Source: https://es.scribd.com/document/167381662/Fasciculo-Secundaria-Matematica-VI-Rutas-Del-Aprendizaje
Timestamp: 2017-05-23 03:53:04+00:00

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III.5 Promoviendo tareas matemáticas articuladas 32 3.1 Algunas situaciones de aprendizaje	37 4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números racionales	70 VI.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números enteros?	36 4.7 Fases de la resolución de problemas	34 3.1 Algunas situaciones de aprendizaje	79 6.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números racionales?	62 5.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a la función lineal?	78 6.	¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? 9 ¿Qué aprenden nuestros adolescentes? 15 ¿Cómo podemos facilitar los aprendizajes?	21 3.Índice
Introducción	7 I.	II. herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas	26 3.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a la función lineal	92 Bibliografía	99
.6 Resolviendo problemas	33 3.2 Agunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números enteros	49 V.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje	21 3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos	24 3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 35 IV.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VI ciclo de la EBR	22 3.1 Algunas situaciones de aprendizaje	63 5.4 Reconociendo escenarios.
se desarrollan las seis capacidades matemáticas. configurando el desarrollo de la competencia. como un medio para comprender. Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual. matemática. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permiten hacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral. como parte de las rutas de aprendizaje. analizar.
TODOS PODEMOS APRENDER. la necesidad de transformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educación pertinente y de calidad. En este fascículo encontrarás: •	Algunas creencias que aún tenemos los docentes en nuestras prácticas educativas y que. procedimientos y herramientas matemáticas. como una de sus políticas priorizadas. Es en este marco que el Ministerio de Educación. tomar decisiones y dar respuesta a situaciones concretas.Introducción
El Proyecto Educativo Nacional establece. haciendo uso de conceptos. busca asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación. interpretar. tenemos que corregir. en la que todos los niños. tecnología y productividad. en forma simultánea. a partir de una situación problemática. con espíritu innovador. niñas y adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. cambio y relaciones. Es decir. en dos dominios: número y operaciones. explicar. nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias y capacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. en su segundo objetivo estratégico. que llega hoy a tus manos. ciudadanía. En el ámbito de la matemática. Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo. describir. y busca ser una herramienta para que nuestros estudiantes puedan aprender. •	Los estándares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término de los ciclos VI y VII de la Educación Básica Regular. ciencia. NADIE SE QUEDA ATRÁS
con mayor énfasis en el primer dominio. Por nuestra parte estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolo en las próximas ediciones.
•	Esperamos que este fascículo contribuya en tu labor cotidiana.
. de manera que sea lo más pertinente y útil para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho. Orientaciones respecto de cómo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidades matemáticas vinculadas a los dominios de número y operaciones.•	Las competencias y capacidades cuyo desarrollo permitirá alcanzar esos estándares de aprendizaje. cambio y relaciones.
nuestra visión particular de las matemáticas. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática?
Nuestras creencias. es decir.
Creencia: Desarrollar aprendizajes en el campo numérico es hacer solamente números. Yo voy a proponer que los estudiantes desarrollen sus aprendizajes apoyados en recursos gráficos. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. influyen sobre lo que hacemos en clase y sobre cómo aprenden nuestros estudiantes. presentamos dos situaciones de enseñanza que te permitirán reflexionar y mejorar tu práctica pedagógica.I. en esta unidad vamos a enseñar el tema de multiplicación en números racionales.
Ese tema es fácil. ¿Cómo sería una propuesta del desarrollo de la sesión?
Enseñaré aplicando primero fracción de un número para luego llegar a la multiplicación. Esto les permite desarrollar sus capacidades en torno a la resolución de problemas. voy a aplicar la siguiente técnica:
TODOS PODEMOS APRENDER. A continuación.
Entre ambos se obtiene 8 partes. empleando hojas cuadriculadas.
Pintamos 4/5 de la hoja y. por el otro lado la dividimos en 3. dividimos en 5 partes. con otro color.
. cada una de ellas representa
Este nuevo problema lo resolví empleando la representación gráfica. veremos cómo.
Por un lado de la hoja. podemos hacer ciertas operaciones.
Esto parece interesante al trabajar con hojas.Para resolver este problema. los 2/3 de ella.
se reconoce el papel orientador que tiene el docente. el informe pedagógico n. En ese sentido. El trabajo con material concreto que permita interpretar. en las que plantean desarrollar los conocimientos matemáticos asociados a procedimientos algorítmicos. por lo que: La formación del pensamiento científico y matemático es inseparable del desarrollo de representaciones variadas en torno a los objetos y sus relaciones. simbólico. Asimismo. de tal forma que cada uno de ellos aporta nuevos significados y procesos para el desarrollo de los aprendizajes. se apoyan en procesos de manipulación del material concreto y participan. Además. de sus representaciones mentales. se reconoce a un grupo de docentes planificando sus sesiones de aprendizaje. se reconoce que las ideas están girando sobre situaciones alejadas de la realidad e intereses de los estudiantes. por tanto.
El proceso de aprendizaje de la matemática implica el desarrollo de numerosos sistemas de representación (verbal. La pluralidad de sistemas de representación en el contexto permite una variedad de representaciones de un mismo objeto que orientan el desarrollo de habilidades y. Para poder desarrollar el significado del número racional. los estudiantes ponen en práctica operaciones de multiplicación de fracciones. es necesario que el estudiante elabore las diversas representaciones. El enfrentar a los estudiantes a una situación problemática que genere un reto en ellos. En la segunda parte de la historia. comprender y poner en práctica diversos procedimientos matemáticos. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. a partir de una situación problemática. gráfico. analítico). REPRESENTAR SITUACIONES ES IMPORTANTE PARA RESOLVER PROBLEMAS
TODOS PODEMOS APRENDER.° 17 de los resultados de la Evaluación Nacional 2004 realizada por la Unidad de Medición de la Calidad Educativa (UMC) ha reconocido que los estudiantes presentan dificultades en el manejo de las nociones de número en el conjunto de los racionales. Las representaciones a partir del contexto son necesarias para el desarrollo de la actividad matemática y para la comunicación. Las representaciones mentales no son independientes de las representaciones que realiza el estudiante en el contexto. pues ellas posibilitan que se tenga una profundidad en los conceptos y procedimientos matemáticos. se evidencia cómo. Se muestra una correspondencia de esta situación de aprendizaje con el desarrollo de un enfoque por competencias.¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes respecto a la representación en esta historieta?
En la primera parte de la historia.
La planificación que realizan los docentes para desarrollar los aprendizajes en sus estudiantes.
Competencia. se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores.
En este fascículo. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. un indicador se relaciona con más de una capacidad. empleando diversas estrategias de solución. Para tal fin. Por lo tanto. determinar aumentos o descuentos porcentuales sucesivos. capacidades e indicadores en número y operaciones
En número y operaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los números y sus operaciones. se seleccionan o se ponen en acción las diversas capacidades y recursos del entorno. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de la situación y a la finalidad de nuestra acción. justificando y valorando sus procedimientos y resultados. •	Resolución de situaciones problemáticas en cambio y relaciones. las cuales son definidas como un saber actuar en un contexto particular.
TODOS PODEMOS APRENDER. En este fascículo se trabajan dos competencias matemáticas relacionadas con: •	Resolución de situaciones problemáticas en número y operaciones. Resuelve y formula situaciones problemáticas de diversos contextos referidas a determinar cuántas veces una cantidad contiene o está contenida en otra.	¿Qué aprenden nuestros adolescentes?
El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias. empleando diversas estrategias y explicando por qué las usó. relacionar magnitudes directa o inversamente proporcionales. Relaciona la potenciación y la radicación como procesos inversos (Mapa de Progreso de Matemática: Número y operaciones). en función de un objetivo o la solución de un problema. Selecciona unidades convencionales e instrumentos apropiados para describir y comparar la masa de objetos en toneladas o la duración de un evento en décadas o siglos. El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VI ciclo es:
Representa cantidades discretas o continuas mediante números enteros y racionales en su expresión fraccionaria y decimal en diversas situaciones. para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas. relaciona los órdenes del sistema de numeración decimal con potencias de base diez. racionales y porcentajes.II. Compara y establece equivalencias entre números enteros.
•	Plantea estrategias de representación (pictórica. •	Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes. ≤. en diversos •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan contextos. Construcción del significado y uso de los números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables •	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. decimales (hasta décimas) y porcentajes. •	Explica las condiciones de opuesto y valor absoluto. agrupación. unidad. >.16
NÚMERO Y OPERACIONES . comparación escalar. <.
Construcción del significado y uso de los números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas •	Describe situaciones (ganancia-pérdida. ≤. •	Usa la recta numérica para establecer relaciones de orden. •	Usa las expresiones =. empleando la recta numérica. •	Explica la pertinencia de usar el número racional en su expresión fraccionaria. •	Generaliza procedimientos para hallar la fracción generatriz de un número decimal exacto periódico puro y periódico mixto. altitud y temperaturas) que no se pueden explicar con situaciones los números naturales. decena. •	Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno al aumentar y disminuir. Representa •	Elabora estrategias para ordenar y comparar cantidades (asociadas al número entero) en la recta numérica. unidad. •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. situaciones que involucran •	Usa las expresiones =. •	Usa la recta numérica para establecer relaciones de orden y comparación entre los números enteros y racionales. usando fracciones. <. ingreso-egreso. comparación y densidad entre los números racionales. longitud. >. tiempo. <. decimales (hasta centésimos). •	Usa las expresiones =. etc. decena. que involucran •	Examina situaciones de cambio. ≥ para establecer relaciones de orden y comparación entre los números racionales expresados en fracciones heterogéneas y mixtas y expresiones de posición del sistema de numeración decimal (centésimos. notación científica y porcentajes. •	Plantea estrategias de representación (pictórica. décimos. cantidades y operaciones. gráfica y simbólica).). ≥ para establecer relaciones de orden y comparación entre los números racionales expresados en fracciones homogéneas y expresiones de posición del sistema de numeración decimal (décimos.VI CICLO
INDICADORES PRIMER GRADO DE SECUNDARIA Segundo grado Construcción del significado y uso de los números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables •	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. •	Justifica el uso de la recta numérica en la resolución de situaciones problemáticas de orden en los números racionales. •	Expresa representaciones distintas de un mismo número racional usando fracciones. de potenciación y radicación. longitud. capacidad de almacenamiento en bytes).). •	Expresa representaciones distintas de un mismo número entero y racional. •	Expresa la imposibilidad de la solución en situaciones de sustracción con los números naturales para extender los números naturales a los enteros. >. ≤. ≥ para establecer relaciones de orden entre los números enteros. cantidades y •	Asigna a cantidades el signo positivo o negativo en situaciones magnitudes contextualizadas. centena. gráfica y simbólica). cantidades y magnitudes •	Emplea el valor absoluto “||” de un número entero para expresar la distancia que existe entre el número y el cero en la recta en diversos numérica.
Comunica situaciones que involucran cantidades y magnitudes en diversos contextos. decimal y porcentual en diversos contextos para el desarrollo de su significado. •	Justifica procesos de resolución de problemas aditivos. etc. contextos. multiplicativos. capacidad de almacenamiento en bytes). orden Matematiza cronológico. •	Explica la condición de densidad entre dos números racionales. fracciones y decimales.
aumentos y descuentos de porcentajes sucesivos. capacidad de almacenamiento en bytes). longitud. •	Utiliza las propiedades de la potencia con exponente entero y base entera. especialmente de MCD y MCM. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Elabora estrategias haciendo uso de los números y sus operaciones para resolver problemas. •	Utiliza propiedades aditivas. técnicas y formales de los números y las operaciones en la resolución de problemas.
Argumenta el uso de los números y sus operaciones para resolver problemas. •	Diseña estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran las equivalencias entre los números naturales. tiempo. •	Justifica procesos de resolución de problemas aditivos. ingresosegresos) que no se pueden explicar con los números naturales. fracciones y decimales y notación científica. relaciones de magnitudes proporcionales directas. divisor. y divisibilidad en los números naturales. fracciones y decimales a partir de cantidades. •	Aplica variadas estrategias para resolver situaciones problemáticas que involucran operaciones entre fracciones. •	Justifica los procesos de resolución del problema. aumentos y descuentos de porcentajes. •	Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. empleando la recta numérica. •	Elabora estrategias para resolver operaciones del aditivo y del multiplicativo. •	Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes. •	Aplica propiedades de divisibilidad para resolver situaciones problemáticas contextualizadas.
. de potenciación y radicación con números enteros. •	Justifica las características de los múltiplos. •	Aplica las reglas de signos en operaciones aditivas y multiplicativas. •	Explica la relación entre la potencia y raíces como operación inversa. longitud.Construcción del significado y uso de las operaciones con números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables
•	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. •	Justifica procesos de relación inversa entre la suma y la resta. •	Aplica variadas estrategias para resolver problemas que involucran operaciones entre fracciones.
Construcción del significado y uso de la divisibilidad en situaciones problemáticas de ordenamiento y distribución de filas con cantidades discretas •	Reconoce situaciones de distribución y ordenamiento en filas. enteros y racionales en contextos diversos. Construcción del significado y uso de las operaciones con números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas •	Experimenta situaciones (ganancia-pérdida. •	Utiliza esquemas gráficos (diagramas de flechas. multiplicativas. •	Ordena datos y los representa en esquemas de organización que expresan la relación de múltiplo. factor. multiplicativas. factores y criterios de divisibilidad basados en procesos de inducción y deducción. la multiplicación y la división. capacidad de almacenamiento en bytes). de potenciación y radicación. en las que se requiere el uso de múltiplos y divisores. •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones aditivas y multiplicativas con números enteros. •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Explica de forma resumida la estrategia de resolución empleada.
Utiliza expresiones simbólicas. de potenciación (exponente natural y base entero positiva y de radicación). multiplicativas. •	Justifica los procesos de resolución del problema. problemáticas con cantidades continuas mensurables •	Experimenta y describe situaciones de medición (masa. la potenciación y la radicación son procesos de relación inversa. •	Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno a aumentar y disminuir. tiempo. la potenciación y la radicación. •	Justifica que la adición. •	Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. la sustracción. •	Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. •	Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. mínimo común múltiplo y máximo común divisor para resolver problemas contextualizados. incluyendo la potencia. divisores. •	Utiliza factores primos en la descomposición de un número. de potenciación y radicación. diagramas de Venn. incluyendo la potenciación. relaciones de magnitudes proporcionales (directa e inversa). multiplicativos. diagramas de árbol) para resolver situaciones problemáticas con múltiplos y divisores. •	Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas.
TODOS PODEMOS APRENDER. la multiplicación y la división.
Por lo tanto. Representa las condiciones planteadas en una situación problemática mediante ecuaciones lineales. Modela diversas situaciones de cambio mediante relaciones de proporcionalidad inversa.
Adaptación: Modelo de competencia matemática de Mogens Niss. comprueba y argumenta conclusiones (Mapa de Progreso de Matemática: Cambio y relaciones). desigualdades. Interpreta que una variable puede representar también un valor que cambia. relaciones y funciones. capacidades e indicadores en cambio y relaciones
En cambio y relaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los patrones.Competencia.
En este fascículo. las describe y representa en tablas. utilizando diversas estrategias de solución y justificando sus procedimientos y resultados. igualdades. formula. En ella confluyen las seis capacidades matemáticas generales que se movilizan de manera sistémica con los conocimientos de patrones. para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas. ecuaciones e inecuaciones.
. relaciones y funciones para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana. Identifica el conjunto de valores que puede tomar un término desconocido para verificar una desigualdad. se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores. simplifica expresiones algebraicas. funciones lineales y afines. en el plano cartesiano y con expresiones algebraicas. 2011. comprueba equivalencias y argumenta los procedimientos seguidos. un indicador se relaciona con más de una capacidad. Conjetura cuando una relación entre dos magnitudes tiene un comportamiento lineal.
Interpreta y crea patrones geométricos que se generan al aplicar traslaciones.
En la figura adjunta se esquematiza la competencia matemática en cambio y relaciones. reflexiones o rotaciones y progresiones aritméticas con números naturales en las que generaliza y verifica la regla de formación y la suma de sus términos.
Matematiza situaciones que involucran regularidades. aditivos y la regla de formación equivalencias de progresiones aritméticas. coeficientes N y Z. contextos. •	Verifica la regla de formación y la suma de los términos de una progresión aritmética. •	Describe con sus propias palabras la regla de formación de la progresión aritmética y el patrón geométrico. en diversos geométricos y progresiones aritméticas. •	Explica procedimientos inductivos usados en la obtención de patrones geométricos. •	Expone las condiciones de rotación. •	Describe con sus propias palabras el patrón de formación aditivo y geométrico en la resolución de situaciones problemáticas. •	Crea regularidades artísticas y cotidianas expresadas en gráficos. Construcción del significado y uso de las ecuaciones e inecuaciones lineales en situaciones problemáticas que involucran situaciones de equivalencia •	Experimenta situaciones de equivalencia en diversos contextos Comunica para el desarrollo del significado de las ecuaciones lineales con coeficientes N y Z. •	Explica. •	Expresa el conjunto solución de ecuaciones lineales. situaciones •	Experimenta situaciones reales o simuladas de desigualdades para que involucran el desarrollo del significado de las inecuaciones lineales con regularidades. y cambios •	Expresa el conjunto solución de ecuaciones lineales e inecuaciones en diversos lineales. •	Manifiesta acuerdo de grupo respecto a patrones geométricos y progresiones aritméticas. de implicancia artística y cotidiana. la reflexión y la rotación geométrica. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Señala situaciones de equivalencia en contextos reales o simulados para el desarrollo del significado de una relación lineal. •	Ordena datos en esquemas a partir del reconocimiento de regularidades en patrones geométricos y progresiones aritméticas. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Aplica la regla de formación en los patrones geométricos para la construcción de una sucesión de repetición.
TODOS PODEMOS APRENDER. •	Explica procedimientos inductivos usados en la obtención de patrones geométricos.CAMBIO Y RELACIONES . equivalencias y cambios en diversos contextos. que involucran regularidades. •	Utiliza expresiones tabulares y algebraicas para obtener la regla de Representa formación en progresiones aritméticas. equivalencias •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de equivalencias mediante ecuaciones lineales. contextos. •	Justifica los procesos de resolución del problema. a partir de procedimientos de construcción. la rotación y traslación para el desarrollo del significado de patrones geométricos. •	Ordena datos en esquemas a partir del reconocimiento de regularidades de patrones aditivos. geométricos y progresión aritmética en situaciones problemáticas que involucran regularidades •	Crea regularidades usando patrones geométricos de implicancia artística y cotidiana. •	Justifica los procesos de resolución del problema. multiplicativos y ley de formación de las progresiones geométricas. •	Verifica la ley de formación y la suma de los términos de una progresión aritmética. Construcción del significado y uso de las ecuaciones e inecuaciones lineales en situaciones problemáticas que involucran situaciones de equivalencia •	Diseña modelos de situaciones reales o simuladas para el desarrollo del significado de inecuaciones lineales con coeficientes N y Z. •	Crea regularidades artísticas y cotidianas expresadas en gráficos. •	Utiliza expresiones tabulares y algebraicas para obtener la regla de formación en progresiones aritméticas. y cambios •	Manifiesta acuerdo de grupo respecto a patrones aditivos. •	Explica mediante ejemplos las implicancias de variar las reglas de formación de patrones geométricos. geométricos y progresiones aritméticas. aditivos y ley de formación de las progresiones aritméticas.VI CICLO
Construcción del significado y uso de los patrones geométricos y progresión aritmética en situaciones problemáticas que involucran regularidades •	Diseña regularidades usando patrones con la traslación. situaciones •	Aplica la regla de formación en los patrones aditivos y geométricos para la construcción de una sucesión de repetición. •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de equivalencias mediante ecuaciones lineales.
. •	Explica mediante ejemplos las implicancias de variar las reglas de formación de los patrones geométricos y las progresiones aritméticas. traslación y reflexión compuestas en patrones geométricos.
Construcción del significado y uso de los patrones aditivos.
tabulares o algebraicas. •	Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de ecuaciones e inecuaciones lineales. técnicas y formales de los patrones.
. •	Particulariza mediante ejemplos que las ecuaciones lineales e inecuaciones modelan a la situación problemática dada. distancia-tiempo. costo-tiempo.
Elabora estrategias haciendo uso de los patrones. •	Utiliza operaciones aditivas y multiplicativas en expresiones algebraicas para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. •	Usa operaciones aditivas y multiplicativas para obtener expresiones equivalentes en situaciones de igualdades y desigualdades. costo-tiempo. relaciones y funciones para resolver problemas. •	Expresa en forma gráfica. •	Elabora modelos que expresan relaciones de proporcionalidad directa. Construcción del significado y uso de la proporcionalidad inversa y funciones lineales afín en situaciones problemáticas de variación (costocantidad. distancia-tiempo. altura-base) •	Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de la proporcionalidad directa y la función lineal. •	Justifica. •	Usa operaciones para obtener expresiones equivalentes en situaciones de igualdades y desigualdades. •	Reduce términos semejantes para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. relaciones y funciones para resolver problemas. •	Justifica los procesos de resolución del problema. tabulares o algebraicas.
•	Expresa la diferencia entre expresión algebraica.20
•	Expresa la diferencia entre expresión algebraica. •	Justifica los procesos de resolución del problema. •	Resume sus intervenciones respecto a las estrategias de resolución empleadas para el desarrollo de problemas diversos que implican el uso de funciones lineales afines. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran ecuaciones e inecuaciones. •	Justifica el uso de una representación gráfica de la función lineal para modelar una situación problemática. inversa y de dependencia lineal afín. •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa. funciones lineales y modelos lineales. proporcionalidad directa e inversa. •	Justifica los procesos de resolución del problema. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. •	Expresa en forma gráfica. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver situaciones problemáticas que involucran ecuaciones e inecuaciones lineales. ecuación e inecuación lineal. afirmaciones relacionadas con la dependencia funcional entre variables y proporcionalidad inversa. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. ecuación e inecuación lineal a partir de situaciones problemáticas. inversa y relaciones de dependencia lineal afín. relaciones y funciones en la resolución de problemas. •	Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa. recurriendo a expresiones gráficas. •	Ubica en el plano cartesiano el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales de dos variables. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. •	Utiliza operaciones aditivas y multiplicativas en expresiones algebraicas para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. •	Explica que la equivalencia entre dos ecuaciones algebraicas se mantiene si se realizan las mismas operaciones en ambas partes de una igualdad. •	Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. •	Justifica los procesos de resolución del problema. modelos lineales afines.
Argumenta el uso de los patrones. altura-base) •	Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de las funciones lineales afines. •	Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de la proporcionalidad directa. Construcción del significado y uso de la proporcionalidad y funciones lineales en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales y de proporcionalidad directa. inversa y de dependencia lineal afín. •	Ubica en el plano cartesiano el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales de dos variables. •	Participa y da su opinión respecto al proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de ecuaciones e inecuaciones lineales. •	Emplea procedimientos de factorización para resolver situaciones problemáticas que implican ecuaciones e inecuaciones lineales de una variable. •	Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa.
Utiliza expresiones simbólicas. •	Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales afines y de proporcionalidad directa e inversa.
a partir de actividades vivenciales y lúdicas. lo que permite generar condiciones adecuadas para los espacios de aprendizaje. c)	Proyecto matemático Se pone en práctica el acercamiento de los conocimientos matemáticos a aspectos de la realidad en diversos contextos. Esto comprende un conjunto de actividades para indagar y resolver una situación problemática real con implicancias sociales. es importante reconocer estos escenarios que actúan de forma complementaria: a)	Sesión laboratorio matemático El estudiante. b)	Sesión taller matemático El estudiante pone en práctica aquellos aprendizajes que ya ha desarrollado.
3. económicas.
TODOS PODEMOS APRENDER. procedimentales y cognitivos) en la intención de resolver situaciones problemáticas. La experimentación le permite el reconocimiento de regularidades para generalizar el conocimiento matemático. Despliega diversos recursos (técnicos.III. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. productivas y científicas. acciones y situaciones. La matemática basada en la resolución de problemas requiere de contextos de aprendizaje donde tengan lugar diversas experiencias.
Por ello. logra construir conceptos y propiedades matemáticas.	¿Cómo podemos facilitar los aprendizajes?
En esta sección desarrollaremos algunos puntos que nos ayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para que nuestros estudiantes logren los aprendizajes matemáticos.1	Desarrollando escenarios de aprendizaje
El desarrollo progresivo de las competencias en el área de Matemática se manifiesta por medio de las capacidades de manera dinámica.
expresiones porcentuales.3. En nuestro contexto recibimos gran cantidad de información que proporciona datos.°
Porcentajes como la expresión de parte-todo Potenciación con base entera positiva y exponente natural Números múltiplos y divisibles. comparación y orden en números enteros en situaciones opuestas y relativas Valor absoluto de un número entero en relación con la distancia al cero Operaciones y propiedades con números enteros Potenciación y radicación con números enteros como operaciones inversas Número racional como expresión fraccionaria. a veces sin ser conscientes de ello. En él se observa el tránsito que realizan los estudiantes finalizando el V ciclo. decimal y porcentual para expresar cantidades continuas y discretas Propiedades de los números racionales Operaciones con los números racionales Potenciación con base fraccionaria y exponente entero Representación. sus relaciones y las formas son los pilares de las matemáticas. comparación y orden en los números racionales a partir de cantidades continuas
2. etc.°
1. nociones que. decimales y fraccionarios. aprendizajes adquiridos en la primaria y nociones básicas asimiladas desde la infancia. infografías. El cuadro adjunto muestra el desarrollo de los conocimientos en torno a los números y sus operaciones. por ejemplo. En el VI ciclo se amplían los conocimientos matemáticos al reconocimiento de los números enteros y racionales. su desarrollo pleno en el VI ciclo y los saberes previos con que empiezan el VII ciclo. tablas. el uso del sistema de notación decimal se puede emplear en una transacción monetaria o en la medición de la distancia de la Tierra a la Luna.
6.2	Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VI ciclo de la EBR
Los números. Desarrollar la competencia matemática implica el desarrollo progresivo y articulado de los conocimientos matemáticos. requerimos en el día a día. Los estudiantes ingresan al VI ciclo de la EBR con un desarrollo previo de capacidades en torno a los números naturales. Debido a ello. resulta indispensable hacer uso adecuado de estos conocimientos matemáticos según el contexto. todos ellos en sus diversas formas de representación. Divisibilidad en situaciones de ordenamiento de filas Números enteros en situaciones opuestas y relativas Representación.°
2. En este VI ciclo amplían su desarrollo a procedimientos de recurrencia y a composición de movimientos más complejos.°
TODOS PODEMOS APRENDER.Potenciar aprendizajes para distinguir patrones constantes implica establecer relaciones sobre cantidades. forma y propiedades entre formas geométricas. NADIE SE QUEDA ATRÁS
3. así como constituir relaciones de movimiento. En él se observa el tránsito que realizan los estudiantes finalizando el V ciclo. Desde el nivel inicial el estudiante experimenta un acercamiento a conocimientos de cambios y relaciones. descubriendo regularidades a partir de formas y acciones de repetición. números y operaciones. su desarrollo pleno en el VI ciclo y los saberes previos con que empiezan el VII ciclo.
6. El cuadro adjunto muestra información respecto al desarrollo de los conocimientos referidos a cambio y relaciones. Los distintos fenómenos que se observan en la naturaleza están vinculados unos con otros por medio de relaciones y leyes que indican distintas magnitudes que los caracterizan.
tomando como recurso la matriz de indicadores. Organización en Asigna a cantidades el equipos de trabajo. Comunica. ≤. Taller de matemática: Generaliza condiciones Resolución de de los valores numéricos problemas con en torno al aumentar y números enteros.3. Elaboración de un Expresa la imposibilidad de papelógrafo en el la solución en situaciones de que se expresan los sustracción con los números ingresos. desarrollar el significado de Recojo de datos en los números enteros y sus el entorno familiar. ingresos-egresos. Utiliza expresiones simbólicas técnicas y formales. Laboratorio: Elabora estrategias para Lo que significan ordenar y comparar sobre y debajo cantidades (asociadas Laboratorio: al número entero) en la recta numérica para la Jugando con las resolución de situaciones cargas problemáticas.
Capacidades generales Escenarios y actividades Proyecto matemático: Describe y experimenta Haciendo el situaciones (gananciapresupuesto familiar pérdida. Representa. signo positivo o negativo en en los que cada situaciones contextualizadas miembro del equipo para desarrollar el ejerza un rol significado del número familiar. Usa las expresiones =. empleando la recta numérica para desarrollar el significado del número entero. operaciones. presentamos un modelo para la organización de una unidad de aprendizaje y una sesión de aprendizaje.3	Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos
A continuación. altitud Constitución de y temperaturas) que no se equipos de trabajo pueden explicar con los y proyección de las números naturales para tareas a desarrollar. <. Elabora diversas estrategias para resolver problemas. ≥ para establecer relaciones de orden entre los números enteros. Indicadores Tiempo 2 semanas
Matematiza. egresos y naturales para extender el ahorro que realiza los números naturales a los cada familia. enteros. correspondiente al primer grado de Secundaria. 1 sesión de 90 minutos 1 sesión de 90 minutos
. >. Argumenta. disminuir. entero. orden cronológico.
de registro de experiencias. Elabora estrategias para ordenar los números enteros en la recta numérica. Actividad de registro de experiencias. Actividad de indagación y exploración de las reglas y condiciones para realizar el juego. Pueden ser otras que el docente considere para el desarrollo de las capacidades y competencia matemática. datos y prácticas. Actividad de experimentación. Actividad de reflexión. Utiliza expresiones simbólicas y formales. deben permitir el aprendizaje autónomo de los estudiantes. Elabora diversas estrategias para resolver problemas. Expresa ejemplos de representaciones distintas de un mismo número entero a partir de situaciones problemáticas. Actividad de resolución de situaciones problemáticas.Para la presentación de las actividades. y de resolución de situaciones problemáticas. puesta en práctica del juego. datos y prácticas. datos y prácticas. Argumenta. secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes.
. socialización e institucionalización a partir de establecer relaciones entre las experiencias. Representa. Explica el uso de la recta numérica en la resolución de problemas de orden en los números naturales y enteros. de reflexión. evitando de esta forma un proceso rígido. Usa números con signo positivo o negativo para expresar condiciones contextualizadas diversas a partir de situaciones problemáticas. Resume sus intervenciones respecto a las estrategias de resolución empleadas para el desarrollo de problemas diversos.
Sesión Lo que significan sobre y debajo Capacidades Indicadores Localiza eventos relacionados con valores numéricos que no se pueden explicar con los números naturales para la comprensión de los números enteros. Actividades de enseñanza y aprendizaje
Matematiza. es pertinente mostrarlas de forma global. Comunica. Tales actividades son: de indagación y experimentación.
Las actividades vivenciales del entorno Este tipo de actividades está asociado a entrar en contacto directo con situaciones problemáticas reales. Planificar y desarrollar diseños de implicancia tecnológica. experimentación y simulación. los proyectos matemáticos son actividades vivenciales que expresan con más claridad la matematización. etc. asimismo.
. donde el estudiante se enfrenta a retos con ciertas reglas de juego.4	Reconociendo escenarios. numerosos datos sobre aspectos particulares de la realidad. Esto incluye analizar e interpretar el entorno y las condiciones en que se suscita el juego. te proponemos actividades y características que favorecen la matematización. A continuación. Modificar las reglas de juego. Por ejemplo. una infografía puede hacer referencia a la organización y datos estadísticos de un hospital. Estos esquemas informativos los podemos reconocer en: Recortes periodísticos. Hacer sociodramas que recojan aspectos de la realidad.
Estas actividades propician acciones de indagación. tener la disposición de razonar matemáticamente para enfrentar una situación problemática y resolverla. Afiches publicitarios e infografías. Las actividades lúdicas Son espacios de expresión y producción matemática. Poner en ejecución estrategias que ayuden a ganar el juego. Cuadros estadísticos. con íconos y símbolos. Son características usuales en este tipo de actividades: Reconocer las condiciones del juego. En ellas. Experimentar siguiendo las reglas del juego. Actividades apoyadas en esquemas gráficos En la actualidad. un diagrama de barras puede mostrar la devaluación de la moneda extranjera. En el nivel secundario. Elaborar diseños gráficos o informativos. herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas
A.	MATEMATIZAR Implica tener las habilidades para poder interpretar y transformar la realidad o parte de ella con la ayuda de la matemática. etc. Algunos procesos característicos para matematizar en la escuela son: Realizar medidas.3. los estudiantes interpretan la realidad haciendo uso de conceptos y procedimientos matemáticos para resolver la situación planteada. Dar solución a problemas a partir de estas presentaciones requiere de habilidades para poder procesar la información y seleccionar los datos pertinentes para establecer relaciones matemáticas. estamos rodeados de información que condensa.
.?) Interrogantes de ‘debería’ (¿qué deberíamos hacer primero. A continuación. etc. Fase: Trazar un plan y resolver el problema Promueve planteamientos y estrategias distintas para resolver problemas Considera el orden apropiado de las ideas. etc. de acuerdos.. ¿qué ocurriría con...) Interrogantes de ‘cómo’ (¿cómo procediste para resolver la situación planteada?. cuál es la diferencia?) Interrogantes de causa-efecto (si modificamos el dato..?) Interrogantes para promover la resolución del problema: Interrogantes de verificación (¿es el procedimiento adecuado?.B. etc.
Propuesta de interrogantes Interrogantes para promover la comprensión del problema: Interrogantes comparativas (¿en qué se parecen.. la discusión. tomando conciencia de lo que ya saben por sí mismos. Asimismo.) Interrogantes de ‘debería’ (cuando tenemos un problema de estas características. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Situaciones para promover las interrogantes Fase: Comprender los problemas Orienta a promover que los estudiantes puedan movilizar sus aprendizajes. cuando tenemos planteamientos gráficos. ¿qué deberíamos hacer primero?... si el procedimiento hubiese sido.) Interrogantes de generalización (¿en qué situaciones es conveniente desarrollar estas estrategias de resolución?.)
TODOS PODEMOS APRENDER.. la conciliación y la rectificación de ideas... Esto permite al estudiante familiarizarse con el uso de significados matemáticos e incluso con un vocabulario especializado..?) Interrogantes para promover la evaluación de resultados: Interrogantes de verificación (¿es la respuesta correcta?) Interrogantes comparativas (¿en qué se parece este problema desarrollado a otros?) Interrogantes de causa-efecto (supongamos que ahora los datos fueran... ¿qué resultados habríamos tenido?. ¿cómo afecta el problema?. ¿cuán importante es reconocer el planteamiento desarrollado?. Fase: Evaluar resultados Expresa ideas tanto de los procesos como de los resultados. puede suscitar la participación de los estudiantes en sus grupos de trabajo y en las intervenciones personales. trazar el plan para resolverlo y evaluar los resultados.. ¿qué deberíamos hacer?. Explica sus logros a partir de las actividades desarrolladas.	COMUNICAR Desarrollar la capacidad de la comunicación matemática implica promover el diálogo.. presentamos un grupo de interrogantes a fin de promover espacios de discusión. ¿has realizado las operaciones adecuadas. Expresa satisfacción de lo experimentado... de rescatar errores y tomarlos como punto de debate.. etc. Desarrolla actividades de participación grupal.?) Interrogantes de ‘cómo’ (¿cómo procedería usted para desarrollar el problema.
Es importante que sepamos hacer preguntas a los estudiantes para ayudarlos a comprender el problema..
establecer vínculos o respetar restricciones entre diferentes variables.	ARGUMENTAR La actividad matemática involucra emplear objetos. llegar a la situación óptima. conceptos y relaciones entre ellos.
TODOS PODEMOS APRENDER. Se reconocen cinco estrategias que propician la argumentación:
Estrategias De exposición De discusión De indagación Características Los organizadores visuales son recursos eficaces para estructurar los conocimientos en una exposición o discusión. Se pueden emplear:
Procedimientos experimentales. Los procesos del pensamiento lógico dan sentido a una situación y determinan. por aproximaciones sucesivas. implica el establecimiento de conjeturas para llevar a cabo la validación (justificación) de estas. Simulaciones como formas de ejemplificar. Una actividad que propicia el desarrollo y significado de estos conocimientos es la construcción de los mapas mentales. formas de representación. Formulación de contraejemplos. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Modelos que posibilitan la visualización de lo que no podemos observar directamente. Pueden ser:
Estudios de casos. reflexionar sobre las fuentes de información relacionadas o hacer generalizaciones y combinar múltiples elementos de información. Argumentar implica varias acciones: cuestionarse sobre cómo conectar diferentes partes de la información para llegar a una solución. Plantear interrogantes. seguido tentativamente por respuestas.F.
Propician una serie de situaciones representativas para establecer relaciones de generalización o particularización. procedimientos.
Gran parte de los conocimientos matemáticos están organizados de forma integral: se combinan hechos. analizar la información para crear un argumento de varios pasos. procedimientos y conceptos matemáticos.
procedimientos y objetos matemáticos que no están en un planteamiento original. concretas y específicas respecto al dominio de un conocimiento o la espera de una respuesta específica en la resolución de problemas. A continuación. conceptos. procedimientos y conceptos matemáticos. es importante plantear escenarios de aprendizaje.3. Para lograrlo. en función de la actividad matemática. Esta es una propuesta de acción que los profesores plantean a sus estudiantes para el aprendizaje. de argumentar y de proceder. tienen múltiples formas de representación que involucran un desarrollo flexible de ellas. Promueven planteamientos que se orientan a reproducir conocimientos específicos desarrollados y formas de proceder algorítmicas (es decir. Por ello. que expresa alguna interacción entre ellos. en los que el estudiante desarrolla progresivamente la competencia matemática. Son aquellas orientadas a recibir respuestas amplias y variadas.
. la movilización de capacidades y. Consiste en reconocer y expresar uno o varios datos. destinadas a reconocer apreciaciones y formas de razonar. conocer el procedimiento de solución de un problema).
Estrategias De relaciones entre datos Características Este tipo de tareas busca establecer una relación o vínculo entre dos o más objetos. Estas tareas promueven planteamientos que se orientan a niveles profundos en el desarrollo y uso de conceptos matemáticos. Usualmente. podemos reconocer que en cada escenario de aprendizaje se deben realizar tareas matemáticas. se requiere de una configuración articulada y planificada de situaciones que orientan el aprendizaje por aproximaciones sucesivas. En ese sentido.5	Promoviendo tareas matemáticas articuladas
Uno de los elementos importantes para el aprendizaje de las matemáticas son las situaciones en las que el estudiante se enfrenta a problemas. el desarrollo de la competencia matemática. Buscan reconocer respuestas puntuales. plantearemos tipos de tareas matemáticas para el mejor desarrollo de las capacidades y de la competencia matemática. finalmente.
TODOS PODEMOS APRENDER. diseñe estrategias. ¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio? Un problema exige movilizar varias capacidades matemáticas para realizar una serie de tareas que nos permitan encontrar una respuesta o solución a la situación planteada.S. Un ejercicio consiste en el desarrollo de tareas matemáticas. Muchas veces estas actividades tienen la característica de ser sencillas y de repetición.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Ejemplos: a) Resolver el sistema: x+2y =13 x=13.2y 3x=11 +y 11 + y x= 3 Igualando 13 .y 3 3(13 -2y)= 11+y 39-6 y=11+ y x=13-2(4) x=13-8 x=5
C.2y = 11 . pues permite movilizar las capacidades matemáticas. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. por lo cual las llamamos “tareas rutinarias”.2y 3x-y= 11 Solución: 3x-y= 11 3(13 -2y). fundamentalmente las que están vinculadas al desarrollo de operaciones. Al lado derecho.S. {(5. {(5.4)} MÉTODO DE IGUALACIÓN Ejemplos: a) Resolver el sistema: x+2y =13 3x-y= 11 Solución: x=13. Cantidad y calidad Existe la creencia de que un estudiante eficiente en la resolución de problemas desarrolla y resuelve gran cantidad de ejercicios: mientras más ejercicios haga será mejor resolviendo problemas. veamos algunas características de las actividades que realizan nuestros estudiantes: Las acciones del estudiante El ejercicio es una actividad simple y reproductiva. Este pensamiento es impreciso.3.6	Resolviendo problemas
La resolución de problemas es una actividad primordial en nuestra área. los conocimientos ya adquiridos. se muestra un cuaderno de trabajo de un estudiante que refleja el planteamiento de tareas rutinarias mediante el desarrollo de ejercicios matemáticos. las desarrolle y evalúe sus resultados y consecuencias. implica realizar una acción en la cual basta que se apliquen.4)}
Para reconocer y diferenciar un problema de un ejercicio. En un problema es necesario que el estudiante dedique un tiempo a la comprensión de la situación.y=11 39-6 y-y=1 1 39-7 y=11 39-11 =7y 28=7 y 4=y 3y-x= 11 3y-4 =11 3x=15 x=5 C. en forma algorítmica.
Desarrollo de cualidades personales Un ejercicio implica reproducir conocimientos. la experimentación. sin darle significatividad al desarrollo. por el contrario. procedimientos. Esto implica reconocer que resolver un problema con calidad requiere más tiempo. traza planes y. promueve la investigación. Desarrollo de capacidades Un ejercicio tiene por objetivo que el estudiante replique conocimientos aprendidos. la búsqueda de regularidades y el desarrollo de estrategias de resolución. técnicas y métodos dentro de rutinas establecidas. Hemos propuesto un nombre coloquial a la nomenclatura formal de cada fase. Este esquema muestra cuatro pasos para la resolución del problema: comprender.
3. En cambio. existen varios esquemas que presentan el orden más adecuado para situaciones novedosas. ejecutar el plan y desarrollar una visión. despierta una fuerte carga de participación del estudiante por querer resolver el problema. hace supuestos. En ella moviliza experiencias previas y conocimientos adquiridos. A continuación. por último. diseñar una estrategia.
. siente la satisfacción de haber solucionado el problema. de manera que facilite su comprensión:
Para los estudiantes Antes de hacer. un problema es un reto para él. Una situación problemática. lo que puede generar que el estudiante actúe automáticamente.7	Fases de la resolución de problemas
En la resolución de problemas. que describe las actividades fundamentales que se realizan en el proceso de resolución de cualquier problema matemático en general. vamos a entender Elaboramos un plan de acción Desarrollamos el plan Le sacamos el jugo a la experiencia
En el manual del docente de los módulos Resolvamos 1 y 2 se puede profundizar la información correspondiente. presentamos el esquema propuesto por George Pólya (1945).Las investigaciones demuestran que los mejores resolviendo problemas invierten más tiempo en dos procesos: la comprensión y la metacognición o evaluación de sus resultados.
permite que los estudiantes intercambien ideas entre los grupos. A continuación. Ellos tienen el rol de dirigir y orientar el proceso de la resolución de problemas. asimismo. asimismo.
b)	Trabajo diferenciado con equipos En esta organización. el docente asume un rol mediador con todos los equipos de trabajo.
En este esquema de organización. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. en el cual participan todos los integrantes.8	Promoviendo el trabajo cooperativo
El trabajo en equipo permite el intercambio de opiniones entre estudiantes. impulsa el planteamiento de distintas estrategias de resolución y puede ayudar a comprender mejor el problema. el docente focaliza el trabajo mediador en el grupo que lo considere necesario. se recomienda revisar el documento Orientaciones para el Trabajo Pedagógico del Área de Matemática (MED.
c)	Trabajo diferenciado con monitores de equipo En esta organización. deja en libertad a los otros grupos en el desarrollo de la resolución de problemas. presentamos tres formas de organización que podrían acompañar tales dinámicas: a)	Trabajo simultáneo con equipos
El número de integrantes en los trabajos de grupo depende del criterio del docente. lo conveniente es un promedio de tres o cuatro integrantes.
TODOS PODEMOS APRENDER.3. Respecto a las diversas propuestas dinámicas de trabajo cooperativo en la enseñanza y aprendizaje. Sin embargo. el docente delega el liderazgo a un monitor responsable por cada grupo de trabajo. 2010).
en los diversos escenarios de la vida cotidiana. su orden y sus operaciones. En el estudio de los números enteros es preciso afianzar su representación en la recta numérica. sobre. la existencia de signos que les preceden. por medio de materiales manipulativos y cotidianos en los que se muestra la necesidad de su utilización. Para ello. menos que. de cifras que superan el concepto de cantidad que mostraban los números naturales. en el sistema numérico. mostraremos situaciones que permiten integrar los temas que hemos abordado: se desarrollan las situaciones de un proyecto. Los estudiantes en la primaria desarrollan de forma amplia los números naturales. es importante mostrar un desarrollo en la adquisición del significado y uso de este campo numérico a partir de situaciones vivenciales. tener.
. la promoción de tareas matemáticas y la resolución de problemas. de un laboratorio y de un taller de matemática.IV.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números enteros?
Hemos reconocido los escenarios de aprendizaje. la progresión de los conocimientos matemáticos. más que. deber. A continuación. las orientaciones para el desarrollo de las capacidades matemáticas.
El concepto de número entero implica la inclusión. mediante conceptos como añadir. para luego ir formalizando y constituyéndolo como un aspecto que moviliza la competencia matemática en los estudiantes. y otros como reducir.
Indicador: Construcción del significado y uso de los números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Describe situaciones (ganancia-pérdida. Expresa la imposibilidad de la solución en situaciones de sustracción con los números naturales para extender los números naturales a los enteros. cada miembro del equipo ejercerá un rol familiar. ≥ para establecer relaciones de orden entre los números enteros. En ese contexto. Recojo de datos en el entorno familiar. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Conocimientos previos Números naturales Operaciones con los números naturales Actividades Constitución de equipos de trabajo y proyección de las tareas a desarrollar. Elabora estrategias para ordenar y comparar cantidades (asociadas al número entero) en la recta numérica. la situación económica en el hogar constituye un serio problema que afecta a la familia. <. los estudiantes desarrollarán un proyecto de aprendizaje que tendrá una duración de una semana. Tiempo 3 sesiones de 90 minutos Productos parciales /totales de los estudiantes Cronograma de actividades Fichas llenadas de recojo de datos Sociodrama de simulación familiar Papelógrafo de ingresos y egresos familiares
TODOS PODEMOS APRENDER. Presentación de cuadro de gastos. En estos casos. Usa las expresiones =. los egresos y el ahorro que realiza cada familia. Geografía y Economía
Propósitos Recoger datos respecto a los ingresos y egresos en la economía del hogar. Organización en equipos de trabajo. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno al aumentar y disminuir. egresos y ahorro de diversas familias. ingreso-egreso.1	Algunas situaciones de aprendizaje
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Algunas familias no realizan un adecuado presupuesto que les permita asumir sus gastos de forma responsable. ingresos y ahorro familiar. ≤. empleando la recta numérica. Presentar los ingresos. altitud y temperaturas) que no se pueden explicar con los números naturales. >. Realizar una dramatización de situaciones problemáticas respecto al presupuesto familiar. Elaboración de un esquema en un papelógrafo en el que expresan los ingresos. en el cual cada grupo realizará un cuadro informativo y la dramatización de un problema relativo al presupuesto de la familia. Asigna a cantidades el signo positivo o negativo en situaciones contextualizadas.4. Conocimiento Números enteros Contexto Ambiente familiar Áreas afines Educación para el Trabajo Historia. orden cronológico. Sociodrama que explique los problemas de presupuesto.
Expliquen cómo encuentran el dato que falta.	¿Cómo se relacionan el ingreso.3600
1. 4.° 2
Ingresos .	¿Cuál es la condición que debe existir entre los ingresos y los egresos en el entorno familiar? 5. el egreso y el ahorro? 3. ¿qué ocurrirá? Justifiquen su respuesta.240 S/.
.130 S/.° 1
Entrevisten a una familia y hagan un registro de datos.59 S/.	Si no consideramos otros gastos en el presupuesto.230 Monto S/. 2.	Determinen una expresión matemática que les permita explicar cómo se obtiene el ahorro familiar.egresos Ingreso Egresos Recibo de luz Recibo de agua Alimentación Transporte Otros gastos Ahorros S/.500 S/.Actividad N.
y registran los datos recogidos.	Elaboren un sociodrama que exprese problemas de presupuesto.	Elaboren un presupuesto que exprese un problema familiar:
2.Actividad N. 3. a partir de la actividad vivencial. los estudiantes parten de un problema real y reconocen situaciones relacionadas con la economía familiar (de ingresos y egresos) a partir del contexto: entrevistan a un grupo de familias.
En estas actividades. comunicándose con un lenguaje que es comprensible para los entrevistados y el entrevistador. y el registro de ingresos y egresos en el presupuesto de la familia. Presenten la operación. Ello implica que adviertan y reconozcan que los números naturales no van a poder dar solución a los problemas relacionados con el presupuesto familiar.	Con sus conocimientos respecto a los números. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.° 3
1. El objetivo es que los estudiantes adquieran la noción del número entero. expliquen qué operaciones matemáticas expresarían el problema sobre el presupuesto.
Asigna a cantidades el signo positivo o negativo en situaciones contextualizadas. Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones.Situación 2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Hay objetos que se encuentran sobre el nivel del mar (como el avión) y otros. 2.
. Texto del grado. Elabora estrategias para ordenar y comparar cantidades (asociadas al número entero) en la recta numérica. Necesitas: Que los estudiantes reconozcan las reglas de juego. empleando la recta numérica.	Ficha para mensajes
Grupo que elaboró el mensaje Objetos que elegimos: 1. minutos Sirve para: Interpretar el significado del signo positivo y negativo. Números naturales Grupo que recibió el mensaje Creemos que el objeto es el:
Actividad N. ingreso-egreso. Geografía y Economía
Cómo hacerlo: Tiempo: El docente plantea un reto lúdico que genere y movilice en los Una sesión de 90 estudiantes cierto interés por la actividad propuesta. Resolver problemas que involucran representaciones en la recta numérica. altitud y temperaturas) que no se pueden explicar con los números naturales. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno al aumentar y disminuir. Conocimientos previos: Significado de los números enteros Tarjetas para expresar los mensajes.° 1
1. Explica las condiciones de oposición. orden cronológico. bajo el nivel del mar (como el submarino). ¿Cómo representarías los que están ubicados en una misma distancia pero en diferentes posiciones? Indicador: Construcción del significado y uso de los números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Describe situaciones (ganancia-pérdida. Conocimiento Números enteros y su ubicación en la recta numérica Contexto Situación lúdica Áreas afines Historia.
M. cada pareja revisa si la otra interpretó correctamente. y otros (2008).
Adicionalmente. Cuando terminen. La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cuáles fueron los objetos que sus compañeros eligieron. volumen 1. Envía un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicación de los cuatro objetos que eligieron. Matemáticas I. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.800 m
Para jugar. Cuando los hayan encontrado.
Adaptación: Araujo. los anotan en el mensaje y lo regresan al grupo que lo envió. necesitan organizarse en parejas: Observen la imagen. hay una condición: en el mensaje no vale señalar o ser específico con un dibujo o una flecha. Cada pareja escoge cuatro objetos.
TODOS PODEMOS APRENDER. 105. Pág. deben encontrar la falla y corregirla. Si hubo equivocaciones.
también hay objetos sobre el nivel del mar y bajo el nivel del mar. ¿Qué características tiene la ubicación de la gaviota en relación con la del buzo? Señalen otras situaciones similares. 50 m avión nube 2m peces submarino 80 m barco Dibujo gaviota
4. 3. ¿qué los diferencia?
2. 5. 9.	El barco está ubicado a nivel del mar.	Utilicen el sistema empleado y completen la tabla. 2. 6. 8.	El avión y el submarino se encuentran a la misma distancia del nivel del mar.
Ubicación 1. 4.	Completen la siguiente tabla usando los signos “ +” o “–“ según corresponda:
6. 7.	¿Cómo harían para expresar las distancias sobre el nivel del mar y bajo el nivel del mar? 3.° 2
Respondan las siguientes interrogantes: 1.	¿Por qué es importante utilizar signos “+” o “-” posiciones de los objetos?
7. ¿Cómo representarían a los objetos que están ubicados sobre el nivel del mar? ¿Cómo representarían los objetos que están ubicados bajo el nivel del mar? 5.
.Actividad N.
Un buzo se encuentra a una profundidad de 32 metros y empieza a subir 4 metros por minuto. pero son opuestos con relación al “sobre” y “debajo”.° 3
En grupo En matemáticas se usa la recta numérica simétrica para ubicar a los números positivos. los estudiantes parten de una situación lúdica cuya dinámica genera una condición de diálogo entre sus pares. Se determina el lugar del cero. reconocerán que el uso de la recta numérica es una estrategia pertinente para resolver este tipo de problemas. después los números con signo + se ubican a la derecha del cero y los números con signo .
TODOS PODEMOS APRENDER. reconocen las posiciones de los objetos y seres vivientes. Parte en En pareja ascensor desde el nivel 2 para subir hasta su departamento.	Diego vive en un edificio de 20 pisos que tiene 5 niveles de sótano. ¿A qué profundidad está al cabo de 5 minutos? ¿Cuántos metros le faltan en ese momento para llegar a la superficie? Expliquen cómo han realizado su representación para resolver este problema.	Se afirma que Pitágoras. ¿A qué edad murió? 3.	Respecto a las actividades realizadas. ¿En qué piso del edificio vive? ¿Qué estrategia es conveniente aplicar para resolver este problema? 2. ¿qué conocimientos previos han reconocido y en qué se diferencian de los nuevos ahora planteados?
Actividad N. finalmente. filósofo y matemático griego. intercambian opiniones. en el desarrollo comprenden que es necesario atribuir un símbolo que los diferencie. Posteriormente. C. en Reflexionen y respondan los estudiantes llegan a un acuerdo respecto al significado del “+” y “-”. las divisiones deben ser exactas y expresarse los números en ellas.Actividad N.se ubican a la izquierda del cero. vuelve a subir 2 pisos. vivió entre los años 582 y 496 a. Los estudiantes atribuyen el signo positivo o negativo cuando se percatan de que dos objetos tienen la misma distancia. Pero hay otras personas en el ascensor y no puede ir directamente a donde quiere. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Para expresar grandes números enteros en la recta numérica. asimismo.
1. Realiza el siguiente trayecto: sube primero 8 pisos. negativos y al cero. nociones que utilizarán cuando resuelvan problemas que involucran el desarrollo del significado y uso de los signos.° 4
Resuelvan situaciones problemáticas: 1.
En estas actividades. baja después 5 pisos y.
empleando la recta numérica. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno a aumentar y disminuir. presentamos problemas en situaciones reales que se resuelven con operación de números enteros. Indicadores: Construcción del significado y uso de las operaciones con números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Experimenta situaciones (ganancia-pérdida. Conocimientos previos : Significado de los números enteros
Texto del grado. Números naturales
Actividad N. Geografía y Economía Ciencia.
. Aplica las reglas de signos en operaciones aditivas y multiplicativas. Fichas de carga positiva y negativa Orientaciones Realiza operaciones con números enteros usando las fichas. Realizar operaciones con los números enteros. Para estas operaciones. Necesitas: Fichas de carga “positiva” y “negativa”. Elabora estrategias para resolver operaciones aditivas. Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones aditivas y multiplicativas con números enteros. incluyendo la potenciación. utilizaremos el material concreto de las fichas de carga.
Recursos 1. Conocimiento Operaciones con números enteros Contexto Situación familiar Áreas afines Historia. Tapete de enteros 2. Tecnología y Ambiente
Cómo hacerlo: Tiempo: El docente plantea un reto lúdico que genere y movilice en los Una sesión de 90 minutos estudiantes cierto interés por la actividad propuesta. Resolver problemas que involucran representaciones en la recta numérica. Sirve para: Interpretar el significado del signo “positivo” y “negativo”. ¿qué decisiones deberá tomar? Esta situación se presenta en muchos hogares donde no hay una adecuada planificación del ingreso familiar.° 1
A continuación.Situación 3
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Si la familia Pérez quiere tener un ahorro de 450 nuevos soles en promedio. Que los estudiantes reconozcan las reglas de juego. ingresos-egresos) que no se pueden explicar con los números naturales.
TODOS PODEMOS APRENDER. Cinco fichas (+) representan +5. etc.	¿Qué es un egreso familiar? ¿Cuál es el monto indicado? 3.
1.	En la ciudad de Juliaca. ¿qué decisiones deberá tomar?
Actividad N. tres fichas (-) representan – 3.
http://trujillodiwebnoticias. La ficha (-) representa – 1.	¿De cuánto es la diferencia entre el gasto total y el ingreso? 4.com/2010/10/elabora-tu-presupuesto-para-el-mes. Si durante la noche la temperatura descendió 2 °C. por la tarde se registró una temperatura de – 6 °C. un equipo recibe 4 goles en el primer tiempo y en el segundo tiempo anota 3.	Rodrigo tiene fichas y juega con sus amigos. ¿El equipo ganó o perdió? 2. primero resolveremos estos problemas apoyados con el material concreto FICHAS DE CARGA. ¿Cuántas fichas perdió el martes? 3.blogspot.que representan al cero. En cada situación.	¿Cómo procederías para resolver este problema? Si la familia Pérez Palma quiere tener un ahorro de 450 nuevos soles en promedio. El lunes pierde 3 fichas y el martes pierde el doble de lo que perdió el lunes.° 2
Para absolver estas interrogantes. En el tapete se puede anular o agregar el par de fichas + .	En un partido de fútbol.	¿Qué es un ingreso familiar? ¿Cuál es el monto indicado? 2. primero deberá discriminarse lo positivo de lo negativo.
4.	Diego debe S/.	Expliquen cada situación presentada.1 °C
Calculen la diferencia de temperatura que se registró el lunes. 3. ¿cuánto debe? La semana siguiente cuenta con S/.8. se suman los valores absolutos y se coloca el signo común.2. ¿Cuánto debe pagar para cancelar su deuda? 5.° 3
Reflexionen y respondan: Cuando los números tienen igual signo.	¿Por qué es importante usar las fichas de carga?
. ¿cómo se realiza la operación aditiva? Presenten ejemplos empleando las fichas.	Cuando los números enteros son de igual signo. Si paga S/.	¿Qué ocurre en el caso de los números con signos opuestos? ¿Qué características tiene la operación aditiva? Presenten ejemplos empleando las fichas. se restan los valores absolutos y se coloca el signo del número con mayor valor absoluto.
1. Cuando los números tienen diferentes signos.
7. 2.	¿Cuáles fueron las estrategias que les sirvieron para resolver estos problemas? 6.	¿Qué pasa si cambian los signos de la temperatura? ¿Variará la diferencia?
Actividad N.3 °C .
+6–3 +4–4 + 9 – 11 +4+6 –8–3 4.	En la ciudad de Huaraz se registran las siguientes temperaturas en los días indicados en la tabla:
Días lunes martes Temperatura máxima 7 °C 10 °C Temperatura mínima .7 a la dueña del quiosco.
el estudiante reconoce una situación problemática a partir de un recorte periodístico en el que se observa un informe respecto al presupuesto familiar.	Un avión sube a una altura de 2000 metros. descendió 4 °C y de 9 p. vuelve a subir 1500 y baja de nuevo 250 metros. entregó tres cheques por valor de S/. ¿cómo se afectaría el resultado del problema? 4.	¿En qué situaciones es conveniente hacer uso de la recta numérica y utilizar las fichas de carga? Presenten dos ejemplos de cada caso.
TODOS PODEMOS APRENDER.	Elaboren un mapa mental en el que se visualice el número entero y sus operaciones aditivas. de 9 a.. m..21 000. y después ingresó S/.. m. bajó 8 °C. m. m.	Planteen un problema reconociendo características de su entorno y que se asocie a las experiencias realizadas. m. de 7 a. m. m.	¿Cuáles fueron las estrategias que les permitieron resolver los problemas planteados? 3. a 12 p. S/. m. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.9000. a 1 p. ¿A qué altura se encuentra en este momento?
Actividad N. el monto de S/.° 5
Reflexionen y respondan: 1. Si Alejandro hubiera tenido en su cuenta corriente.
En el desarrollo de este laboratorio. Asimismo. de 6 p.	Se registra la temperatura de una ciudad: a las siete de la mañana es de 15 °C sobre cero.° 4
Resuelvan situaciones problemáticas: 1. ¿Cuál es el saldo actual de su cuenta? 3. m. de la 1 p..Actividad N.. a 9 a. se resolverán problemas con el material concreto. a 6 p. la temperatura aumentó 3 °C. se elevó 2 °C.54 000. a las 3 p. en vez de un saldo de S/. ¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche? 2. fichas de carga. subió en 6 °C..13 000 y S/.	Con relación al problema anterior. para que de forma gradual reconozcan características respecto al uso de los símbolos en las operaciones aditivas con los números enteros.40 000. 4.	Alejandro tiene en su cuenta corriente un saldo de S/. m.
2. m. no varió. después baja a 1300. m.54 000.34 000. de 3 p. a 9 p.
Elabora estrategias para resolver operaciones aditivas. empleando la recta numérica. incluyendo la potenciación. Conocimiento Números enteros y sus operaciones Grado Primer grado de Secundaria
Cómo hacerlo: Los estudiantes emplearán los textos del grado distribuidos por el Ministerio de Educación. seleccionados por un nivel de complejidad que servirán para orientar el desarrollo de las fases de la resolución de problemas. Generaliza condiciones de los valores numéricos en torno a aumentar y disminuir. Finalme
. se propone la sesión taller mat apoyados en material concreto. ingresos-egresos) que no se pueden explicar con los números naturales. los ca para teriormente. Necesitas: Textos del grado Conocimientos previos : Números enteros Operaciones con números enteros
En esta actividad se hace uso del texto educativo distribuido por el Ministerio de Educación. Aplica las reglas de signos en operaciones aditivas. Justifica procesos de resolución de problemas aditivos. A partir de él se identifican los problemas que van a ser presentados. Sirve para: Resolver problemas en los que implican el uso de los números enteros y sus operaciones. Ordena datos en esquemas de organización que expresan cantidades y operaciones aditivas y multiplicativas con números enteros.
ro? ciones planteadas acerca del número ente ¿Qué es lo que ha ocurrido con las situa ado estudiantes han identificado y solucion Mediante una actividad vivencial.Situación 4
Contexto Indicadores: Construcción del significado y uso de las operaciones con Situaciónes variadas números enteros en situaciones problemáticas opuestas y relativas con cantidades discretas Experimenta situaciones (ganancia-pérdida. se planteó una actividad lúdi problemas de presupuesto familiar. Pos enteros eros núm los en operaciones aditivas con el desarrollo del significado de los signos tico. emá nte.
com/2010/10/elabora-tu-presupuesto-para-el-mes.
http://trujillodiwebnoticias. en contextos de temperaturas. presentamos algunas orientaciones sobre cómo propiciar escenarios adecuados para la matematización. como el que empleamos en la sesión laboratorio matemático: Jugando con las cargas (ver pág.
La noción de opuestos aditivos. Para resaltar ejemplos didácticos. cronología. etc. se enfatizan algunas condiciones de las tareas. Hacer uso de recortes de periódicos u otras fuentes informativas Para iniciar las actividades matemáticas y orientarnos a desarrollar la capacidad de matematizar. un buen recurso es el recorte periodístico u otro medio de prensa escrita.html
TODOS PODEMOS APRENDER. etc.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE LA CAPACIDAD DE MATEMATIZAR Trabajar con números enteros relacionados con magnitudes y cantidades relativas o “dirigidas” implica orientar la capacidad de matematización apoyándose en:
Ojo con este dato Una tarea matemática es una propuesta de acción que los docentes plantean a sus estudiantes para el desarrollo de sus capacidades.2	Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números enteros
A. por ejemplo. A continuación.4. La estructura de orden total en una recta simétrica. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. 45). altitudes. en contextos de ganancias y pérdidas. por ejemplo.blogspot. ingresos-egresos.
Recurrir a actividades lúdicas para el inicio de actividades de indagación y exploración La actividad matemática ha tenido siempre un componente lúdico que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido. en la cual moviliza sus saberes previos en torno a la matemática. 41 de este fascículo. ingreso y ahorro familiar.
Producto Cuadro de ingresos. Propósito Recoger datos respecto a los ingresos y egresos en la economía de un hogar. lo que implica la realización responsable del presupuesto. cada miembro constituirá un rol familiar. donde presentamos el siguiente juego:
Recurrir a actividades vivenciales En la actividad vivencial como proyecto de aprendizaje. egresos y ahorro familiar
. los egresos y el ahorro que realiza cada familia. Presentación de un cuadro de gasto. así como de un sociodrama que explique los problemas de presupuesto. Elaboración de un esquema en un papelógrafo en el que expresan los ingresos. Actividades
Organización en equipos de trabajo. Un ejemplo de ello lo podemos ver en la pág. Situación problemática Una de las actividades básicas que toda familia realiza es la organización de los ingresos y egresos en la economía del hogar. el estudiante se enfrenta a un problema real. En ese sentido. El siguiente ejemplo ha sido desarrollado ampliamente en las págs. 37-39. el juego es muy importante como impulso inicial para el desarrollo de la capacidad de matematización.
Perdió un gol.1
Rpta.4)
= Así. ¿Ganó o perdió el equipo?
(. que conlleva mayor grado de dificultad. como si se tratara de un proceso de cargas eléctricas. se pueden usar recursos manipulativos para expresar las operaciones aditivas y multiplicativas. A continuación. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. desarrollamos algunos de los problemas enumerados en las págs. Hacer uso del material concreto El material concreto (en este caso las fichas de carga) permite orientar a los estudiantes en la constitución de esquemas procedimentales. por ejemplo. las operaciones aditivas con los números enteros.4) + (+3) (-4 ) + ( +3 ) = -1
. un equipo recibe 4 goles en el primer tiempo y en el segundo tiempo anota 3. se pueden emplear esquemas gráficos para la resolución.B. Asimismo. PROBLEMA: En un partido de fútbol. Cada signo positivo (+) representa “+1” y cada signo negativo (–) representa “–1”. En un paso posterior.
TODOS PODEMOS APRENDER.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE REPRESENTACIÓN Para que el estudiante comprenda el significado y las operaciones de los números enteros. 45 y 46. Este modelo ilustra esta relación de forma concreta. es recomendable representarlos en la recta numérica.
Paso 3 Coloca el doble del conjunto inicial de fichas. A partir de la manipulación de los objetos de su entorno se desarrollan las capacidades y de esta forma se construyen significados de los conceptos que son parte del aprendizaje.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s1_f6. discutir con mayor libertad.
2 x (-3 ) = . ¿Cuántas fichas perdió el martes?
Construye un modelo de 2 x (-3). Coloca en él dos conjuntos de 3 fichas.6
Rpta. Mediante el empleo de esta herramienta. Se descarta así la creencia de que la calculadora reduce el desarrollo de capacidades matemáticas por parte de la persona que la emplea. aumenta la motivación de los niños por la matemática (Fielker. (Cockcroft. Paso 2 Coloca un conjunto de 3 fichas negativas. Incluso. Se recomienda visitar: Uso de los recursos tecnológicos en el aprendizaje de la matemática http://sistemas02.pdf
. 1982). 1986).
Paso 1 Comienza con un tapete vacío.
El aprendizaje de las matemáticas parte del uso del material concreto. los estudiantes tienen mayores posibilidades para tomar una decisión. Paso 1 Paso 2 Paso 3
Así. Comienza con un tapete vacío. Perdió 6 fichas. etc. La cantidad final de fichas que aparece en el tapete es el resultado.PROBLEMA: Rodrigo tiene fichas y juega con sus amigos.minedu.
Las calculadoras estimulan la actividad matemática. El lunes pierde 3 fichas y el martes pierde el doble de fichas de lo que había perdido el lunes.
gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f1.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f3.( -3)
Comienza con un conjunto de 7 fichas positivas y trata de retirar 3 fichas negativas.pdf
TODOS PODEMOS APRENDER.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f2.minedu.3 °C
Para ampliar estudios respecto a números naturales. se recomienda visitar: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de los sistemas de números naturales. Paso 1 Paso 2 Paso 3
Así.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f1. Se registró una diferencia de 10 °C. enteros. 7 . racionales y reales en secundaria http://sistemas02. racionales y reales.PROBLEMA: En la ciudad de Huaraz se registraron las siguientes temperaturas en los días indicados en la tabla:
Días lunes martes Temperatura máxima Temperatura mínima .minedu.gob.
Solución: Construye un modelo de 7 .minedu.pdf Números y numerales http://sistemas02. agrega 3 pares nulos al conjunto.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_e_s2_f2. Ahora sí puedes retirar 3 fichas negativas.( -3) = 10
Rpta. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. enteros.minedu.gob.pdf Las medidas a través del tiempo http://sistemas02.minedu.gob. Como no hay fichas negativas.pdf Fracciones y decimales http://sistemas02.pdf Sistemas numéricos http://sistemas02.1 °C
Calcula la diferencia de temperatura que se registró el día lunes.
según que el número sea positivo o negativo. m.
(+6 ) + (-5) = +1 la noche es de 1 °C. para cambiar el sentido al desplazamiento. Este modelo también es útil para ilustrar las propiedades de los números enteros y sus operaciones. El signo de la sustracción. el sentido positivo se expresa con desplazamiento hacia la derecha y el sentido negativo.4 avanza 10 unidades
Desde +6 retrocede 5 unidades. ¿Cuál era la temperatura a esa hora?
Desde . al mediodía la temperatura había subido 10 °C respecto de lo cual bajó 5 °C en la noche.3.. Respuesta: En esta semana gas
. El signo de adición se utiliza para agrupar (juntar) desplazamientos. En esta.00 cada vez que compra un sándwich. ¿Cuánto gastó en esta semana?
Una forma de resolverlo sería así: (. Respuesta: La temperatura en
PROBLEMA: Norma gasta S/. Esta semana comió 4 sándwichs.12. PROBLEMA: En la ciudad de Sicuani el termómetro marcaba 4 °C bajo cero a las 8:00 a.3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12 -12 Otra forma de resolverlo es: (+4)(-3)=-12
tó S/. con desplazamiento hacia la izquierda.Haciendo uso de la recta numérica
La recta numérica orienta el desplazamiento en cada uno de sus dos sentidos.
es posterior al año 3 a. entre ellas se dibuja con cuidado otra línea recta con una escala al 50 % respecto a las dos primeras.Construyendo un normógrafo para realizar operaciones con números enteros
Este instrumento permite realizar operaciones aditivas con los números enteros. Por ejemplo.
Algunos estudiantes tienen problemas para establecer las relaciones de orden con los números enteros. Su construcción consiste en trazar dos líneas rectas paralelas con una misma escala. C. C. en especial por la confusión respecto al signo.
TODOS PODEMOS APRENDER. una estrategia útil es desarrollar estas relaciones de orden en una recta vertical como a continuación se expresa. Para iniciar al estudiante en este conocimiento. Se pueden realizar diversas operaciones con los números enteros solamente haciendo el cruce de los números en las dos rectas (una superior y otra inferior). +2 > -3
El año 2 d. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. y el resultado se obtiene en el segmento de cruce en la recta del centro. ellos pueden creer que -2 es menor que -5.
2012 (niveles de demanda cognitiva de Stein). a partir de la condición del problema.
1300 m 2000m-1300m 700m+1500m 2200m-250m 1950m . después baja 1300 metros. Rpta.
Ojo con este dato Una tarea matemática se puede expresar en distintos niveles de complejidad. 43 y 47. es conveniente tener como apoyo la recta numérica y los esquemas de organización para ordenar los datos y tener un panorama de la situación planteada. Es decir.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES SOBRE LA CAPACIDAD: ELABORA ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Es conveniente dotar al estudiante de planteamientos problemáticos con una gran diversidad de estrategias. distribuidos por el Ministerio de Educación . Rpta. se ha representado cada una de las referidas informaciones. Otra estrategia es el empleo de las flechas sagitales. desarrollamos algunos problemas enumerados en las págs. Para el caso de los números enteros. las que han orientado una secuencia lógica de sucesos.
Un avión sube a una altura de 2000 metros.C. vuelve a subir 1500 metros y baja de nuevo 250 metros. se precisan algunos rasgos de las tareas. ¿A qué altura se encuentra en este momento? Primera forma:
Se reconoce que el estudiante ha recurrido a emplear como estrategia el uso de las flechas sagitales. PROBLEMA:
A partir de este problema podemos reconocer cómo los estudiantes han empleado dos procedimientos diferentes para resolver la situación problemática. El estudiante ha realizado un procedimiento de la parte y el todo.: Se encuentra a 1950 m
. Para efectos de ejemplos didácticos. Asimismo.
A continuación. Se sugiere ver los manuales del docente de los textos de Matemática. Ello implica que las tareas asignadas deben tener características heurísticas.: Se encuentra a 1950 m
. se desarrollan de forma dinámica diferentes capacidades. que permiten reconocer la movilidad que experimentan los números enteros en la recta numérica.
m. ¿Cuál es la temperatura a las 12 de la noche? Primera forma:
la Rpta... de 7 a.. m. el estudiante ha procedido a establecer una lista sistemática a partir de las condiciones del problema para su desarrollo.
En esta otra situación. m. subió en 6 °C. m. m. m. m. de 3 p. a 9 p. m. la temperatura aumentó 3 °C. y de 9 p. se elevó 2 °C. bajó 8 °C. de 9 a. a 9 a.PROBLEMA: Se registra la temperatura de una ciudad: a las siete de la mañana es de 15 °C sobre cero. a 1 p.
Rpta. descendió 4 °C. de la 1 p. a 12 p. emplean las flechas sagitales para orientar el proceso que realiza. se ha optado por una secuencia a partir de los datos planteados.. Asimismo. a 6 p. de 6 p...: A las doce de la noche temperatura es de 14 ºC
En esta situación. m.: Es 14º C
TODOS PODEMOS APRENDER. Es decir. se reconoce la estrategia de establecer submetas. m. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. m. m. desarrollando el proceso en cada etapa. no varió. a las 3 p.
Rpta. En ella se puede reconocer el desplazamiento de acuerdo con las condiciones de la situación planteada. Rpta. que exprese correctamente los desplazamientos realizados en ella. Parte en ascensor desde el nivel 2 y realiza el siguiente trayecto para llegar a su departamento: sube primero 8 pisos.
PROBLEMA: Un buzo se encuentra a una profundidad de 32 metros y empieza a subir 4 metros por minuto. baja después 5 pisos y.: Vive en el tercer piso. finalmente. Asimismo. ¿A qué profundidad está al cabo de 5 minutos? ¿Cuántos metros le faltan en ese momento para llegar a la superficie?
Se recomienda orientar al estudiante a que haga una adecuada escala en la referida recta.PROBLEMA: Diego vive en un edificio de 20 pisos que tiene 5 niveles de sótano.
a la superficie. vuelve a subir 2 pisos. ¿En qué piso del edificio vive? Otra estrategia para resolver problemas con números enteros es recurrir a la recta numérica.: Le falta 12 m para llegar
. desde donde se encuentra.
el e pon vez se se suma normal •	Se observa que fact or que altere el hay no que por .3 = +3
+4 . todo ello en un espacio de diálogo. los estudiantes movilizan sus capacidades. TÉCNICAS Y FORMALES El estudiante. es conveniente enfrentar situaciones en las que el estudiante exprese de forma consciente aquellas nuevas expresiones. por medio de experiencias vivenciales. ambas tien . Asimismo. o ltad resu en (-). procedimientos y conceptos matemáticos que está aprendiendo. se suma y se pone el signo (-)
TODOS PODEMOS APRENDER. En ese sentido. las actividades lo deben llevar al manejo adecuado del lenguaje simbólico y formal con los números enteros. así que •	Bueno. pero esta •	Se observa que sign o (-). NADIE SE QUEDA ATRÁS
. se resta. da atributos a los valores numéricos en signos positivos y negativos.D. Es importante reconocer que en su cotidianidad el estudiante emplea los números enteros en un lenguaje coloquial. respeto y reconocimiento entre sus pares. Explica cada situación presentada:
+6 . empieza a comprender el valor absoluto y expresar las reglas aditivas y multiplicativas en las operaciones con los números enteros.4 = 0
+9 .	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES SOBRE EL USO DE EXPRESIONES SIMBÓLICAS. Adicionalmente.11 = -2 +4 + 6 = +10 -8 -3 = -11
Explicación de lo que ocurre os diferentes se •	Bueno. al tener sign la resta y el mayor da el signo a respuesta (+). er signos •	Se observa que al aten les diferentes se rest y al ser igua queda en cero.
) Lo haríamos por sus abreviacion os para expresar o (m. m. según los datos de la pág.  y a “bajo el nivel del mar”
Utilicen el sistema empleado y completen la tabla. n. b.) o pondría símbol del mar” con una las condiciones de “sobre nivel con una . 42: ¿Cómo harían para expresar las distancias sobre el nivel del mar y bajo el nivel del mar?
es (m. m. desarrollamos algunas actividades presentadas en la pág. s. 41
.A continuación. n.
Este programa es una de las herramientas aplicativas encontradas en las computadoras laptop XO de secundaria. dibujos.
Ojo con este dato Una tarea matemática puede ser expresada de forma verbal o escrita y no debe perder de vista su intención. Para resaltar ejemplos didácticos. frases.
TODOS PODEMOS APRENDER. colores y relieves. El propósito es articular ordenada y lógicamente el conocimiento que se está empleando para generar así comprensión significativa. De esta forma se busca reconocer las redes conceptuales que el estudiante está desarrollando en la comprensión de los números enteros.E. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. imágenes. símbolos.
Los mapas mentales son una estrategia gráfica para organizar el conocimiento mediante la articulación de palabras. se precisan algunas condiciones de las tareas escritas. logos. es importante promover afirmaciones basadas en fundamentos experimentales y propiciar la asimilación de esquemas de organización mental. Por lo que se puede promover el desarrollo de estos mapas en los estudiantes.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES ACERCA DE LA ARGUMENTACIÓN Si bien el estudiante manifiesta el significado y el uso del número entero.
El Freemind es un software educativo que se utiliza para la construcción de mapas mentales.
relación de medidas. así como las diferencias de interpretación de fracciones positivas y negativas. tasas. resoluciones e ideas deberían constituirse a partir de contextos reales en los cuales el docente organice las interacciones en la clase. fracción para comparar. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a los números racionales?
Los estudiantes del V ciclo pasan al VI ciclo con aprendizajes en torno a las fracciones. También. la claridad.
En ese sentido. asimismo. se trabajará la relación de los números racionales y se practicará la lectura y escritura en sus expresiones fraccionaria. como porcentaje) y procedimientos operativos. Esto involucra crear un ambiente que aliente a los estudiantes a experimentar. ensayar. la generalidad y el alcance de lo que se produzca. resultado exacto de una división). se plantea la organización de proyectos.
. divisiones y obtención del común denominador de varias fracciones. Los ensayos. producir diferentes resoluciones y aportar ideas para enfrentar los problemas propuestos. multiplicaciones.V. la precisión. es conveniente propiciar las condiciones para reconocer las distintas interpretaciones que ofrecen las fracciones en el contexto (medidas. es importante que el estudiante represente el número racional en la recta numérica y descubra las condiciones de densidad que tienen estos números. Sin embargo. laboratorios y talleres matemáticos de forma articulada que traten de visibilizar una propuesta didáctica para el desarrollo de aprendizajes con los números racionales. han desarrollado nociones (la fracción como parte-todo. Además. fracción como medida. con el objeto de discutir sobre la validez. Es conveniente que los estudiantes se enfrenten a situaciones problemáticas próximas a la realidad en las que realizan operaciones tales como sumas. restas. decimal y notación científica.
Conocimiento Propósito Realizar medidas de ambientes de un colegio.1	Algunas situaciones de aprendizaje
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Con el paso de los años. Grado Segundo grado Secundaria de Números racionales Contexto Ambiente escolar Áreas afines Educación Física Ciencia.5. Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes. hay espacios recreativos que deben pintarse nuevamente para que luzcan bien cuidados. cada miembro realizará parciales /totales de los estudiantes actividades de medición de la cancha de fulbito. tiempo. Tiempo: 2 sesiones de 90 minutos Números fraccionarios Operaciones con los números fraccionarios Productos Organización en equipos de trabajo. Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. actividades Realizar un presupuesto de los costos que involucraría un Fichas llenadas con mantenimiento a la cancha de fulbito. Justifica procesos de resolución de problemas. es importante saber las condiciones para realizar este mantenimiento. capacidad de almacenamiento en bytes). Ordena datos en esquemas de organización que expresan fracciones y decimales a partir de cantidades. Indicador: Construcción del significado y uso de las operaciones con números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables Experimenta y describe situaciones de medición (masa. longitud. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. En ese sentido. Cronograma de Anotar las medidas en una tabla. Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. los datos recogidos Conocimientos previos:
¿Qué recursos han empleado para realizar las medidas? En pareja 3.	¿Cuánto es el costo para pintar toda la cancha de fulbito? 2. a partir de los cuales se van a registrar datos y a expresar operaciones sobre los problemas.	Alejandro se percata de que los cálculos para determinar la cantidad no son exactos.	Completen los siguientes datos a partir de las medidas realizadas:
Actividad N.Actividad N. 1. El centro del campo está marcado con un punto en la mitad de la línea media.° 1
En la cancha de fulbito.	¿Las operaciones que realizaron han sido exactas? 4. los dos más cortos. ¿está en función de qué?
Si un balde de pintura tiene un costo de S/.	Midan la línea media. En grupo El terreno de juego está dividido en dos por una línea media.	¿Qué características tienen los números y las operaciones empleadas? 2. el perímetro y el área de la cancha de fulbito.5 metros. líneas de meta.	¿Cuántos baldes de pintura se necesitan? 3.	Si quieren hacer un presupuesto semejante.25. centímetros o metros.
Los estudiantes han trabajado con los números decimales desde la primaria. qué realizarían primero. los lados más largos se denominan líneas de banda.
. 5. 2.	¿Es posible representar los resultados obtenidos en otras formas de expresión? Justifiquen su respuesta. alrededor del cual se traza un círculo con un radio. 6.70 y este aproximadamente pinta una franja de 4. ¿Qué acción tendría que realizar? Justifiquen su respuesta. en este caso.° 3
1. En este grupo de actividades el objetivo es realizar medidas apoyados en instrumentos. 1.	La cantidad de pintura que se requiere para pintar. Las actividades están orientadas a que el estudiante reconozca en el entorno la presencia de números que se expresan en magnitudes.
longitud. Para que ellos tengan una mejor idea de la situación que se les plantea.395 pulgadas). (1 pulgada = 2. puede sugerirles que utilicen una regla graduada en pulgadas y centímetros y así trabajar con los tamaños reales de las medidas de las tablas de madera. tiempo. Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. Una sesión de 90 minutos respecto a la comparación del grosor de las maderas. Familia y Relaciones Humanas
Tiempo: Cómo hacerlo: Se le va a presentar una situación problemática a los estudiantes. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada. Aplica variadas estrategias para resolver problemas que involucran operaciones entre fracciones. Si se empalman estas dos piezas. Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. Ordena datos en esquemas de organización que expresan fracciones y decimales. capacidad de almacenamiento en bytes). para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada. ¿cuánto faltaría o sobraría? Indicador: Construcción del significado y uso de las operaciones con números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables Experimenta y describe situaciones de medición (masa. Explica el uso de las representaciones de números racionales y las operaciones pertinentes.Situación 2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. Sirve para: Resolver problemas aditivos con los números racionales Necesitas: Una regla graduada en centímetros y pulgadas Conocimientos previos: Número decimal Operaciones con números fraccionarios
TODOS PODEMOS APRENDER. ¿el grosor para la base será suficiente?. Conocimiento Números racionales y operaciones aditivas Contexto Situación lúdica Áreas afines Educación para el Trabajo Persona. La escuela solo cuenta con dos piezas de madera.54 cm. Justifica procesos de resolución de problemas. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. 1 cm = 0.
¿creen que se obtendrá el espesor deseado para construir la base? ¿Cuál sería su grosor? Pueden hacer un diagrama para calcularlo. ¿el grosor para la base será suficiente?.° 1
En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. La escuela solo cuenta con dos piezas de madera.	Al empalmar las tablas.
1. Matemáticas I. 107. Si se empalman estas dos piezas. Pág. ¿Cuánto faltaría o sobraría para alcanzar el grosor de la base?
.	Si las medidas del grosor de las tablas de madera fueran 4 de pulgada y 6 de pulgada. y otros (2008).Actividad N. M. ¿cuál es su grosor?
Adaptación: Araujo. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada. volumen 2. para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada.	¿Cuánto falta o le sobra para alcanzar el grosor de la base que se requiere construir?
3. ¿cuánto faltaría o sobraría? Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada.
¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular el grosor de las tablas de 1 y 5? 3 12 7. NADIE SE QUEDA ATRÁS
TODOS PODEMOS APRENDER.	Consideren que se quiere formar la base con tablas cuyos grosores se señalan en cada uno de los renglones del siguiente cuadro. al empalmarlas.	Si las medidas del grosor de las tablas fueran: 3 12 pulgada. ¿cuál sería su grosor? ¿Cuánto faltaría o sobraría para alcanzar el grosor de la base? 1 1 2 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 2 1 6 1 3 1 6
6.	¿Qué fracciones equivalentes utilizaron para calcular el grosor de las tablas de 3 y 2 de pulgada?
1 de pulgada y 5 de 5. ¿Qué medida debe tener el grosor de la tercera tabla para construir la base? ¿Qué procedimiento han realizado para obtener las respuestas? Lleguen a acuerdos en el grupo.4.
2 = 11 .
A partir de una situación problemática.	Un agricultor dice: “Las heladas me estropearon 10 de la cosecha. El denominador común puede ser uno de los denominadores de las fracciones.
Actividad N. en el siguiente caso: 4 + 1 . No me queda nada”. Por ejemplo.2 el denominador común de 2. en la segunda En pareja 7 hora 1 del camino y en la tercera hora el resto. la sequía me hizo perder otros 3 . se deben obtener fracciones equivalentes con denominador común. 3 2 6 Al expresar la operación anterior con fracciones equivalentes con igual denominador. los estudiantes ven la necesidad de resolver el problema apoyados en una representación gráfica. llegan a institucionalizar las operaciones con fracciones de diferente denominador a partir de la experiencia de lo realizado con los gráficos. ¿Quién tenía razón? (Plantear argumentos desde la mirada del agricultor y otra desde la mirada del amigo). ¿En cuál de las tres horas 7 ha realizado el recorrido de prisa? 3 2.Actividad N. Un amigo del agricultor le responde: “No exageres.	Describan la estrategia usada para resolver problemas de denominadores 3 y 7.	Un pasante recorre en la primera hora del camino. el denominador común se puede obtener multiplicando los denominadores y convirtiendo las fracciones a fracciones equivalentes. Finalmente. y luego la inundación me hizo estropear 4 de lo que se tenía en 10 10 el almacén. 3 y 6 es 6. ¿Son parecidos estos problemas? 2.2 = 8 + 3 . en trabajos de grupo. has salvado casi la cuarta parte de la cosecha”.2 = 9 6 6 6 3 2 6 6 6 6 En otras ocasiones.° 3
Resuelvan situaciones problemáticas 3 1.	Creen un problema donde apliquen la estrategia descrita. se enfrentan a problemas variados y es válido que recurran a diversos procedimientos que ellos crean convenientes. se obtiene: 4 + 1 . 1. Atienden cada interrogante planteada como desafío.
. Posteriormente.° 2
Reflexionen y respondan Para sumar o restar números racionales expresados en dos o más fracciones En grupo que tienen diferente denominador.
que servirán para orientar el desarrollo de las fases de la resolución de problemas. y. Operaciones con números racionales. Aplica las propiedades de las operaciones en números racionales. han estable mas proble o resuelt han mo. sesión una o propus se aditivos. representación y equivalencias. Números racionales. apoyados en un recurso gráfico. distribuido por el Ministerio de Educación. Solucionarán los planteamientos problemáticos por niveles de complejidad. NADIE SE QUEDA ATRÁS
torno al número ¿Qué es lo que ha ocurrido acerca de las situaciones planteadas en racional? do medidas. relaciones de magnitudes proporcionales directas. Los estudiantes. fracciones y decimales a partir de cantidades.Situación 3
Contexto Construcción del significado y uso de las operaciones con Situaciones variadas números racionales en situaciones problemáticas con cantidades continuas mensurables Indicador: Ordena datos en esquemas de organización que expresan porcentajes. A partir del texto se identifican los problemas que van a ser presentados y seleccionados por un nivel de complejidad. Módulo de resolución de problemas Resolvamos 2. Aplica variadas estrategias para resolver problemas que involucran operaciones entre fracciones. a partir de una actividad vivencial. Justifica procesos de resolución de problemas. Sirve para: Resolver problemas que implican el uso de los números racionales. aumentos y descuentos de porcentajes. Asimis taller. Manifiesta acuerdos consensuados para el reconocimiento de las propiedades aditivas. diversas expresiones con los números racionales.
TODOS PODEMOS APRENDER. Números racionales y operaciones aditivas Grado Segundo grado de Secundaria
Cómo hacerlo: Los estudiantes emplearán el módulo Resolvamos 2. a partir de una actividad lúdica. han realiza entre las lencias equiva cido Posteriormente. Necesitas: Conocimientos previos:
En esta actividad se hace uso del módulo Resolvamos 2.
63 y 64. consideremos que las capacidades se desarrollan de forma dinámica y variada. se propone empezar el estudio de los números racionales con una actividad vivencial en la cual los estudiantes registren datos. el estudiante se enfrenta a un problema real y en ella moviliza sus saberes previos. se precisan algunas condiciones de las tareas. Realizar un presupuesto de los costos que involucraría realizar un mantenimiento de la cancha de fulbito. Puede ser una interrogante simple. Relación entre medidas de una misma magnitud. la relación entre la distancia recorrida y el tiempo). una medida en la unidad decimal litro). Presupuesto de costos. hay espacios recreativos que requieren volverse a pintar para que luzcan bien cuidados. 75 ). Relación entre medidas de distintas magnitudes (por ejemplo. Situación problemática Con el paso de los años. En ese sentido.5. a partir de mediciones.75 l. Propósito Realizar medidas de algunos ambientes de un colegio. es importante saber cuáles son las condiciones para realizar este mantenimiento. Asimismo.2	Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a los números racionales
Organización en equipos de trabajo. pero con mucho poder para movilizar el desarrollo de las capacidades. tasas (es más fácil expresar 75 % que la forma de fracción 100 Resultado de una división (por ejemplo. para expresar el número racional resultado de la acción. tres dividido entre cinco).
En las actividades vivenciales como proyecto de aprendizaje.
. que indica una cantidad. El siguiente ejemplo ha sido desarrollado en las págs. Anotar las medidas en una tabla.
Producto Cuadro informativo de las medidas. cada miembro realizará actividades de medidas de la cancha de fulbito de la IE.
En este planteamiento. en las bebidas se reconocen etiquetas que expresan con frecuencia 0. Porcentajes.
Medida (por ejemplo. Para efectos de ejemplos didácticos. como son las de: Ojo con este dato Una tarea matemática siempre debe mostrarse como un reto al estudiante.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE MATEMATIZAR Los números racionales se manifiestan en diversas situaciones.
-	Continuo. capacidad o volumen. comparar la magnitud de una dimensión de un objeto respecto a una magnitud referente. o cantidades de distintas magnitudes.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA EL DESARROLLO DE LA CAPACIDAD DE REPRESENTA Las habilidades sobre la construcción de los números racionales implican el desarrollo de los objetos mentales de la fracción en una secuencia que va desde un nivel más concreto al más abstracto. elegir objetos o pares de objetos a partir de una colección. en los cuales se puede reconocer las siguientes acciones:
Dinámica Cortar el objeto en partes iguales y luego repartirlo. indicar la expresión de la cantidad de partes y la cantidad total de partes. Estática Expresar la parte de un todo. de sus 5 cuadernos. sino también tendrán que compararlos. Expresar la medida.B. apoyarse en expresiones equivalentes para una misma cantidad con el fin de comprobar la validez de las respuestas. Completen los siguientes datos a partir de las medidas realizadas: En esta situación estamos orientando al estudiante a que realice tareas acerca de completar datos. -	Discreto. Acciones de comparar cantidades de una misma magnitud. que se registran en la tabla. Por ejemplo: 1 m 5 cm = 105 cm y 1 m 50 cm = 150 cm. Índice comparativo de dos cantidades (razón). -	Discreto. En ellas se llevan a cabo procesos de medida a partir del entorno. Los estudiantes no solo tendrán que escribir números decimales y establecer relaciones con números fraccionarios. -	Continuo. El trabajo con contextos de medida permite. Alejandro usó 2. intercalarlos y ordenarlos. determinar el largo de una vara con una cinta métrica. comunicación y comparación de cantidades y números racionales. medida de una longitud. eventualmente.
La acción de medir implica procesos de interpretación. Acción de medir.
. En esta labor los estudiantes realizan procesos dinámicos y estáticos.
asimismo. 1. Los resultados mostraron tres grupos de respuestas: un grupo expresaba que no existían números.421.428. Esto inicia al estudiante en reconocer la condición de densidad en este tipo de números. otro grupo manifestó que hay nueve números (1.43? Esta fue la interrogante que Reys y Yang (1998) formularon. Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada. = 2 ). a estudiantes de Taiwán. ¿cuál es su grosor? b)	¿Cuánto falta o le sobra para alcanzar el grosor de la base que se requiere construir? 3 c)	Si las medidas del grosor de las tablas de madera fueran de 4 pulgada y 2 de pulgada.422. reconocen la conservación de la escala (iniciada de forma nocional como conservación de distancias iguales).
1 1 2 En esta actividad los estudiantes recurren a una representación gráfica para dar solución a un problema.10-6).666.423…1. 1. podemos reconocer fracciones equivalentes (por ejemplo: 1 = 2 = 3 ). para el caso de expresar los números racionales 2 3 en notación científica (0. ¿creen que se obtendrá el espesor 6 deseado para construir la base? ¿Cuál sería su grosor? ¿Pueden hacer un diagrama para calcularlo? ¿Cuánto faltaría o sobraría para alcanzar el grosor de la base?
¿Cuántos números decimales hay entre 1.Plantear actividades que impliquen esquemas para establecer relaciones entre expresiones equivalentes
Resolver problemas empleando esquemas que promuevan comparaciones induce al estudiante a utilizar de forma flexible diversas expresiones. como parte de un trabajo de investigación. Uno de los aspectos importantes de trabajar en la recta numérica es que los estudiantes asignan el cero.429) y otro expresaba que habían infinitos números.000005=5.. 1 6 1 3 1 6 1 6 1 3 1 6 1 2 1 6 1 3 1 6
a)	Al empalmar las tablas. 0. En el caso de los números racionales.5 = 1 . otro es el 2 4 6 caso de expresiones equivalentes de números racionales entre las fracciones y decimales (por ejemplo: 0.. 1. y con estas condiciones asignan números racionales entre dos números racionales.42 y 1.
. ya que se trataba de consecutivos.
La escuela solo cuenta con dos piezas de madera. ¿el grosor para la base será suficiente?. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.° 1
En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada. + 12
* Problemas extraídos del laboratorio matemático: Decisión oportuna (páginas 66 y 67).
9 4 = 12 pulgadas.3 12 Por lo que el grosor será
En las siguientes actividades se puede reconocer cómo el estudiante resuelve problemas apoyándose en el soporte gráfico.Todo el esquema es equivalent 4 1 es equivalente a .Actividad N.: Su grosor es 5 pulgadas
1 2. Si las medidas del grosor de las tablas fueran: 3 de pulgada y 5 de pulgada.
TODOS PODEMOS APRENDER. ¿cuánto faltaría o sobraría? Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada.	Al empalmar las tablas. al empalmarlas. 1. Si se empalman estas dos piezas. ¿cuál sería su grosor? 12
A partir del gráfico: 3 e a . ¿cuál es su grosor?*
Rpta. para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada.
En esta situación. el estudiante está particularizando cada dato del problema para hallar la solución.
Un caminante recorre en la primera semana 1 del camino. realizar operaciones aditivas. en lugar de procedimientos algorítmicos o algebraicos rutinarios. 6 en la segunda semana 1 del camino y en la tercera semana 3 2 del camino.: Queda por recorrer 18
PROBLEMA: Paola regaló a cada uno de sus sobrinos una bolsa de caramelos. Rodrigo tomó la bolsa de 1 kg.C. ¿Quién de los sobrinos tomó la bolsa con más caramelos? 8 Justifica tu respuesta. que es igual su peso de lo que tiene Diego en bolsa de caramelos.25 Juana=2/8 = 1/4
. y Juana la de 4 2 kg. se recurre a plantear una ecuación para establecer las relaciones entre los datos. Diego.
dad.25
Diego=0. Las tareas orientan el desarrollo de las capacidades. Todos tomaron la misma canti a ya que si conviertes las fracciones al decimal sale 0. la de 0.25 0.
0. Es necesario promover una mirada creativa y atrevida en la resolución de problemas. en las tareas mostradas vamos a precisar algunas estrategias orientadas al uso de gráficas y cómo con ellas podemos expresar fracciones equivalentes. En ese sentido. ¿Qué fracción del camino queda por recorrer? 9
Ojo con este dato No confundamos tarea matemática con ejercicios o procedimientos algorítmicos.
5 del camino.25. Rpta. hacer multiplicación de fracciones. Esto implica que el estudiante tiene más de una opción para desarrollar procedimientos en la resolución de problemas.
3 que s recogió el menor 1 3 10 Nos dicen de dato 6 5 3 = 10 30 C. Y con seis perlas el cordón quedó. en el suelo 1 5 = 6 30 en la cama 1 6 = 5 30 salvó el mayor 1 10 = 30 1 1y 1 . La quinta parte en la cama quedó. Una hilera de perlas se escapó. a un planteo de ecuación. 1 .Falta cubrir 6/30 que serían las 6 el suelo en quedó 5 que se 1 en el cordón.M. Un tercio por el hermano mayor se salvó. Asimismo. 30 perlas multiplica En la cama: bros tenía El collar s :miem Rpta. y apreciamos que 30 es el M. perlas = 5 30 salvó el mayor 1 10 = 3 30 recogió el menor 1 3 Sea x el número de perlas 10=30 x x x x 6 = 10 s x perla + + + serían + que Cae al suelo: 5 10 las 6 Falta cubrir 6/30 6 3 6
En estas situaciones se reconocen dos procedimientos en la resolución del mismo problema. por 30 x perlas Salvó el mayor: 3 5x+1 0x+6 x+3x +180 =30 x Recogió el menor: x perlas 24x+ 180= 30x 10 s perla de ro 80= 6x Sea x el núme x x x x 6 s perla = 10x 6 s x perla aron + + + + 30= Se qued :: al suelo Cae 6 3 5 10 6 x perlas mos .PROBLEMA: Lee atentamente el siguiente poema y responde: Un collar se rompió mientras jugaban dos hermanos. La sexta parte al suelo cayó.
son 30 s es una perla y en total x perla 1/3 Ambos miembros multiplicamos 5 perlas. 1. 1 y 1 Nos dicen de datos que 6 5 3 10 C. ambos estudiantes elaboran un listado ordenado. Dime. En el primero. se recurre a una representación gráfica y en el segundo. perlas = 30 6 30 1/3 es una perla y en total son en la cama 1 6.: El collar tenía 30 perlas
TODOS PODEMOS APRENDER. y apreciamos que 30 es el M. Rpta. ¿cuántas perlas tenía el collar de los hermanos? Primera forma
1. La décima parte el menor recogió.M. Ambo perlas La suma debe dar x 5 por 30 x perlas Salvó el mayor: 3 5x+1 0x+6 x+3x +180 =30 x Recogió el menor: x perlas 24x+ 180= 30x 10 80= 6x s Se quedaron: 6 perla 30= x
n. perlas que se quedó en el cordó
. NADIE SE QUEDA ATRÁS
1. Si se empalman estas dos piezas.	RECONOCIENDO ALGUNAS TAREAS PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE USO DE LENGUAJE SIMBÓLICO. una de media pulgada y otra de un tercio de pulgada. decimal y notación científica). Además. reglas y procedimientos. a fin de promover seguridad en la predicción de las operaciones matemáticas que sean necesarias.D. En ese sentido. ¿cuál es su grosor?
. estas expresiones se utilizan de forma amplia. para lo cual requieren construir un quiosco con una base de madera que tenga un grosor de una pulgada. A partir de una actividad vivencial. el desarrollo de cada tarea conduce al estudiante a expresarse con símbolos y formalizar el lenguaje matemático. ¿cuánto faltaría o sobraría? Utilicen el diagrama para encontrar la suma de media pulgada más un tercio de pulgada. realiza operaciones aditivas y multiplicativas.° 1
En la IE Andrés Avelino Cáceres se va a realizar el festival pro fondos chocolatada navideña. como los proyectos. La escuela solo cuenta con dos piezas de madera.
En el campo de los números racionales. técnicas y formales a ellos.	Al empalmar las tablas. es necesario poner mayor énfasis en la forma como aproximamos estas expresiones simbólicas.
Actividad N. Las tareas encomendadas deberían tener características de complementación de datos y establecer relaciones entre objetos o procedimientos a fin de que el estudiante progresivamente constituya y desarrolle el valor de las expresiones en la situación problemática. los estudiantes pueden interpretar los números racionales. TÉCNICO Y FORMAL Hemos reconocido que los números racionales están presentes en nuestro entorno. En los escenarios de aprendizaje. el estudiante emplea variadas expresiones (fraccionaria. deben plantearse interrogantes que precisen el dominio de las expresiones. ¿el grosor para la base será suficiente?. sin embargo. emplea la recta numérica.
de resto decim o el erto conviión fracc en fracciones. ya sea iones ación fracc más esent hay respr si r plo mayo ejem de Por hay al. de siado hay dema que hay los de si Pero s en llo.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE ARGUMENTACIÓN En las actividades propuestas.Se quiere formar la base con tablas cuyos grosores se señalan en cada uno de los cuadros de la siguiente tabla informativa. 240. Asimismo.
TODOS PODEMOS APRENDER.5 un presu arroz con raren . Una señora fue a comprar con o de . siado decim a dema iones hay si fracc ía las llo.S/. los que decim o de s en fracción meno . en leche puest y 0. ¿Qué medida debe tener el grosor de la tercera tabla para construir la base?
Grosor de Grosor de la tercera tabla Grosor de la Medida del primera tabla la tabla (en grosor de la (en pulgadas) base (pulgadas) (en pulgadas) pulgadas) 22 8 12 10 4 2 2 4 2-( + )= 2-( 15 + 15)= 2.31 = 5 12 12 12 12 4 6
1 1 2 3 3 4 3 7 9 7 2 1 -( + )= -( 6 + 6 )= 2 .15 = 15 2 3 5 3 5 3 1 1 2 7 4 1 2 5 6 2 3
3-( 7 + 5 )= 3-( 21 + 10 )= 3. 30 en huevos. En sus respuestas es posible identificar formas de argumentación respecto a sus experiencias. 240. lo familiariza con el uso adecuado de las expresiones simbólicas y formales.6 = 6 2 2 3 2
E. 1/8 carne a comp fue 1/4a en señor Gastó Una os? y 0. argumentos y formas de razonar.5 en leche. Pero senciertir Conv ya sea ación que. convierto el resto de decimales
Estas interrogantes se han planteado después de la actividad experimental realizada por los estudiantes. s. ya que así es más Convertiría las fracciones a decim son es más asíque quelos rtiría conveya ales. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. En este espacio pueden propiciarse interrogantes respecto a lo desarrollado y motivar el intercambio de ideas. a carne qued le en nto 1/4 ó ¿Cuá Gast os? ¿Cuánto le queda para los huev 1 + 1 + 1 = 2 +4 + 1 = 7 8 8 4 +1 = 7 4 1 = 2+ 1+ 8 1 +2 8 8 30 4 2 8 1 x 240 30 = S/.6 = 6 . el estudiante interactúa con sus pares. iones fracc iones más fracc si hay ales plo en decim ejem Por al.
un presupuesto de S/. meno senci . Elabora un problema en el que apliques las estrategias usadas en los problemas anteriores. huev arroz los en 1/8 para . Quedaría 1/8 8 240 1 = S/.
ales. son los esent rtiría respr r conve mayo s. x Quedaría 1/8 8
El conjunto de actividades planteadas orienta al estudiante a la resolución del problema inicial. 30 en huevos.
El estudiante empieza a hacer uso de las relaciones entre cantidades desde Educación Inicial. Sesión laboratorio matemático: Horas alrededor del planeta
Proyecto matemático En verano. Es. modelarla y representarla en distintos sistemas o registros simbólicos (verbales. Las funciones establecen una relación especial. Establecer relaciones entre variables supone examinar fenómenos. En Educación Secundaria –debido a la profundidad de los saberes– ya realizan diversas conexiones entre los conocimientos matemáticos. Las representaciones también se extienden a expresiones en el plano cartesiano. 2)	aprender a describirla. En Educación Primaria realizan relaciones de correspondencia. para detectar o buscar relaciones entre ellos y usar estas con una intención para lograr un objetivo. Asimismo. asimismo.VI. un conocimiento articulador con Educación Primaria en los dos grados del VI ciclo. La propuesta busca ser parte de una unidad didáctica. dando más evidencia a la variación. Mostraremos a continuación una propuesta articulada de organización por laboratorios. considerándolos como totalidades.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a la función lineal?
Desarrollar aprendizajes matemáticos utilizando la función lineal significa: 1)	aprender a caracterizar situaciones de cambio en diferentes contextos. bolas para todos
. gráficos o algebraicos). el cambio y la modelación de los procesos de la vida cotidiana. objetos y situaciones matemáticas. icónicos. talleres y proyectos matemáticos que muestran cómo promover estos aprendizajes. empiezan a establecer relaciones entre magnitudes que ordenan y representan de forma tabular.
a ir comprendiendo la función lineal. Lo que aprendieron les permitirá expresar algebraicamente la relación entre cantidades.
TODOS PODEMOS APRENDER. ella cree que encontrará a su papá en casa si lo llama a las 6 de la mañana (hora de Lima). costo-tiempo. los estudiantes han trabajado cantidades Una sesión de 90 minutos directamente proporcionales. distancia-tiempo. tabulares o algebraicas. Representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.1	Algunas situaciones de aprendizaje
Situación problemática: Nelly vive en la ciudad de Lima y su papá.6. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales y de proporcionalidad directa. funciones lineales y modelos lineales. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa. Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal. ¿Es acertado lo que piensa? Indicador: Construcción del significado y uso de la proporcionalidad y funciones lineales en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad. a partir de una situación problemática se genera una serie de interrogantes que se orientan. Por ello.	Proporcionalidad directa entre magnitudes. de forma inductiva. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. Conocimiento Función lineal afín Contexto Situación social Áreas afines Historia. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. Geografía y Economía Ciencia. en Buenos Aires. Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de la proporcionalidad directa. Justifica el uso de una representación gráfica de la función lineal para modelar una situación problemática. altura-base) Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de la proporcionalidad directa y la función lineal. Necesitas: Texto del grado Conocimientos previos: Representar datos en expresiones gráficas. Si el papá trabaja desde las 7 de la mañana (7:00) hasta las 3 de la tarde (15:00 horas de Buenos Aires). Tecnología y Ambiente
Cuándo hacerlo: Tiempo: En otras secuencias. Sirve para: Resolver problemas en los que están presentes cantidades relacionadas. Expresa en forma gráfica.
. en la ciudad de Lima son las 5:00 h (5 de la mañana). el planeta Tierra se ha dividido en 24 áreas.° 1
Debido al movimiento de rotación de la Tierra hay diferencias de horario. Por ejemplo. en otro pueden ser las 12 de la noche. volumen 2. A cada uno de los husos horarios le corresponde una hora distinta.Actividad N. y otros (2008). Si el papá de Nelly trabaja de 7 de la mañana (7:00) a 3 de la tarde (15:00 horas de Buenos Aires). ¿Es acertado lo que piensa? Para resolver el problema.
2. de manera que en el problema hay 24 horas distintas al mismo tiempo. m. Esto quiere decir que mientras en un lugar del mundo son las 10 de la mañana.
1. completen la siguiente tabla para calcular la hora en la ciudad de Buenos Aires a partir de la hora de Lima. Nelly no va a encontrar a su papá?
. ¿a partir de qué hora (en Lima) puede hablarle Nelly para encontrarlo de regreso en casa? 4. M. cuando en Buenos Aires son las 6:00 p. en Buenos Aires. Así.	¿Qué hora es en Buenos Aires si en Lima son las 14 horas? 3. ella cree que encontrará a su papá en casa si lo llama a las 6 de la mañana (hora de Lima).	Si el papá de Nelly demora 1 hora en el trayecto del trabajo a su casa. llamadas husos horarios.
Para calcular las horas. en Lima son las 4:00 p. 130.	Nelly vive en Lima y su papá. m.
Adaptación: Araujo. Pág. Matemáticas I. cuando en la ciudad de Buenos Aires son las 7:00 h (7 de la mañana).	¿De qué hora a qué hora de Lima.
Llamen “x” a la hora de Lima e “y“ la hora en Buenos Aires. las 23:30 h).5. la expresión algebraica y = x+2 no permite encontrar la hora de Buenos Aires (y) a partir de la hora en Lima (x). la expresión y = x . por ello. Usando la expresión algebraica y = x+2 (o bien. a)	Cuando la hora en Lima está entre las 22:00 h y las 24:00 h.
TODOS PODEMOS APRENDER.	Si la hora en Lima está entre 22:00 h y 24:00 h (por ejemplo.	Para obtener la hora de Buenos Aires a partir de la hora de Lima. se resta 22 a la hora de Lima. ¿qué cálculos hay que hacer para obtener la hora de Buenos Aires a partir de la hora de Lima? b)	Escriban una expresión que nos permita encontrar la hora de Buenos Aires (y) a partir de la hora en Lima (x). cuando en Lima pasan de las 22:00 h. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la hora de Buenos Aires a partir de la hora de Lima? a)	x = y + 1 b)	y = x -1 c)	y = x+ 2 d)	y = x -2 6. cuando la hora en Lima está entre las 22:00 h y las 24:00 h. 7. la expresión es y = x .22): a)	¿Qué hora es en Buenos Aires si en Lima son las 23:45 h?
Recomendación: Desarrolla las interrogantes haciendo uso de un cuadro similar a la pregunta 1. pues se pasa de las 24:00 h.22. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Completen la siguiente tabla con las edades de los hermanos de Luis.	Cada integrante del equipo debe escoger a uno de los hermanos de Luis y escribir en su cuaderno una expresión algebraica para calcular la edad del hermano que escogió a partir de la edad de Luis. Nelly. 2. no está de acuerdo.	¿Qué estrategia les permite reconocer la relación entre las variables? 6. 8.	¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? 4.
7. en ese momento son las 21:00 horas en Tokio. aduciendo que t es la variable independiente y a es la variable dependiente. Sebastián ha investigado y explica que si en Los Ángeles son las 4:00 horas del día. Expliquen con sus propias palabras el significado de esta expresión. 1. al número 2 se le denomina constante.Actividad N. ¿cuáles son las variables y qué características tienen? ¿Cuáles son las constantes en estas relaciones funcionales?
.	¿Será cierta la afirmación de Sebastián? Justifiquen su respuesta. 3.	Luis tiene tres hermanos: Rocío. Juan y Fernanda.	En las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas. la variable “y” depende o está en función de la variable “x”.	Nelly enuncia que esta expresión: z = x + 15 es la que describe una relación entre la hora en Lima (x) y la hora en Tokio (z).	¿Cuál es la constante en esta relación funcional? 5. que siempre hay que sumar a la “x” para obtener la “y”. Entonces expresa la siguiente función t=21+a. que ha estado escuchando su afirmación.° 2
Reflexionen y respondan En la expresión algebraica y = x+2.
y se van descubriendo las condiciones que se atribuyen a una función. sus características. La sección Reflexionen y respondan es importante. un ambiente comunicativo de acuerdos y síntesis conceptual respecto a la función lineal. Allí se deben definir las condiciones de una función. 50 y 53. en este caso. Por ejemplo.Actividad N.
Los objetos matemáticos claves que movilizan una adecuada expresión de la función lineal son tres: 1) el lenguaje algebraico. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. lineal.° 3
Para el planteamiento de las situaciones problemáticas. 2) las operaciones con números racionales y 3) la gráfica en el plano cartesiano. págs. se van estableciendo relaciones simbólicas y lógicas.° grado. Mediante la actividad del laboratorio y partiendo de una situación problemática. los estudiantes resuelven problemas sobre la actividad desarrollada. 2.
TODOS PODEMOS APRENDER. puede recurrir a los textos de Secundaria. Luego.
funciones lineales y modelos lineales. Contexto Situación científica Áreas afines Ciencia. costo-tiempo. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales y de proporcionalidad directa. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa. Justifica el uso de una representación gráfica de la función lineal para modelar una situación problemática. Explica el proceso de resolución de situaciones problemáticas que implican el uso de la proporcionalidad directa. Tecnología y Ambiente
Para ampliar estudios respecto a las funciones. Sirve para: Resolver problemas que implican la función cuadrática.	¿Cuáles puntos de la gráfica están sobre una línea recta? b.5 x + 0. altura-base) Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de la proporcionalidad directa y la función lineal.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f3.Situación 2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA En un centro de cambio de monedas. Grafiquen esta situación: a. Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal.5 x + 0. Expresa en forma gráfica.	Comparen la gráfica anterior con la gráfica correspondiente a la expresión y = 3.minedu. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa y de dependencia lineal.5 de comisión. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. Conocimiento Función lineal afín Cómo hacerlo: Experimentar con la variación que se produce en la longitud de un rectángulo.5 permite calcular la cantidad de nuevos soles (y) que se obtienen al cambiar distintas cantidades de dólares (x) más 0. Necesitas: Papel milimetrado Conocimientos previos: Representar datos en expresiones gráficas.5 que permite encontrar la cantidad de nuevos soles que se obtienen al cambiar euros.gob. distancia-tiempo. se recomienda visitar: Aspectos metodológicos en el aprendizaje de funciones en secundaria http://sistemas02. la expresión y = 2.	Proporcionalidad directa entre magnitudes. Indicador: Construcción del significado y uso de la proporcionalidad y funciones lineales en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad. tabulares o algebraicas.pdf
3.° 1
Róger examina lo elaborado y expresa que con estos procedimientos podríamos saber las relaciones entre la base y la altura de cualquier rectángulo y hasta de rectángulos no elaborados o grandes rectángulos.	Haciendo uso del papel milimetrado representen el siguiente enunciado: En pareja “La longitud de la base de un rectángulo es 3 cm más grande que su altura”... pues cada uno de los procedimientos tiene sus ventajas y desventajas... Expresen las ventajas y desventajas de usar la ecuación Área = base x altura. . ¿Podremos reconocer una relación entre ellas respecto a la medida de la altura y la base? 7....
6. con respecto a la tabla de valores. 2. . la actividad de experimentar en el papel milimetrado y la expresión algebraica para determinar las cantidades desconocidas.	Observen las parejas de valores (base y altura) formados en la tabla anterior: (4. Escriban sus conclusiones. Altura (cm) 1 2 3 Área (cm2) 4x1=4 5 x 2 = 10 6 x 3 = 18 .3)..	¿Cuánto medirá la base si la altura mide 5 cm? 4. 1. .	Ordenen los posibles valores que cumplen con el enunciado y completen la tabla. Sebastián advierte que no es así...Actividad N...	Si la base midiera 7 cm.. .. Después hemos ordenado los posibles valores en un cuadro y una relación entre ellos.. ¿cuánto mediría la altura? 5.
.. .2). Luego realizamos una expresión algebraica para generalizar la expresión del cuadro de datos. ¿Cuál sería esta expresión?
Actividad N.	Róger reconoce que se puede realizar una expresión algebraica para hallar la medida de la base a partir de la altura. (6. (5.1). . Para ello. etc.
Base (cm) 4 5 6 7 8 .° 2
Reflexionen y respondan Hasta el momento hemos realizado de forma experimental la relación entre la base y la altura en un rectángulo.	¿Qué otras formas podrían cumplir esta condición? Representen las gráficas respectivas. recurran a particularizar el problema.
hagan la gráfica de la relación entre altura y área en el siguiente sistema de coordenadas. ¿Qué tipo de línea obtienen?
a)	Usando la gráfica. determinen la medida de la base cuando la altura es 12 cm. b)	Usando la gráfica. Pueden también graficar en el papel milimetrado. ¿qué tipo de línea obtienen? d)	A partir de la tabla. determinen la media de la altura cuando la base es 18 cm.Ventajas Actividad experimental
2. Una organización gráfica permite reconocer en el plano cartesiano una relación de correspondencia entre dos variables. e)	Unan los puntos. c)	Unan los puntos con segmentos de la recta.
Actividad N. con a y b números racionales. y en qué son diferentes las gráficas de base-altura y de altura-área?
Actividad N. °C= 5 (F-32) 9 Para ello. variable dependiente. aunque las respuestas obtenidas pueden ser solo aproximadas.° 4
Reflexionen y respondan Las relaciones entre cantidades x e y. Problema: Gabriela compró un arbolito de 40 cm de altura.
TODOS PODEMOS APRENDER. elaboren una tabla de valores y la representación gráfica de la función. 40 cm. que se pueden describir mediante En grupo ecuaciones de la forma y = a x + b. c en centímetros.
Realiza la gráfica que relacione la medida de la temperatura en grados Fahrenheit y grados centígrados. durante los primeros meses se obtiene sumando la altura inicial. localicen en el siguiente sistema de coordenadas los puntos correspondientes (32. El crecimiento. h en centímetros.0). Mientras que la altura. La letra “x” recibe el nombre de variable independiente y la “y”. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.3)	¿En qué son semejantes.5). (41. al crecimiento: h= 40 + 10 n A partir del problema.° 3
Una gráfica puede ser más conveniente que una tabla o una fórmula para obtener respuestas a algunos problemas. su crecimiento mensual es de 10 cm durante los primeros meses. durante los primeros meses es proporcional al número de meses “n” transcurridos: c= 10n. como la conversión de una escala de unidades a otra. completa la tabla:
Con los valores de la tabla. se llaman funciones lineales.
En un centro de cambio de monedas. ¿Cuáles son las características del gráfico?. ¿cómo expresarían sus gastos mensuales? 3.5 x + 0. ¿a qué tipo de función corresponde? c)	Escriban la expresión algebraica que relaciona la distancia recorrida en función del tiempo transcurrido. 97 octanos 15 a)	Escriban la función lineal que relaciona la cantidad de gasolina y el precio. c)	Si Juan consume mensualmente 10 galores.0. a)	Completen la siguiente tabla:
b)	Grafiquen la información de la tabla anterior en el plano cartesiano.Actividad N.	Siempre que Juan va a la estación de Precio por galón servicios de combustible.) y que un auto sale de Lima a Ica con una velocidad constante de 50 km/h. d)	Apliquen la expresión algebraica encontrada y comparen si se obtienen los mismos valores de la tabla anterior.5 de comisión. Grafiquen esta situación: a)	Si y = 0.° 5
Resuelvan situaciones problemáticas 1. d)	¿A qué denominamos variable independiente y variable dependiente? 2. e)	Describan la estrategia que emplearon para hallar la expresión que define la función.	Considerando que la distancia de Lima a Ica es de 300 km (aprox. ¿cuánto vale x? b)	¿Qué puntos de la gráfica están sobre una línea recta? c)	Comparen la gráfica anterior con la correspondiente a la expresión y = 3. 84 octanos 11 Esta vez la empresa informa de los nuevos 90 octanos 14 precios que se muestran a continuación. Coloquen el tiempo en el eje “x” y la distancia en el eje “y”. la expresión y = 2.5 que permite encontrar la cantidad de nuevos soles que se obtiene al cambiar a euros.5 x + 0.5 En pareja permite calcular la cantidad de nuevos soles (y ) que se obtienen al cambiar distintas cantidades de dólares (x) más S/.) su automóvil con gasolina de 97 octanos. b)	Realicen la gráfica correspondiente. llena el tanque de Gasolina (S/. ¿Es similar a la del problema anterior? ¿En qué se parecen?
TODOS PODEMOS APRENDER.20 por minuto de llamada y por mantenimiento cobra un monto fijo mensual de S/.) minuto
0 20 0 20 1 2 10 100 20 20 20 0. c)	Describan la estrategia que emplearon para hallar la función.20.	Una empresa telefónica cobra S/. reconozcan la representación de la función lineal como un modelo tabular. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.20 20. se busca consolidar el conocimiento mediante la práctica.40
20.0. algebraico y gráfico. Observa que cada planteamiento responde a niveles cada vez más complejos. dependiendo del tiempo de llamada.
Con las actividades referidas a Reflexionen y respondan y Resuelvan situaciones problemáticas. los estudiantes experimentan y organizan los datos en un cuadro.) Costo variable (S/.20 0.40
b)	Escriban la función que permite calcular el costo mensual del servicio telefónico. utilizando las hojas cuadriculadas. d)	¿Se parece este problema a otros desarrollados anteriormente? ¿En qué? e)	Investiguen y elaboren un mapa mental respecto a la función lineal. Estas actividades permiten que los estudiantes: Primero.4. a)	Completen la siguiente tabla: Llamadas por Costo fijo (S/.
A partir de situaciones problemáticas de variación. representen en el plano cartesiano y vayan reconociendo características en variadas representaciones gráficas. Luego.) Costo total (S/.
tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa. altura-base) Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa. Resolvamos 2. social. Ministerio de Educación.Situación 3
Indicador: Contexto Construcción del significado y uso de la proporcionalidad inversa y Científico. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. y recurriendo a expresiones gráficas.
En esta actividad se hace uso del módulo Resolvamos 2. distancia-tiempo. costo-tiempo. de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales afines y de proporcionalidad directa e inversa. distribuido por el Ministerio de Educación. inversa y de dependencia lineal afín. tabulares o algebraicas. Conocimientos previos: Representar datos en expresiones gráficas. inversa y de dependencia lineal afín.	Proporcionalidad directa entre magnitudes.
Fuente: Manual del docente. afirmaciones relacionadas con la dependencia funcional entre variables y proporcionalidad inversa. Expresa en forma gráfica. Justifica. Necesitas: Módulo de resolución de problemas Resolvamos 2. funciones lineales afines en situaciones problemáticas de variación económico (costo-cantidad. Sirve para: Resolver problemas en los que se implica la función cuadrática. A partir del texto se identifican los problemas que van a ser presentados y seleccionados por su nivel de complejidad. los que servirán para orientar el desarrollo de las fases de la resolución de problemas. Conocimiento Función lineal afín Grado Segundo grado de Secundaria
modelos lineales afines. Justifica.Situación 4
Proyecto matemático: En verano. y van descubriendo las condiciones que una función lineal. determinará el precio de venta del producto. El datos los zan organi y cuadriculadas. Ordena datos en esquemas para el establecimiento de relaciones de proporcionalidad directa. los estudiantes desarrollan un proyecto que durará dos semanas. en as pérdid o para reconocer las características de inversión. ganacias
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SITUACIÓN PROBLEMÁTICA A partir de una actividad comercial. distancia-tiempo. proporcionalidad directa e inversa. los estudiantes experimentan e ir reconociendo ano cartesi plano el en ntar represe desarrollo de la actividad los lleva a reconocer la luego para s gráfica es ntacion represe s características de variada . de dependencia lineal afín en expresiones gráficas. empleando hojas Más adelante. empiezan Los estudiantes. NADIE SE QUEDA ATRÁS
. establecen relaciones un negocio. Conocimientos previos: Conjuntos Plano cartesiano Ecuación de primer grado Tiempo: Dos sesiones de 90 minutos Contexto Social. económico y científico Áreas afines Educación para el Trabajo
s. Indicador: Construcción del significado y uso de la proporcionalidad inversa y funciones lineales afines en situaciones problemáticas de variación (costo-cantidad. de cias diferen las a establecer relaciones entre se atribuyen a relaciones simbólicas y lógicas. altura-base) Experimenta situaciones de cambio para el desarrollo del significado de las funciones lineales afines. Elabora estrategias heurísticas para resolver problemas que involucran funciones lineales afines y de proporcionalidad directa e inversa. tabular o algebraica las relaciones de proporcionalidad directa. a partir de situaciones originadas por los husos horario y establecer izar formal a llegan horas. inversa y de dependencia lineal afín. Explica procedimientos para establecer las relaciones de proporcionalidad directa e inversa. Cada grupo realizará un negocio. gráfico y aico algebr representación de la función lineal como un modelo tabular. Expresa en forma gráfica. a partir de situaciones problemáticas de variación y en un cuadro. Conocimiento Función lineal afín Propósito Realizar gráficas en el plano cartesiano de una función lineal afín. pág. inversa y de dependencia lineal afín. recurriendo a expresiones gráficas.° grado de Secundaria. entre magnitudes Posteriormente. tabulares o algebraicas. a partir de una actividad vivencial. afirmaciones relacionadas con la dependencia funcional entre variables y proporcionalidad inversa. calculará la recaudación total. costo-tiempo. Resume sus intervenciones respecto a las estrategias de resolución empleadas para el desarrollo de problemas diversos que implican el uso de funciones lineales afines. bolas para todos (texto del 2. reconocerá el capital inicial.
Costo-tiempo. Distancia-tiempo. entre otros. calculará la recaudación total. se presentan algunos grupos de tareas pertinentes a su contexto. en la que relaciona la cantidad de empanadas y la cantidad de harina empleada. Para efectos de ejemplos didácticos. reconocerá el capital inicial.
Ojo con este dato Es importante promover un conjunto articulado de tareas. Propósito Realizar gráficas en el plano cartesiano de una función lineal afín. Situación problemática A partir de una actividad comercial. Por ejemplo: el tiempo transcurrido y la distancia recorrida. fenómenos sociales y físicos en los que una magnitud se relaciona con otra. Altura-base.
En el primer ejemplo. investigación. Cada grupo realizará un negocio.6.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE MATEMATIZACIÓN En nuestro contexto. se reconoce que es parte de una actividad inicial orientada a un proyecto. Respecto a las funciones lineales. los estudiantes tienen que tomar varias decisiones a partir de posibles cantidades de emplear respecto a un producto. se reconocen. de tal forma que se vea la verdadera práctica de creación. la cantidad de productos comprados y el costo total. los estudiantes desarrollan un proyecto que durará dos semanas. determinará el precio de venta del producto. se pueden reconocer relaciones entre: Costo-cantidad. En ella. el estudiante se enfrenta a un problema real y moviliza sus saberes matemáticos previos.
. Producto Elaboración de una gráfica lineal en un papelógrafo.2	Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a la función lineal
En las actividades vivenciales abordadas como proyecto de aprendizaje. etc. exploración y construcción de relaciones matemáticas a partir de situaciones problemáticas.
RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES EN TORNO A LA CAPACIDAD DE REPRESENTACIÓN (Texto del 2. Por medio de ellas las acciones del estudiante se dirigen a organizar la información.)
Es importante que el estudiante exprese diversas formas de representación. pág. se recomienda plantear tareas de complementación de datos. a partir de datos diversos y su posterior esquematización. Por eso. NADIE SE QUEDA ATRÁS
.d) Representen los datos de la tabla en el plano cartesiano. 9. para el desarrollo de esta capacidad.
Luis tiene tres hermanos: Rocío. 67.B.
Número de productos vendidos Precio (S/. Completen la siguiente tabla con las edades de los hermanos de Luis. Juan y Fernanda.° grado de Secundaria.
¿Cuál es la característica del gráfico?.5 que permite encontrar la cantidad de nuevos soles que se obtiene al cambiar a euros.
Realicen la gráfica que relacione la medida de la temperatura en grados Fahrenheit y grados centígrados.5
. ºC=5 (F-32) 9 Para ello.5 11 14.
y (S/.	RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE ELABORAR ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Comparen la gráfica anterior con la correspondiente a la expresión y = 3. para luego expresarlo en un esquema gráfico. completen la tabla:
Coloquen el tiempo en el eje “x” y la distancia en el eje “y”. ¿a qué tipo de función corresponde?
Dos aspectos a considerar en la representación de las gráficas en el plano cartesiano son: 1)Enunciar las variables en los respectivos ejes.Emplear flechas sagitales asociadas a operadores orienta al estudiante a establecer relaciones en la organización de datos.5 x + 0. 2) Distribuir proporcionalmente los intervalos en las variables consideradas.
En esta actividad se reconoce que para resolver el problema primero se ha establecido como una submeta elaborar un esquema de tabulación de datos.5x+0.
S/.5 18
y=3.) 4 7.
. que permiten: 1)	La posibilidad de inscribir numerosos datos y relacionarlos con funciones. 3)	La posibilidad de graficar la información proporcionada por la base de datos. 2)	La posibilidad de organizar los datos de forma sistemática en filas y columnas.m.: Entonces en Buenos Aires
y=23:30h+2h y=01:30a. Rpta.m. y=x+2
En esta actividad se reconoce que los estudiantes recurren a dos procedimientos distintos.m. Rpta.: Entonces en Buenos Aires
El programa Excel es muy útil.
será la 1:30 a. fórmulas y operadores. pues se pasa de las 24:00 h. pág. por medio de una hoja de cálculo.
TODOS PODEMOS APRENDER. 153.
será la 1:30 a. Primera forma:
0:00 (am) 0:30 (am) 1:00 (am) (am) 2 y=x+1:30 y=23:30h+2h y=01:30a. En los nuevos textos de matemática. la expresión algebraica y=x+2 nos permite encontrar la hora de Buenos Aires (y ) a partir de la hora en Lima (x). puede encontrar actividades en Excel. las 23:30 h). Por ejemplo: en el libro de primer grado de Secundaria. En uno establecen una correspondencia con flechas sagitales y en otro recurren a un planteamiento de ecuación. pues integra tres ambientes propios de la actividad matemática.Si la hora en Lima está entre 22:00 h y 24:00 h (por ejemplo.m.
En este grupo de tareas se puede reconocer cómo se promueve la articulación de procedimientos y objetos matemáticos de acuerdo con la función lineal. TÉCNICAS Y FORMALES
Luis tiene tres hermanos: Rocío. R. Juan y Fernanda.D. a partir de un lenguaje cotidiano. F Constante -4. -5
Es importante promover que el estudiante. -2.2 L= F+ 5
En las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas.
L= R.
Cada integrante del equipo debe escoger a uno de los hermanos de Luis y escribir en su cuaderno una expresión algebraica para calcular la edad del hermano que escogió a partir de la edad de Luis.4 L= J.	RECONOCIENDO ALGUNAS TAREAS PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DE USO DE EXPRESIONES SIMBÓLICAS. simbólico y formal. ¿cuáles son? ¿Cuáles son las constantes en estas relaciones funcionales?
Variable L. se vaya apropia ndo poco a poco de un lenguaje gráfico. Completen la siguiente tabla con las edades de los hermanos de Luis. J.
entonces Y se incrementa en 1.E. NADIE SE QUEDA ATRÁS
Tabla de valores Una forma organizada de tener los datos y sus valores. con respecto a la tabla de valores.
Expresen las ventajas y desventajas de usar la ecuación Área=base x altura. Desventajas Actividad experimental Nos toma mucho tiempo. Si x=1. Un recurso importante para ello son los organizadores visuales. se nos complica más organizarlos.
Conclusiones permite tener una forma de La expresión algebraica nostica. f(x)=2x1-4=-2 Tabulando: x 0 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2 0 2 4 6
Si X se incrementa en 1. que además son útiles para propiciar la discusión y el diálogo en los grupos de trabajo.
Expresión algebraica Nos permite tener una fórmula generalizada del caso en particular. si al soble del puntaje (x) de Carlos le quitamos 4. siempre se obtiene el puntaje de Luis. mostramos un esquema de organización que orienta al estudiante a ordenar sus ideas y expresar sus formas de razonar. Una estrategia que resulta efectiva es publicar las producciones en un espacio visible. Puedo escribir f(x)=y-2x-4 de y+4x=2x y+4 x= 2x-4=y 2 2x y=2(x-2) 4 y
Es necesario saber cómo los estudiantes van logrando sus aprendizajes. Expresión algebraica No en todos los casos se aplica dicha fórmula. arla permite demostr
TODOS PODEMOS APRENDER. Tabla de valores Si los datos numéricos son muy extensos. Escriban sus conclusiones.
Ventajas Actividad experimental Nos permite demostrar los ejercicios planteados. y la actividad experimental nos resolver más rápida y prác .	RECONOCIENDO ALGUNAS TAREAS EN TORNO A LA CAPACIDAD DE ARGUMENTACIÓN
Tabulación Problema En un juego. la actividad experimental en el papel milimetrado y la expresión algebraica para determinar las cantidades desconocidas.
F. Profesor: ¡Muy bien.
Elijamos el buzo que está a 50 metros bajo el mar. así como el papel protagónico del estudiante. Veamos el diálogo entre un docente y sus estudiantes en el desarrollo de la capacidad comunicativa en la sesión laboratorio: “Lo que significan sobre y bajo”. A continuación. ¿qué podríamos hacer? Estudiante 3:	El planteamiento está asociado a la ubicación… Estudiante 1:	Podríamos poner una señal para indicar entonces… Profesor:	¿En qué son semejantes y en qué se diferencian la ubicación de la gaviota y el buzo? Estudiante 2: Diría que son semejantes debido a que están a 50 metros. ¿cómo explicamos la ubicación del barco? Estudiante 3:	El barco está en el nivel del mar…
. Profesor:	Si son semejantes en 50 metros. ¿cómo están ubicados? Estudiante 1:	Uno está bajo el nivel del mar y el otro está sobre el nivel del mar. Profesor:	Muy bien. Estudiante 3:	Sí.	ACTIVIDADES QUE ORIENTAN EL DESARROLLO DE LA CAPACIDAD DE COMUNICAR Las capacidades comunicativas atraviesan toda la actividad matemática e implican. la comunicación verbal. y entonces. veremos un ejemplo de comunicación que rescata el rol del docente en el proceso de aprendizaje. Estudiante 2:	¿Y cómo enviaríamos el mensaje? ¿Cómo indicamos en qué parte está? Sería fácil que el otro grupo sepa qué elegimos si decimos que está a 50 metros bajo el mar. ahora les planteo: Si no quisiéramos poner “bajo el nivel del mar”. estudiantes!. Estudiante 3:	Considero que atribuyendo una señal podemos diferenciar a la gaviota y al buzo. naturalmente. pero están a 50 metros respecto al nivel del mar. Estudiante 2:	¿Podemos poner el signo negativo para indicar que está bajo el nivel del mar? Estudiante 1:	Entonces 50 metros con signo positivo significaría que están sobre el nivel del mar.
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