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Timestamp: 2017-11-24 03:43:12+00:00

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Decomposition of cuspforms (2007)(en)(19s) by Garrett P. - MySpa95 Library
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Bob Miller's Algebra for the Clueless (Clueless Series)
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The tower of K-theory of truncated polynomial algebras
Problemas de Algebra Lineal
Représentations linéaires des groupes finis
Advent du livre par l’auteur :
Ce livre est shapeé de trois events, de niveaux et de buts assez différents :
La première partie a été écrite à l’usage des chimistes théoriciens. Elle divulge los angeles correspondance, due à Frobenius, entre représentations linéaires et caractères. Il s’agit de résultats fondamentaux, d’usage consistent aussi bien en mathématique qu’en chimie quantique, ou en body. J’ai essayé d’en donner des démonstrations aussi élémentaires que attainable, n’utilisant que l. a. déﬁnition même d’un groupe et les rudiments de l’algèbre linéaire. Les exemples (§ 5) ont été choisis parmi ceux qui sont utiles aux chimistes.
La deuxième partie est un cours donné en 1966 aux élèves de seconde année de l’École Normale. Elle complète l. a. première sur les issues suivants :
a) Degrés des représentations et propriétés d’intégralité des caractères (§ 6).
b) Représentations induites, théorèmes d’Artin et de Brauer, et applications (§§ 7 à 11).
c) Questions de rationalité (§§ 12 et 13).
Les moyens utilisés sont ceux de l’algèbre linéaire (en un sens plus huge que pour l. a. première partie) : algèbres de groupes, modules, produits tensoriels non commutatifs, algèbres semi-simples.
La troisième partie est une advent à l. a. théorie de Brauer : passage de l. a. caractéristique zero à l. a. caractéristique p (et inversement). J’ai utilisé librement le langage des catégories abéliennes (modules projectifs, groupes de Grothendieck), bien adapté à ce style de question.
Les principaux résultats sont :
a) Le fait que l’homomorphisme de décomposition est surjectif : toute représentation irréductible de caractéristique p peut être relevée « virtuellement » (i. e. dans un groupe de Grothendieck convenable) en caractéristique 0.
b) Le théorème de Fong-Swan permettant de supprimer le mot « virtuellement » de l’énoncé précédent, pourvu que le groupe considéré soit
p-résoluble.
J’ai également donné quelques functions aux représentations d’Artin.
===== desk des matières =====
I. Représentations et caractères
§ 1. Généralités sur les représentations linéaires
1. 1. Définitions
1. 2. Premiers exemples
1. three. Sous-représentations
1. four. Représentations irréductibles
1. five. Produit tensoriel de deux représentations
§ 2. Théorie des caractères
2. 1. Le caractère d’une représentation
2. 2. Le lemme de Schur; premières applications
2. three. Les family d’orthogonalité des caractères
2. four. Décomposition de los angeles représentation régulière
2. five. Nombre des représentations irréductibles
2. 6. los angeles décomposition canonique d’une représentation
2. 7. Décomposition explicite d’une représentation
§ 3. Sous-groupes, produits, représentations induites
3. 1. Sous-groupes commutatifs
3. 2. Produit de deux groupes
3. three. Représentations induites
§ 4. Extension aux groupes compacts
4. 1. Groupes compacts
4. 2. Mesure invariante sur un groupe compact
4. three. Représentations linéaires des groupes compacts
§ 5. Exemples
5. 1. Le groupe cyclique C_n
5. 2. Le groupe C_∞
5. three. Le groupe diédral D_n
5. four. Le groupe D_nh
5. five. Le groupe D_∞
5. 6. Le groupe D_∞h
5. 7. Le groupe alterné A₄
5. eight. Le groupe symétrique S₄
5. nine. Le groupe du cube
Bibliographie (Partie I)
II. Représentations en caractéristique zéro
§ 6. L’algèbre du groupe
6. 1. Représentations et modules
6. 2. Décomposition de C[G]
6. three. Le centre de C[G]
6. four. Rappels sur les entiers
6. five. Propriétés d’intégralité des caractères. Applications
§ 7. Représentations induites; critère de Mackey
7. 1. Rappels
7. 2. Caractère d’une représentation induite; formule de réciprocité
7. three. limit aux sous-groupes
7. four. Critère d’irréductibilité de Mackey
§ 8. Exemples de représentations induites
8. 1. Sous-groupes distingués; functions aux degrés des représentations irréductibles
8. 2. Produits semi-directs par un groupe commutatif
8. three. Rappels sur certaines sessions de groupes finis
8. four. Théorème de Sylow
8. five. Représentations linéaires des groupes hyper-résolubles
§ 9. Théorème d’Artin
9. 1. L’anneau R(G)
9. 2. Énoncé du théorème d’Artin
9. three. Première démonstration
9. four. Deuxième démonstration de i) ⇒ ii)
§ 10. Théorème de Brauer
10. 1. Éléments p-adiques; sous-groupes p-élémentaires
10. 2. Caractères induits provenant des sous-groupes p-élémentaires
10. three. building de caractères
10. four. Démonstration des théorèmes 18 et 18'
10. five. Théorème de Brauer
§ 11. purposes du théorème de Brauer
11. 1. Caractérisations des caractères
11. 2. Un théorème de Frobenius
11. three. Réciproque du théorème de Brauer
11. four. Spectre de A ⨂ R(G)
§ 12. Questions de rationalité
12. 1. Les anneaux de R_K(G) et \\bar{R}_K(G)
12. 2. Indices de Schur
12. three. Réalisabilité sur les corps cyclotomiques
12. four. Rang du groupe R_K(G)
12. five. Généralisation du théorème d’Artin
12. 6. Généralisation du théorème de Brauer
12. 7. Démonstration du théorème 28
§ 13. Questions de rationalité : exemples
13. 1. Le cas du corps des nombres rationnels
13. 2. Le cas du corps des nombres réels
Bibliographie (Partie II)
III. creation à los angeles théorie de Brauer
§ 14. Les groupes R_K(G), R_k(G) et P_k(G)
14. 1. Les anneaux R_K(G) et R_k(G)
14. 2. Les groupes P_k(G) et P_A(G)
14. three. constitution de P_k(G)
14. four. constitution de P_A(G)
14. five. Dualités
14. 6. Extension des scalaires
§ 15. Le triangle cde
15. 1. Définition de c : P_k(G) → R_k(G)
15. 2. Définition de d : R_K(G) → R_k(G)
15. three. Définition de e : P_k(G) → R_K(G)
15. four. Premières propriétés du triangle cde
15. five. Exemple : le cas des p'-groupes
15. 6. Exemple : le cas des p-groupes
15. 7. Exemple : produits de p'-groupes et de p-groupes
§ 16. Théorèmes
16. 1. Propriétés du triangle cde
16. 2. Caractérisation de l’image de e
16. three. Caractérisation des A[G]-modules projectifs par leur caractère
16. four. Exemples de A[G]-modules projectifs : représentations irréductibles de défaut nul
§ 17. Démonstrations
17. 1. Changement de groupe
17. 2. Le théorème de Brauer dans le cas modulaire
17. three. Démonstration du théorème 33
17. four. Démonstration du théorème 35
17. five. Démonstration du théorème 37
17. 6. Démonstration du théorème 38
§ 18. Caractères modulaires
18. 1. Le caractère modulaire d’une représentation
18. 2. Indépendance des caractères modulaires
18. three. Traductions
18. four. Une part de d
18. five. Exemple : caractères modulaires du groupe symétrique S₄
18. 6. Exemple : caractères modulaires du groupe alterné A₄
§ 19. program aux représentations d’Artin
19. 1. Représentations d’Artin et de Swan
19. 2. Rationalité des représentations d’Artin et de Swan
19. three. Un invariant
Bibliographie (Partie III)
Interactive Video: Methods and Applications
Introduction to normed star-algebras and their representations
Hankel and Toeplitz Matrices and Forms: Algebraic Theory
Extra info for Decomposition of cuspforms (2007)(en)(19s)
E. 8) λv ∈ V . 10) 1v = v. 11) Inverse For each v there is an inverse element −v such that: v + (−v) = −v + v = 0. 12) (v1 + v2 ) + v3 = v1 + (v2 + v3 ). 13) addition Associativity For all v1 , v2 and v3 addition Vector algebra 27 For all v, λ and ε multiplication λ(εv) = (λε)v. 14) Commutativity For all v1 and v2 addition v1 + v2 = v2 + v1 . 16) (λ + ε)v = λv + εv. 4 Linear combinations The algebra of vector analysis employs a rich vocabulary of terms such as vector space, dimension, ordered pairs, triples and n-tuples, direction cosines, linear combination, linearly dependent, spanning sets, orthonormal basis, scalar and vector product.
Meanwhile, in Ireland, Hamilton was looking for a 3D equivalent of complex numbers. Hamilton had started his search in 1830 and on October 16, 1843, he invented quaternions, which contained two products that became central to vector analysis and eventually to GA. It was not easy for Hamilton to convince fellow mathematicians to embrace his new algebra. ” [9] Tait openly blamed the mathematician, Josiah Willard Gibbs [1839–1903], for “retarding” the development of quaternions in favor of his own newly developed field of vector analysis.
No one mathematician can claim that he or she discovered vectors — although the word vector was coined by the Irish physicist and mathematician, William Rowan Hamilton [1805–1865]. However, long before Hamilton was born, the German diplomat and natural philosopher, Gottfried Wilhelm Leibniz [1646–1716], had written to Christian Huygens in 1679: I have discovered certain elements of a new characteristic which is entirely different from algebra and which will have great advantages in representing to the mind, exactly and in a way faithful to its nature, even without figures, everything which depends on sense perception.
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References: § 1

§ 2

§ 3

§ 4

§ 5

§ 6

§ 7

§ 8

§ 9

§ 10

§ 11

§ 12

§ 13

§ 14

§ 15

§ 16

§ 17

§ 18

§ 19