Source: https://es.scribd.com/document/63672083/PROGRAMA-DE-MATEMATICAS-2011
Timestamp: 2016-08-26 14:16:13+00:00

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Educación Básica Secundaria Matemáticas
Programas de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas fue elaborado por personal académico de la Dirección General de Desarrollo Curricular (DGDC) y de la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio (DGFCMS), que pertenecen a la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. La Secretaría de Educación Pública agradece la participación, en la elaboración de estos Programas, de las maestras y los maestros de educación secundaria, especial e indígena, los directivos, los coordinadores estatales de Asesoría y Seguimiento, los responsables de Educación Especial, los responsables de Educación Indígena, y el personal técnico y de apoyo de las entidades federativas, así como las aportaciones de académicos y especialistas de instituciones educativas nacionales y de otros países.
programas de estUdio 2011 CoordinaCión general dgdC leopoldo Felipe rodríguez gutiérrez CoordinaCión aCadémiCa noemí garcía garcía responsable de Contenidos Hugo Balbuena Corro rEVISIón tÉCnICo-PEDAGóGICA Enrique Morales Espinosa, rosa María nicolás Mora y natividad rojas Velázquez
gUÍa para el maestro CoordinaCión general dgFCms leticia gutiérrez Corona CoordinaCión aCadémiCa Jesús pólito olvera y adriana goretty lópez gamboa rESPonSABLES DE CAMPoS DE ForMACIón rosa María Farfán Márquez, Gisela Montiel Espinosa y Gabriela Buendía Ábalos CoLABorADorES Daniela reyes Gasperini, rubén Alejandro Gutiérrez Adrián, Adriana Moreno Valdez, Claudia Yahaira Balam Güemez y rebeca Flores García
CoorDInACIón EDItorIAL Gisela L. Galicia CoorDInACIón DE DISEÑo Marisol G. Martínez Fernández CorrECCIón DE EStILo Sonia ramírez Fortiz DISEÑo DE IntErIorES Marisol G. Martínez Fernández ForMACIón Mauro Fco. Hernández Luna
CorrECCIón DE EStILo María del Socorro Martínez Cervantes DISEÑo DE ForroS Mario Enrique Valdes Castillo DISEÑo DE IntErIorES Y ForMACIón Edith Galicia De la rosa Abel Martínez Hernández
ProGramaS de eStudio 2011 introducción Propósitos estándares de matemáticas enfoque didáctico organización de los aprendizajes
Guía Para el maeStro introducción i. enfoque del campo de formación ii. Planificación iii. organización de ambientes de aprendizaje iv. evaluación 51 71 75 79 83
v. orientaciones pedagógicas y didácticas. ejemplos concretos
93 115 135
de estudio 2011. Guía para el Maestro. Educación Básica. Secundaria. Matemáticas. Un pilar de la Articulación de la Educación Básica es la rIEB, que es congruente con las características, los fines y los propósitos de la educación y del Sistema Educativo nacional establecidos en los artículos Primero, Segundo y tercero de la Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos y en la Ley General de Educación. Esto se expresa en el Plan de estudios, los programas y las guías para las maestras y los maestros de los niveles de preescolar, primaria y secundaria. La Articulación de la Educación Básica se centra en los procesos de aprendizaje de las alumnas y los alumnos, al atender sus necesidades específicas para que mejoren las competencias que permitan su desarrollo personal. Los Programas de estudio 2011 contienen los propósitos, enfoques, Estándares Curriculares y aprendizajes esperados, manteniendo su pertinencia, gradualidad y coherencia de sus contenidos, así como el enfoque inclusivo y plural que favorece el conocimiento y aprecio de la diversidad cultural y lingüística de México; además, se centran en el desarrollo de competencias con el fin de que cada estudiante pueda desenvolverse en una sociedad que le demanda nuevos desempeños para relacionarse en un marco de pluralidad y democracia, y en un mundo global e interdependiente. La Guía para maestras y maestros se constituye como un referente que permite apoyar su práctica en el aula, que motiva la esencia del ser docente por su creatividad y búsqueda de alternativas situadas en el aprendizaje de sus estudiantes.
Mediante el estudio de las Matemáticas en la Educación Básica se pretende que los niños y adolescentes: •	Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas, y elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos o geométricos.
En esta fase de su educación, como resultado del estudio de las Matemáticas, se espera que los alumnos: •	Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas
con números enteros, fraccionarios o decimales, para resolver problemas aditivos y multiplicativos.
•	Justifiquen las propiedades de rectas, segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, círculo, prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera.
diferentes figuras y cuerpos, y expresen e interpreten medidas con distintos tipos de unidad.
•	Emprendan procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos contenidos en tablas o gráficas de diferentes tipos, para comunicar información que responda a preguntas planteadas por ellos mismos u otros. Elijan la forma de organización y representación (tabular o gráfica) más adecuada para comunicar información matemática.
Los Estándares Curriculares de Matemáticas presentan la visión de una población que sabe utilizar los conocimientos matemáticos. Comprenden el conjunto de aprendizajes que se espera de los alumnos en los cuatro periodos escolares para conducirlos a altos niveles de alfabetización matemática. Se organizan en: 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas Su progresión debe entenderse como: •	transitar del lenguaje cotidiano a un lenguaje matemático para explicar procedimientos y resultados.
En este periodo los estándares están organizados en tres ejes temáticos: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Al egresar del nivel de secundaria, los estudiantes saben efectuar cálculos con expresiones algebraicas, cuyos coeficientes sean números racionales, formulan ecuaciones o funciones para resolver problemas, calculan volúmenes y resuelven problemas geométricos con apoyo de las propiedades de las figuras y cuerpos. Calculan porcentajes y probabilidades de eventos simples o compuestos, y comunican e interpretan información mediante el uso de diferentes tipos de gráficas. En este periodo se continúa promoviendo el desarrollo de actitudes y valores que son parte esencial de la competencia matemática y que son el resultado de la metodología didáctica que se propone para estudiar matemáticas.
Este eje temático se subdivide en cuatro temas: 1.1. números y sistemas de numeración. 1.2. Problemas aditivos. 1.3. Problemas multiplicativos. 1.4. Patrones y ecuaciones. Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 1.1.1. resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. 1.1.2. resuelve problemas que implican calcular el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor. 1.2.1. resuelve problemas aditivos que impliquen efectuar cálculos con expresiones algebraicas. 1.3.1. resuelve problemas multiplicativos con expresiones algebraicas a excepción de la división entre polinomios. 1.4.1. resuelve problemas que implican expresar y utilizar la regla general lineal o cuadrática de una sucesión.
Este eje temático se subdivide en dos temas: 2.1. Figuras y cuerpos. 2.2. Medida. Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 2.1.1. resuelve problemas que implican construir círculos y polígonos regulares con base en información diversa, y usa las relaciones entre sus puntos y rectas notables. 2.1.2. Utiliza la regla y el compás para realizar diversos trazos, como alturas de triángulos, mediatrices, rotaciones, simetrías, etcétera. 2.1.3. resuelve problemas que impliquen aplicar las propiedades de la congruencia y la semejanza en diversos polígonos. 2.2.1. Calcula cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas de perímetro, área y volumen. 2.2.2. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares. 2.2.3. Aplica el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en la resolución de problemas.
Este eje temático se subdivide en los siguientes temas: 3.1. Proporcionalidad y funciones. 3.2. nociones de probabilidad. 3.3. Análisis y representación de datos. Los Estándares Curriculares para este eje temático son los siguientes. El alumno: 3.1.1. resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.
3.1.2. Expresa algebraicamente una relación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades. 3.2.1. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. 3.3.1. Lee y representa información en diferentes tipos de gráficas; calcula y explica el significado del rango y la desviación media.
Al término de la Educación Básica, el alumno: 4.1. Desarrolla un concepto positivo de sí mismo como usuario de las matemáticas, el gusto y la inclinación por comprender y utilizar la notación, el vocabulario y los procesos matemáticos.
4.2. Aplica el razonamiento matemático a la solución de problemas personales, sociales y naturales, aceptando el principio de que existen diversos procedimientos para resolver los problemas particulares. 4.3. Desarrolla el hábito del pensamiento racional y utiliza las reglas del debate matemático al formular explicaciones o mostrar soluciones. 4.4. Comparte e intercambia ideas sobre los procedimientos y resultados al resolver problemas.
y de las habilidades y actitudes desarrolladas durante la Educación Básica. La experiencia que vivan los alumnos al estudiar matemáticas en la escuela puede traer como consecuencias: el gusto o el rechazo por ellas, la creatividad para buscar soluciones o la pasividad para escucharlas y tratar de reproducirlas, la búsqueda de argumentos para validar los resultados o la supeditación de éstos según el criterio del docente. El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el estudio de las Matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que validen los resultados. Al mismo tiempo, las situaciones planteadas deberán implicar justamente los conocimientos y las habilidades que se quieren desarrollar. Los avances logrados en el campo de la didáctica de la matemática en los últimos años dan cuenta del papel determinante que desempeña el medio, entendido como la situación o las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretenden estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir conocimientos y superar las dificultades que surgen en el pro-
ceso de aprendizaje. toda situación problemática presenta obstáculos; sin embargo, la solución no puede ser tan sencilla que quede fija de antemano, ni tan difícil que parezca imposible de resolver por quien se ocupa de ella. La solución debe construirse en el entendido de que existen diversas estrategias posibles y hay que usar al menos una. Para resolver la situación, el alumno debe usar sus conocimientos previos, mismos que le permiten entrar en la situación, pero el desafío consiste en reestructurar algo que ya sabe, sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación. El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar para solucionar problemas y reconstruir en caso de olvido; de ahí que su construcción amerite procesos de estudio más o menos largos, que van de lo informal a lo convencional, tanto en relación con el lenguaje como con las representaciones y procedimientos. La actividad intelectual fundamental en estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que en la memorización; sin embargo, esto no significa que los ejercicios de práctica o el uso de la memoria para guardar ciertos datos, como la transformación de fracciones a su
expresión decimal o los productos y cocientes de dos números enteros no se recomienden; al contrario, estas fases son necesarias para que los alumnos puedan invertir en problemas más complejos. A partir de esta propuesta, los alumnos y el docente se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas frente al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que significa enseñar y aprender. no se trata de que el docente busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. Es posible que el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas, con base en actividades de estudio sustentadas en situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas, resultará extraño para muchos docentes compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, vale la pena intentarlo, ya que abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente del salón de clases; se notará que los alumnos piensan, comentan, discuten con interés y aprenden, mientras que el docente revalora su trabajo. Este escenario no está exento de contrariedades, y para llegar a él hay que estar dispuesto a superar grandes desafíos, como:
a) Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta la manera de resolver los problemas que se les plantean, mientras el docente observa y cuestiona
a los equipos de trabajo, tanto para conocer los procedimientos y argumentos que se ponen en práctica como para aclarar ciertas dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos puedan avanzar. Aunque, al principio, habrá desconcierto de los alumnos y del docente, vale la pena insistir en que sean los primeros quienes encuentren las soluciones. Pronto se empezará a notar un ambiente distinto en el salón de clases; es decir, los alumnos compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se expresarán con libertad y no habrá duda de que reflexionan en torno al problema que tratan de resolver. b) Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas. Leer sin entender es una deficiencia muy común, cuya solución no corresponde sólo a la comprensión lectora de la asignatura de Español. Muchas veces los alumnos obtienen resultados diferentes que no por ello son incorrectos, sino que corresponden a una interpretación distinta del problema; por lo tanto, es necesario averiguar cómo interpretan la información que reciben de manera oral o escrita. c) Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa. Es importante porque ofrece a los alumnos la posibilidad de expresar sus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de los demás, ya que desarrollan la actitud de colaboración y la habilidad para argumentar; además, de esta manera se facilita la puesta en común de los procedimientos que encuentran. Sin embargo, la actitud para trabajar de manera colaborativa debe fomentarse por los docentes, quienes deben insistir en que cada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que se trata de realizar, no de manera individual sino colectiva; por ejemplo, si la tarea consiste en resolver un problema, cualquier integrante del equipo debe estar en posibilidad de explicar el procedimiento que utilizó. d) Saber aprovechar el tiempo de la clase. Se suele pensar que si se pone en práctica el enfoque didáctico, que consiste en plantear problemas a los alumnos para que los resuelvan con sus propios medios, discutan y analicen sus procedimientos y resultados, no alcanza el tiempo para concluir el programa; por lo tanto, se decide continuar con el esquema tradicional en el cual el docente “da la clase”, mientras los alumnos escuchan aunque no comprendan. La experiencia muestra que esta decisión conduce a tener que repetir, en cada grado escolar, mucho de lo que aparentemente se había aprendido; de manera que es más provechoso dedicar el tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado y desarrollen habilidades que les permitan resolver diversos problemas y seguir aprendiendo. e) Superar el temor a no entender cómo piensan los alumnos. Cuando el docente explica cómo se solucionan los problemas y los alumnos tratan de reproducir las explicaciones al resolver algunos ejercicios, se puede decir que la situación está bajo control.
Difícilmente surgirá en la clase algo distinto a lo que el docente ha explicado, incluso muchas veces los alumnos manifiestan cierto temor de hacer algo diferente a lo que hizo el docente. Sin embargo, cuando éste plantea un problema y lo deja en manos de los alumnos, sin explicación previa de cómo se resuelve, usualmente surgen procedimientos y resultados diferentes, que son producto de cómo piensan los alumnos y de lo que saben hacer. Ante esto, el verdadero desafío para los docentes consiste en ayudarlos a analizar y socializar lo que ellos mismos produjeron.
Este rol es la esencia del trabajo docente como profesional de la educación en la enseñanza de las Matemáticas. Ciertamente reclama un conocimiento profundo de la didáctica de esta asignatura que “se hace al andar”, poco a poco, pero es lo que puede convertir a la clase en un espacio social de construcción de conocimiento. Con el enfoque didáctico que se sugiere se logra que los alumnos construyan conocimientos y habilidades con sentido y significado, como saber calcular el volumen de cilindros o resolver problemas que implican el uso de ecuaciones; asimismo, un ambiente de trabajo que brinda a los alumnos, por ejemplo, la oportunidad
de aprender a enfrentar diferentes tipos de problemas, a formular argumentos, a emplear distintas técnicas en función del problema que se trata de resolver, y a usar el lenguaje matemático para comunicar o interpretar ideas. Estos aprendizajes adicionales no se dan de manera espontánea, independientemente de cómo se estudia y se aprende la matemática. Por ejemplo, no se puede esperar que los alumnos aprendan a formular argumentos si no se delega en ellos la responsabilidad de averiguar si los procedimientos o resultados, propios y de otros, son correctos o incorrectos. Dada su relevancia para la formación de los alumnos, y siendo coherentes con la definición de competencia que se plantea en el Plan de estudios, en los programas de Matemáticas se utiliza el concepto de competencia matemática para designar a cada uno de estos aspectos; en tanto que al formular argumentos, por ejemplo, se hace uso de conocimientos y habilidades, pero también entran en juego las actitudes y los valores, como aprender a escuchar a los demás y respetar las ideas de otros.
A continuación se describen cuatro competencias, cuyo desarrollo es importante durante la Educación Básica. c oMPetencias
Resolver problemas de manera autónoma. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones; por ejemplo, problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean los alumnos quienes planteen las preguntas. Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución. Comunicar información matemática. Comprende la posibilidad de que los alumnos expresen, representen e interpreten información matemática contenida en una situación o en un fenómeno. Requiere que se comprendan y empleen diferentes formas de representar la información cualitativa y cuantitativa relacionada con la situación; se establezcan nexos entre estas representaciones; se expongan con claridad las ideas matemáticas encontradas; se deduzca la información derivada de las representaciones y se infieran propiedades, características o tendencias de la situación o del fenómeno representado. Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el razonamiento deductivo y la demostración formal. Manejar técnicas eficientemente. Se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representación que hacen los alumnos al efectuar cálculos, con o sin apoyo de calculadora. Muchas veces el manejo eficiente o deficiente de técnicas establece la diferencia entre quienes resuelven los problemas de manera óptima y quienes alcanzan una solución incompleta o incorrecta. Esta competencia no se limita a usar de forma mecánica las operaciones aritméticas, sino que apunta principalmente al desarrollo del significado y uso de los números y de las operaciones, que se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la o las operaciones al resolver un problema; en la utilización del cálculo mental y la estimación; en el empleo de procedimientos abreviados o atajos a partir de las operaciones que se requieren en un problema, y en evaluar la pertinencia de los resultados. Para lograr el manejo eficiente de una técnica es necesario que los alumnos la sometan a prueba en muchos problemas distintos; así adquirirán confianza en ella y la podrán adaptar a nuevos problemas.
tenidos. Para primaria y secundaria se consideran tres ejes, que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información. Sentido numérico y pensamiento algebraico alude a los fines más relevantes del estudio de la aritmética y del álgebra: •	La modelización de situaciones mediante el uso del lenguaje aritmético o algebraico. •	La generalización de propiedades aritméticas mediante el uso del álgebra. •	La puesta en juego de diferentes formas de representar y efectuar cálculos. Forma, espacio y medida integra los tres aspectos esenciales alrededor de los cuales gira el estudio de la geometría y la medición en la educación secundaria: •	La exploración de características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos. •	La generación de condiciones para un trabajo con características deductivas. •	La justificación de las fórmulas que se utilizan para el cálculo geométrico. Manejo de la información incluye aspectos relacionados con el análisis de la información que proviene de distintas fuentes y su uso para la toma de decisiones informada, de manera que se orienta hacia:
•	El conocimiento de los principios básicos de la aleatoriedad. En este eje se incluye la proporcionalidad porque provee de nociones y técnicas que constituyen herramientas útiles para interpretar y comunicar información, como el porcentaje y la razón. ¿Por qué ejes y no ámbitos en el caso de Matemáticas? Porque un eje se refiere, entre otras cosas, a la dirección o rumbo de una acción. Al decir sentido numérico y pensamiento algebraico, por ejemplo, se quiere destacar que lo que dirige el estudio de aritmética y álgebra (que son ámbitos de la matemática) es el desarrollo del sentido numérico y del pensamiento algebraico, lo cual implica que los alumnos sepan utilizar los números y las operaciones en distintos contextos, y tengan la posibilidad de modelizar situaciones y resolverlas; es decir, que puedan expresarlas en lenguaje
matemático, efectuar los cálculos necesarios y obtener un resultado que cumpla con las condiciones establecidas. De cada uno de los ejes se desprenden varios temas y para cada uno hay una secuencia de contenidos que van de menor a mayor dificultad. Los temas son grandes ideas matemáticas cuyo estudio requiere un desglose más fino (los contenidos), y varios grados o incluso niveles de escolaridad. En el caso de la educación secundaria se consideran nueve temas, y la mayoría inicia desde la educación primaria. Dichos temas son: números y sistemas de numeración, Problemas aditivos, Problemas multiplicativos, Patrones y ecuaciones, Figuras y cuerpos, Medida, Proporcionalidad y funciones, nociones de probabilidad, y Análisis y representación de datos. Los contenidos son aspectos muy concretos que se desprenden de los temas, cuyo estudio requiere de entre dos y cinco sesiones de clase. El tiempo de estudio hace referencia a la fase de reflexión, análisis, aplicación y construcción del conocimiento en cuestión, pero además hay un tiempo más largo en el que se usa este conocimiento, se relaciona con otros conocimientos y se consolida para constituirse en saber o saber hacer. Además de los ejes, temas y contenidos, existe un elemento más que forma parte de la estructura de los programas que son los aprendizajes esperados y se enuncian en la primera columna de cada bloque temático. Estos aprendizajes señalan, de manera sintética, los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como resultado del estudio de varios contenidos, incluidos o no en el bloque en cuestión. Los aprendizajes esperados no se corresponden uno a uno con los contenidos del bloque debido a que estos últimos constituyen procesos de estudio que en algunos casos trascienden el bloque e incluso el grado, mientras que los aprendizajes espera-
dos son saberes que se construyen como resultado de los procesos de estudio mencionados. Ejemplos claros son los aprendizajes esperados que se refieren al uso de los algoritmos convencionales de las operaciones, que tienen como sustrato el estudio de varios contenidos que no se reflejan como aprendizajes esperados. Aunque no todos los contenidos se reflejan como aprendizajes esperados, es importante estudiarlos todos para garantizar que los alumnos vayan encontrando sentido a lo que aprenden y puedan emplear diferentes recursos, de lo contrario se corre el riesgo de que lleguen a utilizar técnicas sin saber por qué o para qué sirven. En los cinco bloques que comprende cada programa, los contenidos se organizaron de tal manera que los alumnos vayan accediendo a ideas y recursos matemáticos cada vez más complejos, a la vez que puedan relacionar lo que ya saben con lo que están por aprender. Sin embargo, es probable que haya otros criterios para establecer la secuenciación y, por lo tanto, los contenidos no tienen un orden rígido. Como se observa en las siguientes tablas, en todos los bloques se incluyen contenidos de los tres ejes, lo que tiene dos finalidades importantes; la primera es que los temas se estudien simultáneamente a lo largo del curso, evitando así que algunos sólo aparezcan al final del programa, con alta probabilidad de que no se estudien; la segunda es que pueda vincularse el estudio de temas que corresponden a diferentes ejes, para lograr que los alumnos tengan una visión global de la matemática.
s entido nuMérico y PensaMiento algebraico n úMeros
f orMa , f iguras
de la inforMación y funciones
• Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. • Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. • Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
• Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. • Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
• Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría. • Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
• Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
• Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
• Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras. • Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.
• Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. • Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.
• Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. • Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.
• Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
• Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.
• Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.
• Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.
s entido nuMérico y PensaMiento algebraico P robleMas
• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de las formas: x + a = b; ax = b y ax + b = c, donde a, b y c son números naturales y/o decimales. • Resuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. Explica la relación que existe entre el perímetro y el área de las figuras.
• Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional. • Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.
• Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
• Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.
n ociones M edida
• Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.
• Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.
• Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.
• Construye círculos y polígonos regulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. • Lee información presentada en gráficas de barras y circulares. Utiliza estos tipos de gráficas para comunicar información.
• Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.
• Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.
• Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número π (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.
• Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. • Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.
• Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
• Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
f orMa , M edida
• Resuelve problemas aditivos que implican el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. • Resuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y potencias de números naturales y decimales. • Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario.
• Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.
• Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.
• Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.
• Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas. • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.
• Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.
• Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. • Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. • Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos. • Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros. • Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. • Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.
• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.
• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.
• Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.
• Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.
• Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios. • Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.
• Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios. • Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.
• Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. • Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.
• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.
• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.
• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas. • Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas. • Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.
• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios. • Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
• Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. • Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.
• Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.
a nálisis M edida
• Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.
• Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.
• Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan. • Análisis de propiedades de la media y mediana.
s entido nuMérico y PensaMiento algebraico P atrones
• Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. • Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. • Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas. • Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.
• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. • Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.
• Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. • Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
• Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan. • Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares. • Explica la relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.
• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). • Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.
• Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. • Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.
• Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.
• Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.
• Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
• Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. • Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. • Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
M anejo n ociones
de la inforMación de Probabilidad
• Explica el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan. • Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.
• Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
• Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. • Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).
• Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. • Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.
• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.
• Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.
• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. • Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. • Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.
• Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. • Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).
• Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión. • Resuelve problemas que implican el uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. • Calcula y explica el significado del rango y la desviación media.
• Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.
• Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
• Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.
• Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente. • Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo. • Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
• Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión.
• Resuelve y plantea problemas que involucran ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se utilicen. Anticipa cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones. • Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas. • Resuelve problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
• Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.
• Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto. • Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides. • Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.
• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.
• Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.
los Planes y Programas de Estudio de 2011 la disciplina de las matemáticas se ubica
en el campo de formación Pensamiento matemático, con el objetivo de adoptar diversas “miradas” para entender entornos sociales, resolver problemas y fomentar el interés por las Matemáticas, a lo largo de la vida. El propósito es que las orientaciones pedagógicas y didácticas destaquen el pensamiento matemático en estrecha relación con el desarrollo de competencias, el cumplimiento de estándares y la adopción del enfoque didáctico. Se ha mantenido la organización de la asignatura a través de los ejes: Sentido numérico y pensamiento algebraico; Forma, espacio y medida, y Manejo de la información, los cuales se caracterizan por los temas y contenidos a desarrollar, como así también, por el tipo de pensamiento matemático a potenciar en cada uno de ellos. Sin embargo, resulta significativo reconocer que, por su naturaleza, habrá nociones matemáticas que se presentan en más de un eje. Las diferencias se podrán reconocer en el uso que se hace de ellas, por medio de sus representaciones y de sus contextos de aplicación. El caso más característico, en los tres años de la educación secundaria, es el uso de la noción de proporcionalidad, incluso para discutir y construir lo que no es proporcional. Dependiendo del eje en el que se trabaje dicha noción, así como de la situación problema y el contexto donde se le requiera como herramienta matemática, puede usarse para calcular una constante de proporcionalidad, un valor faltante o una razón de cambio constante. Otro punto a señalar, relacionado con el manejo de temas y contenidos, es que aun dentro de un mismo eje es posible reconocer el tipo de pensamiento matemático que demanda el problema a resolver, ya que de esto dependerá el significado que adquieran las herramientas matemáticas construidas. Por ejemplo, el eje de Manejo de la información incluye temas y contenidos relacionados con la graficación de funciones, el registro de frecuencias y el análisis de eventos azarosos; situaciones cuyo estudio se asocia al desarrollo del pensamiento variacional, estadístico y probabilístico, respectivamente. Por este motivo, las situaciones que se exponen más adelante como ejemplos de las orientaciones, se basan en el desarrollo de pensamientos matemáticos específicos, asociados a ciertos temas, y cuyas técnicas matemáticas y sus significados están vinculados a la situación que resuelven. Por ejemplo, la técnica matemática para calcular la tangente de un ángulo es equivalente a la técnica matemática para calcular la pendiente de una recta. Sin embargo, la primera
cobra sentido para resolver problemas trigonométricos y está asociada al desarrollo de un pensamiento geométrico-proporcional, mientras que la segunda cobra sentido en el estudio de la función lineal y está relacionada con el desarrollo del pensamiento variacional. Es en este sentido que se propone atender a la especificidad del conocimiento matemático. Estas dos ideas acerca de la matemática escolar (su naturaleza como herramienta situada) y sus consecuentes efectos en el aprendizaje (el tipo de pensamiento matemático que demanda) serán parámetros a considerar en la planeación, la organización del ambiente de aprendizaje, las
consideraciones didácticas y la evaluación.
I.1 De una situación problema a una situación de aprendizaje.
Un diseño didáctico constituye una situación problema si plantea un conflicto para quien lo
aborda, pero lo encamina en un proceso de pensamientos de resolución que permitan superar el conflicto y construir nuevos conocimientos. Hacer de ésta una situación de aprendizaje requiere de la intervención de quien, intencionalmente, busca la construcción de conocimiento por parte de quien la enfrenta. Una situación de aprendizaje puede caracterizarse como la articulación de una situación problema y un contrato didáctico1 (Montiel, 2005), es decir, exige la consideración de la interacción del sistema didáctico como una unidad indivisible, a la luz de las actividades que demande la situación problema. Esto presupone que la intervención del profesor, desde el diseño y la planeación, hasta el momento en que se lleva a cabo la experiencia de aula, está presente para potenciar los aprendizajes que lograrán las y los estudiantes, es decir para tener control de la actividad didáctica y del conocimiento que se construye (Alanís et al, 2008).
1 En el sentido de Brousseau (1997), como las interacciones implícitas y explícitas entre la y el profesor y la y el estudiante, en relación a un saber matemático escolar en particular.
La elección de la situación problema y la organización de su puesta en escena requieren de
la planeación y la previsión de comportamientos (estrategias, habilidades, dificultades, entre otras) de las y los estudiantes para hacer de la experiencia una situación de aprendizaje.
Por ejemplo, el uso de problemas prácticos (comúnmente llamados ‘de la vida real’), evoca un lenguaje cotidiano para expresar las interpretaciones personales y a partir de éstas, es que reconoce el fondo de conocimientos, que también pueden incluir conocimientos matemáticos relacionados con el aprendizaje esperado.
El paso a una interpretación formal, usando lenguaje matemático, requiere de ejercicios de cuantificación, de registro, de análisis de casos y de uso de distintas representaciones para favorecer que todas las interpretaciones personales tengan un canal de desarrollo de ideas matemáticas. En particular, será la misma práctica la que denotará la necesidad de emplear un lenguaje matemático específico, con el fin de comunicar los resultados de una actividad, argumentar y defender sus ideas, o utilizarlo para resolver nuevas situaciones problema. Los resultados obtenidos por las y los estudiantes tendrán nuevas preguntas para provocar la teorización2 de las actividades realizadas en la ejercitación previa, dando pie al uso de las nociones matemáticas escolares relacionadas al tema y a los contenidos. Es decir, éstas entran en juego al momento de estudiar lo que se ha hecho, son herramientas que explican un proceso activo del estudiante, de ahí el sentido de construcción de conocimiento, pues emergen como necesarias en su propia práctica. Una vez que se tenga cierto dominio del lenguaje y las herramientas matemáticas es necesario ponerlos en funcionamiento en distintos contextos, lo cual favorece la identificación de sus funcionalidades. Sin embargo, es recomendable considerar contextos en los que la herramienta matemática sea insuficiente para explicar y resolver un problema. Continuando con el ejemplo ya mencionado de la proporcionalidad, una vez construida su noción y dominadas las técnicas de cálculo del valor faltante, el cálculo de razón de proporcionalidad, etc., es necesario confrontarlas con aquellos sucesos que no son proporcionales, ya sea para profundizar en la comprensión de las mismas, como también, para generar oportunidades de introducir nuevos problemas.
1 Hablamos de teorizar desde el planteamiento de Moulines (2004) como la actividad humana de formar conceptos, principios y teorías con el propósito de comprender el mundo que nos rodea.
RGANIzACIÓN DE AMBIENTES DE APRENDIzAjE
un ambiente de aprendizaje es un sistema interactivo complejo que involucra
múltiples elementos de diferentes tipos y niveles, que si bien, no se pueden controlar por completo, tampoco pueden soslayar su influencia en el aula. Así, las variables sociales, culturales y económicas, como las cuestiones de equidad de género o de inclusión de las minorías -las capacidades diferentes y las inteligencias múltiples- deben ser atendidas con base en estrategias didácticas de contextualización de las situaciones problema y con consideraciones profesionales3 sobre el contacto personal con las y los estudiantes. El reconocimiento de la población estudiantil, del escenario escolar y las posibilidades que éste brinda, serán elementos fundamentales para preparar la experiencia de clase. Por ejemplo, determinar si es posible usar alguna herramienta tecnológica o materiales manipulables, ocupar espacios alternativos al salón de clases (laboratorios, patios) o solicitar a las y los estudiantes hacer alguna búsqueda de datos fuera de la escuela (en periódicos o haciendo encuestas), etc. Todas y todos los estudiantes han de contar con los materiales y las herramientas suficientes para llevar a cabo la experiencia de clase. Las y los estudiantes deben tener la experiencia del trabajo autónomo, el trabajo colaborativo y la discusión, así como también, la reflexión y la argumentación grupal, con el fin de propiciar un espacio en el cual, el respeto a la participación, al trabajo y a la opinión de las y los compañeros, sean fomentados por las y los propios estudiantes, bajo la intervención de la o el docente; dando así la oportunidad de reconocer como válidas otras formas de pensamiento. En las clases de matemáticas esto se evidencia cuando, por ejemplo, los argumentos se presentan en formas (matemáticas) diversas, pero convergen en una misma idea. Las explicaciones y los argumentos en contextos numéricos, algebraicos o gráficos habrán de valorarse por igual, y será con la intervención de la o el docente que se articulen para darle coherencia a los conceptos matemáticos.
Por ejemplo, con el uso de los resultados de la investigación en Matemática Educativa que atienden a estos factores dentro del diseño y la intervención didáctica. Al final de las orientaciones se presenta un listado de las páginas electrónicas de algunas revistas especializadas que pueden ser de utilidad guía
III.1 Consideraciones Didácticas
En una situación de aprendizaje, las interacciones son específicas del saber matemático en juego, es decir, los procesos de transmisión y construcción de conocimiento se condicionan por los usos y los significados del saber que demanda la situación problema.
Los procesos de transmisión de conocimiento, vía la enseñanza, están regulados por el Plan de estudios, los ejes, los temas, los contenidos, las competencias y, actualmente, por los estándares que en conjunto orientan hacia el cómo enseñar un saber matemático particular. Hablar de didáctica en el campo de formación conlleva a considerar también
cómo se caracteriza el proceso de construcción por parte de las y los estudiantes, es decir, reconocer las manifestaciones del aprendizaje de saberes matemáticos específicos. Al ejemplificar a grandes rasgos con la noción de proporcionalidad se encuentran, dentro de los tres ejes, -en sus temas y sus contenidos-, elementos que orientan su enseñanza, a saber: tipos de problemas, situaciones contextualizadas, lenguaje y herramientas matemáticas, entre otros. Se reconoce el desarrollo del pensamiento proporcional, en la y el estudiante cuando identifica, en un primer momento, una relación entre cantidades y la expresa como “a más-más’ o “a menos-menos”. La situación de aprendizaje y la intervención de la o el profesor lo confrontan con un conflicto para que reconozca que también hay proporcionalidad en una relación “a más-menos” o en una “a menos-más”, como es el caso de la función y = -x. Para validar las relaciones identificadas será necesario plantear a la y el estudiante actividades que favorezcan la identificación del cómo se relacionan éstas, con el objetivo de caracterizar formalmente la proporcionalidad y el uso de técnicas como la regla de tres.
En conclusión, es importante que la o el docente reconozca, en la y el estudiante, las construcciones que son propias del aprendizaje esperado. Una fuente importante de recursos de apoyo para identificarlas son las revistas especializadas, varias de ellas enlistadas al final de las orientaciones. En cada uno de los ejemplos ofrecemos orientaciones particulares PARA TEXTO asociadas al contenido. PARA TEXTO DE
IMPORTANTE OBSERVACIÓN RESALTADO DE FRASES O DATOS
evaluación es entendida como un proceso de registro de información sobre el estado
de los conocimientos de las y los estudiantes, cuyo propósito es orientar las decisiones del proceso de enseñanza en general y del desarrollo de la situación de aprendizaje en particular. En estos registros, vistos como producciones e interacciones de las y los estudiantes, se evaluará el desarrollo de ideas matemáticas, que emergen en formas diversas: verbales, gestuales, icónicas, numéricas, gráficas y, por supuesto, mediante las estructuras escolares más tradicionales como son por ejemplo las fórmulas, las figuras geométricas, los diagramas, las tablas.
Para valorar la actividad del estudiante y su evolución, hasta lograr el aprendizaje esperado, será necesario contar con su producción en las diferentes etapas de la situación de aprendizaje.
La evaluación considera si el estudiante se encuentra en la fase inicial, donde se pone en funcionamiento su fondo de conocimientos; en la fase de ejercitación, donde se llevan a cabo los casos particulares y se continúa o se confronta con los conocimientos previos; en la fase de teorización, donde se explican los resultados prácticos con las nociones y las herramientas matemáticas escolares; o finalmente, si se ubica en la fase de validación de lo construido. Es decir, se evalúa gradualmente la pertinencia del lenguaje y las herramientas para explicar y argumentar los resultados obtenidos en cada fase. De manera sucinta, en cada uno de los ejemplos se dan indicaciones concretas para la evaluación. Durante un ciclo escolar, el docente realiza diversos tipos de evaluaciones: diagnósticas, con el objeto de conocer los saberes previos de sus alumnos; formativas, durante el proceso de aprendizaje, para valorar los avances, y las sumativas, con el fin de tomar decisiones relacionadas con la acreditación de sus estudiantes. Los resultados de la investigación han destacado el enfoque formativo de la evaluación como un proceso que permite conocer la manera en que los estudiantes van organizando, estructurando y usando sus aprendizajes en contextos determinados, para resolver problemas
de distintos niveles de complejidad y de diversa índole. Desde el enfoque formativo, evaluar no se reduce a identificar la presencia o ausencia de algún fragmento de información para determinar una calificación, pues se reconoce que la adquisición de conocimientos por sí sola no es suficiente ya que es necesaria también la movilización de habilidades, valores y actitudes para tener éxito, puesto que éste es un proceso gradual al que debe darse seguimiento y apoyo. En el nuevo Plan de estudios se establece que la o el docente es el encargado de la evaluación de los aprendizajes de las y los estudiantes de Educación Básica y, por tanto, es quien realiza el seguimiento, crea oportunidades de aprendizaje y hace las modificaciones
necesarias en su práctica de enseñanza para que las y los estudiantes logren los estándares curriculares y los aprendizajes esperados establecidos en el Plan de estudios. Por lo tanto, es la o el responsable de llevar a la práctica el enfoque formativo de la evaluación de los aprendizajes. Un aspecto que no debe obviarse en el proceso de evaluación es el desarrollo de competencias. La noción de competencia matemática está ligada a la resolución de tareas, retos, desafíos y situaciones de manera autónoma. Implica que las y los estudiantes sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones. Por ejemplo, problemas con solución única, otros con varias soluciones o ninguna solución; problemas en los que sobren o falten datos; problemas o situaciones en los que sean las y los estudiantes quienes planteen las preguntas. Se trata también de que ellas y ellos sean capaces de resolver un problema utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o bien, que puedan probar la efectividad de un procedimiento al cambiar uno o más valores de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de resolución.
IV.1 Actitud Hacia Las Matemáticas
Con el propósito de fomentar una actitud positiva hacia las matemáticas en estudiantes que
están en una etapa de cambios físicos y emocionales complejos, recomendamos a la y el docente la búsqueda, exposición y discusión de anécdotas históricas y noticias de interés para la sociedad actual. Esta propuesta pretende darle a las matemáticas un lugar en la vida del estudiante, en su pasado y en un posible futuro, mostrándolas como producto de la actividad humana en el tiempo y como una actividad profesional que acompaña al mundo cambiante en el que vivimos (Buendía, 2010). En este sentido, las notas no necesariamente tienen que estar relacionadas con el tema abordado en clase, pero sí con problemáticas sociales que afectan la vida de la y el estudiante.
Por ejemplo, ver la siguiente nota extraída de un periódico de circulación nacional:
Anualmente, el 19 de Septiembre de 1985 es recordado en los diferentes medios de comunicación del país por el sismo que destruyó una parte significativa de la ciudad de México, el cual, desde entonces representa un suceso en la memoria colectiva, pero también una preocupación latente de los habitantes de esta ciudad. En este hecho radica la importancia de reconocer el papel que juega la ciencia en general y, para el caso de esta nota, la matemática en particular en la atención de problemas actuales que pueden afectar, directamente, la vida de las y los mexicanos. Poner PARA TEXTO énfasis, además, en que estas actividades científicas se llevan a cabo en instituciones mexicanas, PARA TEXTO DE IMPORTANTE brinda al estudiante un espacio de oportunidad para la elección de una carrera profesional, en OBSERVACIÓN RESALTADO DE FRASES O DATOS un futuro próximo.
RIENTACIONES PEDAGÓGICAS Y DIDÁCTICAS. EjEMPLOS CONCRETOS
esta sección se presentan ejemplos de situaciones de aprendizaje que ilustran el
desarrollo de distintos tipos de pensamiento matemático, poniendo en funcionamiento la propuesta pedagógica del enfoque actual. Es decir, mostrando cómo se gesta la construcción de ideas, argumentos, explicaciones y conocimientos matemáticos a lo largo de la situación y no sólo como el resultado de la resolución de un problema. En este sentido los ejemplos sugieren y no necesariamente establecen, en tanto éste no es un libro de texto, los posibles año(s), bloque(s), eje(s), tema(s) y/o aprendizaje(s) esperado(s) que pueden abarcarse al llevar a cabo la situación. La propuesta principal es dar evidencia, con ejemplos concretos de la matemática escolar, de la factibilidad de llevar a cabo el planteamiento didáctico-pedagógico desarrollado en las secciones previas.
Consultar revistas especializadas, como las que se enlistan al final de este documento, puede ampliar el panorama del porque ejemplificar el nuevo enfoque con temas tan concretos. Considerar las dificultades propias de su aprendizaje, los significados situacionales que adquieren y los procesos de institucionalización que requieren las nociones matemáticas escolares, permite reconocer con mayor facilidad el tipo de pensamiento matemático que demanda resolver las situaciones de aprendizaje que diseñe y organice la o el docente.
RESALTADO DE FRASES O DATOS
RIMER GRADO
Ejemplo 1IMPORTANTE
PARA TEXTO DE OBSERVACIÓN
Año: Bloque: ComPetenCiAs:
Primero I, II, III y V Resolver problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, validar procedimientos y resultados y utilizar las técnicas eficientemente Manejo de la información Proporcionalidad y funciones • • • Resolución de problemas de reparto proporcional. Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios. Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.
eje: temA: Contenido:
Resuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. Soluciona problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto.
La siguiente propuesta tiene la intención de propiciar en las y los estudiantes una reflexión acerca de los significados asociados a la noción de reparto proporcional, en donde lo proporcional se reconoce en el tipo de relación existente entre las variables involucradas en un problema y se indaga sobre el “cómo es la relación” que existe entre las variables. Se recomienda formar equipos entre las y los estudiantes para la resolución de la situación y su posterior discusión grupal cuando la o el docente lo considere pertinente.
Amanda quiere regalar a su mamá una esencia de perfume para su cumpleaños y lo quiere
elaborar ella misma. Para esto buscó en Internet distintas opciones para hacerlo y eligió la siguiente: Para obtener 120 ml de esencia de perfume se tiene que mezclar 20 ml del perfume elegido con 100 ml de alcohol. Amanda fue a una tienda a comprar los ingredientes y se encontró con la siguiente tabla de precios: ingrediente
Luego de consultar, el encargado le dijo que podía llevar sólo la cantidad que necesitara para componer su perfume. Esa fue su decisión: sólo llevó lo necesario. • Cuando Amanda fue a la caja para pagar le cobraron $100. ¿Consideras que le cobraron de
manera correcta? ¿Por qué?
• Si Amanda comprase la botella de alcohol y la de esencia ¿Cuántos frascos de 120 ml puede
hacer? Argumenta tu respuesta.
• ¿Qué cantidad de ingredientes necesita para hacer tres frascos?
Orientaciones didácticas. En la primera pregunta se espera que la o el estudiante pueda hacer uso de la “regla de tres simple” respecto a las distintas cantidades que se necesitan del producto, como la utiliza habitualmente, para corroborar la fiabilidad del cobro hecho. En tanto que la segunda y tercera pregunta tienen el propósito de generar una confrontación con la noción cotidiana de tal regla, la cual normalmente es usada para encontrar patrones de los comportamientos de una sola variable (“si con $100 se elabora una frasco de esencia, entonces con $300 se pueden elaborar tres frascos”) sin percatarse de que la relación no es entre el costo y la cantidad de productos, sino, entre los componentes que lleva el producto (“a lo más pueden hacerse dos frascos de esencia, ya que la botella de perfume solamente contiene 50 ml, y para cada frasco de esencia se requiere 20 ml”). Como ya hemos mencionado anteriormente, la o el docente es quien da vida a la situación propuesta, ofreciendo las orientaciones pertinentes tanto a las cuestiones que surjan por parte de las y los estudiantes, como a las reflexiones que se generen en la puesta en común de las distintas argumentaciones que fundamentan las respuestas obtenidas.
PARA TEXTO IMPORTANTE
En resumen, se trata, en esta primera parte, de pasar de una noción de proporción ligada al manejo de los cambios asociados a una sola variable hacia el reconocimiento de la existencia de la relación entre dos de ellas. Esto a través del abordaje autónomo y grupal de las preguntas y su consecuente validación.
PARA TEXTO DE OBSERVACIÓN RESALTADO DE FRASES O DATOS
Sin embargo, en este primer momento no se hace evidente el tipo de relación entre las variables. Este precisamente será el propósito de lo siguiente.
Orientaciones didácticas. Se sugiere a la o el docente solicitar a los estudiantes que completen
la siguiente tabla: CAntidAd CAntidAd
Perfume (ml.)
AlCohol (ml.)
90 240 180 300
La tabla presenta valores alternados de cantidades de esencia con el fin de que no aparezcan en forma lineal. Si, por ejemplo, la tabla fuera: CAntidAd
Esto pudiera provocar que las y los estudiantes sólo vieran la relación que existe en el crecimiento individual de cada variable y no la relación entre ellas, lo que es una característica que determina la proporcionalidad.
En este sentido, la intencionalidad didáctica que persigue el análisis de la tabla es responderse la pregunta: “¿Cómo es la relación entre las variables?” Cuyo objetivo es buscar que la y el estudiante puedan identificar, a través de la reflexión promovida por la o el profesor, que la relación entre la cantidad de alcohol y la cantidad de esencia con la que se elabora el perfume es constante, lo que se denomina ‘constante de proporcionalidad’. Para generar estas reflexiones se recomienda la siguiente secuencia de preguntas: • ¿Qué relación encuentras entre los 180 ml de cantidad de perfume y la cantidad de
esencia que le corresponde?
• ¿Existe alguna relación entre los 30 ml de esencia y los 150 ml de alcohol? ¿Y entre
los 50 ml de esencia y los 250 ml de alcohol?
• ¿Cómo es la relación que existe entre los 240 ml de perfume y las cantidades de
ingredientes (40 ml de esencia y 200 ml de alcohol)?
• ¿Qué relación observas entre la cantidad de perfume y la cantidad de esencia?
• ¿Qué relación observas entre la cantidad de perfume y la cantidad de ingredientes?
• ¿Qué relación observas entre la cantidad de esencia y la cantidad de alcohol?
• ¿Qué diferencia observas entre las tres relaciones anteriores? Argumenta tu respuesta. • ¿Puedes expresar de alguna manera las relaciones anteriores?
La secuencia aquí presentada comienza indagando sobre la relación de valores específicos, continúa explorando la relación entre variables basándose en las argumentaciones y finaliza averiguando la generalización de esa relación. Una respuesta esperada por parte de las y los estudiantes es que observen que la relación que existe entre los valores de las variables es que “la cantidad de alcohol es mayor que la cantidad de perfume”, las cuales se superarán incitando a las y los estudiantes a buscar otro tipo de relaciones, ya que esta sí es correcta, sólo que en estas preguntas se explorarán más de un tipo de relación, para luego preguntarse, cómo es dicha relación, que en suma, constituye la esencia de la proporcionalidad.
Ejemplo 2IMPORTANTE
Primero IV Resolver problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, validar procedimientos y resultados, utilizar las técnicas eficientemente
eje: temA: Contenidos:
Manejo de la información Proporcionalidad y funciones
• Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios. • Estudio de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala
Resuelve problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentajes, escalas, interés simple o compuesto
Este ejemplo, junto al anterior, dentro del mismo eje y tema, tienen como estándares curriculares que las y los estudiantes resuelvan problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversas o múltiple, como porcentajes y escalas.
En esta situación de aprendizaje se plantea la necesidad del uso de nociones matemáticas como las escalas, el reparto proporcional, la multiplicación o la división de números racionales como medio para la resolución y la consecuente construcción de conocimiento por parte de las y los estudiantes (por ejemplo: emplear procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos; elegir la forma más adecuada de organizar y representar los datos para comunicar la información matemática; identificar conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, calcular valores faltantes y porcentajes; expresar e interpretar medidas de distintos tipos de unidades; usar fórmulas para calcular perímetros y áreas de diferentes figuras). Es decir, es precisamente en la manipulación de las nociones puestas en
juego, a través de un proceso de formulación y validación de conjeturas, que éstas adquieren un significado en las y los alumnos.
Se intenta promover no sólo la aplicación de fórmulas preestablecidas, sino la búsqueda y organización de datos que permitan que la y los estudiantes sean competentes en la obtención de información necesaria y suficiente, y en la resolución de problemas relacionados con ello.
Momento1. Elección del presupuesto más económico
Doña Elena quiere remodelar su casa invirtiendo, debido a la crisis, la menor cantidad de dinero posible. El plano de su casa es el siguiente:
Figura 1. Plano de la casa de Doña Elena con una escala de 1:100 .
La altura de la casa es de 2.5 metros. Ella desea arreglar los ambientes de su casa de la siguiente manera: • En el baño quiere colocar lozas en el piso y pintar sus paredes y el techo. • A la habitación matrimonial quiere instalarle una alfombra que cubra todo el piso y pintar
• En la habitación individual pretende cambiar lozas en el piso y pintar también sus paredes.
Fue a la tienda a preguntar los precios y le dijeron que:
Para la pintura: • Un envase de 4 litros de la marca “La colorada”, cuesta $286 con
rendimiento para pintar 15 m y solamente requiere de una mano para cubrir
• Un envase de 6 litros de la marca “Huacho Marín”, tiene un costo de $429 y
su rendimiento es de 22.5 m2 y requiere también solamente de una mano para cubrir superficie. la
Para las lozas: • Una caja “Durex” de 10 piezas de 20 cm de lado cada una, tiene un costo de $890. • Una caja “Axes” de 10 piezas de 40 cm de lado cada una, tiene un costo de $1780.
Para la alfombra: • La alfombra “Guerrero” tiene un costo de $99 el metro cuadrado. • La alfombra “Alepina” tiene un costo de $125 el metro cuadrado.
¿Qué pintura, lozas y alfombra tiene que elegir Doña Elena para que el presupuesto sea el más económico? ¿Cuál es el monto del presupuesto final? IMPORTANTE OBSERVACIÓN
INICIO DE TEMA PARA TEXTO PARA TEXTO DE RESALTADO DE FRASES O DATOS
Diseña un informe detallado en donde se le diga a Doña Elena cuál y por qué es el presupuesto más económico.
Orientaciones didácticas. En la planeación de esta actividad han sido considerados los conceptos base de las y los estudiantes, es decir, el fondo de conocimientos, tanto cotidianos como matemáticos, que les permiten darle un sentido a las actividades propuestas. Por ejemplo, en esta ocasión además de considerar nociones matemáticas como escala, reparto proporcional, multiplicación y división de números racionales, entre otras, se toman en cuenta algunas nociones cotidianas como el ahorro, la optimización y la selección funcional, que son aspectos relacionados al manejo propio de la información. Se trata, en suma, de promover en las y los estudiantes la capacidad de transformar ciertos datos en información suficiente para poder solucionar problemas específicos. Así, la consideración de los conocimientos base para la planeación de la actividad anterior permite construir un ambiente de conflicto en donde las y los estudiantes puedan enfrentarse con sus propios conocimientos, reflexionar sobre su pertinencia y tomar decisiones en consecuencia, lo cual fortalece a la construcción de nuevos conocimientos, siendo éstos los que conduzcan a dar respuesta al conflicto planteado. Por ejemplo, ante la pregunta de cuál pintura conviene comprar pareciera, a simple vista, que lo que resulta más económico es adquirir envases de 4 litros de pintura “La colorada”. Sin embargo, vemos que:
4 litros (la colorada)
y rinde
y obteniendo el valor unitario a través de la noción de reparto proporcional obtenemos: Tiene un precio de y rinde
1 litro (la colorada)
Haciendo lo mismo para la pintura “Huacho Marín” observamos:
6 litros (H. Marín)
Por lo que su valor unitario es:
1 litro (H. Marín)
Esto quiere decir que ambas pinturas tienen el mismo precio por litro, además de compartir las mismas características. Así, la decisión de cuál pintura comprar dependerá de la elección de la marca que hagan las y los estudiantes, ya que su precio no variará. Respecto a la obtención de las medidas de la casa se espera que haya diferencias entre las respuestas proporcionadas por las y los alumnos, lo que requerirá de una discusión, primero en equipos y luego de manera grupal, en donde justifiquen y validen sus respuestas. La intención es analizar las diferentes estrategias elaboradas para estabilizar la noción de “escala” asociada a la de “proporcionalidad”. Una de las intenciones de la actividad es provocar la diferencia de opiniones. Esto no
quiere decir que el o la docente no tenga un papel importante, sino todo lo contrario, ya que es quien orienta las discusiones, propone más preguntas en caso de que los estudiantes resuelvan rápido las incognitas, organiza al grupo según su propio contexto y funcionalidad, confronta diferentes opiniones; en síntesis, es el profesor quien da vida y dinamismo a las actividades. Para la elección de las cajas de lozas más económicas sucede una situación similar a la trabajada con la pintura. La elección dependerá tanto de las superficies que se requieren cubrir, como de fijarse que las lozas “Axes” son cuatro veces la superficie de las lozas “Durex”. Por último, pedir el diseño de un informe que refleje las elecciones hechas por el grupo tiene la intención de y promover recuperación una de reorganización las reflexiones
realizadas, en las que se tenga que elegir las representaciones más adecuadas para comunicar las ideas. Para esto se recomienda mantener los equipos de trabajo.
Ejemplo 3IMPORTANTE
Primero I, II, IV, V Resolver problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, validar procedimientos y resultados, utilizar las técnicas eficientemente. Sentido numérico y pensamiento algebraico. Contenidos • • Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos. Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones. Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales. Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con fracciones y números decimales. Soluciona problemas aditivos que conllevan el uso de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos. Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. Solventa problemas que involucran el cálculo del mínimo común múltiplo o el máximo común divisor. Soluciona problemas aditivos que obligan a efectuar cálculos con expresiones algebraicas.
eje: temA: números
y sistemAs de numerACión:
La siguiente situación retoma y replantea el diseño de Flores (2010). Este rediseño permite a las y los estudiantes poner en juego herramientas como el análisis, la reflexión, comparación y contrastación de los elementos involucrados. El abordaje del planteamiento desde diferentes tipos de unidades puede proporcionar desafíos diferentes a las y los estudiantes.
Indicaciones. Seis niños (Martín, Andrea, joaquín, Lupita, Sergio y Mónica) se han reunido
para repartirse 4 barras de chocolate que poseen las siguientes formas:
Sólo que no se han puesto de acuerdo respecto a cómo realizar un reparto apropiado, ya que:
– Martín (dice): ¡Es mejor si se rifan los chocolates! Así podemos disfrutar de uno completo, ¡eh! – Lupita (comenta): No me parece justo, algunos de nosotros no tendríamos chocolate que probar. – Sergio (agrega): ¿Por qué no pensamos en una forma de repartirlos de tal forma que a todos nos toque un pedazo? – Andrea (interrumpe): Me parece bien lo que dice Sergio, sólo que… ¿Cómo haremos para saber cuánto de los chocolates nos corresponde? – joaquín (desconcertado añade): ¿Y cómo saber si eso es lo que realmente me toca? – Mónica (sonriendo dice): ¡Lo sabremos pronto! Ayúdenles a estos niños a encontrar alguna manera de repartirse los chocolates. Argumenten sus respuestas y comparen los procedimientos obtenidos.
Orientaciones didácticas. En esta parte, el papel de la o el docente es muy importante ya que tendrá la oportunidad de organizar al grupo apoyándose en los comentarios, las dudas o inquietudes que surjan de las y los estudiantes, y con ello explicar el porque de las formas de los chocolates, si pueden tener otras formas, si pueden agregar más chocolates, si poseen el mismo tamaño, etcétera.
Orientaciones didácticas. La percepción que tengan de la realidad respecto al sentido que cobra la “unidad” es trascendental para las y los estudiantes y la actividad permitirá que miren a la unidad de diferentes maneras, por ejemplo, como 4 unidades de 1 ó como 1 unidad conformada de 4 partes. Esto, según teóricos como Lamon (1999), pone en acción conceptos sólidos como el de “partición” y “equivalencia”. Este planteamiento pretende dar cuenta de cómo el movimiento de unidad puede
causarle un conflicto serio a la y el estudiante si no logra percatarse de ese movimiento, de hecho, la literatura advierte que a la y el estudiante le es difícil darse cuenta de ello, de ahí la intervención de la y el profesor para evidenciar las ideas previas que las y los alumnos dejan ver al argumentar sus propuestas de solución, ya sea al interior de los equipos o frente al grupo. La naturaleza de este planteamiento ha dado pie al menos a cuatro rutas para llegar a su solución, las cuales se sugieren a la o al docente para que las promueva en los y las estudiantes:
a) Que las y los estudiantes consideren cada pieza de chocolate como una unidad. Por ejemplo, podría cuestionárseles:
¿Qué parte del total le corresponderá a cada niño?
La respuesta claramente será 1 de la unidad y hasta ahí no habría inconvenientes. Ahora 6 bien, un segundo planteamiento podría ser ¿qué pasará con el segundo chocolate?
¿Qué parte del total le corresponde a cada niño?
Una primera acción de la y del estudiante podría ser indicar 1 del total y un pedacito, pero, 8 ¿Qué parte del total representa ese pedacito ya sea de color amarillo o azul? ¿Representan lo mismo? Habrá que ayudar a las y los estudiantes a reflexionar para que consideren los elementos hasta aquí puestos en juego y recurrir a la noción de operador. Siguiendo con este mismo procedimiento, al final podría especificar la respuesta de las y los estudiantes preguntándoles ¿Qué parte del total de cada chocolate le corresponde a cada estudiante? Posiblemente las y los estudiantes eviten trabajar con las fracciones recurriendo a los números decimales (números con los cuáles consideran que obtendran aproximaciones, sobre todo con las fracciones que no son exactas). En esta parte la o el profesor podrá darse cuenta del avance que las y los estudiantes alcanzan al trabajar suma, multiplicación y división de fracciones y de manera muy especial se debe poner atención a la estrategia que utilizan las y los estudiantes para dividir una parte en otras partes (parte - parte) ya que algunos podrán realizarlo desde la figura pero no podrán escribirlo como fracción.
Si se sigue esta ruta para encontrar solución, al final se tendría que sumar la parte de cada chocolate para encontrar cuánto le corresponde a cada niño por chocolate y de todos los chocolates.
b) Que las y los estudiantes se apoyen en la noción de equivalencia.
Por su parte Lamon (1999) destaca esta noción porque las raíces de su comprensión van más allá de las fracciones. Las y los estudiantes podrían optar por dividir cada chocolate en partes iguales apoyándose en la noción de equivalencia, para lo que tendrían que decidir, entre los diferentes tipos de
particiones, qué conviene más: dividir en sextos, octavos, catorceavos o décimos. De ahí la importancia de la intervención de la o el profesor para orientar su decisión ya que ellas o ellos deberán reflexionar ¿qué unidad les convienen manejar y cómo harían ese cambio de equivalencias?, ya que podrían sugerirles –si se da el caso– apoyarse de las figuras o de operaciones o de ambos para generar las equivalencias, lo cual implica necesariamente realizar un pasaje entre representaciones.
c) Que las y los estudiantes puedan mirar a los 4 chocolates como una unidad completa.
Ésta sería una de las ideas más complejas para desarrollar en la o el estudiante, para ello al menos tendrían que haber trabajado algunas de las dos rutas anteriores procurando que la percepción de las y los estudiantes se haya “trastocado”. Si alguno de las y los estudiantes se da cuenta y plantea la solución, significa que tiene muy clara la unidad, vista de dos formas: a los 4 chocolates como una unidad completa y al mismo tiempo que cada chocolate forma parte de la unidad completa y que también es una unidad. Ya que los chocolates tienen la misma forma y tamaño, podrían verse así:
La discusión es generada por la forma en que se encuentran divididos cada uno de los chocolates. Una vez que otras rutas han sido exploradas, la o el profesor puede sugerir esta última forma y redireccionar la percepción del estudiante acerca de la noción de unidad, pues ahora las y los estudiantes podrían utilizar una nueva unidad bajo la cual también pueden arribar a una solución del reparto solicitado, sólo que el proceso no es fácil de asimilar para ellas y ellos.
d) Que las y los estudiantes identifiquen posibilidades para llegar a una solución del problema mediante la recta numérica.
Esta última, al parecer podría volverse compleja si las otras tres no han sido explícitas o claras para la o el estudiante. Ya que después de haber trabajado con figuras y haber generado representaciones aritméticas, ahora tendría que transformar sus resultados en segmentos para ser ubicados y analizados desde la recta numérica, zona en la que los estudiantes también tienen serios tropiezos y quizás no alcancen a abordar profundamente. Esto dependerá en gran medida del avance logrado en las tres rutas anteriores. Algunos de los aspectos interesantes y enriquecedores de los diferentes planteamientos, son los posibles contextos a los que acudirán las y los estudiantes: dividir los diagramas presentados, usar fracciones equivalentes, realizar emplear operaciones los números con fracciones, para decimales
evitar trabajar con fracciones, pasar de un contexto numérico a un contexto gráfico o viceversa, entre otros. Se esperaría que las y los estudiantes cuestionaran acerca de ese movimiento de unidad que se efectua en esta actividad en la que la y el profesor pueda establecer conexiones y extensiones hacia otros contenidos.
EGUNDO GRADO
Ejemplo 4IMPORTANTE
Segundo IV y V Resolver problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, validar procedimientos y resultados, utilizar las herramientas matemáticas eficientemente. Forma, espacio y medida Medida • • Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones.
Resuelve problemas que conllevan a determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares. • Soluciona problemas que contengan ángulos inscritos y centrales de una circunferencia. Determina la medida de diversos elementos del círculo, como: circunferencia, superficie, ángulo inscrito y central, arcos de la circunferencia, sectores y coronas circulares.
La siguiente situación retoma el diseño de Rotaeche (2008) para la construcción de algunos significados de la noción escolar de ángulo, aquellos pertinentes para el segundo grado de la educación secundaria. Para proponer el diseño se consideró la manipulación de la noción sin hacer referencia a ella, en tanto que es un contenido “aprendido” en la educación primaria que, a decir de la literatura especializada, no logra estabilizarse en la y el estudiante y representa un obstáculo en la resolución de problemas que hacen uso de él como herramienta de medición.
La situación se presenta a las y los estudiantes en hojas de trabajo, por lo que se recomienda entregar momento por momento.
A TEXTO ORTANTE
o el estudiante dispondrá del siguiente material: una base de fomi, un cuadrado de
cartulina (con un trozo de cartulina rodeando uno de sus vértices, como se muestra en la Figura 1), tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro debe estar indicado con un punto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras. Indicaciones: Sobre la base de fomi, coloca el cuadrado y el círculo más pequeño haciendo coincidir el centro del círculo con el vértice del cuadrado (Figura 2). Encaja la tachuela justo en donde coinciden centro y vértice, el fomi permitirá fijar ambas figuras.
Explorando la construcción
• ¿Cuántos lados del cuadrado comparten el vértice “A”?__________ • Sobre el círculo remarca con el plumón, los lados del cuadrado que coinciden con el vértice A. con ayuda de la regla graduada. • Usando el plumón indeleble sombrea sobre el círculo el espacio delimitado por las líneas que acabas de marcar y que se encima en el cuadrado. • ¿Qué fracción del círculo sombreaste? __________ • ¿Cómo puedes comprobarlo? __________
Orientaciones didácticas. Se espera que las y los estudiantes coloreen la porción correcta del círculo y deduzcan que se trata de la cuarta parte, es en la argumentación donde pueden proponer formas distintas para comprobarlo. La o el docente dará oportunidad a que todas y todos participen y concluirá la discusión cuando alguna o algún estudiante proponga “girar el círculo”. Hasta entonces la o el docente planteará la siguiente interrogante: ¿y al girarlo cuántas partes como ésta podrías sombrear?, prueba con diferentes colores. Una vez resuelto este planteamiento se continúa la actividad. Indicaciones: Retira el círculo pequeño. Sobre el mismo cuadrado, coloca ahora el círculo mediano de tal manera que el centro de éste coincida con el vértice “A” del cuadrado. De nuevo, utiliza una tachuela para fijarlos y realiza los mismos trazos que en el caso previo.
• Traza las líneas que salen desde el centro del círculo y coinciden con los lados del cuadrado. Márcalas sólo sobre la mica. • Sombrea en el círculo, la parte que se encuentra sobre el cuadrado • ¿Qué parte del círculo sombreaste? __________ • ¿Cómo lo compruebas? __________
Posteriormente, sobre el cuadrado, coloca ambos círculos (pequeño y mediano), haciendo coincidir sus centros con el vértice del cuadrado (Figura 3). • ¿Qué parte del círculo mediano está encima del cuadrado? __________ • ¿Qué parte del círculo pequeño está encima del cuadrado? __________
Repite la actividad ahora con el círculo más grande y luego, toma los tres círculos y haz coincidir sus centros con el vértice del cuadrado (Figura 4). • ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculo pequeño? __________ • ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculo mediano? __________ • ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculo grande? __________ • ¿Son iguales las áreas delimitadas? __________ Si utilizaras un cuadrado más grande ¿cambiaría la fracción sombreada? __________ ¿Por qué? __________
Orientaciones didácticas. Conforme se vayan dando las respuestas apropiadas la o el profesor pedirá argumentos que el grupo validará como correcto o incorrecto. Con estas actividades se espera que las y los estudiantes, diferenciando la porción del área sombreada, vayan relacionando la cuarta parte de vuelta (como una estrategia para medir-cuantificar) con la esquina del cuadrado (como una forma-cualidad a la que le corresponde una medida).
Una vez respondidas las preguntas previas la o el profesor puntualiza que esta fracción o este giro es una cuarta parte de vuelta y se identifica fácilmente por su relación con la esquina del cuadrado. Se sugiere hacer énfasis en esta idea usando la siguiente ilustración:
Ilustración sobre la cuarta parte de vuelta
La o el estudiante recibe el siguiente material: una base de fomi, un cuadrado de cartulina
(con un pequeño círculo rodeando uno de sus vértices, como se muestra en la Figura 1), tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro estará indicado con un punto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras.
Indicaciones: Trazar la diagonal AC en el cuadrado (Figura 6) y recorta el cuadrado por la diagonal, cuidando no recortar el trozo de cartulina que rodea al vértice A para que puedas fijar la nueva figura en la base de fomi. ¿Cuál es la nueva figura que obtienes al recortar?
Coloca la mica del círculo pequeño sobre la nueva figura de tal manera que su centro coincida con el vértice A. Utiliza una tachuela para fijar ambas figuras a la base de Fomi (Figura 7).
• ¿Cuántos lados del triángulo comparten el vértice “A”? __________ Remarca, sobre el círculo de mica, esos lados, desde A, con el plumón. Puedes ayudarte con la regla graduada. Sombrea la sección del círculo que está encima del triángulo y responde: • ¿Qué parte del círculo representa el área sombreada? __________
• Gira el círculo sobre el vértice A para encontrar con cuántas secciones iguales cubres todo el círculo. ¿Cuántas fueron? _________
Dibuja en el siguiente círculo, usando diferentes colores, las secciones que encontraste:
• ¿Qué parte de vuelta representa cada sección? __________ • Realiza el mismo procedimiento de sombreado con el círculo mediano, usando el mismo triángulo rectángulo. • ¿Qué parte quedó delimitada de este segundo círculo? __________ • Si realizas lo mismo con el círculo más grande, ¿Qué parte quedaría delimitada del círculo 3? __________ • Serán iguales las áreas delimitadas en los tres triángulos? __________ ¿Por qué? __________ • ¿Cambiaría la parte delimitada si usas la mitad de un cuadrado más grande o más pequeño? __________ ¿Por qué? __________
Orientaciones didácticas. Con estas actividades se espera que las y los estudiantes, diferenciando la porción del área sombreada, vayan relacionando la octava parte de vuelta (como una estrategia para medir-cuantificar) con la esquina del triángulo isósceles (como una formacualidad a la que le corresponde una medida). Una vez respondidas las preguntas previas, la o el profesor establece que esta fracción o este giro es una octava parte de vuelta que se identifica por su relación con la esquina del triángulo isósceles. Se sugiere hacer énfasis en esta idea usando la siguiente ilustración:
Ilustración sobre la octava parte de vuelta
La o el estudiante tendrá el siguiente material: una base de fomi, un triángulo equilátero de
cartulina (con un pequeño círculo rodeando uno de sus vértices, como se muestra en la Figura 8), tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro debe estar indicado con un punto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras.
Indicaciones: Sobre la base de fomi, coloca el triángulo equilátero y sobre él, el círculo pequeño, haciendo coincidir el vértice “A” del triángulo equilátero y el centro del círculo. Fíjalos con la tachuela.
Con la regla traza una línea que salga del centro del círculo y coincida con uno de los lados del triángulo. Realiza lo mismo sobre el otro lado del triángulo, el que comparte el mismo vértice. Haz los trazos sobre el círculo de mica y sombrea la sección delimitada.
• ¿Qué parte del círculo sombreaste? __________ • ¿Cómo puedes comprobarlo? __________ • Sombrea en el círculo a la izquierda, usando varios colores, todas las secciones que encontrarías girando sobre el triángulo rectángulo.
Retira el círculo pequeño y repite la última actividad con los círculos restantes. Coloca los tres círculos, haciéndolos coincidir en sus centros con el vértice del triángulo equilátero Figura 10), traza las líneas que salen desde el centro de la circunferencia y coincidan con los lados del triángulo. • ¿Qué parte quedó delimitada del círculo pequeño? __________ • ¿Qué parte quedó delimitada del círculo mediano? __________ • ¿Qué parte quedó delimitada del círculo más grande? __________
• ¿Son iguales las áreas delimitadas? __________ • ¿Cambiaría la parte o fracción sombreada si usas un triángulo equilátero más grande o más chico? __________ ¿Por qué? __________
Orientaciones didácticas. Con estas actividades se espera que las y los estudiantes, diferenciando la porción del área sombreada, vayan relacionando la sexta parte de vuelta (como una estrategia para medir-cuantificar) con la esquina del triángulo equilátero (como una forma-cualidad a la que le corresponde una medida). Una vez respondidas las preguntas
previas, la o el profesor establece que esta fracción o este giro es una sexta parte de vuelta y se identifica fácilmente por su relación con la esquina del triángulo equilátero’. Se sugiere hacer énfasis en esta idea usando la siguiente ilustración:
Ilustración sobre la sexta parte de viuelta
La o el estudiante contará con el siguiente material: una base de fomi, un triángulo equilátero
de cartulina (con un pequeño círculo rodeando uno de sus vértices, como se muestra en la Figura 11), tres círculos de mica transparente de diferentes tamaños (el centro indicado con un punto), plumones indelebles, un par de tachuelas, regla graduada y tijeras.
Indicaciones: Traza, en el triángulo equilátero, la altura que pase por el vértice “B” (Figura 11). Recorta el triángulo por la línea de la altura. ¿Qué nueva figura tienes ahora? __________
Coloca la mica del círculo pequeño sobre la figura, de tal manera que su centro coincida con el vértice B del nuevo triángulo. Utiliza una tachuela para fijarla. • Sombrea la sección del círculo que está encima del triángulo • ¿Qué parte del círculo representa el área sombreada? __________ • Gira el círculo sobre el vértice B para encontrar cuántas “partes de vuelta” puedes formar. ¿Cuántas fueron? __________ • Dibuja en el círculo a la derecha las diferentes partes que encontraste
Si realizaras lo mismo con los círculos restantes, ¿Qué parte quedaría delimitada del círculo 3? __________ ¿Serán iguales las áreas delimitadas? __________ ¿Cambiaría la parte o fracción delimitada si usas la mitad de otro triángulo equilátero más grande o más pequeño? __________ ¿Por qué? __________
Orientaciones didácticas. Con estas actividades se espera que las y los estudiantes, con un nivel mayor de abstracción, vayan relacionando la doceava parte de vuelta (como una estrategia para medir-cuantificar) con la esquina de este triángulo (como una forma-cualidad a la que le corresponde una medida). Una vez respondidas las preguntas previas la o el profesor establece que esta fracción o este giro es una doceava parte de vuelta y se identifica fácilmente por su relación con la esquina de este triángulo (recordando que se construye de recortar el equilátero por una de sus alturas). Se sugiere hacer énfasis a esta idea usando la siguiente ilustración:
En esta parte de la situación corresponde sintetizar lo que se construyó en los momentos
previos. Completa la siguiente tabla con la información que haga falta:
Orientaciones didácticas. Con esta actividad se busca sintetizar las “mediciones” como partes de vuelta y las relaciones entre “forma” y “división en la circunferencia”; pues a partir de aquí se irá trabajando hacia la generalización, la formalización y la institucionalización del concepto escolar de ángulo, siempre caracterizándolo como forma, medida, relación; así como reconociendo su naturaleza estática y dinámica. Se recomienda no introducir la idea del “transportador”, sino comenzar con herramientas más cotidianas como el reloj.
La o el estudiante tendrá el siguiente material: una base de fomi, una flecha de cartulina,
una tachuela y la hoja con la circunferencia dividida en 12 partes. Indicaciones: Con las construcciones hechas en los momentos anteriores logramos hacer en el círculo hasta 12 divisiones. Coloca la hoja con la circunferencia dividida sobre la base de fomi y fija la flecha en su centro con una tachuela. Ubica la flecha en el punto 3 (Figura 12), antes de cada giro. A continuación, completa y responde lo que se pide:
1. Gira la flecha hasta llegar al número 12. Ese giro equivale a ________ de vuelta. ¿En qué sentido giraste la flecha? _______ 2. Gira la flecha hasta llegar al número 9. Ese giro equivale a ________ de vuelta. ¿En qué sentido giraste la flecha? _______ 3. Gira la flecha hasta llegar al número 1. Ese
giro equivale a ________ de vuelta. ¿En qué sentido giraste la flecha?________
Ahora cambiemos el punto de inicio. Ubica la flecha en el punto 9, como punto de inicio para cada uno de los siguientes movimientos, complementa y responde lo siguiente:
4. Gira la flecha hasta llegar al número 6. Ese giro equivale a ________ de vuelta. ¿En qué sentido giraste la flecha? ________ 5. Gira la flecha hasta llegar al número 3. Ese giro equivale a ________ de vuelta. ¿En qué sentido giraste la flecha? ________ 6. Gira la flecha hasta llegar al número 7. Ese giro equivale a ________ de vuelta. ¿En qué sentido giraste la flecha? ________ 7. Gira la flecha hasta el número 2. Ese giro equivale a ________ de vuelta ¿En qué sentido giraste la flecha? ________ 8. Si divides cada doceava parte en 30 partes iguales, ¿cuántas partes habría en toda la circunferencia (o vuelta completa)? 9. ¿Cuántas partes habría en 2/12 de vuelta? __________ 10. ¿Cuántas partes habría en 3/12 de vuelta? __________ 11. ¿Cuántas partes habría en ¼ de vuelta? _________ 12. ¿Cuántas partes habría en ½ giro? __________
Usando ahora los referentes con letra (de la A a la L), con las sudivisiones de 30 partes en cada doceava parte de la circunferencia, ejecuta la instrucción y completa las respuestas:
1. Gira la flecha desde A hasta B. Ese giro equivale a ______ de vuelta. 2. Gira la flecha desde A hasta C. Ese giro equivale a ______ de vuelta.
3. Gira la flecha desde A hasta D. Ese giro equivale a ______ de vuelta. 4. Gira la flecha desde A hasta G. Ese giro equivale a ______ de vuelta. 5. Gira la flecha desde A hasta j. Ese giro
equivale a ______ de vuelta. 6. Gira la flecha desde A hasta A. Ese giro equivale a ______ de vuelta.
Orientaciones didácticas. Es en este momento cuando se introduce formalmente el concepto escolar de ángulo y se establece su unidad de medida en grados. Por ejemplo declarando: “Se llamará a cada una de esas partes grado y se reconocerá como la unidad para medir ángulos”. Se introduce el transportador como herramienta de medición haciendo los señalamientos sobre cómo leerlo y con base en qué elementos se hace la medición (referente de inicio y referente final). Resultará importante que se discuta el “sentido” de la lectura principalmente en el transportador, incluso ejemplificando con ángulos cuyo referente de inicio no sea una línea horizontal.
Para mostrar articulación entre los conceptos y las herramientas formales y lo que ha construido la o el estudiante se recomienda complementar en forma grupal la siguiente tabla (retomada del ejercicio del momento 5, pero incluyendo ahora la medición en grados).
Orientaciones para la evaluación. La evaluación a lo largo de la situación se basa en el manejo apropiado de: • La medición y la relación de las secciones sombreadas por figura geométrica: Cuadrado – esquina de 90° Triángulo isósceles – esquina de 45° Triángulo equilátero – esquina de 60° Triángulo rectángulo – esquina de 30° • El manejo apropiado de las subdivisiones de la circunferencia.
• La distinción entre porción y área. Para evaluar la competencia matemática se sugiere pedir a las y los estudiantes hacer “conjeturas” sobre la medición de situaciones angulares, por ejemplo las esquinas del salón, la abertura de una bisagra o unas tijeras; para valorar que estén reconociendo los elementos que acotan al ángulo si usan las medidas de 30°, 45°, 60° y 90° como referente.
Ejercicios para evaluar el manejo de la noción de ángulo y el reconocimiento de “qué se mide”:
Andrés está jugando con una lámpara encendida y de pronto encuentra un espejo en el que se refleja la luz. Completa el dibujo, usando un segmento de recta que indique en qué dirección debe ir el reflejo
Por cada par de figuras indica, sin usar el transportador, qué afirmación en la última columna es cierta
figurA 1 figurA 2 soBre
1. Ángulo A es mayor que el ángulo B 2. Ángulo B es mayor que el ángulo A 3. Ambos ángulos son iguales
1. Ángulo A es mayor que el ángulo B 2. Ángulo B es mayor que el ángulo A 3. Ambos ángulos son iguales 1. Ángulo A es mayor que el ángulo B 2. Ángulo B es mayor que el ángulo A 3. Ambos ángulos son iguales
Ejercicio para evaluar el reconocimiento de los ángulos y sus medidas en polígonos regulares inscritos en la circunferencia y a partir de los cuales se sugiere desarrollar formalmente el tema:
Sin hacer uso del transportador, determina la medida de los ángulos sombreados en cada figura
Medida del ángulo: ___
Medida del ángulo: ___ Medida del ángulo: ___
“Desarrollar formalmente el tema” comprende la exposición o investigación de definiciones y técnicas matemáticas que darán pie a la generalización de las estrategias que la y el estudiante construyó para el cálculo de la medida de un ángulo.
Ejemplo 5IMPORTANTE
Tercero I y III Resolver problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, validar procedimientos y resultados, ulilizar las técnicas eficientemente. Manejo de la información Nociones de probabilidad • • Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes. Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).
Explica la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. Calcula la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.
Indicaciones: A la y el estudiante se les entregarán los primeros tres momentos, una vez finalizado el ejercicio con éstos, se le proporcionará el cuarto momento. No es oportuno entregarle todo el material al mismo tiempo, debido al contraste que se pretende destacar entre momentos. El último momento es necesario que lo realicen por equipos, los demás quedarán a consideración de la o el docente.
está de vacaciones y desea convivir con sus amigos yendo a nadar el miércoles. Sin
embargo, las predicciones del clima hechas el domingo reportan que las probabilidades de lluvia serán de 50% para el lunes, 25% para el martes y 25 % para el miércoles. Sus padres no lo quieren dejar ir, ya que consideran que el miércoles estará lloviendo. A pesar de la negativa de sus padres, Raúl está buscando una estrategia para convencer a sus padres de que no será así. Si estuvieras en el caso de Raúl ¿qué tipo de argumentación podrías construir para obtener el permiso? Comenta tu estrategia
Orientaciones pedagógicas. Se espera que las y los estudiantes en un primer momento interpreten la información: El lunes 50 % de probabilidades de llover y 50% de no llover. El martes 25% de llover y 75% de no llover. El miércoles 25% de llover y 75% de no llover, por lo que el miércoles se tiene un 75% de probabilidades de que no llueva, que sobrepasa a la mitad, así que es muy probable que no llueva. El hecho de que no podamos saber qué día o no llueve, determina que los eventos sean independientes, sin embargo, habrá que identificar que el tipo de información que se proporciona, está referida a la probabilidad de los días anteriores. Es por ello que uno de los objetivos de este momento es, que la y el estudiante sea capaz de argumentar cómo afecta la información acerca de la probabilidad de lluvia del lunes y martes, en la probabilidad de lluvia del miércoles. En este caso, dado que se trata de eventos independientes y ya se conoce la probabilidad, no existe mayor afectación. Es importante tener en cuenta que el hecho de que un día llueva no garantiza que el siguiente día lloverá y salvo aspectos de tipo físico y climatológico sabremos si el hecho de que un día llueva aumentará o no la probabilidad de que llueva al siguiente día. La o el docente dará oportunidad a que todas y todos propongan sus estrategias y más adelante la o el docente retomará las ideas con la finalidad de introducir la primera noción de eventos independientes.
Uno de los argumentos que le dio su padre para no dejarlo ir fue el hecho de que las probabilidades de lluvia para el lunes, martes y miércoles son 50%, 25% y 25% respectivamente lo que se resume en una probabilidad del 100% de lluvia para los próximos tres días. ¿Consideras que el resultado del clima para el miércoles se comportará como establece el padre de Raúl? ¿Por qué? Comparte y argumenta tu respuesta. Si llovió lunes, martes y miércoles ¿Cuál será la probabilidad de que el jueves llueva?
Orientaciones pedagógicas. En la primera pregunta, se espera que las y los estudiantes argumenten a favor de que el papá de Raúl no está en lo correcto, ya que los eventos son independientes, razón por la cual, no se pueden sumar las probabilidades de los días. En caso de que él o la estudiante consideren que el procedimiento del papá de Raúl es correcto, se espera que al trabajar con el momento 3, cambien su postura. En la segunda pregunta, las y los estudiantes argumentarán acerca de la independencia entre eventos y la predicción de uno futuro. Es decir, si llueve el lunes, martes y miércoles, ¿cómo afecta al hecho de que llueva o no el jueves? Resulta importante no olvidar la particularidad de que los eventos son independientes. El siguiente momento tiene como intención la construcción de la herramienta matemática que permite tanto encontrar y argumentar de forma adecuada la respuesta correcta como poder predecir una probabilidad no dada.
Indicaciones. Si tienes tres urnas organizadas de la siguiente manera: urnA
Si realizas tres extracciones de cada urna. • ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola blanca de la urna 1? • Si la composición de la urna 1 cambia y ahora es de 6 bolas blancas y 6 bolas negras
¿Cambia la probabilidad de sacar una bola blanca? Argumenta tu respuesta.
• ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola blanca de la urna 2? • Si la composición de la urna 2 cambia y ahora es de 4 bolas blancas y 12 bolas negras
¿Cambia la probabilidad de sacar una bola blanca? Fundamenta tu respuesta.
• ¿Cuál es la probabilidad de que saques una bola blanca de la urna 3? Orientaciones pedagógicas. Se espera que la o el estudiante determine que el aumento o disminución de elementos de la urna no cambie la probabilidad de extracción si dicha variación es proporcional a la probabilidad teórica inicial. Para continuar con la construcción de la herramienta es necesario considerar todos los casos posibles para no centrarse únicamente en los casos favorables, para ello es necesario que la o el docente, insista en la importancia de considerar a todos los casos.
El siguiente diagrama representa una rama del árbol, que alude al experimento de extraer
una bola de cada urna, en términos de las probabilidades anteriores. Analiza y discute con tus compañeros, el diagrama. Toma en cuenta que la letra N representa las bolas negras y la letra B representa las bolas blancas.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola blanca en la tercera urna, si ya has sacado una blanca de la primera y una blanca de la segunda? Utiliza la información anterior. Orientaciones pedagógicas. Se espera que los estudiantes, realicen una lectura del diagrama de árbol, con la finalidad de que usen esa herramienta para interpretar información y logren identificar los eventos independientes y como consecuencia la regla del producto. Es importante que la o el profesor oriente a las y los estudiantes al interpretar el diagrama, porque en ocasiones sucede que los estudiantes esperan que el diagrama tenga en su primer nivel 6 ramas, 3 con las bolas blancas y 3 con las bolas negras, lo cual no sucede así, porque lo que se grafica es en términos de probabilidades.
Indicaciones. Observa que la probabilidad de obtener una bola blanca en cada urna son las siguientes: urnAs
ProBABilidAd 3 6 2 8 4 12
La probabilidad de obtener una bola blanca en la tercera urna, si ya has sacado una blanca de la primera y una blanca de la segunda es
Interpretemos la probabilidad de obtener una bola blanca.
Probabilidad de obtener una bola blanca en la urna 1
Probabilidad de obtener una bola blanca en la urna 2
Probabilidad de obtener una bola blanca en la urna 3
Probabilidad de obtener una bola blanca en cada una de las urnas
¿Cuál es la relación que se establece entre las urnas, para obtener la anterior probabilidad? ¿A qué se lo atribuyes? Orientaciones pedagógicas. Se espera que la y el estudiante haga uso de la regla del producto y logre identificar que los eventos son independientes.
Indicaciones. Reflexiona en términos de los tipos de fenómenos, los eventos, las probabilidades, las argumentaciones de los momentos 1 y 3, y realiza una comparación entre ambos. Comenta y compara tus resultados. Orientaciones pedagógicas. Se espera que los y las estudiantes identifiquen que ambos eventos son independientes, y que es posible simular el primer evento con ayuda del segundo, y cómo es que a través de la simulación se puede obtener una mayor información del fenómeno, sin embargo, se considera que dicha identificación puede resultar compleja para
el estudiante, por lo que se recomienda guiar la discusión en estos sentidos.
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