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Lectura Importancia de La Filosofía
Examen de Historia de La Filosofía 7
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A0315+METODOS+Y+TECNICAS+DE+ESTUDIO
Descartes en La Ventana Indiscreta de Hitchcock (1954)
Juan G. Rivera Berrío1, 2, José L. Alcón Camas2 y José R. Galo Sánchez2
Instituto Tecnológico Metropolitano, C/73 nº 76A-354 Vía al Volador, Medellín (Colombia), juanrivera@itm.edu.co
Proyecto Descartes, ISFTIC, C/Torrelaguna, 58, 28027 Madrid
La formación de nuestro alumnado debe contemplar situaciones en la que la resolución de
problemas y su procedimiento lógico prime frente a la mera aplicación técnica o la manipulación de
expresiones matemáticas. No sólo es importante la solución, la determinación, en sí, de un buen
procedimiento genera el aprendizaje significativo, y esa habilidad puede fomentarse mediante la
introducción de pequeñas ayudas o guías, breves pautas, que catalicen y motiven el establecimiento
de esquemas lógicos, articulando tanto el razonamiento concreto como el abstracto. La búsqueda de
estrategias es una parte primordial y básica en la formación en competencias. Presentamos aquí una
línea de trabajo con escenas interactivas, desarrolladas con Descartes, que enseñan a buscar y
elaborar estrategias de resolución de problemas, ubicadas en el propio contexto geométrico en el
que se formulan, promoviendo a su vez la necesidad de la abstracción y el reflejo algebraico.
PALABRAS CLAVE: Resolución de problemas, Descartes, Aprendizaje significativo.
¿Cuál es el área de la imagen de color negro representada en la figura 1?
Figura 1. ¿Cuál es el área de la figura de color negro?
Una pregunta así planteada, sin más, sin ni siquiera describir el tipo de curva o expresión que la
define, puede originarle un pequeño compromiso. Y si a pesar de ello, optase por dar una solución,
la respuesta, posiblemente, quedaría incompleta. La razón estriba en que, usualmente, un valor o
una expresión no aporta toda la información deseada, no sólo se quiere conocer la solución, sino
que también se desea saber cómo se ha llegado a ella, pues el procedimiento aplicado es, en sí, lo
que aporta justificación y validez a lo expresado, muestra el razonamiento lógico que lo fundamenta
y a la vez que nos convence, o hace discrepar, enseña o introduce elementos para el aprendizaje.
XIV JAEM Girona 2009
Uno de ellos ha sido la introducción de una alta componente algebraica.cnice. y=sen3 t—. Pero el objetivo no es promover la práctica rutinaria de una técnica o método. al menos. por ejemplo. Pero es 1 La astroide es un caso particular de hipocicloide.Desarrollo de estrategias con Descartes La búsqueda de una respuesta a dicha pregunta la puede obtener. quede ya ubicado en el ámbito objeto de esta comunicación. Otra. lo que se busca es promover el desencadenamiento de procesos y razonamientos que permitan la resolución de problemas. pudo surgir del propio dibujo. breves pautas. a nivel de secundaria. lo que le conduciría a introducirse en el uso de técnicas de integración para buscar una respuesta adecuada a la pregunta antes formulada. no. si se le indica que observe la figura 2. de una manera eficaz y eficiente. el pensamiento al que recurrió tiene un origen geométrico. sobre la que determinar un valor numérico. de dos formas diferentes. ha sido objeto de múltiples avatares. motivar el establecimiento de esquemas lógicos mediante el planteamiento de problemas en los que introduciendo una pequeña ayuda o guía. El primer objetivo era abstraer y posteriormente concretar. pero si lo que hizo fue un planteamiento de descomposición o compleción con otras figuras de área más simple. Las diferentes respuestas posibles denotan diferente tipo o forma de razonamiento lógico o matemático. que si se le aporta algo más de información.es/materiales_didacticos/cicloides/cicloides. Figura 2. XIV JAEM Girona 2009 .htm. Escenas interactivas sobre las cicloides. articulando tanto el razonamiento concreto como el abstracto. de su manipulación y de la reflexión fundamentada en la maniobra que realizara. Y el objetivo buscado es catalizar. particularizando. y a partir de la generalización abordar la resolución de problemas como una aplicación o concreción de lo abstraído. se busca motivar la elaboración de estrategias en la resolución de problemas. epicicloides e hipocicloides pueden consultarse en http://descartes. la búsqueda de respuestas justificadas. Una ubicando valores o incógnitas e intentado llegar a una expresión. Es decir. Es obvio. La formación matemática. su pensamiento tiene un origen algebraico. se fomente la obtención de soluciones adecuadas. quizás.mec. Motivación de una estrategia ubicando el problema en su contexto geométrico. es decir. Efectivamente no era la astroide sino la zona de un cuadrado no ocupada por cuatro cuartos de círculo. procedimientos que no dejan de ser mecánicos o repetitivos. Si la primera intención fue dar una expresión que condensara el área pedida. el área es la del cuadrado menos la de un círculo. Es posible que su formación superior en Matemáticas pueda llevarle a asociar la figura mostrada con la “Astroide”1 —de ecuación paramétrica: x=cos3 t. un interés centrado en poder inculcar la abstracción.
implementando actividades que fomenten la búsqueda de estrategias de resolución que sean intrínsecas a dichos ámbitos y no ajenas a ellos. y como consecuencia de él. Los Números —la Aritmética— y la Geometría son las abstracciones más cercanas a nuestro mundo físico y consecuentemente. se simplifica el cálculo. Sobre estas escenas el alumnado puede interactuar y recabar información. suele ser deficiente en la visualización espacial. de la localización de caminos eficaces. generalmente. manteniéndonos en ese contexto sea posible abordar y alcanzar una adecuada formación competencial. no hay un trabajo directo para fomentar esta inteligencia. Y una vez asimilado este proceso lógico. El pensamiento espacial es un elemento básico en el pensamiento científico y humanista. La intención es “abrir los ojos” para que la mente aborde adecuadas observaciones geométricas y a partir de ellas desarrolle estrategias de resolución eficientes. Las unidades didácticas que hemos señalado. sino que muchas veces busca ser orientadora y formativa. ingenieros. se incorporan elementos aleatorios (pseudoaleatorios) que hace que una misma escena pueda ser reutilizada por el mismo alumno o alumna para la adquisición de la competencia buscada. Vivimos en un mundo tridimensional y sin embargo la capacidad y formación geométrica suele asentarse en un mundo plano. denominado Descartes (Proyecto Descartes 1998). de reflexión y de elaboración de esa táctica resolutiva que se busca fomentar. Adicionalmente. y no sólo de ellos. se obvie o aminore el aprendizaje de estrategias plausibles y eficientes. pintores. en estas escenas. Ello se complementa con la evaluación de las respuestas aportadas por los usuarios. de manera que el cambio que realiza sobre determinados parámetros textuales o numéricos. evaluación no sólo correctora. En este contexto buscamos desarrollar en esta comunicación algunas líneas de actuación ejemplificadas o concretadas mediante el trabajo con algunas unidades didácticas interactivas. científicos. pero que sea más simple. ya que provoca la extracción del concepto implícito existente independientemente de la instancia presentada en cada momento. quizás. escultores. en ese ámbito. o su ubicación en un contexto mayor que lo contenga. arquitectos. es decir. o el desplazamiento que efectúa del ratón hace que la imagen cambie y aporte nuevos datos o perspectivas ampliando la base de decisión. como medio de trabajo o recurso didáctico. XIV JAEM Girona 2009 . incentivando ese aprendizaje significativo. su ubicación y relación. Y el posicionamiento adecuado ante un objeto tridimensional o la percepción reflexiva de la ordenación lógica de sus elementos. sumativa. la descomposición geométrica de figuras en otras más sencillas. pero con diferente apariencia. Y en el ámbito o contexto geométrico podemos observar que el pensamiento de nuestros estudiantes.Desarrollo de estrategias con Descartes posible que en ese proceso se pierda el desarrollo y práctica de la intuición y de la creatividad. o por promover o crear habilidades de pensamiento espacial. también requiere de una práctica y aprendizaje. Científicos. o nippe. No obstante. son pensadores espaciales que han logrado sus aptitudes gracias al esfuerzo en el desarrollo cognitivo en este área. están compuestas por páginas web que integran escenas interactivas desarrolladas con el “núcleo interactivo para programas educativos”. pues presenta una actividad con igual dificultad y objetivo competencial. Desde ese punto de vista la relación espacial se ha considerado como un elemento de la inteligencia o como un tipo de inteligencia. Por ejemplo. posiblemente se aborde de manera más natural la generalización. presentando dificultades para observar objetos en el espacio tridimensional y por tanto para comprender conceptos matemáticos. en tanto nuestro mundo no es plano. son pautas de razonamiento en las que la Geometría “abstrae al Álgebra” y simplifica el aparato matemático necesario. lo que introduce al alumnado en un ámbito de continua reflexión y motivación.
XIV JAEM Girona 2009 . generalmente. para poder aportar una respuesta a cada una de las preguntas planteadas. puede transformarse. este tipo de cambios pueden visualizarse con gran elegancia mediante tecnologías informáticas. como entidad. Mediante una adecuada observación.. Los alumnos deberán ser capaces de identificar pautas y regularidades en el cambio de las formas. Véase (Arrieta. acudimos a cuatro unidades didácticas. su manejo. 2.cnice. observaremos que el pensamiento espacial sigue siendo deficitario.Desarrollo de estrategias con Descartes En concreto.. que nos permiten mostrar el potencial formativo de los recursos de este proyecto en los objetivos ya señalados. No obstante. en las habilidades y destrezas para operar algébricamente. Cuando en la escena que se refleja en la figura 3. En ellas. que el usuario puede cambiar algún parámetro o la posición de algún control gráfico (por ejemplo con el ratón) y observar cambios acordes con la acción efectuada. y si comparamos el tiempo dedicado al estudio de la geometría plana frente a la geometría espacial. pág. preguntamos por “el número que corresponde a la cara lateral derecha”.” Un ejemplo de ello podemos verlo en las figuras 3 a 7. La forma. En la unidad didáctica titulada “Relaciones espaciales (vistas)” accesible en la dirección web: http://descartes. Sería incompleto si no pudiésemos refrendar nuestra intuición con la realidad. pág. Sin embargo el Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA) de la OCDE (2006. 3 Como se ha indicado las escenas de Descartes son interactivas. a trocitos”. Este control directo sobre la representación gráfica. realizar movimientos con dicha imagen y construir otra representación. posiblemente. un adecuado análisis y una adecuada estrategia pueden fomentarse un óptimo aprendizaje competencial. La diversidad de respuestas evidencia el déficit en este tipo de pensamiento espacial. sus operaciones. se han centrado en los números. En ocasiones. 87) advierte: “Es importante no restringir el concepto de forma al de unas entidades estáticas. un manejo mental de la forma en el espacio. erradas o no. sino iniciar el interés en la elaboración de conjeturas sobre la visualización espacial2. entendidas como la habilidad para generar una representación o imagen mental de un objeto.es). 306). En estas unidades la inclusión de manera natural de situaciones cotidianas ayuda y conduce.cnice. y es por ello que también aquí el estudiante debe participar3 dejando el ratón pulsado sobre la figura y moviendo ésta según crea.htm no se tiene como objetivo realizar un estudio pormenorizado sobre los conceptos de volúmenes o proyecciones. este último distingue: relaciones espaciales (rotación mental como factor predominante). orientación espacial (perspectiva y rotación) y visualización (conteo de bloques por ejemplo). La abstracción comienza en lo visual y lo manejable. cada uno tiene la capacidad de construir sus representaciones. verificando no sólo lo afirmado por el adagio popular que da respuesta a la pregunta “¿Cómo comerse un elefante?.mec. se hacen necesarias construcciones mentales de imágenes. usaremos indistintamente “visualización espacial” y “relación espacial”. del mismo modo que las formas se modifican.mec. si no enseñando a identificar y ubicar cada uno de esos trozos en el todo geométrico que compone y configura ese elefante. Relaciones espaciales Los currículos de matemáticas. 105) y Carroll (1993. 2006.es/materiales_didacticos/vistas/vistas_intro. solicitamos una suposición. es decir. a experimentar que “lo complicado puede descomponerse en partes sencillas”. publicadas en la web Descartes (http://descartes. pág. permite observar las diferentes 2 Existen varios términos para referirse a la aptitud espacial.
La escena se introduce en la línea de la evaluación formativa mediante una animación en la que se muestra como se obtiene la proyección por la que se ha preguntado. pág. XIV JAEM Girona 2009 . Tversky. 2000). Adecúa la mente y capacita en la visión espacial. 2000) o como un tipo de inteligencia. 2004. medir la aptitud espacial4. consecuentemente. Ejercicio ELEmental El aprendizaje va progresivamente graduando su dificultad (ver figuras 4 y 5). manipulando conceptos como perspectiva y ubicación espacial. Eliot. estableciendo como reto el saber si la “visualización espacial” ha arrojado el resultado adecuado y.Desarrollo de estrategias con Descartes vistas. Figura 3. 2006. Figura 4. la relación espacial se ha considerado como un elemento de la inteligencia (Arrieta. 104. Ejercicio animado 1 4 Desde el punto de vista cognitivo. denominada espacial (Eliot.
Conseguimos además provocar la iniciativa.Desarrollo de estrategias con Descartes Figura 5. y se aborda su construcción significativa a través de la experimentación y ejercitación sobre las figuras. podemos observar cómo se trabaja la aptitud espacial. sino a posteriori. utilizamos el razonamiento para suponer y descartar posibles soluciones. Ejercicio animado 2 Y gracias a la aleatoriedad incorporada en cada ejercicio se generan tipos de problemas que contemplan dificultades análogas y por consiguiente permiten un aprendizaje óptimo y la construcción de la estrategia adecuada. Nuestros estudiantes obtienen un significado físico de los conceptos. no incidiendo a priori en los conceptos de proyecciones. patrones y posiciones relativas. XIV JAEM Girona 2009 . la curiosidad por descubrir y comprobar sus versiones de respuestas. expresándolo con un vocabulario propio cercano al científico. la orientación espacial. y con los cambios introducidos dinámicamente se construyen estas competencias a través de una reflexión lógica y argumental. manipulando e incluyendo el control de perspectivas de un objeto. Ejercicio remaches Así pues. con esta muestra. Figura 6. Competencialmente se trabajan el reconocimiento de formas. Se evita recurrir al esquema tradicional de establecer las definiciones de proyecciones y perspectiva.
Relacionando lo semejante. Pero también podemos utilizar de forma distinta nuestros conceptos en la resolución de problemas (ver figuras 8 y 9). Lo cierto es que existen diferentes formas de percibir. como aptitud innata de visualización espacial. El nivel de dificultad aumenta. sería de difícil ejecución. no hay operaciones de cálculo complicadas. y que de otra forma. E igualmente. Las habilidades matemáticas comienzan con la observación y representación del mundo real.Desarrollo de estrategias con Descartes 3. propiciando en nuestro alumnado la necesidad de un entrenamiento mayor y un compromiso para explorar nuevas estrategias de resolución. Por ello es posible que unos usen el conteo y otros el cálculo. XIV JAEM Girona 2009 .cnice. Trabajamos formas y patrones. Cuando percibimos un objeto realizamos varias operaciones mentales.mec. unas más lentas y otras más rápidas. sólo buscamos introducir de manera natural el concepto de volumen. Matematización en las relaciones espaciales En esta sección asociada a la unidad didáctica que puede consultarse en la dirección: http://descartes. En éstas intervienen los conceptos previos que tenemos del mundo y nuestras habilidades para realizar relaciones entre lo percibido y nuestra forma de percibir. Figura 7.es/materiales_didacticos/relaciones_espaciales/relaciones_intro.htm abordamos el desarrollo de la aptitud espacial versus la matemática o la relación matemática en las relaciones espaciales. relaciones. a través de sus vistas. razonamiento lógico y conceptos matemáticos que van progresivamente adquiriendo significado dentro del vocabulario y bagaje competencial de nuestros estudiantes. podemos establecer relaciones mentales diferentes. En esta parte se busca cultivar habilidades en la identificación de un objeto 3D. Las herramientas matemáticas que empleamos son conocidas por los estudiantes. Un reto abarcable con los pulsadores y con la versatilidad de movimiento sobre las figuras que permite la herramienta Descartes. Como ejemplo podemos tener la actividad “Relacionando lo semejante” (ver figura 7).
Figura 10. Una mente despierta encuentra una invitación a predecir el número de tubos. Ejercicio: Contando colores Las relaciones no sólo son numéricas. Las cajas del contenedor Figura 9. la simetría y la posición relativa son conceptos interesantes que despiertan también el intelecto y que han de introducirse como parte de la estrategia para la resolución de problemas. Sin embargo. XIV JAEM Girona 2009 . aquí comenzamos con otros tipo de actividades que van introduciendo una matematización de los espacios (ver figura 10). Reglas básicas como la suma. la resta o el puro conteo es un camino para solucionar los ejercicios propuestos.Desarrollo de estrategias con Descartes Figura 8. Estrategia de simetría mezclada con el cálculo (ver figura 11). O se fuerza a ello (figura 12) mediante la relación volumétrica necesaria para la construcción y posicionamiento estratégico de sólidos conducente a la obtención del todo a partir de sus partes. se presentan ejercicios con una clave implícita que permite establecer un “tren de alta velocidad” para su resolución. la estrategia de observar desde otros puntos de vista hasta conseguir la clave resolutoria del ejercicio. Mi caja de colores Y si en la primera parte hicimos participe a nuestro alumnado de la necesidad de visualizar la forma espacial. y en cualquier caso se despierta a la mente.
bien con pulsadores que permiten incrementos automáticos o bien desplazando el ratón sobre la figura. Ejercicio: Armando bloques Llegado a este punto debemos significar la herramienta utilizada. volúmenes. movimiento que puede realizarse bien a través de parámetros numéricos.Desarrollo de estrategias con Descartes Figura 11. Ejercicio: Ubicando colores La respuesta del usuario es evaluada automáticamente y en un contexto formativo el trabajo de manipulación mental que habrá realizado. hacer conjeturas y promover la búsqueda de estrategias y todo esto es posible gracias a una herramienta que nos permite mostrar representaciones eficientes de la realidad. queda mostrado mediante una animación que puede XIV JAEM Girona 2009 . en un soporte estático como es el texto de esta comunicación (salvo que disponga de este documento en un contexto que le permita acceder a algún hiperenlace e interactuar con los materiales descritos). ver otras perspectivas. pues es difícil en un contexto plano y unidireccional. muchas veces. Reiteradamente hablamos de manipular figuras. En este tipo de ejercicios se permite rotar y girar la figura tridimensional. Ejercicio: Acomodando tubos Figura 12. es un ejemplo de ello. abordar simulaciones fáciles de lograr en este contexto y sin embargo. Figura 13. de la relación bidireccional que caracteriza a los recursos descritos. La figura 13. espacios. evitadas en un ambiente docente tradicional por la necesaria introducción de manipulación manual con papel u otros materiales. El objetivo es determinar el color de una de la caras del cubo pero identificándola en su desarrollo plano. en el que posiblemente incluso haya abordado el desarrollo de ese cubo de manera virtual. mostrar la bondad de la interactividad intrínseca.
200) ilustra un ejemplo sencillo a partir de la observación de un triángulo. No se trata de algoritmos estáticos.Desarrollo de estrategias con Descartes controlar haciendo avanzar o detener el proceso según sus necesidades o según demande su aprendizaje (ver figura 14). triángulos. La facilidad y versatilidad de la herramienta Descartes permite centrarse en el objetivo educativo. Figura 14. círculos y polígonos regulares en general. Se desea potenciar la producción de esas estrategias que.htm se presentan algunas regiones planas y se plantea como objetivo el cálculo de su área. ejercitado y centrado sobre las competencias básicas. Construcción animada del cubo representado a partir de su desarrollo plano.mec. más que establecer un 5 Este tipo de ejercicio evidencia la posibilidad de múltiples representaciones a partir de un mismo objeto. o siendo más precisos en tratar de provocar un estímulo que lleve a la conformación mental necesaria para que se generen los enlaces lógicos plausibles que conduzcan a una resolución óptima. XIV JAEM Girona 2009 . regiones cuya forma no se corresponde con figuras elementales o usuales en el aprendizaje básico como cuadriláteros. así como en la búsqueda de las estrategias de resolución. elegante. pág. En la unidad didáctica interactiva denominada “regiones sombreadas” y accesible en la dirección: http://descartes.es/materiales_didacticos/areas_regiones_sombreadas/areas_intro. que podría verse o interpretarse como un agujero triangular. o un dibujo geométrico apoyado en la base o colgado de una punta. Parecen existir patrones o especies de reglas que nuestra mente fija en el transcurso de nuestra vida. Estrategias geométricas pre-algebraicas El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace atractivo cuando se requiere determinar el área de una región no básica. Estos patrones también contribuyen a que tengamos varias representaciones de un mismo objeto o evento percibido. como una cuña. con la mediación de recursos informáticos como Descartes. son procesos que se enriquecen y cambian con nuestra experiencia y. Wittgenstein (1953. Todo esto es posible gracias a la herramienta informática: el nippe Descartes. depende de su percepción y experiencia5. 4. es decir. Y quizás gracias a ella tal vez se encuentre en una productiva discusión dado que la respuesta no es única. El tiempo invertido se ubica y dedica en la comprensión de los conceptos matemáticos que están inmersos en el ejercicio propuesto. como una montaña. Este se plantea como objetivo aparente. como medio paralelogramo. aún más.cnice. etc. pero el objetivo real se centra en la búsqueda de estrategias de resolución. un aprendizaje funcional.
Regiones simples o compuestas. a veces. que aparentemente pueden entrañar complejidad. pero con una buena estrategia pueden quedar simplificadas. Pero para la consecución de este objetivo. y según el esquema mental personal quizás puedan realmente tenerla. Figura 16. Algunas regiones para determinar su área. fomente la creatividad. Regiones mixtas . es necesario algo de empuje o leve intervencionismo y por ello se aportan sugerencias.Desarrollo de estrategias con Descartes aprendizaje basado en una reproducción de técnicas. desprovistas de tal apariencia engañosa y ubicadas en su trivial realidad. contrariamente a lo esperado. Figura 15. proporcionando ejemplos en los que la reducción de un problema a otro conocido puede ser el camino adecuado. También podemos tener regiones mixtas que combinan diferentes elementos básicos (figura 17). El objetivo se centra en cómo se resuelve. En general son figuras estéticamente atractivas (ver algunas reflejadas en la figura 15) o al menos curiosas. Pueden presentarse como elementos simples o compuestos (ver figura 16). XIV JAEM Girona 2009 Figura 17. esta estrategia puede no ser la óptima. o bien puede verse que. ayudas. guías que permiten mostrar un posible camino a quien no encuentra o renuncia a ejercitar su propia táctica.
de lo particular a lo general. el paso de lo local a lo global. Redondeando el cuadrado . de la necesidad o ventaja de simplificar y reducir expresiones. Por ejemplo. a la vez que aporta ejemplificaciones del significado del valor de una expresión algebraica. Álgebra a través de la Geometría Planteados algunos mecanismos que pueden posibilitar el desarrollo de estrategias en la resolución de problemas. El Álgebra surge de manera natural. en esta comunicación.htm. Este plan aporta al alumnado una visión concreta de la necesidad del cálculo algebraico. pueden efectuarse planteamientos o estrategias de complementariedad. Figura 20. Aprovechando las destrezas practicadas y asimiladas a lo largo del camino que hemos recorrido. nos ubicamos finalmente. Las aspas versus la cruz 5.es/materiales_didacticos/Aplicacion_de_polinomios/index. y se avanza progresivamente en su uso. Marcos cuadrados XIV JAEM Girona 2009 Figura 21. Como referencia tomamos la unidad didáctica cuya dirección de consulta es: http://descartes. a modelizaciones de objetos usuales como un libro (figura 22) o situaciones de nuestro entorno cotidiano como un cruce de calles (figura 23).mec. quizás sea más factible plantearse el cálculo de la región blanca (la cruz). utilizando desde figuras básicas realizadas como composiciones de figuras con igual forma. en la figura 19 si se pregunta por la región de color azul (las aspas del molino). mediante situaciones en los que la resolución directa puede entrañar más dificultad. hacemos un planteamiento de introducción del Álgebra sobre la base geométrica desarrollada.Desarrollo de estrategias con Descartes O.cnice. de la concreción a la abstracción. Figura 19. entre otras posibilidades. o mezcla de ellas (figura 21). en la aplicación o traslación a un contexto algebraico. por ejemplo cuadrados que sirven para crear marcos (figura 20).
podemos indagar sobre el volumen de nuestra habitación (figura 24). química. como mediador entre la realidad y las representaciones que nosotros como docentes exponemos a nuestro alumnado. En este contexto educativo. se justifica la herramienta Descartes. Se generan emociones que antes eran imposibles con los recursos utilizados para construir las representaciones tradicionales. La posibilidad de diseñar representaciones que “emulen” un objeto de la realidad es cada vez mayor. Ejercicio: Libro Figura 23. si lo deseamos. biología) y los video juegos evidencian un mayor acercamiento a la realidad desde la representación. las aplicaciones virtuales para las ciencias básicas (física. es decir. La implementación de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación permiten hoy la construcción de escenarios virtuales que transmiten mayores flujos de información del objeto a nuestros estudiantes: los simuladores de vuelo. los simuladores de carreras. “Descruce” de calles Y.Desarrollo de estrategias con Descartes Figura 22. realidad difícil que necesita de modelos para trasladar o ubicar cierta concreción (figura 25). acercarnos a ejemplos próximos aplicables a una realidad. XIV JAEM Girona 2009 . el cine 3D.
ahora no podrán argumentar efusivamente lo contrario.Desarrollo de estrategias con Descartes Figura 24. La x surge con un sentido en el alumnado. convertirse en protagonista de su aprendizaje. Figura 25. “Enseñar a aprender”. una utilidad. Ejercicio: El constructor chiflado Y con ello hemos ido desarrollando una línea de trabajo que nos ha llevado a expresiones algebraicas que tienen un significado y explicación geométrica. y el profesor actuar como guía y promotor del mismo. Conclusiones De lo expuesto en esta comunicación podemos apuntar algunas conclusiones que pueden observarse en los procesos de enseñanza y aprendizaje: • Los recursos de la Red permiten un trabajo diferenciado al habitual. El alumnado puede. canalizando hacia una adecuada formación competencial. XIV JAEM Girona 2009 . “aprender a aprender” y “aprender a enseñar”. Ejercicio: El coliseo 6. y es deseable.
http://descartes. (2004). así como la necesidad de la manipulación de los términos algebraicos para su simplificación. bien autónomo o colaborativo. corrección automática y la evaluación tanto sumativa como formativa que aportan las escenas permiten promover el aprendizaje significativo. (2006). (1953). a partir de la aplicación de estrategias geométricas. 18 (1). Matemáticas y Lectura. J. las actividades programadas y secuenciadas.ature and Measurement of Spatial Intelligence. Consideramos que Descartes contribuye al aprendizaje y desarrollo de estrategias para la resolución de problemas.es/virtual/?q=node/629&id=212&congreso=presencial%E7 Galo. permitiendo diseñar mejores representaciones que capturen propiedades difíciles de presentar en dos dimensiones. J. • La deficitaria formación en visualización espacial se puede superar con el uso de mediadores virtuales como el proyecto Descartes. (2006).congresointernetenelaula. OCDE.cnice.. y Cañas. Ministerio de Educación. J. Oxford: Basil Blackwell Ltd.pdf http://www.es/ Tversky. University of Maryland. http://descartes. XIV JAEM Girona 2009 .R. Galo. (2008). • Las pautas y guías orientadoras que se incluyen en las escenas. ISFTIC. M. Madrid. (2006). pues su uso surge de manera natural. B.pisa. Visuoespatial reasoning. el desarrollo de estrategias para abordar de manera óptima y elegante la resolución de problemas. PISA 2006: Marco de la evaluación. Cambridge University Press.org/ Proyecto Descartes (1998).cnice. Conocimientos y habilidades en Ciencias.mec.mec. • La línea de aprendizaje relativa a la introducción del álgebra. The Cambridge handbook of thinking and reasoning (págs. Huesca. Human cognitive abilities: A Survey of Factor-analytic Studies. 99-132. Bibliografía Arrieta. Educación matemática. 209-240). Philosophical investigations. Aprendizaje continuo con Descartes en el aula. (1993). B. generando hábitos que dificultan una mejor interpretación de los objetos de nuestro entorno. J. La capacidad espacial en la educación matemática: Estructura y medida. http://www. J. Granada. I Congreso de Internet en el aula.es/heda/difusion/materiales/ia08/Jose_R_Galo. Wittgenstein. The . Eliot. Análisis de una experimentación constructivista con TIC en el aprendizaje de las matemáticas. Web del proyecto. se presenta como un camino lógico y eficaz para el alumnado. Política Social y Deporte.oecd. Carroll. introducen al alumnado en el objeto principal de este trabajo. 7. aleatoriedad. (2000).Desarrollo de estrategias con Descartes • La interactividad. L. X Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). Las representaciones planas generan un pensamiento plano de la realidad.
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