Source: https://es.scribd.com/document/60592890/Analisis-Combinatorio
Timestamp: 2017-05-26 12:02:41+00:00

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Si el índice i es variable desde 1 a n.3.2
1.(n-2). Nos ocuparemos entonces de la correcta aplicación de tales reglas y procedimientos.5! = 6.
II. El desarrollo de una sumatoria se obtiene asignando a i.4! En general: n.. Por ejemplo.(n-1)!= n! Además se define: 0! = 1 y 1! = 1.1 De la definición se deduce que el factorial de un número es igual al producto de dicho número por el factorial del anterior. Matemática 1
...3. cada uno de los sucesivos valores de su rango de variación y sumando los términos así obtenidos.2.2.
Profesor: Javier Trigoso T..
 a y se lee. para indicar la suma: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 escribimos:
del alfabeto griego. sumatoria
de ai con i variando de 1 a 7. Ejemplo 2: n! = 1..n o bien: n! = n. Ejemplo 3: 6! = 6.. la notación es:
y significa la suma abreviada de los n términos: a1 + a2 + a3 + .. como así también de la definición de algunos símbolos que nos servirán en el desarrollo de este capítulo.El símbolo de sumatoria: permite abreviar la notación de una suma cuyos términos admiten cierta ley de formación. + an.5.(n-1). ¿QUE ES EL ANÁLISIS COMBINATORIO?
La combinatoria o análisis combinatorio es la parte de la Matemática que estudia las diferentes maneras en que se pueden formar agrupaciones entre elementos de uno o más conjuntos y como contar ordenadamente su número.4. el símbolo característico es "!".. El analisis combinatorio exige el conocimiento de ciertas reglas y métodos para determinar el número o la manera de formar diferentes grupos con los elementos de un conjunto. I.Factorial de un número: el factorial de un número natural n mayor que uno (1) es igual al producto de los n primeros números naturales.
pueden efectuarse de una o varias maneras. Las operaciones o actividades que se presentan serán designadas como eventos.3
En determinados problemas. Ejemplos:  Señalar las prendas que utiliza una persona para vestirse. a través de líneas de omnibus. entonces la operación que consiste en hacer A o B (no ambas simultáneamente. Ejemplo 1: Javier puede viajar de Lima a Cuzco por vía áerea. se observa que una operación (o actividad) aparece en forma repetitiva y es necesario entonces conocer la cantidad de formas o maneras que se pueda realizar dicha operación. Estas operaciones que señalamos.
. con 5 colores posibles. Para tales casos es útil conocer determinadas técnicas de conteo que facilitaran el cálculo señalado y será el medio adecuado para resolver estos problemas. para encontrar la cantidad de formas.  Escribir una palabra de 6 letras utilizando 4 consonantes y 2 vocales señaladas. usando 2 líneas de transporte áereo o por vía terrestre.  Pintar un dibujo de 2 figuras. sino la una o la otra) podrá ocurrir de (m + n) formas distintas.  Elegir un camino de 10 posibles. se utilizará dos principios fundamentales de conteo:  Principio de Adición.  Principio de Multiplicación.  Ordenar 7 objetos en 10 casilleros. puede realizarse de n maneras diferentes. 1.  Designar 2 delegados de 30 personas. puede realizarse de m maneras diferentes y otra operación o actividad B. ¿De cuántas maneras puede Javier realizar el viaje de Lima a Cuzco?
Profesor: Javier Trigoso T. La regla se puede ampliar a más de dos tareas siempre que no haya dos de ellas que se puedan efectuar simultáneamente. El análisis combinatorio es lo que puede llamarse una forma abreviada de contar. Principio de Adición: Si una operación o actividad A.
para ello puede utilizar 2 botes. y ya no utiliza la terrestre. Para ello debe escoger entre 4 camisetas y 5 pantalones con diferentes colores. o  Por vía aérea. se realiza otra operación o actividad B que puede efectuarse de n maneras diferentes. Como al utilizar una. deja de utilizar la otra. el total de formas es: 2 + 3 + 1 = 6
2. 3 lanchas pequeñas o un deslizador.4 Resolución Según el enunciado Javier puede viajar de Lima a Cuzco de las siguientes formas:  Por vía terrestre. entonces ambas operaciones o actividades podrán efectuarse de (m x n) maneras distintas.
Ejemplo 1: Un equipo de basquet tiene que elegir un nuevo uniforme. ¿Cuántos uniformes distintos se pueden
componer con las camisetas y pantalones disponibles? Resolución Por el principio de multiplicación serán: 4 x 5 = 20 uniformes diferentes. y ya no utiliza la vía aérea. no se realizan simultáneamente. ¿De cuántas formas podrá cruzar Manuel el río utilizando uno de los medios de transporte señalados? Resolución Puede utilizar: 2 botes (2 formas) 3 lanchas (3 formas) 1 deslizador (1 forma)
Como al usar una. puede realizarse de m maneras diferentes y cuando ha sido efectuada por cualquiera de esas maneras.
Profesor: Javier Trigoso T. no necesita utilizar las otras.
. Por el principio de adición: Por vía aérea: 2 formas Podrá viajar de (2 + 3) = 5 formas Por vía terrestre: 3 formas Ejemplo 2: Manuel desea cruzar un río. Principio de Multiplicación: Si una operación o actividad A.
5 Ejemplo 2: ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar con unos y ceros? Resolución Para elegir el primer número sólo tenemos una posibilidad.
MÉTODOS DE CONTEO: En diferentes casos. que se puede obtener con los n objetos está dado por:
Ejemplo 1: ¿Cuántas posibilidades de ubicación tienen cinoc alumnosb al sentarse en cinco sillas colocadas en línea recta? Resolución Es una permutación lineal de cinco elementos tomados de cinco en cinco.2.3. Calculamos el número de posibilidades: P8 = 8! = 8. para tomar diferentes agrupaciones. el número de permutaciones.2. serán llamadas agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición. si todos tienen licencia de conducir? Resolución Es una permutación lineal de ocho elementos tomados de ocho en ocho.3. que se van a distinguir por el orden en que están colocados dichos elementos o por la naturaleza de alguno de ellos.6. PERMUTACIÓN: Se llama así a un arreglo u ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto considerando el orden en que se encuentran. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre sí. representado como Pn. al igual que para la tercera y la cuarta.7. se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos.5. para la segunda tenemos dos posibilidades.1 = 6 840
. ¿De cuántas formas pueden ir.4. 1. luego el número es: 1 x 2 x 2 x 2 = 8. Para n objetos diferentes. Calculamos el número de posibilidades: P5 = 5! = 5. y es el 1.1 = 120
Ejemplo 2 Ocho amigos planean salir de viaje en dos automóviles de modo que irán 4 en cada vehículo.4.
3 amarillas. 01. en un auto de 5 asientos si sólo 2 de ellas saben manejar? 06. Un club tiene 13 miembros de los cuales 6 son hombres. ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse? II. de n elementos está dado por:
Resolución Se deberá de encontrar las diferentes ordenaciones de 4 elementos (niños) alrededor de un centro (mesa). Se quiere tomar una foto a un grupo de 8 alumnos pero en la foto. denotado como Pc. ¿De cuántas. ¿De cuántas maneras distintas puede obtenerse por suma un número mayor que 4? 05. ¿De cuántas. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros (presidente. 3 blancas y 2 rosadas. Se lanza simultáneamente 3 dados de diferente color. ¿De cuántas formas se pueden acomodar y viajar 5 personas de un grupo de 6. ¿Cuántos ramos de 6 rosas se puede formar. de tal manera que tengan por lo menos una rosa de cada color?
2. El número de permutaciones circulares. I. ¿De cuántas maneras se puede tomar dicha foto? 03. sólo pueden aparecer 5 alumnos sentados en línea recta.
. si los hombres se sientan en los extremos? III.6 PARA LA CLASE…. estará dado por:
Profesor: Javier Trigoso T. vicepresidente y vocal) pueden formarse. si las mujeres se sientan siempre juntas? 02. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. Se tiene 3 rosas rojas. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si no es obligatorio utilizar todas las banderas? 07. De un grupo de seis amigos 2 hombres y 4 mujeres van al cine y encuentran una fila libre de seis asientos. PERMUTACIÓN CIRCULAR: Es un arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto alrededor de un objeto (o centro) señalado. si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente tiene que ser hombre? 04.
Ejemplo 2: Alrededor de una torta de cumpleaños. ¿de cuántas maneras se podrán sentar 5 amigas alrededor de una fogata? 09.. ¿De cuántas formas podrán ubicarse. PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: Es un arreglo en el cual no todos los elementos son distintos entre sí. 08. se ubican 6 vasos
diferentes... esta denotado por:
Donde k1 . k3 . ¿De cuántas formas pueden ser ubicados? Resolución
PARA LA CLASE….. k2 . ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar?
7  Se tendrá: P 2.3
Profesor: Javier Trigoso T. ¿De cuántas formas podrán hacerlo si el asiento vacío debe quedar entre las niñas?
3... km es el número de veces que se repite cada elemento.
Ejemplo 1: Con 2 bolas rojas.. si tres de ellas deben estar siempre juntas? 10. esto es.2. En su campamento por Semana Santa..
. hay elementos que se repiten. Seis personas se sientan alrededor de una mesa circular. 2 bolas amarillas y 3 bolas azules. El número de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos. Alrededor de una mesa circular de seis se ubican dos niñas y tres niños.
5 5 C3    10 2!3! 1. la letra A 2 veces y las letras P e I una vez cada una.2
. no necesariamente pronunciables o con sentido. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 chicas en una banca para 7.
Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger 3 niños de un total de 5? Resolución Al señalar que vamos a “escoger”. el número de combinaciones que se pueden obtener agrupando de k en k (k ≤ n). En general con n elementos diferentes. 6!  180 Luego: P6  2. 5! 4.
ningún orden. se pueden formar con todas las letras de la palabra TERREMOTO? 12. si dos de ellas quieren sentarse en los extremos? Podemos señalar que la letra T se repite 2 veces.1 2!2!1!1!
4.2. ¿Cuántas palabras diferentes. estará dado por las permutaciones de n objetos agrupados de k en k. pero dividido entre el número de permutaciones de k elementos que se pueden obtener. 2 contienen tequila y uno contiene vino tinto. indica que no se necesita indicar
Profesor: Javier Trigoso T. luego se trata de combinar 5 elementos. Un barman va a colocar en hilera sobre la barra de un bar: 8 vasos. tomándolos de 3 en 3.1. 5 de los cuales contienen whisky. lo que sí interesa es el grupo formado.COMBINACIÓN: Es una selección o agrupamiento que se puede formar con los elementos de un conjunto (los elementos deben de ser diferentes). ¿De cuántas formas lo podrá ordenar? 13. 11.8 Ejemplo 2: ¿De cuántas formas deferentes se pueden ordenar las letras de la palabra TAPITA? Resolución PARA LA CLASE….
¿Cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos. Carlos y Diego se debe elegir una comisión formada por tres personas. Al final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. Beatriz. Para ir de la ciudad A a la ciudad D hay que pasar por las ciudades B y C a través de las carreteras que se indican en la figura: 02.9 Ejemplo 2: De un grupo de 7 personas se quiere formar una comisión de 3 personas. 14.
PARA LA CASA…. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar dicha comisión? Resolución Digamos que una comisión está formada por Luis. ¿De cuántas formas distintas se puede elegir la comisión? 15. la PARA LA CLASE…. Un producto se vende en 3 mercados en el primero se tienen disponibles 7 tiendas en el segundo en 4 tiendas y en el tercero en 6 tiendas. 01. Luis y José. Entre Ana. Vemos que no interesa el orden.
comisión será la misma a que la nombremos como la integrda por Alberto. si al primero del damos 2. luego se buscará el número de combinaciones de 7 elementos agrupados de 3 en 3. ¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos.2.5   35 4!3! 1. ¿Cuál es el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros
Profesor: Javier Trigoso T. al segundo 3 y el resto al tercer alumno? 16.6. José y Alberto. ¿De cuántas maneras puede adquirir una persona un ejemplar de dicho producto? A) 148 B) 17 C) 168 D) 24 E) 236 03.
En el hipódromo.8y 9 A) 360 B)240 C)180 D) 120 E)90 12.4. 13 rojas y 17 verdes. ¿De cuántas se podrá vestir. sí éstas parejas juegan siempre juntas? A) 120 B) 16 C) 48 D) 144 E) 48 07. Si “Rex” fue descalificado. 2 peruanos. Al lanzar dos dados. ¿De cuántas maneras diferentes. Hay 3 caminos para ir de “x” a “y” . 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sientan juntos? A) 864 B) 1 728 C) 688 D) 892 E) 1 700 06. 7 para ir de “y” a “w” y 5 para ir de “z” a “w”. 12 blancas. Si se disponen de 7 colores distintos. debiendo estar cada uno en hoteles diferentes? A) 60 B) 24 C) 120 D) 720 E) 30 05.10 determinados estén siempre separados entre sí? A) 1 520 B) 1 634 C) 1 440 D) 1 780 E) 1920 04. ¿Cuántos números pares de 4 cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2. ¿De cuántas maneras se podrá hacer el viaje de ida y vuelta. ¿de cuántas maneras puedo obtener lograr una suma igual a 6? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 14. En una bolsa hay 15 bolas azules. Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles. en la primera carrera corren 7 caballos. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos. 8 para ir de “x” a “z”.
09. Para viajar de Miami a Puno se pueden abordar 5 aerolíneas diferentes. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que
. ¿de cuántas maneras distintas pudieron llegar los restantes? A) 24 B) 120 C) 240 D) 480 E) 720 10. Se quiere confeccionar banderas tricolores de franjas horizontales. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular para jugar casino. ¿cuántas banderas se podrán hacer? A) 60 B) 120 C) 144 D) 180 E) 210 11. ¿De cuántas maneras se puede ir de “x” a “w”? A) 59 B) 24 C) 35 D) 61 E) 16 13.7.3. Marita tiene 3 minifaldas y 6 blusas. abordando una aerolínea distinta al regreso? A) 10 B) 8 C) 9 D) 20 E) 25 08. si la minifalda azul siempre debe usarla con la blusa amarilla?
En un cajón se encuentran 3 pares de medias blancas. donde desean acomodarse. Un palco de 4 asientos. piña y mamey. ¿Cuántas elecciones distintas se pueden hacer? A) 21 B) 28 C) 35
Profesor: Javier Trigoso T. Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos juntos. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes podemos acomodar si cada pareja quiere estar junta? A) 2 B) 16 C) 12 D) 8 E) 4 21.11 debe tomar para tener la seguridad de haber extraído un color por completo? A) 48 B) 56 C) 17 D) 55 E) 54 15. ¿Cuál es el menor número de medias que hay que sacar para estar seguro de haber extraído un par de medias del mismo color? A) 4 B) 10 C) 13 D) 3 E) 5 16. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar la palabra EXAMENES si no puede haber dos “E” adyacentes? A) 2 100 B) 2 400 C) 3 200 D) 5 100 E) 5 400 18. inglés. es vendido a 2 parejas. francés. ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? A) 24 B) 60 C) 120 D) 240 E) 360 22. ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? A) 15 B) 36 C) 51 D) 21 E) 27 23. Con las frutas: plátano. Si sólo 2 saben conducir.
20. 2 pares de medias azules y 4 pares de medias marrones. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra “JAPANAJA”? A) 81 B) 840 C) 120 D) 8 E) 64 17. papaya. Si de las 6 primeras preguntas deben contestar por lo menos 5. melón. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? A) 13 B) 10 C) 25 D) 32 E) 31 19. portugués y alemán?
. Hay 7 candidatos. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10. en una misma fila. ¿Cuántos diccionarios bilingües hay que editar si consideramos los idiomas: español. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado de la otra? A) 10 B) 16 C) 18 D) 15 E) 12 24.
com/sapini/docs
Profesor: Javier Trigoso T. Luis. ¿Cuántas palabras diferentes que terminen en “O” pueden obtenerse con las letras de la palabra “MÉDICO”. Si necesita 7 colillas para hacer un cigarrillo. Se desea elegir un presidente. 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? A) 420 B) 280 C) 288 D) 840 E) 2 800
http://issuu. 2 mujeres y un niño de modo que a la derecha e izquierda del niño se encuentre siempre una mujer? A) 12 B) 18 C) 8 D) 36 E) 24 27. hace cigarrillos con las colillas que recoge del suelo. vice-presidente.12 A) 2 D) 9 B) 5 E) 7 C) 10 28. La condición es que el tesorero sea una dama y el secretario un varón y nadie puede ocupar más de un cargo. Se tiene una mesa redonda en la cual se pueden sentar 5 mujeres y 5 hombres. En una reunión hay 40 damas y 20 varones. tesorero y un secretario. ¿De cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres? A) 576 B) 625 C) 480 D) 25 E) 24 26. ¿De cuántas maneras diferentes se puede verter una persona que tiene 6 ternos (2 iguales). 2 pares de zapatos. 5 pares de medias (3 iguales). ¿De cuántas formas se pueden sentar en una fila de 5 asientos: 2 hombres. ¿Cuántos hará con 49 colillas? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 9 29. sin que se repita ninguna palabra y sin importar si las palabras tienen o no sentido? A) 6 B) 24 C) 48 D) 120 E) 146 30.
. Entonces el número de maneras en que puede elegirse ese grupo directivo es igual a: A) 2 644 800 B) 2 844 600 C) 2 866 400 D) 3 088 400 E) 3 244 800
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