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Timestamp: 2019-03-21 12:22:07+00:00

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Descripcion y Analisis de relieve
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Capítulo	4
Descripción	y	análisis	del	relieve
por	Angel	Manuel	Felicísimo,	biólogo
http://www.etsimo.uniovi.es/~feli/
Los	modelos	digitales	del	terreno	contienen	información	de	dos	tipos	diferentes:
•	información	explícita,	recogida	en	los	datos	concretos	del	atributo	del	modelo,	como	la	altitud	en	el
caso	del	MDE
•	información	implícita,	relativa	a	las	relaciones	espaciales	entre	los	datos,	como	la	distancia	o	la
Ambos	tipos	de	información	son	complementarios	y	permiten	obtener	información	sobre	la	morfología
del	relieve	de	forma	objetiva	y	exhaustiva.	La	objetividad	se	deriva	del	carácter	digital	de	los	datos	y	de
los	procesos	de	análisis,	configurados	por	algoritmos.	La	exhaustividad	se	refiere	a	que	estos	procesos
son	aplicables	a	la	totalidad	del	área	analizada	y	no	sólo	a	una	muestra	de	la	misma.
La	medida	y	caracterización	de	las	formas	de	terreno	ha	merecido	atención	desde	hace	más	de	100	años
(Cayley,	1859).	Como	podía	esperarse,	el	desarrollo	de	las	técnicas	de	medida	se	ha	beneficiado	de	las
técnicas	de	almacenamiento	y	representación	de	la	información.	La	referencia	a	esta	disciplina	fue
acuñado	por	Chorley	et	al.	(1957)	bajo	el	término	geomorfometría.
Posteriormente,	Evans	(1972)	introdujo	la	distinción	entre	la	geomorfometría	específica	—
specific	geomorphometry—	de	la	geomorfometría	general	—	general	geomorphometry—.	La	primera
trata	de	la	distinción	entre	elementos	geomorfológicos	específicos	y	la	segunda	a	la	medida	y	análisis	de
la	características	morfológicas	aplicables	a	cualquier	superficie.
Bajo	esta	concepción	la	caracterización	de	las	formas	del	relieve	puede	realizarse	de	dos	formas:
•	mediante	descriptores	globales,	que	generan	información	estadística	sintética	no	representable
espacialmente	como,	por	ejemplo,	medidas	de	dispersión,	histogramas,	correlogramas,	etc.	lo	que
correspondería	con	la	geomorfometría	general
•	mediante	descriptores	locales,	que	generan	información	de	naturaleza	espacial	y	son	representables,	a
su	vez,	como	modelos	digitales	del	terreno,	lo	que	correspondería	con	la	geomorfometría	específica
Ambos	tipos	de	descriptores	pueden	utilizarse	conjuntamente	para	analizar	y	caracterizar	el	relieve	y	sus
componentes.	Dado	que	los	procesos	geológicos	externos	dejan	una	huella	morfológica	sobre	las	áreas
afectadas,	el	MDE	y	sus	modelos	derivados	pueden	ser	un	instrumento	de	análisis	objetivo	de	potencial
Las	variables	topográficas
La	descripción	del	relieve	a	partir	del	MDE	se	realiza	mediante	un	conjunto	de	medidas	que	definen
características	geométricas	del	terreno	a	diferentes	escalas.	Este	proceso	se	conoce	como
parametrización	del	relieve	:	generación	un	conjunto	de	medidas	que	describen	las	formas	topográficas
permitiendo	distinguir	diferentes	tipos	de	relieve	o,	en	resumen,	la	descripción	numérica	de	formas
topográficas.	Los	parámetros	pueden	ser	descriptores	globales	o	locales	pero	los	primeros	informan
únicamente	sobre	el	conjunto	del	MDE	por	lo	que	son	más	útiles	para	la	comparación	de	modelos	de
diferentes	zonas.	Los	descriptores	locales	aportan	un	conjunto	de	datos	que	puede	ser	analizado	con	el
mismo	nivel	de	resolución	que	el	MDE	original.
La	parametrización	del	relieve	debe	cumplir	algunas	condiciones	para	ser	útil:
•	los	parámetros	deben	tener	relación	con	los	procesos	geomorfológicos	que	modelan	el	relieve
•	el	conjunto	de	parámetros	no	debe	proporcionar	información	redundante,	es	decir,	deben	medir
características	distintas
•	la	parametrización	debe	incluir	información	sobre	la	influencia	de	la	escala	ya	que	existen	parámetros
cuya	magnitud	depende	de	la	resolución	del	muestreo	y,	por	tanto,	de	la	escala	de	trabajo
Existen	varias	propuestas	sobre	las	variables	que	deben	incluirse	en	la	parametrización	del	relieve.	Entre
ellas,	la	menos	discutida	es	la	pendiente,	aunque	también	son	usadas	con	frecuencia	en	geomorfología	la
orientación	y	la	curvatura	(Weibel	y	Heller,	1991:283).	Franklin	y	Peddle	(1987:294)	mencionan	cinco
parámetros	básicos	en	este	contexto:	elevación,	pendiente,	orientación,	convexidad	y	relieve.	El	relieve,
definido	en	este	caso	como	la	variabilidad	de	la	superficie,	es	lo	que	otros	autores	denominan	rugosidad.
En	Mark	(1975)	puede	encontrarse	una	revisión	del	estado	del	tema	en	los	momentos	previos	al
tratamiento	informático,	donde	se	analizan	las	relaciones	entre	diversos	parámetros	mediante	análisis	de
correlación.
Todas	estas	variables	pueden	ser	representadas	como	modelos	digitales	derivados	con	la	misma
resolución	que	el	MDE	original.	Como	veremos,	esta	circunstancia	permitirá	posteriormente	el	análisis
multivariable	del	relieve,	teniendo	en	cuenta	simultáneamente	la	totalidad	de	los	descriptores
topográficos.
El	gradiente	topográfico
En	un	modelo	digital	de	elevaciones,	la	altitud	en	el	entorno	inmediato	de	un	punto	puede	describirse	de
forma	aproximada	mediante	un	plano	de	ajuste,	cuya	expresión	es:	Se	deduce	directamente	que	los
representan	las	derivadas	primeras	de	la
altitud	con	respecto	a	los	ejes	X	e	Y:
Los	coeficientes	a	10	y	a	01	representan	la	tasa	de	cambio	de	la	altitud	respecto	a	los	ejes	X	—
filas—	e	Y	—columnas—	respectivamente,	es	decir,	los	componentes	de	la	pendiente	sobre	los	ejes	X,
El	par	de	valores	(	a	10,	a	01)	se	denomina	gradiente	de	z	en	el	punto	(	x,y)	y	ha	sido	mencionado
porque	va	a	mostrarse	útil	en	el	cálculo	de	los	modelos	digitales	derivados.
Modelo	digital	de	elevaciones	y	los	componentes	del	gradiente.	La	figura	superior	derecha
muestra	la	componente	direccional	en	el	sentido	E-O	y	la	inferior	la	correspondiente	al	sentido	SN.	La	zona	es	el	valle	de	Degaña,	en	la	montaña	suroccidental	de	Asturias.
En	las	aplicaciones	sobre	MDE	matriciales,	las	estimaciones	de	los	coeficientes	del	gradiente	se	realizan
mediante	operadores	que	se	aplican	sobre	un	entorno	definido	del	punto	problema.	Para	un	punto
situado	en	la	fila	i,	columna	j,	donde	d	es	la	distancia	entre	filas	y	columnas,	los	valores
La	opción	más	simple utiliza	los	4	vecinos	más	próximos: Sobre	el	cálculo	empírico	del	gradiente	en	los	MDE.	Jones	et	al. Para	reducir	el	error	derivado	de	la	posible	discretización	de	las	distribuciones	del	gradiente.	El	cálculo	se	realiza	en este	caso	mediante	operadores	de	dimensión	[3x3].	con	lo	que	se	pierde	el carácter	continuo	de	la	variable.	se	ha	construido	el	MDE	a	partir	de	contornos	sin generalizar	y	el	método	de	interpolación	ha	tratado	como	datos	independientes	los	puntos	de	los contornos Simulación	donde	se	aprecia	el	peso	excesivo	de	las	curvas	de	nivel	en	los	métodos	de	construcción del	MDE	y	que	se	refleja	en	la	aparición	de	"terrazas"	claramente	visibles	en	las	zonas	de	menor pendiente.	El	análisis	de	los componentes	del	gradiente	revela	frecuentemente	la	discontinuidad	de	sus	distribuciones.	denominados	operadores	de	Prewit	y	de	Sobel (James. Esta	circunstancia	puede	deberse	a	dos	causas: •	si	el	aterrazamiento	se	muestra	solamente	en	las	zonas	de	baja	pendiente.	En	zonas	críticas	debe	cuidarse	incluso	el	truncamiento	de	las	altitudes a	números	enteros •	si	el	aterrazamiento	en	un	fenómeno	global.	(1988:674)	destacan	la	relación existente	entre	los	valores	del	gradiente	y	la	precisión	de	los	datos	de	altitud.	puede	deberse	a	un agrupamiento	en	clases	de	los	valores	del	MDE—por	ejemplo.	El	operador	de	Prewit	coincide	con	el	método	propuesto	por	Sharpnack	y	Akin (1988:248)	y	utilizado	en	el	sistema	de	información	geográfica	Erdas™ (Erdas.	1988:45).	con	cinturones	planos	separados	por	otros	de	pendiente	más	elevada.	Jones	et	al. (1988:674)	recomiendan	el	uso	de	los	8	datos	más	próximos	al	punto	problema.	Este	error	se manifiesta	posteriormente	en	el	"aterrazamiento"	de	algunos	modelos	derivados:	las	pendientes	en	las laderas	se	muestran	en	escalones.	1991:15)	y	responde	a	las	expresiones	siguientes: .	de	10	m—.del	gradiente	se	calculan	a	partir	de	los	cambios	de	altitud	entre	puntos	vecinos.
Una	de	ellas	es	copiar	el	resultado del	gradiente	de	la	fila	o	columna	vecina.	Si	se	trata	de	la	primera	fila o	columna	de	un	MDE	se	utilizan	las	siguientes	expresiones	(Dozier	y	Strahler. .	la	segunda	es	añadir	una	fila	o	columna	temporales	y	duplicar los	valores	de	altitud	de	las	vecinas	para	calcular	posteriormente	el	gradiente.El	operador	de	Sobel	es	el	utilizado	en	Arc/Info™	y	refuerza	el	peso	de	los	datos	más	próximos	al	punto problema: Lógicamente.	1983:963): Si	se	trata	de	la	última	fila	o	columna	de	un	total	de	n:	Algunos	programas	no	usan	estos	algoritmos para	los	valores	extremos	sino	que	optan	por	unas	vías	más	simples.	en	los	bordes	del	modelo	se	necesitan	tratamientos	especiales.
El	original	se	construyó	con	Erdas.	Idrisi	(Eastman. Los	métodos	más	habituales	se	clasifican	en	función	del	número	de	puntos	que	intervienen	en	el cálculo: Con	dos	puntos: •	pendiente	máxima	al	vecino	más	próximo.	Ap.	Wood.	para	lo	cual	se	calcula	la	pendiente	local	entre	en	punto problema	y	sus	vecinos.La	pendiente La	pendiente	en	un	punto	del	terreno	se	define	como	el	ángulo	existente	entre	el	vector	normal	a	la superficie	en	ese	punto	y	la	vertical.	La	expresión	anterior	es	la	más	utilizada	en	la	práctica	en	el tratamiento	de	los	modelos	matriciales	(Papo	y	Gelbman.1)	que	la	pendiente	γ	puede	calcularse	a	partir	de	los	componentes	del	gradiente	mediante	la expresión: Dada	la	expresión	del	gradiente.	1992:181)	utiliza	este	método	limitado	a	los	4 vecinos	más	próximos. Modelo	digital	de	pendientes	del	valle	de	Degaña.2. 4.	1996.	Es	demostrable	(Felicísimo.	no	da	una	medida	de	la	orientación	y	propone	los valores	de	pendiente	más	elevados.	1994:102.	1987a:604.	Erdas.	es	el	algoritmo	más	rápido.	el	valor	de	γ	refleja	la	pendiente	media	en	el	entorno	utilizado	para calcular	los	componentes	a	10	y	a	01.	Las	zonas	planas	se	representan	en	tonos oscuros	y	las	más	inclinadas	en	tonos	claros.	MicroDEM	lo	utiliza	con	los	8 . 1991:15)	pero	para	el	cálculo	de	la	pendiente	existe	un	buen	número	de	alternativas	cuyas	ventajas	y problemas	deben	evaluarse	en	cada	caso	y	para	cada	aplicación.	Franklin.	1984:698.
Los	algoritmos	basados	en	la	pendiente	local	tienen	a	su	favor	que	no introducen	suavización	en	los	datos	como	los	basados	en	4	y	8	puntos.	la	altitud	del	punto	problema	no	interviene	en	los	datos	por	lo	que la	información	del	mismo	se	desaprovecha.	sin	embargo.vecinos	ponderando	la	distancia	en	diagonal	—la	luz	de	malla	por	la	raíz	cuadrada	de	2—.	Los	métodos	basados	en	operadores	de Prewitt	y	Sobel	son	menos	sensibles	al	error	en	el	MDE	ya	que.	que	pondera	más	los	4	vecinos	más	próximos	que	los	situados en	las	diagonales.	La formulación	sería	equivalente	a	la	expresión	general. •	Horn	(1981)	usa	el	operador	de	Sobel.	En	estos	últimos.	las	posibles	desviaciones	individuales	pierden	peso	y	pueden	compensarse	parcialmente	entre ellas.	al	intervenir	un	número	elevado	de puntos. En	este	último	caso: Con	tres	puntos: •	O’Neill	y	Mark	(1987)	proponen	el	uso	del	punto	problema	y	de	los	vecinos	Norte	y	Este	para	definir un	plano. .	La	pendiente	de	éste	se	asigna	al	punto	problema.	donde	los	componentes	del	gradiente	son	locales: Con	cuatro	puntos: •	utiliza	los	valores	del	gradiente	calculados	con	los	4	vecinos	más	próximos. Como	en	el	caso	de	la	pendiente.	El	uso	de	sólo	4	vecinos	no	tiene justificación	aparente	y	parece	más	adecuada	la	búsqueda	de	pendiente	máxima	con	la	totalidad	de vecinos	con	control	de	la	distancia	en	el	caso	de	las	diagonales.	el	valor	de	orientación	se	estima	directamente	a	partir	de	los	valores del	gradiente: La	discusión	sobre	las	formas	de	valorar	la	orientación	son	similares	a	las	planteadas	con	la	pendiente.	Es	el	método	usado	en	Erdas™.	con	lo	que los	ocho	vecinos	tienen	el	mismo	peso	en	el	cálculo	del	gradiente.	Es	el	método	usado	en	Arc/Info™	y	el	punto	problema	tampoco	interviene	en	el cálculo	El	uso	de	cualquiera	de	los	métodos	anteriores	debe	valorarse	en	función	del	tipo	de	aplicación	a desarrollar	posteriormente.	lo	que	equivale	a	estimar la	pendiente	del	plano	de	ajuste	a	estos	puntos.	El	punto	problema	no	interviene	en	el	cálculo.	La	selección	de	los	vecinos	mencionados	es arbitraria	y	cambiarlos	puede	modificar	el	resultado	tanto	de	la	pendiente	como	de	la	orientación.	El punto	problema	no	tiene	influencia	en	la	pendiente. La	orientación La	orientación	en	un	punto	puede	definirse	como	el	ángulo	existente	entre	el	vector	que	señala	el	Norte y	la	proyección	sobre	el	plano	horizontal	del	vector	normal	a	la	superficie	en	ese	punto. Con	ocho	puntos: •	Sharpnack	y	Akin	(1988:248)	proponen	el	operador	de	Prewitt	para	estimar	la	pendiente.
La	orientación	es	una	variable	de distribución	circular	que	se	ha	codificado	en	tonos	de	gris	desde	el	Norte	(negro). .Modelo	digital	de	orientaciones	del	valle	de	Degaña.	aclarándose progresivamente	en	sentido	horario. Las	orientaciones	al	Sur	están	representadas	en	tonos	gris-medio.
puede	definirse	como	la	tasa	de	cambio	en	la	pendiente	y	depende.	por tanto.	de	las	derivadas	de	segundo	grado	de	la	altitud	—es	decir.	de	los	cambios	de	pendiente	en	el entorno	del	punto—. Para	el	cálculo	de	la	derivadas	de	segundo	grado	no	es	posible	utilizar	la	aproximación	simple	empleada en	la	estimación	de	la	pendiente	y	orientación.	basada	en	un	plano	de	ajuste.La	curvatura La	curvatura	en	un	punto.	1979:29):	a	00=(2 (z2+z4+z6+z8)	-	(z1+z3+z7+z9)	+	5z5)	/	9 a	10=(z3+z6+z9-z1-z4-z7)	/	6d a	01	=(z1+z2+z3-z7-z8-z9)	/	6d a	11=(z3+z7-z1-z9)	/	4d2 .	η	.	los	coeficientes	de	la ecuación	cuadrática	se	calculan	mediante	las	expresiones	siguientes	(Evans.	En	este	caso	se	utiliza	una superficie	de	ajuste	de	segundo	grado	de	acuerdo	con	la	expresión	general:	Para	simplificar. representaremos	el	punto	problema	y	sus	vecinos	con	la	notación	siguiente:	z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 En	el	caso	concreto	de	la	ventana	de	3%	3	centrada	en	el	punto	problema.
por	tanto. . mediante	la	suma	de	las	derivadas	parciales	de	segundo	orden	con	respecto	a	los	ejes	X	e	Y.	La	primera	es	la curvatura	media.	las	segundas: y. Las	derivadas	primeras	de	la	expresión	general	son.	Wood (1996.	4.	El	signo	negativo	se	debe	a	una	convención	que	asume	curvatura	negativa	cuando	existe	una concavidad	y	curvatura	positiva	en	caso	de	formas	convexas.	normal	a	la	anterior.	sustituyendo	obtenemos	que La	curvatura	media	puede	ser	descompuesta	en	dos	componentes	ortogonales:	la	curvatura	longitudinal ηL	—	longitudinal	convexity—	que	mide	la	concavidad/convexidad	en	el	sentido	de	la	máxima pendiente.2)	plantea	las	siguientes	expresiones	para	su	cálculo:	Puede	observarse	que	sumando	ηL y	ηT	se	obtiene	la	misma	expresión	que	para	la	curvatura	general.	donde	se	mide	la	concavidad/convexidad	general	de	la	forma	definida	por	el	punto problema	y	sus	8	vecinos.	pero	presenta	errores	de	pequeña	magnitud	para	pendientes bajas	y	medias.	este	método	de	estimación	no	es	completamente	exacto.	ya	que	la	curvatura depende	de	expresiones	más	complejas.	Ap.	y	la	curvatura	transversal	ηT	—	cross-sectional	convexity—.	η.	Una	expresión	simple	para	el	cálculo	ha	sido	propuesta	por	Papo	(1984:697).2.a	20=((z1+z3+z4+z	6+z7+z9)	/	6d2)	-	((z2+z5+z8)	/	3d2)	a	02=((z1+z2+z3+z7+z8+z9)	/	6d2)	((z4+z5+z6)/	3d2	)	Se	ha	planteado	la	medida	de	la	curvatura	de	tres	formas	distintas.	de	la	forma siguiente: Según	el	mismo	autor. .
Para	prevenir	esta circunstancia. .	Young	(1978)	propuso	unas	expresiones	basadas	en	los	otros	coeficientes	y	que	permiten conocer	los	valores	de	curvatura	máxima	y	mínima	independientemente	de	su	dirección: Las	expresiones	anteriores	serán	las	más	utilizadas	para	el	reconocimiento	de	elementos	morfológicos.	Las	zonas	cóncavas	se	representan	en	blanco	y las	convexas	en	tonos	oscuros El	problema	de	las	expresiones	de	curvatura	basadas	en	las	líneas	de	pendiente	es	que	pueden	aparecer casos	donde	los	coeficientes	a	10	y	a	01	son	nulos	aunque	los	otros	no	lo	sean.Modelo	digital	de	curvatura	del	valle	de	Degaña.
en	el	caso	de	terrenos	rugosos.	De acuerdo	con	la	notación	utilizada	anteriormente: para	la	pendiente (z1-z5)/1.	dado	un	punto	del	terreno.	por	ejemplo.	Para	ello	se	calcula	la	pendiente	local y	se	le	asigna	la	orientación	que	le	corresponda	φ	i	.	predeterminada	por	la	posición	del	punto.	la	suma	vectorial	será	pequeña	y	la	dispersión	elevada.	además.	Parece	deseable.	no	existen	criterios uniformes	para	llevar	a	cabo	la	medida	de	la	rugosidad.	1972)	propone	que. De	acuerdo	con	Franklin	(1987a:605).	la	orientación	y	la	curvatura.	cierta independencia	de	la	escala	del	análisis.	Evans	(1972:27-33)	realiza	una	revisión	de	métodos.	Si	el	terreno	es uniforme	la	suma	vectorial	será	elevada	y	la	dispersión	baja.	las	estimaciones	de	la	rugosidad	deben	ser	independientes	de otros	parámetros	del	relieve	para	reducir	la	información	redundante.	se	calculen	los vectores	unitarios	perpendiculares	a	la	superficie	en	él	y	en	los	puntos	de	su	entorno.	Diversos	autores	han	aplicado	métodos significativamente	distintos	para	su	evaluación.	Hobson	(1967. entre	los	cuales	menciona	desde	rangos	de	altitud	hasta	la	desviación	estándar	de	la	elevación	en entornos	limitados.	lo	cual	elimina	algunas	aproximaciones	excesivamente	simples como	las	que	usan	el	rango	de	altitud.414d (z2-z5)/d (z3-z5)/1.	Balce	(1987:324)	utiliza	la	pendiente media	como	estimador	de	un	factor	de	rugosidad.La	rugosidad Al	contrario	de	lo	que	ocurre	con	la	pendiente.414d . Una	variante	del	método	de	Hobson	es	la	siguiente: •	se	calculan	los	vectores	normales	a	los	segmentos	que	conectan	al	punto	problema	y	sus	vecinos	más próximos.	con cambios	en	orientaciones	y	pendientes.
414d y	para	la	orientación 315º 0º 45º 270º … 90º 225º 180º 135º •	a	partir	de	los	vectores	resultantes.	φ).	como	el	complementario	del	módulo	medio .	definidos	por	sus	valores	(γ.	R	: •	se	calcula	la	varianza	esférica.	se	calculan	las	coordenadas rectangulares	del	vector	unitario	normal	a	cada	uno	de	ellos.414d (z8-z5)/d (z9-z5)/1.	la dispersión	de	los	vectores	unitarios. 1989:312): •	se	calcula	el	módulo	del	vector	suma	de	los	vectores	unitarios.(z4-z5)/d … (z6-z5)/d (z7-z5)/1. 1989:286): La	varianza	esférica	tendrá	el	valor	cero	para	una	rugosidad	nula	—alineamiento	completo	de	los vectores	unitarios—y	tenderá	a	la	unidad	según	se	incrementa	la	rugosidad	y.	que	es	el	módulo	del	vector	suma	normalizado	al	dividirlo	por	el	número	de	vectores	unitarios	(Band. .	consecuentemente.	Las	expresiones	son	(Upton	y	Fingleton.	.
Esta	normalización	de	la	escala	de	medida permite	analizar	adecuadamente	las	relaciones	entre	la	rugosidad	y	la	resolución	del	modelo.	etc.	los	resultados	son	comparables	para	cualquier	tamaño	de	ventana que	se	use:	8	vecinos	en	una	de	3x3.	deterministas	o estocásticos.	Al basarse	en	el	módulo	normalizado. .	24	en	una	de	5x5.	Las	zonas	rugosas	se	representan	en	tonos	claros	y	las	lisas	en	tonos	oscuros	Este método	de	cálculo	sobre	las	pendientes	locales	basado	en	la	varianza	esférica	de	los	vectores	unitarios normales	tiene	la	ventaja	de	ofrecer	estimaciones	de	la	rugosidad	independientes	de	la	escala.	Para	el reconocimiento	o	clasificación	de	estas	formas	es	posible	utilizar	métodos	diversos. Caracterización	morfométrica Algunas	formas	del	relieve	poseen	características	específicas	que	permiten	que	sean	reconocidas mediante	los	valores	de	las	variables	topográficas	mencionadas	en	los	apartados	anteriores.Modelo	digital	de	rugosidad	del	valle	de	Degaña.	construido	a	partir	de	la	desviación	estándar	de la	pendiente.
1996.	transversal	ηT. La	descripción	genérica	de	los	elementos	básicos	es	la	siguiente:	Elemento Descripción pico convexidad	en	todas	direcciones cresta convexidad	en	una	dirección	ortogonal	a una	línea	sin	curvatura collado convexidad	en	una	dirección	ortogonal	a una	concavidad ladera sin	curvatura	y	con	pendiente	no	nula planicie sin	curvatura	y	con	pendiente	nula canal concavidad	en	una	dirección	ortogonal	a una	línea	sin	curvatura pozo concavidad	en	todas	direcciones En	principio.	Ap.	La	tabla	de	reconocimiento	de	los	elementos	sería	la	siguiente:	Elemento .	máxima	ηMAX	y mínima	ηMIN.	las	definiciones	anteriores	son	suficientes	para	caracterizar	los	elementos	morfológicos básicos	en	función	de	pendiente	γ	y	curvaturas	longitudinal	ηL.	asimismo.	podrían	diferenciarse	algunos	de ellos	en	dos	o	más	clases	como	veremos	posteriormente.Los	elementos	del	relieve Los	elementos	más	destacables	del	relieve	han	sido	tradicionalmente	los	siguientes:	picos.	A	estos	elementos	morfológicos	básicos deberían	ser	añadidos	otros	como.	canales	y	pozos	(Wood.	crestas.	por	ejemplo.	5).	laderas. collados.	planicies.
γ hL hT hMAX .
hMIN pico 0 + +	+ + + + cresta 0 + 0 + + 0 + 0 + collado 0 + + + - .
+ + ladera + 0 0 planicie 0 0 0 canal 0 0 + 0 pozo 0 + - .
es	decir. permitiendo	una	relajación	de	la	regla	de	curvatura	nula.	Una	solución	a	este	planteamiento	consiste	en	generalizar	el	MDE mediante	filtrados	sucesivos	y	aplicar	las	reglas	de	decisión	a	cada	nivel	de	generalización. Un	método	alternativo	posible	es	el	uso	de	las	técnicas	utilizadas	en	teledetección	para	la	clasificación de	las	imágenes	digitales.	se	plantean	como	condiciones establecidas	partiendo	de	un	conocimiento	de	las	formas	topográficas	que	se	desea	reconocer. Por	ejemplo.	El	objetivo	de	estas	técnicas	es	realizar	el	agrupamiento	de	los	elementos	en grupos	o	clases	con	propiedades	significativamente	diferentes	entre	sí.	5.	una	clasificación	basada	en	reglas	debe incluir	criterios	multiescala.	medio	o	alto.	El	segundo problema	es	evitar	la	arbitrariedad	en	la	definición	de	las	tolerancias	o	relajación	de	las	reglas	de decisión.	definir	laderas	cóncavas	o	convexas	en	función del	valor	de	la	curvatura	longitudinal. Los	métodos	de	clasificación Las	reglas	planteadas	en	el	apartado	anterior	lo	han	sido	a	priori.3).	Por	este	motivo.	o.Los	criterios	mencionados	en	la	tabla	pueden	ser	utilizados	para	una	clasificación	de	los	elementos	del relieve	en	un	MDE.	deberán	introducirse	reglas	de tolerancia	para	los	parámetros	que	se	anulan	en	alguna	condición.	Ap.	en	otro	caso	c	…	etc.	podría	establecerse	una	cadena	de	reglas complementaria	para	definir	subclases	a	partir	del	valor	de	la	pendiente:	bajo.	Las	reglas son	deterministas	y	pueden	plantearse	como	un	árbol	dicotómico	donde	se	comprueba	el	cumplimiento de	las	condiciones:	si	condición	a	es	cierta	entonces	b.	es decir.	La	aplicación	de	este	concepto	a .	cabe	considerar	la	influencia	de	la	escala	de	trabajo	en	los	resultados	de	la caracterización.	Sin	embargo.	donde	existen	dos	perfiles	perpendiculares	respectivamente	cóncavo y	convexo.	la	caracterización	a	una	única	escala	no	es suficiente	para	describir	la	forma	topográfica. Uno	de	los	problemas	planteados	por	las	decisiones	basadas	en	reglas	es	la	falta	de	exhaustividad. En	este	punto. El	tipo	de	elemento	puede	variar	con	la	escala:	un	canal	a	gran	resolución	puede	formar	parte	de	una ladera	a	resolución	media	y	de	una	cresta	a	una	escala	de	análisis	global.	si	una	condición	para	definir	la	planicie	es	que	la	pendiente	sea cero	estas	zonas	quedarán	infravaloradas	ya	que	raramente	esta variable	tomará	exactamente	ese	valor	en	la	realidad.	Como	indica	Wood	(1996.	En	efecto.	que	todos	los	elementos	del	MDE	sean	asignados	a	algún	tipo	de	forma	topográfica.	una	vez	reconocida	la	existencia	de	una	ladera.	Por	este	motivo. Forma	elemental	en	collado.	las	reglas	de	decisión	deben	ser	diseñadas	con	algo	más	de	tolerancia que	la	mostrada	en	la	tabla.
la	signatura	geométrica	de	una	clase	está	definida	por	el	vector	de	medias	de	las variables	y	complementada	con	los	estadísticos	de	dispersión	(desviación	estándar)	y	la	matriz	de covarianzas.	de	forma	que	pueden	agruparse	en	un	mismo	conjunto	de	datos las	elevaciones	(capa	1). Siguiendo	la	analogía	y	aceptando	la	terminología	propuesta	por	Pike	(1988:494).	las	pendientes	(capa	2).j)	es	el	vector	kdimensional	constituido	por	los	valores	de	las	variables	contempladas	en	el	MDM	para	la	localización	( i.	de	diferenciar	los	tipos	de	cubierta vegetal	en	una	región:	la	signatura	geométrica	de	un	pixel	(	i.	MDM	(Felicísimo.	ambos	términos	no	serán	diferenciados	en	el	texto. Para	distinguirlos	se	debe	caracterizar	cada	uno	de	ellos	por	los	valores	de	las	variables	implicadas.	1983:132)	con	el	fin.	El	proceso	de	clasificación	debe	dividir	el	total	de	puntos	del	modelo	en	clases	separables por	los	valores	de	la	signatura	geométrica.	una	vez	superpuestas	por	poseer	idénticas	propiedades geométricas	y	de	referenciación	geográfica.	En	este	sentido.	De	forma	análoga.	mientras	que	la	tercera	dimensión	representa	las	diferentes	bandas	o propiedades	medidas:	cada	celda	de	la	matriz	(	i.	El procedimiento	es	análogo	al	utilizado	en	la	creación	de	signaturas	espectrales	en	el	campo	de	la teledetección	(Schowengerdt.	consistentes	en un	conjunto	de	imágenes	digitales	simples	que.	forman	un	conjunto	de	información	único.	El	concepto	de	MDM	es	útil	en	el	análisis	de	la información	ya	que.	por	ejemplo.	j.	facilita	la	aplicación	de	los	procesos	de clasificación	multiespectral	en	el	contexto	de	los	modelos	digitales	del	terreno.	en	la	que	las	filas	y	columnas	representan	la localización	geográfica.	a	partir	de ahora. Esquema	de	un	modelo	digital	multivariable.j).	etc. La	clasificación	en	teledetección	suele	realizarse	a	partir	de	imágenes	multiespectrales. El	concepto	de	modelo	digital	multivariable.	1992:111)	repite	este	mismo	esquema sustituyendo	las	imágenes	por	los	MDT.	los puntos	de	MDM	pueden	también	hacerse	equivalentes	a	los	pixeles	de	la	imagen	por	lo	que. k)	posee	el	valor	de	la	variable	k	en	la	localización	geográfica	definida	por	la	fila	i	y	la	columna	j.la	caracterización	del	relieve	supone	la	intención	de	discriminar	diferentes	tipos	de	formas	a	partir	de	los datos	del	MDE	y	de	los	modelos	derivados.	similar	conceptualmente	a	una	imagen multiespectral.	se	denominará signatura	geométrica	al	conjunto	de	variables	que	permiten	diferenciar	distintos	tipos	de	relieve.	Este	conjunto	de información	es	equivalente	a	una	matriz	tridimensional.	al	ser	análogo	al	de	imagen	multiespectral. Los	métodos	de	clasificación	han	sido	extensivamente	estudiados	y	las	publicaciones	al	respecto	son .
En	un	primer	paso.	en	contra.	indicando	algunos	problemas	generales.	La	comprobación	de qué	formas	del	relieve	pueden	diferenciarse	mediante	procesos	de	clasificación	puede	llevarse	a	cabo adecuadamente	mediante	métodos	de	este	tipo.	los	vectores de	medias	de	las	clases	son	recalculados	a	partir	de	los	nuevos	grupos	y	los	pixeles	son	reclasificados. segmentando	el	espacio	k-dimensional	—donde	cada	eje	de	coordenadas	representa	una	variable—	con criterios	estadísticos.	extracción	de	la signatura	geométrica	y	clasificación.	Este	algoritmo	realiza	un	proceso	iterativo para	dividir	el	espacio	k-dimensional	en	un	número	predefinido	de	clases.	Posteriormente. .	por	tanto. Uno	de	los	métodos	más	habituales	en	la	clasificación	no	supervisada	es	el	algoritmo	denominado habitualmente	isodata	propuesto	por	Duda	y	Hart	(1973).	reflejo	de	combinaciones	de	variables	inicialmente	desconocidas.	su	base teórica	no	se	tratará	en	el	presente	trabajo. No	han	sido	localizados	trabajos	prácticos	en	la	bibliografía	que	apliquen	métodos	de	clasificación exclusivamente	a	los	MDM	aunque	sí	existen	propuestas	al	respecto.	a	partir	de	los	cuales	se	determinan los	valores	que	definen	la	signatura.	los	n vectores	de	medias	de	las	clases	se	rellenan	con	valores	arbitrarios	y	los	pixeles	se	clasifican	en	función de	su	vector	de	valores.	que	debe delimitar	grupos	de	pixeles	representativos	para	cada	una	de	ellas.	que	no	introducen	hipótesis	previas	y	están	libres	de sesgos	por	parte	del	operador.	En	Mike	(1985)	pueden	encontrarse	las	bases	generales	y	una buena	descripción	de	los	métodos	más	usuales.	Franklin	y	LeDrew	(1983) plantean	los	primeros	pasos	en	una	clasificación	mixta	mediante	datos	procedentes	de	teledetección	y MDT	pero	sin	ofrecer	resultados	prácticos.	asignándolos	a	la	clase	de	signatura	más	próxima.	de	que	no	requiere	un	previo conocimiento	de	las	clases	existentes	en	la	zona.	Weibel	y	DeLotto	(1988)	realizan una	revisión	general	de	los	pasos	a	realizar	en	el	proceso:	especificación	de	variables.	En	un	trabajo	posterior.	La clasificación	supervisada	supone	un	conocimiento	previo	de	las	clases	por	parte	del	operador. El	proceso	se	repite	hasta	que	no	se	detecta	un	cambio	significativo	en	las	asignación	de	pixeles	entre un	paso	y	el	anterior.	Guindon	et	al. En	Felicísimo	(1994)	se	muestra	una	aplicación	de	clasificación	no	supervisada	a	un	MDM compuesto	por	los	modelos	de	pendiente. (1982:14)	también	mencionan	los	beneficios	potenciales	de	usar	ambos	tipos	de	datos	en	una clasificación	pero	no	llegan	a	presentar	experiencias	concretas.	curvatura	general	y	rugosidad	de	una	zona	montañosa	de Asturias.numerosas.	a	realizar	una	interpretación de	los	resultados.	obliga.	n.	Franklin	(1987b)	consigue	mejores resultados	en	la	identificación	de	la	cubierta	vegetal	incorporando	modelos	digitales	del	terreno	como bandas	auxiliares. La	clasificación	puede	dividirse	en	dos	grupos	diferentes:	supervisada	y	no	supervisada.	Dada	la	extensa	bibliografía	y	que	se	trata	de	métodos	sólidamente	establecidos. La	clasificación	no	supervisada	presenta	la	ventaja.	La	clasificación	no	supervisada	— clustering—	no	requiere	intervención	del	operador	ya	que	divide	los	pixeles	en	"grupos	naturales".
Otra	relación	menos	evidentes	es	el	aumento	de	rugosidad	en	las zonas	bajas.047 +1.000 -0.	h.	χ +0.000 rugosidad.	γ -0.031 curvatura. Coeficiente	de	correlación	r	de	Pearson	altitud pendiente.	γ pendiente.	χ curvatura. Una	de	las	más	obvias	es	la	relación	inversa	entre	altitud	y	concavidad.01 La	tabla	anterior	permite	observar	algunas	características	de	interés	de	las	relaciones	entre	variables.082 -0.128 -0.121 +0.	con	pendientes	más	fuertes	en	las	zonas	altas y	más	suaves	en	altitudes	menores.	La	relación	directa	entre	altitud	y pendiente	nos	refleja	la	tendencia	hacia	perfiles	cóncavos.Un	primer	análisis	de	las	relaciones	entre	variables	se	muestra	en	la	tabla	siguiente.031 +1.	justificable	por	la	distribución de	valles	y	crestas	en	las	zonas	bajas	y	altas	respectivamente.	donde	se	presentan los	valores	de	los	coeficientes	de	correlación	—	r	de	Pearson—	entre	las	variables	mencionadas	más	la altitud. -0.	que	debe	ser	interpretado	desde	un	punto	de	vista .089 donde	todos	los	coeficientes	son	significativos	para	P<0.
Clase	4	(azul):	fuerte	pendiente. Clase	5	(granate):	pendiente	media	y	rugosidad	muy	alta:	representa	dos	clases . Clase	1	(verde):	valores	bajos	de	pendiente.	el	número	de	clases	a separar:	5.	Los	resultados	de	la	clasificación	se	presentan. En	el	proceso	de	clasificación	no	supervisada	se	introdujo.	de	mayor	pendiente.	Se distribuye	preferentemente	en	los	márgenes	de	la	clase	1. Clase	3	(rosa):	fuerte	pendiente.	medios	de	rugosidad	y	formas	ligeramente	cóncavas.	cubiertas frecuentemente	por	formaciones	clásticas	relativamente	estables.	Se	observa	una	cierta	correspondencia	con	zonas cubiertas	por	formaciones	clásticas	sin	matriz.	Se	distribuyen	separando	las zonas	de	ladera	pertenecientes	a	la	clase	3	y	representan	los	cauces	de	arroyada	y	torrenteras	que	surcan las	laderas.	formas	ligeramente	convexas	y	baja	rugosidad.	procedentes	de	zonas	superiores.	los	fenómenos	erosivos	y	de	reptación	— creep—	generan	superficies	más	uniformes.	En	las	zonas	bajas.	formas	ligeramente	convexas	y	baja	rugosidad.	ocupando	las	zonas	inmediatamente superiores	a	la	línea	de	ruptura	de	pendientes.	la	acumulación	de	derrubios	y	la	acción menos	intensa	de	los	agentes	erosivos	permiten	un	diseño	topográfico	más	heterogéneo	a	escalas	de decenas	de	metros	—la	ventana	de	cálculo	es	de	3x3	y	la	luz	de	malla	de	25	m—. Resultado	de	una	clasificación	no	supervisada	a	partir	de	los	modelos	digitales	de	pendientes. Representa	las	laderas	con	superficie	relativamente	uniforme. Clase	2	(amarillo):	zonas	con	pendientes	medias.	como	único	parámetro.	fondos	de	valles	abiertos	y	las	zonas	más	bajas	de	las	laderas.	en	la	figura	siguiente.dinámico:	en	las	zonas	altas.	formas	cóncavas	y	rugosidad	media. curvatura	y	rugosidad.	de	poca	longitud	pero	alto	potencial	erosivo	debido	a	la	elevada	pendiente.	afectadas	por	procesos	más	activos	que	las	de	la	clase anterior.	de	forma	gráfica. agrupa	zonas	de	vega.
asignar	cada	dato	a	la	que	le	corresponde. Denominando	z	a	la	variable	analizada.	con	un	marcado	perfil	en	V	y	las	crestas muy	escarpadas.	al	menos.	La	agrupación	de	ambas	formas	en	la	misma	clase	es	lo	que condiciona	los	valores	de	curvatura	medios.	o	esférica	como los	vectores	normales	a	la	superficie.	estadístico	ambiguo	resultante	de	utilizar	la	curvatura general	como	medida. Descriptores	básicos	para	variables	lineales En	el	caso	de	las	variables	lineales.diferentes	de	elementos:	los	fondos	de	valle	muy	angostos.	los siguientes	parámetros:	valores	mínimo	y	máximo.	mediana	y	distribución	de	frecuencias.	por	tanto.	rango.	En	estos	casos	es	conveniente	realizar	una	agrupación	de	los	datos.	Como	a	partir	del	MDE	es	posible	crear	variables	de distribución	lineal	como	la	propia	altitud	o	la	pendiente.	la	formulación	de	la	media	aritmética	(	)	y	de	la	varianza	( )	es	la	siguiente: donde	n	es	el	número	de	datos	del	modelo.	Aunque	se	ha	utilizado	la	notación correspondiente	a	estadísticos	muestrales. La	agrupación	de	los	datos	de	un	MDT	no	plantea	problemas	ya	que	sólo	es	necesario	definir	los	límites de	las	clases	para.	Las	clases	pueden	definirse a	partir	del	rango	de	valores	y	de	un	número	de	clases	prefijado	o	bien	pueden	estar	predefinidas	para .	Los	algoritmos	para	ordenación son	muy	eficaces	pero.	a	pesar	de	todo.	es	necesario	efectuar	una	ordenación	general	de	los	datos	para	localizar	el valor	que	divide	la	distribución	de	frecuencias	en	dos	partes	iguales.	la	operación	realizada	es	un	censo	y.	desviación estándar.	los	parámetros	que	describen	cada	caso	son	diferentes.	varianza.	que	no	se	estiman	mediante	una	operación	de	muestreo sino	que	se	evalúan	directamente.	cabe	recordar	que	el	modelo	puede	ser	considerado	como	la propia	población.	circular	como	la	orientación. La	descripción	estadística Tanto	el	MDE	como	los	modelos	derivados	pueden	ser	tratados	estadísticamente	para	concretar	sus distribuciones	y	parámetros	específicos.	los	estadísticos obtenidos	son	los	poblacionales	o	parámetros.	con	perfil	en	Λ	.	a partir	de	la	cual	el	cálculo	de	la	mediana	es	mucho	más	sencillo.	En	este	sentido. El	cálculo	de	la	mediana	plantea	un	problema	especial	derivado	del	número	de	datos:	si	no	se	realiza una	agrupación	en	clases.	La	desviación	estándar	es	la	raíz	cuadrada	de	la	varianza	y	el rango	se	deriva	directamente	de	los	valores	mínimo	y	máximo.	posteriormente.	media	aritmética.	Sólo	podría	hablarse	de	un	muestreo	en	el	caso	de	realizar	una selección	dentro	del	modelo	para	calcular	los	estadísticos.	la	operación	puede	ser	prácticamente	imposible	en	el	caso	de modelos	de	grandes	dimensiones.	una	descripción	estadística	básica	debe	incluir.
El	caso	más	evidente	en	los MDT	es	la	orientación	del	terreno.	sin necesidad	de	efectuar	una	ordenación	caso	a	caso	(Sokal	y	Rohlf.	por	ejemplo.	por	tanto..	por	ejemplo.	Estos	dientes	aparecen	como	múltiplos	o submúltiplos	del	intervalo	entre	curvas	de	nivel.	que	un	punto	orientado	al	Este (90º)	tenga	un	valor	de	orientación	"superior"	a	otro	orientado	al	Nordeste	(45º).	1979:58).facilitar	la	comparaciones	entre	modelos	diferentes	—por	ejemplo. Las	variables	circulares	necesitan.	la	presencia	de	"dientes	de	sierra"	en	el histograma	es	indicador	de	una	interpolación	deficiente. A	partir	de	una	distribución	de	frecuencias	es	posible	recalcular	con	facilidad	los	estadísticos básicos	con	una	pérdida	de	precisión	inapreciable	debido	al	elevado	número	de	datos	que	suelen	formar un	MDT.G.	el	ancho	de	clase	es	de	50	m	y	el	MDE	se	construyó	a	partir	de	mapas	de	isohipsas con	intervalos	de	100	m.	definir	el Norte	como	origen	de	una	escala	creciente	en	el	sentido	de	giro	de	las	agujas	del	reloj	es	puramente convencional	—en	matemática	el	origen	de	las	escalas	angulares	se	fija	en	la	posición	Este	y	el	sentido de	giro	es	inverso—. donde Histograma	de	altitudes	de	Asturias	(modelo	MDE200	del	IGN)	con	clases	de	50	m	En	la	figura superior	se	muestra	el	efecto	mencionado	en	un	histograma	de	altitud	de	Asturias	construido	a	partir	del MDE200	del	I.	donde	no	puede	decirse.	Asimismo.	el	método	de	cálculo	a	partir	de	la	distribución	de frecuencias	se	basa	en	el	cálculo	de	las	frecuencias	acumuladas	"directas"	e	inversas	para	cada	clase.	En	el	caso	del	MDE. Descriptores	básicos	para	variables	circulares Algunos	modelos	digitales	del	terreno	incluyen	variables	con	una	escala	por	intervalos	que	sigue	una distribución	circular	y	cuyo	origen	o	punto	cero	está	fijado	arbitrariamente.N. sea	180º.	La	aplicación	de	métodos	estadísticos	inapropiados	puede	conducir	a	errores	y resultados	paradójicos	como.	que	la	media	de	1º	y	359º	—dos	orientaciones	al	Norte—. La	distribución	de	frecuencias	o	histograma	es	una	herramienta	útil	para	descubrir	incoherencias internas	en	el	MDT.	por	ejemplo.	unos	métodos	estadísticos	específicos	que.	con	intervalos	de	50	ó	100	metros	en los	MDE—.	En	el	caso	concreto	de	la	mediana.	en	sus	aspectos .
no	son	más	dificultosos	que	los	métodos	clásicos. La	estadística	circular	realiza	la	mayor	parte	de	sus	tratamientos	usando	las	coordenadas	rectangulares de	estos	datos	vectoriales.	con	orientación	φ	i: . estamos	asignando	a	dicho	punto	un	vector	unidad	orientado	hacia	los	45º.básicos.	cuando	decimos	que	un	punto	está	orientado	al	Nordeste.	Estas	coordenadas	se	determinan	directamente	mediante	operaciones trigonométricas	elementales.	es	decir.	Estos	métodos	tratan	las	variables	circulares como	magnitudes	vectoriales.	Para	un	punto	i.
hasta	n cuando	todos	los	datos	tienen	la	misma	orientación	y	la	dispersión	es	nula	—con	un	rango	de	variación de	0&δεγ.	—.	El	nuevo	estadístico	se	distribuye consecuentemente	entre	un	valor	mínimo	de	0	y	un	máximo	de	1. Han	sido	propuestas	varias	medidas	de	dispersión	basándose	en	el	valor	normalizado .	.	1984:431)	y	la	desviación	circular	estándar.	La	dirección media	de	un	conjunto	de	n	datos.	es	esencialmente	arbitraria.	por	lo	que	las expresiones	pueden	variar	entre	diferentes	autores—.	Cuando	R	tiene	un	valor	nulo	la	orientación	media	queda	sin	definir.	R	puede	variar	entre	0	para	una	dispersión	total	donde	los	vectores	se	anulan	entre	sí.	El	módulo	R	del	vector V	es	: En	las	variables	circulares	es	sencillo	el	cálculo	de	al	menos	tres	estadísticos	básicos:	la	dirección media.. implica	una	agrupación	mayor	que	uno	de	45&δεγ.	y	de	forma	similar	a	las	variables	lineales.	El	rango.	sc	(Mardia.	el	rango	de	variación	y	la	varianza	circular.	coincide	con	la	dirección	del	vector	resultante	de	la	suma	vectorial	de los	datos.	coincide	con	el arco	de	menor	magnitud	que	engloba	la	totalidad	de	los	datos.	como	una	medida	de	la	dispersión	de	los	datos	angulares: En	efecto.	Éste	queda	definido	por	las	coordenadas	rectangulares	X	e	Y.	Otra	alternativa	complementaria	es	utilizar	el módulo	del	vector	suma.	es	posible	calcular	directamente	la	orientación	del	vector	suma	mediante	la	función arco	tangente: En	cuanto	a	los	estadísticos	de	dispersión.	como	la desviación	angular.	un	rango	de	15&δεγ.	como	cualquier	otra	alternativa. Transformación	de	las	coordenadas circulares	a	rectangulares	en	el	caso	de dos	dimensiones.donde	el	eje	X	se	hace	coincidir	con	la	dirección	Este-Oeste	y	el	Y	con	la	Norte-Sur	y	el	origen	se	fija	en el	Norte	—esta	notación. Es	conveniente	normalizar	el	valor	de	R	dividiéndolo	por	el	tamaño	muestral	con	el	fin	de	hacerlo independiente	del	número	de	datos: .	dado	en	unidades	angulares.	sd	(Zar.	cuyas expresiones	son	las	siguientes: .	De	esta	forma.	indicadora	de	la	dispersión	de	los	datos.	R.	1972:24).	suma	de	los	n	datos:	A	partir	de estos	componentes.	es	posible	definir un	rango	de	variación	para	los	datos	angulares.
en	cierta	forma.	unimodal	y	está	descrita	por	dos	únicos parámetros:	la	orientación	media	y	un	parámetro	de	dispersión.	Puede	esperarse	que	el	valor	del	estadístico	sea muy	bajo.	Como	sería	esperable.	la	equivalente	a	la	de	Gauss	en	estadística	lineal	ya que	representa	una	situación	donde	existe	una	orientación	preferente	y	presenta	características estrechamente	ligadas	a	la	anterior.	También	es	posible	la	adaptación	de esta	distribución	a	aquellas	situaciones	en	las	que	existe	una	dirección	axial	preferente	y	la	distribución resultante	es	bimodal	con	valores	opuestos	(Upton	y	Fingleton.	por	lo	que	también	suele	denominarse "distribución	circular	normal".	es	decir.	para	finalizar	este	apartado.	sólo	ocasionalmente	relacionadas	con	las	características	de	las	variables	lineales. Cabe	indicar.	que	las	variables	circulares	tienen	distribuciones	estadísticas propias.	1989:231).	κ	. .	La	distribución	es	simétrica. —. La	distribución	de	von	Mises	es.	aunque	no	necesariamente	nulo.	existe	una "antimoda"	con	un	valor	de radianes.	las	expresiones	anteriores	tienen	valores	limitados	entre	un	mínimo	de	0	para	ambas —dispersión	nula—	y	máximos	de	infinito	para	sd	y	de para	s	—equivalente	a	unos	81&δεγ.	la	mínima probabilidad	de	la	distribución	se	presenta	para	la	orientación	opuesta	a	la	media.	La	primera representa	una	situación	en	la	que	los	datos	se	distribuyen	sin	una	orientación	preferente	y	donde	la probabilidad	de	que	un	dato	se	encuentre	en	un	rango	determinado	depende	exclusivamente	de	la amplitud	angular	de	éste.	Al	variar	el	valor	de	en el	rango	0-1.	Entre	ellas pueden	destacarse	la	distribución	circular	uniforme	y	la	distribución	de	von	Mises.Los	resultados	de	ambas	expresiones	deben	interpretarse	en	radianes.
se	ha	desarrollado	progresivamente	un	conjunto de	medidas	heterogéneas. Un	ejemplo	de	este	tipo	de	medidas	es	la	entropía	o	medida	de	la	diversidad. Franklin	y	Peddle	(1987)	la	incluyen	como	medida	de	textura	del	relieve	señalando	que. La	entropía	fue	ya	propuesta	como	indicador	de	información	en	geomorfología	por	Connelly	(1972).	Generalmente	son	indicadores	de	la	heterogeneidad	de	valores.	cada	una	de	las	cuales	puede	usarse	como	indicador	de	diversas características	de	los	MDT.	los	valores	medidos	de	entropía sobre	los	MDE	son	generalmente	bajos.	si	ésta	existe	y	es	positiva.	donde	N	es	el	número	de	total de	puntos	del	MDT	y	ni	el	número	de	ellos	que	pertenece	al	valor	o	clase	i.	originada	en	teoría	de	la información	y	propuesta	ya	hace	algunos	años	como	indicador	de	información	aplicado	a	la geomorfología	(Connelly.	wij	toma	el	valor	1	si	las	celdas	i	y	j	son	vecinas	y	0	en	caso	contrario.Otros	descriptores Independientemente	de	los	estadísticos	convencionales.	El	mínimo	valor	de	H aparece	cuando	todos	los	elementos	tienen	el	mismo	valor.	La	expresión	más	conocida	es	la	denominada	de	Shannon-Weaver: donde	pi	es	la	probabilidad	del	valor	i	en	la	población: . La	medida	de	la	autocorrelación Los	índices	más	habituales	para	analizar	la	existencia	de	autocorrelación	en	los	MDT	son	los denominados	de	Geary	y	de	Moran.	El	índice de	Geary	responde	a	la	expresión	siguiente: En	la	expresión	anterior.	1972:99).	en	cuyo	caso	H=0.	y	si .	donde	N	es	el	número	total	del	celdas	del	modelo.	Ambos	analizan	las	frecuencias	de	adyacencia	o	vecindad.	0	<	G	<	1. La	entropía	como	medida	de	diversidad Frecuentemente. Los	índices	i	y	j	toman	los	valores	1…	N.	los	operadores	usados	en	proceso	de	imágenes	digitales	han	sido	adaptados	al tratamiento	de	los	MDT. El	valor	esperado	de	G	para	ausencia	de	autocorrelación	es	1.	como	la distribución	de	la	altitud	es	esencialmente	no	aleatoria.	por	lo	que aplicadas	al	MDE	o	MDP	indican	rugosidad.
I.	La	interpretación	y	valores esperados	para	ambos	índices	se	resume	en	la	tabla	siguiente: Rangos	de	valores	de	los	índices	de	Geary	y	Moran .es	negativa.	G	1.	aumenta	con	la	correlación	y	obedece	a	la	expresión:	La	diferencia	principal	entre ambos	índices	es	la	referencia	al	valor	medio	de	la	variable	en	el	caso	de	I. El	índice	de	Moran.
Valores Geary.	I similares.	sólo	pueden representarse	mediante	modelos	con	una	pérdida	obligatoria	de	información.	La	consecuencia	más	interesante	para	nosotros	es	que	su	representación	mediante	modelos puede	realizarse	sin	pérdida	de	información	mediante	un	número	limitado	de	datos.	variable	regionalizada.	no	correlacionados G=1 I	=	k diferentes.	entre	los	cuales	se	cuentan	las	superficies	topográficas.	muchos	objetos	reales.	Una	buena	parte	de	la	investigación	sobre	las	alternativas .	son replicables.	G Moran.	más	o	menos	importante en	función	de	la	generalización	del	modelo.	es	decir. 0	<	G	<	1 I	k agrupamiento aleatorio.	Tras	analizar	los	cambios provocados	por	la	manipulación	de	los	MDE. En	cambio. La	dimensión	fractal La	dimensión	fractal.	1987).000.	siendo	N	el	número	de	celdas Los	índices	de	Moran	y	Geary	han	sido	utilizados	por	Lee	y	Marion	(1994)	para	analizar	la autocorrelación	de	un	total	de	920	MDE	del	US	Geological	Survey	a	una	escala	nominal	1:250.	contrastados G	1 I	<	k donde	k=-1/(N-1).	Las	distribuciones	de	los índices	G	e	I	están	muy	concentradas	y	son	fuertemente	asimétricas.	Los resultados	muestran	valores	de	autocorrelación	positiva	muy	significativos. La	mayoría	de	los	objetos	geométricos	pueden	ser	descritos	de	forma	completa	mediante	pocos parámetros.	concluyen	que	existe	una	relación	inversa	entre	la autocorrelación	y	la	pérdida	de	información	en	las	conversiones	entre	MDE	matriciales	y	TIN.	definida	por	Mandelbrot	(1967)	es	un	parámetro	que	progresivamente	ha	ido haciéndose	un	lugar	en	la	modelización	de	la	topografía.	especialmente	en	lo	que	se	refiere	a	la visualización	realista	del	relieve	(Jeffery.
por ejemplo.	la	longitud	o	la	superficie	de	un	elemento	topográfico.	es	difícil	deducir	sólo	de	su	apariencia	la	escala	del	mismo.	al	menos.	iguales	y	superpuestos	a	la	misma	—es	decir. Steinhaus	(1954:8)	fue	el	primero	que	mostró	que	el	resultado	del	proceso	es	dependiente	de	la	longitud de	los	segmentos-unidad.	1968:155).	g	es	la	unidad	de	medida	—por	ejemplo.	Esta	circunstancia ilustra	el	concepto	de	autosimilaridad	mencionado	anteriormente	y	los	objetos	que	la	poseen	han	sido denominados	"escalantes"	(Mandelbrot.	de	forma	que	la	longitud	de	la	costa	crece	cuando	la	medida	se	realiza	con unidades	menores. rectilíneos. entre	las	cuales	está	la	ser	autosimilares.	La	longitud	estimada	es	igual	a	la	longitud	de	un	segmento	multiplicada	por	el	número	de ellos	necesario	para	cubrir	toda	la	costa.	independientemente	de	la	escala	del	análisis	—o. Una	línea	de	costa	es	un	objeto	con	esas	características.	1984).	que	puede	definirse	de	la	forma	siguiente: donde	k	es	una	constante	de	proporcionalidad.	las	medidas	realizadas	sobre	un	modelo serán	tanto	más	reales	como	menor	pérdida	de	información	haya	implicado	el	proceso	de	generalización realizado	para	construirlo.	ofrecerá	resultados	dependientes	de	la	escala	de	medida	utilizada	y	del	grado	de generalización	(Maling. Esta	circunstancia	se	debe	a	la	imposibilidad	de	descomponer	estos	objetos	en	formas	geométricas simples	que	los	representen	con	absoluta	fidelidad. La	segunda	propiedad	de	los	objetos	mencionados	aparece	cuando	se	intentan	medir.	D.	teselándola	con	pequeños segmentos—.	presentadas	en	los	apartados	anteriores.	Estos	objetos	tienen	algunas	propiedades	en	común. La	importancia	de	la	"paradoja	de	Steinhaus"	en	el	campo	de	los	MDT	es	obvia.	Debido	a	ello.estructurales	de	los	MDT.	determinando.	En	este	mismo	sentido.	desde	un	punto	origen	a	un	punto	final.	longitud	de	los segmentos-unidad	usados	para	medir	la	costa—	y	Lg	el	resultado	de	la	medición.	La	influencia	de	la escala	de	medida	en	la	longitud	de	las	líneas	es	generalizable	en	el	sentido	de	que	también	las	áreas	son afectadas	por	el	mismo	fenómeno. La	dependencia	entre	los	resultados	y	la	escala	de	medida	puede	establecerse	mediante	un	parámetro denominado	dimensión	de	Hausdorff-Besicovich.	puede	afirmarse	que	cualquier	modelo. El	término	dimensión	fractal	se	aplica	a	cualquier	función	para	la	cual	la	dimensión	D	excede	la .	se	debe	al	intento	de	hacer	mínima	la pérdida	de	información	manteniendo	el	conjunto	de	datos	necesario	para	ello	dentro	de	tamaños razonables.	Supuesto	un	mapa	que	representa	una	línea	de costa	elegida	al	azar.	ya	que	una	línea	de costa	no	es	conceptualmente	diferente	a	una	curva	de	nivel	o	a	un	perfil	topográfico.	adyacentes.	que	su	apariencia	y	propiedades	estadísticas	y topológicas	permanecen	constantes.	digital	o analógico. La	longitud	de	una	línea	de	costa	puede	ser	medida	sumando	la	de	un	conjunto	de	segmentos-unidad.	dentro de	un	rango	amplio	de	escalas—.	es	decir.
con	una	luz	de malla	de	200	m. Otro	método	de	estimación	de	D.	en	ordenadas.	en	el	segundo..	La	más	sencilla	es realizar	dos	medidas	con	unidades	de	diferente	tamaño.	la	pendiente	media	de	un MDP	con	25	m	de	luz	será	significativamente	superior	a	la	de	un	MDP	de	la	misma	zona	con	100	m	de tamaño	de	malla. Es	decir.—	y	suele representarse	también	mediante	D.	con	lo	cual	se	obtendrán	dos resultados.	Por	ejemplo.	así.	la	rugosidad	es muy	baja	cuando	D	está	próximo	a	2.	con	25	m	de	resolución. El	cálculo	de	la	dimensión	fractal	de	un	objeto	puede	realizarse	de	varias	formas.	D	es	la	pendiente	de	la	recta	de	regresión	entre	los	logaritmos	de	ambas	variables. La	figura	inferior	muestra	las	medidas	efectuadas	sobre	varios	modelos	digitales	de	pendientes procedentes	de	MDE	con	diferentes	niveles	de	generalización.	L1	y	L2.	D.	por	tanto.	Los	valores	para	superficies	reales	se	encuentran	aproximadamente	en	el rango	de	2.	aumentando	progresivamente	hasta	el	valor	de	3	en	el	caso	de	una superficie	teórica	infinitamente	irregular	(Clarke. Relación	entre	la	pendiente	media	de	una	zona	y	el	grado	de	generalización	del	modelo	digital	de elevaciones	usado	para	generar	el	MDP FIN	DEL	CAPÍTULO .	puede	estimarse	mediante	la expresión	siguiente	(Goodchild	y	Mark.	El	interés	de	la	aplicación	de	la	dimensión	fractal	a	los	MDE reside	en	que	es	un	índice	de	la	intensidad	del	relieve.	es	el	cálculo	del	coeficiente	de	regresión	usando	más	de	dos	pares	de	valores	unidad-longitud	o unidad-superficie.	la	pendiente	media	es	de	19&deg.	en	el	caso	de	una	superficie..	1987:270).	equivalente	al	anterior	pero	que	aporta	más	información	sobre	el análisis.	1987:266): donde	Ni	es	el	número	de	pasos	de	longitud	gi	necesarios	para	teselar	la	línea	( ).dimensión	topológica	—0	para	los	puntos.	1988:176). Una	consecuencia	de	interés	aplicable	a	los	modelos	digitales	del	terreno	es	que	la	magnitud	de	las medidas	crecerá	proporcionalmente	a	la	resolución	del	modelo.	Puede	observarse	la	disminución	de	la pendiente	media.	En	el	caso de	un	MDE	puede	utilizarse	un	método	equivalente.. En	Felicísimo	(1994:73)	se	da	un	dato	significativo	sobre	este	problema:	a	partir	de	dos	MDE	de	la misma	zona	pero	de	diferente	origen	se	calcula	la	pendiente	media.	de	8&deg.	La	diferencia	observada	es.	1	para	las	líneas.	con	la	reducción	de	resolución	del	MDE	—factor	de	generalización	en abscisas—.	el	resultado es	de	27&deg.	g1	y	g2.1	a	2.	El	ajuste	de	los	pares	de	valores	a	la	recta	permite	conocer	el	grado	de autosimilaridad	del	elemento	a	diferentes	escalas.	midiendo	el	área	resultante	con	diferentes intervalos	entre	los	datos.	etc.	2	para	superficies.	La	dimensión	fractal.	en	el	caso	de	una	línea.4	(Goodchild	y	Mark.	En	el	primer	caso.
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