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Timestamp: 2019-12-10 00:11:05+00:00

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Grimoire d’algèbre commutative
Edition: version 16 Mar 2018
Series: draft of a book
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Nieves Maya Elcarte, Santiago Rivero Rodrigo
Dernière mise-à-jour : 16 Mars 2018
LES PRESSES INSOUMISES
From the most able, to him that can but spell : there you are number’d. We had
rather you were weighed ; especially, when the fate of all bookes depends upon your
capacities and not of your heads alone, but of your purses. Well ! It is now publique,
& you wil stand for your priviledges wee know : to read, and censure. Do so, but
buy it ﬁrst. That doth best commend a Booke, the Stationer saies. Then, how odde
soever your braines be, or your wisedomes, make your licence the same, and spare
not. Judge your six-pen’orth, your shillings worth, your ﬁve shillings worth at a
time, or higher, so you rise to the just rates, and welcome. But, whatever you do,
Buy. Censure will not drive a Trade, or make the Jacke go. And though you be a
Magistrate of wit, and sit on the Stage at Black-Friers, or the Cock-pit, to arraigne
Playes dailie, know, these Playes have had their triall alreadie, and stood out all
Appeales ; and do now come forth quitted rather by a Decree of Court, then any
purchased letters of commendation.
[from the preface of the First Folio, the ﬁrst collected edition of Shakespeare’s
plays, published posthumously in London, in 1623]
Voulez-vous maintenant que vos enfants donnent dans les mathématiques ? je ne
vous en détournerai pas si vous y tenez, mais il faut que l’enseignement en soit fait
avec précaution et avec prudence, c’est-à-dire dans un appartement intérieur, sans
se permettre de tracer sur les planchers, sur les murs, de ﬁgures de géométrie, de
caractères ou grimoire d’algèbre. Il ne faut scandaliser personne ; et surtout on doit
se garder de donner une réputation de sorcellerie à la maison d’un magistrat.
[extrait de Histoire des Français des divers états, de Amans-Alexis Monteil, publié à Paris en 1843]
Invocation des ténèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Bélier à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Anneaux, idéaux, modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Fonctions continues sur un espace topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Le spectre maximal est non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Le spectre premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Le langage catégoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. Taureau á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1. Intersections et réunions d’idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Le lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Technique de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4. Espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5. Premiers pas dans l’algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3. Gémeaux â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1. Limites et colimites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2. Foncteurs exacts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3. Limites et foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4. Faisceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5. Le lemme du serpent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4. Cancer ã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1. Produit tensoriel de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2. Restriction et extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3. Produit tensoriel d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4. Le lemme de Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Modules plats et algèbres plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5. Lion ä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.1. Modules projectifs et modules injectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.2. Groupes de Picard et anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.3. Fibrés vectoriels et théorème de Swan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4. Homotopies et résolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.5. Schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6. Vierge å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.1. Extensions entières d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.2. Homomorphismes quasi-ﬁnis et “Main Theorem” de Zariski . . . . . . . . . . 275
6.3. Anneaux noethériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.4. Variétés normales et normalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.5. Platitude générique et théorème de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
7. Balance æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.1. Idéaux premiers associés à un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
7.2. Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
7.3. Anneaux noethériens de dimension zéro et un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.4. Un exemple géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.5. Foncteurs dérivés d’un foncteur additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
8. Scorpion ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.1. Valuations sur les anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.2. Ordres sur les anneaux et corps formellement réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.3. Le spectre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.4. Le spectre valuatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
8.5. Complexes doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
8.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
9. Sagittaire è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
9.1. Anneaux et modules topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
9.2. Technique de complétion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
9.3. Complétion et limites inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
9.4. Valuations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
9.5. Anneaux aﬃnoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
9.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
10. Capricorne é . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
10.1. Le lemme d’Artin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
10.2. Foncteurs Tor et extension de scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
10.3. Le critère local de platitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
10.4. Le théorème de Gruson et Raynaud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
10.5. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
11. Verseau ê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
11.1. Le complexe de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
11.2. Modules de longueur ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
11.3. La série de Hilbert-Poincaré d’un module gradué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
11.4. Modules ﬁltrés et polynôme de Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
11.5. Théorie de la dimension des anneaux locaux noethériens . . . . . . . . . . . . 554
11.6. Solutions aux exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
12. Poissons ë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
12.1. Systèmes de paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
12.2. Anneaux locaux réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
12.3. Dimension projective des modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
12.4. Le théorème de Serre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
Références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
La quête de l’esprit tournait en cercle. A Bâle jadis, et
en bien d’autres lieux, il avait passé par la même nuit.
Les mêmes vérités avaient été réapprises plusieurs fois.
Mais l’experience était cumulative : le pas à la longue
se faisait plus sûr ; l’œil voyait plus loin dans certaines
ténèbres ; l’esprit constatait au moins certaines lois.
Si vous cherchez une Bible de l’algèbre commutative – un survol complet et
systématique d’un territoire des mathématiques bien démarqué – mon texte n’est
pas pour vous. Ce que je vous propose, c’est plutôt un apprentissage expérimental,
dans un atelier d’alambics et chaudrons bouillonnants, où les outils proprement
algébriques en côtoient des autres, récupérés des champs de l’analyse réelle ou
complexe, de la topologie générale, de la théorie des nombres, voire même de la
théorie des représentations.
En fait, le caractère hybride de notre sujet se manifestera dès la première leçon,
et nous fournira un motif conducteur inépuisable : car d’un côté, un eﬀet collatéral de nombreuses investigations mathématiques est la production d’une quantité
importante d’anneaux, de modules, d’homomorphismes... et les eﬀorts visant à analyser et interpréter ces données n’ont jamais cessé de stimuler le développement de
l’algèbre commutative. Ainsi, un théorème de Gelfand nous montre que tout espace
topologique compact et séparé est déterminé, à homéomorphisme près, par l’anneau
de ses fonctions continues à valeurs réels. De même, si C est une surface de Riemann complexe compacte, et P ∈ C un point arbitraire, les fonctions holomorphes
sur C \ {P } et méromorphes en P forment une C-algèbre de type ﬁni qui encode
ﬁdèlement la géométrie de C ; à l’aide de cet anneau, on peut plonger C dans un
espace projectif, et donc la munir d’une structure intrinsèque de courbe algébrique.
Voici un autre exemple avec une longue histoire, sur lequel on se penchera : pour
tout corps K et toute représentation d’un groupe G sur un K-espace vectoriel V ,
on peut considérer l’anneau K[V ]G des fonctions polynomiales sur V qui sont invariantes sous l’action induite de G, et maints problèmes de théorie des invariants
se ramènent à des questions sur les propriétés de cet anneau ; en particulier, le célèbre XIVème problème de Hilbert porte sur les conditions que l’on doit imposer
sur G, aﬁn d’assurer que K[V ]G soit une K-algèbre de type ﬁni, quel que soit V de
K-dimension ﬁnie.
De l’autre côté, un des buts principaux de ce cours est l’explication de certains
procédés pour transmuter tout anneau (commutatif, associatif et unitaire) en un
objet géométrique : cela nous permettra d’étudier des questions algébriques par des
méthodes géométriques (mais aussi, réciproquement, des questions géométriques
par des moyens algébriques). Le prototype – et jusqu’à nos jours, l’exemple le plus
important – est l’opération qui consiste à associer à chaque anneau son spectre
premier, i.e. l’ensemble de ses idéaux premiers, muni d’une topologie convenable,
appelée souvent topologie de Zariski, du nom du premier mathématicien qui a mis
en évidence l’utilité de cette construction. En eﬀet, la notion de spectre premier,
et celle de schéma aﬃne qui en dérive naturellement, constituent les piliers sur
lesquels se fonde la géométrie algébrique telle qu’elle est conçue aujourd’hui. Mais on
s’intéressera aussi aux spectres valuatifs et aux spectres réels des anneaux, qui depuis
une vingtaine d’années jouent un rôle analogue respectivement pour la géométrie
analytique non-archimédienne, et la géométrie semi-algébrique réelle.
Tout au long du parcours, la collaboration du lecteur sera sollicitée, car une
proportion importante du matériel présenté ici, y paraît sous forme d’exercices et
problèmes de niveaux assez variables, les deuxièmes étant en général plus diﬃciles
que les premiers ; en fait, certains problèmes sont probablement trop durs pour les
débutants auxquels ce cours s’adresse en priorité : si vous n’aimez pas les bouquins
qui vous interpellent et vous déﬁent de temps en temps, mon texte n’est pas pour
vous non plus. D’autre part, pour presque tout problème et exercice je propose des
solutions détaillées ; on peut ainsi moduler à souhait son degré d’implication : d’une
consultation modérée des solutions pour un entraînement plus sportif, jusqu’à la
balade touristique pour les vacanciers de l’algèbre.
Ce Grimoire est l’aboutissement imparfait d’une longue et, en bonne partie,
accidentelle gestation : il s’est d’abord matérialisé sous forme d’un recueil de notes
manuscrites, pour des cours au niveau de la deuxième année de Maîtrise que j’ai
eu occasion d’enseigner à plusieurs reprises à Bordeaux et plus tard à Lille. Son
format trahit la cadence hebdomadaire de ses origines orales, avec ses contraintes
de temps et les choix pédagogiques que j’ai inﬂigés à mes diﬀérents auditeurs ; c’est
pourquoi il n’est pas organisé en chapitres (terminologie qui évoque un découpage
en unités thématiques), mais plutôt en leçons qui suivent un tracé approximatif, à
partir d’une dotation légère de quelques questions initiales, revisitées et enrichies
en route, à la lumière des techniques et des théorèmes appris chemin faisant.
Ma référence principale était le classique [2] de Atiyah-Macdonald, et j’avais
aussi utilisé le livre [29] de Matsumura comme source secondaire ; même après de
nombreux réaménagements, des ajouts et suppressions, je crois que l’on peut encore
apercevoir en ﬁligrane l’inﬂuence atavique de ces deux textes (surtout du premier).
En particulier, le cœur du cours reste toujours la théorie des anneaux noethériens,
dans son articulation classique, canonisée au début des années 60 : d’abord les
résultats fondateurs de Hilbert (théorème de la base et Nullstellensatz), puis la
décomposition primaire de Noether, l’étude détaillée en dimension zéro (anneaux
artiniens) et un (anneaux de Dedekind), les topologies adiques et la technique de
complétion, la théorie de la dimension, pour conclure avec les anneaux locaux réguliers et leur caractérisation homologique (théorème de Serre). L’algèbre homologique
dont on se sert est développée ab ovo, d’un style minimaliste mais tout à fait rigoureux ; pour la rendre plus digeste, elle est administrée en pilules : en moyenne, une
section par leçon, mêlée à du contenu plus appétissant. Autour de ce noyau, j’ai
ajouté un assortiment de sujets détachés : en premier lieu des éléments de théorie
des valuations, un sujet assez ancien – son origine remonte au travaux de Krull
des années 30 – dont les cotations dans la bourse des valeurs algébriques ont étés,
pendant longtemps, assez volatiles : aux années 40 elle était au centre des intérêts
de Zariski, qui y voyait la clef pour son programme de désingularisation des variétés
algébriques ; reléguée, dès les années 60, au deuxième plan à la suite de la percée de
Hironaka, établissant la désingularisation en caractéristique zéro par des idées et
avec un langage diﬀérents, entièrement basés sur la nouvelle théorie des schémas ;
récupérée aux années 90 pour l’étude des variétés analytiques déﬁnies sur les corps
ultramétriques. Un autre sujet récurrent sera l’algèbre des fonctions continues à valeurs réels sur un espace topologique : il s’agit d’une classe d’anneaux très éloignés
de ceux que l’on rencontre lors de l’étude de la géométrie algébrique, dans lesquels
on retrouve pourtant des échos étonnants de la théorie noethérienne. Par exemple,
le théorème de Gelfand cité ci-dessus peut se voir comme une contrepartie du Nullstellensatz ; aussi, l’analyse du spectre premier d’une algèbre de fonctions continues
révèle d’un côté des analogies avec les anneaux des valuations, et de l’autre côté
conduit naturellement à la découverte de toute une panoplie de structures d’intérêt
général : notamment, les ﬁltres premiers et les ultraﬁltres, les anneaux ordonnés, et
enﬁn la notion de spectre réel d’un anneau.
Les prérequis sont assez modestes : une familiarité avec les notions de base sur
anneaux et idéaux, et plus généralement, l’algèbre élémentaire du niveau de la Licence ; quelques uns des problèmes proposés demandent toutefois des connaissances
de théorie de Galois.
Suggestions, corrections et remarques sont bienvenues !
Je remercie Benjamin Beutin, Luther Blissett, Niels Borne, Jean-François Burnol,
Pietro Corvaja, Mladen Dimitrov, Michel Emsalem, Barbara Fantechi, Ofer Gabber,
Hana Hancinova, Steven Kleiman, Pietro Majer, Mohamed Raﬁk Mammeri, Dimitri
Markushevich, William D. Montoya, Maxime Oger, Pierre-Antoine Oria, Maëva
Ostermann, Giulia Pilli et Andrei Zinovyev pour des nombreuses observations très
utiles et intéressantes. Mes remerciements aussi à Marie-Claude Vergne pour son
assistance avec Photoshop.
L’image de couverture est basée sur le pentagramme inversé contenu dans le livre
“La Clef de la Magie Noire” de l’occultiste francais Stanislas de Guaita (1861–1897).
Les signes astrologiques qui ouvrent chaque leçon sont empruntés (à l’exception près
du Bélier, Capricorne et Poissons) à une collection d’images numériques réalisées par
une équipe du Hubble Space Telescope Institute, à partir de l’ouvrage “Firmamentum Sobiescianum sive Uranographia” de l’astronome polonais Johannes Hevelius
(1611–1687). Les autres signes proviennent du “Liber Astronomiae” de l’astrologue
italien Guido Bonatti (XIII siècle). Les deux petits diables qui entourent le logo des
Presses Insoumises sont dus au célèbre dessinateur pour enfants A.Grothendieck,
et sont conservés à l’Université de Bielefeld, en Allemagne. Ces images sont dans
le domaine public. La malédiction qui clôture le volume reproduit celle d’un ancien
parchemin de l’Abbaye de Sainte Marie et Saint Nicolas à Arnstein (Allemagne),
actuellement dans la collection de la British Library de Londres (MS. Harley 2798) ;
son auteur – un obscur moine copiste dont l’histoire n’a gardé que le nom : Lunandus – y promet ﬁèvres pestilentielles, supplice par la roue, meurtre par pendaison,
et j’en passe et des meilleurs, à l’intention de toute crapule déplorable qui oserait
soustraire ou endommager le fruit de ses labeurs.
Pour ﬁnir, ce cours a été rédigé avec l’éditeur de textes LYX, une interface graphique pour le logiciel LATEX.
1. Bélier à
1.1. Anneaux, idéaux, modules. Le lecteur aura déjà rencontré les concepts basiques de l’algèbre dans les cours et les textes du niveau de la Licence ; notamment,
les notions d’anneau, d’idéal, de module, de homomorphisme d’anneaux, que l’on
ne reproduira pas ici. Néanmoins, ajoutons que – sauf mention contraire – dans ce
cours, tout anneau A sera :
— commutatif : x · y = y · x pour tout x, y ∈ A
— associatif : x(yz) = (xy)z pour tout x, y, z ∈ A
— unitaire : il existe 1 ∈ A tel que 1 · x = x pour tout x ∈ A.
Aussi, tout homomorphisme d’anneaux f : A → B préserve les unités : f (1) = 1.
On notera A× le groupe multiplicatif des éléments inversibles de A. On dira qu’un
élément a ∈ A est :
— nilpotent, s’il existe n ∈ N tel que an = 0 dans A.
— diviseur de zéro, s’il existe b ∈ A \ {0} tel que ab = 0.
— régulier, si a 6= 0 et il n’est pas diviseur de zéro.
On dit que A est intègre (resp. est un corps) si A 6= {0} et tout élément non nul de
A est régulier (resp. inversible). On notera Z l’anneau des entiers, N l’ensemble des
entiers non-négatifs, Q, R et C les corps des nombres rationnels, réels et complexes.
Un idéal I ⊂ A est principal s’il existe a ∈ A tel que I = Aa := {ab | b ∈ A}. On
dit que I est de type fini, s’il existe a1 , . . . , an ∈ A (pour quelque n ∈ A) tels que
I = Aa1 + · · · + Aan ; dans ce cas, l’anneau quotient A/I est aussi dénoté souvent :
A/(a1 , . . . , an ).
On dit que A est principal si tous ses idéaux sont principaux.
Exemple 1.1. (i) L’anneau Z est principal ; rappelons la preuve : on doit montrer
que tout idéal I ⊂ Z est principal ; si I = 0, l’assertion est triviale, et sinon, soit
a ∈ I le plus petit élément > 0. Pour tout b ∈ I il existe q, r ∈ Z tels que b = aq + r
et 0 ≤ r < a ; il s’ensuit que r ∈ I, donc r = 0, par la minimalité de a, d’où I = aZ.
(ii) Si K est un corps, le même argument s’applique à l’anneau des polynômes
K[X] : pour tout idéal non nul I ⊂ K[X] on choisit p(X) ∈ I non nul de degré
minimal ; si b(X) ∈ I, la division euclidienne nous donne q(X), r(X) ∈ K[X] tels
que b(X) = p(X) · q(X) + r(X) avec soit r(X) = 0, soit degX r(X) < degX p(X).
Mais r(X) ∈ I, donc ﬁnalement r(X) = 0 par la minimalité de degX p(X), d’où
I = p(X) · K[X]. (Voir le problème 5.35 pour une généralisation.)
1.1.1. Algèbres. Une A-algèbre est une donnée (B, f ) constituée d’un anneau B et
un homomorphisme d’anneaux f : A → B, appelé le morphisme structurel de B.
Si le contexte ne donne pas lieu à des ambiguités, on notera souvent une A-algèbre
simplement par son anneau sous-jacent B. Un homomorphisme de A-algèbres
g : (B, f ) → (B ′ , f ′ )
§ 1.1: Idéaux premiers et maximaux
est un homomorphisme d’anneaux g : B → B ′ qui fait commuter le diagramme :
A❊
❊❊ f ′
/ B′
i.e. f ′ = g ◦ f .
Evidemment, la composition de deux homomorphismes de A-algèbres g : B → B ′
et g ′ : B ′ → B ′′ est un homomorphisme de A-algèbres g ′ ◦ g : B → B ′′ . On notera
HomA−Alg (B, B ′ )
l’ensemble des homomorphismes de A-algèbres B → B ′ . Par exemple, pour tout
n ∈ N, l’anneau des polynômes de n variables A[X1 , . . . , Xn ] à coeﬃcients dans
A est muni d’une structure canonique de A-algèbre, dont le morphisme structurel
est l’inclusion naturelle A → A[X1 , . . . , Xn ] qui identiﬁe A avec le sous-anneau des
polynômes de degré total 0. Aussi, pour tout idéal I ⊂ A, la projection canonique
A → A/I munit l’anneau quotient A/I d’une structure naturelle de A-algèbre.
Remarque 1.2. (i) Tout anneau A admet un unique homomorphisme Z → A, donc
tout anneau est canoniquement une Z-algèbre.
(ii) Soit A un anneau, B une A-algèbre, et n ∈ N un entier. Noter que pour
toute suite (b1 , . . . , bn ) ∈ B n il existe un unique homomorphisme de A-algèbres
f : A[X1 , . . . , Xn ] → B tel que f (Xi ) = bi pour i = 1, . . . , n : en eﬀet, cet homomorphisme est déﬁni par
f (P ) := P (b1 , . . . , bn )
∀P ∈ A[X1 , . . . , Xn ].
Autrement dit, pour toute A-algèbre B et tout n ∈ N il existe une bijection naturelle
B n → HomA−Alg (A[X1 , . . . , Xn ], B).
On verra dans la section 2.2 comment cette propriété caractérise A[X1 , . . . , Xn ] à
isomorphisme canonique près.
On dit qu’une A-algèbre B est de type fini, s’il existe un homomorphisme surjectif
de A-algèbres π : A[X1 , . . . , Xn ] → B, pour quelque n ∈ N. Au vu de la remarque
1.2(ii), cela revient à dire qu’il existe un système ﬁni b• := (b1 , . . . , bn ) d’éléments
de B tel que tout b ∈ B s’écrit sous la forme b = P (b1 , . . . , bn ) pour quelque
polynôme P ∈ A[X1 , . . . , Xn ] ; on dit que b• est un système fini de générateurs de
la A-algèbre B, et on écrit aussi B = A[b1 , . . . , bn ]. On dit que B est une A-algèbre
de présentation finie, si on peut trouver une surjection π comme ci-dessus, dont le
noyau π −1 (0) soit un idéal de type ﬁni ; dans ce cas B est isomorphe à un quotient
A[X1 , . . . , Xn ]/I, avec I ⊂ A[X1 , . . . , Xn ] un idéal de type ﬁni.
1.1.2. Idéaux premiers et maximaux. On rappelle qu’un idéal I ⊂ A est dit :
— premier si 1 ∈
/ I et x, y ∈
/ I ⇒ xy ∈
/ I pour tout x, y ∈ A.
— maximal si 1 ∈
/ I et les seuls idéaux de A qui contiennent I sont I et A.
Proposition 1.3. Soit A un anneau, I ⊂ A un idéal. On a :
(i) I est premier si et seulement si A/I est un anneau intègre.
(ii) I est maximal si et seulement si A/I est un corps.
Démonstration. (i) : Soient x, y ∈ A, et notons x̄, ȳ ∈ A/I les classes de x et y.
Si x̄, ȳ 6= 0, on a x, y ∈
/ I ; si maintenant I est premier, on déduit xy ∈
/ I, et donc
x̄ · ȳ 6= 0, ce qui montre que A/I est intègre. D’autre part, si A/I est intègre, on a
x̄ · ȳ 6= 0, donc xy ∈
/ I, d’où l’on voit que I est premier.
(ii) : Soit x ∈ A tel que x ∈
/ I, donc x̄ 6= 0. Si A/I est un corps, il existe y ∈ A tel
que x̄ · ȳ = 1 dans A/I, donc xy − 1 ∈ I, d’où I + Ax = A ; comme x est arbitraire,
on déduit que les seuls idéaux qui contiennent I sont I et A, i.e. I est maximal.
D’autre part, si I est maximal, l’hypothèse x ∈
/ I implique que l’on a I + Ax = A,
donc il existe a ∈ I, y ∈ A tel que xy + a = 1, d’où x̄ · ȳ = 1, ce qui montre que
A/I est un corps.
La proposition implique notamment que tout idéal maximal est premier. On note :
— Max A l’ensemble des idéaux maximaux de A (spectre maximal de A)
— Spec A l’ensemble des idéaux premiers de A (spectre premier de A)
Un des objectifs de ce cours est d’expliquer pourquoi Max A et Spec A sont des
“objets géométriques”. Par ce qui précède, on a :
Max A ⊂ Spec A.
Lemme 1.4. Si I ⊂ A est un idéal, on a une bijection canonique :
{idéaux J de A tels que I ⊂ J} ←→ {idéaux de A/I}
qui associe à tout idéal J de A qui contient I, l’idéal J/I de A/I. Cette bijection
induit par restriction des bijections :
{p ∈ Spec A | I ⊂ p} ←→ Spec A/I
{m ∈ Max A | I ⊂ m} ←→ Max A/I.
Démonstration. Si π : A → A/I est la projection canonique, la bijection réciproque
associe à l’idéal J de A/I, l’idéal π −1 (J) ⊂ A. Si p est un idéal de A et I ⊂ p,
on a A/p = (A/I)/(p/I), donc A/p est intègre (resp. un corps) si et seulement
si (A/I)/(p/I) est intègre (resp. un corps), et avec la proposition 1.3 l’on déduit
que p est premier (resp. maximal) dans A si et seulement si p/I est premier (resp.
maximal) dans A/I.
1.1.3. Modules. Rappelons aussi quelques notations et terminologies standard concernant les A-modules. Si M, N sont deux A-modules, un homomorphisme de Amodules f : M → N est une application A-linéaire de M dans N , et on notera
Ker(f ) := f −1 (0) ⊂ M
Im(f ) := f (M ) ⊂ N
Coker(f ) := N/f (M )
(le noyau de f )
(l’image de f )
(le conoyau de f ).
Rappelons que f est injectif (resp. surjectif) si et seulement si Ker f = 0 (resp.
Coker f = 0). On dit que f est un isomorphisme de A-modules s’il est bijectif, le
cas échéant l’application réciproque f −1 : N → M est un homomorphisme de Amodules. Si M est un A-module et I ⊂ A un idéal, on note IM ⊂ M le sous-module
engendré par {am | a ∈ I, m ∈ M }. L’annulateur du module M est l’idéal de A
AnnA (M ) := {a ∈ A | ax = 0 ∀x ∈ M }.
On dit que M est fidèle, si AnnA (M ) = 0. L’annulateur d’un élémént x ∈ M , noté
est l’annulateur du sous-module Ax ⊂ M : i.e. l’idéal {a ∈ A | ax = 0}. On dit que
M est sans torsion, si AnnA (x) = 0 pour tout x ∈ M \ {0}.
Exemple 1.5. Soit Λ un ensemble, (Mλ | λ ∈ Λ) une famille de A-modules.
(i) Le produit direct
est l’ensemble des suites (mλ | λ ∈ Λ) avec mλ ∈ Mλ pour tout λ ∈ Λ. Il est
muni d’une structure de A-module naturelle : à savoir, si m• := (mλ |λ ∈ Λ) et
m′• := (m′λ | λ ∈ Λ) sont deux suites, et a ∈ A un élément, on pose
m• + m′• := (mλ + m′λ | λ ∈ Λ)
a · m• := (a · mλ | λ ∈ Λ).
Le Λ-support de (mλ | λ ∈ Λ) est la partie {λ ∈ Λ | mλ 6= 0}.
§ 1.2: Fonctions continues sur un espace topologique
(ii) La somme directe est le A-sous-module de
Mλ noté
et constitué des suites dont le Λ-support est un ensemble ﬁni.
(iii) Si Mλ = M pour tout λ ∈ Λ, on écrit aussi M Λ et M (Λ) pour le produit
direct et respectivement la somme directe de la famille (Mλ | λ ∈ Λ). Noter que M Λ
n’est rien d’autre que l’ensemble des applications Λ → M , et sa loi d’addition est
donnée par la somme d’applications : pour f, g : Λ → M et tout λ ∈ Λ on pose
(f + g)(λ) := f (λ) + g(λ) ; de même, (a · f )(λ) := a · f (λ) pour tout a ∈ A.
(iv) En particulier, A(Λ) est le A-module libre sur l’ensemble Λ ; il admet un
système de générateurs (eλ• | λ ∈ Λ) appelé la base canonique de A(Λ) : à savoir,
pour tout λ ∈ Λ, la suite eλ• est l’unique dont le Λ-support est {λ} et avec eλλ = 1.
Définition 1.6. Soit M un A-module. On dit que M est :
— de type fini, s’il est engendré par un système ﬁni {m1 , . . . , mk } d’éléments.
Donc, tout m ∈ M s’ecrit sous la forme
m = a 1 m1 + · · · + a k mk
pour certains a1 , . . . , ak ∈ A
— cyclique, s’il est isomorphe à A/I, pour un idéal I ⊂ A
— libre de rang fini, s’il existe n ∈ N et un isomorphisme An → M de A-modules
— de présentation finie, s’il est isomorphe au conoyau d’une application Alinéaire L → L′ avec L et L′ libres de rang ﬁni.
Remarque 1.7. (i) Evidemment, un A-module est de type ﬁni si et seulement s’il
est isomorphe à un quotient d’un A-module libre de rang ﬁni.
(ii) Pour tout A-modules M et N , on notera
HomA (M, N )
l’ensemble des applications A-linéaires M → N . Il est contenu dans le A-module
N M de l’exemple 1.5(iii), et on voit aisément qu’il est même un sous-module de ce
dernier. On munira HomA (M, N ) de la structure de A-module hérité de N M .
Toute application A-linéaire u : M ′ → M induit des applications A-linéaires
u∗ : HomA (M, N ) → HomA (M ′ , N )
u∗ : HomA (N, M ′ ) → HomA (N, M )
f 7→ f ◦ u
f 7→ u ◦ f.
(iii) Si (Mλ | λ ∈ Λ) est une famille de A-modules, on a l’identiﬁcation naturelle
HomA (Mλ , N ) → HomA
Mλ , N
pour tout A-module N
qui associe à toute suite (φλ : MλP→ N | λ ∈ Λ) l’homomorphisme de A-modules
λ∈Λ φλ (mλ ) pour toute suite (mλ | λ ∈ Λ) dont
λ∈Λ Mλ → N : (mλ | λ ∈ Λ) 7→
le Λ-support est ﬁni. Cette bijection est même un isomorphisme de A-modules.
(iv) Si M ′ et M ′′ sont deux sous-modules du A-module M , la partie
M ′ + M ′′ := {x′ + x′′ | x′ ∈ M ′ , x′′ ∈ M ′′ }
est le plus petit sous-module de M contenant M ′ ∪ M ′′ . De plus, la projection naturelle M ′ +M ′′ → (M ′ +M ′′ )/M ′′ se restreint en une surjection M ′ → (M ′ +M ′′ )/M ′′
dont le noyau est M ′ ∩ M ′′ , d’où un isomorphisme canonique de A-modules :
∼ M +M
1.2. Fonctions continues sur un espace topologique. La déﬁnition ci-dessous
et l’exemple suivant ont le but de rappeler les notions de base de la topologie
élémentaire, et d’en ﬁxer les notations et la terminologie qui seront d’usage constant
dans tout le cours.
Définition 1.8. (i) Une topologie sur un ensemble T est la donnée d’une famille
T de parties de T soumise aux conditions suivantes :
— ∅, T ∈ T .
— Pour toute partie U ⊂ T , on a U∈UTU ∈ T .
— Pour toute partie finie U ⊂ T , on a U∈U U ∈ T .
(ii) Un espace topologique est la donnée (T, T ) d’un ensemble T et une topologie
T sur T . Les points de T sont les éléments de T , et les éléments de T s’appellent
parties ouvertes de T ; une partie F de T est fermée, si T \ F est ouverte. Une partie
fermée Z est réductible, si elle est la réunion des deux parties fermées strictement
contenues dans Z ; on dit que Z 6= ∅ est irréductible, si elle n’est pas réductible.
(iii) On dit que (T, T ) est disconnexe, s’il est la réunion disjointe T = U ⊔U ′ de
parties ouvertes U, U ′ 6= ∅. On dit que (T, T ) est connexe s’il n’est pas disconnexe.
(iv) Soit S ⊂ T une partie ; on appelle l’adhérence de S dans T la plus petite
partie fermée de T qui contient S. L’intérieur de S est la plus grande partie ouverte
de T contenue dans S (donc, l’adhérence de T \ S est égale au complémentaire de
l’intérieur de S). La partie S est un voisinage d’un point t ∈ T , si t appartient à
l’intérieur de S. On dit que S est dense dans T , si l’adhérence de S est T .
(v) Soient (T, T ) et (T ′ , T ′ ) deux espaces topologiques, et f : T → T ′ une
application. On dit que f est :
— continue si pour toute partie ouverte U ⊂ T ′ , la partie f −1 U ⊂ T est ouverte
— ouverte (resp. fermée) si pour toute partie ouverte (resp. fermée) X de T , la
partie f (X) est ouverte (resp. fermée) dans T ′
— un homéomorphisme si f est continue, bijective et sa réciproque f −1 : T ′ → T
est continue. Donc, f induit une bijection
T →T′
U 7→ f (U ).
(vi) Si T et T ′ sont deux topologies sur un ensemble T , on dit que T est plus
fine que T ′ si T ′ ⊂ T (auquel cas, on dit aussi que T ′ est moins fine que T ).
Exemple 1.9. (i) Soit (T, T ) un espace topologique, E un ensemble, et g : E → T
une application. La topologie TE := {g −1 U | U ∈ T } est la moins ﬁne des topologies
T ′ sur E telles que g : (E, T ′ ) → (T, T ) soit une application continue. On appelle
TE la topologie induite par T via g (ou simplement, la topologie induite par T ).
(ii) Soient T , T ′ deux espaces topologiques. On dit que T ′ est un sous-espace de
T si T ′ ⊂ T et la topologie de T ′ est induite par celle de T via l’inclusion T ′ → T .
(iii) De même, si h : T → E est une application, alors TE := {U ⊂ E | h−1 U ∈
T } est la plus ﬁne des topologies T ′ sur E telle que h : (T, T ) → (E, T ′ ) soit une
application continue. On appelle TE la topologie de E induite par T via h.
(iv) Soit T un ensemble, et B une famille de parties de T . Alors l’intersection
TB de toutes les topologies de T qui contiennent B est évidemment la moins ﬁne
des topologies contenant B. Pour décrire TB explicitement, notons d’abord B + la
famille des intersections ﬁnies d’élémentsTde B : i.e. X ∈ B + si et seulement s’il
existe une partie ﬁnie B ′ ⊂ B avec X = U∈B′ U . Avec cette notation, une partie
U de T est dans TB si et seulement s’il existe B ′ ⊂ B + tel que U = U ′ ∈B′ U ′
(détails laissés aux soins du lecteur). Dans ce cas, on dit que B engendre TB , et
aussi que B est une prébase de TB . Si tout élément de TB s’écrit déjà comme
réunion d’une famille d’éléments de B, on dit que B est une base de TB : pour
cela, il suﬃt que tout X ∈ B + s’écrive comme réunion d’éléments de B.
(v) Pour tout ensemble S, l’ensemble PS des parties de S est une topologie
appelée topologie discrète de S. Elle est évidemment la topologie la plus ﬁne sur S.
Exercice 1.10. Soient T ,S deux espaces topologiques, f : T → S une application.
(i) On dit que f est continue au point t ∈ T si pour tout voisinage V de f (t)
dans S, la partie f −1 V est un voisinage de t dans T . Montrer que f est continue si
et seulement si elle est continue en tout point de T .
(i) Supposons que f soit localement continue, i.e. pour tout t ∈ T il existe des
voisinages Ut ⊂ T de t et Vt ⊂ S de f (t) avec f (Ut ) ⊂ Vt , tels que la restriction
ft : Ut → Vt de f est continue pour les topologies de Ut et Vt induites par T et S.
Dans ce cours on munira toujours l’ensemble R de sa topologie standard, engendrée par la base {]a, b[ | a, b ∈ R, a < b}. Pour tout espace topologique (T, T ),
l’ensemble des fonctions continues à valeurs réels T → R est un anneau noté
car l’addition et le produit de deux fonctions continues sont continues (exercice !).
Soit t ∈ T ; l’idéal de C (T )
mt := {f ∈ C (T ) | f (t) = 0}
est le noyau de l’homomorphisme d’évaluation
εt : C (T ) → R
f 7→ f (t)
qui est évidemment surjectif, et donc induit un isomorphisme C (T )/mt → R ; il
s’ensuit que mt est maximal, par la proposition 1.3(ii). On a ainsi une application
φT : T → Max(C (T ))
t 7→ mt .
Exercice 1.11. Montrer que C (T )× = {f ∈ C (T ) | f (t) 6= 0 pour tout t ∈ T }.
Remarque 1.12. (i) L’application φT n’est pas forcément injective. Par exemple,
soit T := {a, b} et T := {∅, T, {a}}. On voit aisément que toute fonction continue
T → R est constante, donc C (T ) = R, et évidemment Max(R) contient un seul
élément, à savoir l’idéal trivial {0}.
(ii) L’application φT n’est pas non plus surjective pour un espace topologique
T arbitraire. Pour obtenir un résultat positif, rappelons les déﬁnitions suivantes :
Définition 1.13. Soient (T, T ) et (T ′ , T ′ ) deux espaces topologiques.
(i) On dit que (T, T ) est séparé si pour tout x, y ∈ T distincts il existe un
voisinage Ux de x et un voisinage Uy de y dans T tels que Ux ∩ Uy = ∅.
(ii) On dit que (T,
I) de parties
S T ) est compact si pour toute famille (Ui | i ∈ S
ouvertes de T avec i∈I Ui = T , il existe une partie ﬁnie J ⊂ I avec i∈J Ui = T .
(iii) On dit que (T, T ) est normal s’il est séparé et pour tout couple de parties
fermées Z, Z ′ ⊂ T avec Z ∩ Z ′ = ∅ il existe des parties ouvertes U, U ′ de T avec
Z⊂U
Z′ ⊂ U ′
U ∩ U ′ = ∅.
(iv) On dit qu’une application f : T ′ → T est compacte, si pour toute partie
ouverte compacte U ⊂ T , la partie f −1 U est ouverte et compacte dans T ′ .
Exercice 1.14. (i) (Propriété de l’intersection ﬁnie) Soit T un espace topologique.
Montrer l’équivalence des conditions suivantes :
(a) T est compact.
(b) Pour toute famille (Zλ | λ ∈ Λ) de parties
T fermées de T , telle que
∅ pour toute partie ﬁnie Λ′ ⊂ Λ, on a λ∈Λ Zλ 6= ∅.
λ∈Λ′
Zλ 6=
(ii) Soient T, T ′ deux espaces topologiques, f : T → T ′ une application continue,
Z ⊂ T une partie. On munit Z et f (Z) des topologies induite par les inclusions
dans T et respectivement T ′ . Montrer les assertions suivantes :
(a) Si T est séparé et Z est compact, alors Z est une partie fermée de T .
(b) Si T est compact et Z est une partie fermée de T , alors Z est compact.
(c) Si Z est compact, alors f (Z) est compact.
(iii) Montrer que toute application continue f : X → Y d’un espace topologique
compact X vers un espace topologique séparé Y est compacte, et si f est bijective,
alors elle est un homéomorphisme.
(iv) Soient f, g : T → S deux applications continues d’un espace T vers l’espace
séparé (S, TS ). Montrer que Z := {t ∈ T | f (t) = g(t)} est une partie fermée de T .
(v) Montrer que tout espace topologique T compact et séparé est normal.
On utilisera le résultat fondamental suivant :
Lemme 1.15. (Urysohn) Un espace topologique (T, T ) est normal si et seulement
s’il est séparé et pour tout couple de parties fermées A, B ⊂ T telles que A ∩ B = ∅
il existe une fonction continue f : T → [0, 1] telle que f (A) = {0} et f (B) = {1}.
Démonstration. Soient A, B ⊂ T deux parties fermées disjointes ; si une telle f
est donnée, les parties ouvertes f −1 ([0, 1/2[) et f −1 (]1/2, 1]) sont disjointes et
contiennent A et respectivement B ; cela montre que T est normal.
S soit T normal ; on pose Λn := {k/2 | k = 0, . . . , 2 } pour tout
n ∈ N et Λ := n∈N Λn . Pour toute partie S ⊂ T on dénote par S l’adhérence de
S dans T . On va construire une application U : Λ → T telle que :
A ⊂ U (0)
B ∩ U (1) = ∅
U (λ) ⊂ U (λ′ )
∀λ, λ ∈ Λ avec λ < λ′ .
On déﬁnit la restriction de U à Λn par récurrence sur n ∈ N. Pour n = 0 on pose
U (1) := T \ B ; la normalité de T implique qu’il existe V ∈ T tel que A ⊂ V ⊂ V ⊂
U (1) et on pose U (0) := V . Ensuite, soit n ∈ N, et on suppose que la restriction de
U à Λn est déjà connue. Donc pour k = 0, . . . , 2n − 1 on a U (k/2n ) ⊂ U ((k + 1)/2n),
et par normalité de T on trouve V ∈ T tel que U (k/2n ) ⊂ V ⊂ V ⊂ U ((k +1)/2n ) ;
on pose U ((2k + 1)/2n+1) := V . Cela achève la construction de U . Ensuite, on pose
U ′ (λ) := U (λ) pour λ ∈ Λ \ {1} et U ′ (1) := T ; on déﬁnit :
f (t) := inf{λ ∈ Λ | t ∈ U ′ (λ)}
Evidemment f (A) = 0 et f (B) = 1. Il reste à vériﬁer la continuité de f . Pour
cela, soit t ∈ T , r := f (t) et ε ∈]0, 1] ; il suﬃt de montrer que f −1 (]r − ε, r + ε[)
contient un voisinage de t dans T . Or, si r = 0 on a t ∈ U (λ) ⊂ f −1 ([0, ε[) pour tout
λ ∈ Λ∩]0, ε[ ; si r = 1 on a t ∈ T \ U (λ) ⊂ f −1 (]1 − ε, 1]) pour tout λ ∈ Λ ∩ [1 − ε, 1[.
Si 0 < r < 1, choisissons λ, λ′ ∈ Λ tels que r − ε < λ < r < λ′ < r + ε ; il vient
t ∈ U (λ′ ) \ U (λ) ⊂ f −1 (]r − ε, r + ε[), d’où l’assertion.
On peut alors énoncer le théorème suivant :
Théorème 1.16. (Gelfand-Naimark) Si (T, T ) est un espace topologique compact
et séparé, l’application φT est bijective.
Démonstration. Soit m ∈ Max(C (T )). Notons
V (m) := {t ∈ T | f (t) = 0 pour tout f ∈ m}.
Vériﬁons que V (m) est non vide : sinon, pour tout t ∈ T il existe ft ∈ m tel que
ft (t) 6= 0. Posons Ut := ft−1 (R
S \ {0}) ; la partie Ut est ouverte dans T pour tout
t ∈ T , et évidemment on a t∈T Ut = T . Comme T est compact, il existe une
partie ﬁnie S ⊂ T tel que t∈S Ut = T . Soit g := t∈S ft2 . On voit aisément que
§ 1.3: Le spectre maximal est non vide
g(t) > 0 pour tout t ∈ T , donc g est inversible dans C (T ) (exercice 1.11). Mais par
construction g ∈ m, contradiction.
Or, si t ∈ V (m) on a m ⊂ φT (t), donc m = φT (t) car ces deux idéaux sont
maximaux. Cela montre que φT est surjective. Pour l’injectivité on applique le
lemme de Urysohn : si x, y ∈ T sont deux points distincts, il existe f ∈ C (T ) telle
que f ∈ φT (x) mais f ∈
/ φT (y), d’où φT (x) 6= φT (y).
On peut faire encore mieux : à partir de l’anneau C (T ) on peut même récupérer
la topologie T de T ! En fait, soit f ∈ C (T ), et notons
D(f ) := {m ∈ Max C (T ) | f ∈
/ m}.
On voit que pour tout t ∈ T , on a mt ∈ D(f ) si et seulement si f (t) 6= 0. C’est à
dire, φ−1
(R \ {0}) est une partie ouverte de T . Le lemme de Urysohn
T D(f ) = f
implique que la famille (φ−1
T D(f ) | f ∈ C (T )) engendre la topologie T . On munira
donc Max C (T ) de la topologie de Zariski TT,Zar , i.e. la topologie engendrée par
(D(f ) | f ∈ C (T )).
Avec cette topologie, l’application φT est un homéomorphisme
(T, T ) → (Max C (T ), TT,Zar ).
Problème 1.17. (i) Donner un exemple d’un espace topologique T tel que φT ne
soit pas surjective. Noter que la preuve du théorème 1.16 montre qu’un tel espace
doit forcément être non compact.
(ii) Soit T := [0, 1] muni de sa topologie standard, induite par l’inclusion dans
l’espace topologique R des nombres réels. Donc T est un espace séparé et compact,
et le théorème 1.16 nous donne une bijection canonique [0, 1] ≃ Max C ([0, 1]).
Question (diﬃcile !) : l’anneau C ([0, 1]) a-t-il des idéaux premiers non maximaux ?
Exercice 1.18. Soient T et T ′ deux espaces topologiques, f : T → T ′ une application continue ; évidemment f induit un homomorphisme de R-algèbres
f ∗ : C (T ′ ) → C (T )
g 7→ g ◦ f.
Pour T et T ′ séparés et compacts, compléter la discussion de cette section de la
façon suivante. Soit ψ : C (T ′ ) → C (T ) un homomorphisme de R-algèbres.
(i) Montrer que ψ induit une application continue
Max ψ : (Max C (T ), TT,Zar ) → (Max C (T ′ ), TT ′ ,Zar )
m 7→ ψ −1 (m).
(ii) Montrer que l’on a un diagramme commutatif
/ T′
Max (f ∗ )
/ Max C (T ′ ).
φT ′
Max C (T )
Autrement dit, tout homomorphisme ψ de R-algèbres comme ci-dessus “provient
d’une (unique) application continue” d’espaces topologiques T → T ′ . Noter que,
d’autre part, tout homomorphisme d’anneaux qui provient de cette façon d’une
application continue T → T ′ est forcément unitaire ; donc, notre condition ψ(1) = 1
pour les homomorphismes d’anneaux, qui peut paraître anodine d’un point de vue
algébrique, en fait caractérise les homomorphismes “d’origine géométrique”.
1.3. Le spectre maximal est non vide. Le théorème 1.16 montre aussi trivialement que le spectre maximal de C (T ) est vide si et seulement si T = ∅, et cela
équivaut aussi à la condition C (T ) = 0 (il y a exactement une application de l’ensemble vide vers n’importe quel autre ensemble). En fait, il s’agit là d’une propriété
tout à fait générale : le spectre maximal de tout anneau A 6= 0 est non vide. Pour
la preuve, il nous faudra quelques notions standards de la théorie des ensembles.
Tout d’abord, on rappelle la déﬁnition suivante :
Définition 1.19. Un ensemble partiellement ordonné (E, ≤) est la donnée d’un
ensemble E et d’une relation d’ordre ≤ sur E, i.e. une relation binaire telle que :
— (reﬂexivité)
x ≤ x pour tout x ∈ E.
— (antisymétrie) x ≤ y et y ≤ x ⇒ x = y pour tout x, y ∈ E.
— (transitivité) x ≤ y et y ≤ z ⇒ x ≤ z pour tout x, y, z ∈ E.
On dit que (E, ≤) est un ensemble totalement ordonné, si la relation d’ordre ≤
satisfait aussi la condition suivante :
— pour tout x, y ∈ E on a soit x ≤ y, soit y ≤ x.
Un élément e ∈ E est dit maximal, si le seul élément e′ ∈ E avec e ≤ e′ est e.
Un morphisme d’ensembles partiellement ordonnés φ : (E, ≤) → (E ′ , ≤) est la
donnée d’une application d’ensembles φ : E → E ′ telle que
x ≤ y ⇒ φ(x) ≤ φ(y)
∀x, y ∈ E.
Remarque 1.20. Soit (E, ≤) un ensemble partiellement ordonné.
(i) Noter qu’un élément maximal e de E n’est pas forcément “le plus grand
élément de E”, c’est à dire on n’a pas nécessairement e′ ≤ e pour tout e′ ∈ E.
(ii) Si on “renverse la relation d’ordre” de E, on obtient un nouveau ensemble
partiellement ordonné (E op , ≤op ), tel que E op = E et
x ≤op y ⇔ y ≤ x
On appelle (E op , ≤op ) l’opposé de l’ensemble partiellement ordonné (E, ≤).
Lemme 1.21. (Zorn) Soit (E, ≤) un ensemble partiellement ordonné non vide,
vérifiant la condition suivante. Pour toute partie E ′ ⊂ E totalement ordonnée il
existe e ∈ E tel que e′ ≤ e pour tout e′ ∈ E ′ . Alors, E a un élément maximal. 
On n’essayera pas ici de démontrer le lemme de Zorn ; toute preuve de ce lemme
utilise une forme ou autre de l’axiome du choix, i.e. l’assertion suivante :
— Pour toute famille (Xi | i ∈ I) d’ensembles
Q non vides (indexés par un ensemble arbitraire I), le produit cartésien i∈I Xi est non vide.
Ce dernier est un axiome standard dans la plupart des théories axiomatiques des
ensembles d’usage courant ; mais dans ces théories, on peut aussi montrer que le
lemme de Zorn a en fait la même force que l’axiome du choix, i.e. dans la liste des
axiomes de la plupart des théories axiomatiques des ensembles, on peut remplacer
l’axiome du choix par l’énoncé du lemme de Zorn, et ainsi faisant on obtiendra
une théorie équivalente (l’axiome du choix deviendra un théorème dans ce nouveau
système axiomatique). Donc, on peut tout simplement décider que pour nous le
lemme de Zorn est un axiome.
On est maintenant prêt pour montrer le résultat annoncé :
Théorème 1.22. Pour tout anneau A 6= 0 on a Max A 6= ∅.
Démonstration. Soit E l’ensemble des idéaux I ⊂ A tels que 1 ∈
/ I. On munit E
de la relation d’ordre donné par l’inclusion : I ≤ J ⇔ I ⊂ J, for every I, J ∈ E. Si
(Iλ | λ ∈ Λ)
S est une famille totalement ordonnée d’éléments de E avec Λ 6= ∅, on
pose I := λ∈Λ Iλ ; on a I ∈ E et Iλ ≤ I pour tout λ ∈ Λ, donc le lemme de Zorn
nous assure que E admet un élément maximal. Mais évidemment, tout élément
maximal de E est un idéal maximal de A.
Corollaire 1.23. Soient A un anneau, I ⊂ A un idéal, et f ∈ A. On a :
(i) Si 1 ∈
/ I, il existe un idéal maximal de A qui contient I.
(ii) Si f ∈
/ A× , il existe un idéal maximal qui contient f .
Démonstration. (i) : On applique le théorème 1.22 à l’anneau A/I qui est non nul,
car 1 ∈
/ I. Si m est n’importe quel idéal maximal de A/I, l’image réciproque de m
dans A est un idéal maximal de A qui contient I (voir le lemme 1.4).
(ii) : Comme f ∈
/ A× , on a 1 ∈
/ J := Af , et l’on peut appliquer (i) avec I := J. 
1.3.1. Anneaux de type fini sur un corps. Les anneaux que l’on trouve dans l’étude
de la géométrie algébrique sont parmi les plus intéressants pour nous. Ils sont surtout des K-algèbres de présentation ﬁnie, avec K un corps arbitraire.
Pour simpliﬁer, on supposera ici que K soit algébriquement clos, et on considère
la K-algèbre A := K[X1 , . . . , Xn ]. Tout f ∈ A peut se voir comme une fonction
algébrique déﬁnie sur le K-espace aﬃne n-dimensionnel
f : Kn → K
(a1 , . . . , an ) 7→ f (a1 , . . . , an ).
Soit a := (a1 , . . . , an ) ∈ K ; on peut déﬁnir comme dans la section précédente :
ma := {f ∈ A | f (a) = 0}
et le même argument montre que ma est un idéal maximal de A. Un des théorèmes
importants que l’on démontrera dans ce cours est le Nullstellensatz de Hilbert, qui
est l’analogue algébrique suivant du théorème 1.16 :
Théorème 1.24. Avec les notations et hypothèses ci-dessus, l’application
K n → Max A
a 7→ ma
En particulier, cela donne une interpretation géométrique de l’ensemble Max A.
On peut se démander s’il y a une interpretation géométrique plus généralement
pour les idéaux premiers, ou même pour les idéaux tout court. Ci dessous je vais
expliquer à grandes lignes la situation générale : on y reviendra plus tard en détail.
Soit I ⊂ A := K[X1 , . . . , Xn ] un idéal ; on associe à I l’ensemble
V (I) := {a ∈ K n | f (a) = 0 ∀f ∈ I}.
D’autre part, à toute partie S ⊂ K n on peut associer l’idéal de A :
I(S) := {f ∈ A | f (a) = 0 ∀a ∈ S}.
Avec cette notation, on a l’identité suivante :
I(V (I)) = rad(I) := {f ∈ A | ∃n ∈ N tel que f n ∈ I}.
En particulier, la partie rad(I) est un idéal de A, appelé le radical de I. L’inclusion
rad(I) ⊂ I(V (I)) est triviale, car si f n (a) = 0 pour tout a ∈ V (I), on a évidemment
déjà f (a) = 0 pour tout a ∈ V (I). L’inclusion inverse est dure, et donne une forme
forte du Nullstellensatz.
Un sous-ensemble de K n du type V (I) pour un idéal I ⊂ A est dit algébrique.
Notons que si (fλ | λ ∈ Λ) est une famille de générateurs de l’idéal I, on a aussi
V (I) = {a ∈ K n | fλ (a) = 0 ∀λ ∈ Λ}.
En eﬀet, tout élément de I s’ecrit sous la forme g = λ∈Λ′ Pλ · fλ pour une partie
ﬁnie Λ′ ⊂ Λ et un système
P de polynômes (Pλ | λ ∈ Λ ), et si fλ (a) = 0 pour tout
λ ∈ Λ, on obtient g(a) = λ∈Λ′ Pλ (a) · fλ (a) = 0, i.e. a ∈ V (I).
On montrera aussi que tout idéal de A est engendré par un nombre fini de polynômes (il s’agit d’un autre théorème de Hilbert, appelé théorème de la base).
Donc, les sous-ensembles algébriques de K n sont précisément les parties qui peuvent
s’écrire comme lieux des zéros d’un nombre ﬁni de polynômes de A. Par ce qui précède, les sous-ensembles algébriques sont en bijections avec les les idéaux radicaux,
c’est à dire, les idéaux I ⊂ A tels que I = rad(I). Remarquons aussi que
rad(rad(I)) = rad(I)
pour tout idéal I ⊂ A
donc le radical de n’importe quel idéal est un idéal radical (exercice !). Quel est le
rôle des idéaux premiers dans cette description ? On verra que tout sous-ensemble
algébrique de K n peut se décomposer de façon unique comme réunion ﬁnie de sousensembles algébriques irréductibles : ces derniers sont les sous-ensembles algébriques
qui ne se décomposent davantage de cette façon. Or, l’idéal I(Z) d’un sous-ensemble
algébrique Z ⊂ K n est premier si et seulement si Z est irréductible.
Par analogie avec la situation topologique de la section 1.2, il convient d’introduire une topologie sur K n : les parties fermées sont les sous-ensembles algébriques.
Donc, les ouverts sont réunions ﬁnies de parties de la forme
D(f ) := {a ∈ K n | f (a) 6= 0}
∀f ∈ A
et les sous-ensembles algébriques irréductibles seront précisément les parties fermées
irréductibles de K n .
Exercice 1.25. Montrer que deux parties ouvertes non vides de K n ont toujours
une intersection non vide. Donc, en contraste avec le cas topologique, la topologie
de Zariski sur K n n’est pas séparée si n > 0.
Si maintenant A est un anneau arbitraire, on peut s’inspirer par ce qui précède
pour munir Max A d’une topologie de Zariski, engendrée par les parties
D(f ) := {m ∈ Max A | f ∈
/ m}
∀f ∈ A.
Comme ci-dessus, tout idéal I de A déﬁnit une partie fermée de Max A notée encore :
V (I) = {m ∈ Max A | I ⊂ m}
On a vu que cette topologie est, en général, non séparée ; d’autre part, on a :
Proposition 1.26. La topologie de Zariski de Max A est compacte.
Démonstration. Soit (Uλ | λ ∈ Λ) une famille de parties ouvertes de Max A dont
la réunionSest Max A. Il faut montrer qu’il existe une partie ﬁnie Λ′ ⊂ Λ telle que
Max A = λ∈Λ′ Uλ . Pour cela, on se ramène aisément au cas où, pour tout λ ∈ Λ
il existe fλ ∈ A tel que Uλ = D(fλ ). Donc, pour
P tout m ∈ Max A il existe λ ∈ Λ
tel que fλ ∈
/ m. On déduit que l’idéal I := λ∈Λ Afλ n’est contenu dans aucun
idéal maximal,
P et donc I = A, par le corollaire 1.23(i). D’où, une identité de la
forme 1 = λ∈Λ′ aλ fλ pour quelque partie ﬁnie Λ′ ⊂ Λ et un système d’éléments
(aλ | λ ∈ Λ′ ) de A. On voit aisément que ce Λ′ convient.
1.4. Le spectre premier. La discussion précédente s’applique aussi bien au spectre premier Spec A. En particulier, le théorème 1.22 implique trivialement que le
spectre premier d’un anneau A est vide si et seulement si A = 0. On a aussi une
topologie de Zariski sur Spec A, engendrée par les parties ouvertes de la forme
D(f ) := {p ∈ Spec A | f ∈
/ p}
pour tout f ∈ A
et la preuve de la proposition 1.26 montre aussi bien que la topologie de Zariski de
Spec A est compacte. Si l’on s’intéressait seulement aux anneaux de type ﬁni sur
un corps, on pourrait négliger le spectre premier, et ne considérer que le spectre
maximal, dont les points ont une interpretation géométrique directe, grâce au Nullstellensatz. Toutefois, même pour l’étude des variétés algébriques déﬁnies sur un
corps algébriquement clos K, on a souvent à faire avec des anneaux qui ne sont
pas des K-algèbres de type ﬁni, et pour manipuler des tels anneaux, le spectre
§ 1.4: Le spectre premier
premier resulte être un outil plus eﬃcace. Notamment, on peut remarquer que tout
homomorphisme d’anneaux f : A → B induit une application
Spec f : Spec B → Spec A
p 7→ f −1 p.
En eﬀet, si p ⊂ B est n’importe quel idéal, f induit un homomorphisme injectif
d’anneaux A/f −1 p → B/p ; or, si p est premier, B/p est intègre (voir le lemme 1.4),
donc A/f −1 p est intègre aussi (trivialement, un sous-anneau d’un anneau intègre
est intègre), ce qui montre que f −1 p est bien un idéal premier de A. De plus, on
voit aisément que pour tout a ∈ A on a l’identité :
(Spec f )−1 D(a) = D(f (a))
(exercice !) donc Spec f est une application continue de Spec B dans Spec A. Par
contre, l’image réciproque d’un idéal maximal de B n’est pas nécessairement un
idéal maximal de A (bien qu’il soit, bien entendu, un idéal premier de A) : e.g. soit
f : Z → Q l’inclusion naturelle ; l’idéal {0} est maximal dans Q, mais son image
réciproque f −1 (0) = {0} n’est pas maximale dans Z.
Remarque 1.27. (i) Soit A un anneau, I ⊂ A un idéal ; la projection canonique
π : A → A/I induit une application continue
Spec π : Spec A/I → Spec A.
Le lemme 1.4 nous dit que Spec π est injective, et son image est la partie fermée
V (I) := {p ∈ Spec A | I ⊂ p}. Plus précisément, la topologie de Zariski sur Spec A/I
coïncide avec la topologie induite par Spec A via l’application Spec π. En eﬀet, toute
partie ouverte de Spec A/I est réunion de parties de la forme D(ā), avec ā ∈ A/I
la classe d’un élément a ∈ A ; on voit aisément que D(ā) = (Spec π)−1 (D(a)), donc
toute partie ouverte U de Spec A/I est image réciproque d’une partie ouverte de
Spec A. Autrement dit, l’espace topologique Spec A/I s’identiﬁe canoniquement au
sous-espace fermé V (I) de Spec A.
(ii) Soit g : A → B un homomorphisme arbitraire d’anneaux, I ⊂ A un idéal ;
on dénote par IB ⊂ B l’idéal engendré par la partie g(I), et par ḡ : A/I → B/IB
l’homomorphisme d’anneaux induit par g de la façon évidente. Noter que
V (IB) = {p ∈ Spec B | f (I) ⊂ p} = (Spec g)−1 V (I)
et l’homéomorphisme canonique V (IB) → Spec B/IB de (i) identiﬁe aussi Spec ḡ :
Spec B/IB → Spec A/I à la restriction V (IB) → V (I) de Spec g.
(iii) On a vu que g n’induit pas en général une application
Max g : Max B → Max A.
Toutefois, si g est surjective, Max g existe : en eﬀet, dans ce cas l’image réciproque g −1 m d’un idéal maximal de B est bien un idéal maximal de A, car l’application induite A/g −1 m → B/m est bijective, donc A/g −1 m est un corps si et
seulement si B/m est un corps (proposition 1.3(ii)). En raisonnant comme dans
(i), on voit aisément que dans ce cas Max g identiﬁe Max B au sous-espace fermé
{m ∈ Max A | g −1 (0) ⊂ m} de Max A : les détails seront laissés aux soins du lecteur.
Exercice 1.28. (i) Déterminer Spec Z (avec sa topologie).
(ii) Soit K un corps algébriquement clos. Donner une description de l’espace
topologique Spec K[T ].
(iii) Plus généralement, décrire Spec K[T ] si K est un corps parfait.
(iv) Soit K un corps, E une extension algébrique purement inséparable de K.
Montrer que l’inclusion i : K[T ] → E[T ] induit un homéomorphisme
Spec i : Spec E[T ] → Spec K[T ].
Exercice 1.29. Soit K un corps algébriquement clos, et
f : K[X1 , . . . , Xn ] → K[Y1 , . . . , Ym ]
un homomorphisme de K-algèbres. Donc f (a) = a pour toute constante a ∈ K, et
f est déterminé par les polynômes
Pi (Y1 , . . . , Ym ) := f (Xi )
(i) Montrer que, malgré la discussion précédente, l’application Spec f se restreint
en une application
m 7→ f −1 m.
Max f : Max K[Y1 , . . . , Ym ] → Max K[X1 , . . . , Xn ]
(ii) Les identiﬁcations K n ≃ Max K[X1 , . . . , Xn ] et K m ≃ Max K[Y1 , . . . , Ym ] données par le Nullstellensatz permettent d’interpréter Max f comme une application
φ : K m → K n . Montrer que
φ(a) = (P1 (a), . . . , Pn (a))
∀a := (a1 , . . . , am ) ∈ K m .
Définition 1.30. (i) Soit A un anneau. Les idéaux
J (A) :=
N (A) :=
m∈Max A
p∈Spec A
sont appelés respectivement le radical de Jacobson et le radical nilpotent (ou nilradical ) de A. (Si A = {0}, on pose J (A) = N (A) = {0}.)
(ii) On dit que A est réduit si N (A) = 0.
Exemple 1.31. Si A = C (T ) avec T un espace topologique compact et séparé,
le théorème 1.16 montre qu’un élément f ∈ A appartient à J (A) si et seulement
si f (t) = 0 pour tout t ∈ T , i.e. si et seulement si f = 0, donc J (A) = 0 (et a
fortiori, aussi N (A) = 0).
On a les caractérisations générales suivantes :
Théorème 1.32. Soit A 6= 0 un anneau, f ∈ A un élément. Alors :
(i) f ∈ J (A) si et seulement si 1 − af ∈ A× pour tout a ∈ A.
(ii) N (A) est l’ensemble des éléments nilpotents de A.
Démonstration. (i) : Si f ∈ J (A) et a ∈ A, l’élément 1 − af n’est contenu dans
aucun idéal maximal (car si m ∈ Max A et 1 − af ∈ m, on aurait 1 = (1 − af )+ af ∈
m, ce qui est absurde). Par le corollaire 1.23(ii) on déduit que 1 − af est inversible.
D’autre part, supposons que m soit un idéal maximal et f ∈ A un élément qui
n’appartient pas à m ; donc la classe f¯ ∈ A/m est 6= 0, et comme A/m est un corps
(proposition 1.3(ii)), il existe a ∈ A dont la classe ā ∈ A/m satisfait f¯ · ā = 1̄. Cela
veut dire que 1 − af ∈ m, en particulier, 1 − af n’est pas inversible dans A.
(ii) : Si f ∈ A est un élément nilpotent, il existe n ∈ N tel que f n = 0, donc
f ∈ p pour tout idéal premier p de A, d’où f ∈ p aussi.
D’autre part, supposons que f ∈ A ne soit pas nilpotent, et notons
Sf := {f n | n ∈ N}.
Soit E l’ensemble des idéaux I ⊂ A tels que I ∩ Sf = ∅. On munit E de la relation
d’ordre donnée par inclusion d’idéaux. Comme 0 ∈
/ Sf , on a {0} ∈ E, donc E 6= ∅.
Si (Iλ |S
λ ∈ Λ) est une famille totalement ordonnée d’éléments de E avec Λ 6= ∅,
l’idéal λ∈Λ Iλ est aussi un élément de E. Par le lemme de Zorn, on déduit que
E possède un élément maximal I. Montrons que I est un idéal premier de A. En
eﬀet, soient x, y ∈ A \ I ; par maximalité de I on a I + Ax, I + Ay ∈
/ E, i.e. il
existe n, m ∈ N, a, a′ ∈ A et b, b′ ∈ I tels que f n = ax + b, f m = a′ y + b′ . Donc,
f m+n = aa′ xy + axb′ + ba′ y + bb′ ∈
/ I . Il s’ensuit que aa′ xy ∈
/ I, et alors xy ∈
d’où l’assertion. Par construction, f ∈
/ I, et on conclut que f ∈
/ N (A).
§ 1.5: Le langage catégoriel
Corollaire 1.33. Soit A un anneau, I ⊂ A un idéal, et π : A → A/I la projection
canonique. Alors on a :
(i) L’application induite Spec π : Spec A/I → Spec A est un homéomorphisme si
et seulement si I ⊂ N (A).
(ii) L’application induite Max π : Max A/I → Max A est un homéomorphisme si
et seulement si I ⊂ J (A).
Démonstration. Cela découle aussitôt de la remarque 1.27(i,iii).
Exercice 1.34. Soit A un anneau, n ∈ N un entier.
(i) Soit aussi P (T ) := a0 + a1 T + · · · + ak T k ∈ A[T ] un polynôme. Montrer que P
est inversible dans A[T ] si et seulement si a0 ∈ A× et a1 , . . . , ak ∈ N (A).
(ii) Pour tout idéal I ⊂ A, soit I[T1 , . . . , Tn ] := I · A[T1 , . . . , Tn ]. Déduire de (i) que
J (A[T1 , . . . , Tn ]) = N (A[T1 , . . . , Tn ]) = N (A)[T1 , . . . , Tn ].
Donc, J (A[T1 , . . . , Tn ]) = 0 si N (A) = 0 (voir aussi les exercices 6.23 et 6.88).
1.5. Le langage catégoriel. Bien que la théorie des catégories soit un domaine
autonome des mathématiques, avec des théorèmes profonds et sa provision de problèmes ouverts qui alimentent une recherche vive, le but primaire de cette section
n’est pas de démontrer des résultats nouveaux, mais plutôt de nous doter d’un
langage très souple et pratique, qui gagnera des économies importantes pour notre
exposition, et nous permettra parfois de déceler des correspondances remarquables
entre objets algébriques divers, qui resteraient autrement cachées, faute d’un vocabulaire adéquat pour les exprimer.
1.5.1. Catégories. Tout d’abord, une catégorie C est la donnée de :
— un ensemble Ob(C ) dont les éléments sont appelés les objets de C
— pour tout X, Y ∈ Ob(C ), un ensemble C (X, Y ) dont les éléments sont appelés
les morphismes de X vers Y ; un morphisme f ∈ C (X, Y ) est noté par une
ﬂèche f : X → Y , et on dit que X est la source et Y le but de f
— pour tout X, Y, Z ∈ Ob(C ), une application
C (X, Y ) × C (Y, Z) → C (X, Z)
(f, g) 7→ g ◦ f
appelé loi de composition de C .
Cette donnée doit remplir les conditions suivantes :
— pour tout X ∈ Ob(C ) il existe un morphisme identique 1X : X → X qui est
neutre par la composition, i.e. tel que
1X ◦ f = f
g ◦ 1X = g
∀Y ∈ Ob(C ), ∀f ∈ C (Y, X), ∀g ∈ C (X, Y )
(évidemment, ces identités déterminent 1X parmi les éléments de C (X, X))
— la composition est associative, i.e. pour tout X, Y, Z, W ∈ Ob(C ) on a
∀f : X → Y, ∀g : Y → Z, ∀h : Z → W.
Exemple 1.35. Voici quelques exemples de catégories :
(i) La catégorie Ens des ensembles a pour objets tous les ensembles, et les morphismes sont les applications ensemblistes. Evidemment, le morphisme identique
d’un ensemble X est l’identité usuelle de X.
(ii) Les espaces topologiques sont les objets d’une catégorie
dont les morphismes sont les applications continues.
(iii) Les anneaux (resp. les groupes abéliens) sont les objets d’une catégorie,
dont les morphismes sont les homomorphismes d’anneaux (resp. de groupes).
(iv) Soit A un anneau. Les A-algèbres (resp. les A-modules) sont les objets d’une
A − Alg
(resp. A − Mod)
dont les morphismes sont les homomorphismes de A-algèbres (resp. de A-modules).
Pour A = Z on retrouve essentiellement les catégories de (iii) : en eﬀet, la donnée
d’une Z-algèbre est équivalente à celle d’un anneau (voir la remarque 1.2(i)), et
un Z-module n’est rien d’autre qu’un groupe abélien. Donc dans la suite on notera
Z−Alg et Z−Mod les catégories des anneaux et respectivement des groupes abéliens.
(v) Les ensembles partiellement ordonnés sont les objets d’une catégorie
avec les morphismes donnés par la déﬁnition 1.19.
(vi) On peut associer à tout ensemble S une catégorie CS dont les objets sont les
éléments de S, avec les morphismes déﬁnis de la façon suivante. Pour tout x ∈ S, il
existe un unique morphisme x → x (il doit donc être le morphisme identique 1x ) et
si x, y ∈ S sont deux éléments distincts, on a CS (x, y) = ∅. On voit trivialement que
pour tout x, y, z ∈ S il existe une application unique CS (x, y)×CS (y, z) → CS (x, z),
et le système de ces applications fournit une loi de composition qui fait de CS une
catégorie. Une catégorie de cette forme est appelée discrète. Donc, une catégorie
est discrète si et seulement si tous ses morphismes sont identiques.
(vii) On peut associer à tout ensemble partiellement ordonné (E, ≤) une catégorie CE , dont les objets sont les éléments de E, et dont les morphismes sont
déﬁnis de la façon suivante. Pour tout x, y ∈ E l’ensemble CE (x, y) est vide, sauf si
x ≤ y, auquel cas il contient un unique morphisme φx,y : x → y (et donc φx,x = 1x
pour tout x ∈ E) ; autrement dit, les morphismes de CE sont les couples (x, y)
d’éléments de E avec x ≤ y. Comme dans (vi) ci-dessus, on voit aisément que pour
tout x, y, z ∈ E il existe une unique application CE (x, y) × CE (y, z) → CE (x, z), et
le système de ces applications forme une loi de composition pour la catégorie CE .
Remarque 1.36. (i) Il est bien connu que lorsqu’on essaie de manipuler naivement
des collections “très grosses”, comme par exemple “l’ensemble de tous les ensembles”, on frôle inévitablement des paradoxes logiques ; pour s’en sortir, les théories
axiomatiques des ensembles imposent des bornes à la taille des ensembles que l’on
peut former légitimement : par exemple, certains cadres axiomatiques introduisent
une distinction entre classes et ensembles, et la collection de tous les ensembles est
alors une classe (et non pas un ensemble) ; d’autres encore postulent une hiérarchie
croissante d’ensembles “très gros” appelés univers : si on adopte cette croyance, on
imagine toujours de travailler à l’interieur d’un univers ﬁxé, tenant lieu d’ensemble
de tous les ensembles, mais qui n’est, à son tour, qu’un élément d’un univers encore plus grand. Il s’ensuit que, aﬁn de justiﬁer pleinement notre exemple 1.35(i),
il faudrait, soit modiﬁer la déﬁnition de catégorie : dans ce cas, on dira plutôt que
Ob(C ) est une classe ; soit préciser que l’on considère l’ensemble de tous les ensembles contenus dans un univers ﬁxé. Des remarques analogues s’appliquent aux
cas (ii), (iii), (iv) et (v) de l’exemple 1.35.
(ii) Un moment de reﬂexion suﬃt pour constater que la structure de catégorie est
parmi les plus répandues : on pourrait évidemment prolonger la liste de l’exemple
1.35 ad infinitum, parcourant pratiquement tous les champs des mathématiques.
En raison de cette ubiquité, la théorie des catégories a même été proposée comme
base d’une nouvelle réorganisation conceptuelle des fondements des mathématiques,
alternative à la théorie des ensembles : notablement, les paradoxes auxquels on
fait allusion dans (i) ci-dessus disparaissent dans un contexte purement catégoriel,
essentiellement car la relation “X est un objet de la catégorie C ” n’a pas le même
statut logique que la relation “X est un élément de l’ensemble C ” : voir [19, Chap.8].
Rappelons que à tout ensemble partiellement ordonné (E, ≤) on a associé son opposé (E op , ≤op ) (voir la remarque 1.20(ii)) ; on en déduit une catégorie CE op que
l’on peut décrire directement à partir de CE : il s’agit de la catégorie qui a les
mêmes objets que CE , mais dont tous les morphismes “changent de direction”. Il
s’agit d’un cas particulier d’une construction tout à fait générale : si C est une
catégorie arbitraire, on obtient une catégorie opposée
dont les objets sont les objets de C , et avec C op (X, Y ) := C (Y, X) pour tout
X, Y ∈ Ob(C ). Si X est un objet de C , on peut utiliser la notation X op pour signaler
que l’on regarde X comme un élément de Ob(C op ) ; de même, tout morphisme
f : X → Y de C correspond à un morphisme f op : Y op → X op de C op , et la loi de
composition de C op est déterminée par l’identité :
f op ◦ g op := (g ◦ f )op
∀f : X → Y, ∀g : Y → Z dans C .
En particulier, noter que 1X op = (1X )op pour tout X ∈ Ob(C ). Avec cette terminologie, on voit que CEop = CE op pour tout ensemble partiellement ordonné (E, ≤).
Définition 1.37. (i) Souvent on sélectionne des objets et/ou des morphismes d’une
catégorie donnée C pour déﬁnir une nouvelle catégorie : on dit qu’un catégorie D
est une sous-catégorie de C si
Ob(D) ⊂ Ob(C )
D(X, Y ) ⊂ C (X, Y ) ∀X, Y ∈ Ob(D)
et la loi de composition de D est la restriction de celle de C .
(ii) Si de plus on a D(X, Y ) = C (X, Y ) pour tout X, Y ∈ Ob(D), on dit que D
est une sous-catégorie pleine de C .
Exemple 1.38. (i) Evidemment, pour spéciﬁer une sous-catégorie pleine de C il
suﬃra d’indiquer l’ensemble de ses objets, et à toute partie de Ob(C ) correspond
une et une seule sous-catégorie pleine de C .
(ii) Un exemple de sous-catégorie non pleine de Ens est la catégorie
dont les objets sont les ensembles, et les morphismes sont les applications injectives.
(iii) Si S est un ensemble, et S ′ ⊂ S une partie, évidemment CS ′ est une souscatégorie pleine de CS (notation de l’exemple 1.35(vi)).
(iv) De même, si (E, ≤) est un ensemble partiellement ordonné, et E ′ ⊂ E une
partie, on peut munir E ′ de l’ordre partiel induit par celui de E, et évidemment
CE ′ est une sous-catégorie pleine de CE (notation de l’exemple 1.35(vii)).
1.5.2. Isomorphismes, monomorphismes, épimorphismes. Soit C une catégorie, et
f : X → Y un morphisme de C ; il est naturel d’appeler f un isomorphisme de C ,
s’il existe des morphismes g, h : Y → X tels que
g ◦ f = 1X
f ◦ h = 1Y .
Par exemple, évidemment, les isomorphismes de la catégorie Ens sont les applications bijectives, et ceux de la catégorie Top sont les homéomorphismes. Tout
morphisme identique de C est trivialement un isomorphisme, et en particulier tout
morphisme de la catégorie CS de l’exemple 1.35(vi) est trivialement un isomorphisme. De même, en raison de la propriété antisymétrique des relations d’ordre,
les seuls isomorphismes de la catégorie CE de l’exemple 1.35(vii) sont les morphismes identiques. La notion d’isomorphisme est ainsi le premier exemple d’un
concept purement catégoriel, car il peut s’exprimer avec le langage des morphismes
et des lois de composition, et les propriétés des isomorphismes qui peuvent se déduire à partir des axiomes énoncés ci-dessus pour les lois de composition sont alors
vraies dans toute catégorie. Par exemple, montrons que si f est un isomorphisme,
on a g = h dans (∗) ; en eﬀet, on peut calculer :
g = g ◦ 1Y = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f ) ◦ h = 1X ◦ h = h.
Remarquons aussi que dans la catégorie Ens, l’existence d’une inverse à gauche g
(resp. à droite h) pour f est équivalente à l’injectivité (resp. la surjectivité) de f ;
d’autre part, dans la catégorie Top il existe des applications injectives qui n’admettent aucune inverse (continue) à gauche. On peut alors se demander si l’injectivité est une propriété catégorielle des morphismes de la catégorie Top. Autrement
dit, est-il possible caractériser les applications continues injectives d’espaces topologiques avec le langage des morphismes et composition de morphismes ? La réponse
est fournie par la première partie de la déﬁnition suivante.
Définition 1.39. Soit C une catégorie, f : X → Y un morphisme de C .
— On dit que f est un monomorphisme, si pour tout objet Z de C , l’application
C (Z, X) → C (Z, Y )
(h : Z → X) 7→ (f ◦ h : Z → Y )
C (Y, Z) → C (X, Z)
(g : Y → Z) 7→ (g ◦ f : X → Z)
— On dit que f est un épimorphisme, si pour tout objet Z de C , l’application
Exercice 1.40. (i) Avec la notation de la déﬁnition 1.39, montrer que si f admet
une inverse à gauche (resp. à droite), alors f est un monomorphisme (resp. un
épimorphisme).
(ii) Montrer que les monomorphismes de la catégorie Ens (resp. Top) sont les
applications injectives (resp. les applications continues injectives).
(iii) Montrer que les épimorphismes de la catégorie Ens (resp. Top) sont les
applications surjectives (resp. les applications continues surjectives).
(iv) On dit qu’un espace topologique est complètement régulier, s’il est séparé,
et pour toute partie fermée Z et tout t ∈ T \ Z il existe une fonction continue
f : T → [0, 1] telle que f (Z) = 0 et f (t) = 1. Par exemple, d’après le lemme de
Urysohn et l’exercice 1.14(v), tout espace compact et séparé, et plus généralement,
tout espace normal est complètement régulier. Notons par
la sous-catégorie pleine de Top dont les objets sont les espaces topologiques complètement réguliers. Montrer que les épimorphismes de crTop sont les applications
continues f : X → Y telles que f (X) est une partie dense de Y .
(v) Soit A un anneau. Montrer que les monomorphismes de la catégorie A −
Alg (resp. A − Mod) sont les homomorphismes injectifs de A-algèbres (resp. les
homomorphismes injectifs de A-modules). Montrer aussi que les épimorphismes de
A − Mod sont les homomorphismes surjectifs de A-modules.
Remarque 1.41. (i) D’autre part, on trouvera dans la leçon suivante des homomorphismes non surjectifs de A-algèbres qui sont des épimorphismes de A − Alg.
(ii) Noter que tout morphisme de la catégorie CE de l’exemple 1.35(vii) est à la
fois un monomorphisme et un épimorphisme.
(iii) Noter aussi qu’un morphisme f d’une catégorie C est un monomorphisme si
et seulement si f op est un épimorphisme de la catégorie C op : c’est une illustration
d’un principe général de la théorie des catégories : tout concept (et tout théorème)
catégoriel admet un dual, obtenu simplement renversant les directions des ﬂèches.
(iv) Comme déjà vu pour les isomorphismes, on peut déduire certaines propriétés
des monomorphismes et épimorphismes à partir des axiomes catégoriels, et ces
propriétés sont alors valables dans toute catégorie. Une telle propriété est donnée
par l’exercice 1.40(i) ; un autre exemple est l’observation que la composition de
deux monomorphismes f : X → Y et g : Y → Z est toujours un monomorphisme
g ◦ f . De même pour la composition d’épimorphismes ; d’ailleurs, l’assertion pour
les épimorphismes découle de celle pour les monomorphismes, grâce au principe de
dualité signalé en (iii) ci-dessus.
1.5.3. Foncteurs. L’ensemble (ou la classe : voir la remarque 1.36(i)) des tous les
catégories est elle aussi une catégorie ! Si C et C ′ sont deux catégories, un morphisme F : C → C ′ est appelé traditionellement un foncteur de C dans C ′ . Ce
dernier est la donnée de :
— une application F : Ob(C ) → Ob(C ′ )
— pour tout X, Y ∈ Ob(C ) une application FXY : C (X, Y ) → C ′ (F X, F Y )
soumise aux conditions suivantes :
— pour tout X ∈ Ob(C ) on a FXX (1X ) = 1F X
— pour tout X, Y, Z ∈ Ob(C ) et tout f ∈ C (X, Y ), g ∈ C (Y, Z) on a
FY Z (g) ◦ FXY (f ) = FXZ (g ◦ f ).
On dit que F est fidèle (resp. plein) si FXY est une injection (resp. une surjection)
pour tout X, Y ∈ Ob(C ). Dans la suite, on omettra généralement le souscrit dans
la notation FXY , et on écrira plus simplement F f pour tout morphisme f de C .
Exemple 1.42. Voici quelques exemples de foncteurs :
(i) Toute catégorie C admet un foncteur identique 1C : C → C , tel que 1C X :=
X et 1C f := f pour tout objet X et tout morphisme f de C . Notons aussi que si
F : C → C ′ et G : C ′ → C ′′ sont deux foncteurs, on obtient une composition
G◦F : C → C ′′
X 7→ G(F X)
(f : X → Y ) 7→ (G(F f ) : G(F X) → G(F Y ))
et cette loi de composition est évidemment associative. Cela justiﬁe notre assertion ci-dessus sur l’existence de la catégorie des catégories (on glissera ici sur les
diﬃcultés logiques qu’une telle construction entraîne : brièvement, la catégorie des
catégories contenues dans un univers ﬁxé U ne sera pas un élément de U , mais il
faudra la placer dans un univers plus gros...).
(ii) Soit A un anneau. A tout ensemble Λ on a associé le A-module libre A(Λ)
(voir l’exemple 1.5(iv)) ; on peut prolonger cette association en un foncteur ﬁdèle
A(−) : Ens → A − Mod
Λ 7→ A(Λ) .
Pour cela, on doit associer à toute application φ : Λ → Λ′ une application A-linéaire
A(φ) : A(Λ) → A(Λ ) , de telle façon que A(1Λ ) = 1A(Λ) pour tout ensemble Λ, et
A(φ ) ◦ A(φ) = A(φ ◦φ) pour toutes applications φ : Λ → Λ′ et φ′ : Λ′ → Λ′′ . Soient
(eλ | λ ∈ Λ) et (e′λ′ | λ′ ∈ Λ′ ) les bases canoniques de A(Λ) et respectivement A(Λ ) ;
pour déﬁnir A(φ) il suﬃt d’expliciter les images des eλ , et on pose
A(φ) (eλ ) := e′φ(λ)
∀λ ∈ Λ.
Avec cette déﬁnition, les conditions requises sont trivialement vériﬁées.
(iii) D’autre part, on a aussi associé à chaque ensemble Λ le produit direct AΛ ,
mais on ne peut pas prolonger fonctoriellement cette association sur la catégorie
des ensembles (du moins, il n’y a aucune façon naturelle ou simple pour obtenir un
tel prolongement). Toutefois, on peut déﬁnir un foncteur ﬁdèle
A− : injEns → A − Mod
Λ 7→ AΛ
(notation de l’exemple 1.38(ii)). En eﬀet, à toute application injective φ : Λ → Λ′
on associe l’application A-linéaire
Aφ : AΛ → AΛ
(aλ | λ ∈ Λ) 7→ (a′λ′ | λ′ ∈ Λ′ )
où a′φ(λ) := aλ pour tout λ ∈ Λ, et a′λ′ := 0, si λ′ ∈
/ φ(Λ).
(iv) A toute application d’ensembles φ : S → S ′ on peut associer un foncteur
Cφ : CS → CS ′ (notation de l’exemple 1.35(vi)). Pour cela, on pose Cφ (x) := φ(x)
et évidemment C (1x ) := 1φ(x) pour tout x ∈ S = Ob(CS ).
(v) De même, à tout morphisme φ : (E, ≤) → (E ′ , ≤) d’ensembles partiellement
ordonnés on peut associer un foncteur Cφ : CE → CE ′ tel que Cφ (x) := φ(x) pour
tout x ∈ E, et Cφ (x → y) := (φ(x) → φ(y)) pour tout x, y ∈ E avec x ≤ y (notation
de l’exemple 1.35(vii)).
(vi) A tout espace topologique T on a associé l’anneau C (T ) des fonctions
continues sur T à valeurs réels, et à toute application continue f : T → T ′ on a
associé aussi un homomorphisme d’anneaux, mais dont la direction est renversée,
car f ∗ est plutôt une application C (T ′ ) → C (T ) : voir l’exercice 1.18. De plus,
on vériﬁe aisément que (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ si f : T → T ′ et g : T ′ → T ′′ sont
deux applications continues arbitraires. On voit alors que l’on peut interpréter les
associations T 7→ C (T ) et f 7→ f ∗ comme la donnée d’un foncteur
Topop → R − Alg.
En général, si C et D sont deux catégories, un foncteur C op → D est aussi appelé
un foncteur contravariant de C dans D. (Noter que décider si un foncteur soit
contravariant est surtout une question de perspective : car (C op )op = C , donc tout
foncteur C → D peut se voir comme un foncteur contravariant de C op dans D.)
(vii) Notons csTop la sous-catégorie pleine de Top dont les objets sont les espaces
topologiques compacts et séparés. On obtient un foncteur
csTopop → R − Alg
par restriction du foncteur de (vi), et l’exercice 1.18(ii) nous dit que ce foncteur est
plein et ﬁdèle.
(viii) A tout anneau A on a associé l’espace topologique Spec A, et à tout
homomorphisme d’anneau f : A → B on a associé l’application continue Specf :
Spec B → Spec A (voir la section 1.4) ; on a donc un foncteur
Spec : Z − Algop → Top.
(ix) D’autre part, on a remarqué que l’association A 7→ Max A n’est pas fonctorielle sur toute la catégorie des anneaux. Néanmoins, le spectre maximal donne un
foncteur contravariant sur :
— la sous-catégorie pleine de K − Alg dont les objets sont les K-algèbres de type
ﬁni, pour tout corps K algébriquement clos (voir l’exercice 1.29(i))
— la sous-catégorie de Z − Alg dont les objets sont tous les anneaux, et les morphismes sont les homomorphismes surjectifs d’anneaux (remarque 1.27(iii)).
Remarque 1.43. Soit F : C → C ′ un foncteur.
(i) Si on inverse la direction des ﬂèches de C et C ′ , on obtient le foncteur opposé
F op : C op → C ′op
X op 7→ (F X)op
tel que F op (f op ) := (F f )op pour tout morphisme f de C .
(ii) Evidemment, F est un isomorphisme de catégories si et seulement si l’application correspondante Ob(C ) → Ob(C ′ ) est bijective, et FXY est une bijection pour
tout X, Y ∈ Ob(C ). Toutefois, dans des nombreuses situations – surtout quand il
s’agit de “grosses” catégories comme Ens ou Top – cette condition est trop restrictive
pour être utile ; la notion vraiment intéressante est son assouplissement suivant :
Définition 1.44. Soient C et C ′ deux catégories.
(i) On dit qu’un foncteur F : C → C ′ est une équivalence s’il est plein et ﬁdèle,
et pour tout X ′ ∈ Ob(C ′ ) il existe X ∈ Ob(C ) et un isomorphisme F X → X ′ .
(ii) On dit que C est équivalente à C s’il existe une équivalence C → C ′ .
Noter que l’application Ob(C ) → Ob(C ′ ) correspondante à une équivalence
C → C ′ n’est pas forcément injective, ni surjective ; néanmoins, pour plusieurs
questions l’existence d’une équivalence de C vers C ′ rend ces catégories virtuellement interchangeables ; par exemple, on a :
Exercice 1.45. (i) Soit F : C → C ′ un foncteur, f : X → Y un morphisme de C .
Montrer les assertion suivantes :
(a) Si F est plein et ﬁdèle, alors f est un isomorphisme de C si et seulement si
F f est un isomorphisme de C ′ .
(b) Si F est une équivalence, alors f est un monomorphisme (resp. un epimorphisme) si et seulement si F f jouit de la même propriété.
(ii) Soient F : C → C ′ et G : C ′ → C ′′ deux équivalences de catégories. Montrer
que G ◦ F : C → C ′′ est une équivalence.
Exemple 1.46. Soit A un anneau ; pour tout A-module M , le dual de M est le
A-module des formes A-linéaires M → A, noté
M ∨ := HomA (M, A).
Toute application A-linéaire f : M → N induit un homomorphisme transposé
f∨ : M∨ → N∨
φ◦f
→ A) 7→ (M −−→ A).
Evidemment (IdM )∨ = IdM ∨ pour tout A-module M , et (g ◦ f )∨ = f ∨ ◦ g ∨ pour
toute couple d’applications A-linéaires f : M → N et g : N → P . On a donc un
foncteur contravariant bien déﬁni
(−)∨ : (A − Mod)op → A − Mod.
Notons aussi A − Modltf la sous-catégorie pleine de A − Mod dont les objets sont les
A-modules libres de type ﬁni. Si L est un A-module libre de rang r ∈ N, le dual L∨
est aussi libre de rang r : en eﬀet, toute base e1 , . . . , er de L induit une base duale
e∗1 , . . . , e∗r de L∨ telle que e∗i (ei ) = 1 et e∗i (ej ) = 0 pour tout i 6= j (les vériﬁcations
sont laissées aux soins du lecteur) ; i.e. (−)∨ induit par restriction un foncteur
(−)∨ : (A − Modltf)op → A − Modltf.
Montrons que ce dernier est une équivalence. En eﬀet, évidemment tout A-module
libre L de rang ﬁni est isomorphe à L∨ ; l’assertion revient donc à voir que pour
tout A-module libre L et L′ de rang ﬁni on a un isomorphisme :
HomA (L, L′ ) → HomA (L′∨ , L∨ )
f 7→ f ∨
Pour cela, ﬁxons des bases e1 , . . . , er et e′1 , . . . , e′s de L et respectivement L′ ; la
donnée d’une application A-linéaire f : L → L′ est équivalente à celle de la matrice
(aji | i = 1, . . . , r; j = 1, . . . , s)
aji e′j
∀i ≤ r.
et f ∨ correspond
à la matrice transposée (aij | j = 1, . . . , s; i = 1, . . . , r), i.e.
f ∨ (e′∗ j ) = i=1 aij e∗i pour tout j = 1, . . . , s. L’assertion s’ensuit aussitôt. Dans cet
exemple, le foncteur (−)∨ est donné par une application injective et non surjective
Ob((A − Modltf)op ) → Ob(A − Modltf).
1.5.4. Transformations naturelles. Si C , C ′ sont deux catégories, l’ensemble des
foncteurs de C dans C ′ est à son tour une catégorie. En eﬀet, si F, G : C → C ′
sont deux foncteurs, une transformation naturelle de F dans G, notée
✤✤ ✤✤ ω ' ′
 8C
ω:F →G
est la donnée d’un système de morphismes de la catégorie C ′
ωX : F X → GX
∀X ∈ Ob(C )
tels que pour tout morphisme f : X → Y de C , on a un diagramme commutatif
/ GY.
Remarque 1.47. (i) Tout foncteur F : C → C ′ admet une transformation identique
1F : F → F
X 7→ 1F X
∀X ∈ Ob(C ).
(ii) Les transformations naturelles peuvent être composées : si H : C → C ′ est un
autre foncteur, et τ : G → H une autre transformation naturelle, on déﬁnit
τ ◦ω :F →H
X 7→ (τX ◦ ωX : F X → HX).
(iii) Un isomorphisme de foncteurs est bien sur une transformation naturelle ω
inversible à gauche et à droite ; cela revient à dire que ωX est un isomorphisme pour
tout X ∈ Ob(C ) : en eﬀet, dans ce cas on obtient une transformation réciproque
ω −1 : G → F
X 7→ (ωX )−1 : GX → F X
et évidemment ω −1 ◦ ω = 1F , ω ◦ ω −1 = 1G . On notera
Fun(C , C ′ )
respectivement la catégorie des catégories, la catégorie des foncteurs C → C ′ et
l’ensemble des transformations naturelles F → G. Donc, C , C ′ ∈ Ob(Cat), et on
a Cat(C , C ′ ) := Ob(Fun(C , C ′ )), et pour tout F, G ∈ Ob(Fun(C , C ′ )), l’ensemble
Nat(F, G) est aussi l’ensemble des morphismes F → G dans la catégorie Fun(C , C ′ ).
(iv) Noter aussi que si ω : F → G est une transformation naturelle, en renversant
la direction des ﬂèches l’on obtient une transformation opposée
ω op : Gop → F op
X op 7→ (ωX
: (GX)op → (F X)op ).
Exemple 1.48. (i) Soit C une catégorie, et on dénote
E(C ) := Nat(1C , 1C )
i.e. l’ensemble des endomorphismes du foncteur identique de C . Munissons E(C )
de l’opération E(C ) × E(C ) → E(C ) donnée par composition d’endomorphismes.
Cette opération est associative, et admet un élément neutre : l’endomorphisme
identique de 1C ; de plus, cette opération est commutative, car si η, η ′ ∈ E(C ), on
a par déﬁnition f ◦ ηX = ηY ◦ f pour tout morphisme f : X → Y de C , et si on
choisit f := ηX
: X → X on trouve η ′ ◦ η = η ◦ η ′ . Donc (E(C ), ◦) est un monoïde
commutatif. La partie E(C )× des automorphismes de 1C est un groupe abélien.
(ii) Si on prend C = A − Mod pour un anneau donné A, on peut aussi déﬁnir
une loi d’addition sur E(A − Mod) : en eﬀet, si η, η ′ ∈ E(A − Mod), on obtient une
transformation naturelle η + η ′ : 1A−Mod → 1A−Mod en posant
(η + η ′ )M := ηM + ηM
∀M ∈ Ob(A − Mod)
(détails laissés aux soins du lecteur). On vériﬁe aisément que (E(A − Mod), ◦, +)
est un anneau (commutatif et associatif).
(iii) De plus, il existe un isomorphisme canonique d’anneaux
ω : A → E(A − Mod).
Donc, l’anneau A peut être reconstitué à partir de la catégorie des A-modules. En
eﬀet, à tout a ∈ A on peut associer la tranformation naturelle ωa ∈ E(A − Mod)
telle que ωa,M := a·IdM pour tout A-module M . Soit maintenant η ∈ E(A−Mod) ;
alors il existe un élément a ∈ A unique tel que ηA = a · IdA , et il suﬃt de montrer
que η = ωa . Pour cela, soit M un A-module, et x ∈ M un élément ; soit aussi
f : A → M l’unique application A-linéaire telle que f (1) = x. On a :
ηM (x) = ηM ◦ f (1) = f ◦ ηA (1) = f (a) = ax.
Comme x est arbitraire, cela montre que ηM = a · IdM , CQFD.
Exercice 1.49. Il existe une deuxième loi de composition pour transformations
naturelles, appelée produit de Godement, qui s’applique aux diagrammes du type :
✤✤ ✤✤ ′ ) ′′
 ω 7C .
A savoir, on pose
(ω ′ ∗ ω)X := ωGX
◦ F ′ (ωX )
(i) (ω ′ ∗ ω)X = G′ (ωX ) ◦ ωF′ X pour tout X ∈ Ob(C ).
(ii) Le système ((ω ′ ∗ ω)X | X ∈ Ob(C )) déﬁnit une transformation naturelle
ω ′ ∗ ω : F ′ ◦ F → G′ ◦ G.
Si F = G et ω = 1F , on écrit aussi ω ′ ∗ F au lieu de ω ∗ 1F , et de même, si F ′ = G′
et ω ′ = 1F ′ , on écrit F ′ ∗ ω plutôt que 1F ′ ∗ ω. Donc :
(ω ′ ∗ F )X = ωF′ X
(F ′ ∗ ω)X = F ′ (ωX )
(iii) Les deux lois de composition sont liées de la façon suivante. Considérons un
diagramme de six foncteurs et quatre transformations naturelles :
✤✤ ✤✤
G✤✤
/ C′
✤✤ ✤✤ ′
 ω
G✤✤ ✤✤ ′
 τ
/ C ′′ .
Montrer la relation d’échange :
(τ ′ ◦ ω ′ ) ∗ (τ ◦ ω) = (τ ′ ∗ τ ) ◦ (ω ′ ∗ ω).
En particulier, si F = G = H et ω = τ = 1F , on a (τ ′ ◦ ω ′ ) ∗ F = (τ ′ ∗ F ) ◦ (ω ′ ∗ F ).
De même, si F ′ = G′ = H ′ et ω ′ = τ ′ = 1F ′ , on a F ′ ∗ (τ ◦ ω) = (F ′ ∗ τ ) ◦ (F ′ ∗ ω).
(iii) Montrer aussi que le produit de Godement est associatif : si C ′′′ est une
quatrième catégorie, F ′′ , G′′ : C ′′ → C ′′′ deux foncteurs, et ω ′′ : F ′′ → G′′ une
troisième transformation naturelle, on a :
ω ′′ ∗ (ω ′ ∗ ω) = (ω ′′ ∗ ω ′ ) ∗ ω.
Problème 1.50. Soient C , C ′ deux catégories, F : C → C ′ un foncteur.
(i) Montrer que F est une équivalence si et seulement s’il admet un quasi-inverse,
i.e. un foncteur G : C ′ → C avec des isomorphismes de foncteurs
ε : G ◦ F → 1C
η∗F =F ∗ε
η : F ◦ G → 1C ′
vériﬁant les identités triangulaires (notation de l’exercice 1.49(ii))
ε ∗ G = G ∗ η.
(ii) Déduire de (i) que la relation “C est équivalente à C ′ ” est une relation
d’équivalence sur l’ensemble des catégories.
Exemple 1.51. Revenons au foncteur (−)∨ : (A−Mod)op → A−Mod de l’exemple
1.46 ; pour tout A-module M on a une application canonique de bidualité
βM : M → (M ∨ )∨
m 7→ (φ 7→ φ(m))
◦ βM = βN ◦ f pour tout f ∈ HomA (M, N ), d’où une transformation
β : 1A−Mod → (−)∨∨ .
On voit aisément que si L est un A-module libre de rang r ∈ N et e1 , . . . , er est
une base de L, l’application βL est l’isomorphisme tel que ei 7→ e∗∗
i = 1, . . . , r. En particulier, βL∨ : L → L
est l’isomorphisme tel que e∗i 7→ e∗∗∗
∨ ∗∗∗
pour i = 1, . . . , r ; d’autre part, βL (ei )(ej ) = e∗∗∗
i (βL (ej )) = ei (ej ) = ei (ej )
pour tout i, j = 1, . . . , r ; d’où :
βL∨ = βL−1
Donc les isomorphismes de bidualité déﬁnissent des isomorphismes de foncteurs
1A−Modltf → (−)∨op ◦ (−)∨
1(A−Modltf)op → (−)∨ ◦ (−)∨op
vériﬁant les identités triangulaires. Compte tenu du problème 1.50(i), on retrouve
ainsi que (−)∨ est une équivalence, et (−)∨op est un quasi-inverse pour (−)∨ .
1.6. Solutions aux exercices et problèmes. Cette dernière section contient des
solutions pour les problèmes et exercices proposés dans la leçon.
Exercice 1.10, partie (i) : La condition est évidemment nécéssaire. Réciproquement, si f est continue en tout point de T , soit U ⊂ S une partie ouverte ; pour
tout t ∈ f −1 U , la partie U est un voisinage de f (t), donc par hypothèse f −1 U est
un voisinage de t dans T , i.e. t est dans l’intérieur W de f −1 U . Ainsi f −1 U = W
est une partie ouverte de T , d’où l’assertion.
Partie (ii) : D’après (i), il suﬃt de montrer que pour tout t ∈ T et tout voisinage W de f (t) dans S, la partie f −1 W est un voisinage de t dans T ; mais quitte
à remplacer W par W ∩ Vt , l’on peut supposer que W ⊂ Vt , et donc que W est
aussi un voisinage de f (t) dans Vt . Par hypothèse, ft−1 W est alors un voisinage de
t dans Ut ; l’on déduit aisément que ft−1 W est aussi un voisinage de t dans T (les
détails sont laissés aux soins du lecteur), donc de même pour f −1 W .
Exercice 1.11 : Evidemment, si f ∈ C (T ) est inversible, on a f (t) 6= 0 pour tout
t ∈ T . Pour la réciproque, notons que l’application i : R \ {0} → R \ {0} telle que
x 7→ 1/x est continue (pour la topologie de R \ {0} induite par l’inclusion dans R) ;
si f (T ) ⊂ R \ {0}, la composition i ◦ f = 1/f est alors continue, et donc f ∈ C (T )× .
Exercice 1.14, partie (i) : Pour toute famille (Zλ | λ ∈ Λ) de parties
S fermées et
tout λ ∈ Λ posons Uλ := T \Zλ . La condition (b) S
revient à dire que si λ∈Λ Uλ = T ,
alors il existe une partie ﬁnie Λ′ ⊂ Λ telle que λ∈Λ′ Uλ = T , et cela pour toute
famille (Uλ | λ ∈ Λ) de parties ouvertes de T . Mais cette dernière condition est
précisément la déﬁnition d’espace compact.
§ 1.6: Solutions
Partie (ii.a) : Il suﬃt de montrer que pour tout y ∈ T \ Z il existe une partie
ouverte U telle que y ∈ U et U ∩ Z = ∅. Or, comme T est séparé, pour tout z ∈ Z
il existe des parties
ouvertes Uz , Vz telles que y ∈ Uz , z ∈ Vz et Uz ∩ Vz = ∅.
Evidemment z∈Z (Z ∩ Vz ) = Z, et chaque partie Z ∩ Vz est ouverte par rapport à
la topologie de Z induite par celle de T ; comme Z est compact avec cette topologie,
il s’ensuit qu’il existe z1 , . . . , zk ∈ Z tels que Z ⊂ Vz1 ∪ · · · ∪ Vzk , et on peut alors
choisir U := Uz1 ∩ · · · ∩ Uzk .
S (ii.b) : Soit (Ui | i ∈ I)Sune famille de parties ouvertes de T telles que
Z ⊂ i∈I Ui ; alors
S T = (T \ Z) ∪S i∈I Ui , donc il existe une partie ﬁnie J ⊂ I avec
T = (T \ Z) ∪ i∈J Ui , i.e. Z ⊂ i∈J Uj , d’où l’assertion.
PartieS(ii.c) : Soit (Ui | i ∈SI) une famille de parties ouvertes de T ′ telles que
f (Z) ⊂ i∈I Ui ; donc Z ⊂ i∈I f −1 Ui , et par la compacité de Z il existe une
partie ﬁnie J ⊂ I avec Z ⊂ i∈J f −1 Ui , donc f (Z) ⊂ i∈J Ui , d’où l’assertion.
Partie (iii) : Soit V ⊂ Y une partie ouverte compacte ; alors V est fermée dans Y ,
d’après (ii.a), donc f −1 V est fermée dans X ; mais alors f −1 V est une partie ouverte
compacte de X, d’après (ii.b). Ensuite, si f est bijective, soit U ⊂ X une partie
ouverte ; il faut montrer que f (U ) est ouvert dans Y , i.e. que Y \ f (U ) = f (X \ U )
est fermée. Mais X \ U est compact dans X, d’après (ii.b), et donc f (X \ U ) est
compact dans Y , par (ii.c). L’assertion suit maintenant de (ii.a).
Partie (iv) : Soit ∆S := {(s, s) | s ∈ S}, la diagonale d

References: § 1

§ 1

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