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Timestamp: 2019-04-25 08:47:23+00:00

Document:
Transféré par Bello Boubacar
AMF Documents Commerciaux Et MIFID
Université Paris 7 2005/2006
Master 1ère année E. Temam
Email : temam@math.jussieu.fr
I. Les marchés financiers .................................................................................................................... 3
A. Vocabulaire des marchés financiers....................................................................................... 3
B. Les produits financiers ........................................................................................................... 3
1. Les actions ............................................................................................................................. 4
2. Les Obligations ...................................................................................................................... 6
3. Autres produits échangés ....................................................................................................... 7
C. Le marché Boursier................................................................................................................ 8
1. Les sociétés de Bourse ........................................................................................................... 8
2. Le marché des Obligations..................................................................................................... 9
3. Le marché des Actions........................................................................................................... 9
II. Notions de taux d’intérêt ............................................................................................................... 12
A. Introduction.......................................................................................................................... 12
B. Intérêts simples et composés................................................................................................ 12
1. Intérêts simples .................................................................................................................... 12
2. Opérations à court terme ...................................................................................................... 14
3. Intérêts composés................................................................................................................. 16
4. La notion de capitalisation ................................................................................................... 18
5. Les types de taux :................................................................................................................ 18
6. Principe d’équivalence des taux........................................................................................... 19
C. Les taux sur les marchés ...................................................................................................... 19
1. Les différents taux................................................................................................................ 19
2. Comment se forment les taux ?............................................................................................ 21
3. Le taux de base bancaire (TBB) ou prime rate .................................................................... 22
III. Actualisation et actuariat ............................................................................................................... 23
A. Principe d’actualisation........................................................................................................ 23
1. Définitions ........................................................................................................................... 23
2. Valeurs acquises et valeurs actuelles d’une suite de flux financier. .................................... 23
B. Les choix d’investissement .................................................................................................. 26
1. Taux actuariel....................................................................................................................... 26
2. Comparaison VAN/TRI ....................................................................................................... 26
C. Les emprunts indivis ............................................................................................................ 28
D. Les emprunts obligataires .................................................................................................... 33
1. Caractéristiques d'un emprunt obligataire............................................................................ 33
2. Valeur d’une obligation ....................................................................................................... 35
IV. Les produits dérivés....................................................................................................................... 40
A. Présentation des produits dérivés......................................................................................... 40
1. Définition ............................................................................................................................. 40
2. Les contrats à terme ............................................................................................................. 41
3. Les options ........................................................................................................................... 48
B. Les marchés des produits dérivés......................................................................................... 54
1. Le MATIF............................................................................................................................ 54
2. Le MONEP .......................................................................................................................... 57
C. Stratégies complexes............................................................................................................ 58
1. Stratégie sur la volatilité : le straddle................................................................................... 58
2. Stratégie sur la volatilité : le strangle................................................................................... 59
3. Stratégie sur le prix : le collar .............................................................................................. 59
V. Modèle d’évaluation par arbre ...................................................................................................... 60
A. Modèle à une période........................................................................................................... 60
1. Un exemple .......................................................................................................................... 60
2. Hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage................................................................. 62
3. Cas général........................................................................................................................... 64
B. Modèle à deux périodes ....................................................................................................... 66
Le Marché Financier est le marché sur lequel s’échangent les valeurs mobilières : actions, obligations
et titres dérivés (certificats d’investissement, titres participatifs, warrants...etc.).
A. Vocabulaire des marchés financiers
♦ Un titre financier est un contrat où les parties s’échangent des flux d’argent.
♦ Un marché financier est un lieu où l’on achète et vend des titres financiers. Les
opérateurs de marché sont le plus souvent autorisés à vendre à découvert (« short
selling ») des titres qu’ils ne possèdent pas !
Attention ! Vendre un titre à découvert signifie s’engager à en verser les revenus à
l’acquéreur. Vous n’espériez tout de même pas avoir le beurre et l’argent du beurre ? Si ?
♦ La valeur d’un titre financier est un montant positif ou négatif, qui représente
l’enrichissement ou l’appauvrissement des flux futurs. Attention ! Rien ne garantit a
priori que la valeur d’un titre soit unique : il existe souvent plusieurs méthodes de
♦ Le prix d’un titre est un montant convenu entre deux parties en échange du titre. Le plus
souvent c’est l’acheteur qui verse le montant, mais il arrive que le vendeur doive payer
l’acheteur pour que celui-ci accepte un titre qui lui causera des pertes. Attention ! le prix
n’est pas forcément égal à la valeur : tout le monde n’a pas la même anticipation de
Produits conditionnels :
Warrants, Bons, Options
Dès lors que le profit est positif. Depuis novembre 1984. à savoir l’Etat.5% de la valeur nominale de l’action. L’objectif était de permettre des prises de participation par le public dans les entreprises nationalisées sans pour autant modifier l’actionnariat et faire perdre des voix à l’actionnaire principal. b) L'action privilégiée Elle offre un privilège qui peut être une priorité lors des votes dans les assemblées générales ou une priorité lors de la distribution du dividende. Elle est source de trois droits : ♦ un droit au pouvoir -via un droit de vote lors des assemblées générales. c) L'action à dividende prioritaire . En effet. Mais elles ne bénéficient pas de droit de vote. de moins en moins répandus sur le marché français.MATHEMATIQUES FINANCIERES 1. ♦ un droit à l'information . Elles sont en général.. le versement du dividende doit être reporté sur les deux exercices suivants. Sinon. le droit à l’information et aux bénéfices (nommé dividende). Un des grands avantages de cette dématérialisation est le renforcement de la sécurité. si la société réalise des bénéfices. l'actionnaire en recevra une partie au prorata du nombre d'actions qu'il possède. On a donc : Certificat d'Investissement + Droit de vote = Action e) Les ABSA ou Actions à Bons de souscription d'actions Ce sont des actions qui donnent droit à leur détenteur de souscrire à de nouvelles actions à une date donnée. plus chères qu’une action classique. Ce titre de propriété s'acquière contre de l'argent soit au moment de la création de l'entreprise ou d'augmentations de capital soit directement sur le marché boursier. Ces titres. a) L’action classique C'est la forme la plus répandue. Le revenu de l'actionnaire s'appelle donc le dividende. Elles présentent un rendement plus élevé que l'action ordinaire sans offrir le droit de vote. ♦ un droit au résultat -sous forme de dividendes-. le dividende versé doit égaler au moins 7. peuvent aussi bien être émis par des entreprises publiques que privées. Les actions Définition : Une action est un Titre de propriété représentant une fraction du capital d’une entreprise et donnant à son porteur le droit de vote aux assemblées. Il dépend des résultats financiers de l'entreprise. Le papier a laissé place au code Sicovam stocké dans un énorme ordinateur. les actions sont dématérialisées. Elles confèrent à leur détenteur un accès privilégié aux dividendes. Page 4 sur 67 . Il existe en réalité une très grande diversité d'actions dont nous présentons ici quelques exemples. d) Les certificats d'investissement Les certificats d'investissement sont des titres sans droit de vote qui sont apparus après les nationalisations de 1981.ADP Les ADP ont été créées en 1978. lorsque le profit est négatif ou insuffisant. Impossible en effet pour un actionnaire de se faire voler ses titres.
MATHEMATIQUES FINANCIERES Résumé Titre de propriété Droit de l'actionnaire ♦ Droit à l'information ♦ Droit de vote ♦ Droit à la rémunération Action Rémunération de l'action ♦ Sous forme de dividende ♦ Sous forme d'augmentation du prix de l'action plus value Risque maximum de l'actionnaire : ♦ limité à la valeur de ses actions Exemple d’information sur l’action France Télécom Page 5 sur 67 .
l’émission est dite au pair. Une obligation donne droit au paiement d’un intérêt en général annuel et au remboursement du capital. Pour revendre son titre. Un même nombre de titres.MATHEMATIQUES FINANCIERES 2. tirés au sort. La possibilité de verser des primes d’émission et/ou de remboursement permet notamment à l’émetteur de prendre en compte une évolution des taux du marché entre le montage du placement et l’émission effective. personne n’acceptera d’acheter 1000 euros un titre ne rapportant que 100 euros d’intérêt annuels. Imaginons que le détenteur de cette obligation souhaite la revendre sur le marché avant l’échéance. En cas de faillite de l’émetteur. le dernier jour de la durée de vie de l’obligation. à un moment où le taux facial pratiqué sur les nouvelles émissions d’obligations est de 15%. Aussi. Les Obligations Définition : les obligations sont des titres de créances représentatifs de dettes. et ayant un taux facial de 10% rapporte chaque année 100 euros auxquels il faut rajouter le remboursement du principal (1000 euros) à l’issue de la 10ème année. a) Vocabulaire La valeur nominale d’une obligation est celle qui sert de base au calcul de l’intérêt en général annuel versé (le coupon). Lorsque la valeur de remboursement est égale à la valeur nominale. l’émetteur rembourse chaque année (par tirage au sort). Il est important de noter que ces titres sont particulièrement vulnérables au risque d’inflation en cas de variation des taux d’intérêt. Le remboursement in fine : le remboursement est réalisé en une seule fois. L’annuité est le flux total versé chaque année par l’émetteur à l’ensemble des obligataires. Prenons un exemple. les administrations publiques et les collectivités locales. Le montant de l’annuité diminue avec le temps. ainsi que par l’Etat. une obligation de valeur nominale égale à 1000 euros rapporte chaque année 150 euros . ♦ Le remboursement par annuités constantes : l’annuité est constante. le remboursement est dit au pair. une part croissante du principal. Mais la valeur de remboursement peut différer de la valeur nominale. le détenteur de l’obligation doit consentir une baisse du prix de façon à ce que. le détenteur d’une créance est prioritaire sur l’actionnaire. Le coupon est alors égal au taux facial (fixé à l’émission) multiplié par le nominal. Au taux du marché. l’annuité n’est donc composée que des seuls intérêts versés chaque année par l’émetteur. remboursée au pair in fine. pour Page 6 sur 67 . A l’exception de la dernière année de vie de l’obligation. La différence entre la valeur nominale et le prix d'émission constitue alors la prime d'émission. Mais l’obligation peut être émise soit en dessous (cas le plus fréquent). soit au-dessus de la valeur nominale. par conséquent. La différence constitue alors la prime de remboursement. une partie de l’emprunt est remboursée. puisque le montant de l’intérêt sur le capital restant dû diminue. Une obligation à 10 ans d’une valeur nominale de 1000 euros. puisque l’intérêt sur le capital restant dû diminue. La valeur de remboursement est le montant perçu par l’obligataire en remboursement de son prêt. On distingue plusieurs catégories d’obligations qui répondent à des attentes différentes. Le remboursement de l’obligation peut être réalisé selon trois modalités principales différentes. c’est-à-dire la somme des intérêts et des flux éventuels de remboursement du principal. Le remboursement par séries ou par tranches annuelles égales : chaque année. Lorsque le prix d’émission est égal à la valeur nominale de l’obligation. Les obligations peuvent être émises par les entreprises privées ou publiques. est remboursé chaque année. Le prix d’émission est le montant du versement demandé au souscripteur lors de l’émission de l’obligation. ♦ Les obligations ordinaires sont des obligations à taux fixe dont le coupon versé en général une fois par an est identique sur toute la durée de vie du titre. Le détenteur d’une obligation perçoit un revenu connu à l’avance ou dont la révision se réalise dans les conditions prévues au moment de l’émission.
l’acheteur, la rémunération soit identique à celle du marché, ici 15%. Le vendeur devra vendre son
obligation au prix d’une obligation de nominal 667€.
Nous avons ainsi mis en évidence une relation décroissante entre le prix d’une obligation et le niveau
des taux d’intérêt. Il en résulte pour l’acquéreur d’une obligation un risque de taux d’intérêt, c’est-à-
dire une risque de moins-value à la revente en cas de hausse des taux. Ce risque est particulièrement
sensible aux tensions inflationnistes, lesquelles peuvent être à l’origine d’une hausse des taux par les
autorités monétaires. Pour pallier les défauts des obligations à taux fixe, plusieurs innovations ont vu
♦ Les obligations à taux flottant sont composées des obligations à taux variable et à taux
révisable. Leur particularité est d’offrir une rémunération (taux d’intérêt) qui varie dans le
temps en référence à une moyenne de taux constatés sur le marché. Les titres à taux
révisable versent un intérêt périodique qui est calqué sur l’évolution récente des marchés
alors que ceux à taux variables procurent une rémunération calculée comme une moyenne
des conditions offertes par le marché jusqu’au jour de détachement du coupon.
♦ Les obligations indexées sont des titres dont la valeur de remboursement et/ou les intérêts
sont liés à l’évolution d’un indice de référence. En particulier, le rendement de certains
emprunts est calqué sur l’inflation. Ainsi, le Trésor français a procédé, pour la première
fois en septembre 1998, à l’émission d’une OAT (Obligation Assimilable du Trésor)
indexée sur l’inflation : l’OATi. Ce titre est une obligation à taux fixe dont tous les flux
sont payés en appliquant un coefficient d’indexation égal à l’évolution de l’inflation entre
la date initiale et la date de paiement du flux. L’OATi n’est dès lors sensible qu’à
l’évolution des taux d’intérêt réels (taux d’intérêt nominaux moins taux d’inflation),
historiquement plus stables que les taux d’intérêt nominaux. Ce produit financier offre
donc une protection contre les risques d’inflation non anticipée et représente, de ce fait,
l’actif actuellement le moins risqué sur le marché.
Comme pour les actions, existent dans la catégorie des obligations des titres hybrides, se situant en
réalité à mi-chemin entre les obligations et les actions. Il s’agit par exemple des obligations à bon de
souscription d’obligation (OBSO), des obligations convertibles en actions (OCA) ou des titres
participatifs. Ces derniers sont assimilés à des quasi-fonds propres ; ils sont en principe non
remboursables et procurent à leurs détenteurs une rémunération qui est pour partie fixe et pour partie
variable indexée à un indicateur de performance de la société (chiffre d’affaires, résultat net…).
3. Autres produits échangés
Il existe d’autres produits échangés sur les marchés. Tout d’abord les matières premières comme l’or,
le pétrole, les produits agro-alimentaires, etc.… D’autre part, il y les devises : euro, dollar, yen, etc.
Deux grands types de produits dont nous parlerons ultérieurement :
♦ Les produits de taux
♦ Les produits dérivés
C. Le marché Boursier
Nous l'avons vu dans la fiche sur le rôle de la bourse, ce sont les sociétés de bourse qui sont le passage
obligé de l'investissement en bourse car elles détiennent le monopole des transactions boursières.
Jusqu'en 1988 c'étaient des officiers ministériels (les agents de change) qui détenaient ce monopole,
cependant le crack de 1987 est venu modifier cette organisation et les agents de change se sont
transformés en sociétés de bourse.
1. Les sociétés de Bourse
a) Euronext
Cette société a pour mission de veiller au bon déroulement de la cotation des valeurs, elle peut
intervenir pour interrompre la cotation, notamment dans le cas d'irrégularités ou d'événements propres
à engendrer une spéculation injustifiée (OPA, OPE,...). Une autre de ses missions et d'assurer le calcul
et la cotation des indices (ex: CAC 40) ainsi que d'assurer la promotion de la place parisienne en
Le 22/09/2000, les bourses d'Amsterdam, de Bruxelles et de Paris ont fusionné, créant une place
financière transnationale baptisée Euronext. Le 06/02/2002, la bourse portugaise BVLP est pour sa
part devenue Euronext Lisbonne, au même titre que « Euronext Paris, Euronext Amsterdam et
Euronext Bruxelles ». Euronext constitue donc désormais un marché transfrontalier d'actions,
d'obligations, de produits dérivés et de marchandises totalement intégré.
Euronext s’occupe des opérations de compensation du marché à terme et du marché des options
négociables depuis la fusion avec MONEP et MATIF.
b) Le Conseil des Bourses de Valeurs (CBV)
Le CBV tient un rôle d'organisation et de réglementation du marché par le biais de règlements tels
que: les conditions d'agrément des sociétés de bourses, les dispositions déontologiques, les modes
d'admission ou de radiation à la côte...
c) La Commission des Opérations de Bourse (COB)
La COB a été créée en 1967 pour surveiller le marché, on entend d'ailleurs couramment dire qu'il s'agit
du "gendarme de la bourse", c'est une autorité administrative indépendante dirigée par six membres.
Ses trois principaux rôles sont la protection de l'épargne, l'information des investisseurs et la garantie
du bon fonctionnement des négociations.
La COB dispose en outre d'un droit d'opposition à l'admission d'un titre ou d'un instrument financier
sur un marché réglementé. Enfin elle dispose d'un pouvoir de sanction en cas d'infraction à ses règles.
d) L’autorité des marchés financiers (AMF)
Créée en 2003, l’AMF est issue de la fusion de plusieurs organismes :
♦ la Commission des opérations de bourse (COB) ;
♦ le Conseil des marchés financiers (CMF) ;
♦ le Conseil de discipline de la gestion financière (CDGF).
♦ à la protection de l'épargne investie dans les instruments financiers et tout autre placement
donnant lieu à appel public à l'épargne ;
♦ à l'information des investisseurs ;
♦ au bon fonctionnement des marchés d'instruments financiers.
♦ Les opérations et l'information financières : l’AMF réglemente et contrôle l'ensemble des
opérations financières portant sur des sociétés cotées : introductions en bourse,
augmentations de capital, offres publiques, fusions... et veille au bon déroulement des
offres publiques boursières. Elle vérifie que les sociétés publient, en temps et en heure,
une information complète et de qualité, délivrée de manière équitable à l'ensemble des
♦ Les produits d'épargne collective: elle autorise la création de SICAV et de FCP. Elle
vérifie notamment l'information figurant dans le prospectus simplifié de chaque produit
qui doit être remis au client avant d'investir.
♦ Les marchés et leurs infrastructures : l'Autorité des marchés financiers définit les principes
d'organisation et de fonctionnement des entreprises de marchés (comme Euronext Paris) et
surveille les marchés et les transactions qui s'y déroulent.
♦ Les professionnels (établissements de crédit autorisés à fournir des services
d'investissement, entreprises d'investissement, sociétés de gestion, conseillers en
investissement financier, démarcheurs, etc.). L'AMF détermine les règles de bonne
conduite et les obligations que doivent respecter les professionnels autorisés à fournir des
services d'investissement ou des conseils en investissement.
Le marché boursier est composé de deux compartiments : le compartiment action -ou marché des
actions- et le compartiment obligations -ou marché des obligations.
2. Le marché des Obligations
Sur ce marché, on va distinguer le marché primaire et le marché secondaire. Le marché primaire est
celui qui concerne les nouveaux emprunts émis par l'État, les collectivités locales et les entreprises,
auxquels peuvent souscrire les particuliers. Le marché secondaire est le marché de l'occasion. C'est le
marché sur lequel s'échangent les valeurs déjà émises. Il est tout autant accessible aux particuliers.
Le marché Français des actions peut lui-même être subdivisé en plusieurs en sous éléments. On
♦ le marché officiel -ou cote officielle- comprenant le marché à Règlement mensuel -ou
RM- et le marché au comptant ou à règlement immédiat -ou RI ;
♦ le second marché ;
♦ le nouveau marché ;
♦ le marché hors cote.
a) Le marché officiel
Les entreprises souhaitant s'introduire sur le marché officiel doivent satisfaire à diverses conditions.
Elles doivent entres autres :
♦ mettre à la disposition du public 25% au moins de leur capital;
♦ avoir versé un dividende au cours des trois derniers exercices, lesquels doivent avoir été
Il s’agit d’un marché à terme. Il s’adresse à des sociétés européennes. est un marché autonome. Il marque le début du mois boursier suivant. Page 10 sur 67 . avant la date de liquidation. Vous encaissez les 10 € de plus- value à la liquidation boursière. e) Le Nouveau Marché Le Nouveau Marché. il est destiné à recevoir des entreprises de taille modeste mais dont les perspectives sont attrayantes. Il existe donc un délai entre la conclusion du contrat (achat et vente) et son exécution (livraison des titres et paiement). toutes les opérations sont réalisées au comptant. Les opérations peuvent être dénouées de trois manières différentes: ♦ attendre la liquidation et procéder au règlement. il n’y a pas de concordance entre le mois boursier et le mois calendaire et il est possible de vendre des actions que l’on ne possède pas. Vous pouvez ainsi acheter une action de la société Alpha 100 Euros le 10 Mars et la revendre 110 € le 15 Mars sans constater de sortie d'argent sur votre compte en banque. Il marque la fin du mois boursier. c’est à dire demander à ce que le règlement et la livraison des titres s’effectue à la liquidation suivante (estimant que nos prévisions se réaliseront le mois suivant). jeunes. ♦ présenter 2 années de comptes certifiés. Les obligations d’information sont en revanche réduites. b) Le marché à règlement mensuel C'est sur ce marché que sont cotées les actions des entreprises les plus importantes. ♦ 3eme au 6eme jour de liquidation : livraisons des titres et règlements selon un calendrier fixé par la SBF. ♦ se faire reporter. En d'autres termes. c) Le marché au comptant (RI) Sur ce marché. Les entreprises souhaitant s'introduire au second Marché doivent satisfaire les critères suivants: ♦ mettre à la disposition du public 10% au moins du capital. une opération en sens inverse (les spéculateurs à la hausse achète pour revendre). innovatrices. ♦ 2eme jour de liquidation : il est procédé aux opérations de report. ouvert en février 1996.MATHEMATIQUES FINANCIERES ♦ avoir un chiffre d’affaires supérieur à 500 millions de francs. ♦ effectuer. qui ont un besoin de capitaux important pour se développer. en titres et en capitaux. En effet. Le planning est le suivant : ♦ 1er jour de liquidation : liquidation générale de toutes les opérations réalisées pendant le mois boursier. toutes les opérations effectuées au cours du mois sont dénouées le jour de liquidation (6ème jour de bourse). Les conditions d’admission sont moins restrictives que sur le Marché Officiel. ♦ s’engager à publier régulièrement des informations. à fort potentiel de croissance. d) Le second marché Ouvert en 1983. régie par une société propre : la société du Nouveau Marché (filiale de la SBF).
. ou à celles qui ont été rétrogradées du comptant ou du RM. réservé aux petites entreprises. c’est à dire que le volume des transactions y est faible. Les conditions d’admission sur ce marché y sont simples puisque n’importe quelle société peut y être admise à condition de présenter les trois derniers bilans. f) Le Marché Hors Cote C’est un marché de moindre importance.. ♦ les compensateurs : dénouent les opérations effectués. mais les sociétés candidates doivent respecter des règles strictes d’information. Le fonctionnement du Nouveau Marché est assuré par des intermédiaires financiers agrées par la société du Nouveau Marché : ♦ les introducteurs teneurs de marché assurent l’introduction des sociétés et la tenue du marché de leurs titres (cotation permanente des divers titres) ♦ les négociateurs courtiers : ils exécutent les ordres de leurs clients ou les leurs propres. g) Les Marchés Dérivés Il s'agit des marchés de produits dérivés dont font partie entre autre les contrat à terme et les options. Il s’agit d’un marché étroit. De plus amples explications sont disponibles dans la description des produits traités sur les marchés. Page 11 sur 67 . MATHEMATIQUES FINANCIERES Les conditions d’admissions sont peu contraignantes.
L’offre : les acteurs de l’offre sont les banques (et donc les individus !). Définition : l’intérêt est le loyer de l’argent. Son montant est le résultat d’offres et de demandes. etc. 1. les fonds de pension. l’intérêt est la récompense pour la remise à plus tard de cette jouissance. Pour un épargnant. Le taux d’intérêt sera une fonction croissante du risque . plus le taux est élevé) ♦ des conditions économiques en général (si le prêteur a possibilité de placer son argent à 4. La demande : les demandeurs sont soit les particuliers pour des biens de consommation. appartement). nous allons utiliser des modèles théoriques. reposant sur les principes de l’actualisation. l’intérêt est le prix à payer pour la jouissance immédiate d’un bien de consommation (ex : automobile. Ce taux est une fonction ♦ du temps (croissante) ♦ du risque (il y a un risque de contrepartie : l’emprunteur peut faire défaut. Intérêts simples et composés L’intérêt simple est essentiellement utilisé pour des opérations à court terme (moins d’un an). plus l’emprunteur fait prendre de risque.MATHEMATIQUES FINANCIERES II. Si les intérêts sont payés à la fin. Pour un consommateur. ♦ Vf : le capital final ♦ r : taux d’intérêt simple pour une période ♦ n : nombre de périodes (horizon du placement) ♦ It : montant d’intérêt accumulé sur t périodes ♦ it : montant d’intérêt pour la période t. le capital est Vf = VI (1 + nr ) De plus I t = t × r × VI . Définition : l’intérêt est dit simple lorsqu’il est calculé à chaque période seulement sur la base de la somme prêtée ou empruntée à l’origine. il n’acceptera pas de prêter à moins). Notions de taux d’intérêt A. it = r × VI Page 12 sur 67 . Introduction Pour nous guider dans notre choix d’allocation. B. soit des entreprises pour de l’investissement.5%. Définition : Le taux d’intérêt est la mesure du loyer. Intérêts simples a) Définition Notations : ♦ VI : le capital initial (somme prêtée ou empruntée).
Généralement on parle de taux annuel. Exemple : Taux annuel Taux semestriel Taux mensuel Taux journalier r r/2 r/12 r/360 12% 6% 1% 1/30% Page 13 sur 67 . horizon = 29 ans Exercice : A quel taux annuel a été placé un capital de 20000€ ayant généré un intérêt de 2500€ après deux ans ? Solution : le placement a rapporté 2500€ sur deux périodes donc. 07 ) × 350 = 693€ A vous : Investissement = 12'435 . lorsque l’on connaît trois des variables VF. 1250€ sur une période. Pour les opérations à court terme. Quel est l’intérêt versé sur la période 1 ? Quel est l’intérêt total à la période 12 ? Quel est le capital final ? Solution : l’intérêt versé sur la période 1 est celui versé sur n’importe quelle période : i1 = rVI donc i1 = 0. MATHEMATIQUES FINANCIERES Intérêt et capital VI i1=VI. n et r doivent être exprimés dans la même unité de temps. n. VI. Ainsi. on peut déterminer la dernière.r i5=VI.r . I5 =VI5r 0 1 2 3 4 5 Périodes de temps Exercice : on réalise un investissement de 350€. Le taux d’intérêt est fixé à 7%.5% . r. taux d’intérêt = 4. 24 quinzaines ou 12 mois. 07 *350 = 24. 25% D’une manière générale. l’année est divisée en 360 jours. La rémunération doit se faire sur 14 ans.r I3=3VI. 20000 × r = 1250 ⇔ r = 6.5€ L’intérêt total à la période 12 : I12 = 12 × i1 = 294€ Le capital final : Vf = (1 + nr ) VI = (1 + 14 × 0.
Le 10 mars. Mais le banquier ne consent à cette opération commerciale d’escompte que s’il bénéficie d’une rémunération appelée escompte commercial. La somme empruntée est notée VI’ et les intérêts versés en fin de la période n se montent à n VI’ r’. il remet l’escompte (ou il négocie l’effet) à son banquier qui escompte l’effet. En échange de ce prêt. Les flux financiers en début et en fin de période sont Début de période Fin de période Capital +VI -VI Intérêt -n VI r Total VI(1 – n r) -VI Considérons un autre emprunteur qui souhaite réaliser une opération à un taux d’intérêt post-compté r’. Emprunter une somme VI pendant n périodes au taux précompté r implique le versement immédiat d’un intérêt qui vaut n VI r.entreprises basés sur des créances clients (billets à ordre. taux lui permettant d’encaisser et de décaisser les mêmes flux que le premier client. Date de règlement : 30 avril (échéance de l’effet). Quand ils sont versés en fin de période. Le préteur préfère recevoir les intérêts en début de période et inversement pour l’emprunteur. traites. Un exemple de négociation d’un effet de commerce : Exemple : Alpha vend le 8 février à son client Oméga pour 10 000 € (valeur nominale de l’effet) de marchandises. La somme réellement à disposition de l’emprunteur est donc égale au capital emprunté VI moins les intérêts exigibles immédiatement. Cet escompte commercial E est calculé avec les formules de l’intérêt simple (intérêt commercial). …).MATHEMATIQUES FINANCIERES A vous : Quel est le montant de l’intérêt relatif à un placement d’un montant de 11000€ sur 162 jours ? b) Versement des intérêts à la fin ou au début Quand les intérêts sont versés en début de période on parle de taux précomptés ou terme à échoir. C’est-à-dire que Alpha donne à son banquier la créance qu’elle détient sur Oméga. on parle de taux post-comptés ou terme échu. Alpha a besoin des 10 000 € qu’il emprunte à sa banque. Opérations à court terme a) L’escompte commercial On s’intéresse ici aux crédits à court terme banques . Début de période Fin de période Capital +VI’ -VI’ Intérêt -n VI’ r’ Total VI’ -VI’(1+n r’) L’égalité des deux séquences de flux donne : ⎧VI ' = VI (1 − nr ) 1 nr r ⎨ ⇔ (1 − nr )(1 + nr ') = 1 ⇔ nr ' = −1 = ⇔ r'= ⎩−VI = −VI '(1 + nr ') 1 − nr 1 − nr 1 − nr 2. n E = V × ie × 360 Où ♦ V est la valeur nominale de l’effet ♦ ie est le taux d’intérêt annuel du prêt ♦ n est le nombre de jours séparant la date de remise à l’escompte de l’effet de la date d’échéance de ce même effet (il s’agit de la durée du prêt consenti par la banque). lettres de change. Page 14 sur 67 .
002 × = 8.05% par exemple. Le grand avantage du découvert est sa souplesse d’utilisation. 07 × + 0. La valeur actuelle nette ⎝ 360 ⎠ est donc 20000 − 273. On définit l’agio hors taxe par : ⎡ n n ⎤ AgioHT = V ⎢ie +i + k⎥ ⎣ 360 360 ⎦ Le montant net de la négociation est donc : V − AgioHT n ⎛ 360 ⎞ Remarque : on écrit AgioHT = V × ⎜ ie + i + k ⎟ ce qui fait apparaître le taux réel 360 ⎝ n ⎠ 360 I 360 d’escompte ie + i + k . Définition : On définit la valeur actuelle commercial : ⎛ n ⎞ a = V − E = V × ⎜1 − ie × ⎟ ⎝ 360 ⎠ Il s’agit de la somme effectivement prêtée. Exemple : Un effet de 20000€ est escompté sur une durée de 60 jours au taux de 7% avec un taux de commission fixe à 0. Le taux effectif est donc r = où I = ie + i + ×k n n n 1− I 360 puisqu’il s’agit d’une opération à intérêts précomptés. après déduction des intérêts post-comptés d’escompte. négocié habituellement avec l’entreprise ou le particulier. qui s’applique au plus fort solde débiteur mensuel Page 15 sur 67 .33€ .31% 60 1 − nI b) Le découvert Le recours au découvert ou avance en compte courant se traduit par un compte débiteur. La banque accorde un plafond de découvert. Cet escompte est 360 1+ n ie 360 360 beaucoup moins utilisé. Le coût du découvert est affecté par : ♦ La commission de plus fort découvert. Le taux effectif de l’escompte commercial est 360 I I = 0. MATHEMATIQUES FINANCIERES Il s’agit d’une opération à intérêt précompté. n Vie n L’escompte rationnel est : Er = (V − Er ) × ie × .33 = 19726. 2% donc r = = 8. 07 + 0. Soit ♦ i le taux de commission dépendant de la durée de l’effet . Une autre technique de calcul est appelée escompte rationnel : l’intérêt s’applique dans ce cas non plus à la valeur nominale de l’effet mais à sa valeur actuelle. ♦ k le taux de commission indépendant de la durée de l’effet.7 €. Quelle est la valeur de l’escompte commercial? Quel est le taux d’intérêt effectif ? ⎛ 60 ⎞ L’escompte commercial est 20000 × ⎜ 0. au taux de 0. Définition : On appelle date d’équivalence de deux effets de commerce la date à laquelle les valeurs actuelles commerciales sont égales. A E.2%. s’ajoutent différentes commissions proportionnelles ou non à la durée de l’effet (voire fixes pour toute opération de remise à l’escompte). donc Er = . 002 ⎟ = 273.
12 = 0.88% contre = 1% ⎛ 100 × 10 + 30 × 20 ⎞ 12 ⎜ ⎟ ⎝ 30 ⎠ annoncé. 6033 12% Le taux effectif sur un mois sera donc de = 4. Calculer les agios payés par ce particulier et le taux effectif. Plus généralement : Page 16 sur 67 . ♦ Les intérêts résultant de l’application du taux de découvert. Ils calculent sur la base des nombres débiteurs : il s’agit du produit du solde débiteur avec le nombre de jours pendant lesquels ce solde a été maintenu à un même niveau.07%. On voit que la commission de confirmation alourdie considérablement la charge. génère la première année un intérêt égale à VI × r qui. Intérêts composés Définition : le taux d’intérêt est dit composé lorsqu’à la fin de chaque période l’intérêt s’ajoute au capital de début de période pour former la base de calcul de l’intérêt pour la période suivante. 07% × 100 = 0. Le taux de découvert est de 12% annuel. 01× 200 = 2€ 10 20 ♦ Les intérêts 100 × × 0. 3.MATHEMATIQUES FINANCIERES ♦ Une commission de confirmation. sera ajouté au capital investi la seconde période. au début de la deuxième période. parfois appliquée lorsque le découvert est confirmé par écrit par la banque.12 + 30 × × 0.533€ 360 360 2. le capital investi est de V1 = VI + VI × r = VI (1 + r ) A l’issu de cette période les intérêts se monteront donc à VI (1 + r )r . 07€ ♦ La commission de confirmation est de 0. s’il n’est pas immédiatement retiré. Exemple : Un particulier souffre d’un découvert de 100€ pendant 10 jours et de 30 € pendant 20 jours. Ainsi. Le montant d'intérêt et le capital changent à chaque période Une somme d’argent VI placée sur n périodes au taux d’intérêt composé r. Dans ce cas. ♦ La commission de plus fort découvert sera de 0. cette commission est de l’ordre de 1% du plafond autorisé. La commission de confirmation est de 1% du plafond (ici 200€) et la commission de plus fort découvert de 0.
l’intérêt composé a un accroissement exponentiel.r I3=VI(1+r)3 i5=rVI(1+r)4 . Contrairement à l’intérêt simple ou l’accroissement des montants est linéaire. Page 17 sur 67 .6% ? Solution : On sait que Vf = VI (1 + r ) n .00 € 0.036) 4 = 11934€ Exercice : quel est le taux d’intérêt composé d’un placement ayant porté 10000€ à 18041.00 € 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 Nombre d'années Simples 5% Simples 1% Composés 5% Composés 1% Exemple de simulation d’épargne : taux simple contre taux composé. 1 + r = n Vf = 3 18044 = 1. donc ici Vf = 10000 × (1 + 0. MATHEMATIQUES FINANCIERES Intérêt et capital VI i1=VI.00 € 5 000. 217 et donc r = 21.00 € 20 000.00 € 25 000.00 € Capital 15 000. I5 =VI(1+r)5 0 1 2 3 4 5 Périodes de temps La valeur finale du capital est donc Vf = (1 + r ) n VI . Exercice : quel est le capital au bout de 4 ans si on place 10000€ aujourd’hui au taux composé de 3.44€ en trois ans ? Solution : On sait que Vf = VI (1 + r ) n .00 € 10 000.7% VI 10000 Evolution du Capital 30 000.
Ainsi. donc Vf = VI (1 + r ) n = 3600(1 + 0. combien aurez vous accumulé en 3 ans? Solution : le taux périodique est le taux nominal annuel divisé par le nombre de capitalisations. Votre taux de rendement périodique est de : 2200 − 2000 = 10% 2000 Exercice : vous placez 3600€ au taux périodique de 2.003333)36 = 1127.23 b) Taux nominal annuel : ri Définition : le taux nominal est le taux périodique multiplié par le nombre de capitalisations par année : ri=rp*k (k nombre de capitalisations). La notion de capitalisation L’intérêt composé est la règle : Définition : la capitalisation indique la fréquence avec laquelle l’intérêt s’ajoute au capital en cas d’intérêts composés. rp = 0. qui correspond à la rentabilité effectivement réalisée. le capital final sera Vf = VI (1 + rp )3k = 1000(1 + 0.3% par trimestre durant 6 ans.0033333 . et taux réel.04 /12 = 0.MATHEMATIQUES FINANCIERES 4. Page 18 sur 67 . sachant que la capitalisation est semestrielle.023) 24 = 6213. ce qui exclut les effets de l'inflation. Par exemple vous placez 2000€ et dans 6 mois.14 c) Taux effectif annuel : r Définition : il s’agit du taux de rendement effectivement réalisé sur une année. Ici. qui correspond au taux d'intérêt en termes réels. vous avez accumulé 2200€. Quel est le taux périodique ? Si vous placez 1000€ à ces conditions. Question : avec quelle fréquence l’intérêt va s’ajouter au capital ? ♦ tous les ans : capitalisation annuelle ♦ tous les mois : capitalisation mensuelle ♦ tous les trimestres : capitalisation trimestrielle ♦ à chaque instant : capitalisation continue 5. Exercice : votre conseiller en placement vous recommande un investissement qui rapporterait un rendement annuel de 4% capitalisé par mois. combien allez vous accumuler ? Solution : dans 6 ans il y 24 trimestres. Il est égal au taux périodique si la capitalisation est annuelle Ne pas confondre taux effectif. Les types de taux : a) Taux périodique : rp Définition : le taux périodique est le taux correspondant à la période de capitalisation.
Exemple : quel est le taux annuel effectif correspondant à 2% périodique trimestriel ? Taux périodique. Plus généralement. ils permettent d’obtenir la même valeur finale. MATHEMATIQUES FINANCIERES Les valeurs finales ne peuvent être calculées que sur la base de taux effectifs. où k est le nombre de capitalisations par an. C'est un taux calculé par la BCE (banque centrale européenne) qui résulte de la moyenne pondérée de toutes les TAUX transactions. r = ⎜ 1 + i ⎟ . retenues pour le calcul de toutes les transactions de l'Euribor. et r sont k ⎛ r⎞ r = (1 + rp ) k . C'est donc le taux effectif moyen auquel les banques du panel Euribor effectuent leurs transactions.095% Page 19 sur 67 . pour un placement initial identique. ri. les relations entre rp. Principe d’équivalence des taux Les caractéristiques des produits financiers étant souvent très différentes.07% COURTS réalisés par les banques commerciales. il est impossible de comparer des taux nominaux et effectifs. Les différents taux 3 novembre 2005 EONIA (Euro Overnight Index Average = taux moyen pondéré en euros (TEMPÉ)). au jour le jour des prêts non garantis 2. Les taux sur les marchés 1. EURIBOR (European interbank offered rate) : taux 1 semaine : 2. Enoncé : deux taux sont équivalents si. Les taux nominaux ne sont qu’une convention. 6. Base commune Equivalence des taux : l’objectif est de les ramener à une même base. capitalisation Taux annuel effectif trimestrielle Taux r rp Capital initial VI VI VI (1 + r ) VI (1 + rp ) Capital final au bout d’un 4 an On voit donc que la relation entre les deux taux est r = (1 + rp ) k − 1 . ri = krp ⎝ k⎠ C.
accordent des prêts aux banques en appliquant leurs taux directeurs. TAUX LONGS TAM (Taux annuel monétaire) : Pour un mois donné le TAM est le taux de rendement d’un placement mensuel à intérêts composés. à partir d'enquêtes statistiques effectuées par la banque de France. Il existe un taux de l'usure à compter du 01 juillet 2002 pour les prêts aux particuliers Prêts immobiliers Prêts à la consommation Taux fixe 5. ils sont au nombre de deux : ♦ Le taux des appels d'offres (bihebdomadaire). Il dépend donc du taux auquel les banques commerciales peuvent se refinancer sur le marché monétaire. 1 an : 2.17% TMO (taux du marché obligataire) est le taux moyen de rendement des emprunts obligataires à taux ??? fixe garantis par l'État. pendant les douze mois écoulés.9% Découvert. Taux de l'usure : il est déterminé chaque trimestre. à chacun des TMM Taux directeurs : ce sont les taux d'intérêt pratiqués par les banques centrales pour leurs opérations sur le marché monétaire. c'est-à-dire le taux le plus élevé.30 % Montant <1524 20. la banque centrale européenne.55% Taux bonifié : Ce taux est inférieur à celui du marché grâce à une subvention accordée par les pouvoirs publics. dans une moindre mesure. c'est le taux que les banques commerciales appliquent à leurs meilleurs clients. Le TEG est usuraire s'il dépasse 133 % du taux effectif moyen pratiqué au cours du trimestre précédent pour une catégorie de prêt donnée. Taux de base bancaire (TBB) ou prime rate : Il est défini par chaque banque commerciale en fonction du coût moyen de ses ressources. Depuis 1966. Il faut toutefois remarquer que les principales banques s'alignent sur le même taux en raison de la concurrence. achat ou vente à tempérament Taux variable 5% 18 % > Prêts relais 6. Théoriquement. la banque centrale lance un appel d'offre auprès des banques commerciales et accorde les liquidités à l'établissement qui a fait l'offre la plus intéressante. Taux réel : il s'obtient en déduisant du taux nominal (celui qui est affiché) le taux d'inflation.MATHEMATIQUES FINANCIERES d'intérêt moyen offert entre banques du système 1 mois : 2. ♦ Le taux des prises en pension de 5 à 10 jours qui permet aux banques centrales de se refinancer auprès de l'institut d'émission en logeant du papier commercial à court terme. Il sert de référence pour le calcul des crédits accordés aux PME et. c'est donc le tarif minimum proposé aux meilleurs clients. TEG (taux effectif global) : c'est le coût total d'un crédit pour l'emprunteur (taux d'intérêt plus frais de dossier. de certains prêts à la consommation. frais divers et assurance. En Europe. taux auquel elles doivent ajouter une marge représentative de leurs coûts de gestion. Cette pratique était très répandue pendant les années 70. prêt permanent.605% TME (taux moyen des emprunts d'État) 3. Ainsi.30 % Prêts personnels ou assimilés > 1524€ 9.125% bancaire européen. ce taux doit obligatoirement figurer sur les contrats de crédit. la « Federal reserve board » ou encore la « bank of Japan ». elle bénéficiait à Page 20 sur 67 . renouvelé ??? chaque fin de mois.
des investisseurs institutionnels (assurances ou fonds de pension) et des grandes entreprises sous le contrôle de la banque centrale. Logiquement. C'est la raison pour laquelle les taux à long terme qui servent de référence sont. Il s'agit de parts d'OPCVM (organismes de placement collectif de valeurs mobilières). il faudra définir puis comprendre le rôle du taux de base bancaire (TBB) (c). a) Les taux longs Ils expriment l'offre et la demande de capitaux en tenant compte des perspectives d'inflation. 2. La rémunération (le taux d'intérêt) doit rester positive. Partant de là. l'offre et la demande de capitaux se confrontent. au logement et à certains secteurs industriels. Il faut cependant noter que les placements à long terme prennent de plus en plus souvent la forme d'instruments financiers négociables. MATHEMATIQUES FINANCIERES l'agriculture. les taux courts doivent être inférieurs aux taux longs (de l'ordre de 2 à 3 points) puisque l'argent est engagé pour moins longtemps. pour favoriser leur accession à la propriété. mais aussi sur la politique économique. Évidemment. ses statuts) : veiller à lutter maintenir un taux de change acceptable vis-à-vis du $ contre l'inflation et du yen. voire sur la politique . Normalement tous les autres taux sont plus élevés. sous conditions de ressources. ils reflètent la santé économique d'un pays et d'autre part. la nature de l'emprunteur influence aussi les taux. Les taux d'intérêt à long terme sont déterminés par le marché financier b) Les taux courts Ils se forment de manière différente. en fonction de leur activité de crédit bancaire. phénomène pervers qui consiste à mieux rémunérer l'argent placé à court terme que l'argent investi à long terme. les entreprises publiques font courir moins de risques aux prêteurs qu'une entreprise ou qu'un particulier. Certes. Comment se forment les taux ? Il importe de distinguer les taux d'intérêt à long terme (a) et les taux d'intérêt à court terme (b). Au niveau interne. sur le marché monétaire. mais les acteurs ne sont pas les mêmes. C'est sur ce constat que se base l'"effet d'éviction". Les taux d'intérêt à court terme sont déterminés par la banque centrale (en Europe. sur tout ce qui peut modifier les données de l'économie. anticipations sur l'inflation certes. ils sont influencés par les anticipations des agents économique. On peut cependant ranger dans cette catégorie le prêt à taux zéro qui bénéficie à certaines familles. Quelqu'un qui prête de l'argent sur 5. l'État emprunte à taux plus faibles. La banque centrale intervient sur le marché monétaire en injectant plus ou moins de monnaie centrale pour refinancer les banques commerciales qui. pour chaque pays. optimiser la croissance économique Page 21 sur 67 . d'autre part. asséchant le marché financier et privant les entreprises du recours à ce type d'emprunt. On dit que les taux longs sont "le juge de paix". peuvent. D'une part. Celle-ci agit dans le cadre de sa politique monétaire. d'une part. les taux des emprunts d'État (OAT). à court terme. Elle a été en très grande partie abandonnée à la fin des années 80. c'est-à-dire de parts de sicav ou de fonds communs de placement. elle doit : Au niveau externe. il peut se produire une "inversion des taux" (États-Unis d'Amérique en 2000). Mais quand les banques centrales interviennent beaucoup. la BCE). en fonction de considérations internes et externes. elle cherche à en priorité (cf. et il draine l'épargne disponible. 10 voire 30 ans veut voir son capital garanti contre l'érosion monétaire. Ce sont essentiellement des banques commerciales. L'État. temporairement manquer de monnaie centrale pour faire face aux retraits en liquide de leurs clients ou aux fuites de son propre réseau. en bref.
Page 22 sur 67 . Mais les entreprises et le particuliers laissent de moins en moins d'argent "dormir sur leurs comptes-chèques". Pour placer leur argent ou pour emprunter. elles se refinancent sur le marché monétaire. Le taux de base bancaire s'applique à 4 % des crédits aux particuliers et à 15 % des prêts aux entreprises. Près des deux tiers des ressources des banques sont aujourd'hui rémunérées. par l'intermédiaire d'une banque. Les taux pratiqués vers les TPE. Au coût de ce financement. la plus grande part de ces ressources était constituée par les dépôts à vue des clients (comptes-chèques). Les crédits les plus coûteux sont ceux ayant trait aux découverts bancaires et à certains crédits à la consommation. voire les PME-PMI et les particuliers sans garantie réelle ou personnelle sont plus élevés que le TBB. sicav. PEA. Le taux de base bancaire correspond alors au meilleur taux que chaque banque peut accorder à ses meilleurs clients. PEL. Jusqu'au milieu des années 80. la banque doit ajouter ses frais de fonctionnement et de gestion pour déterminer son taux de base. Les crédits les moins chers sont les crédits immobiliers à long terme parce que la banque peut prendre une sûreté réelle en hypothéquant le bien acheté. Pour le reste. généralement.). les particuliers n'ont pas accès aux marchés financiers. etc.MATHEMATIQUES FINANCIERES favoriser l'emploi 3. Mais comment la banque calcule-t-elle le taux d'intérêt ? Cela dépend avant tout du coût de revient de ses propres ressources. notamment les crédits renouvelables. principalement les crédits de trésorerie et d'équipement. Aux frais de gestion près. ils préfèrent les transférer sur des comptes qui rapportent des intérêts (livrets. il s'agissait d'une ressource bon marché. Le taux de base bancaire (TBB) ou prime rate Comme nous l'avons vu ci-dessus. FCP. ils passent.
Principe d’actualisation 1. C’est le cas habituel. Le terme d’annuités bien que parfois utilisé quelle que soit la périodicité des versements. Valeurs acquises et valeurs actuelles d’une suite de flux financier. est habituellement réservé à des périodicités annuelles. Définitions Définition : Une suite d’annuité est une suite de règlements réalisés à intervalles de temps égaux. MATHEMATIQUES FINANCIERES III. perpétuelle sinon. Les mécanismes de calcul des valeurs acquises et des valeurs actuelles ne sont guère différentes : dans un cas c’est la valeur de la suite d’annuités à la fin des versements dans l’autre c’est sa valeur à l’origine. La rente est à terme échu si le premier versement intervient une période après l’origine. dates 0 1 n Valeur actuelle Valeur acquise a) Valeur actuelle d’une suite de flux financiers (1) Cas général Définition : la valeur actuelle d’un flux Fp (flux dans p périodes) est F0. Elle est immédiate sinon. mensualités. On parle sinon de semestrialités. A. 2. Actualisation et actuariat A l’inverse de la capitalisation. Cette suite d’annuité correspond à une rente pour celui qui la reçoit. on peut vouloir déterminer quelle somme doit être prêtée aujourd’hui pour obtenir un montant fixé à l’avance : c’est le principe de l’actualisation. notion qui permet de calculer des valeurs futurs à partir de valeurs présentes. On dit que la rente est temporaire. etc. où Fn F0 = (1 + r ) n Définition : la valeur actuelle d’une suite de n versements (flux de trésorerie) est la somme des valeurs actuelles par chacun des termes à l’origine de la suite Page 23 sur 67 . lorsqu’elle se compose d’un nombre fini d’annuités. Exemples : ♦ Un emprunt remboursé sur 10 ans par des mensualités constantes ♦ La constitution d’un capital par des versements réguliers ♦ L’acquisition d’une obligation d’une durée de vie de 6 ans qui verse des coupons annuels.
+ An −1 × (1 + r )1 + An Propriété : Les valeurs actuelles et acquises d’une suite de n flux de trésorerie Ap au taux d’intérêt r sont n n (1) Vn = ∑ Ap (1 + r ) n − p et V0 = ∑ Ap (1 + r ) − p p =1 p =1 Page 24 sur 67 ..MATHEMATIQUES FINANCIERES Définition : la valeur acquise par une suite de n versements (flux de trésorerie) est la somme des valeurs acquises par chacun des termes à la fin de la dernière période Soient ♦ Vn : la valeur acquise ♦ V0 : la valeur actuelle ♦ Ap : l’annuité (ou le flux de trésorerie) à la date p ♦ n : le nombre total de flux ♦ r : le taux d’intérêt (intérêt composé) dates 0 1 2 n-1 n Flux A1 A2 An-1 An An An-1(1+r) Valeurs actuelles A2(1+r)n-2 A1(1+r)n-1 La valeur actuelle de cette suite est : V0 = A1 × (1 + r ) −1 + A2 × (1 + r ) −2 + .. + An −1 × (1 + r ) − n +1 + An × (1 + r ) − n De même.. sa valeur acquise est Vn = A1 × (1 + r ) n −1 + A2 × (1 + r ) n − 2 + ..
l’expression (1) se simplifie facilement. 02€ (1. MATHEMATIQUES FINANCIERES dates 0 1 2 n-1 n Flux A1 A2 An-1 An A1(1+r)n-1 A2(1+r)n-2 Valeurs actuelles An-1(1+r) An On parlera de Valeur Actuelle Nette en présence d’un flux négatif à l’origine de la suite. Propriété : Les valeurs actuelles et acquises d’une suite de n flux de trésorerie constants A au taux d’intérêt r sont (1 + r ) n − 1 1 − (1 + r ) − n (3) Vn = A et V0 = A r r Exercice : quelle somme doit-on placer aujourd’hui au taux de 12% pour obtenir dans trois ans 100000€ ? Solution : 100000 V0 = = 71178. en date 0 : n Vn = A0 + ∑ Ap (1 + r ) − p où A0 < 0 p =1 Conséquence : il existe une relation entre les valeurs acquises et actuelles : Vn (2) V0 = (1 + r ) n (2) Cas d’annuités constantes Lorsque les flux sont tous égaux.12)3 Page 25 sur 67 .
Comparaison VAN/TRI L’investissement est un engagement durable de capital réalisé par une entreprise. le taux d’intérêt utilisé pour calculer une valeur actuelle. la valeur actuelle ou présente d’une séquence de flux dépend du taux r. Comment évaluer un investissement ? La réponse à cette question peut se faire en utilisant les techniques d’actualisation.An} les flux liés à l’investissement et r le taux d’actualisation et on suppose que A0 < 0 et Ap ≥ 0 . 2. Définition : le taux actuariel est le taux d’actualisation qui annule la valeur actuelle de l’ensemble des flux présents et futurs. Mathématiquement. Il y a autant de valeurs actuelles que de taux d’actualisation. Telle qu’on l’a définie.10−8 0. ce taux est appelé taux de rendement actuariel ou (taux effectif global – TEG). D’un point de vue financier.MATHEMATIQUES FINANCIERES Exercice : une banque accorde à une entreprise un prêt de 1000000€ au taux de 10% remboursable en 8 ans. différences entre les recettes et les dépenses générées durant chaque période par le projet ♦ éventuellement en fin de période une valeur résiduelle qui pourra être ajoutée au flux de la trésorerie de la dernière période. Les choix d’investissement 1. lequel choisir ? On note {A0…. on a : ⎛ 8 1 ⎞ 1000000 1000 000 = V0 ⇔ 1000000 = A ⎜ ∑ p ⎟ ⇔A= = 187444€ ⎝ p =1 1. pour tous p. Le remboursement se fait par annuités constantes. a) La VAN : valeur nette actualisée Rappel : la VAN(r) s’écrit Page 26 sur 67 .10 ⎠ 1 − 1. l’investissement se traduit par une suite de flux : ♦ la dépense initiale ♦ les flux nets de trésorerie. Une méthode d’évaluation doit répondre à deux questions fondamentales : ♦ le projet d’investissement peut-il être accepté ? ♦ si deux projets sont en concurrence. Taux actuariel Définition : on appelle taux d’actualisation.10 B. Solution : la relation de base est fondée sur une égalité entre ce que la banque prête à la fin de l’année 0 et ce qu’elle reçoit en remboursement de la fin de la première année à la fin de la dernière année.…. Calculer le montant de cette annuité.An}. l’équation a une unique solution. r * / V0 ( r * ) = A0 + … + An =0 (1 + r )* n Dans le cas où A0 est de signe opposé à celui de {A1. Si on appelle A l’annuité constante. Dans le cas où les flux financiers sont relatifs à une opération de prêt ou d’emprunt.
si on considère un taux de -100. Projet X le TRI est de 16. VAN 50. donc le projet est accepté.00 € l’intersection de cette courbe avec 150.02% Page 27 sur 67 . la 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% -50.00 € Taux d'actualisation 20% la VAN tombe à -28. Par TRI Projet X exemple. la VAN est une fonction strictement décroissante du taux.7 + 97. Par ailleurs.683 où p est le rang de l’année Flux actualisés 154. VAN > 0 projet accepté VAN < 0 projet rejeté 100. ce qui entraîne un rejet du projet.00 € 0. On voit donc que les deux critères conduiront au même résultat dans le cas de projet unique (voir ci- dessous). Le TRI est 200.70 97. plus le taux d’actualisation a des chances d’être inférieur).67 + 81. il correspond au taux actuariel.00 € La VAN est positive. on choisit celui qui a le taux le plus élevé (plus il sera élevé. MATHEMATIQUES FINANCIERES n Ap VAN (r ) = A0 + ∑ (1 + r ) p p =1 La VAN représente la valeur aujourd’hui des flux du projet donc ♦ si VAN>0 le projet est retenu car il permet d’augmenter la richesse initiale ♦ si VAN1(r) < VAN2(r).826 0. Années 0 1 2 3 4 Flux -400 170 140 130 120 Facteur d’actualisation : 1.67 81. ♦ TRI > Taux d’actualisation : projet accepté car il permet de couvrir le coût des ressources.00 € Pour ce projet.88 Projet X Graphique montrant l’évolution de la VAN en fonction du taux. Mais. Les flux de trésoreries sont donnés ci-dessous. En fait.751 0.00 € l’axe des abscisses. Toutefois.00 € VAN peut devenir négative. si le taux augmente. Dans le cas de deux projets. Vu notre hypothèse sur les signes des A.909 0. : ♦ TRI < Taux d’actualisation : projet rejeté. b) Le TRI : taux de rentabilité interne Le TRI est le taux pour lequel la VAN (r) est nulle. on retient le projet 2. c) Un exemple Un investissement initial est de 400K€.1-p 0.54 115. les zones de rejet sont identiques .54 + 115. l’inconvénient est qu’il faut connaître le taux d’actualisation.96 La VAN est alors VAN = 154. Le taux d’actualisation retenu est de 10%.96 − 400 = 49. La décision de retenir ou non un projet va dépendre de la position du taux d’actualisation retenu et du taux de rentabilité interne.
66%. la durée de mise à disposition des fonds. Pour chacun de ces emprunts. le taux d'intérêt. Page 28 sur 67 . En général. entre autres. Pour le critère du TRI.MATHEMATIQUES FINANCIERES d) Conflits entre les critères Les cas de conflits entre les critères interviennent deux projets et que l’on cherche à choisir le meilleur. Les emprunts indivis Ce sont des emprunts non divisibles et contractés auprès d’un seul créancier.00 € TRI Projet X à 12.00 € Préférence pour Y Préférence pour X conflits entre les critères. la VAN privilégie X et inversement. Ils s’opposent donc aux obligations où le nombre de créanciers est grand. automobile) ou par des entreprises à la recherche de financement pour des investissements. Reprenons l’exemple ci-dessus : Années 0 1 2 3 4 Flux projet X -400 170 140 130 120 Flux projet Y -400 30 80 180 340 Si on calcule les deux paramètres. appartement.00 € Pour un taux d’actualisation 0. En fait on est dans une situation de ce type : 250. le critère VAN tend à privilégier Y et le TRI favorise X. il vaut 12. les clauses du contrat entre prêteur (créancier) et emprunteur (débiteur) précisent. 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% -50. On appelle 150. …) soient constantes. Il existe différents modes de remboursement : ♦ In fine : l’emprunteur rembourse les intérêts à la fin de chaque annuité.00 € lequel les VAN sont égales. Pour le critère VAN.66%.94% Ainsi.00 € supérieur.8 60.8 TRI 16% 14. celui qui aura la VAN la plus élevée sera privilégié.00 € Or les taux internes sont supérieurs -100. Ceux-ci diminuent donc d’une annuité à l’autre.00 € taux d’indifférence le taux pour 100. Projet X Projet Y C.00 € TRI Projet Y Le graphique ci-contre illustre les 200. on s’aperçoit que Projet X Projet Y VAN 49. VAN 50. trimestrialités. c’est pourquoi le TRI Taux d'actualisation favorise X. ♦ Annuité constante : le capital et les intérêts sont remboursés de façon à ce que les annuités (ou autre périodicité : mensualités. et le capital à la fin de la dernière annuité. il s’agit d’emprunt effectué par des particuliers auprès des banques (bien de consommation. ♦ Amortissement constant : l’emprunteur rembourse une part constante du capital à chaque annuité plus les intérêts. les conditions de remboursement du capital emprunté. Ici. c’est celui qui aura le taux de rentabilité interne qui sera choisit.
à l'échéance de l'emprunt. l'intégralité du capital emprunté. la somme des intérêts : n (9) Cout= ∑ I k k =1 b) Illustration des trois méthodes de remboursement (1) Remboursement In fine L'emprunteur ne paie. Le tableau d’amortissement va alors ressembler à ceci : k Vk Ik Dk Ak 1 V0 rV0 0 rV0 Page 29 sur 67 . que l'intérêt du capital emprunté. MATHEMATIQUES FINANCIERES a) Notations et conventions On note ♦ V0 : le capital emprunté ♦ n : la durée de l’emprunt ♦ r : le taux d’intérêt périodique (= taux nominal annuel si les périodes sont des annuités) ♦ Ik : le montant des intérêts remboursé à la fin de la période k ♦ Dk : la part de capital (on parle d’amortissement) remboursé durant la période k ♦ Ak=Dk+Ik : le montant des versements périodiques (annuités si la période est l’année) ♦ Vk : le capital dû en fin de période k On connaît certaines relations entre ces différentes variables : ♦ les intérêts pour la période k sont dus par rapport au reste de capital à rembourser (4) I k = rVk −1 ♦ le capital du en fin de période k est celui du en fin de période k-1 moins l’amortissement en période k (5) Vk = Vk −1 − Dk ♦ le capital est complètement remboursé à la fin du prêt (6) Vn = 0 ♦ le montant du prêt est la somme des amortissements (7) V0 = D1 + D2 + … + Dn ♦ le montant du capital restant est la valeur actualisée des traites restant dues après la fin de la période k Ak +1 An (8) Vk = +…+ (1 + r ) n−k 1+ r Définition : on appelle coût global du crédit. à la fin de chaque période. Il rembourse en une seule fois.
donc ⎛ k −1 ⎞ I k = rVk −1 = rV0 ⎜ 1 − ⎟ ⎝ n ⎠ ♦ La traite est donc (on peut remarquer qu’elle diminue) ⎛ k − 1 ⎞ V0 V0 Ak = I k + Dk = rV0 ⎜1 − ⎟ + = (1 + r ( n − k + 1) ) ⎝ n ⎠ n n ♦ Le coût total du crédit est n ⎛ 1 n −1 ⎞ ⎛ n −1 ⎞ n +1 Cout = ∑ I k = rV0 ⎜ n − ∑ k ⎟ = rV0 ⎜ n − ⎟ = rV0 k =1 ⎝ n k =1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 Page 30 sur 67 . elle a pour intérêt de laisser le capital disponible avec des charges constantes rV0 de la période 1 à la période n-1. Exemple : Une entreprise a un besoin de financement de 100000€ sur 4 ans. Dresser le tableau d’amortissement k Vk Ik Dk Ak 1 100000 4000 0 4000 2 100000 4000 0 4000 3 100000 4000 0 4000 4 100000 4000 100000 104000 Total 16000 100000 116000 c) Amortissement constant V0 Le capital emprunté V0 est remboursé en n périodes par amortissements égaux chacun à : (voir n relation(7)). Le taux d’intérêt est de 4%. En effet. on sait que k k V0 ⎛ k⎞ Vk = V0 − ∑ Dk = V0 − ∑ = V0 ⎜1 − ⎟ p =1 p =1 n ⎝ n⎠ L’intérêt Ik porte sur le capital du.MATHEMATIQUES FINANCIERES … … … … … n-1 V0 rV0 0 rV0 n 0 rV0 V0 V0(1+r) Total nrV0 V0 V0(1+nr) Cette méthode est essentiellement utilisée par les entreprises. Le coût d’un tel crédit est nrV0. Décomposons deux périodes consécutives quelconques Ak-1 et Ak : ♦ Comme l’amortissement est constant.
2 Le tableau d’amortissement est alors k Vk Ik Dk Ak ⎛ 1⎞ V0 V0 1 V0 ⎜1 − ⎟ rV0 (1 + nr ) ⎝ n⎠ n n ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ (1 + ( n − 1) r ) V0 V0 2 V0 ⎜1 − ⎟ rV0 ⎜ 1 − ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ n n … … … … … ⎛ n −1 ⎞ ⎛ n−2⎞ V0 V0 n-1 V0 ⎜1 − ⎟ rV0 ⎜ 1 − ⎟ (1 + 2r ) ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n n ⎛ n −1 ⎞ V0 V0 n 0 rV0 ⎜ 1 − ⎟ (1 + r ) ⎝ n ⎠ n n n +1 ⎛ n +1⎞ Total rV0 V0 V0 ⎜ 1 + r ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ d) Annuités constantes Ici. présente l'avantage. Ce système. pratiqué par les établissements de crédit pour les prêts aux particuliers. Donc un crédit in fine est plus cher. le semestre. le trimestre ou le plus souvent le mois). une annuité constante (Ak=A). à la fin de chaque période. d'un remboursement par sommes égales à un rythme régulier (la période pouvant être l'année. MATHEMATIQUES FINANCIERES n +1 Si on compare le coût d’un crédit de ce type avec celui d’un crédit In fine. pour l'emprunteur. on doit comparer rV0 2 n +1 et nrV0 . L'emprunteur paie. on connaît Ak et il faut trouver les intérêts et l’amortissement. Or n > dès que n>1. A1 An La relation générale V0 = +…+ permet avec A constant de trouver 1+ r (1 + r ) n 1 1− r (1 + r ) n 1 1+ r r (10) A = V0 = V0 = V0 = V0 (1 + r ) 1 − (1 + r ) −n n 1 1 1 n −1 ∑ (1 + r ) k =1 k − 1 + r (1 + r )n +1 Ainsi. on peut trouver les valeurs restantes : ♦ On sait que le capital restant s’exprime en fonction des annuités par la relation (8) : 1 1− −( n − k ) (1 + r ) 1 − (1 + r ) n−k A A A Vk = +…+ = =A (1 + r ) n−k 1+ r 1+ r 1 r 1− 1+ r En remplaçant A par sa valeur on obtient Page 31 sur 67 .
MATHEMATIQUES FINANCIERES −( n − k ) 1 − (1 + r ) Vk = V0 1 − (1 + r ) −n ♦ L’amortissement se calcule comme la différence de capital du (voir (5)) A A ⎛ A A ⎞ Dk = Vk −1 − Vk = +…+ −⎜ +…+ ⎟ 1+ r (1 + r ) n − k +1 ⎜ 1+ r (1 + r ) n−k ⎟ ⎝ ⎠ A rV0 = = (1 + r ) n − k +1 (1 + r ) n − k +1 (1 − (1 + r ) ) −n ♦ Les intérêts s’obtiennent à partir du capital restant 1 − (1 + r ) − ( n − k +1) I k = rVk −1 = rV0 1 − (1 + r ) −n Le tableau d’amortissement est donc k Vk Ik Dk Ak 1 − (1 + r ) − ( n −1) rV0 r 1 V0 rV0 V0 (1 + r ) 1 − (1 + r ) −n 1 − (1 + r ) −1 −n n … … … … … −( n − k ) 1 − (1 + r ) 1 − (1 + r ) − ( n − k +1) rV0 r Vk = V0 (1 − (1 + r ) ) rV0 V0 (1 + r ) k n − k +1 −n 1 − (1 + r ) −n 1 − (1 + r ) 1 − (1 + r ) −n −n … … … … … V0 r2 rV0 r × (1 + r ) (1 − (1 + r ) ) n 0 −n V0 1 − (1 + r ) −n 1 + r 1 − (1 + r )− n ⎛ nr ⎞ nr Total V0 ⎜ − 1 ⎟ V0 V0 1 − (1 + r ) −n ⎜ 1 − (1 + r )− n ⎟ ⎝ ⎠ Le coût total du crédit est donc n rV0 n − ( n − k +1) rV0 ⎛ n − n − k +1 ⎞ Cout = ∑ I k = ∑1 − (1 + r ) = −n ⎜ n − ∑ (1 + r ) ( ) ⎟ 1 − (1 + r ) 1 − (1 + r ) ⎝ −n k =1 k =1 k =1 ⎠ rV0 ⎛ 1 − (1 + r )− n ⎞ ⎛ nr ⎞ = ⎜ n − ⎟ = V ⎜ − 1 ⎟ 1 − (1 + r ) ⎝⎜ ⎟ 0 ⎜ 1 − (1 + r )− n ⎟ −n r ⎠ ⎝ ⎠ n +1 Pour comparer au crédit à amortissement constant. 2 Si on reprend l’exemple de crédit In fine. il faut comparer cela à rV0 . on a le tableau Page 32 sur 67 .
nous détaillerons en italique les caractéristiques d’un emprunt obligataire de BNP Paribas à titre d’exemple. Caractéristiques d'un emprunt obligataire a) Définition L'emprunt obligataire est un emprunt qui fait appel à de nombreux prêteurs (appelés obligataires ou souscripteurs). Toute émission d'un emprunt obligataire fait l'objet d'une note d'information portant le visa de la Commission des Opérations de Bourse (COB) et publiée au Bulletin des Annonces Légales Obligatoires. TIOP -taux interbancaire offert à Paris). organisme public ou privé) et donnant à son possesseur le droit de percevoir un intérêt le plus souvent annuel et d'être remboursé de son titre à l'échéance. N=1000 € (2) Taux nominal d'intérêt (z) Inscrit dans le contrat d'émission. des titres (appelés obligations). qui reçoivent. il sert à désigner l'emprunt et à calculer le montant du coupon. (3) Le coupon (c) Page 33 sur 67 . 1. Une obligation est un titre de créance négociable représentant une fraction d'un emprunt à long terme émis par une collectivité (état.25%. TMM -taux du marché monétaire-. MATHEMATIQUES FINANCIERES k Vk Ik Dk Ak 1 100000 4000 23549 27549 2 76451 3058 24491 27549 3 51960 2078 25471 27549 4 26489 1060 26489 27549 Total 10196 100000 110196 D. Chaque titre est donc représentatif d'une quote-part d'emprunt et fait l'objet d'une cotation en bourse. entre autres : ♦ le nombre d'obligations émises ♦ la valeur nominale des obligations ♦ le taux nominal d'intérêt ♦ le prix d'émission ♦ la date de règlement des souscriptions ♦ la durée de l'emprunt ♦ la date de jouissance ♦ le prix de remboursement des obligations ♦ le système d'amortissement ♦ le taux de rendement actuariel brut au jour du règlement. Tout au long de cette partie. Dans le cas de BNP z=4. (1) Valeur nominale (N) C'est la valeur qui sert de base au calcul des intérêts. L'émission de tels emprunts est évidement réservé aux plus grandes des sociétés et permet de réunir des fonds importants. en échange des sommes prêtées. Il peut être fixe ou variable (le taux est alors déterminé à partir d'un taux de référence monétaire : TME - taux moyen mensuel des emprunts à long terme de l'état-. Y sont mentionnés. Les emprunts obligataires Un emprunt obligataire se différencie d'un emprunt indivis par la présence de plusieurs prêteurs. TAM - taux annuel monétaire-.
La durée est donc de 12 ans. ♦ Prix de remboursement (R) est la somme payée versée par l'emprunteur lors du remboursement de l'obligation.291% soit 1000*101. Pour obtenir le taux de rendement le plus proche du marché. L'équilibre entre ces 2 attitudes définit le niveau du marché. L'obligation peut-être émise au pair (E=N). Prix d'émission : 101% E=1 010 € Remarque : Pourquoi le prix d'émission n'est-il pas toujours égal à la valeur nominale ? Pour que le lancement d'un emprunt obligataire soit un succès. ou au-dessus du pair (E>N). le remboursement est effectué au pair donc R=1000 €. au-dessus ou au-dessous Pour chaque exemple.5% E=995 € Valeur nominale N=1 000 € 2 Obligation émise au pair (E=N). Dans le cas de BNP. ♦ La durée de l’emprunt (n) correspond au délai entre la date d’émission et la date de remboursement.91€ ♦ La date de règlement est le moment de départ de l’obligation. ♦ Maturité ou durée de vie résiduelle est la moyenne pondérée des différentes durées de vie possibles. soit la date de règlement ou d’émission. Page 34 sur 67 . Cette solution décourage l'investisseur et est peu adoptée. le prix d’émission est de 101. Dans l’exemple BNP la date de jouissance est le 27 juin 2003. Définition : une obligation qui ne verse pas de coupon est appelée zéro-coupon. l'emprunteur souhaite emprunter au taux le plus bas et le prêteur attend le rendement le plus élevé possible. il faut réussir à concilier 2 objectifs opposés. soit au-dessus du pair (R>N). mesuré par un taux de rendement qui dépend de 2 variables : le taux d'intérêt et le prix d'émission. les obligations à court terme (moins d’un an) sont des zéro- coupon. Prix d'émission : 99. Dans le cas de BNP. Seul le nominal est reversé à échéance. Cette prime est rare pour les obligations simples mais très fréquentes pour les obligations convertibles. Typiquement. Dans ce dernier cas on parle de prime de remboursement. Dans le cas de BNP. au-dessous (E<N). Ces trois paramètres sont les plus importants. En effet. c=N*z=1000*0. Pour BNP la date d’émission est le 27 juin 2003 et la date de remboursement le 27 juin 2015.0425=42.5 €. Dans la plupart des cas elle identique à la date de règlement. Les obligations sont amorties par remboursement : soit au pair (R=N). Mais.291%=1012.MATHEMATIQUES FINANCIERES Le coupon (intérêt) est calculé en appliquant le taux d'intérêt nominal à la valeur nominale : c=N z. Prix d'émission / 100% E=1 000 € Valeur nominale N=1 000 € 3 Obligation émise au dessus du pair (E>N). si l'obligation est émise au pair. ♦ La date de jouissance est la date à partir de laquelle le titre porte intérêt. indiquez : du pair : Valeur nominale N=1 000 € 1 Obligation émise au dessous du pair (E<N). ♦ Soit offrir un taux d'intérêt nominal plus faible à celui du marché et baisser le prix d'émission (qui est alors au-dessous du pair). il faut : ♦ Soit offrir un taux d'intérêt nominal légèrement supérieur à celui du marché et augmenter le prix d'émission (qui est alors au-dessus du pair) . il existe d’autres caractéristiques d’une obligation qui permettent de les moduler : ♦ Prix d'émission (E) : c'est la somme effectivement prêtée par l'obligataire.
tous les acteur achèteraient PASCHER de sorte que son prix monterait et vendraient CHER de sorte que son prix baisserait. Il existe deux modalités d'amortissement des emprunts obligataires. MATHEMATIQUES FINANCIERES b) Modalité de remboursement Le système d’amortissement est semblable à celui des emprunts indivis : ♦ (R1): Le montant de l'emprunt est égal à la somme des amortissements. Au fur et à mesure du remboursement des obligations. ♦ (R4) : Le capital restant dû à la fin d'une période quelconque est égal à la valeur actuelle des annuités non échues. Cette hypothèse va nous permettre d’entreprendre des raisonnements par arbitrage équivalents des raisonnements par l’absurde en mathématiques. ♦ Remboursement par amortissement global "in fine" : c'est le cas le plus courant. on fera l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage (en abrégé AOA) sur les marchés financiers. en désuétude. Réduction des frais de gestion. Exemple : Si sur un marché coexistaient au même prix de 99€ un zéro-coupon CHER à 6 mois de nominal 100€ et un autre zéro-coupon PASCHER de nominal 110€ il est clair que l’on pourrait s’enrichir facilement en mettant en œuvre la stratégie d’arbitrage suivante : Opération aujourd'hui 6 mois vente de CHER 99 € -100 € achat de PASCHER -99 € 110 € Total 0 (ne coûte rien) +10 (gain >0) Malheureusement (ou heureusement). et de même nominal 1000€ . Valeur d’une obligation a) Arbitrage L’arbitrage est une notion essentielle en finance. La société émettrice verse à chaque période une somme constante (composée des coupons des obligations encore vivantes et du remboursement d'un certain nombre d'obligations tirées au sort). La plupart du temps. une opportunité d’arbitrage ne peut se présenter que sur un laps de temps extrêmement court : si nous supposons que PASCHER et CHER coexistent au même prix. Toutes les obligations sont amorties en bloc à la fin de l'emprunt. ♦ (R3) : Le capital emprunté est égal à la somme des valeurs actuelles des annuités assurant le service de l'emprunt. les coupons à payer diminuent et le nombre d'obligations amorties est donc croissant 2. Définition : on dit qu’un marché présente une opportunité d’arbitrage (arbitrage opportunity ou free lunch) lorsque l’on peut mettre en œuvre une stratégie d’achat et de vente de différents titres qui ne coûte rien et rapporte des gains strictement positifs (aujourd’hui ou à une date future). ♦ Remboursement par annuités constantes : Ancien système classique français. ♦ (R2) : La dernière annuité est égale au dernier amortissement augmenté de son propre intérêt. seuls les coupons sont payés pendant toute la durée de l'emprunt. de sorte que les opportunités d’arbitrage se comptent sur les doigts d’une main d’un mutilé de guerre. En tout état de cause. de maturité 2 ans. Le tableau des cash flow de ces obligations est : Page 35 sur 67 . b) Valorisation des obligations : une première approche Considérons deux obligations émises par l’état français. l’obligation A verse un coupon de 100€ chaque année tandis que l’obligation B verse un seul coupon de 1000€ au bout de la première année. Chaque année. On donne ici un aperçu afin de valoriser les obligations mais nous développerons cette notion ultérieurement. en finance les arbres ne montent pas au ciel.
dans cet exemple. ♦ Le taux de rentabilité interne Il a le grand avantage de rendre la VAN nulle : 100 1100 −1000 + + =0 1 + rA (1 + rA )2 1000 1000 −1735 + + =0 1 + rB (1 + rB )2 On devrait conseiller d’acheter A plutôt que B si et seulement si rA > rB . En effet. et induit le plus souvent une préférence des investisseurs pour les taux courts (à moins d’un an qui leur permettent de réagir plus vite aux variations de taux). à l’équilibre. et ce jusqu’à ce que les uns et les autres se soient mis d’accord sur le juste prix. Le tableau suivant résume leurs caractéristiques : Page 36 sur 67 . c) Courbe des taux par terme. est en fait inadapté à la valorisation continuelle des obligations échangées sur un marché financier. ♦ La valeur actuelle nette En notant r le taux d’actualisation retenu (correspondant par exemple à l’exigence de rentabilité de l’acheteur) : 100 1100 VAN A = −1000 + + 1 + r (1 + r )2 1000 1000 VAN B = −1735 + + 1 + r (1 + r )2 On devrait donc conseiller d’acheter A si VANA>0 et B si VANB>0. on a même rA = rB = 10% . en préférant A à B si et seulement si VANA>VANB. ceux pour qui VANA<0 vendraient. Prix de non arbitrage (1) Exemple introductif Supposons que sur le marché obligataire américain existent deux obligations A et B de maturité ans. ainsi que deux zéro-coupons C et D de maturité un et deux ans respectivement. puisque rien n’empêche la Banque Centrale de modifier ses taux sans crier garde. les investisseurs ajustent tous leur exigence de rentabilité pour que la VAN soit nulle (car si il en était autrement.MATHEMATIQUES FINANCIERES Temps 1 2 Cash Flow A 100 1100 Cash Flow B 1000 1000 Supposons que ces deux obligations aient un prix aujourd’hui (t=0) de 1000€ et 1735€ respectivement. le mécanisme du marché l’estomperait rapidement . Laquelle doit-on conseiller d’acheter ? Les cash flow de ces obligations étant certains. En fait ces deux critères supposent que le taux annuel r est constant dans le temps. ce critère est rarement satisfaisant car si l’écart entre les deux rentabilités était conséquent. nous pouvons recourir aux critères multi périodiques à savoir la VAN et le TRI. Mais ce critère simple. le taux r doit être tel que VAN A = VAN B = 0 . Ainsi. les investisseurs pour qui VAN A > 0 achèteraient A. c'est- à-dire le prix tel que VANA=0). ce qui rend le critère de la VAN quelque peu inefficace. autrement dit que l’on pourra réinvestir la deuxième année les intérêts de la première année au même taux r. Là encore. Ce risque est appelé risque de taux. et c’est en tout cas faire pari risqué sur l’avenir. très utilisé en banque d’affaire pour évaluer ponctuellement un projet d’investissement. Cette anticipation sur les taux futurs est loin d’être évidente. c'est-à-dire le prix qui les rend indifférents à acheter ou vendre A.
soit 25€ de moins que l’obligation alors que les cash flows sont identiques. 100 € Dans cette situation. on peut alors construire la courbe de z. Le prix à payer pour se constituer ce portefeuille est de : 1× 95 + 11× 80 = 975€ . Si l’on fait le raisonnement inverse. plus le risque de taux est important. Le prix de ce portefeuille est de 1750€. donc plus le marché exige une rentabilité élevée . ou encore courbe des taux purs. (2) La courbe des taux par terme Considérons un zéro-coupon d’échéance T et de nominal N. Quantité Prix unitaire t=1 t=2 C 1 95 € 100 € - D 11 80 € . et qui ne se rencontre pas dans la pratique . Dans ce marché il existe donc des opportunités d’arbitrage ! La présence des zéro-coupons sur le marché fournit donc un moyen simple de savoir si les obligations sont sous ou sur cotée. On observe ce phénomène lorsque le marché anticipe une baisse des taux. le taux de rentabilité à échéance T de ce titre est : N − pT rT = pT Deux taux de rentabilité ne sont comparables que s’ils portent sur la même période. qui est appelée courbe des zéro-coupons par terme. et ce indépendamment de la personnalité des investisseurs. z ≡ z0 (où z0 est une constante). Il s’agit en fait d’un cas d’école. C’est le cas le plus courant : plus l’échéance est éloignée.e. 1 100 € A 975 € 100 € 1 100 € De même on montre que l’obligation B peut être répliquée par dix zéro-coupons C et dix zéro-coupons D. Page 37 sur 67 . de prix pr sur le marché. Il est donc naturel de définir le taux annuel de rentabilité du zéro-coupon : 1 1 ⎛ N ⎞T z (T ) = (1 + rT ) T −1 = ⎜ ⎟ −1 ⎝ pR ⎠ Si l’on dispose de suffisamment de zéro-coupons sur le marché. on dispose d’un moyen de valoriser les emprunts obligataires. qui revient à supposer qu’il existe un taux d’intérêt constant dans le temps. ou plus simplement courbe des taux zéros (« zéro-rate curve »). i. Cette obligation est sous cotée de 15€. On distingue trois grands cas de figure : ♦ La courbe est plate. ♦ La courbe est croissante. MATHEMATIQUES FINANCIERES Prix t=1 t=2 A 1 000 € 100 € 1 100 € B 1 735 € 1 000 € 1 000 € C 95 € 100 € - D 80 € . on peut répliquer l’obligation A en constituant un portefeuille A’ contenant un zéro-coupon C et onze zéro-coupons D. ♦ La courbe est décroissante. Par définition.
. tn : n Fti PAOA = ∑ (1 + z ( t ) ) ti i =1 i La preuve de cette formule est à retenir car elle met en œuvre un raisonnement par arbitrage. Le coupon couru (montant des intérêts courus de la dernière échéance au jour de la cotation) est également exprimé en pourcentage de la valeur nominale et varie chaque jour de 1/365ème du coupon annuel. et que les flux sont annuels.MATHEMATIQUES FINANCIERES (3) Prix de non arbitrage En l’absence d’opportunité d’arbitrage. par exemple. n Fti ce qui prouve la formule : PAOA = ∑ . tn doit être égal à la valeur actuelle du titre. les deux suppositions précédentes sont fausses. On peut alors mettre en œuvre la stratégie (1 + z ( 2 ) ) (1 + z ( t ) ) 2 ti i =1 i suivante : Opération T=0 T=1 T=2 T=3 1 − F1 × + F1 1 + z (1) Acheter F1 titres X 1 − F2 × + F2 1 + z ( 2) Acheter F2 titres Y 1 − F3 × + F3 1 + z ( 3) Acheter F3 titres Z Vendre A + PA − F1 − F2 − F3 Total >0 par hypothèse 0 0 0 n Fti Supposons que PAOA < ∑ . en choisissant pour taux d’actualisation les taux zéro-coupons à échéances t1 . on (1 + z ( t ) ) ti i =1 i montre également que cette supposition entraîne une opportunité d’arbitrage.. t2 . on suppose que n=3. le prix de marché PAOA de tout titre financier versant une suite de n cash flows certains ( Ft ) aux échéances futures t1 . Pour simplifier. Supposons que PAOA > ∑ . En renversant les opérations et signes du tableau précédent.. Page 38 sur 67 . t2 . On désigne par X. deux et trois ans respectivement. On peut également supposer sans perte de généralité que X. Le prix de Y. Y et Z ont tous un nominal de 1. En conclusion. et par A le titre en question.. par absence d’opportunités d’arbitrage.. Y. est alors de : 1 n Fti . Pour déterminer le prix que paie l'acheteur d'une obligation en bourse. il faut ajouter au cours de l'obligation le montant du coupon couru.... (1 + z ( t ) ) ti i =1 i d) Cotation en bourse Les obligations sont cotées en pourcentage de leur valeur nominale au pied du coupon (c'est à dire coupon couru non compris). Z les zéro-coupons à un.
02798)=5 214.015) + (5 000*0.90F Page 39 sur 67 .798 101.50 L'acheteur devra payer (prix de l'obligation + coupon couru) : (5 000*1. MATHEMATIQUES FINANCIERES Exemple: Combien doit payer l'acheteur d'une obligation SNCF 8% ? Séance du 28 septembre 1995 Libellé Valeur nominale Coupon couru en % Cours du jour en % SNCF 8% 95-07 5 000 F 2.
on entend ♦ Les opérateurs des banques et société de courtage ♦ Les trésoriers d’entreprise ♦ Les gestionnaires de fond de pension. L’exemple historique majeure est la hollande du XVIIème qui proposait un marché d’options sur la tulipe. Présentation des produits dérivés 1. et qui est toujours bâti sur la base d’un autre produit financier. En fait. proposèrent aux producteurs des options qui leur conféraient le droit de vendre leurs productions de bulbes à des prix prédéterminés. Cette expérience innovante n’allait cependant pas durer Après un hiver particulièrement doux. Les produits dérivés A. Ce dernier est appelé « sous-jacent » du produit dérivé. A l’inverse les négociants désireux de s’enrichir. qui s’achète et se vend. Voulant se prémunir contre une baisse des cours et voulant stabiliser leurs revenus les producteurs ont cherché une solution financière. Page 40 sur 67 . En effet. Les producteurs usèrent massivement de leurs options. Une analyse postérieure a montré que la faillite de ce marché s’explique par la sous-estimation de la prime de l’option. SICAV… ♦ Les gestionnaires de collectivités locales dont le budget dépasse quelques millions d’euros… Les produits dérivés sont utilisés pour la gestion des risques financiers : ♦ Ils permettent de prendre des risques (spéculateur) ♦ Ou de se couvrir contre les risques (hedger : se prémunir ou « se couvrir » contre les risques existant). pétrole. Définition Un produit dérivé est un produit financier. etc. Black et Scholes proposent un modèle mathématiques pour l’évaluation des options. blé. a) Historique des produits dérivés Les produits dérivés ne datent pas du XXème siècle. un hiver rigoureux impliquait une récolte moyenne et une hausse des cours et inversement. ♦ Des … produits dérivés ! L’utilisation des produits dérivés est réservée aux professionnels intervenant sur les marchés financiers. il fallu attendre 1973. pour que deux américains. Ceux-ci peuvent être : ♦ Des actions ♦ Des obligations ♦ Des devises ♦ Des matières premières : or. et les négociants ne purent pas faire face.MATHEMATIQUES FINANCIERES IV. le cours du bulbe s’effondra. Par professionnels.
prix à terme. Swaps Conditionnels : Options Options Droit d’acheter. obligations. Nature des actifs sous-jacents : Portant sur des Financiers : taux d’intérêt (taux. Définition : un contrat à terme est un contrat d’achat ou de vente d’un produit financier. forward. MATHEMATIQUES FINANCIERES b) Les marchés des produits dérivés Nature des marchés Marchés dérivés Réglementés De gré à gré ou OTC Négociation de contrats à terme Fermes : Futures Forwards Obligation FRA (forward rate d’acheter. l’acheteur se fournit sur le marché et verse la différence au vendeur et inversement. passé entre deux contreparties. de vendre agreement) ou d’échanger à Contrats d’échange l’échéance. c'est-à-dire que chaque contrepartie a autant de chance de gagner ou de perdre de l’argent. swap… Page 41 sur 67 . prêts). Les contrats à terme Ce type de contrat est symétrique. Exemple : futurs. Le prix conclu est appelé cours à terme. matières premières Il existe deux grandes catégories de produits dérivés : 2. ♦ « cash settlement » : si le cours du sous-jacent est en dessous du prix fixé. actifs sous-jacents indices Corporels : marchandises. etc. de Bons de Sur action et sur vendre ou souscription obligation d’échanger à (ou Caps et Floors jusqu’à) l’échéance. et l’échange se fera à ce prix quelque soit le cours du marché à la date de livraison. dont toutes les caractéristiques sont fixées à l’avance : date de règlement. Deux types d’exécution peuvent se produire : ♦ « Physical settlement » le sous-jacent est effectivement échangé. devises.
2%. Négociations Début du FRA. L'une ou l'autre des contreparties a toute latitude pour déboucler ou non son opération par quelque arbitrage que ce soit. Le taux d'un FRA est donc bien un taux In Fine.4%.3 10 millions × × = 57500€ 360 100 Soit un total de 57500+4975=62475€ Cas 2 : le taux est supérieur à 2. On suppose que l’on a des intérêts simples. Une période garantie : c'est sur cette période que porte la garantie de taux. Son risque est donc de voir le taux monté pendant les 5 mois à venir. Elle couvre son risque en achetant un FRA (forward rate agreement) qui lui assure un taux de 2. La banque vendeuse du FRA verse à l’entreprise ⎛ ⎞ 90 jours 1 10 millions × ⎜ 0.MATHEMATIQUES FINANCIERES a) Le FRA Le FRA est un contrat un terme qui permet de garantir immédiatement un taux d’intérêt futur. on comparera le taux garanti avec son équivalent (en terme de période) sur le marché.3 10 millions × × = 67500€ 360 100 Soit un total de 67500-4970=62530€ Page 42 sur 67 . J J’ J’’ Conclusion du FRA. Ce FRA a une durée de 3 mois et un départ dans 5 mois. 5mois plus tard Cas 1 : le taux est inférieur à 2. ce qui simplifie les comparaisons et calculs par rapport au taux de dépôt classiques. L’entreprise doit alors payer à la banque vendeuse du FRA ⎛ ⎞ 90 jours 1 10 millions × ⎜ 0. Elle sait qu’elle pourra emprunter au taux EURIBOR 3 mois +0. 02 × 90 ⎝ ⎠ 1+ 360 taux d ' actualisation sur la durée du FRA De plus.3% (actuellement à 2.159%) mais constaté 5 mois plus tard. 024 × 90 ⎝ ⎠ 1+ 360 taux d ' actualisation sur la durée du FRA L’entreprise doit payer des intérêts à la banque qui lui fait le prêt : 90 jours 2.2%. 022 − 0. il ne se passe rien. elle doit payer des intérêts à la banque qui lui fait le prêt : 90 jours 2 + 0. On observe le Fin du FRA règlement du différentiel des termes du contrat différentiel de taux Exemple : une entreprise sait qu’elle doit emprunter dans 5 mois 10 millions d’euros pour 3 mois. 024 − 0. 022 ⎟ × × = 4970€ ⎜ achat sur le marché exécution du FRA ⎟ 360 0. par exemple à 2%. Au départ de cette période. par exemple à 2. 02 ⎟ × × = 4975€ ⎜ exécution du FRA achat sur le marché ⎟ 360 0.2% par exemple. 4 + 0. Le FRA comporte 2 périodes : Une période d'attente : pendant cette période. La différence sera réglée d'avance (donc actualisée) par l'une des contreparties.
Dans le cas d’intérêts simples : L’exécution du FRA induit pour son acheteur coût égal à 1 N × ( K − X )×T × 1 + XT Ce montant est positif si K>X . on note ♦ N le nominal. La légère différence vient du fait que les intérêts de l’emprunt sont payés à la fin des trois mois alors que le différentiel du FRA est payé au début.3] . l’acheteur du FRA perd de l’argent si le taux du marché est inférieur au taux garanti et inversement. L’emprunt coûte à l’acheteur NXT . ♦ X le taux observé sur le marché au début de la période de garantie (taux annuel). L’inconvénient est que le vendeur ou l’acheteur renonce au gain dû à une variation de taux en leur faveur.25 on obtient : 1 + XT On observe que cette fonction est quasiment constante sur [0. De manière générale. L’emprunt coûte à l’acheteur N ⎡(1 + X ) − 1⎤ . c'est-à-dire le montant sur lequel porte l’emprunt.0. L’acheteur du FRA dépense : T ⎣ ⎦ Page 43 sur 67 . Dans le cas d’intérêts composés : L’exécution du FRA induit pour son acheteur coût égal à 1 N × ⎡(1 + K ) − (1 + X ) ⎤ × T T ⎣ ⎦ (1 + X )T Ce montant est positif si K>X . MATHEMATIQUES FINANCIERES Résumé : en achetant le FRA l’entreprise a gelé le coût de son crédit. l’acheteur du FRA perd de l’argent si le taux du marché est inférieur au taux garanti et inversement. ♦ T la durée de la période de garantie exprimé en année. Le prix du crédit est donc bien gelé. ♦ K le taux fixé par le contrat (taux annuel). L’acheteur du FRA dépense : NT ( K − X ) NXT + NKXT 2 ⎛ X −K ⎞ NXT + = NKT + NXT − = N ⎜ KT + XT 2 ⎟ 1 + XT 1 + XT ⎝ 1 + XT ⎠ X −K Si on trace la fonction qui à X associe KT + XT 2 avec K=2% et T=0.
A l’échéance. taux d’intérêt. on observe des différences de prix plus ou moins significatives entre ces deux catégories. obligations. marché de changes. physical settlement) (1) Profil de gain (payoff) On se place ordinairement du point de vue de l’acheteur à terme. du point de vue du vendeur à terme la valeur est − FCt . si FCt est la valeur du contrat à la date t pour l’acheteur à terme. Ainsi. Le prix du crédit est donc bien gelé.0. Du fait des dispositifs de sécurité spécifiques aux marchés réglementés.MATHEMATIQUES FINANCIERES N (1 + X ) − (1 + K ) T T N (1 + X ) − N + ⎡⎣(1 + K ) − (1 + X ) ⎤⎦ = N ⎡⎣(1 + K ) − 1⎤⎦ + N ⎡⎣(1 + X ) − 1⎤⎦ T T T T T (1 + X ) T (1 + X ) T (1 + X ) − (1 + K ) T T Si on trace la fonction qui à X associe (1 + K ) − 1 + ⎡⎣(1 + X ) − 1⎤⎦ T avec K=2% et T (1 + X ) T T=0. étant entendu que le monde dans lequel vit le vendeur est symétrique. Un contrat doit faire référence à : ♦ Le rôle de chaque intervenant (acheteur ou vendeur) ♦ Une référence officielle de marché (actions.) dont le prix au temps t est noté St ♦ La date future de relevé de cette référence : T ♦ Le prix du contrat à terme : K ♦ Le montant notionnel sur lequel porte la transaction du contrat à terme : c’est la quantité de sous-jacent échangée : N (mais on supposera que N = 1 ) ♦ Les instructions de paiement (cash settlement. le profil de gain ou payoff du contrat est : FCT = ST − K Cette valeur correspond tout simplement aux pertes ou profits latents : Page 44 sur 67 . Dans ce cours. notamment sur le long terme. on supposera néanmoins que les prix des forward et des futures sont identiques.3] . tandis que les forward sont des contrats à terme traités de gré à gré. b) Les futures et les forward Les contrats futures sont des contrats à terme standardisés que l’on traite en bourse. indices. etc.25 on obtient : On observe que cette fonction est quasiment constante sur [0.
K ⎡ K ⎤ T ⎥( + −⎢ 1+ r ) = −K T (1 + r ) ⎣⎢ (1 + r ) ⎥⎦ T remboursé à l’échéance T Vente à échéance T du sous-jacent + ST K Solde des opérations FC0 − S0 + >0 0 (1 + r ) T Page 45 sur 67 . ♦ Il y a absence d’opportunités d’arbitrage sur les marchés. et notamment à la valeur FC0 aujourd’hui. Théorème : la valeur aujourd’hui de non arbitrage d’un contrat d’achat à terme est alors : K FC0 = S0 − (1 + r ) T K K Supposons en effet. MATHEMATIQUES FINANCIERES Achat d’une unité de sous-jacent au prix de livraison K (en exécution du contrat) −K Valeur d’une unité de sous-jacent au prix du marché ST + ST Payoff ST − K Pour le vendeur le payoff est − FCT = K − ST Profil de gain de l’acheteur d’un contrat à terme Profil de gain du vendeur d’un contrat à terme à à t =T t =T (2) Valorisation des contrats à terme On s’intéresse à présent à la valeur FCt du contrat à d’autres instants t < T . On peut alors mettre (1 + r ) (1 + r ) T T en œuvre la stratégie d’arbitrage suivante : Opération Flux de trésorerie à t=0 Flux de trésorerie à t=T Achat aujourd’hui du sous-jacent − S0 Vente aujourd’hui du contrat à terme + FC0 − FCT = K − ST Emprunt de K / (1 + r ) T au taux r. ♦ Tous les investisseurs peuvent prêter et emprunter de l’argent à échéance T au taux annuel sans risque r . ou encore FC0 + > S0 . que FC0 > S0 − . Les trois hypothèses suivantes forment le cadre le plus simple qui soit pour valoriser un contrat à terme : ♦ L’actif sous-jacent ne produit pas de revenu (tels que des dividendes sur action ou des coupons pour une obligation) .
Il s’agit d’un prix anticipé fixé aujourd’hui. K ⎡ K ⎤ − +⎢ ⎥ (1 + r ) = + K T (1 + r ) ⎢⎣ (1 + r ) T T remboursé à l’échéance T ⎥⎦ Achat à échéance T du sous-jacent − ST K Solde des opérations S0 − FC0 − >0 0 (1 + r ) T Notons qu’une telle stratégie. T (1 + r ) T Ce prix est appelé prix à terme (forward price) du sous-jacent à l’échéance T. c) Les swaps (1) Définition Définition : le swap de taux d’intérêt est un contrat de gré à gré par lequel deux parties conviennent de s’échanger. : K = S0 (1 + r ) . intérêts calculés sur des références de taux. Page 46 sur 67 . à date fixe.MATHEMATIQUES FINANCIERES Notons qu’une telle stratégie est sans risque car on possède le sous-jacent au moment de sa revente à terme. des flux d’intérêts d’un capital. On peut alors mettre (1 + r ) (1 + r ) T T en œuvre la stratégie d’arbitrage suivante : Opération Flux de trésorerie à t=0 Flux de trésorerie à t=T Vente aujourd’hui du sous-jacent + S0 Achat aujourd’hui du contrat à terme − FC0 + FCT = ST − K Placement de K / (1 + r ) T au taux r. ce qui revient à dire que le contrat a une valeur nulle au moment de la signature. Comment cela est-il possible ? En fixant le prix de livraison K de telle sorte que K S0 − = 0 . il est d’usage que les signataires ne s’échangent aucun flux financier. ou encore S0 > FC0 + . K K Supposons à présent que FC0 < S0 − . n’est possible que si le marché autorise la vente à découvert (c’est le cas dans la plupart des marchés). Si on calcule FCt pour n’importe quel temps t<T. T ) . T et r . contrairement à ST qui est le prix à la date t=T ( et que l’on ne connaît pas à l’avance). i.e. où l’on vend le sous-jacent dès aujourd’hui. on obtient : K FCt = St − (1 + r ) T −t (3) Prix à terme La formule de valorisation d’un contrat à terme ne dépend que de quatre paramètres : S0 . On a vu au début de ce paragraphe que dans les contrats à terme. K . Le prix forward est souvent noté F0 ou F ( 0.
MATHEMATIQUES FINANCIERES Accord de Swap taux variable TAM contre taux fixe A verse à B des intérêts calculés au TAM A B B verse à A des intérêts calculés à taux fixe Seul le différentiel d’intérêt est payé. Compte tenu de sa notation. Elle peut s’endetter à 5. Page 47 sur 67 . B à taux variable + 0. les swaps de taux transforment : ♦ Un endettement ou placement à taux fixe en un endettement ou placement à taux variable et inversement ♦ Un endettement ou placement à taux variable en un endettement ou placement à un autre taux variable et inversement (2) Utilisation des swaps Les swaps permettent ♦ D’améliorer les conditions de taux d’un emprunt ou d’un placement. le taux de l’emprunt pourrait être de 6. verser des intérêts à TAM et recevoir des intérêts à 5.3% et recevoir des intérêts à TAM L’entreprise B va : ♦ S’endetter à taux fixe de 5. Elle préfère à taux variable.5% A s’endette à taux fixe. verser des intérêts à 5.3% La différence entre les deux taux correspond à la marge bancaire. le capital n’est jamais versé. une entreprise B cherche 500M€ de ressources à même échéance.5% ♦ Selon l’accord de swap.2% A Banques B Sans swap de taux TAM 6. B s’endette à taux fixe (2) +0. Cela signifie qu’une entreprise qui désire payer le TAM recevra 5.2%.7% à taux variable. Exemple : une entreprise A souhaite lancer un emprunt obligataire de 500M€ remboursable in fine dans 5 ans. en cours de négociation ♦ De gérer le risque de taux d’intérêt sur un emprunt ou un placement existant. Sur le marché de gré à gré on côte Swap à cinq ans contre TAM: 5. L’entreprise préfère s’endetter à taux fixe Parallèlement.8% ♦ Selon l’accord de swap.5% à taux fixe ou TAM+0. les entreprises A et B n’ont jamais de relation directe. recevoir le TAM paiera 5.5% à taux fixe ou TAM+0. L’entreprise A va : ♦ S’endetter au taux variable de TAM+0.8% à taux variable.3%. 5.2 . En réalité. Deux banques servent d’intermédiaire : Adossés à des emprunts ou prêts.8% L’accord de swap prévoit que chaque année pendant 5 ans. voire de modifier la structure de taux du bilan.5% A s’endette à taux variable.7% Avec swap de taux TAM 5.
On distingue les options d’achat (call) et les options de vente (put).3% B les recevra. en contrepartie du versement immédiat d’une prime au vendeur. (3) 5. Américaines : l’acheteur peut exercer son droit à tout moment entre la date de création de l’option et la date d’échéance. à un prix fixé dès la conclusion du contrat appelé prix d’exercice. 3.3% -5. Option plus souple mais aussi plus coûteuse que l’option européenne.MATHEMATIQUES FINANCIERES A versera les intérêts à taux fixe.3% Le swap de taux d’intérêt peut également permettre d’anticiper des variations de taux : Anticipation Position initiale Swap à réaliser Position finale Endettement à taux variable Verse le taux fixe Endettement taux fixe Hausse des taux et reçoit le taux Placement taux fixe Placement taux variable variable Verse le taux Endettement à taux Endettement taux fixe Baisse des taux variable et reçoit variable Placement taux variable le taux fixe Placement taux fixe (3) Lien swap/FRA Un exemple : soit un swap de 2 ans sur l’EURIBOR 3mois contre taux fixe aux mêmes dates.2% -5.1% 0. Les options a) Définition Définition : une option est un contrat qui confère à son acheteur le droit et non l’obligation d’acheter ou de vendre jusqu’à une certaine date appelée date d’échéance un actif sous jacent. Option d’achat ou call Option de vente ou Put Droits et Droits et Transaction Transaction Obligations nés du Obligations nés initiale initiale contrat du contrat Acheteur Droit d’acheter Acheteur Droit de vendre Engagement de Engagement vendre à la d’acheter à la Vendeur Vendeur demande de demande de l’acheteur du call l’acheteur du put b) Catégories d’options Les options classiques sont de deux types : Européennes : l’acheteur ne peut exercer son droit qu’à l’échéance. amputés de la marge bancaire (3) 5.2% B versera les intérêts à taux variable (4) -TAM TAM A les recevra (4) -TAM TAM TAM Coût global résultant du swap 6. Page 48 sur 67 . Le swap va consister en l’échange de 8 flux financiers (2ans / 3 mois = 8 échéances) qui correspondent chacun à un contrat à terme sur l’EURIBOR 3 mois.1% -0.
dont le prix d’exercice à l’échéance est fonction de la moyenne des cours du sous-jacent enregistrés durant la durée de vie de l’option. en contrepartie du versement immédiat d’une prime au vendeur de l’option. sur les marchés de gré à gré. ♦ S0 : le cours de l’actif sous-jacent sur le marché comptant à la date d’achat. c) Le bon d’option ou warrant Le bon d’option est un titre intermédiaire entre le bon de souscription et l’option classique. ♦ Les options d’échange qui permettent d’échanger une action X contre une action Y à une date future ♦ Etc. à (ou jusqu’à) l’échéance. Le résultat R à l’échéance est Page 49 sur 67 . ♦ Les options parisiennes qui peuvent être annulées ou activées si le cours reste dans une certaine zone plus d’un temps donné. MATHEMATIQUES FINANCIERES Parallèlement aux options classiques. Soient : ♦ K: le prix d’exercice de l’option. devises. paniers d’actions… Ils se distinguent des options par leur échéance généralement plus longue et par l’impossibilité de vendre à découvert le contrat. indices boursiers. appelé prix d’exercice. ♦ P: la prime versée lors de l’achat de l’option. apparaissent depuis les années 90. les valeurs sous-jacentes sont des actions obligations. Emis par un établissement financier. ♦ Les options barrières qui peuvent être annulées si le cours franchit un certain seuil. Option Bon d’option ou warrant Bon de souscription Naît de la rencontre d’un Indépendant de l’émetteur Emetteur du titre sous- Emetteur acheteur et d’un vendeur du titre sous-jacent jacent Bon de souscription Option d’achat Air France Call warrant sur Renault Exemple d’action Renault émis par cotée en Bourse émis par la BNP Renault Achat de bon de Ouverture Achat d’option d’achat Achat de call warrant souscription de position Vente d’option d’achat (transaction initiale) Achat d’option de vente Achat de put warrant Vente d’option de vente d) L’option d’achat (call) (1) L’achat d’une option d’achat L’achat d’une option d’achat confère le droit d’acheter. ♦ Les options lookbacks. des options dites « exotiques » : ♦ Les options asiatiques. ♦ S: le cours de l’actif sous-jacent à maturité de l’option. un actif à un prix déterminé. dont le prix d’exercice à l’échéance est fonction du maximum ou du minimum des cours du sous-jacent enregistrés durant la durée de vie de l’option.
MATHEMATIQUES FINANCIERES L’acheteur d’une option d’achat spécule sur la hausse ou se couvre contre la hausse du prix de l’actif Résultat à l’échéance Zone de rentabilité K+P Gain potentiellement K illimité 0 S -P prime de l’option Risque limité à la prime Abandon de l’option Exercice de l’option R=-P R=S-K-P Option à parité R=-P Une option d’achat est dite en dehors de la monnaie si son prix d’exercice K > S0. moyennant une prime de 3€. Cas 1 : 6 mois plus tard le cours est de 68€ : l’entreprise exerce ses options et achète 10000 actions au prix de 10000*52-2. Un spéculateur spécule sur la hausse d’une action.5€ par option.5*10000=520000-25000=495000€ Cas 2 : le cours est de 48€ : l’entreprise n’exerce pas ses options et achète les actions sur le marché pour 48*10000-2. Cas 1 : le spéculateur avait raison et le cours est de 130€ : son gain est de 130-100-3=27 et son rapport gain/investissement=27/3=900% ! Cas 2 : le spéculateur avait tort et le cours est de 70€ : son gain (sa perte dans ce cas) est de -3 et son rapport gain/investissement=-100% 2) Il achète une action Cas 1 il la revend à 130 et a gagné 30 : gain/investissement=30/100=30% Cas 2 il la revend à 70 et a perdu 30 gain/investissement=-30/100=-30% A travers cet exemple on peut voir que les options permettent un effet de levier considérable. 1) Elle achète 10000 options d’achat au prix d’exercice de 52€ moyennant une prime de 2. Exemple : l’acheteur de l’option spécule sur la hausse du prix de l’actif sous-jacent. Page 50 sur 67 . dans la monnaie si S0>K et à la monnaie si S0=K. Exemple : l’acheteur de l’option se couvre contre la hausse du prix de l’actif sous-jacent.5*10000=455000€ 2) Elle attend et agit 6 mois plus tard sur le marché : Cas 1 elle doit payer 680000€ soit une perte par rapport à l’option de 185000€ Cas 2 elle doit payer 480000€ soit un gain de 25000€ On voit que devant une incertitude. 1) Il achète une option d’achat au prix d’exercice de 100€ avec un cours du sous-jacent de 100€. Le cours de X est aujourd’hui de 52€. Une entreprise souhaite acheter 10000 actions X dans 6 mois. les options restent une stratégie plus prudente.
♦ S. ♦ P. achat d’option d’achat… e) Option de vente (put) (1) Achat d’une option de vente L’achat d’une option de vente confère le droit de vendre. le cours de l’actif sous-jacent à maturité de l’option. Elle est généralement associée à une autre position : détention de l’actif. à (ou jusqu’à) l’échéance. le prix d’exercice de l’option. MATHEMATIQUES FINANCIERES (2) Vente d’une option d’achat Le vendeur de l’option d’achat est dans la position symétrique de celle de l’acheteur. Le résultat R à l’échéance est Page 51 sur 67 . Il reçoit immédiatement la prime en contrepartie de laquelle il s’engage sur la durée du contrat à vendre l’actif sous-jacent à la demande de l’acheteur. ♦ S0. appelé prix d’exercice. en contrepartie du versement immédiat d’une prime au vendeur de l’option. un actif à un prix déterminé. le cours de l’actif sous-jacent sur le marché comptant à la date d’achat. la prime versée lors de l’achat de l’option. S’agissant d’un jeu à somme nulle. la vente d’option d’achat seule est à éviter. son résultat à l’échéance est l’opposé de celui de l’acheteur : Le vendeur d’une option d’achat spécule sur la baisse du prix du sous-jacent Résultat à l’échéance P prime de Gain limité à la prime l’option 0 K Risque de perte potentiellement illimité Zone de rentabilité K+P Espoir de gain limité. Soient : ♦ K. risque illimité de pertes.
son résultat à l’échéance est l’opposé de celui de l’acheteur : Page 52 sur 67 .5*10000=575000€ 2) Elle attend et agit 6 mois plus tard sur le marché : Cas 1 elle reçoit 400000€ soit une perte par rapport à l’option de 75000€ Cas 2 elle reçoit 600000€ soit un gain de 25000€ (2) Vente d’une option de vente Le vendeur de l’option d’achat est dans la position symétrique de celle de l’acheteur. Une entreprise souhaite vendre 10000 actions X dans 6 mois.5€ par option. Cas 1 : 6 mois plus tard le cours est de 40€ : l’entreprise exerce ses options et vend 10000 actions au prix de 10000*50-2. Le cours de X est aujourd’hui de 50€. 1) Elle achète 10000 options de vente au prix d’exercice de 50€ moyennant une prime de 2. S’agissant d’un jeu à somme nulle.5*10000=500000-25000=475000€ Cas 2 : le cours est de 60€ : l’entreprise n’exerce pas ses options et vend les actions sur le marché pour 60*10000-2. Il reçoit immédiatement la prime en contrepartie de laquelle il s’engage sur la durée du contrat à vendre l’actif sous-jacent à la demande de l’acheteur.MATHEMATIQUES FINANCIERES L’acheteur d’une option de vente spécule sur la baisse ou se couvre contre la baisse du prix de l’actif Résultat à l’échéance Gain potentiellement important Zone de rentabilité K-P K 0 S -P prime de l’option Risque de perte limité à la prime Exercice de l’option Abandon de l’option R=K-S-P R=-P Option à parité R=-P Exemple : l’acheteur de l’option se couvre contre la baisse du prix de l’actif sous-jacent.
elle est évaluée en permanence entre sa date de création et son échéance. MATHEMATIQUES FINANCIERES Le vendeur d’une option de vente spécule sur la baisse du prix du sous-jacent Résultat à l’échéance Gain P prime de limité à la l’option prime 0 K Risque de perte potentiellement important Zone de rentabilité K-P f) Evaluation des options Lorsque l’option est négociable. Le graphique des valeurs est en général proche de : (pour une option d’achat) Page 53 sur 67 .0) Valeur de l’option si l’échéance est immédiate + Valeur spéculative VS>0 Espoir de voir le cours de l’actif monter A l’échéance VS=0 = (call) ou descendre (put) avant l’échéance. La valeur de l’option se décompose en deux éléments : Valeur de l’option (Prime) Valeur intrinsèque VI=maximum (S-K.
la même année que le marché des valeurs du Trésor. En attendant. En effet. Le MATIF Le Matif (Marché à terme international de France) a été créé le 20 février 1986.MATHEMATIQUES FINANCIERES Valeur spéculative Valeur intrinsèque L’évaluation des options dépend des paramètres Option d’achat : OA Option de vente : OV Cours de l’actif S Hausse de S → Hausse de l’OA Hausse de S → Baisse de l’OV Prix d’exercice K Hausse de K → Baisse de l’OA Hausse de K → Hausse de l’OV Réduction de la durée de vie entraîne une baisse de l’OA et l’OV car la Durée de vie de l’option probabilité de pouvoir exercer diminue Une hausse de la volatilité des cours entraîne une hausse de l’OA et Volatilité l’OV car la probabilité de pouvoir exercer augmente Hausse des taux d’intérêt → Hausse des taux d’intérêt → baisse hausse de l’OA. Les marchés des produits dérivés 1. l’acquéreur différée. l’acquéreur peut placer le montant actualisé doit emprunter le montant actualisé du prix d’exercice et bénéficier du prix d’exercice et payer des des intérêts intérêts Distribution de revenu (dividende Distribution de revenu (dividende Revenu distribué pour une action) → baisse de S → pour une action) → baisse de S → baisse de l’OA hausse de l’OV B. indices boursiers. moyen et court terme. aux variations du cours de certaines matières premières. celle-ci peut peut s’interpréter comme un achat s’interpréter comme une vente Taux d’intérêt différé. des instruments négociables de gestion des risques liés aux fluctuations des intérêts à long. Son rôle est de proposer aux acteurs économiques et financiers. celle-ci de l’OV. En effet. marchandises). En attendant. Page 54 sur 67 . le Matif s'inscrit aujourd'hui parmi les plus grands marchés à terme internationaux. Proposant une large gamme de produits de couverture des risques financiers (taux d'intérêt.
5 ans. de maturité résiduelle 8. Sous-jacent Emprunt fictif d’État.5%. de maturité résiduelle comprise entre 8. septembre. décembre Titres livrables Livraison de titres choisis par le vendeur dans une liste d’emprunts français et allemands. Intermédiation : Les transactions sont réalisées exclusivement par les « adhérents » et leurs « négociateurs ». d’encours minimal de 6 milliards d’euros. des négociations Contrats standardisés en terme d’échéances de conditions de livraison.5 à 10. réglés un mois avant la date de règlement/livraison de l’échéance.5 ans amortis in fine. ♦ Si le taux monte le cours du contrat baisse et inversement. La marge est portée sur le compte de l’opérateur. de qualité de l’objectif négocié marché La fongibilité des contrats : possibilité de dénouer une position avec une contrepartie différente de l’initiale b) Les deux principaux contrats Matif en euros (1) Principales caractéristiques du contrat à terme Euro Notionnel Ce sont des contrats de gestion du risque de taux d’intérêt à long terme. Dépôt de garantie : avant de prendre position sur le marché.5 et 10. auprès de l’intermédiaire. Si le dépôt de garantie est amputé. juin.) Page 55 sur 67 . remboursable in fine. d’unité Liquidité du de négociation.50 % Nominal 100 000 euros Mode de cotation Pourcentage du nominal exprimé avec deux décimales au pied du coupon Dépôt de garantie 1500 euros Échéances Trois échéances trimestrielles successives parmi mars. coupon 3. La valeur temps du contrat notionnel euro se calcule comme une obligation à savoir (voirErreur ! Source du renvoi introuvable. le donneur d’ordre Sécurité des est tenu de constituer. libellé en euro. Si l’appel n’est pas couvert la position est liquidée par l’intermédiaire. le contrat notionnel vaut 100. MATHEMATIQUES FINANCIERES a) Organisation et fonctionnement Objectif Technique et organisation Chambre de compensation : Euronext Paris SA s’interpose entre acheteurs et vendeurs et garantit la bonne fin des opérations. un dépôt devant couvrir la perte transactions maximale susceptible d’être enregistrée lors d’une séance de négociation Appel de marge : Toute position fait l’objet quotidiennement d’une liquidation fictive. on procède à un appel de marge auprès de l’opérateur pour qu’il reconstitue son dépôt avant le lendemain. Le cours du contrat varie en fonction du taux du marché comme une obligation à taux fixe : ♦ Lorsque le taux du marché obligataire est de 3. Transparence Négociation électronique de 8h à 22h en continu.
58-87. un spéculateur anticipant une baisse des taux de marché financier. Appel de marge -600€ . Solde +1000€ ♦ 26 avril : Cours 87.50 . Le résultat global peut être calculé directement : 10x (87. Solde +400€ ♦ 27 avril : Cours 87.58 Son compte est crédité de 10x (87. Les taux d’intérêts sont calculés en retenant un prorata de 90/360 Nominal 1 000 000€ Mode de cotation Indice à trois décimales correspondant à : 100 – taux Euribor 3 mois. L’adhérant traitant pour le compte du spéculateur lui demande un dépôt de garantie de 1500x10=15000€ Le 25 avril au soir.62 .48. en dehors et dans la monnaie Echéances 2 mois rapprochés et 3 échéances trimestrielles parmi mars. Appel de marge -200€ . juin. juin. ♦ L’assignation par tirage au sort d’un vendeur. Cotation Prime exprimée en % du nominal (3) Principales caractéristiques du contrat à terme Euribor 3 mois Sous-jacent Dépôt d’une valeur de 1 000 000€ pour une durée de 90 jours.48) %x100000=+1000 € Les jours suivants dégagent les marges ci-dessous ♦ 25 avril : Cours 87. Restitution de marge +1200€ .62-87. échéance juin. septembre. Dépôt de garantie 500€ Échéances Deux échéances mensuelles et 20 trimestrielles successives parmi mars. Exemple : Le 25 avril.58 .5 × t Où t est le taux d’intérêt des emprunts d’états à l’émission. septembre.52 . décembre Page 56 sur 67 . Son ordre est exécuté à 87. L’échéance mensuelle porte sur l’échéance trimestrielle du contrat ferme immédiatement ultérieur Liquidation L’exercice de l’option se traduit par : ♦ L’achat ou la vente d’un contrat ferme sur la même échéance ou sur l’échéance trimestrielle suivante. achète 10 contrats Euro Notionnel. le cours est de 87. Restitution de marge +1000€ . il déboucle sa position et touche 1400€ plus restitution de son dépôt de garantie. Comme pour l’Euro Notionnel une hausse des taux provoque une baisse des cours. Solde +1400€ A cette dernière date. Solde +200€ ♦ 28 avril : Cours 87. décembre.MATHEMATIQUES FINANCIERES 1 − (1 + t ) − durée + 100 × (1 + t ) − duree VT = 3.48) %x100000=+1400 € (2) Caractéristiques des options sur Euro Notionnel Sous-jacent 1 contrat à terme ferme Euro Notionnel Type Option américaine exerçable à tout instant Echelle des prix d’exercice Ouverture d’options à.
MATHEMATIQUES FINANCIERES Liquidation Cash settlement : le cours de liquidation correspond à : 100 – Euribor 3 mois. Cas 1 : à l’échéance le cours de liquidation s’établit à 95. risque limité à la prime ♦ Ventes d’options : couverture exigée ♦ Achats/Ventes d’options : calcul d’une position nette .88 Sa perte est de : 90 ( 96.58%). couverture exigée su position nette vendeur Transparence ♦ Négociation électronique de 8h à 22h pour les contrats fermes des négociations ♦ De 9h à 17h pour les options. d’unité Liquidité du de négociation. La position n’est pas soldée avant l’échéance. Couverture : Sécurité des Une couverture (dépôt de garantie). Son ordre est exécuté à 96. La couverture doit faire face à la liquidation éventuelle de leur position.42 (taux implicite 3. 42 − 95. le MONEP (Marché des Options Négociables de Paris) est un marché réglementé de contrat fermes et optionnels portant sur des actions cotées sur un marché réglementé de l’espace économique européen et sur des indices sur actions. Le dépôt de garantie est de 5x500€=2500€. dans l’hypothèse de l’évolution la plus défavorable des cours de l’actif lors de la séance suivante.98) % ×1000000 × × 5 = 5500€ 360 Cas 2 : à l’échéance le cours de liquidation s’établit à 96. Intermédiation : Les transactions sont réalisées exclusivement par les « adhérents » et leurs « négociateurs ». Contrats standardisés en terme d’échéances de conditions de livraison. Exemples : ♦ Achats d’options : pas de couverture. a) Organisation et fonctionnement Objectif Technique et organisation Chambre de compensation : Euronext Paris SA s’interpose entre acheteurs et vendeurs et garantit la bonne fin des opérations. établi le jour de clôture et arrondi à l’échelon de cotation Exemple : Le 9 janvier.98 Son compte est crédité du solde des appels et restitutions de marge : 90 ( 96. Le MONEP Ouvert en septembre 1987. un spéculateur anticipant une hausse des taux dans les 9 prochains mois vend 5 contrats Euribor 3 mois sur l’échéance septembre. 42 − 96. de qualité de l’objectif négocié marché La fongibilité des contrats : possibilité de dénouer une position avec une contrepartie différente de l’initiale Page 57 sur 67 . 2. ajustée quotidiennement est demandée aux transactions opérateurs détenant une position ouverte sur les contrats fermes et une position globale nette vendeur sur les options.88) % ×1000000 × × 5 = −5750€ 360 Ce qui correspond aux appels de marge.
L'acheteur de straddle anticipe une forte variation de cours indépendamment du sens de celle-ci. les stratégies détaillées ci-dessous peuvent s'appliquer aussi bien aux options de change qu'aux options de taux. Le dépôt de garantie est de 3500x5=17500€. Page 58 sur 67 . 3 mois rapprochés et 3 échéances trimestrielles et 2 échéances semestrielles. A chaque échéance correspond un contrat différent Liquidation Pas de livraison possible. Son compte est crédité de (3666-3556)*10*5=4350€. Cette variation doit être suffisamment importante pour lui permettre le paiement des 2 primes et si possible exercice d'une des options. C. Son ordre est exécuté à 3556. Stratégies complexes Sauf indication contraire. Toute position non dénouée avant l’échéance donne lieu à un ultime appel de marge sur la base du CAC40. Stratégie sur la volatilité : le straddle Le straddle correspond à l'achat simultané d'un call et d'un put au même prix d'exercice. un spéculateur anticipant une hausse du CAC 40 achète 5 contrats sur l’échéance novembre. indice base 1000le 31/12/1987 Nominal Valeur de l’indice x 10 euros Echéances 8 échéances glissantes. Dépôt de garantie 350 points d’indice soit 3500€ Cotation De l’indice Exemple : Le 12 novembre. Le spéculateur revend des ses contrats le 19 novembre à 3666. 1.MATHEMATIQUES FINANCIERES b) Contrats à terme ferme sur le CAC 40 Sous-jacent Indice CAC 40 constitué des 40 valeurs françaises du Premier Marché.
Inversement. le vendeur de strangle espère une baisse de volatilité permettant de rester dans la fourchette de gain. 3. Dans ce cas. 2. Page 59 sur 67 . Stratégie sur la volatilité : le strangle Le strangle correspond également à l'achat simultané d'un call et d'un put mais à des prix d'exercice différents. Bien entendu un collar du type Achat de Put + Vente de Call est tout à fait possible. De plus ces prix seront « out of the money » afin de minimiser le montant des primes à payer. Stratégie sur le prix : le collar Le collar correspond à l'achat d'une option (call ou put) associé à la vente d'une option de sens contraire (put ou call). Ce type de stratégie est insensible aux variations de volatilité. les figures ci-dessus sont inversées. Par contre l'écart de volatilité devra être plus important pour permettre le remboursement des primes. Ce type d'option est également appelé terme synthétique. le vendeur de straddle table sur une stabilité des cours par rapport au prix d'exercice afin de lui permettre de conserver au moins une partie des primes touchées initialement. MATHEMATIQUES FINANCIERES A contrario.
la vente d'action lui a fait gagné -20D>0 ou dépensé 20D<0. des stratégies permettant d'annuler le risque encouru) qui lui sont offertes. Nous allons adopter désormais une notation afin de clarifier les situations de gain algébrique. Modèle à une période 1. En revanche. le vendeur de l'option (une banque par exemple) peut perdre jusqu'à 15-C €. si l'option a été achetée pour couvrir un risque (de change par exemple) on peut considérer que cette perte est une prime « d'assurance ». prix du sous-jacent L'acheteur de l'option va donc payer la prime C > 0 au vendeur. Par ailleurs. La stratégie va se construire comme ceci : en parallèle de la vente de l'option. elle a dépensé 20D>0 et son gain est de -20D<0. la banque ou l'institution financière va acheter ou vendre une quantité D d'actions (si D<0 elle vend -D actions. Remarque : l'opération sur les actions va lui rapporter -20D. cela peut représenter une somme considérable. Les caractéristiques de cette option sont les suivantes : Le sous-jacent est une action qui côte 100 € aujourd’hui 120 € Le prix d'exercice de l'option est de 105 € L'acheteur paye au vendeur une prime C On suppose que le sous-jacent vaudra soit 120 100 € €. Sur plusieurs milliers d'options. Un exemple On s'intéresse à l'évaluation d'un call européen. surtout si ces options ne couvrent pas d'autres risques.e.MATHEMATIQUES FINANCIERES V. Pour essayer d’éviter cette perte. soit 80 € dans un mois On dispose par ailleurs. Le vendeur du produit dérivé fixe la prime en fonction des possibilités de couverture ou de réplication (i. Il s'agit d'un gain algébrique. On peut même vendre une action avant de l'acheter (ce que l'on appelle vente à découvert) ♦ placer et emprunter de l’argent au taux 5%. elle va emprunter ou placer l’argent nécessaire à ces deux opérations. si D>0 elle achète D actions). Par ailleurs. A. Si D>0. Page 60 sur 67 . Modèle d’évaluation par arbre Le but de ce chapitre est de fournir une introduction aux calculs des primes (ou prix) des options. d'un outil financier sans 80 € risque permettant de placer de l’argent au taux r = 5% par mois et d’en emprunter à ce même taux. elle (la banque) va mettre en oeuvre une stratégie de réplication en jouant sur le fait qu'elle peut ♦ acheter et vendre des actions ou des « parties » d'action. Son profit sera: ♦ 120 − 105 − C = 15 − C si le cours vaut 120 € ♦ −C si le cours vaut 80 € On voit que les pertes de l'acheteur sont limitées à la prime qui est inférieur à 2 €. Si D<0.
1€ à la date 0 vaut 1 + r € à la date 1. St . ♦ On note π t le prix de l’option : on sait que dans le cas du call ci-dessus. Dans ce chapitre on considère trois actifs financiers : une option. dans l’exemple π0 = C . argent. on considère qu’elle a réalisé un placement. sinon elle a emprunté. Le portefeuille aura alors comme valeur : V 2 = −1× 0 + D × 80 + X × (1 + 5% ) = 80 D + 1.05 X = 80 D + 1. St0 . nS . De plus. ♦ On note St0 = (1 + r ) . la banque détient le portefeuille ( −1.05C Plusieurs cas peuvent donc se produire : Page 61 sur 67 . le prix de l’argent. Un portefeuille P s’écrira comme un triplet : P=( nO .05 ( C − 100 D ) = −25D + 1. ♦ On note St le prix du sous-jacent à l’instant t. Dans l’exemple ci-dessus. correspond un prix. S0 = 100 et S1 = 120 ou S1 = 80 . A chaque actif et pour chaque date. En effet. D. des actions et de l’argent. on peut l’exercer immédiatement et effectuer un profit correspondant à son payoff. le sous-jacent de cette option et l’argent. ) Définition : on appelle portefeuille financier un portefeuille contenant des options. Le portefeuille aura alors comme valeur : V 1 = −1× (120 − 105 ) + D × 120 + X × (1 + 5% ) = 120 D + 1. π 1 = ( S1 − 105 )+ car si l’option est acheté à sa maturité.05 ( C − 100 D ) − 15 = 15D + 1. X ) où X est la quantité d’argent nécessaire pour annuler la valeur du portefeuille : V = −1× C + D × 100 + X × 1 = 0 ⇔ X = C − 100 D Si X>0. MATHEMATIQUES FINANCIERES Définition : On appelle actifs financiers. t ( Le vecteur de prix du marché est Π t = π t . obligations) qui sont échangeables.05 X − 15 = 120 D + 1. nC ) quantité d'options quantité d'actions quantité d'argent Lorsque les quantités sont positives cela signifie que l’on a une position créditrice : ♦ Achat d’options ♦ Achat d’actions ♦ Placement d’argent Lorsque les quantités sont négatives cela signifie que l’on a une position débitrice : ♦ Vente d’options ♦ Vente à découvert d’actions ♦ Emprunt d’argent La valeur d’un portefeuille est la somme algébrique des quantités par la valeur des produits financiers correspondants : V = P ⋅ Π t = nOπ t + nS St + nC St0 Dans le cas qui nous intéresse.05C − 15 ♦ Si l’action vaut 18 €. plusieurs cas peuvent arriver suivant la valeur de l'action: ♦ Si l’action vaut 120 €. A t=1 mois. des valeurs financières (actions.
V 2 > 0 Gain à coup sur V = 0. Or. Les deux premiers cas étant impossible par AOA (absence d’opportunités d’arbitrage). nS .93€ 40 8 1.93 € et. d'un outil financier sans S0d risque permettant de placer de l’argent au taux r par mois et d’en emprunter à ce même taux. Comme elle est partie d’un portefeuille de valeur nulle elle aura annuler le risque encouru (mais ne pourra pas réaliser de profit). Définition : On appelle stratégie un triplet ( nO . il met en œuvre la stratégie lui permettant d’obtenir : V 1 = 0 et V 2 = 0 Ainsi. nC ) représentant les quantités d’option. si la banque fait payer 8. nS . 2. on peut résoudre le système avec C et D comme inconnues pour trouver : 15 3 25D 25 × 3 D= = et C = = = 8. et le vendeur voulant limiter ses pertes.57 €.MATHEMATIQUES FINANCIERES V 1 > 0.5 = 28. S0 soit S0d dans une période avec u > d On dispose par ailleurs.93 − 37. au bout d'un mois. V > 0 ou V > 0. Définition : Une opportunité d’arbitrage est une stratégie ( nO . V = 0 1 2 1 2 Gain à coup sur (peut être nul) V = 0 et V = 0 1 2 Pas de gain ni de perte Autre cas Probabilité de perte non nulle Si le vendeur est sur de gagner. on appelle cela une opportunité d'arbitrage. d’action et d’argent investies dans un portefeuille. elle sera certaine. Une des hypothèses fondamentales de l’exemple précédant est ce que l’on a appelé l’AOA. Le plus souvent nO sera égal à -1 (vendeur de l’option).05 × 8 Autrement dit. +1 (acheteur de l’option) ou 0 (pas d’option). nC ) telle que la valeur du portefeuille à t=0 est nulle et sa valeur à t=1 vérifie : V ≥ 0 et V > 0 pour au moins un cas Page 62 sur 67 .05 1. Hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage On se place dans un cadre général en considérant un call : Le sous-jacent est une action qui côte S0 aujourd’hui S0u Le prix d'exercice de l'option est de K L'acheteur paye au vendeur une prime π 0 On suppose que le sous-jacent vaudra soit S0u. d’obtenir un portefeuille de valeur nul. elle achète 3/8 d'actions et emprunte (car X < 0 ) X = C − 100 D = 8. dans le même temps. sur les marchés financiers on peut supposer qu'il n'existe pas de telles opportunités car lorsqu'elles se présentent elles sont exploitées et les cours s'ajustent alors pour qu'elles disparaissent.
la valeur du portefeuille est : ♦ Si le cours est S0u alors : Page 63 sur 67 . call put action argent V = −1× π 0C + 1× π 0P + 1× S0 + π 0C − π 0P − S0 = 0 On rappelle l’identité ( K − x )+ − ( x − K )+ = K − x . π 0C − π 0P − S0 ) . π 0 − S0 ) . à t=0. Pour démontrer 1 + r ⎠+ ⎝ l’inégalité de gauche on raisonne par l’absurde. Sa valeur est à t=0 est V = −1× π 0 + 1× S0 + π 0 − S0 = 0 . Cela signifie que le call est plus cher qu’une action. nS . nO 2 . +1. on voit que sa valeur à t=0 est 0 et à t=1 est ♦ − S0u + S0 (1 + r ) = S0 (1 + r − u ) si le cours est monté ♦ − S0 d + S0 (1 + r ) = S0 (1 + r − d ) si le cours est descendu. MATHEMATIQUES FINANCIERES Hypothèse (AOA) : On suppose désormais qu’il n’existe pas d’opportunité d’arbitrage Conséquence 1 : dans le modèle décrit ci-dessus. De temps à autre. nC ) ou autre suivant le nombre d’options. A t=1. la valeur du portefeuille est : V = −1× ( S0u − K )+ + 1× S0u + (π 0 − S0 )(1 + r ) ♦ Si le cours est S0u alors = S0u − ( S0u − K )+ + (π 0 − S0 )(1 + r ) ≥0 >0 V = −1× ( S0 d − K )+ + 1× S0 d + (π 0 − S0 )(1 + r ) ♦ Si le cours est S0d alors = S0 d − ( S0 d − K )+ + (π 0 − S0 )(1 + r ) ≥0 >0 Le vendeur a donc crée une opportunité d’arbitrage ce qui est impossible. En effet si on considère le portefeuille ( 0. Si π 0C est le prix d’un call d’échéance 1 mois et de prix d’exercice K et π 0P est le prix d’un put d’échéance 1 mois et de prix d’exercice K vérifiant S0 d < K < S0u alors : K π 0C − π 0P = S0 − 1+ r K Démonstration : Supposons que π 0C − π 0P > S0 − . l’AOA implique que d < 1 + r < u . l’achat d’un put et l’achat d’une unité de sous-jacent : (−1. La valeur du portefeuille est donc. +1. comme u > d le seul moyen de ne pas avoir d’opportunités d’arbitrage est d’avoir l’inégalité ci-dessus d < 1 + r < u (si 1 + r > u . Donc π 0 ≤ S0 . A t=1. les stratégies ne comporteront pas une seule option. Ainsi. on a nécessairement par AOA 1 + r < d ce qui est impossible et réciproquement) K ⎞ ⎛ Conséquence 2 : Si π 0 est le prix d’un call alors : ⎜ S0 − ⎟ ≤ π 0 ≤ S0 . De même on notera π t1 le prix de l’option 1 au temps t et π t2 celui de l’option 2. On crée la stratégie correspondant à la 1+ r vente d’un call. +1. On vend donc le call et on achète une action ce qui revient à construire le portefeuille ( −1. +1 . Une stratégie sera alors un quadruplet ( nO1 . Conséquence 3 : Parité Call Put. L’autre inégalité est laissée en exercice. On suppose que π 0 > S0 . − S0 ) .
Cas général On s’intéresse toujours à l’évaluation du call Européen dans le cadre de la partie 2 : Le sous-jacent est une action qui côte S0 aujourd’hui S0u Le prix d'exercice de l'option est de K L'acheteur paye au vendeur une prime π 0 On suppose que le sous-jacent vaudra soit S0u.MATHEMATIQUES FINANCIERES V = −1× ( S0u − K )+ + 1× ( K − S0u )+ + 1× S0u + (π 0C − π 0P − S0 ) (1 + r ) = K − S0u + S0u + (π 0C − π 0P − S0 ) (1 + r ) K >K− (1 + r ) = 0 1+ r ♦ Si le cours est S0d alors : V = −1× ( S0 d − K )+ + 1× ( K − S0 d )+ + 1× S0 d + (π 0C − π 0P − S0 ) (1 + r ) = K − S0 d + S0 d + (π 0C − π 0P − S0 ) (1 + r ) K >K− (1 + r ) = 0 1+ r On a crée une stratégie qui a pour valeur 0 à t=0 et qui est strictement positive à t=1 quelque soit les cas. Page 64 sur 67 . d'un outil financier sans S0d risque permettant de placer de l’argent au taux r par mois et d’en emprunter à ce même taux. S0 soit S0d dans une période On dispose par ailleurs. −1 . V = +1× π 0C − 1× π 0P − 1× S0 + π 0P − π 0C + S0 = 0 A t=1. π 0P − π 0C + S0 ) . −1. On a donc une opportunité d’arbitrage. On a donc une opportunité d’arbitrage. La valeur 1+ r call put action argent du portefeuille est donc. 3. la valeur du portefeuille est : ♦ Si le cours est S0u alors : V = 1× ( S0u − K )+ − 1× ( K − S0u )+ − 1× S0u + (π 0P − π 0C + S0 ) (1 + r ) = S0u − K − S0u + (π 0P − π 0C + S0 ) (1 + r ) K > −K + (1 + r ) = 0 1+ r ♦ Si le cours est S0d alors : V = 1× ( S0 d − K )+ − 1× ( K − S0 d )+ − 1× S0 d + (π 0P − π 0C + S0 ) (1 + r ) = − K + S0 d − S0 d + (π 0P − π 0C + S0 ) (1 + r ) K > −K + (1 + r ) = 0 1+ r On a crée une stratégie qui a pour valeur 0 à t=0 et qui est strictement positive à t=1 quelque soit les cas. On crée la stratégie (+1. à t=0. K Supposons que π 0P − π 0C + S0 > .
Ainsi : V = −1× π 0 + nS × S0 + nC = 0 ⇔ nC = π 0 − nS S0 A t=1. Ces notions sont générales. P ( Ω ) ) la probabilité Q ⎜ = u ⎟ = 1 − Q ⎜ 1 = d ⎟ = p . u} . Exercice : Effectuer les calculs pour le put de prix d’exercice K et montrer que ( K − S0u ) + − ( K − S0 d )+ 1 nS = S0 ( u − d ) . Il crée donc la stratégie ( −1. on suppose que V u = V d = 0 ce qui donne un système de deux équations à deux inconnues (C et D). S0 ( u − d ) En utilisant V u = 0 . Cette prime a été calculée par absence d’opportunités d’arbitrage en évaluant une stratégie répliquant ou couvrant l’option.1[ . On considère que le vendeur de l’option effectue une transaction sur l’action en achetant ou vendant une quantité nS . le prix du call se réécrit : u−d 1 π0 = 1+ r ( p ( S0u − K )+ + (1 − p )( S0 d − K )+ ) Or vu la conséquence 1 de la partie 2. On peut définir une probabilité sur ⎛ S1 ⎞ ⎛S ⎞ l’espace ( Ω = {d . nS . le portefeuille vaudra : ♦ Si l’action vaut S0u : V u = − ( S0u − K )+ + nS S0u + nC (1 + r ) = − ( S0u − K )+ + nS S0u + (π 0 − nC S0 )(1 + r ) = − ( S0u − K )+ + nS S0 ( u − (1 + r ) ) + π 0 (1 + r ) ♦ Si l’action vaut S0d : V d = − ( S0 d − K )+ + nS S0 d + nC (1 + r ) = − ( S0 d − K )+ + nS S0 d + (π 0 − nC S0 )(1 + r ) = − ( S0 d − K )+ − nS S0 ( (1 + r ) − d ) + π 0 (1 + r ) Pour éviter les opportunités d’arbitrage. on voit que p ∈ ]0. MATHEMATIQUES FINANCIERES Le raisonnement sera celui de la partie 1. et π 0P = 1+ r ( p ( K − S0u )+ + (1 − p )( K − S0 d )+ ) Page 65 sur 67 . Remarque : On voit que nS > 0 ce qui signifie que pour couvrir un call il faut acheter des actions. nC ) où X est la somme d’argent nécessaire à l’obtention du portefeuille de valeur nulle à t=0. En écrivant ( S0u − K ) + − ( S0 d − K )+ V u − V d = 0 ⇔ − ( S0u − K )+ + ( S0 d − K )+ + nS S0 ( u − d ) = 0 ⇔ nS = . on obtient (S u − K ) − ( S 0 d − K )+ π 0 (1 + r ) = ( S 0 u − K ) + − nS S 0 ( u − (1 + r ) ) = ( S 0 u − K ) + − 0 + S 0 ( u − (1 + r ) ) S0 ( u − d ) ⎛ u − (1 + r ) ⎞ u − (1 + r ) 1⎛ S u − K 1 + r − d + S d − K u − (1 + r ) ⎞ = ( S0u − K )+ ⎜ 1 − ⎟ + ( S0 d − K )+ ⇔ π0 = ⎜( 0 )+ ( 0 )+ ⎟ ⎝ u−d ⎠ u−d 1+ r ⎝ u−d u−d ⎠ 1+ r − u Si on pose p = . c’est ce que l’on nomme l’évaluation par arbitrage. Le prix se réécrit ⎝ S0 ⎠ ⎝ S0 ⎠ alors : ⎡ ( S1 − K )+ ⎤ C = EQ ⎢ ⎥ ⎣ 1+ r ⎦ Le prix est donc l’espérance sous une probabilité (appelée probabilité risque neutre ou probabilité martingale) du profit actualisée de l’option.
Pour la première partie de l’arbre il suffit de considérer que l’on a une option qui rapporte π 1u si le cours est monté et π 1d sinon. n d S . n .MATHEMATIQUES FINANCIERES B. si on achète l’option au temps 1.75.727 . Ainsi. L’option a un prix à t=0 mais aussi un prix à t=1. les stratégies à mettre en place pour couvrir l’option sont pour la partie haute de l’arbre (S u 2 − K ) − ( S0ud − K )+ ( −1.5715. ) Exercice : Calculer le prix du call avec comme paramètres u=1. on obtient directement 1 ⎛ u 1+ r − d d u − (1 + r ) ⎞ π 1u − π 1d π0 = ⎜ π1 + π1 ⎟ et nS = 0 1+ r ⎝ u−d u−d ⎠ S0 ( u − d ) ( La stratégie de réplication est alors −1.797 ) soit financièrement Page 66 sur 67 . Evidemment du fait de l’évolution du cours de l’action et de l’argent ce prix ne sera pas celui de départ. ns0 = 0. −9. De plus. r=5%.286 . Si on considère la partie en pointillé de l’arbre on s’aperçoit que l’on est ramené à la partie précédente. il est possible d’acheter une option au cours de sa durée de vie. π u S u 1 − n S0u ) u S avec nu S = 0 + S 0u ( u − d ) et pour la partie basse ( S0ud − K )+ − ( S0 d 2 − K )+ ( −1.5715 . 0.633 .9. nS0 . on connaît l’évolution de l’action entre t=0 et t=1. d=0. Modèle à deux périodes S0u2 (S0u2-K)+ S0u Cu S0ud (S0ud-K)+ S0 C0 S0d Cd S0d2 (S0d2-K)+ T=0 T=1 T=2 T=0 T=1 T=2 Evolution du prix de l’action Evolution du prix de l’option On suppose désormais que l’action évolue suivant le graphique sur deux périodes (deux mois par exemple). π 0 − nS0 S0 .1. On a donc : 1 ⎛ 1+ r − d u − (1 + r ) ⎞ π 1u ⎜ ( S0u − K )+ + ( S0ud − K )+ 2 = ⎟ 1+ r ⎝ u−d u−d ⎠ 1 ⎛ 1+ r − d u − (1 + r ) ⎞ et π 1d = ⎜ ( S0ud − K )+ + ( S0 d 2 − K ) ⎟ 1+ r ⎝ u−d + u−d ⎠ Par ailleurs. En effet. nSd = 0 A t=0 : la stratégie est ( −1. K=21€. nSu = 0. S0 =20€. Correction : D'après les formules: p = 0. π 1u = 2. π 1d = 0 . Expliciter la stratégie de réplication. π 0 = 1. π − n S0 d ) avec n d 1 d S d S = S0 d ( u − d ) .
8 et S1=22 : ♦ Non exercice de l'option. gain=0 ♦ Revente de 0 actions.8 et S1=22) ou S2=16. gain=-14. gain=-0. gain=0. Page 67 sur 67 .421=13.633=-9.2 : ♦ Non exercice de l'option. 0.797. gain=0.727 actions.493 Valeur du portefeuille : 0 A t=2 avec S2=19.05=14.43+1. gain=0.727 actions.493 Valeur du portefeuille : 0 A t=2 avec (S2=19.287.2=17.727*19.5715 actions. gain=9.393. gain=0 ♦ Remboursement de 0.287 ♦ Emprunt de -10.5715*20=-11.05=14.708.05=10.287 ♦ Remboursement de 9.287-3. MATHEMATIQUES FINANCIERES ♦ Vente de l'option. gain=0 ♦ Revente de 0.8=14.708$ Valeur du portefeuille : 0 A t=1 avec S1=18: la stratégie est ( −1.797 Valeur du portefeuille : 0 A t=1 avec S1=22: la stratégie est ( −1.727*24.727.797*1. gain=-10.421 ♦ Remboursement de 9.708*1.708*1. gain=13.1555*22=-3.493 ♦ Remboursement de 13. gain=-14. gain=0 Valeur du portefeuille : 0 Exercice : Calculer la stratégie de réplication dans le cas du Put de prix d'exercice K=19€ avec les mêmes données que l’exercice ci-dessus.633 ♦ Achat de 0. gain=-3.393.593 ♦ Remboursement de 13.1555 actions. gain=+1.43 ♦ Emprunt de -11.287 Valeur du portefeuille : 0 A t=2 avec S2=24.05=10.797*1.5715 actions.2 ♦ Revente de 0.708 ) soit financièrement ♦ Achat de nSu − n0 = 0. gain=-0.5715*18=10.2 : ♦ Exercice de l'option. 0 ) soit financièrement ♦ Revente de 0. −13.287$ gain=-10. 0.
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