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Herramientas y el futuro de la educación, Parte 4a: Uso de cerebros humanos e informáticos como herramientas para resolver problemas matemáticos – AGATE
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Publicación #250, 31 de Enero del 2019
El libro recientemente revisado y actualizado de Dave Moursund, The Fourth R (Segunda edición) ahora está disponible en inglés y en español. La tesis de este libro es que la 4ta R de Razonamiento / Pensamiento computacional es fundamental para capacitar a los estudiantes de hoy y sus maestros a lo largo del currículo K-12. La primera edición se publicó en diciembre de 2016, la segunda edición en agosto de 2018 y la traducción al español de la segunda edición en septiembre de 2018. Los tres libros tienen ahora un total de 34.000 vistas de página y descargas (Moursund, diciembre, 2016; agosto de 2018; septiembre de 2018).
Parte 4a: Uso de cerebros humanos e informáticos como herramientas
“Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas” (René Descartes; filósofo, matemático, científico y escritor francés; 1596-1650).
“El elemento individual más importante en la resolución de problemas es el individuo que trabaja en el problema. El secreto del éxito real es la confianza y el deseo de tener éxito. Uno debe intentarlo nuevamente, variar los métodos y procedimientos, tener inteligencia y buena suerte. No hay reglas infalibles para resolver problemas “. (John N. Fujii; matemático y educador matemático estadounidense).
“Si tuviera una hora para resolver un problema y mi vida dependiera de la solución, pasaría los primeros 55 minutos determinando la pregunta adecuada para hacer, porque una vez que conozco la pregunta adecuada, podría resolver el problema en menos de cinco minutos”. . ”(Albert Einstein; físico teórico nacido en Alemania y ganador del Premio Nobel de 1921; 1879-1955).
René Descartes es un matemático y filósofo muy famoso. Tal vez usted ha oído hablar de la geometría cartesiana ( geometría analítica) y / o su declaración: “Creo que, por lo tanto, lo soy”.
La primera de las citas dadas al comienzo de este boletín de noticias captura parte de lo que considero uno de los aspectos más importantes de la resolución de problemas. La lectura, la escritura y las computadoras son herramientas que ayudan a los solucionadores de problemas a construir sobre el trabajo anterior de ellos mismos y de otros (Moursund, 1/19/2019, enlace ).
Las otras dos citas capturan elementos clave de la disciplina de resolución de problemas.
¿Por qué nuestras escuelas prestan tanta atención a la resolución de problemas de matemáticas y las matemáticas en sí? Quizás la respuesta más simple es que muchos de los problemas que enfrentan las personas que viven en el mundo de hoy están relacionados con las matemáticas. Queremos preparar a los estudiantes para tratar adecuadamente estos aspectos de la vida cotidiana.
Debido a que las matemáticas son una disciplina tan antigua y rigurosa, se han estudiado y resuelto una gran cantidad de tipos diferentes de problemas matemáticos a lo largo de los años. Cuando alguien resuelve una determinada categoría de problemas matemáticos y los resultados se publican en una revista acreditada y revisada, otros pueden desarrollar este trabajo con un alto grado de confianza. Los estudiantes de hoy pueden acceder, aprender a usar y acumular muchos cientos de años de conocimiento acumulado en matemáticas.
En mis primeros días de enseñanza de resolución de problemas matemáticos, encontré el libro de George Pólya, Cómo resolverlo, Un nuevo aspecto del método matemático (Pólya, 1957). Su libro contiene una estrategia general de seis pasos que uno puede seguir al intentar resolver casi cualquier problema. Los seis pasos de la estrategia de Polya y las aplicaciones de esta estrategia para resolver problemas de matemáticas son el enfoque de este boletín y el siguiente.
Tenga en cuenta que no hay garantía de que el uso de este procedimiento siempre resuelva el problema que una persona está tratando de resolver. Por ejemplo, los primeros casos de VIH / SIDA se descubrieron en 1981. Desde entonces, un gran número de investigadores han estado tratando de resolver varios aspectos de este problema multifacético. Si bien se ha producido un progreso significativo, el problema no se resuelve de ninguna manera. Se pueden hacer declaraciones similares sobre otros problemas médicos, como cáncer, derrame cerebral y ataque cardíaco.
Aquí hay tres problemas de matemáticas simples para reflexionar:
Encuentre un número entero que sea mayor que 5 y menor que 7. (Este problema tiene exactamente una solución).
Encuentre un número entero que sea mayor que cinco y menor que 8. (Este problema tiene dos soluciones).
Encuentre un número entero que sea mayor que 5 y menor que 6. (Este problema no tiene solución).
Estos tres problemas matemáticos ilustran dos ideas muy importantes. Primero, un problema de matemáticas puede tener más de una solución correcta. Segundo, un problema de matemáticas puede no tener solución. Debo admitir que realmente me duele cuando escucho a un alumno decir: “Mi objetivo es encontrar la respuesta”.
Incluso si el problema en el que está trabajando es solucionable, es posible que carezca de los conocimientos, las habilidades, el tiempo y otros recursos necesarios para resolverlo. Sin embargo, la estrategia de seis pasos de Pólya podría ayudarlo a iniciar un camino hacia el éxito.
Una estrategia de seis pasos para intentar resolver muchos tipos diferentes de problemas.
Esta sección contiene una versión ligeramente modificada de la estrategia de seis pasos de Pólya. Es aplicable a la resolución de problemas en muchas otras disciplinas además de las matemáticas.
Entiende el problema. Vea la cita de Einstein al comienzo de este boletín. Entre otras cosas, esto incluye trabajar para tener un problema claramente definido. Necesita una comprensión de la situación inicial dada, objetivo, recursos y propiedad. Esto requiere el conocimiento de los dominios del problema, que podrían ser interdisciplinarios. Esto me recuerda a la siguiente cita del biólogo inglés Thomas Huxley:
La mayoría de los problemas son interdisciplinarios. La recomendación es desarrollar un alto nivel de experiencia en al menos una disciplina, así como una educación general muy amplia. Una persona puede esforzarse por alcanzar un alto nivel de experiencia, tanto en un área vocacional como en un área no vocacional. Tal vez haya escuchado a personas hablar sobre su “trabajo diurno” en el que se ganan la vida y su “trabajo nocturno” que es una vocación como la música que hacen para divertirse.
Determine un plan de acción. Esta es una actividad de pensamiento. ¿Qué estrategias aplicarás? ¿Qué recursos usará, cómo los usará y en qué orden los usará? ¿Son los recursos adecuados a la tarea? Estas son preguntas desafiantes. Sugieren la necesidad de una buena educación que incluya un fuerte énfasis en aprender a usar los recursos que están disponibles y se usan comúnmente en muchas áreas diferentes de resolución de problemas. La recuperación de información es una habilidad útil en todas las áreas de la resolución de problemas.
Piense cuidadosamente sobre las posibles consecuencias de llevar a cabo su plan de acción. Poner mayor énfasis en tratar de anticipar resultados indeseables. ¿Qué nuevos problemas se crearán? Puede decidir dejar de trabajar en el problema o volver al paso 1 como consecuencia de este pensamiento. Como ejemplo un tanto humorístico, hace muchos años decidí plantar bambú en mi jardín. Mi hermano mayor dijo que esto era un error, ya que el bambú se extendería y sería muy difícil de erradicar. Continué con la siembra, y esto finalmente resultó ser un grave error.
Lleva a cabo tu plan de acción. Hazlo de una manera reflexiva. Este pensamiento puede llevarlo a la conclusión de que necesita volver a uno de los pasos anteriores. Tenga en cuenta que este pensamiento reflexivo conduce a una mayor experiencia. La declaración de “hacer esto de una manera reflexiva” es fundamental para desarrollar una mayor experiencia. Creo firmemente que nuestro sistema educativo es débil en esta área.
Verifique si se ha logrado el objetivo deseado al llevar a cabo su plan de acción. A continuación, realice una de las siguientes acciones:
Si el problema se ha resuelto, vaya al paso 6.
Si el problema no se ha resuelto y está dispuesto a dedicarle más tiempo y energía, haga uso del conocimiento y la experiencia que ha adquirido al regresar al paso 1 o al paso 2.
Decide dejar de trabajar en el problema. Esto podría ser una decisión temporal o permanente. Tenga en cuenta que es posible que el problema en el que está trabajando no sea solucionable o que esté más allá de sus capacidades y recursos actuales.
Haga un análisis cuidadoso de los pasos que ha llevado a cabo y los resultados que ha logrado para ver si ha creado nuevos problemas adicionales que deben abordarse. Reflexiona sobre lo que has aprendido al resolver el problema. Piense en cómo su mayor conocimiento y habilidades se pueden utilizar en otras situaciones de resolución de problemas. Tenga en cuenta la cita de Fujii al comienzo de este boletín:
“El elemento individual más importante en la resolución de problemas es la persona que trabaja en el problema. El secreto del verdadero éxito es la confianza y el deseo de triunfar. Uno debe intentar y volver a intentarlo, variar los métodos y procedimientos, tener inteligencia y buena suerte. No hay reglas infalibles para resolver problemas “.
Una versión en diagrama de seis pasos de la estrategia de Pólya para resolver problemas matemáticos
Hay muchos tipos diferentes de problemas matemáticos y hay muchas maneras diferentes de intentar resolver un problema matemático. Durante muchos años, he usado el diagrama de la Figura 1 como una ayuda para enseñar a los maestros sobre las funciones de las computadoras para resolver problemas de matemáticas. Se basa en la estrategia de seis pasos de Polya dada en la sección anterior, pero se enfoca específicamente en problemas orientados a las matemáticas.
Figura 1. Un procedimiento de seis pasos para resolver problemas de matemáticas.
Quizás la primera pregunta a considerar es, “¿Qué es un problema de matemáticas?” Cita de la Wikipedia (2019b, enlace ):
Un problema matemático es un problema susceptible de ser representado, analizado y, posiblemente, resuelto con los métodos de las matemáticas.
Desafortunadamente, para entender esta definición, primero se necesita saber el significado de los métodos de las matemáticas.
Por ejemplo, un método de matemáticas es contar. A un niño pequeño se le da una pequeña colección de bloques de madera y se le hace la pregunta matemática: “¿Cuántos bloques hay?”. El niño dice las palabras uno, dos, tres, etc. mientras toca o quizás mueve un bloque a la vez de la colección. Cuando se ha procesado el último bloque, el niño dice que la respuesta es el último número usado para contar los bloques.
Este es un logro matemático profundo para un niño pequeño. El niño ha aprendido un proceso para determinar el número de objetos en una colección pequeña. Funciona igual de bien para bloques de madera, bloques de plástico y dulces.
Tales juegos de conteo son una buena actividad de aprendizaje para ayudar al niño a desarrollar el sentido numérico. En términos de conteo de bloques, el número seis viene antes del número diez. Seis bloques no son tantos como diez bloques y una colección de seis bloques es más pequeña que la colección de los diez bloques. Todos estos conceptos son una forma de sentido numérico.
Solo por diversión, piense en la complejidad adicional de contar el número de autos azules que uno ve pasar frente a una esquina. El niño no puede tocar los carros, y pronto están fuera de la vista. Muchos de los coches no son azules. Y, hay muchos tonos de azul, tal vez no esté claro si un automóvil en particular debería llamarse azul. (¿Y qué pasa si el niño es ciego al color? Si el niño tiene algún tipo de ceguera al color, ¿qué y cuándo quiere que el niño aprenda sobre esto?)
El resto de este boletín y la mayor parte del siguiente se basan en el diagrama de la Figura 1. El énfasis está en la pregunta de qué aspectos de esta estrategia de seis pasos se adaptan mejor a los cerebros humanos y cuáles son los más adecuados para los cerebros de las computadoras.
El mensaje es que aprender y hacer matemáticas en la actualidad requiere que los estudiantes aprendan a usar de manera efectiva una combinación de su propio poder mental y el de los cerebros de las computadoras para resolver problemas de matemáticas. Esta observación se aplica a la resolución de problemas en todo el currículo (Moursund, 2018b, enlace).
Paso 1: Convertir la situación del problema en un problema claramente definido para resolver
El boletín anterior de esta serie analizó cuatro características de un problema bien definido (Moursund, 15/01/2019, enlace):
Dada la situación inicial.
Recursos, junto con lineamientos, normas, reglamentos, etc.
Este aspecto de la resolución de problemas es aplicable a los problemas en cada disciplina de estudio. Por lo tanto, a medida que los alumnos estudian y practican la resolución de problemas en todo el currículo y fuera del currículo, pueden y deben explorar una amplia gama de problemas. Me gusta usar la frase “Ver el mundo a través de lentes de colores para resolver problemas. Es decir, piense en los muchos tipos de situaciones que encuentra en la vida como situaciones problemáticas. Practica analizando estas situaciones y convirtiéndolas en problemas bien definidos.
Tenga en cuenta que el paso 1 es un esfuerzo humano. Si bien el acceso a las computadoras suele ser útil, un aspecto importante de este paso es que el solucionador de problemas desarrolle una comprensión humana del problema a resolver y la importancia de resolverlo. Esta comprensión humana es a menudo esencial para detectar errores mientras se trabaja para resolver un problema. En matemáticas, hablamos sobre el sentido de los números, el sentido del álgebra, el sentido espacial / geométrico, etc. La buena educación matemática ayuda a los estudiantes a desarrollar estos sentidos.
Aquí hay una repetición de la cita de Einstein al comienzo de este boletín:
“Si tuviera una hora para resolver un problema y mi vida dependiera de la solución, pasaría los primeros 55 minutos determinando la pregunta adecuada para hacer, porque una vez que conozco la pregunta adecuada, podría resolver el problema en menos de cinco minutos”.
Por pregunta apropiada, Einstein se refiere a la necesidad de tener un problema claramente definido. En su opinión, esta es la parte más difícil y más importante de la resolución de problemas.
Esta afirmación debería hacerle pensar acerca de los tipos de problemas que los estudiantes tratan en la escuela. Plantear y luego refinar el problema planteado en un problema bien definido (claramente definido) es uno de los aspectos más importantes de la resolución de problemas.
Para simplificar, considere dos tipos de problemas que todos los estudiantes encuentran en sus clases de matemáticas. Un tipo presenta a los estudiantes un problema establecido en notación matemática, utilizando el lenguaje de las matemáticas (Moursund, 2018a, enlace ). Podría ser un problema agregar una colección de números, o podría ser un problema resolver una ecuación algebraica. Este tipo de problema es un ejemplo de matemáticas puras y no hace referencia a ninguna otra disciplina de conocimiento y comprensión humana. Aquí hay dos ejemplos de problemas matemáticos “puros”.
Resuelve para x en la ecuación: x – 6 = x / 2
Un problema de palabras o un problema de historia se expresa en una combinación de palabras no matemáticas y palabras matemáticas. Un término más general es el problema de matemáticas aplicado. Por ejemplo:
Hoy es el cumpleaños de Suzy. Ahora tiene el doble de edad que hace seis años. ¿Qué edad tiene Suzy ahora?
Este problema habla de una niña llamada Suzy, su edad y su cumpleaños. Estas son todas palabras e ideas no matemáticas. Para entender las matemáticas en este problema, uno debe saber que doble significa dos veces y seis significa 6. El nombre Suzy es un nombre femenino, pero el nombre específico y el género de esa persona realmente no tienen nada que ver con el problema. Son información extraña.
Los cumpleaños vienen una vez al año, a menos que uno nazca el 29 de febrero de un año bisiesto. Hmm El problema no está claramente expuesto. Supongamos que Suzy nació el 29 de febrero? ¿Captó esa ambigüedad cuando estaba leyendo y tratando de resolver el problema? Presumiblemente, Einstein habría detectado esta ambigüedad mientras reflexionaba sobre el problema. Tal vez hubiera sido consciente de la siguiente información citada en la Wikipedia (2019a, enlace):
… en el calendario gregoriano, cada año bisiesto tiene 366 días en lugar de 365, extendiendo febrero a 29 días en lugar del 28 común. Estos días adicionales ocurren en años que son múltiplos de cuatro (con la excepción de años centenarios no divisibles por 400). De manera similar, en el calendario hebreo lunisolar, Adar Aleph, un decimotercer mes lunar, se agrega siete veces cada 19 años a los doce meses lunares en sus años comunes para evitar que su año calendario se desplace a través de las estaciones. En el calendario bahá’í, se agrega un día bisiesto cuando sea necesario para garantizar que el año siguiente empiece en el equinoccio vernal.
Entonces, ¡lo que parecía ser un simple problema matemático de palabras resultó ser bastante complejo! Este ejemplo ayuda a explicar por qué tantos estudiantes consideran que los problemas de aplicación en matemáticas son extremadamente difíciles. El problema se basa tanto en las matemáticas como en las no matemáticas. Para resolver el problema, uno debe traducir (formular) un problema no matemático en un problema matemático puro. Para hacer esto se requiere conocimiento del área no matemática. En este ejemplo, el área relevante no matemática es un área compleja de astronomía y calendario.
En resumen, el paso 1 del procedimiento de seis pasos de Polya es un esfuerzo humano. El acceso a las computadoras suele ser útil, ya que el solucionador de problemas a menudo necesita más información de la que se proporciona en la declaración del problema. Mientras escribía el ejemplo de cumpleaños, usé el motor de búsqueda de Google y la web para encontrar información sobre los años bisiestos.
Paso 2. Representar el problema como un problema matemático (computacional, algorítmico)
Cuando enseñaba tecnología de la información y la comunicación (TIC) y educación matemática a profesores de matemáticas en servicio e internos de la escuela secundaria, observaba que la resolución de ecuaciones cuadráticas se enseñaba comúnmente en los cursos de álgebra. Luego les pediría que me dieran algunos problemas prácticos en los que una persona necesitaría resolver ecuaciones cuadráticas. Rara vez recibí buenos ejemplos. La mayoría de mis alumnos que les enseñaron a resolver ecuaciones cuadráticas lo hicieron porque estaba en el currículo requerido.
Creo que las matemáticas son útiles en casi todas las disciplinas de estudio. Entonces, me pregunto: “¿Dónde y cómo deberían los estudiantes aprender a usar las matemáticas que son un componente integral de las disciplinas no matemáticas que están estudiando?”
¿Cuánto es 3 por 7?
Una persona camina a una velocidad de tres millas por hora y camina durante siete horas. ¿Qué tan lejos camina la persona?
El primero es un problema matemático puro , mientras que el segundo puede considerarse un problema de física porque involucra las variables de distancia, velocidad y tiempo. El proceso de convertir el segundo problema en el primer problema se llama modelado matemático.
El modelado matemático es parte de cada disciplina de estudio que hace uso de las matemáticas como una ayuda para representar y resolver sus problemas. Por lo tanto, otro nombre para el Paso 2 es el modelado matemático.
Un ejemplo simple de dificultades en el aprendizaje de modelos matemáticos
Dos niños pequeños y sus padres juegan juntos. Uno de los padres mira el reloj y dice: “Son las ocho menos cuarto. Es hora de que ustedes se preparen para la cama “.
Uno de los niños responde: “Sé lo que es un cuarto. Es un redondo y brillante pedazo de dinero que vale 25 centavos. Pero no sé lo que significa cuando dice que son 25 centavos para las ocho “. El niño un poco mayor agrega:” Sé que hay cuatro cuartos en un dólar “.
Piense en lo que se necesita para comprender que el padre realmente está diciendo: “Es un cuarto de hora antes de las 8 en punto”. ¿A qué edad un niño típico entiende la fracción de un cuarto?
Y cuanto dura una hora? Esta es una pregunta compleja. Cita de la Wikipedia (2018b, enlace):
La Tierra gira una vez en aproximadamente 24 horas con respecto al Sol, pero una vez cada 23 horas, 56 minutos y 4 segundos con respecto a las estrellas (ver más abajo). La rotación de la Tierra se está desacelerando ligeramente con el tiempo; Así, un día era más corto en el pasado. Esto se debe a los efectos de las mareas que la Luna tiene en la rotación de la Tierra.
El punto es que tanto el tiempo como el tiempo de medición son áreas de estudio muy complejas.
Lectura y matemáticas a través del plan de estudios
La lectura es un aspecto importante de muchas disciplinas diferentes de estudio. Los educadores han estado de acuerdo con la idea de enseñar lectura a través del currículo. Las escuelas tienen especialistas en enseñanza que son muy hábiles en la enseñanza de lectura y escritura. Sin embargo, se espera que todos los maestros sean expertos en la enseñanza de la lectura y la escritura, y también en la enseñanza del uso de la lectura y la escritura en sus áreas de especialización, la lectura en todo el currículo.
Me parece que los educadores de matemáticas deberían estar pensando más en las matemáticas en todo el currículo o en el modelado matemático en todo el currículo.
Cada maestro tiene la responsabilidad de enseñar aspectos matemáticos de las disciplinas que enseñan. Me resulta útil hacer una analogía entre la lectura en todo el currículo y las matemáticas en todo el currículo. En la actualidad, tendemos a enseñar matemáticas como una materia algo aislada. Más y más problemas que las personas desean resolver se prestan a los modelos matemáticos y computacionales, y pueden resolverse utilizando computadoras. El campo de la informática y la ciencia de la información ha desarrollado el término pensamiento computacional. En esencia, el pensamiento computacional significa pensar en resolver problemas en términos de las capacidades y limitaciones de las computadoras. Simulación por ordenador se ha convertido en un aspecto ampliamente utilizado del pensamiento computacional y en un área importante en matemáticas.
El modelado por computadora consiste en escribir una versión de programa de computadora de un modelo matemático para un sistema físico, biológico, comercial u otro tipo de sistema. Las simulaciones por computadora que se ejecutan de acuerdo con dichos programas pueden producir conocimiento fuera del alcance del análisis matemático o la experimentación natural (Wikipedia, 2018a, enlace):
La simulación por computadora es la reproducción del comportamiento de un sistema que usa una computadora para simular los resultados de un modelo matemático asociado con dicho sistema. Desde que permiten verificar la confiabilidad de los modelos matemáticos elegidos, las simulaciones por computadora se han convertido en una herramienta útil para el modelado matemático de muchos sistemas naturales en física (física computacional), astrofísica, climatología, química, biología y manufactura, sistemas humanos en economía, psicología, ciencias sociales, sanidad e ingeniería.
El próximo boletín contendrá una discusión de los Pasos 3-6 y hará recomendaciones adicionales sobre cómo mejorar nuestro sistema actual de educación matemática.
Como se señaló anteriormente en este boletín, las matemáticas son una disciplina de estudio grande y en constante crecimiento. Actualmente, la instrucción de matemáticas en los niveles de Pre-12 está diseñada para ayudar a los estudiantes a obtener:
Alguna comprensión de la disciplina de la matemática “pura”. Queremos que los estudiantes aprendan a resolver una variedad de tales problemas utilizando una combinación de sus cerebros y ayudas simples como papel, lápiz y calculadoras de bajo costo. También nos esforzamos para ayudar a los estudiantes a comprender el concepto de una prueba de matemáticas y el pensamiento cuidadoso y riguroso que se requiere para entender y resolver una variedad de problemas matemáticos.
Aplicaciones de las matemáticas para ayudar a representar y resolver una variedad de problemas en disciplinas no matemáticas donde las matemáticas pueden ser una ayuda importante para representar y resolver los problemas.
Durante miles de años, las herramientas tales como instrumentos de escritura, superficies para escribir y el ábaco han sido fundamentales para aprender y usar las matemáticas. Gradualmente, se desarrollaron dispositivos de cálculo mecánico, la regla de cálculo y muchas otras ayudas para hacer cálculos matemáticos. Ahora tenemos calculadoras y computadoras muy potentes. Tenemos la disciplina de la programación de computadoras y una colección en constante crecimiento de programas muy útiles.
La programación informática es parte de la disciplina de Informática y Ciencia de la Información. Esta disciplina tiene muchos componentes, como el estudio de la inteligencia artificial y el desarrollo y uso de maquinaria computarizada (incluidos los robots). Hemos creado la Web, una biblioteca enorme y en constante crecimiento de conocimiento humano recopilado, y la hemos puesto a disposición de miles de millones de personas.
Las matemáticas juegan un papel importante en todo este progreso en Informática y Ciencias de la Información. A su vez, el progreso en Informática y Ciencias de la Información se ha convertido en un componente importante de las matemáticas. Las computadoras son poderosos agentes de cambio en el contenido matemático que queremos que nuestros estudiantes aprendan y también en la resolución de problemas matemáticos que queremos que puedan hacer.
Moursund, D. (1/19/2019). Las herramientas nos ayudan a construir sobre el trabajo del yo y de los demás. Blog de IAE. Consultado el 19 de enero de 2014 en https://iae.org/iae-blog/entry/tools-help-us-build-on-the-work-of-self-and-others.html.
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References: resolución 
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