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Timestamp: 2019-01-24 06:57:30+00:00

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09 - Resoluciones, Desarrollos y Comentarios - Par...
Res. Ejercicios - 18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a.m.
s Ejercicio 1.1. s Ejercicio 2.1
Las dimensiones de la densidad lineal de masa deben a) A = (–20; 5) (todas las figuras están juntas al final).
ser M/L (masa dividido longitud). Obviamente eso Las componentes están dadas: Ax = - 20, Ay = 5.
no puede sumarse con una fuerza (de dimensiones Módulo: A = (−20) 2 + 52
M x L x T -2), de manera que podemos descartar la A @ 20,6.
opción que tiene la suma F+. La correcta debe dar Ángulo con eje x (en 2º cuadrante):
L/T, que es la dimensión de la velocidad.  = arctg 5
Veamos cada una: 20
 = arctg (0,25)
Dimensión de ( µ F ) = {M x L-1 x M x L x T-2}1/2  @ 14º .
Dimensión de ( µ F ) = {M2 x T-2}1/2 Ángulo con eje y (en 2º cuadrante):
 = 90º - 
Dimensión de ( µ F ) = M/T,
 @ 76º.
que no es L/T, ® Incorrecta. b) B = –5 (5 ; –10)
B = (–25 ; 50).
Dimensión de ( μF ) = {M x L-1/ M x L x T-2}1/2 Componentes Bx = -25 , By = 50.
Dimensión de ( μF ) ={T2 x L-2}1/2 Módulo: B = (−25) 2 + 502
Dimensión de ( μ ) =T/L, B @ 55,9.
F Ángulo con eje x (en 2º cuadrante):
que no es L/T, ® Incorrecta.
 = arctg 50
Dimensión de ( μ ) = {M x L x T-2/ M x L-1}1/2  = arctg(2)
Dimensión de ( F
) = {L2 x T-2}1/2  @ 63,4º
) = L/T, ® dimensión correcta. Ángulo con eje y (en 2º cuadrante):
1 F  @ 26,6º .
Dimensión de ( L µ ) = {M x L x T-2/ M x L-1}1/2 /L c) C = 1/5 (30 ; –60)
Dimensión de ( L1 µF ) = {L2 x T-2}1/2/L = T-1, C = (6 ; -12). Componentes Cx = 6 , Cy = -12.
que no es L/T, ® Incorrecta. Módulo: C = 6 2 + (−12) 2
C @ 13,4.
s Ejercicio 1.2 Ángulo con eje x (en 4º cuadrante):
En principio el valor que debemos expresar es:  = arctg 12
934.000 hPa, pero así escrito tiene 6 cifras significa- 6
tivas, y debe ser expresado con tres. Para que las cifras  = arctg(2)
significativas sean tres, podríamos escribir 934 x 103 hPa,  @ 63,4º
o 934 x 105 Pa, pero en estos casos estamos utili- Ángulo con eje y (en 4º cuadrante):
zando potencias de diez, de manera que lo que falta  = 90º - 
es elegir prefijos adecuados. Los prefijos adecuados,  @ 26,6º.
para no tener que agregar ceros a la derecha de las
tres cifras dadas, son los que simbolizan factores ma-
yores de 103. Podría ser M, G, T, etc.
Es decir que una respuesta correcta es: 93,4 MPa, y
otra: 0,0934 GPa. β 5
-20 -15 -10 -5-5 10
212 Mecánica Básica
-4) Ay= 23.5) Tx -30° El resultado de la suma cualitativa está representado por el vector hueco en la siguiente figura.5. y componente de cada componente de un vector indica hacia dónde y positiva. x El ángulo que forma D con el eje horizontal es y 100º + 50º = 150º.3 . y Fy = -24. que no se 30° Ty x hace estrictamente a escala. y 40 6 x Ly = L sen75º α Ly = 1. Página 213 y que Lx = L x cos75º 50 y Lx = 0. 30 β 20 β Para T el ángulo con la horizontal es -30º. Ejercicios . s Ejercicio 2. D 100° que quede dibujado naciendo en el origen. y Ay= 30 x sen 50º 30° D (0.0.33 . s Ejercicio 2.3 . de manera que Tx = T x cos30º α 10 Tx = 4. tados del cálculo analí- b) Ahora interesan los ángulos con la recta d. Utili- tico vemos que zamos el subíndice T para las componentes tangen- concuerdan bien con 120° 140° ciales.3 a) Para las componentes horizontales y verticales in.93. d DT Para D . x De manera que la suma es y A +D + F = (19.5. y -12 Ty = -T x sen30º -30 -20 -10 10 Ty = -2. un poco D apunta. de manera 30° D x Resolución de ejercicios 213 . 30° Fx = 0. y N para las normales.52 . por lo que con- F sideraremos positivas a todas las componentes. la descomposición es trivial: Dx = 0.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a.5) + (0 .90º = 50º. 23. por estar sobre el eje y. y teresan los ángulos con los ejes (x. de manera que d Ax = 30 x cos50º Ax= 19. de las figuras. 17.3. -24) d A +D + F = (-11. Lx En cuanto a F . de manera que Dx = 35 x cos150º Ly L Dx = -30. y). Para que todo se vea clara- menor que la de D .m. Esto es porque el signo aproximada parecida a la mitad de F. que apunta según el eje vertical hacia abajo. 16.0) + (-30. Vemos que el resultado es un vector vectores D y T son negativas aunque estos vectores cuya componente x es negativa y tiene una longitud están situados arriba del eje x. no dónde está. 60° DN Para L el ángulo con la horizontal es 75º. hay que imaginar el vector trasladado hasta observamos los resul.3. d 75° Dy = 35 x sen150º Dy = 17. Dy = -4. Si F mente. pero que trata de mostrar aproximadamente los ángulos y los tamaños relativos Nótese especialmente que las componentes y de los de los vectores.0 . ninguna convención para los signos. Aquí no estableceremos estas afirmaciones.2 y El ángulo que forma A con el eje horizontal es 140º .Res.
9 km T C = 322 + 202 30° x C= 37. y D2 = (0 km .5 TN = 4.41 LN = 1. Las componentes de los B-A=D₂ dos primeros.33 -30 -20 -10 10 20 (km) 50 B s Ejercicio 2.41 D3=(-52. D3 = 60 km.4 Comencemos con un dibujo de la situación.46 50 D2 =(0.4 km . 20 km). están dados el módulo y el án.m.7 km. 10 km). Para D3 . 30 km). de donde se deduce: D3x =  D3 cos 30º D3x @  52 km D3y =  D3 sen 30º Figura 2 D3y =  30 km B=D1+D2 Entonces D3 @ (52 km . 30° Los módulos representan la distancia de cada punto x al origen: y A = D1 d A = 22.10) TT = 5 cos 60º TN = 5 sen 60º TT = 2.Res. C se obtiene sumando D3 a B : 45° C = D3 + B LT C @ (32 km . 214 Mecánica Básica . D2 = 40 km. Página 214 y B se obtiene sumando D2 : B = A + D2 L B = (20 km .40) 40 LT = 2 cos 45º 30 LN = 2 sen 45º LT = 1. 40 km). 10 km).18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. LN d Por último. además están dadas en el enunciado: C C-A D1 = (20 km . en cambio. 40 30 (km) 120° C 20 50 B 10 A 40 40 Km m 6 0 K 30 -30 -20 -10 10 20 (km) C 20 10 A Figura 1 B -30 -20 -10 10 20 (km) a) y b) Los vectores desplazamiento son los que han quedado dibujados.4 km TT B = 202 + 502 60° B = 53. 50 km). Para los vectores posición tenemos que A es dato: A=D1 A (20 km . A gulo con el eje y.-30) 20 10 D1=(20. Ejercicios . TN (km) DT = 4 cos 60º DN = 4 sen 60º 120° DT = 2 DN = 3. Los módulos son: D1 = 202 + 102 B D2 D1 @ 22.
es la distancia desde el punto final al inicial. tg = . no es una fuerza. es analíticamente: Eje x: d) D1 + D2 + D3 = C -0. Ahora sólo resta saber ordenar algunas ideas.rb representa la posición con respecto al otro D2 D2 → → → D2 + D3 protón (H(b)). 1 – 3) x 10-10 m = (-4 .61 x 10-10 m vector.927 x 10-10 m) = 0. AB = 4 2 + 2 2 x 10-10 m a) La distancia H-O es el módulo del vector ra.927) x 10-10 m desplazamiento que llevaría desde el punto A hasta el rb @ (0. s Ejercicio 2.5º la dirección (correspondiente al 3er cuadrante). o sea rb . y 6. vector posición de H(b) respecto de H(a) ra Es la distancia total recorrida a lo largo del camino.3º dicho.rb | @ 1.927 x 10-10 m) de B con respecto a A. final.927 x 10-10 m + (-0. que indica tanto el ra @ (-0. Es la posición En la figura 2 se muestra la suma D1 + D2 . que es la del protón H(a) respecto del H(b).18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a.9272 x 10-10 m inicial en cada caso.50 ⇒  = 56. es la distancia H-O. y C – A . 20 km). es- xa @ -0. |ra . 0.ra @ (1.197 . Tampoco es co. rB = 3. En estas dos figuras se muestran las sumas D2 + D3. -0.957 x 10-10 x cos104. D1 + D2 + D3 . La distancia entre 2 puntos es el módulo del rB = 2 2 + 12 x 10-10 m vector que indica la posición de uno respecto de otro. D3 → D3 → y ra .957 x 10-10 x sen104. Gráficamente: | D1 + D2 + D3 | es el módulo del vector anterior.rb | = 1. 5. Por ser sumas de desplazamientos. 0.957 . 0.rb | = |rb . O rb e1) Son correctas 1. Confundir vectores s Ejercicio 2.8).50 ⇒  = 153.197 .240 . Es el vector opuesto el vector B. como la posición ra @ (-0. y tampoco una distancia.957 x 10-10 m. b) y c) AB = (-2 – 2 .Res. + Resolución de ejercicios 215 .7 y km. rA = 2 2 + 32 x 10-10 m que la distancia se define como un escalar. e)Todas estas cosas han sido calculadas en diversos puntos H(b) x del ejercicio.6 desplazamiento con fuerzas sería un error grosero que a) Estas distancias son los módulos de los vectores no debe cometerse (ver ejercicio 2. al anterior. éste es el vector que indica el desplazamiento pedido. no como un rA = 3.1972 + 0. ra .197 x 10-10 m = 0. Página 215 c) En la figura 1 se muestran las diferencias: B – A. C → → → → → A C = D1 + D2 + D3 → → A = D1 d) La operación vectorial: ra + vector posición de H(b) con respecto a H(a)= rb.6 º (o si ya @ 0.4º e3) Sólo 1 es correcta (ver (d) también).000 x 10-10 m es la posición del punto final respecto del inicial.95710-10 m D1 + D2 + D3 = (-32 km .m.000) x 10-10 m.4 km. → → → B → B c) ra representa la posición de H(a) con respecto a O.4 km + 40 km + 60 km = 122. como la posición de C con respecto a A. 4. o sea. por. No son correctos 2 y 3. es un Y para los ángulos indicados en la figura tenemos: vector. 37.5 Su módulo.927) x 10-10 m. Es la posición del protón H(b) respecto del H(a). con respecto al origen. Ejercicios . Eje y: por ser la suma de los tres desplazamientos sucesivos. dado por: tgg = ½ g @ 26.514 x 10-10 m Es la distancia entre los protones. 0. y también es un desplazamiento. posición del punto B.240 x 10-10 m taría dada por el ángulo  que se muestra en la fi- ya @ 0. y b) ra = rb @ 0. o sea que es la suma de las distancias recorridas: 22.927 x 10-10 m referimos el ángulo al eje x .1/2 = -0.240 x 10-10 m + 1. |D1|+ |D2|+ |D3| es la suma de los módulos de cada H(a) desplazamiento. sería 206. que Entonces: indica tanto el desplazamiento D2 .ra| ambas indican la posición del punto final respecto del |ra .240 x 10-10 m .rb @ (-1. C. y xa @ 0. Por lo recién tg = 3/2 = 1. porque estos vectores no son fuerzas.24 x 10-10 m e2) El resultado de la operación ( D1 + D2 + D3 ). posición: rrecta la 7 (aunque representa un error más leve).5º gura. de AB = 4.927) x 10-10 m.6º). -2) x 10-10 m. 0. |ra .47 x 10-10 m manera que sus componentes son: indica la distancia que habría que desplazar A.
en la que se ha sustituido el significado de mu- A. Ejercicios .8 y (10 -10 m) Es claro que toda fuerza (en física. y no rb =(-2. y a en cada segundo se recorren 100/4 = 25 metros.rA averiguar. se dibujan ejes x.26 cm. a) El vector desplazamiento es les cada cuerda tira de O. es un tremendo error.3’): Escala O 200 N : 1 cm 45° 3. por un mismo símbolo la posición de B quedará señalada por el vector (-4 .  =  . con la cual la fuerza del enunciado se dibujará de 3 cm de largo. lo largo de b. 4 Vector velocidad. caer en esta confusión significa tener una imagen ñala exactamente el mismo punto que rB . 452 N. Elegimos una escala 200 N : 1 cm. Indica la ubicación (de un punto) en el espacio. y.9 Esta fuerza es la resultante de las fuerzas con las cua.1) dice eso mismo de la siguiente ma- Fb nera: v = dAB/t 452 N v = 100 m 2. 15m / s )  ∆t ∆t   4 s 4 s  2.26 cm v = 25 m/s. un vector de 2. 60 m). se muestra dibujando AB a contra el que tratamos de alertar en este ejercicio: continuación de rA . De manera que trazando paralelas a cada cuerda por Su módulo es la distancia entre A y B: el extremo de F (cuidado: respetar los ángulos). ignorando las particularidades de cada uno. Indica el cambio. consistente debería ser la mitad de la distancia AB.  = (20m / s . la des. o sea.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. -2) con el cual se los representa. un vector de 2. s Ejercicio 2.Res. γ Pero además. y obtene. Lamentablemente. con el origen en A. (y muchos rb 1 otros que veremos) no son fuerzas porque no indican x una acción que un cuerpo ejerza sobre otro ten- -3 -2 -1 1 2 (10 m) diendo a desplazarlo. completamente superficial de los problemas estudia- Para mostrar que AB es la posición de B con respecto a dos. en confundir entre sí todos los entes de naturaleza vec- su diámetro debería ser igual precisamente a esa distan. cia: 4. a lo largo de la cuerda a.87 cm La coincidencia en dirección y sentido de los vectores 574 N Fa desplazamiento y velocidad se muestra comparando 216 Mecánica Básica . Afirmar que todo trada en la figura de la derecha. Es un grave error reve- x 10-10 m . En este sistema chos conceptos diferentes.3) ente con orientación en el espacio. o mecánica) es un 4 vector. dAB = 100 m. AB = (80 m . el radio de cada esfera vector es una fuerza. 65° F b) Según (2. Indica la orientación y rapidez de 3 ra un movimiento. concepto que se estudia y utiliza. que rehuye el necesario esfuerzo de interpretación que re- s Ejercicio 2. mos. de manera que de longitud.47 x 10-10 m. que son las que hay que AB = rB . dAB = 802 + 602 componemos según las direcciones de éstas. La definición (2.87 cm Esa es la distancia recorrida en 4 s. es un error bastante difundido y d) Que rB = rA + AB.1) β α x son fuerzas. que representa una fuerza de 574 N.7 quiere cada situación. y por lo tanto. como hemos visto. torial. es un 3 ra =(2. Página 216 s Ejercicio 2. o diferencia entre dos posiciones. también es claro que hemos estudiado AB 2 varios elementos o conceptos que son vectores. Es importante reflexionar sobre el significado de cada Para que se diera la situación propuesta en (c). AB 2 Está claro que todos estos elementos. y mostrando que su punta se. lador de una metodología totalmente superficial.m. que es precisamente AB . y (10 m) Vector desplazamiento. mos. como los siguientes: -3 -2 -1 1 2 (10 -10 m) Vector posición.00 cm r  ∆x ∆y   80 m 60 m  v =  . en función de que.
tiempo T0/8.2 tamente normal (perpendicular). entonces: texto determinado. y Vemos que coincide con dAB/t.m. física. guna idea definida de lo que puede pasar. la velocidad se debe aplicar (hacia la izquierda) en el caso b (cir- pueda cambiar. Es una afirmación que sólo podría cunferencia completa de radio R0). debe aplicarse una fuerza del mismo La afirmación de que la velocidad puede variar. es decir. sino que evolucione hasta un estadio final 20 40 60 80 (m) 1 cm : 10 m/s en el que esta opción sea claramente rechazada con fundamentos adecuados. tiempo T0. dulo mayor que F0. especial). CAPÍTULO 3 La afirmación de que la velocidad debe aumentar no merece mucho comentario porque está en des- s Ejercicio 3. indica que se miento continuará en línea recta en la dirección que desconoce un principio fundamental como el de tiene en ese lugar. durante un Resolución de ejercicios 217 . Página 217 y/x con vy/vx (que son iguales). producir algún conflicto. Ejercicios . o de b) Fuerza resultante tangencial: nula. es decir sin compo- a) Si una partícula se desplaza libremente en el es. locidad disminuya o aumente o no varíe). Es una idea in- v = 25 m/s. blemente está tratando de llamar la atención. tenga siempre la misma curvatura constante. es c) v = 202 + 152 una vieja y típica idea aristotélica. Una persona que elija esta opción proba- tangencial: dirigida en sentido contrario a la velocidad. si le llamamos F0 al módulo de la fuerza que algunos casos de fuerza resultante nula. debe aplicarse una fuerza del mó- la puerta abierta a cualquier posibilidad (que la ve. ya que deja abierta la posibilidad de que en Es decir. fluida por el conocimiento de sentido común. dulo menor que F0. ya que deja Para el caso e. o simplemente no leyó tante normal: constante. durante la mitad del plemente implica desconocer las ideas básicas de la tiempo (T0/2). como lo dice la se. y fuerza resultante común. miento. también puede indicar que las ideas estu- y (m) diadas en física aún no hayan sido B adecuadamente integradas en un esquema de 80 vy pensamiento. el movi- si bien no implica un hecho inexacto. Una persona que hace esta afirmación está en Para el caso d. más se muestra lo mismo con el vector v dibujado al La afirmación de que la velocidad debe dismi- lado de la trayectoria. A partir de allí. por lo cual su velocidad nece. hacia la derecha. Es un AB v 40 proceso natural. toria curva. b) En todos los casos hay que aplicar una fuerza estric- s Ejercicio 3. nente tangencial. debe aplicarse una fuerza del mó- las mismas condiciones de alguien que no ha estu. inercia. que el sis. durante un ser admitida como recurso retórico en algún con. para mantenerse exactamente perpendicular tema de referencia se mueva de alguna manera a la trayectoria en cada instante. hacia la derecha. módulo F0.1 acuerdo tanto con la física como con el sentido a) Fuerza resultante normal: nula. durante un diado física. hacia la derecha. sim. bien el enunciado. libre de fuerzas. nuir cuando no actúan fuerzas sobre el móvil. man- sariamente debe ser constante. gunda opción presentada. frente al que debemos estar A vx atentos para que el esquema de ideas no se esta- x cione en una convivencia de ideas contradicto- Escala velocidad rias. Para el caso c. y no estamos en al.Res. La fuerza debe ser aplicada hacia el pacio (sin que actúen sobre ella fuerzas de ningún lado hacia el cual se desea producir la desviación. y además está mostrando no tener al. en la figura ade. siempre sea un arco de circunferencia. y están conviviendo con ideas 60 v erróneas originadas en el sentido común. • Ir cambiando de dirección junto con el movi- guna situación tramposa (por ejemplo. • Suspenderse en el instante en que el móvil pasa por Acerca de las demás opciones podemos decir: el punto en el que deseamos que termine la trayec- La afirmación de que su velocidad puede ser constante. y debe: tipo) a lo largo de una recta a. estamos en las condiciones exactas del • Mantener el módulo constante para que la curva Principio de Inercia. y fuerza resul. y no en general.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. aunque puede indicar que no se ha estudiado fí- sica.
26 cm. ponemos según las direcciones de éstas.870 N. corresponde a un pensamiento aristo- télico. siendo ésta. y debe tener una componente tangencial esta fuerza hace girar el hilo alrededor de O hasta que hacia atrás para ir frenando el movimiento. además de la acción de la gravedad.870 N 2. Cuando los tengamos (Capítulo 5) podremos cal. con origen en A. resultante de las fuerzas con las cuales cada cuerda tira b) y c) La reacción a Fext no se muestra pues habría de A. independiente Vale aclarar que no tenemos aún elementos para cal. Se recomienda especialmente no cometer el error tacto aplicada por el hilo. Esta fuerza es la tg  @ 0.m. la descom- taría en el centro de la Tierra.87 cm de lon- gitud. tirando del dulo de las fuerzas correspondientes a los casos d y cuerpo hacia el punto de suspensión (ya que el hilo no e.000 N : 1 cm F hilo. como se alinea con ella. se calcular la longitud de los arcos de circunferencia re. pondiente cuerda. para producir la trayectoria curvada hacia la hilo. iguales Fext acción-reacción acción-reacción E P Fh O 3 cm iguales C fuerza hilo sobre O B 25° 45° Fh = fuerza esfera sobre hilo 2.7 N. a s Ejercicio 3.260 N. el hilo sólo puede ser alineada con el hilo.Res. Si se encuentra la fuerza resultante dibujando el pa- cular el tiempo que debe aplicarse. arriba. igual en cualquiera de las posiciones. encuentra que la resultante es hacia atrás y hacia corridos.735 . En cambio sí podemos cal. detalles de esto se estudiarán en el capítulo 5.5 aplicar: a) Elegimos una escala 1. extremo de E (cuidado: respetar los ángulos). siempre con la misma velocidad. La fuerza aplicada por el de atribuir a cada vector la longitud de la corres- campo gravitatorio es el peso. y a lo largo fuerza de O sobre hilo -Fh = fuerza hilo sobre esfera de AB. un vector de 2. resulta 3 cm. Eso significa que sobre él. porque sabemos ralelogramo con estas dos fuerzas de la figura (b). que tampoco se puede mostrar. la posi.8 N. puede empujar). y que izquierda. por lo tanto. Fext Luego dibujamos la fuerza equilibrante de ésta. que representa una fuerza de 2. Fh @ 24. Esto significa que Fh forma con la horizontal el mismo ángulo  que el hilo. ½F0. sólo puede haber una fuerza de con.4 lo largo de la cuerda AC. E. 218 Mecánica Básica .  @ 36. hacia arriba. y Fh = P + Fext fuerza del enunciado se dibujará de 3 cm de largo. y De manera que trazando paralelas a cada cuerda por el la reacción a P . 2. y α 20 N eso a su vez revelaría que no se entiende lo que es una P fuerza. según el cual un movimiento hacia delante sólo Fext podría ocurrir si hubiese una fuerza hacia delante. que dibujarla sobre el agente que tira de la esfera.3º . Página 218 tiempo T0/2. Ejercicios .000 N : 1 cm. ocurre en todo el tramo desde D hasta G.3 respecto al movimiento (es decir hacia arriba en la a) Del dibujo se advierte que la fuerza que tira del figura). ser 2F0. vertical hacia abajo. con la cual la P 2 2 tg  = . es la resultante entre el peso y Fext . La fuerza aplicada por cular cuánto mayor o menor que F0 debe ser el mó. y obtenemos. Todos los ción de equilibrio. es. Esto se entiende porque la resultante debe tener una componente normal hacia la izquierda con s Ejercicio 3. o sea. y por lo tanto podemos s Ejercicio 3. de Con lo cual siendo P = m g @ 14. Fh . y para el e. que son las que hay que averiguar.87 cm El cuerpo al pasar por E (y por cualquier otro punto Escala A en su movimiento libre) sólo tiene contacto con el 1. del reposo o del movimiento. ya que se pensaría que puede haber fuerza Fh hacia delante sin que haya alguien que la aplique. Elegir alguna de las figuras que muestran un vector α =? O hacia delante. De manera que la única figura que cular que para el caso d el módulo de la fuerza debe puede ser correcta es la (b).260 N 2.26 cm 2.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. un vector de 2.
FABy .046 N en equilibrio.880 N (hubiera Y con este valor en la expresión de FAB obtenida en sido equivalente la figura dibujando F1 hacia abajo).Res. y F1 se dibujarán de 2. mientras que No obstante. que nos servirá para muchas situaciones parecidas: Resolución de ejercicios 219 . la descomponemos según las direcciones de éstas.940 N.090 N. 2. 954 + 2. Ahora el sistema se puede resolver. –2. Fy es equilibrada por la suma de las componentes y: mos escribir estas incógnitas en función de los mó. por equilibrio F1 = P @ 2. en la cual.000 N : 1 cm. dado que los ángulos son datos.09 cm F2=5. Página 219 b) Por ser un sistema de tres fuerzas que tiran de A FACy =2.046 N Fx + FABx + FACx = 0 Fy + FABy + FACy = 0 F Fy =-3. el paso 1: cos 45° FAB = 2.94 cm Obsérvese la buena aproximación que se logró con el método gráfico. en P=(0 N . F2 = 5.880 N Si ahora calculamos todas las componentes de las 30° fuerzas. FACy = FAC sen 45. Es decir que en realidad tenemos dos ecuaciones: FABx =-2.000 N Esto es un sistema de dos ecuaciones. dulos de las fuerzas: FABx = -FAB cos 25º . F3=5. hasta aquí sólo puede saberse que su Fy + FAB sen 25º + FAC sen 45º = 0 resultante debe ser F1. pues sólo tiene F3 dos incógnitas.88 cm 2.090 N 1. Podríamos re- solverlo si tuviese dos incógnitas. Pero así escrito Vemos en la figura cómo se logra el equilibrio en tiene cuatro: FABx .6 FACx = FAC cos 45º . Escala velocidad A 5. y obtenemos. y trazando paralelas a sen25° + sen45° cos 25° cada cuerda por su extremo (cuidado: respetar los ángu- FAC = 2. FABy = FAB sen 25º . se obtiene: B Dibujo para (b) FAB = FAC cos 45° Dibujo para (a) cos 25° B Paso 2: Sustituimos FAB en la segunda ecuación. además pasamos Fy al miembro derecho: –F1 (0 N . FACx . debe efectuarse con cada componente por separado. con la cual el peso. considerando que Fx = 0. y FACy .18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. cada eje: FACx se equilibra con FABx.940 N. y F3 = 5.893 N los). -2.046 = 3.257 N 5.m.000.940 N) la cual. Una forma de hacerlo es la siguiente: A F1=(0 N . Ejercicios . debemos plantear: FABy =954 N F + FAB + FAC = 0 Por ser una suma vectorial. los valores de F2 Sustituyendo en las dos ecuaciones tenemos: y F3 no pueden indicarse hasta que los calculemos Fx  FAB cos 25º + FAC cos 45º = 0 en el punto c). 3000 FAC = cos 45° De manera que dibujamos en F1.º a) y b) P = m g @ 2.940 N) FAC cos 45° sen 25º + FAC sen 45º =  Fy = 3. pode. podemos hacer una interpretación intere.94 cm de largo.046 N A FACx =2.000 N cos 25° De donde se despeja: c) Elegimos una escala 1. s Ejercicio 3.000 N : 1 cm sante en el diagrama vectorial.893 cos 25° 30° F1 FAB = 2.940 N) F2 Paso 1: Tomamos la primera ecuación.
Por otra parte. hacia arriba. en la Luna. se estirará hasta 31. lo importante. Página 220 d) Podríamos plantear F1 = F2 + F3 por componen. Ejercicios . hacia la iz.880 N k = 200 N/m F3 Dado que x indica desde un extremo al otro del re- s Ejercicio 3. y c). Dado que la longitud de equilibrio del resorte se- miento.8 = 2.04 kg.092 N k = 40 N / 20 cm F2 k =2 N/cm F1 = sen30° ® F3 = F1 / sen30º = F3 = 5.7 sorte. para mover un cuerpo. bia la masa. por la ley de Hooke. en b) fuerza elástica = k x (40 cm – 30 cm) se agregan dos fuerzas horizontales en equilibrio sobre fuerza elástica = 20 N el cuerpo. ambas de valor F1 (la que aplica el agente Estos vectores son: F2 . trar al hacer la experiencia. pero la constante de proporcionalidad cuerpo. Puede ser guirá siendo 30 cm. (cuando existe) puede ser bastante menor que 1! tes.63 N/kg @ (1/6) g (el cálculo está mostrado Ahora bien.66 cm. tamente igual a lo que se ha hecho en los ejemplos b) Dibujamos cuatro vectores verticales. N N La forma correcta de decidir el valor de los módulos Fuerza sobre Fuerza sobre el cajón el cajón es: F3 = F2 = 20 N. 220 Mecánica Básica . y en c) se repite la situación. todos del desarrollados: en a) tenemos simplemente un cuerpo mismo módulo. como reacción frente quierda). y F3 es la fuerza elástica tirando hacia abajo del extremo A del resorte. son iguales). pero dado que vemos en la figura un triángulo rectángulo.8 nométricas simples: a) k = pendiente F1 = tg 30° ® F2 = F1 / tg 30º= F2 = 5. con la cual el cuerpo tira de él hacia abajo en zas horizontales de valor FRmáx (podemos pensar que (también en B). pero sólo lo hace levemente. con ambas fuer. FR . y el estiramiento del re- vantar al cuerpo. es que F2 es mucho menor Sabemos que cuando cambiamos la ubicación del que P. y lo que se debe encon. y éste no tiene nada que ver con el peso. y P = F2 por el equi- FR librio de las acciones sobre el cuerpo. El peso De manera que el peso en la Luna será menor: actúa en dirección vertical. F1 = F2 por- F1 que son un par acción-reacción. igual a: apoyado sobre el piso. deslizamiento P (c) d) Con los datos se puede calcular la intensidad N’ del campo gravitatorio en la superficie de la Luna: gL @ 1. el valor de x para el cual la fuerza es nula indica El procedimiento para los puntos a). la longitud de equilibrio.m. Por ejemplo. para este caso P vale casi 400 N. FR’ A Fuerza sobre P Fuerza sobre el piso el piso P (a) N’ (b) N’ F3 F2 N Dada la elección del eje x: B Px = F1x = F3x= 20N x =40 cm F2x= –20N F2 x FRmax FRmax’ F1 P Se inicia c) La masa del cuerpo es m = P/g = 20 / 9. P es la fuerza del F2 supera a FRmáx . sorte también será proporcionalmente menor: Recordar la independencia de los movimientos y acciones x = 3. tica que aplica el resorte en B. P’ = m g L = 3. pero no para moverlo horizontalmente. en la resolución del Ejercicio 3. es la fuerza elás- hacia la derecha.66 cm. sin fuerzas horizontales. a F1 . hay que superar al peso.33N / 2(N/cm) = 1. o sea. s Ejercicio 3. y obviamente tampoco cambian las pro- Con este ejercicio se espera revisar la idea superficial de que piedades del resorte. Lo que hay que superar es el roza.10). 30 cm. cuerpo (de la Tierra a la Luna. y habría que superarlo para le. por campo gravitatorio aplicada hacia abajo en el centro lo que desde el punto de vista práctico. y el rozamiento. b). del cuerpo. en los distintos ejes. tenemos que al suspenderle el proporcional a éste. resulta más fácil plantear relaciones trigo. en este caso) no cam- y F2 puede ser alrededor de 30 ó 50 N.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a.33 N.Res. es exac.
y hace descen. El módulo de F A se ob- pesa 1.49 N/cm. de manera que la constante elás. otro.196 N F1 y=0 Cuerpo de 20g P y = -0. aplica hacia atrás. en la Luna un cuerpo de 1 kg es atraído por la Aplicaremos la idea de que si la varilla es elástica.196 N aplicado en el CG (es la resultante de la ación del 0. a menos que se apliquen los frenos. F1 . lo cual es un g = GM 2 R detalle que depende entre otras cosas de la ubicación Para el caso de la Luna del CG.m. 1 kg de masa cada uno.49 N Pesa de 50g y=0 CAPÍTULO 4 y =-1 cm Peso s Ejercicio 4.8×180 = 1. cuya resultante El campo gravitatorio significa la fuerza gravitatoria denominamos FA y dibujamos ubicada en un punto por unidad de masa de cualquier cuerpo situado en cualquiera (no es fácil determinar la ubicación de ese ese lugar.7×1011 N. vitación Universal. es interesante mencionar. gL= 6.49 N a) Las fuerzas exteriores sobre el sistema considerado son: FA b) Peso del cuerpo de 20 g: 0.4 ×10 kg @ 1.40 cm • El peso.196 N. Ejercicios . se obtiene el valor 6.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. ya que según lo dicho F1 debe valer lo mismo que FA : 200 N.738. para deformaciones pequeñas en las cuales la curva. Peso del cuerpo Fuerza sobre varilla 0.196 N Acción-Reacción campo gravitatorio distribuida por toda la masa del sistema). mente de que los cuerpos estén en la Luna. o en cualquier otra parte. dójicamente la existencia de atmósfera depende de • No hay fuerza tangencial sobre la rueda delantera que exista un campo gravitatorio capaz de retenerla). ya que el cálculo • y por último. la fuerza impulsora.Res. N1 y N2 . Entre cuerpos de poca masa la fuerza es tan pequeña que es muy difícil percibirla. en la Tierra. b) La opción 1 es obviamente falsa. • Las componentes normales de las reacciones del s Ejercicio 3. unas 6 veces menos de lo que el mismo tiene de la tabla: para este sistema viajando a cuerpo pesaría en la Tierra. aplicadas por el piso a las cubiertas a) La intensidad del campo gravitatorio en la super.9 en a).67 ×10 ( N ·m ·kg ) × 72.49 N / 0.1 0. a 1 m de distancia uno de a) El peso del cuerpo es m g = 0.63 N/kg • La resistencia que el aire opone al avance. aunque no estamos en condiciones −1 1 2 −2 22 de calcular aún. La opción 2 también es falsa. Página 221 s Ejercicio 3.63 N.10 piso. Es decir que en la Luna un cuerpo de 1 kg. La opción 3 es verdadera: la fuerza de atracción entre tura no complique las ideas.63 N. 70 km/h.764 N. y no interesa aquí). Fuerza que inmoviliza Fuerza que aplica la varilla y el extremo de la varilla 0. Es un concepto que no ción de éste ante la fuerza motriz que la goma le depende de la existencia de atmósfera (aunque para. F A = 200 N. distri- ( 1.01 m = 49 N/m = 0. y = F / k = 0. Además se ha indicado que N2 > N1. el desplazamiento de la dos cuerpos cualesquiera está dada por la Ley de Gra- punta desde la posición de equilibrio será proporcio. tica es: k = 0.49 N. CG Fuerza de la varilla N2 N1 y sosteniendo al cuerpo 0. y para el caso de dos cuerpos de nal a la fuerza aplicada. reac- la masa y el radio de la Luna.764 N. independiente- der al extremo 1 cm. porque Resolución de ejercicios 221 . y que. con una fuerza de 1. Luna misma.40 cm.000 m) buida en toda la superficie del sistema. P . a través de la superficie de contacto Sus valores son ficie de cualquier planeta se calcula con la expresión: tales que equilibran al peso: N1 + N2 = 1. que es la del punto anterior muestra que gL sólo depende de fuerza de fricción entre goma trasera y suelo. de módulo igual a 9. punto.
px = p0x + Ix = 0. es vx = px / m = 1. entonces la velocidad en t = 20 s.2 Aprovechando lo visto en el ejercicio anterior. p0 t = 0que20m/s 20 nera podemos t =simplificar 4s t > 4 strabajando sólo la notación px con las componentes x: Ix = Fx  20 s = 1. Fm es la acción motriz de la rueda sobre el piso. px t = 20 s o sea 200t > t = 0valer lo mismo. s Ejercicio 4. 392 N). (El Situación en el espacio P I Diagrama vectorial dibujo va en el diagrama en el punto c) c) Para t = 0. ahorraremos el análisis de las fuerzas verticales. a) Ahora R tenemos: cantidad de movimiento inicial: p0x = 20 kg  10 m/s = 200 kg m/s. sin rozamiento) la velocidad debe mante- nerse constante.800 kg m/s.20 s p Diagrama vectorial para aplicación de la Ley Situación en el espacio Fuerza con que tira la cadena. Ambas fuerzas son mutuamente acción y x I reacción. que sabemos que estarán en equilibrio y no influirán que equilibra al peso.800 del5 piso m/s sobre la rueda. como en este caso.800 (kg m/s) / 40 (kg) = 45 m/s. . b) Las fuerzas tangenciales que resultan contra el piso t=0 t = 20 s t > 20 s p se muestran en el siguiente esquema de la rueda tra. 0 N). y para ello: Dado que p = m v. Impulso apli- F1 v cado en 4 s: IFx = –15 N 4 s = – 60 Ns. y el cuerpo continúa indefinida- Fm F1 mente viajando a 45 m/s. nentes x de los vectores. las fuerzas F x I deben estar en equilibrio. y la fuerza apli. para que la moto viaje a py 200 5 m/s 45 m/s 45 m/s p0 velocidad constante. la reacción de la mesa. de ma. Res. Ejercicios . F1 F v x py F 7 m/s 7 m/s 140 Esquema de situación Diagrama de cuerpo libre x P 20 t = 0 20m/s t = 4 s t>4s Claramente F es también la resultante. F = (80 N . x Esquema de situación Aplicación deDiagrama la ley: de cuerpo libre px = 200P kg m/s – 60 Ns = 140 kg m/s. Luego el movimiento continúa con velocidad constante que R vale: v = vx = px / m = 7 m/s.600 Ns = 1.m g) @ (0 N . ya P = (0 . d) Es claro que luego de los 20 segundos. lo largo de x. nos a) Las fuerzas actuantes sobre el cuerpo son: el peso.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. ya que ambas son las únicas fuer. Situación en el espacio empujando hacia atrás. Apli. 7Sem/s advierte que 140 200 x en el eje vertical todo será nulo en este problema. en nada. y deben N. px = p0x + Ix = 200 kg aplicada hasta que p sea cero: m/s + 1. se deben al rozamiento entre goma y suelo. py p0 200 1. t = Ix / Fx = – 200 / (–15) = 13. 0 Ns). Página 222 según la Ley del Impulso.3 s Ejercicio 4.m. -392 N). py F b) I = F  20 s = (1. o sea R @ (0 N . para provocar la reacción F1 . También consideraremos el movimiento a zas verticales. Diagrama vectorial para a sera.6007 m/sNs . p0x = 40 kg  5 m/s = 200 kg m/s. 45 m/simpulsando45alm/s sistema hacia F adelante. o sea que consideraremos sólo compo- cada por un agente externo. b) Para detener el cuerpo hay que mantener la fuerza camos la Ley: para t = 20 s.3 s. Entonces Ix = – 200 Ns.600 Ns. al ser que no se pide en el enunciado nula la fuerza resultante (recordar que es un caso ideal. de manera Situación en el espacio P que es la única que hay que considerar para el movi- miento. c) Si continúa aplicada la fuerza después de que el 222 Mecánica Básica .
y para evitarlo es necesario observar bien la figura. 78 kg m/s). en DE. en donde vale dicularmente en cada lugar. La velocidad es: v’x = -70/20 = -3.m. t=18 s t=13. s Ejercicio 4. que son de igual módulo. 0 m/s).5 m/s indefinidamente (mientras dure la situa. libre de fuerzas. para producir la des- cero). pC F F F py v=0 -70 kg m/s I DE 200 kg m/s pD ICD pD 10 m/s 7 m/s p’ 20 p0 -3. se reiniciará el movimiento en sen- pA pB tido contrario. s Ejercicio 4. el movimiento continuará igual al de pD. no hay fuerza resultante ac- de –3.7 s.3 s I’ Diagrama vectorial En DE. alineada con la trayectoria (tal 30º como IED). A vA B vB C vC Por último. vD A B C FCD 30º D E Efectivamente vemos que: vA = vB = vC = (6 m/s . perpen- módulo igual a 6 m/s (excepto en E. y B.7 IAB=(0. De manera que pA = pB = (90 cos 60º. quedan 60º. orientado a 60º del eje x.0) s. -6 cos 30º ) = (3 m/s . la del vector ICD . debe haber fuerzas aplicadas de manera tal que la resultante actúe en sentido contra- D rio al movimiento. debe haber una fuerza (resultante) aplicada a) Según los datos todos los vectores velocidad tienen hacia la derecha respecto del movimiento. y por ello el impulso apli- cado es nulo. F DE Para las componentes de vD es muy fácil equivocarse.3 s TramoI’CD Tramo Diagrama DE vectorial Situación en el espacio En los dos primeros tramos es nulo. es decir. la figura 200 kg m/s que se forma es un triángulo equilátero. Ejercicios . como multiplicando la fuerza por 4. Para t’= 18 s podremos calcular la cantidad de movimiento p’x tanto multiplicando la pB pC fuerza por 18 s y restándola de la cantidad de movi- miento inicial.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a.0) IBC=(0. dado que entre los vectores pC y F py v=0 -70 kg m/s pD . E y no con la horizontal.3 s): p’x = 200 kg m/s – 270 Ns = .70 kg m/s @ . En ella vemos que vD forma 30º con la dirección vertical.5 m/s px t=0 t=4s t=18 s t=13. Al dibujarlos sobre la trayectoria podremos ver viación sin variar la rapidez. tene- mos que la cantidad de movimiento es un vector b) El módulo del vector impulso puede deducirse fá. -5.5 Por último. en promedio.200 Ns. incluidos A. orientación de los vectores fuerza dibujados es. como se ve.15 N  4. el módulo del impulso debe ser pacio Luego de los 18 segundos.5 m/s. que es el tiempo transcurrido desde el instante de Tramo AB Tramo BC reposo (13. Res. 90 sen 60º) = (45 kg m/s.4 En CD. uniforme en línea recta). m/s px es decir. En el tramo CD.200 Ns. 0 m/s). 1. Página 223 móvil se detiene. Nótese que la más fácilmente sus componentes. tuando sobre el móvil (como corresponde a un viaje ción ideal). de manera que: vD = (6 sen 30º . es decir manteniendo la velocidad c) Desde A hasta C. Resolución de ejercicios 223 . y por lo p’ 20 p0 tanto el impulso vale lo mismo que los otros lados. vE = (0 m/s . 1.2 m/s). a) En todo el tramo AB. con un módulo igual a cilmente a partir de las figuras: 3 kg  30 m/s = 90 kg m/s.
Tanto la etapa inicial (antes de t0). pC . incluidos C. aplicando la Ley del Impulso.9 kg m/s. y el de la fuerza resistente del aire: el movimiento sólo deberemos considerar las fuerzas FR = FI – Fa = 800 N – c S v2 horizontales actuantes. Pero a medida que la A partir de ese instante. y con eso también se hace cada vez más pe- sultante no nula (siempre en el plano horizontal x. p1= (0 kgm/s . y En todo el tramo CD. La acción de la gravedad está lo tanto. queño. dremos que las fuerzas verticales estarán equilibradas metido a un sistema de fuerzas en equilibrio. supuesta constante. con lo De manera que el vector impulso aplicado es cual. velocidad aumenta tenemos que FR se hace más pe- yectoria se curvará bajo la acción de una fuerza re. Dividiendo el impulso por el tiempo que dura la apli- ción. -52) kg m/s.62)½ = 2 N. De manera que inicialmente (v = 0). sultante. De manera que 90º Parte en la que hay t1 = 5 s pC = pD = (45 kg m/s . 26 kg m/s). fuerza resultante (hacia la izquierda v y adelante) FR D pD pC v0 x pB C 30º t<0s pB IBC Fuerza resultante nula t0 = 0 pC py pA p1 Diagrama de impulsos y cantidad de movimiento 5 60º I A px p0 6 b) Sólo en el tramo BC hay una fuerza resultante. ya que eso hace aumentar Fa.2 N . que apunta como IBC . como 224 Mecánica Básica . con un módulo igual a resultante nula 3 kg  17. Arbitraria. durante 5 segundos la tra.7 s Ejercicio 4. El módulo de esta fuerza es (1. que llegue a ser el vector final. Para fuerza impulsora.m. y v1 finalmente. (el peso se equilibra con la reacción del piso). 8 Ns). terior se muestra el diagrama vectorial con esta opera. y con ello la velocidad. y tendrá un siempre equilibrada por la reacción de la superficie.22 + 1.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. 0 kg m/s).6 a) Considerando que el camino es horizontal. pC .6 N). (x. hasta b) La cantidad de movimiento inicial es: p0 = (6 kg m/s . Diagrama vertical capaz de cambiar la cantidad de movimiento que ini- cialmente es el vector pB (que es el mismo pA). dida que aumenta v. mente ubicamos el eje x en la dirección del En cada intervalo de tiempo esta fuerza aplica un im- movimiento inicial. y luego continuará con De manera que la situación es que: la velocidad siem- un movimiento rectilíneo. Página 224 En todo el tramo BC hay un cambio en el vector de fuerza resultante (que será nula). en una dirección paralela pre aumenta porque la resultante siempre es hacia al eje y. el impulso apli- I BC = p C .p B = (0 . queño el aumento que sufre la velocidad en t. que deberemos determinar. En la figura an.Res. dibujado varios vectores representativos de la fuerza re. y D. módulo igual a la diferencia entre el módulo de la y ninguno de ambos contribuye a la resultante. miento.y). cantidad de movimiento que inicialmente es pB . Ejercicios . y sobre la parte BC de la trayectoria se han cación de la fuerza. 1. la resultante será horizontal. se obtiene F = (-1. cado resulta: I = p1 = p0 ( 6 Ns . la fuerza resul- En este plano horizontal podemos describir el mo. es decir. de manera tal que en t0 el móvil pulso FR t que hace aumentar la cantidad de movi- pase por el origen. y).3 m/s = 51. serán recorridas sin la acción cada vez aumenta menos en el mismo tiempo. como la adelante (mientras Fa no llegue al valor 800 N). y por con resultante nula. y la final. 8 kgm/s). y su valor va disminuyendo a me- vimiento con dos ejes cartesianos. pero final (después de t1). tante vale 800 N. s Ejercicio 4. ten- a) La condición inicial corresponde a un cuerpo so. tenemos que la cantidad de movimiento es el vector p C t>5s v1 Fuerza orientado a 30º del eje x.
ya que módulos para obtener el módulo del resultado). 0 m/s) ® p = (20 kg m/s . que se alcanza cuando se equilibran las fuerzas. entonces tendremos (utilizamos pri- da cuando FI = Fa: mas para indicar después del choque): Fa = c S vlím2 = 800 N v = (10 m/s . 0 kg m/s) La velocidad final aumenta con la fuerza aplicada. y la velocidad.m. hace tan lentamente que se requiere un tiempo cada vez Es decir que no se detendrá ni comenzará a dete- más largo para poder detectar un mínimo aumento. (Notar que al restar vectores opuestos. la denominación directamente proporcional se re. el valor límite de la velocidad es el que se cha de la pelota. Pero lo importante es no confundir cualquier rela- v ción “creciente”.8 disminución) de la velocidad). Es decir. Dado que. pero lo la situación de velocidad máxima posible.5 m/s Para obtener el impulso aplicado a la pelota por fuer- 0. pero veamos ahora más detalles. anulándose la fuerza resul- tante (con lo cual ya no podría haber aumento (ni s Ejercicio 4. Ejercicios . la resistencia del aire tendría el mismo tante.6 m/s. 0) – (20 . con la relación di- rectamente proporcional. se hace tan pequeña que tiende a tiende el proceso de aumentar la velocidad. fuerza o impulso. pulso exactamente opuesto al que acabamos de cal- v ciente Flim se mantuviese constante para cualquier cular: Ipelota a pared =  Ipared a pelota= (38 kg m/s . Ipared a pelota = p’ – p = (-18 . alcanzar. es decir construyendo los vectores Resolución de ejercicios 225 . Ipared a pelota = (-38 kg m/s . ya que (suprimiendo impulso que las fuerzas exteriores le aplican al móvil subíndices) v = 1 constante independiente de F. la fuerza que aplicó la pared a la pelota fue es la que corresponde aquí. que es el módulo que no: esa es la situación límite. la diferencia entre ambas.5 m/s). También es mejor decir. 0 kg m/s) I valor de FI. 0 m/s) ® p’ = (-18 kg m/s . aunque siempre aumenta. a la cual de la fuerza resultante. sino que.3 4 2 m 2 m zas exteriores. I pelota a pared o cualquier factor). ya hemos dicho al valor de FI. tenemos que la pelota aplicó a la pared un im- locidad final es “directamente proporcional”.Res. 0 kg m/s) Con lo cual: vlím = N ·s 2 = 36. que se va hace sin llegar nunca a un valor límite que no puede a mantener de allí en adelante. 0 kg m/s) 800 N v’ = (-9 m/s . a) Si ubicamos el eje x en la dirección inicial de mar- Es decir. Ipared a pelota px Para este caso eso no se cumple (para convencerse p’ -10 10 p 20 probar por ejemplo con FI = 1. que es un caso particular de las funciones crecientes. revisemos el procedimiento: en la Ley del En este caso podemos decir que el cuadrado de la velo.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. que tiene que ver con la acción del móvil sobre el ex- drada de la expresión anterior. que v es proporcional terior simplemente cambiando el signo a los vectores a la raíz cuadrada de F. exactamente opuesta a la que aplicó la pelota a la Diríamos que la relación entre fuerza aplicada y ve. se suman los pero no es directamente proporcional a ella. nerse. Página 225 lo sugiere la siguiente gráfica. Si se la desaparecer. mientras hubo serva para una forma específica de aumentar. que no contacto. “si vlim y FI varían en py la misma proporción” (no importa si es doble. Impulso aplicada a un móvil. si el co. (en este caso pared a pelota). valor de la fuerza motriz. por el contrario. t En cuanto a si el automóvil se detendrá cuando la fuerza de rozamiento del aire alcance los 800 N que Podemos prever que a medida que Fa se acerca mucho es el valor de la fuerza impulsora. por Acción y Reacción. denominación que se aplica a los vlim casos en que la variable dependiente aumenta cuando lo hace la independiente. que no es el doble de 36. pared. Luego obtenemos lo F cS También podríamos decir. final. extrayendo la raíz cua. triple. Este valor límite es el valor vlím tal que si se Esa es precisamente la situación de velocidad final cons- lo alcanzara. a partir de allí la velocidad no variará más. siempre interviene el cidad es proporcional 2 a la fuerza. lo alcanza. Esta condición a veces se enuncia di- ciendo: “si con doble fuerza se consigue doble veloci- dad”. 0) das. se habrá alcanzado Tenemos así que la velocidad crece siempre. aplicamos la Ley del Impulso: b) Algunas de estas preguntas ya han sido contesta.600 N. se obtendrá vlím = 51.
los cuerpos en el interior de la cápsula parecerán flo- pecto a este sistema.12) que a esa distancia de la Tie- v = (-10 cos 35º . ya que. siguen la misma trayectoria.10 .10 rios minutos de caída absolutamente libre. y las filmaciones toman En esta situación. están sometidos única- I pelota a pared mente a la acción de la gravedad. el satélite contra un paisaje terrestre que estaría fijo. y filmados desde la Luna. claramente la Tierra se mueve. Esto ya ha sido discutido en el texto y no ne- blanda nos permiten decir que antes y después del cesita más comentarios.10 . Imaginemos un grupo de científicos ha- ciendo experimentos dentro de una cápsula que se Esquema de la situación. observadores y el piso también lo harán exactamente soluto. 5. aunque estarán cayendo libremente. ya que filmado desde la Tierra se vería pasar de la misma manera.10 kg m/s . dado que el impulso es el mismo. 35º Ipared a pelota x como si no hubiera gravedad (para más detalles con- 35º sultar la resolución del Ejercicio 5. demorando Es decir. y eso ® p = (-4. s Ejercicio 4. con la misma velocidad.2 m/s . incues. deja caer libremente a lo largo de una gran distancia sin que aire ni nada que la frene. y por lo tanto. más tiempo en hacerlo. Las filmaciones muestran movimiento que en a). Ejercicios . desaparecería la aparente ingravidez).2 m/s .1 en que el motor aplicara un impulso sobre la nave. y luego La opción correcta es b). el observador caería con el mismo movimiento del objeto. sin necesidad de que algo o alguien los sostenga. de manera que. den permanecer en reposo (o al menos aproximada- tionable. se vería en movimiento a b) Los datos propuestos con la nueva pelota más ambos. y cual- I pelota a pared quier filmación los muestra flotando en reposo.p´ = (4. 2. es que los cuerpos no tienden a caer.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. No hay ninguna fuerza que contrarreste o modifique esta situación p p’ (obviamente los motores de la nave no actúan mien- 1 35º 35º tras ésta permanece en órbita. una distancia mayor durante el choque. obtendremos el mismo impulso.m.85) – (-4. todos como sistema de referencia fijo al satélite. v´= (10 cos 35º . la reacción del piso. mientras que sobre el obser- Ipared a pelota = (8. Página 226 opuestos a los que se obtienen de la aplicación di. py Ésta es la situación en la órbita: todos los cuerpos. Si no hu- Ipelota a pared =  Ipared a pelota = (-8. la quier lugar o posición. los pero este movimiento no es de ninguna manera ab.7 m/s) rra sí debe haber gravedad (y bastante intensa). recta de la ley. 5.12). Con res. un sistema de frenado suave evita daños y catástrofes.85 kg m/s) nos obliga a revisar estas ideas. ob. 10 sen 35º) = (8. en el mismo instante px -4. tar. mente en reposo) en cualquier lugar en el que se los Ahora bien.7 m/s) Cuando un observador parado sobre el suelo ve caer ® p = (4. 10 sen 35º) = (-8. esencialmente. aplicando que todos los cuerpos en el interior del satélite pue- una ley que es fundamental. 0 kg m/s) biese piso.2 kg m/s .Res. objetos y tripulantes. choque tenemos los mismos vectores cantidad de Veamos lo de la ingravidez. se aplastará deje. 2. sin escala. No hay que sostenerlos para que se queden en cual- tenemos que. y luego en rebotar recupe. rando su forma inicial. si la pelota es más blanda. Y parece una prueba bastante concluyente.85) acción de la gravedad. Así es que todos los objetos en órbita junto con la v’=10m/s nave están animados del mismo movimiento. fuerza actuante debe ser menor. lo que llama la atención en este ambiente. tenemos que el objeto está sometido a la Ipared a pelota = p . Ipared a pelota nave. 2.9 Pero ya sabemos (ver texto en Capítulo 3.1 -1 1 4. O sea. Revisemos las ideas. De la fórmula F = I / t. 2. es como si no hubiese gravedad. La situación es totalmente equivalente a la de una v =10m/s caída libre. mientras dure la caída libre.10 kg m/s . 0 kg m/s) vador actúa además.2 kg m/s . tal que se tienen va- s Ejercicio 4. Diagrama de impulsos y cantidades de movimientos si lo hiciese. y no lo vería caer. 226 Mecánica Básica . o resolu- Utilizamos primas para indicar después del choque: ción del Ejercicio 5. El movimiento es relativo.85 kg m/s) un objeto.
Resolución de ejercicios 227 . Pero la idea esencial no es que al final quede un sin colocarle tapa). que se produce dentro de la botella por efecto del La idea que necesitamos para nuestros razonamien- peso del agua. la más aproximadamente que sea posible la región de tan- botella ya no sostiene al agua: cae con ella. ni que la Tierra está subiendo. la recta que pasa por ambos queda tangente a la curva en A fuera necesario. sino que recta y curva compartan lo Pero no ha desaparecido. e ir aproximando gra- el orificio con un dedo.m. Es no sale por el orificio! Ha desaparecido la presión in. Veremos que. ción del movimiento en el instante considerado. es decir. mientras dura la caída. decir que lo importante no es el contacto en un terior. único punto de contacto (aunque ello pueda ser cierto tiendo que brote un chorrito de agua. simplemente. pa- recerá haber desaparecido la gravedad. pero ésta es dato). y también en los casos en que en el inicial de avance.18-08-2010:Maquetación 1 12/11/2010 01:11 a. La segunda definición muestra una intención de por Acción y Reacción. manteniendo tapado cante que pase por A y por B. es una manifestación del tos en Física es la de una recta que indique la direc- campo gravitatorio. consiste en tomar una se- Llenemos la botella con agua. fuerza de frenado (rozamiento piso-neumático). destapemos el orificio permi. Res. pero no lo logra. la primera definición es incorrecta. y conceptual. es el vector opuesto al que plantear conceptos más adecuados. de manera que a) x = área = ½ 2 10-3 s  1000 m/s = 1 m. Ejercicios . s Ejercicio 5. ni que seaproxima está en infinitamente un lugar sina gravedad. peso y reac- B ción normal del piso.1 bien puede ser secante y no tangente. El procedimiento formal para definir la tangencia a cerca del fondo con un clavo caliente. Si en A cambia el sentido de la curvatura. único punto. gencia. pero formalmente sólo significa que tienen un Fx = -104 N ® F = 104 N punto en común (ya sea cortando o no). y el agua no saldrá por el orificio. punto de tangencia la curva tuviese un segmento (pe- queño o no) rectilíneo.2 a) No se dibujan las fuerzas verticales. dualmente B hasta que esté infinitamente próximo a Manteniendo la botella aproximadamente vertical (y A. Si B se aproxima infinitamente a A. c) El impulso comunicado por el proyectil al blanco. Si B se A. y Enseguida soltemos la botella (que no se termine el ello significa la recta que se confunde lo mejor posi- agua). Página 227 Una filmación mostraría que todos flotan dentro de la cápsula. b) Fx = px / t mente muy pobre. sino que. Una la recta queexperiencia pasa por ambossencilla que cualquiera puede quedahacer tangente paraa la curva en A estas ideas: enriquecer Perforemos una botella plástica en la pared lateral. mientras que los objetos del exterior se B mueven vertiginosamente hacia arriba!.020 kg  1000 m/s) / 2 10-3 s como una especie de sugerencia de aproximación Fx = -20 kgm/s / 2 10-3 s suave. el agua ble con la curva en el punto o zona de tangencia. porque están siempre equili- A B bradas y no intervienen directamente en el problemaA A (intervendrían para determinar el valor posible de la Si en A cambia el sentido de la curvatura. corresponde al impulso aplicado al proyectil para fre- porque sería válida sólo para ciertas curvas: fallaría narlo. y por lo tanto es igual a la cantidad de movi- en los puntos de inflexión (donde cambia el sentido miento inicial del proyectil: vector en la dirección de la curvatura). La velocidad casi siempre en las situaciones típicas). CAPÍTULO 5 Comentario al ejercicio sobre las tangentes. y eso no ha- B A A bría probado. de módulo 20 kgm/s. Una recta que toca a una curva en un solo punto s Ejercicio 5. una curva en un punto A. El verbo “tocar” puede sonar Fx = (0 – 0. si entonces la tangente allí corta a la curva. tanto durante la subida como durante la bajada. Lo mismo ocurre si lanzamos la botella hacia arriba: Esto nos dice que las opciones (3) y (4) son correctas. como si hubiera des-aparecido la gravedad. entonces la tangente allí corta a la curva. sino que la di- con que brota el agua depende de la altura de agua rección de la recta quede definida por los puntos infi- por encima de él. y es una manifestación de la presión nitamente próximos al punto de tangencia.
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