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Timestamp: 2018-01-20 15:19:55+00:00

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Notions et modèles avancés en percolation
Chapitre 2 Notions et modèles avancés en percolation
Dans le premier chapitre de ce travail, les aspects fondamentaux de la percolation, les modèles de base et leurs principales propriétés ont été exposés. Par delà ces aspects élémentaires, le concept de percolation peut être étendu dans plusieurs directions. La première direction d'approfondissement concerne les processus dynamiques appliqués sur la structure en réseau, alors considérée comme un support donné (section 2.1). Le deuxième approfondissement porte sur l'analyse des aspects dynamiques de la structure elle-même (section 2.2). Une troisième avancée concerne la modification du modèle basique (section 2.3). Enfin, il existe également d'autres modèles de percolation qui s'écartent sensiblement des situations de base (section 2.4).
Dynamiques sur une structure donnée
Conduction d'un réseau
Propagation des feux de forêt
Aspects dynamiques de la structure
Modèles de croissance de la structure
Le modèle d'Eden
Le modèle d'épidémie
Le modèle d'invasion
Modification du voisinage
Percolation corrélée
D'autres modèles de percolation
Percolation de continuum
Premier passage de percolation
Percolation en gradient
Pour une présentation plus précise de la conduction dans les modèles de percolation de liens, de sites ou corrélée, voir Kirkpatrick (1973).
Sur les différentes sortes de liens, voir p. ??, p. ?? et p. ??.
Voir (7), p. ??.
Voir p. ??.
Sur les lois de Kirchhoff, voir notamment : Havlin et Bunde (1991), p. 103, ainsi que Kirkpatrick (1973), p. 578.
L'intensité du courant extérieur traversant les sites n'est différente de zéro que pour les éléments situés sur les bornes extérieures de l'échantillon.
Le même problème peut s'envisager en considérant que l'aléa porte sur l'activité des liens.
Traditionnellement, un mouvement se caractérise à un temps t par le déplacement R(t) réalisé depuis l'origine. La moyenne de R(t) étant nulle, il est alors préférable d'étudier son carré R2 (t) (De Gennes, 1993, p. 747).
Cette situation s'illustre facilement en considérant que la fourmi choisit une direction en allant sur un des liens qui lui sont contigus, sans savoir si le site vers lequel elle se dirige est ouvert ou fermé.
Un phénomène isotrope se caractérise, au contraire d'un phénomène anisotrope, par des propriétés physiques identiques dans toutes les directions.
C'est avec les chocs successifs appliqués par les molécules d'eau en agitation thermique que R. BROWN justifia l'aspect aléatoire du déplacement du grain de pollen. En fait, la nature du mouvement s'explique par la différence de résolution entre l'échelle a d'observation de la particule (relativement importante pour que le grain de pollen soit considéré ponctuel), et l'échelle moléculaire l « a où les mouvements des molécules d'eau sont déterministes. Ainsi, à l'échelle a, il est impossible de connaître et d'intégrer les mécanismes microscopiques où les molécules d'eau rentrent en contact avec le grain de pollen dont la taille est bien plus élevée. Ces effets microscopiques sont alors autant d'influences stochastiques qui se répercutent sur les caractéristiques statistiques du mouvement du grain de pollen (Lesne, 1996, pp. 240-241).
Sur les caractéristiques du mouvement brownien, voir p. ??.
Pour un processus stationnaire, la propriété á R2 (t + t0) ñ £ 2 á R2 (t) ñ + 2 á R2 (t0) ñ est vérifiée pour tout t et t0 réels, d'où |t + t0|g £ 2|t|g + 2|t0|g, ce qui implique 0 £ g £ 2 (Lesne, 1996, p. 245).
La notation á R2 (t) ñ = t2/(2 + q) est aussi parfois utilisée, (2 + q) ayant la même interprétation que Dw. Voir par exemple Gefen et alii (1983), p. 77, ainsi que Aharony (1984), p. 938.
voir § 1.4.3, p. ??.
La relation d'Einstein en question est : Dw = Df – d + 2 + µ = Df + z, où Dw est l'exposant de diffusion de la marche aléatoire, Df est la dimension fractale de l'amas infini, d est la dimension du système, µ est l'exposant reliant la conductivité à la dimension linéaire du réseau (S ~ L– µ) et z celui de la résistance r à la dimension linéaire du réseau (S ~ Lz) (Havlin et Bunde, 1991, pp. 102-104).
Suivant la notation á R2 (t) ñ = t2/(2 + q), la relation se transforme de façon équivalente en : q = (µ – b)/n. À partir des estimations des exposants universels µ, b et n, la valeur approximative de q en dimension un serait de l'ordre de 0, en dimension deux de (0,8), en dimension trois de (1,5) et en dimension quatre de (2,7) (Gefen et alii, 1983, p. 77).
Il est justifié de façon expérimentale et théorique qu'au seuil de percolation, le rayon de giration rs et la masse s des amas de taille s suivent la loi d'échelle s ~ rsDf (Lesne, 1996, p. 324). La valeur de Df s'assimile à une dimension de masse des amas finis et concorde avec la dimension fractale de l'amas infini Df (voir § 1.4.3, p. ??).
Voir § 1.4.2.
Sur les feux de forêt, voir Lesne (1996), p. 318 et pp. 333-334, ainsi que Stauffer et Aharony (1992), pp. 5-8.
L'hypothèse retenue ici est qu'un arbre brûle en une période : il s'enflamme ex ante, puis s'éteint ex post. Dans ce cas, la durée de l'incendie est de L périodes. Dans l'hypothèse où un arbre s'enflamme à une période puis s'éteint à la période suivante, l'incendie dure L + 1 périodes.
Voir § 1.4.3.
Sur la modification de l'entourage d'un site, voir le § 2.3.1, p. ??.
Pour une présentation plus approfondie des phénomènes de transports dans des matériaux hétérogènes, voir Klafter J., Rubin R.J., Shlesinger M.F. (eds.), (1986), Transport and Relaxation in Random Materials, Singapore, World Scientific Publishing, 15-17 October 1985, Maryland, p. 421.
Sur le modèle d'épidémie, voir le § 2.2.3.
Sur la notion d'effet de taille finie, voir § 1.3.2.
Cette méthode, tirage d'un nombre aléatoire entre 0 et 1 comparé avec la valeur de p (avec 0 < p £ 1), permet de respecter de façon élémentaire, l'instruction (ii) de la règle de croissance : « rendre ce site actif avec la probabilité p ou le neutraliser avec la probabilité (1 – p) ». Un chiffre tiré au sort entre 0 et 1 selon une loi uniforme, a p % de chance d'être inférieur à p et (1 – p) % d'être supérieur. Dans ces conditions, si la valeur du chiffre aléatoire est inférieure à p, il est activé sinon il est neutralisé.
Sur cette extension du modèle d'épidémie, voir Bunde et Havlin, 1991, pp. 77-79.
De façon plus précise, pc ~ 0,593. Voir tableau 1.5, p. ??.
Voir § 2.2.2, p. ??.
La viscosité s'associe à la résistance d'un liquide à l'écoulement, alors que la capillarité agit ici en faveur du flux.
Sur le modèle d'invasion avec piégeage, voir Wilkinson et Willemsen (1983), ainsi que Kesten (1987), pp. 1254-1257.
Voir tableau 1.5, p. ??.
Voir § 2.1.3, et principalement la figure 2.15, p. ??.
Voir « Isotropie et anisotropie », in Encyclopædia Universalis, Thesaurus-Index, Paris, 1990, pp. 1768-1769.
Pour des applications du modèle d'Ising, voir, Föllmer (1974) sur un modèle économique d'échange, et Callen et Shapero (1974) sur un modèle d'imitation des comportements dans une société.
De cette manière, la configuration de la figure 2.40 se traduit par : (+, +, –, –, +, +, –, +).
Pour une expérimentation numérique du modèle d'Ising en langage Mathematica, voir Gaylord et Wellin (1995), pp. 75-81.
La solution de ce modèle est triviale puisque le nombre de voisins d'un site ne peut pas être négatif.
Là encore, la solution de ce modèle est triviale puisque le nombre de voisins d'un site ne peut dépasser la coordinence z du réseau.
Sur les exposants critiques dans les modèles de percolation-éviction et percolation-diffusion, voir Chaves et Koiller (1995), p. 277 ; ainsi que Medeiros et Chaves (1997), p. 609.
Pour une distribution uniforme comme dans l'exemple de la figure 2.41, la probabilité d'activité d'un site est : ps = s2 – rsc/s2 – s1 (Vidales et alii, 1995, p. 23).
Sur la notion de ligne de transition, voir figure 1.27, p. ??.
Le terme « réseau » est parfois employé pour désigner les graphes irréguliers et le terme « treillis » pour qualifier les structures régulières. De cette manière, on parle par exemple de treillis carré et non de réseau carré. Dans le cadre de ce travail, le terme de réseau s'associe indifféremment aux graphes réguliers et irréguliers.
La tesselation d'un plan se fait par des polygones de Voronoï alors qu'en volume elle se réalise avec des cellules de Wigner-Seitz (Clerc et alii 1983, p. 67).
Voir équation (16), p. ??.
Sur la tesselation, voir § 2.3.4, p. ??.
Pour la démonstration de cette propriété, voir Grimmett (1989), p. 252-256.
L'article fondateur est : Hammersley J.M., Welsh D.J.A., (1965), « First-Passage Percolation, Subadditive Processes, Stochastic Networks, and Generalized Renewal Theory », in Neyman J., Le Cam L. (eds.), Bernouilli, 1713 ; Bayes, 1763 ; Laplace, 1813 - Anniversary Volume, Proceedings of an International Research Seminar, Statistical Laboratory, University of California, Berkeley, 1963, Berlin, Springer-Verlag, pp. 61-110.
En anglais, passage time pour « temps de passage ».
En anglais, first-passage time pour « temps de premier passage ».
Pour une comparaison approfondie des modèles d'Eden et de premier passage de percolation, voir Kesten et Schonmann (1994).
Sur le modèle d'invasion, voir § 2.2.4.
Sur la structure du front en trois dimensions, voir Rosso et alii (1986), ainsi que : Gouyet (1992), pp. 124-125.
Sur la notion de paire adaptée de graphes, voir Kesten (1982), p. 16-21.
Pour mémoire, la loi d'échelle correspondante est : x(p) » |p – pc|– n (équation (15), p. ??).

References: § 1
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