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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA GUIA Nº 3 (II parte) 2013 I - PDF
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Diego Zúñiga Mendoza
1 UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA GUIA Nº 3 (II parte) 2013 I INTERES SIMPLE Y COMPUESTO Objetivos: Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta. Elaborar un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple. Aplicar la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta. Competencias: Uso la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés simple como regla de tres compuesta. Planteo un esquema general para la resolución de problemas sobre interés simple. Valoro la importancia de la proporcionalidad en la resolución de problemas sobre interés compuesto como regla de tres compuesta. Deduzco o verifico las propiedades de las proporciones para solucionar problemas. Aplico la proporcionalidad en el cálculo de porcentajes. Interpreto los porcentajes como fracciones con denominador 100 y uso este hecho para resolver problemas de contextos reales. Hago uso de los porcentajes y de la proporcionalidad para resolver problemas financieros. Desarrollo Temático: En el mundo que nos rodea existe una disposición armoniosa en su estructura, cosas que a simple vista y en un consenso común nos parecen bellas, esto debido a que la naturaleza en general es ordenada en ciertos aspectos a causa de proporciones que la rigen. Por ejemplo, el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinci está basado en una proporción. En la presente guía retomarás los conceptos básicos de las razones, las proporciones, tanto por ciento e interés simple y compuesto de forma que puedas aprender de paso a deleitarte con la belleza, gracias a la armonía implícita en la naturaleza. INTERES SIMPLE Cuando una persona solicita a una segunda dinero prestado, la segunda exige a la primera una cantidad adicional por concepto de alquiler de dicho dinero. Lo anterior obedece a que el dinero con el tiempo pierde su valor (se devalúa). La cantidad de dinero que se obtiene por el concepto de alquiler de la cantidad prestada se llama interés. Consideremos la siguiente situación: El señor Vélez solicita al banco popular un crédito y obtiene la siguiente respuesta: Banco popular Estimado señor Vélez:
2 Me es grato comunicarle que su petición de crédito por valor de $ le ha sido aprobada en la reunión de la junta del banco. Además, me permito indicarle que deberá efectuar el pago de este importe en el plazo de un año, así como los intereses que corresponden a la cifra de $ Cordialmente, J.B.P. En la operación bancaria que hemos planteado se presta una cantidad de dinero y se recibe un beneficio en un tiempo determinado. Dinero prestado + Interés = Monto (o dinero que se devuelve). El dinero prestado o cantidad invertida por el banco se llama capital y se representa por C. El beneficio recibido por el banco o alquiler pagado por el dinero prestado se lama interés y se representa por I. El tiempo que dura el préstamo se representa por T. A la cantidad que se cobra por concepto de interés, en el periodo de tiempo elegido, por cada $100 se llama rata, tasa porcentual o tanto por ciento y se representa por R. En el ejemplo que estamos considerando: Capital: C= $ Interés: I= $ Tiempo: T= 1 año Rata: R= 15% (ya que $ es el 15% de $ ). El tipo de interés que hemos considerado se lama interés simple, ya que los interés no se acumulan al capital sino que se consideran como un fondo aparte del capital. Observemos que la cantidad prestada es el doble de la anterior, entonces el interés a pagar será el doble, conservando la tasa porcentual y el tiempo, así: Capital Interés $ $ Por tanto: El interés es directamente proporcional al capital. Igualmente, el interés a pagar en dos años es el doble del interés que se debe pagar por en un año, por el mismo capital y a igual tasa porcentual. Tiempo Interés 1 año $ años $ Por tanto:
3 El interés es directamente proporcional al tiempo. En general, se considera la rata anual (año de 360 días), pero en algunos casos se presta dinero a una rata mensual, semestral (6 meses) o trimestral (3 meses). Asi, 15% anual = 7.5% semestral = 3.75% mensual. Finalmente, el interés a pagar se duplica, al duplicar la tasa porcentual. Rata Interés 15% $ % $ El interés es directamente proporcional a la rata. FORMULA PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE Los problemas de interés simple consisten en hallar el valor de uno de los elementos I, C, T y R, conociendo los otros tres. Para lograrlo tenemos la siguiente formula: I = C X T X R / 100 Ejemplos: 1) Un banco presta $ a una persona a una rata de 25% anual. Qué cantidad debe devolver al banco después de 2 años? Monto = Dinero prestado + Interés. Monto = $ Interés. Debemos calcular el interés que producen $ en 2 años al 25% anual. Remplazamos C= $100000, T= 2 años y R= 25 en I = CxTxR/ 100, Obtenemos I= $50000 Luego, monto = $ $50000 = $ Debe devolver $ al banco al finalizar los dos años de duración del préstamo. 2) Un señor recibe un préstamo de $ al 30% anual para pagarlo al cabo de 5 meses. Qué interés cobrara el banco? De acuerdo con el enunciado: C = $850000, T = 5/ 12 año (1 año = 12 meses) y R = 30% anual.
4 Remplazamos en I = CxTxR / 100, Obtenemos: I = $ En 5 meses el banco recibe un beneficio de $ ) Qué interés nos cobrara un banco por un préstamo de $ al 27% anual para devolverlo a los 50 días? De acuerdo con el enunciado: C = $300000, T = 50/ 360 año (1año = 360 días) y R = 27% anual. Remplazando en I = CxTxR/ 100, Obtenemos: I = $ Los ejemplos 1,2 y 3 nos indican que para calcular el interés, hay que tener en cuenta la unidad en que viene expresado el tiempo. T en años, entonces I = CxTxR / 100 T en meses, entonces I = CxTxR / 100x12 T en días, entonces I = CxTxR / 100x360 4) Qué interés nos cobrara una persona por un préstamo de $ al 2.5% mensual durante dos años? En este caso expresamos el tiempo en meses y aplicamos la fórmula de interés. Tenemos: C= $175000, T = 24 meses y R = 2,5% mensual. Remplazamos en I = CxTxR / 100, Obtenemos: I = $ CALCULO DEL CAPITAL, TIEMPO O RATA Cuando en un problema se pide calcular el capital, el tiempo o la tasa porcentual, remplazamos en la fórmula de interés los términos dados y luego despejamos la incógnita pedida. 5) Qué capital tenemos que ahorrar en un banco, al 25% anual, para que produzcan $ en 8 meses?
5 Tenemos: C =? I = $ T = 8 meses y R = 25% anual. Remplazamos en I = CxTxR / 100x12, Obtenemos: C= $ Tenemos que ahorrar $ ) Por un préstamo de $42000 nos han cobrado $1960 al 4% mensual. Durante cuantos días hicimos el préstamo? Tenemos: C = $42000 I = $1960 R = 4% mensual T =? Remplazando en I = CxTxR / 100x30, Obtenemos: T = 35 días. El dinero estuvo prestado por 35 días. 7) Qué tanto por ciento anual nos han cobrado por un préstamo de $ si hemos pagado $64000 de intereses en 4 años? Tenemos: C = $ T = 4 años I = $ R =? Remplazando en I = CxTxR / 100, Obtenemos: R = 20%. Se impuso a una tasa del 20% anual. INTERES COMPUESTO Tiempo Capital 2% mensual Capital al final de cada periodo , , ,40 20, , ,20 21, , ,42 21, , ,06 22, ,14
6 Interés compuesto es el caso especial donde el interés devengado en cada unidad de tiempo, se suma al capital impuesto para devengar nuevos intereses. Ejemplo: Hallar el interés compuesto de $1350 en 3 meses al 2,5% de interés mensual, capitalizando intereses cada mes. Primer mes: 1350 x 2,5 / 100 = $33,75 Nuevo capital: ,75 = $1383,75 Segundo mes: 1383,75 x 2,5 / 100 = $34,59 Nuevo capital: 1383, ,59 = $1418,34 Tercer mes: 1418,34 x 2,5 / 100 = $35,45 Capital final: 1418, ,45 = $1453,79 Interés producido: $33, , ,45 = $103,79 ACTIVIDADES Resuelve los siguientes problemas: 1. Qué interés produce un capital de $64000 colocado durante un año y 8 meses al 36% anual? 2. Ana hace un préstamo de $40000 al 20% anual durante tres meses 21 días. Cuánto pagara por concepto de interés? 3. Alberto presta a Carlos $80000 al 30% anual con la condición de que mensualmente le pague los intereses. Cuánto dinero ha entregado Carlos a Alberto por concepto de interés después de 9 meses? 4. A un comerciante le fue aprobado un préstamo por $ al 30% anual y con un plazo de 5 años. Si debe pagar los intereses por cuotas trimestrales, Qué dinero recibe el banco por intereses trimestrales? 5. Una cantidad de dinero prestada al 2,5% mensual durante 15 meses produce $ Cuánto dinero se prestó? 6. Cuál es el capital que colocado al 18% anual produce $30000 durante 216 días? 7. Un estudiante gasta durante 10 meses de estudio $ Qué capital colocado al 24% anual debe tener un padre de familia para poder cubrir exactamente los gastos de estudios en los 10 meses?
7 8. Durante cuánto tiempo ha estado colocado un capital de $ en un banco, si produjo $ a una rata del 30% anual? 9. Al cabo de cuánto tiempo un capital de $ colocado al 20% anual produce un capital igual a las tres cuartas partes de su valor? 10. Un capital de $ se prestó durante 4 años y produjo $ de interés. A qué tanto por ciento anual se prestó? 11. Una persona compra una casa en $ y la alquila recibiendo $96000 en 8 meses. Qué tanto por ciento mensual le renta la casa? 12. Hallar el interés compuesto de $2100 en 12 meses al 2% mensual, capitalizando por trimestre. 13. Hallar el interés compuesto de $ 4350 en 18 meses al 2,5% mensual, capitalizando intereses por semestres. 14. Que es más ventajoso: colocar $8000 al 3% mensual de interés simple, o colocar los $8000 al 2,75% mensual de interés compuesto, capitalizando por bimestres (tiempo: 6 meses) 15. En cuanto tiempo un capital de $ duplica su valor si la tasa es del 20% anual. BIBLIOGRAFIA JARA, V, PAREDE, P. y RAMÍREZ, M. (2008) Prueba de Selección Universitaria Matemática- Preuniversitario Popular. Universidad de Chile. ORTIZ, L. (2003) Inteligencia Lógico Matemática 7, Editorial Voluntad. Colombia. PÉREZ, B. (2007). Módulo II: Proporcionalidad y Aplicaciones. Universidad Tecnológica de Chile. RODRÍGUEZ, J., CARABALLO A, CRUZ, T., HERNÁNDEZ.O. (1997) Razonamiento Matemático, Fundamentos y Aplicaciones. International Thompson Editores. TORRES, J. (2008). Matemáticas Básicas Aplicadas, Publicaciones INFOTEP, San Andrés Isla- Colombia.

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