Source: http://matematica1.com/el-conjunto-de-los-numeros-enteros-en-secundaria-ejercicios-en-pdf-y-videos/
Timestamp: 2017-05-23 05:01:18+00:00

Document:
CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS EJERCICIOS EN PDF Y VIDEOS
Publicado en 28 Abril, 2013 por admin	CLICK AQUI PARA VER PDF 1 ****
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en “números rojos”. Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
Hoy , una de las preguntas más repetidas en las clases de MATEMÁTICA es ¿ por qué menos por menos es más?.
Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla es puramente arbitraria y se adopta sólo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y aceptables, como por ejemplo:
En el mundo hay ciudadanos buenos a los que le asignamos el signo (+) y malos con el signo (–). También acordamos que salir del Perú es negativo (–) y entrar al Perú es positivo (+). Entonces diremos que:
I) Si un ciudadano bueno (+) entra (+) al Perú, el resultado para el Perú es positivo: (+) (+) = (+)
II) Si un ciudadano malo (–) sale (–) del Perú, el resultado para el Perú es positivo (+): (–) (–) = (+)
III)Si un ciudadano bueno (+) sale (–) del Perú, el resultado para el Perú es negativo (–): (+) (–) = (–)
IV)Si un ciudadano malo (–) entra (+) al Perú, el resultado para el Perú es negativo: (–) (+) = (–)
+4; -3; -5; 9; -3; 0; -10
Los números enteros se representan en una recta numérica:
*	Recoerdemos que el “0” no tiene signo positivo ni negativo
VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO
Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde:
–	Ambos autos parten de un mismo lugar.
–	Viajan en sentido contrario.
–	Viajan a una misma velocidad.
¿La distancia recorrida para un mismo tiempo será la misma?
Rpta.: ___________________
Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero.
a.	|- 3| = 3 ; se lee: valor absoluto de ” – 3 ” es 3.
b.	|+3| = 3 ; se lee: valor absoluto de ” + 3 ” es 3.
c.	|-7| = 7 ; se lee: valor absoluto de ” – 7 ” es 7.
d.	|+9| = 9 ; se lee: valor absoluto de ” 9 ” es 9.
•	Completa correctamente según el ejemplo:
–	El valor absoluto de -5	__________ = __________
–	El valor absoluto de 7	__________ = __________
–	El valor absoluto de -10	__________ = __________
–	El valor absoluto de 17	__________ = __________
–	El valor absoluto de -39	__________ = __________
–	El valor absoluto de 52	__________ = __________
–	El valor absoluto de 325	__________ = __________
–	El valor absoluto de -125	__________ = __________
–	El valor absoluto de -33	__________ = __________
–	El valor absoluto de 1 232	__________ = __________
–	El valor absoluto de -11 526	__________ = __________
–	El valor absoluto de -20 205	__________ = __________
EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
Es el número entero cambiado de signo como por ejemplo:
– El opuesto de +7 es -7
– El opuesto de -3 es +3
•	Completar correctamente:
–	El opuesto de +13 es	:____________
–	El opuesto de -17 es	:____________
–	El opuesto de -19 es	:____________
–	El opuesto de +63 es	:____________
–	El opuesto de -8 es	:____________
Relación de orden (>, <)
*	Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica.
*	Todo número entero positivo es mayor que su antecesor.
*	Todo número entero negativo es menor que su sucesor.
*	6 es mayor que 1 porque:	*	4 es mayor que 0 porque:	*	0 es mayor que -3 porque:	*	-2 es mayor que -6 porque:	EJERCICIOS
1.	Indica la relación: >, < ó =, en cada uno de los siguientes casos:
a.	0 1	b.	4 0
c.	-8 0	d.	0 -3 e.	-1 0	f.	0 -4
g.	|-1| 0	h.	0 -60
i.	+49 0 j.	+3 +7
k.	-8 -9 l.	+1 -1 m.	-7 +8	n.	-12 +12 o.	+7 -20	p.	+14 -100 q.	-27	-32	r.	+45 |-50| s.	|-8|	+12	t.	|-13| |-58|
2.	Completa las siguientes expresiones:
a.	36 es opuesto de:	_______
b.	- 73 es opuesto de:	_______
c.	87 es opuesto de:	_______
d.	- 128 es opuesto de:	_______
e.	325 es opuesto de:	_______
f.	El valor absoluto de - 124 es:	_______
g.	El valor absoluto de 340 es:	_______
h.	El valor absoluto de - 73 es:	_______
i.	El valor absoluto de + 68 es:	_______
j.	El valor absoluto de 0 es:	_______
3.	Coloca (V) si la afirmación es verdadera y (F) si es falsa.
a.	El opuesto de un número entero negativo es negativo.	(	)
b.	El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo.	(	)
c.	La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los números y el cero.	(	)
d.	El valor absoluto de un número entero siempre es positivo.	(	)
e.	El opuesto de un número entero negativo es positivo	(	)
f.	La suma de los valores absolutos de dos números opuestos es cero.	(	)
4.	Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos correspondientes. (En el cuaderno)
a.	- 5 ; + 5
b.	+ 6 ; - 6
c.	- 7 ; + 7
d.	8 ; - 8
e.	- 3 ; 3
5.	Completa el siguiente cuadro:
*	Números negativos, indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta, con respecto a cero.
*	Números positivos, indicarán movimientos hacia la derecha de la recta, con respecto a cero.
*	El punto de partida es cero "0".
Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17
a.	-2 - 3 - 1	b.	3 + 5 + 4	c.	5 - 2 - 1 + 3	d.	+4 - 5 - 2	e.	+8 - 2 + 4	Adición de números enteros
Caso I: "Sumandos del mismo signo"
Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo.
*	(+5) + (+7) = +12	*	(+3) + (+7) + (+10)	= ___________
*	(-8) + (-10) = -18	*	(-7) + (-3) + (-2)	= ___________
*	(-9) + (-19) = - 28	*	(+15) + (+23) + (+8)	= ___________
*	(+16) + (4) = +20 = 20	*	(-21) + (-3) + (-5)	= ___________
*	(3) + (7) = +10 = 10	*	(+8) + (+50) + (+20)	= ___________
Caso II: "Sumandos de signos diferentes"
Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto
*	(-16) + (+16) = 0	*	(-100) + (+50)	= ___________
*	(-13) + (+2) = -11	*	(+30) + (-16)	= ___________
*	(+18) + (-6) = +12	*	(-120) + (42)	= ___________
*	(32) + (-16) = +16	*	(+17) + (-33)	= ___________
*	(-15) + (+10) = -5	*	(-43) + (+12)	= ___________
Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el opuesto del sustraendo es decir: "se transforma la resta en suma".
Ejemplo:	*	*	(+3) - (-2) = (+3) + (+2) = + 5
*	(10) - (+ 10) = (10) + (-10) = 0	*	(-5) - (-3) = (-5) + (+3) = - 2
*	(-16) - (+16) = _______________	*	(+25) - (-10) = _______________
*	(-100) - (+20) = _______________	*	(+4) - (4) = _______________
1.	Sumar los siguientes números enteros en el cuaderno:
a.	8 ; 7	f.	-12 ; -12
b.	20 ; -6	g.	-9 ; +10
c.	-11 ; +12	h.	-30 ; -30
d.	-9 ; -15	i.	+18 ; +18
e.	30 ; +15	j.	-3 ; +3
2.	Efectuar las siguientes restas de números enteros:
a.	b.	(15) - (- 8) =
c.	(- 36) - (+ 23) =	d.	(-36) - (-11) =
e.	(-25) - (35) =	f.	(-100) - (-100) =
g.	(+8) - (-8) =	h.	(+9) - (+9) =
i.	(+20) - (+20) =	j.	(16) - (16) =
3.	Escribir: >, < ó =, según corresponde:
a.	(-9) - (-4)	______	(-3) - (+6)
b.	(+13) - (-6)	______	(-14) - (-2)
c.	(-8) - (+13)	______	(-7) - (+14)
d.	(-47) - (+25)	______	(+15) - (-22)
e.	(-18) - (-6)	______	(-9) - (+3)
f.	(+43) - (+14)	______	(-20) - (- 49)
g.	(-20) - (+33)	______	(+18) - (-36)
h.	(-39) - (-6)	______	(+72) - (+8)
i.	(+65) - (+7)	______	(-7) - (-65)
j.	(-60) - (-3)	______	(+30) - (+54)
4.	Desarrolla los cálculos en el cuaderno y luego completa la tabla.
5.	Afina tu cálculo mental.
a.	+ 4 + 6 + 9	b.	+ 11 + 15 + 12
c.	- 8 - 3 - 6	d.	- 5 - 12 - 9
e.	+ 8 - 5 + 4	f.	- 5 + 16 - 14
g.	+ 4 - 8 + 11 - 6	h.	- 10 + 10 - 12 + 12
i.	- 13 + 8 - 18 + 6
6.	Realiza los siguientes desplazamientos. Para cada caso elabora una recta numérica.
a.	- 1 + 2 - 6
b.	+ 5 - 10
c.	- 13 + 16
d.	- 8 - 2 + 10
e.	3 + 2 + 7 - 6 - 2
f.	+ 2 + 7 - 10 + 5
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z
Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes pasos:
Efectuar: P = (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3)
Primero	:	Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto:
P = (+7) + (-2) + (-4) + (-10) + (3)
Segundo	:	Escribimos los enteros positivos como números naturales:
P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3)
Tercero	:	Suprimos los paréntesis:
P = 7 - 2 - 4 + 10 + 3
Cuarto	:	Agrupamos los números positivos y los números negativos:
P = 7 + 10 + 3 - 2 - 4
Quinto	:	Sumamos los positivos y los negativos por separado.
P = +20 - 6
P = +14
I.	Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:
a.	(-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6)
b.	(-7) - (+2) + (+8) - (-4)
c.	(-10) + (-2) + (-7)
d.	(-12) + (-11) - (+10) - (-3)
e.	(-6) - (-3) + (-2) - (-8)
f.	(-5) + (+8) - (-3) - (+2)
g.	(-4) - (+7) + (-1) - (+10)
h.	(-9) + (-10) - (-11) - (-1)
i.	(+5) - (+3) + (+2) - (+30)
j.	(-10) - (-3) + (-18) - (+2)
k.	(-7) - (-6) + (-2) - (-3) + (-10)
l.	(-12) + (-18) - (-1) + (-7) - (+28)
m.	(-25) - (25) + (-5) - (-11) + (+7)
n.	(+8) + (-13) - (-12) + (-17) - (-3)
MULTIPLICACIÓN EN Z
Es la operación que conociendo dos o más números enteros, llamados factores, nos permite calcular otro número entero llamado producto.
-	El producto de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejemplo:
a.	(+6) × (+7) = +42	b.	(-4) × (-2) = +8
c.	(+8) × (+10) = ______	d.	(-5) × (-9) = ______
e.	(+10) × (+20) = ______	f.	(-5) × (-10) = ______
-	El producto de dos enteros de diferente signo es negativo. Ejemplo:
a.	(-12) × (+6) = -72	b.	(+12) × (-12) = -144
c.	(-9) × (+8) = ______	d.	(+12) × (-10) = ______
e.	(-4) × (+8) = ______	f.	(-10) × (30) = ______
Nota: Recordar que los factores también se pueden encerrar con paréntesis.
1.	Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la multiplicación.
a.	(+8) (+6)	=	___________________________________ b.	(-7) (-4)	=	___________________________________
c.	(-9) (-11)	=	___________________________________
d.	(2) (1) (-3) (-4) (-9)	=	___________________________________
e.	(+3) (+4) (-5) (-6)	=	___________________________________
f.	(+2) (+4) (-8) (+7)	=	___________________________________
g.	(-11) (-20)	=	___________________________________
h.	(+12) (+12)	=	___________________________________
i.	(+5) (+4) (-8) (-10)	=	___________________________________
j.	(+7) (-6) (-9)	=	___________________________________
k.	(+9) (+9) (+8) (-7)	=	___________________________________
l.	(+7) (-8) (+2) (-3)	=	___________________________________
2.	De las afirmaciones:
i.	( - ) ( - ) ( + ) ( - ) ( + ) = +	ii.	(-3) (-4) = -2
iii.	2 (-5) = -0	iv.	(-1) (1) = 1
¿Cuántos son verdaderos?
a.	1	b.	2	c.	3	d.	4	e.	N.A.
3.	Completar el siguiente cuadro efectuando las multiplicaciones indicadas:
DIVISIÓN EN Z
La división nos permite encontrar un número llamado cociente, conociendo a otros dos llamados dividendo y divisor respectivamente.
-	El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo. Ejemplo:
a.	(+144) ¸ (+12) = +12	b.	(-48) ¸ (-6) = +8
c.	+28 ¸ +4 = ______	d.	30 ¸ -10 = ______
e.	(72) ¸ (+9) = ______	f.	(-26) ¸ (-2) = ______
-	El cociente de dos números enteros de diferentes signos es negativo. Ejemplo:
a.	(-18) ¸ (+2) = -9	b.	(+169) ¸ (-13) = -13
c.	-24 ¸ +4 = ______	d.	15 ¸ -5 = ______
e.	-96 ¸ +3 = ______	f.	+60 ¸ -5 = ______
¡AHORA HAZLO TÚ
1.	Completar el siguiente cuadro efectuando las divisiones indicadas:
2.	Calcular teniendo en cuenta la ley de signos para la división.
a.	(-60) ¸ (+5)	=	______________________________
b.	(+10) ¸ (+2)	=	______________________________
c.	(+32) ¸ (+4)	=	______________________________
d.	(-48) ¸ (-8)	=	______________________________
e.	(+72) ¸ (-9)	=	______________________________
f.	(+36) ¸ (-4)	=	______________________________
g.	(+144) ¸ (-12)	=	______________________________
h.	(7 - 5 + 8) ¸ (3 - 2)	=	______________________________
i.	(-11 + 3 - 9 + 2) ¸ (4 - 7 + 8)	=	______________________________
j.	(+12 + 4 - 6) ¸ (20 - 15)	=	______________________________
k.	(+121) ¸ (-11)	=	______________________________
l.	(+42) ¸ (+7)	=	______________________________
3.	Sabiendo que: a = 18; b = -10; c = 55; d = -30; e = -2 y f = -5; hallar:
a)	b ¸ e	b)	d ¸ b	c)	a ¸ e
d)	d ¸ f	e)	d ¸ e
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS EN
A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han
sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:
1. Resuelve los problemas propuestos.
2. Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la
3. Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas.
4. Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la
5. ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los
6. Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de
 ¿Qué temperatura marca el termómetro?
 ¿En qué planta está el ascensor?
 ¿Qué botón hay que pulsar para bajar
al tercer sótano?
2. Escribe con números negativos:
 Siete grados bajo cero.
El coche está en el segundo sótano.
Nació el año 73 a. C.
Veinte metros bajo el nivel del mar.
3. Hace una hora el termómetro marcaba 2 ºC. Si la temperatura ha descendido 7 ºC,
¿qué temperatura marca a hora el termómetro?
4. ¿Cuántas plantas hay entre el tercer sótano y el cuarto piso?
5. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre -2 ºC y 3 ºC?
6. Fíjate en el dibujo y contesta:
¿A qué altura está el castillo
¿A qué profundidad se encuentra el
buzo?
7. Ayúdate del esquema de esta mina y completa.
Estaba en el nivel +1 y subí un nivel.
Ahora estoy en el nivel ...
Estaba en el nivel +2 y bajé cinco
niveles. Ahora estoy en el nivel ....
Estaba en el nivel –3 y subí cuatro
niveles. Ahora estoy en el nivel ...
Estaba en el nivel –1 y bajé dos
Juanjo estaba en el nivel –1 y ha subido. ¿En qué niveles puede estar Juanjo.
Ana estaba en el nivel 0 y ha bajado. ¿En qué niveles puede estar Ana?
Pedro estaba en el nivel –1 y ha bajado más de un nivel. ¿En qué niveles puede estar
8. Dibuja, en cada caso, los termómetros que marquen la temperatura indicada.
9. En cada caso, dibuja un termómetro, marca la temperatura y contexta.
Hoy a las 10 de la mañana el termómetro marcaba +8º. Dos horas después la
temperatura subió 5º y 7 horas después la temperatura bajó 9º. ¿Qué temperatura
marcará el termómetro a las 7 de la tarde?
Ayer a las 8 de la mañana el termómetro marcaba –2º. Tres horas después la
temperatura subió 4º y 8 horas después la temperatura bajó 10º. ¿Qué
temperatura marcará el termómetro a las 7 horas de la tarde?
10. Completa las siguientes series.
11. Piensa y escribe.
Cinco números enteros mayores que –3.
Cinco números enteros menores que –8.
Cinco números enteros mayores que –5 y menores que +5.
Cinco números enteros mayores que –9 y menores que +9.
12. Escribe mayor o menor, según corresponda.
Cualquier número entero positivo es ....... que 0.
Cualquier número entero negativo es ....... que 0.
Un número entero positivo es ...... que cualquier número entero negativo.
13. Utiliza un papel cuadriculado y traza de rojo unos ejes perpendiculares. Después
dibuja los polígonos que se indican.
Un triángulo cuyos vértices son los puntos (+1, +1); (-2,+1) y (-1, +2).
Un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (+1, +2); (-3, +1); (-2, -2) y (+3,
Un pentágono cuyos vértices son los puntos (+4, +1); (-3, 0); (-1, -1); (+2, +3) y
(+5, -2).
14. Dibuja en una cuadrícula los caminos que pasan por los puntos indicados.
Camino rojo: (-3, +1), (-2, +1), (-1, +1), (+3, +2)
Camino verde: (+1, -2), (+1, -1), (0, -1), (-2, -2)
Camino azul: (-1, +1), (+1, 0), (+2, -1), (+2, +3)
Camino amarillo: (+5, -1), (+3, -2), (0, -3), (-2, -2)
Observa los caminos dibujados y contesta:
¿Qué caminos pasan por el punto (-1, +1)?
¿Qué caminos pasan por el punto (-2, -2)?
En los capítulos anteriores hemos presentado los números naturales, fraccionarios y
decimales como medio de expresión del tamaño o numerosidad de los conjuntos finitos,
del lugar que ocupa un elemento dentro de un conjunto ordenado y de la medida de
diferentes cantidades de magnitud. Además, entre dichos números se definen las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división entera (también las de
potenciación y radicación) que se corresponden con cierto tipo de acciones que hacemos
sobre las cantidades de magnitudes: agrupar, separar, reiterar, repartir, etc. Hasta ahora,
la invención de los números se justifica y motiva inicialmente como respuesta a estas
necesidades de descripción y manipulación de ciertas situaciones de tipo empírico. Por
esta razón, el estudio de los números naturales, fraccionarios y decimales y de sus
operaciones se apoya sobre situaciones concretas que proporcionan ejemplos de la
estructura formal a la que en última instancia se reducen.
Ahora bien, es importante resaltar que los objetos matemáticos, una vez inventados
y fijadas unas primeras relaciones entre ellos, adquieren una "vida propia" y plantean
nuevos problemas internos, distintos de los problemas empíricos que motivaron su
introducción. Como respuesta se inventan nuevos objetos matemáticos que son
conectados de manera consistente con todo el sistema ya construido. A medida que
progresamos en el estudio de las matemáticas nos vamos encontrando con objetos más
complejos que son inventados o construidos respondiendo a necesidades internas de la
propia matemática. Y así sucede con los números con signo -positivos y negativos-,
cuya construcción se debe, no tanto a la necesidad de modelizar matemáticamente
situaciones del mundo sensible, como a la problemática que plantea el desarrollo de una
rama de las matemáticas: el álgebra. Es en el entorno del álgebra donde aparecen las
condiciones que hacen posible y deseable la introducción de los números con signo. Por
tanto, antes de hablar de las situaciones que motivan el uso de los números positivos y
negativos necesitamos comentar algunas de las características del ámbito algebraico.
2. OTRA MANERA DE RESOLVER LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS: EL
2.1. Características del método algebraico de resolución de problemas aritméticos
Un problema aritmético se caracteriza porque tanto los datos como las incógnitas
son números y las relaciones entre unos y otras pueden expresarse en términos de
operaciones aritméticas. El método aritmético de resolución de estos problemas, del que
ya hemos hablado en capítulos anteriores, consiste en construir una secuencia de
operaciones que ligue los datos numéricos conocidos hasta obtener las incógnitas
buscadas. Para establecer cada paso de la secuencia hay que tener en cuenta el contexto
definido en el enunciado del problema.
Así, por ejemplo, la resolución del problema siguiente:
En un taller de confección disponen de 3 piezas de tela de 50 m. cada una.
Con ellas van a confeccionar 30 trajes que necesitan 3 m. de tela cada uno.
Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4 m. de tela cada
uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse?
exige la secuencia de operaciones aritméticas que detallamos a continuación:
3 x 50 = 150 m. de tela disponible
30 x 3 = 90 m. de tela empleada en trajes
150 – 90 = 60 m. de tela sobrante
60 : 4 = 15 abrigos pueden hacerse.
Como puede verse, el método aritmético consiste en analizar el contexto para
determinar una primera operación entre dos datos que da como resultado otro dato,
anteriormente desconocido, que nos acerca a las incógnitas buscadas. La repetición de
este proceso el número de veces que haga falta nos permite encontrar la solución del
problema. Para ello es necesario estar en todo momento pendientes del contexto, pues la
decisión sobre cuál es la operación siguiente a efectuar depende totalmente del
significado de los datos numéricos.
Ahora bien, existe otro método de resolución de problemas aritméticos que
funciona de manera muy distinta: el método algebraico. Consiste dicho método en
indicar operaciones entre las cantidades citadas en el enunciado del problema, sin
distinguir entre cantidades conocidas y desconocidas (representando estas últimas por
medio de letras), hasta encontrar una nueva cantidad que pueda expresarse de dos
maneras diferentes en función de los datos y las incógnitas, lo que permite establecer
una relación de igualdad entre esas expresiones. Una vez establecidas una o varias
igualdades, se procede a sustituirlas por igualdades equivalentes hasta llegar a una que
contenga en uno de sus miembros una de las incógnitas y en el otro, una cantidad
El siguiente problema y su solución ilustran bien las características del método
En un corral hay gallinas y conejos. Hay 35 animales en total. Entre todos
tienen 108 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?
- Para solucionarlo, llamamos x a una de las cantidades desconocidas: el número
de gallinas, y la tratamos como si fuese conocida. En esas condiciones, el
número de conejos será 35 – x. Como las gallinas tienen 2 patas y los conejos 4,
tenemos que 2x y 4(35 – x) representan, respectivamente, el número de patas de
gallina y de conejos. La suma 2x + 4(35 – x) nos dará el número total de patas
que hay en el corral. Pero por otro lado sabemos que son 108 patas, lo que nos
permite escribir la igualdad1 2x + 4(35 – x) = 108.
Hasta aquí se desarrolla la fase contextualizada de la resolución del problema. Para
poder establecer la ecuación anterior hay que estar pendientes del significado de los
números y letras que intervienen en ella, es decir, hay que mantener un control
semántico sobre nuestras decisiones. Pero, a partir del momento en que la ecuación
queda establecida, el proceso de resolución se descontextualiza: las transformaciones
1 A esta igualdad se le llama ‘ecuación’ porque sólo es cierta para algunos valores particulares de la
incógnita (en este caso, para un solo valor) a los que se les llama ‘soluciones’ de la ecuación.
que sufre la ecuación ya no dependen del significado de sus términos en el contexto del
problema, sino de la interpretación correcta de unos códigos escritos y de una
manipulación que respete las propiedades de las operaciones aritméticas y de las
igualdades. Aparece, por tanto, una fase de resolución descontextualizada sobre la que
se ejerce un control sintáctico, no semántico, cosa que no sucede en el método
aritmético. Será como sigue:
- Eliminamos el paréntesis de la ecuación, 2x + 140 – 4x = 108, reducimos
términos semejantes, 140 – 2x = 108, pasamos términos de un miembro a otro
de la ecuación, 140 – 108 = 2x, 2x = 32, y, por último, dividimos la ecuación
por 2, x = 16, y obtenemos el número 16 como solución de la ecuación inicial.
Durante la fase anterior no es necesario recurrir al significado que tienen los
números y las letras en el enunciado del problema que nos ocupa, basta poner en juego
unas reglas sintácticas, unas reglas de manipulación de ecuaciones o, más en general, de
manipulación de escrituras algebraicas.
Finalmente, una vez obtenida una incógnita, hay que referirse de nuevo al contexto
para darle significado y poder terminar diciendo que en el corral hay 16 gallinas y 19
2.2. Las reglas de prioridad en las operaciones combinadas
La necesidad, propia del método algebraico, de expresar operaciones entre números
y letras2, así como de indicar simultáneamente una sucesión de operaciones a realizar,
obliga a definir unos códigos escritos mucho más complejos que los usuales en
aritmética. En ésta, todas las operaciones son efectuables y, por tanto, puede hacerse
una detrás de otra de manera independiente, indicándolas por medio de la grafía del
algoritmo correspondiente. La disposición de los cálculos es, básicamente, vertical: se
escribe el algoritmo de una operación y debajo el de la siguiente. En cambio, en el
cálculo algebraico nos encontramos con una escritura en horizontal en la que quedan
trabadas distintas operaciones que a priori no se han efectuado. Además, durante la fase
descontextualizada el control sobre la validez del cálculo algebraico no puede basarse
en el significado que los números y letras tengan en el particular contexto en el que se
trabaje. Todo esto obliga a establecer reglas muy precisas de lectura, escritura y
manipulación de estas expresiones que en aritmética no son necesarias.
Por ejemplo, en la expresión 3 + 2·5, si se empieza sumando 3 + 2 y multiplicando
después por 5, se obtiene 25, mientras que si se multiplica primero 2·5 y después se le
suma 3, se obtiene 13. Esta duplicidad de resultados, y el hecho de no poder recurrir a
un contexto para decidir qué operación conviene efectuar en primer lugar, obliga a
ponerse de acuerdo sobre unas reglas de escritura que definan, sin ambigüedad posible,
el orden en que deben realizarse las operaciones indicadas en la expresión algebraica3.
Y así, se conviene que en la ejecución del cálculo 3 + 2·5 hay que entender que el
producto tiene prioridad frente a la suma y que, por tanto, 3 + 2·5 = 3 + 10 = 13. Para
2 Números (y letras que los representan) que de momento son naturales, fracciones de números naturales
o raíces positivas de los anteriores, como corresponde a un álgebra que es una mera técnica de resolución
de problemas aritméticos elementales, a un álgebra entendida como “aritmética generalizada”.
3 Entendemos que 3 + 2·5 es una expresión algebraica porque, aun cuando no contiene letras y las dos
operaciones que aparecen en ella son efectuables, la manera de presentarlas, como operaciones indicadas
ligadas entre sí, es típica del método algebraico. En una resolución estrictamente aritmética, estas
operaciones se presentarían por separado: primero el producto 2·5, después la suma, 3 + 10.
indicar a nuestro interlocutor que la suma debe efectuarse antes que el producto
tendríamos que escribir (3 + 2)5, y entonces resultaría (3 + 2)5 = 5·5 = 25.
Las reglas de prioridad que se definen para la ejecución de las operaciones
combinadas son las siguientes:
- En ausencia de paréntesis:
a) se realizan en primer lugar las raíces y potencias, después los productos y
cocientes y, por último, las sumas y restas4.
b) la realización de varias operaciones de un mismo rango5 se hará de izquierda a
derecha. Este orden podrá modificarse si existen propiedades de los números
(propiedades aritméticas) que justifiquen el cambio.
- Si hay paréntesis:
a) la realización de los paréntesis es prioritaria, salvo que se eliminen o
modifiquen de acuerdo con las propiedades aritméticas.
b) en el caso de paréntesis encajados tienen prioridad los interiores respecto a los
Además, en la realización de los cálculos rige el siguiente principio de economía:
- A la hora de realizar operaciones combinadas se elegirá el camino más
económico en cuanto al número de operaciones a realizar o al tamaño de los
números intermedios obtenidos.
Por ejemplo, con la escritura siguiente:
3 + 2(7 – 22) – 1
queremos indicar que primero debe efectuarse la potencia 22 = 4, después la resta
contenida en el paréntesis, 7 – 4 = 3, a continuación, el producto de 2 por el número
resultante del paréntesis, 2·3 = 6, después la suma, 3 + 6 = 9, y, por último, la resta, 9 –
1 = 8. En conclusión, 3 + 2(7 – 22) – 1 = 8.
3. SITUACIONES QUE MOTIVAN EL USO DE LOS NÚMEROS CON SIGNO
En las expresiones 3 + 2·5 ó 3 + 2(7 – 22) – 1 todas las operaciones parciales son
efectuables por lo que, siguiendo las reglas de prioridad de operaciones, obtenemos un
número natural como resultado final de dichos cálculos. Pero podemos construir
fácilmente expresiones algebraicas numéricas que no sean parcialmente efectuables. Por
ejemplo, la expresión 10 + (3 – 5) propone un cálculo imposible en el ámbito de la
aritmética, 3 – 5, porque “donde hay 3 objetos (ó 3 unidades de una cantidad de
magnitud) no se pueden quitar 5”. Sin embargo, si utilizamos una propiedad de la
aritmética que dice que “sumar una diferencia equivale a sumar el minuendo y restar el
sustraendo” podemos transformar esa expresión en una equivalente, 10 + 3 – 5,
compuesta por operaciones que ya son efectuables, 10 + 3 – 5 = 13 – 5 = 8, y dan como
4 Esta regla afecta a los números o letras que estén ligados a otros dos números o letras por medio de
operaciones de distinto rango. Por ejemplo, en la operación 2 + 3·5, el número 3 está ligado al 2 por una
suma y al 5 por un producto, luego tiene prioridad el producto.
5 Se considera que las raíces tienen el mismo rango que las potencias, los productos el mismo rango que
los cocientes, y las sumas el mismo que las restas.
resultado un número natural. Otro ejemplo: si nos proponen el cálculo 371 + 452 – 453
lo más económico es pensar que “sumar 452 y restar 453 equivale a restar 1” ya que las
452 unidades que se suman se neutralizan con las 452 unidades que contiene el segundo
número y que hay que restar. Por tanto, lo más sencillo es escribir 371 + 452 – 453 =
371 – 1 = 370. Sin embargo, esto significa que, de alguna manera, hemos efectuado una
resta con un sustraendo mayor que el minuendo, lo que en aritmética no es admisible.
En resumen, la naturaleza del cálculo algebraico, incluso como mero instrumento
de apoyo a la aritmética, desborda el marco aritmético y hace aparecer como deseable la
prolongación de las operaciones a casos que la aritmética no contempla. En particular,
la manipulación de restas (o diferencias) en las que el minuendo sea menor que el
sustraendo. Y ¿cómo hacer esto? Pues sustituyendo el cálculo entre números (o letras
que los representan)
- bien por un cálculo entre sumandos y sustraendos, es decir, entre números en los
que, a la hora de operar, se tiene en cuenta su papel en la expresión algebraica en
tanto que números que suman o restan a otros;
- bien por un cálculo entre diferencias, unas con minuendo mayor o igual que el
sustraendo y otras con minuendo menor que el sustraendo.
Para ello, habrá que establecer las reglas de cálculo, no ya entre números, como
veníamos haciendo hasta ahora, sino entre números precedidos de un signo + ó – que
indica su condición de sumandos o sustraendos, o entre diferencias a-b, con a mayor,
igual o menor que b. Y esto habrá que hacerlo de manera que dichas reglas sean
compatibles con el cálculo entre números ya conocido de antemano, es decir, de forma
que conserve las propiedades de las operaciones aritméticas, lo que se conoce como
“principio de permanencia de las leyes formales de la aritmética”.
4. LAS REGLAS DE CÁLCULO DE LOS NÚMEROS CON SIGNO
4.1. Las equivalencias entre sumandos y sustraendos, diferencias y números
Para toda diferencia con minuendo mayor o igual que el sustraendo podemos
encontrar otras muchas que se comportan exactamente igual que ella: todas aquellas que
dan el mismo resultado. Por ejemplo, en un cálculo podemos sustituir la diferencia 5-3
por la diferencia 8-6 sin que eso modifique el resultado final. Eso es debido a que en
ambos casos la diferencia, una vez efectuada, es 2. Por eso se dice que esas dos
diferencias son equivalentes. Pero 5-3 es equivalente a otras muchas diferencias, por
ejemplo: 5-3 = 4-2 = 2-0 = 6-4 = 17-15 = ... Todas dan el mismo resultado y todas ellas
se obtienen sumando o restando un mismo número al minuendo y el sustraendo. Pero
además, también podemos sustituir cualquiera de ellas por el número natural 2,
sabiendo que esto no va a afectar al resultado final de las operaciones.
Si extendemos estos razonamientos al caso de diferencias con minuendo menor que
el sustraendo, en un primer momento nos encontramos con que aquí no podemos
establecer una equivalencia entre diferencias basada en que al efectuarlas se obtiene el
mismo resultado, porque estas diferencias ya no son efectuables en el ámbito de los
números sin signo. Por ejemplo, la diferencia 3-5 no tiene solución en los números
naturales. Sin embargo, lo que sí podemos hacer es establecer la equivalencia entre dos
diferencias cuando una de ellas se obtiene sumando un mismo número a minuendo y
sustraendo de la otra. De esa manera podemos considerar como equivalentes las
diferencias 3-5 = 1-3 = 0-2 = 4-6 = 28-30 = ..., aun cuando no sean efectuables en N.
Además, cualquier diferencia con minuendo menor que el sustraendo siempre tendrá
como equivalente una diferencia del tipo 0-a, lo que en la práctica es un sustraendo. Por
tanto, toda diferencia con minuendo menor que el sustraendo es equivalente a un
sustraendo.
Por otro lado, cuando se desarrollan las reglas de cálculo de los sumandos se
comprueba que en todo momento se comportan como los números sin signo, por lo que
se les puede considerar equivalentes. En resumen, la familiarización con el cálculo con
sumandos y sustraendos y diferencias permite ver que, por una parte, el número sin
signo n (natural o fraccionario), el sumando +n y las diferencias con el minuendo mayor
o igual que el sustraendo que dan como resultado n, son equivalentes entre sí (+n = n-0
= n); por otro lado, el sustraendo -n es equivalente a la diferencia con el minuendo
menor que el sustraendo 0-n y a todas las equivalentes a ella (-n = 0-n).
4.2. Adición y sustracción de números con signo
Supongamos que tenemos dos sumandos, por ejemplo, +3 y +2. Podemos
representarlos por medio de diferencias equivalentes a ellos, por ejemplo, 3-0 y 2-0. Si
tenemos en cuenta las reglas de la aritmética6, la suma de estos dos sumandos o
diferencias será:
(+3)+(+2) = (3-0)+(2-0) = (3+2)-(0+0) = 5-0 = +5
En el caso de que tengamos dos sustraendos, -3 y –2, podemos representarlos
también en términos de diferencias, 0-3 y 0-2. Si extendemos la regla de suma de
diferencias a este caso, obtendremos:
(-3)+(-2) = (0-3) +(0-2)= (0+0)-(3+2)= 0-5 =-5
Y, por último, si tenemos un sustraendo y un sumando podemos establecer su suma
(+3)+(-2) = (3-0)+(0-2) = (3+0)-(0+2) = 3-2 = 1-0 = +1
(-3)+(+2) = (0-3)+(2-0) = (0+2)-(3+0) = 2-3 = 0-1 = -1
En la práctica, esto se traduce en la regla siguiente: para sumar dos números con el
mismo signo, se suman los números y se mantiene el signo; para sumar dos números
con distinto signo, se restan los números y se pone el signo del número mayor.
La suma entre números con signo, además de cumplir las propiedades asociativa y
conmutativa, igual que la suma entre números, tiene la ventaja de que todo número con
signo tiene un opuesto, es decir, otro número con signo que sumado con él da como
resultado cero. La suma, (+n)+(-n) = (n-0)+(0-n) = (n+0)-(0+n) = n-n = 0, nos muestra
que +n es el opuesto de -n y, recíprocamente, -n es el opuesto de +n. Y esto tiene una
consecuencia importante: la de que toda resta se puede expresar en términos de suma.
En efecto, efectuar la sustracción -, donde y representan números con signo
6 En este caso, la regla que dice que “la suma de dos diferencias es otra diferencia cuyo minuendo es la
suma de los minuendos y cuyo sustraendo es la suma de los sustraendos”.
cualesquiera, equivale a encontrar la solución de la ecuación x+= . Y aplicando las
propiedades aritméticas7, se tiene que
x++op() = +op(), x+0 = +op(), x = +op()
y, por tanto, -= +op(). La consecuencia inmediata es que, en la práctica, las restas
se reducen a sumas y lo que en los números naturales o fraccionarios se interpretaba
como dos operaciones distintas, en los números con signo se convierte en una única
operación. Esto facilita grandemente la manipulación de las expresiones algebraicas
porque la suma es una operación que se comporta mucho mejor que la resta, dado que
cumple las propiedades asociativa y conmutativa, lo que no sucede con esta última.
1. Justificar las propiedades asociativa y conmutativa de la adición de números con signo,
interpretándolos como diferencias de números.
4.3. Valencias y usos de los signos + y –
La aparición de los números con signo hace que los signos + y - adquieran nuevos
significados o valencias. En el campo de la aritmética los signos + y - se usan para
indicar las operaciones binarias de adición y sustracción entre números. En el ámbito
algebraico, mantienen su sentido como indicadores de operaciones binarias, aunque ya
no entre números, sino entre números con signo, pero aparece un nuevo sentido como
signo predicativo, es decir, como signo que indica la cualidad de sumando o sustraendo
de un número. Pero además, el hecho de que -= +op() hace deseable la
interpretación de -como el opuesto de . Así pues, en la escritura algebraica los
signos + y - pueden indicar:
a) la cualidad de sumandos o sustraendos de los números con signo (signos
predicativos).
b) las operaciones binarias de suma y resta entre números con signo (signos
operativos binarios).
c) la operación unaria que mantiene un número con signo o lo transforma en el
opuesto (signos operativos unarios).
Sin embargo, la práctica habitual en la manipulación de las escrituras algebraicas
pasa por la supresión de todos los signos operativos binarios, no sólo los que afectan a
sumas y restas, también los que se refieren a productos y cocientes. Los signos que
indican restas y cocientes no se usan porque estas operaciones se expresan en términos
de suma con el opuesto o producto por el inverso, respectivamente; la suma se
representa colocando los números con signo uno a continuación del otro (por ejemplo,
–4-5+3 indica la suma de los términos -4 y -5 y +3) y el producto, colocando los
términos uno a continuación del otro y envueltos en paréntesis (por ejemplo, (-4)(-
5)(+3) indica el producto de los términos -4, -5 y +3).
7 En este caso, la propiedad de que “si a los dos miembros de una igualdad se le suma o resta un mismo
número, la igualdad se conserva”.
La multiplicidad de significados de los signos + y - junto con la supresión de los
signos operativos binarios permite una gran flexibilidad y comodidad de interpretación
y manejo de las expresiones algebraicas. Por ejemplo, la expresión 10-5-8+5-10-4,
entendida como suma de los términos +10 (hay costumbre de suprimir también el signo
+ en su sentido predicativo cuando afecta al primer término de una expresión o de un
paréntesis), -5, -8, +5, -10 y –4, permite cambiar de lugar cualquiera de los términos y
asociarlo en la forma que resulte más eficaz para obtener el resultado, puesto que la
suma tiene las propiedades asociativa y conmutativa (10-5-8+5-10-4 = -8-4 = -12). Otro
ejemplo: en la expresión 3a+(-5a+7-2b)-(8-b) los signos que preceden a los paréntesis
deben interpretarse como signos operativos unarios: el primero de ellos, al ser un signo
+, deja invariable el paréntesis, el segundo, al ser un signo -, indica que hay que
transformar el paréntesis en su opuesto. Teniendo en cuenta que “el opuesto de una
suma es la suma de sus opuestos8”, podemos escribir 3a+(-5a+7-2b)-(8-b) = 3a-5a+7-
2b-8+b. Como ahora se trata de una suma entre los términos +3a, -5a, +7, -2b, -8 y +b,
podemos asociar y conmutar los términos en la forma que nos resulte más cómoda y
obtenemos la expresión equivalente -2a-b-1.
4.4. Ordenación de números con signo
La ordenación de los números con signo viene dada por la necesidad de definir una
relación de orden compatible con la suma. Esta compatibilidad exige que si a los dos
miembros de una desigualdad se les suma un mismo número con signo, la desigualdad
se conserve. Si tenemos en cuenta las siguientes desigualdades aritméticas: 8+3 < 8+5,
8-3 < 8+5 y 8-5 < 8-3, donde los signos + y - indican operaciones binarias entre
números naturales o fraccionarios sin signo, vemos que todas ellas pueden
reinterpretarse en términos de sumas entre números con signo sin más que considerar
los signos + y - como predicativos. Si ahora sumamos a los dos miembros de las
desigualdades el término –8 y exigimos que las desigualdades se conserven, se obtiene
que +3 < +5, -3 < +5 y -5 < -3.
En general, la regla de ordenación de números con signo nos dice que: -n < +m
cualesquiera que sean n y m, +n < +m si n < m y -n < -m si n > m.
4.5. Multiplicación y división de números con signo
Dados dos sumandos, por ejemplo, +3 y +2, siempre podremos representarlos por
medio de diferencias equivalentes a ellos, por ejemplo, 3-0 y 2-0. Si tenemos en cuenta
las reglas de la aritmética9, la multiplicación de estos dos sumandos o diferencias puede
(+3)(+2) = (3-0)(2-0) = (3-0)2-(3-0)0 = 3.2-0.2-3.0+0.0 = 6-0 =+6
Si tenemos dos sustraendos, por ejemplo, -3 y -2, también podemos representarlos
en términos de diferencias como, por ejemplo, 0-3 y 0-2. Si efectuamos ahora la
multiplicación de esos dos sustraendos o diferencias, obtendremos:
8 Esta propiedad se demuestra fácilmente porque (a+b)+(op(a)+op(b)) = a+b+op(b)+op(a) = a+ op(a) = 0.
Esto nos hace ver que op(a)+op(b) es el término que sumado con a+b da cero. Por tanto, es el opuesto de
a+b, op(a+b) = op(a)+op(b).
9 En este caso, las propiedades asociativa y conmutativa del producto y la propiedad distributiva del
producto respecto a la resta.
(-3) (-2) = (0-3)(0-2)= (0-3)0-(0-3)2 = 0.0-3.0-0.2+3.2 = 6-0 = +6
Por último, si tenemos un sumando y un sustraendo, por ejemplo, +3 y -2, podemos
establecer su producto del siguiente modo:
(+3).(-2) = (3-0)(0-2) = (3-0)0-(3-0)2 = 3.0-0.0-3.2+0.2 = 0-6 = -6
En la práctica, esto se traduce en la regla siguiente: para multiplicar dos números
con el mismo signo, se multiplican los números y se coloca delante del resultado el
signo +; para multiplicar dos números con distinto signo, se multiplican los números y
se coloca delante del resultado el signo -.
En cuanto a la división de números con signo, hay que tener en cuenta que, en el
campo de los números fraccionarios, la división por un número distinto de cero se
reduce a la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor, con lo que toda
división entre fracciones se convierte en una multiplicación. De acuerdo con esto, a la
división de números con signo le son de aplicación las reglas establecidas para la
multiplicación de números con signo: para dividir dos números con el mismo signo, se
dividen los números y se coloca delante del resultado el signo +; para dividir dos
números con distinto signo, se dividen los números y se coloca delante del resultado el
signo -. Sucede aquí lo mismo que en el caso de la suma y la resta
Como consecuencia, en los números fraccionarios con signo las cuatro operaciones
típicas de la aritmética elemental se reducen a dos: la suma y la multiplicación, ya que
la resta se transforma en una suma con el opuesto del sustraendo y la división por un
número distinto de cero en un producto por el inverso del divisor.
2. Justificar las propiedades asociativa y conmutativa del producto de números con signo,
3. Justificar la propiedad distributiva del producto de números con signo respecto a la suma,
5. LA CONDICIÓN DE NÚMEROS DE LOS NÚMEROS CON SIGNO
5.1. ¿Son números los números con signo?
Hasta ahora, hemos hablado de los números con signo pero no hemos discutido si
son o no números. Desde luego, son números precedidos de un signo + ó -, pero, a ese
nuevo objeto matemático formado por un número y un signo, ¿podemos darle también
la consideración de número? La respuesta no es trivial, ni siquiera fácil. Si
interpretamos los números con signo como sumandos o sustraendos no hay ninguna
razón para considerarlos números. En el ámbito de la aritmética elemental, la
caracterización de los números viene dada porque expresan cardinales de conjuntos o
medidas de cantidades de magnitud. En este sentido 5 ó 4/7 son números porque pueden
expresar el resultado de una medida. Pero +5 y -4/7 solo indican que en una
determinada expresión los números 5 ó 4/7 tienen un papel como sumandos y
sustraendos que conviene tener en cuenta a la hora de ejecutar los cálculos, dado que
eso los facilita. Son, por tanto, objetos intermediarios del cálculo que dejan de tener
sentido cuando éste termina, pues el resultado final de las operaciones deja ya de
cumplir un papel como sumando o sustraendo
Si interpretamos los números con signo como diferencias, parece evidente que los
números precedidos de un signo + sí que son números, desde el momento que son
diferencias con minuendo mayor que el sustraendo y, por consiguiente, perfectamente
efectuables en el campo numérico. Pero ¿que pasa con las diferencias con minuendo
menor que el sustraendo? Desde el punto de vista aritmético esas diferencias no son
efectuables, ya que la operación de restar se identifica con las acciones de quitar,
separar, sustraer, etc., y nunca se puede quitar de donde no hay, por lo que resulta
imposible aceptar que esas diferencias constituyan un número.
Durante muchos siglos –desde Diofanto (siglo III d.C)– los matemáticos usaron los
números con signo en sus cálculos sin pretender que, a su vez, fueran números. Sin
embargo, diversas circunstancias históricas hicieron cada vez más deseable su
consideración como números. El desarrollo de una teoría general de ecuaciones fue
haciendo necesaria la aceptación como soluciones de las ecuaciones de los números con
signo y de sus raíces. El teorema fundamental del álgebra que dice que toda ecuación
polinómica tiene, al menos, una solución, solo puede establecerse si se trabaja en un
campo numérico que contenga los números con signo y sus raíces (lo que, hoy en día,
conocemos como conjunto de los números complejos). Por otra parte, a partir de
Descartes (siglo XVI) el álgebra se convierte en una herramienta al servicio de la
geometría. Hasta entonces, las manipulaciones algebraicas se hacían para resolver
problemas aritméticos y, por consiguiente, las letras representaban siempre medidas de
La geometría analítica fue desarrollando la noción de abscisa que terminó por
identificar los números con signo con los puntos de la recta, permitiendo que una misma
ecuación representase una curva situada en diferentes cuadrantes. La identificación
entre los números con signo y los puntos de la recta se establece a partir de la elección
de dos puntos arbitrarios a los que se les adjudica los números 0 (al de la izquierda) y
+1 (al de la derecha). La concatenación a derecha e izquierda del segmento (0,+1),
permite definir los puntos +2, +3, +4, etc., a la derecha de cero, y los puntos -1, -2, -3, –
4, etc., a la izquierda de cero. Después, mediante técnicas de fraccionamiento de
segmentos se van identificando los puntos que corresponden a números fraccionarios
con signo.
La interpretación de los números con signo como puntos de la recta permite
interpretar el orden entre ellos desde un punto de vista espacial: un número con signo
es menor que otro si está situado a la izquierda de sobre la recta numérica.
Por otro lado, la aparición de magnitudes vectoriales y relativas contribuyó también
al afianzamiento de los números con signo como números. En las magnitudes
vectoriales: velocidades, aceleraciones, fuerzas, etc., para caracterizar una cantidad de
magnitud no basta con un número que exprese su medida sino que es necesario un
vector que incorpora además especificaciones sobre su dirección y sentido. En las
magnitudes relativas: temperaturas, etc., la medida cero no indica ausencia de cantidad
de magnitud, sino que representa la medida de una cierta cantidad de magnitud a la que
convencionalmente se le atribuye ese valor para que sirva de referencia a la medida de
otras cantidades de la misma magnitud. La existencia de magnitudes vectoriales y
relativas permitió utilizar los números con signo para expresar cantidades de magnitud
unidireccionales (en las que los signos expresan uno u otro sentido dentro de la misma
dirección) y relativas (en las que el signo indica si la cantidad de magnitud es mayor o
menor que la cantidad de magnitud tomada como origen).
Sin embargo, y a pesar de todos estos avances, fue necesario esperar a la revolución
matemática que se produjo en el primer tercio del siglo XIX para que, definitivamente,
los matemáticos asumieran que los números con signo eran números. Para ello, hubo
que despojar al número de su sentido originario como medida de cantidades de
magnitud y aceptar como definiciones válidas en matemáticas, no solo aquellas que
“dan sentido físico” a los objetos matemáticos (definiciones esencialistas), sino también
aquellas que definen los objetos matemáticos estableciendo sus reglas de manipulación
(definiciones funcionales). En este nuevo marco teórico Peacock estableció en 1830 que
los números con signo eran números (positivos los precedidos de un signo + y negativos
los precedidos de un signo -). A los números naturales precedidos de un signo se les
llamó números enteros, Z, y a las fracciones y los naturales precedidos de un signo,
números racionales, Q.
5.2. Definición axiomática de Q
Vamos a dar ahora una definición funcional del conjunto de los números
racionales, entendiendo por tal el conjunto de números naturales y fraccionarios
precedidos del signo + ó -.
Un conjunto será considerado el “conjunto de los números racionales”, Q, si:
a) está dotado de dos operaciones binarias, suma y producto, que cumplen las
Asociativa: (x+y)+z = x+(y+z) Asociativa: (xy)z = x(yz)
Commutativa: x+y = y+x Conmutativa: xy = yx
Elemento neutro para la suma, 0
Elemento unidad para el producto, 1
Cada racional tiene un opuesto único
x+(-x) = 0
Cada racional distinto del elemento neutro
tiene un inverso único
x.(1/x) = 1
Distributiva del producto respecto a la suma
b) tiene definida una relación de orden total que cumple las siguientes propiedades:
Si x  y entonces x+z  y+z,
Si x  0 e y  0 entonces xy  0
De un conjunto que cumple las propiedades enunciadas en los apartados a) y b) se
dice que es un cuerpo conmutativo totalmente ordenado. Por lo tanto, Q es un cuerpo
conmutativo totalmente ordenado. Pero esto no basta para caracterizar al conjunto de los
números racionales, es necesario añadir la siguiente propiedad:
c) No existe ningún otro cuerpo conmutativo totalmente ordenado contenido
estrictamente en Q. Dicho de otra manera, el conjunto de los números racionales es el
mínimo cuerpo conmutativo totalmente ordenado que existe.
De la misma manera, se puede definir el conjunto de los números enteros, Z, como
el mínimo anillo conmutativo con unidad totalmente ordenado, entendiendo por tal un
conjunto que cumple todas las propiedades de los apartados a) y b), salvo la que se
refiere a la existencia de inverso, y que no tiene ningún anillo conmutativo con unidad
totalmente ordenado estrictamente contenido en él.
3. Demostrar la propiedad de cancelación de la suma:
Si x+y = x+z, entonces y = z.
4. Demostrar las propiedades multiplicativas del cero:
a) 0. x = 0, para cualquier racional x.
b) Si xy = 0, donde x e y son racionales, entonces x = 0 ó y= 0.
6. TALLER MATEMÁTICO
1. El modelo de las fichas bicolores
Una representación concreta de los enteros se tiene mediante colecciones de fichas
de dos colores, por ejemplo, negras y blancas, usando el convenio de que cuando se
tiene un par de fichas de colores distintos se anulan mutuamente. Cada una de las
configuraciones de fichas de la figura 2 sirve para representar el entero -5 porque en
cada conjunto hay 5 fichas blancas en exceso respecto de la cantidad de fichas negras.
Las tres primeras configuraciones se pueden reducir a la última formada sólo por cinco
fichas rojas descartando los pares que se pueden formar con fichas de colores distintos.
Se puede pensar que las fichas negras son pequeñas piezas de materia y las blancas de
antimateria, que al juntarse desaparecen; también se puede pensar que las negras son
cargas positivas (o ingresos en una contabilidad) y las blancas son cargas negativas (o
retiradas de efectivo)
   
    
 
Definir las operaciones de adición y multiplicación mediante el modelo concreto de
las fichas bicolores. Comprobar las propiedades estructurales de los números
enteros mediante ejemplos de situaciones referidas a la manipulación de
colecciones de fichas bicolores.
2. Resolver los siguientes problemas explicando la solución mediante representaciones
gráficas sobre la recta numérica.
a) Un misil se ha disparado a 30 metros bajo el nivel del agua; 5 segundos después
está a 90 metros sobre el nivel del mar. ¿Cuántos metros ha ascendido en los 5
b) La temperatura era de -4 grados esta noche; desde entonces ha bajado 9 grados.
c) Hace tres años un kg de azúcar costaba 42 céntimos. Desde entonces, su precio
anual ha sufrido los cambios -3, +21, -9 céntimos. ¿Cuánto cuesta ahora?
d) El saldo contable de un comerciante en las últimas seis semana ha registrado las
siguientes variaciones: -4, -2, 0, +1, -1, +3. ¿Cuál ha sido su ganancia o pérdida
e) En aguas quietas un barco puede moverse a la velocidad de 16 km por hora. ¿A
qué velocidad puede ir en un río cuyas aguas fluyen a 5 km por hora, si va en la
dirección del río. ¿Y si va contracorriente?
f) Un avión vuela a 190 km/h si va en contra del viento, mientras que si va a favor
del viento vuela a 220 km/h. ¿Cuál es la velocidad del viento? ¿A qué velocidad
puede volar el avión en atmósfera quieta?
3. Las temperaturas en grados Celsius se relacionan con las temperaturas en grados
Fahrenheit mediante la ecuación
5.( 32)
C F 
Encontrar las temperaturas Celsius correspondientes a las siguientes temperaturas
a) 104ºF b) 212ºF c) 14ºF d) 21ºF e) -4ºF f) –40ºF
4. Realiza las siguientes operaciones de la forma más económica posible:
a) 15-(17-6)+2(15-13)
b) 28-(-8-4):(33-29)
c) (28-(-8-4)):(33-29)
d) 32-12+20-50-20+75-(-8)3
e) (28-3)-5(3-9)-(6+2):4·5
f) -15-(12-20)+(-10+14)
g) -[(-8)+(-7)]-[(-5)+(+3)]
h) (-6)[(+9)-(+2)]-(-3)(-4)
i) (7-5-1)3(4+5)2
j) (1-2(-3+2)):3-(-1+2·4+3)-2+1
k) 7-2·62:4-32
l) (7-2)62:(4-3)2
m) 7-(2·6)2:4-32
n) 7(-2)·62:4(-3)2
ñ) 7(-2·6)2:(4(-3)2)
5. Si x representa un entero distinto de cero cualquiera, ¿cuáles de las siguientes
expresiones son negativas?
a) -x b) -(-x) c) (-x)2 d) -(x2) e) x3
f) (-x)3 g) x	h) –	x
6. Justificar los diferentes pasos de la siguiente demostración:
a = 0 +a
= [-(-a) + (-a)] +a
= -(-a) + [(-a) +a]
= -(-a) + 0
= -(-a)
7. Usar la definición algebraica de la relación “menor que” para probar la siguiente
propiedad: Si a < b y c > 0, entonces c.a < c.b
8. Encontrar el conjunto de soluciones en Z de cada una de las siguientes desigualdades:
a) (x +3)(x-2) > 0 (Observación: ¿Bajo qué condiciones puede ser positivo un
producto de dos enteros .?)
b) (x-1)(5-x) >0
También le puede interesar :CUATRO OPERACIONES EN LOS NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOSCONJUNTOS NUMERICOS PROBLEMAS RESUELTOS PDFPOTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN LOS NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOSSovrn
Categorías: ALGEBRA,APLICACIONES DE LOS NUMEROS POSITIVOS NEGATIVOS,ARITMETICA,COMPARACION DE NUMEROS ENTEROS,DESPLAZAMIENTOS POSITIVOS Y NEGATIVOS,DETERMINACION Y REPRESENTACION DE LOS NUMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMERICA,EJEMPLOS RESUELTOS,EJERCICIOS RESUELTOS,MATEMATICAS DE SEXTO DE PRIMARIA,NUMEROS ENTEROS,NUMEROS OPUESTOS,PRIMARIA O BASICO,SECUNDARIA O MEDIA,VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO	« CUATRO OPERACIONES EN LOS NÚMEROS NATURALES EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF CUATRO OPERACIONES EN LOS NÚMEROS ENTEROS EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF Y VIDEOS » CUATRO OPERACIONES EN LOS NÚMEROS NATURALES EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución

 resolución