Source: https://es.scribd.com/doc/56201819/38/Modelos-de-razon-aritmetica
Timestamp: 2016-04-29 12:42:16+00:00

Document:
Modelos de razón aritmética for estructuras matematicas
Hay un quinto tipo de modelos en los que se abre un amplio campo de
aplicaciones a la estructura multiplicativa. Se trata de los modelos de
razón o comparación. En ellos hay que realizar la comparación de dos
conjuntos, o dos cantidades, en términos de “cuantas veces más”. El
caso más sencillo se da al comparar dos conjuntos disjuntos de objetos
discretos. Una técnica usual de comparación es establecer una corres-
pondencia de varios a uno que nos da el factor de conversión o compa-
Dentro de esta misma clase de modelos de razón podemos conside-
rar el que se fundamenta en la semejanza de triángulos y que puede
utilizarse con dos líneas numéricas convergentes. Si queremos realizar
el producto 3 x 4 tomamos sobre una de las rectas, por ejemplo, la ho-
rizontal, el valor 3. Sobre la otra señalamos el punto 1, que unimos me-
diante trazo con el 3 anterior. Sobre la segunda recta señalamos
también el punto 4 y trazamos por él una paralela a la que se trazó. El
punto de corte con la recta horizontal señala el resultado del producto.
El Teorema de Thales nos justifica este resultado.
Finalmente, nos queda una quinta familia de modelos: se trata de todos
aquellos casos en los que el producto aparece con carácter de función u
operador. De nuevo el caso más sencillo consiste en considerar cada
operación como una máquina-operador que transforma números-esta-
dos en números-estados. Así:
El aprendizaje de la multiplicación debe llevar a la construcción de la
tabla de multiplicar. Para ello se va trabajando sistemáticamente con to-
dos los productos que tienen el mismo multiplicador, comenzando a
partir del 2: desde 2 x 1 hasta 2 x 9. Al principio no se utiliza el símbolo
x o el ., sino el término “veces”, que progresivamente se irá sustituyen-
do por el símbolo. Sea cual sea el modelo elegido para elaborar el con-
cepto de producto sí conviene utilizar la suma reiterada como
algoritmo adecuado para alcanzar el resultado. En este sentido se va
construyendo una tabla con todos los resultados obtenidos con un mis-
mo multiplicador al variar el multiplicando. Así se construye la tabla
A partir de la tabla del 5 conviene ir comprobando que el producto
es conmutativo, es decir, se debe verificar en cada caso que n veces k
da el mismo resultado que k veces n. Conforme se avanza en la tabla
este resultado va teniendo mayor utilidad. Se incorporan a partir de
aquí los productos con multiplicando 0 y 1, lo cual justifica posterior-
mente, junto con la conmutatividad, que se construyan las tablas del 0
y del 1, para las que el niño no encuentra dificultad.
Se debe dedicar un curso completo a la construcción de la tabla de
multiplicar y a su empleo en la resolución de todo tipo de problemas.
No debe importar que los datos numéricos sean pequeños, lo realmen-
te importante es la comprensión de todas las relaciones que pueden ex-
presarse mediante la estructura multiplicativa y la variedad de
significados –variables semánticas– con las que dichas relaciones pue-
den expresarse. Al igual que con la suma y resta, no existen combina-
ciones más sencillas para el producto, salvo la regla general que
aumenta la dificultad conforme aumentan los factores. Por razones ob-
vias resultan más fáciles de memorizar las tablas de 5 y 10.
La tabla de multiplicar, una vez construida, se olvida. Por ello al
curso siguiente conviene recordarle al niño de nuevo cuáles son los sig-
nificados más usuales del producto y cómo se construye la tabla. A
partir de ahí debe irse exigiendo cierto grado de memorización en el
que se combinen la fijación de algunos datos, y el uso de la estructura
interna de relaciones entre la totalidad de ellos. Carece de todo sentido
el exigir una memorización mecánica total de la tabla. El énfasis no hay
que ponerlo en la repetición sino en la comprensión. Aún así, conviene
que el alumno recuerde el mayor número posible de resultados o al
menos sepa cómo obtenerlos.
El aprendizaje de la división debe ir en simultáneo con el de la multi-
plicación. Su mayor dificultad se encuentra en el doble papel que pue-
de representar el divisor en los diferentes modelos: número de partes
en las que se divide la cantidad inicial o bien cantidad fija que sirve para
ir formando las diferentes partes en las que se divide la cantidad total.
Hay que decir que, a diferencia del aprendizaje de su algoritmo, los
casos simples de división resultan sencillos y los diferentes modelos lle-
gan a manejarse con soltura. La dificultad real de la división aparece en
la mecanización de su algoritmo y en el paso a conceptos más elabora-
dos como los de fracción, razón y número racional, que el alumno estu-
diará más adelante.
La tabla de multiplicar es más utilizada que la de la suma y a veces el
niño ha de recurrir a ella si no la ha memorizado suficientemente. De
forma análoga a la tabla de la suma vamos a elaborar la tabla de multi-
plicar.
Se hace una tabla de doble entrada colocando en la primera fila y en
la primera columna los números de 1 a 9 ordenadamente (prescindimos
del número 0 pues creemos que de todos es conocido que el producto
de un número por 0 siempre es 0). Se rellena toda la tabla de forma or-
denada bien por filas o bien por columnas, siguiendo el siguiente crite-
rio: al continuar una fila (o columna) se escribe el mismo número que
aparece en su cabecera y se continuará contando (o añadiendo) a “sal-
tos” iguales a los que indique dicho número, por ejemplo, si tratamos
de rellenar la fila encabezada por dos escribimos dos en el cuadro si-
guiente y los restantes los rellenamos contando de dos en dos (o suman-
do dos cada vez).
Para conocer el producto de dos números menores que 10 se busca-
rá el número colocado en el punto de encuentro de la fila y la columna
encabezadas por los dos factores que componen el producto. El produc-
to de números mayores que 10 se regirá además por las leyes del algo-
La tabla permite conocer el cociente entero de dos números cuando
un de ellos es divisor del otro. Hay que buscar el dividendo en el inte-
rior de la tabla de manera que el número que encabeza la fila coincida
con el divisor, el cociente es el número que encabeza la columna.
En los últimos años, ha surgido un gran interés en realizar análisis teó-
ricos de la estructura multiplicativa y en investigar la adquisición de
los conceptos y relaciones de tipo multiplicativo por parte de los esco-
lares de Enseñanza Primaria.
Tal como se utiliza en la investigación educativa el concepto de es-
tructura multiplicativa no es un concepto indefinido, aunque no siem-
pre se utiliza con el mismo significado. El autor que ha utilizado el
concepto de estructura multiplicativa con un significado más extenso
ha sido Vergnaud (1983, 1988).
Como resultado de análisis teóricos Vergnaud define la noción de
Un campo conceptual es un espacio de problemas o de situa-
ciones-problema en los que el tratamiento implica conceptos
y procedimientos de varios tipos en estrecha conexión.
(Verg-
naud, 1981).
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Centra su interés fundamentalmente en dos campos conceptuales “la
estructura aditiva” y “la estructura multiplicativa” “considerados
como conjunto de problemas que comportan operaciones aritméticas y
nociones de tipo aditivo (tales como adición, sustracción, diferencia, in-
tervalo, traslación) o de tipo multiplicativo (tales como multiplicación,
división, fracción, razón, semejanza)” (Vergnaud, 1983).
La estructura multiplicativa se basa en la aditiva, pero hay aspectos
intrínsecos de la estructura multiplicativa no reductibles a aspectos adi-
tivos y estos son los propios de la estructura multiplicativa. Caracteriza
el campo conceptual de la estructura multiplicativa como un conjunto
de situaciones problema cuya resolución requiere la multiplicación o la
división y las clasifica en tres categorías: proporción simple, producto
de medidas, y proporción múltiple. El desarrollo de la comprensión de
este campo conceptual abarcaría, según él, desde los 7 a los 18 años.
El análisis que hace Vergnaud (1983) de los problemas que conllevan
operaciones de multiplicación y división muestra que los problemas
“simples” de este tipo se sitúan casi siempre en el marco de dos grandes
isomorfismo de medida
producto de medida
La otra gran estructura que considera Vergnaud la
proporción múltiple
refiere a problemas de proporcionalidad en los que intervienen al me-
nos tres magnitudes y que son por tanto problemas compuestos en los
que para su resolución hay que emplear más de una operación. En este
trabajo no analizamos este último tipo de problemas.
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