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Timestamp: 2019-01-18 01:51:54+00:00

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40 Englersituacioneslimites
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Sucesiones y series infinitas - Eduardo Espinoza Ramos.pdf
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Silvia Aquere, Adriana Engler, Silvia Vrancken, Daniela Müller, Marcela Hecklein, María Inés Gregorini y Natalia Henzenn Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral Prov. de Santa Fe (Argentina) tarisflia@arnet.com.ar; aengler@fca.unl.edu.ar; svrancke@fca.unl.edu.ar; dmuller@fca.unl.edu.ar; mhecklei@fca.unl.edu.ar; migrego@fca.unl.edu.ar; nhenzenn@fca.unl.edu.ar
El trabajo en el aula y sus resultados, nos lleva a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una parte, enseñar y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite a alumnos de carreras universitarias no matemáticas, en nuestro caso, Ciencias Agrarias. Queremos, que nuestros alumnos, lleguen a la construcción del concepto de límite. Para ello llevamos a cabo nuestra experiencia, teniendo en cuenta que si pretendemos enseñar, debemos crear las condiciones que producirán la apropiación del conocimiento por parte del alumno. Realizamos en primer lugar una reflexión acerca de las dificultades con las que se pueden encontrar los alumnos, asumiendo que si hay construcción, hay proceso y en este camino surge la posibilidad de enfrentarnos a errores. En este contexto nuestro interés se enfocó en efectuar una serie de actividades, trabajadas en forma grupal, para salvar esas dificultades de aprendizaje y procesos de construcción o reconstrucción del concepto de límite. Finalmente, a través del análisis de sus producciones y de encuestas realizadas a los estudiantes, nos posibilitó constatar algunas de las causas que explican por qué no tienen un rendimiento aceptable en el aprendizaje de los conceptos fundamentales del cálculo, las mismas las encontramos tanto en el terreno epistemológico como en el didáctico y en el cognitivo.
El trabajo en el aula y sus resultados, nos lleva a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una parte, enseñar y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite a alumnos de carreras universitarias no matemáticas, en nuestro caso, Ingeniería Agronómica. Por lo general, la enseñanza del cálculo a nivel universitario se lleva a cabo con métodos tradicionales, donde lo que se exige del alumno es sólo el “dominio” algorítmico repetitivo y algebraico. En particular en el caso del límite, se desarrolla a partir de las habituales y rigurosas 14
como parte componente de la adquisición de conocimiento. El aprendizaje de la matemática implica aprender y utilizar el “lenguaje matemático”. tarea que termina siendo rutinaria. que ayude a que busquen nuevas herramientas para resolver una situación. esta se logra articulando entre diferentes registros. entendiendo la construcción de los conocimientos. Analicemos lo que significa “error”. Los errores siempre han ayudado al avance de las distintas ciencias. En el concepto de límite. de detección. simbólicas. o bien elegir un registro en vez de otro. El registro simbólico cuando es posible definir el límite de una función utilizando la simbología adecuada. El registro gráfico mediante utilización de los ejes cartesianos. Existe pues la necesidad de cambiar de sistema de representación ya que como afirma Duval (1998) la formación de conceptos implica una coordinación de sistemas de representaciones. ya que pueden ser el motor que provoque un cambio en el aprendizaje del alumno. 15 . Y el registro verbal cuando es posible definir el concepto utilizando palabras de nuestro vocabulario. que van complejizando su dificultad. El desarrollo científico a lo largo de los años ha estado plagado de errores. corrección y superación de los mismos. pero que responden al mismo esquema de pensamiento. solamente. con guías de ejercicios similares. Además. por lo que es necesario hacer un estudio especial de ellos. Por lo que no debemos desechar los errores que cometen nuestros alumnos. la posibilidad de acercarse a un determinado valor utilizando aproximaciones mayores por un lado y menores por el otro. esto nos ayudará a llevar a cabo un trabajo de diagnóstico. así como expresiones verbales. la coordinación de los diferentes sistemas de representación. Es esencial para esta actividad que los alumnos puedan movilizarse entre varios registros en el curso de una misma acción. como una actividad reflexiva individual. Fijamos como objetivo abordar el tema límite no desde una óptica convencional sino tratando de construir su concepto desde la intuición para luego llegar a una formalización del mismo. Entendemos por representaciones. en un elemento constructivo e innovador dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje. cargada de subjetividad. a través de actividades constructivistas y participativas. el registro numérico se ve mediante tablas de valores. Muchas veces una teoría se considera cierta hasta que alguien demuestra que no es válida. el registro gráfico o el registro numérico. Entonces un reto importante en el aprendizaje de la matemática no puede ser. diferentes notaciones. Por ejemplo. la automatización de ciertas técnicas operatorias sino que debe ser también.definiciones del mismo. no como obstáculo para la apropiación del conocimiento sino como parte de la construcción del mismo. transformándose así. Estas representaciones se agrupan en registros. o indagar otros conceptos o teorías que expliquen en qué están equivocados o cómo pueden solucionarlo. porque en ellos puede haber “algo de cierto”. tenemos que prever que los errores son una posibilidad y una realidad en el trabajo con nuestros alumnos. ya sean gráficas. Esto nos dice que debemos tomarlos como fuentes de información.
p. Muchas veces los alumnos no son siquiera capaces de brindar una respuesta. el mismo manifiesta que “es un conocimiento. 1994. Para Rico (1995) el error se produce cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestión matemática. la solución proporcionada es un error en relación a la cuestión planteada. o regularidades en sus equivocaciones. El alumno utiliza lo que conoce para dar respuestas a situaciones dadas en un cierto contexto.2). decidimos analizar aquellos basados en dificultades de tipo: epistemológicas. sobre lo escrito por Cury (1994). En otros casos presentan patrones. pero atentando contra la “comprensión”. argumentación. La causa y orígenes de los errores son diversos. lo que ocasiona limitaciones o impedimentos que afectan sus capacidades para construir el conocimiento real o empírico. Con respecto a las dificultades didácticas.Godino. ya que. pero como expresa Brousseau (1983. Podemos aseverar que los errores de nuestros estudiantes no son casuales. cognitivas y actitudinales. generalmente tiende a ser considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos”. a solucionar el error. en algunos casos están basados en experiencias. Batanero y Font (2003) citados por Abrate et al. p. podemos destacar dos aspectos de los que nos ocupamos en nuestra propuesta de trabajo. Con respecto a las dificultades cognitivas. Las dificultades epistemológicas son las relacionadas esencialmente con el propio concepto. No realizamos un mero recuento de soluciones incorrectas. didácticas. De ser así. estaríamos apuntando sólo a la “eficiencia”. p14). c. 16 . Los alumnos mantienen concepciones y creencias propias sobre la naturaleza de la ciencia y del conocimiento científico y. sobre sus propios procesos y productos del aprendizaje. muchas veces asociamos el error a falta de conocimiento. ni tampoco brindamos todos los medios necesarios para salvar el error.) que no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar”. expresan “hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción. etc. es decir las originadas por el sistema de enseñanza. cuando lo utiliza fuera de ese contexto produce respuestas incorrectas. según dice Pochulu et al. Además señalan que “si bien el error puede tener procedencias diferentes. atribuibles a concepciones erróneas o simplemente distracciones. esta respuesta es errónea. no una falta de conocimiento”.. (2006. Batanero et al. conocimientos previos y también en preconceptos. además.
pero que debemos revisar y reacomodar para volver a usar en una nueva construcción. podemos observar que al trabajar un concepto y explicarlo. y consensuar cual será la postura tomada. numéricas. en pequeños grupos. Los alumnos eran cursantes de Matemática II de la carrera durante en el año 2006. - 17 . marcando donde había error. los cuales se dividieron en setenta y seis grupos. por el tipo de actividades planteadas. Los trabajos fueron en total. Se hizo la devolución de las mismas para que ellos lograran argumentarlos y corregirlos. para la resolución a entregar. observar. es otro factor importante a la hora de analizar las dificultades en el aprendizaje. Se corrigieron. a realizar procesos de conversión entre los distintos tipos de representación antes mencionados.Si analizamos cómo se manifiesta en los alumnos. Los alumnos las resolvieron en forma grupal sin la intervención del docente. de dos guías de trabajos previos al desarrollo de los contenidos teóricos. comparar. Al finalizar cada uno de los trabajos prácticos se desarrollaron las clases teóricas y prácticas sobre los temas trabajados en las guías. interpretar datos o información ofrecida por representaciones algebraicas. Por último realizamos entrevistas a los alumnos. predisposición o forma en la que enfrenta la tarea. elaboran construcciones personales con base a lo que adquirieron anteriormente y/o en su interacción con sus compañeros y forman así construcciones que no son correctas desde el punto de vista científico. Luego se dio un cierre con el trabajo final. Aprender a confrontar ideas que en muchos casos son muy disímiles entre compañeros. Todo lo manifestado anteriormente tiene su incidencia en el aprendizaje y lo tuvimos en cuenta en la elaboración de nuestra propuesta para la enseñanza del límite. puede generar que sólo tengan actitud de escuchas. realizado también en forma grupal. tabulares y gráficas. En la resolución de las guías estaban obligados. Analizar enunciados. Los objetivos principales de la propuesta fueron: El trabajo cooperativo de los alumnos. Poder defender su postura. en primer lugar. La actitud del alumno. ciento sesenta. Al encontrarse con temas totalmente desconocidos para él. DESARROLLO DE LA PROPUESTA Nuestra propuesta de trabajo constó. de esta forma se generó el debate. y no se predispongan como protagonistas de la clase. discriminar.
para luego confrontar con la totalidad de clase. Por último deben hacer una interpretación de la definición de límite realizando gráficas que deben cumplir una serie de consignas pautadas. 18 . utilizados en matemática: las figuras. la función crece indefinidamente. Segunda Guía de Trabajo: Límite Infinito y en el Infinito La guía consta de tres actividades. o podemos hacer que f(x) esté tan próximo al límite L como queramos eligiendo x lo suficientemente cerca de a. a través de la autorreflexión de su trabajo.Lograr justificar. Comentamos los aspectos que abarcan cada guía y realizamos un análisis del trabajo final. o la notación de límites por izquierda y por derecha. En ellas surge la idea de crecimiento indefinido de la función hacia lo positivo y lo negativo dependiendo si la función se acerca a un punto por izquierda o por derecha.Llegar a escribir y hacer transferencia en distintos registros de representaciones de límite. Se propone una actividad cuya intención es ver lo que sucede cuando los límites laterales son distintos. que a medida que la variable independiente crece. En ellos se trabajan distintas representaciones (tabla. Aquí se introduce la idea intuitiva de aproximación del límite por derecha y por izquierda. gráfica. las gráficas. Para luego presentar una definición de límite efectuada con los datos que los alumnos manejan hasta éste momento. Primer Guía de Trabajo: Límite Finito En este trabajo se incluyeron siete ejercicios que. Para las actividades tuvimos en cuenta los diferentes sistemas de representación. a decir: o aproximarse x a a por izquierda y por derecha. sobre los errores cometidos. . La tercera actividad es una aplicación.. Luego las palabras “tiende a. Y de crecimiento indefinido de la función hacia lo positivo cuando se acerca al punto tanto por derecha o por izquierda. o las aclaraciones de que para que haya límite de una función deben existir estos límites laterales y ser iguales y que la función puede tener límite en un punto y no estar definida en ese punto. En ejercicios posteriores se acerca al alumno a una mirada más formal hacia la definición de límite. pero x ≠ a. corregir y consensuar entre los integrantes del grupo. incorporaban estrategias para lograr familiarizar a los alumnos con nuevas nociones que serán necesarias para la adquisición del concepto de límite. fórmula). la escritura simbólica y el lenguaje natural.”.. también aparecen a través de distintas gráficas e intervalos la idea del Épsilon y Delta. en forma gradual. subdivididas en ítems donde debían interpretar.
simbólicas. se trató de propiciar el análisis de gráficos y simbología en forma conjunta. cuya resolución exigía el uso de las diferentes representaciones (gráficas. El trabajo constó de nueve actividades. • En las primeras tres actividades. ya que a través de ellos. debían completar los límites que se les pedían.El Trabajo Final: Límite de Funciones. analíticas. Veamos como ejemplo algunas producciones de los alumnos. Se pretendía con esto analizar si los alumnos comprenden el concepto de límite a partir de una función definida gráficamente. infinitos y en el infinito. 19 . los mismos eran finitos en algunos casos. en otros. coloquial) y realizar procesos de conversión entre ellas.
a cumplirse en forma simultánea. Se muestran algunas actividades planteadas y los errores cometidos por los alumnos. Se pretendía evaluar la capacidad de ilustrar su idea de límite. que verifique las siguientes condiciones: a) lim −f(x) = 4 . x → −1 x →1− x → −1 x → −1 x →1 lim f(x) = −∞ . lim −f(x) = f(x) b) lim+ f(x) = −2 .Un alto porcentaje de alumnos ha resuelto satisfactoriamente estas actividades. Actividad 4: Represente gráficamente una función cuyo dominio sean todos los números reales. debían graficar una función a partir de una serie de condiciones. la mayoría de ellos se han presentado cuando no hay existencia de límites. y un 21 % cometió errores. • A partir de la cuarta hasta la séptima actividad. f(1) = 3 20 . lim + f(x) = +∞ .
lim f(x) = 0 x → +∞ 21 . 3 ∉ Df . x →3+ lim f(x) = +∞ .∞ Actividad 7: Representa gráficamente una función que verifique f(-6) = 1. lim + g (x) = −∞ . lim − g (x) = +∞ .Actividad 5: Grafique una función. lo más sencilla posible. lim −f(x) = −∞ x→ 3 . lim g (x) = −3 . lim f(x) = 2 . x → −6 + x → −6 − lim f(x) = 1 . x → −∞ lim f(x) = +∞ . x → −∞ x → −1 x →3 x → −1 x →0 x → +∞ lim g (x) = 2 Actividad 6: Representa gráficamente dos funciones distintas par las cuales el límite cuando x tiende a + ∞ sea distinto del límite cuando x tiende a . lim g (x) = 0 . que cumpla simultáneamente las siguientes características: lim g (x) = 2 .
Comparando las actividades 2 y 6 que consistían en límites cuando la variable tiende a infinito. Cuando x tiende a un valor toman como asíntota el eje x o el eje y. ante la pregunta ¿Qué tipo de dificultades tuviste para resolver las guías? la gran mayoría coincidió en sus respuestas manifestando que al enfrentarse a las guías todo parecía complicado pero luego al intentar resolver las consignas. Les ha costado más graficar que el cálculo. un 47 % del total de alumnos resuelve bien la segunda actividad y mal la sexta. También grafican mal la función sobre la asíntota. muchos realizan solamente las sustituciones. lo que hace que un valor tenga infinitas imágenes. teniendo un porcentaje de respuesta similar. Cabe destacar que las mayores dificultades fueron en la “traducción” de los distintos tipos de representaciones. Lo mismo se presenta si comparamos las actividades uno y siete. y que le resultaron simples de realizar. colocan mal el dominio de definición. cometiendo muchos errores algebraicos y de cálculos. En otros casos realizan una gráfica para cada condición dada en el enunciado. y no intentan otra cosa. - REFLEXIONES De lo expuesto. la construcción del conocimiento no es una empresa nada fácil ya que requiere de condiciones de trabajo muy bien determinadas. o para salvar las indeterminaciones. En estos ejercicios las mayores dificultades se presentan en la factorización de las expresiones. nos resulta inmediato extraer algunas reflexiones en el plano educativo. Bajo este enfoque. 6 y 7 la mitad de los alumnos graficó correctamente. y en la actividad 5 un 64% cumplió con todos los requisitos pedidos.En las actividades 4. dejando de ser función. En cuanto a las entrevistas. si tenemos en cuenta los objetivos que perseguimos con este trabajo pudimos visualizar: Para los alumnos que no tenían conocimientos previos de límite. expresaron en su gran mayoría. En los demás trabajos se evidencia que confunden las variables independiente y dependiente. no marcan el valor de la función en el punto dado. En la última actividad. Para los alumnos que tenían conocimientos previos de límite ya sea por ser recursantes. Sólo cuatro grupos no realizan los ejercicios. las respuestas iban fluyendo. 22 . que algunas cosas se saben y otras no. • En la actividad 8 la resolución consta de la evaluación de unos límites establecidos y a partir de ellos calcular los propuestos. herramientas que favorezcan los procesos y un seguimiento continuo. ya sea por haber visto Límite en el Polimodal.
por las actitudes que esperan de los profesores. además de lograr que cuando den una respuesta a los docentes o al grupo en general. a los errores. En cuanto a nuestro objetivo de trabajo cooperativo creemos que fue una estrategia acertada. Por otro. Por último. un alto porcentaje manifestó que antes de resolver las actividades conjugaban sentimientos de ansiedad por lo desconocido del tema. Como el resultado de esta propuesta didáctica fue favorable. continuamos trabajando con esta metodología durante el año 2007. ya que nos permitió como educadores darnos cuenta de la importancia de la interacción que se establece entre el alumno con las personas que lo rodean. previa reflexión de las tareas desarrolladas en el aula. En las entrevistas. resulta una poderosa y esencial parte de las matemáticas. una vez terminados estos trabajos y dictadas las correspondientes clases teóricas. Esta forma ayudó a que los alumnos construyan su propio aprendizaje. estimulando la tarea de confrontar. observar. realizar procesos inductivos. pero que al final del tema la estrategia de trabajo había sido positiva. por el estilo de enseñanza. se pretendió que el estudiante. discutir y defender ideas. para revisar y analizar errores desde los enfoques de los distintos equipos de trabajo. Pudimos aquí apreciar la capacidad real del alumno cuando tiene que enfrentarse a dificultades y a nosotros nos permitió rever nuestras estrategias. resolvieron de manera grupal el trabajo final que fue integrador de las actividades desarrolladas. y miedo a no saber cómo resolverlos. al fracaso. comiencen a familiarizarse en el uso del vocabulario específico del área. dedicara tiempo fuera del horario de clase para llevar a cabo las actividades del libro de estudio. Se observaron grupos que ante la inseguridad y el miedo a equivocarse no resolvían las situaciones y los que no han querido trabajar. En el desarrollo de la propuesta encontramos por un lado alumnos que tenían buen desempeño en los prácticos y que supieron confrontar y defender sus posturas. Y en tercer lugar. los que lograron resolver las actividades pero en las que contenían errores se presentaban contradicciones con las que habían resuelto bien. logramos que los miembros del grupo participaran generando debate.Primero buscamos impulsar la participación activa de los estudiantes a través de pequeños grupos. buscar pautas y regularidades en los razonamientos. la verificación o refutación de sus propios argumentos y conjeturas además del trabajo cooperativo. para la resolución de las actividades diseñadas. sino que tenemos que tomar en cuenta la que ejercen también los compañeros de clases o estudios. Quedan en nuestros deseos que los alumnos reconozcan que experimentar. que fueron muy pocos. por lo cual no se puede dejar de lado el análisis de la influencia educativa que ejercemos como docentes. 23 . En segundo término.
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