De esta manera la alternativa correcta es D), la que fue marcada por el 30% de los alumnos que la abordaron, mostrando así que la pregunta fue difícil. A continuación, el alumno debe analizar cada uno de los términos que componen la función f(x), es decir, debe analizar lo que sucede con cada valor absoluto en el Llama la atención la alta omisión de la pregunta, la cual fue del 53%, considerando intervalo [1, 2[ . que lo pedido en ella debería ser un tipo de operatoria común en el trabajo del aula. Quienes se equivocaron, se distribuyeron en forma similar entre los distractores, En efecto, en x − 1 se tiene que para cualquier valor de x en el intervalo [1, 2[ la estos postulantes cometieron diversos errores en las operaciones pedidas. expresión (x − 1) es mayor o igual que cero, por lo tanto x − 1 = x − 1. Ahora, para x−2 se tiene que la expresión (x − 2) siempre toma valores negativos en el intervalo en que está definida x, así x − 2 = −(x − 2). 6.
PREGUNTA 31 PREGUNTA 32¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor a la parábola de la figura 4? p Si 0 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? y q A) f(x) = ( x 2)2 B) g(x) = x2 4 C) h(x) = ( x 2)2 I) p 2 + q2 = p + q D) m(x) = (2 x)2 2 fig. 4 E) n(x) = ( x + 2)2 x II) p 2 + q2 = p + q 4 III) p 2 + q2 0 COMENTARIO A) Sólo I B) Sólo II En este ítem referido a una función cuadrática, el postulante debe identificar cuál de C) Sólo III las funciones dadas en las opciones representa mejor a la gráfica de la figura dada. D) Sólo I y III E) Sólo II y III Como de la parábola de la figura se desprende que tiene concavidad hacia abajo y su vértice es ( 2, 0), entonces se analizará la concavidad y las coordenadas del COMENTARIO vértice de cada función dada en las opciones y así determinar cuál de ellas representa mejor a la parábola de la figura. En esta pregunta de función raíz cuadrada el postulante debe recordar que 2 Lo primero es desarrollar cada función y expresarla de la forma r(x) = ax + bx + c, x 2 = x , es decir, x 2 ≥ 0 para cualquier valor de x. Además, debe deducir de la en donde el signo de a indica la concavidad de la parábola, es decir, si a 0 la p concavidad es hacia arriba y si a 0 la concavidad es hacia abajo. Además, se debe desigualdad 0 que p 0 ó q 0. q b b recordar que las coordenadas del vértice están dadas por , r . 2a 2a Ahora, por definición se tiene que p2 = p y q2 = q , luego I) es verdadera, Entonces, f(x) = (x2 + 4x + 4) = x2 4x 4 porque p 2 + q2 = p + q . g(x) = x2 4 h(x) = x2 + 4x + 4 m(x) = (4 4x + x2) = x2 + 4x 4 La afirmación II), p 2 + q2 = p + q, es falsa porque no se cumple que p2 = p n(x) = x2 4x + 4 y q2 = q dado que uno de ellos es un número negativo. Ahora, en las opciones C) y E) el valor de a es positivo, por lo tanto representan a parábolas con concavidad hacia arriba, por lo que no son la clave. En III), como por definición p2 = p 0 y q2 = q 0, luego p 2 + q2 0. A continuación, se determinaran las coordenadas del vértice de cada una de las tres funciones restantes. Es así como se tiene que en: Así, III) es verdadera y la alternativa correcta es D). b ( 4) 4 Este ítem resultó muy difícil para quienes lo abordaron, contestándolo f(x), = = = 2 y f( 2) = 4 + 8 4 = 0, luego el vértice es ( 2, 0). 2a 2( 1) 2 correctamente sólo el 12% de ellos y la omisión fue alta, llegando al 59%. b 0 g(x), = = 0 y g(0) = 0 4 = 4, luego el vértice es (0, 4). El 10% de los alumnos que lo abordaron se inclinó por el distractor B), lo más 2a 2( 1) probable es que en esta igualdad anularon la raíz cuadrada con el exponente de la b 4 m(x), = = 2 y m(2) = 2 + 8 4 = 0, luego el vértice es (2, 0). potencia, desconociendo la definición de x2 . 2a 2( 1) Por el análisis anterior el vértice de la función f coincide con el de la parábola de la figura, por lo que la alternativa correcta es A). PREGUNTA 33 El ítem resultó difícil, porque fue contestado por el 14% de los postulantes que lo 1 2 Dadas las funciones f(x) = x2, g(x) = x y h(x) = 3x2. ¿Cuál de las siguientes opciones abordaron y su omisión fue alta, la que llegó al 57%. 3 es correcta? El distractor más marcado por los estudiantes fue B), con un 15% de preferencia, lo más probable es que sólo buscan el punto de intersección con el eje y, pero no 1 1 1 comprueban que el vértice en este caso coincide con este punto de intersección y no A) f g h 3 3 3 es el de la parábola de la figura. 1 1 1 B) g f h 3 3 3 1 1 1 C) f h g 3 3 3 1 1 1 D) g h f 3 3 3 1 1 1 E) f g = h 3 3 3 7.
En esta pregunta los alumnos deben aplicar las propiedades de los logaritmos. En este caso, deben aplicar la propiedad del logaritmo de un producto, esto es logb (a c) = logb a + logb c y la propiedad del logaritmo de una potencia, logb an = n logb a. Es así como, log (x3 · y 2) = log x3 + log y 2 = 3 · log x 2 · log y. De esta manera la opción correcta es C). Llama la atención lo difícil que resultó esta pregunta, pues la contestó bien sólo el 25% de los estudiantes que la abordaron y la alta omisión del 54% indicaría que desconocen las propiedades de los logaritmos. COMENTARIO El distractor más marcado por los alumnos fue E) con un 11%, estos alumnos lo más probable es que distribuyeron el logaritmo en el paréntesis y luego aplicaron bien En esta pregunta el estudiante debe evaluar funciones potencias de la forma la propiedad del logaritmo de una potencia. f(x) = axn, para distintos valores de a, con n = 2, para luego realizar una comparación entre sus imágenes. 2 PREGUNTA 35 1 1 1 Así, f = = 3 3 9 Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2% de interés compuesto mensual. ¿Cuál 2 es el valor más cercano a lo que ganará al cabo de tres meses, si no hace retiros ni 1 1 1 1 g = = depósitos en ese período? 3 3 3 27 2 A) $ 106.000 1 1 1 h =3 = B) $ 106.121 3 3 3 C) $ 6.000 D) $ 8.080 Como los numeradores de las fracciones resultantes son iguales, se tiene que a E) $ 6.121 mayor denominador el valor de la fracción disminuye, contenido tratado en la 1 1 1 COMENTARIO Enseñanza Básica, por lo tanto se tiene la siguiente relación g f h . 3 3 3 Este ítem se refiere al contenido de planteo y resolución de problemas que involucren el cálculo de interés compuesto. Por lo que la alternativa correcta es B). Para su resolución el alumno debe aplicar la fórmula utilizada para el cálculo de Este ítem resultó difícil, pues lo contestó bien el 31% de quienes lo abordaron y la n omisión fue alta alcanzando el 54%, lo que podría indicar que los estudiantes no t este tipo de interés, es decir, Cf = Ci 1 + , donde: están habituados a trabajar con este tipo de preguntas. 100 Quienes contestaron equivocadamente, se repartieron en forma similar entre los Cf = capital final distractores, probablemente los errores que pudieron haber cometido están referidos Ci = capital inicial a la operatoria al momento de valorar, o bien no hacen una buena comparación entre t = tanto por ciento de interés las imágenes. n = tiempo Luego, debe reemplazar en la fórmula los datos entregados en el enunciado: PREGUNTA 34 Ci = $ 100.000, t = 2% y n = 3 meses.Sean x e y números positivos, la expresión log (x3 · y 2) es siempre igual a 3 2 Por lo tanto, Cf = 100.000 1 + = 100.000(1,02)3 = 106.120,8, resultado que A) 6 · log (xy) 100 3 es, aproximadamente, $ 106.121. B) · log (xy) 2 Esta cantidad es el capital final acumulado al término de los tres meses, pero como C) 3 · log x 2 · log y se pregunta por lo que ganará al cabo de este período se le debe restar al capital final 3 log x el capital inicial, luego el dinero que ganará Viviana al cabo de los tres meses será de D) 2 log y de $ 6.121, valor que se encuentra en la opción E). E) (3 · log x)( 2 · log y) A pesar de que es una aplicación muy directa de la fórmula de interés compuesto y COMENTARIO el cálculo a realizar es sencillo, el ítem resultó difícil, pues lo contestó bien sólo un 12% de los estudiantes que lo abordaron y la omisión alcanzó a un 31%. En esta pregunta los alumnos deben aplicar las propiedades de los logaritmos. En este caso, deben aplicar la propiedad del logaritmo de un producto, esto es El distractor más marcado fue C), con un 28%, quienes obtuvieron este resultado, logb (a c) = logb a + logb c y la propiedad del logaritmo de una potencia, trabajaron la pregunta como un interés simple. En efecto, como se aplica el 2% de logb an = n logb a. interés mensual, este porcentaje lo multiplicaron por los tres meses, calculando de esta manera el 6% de $ 100.000. Es así como, log (x3 · y 2) = log x3 + log y 2 = 3 · log x 2 · log y. También resultó bastante alto el distractor A) con un 17%, quienes lo marcaron De esta manera la opción correcta es C). calcularon el 6% de $ 100.000 y este valor se lo sumaron al capital inicial obteniendo $ 106.000. Llama la atención lo difícil que resultó esta pregunta, pues la contestó bien sólo el 25% de los estudiantes que la abordaron y la alta omisión del 54% indicaría que desconocen las propiedades de los logaritmos. El distractor más marcado por los alumnos fue E) con un 11%, estos alumnos lo más probable es que distribuyeron el logaritmo en el paréntesis y luego aplicaron bien la propiedad del logaritmo de una potencia. Recommended

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