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Timestamp: 2020-07-11 22:08:32+00:00

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LPM-MATEMATICAS-2-V2-P-211-260 | Ecuaciones | Álgebra
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24.Sistema de ecuaciones I.docx
3.2 Sistemas de Ecuaciones No Lineales.
Syllabus Del Curso Fundamentos de Matemáticas
resolución sistema ecuaciones Vídeo Kirchhoff.pdf
B2 U5 S2 - (06-06-19) - 11º B,C (1)
Sistemas de Ecuaciones Guia Contenido
ED1 U3 ATR AUPC.autoreflexiones
Caracteristica de La Matematicas Tarea 1
Apunte 9 -Sistemas de Ecuaciones.docx
Información y Horarios en El Consultorio Matemático
Problemas de Aplicación Sistemas de Ecuaciones Algebra Lineal
Teorema Del Seno Triangulos No Restangulos
Tema-4.pdf
En esta secuencia representarás con letras los valores desconocidos
de un problema y las usarás para plantear y resolver un sistema de
LAS VACAS Y LOS CHIVOS
De Diofanto al siglo XXI
El matemático de Alejandría vivió en el siglo III. Introdujo un simbolismo algebraico muy
elemental que permitio el desarrollo del álgebra y por primera vez en la historia de las
matemáticas griegas presentó de una forma rigurosa el estudio de las ecuaciones de
primer y segundo grado, así como de los sistemas de ecuaciones. Por estos hechos se le
conoce como el padre del Álgebra.
Don Matías se dedica a la crianza de vacas y chivos. Raúl le pregunta a su padre: — ¿Papá
cuántas vacas y chivos tenemos?—.
— Te voy a dar dos pistas para que en-
cuentres cuántos chivos y cuántas vacas
Primera pista: en total tenemos 68 anima-
les entre chivos y vacas.
Segunda pista: el número de chivos es el
triple que el número de vacas.
¿Cuántos animales de cada tipo tiene don
Matías?
Chivos:
Comparen sus respuestas y comenten cómo las obtuvieron.
Propósito de la sesión. Resolver problemas con procedimientos aritméticos y representarlos gráficamente en el plano cartesiano para comprender lo que significa resolver un sistema de ecuaciones.
Descripción del video. Se proporciona una visión histórica de la evolución matemática de los sistemas de ecuaciones y su aplicación.
Sugerencia didáctica. Permita a los alumnos utilizar cualquier procedimiento que quieran (incluso dibujos) para resolver el problema. Es importante que traten de hacerlo partiendo de sus propias ideas, así que no es conveniente que les haga sugerencias o les dé pistas de cómo hacerlo.
El problema puede solucionarse mediante un sistema de ecuaciones. Si x es el número de chivos y y el de vacas, entonces:
+ y = 68
En la secuencia 19 de segundo de secundaria los alumnos aprendieron a resolver ecuaciones de primer grado. En las secuencias 20 y 23 representaron gráficamente funciones de primer grado. En esta secuencia aplicarán lo aprendido para plantear y resolver sistemas de ecuaciones por diferentes métodos algebraicos.
212 Libro para el maestro
Propósito de la secuencia Representar con literales los valores desconocidos de un problema y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.
Resolver problemas con procedimientos aritméticos y
representarlos gráficamente en el plano cartesiano para comprender lo que significa resolver un sistema de ecuaciones.
La edad de don Matías
Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de sustitución.
Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de suma o resta.
Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de igualación.
Lo que aprendimos de sistemas de ecuaciones
Resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema
Programa integrador 25
de ecuaciones y seleccionar el método algebraico apropiado para resolverlo.
Para saber cuántos animales de cada tipo tiene don Matías, se requiere que las pare- jas de números (número de chivos y número de vacas) cumplan con la primera pista:
En total tenemos 68 animales entre chivos y vacas.
a) Completen la Tabla 1 para mostrar algunas parejas de números que cumplan con la primera pista: Consideren que:
• x representa el número de chivos.
• y representa el número de vacas.
Número de chivos: x
Número de vacas: y
Pareja (x, y)
(35,33)
(40,28)
(50,18)
(51,17)
b) ¿Cuál es la ecuación que representa a la primera pista?
II . Ahora encuentren otras parejas de números que cumplan con la segunda pista dada por don Matías: el número de chivos es el triple que el número de vacas. Completen la siguiente tabla.
10 (30,10)
11 (33,11)
(36,12)
(39,13)
a) ¿Cuál es la ecuación que representa la segunda pista?
b) ¿Cuál pareja cumple con las dos pistas?
a) En la tabla los alumnos tienen que completar cada renglón para que las dos cantidades sumen 68, que es el total de animales que tiene don Matías.
b) x + y = 68
a) x = 3y
b) La pareja x = 51, y = 17.
Comparen sus respuestas y comenten:
Además de la pareja que encontraron, ¿existirá otra pareja que cumpla con las dos pistas
que dio don Matías a su hijo Raúl?, ¿cuál?
iii. Representen en el plano siguiente las parejas que obtuvieron en la Tabla 1 y las pare-
jas que obtuvieron en la Tabla 2.
Con un color unan los puntos que graficaron para la Tabla 1.
Con un color distinto unan los puntos que graficaron para la Tabla 2.
Número de chivos
¿Qué punto pertenece a las dos rectas que trazaron? (
Comparen sus respuestas y comenten porqué el punto de intersección de las rectas que
trazaron proporciona el número de chivos y vacas que tiene don Matías.
Sugerencia didáctica. Asegúrese de que todos los alumnos llenaron correctamente las tablas porque utilizarán las parejas de números para elaborar una gráfica.
Sugerencia didáctica. Al colocar los puntos en el plano cartesiano pregúnteles qué tipo de gráfica es la que están obteniendo. Es importan- te que los alumnos descubran el patrón que siguen los puntos en el plano, es decir, que pertenecen a una misma recta.
Si algún punto no queda alineado revisen si se trata de un error en las tablas o al ubicar el punto en el plano.
Haga hincapié en el hecho de que la pareja de números que cumple con las dos condiciones (51,17) es el punto en el que las rectas que trazaron se intersecan.
214 Libro para el maestro
Para resolver un problema que involucre dos incógnitas y dos ecuacio-
nes, hay que buscar dos valores que satisfagan las dos ecuaciones al
Si se grafican las ecuaciones, el punto de intersección de las gráficas
corresponde a la solución del problema.
Por ejemplo, si las ecuaciones de un problema son:
Al graficar las ecuaciones se obtienen las siguientes rectas:
El punto de intersección de las rectas corresponde a la solución del
problema x = 10 y y = 30. Estos valores satisfacen al mismo tiempo
Propósito del interactivo. Relacionar los sistemas de ecuaciones lineales y su solución con la gráfica de dos rectas y su intersección.
a) Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son
duraznos. ¿Cuántas peras y cuántos duraznos puede haber en la bolsa?
b) Si además sabemos que hay once peras más que duraznos, ¿cuántas peras y cuántos
duraznos hay en la bolsa?
En la sesión anterior aprendiste a plantear y resolver problemas con dos valores desco-
nocidos por medio de dos ecuaciones. Para ello usaste procedimientos aritméticos y
gráficos. En esta sesión plantearás y resolverás sistemas de ecuaciones por el método
algebraico de sustitución.
La edad de don Matías es igual a cuatro veces la edad de Raúl. La suma de sus edades es
¿Cuántos años tiene don Matías?
¿Cuál es la edad de Raúl?
Para saber la edad de don Matías y su hijo consideren lo siguiente:
x representa la edad de don Matías;
y representa la edad de Raúl.
a) Completen la ecuación que representa el enunciado: La edad de don Matías es
igual a cuatro veces la edad de Raúl.
Ecuación 1: x =
b) Completen la ecuación que representa el enunciado: La suma de sus edades es
c) ¿Cuál sistema de ecuaciones corresponde a esta situación?
= 70 − y
Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos echen mano de sus herramientas aritméticas y algebraicas para resolver el problema, sin embargo, pueden utilizar otro método, por ejemplo, el gráfico que aprendieron en la sesión anterior. Lo importante es que lo resuelvan y que comparen entre todos sus resultados y procedimientos, así irán viendo que ciertas técnicas son más eficaces y económicas que otras.
b) x + y = 70
Posibles respuestas. La solución es cualquier pareja de números naturales que sumen 21.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que comparen sus resultados y comenten que hay diversas respuestas correctas. Luego pregúnteles si creen que al graficarlas en un plano cartesiano todos los puntos estarían sobre una recta. Después hagan la gráfica.
Hay 16 peras y 5 duraznos. Mediante un sistema de ecuaciones la solución podría encontrase así (p son peras y d son duraznos):
+ d = 21
= d + 11
Sugerencia didáctica. Puede ser útil que los alumnos hagan dos tablas (similares a las que completaron en el Manos a la obra de esta sesión) y luego una gráfica para hallar el punto en el que se intersecan las rectas (que será la solución del problema), sin embargo, es importante permitir que utilicen cualquier método para resolver el problema. Más adelante aprenderán técnicas convencionales.
Propósito de la sesión. Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de sustitución.
Don Matías tiene 56 años y Raúl 14.
216 Libro para el maestro
d) ¿Por qué x = 40 , y = 30 no es una solución del sistema que seleccionaron aunque
40 + 30 = 70?
e) ¿Por qué x = 40, y = 10 no es solución del sistema, aunque 40 = 4(10)?
a) Con dos colores distintos, grafiquen las rectas que corresponden a las dos ecuaciones
del problema. Pueden hacer tablas para encontrar las parejas de puntos que necesi-
Edad de don Matías en años
¿En qué punto se intersecan las rectas que trazaron? (
trazaron proporciona la solución al problema de las edades de don Matías y Raúl.
Edad de Raúl en años
d) Porque no cumple con la otra condición, que la edad de don Matías sea cuatro veces la de Raúl.
e) Porque no cumple con la otra condición, que
las edades de ambos sumen 70 años.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan las tablas en el pizarrón y que entre todos las vayan completando. Es importante que sepan que ellos deben plantearse las parejas de números, siempre y cuando cumplan las dos condiciones (primero una y luego la otra).
iii. A continuación se presenta otra manera de resolver el problema de las edades: el mé-
todo de sustitución algebraica. Realicen las actividades y contesten lo que se pide.
a) La ecuación 1 se puede escribir como: x = 4y. Esta ecuación indica que el valor de
es igual a 4 veces el valor de y .
En la Ecuación 2 , sustituyan x por 4y y resuelvan la ecuación que se obtiene des-
pués de esta sustitución.
Ecuación 2 :
) + y = 70
b) Como resultado de la sustitución obtuvieron una ecuación de una incógnita.
Resuélvanla y encuentren el valor de y.
Encuentren el valor de x.
c) Para comprobar los valores que encontraron, sustituyan en las ecuaciones 1 y 2 los
valores de x y de y que encontraron.
) = 4(
d) ¿Son verdaderas ambas igualdades que obtuvieron?
Una vez que encontraron el valor de y , ¿cómo encontraron el valor de x?
iV. En un sistema, no siempre se encuentra despejada una de las incógnitas, por ejemplo:
1 : x + y = 55
2 : y + 2 = 2x
En este caso, para aplicar el método de sustitución es necesario despejar primero una
incógnita en una de las ecuaciones.
a) ¿Cuál incógnita despejarían?
¿de cuál ecuación la despejarían?
b) Despejen la incógnita que escogieron y solucionen el sistema por sustitución.
Sugerencia didáctica. Esta discusión es importante. La pregunta parece trivial, pero se trata de que los alumnos se den cuenta de que
la verificación les permite asegurar que la
solución es correcta siempre y cuando en ambas ecuaciones se mantenga la igualdad. En caso contrario, la solución es errónea.
También es importante porque quizá algunos alumnos no tengan claro qué hacer después de hallar uno de los valores (por ejemplo, x) para conocer el otro, así que dediquen un tiempo a repasar el método si fuera necesario. Puede emplear el ejemplo de las vacas y chivos de la sesión 1.
Posibles respuestas. Es importante que los alumnos tengan claro que aquí no hay una respuesta correcta y otra incorrecta, depende más bien de lo que cada uno considere que es más fácil para hacer el despeje. Si lo considera útil, pídales que despejen una incógnita en una de las ecuaciones y que luego prueben despejando la otra incógnita para que comprueben que pueden elegir cualquiera.
Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos han resuelto los incisos b) y c) puede ser útil anotar en el pizarrón los pasos para hacer la
sustitución. Por ejemplo, si deciden despejar y de
la E2, sería:
Al sustituir y en la E1 queda:
+ 2x – 2 = 55
Y luego la resuelven:
3x – 2 = 55
3x = 55 + 2
= 57 ÷ 3
Haga lo mismo para otras opciones (por ejemplo, despejar x en la E1) y anote todos los pasos para que a los alumnos les quede claro.
218 Libro para el maestro
Comprueben sustituyendo los valores de x y y en las ecuaciones 1 y 2.
Comparen sus respuestas y comenten: ¿en qué se fijaron para elegir la incógnita que con- viene despejar?
Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es por el método
de sustitución que, como su nombre lo indica, consiste en despejar
una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir el resultado en la
otra ecuación.
Por ejemplo, para resolver por sustitución el sistema:
x + y = 95
y = 3x − 5
1. Se sustituye la incógnita y por
3x – 5 en la Ecuación 1.
x + (3x – 5) = 95
2. Se resuelve la ecuación obtenida.
4x – 5 = 95
4x = 95 + 5
Para encontrar el valor de y,
se sustituye el valor de x en
cualquiera de las ecuaciones.
Si se sustituye en la ecuación 2,
= 3(25) – 5
= 75 – 5
4. Se comprueba las solución sustituyendo los valores encontrados
de x y de y en las dos ecuaciones.
(25) + (70) = 95
(70) = 3(25) – 5
Propósito del interactivo. Mostrar el proceso de resolución de un problema mediante su traducción en un sistema de ecuaciones, encontrar su solución y comprobar que efectivamente sea.
Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que en una cartulina copien el procedimiento que se explica aquí y que lo peguen en alguna pared del salón.
Resuelve el siguiente problema usando un sistema de ecuaciones.
Hoy fue el cumpleaños de Mónica, la hija mayor de don Matías. Un invitado a la fies-
ta le pregunta al papá.
¿Cuántos años cumple la muchacha compadre?
Para ocultar la edad de su hija don Matías le contestó.
Las edades de mi hija y su servidor suman 72 años. Pero su edad es dos séptimos
a) ¿Cuantos años tiene la hija de don Matías?
b) ¿Cuántos años tiene don Matías?
Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:
2x – 8y = 2
x = – 4y
2m + n = 4
m –2n = 7
En esta sesión aplicarás el método de suma o resta para resolver un sistema de ecuaciones.
Don Matías fue al mercado a vender gallinas y conejos. Doña Lupe le compró 5 gallinas
y 3 conejos y pagó por ellos $425.00. Don Agustín le compró 3 gallinas y 3 conejos y
pagó $309.00.
Propósito de la sesión. Plantear y resolver
sistemas de ecuaciones por el método algebraico
de suma o resta.
Integrar al portafolios. Elija uno de los dos problemas de este apartado para que los alumnos le entreguen una copia y analice sus respuestas. Puede ser necesario repasar el método de sustitución, para lo cual sirve la
información de A lo que llegamos.
Respuestas. Si x es la edad de don Matías y y
la de su hija, las ecuaciones serían:
La E2 también puede escribirse como y = 2 x
2( x )
7 x = 72
= 72 ÷
para hallar el valor de y
56 + y = 72
y = 72 – 56
a) 12 años.
(–4y) – 8y = 2
(–8y) – 8y = 2
–16y = 2
y = 2 ÷ –16
x = –4 (–
2 (7 + 2n) + n = 4
+ 4n + n = 4
+ 5n = 4
5n = 4 – 14
5n = –10
= –10 ÷ 5
– 2(–2) = 7
220 Libro para el maestro
Contesten lo que se les pide a continuación para plantear y resolver este problema me-
diante un sistema de ecuaciones. Usen la letra x para representar el precio de una gallina
y la letra y para el precio de un conejo.
a) Completen la ecuación que representa lo que compró Doña Lupe:
b) Completen la ecuación que representa lo que compró Agustín:
3x + 3y
Resuelvan el sistema de ecuaciones y contesten:
c) ¿Cuál es el precio de cada gallina? $
d) ¿Cuál es el precio de cada conejo? $
Verifiquen sus soluciones.
I. ¿Cuál de los siguientes sistemas corresponde al problema anterior?
Comparen el sistema que seleccionaron y comenten porqué lo escogieron.
II. Cuando en ambas ecuaciones de un sistema una incógnita tiene el mismo coeficiente,
conviene aplicar el método de suma o resta para eliminarla y simplificar el sistema.
Contesten lo que se les pide para aplicar este método.
a) En el sistema correspondiente al problema de las gallinas y los conejos, ¿cuál in-
cógnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones?
¿qué coeficiente tiene?
b) Resten las ecuaciones 1 y 2 para
eliminar a la incógnita que tiene el
mismo coeficiente en las dos ecua-
ciones. Completen.
Propósito de la actividad. En este problema se les pide que planteen un sistema de ecuaciones y se encontrarán con que las cantidades les presentan retos distintos a los de la sesión anterior. Déles tiempo suficiente para explorar posibles vías de solución.
Sugerencia didáctica. No pasen por alto la verificación, pida a los alumnos que la escriban en su cuaderno y anótenla en el pizarrón para que todos corroboren que lo hicieron bien. Si no llegaron a la solución correcta, sigan resolviendo la sesión.
Sugerencia didáctica. Es importante que todos tengan claro cuál es el sistema de ecuaciones correcto antes de pasar a la siguiente actividad.
222 Libro para el maestro
c) Encuentren el valor de x en la ecuación que obtuvieron.
e) Regresen al apartado Consideremos lo siguiente y comprueben si los valores que encontraron para x y para y satisfacen las condiciones del problema planteado.
Gastos de doña Lupe
Gastos de don Agustín
gallinas de $
cada una = $
conejos de $
cada uno = $
iii. Cuando en ambas ecuaciones los coeficientes de una misma incógnita sólo difieren en el signo, también conviene aplicar el método de suma o resta. Por ejemplo, para resolver el sistema:
E1: 5x + 3y = 425
E2: 3x − 3y = 39
conviene sumar las dos ecuaciones para eliminar los términos + 3y y − 3y y simpli- ficar el sistema.
a) Sumen las ecuaciones 1 y 2. Completen.
b) Encuentren el valor de x en la ecuación que obtuvieron.
d) Verifiquen su solución sustituyendo en ambas ecuaciones los valores de x y de y
d) Encuentren el valor de y.
c) Encuentren el valor de y.
Cuando en las dos ecuaciones de un sistema los coeficientes de una misma incógnita son
iguales o sólo difieren en el signo, conviene aplicar el método de suma o resta.
Por ejemplo, para resolver el siguiente sistema.
5x + 2 y = 70
Se suman uno a uno los términos de las dos ecuaciones
3x − 2 y = −14
y se cancelan los términos que tienen y.
8x + 0 y = 56
Se resuelve la ecuación obtenida
y se encuentra el valor de x .
En cualquiera de las ecuaciones, se sustituye el valor
5(7) + 2 y = 70
obtenido para x , se resuelve la ecuación resultante
2 y = 70 − 5(7)
y se encuentra el valor de y.
2 y = 35
La solución se verifica sustituyendo los valores de x y de y en ambas ecuaciones.
1. Plantea y resuelve en tu cuaderno un sistema de ecuaciones para solucionar el pro-
blema siguiente:
Toño y Paty compraron en una tienda cuadernos y lápices. Todos los cuadernos y lá-
pices que se compraron son iguales entre sí.
Por 3 cuadernos y 2 lápices, Paty pagó $54.
Por 5 cuadernos y 4 lápices, Toño pagó $92.
a) ¿Cuál es el precio de cada cuaderno?
b) ¿Cuál es el precio de cada lápiz?
2. Resuelve por el método de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones:
E1: 2 x − 8 y = −8
E2: 3 x − 8 y = −10
b) E1: 4 m + 3 n = −1
E2: 6 m − 6 n = –5
Sugerencia didáctica. Pida a otra pareja de alumnos que copien el procedimiento de resolución que aquí se explica en una cartulina y péguenlo junto al otro en el salón.
Respuesta. Las ecuaciones serían (x son cuadernos y y son los lápices):
E1: 3x + 2y = 54
E2: 5x + 4y = 92
Para resolver usando el método de suma y resta habría que efectuar una multiplicación para que dos de los términos que tienen la misma literal sean iguales (puede ser cualquiera de las literales). Si fuera la x quedaría:
E1: –5(3x + 2y) = –5(54)
E2: 3(5x + 4y) = 3(92)
E1: –15x – 10y = –270
E2: 15x + 12y = 276
Y al efectuar las sumas y restas queda:
Se sustituye ese valor en cualquiera de las ecuaciones originales y se encuentra que x = 16.
Como hay dos términos con la misma parte
literal que tienen igual coeficiente, no hay que multiplicar. Si se resta la primera ecuación a la segunda quedaría:
3x –8y –2x + 8y = –10 + 8
Al efectuar las sumas se tiene que x = –2 y al sustituir x en cualquiera de las dos ecuaciones resulta y = 1
Hay que multiplicar para eliminar alguno de los términos con la misma literal. Si se quiere eliminar m:
E1: 6(4m +3n) = 6(–1)
E2: –4(6m – 6n) = –4(–5)
Al efectuar las operaciones queda 42n = 14 y
y m = –
se tiene que n =
En esta sesión utilizarás el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones.
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
E 1 : y = 4x + 13
E 2 : 2x – 3 = y
Una manera de resolver un sistema de ecuaciones cuando la misma incógnita está
despejada en las dos ecuaciones consiste en aplicar el método de igualación. Para eso
hay que igualar las dos expresiones algebraicas que son equivalentes a la incógnita
¿Qué ecuación se obtiene al igualar las dos expresiones algebraicas equivalentes
a la incógnita y?
2x – 13
Resuelvan la ecuación que obtuvieron.
, ¿cuál es el valor de y?
Verifiquen sus soluciones sustituyendo los valores que encontraron en las dos
ecuaciones originales.
Comparen sus soluciones.
Encuentren el sistema de ecuaciones que corresponda al problema siguiente:
Doña Lupe fue a comprar queso. Por 2 quesos de vaca y 3 quesos de cabra pagó
$300.00. Si un queso de vaca vale $30.00 menos que un queso de cabra, ¿cuánto
vale una pieza de cada tipo de queso?
Usen las letras x y y para representar las incógnitas del problema.
x: precio de un queso de vaca.
y: precio de un queso de cabra.
Propósito de la sesión. Plantear y resolver sistemas de ecuaciones por el método algebraico de igualación.
Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen el método que quieran para resolver las ecuaciones. Luego pase a dos o tres alumnos a explicar en el pizarrón cómo lo hicieron. Si no lograron resolverla, permítales seguir sin darles la respuesta. En el Manos a la obra podrán saber cómo hacerlo.
4x – 2x = –3 – 13
2x = –16
x = – 16
x = – 8
Para hallar y se sustituye x en cualquiera de las ecuaciones:
= 4(–8) + 13
= –19
224 Libro para el maestro
a) ¿Qué ecuación representa el enunciado: por 2 quesos de vaca y 3 quesos de
cabra pagó $300.00?
b) ¿Qué ecuación representa el enunciado: un queso de vaca vale $30.00 menos
que un queso de cabra?
x = y – 30
Cuando en un sistema la misma incógnita está despejada en las dos
ecuaciones, conviene aplicar el método de igualación. Para eso hay
que igualar las expresiones algebraicas dadas en el despeje.
Por ejemplo, para resolver por igualación el sistema:
Sugerencia didáctica. También elaboren una
cartulina con los pasos de resolución del método
de igualación y péguenla en el salón.
75 – 3y
E1: x =
x = 25 + y
1. Se igualan las expresiones obteni-
das mediante el despeje para la
= 25 + y
2. Se resuelve la ecuación para
obtener el valor de y.
– 3y = 2 (25 + y )
– 3y = 50 + 2y
– 50 = 2y + 3y
25 = 5y
Para encontrar el valor de x, se
sustituye el valor de y en cual-
quiera de las ecuaciones. Por
ejemplo, sustituyendo en la ecua-
ción 2 queda:
x – y = 25
x – (5) = 25
x = 25 + 5
Se comprueba las solución sustituyendo los valores encontrados
iii. Algunas veces, antes de aplicar el método igualación hay que despejar alguna de las
incógnitas. Realicen las siguientes actividades para resolver por igualación el sistema:
a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones se obtiene al despejar la incógnita x de la ecua-
ción 1 ? Subráyenla.
• x = (300 – 3y ) – 2
• x = 150 – 3y
300 – 3y
b) Igualen las expresiones que obtuvieron para la incógnita x. Completen la ecuación.
= y – 30
Resuelvan la ecuación que se obtiene.
c) ¿Cuánto vale x?
d) ¿Cuánto vale y?
e) Comprueben sus soluciones sustituyendo en las dos ecuaciones originales los valo-
res que encontraron.
Comparen sus respuestas y comenten cómo resolverían un sistema de ecuaciones por
el método de igualación, cuando no está despejada ninguna incógnita en las ecua-
Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones:
7n – 4
E 1 : c =
E 1 : m =
E 1 : r = –3s – 1
3n + 6
E 2 : c =
E 2 : m =
E 2 : 6r – 6s = –5
Se sustituye b en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene c = 4.
b) También aquí está despejada m en ambas ecuaciones, entonces se igualan:
Se sustituye n en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene m = 3.
c) Hay que despejar r en la segunda ecuación. Al igualarlas quedaría:
Posibles dificultades. Quizá los alumnos no tengan claro qué hacer para efectuar el despeje de x una vez que llegan a 2x = 300 – 3y. Si lo considera pertinente, anote en el pizarrón la ecuación y resuélvanla juntos explicando que para despejar x hay que dividir todo lo que está a la derecha del signo igual entre dos.
b) 300 – 3y
c) x = 42
d) y = 72
Sugerencia didáctica. Una vez que hayan comentado sus ideas, elija alguno de los sistemas de ecuaciones de las sesiones anteriores y pida a los alumnos que lo resuelvan por el método de igualación.
Posibles dificultades. Pregunte a los alumnos cómo se resuelven las ecuaciones cuando tienen denominadores. Si hay dudas, anótelas en el pizarrón y resuélvanlas juntos.
Como en ambas ecuaciones ya está despejada c, quedaría:
2 (10 – b)= 2 (6 + b)
– 2b = 12 + 2b
– 12 = 2b + 2b
8 = 4b
Otra forma de resolverla es la siguiente. Como en ambos lados de la ecuación
los denominadores son iguales, los numeradores son equivalentes, así que
– b = 6 + b
– 6 = b + b
= 3n + 6
–3s – 1
–5 + 6s
6 (7n – 4) = 8 (3n + 6)
6 (–3s – 1) = 4 (–5 + 6s)
42n – 24 = 24n + 48)
–18s – 6 = –20 + 24s
42n – 24n = 48 + 24
–18s – 24s = –20 + 6
18n = 72
–42s = –14
Se sustituye s en cualquiera de las ecuaciones y se obtiene r = – 1
226 Libro para el maestro
LO QUE APRENDIMOS DE SISTEMAS
Selecciona el método por el que resolverías cada uno de los siguientes sistemas de
ecuaciones y escribe la razón por la que lo harías.
Método (sustitución,
Método (sustitución, suma
Razón por lo que seleccionas el método
Razón por la que seleccionas el método
o resta, igualación)
suma o resta,
igualación)
+ b = 20
– b =
Al sumar lado a lado se elimina la incógnita b.
– b = 5
Porque c está despejada en la primera ecuación
3d + 5
3c + 2d = 59
y al sustituir su equivalencia 3d + 5 en la
segunda ecuación se elimina la incógnita c.
m = 2 + n
Al igualar el lado derecho de ambas ecuacio-
nes se simplifica el sistema al eliminar la
m = – 4 + 3n
= 2 + n
incógnita m.
Al restar lado a lado las dos ecuaciones se
elimina la incógnita y.
5x + 2y = 30
Sustitución: Al sustituir la equivalencia de r en
la segunda ecuación se elimina esta incógnita,
sin embargo se trabaja con el denominador 4
= –3s – 1
que puede complicar la solución.
Sustitución o igualación
Igualación: Se despeja r en la segunda
–3s
ecuación y luego se igualan las equivalencias
= 2s = 20
de r. Sin embargo se pueden tener dificultades
para trabajar con denominadores y luego
Comparen sus respuestas y comenten en qué circunstancias conviene usar cada método
para resolver un sistema de ecuaciones.
Plantea un sistema de ecuaciones para cada uno de los siguientes problemas y resuél-
velo por el método que consideres apropiado.
a) La suma de dos números es 72. Si el triple de uno de los números menos el otro
número es 16, ¿cuáles son esos números?
Integrar al portafolios. Seleccione dos o tres problemas de este apartado para el portafolios de cada alumno. Analice los resultados obtenidos y los procedimientos empleados para valorar si es necesario repasar alguno.
Son el 22 y el 50.
E1: x + y = 72
E2: 3x – y = 16
Propósito de la sesión. Resolver problemas mediante el planteamiento de un sistema de ecuaciones y seleccionar el método algebraico apropiado para resolverlo.
Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos decidan mediante cuál método de los que han aprendido resolverían cierta ecuación. Será importante entonces propiciar la confrontación grupal de manera que los estudiantes den argumentos que justifiquen su elección, y tratar de llegar a un acuerdo sobre cuál puede ser el método más conveniente en cada caso.
x vale 1.2 cm y z vale 6 cm.
E1: 7x + z = 23.6
E2. –2x + 4z + 2 = 19.6
El padre gana $9,300 al mes.
El hijo gana $5,700 al mes.
E1: x + y = 15000
E2: x = y + 3600
Los alumnos también podrían llegar a la ecuación x – y = 3600 al considerar que la diferencia de los dos sueldos es $3600.
Ancho 3.1cm y largo 7.4cm
E1: y = 2x + 1.2
E2: y = x + 4.3
228 Libro para el maestro
El perímetro del triángulo es 14.4 cm y el del rectángulo es 23.6 cm, ¿cuánto
valen x y z?
z – x
c) Un padre y su hijo ganan $15 000.00 al mes. ¿Cuánto gana cada uno si el padre
percibe $3 600.00 más que el hijo?
El padre gana:
El hijo gana:
d) En un rectángulo el largo excede por 1.2 cm al doble del ancho; además, el largo
mide 4.3 cm más que el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
x + 4.3
2x + 1.2
e) El maestro Juan compró 12 balones, unos de fútbol y otros de básquetbol; los de
fútbol valen $95.00 y los de básquet $120.00, ¿cuántos balones compró para
cada deporte si en total pagó $1 265.00?
Se compraron 5 balones de básquetbol y 7 de
E1: x + y = 12
E2: 95x + 120y = 1 265
Balones de básquetbol que se compraron:
Balones de fútbol que se compraron:
Comparen sus respuestas y los procedimientos que utilizaron en cada problema. Comen-
ten por qué seleccionaron cierto método de resolución en cada sistema de ecuaciones.
Propósito del programa integrador 25.
Presentar problemas que se planteen como siste-
mas de ecuaciones con coeficientes enteros y
3. Para conocer más ejemplos de la solución de problemas mediante sistemas de ecua-
ciones pueden ver el programa Resolución de sistemas de ecuaciones.
mostrar diferentes métodos para hallar la
solución correspondiente.
Se transmite por la red satelital Edusat.
Consultar la cartelera para saber horario y días
Sobre resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado consulta:
http://descartes.cnice.mecd.es/
RUTA 1: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Resolución de sistemas de ecuaciones Método de Sustitución.
RUTA 2: Aplicaciones Álgebra Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Resolución de sistemas de ecuaciones Método de Reducción.
[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007].
Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
Traslación, rotación y simetría central
Propósito de la sesión. Determinar las propiedades de la traslación de figuras.
Materiales. Instrumentos geométricos: regla, compás, escuadras y transportador.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar traslaciones de figuras planas utilizando las herramientas de geometría dinámica.
En esta secuencia determinarás las propiedades de la rotación y de la
traslación de figuras. Construirás y reconocerás diseños que combinan
la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
¿HACIA DÓNDE ME MUEVO?
En la secuencia 5 de tu libro Matemáticas i, volumen i construiste figuras simétricas
con respecto a un eje. Estudiaste que un punto es simétrico a otro con respecto a una
recta si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es
perpendicular a ella. Cuando se traza el simétrico de una figura con respecto a un eje, se
conservan las longitudes y los ángulos de la figura original.
Traza el simétrico del triángulo con respecto a la recta m. Utiliza tus instrumentos
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden las propiedades de la simetría axial, algunas de las cuales les permitirán caracterizar los movimientos en el plano que estudiarán en esta secuencia; particularmente es importante que tengan presente la conservación de las medidas de los lados y de los ángulos, y que para trazar el simétrico de una figura, es suficiente trazar el simétrico de cada vértice.
Sugerencia didáctica. Si no recuerdan bien cómo trazar el simétrico usted puede pedir al grupo que, entre todos, traten de recordar el procedimiento apoyándose en el texto del apartado Para empezar. También pueden consultar la secuencia 5 (sesión 2) de su libro Matemáticas I, volumen I.
En la Secuencia 5 del libro Matemáticas I, volumen I, los alumnos estudiaron uno de los movimientos en el plano (simetría axial):
aprendieron a construir figuras simétricas respecto de un eje, analizaron e hicieron explí- citas las propiedades que se conservan en figuras simétricas.
En el segundo grado, los alumnos continuarán explorando otros movimientos en el plano con la finalidad de que logren anticipar qué tipo de transformación sufrió una figura y que sean capaces de analizar y hacer explícitas las propiedades que deben conservarse en las figuras después de que se le aplica una determinada transformación.
Propósito de la secuencia Determinar las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construir y reconocer diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
¿Hacia dónde me muevo? Determinar las propiedades de la traslación de figuras.
Concepto de traslación
(Geometría dinámica)
Rotaciones Determinar las propiedades de la rotación de figuras.
Molinos y… (Logo)
Simetría central Determinar las propiedades de la simetría central.
Uso de la simetría…
Algo más sobre simetrías, rotaciones y traslaciones Practicar los conocimientos adquiridos al resolver
diversos ejercicios en los que construyan y reconozcan diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
230 Libro para el maestro
El siguiente dibujo está incompleto. Debe haber 6 figuras iguales. Planeen y lleven a cabo una manera de terminarlo. Utilicen sus instrumentos geométricos.
Comparen sus respuestas. Comenten con los otros equipos el procedimiento que emplea- ron para terminar el dibujo.
Este dibujo está mal terminado. Explica por qué.
Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían calcar la figura y luego remarcarla sobre la hoja para completar la serie; también podrían calcar y recortar la figura para trasladarla sobre el diseño y dibujar el contorno.
Un posible error es que, aun cuando logren reproducir las figuras que hacen falta, no lo hagan con la inclinación correcta respecto a las demás.
Permita que exploren distintas formas de resolver el problema. Procure estar atento a los procedimientos que emplean para que, en el intercambio grupal, usted pueda recuperar algunos de ellos para propiciar el intercambio entre los alumnos.
Propósito de la actividad. Que los alumnos se aproximen a las propiedades de una traslación de figuras mediante la identificación de los errores más comunes, en este caso, la quinta figura no es idéntica a las primeras y la sexta figura no conserva la misma inclinación de las demás.
ii. Responde las preguntas.
a) Encuentra el vértice que corresponde al vértice a y el que corresponde al vértice
en la otra figura, nómbralos a’ y B’, respectivamente. Usa tu regla para unir a
con a’ y B con B’, al hacerlo obtienes los segmentos aa’ y BB’ . Anota en la figu-
ra la distancia entre a y a’ y entre B y B’.
b) Si prolongamos los segmentos aa’ y BB’ , ¿las rectas que se obtienen son parale-
las o perpendiculares?
c) Encuentra los vértices correspondientes a los vértices c, D, e, y F. Nómbralos c',
D', e', y F', respectivamente. Anota en la figura la distancia entre c y c’, entre
y D’, e y e’, y entre F y F’.
d) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado aB?
e) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado cD?
f) Si prolongamos el lado aB y su correspondiente lado en la otra figura, ¿cómo son,
entre sí, las rectas que se obtienen?
g) Si prolongamos el lado cD y su correspondiente lado en la otra figura, ¿cómo son,
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, cuando se traslada una figura, cualesquiera dos puntos o vértices correspon- dientes están a la misma distancia, los segmentos que los unen son paralelos entre sí y los lados correspondientes también son paralelos entre sí.
a) La distancia es de 7 cm.
b) Las rectas son paralelas.
c) La distancia en todos los casos es de 7 cm.
d) Es el lado A’B’
e) Es el lado C’D’.
f) Son paralelas.
g) Son paralelas.
232 Libro para el maestro
III. El siguiente dibujo cambió un poco. Encuentra los vértices correspondientes a los vértices G y H . Nómbralos G’ y H’, respectivamente.
a) Anota en la figura la distancia entre G y G’ y entre H y H’.
b) Traza los segmentos GG’ y HH’ . Si las prolongamos, ¿las rectas que se obtienen
son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?
c) ¿Cuál es el lado correspondiente al lado GH ?
d) Si prolongamos el lado GH y su correspondiente lado en la otra figura, ¿las rectas
que se obtienen son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos?
Una figura es una traslación de otra si los segmentos que unen dos puntos de la figura con sus correspon- dientes puntos en la otra, tienen la misma medida y son paralelos entres sí o son la misma recta.
Al prolongar dos lados correspondientes en las figuras se obtiene la misma recta o se obtienen rectas paralelas entre sí
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que no es suficiente con que las figuras sean idénticas, pues si una está inclinada con respecto a la otra, no se cumple entonces que los vértices correspondientes estén a la misma distancia ni que los lados correspondien- tes sean paralelos; por lo tanto, no se trata de una traslación.
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Invítelos a que regresen al problema del apartado Considere- mos lo siguiente y que verifiquen si la reproduc- ción que hicieron cumple con las características que aquí se enuncian.
Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a comparar las características de esta reproduc- ción con las características de la reproducción anterior, particularmente compare las distancias entre los vértices correspondientes (¿se conserva la distancia o no?) y compare los lados correspondientes (¿son paralelos o no?).
Posteriormente puede solicitar a dos alumnos que, juntos, elaboren un cartel con esta información, que lo ilustren con un ejemplo y que lo peguen en un lugar visible del salón de clases.
iV . Dibuja una traslación de la siguiente figura utilizando tus instrumentos geométricos;
el vértice A’ debe ser el correspondiente al vértice A. Escribe el procedimiento que
seguiste para trazarla.
Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrón un procedimiento para trasladar figuras utilizando los instrumentos geométricos. Comenten cómo son los lados y los ángulos de la figura trasladada con respecto a la figura original.
Al trasladar una figura se conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura original.
Propósito de la actividad. Que los alumnos describan un procedimiento para trazar la traslación de una figura.
Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para describir el procedimiento, usted puede preguntarles: “¿Qué puntos necesitan trasladar para poder trazar la otra figura?” Si los alumnos se concentran en los vértices como punto de partida, esto puede facilitar que puedan identificar y describir un procedimiento. Una vez que los alumnos hayan comparado sus procedimientos, es importante que usted precise cuáles son los pasos fundamentales:
• Trazar el segmento AA’.
• A partir de cada uno de los demás vértices trazar rectas paralelas al segmento AA’.
• Abrir el compás a una distancia igual a la longitud del segmento AA’ y a partir de cada vértice, marcar la distancia en la paralela correspondiente.
• Unir los puntos obtenidos.
Si lo considera necesario, repase con los alumnos cómo se trazan las rectas paralelas, para ello, pueden consultar la secuencia 5 de su libro Matemáticas II, volumen I.
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que corroboren si esto se cumple en la figura que trazaron en la actividad IV.
234 Libro para el maestro
La rueda es uno de los inventos más impor-
tantes para la humanidad. Piensen en todo lo
que se ha transportado con la ayuda de las
ruedas. Actualmente muchos transportes (bi-
cis, triciclos, motos, automóviles, camiones,
autobuses, metro, aviones) utilizan llantas
para trasladarse. En esta sesión vamos a estu-
diar las rotaciones.
En la siguiente llanta hay una figura dibujada.
• Al girar la llanta en sentido contrario al de las manecillas del reloj, la figura se va a
mover. Traza sobre la llanta la nueva posición de la figura al hacer un giro de 80º.
• La figura que dibujaste no es una traslación de la figura original. Explica por qué
• ¿De cuánto debe de ser el giro para que la figura vuelva a estar en la misma posición?
Comparen sus respuestas. Comenten en qué posición queda la figura si se hace un giro
de 90°, de 180° y de 270°, en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Realizar rotaciones de figuras planas utilizando las herramientas de geometría dinámica y de Logo, respectivamente.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 2.
Sugerencia didáctica. Usted puede dibujar la llanta y la figura en el pizarrón y solicitar a algunos alumnos que pasen a trazar, aproxima- damente, la posición de la figura cuando se hace el giro de 90° (un cuarto de vuelta), de 180° (media vuelta) y de 270° (tres cuartos de vuelta). En este momento no es importante que la ubicación y el trazo de la figura sean exactos, sino sólo que imaginen su posición cuando la llanta gira los grados que se indican.
Propósito de la sesión. Determinar las propiedades de la rotación de figuras.
Materiales. Instrumentos geométricos, papel y tijeras.
Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren cómo llevar a cabo la rotación de una figura.
Posibles procedimientos. Pueden calcar la figura y recortarla para después tratar de ubicarla en una posición distinta a la original, pero es probable que de esta manera no realicen ninguna rotación con respecto al centro de la llanta.
Un procedimiento eficiente es que copien la llanta con la figura y que la recorten. Después, colocan la copia sobre el original de manera que coincidan ambas figuras, fijan el centro del círcu- lo (pueden apoyarse con la punta de un lápiz) y luego giran la copia.
Sugerencia didáctica. Durante la comparación grupal, recupere estas preguntas, invite a los alumnos a que comenten qué puntos tomaron como referencia para hacer el giro de 80°. También es importante que comenten porqué la figura que dibujaron no es una traslación de la figura original.
Respuesta. Para regresar a la figura original el giro debe ser de 360°.
Al girar la llanta la figura quedó en la siguiente posición.
Escoge dos vértices, a y B, en una de las figuras. Encuentra los vértices correspon-
dientes, a’ y B’, en la otra figura. El centro de la llanta nómbralo como punto c.
Usa tu regla para unir a con a’ y B con B’, al hacerlo obtienes los segmentos aa’ y
BB’. Responde las preguntas.
a) Encuentra las mediatrices de los segmentos aa’ y BB’. Prolóngalas hasta que se
crucen. ¿En dónde se cruzan?
b) Mide el ángulo
aca’ y el ángulo
BcB’. ¿Son iguales o son distintos?
c) ¿Cuánto mide el ángulo del giro que se realizó?
d) Los segmentos ac y a’c . ¿Miden lo mismo o distinto?
e) Los segmentos Bc y B’c. ¿Miden lo mismo o distinto?
f) Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en las figuras, ¿son
iguales o son distintos?
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen cómo encontrar el centro de rotación y cómo encontrar la medida del ángulo de rotación.
Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento. Si lo considera necesario, ayúdeles a recordar cómo se traza una mediatriz, para ello, pueden consultar la secuencia 12 de su libro Matemáticas I, volumen I.
Recomiende a los alumnos que usen líneas punteadas y líneas continuas o también lápices de colores para que puedan distinguir unos trazos de otros.
a) Las mediatrices se cruzan en el centro de la llanta.
b) Los ángulos son iguales.
c) El ángulo de giro es de 135°.
d) Los segmentos miden lo mismo.
e) Los segmentos miden lo mismo.
f) Son iguales.
236 Libro para el maestro
II . Los siguientes triángulos se obtuvieron al realizar un giro. Encuentra los vértices co-
rrespondientes a los vértices A y B, nómbralos A’ y B’ en el otro triángulo. Encuentra
el punto C sobre el que se hizo el giro. Calcula de cuánto es el ángulo de giro.
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar de cuánto fue el giro
que se realizó y respondan: ¿cómo son entre sí los lados correspondientes y los ángulos
correspondientes en los dos triángulos?
Cuando giramos una figura sobre un punto estamos haciendo una rota-
ción. El punto se llama centro de rotación. La medida de cuánto giramos
es el ángulo de rotación. Si la rotación se hace en sentido contrario al de
las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es positivo. Si se hace en el
sentido de las manecillas del reloj, el ángulo de rotación es negativo.
Al hacer una rotación con un ángulo de rotación de 360°, volvemos a
la posición de la figura original.
Cuando una figura se obtiene rotando otra, los vértices correspondientes
equidistan del centro de rotación y se conserva la medida de los lados y
de los ángulos de la figura original.
Propósito de la actividad. Que los alumnos encuentren el centro de rotación y la medida del
ángulo de giro.
Sugerencia didáctica. Recomiende a los alumnos que sigan el procedimiento que llevaron a cabo en la actividad anterior para poder hacer lo que aquí se pide. Usted puede ayudarles escribiendo en el pizarrón, con la participación de todo el grupo, las acciones necesarias y el orden en que deben realizarse para ubicar el centro C y para medir el ángulo del giro.
Respuesta. El ángulo de rotación es de 80°.
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Enfatice en la distinción entre un ángulo de rotación negativo y un ángulo positivo, aclarando que esta diferencia es una convención adoptada en las matemáticas.
Adicionalmente, usted puede preguntarles qué sucede si se hace una rotación con un ángulo de 450° o de 720° (en el primer caso, la posición es la misma que con un giro de 90º, y en el segundo, es la misma posición que con un giro de 360º).
Pida a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información, que lo ilustren con una de las actividades que trabajaron durante la
sesión y que lo peguen en el salón de clases.
iii. En ocasiones, el centro de rotación está dentro de la figura que se va a rotar. Dibuja
la posición de cada figura después de hacer la rotación indicada. En cada caso el
centro de rotación está indicado con un punto rojo.
Angulo de rotación –90º
Angulo de rotación 210º
a) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ángulo de rotación positivo, que al
rotar con un ángulo de –90° . ¿Cuál es ese ángulo?
b) Podemos obtener lo mismo al rotar con un ángulo de rotación negativo, que al
rotar con un ángulo de 210° . ¿Cuál es ese ángulo?
iV. Copia las siguientes figuras en una hoja (es un triángulo equilátero, un
cuadrado y un rectángulo), recórtalas y utiliza un lápiz o una pluma para
fijar el centro de rotación dentro de la figura. Encuentra el centro de
rotación de manera que se vuelva a la posición inicial al rotar la figura
con un ángulo de rotación que mida entre –360° y 360°. Para cada fi-
gura indica la medida de todos los ángulos de rotación con los que se
vuelve a la posición inicial (considera los ángulos de rotación positivos y
los negativos).
Comparen sus respuestas. Comenten si un triángulo isósceles o un rombo pueden ser
rotados con un ángulo de rotación que mida entre -360° y 360°, de manera que vuelvan
a su posición inicial.
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen lo que ocurre cuando el centro de rotación está dentro de la figura. Esta actividad les permitirá abordar la siguiente con menos dificultades.
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, para algunas figuras, es posible que giren volviendo a su posición original, con un ángulo de rotación entre –360° y 360°.
Respuestas. En el caso del triángulo las rotaciones son de 120°, 240°,–120° y –240°.
En el cuadrado son de 90°, 180°, 270°, –90°, –180° y –270°.
En el rectángulo los ángulos son de 180° y de –180°.
Respuesta. En un triángulo isósceles no es posible realizar la rotación. En el rombo sí, de 180° y -180°.
238 Libro para el maestro
Para rotar un polígono con respecto a un punto C y con un ángulo de rotación r :
1. Por cada vértice se traza la recta que une el vértice con el punto C.
2. Utilizando la recta que trazaste, se traza un ángulo igual al ángulo r . La recta debe ser
uno de los lados del ángulo y el punto C debe ser el vértice del ángulo. Si el ángulo es
positivo se traza el lado que falta en sentido contrario a las manecillas del reloj, si el
ángulo es negativo se traza en el sentido de las manecillas del reloj.
3. Sobre el nuevo lado del ángulo se traslada la distancia entre el vértice del polígono y el
4. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono rotado.
Propósito de la sesión. Determinar las propiedades de la simetría central.
Ya conoces tres movimientos en el plano: la simetría con respecto a un eje, la traslación y
la rotación. En esta sesión conocerás un caso especial de la rotación: la simetría central.
Utiliza tus instrumentos geométricos para trazar la figura que se obtiene al rotar la si-
guiente figura, con centro en C y ángulo de rotación de 180º.
Comparen sus figuras. Comenten qué procedimiento utilizaron para realizar la rotación.
Descripción del video. Se presenta la manera de trazar una traslación y una rotación. Se hace un repaso breve de la simetría axial y se da un ejemplo que invita a trazar una simetría con respecto a un punto. A lo largo del video se identifican las propiedades que se conservan con cada uno de estos movimientos en el plano.
Propósito de la sesión en el aula de medios. Obtener polígonos estrellados a partir de polígonos regulares de un número impar de lados.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.
Propósito de la actividad. Que los alumnos exploren una forma de llevar a cabo la rotación de la figura utilizando sus instrumentos geométricos.
Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para abordar el problema, usted puede señalar uno de los vértices de la figura y preguntarles: “¿Dónde te imaginas que queda este vértice si la figura hace una rotación de 180º?”, “¿Dónde quedarían los otros vértices?”
Aclare a los alumnos que en este caso, dado que el giro es de 180º, no importa si el giro es en el
sentido de las manecillas del reloj o en dirección
contraria, pues ya sea en un sentido o en el otro, la figura queda en la misma posición.
Las siguientes figuras se obtuvieron al rotar la figura de la izquierda con un ángulo
de rotación de 180° y centro en c. Encuentra los vértices correspondientes a los vér-
tices a y B, nómbralos a’ y B’. Une a con a’ y B con B’.
a) ¿Por dónde pasa el segmento aa’?
b) ¿Cuál es la distancia entre a y c?
c) ¿Cuál es la distancia entre a’ y c?
d) ¿Por dónde pasa el segmento BB’?
e) ¿Cuál es la distancia entre B y c?
f) ¿Cuál es la distancia entre B’ y c?
g) Escoge otro vértice y su correspondiente vértice en la otra figura. Únelos y escribe
en el dibujo la distancia de cada uno de los dos vértices al centro.
h) Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes en las figuras, ¿son
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen las propiedades de una simetría central: los vértices simétricos son equidistantes del centro de rotación y son colineales con este punto.
Los segmentos AA’ y BB’ pasan por el punto C.
La distancia entre un vértice y el punto C, es la misma que existe entre su vértice correspondiente y el punto C.
Los lados correspondientes y los ángulos correspondientes entre las figuras, son iguales entre sí.
240 Libro para el maestro
A una rotación sobre un centro C con un ángulo de 180º, se le llama
una simetría central o simetría con respecto al punto C. Cuando dos
puntos A y A’ son simétricos con respecto al punto C, A y A’ equidistan
de C y los tres puntos son colineales.
III . Traza el simétrico del triángulo PQR con respecto al punto C .
a) ¿Cuáles puntos localizaste para trazar el triángulo simétrico?
b) Escoge un punto en el triángulo PQR , que no sea uno de sus vértices, y localiza su
simétrico con respecto al punto C .
Comparen sus respuestas. Comenten cómo son los lados y los ángulos de la figura simé-
trica con respecto a la figura original.
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que, para trazar el simétrico de una figura con respecto a un centro, es necesario trazar el simétrico de cada vértice con respecto a ese centro.
Para construir un polígono simétrico a otro con respecto a un punto:
1. Por cada vértice se traza la recta que pasa por el centro de simetría.
2. Sobre cada recta que se trazó se toma la distancia de cada vértice al centro de sime-
tría y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta correspondiente.
3. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono.
Es decir, se traza el simétrico de cada vértice con respecto al centro de simetría y se unen
todos los vértices simétricos
Una figura simétrica a otra con respecto a un punto conserva la medida de los lados y de
los ángulos de la figura original.
iV. Traza el simétrico del triángulo aBc con respecto a la recta y , obtendrás el triángulo
a’B’c’. Luego traza el simétrico del triángulo a’B’c’ con respecto a la recta x, obten-
drás el tríangulo a’’B’’c’’. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar directamen-
te aBc a a’’B’’c’’?
Sugerencia didáctica. A partir de esta información, usted puede pedirles que analicen la diferencia entre la simetría central y la simetría con respecto a una recta.
Posteriormente, solicite a dos alumnos que elaboren un cartel con las ideas centrales de los dos apartados A lo que llegamos de esta sesión, y que lo ilustren con una de las actividades que resolvieron.
Propósito de la actividad. Que los alumnos concluyan que al trazar dos simétricos con respecto a rectas perpendiculares, se obtiene una simetría central.
Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos puedan imaginar la posición de la figura en cada uno de los movimientos, de tal manera que una vez ubicada la posición de la figura en el tercer movimiento, puedan concluir que de la primera a la tercera posición hay un giro de 180º grados. Si observa que los alumnos tienen dificultades, usted puede pedirles que lleven a cabo cada una de las transformaciones que se les plantea y que una vez que hayan trazado la figura del tercer movimiento, que unan los vértices correspondientes de la primera y la tercera figura y que midan el ángulo del giro.
242 Libro para el maestro
ALGO MÁS SOBRE SIMETRÍAS,
1. Copia la siguiente figura. Haz una traslación y una rotación. Indica la distancia que
trasladaste la figura y el ángulo de rotación que utilizaste.
2. Con respecto al triángulo rojo, ilumina de azul los triángulos que sean una traslación,
de amarillo los que sean una rotación y de verde los que sean simétricos con respecto
a un eje.
Integrar al portafolios. Considere los 4 problemas de esta sesión para evaluar los aprendizajes de los alumnos. Es importante que insista a los alumnos que utilicen sus instrumen- tos geométricos.
Propósito de la sesión. Practicar los conocimientos adquiridos al resolver diversos ejercicios en los que construyan y reconozcan diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
Respuesta. El primero y el último son traslaciones, el segundo es simétrico con respecto a un eje. Los otros dos son rotaciones.
Traza el simétrico del triángulo aBc con respecto a la recta m, obtendrás el triángu-
lo a’B’c’. Luego traza el simétrico del triángulo a’B’c’ con respecto a la recta n y
obtendrás el tríangulo a’’B’’c’’. ¿Qué movimiento habría que hacer para pasar direc-
tamente aBc a a’’B’’c’’?
Encuentra el simétrico del triángulo aBc con respecto a la recta s. Se obtiene el
triángulo a’B’c’. Luego encuentra el simétrico de a’B’c’ con respecto a la recta t.
¿Qué movimiento habría que hacer para pasar directamente del triángulo aBc al
tercer triángulo que obtuviste?
Para conocer más propiedades de las rotaciones, traslaciones y simetrías del plano
pueden ver el programa Rotación y traslación de figuras.
Respuesta. Al trazar estas dos simetrías con respecto a un eje, se obtiene una traslación.
La figura se traslada una distancia igual al doble de la distancia entre las rectas.
Respuesta. Se obtiene una rotación.
Propósito del programa integrador 26. Mostrar propiedades de la rotación y la traslación de polígonos mediante construcciones que combinan simetrías, rotaciones y traslaciones.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
244 Libro para el maestro
Sobre movimientos en el plano consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Movimientos_en_el_plano/index_movi.htm
Ruta 1: Índice Ruta 2: Índice Ruta 3: Índice
[Fecha de consulta: 24 de agosto de 2007]. Proyecto Descartes, Ministerio de Educación y Ciencia, España.
Explora las actividades del interactivo Movimientos en el plano.
Propósito del Interactivo. Profundizar en los conceptos de simetrías y transformaciones
Eventos mutuamente
En esta secuencia aprenderás a distinguir en diversas situaciones de
azar cuando dos eventos son mutuamente excluyentes o cuando no
son mutuamente excluyentes y determinarás la forma en que se
calcula su probabilidad de ocurrencia.
¿Cuándo dos eventos son
mutuamente exCluyentes?
¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes?
En la secuencia 27 de tu libro de Matemáticas ii, volumen ii, realizaste experimentos
aleatorios con monedas y dados para estudiar cuándo dos o más eventos son indepen-
dientes; en esta sesión realizaremos algunos experimentos y veremos algunas situaciones
para distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes.
Dos bolsas de plástico oscuras.
Corten la hoja en 12 partes iguales; nume-
ren los papelitos del 1 al 6, de modo que
haya dos papelitos con el número 1, dos
con el 2, etc. Coloquen en una bolsa un
juego de papelitos numerados del 1 al 6 y
en la otra los otros 6 papelitos. Marquen
una de las bolsas con el número I y la otra
con el II.
Ahora, el experimento que van a realizar con-
siste en sacar dos papelitos al azar, uno de
cada bolsa, y luego los regresan a las bolsas
que les corresponden.
Propósito de la actividad. Los alumnos ya han hecho experimentos en situaciones de azar (lanzando dados, monedas, extrayendo papeles de una bolsa). Ahora se pretende introducir situaciones de simulación, mismas que serán estudiadas en el próximo grado.
Propósito de la sesión. Distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes y cuándo no.
Materiales. Para esta sesión serán necesarias dos bolsas de plástico oscuras y una hoja blanca.
Descripción del video. El video es problemati- zador. Presenta diversas situaciones de azar en las que es necesario distinguir cuándo los eventos son mutuamente excluyentes y cuándo no lo son. Introduce la necesidad de hacer esta distinción para solucionar las situaciones, pero no introduce métodos formales de solución.
Sugerencia didáctica. Aproveche este momento para recordar los conceptos espacio muestral y evento. Después, pregunte a los alumnos si lanzar una moneda tres veces es equivalente o no a lanzar tres monedas y por qué.
Sugerencia didáctica. Si en el salón hay dados pida a algunas parejas de alumnos que trabajen con ellos y a otras con los papelitos. Vayan comparando los resultados que obtienen.
a) Hay 36 resultados posibles: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2,); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2); etcétera.
Posibles dificultades. Quizá para los alumnos sea problemático saber cuántos resultados posibles hay o bien, enumerarlos. Si fuera el caso permítales avanzar, más adelante podrán hacerlo.
246 Libro para el maestro
produce un resultado u observación
Un experimento aleatorio es todo proceso que
que está fuera de control y
Al conjunto de resultados posibles
de un experimento aleatorio lo llamamos
espacio de eventos o conjunto
de resultados. Por ejemplo, al
de lanzar un dado (no trucado), obtenemos el siguiente
es un conjunto, podemos formar subconjuntos
de él que
llamamos eventos. Por ejemplo, el
evento A es obtener un número par al lanzar un
dado; los resultados favorables son:
{2,4,6}.
En este experimento aleatorio, ¿cuántos y cuáles son todos los resultados posibles que
creen que hay?
Tres eventos que pueden ocurrir al realizar el experimento de sacar dos papelitos al azar,
uno de cada, bolsa anotar los números que salen y regresarlos a las bolsas son:
A : "Los dos papelitos muestran el mismo número".
B : "La suma de los números de los dos papelitos es 7".
C : "La suma de los números de los dos papelitos es 10".
a) Si sacan de la bolsa I el papelito que tiene el número 4, y de la bolsa II el papelito
con el número 3, es decir, sacan 4 y 3, ¿a cuál de los tres eventos es favorable este
b) ¿Cuál es un resultado favorable al evento C?
Propósito de la actividad. Ahora se quiere que los alumnos distingan si dos determinados eventos pueden o no ocurrir al mismo tiempo.
Sugerencia didáctica. Lean los eventos A, B y
en voz alta. Luego, con la finalidad de que
recuerden qué es un evento, pida a los alumnos que den otros ejemplos de eventos en esta situación.
a) Al evento B (la suma de los números de los dos papelitos es 7).
b) Sacar (5,5); (6,4) o (4,6).
c) No es posible.
d) Sí, (5,5).
e) No es posible.
Recuerde que. En probabilidad todos los resultados posibles constituyen el espacio
muestral, y los resultados favorables se refieren
la ocurrencia de determinado evento. Por
ejemplo, en esta situación los resultados posibles son 36, y los resultados favorables al
evento A son 6 (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5)
Los alumnos han estudiado distintos aspectos de los fenómenos aleatorios (como enumerar posibles resultados y calcular su probabilidad, distinguir entre un juego justo y otro que no lo es y reconocer cuándo dos eventos son independientes). En esta secuencia estudiarán eventos que son mutuamente excluyentes y calcularán su probabilidad.
Propósito de la secuencia Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.
¿Cuándo dos eventos son mutuamente
excluyentes? Distinguir cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes y cuándo no.
Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes
Cálculo de la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes
Determinar la probabilidad de dos o más eventos mutuamente excluyentes en juegos y situaciones de azar.
Probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes Azar y probabilidad con Logo
Resolver problemas en los que hay eventos mutuamente excluyentes.
Programa integrador 27
c) Si ocurre que la suma de los números en los dos papelitos es 7, ¿es posible que la
suma de esos números también sea 10?
Si es así, escriban un ejemplo.
d) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo número, ¿puede ocurrir, al mis-
mo tiempo, que la suma de los números de los dos papelitos sea 10?
e) Si ocurre que los dos papelitos muestran el mismo número, ¿puede ocurrir que la
suma de esos números sea 7? Si es así, escriban un ejemplo.
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Utilicen los resultados que obtuvieron al realizar 10 veces el experimento de sacar
dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, para completar la siguiente tabla y contestar
las preguntas de los incisos.
a: "los dos papelitos
muestra el mismo
B: "la suma de los
números de los dos
papelitos es 7".
c: "la suma de los
papelitos es 10".
a) De los resultados que obtuvieron, ¿alguno es favorable al evento A?
¿Al evento B?
¿Y al evento C?
b) ¿Qué otros resultados creen que podrían obtener que fueran favorables al evento
c) ¿Qué otros resultados creen que podrían obtener que fueran favorables al evento
Sugerencia didáctica. Puede suceder que en alguno o algunos de los eventos no anoten ningún resultado porque no lo obtuvieron al realizar el experimento. Revisen en grupo las respuestas a los incisos a), b) y c) para que, aunque no hayan obtenido ningún resultado en cierto evento, sepan cuáles son los resultados favorables al mismo. Comente con los alumnos que el hecho de que para un evento existan resultados favorables, no quiere decir que al realizar el experimento sea seguro que alguno de ellos ocurra, lo que sí es seguro es que los resultados estarán dentro del espacio muestral (o resultados posibles).
También comenten lo que contestaron en los incisos d) y e), para ver si encontraron resultados favorables a dichos eventos compuestos.
Recuerde que. Un evento simple es, por ejemplo, el evento “sacar (1,5)”; o “sacar 1 en la bolsa II”; o “que la suma de los números de los dos papelitos sea 6”. Un evento compuesto es aquel en el que se consideran dos o más eventos simples, por ejemplo, el evento “sacar (1,5)” y el evento “que la suma de los números de los dos papelitos sea 6”. Es este caso, sí hay un resultado favorable para este evento compuesto.
Sugerencia didáctica. Cuando lleguen a esta parte pídales que den ejemplos de:
• un resultado posible,
• un resultado favorable al evento “sacar 5 en la bolsa I”,
• un evento compuesto.
Sugerencia didáctica. Puede ser que al realizar el experimento no se obtengan resultados favorables para alguno de los eventos, por lo que es importante que comparen sus respuestas. Si a nivel de grupo se dieron resultados favorables a cada uno de los eventos, algunas de las preguntas que puede plantearle a los alumnos son:
• ¿Alguno de los resultados es favorable al evento A y al evento B a la vez? ¿Cuál o cuáles?
• ¿Hay algún resultado favorable al evento A y al C a la vez? ¿Cuál o cuáles?
Recuerde que cuando se realiza el experimento cualquier resultado posible puede ocurrir (considerando que en este experimento cada papelito tiene la misma probabilidad de ocurrir, es decir, son equiproblables), por lo que es importante que durante el desarrollo del experimento, usted se acerque a los alumnos para ver los resultados que van obteniendo y tenga oportunidad de conocer los resultados antes de la discusión grupal para plantear las preguntas.
248 Libro para el maestro
II. En el siguiente arreglo rectangular se muestran todos los resultados posibles que
pueden ocurrir al sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar los números
regresarlos. Marquen con color azul los resultados favorables al evento A: "los
dos papelitos muestran el mismo número"; con color rojo, los resultados favorables
evento B: "la suma de los números de los dos papelitos es 7" y con color verde,
los del evento C: "la suma de los números de los dos papelitos es 10 ".
2 2 ,1
3 3 ,1
5 5 ,1
6 6 ,1
Consideren el arreglo rectangular anterior para responder las siguientes preguntas.
a) En total, ¿cuántos resultados posibles hay para este experimento?
b) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento A?
c) ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento B?
el evento C?
se consideran todos los resultados favorables del evento A y del evento B, es
decir, todos los resultados que están marcados de color azul o de color rojo, se
podría definir un nuevo evento “los dos papelitos muestran el mismo número o la
suma de los números de los papelitos es 7 ”.
d) ¿Cuáles resultados son favorables a “los dos papelitos muestran el mismo número
la suma de los números de los dos papelitos es 7 ”? Escríbanlos en el siguiente
Resultados favorables al evento A o al evento B
Sugerencia didáctica. En las siguientes dos actividades los alumnos trabajarán con el
espacio muestral del experimento. Usted puede pedirles que contrasten sus resultados con los que obtuvieron en la actividad del Consideremos
Sugerencia didáctica. Cuando terminen de contestar estos incisos, regresen a la pregunta a) del apartado Para empezar y revisen su respuesta. Hagan correcciones si es necesario.
c) El evento B tiene 6 resultados favorables y el
evento C tiene 3.
d) {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6); (6,1); (5,2); (3,4); (4,3); (2,5); (1,6)}. Haga énfasis en que en esta pregunta se quieren averiguar los resultados favorables del evento compuesto “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 7”, es decir, se pregunta por la suma de los resultados favorables de los dos eventos y no por los resultados favorables que los dos eventos tienen en común.
e) ¿Hay algún resultado que esté marcado de color azul y de color rojo a la vez, es
decir, “los dos papelitos muestran el mismo número y la suma de los números de
los dos papelitos es 7 al mismo tiempo”?
f) ¿Cuántos resultados favorables diferentes hay para el evento “los dos papelitos
muestran el mismo número o la suma de los números es 7 ”? (Cuenten una sola vez
los resultados que se “comparten”).
g) Sumen el número de resultados favorables del evento A y los del evento B, ¿cuál
h) Si comparan el número de resultados favorables al evento: “los dos papelitos
muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos es 7 ”,
con la suma de los resultados favorables del evento A y los del evento B, ¿es igual
diferente el número de resultados favorables?
iii. Si se realiza el experimento de sacar dos papelitos al azar, uno de cada bolsa, anotar
los números que salen y regresarlos a las bolsas otro evento que puede considerarse
es “los dos papelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos
papelitos es 10 ”.
a) Ahora, ¿cuáles son los resultados favorables a este nuevo evento?
Resultados favorables al evento a o al evento c
b) ¿Hay algún resultado favorable que se repita, es decir, el resultado es favorable al
evento A y al evento C?
c) ¿Cuántos resultados favorables diferentes hay (cuenten una sola vez los resulta-
dos que se repiten)?
d) Sumen el número de resultados favorables del evento A y el del evento C. ¿Cuán-
vale la suma?
e) ¿Es igual o diferente el número de resultados favorables del evento: “los dos pa-
pelitos muestran el mismo número o la suma de los números de los dos papelitos
es 10 ” con el valor de la suma de los resultados favorables del evento A y los del
evento C?
e) No hay ninguno.
Es igual porque no hay ningún resultado que sea común a los dos eventos.
a) {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5), (6,6); (6,4); (5,5); (4,6)}.
b) Sí (5,5).
250 Libro para el maestro
b) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “cada papelito muestra el mismo nú-
mero” y “la suma de los números en los dos papelitos es 10 ”.
c) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “la suma de los números en los dos
papelitos es 7 ” y “la suma de los números en los dos papelitos es 10 ”.
Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si los resulta-
dos favorables que se obtienen para cada evento son distintos, es
decir, si ocurre uno de los eventos imposibilita la ocurrencia del otro.
Por ejemplo, se lanza un dado (no trucado) y se observa el número de
la cara superior que cae. Dos eventos que pueden ocurrir son:
“cae número par”.
“cae número impar”.
Los resultados favorables de cada evento son:
A = {2 , 4 ,6 }
B = {1,3 , 5 }
Como todos los resultados son distintos, los eventos son mutuamente
Esto significa que, si se lanza un dado y ocurre que cae número par,
es imposible que ese número sea impar al mismo tiempo.
En cambio, si se define un tercer evento, C “cae un múltiplo de 3”,
sus resultados favorables son: { 3 ,6 }.
El evento A “cae número par” y el evento C “cae múltiplo de 3”
no son mutuamente excluyentes porque el número 6 es un resultado
favorable común a ambos eventos.
I V. Determinen si cada una de las parejas de eventos siguientes son o no eventos mutua-
mente excluyentes:
a) Se sacan dos papelitos, uno de cada bolsa: “cada papelito muestra el mismo nú-
mero” y “la suma de los números en los dos papelitos es 7 ”.
Propósito del interactivo. Aclarar el concepto de eventos mutuamente excluyentes apoyándose en experimentos aleatorios concretos.
Sugerencia didáctica. Pida a un alumno que lea esa información en voz alta. Luego, comenten cuáles de los eventos de la actividad II (la que acaban de resolver) son mutuamente excluyentes y cuáles no.
No son mutuamente excluyentes.
1. Define dos eventos diferentes a los que analizaste anteriormente; identifícalos
Evento e:
a) En tu cuaderno, determina los resultados favorables a cada evento.
b) Reúne los resultados favorables del evento D y los del evento E, ¿cuántos resulta-
dos favorables tienen en común?
¿Son los eventos D y E mutuamente excluyentes?
c) Si unes los resultados favorables del evento A y los del evento D, ¿cuántos resul-
tados tienen en común?
¿Son los eventos A y D mutuamente excluyentes?
d) Si unes los eventos B y E, ¿cuántos resultados tienen en común?
¿Son los eventos B y E mutuamente excluyentes?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Escribe en tu cuaderno los eventos
mutuamente excluyentes que sean diferentes a los que tú anotaste.
CÁLCULO De LA PROBABiLiDAD De
Y nO eXCLUYenTes
En la sesión anterior aprendiste a distinguir cuándo dos eventos son mutuamente exclu-
yentes o no son mutuamente excluyentes; en esta sesión aprenderás a calcular la proba-
bilidad de que ocurra cualquiera de los dos eventos.
La siguiente tabla muestra el número de personas que laboran en una fábrica. Complétenla.
Sugerencia didáctica. Para que todos compren- dan en qué consiste esta actividad, pongan un ejemplo entre todos. Pida a dos alumnos que definan dos eventos y anótelos en el pizarrón. Luego contesten los incisos a), b), c) y d) de acuerdo a esos eventos. Ahora sí, deje que individualmente definan dos eventos y que contesten las preguntas en su libro. Pídales que escriban correctamente cada evento y que determinen los resultados favorables. También aclare que deben utilizar adecuadamente la notación para designar los eventos compuestos como D y E.
Propósito de la sesión. Determinar la probabilidad de dos o más eventos mutuamente excluyentes en juegos y situaciones de azar.
Sugerencia didáctica. Forme parejas de alumnos que tengan distintos niveles de experiencia y conocimientos matemáticos.
252 Libro para el maestro
Si se selecciona al azar a un trabajador de la fábrica, sean los siguientes eventos:
A : "trabaja tiempo completo".
B : "es hombre".
C : "trabaja medio tiempo y es mujer".
a) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, ¿puede ocurrir que
sea hombre al mismo tiempo?
¿Son mutuamente excluyentes los eventos A y B ?
b) Si se selecciona al azar a un trabajador de tiempo completo, ¿puede ocurrir que
también trabaje medio tiempo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar sea hombre?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar trabaje tiempo
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador seleccionado al azar tra-
baje medio tiempo y sea mujer?
f) ¿Cuál creen que es la probabilidad de que el trabajador seleccionado

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
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