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UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA VICERRECTORÍA ACADÉMICA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN - PDF
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María Josefa Peña Sánchez
1 UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA VICERRECTORÍA ACADÉMICA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN PROGRAMA DE BACHILLERATO Y LICENCIATURA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS GUÍA DE ESTUDIO DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA FINANCIERA (CÓDIGO: 413) Claudio Urrutia Rojas
3 Estimada y estimado estudiante: PRESENTACIÓN El manejo de instrumentos de Matemática Financiera es vital en la vida diaria de los negocios, pues quienes son profesionales en Administración constantemente deben tomar decisiones con respecto a situaciones que implican el uso de cálculos de esta área, algunas veces complejos, que hoy se ven favorecidos por la tecnología, mediante de computadoras y calculadoras financieras. Las bases académicas y teóricas resultan fundamentales para levantar una buena praxis, pues precisamente los avances tecnológicos vienen a exigir una mayor capacidad de análisis por parte de las personas que procesan los datos. La máquina solo colabora en procesos rutinarios, ofreciéndole la oportunidad de dedicar más tiempo al análisis, planeamiento e interpretación, que son funciones netamente profesionales. Ante esa realidad, en las carreras que imparte la Escuela Ciencias de la Administración de la UNED (y como apoyo a otras carreras que se imparten en otras facultades de la Universidad), se ha introducido el curso de Matemática Financiera, cuyo propósito es que el estudiantado maneje los conceptos relevantes de esta disciplina como base de su formación profesional. Se trata de un curso que contiene la descripción conceptual así como la aplicación práctica, donde el común denominador es el valor del dinero en su dimensión temporal, que le permitirá, mediante la práctica de diversos tipos de ejercicios sobre la materia, comprender los conceptos y adquirir habilidad para su aplicación. La Cátedra de Finanzas de la UNED ha seleccionado como material de estudio para este curso el texto Matemática Financiera e Ingeniería Económica: una introducción a las finanzas, elaborado por Jesús Merino Serna, 2 a Edición, San José, Impresiones Amerrique, La presente guía organiza cinco de las unidades de este texto en 4 módulos, uno por tutoría. La primera unidad introduce el concepto básico de Matemática Financiera: el valor del dinero en su dimensión temporal y otros conceptos como la definición de interés y, específicamente, el interés simple. Mediante el desarrollo de diversos ejemplos, se presenta la aplicación práctica de estos conceptos, en forma elemental y en formas más complejas, como las ecuaciones de valores financieros equivalentes. Partiendo de las fórmulas contenidas en este apartado se demuestra como, conociendo el valor de algunas de las variables, se pueden despejar otras, ya sean montos actuales o futuros, tasas de interés o número de periodos. 3
4 La segunda unidad se refiere a descuentos que son cantidades monetarias que se rebajan de un valor dado. Plantea la diferencia entre descuento racional o matemático y descuento comercial o bancario. Desarrolla diversos ejemplos para demostrar su aplicación práctica e incluye las ecuaciones de valores financieros equivalentes. Asimismo, partiendo de las fórmulas contenidas en este apartado y en la unidad anterior, muestra cómo se puede conocer el costo equivalente entre el descuento racional y el descuento comercial. La tercera unidad aborda el concepto de interés compuesto, estableciendo la diferencia con el interés simple. Mediante el desarrollo de diversos ejemplos, se presenta la aplicación práctica de estos conceptos, desarrollando fórmulas y mostrando ejemplos de como determinar diversas variables, como valor presente, monto acumulado, número de periodos y tasa de interés, si se conocen las demás variables. También desarrolla el concepto de equivalencias entre tasas de interés nominal y tasas efectivas, así como el desarrollo de ecuaciones de valores financieros equivalentes. En la cuarta unidad se estudia el concepto de anualidades o series uniformes de pago, que consisten en una serie de pagos iguales y en periodos uniformes de tiempo. También se presenta la aplicación práctica de este concepto, por medio de fórmulas y ejemplos, para determinar el valor de diversas variables, como valor presente, monto acumulado y número de periodos. Además, desarrolla el tratamiento que se debe dar cuando no existe coincidencia entre los periodos de capitalización y los periodos de pago. La quinta unidad incorpora las formas más usuales para la amortización o pago de una deuda, tanto aquellas que consideran intereses sobre saldos, como las que aplican intereses sobre el monto total del préstamo, aún cuando se vaya cancelando paulatinamente. Se presenta la aplicación práctica de los diversos sistemas, por medio de varios ejemplos que incluyen situaciones normales, con periodos de gracia y con cambios en la tasa de interés durante la vigencia del préstamo. Le invitamos a profundizar en los contenidos por desarrollar durante este curso, de una forma integral con las demás áreas de la temática administrativa, para que la toma de decisiones y el emprender nuevos negocios sean exitosos en su vida profesional. 4
5 TABLA DE CONTENIDOS Presentación Tabla de contenidos Sobre el curso de Matemática Financiera Sobre el libro de texto Sobre las horas de estudio... 7 Sobre la Guía de Estudio PRIMERA TUTORÍA Unidad I: Interés simple Objetivo general Objetivos específicos Sumario de lecturas Conceptos relevantes Actividades Ejercicios de autoevaluación Resolución de ejercicios de autoevaluación Unidad II: Descuentos y costos financieros Objetivo general Objetivos específicos Sumario de lecturas Conceptos relevantes Actividades Ejercicios de autoevaluación Resolución de ejercicios de autoevaluación SEGUNDA TUTORÍA Unidad III: Interés compuesto.. 27 Objetivo general Objetivos específicos Sumario de lecturas Conceptos relevantes Actividades Ejercicios de autoevaluación Resolución de ejercicios de autoevaluación TERCERA TUTORÍA Unidad IV: Anualidades, rentas o series uniformes de pago Objetivo general Objetivos específicos Sumario de lecturas Conceptos relevantes Actividades Ejercicios de autoevaluación Resolución de ejercicios de autoevaluación CUARTA TUTORÍA Unidad V: Amortización de créditos y préstamos Objetivo general Objetivos específicos Sumario de lecturas Conceptos relevantes Actividades Ejercicios de autoevaluación Resolución de ejercicios de autoevaluación Bibliografía de consulta
6 SOBRE EL CURSO DE MATEMÁTICA FINANCIERA El curso está orientado a la población estudiantil de la carrera de Administración de Empresas en el nivel de Diplomado. Debe cursarse en todos los énfasis de la Escuela de Ciencias de la Administración. El objetivo general de este curso es dotarle de los conocimientos conceptuales y prácticos para resolver problemas típicos financieros, que se le presentarán tanto en su vida diaria como en el ejercicio de su profesión. Al finalizar el curso usted debe ser competente para aplicar el concepto valor del dinero en tiempo y el concepto de cantidades financieras equivalentes, así como aplicar el uso comercial del interés simple y del interés compuesto y el proceso de capitalización, aplicable a documentos negociables, calculando las diferencias entre tasas nominales y efectivas de interés, en las distintas operaciones financieras que a diario afrontan los negocios. También deberá saber utilizar los elementos simplificadores que brindan los modelos matemáticos de las anualidades en problemas conexos al interés compuesto y poder elaborar tablas de fondos de amortización y de servicio de deuda, según los sistemas de cancelación de créditos más comunes en el mundo de los negocios. SOBRE EL LIBRO DE TEXTO El libro Matemática Financiera e Ingeniería Económica: una introducción a las finanzas de Jesús Merino Serna, ha sido ya utilizado en la UNED en varios periodos académicos, ya que presenta una serie de ventajas para el estudio individual. En las páginas iniciales del libro encontrará un cuadro sinóptico de fórmulas, símbolos y equivalencias. El libro está dividido en 6 unidades, de las cuales, el curso de Matemática Financiera abarca cinco. Los contenidos de cada una de estas unidades están directamente relacionados con los temas descritos en las orientaciones del curso, por lo que no le será difícil ubicarlos para su lectura y estudio. Están organizados de la siguiente manera: UNIDAD I : Interés simple UNIDAD II : Descuentos y costos financieros UNIDAD III : Interés compuesto UNIDAD VI : Anualidades, rentas o series uniformes de pago UNIDAD V : Amortización de créditos y préstamos 6
7 En el desarrollo de cada unidad, se explican los conceptos involucrados y su aplicación a través del desarrollo de ejercicios que involucran dichos conceptos. Además, al finalizar cada unidad, se incluye una amplia variedad de ejercicios propuestos, que se recomienda resolver para adquirir mayor habilidad en la aplicación de los conceptos. Algunos apartados del texto, como se señala expresamente en esta Guía y en las orientaciones para el curso, no se incluyen como temas a estudiar para los efectos de la evaluación del curso. Sin embargo, queda a su criterio el estudio y realización de las prácticas, a fin de complementar su formación. SOBRE LAS HORAS DE ESTUDIO Este curso requiere para su aprobación exitosa una dedicación semanal de al menos 20 horas. Es necesario que estudie los conceptos y los ejercicios desarrollados en las explicaciones del texto y realice prácticas con ejercicios de autoevaluación de esta Guía y con los ejercicios propuestos para las tutorías y demás ejercicios al final de cada unidad, con el fin de desarrollar la habilidad de resolución de este tipo de ejercicios. SOBRE LA GUÍA DE ESTUDIO Esta guía de estudio consta de cuatro partes que corresponden al material que se desarrollará en cada tutoría. Abarca 5 unidades del texto de estudio que están organizadas como se muestra a continuación: PARTES Tutoría 1 Tutoría 2 Tutoría 3 Tutoría 4 UNIDAD I y II III IV V 7
8 Cada unidad consta de las siguientes secciones: Objetivo general Describe los aprendizajes que debe lograr el estudiantado al finalizar el estudio de la unidad. Objetivos específicos Describe los aprendizajes intermedios necesarios y suficientes para facilitar y lograr el cumplimiento del objetivo general. Sumario de lecturas Presenta la lista de los temas específicos del libro y las páginas en las que se encuentran. Además, indica las secciones del libro que no se estudiarán en el curso y su correspondiente paginación. Conceptos relevantes Procura orientar al estudiante sobre cuáles son los conceptos a los que debe dar énfasis en el estudio de la unidad con el fin de lograr los objetivos propuestos. Los conceptos pueden presentar elementos como: Definición. Ideas principales relacionadas con el concepto. Fórmulas. Esquemas que establecen relaciones entre ese y otros conceptos. Advertencias sobre tópicos que generalmente inducen a errores en la resolución de ejercicios y problemas. Actividades Corresponde a una lista de acciones a realizar para ayudar a entender los conceptos y su aplicación práctica, a través de la resolución de ejercicios y el acceso a material de apoyo. Ejercicios de autoevaluación Incluye una serie de ejercicios que brindan una posibilidad más para practicar la aplicación de los conceptos estudiados en la unidad. Resolución de ejercicios de autoevaluación Contiene el desarrollo y resultado final de cada uno de los ejercicios de autoevaluación incluidos en la sección de Ejercicios de autoevaluación. Al final de las unidades se presenta bibliografía de consulta o para ampliar el estudio de los temas del curso. 8
9 En esta Guía se utiliza la misma simbología para las fórmulas que se utiliza en el libro para la que fue diseñada. Sin embargo, debe tener claro que otras personas que escriben sobre el tema podrían utilizar una simbología diferente, por lo que es necesario que se acostumbre a identificar el significado de cada símbolo utilizado, según el texto en estudio. En cuanto a la escritura de los números, en el libro los órdenes se separan con punto (por ejemplo ), pero en esta Guía se separarán con un espacio (por ejemplo ). Tanto en el libro de texto como en la Guía, la parte entera se separa de la parte decimal con una coma; por ejemplo: 9,25. En esta Guía, en las operaciones aritméticas, se utilizará el símbolo + para denotar adiciones, el símbolo - para denotar sustracciones, el símbolo para multiplicaciones y una línea horizontal que separa el numerador del denominador para las divisiones. La simbología de las fórmulas, es la misma que la del libro de texto, entre ellas: I = cantidad en unidades monetarias a pagar o recibir por concepto de interés. En esta Guía se utilizará el colón como unidad monetaria. C = capital, principal, valor presente o valor actual. También se simboliza como A, PV,... S = valor futuro o monto acumulado. También se simboliza como F, FV, t = periodo de tiempo o plazo de la transacción i = tasa de interés o rendimiento i(a) = tasa de interés efectiva anual D = cantidad a descontar o monto del descuento V = valor nominal o total sobre el que se aplica un descuento Vn = valor neto en un descuento único o en cadena d = tasa de descuento PV = valor presente, capital o principal (del inglés present value) FV = valor futuro o monto acumulado (del inglés future value) j = tasa de interés nominal anual (a veces también se simboliza con r) m = número de periodos de capitalización por año j(n) = tasa nominal anual. Dentro del paréntesis se indica la cantidad de veces que se capitaliza al año n = número total de periodos de capitalización durante el plazo convenido PMT = anualidad, renta o serie uniforme de pago o cobro, cuota o cantidad fija que se paga o cobra en forma periódica (abreviatura del inglés payment). 9
10 PRIMERA TUTORÍA Unidad I: Interés simple Unidad II: Descuentos y costos financieros TEMA INTERÉS SIMPLE UNIDAD I OBJETIVO GENERAL Aplicar el concepto de interés simple. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Explicar el concepto de interés y cálculo de interés simple. 2. Identificar las fórmulas derivadas del concepto de interés simple. 3. Explicar el concepto del valor del dinero en el tiempo. 4. Aplicar el concepto de valor futuro en la resolución de problemas. 5. Aplicar el concepto de valor presente, principal o capital en la resolución de problemas. 6. Calcular el plazo o la tasa de interés en casos de interés simple. 7. Resolver ejercicios de ecuaciones de valor o valores financieros equivalentes. SUMARIO DE LECTURAS Definiciones básicas (págs. 13 a 14). Concepto de interés y cálculo del interés simple (págs. 14 a 17). Fórmulas derivadas (págs. 17 a 20). Concepto del valor del dinero en el tiempo (pág. 20). Concepto de valor futuro o monto (págs. 20 a 22). Definición de valor presente, principal o capital (págs. 22 a 24). Ecuaciones de valor o valores financieros equivalentes (págs. 24 a 30). CONCEPTOS RELEVANTES Una vez que usted ha realizado las lecturas anteriores, analice cuidadosamente los siguientes conceptos relevantes, ya que con ellos se pretende enfatizar algunos contenidos importantes de la unidad. 10
11 INTERÉS: Es la cantidad pagada por el uso del dinero de terceras personas o cantidad ganada por la inversión del dinero en activos financieros. El interés puede representar el costo de las deudas (pasivos) o el rendimiento sobre las inversiones (activos). INTERÉS SIMPLE (I): Es el interés que se genera (gana o paga) sobre un capital que permanece constante durante todo el plazo de la operación; es decir que el interés ganado en cada periodo no se capitaliza; lo que significa que no se agrega al capital original, por lo cual el monto de interés es igual en todos los periodos durante el plazo de la operación. La fórmula de interés simple (I) es la siguiente: I = Cit Donde I = Interés C = Capital, principal, valor actual o valor presente del monto invertido i = Tasa de Interés t = Cantidad de periodos de tiempo Es importante tener presente que en la tasa de interés, cuando no se especifica el periodo, se supone que está referida al periodo anual, y que el plazo debe expresarse en los mismos términos. En esa circunstancia, cuando el plazo se exprese en unidades de tiempo que no sean años, debe hacer la conversión correspondiente, para lo cual puede utilizar fracciones; por ejemplo, 6 meses pueden expresarse como 12 6 años, 7 semanas como 52 7 años o 35 días como 35 años. 360 También se debe considerar que al calcular los intereses existen diversas formas de calcular los días de una operación: puede utilizarse meses de 30 días o contar los días exactos y puede considerarse años de 360 días o los días exactos que tiene el año. Las formas utilizadas se denominan: 1. Interés simple corriente u ordinario o del tipo 360/360, que cuenta los días de la operación de manera aproximada (considera meses de 30 días) y los días del año también los considera aproximados, al utilizar 360 días. 2. Interés comercial o bancario o del tipo 365/360, en donde los días de la operación son contados en forma exacta pero los días del año se aproximan. 3. Interés simple exacto, verdadero o del tipo 365/365, que considera los días del plazo y los días de año de modo exacto. 4. Interés simple del tipo 360/365, en el cual, para el plazo de la operación, los días se cuentan de manera aproximada pero los días del año son exactos. 11
12 La forma generalmente utilizada en el libro es del tipo 365/360, salvo que se especifique lo contrario. Si se conocen los valores de I, C y t, para obtener el valor de i, se puede despejar i en la fórmula de la siguiente manera: I I I = Cit I = (Ct)i = i i = (Ct) Ct Si se conocen los valores de I, C e i, para obtener el valor de t, se puede despejar t en la fórmula de la siguiente manera: I = Cit I = (Ci)t I = t t = I (Ci) Ci VALOR ACUMULADO O VALOR FUTURO: Monto que resulta, en una fecha futura, de adicionar los intereses generados a una tasa de interés al principal o capital invertido, en un plazo determinado. En una acumulación a interés simple, se acumula el capital más los intereses de cada periodo. Aunque en la página 21 del libro de texto no se hizo la aclaración, cabe mencionar lo siguiente: Si el valor acumulado o futuro se calcula a una tasa de interés simple, entonces se representa con S. Si el valor acumulado o futuro se calcula a una tasa de interés compuesto, entonces se representa con FV (del inglés future value). En esta unidad nos referiremos al valor acumulado o futuro con el símbolo S, puesto que estamos estudiando el interés simple. El valor que se acumula en el futuro, corresponde al capital o valor actual, más los intereses de cada periodo, según se muestra a continuación: valor futuro = capital + intereses del periodo 1 + intereses del periodo intereses del periodo t Expresado simbólicamente: S = C + (Ci) + (Ci) (Ci) t veces Se podría decir que (Ci) se suma t veces, es decir, S = C + (Ci)t, entonces: S = C (1 + i t) Donde S = valor futuro o monto total acumulado con intereses C = capital, valor actual o valor presente del monto invertido i = tasa de Interés t = tiempo o número de periodos 12
13 VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL: El valor presente o actual de un monto que vence o se dispondrá en una fecha futura, es aquel capital que a una tasa de interés o de rendimiento dado, en un plazo determinado, alcanzará el valor especificado en la fecha futura. Si el valor presente o actual se calcula a una tasa de interés simple, entonces se representa con C. Si el valor presente o actual se calcula a una tasa de interés compuesto, entonces se representa con PV (del inglés present value). En esta unidad nos referiremos al valor presente o actual con el símbolo C, puesto que estamos estudiando el interés simple. El valor presente, corresponde al valor futuro descontado a una tasa de interés por los periodos correspondientes. La fórmula del valor presente para interés simple (C) se deduce de la fórmula de valor futuro para interés simple (S) de la siguiente manera: S = C(1 + it) S = C (1+ it) C = S 1+ it En los siguientes esquemas se muestra la relación entre valor presente y valor futuro a interés simple: EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO AÑO Si tengo una suma de dinero HOY Cuánto compro HOY? Cuánto compro en 3 AÑOS? Si con compro 10 hamburguesas (a cada una) VALOR PRESENTE Con compraré solo 7 hamburguesas (a cada una) VALOR FUTURO EL VALOR DEL DINERO NO ES CONSTANTE EN EL TIEMPO UNA SUMA DE HOY EQUIVALE A UNA SUMA MAYOR EN EL FUTURO 13
14 AÑO Con cuánto compro lo mismo HOY? Cuanto compro en 3 AÑOS? Si tendré una suma de dinero en 3 AÑOS Hoy requiero solo (20 kilos de azúcar a 600 cada uno) VALOR PRESENTE Con compraré 20 kilos de azúcar (a 800 cada uno) VALOR FUTURO EL VALOR DEL DINERO NO ES CONSTANTE EN EL TIEMPO UNA SUMA EN EL FUTURO EQUIVALE A UNA SUMA MENOR DE HOY RELACIÓN ENTRE VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE PERIODO t CAPITAL CAPITAL Interés Interés Interés Interés VALOR PRESENTE S = C (1 + it) VALOR FUTURO S C = 1+ it S = Valor futuro C = Valor presente i = Tasa de interé s t = Tiempo o número de periodos PERIODOS (t) Y TASA DE INTERÉS (i): Conociendo el valor presente (C), la tasa de interés (i) y el valor acumulado o futuro (S), se pueden determinar los periodos transcurridos (t), por medio de la fórmula de valor futuro, de la siguiente manera: S 1 S S S = C (1 + it) = 1 + it 1 = it C = t C C i S 1 t = C i 14
15 De igual forma, conociendo el valor presente (C), los periodos transcurridos (t) y el valor futuro (S), se puede determinar la tasa de interés (i), por medio de la misma fórmula de valor futuro, de la siguiente manera: S 1 S S S = C (1 + it) = 1 + it 1 = it C = i C C t ECUACIÓN DE VALORES FINANCIEROS EQUIVALENTES: S 1 i = C t Es la ecuación que permite cambiar un conjunto de obligaciones en determinadas fechas, por otra obligación o conjunto de obligaciones de montos diferentes y en otras fechas. Es decir, permite cambiar varias sumas en diferentes momentos del tiempo, por otras que son equivalentes en otros momentos del tiempo. Se requieren algunos elementos, tales como: - Tasa de interés o rendimiento, mediante la cual se llevan los montos a una fecha común. - Fecha focal o fecha de análisis, que es la fecha en la que se comparan todas las sumas. En las ecuaciones de valores financieros equivalentes debe considerar que al comparar montos en diferentes fechas, estos no son equivalentes por el valor que tiene el dinero a lo largo del tiempo. Para realizar comparaciones de sumas en diferentes momentos, debe trasladarlas todas a un mismo momento donde sí son comparables. La fecha escogida para realizar esta comparación se denomina fecha focal, que es la fecha que se utiliza para hacer las comparaciones de los diferentes montos. ACTIVIDADES 1. Luego de haber estudiado el tema de esta primera unidad, resuelva los Problemas propuestos de la unidad I (págs. 31 a 33) y verifique sus respuestas a los ejercicios impares en las páginas 34 a 39 y sus respuestas a los ejercicios pares en la página web de la UNED, en la siguiente ubicación: Aprendizaje en línea > WebCT > Matemática Financiera >Guía de estudio y problemas resueltos >Introducción a las finanzas. 2. Utilice exámenes de periodos académicos anteriores, a fin de que realice prácticas, ya que es fundamental para el mejor aprovechamiento del curso. Puede encontrarlos en la página web de la UNED en la siguiente ubicación: Aprendizaje en línea > WebCT > Matemática Financiera > Presentaciones y exámenes. Los exámenes primer ordinario y primero de reposición incluyen ejercicios de las unidades I, II y III. 15
16 3. Resuelva los Ejercicios de autoevaluación de la unidad I que se incluyen a continuación y verifique sus resultados. EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1.1 Si hoy deposita en un banco que paga una tasa de interés del 15%. Cuánto dinero tendrá dentro de 9 meses? 1.2 Usted recibirá dentro de un año. A cuánto equivale hoy si la tasa de interés es del 14%? 1.3 Si un depósito de se transforma en en 3 años, qué tasa de interés reconoce el banco? 1.4 Si se depositan en un banco que paga el 18% anual, cuánto tiempo debe transcurrir para que se duplique el monto? 1.5 Un préstamo por a un interés bancario del 15% fue otorgado el 22 de mayo del En que fecha el total adeudado (principal más intereses) será igual a ? 1.6 Cuál oferta es más conveniente para el comprador de un carro que puede invertir el dinero al 17%? a) Pagar de prima y dentro de un año. b) Pagar de contado. 1.7 Una persona desea tener , para lo cual deposita en un banco hoy y dentro de 6 meses. Cuántos meses deben transcurrir a partir de hoy, si la tasa de interés del banco es del 18%? 1.8 Una persona debe lo siguiente: - Un pagaré exigible en 6 meses, por firmado hace 4 meses con intereses del 12%. - Un pagaré exigible en 2 meses, por firmado hace 1 mes, al 18%. - Un pagaré exigible en 8 meses, por firmado hace 6 con un interés del 15%. Si desea pagar esta deuda mediante un solo pago dentro de 6 meses, qué monto deberá pagar, si se asume un rendimiento del 14%? 1.9 Una persona tiene varias deudas: una por que vence en 6 meses, otra por que vence en 2 meses y otra por que vence en 9 meses. Quiere cancelar esas deudas en dos pagos: el primero, que será la mitad del segundo, a los 3 meses y el segundo, a los 6 meses. 16
17 Si la tasa de interés es del 16%, de cuánto dinero será cada pago? (Use como fecha focal el mes 6) Un artículo vale al contado, pero un comprador conviene en pagar de cuota inicial y el resto a 90 días, con un recargo de 6% del valor total. Qué tasa de interés simple pagó? RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1 Nota: Tenga presente la fórmula de interés simple: S = C (1 + i t) 1.1 Valor futuro (S): 9 S = ,15 = ,00 12 (El tiempo está expresado como fracción de año). Dentro de 9 meses tendrá , Valor presente (C): = C (1 + 0,14) C = ,79 (El tiempo es un año, o sea que t = 1). La suma equivale hoy a , Tasa de interés (i): = (1 + i 3) i = 0,18 = 18% La tasa de interés que reconoce el banco es del 18% anual. 1.4 Tiempo transcurrido (t): = (1 + 0,18 t). t = 5,5556 años Entonces, el tiempo transcurrido es 5 años, 6 meses y 20 días (El valor de t obtenido corresponde al resultado en años, es decir 5 años completos y una fracción de 0,5556. La fracción de 0,5556 años equivale a 6,6666 meses (pues 0, = 6,6666), o sea 6 meses completos y una fracción de 0,6666. La fracción de 0,6666 meses equivale a 20 días (pues 0, = 20). 1.5 Fecha: Primero se debe averiguar el tiempo transcurrido (t): = (1 + 0,15 t) t = 0,2418 años = 87 días Luego se debe determinar qué fecha será después de que transcurran 87 días a partir del 22 de mayo del 2007: 17
18 Del 22 al 31 de mayo pasan 9 días, en junio pasan 30, en julio 31, y deben pasar 17 en agosto para completar 87 días; por lo tanto, el total adeudado será igual a el 17 de agosto del Comparación de ofertas: Primera opción: ,17 = ,42 Segunda opción: = ,00 La opción más favorable es la primera (Deben comparase todos los valores en una misma fecha; se elige la fecha de compra del carro. En la primera opción, a la prima se suma el valor a que equivale hoy el monto a pagar en un año (se usa la misma fórmula). La segunda opción está en valores de hoy). 1.7 Tiempo transcurrido (t): El primer depósito acumula en 6 meses: , 18 = A ese monto se suma el nuevo depósito de y tendrá en el mes 6 la suma de Para calcular el tiempo que debe transcurrir con el fin de acumular , se hace lo siguiente: = (1 + 0,18 t) t = 1,1622 años = 14 meses (aproximadamente) Por lo que a partir de hoy deben transcurrir 20 meses (14 meses es el tiempo que debe transcurrir después del segundo depósito. La pregunta se refiere al tiempo transcurrido desde primer depósito, por lo que hay que sumar 6 meses a los 14 obtenidos). 1.8 Ecuaciones de valores financieros equivalentes: Montos que debe pagar: En 2 meses: , = ,00 En 6 meses: ,12 12 = ,00 En 8 meses: , = ,00 (Cada pagaré tiene intereses y se calcula el monto total a pagar en cada uno). 18
19 Se plantea una igualdad entre lo que debe pagar y lo que quiere pagar, con valores expresados según la fecha focal que es el mes , = X , , ,08 = X X = ,41 (El monto que debe pagar en el mes 2 se debe llevar a 4 meses para expresarlo en valores del mes 6; monto que debe pagar en el mes 6 ya está expresado en valores a esa fecha; y el monto que debe pagar en el mes 8 se debe traer 2 meses para expresarlo en valores del mes 6. Monto que desea pagar es en el mes 6 por lo que coincide con la fecha focal y no se debe ajustar). El monto por pagar será de , Ecuaciones de valores financieros equivalentes: , = X 1 + 0,16 + X , , ,23 = 1,04 X + X X = ,78 (Los montos adeudados no tienen intereses. Se hace equivalencia o igualdad entre lo que debe pagar con lo que quiere pagar, expresando todos los valores a una misma fecha, es decir llevando o trayendo al mes 6) Cada uno de los pagos será de , Tasa de interés: Monto por pagar a crédito Monto del crédito: = Recargo: 6% sobre = Total a pagar Cálculo tasa de interés: S = C (1 + it) = i 360 i = 0,40 = 40% La tasa de interés simple que pagó fue de 40%. 19
20 TEMA DESCUENTOS Y COSTOS FINANCIEROS UNIDAD II OBJETIVO GENERAL Aplicar el concepto del descuento comercial o bancario. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Explicar los conceptos de comisiones, descuento único y descuento en serie o en cadena. 2. Aplicar el concepto de descuento de documentos y los tipos que se pueden utilizar: descuento racional o matemático y descuento comercial o bancario. 3. Calcular equivalencias entre tasas de interés (descuento racional) y tasa de descuento (descuento bancario). SUMARIO DE LECTURAS Definiciones básicas (págs. 41 a 42). Descuento de documentos: Acción para descontar un documento y tipos de descuento (págs. 56 a 67). No estudiar lo correspondiente a las siguientes secciones: Sección 2.2: Descuento por pronto pago (pág. 43). Sección 2.3: Tasa real versus tasa nominal (págs. 44 a 56). CONCEPTOS RELEVANTES Una vez que usted ha realizado las lecturas anteriores, analice cuidadosamente los siguientes conceptos relevantes, ya que con ellos se pretende enfatizar algunos contenidos importantes de la unidad. DESCUENTO: Es una cantidad que se rebaja de un valor dado. DESCUENTO ÚNICO: Es una única cantidad de dinero que se rebaja de un valor dado; por ejemplo, un descuento del 10% sobre el valor de un artículo cuyo precio es , implica una rebaja de
Fundamentos y Aplicación de las Matemáticas Financieras
CAPITULO 3 INTERÉS COMPUESTO OBJETIVO Al finalizar el estudio de éste capítulo el estudiante podrá: Definir el interés compuesto y la diferencia con el interés simple. Deducir de un valor presente, valor
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