Source: https://www.scribd.com/doc/169626320/Calculo-Diferencial-y-Integral-de-Medina
Timestamp: 2016-02-15 00:21:24+00:00

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,NTEGRAL
lng, Washington Medina M.Sc.
Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng. M.Sc. Washington Medina G.
La presente obra está estructurada para ser base de consulta de
/os cursos de Cálculo Diferencial e lntegralgue se impaften en ,as
Facultades de lngeniería, pañicularmente, para la Facultad de lngeniería en srbfemas de la Universidad Técnica de Ambato, tomando como referencia Ios contenidos programáticos de conformidad al Pensum de esfudrbs. La intención de su contenido va dirigida al hecho de que, srn ser rigurosa a caer en la modalidad exagerada de la teorización excesiva, facilite el acceso agradablemente práctico que permita al estudiante vencer el temor tradicional gue causa este tipo de
asignaturas. Se desanotla la obra con un ligero y práctiio recorrido de ta teoría de matrices, determinantes y sus drVersas fórmas de cálculo, para concluir con la solución de sísfemas de ecuaciones /lneales y sus diferentes casos.
En lo referente al Cálculo Diferencial lntegral, se óusca dar un enfoque que perm¡ta comprender el surgimienfo de esfas teorías y sus diyersas aplicaciones a casos prácticos, planteando /as yías
Como puede percibirse, no se busca exponer novedades, cambios
o modificaciones a tada una historia científica, sino, dotar de un documento que facilite al estudiante una seguimiento de /os contenidos por el a aprehender; y, disponga a la mano de una herramienta de consulta para su presente y futuro reco¡rido por la
iversitaria.
Matrices y Cálculo Diferenciale
con rEfvroos
Matriz cuadrada, igualdad de matrices, matriz nula,
2. Mat¡ices
Matriz triangular superior, matriz triangular inferior, matriz inversa,
matriz traspuesta, matriz simétrica, matriz antisimétrica, matriz
canjugada, matriz hermítica y antihermítica.
3. Casos páltibutates dé matrices
4. Operaciones con
Suma algebraica de matrices, muttiplicación de matrices.
..,---;
equlvalente
Transformacrbnes elementales de linea
6. Matríz inversa
Determinañtes
Re§ resentación, determi n antes de tercer orden
segu ndo orden, determ i nantes
8. Propiedadéé de los
. Métodos de cátcuto de determinantes de orden n
UeIoAo de /os cofactores, cofactor, método de variante de cofáctores, método de /os elementos de la diagonal, método
10. Sísúema5 de ecuaclones
lineales incógitas
11. Sislemas de ecuaciones lrneales de n ecuaciones con n
Srbfema no homogéneo ecuaciones
de ecuaciones, srsfema homogéneo de
12. Sistemas de m ecuaciones con n
incógnitas lineales
Slsfemas redu ndantes, slsfemas defecfuosos 13. Métodos de solución de sísfemas de ecuacíones
Límites infinitos y timites al infinito 19. derivada de funciones
aramétricag derfuadas sucesrvas. Función de una variable 36
15.Sc. El problema de la tangente
25. Derivadas de funciones no explicitas
Derivación de funciones inversas. M. derivadas logarítmicas. incrementos 46
24.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
S2. Variación
ntroducción. método de la matriz inversa. Continuidad y díscontinuidad de una funcí6n
23.lnterpretacíón física de la segunda derívada
27. método de Gauss-Jordan o eliminación gausslana. Límttes partículares 20. Derivación de funciones compuesfas
31. derivada de funciones implicitas. Washington Medina G. Fórmulas de de¡ivación de las
30. Formas de levantar la indetermínacíón
Cálculo de límites con cambio de variable
21. Límites y continuidad
76. El
problema de ta vetocídad
26. Principales regla de derivación
29. Teoremas sobre límites
17. método de Crammer. Límites laterales
18. comparación de incremenfos. Teoría de límites lnte¡valos. Límites que no exísúen
22. Regla de derívación
Matriz ampliada (método de Gauss).
45.Sc. Velocidad
vator medio de Rolle. integración
44. definición de máximos y mínimos.
33. métodos
o artilicios de intégración
por partes. aplicación de la teorfa de las fracciones racionales. M. puntos de cruce con el eje x. integración de funciones irracionales. integrales de la forma ax2 + bx + c.
42. puntos de inflexión. Teoremas del
Teorema de Lagrange. asíntota vertical.
S7. La diferencial
35. asínfofas. lntegral indefínida
Método de sustitución. Teorema
:l .l
40. asíntota oblicua.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. Constante de integración
4. Aplicación de détlVációtt al cálculo de límites (Reyla de L'Hopital)
4T. intégración de diferenciales
binomias. Apliqaciones de derivación 36. Ejercicios generales de derivación
31. dirección de la concavidad. sustituciones trigonométricas.
asíntota horizontal.lntegración
. procedimiento para gráficas. Teorema de Cauchy
39. función racional entera. integración de funciones trigonométricas. Washington Medina G. Ffllmulüs de inte§lación
43.7 Aplícaciones de
la intégral
48 Areas en coordenadas polares
19 Longitud de arco de una curua
50 Centros de gravedad 51 Areas laterales o superficies de revolución
d2Volúmenes de sófídos de revolución
. máximos y mínimos de una función. Construcción de gráficas de funciones con sus
punfos característicos
Crecimiento y decrecimiento de una función.Aplicaciones de la derivada a problemas de optimización
Definición de transformada de Laplace 70.
53. Ejercicios de aplicación
56. ecuaciones diferenciales exacfas factores integrantes.
61. Series de Fourier
E1'ercíc
ios generales
. 72. Grado de una ecuación 61. Diferencíales
63.: . Solucíón general
y partícular de las ec.T ran
sform adas i nversas
74.Teorema de ta tardanza. M. Funcíón Gamma. Solución de una ecuación díferencial 62.§c. Tipos de una ecuación 59. Transformadas de deriuadas
7 3. ft'aerlciones
que pueden reducirse a la forma lineal. Convolucíón
TS. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. I ntegral es m ú lti pl es
54.Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng. Washington Medina G. Aplícación de transformadas a problemas de valores íniciates 75. Transformadas de funciones elementales
71.. ecuaciones homogéneas. Derivadas de transformqdas . Volúmenes en el espacio
55. 64. Ecuaciones diferenclales lineales no homogéneas de
Orden supertor con coefícienúes corsúanúes
66. ecuacianes diferenciales /¡neales. Funciones periódicas. Aplicaciones a las ecuacíones diferenciales
58. Sísfemas de ecuacrbnes diferenciales lineales
om ogéneos
con coeficientes consúanfes de Laplace. Ecuaciones diferencíales de primer orden y primer grado
ecuaciones con variables separadas.
67. Ecuaciones díferencíales lineales homogéneas de
Orden superior con coeficienúes consúanfes
65. Orden de una ecuación diferencial
60. determinación de factores integirantes.
57. La transformada
. D recibe el nombre de matriz
z 3) la Lo o al
se representa por ln o simplemente fior
l.)l-i
Matriz fraqpuesfa..-dnn) Si en esfa matriz diagonal se verifica eue
escalonada. oas...
A= f'ui r) 2 s) tJ
Oóséryese eue
rA=ll
de A es an de rA
. B = A'1
(1 2 3) (6 -2 -3)
ott =
D= diag ( átt.. '...Sc.
D=lo
(u.. se'obtiene permutando las filas por las columnas.
Si K = 1.0 para i>j se llama triangular superior.La matriz fraspuesfa de la matriz A de orden mxn es la matriz rA de orden nxm...'...Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. MATRICES ESPEC'ATES
Matriz triangular superíor e inferior.Una matriz cuadrada A cuyos elementos ag. 8zz. Ejemplo 3:
e:r.ll
Matrtz inversa.. en esfas condiciones.
loodssás¿l
dzz azs Qz¿
ár¿ \
.Sean A y B dos matrices cuadradas de forma que AB = BA = /. Washington Medina G.= K. la matriz B es inversa de A. una matriz cuadrada A cuyos elementos aq= 0 para i<j se denom i n a tri ang ul ar inferior. o
o) ozz ol
o .*_)
Ozt 8zz 0 Qy ?sz Qss €¿t €¿z d¿s
A¿¿
tri a n g u I a r inferior
Cuando una matriz es triangular superior e inferior se denomina Matriz Diagonal. la matriz se llama Matriz lJnidad y
'.. M..
se obtiene at
.e iz. A la matriz conjugada se la identifica con Á.lJna matriz cuadrada es simétrica cuando'A=A. M.h 4 -sl
v..o=6 .. Ls
.srbndo a y b números reales.
Propiedades.h
expresión z = a +
representa a un número complejo.-r¡rA¡ = ¡ 2. y. Si una matriz esfá representada por números comptejos..il
4 6-'l ..-
1.i.Sc.orden n.:..*= ft.-r(A+B) =rA +rB
-r¡e+q =rg *r¡
simétrica y antisimétrica o hemisímét¡ica.
Matriz conjugada. Washington Medina G..].Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng.} G
2. Gi í]
..(e+rA)= f2 I la -10-1ol 12) L6 JT.. ='(A *'A)
entonces K*A = K*rA
Ejemplo 6: Verificar si 3*A = 3*rA Siendo:
e=lz 4 -s ls \ -5 6)
i -fl . i =
bi. SiA es simétrica.Si A es una matriz cuadrada de.-r(k*A) = k*rA 3.))
^=Gi
Porlotanto A + rA
*]. la matriz A +rA es simétrica. la matriz conjugada reemplazar ipor -i. es antisimétrica o hemisimétrica cuandorA --A
Se aplícan las siguientes propiedades
A+rA=r(A+rA)
fi2s) rA.
siendo A:
V..-Cuando la matriz cuadrada.existe una matriz d talque
A+B=B+A A+(B+C)= (A+B) +C A+D =
kA+kB = (A+B)k
.. L"r. ) czz I cr.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng..)
PROPIEDADES. Matrices Permutables y No Permutables.: I )Gr) b.
k(A+B)
c.|u"
Una matriz cuadrada A es antihermítica cuando la transpuesta de la conjugada es -A-'
'(A ) =-A Matriz ottogonal. OPERACIOA'ES CON MATRICES..Una matriz cuadrada cuando la transpuesfa de la conjugada es igual a A.
Ejemplo 8: Encontrar la matriz conjugada de
("... A * B = B * A son matrices permutables
= -B * A
o conmutativas son matrices no permutaóleso anticonmutativas...rl
es hermítica o autoadjunta
Matriz hermítica y antihermítica.Suma algebraica de matríces. Ítamado índice de
Ak*1
siendo k = número entero
positivo.l
'(A)=e
A*rA=
. ltamado período de
Matriz Nilpotente..asociativa 3...Cuando A2 = I
p = número entero y positivo.
L .-La suma o diferencia de matrices es posrb/e realizarla siempre y cuando las matrices que interuengan tengan el mismo orden... c..'
Matriz tnvotutiva.. CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS... cij = s¡ * bü
A.Ic. Washington Medina G. M.Sc.Cuando A2 = A Matriz Periódica..Cuando Ap = la matriz Nilpotente.
Matriz ldempotente..conmutativa 2.
+B =l*.
brr')
) p.t..Una matriz cuadrada es oñogonal cuando:
I 3.siendo k un escalar 4.
a¡sb¡s )
..1 L a1 a22)* lb21 b22 órrJ =L dxbtt + ázzbx dztbn+ ezzbzz a21brr+.)
anbt¡ .dizb¡z .Para multiplicar dos mafnbes. albP
. Washington Medina G. su condición fundamenfal es de que el número de /as columnas de la primera matriz sea igual al número de fitas de la segunda matriz . el resultado tendrá por lo tanto como orden mxn donde: m = número de filas de la primera matiz n = número de columnas de la segunda matriz ejemplos:
Asrz* Buz = Asra* Bart =
Amxp"Bpxn =
Para multiplicar dos matrices A.. la suma de /os productos parciales será elelemento de la matriz resultante C.a¡zb¡s I
a¡sbt¡ .Matrices y Cálo:lo Diferencial e ¡ntegral
lng. ::r
= hz 6 tB
Multiplicacion de dos matrices.-
Multiplicacion de un escalar por una matriz.
( átt atzl ( bn br. ailbil a¡zbt¡ . M.Sc.
M ulti pl i cacion
de m atrices.
fz::)
ejemplo 9: multiplicar 3 por la matr¡z indicada:
A=ln 2 6
. I se muttiplica cada elemento de ta fita de la primera matriz por su conespondienfe de la columna de la segunda matriz. aflb¡2 .Sea:
k es un escalar:
átz
k*A =
lfz:.. ór¡'l ( attbtt+ btzbx dttbtz + íttzbzz e11b1s +..
( 6).Sc. Matriz equivalente.
transformaciones elementales apticados
Tran sformacíones elementales de linea. M.-
Dos matrices se drben equivalentes fila (cotumna).
2*2 +
f"4 (--s
*)"*"
Ejemplo 10: multiplicar la matriz A con la matriz B siendo:
(. B.Suponiendo que A.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. se tiene: 1. C son matrices del mismo orden respecto de y producto. 3--La suma de /os elementos de una fila o columna con los correspondientes de fita o columna multiplicado por un escalar.. Se pueden realizar las srgubafes operaciones:
o cambiar filas.
7*2+¡_6)*0. implica necesariamente
implicanecesariamentequeA=0óB=0
que B = C
5. 5.-)
:1) (2x3)
A"B=
5*0'
2*7+5*(-1)
7*7+5*¡-11
[r=. (. 2 .son /as operaciones con matrices que no modifican a la matriz originat.[z sl -6) á ó ¡zrz) '= L
(28 + s*s.
. 2.Permutar
Las transformaciones elementales según sea e/ caso se denominan:
.Transformaciones Hementales de Fita.A( BC
Distributiva Asociativa
B t AB = AB =
lineales..
(Matriz A
equívalente a ta matriz B). (Multiplicar cada elemento de una columna por un escalar no nulo). Washington Medina G..
2. si la matriz A sucesión de transformaciones elementales de filas (cotumnas).Multiplicar Cada elemento de una fila por un escalar no nulo.. (Permutar o cambiar columnas). no alteran /as so/uciones.
i. Washington Medina G. o lo t
-3 -ol ta)
i}-ur
ls --3 -jr-rn.4
1.Sc.)
Lo o -l tz¡
es conveniente MEZCLAR las transformaciones de fitas con las de columnas
1.)0.Matrices y Cálculo Diferenciale
lng. M. transformarla en una matriz triangular superior y diagonat.
i 4.s1
2.G i
(t lo
'f= li
23) 5 78)
ll i il'' tl
3')(-5)
ft.Transformac¡ones Elementales de Columna.
2.Dada una matriz
Transformar la matriz A en matriz triangular superior y matriz triangutar inferior
f= lo
1 -3 -3)
kol.. Transformarla matriz indicada en matriz triangular superior
(t 2s) ") t' 1o
lz l7 4 s
(.tr.[
ll i'il*' ü
G 1..
:4'{
2 y2 11 1/2 0.l J .ií.
Calculo de la matriz inversa.
I o o 1 o o
_7 _2
-2 ó) 1 0l
ool 3 r)orct
Obtener la matriz triangular superior.:.)
Para comprobar que la matriz inversa esia bien catculada. M.i izl'.)
olr-a(.0.:. IsztoI I I 11
t7o-1
l' \'-) fiii) E.\
. En'et capituto de determinanfes se analizara gue es una matriz regular con más profundidád.:. es decir:
B=A'i
No todas las matices tienen inversas.".?)
Para calcular una matriz inversa se escnbe la matriz amptiada o aumentada de las transformaciones de fila se debe obtener la siguiente equivalencia:
(A.Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng. Matriz ínversa
Sean A Y.' ft 1 -1 -s -t o 1 lo ol1 I lo lo o 1 -2 -3 2 o ol(1)(-7/2)(.p.)'¿ ?. la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada posea inversa es gue sea regular (Determinante * 0).l 0. Washington Medina G.0.los-matrices cuadradas de orden n de forma que A*B = *A = de cumptirse esta condiciÓn: B es la matriz inversa de A y reciprocamente A es la inversa de B.01 t 0 V o 5-s -s o 3 y' L.t
s.Sc.:.[ |. BJ
(Bserá tamatriz inversadeA.0 .{z)
lo -3 B tot-2 1 o ol I lo o 1/2 -t l-Sn o o ilV Lo o s -sl-s
11 t5/2
-sl -t
0 -2 0 1 1 0 0 3
-2o)-. 2 3n 111/2 o 0
U ?'?.¿)(1
s/2 1t1/2
oo) o ol t ol o t-)
o). triangular inferior y diagonalde /as srgur'enfes matrices:
3.h ft ft 1 -1 -sl-1 o 1 ole4etlo lo o 1/2 -tl-y2
I i . se deóe realizar
A*A-t = A*B = I
ls 6 s 2 o I o ol lz s 2 -3 o o 1 ol trs1414 o o o r)
1000\(1/2)(1
0 0)(-3) ls 6 s 2 o t o o l-J lz s 2 -s o o 1 o (f s t4 14 o o o r)
Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. il
matriz.tJn determinante de segundo orden se represen
n 'tio e ft i_i k
-3-1.-
Una determinante de orden 3 se represenfa
.A Ó A Ó A
Determinanúes de segundo orden.
Es un número real asrciado a una matriz cuadrada.. eldeterminante dé Ase representa por:
Det.SíA es una matriz cuadráda.Í.?
tu.28 =
Determinantes de orden J
( tercer orden).
7.Sc.7x4 =
. DETERMINAÍVTES
q(i .)
H cálculo de esfe determinanfe se /o define así:
Az= Ejemplo 13:
ofb2-
á2*b1
Az= 3x6.
a 18 113 -T -2 0 -71-4 2 I 1 -2 l-3 2 O' 0 1 12 -2 3/5
(t o L00o
.23 29 -&t/5 10 -12 26/5
1 -2 2 -2
Ejercicios de lnversa de Matrices. o es e/ número representativo de una Represenúacián. M.
l. Washington Medina G.
el determinanfe es
z=l o
bajo similar procedimiento. elresultado será el mismo.asbzct
b*zat
csazbt
2. Z'. Washington Medina G.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. los elementos de dos filas determinante es igual a cero
dos columnas son iguates o proporcionales. áp á27 á22 I a. el
i.lncrementandodos filas.]
Elcálculo se lo define así: 1.l.
A=-27+20+29-15-42+24
¿t=
(s21s
14 3 2 L57-35
.. Z'. esfas son.Sc."
.lncrementando dos mlumnas ( I y 2 )
(r.l = Vf.
l-a b pI = ¿=l m n 'r'cl b cl l_a
En una matriz cuadrada. Ar= | a2 \a. | asr A¡e á3s d31 á3j L )
atbzca +brczas
ua2b3 . M.=fl'. -) ar..Si los elementos de una fila o de una columna son rguales a cero..l br)
( an an dts dttar.. PROPIEDADES DE LOS DETERMINA'VIES
conveniente aplicar algunas propiedades de
determinanfes de otden n.
l:. J
kb. el valor del determinante no se altera (el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta):
fa. Comprobar en los siguientes ejercicios las propiedades indicadas: Propiedad 1.S. el determinante cambia de signo (un cambio de signo por elintercambio de dos f/as o dos columnas )
l-a.7
(nbc) ld e
.lr t:7
¡a¡n
i+kc
7. Lh.k(agrazb)
n"Lr..-
A=3x4-3x4=0
..) = lo..
[¿ i
por una constante k.
e1b2 .
Eiemplo 15. Washington Medina G..bn
".kazbt
. r.Matrices y Cálculo Diferenciale integral
a los elementos de una fila o columna se /es multiplica determinante queda muÍtiplicado por dicha constante.Si cada elemento de una fila (o columna) es igual a la suma de dos cantidades.Sc.d2b1
fa. el valor del determinanfe no se altera.Si /as filas de un determinanfe se cambian por las columnas conespondientes..):
lz i rl=fi z i] o*t ) L. M.Sicada elemento de cualquierfila (o columna ) de una matriz se multiplica por un número k y el resultado se suma (ó se resta) al elemento conespondiente de otra fila ( o columna ).
ka. el
determinante puede escnb¡ise como la suma de dos determinantes.
= k a1b2.7
k puede sertambién un factor común
de los de una fila o columna
[o n ...Si se intercambian dos filas o dos columnas de una matriz.r'.
br) = d1b2-o2b1
Método'de los elementosl de la diagonal 4.5= 27 + 27 -
Propiedad 7.-
A=40-28=
( se da elcambio
de signo)
9x6-10=44
L t*t
s+¡
3l=[? 3]+t"..l
5+ 27 .-
5-l 7J
A=28-40=
f¿ La
Propiedad 6. para determinantes mayores de orden 3.Método Pivotal
NOTA..lú n)
[1 e¡
44-42=2 -28+30=2
DETERMINAII.
Propiedad 3. se aplica los srgurenfes métodos:
1. METoDos DE cÁLcUI:Q DE
C.rrrr)
n=ú
Propiedad 4.Método de tos cofactores 2.Sc.-
.Esfos son aplicables a cualquier arden (lncluido 2 y 3)
.Método de variante de cofactores 3.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
fo L..-
r=f¿
A=28-4O=
. M. se mult¡pl¡có a la primea fila por -3 y se resto a la segunda fila
Como pudo verse.TES
En este caso.. Washington Medina G.. ta resotución de determtinantes de segundo y tercer orden se la realiza directamente con diagonales.
donde'el determinanfe es e/ resultado de la suma de /os cofactores.Se calcula los cofactores 3.!"'"'
=(-1)¡*i*Mi
Ejemplo 17: Calcular los cofactores de /os ejercicios anteriores:
17 Msz= 4
M3z=
Crr= (-1)3+2 * 17 = (-1)S * lT = -17
(1)3+2 * 4 = (1)5* 4=
lJna vez identificados los meno res complementarios definido por:
los cofactores...:i:iáy.':.Se realiza la sumatoria de /os productos de cada elemento de la fita o columna escogida por su correspondiente cofactor.=rau* ?l)<.
determinante viene
A=É or*c. Washington Medina G. u ?1 21
L.:..::..*»
M.-El menor complementario de un elemento aij es el determinante resultante de eliminar las fila i y la columna jdelelemento escogido.::..r ta éxpansión por los cofactores.:i:::i::.
Método de los cofactores.
coractor -
a =L.
.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. de preferencia la que contenga la mayor cantidad de ceros.3'{iÍil.Se escoge
una fila o columna para hace.
sl l-s 2T 3)
n=lf j
¡r.¡
cáilcuta
en este métodoes
e/ srgur'enfe:
l.Sc.Y¿3:.
Ejemplo 16: Calcular el menor complementario
la siguiente matriz:
A...Esfe método utiliza los menores complementarios.
Menores complementarios.::. M. O 1)
13 "') lf
= 6-5=
Msz=l-6
t¿ il 4-l =16-12=4
comptementario
Matrices y Cátculo Diferencial e integral
lng.Sc.
2101 3 1 o 2
c6=(1)xs[.Washington Medina G.
Ejemplo 18.1)3*"
=-(21-10)=-11
' Czt * On* Czz + €lze' Czs 1+3* 4-2* 11
I par tener más ceros:
ca3={.
Catcylareldeterminante-delassrgurbnfesmatrices:
I¿ 3
Escogemos la fila 2:
t 3J b11
c2¡=(1)2*1
fz 3J il
=-($7)=l
= ($-5) = 4
c22*(-i)2*2
[.il=*
(-l)34
a3/# a n:csz + a ocr?Ác*
[..0
4=-56
Método de variante de cofactores.(1)
l-s 2 [.
z!.^iil '.iil l:.
A=2'.Cuando elteorema se aplica a determinantes de orden elevado. ? '.Matrie¿s y Cálculo Diferenciale integral
lng.Transformando la matriz triangular superior. Washington Medina G. 2
li 3 La z
*'. Catcular tos determinanfes de las siguíentes matrfces
s). '.
triangular inferior o diagonal. [ A
111.iA [. el desanollo completo requiere de una gran cantidad de operaciones aritméticas...Sc.
12).I 1).ut
ejemplo 20 :
ca=(1)8
rl [-s 2 t. ft
VtI) lzrii)
3 2f tqf l 1 o t1
A. el determinante
. enfonces es conveniente utilizando las propiedades ya indicadas (especialmente la propiedad 7) transformar a ceros la mayor cantidad de elemenfos de la columna o fila escogrda y aplicar el método de /os cofactores.)". '. p i '.
lo lz [o
t 4l z)
Método de los elementos de la diagonal.l
A=a31 *C31 = 1'(-1)t*'
EJERC'C'O§.(21)+2*15 *44=-12
..Sc........2)(-t)(-z)
Itlt6
eH . 2os [o
1 1 6I
14 t-llo 10216
1'u...... :.-.....Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng....-.. A = att * azz * d3g...... eldeterminante es -12
l-s 2 I¿ 3 Ls t
Método pivotal
2l s)
| ..án
á23.........
se calcula multiplicando los elementos de la diagonalde la matriz equivalente.. M.1. Con matriz diagonal....4M
Esta puede disminuir su orden con
Siendo el Pivate elelemento
f ar......... dernostrar que transformando a matriz diagonal la matriz indicada... Washingrton Medina G......-f
'.......li
1 6l 4 2T t tt
l* 'lz: "':'F
I o 1427
A4=(1 *7*7....r.... lo lz'.......¡..........-29)(-l)
A4 = +29
Ejemplo 22.......
I ilnt
ote......* ann
lz l¿
ft 1 lz 4 l¿ 1
164 1 6l ?)
116 216 3 215 116 1427 0 748 0I59
Como matriz triangular superior.
......á¡
Qñ..
a 1(............
='"' fú I
r-.*l
€ts I latt
101 oI 2 2l
'z11
(3)*'
it it t. calcular el determinante aplicando el método piwtat
13). M.
'f t lo
5 nl)
Ejercicios.Mafices y CálaIo Diferencial e integral
lng.\ l.J
il".ostft:s
. Wash¡ngton Medina G.
i)''li i i
(a..Sc.'ú l
=o.)*"
átt Qzt €tt €|il
Sc. cada fila ó alumna tendrá su factor amún. lo que implica que al calcular el determinante.
.rrl21-1 4 5
Cuando una matriz esté afectada W una factor amún. se debe entender que este pertenw a cada uno de los etementos. .
(-2\
f t l+ l0
It It lz L
111 o ol
métdo:
recomrbnda el siguiente procedimiento Calculamos eldeterminante L.
slrendo
. Calculamos la matriz de los menores complementarios) Calculamos la matriz de /os cofactores Calculamos la matriz adjunta (transponiendo la matriz de los nfactores) Calculamos la matriz inversa considerando que
I. M.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. Washington Medina G. . .
El determinante será
. Calcular el determinante por cualquier
. pr lo que el cálculo del determinante implicará también el facfq smún elevado a n donde n es el número de
ejemplo. .e
1o-3021 1 -11 -2 0 1 o o o 3l o 2 I -1 4l -1-102o_l
Aplicación de determinantes al cálculo de la inversa (utilizando la matriz adjunta).l
=ll)' ^ \ 20/
Calcular eldeterminante por fodos los métodos:
In 3 :"'l s)
Solución: Date¡minante = -2 Matrlüde
Jo. Calcular
la inversa de
t..y Gálcrdo Dibnencidr iartegral lqg.
s wnpWpntarhs
-'.-l
-1..?
Maúices.:.s
23) 4l 43)
Ejemplo 24.3 V
i¡yelsa utilizando la matríz adjunta.
fi í
oof-acforcs
lnvers
Washingto{r ü¡tedina G. . -s t..
L.'"1
l:.:)
""'Au Xr Clzt Clzz Orr"""'"iLzn Xz
5x + 4 =
(para expticarlas rarbes
o soluciones exclusivamente)
Por lo tanto la ecuación se transforma en una identidad:
X=1 t X=4 +
1-S+4=0
16-20+4=0
Srbndo las solucion"" 3= {1....2"""""O*
Y en forma simplificada:
A* X =
A = Coeficientes B = lncognitas C = Términos lndependientes
Clnt Clnz O.tJna ecuación lineat es una ecuación cotn variable de primer grado.'QnoXn= bn
A esfe srstema puede expresarse matricialmente así:
Att Clo On"":.S ISTÉ.-. M.Sc. Washington Medina G.MAS
DE ECUAC'O'VES LIN EALES
El estudio del álgebra de matrices nos lleva a buscar fas soluciones de un sistema de m
ecuaciones con n incógnifas sea esfe de m x n donde :
m> m<
Recordando que una ecuación es un igualdad entre dos expresiones.
OntXt* A.Matrices y Cálorlo Diferencial e
b. se drbe que todo número que satisface a una ecuacón es raíz o solución.-. Donde a 0 Esde laforma ax + b=
Consideremos et siguienfe sisfema
ottxt+ ooXz* cloXt* """""oux.4} Ecuaciones líneales.. y que esta puede transformarse en una identidad para cieftos yalores particulares asrgnados a las variables.
O.=bt
dlztXt* AzzXz* OztXt* """""AznX^= bz
ClztXr* azzXz* azzXz* """""C|*Xn= b..zXz* An Xr* .
x.. slbmpre /r = Az= As....
0..-Si A=0yporlomenosunAi*0elsrsfemanotienesoluciónysellamaincompatible 3. bs....=?
A..= An. dependiendo del valor del determinante de los coeficienfes se presentan /os srgurbnfes
casos...S¡A= 0y Ai= 0 para fodos/os valoresde ihaydosposibilidades: 3. .2. b-...S¡ A * 0..Un srsfema Ax = B.= An= 0
lJn sistema homogetneo dé"ecuac¡ones lineales de n ecuaciones con incógnitas tiene solución trivial cuando A *0. e/ slsfema puede o no ser compatible (puede o no tener
Sistema no homogéneo de ecuaciones. Washington Medina G.= Xn = 0
Un sistema homogeneo de ecuaciones lineales de solución distinta de la trivialsi y so/o si A = 0
n ecuaciones con n incógnitas tiene
" El tener solución distinta de la trivial inplica tener infinitas soluciones "
..Una de las aplicaciones para resolver los srsfemas de ecuaciones es la regla de KRAMER.. .. M... 2..1.... elsrsfema tiene una solución única. x¡ ) B = ( br.. bz.. y se dice que elsr'sfema es compatible. Es homogeneo si
fodos /os términos independienfes son iguales a cero ( B = 0 ) En este caso.... es decir
-'........Matrices y Cálculo Diferenciale
Sisúema homogeneo de ecuaciones... x.... f.'..'
1..Si A = At = Az = As.-........ Es no homogéneo siy so/o si B * 0 Un sistema no homogeneo de ecuaciones tiene solución (tnica si y solo si A que A sea una matriz regular.=T
SiemPreYcuandoa*o
ó determinatnte delsisfema j correspondiente a los coeficienfes de la incógnita que la en el columna =Determinante Xj se la reemplaza por la columna de /os términos independientes. x2. xr=ff A. que haciendo uso de los determinantes permite elcálculo de las incqnitas así:
A..Que tenga un número infinito de soluciones (cuando tiene un n(tmero infinito de
so/ucrbnes se denomina dependiente o indeterminado) 4. es decir sus so/ucrbnes son todas iguales a cero y es la única solución
Xt = Xz Xs.. Sistemas de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incognitas ( n x n ).Sc."..
e=( aü)
X = ( xr... bn )
11.. \.....Tipos y metodos de solucion...lJn sistema de ecuaciones Ax = 8..
Determinante de /os coeficientes A
Pero.Que el sistema sea incompatible 3.....
42-32-z=0 2z+y-32=0
0=0 A=0
Comprobación: 2 (2) + g(-1) .z=0 x.-
23-r) 1 -1 o+3*il
A= 1*(-1)a
-3 -4 +3
l.y-32=0 *+3Y+ z=0
Resolver el g.2z
x= 5z =-z .)
[? :.sfema homogeneo.1
.. M. .:
Reemplazando para comprobación:
Por tanto podemos obtener tantas soluciones como deseemos. asignando valores arbitrarios a la variable z y calculando valores de x e y.
2x+3y. Washingúon Medina G.)
IIE^IE SO¿UCIOTVES Dí§IWTAS DE LA TRMAL <=
Para obtener fales solucíones se procede asl:
lntentamos resolver dos de las ecuaciones para dos de las incógnitas en función de la terrera:
2x+3y-z=0 ' Y-32=0
La tercera incógnita pasa a sertérmino índependiente
2x+3y=z
=-5*0
=-z-92=-102
1".Matrices y Cálanlo Diferenciale integral
lng.Sc. -5 x -y-32=0
Para z=7 2x+3y-z=0
=62-z*52
x= -102 .
M. se podrá resolver despejando x en función de y e z y damos valsres arbitra¡ios
x=y_22
Paray=2..X+2Y-Z =Q X + Y +Z + W = 0
.y +22=0 2x-2y+42=0 3x-3y+62=0
A=lZ
x-y=-22 2x-2y=47
ftr2') 2
4l 6)
=O(doscolumnasiguates)
anái'sis con /as ecuaciones
¿!= ft
=-l+l=Q
x-y=-22
anátisis con las ecuaciones 1 v 3
3x-3y=-62 -47 3x-3y=-67
¿!=
lí \3
anát'sis con las ecuaciones 2 y 3 7t= 2x . Z=2.
Para z=4
$-12+4=0
Ejemplo 27 :
x.Sc.súemas que tienen mayor n(tmero de ecuaciones gue de incqnitas.( m > n ) Se los conoce así a Ios sr.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.2y =
(Z 2l L3 'il
Como en los fres casos A= 0 (pues las ecuaciones son equ¡valentes). z=0. Washington Medina G.
/:'j
siguiente s.lsfepa
de eanaciones:
3X+4Y-Z+W=0 3X+4Y_Z+W=0 . Sistema de m ecuaciones
n incognitas
Sísfemas redundantes.
Washington Medina G.H)'. M.
i.'.1 1 2
4. y hallar la solución del sistema.''':tt
Para que sea compatible debe cumplirse que eldeterminante eliminante sea cero.¿
5*1+2*3=11
Eiemplo 29.
ii)= i lZ lz 2 11) [s Lá
=> ES COMPATIBLE
*:a:li 5x+2y=11
i '.i i
A=1 65 + 220 + 68 .
5x+4y=17 2x+3y=11
Para que sea compatible se comprueba en la tercera.255 . entonces el sistema es compatible.|. Calcular el valor de k para el cual el siguiente srsfema redundante tenga única sotución.Una condición necesaria para que un sisfema lineal no homogeneo redundante de m ecuaciones con m -1 incognifas sea compatible es que el determinante de orden m formado con los coeficientes y los términos independienfe sea igual a cero.4
. . " Lg '. Eldeterminante así calculado se llama determinante eliminante.
2x+Y+z=k x-Y-22=-2 3x'Y+z=2k x+2y+Z=1
r2 |-@T)(-? I t
L.Reso/yer el sisfema. caso contrario es incompatible.110 .1.ifl
1 'l'.Sc.n ecuaciones resfanfes.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. I 3*J E
Su solución se la encuentra una vez que se comprueóa..88 = O
Tomo las ecuaciones (
I y 2 ).
Ejemplo2S . si la solución sarlsface a las m .
resolvamos oon /as tres primeras ecuacrbnes:
.X3 Reemplazo en 2) :
Dpspejo X2 2X1
+5(4-Xi-X3)-2X3=3
2Xl+20-5X1 -5X3-2X3=3 -3X1 -7X3=-17
.3 (?k) = g
Comprobación resolviendo el sisfema:
2x+y+z=3 x-y-22=-2 3x-Y+z=6 x+2y+z=7
Por ser un srsfema redundante.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.sfema defectuoso es posible despejar y determinar m incógnitas y asignar valores arbitrarios a esas n . En general.t
021+k -3* 0 5 111
A = -3 (8+4k-*Sk) = -3 (3-k) .7x3
Una vez despejado.2 (1) + 2 = 1
y=-1 Z= 2
Reemplazando en la ecuación restante:
:.j:.. washington Medina G.m resfanfes. Ejemplo 30: Reso/ver elsiguiente srbfema de ecuaciones
2Xi + 5X2 -
2X3 = 3
(concluimos que para k=3.Son aquellosen /os cuales el número dE ecuaciones es
Esfos sisfema§ poseen infinito número de sotuciones.(Por sustitución)
de 1) XZ = i'.'Xt .e/srsfema tiene sotución)
SÍsfe¡nas defecfuosos (m
menor que el número de inúgnitas. asumo un resultado general para X3:
7 6+2kl 1 1 ) (-2)(-3) [t -3*7*(-1)o(2 l+kl
n). M.Sc. en un sr. 1
4+k)
A=-11
4=-11 Az= 11 As=-22
3-2X3 = 17-7X3
3+2X3 5 I
4-X3
3+2X31
* -o Xz=-i¡3
13....Matrices y Cálanlo Diferenciale
lng. Washington Medina G.=T -Ta 54
Xz=-1+1a
Segunda Forma . en una matriz ampliada. Por último.. por eliminación calculamos /as rniognifas. M. Métodos
de soluciónde sísfemas de ecüacíones líneales.sfe en formar la matriz ampliada con los coeficientes y los términos independientes.
i.r1
=3+2X3-8+2X3 =-5+4X3
Xt=a
Xt= ¡3 .sfemas de m ecuaciones con
n incógnitas.. :: .
Ztz €tzz lsz
Expre. así. cons..
Este método es aplicable a sr. "r.
maticial.sando tendríamos:
el sr.Sc. Lar.sfema de ecuaciones en forma
(ar.(Por determinantes)
X1 + =42X1 +5X2 =3+2X3
Se consrdera como x3 oomo término independiente
2 5l 4-X3 1 2
=5-2=3(*0)
1l = 20-5X3..
Mafiiz amplíada (metodo de gauss)
Se lo conoce también como rnétodo de eliminación parcialde Gauss.zs Qea
$riangular superior de preferencia).
6x3 = -1 .ll
tils.ilff''
i¡r--l
2 s -ol -11-H) 3 2 tl ol I -) 3 -4 -sl -61 1-1 tl tl o 5 -zol -tsl -)
o -1 -261 -ztl-¡-r¡
2 3 -ol -tl 1-1 tltl 3 -4 -sl -ol
o 5 -zol -ts o t zalzt
1-1 01 05
-2ol -
=3 =-/ =§ =I
261 ztl -tsol -tsol
1 . -2ll
olq)
Y+42=-l si Z=A + Y=-2-4a
Y+42+2W=-2
Ejercicios. 0
1 2 -3 -¿l ol o t 4 2l-2ll
oootlol
o 1 4 zl o o o tl
-11 -sl loli.sfema 2x1 + 3x2
-3xi-2x2 3xl -4x2
.5x3= -§
2 s -ol -3 -2 -tl 3 -4 -sl
-ol.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. Resolver los siguientes sisfemas redundantes de ecuaciones.
matriz equivalente (utilizando transformaciones de fila)
EJEMPLO 31: resolver elsr.Ct) -ol
ii.X3= -6 . M. aplicando transformaciones de fila:
22) 2X+Y+Z X-Y-22 3X. Washington Medina G.Y+Z X+?Y+Z
X+2Y+Z=2 3X+Y-22=l 4X-3Y-Z =J
2X+4Y+22=4
Ejemplo 32.1. Resolver elsiguiente srsfema de ecuaciones (defectuoso)
X+2Y-32-4W=6 X+3Y+ Z-2W=4 2X+5Y-22-5W=10
o t 4 zl
o 1 4 3l
1 2 -3 -¿l 6i-l
10-11 0142 o001
-zl.ál .H)
-21-)
Cz).Sc.
Calculamos los e.'*ll*z l..onespondientes determinantes. Washington Medina G. zzt zzz bz L ..
) zzt bz zze bs ass ) ( ?tz b..
{ zzt zzz ^ L . )
Xr= L""
arg ''l
Xt=T '. Para este método se debe recordar que:
Si A *0 elsisfema tiene solución única Si A = 0 y por lo menos un ai *0 ei sistema es incompatible
Si A = At = A2 = ¿!. l [rr ] l o.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. =.'.r. ?sz
( an bt
?zs
^. I A. L .
r\ ?tz . el sLsúema puede sar compatible o indeterminado..r......An = 0. osz
A. i) l= loz .t)
A.. .. .r..
Método de solución de sísfemas de ecuaciones co¿ apticación de la matrlz
inversa.!.1. ) L o..
A.. Se debe recordar gue para que una matriz tenga inversa. zsz b. I ".. M.'. A *0 (matriz regular).
.x=!
X=A-t*B
Donde A'' es ta matriz inversa de A...UVá L.
.= L A*X=B
I bz dzz L O.:.
X-112=10+X=10+lla
Método de Crammer
Se lo aplica en sisfernas homogéneos y no homogéneos de m ecuaciones con n incógnitas..
( att ( b.
.-. I 1".Sc.
. 1/6}
o eliminación gaussiana
Este método es de mayor utilidad pues en base a transformaciones (re@mendable de fila). ss/18.:.2. se lleva a una matriz equivalente de tipo escalonada.
2x+3y+ z=9 x+2y+32=6 3x+ y+22=6 231 ¿t= 1 2 3
I 2 (t -s ze)
lt [s
=(1/18) lt
-52') I -Sl
1 -5 6 | 7 I 6)
S=ll. de elementos unüarios en la diagonal.={21/18.17.
'--:r
Ejemplo 34._2.
._2]
2X+ Y.Sc.3..4.\/./+Ql. Resolver el siguiente srbfema:
3X+2Y+Z-2W=4 2X-Y+22-5W=15 4Y+2Y-W=1 3X-22-4W=1
Ejercicios.-2.Matrices y Cálculo Diferencial e
24) Por Crammer
Xl+X2+X3+X4=0 Xl +X2+X3 _X4=4 Y1 +X2-X3+X4=-4 Xl-X2+X3+X4=2 .=g
2X+3Y+Z+4W=:5.2}
27) Comprobar si el srsfema siguiente tiene solución:
.-j. resofverfos srgurbnfes ejercicios por los métodos indicados.Z+ W=4 X+2Y+22-3W=6 3X _ Y. M.
26) Usando la inversa:
S=fl._lj
+4X2+3X3+2X4=2 3X1+6X2+ 5X3 +2X4-3 2X1 +5X2+2X3 -3X4=5
4Xl + 5X2 +14X3 + 14X4 = 2
3={-41
. Washington Medina G.
(Rsp = -11
2X+KY+Z+W = Q 3X +(lGl)Y-22-W = 0 x-2Y+42+2W = Q 2X+Y+Z+2W =Q
32) Determinar si el s.Matrices y Cálculo Dtbrencial e integral
lng.Sc.9x5 =3
.3x4 . Washington Medina G.sfema es compatible y resolver
2X+Y-22=4 X-2Y+Z=-2 5X-5Y+Z=-2
34) Resolver el sistema de ecuaciones
XÍ+x2-2x3+x4+3x5=1 2x1-x2 + 2x3 +'2x4+6x5= 2 3x1 + 2x2 .4x3 .
X-3Y+22=4 2X+Y-32=-2 4X-5Y+Z=5
28) Comprobar siel srsfema tiene solución
4X-2Y+62=8 2X-Y+32=5 2X-Y+32-4
29) Resolver
2X-3Y+42=O
3X+2Y-32=0
X+Y -22=0
30) Reso/ve r el siguiente srsfema
X+3Y-22=0 2X-4Y+Z=0 X+Y-Z =Q
31) Hallar el valor de K Para el cual el g. M.sfema tiene solucién disfinfas a
la t¡ivial.sfema es compatible
33) Determinar si e/ sr.
35) Resolverérsisfema
=l =l 4x1-3x2-x3 =J 2x1+4x2+2x3 ={
X1+2x2+x3 + x2-2x3
Siel interualo incluye a los valores exfremos a y b. TEORIA DE LIMITES.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. etc. g. c. a ) . generalmenfe se /o designan por las últimas letras del alfabeto. d. b.y.
Siet intervato
no consideÁ los
extremo.=.
lntervalos. las funciones pueden
representarse en forma analítica.-
Tenemos una función cuando para cada
valor de esfa variable independiente X. -7 .z. M.
o aleatorias cuando mantienen un valor ftjo para un problema en pañicular. el intervalo cerrado
(a. Se /o como
representa generalmente por las primeras letras del alfabeto así.b) a<X<b
Y siel interualo incluye a un solo valor extremo a ó b.Sc. e.s.Se llama intervalo al conjunto de todos /os yalores numéricos de X.
lnterualo:Ja.
Las consfa ntes pueden ser numéricas o absolutas. comprendidos entre 2 números arbitrarios a y b. el intervalo es semi cerrado
)a. tabular o gráfica así. 2.s se denorn inan infinitos
(a. el módulo de elasticidad. es
un intervato abieño.b[.b(asX<b
[a. le un único valor de la variable dependiente Y.
.b) a<Xsb
Si tos intervatos
extremios ao. etc.a<XSa
¿e un" variahle. Washingüon Medina G. . 2./. etc.
.esfán defínidos tos interuato.
. o por las letras del alfabeto griego así.
w. por ejemplo: la aceleración de la gravedad.x.
mismo valor en
etc.+ a 1 a<X<+a
(-n.-
Variables y constantes.Una variable es un símbolo al cual se le puede asignar en un problema diversos valores. cuando conservan fodos /os problemas así. e.
Washingúon Medina G.
)-::'/
Los valores que puede tomar x se denominan Dodf/iNIO de la función
Df= (.:-:.
*.Matrices y Cálado Diferencial e integral
lng. + a)
Los mlores de la funciüt flx) se denominan CODONINiO
reoonfolo de la función
= (-a+ t)
.a. en la cual el valor de X puede tomar cualquier valor numérico así.
f(x)=$¡¡+2
f '.J
que cotresponden Las funciones pueden ser confínuas @mo por ejempto Y. = parábola. M.Sc.2
v ar¡abl e indepe n d ie nte variable dependiente con§fanfes
fotma grffica
t(0.041 2.
Las funciones también pueden ser D¡scont¡nuas. que corresponde a una hipérbola cuadrada en la cual el valor de X no puede tomar el valor igual a cero.
a (no está definido
Dominio de la función ( en eleje x)
Df=(n. Limites y continuidad
Límites: Cuando se habla de la velocidad límite.000 0.1 -0.0).5 4
.98 0. por tanto decimos gue el límite de f(x) cuando x tiende a cero (0) es igual a 3. el llmite de la resistencia.001 2.
xo-€
xo+€
s = f(k)-
-0.998 0.Matriees y Cálculo Diferencial e integral
lng.1 2. nos lleva a pensar que el límite es una medida que a veces puede no ser alcanzable y otras puede ser superable.998 o.98 -0.01 2.8 2.0) (0.000 3. Washington Medina G.5
-0.+a¡
15. el estirar un resorte hasfa su límite. por ejemplo Y = 2 / x . toda vez que la división para 0 no esfá definida así. tanto mayores y menores que cero el valor f(x) se aproxima a 3.Sc. para el efecto hemos utilizado valores € menores y mayores al valor xo escogido para el análisis.
Analizaremos la siguiente función: y = 2x +
f(x)=)1¡+3
Si esfablecemos una tabla para conocer el compoñamiento de t(x) cuando x tiende a cero (xo =0 valor escogido al azar para fines explicativos) se oóserya que para valores de x. M.+a)
Cadominio de la función (en el eje y) Cf
=(-a.8 0.01
Teoremas sobre limites. así:
f(x)=r--5-r+6 . w. v.-
En el cálculo de límites se aplicarán /os srgturbnfes feoremas.c x+o y
Límite de la Patencia
El límite de la función elevada a un exponente n es igual al límite de la función
'todo" elevado a la n. son funciones de una variable x y c es una constante: a) Límite de un polinomio. tjglf @) = r.
de una suma algebraica la suma algebraica de funciones es rgrual a la suma de sus límites
lim (u+v+w) = lim
+ lim w
Límite delproducto de funciones El límite del producto de funciones es igual al producto de sus llmites
Alcance: lim (v+c)
= lim v + c
f) Límite det cociente Ae Aá§ funcdnes
t¡m!
s lirlU liol. se obtiene 0 / 0 que es una indeterminación Solución:
lx+3)(x-3) x+3 t(x)=(-r+3)(x-2) =-=ó x-2
(x) =Z
En los límites queda excluida la división para 0.
='# . Siendo f(x) = K.Sc.
tjy"f(x)= f(c)
b) Límite de una consfanfe.. Sif(x) es un polinomio. M.*'-' Reemplazando x=3. Washington Medina G.
lim (u*v*w) = lim u * lim v * lim w
Limite de una constante por una función
lim (c*v)
= c * lim v.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. donde u. queda excluida la divisién para
queda excluida la división para
lim9 = :.. por no estar definida. su límite se calcula por sustitución directa.
Por eiempto,
,j¡:=l=
140 1000 10000
Pero, en el ejemplo anterior puede observarse que cuando x tiende al infinito, la
función se acerca a cero, de lo que, en resumen:
Iim f$\
X -+Cr
inf inito s
tnf inito
limf@) X-rta
lím¡res
19. Límites particulares.'..'.1
Son cr'ertos límites útiles para hallar el limite del cociente de 2 polinomios, cuando la variable sea infinita o cero.
En tos siguientes límites x es la variáble independiente y c una constante diferente de cero
FORMA DE LIMITE
llm* = d r-+0 ¡
lim9 = A
d c*d=d
Ir*cx=ü
llm- = d r-ra
'.::.:.
-=a c
Ao =O
i;:.1
cuondo Ol g
A'=o
lndetemtinacfones; Cúando no es factible realizar una operación convencional, se dice que existe una indeterminación, prduciéndose los stgur'enfes casos.'
a/a 0n a *a
3¡-1 . Jl+x-2 um¡+0 X
f -)J
6..*r
18. enfonces este límite la izquierda acerque a cero no existe o podríamos asumir que:
función I =lx2
lim\ x-f)
Eiercicios sobre limites
t.'Xi:?:!'o
3.fr?¿':.f.
¡+3
llfllx+r
.. Washington Medina G. ¡ -5-rl ¡
t \' t¡^( .
(3x+t¡'z(3x-1)2
t-+o ./
22..r .Matrices y Cálatlo Dfferencial e integral
2.-"\r+3.
2..Sc.sen 5 um¡+5 ¡-5 fi*(3* t\'
. sen .
tjyl*sen2x) . x' -7 x+lo htn ^ x+o yL -x-2 xz +2x+l
.-. Continuidad y dicontinuidad de una función.
{/¡ 4 [
llm¡¡+0
. _ Jt+ * -z
7. sen4x
19.:.
/ I \.
t:*li)
24.¡
3. ttr+l ltmltmr-+0
i 1x-t
x'-3x
13. Catcutar siguiente et tímite: l¡m r-r-t
Como ta función
Y = 1 / (X +1) tiende a valores
Z|..
lim ¡-rl lim
x'-4x+3
lJna función f(x) es continua si cumple Ias srguienfes cond¡ciones:
.¡g+1 .x'-x ltm
r+0 ¡r^ . l-J"rs.§:":?:.. x-5
Analizar et límite de
diferentes segÚn se se acerque a cero por ta derecha'
:l¡mL x+0 y¿
tiende a valores diferentes segÚn se por o por la derecha. 8.
. M./2t
7 4x+g
.-o\4 .
fal es e/ caso de la función 1/(x-1) que no está definida en x=l.2.
1.Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng. Washington Medina G. El incremento de la variable representa con el signo b< que se lee delta x. Ax = 5 . calcular Ay al incrementar Ax en la función planteada y + Ay = (x+Ax)2 + 4(x+Ax) . calcular el incremento Ay para. entonces Ay iniciará el incremento toma independiente correspondiente de la función f (x).Sc.-_¿
Considerando ta función y = . La ivestigación de problemas de este tipo llevó a Nev. es factiblg calcular Ay de acuerdo al siguiente análrsrs:
y = yz cabular Ay a. Variación. f (c) está definido 2. constituyéndose esfe en el instrumento científico
más poderoso del matemático moderno.5 = 5 con Ax=10 Ay=5+10-5=10
Comparación de incrementos.-
lntroducción.tton al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálcuto lnfinitesimal. x=5. por lo tanto si vamos a dar valores a Ax.l:incrementar Ax en la función planteada
y+^y=(x+Ax)2 Ay= zxAx+Ax2
Si y = x2 +4x . y=5. M. el incremento Ay si en y = f (x) la variable incremento Ay. si a la variabte x le incrementamos valores pequeños Ax.
rjylf@= f(c)
lJna función f(x) es discontinua en el punto xo. se concluye que la función f (x) se altera en un incremento Ay. El problema fundamental del cálculo diferenciales el esfablecer con toda precisión una medida de esfa variaciÓn. Ax =
1. quer pertenece al campo de existencia de dicha función o que es punto frontera de dicho campo.
Sea y = x .2 * 2xAx + + 4x +4Ax -2 y + Ay = Ay = 2x Ax +Ax2 + 4Ax
. sl en esfe punto no se verifica la condición de continuidad de ta función.. Vamos a analizar el valor de una f(x) al variar.
23. Ax
yily=x+Ax
AY= x+Ax-Y
conAx=1 Ay*5+1-5-1
con Ax= 5 Ay= $+5. tjyif@ existe
3. El incremento Ai de una variable que pasa de un valor numérico a ofro es la diferencia que se /a se obtiene restando el valor inicial del valor final.
eltímite de ta función f(x) = srrá 8. obseruemos elcompodamiento de la razón
cuando Ax -»
y el incremenfo es decreciente
451162599 46216362010 4.6 0.
.25 4.25 4 4
Etdesanotlo delcálculo infinitesimal surgió de 4 problemas básicos:
El problema de la tangente El problema de la velocidad y aceleración
El problema del área.iyr(r*+ P+4)=2x+4
y=x2 +4x-2
Ax+Ax2
+4Ax> 4=Z** P+4 fi
ta siguiente tabta tomamos para análisis et eiempto y = x2 de donde Ay / Ax = 2x + Ax sí x = 4.16 5.8 0.1
16 16.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng.16 4.8 16 2 3.Sc.
lncrementos: Delanálisís anterior sobre comparaciÓn de incrementos.81 0. con solo tomar a Ax lo suficiente mente peq ue ño. así:
(xr.04 7.1
0. así:
y .Yl
Es factibte encontrar la razón Ay/Ax Ax tienda a cero.6 8.6 4 4. se oÓserua que el incremento de una variabte que pasa de un punto a otro es la diferencia entre el valor final y elvalor inicial.5 16 20.04 4 16 21.5 0. Washington Medina G.8 8. Ay sea tan próximo a como deseemos.81
frlrf(x'l =t
Bajo este criterio et anátisis indicado nos lleva a concluir que podemos hacer que el valor de la razón Ax .1
así como et valor límite al cual se acercaría cuando
=2x+
liry(Zx+
fi) =2x
8t.= x2
el problema de haltar ta tangente en un punto se reduce a hallar
pendiente de la cu¡va en dicho punto:
((x+Ax). eiemplo:
21. en un círculo se interpretaría como la peryendicular al radio.
El problema de la tangente:
Cuando se hable de la recta tangente a una curua en un punto.:l
Se enfiende que (Y+¿Y¡ =f(x+Áx) Considerando que una recta secanfe pase por los puntos (x. M.Matrices y Cálodo Dlbrenciale integral
lng. así:
pero en cuyas más variables. f(x+
. (x+Ax)) La línea secanúe tiene como pendiente: frsec = Ay/ Ax
. Washington Medina G.Sc. el problema de definir la tangente se torna difícil. f(x)) y ((x+Ax).
mientras mas tiempo transcurre incrementa su
velocidad. El problema de la velocidad.
Pero. M.
rTrsec
= f(x+Ail)-f(x)
Sj se desea obtener mayor aproximación a la tangente de un punto..Matrices y Cálculo Diferencial e integral
De to explicado.
distancia reconida
y el tiempo utilizado.: . se tendrá que aproximar a cero elincremento Ax:
((x+dx).x'
25. se puede deducir que la velocidad promedio
calculable así:
velocidad media es
. Washington Medina G.Lxz -2x lim.Sc. en forma más precisa.
si un objeto es dejado caer libremente.Ar+0 AX
com1 m=tagQ=2*7=2
g=arctg2=63. Encuentre la pendiente de la tangente a la curua Y = x2 en cualquier punto de la curua. s = f(t). f(x+
De to expuesto.
entendiéndose gue. ZxLx+ . tomando los concepfos de tímites se define que la PENDIENTE DE LA TANGENTE ES Et LIMITE DE LAS RECTAS SECAilTES CUANDO b( TIENDE A CERO.
si registraríaffios con un velocímetro verlamos
que en el reconido se
velocidades diferentes (que no es precr'samente la velocidad media). si gl espacrb recorrido depende del tiempo utilizado.
m= lim(x+
Lx)2
+ZxLx +
A.s= ily..
p. El movimiento de un cuerpo u objeto de un punto a otro mantiene una velocidad promedio
gue puede calcularse como la razón entre
.m*=
*!rÍ9#9
-x2 .'*
^r+0 xz
Ejempto 36. y la inclinaciÓn cuando x = 1..
. y' .2!x + 5 .Matrices y Cálc.2 (x+Ax) + 5 .
A ta derivada se la puede representar med¡ante símbolos. Reglas de de¡ivacíón.2 (x+tx) + 5 .1
Y+ LY =.2x .
El proceso para deducir la fümula de derivación de la función sen x sería:
. Washington Medina G.Sc.r*Ax
Concluimos que la derÍvada
á :..2x +5) Áy = 3*' + 6xux + 3^f . +Ax-x
de x es igual a
t fi{i
l¡mN _
^¡-+0
1 _ .pf . M.2
27.3i + 2x . para resolver derivadas de cieña compleiidad
es conyenrbnte ayudamos de reglas pre-establecidas deducidas del análr.ulo Diferencial e integral
lng. f ' (x) Ejemptos: Derivar las squienfes funciones aplicando el criterio de incrementos:
37) Y=4x-3
y+Ay=4(x+Ax)-3
AY= 4(x+Ax)-3-Y AY= 4(x+ Ax)'3-Hx-3)
Ay= 4x+4Áx-3-4x+3 aY= 4Áx aY= 4Áx
AY/dx= 4 Y'= lim(aqlax) = 4
3S) Y=3x2-2x+5 y+Ay = 3 ( x + Ax)' ..2 (x+ax) + 5 Ay = 3 ( x + lx )2 .5 Ay= 3Ax2+6xAx-2Ax Ay/Ax = slx +6x-2
y= 3¡*
y' = lim
(Ay/ax) = 6x . como: dy / dx . como en la siguiente explicación:
:-1.sis
Deduzcamos una fórmula para derivar y
aplicando simitar criterio de conformidad a cada caso.Y
2x4x +¿x2) .lJna vez aprcndido el concepto de derivada. i
N=x+Lr-y
/im sen§ .!!i ar+o Ar t*
Concluimos que la derivada del sen x es igual a:
. z Ii. pudiendo resumirse en las más fundamentales o más utilizadas que son /as stgutbnfes:
28. se puede crear una sene de fórmulas de derívación para una aplicaciÓn directa paftiendo de fas princípales reglas.
Y+LY=sen(x+Ax) Ay =sen(¡+Ax)-senx
a.. *4r)r"nAr 2 [ \ 2 i \ 2) 2
*AG=
.Sc. ----t -J= 2"oJ'*
&*')r"nl'* *-') = z*J. z/im(cos¡cor* Ly Á"+o' 2 ' a'+o 2 2 -r"nrr"n4I)*
-). Principales rcglas de de¡ivación:
29. Fórmulas de derivación de las principales funciones:
.(senr)
>-n'
= cosr lim? ¡¡ag l\f Av
En esfa forma.. M.'-§ =a¡+o fimcosx+ t¡*n".de derivación.Matrices y Cálorlo Diferencial e
lng. Washington Medina G.
(c rBI (c tg =. (. Derivación de iunciones compuesfas.
dx=dy du
(t.lr. Washhgton Medina G.Matrices y Cálotlo Dibrencial e integral
lng.s'tna ft<á = d
**". (1Í dx
I t xl'--IarCSen .lr_ *.§c.= y'.lx" _t
*ro'. 90s x).taderivadadeyconrespecto
a x vendrfa dada por:
.-c -c§ec -c selc 'r )= . d (*cos¡)=-¿
dx.r) dx
=xfila 'L -logoe x
30.*u'.
:.7 N. en otrg
notoción'.r tg¡ sec-.
AW l=nx
á(*r
"o.-:/
= v'-ttt' +ln
u * r¿'v'
4onr) cbc = x
4tor.
Ú.r lrx)=.
dtc' '
. esdeci4 y=Íg(x)l.
ft@"*d=#
ftb**r)=-#
{@nsu*)=--+-&\"'----'-' *rl*'=
{(or"cur)=--+ (R x. . Supongamos
quey=f(u)yque u= g(x). M. .*'
-2ax+6x'Y-Y' t yux -zxt
lng. inyersas y x' (deiivada de x) podrá calcularse de la siguiente forma:
la forma X = f (y). ejemplo 39): derivar Y = (x2 + 2)2
y'= 2$2
2f(É
Y'= 4(x2 + 2)
31. viene dada por la función f(x." y.
si y=f(x) =
+=+dx clx/.1
eiemplo 40) Catcutar x' de la siguiente funciÓn: Y = xz + 4x .. Washington Medina G'
Esta forma de derivación
es conocida como la regta de la cadena y es aplicable a cualquier
número de funciones denvables.
resolución de derivadas algunos ejercicios se presenfarán de considerando a y como variable indepeñdiente. ta derivada con respecto a x puede calcularse en la forma convencional y luego
despejar y':
Ejemplo 42): Derivar la siguiente funciÓn con respecto a la variable x. Derivadas de funciones no explícitas'
Detivación de funciones inversas-'
. en esfe caso f (x).'
8i ta dependencia entre'ix'..rz
+2f y-y'x=0
(7 yu y'
2ax + 2(3x2 y + xt y')
+ Y' ) = 0
. es decir en forma implícita. M. t (y) son funciones
a.]:].
. 2x+4
x'de:
/ = Sen x
-/'= COS-tr
derivada de funciones lmplícitas.5
y'=2x+4 =
eiemPto 41) Catcular
r'=J.Sc.
M.=---2t
Derivadas sucé§ívas (o de o¡den supertofl .ln(r + 3)
y'251
!'=x -'x+[-+x-2
Derivadas de tu nclones paramétricas.
identifica cuando tas variabtes
x. tomando en cuenta que en algunos casos será necesario recordar ta relación entre logaritmos vulgares y logaritmos naturales. Y'. y dependen de
Para su derivación.-
y x+l x-2 _2 5
x+3'
tJna función paramética se
parámetro (t). relación que viene expresada por:
log. se deóe rem¡dar el siguiente anáhsis:
x=f(t) y=f(t) = Ü-=+ dx a
ejempto 44) derivar la función paramétrica indicada con respecto a la vaiable x:
.Las derivadas de orden superior son los gue
veces.x
Ejemplo 43) Derivar la función:
'(x+l)2(x-2)5 (x+3)
y = 21vr1*+ 1) + 5 ln(x 2)
se obtienen derivando una función varias
Derivadas logarítmicas.Es la simple aplicaciónde los conepfos togarítmicos para facilitar la derivaciÓn.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.Sc.Y=r+senf x=t2 !"= l+cosf
x'r=2t
l+cot -.
Washington Medina G.
35.cos x
+tü^
Ejempto 4í):Obtener la tercera derivada de la funciÓn:
!=x5-x'+x'-l
-3x2 +2x
Para identificar las derivadas superiores se puede optar por las srguienÚes formas:
l"=2Ax3 -6x+2 Y"'= 60x -6
y(n.
!=x3-3x+1
v=-x-x -5x -2 ! =3xa -7xt + Jl
/=e'(5'+1)
. ta primera derivada de la vetocidad no es más que la razÓn de cambio de'ta velocidad con respecto at tiempo. .'. 23. Ejerciciós generales
de de¡ivación:
= logx*(arcsenx)
36. a esfe resultado se o conoce como aceleración:
=4 dt dv .
!=J¡/s **-t
y = (x')* y=sen(ln(r'z-r+1))
22..y
27.r .f(^r(r\ #
y =arctgx-areclgx sen .:.
! = 4**'
!=1n6"*Ñ.
33. o=a=\at=
.Sc.i
1_.3 -*x'* xx'
(ln 2)'
* v=J*+ " lnr
-.lnterpretación frsica de la segunda derivada:
Reardando et análisis de la vetocidad instantánea (razÓn de cambio del espacio con respecto altiempo).Matrices y Cálculo Diferencial e integral
'V=-2-x
+2x+l
38.*. 24.
Y=JV*t
62.r)' 84 )V =4'
v=Jt"nr
x = ltagl
. v* -
r---'-----'---:
::.r+r'
y=32'+e-'
t'+l x = t2 +l
. y=+ x'
f=41+.f=cosf
='41
yó./ = ln( nJ(' + ra^)
^[¡' -1
=xz +
'Y = afCCOSx'-l
45. y=32'+e-'
calculmy"
54. y=(ln2)'+xb2 79.
y = (ln 2)' + xhz
60. = lr. M. 67. 80. 48.yt -3x3 75. **Ji*r' U=lll: " x-"Jx'-a'
v=lx-x5-3¡3 '2 . Washington Medina G. xx56.
-y=senf
. 71. "2 . y=[***. Y=sen(I+arctagx\ 76.
.t'+l x=t2+l 83.t-.
68.l 82.
j/ = afCCOS L x'-l .1
gl. v=2+x ' 2-x .
¿-x
ú.Matrices y Cálculo Diferenciale integral
!=tag(-+r'+ xx'
! = 5 /ú¡
-a x.
42. y = (sen. 58./=sen x+orctagx
74./
y=sen
colcular 53.I
a. !=xz* ax " -l l_.
+2ry = ln(¡/)
y=(x+1)(x+5Xx-3)
'v-e-' (x +7)sen
32' + x
ye =e' /=cos'(¡+y)
y =(x+
69.' :'.Y =sen2 x 78. 55.y){x-3)
=4x'-'Jl* JF
/ = co{a+r)
x=sen(a-f)
49. t .3 y--+x'*--. y=y2* "'= ax -I y' calcular 77 .)
66. 51 .
. 47.t
(*'+ 4X4x' + 4
x+y t-¿*ffi'
/=sen¡+cos/
crlrno por ejemplo:
46) Suponiendo queno se d'spone de calculadon.15 2"14
'\=-/."
J¿. Difercncial.
La difercncial primera de una función {=f¡¡¡ no es mas que el incrementto Ay. Washington Medina G.
=) x=4
taflto:
&=0.Sc.6=0.Matrices y Cálorlo Diferencial e
lng.15
4 a 4.6
analizamos en
que síendo
. calcular por aproximaciones la J4. es prdudo de su derivda po la difercncial de la variaMe indopendiente x.0 = 2+0.6
dv=-:-:0.15 =2.
31. M.6. y varía
deJ[
Una de sus rnayores qp/rbacones es el cáAx¡lo aproximado.
Definimos los puntos críticos ( f '(x1 = g 1 3.
NOTA: Según lo sugiere GranVille. 2. Ubicamos /os punfos críticos. lgualamos a cero la primera derivada y encontramos /as raíces reales o soluciones. M.
Son punfos que separan arcos que tienen sus concavidades en senfidos opuestos.Sc.Calculatmos /a segun da derivada. B] .En la segunda derivada reemptazamó.. 4.j
esmáximo esmínimo
el método no es aplicabte.a +. es decir. los valores de x gue safr.sfacen la ecuación l/f '(x) = Q". 2. Calculamos la primera derivada.
Definición de máximos y mínimos. Washington Medina G. aplicando b prtmera derivada.
Los punfos donde se ubican los punfos máximos cR rrcos. Definimos el signo de la primera derivada para valores ligeramente menores y mayores
al punto crítico
y concluimos si es máximo
o mínimo.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. "se debe inctuir también como valores crífrbos /os valores de x para los cuafes f ' (x) se vuelve infinita.
1. concluyéndose que: f(x) es máximo si f ' (x) = 0 o nó esta definida y f ' (x) cambiasu srgno de + a --.
lndependientemente de /os extremos del interuato I A. los puntos máximos o mínimos están ubicados en aquellos puntos donde f '(x) = 0 o no esta definida. f(x) es mínima si f ' (x) = 0 o nó esta definida y f ' (x) cambiasu srgno
ta segunda derivada y calcular
.. 3. Aplicando la segunda derivada. donde la pendiente es horizontal. o lo que es /o mjsmo.s /os valores obfenrdos aplicamos el siguiente análisis:
f"(Pc)<0 f"(PQ>a f " (Pc) = 6
mínimos se denominan pIJNTOS
Para definir /os punfos de inflexión basta con iguatar a cero las raices reales.
lgualamos a cero la segunda derivada y definimos puntos de inflexión 3. se puede realizar la división correspondiente y expresar el quebrado como el algoritmo de la división. M. Washington Medina G.función X enominardor.b).
Siendo la residuo
-=coclenle+ D
. ó igual que el del denominado. si el arco de la curva esfá gfuado debajo de la tangente trazada en cualquier punto del interualo (a.b).
Dirección de la concavidad. Comprobamos sÍ e/ punto definido es un punto de inflexión recordando que: Si F"(x)
5.Se puede calcular de dos formas:
y el grado del numerador es mayor en un grado at y= .
el sentido de la concavidad). con la particularidad de o asíntota. caso contrario será cóncava hacia arriba. Calculamos F"(x) 2.
que ningún punto de la función cruza por dicha recta
Se drbe que la gráfica de una función derivable Y = f(x) es cóncava hacia abajo en el interualo (a.Sc.Son recfas que permiten graficar con mayor facilidad una función.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
Cóncavo hacia abajo
Definición de puntos de inflexión y a concavidades: 1.. tenemos un
Para determinar la dirección de la concavidad .
cambia de signo (camhia inflexión. se aplica el siguiente criterio:
Si F"
(x) > 0 =
La curva es cóncava hacia aniba
SiF' (x) < 0 + La curua es cóncava hacia abajo
Asíntotas. ldentificamos la concavidad del arco dando valores cercanos al punto de inflexión 4.
La asíntota estará representada por el cociente (Y=cociente) (como se indica en el
ejemplo 46).
2. ha de entenderse que cuando x tiende a un valor c la función tiende al infinito.Sc. "n la resolución de /os siguientes límites (como se indica en el eiemplo 47):
para asíntota oblicua derecha b=timff(x)-a*xl a=¡¡*f(x) Í+a x++a x f (x) b = fimlf @)* a* x] para asíntota oblicua izquierda a = ¡¡* x+d x-+-d
Asíntota horizontal. Elaborar un cuadro qué contenga /os interualos creados y permita definir /os punfos
4. Graficar la función. decrecimiento y concavidades
x3 +-2x-+l
Puntos de cruce con el eje x. interualos decrecimiento. se produce siempre y cuando la función tenga en el denominador la variable x. En forma opcional definir los puntos de cruce con el eje x (siendo y = f$) 6.
si el coeficiente O es igual a cero
NOTA: si existe asíntota oblicua. Washington Medina G. b. no existe asíntota horizontal
Asíntota vertical. Definir los puntos críticos igualando a cero la primera y segunda derivadas 3. inflexión.
una vez calculados los coeficientes ta horizontal será: asíntota entonces
ta define
a. mínimos.
Ejemplo 46) Graficar ta función indicada utilizando los puntos característicos.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. Calcular la primera y segunda derivadas 2.
La asíntota verticalse /a representa como tjyif @ = d. Definir las asínfotas 5. se puede calcular los coeficienbs A.
la función no presenta la característica det numeral 1. será suficiente igualar la función a cero y definir las raices ó soluciones. b.
Para definir /os punfos de cruce. recordando que la base a ecuación de la recta es y = ax + b.
Procedimíento para graficar funciones utilizando los punúos caracterísücos:
1. por lo tanta la asíntota vertical se podrá calcular igualando a
cero el denominador y despejando la variable.
Washingüon Medina G.Maúices y Cáleulo Diferencial e integral
lngi M.
4.tr+J+x-l tl
@mo ta asíntota obticua viene representada por el coc'rente. oblicua
es ta aslntota
Defrniciónde punfos de cruce con
v=o (¡+t)2-o " = x=-l x-l
Definición de asínfofas
Aslntota vertical: iguatamos el denominador a
ero: x = I es ta asíntota verticat
Asfntota oblicua: dividimos el numerador para el denominador:
+2x+l ^ 2 x'-l =.
600 =2xy
Afea = 2xy
L l:=4x+3y
L = 4x + 3"300/x -.*^i*'-4 = x-+aXrlaXxlaI\X'
{7=
=. Aplicaciones de la derlvada a prcblemas de optimización.sea construir un cenamiento atrededor de dos tenenos adyascentes rectangulares cuya área fofal es de 600 metros cuadrados. Ejemplo 48) Se de. washington Medina G.
Ejempto 47) Definir
la asíntota derecha de la función y = {i no
Asíntota vefticalrío exr'sfe por
haber denominador con variables
a= limf@) = r.aplicación práctica de la teorla de máximos y mínimos. se sugr'ere para la solución dibujar el esquema det probtema. y=a)c+á
37. -3 1r limgff -a-¡) = (Jx.4x + 9gg¡*
!-'=4-900/f
L'= 0 4f-9oO=O
15mt 20mt Y=
'\-/. 4-x)* ^[i-q** x-+a
* !=x
#.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. M.
Como una.Sc.-4
Asíntota oblicua derecho'. escribir ta fórmuta gue se va a maximizar o minimizar y aplicar los cñterios conocrUos para definir los punfos máximos y mínimos.
tim(y-m)
{r. calcular las dimensiones de /os tenenos para las cuales la longitud de cenamienfo sea mlnima.
B se anula en sus extremos. M. Velocidad
y aceleración. Se refiere al hecho de que si una función continua.
"f(a)=f(b)
. la primera derivada de la velocidad no es más que la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. es lógico pensar que cuando
mas corto sea el tiempo. = ú =r4t -3= dt
= 67m/ seg
. mas nos acercamos a la velocidad al instante. existe por lo menos un punto en donde dicha derivada es cero. la
-3* 5 =150m
. =Q dt dv .ds. en el intervalo A. Teoremas del Valor medio
=l4mlsegz
Teorema de Rolle. y en dicho interualo exlsfe en cada punto una derivada.
38.JXf
Recordando et anátisis de la velocidad instantánea (razón de cambio del espacio con respecfo altiempo). (-)'A
= ejemplo 49) Siendo la ecuación del movimiento rectitineo s= velocidad y la aceleración en el instante t = 5
s = 7*52
dt 'dt' dt' =
u objeto de un punto a otro mantiene
Recordando que el movimiento de un cuerpo velocidad promedio que puede calcularse así:
Ve*= N
Si deseamos conocer la velrcidad en un instante de tiempo. o =* dt
39. por lo tanto: v=
velocidad itatantanea
il%ve*.Sc.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng.=
espacio reconido. a esfe resultado se lo conoce como aceleración:
si: . Washington Medina G.
para algún valor del. interualo se cumple:
.Sc.11
.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. M. Washington Medina G.{l
Ejemplo 50)
Dada la función y = 3x2 medio en el intervalo {0. f(0) = f(3) = 0
2x-3=0 :+
Teorema de Lagrange: Se refere al hecho de que si la gráfica de una función continua tiene una tangente inclinada en un punto C del interualo A.
3x cumple tas condiciones del teorema de Rotte para el
La función es derivable
.f'(*) =2x *3
y.-f (a'l _ f'(c) s(b).
!. entonces por to menos hay un punto C cuya tangente eis paralela a la secante A.B .31 y encontrar los valores correspondientes. Se refiere at hecho de que si dos funciones f(x).
ejemplo 51)
Verificar que la función
interualo {0.s@) g'(c)
. g(x) son continuas en todo el inte¡valo (A.B) y'la derivada de la función g(x) no se anula denlro del interualo.x +1 calcular
los puntos donde se cumple elteorema detvalor
-6x-l f(l)-f(0) =-2*r =_r 1-0 -1 =3x2 -6x-l + 3c2 -6c-l
yt =3xz
= g=0
cz=2
Tqrema de Cauchy.B.
¡¡*f9...\*! supuesúo gue esfe timite exista (ó que s(x) g'(x)
sea infinlto)
. da. . a continuación y.-+. a .a.d. con los conocimientos de derivación estudiaremos la técnica planteada por L'hopital para la solución de límites indeterminados con la aplicación de la derivada. . M.Matrices y Cálculo Diferencial e
ü -+0
0-o -+ a
Ejemplo 53) catcular e! tímite de
(senx
senx --tagx
(r'){
:i:. se recomienda utilizar conceptos logarítmicos en combinación con el teorema de L'hopital. do. así como las sugerenclas para levantar dichas indeterminacrbnes indicadas en el numeral 20 (pág 37) y encontrar la conecta solución.
Cuando se presenfe la forma indeterminada
0*a *
recomienda reescribir el límite en la
forma 0/0 ó a/a
Cuando se presenfe la forma indeterminada 1".1
-ra8r){ _ cox -sec' x
(3r'){
x){ _ *
-2sec2 x +Zsecz xtag2x _
(-senx -2secz xtagx){ _ -cosx
(6x){. Washington Medina G.rArpt"
ó da.d. Se debe reconocer también como indeterminaciones algunos casos como:
d+d1a
.=¡¡*f'.Sc.
40. de acuerdo al siguiente teorema:
f\4. Aplicación de derivación al cálculo de límites indeterminados(Regla de L'hopital) Anteriormente se analizaron algunas formas indeterminadas fales como 0/0. Ú.
El procedimiento para hallar dicha integral se denomina
lntegración.')
= Pd"------+diftrencial
y = [y'dx+C
El cátculo integrat podríamos expresarlo como:
'Dado eldiferencial de una función hallar su función original"
La función gue se obtiene se denomina lnteqratde la expresión diferencial dada.
Y=x3)yl=3x2 dy=3fdx
I3x' dx = x'
/(du +dv +dw).
inversa de ta multipticación es la división.Sc. ftv=x+c
'-=r. Washington Medina G. esfe signo fue la
Para identificar la integración.. la integral de una suma algebraica es igual a la misma suma algebraica de sus férmrnos.
GALCUTO INTEGRAL
41. o función primitiva a paftir de una función original buscar una una función es lntegrar derivada propuesta. se utiliza primera representación de la suma.Matrices y Cálculo Diferenciale
lng. La integración es la inversa de la derivaciÓn.-.
ftu +/av
+ldw
Fórmul as elementales de íntegración
42. Muchas de las
problema inverso así:
apl¡caciones
de cálculo están relac¡onadas con el
la inversa de ta potencia la radicación.
el signo de la suma "deformado". M.
FORMULAS DE TNTEGRACTON
Previo a la definición de reglas o fórmulas de integración se debe recordar que la constante puede escribirse delante del signo de integración asl también.
-)*c
n. * { *"s"n**. [".
/ay =ft
Y=frx+C
2.IsecvTgvDv=Secv+C
1 1. ISec2vdv= tagv+Q 9.t+-=|rn\!*.l-!-=J-6osu ¡g -o za o-v
:. ÍTg v dv =-Lncos y + C = Lnsec y + C
14.fry/v=lnv+C IdY=/avlv 4. no toda integración puede ser resuelta directamente.
{rno
*. M.[d * v' av =
zz.Íctgvdv=LnSeny+C I n (Sec v + Tg v ) + C ln (Csc v .o.A-.
. Ie'dv=e'+C 6. If
f*.{Cos vdv=senv+C 8.
/n+1 + C
/n +1
dy / dv
dY/dv=tl
= (n+1) fY(n+t¡
3. . ISec v dv = 15.[-!-=l arcTg' +v a a 'v+a-
n.ffi=uo*JlT..tl
.Sc.Ctg v ) + C
rc.J7
t o' *
fi7-xa'd.{senvdv=-cosv+C
Y=lnv+C Y'= 1 /v
7. Para cuando se presenfe esfos casos.
i.!7 x *
ICsec v Ctg vdv = -Csec v + c 12. /Csc v dv =
13. . su solución reouiere de métodos aoroxit
. fCsévdv=-Ctgv+C l0.Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng. . Washington Medina G. Ian dv = (av)/ln a + C 5. Si blbn es cie¡to que toda función es factible de deriva¡la.
n ^.':
duldx = -Ll xt
_du)c2
er.T:
.>l.x)+C
Ejenplo 57)
!e'''d*lx'
= -k'*.Sc.
sugiriendo el reemplazo conespondiente:
1. M. Cuando no se puede aplicar directamente la fÓrmula de integración se debe sustituir al ejercicio planteado por otras variables que permitan encontrar su solución'
Ejempto 56)
du = -dx =
["a*\"-.
u stitu c i o n e s
fi i go n om élri c a s
Es aplicable esta sustltución cuando la integral contiene el radical de la forma indicada. +C = e'
=llx
:':-) \*1'.7 -+
= aTag(t)
Método de sustituclón.Mafices y Cálculo Diferenciale
lng.ldx-s! xdx+ [ at *
l3-5x212+1nx+C
-5x212+hx+c
$. ^{r'-f
x=aSen(t)ó x=a?os(t)
x = aSec(f) x
= xz l2+c
[xax=xr*'/l+l+C
[tti -sx*ttx)dx4[ .
TÉCNICAS. Washington Medina G. "{7.)= "[*t("-*) de sustitución
-aldu/u = -alnu+C = *aln(a. ÚITÉTODOS O ARNFrcrcS DE INTEGRACIÓ¡.dtpc2 lxz
= _!e"du .
-"' -+ J..
ejemplo 58)
cdx l----:' xix' +l
sec'H0
ln(csecá
x =tEQ
se. Washington Medina G.----__--Matrices y Cálculo Dihrencial e integral
lng. es la expresión de la integral en la cual es factible aplicar la
.v. M.[vdu (u* v)'= u'v + uv' d(u* v) = vdu +udv
[ra":". v y de acuetdo a la facitidad de resolución que pre*nten.
recornendable asumir que dv es integración directa.
existir una regla establecida para la determinación de las expresrbnes u.
Dondeu*dv e§ ta integrat ptanteada y las expresiones u.
a resolver es u * dv su resultado vendrá dadó
[uav=uv.Sc.cM0 ------+ rt lcsecQd? tgo
-ctg9)
sohrción-+
h(+-!¡*" 'J"+1 x'
lntqración por partes
Si considenamos que la integral original siguiente igualdad.-[ra.
algunos casos para llegai
a Ia respuesfa será necesario apt¡car
integración por paftes.y.e 12 2 x'x' Lln*-?*.
Ejemplo 59)
Ejemplo 60)
lxCos3xdx Lfo"os*d* w=3x dw=3&+ 9J
n=w-> du=dw
dv=caswdw-+
Ir lnxd¡
u=ln¡ du=* x
f.xdx o=t2 4rnr-Ít.
=-llwsenw-fr"nwdw)
= !13rsen 3r + cos 3x) + C
8X + C
pd amo s e x pre sarlo como :
Para resoÍver la integra{ que presente la forma indicada y siempre y cuando no se pueda aplicar fórmulas de integnción es conveniente transfo¡mar el trinomio de tal forma que
f *a'ó
ejemplo 61)
rdx tJ
completanú
el tritomio nos
.Matrices y Cálct¡lo Diferenciale
lng. M.Sc. Washington Medina G. ¡dx ¡J1x+l)2
dw=dx
v=senrr
añificio gue es apticabte también
I w .Matrices y Cálculo Diferencial e integral
Para descomponer fracciones vamos a considerar /os slguienfes casog cada uno con un ejemplo explicativo:
.dw I ¡+l l-.6A
.a. Cuando la integral presenfe la configuración siguiente:
Se sugiere utilizar el reemplazo
+ n -. Aplicac¡ón de la teoría de las fracciones racionales
función racional entera
Función racional es aquella cuya variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios. es decr
{'=c*
Pero. = -afgtq-*c = -&tCtg-+c Jw'+4 "2 " 2 2 2
CASO ESPECIAL. Si una integrales una fracción racional es decir. en caso de que la fracción R/D de posibilite la integración directa o la integración aplicando los métodos hasta el momento conocidos. Washington Medina G. es posible descomponer la expresión en fracciones parcrales aplicando el método de /os coeficientes indeterminados. tanto el numerador como el denominador son funciones racionales y el grado del numerador es mayor o igual al grado del denominador.
mx+n = 7/ t.
Prtmer caso. M"Sc. la fracción puede reducirse realizando la división. Los factores del denominador son fodos de primer grádo y ninguno se repite
2x+5ABC --+-+x{x-2\(x+3) x x-Z
(A + B + C)x2 + x(A + 38
-2C\ + (4A) x(x-2)(x+3) _A(x2 +x-6)+B(x2 +3x\+Cx(x2 -2x)
x(x-2\(x+3)
2x + 5 = xz (A + B + C) + x(A
+38 -2C) .1/t.
ff ff /v ..-..2)(r + 3) 6x
9 l--1...-=-T-....
A+38-2C=2
64= 5
5 =--+x(x .-.¿= -c=.
x': A+D=l x': -3A+C*2D=0 xi 3A+ B-C + D =0 xo: -A=1
.. M.. Washington Medina G.--.il * ff =+..--------T_-..2)
I l5(x + 3)
Sqgundo caso.Sc.15 l06'
9 lO(x .+ '+ (x-m)'' (x-m)" (x-m)" (x-m)"-' (*-m)"-'
Matrices y Cálorlo Diferencial e
lng. Los facto¡es del denomínador son fodos de primer grado y algunos se repiten.----=T
D x3+1....i... A B C x(r-l)' x (¡-l)' (¡-l)" (¡-l)
+l _ A(x-l\3 + Bx+Cx(x-l)+ Dx(¡-l)z r(r-1)3 r(¡-1)3
coeficientes indeterminadosz
'--.---.
Washington Medina G.n = .dx 20rdx 27e dx 20rdx t-a ll' +l J(x-5)' 343 Jx -S' -49 J1¡+2)' 343 Jx+2
20.:.CD ..i.q= -L..
I6:r--*Vd*=
r x2+8x+7 .o 49' = -20 343
8cI-a.
x'+ Px+Q x'+
(x2 +6)(x2
Cx+D *2 +5
= (Ax + B)(x2 + 5 )
-++ x(Cx + D)(x2 + 6)
D) + x(5A + 6C) + 58 + 6D
-. El denominador contiene factores de segundo grado
F.=T-T.. -----.
)2"
-r I@#T¡7
. .c 49' 343' =!..--------. lx-sl 49(x-5) 49(x+2\ 343 lx+21
!_lñlJ
.Sc.(C + A)x3 + 12 ¡a
A=1 B=-5 C=2 D=5 2+5 --r-2x-5 2x+5 (x2 +6)(x2 +5) x2 +6 x2 +5
Cuarto caso.Matrices y Cálculo Diferencial e
¡ntegral
lng.¡c+F
Para los casos cuando n es mayor que 2.
r x'-8x-7
l6-5)T*+zfd*
AB.8T(x-5)" x-5 (x+2'¡'" x+2
. como la siguiente:
l#a r = x*Fl"*. El denominador contiene factores de segundo grado pero ninguno se repite.
'Íercer caso.. M.. para la integración es conveniente utilizar fórmulas de reducción.
en los cuales se utilizan reducciones
tri g o n o m é t ri c as sencfl/as. p
CASO ttt.r =
cos2x)
. donde n es el mínimo común múltiplo de las raíces exisfenfes."n2. y. Cuando p sea entero positivo.
son número. y."
senrx=!(1_"or2r)
2'..resolverlaintegralenlas
formas óásrbas conocidas. Cuando
iguat a
un número entero ó
se asuma como una
fracción r/s. Washingiton Medina G. Para su sotución se plantea fres casos. se recomienda usar las srguienfes entidade 9 trigonométricas :
lcosmxcos. p se
asuma como una
fracción r/s .'
[sen*xCos"xdx
Si m ó
n son números impares. m y n son ambos números enteros.
lntegrates de /a forma
cos'r=l(.s de /a
ll.y.
'=:'i
tt. M. pares positivos.'
forma: [senmxcosmxdx. enteros. se recomienda el uso de las slguienfes fórmulas:
tntegrate.*
senxcos.
INTEGRACION DE FUNCIOA'ES IRRAC'O'VALES
ta integral contiene potencias fraccionarias de /a forma X ó (a + bxf. será suficiente desanollar elbinomio de Newton o aplicar otra forma conveniente de integraciÓn. senradx Donde m * n.
igual a un número entero
ó cero.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. se
llama diferencial binomia..sen'x. posifivos se sugiere aplicar las entidades trigonométricasSen2x=1-coszx ó coszx = | ..ru. S. se efectúa la sustituciÓn a +
cero. es conveniente asumir la siguiente
x={ ó (a+bx) = ¿
INTEGRACION DE DIFERENC'AIES BINOMIAS
lJna diferenciat de la forma
[*^@ + bx')Pdx donde Ít. Jt"n*. se efectúa la sustitución a +
.Sc.s raclonales. cuanda * *l .
INTEGRACION DE FUNC'O'VES TR'GONOMETR'CAS
Para su solución se plantean diyersos casos. CASO l.
-cos(rn rh +cos(.
[csec"
tgzx=sec2r-1. permite la graficación de un númerc infinito de curuas (familia de cuwas) de igual pendiente.
originat: 2y
a) y'= x .
Ejemplo 66) Encontrar la gráfica de la funcit5n cuya pendiente as y'= 2x-3
pasa por el punto(3.
+ n)x + sen(m
n)*1
+ . ..y) por donde pasa la gráfica:
la curva.Matrices y Cálculo Diferenciale
lng. Washington Medina G.Sc.{.*{. pero en diferente lugar geométrico.
senmxcosrü =
senmJrsen.1)
lt'dx y=t+c l=!+C 2-22 .=t*L
C:.)rl n)x |["o. + r)r) cos.
ctg2 x
=csec2x-l
Es et valor que atdopta ta constante C para un caso particular de ta variable. M.
lsec"
xdx. cosz?n = |Go.S)
t = !r'd.r = !tz*4)e =z[xdx-z[dx ! = xz -3x+c cálculo de la constante:S=9-9+c =
!=xz-3x+5
Ejemplo 67)
En cada uno delos siguienfe s ejercicio a).(.
P(1. -
tu.4r =
![.. geométricamente. b)
hatlar ta ecuación de datos ta pendiente y un punto (x.
lntegrales de la forma
[cE" [tg^ Se recomienda usar las fórmulas:
c para x=l -10 5=-T+c + c=15
*=xY dx
ÍQ=Í* J Jy
¡=3
4 = r.=
.e'¡ntegral
b) y'=
lng. es fangenfe a
f = ffif
rec/ra F. '
..*iáu.6-a 22 n2 lnv -'-/= :--Z.§
0=19+15*1+c =+ c=15 I -+l5x-25 y.
.* §d.
1'.So.9
!=5 qs h5=í+C c=1....
c pard
\. c20
17ü =
10 y'_-V+c
la recta ! = 5x-6
iguales.10
.Matsirnsyeáhr¡loDiferemc¡al.= f(-#+l».¡
I i ¡.lf :r -i
.l i'::"1
Ejempto 68)
punto de cieúa wrua
punta {l ..tr
= 1.--l.O) y.e r=f+ rlx+e. Washiirgrton Medina
G..'')
.'"'.-.d* y
' ={+c 2'C=:2. =
5*Sr
=. M..
curua pasapu el
xy (3.r
"=[¡{l0a* =
.F(a) cuando
u =F(x) -
El área CEFD gue se prde es el valor de u
en u = F(x)
Area CEFD
= F(b) -
. al eje de las x se indica en la siguiente figura:
y dos coordenadas a.a ecuación anterior se obtiene:
0=F(a) +
obteniéndose':
C. Washington Medina G. obseruamos que u = 0 cuanda x= a Sustituyendo esfos valoreee¡ .-
Para determinar C.INTEGRAL DEFINIDA Delteorema " La diferencial de área limitada por una curva cualquiera. b.
4S. como
lntegrando tenemos.
Sr'endo du la diferencial de área entre la curua. el eje de las x. enfonces 6u = y dx. M.Sc. una coordenada fija y una ordenada variable es igual al producto de la orden variable por el diferencialde Ia abscrsa coffespondiente "
¿tt=ydx
Si la curua AB es el lugar geométrico de y = f(x).Matrices y Cálculo Diferenciale integral
=ffufu@»**
46. Washington Medina G. asume el nombre de INTEGRAL DEFINIDA. La operación se llama operación entre límites. TNTEGRAL DEFINIDA.
ae [ldx para x=a y x=b da et área timitáda por ta curva cuya ordenada es y. se asumirá
función y = f(x) es discontinua en un punto ubicado enfre los límites (lo que
para los nuevos límites un valor
t:-":i
y mayor al valor donde se produce lo
discontinuidad (asumimos el punto c).La integraldefinida es un valor resultante de la suma de valores infinitamente pequeños este concepto aplicado al concepto de áreas nos indica que la O. Puesto que siempre tiene un valor definido. integral definida considerada como el área bajo la curva es el límite cuando Ax
'lxna.
TEOREMA "La diferenciade los valores
Esta diferencla se representa por:
[ra>*
fua.' a es límite inferior y b es limite superior. = !!*[r*¡a*
puede detectarse para valores de x cuando el denominador es igualado a cero).
!* ltt-¡dx+tiry "!f @)dx
. el eje de las x y las coordenadas correspondientes a x=a.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng.. en esfos casos se propone para su solución la aplicación de los conceptos de límites.
ffov.
Que se lee: "La integral desde a hasta b de ydx". y. M.Sc. x=b". y se resolverá aplicando:
I¡a»a. TNTEGRAL IMPROPIA: Se /e da esfa denominación a aquellas tnfegrales cuyos límites son infinitos.
Sc. cabe indicar que dichos cálculos son también realizables con métodos aproximados como el de Simpson.
del una franja verticalde base A.
Criterios para el cálculo de área bajo la cu¡va
fldx. APLICAC'OÍVES DE LA INTEGRAL
Cálculo de áreas: La teoría de integración permite el cálculo de áreas bajo la cunla como un método exacto. que no son consrderados en el presente estudio pues se /os puede enfocar en un tratado de Métodos Numérias.. M.t= ftdx-
4. Et área baio la curva se encuentra
aplicando ta
lng. 3.
. altura V: Ao=4*r.Cuando se busca el área comprendida entre 2 curvas es necesanb tomar en cuenta que los límites máximos a. Washington Medina G.yz)dx
47. b son puntos de intersección de las curuas.
= (yl
y2)L^x
(deducida det área
2. cuando el resultado es negativo al área está ubicada bajo el eje de /as x Si la curua cruza el eje x y el punto de cruce está ubicado entre a y b la fórmula
= lStdx. 5.Cuando se desea calcular el área comprendida entre 2 cuvas. Si el resultado encontrado es positivo el área está ubicada en un cuadrante positivo. o soóre el eje de las x. donde h es la
función que abarca mayor cantidad de área.. b se extiende más allá de /os puntos de intersección vuelve a producirse una resultante de áreas considerando como eje divisorio a una de las curvas lo cualdeberá definirse en el gráfico.. se deberá calcular los
puntos de intersección y apticar
A= t}l-
yZYx. considerando siempre que a<b.
. de /os trapecios y otros.Cuando los límites asumidos a.
nos dará un valor resultante de áreas.
Washington Medina G.Calcular el área hajo la cu¡va indicada limitada entre los puntos a.Sc..1 )
A_ (*).. AREAS EN COORDE'VADAS POTARES
Deducción de la fórmula de área
>-/) .Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng.Ubicar la franja de análrsr.x
'\--l.
orco = p* tagd9 como tagd9 x d0
:) arco: p* d0
tp A= L l prae. b tomando como
referencia el eje.
4^ A=-¿'
Calcutar el área timitada por
x=2.s
y = ftg. M.
ubicada en el primer cuadrante. limitado entre x=0 y
Se deja a irtterés del lector esfas observaciones y su
49. la gráfica no tiene trascendencia. LONGITIID DE ARCO DE UNA CIIRVA
n=. Washington Medina G./
. 1a' bz ¡cos'za e + {*fsrnvw 2i 4d' u'ht ' .Sc.se deberá realizar la gráfrca pues en funciones trigonométricas se pueden superponer áreas.-!("*no +bcosol do
[b'srn' e + Zabsenuos e + b' cos2oPo
o = l*ÍG'
0 4.-:.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. M.l\
=l "'
:u' 8
r"nzo -
!cos2o*\ 4
+b2\II ab -L--'
. en ejercicios como el que antecede. (o'+bz)t
Nota: En el cálculo de coordenadas polares.
Calcularelárealimitadapor P = a Sen 0+bCos9 entre a=0y §= d2. dependiendo del tipo de función . igual análisis se reamienda para el cálculo de áreas comunes de dosfunciones.
\-?¿ri
r=f. Washington Medina G.
.G'Í\t
x2 + l enfre'/os ffmltesx r = 3
Éiemplo 71)
Calcular ta longitud del areo de la cu¡va anya ecuacbn es
*=FCF
As¡v&
J[*gft.'
f ^t{.
I .Úf e
s = IJt +4xzdx s
=. M.21
. [Jt+7*
= 40.{Wú
Longitud de arco de curvas en «xltdenadas pofares. s=rJG6fh
analogía:..Matrlces y Cálotlo Dibrencial e integral
lng.§c.).S
Ejemplo 72)
Catcutarelcentrode gravedad del áreatimitada
pory=f .{x = A* d
]n[*
<rdil
uy = lxrdx
=Lr'&.r*
uy = lxrax uy =
e= lra*
=Á*i
l. 4. CEA'TROS DE GRAVEDAD
Es el punto cg(x.ty
=rtr.8) centro de gravedad
*=r'!r.lx = YLXL
My = xYLx
]rr. M.=[+]. x= 4y que está ubicadaen et
l.y) en elque se encuentra elcuerpo en equil¡brio Para el cálculo delcentrc de gravedad. Washington Medina G. se requierc del uso del efecto llamado Momento (momento es el efecfo que una fuena causa a un punto situado a una distancia de la ubicación de dicha fuena) Mc = Longitud * Distancia
Ma=Area*Distancia
DeducciÓn defÓrmulas
My=A*d
My = (ydx)X My = xYdx
l.=l '
Lro l
*=l+7'
¡ _ tv[x
¡* = ¿*i
i.Ix = t02.
lng.Sc.My
*')u *.3
My:64
A:-64
CG (3.h
fx'ax
t= f xrax
=l[rx.
fJro -x'&=4t¡(Jnidadesz
LoÍur*= l 7J' ?J' ' = oo +¡
u.21 lulx=A*i = y= lz 3t¡
My=A*i
= . .xr\dx =128 3
My.*.lr'* =*'{ro.ü
3¡t
Ejemplo 73) Calcular el centro de gravedad de la figura
. M.Matrices y Cálculo Diferenciale integral
lng. = '2
[*e = JrJto . J
4= [N* ="[.t
de gravedad: :)
.[l-áax = r(Jnidadesz
rvr)c.e =1u'
128/3 16/3
112J3
Mvi 64/3
ftestarl
.x'dx = 9u. Washington Medina G.x')dx =)u'
My.Sc._
4-.=t4 3r
:+ i=56 ur¡¿o¿. 9r
ccts6 '9n' -l!4.
=I'.jr
!*e = lxJ44.[l*=
fi*úd.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. AREAS LATERALES O SUPERFICIE§ DE REVOLUCION
"Un área lateral o superfic¡e de revolución se engendra al hacer girar alrededor de un eje un arco limitado de la curva y = f(x)".
U. donde la longilud de arco está definida por:
^. =2n [xds
Se debe recordar gue ds representa la langitud de arco de una curua y es calculabte por:
^.)^. =2r [Yd*
Al hacer girar dicha longitud de una curua alrededor de un eje.Y
dA. Deducción de la fórmula de supefficie de revolución:
Considerando la superticie de revalución delgráfico.A
A.yb. = 2rYds
(t*G)'by
Se aplicará una de ellas de acuerdo a la facilidad de resolución del problema. Washington Medina G. M.
51. esta superficie es calculable aplicando el siguiente análisis:
AAr: AS*2. siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución'CUBIERTO POR UN CASCAROII EXTERNO DENOMTNADO AREA LATERAL O SUPERFICIE DE REVOLUC\ON".Sc.
Franja a girar una revolución en eleje x
* -. siempre engendra una circunferencia y por ende crea un volumen de revolución.Girando ta franja indicada alrededor det eje
x..Matrices y Cálculo Diferenciale integral
manteniendo la base de ta frania fiia en et
eje de giro.Sc.7rY2 Lx
r =rlt'ax
. M. Washington Medina G. de donde se deduce que: * Volumen = área del círculo espesor
>=<. VOLUMEÍVES DE SOLIDOS DE REVOLUCION:
Al hacer girar dicha tongitud de una curva alrededor de un eje. se crea un volumen en forma de una moneda.
52. esfe volumen es calculable aplicando el siguiente análisis:
formando un cilindro hueco cuyo volumen vendría dado por:
LV =2nY* X* Ly
=zn[*ú
En forma similar. b) alrededor del eje y. horizontal o vertical para el análisis.j.
2.Si se gira una franja horizontal alrededor del eje x tomando como base un radio Y. El sentido de la franja. la franja se movilizará en su totalidad haciendo un reconida de 22.
. dependerá de la que elplanteamiento presente para la solución del
Ejemplo 74)
Catcutar el volumen gue se engendra al girar el área limitada por x=0.Sc..
. x=4. la función Y=X2 ubicada en el primer cuadrante: a) alrededor deleje x. Washington Medina G. M.:-)
[y'úc = "
. se puede deducir fórmulas cuando se trabaje con el otro eje.
!*o* "L.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
Se trabaja con dos diferenciales y se va creando las fórmulas. M. Washington Medina G.
& = rrl
+1' L4l'
= t2vtt
. y en especial de volúmenes en el espacio (tres dimensrbnes).a.
Lt* Ly
.[a** [ay
alrededor deleje y
r. I NTEG RALES M U LTI P LES
Permite resolver en forma objetiva problemas de cálculo de las aplicaciones anteriores.licación
de integrales dobles.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. /as ofras petmanece n como constantes".Y [o'n* ayl
Nota: Se deóe integrar primero la diferencial correspondiente a las funciones.Sc. = zonlxyd* = zrnlnr. se debe tomar en cuenta el siguiente criterio: " cuando se consídera a una de las variables como tal.
Washington Medina G. trabajar previamente en el plano XY que por lo gerteralconstituye /a óase donde se ya a
desanollar elvolumen.
I IYdYa*=
.re se engendra algirar dicha área alrededor deleje x El volumen gue se engendra algirar dicha área alrededor deleje y El Area lateral que cubre al volumen engendrado algirar el área mencionada alrededor del eje x
.|l I 6Lt Jyl
=r'yrz-rtY*
Mw= I I.
.o* = [. con ta finatidad de definir los tímites de /as integrales. y..YtV* ayl a
En forma smilarse puede aplicar al cálculo de áreas y volúmenes de revolución.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng. VOLUMENES EN EL ESPACIO
De acuerdo al siguiente análisis y gráfico se deduce que elvolumen viene definido por:
donde Z es la altura delcilindro cúbico
Se recomienda previo al análisis. M.Sc. calcular:
El área limitada por las funciones indicadas Elcentro de gravedad de dicha área El perímetro que bordea dicha área E¡volumen g{.:.]
55. J.fyr.. EJERCICIOS DE Apliéación
tdentificada el área timitada
por las funciones indicadas.
r=5.Matrices.Sc. al girar. f=0 y2 +x2 =4 . y=5*x.y Cálculo
Diferenciale.integral 92
hg. y=xz
!=x x=5. y=4x-x2
Catcutar el
vdumen ubicado en et Wimer rctante. !=0 l=x2 . l=5-x 94. 88. 89.
. Washingúon Medina G. M. 87.
El área lateral que cubre al volu¡nensrrgefúrado.r=5. 88. !=0 !)xz . timitado por las funciones indicadas
\*1.r=5. Y=x2.
92.el área.
al@edor
86.mencionada
del eje y. !=2=x
z=6*x-!
=5-x2
. !=3 !=5.
2. Washington Medina G.8 11. -1.217 -0.357 0.214 -0.196 0.^ 21.087 0. similar al ejerciclo 7
10.Sc.
SOLUCTOT{ DE
tOS PROBLEIíAS PLANTEA:OOS
1.357 0. No tiene solución
-3 01 10
16.071 0.071 0.'M. -0.435 A326
8.-1. . -2.609 -0.28 14.19. Sol (1.357 0. -30
12. -2) 25.304 0.522 0. 2)
18.478 0.086
-0.7 -1 -1
7. 1. 1) 24.261 -0. símilar al ejercicio 6 19.Sol(-0.217 -0.214
9.Matrices y Cálculo Diferencial
lrq.16.304 0.
6.043 0.214 -0.071
20.2. Sol(1. similar at ejercicio ü.49. Sol
27. -2.
E J.44.U)
23. 1. 3. Sol(1.022 0.
0.065 -0.23.30) 26. A. infínito número de sofucrbnes
22.8 13.
So. So/ (-7. 1) siescompafible
33. 0) 30. -5 3. -3q) 35. O (sugerencía: llmiie'
expanente)
20. M. -20)
29. 0.1/10
15. I 2. O
. -2) 34. So/
17. (0.Se. 0. 0.3 9.0
1 (sugerencia: tqaritmos)
.cos5
12.9 8. t2
6. Notiene slución
28.4/5
32. -11.
.1/4 16.
18.ü 5. Sol (1.
9. 2il7
4. I 7. No tiene solución
(0. Sol
CALCI'LO DIFERENCIAL
\-tl
14.Matries y Cáledo Difercncial e
intogrral
lng. Washir§fion Med¡na G.
-..Matrices y Cálcr. (r2 l)sen ln
(x' +l)(arctg(¡'+1))
t2x512:2r516
.:' ' '
*1rz -t¡2
43. t:'3-Zt2* y'zJ.il.
34. M.r + l))
4*ctw lo4 .rr2.
-D312
2cm¡-oos3
r-rrr?.h.
24..e
-4r2 -8¡*3
2(*2
31. ^{ + rom
. !-rtn -gr' )
23.rlo Dihrcncial e integral
lr¡9.
r + 2¡2 eos ln ¡
.*' .2 -2.*n-l * ***-l
lnx * x2
21.Sc.
q*-% -tr-s 9x lúg . 29.\2
(5e)'(t+ln5)+e' x"*'(zln
arcsetu +
los¡ ----:Jl.
37. Washingüon Medina G.
22. -l
$-]¡stz
^n(ri*l+{*\.
+ ¡3 t+
tBg2i t2 -
l-r6 -_5¡ 23
(ln2)¡ tn(ln2)
28.e-r
. .=uros(ln(x2
--ln4
x ^-2 -(x '+5¡ s"c2r. 5sezrlcos"r¡n5 47.
y(2x2 x(Zxy 2x
/).(¡
+ ?) cos(e-
48.-l '+.
Srrrf*"
-.¡se¡(¡
+ 7 + l) + 9'sez(¡ ln 9 + 7 ln 9 .
sen(a +
.07.r' xe' -e^x
+ l0y4
.38 volumen(x) =
1963. perímetrc =
54.36.r-5 .
981.75.2 _l
56. Q.O7.+3x -) ")sec-(.75.07
volumen(x) = 130.87.
+ 12 cos¡ + I
1:2 55.50).
Lx(ax-l)2
-r)2
+ax{ -aex -ex
.^. volumen(y)
= 261. + 13 .área = 41. área lateral(y)
2.e.33
{x + 7)2 senzx
I + seny
52. t-
-er(ax-a-l)
74. M.1¡2 +t\65.-2?y
cos(a O/.
4-l}x-x2
G2 + q\2
ln(ln 2)
60. cost'' t .Sc.2 +l
2x +2xy2
1¡2*r
+Zxy-l)
centro de gr€vodad
45.7. 3x2 + 6x -13
46.'t'F*r.3946.1.
83.rlJra
'x2 +t
y"tl . 2 61.s-5x4 *gx2
"*.49.
70.r)-
(r2 + t)3
85. área lateral(y)
20s¿n3¡cos¡
86.67). Perímetro
53.t)
lJi:ll
.66 centro de gravedad
+. Washington Medina G.82. .
1.ñw
.tF-.--r
lng.87.i2
(ln4 9)9' + ¿-
área lateral(x) = 111. 3
':::-l
80.3+r+l *J+r*l
+4*(x2 ++¡2
¡ + l) .::. *
+2ry
sen2(x + y) l+senZ(x+Y)
l+2y
72. votumen(y)
(r2 .*flng-e-x
l+3¡2
:. área lateral(x) -.
6g.-2 --6" +6x --3.
xser{xctgx+
ser{xl¡senx
71.Scos 2¡
(ln(ln2»4ln¡
2 79.::.
31.i:::1
.95.Mafiices y Cálcr. área lateral(y) = 512.86.74.1.12.31i0. perímetro = 15.
(4. árealateral(x) = 173.132).64. 10.35.91.66 96.
55. perímetro = 19. Washington Medina G.14 volumen(x) = 107.
perímetro = 9. 28.77.
.99. centro de gravedad = (2.09.92.87-
90 área = 2. árealateral(y) = 263.árca = 1. cent¡o de gravedad .75
72. perlmetro volumen(y) = 17.área
= 10.28.
92 área = 2.88. área lateral(x) = 46.57 volumen(x) = 6. 33.93. área lateral(y) 93. M.
= (1.34. 48.02. área lateral(y) 91área
= volumen(x) =
52.03.49 votumen(x) 233. volumen(y) = 279.Sc.. perímetro = 4.2.60 95.29.60). volumen(y) = 218.82. 8.45).31 centro de gravedad
votumen(y)
89.29 volumen(x) =
88.07.
= 11. área taterat(x) = 32.33 94.77). área lateral(x) = 182.209.A3.011. área lateral(x) = 522.69. área tateral(y) = 76. volumen(y) = 16.3.4.37).(1.rloDiferenciale
Y'....
. Es una ecuaó¡ón que tiene una so/a variable
y"+3y-3 = 0
tx*tú
.. y"'.
. Cuando una función depende de 2 o más variables. es decir es una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x. y.!...
EC U ACI O N ES D'FER E N C I ALES
CONCEPTOS BAS'COS
ES DIFERENCIALES
. 58. las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales. lngeniería. Tipo de una ecuacion. Biología.. y. Y".(!. Washington Medina G..'
Dependiendo del número de variables independienfes..
Ecuacion diferenciat o?etinaría
ihdependiente.M. Y"'.
.. y. Química. /as derivadas serán parciales.l-.
ecuación diferencíal...
El campo de acción de esfas ecuaciones es ilimitado permitiendo resolver problemas de
Física. y /n) Simból icamenfe se representa como:
F( x.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.. por lo que dicha ecuación se denomina "Ecuación en derivadas parciales " así. ta función buscada y = 0(x) y sus derivadas y'.0i ux
: dx'
57.... una o más de sus derivadas. Aplicacr'ones a las ecuacíones diferenciales.z=o
Ecuación diferencial parcial.:_<.
56.Sc.
Es una función o una ecuación en la que interuiene dicha función.
y.. crecimiento de población../4)
Otra forma de representar es:
r 6. así:
. y".
Es decir la solución pafticular es el resultado específico de una solución general a la cual se le desrgna valores de x y y conocidos corno condiciones que pueden ser. es decir que el dominio de soluciones esfá en el intervalo cerrado b
Verificar si la solución de la ecuación diferencial xy' -3y y=2 solución paúicutar para" la condición inicial x =
= 0 es y = cx3. la solución de un problema de valores iniciales se representa así:
F(x. por ejemplo.Sc. en pafticular.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
lng.. x = al punto inicial. si x = a b./n)) = 0 (ecuación que define et problema) Y@) Y'@) = Y'@) y"¡¿1 = f"¡o¡ y"' = y"'(o) /n) (") = /d t l
F( x.
12e-2' +se-r +3(-6e-2* -5e-') + 2 (3e-u +5e-')=0 12€2x +5e-'-18e-u -1 5. calcular la
Derivando la solución: Y'= 3cf Reemplazando en la ecuación diferencial:
-3cf =o 0=0 y=cf Siessolución ) -2=c(3)3 C---27 y = -2/27 f @olución particular)
XPcf)
@f) = O
. dependiendo de cómo se establezcan de dos tipos de problemas: de valores iniciales y de valores en la frontera. Y"'. fodas ellas válidas para el mismo punto inicial. Washington Medina G. Solución general
(Sí es solución)
y particular de las ecuaciones diferenciales
Solución paúicular.eo +6e-u+10e-*
0= 62. Esfe tipo de problemas deben esfab/ecerse con condiciones de frontera en todos y cada uno de /os punfos del dominio . M..
y. yG)=
Gráficamente..
Problemas de valores iniciales. y. f".y) = o
Problemas de valores en la ftontera. sila ecuación es:
f'. Es cualquier solución gue se obtiene asignando valores específibos a la constante arbitraria C. Se constituye de una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de condiciones independientes. así.
El procedimiento de resolución se conoce como de "Separación de variables" y la solución se obtiene por integración directa así:
. PUEDA o rvo
EFECTU ARSE
INTEG RACI ON
63. by) = f(x. donde M y N son y.
1il. Las ecuaciones diferenciales gue pertenecen a esfa c/ase o forma
Ecu aciones d iferenci ales con v ari a b/es separadas
FUNCION HOMOGENEA: la función f(x.brbitraria. se cumple la siguiente ldentidad fQx.y) se llama homogénea de grado N con respecto a las variables x.
Ecuaciones con variables separadas.tante.Sc.
tv. Ecuaciones diferencrales de 1o orden y de 7" grado. una por cada valor asignado a la constante arbitraria.
Ecuaciones homogéneas Ecuaciones Lineales Ecuaciones que pueden reducirse a la forma lineal.
Cuando los términos de una ecuación diferencial pueden reducirse a la forma F(x)dx+ F(y)dy =0 (1) donde F(x) es función de x únicamente y F (y) es función de y únicamente.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
funciones de x o de
de ecuaciones puede reducirse a la forma Mdx + Ndy = 0.
UNA ECUACION DIFERENCIAL SE CO'VS'DERA RESUELTA CUANDO SE HA REDUCIDO A UNA FjíPRE$ON EN TERII'A'OS INTEGRALES.
Geométricamente. y.
son. la solución general de una ecuación diferencial dada. si para todo valor ).¡
lF(r)dr+lrOVy=c
dgnde C es una cons.'
.y) donde es una constante arbitraria o un número real. representa una familia de curvas conocidas como curvas solución. Washington Medina G.
i'Y-i" f(tx. Para su resolución se susfifuye y = Vx lo cual nos da como resultado una ecuación diferencial dependiente de las variables V.lY) = f Í@.[*' * y'
f(x.y)=
*fi.t+-[rL-:c
u:l+ x2
=l+ y'
grado.Ndy dy=.xy): f @-r'» "f(L'.uy)= úF *V
f (k'XY)
lf (x'Y)
dw _-¿v dy
.y)dx + N(x.
Mdx+Ndy=g
Mdx = . y del mismo grado.
om ecuación diferenciat
no ser resuelta"
imptica
f(x) ó de una integrat.uy)='lffi. puedá'ó
búsqueda de una función
I#.Sc. e. x.y) ='.ty)=W *f .
Ecuaciones homogéneas de primer grado y de primer orden:
La ecuación diferencial M(x.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
Ejemplo 78. y.Y)
Í(k'hY)=
La función es homogénea de grado 2 (el grado viene dado por el exponente de
A). Comprobar si las funciones indicadas son'homogéneas e identificar el
f (x. f(k. Washington Medina G. se tendrá la ecuación diferenciat en función de NOTA: "La resolución'd"
X. la función es homogénea y de grado 1 (ó primer grado) f(x.y¡= xy -
f ttu.M
y = Vx son variables
:-¿:
+ xdv
luego de reemplazar dy/dx por-M/N.Qrf
f7x. luego de lo cual se puede separar las variables y para su resolución aplicar el método de separación de variables. M.y)dy = 0 es homogénea cuando M y N son funciones homogéneas de x.y)
f(k.hy)
(k){hy).
=cJ(l +x'yt+y"¡
:tj1
{sohrción gercral)
(2 + y)dx . 22
-i*u+x'¡
rnr-]rnO
y') = c
ln .(3 .x)dy (2 + y)(3 (2 + y)(3 .-r)
ln(3-¡)+ln(2+y)
Y)rC (solwión gercml)
ecuación de la curua qué pasa por et punto (2.lnJlt + x2 ¡1t * y') =
L='^'
J1t+xe¡1t+y2¡
. Hatlar
y cuya pendiente en
un punto cualquiera
es: y'= -Q+Z¡
ú =-**y dJc x
xdy+(x+ y\dx=0
dv -l-xdv l=vx + .r .y)dx + N(x.Sc.l-Ú'-=s '(3-¡) t(2+y)
(3-r[2
(2+ y)dx ___n (3 ..
fd" +bu -L Í4 -L 2J u 2J v
=" -Lrnu+L**LhI. M.1)
eiempto 81.y) dy =O (son homqéneas de grado 1)
.Matries y Cálado Dihrencial e integral
lng.*=v "dx dx "
M(x.x) dy = 0
x) Í=É-. Washington Medina G.
. b...--/. Suponemos que en esta solución..Matrices y Cálculo Diferencial e integral
(Demidovich pág 355) y su procedimiento es el silluiente: a.. ó consfanfes" Cuando en este tipo de ecuaciones..:
'. Ejemplo
conoce como el método
de VARiAC]ON DE LA COIVSIANIE AIRBITRARjA
82: Resolver
ecuación y' = ytg(x) + cosx
y'= ytg(x) + Cosx o y' + Py = Q y'. Calculada y' e y._
xdv x+ y dxx
xdv x+vx dxx
vdx+xdv+(1+v)dx=0 dx(l+Zv) + xdv =O (L+2vdx ----. C es función de x y derivamos con respecto a x. c. Washington Medina G..ytgx = 0 (Ecuación homogénea)
Solución de la'ecuación homogénea: Y
= C/cosx
"=JB
+2ry-8=0 (solucíon particular)
Las ecuaciones diferenciales lineales son de la forma y'+ Py = Q donde P y Q son func¡ones de x únicamente. M.Sc. cuando Q = O es Homogénea..._ fl \_ ----... Se encuentra la solución general de la conespondiente ecuación lineal homogénea.
1.r xdv
(l+Zv)x
(1+ 2v)"r
Í4*Í-!-=o r x r(l+2v¡
lnx+ jln(l+2v)=s
+2*2*l
.. reemplazamos en la ecuación propuesta y obtenemos la solución general. Q es diferente de cero es una ecuación lineal NO HOMOGENEA..
f.¡*secx )Y =(C.¡ dxdx24
)X+:Sen2X+C
!=uz
<.=r""r(lr*lr"nZr*C) \2 4 )
. Washington Medina G. z funciones de x Derivamos Y: Y'= uz' + tt'z Reemplazamos Y=uz e Y'en la ecuación propuesta:
El resultado se obtendrá reemplazando u.'-.) dx \á )
d.(+*r.
Reemplazamos fuz . e.' *C*t"Y=tg¡* C +"og f dx cos.
c.r Y
=f +lsenzr+g.r cosf
!=r**ug dx dx dx
=Cos. ''t'.+u--ltgxpz
dz (du \lz cosx u-+l = -utgx ") dx \úk :. M.
Detetminamos et valor de
integrando -dx
El valor de u que se reemplaza es el obtenido en el numeral d. z en y = uz
ejemplo 83 Reso/ver la ecuación y'= ytg(x) + cosx
!=tt*z )
. L*ir"nz*)*r"".Sc." du --l--utgx=A = il=sec.ii:.=ytg(x) +cosx o y.'= !9sec{*¡
tg(¡)
en lo ecuación
+ C * sec(x)
lng.. (¡'24
=c6.t*sec(r)
*z=e
+ Pu =O * dx
u integrando
Por facilidad de resolución.x dx dzdzll ?J--:*=COS. siendo u. +
.t' SeCt =COS.
Método 2: (Granville pá9. 468) sugiere el siguiente procedimiento:
a.r cos-. en el cálculo de u es conveniente asumir la constante de integración igual a cero. b.r
zdudzl\ .
4 = Q ar=9J'*e integrando y K
considerardo comt)
en /=uz
integrawe.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.'*[ll=€t
Resotviendo
* pu= 0 fenernos:
nu+ [rax=
lna = lnK
¡ ' . u = J'*
! =u-'|.
(1) se llama EDE si su primer miembro es
La condición necesaria y suficiente para que
sea EDE es:"
.'-#=Qfi%
*)r=Q+.[r*
Ke-l'*
'dx ".y)dx + N(x.Sc.
"La ecuación de la forma M(x.(¡"oa-*c)
Se recomienda este método siempre y cuando la integral sea favorable en su proceso de solución
84.x+l=e -tn(r+t)2
e^'*"
U¿-w'*''t'
* 1x+t¡%ax+c)
t =!O+t)% +c
"t*'*r)'
el segundo miembro de la respuesf4 se puede resolver el exponente
logarltmico así:
lnz = ln(i+-
"tnd'*t)
y =|k+l\/z 3'
* (x+l)2 2. M. Washington Medina G. t/
C(x+
Método 3.Este método pa¡te del hecho de deducir una fórmula general para la solución de la ecuación
y'+py
= q.cuaciones diferenciales exacúas (EDE).y). .y)dy la diferencial total de una función u(x.
DF/dx = M
=3x2y*6x entonces: F = xsy-3*+Co¡
Se integrórespecúo a X manteniendo consta¡¡te Y Determinamos C¡9 considerando que la función F calculada safi. resolver ef sigyiente problema utilizando la sugerencia de Kisietov-Makarenko. que los explicaremos en el proceso de resolución de ejercicios:
Método sugerido por Earl Rainville: Ejempto 85.. a continuación:
. y.*'
*c'(r) e
:.. resolver la ecuación 3x(xy
dM dy
Para la soluciónde esfe tipo de ecuacionesse sugieren varios métodos.Comprobamos sí es una EDE:
2)dx +
2y)dy = g
=3x2v-6x 'dy
=3*'
*d' =dN ¡ dy dx :.j
C'(»=ZY :) C{rt = !' F=x3y-3x'+y' como F =C = x3y-3x2 * y' =C
nr = x3
elmQto 86 . Determinamos
F tomando M = dF/dx
N = dF/dy según la facitidad
N = x3 +2y
2.sface también a dN/dy:
... Washingúon Medina G.
!t&*
xy'dr+ x'ydy
ytú =a
Se comprueba que es EDE.Matrices y Cálctrlo Diferencial e
lng.Sc. M.
Matrices y Cálct¡lo Diferencial e
x'dx+ )cy'dx+ x'ydy
+ y'dy=o
y'dy =O
+ xy(ydx + xdy') +
si: w=x! á ff=r*.*
x'dx+wdw+ y'dy=0
dw=t&+xdy
L:-=^
xa +2(ry)2 * Yn
'i:r.;l
Factores intqrantes
Para aplicar esfos factores integrantes, es sufcienfe presentan exactas que frecuentemente
las síguíenfes diferenciales
d(xY\ = xdY+ Ydt a1!¡ = Y&1xdY
a(-¡
xdY -rYdx
Dete¡mi nación
d@ctgL¡
tY ='1x x-+y'
de factores integrantes
Se sgrue
el siguiente procedimiento
siendo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, aceptemos una función p(x,y) gue sea factor integrante de talmanera que la ecuación lMdx + ¡Ndy = Q sea exacfa.
Matrices y Cálculo Dibrencial e
htegral
tng. M.Sc. washington Medina G.
* fuu'''''('"') ) = fr{u"''''N""'"\
udN *Ndl'=udM +u4L 'dxdxdydy
dt, _n
dN --du dM _+Iy, =tl dx dx '*1'l Ú ,t .dN dM. du *- ú)---u<*'>á
p,_t(¿u_dM)
l-ivl.d, - e)
l' = ¡urrción exchuiva de p
#)= fb)
lÍGt* \"*
es tunción exctusiva de x
será factor
, - s, !({-
U\¿y
= sO) es tunción exdusiva de y, entones +l dx t
"-lt<t»o
Si ninguna de las condicbnes indicadas
& verifica,la ecuación no tiene ningún factor de integración grre see funci6n excluslvamente de x o de y.
Matrices y Cálarlo Diferencial e
lng. M.§c. Washingrton Medina G.
Eiemplo 86
(2*'y-2y' +zxy\du+(¡t dM a2 2x2
Zy)dy=O
dN ]=2x dr
f(x)=+g-*»-w-'-2Y) N' dy dx' (*' -2y\ -z fza, gÍr<,w =€ =e
d'[(z*'y -zy' +zry)dx +(xz -2y)úl=o Í(z*'ye" -zy' eu +zÍye21&+@, d" -2ye'\dyl=o
compruebo, ry- =+ dy dx
+ crr,
r = [u*= t1z*rtd'-2y, f'+zxysf'¡ax
.=/,,
I¡ = x'y e" dF¡2x^2x
Or='" e--ZYeC'Ot =0 = c0) = 0 F = x'ye" - y'e"
*c'e¡
-'1V
*'ye'* - y' e" =c
Ecuacíones que pueden ¡educlrce a la Jo¡ma ltneal y.+ py =
Si n = O Es una ecuación lineal Si n = I se puede resdver por separación de variable
Sin> l Noeslineal
Y=uz
. , \=';
ry*+*puz=eu,zn & dx
a, calculamos u manteniéáilo ta constante de integracifun C=0. b. Calculamos z (como en et análisis dettema anterior, manteniendo
iguatdad a
e tlnl
= ounzn
M(x. Washingrton Medina
Ejemplo 87.Matrices y Gálo. M.. Resolyer et ejercicio anterior con separación homqeneidad de lasfunciones.
. A y'+py =Q
v =rz o9* r!!-z*u*' 'dxdxx
dz ( ¿u 2z\lz .rte Dihrencial e
: lng.x)
(4-4\=o e x)
\á dz-2 u--z dxx l=ltz 3
u=x.Zv y'--' -z x
..Y) = Ax
MQx+ty) = 1{x+2y)
una ecuación homogénea
dy= vdx +
. bY) = 2)'x
N)x.:
M(x.¿ u-+l dx [dr --.r¡
(2x+2y\&
-> 21! .Y)
MQx.= 2
xdy-2ydx=2xdx
. Resolver la ecuaeión diferencial indicada
-2v =2x
.Y) = 2x +
N(x. dfl=:.
:+ z=c-y=cxz -2x
de variables. de sernecesario.y)dx+N(x.Sc.
xdv-2Y=2¡a
dv. y comprobando la
Sugerencia.-Zv.
dependiendo de las soluciones de la ecuación
(r1 = 12)
(1) donde P..".
Sustítuyendo: rzeo +Preo +qeo
".. . se presentan fres casos:
ECUACION. será ta sotución de la ecuación (1). Q son consfanfes. Washington Medina G. M. si res ta sotución de la ecuación (2). fu _2x+2vx I t-
+*& =2+2V &
'& =2+v dx
*=[*
lnx-ln(2+v)=6
r ln2+v =lnC
2cx+cy.
r1 y 12 son raíces reales e iguales
soluciÓn se /a escrlbe como:
Cr€" * Cr*d'
. para encontrar la Sea /a ecuación Y" + PY' + QY = solución general es suficiente considerar la solución particular partiendo de:
de ll orden con
!=e"
!'= reo
\*:..
..Matrices y Cáliulo Diferencial e
lng.^(r'
*pr+
g):o
5. Ecuacíones diferenciales lineales de orden superior
Ecuaciones diferencíates lineales homogéneas
consfanfes.
(2) se la
CARACTERISTTCA (2).xz =0
x' -Zcx
conoce camo SOLUCÍON AUXILIAR O ECUACION y.Sc.0' *Pr+g)=
lo que permitiná relacionar con la DERIVADA. Para las condiciones iniciales
88 : resolver la ecuación y" +2y' +4y
+ 2r + 4 = 0
(r+2)2--0
=r2=-1
!=C&
2. Washington Medina G. b se determinan resolviendo
ecuación cuadrática por medio de la fórmuta
Bx+C.
Para una mejor comprensión.:
y = Qrg-'cos2x+
Qrg-'sen2x (solución
C r{* e-'
= Creocos}+
g' senZx) + Q r? e " sen2x + 2 g-" coslx\ (r{osenO = Cr=0 Cr=:
i= gr{-eosen0+2g-ocos0) =
I y = *i'senlx solución particular) '2" eiemplo 91. Ejemplo 90: Encontrur la soluciÓn particular de la ecuación y" + 2y' + 5y = 0 x=0. Si 11
+XCr€-'
y r2 son raíces reales y distintas (r1 * A)
89.2 = 0
I * r .Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.2 -.' D =-1 x2¡
=-7. resolver la ecuaciÓn y" + 2y' + y = 0 gP+2D+1=0*Dl=D2=-1
Y=C§-'+CzXe''
+2D + 5= 0 susoluciónes. y'=1. la ecuación característica se
Ia expresará con D en lugar de r. la solución finalse la expresa como:
y = {(Crcosáx+ frsenáx)
donde a. b = 2
i:.0 (r+2)(-1)=0 + 11 =-2 (2=1
y=creu'*crd
Si r1 y
12 son raíces imaginarias:
pr + q = 0
12=a -bi y = C reb'u't' * C r"r"-u'\' = ¿f (C reu" * C re-u'')
Efectuado el análisis algebraico.
resolver la ecuación y" +y'.Sc.
. D=0
D2+22
4ocos2¡
a=0.4DseniDx
5.Matrices y Cálculo Diferencial e
Determinamos /os coeficientes de Yc:
yc = A + Bx + C cos2x + Dsen2x
y'c = B -ZCsen2x+2Dco$. esfos son inelevantes.
Se debe recordar que la propuesta del método es conveftir a en una EDLHcon coeficientes consfantes.2x jy" = 4C coslx . M.
D2 2.Construimos Yc. tomando en cuenta que el método es aplicable solamente cuando el
miembro derecho de la ecuación es una solución particular de alguna ecuación diferenci al li neal hom ogénea con coeficí entes consúanfes.Calculamos Y¡.
+D-2=0
eo'+xeo' =
(D+z)(D-l)=0 = lr=ct€'+cre-" D=0.. b=2 f1»-"¡'+u'l 3
3.. que consrsfe en definir o calcular dichos coeficiente. se calculan los coeficientes indeterminados formando previamente un sistema de ecuaciones:
6C+2D=40 2C-6D=0 28=2
Reemplazando en la ecuación original.D-2 = o -->Y' -Y'-2Y = o
tJna vez concluido este estudio.40cos2X
Expresamos /os facfores de /a parte homogénea ecu ación h om og é nea factorizad a :
y la pañe particular en una sola
(D +2)(D
-r)D'(D' +4) :0
cre-"
+ A + Bx + C cos2x + Dsen2x
4.Sc. Ejempto
Encontrar la ecuación homogénea de y = 4e2* + 3eo
4e* -+Cea -+ m=2 3e-' -+ Ce-' -+ m = -1
(D-2)(D+1)=0 D2 .
Lo que se deberá considerar simplemente es gue sien la solución pañicular existen
[(D-a)'z+62¡. Ejemplo
la EDLNoH propuesta
93 Reso/ver la ecuación:
2X. la solución de una EDLNH se puede resolver aplicando el METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.
rrr:. y.:: .)
Y'r= AY':*BY'.H. considerándolas como nuevas variables dependientes.)
ecuaciÓn de segundo orden de la forma Y"+aY'+bY = R(x)
1. c z so ttconsfantes rrn.'
Reemplazafios c* c2 por funciones desconocidas de x: A.""
3. método conocido como VARIACION DE PARAMETROS. Washington Medina G
6. + By| + A'y. = 0
'r.Sc. el proceso de solución es: y" = Ayr+ By.a. A continuación estudiaremos uno de /os métodos aplicables a ecuaciones que no presentan la restricción menc¡onada en el párrafo anterior.
2.D. Luego delanálisis.*:. M. este método sugiere el siguiente análisis.L. con coeficienfes consfanfes. /" = Al" t* BY" r+ A' Y' r+ B' Y'.
Método de variacián de parámetros.
homogénea f(D)y =
do ndec t. + B' y.
Construimos la solución.
(tratamiento como homogéneas)
A'y'r+B'y'r: ft(x)
De esfe análisrs se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas.
nos imponemos como condición
A'yr* B'y..Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.:."r + 6cos2x -2seta
Hemos v¡sto que el método de /os coeficientes indeterminados es apfbable a la solución de ciertas ecuaciones diferenciales: aquellas en las que el segundo miembro es una solución pafticular de la E. suponemos que el miembro derecho tiene un compoftamiento adecuado para que las integrales que encontremos exisfan.
Reemplazamos en la ecuáción original (ecuación planteada). B.
cr"-"
cre' -
i2 . tomando como base una
-. en lo que respecta al segundo miembro. Siendo la ecuación f(D)y = R(x). organizando en términos semejantes obtenemos:
A(y"r+ay'r+byr) + B(y"r+ay'r+byr) + A'y'r+B'y'r= R(x)
4.. y por ende conocer Yo :
. que nos permitirán calcular los coeficientes A y B.'.
Del sistema de fres ecuaciones formado en el proceso anterior.
reemplazandg en la original:
B¿ -Ce.Sc. + B' ¿ +C' e.r
/l___ )
95: resolver y"'-y'
(D'-D)Y=*
D(D-l)(D+1)=6
crd + ae
lo=A+B¿+Ce' t'o = Bei -c e' + A' + B' d *c' e'
d *C' €'=0
Yo=Bd*ce'
Y.x'
-Lxe-' 22
-!e-'
B --l xe' -l e' 22
La solución general será:
= Ct+ = Ct+
Crd + Cre' Cre + Cre
r-xll
+ A+ B gi +C
e. *B' d +C' e'-Bd +Cs2'=y
B' g.
resultados que al serinfegrados se obtiene los srgurbnfes resu/fados finales:
\r-7:
Y'. M.
..=Bd+ce'' li = B ¿i _C e.:Bd*ce-'+B'¿-c'e'
d -C' e'=o
. su solución nos da:
xe-* =l 22
C' =Lxe'.Matrices y Cálculo Diferencial e
Consisfe en reducir e/ sLsfema a una ecuación de orden n. derivando este
Srctemas consfanfes. M.
luego.'
de ecuaciones diferenciales lineales homogéne(xr.i:.
. para ecuaciones:
. Método de la reducción de un sistema e una ecuación de n-simo orden.Sc.r I
Ejemplo 96: lntegrar el siguiente srsfema
4=r*3
Q=x+3
r. para nue§ro estudio.con coeficientes
tJn sistema de EDLHCCes de /a forma:
* .Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. es recomendable en sisfemas de bajo número de ecuaciones ( 2 ó 3). el método de Euler (entre los de mayor uso) así como el de Combinacrbnes integrales y el de variación de las consfanfes.'"1
= x"-x=3
resolviendo la última ecuación (x"-v = 3). se obtiene siguiente solución:
x. será suficiente elconocer los dos primeros méfodos mencionados.-dt
dx ^ { .
!=ct€t *cre-t +3 y:cÉ -c2e -J el
análisis se examina el siguiente slsfema de tres
Como lo plantea Makarenko.-
dtr-x-3:0 .'.orx j+ f Q): o dti=f A'
Para su solución se plantean dfversos métodos. como: el método de Reducción de un sisfema a una ecuación de N-simo orden. Washington Medina G.
Una vez efectuado el procedimiento indicado. r por r 2 se obtiene A. ¡t2. se
. p.=re"
Reemplazando las vaiabtes x.J:
(a-r)l+bp+cv=0 /\ ArX+lbr-r)pl g. M. en base
pafticulares:
Asumiendo que las raíces de la ecuación característica 11. la solución generalse presenfa así:
x = CrXt+ CzXz+ Ctx.
y = Ct!t+ Cz/z+ CzV.1
*=lCi' y=pd' . 13 son reales sustituyendo r por r1 se obtiene )u1.
r por 13 se
a esfe
proceso se obtiene fres srsfemas de solucrbnes
-.z en el sr'sfema de ecuaciones forma un sisfema de ecuaciones gue permrte calcular 1.Sc.re'" xr= ). v2. p3 v3.-=LJC+by+cz
i=or*+Srf+grz fr=or*+br!*czz
. vl.r dt
b fu-r
obtiene 13. r2.Matrices y Cálculo Diferenciale
z = CtZt+ CrZz+
En el siguiente ejemplo planteado por Makarenkq se observa mas claramente la solución.
zr...= 1r".'. y.=vr.v =0
ArX + brF + (gr* r)v = 0
La ecuación anterior permite calcular el valor
considerando que al ser un slsfema homogéneo. pl. formando previamente la ecuación caracterí stica :
a.er" zr= Vre..rer" xt. u
simptificando con efr. Washington Medina G.'se iguala a cero y se procede a calcular el determinante..2."
Fr€'" !r= flrd" !r= llr€.
su solución dependení del tipo de raíces que se oblenga.36 = o Sus raíces son: 11 = 2. y. VALORES PROPIOS
REPETIDOS Y VALORES PROPIOS COMPLEJOS. :it
f . en igual forma.Sc. Washington Medina G. 12 = 3...
* = -x+5y dz x7 ü = Y+32
ls+ -1 1 l-t s-r -1 -t 3-r ll
Luego de resolver el determinanfe..
3r^6t !: Cz€ .Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.tlf + 36r . los que pueden ser con: YALORES PROPIOS
DIFERENTES. Ia solución de los
tres sistemas indicados se to hizo tomando en cuenta que son DEFECTUOSOS.
d'=t*-Y+z
Eiemplo 97. Las so/uciones pafticulares serán:
€'' !r--o zr= -e'' zr= d' xr= e't !r= e'' xr= eu' !r= -2eu' zr= eu'
x=Ct€2t +crg3t+cre 6t
. reemplazando cada una de las raíces en la resolverían tres sisfemas de ecuaciones que nos permiten
4=l L=l 4=l
l4=0 l1r=l l4=-2
vt=*t
vz=l
At ser un sistema homogéneo que posee infinito nitmero de soluciones.¿Ct€ 3. se obtiene:
_. los sistemas de ecuacion¿s difereneiales lineales paeden ser homogéneos y no homogéneos. Resolverelsisfema.' . 6t +Cre z=-Ct€2t +Cre
En forma general..
13 = 6.. M.
M.' .c¿=2
Ia solucón es.". Washington Medina G-
Soluctón con valores prcpios rraares dife¡entes: Ejemplo Resolver
x'=[ \-4
( 4 -r)
o-^t-s")=g -rl -+
)i=6.]
ed .="{.12=10
l'.r[Sl =e+ cs=1.'o..Sc...[ )"
otra forma de expresarlos resulfados es la siguiente:
x = Cteü +Czez Y = -2Ctee +2Cz&
Solución con valorcs popÍos rcpeffdos:
V1'-l .= t.c2=-2
l r-^ -rl
L 4 n-d=Q+
=10.f r.:.
.12=2 =Q
Ct=1]Cz=-2
-.LvJ.j
Eiemplo ResolYer
{'=L 4
I -lYx':\ '.Matdces y Cálanlo Elferencial e
lng.-'|
[sl=.
c.-] [ I n-u4-o)lcr) ".
"'..)2=-1 -i
-ul ...[:]
+e1ü
derivamos X2
incógnitas a1
reemplazamos en la original. ]
il =-1+i.). de lo cual.llo.1]
Parte rcal del vector propio ( Re
Parte imaginaria del vector propio ( lmg
La respuestase expresa
la sigubnte fórmula:
X = e{cos{C fie + C ztmg) + e{senú
Donde el exponente de
C 2Re)
de X'1 = -1 + i
La solución por lo tanto nos quedaría:
.rlo Diferenciale
lng. la soluciÓn es:
x= Xt +
e'^. t.'=[
'r:J.Sc. obteniéndose los valores de las nuevas a2.=['.1 =
-1+i: ct = s.[.]
e(1+t)t
[] [:. Washington Medina G.] "..Matrices y Cálcr.l
Solución con valores propios complefos: Ejemplo Resolver
+ *l'rl ".oz=
i >[.-^ -¿-)=o*
para ]. M.
2 L-2 JLC. ].J
Ce=1.C¿=l
(-..x2 = I
x=etcosr
[ul lJ
".I =o '+
=Q + ct=1. ]"
" {. 1.|.|..| "lLs.c2=2
.Sc.ll"J =Q + f-. M.| LsJ LtJ
+e{senr"."1
" [rJ
. ['I
u^s!^) .
unsJsfema
no homqéneo
x'=f
[-z s)'
o '-l . )l:4
.Maüices y Cálanlo Diferencial e
LtJ ..l["...
lá solución homqénea sría:
t *n =". Washington Medina G.
de vari*íón de
parámeürcs.
Matries y Cálanlo Diftrencial e integral
lng. M.Se. Washington Medina G.
la solución paúicular se wstiuye asumierúo a las constanfes Cr , Cz crittto variables:
a'4;]
+ az'[;
derivando Xp
reemptazando en
originat se calculan las va;riables at $)
az $)
(o r) f,"1 x'p=l s)l.xp*ll L2J t-2
r:.'.:11
calculadas las ¡nencionadas vañables, reemplazamos en Xp, luego suma de la sdución homqénea mn la sluciÓn pafticular-
resuftado final será la
",[;]"."{
, :]
{;],
. ,[;]," .[:]
67. LA IRAflSFORMADA DE APLACE: (Resumen tomado de Ecuaciones D¡ferenciales
de Earl Rainville) En igual forma que es factible considerar un factor transformador de determinadas funciones en otras funciones corno es e/ caso del factor D (út¡l para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constanfes); se puede considerar otra transformación cuyo papel es cada vez más impoftante en matemáticas puras como en aplicadas, esfa es /a transformada de Laplace, cuya efectividad se visualiza en el estudio de problemas de valor inicial que contengan ecuaciones diferenciales lrneales con coeficienfes consfanfes.
Previo al análisis de la transformada de Laplace, conozcamos a/go referente a la función continua por tramos o seccionalmente continua, necesaria para entender el dominio de L.
La función seccionalmente contínua, en su reconido tiene cortes permanentes, lo que
impide que una sola función represente dicha gráfica
67. Definición de la transformada de Laplace:
"Sea F(t) una función tal que las integraciones encontradas puedan ser legítimamente reatizadas para F(t). La transformada de Laptace de F(t) es desrgnada por t/f¡t1/ y se
$r<t>\=
Ír-',
F(t)dt =.f(s)
Esfa expresión es conocida como transformada de Laplace o también es considerada como elfactor que transforma cada función F(t) de un ciefto conjunto de funciones en una función
Se observa cie¡tas particutaridades como:
Se utiliza la letra t como variable independiente , considerando el hecho de que en la mayor pafte de los problemas de valores iniciales la variable independienfe es e/ tiempo.
Como generalmente no se consideran valores negativos de tiempo, es meior restringir elanálisis al intervalo [0,a) en eleje horizontalt. La continuidad por tramos no garantiza la existencia de L[t(t)], por lo que la expresión representativa de Laplace debe converger cuando B-+a, al menos para
Matrices y Cálculo Diferencial e
un valor de s, para asegurar esta convergencia, se debe cons¡derar que f(t) esté afectada por alguna función exponencial, de esta manera se requiere que e EXP st f(t) tienda a cero rápidamente a medida que t tienda al infinito (que t crezca).
Si fenemos una función F(t), deberá tener caracferísfrbas de continuidad; asociamos a esfa la transformaila de Laplace, por ser una integral impropia puede converger o divergir, esto depende de s (A la transformada de Laplace se la identifica también como f(s)). Por conveniencia, se acosfumbra a escribir así:
¿{rfrl}=
l* f ¿ st trqt¡dt
u=t du=dt
L(t¡=§*f"-"r0,
¿,-""dt
- [vdu =
-:"" *l !e'"a,
]s[- lu-" Hs[- l"-" 1 -s*o -- b -sá -. t -ra 0 -s.o *?e
*lIu"o,)',,
-i."],
*;e ',!*-;e -',*7e . , +o+1 -rim-l b+a ,2 sb b+a , sb-tim-l S'
S=0 S<0 S>0i
DIVERGENTE DIVERGENTE (tiende alinfinito)
(converge a cero) 77+o+; * ¿{r(r)}=¡! (siempre y cuando s>o)
Si S es menor o ¡gtuat.p"cero, no existe transformada de Laptace porque ta integrat es
antes indicado, podemos considerar que:
H factor de laplace transforma una ecuación diferencial con coeficienfes consfanfes en
una ecuación algebraica para la función transformada. El interés de esfe tema consiste en la aplicación de la transformada de Laplace para re solver ecu aciones d iferenci ales. una de las razones del estudio de la Transformada de Laplace es su utilidad como menos elementales, instrumento para resolver problemas en aplicaciones rnas particularme nte proble mas de v alor i nici al en ecu acione s diferenci ales.
M.f r*'..k
= L{send\
En et cátcuto etemental encontraremos gue discontinuidades finitas o sa/fos finitos del integrante no inbrtieren en la existencia de la integral. dsn
eiem 100: sabemos
acuerdo a lasfórmutas que.. con
apticación
del teorema.. enktdt f
¿Y =
g "' dt
iror* * \
! e " costadt
. para cualquier número positivo entero n. Transformadas de funciones elemenúafes:
Son transformadas de ciertas funciones trigonométricas exponenciales y de algunos polinomios.. una aplicación inmediata conssfe en ayudarnos a hacer una lista de transformadas con muy poco trabaio. .'
tanto. \-/ = L{(-t)' ¡A> -(\ -/ _
(-l)' * t ¡«» á' L{t'F(t)\= t .Sc.rn. derivando los dos miembros del
Teorema: "Si F(t) es una función de cfase A."
F(t\\ \-/.. Washington Medina G.1..o)]
Z{coskr} = ---{-
k'+s'
(s >
69. mismas que pueden ubicarse en un formulario de transformadas básrbas. =lf e"
>0. Derivadas de Transformadas:
-. es decir.'
Esfe teorema es útil en varias formas..
68..Matrices y Cálculo Diferencial e
Eiempto 99: demostrar
que I{cosKr) =
?: U
¿u =
para ¿"
¿".S
L{F(t)\ = f g-" cosktdt
=coskt
d"or*. ktd.
al original y
cuando f -+ co
t-[oi
Qrsenk*o-scosfr
. -(. se deduce de L{F(t)} = f(s) que.iQ<senld-
cosfrr)_].
s2F'(0) . Washington Medina G.s'/(s) .§'l(s) .sr'(0) .Sc.F (o) ilr'(') 1r¡¡ = ..1u:1 :':\
=L{i'entd-rcosh}
en consecuencia: I I _./
en los ejemplos anteriores podemos
tran sform ac ión d i recta. . de:
y de orden exponencial cuando
L(F(fl) = ¡6¡
L{F@ Atgunasde ejemplo:
(t)\=. Transformadas
de derivadas.. encontrar la transformada
y. y sil^)¡t¡ es seccrbnalmente continua.:p
= Z(cos/rr)
k'-t='==L{-tcosh}
(s2¡lrz¡z-"t
agregamas
-+ § +r
= L{lsenlo\
s2 +É
+'k'-.. M.S'l(s) .L{F(\ (t)} = sol(s) para y@= A
^y3F(0)
-. L{-tsenkt} = L{Lsenlal = .
obseruar como pueden definirse otras fórmulas de
70.F"(0)
El teorema a plantearse es básrbo en el empleo de la transformada de Laplace para la solución de ecuaciones difercnciales lineales con coeficienfes consfanfes.!S'-'-*f<*r1O¡ se denrue stran a Ái¡rrr"¡an.--l--: (s2 + k2 ¡2
eiempto 101.sF"(0) -
F{3) 10\..+3y' + 5y = s3*
Y'@= 0
1.(s2 + k2¡2 -'*zk"""'"' . = L{*¡'"nH -tcostal
)t:.sr(o). recordando
derivando con respecfo
ejempto 102. F'(t).Matrices y Cálculo Diferenciale
lng. a manera de
4rQt g7¡= .F''1)¡t¡ son continuas para t>=0 t-+a.etc. puesto que
permite transformar tales ecuaóiones en ecuaciones algebraicas Teorema: "Si F(t)..
2k.s'?F(o) ..
§/(o) . corno es e. puede la inversa de la transformada. M. Washington Medina G. Tnnsformada inversa: su inversa.:Qgmo t^
«Tfu)
= senld
rr'{ffi}=5* ¿''r'1}-\
t . formulario construir una tabla de transformadas y usarla a la inversa."/.r+25t
.!1.'*
sen3t
eiempto 1a3. encontrar
t'{F#
* rr}
G.f(s) = f. F(t) = ¡"{16)}
lJn teoremasenc¡7/o y útit para manipular transformadasinversas de
.f(sXs'+3s+5)=+ s-J
-f(s) = (s2 +3s+5)(s-3)
-:--l-
71.f(§)} = F(r)
{d' ra\a.
Recordando que toda función tiene
siL{F(t)} = f(s).a\ = f sl'''\' F(t)dt = t r'{.
.a\}
Se lo demuestra así:
.f(r)} = g"'
./lo¡ + 3{s/(s) .Matrices y Cálculo Diferencial e
s'-f(s) . catcutar
inversaAe i-11 ^-t1L-1 2 +6. caso de la derivada y la integral.
e-"r{.'¡*
{.f(t-¿)} = é'rQ)= ii'rt1¡1s¡¡
r'{.*
+.Sc.¡\+ 5/(s) = *
f(s .f(s)}
D' {f(s
-a)}
eiemplo 102..f(s) =
""r{r¡a. 15 ts'+4s
= +13-"
i. a la vez disponer de un definir se en igual forma fácil de encontrar las transformadas inversas de Laplace es lJna forma básico.
.Sc.eh']
rr1--JJ1-y
=¿ "1cos qt-Lsen4t)
72. Apticación de Transformadas a la frontera
problemas elementales de valores
. este método es et meior. cuando las condiciones limítrofes son condiciones iniciales y dan el valor de la función y de sus derivadas en el tiempo cero. se
Al ser la intención de este capítulo es presentar conceptos básicos rec.f(s) . resolver y-
=0 para !$) = 0
y'10¡ =
s'. M..Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.r(r)+/(s)=1
f(s)=s.
Eiemp.s * 0 .omienda al lector siguientes temas en la bibliosrafía indicada al final
IYI*H[Jos
73. L-'{+*l*2-2' L4?--!lf-\= '-r' lG+3f +16' (s+J).s!bt .. Washington Medina G. tpl*r-r'{#c}] =
=. Funciones peñódicas:
Supongamos que F(t) es una función periÓdica de período w: F(t+w)=p¡¡¡. el factor Laplace transforma una ecuación diferencial con coeficientes constanfes en una ecuación algebraica para la función transformada.:.+l
APLICAMOS LA FORMA TRADICIONAL (es decir ecuaciones diferenciales linealx)."[t'rft*t-*'^. Desde el principio.
(s+3)-2 .f(s) .tos
104.+ lo t"*¡t' *rO' " L-'tifrr ="''1.lis¡ +/(s) = 0 s'. EL RESULTADO ES ilACTAMENTÉ EL MISMO
.I + s/(s) -0 = 0
s'. de ecuaciones diferenciales elementales.
La siguiente ecuación se denomina serie de Fourier
f (x) =Lo.
1Nos permite obtener la Transfotmada
w es er
de Laplace de potencias no integrables de
t..Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.."or!9
fi.Sc. Series de Foutier.-..""
ltydt
L{F')t)\ =
( ¿"n7¡a.[.c)
76.fidP
7e-* ¡1s)) = F(r ..=l ! f@\senlLdx
n=r.=1"!"
f{x)coslLdx
n =1.--."-o§'aP
Aplicando integración Por Partes
* f de
p'''d/ :)
si L{F(t» = f(s) Y t{g(t)} = s(s):
rr{/1s¡g(s)\ =
[r ¡P¡G(t .
r(x) = f e-'§'^aB
f(x+r) = f. se obffene..
.3.c)a(t .t-td§-.
¿{F(r)} =
74.*i{a.
Este teorema permite definir ta transformada inversa de un producto de transformadas.
Yi:. Washington Medina G'
LtF (t)\ =
L f.4.* f" e"F1t7dt+ f e-"rl\dt+.2. Teorema de Convolución para encontrar la transformada inversa.
77. Teorema de la tardanza (Función escal6n). La Funcíón Gamma.
Resolvrbndo la serie.3.
b..4.eor'..-.senry
@'t.
(ñ)-%
s+a "f(s) = L{F(t)\
5. Edit. Washington Medina G. Trillas.
FORM U LARI O DE TRANSFOR M AD AS /NYERSAS
Tomado de: Ecuaciones diferenciales elemenfales de Earl Rainville..(s)
*.(t .r. pág 235. México 1974.236
"f(s) =
L{rG\l
F(t'l
f(s-a)
{as + b'¡
d re\
a(t-c)=0.Matrices y Cálculo Diferenciale
lng.s
senhld
cosh k¡
t\ k'
7:F 74
la cos kt
G'-frT
.Sc.tt»
!"*'c>o
e* Íb).
l(")"f.t)c
F(t-c)a(t-c\
f ."fr
t'g^
-'* k'
.03t1c=l.hdo
l"'"... M.
1.Zy)dx +(2x + y)dy = 0 sol: ln(x2 + y') +4A¡ctan ( y/x ) = s
2(2x"+Y2)dx-xydy=0 so/: x4 =c"(4x2+yz¡ q xy dx .9xy
80. v2dx +x (v-4x)
xv2=c(v-2x)
Zftn¡c¡n+4] =
2. (x . (4 +
x)y'=
Sot. 41)
yi.Ff
tsenld
l* e'
2senhh
h(tl¿r
^s-ft
r"o-41 rnlr+{)
k arctans
21t-coshh)
?p-coskt)
::'.f = "f * + + 4. 3ydx =
ZxdY So.( x" . cosxcosydx + senxsenydy =OSoL Senx = ccosy
3.2x2ln
9. Washington Medina G.4y2 ) dy = 0 sol:x'+4y'=c(x+y¡
sol : y2-. (x' + y') dx-xydy=O
10.Sc.( f * 3y2 ) dy. (x-y)
(4x + y) dx + x(íx-Y) dy=0sol: x(y +v ) "= c
(y-2x )
( x2 + 2xy
) dx . Ejerciciostomados del libro ECUACTONES
de Earl Rainville
Ejerciciossoóre separación de varíables (Pág. Ln(x'+1)= f -2y+4ln{c(y+1)}
Ejerciciossoóre *uaciones homogéneas (Pág. M.
G. . 5.Maffices y Cálculo Diferencial e
lng. (xy+x)dx 8'f x2 f + l)dY^ Sol.
1.ag sol: x'= 6y'tn ( y/c ) 4 3xYdx+(x2 +Y" )dY=0
x2 dv = 0 cuando v= l. rr
26 xydx +2 (x2+2Y')dy=0 cuandox=O.Sc.
sol:4(2Y+x)lnY=2Y-x.
(x-v
Q¡a
+ ( 3x
+Y.Í'rr_=*irl =o
1.?oí.
y ln y + y ln x ) dx + x ( ln
sol (x -
ln x ) dy = O y ) ln v + y ln y = cx +y
yArctan ( y/x )] dx + x Arctan ( y/x ) ly = 0 sol : 2y Arctan ( y/x ) = x ln [ é( x' + y" )tyx4 ].. y ( x" + y') dx * *'*r. =2. 22. y = n / 4 sol : tan ( Ylx ) = ln ( e /x )..sot: ( y. so/ : yo ¡ 3x' + 4y') = 4. Washington Medina G.4 xy2-2x3
.'x-Y=5(Y+¿x)ln x
25. ( x17. so/. (y-[x"+y']% )dx-xdy=0 cuandox=3h f sol: x2=g-6y.2xy + 3yz¡ dx = 4xy dy.
12.x2. 27.?.
. v ( 3x + 2v )dx .:ii:\ .3v = 0.10_*
. y( 2x'. y= y2 . ( 3x' .xy + y') dx .?. [x cos'
( y/x )
x dy =0 cuando
x= 3*.)i/
sol : Y2 ln x = 2Y" +xY . : ("iÍfft f.
.."i?ilíí .
11.f (x+y) =cexp(y/x)
24. y= 1 .. xcsc
y/x)-yl
dx +x
dy=g
(x/c)= cos (y/x).y..
-y ] dx + x dy =Acuando x= 1..Matrices y Cálculo Diferencial e
sen ( 2Y/x
15. y= sol.'x2 = 2y +1
1.(r.x ) ( y *3x )t = cf
14. ( y + [ x' + y"]% )dx 23.
2x2v.iii!3.2Y +
= g.r/
por et punto
(1... ( y" + 7xy +16x2 ) dx + x2 dy =Qcuando x=1.x
:r. M. y= 7 .2x ) z = c2 ( x'
+ Y"
19.x2 ( 2x -y ) dy = |cuando x= 1..tr: i:.
dx + ( x2 + 3xy +4 y2 ) dy = 0 cuando x= 2. y= 1 .
Sol :2x3 +
(16x + 5y ) dx
. I x 18..
(2x+y)2dx=xydy so/.
_f. y = I. v= /. (y". v (ú
x dy ] =g sol : 4x ln ( x/c ) . x dx + senz ( y/x ) [ y dx 16.
ú )du+
(f *ú ) dv=o
) dx + x" ( 2y + 4 ) dy = 0 sol : f ( y.
28.a 30.
(x+y)dx+(x-Y) dy=0
so/. ( cos2y-3x2y')dx 11.2y= s. x( 3xy
¡ 2Y'= 4xy +s
.3u +4v ) du =0
+ (cos
sol:v(uT"-3u+2v)=c.3y ) dx + ( 2y-3x )dy
sol x2 + Y" = 3xy
Haga elejercicio anterior por otro método
v (2uv2-
9.Matrices y Cálculo Diferencial e integral
Haga elejercicio 6 por
métdos
7. 48)
Examínese cada una de las siguienúes ecuaciones para saber si son exacfas y resuélvase la ecuación .'x'y'+2xy*x2=c.
sol: 2Arctanx +ln (l+yz
(6x +y"1 dx + Y (2x-3y) dy=0sol:3x2+
xY'-y"=c. por supuesfo resolverse por los métodos drscufrUos en /as secclbnes precedentes . cuandox=0.
+1) dy
18.y=Q sol:2x+yt(1 +x)"=c.cos B ) dr. (2xy-3y")dx + (x2+y) dy =Oso/ : x2y-x'+ !Áy'=c.Sc.
) dx +2
x) dy = g
. M.i:ÍJ
iÍ"I ii : f.y=l sol : xY( x2-3 ) = 4 ( 1.4y3 +6 ) dx + ( x3 -6x2y2 -1 )dy = g sot:x!'2x2¡+3x'-y=s.i7!. Washington Medina G. (w'+wz2-z)dw(23+w2z* w)dz=0 (2xy-tan y)
dx + (
sol:(w'+z')2=4wz+c.
+c.l
dx-(x"-2xy +2¡ dy=
sol: xy"-x'y + 3x2.
3) du + ( 3ufu2 .t ' .
y) dy = 0 :x2Y-xtanY=9. ( c sen x )
16' (r
+ sen B
( cos x cos
corx )
{"(.
r:. (y"-2xy
(1 +y'+ xy2)dx + (x'y+y+/yy)f.?
y.Las ecuaciones que no son exacfas pueden . 3y(x'. (xy'+y-x ) dx +x (xy 19.x"Y'=
3. 13.:
. 14.Y' ).
(x3+8y-3x)dy=0. 4.'x2+2xy-Y'=c.
8. (2xy+Y)dx+(x'-x)dy=O
( x-2y
:y=cx(x-1 )'3.
(1+ y2 )dx +(
sol : 14 sen 2Y + x cos 2Y
2y-2 x!)dy =Q .1it::.
1.1 )dx
EJ ERCICIOS SOBRE ECUACIONES FJíáCTAS(P á9.
( 2x .
É. 4y=2x-1+ce-u 3. Washington Medina G..y)dy=
OSoL ZOx =
c(y + 1)4
+ cos x)y'
= senx(senx + sen x cos x .
sen 2x) dy = 0. ( xy' + x -
2y + 3)dx + xT dy = Z(x+y) dy para x = 1.
= c+ 2x ( 3+
21. cuando x=2.
5.Sc. para x = 1.
resolver el ejercicio 3 por otro +
métdo
8.2y=f + C¡f 2.'j
(f+3y)dx-xdy=g Sot. Y= I So/.2Y Sol. (y + l)dx
(4x.CUACIONES LINEALES DE PRTMER ORDEil (Pá9. 2y = f . 77)
. 3yoos3x=c+3senx-sen3x
7. Sol : ( xy -2 )2 + ( x+3 )2 = 2y2 +12
20.4y=1+Ce-2'2 4. xysenx = c + §enx
23. ( 3 + y + 2y2 sen2x ) dx + ( x +Zxy-y
sol: yzsen 2x
+ y2 ).í.y) §oL y = (1+cpsxfic+x-sen x)
y'=f . sol : xya -f+ $xy-3x= 5. Y' = X .2xy. (1
-xy)-zdx+[y'+ x'( I -xy) ''ldy=0.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng. M. (y *x+xyctg x)dx + xdy = g 5o¡.1 + 2s0-xz¡
FACTORES|NTÉGRANTES (Pás.
2x [ 3x +y
y exp (
x! + f
x" + 3y4 exp ( -xz ] dy= 0 + ?x3 + y exp( -x2 ) = ¡
. y'= cscx +J¿cfgx SoL Y= Csenx-cosx
1. y='l.Y'=x-4xY Sot.
22. y' =
1 + 3ytg
x-2(r2 -y)dy=0 sol 2x2 +xy+2ylny=cy (xy+l\dx+x(x+ 4y-Z)dy=O sol.. '.y +2\ = s
DE BERNOULL'(Pág. 1.
-2Y +3)dY = g 5(x+ y+c)=21n¡15.
(r2 * y2 + l)ak + x(x -Zy)dy =S
". seny(x+ seny)dx +2x2 cosydy =0 sol *3 r"nz y = c(3x + reny¡2 3.4y +3)dy =0 sol ..
2(2y2 +5xy-2y+4'¡dx+x(Zx+2y-l)dv=g
ECUACTÓN
*4 (y2 +2ry
.sen(x + y) 6. 3. sol x'-y'+ry-l=cx 2y(*2 -y+x)dx+(*2 -Zy)dy=0 sol y(*2 -y)=ce-2x y(2x .. y(y +2x *z)dx -2(x + y)dy = 0 sol y(Zx + v)cex 8.24)Y = 0
(D6 +9D4 +
24Ú + 16)Y = 0
= *r"nz
ECIíACIONES DE N ORDEN HOMOGENEAS(Pág.y3 (* . 4.-lOY+
2.y +l'¡ = ¿ y(4x+y)d.
sol (x+2y-l)2 =Zy+c
2t3 y'so
. y2&+(3ry+tz -t¡dy=¡ sol y202 +4ry*2'¡=s g..'. 6.
l. (3tpx -2cosy)sec2 xdx + tagxsenydy =0 sol cosytan2 x = tan3 x + c 8./. (x+2y*l)dx+(2x+4y-3)dy =Oresolver por dos métodos
-. rydx+(x2 -3Y)dY =g sol *2Y2 =2f +c 7.1r2 +z*?)resolver por dos
t Y21c .. M..Sc..ij g' 10. y'= y . r' = (9x + 4y +l)2 sol 3tag(6x + c) =Z(gx + 4y +l) 4.
--. 5.146)
2Ú-
13Ú + 38D . *2 +2*y + y2 + 4x +l = c!
. 3.Matrices y Cálculo Diferencial e
lng.*3"*2x sol "2x = y27x2 + c) 5. Zy(x+y+Z)dx+(y2 -*2 -4*-l)dy=s
sol. 2.::-.. y'= sen(x + y) sol x + c = tag(x + y).5x)dx +2xlctgydy = 0 sol
(Ú+3D2+3D+l)Y = 0
¡Ot -
*3 lrrny
. Washington Medina G. S2)
+ l)dx + (3x
l.(2y2 +3ry -2y +6x)dx+x(x+ 2y -l)dy =$ 7.y +l)dx+ x(3x .x¡ =']3' (3seny .rry+lnx +2y2 -2y="
(»2 *1)y
= s"c3
xsenx-cosxlnsenr
y = yc*
1r"". 5.
. !=sen2x 3. !=senx+.
*2D+l)y=l+3x+x2
lng.r 8.13Ú+8D+12)Y = 0 (Dt-ZÚ+D-2)Y = 0
Q-lfÉ+Ú+ l)Y = 0
(4Du-8Ú-$Ú-17D-3)Y = 0
En /os sigurbnfes ejercicios obténgase en forma factorizada una ecuación diferencial lineal.(DZ
+D\y=-cos. y=x2 -*+e-*1*+cosx) g.rcos.r sol y=Cl+Cre-x*!*.]
!=Cle-x +Cr"-z*
*1"'
-18x2 +4
(D2 +9)y = 5ex -162x2 y =Clcos3¡+
Crsen3x.
:.. 6. 8.'::
3. (D -2\(D+l)y = s 2.4Ú -2D + l)Y
(Da+2Ú+l)Y = 0
(Da+5D2+4)Y = 0
(D5+D4-9Ú. y=x2 +4e' 5. '2" r=7*z*+Le' sot. e. -!r"*
(8D'. y"-3Y'4y = l6x -'50cp-s2¡ 5' Y"-Y="* -4 6. M. gue sea safisfecña por [as relaciones dadas. !=2+r**2+cos2x
ÉcuActoMEs No HotúoGENEAS lPág. y = 4ensZx -3sen3x 7. reales. y = 4eZx +3e. 2
. ! = sen2x +3cos2x 6..Sc. 7. (D2 *l)Y =coscxctgx iol y = Clensx +Crserlx 7.lr"'
4. 10. coeficientes tineales. Washingflon Medina G. consfanfes.
4.286)
I. !=e-2'*r. D27o-+¡y=g 4.x sol.
+1)-2 sol y=yc+r'ln1l+"'¡ Q.17y y'= 4x-4y
. x'= 4x+5y Y'=-4x-4Y 2.y +:1 " 9.(Pág lSS)
8.o.r-' sol y = yc * r"n"-* -rb *"r-'
@2 -zD+l)y="2*("*
STSTE UAS
DE ECUACIONES D.4.. 9. x'= 3x + 3y"+ t^ Y'='x .Maüices y Cálculo Diferencial e integral
lng.e^
5.Sc.::
. x'= 3.
8. x'=
Y'= 4x +
Y' = '4x +8y
x'= x +-3y +32+}at Y'=-x +4Y -32-3¡t Z'=-2X+Z+W w'= x x'= 4x+f y'=-8x-8y l'
= '4x +2Y . varias)
1. x'= l+2y+32+t Y'= 4x. Washingüon Medina G.2 -3D +2\y = 12'("2' *l\-l sol y = yc +exarctage-x -Lrzxhlt+e-2x¡ 2 10.z+1
z'=5x +2y
EJERC/ICIIOS SOARE
fRAn SFORiTADAS DE tAPtACE. x'= 2x+y+tefr
7. x'= 12x .
6.M.FERENCIALES (Pag.IXD '3)Y =".
f(t)=t' o<r<4 f(t\=t 4<t<6 f(t)=8 r>6 5.4x'+4x = 3cosf 7.
sol'(u-r-")
(s>o)
L(f(t\) f(t)=o o<t<l
f(t)=t l<t <2 f(t)=o t>2
.. L(tz -3r+5) sot.e-B ) (> ' "2*4 6. x' + x = 7as2t
2. Yo'+ Y' = Senf t:" 4. Encontrar
. eneontrar llf«)) donde: .
encontrar t(f(t\) f(t)=4 o<r<1
f(t')=3
4. Y+4x'+2= 4e-4 .Sc.
J.Matrices y Cálanlo Diferenciale
lng: M. Washington Medina G.
1. 3x"'+ x"+x = ez
9. +-+-1 . f +3Y=l*t 6. 3.{ +1 = e&
.sJ sZ
("ro)
L@-4t +3e-2t
sor. x"+ =12 8. x" .
t(f(t\) donde: f(t)-senzt o<t<tr f(t\=o t>E o) sor 2(t .' § s'
EJ ERCICIOS §OBRE TRAIVSFOR'T'A DA DE DERIUADAS. dande x o y dependen de t:
*?¡"-2' sot r**!¡r-" -(+ .2X'+x+1=
10.1:-j
lafunción t(s) de los sígurbnfes eiercicios. xo + 6x'= ff 5.
2t 5. --r-"t "s'(s+2[s-l)
2s2 +l -----s(s +
e4lcnszt
-lrrnzt
6. TERA.t.
-Js" +2s+5 2s-l .¡¡ =
-)t 4e-''
x"+x =
f (t') pqra . y.sen(t -2\\a(t -2'l 7.^ sol 3.: l:..4cosr + «r . y"-y =5sen2t para y(o) = 0. 5.:'r
sol l+e-t -3tu-t
:.x'(o) = Q en el f(rl=4 Oc. x'+x = .e-zt -). Washington Medina G'
EJ ERCTCIIOS SOBRE fRAft SFOR \IAOA TTVVERSA .( P ág.2)ld(t -
.+9y=612r-3t para y(o)=0. r"+x = 6c.(PágEncuéntrese la transformada inversa de f(s)
z. M-Sc.Y'(o) = I
r'-l:¡.x'(o) = | sol x(r) = 56ott + sent -ZcosZt 3.
4.tcZ f(t).+4y.
l.j '-:r
P RO B LEM AS
ÉLEtú ENTALES
VALO RESA L*. -ñlzrnsst . 227 )
En tos siguientes ejercicios resolver aplicando la transfannada de Laplace.
1.sen1t y"+y = 5sen2t para y(o) = 0.y'(o)=e sol .:i¿) = 0.=t+z t>2
sol x(r) = 4 .fRO.r'(o) = d
sol x(t¡ = ¿-2t 72t2 +2t -l'¡ 2.1¡¡¡!.f(f) para x(o) = 1.r'(o) = $ en el cual
fft\=3 0clc4 f(t):zt-s t>4
sol x(t)
2anst + 2{(t
sen(t
.senst) so + 4s +29 4.(t\ = L/
2' "-3t
lG) =3senht .Y'(o) = |
6.t.2') .Matrices y Cálculo Diferenciale
¡u¡!. 3s + l_ sot e_t (1? '2 _lr3l 3 (s+l)a 5s -2 sol t -2+ .osf para x(o) = 3.
x(o) = -1.
TAYLOR.Sc. McGraw-Hill.A.13
LANG. Cálculo l. 1976. Rotand. Washington Medina G-
DEM1DOVICH. Rer. Edit. México KAPLAN. Edit. quinta
M))RRAY. 1973.
México. Ecuaciones diferenciales
ELSGOLTZ. Edit. Edit. Howard. M. Cátculo diferencial e integral. Edit. México ¿ARSON. Edit. Edit. 1973.
cálcuto variacionat. APOSTOL.
Earl. Wi. 1965. Smith. décima edición. Edit. 1976. Edit. 1960. México. Cálcutus. México
KREI DEt. 1989. Trillas. Donald. Cátculo avanzado. GRANVTLLE.lfred.
L. Edit.rgÉÉ.
México. Paraninfo. Continental. Probtemas edición . McGraw-Hil!. 1992. Madrid. Cátcuto y Geometría Analítica. Limuna. B. tercera ediciÓn.
1g77. Prentice Hall.
análisis matemático. Serge. Algebra Superior. Ecuaciones diferenciales. Cátcuto diferencial e integral. décimo quinta ediciÓn.Matrices y Cálculo Diferenciale
lng. RAINVILLE.
-':-: )\
. 1969. Tom. lnteramericano. Cálculo diferenciale integral. Edwin. E. PURCEL. México. Hispano América. Mir. Spiegel.U. Edit.

References: resolución 
 resolución 
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 resolución 
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 resolución 
 resolución 
 resolución 
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