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Timestamp: 2018-07-20 22:08:10+00:00

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Cálculos en Ingeniería Química: abril 2014
Conceptos Principales Resolución de problemas de balance de materia en los que no intervienen reacciones químicas
Ilustremos varios procesos distintos y demostraremos que todos pueden tratarse de manera idéntica en su análisis. El suplemento de este blog contiene problemas resueltos adicionales.
Temas por Tratar Resolución de problemas de balance de materia en los que no intervienen reacciones químicas
En esta sección presentaremos varios ejemplos detallados que implican la preparación y resolución de balances de materia para un solo sistema. Los sistemas múltiples interrelacionados se tratarán en la sección 3.5. Si desea adquirir habilidades y criterio en la resolución de problemas de balances de materia, la forma e estudiar esta sección se la siguiente: tape la solución del problema y lea el enunciado; luego bosqueje en una hoja de papel su solución paso por paso, y sólo entonces examine la solución que se incluye en el libro. Si se limita a leer el problema y la solución, carecerá de la actividad de aprendizaje necesaria para adquirir confianza en su capacidad.
Resolución de problemas de balance de materia en los que no intervienen reacciones químicas
Escribir un conjunto de ecuaciones independientes de balance de materia para un proceso.
Resolver un conjunto de ecuaciones lineales, o resolver una de dos ecuaciones no lineales simultáneas.
Aplicar la estrategia de 10 pasos para resolver problemas sin reacciones químicas.
Etiquetas: Balance de Materia
Ideas Clave resolución de problemas
Siga la misma estrategia para resolver todos los problemas de balance de materia.
En la tabla 3.1 se bosqueja una estrategia comprobada que el lector debe seguir.
Al formular los balances de materia líneales para resolver un problema, es necesario tener el mismo número de ecuaciones independientes que de variables incógnitas para poder obtener una solución única.
El número de ecuaciones lineales independientes es igual al rango e la matriz de coeficientes de las ecuaciones.
En retrospectiva resolución de problemas
En esta sección presentamos una estrategia de resolución de problemas que se aplica a todo tipo de problemas de balance de materia. También indicamos que el objetivo principal se escribir un conjunto de ecuaciones independientes iguales en número al número de variables cuyos valores se desconocen.
Solución a Determinar el número de grados de Libertad (II)
Solución al problema del anterior post.
Lo que se nos pide es obtener es el número de grados de libertad para el problema de la figura E3. 4a. Es preciso tener en cuenta que en cualquier flujo es posible determinar uno de los valores de composición obteniendo la diferencia respecto al 100%. Recuerda usted por qué?. He aquí la cuenta el número mínimo de variables cuyos valores no se conocen.
Como ejemplo de esta cuenta, en el flujo A la especificación de A más una composición permite calcular la otra composición y por tanto el flujo másico tanto el H2SO4 como del H2O. Revise usted mismo la cuenta de los otros flujos. Son correctos los valores? En total, sólo es posible escribir tres ecuaciones de balance de materia independientes (recuerda usted por qué?), lo que deja 9-3 = 6 composiciones que hace fata especificar.
Basta con especificar los valores de 6 variables cualesquiera de la figura E3.3a además de D? No. Sólo es preciso especificar los valores que permitan establecer un número de balances de materia independientes igual al número de variables desconocidas. Como ejemplo de conjunto de mediciones satisfactorio, escoja una composición del flujo A, dos del B, uno del C y dos del D, dejando los flujos A, B y C como incógnitas.
Qué opina usted de la especificación del siguiente conjunto de mediciones: A, B, C, dos composiciones de D y una composición de B? Dibuje un diagrama de la información, como en la figura E3.4b (. = cantidad conocida). Escriba las tres ecuaciones de balance de materia. Son independientes? Se dará cuenta de que no son independientes. Recuerde que la suma de las fracciones de masa de cada flujo es la unidad.
Ejemplo Determinar el número de grados de Libertad (I)
Examine la figura E3.4a, que representa un diagrama de flujo sencillo para una sola unidad. Sólo se conoce el valor de D. Cuántas mediciones más es preciso realizar, como mínimo, para determinar todos los demás valores de flujos y composiciones?
Cuando usted prepara el conjunto de ecuaciones independientes que representan los balances de materia de un problema y cuenta el número de variables cuyos valores desconoce, es posible que los recuentos no concuerden. Si no se equivocó, qué significa este resultado?. Si hay más variables de valor desconocido que ecuaciones independientes, existe un número finito de soluciones para el problema de balance de materia, cosa que de ninguna manera es satisfactoria. Estos problemas se consideran subespecificados (subdeterminados). Habrá que encontrar los valores de variables adicionales para subsanar el déficit o bien se deberá plantear el problema como un problema de optimización, digamos para minimizar alguna función de costos o ingresos sujeta a las restricciones que representan los balances de materia. Por otro lado, si hay menos variables de valor desconocido que ecuaciones independientes, el problema está sobreespecificado (sobredeterminado) y no tiene solución, pues las ecuaciones son inconsistentes. Una vez más, el problema podría plantearse como un problema de optimización, a fin de minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones de las ecuaciones respecto a cero ( o sus constantes de miembro derecho).
La diferencia entre el número de variables cuyo valores no se conocen y el número de ecuaciones independientes se denomina número de grados de libertad. Si los grados de libertad son positivos, digamos dos, es necesario buscar otras dos ecuaciones independientes o especificaciones de variables para obtener una solución única al problema de balance de materia. Si los grados de libertad son negativos, digamos -1, hay demasiadas ecuaciones o un número insuficiente de variables en el problema. Quizá olvidó incluir una variable al crear el diagrama de información del problema, o tal vez parte e la información que usó no es correcta. Si hay cero grados de libertad, esto significa que el problema de balance de materia está especificado correctamente y que puede proceder a resolver las ecuaciones para obtener los valores de las variables incógnitas. (Si las ecuaciones independientes no son lineales, es posible que exista más de una solución, como se mencionó antes.)
También es importante pensar en la resolución eficiente e los problemas
Seguramente descubrirá muchas formas correctas e resolver un problema dado; todas dan la misma respuesta correcta si se aplican como es debido. Sin embargo, no todas requieren la misma cantidad de tiempo y esfuerzo. Por ejemplo, tal vez desee resolver un problema que inicialmente se planteó en libras convirtiendo las unidades dadas a gramos o gramos mol, resolviendo las cantidades requeridas en unidas del SI y convirtiendo la respuesta a unidades del sistema estadounidense. Un método semejante es válido pero puede ser muy ineficiente; consume el tiempo en pasos innecesarios y aumenta la probabilidad de que ocurran errores númericos . Por tanto, es conveniente comenzar a adquirir el hábito de buscar formas eficientes de resolver los problemas, no sólo una forma. Un buen ejemplo es sustituir el balance de masa total por el balance de masa de un componente a fin de reducir el número de variables desconocios.
Estrategia para analizar los problemas de balances de materia (III)
Algo sorprendente: Es más fácil encontrar errores en los cálculos de otra persona que en los propios! Cuando usted revisa su propio trabajo, tiende a seguir el mismo camino, pero otra persona podría ver de manera diferente su trabajo. En consecuencia, si queremos detectar un error hay que imaginar diferentes formas de resolver los problemas y contemplar el problema desde diferentes ángulos.
Verifique las respuestas
Todos cometemos errores. Al obtener una respuesta, pregúntese si tiene sentido. Utilice un balance redundante (como el balance total de masa) que no haya usado en los cálculos y pruebe los valores de las respuestas.
Resuelva las ecuaciones
En el caso de una o tres ecuaciones lineales éstas pueden resolverse por sustitución. Si hay más ecuaciones lineales o si hay ecuaciones no lineales, es recomendable usar un programa de computador.
Cuente el número
Significa literalmente que deberá determinar si el número de variables cuyos valores desconoce es igual al número de ecuaciones independientes. asegúrese de que las ecuaciones sean realmente independientes. Qué debe hacer si el número de ecuaciones independientes no coincide con el número de variables?. El mejor procedimiento consiste en revisar el análisis del problema asegurándose de no haber ignorado alguna ecuación o variable, haber contado doble, haber olvidado buscar datos faltantes o haber cometido algún error en las suposiciones.
Escriba las ecuaciones independientes
Significa comenzar por escribir los nombres de las ecuaciones independientes que piense usar y, como parte también del paso 8, escribir las ecuaciones mismas.
Haga una lista de símbolos
Significa escribir los nombres de los símbolos correspondientes a las variables cuyo valor se desconoce, y contar cuántos son.
Escoja una base de cálculo
Consulte la sección 1.2
Publicadas por Unknown a la/s 21:01 No hay comentarios.:
Indicar los valores conocidos
Significa anotar a un lado o en lugar de cada símbolo su valor si éste se conoce. Una vez que se adquiere experiencia, podrá omitirse la colocación de símbolos para los valores conocidos y simplemente anotar los valores. Piense en un menú d euna pantalla de computadora que es preciso llenar. Si no tiene suficientes datos intente:
a) buscarlos en una base de datos;
b) calcular los valores de las variables o parámetros a partir de los valores conocidos de otros datos, insertando ceros si se aplica;
c) hacer suposiciones válidas acerca de los posibles valores de variables o parámetros selectos.
Significa colocar un símbolo para cada variable, conocida o desconocida, a un lado de la flecha o cuadro correspondiente, como una A para indicar alimentación o una T para indicar temperatura.
Haga un dibujo
Significa dibujar un cuadro o un círculo sencillo para representar el proceso de interés. Dibuje flechas para los flujos.
Leer el problema significa leer el problema con detenimiento para entenderlo.
Un tren se acerca a la estación a 105 cm/s. Un hombre adentro de un vagón está caminando hacia adelante a 30 cm/s respecto a los asientos, y está comiendo un hot dog de un pie de largo, el cual entra en su boca a razón de 2cm/s. Una hormiga sobre el hot dog está alejándose de la boca del hombre con una velocidad de 1cm/s. Con qué rapidez se está acercando la hormiga a la estación?
Un análisis superficial tendrá cuidado de ignorar la longitud del hot dog pero calcularía: 105 + 30 -2 +1 = 134cm/s como respuesta. Sin embargo, al leer con más cuidado, vemos que el problema dice que la hormiga se está alejando de la boca del hombre a 1 cm/s. Como la boca del hombre se está moviendo hacia la estación a razón de 135cm/s, la hormiga se está moviendo hacia la estación con una velocidad de 136cm/s
Publicadas por Unknown a la/s 16:18 No hay comentarios.:
Estrategia para analizar los problemas de balances de materia (II)
6. Haga una lista de simbolos para cada uno de los valores desconocidos de los flujos y las composiciones, o por lo menos márquelos claramente de alguna manera y cuéntelos.
7. Escriba los nombres de un conjunto apropiado de balances por resolver; escriba los balances indicando el tipo de balance junto a cada uno. No olvide los balances implícitos para las fracciones en masa o molares.
8. Cuente el número de balances independientes que es posible escribir, compruebe que sea posible obtener una solución única. Si no es así, busque más información o revise sus suposiciones.
9. Resuelva las ecuaciones. Cada cálculo debe hacerse sobre una base consistente.
10. Verifique sus respuestas sustituyendo algunas de ellas, o todas, en los balances de materia redundantes que haya. Se satisfacen las ecuaciones? Son razonables las respuestas?
Estrategia para analizar los problemas de balances de materia (I)
Lea el problema y aclare lo que se desea lograr.
Haga un dibujo del proceso; defina el sistema por medio de una frontera
Rotule con símbolos cada flujo y las composiciones que les correspondan, además de otra información que se desconozca.
Indique todos los valores conocidos de composición y flujo de las corrientes en la figura, junto a cada flujo; calcule las composiciones y flujos adicionales a partir de los datos dados según sea necesario, o bien, identifique inicialmente los parámetros conocidos.
Escoja una base de cálculo.
Programa de análisis de problemas de balance de materia - Conceptos Principales (VIX)
Hasta ahora hemos centrado nuestra atención en la forma de escribir los balances de materia y en los requisitos que debemos satisfacer para que las ecuaciones tengan una solución. Ha llegado el momento de examinar otros aspectos importantes del desarrollo de habilidades para tener éxito en la resolución de problemas. En la tabla 3.1 se presenta en forma de lista la estrategia que recomendamos al lector usar para resolver todos los problemas de balance de materia y de energía de este libro.
Si utiliza los pasos de la tabla 3.1 como una lista mental de verificación cada vez que comience a trabajar con un problema, habrá alcanzado la meta principal de este capítulo y acrecentado de manera sustancial sus habilidades profesionales. Estos pasos no tienen que darse en el orden que tienen en la tabla 3.1, y es posible repetir pasos cuando se haga más clara la formulación de la solución del problema. Pero todos los pasos son indispensables.
A continuación comentaremos cada uno de los pasos.
Programa de análisis de problemas de balance de materia - Conceptos Principales (VIII)
Podríamos haber efectuado balances de moles en lugar de balances de masa para el problema ilustrado en la figura 3.6? Ciertamente, pero no sería eficiente convertir todas las fracciones de masa en fracciones molares para escribir tales balances. Sin embargo, si la concentración se hubiera dado en porcentaje en moles (cosa que no se hizo porque los flujos eran líquidos) y F y P se expresaran en moles, hubiera sido más cómodo escribir balances de moles en lugar de balances de masa.
Son independientes las ecuaciones de balance de materia que escribimos para el proceso de la figura 3.6? Podemos contestar esta pregunta determinando el rango de la matriz de coeficientes para el conjunto de ecuaciones lineales en las que intervienen mi. Es 3?
Programa de análisis de problemas de balance de materia - Conceptos Principales (VII)
Para desacoplar las ecuaciones durante su formulación, podríamos usar como conjunto de variables mEtOH, mH2O y mMeOH más W, donde m representa el flujo másico del componente designado por el subíndice. Las variables cuyos valores se desconocen serían las tres m más W, y tres balances independientes en kg para calcular las mi serían
Observe que el cálculo de W equivale a sumar las fracciones en masa. (Qué se obtiene al dividir entre W cada uno de los términos de la ecuación para calcular W?)
Programa de análisis de problemas de balance de materia - Conceptos Principales (VI)
Observe que los términos del lado izquierdo de los balances de componentes no son lineales (ωxW). Por tanto, si queremos simplificar la solución del problema nos conviene utilizar primero el balance total de masa.
100 = 60+W
y resolver para W(W = 40) y luego introducir W en los balances de los componentes con fin de que éstos queden lineales y desacoplados. Así, el balance de cada componente se podrá resolver de manera independiente. Cabe señalar que el balance total de masa no es una ecuación independiente adicional -es tan sólo la suma de los tres balances de los componentes, ya incluida la sumatoria de las fracciones de masa- pero puede sustituirse por uno de los balances independientes, de modo que el número total de balances independientes siga siendo cuatro.
Programa de análisis de problemas de balance de materia - Conceptos Principales (V)
En primer lugar, contemos el número de variables cuyos valores desconocemos. Éstas son W, ωEtOH, ωH2O y ωMeOH. Por tanto, sabemos que necesitamos cuatro ecuaciones independientes para obtener una solución única (las ecuaciones que resolveremos serán lineales). Podemos hacer tres balances de masa, uno para cada uno de los componentes, como sigue, y usar la sumatoria de las fracciones molares como cuarta ecuación independiente.
Programa de análisis de problemas de balance de materia - Conceptos Principales (IV)
Por qué (N-1) fracciones en masa en lugar de N? Recuerde que en la formulación del problema están implicitas restricciones (ecuaciones) debidas a la definición de fracción en masa, a saber, que la suma de las fracciones en masa en cada flujo debe ser la unidad: Σωi = 1, como por ejemplo en una disolución salina.
ωNaCl + ωH2O =1
Si los componentes individuales de la corriente se expresan como moles, está implicita una ecuación similar para cada flujo: la suma de las fracciones molares es la unidad: Σxi = 1 como por ejemplo:
xNaCl + xH2O =1
(Las variables de la corriente adicionales como la presión y la temperatura se considerarían en capítulos subsecuentes.
Como ilustración de los conceptos que acabamos de presentar, examine la figura 3.6 que ilustra un proceso con tres componentes en cada flujo líquido. Suponga que el proceso está en estado estacionario, de modo que el término de acumulación de la ecuación 3.1 es cero. No hay reacción, así que los términos de generación y consumo de esa misma ecuación también son cero. Se han colocado todos los datos conocidos sobre los flujos de la figura. Tenga presente que los valores registrados son porcentajes de masa, no de moles. Sabe por qué? El objetivo es calcular los valores de las variables cuyo valor se desconoce.
Programa de análisis de problemas de balance de materia - Conceptos Principales (III)
En este blog haremos caso omiso de la incertidumbre que existe en todas las mediciones de un proceso. No obstante, el lector debe estar consciente de que las mediciones repetidas de una variable no producirán necesariamente el mismo valor en cada ocasión. En consecuencia, es frecuente que los valores de las variables y coeficientes de los balances de materia hechos en la práctica sean sólo aproximados, que un balance no salga exacto, y que la prueba del rango de la matriz de coeficientes de un conjunto de ecuaciones no produzca una respuesta inequívoca.
Al efectuar balances de masa (o de moles) en estado estacionario para un solo componente de una mezcla, si bien los flujos implicados en el proceso son flujos másicos (o molares) del componente, hay dos formas básicas de expresar dichos flujos como variables. Una de ellas consiste simplemente en designar el flujo másico con un símbolo como m1, donde el subíndice i identifica el componente específico. La otra forma consiste en usar el producto de una medida de concentración por el flujo, como en ωiF, donde ωi es la fracción de masa del componente i en F, y F es el flujo másico total. De manera análoga, al representar moles, el símbolo podría ser ni que es igual a xiG, donde xi sería la fracción molar y G el número total de moles. En cualquier mezcla de N componentes, existen N variables de la corriente, ya sea N valores de mi o de ni, según sea el caso, o sus equivalentes, a saber (N-1) valores de ωi (0 xi) más la velocidad del flujo de la corriente, F (o G).
Ejemplo Determinación de número de ecuaciones independientes
Una forma de determinar el número de ecuaciones lineales independientes para un problema consiste en determinar el rango de la matriz de coeficientes para el conjunto de ecuaciones. Cuál es el rango de las siguientes matrices de coeficientes? (El rango es igual al orden del determinante más grande distinto de cero presente en la matriz; consulte los detalles en el apéndice L.)
a) El rango es 2 por inspección porque el determinante más grande distinto de cero de a) es de orden 2.
b) El rango de b) es de uno! Intente formar un determinante distinto de cero de orden 2 o de orden 3. Qué obtiene?
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