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Problemario de transferencia de Masa aplicada a la ingeniería química - Free Download PDF
December 7, 2017 | Author: leizar_death64 | Category: Gases, Chemical Equilibrium, Liquids, Physical Chemistry, Chemistry
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“Problemario de Transferencia de Masa Aplicada a la Ingeniería Química” TESIS QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:
INGENIERA QUIMICA PRESENTA:
ALEJANDRA LOZANO RAMÍREZ
ASESOR: I.Q. FERNANDO OROZCO FERREYRA
Tere y Polo: Gracias por brindarme su infinita paciencia,
incondicional en todo momento. Gracias por creer en mí. Este logro es más suyo que mío.
Adriana: Gracias por enseñarme que la vida es cuestión de actitud. (Que ese bebé que está en camino –mi sobrino- complete tus sueños). Gracias a todos aquellas personas (profesores,
compañeros) que me privilegiaron con tocar mi vida y dejar en ella enseñanza. Finalmente, un agradecimiento con toda mi admiración y respeto a mi asesor,
quién me acompaño a lo largo de la elaboración de este material.
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BIBLIOGRAFIA 1. Cussler E.L., “Diffusion. Mass Transfer in Fluid Systems”, 1a Ed; Cambridge University Press, USA, 1988 2. Crane, “Flujo de Fluidos”, 1a Ed; Mc. Graw-Hill, México D.F., 1992 3. Foust Alan S, “Principios de Operaciones Unitarias”, 2a Ed; Cía. Editorial Continental, México D.F., 1987 4. Geankoplis, Chistie J., “Procesos de Transporte y Operaciones Unitarias”, Cía. Editorial Continental, 3era. Ed, México, 1988 5. Holland, Charles, “Fundamentos y Modelos de Procesos de Separación: Absorción, Destilación, Evaporación y Extracción”, Prentice Hall, 1981 6. Holland, Charles, “Fundamentals and Modeling of Separation Processes”, Prentice Hall, 1981 7. King C. Judson, “Procesos de Separación”, Reverte, España, 2003 8. Lange, Norbert Adolph, “LANGE´S Handbook of Chemistry”, NY, 13 Ed, Mc. GrawHill, 1985 9. Ludwing, Ernest E., “Applied Process Design for Chemical & Petrochemical Plants”, Gulf Publishing Co; Texas, 1977 10. Mark´s, “Standard Handbook for Mechanical Engineers”, 8a Ed; McGraw-Hill, N.Y. 11. Maron & Prutton, “Fundamentos de Fisicoquímica“, 1a Ed; Limusa, México D.F., 1977 12. Mc Cabe, Warren L. “Operaciones Básicas de Ingeniería Química”, 4a Ed; Mc Graw-Hill, México D.F., 1991
13. Ocon, Joaquín, “Problemas de Ingeniería Química”, Editorial Aguilar, Madrid, 1980 14. Perry, Robert H, “Manual del Ingeniero Químico”, Mc. Graw-Hill, 1992 15. Rase & Barrow, “Project engineering of process plants”, John Wiley & sons Inc, New York, 1968 16. Rase & Barrow, “Ingeniería de proyectos para plantas de proceso”, Ed. Continental, 1973 17. Sherwood Thomas K & Pigford Robert L., “Absorption & Extraction”, Mc Graw-Hill, USA, 1952 18. Smith Buford D., “Design of equilibrium Stage Processes”, Mc Graw-Hill, USA, 1963 19. Treybal Robert E., “Operaciones de transferencia de masa”, Mc Graw-Hill, 2da.Ed, México D.F., 2001 20. Welty “Engineering Heat transfer” NY, John Welty, 1978
I) OBJETIVOS Y ALCANCE……………………………………………………………..
II) INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………...
Capítulo 1. DIFUSIÓN MOLECULAR 1.1. Generalidades……………………………………………………………………………….
1.2. Difusión molecular en estado estable (estacionario o régimen permanente) en fluidos sin movimiento y en régimen de flujo laminar………………………………………...
1.2.1 Sistema Binario……..……………………………………………………………
1.2.2 Sistema Multicomponente……………………………………………………….
1.3. Obtención de Difusividades (D) ……………………………………………………...
1.3.1. Método de Wilke-Lee…………………………………………………………...
1.3.2. Método de Wilke-Chang………………………………………………………..
1.4. Difusión en sólidos……………………………………………………………………
1.4.1. Difusión en sólidos en estado estable (estacionario o régimen permanente)….
1.4.2. Difusión en sólidos en estado inestable (no estacionario o transciente)………
1.4.2.1. Soluciones de Newman………………………………………………
1.4.2.2. Soluciones de Gurney-Lurie………………………………………….
1.4.3. Difusión en sólidos porosos…………………………………………………….
1.4.3.1. Enfoque Difusional……………………………………………………
1.4.3.2. Enfoque Hidrodinámico……………………………………………….
1.5. Evaluación de algunas propiedades de mezcla……………………………………...
Sección de Problemas Resueltos. ………………………………………………………..
Nomenclatura del Capítulo 1…………………………………………………………….....
Capítulo 2. DIFUSIÓN TURBULENTA. TRANSFERENCIA DE MASA. 2.1. Generalidades………………………………………………………………………………
2.2. Coeficientes de transferencia de masa, tipo k y F………………………………………
2.3. Analogía entre transferencia de masa y calor…………………………………………..
Sección de Problemas Resueltos. ……………………………………………………………..
Nomenclatura del Capítulo 2. ……………………………………………………………...…..
Capítulo 3. TRANSFERENCIA DE MASA INTERFACIAL. 3.1. Generalidades……….……………………………………………..……………………..
3.2. Balance de Materia y Energía…………………………………………………………….
3.2.1. Línea Operante……………………………………………………………………….
3.2.2. Línea de Fuerzas Impulsoras……………………………………………………….
3.2.3. Coeficientes globales en función de los individuales …………………………….
3.3. Determinación del número de etapas teóricas…………………………………………..
3.3.1. Método de McCabe-Thiele…………………………………………………………..
3.3.2. Ecuaciones de Kremser-Brown-Souders…………………………………….........
3.4. Altura de lecho empacado…………………………………………………………………
3.5. Eficiencia de etapa………………………………………………………………………….
3.6. Eficiencia puntual…………………………………………………………………………...
Sección de Problemas Resueltos. ………………………………………………………….…
Nomenclatura del Capítulo 3. ………………………………………………………………..…
Capítulo 4. TORRES DE PLATOS PERFORADOS Y EMPACADAS. CONTACTO GAS-LÍQUIDO. 4.1. Generalidades…………………………………………………………………………. ….
4.2. Diseño de Torres ………………………………………………………………………….
4.2.1 Diseño de Torres de Platos………………………………………………………..
4.2.2 Diseño de Torres Empacadas……………………………………………………..
4.2.2.1 Relación entre alturas individuales y globales…………………………
4.3. Altura equivalente de un plato teórico (HEPT) …………………………………………
Sección de Problemas Resueltos…………………………………………………………….
Nomenclatura del Capítulo 4. …………………………………………………………………
Capítulo 5. OPERACIONES DE HUMIDIFICACIÓN. 5.1. Generalidades…………………………………………………………………………. ….
5.2. Conceptos básicos…………………………………………………………………………
5.3. Ecuaciones de Diseño…………………………………………………………………….
5.4. Método de Mickley…………………………………………………………………………
5.5. Equipo empleado…………………………………………………………………………..
Sección de Problemas Resueltos. ……………………………………………………………
Nomenclatura del Capítulo 5. …………………………………………………………………
Capítulo 6. CONCLUSIONES……………………………………………………………
OBJETIVOS Proporcionar a los estudiantes, a los profesionistas del área de ingeniería química y a todos aquellos interesados en operaciones de separación que involucran transferencia de masa, una herramienta útil que provea una descripción clara de las aplicaciones de este fenómeno en la ingeniería atendiendo a la resolución de problemas. Elaborar un manual para que los alumnos desarrollen sus habilidades en la resolución de problemas de transferencia de masa teniendo como base un análisis de los mismos a fin de evaluar la ruta óptima a seguir. Se pretende que este manual llegue a ser considerado como una opción más para el estudio de las operaciones de transferencia de masa como apoyo a la enseñanza.
ALCANCE Bajo la premisa de que se pretenden proporcionar ejemplos concisos y entendibles, la presente tesis se limita a la resolución de los mismos, por lo que no resultan de interés en el presente trabajo: a) el desarrollo de las ecuaciones o de las correlaciones a emplear, b) la determinación respecto a qué metodología proporciona el resutado “más” exacto; ni c) el proporcionar información respecto a propiedades fisicoquímicas de las sustancias involucradas en los ejemplos. Por lo tanto se utilizarán las expresiones ya establecidas en la bibliografía, pretendiendo enfatizar el análisis del modelo o caso concreto y las alternativas de solución. Asimismo la tesis está pensada como un complemento de una clase teórica por lo que el lector deberá consultar otros manuales y libros existentes a fin de profundizar en los conceptos e información que aquí se maneja.
INTRODUCCION La transferencia de masa es el fenómeno que constituye la base de las principales operaciones de separación en la ingeniería; siendo ejemplos de ellas: la destilación y la absorción gaseosa, la adsorción y la desorción, las operaciones de humidificación, el secado, la extracción líquido-líquido, etc. El presente problemario pretende apoyar a los alumnos que se encuentran en los primeros contactos con el tema de transferencia de masa y que requieren una guía sustentada en ejemplos o casos prácticos a fin de comprender la metodología de resolución y el porqué se eligió tal metodología como la apropiada para resolver un caso específico. A través de las páginas de este material, el alumno y el profesional de la Ingeniería Química visualizarán las etapas que conlleva un problema de transferencia de masa, resaltando, como parte principal el análisis inicial del mismo que proporcionará la pauta para el desarrollo de su resolución. Si bien es posible atender un problema de transferencia de masa de diversas maneras, sin un entendimiento claro del mismo es factible que se resuelvan un cúmulo de ecuaciones que conduzcan a nada Además considerando que las metodologías a emplear toman un tiempo considerable, y dado que el futuro profesionista no puede darse el lujo de desperdiciar tan preciado recurso, es importante desarrollar la capacidad de análisis, el juicio y la toma de decisiones, recordando que si bien el raciocinio es una virtud que ha sido proporcionada al ser humano se tienen que sacar ventaja de ella; ya que esta capacidad de análisis desde la abstracción hasta lo tangible es la que proporciona la valía de tan noble profesión como lo es la Ingeniería Química. Se pretende presentar ejemplos significativos, claramente desarrollados, que abarquen las operaciones típicas de ingeniería para un curso inicial en Transferencia de Masa, a fin de que el lector sea capaz de generalizar las metodologías y llevar esto un grado mas allá, desarrollando la capacidad para entender el planteamiento de un problema, reconociendo al análisis del mismo como base fundamental de su solución y más importante que el efectuar los cálculos que arrojen valores numéricos. Bajo esta perspectiva, se tendrá que el análisis del problema ha de contemplar tres cuestiones fundamentales que son: ¿Qué se requiere?, ¿Qué información se tiene? y ¿De qué manera es posible alcanzar el objetivo?.
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Existen no pocos libros dedicados a la enseñanza de los fundamentos de la transferencia de masa, libros en los que se trata tanto teoría como problemas; no obstante, debido a la amplitud del tema, son pocos los problemas que se presentan resueltos, además que en la mayoría de los casos los autores dan por sentada la comprensión de los mismos, entrando de lleno a la solución sin antes explicar la metodología a seguir y las alternativas de otras soluciones posibles. Lamentablemente para la resolución de los problemas de transferencia de masa
existe una metodología estricta debido a la variedad de casos que se pueden presentar, por lo que cabe aclarar que ningún libro o manual proporcionará la respuesta a todos los problemas, sin embargo; la respuesta a ellos se podrá hallar cuando los conocimientos básicos se hayan adquirido y además se tenga la habilidad de aplicarlos a cualquier sistema. La transferencia de masa forma parte fundamental de los fenómenos que se observan diariamente, siendo la difusión el proceso mediante el cual moléculas, iones u otras partículas pequeñas se mezclan espontáneamente, moviéndose de regiones de relativamente alta concentración hacia regiones de baja concentración. Este proceso puede ser analizado desde dos perspectivas. Primeramente puede ser descrito mediante la ley de Fick y un coeficiente de difusión; o bien, puede ser explicado en términos de coeficientes de transferencia de masa, una idea aproximada de ingeniería que provee una simple descripción. La tesis ha sido dividida en 6 capítulos. El primer capítulo plantea ejemplos sobre difusión molecular tanto en sistemas gaseosos, líquidos como sólidos; sobre estos últimos se incluyen algunos de los desarrollos matemáticos típicos como los de Newman y de Gurney-Lurie para el caso de sólidos con geometría regular; cubriendo de esta manera el primer enfoque que contempla los coeficientes de difusión o difusividades. Desde el segundo capítulo en adelante se abarca la perspectiva del uso de coeficientes de transferencia de masa. Concretamente en el capítulo 2 se emplean analogías entre la transferencia de masa y calor a fin de evaluar dichos coeficientes, expresándolos en términos de grupos adimensionales que se emplean en este rubro. El capitulo 3 se concreta a la determinación de coeficientes de transferencia de masa tanto individuales como globales, así como su interrelación.
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En el capitulo 4 no es el interés primordial el diseño de equipo, específicamente de columnas de platos, sin embargo se presentan algunos ejemplos sobre esta temática ya que representan la base sobre la cual han de desarrollarse otros conceptos que atañen a nuestro tema de estudio, como es el caso de la eficiencia hidrodinámica. Asimismo en este mismo capitulo se presenta la metodología para evaluar los números y alturas de unidades de transferencia de masa en columnas empacadas. Las operaciones de humidificación se presentan en el capítulo 5, como un ejemplo más de la transferencia de masa en un sistema líquido-gas, siendo en este caso representativo el efecto de la transferencia de calor que se presenta simultáneamente. Finalmente, el capítulo 6 presenta las conclusiones generales del presente escrito.
Por otra parte, cabe aclarar que, la presente tesis está pensada como un complemento de una clase teórica, pues contiene básicamente ejemplos de problemas resueltos, por lo que el lector deberá consultar otros manuales y libros existentes a fin de profundizar sobre los conceptos que aquí se manejan. Además el diseño del presente problemario parte sobre la base de que el alumno posee conocimientos previos sobre balances de materia y energía, así como conocimientos básicos sobre reacciones químicas, transferencia de momentum y calor.
CAPITULO 1 DIFUSION MOLECULAR 1.1. Generalidades Existe para todas las combinaciones de fases, una condición llamada equilibrio, para la cual el intercambio neto de propiedades (masa y energía en procesos químicos), es igual a cero. Para todas aquellas combinaciones que no se encuentran en equilibrio, la diferencia de concentración de alguna propiedad entre la que tiene en la condición existente y la que tendría en las condiciones de equilibrio, constituye una fuerza impulsora que tiende a alterar el sistema conduciéndolo hacia el equilibrio. La fuerza impulsora para la difusión molecular de masa la proporciona la diferencia de potenciales químicos; sin embargo, debido a que para una misma fase el potencial químico es directamente proporcional a la concentración, se emplea este segundo concepto a fin de determinar los coeficientes de difusión ya que puede ser evaluado más fácilmente. Además aunque la causa habitual de la difusión es un gradiente de concentración, la difusión también puede ser originada por un gradiente de presión, un gradiente de temperatura o por la aplicación de una fuerza externa como en el caso de la centrifugación. Siendo en todos los casos la velocidad de transferencia proporcional al cociente entre la magnitud de la fuerza impulsora y la resistencia a tal transferencia.
velocidad de transferencia α
Fuerza impulsora Re sistencia
La difusividad es una propiedad dual de un componente frente a otro, siendo función de: temperatura, presión, concentración, dirección de la difusión y naturaleza de los componentes. De manera general, de acuerdo al estado de agregación del sistema estudiado, alguno o algunos de los anteriores parámetros presentará una mayor importancia, tal y como lo muestra la tabla 1.1 Tabla 1.1 Parámetros que afectan significativamente a la difusividad
Fase Gases Líquidos Sólidos
Difusividad es función de: temperatura, presión y naturaleza de los componentes. temperatura, concentración y naturaleza de los componentes. temperatura, concentración, dirección de la difusión y naturaleza de los componentes.
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En todas las operaciones de transferencia de masa, la difusión ocurre por lo menos en una fase, y con frecuencia en dos fases. En absorción de gases, el soluto se difunde a través de la fase gaseosa hacia la interfase y a través de la fase líquida desde la interfase. En destilación el componente más volátil se difunde a través de la fase líquida hacia la interfase y desde ésta hacia el vapor. El componente menos volátil se difunde en sentido contrario y pasa a través del vapor hasta el seno del líquido. En humidificación no hay difusión a través de la fase líquida debido a que ésta es un componente puro y no existe gradiente de concentración en ella; pero en la fase gaseosa, el componente se difunde hacia o desde la interfase gas-líquido hacia fuera o hacia adentro de tal fase. En el secado, el agua líquida se difunde a través del sólido hasta la superficie del mismo, se evapora, y después se difunde como vapor en la fase gaseosa. Este capítulo muestra que los coeficientes de difusión o difusividades en gases y en líquidos pueden ser estimados con cierta exactitud mediante el empleo de correlaciones empíricas o bien por el ajuste a las condiciones del sistema estudiado (Presión, Temperatura, Concentración) de los valores obtenidos de tablas. Sin embargo en sólidos no es posible la estimación de tales coeficientes, salvo por métodos experimentales; las teorías permiten que los datos sean correlacionados pero raramente predecibles. Ley de Fick “Cada especie tiene cierto grado de movilidad respecto a otra”, lo cual es representado mediante
JA α −
∂c A ∂z
donde J A es la velocidad o flujo difusional de A en B, en relación a la velocidad media del sistema A+B y se mide como moles de A que se difunden por unidad de tiempo y unidad de área normal a la dirección del flujo. El coeficiente de difusión o difusividad (DA,B), es aquél elemento que cubre la proporcionalidad planteada en la ec. 1.1
J A = − D A, B
Ahora bien, a fin de determinar la masa que se difunde en relación a una porción fija del sistema (concepto de ingeniería), se introduce el término NA que también es una velocidad de flujo difusional. Ambos conceptos se relacionan tal y como lo muestra la ec. 1.3
cA N c
N = ∑ Ni i= A
1.2. Difusión molecular en estado estable (estacionario o régimen permanente) en fluidos sin movimiento y en régimen de flujo laminar 1.2.1. Sistema Binario La condición de estado estable considera que la concentración es función de la posición y no del tiempo. Entonces, el gradiente de la concentración es constante:
∂c A = constante ∂z por lo que de la ec. 1.3, se obtiene
  c D ⋅ NA A, B NA = ln ⋅ N z   
N A c A, 2 − N c c NA − A,1 N c
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Se tienen dos casos bastante comunes a) Difusión de A en B no difusible implica NA≠0 y NB=0
siendo N=NA+NB
NA/N = 1
por lo que de la ec. 1.4
 c A, 2 c ⋅ DA, B  1 − c ln NA = c A,1 z   1− c 
(ec.1.5)
para sistemas gaseosos, de acuerdo a la ley de gases ideales, recordando que:
nA cA p A = = n c P
la ec. 1.5 puede ser reescrita como:
 1 − y A, 2  DA, B P  P − p A, 2  DA, B P =   ⋅ ⋅ ln ⋅ ⋅ ln  P− p  z RT z RT A,1   1 − y A,1  
(ec.1.6)
donde los subíndices 1 y 2 indican el principio y fin de la trayectoria de la difusión
por definición de media logarítmica:
y B ,M =
y B , 2 − y B ,1 y  ln B , 2 y B ,1  
pB , M =
pB , 2 − pB ,1 p  ln B , 2  p B ,1  
(ecs.1.7 y 1.8)
De lo anterior, la ecuación general (ec. 1.6) también puede ser expresada como:
D A, B z
P 1 ( y A,1 − y A,2 ) = DA,B ⋅ P ⋅ 1 ( p A,1 − p A,2 ) ⋅ RT y B ,M z RT p B ,M
(ec.1.9)
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De manera análoga, la ec. 1.5 es expresada para sistemas líquidos como:
c x B ,M
− x A, 2 )
(ec.1.10)
1 (c1 + c 2 ) 2
b) Contradifusión equimolar implica NA= NB
NA/N → ∞
N=NA+(-NA)=0
por lo que, para un sistema gaseoso, la ec 1.4
− c A, 2 ) =
D A, B zRT
− p A, 2 ) =
D A, B ⋅ P zRT
− y A, 2 )
(ec.1.11)
en tanto que para un sistema líquido
D AB ⋅ c (x A,1 − x A,2 ) z
(ec.1.12)
1.2.2. Sistema Multicomponente
N i c ⋅ Di ,M ⋅ N z
  ln   
N i ci , 2   − N c  N i ci ,1  −  N c 
(ec.1.13)
Para la difusividad de A en una mezcla (M) de componentes
D A, M =
N A − yAN n
1 ( yi N A − y A N i ) ∑ i = A D A,i
(ec.1.14)
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1.3. Obtención de Difusividades Hasta ahora, se ha tratado el coeficiente de difusión como una constante de proporcionalidad, el parámetro de proporcionalidad que aparece en la ley de Fick. Para calcular valores de difusividad particulares de un flujo y perfil de concentración se requiere saber el valor de las difusividades para estas situaciones particulares. Por lo cual se depende ampliamente de las medidas experimentales de estos coeficientes, debido a que ninguna teoría universal permite un primer cálculo exacto. Coeficientes de difusión en gases y líquidos pueden ser estimados con una buena exactitud, pero en sólidos esto no es posible. Existen diversas fuentes de información a las cuales se puede recurrir a fin de obtener valores de difusividades, entre las principales fuentes se encuentran: 1) Tablas (consulta bibliográfica) 2) Correlaciones empíricas (modelos matemáticos fruto del trabajo experimental) En general se debe optar por conseguir datos mediante consulta bibliográfica ya que estos datos son obtenidos de manera experimental y en caso de que no se encuentren han de emplearse las correlaciones. A continuación se presentan dos de las correlaciones empíricas que pueden emplearse 1.3.1. Método de Wilke-Lee, ecuación para sistemas gaseosos Restricciones: por lo menos uno o ambos componentes gaseosos deben ser no-polares
(10 )1.084 − 0.249 −4
D A, B =
 32 ⋅T ⋅ MA M B    2 PT (rA,B ) ⋅ f  kT  ∈ A, B   1
(ec.1.15)
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donde DAB= Difusividad de A en B, kmol m2 /s T= Temperatura Absoluta, °K PT= Presión absoluta, N/m2 o Pa MA , MB = peso molecular de A y B respectivamente rA,B= (rA+rB)/2 =separación molecular guante el choque, nm
∈A, B = ∈A ⋅ ∈B = energía de atracción molecular k= constante de Boltzman
  (19) f  kT  = Función de choque, figura 2.5 Treybal ∈ A, B   Para un sistema dado se pueden realizar correcciones debidas a la presión y temperatura. De acuerdo con la ec. de Wilke-Lee
D A, B PT T
  f  kT  = constante ∈ A, B  
 D A, B PT  kT  D A, B PT  kT   f f  =  3   3 ∈ ∈ A, B  A, B     T 2 I  T 2  II siendo I y II las condiciones de presión y temperatura del sistema *Nota. Para otro tipo de gases, consúltese la bibliografía
(ec.1.16)
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1.3.2. Método de Wilke-Chang, ecuación para sistemas Líquidos Restricciones: para soluciones diluidas
117.3 10 −18 (φ ⋅ M B ) T D A, B ° = µ ⋅ v A 0.6 0.5
(ec.1.17)
donde DA,B°= Difusividad de A en solución diluida con solvente B, kmol m2 /s T= Temperatura Absoluta, °K PT= Presión absoluta, N/m2 o Pa MB = peso molecular B
µ = viscosidad de la solución. Kg/m s v A = volumen molar de A líquido a Tb (temperatura de ebullición normal), m3/ kmol
φ = factor de asociación del disolvente Para un sistema dado se pueden realizar correcciones debidas a la concentración y temperatura:
 D A, B ° ⋅ µ   D A, B ° ⋅ µ   T  = T   I   II
(ec.1.18)
1.4. Difusión en Sólidos El fenómeno difusional en sólidos es tratado bajo los mismos conceptos de la difusión en líquidos y gases, siendo la velocidad de flujo difusional de la sustancia A a través del sólido por unidad de sección transversal (NA) proporcional al gradiente de concentración en la dirección de la difusión que se analiza, normal al flujo difusional. Sin embargo, en sistemas sólidos solo se presenta difusión de tipo molecular, no turbulenta ni convectiva. Además la mayoría de los procesos difusionales que se presentan en sólidos son en estado inestable, siendo la concentración una función del tiempo; como ejemplo típico de ello puede considerarse un proceso de secado de una partícula inicialmente con humedad uniformemente distribuida que es sometida a la acción de un secador rotatorio.
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No existen correlaciones empíricas que permitan estimar el valor de los coeficientes de difusión de sistemas sólidos debido a que la dirección de la difusión y la naturaleza del componente juegan un papel importante en estos sistemas. No obstante algunos investigadores se dieron a la tarea de estudiar la difusión en ciertos sólidos de geometrías regulares específicas y considerando ciertas trayectorias, generando soluciones gráficas que es posible emplear para obtener valores aproximados, si bien no de las difusividades, si de las concentraciones que se esperarían después de un tiempo determinado pasado el inicio del fenómeno difusional. Dentro de estos análisis geométricos se encuentran dos vertientes, la primera analiza los sistemas en estado estable y la segunda en estado inestable. Dos de los trabajos más reconocidos que se refieren a soluciones gráficas para sistemas sólidos fueron proporcionados por Newman y por Gurney-Lurie, cada uno de los cuales estableció sus condiciones de frontera, que a continuación se mencionan. Las correlaciones y gráficas proporcionadas por Newman parten de ciertas restricciones del sistema considerando que no existe reacción química, y que se conocen las concentraciones promedio en el lugar en que ha de iniciar su trayectoria el flujo difusional, así como la concentración promedio del cuerpo sólido estudiado; siendo dichas concentraciones constantes. Asimismo implica que no existe resistencia a la difusión del fluido que rodea al sólido; es decir, la única resistencia a la transferencia de masa se encuentra en el sólido mismo. De acuerdo a lo anterior, Newman ha resumido los resultados que se encuentran a manera de gráficas de acuerdo a las geometrías mas comunes que él estudió; para los casos que se requiera, el planteamiento para alguna otra geometría implica la integración de la ecuación de continuidad que expone el cambio de concentraciones en función de la posición y del tiempo. 1.4.1. Difusión en Sólidos en Estado Estable (Estacionario o Régimen Permanente). Como se mencionó con anterioridad, es poco común encontrar estado estable en sistemas sólidos, sin embargo para el caso en que hubiese que tratarlo de esta manera, se emplean relaciones en función de la geometría del sólido estudiado. Recuérdese que
N A = cte
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En general la forma de la expresión a emplear, resulta:
AN A = A
− c A, 2 )
(ec.1.19)
donde A representa el valor promedio del área normal a la dirección del flujo difusional. Para difusión en la pared de sólidos cilíndricos con:
a1 = radio interno, a 2 =radio externo y L = longitud del cilindro.
A = 2π ⋅ r ⋅ l
a 2 − a1 ln a 2   a1 
Para difusión en la pared de sólidos esféricos con a1 = radio interno, a 2 =radio externo
A = 4π ⋅ a1 ⋅ a2
a = a1 ⋅ a2
1.4.2. Difusión en Sólidos en estado Inestable (No Estacionario o Transciente)
concentración en función del tiempo y de la posición-. Existe movimiento tridimensional, transferencia de masa que conlleva a balances infinitesimales de materia contemplando el efecto de la difusión en las coordenadas tridimensionales (x, y, z).
∂ 2cA ∂ 2cA ∂ 2c A ∂c A + D + D = D A, B , x A, B , y A, B , z ∂θ ∂z 2 ∂y 2 ∂x 2
(ec.1.20)
Como se supone la anterior ecuación es bastante más compleja que el considerar una sola dirección de flujo, por lo que se han propuesto ciertas soluciones gráficas basadas en la anterior expresión que permiten realizar una estimación de la concentración y el tiempo en sistemas sólidos; tal es el caso de las soluciones de Newman y Gurney-Lurie.
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1.4.2.1. Soluciones de Newman para sólidos de geometría regular Las soluciones gráficas pueden encontrarse en la figura 4.2 Treybal(19) Emplea concentración promedio. Restricciones: • Difusividad constante • No hay reacción química • La concentración del componente A permanece constante en la superficie del sólido para cualquier tiempo, concentración de equilibrio ( c A,∞ ). • Concentración de A promedio en el sólido para un tiempo especifico ( c A,θ ). • Concentración inicial de A constante en cualquier punto del sólido ( c A, 0 ) • No hay resistencia a la difusión de A fuera del sólido.
c A,θ − c A,∞ c A , 0 − c A ,∞
 D ⋅θ  = f  A, B2  = E   a
(ec.1.21)
c A,θ − c A,∞ = cantidad de A que aun existe a un tiempo θ c A, 0 − c A,∞ = cantidad de A que teóricamente puede difundirse a = máxima longitud del camino de la difusión de A en el sólido
1.4.2.2. Soluciones de Gurney-Lurie, soluciones para sólidos de geometría regular Las soluciones gráficas de estos autores pueden ser encontradas en el apéndice F del Welty (20) Restricciones: • Difusividad constante • No hay reacción química • c A Concentración de A en un punto y tiempo determinados • c A, 0 Concentración de inicial de A uniforme en el sólido • c A, S Concentración de equilibrio de A en la superficie del sólido
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Considera resistencia fuera del sólido (m= resistencia relativa dentro y fuera del sólido)
c A − c A,S c A, 0 − c A,S
D A, Bθ
D A, B k c x1
n= posición relativa x= distancia del centro del sólido al punto considerado x1 = máxima longitud del camino de la difusión.
θ = tiempo kc= coeficiente de transferencia de masa convectiva en el fluido fuera del sólido.
1.4.3. Difusión en sólidos porosos Otro caso que es de interés considerar es la difusión en sistemas sólidos porosos, destacando que existen dos perspectivas o enfoques desde los cuales puede ser estudiado el fenómeno en estos sistemas: a)
Enfoque Difusional. Considera el movimiento del fluido en virtud de un gradiente de concentraciones
Enfoque hidrodinámico. Considera el movimiento del fluido en virtud de una diferencia de presiones totales.
1.4.3.1 Enfoque Difusional En el caso de un soluto difundiéndose a través de poros llenos de fluido pertenecientes a un sólido, la difusión tiene lugar solamente a través de los estrechos y tortuosos poros. Debido a que los poros no son rectos, la difusividad es mucho menor por la propia naturaleza tortuosa de los poros: variación de longitud, diámetro, forma. Es por ello necesario emplear una difusividad “efectiva”.
∈ D a2
(ec.1.22)
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Siendo D el coeficiente de difusión convencional, en el cual ∈ representa la fracción vacía, y a es la longitud real del poro relacionada con la distancia en la dirección de la difusión. En otros casos, este coeficiente de difusión efectivo es definido menos explícitamente, como:
(ec.1.23)
donde τ es la tortuosidad que procura ser tomada en cuenta para reducir el área de poros largos. Difusión de Gas a baja Presión: Difusión de Knudsen. El concepto de tortuosidad es una aproximación aplicable a cualquier poro medio. Para una geometría más especifica, un poro cilíndrico recto (poro ideal) en el cual la difusión de moléculas individuales de soluto se presente de manera que la molécula particular colisionará mucho más seguido con las paredes del poro, no colisionando frecuentemente con otras moléculas, este tipo de transporte es llamado difusión de Knudsen. Siendo importante siempre que las distancias libres promedio entre choques moleculares sean más grandes que el diámetro del poro. Esta relación de distancias es definida como un grupo adimensional, el número de Knudsen (Kn):
(ec.1.24)
en el cual λ es la distancia libre promedio entre choques moleculares y d es el diámetro del poro. Sobre la anterior relación, pueden presentarse tres casos particulares:
si 0.2 <
existe flujo difusional tipo Fick
< 20 coexistencia entre flujo tipo Knudsen y tipo Fick
existe flujo Difusional tipo Knudsen (DK)
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Para líquidos, el valor de la trayectoria libre es comúnmente unos cuantos Anstrongs; así que el número de Knudsen no es tan pequeño, y la difusión de Knudsen no es importante. Por otra parte, en gases, el valor de la trayectoria libre puede ser estimado mediante la siguiente expresión:
3.2µ  RT  λ= P  2πg c M
(ec.1.25)
y el valor de λ es mayor, por lo que el número de Knudsen disminuye y la difusión tipo Knudsen sí es importante. Una vez siendo introducido el término de de difusividad efectiva (DA,B,ef), que es el resultado del trabajo experimental, se define la velocidad de flujo difusional tipo Fick como:
N A cD A, B ,ef ⋅ N z
N A c A, 2   − N c  N A c A,1  −  N c 
(ec.1.26)
Para un sólido dado
D A, B D D = cte = C ,B = ...... = i ,B DA,B ,ef DC ,B ,ef Di ,B ,ef siendo evaluada la difusividad tipo Knudsen como:
DK . A
d  8 g RT   =  c 3  πM A 
(ec.1.27)
y la velocidad promedio del flujo difusional para poros reales
DK , A RT ⋅ z
− p A, 2 )
(ec.1.28)
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1.4.3.2. Enfoque Hidrodinámico Se consideran los poros como si se tratasen de pequeñas tuberías, para los cuales son aplicables las siguientes relaciones: Ecuación de Hagen Poiseuille
d 2 gc NA = P (P1 − P2 ) 32 µ ⋅ l ⋅ RT
(ec.1.29)
para poros reales
K P (P1 − P2 ) RTz
(ec.1.30)
1.5. Evaluación de algunas Propiedades de Mezcla Gaseosa
µ A yAM A yAM A PM G RT
M G = ∑ M i yi
+ µB yB M B
+ yB M B
(ec.1.31)
(ec1.32)
(ec.1.33)
M L = ∑ M i xi
(ec.1.34)
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SECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS CAPÍTULO 1. DIFUSIÓN MOLECULAR
PROBLEMA 1.1 ENUNCIADO: En una mezcla gaseosa de oxígeno-nitrógeno a 1 atm y 25°C, las concentraciones del oxígeno en dos planos separados 2 mm son 10 y 20% en volumen, respectivamente. Calcular la velocidad de flujo difusional del oxígeno para el caso en que: a) El nitrógeno no se está difundiendo b) Existe una contradifusión equimolar de los dos gases ANÁLISIS DEL PROBLEMA: La velocidad de flujo difusional (N), cuantifica la rapidez con la cual un componente, con un gradiente de concentración en un punto y dirección dada, se mueve en cualquier punto y en cualquier dirección y es expresada a través de la difusividad (DAB) que es una medida del grado de movilidad de una sustancia respecto a otra. La difusividad es una característica de un componente y de su entorno, siendo por tanto afectada por la presión, temperatura y concentración. Este problema plantea la existencia de un gradiente de concentraciones que presenta una mezcla gaseosa en la cual fueron cuantificadas las concentraciones en dos planos separados una distancia (z); lo cual propicia una difusión de masa desde el plano de alta concentración hacia el de baja concentración. El mecanismo mediante el cual se efectúa este movimiento de masa es la difusión molecular, ya que este es el mecanismo que se presenta en fluidos estancados o fluidos que se mueven únicamente en flujo laminar. Además, el sistema aquí tratado ha de analizarse como un sistema en estado estable o estacionario, es decir, las concentraciones en cualquier punto del equipo permanecen constantes con el paso del tiempo; siendo la concentración únicamente función de la posición. Así pues, las concentraciones no variarán en los puntos de inicio y fin de la trayectoria de los componentes que se difunden.
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La primera pregunta se refiere a la evaluación de la velocidad de flujo difusional considerando que la única sustancia que se difunde es el oxígeno. Siendo en este caso la velocidad de flujo difusional del nitrógeno igual a cero debido a que no se difunde. La segunda pregunta considera que existe una contratransferencia de masa equimolar, es decir, por cada molécula de oxígeno que se difunde en un sentido, existe una molécula de nitrógeno que se difunde en sentido opuesto y con la misma velocidad; por lo que ambas sustancias poseen la misma velocidad de flujo difusional siendo constante debido al estado estacionario del sistema. SOLUCIÓN PROPUESTA: Caso a) Difusión molecular de A en B
difusible siendo A = Oxígeno B = Nitrógeno
Figura 1.1 Difusión molecular de Oxígeno en Nitrógeno
Para este caso, de difusión de un componente (A) en otro (B) que no se difunde para gases en estado estable, una expresión que resulta adecuada para evaluar la velocidad del flujo difusional de A
DA, B P ( pA,1 − pA,2 ) z RTpB , M
De acuerdo a la ecuación para gases ideales %volumén = % presión = %moles , por lo que se tiene:
Vi pi = V P
%V P 100
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p A,1 = 0.2(1atm ) = 0.2atm
p A, 2 = 0.1(1atm ) = 0.1atm
p B ,1 = P − p A,1 = (1 − 0.2)atm = 0.8atm
p B , 2 = P − p A, 2 = (1 − 0.1)atm = 0.9atm
de la ec.2
(0.9 − 0.8)atm
ln 0.9atm
= 0.849atm ) 0.8atm
Evaluación de la difusividad de la mezcla gaseosa oxígeno -nitrógeno condiciones de operación, DA, B
(A-B), a las
25°C 1atm
*NOTA El valor de las difusividades puede ser obtenido de varias formas siendo elección personal el seleccionar que método ha de emplearse. Sobre esto se destacan dos opciones: a) Consulta bibliográfica, para este caso, tanto en la tabla J.2 del apéndice J del Welty(20), tabla 2.4 del Treybal(19) y tabla 2-371 del Perry(14), entre otros; se encuentran reportados diversos valores de la difusividad. b) Empleo de correlaciones empíricas, dentro de las que destacan para sistemas líquidos las correlaciones de Wilke Chang y para sistemas gaseosos las correlaciones de Wilke Lee. En general, se recomienda la consulta bibliográfica obteniendo valores directo de tablas, para luego, en los casos que resulte necesario, corregir dichos valores ajustándolos a las condiciones de operación. Por otro lado, para aquellos casos en que no se cuente con información bibliográfica han de emplearse las correlaciones empíricas.
de la Tabla 2.1 Treybal(19)
t = 0° C P =1atm
= 1.81(10-5) m2/s
Empleando las ecuaciones de Wilke-Lee a fin de realizar un ajuste al valor de difusividad encontrado y llevarlo a las condiciones de nuestro sistema
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 DA, B P  3/ 2 ⋅  T
 kT   DA, B P  =  3 / 2 ⋅ f   ∈ , A B  I  T 
 kT   f   ∈ , A B  II 
Siendo I (0°C,1atm) y II (25°C, 1 atm) las condiciones de referencia y las del problema, respectivamente.
de la Tabla 2.2 Treybal(19), se obtiene: Tabla 1.2 Relación entre la Energía de atracción molecular/ constante de Boltzman.
∈A, B ∈A ∈B = = k k k
(106.7 )(71.4) = 87.28 °K
1  kT   ∈  = 87.28° K (273.15)° K =3.129 I
1  kT   ∈  = 87.28° K (298.15)° K =3.416 II
de la figura 2.5 Treybal(19)
  kT   f  ∈  = f (3.129) = 0.47    I
  kT   f  ∈  = f (3.416) = 0.46    II
sustituyendo en ec. 3 2   −5 m (1atm ) 1 . 81 10    D A, B (1atm )  s ( ) 0 . 47 ⋅ (0.46 ) ⋅  =  3/ 2 3/ 2   (273.15° K )  (298.15° K )  II  I 
t = 25°C P =1atm
= 2.11(10-5)
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Sustituyendo en la ec. 1 los parámetros evaluados
m2 2.11 10 s ⋅ NA = 0.002m
101325 8314
N ⋅m (298.15° K )(0.849)atm kmol ⋅ ° K
(0.2 − 0.1)atm = 5.079(10 −5 ) kmol 2
5.079 10 −5 kmol m 2 ⋅ s
Caso b) Contradifusión Equimolecular Para
contradifusión
equimolecular en estado estable, una expresión que resulta adecuada para evaluar la velocidad del flujo difusional de A es: Figura 1.2 Contradifusión equimolecular de O2 – N2
DA, B ( p A,1 − p A,2 ) zRT
de donde ya evaluamos con anterioridad los parámetros requeridos en la ec. 4, por lo que al sustituirlos se obtiene:
2.11 10 −5
atm ⋅ L   0.002m 0.0821 (298.15° K ) mol ⋅ ° K  
4.31 10 −5 kmol m 2 ⋅ s
1000 L 1kmol (0.2 − 0.1)atm = 4.31 10 −5 kmol 3 m2 ⋅ s m 1000mol
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PROBLEMA 1.2 ENUNCIADO: Calcular el flujo difusional de NaCl a 18°C, a través de una película de agua estancada de 1 mm de espesor, cuando las concentraciones son 20 y 10% en peso, respectivamente, en cada lado de la película. ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Este problema plantea la existencia de un gradiente de concentraciones que presenta una mezcla líquida (solución acuosa de NaCl) en la cual fueron cuantificadas las concentraciones en dos planos separados una distancia z=0.001 m. El gradiente de concentraciones, existente entre ambos planos, propicia una difusión de masa en líquidos desde el plano de alta concentración hacia el de baja concentración. El mecanismo mediante el cual se efectúa esta transferencia de masa es la difusión molecular, ya que este es el mecanismo que se presenta en fluidos estancados o fluidos que se mueven únicamente en flujo laminar. Además, el sistema aquí tratado ha de analizarse como un sistema en estado estable o estacionario, es decir, las concentraciones en cualquier punto del equipo permanecen constantes con el paso del tiempo; siendo la concentración únicamente función de la posición. Así pues, las concentraciones no variarán en los puntos de inicio y fin de la trayectoria de los componentes que se difunden. Debido a que la difusividad es función de la concentración en líquidos, resulta necesario el referirla a la concentración promedio del sistema. La pregunta se refiere concretamente a la evaluación de la velocidad de flujo difusional del NaCl en agua, siendo el NaCl el único componente capaz de difundirse; asumiendo que la velocidad de flujo difusional del agua es cero. SOLUCIÓN PROPUESTA: Difusión molecular de A en B no difusible,
líquidos Sea A= NaCl Figura 1.3 Difusión molecular de NaCl en solución acuosa
B= H2O
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MA= 58.5
MB=18.02
Para este caso, de difusión de un componente (A) en otro (B) que no se difunde, para líquidos en estado estable, una expresión que resulta adecuada para evaluar la velocidad del flujo difusional de A es:
DA, B c (xA,1 − xA,2 ) z ⋅ xB , M
xB , M =
xB , 2 − xB ,1  x ln B , 2  x B ,1  
de la información proporcionada en el enunciado
x A, 2
0.1 58.5 = = = 0.0331 0.1 0.9 n + 58.5 18.02
xB , 2 = 1 − x A, 2 = 0.9669
x A,1
0.2 58.5 = = = 0.0715 0 . 2 0.8 n + 58.5 18.02
xB ,1 = 1 − x A,1 = 0.9285
n A, 2
n A,1
de ec. 2
0.9669 − 0.9285 = 0.9476 ln 0.9669 0.9285
por definición, se puede decir que
x A, M = 1 − xB , M = 0.0524
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Evaluación de la concentración promedio del sistema c
siendo 1 y 2 los subíndices que hacen referencia a las concentraciones de 20 y 10 % en peso, respectivamente.
M 1 = ∑ xi M i = 0.0715(58.5) + 0.9285(18.02) = 20.914 M 2 = ∑ xi M i = 0.0331(58.5) + 0.9669(18.02) = 19.36 ci =
de la tabla 3-87, Perry(14) se obtienen los siguientes datos de densidades para soluciones de NaCl Tabla 1.3 Densidad de NaCl acuoso t
Densidad g/ cm3
% peso 8
1.05412
1.074265
1.068885
Interpolando tanto para la temperatura como % en peso requeridos, se obtienen:
10% peso 18° C
= 1.071395
g cm 2
ρ1 1820°%Cpeso = 1.14869
de ec. 4 y ec. 5
( ) mkg
1.14869 10 3 20.914
kmol = 54.924 3 m
1.071395 10 3 19.36
(54.924 + 55.34) kmol 3 m
= 55.13
kmol m3
= 55.34
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Evaluación de la difusividad NaCl en agua D A, B
t =18° C P =1atm
de la tabla 3-87, Perry (14), se obtienen los siguientes datos a 18°C y 1 atm Tabla 1.4 Difusividad de NaCl acuoso 3
[NaCl] kmol/m
DAB (m /s) (10 )
La concentración a la que habrá de referirse esta difusividad es la promedio, siendo de la ec. 3
xi , M =
c A = c x A, M = 55.13
kmol (0.0524) = 2.89 kmol3 A 3 m m
Como se observa en los datos de la tabla anterior, no existe un valor de DAB que corresponda precisamente a la concentración requerida, por lo que se sugiere una interpolación. La interpolación a emplear no será de tipo lineal debido a que la variación de DAB respecto de la concentración no es proporcional, por lo que conviene entonces una interpolación gráfica, tal y como se presenta en la figura1.4.
Difusividad (10 9)[m 2/s ]
1.5 1.45 1.4
DA,B=1.352 1.35 1.3 1.25 1.2 0
3 3.5 c A=2.89
Concetración NaCl (kmol/m3)
Figura 1.4 Estimación de la difusividad mediante interpolación gráfica
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De la figura 1.4 se estima la difusividad a la concentración y temperatura de interés (2.892 kmolA / m3 y 18°C), obteniéndose un valor de DA,B
t =18°C c A = 2.89 kmol A m 3
=1.352 (10-9) m2/s
Sustituyendo en ec. 1
m2 (55.19) kmol 1.352 10 s m 3 (0.0714 − 0.03305) = 3.02 10 −6 kmol NA = m2 ⋅ s 0.001m(0.9476) −9
3.02 (10-6) kmol/ m2 s
PROBLEMA 1.3 ENUNCIADO: Una gota de agua, con un diámetro inicial de 0.1 plg está suspendida en el seno de un gran volumen de aire en reposo a 80°F conteniendo una humedad que ejerce una presión parcial de vapor de agua igual a 0.01036 atm. Estimar el tiempo requerido para la completa evaporación de la gota, si la presión total es de 1atm. Para las presentes condiciones, al evaporarse la gota de agua su temperatura cae a un valor estable de 60°F. ANALISIS DEL PROBLEMA: El mecanismo de la evaporación es un proceso de difusión molecular del agua en fase gaseosa en estado transciente en el seno de aire en reposo. Por lo cual, el diámetro de la gota es una variable debido a que conforme transcurre el tiempo se va evaporando y por lo tanto disminuye su tamaño. Por lo anterior habrá que plantear la ecuación de velocidad de flujo difusional (NA) en función de las variables incluyendo el diámetro.
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El único componente transferible es el agua; por lo que la velocidad de transferencia de masa del aire (NB) es cero. El área normal a la transferencia de masa es variable (área de gota) y por lo tanto el valor de NA también es variable. Se considerará que la gota tiene forma esférica y que permanece con esta geometría hasta su evaporación total. SOLUCION PROPUESTA Difusión de A (agua) en B (aire) no difusible en estado gaseoso, en pseudo estado estable
Figura 1.5 Gota de líquido inmersa en seno de aire
Aplicando la ecuación de velocidad de transferencia de masa al sistema, se tiene:
N A = − D A, B
dc A p A (N A + N B ) + dr P
Se observa que NB= 0 debido a que no se difunde aire hacia el agua.
dc A p A + NA dr P
En la ec.2, agrupando términos semejantes y sustituyendo, de acuerdo a la ley de gases ideales , c A =
nA p A = V RT
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D dp p  dc  N A 1 − A  = − D A , B A = − A , B A P  dr RT dr 
de la ec. 3
NA = −
D A , B P dp A RT (P − p A ) dr
De la geometría de la gota, considerando que su forma es esférica, se definen el volumen y el área de la misma como:
incluyendo la expresión de área en la ec. 4
4πr 2 N A = −
4πr 2 DA,B P dp A RT (P − p A ) dr
 mol A   si  θ 
agrupando términos e integrando la ec. 5, considerando que el grupo 4πr 2 N A  es constante.
4πDA,B P dr 4πr N A ∫ 2 = − r RT r ∞
p A , final
∫ (P − p )
p A ,inicial
∞ 4πDA,B P P − p A, final 1 − 4πr N A   = ln RT P − p A,inicial  r r
 1 1  D P P − p A, final − r 2 N A  −  = A,B ln RT P − p A,inicial ∞ r
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ρ ⋅ dr M A dθ
sustituyendo en ec.6 la ec.7, se obtiene:
ρ ⋅ dr DA,B P P − p A, final = ln M A dθ RTr P − p A,inicial
Agrupando términos e integrando en la ec. 8, cuando θ=0
ρ ⋅ RT M A DA,B P ln
P − p A, final P − p A,inicial
r=r0 y cuando θ=θ
ρ ⋅ R ⋅ T ⋅ r0 2
2M A DA,B P ln
P − p A, final
P − p A,inicial
La ec. 9 es aquella expresión que permitirá determinar el tiempo requerido para la completa evaporación de la gota.
De la Tabla 2-5 del Perry(14)
T =60° F =15.55°C
De la Tabla 2-28 del Perry(14)
T = 15.55°C P = 1atm
De la Tabla 2-317 del Perry(14)
DAgua , Aire
= 13.25mmHg = 0.1744atm
= 999.014
T =0° C =273.15° K P =1atm
= 62.3664
cm 2 m2 = 2.2 10 −5 s s
Realizando el ajuste del valor de la difusividad a las condiciones del proceso (80°F=26.67°C), se tiene:
 DA, B P   D A, B P   3  = 3   T 2  I  T 2  II
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Siendo en la ec.10 las condiciones I [0°C,1 atm] y II [26.67°C, 1 atm]
3  2.2 10 −5 m 2 s    2 273.15° K  =  T = 26.67°C  DA,B P=1atm   (26.67 + 273.15)° K 
T = 26.67°C =80° F P =1atm
= 2.53 10 −5
= 0.98036
T =15.55°C =60° F P =1atm
pies 2 h
Sustituyendo en ec. 9 los parámetros conocidos, se obtiene:
  lb  atm ⋅ pie 3 1 pie  62.3664  ⋅ 0 . 7302 ⋅ (539.67° R ) ⋅  0.05 p lg 3  pie  lbmol ⋅ ° R 12 p lg   θ= 2 lb  pies  (1atm ) ln 1 − 0.01036 218.02 0.98036 lbmol  h 1 − 0.01744 
    =1.682 h
=6055.03 s θ
6055.03 s
PROBLEMA 1.4 ENUNCIADO: Se esta fraccionando amoníaco sobre un catalizador sólido, de acuerdo con la reacción: 2 NH3
En cierta zona del aparato, en donde la presión es 1 atm y la temperatura es 200°C, el análisis del gas es 33.33% NH3 (A), 16.67% N2 (B) y 50% H2 (C) en volumen. Las condiciones son tales que el NH3 se difunde desde la corriente del gas hasta la superficie del catalizador; además, los productos de la reacción se difunden en sentido contrario, como si hubiese difusión molecular a través de una película gaseosa de 1mm de espesor, bajo régimen laminar. Calcular la rapidez local de fraccionamiento, kg NH3/ s m2 de superficie de catalizador que se presentaría si la reacción es controlada por difusión
(velocidad de reacción química muy rápida) con la concentración de NH3 sobre la superficie del catalizador igual a cero.
ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Se trata de un proceso de reacción química con difusión del NH3, desde el seno de la corriente gaseosa hasta la superficie del catalizador donde se da la reacción de descomposición del NH3 a gran velocidad y luego transferencia de los productos formados (N2 y H2), que se desprenden tan rápido como se producen, desde la superficie del catalizador hacia el seno de la fase gaseosa. En este problema, y atendiendo al enunciado, solo se contempla el mecanismo de difusión molecular, a través de una película gaseosa de 1 mm de espesor, adyacente a la superficie del catalizador, considerando que las concentraciones dadas de los componentes gaseosos están justamente en la cara exterior de dicha película y en esa cierta zona del reactor. Por otra parte se considera que el mecanismo cinético de la reacción química es tan rápido (instantáneo) que no influye en la velocidad de fraccionamiento. El proceso completo para la descomposición del NH3 involucra dos etapas: primero elevar el NH3 hasta la superficie del catalizador (difusión molecular) y luego
(descomposición del NH3 y formación de los productos). Este segundo paso es instantáneo y por lo tanto la velocidad de fraccionamiento es prácticamente igual a la velocidad de la difusión molecular del NH3 (NA). Luego entonces, bajo las suposiciones establecidas, se trabajará con el proceso de difusión molecular en estado estable en gases en el cual el NH3 se difunde en un sentido y el H2 y N2 lo hacen en sentido contrario, pero no equimolarmente.
SOLUCIÓN PROPUESTA: De acuerdo con la composición gaseosa, sea NH3 = A
y A = 1/3
y B = 1/6
y C = 1/2
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La expresión general de la velocidad de flujo difusional para gases en estado estacionario, será:
 NA − y  A, 2  N A DA, m P  N ln NA = N zRT  N A − y  A,1  N 
N = ∑ Ni = N A + N B + NC
y A de la ec. 1 se refieren a la
concentración de A respecto a su trayectoria de flujo difusional, o bien: Figura 1.6
amoniaco a través de un lecho
y A,1 =
fracción de A en la cara exterior de la
película gaseosa
y A, 2 = 0 por tratarse de la concentración de A en la interfase del sistema estudiado, es decir, sobre la superficie de la partícula de catalizador en donde la reacción es tan rápida (instantánea) que A desaparece tan pronto como toca el catalizador, descomponiéndose en los productos B y C. Velocidad de flujo difusional (N) 2 NH3
La estequiometría de la reacción y su consecuente interpretación, expresada en moles de productos en función de moles de reactivos iniciales, representa una base conveniente a la cual pueden referirse las velocidades de flujo difusional de los diferentes componentes que intervienen en la reacción. Recordando que la velocidad de flujo difusional (N) es expresada dimensionalmente como mol / (tiempo área); para una misma área y un mismo recorrido (1mm) en el mismo tiempo se tendrán distintos flujos molares para los distintos elementos de la reacción.
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Así se puede tomar como base arbitraria un flujo inicial de 10 moles A / h que entran por un canal cuya sección transversal es 1 m2, para lo cual NA= 10 mol / h m2. Ahora bien por cada 10 moles de A que ingresen, una vez ocurrida la reacción de descomposición de A, se producen 5 moles de B, siendo la velocidad de B referida a la misma sección transversal NB= 5 moles B / h m2. Finalmente por cada 10 moles de A que se ponen en contacto con el catalizador se producen 15 moles de C, por lo que nuevamente refiriéndose a la misma área se tiene NC= 15 moles C / h m2. Figura 1.7 Relación de velocidades de flujo difusional
Estableciendo una relación entre las velocidades de flujo difusional de los tres componentes, NB/NA= 5 /10 = 1/2 y NC/NA= 15/10 = 3/2; por lo tanto la velocidad de flujo difusional de B es
la mitad de la velocidad de flujo difusional de A y la velocidad de flujo difusional de C equivale a 1.5 veces la velocidad de flujo difusional de A, sin importar cual sea la base de flujo inicial de A. En resumen, se tiene: NB = -1/2 NA
NC= -3/2 NA
Nótese que el signo de la velocidad es función de la dirección del flujo de cada componente. de la ec. 2
 1   3   2 −1− 3  N = ∑ Ni = N A +  − N A  +  − N A  = N A   = −N A 2   2   2  
NA = -1 N
sustituyendo en ec. 1 los valores conocidos
 NA − y A2 N A D A,m P  N ln NA = N zRT  N A − y A1 N 
N   DA,m 101325 2    −1− 0   m    ln  = −1 ⋅  N ⋅m   −1− 1   ( ) ( ) m K 0 . 001 8314 473 . 15 3     kmol ⋅ K  
simplificando la parte numérica de la anterior expresión, se obtiene
N A = 7.41
kmol D A,m m4
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Difusión de A en una mezcla multicomponente, DA,m
N A − yA ∑ Ni i= A
1 ( yi N A − y A N i ) ∑ i = A D A ,i
planteando la ec. 4 en términos de una mezcla de tres componentes (A,B y C)
N A − y A (N ) 1 ( y A N A − y A N A ) + 1 ( y B N A − y A N B ) + 1 ( yC N A − y A N C ) D A, A D A, B D A ,C
sustituyendo en la ec. 5 las fracciones mol y los flujos difusionales, se tiene;
D A, m
1 (− N A ) 3 = 1 1 1 1 1 1 1 3    N A −  − N A    ( N A ) −  − N A   + D A, B  6 3 2 3 2    D A ,C  2 NA −
4 (N A ) 3 1 D A, B
1 1 (N A )  ( N A ) + D A ,C  3
4 1 3 + D A , B D A ,C
Evaluación de las difusividades, DA,B y DA, C Para evaluar las difusividades de las mezclas gaseosas a continuación se emplea la ec. de Wilke Lee
D A,i
 1 1  3 2 1 1 + ⋅ ⋅ + 10 −4 1.084 − 0.249 T M A M i  M A Mi  = 2  kT   P(rA,i ) f   ∈  A,i 
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de la tabla 2.2 Treybal(19) Tabla 1.5 Caracterización de reactantes y producto.
∈ (°K) k
de acuerdo a la metodología propuesta para la ec. 7 , de Wilke Lee
Evaluación de la difusividad de Amoníaco-Nitrógeno, DA,B
rA, B =
∈A, B k
rA + rB (0.29 + 0.3798)nm = = 0.3349nm 2 2
∈A ∈B ⋅ = k k
(558.3° K )(71.4° K ) = 199.65° K
kT 1 (473.15°K ) = 2.37 = ∈A, B 199.65° K
 kT   = f (2.37 ) = 0.52 f   ∈ A , B  
sustituyendo en la ec. 7
t = 200° C P =1atm
 3 1 1  1 1  ⋅ (473.15) 2 ⋅ + + 10 −4 1.084 − 0.249 2 17 28  17 28  -5 m = = 5.3945(10 ) 2 s 1(0.3349) (0.52 )
Evaluación de la difusividad de Amoníaco-Hidrógeno, DA,C
rA,C =
rA + rC (0.29 + 0.2827 )nm = = 0.28635nm 2 2
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∈ A ,C k
∈A ∈C ⋅ = k k
(558.3° K )(59.7°K ) = 182.56 K
kT 1 (473.15°K ) = 2.59 = ∈A,C 182.56° K
 kT f   ∈A,C
  = f (2.59) = 0.46  
t = 200°C P =1atm
 3 1 1 1 1 +  ⋅ (473.15) 2 ⋅ + 10 −4 1.084 − 0.249 2 17 2  17 2  -4 m = = 1.8 (10 ) 2 s 1(0.286 ) (0.46)
retomando la ec. 6
D A,m
4 1 3 + D A,B D A,C
4 1 3 + −5 5.3945 10 1.8 10 −4
= 1.136 (10-4)
sustituyendo en valor de DA,m en la ec. 3
2 kmol  kmol kmol −4 m    = 8.42 10 − 4 2 = 7 . 41 1 . 136 10 D A, m 4 4  s  m  m ⋅s m
8.42 (10-4) kmol / m2 s
Finalmente, la velocidad de descomposición (S), será:
S = N A M A = 8.42 10 −4
kg ) kmol 17 m ⋅s kmol A
= 0.01431
=0.01431 kgA / m2 s
kg A m2 ⋅ s
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PROBLEMA 1.5 ENUNCIADO: Se ha demostrado que la eliminación del aceite de soya que impregna una arcilla porosa por contacto con un disolvente del aceite, es ocasionada por difusión interna del aceite a través del sólido. Una placa de arcilla, 1/16 plg de espesor, 1.80 plg de longitud y 1.08 plg de anchura (1.588mm x 45.7mm x27.4mm), con los lados estrechos sellados, se impregno con aceite de soya hasta una concentración uniforme de 0.229 kg aceite/kg arcilla seca. Se sumergió en una corriente en movimiento de tetracloroetileno puro a 120°F (49°C), en donde el contenido de aceite de la placa se redujo a 0.048 kg de aceite/kg arcilla seca en 1 h. La resistencia a la difusión puede considerarse que reside completamente en la placa; el contenido final de aceite en la arcilla puede considerarse como cero cuando se pone en contacto con el solvente puro durante un tiempo infinito. a) Calcule la difusividad efectiva b) Un cilindro de la misma arcilla, 0.5 plg de diámetro, 1 plg de longitud, contiene una concentración inicial uniforme de 0.17 kg aceite/kg arcilla seca. Cuando se sumerge en una corriente en movimiento de tetracloroetileno puro a 49°C, ¿a qué concentración descenderá el contenido en aceite después de 10 h si las dos caras extremas están selladas? c) Vuelva a calcular (b) para los casos en que únicamente una de las puntas del cilindro este sellada y en que ninguna de las puntas este sellada. d) En cuanto tiempo descenderá la concentración hasta 0.01 kg aceite/ kg arcilla seca para el caso (b) cuando ninguno de los extremos este sellado. ANÁLISIS DEL PROBLEMA: La difusión en sólidos, contempla el movimiento que puede efectuar la sustancia que se difunde en el volumen del sólido, siendo esta difusión del tipo molecular ya que las características del sistema mismo no permiten que exista flujo turbulento apreciable. En general, el fenómeno difusional en sólidos es tratado bajo los mismos conceptos que para la difusión en líquidos y gases, siendo la velocidad de flujo difusional de la sustancia A (NA) a través del sólido proporcional al gradiente de concentración en la dirección de la difusión que se analiza. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de difusión o difusividad (DA).
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En el caso de la difusión en sólidos, el proceso se realiza en condiciones transcientes (en estado inestable). La velocidad de flujo difusional es variable en virtud de que el gradiente de las concentraciones dentro del sólido cambia. Un balance diferencial de masa proporciona el modelo matemático que involucra la variación de la concentración en función del tiempo y de la posición en el sólido. Así se obtiene una expresión diferencial (ecuación de continuidad) como la siguiente:
∂c A ∂ 2c A ∂ 2c A ∂ 2c A = DAB , x + D + D AB , y AB , z ∂θ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 en la dirección “z”, se tiene:
∂c A ∂ 2c A = D AB , z ∂θ ∂z 2 Para sólidos de formas geométricas muy comunes, Newman presenta soluciones gráficas a la anterior ecuación diferencial bajo las siguientes condiciones de frontera: No hay reacción química No hay resistencia a la difusión de A fuera del sólido. Concentración promedio inicial en el sólido, c A, 0 en un tiempo θ = 0 Concentración promedia en el sólido, c A,θ en un tiempo θ = θ Concentración en la superficie del sólido, constante, c A,∞ en un tiempo θ = ∞ (concentración de equilibrio).
Las soluciones numéricas que desarrolló Newman son de la forma:
c A,θ − c A,∞  D ⋅θ  = f 2  c A , 0 − c A ,∞  z 
D = difusividad de A en el sólido
θ = tiempo z = máxima longitud del camino o trayectoria difusional dentro del sólido.
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La figura 4.2 de Treybal(19) presenta la solución gráfica para sólidos paralelepípedos, cilíndricos y esféricos. En este problema se pide calcular la Difusividad Efectiva primeramente. Esto significa que deberá estimarse tal difusividad del aceite de soya mencionado en el tetracloroetileno puro a esa temperatura (49°C) y caracterizada por la particular estructura porosa de la arcilla indicada. Si fuera otra arcilla con diferente estructura porosa o si la temperatura cambiara, la difusividad del mismo aceite de soya en el mismo solvente sería distinta. Es por eso que tal difusividad que se pide, es la “efectiva” para las características establecidas. La segunda y tercer pregunta requieren de la determinación de la concentración promedio que se espera tenga un cilindro de arcilla después de transcurrido cierto tiempo, lo cual puede determinarse nuevamente mediante las soluciones gráficas de Newman. La última requiere la determinación del tiempo que habrá de transcurrir para que la concentración promedio en un cilindro de arcilla disminuya hasta un valor dado.
SOLUCIÓN PROPUESTA: A= aceite de soya,
B= arcilla seca
Para la placa de arcilla porosa
Figura 1.8 Caracterización dimensional de placa de arcilla.
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Figura 1.9 Difusión de aceite en placa de arcilla, con extremos sellados, para diferentes tiempos.
de donde se observa que el camino de la difusión sigue la dirección de las “y”, por lo que:
1 p lg 16
1 1 p lg = pies 32 384
además se tiene disponible la siguiente información
c A,0 = 0.229
kg A Kg B
θ = 1h
c A,θ =1h = 0.048
c A, ∞ = 0.00
para placas rectangulares con extremos sellados
c A,θ − c A, ∞ D θ = f  ef2  c A, 0 − c A, ∞  a 
    0.048 − 0  Def (1h )  E= = 0.2096 = f  = 2  0.229 − 0 1      384 pies     
 pies 2   f 147456 Def h  
de la figura 4.2 Treybal(19) para la geometría de placas rectangulares
por lo que de ec.2 0.54 = 147456 Def
3.662 (10-6) pies2/h
Dθ a2
E = 0.2096 losa
Def = 3.662(10 −6 )
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Para el caso en que ambos extremos del cilindro se encuentran sellados. La trayectoria que puede seguir A, es radial únicamente,
1 p lg 2
1 1 p lg = pies 4 48
Figura 1.10 Difusión de aceite en cilindro de arcilla, con extremos sellados, para diferentes tiempos.
c A,0 = 0.17
θ = 10h
Para cilindros con extremos sellados
c A,θ − c A, ∞ D θ  = f " ef2  c A, 0 − c A, ∞  a 
Del desarrollo para la placa rectangular se obtuvo Def= 3.662 (10-6) pies2/h , por lo que sustituyendo los parámetros conocidos en ec. 3, se tiene:
    −6 c A,θ − 0  3.662(10 )(10 )  Er = = f " 2  = f " (0.0844) 0.17 − 0 0 . 25          12 
De la figura 4.2 Treybal(19)
f ´´= 0.0844 cilindro
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de la ec. 4:
c A,θ − 0 0.17 − 0
c A,θ
c A,θ = 0.45(0.17 ) = 0.0765
0.0765 kgA / kgB
Para el caso en que ninguno de los extremos del cilindro este sellado
Figura 1.11 Difusión de aceite en cilindro de arcilla, para diferentes tiempos.
El componente A puede difundirse en la dirección radial y en dirección axial (eje del cilindro).
2c = 1 p lg
1 1 p lg = pies 2 24
para cilindros sin extremos sellados
 Def θ   Def θ = f  2  ⋅ f "  2  c   a
  = Ec Er 
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Del desarrollo para la placa se obtuvo Def= 3.662(10-6) pies2/h, por lo que sustituyendo los parámetros conocidos en la ec. 5
        −6 −6 c A,θ − 0  3.662 10 (10 )   3.662 10 (10 )  E= = f 2 2  = f (0.0211) ⋅ f " (0.0844 )  ⋅ f " 0.17 − 0 1 1                 24 48        
f =0.0211 placa
c A,θ − 0 = 0.85(0.45) = 0.3825 0.17 − 0
0.065025 kgA / kgB
c A,θ = 0.3825(0.17 ) = 0.065025
Para el caso en que solo uno de los extremos del cilindro esté sellado
Figura 1.12 Difusión de aceite en cilindro de arcilla, con un extremos sellado, para diferentes tiempos.
c = 1 p lg =
a= 1 pies 12
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Para cilindros con solo un extremo sellado
c A,θ − c A, ∞ D θ D θ = f ´ ef2  ⋅ f " ef2  = E2 c Er c A, 0 − c A, ∞  c   a 
sustituyendo los parámetros conocidos en ec. 7
        −6 −6 c A,θ − 0  3.662 10 (10 )   3.662 10 (10 )  = f E= 2 2  ⋅ f "  = f (0.0053) ⋅ f " (0.0844 ) 0.17 − 0 1 1                  12   48     
f =0.0053 placa
c A,θ − 0 = 0.9(0.45) = 0.405 0.17 − 0
0.06885 kgA / kgB
c A,θ = 0.405(0.17 ) = 0.06885
Ninguno de los extremos sellados
Figura 1.13 Difusión de aceite en cilindro de arcilla, para diferentes tiempos.
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θ = ¿? h
c A,θ = ¿? h = 0.01
sustituyendo los parámetros conocidos en ec. 9
        −6 −6 0.01 − 0.00  3.662(10 )(θ )   3.662(10 )(θ )  E= = 0.0588 = f  2 2   ⋅ f " 0.17 − 0.00 1 1                  48   24      E = f (0.00211θ ) ⋅ f " (0.00844θ )
Por lo que se requiere de un proceso iterativo para el cual se supone θ y se determinan sus respectivas funciones a fin de estimar E; el proceso iterativo concluye cuando, de acuerdo a la expresión anterior, el producto de las funciones EC Er se iguala a E=0.0588
Tabla 1.6 Obtención de tiempo mediante proceso iterativo. figura 4.2
θ (h)
f " (0.00844θ )
f ´´= 0.00844θ r cilindro
f (0.00211θ )
f =0.00211θ c placa
E r ⋅ Ec
El resultado se encuentra entre 41-42 h, considérese 41 ½ h debido a que por tratarse de un método iterativo no es posible determinar con exactitud la solución.
41 ½ h
PROBLEMA 1.6 ENUNCIADO: Una tablilla de arcilla de 5 cm de espesor se coloca sobre una banda dentro de un secador de flujo de aire continuo, restringiéndose el secado a solo la superficie superior de la tablilla que se encuentra en contacto con el flujo de aire. El contenido inicial de agua en la tablilla es 15% en peso y el contenido en la superficie, bajo condiciones de secado constante, se mantendrá en 4% en peso. Determinar el tiempo necesario para reducir el contenido de humedad en el centro a 10% en peso.
Def = 1.3 (10-4) cm2/ s del agua a través de la arcilla.
ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Los investigadores Gurney & Lurie desarrollaron las soluciones matemáticas a la ecuación diferencial de balance de materia en los sólidos con condiciones de frontera incluyendo valores para la resistencia relativa ( m ), así como la posición relativa ( n ) de un punto dentro del sólido; además incluyeron las condiciones consideradas por Newman. Estas condiciones establecen que:
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c A − c A, s
c A, 0 − c A, s
Def θ
Def k c x1
c A = Concentración del componente A, en un punto y en un tiempo θ .
c A, 0 = Concentración de A promedio inicial en el sólido. c A, s = Concentración de A en la superficie del sólido, constante: concentración de equilibrio.
x1 = Máxima longitud de la trayectoria difusional. x = Distancia desde el centro a un punto determinado (posición determinada).
k c = Coeficiente de transferencia de masa convectivo en el fluido que rodea al sólido.
Las soluciones gráficas correspondientes a las mismas geometrías comunes del sólido: placas, cilindros y esferas, se pueden consultar en el apéndice F de Welty (20).
SOLUCIÓN PROPUESTA: Sea A= Agua
Figura 1.14 Secado de tablilla de arcilla en contracorriente con aire, a diferentes tiempos.
c A, s =
4 kg = 0.04166 A 100 − 4 kg B
c A, 0 =
15 kg = 0.1765 A 100 − 15 kg B
c A,θ = ¿? =
10 kg = 0.111 A 100 − 10 kg B
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De acuerdo a la nomenclatura empleada para las soluciones de Gurney- Lurie:
x1 = 5cm m=
x = 2.5cm
x 2.5cm = = 0.5 5cm x1
D A, B ≅0 kc x1
debido a que no se tiene información sobre la resistencia a la difusión en el fluido fuera del sólido, se asume que conforme la humedad sale del sólido es desplazada por una corriente que renueva el entorno y por lo tanto la resistencia relativa será cero.
(0.111 − 0.04166)kg A kg c A − c A, s B = = 0.5142 Y= c A,0 − c A, s (0.1765 − 0.04166 ) kg A kg B
1.3 10 − 4
= 5.2(10 −6 )θ
Se requiere determinar el valor para X para n= 0.5 , m≅0 y Y=0.5142 por lo que de la figura F-1 o F-7 del Welty(20) y dado que no existe el valor directamente para n=0.5 se obtiene la siguiente información
X n =0.4
Y = 0.5142 m =0
X n =0.6
Interpolando entre los valores obtenidos arriba, el que correspondería a n= 0.5, sería:
X n =0.5
= 0.235
Sustituyendo en la ec. 2
X = 0.235 = 5.2(10 −6 )θ
12.553 h
θ = 45192s ≈ 12.553 h
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PROBLEMA 1.7 ENUNCIADO: Una placa de porcelana sin vidriar, de 5 mm de espesor, tiene un diámetro de poro promedio de 0.2 micra. Gas oxígeno puro a una presión absoluta de 20 mmHg, 100°C, en un lado de la placa pasa a través de ella con una rapidez de 0.093 cm3 (a 20 mmHg, 100°C) por segundo por cm2 cuando la presión corriente abajo es tan baja que puede considerarse despreciable. Calcular la rapidez de paso del gas hidrógeno a 25°C y a una presión de 10 mmHg abs; despréciese la presión corriente abajo.
ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Este problema plantea un caso de difusión a través de sólidos porosos, describiendo en primer lugar el comportamiento de un gas A para un arreglo físico determinado, resultando posible caracterizar el material del sólido para este componente mediante la determinación de su difusividad. Con esta información de la placa porosa, se requiere estimar la velocidad de flujo de otro gas (hidrógeno) a través de la misma placa pero a otras condiciones de temperatura y presión. Es importante que para cada gas (oxígeno e hidrógeno) se determine qué mecanismo de difusión pudiera darse, difusión tipo Fick o tipo Knudsen, dependiendo del valor del numero de Knudsen (Kn) en función del diámetro promedio del poro y de la longitud de la trayectoria media molecular (λ). Por otra parte, primeramente habrá que estimar si el movimiento de los fluido obedece a un flujo difusivo (gobernado por un gradiente de concentraciones) o a un flujo hidrodinámico (gobernado por una diferencia de presiones totales). En principio parecería que el movimiento molecular a través del sólido se debe a una diferencia de presiones absolutas totales, esto es: un movimiento hidrodinámico. Pero pudiera ser originado también por un gradiente de las presiones (concentraciones) de los gases entre ambos lados de la placa de porcelana, como si fuera un movimiento difusional. Se trabajará por lo tanto bajo ambos puntos de vista.
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SOLUCIÓN PROPUESTA 1: Movimiento Hidrodinámico Sea A= oxígeno
B= hidrógeno
Figura 1.15 Paso de Oxígeno y Nitrógeno a través del mismo arreglo en placa plana sin vidriar.
Para un sólido poroso con poros reales, un ajuste de la ecuación de Hagen-Poiseuille sería la siguiente expresión:
k P (P1 − P2 ) R ⋅T ⋅ z
donde k es un factor experimental y entonces:
k d 2 gc α z 32 µ ⋅ l
Ecuación de Hagen-Poiseuille para flujo en poros ideales de longitud l y diámetro d
d 2 gc 1 NA = P (P1 − P2 ) 32 µ ⋅ l R ⋅ T
para el O2 (A), de acuerdo al enunciado del problema, fluye a 0.093 cm3/cm2 s =0.00093 m3 / m2 s, P1 = 20mmHg = 2666 N/m2, P2 = 0mmHg ,T =100°C= 373.15°K
m3 P m3 NA = 0 . 00093 = s ⋅ m 2 RT s ⋅ m 2 8314
N ⋅m (373.15° K ) kmol ⋅ ° K
= 7.99 10 −7
) skmol ⋅m
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de ec. 4
(20 + 0)mmHg = 10mmHg =1333 N/m2 2
Sustituyendo los valores conocidos en la ec. 1
) skmol = ⋅m
7.99 10 −7
N ⋅m (373.15°K )(0.005m) kmol ⋅ ° K
N (2666 − 0) N2 2 m m
k A = 3.487(10-9)
m4 N ⋅s
de la ec. 2 se establece la siguiente proporcionalidad
k α z
m4 2 3 N ⋅ s = 6.975 10 − 7 m α d g c 0.005m N ⋅ s 32 µ ⋅ l
3.487 10 −9
por lo que es función de la naturaleza del componente que fluye, en este caso O2, al incluir su viscosidad µ A (100°C, 20 mmHg) , siendo los demás parámetros función de la geometría del sólido poroso
De la figura 2-32 del Perry(14)
µ A 100°C = 0.025cp
para el H2 (B), que fluye por los mismos poros que el O2, de acuerdo al enunciado,
P1 = 10mmHg = 1333.5 N/m2, P2 = 0mmHg ,T =25°C= 298.15K y de la ec. 4
(10 + 0)mmHg = 5mmHg =666.5 N/m2 2
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Sustituyendo los valores conocidos de la ec. 1
N ⋅m (298.15K )(0.005m) kmol ⋅ K
N (1333 − 0) N2 2 m m
Simplificando la parte numérica de la anterior expresión
N B = 71.6829
N ⋅ kmol (k B ) m6
Nótese, que la k que aparece en la ec. 7 no es la misma que la k evaluada en ec. 6 para A (O2). Por lo que, en ausencia de información respecto a la velocidad de flujo difusional para B (NB), sobre la base del análisis realizado con anterioridad y de la ec.2 aplicada tanto para el componente A y B, se establece
d 2 gc kA α z 32µ A ⋅ l
d 2 gc kB α z 32µ B ⋅ l
d 2 gc kA z α 32µ A ⋅ l = µ B kB µA d 2 gc z 32µ B ⋅ l
µ  k B = k A  A   µB 
Se observa, de la ec. 8, que partir de la relación de viscosidad entre ambas sustancias (A y B) se puede evaluar el factor que en conjunto con el valor estimado para k A permitirá determinar NB.
= 0.009cp
Sustituyendo en ec. 8 los valores conocidos, se tiene:
k B = 3.487 10− 9
m 025cp   = 9.687(10 ) ) Nm⋅ s  00..009 cp N ⋅s 4
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Entonces, de la ec. 7
kmolB N ⋅ kmol m4 −9 9 . 687 10 = 6.94 10 −7 6 m N ⋅s s ⋅ m2
6.94 (10-7) kmolB/ s m2
SOLUCIÓN PROPUESTA 2: Movimiento Difusivo Para determinar que mecanismo de difusión se presenta en la placa para el oxígeno y para el hidrógeno, habrá que estimar el número de Knudsen ( Kn ) para ambos gases
Se requiere calcular λ para el oxígeno y para el hidrógeno a las condiciones del enunciado, para lo cual se emplea la siguiente expresión:
 kg  N ⋅m 0.5  ° K 3 . 2 8314  RT 3.2 µ  ⋅ ⋅ ° m s kmol K     [=] λ=   N ⋅ kg m kg P  2π ⋅ g c ⋅ M    2π 1   2 2  m   N ⋅ s  kmol 
[=]m
Para el O2 (A), de la ec.9
M=32 kg/ kmol,
P1 = 20mmHg = 2666 N/m2, P2 = 0mmHg , P = 10mmHg =1333N/m2, T
=100°C= 373.15°K, µ A
100°C 1atm
= 0.025cp =2.5 (10-5) kg/ m s
 N ⋅m kg  (373.15)°K  3.2 2.5 10 8314  kmol ⋅ ° K m⋅s  λA =   N kg ⋅ m  kg  1333 2 32   2π 1 2  m  N ⋅ s  kmol A  
= 7.45 10 −6 m
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Para el H2 (B), de la ec. 9 M=2.02 kg/ kmol, P1 = 10mmHg = 1333 N/m2, P2 = 0mmHg , P = 5mmHg =666.5 N/m2, T =25°C= 298.15°K, µ B
25° C 1atm
= 0.009cp =9 (10-6) kg/ m s
 N ⋅m kg  (298.15)° K  3.2 9 10 8314  kmol ⋅ ° K m⋅s  λB =   N kg  kg ⋅ m  666.5 2 2 . 02    2π 1 2 m kmolB   N ⋅s  
= 19.2 10 −6 m
De las ecuaciones 10 y 11, se determina el comportamiento predominante del flujo para cada componente, siendo:
0.2 10 −6 m = 0.027 < 0.2 difusividad tipo Knudsen 7.45 10 −6 m
0.2 10 −6 m = 0.0104 < 0.2 difusividad tipo Knudsen 19.2 10 −6 m
N A = 7.99 10 −7
Evaluada con anterioridad
DK , A,ef zRT
) kmol s⋅m
sustituyendo en ec. 12 los parámetros conocidos, se tiene:
DK , A,ef (2666.5 − 0) N2 m (0.005m ) 8314 N ⋅ m (373.15° K ) kmol ⋅ ° K  
DK , A, ef = 4.65 10− 6
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Recuérdese que para un sólido poroso dado, se cumplen la siguiente relación:
DK , A D = cte = K , B DK , A, ef DK , B , ef
Evaluación de DK,i
D K ,i
d  8 g RT   =  c 3  π ⋅ M i 
Combinando las ecs. 13 y 14, se tiene:
DK , B DK , A
d  8 g c RTB  3  π ⋅ M B
d  8 g c RTA    3  π ⋅ M A 
 TB  M = B
 TA    MA 
T M  =  B A   TA M B 
 kg     (298.15 K ) 32  kmol     =   kg      (398.15K ) 2  kmol   
= 3.4614
Nuevamente, de la ec. 13
DK , B , ef =
2 2 DK , B (DK , A,ef )= (3.4614)4.65 10 −6 m = 1.61 10 −5 m DK , A s s
Finalmente, de la ec. 12, se obtiene la velocidad de flujo difusional del componente B
1.61 10 −5
(0.005m ) 8314 
N ⋅m  (298.15° K ) kmol ⋅ ° K 
1.73 (10-6) kmolB/ s m2
(1333 − 0) N2 m
= 1.73 10 −6
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NONMENCLATURA Capítulo 1. SIMBOLO
Máxima longitud de la trayectoria difusional
Área normal a la dirección del flujo difusional
Difusividad o coeficiente de difusión
Difusividad del componente i en la mezcla m
Difusividad de Knudsen
f , f ´, f ´´ gc J k
θ L2
Fracción de soluto eliminado
Φ M ⋅L F ⋅θ 2
Factor de conversión Velocidad de A en B en relación a la velocidad promedio de la mezcla A+B Una constante empírica
L4 F ⋅θ
Coeficiente de transferencia de masa convectiva (Gurney-Lurie) Constante de
Di ,m
Boltzman / energía de atracción
molecular Número de Knudsen=
Longitud, longitud del poro
Resistencia relativa (Gurney-Lurie)
1 T Φ L
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Posición relativa (Gurney-Lurie)
mol L2 ⋅ θ
Velocidad de flujo difusional
Separación molecular durante el choque (nm)
L F ⋅L mol ⋅ T
Velocidad de descomposición (fraccionamiento)
Temperatura absoluta (°K)
vA V x
M L2θ T
temperatura de ebullición normal Volumen Distancia desde el centro a cualquier punto (GurneyLurie) Concentración en fracción mol del componente i en el líquido Tiempo relativo (Gurney-Lurie) Concentración en fracción mol del componente i en el gas
L3 L3 L mol mol
θ mol mol
Cambio incompleto, razón (Gurney-Lurie)
Distancia en dirección z
Composición expresada como porciento en volumen
Composición expresada como porciento en peso
Y =E z
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M L ⋅θ
Tortuosidad de poro
Factor de asociación del disolvente (Wilke Chang)
Distancia libre promedio entre choques moleculares
Constante = 3.1416
Fracción hueca
A,B ef
Componentes A, B Efectiva
Superficie del sólido
Inicial (en el tiempo cero)
Posiciones 1 y 2
Condiciones de referencia I y II
En el tiempo θ
Al tiempo infinito, en el equilibrio
Exponentes y Superíndices ---
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CAPITULO 2 DIFUSION TURBULENTA. TRANSFERENCIA DE MASA. 2.1. Generalidades La difusión no está restringida a la transferencia molecular a través de capas estacionarias de sólidos o fluidos en reposo o en flujo laminar. También tiene lugar en fases fluidas en flujo turbulento. Este hecho recibe el nombre de difusión en régimen turbulento Los coeficientes de transferencia de masa representan una descripción simple de cómo ocurre la difusión desde de una interfase dentro de una solución relativamente homogénea englobando los efectos causados en la zona laminar, de transición y turbulenta. Además son lo suficientemente exactos para correlacionar resultados experimentales de las separaciones industriales, proporcionando las bases para el diseño de nuevo equipo. Por otra parte, tales coeficientes resultan útiles debido a que describen qué tan rápido ocurre una separación; representando un paso más allá de la termodinámica, la cual establece el máximo grado de separación posible. Es común que en la ingeniería se requiera predecir el comportamiento de un sistema dado, evitando realizar experimentos tanto como sea posible; por lo es de vital importancia el empleo adecuado de la información fruto del trabajo de alguien más, datos ya reportados, que ahorran trabajo y sobre todo la inconveniencia del alto costo experimental. En general, las analogías ofrecen la ventaja de poder determinar los coeficientes en base a información disponible, por lo cual se han de emplear coeficientes de transferencia de masa siempre que sea posible. Sin embargo, estos coeficientes son rara vez reportados como valores individuales, pero lo son como correlaciones de números adimensionales. 2.2. Coeficientes de transferencia de masa, tipo k y F Existen principalmente dos tipos de coeficientes de transferencia de masa, el tipo F y el tipo k, y su empleo depende de las características del sistema en específico. Asimismo existen coeficientes de transferencia de masa, tanto tipo F como k, globales e individuales, en función de la fuerza impulsora bajo la cual sean descritos.
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Los coeficientes de transferencia de masa tipo F [moles/ s m2 (moles/tiempo área)] son locales o puntuales e instantáneos, y se encuentran definidos mediante las siguientes expresiones:
N cD N A = A ⋅ A, B N z
  NA NA = F ln  N  
N A c A, 2 − N c N A c A,1 − N c
cDA, B z
Existen modelos simplificados que contemplan coeficientes tipo k, siendo de manera general
NA Fuerza impulsora
Estas simplificaciones tienen ciertas restricciones en su uso, y son válidas solo en los casos en que la velocidad de transferencia de masa es baja y la transferencia sea de A en B no transferible o una contradifusión de masa equimolar. Asimismo existen expresiones para convertir coeficientes de masa tipo k a tipo F; sobre esto puede consultarse la Tabla 3.1 Treybal(19)
2.3. Analogías entre transferencia de masa y calor Las analogías son herramientas útiles para predecir el comportamiento de sistemas para los cuales es limitada la cantidad de información disponible. La tabla 2.1 presenta las relaciones fisicas que representan los grupos adimensionales más comunes.
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Tabla 2.1 Relaciones físicas de grupos adimensionales comunes
Grupo Sherwood= Stanton= Schmidt= Lewis= Prandtl= Reynolds= Péclet=
Significado físico velocidad de transferencia de masa velocidad de difusión velocidad de transferencia de masa velocidad de flujo difusividad de momentum difusividad de masa difusividad de energía difusividad de masa difusividad de momentum difusividad de energía velocidad de flujo velocidad de momentum velocidad de flujo velocidad de difusión
Usado en Variable dependiente
Ocasional variable dependiente
Correlaciones de información de gases y líquidos Transferencia simultanea de masa y calor
Correlaciones de información de gases y líquidos
Los números de Sherwood y Stanton involucran el coeficiente de transferencia de masa directamente. Los números de Schmidt, Lewis y Prandtl involucran diferentes tipos de difusión; los números de Reynolds y Péclet describen el flujo. La definición exacta de cada uno de estos grupos implica un sistema físico específico. Los coeficientes tipo k pueden ser obtenidos a partir de correlaciones empíricas que involucren grupos adimensionales. Muchas de las correlaciones poseen la misma forma general, involucrando al número de Sherwood, el cual contiene el coeficiente de transferencia de masa. Sobre esto puede consultarse la tabla 3.2 Treybal(19), la tabla 9.32 Cussler(1), entre otros. Asimismo, se han publicado correlaciones, como las que se encuentran en la tabla 3.3 Treybal(19), que permiten determinar los coeficientes a través del empleo de grupos adimensionales y para diversos arreglos físicos. Resultados experimentales pueden ser convertidos en coeficiente de transferencia de masa. Asimismo, estos coeficientes pueden ser eficazmente organizados como correlaciones adimensionales.
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SECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS CAPÍTULO 2. DIFUSIÓN TURBULENTA. TRANSFERENCIA DE MASA.
PROBLEMA 2.1 ENUNCIADO: Calcule el coeficiente de transferencia de masa y el espesor efectivo de la película que se esperaría en la absorción de amoníaco contenido en aire por una solución de ácido sulfúrico 2N, en una torre de paredes mojadas, en las siguientes condiciones: Flujo de aire = 41.4 g/min (sólo aire) Presión parcial promedio del amoníaco en el aire = 30.8 mm Hg Presión total = 760 mmHg Temperatura promedio del gas = 25°C Temperatura promedio del líquido = 25°C Diámetro de la torre = 1.46 cm Para la absorción de amoníaco en ácido sulfúrico de esta concentración, la resistencia total a la transferencia de masa se encuentra en el gas; la presión parcial del amoníaco en la interfase puede despreciarse. Nota: Las condiciones corresponden a la corrida 47 de Chambers y Sherwood(1), quienes observaron que d/zF =16.6
ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Una torre de pared húmeda o mojada es un dispositivo generalmente de sección circular (como un tubo) instalado verticalmente en el cual se alimenta una corriente de líquido de manera que descienda mojando homogéneamente la pared interior, formando una película descendente. En corriente paralela o a contracorriente se alimenta una fase gaseosa de manera que se establezca el contacto con la película líquida y entonces se de el proceso de transferencia de masa, en este caso, entre ambas fases. De la información del enunciado se deduce que el proceso de transferencia de masa (absorción gaseosa) se da solo en la fase gaseosa, entre la superficie interfacial y el seno de la corriente gaseosa en la cual se encuentra toda la resistencia a la transferencia. En la
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película líquida no hay transferencia de masa ya que no existe resistencia apreciable. Además en la interfase, la concentración del amoníaco es cero. El coeficiente de transferencia de masa que se requiere es aquel que corresponda a las condiciones dadas en el enunciado. Es decir, en aquel lugar de la torre en el que prevalezcan el flujo, las concentraciones, la presión y la temperatura dadas. A otras condiciones en la torre, el coeficiente tendrá otro valor. El arreglo físico del flujo de las fases y el entorno geométrico establece que se trata de un proceso de transferencias de masa en fase gaseosa fluyendo axialmente en un ducto circular a través de una sección transversal circular determinada por la superficie interfacial líquido-gas. La segunda pregunta se refiere concretamente a estimar el espesor de una película de la fase gaseosa (película ficticia) que fluyendo en régimen laminar representaría una resistencia a la transferencia de masa equivalente a la suma de las resistencias reales a la transferencia de masa a través de las zona laminar, la zona de transición y la zona de régimen turbulento. SOLUCIÓN PROPUESTA:
Para estimar el coeficiente de transferencia de masa, deberá encontrarse una correlación empírica correspondiente a este arreglo físico: flujo de gases dentro de ductos circulares. En la tabla 3.3 Treybal(19) se localizan dos correlaciones que corresponden a diferentes valores de los números de Reynolds (Re) y de Schmidt
determinar estos valores para decidir cual es la correlación apropiada Nota: No olvidar que el problema de la transferencia de masa está en la fase gaseosa y no en la líquida. Considérese que A = NH3 y B = aire
Figura 2.1 Absorción de amoniaco en torre de paredes mojadas.
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La verdadera área de la sección transversal al flujo gaseoso no se conoce por no saber el espesor de la película de líquido. Entonces se está considerando el diámetro de la torre.
(1.46(10 )m) 4
= 1.674 10 −4 m 2
Evaluación del flujo de la corriente gaseosa Se tiene como dato del problema el flujo del aire solo, pero se requiere el flujo total de la corriente gaseosa a fin de evaluar Re, para lo cual emplearemos relaciones molares
G´= G´A +G´B
G´B = 41.4
1 g 1min 1kg kg = 4.1215 2B −4 2 min 60s 1000 g 1.674 10 m ms
nA pA mol A 30.8 = = = 0.0422 nB p B 760 − 30.8 mol B
Y ´A = YA
30.8 17.03 MA kg = ⋅ = 0.0248 A M B 760 − 30.8 29 kg B
G´A = Y ´A G´B = 0.0248
kg A (4.1215) kg2B = 0.1022 kgA kg B ms m2s
sustituyendo los valores encontrados en ec.1
G´= G´A +G´B = 4.1215
kg B kg kg + 0.1022 2A = 4.2237 2 2 ms ms ms
30.8mmHg = 0.0405 760mmHg
y B = 1 − y A = 0.9595 (mezcla binaria)
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M G = ΣM i yi = 17.03
PM G ρG = = RT
kg A  30.8  kg  30.8  kg   + 29 B 1 −  = 28.515 kmol  760  kmol  kmol 760 
N (28.515) kg 2 kmol = 1.165 kg m N ⋅m m3 (298.15)°K 8314 kmol ° K
Para una mezcla gaseosa, la viscosidad de mezcla puede ser definida mediante la expresión
µ A yAM A yAM A
+ µB yB M B + yB M B
µ NH
de la figura 2-32 Perry(14)
t = 25° C P =1atm
µ aire
=0.011cp
=0.018cp
sustituyendo en ec. 5
0.011(0.0405)(17.03) 2 + 0.018(0.9595)(29) 1
(0.0405)(17.03) 2 + (0.9595)(29) 2 1
= 0.0178cp
Evaluación de la Difusividad de Amoníaco-Aire, DA, B De la Tabla 2.1 Treybal(19)
= 1.98 10 −5
corrigiendo por temperatura, el valor encontrado en tablas, de acuerdo a las correlaciones de Wilke-Lee
 DA, B P  kT   DA, B P  kT   3 f   =  3 f    ∈  II  ∈  I  T 2  T 2
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donde I (273.15 K, 1atm) y II (298.15 K, 1atm) son las condiciones de referencia y a las que se requiere la difusividad, respectivamente de la Tabla 2.2 Treybal(19) Tabla 2.2 Relación entre la Energía de atracción molecular/ constante de Boltzman.
(558.3)(78.6) = 209.48 °K
1  kT   ∈  = 209.48° K (273.15)° K =1.31 I
1  kT   ∈  = 209.48° K (298.15)° K =1.42 II
de la figura 2.5 Treybal
  kT   f  ∈  = f (1.31) = 0.62    I
  kT   f  ∈  = f (1.42 ) = 0.61    II
sustituyendo en ec. 6
2   −5 m 1atm  1.98 10  D A, B 1atm  s ⋅ (0.61) ⋅ (0.62 ) =   3/ 2 3/ 2   (273.15° K )  (298.15° K )  II  I 
= 2.295 10 −5
Evaluación de grupos adimensionales
kg   1.46 10 − 2 m 4.2237 2  dG´ m s  Re = = = 3464.5 µ −3 kg 0.0178 10 ms
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µ ρD A , B
( ) mkg⋅ s
0.0178 10 −3
2 kg −5 m 1.165 3 2.295 10 m s
con estos valores de Re y Sc de la tabla 3.3 del Treybal(19) nos encontramos en el caso de movimiento de fluidos dentro de tubos circulares, para gases el número de Sherwood se define como
Sh = 0.023 Re 0.83 Sc 0.44 = 16.77
Fl cDA, B
l = d = 1.46(10 −2 )m
n P = = V RT
N ⋅m (298.15)° K 8314 kmol ° K
= 0.0409
despejando F de la ec. 10 y sustituyendo los valores conocidos
cDA, B Sh = l
2 kmol −5 m ( ) 2 . 295 10 16.77 kmol m3 s = 1.078(10− 3 ) 2 −2 1.46(10 )m sm
1.078 (10-3) kmol / s m2
Para la segunda pregunta, se debe encontrar el espesor de una película ficticia gaseosa en flujo laminar, en donde se considere se encuentra la resistencia total. Reacuérdese que la difusión molecular es el mecanismo que se presenta en sustancias en reposo o en flujo laminar, entonces la expresión correspondiente para la velocidad de flujo difusional en estado estable es
 N A DA, B c  NA = ln N z   
NA  − y A, 2  N  NA − y A,1  N 
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y que el modelo propuesto que incluye los tres mecanismos difusionales (en flujo laminar, en la zona de transición y en régimen turbulento) es:
  N N A = A ⋅ F ⋅ ln N   
donde F es el llamado coeficiente de transferencia de masa tipo F. Por consiguiente, comparando ambos modelos, puede aceptarse que
D A, B c ≈F z de lo anterior que z representará la longitud de la trayectoria difusional para el caso en que únicamente se tratase de difusión molecular. Luego entonces:
DA, B c F
z F = z ficticia =
sustituyendo los parámetros conocidos en ec. 11
D A, B c = F
) ms (0.0409) kmol m = 8.706(10 ) kmol 1.078(10 ) sm
2.295 10 − 5
8.7 (10-4) m
1.46(10 −2 ) d = = 16.77 z F 8.706(10 − 4 )
d/ zF
Lo que corrobora lo observado en la corrida 47 de los investigadores mencionados en el enunciado del problema.
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PROBLEMA 2.2 ENUNCIADO: Powell evaporó agua del exterior de cilindros en una corriente de aire que fluía paralela a los ejes de los cilindros. La temperatura del aire era 25°C; la presión total, la atmosférica. Los resultados están dados por:
wl 0.8 = 3.17 x10− 8 (ul ) pw − p A En donde
w = agua evaporada, g/s cm2 p A =presión parcial del agua en la corriente de aire, mmHg
pw =presión vapor de agua a la temperatura de la superficie, mm Hg u =velocidad de la corriente de aire, cm/s
l = longitud del cilindro, cm a) Transforme la ecuación a la forma jD = ψ (Re1 ) , en donde Re1 es un número de Reynolds basado en la longitud del cilindro. b) Calcule la rapidez de sublimación de un cilindro de naftaleno de 0.075 m de diámetro por 0.60 m de largo (o 3 pulgadas de diámetro por 24 pulgadas de largo) en una corriente de dióxido de carbono puro a una velocidad de 6 m/s (20 pies/s) a 1 atm, 100°C. La presión de vapor del naftaleno a la temperatura superficial puede tomarse como 1330 N/m2 (10 mmHg); la difusividad en el dióxido de carbono puede considerarse como 5.15(10-6) m2/s a 0°C, 1 atm. Expresar los resultados en kg de naftaleno evaporados/h. ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Este problema muestra la información que experimentalmente se obtuvo para cuantificar la velocidad con la cual se evaporó (transferencia de masa en gases) un líquido desde una superficie cilíndrica hacia el seno de una corriente gaseosa fluyendo paralelamente a dicha superficie. Los investigadores reportan sus resultados a través de una correlación empírica, sin especificar los intervalos en los valores de longitudes de cilindros, velocidades de la corriente gaseosa, ni concentraciones de dicha corriente.
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La primera pregunta, concretamente se refiere a la obtención de una correlación empírica para estimar coeficientes de transferencia de masa en gases fluyendo paralelamente al eje de cilindros con transferencia desde la superficie hacia el seno de la corriente gaseosa. Esta correlación deberá obtenerse en función de los grupos adimensionales
jD (factor de transferencia de masa) y Rel (Reynolds en base a la longitud del cilindro); pero ante la ausencia de información respecto de intervalos de valores para el número de Reynolds y de Schmidt que validarían tal correlación. En la segunda pregunta se pretende aplicar la correlación obtenida en la respuesta anterior, a fin de determinar la velocidad de sublimación de un cilindro de naftaleno en una corriente gaseosa paralela a la superficie cilíndrica. Es decir, una configuración geométrica y un arreglo físico como el de los datos de los investigadores mencionados en el enunciado del problema.
SOLUCIÓN PROPUESTA: Observando los términos de la correlación obtenida por Powell (en el enunciado) y las definiciones de los mismos, se puede concluir que w parecería un término de velocidad de transferencia de masa ( N A ) si se convierten las unidades a moles, además tomando en cuenta que el área del cilindro se encuentra perpendicular (normal) al flujo difusional. Además, la diferencia de las presiones ( pw − p A ) es justamente la fuerza impulsora para el proceso. Puede concluirse que tal correlación se puede transformar para que adquiera la forma del modelo de velocidad de transferencia de masa en función de un coeficiente tipo “ k ”.
N A = kG ( p A,1 − p A, 2 ) A fin de facilitar el manejo de la información aquí presentada conviene que se establezca un sistema homogéneo de unidades y realizar las transformaciones pertinentes para tal fin, en este caso se empleará el Sistema Internacional de Unidades (S.I.U), así:
NA[ kmol / m2s]
pA [N/m2]
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A= Agua
B= aire
Figura 2.2 Evaporación del agua contenida en cilindro situado en corriente paralela a flujo de aire.
 kgmol 
A Adecuando w 2  a la forma N A  2  cm s m s    
 kmol   g  1kg 100cm 1kmol A w 2  = NA 2 A  18.02kg  cm s  1000 g 1m  m s 
 kmol   g  0.555 ⋅ w A  2  = N A  2 A   cm s   m s 
1 N A = 1.802 N A 0.555
Para la diferencia de presiones, se tiene
( pw − p A )[mmHg ]
1atm 101325Pa = ( p w − p A )[Pa ] 760mmHg 1atm 133.322( p w − p A )[mmHg ] = ( p w − p A )[Pa ]
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( pw − p A )[mmHg ] =
1 ( pw − p A )[Pa] 133.322
de forma análoga se obtiene
m [=]L[m] 100cm
 cm  m [=]U  m  u   s  100cm s
m [=]100 ⋅ L[m] 100cm
 cm  m u  [=]100 ⋅ U    s  s
Reemplazando las expresiones de las ecs. 1,2,3 y 4 en la expresión original encontrada experimentalmente, se tiene:
1.802 N A100 ⋅ L 0.8 = 3.17 x10−8 (100 ⋅ U (100 ⋅ L )) ( pA,1 − p A,2 ) 133.322
wl 0.8 = 3.17 x10− 8 (ul ) pw − p A
( )]  ( p
3.17 x10−8 U ⋅ L 10 4 NA = 1.802 102 L
[( )]  ( p
− p A, 2 )  3.17 x10− 8 [U ⋅ L]0.8 104  133.322  = 1.802 10 2 L   A,1
A,1 − p A, 2 )   133.322   
N A = 2.091 10
0.8 [ U ⋅ L] ) (p
Comparando la expresión encontrada (ec.5) con el modelo de velocidad de transferencia de masa en función de un coeficiente tipo “ k ”.
N A = kG ( p A,1 − p A, 2 )
k G = 2.091 10
0.8 [ UL] )
En donde los términos de la ecs. 5 y 7 están expresados en las unidades del S.I.U. Ahora bien, una vez unificado el sistema de unidades de la expresión encontrada experimentalmente por Powell, se prosigue el desarrollo del problema, atendiendo al
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primer requerimiento del presente problema y basados en que el objetivo es llegar a una expresión del tipo jD = ψ (Re1 ) De la tabla 3.2 Treybal(19) se obtienen las siguientes expresiones que resultan de utilidad para el presente caso Número de Reynolds
St D =
ULρ
µ k G p B ,M M
Factor adimensional de transferencia de masa j D = St D Sc
ρD A , B
Sustituyendo ec. 9 en ec.10 y a su vez sustituyendo ec.7, se obtiene:
kG p B ,M M
= 2.091 10 −9
p B ,M M
simplificando al incluir la definición de Re de la ec. 8
jD = 2.091 10 −9
2 pB ,M M 2 3 µ 0.8 ρ 0.8 µ Sc = 2.091 10 −9 pB ,M ⋅ M ⋅ Sc 3 0.8 0.8 ρU µ ρ µ
j D = 2.091 10 −9 p B ,M M ⋅ Sc
j D = 2.091 10 −9 p B , M M ⋅ Sc
1 1 0.8 0.2 Re l ρ µ
ρ −0.8 µ −0.2
Como se observa, la ec.12 se asemeja a la expresión deseada jD = ψ (Re1 ) , sin embargo aun resulta necesario el sustituir todos aquellos factores que resulte posible calcular en base al sistema que se trabaja, de A= agua, B= aire.
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De la ec. 11 se tiene Sc =
, por lo cual han de evaluarse los parámetros que incluye
De las correlaciones propuestas en la sección 10 del Lange(8), se obtiene la siguiente expresión
log p° H 2O [mmHg ] = 8.10765 −
1750.286 235 + t [°C ]
De acuerdo al enunciado del problema la temperatura del aire durante el experimento era de 25°C; sin embargo no proporciona información sobre la temperatura de la película del agua líquida que se encontraba sobre el cilindro. Sobre esto cabe aclarar que en primera instancia se esperaría que la temperatura del agua líquida fuese menor de 25°C debido a que el calor latente que requiere dicha agua para evaporarse lo toma principalmente de la propia agua, como calor sensible; de ahí que la temperatura del líquido disminuya (aproximadamente a 8°C, temperatura de bulbo húmedo del aire seco). Lo anterior se puede observar si en una carta psicométrica se localiza inicialmente un punto de temperatura de bulbo seco igual a 25°C y 0 % humedad y se sigue la trayectoria de la línea de saturación adiabática hasta llegar al punto de saturación que corresponde a una temperatura final de equilibrio, o bien, a una temperatura de bulbo húmedo con un valor aproximado a 8°C. Una vez planteado lo anterior, resulta conveniente evaluar en la ec.13 la presión vapor a 8°C
p w = p A,1 = p Ho 2O p A = p A, 2 ≅ 0
t =8°C P =1atm
= 8.032mmHg
considera que el vapor de agua transferido a la corriente gaseosa es
constantemente desalojado de la zona de transferencia y sustituido por aire seco nuevo, a la velocidad U
p B ,1 = P − p A,1 = (760 − 8.032)mmHg = 751.97mmHg p B , 2 = P − p A, 2 = (760 − 0 )mmHg = 760mmHg
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pB , 2 − pB ,1 (760 − 751.97 )mmHg = 755.98mmHg = 100´788.76 Pa = p  ln 760 ln B , 2 751.97  p B ,1  
Evaluando la fracción mol promedio en la corriente gaseosa
p B ,M P
755.98 = 0.9947 760
M G = ΣM i yi = 29(0.9947 ) + 18.02(1 − 0.9947 ) = 28.942
la densidad promedio de la mezcla, será:
P⋅MG ρG = = RT
N (28.942) kg 2 kmol = 1.183 kg m Nm m3 (298.15)K 8314 kmolK
Dado que la mayor parte de la mezcla gaseosa es aire (99.47 % mol), su viscosidad es como la del aire a 25°C de la figura 2-32 del Perry(14)
µ G ≅ µ aire
D A, B = DH 2O , Aire
= 0.018cp t = 25.9° C P =1atm
= 2.58 10 −5
pero se requiere a 25°C y 1 atm; en este caso debido a la pequeña diferencia entre la temperatura a la que se reporta el dato de difusividad y la temperatura a la cual debe ajustarse, puede considerarse una expresión simplificada para corregir datos de difusividad para gases en base a la expresión de Wilke-Lee, para lo cual se tiene:
 DA, B P   DA, B P   T 3 / 2 ⋅ =  T 3 / 2   I   II
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  f  kT   ∈A , B  I ≅1   f  kT   ∈A, B  II
I (25.9°C,1atm) y II (25°C, 1 atm); las condiciones de referencia y las del
problema, respectivamente. Entonces, empleando la ec. 14, se tiene:
2   −5 m 2 . 58 10 1atm   D 1atm   A, B s   = 3/ 2 3/ 2   (299.05 K )   (298.15 K )  II   I
= 2.57 10 −5
El valor del número de Schmidt, de la ec.11, es:
0.018 10− 3
kg ) ms
kg  m2   1.183 3  2.57 10− 5 m  s 
Sustituyendo ec.15 en ec.12, así como los valores conocidos, se tiene:
− 0 .2
ρ − 0 .8 µ − 0 .2
j D = 2.091 10 −9 (100788 .76 )(28.942 )(0.592 ) 3 Re l 2
j D = 0.03314 Re l
= 0.03314 Re l −0.2
(1.183)−0.8 (0.018(10 −3 ))−0.2 = 0.03314 Re l −0.2 (ec.16)
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Atendiendo a la pregunta del inciso b), se tiene un caso análogo al estudiado por Powell, por lo que se empleará la expresión empírica obtenida en el inciso a); ec. 16
j D = 0.03314 Re l D
t = 0°C A, B P =1atm
−0. 2
= 5.15 10
Sea: A= naftaleno, B= CO2
o p oA = p naftaleno = 1330 Pa
Figura 2.3 Sublimación de cilindro de naftaleno situado en corriente paralela a flujo de dioxido de carbono.
La velocidad o rapidez de sublimación del cilindro de naftaleno (expresada en kg de naftaleno evaporados / h) es justamente la velocidad de transferencia de masa para el naftaleno (A) en el seno de la corriente gaseosa (dióxido de carbono puro) multiplicada por el área transversal o perpendicular a la dirección de la transferencia. Tal área para la transferencia deberá considerarse como la de la superficie cilíndrica y no las áreas de los extremos del cilindro (superficies circulares). Diferente a la expresión obtenida en el incido a) sería la que se aplicara cuando se trate de transferencia de masa en flujo gaseosa perpendicular a tales áreas circulares. En concreto, en esta situación, el área cilíndrica a utilizar será
s = π ⋅ d ⋅ l = π (0.075m )(0.60m ) = 0.14137m 2
entonces la velocidad de sublimación será
 kg  S  A  = N A M A s (3600)  h 
Sustituyendo “s” en ec. 18
 kg  S  A  = N A M A 0.14137m 2 (3600)  h 
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calculando la velocidad de transferencia de masa
N A = k G ( p A,1 − p A, 2 )
p A,1 = p° A = 1330 Pa p A, 2 ≅ 0 Pa
por tratase de CO2 puro
p B ,1 = P − p A,1 = (101325 − 1130)Pa = 100195Pa p B , 2 = P − p A, 2 = (101325 − 0 )Pa = 101325Pa
pB , 2 − pB ,1 (101325 − 100195)Pa = 100759 Pa = p  ln 101325 ln B , 2 100195  p B ,1  
Evaluando la fracción mol promedio de CO2
100759 = 0.9944 101325
Dadas las proporciones naftaleno-CO2 (0.56% mol A- 99.44% mol B), se considerarán los valores del CO2 como los de la mezcla
ρ G ≅ ρ CO
t =100° C P =1atm
N kg 101325 2 (44) PM m kmol = 1.437 kg = = RT 8314 Nm (373.15)° K m3 kmol ° K
µ G ≅ µ CO
t =100°C P =1atm
= 0.017cp
De los datos del problema se cuenta con el valor de la difusividad del sistema NaftalenoCO2 a 0°C y 1 atm (5.15(10-6)m2/s), sin embargo se requiere el valor de la difusividad a
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100°C y 1 atm. A fin de corregir por temperatura se empleará la expresión de Wilke-Lee para mezclas gaseosas, para lo cual se tiene:
 kT   DA, B P  =  3 / 2 ⋅ f    ∈A, B  I  T
 kT   f    ∈A, B  II
Siendo I (0°C,1atm) y II (100°C, 1 atm) las condiciones de referencia y las del problema, respectivamente. de la Tabla 2.2 Treybal(19) Tabla 2.3 Relación entre la Energía de atracción molecular/ constante de Boltzman.
El dato de la relación ∈ k del naftaleno (C10H8) no viene directamente en las tablas, por lo que se emplearan las correlaciones pertinentes que se encuentran anexas a la Tabla 2.2 Treybal(19), de donde se tiene
∈A = 1.21Tb K
donde Tb es la temperatura de ebullición normal, expresada en K de la sección 10 del Lange(8), se obtiene la siguiente expresión para el naftaleno (A)
log p° A (mmHg ) = 7.01065 −
1733.71 201.86 + t (°C )
sustituyendo en la ec.22 el valor de 1 atm, se obtiene la Tb
log(760 ) = 7.01065 −
de la ec.21
∈A = 1.21(218°C ) = 263.78° K K
t = Tb = 218°C
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Continuando con la metodología
∈A,B ∈A ∈B = = k k k
(263.78)(195.2) = 226.91° K
1  kT   ∈  = 226.91° K (273.15)° K =1.20 I
1  kT   ∈  = 226.918° K (373.15)° K =1.64 II
  kT   f  ∈  = f (1.20) = 0.68    I
  kT   f  ∈  = f (1.64 ) = 0.59    II
sustituyendo en ec. 20
2   −6 m 5 . 15 10 1atm   DA,B 1atm   s ( ) (0.59) 0 . 68  =  3/ 2 3/ 2   (373.15° K )  (273.15° K )  II  I 
= 9.47 10 −6
Sustituyendo en ec. 11
0.017 10− 3
kg  m2   1.437 3  9.47 10− 6 m  s 
(ec.23)
de ec. 8
kg  m 0.6m 6 1.437 3 luρ m  s Re l = = 304305.882 = kg µ −3 0.017 10 ms
(ec.24)
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La evaluación del coeficiente kG se desarrolla a partir de la correlación empírica obtenida previamente (ec. 16)
jD ≡ St D ⋅ Sc
2 kG p B . M M ⋅ Sc 3 u⋅ρ
0.03314 Re l
2 k G p B.M M ⋅ Sc 3 u⋅ρ
(ec.25)
Sustituyendo en ec. 25 los valores conocidos
0.03314(304305.882)
2 k G (100759 Pa )(44kg / kmol ) ⋅ (1.25) 3 3 6m / s ⋅ 1.437kg / m
k G = 4.446 10 −9
) Pakmol ⋅m s 2
Aplicando el valor de este coeficiente encontrado a la expresión general de velocidad (ec.6)
N A = kG ( p A,1 − p A, 2 ) = 4.446 10− 9
kmol ) Pakmol * (1330 − 0)Pa = 5.913(10 ) ⋅m s ms −6
como se requieren kg naftaleno evaporados/hora, de la ec. 19, se obtiene:
kg kmol 128kg naft 3600 s  kg  S  A  = N A M A s (3600) = 5.913 10 −6 0.14137m 2 = 0.3852 A 2 h 1h m s 1kmol  h 
0.3852 KgA/h
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PROBLEMA 2.3 ENUNCIADO: Winding y Cheney [Ind. Eng. Chem; 40, 1087 (1948)] pasaron aire a través de un banco de varillas de naftaleno. Las varillas tenían sección transversal aerodinámica, colocadas escalonadamente en un arreglo en “S”, con el aire fluyendo perpendicularmente a los ejes de las varillas. El coeficiente de transferencia de masa fue determinado, midiendo la velocidad de sublimación del naftaleno. Para una forma, tamaño y espaciamiento particulares de tales varillas, con el aire a 37.8°C (100°F), 1 atm std, los datos pudieron correlacionarse con la expresión:
k G = 3.58 10 −9 G´ −0.56 donde G´ es la masa velocidad, kg/m2s y k G es el coeficiente de transferencia de masa en kgmol/ m2s N/m2. Estimar el coeficiente de transferencia de masa que se esperaría para la evaporación de agua en una corriente de gas hidrógeno para el mismo arreglo geométrico cuando el hidrógeno fluye con una velocidad lineal de 15.25 m/s (50 pies/s) a 37.8°C (100°F) y una presión total de 2 atm std.
DG , Naftaleno − Aire
P =1atm T =37.8° C
= 7.03 10 −6 m 2 s
DG , Agua− Hidrógeno
P =1atm T =0° C
= 7.5 10 −5 m 2 s
ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Los coeficientes de transferencia de masa expresados en función de números adimensionales son de utilidad cuando se desea predecir el comportamiento de ciertas situaciones
determinaciones hechas por alguien más. Este problema muestra la información experimental obtenida para determinar el coeficiente de transferencia de masa para la fase gaseosa del naftaleno en aire; es esto, una medida de la velocidad de sublimación del naftaleno. Para ello se reportan los resultados mediante una expresión empírica, sin especificar el intervalo de condiciones
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de operación en el cual es válida tal correlación; pero en ausencia de más información se ha de emplear indistintamente para los propósitos del presente caso. La pregunta se refiere a la predicción del comportamiento de otro componente situado en el mismo arreglo físico pero con otra composición de corrientes. Se pretende aplicar la correlación encontrada por los investigadores a fin de determinar el coeficiente de transferencia de masa en la evaporación de agua en una corriente de hidrógeno en el mismo arreglo físico que el empleado por los investigadores. Recuérdese que jD es un grupo adimensional de transferencia de masa resultante del producto de los números de Stanton (St) y Schmit (Sc), y que a su vez St relaciona el coeficiente de transferencia de masa/ velocidad del flujo
y Sc la difusividad de
momentum/ difusividad de masa. Por lo cual el valor de jD es dependiente del arreglo físico del sistema y de las condiciones de flujo que se generan. Por lo anterior se sugiere encontrar jD a fin de poder extrapolar los datos de los investigadores.
SOLUCIÓN PROPUESTA Dado el mismo arreglo para ambos sistemas de flujo, puede considerarse que:
j D para aire-naftaleno = j D para vapor de agua-hidrógeno al mismo número de Reynolds. Figura 2.4 Banco de varillas de naftaleno, arreglo en “S”.
k ⋅ M G ⋅ p B ,M ⋅ Sc jD = G G
= f (Re )
de la ec. 1, se observa que se requiere evaluar el número de Sc para ambos sistemas a fin de correlacionar los coeficientes de transferencia de masa de los mismos.
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µ aire µH
T =37.8°C P =1atm
µH O 2
= 1.87 (10-5) kg/ m s
= 0.90 (10-5) kg/ m s
= 0.95 (10-5) kg/ m s
=37.8°C p° TAgua = 49.157 mmHg
de la Tabla 2-8 del Perry(14)
=37.8°C p° TNaftaleno < 1 mm Hg
Sistema Aire-Naftaleno A= Naftaleno
En la superficie de las varillas, la presión parcial del naftaleno es la misma que su presión vapor, por lo tanto:
p A,1 = 1 mm Hg p B ,1 = (760-1)mm Hg= 759 mm Hg En el seno de la corriente gaseosa p A, 2 = 0, debido a que la corriente es constantemente reemplazada por una nueva.
p B , 2 = 760 mm Hg
p B ,M =
p B , 2 − p B ,1 p  ln B , 2   p B ,1 
101325Pa N 760 − 759 = 759.5mmHg = 1.01258 10 5 2 760mmHg m  760  ln   759 
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p B ,M
759.5 = 0.999342 760
y A,M = 0.000658
M G = ∑ yi M i = 0.999342(29) + 0.000658(128.16) = 29.065
kg  ( ) mN  29.065 kmol 
1.01325 105
 N ⋅m (311°K ) 8314 kmol ⋅ K
 = 1.139 kg m3
para el Aire-Naftaleno, de los datos del problema
µ ρDAB
1.87 10 −5
) mkg⋅ s
kg  m2   1.139 3  7.03 10 −6 m  s 
DG , Aire− Naft
P =1atm T =37.8°C
= 2.3354
Sistema Hidrógeno-Vapor de Agua A= Vapor de agua
En la superficie de las varillas, la presión parcial del agua es la misma que su presión vapor, por lo tanto:
p A,1 = 49.157 mmHg
p B ,1 = (1520-49.157)mm Hg= 1470.843 mm Hg
En el seno de la corriente gaseosa p A, 2 = 0, debido a que la corriente es constantemente reemplazada por una nueva.
p B , 2 = 1520 mm Hg
101325Pa N 1520 − 1470.843 = 1495.287mmHg = 1.99355 10 5 2 760mmHg m  1520  ln   1470.842 
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1495.287 = 0.98374 1520
y A,M = 0.01626
M G = ∑ yi M i = 0.98374(2.016) + 0.01626(18.02) = 2.276
kg  ( )) mN  2.276 kmol 
2 1.01325 105 8314
 = 0.17838 kg m3
N ⋅m (311°K ) kmol ⋅ K
para el Hidrógeno-Agua (H2-H2O), de los datos del problema
DG ,H 2 − H 2O
pero se requiere a 2 atm y 37.8°C, por lo que realizando los ajustes pertinentes, se obtiene:
P = 2 atm G , H 2 − H 2O T =37.8°C
µ ρD AB
= 7.5 10
2 m 2  311° K  2  1atm  −5 m   ⋅  = 4.55 10 s  273.15° K   2atm  s
0.9 10 −5
kg  m2   0.17838 3  4.55 10 −5 m  s 
= 1.1089
Flujo de las corrientes gaseosas
G H 2 − H 2O =
vρ G = MG
m kg   0.17838 3  kmol s m  = 1.195 2 kg m s 2.276 kmol
Como se mencionó en el planteamiento de la ec. 1, para un mismo valor de Re
 dG´   dvρ´     =   µ  Aire− Naft  µ  H 2 − H 2O
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además, el valor “d” en la ec. 3 es el mismo para ambos sistemas, por lo que:
 vρ  G´ Aire− Naft =   ⋅ µ Aire− Naft =  µ  H 2 − H 2O
G Aire− Naft
m kg   0.17838 3  kg  kg s m  −5 1.87 10  = 5.656 2 kg m⋅s  m s  0.9 10 −5 m⋅s
kg 5.656 2 G´ m s = 0.1946 kmol = = M G 29.065 kg m2 s kmol
Aplicando la expresión que encontraron los investigadores
kG = 3.58 10
)G´
 k ⋅ M ⋅ p ⋅ Sc 2 3 G B ,M  G  G 
kg   = 3.58 10  5.656 2  m s  −9
= 1.35668 10 −9
 k ⋅ M ⋅ p ⋅ Sc 2 3  G B ,M  = G   G  Aire− Naft 
) m skmol (N m ) 2
    H 2 − H 2O
Sustituyendo en la ec. 5 los parámetros conocidos
2  kg  kmol   1.35668 10 −9 2 ⋅  29.065 (759.5mmHg ) ⋅ (2.3354) 3 2 kmol  m sN m    kmol 0.1946 2  m s 
      Aire − Naft
2  kg    kG ⋅ (1495.287 ) 2.276  ⋅ (1.1089) 3 kmol   =  kmol 1.195 2  m s 
      H 2 − H 2O
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de la ec. anterior se obtiene
kG ,H 2 − H 2O = 8.8787 10 −8
k G , H 2 − H 2O
8.8787 10 −8 kmol/ m2 s(N/m2)
PROBLEMA 2.4 ENUNCIADO: Se va a producir carbonilo de níquel pasando monóxido de carbono en fase gaseosa, descendentemente, a través de un lecho de esferas de níquel, 12.5 mm de diámetro. El lecho tiene una sección transversal de 0.1 m2 y está empacado de tal forma que hay un 30% del volumen vacío. El CO puro entra a 50°C, 1 atm, con un flujo de 2(10-3) kmol/s. La reacción es:
Ni + 4CO → Ni (CO )4 Para el propósito actual se hacen las siguientes suposiciones. 1. La reacción es muy rápida, de tal forma que la presión parcial de CO en la superficie metálica es esencialmente cero. El carbonilo se forma como gas, el cual se difunde tan rápido como se forma desde la superficie metálica hasta la corriente de gas. La velocidad de la reacción esta completamente controlada por la rapidez de la transferencia de masa del CO desde el gas hasta la superficie metálica y la del Ni(CO)4 hasta el gas. 2. Durante todo el proceso, la temperatura permanece a 50°C y la presión a 1atm. 3. La viscosidad del gas = 2.4(10-5) kg/ m s y el número de Schmidt= 2.0 durante todo el proceso. 4. El tamaño de las esferas de níquel permanece constante. Calcular la profundidad requerida del lecho para reducir el contenido de CO del gas hasta 0.5%.
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ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Se trata de un proceso de reacción química con transferencia de masa del CO, desde el seno de la corriente gaseosa hasta la superficie metálica del Ni donde se da la reacción a gran velocidad y luego transferencia del Ni(CO)4 formado, que se desprende tan rápido como se produce, desde la superficie metálica hacia el seno gaseoso. Así pues, se considera que el proceso completo de producción del Ni(CO)4 está controlado por el mecanismo de transferencia de masa y no por el de reacción química; por lo que la resistencia a la reacción química es despreciable. En realidad cualquier reacción química va acompañada de generación o absorción de energía térmica y por lo tanto el proceso no es isotérmico, sin embargo en este caso se partirá del supuesto de que la temperatura es constante a 50°C. La presión dentro del reactor, en verdad no es constante, ya que existe una caída de presión en la fase gaseosa debido a la fricción y al impacto contra el lecho de esferas de Ni. También debido a que el número de moles gaseosos en la corriente va disminuyendo, estequiometricamente cada vez que 4 moles de CO reaccionan, se forma un solo mol de Ni(CO)4 , de donde se nota que tres moles desaparecen originando una disminución de presión interna. Sin embargo se considerará una presión constante de 1atm. La corriente gaseosa inicialmente es puro CO, a la salida del reactor es Ni(CO)4 con solo 0.5% de CO. Las propiedades físicas de tal corriente estarán variando fuertemente y entre ellas está la viscosidad, la densidad y la difusividad. No obstante, se trabajará asumiendo que la viscosidad y el número de Schmidt permanecen constantes. Finalmente, si el Ni es uno de los reactivos, éste se está consumiendo y las esferas metálicas disminuirán su tamaño y variarán de forma, teniendo como consecuencia que el espacio hueco fraccional disminuirá, además de representar esto otra causa de mayor caída de presión. Entonces, bajo las suposiciones establecidas, se trabajará sobre los procesos de transferencia de masa que se llevan a cabo en estado inestable. La fuerza impulsora está variando en función de la profundidad del lecho de reacción ( z ). En el seno de la corriente gaseosa, la fracción mol de CO será yCO = 1.0 siendo z = 0 y y CO = 0.005 cuando z = Z .
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Concretamente se buscará una expresión diferencial que relacione estas variables para determinar a qué profundidad ( Z ), el contenido de CO en la corriente gaseosa disminuirá hasta y CO = 0.005 .
SOLUCIÓN PROPUESTA: Considérese que A=CO y B= Ni(CO)4. A cualquier profundidad z , la corriente gaseosa será G (kmol/ m2 s) y tendrá una concentración y A , fracción mol de CO.
consideraciones, la concentración del CO en la superficie metálica será y A,i = 0 (reacción química muy rápida). Por lo tanto el modelo de velocidad de transferencia de masa en fase gaseosa será
 NA   N − y A, i  NA NA = FG ln   N N  A − yA   N  En donde
es variable, el coeficiente de
transferencia de masa F (contratransferencia noequimolar) también será variable por los cambios tan notables en la naturaleza de la corriente gaseosa, y Figura 2.5 Producción de carbonilo de níquel en lecho empacado.
por lo tanto N A también variará.
Por la estequiometría de la reacción se sabe que por cada 4 moles de A que se consumen se forma un mol de B; expresado matemáticamente en función de las velocidades, se tiene
N A = −4 N B o bien, −
1 N A = NB 4
3  1 N = ΣN i = N A + N B = N A +  −  N A = N A 4  4
NA NA 4 = = 3 N NA 3 4
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sustituyendo estas cantidades en la ec.1, se tiene
  4  3 −0  4  4  4 = FG ln  N A = FG ln    3 4 − 3yA   4 − yA  3  3
Para definir a N A en función de las variables y A y z tómese una sección diferencial del reactor de altura dz, para la cual se tendrá incrementos de concentración expresada como fracción mol (dyA) e incrementos de flujo de la fase gaseosa (dG)
Sea: STM=
superficie de las partículas de níquel,
normal a la dirección de la transferencia de masa, L2. STR= sección transversal del reactor para el flujo de la fase gaseosa, L2.
Figura 2.6 Elemento diferencial de lecho empacado.
Balance de materia para A (CO) en la sección diferencial
 STM  Gy A − N A   = (G + dG )( y A + dy A )  STR  G=
kmol s ⋅ m 2 STR
G0 = G A , 0
kmolCO s ⋅ m 2 STM
masa velocidad molar del flujo gaseoso
masa velocidad molar inicial (CO puro)
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Recordar que para lechos fijos de partículas
6(1− ∈) dp
a p = área específica de las partículas en el lecho =(superficie de todas las partículas)/(volumen del lecho empacado)
d p = diámetro de una esfera para la cual la relación superficie/volumen es la misma que la de la partícula en cuestión.
∈= fracción hueca volumétrica
STM (STR )dz
a p ⋅ dz =
STM STR
volumen = (STR )(dz ) Sustituyendo en la ec. 3 la relación encontrada (ec.5) a fin de que la expresión sea dimensionalmente consistente:
Gy A − N A a p dz = (G + dG )( y A + dy A ) siendo expresada la ec. 6 dimensionalmente como:
kmol kmol m 2 STM kmol − = 2 2 2 s ⋅ m STR s ⋅ m STM m STR s ⋅ m 2 STR Agrupando términos y desarrollando la ec. 6, se obtiene
Gy A = Gy A + Gdy A + y A dG + dGdy A + N A a p dz dGdy A ≈ 0
N A a p dz = − d (G ⋅ y A )
Gdy A + y A dG ≈ d (G ⋅ y A )
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d (G ⋅ y A ) a p dz
Sustituyendo ec.7 en ec. 2
 4  d (G ⋅ y A ) 4 = FG ln   a p dz 3  4 − 3yA 
Nuevamente, de la estequiometría de la reacción, se tiene que: Tabla 2.4 Relaciones estequiométricas entre reactantes y productos, expresadas en moles.
CO consumido
Ni(CO)4 formado
Moles desaparecidos
n Ni (CO )4
Cantidad de CO consumido en el lecho hasta una profundidad z =
4 (G0 − G ) 3
Además G0 − G serán los moles gaseosos desaparecidos hasta ese punto. Entonces, mediante la clásica “regla de tres” o relaciones y proporciones: Tabla 2.5 Relaciones estequiométricas entre reactantes y productos
4 nCO
3 G0 − G
Ni(CO)4 formado =
1 n Ni (CO )4
Cantidad de CO remanente = Gy A = CO inicial - CO consumido = G0 − Cantidad de Ni(CO)4 formado =
G0 4 − 3yA
1 (G0 − G ) 3
Definiendo la masa velocidad en función de cada componente en base al balance de materia
4 4 4       1 G´CO = G0 − (G0 − G ) M CO = G0 − (G0 − G ) 28 =  − G0 + G 28 3 3 3       3
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1  1  1  1 G´ Ni (CO )4 =  (G0 − G ) M Ni (CO )4 =  (G0 − G )170.7 =  G0 − G 170.7 3  3  3  3
Flujo total, sustituyendo ec. 9 la expresión anterior
G0  170.7 − 28   4(28) − 170.7  G´= G´CO +G´ Ni (CO )4 =  G0 +  G = 47.56G0 − 19.56 3 3 4 − 3yA     simplificando
 19.56   kg   G´ 2  = G0  47.56 − 4 − 3 y A  m s 
multiplicando ambos miembros de la ec.10 por (yA) y diferenciando:
Gy A = G0
yA 4 − 3yA
 yA   d (G ⋅ y A ) = d  G0  4 − 3yA 
siendo G0= cte
 4dy A − 3 y A dy A + 3 y A dy A   (4 − 3 y A )dy A − y A d (4 − 3 y A )    = G0  d (G ⋅ y A ) = G0  2    (4 − 3 y A )2 (4 − 3 y A )     Simplificando la expresión anterior
d (G ⋅ y A ) = G0
4dy A
(4 − 3 y A )2
sustituyendo la ec.11 en ec. 8
 4  G0 4dy A 1 4 = FG ln   2 (4 − 3 y A ) a p dz 3 4 − 3yA 
A fin de evaluar el coeficiente
FG , se emplearán las correlaciones empíricas
correspondientes a flujo de fluidos a través de lechos fijos de partículas, que es el arreglo físico en este problema.
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En la tabla 3.3 Treybal(19), para gases, se presentan tales correlaciones para intervalos de valores de Re y un valor para Sc de 0.6 Estimación de Re" =
d p G´
kmol 2 10 −3 kmol s G0 = = 2 10 − 2 2 m2s 0.1m
µ = 2.4(10 ) kg/ m s
d P = 12.5 (10 ) m -3
y sustituyendo la expresión para G´ antes determinada (ec.10) al evaluar el Re, se tiene:
 19.56  −2 kg 12.5 10 −3 47.56 −  2 10 m 4 − 3yA   m 2 s = 495.4167 − 203.75 [ ] = Re" = kg 4 − 3yA 2.4 10 −5 ms
La variación del valor del número de Reynolds de acuerdo a la ec. 13, es este problema será: cuando yA=1
Re" = 495.4167 −
203.75 = 291.67 4 − 3(1)
cuando yA=0.005
(z=Z)
203.75 = 444.28 4 − 3(0.005)
En la tabla 3.3 antes citada, se observa que para Re" de 90 a 4000 la correlación propuesta es:
jD = jH =
2.06 Re"−0.575 ∈
el número de Sc deberá ser de aproximadamente 0.6. En éste caso, el Sc considerado es de 2.0 para todo el reactor. En ausencia de otra correlación más ajustada al caso, se utilizara la expresión antes presentada. Por definición, de la tabla 3.2 Treybal(19)
j D ≡ St D Sc
F 23 Sc G
jDG Sc
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sustituyendo ec. 14 en ec. 15
2.06 G Re"−0.575 2 ∈ Sc 3
(ec.16)
Sustituyendo ec. 9 y ec.13 en ec. 16
2.06  203.75  F= 495.4167 −  4 − 3 y A  ∈ 
G0 1 4 − 3 y A Sc 2 3
Evaluación de a p
6(1− ∈) 6(1 − 0.3) m2 = = 336 dp 12.5 10 −3 m3
Retomando ec. 12 y sustituyendo en ella la ec. 17 y los parámetros conocidos G0=2(10-2) kmol/m2 s, Sc= 2, ∈= 0.3 , a p = 336 m 2 m 3
 4  4G0 dy A 1 4 = FG ln   2 (4 − 3 y A ) a p dz 3 4 − 3yA 
4 2 10 −2 dy A 1 4  4  2.06  203.75  − = ln    495.4167 − 2 4 − 3yA  (4 − 3 y A ) (336)dz 3  4 − 3 y A  0.3 
 4   dy A 1 10208.3   − = 4593.9374 ln    24791.6 − 2 4 − 3 y A  (4 − 3 y A ) dz  4 − 3 y A   Separando variables e integrando para los límites z=0
2 10 −2 1 4 − 3 y A (2 )2 3
1 4 − 3yA
yA=1 y z=Z
yA=0.005
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dy A (4 − 3 y A )2
 10208.3    24791.6 − − 4 3 y A    4  ln    4 − 3yA 
4 − 3yA = 4593.9374dz 1
 10208.3    24791.6 − 4 − 3 y A  1   − dz = 4593.9374   (4 − 3 y A )ln  4   4 − 3yA 
 10208.3    − 24791 . 6  y A =0.005  z =Z − y 4 3 A   −4 ∫z =0dz = 2.1768(10 ) y ∫=1.0   A (4 − 3 y A )ln  4   4 − 3yA 
Por integración numérica de la integral del segundo miembro de la ec.19, se obtiene:
 10208.3    24791 . 6 −  y A =0.005  4 − 3 y A    f (yA ) = ∫   y A =1.0 (4 − 3 y A )ln  4  4 − 3yA 
dy A = 607.624
Sustituyendo en ec. 19 el valor estimado en la ec.20 z =Z
−4 ∫ dz = 2.1768 10 (607.624) = 0.1323 m
∫ dz = Z − 0 = Z = 0.1323m
0.1323 m
Por otro lado, si se prefiere, puede realizarse la integración numérica, teniendo en cuenta que el error que se presenta en este método disminuye al aumentar el número de incrementos de la variable yA (disminuir el tamaño del incremento).
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Tabla 2.6 Tabla de valores empleados en la integración numérica de la ec. 19.
∆y A
f (yA )
∆y A ⋅ f ( y A )
21096.68
10565.62
15831.15
7932.93
4422.74
Área Total =
22500 20000 17500
15000 12500 10000 7500 5000 2500 0 0
Figura 2.7 Representación gráfica de la integración numérica de la ec.19
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Este valor presenta una variación del 4.3% respecto al evaluado analíticamente, siendo en este caso de la ec. 19 z =Z
∫ dz = Z = 2.1768(10 )(634.9) = 0.1382 m −4
0.1382 m
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NONMENCLATURA Capítulo 2. SIMBOLO
Superficie específica de empaque, área/volumen
Superficie o área de transferencia de masa
Diámetro promedio de partícula
dp f , f ´, f ´´
mol L3 L2
Coeficiente de transferencia de masa tipo F
Masa velocidad molar de la fase gaseosa
Masa velocidad de la fase gaseosa
Factor de transferencia de masa, adimensional
Factor de transferencia de calor, adimensional
Coeficiente individual tipo k de transferencia de
mol L ⋅ θ ⋅ ∆concentración 2
masa Constante de
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mol L2θ
Número de Prantl
Número de Reynolds =
luρ
Numero de Reynolds para el flujo en lechos granulados
F ⋅L mol ⋅ T
Área cilíndrica para la transferencia de masa
Velocidad de sublimación
Número de Schmidt =
Número de Sherwood =
Número de Stanton =
ρ ⋅ D AB F ⋅l c ⋅ D AB
Sh F = Re⋅ Sc c ⋅ u
θ L3
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Concentración en fracción mol del componente i en el líquido
Relación molar en la fase líquida
Relación másica en la fase líquida
Concentración en fracción mol del componente i en el gas
Relación molar en la fase gaseosa
Relación másica en la fase gaseosa
mol mol mol A mol No _ A MA M No _ A mol mol mol A mol No _ A MA M No _ A
Longitud del camino de difusión
Espesor efectivo de película
Altura de la sección empacada
Densidad Volumen vació fraccionario en un lecho empacado
M L ⋅θ M L3
Componentes A, B
Referido a difusividad, St D
Referido a longitud, Re l
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1, 2 I , II
Posiciones 1 y 2, inicio y fin de la trayectoria de la difusión Condiciones de referencia I y II
Exponentes ---
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CAPITULO 3 TRANSFERENCIA DE MASA INTERFACIAL 3.1. Generalidades El material analizado en el presente capitulo es una sólida alternativa para estudiar la difusión a través de la interfase; siendo una herramienta útil para los ingenieros químicos ya que los modelos que involucran coeficiente de transferencia de masa son básicos para el análisis y diseño de procesos industriales de separación. El empleo de coeficientes de transferencia de masa es usado para la transferencia a través de los límites de fase, asumiendo que los cambios significativos de concentración ocurren solamente cerca de estos límites y que las fases lejos de estos límites se encuentran perfectamente mezcladas. La velocidad de transferencia de materia a través de la superficie interfacial controlará el grado de equilibrio de las fases. Se emplean coeficientes de transferencia de masa como un camino fácil para describir cómo ocurre la transferencia desde o hacia una interfase dentro de una solución relativamente homogénea. Las condiciones hidrodinámicas de cada fase y las difusividades de soluto se combinan para dar ciertos coeficientes de velocidad de transferencia de materia dentro de las dos fases (k o F). Los coeficientes de transferencia de materia se definen en función de la velocidad de transferencia de un componente A a través de la interfase (NA), que tiene dimensiones de moles por unidad de tiempo y por unidad de área interfacial. Generalmente la presión parcial interfacial y la concentración de A no son medibles fácilmente en un aparato de separación; por tanto, es normalmente más conveniente definir y trabajar en función de coeficientes globales de transferencia de materia. Los coeficientes globales incluyen las contribuciones de los dos coeficientes individuales (en cada una de las dos fases en contacto) y los coeficientes individuales están relacionados a las condiciones hidrodinámicas y difusividades del soluto en sus respectivas fases. Son los coeficientes globales los que se utilizan con mayor facilidad en el diseño y análisis del aparato de separación, pero es para los coeficientes individuales para los que existen mejores correlaciones.
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Un valor elevado en la pendiente promedio de la curva de equilibrio denota una baja solubilidad en la fase líquida y tiende a hacer que el proceso de transferencia de masa sea controlado por la fase líquida (KL≅ kL), mientras que un valor bajo de la pendiente (elevada solubilidad en el líquido) tiende a hacer que el proceso de transferencia de masa sea controlado por la fase gaseosa (KG ≅ kG). 3.2. Balances de Materia y Energía 3.2.1 Línea operante El balance de materia para un proceso dado define lo que se conoce como la “línea operante del proceso” que permite determinar la historia de la variación de las concentraciones en el equipo. A continuación se presentan los balances resultantes en estado estacionario, de los arreglos de flujo más comunes: a) Flujo en Contracorriente
E´S Y1´+ R´S X 2 ´= E´S Y2 ´+ R´S X 1´ E´ S (Y1´−Y2 ´) = R´ S ( X 1´− X 2 ´) R´S (Y ´−Y ´) = 1 2 E´S ( X 1´− X 2 ´)
Figura 3.1 Proceso con flujos a contracorriente
b) Flujo en Paralelo
E´S Y ´1 + R´1 X 1´= E´S Y ´2 + R´S X ´2 E´S (Y ´1 −Y ´2 ) = R´S ( X ´2 − X ´1 )
− Figura 3.2 Proceso con flujos en paralelo
(Y ´1 −Y ´2 ) R´S = E´S ( X ´1 − X ´2 )
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c) Flujo Cruzado en Cascada Los balances en este caso son una repetición de los de una sola etapa revisados para flujo en paralelo.
Figura 3.3 Proceso con flujo a contracorriente en cascada
R´S (Y ´1 −Y ´Np+1 ) = E´S (X ´0 − X ´Np )
3.2.2. Línea de Fuerzas Impulsoras En el equilibrio las velocidades en ambos sentidos se igualan y de acuerdo a la teoría de Lewis, si en la interfase no hay resistencia a la transferencia, considerando una fase líquida y una gaseosa: NA,G=NA,L.
k y ( y A,G − y A,i ) = k x (x A,i − x A, L )
k x y A,G − y A,i = k y x A,L − x A,i
La ec. 3.5 representa la ecuación de línea de fuerzas impulsoras en términos de coeficientes tipo k (medida de la tendencia al equilibrio). Un valor grande en la pendiente m=–kx/ky denota una baja resistencia a la transferencia de masa en la fase líquida. La relación kx/ky representa la relación de la resistencia en la fase gaseosa a la resistencia en la fase líquida.
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Línea Operante Línea de Equilibrio
Línea de Fuerzas Impulsoras
y* 20
x Figura 1.4 Representación gráfica de línea de fuerzas impulsoras.
Se pueden emplear fuerzas impulsoras globales con un coeficiente global de transferencia de masa y valores al equilibrio. Recuérdese que la ec. 3.4 también puede ser expresada en términos de:
N A = K G p A − p∗ A = K y y A − y∗ A = K x x A − x∗ A
Por otra parte, si no se pueden emplear coeficientes tipo K se emplean los tipo F cuyas expresiones son más complejas:
  NA N A= FG ln N   
NA   − y A,i   N N  = A FL ln NA  − y A,G  N  N  
NA  − x A, L  N  NA − x A,i  N 
  NA N= FOG ln N   
NA  ∗  − yA   N N  = A FOL ln NA  − y A,G  N  N  
NA  − x A, L  N  NA ∗  − xA  N 
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Siendo definida la ecuación de línea de fuerzas impulsoras para coeficientes tipo F, como:
NA N  − y A,i  A − x A,L  N  = N NA NA  − y A,G  − y A,i  N  N 
3.2.3. Coeficientes globales en función de los individuales Coeficientes tipo k
1 1 m = + K y k y kx
1 1 1 = + K x m ⋅ ky kx
si la pendiente m (de la línea de equilibrio) tiende a ser pequeña, entonces se dice que:
1 1 ≅ K y ky Coeficientes tipo F     NA − x A, L     NA NA ∑N exp  +mN  = exp  F  F  A   N A − y A,G   N A  G  OG ∑N N ∑   ∑ N    
       NA 1 − exp   F     N A  L    ∑ N   
      N         1  A ∑ N − y A,G  NA NA NA exp −    + exp − = N 1 − exp  N N N m        A − x A, L     A   A    A F F FOL     G L ∑N     ∑N    ∑ N      ∑N 
(ec.3.11)
(ec.3.12)
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las ecs. 3.8 y 3.9 se simplifican para los caso de difusión de un solo componente (ecs. 3.13 y 3.14) y contradifusión equimolar (ecs. 3.15 y 3.16).
+ m⋅
1 − x A, L 1 − y A,G
1 1 − y A,G = ⋅ m 1 − x A, L
N − A   1 − e FL   
NA N − A  FL  FL  1 − e +e  
m 1 1 = + FOG FG FL
1 1 1 = + FOL mFG FL
3.3. Determinación del número de etapas teóricas 3.3.1. Método de McCabe-Thiele Es un método que permite estimar gráficamente el número de etapas en una operación dada a partir de la curva de equilibrio del sistema y de la línea operante del proceso, resultado del balance de materia. El método de McCabe-Thiele es empleado frecuentemente debido a su versatilidad ya que no tiene restricciones y puede ser empleado sin importar la tendencia tanto de la curva de equilibrio como de la línea operante Metodología. Una vez que se cuenta tanto con la curva de equilibrio como con la línea operante (segmento A-B) 1) Desde el punto A traza una vertical hasta que se intercepte la curva de equilibrio (punto C) 2) Desde el punto C trazar una horizontal hasta que se intercepte con la línea operante (punto D)
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3) Partiendo de D trazar una vertical hasta interceptar nuevamente la curva de equilibrio (punto E). 4) Repetir los pasos 2) – 3) hasta que el último triángulo formado contenga el último segmento de la línea operante 5) El número de etapas se ha de contabilizar numerando los triángulos formados, en este caso se tienen 2 más un segmento comprendido entre FB. La fracción de esta etapa se contabilizara relacionando el cambio que habría de esperarse para una etapa ideal completa (segmento FG) y el cambio que se tiene (segmento FB), estando la fracción dada por FB/FG = x/X ≅ 0.13 en este ejemplo. Siendo por tanto 2.13 el número de etapas ideales necesarias para llevar a cabo la separación que plantean los extremos A-B de la línea operante.
x,2 , y,2 x fracción=x/X
2 operante
x,1 , y,1 0 0
Figura 3.5 Determinación del número de etapas teóricas mediante el método gráfico de Mc. Cabe-Thiele
*Nota. No importa en que extremo de la curva A-B se inicie el trazado del método, iniciando en el punto A o en el B se obtendría el mismo número de etapas.
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3.3.2. Ecuaciones de Kremser-Brown - Souders Estas soluciones numéricas con su respectiva interpretación gráfica resultan válidas para soluciones diluidas y pueden ser empleadas siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones: Se tenga una curva de equilibrio recta desde el origen La línea operante sea recta Las ecs. de Kremser-Brown-Souders son: Para la transferencia de R a E (desorción de R)
Si A≠1
YN p +1    X0 − m (1 − A) + A log  YN p +1  X Np −  m   Np = 1 log   A
X0 − X Np Y X N P − N p +1
(ec. 3.18)
Para la transferencia de E a R (absorción en R)
 YN +1 − mX 0  1  1  log  p 1 −  +  Y1 − mX 0  A  A   Np = log( A)
YN p +1 − Y1 Y1 − mX 0
(ec. 3.20)
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En las ecs. 3.17 – 3.20 la letra “R” representa a la fase gaseosa y “E” a la fase líquida, siendo Y y X sus respectivas concentraciones. En tanto “A” es definida como factor de absorción, siendo su inverso (S= 1/A) el factor de desorción.
RS mES
Y en el equilibrio X
*Nota. Sobre esto consultese la figura 5.16 Treybal(19), con su respectivo marco teórico. 3.4. Altura de lecho empacado. La determinación de la altura de un lecho empacado en equipos de este tipo (operación de contacto continuo de las fases gaseosa y líquida con flujos en contracorriente) se puede realizar mediante los conceptos de números y alturas de unidades de transferencia de masa. Esto es:
Z = N tG ⋅ H tG Z = N tL ⋅ H tL Z = N tOG ⋅ H tOG Z = N tOL ⋅ H tOL La selección de la expresión conveniente depende de la información que se tenga, para la fase gaseosa o para la fase líquida. También depende de los coeficientes de transferencia de masa, ya sean los individuales o los globales. Este tema se verá más a detalle en la sección de diseño de torres empacadas del capítulo 4 del presente trabajo. 3.5. Eficiencia de etapa Dentro de una etapa simple, el contacto entre dos fases es continuo para el tiempo en que entran a la etapa hasta que la dejan. Hasta ahora el análisis de la transferencia de masa por contacto en etapas siempre ha dependido de una enorme consideración: que las dos corrientes dejan la etapa con sus concentraciones en equilibrio. Para cualquier aparato de
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separación real será necesario corregir un análisis basado en el equilibrio de los productos para tener en cuenta los efectos de arrastre, mezclado y limitaciones de la transferencia de masa y calor. La definición de eficiencia permite describir qué tan cerca se encuentra una etapa del equilibrio. La descripción más común para la eficiencia de una etapa, es la denominada eficiencia de Murphree (EM), la cual se basa en las composiciones de una fase o de la otra fase en la separación. De esta manera EM es una medida del cambio de composición que tiene lugar en una fase en proporción con el que tendría lugar si se alcanzase el equilibrio con la composición real de salida de la otra fase. Eficiencia en términos de cada fase, según Murphree
E M (G ) =
y 2 − y1 y ∗ − y1
E M (L ) =
x 2 − x1 x ∗ − x1
(ecs. 3.21 y 3.22)
3.6. Eficiencia Puntual La eficiencia puntual se refiere a un simple punto o lugar en la etapa real. En este punto, el modelo visualiza una simple corriente de gas burbujeando ascendentemente a través del líquido; la masa es transferida ente el gas y el líquido conforme ascienden las burbujas. El cambio cuantitativo del componente en la burbuja de gas será igual a la transferencia a través de la interfase para un intervalo de tiempo específico. Si la cantidad total de gas no cambia, como seria en el caso de contradifusión equimolar o en gases diluidos, se obtiene una expresión en donde la eficiencia puntual es una función exponencial del coeficiente de transferencia de masa, el área interfacial, y la masa velocidad molar del gas.
E = 1− e
− K y aM
(ecs. 3.23)
Sin embargo, la utilidad de la eficiencia puntual es limitada debido a la dificultad de evaluar composiciones puntuales.
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SECCIÓN DE PROBLEMAS RESUELTOS CAPÍTULO 3. TRANSFERENCIA DE MASA INTERFACIAL
PROBLEMA 3.1 ENUNCIADO: Se desea absorber el 95% de la acetona contenida en una mezcla gaseosa acetona-aire con 2% en moles de acetona, en una torre de platos con borboteadores con agua a contracorriente empleando un 20% en exceso de la cantidad mínima de agua. La mezcla gaseosa se alimenta a razón de 1000 lb/h y el agua pura se introduce por el domo de la torre. Encontrar el número de etapas de equilibrio requeridas para ésta separación. La torre opera a 80°F y 1 atm. La relación de equilibrio es y=2.53x, donde “x” y “y” son las fracciones mol de la acetona en las fases liquida y gaseosa respectivamente. Utilice un método gráfico y un método analítico para determinar el número de etapas teóricas.
ANÁLISIS DEL PROBLEMA: Este problema plantea la recuperación en solución líquida de acetona contenida en una mezcla aire-acetona, mediante el proceso de absorción, empleando una torre de platos con borboteadotes. En un equipo de absorción una mezcla de gases fluye desde el fondo de la columna, un líquido entra por la parte superior del equipo y absorbe uno o más componentes del gas de manera selectiva; obteniéndose una solución de estos en el líquido. Esta operación requiere la transferencia de masa de una sustancia de la corriente gaseosa al líquido. El método de McCabe Thiele es un método gráfico conveniente para la determinación del número de etapas teóricas requeridas. Este método requiere el trazo de la línea operante del proceso y de la curva de equilibrio que rige al mismo. Por otra parte, las ecs. de Kremser-Brown-Souders representan uno de los métodos analíticos más empleados debido a su simplicidad. Pueden emplearse las ecs. directamente o las gráficas que las representan.
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Para la resolución de este problema, se considera que la acetona es el único componente transferible. Por lo tanto, los flujos de agua y aire libres de acetona permanecen constantes (flujos de no transferibles). Conviene entonces, el realizar los balances de materia del proceso en función de flujos de no transferibles, ya que esto permitirá que la línea operante del proceso sea recta y se facilite su manejo para el método gráfico.
SOLUCIÓN PROPUESTA: Sea: A= acetona ,
C= agua
LS= Flujo líquido de no transferibles, agua libre de acetona GS= Flujo gaseoso de no transferibles, aire libre de acetona ABSORBEDOR Balance de materia para A en función de flujos de no transferibles
LS X 0 + GS YNp +1 = LS X Np + GS Y1 GS (YNp +1 − Y1 ) = LS (X Np − X 0 ) LS YNp +1 − Y1 = GS X Np − X 0
Figura 3.6 Abosrción de acetona en columna de platos con borboteadores
La ec.1 representa la ecuación de la línea operante del absorbedor, siendo el resultado del balance de materia en el mismo, donde:
Y= moles A/ moles B
X= moles A/ moles C
LS= moles C / h
GS= moles B/ h
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y Np +1 = 0.02
YNp +1 =
mol A 0.02 = 2.0408 10 −2 mol B 1 − 0.02
Se desea recuperar el 95% de la acetona del flujo gaseoso, por lo cual queda remanente en éste el 5% restante.
Y1 = 2.0408 10 −2
) mol (0.05) = 1.0204(10 ) mol mol mol −3
1.0204 10−3 Y1 = = 1.01936 10− 3 1 + Y1 1 + 1.0204 10− 3
sustituyendo en la ec.1 los valores conocidos, se tiene:
[2.0408(10 ) − 1.0204(10 )] mol mol −2
LS = GS
mol A X Np − 0 molC
A fin de determinar el flujo de circulación del agua, primero debe estimarse el flujo mínimo del mismo. Esto implica que en la ecuación de la línea operante la relación (LS/GS) sea mínima; de la ec. 2 se observa que para un valor constante de GS la relación LS/GS se hace mínima para un valor máximo de XNp.
 LS   GS
  =  Mín
Np , Máx
mol ] mol
En este problema, y cada vez que se cuente con la ec. de la curva de equilibrio, se puede proceder de dos maneras a fin de determinar el valor máximo de XNp.
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a) Método gráfico. Requiere el trazo de la curva de equilibrio ubicando en ella las coordenadas (X0 ,Y1), trazándose desde este punto una recta con pendiente mínima posible que terminará en una ordenada YNp+1=2.0408(10-2).
Esta recta será, de
acuerdo a la geometría de la curva de equilibrio, una tangente a ella que definirá el valor máximo para XNp. b) Método Analítico. Se emplea la ecuación de la curva de equilibrio. Recuérdese que por definición la línea operante tendrá un valor de pendiente mínima (LS/GS)Mín para XNp,Máx; es decir, para aquel valor de XNp que corresponda al equilibrio de YNp+1.
El siguiente procedimiento corresponde al método analítico, ya que representa menor incertidumbre respecto al gráfico.
De la ecuación de la línea operante, se establece:
y = 2.53x
2.53 X 1 − 1.53 X
Y 2.53 + 1.53Y
sustituyendo YNp+1 en la ec. 5, se tiene:
X Np ,Máx =
YNp +1 2.53 + 1.53YNp +1
mol A 2.0408 10 −2 = 7.968 10 −3 −2 molC 2.53 + 1.53 2.0408 10
mol [7.968(10 ) − 0] mol −3
 L  = 1.2 S  op  GS
  =1.2 (2.433)= 2.92  Mín
  =2.433  Mín
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sustituyendo la relación encontrada en la ec. 2
X Np = 6.64 10 −3
mol A −0 molC
mol ) mol
Con objeto de atender al requerimiento del problema, la determinación del número de etapas teóricas, puede procederse de las siguientes formas: a) Gráficamente mediante el método de McCabe –Thiele. b) Analíticamente empleando las ecuaciones de Kremser para absorción, ya que se cumplen las condiciones para emplear dichas ecuaciones, es decir, la línea operante es recta y la de equilibrio es recta desde el origen (forma y=mx). A continuación se presenta el método gráfico, que emplea la curva de equilibrio y la línea operante.
Trazo de la curva de equilibrio.
Mediante el empleo de la ec.4 se obtienen los siguientes datos de equilibrio:
Tabla 3.1 Distribución al equilibrio de la acetona (A) en aire (B) y en agua (C), a 80°F y 1 atm. X
(molA/molC)
Y(10 ) (molA/molB)
0.00253 0.00508 0.00762 0.01018 0.01275 0.01532 0.01790 0.02049 0.02309
Con los datos de la anterior tabla se traza la curva de equilibrio junto con la línea operante del absorbedor (ec.6)
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y = 2.5653x - 5E-05 R2 = 1 0.025 Y Np+1= 0.020408 0.02
Y (mol A/mol B)
Línea Operante
0.005 Y 1= 0.0010204 0 X0= 0
X (molA/molC)
0.006 0.007 XNp=0.00664
Figura 3.7 Determinación del número de etapas teóricas requeridas en el absorbedor mediante el método gráfico de Mc. Cabe-Thiele, a 80°F y 1 atm.
Empleando el método de McCabe-Thiele, figura 3.7, se obtiene el número de etapas teóricas necesarias para llevar a cabo la operación de separación en el absorbedor.
NP= 9 etapas teóricas o ideales
9 etapas teóricas
Ahora bien; si se desean emplear las ecuaciones de Kremser, se tiene la siguiente expresión:
LS = factor de absorción mGS
2.92 = 1.13827 2.5653
Nótese que el valor de la pendiente empleada es el de la curva de equilibrio expresada en términos de relaciones molares (X,Y).
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 YNp +1 − mX 0   2.0408 10 −2 − m(0)  1 1 1 1   log  1 −  +  log  1 − +  −3 A  A  Y1 − mX 0   1.0204 10 − m(0)  1.13827  1.13827  = NP = log( A) log(1.13827 ) NP= 9.2375 etapas teóricas Np
9.2375 etapas teóricas
Como se observa, al emplear el método gráfico de McCabe-Thiele para determinar el número de etapas teóricas se obtuvieron 9 etapas y al utilizar las ecs. de Kremser se tienen 9.2375 etapas teóricas. En general siempre se elige el mayor número de estos valores con objeto de asegurar un margen adecuado de operación –recuérdese que ambos resultados se verán afectados al incluir la eficienca de la etapa-.
PROBLEMA 3.2 ENUNCIADO: Una mezcla de acetona y aire, conteniendo 85% en volumen de aire, se va a despojar del 95% de su contenido de acetona por contacto a contracorriente con una corriente de agua en una columna de platos con borboteadores. La columna opera a 68°F y 1 atm de presión. Se espera una eficiencia global de platos del 30%. Los datos de equilibrio para acetona-agua a 20°C son: Tabla 3.2 Distribución al equilibrio de la acetona en aire y en agua, a 20°C (68°F) y 1 atm.
% en mol de acetona en el líquido Presión parcial de la acetona en el gas, mmHg
Calcular: a) El valor mínimo L/G (moles agua/ mol aire) b) El número de platos reales requeridos, para un valor de L/G de 1.25 el mínimo. c) La concentración de acetona en el licor a la salida.
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ANÁLISIS DEL PROBLEMA: En este problema, se requiere despojar una mezcla gaseosa acetona-aire de su contenido de acetona mediante una operación de absorción. Los problemas hasta aquí tratados consideran que las fases dejan la etapa en equilibrio al evaluar el número de etapas teóricas; lo cual implicaría que el equipo esta trabajando con una eficiencia del 100%. No obstante, esta consideración no es del todo acertada y se requiere el introducir el concepto de eficiencia que permite el determinar la cantidad de platos reales (físicos) que se requerirán para lograr la separación deseada, teniendo en consideración todos aquellos aspectos hidrodinámicos que no permiten que se alcance el equilibrio en cada etapa. Se considera que la acetona es el único componente transferible y que el sistema se comporta idealmente. SOLUCIÓN PROPUESTA: Sea A= acetona
LS X 0 + GS YNp +1 = LS X Np + GS Y1 GS (YNp +1 − Y1 ) = LS (X Np − X 0 ) LS YNp +1 − Y1 = GS X Np − X 0 Figura 3.8 Abosrción de acetona en columna de platos con borboteadores
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LS= moles C / tiempo
GS= moles B/ tiempo
Recuérdese que para gases ideales %mol=%volumen. Por lo cual, tomando como base para la corriente gaseosa un flujo de 100 moles/h, se establece:
0.15 mol A = 0.17647 1 − 0.15 molB
mol A molC
Se desea recuperar el 95% del contenido de acetona del flujo gaseoso, por lo cual queda remanente el 5% restante.
Y1 = YNp +1 (0.05) = 0.17647
mol A (0.05) = 8.8235 10− 3 mol A molB molB
[0.17647 − 8.8235(10 )] mol mol −3
Para estimar la concentración de acetona en el licor de salida (XNp) se requiere conocer la relación de operación L/G. Del enunciado se sabe que la relación de operación L/G es 1.25 veces la relación mínima; la cual se presenta cuando el valor de XNp se maximiza “alcanzando” las condiciones de equilibrio
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Trazo de la curva de equilibrio Se requiere el trazo de la curva de equilibrio en términos de X,Y; por lo cual se realizan los cambios necesarios a fin de trasladar los datos proporcionados en el enunciado del problema a la forma requerida.
%mol = 100 x
%mol 100 − %mol
y 1− y
p 760 − p
Aplicando las ecs. 4 y 5 a los datos de la tabla 3.2, se obtiene: Tabla 3.3 Distribución al equilibrio de la acetona (A) en aire (B) y en agua (C), a 20°C (68°F) y 1 atm.
Y (molA/molB)
Ahora bien, sobre la gráfica de la curva de equilibrio, ubíquese el punto (X0,Y1) con los valores conocidos (0,0.0088235) y desde este punto trácese una recta con pendiente mínima que terminará en una ordenada Y1=0.17647. Esta recta será, de acuerdo a la geometría de la curva de equilibrio, una tangente a ella. 0.2 0.18 Y Np+1=0.17647 0.16
Linea Operante de pendiente Mínima
0.02 Y 1=0.0088235 0 X0= 0
0.15 XNp,Máx=0.157
Figura 3.9 Distribución de acetona en aire y agua, a 68°F y 1 atm
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de la figura 3.9, de la recta tangente a la curva de equilibrio, se obtiene:
X Np , Máx = 0.157
por lo cual, de la ec.3, se obtiene:
(LS/GS)Mín
[0.157 − 0] mol A molC
=1.0678
Si se emplea 1.25 veces la relación de flujos mínima, de la ec.2 se obtiene la XNp de operación
 L  = 1.25 S op  GS
  = 1.25(1.0678) = 1.3347  Mín
1.3347 =
X Np =0.1256
X Np =0.1256 molA/molC
Mediante el método de McCabe-Thiele, se obtiene el número de etapas teóricas necesarias para llevar a cabo la operación de separación en el absorbedor.
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Y (mol A/mol B )
0.18 YNp+1=0.17647 0.16 0.14 Línea Operante
0.02 1 Y1= 0.0088235 0 X0= 0
3 0.0955
XNp=0.1256
X (molA/molC )
Figura 3.10 Determinación del número de etapas teóricas requeridas en el absorbedor mediante el método gráfico de Mc. Cabe-Thiele, a 68°F y 1 atm.
NP= 8.528 etapas teóricas o ideales
8.528 etapas teóricas
PROBLEMA 3.3 ENUNCIADO: Una torre de 60cm de diámetro, con una sección empacada de 1.2m de altura, con anillos Raschig de 2” se emplea para producir una solución de oxígeno en agua para ciertas operaciones de control de la contaminación. El espacio empacado será presurizado a 5 atm std. con
O2 gaseoso puro que provienen de un cilindro de este gas. No habrá
corriente gaseosa de salida y el O2 entrará en cantidad suficiente para mantener la presión, conforme se disuelve en el líquido. El agua fluirá a la torre continuamente a razón de 1.5 kg/s. La temperatura es de 25°C. Suponiendo que el agua entra libre de O2 disuelto, ¿cuál será la concentración de O2 que se espera en el líquido efluente?
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DL ,O2 − H 2O
25°C 5 atm
= 2.5 10 −5 cm 2 s
µ L = 0.894cp
solubilidad del O2 en agua sigue la ley de Henry: p * = 4.38 10 4 x donde: p * = presión parcial en equilibrio, atm
x = fracción mol de O2 en el líquido. Despreciar el contenido de vapor de agua en el gas. ANALISIS DEL PROBLEMA: La mayoría de los problemas sobre torres empacadas hasta aquí tratados consisten en dimensionar un equipo determinado a partir de condiciones de operación definidas y del grado de separación que se requiere lograr, mediante el empleo de coeficientes de transferencia de masa y conceptos como número de unidades de transferencia de masa y altura de una unidad de transferencia. Este ejemplo, por el contrario, establece la existencia de un equipo físico requiriendo predecir el desempeño del mismo en términos del grado de separación que es capaz de alcanzarse, empleando como una medida indirecta la concentración del líquido efluente. Para este fin habrá que ir en sentido inverso al que regularmente se sigue cuando se dimensiona un equipo, caracterizando los elementos que lo componen y empleando conceptos como el de área para transferencia de masa. Asimismo, este caso presenta la variante de que existen dos corrientes de entrada, pero solo una de salida ya que se requiere mantener el equipo presurizado a 5 atm. Se trata pues, de una operación de absorción, en la cual el flujo gaseoso cumple dos funciones; por una parte es recuperado en solución y por otra ayuda a mantener las condiciones de operación del equipo. Se parte de dos consideraciones fundamentales, de acuerdo al enunciado del problema, que simplifican enormemente la resolución: 1) la corriente liquida es de componentes no transferibles y 2) la única sustancia que se transfiere es el oxígeno.
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También se supone que el comportamiento de los fluidos es ideal y que por tanto sigue la ley de Henry facilitando la obtención de datos de equilibrio. SOLUCIÓN PROPUESTA: Sea A= Oxígeno
B= Agua Balance de Materia para el Oxígeno (A)
G1 y1 + L2 x2 = L1 x1 + G2 y 2
G2 = 0 No existe corriente gaseosa de salida. y1 = 1
El oxígeno proviene de un tanque de
y 2 = y1 = 1 El oxígeno que pasa a través de la sección empacada sin disolverse contribuye a mantener la presión del sistema, y no se mezcla con ningún otro componente
Figura 3.11 Producción de solución de oxígeno en torre empacada.
y =∞ 1− y
x2 = 0 Agua pura a la entrada del equipo, libre de oxígeno.
x 0 = =0 1− x 1− 0
Reescribiendo el balance de materia (ec.1) en función de relaciones molares y corrientes de flujos no transferibles, se obtiene la siguiente expresión que representa la ecuación de la línea operante
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LS Y −Y = 1 2 GS X 1 − X 2
donde: LS= Flujo de agua libre de oxígeno. GS= flujo de oxígeno que no se transfiere, pasa a través del lecho empacado y contribuye a mantener la presión de operación de la columna. sustituyendo en ec.2 los valores conocidos
LS 0 = GS X 1 − 0
de la ec. 3 se observa que sin importar que valor tome la variable X 1 , la pendiente de la línea operante tenderá a cero; representándose gráficamente con una línea horizontal en un diagrama X,Y. Asimismo, nótese que se desconoce la relación de flujos L/G, así como el flujo de entrada del oxígeno puro; pero se cuenta con el valor de la altura del lecho empacado y la difusividad como datos; por lo que ha de trabajarse con esta información. de los datos del problema
p * = 4.38 10 4 x
la ec. 4 es la que representa la ecuación de la curva de equilibrio, la cual proporciona el valor de x en la interfase (xi). si se desea conocer el valor de xi basta con sustituir el valor de y*
4.38 10 4 xi 4.38 10 4 xi = = 8760 xi P 5atm
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Línea de equilibrio Línea Operante yA,1=1
y*=8760xi
Figura 3.12 Representación grafica de la ec. 3 en un diagrama x, y. Torre empacada 25°C y 5atm.
Área de la sección transversal del equipo
(0.6m )2 = 0.2827m 2
masa velocidad del líquido
kg s = 5.305 kg L´2 = m2s 0.2827m 2 1.5
en términos de corrientes molares
kg 5.305 2 L´2 m s = 0.2944 kmol = L2 = LS = m2s M L 18.02 kg kmol
Recuérdese que del balance de materia para una sección diferencial del lecho empacado de altura dz, considerando que el flujo de la fase líquida prácticamente es constante (muy baja solubilidad del oxígeno en agua); se obtienen las siguientes expresiones:
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H tL =
Ldx = k x ( xi − x ) = K x x ∗ − x am dz
L k x am
de la ec. 8, separando variables e integrando desde los límites [x1,x2] y [0,Z], se obtiene: x2
dx ka ka Z Z = x m ∫ dz = x m = x −x L 0 L H tL x1 i
NA = −∫
resolviendo la integral que aparece en la ec.10 para la variable x, con xi= constante x2
x −x   x −0   xi  dx  = ln  = ln i 2  = ln i x −x  xi − x1   xi − x1   xi − x1  x1 i
de las ecs. 10 y 11 se establece
 xi  Z  = ln  xi − x1  H tL
Evaluación de H tL De acuerdo a la definición de HtL, proporcionada en la ec. 9, se debe determinar el coeficiente volumétrico de transferencia de masa para la fase líquida. Debido a que se conoce qué tipo de empaque conforma el lecho de la columna, es posible caracterizarlo mediante información bibliográfica y obtener el coeficiente de transferencia y el área para transferencia de masa para después determinar la altura de una unidad de transferencia.
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Área interfacial anillos Raschig de cerámica 2”, para solución acuosa (oxígeno-agua)
am = a AW De la Tabla 6.4 Treybal(19), para L´=5.305 kg/ m2s dentro del rango 2.0 < L´
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