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Timestamp: 2018-11-17 16:53:39+00:00

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Gottlob Frege: Grundgesetze d. Arithmetik, Bd.1 preface1
Man findet in diesem Buche Lehrsätze, auf denen die Arithmetik beruht, mit Zeichen bewiesen, deren Ganzes ich Begriffsschrift nenne. Die wichtigsten dieser Sätze sind am Ende zum Theil mit angefügter Uebersetzung zusammengestellt. Wie man sieht, sind die negativen, gebrochenen, irrationalen und Ersetzung von - nnd - durch - und - [Fehlertyp: orth | Rev.: thiel]# complexen Zahlen hier noch von der Betrachtung ausgeschlossen, ebenso auch Addition, Multiplication u. s. w. Auch die Sätze von den Anzahlen sind noch nicht in der zuerst geplanten Vollständigkeit vorhanden. Insbesondere fehlt noch der Satz, dass die Anzahl der unter einen Begriff fallenden Gegenstände endlich ist, wenn die Anzahl der Gegenstände endlich ist, die unter einen übergeordneten Begriff fallen. Aeussere Gründe haben mich bestimmt, dies, sowie die Behandlung der ändern Zahlen und der Rechnungsarten einer Fortsetzung vorzubehalten, deren Erscheinen von der Aufnahme abhängig sein wird, die dieser erste Band findet. Was ich hier geboten habe, mag hinreichen, von meiner Weise eine Vorstellung zu geben. Man könnte meinen, dass die Sätze über die Anzahl Endlos 1 hätten fehlen können. Zur Begründung der Arithmetik im hergebrachten Umfange sind sie allerdings nicht nöthig; aber ihre Ableitung ist meist einfacher als die der entsprechenden Sätze für endliche Anzahlen und kann als Vorbereitung für sie dienen. Noch kommen Sätze vor, die nicht von Anzahlen handeln, die aber zu den Beweisen gebraucht werden. Sie handeln z. B. vom Folgen in einer Reihe, von der Eindeutigkeit von Beziehungen, von zusammengesetzten und gekoppelten Beziehungen, von der Abbildung durch Beziehungen u. dergl. Diese Sätze könnte man vielleicht einer erweiterten Combinationslehre zuweisen. Die Beweise sind allein in den mit „Aufbau“ überschriebenen Paragraphen enthalten, während die mit „Zerlegung“ überschriebenen das Verständniss erleichtern sollen, indem sie vorläufig den Gang des Beweises in groben Umrissen vorzeichnen. Die Beweise selbst enthalten keine Worte, sondern sind allein mit meinen Zeichen geführt. Sie stellen sich dem Auge dar als eine Reihe von Formeln, die durch ausgezogene oder
unterbrochene Striche oder andere Zeichen getrennt sind. Jede dieser Formeln ist ein vollständiger Satz mit allen Bedingungen, die zu seiner Gültigkeit nothwendig sind. Diese Vollständigkeit, welche stillschweigend hinzuzudenkende Voraussetzungen nicht duldet, scheint mir für die Strenge der Beweisführung unentbehrlich zu sein. Der Fortschritt von einem Satze zum nächsten geht nach den Regeln vor sich, die im § 48 zusammengestellt sind, und kein Uebergang geschieht, der nicht diesen Regeln gemäss wäre. Wie und nach welcher Regel die Folgerung gemacht wird, deutet das zwischen den Formeln stehende Zeichen an, während −−−− • −−−− eine Schlusskette abschliesst. Es muss hierbei Sätze geben, die nicht aus andern abgeleitet werden. Solche sind theils die Grundgesetze, die ich im § 47 zusammengestellt habe, theils die Definitionen, die man am Ende in einer Tafel vereinigt findet mit Hinweis auf die Stellen, wo sie zuerst vorkommen. Bei einer Fortsetzung dieses Unternehmens wird immer wieder das Bedürfniss von Definitionen hervortreten. Die Grundsätze, die dabei maassgebend sein müssen, sind im § 33 aufgeführt. Die Definitionen sind nicht eigentlich schöpferisch und dürfen es, wie ich glaube, nicht sein; sie führen nur abkürzende Bezeichnungen (Namen) ein, die entbehrt werden könnten, wenn nicht sonst die Weitläufigkeit unüberwindliche äussere Schwierigkeiten machte. Das Ideal einer streng wissenschaftlichen Methode der Mathematik, das ich hier zu verwirklichen gestrebt habe, und das wohl nach Euklid benannt werden könnte, möchte ich so schildern. Dass Alles bewiesen werde, kann zwar nicht verlangt werden, weil es unmöglich ist; aber man kann fordern, dass alle Sätze, die man braucht, ohne sie zu beweisen, ausdrücklich als solche ausgesprochen werden, damit man deutlich erkenne, worauf der ganze Bau beruhe. Es muss danach gestrebt werden, die Anzahl dieser Urgesetze möglichst zu verringern, indem man Alles beweist, was beweisbar ist. Ferner, und darin gehe ich über Euklid hinaus, verlange ich, dass alle Schluss- und Folgerungsweisen, die zur Anwendung kommen, vorher aufgeführt werden. Sonst ist die Erfüllung jener ersten Forderung nicht sicher zu stellen. Dieses Ideal glaube ich nun im Wesentlichen erreicht zu haben. Nur in wenig Punkten könnte man noch strengere Anforderungen stellen. Um mir mehr Beweglichkeit zu sichern und nicht in übermässige Breite zu verfallen, habe ich mir erlaubt, von der Vertauschbarkeit der Unterglieder (Bedingungen) und von der Verschmelzbarkeit gleicher Unterglieder stillschweigend Gebrauch zu machen, und habe die Schluss- und Folgerungsweisen nicht auf die geringste Zahl zurückgeführt. Wer mein Büchlein Begriffsschrift kennt, wird daraus entnehmen können, wie man auch hierin den strengsten Anforderungen genügen könnte, zugleich aber auch, dass dies eine beträchtliche Zunahme des Umfanges nach sich zöge. Im Uebrigen, glaube ich, werden die Ausstellungen, die man mit Recht
bei diesem Buche machen kann, nicht die Strenge betreffen, sondern nur die Wahl des Beweisganges und der Zwischenstufen. Oft stehen mehre Wege offen, einen Beweis zu führen; ich habe sie nicht alle zu betreten versucht, und so ist es möglich, ja wahrscheinlich, dass ich nicht immer den kürzesten gewählt habe. Wer in dieser Hinsicht etwas zu tadeln hat, der mache es besser. Ueber Anderes wird sich streiten lassen. Einige würden vielleicht vorgezogen haben, den Umkreis der zugelassenen Schluss-und Folgerungsweisen weiter zu ziehen und dadurch grössere Beweglichkeit und Kürze zu erzielen. Aber irgendwo muss man hier Halt machen, wenn man überhaupt mein aufgestelltes Ideal billigt, und wo man auch Halt macht, würden immer Leute sagen können: es wäre besser gewesen, noch mehr Schlussweisen zuzulassen. Durch die Lückenlosigkeit der Schlussketten wird erreicht, dass jedes Axiom, jede Voraussetzung, Hypothese, oder wie man es sonst nennen will, auf denen ein Beweis beruht, ans Licht gezogen wird; und so gewinnt man eine Grundlage für die Beurtheilung der erkenntnisstheoretischen Natur des bewiesenen Gesetzes. Es ist zwar schon vielfach ausgesprochen worden, dass die Arithmetik nur weiter entwickelte Logik sei; aber das bleibt solange bestreitbar, als in den Beweisen Uebergänge vorkommen, die nicht nach anerkannten logischen Gesetzen geschehn, sondern auf einem anschauenden Erkennen zu beruhen scheinen. Erst wenn diese Uebergänge in einfache logische Schritte zerlegt sind, kann man sich überzeugen, dass nichts als Logik zu Grunde liegt. Ich habe Alles zusammengestellt, was die Beurtheilung erleichtern kann, ob die Schlussketten bündig und die Widerlager fest sind. Wenn etwa jemand etwas fehlerhaft finden sollte, muss er genau angeben können, wo der Fehler seiner Meinung nach steckt: in den Grundgesetzen, in den Definitionen, in den Regeln oder ihrer Anwendung an einer bestimmten Stelle. Wenn man Alles in Ordnung findet, so kennt man damit die Grundlagen genau, auf denen jeder einzelne Lehrsatz beruht. Ein Streit kann hierbei, soviel ich sehe, nur um mein Grundgesetz der Werthverläufe (V) entbrennen, das von den Logikern vielleicht noch nicht eigens ausgesprochen ist, obwohl man danach denkt, z. B. wenn man von Begriffsumfängen redet. Ich halte es für rein logisch. Jedenfalls ist hiermit die Stelle bezeichnet, wo die Entscheidung fallen muss. Mein Zweck erfordert manche Abweichungen von dem, was in der Mathematik üblich ist. Die Anforderungen an die Strenge der Beweisführung haben eine grössere Länge zur unausweichlichen Folge. Wer dies nicht im Auge hat, wird sich in der That wundern, wie umständlich hier oft ein Satz bewiesen wird, den er in einer einzigen Erkenntnissthat unmittelbar einzusehen glaubt. Besonders wird dies auffallen, wenn man die Schrift des Herrn Dedekind Was sind und was sollen die Zahlen? vergleicht, das Gründlichste, was mir in der letzten Zeit über die Grundlegung der Arithmetik zu Gesicht gekommen ist. Sie verfolgt auf einem weit
kleineren Raume die Gesetze der Arithmetik weit höher hinauf, als es hier geschieht. Diese Kürze wird freilich nur dadurch erreicht, dass Vieles überhaupt nicht eigentlich bewiesen wird. Herr Dedekind sagt oft nur, dass der Beweis aus den und den Sätzen folge; er gebraucht Pünktchen, wie in „M(A, B, C, …)“; nirgends ist bei ihm eine Zusammenstellung der von ihm zu Grunde gelegten logischen oder andern Gesetze zu finden, und wenn sie da wäre, hätte man keine Möglichkeit, zu prüfen, ob wirklich keine andern angewendet wären; denn dazu müssten die Beweise nicht nur angedeutet, sondern lückenlos ausgeführt sein. Auch Herr Dedekind ist der Meinung, dass die Lehre von den Zahlen ein Theil der Logik sei; aber seine Schrift trägt kaum dazu bei, diese Meinung zu erhärten, weil die von ihm angewendeten Ausdrücke „System“, „ein Ding gehört zu einem Dinge“ in der Logik nicht üblich sind und nicht auf anerkannt Logisches zurückgeführt werden. Ich sage dies nicht als Vorwurf; denn sein Verfahren mag für ihn das zweckdienlichste gewesen sein; ich sage es nur, um meine Absicht durch den Gegensatz in helleres Licht zu setzen. Die Länge eines Beweises soll man nicht mit der Elle messen. Man kann ja leicht einen Beweis auf dem Papiere kurz erscheinen lassen, indem man viele Zwischenglieder in der Schlusskette überspringt und manches nur andeutet. Man begnügt sich ja meistens damit, dass jeder Schritt im Beweise als richtig einleuchte, und das darf man auch, wenn man nur von der Wahrheit des zu beweisenden Satzes überzeugen will. Wenn es sich aber darum handelt, eine Einsicht in die Natur dieses Einleuchtens zu vermitteln, genügt dies Verfahren nicht, sondern man muss alle Zwischenstufen hinschreiben, um das volle Licht des Bewusstseins auf sie fallen zu lassen. Den Mathematikern kommt es ja gewöhnlich nur auf den Inhalt des Satzes an, und dass er bewiesen werde. Hier ist das Neue nicht der Inhalt des Satzes, sondern wie der Beweis geführt wird, auf welche Grundlagen er sich stützt. Dass dieser wesentlich verschiedene Gesichtspunkt auch eine andere Behandlungsweise erfordert, darf nicht befremden. Wenn man einen unserer Sätze in üblicher Weise ableitet, wird leicht ein Satz übersehen werden, der zum Beweise unnöthig zu sein scheint. Bei genauer Durchdenkung meines Beweises wird man, glaube ich, denn doch seine Unentbehrlichkeit einsehen, wenn man nicht etwa einen ganz andern Weg einschlagen will. So findet man auch vielleicht in unsern Sätzen hier und da Bedingungen, die zuerst als unnöthig auffallen, die sich aber doch als nothwendig erweisen, oder wenigstens nur mit einem eigens zu beweisenden Satze entfernt werden können. Ich führe hiermit ein Vorhaben aus, das ich schon bei meiner Begriffsschrift vom Jahre 1879 im Auge gehabt und in meinen Grundlagen der Arithmetik vom Jahre 1884 angekündigt habe1. Ich will hier durch die
That die Ansicht über die Anzahl bewähren, die ich in dem zuletzt genannten Buche dargelegt habe. Das Grundlegende meiner Ergebnisse sprach ich dort im § 46 so aus, dass die Zahlangabe eine Aussage von einem Begriffe enthalte; und darauf beruht hier die Darstellung. Wenn jemand anderer Ansicht ist, so versuche er es, darauf eine folgerechte und brauchbare Darstellung durch Zeichen zu gründen, und er wird sehn, dass es nicht geht. In der Sprache ist die Sachlage freilich nicht so durchsichtig; aber wenn man genau zusieht, findet man, dass auch hier bei einer Zahlangabe immer ein Begriff genannt wird, nicht eine Gruppe, ein Aggregat oder dergl., und dass, wo dies doch einmal vorkommen sollte, die Gruppe oder das Aggregrat immer durch einen Begriff bestimmt ist, d. h. durch die Eigenschaften, die ein Gegenstand haben muss, um zu der Gruppe zu gehören, während das, was die Gruppe zur Gruppe, das System zum System macht, die Beziehungen der Glieder zu einander, für die Anzahl völlig gleichgültig ist. Der Grund, warum die Ausführung so spät nach der Ankündigung erscheint, liegt zum Theil in innern Umwandlungen der Begriffsschrift, die mich zur Verwerfung einer handschriftlich fast schon vollendeten Arbeit genöthigt haben. Diese Fortschritte mögen hier kurz erwähnt werden. Die in meiner Begriffsschrift verwendeten Urzeichen kommen hier mit einer Ausnahme wieder vor. Statt der drei parallelen Striche habe ich nämlich das gewöhnliche Gleichheitszeichen gewählt, da ich mich überzeugt habe, dass es in der Arithmetik grade die Bedeutung hat, die auch ich bezeichnen will. Ich gebrauche nämlich das Wort „gleich“ in derselben Bedeutung wie „zusammenfallend mit“ oder „identisch mit“, und so wird das Gleichheitszeichen auch in der Arithmetik wirklich gebraucht. Der Widerspruch, der sich etwa hiergegen erhebt, wird wohl auf mangelhafter Unterscheidung von Zeichen und Bezeichnetem, beruhen. Freilich ist in der Gleichung ‚22=2+2‘ das links stehende Zeichen verschieden von dem rechts stehenden; aber beide bezeichnen oder bedeuten dieselbe Zahl1. Zu den alten Urzeichen sind nun noch zwei hinzugekommen: der Spiritus lenis zur Bezeichnung des Werthverlaufs einer Function und ein Zeichen, das den bestimmten Artikel der Sprache vertreten soll. Die Einführung der Werthverläufe der Functionen ist ein wesentlicher Fortschritt, dem eine weit grössere Beweglichkeit zu verdanken ist. Die früheren abgeleiteten Zeichen können nun durch andere, und zwar einfachere ersetzt werden, obwohl die Definitionen der Eindeutigkeit einer Beziehung, des Folgens in einer Reihe, der Abbildung im Wesentlichen dieselben sind, die ich theils in meiner Begriffsschrift, theils in meinen Grundlagen der Arithmetik gegeben habe. Die
Werthverläufe haben aber auch eine grosse grundsätzliche Wichtigkeit; definire ich doch die Anzahl selbst als einen Begriffsumfang, und Begriffsumfänge sind nach meiner Bestimmung Werthverläufe. Ohne diese wäre also gar nicht auszukommen. Die alten äusserlich unverändert wieder auftretenden Urzeichen, deren Algorithmus sich auch kaum geändert hat, sind doch mit andern Erklärungen versehen worden. Der frühere Inhaltsstrich erscheint als Wagerechter wieder. Das sind Folgen einer eingreifenden Entwickelung meiner logischen Ansichten. Ich hatte früher in dem, dessen äussere Form ein Behauptungssatz ist, zweierlei unterschieden: 1) die Anerkennung der Wahrheit, 2) den Inhalt, der als wahr anerkannt wird. Den Inhalt nannte ich beurtheilbaren Inhalt. Dieser ist mir nun zerfallen in das, was ich Gedanken, und das, was ich Wahrheitswerth nenne. Das ist die Folge der Unterscheidung von Sinn und Bedeutung eines Zeichens. In diesem Falle ist der Sinn des Satzes der Gedanke und seine Bedeutung der Wahrheitswerth. Dazu kommt dann noch die Anerkennung, dass der Wahrheitswerth das Wahre sei. Ich unterscheide nämlich zwei Wahrheitswerthe: das Wahre und das Falsche. Dies habe ich in meinem oben erwähnten Aufsatze über Sinn und Bedeutung eingehender begründet. Hier mag nur erwähnt werden, dass die ungerade Rede nur so richtig aufgefasst werden kann. Der Gedanke nämlich, der sonst Sinn des Satzes ist, wird in der ungeraden Rede seine Bedeutung. Wieviel einfacher und schärfer durch die Einführung der Wahrheitswerthe Alles wird, kann nur eine eingehende Beschäftigung mit diesem Buche lehren. Diese Vortheile allein schon legen ein grosses Gewicht in die Wagschale zu Gunsten meiner Auffassung, die freilich auf den ersten Blick befremden mag. Auch ist das Wesen der Function im Unterschiede vom Gegenstande schärfer als in meiner Begriffsschrift gekennzeichnet. Daraus ergiebt sich weiter die Unterscheidung der Functionen erster und zweiter Stufe. Wie ich in meinem Vortrage über Function und Begriff1 ausgeführt habe, sind Begriffe und Beziehungen Functionen in der von mir erweiterten Bedeutung dieses Wortes, und so haben wir auch Begriffe erster und zweiter Stufe, gleichstufige und ungleichstufige Beziehungen zu unterscheiden. Wie man sieht, sind die Jahre nicht vergebens seit dem Erscheinen meiner Begriffsschrift und meiner Grundlagen verflossen: sie haben das Werk gereift. Aber grade das, was ich als wesentlichen Fortschritt erkenne, steht, wie ich mir nicht verhehlen kann, der Verbreitung und der Wirksamkeit meines Buches als grosses Hemmniss im Wege. Und worin ich seinen Werth nicht zum geringsten Theile sehe, die strenge Lückenlosigkeit der Schlussketten wird ihm, wie ich fürchte, wenig Dank einbringen. Ich habe mich von den hergebrachten Auffassungsweisen weiter
entfernt und dadurch meinen Ansichten ein paradoxes Gepräge aufgedrückt. Leicht wird ein Ausdruck, der hier oder da beim flüchtigen Durchblättern aufstösst, befremdlich erscheinen und ein ungünstiges Vorurtheil erzeugen. Ich selbst kann ja das Widerstreben einigermaassen abschätzen, dem meine Neuerungen begegnen werden, weil ich selbst ein ähnliches erst in mir überwinden musste, um sie zu machen. Denn nicht aufs Gerathewohl und aus Neuerungssucht, sondern durch die Sache selbst gedrängt, bin ich dahin gelangt. Hiermit komme ich auf den zweiten Grund der Verspätung: die Muthlosigkeit, die mich zeitweilig überkam angesichts der kühlen Aufnahme, oder besser gesagt, des Mangels an Aufnahme meiner oben genannten Schriften bei den Mathematikern 1 und der Ungunst der wissenschaftlichen Strömungen, gegen die mein Buch zu kämpfen haben wird. Schon der erste Eindruck muss abschrecken: unbekannte Zeichen, seitenlang nur fremdartige Formeln. So habe ich mich denn zu Zeiten andern Gegenständen zugewendet. Aber auf die Dauer konnte ich doch die Ergebnisse meines Denkens, die mir werthvoll schienen, nicht in meinem Pulte verschliessen, und die aufgewendete Arbeit forderte immer neue Arbeit, um nicht vergeblich zu sein. So liess mich die Sache nicht los. In einem Falle wie hier, wo der Werth eines Buches durch flüchtiges Durchlesen nicht erkannt werden kann, sollte die Kritik helfend einspringen. Aber sie wird im Allgemeinen zu schlecht bezahlt. Ein Kritiker wird nie hoffen können, für die Mühe, die ein gründliches Durcharbeiten dieses Buches in Aussicht stellt, in Geld entschädigt zu werden. Mir bleibt nur übrig zu hoffen, jemand möge von vorneherein soviel Vertrauen zu der Sache schöpfen, dass er in dem innern Gewinn eine hinreichende Belohnung erwartet, und er werde dann das Ergebniss seiner reiflichen Prüfung der Oeffentlichkeit Ersetzung von - Oeffentlickeit - durch - Oeffentlichkeit - [Fehlertyp: orth | Rev.: bonn]# übergeben. Nicht, als ob mich nur eine lobende Besprechung befriedigen könnte; im Gegentheil! eine auf gründlicher Kenntnissnahme gestützte Bekämpfung kann mir nur lieber sein als ein Lob, das sich in allgemeinen Wendungen ergeht, ohne den Kern der Sache zu berühren. Einem Leser, der mit solchen Absichten an das Buch herantritt, möchte ich hier durch einige Winke die Arbeit erleichtern. Um vorerst eine ungefähre Vorstellung zu gewinnen, wie ich mit meinen Zeichen Gedanken ausdrücke, wird es dienlich sein, in der Tafel der wichtigeren Lehrsätze einige der einfacheren näher zu betrachten, denen eine Uebersetzung angehängt ist. Man wird dann auch errathen können, was andere jenen ähnliche besagen wollen, denen keine Uebersetzung folgt. Darauf möge man mit der Einleitung anfangen und die Darlegung der Begriffsschrift in Angriff nehmen. Doch rathe ich, zunächst nur flüchtige Kenntniss davon
zu nehmen und sich bei einzelnen Bedenken nicht zu lange aufzuhalten. Einige Betrachtungen mussten zwar aufgenommen werden, um allen Einwänden begegnen zu können, sind aber für das Verständniss der Begriffsschriftsätze unwesentlich. Ich rechne dahin die zweite Hälfte des § 8, die auf S. 12 mit den Worten „Wenn wir nun erklären“ beginnt, ferner die zweite Hälfte des § 9, die auf S. 15 mit den Worten „Wenn ich allgemein sage“ beginnt, und den ganzen § 10. Diese Stellen mögen beim ersten Lesen ganz überschlagen werden. Dasselbe gilt von den § 26 und 28 bis 32. Dagegen möchte ich als für das Verständniss besonders wichtig die erste Hälfte des § 8, ferner die § 12 und 13 hervorheben. Ein genaueres Durchlesen möge mit §34 beginnen und bis zum Schlusse andauern. Man wird dann gelegentlich auf die nur flüchtig gelesenen § zurückkommen müssen. Das Wörterverzeichniss am Schlusse und das Inhaltsverzeichniss werden das erleichtern. Die Ableitungen in den § 49 bis 62 können als Vorbereitung für das Verständniss der Beweise selbst dienen. Alle Weisen des Folgerns und Schliessens und fast alle der Anwendungen unserer Grundgesetze kommen hier schon vor. Nachdem man so bis ans Ende gelangt ist, möge man die Darlegung der Begriffsschrift noch einmal im Zusammenhange und vollständig lesen und sich dabei vor Augen halten, dass die Festsetzungen, die später nicht gebraucht werden und darum unnöthig scheinen, zur Durchführung des Grundsatzes dienen, dass alle rechtmässig gebildeten Zeichen etwas bedeuten sollen, eines Grundsatzes, der für die volle Strenge wesentlich ist. So wird, glaube ich, das Misstrauen allmählich schwinden, das meine Neuerungen zunächst erwecken mögen. Der Leser wird erkennen, dass meine Grundsätze nirgends zu Folgerungen führen, die er nicht selbst als richtig anerkennen muss. Vielleicht wird er dann auch zugeben, dass er die Arbeit zuerst überschätzt hatte, dass mein sprungloses Vorgehen doch auch wieder das Verständniss erleichtert, nachdem einmal das in der Neuheit der Zeichen liegende Hinderniss überwunden ist. Möge es mir glücken, einen solchen Leser und Beurtheiler zu finden! denn eine auf oberflächlicher Durchsicht gegründete Anzeige könnte leicht mehr schaden als nützen. Sonst sind die Aussichten meines Buches freilich gering. Jedenfalls müssen alle Mathematiker aufgegeben werden, die beim Aufstossen von logischen Ausdrücken, wie „Begriff“, „Beziehung“, „Urtheil“ denken: metaphysica sunt, non leguntur! und ebenso die Philosophen, die beim Anblicke einer Formel ausrufen: mathematica sunt, non leguntur! und sehr wenige mögen das nicht sein. Vielleicht ist die Zahl der Mathematiker überhaupt nicht gross, die sich um die Grundlegung ihrer Wissenschaft bemühen, und auch diese scheinen oft grosse Eile zu haben, bis sie die Anfangsgründe hinter sich haben. Und ich wage kaum zu hoffen, dass meine Gründe für die peinliche Strenge und damit verbundene Breite viele von ihnen überzeugen werden. Hat doch das einmal Hergebrachte grosse
Macht über die Gemüther. Wenn ich die Arithmetik mit einem Baume vergleiche, der sich oben in eine Mannichfaltigkeit von Methoden und Lehrsätzen entfaltet, während die Wurzel in die Tiefe strebt, so scheint mir der Wurzeltrieb, in Deutschland wenigstens, schwach zu sein. Selbst in einem Werke, das man dieser Richtung zuzählen möchte, der Algebra der Logik des Herrn E. Schröder, gewinnt doch bald der Wipfeltrieb wieder die Oberhand, bevor noch eine grössere Tiefe erreicht ist, bewirkt ein Umbiegen nach oben und eine Entfaltung in Methoden und Lehrsätze. Ungünstig für mein Buch ist auch die weit verbreitete Neigung, nur das Sinnliche als vorhanden anzuerkennen. Was nicht mit den Sinnen wahrgenommen werden kann, sucht man zu leugnen oder doch zu übersehen. Nun sind die Gegenstände der Arithmetik, die Zahlen unsinnlicher Art; wie findet man sich damit ab? Sehr einfach! man erklärt die Zahlzeichen für die Zahlen. In den Zeichen hat man dann etwas Sichtbares, und das ist ja doch die Hauptsache. Freilich haben die Zeichen ganz andere Eigenschaften als die Zahlen selbst; aber was thut’s? Man dichtet ihnen die gewünschten Eigenschaften durch sogenannte Definitionen einfach an. Wie freilich eine Definition statthaben kann, wo gar kein Zusammenhang zwischen Zeichen und Bezeichnetem in Frage kommt, ist ein Räthsel. Man knetet Zeichen und Bezeichnetes möglichst ununterscheidbar zusammen; jenachdem es erforderlich ist, kann man dann die Existenz mit Hinweis auf die Greifbarkeit behaupten1, oder die eigentlichen Zahleigenschaften hervorkehren. Zuweilen scheint man die Zahlzeichen wie Schachfiguren anzusehen und die sogenannten Definitionen als Spielregeln. Das Zeichen bezeichnet dann nichts, sondern ist die Sache selbst. Eine Kleinigkeit übersieht man freilich dabei, dass wir nämlich mit ‚32+42=52‘ einen Gedanken ausdrücken, während eine Stellung von Schachfiguren nichts besagt. Wo man sich mit solchen Oberflächlichkeiten zufrieden giebt, ist für eine tiefere Auffassung freilich kein Boden. Es kommt hier darauf an, sich klar zu machen, was Definiren ist und was dadurch erreicht werden kann. Man scheint ihm vielfach eine schöpferische Kraft zuzutrauen, während doch dabei weiter nichts geschieht, als dass etwas abgrenzend hervorgehoben und mit einem Namen bezeichnet wird. Wie der Geograph kein Meer schafft, wenn er Grenzlinien zieht und sagt: den von diesen Linien begrenzten Theil der Wasserfläche will ich Gelbes Meer nennen, so kann auch der Mathematiker durch sein Definiren nichts eigentlich schaffen. Man kann auch nicht einem Dinge durch blosse Definition eine Eigenschaft anzaubern, die es nun einmal nicht hat, es sei denn die eine, nun so zu heissen, wie man es etwa benannt hat. Dass aber ein
eirundes Gebilde, das man mit Tinte auf Papier hervorbringt, durch eine Definition die Eigenschaft erhalten sollte, zu Eins addirt, Eins zu ergeben, kann ich nur für einen wissenschaftlichen Aberglauben halten. Ebensogut könnte man durch blosse Definition einen faulen Schüler fleissig machen. Unklarheit entsteht hier leicht durch die mangelnde Unterscheidung von Begriff und Gegenstand. Wenn man sagt: „Quadrat ist ein Rechteck, in dem zusammenstossende Seiten gleich sind“, so definirt man den Begriff Quadrat, indem man angiebt, welche Eigenschaften etwas haben muss, um unter diesen Begriff zu fallen. Diese Eigenschaften nenne ich Merkmale des Begriffes. Aber, wohl gemerkt, diese Merkmale des Begriffes sind nicht seine Eigenschaften. Der Begriff Quadrat ist nicht ein Rechteck, nur die Gegenstände, die etwa unter diesen Begriff fallen, sind Rechtecke, wie auch der Begriff schwarzes Tuch weder schwarz noch ein Tuch ist. Ob es solche Gegenstände giebt, ist durch die Definition unmittelbar noch nicht bekannt. Nun will man z. B. die Zahl Null definiren, indem man sagt: sie ist etwas, was, zu Eins addirt, Eins ergiebt. Damit hat man einen Begriff definirt, indem man angegeben hat, welche Eigenschaft ein Gegenstand haben muss, um unter den Begriff zu fallen. Aber diese Eigenschaft ist nicht Eigenschaft des definirten Begriffes. Wie es scheint, bildet man sich nun vielfach ein, man habe durch die Definition etwas geschaffen, was, zu Eins addirt, Eins ergiebt. Grosse Täuschung! Weder hat der definirte Begriff diese Eigenschaft noch leistet die Definition Gewähr dafür, dass der Begriff erfüllt sei. Das bedarf erst einer Untersuchung. Erst wenn man bewiesen hat, dass es einen Gegenstand und nur einen einzigen von der verlangten Eigenschaft giebt, ist man in der Lage, diesen Gegenstand mit dem Eigennamen „Null“ zu belegen. Die Null zu schaffen, ist also unmöglich. Solches ist von mir schon wiederholt dargelegt worden, aber, wie es scheint, ohne Erfolg1. Auch bei der herrschenden Logik wird auf kein Verständniss für den Unterschied zu hoffen sein, den ich zwischen dem Merkmal eines Begriffes und der Eigenschaft eines Gegenstandes mache2; denn sie scheint durch und durch psychologisch verseucht zu sein. Wenn man statt der Dinge selbst nur ihre subjectiven Abbilder, die Vorstellungen betrachtet, gehen natürlich alle feinern sachlichen Unterschiede verloren, und es treten dafür andere auf, die logisch völlig werthlos sind. Und damit komme ich auf das zu sprechen, was der Wirkung meines Buches bei den Logikern im Wege steht. Es ist der verderbliche Einbruch der Psychologie in die Logik. Entscheidend für die Behandlung dieser Wissenschaft muss die Auffassung der logischen Gesetze sein, und das hängt wieder damit zusammen, wie
man das Wort „wahr“ versteht. Dass die logischen Gesetze Richtschnuren für das Denken sein sollen zur Erreichung der Wahrheit, wird zwar vorweg allgemein zugegeben; aber es geräth nur zu leicht in Vergessenheit. Der Doppelsinn des Wortes „Gesetz“ ist hier verhängnissvoll. In dem einen Sinne besagt es, was ist, in dem andern schreibt es vor, was sein soll. Nur in diesem Sinne können die logischen Gesetze Denkgesetze genannt werden, indem sie festsetzen, wie gedacht werden soll. Jedes Gesetz, das besagt, was ist, kann aufgefasst werden als vorschreibend, es solle im Einklänge damit gedacht werden, und ist also in dem Sinne ein Denkgesetz. Das gilt von den geometrischen und physikalischen nicht minder als von den logischen. Diese verdienen den Namen „Denkgesetze“ nur dann mit mehr Recht, wenn damit gesagt sein soll, dass sie die allgemeinsten sind, die überall da vorschreiben, wie gedacht werden soll, wo überhaupt gedacht wird. Aber das Wort „Denkgesetz“ verleitet zu der Meinung, diese Gesetze regierten in derselben Weise das Denken, wie die Naturgesetze die Vorgänge in der Aussenwelt. Dann können sie nichts anderes als psychologische Gesetze sein; denn das Denken ist ein seelischer Vorgang. Und wenn die Logik mit diesen psychologischen Gesetzen zu thun hätte, so wäre sie ein Theil der Psychologie. Und so wird sie in der That aufgefasst. Als Richtschnuren können diese Denkgesetze dann in der Weise aufgefasst werden, dass sie einen mittlern Durchschnitt angeben, ähnlich wie man sagen kann, wie die gesunde Verdauung beim Menschen vor sich geht, oder wie man grammatisch richtig spricht, oder wie man sich modern kleidet. Man kann dann nur sagen: nach diesen Gesetzen richtet sich im Durchschnitt das Fürwahrhalten der Menschen, jetzt und soweit die Menschen bekannt sind; wenn man also mit dem Durchschnitte im Einklang bleiben will, richte man sich nach ihnen. Aber, wie das, was heute modern ist, nach einiger Zeit nicht mehr modern sein wird und bei den Chinesen jetzt nicht modern ist, so kann man die psychologischen Denkgesetze auch nur mit Einschränkungen als maassgebend hinstellen. Ja, wenn es sich in der Logik um das Fürwahrgehaltenwerden handelte, und nicht vielmehr um das Wahrsein! Und das verwechseln die psychologischen Logiker. So setzt Herr B. Erdmann im ersten Bande seiner Logik1 S. 272 bis S. 275 die Wahrheit mit Allgemeingültigkeit gleich und gründet diese auf die Allgemeingewissheit des Gegenstandes, von dem geurtheilt wird, und diese wieder auf die allgemeine Uebereinstimmung der Urtheilenden. So wird denn schliesslich die Wahrheit auf das Fürwahrhalten der Einzelnen zurückgeführt. Dem gegenüber kann ich nur sagen: Wahrsein ist etwas anderes als Fürwahrgehaltenwerden, sei es von Einem, sei es von Vielen, sei es von Allen, und ist in keiner Weise darauf zurückzuführen. Es ist kein Widerspruch, dass etwas
wahr ist, was von Allen für falsch gehalten wird. Ich verstehe unter logischen Gesetzen nicht psychologische Gesetze des Fürwahrhaltens, sondern Gesetze des Wahrseins. Wenn es wahr ist, dass ich dies am 13. Juli 1893 in meiner Stube schreibe, während draussen der Wind heult, so bleibt es wahr, auch wenn alle Menschen es später für falsch halten sollten. Wenn so das Wahrsein unabhängig davon ist, dass es von irgendeinem anerkannt wird, so sind auch die Gesetze des Wahrseins nicht psychologische Gesetze, sondern Grenzsteine in einem ewigen Grunde befestigt, von unserm Denken überfluthbar zwar, doch nicht verrückbar. Und weil sie das sind, sind sie für unser Denken maassgebend, wenn es die Wahrheit erreichen will. Sie stehen nicht in dem Verhältnisse zum Denken, wie die grammatischen Gesetze zur Sprache, so dass sie das Wesen unseres menschlichen Denkens zum Ausdruck brächten und sich mit ihm änderten. Ganz anders ist natürlich die Auffassung der logischen Gesetze bei Herrn Erdmann. Dieser bezweifelt ihre unbedingte, ewige Geltung und will sie einschränken auf unser Denken, wie es jetzt ist (S. 375 ff.). „Unser Denken“ kann doch wohl nur heissen das Denken der bis jetzt bekannten Menschheit. Danach bliebe die Möglicheit offen, dass Menschen oder sonstige Wesen entdeckt würden, die unsern logischen Gesetzen widersprechende Urtheile vollziehen könnten. Wenn das nun geschähe? Herr Erdmann würde sagen: Da sehen wir, dass jene Grundsätze nicht überall gelten. Gewiss! wenn sie psychologische Gesetze sein sollen, muss ihr Wortausdruck die Gattung von Wesen kenntlich machen, deren Denken erfahrungsmässig durch sie beherrscht wird. Ich würde sagen: Es giebt also Wesen, welche gewisse Wahrheiten nicht wie wir unmittelbar erkennen, sondern vielleicht auf den langwierigem Weg der Induction angewiesen sind. Wie aber, wenn sogar Wesen gefunden würden, deren Denkgesetze den unsern geradezu widersprächen und also auch in der Anwendung vielfach zu entgegengesetzten Ergebnissen führten? Der psychologische Logiker könnte das nur einfach anerkennen und sagen: Bei denen gelten jene Gesetze, bei uns diese. Ich würde sagen: Da haben wir eine bisher unbekannte Art der Verrücktheit. Wer unter logischen Gesetzen solche versteht, die vorschreiben, wie gedacht werden soll, oder Gesetze des Wahrseins, nicht Naturgesetze des menschlichen Fürwahrhaltens, der wird fragen: wer hat Recht? wessen Gesetze des Fürwahrhaltens sind im Einklange mit den Gesetzen des Wahrseins? Der psychologische Logiker kann nicht so fragen; denn er erkennte damit Gesetze des Wahrseins an, die nicht psychologisch wären. Kann man ärger den Sinn des Wortes „wahr“ fälschen, als wenn man eine Beziehung auf den Urtheilenden einschliessen will! Man wirft mir doch nicht etwa ein, dass der Satz „ich bin hungrig“ für den Einen wahr und für den Andern falsch sein könne? Der Satz wohl, aber der Gedanke nicht; denn das Wort „ich“ bedeutet in dem Munde des Andern einen andern Menschen,
und daher drückt auch der Satz, von dem Andern ausgesprochen, einen andern Gedanken aus. Alle Bestimmungen des Orts, der Zeit u. s. w. gehören zu dem Gedanken, um dessen Wahrheit es sich handelt; das Wahrsein selbst ist ort- und zeitlos. Wie lautet nun eigentlich der Grundsatz der Identität? etwa so: „Den Menschen ist es im Jahre 1893 unmöglich, einen Gegenstand als von ihm selbst verschieden anzuerkennen“ oder so: „Jeder Gegenstand ist mit sich selbst identisch“? Jenes Gesetz handelt von Menschen und enthält eine Zeitbestimmung, in diesem ist weder von Menschen noch von einer Zeit die Rede. Dieses ist ein Gesetz des Wahrseins, jenes eines des menschlichen Fürwahrhaltens. Ihr Inhalt ist ganz verschieden, und sie sind von einander unabhängig, so dass keins von beiden aus dem andern gefolgert werden kann. Darum ist es sehr verwirrend, beide mit demselben Namen des Grundgesetzes der Identität zu bezeichnen. Solche Vermischungen grundverschiedener Dinge sind Schuld an der gräulichen Unklarheit, die wir bei den psychologischen Logikern antreffen. Die Frage nun, warum und mit welchem Rechte wir ein logisches Gesetz als wahr anerkennen, kann die Logik nur dadurch beantworten, dass sie es auf andere logische Gesetze zurückführt. Wo das nicht möglich ist, muss sie die Antwort schuldig bleiben. Aus der Logik heraustretend kann man sagen: wir sind durch unsere Natur und die äussern Umstände zum Urtheilen genöthigt, und wenn wir urtheilen, können wir dieses Gesetz — der Identität z. B. — nicht verwerfen, wir müssen es anerkennen, wenn wir nicht unser Denken in Verwirrung bringen und zuletzt auf jedes Urtheil verzichten wollen. Ich will diese Meinung weder bestreiten noch bestätigen und nur bemerken, dass wir hier keine logische Folgerung haben. Nicht ein Grund des Wahrseins wird angegeben, sondern unseres Fürwahrhaltens. Und ferner: diese Unmöglichkeit, die für uns besteht, das Gesetz zu verwerfen, hindert uns zwar nicht, Wesen anzunehmen, die es verwerfen; aber sie hindert uns, anzunehmen, dass jene Wesen darin Recht haben; sie hindert uns auch, daran zu zweifeln, ob wir oder jene Recht haben. Wenigstens gilt das von mir. Wenn Andere es wagen, in einem Athem ein Gesetz anzuerkennen und es zu bezweifeln, so erscheint mir das als ein Versuch, aus der eignen Haut zu fahren, vor dem ich nur dringend warnen kann. Wer einmal ein Gesetz des Wahrseins anerkannt hat, der hat damit auch ein Gesetz anerkannt, das vorschreibt, wie geurtheilt werden soll, wo immer, wann immer und von wem immer geurtheilt werden mag. Ueberblicke ich das Ganze, so scheint mir die verschiedene Auffassung des Wahren als Ursprung des Streites. Für mich ist es etwas Objectives, von dem Urtheilenden Unabhängiges, für psychologische Logiker ist es das nicht. Was Herr B. Erdmann „objective Gewissheit“ nennt,
ist nur eine allgemeine Anerkennung der Urtheilenden, die also von diesen nicht unabhängig ist, sondern sich mit deren seelischer Natur ändern kann. Wir können das noch allgemeiner fassen: ich erkenne ein Gebiet des Objectiven, Nichtwirklichen an, während die psychologischen Logiker das Nichtwirkliche ohne weiteres für subjectiv halten. Und doch ist gar nicht einzusehen, warum das, was einen vom Urtheilenden unabhängigen Bestand hat, wirklich sein, d. h. doch wohl fähig sein müsse, unmittelbar oder mittelbar auf die Sinne zu wirken. Ein solcher Zusammenhang zwischen den Begriffen ist nicht zu entdecken. Man kann sogar Beispiele anführen, die das Gegentheil zeigen. Die Zahl Eins z. B. wird man nicht leicht für wirklich halten, wenn man nicht Anhänger von J. St. Mill ist. Andrerseits ist es unmöglich, jedem Menschen seine eigne Eins zuzuweisen; denn dann müsste erst untersucht werden, wie weit die Eigenschaften dieser Einsen übereinstimmten. Und wenn der Eine sagte „einmal Eins ist Eins“ und der Andere „einmal Eins ist Zwei“, so könnte man nur die Verschiedenheit feststellen und sagen: deine Eins hat jene Eigenschaft, meine diese. Von einem Streite, wer Recht hätte, oder von einem Belehrungsversuche könnte nicht die Rede sein; denn dazu fehlte die Gemeinsamkeit des Gegenstandes. Offenbar ist dies dem Sinne des Wortes „Eins“ und dem Sinne des Satzes „einmal Eins ist Eins“ ganz zuwider. Da die Eins, als dieselbe für Alle, Allen in gleicher Weise gegenübersteht, kann sie ebensowenig wie der Mond durch psychologische Beobachtung erforscht werden. Mag es immerhin Vorstellungen von der Eins in den einzelnen Seelen geben, so sind diese doch von der Eins ebenso zu unterscheiden wie die Vorstellungen des Mondes von dem Monde selbst. Weil die psychologischen Logiker die Möglichkeit des objectiven Nichtwirklichen verkennen, halten sie die Begriffe für Vorstellungen und weisen sie damit der Psychologie zu. Aber die wahre Sachlage macht sich doch zu mächtig geltend, als dass dies leicht durchzuführen wäre. Und daher kommt ein Schwanken in den Gebrauch des Wortes „Vorstellung“, indem es bald etwas zu bedeuten scheint, was dem Seelenleben des Einzelnen angehört und nach psychologischen Gesetzen mit andern Vorstellungen verschmilzt, sich mit ihnen associirt, bald etwas Allen gleicherweise Gegenüberstehendes, bei dem ein Vorstellender weder genannt noch auch nur vorausgesetzt wird. Diese beiden Gebrauchsweisen sind unvereinbar; denn jene Associationen, Verschmelzungen gehen nur im einzelnen Vorstellenden vor sich und gehen nur an etwas vor sich, was diesem Vorstellenden ganz so eigenthümlich zugehört, wie seine Freude oder sein Schmerz es thut. Man darf nie vergessen, dass die Vorstellungen verschiedener Menschen, wie ähnlich sie auch sein mögen, was übrigens von uns nicht genau festzustellen ist, doch nicht in eine zusammenfallen, sondern zu unterscheiden sind. Jeder hat seine Vorstellungen, die nicht zugleich die eines Andern sind. Hier verstehe ich natürlich „Vorstellung“ im psychologischen Sinne. Der
schwankende Gebrauch dieses Wortes bewirkt Unklarheit und hilft den psychologischen Logikern ihre Schwäche verbergen. Wann wird man dem endlich einmal ein Ende machen! So wird schliesslich Alles in das Bereich der Psychologie hineingezogen; die Grenze zwischen Objectivem und Subjectivem verschwindet mehr und mehr, und selbst wirkliche Gegenstände werden als Vorstellungen psychologisch behandelt. Denn was ist wirklich anders als ein Prädicat? und was sind logische Prädicate anders als Vorstellungen? So mündet denn Alles in den Idealismus und bei grösster Folgerichtigkeit in den Solipsismus ein. Wenn jeder mit dem Namen „Mond“ etwas Anderes bezeichnete, nämlich eine seiner Vorstellungen, etwa so, wie er mit dem Ausrufe „au!“ seinen Schmerz äusserte, so wäre freilich die psychologische Betrachtungsweise gerechtfertigt; aber ein Streit über die Eigenschaften des Mondes wäre gegenstandslos: der Eine könnte von seinem Monde ganz gut das Gegentheil von dem behaupten, was der Andere mit demselben Rechte von seinem sagte. Wenn wir nichts erfassen könnten, als was in uns selbst ist, so wäre ein Widerstreit der Meinungen, eine gegenseitige Verständigung unmöglich, weil ein gemeinsamer Boden fehlte, und ein solcher kann keine Vorstellung im Sinne der Psychologie sein. Es gäbe keine Logik, die berufen wäre, Schiedsrichterin im Streite der Meinungen zu sein. Doch, um nicht den Schein zu erwecken, als kämpfte ich gegen Windmühlen, will ich an einem bestimmten Buche das unrettbare Versinken in den Idealismus zeigen. Ich wähle dazu die oben erwähnte Logik des Herrn B. Erdmann als eins der neuesten Werke der psychologischen Richtung, dem man auch nicht jede Bedeutsamkeit wird absprechen wollen. Sehen wir uns zunächst folgenden Satz an (I, S. 85): „So belehrt die Psychologie mit Sicherheit, dass die Gegenstände der Erinnerung und der Einbildung sowie diejenigen des krankhaften hallucinatorischen und illusionären Vorstellens idealer Natur sind .... Ideal ist ferner das ganze Gebiet der eigentlich mathematischen Vorstellungen, von der Zahlenreihe bis hinab zu den Gegenständen der Mechanik.“ Welche Zusammenstellung! Die Zahl Zehn soll also auf einer Stufe mit Hallucinationen stehen! Hier wird offenbar das objective Unwirkliche mit dem Subjectiven vermengt. Einiges Objective ist wirklich, anderes nicht. Wirklich ist nur eines von vielen Prädicaten und geht die Logik gar nicht näher an, als etwa das Prädicat algebraisch von einer Curve ausgesagt. Natürlich verwickelt sich Herr Erdmann durch diese Vermengung in die Metaphysik, wie sehr er sich auch davon frei zu halten strebt. Ich halte es für ein sicheres Anzeichen eines Fehlers, wenn die Logik Metaphysik und Psychologie nöthig hat, Wissenschaften, die selber der logischen Grundsätze bedürfen. Wo ist denn hier der eigentliche Urboden, auf dem Alles ruht? oder ist es wie bei Münchhausen, der sich am eignen Schopfe aus dem Sumpfe zog? Ich zweifle stark an der Mög-
lichkeit und vermuthe, dass Herr Erdmann im psychologisch-metaphysischen Sumpfe stecken bleibt. Eine eigentliche Objectivität giebt es für Herrn Erdmann nicht; denn Alles ist Vorstellung. Ueberzeugen wir uns davon an der Hand seiner eignen Aussagen! Wir lesen auf S. 187 des ersten Bandes: „Als eine Beziehung zwischen Vorgestelltem setzt das Urteil mindestens zwei Beziehungspunkte voraus, zwischen denen sie stattfindet. Als Aussage über Vorgestelltes fordert es, dass der eine dieser Beziehungspunkte als der Gegenstand, von dem ausgesagt wird, das Subjekt …, der zweite als der Gegenstand, der ausgesagt wird, das Prädikat … bestimmt werde“. Wir sehen hier zunächst, dass sowohl das Subject, von dem ausgesagt wird, als auch das Prädicat als Gegenstand oder Vorgestelltes bezeichnet wird. Statt „der Gegenstand“ hätte hier wohl „das Vorgestellte“ gesagt werden können; wir lesen nämlich (I, S. 81): „Denn die Gegenstände sind Vorgestelltes.“ Aber auch umgekehrt soll alles Vorgestellte Gegenstand sein. Auf S. 38 heisst es: „Seinem Ursprunge nach zerfällt das Vorgestellte einesteils in Gegenstände der Sinneswahrnehmung und des Selbstbewusstseins, andererseits in ursprüngliche und abgeleitete.“ Was aus der Sinneswahrnehmung und aus dem Selbstbewusstsein entspringt, ist doch wohl seelischer Natur. Die Gegenstände, das Vorgestellte und damit auch Subject und Prädicat werden hierdurch der Psychologie zugewiesen. Das wird durch folgende Stelle (I, S. 147 u. 148) bestätigt: „Es ist das Vorgestellte oder die Vorstellung überhaupt. Denn beide sind ein und dasselbe: das Vorgestellte ist Vorstellung, die Vorstellung Vorgestelltes.“ Das Wort „Vorstellung“ wird ja nun meist im psychologischen Sinne genommen; dass dies auch der Brauch des Herrn Erdmann ist, sehen wir aus den Stellen: „Bewusstsein ist demnach das Allgemeine zu Fühlen, Vorstellen, Wollen“ (S. 35) und „Das Vorstellen setzt sich zusammen aus den Vorstellungen . . . und den Vorstellungsverläufen“ (S. 36). Danach dürfen wir uns nicht wundern, dass ein Gegenstand auf psychologischem Wege entsteht: „Sofern eine Perceptionsmasse … früheren Reizen und den durch sie ausgelösten Erregungen Gleiches darbietet, reproducirt sie die Gedächtnisresiduen, welche jenem Gleichen der früheren Reize entstammen, und verschmilzt mit ihnen zu dem Gegenstande der appercipirten Vorstellung“ (I, S. 42). Auf S. 43 wird dann beispielsweise gezeigt, wie ohne Stahlplatte, Schwärze, Presse und Papier auf rein psychologischem Wege ein Stahlstich der sixtinischen Madonna von Raphaël zu Stande kommt. Nach dem
Allen kann kein Zweifel sein, dass der Gegenstand, von dem ausgesagt wird, das Subject eine Vorstellung im psychologischen Sinne des Wortes nach Herrn Erdmanns Meinung sein soll, ebenso wie das Prädicat, der Gegenstand, der ausgesagt wird. Wenn das richtig wäre, so könnte von keinem Subjecte mit Wahrheit ausgesagt werden, es sei grün; denn grüne Vorstellungen giebt es nicht. Ich könnte auch von keinem Subjecte aussagen, es sei unabhängig vom Vorgestelltwerden oder von mir, dem Vorstellenden, ebensowenig, wie meine Entschlüsse von meinem Wollen und von mir, dem Wollenden, unabhängig sind, sondern mit mir vernichtet würden, wenn ich vernichtet würde. Eine eigentliche Objectivität giebt es also für Herrn Erdmann nicht, wie auch daraus hervorgeht, dass er das Vorgestellte oder die Vorstellung überhaupt, den Gegenstand im allgemeinsten Sinne des Wortes als höchste Gattung (γενιχώτατον, genus summum) hinstellt (S. 147). Er ist also Idealist. Wenn die Idealisten folgerecht dächten, so würden sie den Satz „Karl der Grosse besiegte die Sachsen“ weder für wahr noch für falsch, sondern für Dichtung ausgeben, wie wir gewohnt sind, etwa den Satz „Nessus trug die Deïanira über den Fluss Euenus“ aufzufassen; denn auch der Satz „Nessus trug die Deïanira nicht über den Fluss Euenus“ könnte nur wahr sein, wenn der Name „Nessus“ einen Träger hätte. Von diesem Standpunkte wären die Idealisten wohl nicht leicht zu vertreiben. Aber das braucht man sich nicht gefallen zu lassen, dass sie den Sinn des Satzes in der Weise fälschen, als ob ich von meiner Vorstellung etwas aussagen wollte, wenn ich von Karl, dem Grossen spreche; ich will doch einen von mir und meinem Vorstellen unabhängigen Mann bezeichnen und von diesem etwas aussagen. Man kann den Idealisten zugeben, dass die Erreichung dieser Absicht nicht völlig sicher ist, dass ich vielleicht damit, ohne es zu wollen, aus der Wahrheit in die Dichtung verfalle. Damit kann aber an dem Sinne nichts geändert werden. Mit dem Satze „dieser Grashalm ist grün“ sage ich nichts von meiner Vorstellung aus; ich bezeichne keine meiner Vorstellungen mit den Worten „dieser Grashalm“, und wenn ich es thäte, so wäre der Satz falsch. Da tritt nun eine zweite Fälschung ein, dass nämlich meine Vorstellung des Grünen ausgesagt werde von meiner Vorstellung dieses Grashalms. Ich wiederhole: von meinen Vorstellungen ist in diesem Satze durchaus nicht die Rede; man schiebt einen ganz andern Sinn unter. Beiläufig bemerkt, verstehe ich gar nicht, wie überhaupt eine Vorstellung von etwas ausgesagt werden könne. Ebenso wäre es eine Fälschung, wenn man sagen wollte, in dem Satze „der Mond ist unabhängig von mir und meinem Vorstellen“ werde meine Vorstellung des Unabhängigseins von mir und meinem Vorstellen ausgesagt von meiner Vorstellung des Mondes. Damit wäre ja die Objectivität im eigentlichen Sinne des Wortes preisgegeben und etwas ganz anderes an die Stelle geschoben. Es ist ja möglich, dass bei der Urtheilsfällung solches Spiel
der Vorstellungen vorkommt; aber das ist nicht der Sinn des Satzes. Man wird auch wohl beobachten können, dass bei demselben Satze und bei demselben Sinne des Satzes das Spiel der Vorstellungen ganz verschieden sein kann. Und diese logisch gleichgültige Begleiterscheinung nehmen unsere Logiker für den eigentlichen Gegenstand ihrer Forschung. Wie begreiflich wehrt sich die Natur der Sache gegen das Versinken in den Idealismus, und Herr Erdmann möchte nicht zugeben, dass es für ihn keine eigentliche Objectivität gebe; aber ebenso begreiflich ist die Vergeblichkeit dieses Bemühens. Denn wenn alle Subjecte und alle Prädicate Vorstellungen sind und wenn alles Denken nichts ist als Erzeugen, Verbinden, Verändern von Vorstellungen, so ist nicht einzusehen, wie jemals etwas Objectives erreicht werden könne. Ein Anzeichen dieses vergeblichen Sträubens ist schon der Gebrauch der Wörter „Vorgestelltes“ und „Gegenstand“, die zunächst etwas Objectives im Gegensatz zur Vorstellung bezeichnen zu wollen scheinen, aber auch nur scheinen; denn es zeigt sich, dass sie dasselbe bedeuten. Wozu nun dieser Ueberfluss von Ausdrücken? Das ist nicht schwer zu errathen. Man bemerke auch, dass von einem Gegenstande der Vorstellung die Rede ist, obwohl der Gegenstand selber Vorstellung sein soll. Das wäre also eine Vorstellung der Vorstellung. Welche Beziehung von Vorstellungen soll hiermit bezeichnet werden? So unklar dies auch ist, so verständlich ist es doch auch, wie durch das Gegeneinanderarbeiten der Natur der Sache und des Idealismus solche Strudel entstehen können. Wir sehen hier überall den Gegenstand, von dem ich mir eine Vorstellung mache, mit dieser Vorstellung verwechselt und dann doch wieder die Verschiedenheit hervortreten. Diesen Widerstreit erkennen wir auch in folgendem Satze: „Denn eine Vorstellung, deren Gegenstand allgemein ist, ist deshalb als solche, als Bewusstseinsvorgang, so wenig allgemein, wie eine Vorstellung selbst real ist, weil ihr Gegenstand als real gesetzt ist, oder wie ein Gegenstand, den wir als süss … empfinden, durch Vorstellungen gegeben ist, die selbst süss … sind“ (I, S. 86). Hier macht sich die wahre Sachlage mit Macht geltend. Fast könnte ich dem beistimmen; aber bemerken wir, dass nach den Erdmann’schen Grundsätzen der Gegenstand einer Vorstellung und der Gegenstand, der durch Vorstellungen gegeben ist, selber Vorstellungen sind, so sehen wir, dass alles Sperren umsonst ist. Ich bitte noch die Worte „als solche“ im Gedächtnisse zu behalten, die ähnlich auch auf S. 83 in folgender Stelle vorkommen: „Wo von einem Gegenstande die Wirklichkeit ausgesagt wird, ist das sachliche Subjekt dieses Urteils nicht der Gegenstand oder das Vorgestellte als solches, sondern vielmehr das Transscendente, das als die Seinsgrundlage dieses Vorgestellten vorausgesetzt wird, in dem Vorgestellten sich darstellt. Das Transscendente soll dabei nicht als das Uner-
kennbare … angenommen werden, sondern seine Transscendenz soll nur in der Unabhängigkeit vom Vorgestelltwerden bestehen.“ Wieder ein vergeblicher Versuch, sich aus dem Sumpfe herauszuarbeiten! Nehmen wir die Worte ernst, so ist gesagt, dass in diesem Falle das Subject keine Vorstellung ist. Wenn solches aber möglich ist, so ist nicht abzusehen, warum bei ändern Prädicaten, die besondere Weisen der Wirksamkeit oder Wirklichkeit angeben, das sachliche Subject durchaus eine Vorstellung sein müsse, z. B. in dem Urtheile „die Erde ist magnetisch“. Und so kämen wir denn dahin, dass nur in wenigen Urtheilen das sachliche Subject eine Vorstellung wäre. Wenn aber einmal zugegeben ist, dass es weder für das Subject, noch für das Prädicat wesentlich ist, Vorstellung zu sein, so ist der ganzen psychologischen Logik der Boden unter den Füssen weggezogen. Alle psychologischen Betrachtungen, von denen unsere Logikbücher jetzt anschwellen, erweisen sich dann als zwecklos. Aber wir dürfen wohl die Transscendenz bei Herrn Erdmann gar nicht so ernst nehmen. Ich brauche ihn nur an seinen Ausspruch (I, S. 148) zu erinnern: „Der höchsten Gattung untersteht auch die metaphysische Grenze unseres Vorstellens, das Transscendente“, und er versinkt; denn diese höchste Gattung (γενιχώτατον, genus summum) ist ja nach ihm das Vorgestellte oder die Vorstellung überhaupt. Oder sollte oben das Wort „Transscendentes“ in einem andern Sinne gebraucht sein als hier? In jedem Falle, sollte man denken, müsste das Transscendente der höchsten Gattung unterstehen. Verweilen wir noch etwas bei dem Ausdrucke „als solches“! Ich setze den Fall, jemand wolle mir einbilden, dass alle Gegenstände nichts seien als Bilder auf der Netzhaut meines Auges. Nun gut! ich antworte noch nichts. Nun behauptet er aber weiter, der Thurm sei grösser als das Fenster, durch das ich ihn zu sehen meine. Da würde ich denn doch sagen: entweder sind nicht beide, der Thurm und das Fenster, Netzhautbilder in meinem Auge, dann mag der Thurm grösser sein als das Fenster; oder der Thurm und das Fenster sind, wie du sagst, Bilder auf meiner Netzhaut; dann ist der Thurm nicht grösser, sondern kleiner als das Fenster. Nun sucht er sich mit dem „als solches“ aus der Verlegenheit zu ziehen und sagt: das Netzhautbild des Thurmes als solches ist allerdings nicht grösser, als das des Fensters. Da möchte ich denn doch fast aus der Haut fahren und rufe ihm zu: nun dann ist das Netzhautbild des Thurmes überhaupt nicht grösser als das des Fensters, und wenn der Thurm das Netzhautbild des Thurmes und das Fenster das Netzhautbild des Fensters wäre, so wäre eben der Thurm nicht grösser als das Fenster, und wenn deine Logik dich anders lehrt, so taugt sie nichts. Dieses „als solches“ ist eine vortreffliche Erfindung für unklare Schriftsteller, die weder ja noch nein sagen wollen. Aber dieses Schweben zwischen beiden
lasse ich mir nicht gefallen, sondern ich frage: wenn von einem Gegenstande die Wirklichkeit ausgesagt wird, ist dann das sachliche Subject des Urtheils die Vorstellung, ja oder nein? Wenn nicht, so ist es wohl das Transscendente, das als Seinsgrundlage dieser Vorstellung vorausgesetzt wird. Aber dies Transscendente ist selber Vorgestelltes oder Vorstellung. So werden wir weiter getrieben zu der Annahme, nicht das vorgestellte Transscendente sei Subject des Urtheils, sondern das Transscendente, das als Seinsgrundlage dieses vorgestellten Transscendenten vorausgesetzt werde. So müssten wir immer weitergehen; wie weit wir aber auch gingen, wir kämen so nie aus dem Subjectiven heraus. Dasselbe Spiel könnten wir übrigens auch beim Prädicate anfangen, und nicht nur beim Prädicate wirklich, sondern ebensogut etwa bei süss. Wir sagten dann zunächst: wenn von einem Gegenstande die Wirklichkeit oder die Süssheit ausgesagt wird, so ist das sachliche Prädicat nicht die vorgestellte Wirklichkeit oder Süssheit, sondern das Transscendente, das als Grundlage dieses Vorgestellten vorausgesetzt wird. Damit kämen wir aber nicht zur Ruhe, sondern würden rastlos weitergetrieben. Was ist hieraus zu lernen? Dass die psychologische Logik auf einem Holzwege ist, wenn sie Subject und Prädicat der Urtheile als Vorstellungen im Sinne der Psychologie auffasst, dass psychologische Betrachtungen in der Logik ebensowenig angebracht sind, wie in der Astronomie oder Geologie. Wenn wir überhaupt aus dem Subjectiven herauskommen wollen, so müssen wir das Erkennen auffassen als eine Thätigkeit, die das Erkannte nicht erzeugt, sondern das schon Vorhandene ergreift. Das Bild des Ergreifens ist recht geeignet, die Sache zu erläutern. Wenn ich einen Bleistift ergreife, so geht dabei in meinem Leibe mancherlei vor: Nervenerregungen, Veränderungen der Spannung und des Druckes von Muskeln, Sehnen und Knochen, Veränderungen der Blutbewegung. Aber die Gesammtheit dieser Vorgänge ist weder der Bleistift, noch erzeugt sie ihn. Dieser besteht unabhängig von diesen Vorgängen. Und es ist wesentlich für das Ergreifen, dass etwas da ist, was ergriffen wird; die innern Veränderungen allein sind das Ergreifen nicht. So besteht auch das, was wir geistig erfassen, unabhängig von dieser Thätigkeit. von den Vorstellungen und deren Veränderungen, die zu diesem Erfassen gehören oder es begleiten, ist weder die Gesammtheit dieser Vorgänge, noch wird es durch sie als Theil unseres seelischen Lebens erzeugt. Sehen wir nun noch, wie sich den psychologischen Logikern feinere sachliche Unterschiede verwischen. Bei Merkmal und Eigenschaft ist das schon erwähnt worden. Hiermit hängt der von mir betonte Unterschied von Gegenstand und Begriff zusammen, sowie der von Begriffen erster und zweiter Stufe. Diese Unterschiede sind den psychologischen Logikern natürlich unerkennbar; bei ihnen ist eben Alles Vorstellung. Damit fehlt
ihnen auch die richtige Auffassung der Urtheile, die wir im Deutschen mit „es giebt“ aussprechen. Diese Existenz wird von Herrn B. Erdmann (Logik I, S. 311) mit Wirklichkeit zusammengeworfen, die, wie wir sahen, auch von Objectivität nicht deutlich unterschieden wird. Von welchem Dinge behaupten wir denn eigentlich, dass es wirklich sei, wenn wir sagen, es gebe Quadratwurzeln aus Vier? Etwa von der Zwei oder von -2? aber weder die eine noch die andere wird hier in irgend einer Weise genannt. Und wenn ich sagen wollte, die Zahl Zwei wirke oder sei wirksam oder wirklich, so wäre das falsch und ganz verschieden von dem, was ich mit dem Satze „es giebt Quadratwurzeln aus Vier“ sagen will. Die hier vorliegende Verwechselung ist beinahe die gröbste, die überhaupt möglich ist; denn sie geschieht nicht mit Begriffen derselben Stufe, sondern ein Begriff erster wird mit einem Begriffe zweiter Stufe vermengt. Für die Stumpfheit der psychologischen Logik ist dies bezeichnend. Wenn man allgemeiner einen etwas freieren Standpunkt gewonnen haben wird, mag man sich wundern, dass ein solcher Fehler von einem Logiker von Fach begangen werden konnte; aber erst muss man freilich den Unterschied zwischen Begriffen erster und zweiter Stufe erfasst haben, ehe man die Grösse dieses Fehlers ermessen kann, und dazu wird die psychologische Logik wohl unfähig sein. Was dabei am meisten im Wege steht, ist, dass ihre Vertreter sich auf die psychologische Vertiefung Wunder was zu Gute thun, die doch nichts ist als psychologische Verfälschung der Logik. Und so kommen denn unsere dicken Logikbücher zu Stande, aufgedunsen von ungesundem psychologischen Fette, das alle feineren Formen verhüllt. So wird ein fruchtbares Zusammenwirken von Mathematikern und Logikern unmöglich gemacht. Während der Mathematiker Gegenstände, Begriffe und Beziehungen definirt, belauscht der psychologische Logiker das Werden und den Wandel der Vorstellungen, und im Grunde kann ihm das Definiren des Mathematikers nur thöricht erscheinen, weil es das Wesen der Vorstellung nicht wiedergiebt. Er schaut in seinen psychologischen Guckkasten und sagt zum Mathematiker: ich sehe von dem Allen nichts, was du da definirst. Und der kann nur antworten: kein Wunder! denn wo du suchst, da ist es nicht. Dies mag genügen, um meinen logischen Standpunkt durch den Gegensatz in helleres Licht zu setzen. Der Abstand von der psychologischen Logik scheint mir so himmelweit, dass keine Aussicht ist, jetzt schon durch mein Buch auf sie zu wirken. Es kommt mir vor, als müsste der von mir gepflanzte Baum eine ungeheure Steinlast heben, um sich Raum und Licht zu schaffen. Und doch möchte ich die Hoffnung nicht ganz aufgeben, mein Buch möchte später dazu helfen, die psychologische Logik umzustürzen. Dazu wird ihm einige Anerkennung bei den Mathematikern wohl nicht fehlen dürfen, die jene nöthigen wird, sich mit ihm abzufinden. Und ich glaube einigen Beistand von dieser Seite erwarten zu können;
haben die Mathematiker doch im Grunde gegen die psychologischen Logiker eine gemeinsame Sache zu führen. Sobald sich diese nur erst herablassen werden, sich ernsthaft mit meinem Buche zu beschäftigen, wenn auch nur, um es zu widerlegen, glaube ich gewonnen zu haben. Denn der ganze Abschnitt II ist eigentlich eine Probe auf meine logischen Ueberzeugungen. Es ist von vornherein unwahrscheinlich, dass ein solcher Bau sich auf einem unsichern, fehlerhaften Grunde aufführen lassen sollte. Jeder, der andere Ueberzeugungen hat, kann ja versuchen, auf ihnen einen ähnlichen Bau zu errichten, und er wird, glaube ich, inne werden, dass es nicht geht, oder dass es wenigstens nicht so gut geht. Und nur das würde ich als Widerlegung anerkennen können, wenn jemand durch die That zeigte, dass auf andern Grundüberzeugungen ein besseres, haltbareres Gebäude errichtet werden könnte, oder wenn mir jemand nachwiese, dass meine Grundsätze zu offenbar falschen Folgesätzen führten. Aber das wird Keinem gelingen. Und so möge denn dies Buch, wenn auch spät, zu einer Erneuerung der Logik beitragen. Jena im Juli 1893. G. Frege.
1 Anzahl einer abzählbar unendlichen Menge.
1 Man vergleiche die Einleitung und die § 90 und 91 meiner Grundlagen der Arithmetik, Breslau, Verlag von Wilhelm Koebner, 1884.
1 Ich sage freilich auch: der Sinn des rechts stehenden Zeichens ist verschieden von dem des links stehenden; aber die Bedeutung ist dieselbe. Man vergleiche meinen Aufsatz über Sinn und Bedeutung in der Zeitschrift f. Philos. u. philos. Kritik, 100. Bd., S. 25.
1 Jena, Verlag von Hermann Pohle, 1891.
1 In dem Jahrb. über die Fortschritte der Math. sucht man meine Grundlagen der Arithm. vergebens. Forscher auf demselben Gebiete, die Herren Dedekind, Otto Stolz, v. Helmholtz scheinen meine Arbeiten nicht zu kennen. Auch Kronecker erwähnt sie in seinem Aufsatze über den Zahlbegriff nicht.
1 Vergl. E. Heine, Die Elemente der Functionslehre, in Crelle’s Journal, Bd. 74, S. 173: „Ich stelle mich bei der Definition auf den rein formalen Standpunkt, indem ich gewisse greifbare Zeichen Zahlen nenne, sodass die Existenz dieser Zahlen also nicht in Frage steht“
1 Mathematiker, die sich ungerne in die Irrgänge der Philosophie begeben, werden gebeten, hier das Lesen des Vorworts abzubrechen.
2 In der Logik des Herrn B. Erdmann finde ich keine Spur dieses wichtigen Unterschiedes.
1 Halle a. S., Max Niemeyer, 1892.

References: § 48
 § 47
 § 33
 § 46
 § 8
 § 9
 § 10
 § 26
 § 8
 § 12
 §34
 § 49
 § 90