Source: https://es.scribd.com/doc/46321693/Analisis-de-la-comprension-de-Divisibilidad-en-el-conjunto-de-los-Numeros
Timestamp: 2017-01-24 00:59:16+00:00

Document:
NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosArtículosPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseAnálisis de la comprensión de Divisibilidad en el conjunto de los Números NaturalesAGRADECIMIENTOS LISTA DE TABLAS Y ESQUEMAS 1. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
Señalan estos autores que no es suficiente que los alumnos conozcan los procedimientos aritméticos básicos. se espera que los alumnos sean capaces de dar una estructura a las nuevas situaciones.
La reflexión sobre la importancia del pensamiento. Por ello. Finalizamos este capítulo exponiendo distintas aportaciones de diferentes investigadores sobre la comprensión de la divisibilidad en N. tanto en la modalidad de la opción A como B. 4º de ESO.G. que generen hipótesis y analicen críticamente las estrategias más adecuadas en cada situación.V de 8 de marzo de 2002 y D. de modo que estos estudiantes lleguen a ser ciudadanos más capacitados y estén preparados para afrontar los desafíos del
.O. de la resolución de problemas y situaciones que a parezcan desarrollando estrategias que les permitan formular y resolver problemas de la comunicación centran los actuales esfuerzos de las matemáticas escolares (Silver et al.V de 5 de abril de 2002).a 17 años. opciones CientíficoTécnica y de Humanidades y Ciencias Sociales.1º de Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO)..O. dentro de la investigación en Didáctica de la matemática
En este primer capítulo realizaremos una breve reflexión sobre la divisibilidad en el conjunto de los números naturales tanto en el currículo de la educación primaria como en el de educación secundaria. y su tratamiento en los libros de texto de la educación secundaria ubicados en este momento su tratamiento en los libros de texto de la educación secundaria ubicados en este momento en el primer ciclo. 1997).G. del razonamiento. sino que además es necesario que sepan aplicarlos cuando corresponda y dar sentido a las situaciones que a parezcan desarrollando estrategias que les permitan formular y resolver problemas. El campo en que se ubica el trabajo realizado es el de Pensamiento Numérico. y de 1º de Bachillerato.
LA DIVISIBILIDAD EN N. es necesario destacar que los individuos se desarrollan en diferentes contextos cultural es e institucionales. 1996) permiten concebir el funcionamiento mental y los contextos sociales y culturales como entidades que actúan conjuntamente. Además. más allá de la especialización científica. encontrándose los objetos matemáticos mediatizados por los significados institucionales. 174/1994 y 50/2002) destacan la importancia de la aplicación de las matemáticas. Desarrollo histórico de la Divisibilidad. Presentaremos el por qué de su nacimiento y su formalización a lo largo de los siglos. y de su carácter instrumental.
. constituyendo aspectos de la acción humana. 47/1992 y 39/2002) y Bachillerato (11 78/1992. Los Decretos Curriculares de Educación Secundaria (Decretos 1007/1991. 832/2003. 1. En Educación Secundaria cabe considerar la etapa obligatoria donde se han de cubrir las necesidades matemáticas básicas y proporcionar los instrumentos necesarios para posteriores estudios.1. 1. En este apartado vamos a ofrecer un breve desarrollo histórico de la Divisibilidad.nuevo siglo. El análisis histórico y el estudio de significados institucionales (Godino.1. de su relación con las demás ciencias. 831/2003. que ayude al alumno a comprender la realidad que le rodea. Todos los alumnos deben adquirir los conocimientos necesarios para desenvolverse como ciudadanos capaces de ejercer sus derechos y sus deberes en una sociedad que incorpora cada vez más a su funcionamiento.1. a sus actividades y a su lenguaje ciertos aspectos matemáticos Para encuadrar nuestra investigación sobre la comprensión de la Divisibilidad hemos realizado un análisis histórico de contenidos de la divisibilidad a partir del desarrollo del currículo y del que realizan los proyectos editoriales.
y ofrecen una descripción de la Teoría de Números. mediante 22 definiciones. 1989). Apolonio. 1972). 1991. y su dependencia y relación con las estaciones climáticas y ciclos lunares que hizo que se desarrollaran distintos tipos de calendarios. 1999). cuyos ³Elementos´. recoge de manera axiomatizada el saber matemático de su tiempo. VIII y IX. de las propiedades de los números enteros y de las razones entre los mismos
Euclides en el libro VII.. Ptolomeo y Diofanto.C. XVII y XVIII (Bochner. Existía la creencia generalizada de que los objetos matemáticos nos son dados y no se tiene el poder de asignarles propiedades arbitrarias (Bourbaki. Entre los hechos en los que intervenían los conceptos de divisibilidad en la Antigüedad se pueden situar las necesidades de la agricultura y de la ganadería. En la matemática de la Grecia clásica destacan las obras de Euclides. las magnitudes y las figuras. Entre los matemáticos más prominentes de la Antigüedad se encuentra Euclides de Alejandría (año 300 a. Boyer. Desde la Antigüedad hasta principios del siglo XIX los objetos principales de las matemáticas estaban constituidos por los números. establece los conceptos de:
. Arquímedes. La matemática griega poseía limitaciones que impedían modelar el pensamiento científico como nosotros lo entendemos en estos momentos. de los divisores y de la descomposición factorial de los números naturales ha constituido un capítulo fundamental de la Aritmética desde el comienzo de la Matemática. conjunto de trece volúmenes. es decir. Los libros VII. Kline 1992. reúnen los tratados de Aritmética. en particular.).
El estudio de los múltiplos. Éstas jugaron un papel relevante en la matemática de los siglos XVI.La organización de las relaciones existentes entre los números constituye el origen de la teoría de la divisibilidad (Sierra et al.
respectivamente). imparmente (desde las definiciones 6 a 10).³Partes´ (no divisor) . parmente par e impar. se llama una´ (Definición 1). y estableciendo algunas relación es entre estos números. 4 y 5 respectivamente). (definciones 3. ³Múltiplo´.³Y el mayor es múltiplo del menor cuando es mediddo por el menor´. Número ³primo´. Los griegos no concibieron los números tal como hoy los concebimos. noción que nunca definieron proporciones. pero
conceptualmente no pudieron formar el producto P x L entre magnitudes
. respectivamente). sólido. tras establecer que ³un número multiplica a un número cuando el multiplicado se añade a sí mismo tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un número ´. Por último. Número ³compuesto´ ±es el medido por algún número´. cubo y perfecto. cuadrado. ³Número´. múltiplo y de las distintas clases de números fueron realizadas en términos de magnitudes o proporciones.Números ³compuestos entre sí´ ±son los medidos por algún número como medida común´(Definiciones 13 y 14.³el medido por la sola unidad´Números ³primos entre sí´ ±³los medidos por la sola unidad como medida común´ (Definición 11 y 12. completa la categorización de los números definiendo número plano. Las definiciones de número.³Un número es parte de un número. divisor.³cuando no lo mide´.
cuando mide al mayor´.³Un número es una pluralidad compuesta de unidades´ (Definición 2) ³Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay.
 Clasifica los números en pares e impares. Consideraron razones (P : Q) entre magnitudes o genéricas. El ³número´
³Parte´ (Divisor). el menor del mayor.
y otro es la misma parte de
. entre otros.  Proponer distintas propiedades de la divisibilidad desde la proposición VII-4 a la proposición VII11. para calcular el máximo común divisor de dos o más números desarrollado a través de las proposiciones VII-1 a VII-3:
³Dados dos números desiguales y restando sucesivamente el menor del mayor. los número os iníciales serán primos entre sí´ (Proposición 1) ³Dados dos números no primos entre sí. el menor del mayor´ (Proposición 4) ³Si un número es parte de un número. si bien estos ³productos´ nunca constituyeron actos reflexivos y conscientes (Bochner. Por ejemplo: ³Todo número es parte de todo número. hallar su medida común máxima´ (Proposición 3). si uno de los factores era una longitud y el otro un área. llamado ³antenaresis´ y conocido actualmente como ³Algoritmo de Euclides´. hallar su medida común máxima´ (Proposición 2) Corolario: ³Si un número mide a dos números. entonces también mide a su medida común Máxima´ ³Dados tres números no primos entre sí. 1991).Generalmente entendieron el ³producto´ de dos longitudes como un área o un volumen. si el que queda no mide nunca al anterior hasta que quede una unidad. los siguientes objetivos:  Establecer un procedimiento. El libro VII se completa con 22 proposiciones que junto con las 27 del libro VIII y las 36 del libro IX constituyeron investigaciones teóricas con.
el número menor medido por ellos también medirá al mismo número´ (Proposición 35). las proposiciones IX-1 a IX-11. ³Dados tres números. cuadrados.  Clasificar los números en compuestos y primos (Proposición VII-31 y VII-32 respectivamente). donde se establecen propiedades de los ³productos´ entre números sólidos.  Definir y establecer propiedades de los números primos entre sí a partir de las proposiciones VII-21 a VII-29. en el libro IX de Euclides encontramos. la suma será también la misma parte de la suma que el uno del otro´ (Proposición 5). a partir de las proposiciones IX-21 a IX-34. ³Si dos números miden a algún número.  Desarrollar la teoría de las proporciones para números mediante las
proposiciones VII-12 a VII-20.otro. ³Dados dos números.  Establecer un procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números desarrollado a través de las proposiciones VII-33 a VII-39. hallar el menor número al que miden´ (Proposición 34). Por ejemplo: ³Dado s tantos números como se quiera. Por último. Además se
. de los parmente pares e impares y de los imparmente pares e impares. entre las 36 proposiciones que lo conforman. hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos´ (Proposición 33). cubos. hallar el número menor al que miden´ (Proposición 36). propiedades de los números pares e impares.
13 y 14 .
. no pudo ser concebido por los griegos. por los mismos será medido también el siguiente a la unidad ´ (Proposición 12). no será medido por ningún otro número primo fuera de los que le medía n desde un principio´ (Proposición 14).³Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son
Continuamente proporcional es.incluye la proposición IX. el mayor no (Proposición 13) y ³Si un número es el menor medido por números primos. junto con proposiciones próximas al Teorema Fundamental de la Aritmética. constituyen teoremas. según Bochner (1991). y nunca llegaron a darse cuenta de que en matemáticas se puede concebir una ³existencia´ totalmente independiente de la ³contractibilidad´.20. Las proposiciones IX.
³Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcional es y el siguiente a la unidad es un número primo. Estos dos aspectos son necesarios para idear el Teorema Fundamental de la Aritmética. Este teorema es un teorema de existencia que asegura una representación única de cualquier número en producto de factores primos para cuya construcción no existen fórmulas específicas.³Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos´que establece que el conjunto de números primos es infinito. por cuantos números primos sea medido el último.12.
silogísticamente cercanos al Teorema Fundamental de la Aritmética. pero este teorema. ya que éstos no llegaron a concebir el producto de números re ales.
en especial. en el que algunos factores pueden repetirse. Hasta el siglo XIX con Gauss. encontrándose con el problema de que no es posible conservar todas las propiedades en esa extensión. y debido a las necesidades tecnológicas.A partir del siglo XVI. La extensión de la teoría de la divisibilidad a otros conjuntos tiene su referente histórico en Stevin. Gauss también introdujo la noción de grupo abeliano y demostró que en los grupos abelianos finitos existe un elemento del grupo cuyo orden es m. las de la existencia del máximo común divisor y de la unicidad de la descomposición en factores primos. extiende el algoritmo de Euclides al cálculo del máximo común divisor de dos polinomios. En el siglo XVII Fermat consideraba la aritmética como un dominio propio y sus trabajos determinaron la dirección de la Teoría de Números hasta Gauss. y tal que su re presentación es única.c. se mejoraron y extendieron los métodos operativos. los números primos. la teoría de la divisibilidad se desarrolló en el campo de los números enteros.m de
Euler en 1770 trató de ampliar el concepto de divisor más allá de los conjuntos de los números enteros y de los polinomios. números amigos2 y cuadrados mágicos. científicas y mercantiles. En las obras de Gauss ³Disquisiciones arithmeticae´ se encuentra por primera vez el concepto de número congruente y se desarrollan las propiedades de la teoría de congruencias. el tratamiento de los números perfectos1. Destaca en su obra sobre Teoría de Números la teoría de la divisibilidad. En el trabajo de Gauss se incluía el Teorema Fundamental de la Aritmética para el dominio de integridad de los números enteros que indica que todo número entero puede expresarse como un producto finito de número primos. quien en un libro publicado en 1634.
factor. da como resultado b. Entre aquellos aspectos que cabe mencionar en el estudio de la divisibilidad en N. podemos destacar el estudio de la estructura multiplicativa y de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. distintos de a. en general.los órdenes de todos los elementos. ser divisible y criterios de divisibilidad. En el siglo XIX. La Teoría Elemental de Números abarca desde este siglo un amplio espectro en el ámbito de las Matemáticas. La Teoría de Números (Rey. potencialidad. Esta breve revisión histórica nos permite conformar la Divisibilidad en N. Dedekind y Kronecker generalizan la Teoría de Números. divisor. mediante la creación de la estructura de ideal. en particular la teoría de la divisibilidad. número primo y número compuesto. se encuentran los conceptos de múltiplo. El álgebra conmutativa moderna empezó a formalizarse hacia 1910 y en esta década aparece la noción general de anillo debido a Fraenkel. 1 Un número a es perfecto cuando puede ser expresado como suma de todos sus divisores (excepto él mismo). divisor es y múltiplos comunes: e l máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. o el Teorema Fundamental de la Aritmética. en particular. Uno de los corolarios al teorema de Euclides sobre la existencia de infinitos números primos. y la Teoría de Números. en tres grandes fases: tratándose de un tema de gran
. del Álgebra y de la Geometría. autores como Kummer. 2 Dos números a y b son amigos si la suma de todos los divisores de a. y en ella. en particular. lo enunció Dirichlet en este mismo siglo. 1941) ocupa a partir del siglo XX una posición prominente respecto de la Aritmética.
Entre las propiedades destacamos las relativas a ³la infinitud de los números primos´
los teoremas silogísticamente próximos al Teorema Fundamental de la Aritmética.  2ª Fase o de las propiedades y procedimientos Euclides formuló propiedades y procedimientos fundamentales para la Teoría de Números. en términos de ³medida´. Las dos primeras debidas a Euclides y la última a matemáticos posteriores. número primos y compuesto. Euclides estableció las bases de los procedimientos de cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números y del máximo común múltiplo de dos números. Este teorema no pudo ser enunciado por los matemáticos griegos en los términos actuales al (a) no concebir el producto entre números reales. 1ª Fase o de conceptualización. No llegaron a imaginar el producto de números reales.  2ª Fase o de las propi edades y procedimientos.
En cuanto a los procedimientos.  3ª Fase o de generalización La estructura del conocimiento sobre divisibilidad en los tres últimos siglos ha
. el hoy conocido como ³Algoritmo de Euclides´. de medida de una magnitud. divisor.  3ª Fase o de generalización. (b) no admitir una ³existencia´ independientemente de la ³construcción´. Esta forma de pensar estos conceptos impidió que los griegos concibieran el ³producto´ entre magnitudes genéricas.  1ª Fase o de conceptualización La noción de número entendida como una magnitud (magnitud de un segmento) forzó a describir los conceptos de múltiplo.
ejemplificadas a través de distintos proyectos editorial es.
. Periodo de 1970 a 1990 VI. Las principales características del tratamiento curricular de la divisibilidad en estos periodos hacen referencia a (a) las acepciones léxicas. (c) cómo es considerada la divisibilidad: propiedad entre números y/o vinculada con la magnitud. Periodo comprendido entre 1931 y 1936 III. factor.2. ser divisible.con las que se inicia el estudio de la divisibilidad. Los manuales escolares son un instrumento transmisor de los contenidos aceptados socialmente resultando interesante su contribución en la historia de la educación matemática (Sierra et al. Periodo 1950 a 1970 V. En los siguientes apartados realizamos un resumen de las adaptaciones curriculares de la Divisibilidad en N en la Enseñanza Primaria y Secundaria en nuestro país desde principios del siglo XX hasta la actualidad. Periodo anterior a 1931 II.permitido integrar dicho conocimiento en una configuración más amplía de estructuras algebraicas y consolidar a la Teoría de Números como un campo de investigación. CURRÍCULO DE DIVISIBILIDAD EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y
SECUNDARIA EN EL SIGLO XX. (d) el carácter procedimental o representacional del Teorema Fundamental de la Aritmética.di visor. La descripción de las características más importantes del tratamiento de la di visibilidad. Periodo de 1990 hasta la actualidad. 1999). múltiplo. la hemos dividido en seis periodos marcados por las reformas educativas y acontecimientos políticos: I.. Periodo comprendido entre 1939 y 1950 IV. (b) las operaciones a las que se asocian los conceptos de múltiplo y divisor. 1.
La Ley de Instrucción Pública del ministro Claudio Moyano de 1857. con García Alix. Periodo anterior a 1931. En esta época. 1905. integrado por diversas materias entre las que se encontraba la Aritmética. en asuntos tales como la libertad de cátedra. Se instituyeron diversos organismos en su estructura funcional y se tomó como punto principal de referencia la lucha contra el analfabetismo (Samaniego. Hasta 1931 la Enseñanza Primaria y su organización fueron reguladas por diversos decretos . La enseñanza primaria se convirtió en un asunto principal desde el punto de vista pedagógico aunque no político. la libertad de creación de centros. refleja unas fuertes carencias de la enseñanza primaria
. fue la que marcó las líneas principales de la Instrucción Pública en España hasta prácticamente la Segunda República. destacando las aportaciones de la Institución Libre de Enseñanza (Prellezco. con pequeños retoques a lo largo de su vigencia. exámenes. una concreción curricular de los contenidos de divisibilidad en educación primaria y profesional la podemos obtener en el libro del profesor de analfabetismo entre la población española. segunda enseñanza y superior. 1994). En 1900. 1913-. La presencia de un alto índice (Del Valle.I. En el último tercio del siglo XIX se iniciaron las discusiones sobre educación.1901. del 64% a comienzos del siglo XX. La metodología era decisión del maestro y el aprendizaje solía ser eminentemente memorístico. o titulaciones. 1994). Esta Ley de Instrucción Pública constaba de cuatro secciones. componiéndose la segunda enseñanza de seis años de estudios generales y estudios de aplicación a profesiones industriales. se creó el Ministerio de Instrucción Pública y Bellas Artes y la educación dejó de depender del Ministerio de Fomento. 1994a). En la Sección I se estructuraba la enseñanza en tres niveles: primera enseñanza. En 1901 se fijó el programa de la enseñanza primaria.
por ejemplo. (b) formación de múltiplos de un número natural expresándolos como la multiplicación del número por otros números naturales. (c) obtención de todos los divisores de un número a través de la representación factorial y (d) obtención del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo por dos métodos.
Este hecho puede observarse en la manera en que Dalmáu
(1899) usa. el Teorema Fundamental de la Aritmética en el cálculo del mínimo común múltiplo y en la obtención de los divisores de un número.
. diferenciándolos explícitamente como el ³del método ordinario y el de los factor es primos´. gradual y completo de problemas y ejercicios prácticos´ y que se enmarcaba en un movimiento de renovación pedagógica del momento. Estos ejercicios se plantean desde una perspectiva eminentemente
procedimental. Para el tema de divisibilidad plantea ejercicios sobre ( a) la obtención de números divisibles por otro dado.Dalmáu (1899) ³Soluciones analíticas de los
aritmética´. El problema 22 presenta dos procedimientos de obtención del mínimo común múltiplo de dos números. que presentaba como ³un conjunto. metódico. Por el método ordinario entiende utilizar el ³algoritmo de Euclides´ y por el de factores primos el ³Teorema fundamental de la aritmética. ordenado.
p. Dalmáu. 1899. Libro del profesor. p. pp.1899.(Soluciones analíticas. J. Libro del profesor. Los contenidos de divisibilidad formaban parte de la Aritmética y se desarrollaban en tercer curso: ³Divisibilidad. 23 y 29).
a partir de 1901 y
hasta 1914 se iniciaron distintas reformas para r eorientarla (Díaz de la Guardia. Máximo común divisor. 85) Por otra parte. los problemas 12 y 13 nuevamente evidencian el uso procedimental del Teorema Fundamental de la Aritmética en la obtención de divisores de un número y divisores comunes de dos números. Estos contenidos se mantuvieron hasta 1934. Mínimo común múltiplo´.
Cálculo de divisores (Soluciones analíticas. Números primos. 2000. 85)
En relación a la enseñanza secundaria cabe destacar que 1988). respectivamente. J. La resolution del problemas número 13 esta basada en la propiedad ³los divisores comunes a dos números son todos los divisores de su máximo común divisor y sólo estos´ y en el Teorema Fundamental d e la Aritmética. Dalmáu. con mayor o menor extension (Bruno y Martinón.
³Llámese múltiplo el número que contiene a otro dos ó más veces exactamente´-. junto con las definiciones de número par. Todas las definiciones y propiedades se presentan a través de números concretos expresados en su representación decimal. El cálculo del máximo común divisor de dos números se realiza a través del algoritmo de Euclides (sin citarlo) y éste se generaliza a más de dos números en virtud de la propiedad asociativa. por 5. por 11). 4.³Llámese submúltiplo.Un ejemplo del desarrollo curricular de estos contenidos se encuentra en el capítulo ³Propiedades de los números´ del libro ³Elementos de Aritmética con algunas nociones de álgebra´ (Bruño. otro número entero contenido exactamente en el primero dos ó más veces´-. 8 y 2 n. distintos criterios de divisibilidad (por 10. (c) submúltiplo. donde se ofrecen como definiciones independientes las acepciones léxicas del concepto de divisibilidad: (a) ser divisible.³Un número es divisible p or otro cuando al partir el primero por el segundo resulta un cociente entero.
. factor o divisor. 1900). por 2. máximo común divisor y mínimo común múltiplo y teoremas y corolarios referentes a las propiedades de los divisores y múltiplos (divisor de una suma o de una diferencia. Se utilizan las propiedades de los números primos para expresar un número natural como producto de factores primos. divisores de los múltiplos de un número) y de los números primos. sin quedar ningún residuo-. 125 y 5n. por 3 y por 9. múltiplo de una suma o de una diferencia. (b) múltiplo. La r epresentación factorial se usa para: (a) buscar todos los divisores de un número. factor o divisor de un
número entero. número primo. 100 ó 100. 25.
máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos
Esta representación factorial. desde el epígrafe ³A plicación d e la teoría de los números primos´. la obtención procedimental de los divisores de un número a través de dos reglas. como en educación primaria.(b) para obtener números. A continuación mostramos una de ellas basada en la multiplicación de factores y en la representación factorial del número. tiene un marcado carácter pr ocedimental como evidencia el hecho que el autor presenta.
La divisibilidad se entendía como una propiedad entre los números. partiendo de la división entre los dos números y de la observación del resto que se producía al dividir. tanto en Primaria como en Secundaria. del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo). 1900. y su tratamiento procedimental y mecánico. el papel que desempeña la representación factorial es eminentemente procedimental y la divisibilidad se entiende como una propiedad entre números expresados en su representación decimal. Estas definiciones a nuestro juicio solo permitían establecer relaciones lógicas de equivalencia entre múltiplo y divisor. II. G. con la llegada de la República. se realiza a través de reglas muy estructuradas (obtención de divisores de un número. Su estudio se inicia a través de la acepción léxica ³ser divisible´ seguida de las acepciones ³múltiplo y divisor´. En 1931.. se reorganizó el Consejo de Instrucción
.M. 82)
En educación secundaria la representación factorial de los números naturales. o bien si u n número se encuentra contenido un número de veces en otro. En esta época. formando ³parte´ del mismo. p. Bruño. Periodo comprendido entre 1931 y 1936.Obtención de todos los divisores de un número (Elementos de Aritmética.
³cuando lo contiene un número de veces´-. 1994b). En este grado. en los grados elemental y medio. poniéndose en marcha una nueva política educativa articulada a través de innovaciones pedagógicas. En este periodo se sucedieron distintos gobiernos lo que originó una serie de programas donde primaron las ideas de la pedagogía institucionista. de la lucha contra el analfabetismo o de la instrucción elemental.
En la Enciclopedia de Dalmáu (1932). correspondiente al grado preparatorio. contenidos sobre divisibilidad en un apartado titulado ³múltiplos y divisores de las unidades de longitud. (b) múltiplo de un número. pero sin conseguir un plan que estructurara definitivamente la enseñanza.
. el elemental y el medio. aparecen. peso y capacidad´. el preparatorio. distintos contenidos de la divisibilidad formando parte de la Aritmética. a través de las definiciones: (a) ³ser divisible´. En el grado elemental. de la enseñanza popular.
La enseñanza primaria durante este periodo constaba de tres grados. En la primera lección. entendida como una propiedad de los números. 1934) se incluyen. 1934). En lo s libros del alumno de Porcel (1932. después de la operación división y de sus propiedades. formando parte de la Aritmética. la divisibilidad se desarrolla en diferentes lecciones. se presenta la divisibilidad.Pública y se estableció la libertad de cátedra y la escuela laica. La ejemplificación de los desarrollos curriculares de los contenidos de divisibilidad en los distintos grados los encontramos en la Enciclopedia de Dalmáu (1932) y en los libros del alumno de Porcel (1932.³cuando el número es múltiplo del otro´ -. incentivando además las construcciones escolares (Samaniego. la divisibilidad se muestra vinculada a la magnitud.
No ha y ninguna mención a la representación factorial de los números naturales. por 3 y p or 5 . reseñndose únicamente la representación decimal de los números y la relación entre ellos a través de las operaciones de multiplicación o división.(c) divisor de un número o factor.
.³cuando está contenido en éste un número exacto de veces´ -. y las reglas de divisibilidad por 2.
de los años cuarenta y cuya primera edición es de 1932.23)
En leccion es posteriores. p. la divisibilidad nuevamente aparece vinculada a la magnitud. se muestra la divisibilidad vinculada a la magnitud desarrollándose los conceptos de ³múltiplos y divisores referidos al sistema métrico decimal´ e incidiendo en ³los divisores y múltiplos de unidades de medida de longitud. En este capítulo el concepto de divisibilidad se expone a través de las acepciones léxicas:
. Curso Superior´ de Ediciones Bruño. En la enseñanza secundaria la divisibilidad se presenta como una propiedad entre los números.Ejemplos y programa de divisibilidad (Enciclopedia Grado Elemental. y los divisores con los prefijos deci. hecto. superficie. Los múltiplos se formaban con los prefijos miria. volumen y capacidad´ de eminente uso práctico. de superficie´. M. se habla de ³múltiplos y divisores de unidades de longitud. como podemos ver en el capítulo ³Propiedades de los números´ del libro ³Tratado teórico. deca.práctico de Aritmética razonada. En esta etapa escolar la divisibilidad se presenta con un carácter eminentemente práctico como lo demuestra el hecho que en dos de los tres grados que conforman la enseñanza primaria se vincula la divisibilidad a la magnitud. Por lo que respecta al grado medio. 1932. kilo. Porcel. centi o mili.
completándose cada una de ellas co n las definiciones de (c) múltiplo común -³Múltiplo común de varios números es todo número divisible por cada uno de Ellos. del 5. demostrados a través de números concretos. enunciadas como teoremas sobre la suma o diferencia de múltiplos y divisores a través de números concretos. del 9. distintos criterios de divisibilidad (del 2.³un número es divisor o submúltiplo de otro si lo divide exactamente´-. como ejemplificamos en la siguiente figura. Se tratan las propiedades de los múltiplos y divisores. del 11 y del 7). bajo el epígrafe ³Aplicación de la teoría de los números primos´ se hace mención expresa d e la representación factor ial de un n úmero en la obtención de todos los divisores de un número.(a)
múltiplo -³Múltiplo de un número es el producto de este número por otro
número entero cualquiera´(b) divisor o submúltiplo . del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de diversos números.
Sólo en el último capítulo. (d) divisor común -³Un número es divisor común de otros varios cuando los divide exactamente a Cada uno de ellos. la representación de los números que se utiliza a lo largo de estos capítulos es preferentemente decimal. del 8. del 4. se presenta como un teorema de representación de un número en producto de factores primos. aunque no se le denomine explícitamente en el texto. sus propiedades y el algoritmo de Euclides (sin citar el nombre) para su obtención. del 125. No obstante. las definiciones de máximo común divisor de dos números. del 25. donde se expone el procedimiento de obtención del mínimo común múltiplo de dos números.
. Por ultimo. el Teorema Fundamental de la Aritmética. del 3.
en las dos etapas escolares. La divisibilidad en Primaria se manifiesta como una propiedad de los
.Procedimiento de obtención del mínimo común múltiplo (Tratado teórico-práctico de Aritmética razonada. Bruño G. el concepto de la divisibilidad. 1932. 121)
En este periodo. muestra diferencias significativas tanto en cuanto a las acepciones léxicas presentadas como a la manera de entender la divisibilidad. En Primaria se inicia el concepto de divisibilidad a través de la definición de ³ser divisible´ y en secundaria de ³múltiplo´. p.M. Curso Superior.
III. que permite iniciar ya en la misma escuela al futuro agricultor. Se situaba la escuela al servicio de la doctrina católica y de la patria. al pequeño industrial. Periodo comprendido entre 1939 y 1950. 1990).E de 18 de julio) se establecía la educación obligatoria hasta los doce años. en plena Segunda Guerra Mundial.O. graduada en cuatro etapas. el régimen del general Franco suprimió los planes de la República y definió una educación de carácter católico y nacional. Una vez terminada la guerra civil. referente a los ejercicios que se tenían que realizar en la escuela: ³práctica de ejercicios adecuados. En ambas etapas escolar es la representación factorial tiene carácter procedimental y el desarrollo curricular de los contenidos no favorece que los alumnos establezcan relaciones entre las distintas acepciones léxicas del concepto de divisibilidad. podemos observar
. y la situación internacional. Valga como ejemplo el siguiente párrafo que aparece en el Preámbulo de l a Ley. en Secundaria solo como una relación entre números. agravaba la delicada situación del régimen del general Franco (Navarro. ni que existiera un reglamento para la Inspección educativa. como preparación del escolar en el camino del servicio de la cultura o del trabajo. En esta Ley de Educación Primaria se daban nor mas precisas sobre los cuestionarios y sobre la práctica metodológica. En la Ley de Educación Primaria de 1945 (B. La falta de legislación originó que los cuestionarios de educación primaria no estuviesen organizados por cursos. que no fuera posible obtener el Certificado de Estudios Primarios. Había mucho por hacer. siendo obligatorias las dos etapas que comprendían las edades de 6 a 12 años. al obrero del taller o al comerciante. usa dos en años inminentemente posteriores a 1939. La Ley de Educación Primaria estaba preparada desde 1939 y se aprobó en 1945.´ En los manuales del alumno del primer grado y segundo grado de enseñanza primaria.números y vinculada a la magnitud.
³Cuando la división de un número por otro es exacta. por 8 por 9 y por 11.que los tópicos de matemáticas continuaban versando sobre Aritmética y Geometría. No obstante en e l capítulo de ³ Detalles prácticos de la división´. del libro ³Aritmética de segundo grado´ de la Editorial Edelvives (1945) se hace mención al concepto de divisibilidad a través de las definiciones de: (a) múltiplo -³Cuando la división de u n número por otro es exacta. se dice que el primero es divisible por el segundo o múltiplo del segundo´-. y a éste se le denomina factor o divisor´. Los siguientes apartados se dedican a la descomposición factorial de un número en sus factores primos. por 4. por 3. se dice que el primero es divisible por el segundo o múltiplo del segundo.
. a las definiciones y procedimientos de obtención del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor a partir del ³producto de los factores comunes elevados al menor exponente´ como podemos ver en la siguiente figura. A continuación se ofrecen las reglas de divisibilidad por 2. por 6. (b) divisor .
p. (b) los desarrollos curriculares realizados. permiten diferenciar los contenidos conceptuales y
procedimentales de máximo común divisor. y sólo sí. b es factor de a sí. a nuestro juicio: (a) las definiciones dadas a múltiplo y divisor podrían favorecer el
establecimiento por parte del alumno de las equivalencias entre ³a es múltiplo de b sí. Edelvives. tal como podemos observar en la anterior. 81)
En esta etapa es importante reseñar que. y sólo sí. y sólo sí a es divisible por b´. 1945. b es divisor de a sí.Procedimiento de obtención del máximo común divisor (Aritmética de segundo grado.
La enseñanza secundaria fue regulada por la Ley de 20 de septiembre de 1938
En este periodo. es nombrado ministro Joaquin Ruiz Jimenez que aportó un carácter más liberal y aperturista para la época. por lo que deducimos la vigencia del libro en la práctica de la educación secundaria durante estas tres décadas. hacer mención al carácter practico de los problemas de Aritmética y Geometría que se solicitaba en la reforma d e 1938 (Bruno y Martinón. Curso Superior´. La distribución de los contenidos de matemáticas se estructuraba a lo largo de los siete cursos académicos que duraba el bachillerato. En los tres primeros cursos se desarrollaban los contenidos de Aritmética y los contenidos matemáticos en el Bachillerato se correspondían con los de la reforma de 1934. IV. entre otras indicaciones. se sugería la necesidad de aumentar cualitativamente y cuantitativamente la educación primaria en España.(B. se
observa un marcado carácter procedimental de la representación factorial de un número natural. Un ejemplo de la concreción curricular de la divisibilidad en N en la etapa de secundaria es el libro de Bruño ³Tratado teórico-práctico de Aritmética razonada. En la década de los 50 el Banco Mundial emitió un informe sobre España en el que. como en épocas anteriores. Queremos. como evidencia su utilización en la determinación de l as ³reglas´ (procedimientos) de obtención del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo. la divisibilidad se introduce como una propiedad entre dos números y asociada a la division de ambos. Al Bachillerato se accedía mediante un examen de ingreso a los 10 años de edad.O. En el año 1951. En el desarrollo curricular de la divisibilidad. no obstante. con diferentes ediciones en los años 1932.E de 23 de septiembre). con una vision distinta de los
. 2000). Periodo de 1950 a 1970. 1940 y 1957.
en 1962 se produjo el primer trabajo sobre planeamiento del desarrollo educativo bajo los auspicios de la UNESCO y de la OCDE. sexto. el segundo de perfeccionamiento y en los tres de iniciación profesional. el tercer curso de enseñanza elemental. En 1963 se obligó a que las escuelas comprobasen el rendimiento escolar del alumnado y organizas en la enseñanza por cursos. se elaboró el primer mapa escolar español y se marcó como objetivo aumentar la calidad de la enseñanza. aspecto abandonado hasta el momento. séptimo y octavo.
En estos años España dejó delado la autarquía y se embarcó en la época del desarrollismo económico. En el ámbito educativo. En esta nueva etapa. Las manifestaciones y protestas universitarias causaron el cambio de Ruiz Jimenez por Rubio Garcia-Mina al frente del Ministerio de Educación Nacional en 1956. Ley de Ordenación de la
. Por su parte. los contenidos de divisibilidad en los Cuestionarios de 1965. 1990). En educación primaria se promulgaron los Cuestionarios Nacionales de 1953 y de 1965 y en educación secundaria la Enseñanza Media (1953 y 1957).problemas que incumbían a la educación. En los 20 años que abarca este periodo se promulgaron distintos programas ministeriales que regularon las actividades didácticas de educación primaria y secundaria. se desarrollaron a lo largo de tres periodos y en cinco de los nueve cursos en los que se organizó la enseñaza. El analfabetismo cuando Ruiz G Jimenez llego al cargo rondaba el 17 % (Navarro. En los Cuestionarios Nacionales de Enseñanza Primaria de 1953 los contenidos de divisibilidad. se distribuyeron en tres de los ocho cursos en que se organizó la enseñanza primaria. clasificados en ejercicios y adquisiciones. se abordó una política escolar donde se priorizó la constrcción de unidades escolares.
donde se trataba de todas las materias que formaban parte del currículo del alumno. Los tópicos matemáticos se ofrecían mediante definiciones y reglas elementales que permitían al alumno alcanzar sólo conocimientos básicos. el aprendizaje escalonado y la adecuación a las diferencias individuales´ (Sierra et al. Las enciclopedias estaban organizadas por ciclos y en un conjunto de textos de distintos grados.En los Cuestionarios de 1953 se postulaba ³la repetición. p. los ejercicios mecánicos. 1962. En la Tabla 1. segundo y tercer grado es un ejemplo de concreción curricular y metodológica de los Cuestionarios de 1953 en educación primaria. La divisibilidad en primer grado y en segundo
. con ejercicios de carácter operativo. soluciones de problemas de la vida diaria y coincidían co n el Cuestionario de 1953 ³e n llegar al concepto a través de ejercicios´ (p.1 mostramos los contenidos de divisibilidad que presentaban los Cuestionarios Nacionales de 1953 y de 1965:
Table ojo
La concreción curricular de los cuestionarios de 1953 se efectuaba mediante un texto genérico. mientras que en los de 1965 se aconsejaba una enseñanza activa.. la enciclopedia. 1964) de primer.
La E nciclopedia de Álvarez (1962.44).47). 1989.
por 9.³cuando lo contiene un número exacto de veces. submúltiplo. (b) divisor. La divisibilidad es entendida como una propiedad d e los números y vinculada a la magnitud sólo se desarrolla entre números con representación decimal sin mención alguna a la representación factorial de Los contenidos de divisibilidad tienen un carácter memorístico y procedimental. la diferencias de dos múltiplos de un mismo número). sin citar el Teorema Fundamental de la Aritmética. primos. son los múltiplos de 7´. criterios de divisibilidad por 10. Por el contrario. 7 x 3 «. La Ésta se obtiene a través de
. La concreción curricular de los Cuestionarios Nacionales para la Enseñanza Primaria de 1965 se realiza a través de distintos libros de texto. El concepto de divisibilidad en esta editorial se presenta a través de: (a) múltiplo.³si un número natural es múltiplo de otro. decimos también que éste es divisor del primero. tal como se muestra en la figura. por 10. La representación factorial de un número se presenta bajo el epígrafe ³Descomposición factorial´. por 100 ó por 1000´presentadas a través de ejemplos concretos. en el tercer grado la divisibilidad se presenta de manera sucinta como un a propiedad de los números a través de las acepcio ne s léxicas: múltiplo . por 5 y por 3 y la definición de números primos y compuestos. Esto contribuye a que se ahonde mucho más en los contenidos y que los alumnos profundicen más en ellos. 7 x 1.grado se presenta vinculada a la magnitud: ³múltiplos y divisores del sistema métrico´. junto con las propiedades de los múltiplos (la suma de dos múltiplos de un mismo número.³ 7. 7 x 2. Por ejemplo 72 es múltiplo de 8. por 2. porque 72 : 8 = 9´-. uno por materia y curso. Una ejemplificación de estas con creciones la encontramos en el libro de 6º curso de la editorial Prima Luce (1967).
d e un número compuesto. Prima Luce. a nuestro juicio.
Descomposición factorial. Las definiciones dadas a múltiplo y a divisor ayudan al establecimiento de relaciones de equivalencia lógica entre ambos conceptos. Bachillerato Superior (14-16 años) y Curso Preuniversitario (Ciencias y Letras) (17
. sin citar el Teorema Fundamental de la Aritmética. 1967.podría favorecer. p. el estudio de los divisores de un número representado como un producto de factores. La representación factorial de un número tiene carácter procedimental y no se realiza ninguna aplicación posterior. tal como se muestra en la figura.distintos
descomponiendo en otros hasta obtener la representación factorial del número en producto de factores primos. (Matemáticas 6º curso. El tratamiento dado a la descomposición factorial de un número.³los números que tienen otros divisores´.15) Esta editorial presenta la divisibilidad como una propiedad de los números. La Ley de Ordenación de la Enseñanza Media de 1953 estructuró la enseñanza secundaria en 7 cursos y tres ciclos: Bachillerato Elemental (10-14 años).
Divisibilidad de números descompuestos en factores p rimos. No obstante.años). (c) Números primos y compu estos. la podemos encontrar en dos libros de texto de 2º curso de Bachiller. Esta ley fue un primer intento de enseñanza obligatoria hasta lo s 14 años. Una vez finalizada cada etapa se procedía a realizar una prueba de revalida para obtener el correspondiente título (Bruno y Martinón. Calculo del mínimo común múltiplo de dos o más números. 2000). Propiedades obtención de todos los divisores. Obtención de números primos. Máximo común divisor. Cálculo del máximo común divisor de dos o más números. Descomposición de un número en factores primos. En los dos libros de 2º curso de Bachiller se desarrollan los mismos contenidos de divisibilidad organizados de forma similar: (a) Múltiplos y divisores. En 1957 este plan sufrió una pequeña modificación (Decreto de 31 de mayo de 1957).
Una ejemp lificación d e la concreción de los contenidos de divisibilidad impartidos en educación secundaria. Propiedades del mínimo común múltiplo. (b) la forma de ³entender´ el Teorema Fund amental de la Aritmética.
. Mínimo común múltiplo. (d) Divisores comunes de dos o más números. (b) Criterios de divisibilidad. Gironza (1 960) y Segura (1966). Propiedades. presentan diferencias significativas en (a) la definición de múltiplo y divisor.
El primero de los números también se llama múltiplo del segundo. después de la definición de número primo y número compuesto y sus propiedades. factor o submúltiplo d el primero´-. En Segura (1966).En el libro de Gironza (1960). b es divisor de a. los conceptos de múltiplo y divisor se presentan asociados a la operación de multiplicación. En ambas definiciones se favorece el establecimiento de las relaciones de equivalencia lógica. También se dice que el primero es divisible por el segundo. estos conceptos se asocian a la operación de división. y que éste es un divisor o factor de aquel´ -. Posteriormente.
A es el multiplo de b. se presenta en los libros de Segura (1966) y de Gironza (1960). divisor. Y el segundo. sin mención explicita.³Un número es divisible por otro cuando es exacta la división del primero por el segundo. a es divicible por b y b es un facor de a. Gironza (1960) desde el epígrafe ³Divisibilidad de números descompuestos en factores primos´ muestra la ³Condición de divisibilidad de un número´ mientras que Segura (1966) lo hace directamente desde el epígrafe ³Condición de divisibilidad de un número por otro.³un número es múltiplo de otro si es igual al producto de éste por otro cualquiera. El Teorema Fundamental de la Aritmética. descompuestos ambos en sus
Segura (1966) presenta los números representación factorial decimal.
Como podemos observar en la figura siguiente también existen diferencias en la forma de definir y ejemplificar el concepto ³ser divisible´. Gironza (1960) ejemplifica el concepto en su ³ser divisible´ mediante números representados la factorialmente. Por el contrario.factores primos´. carácter eminentemente
. con utilizando un posteriormente representación procedimental.
como él mismo dice.Condición de Divisibilidad de un número (Matemáticas 1º de Bachiller . p. 1966. 50) Los autores n o llegan a darle un carácter representativo al Teorema Fundamental de la Aritmética. 1960. Gironza (1960). por su parte. p. para rápido los productos de dos números ³calcular mucho más fácil y y la división de ambos´. Ecir. utiliza la representación de los números. Segura (1966). Gironza. presenta las mismas ideas que Gironza (1960) con un carácter
a ³reconocer más fácil si un número es divisible por otro cuando este se compone de factores primos sencillos´. 30 . también bajo el epígrafe ³Divisibilidad de números descompuestos en factores primos´.
1966. respectivamente. permite establecer una diferenciación entre el contenido conceptual y procedimental de estos co nceptos. 1960. p. p.más procedimental y bajo los epígrafes ³División de números descompuestos en factores primos´ y ³Aplicación de la divisibilidad de un número por un producto de factores´.
La representación factorial (Matemáticas 1º de Bachiller . respectivamente. Ecir. Gironza. 30 . Para el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo los autores proponen una regla
. La figura adjunta nos muestra las ideas descritas en este párrafo. 50) El estudio del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo desde los divisores y múltiplos comunes.
desde el preescolar hasta el universitario. El carácter procedimental de la representación factorial de los números naturales también es utilizado para obtener todos los divisores de un número. 14/1970 de 4 de agosto.
. En este amplio periodo la divisibilidad en la enseñanza se mostraba como una relación entre los números. Villar Palasí aprobó una nueva ley de educación coy objetivo fue adapter el sistema educativo a las necessitates de una sociedad capitalist (Navarro. La Ley General de Educación y Financiamiento de la Reforma Educativa. La demanda de profesionales más especia lizados requería una mejor instrucción. V. desarrolló el sistema educativo en distintos niveles. En este periodo.basada en el Teorema Fundamental de la Aritmética. Periodo de 1970 a 1990. 1990). promulgada siendo ministro de educación Villar Palasí. evidenciando un cambio progresivo a lo largo de las dos décadas hacia una enseñanza activa con el empleo de situaciones más próximas a los estudiantes a través el tratamiento de problemas de aplicación real. Cabe mencionar el uso procedimental que se hacía del Teorema Fundamental de la Aritmética para la obtención de los divisores de un número o para el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor de dos números. Las últimas reformas educativas si bien consiguieron la alfabetización de un amplio sector de la sociedad no formaron profesionales especializados. España pasa de ser un país agrícola a ser un país industrial y de servicios.
el formativo y el instrumental. agilidad de cálculo mental y creación de símbolos y estructuras matemáticas.B). en la metodología y en la evaluación. El formativo debía capacitara los a lumnos a pensar.Esta Ley determine un cambia o e n los contenidos. Entre la Ley General de Educación y los Programa s Renovados se implantó en España la democracia. Como indican Sierra et al. a discurrir. organizados en ocho cursos escolar es. El aprendizaje matemático debía realizarse desde dos aspectos. inicial superior y medio. Era obligatoria desde los 6 años hasta los 14 años y se dividió en dos eta pas organizadas en ocho cursos.G.G. La falta de concreción de las orientaciones pedagógicas de la Ley de 1970 creó la necesidad de elaborar unos nuevos programas. (1989) en los Programas Renovados de principios de los ochenta se estructuró la E. los llamados Programas Renovados publicados en 1981 (ciclo inicial) y en 1982 (ciclo medio y superior).
. Las Orientaciones Pedagógicas de 1970 defendían una enseñanza activa y establecían como objetivos la adquisición de vocabulario matemático. el logro de mecanismos de cálculo operatorio elemental.B. La educación primaria en la Ley General de Educación de 1970 y en los Programas Renovados de 1981 y 1982 recibió el nombre de Educación General Básica (E. En la Constitución de 1978 se establecieron principios generales de educación que supusieron la regulación de nuevas leyes educativas. demostraciones matemáticas. en tres ciclos.
m. y m. 5. El instrumental por su parte prepararía a los estudiantes para desenvolverse en la vida. En los Programas Renovados el estudio de la divisibilidad se pasa al Ciclo Superior con ³el objeto de llegar al estudio del m. ³Reconocer y definir números primos y compuestos´. y de ésta sólo se especifican los conceptos de ³múltiplo y divisor´ aunque se señala la posibilidad de ampliar y adaptar los contenidos y la metodología a la evolución de los alumnos.
En las orientaciones pedagógicas de la E. a utilizar la matemática como herramienta para otras áreas.c.
.G.permitiendo el desarrollo interdisciplinar. ³Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo´. la divisibilidad se programa en la primera etapa.d. 3. ³Adquirir el concepto de máximo común divisor y mínimo común múltiplo´. ³Conocer y memorizar los criterios de divisibilidad por 2. que permitirá la operatividad en Q y a la resolución de problemas´ y se especifican los siguientes objetivos a conseguir: ³ Adquirir el concepto de múltiplo y divisor y saber reconocer múltiplos y divisores´. En estos programas se señalaba que el paso de lo concreto a lo abstracto se debía realizar pasando de la etapa experimental hasta l a simbólica. publicadas con posterioridad a la Ley General de Educación. en 5º nivel. a través de la figurative. ³Plantear y resolver problemas con máximo común divisor y mínimo común multiplo.B.c. 9 y 11´. Los diferentes proyectos editoriales concebidos para desarrollar los contenidos de matemáticas en general y la divisibilidad en particular.
La relación de equivalencia lógica entre ambos conceptos se muestra mediante diagramas de fleches.según Ley General de Educación y Programas Renovados.³Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar este n úmero por otro cualquiera´ y el de divisor .
rescaleras con el objetivo de favorecer la comprensión de los distintos contenidos del currículo. recta numérica. a través de dibujos. configuraciones puntuales.
.diagramas de Venn. se presentan. diagramas de Venn y
representaciones simbólicas. como nos muestra la figura adjunta. estuvieron ³impregnados´ de una matemática moderna que propició el uso de distintos sistemas de representación. En el libro de texto de 5º curso de la editorial Anaya (1981) el concepto de múltiplo. correspondencias. decimos que el segundo número es divisor del primero ´.Cuando la división de un número por otro es exacta.
1981. definen ³múltiplo de un número´ asociado a la operación multiplicación intended como una sumac c reiterate de un número del que son múltiplos los números obtenidos en la sumac. pp.b´ y el concepto de divisor.³un número a es múltiplo de otro b si se puede encontrar un número natural n tal que a = n. el proyecto editorial ³Matemáticas. Los autores.Las representaciones en el aprendizaje de Múltiplo y Divisor de un número y sus relaciones (Matemáticas básicas.³Si un número a es múltiplo de otro b. por ejemplo.
. Al número de sumandos se le llama divisor. a través de la recta numérica como se muestra en la figura. mediante la recta numérica y la representación simbólica de los números los conceptos de múltiplo. 5º Primaria. Or be 5´ de la editorial Vicens-Vives (1980) introduce. entonces b es divisor de a´-. Ambient obtienen el ³divisor de un número´ mediante el reparto a través de diagramas de Venn. Anaya.174-176)
Vicens-Vives. pp. 78-79)
.Las representaciones y el aprendizaje de Múltiplo de un número (Matemáticas Orbe 5º EGB. 1980.
P) o de Formación Profesional.. Posibilitando estudios de Bachillerato Unificado Polivalente (B. escalera o redes cuadriculares par a obtener la regla de obtención del mínimo común múltiplo de dos numeros..U. Ésta se iniciaba después de la enseñanza primaria. bajo el epígrafe ³Determinación gráfica del m. La figura adjunta muestra cómo el proyecto editorial ³Matemáticas.m. En esta época.En
presencia diagramas.U.O. EGB´ de Vicens-Vives (1984). No obstante. periodo obligatorio hasta los 1 4 años.y sus conversiones junto a la representación decimal de objetivo de favorecer la comprensión de los diferentes conceptos de divisibilidad. El Curso de Orientación Universitaria (C. El B. Línea 6. de dos números´. 1 977).P constaba de tres cursos.. el Teorema Fundamental de la Aritmética sigue teniendo el mismo carácter procedimental que en épocas anteriores. La acción docente en el Bachillerato debía basarse en el aprendizaje del alumno y no en una enseñanza centrada exclusivamente en la explicación de la materia (Rodríguez. el uso de este tipo de representaciones no favoreció el estudio de la divisibilidad entre números con representación factorial.
representaciones éstos con el
puntuales.U)
.c. entre los catorce y los dieciséis años. La Ley General de Educación de 1970 también produjo un cambio sustancial en la enseñanza secundaria. utiliza con carácter procedimental la representación factorial y los Diagramas de.
era un curso más de la enseñanza secundaria y se cursaba a los diecisiete años una vez finalizado el B.P o la Formación Profesional de segundo grado. La divisibilidad sólo formó parte de los programas de B. Binomio de Newton.
En este periodo se postula una enseñanza activa. Divisibilidad de polinomios.
. proponiendo un muestrario de propuestas pedagógicas que en las pr imeras décadas no se encontraba en la realidad de los centros.U. en la metodología y en la
evaluación. específicamente en primer curso y centrada en el anillo de polinomios: ³Anillo de polinomios. aunque el Teorema Fundamental continua utilizándose de forma procedimental para mostrar la descomposición de un número natural en producto de factores primos y usarlo en el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo.P. determinándose un cambio orientativo en los contenidos. La divisibilidad aparece vinculada a las representaciones de carácter gráfica que ayudan a introducir los conceptos de múltiplo y divisor. Divisibilidad´.U.
el sistema educativo se reordenó estableciendo las etapas de educación infantil. educación secundaria obligatoria. expresados en términos de capacidades.
La Ley fijó los objetivos.G. La educación obligatoria se amplió hasta los 16 años. En los años ochenta se estableció un amplio debate sobre el sistema educativo.VI.S. respectivamente).
bachillerato y formación profesional de grado medio y de grado superior. de 3 de octubre) . Esta Ley estableció un cambio significativo en el sistema educativo de nuestro país. educación primaria. En virtud de las transferencias
autonómicas las Comunidades Autónomas establecieron los Decretos 20/1992 y 47/1992 fijando los principios esenciales de la propuesta
.E) (1/1990. En 1988 se presentó el Libro Blanco para la Reforma del Sistema Educativo y en 1990 se aprobó la reforma educativa mediante la Ley General de Ordenación del sistema educativo (L.O. los contenidos y los criterios de evaluación del currículo así como los aspectos básicos que constituyeron las enseñanzas mínimas para la Educación Primaria y Secundaria (Reales Decretos 1006/1991 y 1007/91. Periodo de 1990 hasta la actualidad.
La Educación Primaria. considerando importante que los niños y las niñas de Primaria encontraran sentido a lo que hacían. Optaron por un currículo abierto y flexible que requería un a posterior concreción en los centros educativos a través de los proyectos curriculares de las distintas áreas. objetivos de área y criterios de evaluación de la enseñanza primaria y secundaria. en el apartado 6.educativa: objetivos generales. la secuenciación de los mismos. Las matemáticas deberían presentarse en distintos contextos. organizada en áreas obligatorias de carácter global e integrador. tanto de resolución de problemas.se dividió en tres ciclos de dos cursos académicos cada uno. respectivamente. como de juegos e investigaciones.de 6 a 12 años. la metodología adecuada a cada tipo de contenido y los objetivos a alcanzar. bajo el epígrafe ³Relaciones entre los números´ co n los siguientes contenidos: ³Múltiplos y divisores´. los contenidos de divisibilidad del currículo de la Educación Primaria en la Comunidad Valenciana (Decreto 20/1992) se englobaban dentro del bloque de Números. Atendiendo a las transferencias autonómicas.
³Números primos y compuestos´. la editorial Santillana. de juegos. etc.
En este periodo. No se especificaba. en su libro de 6º curso de Primaria (1997) muestra los divisores de un número a partir de un contexto de reparto tal como muestra la figura adjunta. el ci clo o curso en que se debía imparter. las editoriales mayoritariamente presentan los contenidos a través de distintos contextos: de resolución de problemas.
.³Divisibilidad´. por tratarse de un currículo abierto. Por ejemplo.
³Composición y
descomposición´.
en su libro de Matemáticas de 6º.Divisores de un número natural Matemáticas 6º Primaria. Una situación problemática perteneciente a un contexto de reparto sirve de referente para mostrar como sinónimos los conceptos de ³divisor divisible´ y ser
La relación entre ³divisor y múltiplo de un número´. a partir de la relación inversa de la divi sión y multiplicación. la presenta la editorial Marjal (1995). 1997. Santillana. p.
La educación obligatoria establecida por la L. otros también incluyen los de máximo común divisor y mínimo común
múltiplo de dos números naturales o incluso estudian los números primos y compuestos. Marjal. divisor y ser divisible. relaciones entre las distintas acepciones de la divisibilidad. unos textos sólo desarrollan la
divisibilidad a partir de los conceptos ³múltiplos y divisores´. Establecen. El Teorema Fundamental de la Aritmética no forma parte del currículo de la mayoría de los proyectos editoriales. pp.Relaciones de equivalencia lógica entre Múltiplo.G.E configuró una
.S. La concreción curricular de los contenidos en la s distintas editoriales presentan ciertas diferencias. 1995. (Matemáticas 6º Primaria. explicita o implícitamente. 38)
Los distintos proyectos editoriales generalmente han situado el estudio de la divisibilidad en el último ciclo de la Educación Primaria. La divisibilidad en todos ellos se entiende como una propiedad entre números con representación decimal.O.
etapa de educación secundaria con identidad propia. cuyo objetivo principal fue preparar a los adolescentes para ser ciudadanos en una sociedad democrática. sin asignarlos a un curso concreto. La actividad matemática debía desarrollarse resolviendo problemas.
En virtud de las transferencias autonómicas. planteando los conceptos y procedimientos en contextos variados y próximos al entorno de relaciones y experiencias de los estudiantes. En la Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO) se estableció un aprendizaje activo de las matemáticas. entre los doce y los dieciséis años. plural y tecnológicamente avanzada. presentando la temporalización de sus contenidos
de man era abierta. estructurada en dos ciclos de dos años cada uno.
consolidando destrezas con la convicción de que tal actividad despliega cualidades y propicia actitudes intrínsecamente interesantes y permite crear conocimientos y ampliar destrezas útiles para el individuo y para la sociedad. analizando juegos. la Generalitat Valenciana estableció el currículo de Educación Secundaria de las diferentes áreas (Decreto 1007/91). buscando la comprensión antes que la formalización. Los contenidos de divisibilidad del
como repaso de los conceptos de cursos anteriores. La divisibilidad en la mayoría de las editoriales consultadas es entendida como una propiedad entre números con representación decimal. los contenidos se desarrollan a través de distintos contextos. al igual que en educación primaria. máximo común divisor y mínimo común múltiplo´. bajo el epígrafe ³Relaciones entre los números´ con los siguientes contenidos:
³múltiplos y divisores. tal como vemos en l a figura adjunta. sitúan a la divisibilidad en el primer ciclo y sólo en algunas de ellas aparecen referencias explícitas de la divisibilidad en el tercer curso. La descomposición factorial de los números naturales.
En el desarrollo curricular de la Educación Secundaria Obligatoria que ofrecen diferentes editoriales.currícu lo de la Educación Secund ari a en la Comunidad Valencian a se engloban dentro del bloque de Números. Las conexiones entre las diferentes acepciones de léxicas de la divisib ili dad se muestran explícitamente. se vincul a a los procedi mientos de cálculo del máximo común divisor y del mínimo
común múltiplo de dos o más números.
Valenciana estableció el currículo de Educación Secundaria de las
Carácter procedimental de la descomposición factorial
Cualidades y propicia actitudes intrínsecamente interesantes y permite crear conocimientos y ampliar destrezas útiles para el individuo y para la sociedad.
como repaso de los conceptos de cursos anteriores. bajo el epígrafe ³Relaciones entre los números´ con los siguientes contenidos:
³múltiplos y divisores.diferentes áreas (Decreto 1007/91). máximo común divisor y mínimo común múltiplo´. La divisibilidad en la mayoría de las editoriales consultadas es entendida como una propiedad entre números con representación decimal.
En esta etapa. Las conexiones entre las diferentes acepciones de léxicas de la divisib ili dad se
. Los contenidos de divisibilidad del currícu lo de la Educación Secund ari a en la Comunidad Valencian a se engloban dentro del bloque de Números. sin asignarlos a un curso concreto.
En el desarrollo curricular de la Educación Secundaria Obligatoria que ofrecen diferentes editoriales. sitúan a la divisibilidad en el primer ciclo y sólo en algunas de ellas aparecen referencias explícitas de la divisibilidad en el tercer curso. al igual que en educación primaria. presentando la temporalización de sus contenidos de man era abierta. los contenidos se desarrollan a través de distintos contextos.
tal como vemos en l a figura adjunta. se vincul a a los procedi mientos de cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de dos o más números.
Carácter procedimental de la descomposición factorial (Matemáticas 1º ESO.13
.muestran explícitamente. Casals. 2000. La descomposición factorial de los números naturales. p.
bajo el epígrafe ³Revisión de los conceptos de múltiplo y
divisor´ y como un apartado de la ³Descomposición factorial de un número en sus factores pr imos´. define y propone actividades sobre múltiplos y divisores entre números con representación factorial tal como muestra la figura. estudia.No obstante. nos parece importante señalar que la editorial Anaya (1998). Adjunta:
Anaya. múltiplos comunes (máximo común divisor y mínimo común múltiplo) son definidos entre números con representación decimal y factorial.Divisibilidad entre números con representación factorial (Matemáticas 2º ESO. Divisibilidad´.27)
Los autores d e este proyecto editorial utilizan los modos de representación de los números como organizadores de la unidad didáctica ³Números. 1998. divisor. p. Los conceptos de múltiplo. usando como nexo de unión entre ambos desarrollos el Teorema
se presenta a través de situaciones problemáticas.
unos resultados e interpretación de los mismos´ a una enseñanza de la matemática ³más práctica donde la pretensión de rigor no es una parte prioritaria´. en consecuencia. del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más números como una forma de entender y aplicar las definiciones de estos conceptos desde la representación factorial.
1. y de divisibilidad en particular.3.Fundamental de la Aritmética. Desde estas situaciones se establecen los conceptos y relaciones entre los conceptos de divisibilidad entre números naturales con representación decimal. l os llamados procedimientos de obtención de divisores de un número. el desarrollo de los contenidos de matemáticas en general. LA
. La divisibilidad en tre números con representación factorial no forma parte de l currículo de la mayoría de los proyectos editoriales. En este periodo. Consideramos que este desarrollo curricular p odría favorecer que los alumnos pensaran el Teorema Fundamental de l a Aritmética como otra forma de representar los números y.
C. ³Relación de divisibilidad. integrando los recursos de las tecnologías de la información y de las comunicaciones en el aprendizaje. El Decreto 39/2002 estableció el currículo de la Educación Secundaria
Obligatoria en la Comunidad Valencia na. y en segundo curso. Esta nueva reforma del sistema educativo tiene como objetivo ad aptar la enseñanza a las características de los alumnos. en el Boletín Oficial del estado de 24 de diciembre de 2002. se publicó la Ley Orgánica 10/2002 de Calidad de la Educación (L.
Al establecer las enseñanzas comunes de la Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO) para toda la Comunidad Valenciana se optó por un
En el año 2002. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números naturals ³.E. enmarcados e n el bloque de Aritmética y Álgebra. Este decreto fijó los contenidos mínimos del tema de divisibilidad en el primer ciclo.O. Éstos en primer curso se presentan bajo el epígrafe de ³Divisibilidad´.primer y segundo curso-. favoreciendo su capacidad para aprender por sí mismos y para trabajar en equipo.ACTUAL EN LOS LIBROS DE TEXTO.
factorización de un número. criterios de divisibilidad (por 2 y por 3). Ell o implicó que los currículos aprobados requiriesen poster ior es niveles de concreción por parte del profesorado y de los proyectos editoriales. elegidos entre editoriales de gran difusión y otras d e menor difusión en la Comunidad Valenciana. Para obtener una aproximación de la concreci ón curricular sobre los contenidos de divisibilidad que se viene desarrollando en las au las de ES O hemos analizado distintas editoriales por ser los libros el referente fundamental de los docentes. Se examinaron diez libros de texto. los algoritmos correspondientes para su o btención y la aplicación de los co nceptos y algoritmos estudiados en
Los textos examinados tratan la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. en primer curso de ESO. desarrollan los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos n úmeros. número primo y compuesto.currículo abierto y flexible. reforzando y ampliando. contenidos que los estudiantes han trabajado en educación primaria: múltiplo y divisor de un número. Los libros de texto consultados se adaptan al nuevo currículo de ESO. En segundo curso y en algunos casos también en primer curso.
. que lo integran nueve de los diez libros. máximo común divisor y mínimo común múltiplo. ordenación de libros. n úmeros primos y compuestos. Las propiedades de los múltiplos y divisores sólo son estudiadas por dos de los libros de texto examinados. por 3 y por 5). y problemas de aplicació n práctica en contextos cercanos (baldosas. cá lculo de todos los divisores de un número. En nueve de los diez textos seleccionados se encontró un elevado nivel de coincidencia en los contenidos de divisibilidad y en el desarrollo de los mismos. Al finalizar cada unidad didáctica se plantean actividades y ejercicios de aplicación teórica y procedimental. factorización de un número. Un primer tipo. divisores de un número natural.
En función del desarrollo curricular que realizan y las actividades que proponen hemos clasificados los libros de texto recopilados en dos tipos. cuya característica principal es introducir los conceptos y procedimientos y posteriormente proponer ejemplo s y actividades de complemento para cada uno de ellos. criterios de divisibilidad (por 2.la resolución de situación problemáticas reales y próximas a los estudiantes. coincidencias de días. concretamente en los sigui entes contenidos: múltiplos de u n número natural. distancias.
número de grupos escolares. 89) La representación factorial no es tratada explícitamente en la editorial Marfil ( 2002) y en la editorial S. p.M. Algunos de estos libros también proponen activi dades de autoevaluación. p.M. Marfil. otros juegos y curiosidades relacionados con la divisibilidad. 9. etc.). (20 02) se presenta desde el epígrafe ³Descomposición de un número en factores primos´ tal como
. S.horarias. 2002. 2002.2 presenta el desarrollo curricul ar de un texto de 1º de ESO de la editorial S. (2002) como ejemplo representativo de esta primera categoría.M.
Procedimiento de cálculo de los divisores de un número (Matemáticas 1º ESO. La Tabla 1.
muestra la figura adjunta. tal y como se describe en la figura adjunta.M.
Descomposición de un número en factores primos (Matemáticas 1º ESO. 13) Posteriorme nte. la descomposición factorial de un número en la editorial S. (2002) es utilizada como procedimiento de cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos Números. p.M. 2002. S.
.Máximo común divisor de dos números: definición y cálculo Matemáticas 1º ESO. p. 2002.M.
El Teorema Fundamental de la Aritmética sigue teniendo un marcado. Podemos concluir señalando que la enseñ anza de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales en las etapas de educación
. 90-91) La divisibilidad es entendida mayoritariamente como una propiedad entre números con representación decimal. Marfil: 2002. y Brown et al. con el objetivo de realizar un cuestionario. El estudio de los contenidos sobre divisibilidad que presentan los distintos libros de textos examinados. factorización de un número (Teorema Fundamental de la Aritmética). el desarrollo curricular que realizan y las actividades planteadas nos ha permitido fijar los tópicosmúltiplos y divisores de un número natural. números primo s y compuestos. en sus diversos ciclos. y su ampliaci ón y comparación con estudios como los de Zazkis y Campbell (1996a). (2002). con carácter procedimental. validarlo y evaluar el desarrollo de la compresión de la divisibilidad en N de los alumnos de enseñanza secundaria.Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos número (Matemáticas 1º ESO. máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Las definiciones de las acepciones léxicas de divisibilidad múltiplo-divisor favorecen explícitamente el establecimiento por parte de los alumnos de relacio nes lógicas entre estas acepciones. desde la per spectiva de la teoría APOS. pp.que van a formar parte de nu estra investigación y seleccionar activi dades y problemas sobre los conte ni dos de divisibilidad qu e se desarrollan en la etapa. criterios de divisibilidad.
bien fueran diagramas o representaciones puntuales.primaria y media se ha centrad o principalmente en los alumnos comprendidos entre 10 y 14 años a lo largo de los sig los XX y XXI. la divisibil id ad se ha tratado tanto en educación primaria como secundaria como una propiedad entre números. juguetes.S. hasta la propuesta de una enseñanza más activa a partir de la década de los 60. desarrollando las capacidades pr opias de los alumnos y atendiendo a la diversidad en el aula. a partir de la
. trenes) introducción de la L. a excepción del periodo de 1931 a 1 936. Hemos podido observar cómo la divisibilidad se ha vinculado e n las primeras décadas en los primeros años de educación primaria a la magnitud. hasta la época actual donde la propuesta metodológica establece un currículo flexible con la concreció n educativa en los diferentes centros educativos. destacando que a para partir de 1970 los se utilizan de representaciones gráficas introducir conceptos
divisibilidad. La evolución de los tiempos y de la sociedad ha postulado el paso d e una metodológica principalmente memorística. hasta la década de 1990.O.E. Por lo general. A lo largo de los periodos estudiados se ha podido ver que la divisibilidad se introduce en las primeras décadas del siglo XX.G. o representaciones de figuras de contextos cercanos (flores. dependiendo otras eventualidades de los planes de estudios establecid os por las circunstancias políticas y socials.
b es divisor de a b es factor de a a es divisible establecimiento por parte del alumno de las equivalencias lógicas ³a por b´. y
. A partir de la década de los 60. Por otra parte también encontramos la definición de múltiplo asociado a la operación de multiplicar o bien a la de dividir (si la división es exacta) y la definición de divisor asociada a la operación es múltiplo de b de dividir. El modo de r epresentación factorial es utilizado en los libros de texto de manera procedimental para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
a través de la acepción léxica de ³ser divisible´
(formando parte del número) y a partir de la cual se definen múltiplo y divisor de un número.principalmente. los libros de texto no suelen introducir el Teorema Fundamental de la Aritmética para los cursos cuyos alumnos no alcanzan los 12 años. cuando las editoriales tratan este Teorema Fundamental no esp ecifican su nombre y lo introducen. la mayor variedad editorial. muestra que los autores utilizan unas u otras acepciones para introducir la divisibilidad. y bajo la influencia de las ³matemática modernas´. Estas últimas definiciones favorecen el . algún libro de texto presenta la definición de múltiplo a través de los puntos de una r ecta graduada y después de haber introduci do la ³relación de ser divisor´ como una rel ación de equivalencia. Queremos reseñar que después de la puesta en funcionamiento de la Ley de 1970. En las épocas estudiadas.
Por último. como la descomposición en factores primos de un número natural. generalmente.
Las investigaci on es sobre la comprensión de los tópicos de l a Teoría Elemental de Números revelan la existencia de dificultades en el aprendizaje y comprensión de estos conceptos y la necesidad de una mayor indagación en este campo. La gran mayoría de las investigaciones realizadas co n estos tópico s se han planteado inicialmente con estudiantes para maestros y desde la perspectiva del análisis de la comprensión de los contenidos matemáticos qu e se deben enseñar.4. estas investigaciones nos aportan una información inicial para plantearnos nuestras cuestiones de investigación sobre la compre nsión de la divisibilidad en alumnos d e secundaria. 1. Zazkis y Campbell (1996a) en su estudio con estudiantes para maestros de enseñanza primari
.algunas editoriales lo emplean también para la obtención de todos los divisores de un número. y  el papel que desempeñan las diferentes representaciones de los números (decimal y factorial) en la compr ensión de los contenidos de la divisibilid ad. Sin embargo. LA ³COMPRENSIÓN DE LA DIVISIBILIDAD´ COMO ÁMBITO DE INVESTIGACIÓN. Dos han sido los criterios de organización d e esta investigación:  las centradas básicamente en el análisis de la comprensión de las relaciones entre las diferente acepciones léxicas.
mínimo común múltiplo. Zazkis (2000) analiza las conexiones que efectúan los estudiantes para maestros entre los conceptos de factor. Este autor subraya que las investigaciones en el aula pueden ayudar a superar determinadas dificultades de la comprensión de las nociones de la aritmética elemental y. no han recibido la atención que requieren en las distintas investigaciones de Educación Matemática. En relación a la comprensión de la divisibilidad en el conjunto de los números n aturales. tales como factores primos.
. Además toma como referencia funda mental l a necesi dad de corregir las dificultades que se muestran en la comprensión de la aritmética básica y la ma ner a en que se enseña a los niños. máximo común divisor o reglas de divisibilidad. en la Teoría Elemental de Números aplicada a futuros maestros de enseñanza primaria.indican que si bien los conceptos elementales de la Teoría de Números tienen una gran importancia. y entre otros conceptos de la teoría elemental del número. descomposición en factores primos. en particular. de la divisibilid ad. divisor y múltiplo. en particular. Campbell (2000) señala la influencia de la investi ga ción en Educación Matemática en la práctica docente.
b) Indica los factores de 117 = 32 x 13. d) ¿De qu é números es múltiplo 117? e) ¿Existen factores que no sean divisores de un número? f) ¿Existen números que son múltiplos y divisores de 117? El análisis de los datos resultantes de las entrevistas realizadas a estudiantes para profesores de enseñanza primaria. efectuado desde la perspectiva d e considerar el conocimiento como una red e n la que los conceptos matemáticos se estudian aportó los siguientes resultados: relacionándose con otros. c) Indica l os divisores de 117 = 32 x 13.Zazkis considera la equivalenci a de las siguientes relaciones entre dos números naturales cualesquiera:  b es un factor de a  b es un divisor de a  a es múltiplo de b con la existencia de dos formas adicionales para expresar la misma r el ación entre dos números:  b divide a a  a es divisi ble por b Para analizar qué equivalencias establecían preguntas que formuló eran del estilo: los estudiantes para profesores de enseñanza primaria realizó 19 entrevistas donde las
a) Enumer a los factores primos de 117 = 32 x 13.
a es múltiplo de b. Zazkis (2002) desarrolló. Éste fue asociado a la operaci ón de multiplicación. divisores y múltiplos) con estudiantes para maestros realizando entrevistas clínicas individuals. b es un factor de a. La mayoría de ellos lo asociaban con la operación de multiplicación y no lo entendían como una relación entre los numeros. Los conceptos de divisibilidad también son aprehendidos a través de imágenes mentales de reparto d e objetos como es el caso del
. es sustituid o por ³ser dividido´. factores. Las conexiones entr e los conceptos de factor.
el concepto de ³múltiplo´ fue el más problemático de los tres conceptos. No obstante.
La divisibilidad es uno de los conceptos en la Teoría de Números que presenta una amplia gama de descripciones léxicas. El concepto ³ser divisible ´. La autora en sus conclusiones pone de manifiesto el intercambio constante e incoherente que
realizan los estudiantes entre el lenguaje formal y no formal. descomposición en factores primos. entendido como un número que puede ser dividido por otro con resto cero. b) el concepto de ³divisor´ resultó más problemático que el de factor. considerando que un número puede ser dividido por otro aunque el cociente no sea entero.a) la comprensión del concepto de ³factor´ parecía ser el menos problemático de los tres estudiados. equivale ncia lógicas entre las siguientes expresiones: a es divisible por b. como ya se ha in dicado. una investigación sobre el uso del lenguaje en la Teoría Elemental de Números (divisibilidad. lo s estudiantes tenían una comprensión incompleta del mismo. por ejemplo entre factor y múltiplo. Existía una gran tendencia entre los alumnos a asociarlo con el papel que pu ede desempeñar un número en la division. pudiéndose establecer. El resto de conexiones. entendido como relación entre números. b divide a a. b es un divisor de a. a lo largo de cuatro años. se reali zaban de forma errónea. y que las conexi ones que establecen entre e stos conceptos son la mayoría de las veces debiles o incompletas. múltiplo y divisor no fueron establecidas por ningún estudi anteEsta investigación aporta como resultado r elevante que los estudiantes a menudo asignan a los conceptos significados diferentes a los asignados por los matemáticos en
el contexto de la Teoría de Números. la mayoría de estudiantes sólo establecían equivale ncia lógicas entre factor y divisor.
El tipo de tareas planteadas en los cuestionarios y entrevistas permitieron analizar el papel de diferentes representaciones y la dificultad que éstas suponían para lo s alumnos. La combinación de elementos visuales y n arrativos de los mapas conce ptuales es considerada por el autor como beneficiosa para la construcción de conocimiento matemático.
. Zazkis (2002) demanda metodologías de enseñanza que promuevan y ayuden al uso formal y riguroso del lenguaje matemático a fin de dar sentid o al significado de los conceptos. factori zación. divisor. Igualmente. algoritmo de Euclides o máximo común divisor. 6 puntos so bre 10. y de divisibilidad en particular. mínimo común múltiplo. múltiplo. El autor pla nteó la elaboración de un mapa conceptual de los conceptos de factor.concepto ³ser divisible´ que los estudiantes representan mentalmente como conjuntos de objetos de igual número. división por números primos. proporcionan a los profesores la oportunidad de descubrir los errores de sus alumnos y evaluar el progreso de la comprensión de los conceptos matemáticos.
Bolte (1999). En este sentido cabe destacar la tendencia de los estudiantes a obtener la representación decimal de los números naturales para resolver las tareas planteadas. descomposición factorial. sin observar las características de las representaciones utilizadas. de forma individual o colectiva. producto. El mapa conceptual que se muestra a continuación fue calificado como débil. Los estudiantes debían establecer y organizar las relaciones existentes entre los conceptos a través de nudos y líneas. primo.
Entre las investigaciones relativas al papel de las disti ntas representaciones de los números y las
dificultades que éstas generan en l a comprensión de determinados conceptos de la Teoría de Números. Los mapas conceptuales aportan a los estudiantes representaciones más completas al integrarse en ellos la representación visual y narrativa. en sus trabajos con estu di antes para profesores y con alumnos de enseñanzas medias. divisib le. La realización por parte de los estudiantes para maestros de los mapas conceptuales puso de manifiesto su comprensió n de los conceptos implicados y las conexiones que establece n entre éstos. destacan las diferentes características de las representaciones de los números naturales en las tareas que sobre Teoría de Números fueron planteadas. de mapas conceptuales sobre temas de matemáticas en general. debido a su organización y a la explicitación de algunas relaciones superficiales. Zazkis y Gadowsky (2001). Este grupo de investigaciones pone de manifiesto que un aspecto a considerar en el análisis del
desarrollo de la comprensión de la divisibilidad en N puede venir dado por el establecimiento de relaciones entre las distintas acepcio ne s léxicas de la divisibilidad. por su parte. compuesto. A través de este estudio. expone las pautas que se pueden seguir para la formalización. ofreciendo al final de la actividad un informe sobre las relaciones establecidas entre los conceptos por ellos.
al n o considerar que 7 es un factor de M. b) La tarea ³El número 363. En la escuela se da mayor preponderancia a los cálculos. La elección de actividades con estas características puede ayudar a los estudiantes en la comprensión de las peculiaridades de los números naturales. ³15 x 5623 + 60 = 15 x 5623 + 1 5 x 4 = 15 x (5623 + 4)´ La resolución de otras tareas ofreció pobres respuestas por la dificultad que supuso para los estudiantes el tipo de representación utilizada.
¿M es divisible por 7?´ se destaca que la estrategia mayoritaria es la de obtención de la representación decimal de M para efectu ar la división. ¿es impar?´ radica en que los alumnos están acostumbrados a representar los números en el sistema de numeración decimal. representado en base 6. los autores plantearon tareas del tipo: ³¿Es 712 un cuadrado perfecto? ¿Es 716 un cuadrado perfecto?´ En el primer caso. para resolver la tarea ³Dado el número K = 6 x 147 + 1. estimulando a los alumnos con representaciones que excedan a las capacidades de cálcu lo de las calculadoras.
c) Repre sentaciones basadas en la propiedad distrib utiva. ¿Se puede expresar como múlti pl o de 15?´ obtenían la representación decimal de A y dividían por 15. La mayor parte de los estudia ntes para resolver la tarea ³Considere el número A =15 x 5623 + 60. b) Representaciones fundamentadas en el algoritmo de la division. Esta estrategia pone de manifiesto que ( a) para algunos alumnos era más fácil discutir la divisibilidad por 7 del número 675 x 7 que del número M. ¿Cuáles son el cocie nte y el
resto en la división de K por 6?´. en detrimento del estudio de la estructura y de las características de las representaciones d e los números.Por ejemplo. la prefer encia de los estudiantes fue obtener la representación decimal de K y hacer la división por 6. Por ejemplo: a) La dificultad de la tarea ³El número 1215. dada la evidencia de la representación. e incidiendo en el papel primordial que juega la unicidad de la descomposición factorial de un número (Teorema Fund amental de la Aritmética). aunque este tipo de contestacion no fue la mayoritaria. De nuevo. La importancia de las representaciones de los números debe destacarse mediante la presentación de diferentes expresiones y situaciones. ¿Es un cuadra do perfecto?´ presenta dificultad a los alumnos po rque la representación decimal del número no permite observar otra representación alternativa y consideran que el número es un cubo perfecto. la respuesta mayoritariamente fue correcta. en especial
. (b) para otros era más fácil discutir la divisibilidad por 7 de M (factor que aparece en la representación factorial) que la indivisibilidad por 11 (factor que no aparece en la representació n factorial). Zazkis y Gadowsky (2001) creen que estos resultados son debidos a las experiencias previas de los alumnos en la escuela. sin observar que la representación dada se puede transformar en (713)2. No eran capaces de aplicar la propiedad distrib utiva para discernir que A es multiplo de 15. los estudiantes obtuvieron el valor de 716 y calcularon la raíz cuadrada. en el segundo caso. Para analizar el uso que los estudiantes hacían de las representaciones factoriales en la identificación de cuadrados perfectos.
a) Representaciones factorials:
Entre las distintas respuestas dada a la pregunta ³Dado el númer o M = 33 x 52 x 7. Algunos estudiantes contestaron que K es múlti plo de 6 porque 6 está contenido en la representación del número mostrado.
22 x 34x n. Sugiriendo que la falta d e una representación transparente para un número primo puede ser un obstáculo para la comprensión del concepto de primalidad de los numeros. 22 x 35. El término ³elementos constructivos´ podría ser visto como ³una interpretación metafórica del Teorema Fundamental de la Aritmética´. (b) realizando las diferencias sucesivas entre dos términos de la sucesión a partir de su representación factorial y expresando la difere ncia en producto de factores primos 22 x 34. 24 x 34. también estudi a las dificultades que tienen los
estudiantes para maestros en enco ntrar múltiplos comunes entre números descompuestos en factores primos.
c) Obtener los cocientes entre términos sucesivos. Los números primos son descritos como ³elementos constructivos´ de los números naturales. 2268. 1944« A partir de esta nueva representación se obtuvo la diferencia entre
términos consecutivos. 648. La unicidad de la descompo sici ón en factores primos presenta un desafío para muchos alumnos. El punto de partida de esta investigación fue entender los números primos como ideas básicas. Zazkis y Liljedah l (2004) estudian el papel de la representación en la comprensión de los n úmeros primos por parte de los estudiantes para maestro de escuela elemental. 972. 324 y el término n-ésimo. Brown (2002). 324 x n.
Brown (2002) observó que mayoritariamente los estudiantes optaban por obtener la representación decimal de los números y. en su investigación sobre divisibilida d. No obstante. describiendo a través de la representación factorial el método de obtención del término n-ésimo. posteri ormente. o ³elementos constructivos´. 1620. 1 296. que posteriormente fue representado factorialmente. el término que ocupaba la posición 200. de la Teoría de Números. su existencia es una propiedad que a menudo está dada por sentada (Zazkis y Campbell. Por su parte. 1996b). 2592 y así sucesivamente. que la representación de las propiedades de los números sirve como ³lente´ para el análisis de las respuestas dadas por los participantes.
b) Conservar l a repr esentación factorial de los números: (a) expresando los términos siguientes de la sucesión en su representación decimal. señalan los autores que el hecho de que los números primos sean una idea básica no significa que deban ser
. 23 x 34. simbolizándolos
posteriormente mediante su representación factorial. 23 x 35«. buscaban la representación factorial para ofrecer la respuesta. a partir de la cual se pidió a los estudiantes que buscarán los seis tér minos siguientes y que expresaran. 24 x 35. en producto de factores primos.de su estrutura multiplicativa. La propiedad de existencia que está detrás de la metáfora ³elementos constructivos´ es la que crea una imagen de los números compuestos como construcciones multiplicativas de números primos.
Las distintas estrate gias empleadas por parte de los estudiantes en la resolución de la actividad propuesta fueron: a) Simbolizar los términos de la secuencia numérica mediante su representación decimal: 3 24. Los autores indicant. L as actividades desarrolla das se basaron en la secuencia: 22 x 34.
(b) una forma de construir una comprensión adecuada del concepto de número primo está relacionada con la descomposición factorial de los números como demuestra las limitaciones y obstáculos que tenían los estudiantes p ara maestros para resolver tareas cuando los números estaban representados factorialmente. el número 151157. Entienden por grandes números aquellos que van más allá de la capacidad de una calculadora de bolsillo. ¿Este número es primo? ¿Puede ser siempre un número primo? De los 116 estudiantes que participaron en la investigación. ¿F es un número primo? Conteste si ó no y razone su respuesta. y divisi bil idad. los alumnos fueron capaces de reconocer la factorización trivial y utilizarla como guía para generar ejemplos que les permitieroin dar una respuesta. 2000). (d) es necesario involucrar a los estudiantes en la consideración de grandes números. De las preguntas que se formularon en el estudio de Zazkis y Liljedahl (2004) destacamos las que de los participantes. 74 contestaron correctamente la pregunta 2. Las respuestas incorrectas correspondieron a 42 estu di antes. 3) Sea m(2k+1). los modos de representar los números y las relaciones entre números. con m y k números enteros. les hace suponer que la incap acidad de realizar calculus. está en la comprensión de los números.
. Este segundo grupo de investigaciones pone de manifiesto que un nuevo aspecto a considerar en en análisis del desarrollo de la comprensión de la divisibilidad en N p or parte de los alumnos de educación secundaria podría e star centrado en la manera en qué l as representaciones decimal y factorial de los números afecta a la compresión de la divisibilidad en N. indicando que F es un número compuesto. La importancia de la compre nsión de los números primos. según los autores. La comprensión de los estudiantes de los números primos está conectada a la comprensión de las relaciones multiplicativas entre números naturales. 52. que para d ar su respuesta utilizaron la representación decimal de F y las reglas de divisibilidad.presentados y estudiados en solitario porque la comprensión de los conceptos matemáticos presenta una compleja red de relaciones y conexiones con otros conceptos. Sin la opción de utili zar algoritmos los estudiantes centraron su atención en: a) La definición (o una interpretación de la d efinici ón) de número primo y compuesto Los alumnos que entendían los números primos como ³aquellos que sólo son d ivisib le s por 1 y por sí mismo´ tuvieron dificultades para generar una respuesta. aspectos que han sido identificadas por el Nacional Council of Te achers of Mathematics como fundamentales en los estándares de Números y Operaciones par a todos los niveles (NCTM. La falta de ³representaciones transparentes´ para la primalidad es un obstáculo en la construcción de este concepto. factores. sin demostrar empíricamente. (c) la existencia de una ³re presentación transparente´ para una propiedad específica de los números puede ayudar a la abstracción y generalización de esta propiedad. Zazkis y Liljedahl (2004) consideran que (a) conocer las definiciones de número primo no significa
que los alumnos sean capaces de utilizar este conocimiento en una situación problemática. por ejemplo. 2) Sea el númer o F = 151 x 157. para estab le cer la primalidad o no de éste. múltiplos. Esta definición les llevó a pensar que ³los números primos no pueden ser representados como un producto´ ignorando la posibilidad de la factorización trivial. b) El pod er de convicción de los ejemplos Cuand o el número primo fue entendido como ³ aquel que tiene dos factores´. De ellos. Plantean una posible variación de la cuestión 2 que impida a los estudiantes determinar la expre sión decimal del número. Esta sugerencia
pedagógica. Esta notación impidió el uso de cualesquiera de los métodos algorítmicos más familiares para los participantes. números compuestos. L as respuestas a la Pregunta 3 estuvieron condicionadas por la notación algebraica utilizada para representar el número. justificaron su respuesta a partir de la definición de número primo o compuesto.
2000b). (d) interrelacionando fenómenos. en particular de la divisibilidad. siendo las concepciones operacionales previas a las estructurales. Una teoría debe ayudar a resolver problemas. (c) aplicándola a un amplio espectro de fenómenos. algoritmos y acciones) y otra como concepciones estructurales (conceptos matemáticos considerados objetos abstractos).
Piaget y García (1982) señalan que la construcción del conocimiento puede depender de las preguntas que se formulen en la investigación y de la epistemología de los conceptos. LA CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS MATEMÁTICOS. Una teoría de aprend izaje de las matemáticas puede proporcionar explicaciones de los fenómenos de construcción por parte de los alumnos de los conocimientos sobre los conceptos matemáticos.13).En resumen. Dado que los alumnos adquieren sus concepciones acerca de los conceptos de divisibili da d en los últimos años de la educación primaria y en el primer ciclo de la educación secundaria. Una como concepciones operacionales (procesos. sino esencialmente a un análisis de lo que ³hace´ el sujeto (por oposición a lo que piensa que hace) par a adquirir y utilizar un conocimiento o un ³sab er hacer´. o para considerarlo como bien fundado´ (p. está claro que no habrá que recurrir a declaraciones verbales.
CAPÍTULO 2. 4º de Ense ñanza Secundaria Obligatoria y 1º de Bachi llerato) desde (a) el tipo de relaciones lógicas que establece n los alumnos entre los distintos conceptos de divisibilidad y (b) la influencia que tienen los sistemas de representación de los números en la comprensión de la divisibilidad en N por parte de los estudiantes en estos niveles. a realizar aplicaciones d entro las matemáticas y a proponer las construcciones mental es que puede realizar un estudiante para la comprencion de un concepto. Estos procesos son oper aciones con objetos matemáticos de nivel más elemental y que se
. y ³cómo el estudio de las normas cognoscitivas del sujeto permite llegar a l os procesos propios de la construcción del sa ber. qué mecanismos utilizan y qué construcciones realizan?
2. Por tanto podemos preguntarnos ¿cómo construyen los estudiantes el conocimiento de los conceptos matemáticos. MARCO TEÓRICO
La investi gación en Educación Matemática se consolida y fortalece cuando se basa en un marco teórico. (e) sirviendo como herramienta de análisis de los datos. y las usan a lo largo de sus estudios como herramienta complementaria de otros temas de matemáticas. El paso de las concepciones operacionales a las estructurales se realiza a través de tres fases de evolución: interiorización. condensación y reificación El grado de interiorización es una fase de familiarización con los procesos que darán lugar al nuevo concepto. es imp ortante profundizar en la comprensión que tienen los alumnos de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales en los tres niveles educativos (1º de Educación Secundaria Obligatoria. las investigaciones anteriores subrayan la importancia de la comprensión de la Teoría Elemental de Números. (b) apoyando el pronóstico desde un carácter explicativo. y a través de él dar una explicación de aquello que los estudiantes pueden haber aprendido (Dubinsky.1. (a) sugiriendo orientaciones pedagógicas que favorezcan este proceso.
Sfard (1991) subraya que los conceptos matemáticos abstractos pueden ser concebidos desde dos perspectivas. a demostrar nuevos teoremas. ó (f) proveyendo La forma en que se produce por parte de un alumno la construcción mental de la comprensión de un
determinado concepto matemático puede ser propuesta desde un marco teórico co ncreto. señalando la trascendencia de las relaciones entre los diferentes conceptos y de los modos de representación. ni aún a un análisis de la toma de conciencia.
reconocien do la idea para poder manipularla pero sin especificar detalles. En esta fase se puede dar nombre al concepto que nace. El individuo piensa en el proceso como un todo. La reificación resulta difícil para los estudiantes. Aunque un concepto haya sido bien interiorizado y condensado en una entidad propia. sin la reificación el concepto no deja de ser puramente operacio nal (Sfar d. Dörfler (2002) subraya que los estudiantes construyen objetos matemáticos combinando el objeto en sí mismo con las propiedades y relaciones que lo constituyen. sin necesidad de considerar todos los detalles que lo componen. En este sentido. configurando un todo diferente de los eleme ntos que lo constituyen. Sfard (2000) señala que es imp ortante comunicar eficazmente los significados que han sido reificados en objetos. a la vez que el estudiante necesita conocer el co ncepto que se quiere comprender para poder determinar los procesos matemáticos necesarios para lograr esta comprensión. y por tanto las construcciones matemáticas tienen que ser aceptadas por los estudiantes para que puedan construirse.van adquiriendo de forma gradual. La condensación es un periodo de cambio en el que se concentran largas secuencias de operaciones en unidades más manejables. S e forman como una decisión individual sobre la manera de describir y pensar en una parte de la propia experiencia del individuo. Desde esta perspectiva. constituyendo un cambio gradual y cuantitativo. Estos autores proponen determi nar los procedimientos o procesos de las nocion es
. es fundamental en la formación de objetos matemáticos que la actividad matemática que realicen los estudiantes sea admitida y los motive. la concep ción como proceso implica tomarl a de forma p otencial desarrollá ndose en cada momento mediante una secuencia de acciones. La construcción de objetos matemáticos es interpretada como una decisión del estudiante por tratar algo como una entidad reificada. Por ello. Por el contrario. Pensar en el proceso como un objeto requiere la manipulación previa d el concepto en cuestión. Todo ello puede ocasionar la desmotivación del estudiante para la construcción de objetos intangibles. La concepción estructural supone considerar la idea como una e str uctura estática.
matemáticos más Sfard y Thompson (1994) co nsideran que el mod el o de reificación es útil para la descripción de la comprensión de los conceptos matemáticos. en términos de entrada y salida. para constituir constructos
avanzados. destacando en esta comunicación los comportamientos del individuo y los objetos que ha utilizado. no significa que se haya adquirido la cap acidad de pensar sobre él como una concepción estructural. Otro punto de vista en la construcción de objetos matemáticos es el expuesto por Tall (1991) y Gray y Tall (1994). 1992). por lo que la comprensión resulta una actividad consciente de los estudiantes. se transforma de proceso a objeto abstracto desarrollado éste en un nivel superior. La reificación es el momento en el individuo es capaz de pensar en la nueva noción como un objeto en sí mismo con su s propias características En este modelo teórico una concepci ón matemática. La diferencia entre condensación y reificación radica en que la condensación es un cambio técnico de aproximación que se traduce en la habilidad para trabajar con un proceso sin considerar todos los pasos. La reificación sin embargo debe ser entendida como un salto cualitativo e instantáneo.
objetos del entorno del individuo (Tall. obtenido a través de procesos diferentes Tall (1995a) clasifica los ³proceptos´ en tres categorías: 1) Proceptos operacionales: como los aritméticos. que tienen un proceso asociado para obtener el resultado pero no tienen un procedimiento invariable para calcularlos. A estas porciones de la estructura cognitiva que se reducen a niveles manejables que contienen la información esencial sin detalles superfluos la denominan ³unidad de cognitiva´. (19 99) como la actividad cognitiva fundamental que puede conducir a la comprensión. 2000). que contienen variabl es donde pueden evaluarse los ³proceptos´ asignando valores a las variables. y una colección de representaciones del mismo obj
eto. del concepto prod ucido por ese proceso y el símbolo que se utiliza para representar a ambos. la construcción del pensamiento matemático se fundamenta en dos factores: la capacidad de con densar la información de las estructuras cognitivas y la habilidad para realizar conexiones entre las ³unidades cognitivas´. que disponen de algoritmos explícitos para la obtención del resultado. 2001). 2) Proceptos potenciales: como las expresion es algebraicas. El término ³procepto´ lo definen para referirse a la combinación de proceso y de objeto utilizando el mismo símbolo. 1995b. Gray y Tall (1994) denominan ³procepto´ a la ambigüedad representada por la amalgama del proceso. Por ello. mientras que para construir el concepto de número y el proceso de contar la aritmética se apoya en la acción y en la manipulación simbólica. y e n las acciones en.. Estos autores distinguen entre proceso y procedimiento. La sucesión de percepción de objetos externos. Los ³proceptos´ se encuentran en la base de la capacidad humana para utilizar las ideas matemáticas que requieren símbolos manipulables (Tall et al. El ³procepto ´ está formado por un conjunto de ³proceptos elementales´ que tiene el mismo objeto.matemáticas mediante un simbolismo de naturaleza dual que sirva para referirse tanto al procedimiento como al concepto. empezando el desarrollo matemático en las percepciones de. El término procedimiento para referirse a un algorítmico específico empleado en la realización d e un proceso. En e ste mismo sentido. es considerada por Gray et al. Cuando se establecen conexiones entre los procedimientos que generan el
. Tall et al. El término proceso lo usan de manera general para significar un conocimiento o un proceso matemático. Barnard y Tall (1997) consideran que la capacidad de los sujetos para concebir y manipular partes de la estructura del conocimiento es fundamental par a facilitar el pensamiento matemático. realización de acciones en ellos y la reflexión sobre los mismos. el ³procepto 6´ incluye el proceso de contar 6. basando su comprensión principalmente en la acción y en la reflexión. Los símbolos suelen usarse de forma idéntica para representar a un proceso o para especificar el resultado de ese proceso. 3) Proceptos estructurales: como los límites. en la construcción de conceptos geométricos es fundamental la percepción de las figuras y su forma. o no. Las acciones finalizan en éxito cuando se utilizan representaci ones simbólicas flexibles como ³proceptos´ (los procesos para hacer y los conceptos para pe nsar en). de los conceptos matemáticos. Esta dualidad del simbolismo requiere la combinación de la comprensión del proceso y del concepto. Por ejemplo. influenciados por la actividad desarrollada por el individuo. Gray y Tall (1994) indican que la ambigüedad simbólica pe rmite la flexibilidad entre el proceso para llevar a cabo una tarea matemática y el concepto que se ha de manipul ar intelectualmente como parte del esquema mental del individuo. Por ejemplo. o bien ser manipulado simbólicamente como conceptos matemáticos.
mismo proceso. Una de estas ideas es la de ³abstracción reflexiva´ intro ducida por Piaget para describir cómo construyen los individuos las estructuras lógico-matemáticas. la anticipadora. La Teoría APOS. el estudiante usa los resultados de la actividad. postulando qu e l a transi ción del proceso a objeto involucra dos fases de transformación conceptual: la fase participativa y la fase anticipadora. está basada en una interpretación del constructivismo a partir de la adaptación de algunas ideas desarrolladas por Piaget al Pensamiento Matemático Avanzado. asumen que los procesos mentales son elementos constituyentes de la comprensión de un objeto.2. 2. Los estudiantes que se encuentran en la fase participativa no pueden construir el nuevo concepto como un objeto al ser incapaces de usarlos en ocasiones posteriores. Para Dubinsky (2000a) el origen de la teoría APOS se encuentra en la refor mulación de la teoría piagetiana de la abstracción reflexiva para ser aplicada al pensamiento matemáticos avanzada. En la fase participativa los estudiantes aprenden a adelantarse a los resultados de una actividad. desde la noción de abstracción r eflexiva de Piaget. Dubinsky (1991) propone la ³abstracción reflexiva´ de Piaget como base teórica para el análisis de la comprensión de los conceptos matemáticos. se desarrolla el ³procepto´ y se forman ³unidades cognitivas´ más complejas. pudiendo explicar porqué los resultados proceden de la actividad. Barnard y Tall (1997) y Dörfler (2003) consideran que la dualidad proceso-objeto co nstituye el germen de teorías sobre la comprensión de los conceptos matemáticos como las de Dubinsky (1991) y Sfard ( 1991). La perspectiva pedagógica correspondiente considera que la comprensión conceptual debe converger hacia una comprensión del formalismo matemático. En esta
. En contraste.1. Dubi nsky (1991) considera que el concepto de ³abstr acci ón reflexiva´ constituye una poder osa herramienta que dota a los investigadores de un a base teórica para la comprensión del desarrollo del Pensamiento Matemático avanzada. El conocimiento en esta fase sólo está disponible en el contexto de la actividad.2. Teoría APOS. 2. y el análisis de los datos para probar y perfeccionar el análisis teórico inicial y la instrucción. util izándolo para realizar inferencias en las diferentes situaciones enque pueda ser requerido. en la segunda fase. UNA APROXIMACIÓN PIAGETIANA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO Tzur y Simon (2004). Dubi nsky y colaboradores basan su trabajo en el análisis teórico de un determina do concepto matemático. La relación ya no se limita al momento en que se desarrolla y puede ser utilizada en otras situaciones La distinción entre las dos fases surge de la observación del fracaso de los estudiantes en el uso de concepciones matemáticas que habían utilizado con éxito en ocasiones anteriores. el desarrollo de unas determinadas estrategias de enseñan za y apr endizaje. desarr ollada por Dubinsky (1991) y un grupo de investigadores Research in Undergraduate Mathematics Educaction Community (RUMEC). Sólo cuando se encuentran en la fase anticipadora pueden establecer el nuevo concepto como objeto.
las constru cciones mentales pueden ser re construcciones exactas (correspo ndientes a la memoria y a la repetición de métodos previamente conocidos) o adaptaciones de algo previamente aprendido. no necesariamente dirigida por un estímulo externo.2. Estas construcciones mentales las denominan acciones.  ESquema Es una colección de acciones. Un ejemplo de acción es cuando p ara determinar si un número es divisible por otro se realiza una division. El proceso se ha ³encapsulado´ en u n objeto. Zazkis y Campb ell (1996a) y Asiala et al. consciente o inconscientemente. la desencapsulación y la tematización. 2000a).perspectiva teórica del conocimiento matemático Dubinsky (1991. (1996) consideran que los individuos realizan construcciones mentales para obtener significados de los pr oblemas y situaci ones matemáticas. en una estructura coherente en la mente del individuo y que puede ser evocada para tratar una situació n problemática de esa área de la matemáticas. la inversión. procesos. En el desarrollo del conocimiento matemático. 2. procesos. los pr ocesos. objetos y esquemas.1.1. Es una construcción i nterna. la encapsulación. la coordinación. las construcciones mentales que realizan los individuos para obtener significado de los problemas y de las situaciones matemáticas son: las acciones. Se caracterizan las construcciones mentales como sigue (DeVries. La última de los dos es esen cial en el progreso y desarrollo de conocimiento matemático. En la realizació n de una tarea los estudiantes constituyen y usan sus construcciones mentales. entre otros.  Objeto Un indivi duo refle xiona sobre accio ne s apl icadas a un proceso concreto. siendo consciente del proceso como una totalidad. Las construcciones mentales Según la Teoría APOS. Los mecanismos que utilizan para dichas construcciones son la interiorización.
. 2001). los objetos y los esquemas.  Proceso Es la interiorización de u na acción. Entonces el indivi duo ha reconstruido este proceso en un objeto cognitivo. objetos y otros esquemas que están relacionados.  Acción Es la transformación de un objeto percibida por el individuo como externa. Un ejemplo de proceso es cuando la actividad de división puede ser interiorizada como un proceso en el que la acción se piensa per o no se realiza. aprecia que la transformación (acción o proceso) puede actuar sobre él y es capaz de construir la transformación.
en el sentido de deshacer. que aunque la sucesión acción. proceso. entre otros. el in dividuo puede transformarlo en un objeto para ejecutar nuevas acciones (Baker et al. considerando el acto cognitivo de coger dos o más pr ocesos y usarlos para construir un nuevo proceso. 20 03). la desencapsulación y la tematización. Dubi nsky (1991) lo incluye como una for ma adicional de construcción. procesos. en la realidad. observando el esquema como una totalidad y realizando acciones sobre él. cua ndo un individuo está desarrollando la construcción d e un concepto.
2. como un medio de construir un nuevo proceso que consiste en el inverso del proceso original. Piaget no lo trata en el contexto de abstracción reflexiva. Los mecanismos Los mecanismos para realizar las construcciones mentales se llaman abstracciones reflexivas y son la interiorización. Un esquema se desarrolla de forma dinámica y cambiante. 2000). la inversión. Otra forma de construir un objeto se da cuando el individuo reflexiona sobre un esquema..Reflexionando sobre un esquema. Entonces se dice que el individuo ha ³tematizado´ el esquema en un objeto. Estos mecanismos han sido caracterizados por el grupo de investigadores RUMEC de la siguiente manera:  Interiorización Es la construcción mental de un proceso relativa a u na serie de acciones sobre objetos cognitivos. al sujeto le es posible pensarlo invertido.1. objetos y esquemas que permitan construir nuevos conceptos. Señalan Dubinsky y MacDonald (2001). (1996). no sucede necesariamente así.2.2.  Coordinación Dubinsky (1991) explica la coordinación volviendo a los procesos. La acción se interioriza en un proceso. lo que hace que aparezcan nuevas acciones. objeto y esquema se describe de manera lineal. La conexión consciente o no de las diversas construcciones que en la mente del individuo pueden considerarse en un problema que implique tanto al concepto como a su coherencia puede permitir al individuo observar qué es lo que se encuentra en el esquema (Barbosa. Los objetos se pueden transformar en un nivel superior. Un ejemplo de objeto es cuando un alumno es capaz de establecer que un número representado en factores primos es divisibl e por cualquiera de sus factores. Piaget usa ³coordinaciones de acciones´ para referirse a todas las formas de usar una o más acciones para construer nuevas acciones u objetos. la encapsu lación.  Inversión Una vez que el proceso existe inter namente.
. Este aspecto también es reseñado en la investigación de Asiala etal. la coor dinación.
Es la transformación mental de un proceso en un objeto cognitivo.
Esquema 2.7) definen la descomposición genética del co ncepto como ³conjunto de estructuras mentales que pueden describir cómo se desarrolla el concepto en la mente del indivi duo´. en forma de descomposición genética. Encapsulación-Desencapsulación.2. Al proceso mental de retroceder desde un objeto al proceso d esde el cual fue encapsulado el objeto se le llama desencapsulación. entonces se dice que el esquema se ha tematizado en un objeto. (1996. p. Esquema del marco teórico APOS. La descomposición genetica Desde la teoría APOS. Para el grupo RUMEC (DeVries. viéndolo como un ³todo´ y es capaz de realizar acciones sobre el esquema.1. E. Este objeto puede ser visto como una entidad total y puede ser transformado por acciones o procesos. En este caso decimos que un proceso ha sido encapsulado en un objeto. 2001. Dubinsky. ofrece un conjunto de construcciones mentales que puede realizar un estudiante para comprender el concepto matemático que esta estudiando. Asiala et al.  Tematización Cuando un individuo reflexiona sobre la comprensión misma de un esquema. el desarrollo de l a comprensión de un conce pto puede explicarse desde las acciones. 2. objetos y esquemas que desarrollan los estudiantes.3.1. El análisis teórico desde APOS.4) la descomposición genética
. procesos. Las descomposiciones genéticas son una manera de plantear las hipótesis de cómo se construyen los conceptos matemáticos. p.
En varios casos el análisis de los datos nos condujo a
. El estudia nte ha comprendido la idea de que es el propio procedimiento de la división el que determina si un número entero satisface o no el criterio de divisibilidad. La encapsulación de la divisibilidad como un objeto p odría llevar a entender el concepto de divisibilidad como una propiedad esencial de los números enteros. Cuando la divisibilidad se relaciona con otras estructuras cognoscitivas tales como la factorización y la descomposición en factores primos. 1997). Un alumno tiene que reali zar la división y obtener el cociente de un número entero (sin resto) para concluir a posteriori que el número es divisible por 3. a nuestra perspectiva teórica y a nuestro acercamiento pedagógico. sabiendo que la suma de los dígitos de un númer o entero es divisib le por 3 implica que el propio número también es divisible por 3 puede invertirse y construir números divisibles por 3. se ha tematizado el esquema de divisibilidad para formar un objeto.68) ³los resultados proporcionaron un fuerte apoyo a nuestro paradigma de investigación. Se trata de una vía para aprender un determinado concepto. Zazkis y Campbell (1996a) plantean una descomposición genética del co ncepto de divisibilidad través de un análisis hipotético de la manera en que la divisibilidad. se realiza la división y se discute la divisibilidad o no en la funcion del resultado. pe ro no tiene necesidad de realizarlo. considerando además que la descomposición genética de un concepto no es unica. la divisibilidad por 3 es una acción. Los pr imeros ejemplos de divisores son número s pequeños tales como 2. " sí o no". cuando la divisibilidad por 2 y 3 se usa para inferir la divisibilidad por 6 se coordinan dos procesos. por ejemplo.³es el primer paso del análisis teórico de un concepto matemático en términos de las construcciones mentales que un aprendiz puede hacer en orden a de sarrollar la comprensión d el conce pto´. Inicialmente. en térmi nos de dicotomía. Por ejempl o. 4. O bien. podría ser construido por un alumno: 1. El concepto de divisibilidad es visto como propiedad de los números enteros. 3. entendida como u na propiedad de los números. p. 3. de divisores. en que la acción se piensa pero realmente no se realiza. Pueden coordinarse o invertirse procesos de divisibilidad de números particulares para crear nuevos procesos de divisibilidad. Posteriormente. la teoría APOS se probaba como una herramienta eficaz para describir y explicar el desarroll o de un concepto en la mente de los estudiantes.. 2. la acción de dividir puede ser interiorizada como un proceso. El análisis de los datos de una investigación puede ratificar una primera descomposición genética de un concepto o bien con ll evar la realización de la revisión y cambios en esa descomposición genética (Clark et al. Es decir. 5. 4 y 5. La construcción de la d ivisibilidad como un objeto conceptual comienza con ejemplos específicos. 6. independiente de los procedimientos de la división. En muchos casos. En palabras de Dubinsky (2000a.
Ínter y Trans permite una comprensión más profunda del desarrollo de los esquemas y una mejor explicación de los datos (Dubinsky y MacDonalds.247-248) ³la descomposición genética no refleja necesariamente la manera en que un matemático en particular analizaría el concepto para formular un método y enseñar dicho concepto.. Como señala Meel (2003. a los niveles secundarios ulteriores. que casi siempre se atribuyen al concepto´ En nuestra investigación planteamos como primera descomposición genética la propuesta por Zazki y Campbell (1996a) que ha sido descrita en los párrafos anteriores. En Piaget y García (1982. 2001). 2. procesos y acciones esperadas matemáticamente. como resultado de muchos análisis específicos. sino por una reinterpretación total de los fundamentos conceptuales. y las importancia de que los alumnos puedan explicar por qué este procedimiento genera el mínimo común multiplo. Además. Los tres niveles de desarrollo del esquema para categorizar la comprensión de los estudiantes.2. añadiend o en la misma otros conceptos como el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. obtuvimos las definiciones op erativas de las acciones.4. 1997).revisar nuestra descripción teórica de dicho desarrollo. Con ello el estudiante puede inferir que la descomposición factorial de un múltiplo de un determinado número ha de contener la descomposición factorial del número. p. al menos. propuesta por la teoría APOS. Por tanto. Brown et al. (2002) formulan la hipótesis de que se han de coordinar los conceptos de multiplicación con el de descomposición en factores primos para construir el proceso d e generación d e un múltiplo del número en su forma de descomposición factorial. un ejemplo de esquemas en nuestras investigaciones. Los investigadores pueden desarrollar una evolución de la descomposición genética para ofrecer una nueva descomposición genética más avanzada y un conveniente tratamiento del proceso de aprendizaje.1. 2000).7) se indica que ³los mecanismos del progreso del conocimiento pueden ser aprehendidos en las transiciones que conducen de un nivel de organización de menor adaptación del sujeto al medio (en tanto medio por conocer). Piaget ha intentado dar cuenta de esta superación o aumento de con ocimi ento a través de un modelo basado en mecanismos biológicos: la
. La terna de l os niveles Intra.. que nos condujo a revisar la teoría APOS al relacionarlo con la idea de la tríada de Piaget y García (Clark et al. permitió entender algunos co mportamientos de los alumnos basados en la inter acción de los esquemas (Baker et al. Incluso hubo. una descomposición genética es una descripción idealizada de las representaciones. (2002) subrayan la facilidad con que suelen aplicar los estudiantes el algoritmo de obtención del mínimo común múltiplo de dos números naturales mediante la descomposición factorial en producto de números primos. Brown et al. Reforzar la teoría APOS con la incorporación de las tres fases de desarrollo del esque ma propuesta por Piaget y García (1982) ha conllevado el perfeccionamiento de la comprensión del desarrollo de los esquemas. de los procesos y de los esquemas que se han incluido en los artículos que reportan los resultados´. pp. Desarrollo de un esquema. vínculos. El paso de un nivel al siguiente no se caracteriza por el aumento de los conocimientos respecto al nivel anterior.
Los individuos cuando abordan nuevos dominios de conocimiento tiene que asimilar los datos a sus propios esquemas (de acción o conceptuales).
. extrayéndola é sta de las estructuras previas y ajustándolas al contenido. y (c) modificar la organización existente como respuesta a las demandas del medio y mediante las que el individuo se ajusta a las condiciones externas Cada vez que el individuo aborda un dominio nu evo de cognici ón. que obedece a una guía de origen endógeno. figuras. etc. modificando el esquema asimilador a través de la acomodación mediante diferenciaciones en función del objeto que el individuo tien e que asimilar. Las reequilibraciones pueden ser fuentes de novedades en lugar de conducir necesariamente a una homeostasis1´. La asimilación consiste en (a) incorporar los objetos a los esquemas de comportamiento como una estructura de acciones que puede realizar el individuo en la realidad. permite neutralizar las perturbaciones productoras de desequilibri os. Ínter y Trans. relaciones. una vez descubiertas. implica u na equilibración entre la asimilación de los propios esquemas y la acomodación de e stos a las propiedades dadas.equilibración. se da en todas las disciplinas. El objeto es un contenido al que el individuo da forma. cuyos aspectos generales son: Intra: se identifica por conducir al descubrimiento de un conjunto de propiedades en los objetos. E stos datos son objetos. Las diferenciaciones serán contrarrestadas por las tendencias integradoras. p. Este mecanismo.246) que la asimilación es ³la fuente general de los instrumentos de adquisición´ la cual se encuentra en todos los Conjuntos de fenómenos de autorregulación que conducen al mantenimiento de la constancia en la composición y propiedades del medio interno de un organismo. y la necesidad de equilibración requerirá a los esquemas así vinculados formas más o menos estables de coordinación y transformacion. Los nuevos esquemas construidos en la fase intra no pueden permanecer aislados y el proceso de asimil ación conducirá a ciertas asimilaciones de carácter recíproco. no tratándose de un proceso específico del pensamiento científico. y donde cada nivel repite en su seno las propias fases al igual que el proceso total En el trabajo de Piaget y García (1982) se detallan los niveles de desarrollo de un esquema para distintos campos. temas y en todos los n iveles. lo que es equivalente a decir que se encuentran en transformaciones de segundo nivel. Las razones que se establecen pueden encontrase en las relacio nes entre objetos.
Ínter: se caracteriza por transformaciones que. (b) considerar el conocimiento como una relación entre el objeto y e l individuo. con el mismo orden establecido. que implican en su análisis la equilibración entre su asimilación a los esquemas y la acomodación de éstos a las propiedades dadas. Piaget y García (1982) indican que la sucesión: Intra. Trans: se caracteriza por la necesidad de un nuevo equilibrio debido a la diversidad de subesquemas que dificultan la unidad del todo. pero sin otras explicaciones que no sean locales o particulares. requieren el establecimiento de vínculos entre ellas. Señalan Piaget y García (1982.
La progresión es gra dual y no necesariamente lineal. armonizándolas internamente y sin que entren en conflicto entre sí. En el proceso de aprendizaje se desarrollan diferentes esquemas y el desarrollo y cambio de cada esquema puede describirse usando la terna. se ha de estar preparado para identificar esos esquemas componentes y su multidimensionalidad. en la comprensión del desarrollo de un esquema global. en sí mismo. Trans: se tiene construida una estructura subyacente completa en la que las relaciones descubiertas en el nivel Ínter son comprendidas dándose coherencia al esquema.El equilibrio q ue se impone entre las diferenciaciones y la integración no podrá alcanzarse sin lograr sistemas de interacciones que produzcan que se engendren las diferenciaciones.Matamoros. procesos y objetos. La coherencia del esquema permite decidir qué se encuentra dentro del ámb ito del esquema y qué no. el uso de estos tres niveles para analizar el conocimiento de los estudiantes ayuda a los investig adores a considerar la riqueza de las situaciones y de los problemas. Señalan que ³en cada nivel de la terna. 2004). un esquema puede depender mucho del desarrollo de uno o más esquemas. Esta descripción ha sido utilizada en distintas investigaciones apoyadas en la teoría APOS (Sánchez. procesos. (2000). Mientras el conocimiento se desarr ol la. el estudiante reorganiza el conocimiento adquirido durante el nivel anterior. los sujetos construyen esquemas coexistentes. Dentro del esquema gl obal. En particular. se deben identificar no sólo los esquemas componentes del desarrollo sino también su coor dinación. en lugar de que sean sometidas. Ínter: se caracteriza por la construcción de relaciones entre acciones. se compone de acciones. Por lo tanto. El individuo no ha construido ninguna re lación entre ellos. En tales casos. los cuales cambian constantemente variando sus niveles de evolución. otros e squemas y sus transformaciones. en algunas situaciones problemáticas una persona puede necesitar coordinar varios esquemas. En opinión de Baker et al. DeVries (2001) adapta los niveles de desarrollo de un esquema de la siguiente: Intra: se identifica por centr arse en los a spectos individuales aislados de otr as acciones. su coordinación nos condu ce a nuevas estructuras que se construyen sobre las propiedad es de los esquemas
. Cada esquema. Las estructuras logradas en este nivel dan lugar a nuevos anál isis intra que conduce n a nuevos ínter y a nuevas estructuras trans. En este nivel se empiezan a agrupar las informaciones de similar naturaleza. objetos. Por consiguiente. procesos y objetos de naturaleza similar.
clases laterales y grupos cocientes (A siala et al. (1 996) consideran fundamental para la comprensión del concepto de límite en un punto. entre otras. Cuando los estudiantes pueden dar valores en varios puntos. debates y tra ba jos de clase en grupos de 3 ó 4 alumnos. por ejemplo. describir el desarrollo de las descomposiciones genéticas planteadas y hacer propuestas pedagógicas para el aprendizaje del concepto de límite. 199 7. No obstante. y la otra se refiere al conocimiento necesario de la cuantificación para comprender el concepto de límite Señalan los autores que se puede interiorizar en un proceso el concepto de límite si l os estudiantes son capaces de evaluar el concepto d e límite en varios puntos más o menos próximos antes de dar el valor del límite. Los resultados obtenidos indicaron que (a) existía una fuerte tendencia por parte de los estudiantes a identificar el límite de la función en un punto con e l valor de la función en dicho punto.2. (b) la comprensión estática del límite en un punto podía evolucionar a la evaluación de los límites laterales o a la obtención de valores cercanos en el dominio estudiado. más o menos pr óximos al punto. la coordinación de los procesos ( x) L a y F x. Esta identificación planteó problemas de comprensión cuando el límite n o existía.2. La descripción de las formas de conocer y los mecanismos utilizados en la comprensión de los conceptos matemáticos constituyen el eje fun da mental de estas investigaciones en el marco teórico APOS. se realizaron entrevistas clínicas. de integral definida (Czarnocha et al. Sánchez-Matamoros. Sánchez-Matamoros et al. grupos y subgrupos (Brown et al. 2003). 200 6) . Cottrill et al.
Los resultados de esta investigación subrayaron la dificultad mostrada por los estudiantes
. los estudiantes tienen dificultades (x) con el concepto formal de límite por dos razones. Una conceptualización objeto del límite requiere pensar. El estudi o se llevó a cabo con 25 estudiantes universitarios que cursa ba n la asignatura de Cálculo. (1996) en su estudio sobre la comprensión de l esquema de límite se plantearon los siguientes o bjetivos: reinterpretar la literatura refer ente al concepto de límite.< e . se interioriza e n un pr oceso el concepto de límite determinando que si x a entonces f(x) L.. Distintos trabajos de investigación han asumido la teoría APOS (Acción-Proceso-ObjetoEsquema) como marco teórico para analizar la comprensión que tienen los estudiantes de diferentes conceptos matemáticos. Potencialidad de la Teoría APOS. El concepto de límite se revisó a lo largo del proceso de enseñanza utilizando derivadas. 1996).. Desde este marco se han lleva do a cabo investigaciones sobre el concepto de límite (Cottrill et al. La instrucción que recibieron los alumnos co nsistió en prácticas con ordenador. Cottrill et al. integrals y sucesiones. en el límite de la combinación de dos funciones como proceso y coordinar la suma de ambas para encapsular en objeto el limite la funcion suma. 1997) o inecuaciones (Barbosa. de derivada (Asiala et al. una es la propia coordinación de los procesos y no todos los estudiantes pueden determinarla con inmediatez. Posteriormente.2. para la determi nación del proceso que permita describir que 0 < a / x . 2004..< d / L f . 2001). 1997).
4) y sobre la constr ucción de funciones que cumplieran determinadas propiedades de la función y de sus dos primeras derivadas.en la comprensión del concepto de límite ya que sólo algunos estudiantes construyeron el d ominio y el conjunto imagen de la función como proceso.404) El objetivo de las preguntas de las entrevistas fue inferir información sobre cómo los estudiantes a) comprenden ³la notación y = f(x)´. Cottrill et al. p.. el grupo que siguió una enseñanza tradicional (24 estudiantes) y el grupo C4L que recibió una instrucción experimental (17 estudiantes). La construcción del esquema de límite requiere la coordinación de procesos que impliquen fuertes concepciones así como la cuantificación del límite. Para los autores el concepto de límite no es estático y constituye un esquema muy complejo que es producto de aspectos dinámicos y subrayan el insuficiente tratamiento instruccional de la concepción dinámica del concepto de límite.4) (Asiala et al. La investigación también pretendía realizar un estudio comparativo entre la forma de comprensión que sobre los tópicos estudiados mostraban ambos grup os de alumnos. una función en un punto se comprendiese como (a) el límite de las r ecta s secantes (modo gráfico) y (b) el límite de los cocientes incrementales de una función en un punto (modo analítico) En el estudio participaron 41 estudiantes de Ingeniería y Matemáticas di strib ui dos en dos grupos. sugiriendo la importancia de coordinar los procesos construidos tanto en el dominio como en la imagen de la function. ³la monotonía de una function a través de su derivada´ y ³que f¶(x) es la pendiente de la recta
. en lugar de los e y d de la definición formal de límite que resulta inaccesib le para gran número de los estudiantes. ³una recta tangente horizontal´. (1996) destacan que la concepción dinámica del concepto de límite es más complicada que un mero proceso. Para recoger los datos se realizaron entrevistas cuyas preguntas versaron sobre la gráfica y la recta tangente a una función en el p unto (5. 1997.
Gráfica y recta tangente en el punto (5.
Los resultados mostraron que cuando los estudiantes trabajaban con gráficas la función era conocida como proceso. A partir de los resultados de la investigación. La descomposición genética inicial debía modificarse en tanto a fin de dar mayor énfasis a la concepción de fu nción que poseen los estudiantes. es decir. no entendían f¶ como una función. y a la creació n de conexiones entre las interpretaciones an alíticas y gráficas La coordinación de esquemas también fue utilizada por Czarnocha et al. el desarrollo del esqu ema de integral definida comporta la coordinación del esquema visual de suma de Riemann y el del esquema del concepto de límite de la suce sión numérica. (1997) señalan que debía reforzarse la comprensión del concepto de (x. ³ser capaces de tratar f¶ sólo con la gráfica de la funció n´. Asiala et al. f(x))´. Además.tangente a f(x) en (x. Estas preguntas tuvieron como objetivos investigar: ¿Cuál es la relación que existe entre la descomposición genética inicial y las construcciones mentales que sobre la integral definida tienen los estudiantes? b) ¿Qué construcciones mentales no realizan lo s estudiantes? c) ¿Qué debe modificarse en la descomposición genética inicial para que los alumnos puedan realizar construcciones mentales adecu adas? El análisis de los datos de las entrevistas puso de manifie sto que (a) los alumn os que tenía n una concepción objeto de la suma de Riemann eran capaces de obtener las sumas a a)
. Según los autores. La compre nsión de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto presentó dificultades cuando los alumnos no comprendían el concepto de función como proceso. La integral definida comprende la composición de construcciones de tipo geométrico y de construcciones de tipo numérico (sucesiones infinitas y límites). Cie ncias y Matemáticas. Los estudiantes que siguieron el curso C4L alcanzaron una comprensión proceso de la función y pocos requirieron una expresión analítica de f(x) que se correspondiera con la gráfica. Se formularon diez preguntas sobre el concepto de integral definida en las entrevistas individuales que se realizaron. estos estudiantes mostraban una comprensión más completa de f y f¶ que los alumnos que seguían la instrucción tradicional. f(x)) enfatizando la comprensión de la derivada como una función e invirtiendo el concepto de derivada de una función para construir la función original. y la aplicación de l esquema de límite a las sumas de Riemann para obtener un número (integral definida)
En la investigación participaron 32 estudiantes de Ingeniería. (2001) contempla ba el concepto de función y suma de Riemann como objeto. La descomposición gen ética inicial plantead a por Czar nocha et al. ³deducir información sobre f y f¶ a partir de la representación gráfica´. la coordinación del proceso de función y de suma de Riemann. b) pueden ³trabajar con la representación gráfica de la función sin disponer de la expresión analítica f(x)´. (2001) en su investigación sobre la comprensión del concepto de integral definida. Muchos alumnos necesitaban tener una expresión analítica de f(x) que se adaptase a la representación gráfica.
En estos estudios participaron 51 e studiantes nuevamente distribuido s en dos grupos. clases modulares y grupos de simetrías Los resultados mostraron las distintas formas de comprensión de los alumnos. de nominadas esquema.6).partir de particiones de distinto tamaño (2. La descomposición genética inicial plante ad a por los autores incluyó l as operaciones binarias entendidas como funciones lo que supuso la inclusión del esquema de función previamente construido. el que siguió una enseñanza experimental (31 estudiantes) y el que recibió una enseñanza tradicional (20 estudiantes). respectivamente. 5.. subconjunto y función. o bien como suma de ³líneas´. La metodología del grupo experimental se apoyó en el uso del programa informático Interative SET Language (ISETL).
Desde el campo algebraico también fue investigada por Brown et al. En el estudio de Brown et al.suma del límite de las áreas de los rectángulos. grupos y subgrupos y sobre clases laterales. es decir. (b) la dificultad de la comprensión como objeto del esquema de la suma de Riemann estaba vinculada a las dificultades que los alumnos tenían con el esquema de límite.. Pr opusieron una mo dificación de la descomposición genética inicial que incluyese el concepto de medida de la distancia y la forma de conocer como objeto del concepto de límite de una sucesión. se sugirió que se enfatizase en los planes de estudios la comprensión de los conceptos necesarios para mejorar el conocimiento de la inte gral definida como el límite de la suma de Riemann. El esquema del concepto de la suma de Riemann y la coordinación de este esquema y el de límite no sufrió ningún cambio. (c) la dificultad en la comprensión del límite de una sucesión creó problemas en la comprensión del esquema de integral definida. como suma de infinitos rectángulos de amplitud 0. el esquema de axioma incluía una operación binaria que podía cumplir o no una determi nada propiedad o el esquema de subgrupo que contenía los esquemas de grupo. (1997) resultó de especial interés el conjunto de construcciones mentales. permutaciones. (2001) describieron las construcciones mentales realizadas por los alumnos sobre la comprensión del concepto de integral definida. El límite de la suma de Riemann era visto como una suma infinita d e rectángulos de pe queña amplitud.. Las actividades que se plantearon incluían relaciones de congruencias ((x + y) mod. En ambos estudios se utilizó la teoría APOS para describir las formas de conocer y los mecanismos de construcción de los conceptos de álgebra que utilizaban los estudiantes.. 3. Por ejemplo. que los estudiantes pueden desarrollar para la comprensión del concepto de grupo y subgrupo. El esquema de grupo que a su vez comprendía otros esquemas como el de conjunto. operaciones binarias y axiomas qu e podían co ord inarse e ntre sí. En el ámbito de instrucción. (1997) y por Asila et al. Por
.y no como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos. En estas investigaciones se estudió la comprensión de los estudiantes sobre operaciones binarias. (1997) la coordinación de varios esquemas.. 4. normalidad y grupos cocientes..). n. Los datos se recogieron mediante la realización de tres pruebas escritas y dos entrevistas individuales a lo largo del curso.. resultando fundamental la comprensión del concepto de límite de una sucesión para que los estudiantes comprendan el concepto de integral definida como el límite d e sumas parciales En función de los resultados obtenidos Czarnocha et al.
El esquema de grupo cociente lo integraban los esquemas de grupo lateral. las modificaciones que sufre el conjunto solución después de las transformaciones o el procedimiento de resol ución específico que permite resolver una determinada inecuación con el menor número de operaciones. Los resultados del estudio de Asiala et al. las clases laterales serán con ocidas como objeto cuando el alumno pueda pensar en cómo se forman éstas o realizar acciones sobre las mismas o bien hacer comparaciones sobre los cardinales o utilizar el teorema de Lagrange.
. pudiéndose coordinar entre sí para realizar construcciones mentales específicas que puedan ser aplicadas e n el grupo cociente. El esquema de interpretación es entendido como un ente matemático que se necesita describir y que se puede manipular mediante propiedades tales como operar. de la no rmalidad y de los grupos cocientes. La normalidad en este grupo fue observada mayoritariamente como una propiedad de un subgrupo que está contenido en un grupo y la comprensión de la idea de grupo fue asociada a un conjunto con ley de composición interna. La composici ón de dos simetrías específicas era comprendida como proceso cuando los alumnos podían usar ejemplos concretos y generalizarlos. La compresió n de la relación binaria se encontraba en un nivel superior si los alumnos la entendían como una función de dos variables. en el producto de los elementos del subgrupo) sin realizar los cálculos. Los alumnos de este grupo alcanzaron concepciones objeto de los esquemas de clase lateral y de normalidad. Por otra parte. Otra investigación que usa el marco teórico de Acción-Proceso-Objeto-E squema es la que d esarrolló Barbosa (2003) sobre la comprensión de l concepto de inecuaci ón que tienen los estudiantes universitarios. como si estuviera descrito mediante la aplicación de una fórmula. el trabajo de Asila et a l. este esquema de resolución comprende las funciones que pueden ser utilizadas para representar la inecuación o cuándo se ha n de comparar dos gráficas para analizar los signos de las imagenes. (1997) mostraron que la comprensión de los conceptos de álgebra era mayor en el grupo que recibió instrucción experimental. De igual modo propusieron la descomposición genética de los conceptos de normalidad y grupos cocientes. observar equivalencias o verificar conjuntos de números reales que cumplen la inecuación. (1997) estudiaba la epistemología de los grupos laterales. Además. desde el punto de vista gráfico. analizar. Por otra parte. Por último.e. El esquema de inecuación planteado por Barbosa debía ser comprendido desde dos construcciones mentales diferentes: interpretación de inecuación y resolución d e inecuación. el esquema de resolución consiste en indicar las transformaciones que están permitidas. las operaciones binarias eran compre nd idas como acción cuando los alumnos no eran capaces de comprender el concepto de relación binaria con ejemplos específicos. de operación binaria y de grupo. E n la descomposición genética propuesta por estos autores el concepto de grupo lateral se comprende como una acción cuando el estudiante lo observa y lo trabaja como una situación próxima. La concepción como proceso del grupo lateral permite al estudiante pensar en clases a la izquierda o en los subgrupos (p.ejemplo.
Para Barbosa (2003. Sugiere que es necesario proponer actividades basadas en el esquema de inecuación que involucren la interpretación y la resolución tanto algebraica como gráfica. Por ejemplo. tanto en el contexto algebraico como en el gráfico. La investigación se llevó a cabo con 136 estudiantes universitarios de informática y matemáticas. habrá encapsulado en un objeto el concepto de inecuación. es decir. pudiendo describir los pasos necesarios para resolver una inecuación sin ejecutar la realmente. asimilar el significado de variable real y del conjunto solución. En las conclusiones de su investigación. las puede construir y actuar en el proceso. Por otra parte. percibe sus tran sfor maciones. por otro. Cuando la perspectiva Acción-Proceso-Objeto-ESquema precisó de nuevos elementos de
. Las preguntas de la investigación que se planteó Barbosa (2003) fueron: a) ¿Cuáles son los conceptos previos que se requieren para la comprensión de inecuaciones? b) ¿Cómo construye o comprende el alu mno el concepto de inecuación? c) ¿Cuáles son las estructuras mentales y las conexiones con otros conceptos matemáticos necesarios para la comprensión del concepto de inecuación? d) ¿Cómo influye la inter pretación de inecuación en la resolución de problemas que implican el concepto?
La concepción acción del esquema de inecuación consistió en resolver una inecuación siguiendo los pasos de resolución de otra inecu ación o sustituyendo valores específicos de la incógnita comprobando si éstos satisfacen o no la inecuación. porqué funcionan y son adecuadas para alcanzar la sol ución de la inecuación. Barbosa (2003) indica que es necesario que los estudiantes (a) utilicen transformaciones adecuadas para hallar la solución de la inecuación. para el autor (p. Si el estudiante reflexiona sobre las acciones aplicadas a un proceso específico.El autor indica que para ente nder el esquema de inecuación es necesario conocer los significados dados a los términos interpretar2 y resolver2 una inecuación. cuando es capaz de analizar equivalencias entre inecuacione s utilizando propiedades de los números re ales.201) ³Interpretar una inecuación implica. puede ser inter pretada como una r el ación entre funciones y su conjunto solución puede eventualmente ser determinado mediante gráficos´. si se presenta como una r elación entre expresiones algebraicas. (b) conozcan la s condiciones y las razones de porqué se utilizan esas transformaciones. debe tener un esquema fuerte de interpretación´. Destaca que un ³ fuerte esquema de resolución. Se comparó la comprensi ón del concepto de inecuación que tenían los estudiantes que recibían una enseñanza tradicional con l a del grupo de alumn os que seguían una metodología experimental basada en el uso de ordenadores y el lenguaje de programación ISETL. cuando era capaz de pensar en una inecuación de manera generalizada y dinámica. Interiorizar una inecuación en un proceso requería que el estudiante resolviese la inecuación sin imitar necesariamente un modelo de r esolución.202) ³Resolver una inecuación consiste en hallar su conjunto solución o su descripción más simple posible´. p.
También describieron cómo debían coordinarse los esquemas de composició n de funciones y de difer enciación par a desarrollar el esquema de la regla de la cadena y cómo podían aplicar la re gla de la cadena en situaciones específicas. (2000) y el de Cooley et al. entre otros.interpretación de l desarrollo del esquema. (1997) analizaron la comprensión de los estudiantes de la re gla de la cadena y sus aplicaciones. La redefinición de la descomposición genética inicial del esquema de la regla de la cadena usando la caracterización de los tres niveles de desarrollo se plasmó en los siguientes términos. (2006) sobr e el concepto de derivada. establecie ndo el desarrollo d el esquema de la regla d e la cadena a través de la terna -Intra . Ínter y Trans). y los trabajos de SánchezMatamoros (20 04) y Sánchez-Matamoros et al. sobre la función integral o sobre la regla d e la cadena y su comprensión. Ínter y Trans. Ínter y Trans. (1997) plantearon una descomposición genética inicial que describía la forma en que los estudiantes pueden llegar a comprender como objeto el esquema de función. El estudio se llevó a cabo mediante entrevistas realizadas al total de participantes. Clark et al. En el nivel Intra el estudiante posee una colección de reglas de derivación para encontrar todo tipo de der ivadas incluidas la de algunos casos difíciles. En la entrevistas se les hicier on preguntas sobre la derivación de una función por métodos distintos. también sobre la regla de la cadena.
Las preguntas de investigación que se plantearon fueron: a) ¿Cómo comprende los estudiantes la regla de la cadena? b) b) ¿Cuáles son los conceptos matemáticos necesarios para la comprensión de l a regla de la cadena? c) c) ¿Cómo reconocen y aplican los estudiantes la regla de la cadena en diferentes situaciones matemáticas? Clark et al. el esquema de composición de funciones y el esquema de diferenciación. se incorporó para la caracterización de la construcción y desarrollo d e los esquemas de conceptos matemáticos la tríada de niveles de desarrollo del esquema propuesta por Piaget y García (1982) (Intra. (2003) sobre cálculo gráfico. Clark et al. sin que ello suponga que establecen relaciones entre ellas. El an álisis de las entrevistas evidenció l a existencia de estudiantes que podían generalizar la r egla de la cadena desde una función concreta realizando acciones externas y poseyendo únicamente una concepción acción de la regla de la cadena.lo que les facultó para clasificar l as respuestas dadas por los 41 alumnos que participaron en la investigación. A este estudio le si guió el de Cottrill ( 1999). (1997) fueron los primeros que analizaron la comprensión de los estudiantes de la regla de la cadena a través de los tres niveles de desarrollo de un esquema. El nivel Ínter está caracterizado por la habilidad del alumno para discriminar entre
. el de Baker et al. Estos alumnos pertenecían a un grupo experimental C4L y a un grupo de enseñanza tradicional. Estas evidencias imp ulsaron a los investigadores a utilizar nuevos el ementos de interpretación basados en la caracterización de los niveles Intra..
Las preguntas que se realizaron en las entrevistas pretendían responder a las siguientes cuestiones: a) ¿Cómo comprenden los estudiantes la regla de la cadena? b) ¿Cómo entienden los estudiantes la composición de funciones en la regla de la cadena? c) ¿El concepto de la regla de la cadena es descrito correctamente mediante un esquema?. pudiendo generalizar la regla de la cadena. (b) la descomposición genética inicial formulada para el concepto de la regla de la cadena a través de los niveles de desarrol lo de esq uema era consistente. ¿los resultados que se obtienen describen el esquema? (basadas en los resultados del estudio de Clark et al. Por su parte. Los alumnos que siguieron el curso experimental mostraron mejor comprensión del concepto de la regla de la cadena que los que recibieron la metodología estándar. Otra investigación que desde el marco teórico APOS se centra en el desarrollo del esquema a través de los niveles Intra. En este nuevo estudio sobre la comprensión de la regla de la cadena Cottrill planteó la hipótesis de que la regla de la cadena no era difícil en sí misma sino que lo que dificultaba su comprensión por parte de los estudiantes era la composicion de funciones. La investigación se realizó en dos fases. en e l nivel Trans el estudiante constr uye el esquema subyacente de la regla de la cadena vinculando la composición de funciones y la diferenciación. (1997). la primera fase se centró en el análisis cuantitativo de los cuestionarios que se pasaron a 34 estudiantes de la asignatura de Cálculo distribuidos en dos grupos que recibían enseñanza a través de metodologías diferentes. Por último. En la segunda fase se reali zó un análisis cualitativo de las 6 e ntrevista s realizadas. el análisis cua litati vo de los datos mostró que (a) el tipo de instrucción era importante en la forma en que los alumnos realizaban las tareas. El objetivo er a estudiar la conceptualización de los estudiantes sobre la primera y segunda derivada. Para ello se formularon preguntas tales como:
. En esta investigación partici paron 41 estudiantes de Ingeniería. (1997) fue complementado por Cottrill (1999). (c) era impr escindible que los alumnos entendiesen el concepto de composición de funciones para lograr un nivel adecuado de comprensión del concepto de regla de la cadena. (2000) sobre la comprensión de los estudiantes acerca de l os conceptos de cálculo utilizados en la r esolución de un problema atípico de cálculo gr áfico (esbozar la gráfica de una función e n intervalos específicos de su d ominio conocidas distintas propiedades de la misma). Ciencias y Matemáticas. El estudio realizado por Clark et al.todos los tipos de derivadas y establecer algún tipo de relaciones entre ellos. Ínter y Trans es la que re alizaron Baker et al. Estos alumnos habían realizado previamente un curso de cálculo de una variable. tradicional obtuvieron mejores resultados en diferenciación y en la regla de la cadena que los estudiantes que siguieron el curso C4L. Los resultad os cua ntitativos mostraron que aque los estudiantes que habían recibido una enseñanzas. la co ntinuidad y los límites de la función y analizar la coordinación que establecían los estudiantes de los elementos anteriores cuando esbozaban la gráfica de la función correspondiente.
(2003) con el objetivo de observar si el análisis desde la perspectiva dual del e squema -³pr opiedad´ e ³intervalo´resultaba útil en otras situaciones. para relacionar la derivabilidad y la continuidad. según los investigadores el esquema de ³cálculo gráfico´ requería la comprensión y coordinación de dos esqu emas. Este último aná lisis mostró que los alumnos tenían dificultades para coordinar las propiedades de la primera y se gunda derivada a través de los intervalos. media nte las combinaciones duales correspondientes a los nivel es de desarrollo de los esquemas ³propiedad´ e ³intervalo´. para interpretar el límite infinito de la función derivada en x = 0. está caracterizado por una combinación de los niveles de desarrollo en la comprensión de los conceptos de derivada. límites de la función y de su derivada y continuidad de la función) y las relacionan con una propiedad gráfica de ésta. para establecer conexiones entre dos gráficas cóncavas. Por tanto. tal como se podía esperar q ue lo desarrollaran los estudiantes que habían realizado el curso de cálculo con una variable. Ínter y Trans del esquema global de ³cálculo gráfico´. e l llamado ³de las propiedades´ de las funciones y el l la mado ³de intervalo´ de dominio específi co de éstas. primera y segunda derivada. La utilización de este esquema global de ³cálculo gráfico´ y el análisis a travé s del desarrollo del esquema en los tres niveles permitió a los investigadores analizar y comprender el comportamiento de algunos estudiantes. de límite. etc. Así como para observar si los estudiantes eran capaces de ³tematizar´ el esquema de ³ calculo gráfico ³ El nuevo estudio se realizó a partir de los datos que proporcionaron las entrevistas realizadas a 27 estudiantes universitarios que habían seguido un curso de cálculo.a) b) c) d)
¿Los estudiantes pueden trabajar con la r epresentación gráfica de la función sin disponer de la expresión analítica f(x)? b) ¿Pueden los estudiantes visualizar las características gráficas de monotonía y concavidad de una función sin que les sean mostradas éstas? c) ¿Para los alumnos es igual de relevante la primer a derivada que la segunda? d) ¿Cómo coordinan los alumnos difere ntes características de una gráfica en un mismo intervalo?
Según los autores. el esquema de cálculo gráfico. Ínter y Trans de ambos esquemas por separado. determinaron los tres niveles de desarrollo Intra. Posteriormente. El esquema ³de las propiedades´ implicaba entender cómo los estudiantes coordinan las condiciones analíticas de una función (primera y segunda derivada. A continuación. El desarrollo del esquema ³de intervalo´ involucraba comprender la notación de los intervalos. este estudio fue ampliado por Cooley et al. La descomposició n g enética inicial del esquema de cálculo gráfico se utili zó para analizar tres de las 41 entrevistas realizadas. la unión de intervalos contiguos y la coordinación de interval os superpuestos. de continuidad e ideas de precálculo que pudieran tener los estudiantes. Los autores describier on los niveles Intra.
. En las entrevista s se les propusieron cuestiones sobre función. Los resultados de estos análisis se plasmaron en una n ueva descomposición genética a partir de la cual se analizaron las 38 entrevistas restantes.
Las cuestiones se presentaron en diferentes sistemas de representación. La relación que presentó mayor dificultad a los estudiantes fue la equivalencia lógica. relaciones lógicas (conjunción lógica. (2006) participaron un total de 150 estudiantes de 1º de Bachillerato (50). Por último. Sánchez-Matamoros (2004) y Sánchez-Matamoros et al. Resultó especialmente inter esante. (2006) se centran en el desarrollo de la comprensión del concepto de Derivada en estudiantes de Bachillerato y primer curso de la Licenciatura de Matemáti cas desde el desarrollo de un esquema a través de las fases Intra. En el este estudio de Sánchez-Matamoros et al. Su comprensión no era estable. El esquema de ³cálculo gráfico´ fue una herramienta eficaz para estudiar la coordinación de los diferentes conceptos implicados en los problemas de cálculo gráfico en diferentes contextos de representación. el esquema de ³cálculo gráfico ´ requiere de técnicas que ayuden a los alumnos a la construcción de este esquema y necesita del diseño de metodologías didácticas que permitan un adecuado desarrollo del esquema. Las relaciones se e ntendieron como ³coordinación entre operaciones´. límites y sus relaciones. Sólo dos alumnos alcanzaron la tematización del esquema. Lo s estudiantes de 1º de Licenciatura de Matemáticas podía n conocer más elementos matemáticos del concepto de derivada que los de Bachillerato. Los resultados mostraron qu e la comprensión de los estudiantes que participaron en esta investigación fue similar a la de los estudiantes que participaron en el estudio que realizaron los autores el año 2000 sobre ³la comprensión de los conceptos de cálculo utilizados en la resolució n de un problema atípico de cálculo gráfico´. un número importante de ellos sólo eran capaces d e usar los elementos de manera aisla da o de relacionarlos con un número limitado de éstos para obtener información relevante del problema que tenían que resolver. como indicador de la tematización del esquema de ³cálculo gráfico´. 2º de Bachi ll erato (50) y 1º de la Licenciatura de Matemáticas (50). Sin embargo. Se seleccionaron 69 de los alumnos participantes a los que se les realizó la entrevista sobre la noción de derivada. Los estudiantes tuvieron dificultades para establecer relaciones entre los distintos conceptos impl icados. Los participantes de cada uno de los cursos considerados respondieron a los cuestionar ios escritos qu e habían sido expresamente diseñados para ellos. según los autores. Los resultados obtenidos permitieron subrayar que había una construcción progresiva del esquema de derivada y que el desarrollo de éste no estaba necesariamente vinculado a conocer muchos elementos constitutivos del concepto de derivada sino al establecimiento de relaciones lógicas entre los elementos. A la hora de establecer relaciones lógicas o de hacer uso de los eleme ntos
. No obstante. El análisis de la noción de derivada se realizó estudiando los elementos matemáticos y la relaciones que la confor man. contrarrecíproco y equivalencia ló gica) que se establecen entre los elementos matemáticos cuando se resuelve un problema.continuidad. Los elementos matemáticos que mayoritariamente eran recordados hacían referencia a la primera derivada. Ínter y trans. el análisis realizado a las respuestas sobre la construcción de la gráfica de u na función a partir de determinadas características de su primera y segunda derivada. a fin de obtener mayor información sobre la resolución de los problemas propuestos. pudiendo manifestar dificultades en un momento dado aún cuando no las hubiesen mostrado en sus respuestas iniciales.
álgebra y cálculo siendo de menor relevancia en el estudio del espacio y de la forma. El tipo de relaciones lógicas que eran posibles establecer en ca da momento fueron utilizadas como indicadores para describir el comportamiento de los estudiantes en cada nivel de desarrollo así como para el paso de un nivel al siguiente. La comprensión de la divisibilidad en N desde la Teoría APOS En el Capítulo 1 hemos revisado los estudios centrados en caracterizar la compresión de la divisibilidad. La identificación de los elementos matemáticos y el tipo de relaciones establecidas entre ellos permite determinar los diferentes niveles de desarrollo del esquema del concepto. Godino (2001) argumenta que el modelo teórico APOS se centra en el sujeto. en el desarrollo de un esquema. 2. estos mismos autores indican que sería importante reflexionar sobre la conveniencia de trasladar al Pensamiento Matemático Avanzado las investigaciones de Piaget sobre la abstracción reflexiva realiza das con niños pequeños. b) b) ¿M es divisible por 5. 15? Explica.matemáticos necesarios en determinadas situaciones existía cierta influencia de los modos de representación. 2) ¿391 es divisible por 23?. No obstante. E n este apartado completamos la revisión anterior con investigaciones sobre la comprensión de la divisibilidad que asumieron como marco teórico la teoría APOS. 2. 63. gráfico. la descomposición genética de un concepto permite identificar los mecanismos y formas de conocer que presentan los estudiantes del desarrollo del esquema del concepto matemático. Para los autores ³un estudiante pasa de un nivel d e desarrollo del esquema a otro por la manera que realiza la síntesis3 de los modos de representación´. Describe la construcción del co nocimiento de un concepto matemático por parte del sujeto pero no da respuesta a las deficiencias de l a comprensión lograda. Zazkis y Campbell (1996a) basaron su estudio en las entrevistas clínicas rea lizadas a 21 estudiantes para maestros de primaria sobre los conocimientos de divisibi li dad y la estructura multiplicativa en el conjunto de los números naturales.2. el papel de las transformaciones entre los distinto s sistemas de representación. La asunción de este marco permite a los investigadores obtener información sobre las características de los significados de los conceptos investigados y sobre las características de la evolución de los mismos (desarrollo de la comprensión). P or su parte. etc. tales como la factorización. clasifica a los individuos en niveles de compresión de los conceptos sin asignar un papel explícito a las situaciones problemáticas que motivan la acción del sujeto y tampoco es capaz de modelizar el lenguaje (simbólico.). 3 Síntesis entendida como una actividad mental del estudiante. ¿391 es divisible por 46?
. ³Ser capaces de generar información´ Las investigaciones presentadas acreditan la potencialidad del marco teórico APOS. Contreras y Font (2002) subrayan que la te oría APOS permite observar con claridad.3. 11. Tall (1999) señala que la teoría APOS presenta muchas aplicaciones en aritmética. descomposición en factores primos. 5 y 9. el Teorema Fundamental de la Aritmética ó l as reglas de divisi bil idad por 2. a) ¿M es divisible por 7? Justifica. Para ello formularon a los estudiantes preguntas de distinto s tipos: 1) Dado el número M = 33 x 52 x 7. 9. 3. Por otra parte. elementos fundamentales en la construcción del conocimiento matemático.
y sólo sí. (c) la divisibilidad se encapsula como un objeto antes que la indivisibilidad. por lo que se refiere a la división. la d escomposición en factores primos´ (p. existe un número natural d tal que a x d = b. b: a = d. Zazkis y Campbell (1996a) señalaron que ³existen fuertes evidencias de que los estudiantes para profesor concebían la divisibilidad en términos de multiplicación y división. pero la coordinación e inversión de dos o más procesos para construir un nuevo proceso resultó difícil para los participantes.3) 3) Dados los números 12358 y 12368. resaltaría la equivalencia de factores y divisores y. parece que la encapsulación de la ³divisibilidad por n´. y (d) la tematización de la divisibilidad como un esquema requiere. La indivisibilidad require la comprensión conceptual de la unicidad de la descomposición en factores primos. etc. ¿Hay un número entre estos dos que sea divisible por 7? ¿Y por 12 ? 4) a) El número 15 tiene exactamente cuatro divisores. la división. para los autores. donde n es un número natural. como consecuencia. dónde d es un númer o natural. ¿Puedes hacer un listado de todos ellos? ¿Puedes pensar en varios números que tengan exactamente seis divisores? Zazkis y Campbell (1996a) observaron que: (a) un gran número de estudiantes discutieron de forma consistente la divisibilidad como una propiedad sin tener necesidad de realizar la división. La encapsulación de la divisib ili dad como un objeto tiene que emp ezar discerniendo entre la divisibilidad como una propiedad y la división como un procedimiento. En este sentido. la descomposición en factores primos. procesos y objetos que involucren a la multiplicación. Parece que conexiones insuficientes entre estas dos definicion es son una fuente de discor dia cognoscitiva para muchos de los participantes en este estudio. a / b sí. y sólo sí. La divisibilidad siempre puede determinarse realizan do la división pero las reglas de divisi bilidad dan la posibilidad de deducir la divisibil id ad sin realizar la división y pueden ayudar a la comprensión y a la encapsulación de la divisibilidad por un número especifico como un objeto. la factorización. ¿Puedes hacer un listado de todos ellos? ¿Puedes pensar en algunos otros númer os que tengan exactamente cuatro divisores? c) El número 45 tiene exactamente seis divisores. a / b (a divide b) sí. Es decir.56 2). Un acercamiento pedagógico progresivo con respecto a esta relación inversa parecería ser muy viable. necesita de un conocimiento profundo de la relación inversa entre las
. La construcción de la conexión entre la divisibilidad y la descomposición en factores primos parece contribuir enormemente a la tematización de la divisibilidad como un esquema. (b) la encapsu lación de la divisibilidad involucraba la coordinación e inversión de ejemp los específicos de divisibilidad por números específicos. y por lo que se refi ere a la multiplicación. la construcción de conexiones con otras acciones.
descomposición factorial. Zazkis y Campbell (1996a) y Ferrari (2002) estudiaron los conceptos de múltiplo. las relaciones entre los mismos y los modos de representación (decimal y factor ial). Desde estas orientaciones nuestra investigación se va a centrar en el estudio de la comprensión por parte de los estudiantes de secundaria de los conceptos de divisibilidad tratados en las anteriores investigaciones junto con el concepto de máximo común divisor. De igual modo Brown et al. 2. 5 y 9. 3. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN Los objetivos planteados en esta i nvestigación van dirigidos a profundizar en la comprensión de los alumnos de Educación Secundar ia del concepto de divisibilidad en el conj unto de los números naturales. Para estos autores el concepto de divisibilidad se encapsula como un objeto antes que el concepto de indivisibilidad. destacando el papel fundamental de la relación inversa existente entre la multiplicación y la división en la comprensión de la d ivisib ilidad como proceso. Respecto a las car acte rísticas de la comprensión de los conceptos de divisibilidad estudiados en todas estas investigaciones se subraya que l a comprensión de los conceptos de d ivisibilidad requiere la comprensión de la d escomposición única de los números naturales como producto de factores pri mos y la conexión entre los modos de representación d ecimal y factorial de los números naturales. Así. Zazkis y Campbell (1996a) señalan la importancia de las operaciones de multiplicar y de dividir para la tematización de la divisibilidad.En relación a los elementos matemáticos que han sido objeto de inve stigación. Estudiar las formas de conocer la divisibilidad en el conjunto de los números natural es y los mecanismos que utilizan los alumnos de 12 a 17 años.3. atendiendo a las formas de conocer qu e manifiestan los alumnos y al nivel de desarrollo del esquema de Divisibilidad. di visor. usando el
. Los modos de representación que utilizaron para analizar la influencia que estos ejercían sobre la construcción de los significados po r parte de los estudiantes fueron el decimal y el factorial. los objetivos de la investigación quedan concretados en los siguientes puntos: 1. Teorema Fundamental de la Aritmética y reglas de divisibilidad por 2. La indivisibilidad requiere de la comprensión conceptu al de la unicidad de la descomposición en factores primos de los números. resultando fundamental para la encapsulación de la divisibilidad como un objeto la diferenciación entre la divisibilidad como una propiedad y la división como un procedimiento. factores primos. Brown etal. (2002) y Ferrari (2002) destacan la importancia de la representación factorial y Teorema Fundamental de la Aritmética en la comprensión de los conceptos del esquema de Divisibilidad. Junto con estos conceptos Brown et al. Según estos autores la tematización de divisibilidad demanda realizar conexiones entre los divisores (factores) y la representación decimal de los números naturales. (2002) por su parte priorizan la operación de multiplicar sobre la de dividir al intr oducir los conceptos de divisibilidad. Ferrari (2002) también utilizó el modo de representación algebraico.del Entre los investigadores también existen discrepancias en cuanto a las características de la comprensión de los conceptos de divisibilidad estudiados. (2002) estudió el concepto de mínimo común múltip lo. Zazkis y Campbell (1996a) señalan la dificultad que manifiestan los estudiantes en la coordinación e inversión de los procesos de divisibilidad.
Caracterizar los niveles de desarrollo del esquema de divisibilidad en el conjunto de los números naturales en alumnos de 12 a 17 años.marco teórico constructivista APOS. 2. 2.
Sign up to vote on this titleUsefulNot usefulAnálisis de la comprensión de Divisibilidad en el conjunto de los Números por Miguel MendozaInsertarDescargaLeer en Scribd móvil: iPhone, iPad y Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Precio de lista: $0.00Download as DOCX, PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMás informaciónMostrar menos

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución