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Timestamp: 2016-08-27 20:27:29+00:00

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BrowseUploadSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicWelcome to Scribd! Start your free trial and access books, documents and more.Find out morePRESIDENTE DE LA REPÚBLICARafael Correa Delgado
Pablo Cevallos Estarellas SUBSECRETARIA DE CALIDAD EDUCATIVA Alba Toledo Delgado GRUPO EDEBÉ Proyecto: Matemáticas 1,2,3 y 4 Educación Secundaria Obligatoria
DIRECCIÓN DE EDICIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
Juan López Navarro EQUIPO DE EDICIÓN GRUPO EDEBÉ © Grupo edebé, 2008 Paseo San Juan Bosco, 62 08017 Barcelona www.edebe.com En alianza con
EDITORIAL DON BOSCO OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIÓN GERENTE GENERAL
Equipo Editorial Don Bosco Humberto Buitrón A.
Marcia Peña Andrade Saúl Serrano Aguirre Lorena Valladares Perugachi
Hernán Hermosa Mantilla Isabel Luna Riofrío Pablo Larreátegui Plaza
Susana Zurita Becerra Franklin Ramírez Torres Patricio Llivicura Piedra Freddy López Canelos Erika Delgado Chávez Sofía Vergara Anda
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR Primera edición, Mayo 2011 Quito – Ecuador Impreso por: EDITOGRAN S.A.
Eduardo Delgado Padilla Darwin Parra Ojeda
La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma que sea, por cualquier medio mecánico o electrónico, no autorizada por los editores, viola los derechos reservados. Cualquier utilización debe ser previamente solicitada. © Editorial Don Bosco, 2011 DISTRIBUCIÓN GRATUITA
El Ecuador ha sido, según el poeta Jorge Enrique Adoum, “un país irreal limitado por sí mismo, partido por una línea imaginaria”, y es tarea de todos convertirlo en un país real que no tenga límites. Con este horizonte, el Ministerio de Educación realizó la Actualización y Fortalecimiento del Currículo de la Educación General Básica que busca que las generaciones venideras aprendan de mejor manera a relacionarse con los demás seres humanos y con su entorno y, sobre todo, a soñar con la patria que vive dentro de nuestros sueños y de nuestros corazones. Los jóvenes de octavo a décimo años van a recibir un libro de texto que les permitirá desarrollar sus habilidades. Estos libros tienen un acompañante para los docentes. Es una guía didáctica que presenta alternativas y herramientas didácticas que enriquecen el proceso de enseñanza-aprendizaje. El Ecuador debe convertirse en un país que mire de pie hacia el futuro y eso solo será posible si la educación nos permite ser mejores ciudadanos. Es una inmensa tarea en la que todos debemos estar comprometidos, para que el “Buen Vivir” sea una práctica cotidiana. Ministerio de Educación 2010
Los conocimientos que vas a aprender se organizan en seis módulos que están trabajados de manera integrada a partir de los siguientes bloques: Numérico Medida Estadística y probabilidad
Buen Vivir Eje transversal valorativo que acompaña a los contenidos y permite una formación integral. Una imagen y una actividad inicial nos muestran la presencia de las matemáticas en nuestro entorno y la relación entre los bloques matemáticos. Buen Vivir Enunciación del artículo de la Constitución de la República del Ecuador, relacionado con el proyecto del Buen Vivir. En los márgenes se incluyen explicaciones complementarias. Conocimientos que se trabajarán dentro del módulo.
Se muestra un listado de las destrezas con criterios de desempeño que se desarrollarán en el módulo.
Definiciones, ejemplos y actividades para recordar los conocimientos previos necesarios para el aprendizaje.
Los conocimientos se organizan en apartados y subapartados.
Ejemplos que no cumplen con los conocimientos estudiados.
Al finalizar el desarrollo de un conocimiento, se proponen ejercicios a pie de página para afianzarlo.
En muchos casos, el desarrollo de los conocimientos finaliza con uno o varios ejemplos para facilitar el aprendizaje.
Algunas actividades llevan un icono cuyo significado es el siguiente: Macrodestrezas matemáticas Herramientas y ejes transversales Cálculo mental
Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos Aplicación en la práctica Refuerzo de macrodestrezas
Uso de la calculadora Uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Trabajo en grupo Buen Vivir
En cada módulo se trabaja una estrategia de resolución de problemas distinta.
Una expresión algebraica es una serie de números y letras unidos mediante los signos de las operaciones aritméticas. Al sustituir las letras de una expresión algebraica por números se obtiene el valor numérico de dicha expresión. Cada uno de los sumandos de una expresión algebraica se denomina término. Cada témino puede constar de dos partes: una numérica, llamada coeficiente, y las letras con sus exponentes, otra formada por que se denomina parte literal. Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Completa con estas palabras: parte literal, sacar factor
Podemos operar con expresiones algebraicas del mismo modo que lo hacemos con los diferentes tipos de números. Así, podemos efectuar la suma, la resta y la multiplicació n de braicas, aplicar la propiedad expresiones algedistributiva y sacar factor común. Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que sólo es cierta para algunos valores de las letras que aparecen en ella. El valor de la incógnita que hace que se cumpla la igualdad en una ecuación es una solución de dicha ecuación. Dos ecuaciones son equivalentes si, aún teniendo distintos términos, tienen la misma solución. común y ecuaciones equivalentes .
Síntesis de las ideas clave del módulo y esquema que muestra la relación de los conocimientos en los bloques matemáticos.
Al unir números y letras mediante los signos de las operaciones aritméticas se obtienen
al sustituir las letras por números se obtiene
con ellas efectuamos operaciones
las igualdades entre dos expresiones algebraicas son
Valor numérico Suma y resta
si los números y las letras están unidos únicamente por la multiplicación constan de
la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y de la resta permite
el valor que cumple la igualdad es
si tienen la misma solución son
................................ ........................... ...........................
Cuestiones, ejercicios y problemas para consolidar la comprensión de conceptos, conocimiento de procesos y aplicación en la práctica de lo que has aprendido. En la sección Más a fondo proponemos actividades de mayor dificultad para profundizar las macrodestrezas.
Ejercicios y problema s
9 ponde:
34 Dibuja en tu cuaderno
y res40 Observa los siguientes ángulos y haz una estimación de sus
tres puntos, A, B y C,
• ¿Puedes trazar una recta que contenga los tres puntos? Si no es así, ¿en qué caso podrás hacerlo? • Dados dos puntos cualesquiera , ¿existirá siempre una recta que pase por ambos?
medidas. Comprueba después con el transportador si los valores que has estimado son correctos.
9 a r, ¿cuántas rectas un punto P que no pertenece paralelas
a r que pasen por P existen? ¿Y perpendicul ares a r que pasen por P? la siguiente figura:
36 Indica en el plano de
35 Dados una recta ry
Calle 48 Calle 47 Calle 46 Calle 45 Calle 44 Calle 43
de ángulos los siguien9 tes ángulos e indica cuáles les son convexos. son cóncavos y cuáAvenida de las Americas
41 Mide con un transportado r
Resolución de problemas a través de diversas estrategias del pensamiento y creativas.
a Bro adw ay
Calle 42 Terminal Bus Calle 40 9ª Avenida 7ª Avenida Calle 39 Calle 38 8ª Avenida
— Transporta los ángulos a tu cuaderno y dibuja un ángulo consecutivo de cada uno de los anteriores.
a) Dos calles paralelas. b) Dos calles perpendicul ares. c) Dos calles que se corten y no sean perpendiculares. d) Explica a alguien qué itinerario debe seguir para ir desde tu casa (punto A) a la biblioteca (punto B).
37 ¿Puedes dibujar toda una semirrecta en el papel? ¿Por qué? 38 Dibuja un punto A y traza cinco semirrectas diferentes con origen
Profundización de los ejes transversales para una formación integral.
42 ¿Cuántos ángulos llanos
son 360 grados sexagesi-
Adyacentes Consecutivos Sí
en dicho punto A.
39 Si la distancia en horizontal
y en vertical entre dos puntos adyacentes de la figura es la misma, ¿cuántas distancias diferentes podemos encontrar en el dibujo?
8. Rectas y ángulos
Ejercicios y p
Permite comprobar los conocimientos, a través de actividades con indicadores esenciales de evaluación.
¿Por qué no existen seres planos?
En su obra Historia del tiempo, Stephen W. Hawking da la siguiente explicación al hecho de que en un plano no puedan desarrollarse seres complicados como nosotros: «Si una criatura plana comiese algo no podría digerirlo completame nte, tendría que vomitar los residuos por el mismo camino por el que se los tragó, ya que, si hubiese un paso a través de su cuerpo, dividiría a la criatura en dos mitades separadas; nuestro ser se rompería.»
Los griegos clásicos intentaron nes geométricas únicamente dibujar sus construcciocon regla y compás. Hubo, sin embargo, tres construccio nes que no pudieron realizarlas así. Son los tres problemas clásicos: • Trisección de un ángulo. Dado un ángulo cualquiera, dividirlo en tres ángulos iguales. • Cuadratura del círculo. Dado un círculo cualquiera, construir un cuadrado con la misma área. • Duplicación del cubo. Dado un cubo cualquiera, construir otro cubo cuyo volumen sea el doble del anterior. Dos milenios y medio después la imposibilidad de resolverlos se demostró únicamente con regla y compás.
Con noticias, curiosidades... del tema trabajado.
Para conocer la evolución histórica de algunos conceptos matemáticos.
En su obra Elementos, Euclides (s. IV a. C.) establece, tre otras, las siguientes endefiniciones: 1. Un punto es aquello que no tiene partes. 2. Una línea es una longitud sin anchura. 3. Las extremidades de una línea son puntos. 4. Una recta es una línea que yace por igual respecto de todos sus puntos. 23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, por más que se las prolongue en ambos sentidos, nunca se encuentran.
Algunas definiciones de Euclides
Módulo 1: Números enteros
1. El conjunto de los números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Representación sobre la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Valor absoluto de un número entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ordenación de los números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Sucesiones con adiciones y sustracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Multiplicación y división exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Potenciación y radicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 11 11 12 13 13 18 20 24 38 34 40 41 42 42 45 46 47 47 48 49 50 51 52 54 68 69 69 70 71 71 72 73 76 77 78 79 80 82 84 84 86 87
Módulo 2: Números fraccionarios
1. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Concepto de fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Comparación de fracciones con la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Fracción de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Equivalencia de fracciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Reducción de fracciones a común denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Comparación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Fracción de una fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Sucesiones con multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Potenciación y radicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Módulo 3: Números decimales. Volúmenes de prismas y cilindros
1. Números decimales y fracciones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Lectura de números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Representación sobre la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Orden de los números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Operaciones con números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Potenciación de números decimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Radicación de números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Aproximación por redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Sucesiones con operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Porcentajes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Volúmenes de poliedros y cuerpos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Volúmenes de poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Volúmenes de cuerpos de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Estimación de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Módulo 4: Polígonos: triángulos y cuadriláteros. Iniciación al álgebra
1. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.1. Elementos de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.2. Clasificación de los polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.3. Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.4. Congruencia de polígonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1. Elementos de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.2. Clasificación de los triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.3. Congruencia de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.4. Rectas notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3. Cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.1. Elementos de un cuadrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.2. Clasificación de los cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.3. Construcción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4. Hexágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5. Octágono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6. Polígonos estrellados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7. Iniciación al álgebra. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.1. Valor numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.2. Términos y coeficientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8. Operaciones con expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.1. Adición y sustracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.2. Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.3. Propiedad distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.4. Factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.5. Representación concreta de monomios hasta grado 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.6. Agrupación de monomios semejantes con material concreto . . . . . . . . . . . . . 125
Módulo 5: Proporcionalidad geométrica
1. Razón y proporcionalidad de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Rectas secantes cortadas por paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Secantes cortadas en segmentos iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Aplicaciones del teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Triángulos en posición de Tales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Triángulos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Semejanza de triángulos en posición de Tales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Criterios de semejanza de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Polígonos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Construcción de polígonos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Perímetros y áreas de polígonos semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Figuras semejantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Construcción de figuras semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Escalas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 141 141 142 144 147 150 151 152 154 154 156 158 158 159 176 176 178 180 182 182 183 184 184 186 187 198 204 205 206
Módulo 6: Tablas y gráficos
1. Tablas de datos y gráficas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Tablas de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Gráficas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Estudios estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Variables estadísticas. Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Frecuencia absoluta y relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Tablas y gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Tablas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Descripción de experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • Solucionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Simbología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmulas de geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Buen vivir: Educación para la salud
Bloques: Numérico. Relaciones y funciones
Los científicos trabajan habitualmente con la escala Kelvin de temperatura. Esta escala tiene los 0 grados en la temperatura más baja que puede existir, en la cual, la agitación térmica de la materia es nula y corresponde a 273 °C bajo cero, como sucede en las nieves perpetuas del Chimborazo, del Cotopaxi, entre otros. Teniendo en cuenta que una variación de un grado Celsius (centígrados) equivale a una variación de un kelvin, determina la temperatura de la escala Kelvin a la que corresponde: — El punto de fusión del agua (0 °C). — El punto de ebullición del agua (100 °C). A nivel del mar.
60º 50º 40º 30º 20º 10º 0º -10º -20º -30º
333 323 313 303 293 283 273 263 253 243
Con tus conocimientos sobre los números enteros, serás capaz de expresar cantidades y operar con ellos.
DCD DCD Destrezas con criterios de desempeño
• Leer y escribir números enteros. • Ordenar y comparar números enteros en la recta numérica. • Resolver las cuatro operaciones de forma independiente con números enteros. • Generar sucesiones con números enteros. • Resolver operaciones combinadas con números enteros. • Utilizar las estrategias y las herramientas matemáticas adecuadas para resolver problemas mostrando seguridad y confianza en tus capacidades. • Usar la calculadora de forma racional en la resolución de problemas.
Art. 32. La salud es un derecho que garantiza el Estado, cuya organización se vincula al ejercicio de otros derechos, entre ellos el derecho al agua, la alimentación, la educación, la cultura física, el trabajo, la seguridad social, los ambientes sanos y otros que sustentan el Buen Vivir.
• Efectúa: a) 18 + 26 b) 612 − 154 c) 23 − 2 − 4 + 6 + 3 − 4 d) 61 − 4 + 3 − 15 − 6 − 4
Recuerda • El conjunto de los números naturales se representa mediante la letra . = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} • Una potencia es un producto de factores iguales. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite el factor es el exponente. • La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero. • Para indicar que un número es mayor que otro escribimos el símbolo >. Así, por ejemplo, 7 es mayor que 3 se escribe 7 > 3. Para indicar que un número es menor que otro se utiliza el símbolo <. Por ejemplo, 2 es menor que 5 se escribe 2 < 5. Así, tendremos: 7>5>3>2 y 2<3<5<7
• Describe cómo efectuarías una serie de sumas y restas combinadas con números naturales si aparecen paréntesis, y efectúa: a) 65 − (5 + 7 − 2) + 17 b) 135 − (187 − 125) + (34 − 18) • Escribe cinco frases en las que intervengan números naturales. A continuación, escribe estos números mediante cifras. • Escribe en forma de potencia: a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 b) 7 × 7 × 7 × 7 • Calcula el resultado. a) 22 × 25 × 23 b) 35 ÷ 32 c) (32)3 • Halla la raíz cuadrada. a) 289 b) 9 025
c) 16 129
Evaluación diagnóstica • Enuncia las propiedades de la suma de números naturales.
• Representa los números sobre la recta y escríbelos ordenados de menor a mayor. 25 - 15 - 10 - 20 - 5 - 35
En muchos momentos de la vida diaria utilizamos números naturales precedidos de un signo menos. Algunas de estas situaciones son las siguientes:
120 m 100 m 80 m 60 m
■ Las temperaturas por debajo de los 0 °C. El saldo de una cuenta bancaria.
40 m 20 m 0m -20 m
Las altitudes por debajo del nivel del mar. Las plantas subterráneas de un edificio.
El balance de puntos de un equipo de baloncesto.
Observa que en las situaciones anteriores hemos utilizado el conjunto de números conocidos como números enteros.
El conjunto de los números enteros se forma de: =
U {0} U
El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo . = {…, −365, …, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, …, +365, …} • Los números naturales precedidos del signo + son los números enteros positivos. • Los números naturales precedidos del signo − son los números enteros negativos.
3 Expresa mediante una frase el significado de
1 ¿Cómo representarías cuatro grados centígrados
bajo cero? ¿Y dos grados sobre cero?
2 Expresa las siguientes situaciones mediante nú-
cada uno de los siguientes números enteros. a) −5, si +5 significa 5 grados sobre cero. b) +2, si −2 significa que bajó dos pisos. c) −623, si +100 significa que he ganado $ 100.
meros enteros. a) He ganado $ 3. b) He retrocedido 5 m.
c) Dentro de 15 años. d) Hace 30 años.
1.1. Representación sobre la recta
Si observamos un termómetro, podemos ver que para indicar las dife rentes temperaturas dispone de una escala graduada en la que se sitúan los números enteros. Del mismo modo, podemos representar los números enteros sobre una recta numérica.
Dibujamos una recta y señalamos en ella un punto que tomaremos como 0. Dividimos la recta en segmentos de igual longitud hacia la derecha y hacia la izquierda del 0. A partir del 0 y hacia la derecha, situamos los sucesivos números enteros positivos; hacia la izquierda del 0, ubicamos los sucesivos números enteros negativos.
Todos los números enteros, excepto el 0, se escriben con un signo y un número natural. Si prescindimos del signo, podemos establecer una correspondencia entre números enteros y números naturales (tabla 1). Diremos que el número natural correspondiente a cada número entero es su valor absoluto. Así, el valor absoluto de −1 es 1 y el de −5 es 5.
Número entero −1 +1 −5 +5
■ Tabla 1.
Número natural 1 1 5 5
El valor absoluto de un número entero positivo o negativo es el número natural que se obtiene si suprimimos su signo.
Indicamos el valor absoluto de un número entero poniendo éste entre dos barras verticales. −8 se lee valor absoluto de −8. Así, por ejemplo, tenemos:
⎮+15⎮ = 15 ⎮−15⎮ = 15 ⎮0⎮ = 0 ⎮+2⎮ = 2 ⎮−2⎮ = 2 Notación Valor absoluto ⎮−4⎮ = 4
En el caso del 0, su valor absoluto es 0:
4 Representa sobre una recta los siguientes núme-
6 Determina los valores absolutos de los siguientes
ros enteros: +3, −8, −12, 0, +7, −4.
5 Relaciona cada letra con un número entero.
números: −3, +34, −34, −123, +230, +1 300, −1 568, +8 835 y −13 457.
7 ¿Es posible hallar un número entero tal que su
valor absoluto sea −10? Justifica tu respuesta.
1.3. Ordenación de números enteros
Si ordenamos los números que representan las diferentes plantas del ascensor de un edificio, desde la inferior a la superior, tenemos: −3 < −2 < −1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 Podemos representar estos valores sobre la recta de los números enteros.
Observa que +1 < +4, pues al representarlos sobre la recta el +4 queda a la derecha del +1. De la misma manera, diremos que −3 < −1, ya que el −1 queda a la derecha del −3.
Números negativos –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1
Dados dos números enteros cualesquiera, es mayor el que está representado más a la derecha sobre la recta.
Números positivos +2 +3 +4 +5 +6
|+5| = 5 > |+2| = 2 0 +2
+5 > +2 +5
|–4| = 4 > |–1| = 1 –4 –1 0
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.
El 0 es menor que cualquier número entero positivo y mayor que cualquier número entero negativo.
El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene mayor valor absoluto.
El mayor de dos números enteros negativos es el que tiene menor valor absoluto.
Señala en cada uno de los siguientes pares de números enteros cuál es el mayor. Represéntalos sobre la recta. a) −11 y 8 b) 0 y −9 c) 0 y 4 d) 8 y 6 e) −7 y −6
a) Un número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo. → 8 > −11 b) El 0 es mayor que cualquier número entero negativo. → 0 > −9 c) El 0 es menor que cualquier número entero positivo. → 0 < 4 ⇒ 4 > 0 d) 8 = 8 > 6 = 6. El mayor de dos números enteros positivos es el que tiene mayor valor absoluto. → 8 > 6 e) −7 = 7 > −6 = 6. El mayor de dos números enteros negativos es el de menor valor absoluto. → −6 > −7
8 Copia en tu cuaderno los siguientes pares de
9 Ordena de menor a mayor la siguiente serie de
números y escribe el signo > o < según corresponda. −3 .......... +8 0 .......... −2 −5 .......... −8 +4 .......... +9 0 .......... +13 +4 .......... −10
números. −7, +12, −12, 0, +4, −1 002, +7, −20
10 Escribe cuatro números enteros menores que +2
y otros cuatro mayores que −10.
Con los números enteros podemos efectuar las mismas operaciones que realizamos con los números naturales: suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.
Veamos, primero, cómo se suman dos números enteros. Distinguiremos los casos en que tengan el mismo signo o signos diferentes.
Adición de dos números enteros del mismo signo
Un ascensor se encuentra en el piso 2 de un edificio cuando es llamado desde 3 pisos más arriba. ¿Desde qué piso se le llamó? El piso será el 5. Podemos escribir: (+2) + (+3) = +5 Sobre la recta numérica:
+3 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6
Un ascensor que se encuentra en el primer subsuelo baja dos pisos. ¿En qué planta se encontrará? Se encontrará en el piso −3, tercer subsuelo. Podemos escribir: (−1) + (−2) = −3 Sobre la recta numérica: Fíjate que estamos en +2 y hemos avanzado 3 unidades hacia la derecha.
–2 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2
Observa que nos hemos situado en −1 y hemos avanzado 2 unidades hacia la izquierda.
Para sumar dos números enteros del mismo signo: — Se escribe el mismo signo de los sumandos. — Se suman los valores absolutos de los sumandos.
Adición de dos números enteros de distinto signo
Un ascensor que está en el segundo subsuelo sube 6 pisos. ¿En qué planta se encontrará? Como ves, se trata del piso 4. Podemos escribir: (−2) + (+6) = +4 Sobre la recta numérica:
–3 –2 –1 0 +6 +1 +2 +3 +4 +5 +6
Para sumar dos números enteros de distinto signo: — Se escribe el signo del sumando de mayor valor absoluto. — Se restan los valores absolutos de los sumandos.
Para sumar varios números enteros podemos proceder de dos maneras. Veamos, por ejemplo, cómo calcular la expresión: (−3) + (+7) + (+4) + (−2)
Primer procedimiento • Efectuamos las adiciones en el orden en que aparecen. (−3) + (+7) + (+4) + (−2) = = (+4) + (+4) + (−2) = = (+8) + (−2) = +6 Segundo procedimiento • Reordenamos los sumandos. Primero escribimos los números enteros positivos y después los enteros negativos. (+7) + (+4) + (−3) + (−2) = • Efectuamos las adiciones en cada grupo por separado. Después, sumamos los dos resultados obtenidos. (+11) + (−5) = +6
La adición de números enteros tiene las siguientes propiedades:
Propiedad Conmutativa Enunciado Si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no varía: a + b = b + a En una adición de varios sumandos, el resultado no depende de cómo agrupemos sus términos: (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la adición, pues al sumar 0 a cualquier número entero se obtiene dicho número: a + 0 = a Todo número entero tiene su opuesto, el número entero que sumado a él da 0: a + op (a ) = 0 El opuesto es el propio número cambiado de signo. Ejemplo (+4) + (−2) = (−2) + (+4) +2 = +2 [(+5) + (−3)] + (−4) = (+5) + [(−3) + (−4)] (+2) + (−4) = (+5) + (−7) −2 = −2
(+5) + 0 = +5 (+3) + (−3) = 0 Diremos que +3 y −3 son números enteros opuestos, y escribiremos: op (+3) = −3 op (−3) = +3
b) (−3) + (−5) c) (−12) + (−34) + (+64) + (−37) b) (−2) + (+5) + (−3)
11 Efectúa las siguientes adiciones.
a) (+5) + (−4)
Dos números enteros opuestos se encuentran a la misma distancia del 0.
12 Efectúa de dos maneras diferentes estas adiciones y comprueba que se cum-
ple la propiedad asociativa. a) (−4) + (−2) + (+5)
13 Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números.
−5, +7, +18, −32, +6, −8, −25, +350, −88, 0
Fíjate en la siguiente adición de números enteros: (+7) + (−2) = +5 Si no conociésemos uno de los sumandos, para hallarlo deberíamos efectuar una sustracción: (+7) + ? = +5 → ? = (+5) − (+7) El resultado de esta sustracción es −2. Observa que este resultado es el mismo que el obtenido al sumar a +5 el opuesto de +7; es decir, −7. (+5) + (−7) = −2 Por lo tanto, podemos escribir: (+5) − (+7) = (+5) + op (+7) = (+5) + (−7) = −2
Al trabajar con los números enteros, el signo − puede tener dos significados diferentes: (+3) − (−8)
Indica la operación sustracción.
Indica un número entero negativo.
Simplificación en la escritura • Podemos identificar un número entero positivo como un número natural y escribirlo prescindiendo del signo y del paréntesis si no es necesario. (+3) = +3 = 3 • Teniendo en cuenta la definición de sustracción, podemos simplificar la escritura de las operaciones con números enteros. (+6) + (−3) = (+6) − (+3) = 6 − 3
(+3) + (+5) = 3 + 5 (+3) + (−5) = 3 − 5 (−3) + (+5) = −3 + 5 (−3) + (−5) = −3 − 5 (+3) − (+5) = 3 − 5 (+3) − (−5) = 3 + 5 (−3) − (+5) = −3 − 5 (−3) − (−5) = −3 + 5
Observa en el margen cómo se simplifican los diferentes casos.
14 Calcula:
a) (−12) − (+15) b) (−16) − (−12)
c) (−16) − (+16) d) (−37) − (−28)
e) (+11) − (−7) f) (−9) − (−7)
15 Averigua con un ejemplo si la sustracción de números enteros cumple la pro-
piedad conmutativa.
Antes de efectuar adiciones y sustracciones combinadas de números enteros, simplificaremos la escritura, eliminando los paréntesis y los signos innecesarios. Por ejemplo: (+6) + (−3) + (−5) − (−4) = 6 − 3 − 5 + 4 A continuación, podemos proceder de dos maneras:
Primer procedimiento • Efectuamos las operaciones en el orden en que aparecen. 6−3−5+4= = 3 = −2 −5+4= +4=2
Segundo procedimiento • Escribimos, en primer lugar, los números precedidos del signo + y después los precedidos del signo −. 6+4−3−5 • Efectuamos la suma de ambos grupos por separado. Después, restamos el segundo resultado del primero. 10 − 8 = 2
Al igual que en el caso de los números naturales, si en una serie de operaciones combinadas aparecen paréntesis, debemos efectuar primero las operaciones indicadas en su interior. Así:
12 + (3 − 10) = 12 + (−7) = 12 − 7 = 5 8 − (16 − 9) = 8 − 7 = 1 Sin embargo, podemos también proceder eliminando previamente los paréntesis: 12 + (3 − 10) = 12 + (3 + op (10)) = 12 + 3 + op (10) = 12 + 3 − 10 = 5 8 − (16 − 9) = 8 + op (16 − 9) = 8 + op (16) + op (−9) = 8 − 16 + 9 = 1 Fíjate en que al suprimir el paréntesis precedido del signo +, los signos de los números que contiene no han variado. En cambio, al suprimir el paréntesis precedido del signo −, los signos de los números que contiene sí que han cambiado.
En la práctica, los paréntesis se usan con dos finalidades diferentes: • Para evitar que haya dos signos seguidos. Es el caso, por ejemplo, de: 3 − (−2) • Para indicar la prioridad en las operaciones que deben efectuarse. Por ejemplo: 5 − (4 + 2)
Si en una serie de adiciones y sustracciones combinadas aparecen paréntesis, podemos proceder de dos maneras: • Se efectúan primero las operaciones indicadas en su interior. • Se eliminan previamente los paréntesis. En este caso: — Si el paréntesis está precedido del signo +, dejamos los números con sus signos. — Si el paréntesis está precedido del signo −, cambiamos los signos de los números que contiene.
Si procedemos de una de estas dos formas, podremos efectuar operaciones combinadas en las que aparezcan paréntesis que indiquen prioridad. Observa el ejemplo siguiente: 18 + (−2 + 6) + (−3 + 15) − (3 + 7 − 5)
Se efectúan primero las operaciones Efectuamos las operaciones de los paréntesis. 18 + (−2 + 6) + (−3 + 15) − (3 + 7 − 5) = = 18 + 4 + 12 − 5 Se eliminan previamente los paréntesis Eliminamos previamente los paréntesis. 18 + (−2 + 6) + (−3 + 15) − (3 + 7 − 5) = = 18 − 2 + 6 − 3 + 15 − 3 − 7 + 5 Después, efectuamos las operaciones. 18 + 6 + 15 + 5 − 2 − 3 − 3 − 7 = 44 − 15 = 29
A continuación, resolvemos las operaciones. 34 − 5 = 29
En ocasiones, nos podemos encontrar con expresiones que contienen paréntesis dentro de otros paréntesis. Para distinguir qué paréntesis se encuentran dentro de los otros, se acostumbra sustituir los externos por corchetes [ ], y otros más externos por llaves { }. Por ejemplo:
Corchetes Paréntesis
16 + (5 − 12) − [11 + (−3 − 9) + 5] − 3 En estos casos, podemos comenzar efectuando las operaciones indicadas dentro de los paréntesis, o bien, eliminando estos paréntesis. Así, para resolver el ejemplo anterior, podemos proceder de dos maneras:
Se efectúan primero las operaciones • Efectuamos las operaciones de los paréntesis y sustituimos los corchetes por paréntesis. 16 − 7 − (11 − 12 + 5) − 3 • Efectuamos las operaciones de los nuevos paréntesis y operamos. 16 − 7 − 4 − 3 = 16 − 14 = 2
Se eliminan previamente los paréntesis • Eliminamos los paréntesis y sustituimos los corchetes por paréntesis. 16 + 5 − 12 − (11 − 3 − 9 + 5) − 3 • Eliminamos los nuevos paréntesis y operamos. 16 + 5 − 12 − 11 + 3 + 9 − 5 − 3 = = 16 + 5 + 3 + 9 − 12 − 11 − 5 − 3 = 33 − 31 = 2
16 Elimina los paréntesis y calcula en tu cuaderno: 17 Efectúa en tu cuaderno:
a) −6 + 5 − (7 − 4) + 3 b) −2 − 5 − (2 − 7) − (5 + 6) c) 3 − 7 + (−9 − 3) − (1 − 2) d) −(5 − 2) + (4 − 6) − (8 + 2)
a) −(6 − 3) − [2 − (5 − 7) − 3] b) 2+ { − [− (7 + 8) + (4 − 3)] − 2} c) −[5 − (4 − 7) − (2 − 3)] d) −(7 − 3) − (5 − 2) − [(12 − 6) − (9 − 5)]
2.2. Sucesiones con adiciones y sustracciones
A los elementos de un conjunto ordenado de números, se los conoce como términos de una sucesión. Los términos de una sucesión se encuentran relacionados unos con otros, por lo cual, es posible encontrar un término a partir del anterior. En matemática y en la vida cotidiana es posible encontrar varios conjuntos cuyos elementos están relacionados entre sí, por ejemplo: El conjunto ordenado de los números pares forman una sucesión:
Para encontrar el término que sigue en el ejemplo anterior, sumamos dos al último término.
3; 5; 10; 12; 24 La anterior no es una sucesión con adición porque el patrón de formación consiste en sumar 2 y, luego, multiplicar por 2, de manera alternada. Observa el procedimiento: — Restamos a cada número el término que está a su izquierda (el término anterior). −5 −3−(−5) 2 −3 −1−(−3) 2 −1 1−(−1) 2 1 3−1 2 3 5−3 2 5 Encuentra los tres términos siguientes en la sucesión. −5; −3; −1; 1; 3; 5; ...
— Si la diferencia que encontramos entre dos términos sucesivos es siempre la misma, esta será la cantidad que debemos sumar a cada uno para encontrar el siguiente término. — Para encontrar los términos de la sucesión que no conocemos, sumamos el valor encontrado en el paso anterior al último término: 5+2=7 — De esta manera, sabemos que el término siguiente de la sucesión es: −5; −3; −1; 1; 3; 5; 7...
Las sucesiones que se forman al sumar un mismo número al término anterior reciben el nombre de progresiones aritméticas.
18 Encuentra los siguientes tres números que corresponden a los términos de cada sucesión.
d) e) f) −30; −22; −14, −6 ... −3; 0; 3, 6 ... −16; −14; −12; −10 ...
4; 8; 12; 16 ... 0; 5; 10; 15 ... −10; −3; 4, 11 ...
Los términos de una sucesión pueden estar relacionados entre sí por un número entero positivo, como en los ejemplos anteriores, o también por un número entero negativo.
Juana recibe $ 25 a la semana. Si gasta $ 5 cada día, ¿para cuántos días le alcanzará el dinero?
Las sucesiones pueden ser: Infinitas 0; 2; 4; 6; 8;... Finitas: 6; 4; 2; 0
■ Juana gasta $ 5 cada día.
Para encontrar los términos de la sucesión debemos realizar el procedimiento aprendido en la página anterior:
Según el conjunto de números al que pertenezcan los elementos de la asociación.
Observa el procedimiento: — Restamos a cada número el término que está a su izquierda (el término anterior). 25 20−25 −5 20 15−20 −5 15 10−15 −5 10
— Si la diferencia que encontramos entre dos términos sucesivos es siempre la misma, esta será la cantidad que debemos sumar a un término para encontrar el próximo. — Como el término es negativo, debemos conservar el signo en la suma: 10 + (−5) = 10 – 5 =5 25; 20; 15; 10; 5; 0 — Si se sigue el procedimiento, se encontrará un término más de la sucesión.
19 Encuentra los siguientes tres números que co-
20 En una granja agrícola de la Costa ecuatoriana cada
rresponden a los términos de cada sucesión. a) 12; 3; −6; −15; ... b) 8; 5; 2; −1; ... c) 38; 32; 26; 20; ...
semana de enero y febrero se cosechan 80 kilogramos menos que en la semana anterior, si en la primera semana de enero se cosecharon 600 kg, ¿en la semana de qué mes se cosecharon 200 kg?
2.3. Multiplicación y división exacta
Veamos a continuación la multiplicación, la división exacta y las respectivas operaciones combinadas.
Imagina un experimento en el laboratorio en el que se tenga que variar la temperatura 2 °C cada hora. La siguiente tabla refleja la temperatura en diferentes instantes.
Temperatura Tiempo Dentro de 4 h → (+4) Ascenso (+2 °C por hora) La temperatura será 8 °C más alta (+8). (+4) × (+2) = +8 La temperatura era 6 °C más baja (−6). (−3) × (+2) = −6 Descenso (−2 °C por hora) La temperatura será 8 °C más baja (−8). (+4) × (−2) = −8 La temperatura era 6 °C más alta (+6). (−3) × (−2) = +6
Hace 3 h → (−3)
Ley de signos Si se multiplican o dividen dos números enteros, el resultado es positivo mientras los dos posean el mismo signo. En cambio, si tienen signos diferentes entre sí, el resultado será negativo. Regla práctica para la multiplicación × + − + + − − − +
Fíjate en los productos anteriores: el valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos de los factores. Observa también que el signo es positivo si los dos factores tienen el mismo signo; y negativo, si tienen distinto signo. Este resultado se conoce como ley de signos.
Para multiplicar dos números enteros: — Se escribe el signo dado por la ley de signos. — Se multiplican los valores absolutos de los factores.
Enunciado Si cambiamos el orden de los factores, el producto no varía: a × b = b × a En una multiplicación de varios factores, el producto no depende de cómo los agrupemos. a × (b × c) = (a × b) × c
Ejemplo (+4) × (−2) = (−2) × (+4) (−8) = (−8) (+4) × [(−3) × (−5)] = [(+4) × (−3)] × (−5) (+4) × [+15] = [−12] × (−5) + 60 = + 60
Todo número entero multiplicado por 1 da como resultado el mismo número entero. a×1=a El producto de un número entero por una suma indicada de números enteros es igual a la suma de los productos del número entero por cada uno de los sumandos. a × (b + c) = a × b + a × c
(+ 6) × 1 = + 6
Distributiva con respecto a la adición y sustracción
(+4) × [(+2) + (−5)] = (+4) × (+2) + (+4) × (−5) (+4) × [−3] = (+8) + (−20) − 12 = − 12
Aplica la propiedad distributiva: (−4) × [(−4) + (+9)]= (−4) × (−4) + (−4) × (+9) = (+16) + (−36) = −20 Multiplicamos los valores absolutos del primer factor por los valores absolutos de cada sumando del segundo factor. Sumamos los resultados obtenidos.
En una expresión que resultó de aplicar la propiedad distributiva podemos encontrar un factor común que permita expresar nuevamente el producto de dos factores. a × b + a × c = a × (b + c)
Encuentra el resultado: (+12 ) + [(−14) + (−7) – (+ 9)] ×0 (+12) + 0 = +12 Resolvemos primero las multiplicaciones. En este caso el producto de lo que está dentro de los corchetes y el 0 es cero. La suma de un número entero y el cero siempre es el mismo número entero.
0 multiplicado por cualquier otro número es 0. 0 × (+4) = 0 0 × (−5) = 0
Resuelve sacando factor común: (−3) × (+4) + (+ 6) × (+4) + (+5) × (+4) = (+4) × [(−3) + (+ 6) + (+5)] = (+4) × (+8) = + 32 Debemos expresar el ejercicio como el producto de dos factores. Sacamos el factor común, ese es el primer factor. El segundo factor es la suma de los factores que no son comunes. Operamos la suma que está dentro de los paréntesis. Multiplicamos.
d) (+6) × (−15) e) (+3) × (−7) f) (+5) × (+8) g) (−9) × (+5)
21 En una multiplicación de números enteros de tres factores, ¿cómo han de
ser los signos de los factores para que el producto sea negativo? ¿Y para que sea positivo?
22 Calcula:
a) (+7) × (−2) b) (+4) × (+7) c) (−2) × (+2)
23 Calcula:
h) (−5) × (−4) i) (+12) × (+3)
a) (+4) × (+2) × (−9) b) (−4) × (+1) × 0
c) (−3) × (+4) × (−7) d) (+3) × (−5) × (+2)
Para hallar uno de los factores de una multiplicación, conocido el producto, debemos efectuar una división. (−3) × ? = −24 → ? = (−24) ÷ (−3) Así, el número que multiplicado por −3 nos da −24 es +8. Por tanto, el resultado de dividir −24 entre −3 es +8. (−24) ÷ (−3) = +8 Fíjate en que el valor absoluto del cociente coincide con el cociente de los valores absolutos de los números dados: ⎮ −24⎮ ÷ ⎮ −3⎮ = ⎮ +8⎮ Observa también que se cumple la ley de signos: • Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el cociente es positivo. • Si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.
Regla práctica para la división
Algunas calculadoras poseen una tecla que permite cambiar el signo a los números. Acostumbra a llevar el símbolo o ( ) .
Para efectuar la división exacta de dos números enteros: — Se escribe el signo dado por la ley de los signos. — Se dividen sus valores absolutos.
Observa cómo efectuamos esta operación: 3 × (−5) − 2 =
24 Calcula mentalmente:
d) (+28) ÷ (−7) e) (+40) ÷ (−4) f) (−14) ÷ (+2)
a) (+35) ÷ (−5) b) (−18) ÷ (−3) c) (−70) ÷ (+10)
Fíjate en que hemos utilizado teclas diferentes para introducir los dos signos − de la secuencia anterior.
25 Completa en tu cuaderno:
a) (−476) ÷ b) (+140) ÷
= 14 = −4
c) (+242) ÷ d) (−512) ÷
= 11 = 16
C1 Si tu calculadora posee
26 Ordena de menor a mayor los resultados de las siguientes divisiones.
la tecla de cambio de signo, efectúa las siguientes operaciones. 3 × (−4) + 5 × 2 4 − 2 × (−5) + 7 6 × 3 − 4 × (−6)
a) (−1 125) ÷ (−15) b) +1 725 ÷ −75
c) −25 ÷ op (−5) d) op (−25 ) ÷ op (−5)
27 Compara el resultado de dividir dos números enteros con el resultado de
dividir sus opuestos. ¿Se cumple que el opuesto de la división entre dos números enteros es la división de los opuestos de dichos números?
Ahora vamos a efectuar operaciones combinadas en las que haya adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Por convenio, el orden que se ha de seguir en las operaciones combinadas en que no aparecen paréntesis de prioridad es el siguiente:
Orden de operaciones • En primer lugar, se efectúan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. • A continuación, las adiciones y las sustracciones. Ejemplo: 5 × (−3) − 2 − 4 × (−7) + 8 − 15 − 2 + 28 + 8 = = − 17 + 36 = 19
Si tuviéramos que efectuar primero una adición o una sustracción, debemos hacer uso del paréntesis para indicar esta prioridad. Así, en el ejemplo anterior, según dónde se pongan los paréntesis, se obtendrían distintos resultados: 5 × (−3 − 2) − 4 × (−7 + 8) = = 5 × (−5) − 4 × 1 = = − 25 − 4 = = −29 5 × (−3 − 2 − 4) × (−7 + 8) = = 5 × (−9) × 1 = = − 45 × 1 = = −45
a) Calcula: 4 × (−6 + 4) + 7 − 4 : (9 − 7) + 3 × (−6 − 2) — En primer lugar, realizamos las operaciones de los paréntesis. 4 × (−2) + 7 − 4 : 2 + 3 × (−8) — A continuación, efectuamos las multiplicaciones y las divisiones. −8 + 7 − 2 − 24 — Finalmente, realizamos las adiciones y las sustracciones. −8 + 7 − 2 − 24 = −8 − 2 − 24 + 7 = −34 + 7 = −27 b) Observa cómo se extrae el factor común: 6×2−6×(4) 6×(2−4) 6 × ( − 2 ) = − 12
Recuerda que no pueden escribirse dos signos seguidos. Por ejemplo, para indicar que hemos de multiplicar 2 por −5, escribiremos: 2 × (−5)
28 Efectúa las siguientes operaciones. 29 Calcula:
b) 18 ÷ (6 × 2 − 3) − [16 − (−4) × 2] c) −[5 ÷ (−5) + 2 ÷ (−2)] − 10 ÷ (3 × 5 − 5)
30 Resuelve sacando el factor común:
a) 12 + 6 × (−3) b) (−5) × 3 + (−2) × (−6) c) −9 − 6 × (−5) − 15 ÷ 3 − 4 d) − 3 × (−3) − 3 ÷ (−3) + 3 e) 6 ÷ (−3) − 16 ÷ (−4) f) −6 ÷ 3 + (−16) ÷ 4
a) −[5 + 7 × (−3)] + 21 ÷ 7 − 4
a) 5 × (−3) + 5 × (−2) b) 6 × (−5) − (−4) × (−5)
c) 9 × a − 9 × (−2) d) (−6) + 6 × b
2.4. Potenciación y radicación
Veamos cómo calcular las potencias de base un número entero y exponente un número natural según el signo de la base.
Exponente impar Base entera positiva
No es lo mismo −22 que (−2)2. −22 = − (2 × 2) = −4 (−2)2 = (−2) × (−2) = 4
La base es un número natural y, por tanto, la potencia es siempre positiva. 33 = 3 × 3 × 3 = 27 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Hemos de tener en cuenta la ley de signos de la multiplicación. Base entera negativa
(−3) = (−3) × (−3) × (−3) = −27
(−2) = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Podemos determinar el signo de una potencia observando su base y su exponente (tabla 2): — Si el exponente es par, la potencia es siempre positiva. — Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base. El número 0 elevado a cualquier número natural es igual a 0.
Base + −
Exponente Par + + Impar + −
Para operar con potencias de base entera y exponente natural, procedemos ■ Tabla 2. igual que en el caso de potencias de base natural.
Propiedad Multiplicación de potencias de igual base Enunciado Se conserva la base y se suman los exponentes. am × an = am+n Se conserva la base y se restan los exponentes. am ÷ an = am-n Si m > n Se conserva la base y se multiplican los exponentes. (am)n = am×n Se eleva cada factor al exponente indicado. (a × b)m = am × bm Se eleva al dividendo y al divisor al exponente indicado. (a ÷ b)m = am ÷ bm Toda base elevada al exponente 1 es igual a la misma base. a1 = a Toda base diferente de cero elevada al exponente 0 es igual 1. a0 = 1 ; a ≠ 0 Ejemplo (− 10)2 × (− 10)3 = (−10)2 + 3 (100) × (− 1 000) = (−10)5 − 100 000 = − 100 000 (−10)5 ÷ (−10)2 = (− 10)5 − 2 (−100 000) ÷ (100) = (− 10)3 −1 000 = − 1 000 ((− 10)2)3 = (− 10)2 × 3 (100)3 = (− 10)6 1 000 000 = 1 000 000 (4 × 5)2 = 42 × 52 (20)2 = 16 × 25 400 = 400 (25 ÷ 5)2 = 252 ÷ 52 52 = 625 ÷ 25 25 = 25 (20)1 = 20 (− 4)0 = 1
Potencia de exponente 1 Potencia de exponente 0
La raíz cuadrada de un número entero positivo b o cero, es el número entero positivo a o cero, si y solo si: a2 = b. Se expresa: En efecto, si tenemos el número entero a tal que a = b entonces: a; si a ≥ 0 b = a 2 = a = −a; si a < 0
se tiene que x; x ≥ 0 −x; x < 0 −
⎮ X⎮ =
Por tanto debemos concluir que: −
25 = 5 25 = − 5
Si el radicando es negativo, no existe raíz cuadrada, puesto que ningún número entero elevado a la segunda potencia puede ser un número entero negativo. Por ejemplo: − 25 ∉ . Sabemos que 16 = 4 , ya que 4 2 = 16. En general, decimos: b = a si y solo si a2 = b.
⎮ X ⎮ = ⎮ −X ⎮
Sean a, b enteros positivos o cero, entonces
Observa los ejemplos: (−2)2 = 4 =2 ;porque −2 ∉ al no poder resolver la raíz no se puede resolver la potencia. En general si b < 0 (b negativo) b2
−2 ) ∉ =
Según hemos visto, una potencia de exponente par siempre es positiva. Por tanto, no existe número entero cuyo cuadrado sea un entero negativo.
Los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada en los enteros.
Las raíces de índice par se definen de forma parecida a las raíces cuadradas. Se concluye que no existe raíz real de índice par si el radicando es negativo. Por ejemplo, el número 81 es el resultado de elevar a la cuarta potencia el número 3. Así el número 3 es 4 la raíz cuarta de 81, 81 = 3 . Las raíces de índice impar se definen de forma parecida a las raíces de índice par, con la consideración de que el radicando sí puede ser negativo, en ese caso la raíz también es negativa. Por ejemplo, el número 125 es el resultado de elevar al cubo el número 5. Así el número 5 es la raíz cú3 bica de 125, 125 = 5 . Y el número −125 es el resultado de elevar al cubo el número −5. Así el −5 es la 3 raíz cúbica de -125, − 125 = − 5 .
31 Indica el signo de las siguientes potencias.
32 Escribe dos números que elevados al cuadrado
a) (−7) b) 6 9
A continuación, te presentamos un método de resolución de problemas que te servirá de pauta en este curso. Este método propone cuatro pasos. En las próximas páginas dedicadas a la resolución de problemas encontrarás una serie de técnicas y estrategias que te ayudarán en esta tarea, a veces ardua, pero siempre gratificante.
Cuatro colegios participan en un torneo de ajedrez. Por cada colegio toman parte cuatro cursos y por cada curso hay cuatro alumnos o alumnas. ¿Cuántos estudiantes participan en el torneo de ajedrez? Consejos útiles
• No te desanimes si el camino escogido no te lleva a la solución o surge alguna dificultad: revisa cada uno de los pasos u opta por un nuevo procedimiento. • Debes confiar en tus capacidades y ser perseverante en la búsqueda de la solución. • Mantén siempre una actitud favorable a la revisión y mejora del resultado o del proceso seguido.
Pasos del método de solución de problemas Comprensión del enunciado Antes de abordar la resolución de un problema es muy importante entender su enunciado. Para ello: • Leemos atentamente el problema para entender el significado de todas las palabras y de los símbolos matemáticos, si los hay. • Interpretamos qué es lo que nos piden y localizamos los datos. Planificación de la resolución En esta fase planificamos la forma de resolver el problema: • Pensamos si podemos emplear una estrategia determinada. • Si conviene, confeccionamos esquemas, dibujos o construcciones. • Planteamos las operaciones que debemos efectuar, el orden de éstas... Ejecución del plan de resolución Ejecutamos el plan que nos habíamos trazado: • Aplicamos las estrategias escogidas en la fase anterior. • Efectuamos las operaciones. Debemos tener en cuenta la jerarquía al resolver una operación combinada. Revisión del resultado y del proceso seguido Finalmente, debemos comprobar si la solución obtenida está en concordancia con lo que pide el enunciado. • Revisamos cada uno de los pasos y nos aseguramos de que las operaciones son correctas. • Comprobamos si la solución cumple las condiciones del enunciado.
Aplicación Leemos de nuevo el enunciado del problema y anotamos los datos y lo que nos piden. Datos: Número de colegios: 4 Número de cursos de cada colegio: 4 Número de alumnos/as de cada curso: 4 Nos piden: Número total de alumnos.
Para conocer el número total de alumnos debemos efectuar un producto. Se trata de un producto de factores iguales; es decir, una potencia. 4 × 4 × 4 = 43
Calculamos el resultado de la potencia: 4 3 = 64.
Comprobamos con la calculadora si el resultado obtenido es correcto.
34 Aplica el método de resolución de problemas para resolver las actividades 64 a 82 de las páginas 31 y 32.
° El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales precedidos del signo +, los números naturales precedidos del signo − y el 0. = {…, −365, …, −1, 0, +1, …, +365, …} ° El valor absoluto de un número entero es el número natural que se obtiene si suprimimos su signo. ° Dados dos números enteros cualesquiera, es mayor el que está representado más a la derecha sobre la recta. ° Con los números enteros efectuamos las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. ° En las operaciones combinadas en que no aparecen paréntesis de prioridad, el orden que se debe seguir es el siguiente: — En primer lugar, se efectúan las multiplicaciones y las divisiones, en el orden en que aparecen. — A continuación, las adiciones y las sustracciones. 5 + (−2) × (−1) − 6 ÷ 2 + (−8) = 5+2−3−8= 7 − 11 = −4 ° Para determinar el signo de una potencia de un número entero vemos en la potenciación, su base y su exponente: — Si el exponente es par, la potencia es positiva. (−7)2 = +49 — Si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base. (−7)3 = −343 ° Un cuadrado perfecto tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa, que son dos números enteros opuestos. 81 = ±9 Los números enteros negativos no tienen raíz cuadrada.
al sumar el opuesto efectuamos
sucesiones con adición y sustracción
con ellos podemos efectuar operaciones × + −
utilizamos esta regla práctica + + − − − + ÷ + − + + − − − +
su signo será de los enteros positivos
Exponente Par Impar + −
Rafael encontró en uno de los libros de su abuelo retazos de una hoja que contenía un ejercicio de matemática cuya respuesta era −65, el joven entusiasmado juntó los retazos y halló el resultado. Observa cómo lo hizo:
(–4 + 2 – 6 + 10) 2
(–2) 5 x (–5) 2
• Resuelve primero lo que está dentro del paréntesis de la primera parte, asocia sumandos para facilitar la suma. La suma de los enteros negativos es opuesto a uno de los sumandos, entonces la suma de estos es cero. • En el primer radical si la base es negativa y el exponente impar, entonces la potencia es negativa, en el segundo, la base negativa y exponente par, resulta una potencia positiva. • En la tercera parte resuelve las operaciones de los paréntesis, multiplica los resultados aplicando la ley de los signos.
–32 x
= (+2) 2
• Ahora, se observa una potencia elevada a otra potencia, entonces, conserva la base y multiplica los exponentes. • Calcula las raíces, la primera es una raíz impar de un número negativo, entonces, la raíz es negativa. • Halla la raíz que está dentro de los corchetes en la última parte. • Resuelve considerando la prioridad de las operaciones, las reglas de la potenciación y la ley de los signos.
(+2) 6 + (–2) x 5 – [–3] 2 = 64 – 10 – 9 = 45
Como la respuesta no coincide, prueba con otra opción, no realiza todo el proceso, utiliza únicamente las respuestas de cada ejercicio parcial y alterna los signos:
(+2) 6 + (–2) x 5 – [–3] 2 = [–3] 2 – (+2)6 + (–2) x 5 = 9 – 64 + (–10) = 9 – 64 –10 = –65
(12 ÷ (–4) – 6 + 10)2
Ernesto debe echar un balde de agua a cada uno de los quince árboles que tiene. Estos están colocados a una distancia de 4 metros entre sí a lo largo de un camino, y la distancia del primer árbol al grifo de agua es de 8 metros. Si cada vez lleva un balde de agua, ¿qué distancia habrá recorrido hasta regar los quince árboles, considerando que deja el balde junto al grifo?
• Este problema lo podemos resolver aplicando los conocimientos de sucesiones y números enteros, observa: a) Ernesto para regar el primer árbol y dejar el balde en su lugar debe recorrer 8 m de ida y 8 m de regreso. Primer viaje de ida y vuelta: a1= 16 m b) Para regar el segundo árbol debe recorrer 12 m de ida y 12 m de regreso. Segundo viaje de ida y vuelta: a2= 24 m c) Para regar el tercer árbol debe recorrer 16 m de ida y 16 m de regreso. Tercer viaje de ida y vuelta: a3= 32 m d) Formamos la sucesión cuya diferencia entre un término y el anterior es ocho: 16, 24, 32… e) Ernesto siempre recorre 8m entre árbol y árbol al ir y volver. f) Sumamos 8, 12 veces más para obtener la distancia recorrida del grifo al último
árbol de ida y vuelta. 16, 24, 32, 40, 48,… 128 • Otra forma de hallar la distancia entre el primer y último árbol es: a) Entre el primer y último árbol hay 14 espacios, lo expresamos: 15 − 1 b) Ernesto recorre 12 veces 8m entre el primer y último árbol: (15 − 1) × 8 m.
c) A la distancia recorrida entre el primer y último árbol debemos añadir la distancia que hay entre el grifo y el primer árbol: 16 m + (15 − 1) × 8 m = 16 m + 14 × 8 m = 128 m • Si utilizamos letras para los elementos de este problema, obtenemos una fórmula que nos ayudará a encontrar cualquier término de una progresión aritmética. • Ahora debemos determinar la distancia total que recorrió Ernesto al regar todos sus árboles. Para ello deberíamos sumar todos los términos de la sucesión que formamos: 16 + 24 + 32 + 40 + 48,...+ 128 = 1 080 m R: Ernesto recorre aproximadamente 1 km.
16 + (15 − 1) × 8 = a15 primer viaje = a1
Cualquiera de las distancias recorridas.
Diferencia = d Lugar que ocupa cualquiera de los árboles = n Primer árbol
Un estudiante se propone el día 1 de marzo repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de marzo?
a1 + (n − 1) x d = an an = a1 + (n − 1) x d
Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos Números enteros
35 Expresa las siguientes situaciones mediante nú-
44 Efectúa las siguientes adiciones.
meros enteros. a) El club de fútbol perdió 1 500 socios. b) El globo aerostático ascendió 114 m. c) El auto está estacionado en el segundo subsuelo. d) Hemos subido tres pisos.
36 Representa los siguientes números enteros sobre
a) (+3) + (+12) b) (−15) + (+28)
c) (−6) + (−19) + (−7) d) (+16) + (−35) + (+12)
45 Comprueba que se cumple la propiedad conmu-
tativa en cada uno de los apartados del ejercicio anterior.
46 Representa las siguientes adiciones de números en-
una recta numérica. −2, 7, −5, 3, 0, 11
37 Indica qué números enteros se han señalado con
teros sobre una recta y calcula el resultado. a) (−8) + (+2) b) (+5) + (−6) c) (−18) + (+5) d) (+15) + (−16)
47 Di qué nombre recibe la siguiente propiedad de la
(a + b) + c = a + (b + c) — Comprueba que se cumple sustituyendo a, b y c por tres números enteros.
38 Determina los valores absolutos de estos núme-
ros enteros. 23, −12, 55, 0, 320, 814, −1 955
39 Completa con todas las posibles opciones.
48 Expresa en forma de adición y efectúa:
a) (+15) − (−4) b) (−9) − (−7)
c) (−5) − (+8) d) (+13) − (+18)
⎮ ....... ⎮ = 12
⎮ ....... ⎮ = 170
⎮ ...... ⎮ = 55
49 Indica si es cierta esta frase: «El opuesto del opues-
40 Representa en una recta numérica los posibles
to de −3 es −3». Debemos comprobar si op [op (−3)] = −3. Primero, calculamos el valor del interior del corchete y, a continuación, su opuesto. op (−3) = +3 op (+3) = −3 Por tanto, la frase es cierta.
50 ¿Cuál es el opuesto del opuesto de 7? 51 Encuentra algún número entero que cumpla la igual-
valores de m, n y p. m =3 n = 10 p =5
41 Escribe el signo > o < entre los números enteros
de cada uno de los siguientes pares. −6 y +4; +3 y 0; −2 y 2; −5 y −8
42 Ordena de menor a mayor esta serie de números
enteros. −12, +14, 0, +12, −14
dad op ( ....... + 3 ) = −5.
52 Determina los números enteros que cumplen la igual-
43 Indica si estas frases son ciertas o falsas.
a) Entre −3 y 3 hay seis números enteros. b) El número entero −6 es mayor que el número entero −5. c) Existen cinco números enteros cuyo valor absoluto es menor que 3.
dad ⎮ ...... + 3 ⎮ = 5.
53 Calcula:
a) ⎮+6 ⎮ + ⎮−7 ⎮ b) ⎮+5 ⎮ + ⎮−5 ⎮
c) ⎮(−12) + (+18) + (−6) ⎮ d) ⎮(−3) + (+17) + (−18) ⎮
54 Efectúa, eliminando los paréntesis.
región de la Sierra Ecuatoriana que pasó de +20 °C a −2 °C.
a) (−17) − (+13) − (+5) + (+14) − (+45) b) (+17) + (−13) + (−5) − (−14) + (−45)
55 Efectúa:
64 Calcula el cambio de temperatura sufrido en la
a) − [(6 − 3) − (12 + 4)] − (8 + 3) b) − [(+4) − (−3) − (+6) + (−4)] c) − [(−5) − (7 − 12 + 9) + 2] − 2
56 Encuentra los dos siguientes términos de cada
65 Pitágoras nació en el año 572 a. C. y murió en el 497
a. C. y Aristóteles murió en el año 322 a. C. ¿Cuándo nació Aristóteles si vivió 13 años menos que Pitágoras?
66 Calcula la distancia que separa un avión que vue-
sucesión. a) 0, 4, 8, 12, ... b) −5, −3, −1, 1, ... c) 7, 5, 3, 1, ... d) 25, 15, 5, -5, ...
la a 1 800 m de altitud de un submarino situado a 170 m por debajo del nivel del mar.
67 Una araña que se en-
cuentra a 100 cm del suelo sube 10 cm, después desciende 30 cm y, a continuación, baja otros 20 cm. ¿A qué distancia se halla del suelo? d) (−14) × (+2) e) (−5) × (−7) f) (−20) × (+4)
68 Determina los años transcurridos entre la fundación
a) (−4) × (+3) b) (+2) × (−9) c) (−6) × (−12)
58 Efectúa:
de Roma el 753 a. C. y la caída del Imperio romano de Occidente el año 476.
69 Un ascensor se encuentra en una determinada plan-
a) (+24) ÷ (+6) b) (−81) ÷ (+9) c) (−15) ÷ (−5)
d) (+225) ÷ (−5) e) (−369) ÷ (−3) f) (−921) ÷ (+3)
ta. Sube 3 pisos, hace una parada y sigue subiendo otros 7. A continuación, baja 6 pisos y se encuentra en la séptima planta. ¿En qué planta se hallaba inicialmente el ascensor?
70 Un padre da 10 dólares a cada uno de sus tres hi-
jos. Si éstos gastan, en conjunto, 22 dólares, determina el dinero que les queda.
71 Un conductor se encuentra en el kilómetro 100 de
a) (+8) × (−17) × (+5) ÷ (−2) b) (−4) × (−35) × (−18) ÷ (−9) ÷ (+7) a) −8 − [21 ÷ (−3)] + [6 × (−2) − 7] b) −[−6 ÷ 2 − 4 × (−5)] × (−2) − 2
la carretera hacia Lago Agrio, regresa 30 km y a continuación avanza de nuevo por la misma carretera recorriendo dos trayectos del mismo número de kilómetros, encontrándose al final en el kilómetro 190. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido en cada uno de los dos trayectos?
72 Un globo asciende a una velocidad de 3 m cada mi-
61 Escribe las siguientes potencias como productos
de factores iguales y luego calcula. a) (−7)3 b) −43 c) 28 d) (−4)2 e) −24 f) (−3)4
nuto. En este momento se encuentra a 15 m sobre el nivel del mar. a) ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar se encontraba hace 3 minutos?
62 Escribe cada número en forma de una potencia
de base negativa: a) 81
63 Calcula:
b) ¿A cuántos metros sobre el nivel del mar se encontrará dentro de 2 minutos?
73 El día de Navidad, al mediodía, la temperatura en la
parte nevada del Chimborazo era de 4 °C. Cada tres horas la temperatura bajó 2 °C y a partir de las 9 de la noche la temperatura bajó 1 °C cada hora. ¿Qué temperatura marcó el termómetro a medianoche?
74 Material concreto: Elabora fichas con los núme-
ros enteros del -8 al 7. Luego, construye un cuadrado mágico de mane−8 5 6 ra que al colocar las fichas, cada fila, cada co−2 −3 0 lumna y cada diagonal sumen −2. 2
_ operaciones:
79 Formen grupos de trabajo y efectúen las siguientes
— Escriban individualmente el día y el mes de su nacimiento. Resten el día al mes. — Sumen todos los resultados obtenidos. — Resten cada uno el mes de nacimiento del día de nacimiento y sumen los resultados. ¿Cómo son los dos resultados obtenidos?
75 Una familia de El Oro, de seis miembros, dispone
de 1 047 dólares cada mes. Los gastos medios fijos son: $ 200 de arriendo; $ 38 de agua potable y luz eléctrica; $ 584 de otros gastos, como alimentación, vestido, transporte... — Expresa mediante operaciones combinadas la cantidad de dinero que pueden ahorrar en un mes. — ¿Podrían comprar con lo que ahorren en 4 meses un computador que cuesta $ 1 200?
76 Un cuestionario consta de 15 preguntas de las cua-
_ en Internet, busquen información relativa a las temperaturas de los últimos 3 días.
— Elijan en el grupo una provincia distinta y busquen las temperaturas máxima y mínima de cada uno de los tres días. — Elaboren para cada provincia una tabla en la que aparezcan las temperaturas máxima y mínima, y la diferencia entre ambas de cada día. Remarquen la máxima y la mínima absolutas. — Comparen los resultados obtenidos.
81 Entra en esta dirección de Internet: http://www.
80 Formen grupos de trabajo y, en los periódicos o
les cinco puntúan 2 puntos; cinco puntúan 4 puntos, y otras cinco puntúan 6 puntos si se aciertan. En caso de fallar, se resta la mitad de la puntuación. a) ¿Cuál es la máxima puntuación que puede obtenerse? ¿Y la mínima? ¿Qué diferencia hay entre las dos puntuaciones? b) ¿Cuál es la puntuación obtenida por un compañero que solamente se ha equivocado en una pregunta de 2 puntos y en dos de 6 puntos?
77 Beatriz estaciona su automóvil en el subsuelo del edi-
amejor.com/mates/matematicos/braha.htm, y busca la fecha de nacimiento de Brahmagupta y su principal obra.
82 Accede en la página de Internet: http://www.egip-
tologia.com/historia/tresmil/tresmil.htm, y busca qué faraón mandó construir la pirámide de Gizeh y hace cuántos años comenzó su dinastía.
: Más a fondo
83 Calcula y escribe el signo >, < o = entre cada uno
ficio donde trabaja, y su oficina se encuentra en la última planta. Para hacer ejercicio, cada mañana sube por las escaleras los doce tramos de escaleras que separan el auto de la oficina. Si sabemos que entre dos pisos consecutivos hay tres tramos de escalera, ¿en qué planta se encuentra su despacho?
de los siguientes pares de números. a) ⎮ (+2) + (−6) ⎮ y ⎮ (+2) ⎮ + ⎮ (−6) ⎮ b) ⎮ (−7) + (+7) ⎮ y ⎮ (−7) ⎮ + ⎮ (+7) ⎮ c) ⎮ (+4) + (+4) ⎮ y ⎮ (+4) ⎮ + ⎮ (+4) ⎮ — Deduce la regla que cumple el valor absoluto de la suma de números enteros.
84 Completa en tu cuaderno con los números 4 o 5.
78 Un ciclista acaba la cuarta etapa de la vuelta ci-
clística al Ecuador en la tercera posición de la clasificación general. No recuerda sus posiciones anteriores pero sabe que en la segunda jornada ganó 7 puestos, que en la tercera perdió 3 y que en esta cuarta ha ganado 11. Calcula la posición en que acabó el primer día.
+ op (.....) + ..... + op (.....) + ..... + op (.....) = −3 × ..... + op (..... × .....) + ..... + op (.....) = −3
Copia esta figura en tu cuaderno y complétala con los números propuestos para que cada círculo sume 0.
−2 5 −1 −6 1 4 −3 6 −4 −5 3 0 2
Con tres doses y las operaciones necesarias pueden obtenerse muchos números. Así, por ejemplo, tenemos: 222
22 − 2 = 20 − (−2) − 22 = −2
−2 − 2 − 2 = −6
Una vez que lo hayas resuelto, te será fácil construir tú mismo un juego similar. Dime qué es, que cuánto más le quito, más grande es.
¿Sabes que el Ecuador posee una gran variedad climática a lo largo de su territorio? Debido a ello, se observan distintas vestimentas según las diferentes culturas y condiciones geográficas. En la Costa, las islas Galápagos y Amazonía, las temperaturas oscilan entre los 20 °C y 35 °C; la ropa es ligera, por lo general de colores claros para impedir que los rayos del sol y el calor se concentren en los tejidos. En la Sierra, las temperaturas se ubican entre los 8 °C y 26 °C, y los nevados pueden llegar a temperaturas bajo 0 °C. Por esto, se necesitan vestimentas que protejan el cuerpo. Aquí, tradicionalmente, los pueblos y nacionalidades han recurrido a materiales como la lana de ovejas o de llamas. Cuando se realizan actividades como el andinismo, es fundamental que sepamos proteger nuestro cuerpo del frío y mantenerlo en buen estado para enfrentar las condiciones del entorno. Actividades
3 Investiguen cómo es la forma de vestir
en dos localidades de la Costa, dos de la Sierra, dos de la Amazonía y las Islas Galápagos. Escriban fichas con los siguientes datos:
Nombre de la localidad: Ubicación geográfica: Altitud de la región: Tipo de vestimenta:
Luego, realicen una exposición en la clase. Pueden ayudarse de fotografías, diapositivas o dibujos.
4 ¿Qué revelan las diferentes temperatu-
ras que hay en nuestro país? ¿Pueden decir que somos diversos en este aspecto? ¿Por qué?
5 ¿Qué pueden hacer para mostrar al mun-
do nuestra riqueza, diversidad climática y regional?
6 ¿Cómo podemos aprovechar la diversidad
1 ¿Cómo es y de qué prendas se compone
la vestimenta que utilizan las personas de su localidad?
2 ¿Qué pasaría si una persona que vive en
7 ¿Qué podemos hacer para preservar el cli-
la Sierra alta utilizara la vestimenta propia de la Costa?
ma de las regiones naturales de nuestro país?
1. Escribe tres frases, referidas a situaciones cotidianas, en las que utilices números enteros. 2. Determina cuáles son los números enteros señalados en la siguiente recta numérica.
–325 –1 0 525
1. Representen sobre una recta numérica los siguientes números enteros y escríbanlos ordenados de menor a mayor. +2, −3, −1, +5, −4, +6, 0 2. Calculen de dos maneras la siguiente operación: 3 − (−6 + 4) − 3 − (−3 − 17) 3. Realicen las operaciones: a) −2 × 6 + 9 ÷ 3 b) −[−8 ÷ 2 + 3 × (−2) + 5]
3. ¿Es cierto que si el valor absoluto de un número entero es mayor que el de otro, el primer número entero es mayor que el segundo? — Indica cuál es el número entero mayor de cada uno de los siguientes pares. −4 y 6; −2 y −3; 0 y −6; 5 y −9 4. Resuelve: a) 3 × (−6) ÷ 9 5. Calcula: a) −27 b) (−2)5 c) (−3)4 b) (−22) ÷ 11 × (−3)
4. Escriban dos números que elevados al cuadrado den 169. 5. Eva tiene 4 años más que su hermana Ana. Ana tiene 2 años menos que su amigo Juan. Éste tiene 7 años menos que su hermano Andrés, quien, a su vez, tiene 22 años menos que su padre, que ahora tiene 51 años. Calculen la edad de Eva.
Los babilonios, los egipcios y los griegos no consideraban los números enteros negativos.
menos igual Cuatro menos seis igual a dos.
Los números negativos no tienen sentido.
Los chinos representaban los números positivos con varillas negras. Los números negativos, que eran considerados un mero instrumento de cálculo, se representaban con varillas rojas.
El hindú Brahmagupta introdujo en el año 628 los números negativos para indicar deudas, así como algunas de sus reglas de cálculo.
Te debo 1 saco: tengo −1 saco.
Los árabes rechazaban los números negativos pese a conocer los trabajos hindúes.
Durante el Renacimiento, algunos matemáticos empezaron a utilizar números negativos como instrumento de cálculo. Otros se negaron tan siquiera a considerarlos.
Vieta G. Cardano J. Wallis
En el siglo XIX, los números negativos se aceptaron definitivamente como números y dejaron de ser un mero instrumento de cálculo.
Son un mero símbolo.
Estamos habituados a ver en televisión imágenes en directo de situaciones que están ocurriendo a miles de kilómetros. En ocasiones, aparecen simultáneamente imágenes de día y de noche, de ayer y de hoy. ¿Es posible? En el siguiente mapa podemos observar las diferencias horarias entre las distintas zonas del planeta. De igual forma, existen páginas en Internet que nos indican la hora exacta en cualquier ciudad del mundo. Observa cómo hay países muy extensos geográficamente como Estados Unidos y Rusia en los que la diferencia horaria entre dos puntos del mismo país llega a ser de varias horas.
La respuesta no es única. Habitualmente, utilizamos el calendario gregoriano que nos indica el tiempo transcurrido desde el nacimiento de Jesucristo. Pero en otras zonas o culturas los puntos de partida son otros hechos significativos. En China, aunque desde 1911 se utiliza oficialmente el calendario gregoriano, también hay quien cuenta los años desde el nacimiento del Emperador Amarillo, Huangdi, el primer emperador de China el 2697 a. C. El calendario musulmán comienza a contar desde la Hégira, la huida de Mahoma a Medina, en el año 622 de nuestra era. El calendario judío empieza con la creación del mundo según Samuel, que corresponde al año 3761 antes de Jesucristo. Los hindúes cuentan los años en eras. La era oficial, Saka, comenzó el año 78. El calendario japonés comienza el 660 a. C., año en que se coronó al primer emperador del Japón, Jinmu.
Japonés 2671 Calendario Gregoriano Chino Musulmán Judío Hindú Año 2011 4708 1389 5772 1933
Esta construcción fotovoltaica está formada por 2 800 paneles solares que transforman la luz solar en electricidad. Durante el día, los rayos solares inciden de distinta manera sobre los paneles, por lo que va variando el número de paneles en funcionamiento: • A primera hora de la mañana funcionan unos 1 200 paneles.
• Al mediodía funcionan todos los paneles. • Y al atardecer sólo funcionan 1 050 paneles.
b) Representa gráficamente cada una de las tres fracciones anteriores. Guíate en la tabla de arriba y cópiala en tu cuaderno. c) ¿Qué fracción representa un menor funcionamiento de la construcción? ¿Y un mayor funcionamiento? Buen vivir: Educación ambiental y recursos naturales
a) ¿Qué fracciones del total de paneles están en funcionamiento durante cada franja horaria? Simplifica estas fracciones.
Con tus conocimientos sobre fracciones, serás capaz de expresar cantidades y de operar con ellas.
• Leer y escribir números racionales fraccionarios. • Ordenar y comparar números racionales fraccionarios. • Simplificar expresiones con números racionales fraccionarios, con la aplicación de las operaciones básicas y con las reglas de potenciación y radicación. • Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación y división exacta con números racionales exactos. • Valorar y respetar las estrategias y soluciones a problemas numéricos distintas de las tuyas propias.
Recuerda Evaluación diagnóstica
• Los números naturales sirven para contar, ordenar o codificar. Se representan mediante la letra . = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} • Los números enteros son los números naturales precedidos de signo y el 0, que no tiene signo. Se representan por la letra y corresponden a: = {…, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, …} • Las fracciones se utilizan en la repartición de un total, o unidad, dividido en partes iguales.
• En una fiesta de cumpleaños se ha dividido el pastel en seis partes iguales y Jorge se ha comido una. ¿Cómo expresarías que se ha comido una parte de las seis partes? • Copia en tu cuaderno este segmento dividido en cinco partes iguales.
— Colorea tres partes e indica la fracción que representa la parte coloreada y la no coloreada. • Calcula: a) m.c.d. (35, 42) b) m.c.d. (120, 150) c) m.c.m. (35, 60) d) m.c.m. (15, 72)
• Para calcular el M.C.D. de dos o más números se multiplican los factores primos comunes a dichos números elevados al menor exponente. • Para calcular el m.c.m. de dos o más números se multiplican los factores primos comunes y no comunes a dichos números elevados al mayor exponente.
• Dos amigos se reparten la naranjada de una botella. Si uno bebe la mitad y el otro las dos cuartas partes, ¿quedará naranjada en la botella? • Calcula: a) 2 × (4 + 3) b) 28 ÷ 7 + 2 × 13 c) 15 × 3 − (2 + 7) d) −9 + (2 + 7) × 2
1.1. Concepto de fracción
Cuando decimos que se reciclan las dos terceras partes de una hoja de papel, queremos indicar que si dividiéramos la hoja en tres partes iguales, se reciclan dos de estas partes.
El 3 nos indica el número de partes iguales en que hemos dividido la unidad o el todo. Es el denominador.
El 2 nos indica el número de partes que hemos tomado. Es el numerador.
Para expresar cantidades como ésta no nos sirven los números naturales. Utilizamos los números fraccionarios o fracciones.
Toda fracción consta de dos términos: a b
Número fraccionario o fracción es la expresión que indica que de una unidad o total dividido en partes iguales escogemos sólo algunas de esas partes.
• El denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad y debe ser diferente de cero: b = 0, porque la división para cero no existe. • El numerador expresa las partes que hemos tomado. Lectura y representación gráfica de fracciones Observa cómo se leen y representan las siguientes fracciones.
Para designar el numerador se utiliza el nombre del número que lo representa (uno, dos, tres…). Para designar el denominador se emplea la siguiente regla:
2y3 Nombre propio: medio y tercio
Entre 4 y 10 Ordinal: cuarto, quinto, sexto…
> 10 Terminación -avo: onceavo, doceavo…
1 Escribe estas fracciones. 2 Escribe y nombra las siguientes fracciones.
a) cuatro décimos b) un sexto
c) tres tercios d) trece veinteavos
Una fracción representa una parte de la unidad, pero también puede interpretarse como la división entre dos números naturales o como una razón de medida.
La fracción como división entre dos números naturales
Para repartir 1 l de jugo entre 5 amigos con 5 vasos iguales, efectuamos la división 1 ÷ 5. Esta división también podemos expresarla median1 te la fracción . 5 Para repartir 2 l de jugo entre 5 amigos con 5 vasos iguales, efectuamos la división 2 ÷ 5. En este caso, si dividimos cada jarra en cinco partes iguales, a cada uno le co2 rresponden . 5
1÷ 5 =
2÷ 5 =
Una fracción representa el cociente entre el numerador y el denominador de ésta.
La fracción como razón de medida
3 La longitud de AB es de la longi5 tud de CD.
La relación o razón entre el número de lápices y el número de bolígrafos 3 es . 4
Una fracción representa una relación entre dos medidas llamada razón de medida.
3 Copia en tu cuaderno y representa estas fraccio-
5 Expresa en forma de fracción estas divisiones.
nes en los dibujos.
a 3 8 b 1 5 d 3 2 c 2 2
a) 3 ÷ 5 b) 4 ÷ 7 c) 1 ÷ 8 d) 20 ÷ 3 e) 9 ÷ 100
6 Observa la figura y completa en tu cuaderno:
La altura del paraguas 1 es …...…… de la del paraguas 2. La razón entre el número de rombos y el número de círculos es ………
— Expresa en forma de división estas fracciones.
4 Expresa en forma de división estas fracciones.
— Efectúa la división y escribe a qué número son iguales estas fracciones.
1.2. Comparación de fracciones con la unidad
Fíjate en qué parte de la unidad representa cada una de las siguientes fracciones.
Esta fracción indica que hemos tomado dos partes de las cinco iguales en que hemos dividido la unidad. 2 <1 5 Las fracciones que tienen el numerador más pequeño que el denominador son menores que la unidad. Se denominan fracciones propias.
Esta fracción indica que hemos tomado las cinco partes iguales en que hemos dividido la unidad. 5 =1 5 Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad.
Esta fracción indica que hemos dividido la unidad en cinco partes y que debemos tomar siete. Esto significa que necesitamos más de una unidad. 7 >1 5 Las fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador son mayores que la unidad. Se denominan fracciones impropias. 2 2 7 →1 → 1 unidad + 5 5 5
2 La expresión 1 recibe el nombre de número mixto y se lee un entero y dos quintos. 5 Observa cómo podemos pasar de fracción impropia a número mixto y al revés.
De fracción impropia a número mixto 11 = 11 ÷ 2 2 11 1 2 5 11 1 =5 2 2 De número mixto a fracción impropia 1 3 3 1× 4 3 4+3 7 = 1+ = + = = 4 4 4 4 4 4
Si el numerador de una fracción impropia es múltiplo del denominador, la fracción es un número natural. Para calcular este número debemos dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo: 27 es múltiplo de 9 ↓ 27 = 3 9 5 es múltiplo de 1 ↓ 5 = 5 1
7 Pon Texto 10un ejemplo de fracción propia, otro de fracción igual a la unidad y un tercero de fracción impropia. Transforma la fracción impropia en un número mixto. 8 Lee, transforma en fracciones impropias y repre-
9 Cada uno de los cuatro libros de una colección está
dividido en 12 capítulos. Si consideramos cada libro como una unidad, ¿qué fracción de la unidad representan 4 capítulos de un libro? — Determina la fracción que representan: 24 capítulos; 8 capítulos; 18 capítulos; 27 capítulos. — Di si las fracciones que has obtenido son propias o impropias. Si alguna de ellas puede expresarse mediante un número natural o mixto, transfórmala.
senta gráficamente estos números mixtos. a) 1 1 4 b) 2 3 5 c) 3 1 2 d) 1 1 10
1.3. Fracción de un número
Analiza estos dos ejemplos.
9 La materia orgánica (restos de comida…) constituye 20 partes de la basura doméstica.
Un determinado año se reciclaron 2 millones de tonela2 das de papel, pero esto supuso sólo los del total 5
Si en total se producen 15 millones de toneladas de basura, ¿cuántas toneladas representa la materia orgánica? de papel de desecho. Determina las toneladas de papel botadas a la basura ese año. 9 de 15 000 000 = x 2 20 de x = 2 000 000 5 15 000 000 ÷ 20 = 750 000 2 000 000 ÷ 2 = 1 000 000 750 000 × 9 = 6 750 000 100 000 × 5 = 5 000 000
Así, las toneladas de materia orgánica son 6 750 000, es de- Así, en total se botaron 5 millones de toneladas. cir, 6,75 millones de toneladas. Es necesario que empecemos a reciclar.
Para calcular la fracción de una cantidad, dividimos ésta última por el denominador y multiplicamos el resultado por el numerador. O podemos primero multiplicar y el producto dividir.
Para calcular una cantidad cuya fracción conocemos, dividimos la cantidad correspondiente a dicha fracción por el numerador y multiplicamos el resultado por el denominador.
tos días son los tres séptimos de una semana?
b) 1 8 de 400 c) 7 de 225 25 d) 5 de 240 3
10 ¿Qué fracción de mes es un día? ¿Qué fracción de hora son 20 min? ¿Cuán-
12 Calcula en tu cuaderno:
1 de …….....… = 15 2 2 de …….....… = 4 7 … 3
2 de …….....… = 600 3 4 de …….....… = 156 9 4 de 100 = 80 …
13 Encuentra el término que falta.
de 33 = 22
2 de 75 = 30 …
… de 140 = 100 7
14 Akira ha recorrido las cuatro quintas partes del camino entre su casa y el co-
legio. Si el camino mide 650 m, ¿qué distancia ha recorrido?
15 Hemos retirado 300 dólares que corresponden a
4 de una cantidad de 15 dinero que teníamos ahorrado en el banco. ¿Cuánto dinero teníamos?
2.1. Equivalencia de fracciones
Para ver si dos fracciones distintas, como por ejemplo, 2 4 y , repre5 10
sentan la misma parte de la unidad, podemos compararlas gráficamente.
2 → 5 4 → 10 2 4 = 5 10
Dos fracciones equivalentes representan el mismo número. 2 = 0,4 5 4 = 0,4 10
Las fracciones que representan la misma parte de la unidad se denominan fracciones equivalentes.
Observa qué sucede al multiplicar en cruz los términos de dos fracciones equivalentes. 2 4 = 5 10 → 2 × 10 = 5 × 4 = 20
Esta propiedad permite comprobar si dos fracciones son equivalentes sin necesidad de realizar su representación gráfica y se conoce como propiedad fundamental de las fracciones equivalentes.
son equivalentes si se cumple: a×d = b×c
Dos fracciones son equivalentes si se verifica que el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. a c y son equivalentes si se cumple que a × d = b × c . b d
equivalentes. a) 2 4 y 7 14 b) 1 4 y 3 9 c) 4 16 y 5 20 d) 5 10 y 6 12
4 . 12 12 36 f) 2 8
16 Representa gráficamente los siguientes pares de fracciones e indica si son
— Comprueba con la propiedad fundamental si son fracciones equivalentes.
17 Indica cuáles de estas fracciones son equivalentes a
18 Un atleta salta ocho de las diez vallas de las que constaba una carrera. En la
siguiente prueba tira una de las cinco vallas que había. ¿Consigue el atleta mejorar la relación de vallas en pie respecto de las vallas totales en la segunda carrera o es la misma?
Veamos ahora dos procedimientos para obtener fracciones equivalentes a la fracción 8 .
Amplificación de fracciones Multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número. 8 12
Simplificación de fracciones Dividimos el numerador y el denominador por un mismo número. 8 12
Al comparar la fracción obtenida con la primera, comprobamos que se cumple la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes. 8 × 36 = 12 × 24
Al comparar la fracción obtenida con la primera, comprobamos que se cumple la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes. 8 × 6 = 12 × 4
Si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente a la primera.
Si dividimos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, obtenemos una fracción equivalente a la primera.
El segundo procedimiento nos permite obtener una fracción equivalente a la primera cuyos términos son menores. Antes de efectuar cualquier operación con fracciones, debemos averiguar si pueden simplificarse. De este modo, trabajaremos siempre con los números más pequeños.
19 ¿Cuál es la fracción equivalente a 20 ¿Cuál es la fracción equivalente a
2 5 que tiene por denominador 15? 6 que tiene por numerador 3? 18
21 Completa el término que falta en cada uno de los siguientes pares de frac-
ciones para que sean equivalentes. a) 23 161 = 40 … b) … 55 = 70 350 c) 9 … = 70 280 d) 21 7 = … 35
22 Comprueba que al calcular fracciones equivalentes de un mismo número
obtenemos siempre el mismo resultado. 3 9 12 a) de 60 b) de 60 c) de 60 5 15 20
23 Escribe tres fracciones equivalentes a
15 de 60 25
8 . ¿Has obtenido las fracciones 14 equivalentes por amplificación o simplificación?
Podemos reducir o simplificar una fracción a partir de divisiones sucesivas.
÷2 ÷3 ÷5
Al obtener la fracción 1 no podemos continuar simplificando ya que 1 y 2 son 2 números primos entre sí y sólo tienen un divisor común, el 1.
Una fracción irreducible es aquella fracción que no puede simplificarse, es decir, aquélla en que el numerador y el denominador son números primos entre sí.
Para hallar la fracción irreducible equivalente a una fracción, podemos utilizar dos métodos: el que ya hemos presentado de las divisiones sucesivas y el del máximo común divisor m.c.d.
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el divisor común más grande de dichos números.
Divisiones sucesivas Dividimos sucesivamente los dos términos hasta obtener la fracción irreducible. 30 15 5 1 = = = 60 30 10 2
÷2 ÷3 ÷5 ÷2 ÷3 ÷5
Máximo común divisor Dividimos los dos términos de la fracción por su m.c.d. De este modo, se obtiene directamente la fracción irreducible. m.c.d. (30, 60) = 30 30 60
24 Indica cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles.
f) 16 27 f) 25 100
25 Simplifica estas fracciones hasta obtener la fracción irreducible por el mé-
todo de las divisiones sucesivas. 21 13 30 a) b) c) 35 39 40 mún divisor. 45 100 a) b) 81 125
26 Simplifica las fracciones siguientes utilizando el método del máximo co-
27 Simplifica, si es posible, las siguientes fracciones.
28 Escribe dos fracciones que sean equivalentes y halla la fracción irreduci-
ble de cada una de ellas. ¿Qué podemos decir de las fracciones irreducibles de dos fracciones equivalentes?
2.2. Reducción de fracciones a común denominador
7 4 Considera las fracciones y . Decidir a simple vista cuál de ellas es 9 5 mayor no es fácil. Ahora bien, si obtenemos las fracciones equivalentes a cada una de las anteriores que tengan el mismo denominador, la comparación será más sencilla. 7 35 4 36 = = 9 45 5 45 35 36 es mayor que porque 36 partes 45 45 4 7 de 45 es más que 35 partes de 45. Por lo tanto es mayor que . 5 9 Ahora, resulta evidente que Para comparar fracciones es muy útil reducirlas a común denominador.
El proceso por el cual transformamos dos o más fracciones en otras equivalentes con el mismo denominador se llama reducción a común denominador.
También necesitaremos reducir fracciones a común denominador para efectuar operaciones con ellas. En este caso, para que los números que manejemos sean lo más pequeños posible, deberemos reducir las fracciones a mínimo común denominador.
Reducir fracciones a mínimo común denominador significa hallar unas nuevas fracciones equivalentes a las primeras cuyo denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas.
1 3 4 Veamos el método para hallar las fracciones equivalentes a , y , 2 5 3 con el mínimo común denominador.
Reducción a mínimo común denominador — Calculamos el m.c.m. de los denominadores. — Dividimos el m.c.m. entre cada denominador y multiplicamos el cociente obtenido por los dos términos de la fracción correspondiente. 30 ÷ 2 = 15 : 1 2
m.c.m. (2, 5, 3) = 2 × 5 × 3 = 30
30 ÷ 5 = 6 : 3 5
30 ÷ 3 = 10 : 4 3
29 Reduce a común denominador los siguientes pares
30 Reduce a mínimo común denominador estas frac-
de fracciones. Halla dos soluciones en cada caso. a) 5 7 y 8 12 b) 12 y 50 7 4
ciones. a) 1 5 y 4 15 b) 1 3 7 , y 2 8 6
2.3. Comparación de fracciones
Dos fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad. Pero, si no son equivalentes, ¿cómo sabemos cuál es mayor?
Fracciones con el mismo denominador 5 8 3 8
Fracciones con el mismo numerador
5 3 es mayor que la fracción porque 8 8
es mayor que la fracción
2 porque 10
representa una parte mayor de la unidad. Esta relación se indica así: 5 8 > 3 8
representa una parte mayor de la unidad. Esta relación se indica así: 2 5 > 2 10
Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.
Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador.
Fracciones con numerador y denominador distintos 4 5 4 2 Para comparar numéricamente las fracciones y , las re5 3 ducimos a común denominador. m.c.m. (5, 3) = 15 15 ÷ 5 = 3 : 4 5
15 ÷ 3 = 5 :
12 10 4 2 , resulta que . > > 15 15 5 3
Para comparar fracciones con distinto denominador se reducen a común denominador y se comparan las fracciones obtenidas.
31 Indica cuál es la fracción mayor de cada par.
32 Ordena de mayor a menor la siguiente serie de frac-
17 11 o 12 12
7 7 o 18 24
1 2 o 2 3
ciones. 17 11 7 19 12 8 , , , , , 12 15 18 24 20 30
En este apartado estudiaremos la adición y la sustracción de fracciones con igual o distinto denominador, la multiplicación y la división con fracciones.
Siempre que sea posible simplificaremos el resultado obtenido en las operaciones con fracciones.
3.1. Adición y sustracción
Para sumar fracciones con el mismo denominador: — Se deja el mismo denominador. — Se suman los numeradores.
Para restar fracciones con el mismo denominador: — Se deja el mismo denominador. — Se restan los numeradores.
4 1 4+1 5 + = = 9 9 9 9 Con distinto denominador
4 1 4−1 3 1 − = = = 9 9 9 9 3
Para sumar fracciones con distinto denominador: — Se reducen a común denominador. — Se suman las fracciones obtenidas. 3 1 + 5 10 = 6 1 7 + = 10 10 10
Para restar fracciones con distinto denominador: — Se reducen a común denominador. — Se restan las fracciones obtenidas. 3 2 − 7 5 = 15 14 1 − = 35 35 35
m.c.m. (5, 10) = 10 10 ÷ 5 = 2 : 3 5
m.c.m. (7, 5) = 35 35 ÷ 7 = 5 : 3 7
10 ÷ 10 = 1 : 1 10
35 ÷ 5 = 7 : 2 5
×7 ×7
33 Calcula las siguientes adiciones y, si es posible,
34 Efectúa las siguientes sustracciones y simplifica el
simplifica su resultado. a) 2 1 + 6 6 c) 1 3 + 5 10
resultado si es posible. a) b)
4 1 − 7 7 5 1 − 8 8
c) 3 − 4 2 5 d) 7 4 − 9 15
b) 3 + 7 10 10
d) 1 + 5 + 1 5 12 3
— Representa gráficamente estas adiciones.
35 He repartido
1 1 de pastel a María y a Inti. 4 5 ¿Qué fracción de pastel me queda por repartir?
3.2. Multiplicación
El área de un rectángulo es el producto de su base por su altura. Así, el área del rectángulo coloreado de la izquierda es:
• El producto de su base por su altura: • Si contamos los cuadrados, el área es Por tanto:
3 2 × 5 3 6 del área del rectángulo mayor. 15
3 2 6 × = 5 3 15 Así, para multiplicar estas fracciones, procedemos de la siguiente forma: 3 2 3×2 6 × = = 5 3 5×3 15
Fracción de un número La fracción de un número corresponde al producto de una fracción por un número natural. 3 3 de 28 = × 28 = 7 7 3 28 84 × = = 12 7 1 7 Para calcular una cantidad cuya fracción conocemos, multiplicamos la cantidad correspondiente a dicha fracción por la inversa de la fracción. = 3 de x = 12 7 x = 12 × 7 = 28 3
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de los denominadores.
Al multiplicar dos fracciones puede ocurrir que el resultado sea 1. 4 5 20 × = = 1 Diremos que una fracción es la inversa de la otra. 5 4 20 Para obtener la fracción inversa de una fracción dada, basta con intercambiar el numerador y el denominador. 2 5 1 6 1 = 6 , la de 4 es Así, la fracción inversa de es , la de es … 5 2 6 1 4
Multiplicación de un número natural por una fracción
Para multiplicar un número natural por una fracción hay que tener en cuenta que los números naturales son fracciones de denominador 1. 4× 2 4 2 4×2 8 = × = = 3 1 3 3×1 3
Para multiplicar un número por una fracción, se multiplica ese número por el numerador de la fracción y se deja el mismo denominador.
36 Efectúa estas multiplicaciones y simplifica. ¿En qué casos has multiplicado fracciones inversas?
b) 3 5 × 7 7 c) 11 5 × 5 11 d) 2 × 25 25 e) 4 8 5 × × 9 25 12 f) 5 4 × × 18 6 3 4 2
a) 5 ×
37 Calcula la cantidad de aceite necesaria para llenar 15 botellas de 3 de litro y 8 de 1 litro. 38 De una cartulina recortamos un rectángulo de base 2 de la base de la cartulina y de altura 1 de la altura
de aquélla. ¿Qué fracción de cartulina hemos recortado?
3.3. Fracción de una fracción
Una quinta parte de la basura doméstica corresponde a desechos de papel y cartón. De éstos, tres cuartas partes se reciclan. ¿Qué fracción de basura doméstica acaba como papel reciclado? 3 1 de de la basura doméstica = x 4 5 1 5
Recuerda que debes simplificar las fracciones siempre que sea posible. En el siguiente ejemplo dividimos el numerador y el denominador entre 2 antes de efectuar las operaciones indicadas en cada uno de los términos de la fracción. 6 7 6×7 × = = 5 8 5×8 3×7 21 = = 5×4 20
3 1 de 4 5
3 1 3 de = 4 5 20 Así, para calcular la fracción de una fracción debemos efectuar la multiplicación de ambas fracciones. 3 1 3 1 3 de = × = 4 5 4 5 20
Para calcular la fracción de una fracción, multiplicamos ambas fracciones.
39 Representa gráficamente 1 de
5 1 . ¿Qué fracción es del total? 2 4 9 de 9 21 4 11 de 7 18 17 3 de 19 17 1 8 de 2 3
3 19 de 4 15
1 7 de 2 15
41 Alba se ha comido la mitad de la tercera parte de un pastel. ¿Qué fracción de pastel se ha comido? 42 Dos tercios de una clase de 27 estudiantes son chicos, y de éstos un tercio tiene el cabello castaño. ¿Qué
fracción del total de alumos representan los muchachos de cabello castaño? ¿Cuántos chicos hay en la clase?
3.4. División
Fíjate en esta división de números naturales.
El número natural 8 es lo 8 mismo que la fracción . 1 La inversa de esta frac1 ción es . 8
Compárala con la siguiente multiplicación de fracciones. 48 × 1 48 = =6 8 8
Observarás que dividir dos números es lo mismo que multiplicar el dividendo por la fracción inversa del divisor. Para dividir dos fracciones procederemos del mismo modo.
Por ejemplo, para dividir
1 2 1 3 entre multiplicaremos por . 9 3 9 2
1 2 1 3 1× 3 3 1 ÷ : = × = = = 9 3 9 2 9×2 18 6 En las divisiones de fracciones se cumple:
Divisor × Cociente = Dividendo
Así, en la división de fracciones anterior: 2 1 2×1 2 1 × = = = 3 6 3×6 18 9
43 Calcula y simplifica el resultado si es posible.
Para dividir fracciones, podemos utilizar una manera práctica que consiste en multiplicar en forma de cruz. 1 2 3 1 ÷ : = = 9 3 18 6
c) 4 5 ÷ : 5 3 3 3 ÷ : 2 5 e) 1 1 ÷ : 3 2 3 1 ÷ : 2 10 g) 1 ÷7 : 5 1 5 d) f) h) 7 ÷ :
8 5 ÷ : 3 6 2 3 ÷ : 9 5
44 ¿Cuántas bolsas de harina de 3 de kilogramo pueden llenarse con 30 kg
de harina?
45 Pedro ha preparado 2 de litro de una mezcla para cocinar un pastel. Si
3 1 utiliza moldes cuya capacidad es de de litro. ¿Cuántos necesita? 6
3.5. Operaciones combinadas
Observa cómo efectuamos esta serie de operaciones combinadas. 2 1 1 2 2 1 2 280 + 21 − 120 181 + × − = + − = = 3 5 4 7 3 20 7 420 420
Operaciones con números mixtos Para operar con números mixtos, podemos proceder de dos maneras diferentes: • Transformarlos en fracción.
En primer lugar, hemos calculado la multiplicación y, a continuación, la adición y la sustracción. Fíjate en lo que sucede si tenemos un paréntesis en una serie de operaciones combinadas con fracciones.
5 29 = 12 12
• Considerarlos como sumas de un número natural más una fracción. 2 5 5 = 2+ 12 12
⎛ 2 3⎞ 1 1 ⎛ 8 9 ⎞ 1 1 ⎜ 3 + 4 ⎟ × 3 − 5 = ⎜ 12 + 12 ⎟ × 3 − 5 = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 17 1 1 17 1 85 − 36 49 × − = − = = 12 3 5 36 5 180 180
Puesto que hay un paréntesis, hemos efectuado primero la operación indicada en su interior.
En una serie de operaciones combinadas con fracciones, se efectúan primero las operaciones indicadas entre paréntesis, después las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen y, finalmente, las adiciones y las sustracciones.
46 Calcula:
b) 2 15 ⎛ 1 1 1⎞ × −⎜ ÷ : + ⎟ 3 4 8⎠ ⎝ 6 12 b) 5 + 2 3 −2 3 5 c) 7 − 2 + 2 5 3 6
⎛ 3 1 2⎞ 2 − − ⎟ × 10 ⎜ 5 5⎠ 3 ⎝
47 Transforma los números mixtos en fracciones y, a continuación, resuelve:
a) 2 3 + 3 1 5 4
48 Efectúa las siguientes operaciones.
b) 7 +
2 5 ÷2 : 3 6
d) 2 −
2 ⎛ 1⎞ ÷ ⎜1 − : 3 ⎝ 5⎟ ⎠
49 He repartido 1 de mis canicas a Antonio y 1 a Toa. ¿Qué fracción del
3 5 total me queda? Expresa las operaciones combinadas con paréntesis.
4 3 3 + ×4 5 4 5
⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 1⎞ + + 2⎟ ÷ ⎜ 3 − 1 ⎟ : c) ⎜ 2 5⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝
3.6. Sucesiones con multiplicación y división
Los términos contiguos de una sucesión pueden estar relacionados de distintas formas; por ejemplo, pueden hacerlo mediante el producto o la división para un número. Para encontrar los términos siguientes en este tipo de sucesión, seguimos el procedimiento descrito:
2; 14; 26; 38; 50 El ejemplo anterior no es una sucesión con multiplicación porque, a partir del segundo término, los valores se obtienen al sumar 12 al término anterior.
Observamos la sucesión. 3 6 12 24 ...
Dividimos cada número de la sucesión para su término anterior. 3 6÷3 2 6 12 ÷ 6 2 12 24 ÷ 12 2 24
Si el cociente que encontramos entre los términos sucesivos es el mismo, significa que todos los términos están relacionados por el producto de este número. Para hallar un término de la sucesión, debemos multiplicar el cociente que obtuvimos en el primer paso por el término anterior de la sucesión. 12
Añadimos el nuevo número a los términos de la sucesión. 3 6 12 24 48 ...
Para encontrar el siguiente término de la sucesión: −1; 5; −25; 125; ... 1. En primer lugar, dividimos cada término de la sucesión para el anterior. 125 ÷ −25 = −5 −25 ÷ 5 = −5 5 ÷ −1 = −5
2. Si todos los cocientes son iguales, ese número es el que relaciona a los términos de la sucesión.
3. A continuación, multiplicamos cada término por el cociente que obtuvimos en el paso anterior. 125 × −5 = −625 4. Finalmente, formamos el conjunto de los términos de la sucesión, añadiendo el término que acabamos de encontrar. −1; 5; −25; 125; −625
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