Source: https://www.slideshare.net/xiomysepulveda3/portafolio-de-algebra-25039858
Timestamp: 2017-08-22 21:50:36+00:00

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Portafolio de algebra by Brayan Chamorro 1248 views
Problemas resueltos sobre inducción... by Alexander Gelabert 131496 views
, Working at UPEC
Fernando Gutierrez Gonzalez , Coordinador Metallizer en Flex Americas at Flex Americas
Colegio Nacional Industrial Nº 3 at Colegio Nacional Industrial Nº 3
1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI 13 ALGEBRA PORTAFOLIO DE ALGEBRA Xiomara Sepúlveda Cayambe
2. PORTAFOLIO DE ALGEBRA TEORIA
3. Contenido EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES...................................................................... 8 Conjunto de los números reales..................................................................................... 8 Conjunto de los números naturales................................................................................ 8 Conjunto de los números enteros................................................................................... 8 Conjunto de los números racionales .............................................................................. 8 Conjunto de los números reales..................................................................................... 8 CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES....................................................... 9 PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES.................................................................... 10 LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL ............................................................... 11 Operación inversa........................................................................................................ 12 POTENCIACION Y RADICACION................................................................................... 12 POTENCIACION.......................................................................................................... 12 Propiedades de la potenciación................................................................................ 13 Potencia de potencia ................................................................................................ 13 Multiplicación de potencias de igual base................................................................. 13 División de potencias de igual base.......................................................................... 13 Propiedad distributiva................................................................................................... 14 Propiedad conmutativa................................................................................................. 14 Potencia de exponente 0.............................................................................................. 14 Potencia de exponente 1.............................................................................................. 14 Potencia de base 10 .................................................................................................... 14 RADICACIÓN.................................................................................................................. 14 OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.14 SUMA: ......................................................................................................................... 15 RESTA:........................................................................................................................ 17 MULTIPLICACIÓN: ...................................................................................................... 17 DIVISION: .................................................................................................................... 18 División entre fracciones........................................................................................... 18 División de polinomios entre monomios.................................................................... 19 División entre polinomios.......................................................................................... 19 PRODUCTOS NOTABLES.............................................................................................. 20 Cubo de una suma....................................................................................................... 22
4. Cubo de una diferencia ................................................................................................ 22 MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS............................................................... 22 Aplicaciones del m.c.m................................................................................................. 25 1. Reducir fracciones a común denominador............................................................ 25 2. Resolver problemas de la vida práctica. ............................................................... 25 Aplicaciones del m.c.d.................................................................................................. 25 1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. ........................................................ 25 2. Resolver problemas de la vida práctica. ............................................................... 26 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN.................. 26 Descripción: ................................................................................................................. 26 Ecuaciones de primer grado ............................................................................................ 27 Ecuaciones literales de primer grado............................................................................... 28 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS).......................................... 29 Ecuaciones de segundo grado y una incógnita ............................................................ 29 Solución por complementación de cuadrados.............................................................. 30 Solución por la fórmula general.................................................................................... 32 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES.............................. 33 Inverso aditivo.............................................................................................................. 33 Propiedad del doble negativo....................................................................................... 34 Operaciones con los números Reales.......................................................................... 34 1. Sumar números reales.......................................................................................... 34 Restar números reales ............................................................................................. 35 Multiplicar números reales........................................................................................ 35 Ecuaciones lineales de primer grado ............................................................................... 36 a) ecuaciones lineales propiamente tales..................................................................... 36 b) ecuaciones fraccionarias.......................................................................................... 37 c) ecuaciones literales .............................................................................................. 38 Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales ............................................ 39 Método de reducción.................................................................................................... 40 Ejemplo .................................................................................................................... 40 Ejemplo .................................................................................................................... 41 Método de sustitución .................................................................................................. 42 Ejemplo .................................................................................................................... 42
5. Método de Gauss......................................................................................................... 43 Ejemplo .................................................................................................................... 43 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................... 44 EXPRESIÓN ALGEBRAICA......................................................................................... 44 TÉRMINO. ................................................................................................................... 44 GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. ..................................................................... 44 GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA....................................... 45 CLASES DE TÉRMINOS. ............................................................................................ 45 TÉRMINOS HOMOGÉNEOS....................................................................................... 45 TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. .................................................................................. 45 TÉRMINOS SEMEJANTES.......................................................................................... 45 10 Ejemplos de Términos Semejantes: .................................................................... 45 CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA.............................................. 45 MONOMIO................................................................................................................... 45 BINOMIO. .................................................................................................................... 46 TRINOMIO................................................................................................................... 46 POLINOMIO................................................................................................................. 46 GRADO DE UN MONOMIOS .......................................................................................... 46 GRADO DE UN POLINOMIO .......................................................................................... 46 DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL................................................................................... 47 Factores....................................................................................................................... 47 Métodos para la factorización de polinomios................................................................ 47 Binomios................................................................................................................... 47 Trinomios.................................................................................................................. 47 Polinomios................................................................................................................ 47 Factorizar un monomio ............................................................................................. 48 Factorizar un polinomio ............................................................................................ 48 Caso I: Factor común ...................................................................................................... 48 Factor común. .............................................................................................................. 48 Factor común de un polinomio ..................................................................................... 49 Factor común por agrupación de términos ................................................................... 49 Trinomio cuadrado perfecto.......................................................................................... 49 Raíz cuadrada de un monomio .................................................................................... 50
6. Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto ........................................... 50 Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto................................................. 50 Trinomios de la forma x2 + px + q............................................................................. 51 Regla práctica para factorizar el trinomio.................................................................. 51 Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1)....................................................... 51 Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios .......................................................... 52 SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES ........................................................................ 54 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS................................................... 55 DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS................................................................. 55 ECUACIONES CUADRATICAS....................................................................................... 56 Definicion ..................................................................................................................... 56 Factorización:............................................................................................................... 57 Raíz cuadrada:............................................................................................................. 57 Completando el cuadrado: ........................................................................................... 58 Propiedades de la suma de números enteros........................................................... 58 Propiedades de la resta de números enteros................................................................... 59 Multiplicación de números enteros................................................................................... 60 Regla de los signos .................................................................................................. 60 Propiedades de la multiplicación de números enteros ..................................................... 60 Propiedades de la división de números enteros............................................................... 61 Potencia de números enteros .......................................................................................... 62 Propiedades:................................................................................................................ 62 Potencias de exponente entero negativo...................................................................... 63 Raíz cuadrada de un número entero................................................................................ 63 RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO ............... 63 Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado................... 64 Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar ............................................. 66 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS................................................. 67 DEPRECIACION ............................................................................................................. 68 AMORTIZACIÓN ............................................................................................................. 69 SISTEMA DE AMORTIZACION ................................................................................... 69 AMORTIZACION GRADUAL........................................................................................ 69 CALCULO DE LOS VALORES DE LAS AMOTIZACIONES......................................... 69
7. OFERTA.......................................................................................................................... 69 CURVA DE LA OFERTA.............................................................................................. 70 DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTA....................................................... 70 DEMANDA....................................................................................................................... 70 DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDA.................................................... 71
8. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Conjunto de los números reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los números naturales El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se presenta así: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2. Puede notarse que N ⊂ Z. Conjunto de los números racionales El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0. Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Conjunto de los números reales Se define como. ℜ= ∪ En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también axiomas de campo). (Peano, 1889)
9. CONJUNTO DE LOS NUMEROS IRRACIONALES En muchos temas de la geometría se plantea en general, problemas para cuya solución el conjunto Q de los números racionales resulta insuficiente. Asi, por ejemplo, al considerar el problema de determinar el número x que mide la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado sea la unidad, el teorema de Pitágoras permite establecer que x, satisface la ecuación: x2 = 2. Puede demostrarse fácilmente, que no existe X ÎQ que verifique esta última ecuación. En general, una ecuación de la forma xn = a, con a ÎQ y n ÎN, carecerá (excepto casos particulares) de solución. Se hace por lo tanto necesario, describrir otro conjunto, en el cual, ecuaciones como las anteriores tengan solución. El conjunto de los números irracionales, que se denota por Q* , está constituido por los números reales que no admiten la representación racional. Ejemplos de esta clase de números son: el número e (base del logaritmo natural), p , , etc. En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuación x2 – 2 = 0, cuyas soluciones son: x = , que no son números racionales. 1.2.5. Finalmente se define el Conjunto R de los números reales como: R =Q È Q* . En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (.), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también axiomas de campo).
10. PROPIEDAD DE LOS NUMEROS REALES
11. LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva, Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa. Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Ejemplo. Orden Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.
12. Análogamente, a > b sí y sólo sí el punto que representa al número a se halla a la derecha del que representa a b. Si a = b, los puntos se superponen. La relación de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al punto b si el número real a es menor que el número real b (a < b).(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.) Operación inversa Sea A un conjunto con una operación binaria *: Por lo que cabe la ecuación: Pero si se da el caso de que: Donde se trata de conocer el elemento y, se recurre a operación inversa. Si A admite elementos simétricos, se define: (S.R) POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil. Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado.
13. Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una potenciación. Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85 . En este caso, al número ocho se lo llama base (número que se va a multiplicar por sí mismo) y al cinco se le denomina exponente (número de veces que se va a multiplicar al ocho por sí mismo). De acuerdo con lo anterior, se puede decir que: 85 = 8 X 8 X 8 X 8 X 8 = 32.768 Elevar a una potencia el número 10 Un caso interesante es cuando se eleva a un exponente el número 10. Por ejemplo lo elevamos a la cuarta: 104 = 10 X 10 X 10 X 10 = 10.000 Observa que 104 es igual a un uno con cuatro ceros. Así se puede decir que 108 es igual a un uno y 8 ceros, o sea 100 millones (100.000.000)... Propiedades de la potenciación Las propiedades de la potenciación son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes. Multiplicación de potencias de igual base La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.
14. Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes. Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. Potencia de exponente 1 Toda potencia de base a y exponente 1 es igual a a. Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. RADICACIÓN la radicación de la misma manera se puede calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que: Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos posteriores. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.
15. SUMA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado.
16. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2
17. RESTA: EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) - 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado. Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y) = -3xy2 + 4 - 7x2 y2 - 6x2 y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3 y = -3xy2 - 6x2 y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3 y - 7x2 y2 MULTIPLICACIÓN: ¿Cómo se multiplican los polinomios? Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo:
18. (x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión con cada término de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 = Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15 DIVISION: División entre fracciones En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética. Se aplica ley de signos Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético. Ejemplos:
19. División de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de él polinomio. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos: División entre polinomios. En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
20. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor. Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división. La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial. PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a + b)2
21. Nota: Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a – b)2 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a – b) = a2 – b2 El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostración: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como a2 – b2
22. Cubo de una suma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3 . Cubo de una diferencia a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3 . A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa: Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2 ) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como sub-problemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros cálculos en álgebra.
23. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas.
24. Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1°) Se factorizan las expresiones dadas: –> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización –> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. –> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de las 3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución. ___________________________________________________________ Ejercicio 112. 1) Hallar el m.c.d. de 2a^2 +2ab , 4a^2 -4ab Factorizando las expresiones dadas: –> 2a^2 +2ab = 2a(a +b) Se aplicó el Caso I de Factorización. –> 4a^2 -4ab = 2a(2a -2b) Se aplicó el Caso I de Factorización. Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 2a(a +b) y 4a(a -b) es = 2a por lo tanto el m.c.d. de 2a^2 +2ab y 4a^2 -4ab es = 2a <– Solución. _________________________________________________________ 2) Hallar el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y , 9x^3y^2 +18x^2y^2 Factorizando las expresiones dadas: –> 6x^3y -6x^2y = 3x^2y(2x -2) –> 9x^3y^2 +18x^2y^2 = 3x^2y^2(3x +6) ( Para ambas expresiones se aplicó el Caso I) Buscando los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 3x^2y(2x -2) y 3x^2y^2(3x +6) es = 3x^2y por lo tanto el m.c.d. de 6x^3y -6x^2y y 9x^3y^2 +18x^2y^2 es = 3x^2y <– Solución. _________________________________________________________ 3) Hallar el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3
25. Factorizando las expresiones dadas: –> 12a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) –> 4a^3b^2 -8a^2b^3 = 4a^2b^2(3b) (Para ambas expresiones se aplicó el Caso I) Factor común de 4a^2b^2(3b) y 4a^2b^2(3b) es = 4a^2b^2 Por lo tanto el m.c.d. de 12a^2b^3 y 4a^3b^2 -8a^2b^3 es = 4a^2b^2 Aplicaciones del m.c.m. 1. Reducir fracciones a común denominador. Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. 2. Resolver problemas de la vida práctica. Ejemplo: Estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos? Solución: Buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12 y que a la vez sea el más cercano. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12). Factorizamos. Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo. m.c.m. (8, 12) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24. Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24 segundos. Aplicaciones del m.c.d. 1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción: Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y el denominador. 360 = 23 x 32 x 5
26. 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24. Dividimos el numerador y el denominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 y obtenemos la fracción equivalente irreducible: 2. Resolver problemas de la vida práctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar? Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x 33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta: Necesitamos 6 baldosas. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Descripción: La función cuadrática es una función de los reales en los reales cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax 2 + bx + c (a≠0) y cuyodominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas
27. utilizamos principalmente el método de factorización. Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno. Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión. Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: (x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4) a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4 x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4 b) Trasponemos los términos: x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1; c) Reducimos términos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x = -4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3
28. Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y trasponemos términos: a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3): (¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1) Ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado: (x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9 x = 4; Por lo tanto los números son 4 y 5.
29. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0 El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Solución por factorización En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x − 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuación a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
30. Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: Ahora podemos factorizar esta ecuación: (2x − 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas: Si 2x − 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 = 0 x = −4 Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x − 1) = 9 2x2 + 5x − 12 = 0 2x2 + 5x = 12 2x2 − 12 = − 5x Solución por complementación de cuadrados Se llama método de la complementación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: (ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2 , es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuación del tipo x2 + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuación x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0
31. Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2 Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2 ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2 + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64 Que es igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 − 4 x = 4 Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuación x2 + 6x − 16 = 0 Hacemos
32. x2 + 6x = 16 Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio). Para encontrar el término que falta hacemos (Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25 Factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2 , y así la ecuación se resuelve con facilidad: Extraemos raíz cuadrada y queda x + 3 = 5 y x + 3 = −5 (pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5 Entonces x = 5 − 3 x = 2 Y x = − 5 − 3 x = − 8 La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8. Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:
33. La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula. La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización. Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que: Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el – Así es que las soluciones son PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números Reales. Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan: Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo. 3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3 El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo. La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero). Inverso aditivo Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a. Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.
34. Propiedad del doble negativo Para cualquier número real a, -(-a) = a Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0. Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente. La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del número. El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo. Operaciones con los números Reales 1. Sumar números reales Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma. La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solución: Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8)
35. Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar números reales Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a – b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 – 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicar números reales Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos. Propiedad del cero en la multiplicación Para cualquier número a, Dividir números reales Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.
36. Ejemplos La tía Berta al morir dejo 160 millones repartido entre sus tres nietos, a pedro le dejo el doble que a Laurita, pero juanita tiene 5 veces más que Laura ¿a cuánto le toco cada uno? Solución Laurita=x Pedro=2x (dos veces más que Laura) juanita=5x (cinco veces más que Laurita) x+2x+5x=160 8x=160 x=160/8 x=20 con el valor descubierto de x ahora sabemos que Laurita le dejaron 20 millones, a pedro 40 y a juanita 100 millones.. Ecuaciones lineales de primer grado Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe: Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo:
37. 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10 –35x = 182 b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12
38. c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo:
39. Graficas Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
40. Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es . Método de igualación El método de igualación consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
41. Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación No contendría dicha incógnita. Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos . Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que
42. Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es . Método de sustitución Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuación se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es . Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita
43. Cuya solución es . Método de Gauss Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO! El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican. Ejemplo La matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:
44. Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupación para obtener : En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera ecuación ( ), para obtener: La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da una ecuación en : Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales.
45. GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Términos Semejantes: 1. x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x). 2. xy2 es un término semejante a -3y2 x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2 x) 3. 5xy es un término semejante con –xyrb 4. 4bx2 no es semejante a 4b2 x ya que el literal bx2 no es igual al b2 x. 5. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 6. 4(jk)3 es semejante a 9j3 k3 porque (jk)3 = j3 k3 7. 5ty es semejante a 3ty 8. 5kl4 es semejante a -2kl4 9. 68lky5 es semejante a -96lky5 10.378ab3 c2 no es semejante a 378a2 b3 c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
46. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos. POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término. GRADO DE UN MONOMIOS Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: 9.5 ¿Cuál es el grado de: ?
47. 9.6 ¿Cuál es el grado de: ? DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL Factores Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Métodos para la factorización de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales. Binomios  Diferencia de Cuadrados  Suma o diferencia de Cubos  Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios  Trinomio cuadrado perfecto  Trinomio de la forma x²+bx+c  Trinomio de la forma ax²+bx+c Polinomios  Factor común
48. Factorizar un monomio Se descompone el término en el producto de factores primos. Ejemplo: Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad. A continuación diferentes casos de descomposición factorial. Caso I: Factor común Factor común. Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b) Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2)
49. Factor común de un polinomio a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b) Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by Obteniendo: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by Factor común por agrupación de términos Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se extrae el factor común de cada uno. Ejemplos a) Factorizar ax + by +ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene: ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by) ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado. Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. En efecto (4a2 ) = 4a x 4a = 16a2 , 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2 , 4a es la raíz cuadrada de 16a2 .
50. Sin embargo (-4a2 ) = (-4a)((-4a) = 16a2 , luego (-4a) es también raíz de 16a2 , por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-). Raíz cuadrada de un monomio Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2 b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales. Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b Por tanto: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término equivale al doble del producto de éstas raíces cuadradas. Ejemplo: a) a2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque: Raíz cuadrada de a2 = a Raíz cuadrada de 4b2 = 2b Doble producto de estas raíces 2 x a x 2b = 4ab Regla para Factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. Ejemplo: a) El trinomio a2 + 8ab + 16b2 es cuadrado perfecto ya que: raíz cuadrada de a2 = a raíz cuadrada de 16b2 = 4b
51. Doble producto de las raíces: 2 x a x 4b = 8ab Trinomios de la forma x2 + px + q En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q Por tanto: Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto sea q Regla práctica para factorizar el trinomio 1) El trinomio se descompone en dos factores binomios, cuyo primer término es x, es decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio. 3) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4) Si los dos factores binomios tienen en los medios signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo binomio. Ejemplos: Descomponer en factores: a) x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5), pues 4 + 5 = 9 y 4 x 5 = 20 b) a2 - 8a + 12 = (a - 6)(a - 2), pues (-6) + (-2) = (-8) y (-6)(-2) = 12 c) b2 + 3b - 28 = (b - 4)(b + 7), pues (-4) + 7 = 3 y (-4) x 7 = -28 Trinomios de la forma mx2 + px + q con (m ≠ 1) Observemos que el producto: (ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + db
52. = acx2 + (ad + bc)x + db, es de la forma mx2 + px + q (haciendo m = ac, p = ad + bc y q = bd). Luego, siempre que sea posible hallar a, b, c, d, será posible factorizar ¿Cómo determinar estos números? a) Se selecciona una descomposición factorial de m y otra de q: m = ac y q = bd b) Se calculan los productos cruzados ad y bc, y se adicionan estos productos: c) Si bc + ad = p, entonces los factores del trinomio dado son (ax+b) y (cx+d). En caso contrario se ensaya con otra combinación de factores para m y para q Ejemplos: a) 2x2 +11x + 12 m = 2 = 2 x 1 q = 12 = 3 x 4 Luego 2x2 +11x + 12 = (2x + 3)(x + 4) Si no se obtiene el coeficiente p, entonces se ensaya con otras factorizaciones. Por ejemplo: 2 = 1 · 2, 12 = 6 · 2, 12 = 1 · 12, 12 = 4 · 3, 12 = 2 · 6 También puede que ambos factores sean negativos, pues el resultado es positivo: 2 = (-1) · (-2) , 12 = (-6) · (-2) Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo entre números enteros:
53. Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36. Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así: Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un número o en el otro. Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos m.c.m. = 23.32.5 Porque: Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos todos. El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 está tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 23 (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la descomposición de un número, en la columna de la derecha). El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 está dos veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 32. El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 51. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente (o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay). Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
54. SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones. En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas. En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está. El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos visto. Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso. Por otra parte, cuando se tienen expresiones de distinto denominador, la cuestión se complica un poco. Primero hay que determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios que están en el denominador, y después debemos optar por el camino de dividir este m.c.m. por cada denominador para después multiplicar por los numeradores, o bien transformar esta suma de distinto denominador en una de igual denominador usando fracciones equivalentes, si quieres liarte con divisiones y multiplicaciones de polinomios. Lo primero que hay que hacer es hallar el m.c.m., para lo cual hay que factorar todos los denominadores. El m.c.m. estará formado por todos los factores que hemos hallado, pero si alguno se repite, este se pone una sola vez, y si algún factor que se repite aparece con distinto exponente, debe ir con el mayor de los exponentes.
55. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí. Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican entre sí los polinomios que están en los denominadores. En la práctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre los numeradores y los denominadores. Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda. (Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto).
56. Desarrollando por el segundo método. Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación. Formula: En la práctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Invertimos la segunda fracción y simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron. ECUACIONES CUADRATICAS Definicion Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas. Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y ,c son números reales y a es un número diferente de cero.
57. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Factorización: Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos 1) x2 - 4x = 0 2) x2 - 4x = 12 3) 12x2 - 17x + 6 = 0 Nota:No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos. Raíz cuadrada: Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a : Ejemplos 1) x2 - 9 = 0 2) 2x2 - 1 = 0 3) (x - 3)2 = -8
58. Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ? Regla para hallar el último término de x2 + bx +?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son x2 + bx es : Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 Propiedades de la suma de números enteros 1. Interna: a + b 3 + (−5) 2.Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) · (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)] 5 − 5 = 2 + (− 2)
59. 0 = 0 3.Conmutativa: a + b = b + a 2 + (− 5) = (− 5) + 2 − 3 = − 3 4.Elemento neutro: a + 0 = a (−5) + 0 = − 5 5.Elemento opuesto a + (-a) = 0 5 + (−5) = 0 − (−5) = 5 Propiedades de la resta de números enteros Interna: a − b 10 − (−5) 2.No es Conmutativa: a - b ≠ b - a 5 − 2 ≠ 2 − 5
60. Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. Regla de los signos 2 · 5 = 10 (−2) · (−5) = 10 2 · (−5) = − 10 (−2) · 5 = − 10 Propiedades de la multiplicación de números enteros 1.Interna: a · b 2 · (−5) 2.Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] 6 · (−5) = 2 · (−15) -30 = -30 3.Conmutativa:
61. a · b = b · a 2 · (−5) = (−5) · 2 -10 = -10 4. Elemento neutro: a ·1 = a (−5)· 1 = (−5) 5.Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c (−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 (−2)· 8 =- 6 - 10 -16 = -16 6.Sacar factor común: a · b + a · c = a · (b + c) (−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5) Propiedades de la división de números enteros 1.No es una operación interna: (−2): 6 2.No es Conmutativo: a: b ≠ b : a 6: (−2) ≠ (−2): 6
62. Potencia de números enteros La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base. Propiedades: a0 = 1 · a1 = a am · a n = am+n (−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128 am : a n = am - n (−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8 (am )n = am · n [(−2)3 ]2 = (−2)6 = 64 an · b n = (a · b) n (−2)3 · (3)3 = (−6) 3 = −216 an : b n = (a : b) n (−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
63. Potencias de exponente entero negativo Raíz cuadrada de un número entero Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo. El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número. (ditutor) RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la expresión original en un trinomio cuadrado perfecto. Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión básica en nada. La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo. Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto.
64. Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos expresiones cuadráticas que se agregaron. Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a Factorizar, como tal, y deja la expresión original totalmente Factorizando, mediante la completación de un trinomio cuadrado perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados. EJERCICIOS 2 X + 6X + 9 es un T.C.P. si es un TCP factorizado: 1°) X y 9 son cuadrados por lo tanto: 2°) doble producto: 2 x Xx 3 = 6X 2 3°) factorando: X + 6X + 9 = (X + 3) Para resolver una ecuación de segundo grado por la competición de cuadrados se siguen los siguientes pasos: 1) se forma la mitad del coeficiente de X: b., luego se eleva al 2 2 Cuadrado b 2 2) se adiciona a ambos lados de la igualdad 3) se factoriza 4) se hallan las raíces (X1 , X2 ) Solución de ecuaciones cuadráticas por completación del cuadrado Demostremos el método de completación del cuadrado con un ejemplo.
65. Ejemplo 3 Resolver la siguiente ecuación cuadrática . Solución El método de completación de cuadrados es como se muestra a continuación. 1. Reescribir como 2. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto al lado derecho necesitamos añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación. 3. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar el lado derecho de la ecuación. 4. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados. Respuesta y Si el coeficiente del término no es uno, debemos dividir toda la expresión por este número antes de completar el cuadrado. Ejemplo 4 Resolver la siguiente ecuación cuadrática . Solución: 1. Dividir todos los términos por el coeficiente del término . 2. Reescribir como 1. Para poder tener un trinomio cuadrado perfecto en el lado derecho necesitamos añadir la constante . Sumar esta constante a ambos lados de la ecuación. 4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar.
66. 5. Sacar la raíz cuadrada en ambos lados. Respuesta y Resolver ecuaciones cuadráticas en forma estándar Una ecuación en forma estándar se escribe como . Para resolver una ecuación en esta forma primero movemos el término constante al lado derecho de la ecuación. Ejemplo 5 Resolver la siguiente ecuación cuadrática . Solución El método de complementación de cuadrados se aplica como sigue: 1. Mover la constante al otro lado de la ecuación. 2. Reescribir como 3. Sumar la constante a ambos lados de la ecuación 4. Factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar. 5. Sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.
67. Respuesta y APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño. Comúnmente usamos ecuaciones cuadráticas en situaciones donde dos cosas se multiplican juntas y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con un área. Si ambas dimensiones están escritas en términos de la misma variable, usamos una ecuación cuadrática. Porque la cantidad de un producto vendido normalmente depende del precio, a veces usamos una ecuación cuadrática para representar las ganancias como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también son usadas donde se trata con la gravedad, como por ejemplo la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente suspendido. Ejemplos: Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12 Solución: Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. x 2 + 4 x - 12 = 0 Paso 2: Factorizar x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2
68. Paso 4: Verificar la solución. Verificar x=-6 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0 Verificar x=2 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0 Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación 2 x 2 - 3 = 5 x Solución: Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 Paso 2: Factorizar 2 x 2 - 5 x - 3 = 0 ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x 2 x + 1 = 0 2 x = - 1 x = - 1 2 x - 3 = 0 x = 3 Paso 4: Verificar la solución. Verificar x=-1/2 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( - 1 2 ) 2 - 3 = 5 ( - 1 2 ) 2( 1 4 ) - 3 = 5 ( - 1 2 ) 1 2 - 3 = - 5 2 - 5 2 =- 5 2 Verificar x=3 2 x 2 - 3 = 5 x 2 ( 3 ) 2 - 3 = 5 (3 ) 2 ( 9 ) - 3 = 15 18 - 3 = 15 15= 15 DEPRECIACION La depreciación en línea recta es uno de los métodos de depreciación mas utilizados, principalmente por su sencillez, por la facilidad de implementación. La depreciación en línea recta supone una depreciación constante, una alícuota periódica de depreciación invariable En este método de depreciación se supone que el activo sufre un desgaste constante con el paso del tiempo, lo que no siempre se ajusta a la realidad, toda vez que hay activos que en la medida en que se desgastan, el nivel de desgaste se incrementa, es creciente. Pérdida de valor experimentada por los elementos de archivo fijo o inmovilizado de la empresa o de cualquier otra institución al prestar la función que le es propia, por el mero transcurso del tiempo o a causa del progreso tecnológico. Mientras que, en general, los bienes de archivos circulante se agotan con un solo acto de consumo, del mismo modo que los bienes de consumo
69. corriente, los bienes de activo fijo o inmovilizado se van consumiendo poco a poco, esto es, se deprecian, al igual que ocurre con los bienes de consumo duradero. Los principales tipod de depreciación. AMORTIZACIÓN Es el proceso de cancelar una deuda con sus intereses por medio de pagos periódicos. El éxito en el desarrollo de un esquema de amortización dependerá exclusivamente del buen criterio del financista para interpretar las condiciones económicas y desarrollo futuro de su comunidad. SISTEMA DE AMORTIZACION En cuanto a la amortización de deudas se aplican diversos sistemas y, dentro de cada uno, hay numerosas variantes que hacen prácticamente inagotable este tema. Todos estos modelos aplicaciones de las anualidades. AMORTIZACION GRADUAL Consiste en un sistema por cuotas de valor constante, con intereses sobre saldos. En este tipo de amortización, los pagos son iguales y se hacen en intervalo iguales. CALCULO DE LOS VALORES DE LAS AMOTIZACIONES En la amortización de una deuda cada pago o anualidad-que se entrega al acreedor- sirve para pagar los intereses y reducir el importe de la deuda OFERTA Es la cantidad de productos o servicios ofrecidos en el mercado. En la oferta ante un aumento del precio, aumenta la cantidad ofrecida.
70. CURVA DE LA OFERTA En la curva puede verse como cuando el precio es muy bajo, ya no es rentable ofrecer ese producto o servicio es producto o servicio en el mercado, por lo tanto la cantidad ofrecida es 0. DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE OFERTA Se producen modificaciones en diferentes al precio. (Incentivos a la fabricación de un determinado producto) se produce un desplazamiento de la curva en sí (y no sobre la curva). Es decir que al mismo precio habrá más o menos interesados en ofertar. (Mayor o menor cantidad ofrecida en el mercado). DEMANDA Es la cantidad de bienes o servicios que los compradores intentan adquirir en el mercado
71. Por medio de la ley de la demando, se determina que al subir el precio de un bien o servicio, la demanda de este disminuye (a diferencia de los cambios en otros factores que determina un corrimiento de la curva en sí). DESPLAZAMIENTO DE LA CURVA DE DEMANDA Si se producen modificaciones diferentes al precio 8los habitos de consumo al ponerse de moda un producto o dejarse de utilizar debido a la aparición de otro) se produce un desplazamiento de la curva de demanda. Esto significa que a un mismo precio habrá mas o menos interesado en demandar ese bien o producto. La demanda es elástica cuando ante una variación del precio, la variación en la cantidad demandada es (en porcentaje) mayor que la del precio. Por ejemplo en los bienes de lujo suele pasar que ante un aumento de precio la cantidad demandada baja mucho más porcentualmente. La demanda es inelástica, cuando ante variaciones del precio la cantidad demanda varia (en porcentaje) menos que la del precio. Por ejemplo: en algunos alimentos básicos, por más que haya un aumento importante de su precio, la cantidad demandada no varía tanto.
72. APUNTES DE ALGEBRA
73. EVALUACIONES
74. EVALUACIONES SEGUNDO PARCIAL
75. PRIMER PARCIAL
76. TRABAJOS AUTONOMOS
77. “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO DEPRECIACIÓN ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO ING. OSCAR LOMAS
78. “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO GRAFICAS ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO ING. OSCAR LOMAS
79. “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO Tabla de amortización AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO Ing. Oscar Lomas
80. En el área financiera, amortización significa saldar gradualmente una deuda por medio de una serie de pagos, que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de tiempos iguales. Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad es lo más común, también se llevan a cabo operaciones con algunas variantes. Los problemas de amortización de deudas representan la aplicación práctica del concepto de anualidad. Fórmula C= Monto R= Pago periódico n= Plazo en años P= Período en años TABLA DE AMORTIZACIÓN Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla de amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el saldo. La tabla de amortización  Es un despliegue completo de los pagos que deben hacerse hasta la extinción de la deuda.  Se refiere a una tabulación ordenada de los diferentes valores en una amortización. Se realiza con la finalidad de visualizar lo que sucede con la deuda al comienzo de cada período, intereses por pagar en cada período, parte de la deuda que se amortiza con cada acta en cada período, y el total de la deuda amortizada hasta el final de cada período. Una vez que conocemos todos los datos del problema de amortización (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de interés y número de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda, desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este último del saldo de la deuda en el período anterior, repitiéndose esta mecánica hasta el último período de pago. Si los cálculos son correctos, veremos que al principio el pago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al final el grueso del pago regular es aplicable a la disminución del principal. En el último período, el principal de la deuda deber ser cero.
81.  Preparación de la tabla de amortización. Para poder analizar el contenido de una tabla primero se debe tomar en consideración el modo de pago, con el cuál se va a amortizar, bien sea, mensual, trimestral o semestral. Por consiguiente, los valores de los pagos, interés sobre saldo, y la reducción en el saldo no pagado serán calculados de acuerdo al tiempo.  Los datos de la tabla son: 1. Períodos de interés (Fecha de expedición). 2. Fecha de pago. (Columna A). 3 .Pago (bien sea mensual, semestral o trimestral) (Columna B). 4. Interés sobre saldo (Columna C). 5. Reducción en el saldo no pagado o amortización (Columna D). 6. Saldo no pagado o capital insoluto (Columna E) La tasa de interés que se utilice en la tabla tiene una importancia especial; esta tasa debe coincidir con el período entre fechas de pago. Por lo tanto, si los pagos se realizaran de manera mensual (por ejemplo) la columna B de gastos por intereses deberá estar basada en la tasa de interés mensual y así sucesivamente. Lo que se puede observar en las tablas: 1-. La suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses más la suma de las amortizaciones. 2-. El saldo, como ya se había visto, es igual al saldo anterior más los intereses menos el pago. Por ejemplo, el saldo ($ 623.57) del fin del semestre 3 es igual al saldo anterior $ (720.49) más los intereses del periodo ($ 14.41) menos el pago (111.33) = $ 623.57. 3-. La amortización es igual al pago menos los intereses. En cada periodo subsecuente, cada vez va siendo mayor la parte del pago que se aplica a la amortización, ya que al mismo tiempo también van disminuyendo tanto el saldo como los intereses correspondientes. 4-. Se puede ver claramente cuánto es lo que resta por pagar al final de cada periodo: el saldo. 5-. El valor del último pago en ocasiones se tiene que ajustar para que coincida exactamente al saldo de la deuda. Aunque el ajuste sea sólo en centavos, en casi todas las operaciones es necesario hacerlo debido a pequeñas diferencias ocasionadas por redondeo.
82. Trabajo de amortización amortizacion.xlsx “UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI” FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
83. ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe CURSO: Primer nivel “A” CATEDRÁTICO Ing. Oscar Lomas
84. “Universidad Politécnica Estatal del Carchi” Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo de algebra ALGEBRA AUTOR: Xiomara Sepúlveda Cayambe Nivel: Primero “A”
85. FRACCIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................... 117 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN............................................................................... 117 Fracción algebraica simple ..................................................................................... 117 Fracción propia e impropia ..................................................................................... 117 Fracción compuesta ............................................................................................... 117 Simplificación de Fracciones Algebraicas................................................................... 118 Suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo denominador.......................... 118 Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador............................. 119 EJEMPLOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS............................................................ 119 Operaciones con fracciones algebraicas.................................................................... 119 División de fracciones algebraicas.......................................................................... 119 Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas ........................................................... 120 LINKOGRAFIA .............................................................................................................. 123
86. FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/bes una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b(divisor). Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples: . Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Por ejemplo, son fracciones propias, mientras Que son fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia. Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas: Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. La fracción puede tener tres significados.
Portafolio de algebra lomas 1

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