Source: https://www.scribd.com/doc/3740675/Analisis-matematico-inecuaciones
Timestamp: 2018-11-16 01:39:37+00:00

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Explicacion muy clara y entendible con ejercicios y ejemplos
ANALISIS MATEMATICO E INECUACIONES
CONTENIDO_A1 ANÁLISIS MATEMÁTICO I
UNIDAD I. Tema 1 1.0 Conjuntos numéricos. Recta Real. Intervalos. Operaciones con Intervalos. Desigualdad. Solución de una desigualdad 1.1 Relación y función. Gráfica de una función. Dominio y Rango de una función 1.2 Función Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva 1.3 Inversa de una función y Función Inversa 1.4 Álgebra de funciones: Suma, Resta, Producto, Cociente 1.5 Función Compuesta UNIDAD I. Tema 2 2.1 Funciones polinómicas: signo de la función, crecimiento y decrecimiento de una función, función constante, identidad, lineal, cuadrática 2.2 Funciones especiales: valor absoluto, función distancia, escalón unitario, entero mayor 2.3 Funciones trascendentes: función exponencial, función logaritmo, funciones trigonométricas (Crecimiento y decrecimiento. Signo de las funciones trigonométrias) 2.4 Funciones hiperbólicas UNIDAD I. Tema 3 3.1 Inecuaciones - Lineales - Cuadráticas - De grado n - Racionales - Irracionales - Con valor absoluto - Especiales 3.2 Dominio y rango de funciones compuestas 3.3 Región solución de sistemas de inecuaciones en el plano 3.4 Modelación matemática
UNIDAD II Tema 1 1.1 Sucesiones 1.2 Sucesiones monótonas 1.3 Cotas, conjunto acotado y sucesiones acotadas 1.4 Entorno de un punto y punto de acumulación 1.5 Límite de una sucesión 1.6 Sucesiones convergentes y divergentes 1.7 Teoremas sobre sucesiones unicidad y existencia 1.8 El número e Tema 2 2.1 Límite de una función 2.2 Límites infinitos y límites al infinito 2.3 Límites laterales 2.4 Teorema de encaje 2.5 Propiedades de cálculo del límite de funciones 2.6 Igualdades simbólicas. Formas determinadas e Indeterminadas 2.7 Cálculo de límites Tema 3 3.1 Continuidad de una función 3.2 Álgebra de las funciones continuas 3.3 Tipos de discontinuidad 3.4 Teoremas sobre funciones continuas: Teorema del valor intermedio. Teorema de Bolzano. Teorema de acotación 3.5 Asíntotas de una función
UNIDAD III Tema 1 1.1 Incremento y cociente incremental 1.2 Derivada de una función en un punto 1.3 Derivadas laterales 1.4 Interpretación geométrica y física de la derivada 1.5 Función derivada 1.6 Teorema sobre derivabilidad de una función continua Tema 2 2.1 Fórmulas y reglas de derivación 2.2 Derivadas de funciones implícitas 2.3 Derivadas de orden superior 2.4 Derivación paramétrica 2.5 Problemas de aplicación de la interpretación geométrica de la derivada 2.6 Diferenciales 2.7 Rapidez de variación Tema 3 3.1 Valores extremos: absolutos y relativos 3.2 Teorema sobre la existencia de los extremos absolutos 3.3 Números críticos 3.4 Teorema sobre la existencia de extremos relativos 3.5 Teorema de Rolle y Lagrange 3.6 Crecimiento y decrecimiento de una función 3.7 Criterio de la primera derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento 3.8 Relación entre el comportamiento de una función y los números críticos 3.9 Criterio de la segunda derivada para determinar extremos relativos 3.10 Concavidad y convexidad de una función 3.11 Teorema que permite determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función 3.12 Puntos de inflexión 3.13 Estudio analítico - gráfico de una función 3.14 Regla de L´Hopital 3.15 Problemas de Optimización (Máximos y Mínimos)
Uno de los conceptos más importantes en la Matemática moderna es el de Conjunto, es una idea primitiva, y por tanto no se puede definir.La asignatura llamada Cálculo descansa sobre tres conceptos básicos: Variable, Función y Límite. El cálculo se basa en las propiedades de los números reales, por esto es necesario conocer los conjuntos numéricos que constituyen los números reales.
Conjunto de los números naturales Conjunto de los números naturales, incluyendo el CERO0 Conjunto de los números enteros Conjunto de los números enteros, excluyendo el CERO
N * ={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Z * = { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
Q = { ... -3/2, -2/2, -1/2, 0, 1/2, 2/2, 3/2, ... } Conjunto núneros racionales. Q = a / b, "b" diferente de cero, "a" y "b" pertenecientes a los enteros. I = { ... ... }
Conjunto de los núneros irracionales
R = Q U I Conjunto de los núneros REALES
Representación geométrica de los números reales.
RELACIÓN BIUNÍVOCA: a cada número real le corresponde un único punto en la recta real y cada punto en la recta real corresponde a un único número real.
INTERVALOS Representan subconjuntos de los números reales. Describiremos nueve tipos de intervalos, cuatro de ellos finitos y cinco infinitos. En la definición de intervalos finitos, a y b son números reales, siendo a < b.
Nota: Un extremo abierto, como puede observarse, se representa con paréntesis ( ). La representación también puede hacerse usando circunferencias " O ". Un extremo cerrado se representa con corchetes [ ]. La representación también puede hacerse usando círculos ( círculo: superficie plana contenida dentro de la circunferencia, circunferencia: línea curva cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto interior llamado centro ). OPERACIONES CON INTERVALOS INTERSECCIÓN: La intersección de dos intervalos A y B, se expresa por:
y se lee " A intersección B ", y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A y en B ( elementos comúnes).
Ejemplo 1: Sea A = ( de A y B.
-3, 2 ] y B = [ -1, 5 ) dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la intersección 1,
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UNIÓN: La unión de dos intervalos A y B, se expresa por:
y se lee " A unión B ", y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A ó , en B (comúnes y no comúnes).
Ejemplo 2: Sea A B.
= ( -3, 2 ] y B = [ -1, 5 ) dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la unión de A y 1,
De la gráfica del ejemplo Nº 1, se fija la unión de A y B como el intervalo ( - 3, 5 ).
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Ejemplo 3: Sea A = A y B.
( -5, -3 ) U ( 2, 7 ) y B = ( -7, 0 ). Determinar el intervalo solución de la intersección de
Ejemplo 4: Sea A
= ( -5, -3 ) U ( 2, 7 ) y B = ( -7, 0 ). Determinar el intervalo solución de la unión de A y B.
DESIGUALDADES Si a y b son números reales y a - b es positivo, se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, b esto es equivalente a decir que b es menor que a (b < a). Los símbolos < y > se llaman SIGNOS ). DE DESIGUALDAD y expresiones como a > b y b < a se llaman DESIGUALDADES.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a y b son números reales, entonces: a) b) c) d) e) Si a > b y b > c, entonces a > c Si a > b, entonces a + c > b + c Si a > b, entonces a - c > b - c Si a > b y c es positivo, entonces ac > bc Si a > b y c es negativo, entonces ac < bc
SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD Resolver una desigualdad con una variable significa determinar los números ( del universo de la variable ) para los cuales la desigualdad resulta una proposición verdadera. El conjunto de números del universo para los que es verdadera la desigualdad, constituye la solución de la desigualdad. Por ejemplo: la solución de la desigualdad siguiente, 3x > 9, en el universo de números reales, es la totalidad de números reales mayores que 3, es decir:
En secciones siguientes se estudiará la resolución de desigualdades del tipo f como INECUACIONES
(x) > 0, conocidas
RELACIÓN Y FUNCIÓN RELACIÓN Sean A y B dos conjuntos, se define relación a toda CORRESPONDENCIA o regla que permite asignar a elementos de A elementos de B.
Estas CORRESPONDENCIAS se pueden expresar en forma de pares ordenados, donde la primera componente pertenece al CONJUNTO DE PARTIDA y la segunda al CONJUNTO DE LLEGADA ( imágenes ):
g = { (1,b) (2,b) (3,c) } f = { (1,a) (1,c) (2,b) (3,c) (4,c) }
DOMINIO DE LA RELACIÓN Sean A y B dos conjuntos, se define dominio de la relación a todos aquellos elementos pertenecientes a A a los que se les hace corresponder elementos pertenecientes a B.
Dg = { 1, 2, 3 } Df = { 1, 2, 3, 4 }
RANGO DE LA RELACIÓN Sean A y B dos conjuntos, se define rango de la relación a todos aquellos elementos pertenecientes a B que son IMÁGEN de elementos pertenecientes a A.
Rg = { b, c } Rf = { a, b, c }
FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos, una FUNCIÓN " f " de un conjunto A a un conjunto B es una CORRESPONDENCIA que asigna a TODOS Y CADA UNO de los elementos pertenecientes a A un ÚNICO elemento perteneciente a B.
Toda función es una relación, pero no necesariamente toda relación es función. En toda función, el DOMINIO es igual al CONJUNTO DE PARTIDA El elemento " y " de B es el valor de f en " x " MINIO PARTIDA. y se denota f (x) ( notación que se lee como " f de x " ).
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Como toda función es una relación, el concepto de dominio y rango de una función es equivalente función al concepto de dominio y rango de una relación. ¿ CÓMO DETERMINAR SI UNA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN ? Existen dos procedimientos: gráficamente y analíticamente. GRÁFICAMENTE ( prueba de la recta vertical ) Dada la gráfica de la relación s procede a trazar una recta VERTICAL. Si dicha recta corta a la se . gráfica en más de un punto, se puede concluir que la relación no es función. Si por el contrario, la recta vertical corta a la gráfica en un único punto, la relación si es función.
ANALÍTICAMENTE Se fijan dos pares ordenados genéricos, ( a, b ) y ( a, c ), con la misma primer componente. Para que estos dos puntos pertenezcan a una misma función debe ocurrir que b = c. El procedimiento se traduce entonces en generar dos ecuaciones a partir de la expresión de la relación y los dos pares ordenados genéricos. El sistema de estas ecuaciones se resuelve, si el resultado señala que b = c, sin ningún otro tipo de solución que indique lo contrario, entonces se puede concluir que la relación si es una función.
Ejemplo 1: Sea
f : R -------> R / f (x) = x + 1. Determinar analíticamente si esta relación es una función. f (a) = b = a + 1 f (a) = c = a + 1 restando ambas ecuaciones:
Se parte de los dos puntos genéricos, se sustituyen en la expresión de la relación:
( a, b ) ( a, c )
b-c=a-a+1-1 b-c=0 b=c
Conclusión: La relación dada SI representa una función.
f : R -------> R /
. Determinar analíticamente si esta relación es una función.
( b - c )( b + c ) = 0 b-c=0 b+c=0 b=c b=-c
Conclusión: La relación dada NO representa una función.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN - DOMINIO Y RANGO A partir de la representación gráfica de una función se puede establecer, por inspección, su dominio y rango:
Df = R Rgof = R
Rgof = [ 1, +
Df = R Rgof = [ -1, 1 ]
Df = R - { 2 } Rgof = R - { 0 }
FUNCIÓN INYECTIVA Sea f una función de A en B, se dice que f es inyectiva si a cada par de elementos distintos del dominio le corresponden imágenes diferentes. En otras palabras, una función es inyectiva si todos y cada uno de los elementos del conjunto de llegada son imágen a lo sumo de un elemento del conjunto de partida.
¿ CÓMO DETERMINAR SI UNA FUNCIÓN ES INYECTIVA? Existen dos procedimientos: gráficamente y analíticamente. mientos: GRÁFICAMENTE ( prueba de la recta horizontal ) Dada la gráfica de una función se procede a trazar una recta HORIZONTAL. Si dicha recta corta a . la gráfica en más de un punto, se puede concluir que la función no es inyectiva. Si por el contrario, inyectiva. la recta horizontal corta a la gráfica en un único punto, la función si es inyectiva.
ANALÍTICAMENTE Se fijan dos pares ordenados genéricos, ( a, c ) y ( b, c ), con la misma segunda componente. Para , que estos dos puntos pertenezcan a una función inyectiva debe ocurrir que a = b. El procedimiento enezcan se traduce entonces en generar dos ecuaciones a partir de la expresión de la relación y los dos pares ordenados genéricos. El sistema de estas ecuaciones se resuelve, si el resultado señala que a = b, sin ningún otro tipo de solución que indique lo contrario, entonces se puede concluir que la
función es inyectiva.
f : R -------> R / f(x) = x + 1. Determinar analíticamente si esta función es inyectiva. f (a) = c = a + 1 f (b) = c = b + 1
( a, c ) ( b, c )
c-c=a-b+1-1 a-b=0 a=b
Conclusión: La función dada SI es inyectiva.
f : R -------> R / f(x) =
. Determinar analíticamente si esta función es inyectiva.
( a - b ) ( a + b) = 0 a-b=0 a+b=0 a=b a=-b
Conclusión: La función dada NO es inyectiva
FUNCIÓN SOBREYECTIVA Sea f una función de A en B, se dice que f es sobreyectiva si todos y cada uno de los elementos del conjunto de llegada son imágen por lo menos de un elemento del conjunto de partida. Esto es
equivalente a decir que el rango de dicha función tiene que ser igual al conjunto de llegada ( Rgof = B ).
Si una función no es sobreyectiva existe la posibilidad de redefinir el conjunto de llegada, de esta manera se puede obligar a que la función si sea sobreyectiva.
FUNCIÓN BIYECTIVA Sea f una función de A en B, se dice que f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. A este tipo de función se le da el nombre de " función uno a uno ".
INVERSA DE UNA FUNCIÓN Y FUNCIÓN INVERSA Sea f una función de A en B BIYECTIVA: a toda regla o correspondencia que Se define la inversa de la función f y se denota por permite obtener los valore de x A a partir de los valores de y B:
B / y = f (x)
:B A/ x= ( y) , alternativamente se pueden intercambiar las variables para expresar la función inversa de la siguiente manera: :B A/ = (x)
Es importante recordar que para definir la FUNCIÓN inversa de una función f es absolutamente esencial que f sea BIYECTIVA. Si f no es inyectica o no es sobreyectiva, la inversa de f se puede determinar, sin embargo, ésta sería sólamente una RELACIÓN. ¿ CÓMO DETERMINAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN ?
1. Verificar que " f " es biyectiva ( si se quiere que la inversa sea función ). 2. Despejar " x " en términos de " y " de la ecuación y = f (x). 3. Intercambiar las variables
Nota: En esta sección uno de los aspectos básicos consiste en dominar a cabalidad las diferentes técnicas de despeje.
R / f (x) = 3x - 5. Encontrar la función inversa de f. y = 3x - 5 x=(y+5)/3
f (x) = 3x - 5 es biyectiva ( verificar ) Se despeja la variable independiente x:
Intercambio de las variables:
=(x+5)/3
:R R/ (x) = ( x + 5 ) / 3 _____________________________________________________________
RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y LA GRÁFICA DE SU INVERSA
En las tres gráficas presentes en la parte anterior se puede observar, en cada caso, que la gráfica de la función f y la gráfica de la función inversa son simétricas respecto a la recta y = x. ÁLGEBRA DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones para las cuales las correspondientes de x sean f (x) y g (x), respectivamente. Denotemos los correspondientes dominios de f y de g, por Df y Dg. Definimos entonces las cuatro funciones expresadas por:
f . g,
de la manera siguiente ( donde Df
Dg ) f + g = { ( x, y ) / y = f (x) + g (x), x ( Df Dg ) } f - g = { ( x, y ) / y = f (x) - g (x), x ( Df Dg ) }
f . g = { ( x, y ) / y = f (x) . g (x), x ( Df Dg ) } f / g = { ( x, y ) / y = f (x) / g (x), x ( Df Dg ) y g (x) 0 } _____________________________________________________________
Ejemplo 1: Hállese f + g, f - g, f . g, f / g donde: f = { (4,3), (5,6), (0,5) (3,2), (8,11) } y g = { (5,-4), (0,6), (3,3) (8,9), (7,10) }.
f + g = { (5,2), (0,11), (3,5), (8,20) } f - g = { (5,10), (0,-1), (3,-1), (8,2) } f . g = { (5,-24), (0,30), (3,6), (8,99) } f / g = { (5,-3/2), (0,5/6), (3,2/3), (8,11/9) } _____________________________________________________________
Ejemplo 2: Dadas las funciones f
, hallar las ecuaciones para
f/g + 4 - 4
f (x) + g (x) = f (x) - g (x) =
f (x) . g (x) = . 4 f (x) / g (x) = 1 / 4x _____________________________________________________________
FUNCIÓN COMPUESTA Sean los conjuntos A = { 1, 2, funciones f y g definidas por:
3, 4 }, B = { 0, 2, 3, 4, 6, 8 }, C = { 0, 6, 9, 12, 18, 24 }, y las
Definición: Sean f : A B y g:B C dos funciones. Se llama compuesta de f y g y se denota por ( g o f ) a la función h definida por h : A C / y = g [ f (x) ] ¿ CÓMO DETERMINAR LA FUNCIÓN COMPUESTA ? Ejemplo 1: Sean las funciones f
(x) = 2x y g (x) = 3x. Determinar ( g o f ). ( g o f ) = g [ f (x) ] = g [2x] = 3(2x) = 6x
Nota: En ( g o f ) actúa primero f (x), o sea, 2x. Luego, sea lo que sea f, debe sustituir a todas y cada una de las x que aparezcan en g(x). Aquí, uno de los aspectos más importantes es el cuidado que debe tenerse al hacer la sustitución.
f = { (1,7), (5,4), (3,5) (4,6) } y g = { (0,-3), (3,5), (4,1) }, determinar ( f o g ). ( f o g ) = f [g] = { (3,4), (4,7) }
Sean Se observa en el ejemplo Nº 3 que en " g " hay sólo dos pares ordenados cuyas segundas componentes aparecen como primera en " f ", estos son ( 3, 5 ) y ( 4, 1 ). Por esto, el dominio de f [g] es { 3, 4 }.
Ejemplo 4: Sean las funciones
+ x - 1 y g (x) = x - 2. Determinar ( f o g )
( f o g ) = f [ g (x) ] = f [ x - 2 ] = 2 - 8x + 8 + x - 3 = 2 - 7x + 5 _____________________________________________________________
PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 1.- La composición de funciones, en general, no es conmutativa 2.- La composición de funciones es asociativa (f og oh ) 3.- Sea f
(f og ) (g of ) =(f og )oh=f o(g oh) ( of )=I ó (f o
B / y = f (x) una función biyectiva, entonces
I = función identidad 4.- Composición con la función identidad
(I of )=f ó (f oI )=f
APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sabemos como definir la función compuesta a partir de dos funciones dadas. Ahora se presenta el problema de determinar una de las funciones a partir de la otra y la compuesta:
f (x) son conocidas, ¿ cómo determinar g (x) ?
Para resolver este problema se pueden usar las propiedades de la composición de funciones:
of og )=(
o f ) o g = ( I o g ) = g (x)
El problema se traduce, entonces, en determinar la inversa de f y componerla con la compuesta dada. El resultado de esta composición representa la función que se deseaba determinar.
SIGNO DE LA FUNCIÓN El signo de la función se refiere a definir donde f (x) > 0, f (x) < 0 ó donde f (x) = 0. Esto se hace indicando el rango de valores de la variable independiente para los cuales se dan las condiciones citadas anteriormente. En otras palabras, estudiar el signo de una función se refiere a determinar para que valores de " x " la " y " es positiva ( + ), negativa ( - ) o cero. CRECIMIENTO - DECRECIMIENTO DE LA FUNCIÓN Una función f es CRECIENTE en un intervalo I si:
Una función f es DECRECIENTE en un intervalo I si:
Una función f es CONSTANTE en un intervalo I si:
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se refiere a definir el rango de valores de la variable independiente para los cuales se dan las condiciones citadas anteriormente.
Ejemplo 1: Dada la siguiente gráfica, determinar: a) intervalos de crecimiento y decrecimiento, b) estudiar el signo de la función:
f (x) es creciente para toda x ( - / 2, / 2 ) U ( / 2, 3 / 2 ) U ( 3 / 2, 2 f (x)es decreciente para toda x ( - 3 / 2, - / 2 ) f (x) > 0 para toda x ( - 3 / 2, - ) U ( 0, / 2 ) U ( , 3 / 2 ) f (x) < 0 para toda x ( - , 0 ) U ( / 2, ) U ( 3 / 2, 2 ) f (x) = 0 para x = - , x = 0, x = , x = 2 _____________________________________________________________
f:R R / f (x) = b Df = R, Rgof = b
Ejemplo: f (x) = 1 Signo de la función: f (x) > 0 para toda x R Crecimiento - decrecimiento de la función: f no crece ni decrece, f es constante.
FUNCIÓN IDENTIDAD Esta función asigna como imágen el mismo valor de la variable independiente.
f:R R / f (x) = x Df = R, Rgof = R f (x) > 0 para toda x (0,+ ) f (x) < 0 para toda x (- ,0) f (x) = 0 para x = 0 f crece en todo su dominio
FUNCIÓN LÍNEA RECTA ( Función Afin ) Forma general: con el eje " y".
f (x) = m x + b , donde " m " representa la pendiente de la reta y " b " el corte
f:R R / f (x) = x + 1 Df = R, Rgof = R f (x) > 0 para toda x ( - 1, + ) f (x) < 0 para toda x (- ,-1) f (x) = 0 para x = - 1 f crece en todo su dominio
FUNCIÓN CUADRÁTICA Raíz de un polinomio: Valores de la variable independiente ( generalmente " x" ) que hacen que el polinomio se anule ( f (x) = 0 ). Estudiar el signo de la función cuadrática implica conocer las raíces del polinomio y para esto se emplea la Ecuación de Segundo Grado. Una vez conocida la existencia o no de raíces reales, se procede al estudio del signo de la función.
Signo de la función: fuera de las raíces el signo de f raíces el signo de f (x) es contrario al signo de " a".
(x) es el mismo signo de " a ". Dentro de las
R / f (x) =
- 4x + 3 )
f (x) = f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) = 0
- 4x + 3 = ( x - 1 )( x - 3 ) para toda x ( - , 1 ) U ( 3, + para toda x ( 1, 3 ) para x = 1, x = 3
Signo de la función: el signo de f
(x) es el mismo signo de " a ", excepto en la raíz.
- 4x + 4 )
f (x) = - 4x + 4 = ( x - 2 )( x - 2 ) f (x) > 0 para toda x ( - , 2 ) U ( 2, + f (x) = 0 para x = 2
(x) es el mismo signo de " a ".
f:R R / f (x) = - 2x + 2 f (x) > 0 para toda x R
Consideración: Cuando el polinomio sea de un grado superior ( 3, 4, 5...... ), el signo de la función se puede analizar evaluando valores de " x " directamente en el polinomio. Primero se grafican las raíces, se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se determina el valor de f (x) correspondiente.
FUNCIONES ESPECIALES FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Se define como función módulo o valor absoluto a la función:
Lo más característico de esta función es que el rango está representado por los números reales positivos, incluyendo el cero.
Df = R, Rf = [ 0 , + ) Signo de la función: f (x) > 0 para toda x (- ,2)U(2,+ f (x) = 0 para x = 2 f crece para toda x ( 2 , + ) f decrece para toda x (- ,2)
FUNCIÓN DISTANCIA Sean A y B dos puntos sobre una recta coordenada " m ", y " a y b" sus coordenadas respectivas. La distancia entre A y B se denota por d ( A, B ) y está dada por:
Observación: El rango está representado por dos valores sólamente, 0 y 1. A menudo se tiende a confundir el rango diciendo que son todos aquellos valores entre 0 y 1, lo cual es incorrecto.
FUNCIÓN ENTERO MAYOR ( PARTE ENTERA )
Se define cada intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha de tal forma que:
R = ...[ -4,-3 )U[ -3,-2 )U[ -2,-1 )U[ -1,0 )U[ 0,1 )U[ 1,2 )U[ 2,3 )U[ 3,4 )...
REGLA: A cada número real, contenido entre dos enteros consecutivos, se le asignará como imágen el entero contenido en el intervalo. Cabe destacar que cada intervalo representado contiene un único número entero, el del extremo izquierdo. El símbolo de la función se representa con corchetes [ ].
R / f (x) = [
- 3x +2 ]
Se deja al alumno la deducción de la gráfica.
GRÁFICAS COMBINADAS DE FUNCIONES ESPECIALES Para desarrollar la gráfica de este tipo de funciones es necesario estudiar cada término de la expresión por separado. El estudio se basa en la definición de valor absoluto, escalón unitario, entero mayor, dependiendo del caso que se trate. Toda esta información se representa en la recta real para luego graficar por intervalos. Ejemplo 4:
Existen dos casos de la función exponencial: 1) cuando 0 CASO I:
< a < 1,
2) cuando a
1. Las imágenes de la función exponencial pertenecen a los reales positivos. 2. La función es CRECIENTE en su dominio cuando a > 1. 3. La función es DECRECIENTE en su dominio cuando 0 < a < 1.
FUNCIÓN LOGARITMO Representa la función inversa de la función exponencial.
Para que la función f sea biyectiva es necesario redefinir el conjunto de llegada:
Despejando la variable independiente x:
Existen dos casos de la función logaritmo: 1) cuando 0 CASO I:
Ejemplo 1: Aplicación de las propiedades de la función logaritmo.
Ejemplo 2: Aplicación de las propiedades de la función logaritmo.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Los valores de las funciones trigonométricas se relacionan con las coordenadas de los puntos de una circunferencia de radio 1 ( Círculo Trigonométrico ):
Observación: Hay que recordar la condición de BIYECTIVIDAD que debe estar presente en la determinación de funciones inversas. Esta característica garantiza que la inversa, efectivamente, es una función.
R / f (x) = sen(x)
R / f (x) = cos(x)
f : R - { x / cos(x) = 0 }
R / f (x) = tan(x)
f : R - { x / sen(x) = 0 }
R / f (x) = csc(x)
R / f (x) = sec(x)
R / f (x) = cot(x)
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. ESTUDIO DEL SIGNO DE LAS LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Resulta particularmente interesante el estudio de estas características en las funciones trigonométricas, debido al caracter periódico que presentan las mismas. Se hace necesario deducir expresiones genéricas para poder señalar, por ejemplo, donde la función seno es positiva, o donde la función coseno es decreciente. Periodo de la función seno = 2k , Periodo de la función coseno = 2k Periodo de la función tangente = k
k Z , k Z , k Z
Función seno: 1 ) Dónde la función seno es positiva ( f (x) > 0 )?
Observando la gráfica podemos notar que existen infinitos intervalos donde la función seno es positiva ( o sea, existen infinitas regiones donde la gráfica se encuentra por encima del eje coordenado x ):
f (x) > 0 para toda x
) U ( 0,
)U(2
, 3 ) ...
No resulta práctico expresar la solución de esta forma. Sería más interesante definir un intervalo único donde cada una de sus dos componentes este representada por una fórmula genérica. Para establecer dichas expresiones basta con seleccionar un intervalo cualquiera que sea solucion, y basta considerar que cada extremo de dicho intervalo vuelve a repetirse periódicamente: Seleccionamos el intervalo (
), éste se repite cada 2k , + 2k ), con k
( 0 + 2k
2 ) Dónde la función seno es negativa ( f (x) < 0 )?
El procedimiento es similar al anterior, entonces: Seleccionamos el intervalo (
, 2 ), éste se repite cada 2k , por lo tanto: + 2k , 2 + 2k ), con k Z
f (x) < 0 para toda x
3 ) Dónde la función seno se anula ( f (x) = 0 )?
La función seno se anula en: ........ x = -2 , x = los valores de " x " se repiten cada k , por lo tanto: f (x) = 0 para toda x = k , con k Z
, x = 0, x =
, x=2
4 ) Dónde la función seno es creciente creciente?
5 ) Dónde la función seno se decreciente Se deja como ejercicio. decreciente? _____________________________________________________________
Función tangente: 1 ) Dónde la función tangente es positiva ( f(x) > 0 )?
El resto del análisis se deja como ejercicio.
_____________________________________________________________ Función secante:
1 ) Dominio de la función:
2 ) Dónde la función secante es positiva ( f(x) > 0 )?
Como puede observarse, la función secante es positiva donde la función coseno sea positiva. función
3 ) Dónde la función secante es creciente creciente?
Las expresiones de una misma fila
1 sen(x) cos(x) tan(x) -sen(-x) cos(-x) -tan(-x)
sen(2x) sen(3x) cos(2x) cos(3x) sen(a+b ) sen(a-b) cos(a+b) cos(a-b)
2 sen(x) cos(x)
-sen(-2x)
cos(-2x)
sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) sen(a) cos(b) - sen(b) cos(a) cos(a) cos(b) - sen(a) sen(b) cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)
tan(a+b) tan(a-b) tan(2a)
FUNCIONES HIPERBÓLICAS Los valores de las funciones hiperbólicas se relacionan con las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilatera. Las funciones seno y coseno hiperbólico tienen asociadas expresiones exponenciales: senh(x) = , cosh(x) = . A partir de estas expresiones se pueden deducir las formas equivalentes para el resto de las funciones hiperbólicas.
R / f (x) = senh(x)
R / f (x) = cosh(x)
R / f (x) = tanh(x)
f:R-{0}
R / f (x) = csch(x)
R / f (x) = sech(x)
R / f (x) = coth(x)
cosh(x) + senh(x) cosh(x) - senh(x) senh(2x) cosh(2x) 2 senh(x) cosh(x)
senh(x) cosh(x) tanh(x) senh(x + senh(x) cosh(y) + senh(y) cosh(x) y) cosh(x + cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y) y)
senh(x) cosh(x) tanh(x)
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Las funciones hiperbólicas están definidas en términos de funciones exponenciales. Las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar, por lo tanto, en términos de la función logaritmo natural ( ln ), denominadas funciones extendidas.
INVERSA DEL senh(x)
INVERSA DEL cosh(x)
INVERSA DE LA tanh(x)
INVERSA DE LA csch(x)
INVERSA DE LA sech(x)
INVERSA DE LA coth(x)
Unidad I. Tema 3 _____________________________________________________________
Antes de considerar el estudio del dominio y rango de funciones compuestas es necesario revisar lo relacionado con la resolución de inecuaciones. Determinar el dominio o rango de funciones, básicamente se traduce en la resolución de inecuaciones.
INECUACIONES Las inecuaciones son desigualdades del tipo f (x) > 0. Resolver una inecuación con una variable significa encontrar los números ( del universo de la variable ) para los cuales la desigualdad resulta una proposición verdadera. El conjunto de números del universo para los que es verdadera la desigualdad, constituye la solución de la inecuación. Inecuaciones a ser consideradas en esta sección:
INECUACIONES LINEALES Son de la forma . Su resolución se logra aplicando propiedades de las desigualdades que permitan despejar la incógnita. Recordando las propiedades de las desigualdades: Si a y b son números reales, entonces:
a > b y b > c, entonces a > c a > b, entonces a + c > b + c a > b, entonces a - c > b - c a > b y c es positivo, entonces ac > bc a > b y c es negativo, entonces ac < bc
No olvidemos que estos intervalos se pueden representar en la recta real.
INECUACIONES CUADRÁTICAS Son de la forma . Su resolución se logra determinando el signo de la función polinómica.
+ 4x +3 > 0 determinando las raíces del polinomio + 4x +3 > 0 para toda x (-
x = -1, x = -3 : )
Recordando: fuera de las raíces el polinomio tiene el mismo signo que el coeficiente de Solución:
, -3 ) U ( -1, +
La inecuación del ejemplo 1 se puede resolver por otro método: método del mapa de signos. Este método consiste en factorizar el polinomio, para luego, mediante el uso de una tabla o mapa de signos, analizar el signo de cada factor:
+ 4x +3 > 0 ( x + 1 )( x + 3 ) > 0 x+1>0 x > -1 x+3>0 x > -3
Con estos datos se elabora el mapa. La solución está representada por aquellos valores de " x " donde el producto de los signos es ( + ) Solución:
+ 4x +3 > 0 para toda x
+ 3x - 2 < 0 determinando las raíces del polinomio + 3x - 2 < 0 para toda x (, 1 ) U ( 2, +
x = 1, x = 2 )
INECUACIONES DE GRADO " n "
Su resolución se logra determinando el signo de la función polinómica.
A continuación se presenta la gráfica de:
Como puede observarse, el estudio de signos permite definir donde el polinomio es < 0. Gráficamente, también se puede verificar. La gráfica de la derecha es una ampliación de la original para constatar que, efectivamente, entre x = 1/2 y x = 2/3 el polinomio es negativo.
Su resolución se logra determinando el signo tanto del numerador como del denominador. El signo del cociente se puede determinar haciendo uso de un mapa de signos.
La solución está representada por aquellos valores de x para los cuales el cociente es positivo o cero. No se puede olvidar que en x = 0 y x = 3 el cociente no está definido. A continuación se presenta la gráfica de la función racional:
INECUACIONES RACIONALES (continuación)
INECUACIONES IRRACIONALES Son de la forma Procedimiento de resolución: a.- Determinar el dominio para la existencia de las expresiones irracionales b.- La inecuación se convierte en ecuación: c.- La ecuación irracional se convierte en ecuación racional: d.- Calcular las raíces de la ecuación e.- Verificar que las raíces obtenidas sean realmente raíces de la inecuación irracional f.- Determinar el signo de la inecuación irracional graficando en la recta real las raíces verificadas en el punto "e" junto con el dominio de las expresiones irracionales
NOTA: Si " n " es impar no es necesario realizar todo el procedimiento. Bastaría con elevar ambos lados de la desigualdad a dicha potencia para eliminar la raíz, considerando que el sentido de la desigualdad no cambiaría. Se resulve la inecuación resultante por cualquiera de los procedimientos estudiados anteriormente, dependiendo del tipo de desigualdad que resulte.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Son de la forma . En este tipo de inecuaciones, por estar involucrada la función valor absoluto, es necesario aplicar la definición o propiedades del valor absoluto para lograr su resolución. Recordando:
A continuación se resuelve una inecuación con Valor Absoluto, primero aplicando propiedades de la función módulo, y luego por definición.
Ahora, el mismo ejemplo, pero aplicando definición de la función valor absoluto:
INECUACIONES ESPECIALES Estas inecuaciones involucran funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Para dar solución a una inecuación de este tipo, es necesario tener presente las propiedades de la función involucrada, y no olvidar los diferentes métodos de resolución que ya han sido estudiados. A continuación se presentan diferentes ejemplos:
NOTA: El lado izquierdo de la inecuación no es una función polinómica, sin embargo, mediante un cambio de variable, puede obtenerse una estructura polinómica de dicha expresión. El objetivo es conseguir la expresión factorizada de la inecuación, para llevar a cabo un estudio de signos, semejante a los hechos anteriormente, y de esta manera poder dar solución a la inecuación. La aproximación de las raíces se hace por comodidad para manipular la expresión factorizada. No podemos olvidar un aspecto importante que debe estar presente durante la resolución de la inecuación, y es el hecho de que la función ln(x) existe sólo para valores de " x " mayores que cero.
Nota: como puede observarse, en esta inecuación irracional no se uso de forma estricta el procedimiento de resolución para este tipo de inecuaciones, descrito en una sección anterior. Esto se debe a que ambos factores de la desigualdad son siempre positivos, por lo tanto, al elevar al cuadrado ambos lados estamos 100 % seguros de que el sentido de la desigualdad se mantendrá.
Entonces, se eleva al cuadrado y se continua resolviendo la inecuación resultante usando el procedimiento que sea necesario.
DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES COMPUESTAS Estos conceptos han sido manejados en secciones anteriores. En esta parte se tocará lo que es propiamente la determinación de dominio y rango de funciones. Es importante, para lograr un avance significativo en esta sección, dominar lo relacionado con la solución de Inecuaciones. Para determinar el dominio de funciones es necesario considerar las diferentes restricciones que se presentan al momento de desarrollar las operaciones aritméticas.
Ejemplo 1: Determinar el dominio ( campo de existencia ) de la siguiente función:
Ahora, se intersectan todas las soluciones: s
El gráfico inferior es una ampliación del gráfico original.
Nota: La solución de la restricción " b " ya esta incluida en la solución.
Nota: La solución de las restricciones " b " y " c " están incluidas en la solución de " a ".
Gráficamente se puede observar que la sec(x) es mayor que -2 de la línea azul hacia arriba. Toda icamente la región donde la secante es positiva es solución, además de toda la región donde la secante es negativa que este por encima de la línea azul. Entonces, es necesario ubicar los valores de " x " rio
que determinan dicha línea.
RANGO de f(x): Se determina la función inversa de f(x) y a ésta se le determina el dominio:
Nota: La solución de la restricción " b " ya está incluida en la solución de " a ".
REGION SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE INECUACIONES EN EL PLANO Hasta ahora se han estudiado inecuaciones de la forma f (x) > 0, donde la solución está representada por un conjunto de valores de " x " que satisfacen la inecuación. En esta sección se tratarán inecuaciones de la forma f (x,y) > 0. La solución de este tipo de inecuaciones esta dada por una región en el plano, debido a que la misma debe contemplar valores, tanto para " x " como para " y ". Procedimiento de resolución:
1. Cada inecuación del sistema se convierte en ecuación 2. Se toma la primera ecuación y se representa gráficamente. La gráfica será de trazo
continuo si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor o igual que, menor o igual que. La gráfica será de trazo segmentado si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor que, menor que. ( En los ejemplos presentados más adelante, el trazo continuo está representado por líneas de color negro, y el trazo segmentado por líneas de color blanco ) La gráfica de la ecuación divide al plano en varias regiones, hay que determinar qué región representa la solución de la inecuación. Esto se hace evaluando un punto cualquiera de cada región directamente en la inecuación. Aquel punto que genere una desigualdad cierta será indicativo de que la región de donde salió dicho punto es la solución de la inecuación El procedimiento se repite con el resto de las ecuaciones, hasta obtener una región solución global común a todas las inecuaciones. Dicha región representa la solución del sistema de inecuaciones.
Ejemplo 1: Representar la región solución del siguiente sistema de inecuaciones:
Se grafica y = x con una línea de trazo continuo ya que el símbolo de la desigualdad es mayor o igual que (en nuestro caso el trazo continuo será equivalente a una línea de color negro)
La recta y = x divide al plano en dos regiones. Se toma un punto de una de las regiones, por ejemplo P( 0, 2 ), y se verifica la inecuación. La desigualdad se cumple para este punto, por lo tanto, la región solución para esta inecuación es: (color verde)
Se grafica y = - x con una línea de trazo segmentado ya que el símbolo de la desigualdad es mayor que (en nuestro caso el trazo segmentado será equivalente a una línea de color blanco)
La recta y = - x divide al plano en dos regiones. Se toma un punto de una de las regiones, por ejemplo P( 0, 2 ), y se verifica la inecuación. La desigualdad se cumple para este punto, por lo tanto, la región solución para esta inecuación es: (color verde). No necesariamente tiene porque escogerse el mismo punto. Recordemos que puede ser cualquier punto de cualquiera de las regiones.
Por último, intersectando ambas regiones se obtiene la región solución del sistema de inecuaciones, (color verde):
Ejemplo 2: Representar la región solución del siguiente sistema de inecuaciones:
Ejemplo 3: Representar la región solución del siguiente sistema de inecuaciones:
Ejemplo 4: A continuación se presentan diferentes sistemas de inecuaciones con sus respectivas regiones ( se deja al estudiante la verificación de las soluciones ). El alumno no debe olvidar que la gráfica será de trazo continuo si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor o igual que, menor o igual que. La gráfica será de trazo segmentado si la inecuación relacionada con la ecuación presenta un símbolo de desigualdad mayor que, menor que.
MODELACIÓN MATEMÁTICA Entre los objetivos básicos del estudio de esta primera unidad, se encuentra conocer y comprender las diferentes funciones matemáticas para luego, a partir de ellas, generar modelos matemáticos que nos permitan representar situaciones reales para su posterior análisis. A partir de este instante, y seguramente durante el transitar del estudiante de Ingeniería por los diferentes cursos de su carrera, una de sus herramientas más poderosas estará representada por los modelos matemáticos. Sobre un modelo matemático determinado se pueden realizar diferentes estudios, cuyos resultados nos permitan concluir, por ejemplo, cuál será el menor costo de alguna situación en particular, dónde una función alcanza un valor máximo, cómo es la variación de una función en un punto. Los modelos matemáticos también nos ayudarán en el diseño y construcción de un puente, de una torre de destilación, de una planta de tratamiento de agua, de circuitos eléctricos, de dispositivos mecánicos, etc. Los modelos matemáticos representan el punto de enlace entre el fenómeno o problema y los datos necesarios para generar conclusiones y tomar las mejores decisiones. Una decisión correcta está sustentada en la información. Un modelo matemático puede ser generador de valiosa información. Para comenzar a generar modelos matemáticos de situaciones particulares, es necesario recordar una serie de ecuaciones matemáticas, muchas ya conocidas por todos, como ecuaciones de áreas de figuras planas, ecuaciones de volúmenes de sólidos, expresiones para determinar superficies y perímetros, etc. A continuación se presenta una lista de algunas de éstas expresiones que resultarán de gran utilidad: A = área, P = perímetro, S = superficie, V = volumen
Triángulo rectángulo (Teorema Pitágoras)
* Paralelepípedo rectáng.
V = abc S = 2ab + 2ac + 2bc Cilindro circular recto Esfera Cono circular recto
* En un paralelepípedo rectángulo las caras son rectángulos. Si las caras son cuadrados el paralelepípedo es un CUBO.
PROCEDIMIENTO PARA GENERAR UN MODELO MATEMÁTICO No podemos hablar de un procedimiento riguroso para generar un modelo matemático de alguna situación en particular, pero si podemos mencionar una serie de recomendaciones que facilitarán el trabajo:     Elaborar un esquema o dibujo del problema a tratar. Ubicar las ecuaciones matemáticas individuales, si fuese el caso, para cada elemento particular del esquema, ecuaciones tales como las señaladas en el recuadro superior u alguna otra. Identificar la variable central a la cual se le quiere asociar una expresión matemática o modelo. Combinar las ecuaciones matemáticas individuales, haciendo las consideraciones necesarias para generar el modelo solución del problema en cuestión.
Ejemplo 1: Se tiene un cubo de arista " a ". Determinar una expresión para el volumen del cubo como una función de su superficie V = f ( S ).
V = abc, S = 2ab + 2ac + 2bc
Como se trata de un cubo de arista "
El problema lo que pide es: V
= f ( S ), entonces:
que representa el modelo matemático solución del problema.
Ejemplo 2: Se desea construir un tanque horizontal de acero para almacenar gas propano, con forma de cilindro circular recto de 3 m de largo con una semiesfera en cada extremo. El radio " r " no esta definido. Obtener una expresión para el volumen de dicho tanque en función del radio " r " ( V = f r ) ).
Ejemplo 3: Dos barcos zarpan al mismo tiempo de un puerto. Uno viaja al oeste a 20 km/h y el otro hacia el sur a 15 km/h. Sea " t " el tiempo ( en horas ) después de la salida. Expresar la distancia " d " entre las embarcaciones como una función del tiempo ( d = f ( t ) ).
Según el esquema, el barco que va al oeste recorre una distancia " a ", el barco que va hacia el sur recorre una distancia " b " y la distancia que los separa es " d ".
Como puede observarse, estas tres distancias forman un triángulo rectángulo. Usando el Teorema de Pitágoras dichas distancias se pueden relacionar:
De manera que la distancia entre las embarcaciones queda expresada en función de las distancias recorridas por cada barco. Sin embargo, lo que se quiere obtener es d = f ( t ), por lo que se hace necesario encontrar dos expresiones tales que, a y b queden en función del tiempo. Este detalle queda resuelto si consideramos que Velocidad = distancia / tiempo:
Ejemplo 4: Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular de 20 cm x 30 cm. Para ello se recortarán cuatro ( 4 ) cuadrados idénticos, uno en cada esquina, y se doblaran hacia arriba los lados resultantes. Expresar el volumen de la caja formada como una función de la longitud de corte de los cuadrados V = f ( x ).
x = longitud de corte ( cm )
El volumen de esta caja estará representado por:
V = (30-2x) (20-2x)x, resolviendo:
Ejemplo 5: Se desea tender un cable desde el punto A al punto B (ver esquema). El cable que va por tierra tiene un costo de 10.000 $/km y el que va por agua tiene un costo de 12.500 $/km. Determinar $/km, $/km una expresión para el COSTO asociado con este proyecto. ( El costo tiene que quedar expresado en función de la distancia x, C = f ( x ) ). Análisis: Existen diferentes alte : alternativas para tender el cable desde A hasta B. Alguien podría B pensar en tirar el cable en línea recta de A a B, lo que implica que sólamente se usaría cable para , agua ( más costoso ). Otra alternativa sería sacar el cable en dirección vertical a tierra y l luego en forma horizontal hasta B. Lo importante es hacer ver que existen diferentes combinaciones de . tendido y cada una tiene asociada un costo. En el esquema se presentan algunas de estas combinaciones:
Para ubiar una forma general que abarque las diferentes alternativas, se fija un punto móvil C diferentes como referencia:
De esta forma queda determinada la variable " x ", y las distancias mostradas en el esquema. Tanto d1 como d2 se pueden expresar en función de " x ":
Una vez conocidas estas expresiones para las distancias, se puede determinar un modelo matemático que permita expresar el costo en función de la variable x (C=f(x)) :
MODELACIÓN MATEMÁTICA (continuación) Ejemplo 6: Exprese el área de un cuadrado como una función de su perímetro
A = f ( P ).
Ejemplo 7: A las 9 am, el barco B se encuentra a 65 millas al este del barco A. El barco B navega hacia el oeste a 10 millas por hora y A hacia el sur a 15 millas por hora. Si continúan en sus cursos respectivos, determinar un modelo matemático que exprese la distancia que existe entre ellos en cualquier instante de tiempo ( d = f ( t ) ).
Gráficamente, el planteamiento es el siguiente:
Ao = Posición inicial del barco A At = Posición del barco A en un instante de tiempo t rco Bo = Posición inicial del barco B Bt = Posición del barco B en un instante de tiempo t
El movimiento se lleva a cabo de la siguiente forma:
Se asigna un nombre a cada distancia:
Como se puede notar, tenemos un trián triángulo rectángulo, aplicando Pitágoras:
Ahora es necesario expresar " a " y " b " en función del tiempo " t " para obtener lo que nos piden, d = f ( t ). Este detalle queda resuelto si consideramos que Velocidad = distancia / tiempo tiempo:
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