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Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional
Volumen 86, julio de 2014, páginas 95-110
Influencia del contexto y la estructura en la actuación de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional
Gladys Mejía Osorio (Colegio Cafam Santa Lucía. Colombia)
Lady Yamile Sierra Blanco (Colegio Adventista del Norte. Colombia)
Felipe Fernández Hernández (Universidad Pedagógica Nacional. Colombia)
Fecha de aceptación: 3 de abril de 2014
En este artículo, se presentan algunos resultados de cómo el contexto y la estructura en que se presenta los datos de un problema de probabilidad condicional ternario de nivel 1, genera diferentes efectos en la búsqueda de estrategias de solución por parte del estudiante. Para evidenciar los efectos que genera el contexto en el proceso de resolución de problemas se diseñó un experimento de enseñanza (conformado por tres tareas cada una con tres problemas), en el cual se enfatiza en los problemas ternarios de probabilidad condicional de nivel 1, categoría tres, en los tres subtipos que son expuestos en el marco de referencia de este documento. Para la presentación del enunciado del problema se decidió expresar los datos en tres contextos diferentes: social, de industria y de diagnóstico. Por otro lado, se controlaron variables como la naturaleza de los datos y la estructura del enunciado del problema; en particular, los datos se dieron en cantidades absolutas en un solo nivel.
Probabilidad condicional, tipos de problemas, estructura de los problemas, contexto de un problema, experimento de enseñanza.
In this article, we present some results about how the context and structure in the data presented in a conditional probability problem Level 1, produces different effects in finding solution strategies for the student. To demonstrate the effects generated by the context in problem solving process designed a teaching experiment (consisting of three tasks each with three problems ) , in which we emphasize the problems ternary conditional probability of level 1 category three in the three subtypes that are exposed in the framework of this document. For the presentation of the problem statement was decided to express the data in three different contexts: social, industrial and diagnostics. On the other hand, are controlled variables as the nature of the data, the structure of the problem statement and, in particular, data are given in absolute amounts in a single level.
Conditional probability, types of problems, structure problems, problem context, teaching experiment.
Aunque la escuela no dé mucha importancia al estudio de la probabilidad y especialmente a la probabilidad condicional; se encuentran estudios que le dan relevancia a este tema en los cuales se considera importante abordar aspectos que aportan a su enseñanza y aprendizaje. En algunas investigaciones, por ejemplo en Yañez (2001), se reporta una clasificación de los problemas de probabilidad condicional; luego, en Carles y Huerta (2007); Lonjedo (2008); Carles, Cerdán, Huerta y Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
problemas de probabilidad condicional
G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández
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Lonjedo (2009); en Huerta y Lonjedo (2009) se mencionan aspectos relacionados con la estructura y el contexto de dichos problemas, elementos que pueden tener incidencia en el actuar de los estudiantes al darles solución. Por ello, al tener en cuenta la importancia de la probabilidad condicional y las investigaciones en relación al tema, se consideró pertinente llevar a cabo una investigación relacionada con el contexto de los problemas de probabilidad condicional puesto que se constituye en una variable de tarea que puede sugerir variación en el proceder de los estudiantes.
En este artículo, se presenta un estudio realizado en el marco de propuestas sugeridas por la línea de educación estadística1 a partir de los resultados de un experimento de enseñanza aplicado a un grupo de 36 estudiantes de grado once de un colegio privado de la ciudad de Bogotá. El objetivo general de la investigación que se reporta en este artículo surge como resultado del trabajo de grado presentado al programa de Maestría en Docencia de la Matemática ofrecido por la Universidad Pedagógica Nacional (ver Mejía y Sierra, 2012), y se basa en dar cuenta de la influencia que tiene el contexto (caracterizado como social, industria y diagnóstico) en que se formulan los problemas de probabilidad condicional, en relación con la estructura del enunciado verbal y la presentación de los datos. Como se verá, pese a que las condiciones del problema sean similares, se identifica que el contexto y la estructura inciden en la actuación de los estudiantes.
2. Contexto en que se formulan los enunciados de los problemas de probabilidad condicional
La posición frente al concepto de contexto surge de dos fuentes, por un lado la revisión de textos escolares para identificar la manera como se establecen los contextos relativos a la probabilidad condicional y por otra parte, la postura de algunos autores como Valero (2002) y Font (2007), quienes han dado pautas para conceptualizar el contexto en que se formulan enunciados de problemas de matemáticas escolares.
En relación al análisis de los textos escolares, encontramos que los problemas que allí se presentan, se destacan por relacionar en sus enunciados situaciones que aluden a procesos industriales de control de calidad, eventos sociales como sondeos de opinión sobre deportes o política, asuntos de medicina como la efectividad de un medicamento y otros afines a los ya nombrados; además se apoyan de gráficos, tablas y diagramas para la presentación de los datos, los cuales están dados en términos de probabilidades, frecuencias absolutas o porcentajes. Para nuestro estudio, la variable principal la constituyó el contexto, debido a que los problemas eran enunciados verbales con datos en lenguaje natural, sin presentación de gráficos o tablas.
Con respecto a los planteamientos realizados por Valero y Font, se considera el contexto como aquella situación particular en la que los problemas de probabilidad condicional están formulados, es decir, el conjunto de escenarios o hechos fenomenológicos en que se enmarca el enunciado de los problemas. En este orden de ideas, los fenómenos trabajados en la investigación se decide rotularlos como de carácter social, de industria o diagnóstico. A continuación se amplían los puntos de referencia que abarcan estos tres contextos en los enunciados de los problemas.
1 Esta línea de investigación pertenece al grupo de Didáctica de la Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional, registrado en Colciencias. Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
En el caso puntual del experimento de enseñanza desarrollado en la investigación, los problemas que se enmarcan en este contexto, tienen como objeto aquellos fenómenos de sondeos de opinión , es decir, aquellas situaciones destinadas a conocer la opinión pública o estudios de una población específica, así como los reportes que se pueden presentar de las características demográficas y sociales de una determinada población. Específicamente en la investigación, se considera en el contexto social, el reporte de vehículos asegurados de color azul en relación con los accidentados y el sondeo de opinión acerca de la práctica de deportes de los huéspedes de un hotel.
2.2. Contexto de industria
Los problemas de probabilidad condicional que se enmarcan en un contexto de industria, hacen referencia a la producción de un determinado producto o artículo y si éste se elaboró de manera adecuada o defectuosa. También relaciona la obtención de productos por parte de proveedores y los mecanismos de acción, herramientas que son empleadas para detectar la presencia de errores, así como, la elección que puede realizar una persona al adquirir un determinado producto. En particular, se considera para el contexto de industria, problemas donde se refiere la fabricación de televisores por dos máquinas distintas y su relación televisor defectuoso y no defectuoso. Así mismo, se considera un problema donde se reporta la obtención de reguladores por parte de un almacén a dos fábricas diferentes y también se relaciona el evento regulador defectuoso y no defectuoso.
2.3. Contexto de diagnóstico
Los problemas de probabilidad condicional que se enmarcan en un contexto de diagnóstico hacen referencia a los hechos fenomenológicos que tienen por objeto diagnosticar una determinada enfermedad mediante una prueba médica o el éxito de cierta medicina para la cura de alguna enfermedad, así como los resultados de un examen médico, tal y como es el caso de una radiografía, ecografía, etc. en las tareas propuestas se utilizaron problemas relacionados con el pronóstico de las ecografías y los nacimientos reales; también se presentaron problemas acerca del diagnóstico de enfermedades en relación con el padecimiento real.
3. Clasificación de los problemas de probabilidad condicional según la estructura
Las tareas planteadas en el experimento de enseñanza de la investigación reportada en el presente artículo, corresponden a 9 problemas de probabilidad condicional de enunciado verbal con formato de frecuencias naturales; clasificados en nivel 1, tipo 1, categoría 3 y subtipos 0,1 y 2; la clasificación de los problemas de probabilidad es realizada por Yañez (2001) y luego Lonjedo (2009), en su tesis doctoral hace uso de esta clasificación y organiza los problemas en tipos y categorías relacionando datos del enunciado y pregunta, la clasificación en subtipos se consolida a medida que se lleva a cabo la investigación. A continuación se explica un poco lo que se considera como nivel, categoría y tipo.
3.1. Nivel
El nivel está determinado por el número de probabilidades condicionales presentes en el texto del problema o de los datos interpretables como probabilidades condicionales. Nivel 1, cero probabilidades en el enunciado del problema; Nivel 2, una probabilidad en el enunciado del problema; Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
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Nivel 3, dos probabilidades condicionales en el enunciado del problema; Nivel 4, tres probabilidades condicionales en el enunciado del problema.
3.2. Categoría
Hace referencia al número de probabilidades marginales presentes en el enunciado. Categoría 1, hace referencia a enunciado verbal en el cual los datos no presentan ninguna probabilidad de la marginal; Categoría 2, refiere aquellos enunciados verbales en el cual los datos presentan una probabilidad de la marginal. Categoría 3, refiere a aquellos enunciados verbales en el que el enunciado del problema presenta dos probabilidades de la marginal.
Está determinado por la pregunta del problema.Tipo 1, cuando se pregunta por una probabilidad condicional; Tipo 2, cuando se pregunta por una probabilidad marginal; Tipo 3, cuando se pregunta por una probabilidad de la intersección.
Después de dar una mirada a los niveles, categorías y tipos de problemas de probabilidad condicional, ahora se presenta lo que se entiende por subtipo y al mismo tiempo se inicia la presentación de los problemas de probabilidad condicional que se utilizaron en el estudio realizado.
3.3.1 Problemas subtipo 0
Los enunciados de los problemas de este subtipo, presentan tres datos que corresponden a dos marginales y una intersección, la pregunta da cuenta de una probabilidad condicional. Este subtipo de problemas presenta información donde no se encuentran datos que proporcionen elementos de manera directa para encontrar la respuesta a la pregunta; se hace necesario realizar algunos procedimientos que lleven a plantear la probabilidad condicional de manera acertada. El siguiente problema se constituye en un ejemplo de problema de subtipo 0.
Problema 1. En un hotel se realiza una encuesta a 500 de los huéspedes en relación a sus prácticas deportivas de tenis y golf. La encuesta encontró que 390 huéspedes no juegan tenis; 30 no juegan ni tenis ni golf y 410 juegan golf. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un huésped este no juegue golf, dado que juega tenis?
Al organizar la información de los datos proporcionados por este enunciado en una tabla de doble entrada (ver Tabla 1), se puede notar que en la columna sombreada en amarillo, donde se señala con interrogaciones la frecuencia del numerador del cociente de la probabilidad condicional que se debe encontrar para responder a la pregunta, no hay datos de las otras dos frecuencias, es decir, ni de la conjunta (los que juegan tenis y golf), ni de la marginal (total de los que juegan tenis). Esta particularidad hace que problemas con estas características los enmarquemos en un subtipo denominado cero (cero datos para hallar la probabilidad de manera directa). En problemas como este, el estudiante deberá realizar al menos cuatro operaciones aritméticas para llegar a la respuesta correcta. Específicamente, se puede hacer las siguientes operaciones: uno, hallar el total marginal de los que juegan tenis; dos, encontrar la marginal de los que no juegan golf; tres, determinar la frecuencia conjunta de los que juegan tenis y no juegan golf; y cuatro, realizar el cociente del resultado anterior, con el total o marginal de los que juegan tenis, para explicitar finalmente, que el resultado anterior es la respuesta a la pregunta.
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Tabla 1. Tabla de doble entrada para un problema de subtipo 0
Los enunciados de los otros dos problemas de este subtipo propuestos a los estudiantes como ubicados en los contextos de industria y diagnóstico respectivamente, fueron:
Problema 2. Una planta recibe 250 reguladores de voltaje de dos diferentes distribuidores, 120 de los reguladores se compran a la empresa Voltage y el resto a la empresa Electric Company. Si de los reguladores comprados 12 se encuentran defectuosos y se sabe que 115 reguladores de los comprados a Voltage se encuentran en buenas condiciones. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar un regulador éste sea defectuoso dado que se ha comprado a Electric Company?
Problema 3. En un hospital se atendieron 250 personas, de las cuales 120 fueron diagnosticadas positivamente en relación a infección intestinal, el resto fueron diagnosticadas negativamente. De las personas diagnosticas negativamente solo 123 no padecen la enfermedad. Además 128 personas no padecen la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea diagnosticada positivamente, dado que padece la enfermedad?
3.3.2. Problemas subtipo uno
También, como en los de subtipo 0, los enunciados de este tipo de problemas presentan tres datos: dos marginales y uno de intersección, y se pregunta por una probabilidad condicional. Sin embargo, en este subtipo se presenta información donde sólo se encuentra un dato que proporciona elementos para encontrar la respuesta a la pregunta de manera directa. A continuación se presenta el ejemplo del problema de este subtipo, que hizo parte del experimento de enseñanza realizado y que se ubica en un contexto de industria.
Problema 4. En una fábrica de televisores se producen 700 unidades, de las cuales 6 son fabricadas por la máquina uno y salen defectuosas. 395 televisores son fabricados por la máquina dos y 689 televisores no salen defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un televisor este lo haya producido la máquina 2 dado que no es defectuoso?
La información de los datos proporcionados por el enunciado anterior se presenta en la siguiente tabla de doble entrada (ver Tabla 2). Al igual que para el ejemplo de un problema del subtipo 0, en este caso se destaca en color amarillo la zona que corresponde a los datos de mayor interés para plantear la probabilidad pedida y así mismo dar la solución al problema a través de alguna secuencia de operaciones aritméticas. Se observa en la franja amarilla que de los tres datos posibles solo se encuentra uno; este hecho es lo que clasifica a este tipo de problemas como del subtipo 1.
Tabla 2. Tabla de doble entrada para un problema de subtipo 1 Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
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Los otros enunciados que corresponden al subtipo 1, propuestos a los estudiantes para el contexto social y de diagnóstico respectivamente, fueron:
Problema 5. En un hotel se realiza una encuesta a 500 de los huéspedes en relación a sus prácticas deportivas de tenis y golf. La encuesta encontró que 50 huéspedes juegan tenis y golf; 90 no juegan golf y 390 no juegan tenis. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un huésped este no juegue tenis dado que juega golf?
Problema 6. En un centro médico, de 120 nacimientos 62 fueron varones y el resto hembras. Si de las ecografías previstas 70 indicaban que sería un varón y 43 nacimientos de niñas fueron previstas por la ecografía. Encuentra la probabilidad de que naciera un varón dado que la ecografía indicaba que era mujer.
3.3.3. Problemas subtipo dos
El subtipo 2 de problemas también presenta en el enunciado dos datos correspondientes a marginales y una intersección y una pregunta acerca de una probabilidad condicional. Lo diferente respecto a los anteriores subtipos es que en ellos se presenta información de dos datos que proporcionan elementos para encontrar la respuesta a la pregunta. A continuación se comenta el problema de subtipo 2, correspondiente a un contexto de diagnóstico, presentado a los estudiantes.
Problema 7. En un hospital se atendieron 250 personas, de las cuales 120 fueron diagnosticadas positivamente en relación a infección intestinal, el resto fueron diagnosticadas negativamente. De las personas diagnosticas positivamente solo 5 no padecen la enfermedad. Además 122 personas padecen la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona padezca la enfermedad, dado que fue diagnosticada positivamente?
Se sigue la misma línea de lo comentado en los problemas de subtipo 0 y 1. Para este caso, en la tabla de doble entrada que sigue (ver Tabla 3), al organizar la información que aporta el enunciado, se encuentra que en la franja amarilla, hay dos datos que sirven para la solución del problema y éstos se relacionan directamente con la pregunta planteada. Se debe observar entonces que para llegar a la solución del problema, se requiere el desarrollo de un menor número de operaciones aritméticas. En efecto, en este caso una sola operación aritmética, la aplicación de la diferencia entre la marginal del diagnóstico positivo y la conjunta de los que no padecen la enfermedad y tienen diagnóstico positivo, basta para hallar el interrogante señalado en la Tabla 3.
DIAG. (+)
DIAG. (-)
Tabla 3. Tabla de doble entrada para un problema de subtipo 2
Los enunciados de los otros dos ejemplos de problemas presentados a los estudiantes, en el contexto social y de industria respectivamente, fueron: Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
Problema 8. Una compañía aseguradora de vehículos presenta su reporte anual en relación a la situación de 2000 autos asegurados, así: 400 vehículos de color azul fueron asegurados, 280 vehículos se accidentaron ,150 vehículos de color distinto al azul se accidentaron. Si al seleccionar un vehículo al azar, se sabe que este se accidentó, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul.
Problema 9. En una fábrica de televisores se producen 700 unidades, de las cuales 11 salen defectuosos, 305 televisores son fabricadas por la máquina uno y 5 televisores defectuosos los fabrica la máquina dos. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un televisor este lo haya fabricado la maquina 1, dado que es defectuoso?
Cabe señalar que a partir de la clasificación de los tres subtipos enunciados y de los tres diferentes contextos contemplados, se identifica que hay un total de 9 problemas distintos que se pueden proponer. La siguiente tabla (Ver Tabla 4) da a conocer las relaciones de los problemas según subtipo (S0, S1 y S2) y contexto (social, industria y diagnóstico) considerados. Nótese que en todos los casos los problemas fueron de nivel 1 (N1), tipo 1 (T1) y categoría 3 (C3). Por lo tanto, si se quisiera considerar toda la variedad de clases de problemas sin variar el nivel (N1), ni el tipo (T1) sino, por ejemplo, las categorías (C1, C2 y C3), el contexto (social, industria y diagnóstico) y el subtipo de problemas (S0, S1 y S2) se debería contemplar un total de 27 casos de problemas. Esta es la razón que llevó a delimitar la cantidad de problemas propuestos en el presente trabajo, en el que se optó por analizar la influencia del contexto, sobre la categoría tres, el nivel 1 y el tipo 1, al variar el subtipo de problema. Dicha clasificación, conlleva al análisis de la complejidad de los problemas, debido a que se considera de menor complejidad los del subtipo 2, seguidos del subtipo 1, y de mayor complejidad los problemas del subtipo 0.
Subtipo 0
N1T1C3S0
N1T1C3S1
N1T1C3S2
Tabla 4. Posibles relaciones de problemas de probabilidad condicional
Ya teniendo claridad acerca del contexto y la estructura presente en los problemas de probabilidad condicional, se describe de manera somera la metodología contemplada para el desarrollo de la investigación: el experimento de enseñanza. Según Penalba, Roig y del Rio (2009), que contempla un “ciclo de investigación” en tres fases: 1) diseño y planificación de la instrucción, 2) experimentación en el aula con las tareas diseñadas, y 3) análisis retrospectivo. Dichas fases se llevaron a cabo de la siguiente manera:
4.1. Diseño y planificación
En esta fase se llevó a cabo la revisión teórica en relación a la clasificación de los problemas de probabilidad condicional y luego se diseñaron tres talleres, que se aplicaron en tres sesiones de clase a estudiantes del Colegio Adventista del Norte ubicado en la décima localidad de Engativá (Bogotá, D.C), en el grado once conformado por 36 estudiantes con edades comprendidas entre los 15 y 18 años Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
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de edad. La intervención se llevó a cabo al finalizar el año escolar del 2011 y el inicio del año escolar del 2012. Institucionalmente el Colegio imparte la asignatura de matemáticas y estadística por separado. Cada taller aplicado presentaba tres problemas de probabilidad condicional categoría tres, en tres contextos: social, industria y diagnóstico.
4.2. Experimentación en el aula con las tareas diseñadas
En primer lugar se aplica una prueba diagnóstico, luego se lleva a cabo la aplicación del primer taller y se realiza el análisis retrospectivo (fase 3). Luego se propone a los estudiantes el segundo taller y después de esta intervención, se hace necesario esperar un tiempo para poder llevar a cabo la aplicación del último taller.
4.3. Análisis retrospectivo
En esta fase, se realizaron los respectivos análisis de la experiencia en el aula a partir de referentes teóricos que fundamentan la trayectoria hipotética de aprendizaje de la probabilidad condicional, planteada en la fase uno. En esta fase se comprobó si los materiales, los dispositivos y/o el tipo de diseño permitieron generar la actividad esperada en los estudiantes, y si la actividad cognitiva y social desarrollada por ellos correspondió o no con lo que se había previsto en la primera fase.
Después de aplicados los tres talleres, se lleva a cabo un análisis de las diferentes actuaciones de los estudiantes a la hora de solucionar los problemas, clasificando dichos resultados por contextos y estructuras. Se da una mirada a los problemas del mismo contexto, pero de subtipos 0,1 y 2, con el fin de determinar la actuación frente a la estructura del problema, dejando fija la variable contexto, así mismo se deja fija la variable estructura y se lleva a cabo el análisis del contexto; de este mismo análisis se concluye acerca del contexto de menor complejidad y el de mayor complejidad.
A continuación se presenta el análisis de algunos problemas aplicados a los estudiantes. Aunque se llevó a cabo una investigación y análisis cuantitativo y cualitativo en los tres contextos y las tres estructuras, en el presente artículo solamente se ilustran y comentan algunas de las respuestas de los estudiantes en los problemas del contexto de industria y se dan a conocer los resultados cuantitativos de los demás contextos.
5.1. Análisis Contexto de industria
5.1.1. Problema 9
En el contexto de industria para los problemas de subtipo 2, el 69% de los estudiantes dieron una respuesta correcta a este problema. Un ejemplo del tipo de respuesta dada por ellos se ilustra en la Figura 1. En dicha figura se identifica una correcta determinación de la intersección (5 televisores defectuosos de la máquina dos), las marginales correspondientes al evento condicionado y al evento condicionante (ser defectuoso, 11 y ser fabricado en la máquina uno, 305) y el gran total (700). Además, entre los procedimientos realizados se identifica la organización de la información en una tabla de doble entrada, posiblemente como una estrategia para hallar el complemento (intersección entre los televisores no defectuosos que fueron fabricados por la máquina uno); se infiere entonces que Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
así obtienen como resultado que: 299 televisores fueron fabricados por la máquina uno y salieron en buenas condiciones y 390 fueron fabricados por la máquina dos y salieron en buen estado. Luego, los estudiantes debieron hallar el dato que corresponde a la marginal de los televisores fabricados por la maquina dos, es decir 395 televisores y los 689 que corresponde a los televisores fabricados en buen estado (no defectuosos). Posteriormente establecieron la probabilidad de elegir un televisor fabricado por la maquina uno, dado que es defectuoso y establecer el cociente de 6/11 para encontrar la probabilidad pedida.
Otro tipo de respuesta exitosa se muestra en la Figura 2, en la que es claro que no se recurre a un arreglo tabular de doble entrada para llegar a una respuesta que se presenta con una cifra significativa pues el cociente 6/11 es igual a 0,55 si se utilizan dos decimales de aproximación. La figura ilustra que los estudiantes restan de la marginal la intersección para establecer el complemento de la intersección. Para ello toman la cantidad de los 11 televisores y le restan los 5 televisores que corresponde a los que son fabricados en la máquina dos y presentan algún defecto, obtienen así como resultado que 6 televisores son fabricados en la máquina uno y presentan algún defecto. Luego encuentran la probabilidad condicional por medio del cociente ya señalado.
Figura 1. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 9 usando tabla para organizar los datos
Figura 2. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 9 sin utilizar un arreglo tabular
Respecto a ejemplos de respuestas no exitosas referidas al problema 9, en la Figura 3 se ilustra un caso en donde se establece la intersección del evento condicionado correctamente pero no se identifica de manera adecuada el dato de la marginal asociada al evento condicionante
Figura 3. Ejemplo de respuesta no exitosa al problema 9
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5.1.2. Problema 4
Para este problema, catalogado como de subtipo 1, el porcentaje de éxito descendió a 64%. En este caso, la parte complicada para los estudiantes era encontrar el valor de la intersección (el 390 de televisores no defectuosos fabricados por la máquina dos) pues la marginal de los televisores no defectuosos venía dada (el 689). Para dar solución a este problema algunos estudiantes organizan la información en una tabla de doble entrada igual a la mostrada en la Figura 1, sino que en este caso escribieron, en la esquina superior derecha a lado de la tabla de doble entrada, “la probabilidad es 390/689”. Así, la elaboración de esta tabla de doble entrada, permite inferir la identificación, por parte de los estudiantes, del gran total de televisores fabricados por las dos máquinas (700), del marginal del evento condicionante (689) y de las demás marginales (11, 305 y 395); los demás datos se tuvieron que hallar con base en operaciones aritméticas de diferencias. Otros estudiantes (ver Figura 4) restan del total (700) la marginal de los televisores no defectuosos (689) para establecer la marginal del número de televisores defectuosos, luego toman el resultado anterior (11) y le restan la frecuencia conjunta de televisores de la máquina uno que son defectuosos (6), para hallar el complemento de televisores defectuosos de la máquina dos (5); en la respuesta mostrada en la Figura 4, dado que no aparece explícitamente la operación “395 - 5 = 390”, se infiere la realización mental de la misma, para llegar finalmente al cociente que expresa la respuesta (390/689 = 0,56%).
Figura 4. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 4, sin usar arreglo tabular
En la respuesta de otros estudiantes se identifica la organización de la información en una especie de diagrama de árbol. El resultado de este tipo de respuesta se ilustra en la Figura 5.
Figura 5. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 4, utilizando un esquema de árbol
Un estudiante establece la probabilidad pedida correctamente pero no escribe el procedimiento que él empleo para establecer los datos necesarios para dar la solución al problema.
5.1.3. Problema 2
Para este problema, catalogado como de subtipo 0, el porcentaje de éxito en la solución es de 58 %, el más bajo de los tres subtipos. Para encontrar la solución, se hacía necesario realizar más de un procedimiento aritmético, ya que se debía encontrar el complemento de la intersección y luego relacionar este dato con otros para dar respuesta a la pregunta planteada. Dentro de los procedimientos encontrados, se evidencia que algunos estudiantes restan de la marginal la intersección para establecer Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
el complemento de la intersección; para ello manipulan el dato 120 que corresponde a la cantidad de
reguladores que se compraron a la distribuidora Voltage y le restan 115 que corresponde a la cantidad
de reguladores comprados a esta misma empresa pero que se encuentran en buen estado, obteniendo
como resultado que 5 de los reguladores salieron con algún defecto. Posteriormente los estudiantes
toman los 5 reguladores que fueron comprados a la distribuidora Voltage y que salieron defectuosos y
los restan con la cantidad de reguladores defectuosos, luego establecen que 7 de los reguladores
comprados a la distribuidora Electric Company, salieron con algún tipo de defecto. Este hecho se
ilustra en la figura 6 que corresponde a una solución de uno de los estudiantes.
Figura 6. Solución del problema de contexto de industria subtipo 0
En este subtipo y contexto los procedimientos de los estudiantes se reducen a la sola
manipulación aritmética.
Con respecto a los procedimientos no exitosos encontramos que los estudiantes suman la
cantidad total de elementos del espacio muestral, los reguladores defectuosos, los no defectuosos y la
cantidad de reguladores comprados en las dos distribuidoras, olvidan que este valor supera la cantidad
de productos comprados. Este hecho se ilustra en la figura 7 que corresponde a una solución de uno de
Figura 7. Solución del problema de contexto industria subtipo 0
Otros estudiantes hacen uso incorrecto de los diagramas de Venn, aspecto que no les permite
identificar las marginales y la intersección en el problema así como el evento condicionado y el evento
condicionante, debido que, la ubicación del cardinal de cada una de las marginales y las intersecciones
no coincidía con el conjunto total del espacio muestral. Este hecho se ilustra en la figura 8 que
corresponde a una solución de uno de los estudiantes.
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Figura 8. Solución no exitosa del problema de contexto industria subtipo
Otros estudiantes establecen el porcentaje de los reguladores defectuosos con relación a la
cantidad total de los reguladores comprados en las dos distribuidoras. Este procedimiento es
considerado como incorrecto puesto que los estudiantes no identifican el evento condicionado y el
evento condicionante. Por tal motivo concluye que 12 es el 4.8% de 250.
5.2. Análisis Contexto social
Con respecto a este contexto las soluciones dadas por los estudiantes, muestran una influencia
significativa de la estructura del problema; de nuevo se tiene que cuando no se relaciona ningún dato
dado con la probabilidad pedida, este genera una complejidad más significativa para los estudiantes,
que cuando si se presentan más datos.
5.3. Análisis Contexto Diagnóstico
En este contexto las soluciones dadas por los estudiantes muestran que cuando el problema no
relaciona ningún dato con la probabilidad pedida, presenta un grado de complejidad mayor para los
estudiantes, en relación a los anteriores contextos vemos que el nivel de éxito disminuyo
5.4. Análisis de la relación Contexto y Estructura
A partir de lo presentado con anterioridad, se puede evidenciar que en los problemas de
probabilidad condicional priman la variable estructura y contexto para determinar el grado de
complejidad de cada uno de ellos.
Al realizar un análisis general de los contextos de los problemas, se encuentra que el problema
de mayor complejidad es del contexto diagnóstico y el de menor complejidad el de industria. Así
mismo en relación a la estructura el problema de mayor complejidad es el del subtipo cero. La tabla
siguiente y su respectivo grafico ilustran el éxito en relación a la solución de los problemas presentada
Diagnostico Social Industria Promedio
Sub 0 26 29 58 37.6
Sub 1 30 51 64 48.3
Sub 2 58 63 69 63.3
Promedio 38 47.6 63.6
Tabla 5. Soluciones exitosas según contexto y estructura
SOCIAL INDUST
PROMEDIO 38 47,666666 63,666666
ÉXITO EN LA SOLUCIÓN
Figura 9. Éxito en la solución en cada contexto
Sub 0 Sub 1 Sub 2
Series1 37,66666 48,333333 63,33333
Figura 10. Éxito en la solución según estructura
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Figura 11. Éxito en la solución según estructura y contexto
Finalmente se encuentra la siguiente gráfica, en la que se relacionan todos los contextos con su
respectiva estructura. Para efectos de lectura de la gráfica se presenta las respectivas conversiones que
aparecen en los respectivos ejes, según el contexto (I: industria, S: Social, D: Diagnóstico) y según la
estructura (2d: Dos datos, 1d: Un dato, 0d: Cero datos).
2D-I
0D-S
CON ÉXITO 69% 64% 58% 63% 51% 29% 58% 30% 26%
SIN ÉXITO 31% 36% 42% 37% 49% 61% 42% 70% 74%
Contextos y estructuras
Figura 12. Cantidad de estudiantes que dan solución con y sin éxito contextos y subtipos
Como se puede inferir de la gráfica el contexto que generó menos complejidad para los
estudiantes fue el de industria, allí se encuentra el mayor número de soluciones exitosas por parte de
los estudiantes, seguido del contexto social y por último el contexto de diagnóstico que fue el más
complejo para los estudiantes. Por otro lado, se observa cuando la pregunta relaciona los datos con la
probabilidad pedida, gran parte de los estudiantes llegan a una solución correcta del problema, así
mismo, la gráfica muestra que cuando el problema no relaciona los datos dados con la pregunta, el
éxito disminuye de manera significativa en los tres contextos abordados.
Frente a la influencia de la estructura que presentan los problemas de probabilidad condicional de enunciado verbal, cuando los estudiantes los resuelven, se puede concluir que el subtipo que presenta mayor grado de complejidad para ellos es el que hemos denominado sub tipo 0. Este subtipo de problema no relaciona ninguno de los datos directamente con la pregunta, aspecto que conlleva a realizar un análisis más detallado de los datos y a buscar estrategias de solución. En las soluciones de estos problemas es relevante la organización de los datos en tablas de doble entrada, el uso de representaciones gráficas y la utilización de varias operaciones aritméticas para llegar a la solución.
Por otra parte, los problemas del subtipo dos se consideran como los de menor complejidad. Ello se debe a que en las soluciones de los estudiantes se evidencia que se recurre a realizar menos operaciones aritméticas, suele no ser necesario la elaboración de tablas de doble entrada o de representaciones gráficas, pues los estudiantes pueden extraer directamente los datos que necesitan para encontrar la solución y responder la pregunta del problema.
En relación al contexto, se llevó a cabo un análisis comparativo de los contextos en cada subtipo de problemas y se encontraba que siempre el número de estudiantes que resolvía de manera exitosa los problemas del contexto diagnóstico en relación a los demás contextos era menor. De ello se concluye que el contexto que presenta mayor complejidad para los estudiantes es el de diagnóstico, independientemente de la complejidad de la estructura. Así mismo, el contexto de menor complejidad llegó a ser el de industria, resultado un poco inesperado debido a que se creía inicialmente que el contexto social era el menos complejo.
Respecto al éxito de los estudiantes al resolver problemas, con base en los análisis de resultados, se evidencia que el contexto jugó un papel importante en sus actuaciones; cuando ellos resuelven un problema en el contexto de industria el índice de éxito aumenta considerablemente y cuando los estudiantes resuelven un problema formulado en un contexto de diagnóstico el índice de éxito disminuye considerablemente, situación que se presenta en los tres subtipos.
A pesar de que la estructura y el contexto tienen una incidencia de forma individual, también la presentan cuando se unen ambas variables y hace que esto incida en el actuar de los estudiantes. Estructura y contexto se correlacionan en el sentido de que un problema de diagnóstico subtipo cero, se constituye en el más complejo para los estudiantes, mientras que un problema de subtipo dos y del contexto de industria se considera el de menor complejidad para los estudiantes.
Además, se puede destacar el hecho de que los problemas de probabilidad condicional no siempre están expresados en lenguajes avanzados de probabilidad, pero esto no quiere decir que no sean complejos. Así mismo, aunque existan problemas similares en su estructura, el contexto lleva a ciertas actuaciones a los estudiantes, de la misma manera, aunque los problemas se encuentren en el mismo contexto la estructura es factor determinante.
Carles, M., Cerdán, F., Huerta, M.P., y Lonjedo, M.A., Edo P. (2009). Influencia de la estructura y del contexto en las dificultades de los problemas de probabilidad condicional de nivel N0. Un estudio exploratorio con estudiantes sin enseñanza previa. En M.J. González, M.T. González & J. Murillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIII (pp. 173-185). Santander: SEIEM. Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver
110 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS
Carles, M y Huerta, P (2007). El mundo de los problemas de probabilidad condicional en el contexto de test diagnóstico. p. 249-260.
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Gladys Mejía Osorio. Licenciada en Matemáticas (Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia), Magister en Docencia de las Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia). Docente de Matemáticas Colegio Cafam Santa Lucia. Ponente en el XIII Encuentro de Matemática Educativa ASOCOLME 2012. Nacida en Palmira Valle. Residente en Bogotá.
E-mail: gladys6m@hotmail.com.
Lady Yamile Sierra Blanco. Licenciada en Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia), Magister en Docencia de las Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia). Docente de Matemáticas Colegio Adventista del Norte. Ponente en el XIII Encuentro de Matemática Educativa ASOCOLME 2012. Nacida el 25 de Noviembre de 1983 en Chía. Residente en Bogotá..
E-mail: elimay83@hotmail.com.
Felipe Fernández Hernández. Docente universitario desde 1983.Realizó estudios de Matemáticas y Maestría en Estadística. Es profesor de planta de la Universidad Pedagógica Nacional desde 2005. Trabajó en “una empresa docente” de la Universidad de los Andes desde 1991 hasta2003, en donde se desempeñó como profesor investigador y formador de profesores. Actualmente es coordinador de proyectos de investigación en la línea de educación estadística en la Universidad Pedagógica Nacional y catedrático de la Fundación Universitaria los Libertadores.
E-mail: fjfernandez@pedagogica.edu.co
Título y subtítulo Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional
Autoría principal Mejía; G. ; Sierra, L. ; Fernández, F.
Páginas pp. 104-128
Texto http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 86, julio de 2014, páginas 95-110 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Influencia del contexto y la estructura en la actuación de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional Gladys Mejía Osorio (Colegio Cafam Santa Lucía. Colombia) Lady Yamile Sierra Blanco (Colegio Adventista del Norte. Colombia) Felipe Fernández Hernández (Universidad Pedagógica Nacional. Colombia) Fecha de recepción: 21 de octubre de 2013 Fecha de aceptación: 3 de abril de 2014 Resumen En este artículo, se presentan algunos resultados de cómo el contexto y la estructura en que se presenta los datos de un problema de probabilidad condicional ternario de nivel 1, genera diferentes efectos en la búsqueda de estrategias de solución por parte del estudiante. Para evidenciar los efectos que genera el contexto en el proceso de resolución de problemas se diseñó un experimento de enseñanza (conformado por tres tareas cada una con tres problemas), en el cual se enfatiza en los problemas ternarios de probabilidad condicional de nivel 1, categoría tres, en los tres subtipos que son expuestos en el marco de referencia de este documento. Para la presentación del enunciado del problema se decidió expresar los datos en tres contextos diferentes: social, de industria y de diagnóstico. Por otro lado, se controlaron variables como la naturaleza de los datos y la estructura del enunciado del problema; en particular, los datos se dieron en cantidades absolutas en un solo nivel. Palabras clave Probabilidad condicional, tipos de problemas, estructura de los problemas, contexto de un problema, experimento de enseñanza. Abstract In this article, we present some results about how the context and structure in the data presented in a conditional probability problem Level 1, produces different effects in finding solution strategies for the student. To demonstrate the effects generated by the context in problem solving process designed a teaching experiment (consisting of three tasks each with three problems ) , in which we emphasize the problems ternary conditional probability of level 1 category three in the three subtypes that are exposed in the framework of this document. For the presentation of the problem statement was decided to express the data in three different contexts: social, industrial and diagnostics. On the other hand, are controlled variables as the nature of the data, the structure of the problem statement and, in particular, data are given in absolute amounts in a single level. Keywords Conditional probability, types of problems, structure problems, problem context, teaching experiment. 1. Introducción Aunque la escuela no dé mucha importancia al estudio de la probabilidad y especialmente a la probabilidad condicional; se encuentran estudios que le dan relevancia a este tema en los cuales se considera importante abordar aspectos que aportan a su enseñanza y aprendizaje. En algunas investigaciones, por ejemplo en Yañez (2001), se reporta una clasificación de los problemas de probabilidad condicional; luego, en Carles y Huerta (2007); Lonjedo (2008); Carles, Cerdán, Huerta y Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 96 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS Lonjedo (2009); en Huerta y Lonjedo (2009) se mencionan aspectos relacionados con la estructura y el contexto de dichos problemas, elementos que pueden tener incidencia en el actuar de los estudiantes al darles solución. Por ello, al tener en cuenta la importancia de la probabilidad condicional y las investigaciones en relación al tema, se consideró pertinente llevar a cabo una investigación relacionada con el contexto de los problemas de probabilidad condicional puesto que se constituye en una variable de tarea que puede sugerir variación en el proceder de los estudiantes. En este artículo, se presenta un estudio realizado en el marco de propuestas sugeridas por la línea de educación estadística1 a partir de los resultados de un experimento de enseñanza aplicado a un grupo de 36 estudiantes de grado once de un colegio privado de la ciudad de Bogotá. El objetivo general de la investigación que se reporta en este artículo surge como resultado del trabajo de grado presentado al programa de Maestría en Docencia de la Matemática ofrecido por la Universidad Pedagógica Nacional (ver Mejía y Sierra, 2012), y se basa en dar cuenta de la influencia que tiene el contexto (caracterizado como social, industria y diagnóstico) en que se formulan los problemas de probabilidad condicional, en relación con la estructura del enunciado verbal y la presentación de los datos. Como se verá, pese a que las condiciones del problema sean similares, se identifica que el contexto y la estructura inciden en la actuación de los estudiantes. 2. Contexto en que se formulan los enunciados de los problemas de probabilidad condicional La posición frente al concepto de contexto surge de dos fuentes, por un lado la revisión de textos escolares para identificar la manera como se establecen los contextos relativos a la probabilidad condicional y por otra parte, la postura de algunos autores como Valero (2002) y Font (2007), quienes han dado pautas para conceptualizar el contexto en que se formulan enunciados de problemas de matemáticas escolares. En relación al análisis de los textos escolares, encontramos que los problemas que allí se presentan, se destacan por relacionar en sus enunciados situaciones que aluden a procesos industriales de control de calidad, eventos sociales como sondeos de opinión sobre deportes o política, asuntos de medicina como la efectividad de un medicamento y otros afines a los ya nombrados; además se apoyan de gráficos, tablas y diagramas para la presentación de los datos, los cuales están dados en términos de probabilidades, frecuencias absolutas o porcentajes. Para nuestro estudio, la variable principal la constituyó el contexto, debido a que los problemas eran enunciados verbales con datos en lenguaje natural, sin presentación de gráficos o tablas. Con respecto a los planteamientos realizados por Valero y Font, se considera el contexto como aquella situación particular en la que los problemas de probabilidad condicional están formulados, es decir, el conjunto de escenarios o hechos fenomenológicos en que se enmarca el enunciado de los problemas. En este orden de ideas, los fenómenos trabajados en la investigación se decide rotularlos como de carácter social, de industria o diagnóstico. A continuación se amplían los puntos de referencia que abarcan estos tres contextos en los enunciados de los problemas. 1 Esta línea de investigación pertenece al grupo de Didáctica de la Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional, registrado en Colciencias. Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 97 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014 2.1. Contexto social En el caso puntual del experimento de enseñanza desarrollado en la investigación, los problemas que se enmarcan en este contexto, tienen como objeto aquellos fenómenos de sondeos de opinión , es decir, aquellas situaciones destinadas a conocer la opinión pública o estudios de una población específica, así como los reportes que se pueden presentar de las características demográficas y sociales de una determinada población. Específicamente en la investigación, se considera en el contexto social, el reporte de vehículos asegurados de color azul en relación con los accidentados y el sondeo de opinión acerca de la práctica de deportes de los huéspedes de un hotel. 2.2. Contexto de industria Los problemas de probabilidad condicional que se enmarcan en un contexto de industria, hacen referencia a la producción de un determinado producto o artículo y si éste se elaboró de manera adecuada o defectuosa. También relaciona la obtención de productos por parte de proveedores y los mecanismos de acción, herramientas que son empleadas para detectar la presencia de errores, así como, la elección que puede realizar una persona al adquirir un determinado producto. En particular, se considera para el contexto de industria, problemas donde se refiere la fabricación de televisores por dos máquinas distintas y su relación televisor defectuoso y no defectuoso. Así mismo, se considera un problema donde se reporta la obtención de reguladores por parte de un almacén a dos fábricas diferentes y también se relaciona el evento regulador defectuoso y no defectuoso. 2.3. Contexto de diagnóstico Los problemas de probabilidad condicional que se enmarcan en un contexto de diagnóstico hacen referencia a los hechos fenomenológicos que tienen por objeto diagnosticar una determinada enfermedad mediante una prueba médica o el éxito de cierta medicina para la cura de alguna enfermedad, así como los resultados de un examen médico, tal y como es el caso de una radiografía, ecografía, etc. en las tareas propuestas se utilizaron problemas relacionados con el pronóstico de las ecografías y los nacimientos reales; también se presentaron problemas acerca del diagnóstico de enfermedades en relación con el padecimiento real. 3. Clasificación de los problemas de probabilidad condicional según la estructura Las tareas planteadas en el experimento de enseñanza de la investigación reportada en el presente artículo, corresponden a 9 problemas de probabilidad condicional de enunciado verbal con formato de frecuencias naturales; clasificados en nivel 1, tipo 1, categoría 3 y subtipos 0,1 y 2; la clasificación de los problemas de probabilidad es realizada por Yañez (2001) y luego Lonjedo (2009), en su tesis doctoral hace uso de esta clasificación y organiza los problemas en tipos y categorías relacionando datos del enunciado y pregunta, la clasificación en subtipos se consolida a medida que se lleva a cabo la investigación. A continuación se explica un poco lo que se considera como nivel, categoría y tipo. 3.1. Nivel El nivel está determinado por el número de probabilidades condicionales presentes en el texto del problema o de los datos interpretables como probabilidades condicionales. Nivel 1, cero probabilidades en el enunciado del problema; Nivel 2, una probabilidad en el enunciado del problema; Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 98 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS Nivel 3, dos probabilidades condicionales en el enunciado del problema; Nivel 4, tres probabilidades condicionales en el enunciado del problema. 3.2. Categoría Hace referencia al número de probabilidades marginales presentes en el enunciado. Categoría 1, hace referencia a enunciado verbal en el cual los datos no presentan ninguna probabilidad de la marginal; Categoría 2, refiere aquellos enunciados verbales en el cual los datos presentan una probabilidad de la marginal. Categoría 3, refiere a aquellos enunciados verbales en el que el enunciado del problema presenta dos probabilidades de la marginal. 3.3. Tipo Está determinado por la pregunta del problema.Tipo 1, cuando se pregunta por una probabilidad condicional; Tipo 2, cuando se pregunta por una probabilidad marginal; Tipo 3, cuando se pregunta por una probabilidad de la intersección. Después de dar una mirada a los niveles, categorías y tipos de problemas de probabilidad condicional, ahora se presenta lo que se entiende por subtipo y al mismo tiempo se inicia la presentación de los problemas de probabilidad condicional que se utilizaron en el estudio realizado. 3.3.1 Problemas subtipo 0 Los enunciados de los problemas de este subtipo, presentan tres datos que corresponden a dos marginales y una intersección, la pregunta da cuenta de una probabilidad condicional. Este subtipo de problemas presenta información donde no se encuentran datos que proporcionen elementos de manera directa para encontrar la respuesta a la pregunta; se hace necesario realizar algunos procedimientos que lleven a plantear la probabilidad condicional de manera acertada. El siguiente problema se constituye en un ejemplo de problema de subtipo 0. Problema 1. En un hotel se realiza una encuesta a 500 de los huéspedes en relación a sus prácticas deportivas de tenis y golf. La encuesta encontró que 390 huéspedes no juegan tenis; 30 no juegan ni tenis ni golf y 410 juegan golf. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un huésped este no juegue golf, dado que juega tenis? Al organizar la información de los datos proporcionados por este enunciado en una tabla de doble entrada (ver Tabla 1), se puede notar que en la columna sombreada en amarillo, donde se señala con interrogaciones la frecuencia del numerador del cociente de la probabilidad condicional que se debe encontrar para responder a la pregunta, no hay datos de las otras dos frecuencias, es decir, ni de la conjunta (los que juegan tenis y golf), ni de la marginal (total de los que juegan tenis). Esta particularidad hace que problemas con estas características los enmarquemos en un subtipo denominado cero (cero datos para hallar la probabilidad de manera directa). En problemas como este, el estudiante deberá realizar al menos cuatro operaciones aritméticas para llegar a la respuesta correcta. Específicamente, se puede hacer las siguientes operaciones: uno, hallar el total marginal de los que juegan tenis; dos, encontrar la marginal de los que no juegan golf; tres, determinar la frecuencia conjunta de los que juegan tenis y no juegan golf; y cuatro, realizar el cociente del resultado anterior, con el total o marginal de los que juegan tenis, para explicitar finalmente, que el resultado anterior es la respuesta a la pregunta. Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 99 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014 DEPORTES TENIS NO TENIS TOTAL GOLF 410 NO GOLF “¿?” 30 TOTAL 390 500 Tabla 1. Tabla de doble entrada para un problema de subtipo 0 Los enunciados de los otros dos problemas de este subtipo propuestos a los estudiantes como ubicados en los contextos de industria y diagnóstico respectivamente, fueron: Problema 2. Una planta recibe 250 reguladores de voltaje de dos diferentes distribuidores, 120 de los reguladores se compran a la empresa Voltage y el resto a la empresa Electric Company. Si de los reguladores comprados 12 se encuentran defectuosos y se sabe que 115 reguladores de los comprados a Voltage se encuentran en buenas condiciones. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar al azar un regulador éste sea defectuoso dado que se ha comprado a Electric Company? Problema 3. En un hospital se atendieron 250 personas, de las cuales 120 fueron diagnosticadas positivamente en relación a infección intestinal, el resto fueron diagnosticadas negativamente. De las personas diagnosticas negativamente solo 123 no padecen la enfermedad. Además 128 personas no padecen la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea diagnosticada positivamente, dado que padece la enfermedad? 3.3.2. Problemas subtipo uno También, como en los de subtipo 0, los enunciados de este tipo de problemas presentan tres datos: dos marginales y uno de intersección, y se pregunta por una probabilidad condicional. Sin embargo, en este subtipo se presenta información donde sólo se encuentra un dato que proporciona elementos para encontrar la respuesta a la pregunta de manera directa. A continuación se presenta el ejemplo del problema de este subtipo, que hizo parte del experimento de enseñanza realizado y que se ubica en un contexto de industria. Problema 4. En una fábrica de televisores se producen 700 unidades, de las cuales 6 son fabricadas por la máquina uno y salen defectuosas. 395 televisores son fabricados por la máquina dos y 689 televisores no salen defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un televisor este lo haya producido la máquina 2 dado que no es defectuoso? La información de los datos proporcionados por el enunciado anterior se presenta en la siguiente tabla de doble entrada (ver Tabla 2). Al igual que para el ejemplo de un problema del subtipo 0, en este caso se destaca en color amarillo la zona que corresponde a los datos de mayor interés para plantear la probabilidad pedida y así mismo dar la solución al problema a través de alguna secuencia de operaciones aritméticas. Se observa en la franja amarilla que de los tres datos posibles solo se encuentra uno; este hecho es lo que clasifica a este tipo de problemas como del subtipo 1. DEFECTUOSO NO DEFECTUOSO TOTAL Maq 1 6 Maq 2 “¿?” 395 Total 689 700 Tabla 2. Tabla de doble entrada para un problema de subtipo 1 Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 100 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS Los otros enunciados que corresponden al subtipo 1, propuestos a los estudiantes para el contexto social y de diagnóstico respectivamente, fueron: Problema 5. En un hotel se realiza una encuesta a 500 de los huéspedes en relación a sus prácticas deportivas de tenis y golf. La encuesta encontró que 50 huéspedes juegan tenis y golf; 90 no juegan golf y 390 no juegan tenis. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un huésped este no juegue tenis dado que juega golf? Problema 6. En un centro médico, de 120 nacimientos 62 fueron varones y el resto hembras. Si de las ecografías previstas 70 indicaban que sería un varón y 43 nacimientos de niñas fueron previstas por la ecografía. Encuentra la probabilidad de que naciera un varón dado que la ecografía indicaba que era mujer. 3.3.3. Problemas subtipo dos El subtipo 2 de problemas también presenta en el enunciado dos datos correspondientes a marginales y una intersección y una pregunta acerca de una probabilidad condicional. Lo diferente respecto a los anteriores subtipos es que en ellos se presenta información de dos datos que proporcionan elementos para encontrar la respuesta a la pregunta. A continuación se comenta el problema de subtipo 2, correspondiente a un contexto de diagnóstico, presentado a los estudiantes. Problema 7. En un hospital se atendieron 250 personas, de las cuales 120 fueron diagnosticadas positivamente en relación a infección intestinal, el resto fueron diagnosticadas negativamente. De las personas diagnosticas positivamente solo 5 no padecen la enfermedad. Además 122 personas padecen la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona padezca la enfermedad, dado que fue diagnosticada positivamente? Se sigue la misma línea de lo comentado en los problemas de subtipo 0 y 1. Para este caso, en la tabla de doble entrada que sigue (ver Tabla 3), al organizar la información que aporta el enunciado, se encuentra que en la franja amarilla, hay dos datos que sirven para la solución del problema y éstos se relacionan directamente con la pregunta planteada. Se debe observar entonces que para llegar a la solución del problema, se requiere el desarrollo de un menor número de operaciones aritméticas. En efecto, en este caso una sola operación aritmética, la aplicación de la diferencia entre la marginal del diagnóstico positivo y la conjunta de los que no padecen la enfermedad y tienen diagnóstico positivo, basta para hallar el interrogante señalado en la Tabla 3. DIAG. (+) DIAG. (-) TOTAL PADECE “¿?” 122 NO PADECE 5 TOTAL 120 250 Tabla 3. Tabla de doble entrada para un problema de subtipo 2 Los enunciados de los otros dos ejemplos de problemas presentados a los estudiantes, en el contexto social y de industria respectivamente, fueron: Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 101 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014 Problema 8. Una compañía aseguradora de vehículos presenta su reporte anual en relación a la situación de 2000 autos asegurados, así: 400 vehículos de color azul fueron asegurados, 280 vehículos se accidentaron ,150 vehículos de color distinto al azul se accidentaron. Si al seleccionar un vehículo al azar, se sabe que este se accidentó, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul. Problema 9. En una fábrica de televisores se producen 700 unidades, de las cuales 11 salen defectuosos, 305 televisores son fabricadas por la máquina uno y 5 televisores defectuosos los fabrica la máquina dos. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un televisor este lo haya fabricado la maquina 1, dado que es defectuoso? Cabe señalar que a partir de la clasificación de los tres subtipos enunciados y de los tres diferentes contextos contemplados, se identifica que hay un total de 9 problemas distintos que se pueden proponer. La siguiente tabla (Ver Tabla 4) da a conocer las relaciones de los problemas según subtipo (S0, S1 y S2) y contexto (social, industria y diagnóstico) considerados. Nótese que en todos los casos los problemas fueron de nivel 1 (N1), tipo 1 (T1) y categoría 3 (C3). Por lo tanto, si se quisiera considerar toda la variedad de clases de problemas sin variar el nivel (N1), ni el tipo (T1) sino, por ejemplo, las categorías (C1, C2 y C3), el contexto (social, industria y diagnóstico) y el subtipo de problemas (S0, S1 y S2) se debería contemplar un total de 27 casos de problemas. Esta es la razón que llevó a delimitar la cantidad de problemas propuestos en el presente trabajo, en el que se optó por analizar la influencia del contexto, sobre la categoría tres, el nivel 1 y el tipo 1, al variar el subtipo de problema. Dicha clasificación, conlleva al análisis de la complejidad de los problemas, debido a que se considera de menor complejidad los del subtipo 2, seguidos del subtipo 1, y de mayor complejidad los problemas del subtipo 0. Social Industria Diagnóstico Subtipo 0 N1T1C3S0 N1T1C3S0 N1T1C3S0 Subtipo 1 N1T1C3S1 N1T1C3S1 N1T1C3S1 Subtipo 2 N1T1C3S2 N1T1C3S2 N1T1C3S2 Tabla 4. Posibles relaciones de problemas de probabilidad condicional 4. Metodología Ya teniendo claridad acerca del contexto y la estructura presente en los problemas de probabilidad condicional, se describe de manera somera la metodología contemplada para el desarrollo de la investigación: el experimento de enseñanza. Según Penalba, Roig y del Rio (2009), que contempla un “ciclo de investigación” en tres fases: 1) diseño y planificación de la instrucción, 2) experimentación en el aula con las tareas diseñadas, y 3) análisis retrospectivo. Dichas fases se llevaron a cabo de la siguiente manera: 4.1. Diseño y planificación En esta fase se llevó a cabo la revisión teórica en relación a la clasificación de los problemas de probabilidad condicional y luego se diseñaron tres talleres, que se aplicaron en tres sesiones de clase a estudiantes del Colegio Adventista del Norte ubicado en la décima localidad de Engativá (Bogotá, D.C), en el grado once conformado por 36 estudiantes con edades comprendidas entre los 15 y 18 años Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 102 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS de edad. La intervención se llevó a cabo al finalizar el año escolar del 2011 y el inicio del año escolar del 2012. Institucionalmente el Colegio imparte la asignatura de matemáticas y estadística por separado. Cada taller aplicado presentaba tres problemas de probabilidad condicional categoría tres, en tres contextos: social, industria y diagnóstico. 4.2. Experimentación en el aula con las tareas diseñadas En primer lugar se aplica una prueba diagnóstico, luego se lleva a cabo la aplicación del primer taller y se realiza el análisis retrospectivo (fase 3). Luego se propone a los estudiantes el segundo taller y después de esta intervención, se hace necesario esperar un tiempo para poder llevar a cabo la aplicación del último taller. 4.3. Análisis retrospectivo En esta fase, se realizaron los respectivos análisis de la experiencia en el aula a partir de referentes teóricos que fundamentan la trayectoria hipotética de aprendizaje de la probabilidad condicional, planteada en la fase uno. En esta fase se comprobó si los materiales, los dispositivos y/o el tipo de diseño permitieron generar la actividad esperada en los estudiantes, y si la actividad cognitiva y social desarrollada por ellos correspondió o no con lo que se había previsto en la primera fase. 5. Resultados Después de aplicados los tres talleres, se lleva a cabo un análisis de las diferentes actuaciones de los estudiantes a la hora de solucionar los problemas, clasificando dichos resultados por contextos y estructuras. Se da una mirada a los problemas del mismo contexto, pero de subtipos 0,1 y 2, con el fin de determinar la actuación frente a la estructura del problema, dejando fija la variable contexto, así mismo se deja fija la variable estructura y se lleva a cabo el análisis del contexto; de este mismo análisis se concluye acerca del contexto de menor complejidad y el de mayor complejidad. A continuación se presenta el análisis de algunos problemas aplicados a los estudiantes. Aunque se llevó a cabo una investigación y análisis cuantitativo y cualitativo en los tres contextos y las tres estructuras, en el presente artículo solamente se ilustran y comentan algunas de las respuestas de los estudiantes en los problemas del contexto de industria y se dan a conocer los resultados cuantitativos de los demás contextos. 5.1. Análisis Contexto de industria 5.1.1. Problema 9 En el contexto de industria para los problemas de subtipo 2, el 69% de los estudiantes dieron una respuesta correcta a este problema. Un ejemplo del tipo de respuesta dada por ellos se ilustra en la Figura 1. En dicha figura se identifica una correcta determinación de la intersección (5 televisores defectuosos de la máquina dos), las marginales correspondientes al evento condicionado y al evento condicionante (ser defectuoso, 11 y ser fabricado en la máquina uno, 305) y el gran total (700). Además, entre los procedimientos realizados se identifica la organización de la información en una tabla de doble entrada, posiblemente como una estrategia para hallar el complemento (intersección entre los televisores no defectuosos que fueron fabricados por la máquina uno); se infiere entonces que Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 103 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014 así obtienen como resultado que: 299 televisores fueron fabricados por la máquina uno y salieron en buenas condiciones y 390 fueron fabricados por la máquina dos y salieron en buen estado. Luego, los estudiantes debieron hallar el dato que corresponde a la marginal de los televisores fabricados por la maquina dos, es decir 395 televisores y los 689 que corresponde a los televisores fabricados en buen estado (no defectuosos). Posteriormente establecieron la probabilidad de elegir un televisor fabricado por la maquina uno, dado que es defectuoso y establecer el cociente de 6/11 para encontrar la probabilidad pedida. Otro tipo de respuesta exitosa se muestra en la Figura 2, en la que es claro que no se recurre a un arreglo tabular de doble entrada para llegar a una respuesta que se presenta con una cifra significativa pues el cociente 6/11 es igual a 0,55 si se utilizan dos decimales de aproximación. La figura ilustra que los estudiantes restan de la marginal la intersección para establecer el complemento de la intersección. Para ello toman la cantidad de los 11 televisores y le restan los 5 televisores que corresponde a los que son fabricados en la máquina dos y presentan algún defecto, obtienen así como resultado que 6 televisores son fabricados en la máquina uno y presentan algún defecto. Luego encuentran la probabilidad condicional por medio del cociente ya señalado. Figura 1. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 9 usando tabla para organizar los datos Figura 2. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 9 sin utilizar un arreglo tabular Respecto a ejemplos de respuestas no exitosas referidas al problema 9, en la Figura 3 se ilustra un caso en donde se establece la intersección del evento condicionado correctamente pero no se identifica de manera adecuada el dato de la marginal asociada al evento condicionante Figura 3. Ejemplo de respuesta no exitosa al problema 9 Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 104 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS 5.1.2. Problema 4 Para este problema, catalogado como de subtipo 1, el porcentaje de éxito descendió a 64%. En este caso, la parte complicada para los estudiantes era encontrar el valor de la intersección (el 390 de televisores no defectuosos fabricados por la máquina dos) pues la marginal de los televisores no defectuosos venía dada (el 689). Para dar solución a este problema algunos estudiantes organizan la información en una tabla de doble entrada igual a la mostrada en la Figura 1, sino que en este caso escribieron, en la esquina superior derecha a lado de la tabla de doble entrada, “la probabilidad es 390/689”. Así, la elaboración de esta tabla de doble entrada, permite inferir la identificación, por parte de los estudiantes, del gran total de televisores fabricados por las dos máquinas (700), del marginal del evento condicionante (689) y de las demás marginales (11, 305 y 395); los demás datos se tuvieron que hallar con base en operaciones aritméticas de diferencias. Otros estudiantes (ver Figura 4) restan del total (700) la marginal de los televisores no defectuosos (689) para establecer la marginal del número de televisores defectuosos, luego toman el resultado anterior (11) y le restan la frecuencia conjunta de televisores de la máquina uno que son defectuosos (6), para hallar el complemento de televisores defectuosos de la máquina dos (5); en la respuesta mostrada en la Figura 4, dado que no aparece explícitamente la operación “395 - 5 = 390”, se infiere la realización mental de la misma, para llegar finalmente al cociente que expresa la respuesta (390/689 = 0,56%). Figura 4. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 4, sin usar arreglo tabular En la respuesta de otros estudiantes se identifica la organización de la información en una especie de diagrama de árbol. El resultado de este tipo de respuesta se ilustra en la Figura 5. Figura 5. Ejemplo de respuesta exitosa al problema 4, utilizando un esquema de árbol Un estudiante establece la probabilidad pedida correctamente pero no escribe el procedimiento que él empleo para establecer los datos necesarios para dar la solución al problema. 5.1.3. Problema 2 Para este problema, catalogado como de subtipo 0, el porcentaje de éxito en la solución es de 58 %, el más bajo de los tres subtipos. Para encontrar la solución, se hacía necesario realizar más de un procedimiento aritmético, ya que se debía encontrar el complemento de la intersección y luego relacionar este dato con otros para dar respuesta a la pregunta planteada. Dentro de los procedimientos encontrados, se evidencia que algunos estudiantes restan de la marginal la intersección para establecer Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 105 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014 el complemento de la intersección; para ello manipulan el dato 120 que corresponde a la cantidad de reguladores que se compraron a la distribuidora Voltage y le restan 115 que corresponde a la cantidad de reguladores comprados a esta misma empresa pero que se encuentran en buen estado, obteniendo como resultado que 5 de los reguladores salieron con algún defecto. Posteriormente los estudiantes toman los 5 reguladores que fueron comprados a la distribuidora Voltage y que salieron defectuosos y los restan con la cantidad de reguladores defectuosos, luego establecen que 7 de los reguladores comprados a la distribuidora Electric Company, salieron con algún tipo de defecto. Este hecho se ilustra en la figura 6 que corresponde a una solución de uno de los estudiantes. Figura 6. Solución del problema de contexto de industria subtipo 0 En este subtipo y contexto los procedimientos de los estudiantes se reducen a la sola manipulación aritmética. Con respecto a los procedimientos no exitosos encontramos que los estudiantes suman la cantidad total de elementos del espacio muestral, los reguladores defectuosos, los no defectuosos y la cantidad de reguladores comprados en las dos distribuidoras, olvidan que este valor supera la cantidad de productos comprados. Este hecho se ilustra en la figura 7 que corresponde a una solución de uno de los estudiantes. Figura 7. Solución del problema de contexto industria subtipo 0 Otros estudiantes hacen uso incorrecto de los diagramas de Venn, aspecto que no les permite identificar las marginales y la intersección en el problema así como el evento condicionado y el evento condicionante, debido que, la ubicación del cardinal de cada una de las marginales y las intersecciones no coincidía con el conjunto total del espacio muestral. Este hecho se ilustra en la figura 8 que corresponde a una solución de uno de los estudiantes. Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 106 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS Figura 8. Solución no exitosa del problema de contexto industria subtipo Otros estudiantes establecen el porcentaje de los reguladores defectuosos con relación a la cantidad total de los reguladores comprados en las dos distribuidoras. Este procedimiento es considerado como incorrecto puesto que los estudiantes no identifican el evento condicionado y el evento condicionante. Por tal motivo concluye que 12 es el 4.8% de 250. 5.2. Análisis Contexto social Con respecto a este contexto las soluciones dadas por los estudiantes, muestran una influencia significativa de la estructura del problema; de nuevo se tiene que cuando no se relaciona ningún dato dado con la probabilidad pedida, este genera una complejidad más significativa para los estudiantes, que cuando si se presentan más datos. 5.3. Análisis Contexto Diagnóstico En este contexto las soluciones dadas por los estudiantes muestran que cuando el problema no relaciona ningún dato con la probabilidad pedida, presenta un grado de complejidad mayor para los estudiantes, en relación a los anteriores contextos vemos que el nivel de éxito disminuyo significativamente. 5.4. Análisis de la relación Contexto y Estructura A partir de lo presentado con anterioridad, se puede evidenciar que en los problemas de probabilidad condicional priman la variable estructura y contexto para determinar el grado de complejidad de cada uno de ellos. Al realizar un análisis general de los contextos de los problemas, se encuentra que el problema de mayor complejidad es del contexto diagnóstico y el de menor complejidad el de industria. Así mismo en relación a la estructura el problema de mayor complejidad es el del subtipo cero. La tabla siguiente y su respectivo grafico ilustran el éxito en relación a la solución de los problemas presentada por los estudiantes: Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 107 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014 Diagnostico Social Industria Promedio Sub 0 26 29 58 37.6 Sub 1 30 51 64 48.3 Sub 2 58 63 69 63.3 Promedio 38 47.6 63.6 Tabla 5. Soluciones exitosas según contexto y estructura 0 20 40 60 80 DIAGN OSTICO SOCIAL INDUST RIA PROMEDIO 38 47,666666 63,666666 ÉXITO EN LA SOLUCIÓN CONTEXTOS Figura 9. Éxito en la solución en cada contexto 0 20 40 60 80 Sub 0 Sub 1 Sub 2 Series1 37,66666 48,333333 63,33333 ÉXITO EN LA SOLUCIÓN ESTRUCTURA Figura 10. Éxito en la solución según estructura Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 108 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS Figura 11. Éxito en la solución según estructura y contexto Finalmente se encuentra la siguiente gráfica, en la que se relacionan todos los contextos con su respectiva estructura. Para efectos de lectura de la gráfica se presenta las respectivas conversiones que aparecen en los respectivos ejes, según el contexto (I: industria, S: Social, D: Diagnóstico) y según la estructura (2d: Dos datos, 1d: Un dato, 0d: Cero datos). 0% 20% 40% 60% 80% 2D-I 1D-I 0D - I 2D - S 1D - S 0D-S 2D-D 1D-D 0D - D CON ÉXITO 69% 64% 58% 63% 51% 29% 58% 30% 26% SIN ÉXITO 31% 36% 42% 37% 49% 61% 42% 70% 74% Porcentajes Contextos y estructuras Figura 12. Cantidad de estudiantes que dan solución con y sin éxito contextos y subtipos Como se puede inferir de la gráfica el contexto que generó menos complejidad para los estudiantes fue el de industria, allí se encuentra el mayor número de soluciones exitosas por parte de los estudiantes, seguido del contexto social y por último el contexto de diagnóstico que fue el más complejo para los estudiantes. Por otro lado, se observa cuando la pregunta relaciona los datos con la probabilidad pedida, gran parte de los estudiantes llegan a una solución correcta del problema, así mismo, la gráfica muestra que cuando el problema no relaciona los datos dados con la pregunta, el éxito disminuye de manera significativa en los tres contextos abordados. Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 109 Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Vol. 86 julio de 2014 6. Conclusiones Frente a la influencia de la estructura que presentan los problemas de probabilidad condicional de enunciado verbal, cuando los estudiantes los resuelven, se puede concluir que el subtipo que presenta mayor grado de complejidad para ellos es el que hemos denominado sub tipo 0. Este subtipo de problema no relaciona ninguno de los datos directamente con la pregunta, aspecto que conlleva a realizar un análisis más detallado de los datos y a buscar estrategias de solución. En las soluciones de estos problemas es relevante la organización de los datos en tablas de doble entrada, el uso de representaciones gráficas y la utilización de varias operaciones aritméticas para llegar a la solución. Por otra parte, los problemas del subtipo dos se consideran como los de menor complejidad. Ello se debe a que en las soluciones de los estudiantes se evidencia que se recurre a realizar menos operaciones aritméticas, suele no ser necesario la elaboración de tablas de doble entrada o de representaciones gráficas, pues los estudiantes pueden extraer directamente los datos que necesitan para encontrar la solución y responder la pregunta del problema. En relación al contexto, se llevó a cabo un análisis comparativo de los contextos en cada subtipo de problemas y se encontraba que siempre el número de estudiantes que resolvía de manera exitosa los problemas del contexto diagnóstico en relación a los demás contextos era menor. De ello se concluye que el contexto que presenta mayor complejidad para los estudiantes es el de diagnóstico, independientemente de la complejidad de la estructura. Así mismo, el contexto de menor complejidad llegó a ser el de industria, resultado un poco inesperado debido a que se creía inicialmente que el contexto social era el menos complejo. Respecto al éxito de los estudiantes al resolver problemas, con base en los análisis de resultados, se evidencia que el contexto jugó un papel importante en sus actuaciones; cuando ellos resuelven un problema en el contexto de industria el índice de éxito aumenta considerablemente y cuando los estudiantes resuelven un problema formulado en un contexto de diagnóstico el índice de éxito disminuye considerablemente, situación que se presenta en los tres subtipos. A pesar de que la estructura y el contexto tienen una incidencia de forma individual, también la presentan cuando se unen ambas variables y hace que esto incida en el actuar de los estudiantes. Estructura y contexto se correlacionan en el sentido de que un problema de diagnóstico subtipo cero, se constituye en el más complejo para los estudiantes, mientras que un problema de subtipo dos y del contexto de industria se considera el de menor complejidad para los estudiantes. Además, se puede destacar el hecho de que los problemas de probabilidad condicional no siempre están expresados en lenguajes avanzados de probabilidad, pero esto no quiere decir que no sean complejos. Así mismo, aunque existan problemas similares en su estructura, el contexto lleva a ciertas actuaciones a los estudiantes, de la misma manera, aunque los problemas se encuentren en el mismo contexto la estructura es factor determinante. Bibliografía Carles, M., Cerdán, F., Huerta, M.P., y Lonjedo, M.A., Edo P. (2009). Influencia de la estructura y del contexto en las dificultades de los problemas de probabilidad condicional de nivel N0. Un estudio exploratorio con estudiantes sin enseñanza previa. En M.J. González, M.T. González & J. Murillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XIII (pp. 173-185). Santander: SEIEM. Influencia de la estructura y el contexto en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de probabilidad condicional G, Mejía; L, Sierra; F. Fernández 110 Vol. 86 julio 2014 NÚMEROS Carles, M y Huerta, P (2007). El mundo de los problemas de probabilidad condicional en el contexto de test diagnóstico. p. 249-260. Font, V. (2007). Comprensión y contexto: una mirada desde la didáctica de las matemáticas. La gaceta de la RSME, Vol. 10.2. P. 419–434. Huerta, M y Lonjedo, M.A., (2009). Una clasificación de los problemas escolares de probabilidad condicional. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Valencia. Lonjedo, M. (2008). Análisis de los problemas ternarios de probabilidad condicional de enunciado verbal y de sus procesos de resolución (tesis doctoral).Universidad de Valencia. Mejía, G. y Sierra, Y. (2012). Influencia del contexto en el proceso de resolución de problemas de probabilidad condicional en estudiantes de grado once. Tesis de maestría, Universidad de Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia. Penalva, M. Roig, A. Río, M (2009). Experimento de enseñanza: tareas de aprendizaje de la geometría en la formación de maestros de educación infantil Dpto. Innovación y Formación Didáctica (Universidad de Alicante) . Valero, P. (2002). Consideraciones sobre el contexto y la educación matemática para la democracia. Quadrante, 11(1), 49-59. Yañez, G (2001). El álgebra, las tablas y los árboles en problemas de probabilidad condicional. En P. Gómez, y L. Rico. Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro, p. 355-371. Granada: España. Gladys Mejía Osorio. Licenciada en Matemáticas (Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia), Magister en Docencia de las Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia). Docente de Matemáticas Colegio Cafam Santa Lucia. Ponente en el XIII Encuentro de Matemática Educativa ASOCOLME 2012. Nacida en Palmira Valle. Residente en Bogotá. E-mail: gladys6m@hotmail.com. Lady Yamile Sierra Blanco. Licenciada en Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia), Magister en Docencia de las Matemáticas (Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia). Docente de Matemáticas Colegio Adventista del Norte. Ponente en el XIII Encuentro de Matemática Educativa ASOCOLME 2012. Nacida el 25 de Noviembre de 1983 en Chía. Residente en Bogotá.. E-mail: elimay83@hotmail.com. Felipe Fernández Hernández. Docente universitario desde 1983.Realizó estudios de Matemáticas y Maestría en Estadística. Es profesor de planta de la Universidad Pedagógica Nacional desde 2005. Trabajó en “una empresa docente” de la Universidad de los Andes desde 1991 hasta2003, en donde se desempeñó como profesor investigador y formador de profesores. Actualmente es coordinador de proyectos de investigación en la línea de educación estadística en la Universidad Pedagógica Nacional y catedrático de la Fundación Universitaria los Libertadores. E-mail: fjfernandez@pedagogica.edu.co
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