Source: https://www.scribd.com/document/387500363/DIDA-CTICA-DE-LAS-MAT-pdf
Timestamp: 2019-01-22 00:49:43+00:00

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M. VICTORIA G. ARMENDÁRIZ,
En la primera parte se presenta una aproximación a la Didáctica de las Matemáticas como una
disciplina autónoma, interdisciplinax con un campo teórico y práctico propio, en fase de desarrollo.
Seguidamente se describen las características de los planteamientos didácticos de la educación matemá-
tica en los últimos 30 años, poniendo de relieve las claves psicológicas que están informando las distin-
tas tendencias. Finalmente se resumen las líneas de trabajo que hoy se perfilan dentro de la investigación
en Didáctica de las Matemáticas, con especial mención de los trabajos dedicados a los procesos cogniti-
vos implicados en el aprendizaje de conceptos matemáticos, con breves referencias al estudio del com-
portamiento matemático y del aprendizaje de las Matemáticas desde una perspectiva social.
Palabras clave: Didáctica de las Matemáticas; Investigación en didáctica de las Matemáticas; Pro-
cesos psicológicos y aprendizaje de las Matemáticas; Comportamiento matemático; Educación ma-
Mathematic Didactics and Psychology
First, Maths Didactics is presentad as an independent and inter-disciplinary mea of study still under
development, with its own theoretical and practical field. Then, didactic theories on mathematics edu-
cation during the past 30 years are described, with a special emphasis on psychological factors explai-
ning different hends. Finally, the article summarizes different lines of work taking shape within research
into Mathematics Education, with particular attention paid to studies on the cognitive processes invol-
ved in learning mathematical concepts. From a social viewpoint, there are brief references to the study
of mathematical behaviour and maths learning.
Key words: Mathematic Didactics; Research into Mathematics Education; Psychological processes
and maths learning; Mathematical behaviour; Mathematics Education.
Correspondencia con autores: Dpto. de Didáctica de Matemáticas y Ciencias Experfinen-
tales. Universidad Autónoma de Barcelona. Comp. Bellaterra. 08193 Barcelona.
© 1993 by Aprendizaje, ISNN 0210-3702	Infancia y Aprendizaje, 1993, 62-63, 77-99
APROXIMACION AL CONCEPTO DE DIDACTICA
Desde muy atrás en la Historia de la Educación se venía considerando que
el currículum debía construirse sobre principios pedagógicos y psicológicos. Sin
embargo, ha sido un proceso largo y difícil el que ha permitido dotar de rigor
a un campo dominado a la vez por justificaciones y argumentos filosóficos e
intuiciones pedagógicas.
Al tiempo que la noción de currículum ha llegado a constituirse en cons-
tructo indispensable para comprender la práctica educativa institucionalizada
y las funciones que una sociedad concreta otorga a la escuela, su análisis necesi-
ta ser abordado multidisciplinarmente. En este contexto, el ámbito de la didác-
tica, uno de los que contemplan el fenómeno educativo, aparece vinculado a
la práctica aunque no deba ser reducido a un saber práctico/técnico.
Nuestra primera ocupación será clarificar qué entendemos por Didáctica de
las Matemáticas y cuál es la amplitud de este concepto.
El aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas son objeto de estudio de
la Didáctica de las Matemáticas y será el didacta el que modelará el currículum
interpretando, en primer lugar, un saber disciplinar para elaborar un conocimiento
a enseñar. Este proceso exige reconceptualizaciones que sólo serán posibles tras
los filtros epistemológicos, socioantropólogos y psicopedagógicos. El «saber a
enseñar» que surge de esta transposición didáctica (Chevallard, 1985) es ya un
producto de otra naturaleza, de naturaleza didáctica. Pero, además, dado el com-
ponente finalista de la acción didáctica, ningún producto didáctico puede sur-
gir al margen de las teorías psicológicas que explican el comportamiento
inteligente del ser humano, su estructura y su génesis, ni del proyecto educativo,
globalmente considerado, que preside un currículum concreto.
Es evidente, pues, que la Didáctica, aun siendo una ciencia aplicada, no se
identifica con la práctica educativa. El saber práctico de la Didáctica es fruto
de la mediación que hace el didacta seleccionando información de distintos ám-
bitos y creando un cuerpo de conocimiento a partir de la experiencia didáctica.
El conjunto de preguntas a las que trata de dar respuesta la Didáctica de las
Matemáticas nos remite a las distintas áreas de conocimiento, cuya diversidad
pone de manifiesto la complejidad de la elaboración del conocimiento didácti-
co. Debemos citar, como fuentes inmediatas, las siguientes áreas:
— La materia científica cuya enseñanza se plantea (Matemáticas) con su
estructura específica.
— La Historia y la Epistemología de la Ciencia que explican la génesis, el
desarrollo y la evolución del conocimiento científico y en particular de las Ma-
— La Sociología, que permite plantearse la interdependencia entre Ciencia
y Sociedad y su influencia en la formación de los individuos de una sociedad
democrática cada vez más inmersa en la tecnología.
— La Lingüística cuyo papel es fundamental para comprender muchos de
los problemas conceptuales propios de las dificultades de aprendizaje.
— La Psicología que aporta el conocimiento del desarrollo del individuo
y de los modelos teóricos para el análisis del conocimiento a enseñar, del apren-
dizaje y de los procesos de enseñanza/aprendizaje en los que el profesor actúa
entendemos que la Didáctica de las Matemáticas es una disciplina autónoma. Intervienen aquí las investigaciones sobre las Matemáticas como objeto de enseñanza. en primer lugar. etcétera. las ideas de los profesores sobre las Matemáticas que enseñan. lingüísticas. Cabe destacar igualmente la importancia que tiene para los enseñantes el desarrollo de una metodología que propicie el hábito de análisis de los problemas concretos que aparecen con unos alumnos concretos. sobre qué Matemáticas hay que enseñar y por qué. es frecuente creer por ejemplo. análisis que propiciará la comprensión de los mecanismos profundos del proceso de ense- ñanza y aprendizaje. Por otro lado. tratar de precisar como queda integrado el conoci- miento psicológico en el ámbito teórico de la Didáctica de las Matemáticas. en un aula y en unas condiciones determinadas. sobre la forma en que los alumnos aprenden. que la formación de los profesores de Matemáticas consiste en el apren- dizaje de las teorías psico-socio-pedagógicas. afectivo sobre el aprendizaje. — Aquellos que hacen referencia a las estrategias de enseñanza en las que se contemplan desde nuevas propuestas curriculares y nuevos recursos de ense- ñanzas concretas hasta teorías acerca del aprendizaje mediante resolución de pro- blemas. el aula. las interacciones entre estudiantes y entre profesor y estudiantes. etcétera. en este sentido se han desarrollado técnicas y métodos de análisis que permiten un conocimiento cada vez más preciso de lo que sucede en el aula. — Aquellos que hacen referencia a los estudiantes. las dificultades que tienen en el aprendizaje en general y en aspectos concretos de la materia. el taller. de las actitudes y de las aptitudes. carácter que le liga a la práctica docente y a los problemas con- cretos con que se encuentran los enseñantes de Matemáticas. interdisciplinar. con un campo teórico y práctico pro- pio. revisar las características de los . No obstante. como la Comunicación y la Tecnolo- gía. las interrelaciones alumno-alumno. etcétera. sobre sus ideas acerca de las relaciones profesor-alumno. a nosotros nos interesa en este momento clarificar la utiliza- ción que hace la didáctica de la información que nos proporciona la psicología y. con las cuales existe una relación cada vez más importante. Todo ello sin dejar de lado otras áreas. Sin embargo. no se puede considerar como una simple suma de partes como son las áreas del saber que constituyen sus fuentes y con las que necesariamente se relaciona. Para ello nos proponemos. etcétera. 79 — La Pedagogía que aporta el análisis de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje en el marco de las instituciones escolares. que comprenden aspec- tos tan diversos como son las ideas de los alumnos. cultural. profesor-clase. Debido a la variedad de las fuentes científicas y de aplicación. de los intereses de los alumnos. queremos destacar el carácter profesional de la Didáctica de las Matemáticas. el laboratorio. nos encontramos con una amplia gama de cam- pos de investigación: — Aquellos que hacen referencia al pensamiento del profesor y a la influencia de su marco conceptual sobre sus pautas de comportamiento. la influencia del medio social. — Aquellos que hacen referencia al marco en el que se desarrolla la ense- ñanza (contexto) como es el centro escolar. en fase de desarrollo pero cada vez más definido. científicas o episte- mológicas. profesor-alumno. y que. en el mejor de los casos. por tanto. dentro de la Didáctica de las Matemáticas. Como consecuencia de esta variedad de áreas afines. el papel de la motiva- ción.
algunas simultáneamente y otras como reacción a las iniciales. que marca la etapa. tipos de ejercicios. A lo largo de este tiempo surgen distintas corrientes de pensamiento. Aunque los límites entre los distintos enfoques son fluidos y la cronología no puede ser precisa. siendo la Psicología la que va a marcar. A partir de una concepción del aprendizaje según la cual éste se produce como producto de un funcionamiento cognitivo que supone conexiones de estí- mulo/respuesta. . orientado por un enfoque conceptual de la en- señanza de las Matemáticas y en el que se ponen en marcha diversos proyectos con el objeto de determinar cuál es la mejor manera de enseñar a los niños y niñas los conceptos y principios que aportan coherencia al contenido de las Ma- temáticas. Con el enfoque conductista se pretendía mejorar el aprendizaje de los alumnos y realizar una educación matemática más eficaz que mejorara sustancialmente las habilidades matemáticas de los ciu- dadanos. la pauta de las tendencias didácticas. La corriente conductista Durante mucho tiempo la Psicología se había ocupado de las habilidades de cálculo y de cómo mejorar su enseñanza por medio de la organización de los ejercicios. Dentro de esta evolución se desencadena un importante movimiento. sí parece clarificador el estudio y distinción de tres ten- dencias a través de las cuales se reconoce la influencia de determinadas corrien- tes psicológicas. 80 planteamientos didácticos de la educación matemática en los últimos 30 años. poniendo de relieve las claves psicológicas que están informando las distintas tendencias para concluir con las líneas de trabajo que hoy se perfilan dentro de la investigación en Didáctica de las Matemáticas. en tanto marca el inicio de una renovación curricular y comienza a tener entidad el cambio en la enseñanza de las Matemáticas. DURANTE LOS ULTIMOS 30 AÑOS A partir de los años 60 en EEUU y países del ámbito occidental se da una evolución en los planteamientos educativos en Matemáticas que tiene su origen no sólo en la investigación propia y que refleja la influencia de ámbitos científi- cos ajenos a las Matemáticas. Keitel y Kilpatric (1981) en su obra «Curri- culum Development in Mathematics» nos van a permitir caracterizar esta evo- lución que dichos autores refieren fundamentalmente a EEUU y ámbito europeo en general y que pueden hacerse extensivas a España. etc. EVOLUCION Y DESARROLLO DE LOS PLANTEAMIENTOS DIDACTICOS EN LA EDUCACION MATEMATICA. los programas podrían elaborarse racionalmente sobre la base de estímulos/respuesta sucesivos y los resultados de este proceso podrían objeti- varse en cambios observables en la conducta del alumno. a la reforma que propone la ley de 1970. Las observaciones de Howson. como punto de partida. Nos ocuparemos en primer lugar de la corriente conductista para centru luego nuestra atención en el enfoque estructuralista y el formativo. en gran medida. aunque en nuestro caso tengamos que remitirnos. Concluire- mos este apartado ocupándonos de la perspectiva constructivista.
distinguen entre la aproxima- ción estructuralista y la formativa en los planteamientos didácticos de las Mate- máticas. no parece que en nuestro país se dé por separado la influencia de Bruner y Piaget que en el caso americano son tomados como inspiradores de las dos corrientes señaladas. Keitel y Kilpatric (1981) y también Resnick y Ford (1990). quedan jerarquizados. 1981. La pri- mera de ellas explora la naturaleza del aprendizaje y de la enseñanza de las Ma- temáticas y la segunda se centra en revisar el contenido de la enseñanza en las escuelas con el objeto de ampliarlo sustancialmente. Desde finales de los arios 50 se abre un período de revalorización del currí- culum de Matemáticas. 1991) dedicados a revisar la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. además de hacer aparecer la edu- cación matemática como algo neutro y las Matemáticas como una colección de saberes aislados sin ninguna conexión ni vinculación a otras ciencias. Es de destacar que en un breve período de tiempo se celebran dos conferencias. No obstante. permitiendo y justificando así la inferencia de princi- pios y normas para el proceso de enseñanza y para el diagnóstico de dificulta- des de aprendizaje. — Se da una gran importancia a la «práctica» y a la ejercitación de rutinas con la consiguiente hipertrofia de lo sintáctico. 81 Por medio del «análisis de tareas» se identifican los objetivos elementales que constituyen otro complejo y los objetivos. — Las secuencias en el aprendizaje son enormemente rígidas. aun- que en España no se puedan apreciar los matices diferenciadores de ambas ten- dencias y sólo podamos reconocer a través de las aportaciones de Dienes la influencia de Bnmer en los planteamientos didácticos en Matemáticas. Ambas conferencias apues- tan por la enseñanza de las Matemáticas como una disciplina estructurada de . nosotros distinguiremos ambas corrientes. con lo que la llegada del «sentido» se aplaza hasta lograr la comprensión de la orga- nización global. La investigación por su parte afecta principalmente a la ampliación y refina- miento de los instrumentos de control conductista.. al estudiante y a la administración. Por otra parte. expresión de metas de aprendiza- je. El «giro» cognitivo y su influencia en la Didáctica de las Matemáticas Aunque algunos autores. Resnick. una en 1959 en Woods Hole —Massachussetts— y otra en Cambridge (1963) en el mismo estado (Howson et al. Este enfoque psicopedagógico ha promovido planteamientos didácticos en los que: — El análisis de jerarquías de aprendizaje es utilizado como criterio para plantear objetivos perfectamente secuenciados desde una lógica disciplinar. pudiendo adaptarse al contenido que necesitaba un currículum concreto. El análisis explícito de los procesos subyacentes a dis- tintas tareas podía mejorar la comprensión de cómo aprenden las personas un conjunto de capacidades. Así se simplifica el proceso al profesor. el método se presentaba como un componente neutro. como los anteriormente citados Howson. La matemática tradicional se adaptaba perfectamente a la necesidad de dividir el contenido en tareas y ejercicios con la posibilidad de evaluar cada paso. El principio de ordenación que se desprende de las jerarquías de aprendiza- je ha sido tenido en cuenta para ver cómo se podían construir las capacidades complejas a partir de las más sencillas. forzando en el alumno las exigencias de motivación y de domi- nio lingüístico.
En segundo lugar. se hace posible la correspondencia entre estructuras científicas y cognitivas promoviendo los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos (Howson et al. para ello debían ser sustituidas ciertas prácticas escolares que abusaban de los ejercicios de cálculo numérico y de planteamientos que promovían aprendizajes mecánicos. La combinación de actividad-descubrimiento y el desarrollo del currículum en espiral se convierten en recursos metodológicos que permiten al alumno com- portarse en cierta medida como un científico que va «rellenando» tales estruc- turas. por una . el aprendizaje que no ha conseguido llegar a una comprensión de los principios generales tiene poca recompensa en términos de satisfacción intelectual (. no es tanto el tratar las estructuras como contenido edu- cativo como el «desplegar» la esencia explicativa existente bajo lo particular. 1981). que la concepción de la ciencia en que se basa esta propuesta de matemáticas escolares no es el edificio acabado de las Matemáticas sino una forma de aproximación a su estructura que favorezca su comprensión de forma gradual. la cuestión que se estaba planteando era conseguir que el aprendizaje de las Matemáticas no fuera «opaco». sin embargo. porque puede dar la impre- sión contraria. Es necesario advertir. pág. ob. cabe señalar la participación de Bruner en el movimiento que aboga por la aproximación es- tructuralista. percibiendo lo más esencial del sistema conceptual y del método matemático. Conceptos como conjunto. 82 forma que las interrelaciones entre los conceptos quedaran puestas de relieve así como las estructuras conceptuales que subyacen a los distintos procedimien- tos matemáticos. Aunque no podemos asegurar hasta qué punto es tomada la psicología como marco teórico de referencia para las nuevas propuestas didácticas. cit. En tercer lugar. «la enseñanza de temas o habilidades matemáticas sin clarificar su contexto den- tro de la estructura fundamental más amplia (.....). 130). Tomamos un texto de Bruner en tanto clarifica el propósito estructuralista en Matemáticas: ...) es antieconómica en varios senti- dos. grupo de transformaciones... además asegura que el progreso tendrá lugar secuencialmente desde los niveles más bajos a los más altos y de lo menos a lo más complejo.) es fácil que se olvide» (Res- nick. Como se puede suponer. el co- nocimiento que se ha aprendido sin una estructura (. Bruner asume el problema del cómo enseñar y mantiene que los alumnos cuyas estructuras cognitivas no alcancen los grados de complejidad adecuados para asimilar «las estructuras matemáticas» (no necesariamente las algebraicas) pueden acceder a ellas de forma intuitiva e incluso emprender generalizaciones y abstracciones aun cuando sólo perciban parte de lo relacionado y lo genera- lizado. De esta forma el alumno va elaborando un conocimiento integrado de las distintas partes de las Matemáti- cas. Así. En primer lugar tal enseñanza hace muy difícil al estudiante generalizar lo que ha aprendido a lo que encontrará más adelante. isomorfismo pueden ser introducidos de forma rudimentaria a los alumnos jóvenes y ser presentados en sucesivas ocasiones hasta conseguir una comprensión más amplia y profunda de los mismos. Para el enfoque estructuralista el propósito de transmitir las estructuras de las estructuras científicas no es la adquisición del conocimiento de estas estruc- turas por los alumnos. insistiendo para ello en su organización. función. a largo plazo..
presentando solamente los detalles más im- portantes. Dado que las relaciones y pautas matemáticas no son evidentes. 1970. 83 aproximación más conceptual y comprensiva de las Matemáticas. enactiva. como su nombre indica. representación. Dienes creía que los niños son constructivistas por naturaleza. se centró en cómo se representan mentalmente los niños las experiencias interactivas con su entorno que constituyen la base del aprendizaje. estrategias. Como se puede inferir. Podríamos también decir que se concretaran o que tomaran cuerpo características y propiedades tanto cuantitativas como cualitativas. Dienes. conocedor de la teoría piagetiana trabajó con Bruner en un proyecto de matemáticas experimentales en Harvard y defen- dió la importancia de incorporar los descubrimientos de la investigación psico- lógica a la enseñanza de las Matemáticas. icóni- co. que en alguna medida puede interpretarse como teoría de las etapas de desarrollo del intelecto. pero puede poseerla el adulto igual que el niño. y Dienes y Golding. bajo el supuesto de la competencia cognitiva del alumno. La representación simbólica es otra forma de capturar representacio- nes en la memoria y tiene como base la competencia lingüística aunque evidentemente en Matemáticas. Dienes propone que se «materialicen» estas estructuras en forma de materiales para la enseñanza. con una sucesión de estadios: juego libre. p. a lo largo de un proceso deben presentarse mate- . de forma que fuera reconocible y/o comprensible por ellos. Como se puede observar se aprecia un gran paralelismo entre su secuencia y la formulación de los modos de representación de Bruner. más que ana- líticos y que se construyen una imagen de la realidad a partir de sus experien- cias con los objetos del mundo.. describe tres modos de representación. apoyándose en parte en las ideas de Piaget. la menos elaborada. 1970). en función del nivel de desa- rrollo cognitivo o del nivel del desarrollo conceptual. descripción verbal y definición (Dienes. La teoría de las representaciones de Bruner y los principios estructuralistas de Bruner y Piaget han tenido repercusiones importantes en el desarrollo de la didáctica de las Matemáticas y concretamente en la aparición de distintos tipos de materiales entre los que se encuentran los desarrollos por Dienes (Die- nes. y supone la forma más elaborada de representación. se recupera en la memoria como una imagen mental figurativa que abreviará el suceso. la representación simbólica hace referencia no sólo a definiciones conceptuales sino a leyes. cit. El segundo modo de representación. permitiendo aproximaciones «concretas» a cues- tiones que tradicionalmente sólo eran manipuladas simbólicamente. Siguiendo la sucesión de estadios antes descritos para que los conceptos pue- dan abstraerse. Es ampliamente conocido por sus materiales manipulativos y por su obra escrita que recoge entre otras ideas su teoría del proceso cíclico del aprendizaje de las Matemáticas. ob. para cualquier idea o problema se podía encontrar una forma lo suficientemente sencilla de presentación a los alumnos. propiedades. profesor de Matemáticas. la forma de representación enactiva es la más elemental. según Dienes. La representación enactiva es «un modo de representar eventos pasados me- diante una repuesta motriz adecuada» (Resnick. Bruner había puesto en marcha un programa de investigación sobre los pro- cesos cognitivos propios del pensamiento y del aprendizaje y. 1980). detección de regularidades. Este proceso depende en gran medida de una «exploración activa» como puso de manifiesto Piaget. icónica y simbólica. 139).
bajo el «para- guas» estructuralista. como ocurre en las aproximaciones didácticas conceptua- listas. 84 rializaciones múltiples. que hemos tomado como fuente principal para el análisis de la evolución de los planteamientos en Didáctica de las Matemáti- cas. favoreciéndose así la generalización. Keitel y Kilpatrick para pre- cisar que sí bien estos autores. Estos planteamientos han tenido detractores. sustituye las concreciones o materializaciones de conceptos por la constitución y manipu- lación de objetos mentales que van transformándose. las figuras geomé- tricas triángulo. Freudenthal advierte que se in- tentan materializar los conceptos desnudos y que estas concreciones son habitualmente falsas. rombo o cuadrado organizan el fenómeno con- torno/forma. La aproximación formativa en la Didáctica de las Matemáticas y el movimiento de la matemática moderna Nuevamente tenemos que referirnos a Howson. En vez de hablar de adquisición de conceptos Freudenthal habla de constitución de objetos men- tales que desde su punto de vista precede a la adquisición de conceptos y puede ser altamente efectivo incluso si no le sigue la adquisición de conceptos. representa una estrategia virtualmente invertida. Freudenthal señala que plantear primero los conceptos y des- pués las aplicaciones. Freudenthal aboga por lo que él llama la fenomenología didáctica. estructuras e ideas matemáticas sirven para organizar los «phenomena» tanto del mundo real como imaginario. distinguen entre el desarrollo de la «nueva matemática» y la aproximación . paralelogramo. a nuestro juicio. enseñar al estudiante a manipular los medios de su organización. Según Freudenthal lo que una «fenomenología didáctica» puede hacer es preparar el enfoque contrario: empezar por los «phenomena» que solicitan ser organizados y. así «la división del pastel» puede ser olvidada tan pronto como el estudiante tenga un dominio algorítmico de las fracciones. entre los que cabe destacar a Freudenthal (1984). icónicas y simbólicas. señala que hablar de manipulación de objetos mentales es más importante que la divi- sión de representaciones en enactivas. vamos a considerarla en relación al nuevo enfoque. Por otra parte. Por otra parte la figura de Piaget que debe entenderse. alegando que hay abstracciones que no pueden ser capta- das por los alumnos pese a ser materializadas. Así los números organizan el «phenomenon» de la cantidad. los números son noumena. Frente a ello. frente a la aproximación didáctica por constitución de objetos mentales. En la primera aproxima- ción las concreciones tienen un significado transitorio. Como ya hemos señalado anteriormente. desde tal punto de partida. Los objetos matemáticos son «nooumena» pero un aspecto o una parte de las Matemáticas puede ser experimentado como un phenomenon. Los conceptos. pero trabajar con números es un phenomenon. Por ello. vamos a centrarnos en la aproxi- mación formativa ligándola al movimiento de la m'atemática moderna. estas materializaciones deben diferenciarse entre sí —va- riabilidad perceptual— para que el concepto se desarrolle independientemente de las formas específicas y además deben permitir la manipulación de toda la gama de situaciones matemáticas de un mismo concepto o estructura concep- tual. etcétera. en tanto no pueden reflejar los rasgos esenciales de los conceptos a los que remiten. ni siquiera a determinadas facetas de dichos con- ceptos.
aun siendo de naturaleza lógico-matemática. como todos sabemos. pero creemos plausible suponer que se ha dado ese vínculo. nosotros entendemos que aun siendo cosas distintas por su origen. Howson y sus colegas señalan que si bien sus principios educativos han sido formulados sin referencia a una es- cuela en particular. en tanto están la fi- gura de Piaget y la Teoría Genética detrás de las justificaciones didácticas que se han aducido.)... la enseñanza de las Matemáti- cas invita a los sujetos a una reflexión sobre las estructuras pero lo hace por medio de un lenguaje técnico que implica un simbolismo muy particular y exige un grado más o menos alto de abstracción (. Sin embargo su justificación didáctica encontró en la Teoría Genética de Piaget ra- zones que nosotros hemos traído aquí a partir de unas breves consideraciones dedicadas a la Didáctica de las Matemáticas que expone el mismo Piaget. Dice Piaget: . Habitualmente se responde de una manera un tanto simple al hablar de «aptitud» para las Ma- temáticas. 85 formativa.. En una palabra.).. la «aptitud» se confunde con la inteligencia misma.). Nos resulta difícil y arriesgado precisar hasta qué punto aparece vinculado en España el movimiento de la «matemática moderna» a un enfoque «formati- vo» de las Matemáticas en el sentido expuesto. Efectivamente.. Por el contrario. aunque. en princi- pio. la «matemática mo- derna» y su utilización en las aulas de la enseñanza elemental surge. Ha de estar provisto de ideas y materiales apropiados para dar una representación pa- radigmática de los procedimientos.. Desde esta perspectiva.). el problema central de la enseñanza de las Matemáticas consiste en ajustar recíprocamente las estructuras operatorias espontáneas propias de la inteligencia con el progra- . no son conscientes en tanto que estructuras para los niños: son estructuras de acciones u operacio- nes que ciertamente dirigen el razonamiento del sujeto pero no constituyen un objeto de reflexión para él (.. el papel de la educación escolar consiste en garanti- zar el desarrollo de unas potencialidades innatas a través del diseño de expe- riencias educativas que ofrezcan las condiciones óptimas para el desarrollo de las habilidades cognitivas que conforman los distintos niveles de inteligencia operatoria. Los materiales didácticos servirán meramente como ayuda hacia el dominio de si- tuaciones y como refuerzo de los procesos de aprendizaje.. ofreciendo al mismo tiempo una amplia re- lación de sugerencias en las que pueda recrearse la curiosidad del alumno. éstos se apoyan claramente en las ideas de Piaget y de otros psicólogos que abogan por el proceso constructivo del conocimiento. El/la profesora deberá crear situaciones en las que los alumnos pue- dan deleitarse con «actividades reales» que promueven el aprendizaje. En relación a la aproximación formativa.. convergen en su justificación didáctica.. fundamentalmente. «la enseñanza de las Matemáticas ha planteado un problema bastante paradójico (. lo que no se considera el caso. de una preocupación por aproximar los fundamentos matemáticos a la base de la enseñanza en el marco de una reforma de los contenidos educativos. es difícil suponer que sujetos bien dotados para la ela- boración y utilización de las estructuras lógico-matemáticas espontáneas de la inteligencia se encuentren en desventaja en una enseñanza que se refiere exclu- sivamente a aquello de lo que se derivan tales estructuras (. o se relaciona no con las Matemáticas como tales sino con la forma como se las enseña. las estructuras operatorias de la inteligencia. Pero si lo que acabamos de suponer en cuanto a las relaciones de esta forma de conocimiento con las estructuras operatorias fundamentales del pensamiento es exacto.
sub- siste enteramente el problema pedagógico de encontrar los métodos más ade- cuados para pasar de estas estructuras naturales pero no reflexivas a la reflexión sobre tales estructurales y a su teorización» (Piaget. Es necesario señalar además que para Piaget las Matemáticas definen una especie de «axiomática del pensamiento» y son un producto de una abstrac- ción reflexionante realizada a partir de las propias operaciones intelectuales (y no de los hechos) por lo que las actividades matemáticas serían especialmente adecuadas para estudiar las estructuras de operaciones que definen la inteligen- cia y un medio especialmente útil y adecuado para promover su desarrollo. 54-59). En contraste con el enfoque conductista se vio la reforma del currículum de Matemáticas en términos de renovación de contenido. reorganizadas para destacar los aspectos estructurales de las mismas y la utilización de un nuevo lenguaje. aunque se señala el problema pedagógico-metodológico como no resuelto. Este enfoque en la enseñanza de las Matemáticas se produjo como un pro- ducto indirecto derivado del trabajo del grupo Bourbaki. en el sentido que ha sido expuesta. cuya adecuación para expresar enunciados de ma- nera concisa es indudable. (. nos parece importante detenernos un poco más en el movimiento de la «ma- temática moderna» por la importancia que ha tenido en los planteamientos didácticos de las Matemáticas y su evolución y por la repercusión en toda una generación de alumnos Además queremos señalar que aunque no hay investiga- ción que acredite o avale nuestra hipótesis.. que ofrecía en sus tra- tados una descripción sistemática de las Matemáticas.). Por otra parte. ni del tipo de aprendizaje que promovía en los alumnos. p. 86 ma o los métodos relativos a los campos matemáticos enseñados. con este planteamiento se abandonaba una enseñanza de las Matemáticas que en nuestro caso y merced a las intuiciones de algunos insignes matemáticos como Puig Adam tenía en cuenta los soportes perceptivos que brin- daba la geometría con la cual habíamos aprendido Matemáticas muchos de no- sotros.. 1972. Como podemos apreciar hay una justificación del tratamiento de las estruc- turas algebraicas y en general de la matemática conjuntista en los niveles escola- res básicos. han ocupado prácticamente una década en la historia de la edu- cación matemática en este país. pero no se cuestionó la práctica de la enseñanza que siguió apoyándose principalmente en la transmisión del con- tenido. Como resultado de este enfoque llegó a ser posible desarrollar aspectos exigentes de las Matemáticas desde las primeras etapas de la escolaridad.) las estructuras más abstractas y más generales de las Matemáticas contemporáneas se incorporan a las estructu- ras operatorias naturales de la inteligencia y del pensamiento mucho mejor de lo que lo hacían las estructuras particulares que constituían el armazón de las Matemáticas clásicas y de la enseñanza (. Se plan- tearon cuestiones que afectaban a los métodos.. Los planteamientos didácticos no partían de preguntarse acerca de cómo ta- les conceptos básicos podrían introducirse en un nivel elemental de forma con- sistente. Este problema se ha ido modificando profundamente en las últimas décadas a causa de las trans- formaciones de las mismas matemáticas. A pesar del progreso de principio realizado por el retorno a las raíces naturales de las estructuras operatorias.. uniforme y de gran precisión. las matemáticas modernas y una de- terminada «cultura pedagógica» de naturaleza formativa. . Dejando provisionalmente a un lado las justificaciones de índole psicológi- ca.
Aportaciones del enfoque constructivista a la Didáctica de las Matemáticas Como ha señalado Coll (1991). En la actualidad. a la complejidad del cambio y de la casualidad determinista (cálculo). Pero antes de pasar a centrarnos en las tendencias actuales. la intuición espacial sufrieron un gran detrimento ya que la geometría es mucho más difícil de fundamentar rigurosamente. Como señala Miguel de Guzmán (1991). en particular. contra- poniendo ésta a los aspectos operativos y manipulativos. el principio explicativo más ampliamente com- partido hoy sobre el aprendizaje en general y el aprendizaje escolar en particu- lar es el que se refiere a la importancia de la actividad mental constructiva del alumno. reside en garantizar determi- nados aspectos del desarrollo de los niños y las niñas en una cultura determina- da. — Se pretendió profundizar en el rigor lógico y en la comprensión. la de la educación escolar. fundamental- mente por los nuevos contenidos introducidos. Esto condujo de forma natural al énfasis en la fundamentación a través de las nociones iniciales de la teoría de conjuntos y al cultivo del álgebra. especialmen- te en álgebra. entre los efectos producidos se pue- den distinguir los siguientes: — Se subrayaron las estructuras abstractas de diversas áreas. 1991) que tiene su origen en el enfrentamiento a la complejidad proveniente de la multiplicidad (origen del número y de la arit- mética) y a la complejidad que procede del espacio (que da lugar a la geometría) y que más adelante fue la complejidad del símbolo (álgebra).. cit. donde el rigor es fácilmente alcanzable. Los arios 80 han dado paso a cambios importantes en todo el mundo y al surgimiento y desarrollo de nuevas escuelas de investigación en Didáctica de las Matemáticas. los principios constructivistas sobre el aprendiza- je y la enseñanza adquieren una nueva dimensión cuando se insertan en una reflexión más amplia sobre la naturaleza y las funciones de la educación escolan haciéndose especialmente fecundos para la reflexión didáctica. Si su especificidad. se ha impuesto finalmente la opinión según la cual las su- puestas ventajas de la introducción de la matemática moderna quedaron mini- mizadas frente a los graves inconvenientes surgidos. El término «constructivismo» hace referencia a esta conver- gencia. como una forma peculiar de exploración de la realidad (Miguel de Guzmán. Este principio lleva a concebir el aprendizaje escolar como un proceso de construcción del conocimiento y la enseñanza como una ayuda a este proce- so de construcción. op. como un proceso de inmersión en las formas propias de pro- ceder en Matemáticas. la matemática elemen- tal se vació de contenidos y de problemas interesantes. a la complejidad prove- . — Con la sustitución de la geometría por el álgebra. — La geometría elemental y. Siguiendo al mismo autor. vamos a detenernos en el análisis del enfoque constructivista de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. podemos interpretar la educación matemática como un proceso de «enculturización». 87 De esta manera los enfoques estructuralistas que propugnaban la búsqueda de los fundamentos formales de las Matemáticas derivaron en unas matemáti- cas escolares que trajeron un profundo cambio en la enseñanza.
En este contexto la noción constructivista une la concepción de la naturaleza de las Ma- temáticas con la concepción de los procesos de aprendizaje. explorando las po- sibilidades de inferencia que ofrecen dichos modelos. Exigencias que como señala Rivilre apelan a la «desvinculación» del pensamiento en matemáticas de apoyos concre- tos (generalmente muy pronto). 1991.). exigencias de utilizar un lenguaje cuya fun- ción principal es la inferencia. 1990). la planificación y el desarrollo del proceso de enseñanza/aprendiza- je habrán de ocuparse de: — Semantizar los contenidos y los problemas matemáticos desde el principio. 1988). al tiempo que se tienen en cuenta las reglas sintácticas de este nuevo lenguaje. que conozca los resortes del pensamiento de los alumnos y que tenga muy en cuenta las exigencias cognitivas que las Mate- máticas hacen a los alumnos (Rivilre. construido para facilitar el razonamiento matemático. exigencia de una atención selectiva más intensa que en otras materias así como de estrategias de control de sus propios procesos cognitivos ante la necesidad de hacer inferencias. pero es el profesor el que facilitará a los alumnos el acceso al conjunto de saberes que vehiculan los contenidos educativos. 88 niente de la incertidumbre en la casualidad múltiple incontrolable (probabili- dad y estadística) y a la complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática). Desde este enfoque el objeto matemático deriva de la acción práctica sobre la realidad física o mental y surge de algo que tiene naturaleza semántica e implica una actividad real y significativa para resolver problemas reales. op. hoy se considera a las Matemáticas como un subsistema cultural con características comunes a otros sistemas semejantes y puede decirse que el principal objetivo de cualquier realización matemática. y también de las mate- máticas escolares. pues. cit. Por tanto.. de dominio de códigos simbólicos especializados y de traducción de un sistema de representación a otro. Las Matemáticas. Lave et al. lenguaje no ambiguo. no redundante y no semán- tico. De aquí que las Ma- temáticas a enseñar no sean las Matemáticas que se corresponden con este mundo platónico atemporal. es contribuir a dar sentido al mundo que nos rodea. 1991. . Como ya hemos señalado. son creadas por los seres humanos para responder a visiones sociales del mundo y no son un conjunto platónico de objetos descu- biertos en el transcurso del tiempo (Romberg. — Interpretar los «errores» como expresión de una determinada competen- cia lógico-matemática de la que hay que partir y con la que hay que contar. Así pues. es el alumno el que construye significados y atribuye sentido a lo que aprende. — Proporcionar modelos alternativos de representación. desde un planteamiento constructivista del apren- dizaje y de la enseñanza. y preguntarse por «la coherencia» de esas construcciones «provisionales» que ha- ce el alumno. de reconocimien- to de las condiciones pertinentes de aplicación de reglas. de abstracción y formalización. Por ello. engar- zando los procesos de construcción de los alumnos con los significados mate- máticos que trata la enseñanza (Coll. categorías o estrategias generales. el aprendizaje de las Matemáticas contribuiría de esta forma específica y de otras menos especificas al desarrollo de los alumnos. Estos requerimientos cognitivos pueden interpretarse como dimensiones forma- tivas de las Matemáticas. adquiere una importancia esencial que el profesor ahonde en el significado de los saberes matemáticos.
1981). Dreyfus y Balacheff y que cons- tituye nuestra fuente principal para el desarrollo de este punto. 89 — Secuenciar y organizar los contenidos de forma que den soporte a un proceso constructivo real del conocimiento matemático. teorías locales no generalizadas. ade- más de estimular al alumnos a hacer aprendizajes en profundidad. entre otros. formal e intuitivo. Algunas líneas de investigación particularmente relevantes para el desarrollo de la Didáctica de las Matemáticas En el artículo introductorio al libro Mathematics and Cognition (1990). — Los estudios basados en lo que se conoce por inteligencia artificial. siguiendo a Balacheff (1990) en su paráfrasis de Kuhn (1962) que «la educación matemática como disciplina está en un estadio precientífico de desarrollo. — Utilizar la evaluación como herramienta pedagógica al servicio del alumno y del proceso de enseñanza-aprendizaje. algorítmicos e intuitivos de la actividad matemática. Todas estas cuestiones y muchas más derivadas de los principios constructi- vistas pueden ser tomadas como criterios a la hora de analizar y reflexionar so- bre las situaciones de enseñanza/aprendizaje. rico en significado y con sentido. concepción (Artigue. que recoge contribuciones. El tratamiento de esos problemas ha originado un sistema particular de conceptos. — Los problemas relacionados con la metacognición. No existe un paradigma particular dominante en educación matemática y podemos decir. Ahora bien. 1990. de Vergnaud. En consecuencia. Entendemos que el gran desarrollo de la investigación en la educación ma- temática de los últimos años ha llevado a plantear una serie de problemas psico- lógicos específicos a los cuales los modelos generales de la psicología no daban una respuesta suficientemente satisfactoria. de forma que no pervierta el aprendi- zaje ni traicione la concepción de las Matemáticas que quiere vehicularse. lo cual es completamente normal en una nueva disciplina». 1991) y campo con- ceptual (Vergnaud. y Sfard. en estos momentos. la relación entra abstracto y concreto. Por otro lado. constituyen. 1990 a y b). los principios teóricos constructivistas contribuyen a la clarificación de problemas para ser investiga- dos. Fishbein habla de cuatro grandes líneas que conforman el presente y el futuro inmediato de la psicología de la educación matemática: — La aproximación constructivista. Por otra parte. creemos poder afirmar que. algo- rítmico y heurístico presenta tal variedad de facetas nuevas en el campo de la educación matemática que serían imposibles de predecir partiendo de los con- ceptos psicológicos generales. actualmente. la propia psico- logía cognitiva se está enriqueciendo con las ideas y los hallazgos producidos por la investigación en educación matemática. además de señalar lagunas en el desarrollo actual de la Didáctica de las Matemáticas a los que trataremos de aproximarnos en el próximo apartado. sí existe la necesidad compartida de una perspectiva teórica general en dicho dominio y se puede afirmar que la psicología de la educación matemática . — Las relaciones entre los aspectos formales. de forma que algunos concep- tos psicológicos usuales adquieren nuevos significados en el campo de la educa- ción matemática: expresiones como esquema conceptual y definición conceptual (Vinner y Tall.
las funciones. «esquemas conceptuales» o «concepciones» en las que se reconoce una construcción del conocimiento por parte del que apren- de. por ejemplo. a partir de la observación de los procedimientos y de los errores de los alumnos. En efecto. no se considera el aprendizaje de las Matemáticas solamen- te desde el punto de vista de la adquisición de competencias y de habilida- des. . la probabilidad. existen varios términos que permiten distinguir en- tre un concepto matemático y el resultado del proceso de adquisición del con- cepto en la mente de cada individuo. con las especificidades observadas en cada caso. de derivada. En el marco de esta ponencia. las ideas bá- sicas del cálculo (derivada e integral). la que está enriqueciendo los modelos que describen los procesos cog- nitivos... En este empeño resulta fundamental la apor- tación que ha supuesto la ampliación del campo de los problemas investiga- dos. hasta hace pocos arios muy centrados en los conceptos básicos de las Matemáticas de la enseñanza primaria. 90 ocupa un lugar privilegiado dentro de las investigaciones en la Didáctica de las Matemáticas. sino que se contempla cada vez más en términos de procesos cognitivos. Modelos y procesos cognitivos El problema de la falta de paradigma. Por tanto. se manifiesta en la diversidad de modelos que las distintas líneas de investigación utilizan para describir la naturaleza del conocimiento de los estudiantes. Vamos a exponer brevemente algunos de los modelos que se utilizan en la investigación de los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje de conceptos matemáticos. Entendemos que es precisamente esta ampliación. en general se reconoce la existencia de un conocimiento del alumno y de una posible distancia entre dicho conoci- miento individual y el conocimiento científico de referencia. nos centraremos en la descripción de algu- nos de los modelos que se utilizan en la investigación de los procesos cogniti- vos implicados en el aprendizaje de conceptos matemáticos. Una de las cuestiones fundamentales que se plantean actualmente es la determinación de un marco teórico global que permita relacionar las distin- tas estructuras o jerarquías cognitivas locales referentes a contenidos especí- ficos (como por ejemplo las estructuras aditivas. de probabilidad. distintos tipos de números (irracionales). en una situación de enseñanza. se intenta explicar su origen. Actualmente y desde la perspectiva de la investigación en Didáctica de las Matemáticas.). los conceptos de función. a cuestiones relacionadas con las Ma- temáticas superiores como. como cuerpo de conocimiento científico. etc. La investigación acerca de las «ideas previas de los alumnos» ha dado lugar a trabajos en los que aparecen expre- siones del tipo «imágenes». Se puede afirmar que la problemática está evolucionando desde el estudio de las dificultades de los alumnos hacia el del conocimiento de los alumnos que subyace a dichas dificultades. También nos referiremos brevemente a algunas investigaciones que se ocupan del compor- tamiento matemático y de otras que contemplan el aprendizaje de las mate- máticas desde una perspectiva social. el infinito (continuidad y límites). a la que nos hemos referido ante- riormente.
que incluye to- das las imágenes mentales junto con las propiedades y los procesos asociados a dicho concepto. El proceso de visualización puede producirse en dos direcciones: — la interpretación y la comprensión de modelos visuales — la habilidad para traducir a imagen visual una información recibida en forma simbólica. aceptadas por la comunidad científica de los matemáti- cos. Por otra parte. de límites de funciones y de continuidad. La visualización es un proceso muy presente en el aprendizaje de las Mate- máticas ya que se pueden construir modelos visuales que describen una buena parte de las estructuras matemáticas subyacente a un concepto. Se podrá distinguir entre las definiciones formales. asociada a un concepto matemático. Zimmermann y Cunningham (1991) definen la visualización matemática como el proceso de formación de imágenes. La aparición de los ordenadores en las clases ha motivado el creciente interés por el desarrollo de la capacidad de representación visual. la imagen mental que un estudiante tiene de la función cuadrática puede incluir la gráfica de la función. ocho arios des- pués. varios autores han desarrolla- do el concepto de visualización. Así por ejemplo. y visualización En su estudio de las ideas de los alumnos acerca del concepto de función. Se ha comprobado que existe una in- fluencia de las representaciones visuales tanto sobre las representaciones simbó- licas como sobre los procesos de abstracción. En general. incluidos los símbo- los. En relación con la noción de imagen mental. los estudiantes . — El esquema conceptual como una expresión que describe la estructura cognitiva de un individuo. que pue- den ser mentales o materiales (con papel y lápiz o con un soporte tecnológico). Vinner (1983) establece una definición de imagen mental que tiene una persona de un concepto matemático como el conjunto de todas las imágenes asociadas al concepto en la mente de la persona. y de utilización efectiva de dichas imágenes para la comprensión y el descubri- miento matemáticos. Nos parece particularmente interesante la puntualización que. Tall y Vinner (1981) se refieren a la diferencia que existe entre los conceptos matemáticos definidos formalmente y los procesos cognitivos utilizados para concebirlos. hacen Vinner y Dreyfus (1989) en la que se expresan de la manera siguiente: «Todos los conceptos matemáticos excepto los primitivos. Muchas de estas definiciones se introducen a los estudiantes de enseñanza secundaria o universitaria en un momento o en otro. 91 a) Imagen conceptual. y las definiciones personales que utilizan las personas como construcción o reconstrucción de una definición formal. A efectos de clarificación del lenguaje nos parece relevante la distinción que establecen y que consiste en considerar por separado: — La definición del concepto como una secuencia de palabras o una defini- ción verbal que explica el concepto con precisión. una tabla de valores y/o una expresión del tipo y = ax2. b) Esquema conceptual y definición conceptual En su estudio de los problemas de aprendizaje de los límites de sucesiones. tienen definiciones for- males. considera que la palabra ima- gen incluye cualquier representación visual del concepto.
y. juntamente con todas las propiedades que le caracte- rizan. A diferencia de los objetos materiales los constructos matemáticos son total- mente inaccesibles a nuestros sentidos y sólo se pueden ver con los ojos de nuestra mente. etc. — las expresiones simbólicas. en particular las imágenes mentales. 92 no utilizan necesariamente la definición cuando deciden si un objeto matemático dado es un ejemplo o no del concepto. Sfard (1991) establece también distinciones entre concepto matemático. analiza la compleja trayectoria de la noción de concepción en la comunidad didáctica francesa y da su propia definición. es decir un conjunto de todas las imágenes mentales del estudiante asociadas al concepto. Artigue (1990). esta- bleciendo un paralelismo entre concepto matemático y concepción: «De la misma manera que en un concepto matemático se distingue: — la noción matemática tal como se define en el contexto del saber sabio en una época dada. el comportamiento del estudiante puede ser diferente del que espera el profesor Para mejorar la comunicación necesita- mos comprender por qué se da esta diferencia. técnicas algorítmicas.) El esquema del estudiante es el resultado de su experiencia con ejemplos y contraejemplos del concepto. y concepción matemática que designa todo el conjunto de representaciones y asociaciones internas del individuo y que evoca el concepto. por tanto.» De esta teoría se derivan una serie de consecuencias para la enseñanza: la necesidad de dedicar mucho tiempo a observar y comprender las ideas y los comportamientos espontáneos de los estudiantes cuando se enfrentan con pro- blemas de Matemáticas y la importancia de adaptar los métodos de enseñanza a aquellos que utilizan los alumnos de una manera natural. él o ella deciden sobre la base de un esquema conceptual. teoremas. gráfica. por ejemplo. — la clase de los problemas en cuya resolución adquiere su sentido. se puede decir que una concepción es el correspondiente del concepto en el «uni- verso interno y subjetivo del conocimiento humano». En muchos casos. De hecho. (Por imagen mental entendemos cualquier dase de representación: imagen. algoritmos de los que dispone para manipu- lar el concepto. — el conjunto de los significantes que es capaz de asociarle. c) Conceptos y concepciones Varios autores utilizan los términos concepto matemático y la expresión con- cepciones de los individuos o de los alumnos.» Por otra parte. — el conjunto de los significantes asociados al concepto. específicas del trata- miento del concepto. cuando dibujamos una función o escribimos un número sabe- . que designa las ideas matemáticas en su forma «oficial» como cons- tructos teóricos que forman parte de lo que ella llama «universo formal del co- nocimiento ideal». — los instrumentos: teoremas. — los instrumentos. el conjunto de ob- jetos matemáticos que el estudiante considera ejemplos del concepto no es necesaria- mente el mismo que el conjunto de objetos matemáticos determinados por la definición [forma]. en particular: — la clase de las situaciones-problemas que le dan sentido al concepto para el alumno. Por tanto. for- ma simbólica. Si estos dos conjuntos no son el mismo. en las concepciones de los sujetos se distinguirán diversas componentes. es importante explorar los esquemas que tienen los estudiantes de varios conceptos matemáticos. diagrama.
93 mos que el signo del papel es una entre muchas representaciones de una enti- dad abstracta que no puede ni verse ni tocarse. cosa). Este período de condensación dura mientras la nueva entidad permanece estrechamente unida a un cierto proceso. se hace cada vez más factible la combinación de procesos. una habilidad repentina para ver algo familiar desde una nueva perspectiva. hacer comparaciones y generalizaciones. De acuerdo con dicha distinción. La persona se siente cada vez más capaz de pensar en un proceso dado como un todo sin necesidad de entrar en los detalles. Interiorización: la persona entra en contacto con los procesos que van even- tualmente a dar lugar a un nuevo concepto. mientras la «reificación» es un salto instantáneo: un proceso solidifica en un objeto. condensación y «reificación» (en inglés «reifica- tion». algorit- mos y acciones. y aumenta la facilidad para alternar diversas representacio- nes del concepto. aquellos que se originan a partir de procesos sobre el objeto en cuestión. Ha de quedar claro que este esquema de Sfard de tres fases debe entenderse como una jerarquía que implica que un estadio no se puede alcanzar mientras no se han pasado los estadios anteriores. «Reificación»: cuando la persona es capaz de concebir la nueva noción co- mo un objeto matemático en sí mismo decimos que el concepto ha sido «reifica- do». El estadio de «reificación» es el punto en el cual empieza una interiorización de unos conceptos de nivel superior. Sfard estable- ce dos tipos de concepciones: las concepciones estructurales cuando se conside- ran los conceptos matemáticos como objetos abstractos y las concepciones operacionales cuando se tratan las nociones matemáticas como procesos. Condensación: es un período en el cual se concentran las largas secuencias de operaciones en unas unidades más manejables. Las etapas de interiorización y de condensación son graduales y cuantitati- vas. Nos parece interesante señalar que Sfard se ocupa del proceso de formación de conceptos y distingue tres etapas que corresponden a tres grados de estruc- turalización: interiorización. 1990). en una estructura estática. Dichos procesos son operaciones con objetos matemáticos de nivel más elemental. integrar e interpretar algunas investi- gaciones empíricas en educación matemática. Gradualmente la persona se va familiarizando y adquiriendo las habilidades propias de dichos procesos. Una de las razones de la complejidad del conocimiento matemático es preci- samente que la mayoría de las nociones matemáticas pueden jugar un papel de procesos o de objetos. Dos observaciones importantes: — Este modelo de adquisición de conceptos se basa en considerar los orí- genes operacionales de los objetos matemáticos y tiene un carácter especulativo como posible instrumento para planificar. La «reificación» se define como un cambio ontológico. En este momento se puede dar un nombre al concepto que nace. según la situación del problema o la conceptualización del estudiante (Dreyfus. del latín res. — Pretender que existe un desarrollo prioritario de las concepciones ope- racionales sobre las estructurales es chocar con la práctica de enseñanza tradi- cional de las Matemáticas que consiste en introducir los conceptos nuevos . La nueva entidad se desprende del proce- so que la ha producido y empieza a adquirir su significado por el hecho de per- tenecer a una cierta categoría. La capacidad de «ver» de alguna manera esos objetos invisibles resulta ser una de las componentes de la habili- dad matemática.
las estructuras multiplicativas. Esto le in- duce a estudiar los llamados campos conceptuales. El concepto de número es un buen ejemplo de proceso de adquisición cognitiva a largo plazo y un buen ejemplo de interconexión entre diferentes aspectos de un mismo concepto. e) Los modelos de la inteligencia artificial De acuerdo con Vergnaud (1991). — Describir con precisión la variedad de comportamientos. que define como «amplios conjuntos de situaciones cuyo análisis requiere diversos tipos de conceptos. pro- cedimientos y representaciones simbólicas conectados entre sí». como medios pa- ra comprender y actuar. se pueden utilizar para probar teoremas. tanto empírico como teórico. La complejidad se debe también al desarrollo a largo plazo de los conceptos y procedimientos matemáticos y a la necesidad de un marco teórico que ofrezca una articulación tanto entre los problemas y el conocimiento como entre los es- quemas. — Establecer la transformación de invariantes implícitos. etcétera. a su vez. Vergnaud (1990 a) establece un programa para las investigaciones en este cam- po que permitiría disponer de un cuerpo válido de conocimiento de la psicolo- gía de la educación matemática y que debería consistir en un trabajo sistemático. en general sin ninguna referencia explícita a ningún tipo de procesos relacionados con el mismo. que contempla los siguientes puntos: — Analizar y clasificar la variedad de situaciones en cada campo conceptual. cómo ayudan a los estudiantes y cómo los profesores utili- zan estos intermediarios simbólicos. Vergnaud ha estudiado el desarrollo del concepto de número como un producto de la interacción de varias categorías de problemas en dife- rentes fases del desarrollo cognitivo de las ideas matemáticas. el desarrollo de una teoría psicológica del procesamiento de la información proviene de la necesidad de obtener un mode- . Ejemplos de cam- pos conceptuales son las estructuras aditivas. las geometrías euclidianas y proyectivas. En concreto. en objetos matemáticos bien identificados que se con- vierten progresivamente en una realidad física y «real». — Analizar el lugar que ocupan en dicho esquema el lenguaje y otras acti- vidades simbólicas. los conceptos y los símbolos. — Analizar las competencias matemáticas organizadas en esquemas e iden- tificar claramente las propiedades invariantes de situaciones de las cuales de- penden las situaciones invariantes de los esquemas (conceptos-en-acción y teoremas-en-acción). — Establecer la forma en que los estudiantes se van haciendo conscientes de que los procedimientos tienen una relación de necesidad tanto con los obje- tivos propuestos como con las condiciones iniciales. el álgebra elemental. 94 mediante definiciones. d) La teoría de los campos conceptuales Verganaud (1990 a y b) ha analizado cómo la complejidad de los conceptos matemáticos proviene de la gran variedad de situaciones subyacentes que. normalmente no se pueden analizar mediante un solo concepto. en consecuencia. y que. procedimien- tos y razonamientos que los estudiantes manifiestan al tratar cada clase de si- tuación.
una in- comprensión de la naturaleza de la demostración como algo que asegura la ineludibilidad lógica y una especial dificultad en las demostraciones escritas. en general. Existen varios estudios que se han ocupado de las ideas de los alumnos de bachillerato acerca de las demostraciones y que señalan los siguientes proble- mas generalizados: una falta del sentido de la necesidad de demostrar. es un modelo que no aporta una visión clara del desarrollo de las competencias y de las concepciones de los alumnos que suceden a través de la acción y de la comunicación mediante interacciones con problemas y con otrOs individuos. Una de sus aportaciones consis- te en haber estudiado los argumentos que utilizan los alumnos para su propio convencimiento. Investigaciones acerca del comportamiento matemático Existen diversas líneas de investigación dedicadas a los aspectos sociales y psicológicos de lo que podríamos llamar «comportarse como un matemático». Este modelo tampoco ofrece una teoría plausible del papel que desempeñan en el pensamiento el lenguaje y los símbo- los. la principal debilidad del modelo de procesamiento de la información consiste en que no da ninguna teoría no sólo de lo que es un con- cepto sino de su carácter operacional. varios estudios se han ocupado de los comienzos en la comprensión y en la pro- ducción informal de demostraciones. ha fracasado en el estudio de comportamientos complejos. 95 lo del pensamiento implícito. En cuanto al estudio del comportamiento matemático. Es una teoría que ha tenido éxito en ciertos cam- pos como el estudio de la percepción. o bien considera el pensamiento implícito como si fuera un conjunto de objetos definidos sin ambigüedad. ha resultado útil en el campo del cálculo (en particular para las cuatro operaciones) y. por ejemplo. pero falla cuando las opciones dependen de la conceptualiza- ción de nuevos objetos o relaciones. probar. Según Vergnaud. Tratan cuestiones generales como son el comportamiento en la resolución de problemas: definiE conjeturar. Balacheff (1987) ha llevado a cabo una importante investigación sobre los procesos de prueba con alumnos de 12-15 arios. Se trata de habilidades matemáticas que todo matemático domina pero que no se enseñan ni consciente ni explícitamen- te y en las que entran consideraciones tan difíciles de definir como son. en los campos en los cuales se pueden identificar procedimientos algorítmicos. lo cual le ha llevado a distinguir entre las que llama pruebas pragmáticas y pruebas intelectuales. a) Pruebas y demostraciones Demostrar es una de las características del comportamiento matemático y es probablemente la actividad que distingue más claramente el comportamiento matemático del comportamiento científico en otras disciplinas. Los alumnos utilizan pruebas pragmáticas . la elegancia y la estética. o bien identifica y reduce el pensamiento a una manipulación de símbolos. Si bien actual- mente existe una tendencia a retrasar el momento en que se supone que los alum- nos han de dominar las técnicas de las demostraciones matemáticas formales. pero que. Finalmente. Este modelo funciona siempre que el comportamiento esperado consiste en una secuencia de opciones entre un rango limitado de posibilidades identificadas y no ambiguas. en cambio.
Los trabajos de Schoenfeld han puesto de manifiesto la influencia del desa- rrollo sistemático. las inadecuadas creencias intuitivas. de la interacción entre las concepciones de los profesores y de los alumnos. nos parecen de especial rele- vancia los trabajos de Schoenfeld (1987) que ha desarrollado métodos de inves- tigación que permiten observar a los estudiantes durante las sesiones de resolución de problemas de manera que el investigador pueda recoger información acerca de cuestiones como: cómo se decide qué conocimiento matemático es el ade- cuado al problema. los modelos inadecuados.. pero se sabe poco de la influencia sobre la enseñanza y el aprendizaje. es decir. . cada uno de ellos reacciona ante los otros y evoluciona dentro del proceso de enseñanza. de la capacidad reflexiva de los alum- nos y de los medios intelectuales que les permitan controlar sus propios procesos de razonamiento. Todo ello implica una teoría sobre los errores en Matemáticas. de qué forma el resolutor decide utilizar este conocimiento y qué relaciones existen entre estas decisiones y la comprensión por parte del resolutor del campo matemático implicado en el problema. que los alumnos deberían saber identificar y ser conscientes de su origen y de sus efectos. La relevancia de este movimiento en la problemática de la psicología del aprendizaje de las Matemá- ticas se traduce en la hipótesis plausible de que lo que hacen los profesores en la clase introduce diferencias significativas en cuanto a lo que aprenden los alumnos Es sabido que las concepciones que tienen los profesores tanto de las Mate- máticas como de la enseñanza de las Matemáticas influye en su comportamien- to instruccional. El niño/adolescente aparece entonces como un subsistema dentro de otro sistema mayor que comprende otros subsistemas co- mo son el profesor y el propio conocimiento. b) Metacognición y resolución de problemas Es evidente que la resolución de problemas tiene un papel fundamental en el aprendizaje de las Matemáticas. Balacheff estudió el paso de un tipo de argumentación a otro y las habilidades para demostrar de los estudiantes en la situación social de la clase. los inadecuados manejos de los modelos. En este sentido. mientras que las argumen- taciones con pruebas intelectuales se basan en procesos de razonamiento y ge- neralizaciones. unas investigaciones que no sólo identifiquen los errores sistemáticos sino que expli- quen sus orígenes profundos y unos proyectos de investigación destinados al desarrollo de la capacidad de los alumnos de comprender las causas reales de sus errores y de controlar su influencia. las generalizaciones incorrectas. 96 cuando argumentan basándose en hechos observados. desde su adolescencia. lo que constituye la dimensión oculta de la enseñanza de las Mate- máticas. En este sentido destaca la importancia de ayudar a los alum- nos a identificar los orígenes de sus concepciones previas como son las asocia- ciones rígidas.. El aprendizaje de las Matemáticas desde una perspectiva social Las investigaciones que se ocupan de la dimensión social demuestran que el proceso de aprendizaje en la clase de Matemáticas debe entenderse en el con- texto de interacciones sociales y debe tener en cuenta la especificidad de la si- tuación en la que se desarrolla..
«Fondements et méthodes de la didactique des Mathématiques». 3.° 2. Vol. (1986). reflejan la situación actual. Vol. (Ed. BISHOP. Dicha problemática define un campo de investigación cuyo objeto es el es- tudio de situaciones y de procesos organizados con la intención de dar a los estudiantes un buen conocimiento de Matemáticas. «The social psychology of mathematics education». Recherches en Didactique des Mathémati- ques. BALACHEFF. Vol.). pp. el proceso que va desde la instrucción y/o información del profesor hasta la respuesta esperada del alumno debería requerir que éste aplicara la parte de conocimiento considerada. Brousseau (1988) ha intentado establecer una teoría de las situaciones didácticas. A partir de la exposición de algunas líneas de investigación en las cuales se pone de manifiesto la implicación del conocimiento psicológico en la educa- ción matemática. N? 3. 33-115. C. Psicología y currículum. N. pp. Proceedings of the PME 9. 309-336. 7. pp. 241-286. «Epistémologie et didactique». pp. . J. Por otro lado. Con. «Processus de preuve et situations de validation». 1986: «el proceso a través del cual el profesor "pasa" al estudiante la responsabilidad acerca de la validez de la solución de un problema dado») de un problema específico para su construcción. 97 Se ha demostrado que algunos estudiantes pueden obtener la respuesta a una pregunta dada no mediante el razonamiento matemático esperado sino me- diante la decodificación de las convenciones didácticas. 96-112. (1988).3. (1987). y KapAnucx. Una aproximación psicopedagógica a la elaboración del cu- rrículum escolar Barcelona: Laia. Educational Studies in Ma- thematics. Este fenómeno es con- secuencia del hecho de que en cualquier situación de enseñanza el profesor intenta conseguir que los estudiantes entiendan lo que él quiere que ellos en- tiendan. (1990). 10. M. Teóricamente. Cambrigde: Cambrigde University Press. N. 18. (1985). Recherches en Didactique des Mathématiques. A. «Le contrat didactique: le milieu». hemos tratado de ofrecer una visión de la pluraridad de los enfoques que. Mathematics and cognition. pp. (1990). BALACHEFF. BROUSSEAU. 9. cómo afectan al significado del conocimiento y cómo interaccionan los distintos subsistemas dentro de una situación de enseñanza dada. G. (1987). Referencias ARTIGUE. Ahora bien. N. 1-13. a nuestro entender. 147-176. Vol. BROUSSEAU. entonces el profesor deberá producir no la comunicación de una parte de conocimiento sino la devolución (Brousseau. En NESFIER. Desde el punto de vista de estudios de procesos y de fenómenos de aprendizaje la cuestión central consiste en la caracterización de la relación entre los aspectos relativos a las situaciones y el comportamiento cognitivo de los estudiantes. N. P. pp. La di- mensión «situación» es considerada por sí misma como un objeto de investigación. «Future perspectives for research in the psychology of mathenratics educa- don». Dentro de esta situación problemática se estudian cuestiones que provienen de la práctica corriente co- mo es la efectividad del aprendizaje individualizado con materiales de trabajo en comparación con la enseñanza a toda la clase o en grupo. Las situaciones de ense- ñanza como objeto de investigación plantean cuestiones del tipo: cómo funcio- nan con el propósito de favorecer el aprendizaje de los estudiantes. si se reconoce que hacer Matemáticas es hallar y resolver ciertos problemas específicos. G. Bishop (1985) afirma que «si existe algo que se deba aprender de las investigaciones en los aspectos sociales de la educación matemática es que el contexto y la situación son ambos importantes». Recherches en Didactique des Mathématiques.° 2. Vol.
VINNER. «La théorie des champs conceptuels». Curriculum development in Mathematics. en Coll. P. Hilldale.. Dordrecht: Reidel. A. (1985). (Eds. But fundamentally they refer to mat- hematics itself. (Ed. y KR. pp. areas with which it has an increasingly important relation. noviembre 1991.). (Ed. Vol. Educational Studies in Mathematics. J. VINNER. W. y DREYFUS. (1980). Palacios. S. inter-disciplinary area of study. Vol. J.). SCHOENFELD. En NESHER. Los primeros pasos en Matemáticas. Barcelona: Vicens Vives.. sociology. Cambridge: Cambridge University Press. D. RIVIERE. 3. GUZMÁN.. ROMBERG.PATIUCK. S. J. LAVE. S. T. Cambridge: Cambridge Uni- versity Press. HOWSON. Cambridge: Cambridge University Press.° 294.° 2. reference is made to the professio- nal nature of Mathematics Didactics. S. «Epistemology and psychology of mathematics education». NESHER. T.. Mat- hematics and cognition.). «Concept image and concept definition in Mathematics with par- ticular reference to limits and continuity». J. Psicología y pedagogía. Mathematics Association of America. G. y GOLDING. 151-169.) (1987). A. Madrid. Barcelona: Teide. Cambrid- ge: Cambridge University Press. and also to linguistics. 98 Com. Extended Summary The first part of this paper views Mathematic Didactics as an independent.. and technology. C. PIAGET. y VINNER. H. C. ZIMMERMANN. The questions which Maths didactics attempts to ans- wer refer to different areas of knowledge. (1990). J. (1990). Re- vista de Educación. E. 1-36. «Concept definition. (1991). and still under development. La cognición en la práctica. Vol. N. «Constructivismo e interacción educativa: ¿cómo enseñar lo que se ha de cons- truir?». (1983). N. Vol.) (1990). In- forme para la Organización de Estados Americanos. DE (1991). TALL. Barcelona: Ariel. Likewise. Cambrigde: Cambridge University Press. B. J. pp. 10. International Journal for Mathematical Educational in Science and Technology. «On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin».). FREUDENTHAL. Intuition in Science and Mathematics: an educational approach. C. N? 14. Barcelona: Paidós. pedagogy. communication. (1989). CHEVALLARD. Didactial phenomenology of mathematical structures. pp. E. «Tendencias y experiencias innovadoras en Educación Matemática». 14-30. KUHN. Cognitive Science and Mathematics Education. «Características problemáticas del currículum escolar en Matemáticas». «Advanced mathematical thinlcing». 20. psychology. (1970). VERGNAUD. La enseñanza de las Matemáticas y sus fundamentos psicológi- cos. La estructura de las revoluciones científicas. SFARD. (1991). J. 22. Grenoble: La Pensée Sauvage. Mathematics and cognition. (1987). P. (1981). its history and its epistemology. pp. T. Visualization in teaching and learning Mathema- tics. VERGNAUD. (1972). 323-406.3. (Ed. G. NJ: Erlbaum. y Marchesi A. linking it to teaching and to the specific problems which maths teachers encounter. En NESHER. Z. Due to the variety of scientific and applied sources within Maths Instruc- tion. concept image and the notion of function». P. DIENES. P. 293-305.. RESNICK. «Introduction». A. P. (1990 b). pp. (1990 a). Recherches en Didactique des Ma- thématiques.. S. G. Y. N. Journal for Research in Mathematics Education.° 12. (1990). N. (1984). with its own theoretical and practical field. KEITEL. W. W. y KILPATRICK. Dordrecht: Reidel... pp. México: Fondo de Cultura Eco- nómica. 113-134. J. Mathematics and cog- nition. (1991). (Ed. T. P. La construcción de las Matemáticas. «Problemas y dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas: una perspec- tiva cognitiva». pp. La transposition didactique. y FORD. Barcelona: Paidós. pp. DREYFUS. M. (1991). E. FISCHBE/N.) (1991). A. Educational Studies in Mathernatics. y KILPATIUCK. H. «Images and definitions for the concept of function». (1975). L. Madrid: Alianza Editorial. there is a wide range of areas of research: those referring to the teacher's . y KILPATRICK. DIENES. y CUNNINGHAM. (1991). (1981). Desarrollo psicológico y Educa- ción. Mathematics and cognition. Z. y KILPATIUCK. pp. Ponencia en el Congreso Internacional de Psicología y Educación «Intervención edu- cativa». (Ed.. 133-170. 96-112. 356-366. En NESHER. (Ed. FISCHBEIN.
classroom. the influence of the social.. such as the school centre. the paper analyses the behaviourist approach. which include such diverse issues as stu- dents' ideas. workshop. student-teacher-student interactions. laboratory. in addition to stimu- lating the student to learning in depth. to structure a sequence and organize subject content so that they may support a real constructive process of mathematical knowledge. In this sense. First. cultural and affective environment on learning. this section ends with a review of the constructivism view. This includes everything that refers both to tests and demonstrations. and in specific aspects of the subject area. Finally. 99 thoughts and the influence of his/her conceptual framework on his/her beha- viour. reference is made to studies on mathematical behaviour. theories of conceptual fields and artifi- cial intelligence. and the study focusses on the structuralist formative approach Finally.. . underlining the psychological factors which explain different trends. of students' interests. up to theories about learning through the use of problem solving. the characteristics of didactic theories of maths education in the last 30 years are described. their difficulties in learning in general. The aim is that neither the type of learning or the maths view that one wishes to be transmitted is damaged. Special emphasis is given to stu- dies on the cognitive processes involved in learning maths concepts. structu- ral concepts and operational concepts. Secondly. the role of motivation.. understood as a context of interactions where the specificity of each situation must be taken into account. to provide alternative representation models. teacher-class interrelations.. to meta- cognition and problem solving. those referring to the students. This indudes research dealing with maths learning processes in the classroom.. those referring to the framework in which the teaching (context) develops. conceptual scheme and conceptual definition. to use assessments as an educational tool at the disposal of the student and of the teaching/learning process. mathematical concepts and students' concepts. to interpret `errors` as the expression of a specific logical-mathematic competence from which it is necessary to begin and which it is necessary to take into account.. and student- student. research into maths learning is approa- ched from a social perspective. Particular emphasis is laid on the im- portance of planning and developing the teaching/learning process whose main implications for teachers may be summarized as follows: To give meaning to subject content and to maths problems.. particular attention is paid to some models used in research work into these cognitive processes: conceptual image and visualization. their attitudes and aptitudes. those referring to teaching strategies which incorporate from new curricular proposals and new resources of specific teaching. Next. The third section of this paper begins by summarizing the existing limes of research within Mathematics Education. teacher-student..
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e contrario
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