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Timestamp: 2017-06-24 19:37:13+00:00

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Análisis numéricoUploaded by Javier LopezRelated InterestsNumerical AnalysisBitMathematical ObjectsApplied MathematicsAnalysisRating and Stats0.0 (0)Document ActionsDownloadShare or Embed DocumentEmbedView MoreCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as DOC, PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentAnálisis numéricoEl análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada. En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
A partir de aquí, aparece un concepto adicional, el de error. Este concepto aparece como consecuencia de la naturaleza finita de los ordenadores que solo pueden operar con números representados de forma finita. Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por
ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales. Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
Clasificación según su dimensión
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc. Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.
Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación
Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:
1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica. 2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.
3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.
El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema a resolver.
Cálculo de los valores de una función
Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.
Interpolación, extrapolación y regresión
La interpolación resuelve el problema siguiente: dado el valor de una función desconocida en un número de puntos, ¿cuál es el valor de la función en un punto entre los puntos dados? El método más sencillo es la interpolación lineal, que asume que la función desconocida es lineal entre cualquier par de puntos sucesivos. Este método puede generalizarse a la interpolación polinómica, que suele ser más precisa pero que sufre el llamado fenómeno de Runge. Otros métodos de interpolación usan otro tipo de funciones interpoladoras dando lugar a la interpolación mediante splines y a la interpolación trigonométrica. Otros métodos de interpolación utilizando derivadas sucesivas de la función son mediante los polinomios de Taylor y la aproximación de Padé. La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora queremos encontrar el valor de la función desconocida en un punto que no está comprendido entre los puntos dados. La regresión es también similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos, y una medida del valor de la función en los mismos (con un error debido a la medición), queremos determinar la función desconocida. El método de los mínimos cuadrados es una forma popular de conseguirlo.
Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones dado. Se distinguen dos casos dependiendo de si la ecuación o sistema de ecuaciones es o no lineal. Por ejemplo, la ecuación 2x + 5 = 3 es lineal mientras que la ecuación 2x2 + 5 = 3 no lo es. Mucho esfuerzo se ha puesto en el desarrollo de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos, i.e., métodos que utilizan alguna factorización de la
matriz son el método de eliminación de Gauss, la descomposición LU, la descomposición de Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas) definidas positivas, y la descomposición QR. Métodos iterativos como el método de Jacobi, el método de GaussSeidel, el método de las aproximaciones sucesivas y el método del gradiente conjugado se utilizan frecuentemente para grandes sistemas. En la resolución numérica de ecuaciones no lineales algunos de los métodos más conocidos son los métodos de bisección, de la secante y de la falsa posición. Si la función es además derivable y la derivada se conoce, el método de Newton es muy utilizado. Este método es un método de iteración de punto fijo. La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.
Descomposición espectral y en valores singulares
Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en términos de descomposición espectral (el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz) o de descomposición en valores singulares. Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.
Los problemas de optimización buscan el punto para el cual una función dada alcanza su máximo o mínimo. A menudo, el punto también satisface cierta restricción. Ejemplos de ,problemas de optimización son la programación lineal en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso de programación lineal es el método simplex. El método de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimización con restricciones a problemas sin restricciones.
[editar] Evaluación de integrales
La integración numérica, también conocida como cuadratura numérica, busca calcular el valor de una integral definida. Métodos populares utilizan alguna de las fórmulas de Newton–Cotes (como la regla del rectángulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudiéndose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el método de Romberg. Para el cálculo de integrales múltiples estos métodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo útil el método de Monte Carlo.
[editar] Ecuaciones diferenciales
Es útil ver la derivación numérica.El análisis numérico también puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales. la enciclopedia libre Saltar a navegación. bien ecuaciones diferenciales ordinarias.
1 Historia 2 Descripción del método 3 Obtención del Algoritmo 4 Convergencia del Método 5 Estimación del Error 6 Teorema de Convergencia Local del Método de Newton 7 Ejemplo 8 Codigo en MatLab 9 Referencias 10 Enlaces externos
El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669. Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta. Los métodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuación correspondiente. traducido y publicado como
. llevándola a un subespacio de dimensión finita. Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuación. publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671. bien ecuaciones en derivadas parciales. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función.
De Wikipedia. Esto puede hacerse mediante un método de los elementos finitos. búsqueda En análisis numérico. el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. encontrando los ceros de su primera derivada.
el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. Sin embargo.
[editar] Obtención del Algoritmo
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson. su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios. y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn. Sea f : [a. Una vez se ha hecho esto. etc. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Así. Finalmente.
[editar] Descripción del método
El método de Newton-Raphson es un método abierto. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia. entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan. b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a. La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función. una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
. Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz. Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. según el método. se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi. así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables. en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. La abscisa en el origen de dicha recta será. sistemas de ecuaciones. b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
para un entorno del punto xn:
Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2. Así pues. Esto es equivalente a linealizar la función. por extensión con el método de la secante. f'(x0). el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). se logra la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas. si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva. es decir. En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que xn + 1 es una mejor aproximación que xn para el cero (x) de la función f. Vemos que xn + 1 es una aproximación mejor que xn para la raíz x de la función f. La nueva aproximación a la raíz. En efecto. entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante.La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. y evaluamos en xn + 1:
Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea de la tangente está en rojo). f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0. x1. Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor. f (x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto. podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal).
una raíz doble. se ha de cumplir que f(xn + 1) = 0. sustituyendo en la expresión anterior. como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. cuadrático.Si además se acepta que xn + 1 tiende a la raíz. se escoge de la forma más sencilla:
Por tanto. Existen numerosas formas de evitar este problema. Sin embargo.e. que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:
. obtenemos el algoritmo. por lo menos. se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:
Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-Rabinowitz. Dado que g'(r) es:
Como h (x) no tiene que ser única. triple.. dada la ecuación f(x) = 0. el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m. luego. . con m la multiplicidad de la raíz. imponiendo subíndices:
Expresión que coincide con la del algoritmo de Newton-Raphson
[editar] Convergencia del Método
El orden de convergencia de este método es.). Así.. Finalmente. si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.
Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error: Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:
Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos.
. este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz. Así. está sujeto a las particularidades de estos métodos. la convergencia del método se demuestra cuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0. resultando:
Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable. entonces la convergencia es cuadrática.
[editar] Estimación del Error
Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si α es raíz.Evidentemente. y g' '(r) es distinto de 0. entonces:
para una cierta constante C. lo cual no siempre es posible.1. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x). es necesario partir de una aproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el teorema de convergencia local. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente. Sin embargo. Por otro lado. Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección.
[editar] Teorema de Convergencia Local del Método de Newton
Sea que si .(cos(x) . Ya que cos(x) ≤ 1 para todo x y x3 > 1 para x>1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0. En pseudocódigo. En particular. Si . Podríamos tratar de encontrar el cero de f(x) = cos(x) . x6 es correcto para el número de decimales pedidos.x3. entonces la convergencia es cuadrática.x^3) / (-sin(x) . y . Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10. ilustando la convergencia cuadrática.
Consideremos el problema de encontrar un número positivo x tal que cos(x) = x3.3*x^2) } var x := 0. deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. esto es:
function newtonIterationFunction(x) { return x . Sabemos que f '(x) = -sin(x) .5
Los dígitos correctos están subrayados.3x2. Si además . entonces existe un r>0 tal verifica que:
para todo n y xn tiende a p cuando n tiende a infinito. entonces la sucesión xn con .5 for i from 0 to 99 { print "Iteraciones: " + i
:)=[diff(V(2.print "Valor aproximado: " + x xold := x x := newtonIterationFunction(x) if x = xold { print "Solución encontrada!" break } }
[editar] Codigo en MatLab
Programa escrito en Matlab para hallar las raíces usando el método de NEWTONRAPHSON
disp ('NEWTON-RAPHSON') xo=input('Valor inicial ='). er=[[abs((xo-x1)/xo)]]*100.
El programa siguiente hace el cálculo para una superficie. %se da el valor de partida: x1=0.:)=eval(V(2.:)).3)=er. x2=4.:). %se calcula el jacobiano: DV(1. x_1o=[x1.x3)].x1).:).:)=[diff(V(1.:). salida(i.'x1+x2+x3-5 '].:)). end disp('ite raiz er ea'). salida(i.x1]. % error relativo porcentual ea=[[abs((x1-xo)/x1)]]*100.4). % matiz de salida de datos for i=1:n x1=xo-[(exp(-xo)-xo)]/[(-exp(-xo)-1)].:). DV(2. vsal=[xo. % error xo=x1. n=input ('numero de iteraciones='). salida(i.:).x2).x1).x2. Vo(2.x1). salida=ones(n.
syms x1 syms x2 syms x3 V=['sin(x1)+2^x2+log(x3)-7'.2)=x1. %Se calcula el Jacobiano en ese punto
.diff(V(1.'3*x1+2*x2-x3^3+1 '. diff(V(2.:)=eval(V(3. salida(i.:)). x3=2.x3]. %se calcula H en ese punto Vo(1. DV(3.:).:).x2).1)=i.x3)].:).4)=ea. diff(V(1.:). Vo(3.diff(V(2.x2).diff(V(3. disp(num2str(salida)). diff(V(3.:)=eval(V(1.x3)].:)=[diff(V(3.
x2.0001 a=i. %se define a = n.:)). Desafortunadamente. Vo(3.x3]-DV_1*Vo. x_1o=[x1. x2=x_1(2).DV1=eval(DV). Introducción
La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. %cantidad de iteraciones maxima: n=50. end a x_1
. DV1=eval(DV). así como de su evolución futura.:)=eval(V(1. x3=x_1(3).:)=eval(V(3. DV_1=DV1^-1. Vo(1. si se cumple condicion de error antes.
. Vo(2. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno. %se calcula el siguiente valor de iteraciÃ³n x_1=[x1. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos.:)). no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:
No se adecúan al modelo concreto. break. for i=1:n %error relativo entre aproximaciones sucecivas er=norm(x_1-x_1o)/norm(x_1). end x1=x_1(1).x2.:)).x3].x2. a=n. Su aplicación resulta excesivamente compleja.x3]-DV_1*Vo.:)=eval(V(2. %se calcula la Inversa del JAcobiano en ese punto DV_1=DV1^-1. if er<. x_1=[x1.
En el caso de errores en la medida de los datos empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio. el que se comete al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica clásica. no es
. sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos1. su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacional-mente. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. se incluyen aquellos en los que la definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. que mediante una labor de cálculo más o menos intensa.
Dentro del grupo de los primeros. Estos errores son normalmente despreciables. Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora. tres son sus fuentes principales: 1. En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional).
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. De hecho. Sin embargo.
En estos casos son útiles las técnicas numéricas. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene. por ejemplo. Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.• •
La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior. Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores:
Aquellos que son inherentes a la formulación del problema. Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.
en general. Para estimar la magnitud de este error necesitamos dos definiciones básicas: Error absoluto
. no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar. converge sólo cuando el número de iteraciones tiende a infinito. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta. no conocemos el valor de una cierta magnitud y hemos de conformarnos con un valor aproximado x. como la empleada en la regla del trapezoide. en todas sus formas. Obviamente. Generalmente. El error que se introduce al redondear un número se denomina error de redondeo. El error causado por resolver el problema no como se ha formulado. Por último. sin embargo. como error por truncamiento. la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Más aún. ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito.despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). • Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación (diferencias finitas). sino mediante algún tipo de aproximación. Sin embargo. la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. podemos formalizar el concepto de error.1 Definiciones
Ahora que disponemos de una idea correcta de qué es el error y de cual es su origen. Generalmente está causado por la sustitución de un infinito (sumatorio o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una aproximación finita. Seno x) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de Taylor.
Denominaremos a este error.
2. algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). para operar con ellos es necesario redondearlos. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados correctamente. • Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función. la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. 3. este error en cualquier procedimiento numérico. 2. o al menos acotar. • Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson: proceso iterativo que. estamos interesados en estimar. Algunos ejemplos son: El cálculo de una función elemental (por ejemplo. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente.
ya que no es habitual disponer del valor exacto de la magnitud. en general. tal (4)
o bien: (5)
De acuerdo con este formalismo.de x: (1)
Error relativo de x: (2)
En la práctica. esto es. Podemos decir que x ha sido adecuadamente redondeado a un número con d decimales.2 Dígitos significativos
Sea x un número real que. tiene una representación decimal infinita. al que denominaremos x(d). se emplea la expresión: (3)
En general. tenemos que un numero se representará del siguiente modo: = = (6)
2. es tal que:
. no conocemos el valor de este error. sino sólo de una acotación de su valor. si el error de redondeo. un número que: .
y no la siguiente: x(3) = 35. la aproximación correcta es: x(3) = 35.47846 truncado a cuatro (x(4)) y tres (x(3)) decimales. Otra forma de obtener el número de cifras significativas es mediante truncamiento. no es correcto redondear por exceso cuando el dígito anterior es 5 y proviene de un acarreo previo. conduce a peores resultados que el método anterior. Calcular el error cometido.47846 correctamente redondeado a cuatro (x(4)) y tres (x(3)) decimales. Solución: en el primer caso obtenemos: x(4) = 35. en general.(8)
Ejemplo 1: Exprese el número x=35.4785 =
En el segundo caso. Calcular el error cometido.479 =
Es decir. en donde simplemente se eliminan los dígitos de orden inferior. Ejemplo 2: Exprese el número x=35. El error cometido en este caso es: (9)
2.3 Propagación de errores
Cuando se resuelve un problema matemático por métodos numéricos y aunque las operaciones se lleven a cabo exactamente. obtenemos una aproximación numérica del resultado exacto. Es importante tratar de conocer el efecto que sobre el resultado final del problema tiene cada una de las operaciones realizadas.Solución: x(4) = 35.4784 =
x(3) = 35. Para estudiar como se propaga en error. veamos cual es el efecto que cada una de las operaciones básicas tiene sobre el error final cuando se aplican sobre dos números y : = = = = (10) (11) (12) (13)
Cuando el problema consiste en calcular el resultado y = f(x)tenemos la siguiente fórmula aproximada de propagación del error: (14)
en donde determinar el producto xy?
.En el caso más general. de acuerdo con la ecuación (15). en que una función depende de más de una variable ( ).a¿Con qué exactitud podemos
. b = 1 / a y d = b . se puede calcular mediante:
Sustituyendo valores. la fórmula aproximada de propagación del error maximal es:
Ejemplo 3: Determinar el error máximo cometido en el cálculo y = x1 x22 para y .
Solución: El error cometido.
Resolveremos ahora el problema por dos métodos. obtenemos que el producto y el error asociado vienen dados por:
que. Primero. sustituyendo valores. Sustituyendo y operando. calcularemos el error asociado a cada una de las variables y los términos de la expresión anterior:
Sustituyendo valores. obtenemos el siguiente resultado:
Una forma mucho más adecuada de resolver este problema consiste en sustituir en la expresión (16) los valores de b y d por sus correspondientes expresiones en función de a. conduce al resultado:
Conociendo que una fuerza de 140 Kp aplicada sobre una barra de 125 cm de longitud y sección cuadrada de 2. Los diferentes tipos de datos pueden diferir en el número de bits empleados. menor será el error cometido.4 Ejercicios adicionales
1. En general. Si sobre el extremo libre aplicamos una fuerza F perpendicular a la barra.
. calcular el módulo de Young y el intervalo de error. 2.Si ambos resultados son correctos ¿Por qué el error es mucho menor en el segundo caso que en el primero? La respuesta es simple: en el segundo caso hemos eliminado operaciones intermedias. permitiendo que algunos errores se cancelen mutuamente.
3. Suponer que los datos vienen afectados por un error máximo correspondiente al de aproximar por truncamiento las cifras dadas. pero también (lo que es más importante) en cómo el número representado es almacenado: en formato fijo (también denominado 'entero') o en punto flotante2 (denominado 'real').71 mm. cuanto menor sea el número de pasos intermedios que efectuemos para alcanzar la solución. El número
debe expresarse al menos con seis
Supongamos una barra de hierro de longitud l y sección rectangular fija por uno de sus extremos.5 cm produce una flexión de 1. ¿Con qué exactitud es necesario medir el radio de una esfera para que su volumen sea conocido con un error relativo menor de 0.
.01%? ¿Cuantos decimales es necesario emplear para el valor de ?
Soluciones: cifras decimales. la flexión s que ésta experimenta viene dada por la expresión:
en donde E es una constante que depende sólo del material denominada módulo de Young. Prácticamente todos los computadores permiten al programador elegir entre varias representaciones o 'tipos de datos'. Aritmética de computadores
Los computadores no almacenan los números con precisión infinita sino de forma aproximada empleando un número fijo de bits (apócope del término inglés Binary Digit) o bytes (grupos de ocho bits).
2. un número real x distinto de cero. negativo o cero).2 Números en punto flotante
3.1) y 231 . se representa en notación científica normalizada en la forma: (17)
en donde r es un número tal que
y n es un entero (positivo. Para expresar un número en notación científica normalizada multiplicamos o dividimos por 10 tantas veces como sea necesario para que todos los dígitos aparezcan a la derecha del punto decimal y de modo que el primer dígito después del punto no sea cero.1 = 2147483647. 2. La solución no esté fuera del rango del número entero más grande o más pequeño que se puede representar (generalmente con signo). cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica normalizada. Por ejemplo. Por estos motivos. la aritmética de punto fijo se emplea muy raramente en cálculos no triviales. en una máquina con longitud de palabra de 32 bits. los enteros están comprendidos entre -(231 .1 Aritmética de punto fijo
Un entero se puede representar empleando todos los bits de una palabra de computadora.
3. Un número representado en formato entero es 'exacto'.1 Notación científica normalizada
En el sistema decimal.3.
. En estos casos se dice que se comete un error de desbordamiento por exceso o por defecto (en inglés: Overflow y Underflow) y es necesario recurrir a técnicas de escalado para llevar a cabo las operaciones. despreciando cualquier resto. Las operaciones aritméticas entre números enteros son también 'exactas' siempre y cuando: 1. con la salvedad de que se debe reservar un bit para el signo. Por ejemplo:
En general. La división se interpreta que da lugar a un número entero.
El número q se denomina mantisa y el entero m exponente. los bits se acomodan del siguiente modo: Signo del número real x: Signo del exponente m: Exponente (entero |m|): Mantisa (número real |q|): 1 bit 1 bit 7 bits 23 bits
En la mayoría de los cálculos en punto flotante las mantisas se normalizan. el número de bits que se van a emplear para almacenar un número). es decir.2. En un ordenador binario tanto q como m estarán representados como números en base 2. En este caso. en la representación binaria empleada se cumplirá que:
3. pero con ciertas restricciones sobre el número de dígitos de q y m impuestas por la longitud de palabra disponible (es decir. Si además puede representarse exactamente con |m| ocupando 7 bits y |q| ocupando 24 bits. entonces es un número de máquina en el MARC-323 La restricción de que |m| no requiera más de 7 bits significa que:
. Para ilustrar este punto. por lo que no es necesario almacenarlo proporcionando un bit significativo adicional. el primer bit en q es siempre 1. Por lo tanto. Dado que la mantisa siempre se representa normalizada. consideraremos un ordenador hipotético que denominaremos MARC-32 y que dispone de una longitud de palabra de 32 bits (muy similar a la de muchos ordenadores actuales). Para representar un número en punto flotante en el MARC-32.Exactamente del mismo modo podemos utilizar la notación científica en el sistema binario. se toman de forma que el bit más significativo (el primer bit) sea siempre '1'. Esta forma de almacenar un número en punto flotante se conoce con el nombre de técnica del 'bit fantasma'. Se dice que un número real expresado como aparece en la ecuación (18) y que satisface la ecuación (19) tiene la forma de punto flotante normalizado.2 Representación de los números en punto flotante
En un ordenador típico los números en punto flotante se representan de la manera descrita en el apartado anterior. Puesto que la mantisa q está normalizada. la mantisa q cumple siempre la ecuación (19). tenemos que: (18)
donde m es un entero.
por lo que en muchos casos debemos recurrir a programas escritos en aritmética de doble precisión e incluso de precisión extendida.32 en binario se escribe del siguiente modo:
Empleando las representaciones comentadas. Represente los números 26. 15 bits para la parte entera y 16 bits para la parte fraccionaria. obtenemos:
Si expresamos el error como la diferencia entre el valor y el número realmente almacenado en el ordenador. Como q debe representarse empleando no más de 24 bits significa que nuestros números de máquina tienen una precisión limitada cercana a las siete cifras decimales. Calcule el error de almacenamiento cometido en cada caso. obtenemos:
En cuanto a los otros dos números. ya que el bit menos significativo de la mantisa representa unidades de . Por ejemplo: 0. obtenemos:
.5 representado en punto flotante en el MARC-32 (longitud de palabra de 32 bits) se almacena en la memoria del siguiente modo:
Ejemplo 5: Suponga un ordenador cuya notación de punto fijo consiste en palabras de longitud 32 bits repartidas del siguiente modo: 1 bit para el signo. la MARC-32 puede manejar números tan pequeños como 10-38 y tan 38 grandes como 10 .32. y 12542. Este no es un intervalo de valores suficientemente generoso. los números expresados mediante más de siete dígitos decimales serán objeto de aproximación cuando se almacenen en el ordenador.29301 en base 2 empleando esta notación de punto fijo y notación de punto flotante MARC-32 con 32 bits. Por tanto.Ya que . Solución: El número 26.
De este hecho se deriva inmediatamente una regla práctica: cuando es necesario comparar dos números en punto flotante relativamente grandes. sea 24. el número de bits de la mantisa. es siempre preferible comparar la diferencia relativa a la magnitud de los números. f. En el intervalo (exponente f = 0) es posible representar 224 números igualmente espaciados y separados por una distancia 1/224. Por ejemplo. en cualquier intervalo hay 224 números equiespaciados. Supongamos que p. de
. es interesante notar una propiedad de estos números de especial importancia en los cálculos numéricos y que hace referencia a su densidad en la línea real.
Figure: Evolución de la separación entre dos números consecutivos en función del exponente. En la figura (1) se representa gráficamente la separación entre dos números consecutivos en función del exponente f en el rango f = [20. entre 220 = 1048576 y 221 = 2097152 hay 224 = 16777216 números.Antes de entrar con detalle en la aritmética de los números en punto flotante.30]. pero su densidad en este caso es 2f/224. De modo análogo. pero el espaciado entre dos números sucesivos es de sólo .
Un número de máquina se puede obtener de dos formas:
Truncamiento: descartando todos los bits excedentes .3 Aritmética de punto flotante
En este apartado analizaremos los errores inherentes a la aritmética de los números de punto flotante. scale=0. Si representamos el número mediante:
en donde cada ai es 0 ó 1 y el bit principal es a1 = 1.la representación en punto flotante de un número real.7]eps/expon
3. Después analizaremos las cuatro operaciones aritméticas básicas y finalmente ampliaremos el estudio a un cálculo más complejo. de forma exacta en un ordenador. en general. El número resultante. entonces el número de máquina x* más cercano a x satisface la desigualdad: (20)
que se puede escribir de la siguiente forma:
. clip=true.
Todo lo anterior.3. se resume diciendo que si x es un número real distinto de 0 dentro del intervalo de la máquina.
[bb=55 60 455 410. aplicado al caso del MARC-32.
3. x' es siempre menor que x (se encuentra a la izquierda de x en la recta real). Redondeo por exceso: Aumentamos en una unidad el último bit remanente a24 y después eliminamos el exceso de bits como en el caso anterior.1 Números de máquina aproximados
Estamos interesados en estimar el error en que se incurre al aproximar un número real positivo x mediante un número de máquina del MARC-32. Primero consideraremos el error que surge como consecuencia de que los números reales no se pueden almacenar.
Por tanto. son: x' = x'' =
en donde x' se ha obtenido por truncamiento y x'' mediante redondeo por exceso.3. Expresaremos esta operación como:
. el número más próximo es fl(x) = x'' y los errores de redondeo absoluto y relativo son: |fl(x) .x' x'' . que producen un resultado normalizado de l-dígitos.x| = = 2-25 < 2-24
3.Ejemplo 6: ¿Cómo se expresa en binario el número x = 2/3? ¿Cuáles son los números de máquina x' y x'' próximos en el MARC-32? El número 2/3 en binario se expresa como:
Los dos números de máquina próximos. x e y. cada uno con 24 bits.x para estimar cual es el error cometido: x .x' y x'' . Calculamos ahora las diferencias x .2 Las operaciones básicas
Vamos a analizar el resultado de operar sobre dos números en punto flotante normalizado de l-dígitos de longitud.
redondear de este modo da lugar a un intervalo máximo del error de: (21)
y un error relativo máximo en el intervalo: (22)
Analizaremos ahora el error generado por cada una de las operaciones básicas: Multiplicación. Después. se recurre a renormalizar el resultado ajustando adecuadamente el exponente. Supondremos que en cada caso la mantisa del resultado es primero normalizada y después redondeada (operación que puede dar lugar a un desbordamiento que requeriría renormalizar el número). Para analizar el error de esta operación supongamos dos números:
Tenemos entonces que el producto será: xy = qx qy 2fx + fy en donde el valor de la mantisa se encontrará en el rango:
. esta función se traduce en la bien conocida regla de sumar 1 en la posición p + 1. qr. Para números enteros. es necesario redondear la mantisa a p bits. Teniendo en cuenta sólo la mantisa. El valor de la mantisa redondeada a p bits. Si la mantisa resultante no está normalizada. -. se define como (de una forma más rigurosa que en el caso anterior):
en donde la función redondeo por defecto
es el mayor entero menor o igual a x y la
función redondeo por exceso es el menor entero mayor o igual a x. ó .en donde op es +. La operación de multiplicar dos números expresados en punto flotante implica sumar los exponentes y multiplicar las mantisas.
en donde. División. obtenemos:
. como máximo. de acuerdo con la ecuación (22). Esto es:
Puesto que ambas mantisas satisfacen la ecuación (18). el valor del cociente estará acotado entre los límites:
Aplicando un análisis similar al empleado en el caso de la multiplicación.ya que tanto x como y satisfacen la ecuación (19). una posición. tenemos:
Por tanto. cumple la ecuación (21). Para llevar a cabo la división en punto flotante. la cota del error relativo en la multiplicación es la misma que la que surge por redondear la mantisa. Por tanto. La mantisa redondeada será entonces uno de estos dos posibles valores:
en donde . la normalización del producto qx qy implica un desplazamiento a la derecha de. que es el error de redondeo. mientras que los exponentes se restan. se divide la mitad de la mantisa del numerador por la mantisa del denominador (para evitar cocientes mayores de la unidad).
Es decir. Si en el proceso de calcular un valor se llevan a cabo N operaciones aritméticas es
4 posible obtener. en el mejor de los casos. en todas las operaciones aritméticas elementales en punto flotante. por lo que se produce una cancelación parcial).fy posiciones a la derecha. Es decir:
El análisis del error cometido en esta operación es más complejo que los estudiados hasta ahora. La mantisa resultante es sumada (o restada) y el resultado se normaliza y después se redondea. los errores de redondeo se acumulan a medida que aumenta el número de cálculos. La operación de suma o resta se realiza del siguiente modo: se toma la mantisa del operando de menor magnitud (supongamos que es y) y se desplaza fx . como en el caso anterior. un error de redondeo total del orden de (que coincide con el caso en que los errores de redondeo están aleatoriamente distribuidos. Desafortunadamente.en donde. es la misma que la que surge por redondear la mantisa. de acuerdo con la ecuación (22). Sin embargo. el resultado final indica que la cota máxima del error cometido en la adición y la sustracción viene dado por:
En conclusión. Sin embargo. la cota máxima del error relativo en la división. Adición y sustracción. este error puede crecer muy rápidamente por dos motivos:
. por lo que no lo vamos a ver en detalle. el error absoluto del resultado es no mayor de 1 en el bit menos significativo de la mantisa.
este fenómeno se da cuando se calcula la diferencia entre dos números muy próximos. En efecto. dando lugar a un resultado en el cual los únicos bits significativos que no se cancelan son los de menor orden (en los únicos en que difieren). son pequeños. Hay dos formas de calcular las soluciones de la familiar ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 que son: (23)
Cualquiera de estas dos expresiones da problemas cuando a. es preferible calcular previamente:
Es muy frecuente que la regularidad del cálculo o las peculiaridades del computador den lugar a que el error se acumule preferentemente en una dirección. La solución del problema pasa por emplear una expresión mejor condicionada. Por otra parte. sin embargo. la ecuación (24) calcula bien la raíz menor (siempre en valor absoluto) pero no la raíz más grande. Puede parecer que la probabilidad de que se de dicha situación es pequeña. c o ambos. el valor del discriminante es muy próximo al valor de b:
por lo que la diferencia viene afectada de un error de redondeo importante. En circunstancias especialmente desfavorables pueden existir operaciones que incremente espectacularmente el error de redondeo. En este caso. En estos casos. en cuyo caso el error de redondeo se puede aproximar a . Generalmente.
Veamos con un ejemplo los problemas comentados anteriormente. pero da pésimos resultados al estimar la raíz menor en valor absoluto. la ecuación (23) evalúa bien la raíz más grande en valor absoluto. algunas expresiones matemáticas fomentan este fenómeno.
hemos ignorado la posibilidad de que el resultado de una operación del punto flotante pueda no ser representable mediante el esquema fijo (l-bits) empleado por el ordenador.(25)
y las dos raíces a partir de valor de q como: (26)
Ejemplo: Calcular las raíces de la siguiente ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 siendo:
Solución: Empleando la ecuación (23). empleando las expresiones (25) y (26) se obtienen ambas soluciones correctas:
3. empleando la expresión (24):
Por último. La magnitud más grande que puede representarse mediante la fórmula general (18) es: (27)
. obtenemos:
Sin embargo.4 Desbordamiento por exceso y desbordamiento por defecto
En la discusión anterior.
la siguiente operación aritmética da lugar a desbordamiento por defecto: . las siguientes operaciones aritméticas dan lugar a desbordamiento por exceso:
El desbordamiento por defecto (underflow en inglés) se produce cuando el resultado de una operación en punto flotante es demasiado pequeño. Ejemplo: Con q = 8 (y por tanto F = 27 . en el caso del desobordamiento por defecto. Sin embargo.en donde F es el mayor exponente positivo representable (generalmente 27 .1) y M es la mantisa que tiene todos sus bits puestos a 1 ( M = 1 .224). en muchas ocasiones es posible continuar el cálculo reemplazando el resultado por cero. Un desbordamiento por exceso de punto flotante (overflow en inglés) se origina cuando el resultado de una operación de punto flotante tiene una magnitud mayor que la representada por la ecuación (27).
El desbordamiento por exceso es casi siempre resultado de un error en el cálculo. como para que se pueda expresar en la forma dada por la ecuación (18).5 Condicionamiento y estabilidad
La 'inestabilidad' en un cálculo es un fenómeno que se produce cuando los errores de redondeo individuales se propagan a través del cálculo incrementalmente. Por ejemplo. Veamos brevemente este fenómeno y el problema relacionado con este: el 'condicionamiento' del método o del problema. La mejor forma de ver este fenómeno es a través de un ejemplo. Supongamos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
.1 = 127). El número más pequeño representable suponiendo que siempre trabajamos con mantisas normalizadas es en donde -F es el exponente negativo más grande permitido (generalmente -2-q-1).
3. con q=8 resulta -F = -128. aunque no nulo. Ejemplo: Con q = 8 (y por tanto -F = -128).
que tiene la siguiente solución general:
En el caso particular en que las condiciones iniciales de nuestro problema son: y1(0) = -y2(0) = 1 es posible determinar que el valor de las constantes a1 y a2 es: a1 = 0 & y & a2 = 1 Hasta este punto. no de lugar a un error arbitrariamente grande en relación con la solución exacta. supongamos que el sistema de ecuaciones anterior se resuelve empleando un método numérico cualquiera con el fin de calcular los valores de las funciones y1 y y2 en una secuencia de puntos y
que el error del método da lugar a un valor de . Sin embargo. las soluciones son exactas. La conclusión que se obtiene es que no es posible calcular una solución al sistema de ecuaciones diferenciales anterior que. de a1 dará lugar a que el término ex domine sobre el término e-x para valores suficientemente grandes de x (ver figura (2)).
Figure: Representación gráfica de las funciones y =
. Ya que a1 multiplica a un exponencial creciente cualquier valor. por pequeño que sea. para valores suficientemente grandes de x.
b] valores de signo opuesto. valores propios de matrices.e-x e
en donde se pone de manifiesto que ambas funciones difieren rápidamente a partir de un cierto valor de la ordenada x. conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Sin embargo. En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales. La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros:
. que establece que si una función continua. Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2. La determinación de las soluciones de la ecuación (28) puede llegar a ser un problema muy difícil. toma en los extremos del intervalo [a. entonces la función admite. Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:
El teorema de Bolzano. podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas. se dice que está 'mal condicionado' (illconditioned). o empleando una terminología más común en cálculo numérico. una raíz en dicho intervalo.
[scale=0. al menos. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos. Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos.. resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales.7]eps/sinu El problema anterior se dice que es inherentemente inestable. si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica. no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares).. etc. f(x). Cálculo de raíces de ecuaciones
El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple: f(x) = 0 (28)
La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido.
por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación. Lógicamente. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz. (que es además la única raíz racional de la ecuación). obtenemos que la única raíz real es y = -3.entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.1 = 0
y después multiplicamos por 32: y3 + 3y2 -3y -9 = 0
con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:
Sustituyendo en la ecuación. este método es muy poco potente. La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación: 3x3 + 3x2 . determinamos una
.x . es decir.
4.aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado. al menos.
Figure: Diagrama de flujo correspondiente a la
. por lo que sabemos que existe.1 Método de la bisección
Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.x1]tal que f(x0)f(x1) < 0. una raíz real. Consiste en partir de un intervalo [x0. Está basado directamente en el teorema de Bolzano explicado con anterioridad.
definida en la forma g(x)=f(x)+x. el término número de cifras significativas con las que obtenemos el resultado. el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente. lo dividimos en dos subintervalos tales que y y determinamos en qué subintervalo se encuentra la raíz (comprobando de nuevo el producto de las funciones). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. la tolerancia .x1]. Repetimos el proceso hasta alcanzar la convergencia (hasta que ) o bien hasta que se excede el número de iteraciones permitidas (Iter > MaxIter). Para encontrar la solución. Dos operaciones representadas en el esquema de la figura (3) requieren una explicación adicional:
El punto medio del intervalo se calcula como
emplear . La convergencia ( ) se calcula mediante la expresión .
[scale=0. partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0). tendrá como límite la solución del problema.implementación del método de la bisección. que representa las cifras significativas con las que queremos obtener la solución y dos valores de la variable independiente. tales que cumplan la relación f(x0)f(x1) < 0. Esto da lugar a una sucesión de valores converge. x0 y x1. Una vez que se comprueba que el intervalo de partida es adecuado. . x=g(x). en cuyo caso es necesario imprimir un mensaje de error indicando que el método no converge. Se sigue de este modo una estrategia general al efectuar cálculos numéricos que indica que es mejor calcular una cantidad añadiendo un pequeño término de corrección a una aproximación obtenida previamente.2 Método de las aproximaciones sucesivas
Dada la ecuación f(x) = 0. en un computador de precisión limitada. es necesario suministrar al programa el número máximo de iteraciones MaxIter. existen valores de x0 y x1 para los cuales xm calculado mediante se sale del intervalo [x0. De este modo. representa el
4.9]eps/bisecc El algoritmo empleado se esquematiza en la figura (3).
. Por ejemplo. Inicialmente. que si
[scale=0. La intersección de esta solución con la recta y=x nos dará un nuevo valor x1 más próximo a la solución final. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos y = g(x0).
adecuado. siempre podemos hacer que g(x)
Figure: Demostración gráfica de que el método de
las aproximaciones sucesivas diverge si la derivada g'(x) > 1. puede obviarse fácilmente. Sin embargo. el método puede divergir fácilmente. Para ello basta elegir la función g(x) del siguiente modo:
de forma que tomando un valor de cumpla la condición de la derivada. Un ejemplo de este caso se muestra en la figura (5). que a priori puede considerarse una severa restricción del método.•
Figure: Interpretación geométrica del método de las
aproximaciones sucesivas.9]eps/as-1
En la figura (4) se representa la interpretación geométrica del método. Esta condición.9]eps/as-2
[scale=0. Es fácil comprobar que el método sólo podrá converger si la derivada g'(x) es menor en valor absoluto que la unidad (que es la pendiente de la recta definida por y=x).
.4. sea r un cero de f y sea x una aproximación a r tal que r=x+h. por el teorema de Taylor tenemos: 0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O(h2) en donde h=r-x. Efectivamente. Si f'' existe y es continua. x1.3 Método de Newton
Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor. dada por la fórmula: (29)
La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. es razonable ignorar el término O(h2): 0 = f(x) + hf'(x) por lo que obtenemos la siguiente expresión para h: (32) (31) (30)
A partir de la ecuación (32) y teniendo en cuenta que r=x+h es fácil derivar la ecuación (29). Si x está próximo a r (es decir hes pequeña).
La ecuación de la recta que pasa por el punto (x0. como se puede apreciar del análisis de la figura (6). f'(x0).Figure: Interpretación geométrica del método de
Newton. se obtiene de la intersección de la función linear con el eje X de ordenadas. La nueva aproximación a la raíz.9]eps/new-1 El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla.f(x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto. x1. es decir. haciendo y=0 y despejando x obtenemos la ecuación de Newton-Raphson (29). Veamos como podemos obtener la ecuación (29) a partir de lo dicho en el párrafo anterior. De hecho. f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0.
Figure: Dos situaciones en las que el método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el método no alcanza la convergencia y (b) el método converge
[scale=0. el método de Newton consiste en una linealización de la función.f(x0)) y de pendiente f'(x0) es: y .f(x0) = f'(x0)(x-x0) (33)
la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. Sin embargo. la convergencia depende en gran medida de la forma que adopta la función en las proximidades del punto de iteración. Sin embargo. obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración: (35)
.hacia un punto que no es un cero de la ecuación. En la figura (7) se muestran dos situaciones en las que este método no es capaz de alcanzar la convergencia (figura (7a)) o bien converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación (figura (7b)). En estos casos es más útil emplear el método de la secante.9]eps/new-2 El método de Newton es muy rápido y eficiente ya que la convergencia es de tipo cuadrático (el número de cifras significativas se duplica en cada iteración).
[scale=0. El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir. la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión: (34)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (29) del método de Newton.4 Método de la secante
En la figura (9) se representa geométricamente este método. es decir. En general. La siguiente aproximación.Figure: Representación geométrica del método de la
secante. como en el caso del método de la secante. [x0.5 Método de Steffensen
El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere.6 Método de la falsa posición
El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante.
. x2.
[scale=0. dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) < 0. la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo necesita un punto inicial.x1].9]eps/secante En la siguiente iteración.x2] y [x2. Este método. La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos. la evaluación de derivada alguna. se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0. el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson explicado anteriormente. se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos (empleando la ecuación (35) del método de la secante). Este método calcula el siguiente punto de iteración a partir de la expresión:
4. emplearemos los puntos x1 y x2para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación (35). como en el método de la bisección. Presenta además. parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0. En la figura (8) se representa geométricamente este método.
La aproximación a la raíz se toma a partir del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x0. f(x1)/2) si la función es cóncava en el intervalo (figura b). mejora notablemente la elección del intervalo (ya que no se limita a partir el intervalo por la mitad).f(x1)) si la función es convexa en el intervalo (figura a) o bien a partir de la recta que une los puntos (x0.9]eps/falpos La elección guiada del intervalo representa una ventaja respecto al método de la secante ya que inhibe la posibilidad de una divergencia del método.Figure: Representación geométrica del método de la
falsa posición.9]eps/hamming Sin embargo.
Figure: Modificación del método de la falsa posición
propuesta por Hamming. uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse (ver figura (9)). el método de la falsa posición tiene una convergencia muy lenta hacia la solución.f(x0)/2) y (x1. se ha
. Por otra parte y respecto al método de la bisección. una vez iniciado el proceso iterativo. Para obviar este problema.
[scale=0. Efectivamente.
[scale=0.f(x0)) y (x1.
denominada método de Hamming. la aproximación a una raíz se encuentra a partir de la determinación del punto de intersección con el eje X de la recta que une los puntos ( x0. el método de Hamming requiere determinar la concavidad o convexidad de la función en el intervalo de iteración.f(x1)) si la función es convexa en el intervalo o bien a partir de la recta que une los puntos (x0.f(x0)/2) y (x1.propuesto una modificación del método.f(x0)) y (x1. Puntos fijos e iteración funcional
El método de Newton y el de Steffenson son ejemplos de procedimientos mediante los cuales se calcula una sucesión de puntos empleando una fórmula de recurrencia como la siguiente:
xn+1 = F(xn)
El algoritmo definido de este modo se denomina iteración funcional. Ejemplo: En el caso del método de Newton. f(xm) (en donde xm se calcula como en el método de la bisección) y comparar este valor con la media de los valores de la función en los extremos del intervalo. En la figura (10) se representa gráficamente el método de Hamming. Como hemos comentado. la expresión (37) se escribiría del modo:
en tanto que para el método de Steffensen resulta ser:
. Tenemos entonces que:
5. Según este método. Un método relativamente sencillo para determinar la curvatura de la función consiste en evaluar la función en el punto medio del intervalo. . f(x1)/2) si la función es cóncava en el intervalo.
Se dice que una transformación es contractiva si existe un número menor que 1 que satisfaga la relación: (38)
para todos los puntos x e y en el dominio de F. nos limitaremos a analizar el caso más sencillo en que F envía en sí mismo algún conjunto cerrado y además se trata de una aplicación contractiva. Como hemos visto en el apartado anterior. que se puede expresar del siguiente modo: Sea F una aplicación contractiva que va de un conjunto cerrado a C.
El enunciado anterior. En este caso. por tanto. 27. Para ello. conocido como teorema de la aplicación contractiva se puede demostrar fácilmente. que F(s)=s y denominamos a s punto fijo de la función F.La fórmula (37) puede utilizarse para generar sucesiones que no convergen. Las aplicaciones contractivas cumplen una propiedad de gran importancia. aquellos casos
Es fácil comprobar que si F es continua se cumple la siguiente relación entre F y s:
Tenemos. estamos interesados en aquellos casos para los que existe para los que se cumple: . Podemos considerar al punto fijo como un valor al que se fija la función durante el proceso iterativo.. con frecuencia un problema matemático puede reducirse al problema de encontrar un punto fijo de una función. que se obtiene con x0=1 y F(x)=3x. Sin embargo. 9. primero escribimos xn en la forma:
. como por ejemplo la sucesión 1. Es decir. este punto fijo es el límite de toda sucesión que se obtenga a partir de la ecuación (37) con cualquier punto inicial . Entonces F tiene un punto fijo. 3.. Más aún...
De acuerdo con la expresión anterior. vemos que la sucesión [xn]converge si y sólo si la serie
converge. supongamos que existen dos puntos fijos. x e y. podemos utilizar el criterio de comparación. Por otra parte. Comprobemos ahora que el punto fijo es efectivamente único. de modo que a partir de la expresión (41) obtenemos:
Es decir. usando la propiedad de las aplicaciones contractivas expresada por (38) junto con la ecuación (37). De acuerdo con la relación (38). Para ello. podemos escribir: (40)
La relación expresada por (40) puede repetirse para obtener: (41)
Para comprobar que la sucesión (39) converge. tenemos:
. la sucesión converge tal como establece el teorema de la aplicación contractiva expresado anteriormente. Para demostrar que esta serie converge. basta con demostrar que la serie (39)
Por tanto.. como:
. Para comprobar que la función anterior es contractiva. El sistema de ecuaciones (42) se puede escribir. de acuerdo con el teorema de la aplicación contractiva. x1. la sucesión debe converger a un único punto fijo. Los elementos aij y bi son números reales fijados. es decir.. calculemos la diferencia entre dos términos cualesquiera de la sucesión anterior:
(por la desigualdad triangular).
6. empleando una muy útil representación matricial. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
El objetivo de este apartado es examinar los aspectos numéricos que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma:
Se trata de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. xn.. Ejemplo: Demuestre que la sucesión [xn] definida recursivamente de acuerdo con:
es contractiva y tiene un punto fijo.Ya que es un número finito menor que uno. si el punto fijo es único. la única forma de que la ecuación anterior se cumpla es si |x-y| = 0. . x2. cuyo valor es 2 (compruébelo).
debido fundamentalmente a los errores de truncamiento que se producen en el proceso.1 Métodos de resolución exacta
Antes de abordar el estudio de los métodos de resolución exacta de sistemas de ecuaciones lineales.
. Entre los métodos aproximados nos centraremos en el estudio de los métodos de Richardson. x y b de forma que la ecuación se reduce simplemente a: Ax=b (44)
Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones se pueden dividir en dos grandes grupos:
Los Métodos exactos o algoritmos finitos que permiten obtener la solución del sistema de manera directa. en muchas ocasiones los métodos aproximados permiten obtener un grado de exactitud superior al que se puede obtener empleando los denominados métodos exactos. analizaremos algunas propiedades y relaciones útiles que caracterizan a estos sistemas.
Al contrario de lo que pueda parecer.(43)
Entonces podemos denotar estas matrices por A.
6. De entre los métodos exactos analizaremos el método de Gauss y una modificación de éste denominado método de Gauss-Jordan. Jacobi y Gauss-Seidel. Los Métodos aproximados que utilizan algoritmos iterativos e infinitos y que calculan las solución del sistema por aproximaciones sucesivas.
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