Source: https://es.scribd.com/doc/150804152/DIDACTICA-DE-LAS-MATEMATICAS
Timestamp: 2018-04-23 10:00:12+00:00

Document:
Cargado por Martinz Hfmr
Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)
Primera edición, 1994 Quinta reimpresión, 1997 Buenos Aires
................................................185 7........................................................................................95 6. El sistema de nume ración: un problema didáctico ..Dividir con dificultad o la dificultad de dividir......... por Roland Charnay ......................................Cálculo mental en la escuela primaria ...... por Guy Brousseau ...................................... por Cecilia Parra ...................... Los diferentes role s del maestro ...............................................................39 3..ÍNDICE Lista de autores .................................................. la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanz a de la geometría en la escuela elemental.......... La didáctica de las matemáticas................La ge ometría..................51 4..... por Luis A........... por Grecia Gálvez............65 5.......................... por Irma Saiz........Aprende r (por me dio de ) la resolución de problemas ..........21 2............. por Delia Lerner y Patricia Sadovsky .................. por Grecia Gálvez.................219 8.......................9 Prólogo ................................................. Matemática para no matemáticos ..............................273 2 ....11 1........................ Santaló ........................
nada es dado. tal vez.. no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución. Documento CRDP. el sentido de un conocimiento matemático se define: – no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática.. de dudas. cálculo de créditos . Dahan-Dalmedico y J. Nada viene solo. tenga sentido para el alumno. aun si destellos geniales provocan avances espectaculares. ilustra bien esta cita de Bachelard.. * En Grand N. que no es aquel en el que viven nuestros alumnos. ). especulaciones en apariencia “ gratuitas” sobre “objetos” pertenecientes a las matemáticas mismas. escriben A. Grenoble. de formulaciones que retoma. en la complejidad de su evolución y de sus revoluciones. Para G. por ejemplo. física . no temen afirmar algunos. la principal lección que tener en cuenta en la enseñanza. de estructurarlos.. Pero esta elaboración no se realiza sin dificultad. – sino también por el conjunto de concepciones que rechaza.. BACHELARD. ). De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de la ciencia matemática. Traducción del francés de Santiago Ruiz en colaboración con Gema Fioriti y María Elena Ruiz.. ¿Pueden estas consideraciones (muy esquemáticas) sobre el origen del conocimiento matemático y sobre las condiciones de su elaboración encontrar eco en una reflexión sobre la cuestión del aprendizaje matemático en el contexto escolar? La respuesta debe ser prudente y cuidadosa: las herramientas o nociones elaboradas en una época determinada lo han sido. de errores que evita. necesidad de organizar elementos ya existentes. de gaffe.. Construir el sentido. Brousseau (1983). de modelos concurrentes. socioeconómico. “En el uso frecuente de textos originales y también en el de obras generales –suma de saberes históricamente acumulados en este dominio– hemos descubierto un tejido complejo y difuso hecho de conjeturas. revista de matemática..CAPÍTULO III. Si no ha habido pregunta no puede haber conocimiento científico. que a veces no son reconocidos desde el principio. APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS* Roland Charnay Para un espíritu científico todo conocimiento es una respuesta a una pregunta. Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas.. Los problemas a menudo ofrecen resistencia. ). las soluciones son casi siempre parciales.. enero 1988. Resta decir que son los problemas que les han dado origen (y los que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las matemáticas producidas.. Estas preguntas han variado en sus orígenes y en sus contextos: problemas de orden doméstico (división de tierras.. 3 . y publicado con autorización del CRDP (Centre Regional de Documentation Pédagogique). Francia. La formación del espíritu científico ¿Lecciones de la historia? La historia de la matemática. ciencias y tecnología para los maestros de la escuela primaria y pre-primari a. “ ¡Hacer matemática es resolver problemas!”. Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la enseñanza de la matemática es precisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado.. etc. de economías que procura. en un contexto cultural. por las exigencias de la exposición (enseñanza . etcétera. Peiffer en el prefacio de su libro. nº 42. Esta es.. en efecto. de intuiciones fulgurantes y también de momentos de axiomatización y síntesis”. problemas planteados en estrecha vinculación con otras ciencias (astronomía. Todo es construido.
tal como Brousseau lo ha definido: conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno. de adaptar. debe estar atento. saber: analizando: – – – la distribución de los roles de cada uno. qué se espera. de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.. definiendo así los roles de cada uno y la repartición de las tareas: ¿quién puede hacer qué?. ¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?). luego imita. las reglas del juego: ¿qué está permitido. ¿cuáles son los fines y los objetivos?. haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. implícitas o supuestas). aprende. y que regulan el funcionamiento de la clase y las relaciones maestro-alumnos-saber. – El maestro muestra las nociones. La pedagogía es entonces el arte de comunicar. qué hay que hacer o decir para “ mostrar que se sabe”. Y es. de comunicar un saber a los alumnos.? Muy esquemáticamente se describirán tres modelos de referencia: 1. y al final aplica. el proyecto de cada uno.. ¿quién debe hacer qué?. de la demanda social o también de la de los padres.. escucha. y conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro. Así. alumno. su punto de vista sobre los objetivos generales de la enseñanza y sobre aquellos específicos de la matemática. se entrena. qué es lo que realmente se demanda. sus expectativas). una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se “ juegan” entre estos tres polos: maestro. Para describir algunos modelos de aprendizaje.Agreguemos que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles: • un nivel “ externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo? • un nivel “ interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo. provee los ejemplos. en primer lugar. 4 . ¿qué es hacer matemática?). Esta elección (que cada uno hace al menos implícitamente) está influida por numerosas variables: el punto de vista del docente sobre la disciplina enseñada (¿qué es la matemática?. se ejercita. Estrategia de aprendizaje Se plantea entonces al docente la elección de una estrategia de aprendizaje. se puede apoyar en la idea de “ contrato didáctico”. – El alumno. de “ hacer pasar” un saber... las introduce. en principio.. El modelo llamado “normativo” (centrado en el contenido) Se trata de aportar. sino también de resignificar en situaciones nuevas. Sólo después estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas. su punto de vista sobre los alumnos (sus posibilidades. la imagen que el docente se hace de las demandas de la institución (explícitas. La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno? El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer..
pero que.. suscita su curiosidad. El modelo llamado “aproximativo” construcción del saber por el alumno) (centrado en la Se propone partir de “ modelos”. organiza. formulación. organiza las diferentes fases (investigación. a pesar de todo. modificarlas o construir nuevas. Para esto. – Organiza la comunicación de la clase. proponemos un esquema. Notemos que ningún docente utiliza exclusivamente uno de los modelos. ¿cuándo utiliza problemas. centros de interés de Decroly). del entorno (la estructura propia de este saber pasa a un segundo plano). busca una mejor motivación (medio: cálculo vivo de Freinet.. las defiende o las discute. le ayuda a utilizar fuentes de información. ¿bajo qué formas? – El rol y el lugar que el maestro asigna a la actividad de resolución de problemas: ¿qué es para él un problema?. las confronta con las de sus compañeros. institucionalización). – El saber es considerado con su lógica propia. – El saber está ligado a las necesidades de la vida. ¿con qué fin? A continuación. lo remite a herramientas de aprendizaje (fichas). propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones. su entorno. validación. Champagnol (Revue Française de Pédagogie) que resume las diversas posiciones respecto a la utilización de la resolución de problemas en relación con los tres modelos de aprendizaje descritos anteriormente. El modelo llamado “incitativo” (centrado en el alumno) Al principio se le pregunta al alumno sobre sus intereses. sus propias necesidades. entonces a sus alumnos? – Las prácticas de utilización de la evaluación: ¿de qué sirve la evaluación?.. nos interesamos esencialmente en este tercer punto. responde a sus demandas. 1) El problema como criterio del aprendizaje (modelo llamado “normativo”) mecanismos • lecciones (adquisición) • ejercicios (ejercitación) 5 . ya construido. ¿para hacer qué?. ¿en qué momento interviene en el proceso de aprendizaje?. – El alumno busca. luego estudia. busca. aprende (a menudo de manera próxima a lo que es la enseñanza programada). Agreguemos que el estudio de estos modelos provee una buena herramienta de análisis de las situaciones didácticas y de reflexión para los docentes en formación. cada uno hace una elección. ¿qué demanda. Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o mayeúticos (preguntas/respuestas). ¿cómo interviene?. sus motivaciones. consciente o no y de manera privilegiada. propone soluciones. que el acto pedagógico en toda su complejidad utiliza elementos de cada uno de los modelos.– El saber ya está acabado. 3. en qué momentos del aprendizaje?. Se reconocen allí las diferentes corrientes llamadas “ métodos activos”. – El maestro escucha al alumno. 2. de concepciones existentes en el alumno y “ponerlas a prueba” par mejorarlas. – El alumno ensaya. – El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones). inspirado en un artículo de R. de uno de ellos. Tres elementos de la actividad pedagógica se muestran privilegiados para diferenciar estos tres modelos y reflexionar sobre su puesta en práctica: – El comportamiento del docente frente a los errores de sus alumnos: ¿qué interpretación hace de ellos?. terminología).
para el aprendizaje. sino que pasan de estados de equilibrio a estados de desequilibrio. Ellas se basan en la pregunta “ ¿Cómo aprenden los alumnos?”. y que un conocimiento complejo puede ser. finalmente. etcétera. demasiado dependientes de “ lo ocasional” para que sea tenida en cuenta la preocupación por la coherencia de los conocimientos. lenguaje convencional • problemas: evaluación para el maestro. 3) El problema como recurso de aprendizaje (modelo llamado “apropiativo”) Acción • situación-problema (el alumno busca un procedimiento de resolución) • formulación-confrontación procedimientos. sobre todo. de lo simple. Una nueva fase de equilibrio corresponde entonces a una fase de reorganización de los conocimientos. descompuesto en una serie de conocimientos fáciles de asimilar y que. 6 . Opciones a favor de una elección Estas opciones se apoyan en resultados de investigación y dependen. ejercicios • problemas resignificación – al principio. el alumno busca si ya ha resuelto uno del mismo tipo. 1) Los conocimientos no se apilan. siendo la idea subyacente que es necesario partir de lo fácil. para acceder a lo complejo. no se acumulan .sentidos • problemas (utilización de los conocimientos para el alumno. – pero las situaciones “ naturales” son a menudo demasiado complejas para permitir al alumno construir por sí mismo las herramientas y. resignificación para el alumno institucionalización – es principalmente a través de la resolución de una serie de problemas elegidos por el docente como el alumno construye su saber. – es el modelo de referencia de numerosos manuales. • nueva herramienta • ejercitación • síntesis. control para el maestro) – lo que conduce a menudo a estudiar tipos de problemas: confrontado a un nuevo problema. ávido de conocimientos funcionalmente útiles”. todo aprendizaje debe ir de lo concreto a lo abstracto. 2) El problema como móvil del aprendizaje (modelo llamado “incitativo”) motivación mecanismo • situación basada en lo vivido • aporte de conocimientos • práctica. por una parte. puesta a prueba de los Formulación Validación La resolución de problemas como fuente. se desea que el alumno sea un “ demandante activo. en interacción con los otros alumnos. a veces modificado (cf. donde los nuevos saberes son integrados al saber antiguo. de elecciones ideológicas. lugar y criterio de la elaboración del saber • nueva situación con diferentes obstáculos: nuevos procedimientos. en el transcurso de los cuales los conocimientos anteriores son cuestionados. – la resolución de problemas (y no de simples ejercicios) interviene así desde el comienzo del aprendizaje. Piaget).
En la misma perspectiva. En el triángulo docente-alumnos-problema Trataremos de precisar las características de estas relaciones en el cuadro de un aprendizaje que se apoya en la resolución de problemas. a una manera de conocer (que a veces ha servido en otros contextos) contra la cual el alumno deberá construir el nuevo conocimiento. el estudio de los decimales debería conducir al alumno a cuestionar la idea de que la multiplicación “ agranda” siempre (idea que él ha podido elaborar estudiando los naturales)... puestas en marcha en las actividades de formulación (decir. Por supuesto. sino de una acción con una finalidad. más bien. un saber adquirido puede hacerse fracasar fácilmente aun ante mínimas modificaciones de las variables de la situación: así.. ) . ciertas producciones erróneas (sobre todo si ellas persisten) no corresponden a una ausencia de saber sino. 2) El rol de la acción en el aprendizaje Piaget también ha subrayado el rol de “ la acción” en la construcción de conceptos. es la resistencia de la situación la que obliga al sujeto a acomodarse. cuestionar) o de cooperación (ayuda.. El alumno no tiene jamás la cabeza vacía: no puede ser considerado como una página en blanco sobre la cual será suficiente imprimir conocimientos correctos y bien enunciados. tendiente a menudo a una tarea de constatación por parte del alumno. Así. G. describir. Aquí también podemos recurrir a Piaget. 4) Las producciones del alumno son una información sobre su "estado de saber" En particular. franquear) a la motivación externa (necesidades de la vida corriente. de un procedimiento que permite anticipar el resultado de una acción no realizada todavía o no actual sobre la cual se dispone de ciertas informaciones. a modificar o percibir los límites de sus conocimientos anteriores y a elaborar nuevas herramientas (idea de conflicto cognitivo). Habrá que tener esto en cuenta para la elección de las situaciones. expresar).. no se debe descartar: el problema es entonces percibido como un desafilo intelectual. Relación entre la situación-problema y los alumnos: – La actividad debe proponer un verdadero problema por resolver para el alumno: debe ser comprendido por todos los alumnos (es decir que éstos puedan prever lo que puede ser una respuesta al problema). sobre todo entre pares. sin embargo. 3) Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema para resolver. Vergnaud (1981) ha mostrado que la “ noción de adición” o las estructuras aditivas no son totalmente dominadas hasta muy tarde. 7 . de prueba (convencer. trabajo cooperativo): idea de conflicto sociocognitivo. se trata de la actividad propia del alumno que no se ejerce forzosamente en la manipulación de objetos materiales. 5) Los conceptos matemáticos no están aislados Hay que hablar más bien de campos de conceptos entrelazados entre ellos y que se consolidan mutuamente: de ahí la idea de proponer a los alumnos campos de problemas que permitan la construcción de estas redes de conceptos que conviene elucidar previamente (tarea que pasa a ser fundamental . Lo que da sentido a los conceptos o teorías son los problemas que ellos o ellas permiten resolver.. se tiende a preferir la motivación propia de la actividad propuesta (dificultad que se desea salvar. observaciones) cuyo interés. 6) La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje Se trata tanto de las relaciones maestro-alumnos como de las relaciones alumnos-alumnos. . Del mismo modo. es decir cuando reconoce el nuevo conocimiento como medio de respuesta a una pregunta. sino el resultado de una interacción sujeto-medio (cf. que supone una dialéctica pensamientoacción muy diferente de una simple manipulación guiada. arriba punto 2). problematizada.. Hay que subrayar aquí el rol de la anticipación : la actividad matemática consiste a menudo en la elaboración de una estrategia.Así. un nuevo saber puede cuestionar las concepciones del alumno originadas por un saber anterior: por ejemplo.. para quien el conocimiento no es ni simplemente empírico (constataciones sobre el medio) ni preelaborado (estructuras innatas)...
evolución histórica. a investigar”. – Le corresponde también observar las incomprensiones. Hay. provocar o hacer la síntesis. Sin duda conviene diferenciar los objetivos de la actividad de resolución de problemas: – Objetivos de orden “metodológico”: en una palabra. diferentes aspectos): cuestiones de epistemología. Desde esta última óptica.– Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores.. expectativas explícitas o implícitas del docente). práctica del “ problema abierto” descrito por el IREM de Lyon). los errores significativos. más bien. de su enseñanza. no quedar desarmado frente a ella. a cuestionarlos. cuáles son las concepciones posibles con los alumnos de un determinado nivel de enseñanza en relación con los niveles precedentes y siguientes?. distinguir el objetivo inmediato de los objetivos más lejanos. como una terna: situación-alumno-entorno. – El conocimiento considerado debe ser el más adaptado para resolver el problema propuesto (desde el punto de vista de los alumnos). en la actividad misma (cf.. ¿de qué tipo de saber se trata (formal. – Pero. “ aprender a resolver problemas. sin embargo. elegir ciertos parámetros de la situación (idea de “ variables didácticas” de la situación). a elaborar nuevos (problema abierto a la investigación del alumno. – Le corresponde. Se puede. intercambios. es deseable que la sanción (la validación ) no venga del maestro. Se define. Sólo hay problema si el alumno percibe una dificultad: una determinada situación que “hace problema” para un determinado alumno puede ser inmediatamente resuelta por otro (y entonces no será percibida por este último como un problema). El objetivo está. distinguir entre los problemas que se sitúan en la fuente de un nuevo aprendizaje y aquellos que se utilizan como problemas de resignificación. descriptivo u operativo. entonces.. en fin. funcional)? – Elección de la situación o más bien de la serie de situaciones a proponer a los alumnos. Por fin. Relación maestro-situación – Le corresponde al maestro ubicar la situación propuesta en el cuadro del aprendizaje apuntado. La idea de obstáculo es aquí importante: sin los conocimientos anteriores adecuados para resolver el problema no hay 8 . analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones. ¿Qué problemas elegir? ¿Qué puesta en marcha pedagógica? Una precisión ante todo: el término “ problema” utilizado aquí no se reduce a la situación propuesta (enunciado-pregunta). se pueden considerar algunas cuestiones que se le plantean al maestro respecto de un conocimiento dado: – Elección de enseñar una determinada concepción del conocimiento considerado (problema de transposición didáctica): ¿cuáles son las concepciones tomadas en cuenta (estado actual de este conocimiento. estados anteriores. Relación docente-alumno ¿Qué percepción tiene el alumno de las expectativas del maestro ? Las relaciones pedagógicas deben conducir a los alumnos a percibir que les es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman que solicitar pruebas a los otros. algoritmo) a través de la actividad de resolución de problemas. – Finalmente. – Una distinción neta debe ser establecida entre los aportes del docente y las pruebas que los alumnos aportan. una idea de obstáculo a superar. – Objetivos de orden “cognitivo”: se apunta a un conocimiento (noción. debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacer evolucionar los conocimientos anteriores. desde este punto de vista. sino de la situación misma. de alguna manera. entonces. el entorno es un elemento del problema. en particular las condiciones didácticas de la resolución (organización de la clase.. sentimiento de desafío intelectual).
convenciones para el lenguaje. La elección es difícil: es necesario no desmovilizar al alumno con una dificultad demasiado grande ni dar la impresión de “ derribar puertas abiertas con una excavadora”. – Elección de una puesta en marcha pedagógica. formular oralmente o por escrito. proceso que puede extenderse en varias sesiones e incluso utilizar varias situaciones problemas. validar. las notaciones). institucionalizar (identificación del saber. pero se puede anticipar con la mayor parte de los didactas actuales una estrategia de referencia que comprenda varias etapas: investigar individualmente y/o en grupos.interés por movilizar una nueva herramienta. evaluar. No hay soluciones tipo. 9 .
pág. INRP: “Comment font-ils? L'écolier et le probléme de mathématiques”. 1979. G. J. 1982. 1984. 3 tomos. “ Les obstacles epistémologiques et les problémes d'enseignement”. M. N. “La pratique du probléme ouvert”. París. 1983. Villeurbanne. nº 4. 9. 170.2. y Peiffe r. 2. París. 10 . París. Dahan-Dalme dico.. Universidad Claude Bernard.. J. A. Rencontres Pédagogiques.. G. y Colomb. 1981.. Recherches en didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage). “ Quelques orientations theoriques et methodologiques des recherches françaises en didactique des mathématiques”. Brousse au.BIBLIOGRAFÍA Audigie r. pág. nº 4. Recherches en didactique des mathématiques (La Pensée Sauvage). Ve rgnaud. “ Enquéte sur l’enseignement des mathématiques á l’école elementaire”.. Le Seuil p.: Une histoire des mathématiques. Irem de Lyon . ERMEL: “ Apprentissages mathématiques á l’école elementaire” cycle moyen (SERMAP-HAT IER). INRP. n.. s/f. Equipe math. 220.2.
En Busca de La Utopia Un

References: resolución 
 resolución 
 RESOLUCIÓN 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución