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Timestamp: 2019-10-20 11:47:39+00:00

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﻿ Geometría Descriptiva | Eduardo W. Coppetti | download
Principal Geometría Descriptiva
Eduardo W. Coppetti
Editeur: Editores Asociados
Pages: 408 / 421
Agrim. Eduardo W. Coppetti GEOMETRIA DESCRIPTIVA DECIMA SEGUNDA EDICION
Agrim. EDUARDO W. COPPETTI GEOMETRIA DESCRIPTIVA de acuerdo con los Programas de la asignatura para los Cursos Preparatorios de INGENIERIA, ARQUITECTURA, AGRIMENSURA, y para la ESCUELA MILITAR. Esta obra consta de 408 páginas de texto, 374 figuras y 604 problemas propuestos. Edición Décimo Segunda
INDICE Capítulo I - INTRODUCCIÓN 	1 Capítulo II - NOCIONES PRELIMINARES. Planos de proyección. Planos bisectores. Diedros. Depurado 	4 Capítulo III - REPRESENTACIÓN DEL PUNTO. Teoremas. Cota y alejamiento. Diferentes posiciones que puede ocupar un punto con respecto a los planos de proyección. Tercera proyección. Aplicaciones. Problemas relativos al capítulo 	7 Capítulo IV - REPRESENTACIÓN DE LA RECTA. Teoremas. Tercera proyección de una recta. Trazas. Diferentes posiciones que puede ocupar una recta con respecto a los planos de proyección. Posiciones relativas de dos rectas. Aplicaciones. Problemas relativos al capítulo 	19 Capítulo V - REPRESENTACIÓN DEL PLANO. Trazas. Diferentes posiciones que puede ocupar un plano con respecto a los planos de proyección. Rectas y puntos de un plano. Rectas notables de un plano. Aplicaciones. Problemas relativos al capítulo 	37 Capítulo VI - INTERSECCIÓN DE PLANOS Y DE RECTAS CON PLANOS. Caso general de intersección de planos. Casos particulares. Caso general de intersección de rectas con planos. Casos particulares. Aplicaciones. Problemas relativos al capítulo 	56 Capítulo VII - PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS, Y ENTRE RECTAS Y PLANOS. Posiciones relativas de dos planos. Problemas. Paralelismo entre recta y plano. Problemas. Perpendicularidad entre recta y plano. Problemas. Teorema del ángulo recto. Distancia de un punto a un plano. Perpendicularidad entre rectas. Distancia de un punto a una recta. Perpendicular común a dos rectas que se cruzan. Caso general. Casos particulares. Problemas relativos al capítulo 	72 MÉTODOS DE LA GEOMETRIA DESCRIPTIVA 	91 Capítulo VIII - MÉTODO DE LOS CAMBIOS DE PLANOS. Cambio de planos de proyección con respecto a un punto, a una recta y a un plano. Ejemplos. Aplicaciones del método de los cambios de planos a problemas de ángulos y distancias. Problemas relativos al capítulo 	92
Capítulo IX - MÉTODO DE LOS GIROS. Leyes del movimiento de giro. Giro de puntos, de rectas y de planos. Ejemplos. Giros alrededor de ejes cualesquiera. Aplicaciones del método de los giros a problemas de ángulos y distancias. Problemas relativos al capítulo 	121 Capítulo X - MÉTODO DE LOS ABATIMIENTOS. Generalidades. Abatimiento de un punto y de una recta de un plano. Abatimiento de la traza no charnela de un plano. Regiones de un plano en el abatimiento. Abatimiento de planos particulares. Abatimiento sobre planos paralelos a los de proyección. Afinidad entre la proyección y el abatimiento de los elementos de un plano. Levantamientos. Aplicaciones del método de los abatimientos a problemas de distancias. Proyecciones de una circunferencia. Problemas relativos al capítulo 		156 Capítulo XI - PROBLEMAS DE ÁNGULOS. Ángulo de dos rectas. Ejemplos. Ángulo de una recta con un plano. Aplicaciones. Ángulo de dos planos. Aplicaciones. Trazar rectas y planos que formen ángulos dados con planos y con rectas dadas. Diversos casos. Problemas relativos al capítulo 	187 Capítulo XII - REPRESENTACIÓN DE POLIEDROS. Generalidades. Puntuación. Contornos aparentes. Determinación de aristas vistas y ocultas de un poliedro. Tetraedro regular. Propiedades. Magnitudes fundamentales. Representación del tetraedro regular. Ejemplos. Cubo. Propiedades. Magnitudes fundamentales. Representación del cubo. Ejemplos. Octaedro regular. Propiedades. Magnitudes fundamentales. Representación del octaedro regular. Ejemplos. Pirámide. Propiedades. Representación de la pirámide. Ejemplos. Prisma. Propiedades. Representación del prisma. Ejemplos. Problemas relativos al capítulo 	218 Capítulo XIH - SECCIONES PLANAS DE LOS POLIEDROS. Métodos fundamentales. Verdadera magnitud de las secciones planas. Secciones planas particulares. Intersección de un poliedro con una recta. Método general. Método particular para las pirámides y los prismas. Desarrollo de la superficie de un poliedro. Desarrollo de la pirámide. Desarrollo del prisma. Transformadas. Línea geodésica. Problemas relativos al capítulo 	260 Capítulo XIV - INTERSECCIÓN DE POLIEDROS. Método de las caras. Puntuación. Método de las aristas. Intersección de dos pirámides, de una pirámide con un prisma y de dos prismas cuando las bases están en un mismo plano. Método de los móviles. Diversos casos de intersección. Casos en que las bases se hallan en distintos planos. Sólido común. Problemas relativos al capítulo 	276 Capítulo XV - LÍNEAS CURVAS. Generalidades. Curvas planas. Secante, tangente, normal. Puntos singulares. Curvas alabeadas. Secante, tangente, plano normal. Triedro fundamental. Puntos singulares. Proyecciones de las curvas. Teoremas 	291
Capítulo XVI - SUPERFICIES CURVAS. Generalidades. Generatrices y directrices. Plano tangente a una superficie. Clasificación de las superficies curvas. Superficies regladas. Superficies de revolución. Superficies de segundo grado. Superficie varias. Representación de las superficies. Contornos aparentes. Problemas relativos al capítulo 	301 Capítulo XVII - SUPERFICIES CÓNICAS Y CILINDRICAS. Generalidades. Determinación de un punto de la superficie conociendo una de las proyecciones. Planos tangentes a un cono y aun cilindro. Diversos casos. Planos tangentes comunes a dos conos, a un cono y a un cilindro, o a dos cilindros. Diversos casos. Planos tangentes a conos y cilindros, paralelos entre sí. Normales comunes a conos y cilindros. Aplicaciones: contornos aparentes, etc. Problemas relativos al capítulo 	314 Capítulo XVIII - CONOS DE REVOLUCIÓN. Propiedades de los conos de revolución. Aplicaciones a problemas de ángulos: Por un punto dado trazar rectas o planos que formen ángulos dados con rectas o con planos dados. Trazar rectas que pertenezcan a un plano dado y formen un ángulo dado con otro plano o recta dada. Trazar planos que pasen por una recta dada y formen un ángulo dado con un plano o recta dada. Planos tangentes a conos o cilindros que formen ángulos dados con rectas o con planos dados. Por un punto dado trazar rectas que formen ángulos dados con dos planos o con dos rectas dadas. Por un punto dado trazar planos que formen ángulos dados con dos planos o con dos rectas dadas. Problemas relativos al capítulo 	340 Capítulo XIX - SECCIONES PLANAS DE CONOS Y CILINDROS. Generalidades. Diversos métodos. Tangentes a una sección plana. Puntos notables. Naturaleza de una sección plana de un cono o de un cilindro. Verdadera magnitud de una sección plana. Intersección de un cono o de un cilindro con una recta. Secciones planas de conos y cilindros de segundo grado. Teorema de Dandelin. Desarrollo de conos y cilindros. Transformadas. Líneas geodésicas. Problemas relativos al capítulo 	354 Capítulo XX - INTERSECCIONES DE CONOS Y CILINDROS. Método general. Intersección de dos conos, de un cono y un cilindro y de dos cilindros cuando las directrices son coplanares. Diversos casos de intersección. Método de los móviles. Tangente en un punto de la intersección. Puntuación. Casos en que las directrices se hallan en planos diferentes. Sólido común. Naturaleza de la intersección de conos y cilindros. Problemas relativos al capítulo 	380 Capítulo XXI - ÁNGULOS TRIEDROS. Definiciones. Propiedades. Los seis casos de resolución del ángulo triedro. Triedros trirrectángulos 	398 PROBLEMAS PROPUESTOS EN EXÁMENES 	406
PREFACIO Las dificultades que encuentran los alumnos que comienzan el estudio de la Geometría Descriptiva, nos han impulsado a realizar esta obra con la esperanza de facilitar a los estudiantes el acceso a los conocimientos fundamentales de esta importante ciencia. Como lo exigen los programas de la materia, se ha considerado solamente el sistema de proyecciones ortogonales de Monge y se han desarrollado con toda extensión los problemas relativos al punto, la recta y el plano. Dominando esos conocimientos, los estudiantes no tendrán ningún obstáculo para poder abordar el estudio de toda la Geometría Descriptiva y de cualquiera de las ciencias que en ella se originan. Todo problema de Geometría Descriptiva comprende una solución en el espacio y una solución gráfica o descriptiva. Es necesario entonces que el estudiante se familiarice con las soluciones descriptivas, de tal manera que pueda asociar de inmediato un trazado gráfico cualquiera con su correspondiente representación en el espacio. Para ello, es de fundamental importancia resolver gran cantidad de problemas de cada tema, lo cual proporcionará una base firme, para seguir ordenadamente el desarrollo de esta obra. Con ese objeto se han resuelto numerosos ejemplos y se han enunciado gran cantidad de problemas en cada capítulo, muchos de ellos propuestos en los exámenes de la materia. Finalmente, quiero expresar mi reconocimiento a mi padre, Ing. Mario Coppetti, quien me inculcó su profundo amor por la enseñanza de las matemáticas y que, para la culminación de esta obra, prestó su invalorable experiencia en la realización de textos de matemáticas. EL AUTOR
CAPITULO I INTRODUCCIÓN 1. 	Objeto de la Geometría Descriptiva. — Las figuras planas pueden ser representadas directamente en su verdadera forma y magnitud en un plano y en dicha representación pueden resolverse todos los problemas a que dan origen las figuras de dos dimensiones. Pero cuando se trata de figuras del espacio, es decir, de tres dimensiones, su representación no presenta las mismas facilidades que las figuras planas. Por lo cual se ha tratado de representar las figuras del espacio sobre un plano, de tal manera que de esa representación se pueda deducir la figura en el espacio, estudiar sus propiedades, las relaciones que existen entre sus elementos y conocer no sólo la posición de esos elementos, sino también sus dimensiones. De ello ha nacido la GEOMETRÍA DESCRIPTIVA, que definiremos así: es la ciencia que tiene por objeto la representación exacta de la forma, posición y dimensiones de las figuras del espacio, por medio de dibujos planos y la resolución de los problemas relativos a las figuras del espacio, por medio de sus representaciones planas. Por otra parte, esta ciencia no sólo es auxiliar importante en la resolución de problemas de Geometría del Espacio, sino que además es de gran utilidad práctica en múltiples cuestiones relativas al arte y a la industria. En efecto, la Geometría Descriptiva permite dibujar con completa exactitud, construcciones, máquinas, intersecciones y conexiones de distintas piezas y conocer sus magnitudes exactas referidas a una escala determinada. Por la gran cantidad de problemas que comprende y a los que se aplica como método fundamental, podemos dividirla en dos partes: 1.° Estudio abstracto de los principios y construcciones que la sustentan. 2.° Aplicación de esos principios y construcciones a la técnica y al arte, que son: trazado de sombras y teoría del claro-oscuro, estereotomía (corte de piedras), carpintería (corte de-maderas), perspectiva, etc. En esta obra trataremos la primera parte de esa división, es decir, el estudio de los fundamentos de la Geometría Descriptiva. 2. 	Sistemas de Proyecciones. — El método que utiliza la Geometría Descriptiva para representar las figuras del espacio en un plano, es el método de las proyecciones.
2 Se llama proyección de un punto A sobre un plano π (llamado plano de proyección), al punto Ao de intersección del plano π con una recta (llamada proyectante) que pasa por A y cumple una segunda condición, variable según el sistema de proyección. La proyección de un punto sobre un plano puede ser: cónica o cilindrica. (Fig. 1) 	(Fig. 2) 	(Fig. 3) La proyección es cónica (fig. 1) cuando las rectas proyectantes pasan por un punto fijo O (llamado centro de proyección) situado fuera del plano de proyección. La proyección es cilindrica (figs. 2 y 3) cuando las rectas proyectantes son paralelas a una dirección dada d (o lo que es igual, cuando el centro de proyección está en el infinito). La proyección cilindrica se denomina a su vez ortogonal u oblicua, según que la dirección dada sea respectivamente perpendicular u oblicua con relación al plano de proyección. En cualquiera de los sistemas de proyección que hemos considerado (figs. 1,2 y 3), dado un punto A, queda definida una única proyección Aο. Pero la recíproca no es verdadera, pues cada proyección Aο puede ser a la vez la proyección de los infinitos puntos de la proyectante AA0. Vemos pues, que la proyección de un punto sobre un plano único no basta para definir un punto del espacio. Para determinarlo, será entonces necesario fijar otro elemento, y hay dos métodos que así lo hacen. En el primero se da, además de la proyección del punto sobre un plano, la distancia (llamada cota) del punto del espacio a su proyección, quedando así determinado un único punto en el espacio. En el segundo método, se proyecta cada punto del espacio sobre dos planos perpendiculares entre sí, quedando cada punto determinado por dos proyecciones. El primer procedimiento da origen a la Geometría Acotada y el segundo a la Geometría Descriptiva propiamente dicha.
3 Todo lo que hemos dicho para los puntos y sus proyecciones, se hace extensivo a las figuras del espacio (consideradas éstas como un conjunto de puntos); estableciendo además que la proyección de una figura sobre un plano es el lugar de las proyecciones de todos sus puntos. NOTA HISTÓRICA Desde los tiempos más remotos se han utilizado procedimientos descriptivos para las construcciones en piedra. En la Biblia (Libro de los Reyes) se encuentran referencias al tallado de piedras para la construcción del templo de Jerusalén. Los griegos utilizaban trazados geométricos sobre un plano para determinar la forma de las piedras con que construían sus edificios y llamaban icnografía a la proyección horizontal y ortografía a la proyección vertical. También representaban sobre los muros, por medio de perspectivas esterográficas, las escenas de los teatros y denominaban escenografías a esas representaciones. Más adelante, en el siglo I a. C., Vitruvio, célebre constructor romano, publicó el Tratado de Arquitectura en el cual resumía todos los conocimientos constructivos de su época. Posteriormente, a través de los siglos, la estereotomía (corte de piedras) fue considerada una ciencia oculta cuyos fundamentos se trasmitían secretamente entre los constructores. La primera publicación de esos conocimientos fue el Tratado de Arquitectura publicado en 1567 por Philibert de L'Orme. Después, varios autores continuaron esas disciplinas hasta que Desargues (1563 -1662), por primera vez, encontró comprobaciones geométricas a los procedimientos utilizados por los constructores. También Frezier en su Tratado de Estereotomía continuó esas ideas de generalización geométrica, pero se debe al genio de G. Monge (1746-1818) la recopilación de todas esas reglas abstractas y procedimientos prácticos en la forma de una ciencia organizada que denominó Geometría Descriptiva. Esta ciencia tomó entonces un incremento considerable debido a los trabajos de Leroy (1780-1854), Valee (1784-1864), Poncelet (1788-1867), Chasles (1793-1880) y T. Olivier (1793-1853) quienes contribuyeron a impulsar decisivamente todas las ciencias que tuvieron su origen en la Geometría Descriptiva.
CAPITULO Π NOCIONES PRELIMINARES 3. Planos de proyección. — El sistema de representación que utiliza la Geometría Descriptiva, consiste en proyectar ortogonalmente las figuras, sobre dos planos perpendiculares entre sí, llamados planos de proyección. Se supone que uno de los planos es horizontal y se le llama plano horizontal de proyección, o, simplemente, plano horizontal. El otro plano, normal al anterior, se denomina plano vertical de proyección, o plano vertical. La recta intersección de ambos planos se llama línea de tierra y se indica con las letras LT. (Fie. 4) La línea de tierra divide al plano horizontal en dos semiplanos, llamados horizontal anterior y horizontal posterior, y también divide al plano vertical en vertical superior y vertical inferior (fig. 4).
5 4. Diedros y planos bisectores. — Los planos de proyección, que supondremos ilimitados, dividen al espacio en cuatro regiones o diedros rectos(*), que designaremos respectivamente primer diedro, segundo, tercero y cuarto diedro, según el orden que se indica en la (fig. 4). Es decir que el primer diedro es la región del espacio limitada por el horizontal anterior y vertical superior. El segundo diedro, la región del espacio limitada por el vertical superior y el horizontal posterior. El tercer diedro, la región limitada por el horizontal posterior y el vertical inferior. Y el cuarto diedro, la región limitada por el vertical inferior y el horizontal anterior. Para la consideración de los diversos problemas que se plantearán, se supone al observador situado en el primer diedro, a una distancia infinita tanto del plano horizontal como del plano vertical. Las visuales serán entonces normales al horizontal o al vertical, según sea el plano de proyección que se considere. Además se establece que los planos de proyección son opacos, de manera que el observador verá solamente los elementos que se encuentren en el primer diedro, y le será oculto todo lo que esté en los diedros segundo, tercero y cuarto (aunque para algunos problemas se supondrá, haciéndolo notar expresamente, que los planos de proyección son transparentes). (Fig. 5) Determinados los cuatro diedros en la forma antes indicada, se definen además, dos planos bisectores (fig. 5): El primer bisector, es un plano que pasando por LT divide en dos partes iguales al primer y al tercer diedro. (*) Algunos autores los llaman cuadrantes.
6 El segundo bisector es un plano que pasando por LT divide en dos partes iguales al segundo y al cuarto diedro. Como por definición el primer bisector forma un ángulo de 45° con los planos horizontal y vertical, y el segundo bisector forma también 45° con los planos horizontal y vertical (pasando ambos planos por LT), resulta que: los planos bisectores son perpendiculares entre sí. 5. Del Depurado. — Como el objeto de la Geometría Descriptiva es representar las figuras del espacio por medio de dibujos planos, se ha ideado un método que permite esa representación. Consiste ese procedimiento en hacer girar el plano vertical, en el sentido de la flecha (fig. 4), alrededor de la línea de tierra, hasta que coincida con el plano horizontal. De esta manera, el vertical superior, con todas las proyecciones que contenga, irá a superponerse con el horizontal posterior, y el vertical inferior coincidirá con el horizontal anterior (fig. 6). Se habrá conseguido así, que las proyecciones de las figuras del espacio (tanto las realizadas sobre el plano vertical como las realizadas sobre el plano horizontal) estén en un mismo plano. Ese plano que contiene todas las proyecciones (no es sino el plano horizontal), se denomina plano del dibujo o depurado. (Fig. 6) En lo sucesivo, al hablar del depurado de una figura del espacio, se entenderá como tal a la representación de sus proyecciones en un plano único, luego de hecho el giro del plano vertical anteriormente indicado.
CAPITULO m REPRESENTACIÓN DEL PUNTO 6. Generalidades. — En los capítulos anteriores hemos definido el sistema de representación que utiliza la Geometría Descriptiva. Veremos ahora cómo se representa un punto del espacio en dicho sistema. Sea un punto A del espacio (fig. 7). Proyectando ortogonalmente el punto A sobre el plano vertical obtenemos A’’'', proyección vertical del punto A. Proyectando ortogonalmente el punto A sobre el plano horizontal obtenemos A’, proyección horizontal del punto A. Para obtener el depurado correspondiente, hacemos girar (en el sentido ya indicado) el plano vertical alrededor de LT, hasta que coincida con el plano horizontal). La proyección A’’ quedará entonces en A’’ sobre el plano horizontal. (Fig. 7) 7. Teorema. — En el depurado, las proyecciones de un punto están situadas en una misma perpendicular a la línea de tierra. Sean A’ y A’’ las proyecciones horizontal y vertical de un punto A del espacio (fig. 7). El plano que determinan los puntos A, A’y A’’, corta a LT en Ao ya los planos de proyección según A0A’ y A0A’’. Este plano, que es perpendicular a los planos
8 horizontal y vertical (pues pasa por dos rectas AA’ y AA’’ que son normales a los planos de proyección), es, por lo tanto, perpendicular a la intersección LT de ambos planos. Luego, si LT es perpendicular a dicho plano A’’AA’, es perpendicular a las rectas AoA’ y AoA’’ que pasan por su pie Ao en el plano. Es decir que LT es normal a las rectas Ao A’ y a AoA’’. Al hacer el giro del plano vertical, LT y la recta AoA’’ quedan siempre en el plano vertical y durante la rotación siguen siendo perpendiculares. Por lo tanto, al coincidir el plano vertical con el horizontal, la recta AθA,z se colocará normalmente a LT. Como por otra parte, AoA’ también era normal a LT en Ao, resulta que en el depurado de un punto A del espacio (fig. 8), las proyecciones A’ y A’’ del punto están situadas en una misma perpendicular A’Ao A’’ a la línea de tierra. (Fig. 8) 8. 	Teorema (recíproco). — Cuando dos proyecciones están en un depurado, situadas en una misma perpendicular a la línea de tierra, ellas determinan un único punto del espacio. Supongamos que tenemos dos proyecciones A’ y A’’ (fig. 8) sobre una normal a LT. Si llevamos el plano vertical a su posición primitiva (fig. 7), el plano que determinan A’’, Ao y A’ es perpendicular a LT (pues contiene dos rectas Ao A’’ y Ao A’ que son normales a LT en Ao). Además, las perpendiculares en A’’ y A’ a los planos de proyección están situadas en ese plano AoAoA’ (pues cuando dos planos son perpendiculares, toda normal a uno de ellos trazada, en un punto de su intersección, está situada en el otro plano). Por lo tanto A’’A y A’A son coplanares y determinan un único punto A que tiene como proyecciones los puntos dados A’ y A’’. 9. 	Notaciones. — La recta A’’AoA’ (fig. 8) que une las dos proyecciones de un punto, se denomina línea de referencia o línea de correspondencia. Esta línea es siempre normal a LT y se dibuja entrecortada, es decir, formada por una serie de trazos iguales (— — —). Los puntos del espacio se designan siempre con las letras mayúsculas del alfabeto (A, B, C,...) y sus proyecciones se individualizan con dos tildes la proyección vertical (A’’, B’’, C,...) y con un tilde la proyección horizontal (A’, B’, C’,...). La distancia AA’ del punto del espacio al plano horizontal (que es la distancia del punto a su proyección horizontal), se denomina cota del punto. La distancia AA’’ del punto del espacio al plano vertical (que es la distancia del punto a su proyección vertical) se denomina alejamiento del punto.
Observando la (fig. 7) notamos que el cuadrilátero A’’AA’A0 es un rectángulo, pues los ángulos en A’’ y A’ son rectos y el ángulo en Ao vale 90°. Entonces, Ao A’’ = A’A y Ao A’ = A’’A, o sea que la cota de un punto es igual a la distancia que hay entre su proyección vertical y la línea de tierra; y el alejamiento de un punto es igual a la distancia que hay entre su proyección horizontal y la línea de tierra. Como hemos visto en el (No 8), un punto queda definido por sus dos proyecciones; es decir que podemos dar un punto por su cota y su alejamiento (distancias de la proyección vertical y la proyección horizontal a la línea de tierra). Así por ejemplo, definiremos un punto A, diciendo que tiene 2 cm. de cota y 3 cm. de alejamiento, y lo representaremos en el depurado (fig. 8) tomando A0A’’ = 2 cm. y A0A’ = 3 cm. Para abreviar, se indica punto A (2 cm., 3 cm.), conviniendo en colocar entre paréntesis primero el valor de la cota y luego el valor del alejamiento. Además, cuando en un depurado se da un punto A por sus dos proyecciones, se lo designa punto (A’’, A’), con lo cual se indica que las dos proyecciones A’’ y A’ están perfectamente determinadas. 10. Convenciones. — Llamaremos positivas o negativas a las cotas de los puntos, según que éstos se hallen situados respectivamente por encima o por debajo del plano horizontal. Por lo tanto, tienen cota positiva los puntos del 1.er y 2° diedro, y cota negativa los puntos del 3.er y 4.° diedro. Asimismo llamaremos, positivos o negativos a los alejamientos de los puntos, según que éstos se hallen situados respectivamente delante o detrás del plano vertical. Por lo tanto, tienen alejamiento positivo los puntos del 1.er y 4.° diedro, y alejamiento negativo los puntos del 2° y 3.er diedro. En consecuencia podemos formar, para los cuatro diedros, el siguiente cuadro: 1.er diedro 2.° diedro 3.er diedro 4° diedro COTA + + — — ALEJAM. + - - + Para obtener el depurado hemos visto en el (N.° 5) que se hace coincidir (fig. 6) el vertical superior con el horizontal posterior y el vertical inferior con el horizontal anterior. De esta manera quedan por encima de LT las proyecciones hechas en el vertical superior y en el horizontal posterior, y quedan por debajo de LT las proyecciones hechas en el vertical inferior y en el horizontal anterior. 9
1 o Es decir, que las proyecciones verticales hechas en el vertical superior (que pertenecen a puntos de cota positiva) y las proyecciones horizontales hechas en el horizontal posterior (que pertenecen a puntos de alejamiento negativo), se ven en el depurado por encima de LT; y las proyecciones verticales hechas en el vertical inferior (que pertenecen a puntos de cota negativa) y las proyecciones horizontales hechas en el horizontal anterior (que pertenecen a puntos de alejamiento positivo), se ven en el depurado por debajo de LT. En consecuencia podemos formar, para el depurado, el siguiente cuadro: Por encima de LT Por debajo de LT cotas + cotas - alejamientos - alejamientos + 11. 	Diferentes posiciones que puede ocupar un punto, con respecto a los planos de proyección. — Un punto puede ocupar varias posiciones con respecto a los planos de proyección, a saber: en uno de los cuatro diedros; en uno de los cuatro semiplanos de proyección; en la línea de tierra, o en uno de los dos planos bisectores. I. 	Punto situado en el primer diedro. — Un punto A del primer diedro tiene, según vimos en el (N° 10), cota y alejamiento positivos, y su depurado se presenta como en la (fig. 9), con la proyección vertical A’’ por encima de LT y la proyección horizontal A’ por debajo de LT. II. 	Punto situado en el segundo diedro. — Un punto B del segundo diedro, tiene cota positiva y alejamiento negativo, y su depurado se presenta como en la (fig. 9) con las dos proyecciones B’’ y B’ por encima de la línea de tierra. III. 	Punto situado en el tercer diedro. — Un punto C del tercer diedro, tiene cota y alejamiento negativos, y su depurado se presenta como en la (fig. 9) con la proyección vertical C por debajo de LT y la proyección horizontal C por encima de LT. IV. 	Punto situado en el cuarto diedro. — Un punto D del cuarto diedro, tiene cota negativa y alejamiento positivo, y su depurado presenta las dos proyecciones D’’ y D’ por debajo de la línea de tierra. (Fig. 9)
11 V y VI. Puntos situados en el plano horizontal. — Si un punto está situado en el plano horizontal, su cota es nula, por lo tanto, en el depurado, la distancia de la proyección vertical a LT debe ser nula. Es decir que tendremos los puntos E y F como en la (fig. 10) en (E’’, E’) o (F’’, F’), con la proyección vertical en LT y la proyección horizontal por debajo o por encima de LT, según que el punto esté respectivamente situado en el horizontal anterior (alejamiento positivo) o en el horizontal posterior (alejamiento negativo). VII y VIII. Puntos situados en el plano vertical. — Si un punto está situado en el plano vertical, su alejamiento es nulo, por lo tanto, en el depurado, la distancia de la proyección horizontal a LT debe ser nula. Es decir que tendremos los puntos M y N como en la (fig. 10) en (M’’, M’) o (N’’, N’), con la proyección horizontal en LT y la proyección vertical por encima o por debajo de LT, según que el punto esté respectivamente situado en el vertical superior (cota positiva) o en el vertical inferior (cota negativa). (Fig. 10) IX. 	Punto situado en LT. — Si un punto P se encuentra situado en la línea de tierra, se encuentra a la vez en los dos planos de proyección, por lo tanto deberá tener cota y alejamiento nulos, y su depurado se presentará como en la (fig. 10) con las dos proyecciones P’’ y P’ confundidas en un punto de LT. X. 	Punto situado en el primer bisector. — De la Geometría del Espacio sabemos que todos los puntos del plano bisector de un diedro, equidistan de las caras de éste. Por lo tanto, un punto situado en el primer bisector, equidista de los planos horizontal y vertical, es decir que tiene cota y alejamiento iguales en magnitud. Su depurado se presentará entonces, como en la (fig. 10) con la cota y el alejamiento iguales en magnitud; ambos valores son positivos (punto Q) si el punto está en el semiplano del primer bisector comprendido en el primer diedro, o los dos valores son negativos (punto R) si el punto está en el semiplano del primer bisector comprendido en el tercer diedro.
1 2 XI. Punto situado en el segundo bisector. — Por las mismas razones expuestas anteriormente, un punto del segundo bisector equidista de los planos de proyección. Si el punto está en el semiplano del segundo bisector comprendido en el segundo diedro (puntos), tendrá cota positiva y alejamiento negativo, pero iguales en magnitud. Si el punto está en el semiplano del segundo bisector en el cuarto diedro (punto T), tendrá cota negativa y alejamiento positivo, pero ambos iguales en magnitud. TERCERA PROYECCIÓN En Geometría Descriptiva es necesario, algunas veces, introducir un tercer plano de proyección, ya sea porque algunas figuras del espacio no quedan totalmente determinadas por sus dos proyecciones, o porque una tercera proyección ayuda a proporcionarnos una noción más clara de ciertos problemas. (Fig. 11) Para ello se agrega un tercer plano de proyección, perpendicular a los planos horizontal y vertical, y, por lo tanto, perpendicular a LT. Ese plano π (fig. 11) se denomina plano de perfil o tercer plano de proyección. 12. Tercera proyección de un punto. — Si se proyecta ortogonalmente un punto A (fig. 11) sobre el plano π, se obtiene el punto A’’’ llamado tercera proyección del punto A. Veremos ahora cómo se halla el depurado correspondiente.
1 3 El plano π corta a los planos horizontal y vertical, según las rectas πH y . Como por definición el plano π es perpendicular a LT, resulta que LT es normal a las rectas πH y πV que pasan por su pie (LT)’’’ en π. En el depurado (fig. 12), tendremos entonces el plano π representado por las rectas πH perpendicular a LT, y πV perpendicular a LT en el mismo punto, puesto que al girar el plano vertical para obtener el depurado, πV sigue siendo normal a LT. Teníamos en la (fig. 11), el punto A y sus dos proyecciones A’ y A’’ y dijimos que para obtener la tercera proyección A’’’ se trazaba por A la perpendicular al plano π hasta su intersección con éste en A’’’. Para llevar A’’’ al depurado, se hace girar en sentido retrogrado (*) el plano π alrededor de πV hasta llevarlo a coincidir con el plano vertical; y luego, como ya hemos visto, se hace girar el plano vertical alrededor de LT hasta que coincida con el plano horizontal. Como AA’’’ es perpendicular al plano π y AA’ es perpendicular al plano H, el plano que determinan dichas rectas resulta perpendicular a πH, intersección de ambos planos. Por lo tanto si πH es normal al plano de AA’’’ y AA’, es perpendicular a las rectas A’’’A1 y A’A1 que pasan por su pie A, en el plano. Entonces, en el depurado (fig. 12), se obtiene A, trazando por A’ la normal a πH hasta cortarla en A1. Al hacer girar el plano π alrededor de πV, el punto A, describe una circunferencia en el plano horizontal, de centro (LT)’’’ y radio hasta A1, y al coincidir el plano π con el plano vertical, el punto A, se coloca en A, sobre LT (puesto que después del giro, πH coincidirá con LT en el plano vertical). Por lo tanto, en el depurado trazamos una circunferencia de centro (LT)’’’ y radio hasta A,, hasta llevar A, sobre LT. (Fig. 12) El punto A’’’ que nos interesa, está sobre la normal a πH trazada por A, y a la distancia A, A’’’. Para hallarlo, trazaremos en el depurado, la normal a LT en Al (puesto que ya vimos que después del giro, πH coincide con LT) y tendríamos que tomar sobre esa normal la distancia A1A’’’ para determinar A’’’. (*) Se denomina sentido retrógrado, al sentido contrario al del movimiento de las agujas de un reloj, el cual se denomina sentido directo.
1 4 Pero observando la (fig. 11) notamos que el cuadrilátero AA’A1A’’’ es un rectán- gulo (puesto que los ángulos en A’ y A’’’ son rectos, y el ángulo en A, vale 90°), por lo tanto, A1A’’’ = A’A; pero ya hemos visto que A’A=AoA’’. Es decir entonces, que tendremos A1A’’’ = AoA’’. Por consiguiente, para hallar A’’’, en lugar de tomar A1A’’’ sobre la normal a LT en A1, tomaremos la magnitud AoA’’ a partir de A1 sobre dicha normal. Pero como AoA’’ ya está representada en el depurado, nos bastará trazar por A’’ la paralela a LT hasta cortar en A’’’ a la normal por A, a LT. El procedimiento que acabamos de exponer para obtener la tercera proyección de un punto dado por sus proyecciones, es siempre el mismo cualquiera que sea el diedro en que se encuentre situado el punto. En especial, téngase presente que para pasar del depurado a la tercera proyección se debe girar el plano π en sentido retrógrado; e inversamente, si se quisiera obtener una proyección partiendo de la tercera proyección, hay que volver al depurado en sentido directo. Ejemplos. — 1° Hallar la tercera proyección sobre un plano π de perfil, de un punto B del segundo diedro, de un punto C del tercer diedro, y de un punto D del cuarto diedro. Aplicamos el procedimiento que vimos anteriormente para el punto A. Por la proyección horizontal de cada punto (fig. 13), se traza una normal a πH y el punto así obtenido sobre πH se gira en sentido retrógrado alrededor de (LT)’’’ hasta llevarlo sobre LT. Por el punto así obtenido en LT, se traza una normal a esta línea, hasta encontrar en la tercera proyección buscada, a la paralela a LT trazada por la proyección vertical de cada punto. (Fig. 13)
1 5 2.° Dadas las proyecciones A’’ y A’’’ de un punto A, encontrar su proyección horizontal. En este ejemplo (fig. 14), se conocen A’’ y A’’’ (que deben estar dadas sobre una paralela a LT). Para hallar A’ seguimos un camino inverso al del ejemplo anterior. Por A’’’ trazamos una normal a LT hasta encontrarla en A1, luego giramos en sentido directo A, alrededor de (LT)’’’ hasta llevarlo en A, sobre πH. Por A, trazamos una perpendicular a πH hasta encontrar en la proyección A’ buscada, a la línea de referencia de A’’ (Fig. 14) 13. Notas. — 1.a Observando la (fig. 15) notamos que el horizontal anterior se ve proyectado en tercera proyección según πH; el vertical superior según πV; el horizontal posterior según la prolongación de πH a la izquierda de πV; el vertical inferior según la prolongación de πV por debajo de πH y la línea de tierra según (LT)’’’. (Fig. 15)
1 6 Por lo tanto, en el depurado (fig. 16), los elementos del primer diedro (comprendidos entre el vertical superior y el horizontal anterior) se verán en tercera proyección, comprendidos entre πV y πH. Los elementos del segundo diedro (comprendidos entre el vertical superior y el horizontal posterior, se verán en tercera proyección comprendidos entre πV y la prolongación de πH a la izquierda de πV. Los elementos del tercer diedro (comprendidos entre el horizontal posterior y el vertical inferior) se verán en tercera proyección comprendidos entre la prolongación de πH a la izquierda de πV y la prolongación de πV por debajo de LT. Y, finalmente, los elementos del cuarto diedro (comprendidos entre el vertical inferior y el horizontal anterior) se verán en tercera proyección comprendidos entre la prolongación de πV por debajo de LT y πH. Esto nos permite comprobar si la tercera proyección de un punto está bien hallada. Así, en el ejemplo N.° 1, como el punto B es del segundo diedro, B’’’ debe resultarnos comprendida en el espacio que hay (fig. 16) para los elementos del segundo diedro, cosa que efectivamente comprobamos en la (fig. 13). De igual modo verificamos que las terceras proyecciones de los puntos C y D están bien halladas y corresponden a puntos del tercer y cuarto diedro, respectivamente. En el ejemplo N.° 2, como A’’’ está en la parte que corresponde a los puntos del primer diedro, A’ debe ser proyección horizontal de un punto del primer diedro, por lo tanto A’ estará por debajo de LT, tal como lo hallamos en la (fig. 14). 2.a Como el primer bisector es un plano que pasa por la línea de tierra, y ésta es perpendicular al plano π, resulta que el primer bisector es perpendicular al plano de la tercera proyección. Es decir que el plano π es perpendicular a los planos vertical, horizontal y del primer bisector. Como el vertical se proyecta según πV y el horizontal según πH formando un ángulo de 90° con πV, el primer bisector se presentará en tercera proyección como una recta (fig. 16) que pasando por (LT)’’’ (tercera proyección de LT), forma ángulos de 45° con πV y πH (puesto que en el plano π se ven en verdadera magnitud los diedros que forman los planos horizontal, vertical y primer bisector). (Fig. 16)
1 7 Por las mismas razones, el segundo bisector se verá en tercera proyección como una recta que pasando por (LT)’’’ forma ángulos de 45° con πv y πH, y que por lo tanto será perpendicular a la recta que representa el primer bisector (lo que ya sabíamos del párrafo N.° 4). APLICACIONES Aplic. 1.a Dado un punto A, hallar su simétrico con respecto al primer bisector. Para ello llevamos (fig. 17) el punto a tercera proyección en A’’’. Por A’’’ trazamos la perpendicular al primer bisector, y a igual distancia hallamos el punto simétrico B’’’. Llevando B’u al depurado, obtenemos las proyecciones B’’ y B’ del punto buscado. En la (fig. 17) notamos que los triángulos A’’’O(LT)’’’ y B’’’O(LT)’’’ son iguales, por lo tanto, los ángulos agudos en (LT)’’’ de dichos triángulos, son iguales, y entonces los ángulos A’’’(LT)’’’A2 y β’’’(LT’)’’’ B1 (complemento a 45° de los anteriores) son iguales. (Fig. 17) Es decir que los triángulos rectángulos A’’’A2 (LT)’’’ y β’’’β1 (LT)’’’ son iguales por tener respectivamente iguales los ángulos en (LT)’’’ y las hipote- nusas. Por lo tanto, A2(LT)’’’ = B1(LT)’’’ y A’’’A2 = B’’’B1 pero como A2(LT)’’’= A’’Ao, B1(LT)’’’ = BoB’, A’’’A2= A’Ao y B’’’B1 = B’’Bo resultaque 	A’’Ao = BoB’ y A’Ao = B’’Bo Diremos entonces que, dos puntos simétricos respecto al primer bisector presentan sus proyecciones de tal manera, que la cota de uno de ellos es igual al alejamiento del otro punto, y viceversa.
1 8 Aplic. 2.a Dado un punto A, hallar su simétrico con respecto al segundo bisector. Procediendo como en el ejercicio anterior, llevamos el punto a tercera proyección en A’’’ (fig. 18). Por A’’’ trazamos la normal al segundo bisector, y a igual distancia A’’Ao = B’Bo y A’Ao = B’’Bo Es decir que, dos puntos simétricos respecto al segundo bisector presentan sus proyecciones de tal manera, que la cota de uno de ellos es igual al alejamiento del otro, y viceversa. obtenemos el punto simétrico B’’’. Llevando B’’’al depurado, se hallan las proyecciones B’’ y B’ del punto buscado. Comparando triángulos iguales como en el ejercicio anterior, se demuestra que (Fig. 18) PROBLEMAS RELATIVOS AL CAPÍTULO III 1. 	Determinar los puntos de cota 4 cm. y de alejamiento 5 cm. (las magnitudes en cm. son valores absolutos). 2. 	Dado un punto A (-2 cm., 3 cm.), representarlo en el depurado y hallar su tercera proyección sobre un plano de perfil. 3. 	Dadas las proyecciones B’’ y B’’’ de un punto del 4.° diedro, hallar la proyección horizontal B’. 4. 	Conociendo un punto C (3 cm., -4 cm.) hallar los simétricos de dicho punto, con respecto a los planos de proyección y a la línea de tierra. 5. 	Dado un punto D (-2 cm., 5 cm.) hallar los puntos simétricos del punto dado con respecto a los planos bisectores. 6. 	Representar en un depurado los siguientes puntos e indicar su ubicación con respecto a los planos de proyección y bisectores: A (4 cm., 3 cm.), B (3 cm., 5 cm.), C (4 cm., -1 cm.), D (2 cm., -4 cm.), E (-1 cm., -3 cm.), F (-3 cm., -2 cm.), G (-4 cm., 1 cm.) y H (-2 cm, 5 cm.). 7. 	Verificar la ubicación de los puntos del problema anterior, utilizando sus terceras proyecciones sobre un plano de perfil.
CAPÍTULO IV REPRESENTACIÓN DE LA RECTA Veremos ahora cuál es la representación que le corresponde a una recta en Geometría Descriptiva. De acuerdo con lo que establecimos al final del (N.° 2), la proyección de una recta sobre un plano es el lugar geométrico de las proyecciones de todos sus puntos. Sobre cuál es ese lugar geométrico, nos informa el siguiente 14. Teorema. — En general, la proyección de una recta sobre un plano, es una recta. Sea r (fig. 19) una recta dada, π un plano de proyección y d la dirección (ortogonal u oblicua) de las proyectantes. Tracemos la proyectante AAo de un punto A de la recta. El plano Ao r (llamado plano proyectante de la recta) corta al plano π según una recta ro. Proyectemos en Bo otro punto B de la recta. La proyectante BBo es paralela a AAo, puesto que ambas rectas son paralelas a la dirección d. Por lo tanto, BBo está contenida en el plano proyectante Aor, puesto que pasa por un punto B de dicho plano y es paralela a una recta AAo del mismo. Como BBo está contenida en el plano Aor, el punto Bo (intersección de la proyectante BBo con el plano π de proyección) estará situado sobre ro (intersección del plano Ao r con el plano π de proyección). El razonamiento que hicimos para el punto B, lo podemos repetir para cualquier punto de la recta r, y, por lo tanto, podemos afirmar que la recta ro es el lugar de las proyecciones de todos los puntos de la recta r, o lo que es igual, la recta ro es la proyección de la recta r. Que es lo que se quería demostrar. De este teorema, surge el siguiente 15. Corolario I. — Se puede obtener la proyección de una recta sobre un plano, trazando la recta que une las proyecciones de dos de sus puntos. (Fig. 19)
20 En la demostración del teorema anterior, vimos también que la recta ro era la intersección del plano Ao r proyectante de la recta r con el plano π de proyección. Es decir que podemos establecer también, el siguiente 16. Corolario II. — Se puede obtener la proyección de una recta sobre un plano, hallando la intersección del plano proyectante de la recta con el plano de proyección (*). Como aplicación de lo anterior, demostraremos ahora el siguiente 17. Teorema. — Si un segmento de recta es paralelo a un plano, se proyecta sobre éste en su verdadera magnitud. Sea el segmento de recta AB (fig. 20) paralelo al plano π. Proyectemos el segmento dado sobre el plano π. Sabemos que un plano trazado por una recta paralela a otro plano, corta a éste según una recta paralela a la dada. Por lo tanto, AoBo es paralela a AB, y, en consecuencia, el cuadrilátero ABBoAo es un paralelogramo, pues tiene sus lados paralelos dos a dos. Por consiguiente se cumple que (Fig. 20) AoBo = AB Como corolario podremos decir que: un segmento de recta paralelo a uno de los planos de proyección se proyecta sobre este en su verdadera magnitud. 18. Representación de la recta. — Para representar una recta en el sistema que hemos definido (N.° 3) para la Geometría Descriptiva, se proyecta la recta ortogonalmente sobre los dos planos de proyección. Sea una recta a del espacio (fig. 21). Proyectándola ortogo- nalmente sobre el plano horizon- tal, obtenemos la recta a' deno- minada proyección horizontal de la recta a. (Fig. 21) (*) Resulta evidente que la proyección ro de una recta r sobre un plano π, no basta para determinarla, puesto que cualquier recta contenida en su plano proyectante tiene como proyección a la recta ro.
21 Proyectando ortogonalmente la recta a sobre el plano vertical, obtenemos la recta a’’, denominada proyección vertical de la recta a. Para obtener el depurado correspondiente hacemos girar, en el sentido indicado en el (N.° 5), el plano vertical alrededor de LT, hasta que coincida con el plano horizontal. La proyección a’’ quedará entonces en a’’ sobre el plano horizontal, y el depurado será el de la (fig. 22). En consecuencia, podemos establecer el siguiente 19. Teorema. — En general, una recta está representada en un depurado por dos rectas, que son sus proyecciones. (Fig. 22) Nota. — Resulta evidente, de acuerdo con lo visto en los (N.os 14, 15 y 16) que, si un punto C (fig. 22) está situado sobre una recta a, sus proyecciones C y C deberán estar respectivamente situadas sobre las proyecciones a’’ y a’ de la recta; y recíprocamente, si un punto C tiene sus proyecciones situadas sobre las proyecciones del mismo nombre de la recta, el punto pertenece a la recta. 20. Teorema (recíproco). — En general, dos rectas situadas en un depurado, determinan una recta del espacio. En efecto, sean las dos rectas a’’ y a’ (fig. 22) situadas en un depurado. Llevemos el plano vertical a su posición primitiva, y tracemos luego por a’’, un plano perpendicular al vertical, y por a’, un plano perpendicular al horizontal. Dichos planos se encuentran, en general, según una recta a que tiene como proyecciones vertical y horizontal, las rectas dadas. Excepciones. — 1.a Cuando en un depurado dos rectas son perpendiculares a LT en puntos distintos, ellas no representan una recta. En efecto, sean en un depurado (fig. 23) las rectas m’’ y m’, perpendiculares a LT en puntos distintos. Procediendo como en el (N.° 20), llevamos el plano vertical a su posición primitiva y trazamos por m’’ un plano α perpendicular al vertical y por m’, un plano β perpendicular al horizontal. El plano α es normal a LT, puesto que pasa por m’’ que es normal a LT. Por las mismas razones, el plano β es perpendicular a LT. Por lo tanto, los planos α y β que son normales a LT, pero en puntos distintos, son paralelos. Es decir que su intersección no determina una recta del espacio.
22 2.a Cuando en un depurado, una recta es normal a LT y otra es cualquiera, ellas no representan una recta. En efecto, sean en un depurado (fig. 23) las rectas n’’ y n’, una de las cuales es normal a LT y la otra es cualquiera. Razonando como en el (N.° 20), llevamos el plano vertical a su posición primitiva y trazamos por n’’ un plano α normal al vertical, y por n’ un plano β normal al horizontal. El plano α por contener a n’’ que es perpendicular a LT, es normal a LT y por lo tanto normal al plano horizontal. Como el plano β también es normal al plano horizontal, resulta que ambos planos se cortan según una recta perpendicular al plano horizontal. Pero es evidente que una recta en tales condiciones no puede tener como proyección horizontal a n’, por consiguiente, las rectas dadas del depurado no representan una recta del espacio. (Fig. 23) 3.a Cuando en un depurado, dos rectas son normales a LT en un mismo punto, ellas pueden representar una recta, pero no la determinan. En efecto, sean en un depurado (fig. 23) las rectas r’’ y r’, normales a LT en un mismo punto. Razonando como en los casos anteriores, se deduce que los planos α (que pasa por r’’ y es normal al vertical) y β (que pasa por r’ y es normal al horizontal), coinciden, puesto que son perpendiculares a LT en un mismo punto. Por lo tanto, la intersección de dichos planos no determina una única recta, pues todas las rectas contenidas en ese plano común tienen como proyecciones las rectas dadas r’’ y r’. Si se quisiera determinar una de las infinitas rectas que tienen dicha proyecciones, habría que fijar dos puntos (por ej. A y B) que definirían una de dichas rectas. 21. Notaciones. — Las rectas del espacio se designan siempre con las letras minúsculas del alfabeto (a, b, c, ... ) y sus proyecciones se indican con dos tildes la proyección vertical (a’’, b’’, c’’, ...) y con un tilde la proyección horizontal (a’, b’, c’,...). De esta manera, cuando en un depurado se da una recta r por sus dos proyecciones, se la designa recta (r’’, r’) con lo cual se indica que las dos proyecciones r’’ y r’ están perfectamente determinadas. Además, de acuerdo con lo visto en el (N.° 4), se dibujarán a trazo lleno (—) las proyecciones de los segmentos de recta situados en el primer diedro, puesto que son vistos; y se dibujarán a trazo punteado (......) las proyecciones de los segmentos de recta situados en los demás diedros, puesto que son ocultos.
23 22. Tercera proyección de una recta. — En la resolución de algunos problemas, es conveniente obtener una tercera proyección de las rectas sobre un plano de perfil. Para ello bastará con hallar, como hemos visto en el (N.° 12) y siguientes, las terceras proyecciones de dos puntos de la recta dada y tendremos así determinada su tercera proyección. 23. Trazas de una recta. — Para la resolución de ciertos problemas, como por ejemplo, para saber qué diedros atraviesa una recta, es necesario conocer los puntos en que la recta corta a los planos de proyección. Dichos puntos se denominan trazas de la recta, y se designa traza vertical (individualizándolo con la letra V) al punto en que la recta corta al plano vertical; y traza horizontal (individualizándolo con la letra H) al punto en que la recta corta al plano horizontal. Veremos ahora cómo se determinan las trazas de una recta, en el depurado. Sean una recta a del espacio (fig. 24) y V y H sus trazas vertical y horizontal, respectivamente. La traza vertical V es, por definición, el punto de la recta que está en el plano vertical. Por lo tanto, la proyección vertical V’’ de dicho punto, coincide con el mismo. Además, por tratarse de un punto del plano vertical, su proyección horizontal V’ deberá estar en LT y sobre la proyección horizontal a’ de la recta a la cual pertenece. Es decir que V’ estará en la intersección de a’ con LT y V’’ estará en la línea de referencia de V’ y sobre a’’. (Fig. 24) Diremos entonces que, para determinar la traza vertical de una recta dada, se prolonga la proyección horizontal de la recta hasta encontrar a LT en V, proyección horizontal de la traza vertical; y trazando por V’ la línea de referencia hasta encontrar la proyección vertical de la recta dada, se obtiene V’’, proyección vertical de la traza vertical. Dicha traza queda así determinada en el depurado, por sus dos proyecciones (fig. 25).
24 Haciendo un razonamiento análogo, demostraríamos que, para determinar ta traza horizontal de una recta dada, se prolonga la proyección vertical de la recta hasta encontrar a LT en H’’, proyección vertical de la traza horizontal; y trazando por H’’ la línea de referencia hasta encontrar la proyección horizontal de la recta dada, se obtiene H’, proyección horizontal de la traza horizontal. Obtenemos así, la traza horizontal determinada en el depurado por sus dos proyecciones (fig. 25). Nota. — Estas construcciones para hallar las tra- zas de una recta, no son aplicables en el caso particular de que la recta tenga sus dos proyecciones normales a LT en un mismo punto. En dicho caso se procede como veremos más adelante, en el (N.° 24, XII). (Fig. 25) 24. Diferentes posiciones que puede ocupar una recta con respecto a los planos de proyección. Una recta puede ocupar diversas posiciones características con respecto a los planos de proyección. Estas posiciones son las siguientes: I. Recta cualquiera. — Una recta cualquiera presenta, en el depurado, sus dos proyecciones cortando a la línea de tierra. Cuando está dada una recta cualquiera, se puede conocer qué diedros atraviesa, hallando sus trazas. En efecto, sea una recta cualquiera a (fig. 26) y hallemos sus trazas (V’’, V) y (H’’, H’) de acuerdo con lo indicado en el (N.° 23). Como la traza vertical tiene cota positiva, deducimos que la recta corta al plano vertical en su parte superior; y como la traza horizontal tiene alejamiento negativo, la recta cortará al plano horizontal en su parte posterior. Es decir que la recta, al cortar al vertical superior, pasa por los diedros I y II; y al cortar al horizontal posterior pasa por los diedros II y III. Por consiguiente, se trata de una recta que atraviesa los diedros I, II y III. (El segmento de recta contenido en el primer diedro, de acuerdo con (Fig. 26)
25 las convenciones establecidas en el N.° 21, se ha dibujado con trazo lleno, y el resto con trazo punteado). Por lo tanto, si se tiene una recta cualquiera y se quiere averiguar qué diedros atraviesa, se comienza por hallar las trazas de la recta, es decir que se averigua cuáles son los semiplanos de proyección que corta la recta dada. Conocidos éstos, de inmediato se puede deducir por qué diedros pasa la recta. II y III. Recta contenida en uno de los planos de proyección. — Si una recta b está contenida en el plano horizontal, su proyección vertical coincidirá con la línea de tierra, y su depurado se presentará entones como en la (fig. 27). De la misma manera, si una recta c está con tenida en el plano vertical, su proyección horizontal coincidirá con la línea de tierra, y su depurado se presentará entonces como en la (fig. 27). (Fig. 27) IV. Recta horizontal. — Se denomina recta horizontal, a toda recta paralela al plano horizontal de proyección, y se acostumbra designarlas con la letra h. Como la recta, por definición, es paralela horizontal, todos sus puntos tienen la misma cota, es decir que de acuerdo con lo expuesto en el (N.° 9), todos los puntos de la proyección vertical de la recta deben estar a igual distancia de la línea de tierra. Por consiguiente, su depurado se presentará como en la (fig. 28), con la proyección vertical paralela a LT y la proyección horizontal cualquiera. Conviene hacer notar que, como la recta es paralela al plano horizontal, su traza horizontal H estará en el infinito. (Fig. 28) V. Recta frontal. — Se denomina recta frontal, a toda recta paralela al plano vertical de proyección, y se acostumbra designarlas con la letra f.Como la recta, por definición, es paralela al vertical, todos sus puntos tienen el mismo alejamiento, es decir que de acuerdo con lo expuesto en el (N.° 9), todos los puntos de la proyección horizontal de la recta deben equidistar de LT. Por consiguiente, su depurado se presentará como en la (fig. 28), con la proyección horizontal paralela a LT y la proyección vertical cualquiera. Conviene hacer notar que, como la recta es paralela al plano vertical, su traza vertical V estará en el infinito.
26 VI. 	Recta paralela a la línea de tierra. — Si una recta r es paralela a LT, es paralela a cada uno de los planos de proyección, es decir que todos sus puntos tienen igual cota e igual alejamiento. Por lo tanto, de acuerdo con lo expuesto en los casos anteriores, su depurado se presentará como en la (fig. 29), con sus dos proyecciones paralelas a LT. VII. 	Recta perpendicular al plano horizon- tal. — Toda recta normal al plano horizontal de proyección, se denomina recta vertical. Si una recta m es normal al plano horizontal, es evidente que las proyecciones horizontales de todos sus puntos coinciden con el punto en que la recta corta al plano horizontal. (Fig. 29) Hallemos ahora la proyección vertical de la recta m. Para ello, de acuerdo con lo visto en el (N.° 16), hagamos pasar por la recta un plano proyectante perpendicular al vertical. Como dicho plano pasa por una recta que es, por definición, normal al horizontal, será también normal al horizontal. Es decir que, el plano proyectante de la recta es normal a cada uno de los planos de proyección, y por lo tanto será normal a la intersección de éstos que es LT. Por consiguiente, si el plano que pasa por la recta y es perpendicular al vertical, es también normal a LT, cortará al plano vertical según una recta normal a LT que será la proyección vertical m’’ de la recta m. El depurado de la recta vertical m, se presentará entonces como en la (fig. 30) con la proyección vertical perpendicular a LT y la proyección horizontal según un punto. (Fig. 30) VIII. 	Recta perpendicular al plano vertical. — Toda recta normal al plano vertical de proyección se denomina recta de fuga. Razonando como en el caso anterior, se demuestra que una recta de fuga n, presenta su depurado como en la (fig. 30), con la proyección horizontal normal a LT y la proyección vertical según un punto. IX. 	Recta que corta a la línea de tierra. — Si una recta r corta a la línea de tierra, el punto de corte será un punto común a la recta y a LT, y por lo tanto dicho punto tendrá sus dos proyecciones confundidas sobre LT. El depurado de la recta r se presentará entonces como en la (fig. 31) con sus dos proyecciones cualesquiera y cortándose en un punto de LT, que es a la vez traza horizontal y vertical de la recta.
27 X y XI. Recta contenida en uno de los planos bisectores. — Si una recta a está contenida en el primer bisector, todos sus puntos (N.° 11, X) tienen cota y alejamiento iguales en magnitud y signo, por consiguiente la recta presenta su depurado como en la (fig. 31), con sus dos proyecciones formando igual ángulo con LT (ya que las proyecciones de cada uno de sus puntos equidistan de LT). (Fig. 31) Razonando en idéntica forma, si una recta b está contenida en el segundo bisector, todos sus puntos pertenecen al segundo bisector, y en consecuencia (N.° 11, XI) tienen sus proyecciones confundidas. La recta b presentará entonces su depurado como en la (fig. 31) con sus dos proyecciones confundidas y punteadas, puesto que una recta del segundo bisector no tiene ningún punto en el primer diedro. XII. Recta de perfil. — Se denomina recta de perfil a toda recta contenida en un plano de perfil. Como ya vimos en el (N.° 12), plano de perfil es un plano perpendicular a la vez a los dos planos de proyección, y por lo tanto, a LT. En consecuencia, toda recta de perfil, al estar contenida en un plano en esas condiciones, es normal en dirección a la línea de tierra. Para hallar la proyección horizontal de una recta r de perfil, trazamos por la recta un plano perpendicular al horizontal. Dicho plano no es otro que el plano de perfil que contiene a la recta, y será entonces normal a LT. Por lo tanto, cortará al plano horizontal según la proyección horizontal r’ que será normal a LT.
28 Razonando de igual manera, demostraríamos que r’’, proyección vertical de la recta de perfil es también normal a LT en el mismo punto. En consecuencia, una recta r de perfil, presentará su depurado como en la (fig. 32) con sus dos proyecciones normales a LT en un mismo punto. Además, para que la recta quede determinada, es necesario fijar dos de sus puntos, puesto que como vimos en el (N.° 21, 3.a), todas las rectas contenidas en el plano de perfil que pasa por r tienen las mismas proyecciones. (Fig. 32) Trazas de una recta de perfil. — Veremos ahora cómo se hallan las trazas de una recta de perfil AB. Consideremos el plano de perfil π que pasa por la recta. La proyección de la recta sobre ese plano, es ella misma y para obtenerla llevamos la recta a tercera proyección. Para ello nos basta con hallar, como vimos en el (N.° 12), las terceras proyecciones de dos de sus puntos A y B, que nos determinan la tercera proyección A’’’B’’’ de la recta (fig. 33). En dicha tercera proyección, la recta corta al plano vertical en V’’’ y al plano horizontal en H’’’. Estos puntos serán entonces, las terceras proyecciones de las trazas de la recta. Para obtenerlos en el depurado, los llevamos a él, en sentido directo. De V’’’ obtenemos V’’ sobreα’’, y V’estará en LT puesto que se trata de la proyección horizontal de un punto del plano vertical. De H’’’ obtenemos H’ sobre a’, y H’’ estará en LT, puesto que se trata de la proyección vertical de un punto del plano horizontal. En consecuencia, cuando se da una recta de perfil, se hallan sus trazas utilizando tercera proyección. (Fig. 33) XIII. Recta perpendicular al primer bisector. — Si una recta r es normal al primer bisector, será en dirección normal a LT, puesto que el primer bisector es un plano que pasa por LT. En consecuencia, una recta normal al primer bisector es de perfil.
29 Para determinar la posición que ocupan sus trazas, la consideramos proyectada sobre el plano de perfil que la contiene, y llevada a tercera proyección. Allí será, por consiguiente, normal a la recta que representa el primer bisector en tercera proyección (fig. 34). Las trazas de la recta serán entonces V’’’ y H’’’. Llevando dichas trazas al depurado, obtenemos (V’’, V) y (H’’, H’). Ahora bien, observando que los ángulos 1 y 2 son de 45°, resulta V’’ V’ = V’H’’’ y V’H’’’ = V’H’ y en consecuencia, 	V’’V’ = V’H’ (Fig. 34) Por lo tanto, podemos decir que, en el depurado una recta normal al primer bisector tiene sus trazas equidistantes de la línea de tierra. (Lo mismo resultaría si la recta fuese normal al primer bisector, pero en el tercer diedro). XIV. Recta perpendicular al segundo bisector. —Razonando como en el caso anterior, demostraríamos que una recta normal al segundo bisector es de perfil. Sus trazas se obtendrían con el auxilio de la tercera proyección (fig. 35), y en virtud de que los ángulos 1 y 2 son de 45° tendríamos V’’ V’ = V’H’’’ (Fig. 35) Pero como además V’H’’’ = V’H’ resulta que, en el depurado, una receta normal al segundo bisector tiene sus trazas confundidas. (Lo mismo resultaría si la recta fuese normal al segundo bisector, pero en el cuarto diedro). POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Dos rectas del espacio pueden cortarse, cruzarse o ser paralelas. Veremos a continuación, qué particularidades presenta el depurado para cada una de estas posiciones relativas.
30 25. Rectas que se cortan. — Para las rectas que se cortan estableceremos el siguiente Teorema. — Cuando dos rectas del espacio se cortan, los puntos de intersección de sus proyecciones del mismo nombre, están situados en el depurado, en una misma línea de referencia. En efecto, sean (a’’, a’) y (b’’, b’) (fig. 36) las proyecciones de dos rectas del espacio que se cortan en un punto O. Como el punto O pertenece a las dos rectas a y b, su proyección horizontal será entonces el punto común a las proyecciones horizontales de ambas rectas; por idénticas razones, la proyección vertical del punto O será el punto de intersección de las proyecciones verticales dadas. Pero además, el punto O tiene sus proyecciones O’’ y O’ en una línea de referencia normal a LT (N.° 7). Es decir que se cumple el enunciado del teorema. (Fig. 36) 26. Teorema (recíproco). — Dos rectas se cortan, si en el depurado sus proyecciones del mismo nombre se interceptan en dos puntos situados sobre una misma línea de referencia. En efecto, las proyecciones O’’ y O’ (fig. 36) determinan un punto O del espacio, situado sobre cada una de las rectas dadas. En consecuencia, las rectas, al tener un punto común, se cortan. 27. Excepciones. — 1.a Cuando se tiene una recta de perfil AB y una recta cualquiera r (fig. 37), no puede afirmarse que dichas rectas se corten, a pesar de cumplirse lo que establece el (N.° 26). En efecto, el punto de corte de dichas rectas sería (de acuerdo con el N.° 26) el punto O. Pero si consideramos la recta de perfil proyectada en el plano de perfil que la contiene, tendremos A’’’B’’’ en tercera proyección. Del mismo modo, del punto O, tendremos O’’’. En este caso, O’’’ no está situado sobre A’’’B’’’, es decir que, si bien O es punto de la recta r, no lo es de AB. (Fig. 37)
3 1 Por consiguiente, ambas rectas no se cortan. Para que ello sucediese, sería necesario que O’’’ estuviese sobre A’’’B’’’. 2.° Cuando se trata de dos rectas de perfil contenidas en un mismo plano, en el depurado presentan sus proyecciones confundidas. Para hallar su intersección hay que recurrir a la tercera proyección. Por ejemplo, sean las rectas de perfil AB y CD (fig. 38) contenidas en un mismo plano de perfil π. Llevándolas a tercera proyección, obtenemos A’’’B’’’ y C’’’D’’’. El punto de intersección de ambas rectas será, en tercera proyección, el punto O’’’. Volviendo al depurado obtenemos entonces O’’ y O’ proyecciones del punto de corte de las rectas dadas. (Fig. 38) 28. Rectas que se cruzan. — Se dice que dos rectas se cruzan cuando no tienen ningún punto común. Desde el momento en que los teoremas de los (N.os 25 y 26) son ciertos, podemos establecer el siguiente Corolario. — Cuando dos rectas del espacio se cruzan, los puntos de intersección de sus proyecciones del mismo nombre no están situados sobre una misma línea de referencia. Es decir que, dos rectas que se cruzan, presentan su depurado como las rectas a y b de la (fig. 39), en la cual, los puntos de corte de las proyecciones homónimas no están situados sobre una misma línea de referencia. (Fig. 39) 29. Rectas paralelas. — Veremos ahora cómo presentan su depurado, dos rectas paralelas. De ello nos informa el siguiente Teorema. — Si dos rectas del espacio son paralelas, sus proyecciones del mismo nombre son paralelas en el depurado. En efecto, sean dos rectas del espacio a y b (fig. 40), paralelas. Hallemos las proyecciones horizontales de ambas rectas. Para ello hacemos pasar por cada recta un plano perpendicular al horizontal.
32 Como las rectas, por hipótesis, son paralelas, ambos planos proyectantes son paralelos y por consiguiente cortarán al plano horizontal según dos rectas paralelas a’ y b’, que serán las proyecciones horizontales de las rectas dadas. (Fig. 40) De igual manera, los planos que pasan por las rectas a y b, y son perpendiculares al vertical, serán paralelos. En consecuencia, cortarán al plano vertical según dos rectas paralelas a’’ y b’’, que serán las proyecciones verticales de las rectas dadas. Es decir que dos rectas del espacio paralelas, tienen sus proyecciones paralelas, y su depurado se presentará entonces como en la (fig. 41). 30. Teorema (recíproco). — Dos rectas del espacio son paralelas, si en el depurado, sus proyecciones del mismo nombre son paralelas. Sean en un depurado (fig. 41), las rectas respectivamente paralelas a’’, b’’ y a’, b’. Consideremos dichas rectas como proyecciones de dos rectas a y b del espacio. (Fig. 41) Llevando el plano vertical a su posición primitiva (fig. 40), los planos perpendiculares al vertical trazados por a’’ y b’’, son paralelos, y por consiguiente cortarán respectivamente al plano que pasa por a’ y es normal al horizontal, según dos rectas paralelas a y r. De igual manera, los planos perpendiculares al horizontal trazados por a’ y b’, son paralelos. En consecuencia cortarán, respectivamente, al plano que pasa por b’’ y es perpendicular al vertical, según dos rectas paralelas r y b. Por consiguiente, si a es paralela a r, y r es paralela a b, resulta que las rectas a y b son paralelas, que es lo que se quería demostrar.
33 Excepción. — Si bien dos rectas de perfil tienen sus proyecciones homónimas paralelas, no puede afirmarse que dichas rectas sean paralelas en el espacio. (Fig. 42) Para averiguarlo, en virtud del (N.° 17), se proyectan ambas rectas sobre un plano de perfil π, hallando las terceras proyecciones A’’’ B’’’ y C’’’ D’’’ de las rectas (fig. 42). Si dichas terceras proyecciones son paralelas, podemos afirmar que las rectas dadas AB y CD, son paralelas. En el caso contrario, las rectas se cruzan. Nota. — En el planteamiento de diversos problemas, la consideración de elementos al infinito, permite simplificar los procedimientos resolutivos. Con ese propósito fijaremos las siguientes nociones: 1.°) Un punto al infinito o punto impropio está definido por una dirección. Es el punto común a todas las rectas paralelas a esa dirección. Así por ejemplo, un punto impropio D∞ define una dirección d y es el punto común a todas las rectas paralelas a d. Unir un punto cualquiera A con un punto impropio D∞, significa trazar por el punto A una recta paralela a d. 2.°) Una recta al infinito o recta impropia está definida por una dirección de plano α Es la recta r∞ común a todos los planos paralelos al α Así por ejemplo, el plano que determinan un punto cualquiera A y la recta impropia r∞, es el plano que pasa por A y es paralelo al plano α. También se puede decir que dos puntos impropios determinan una recta impropia. APLICACIONES Aplic. 1.a Por un punto dado, trazar una paralela a una recta de perfil dada. Propongámonos por ejemplo, trazar por el punto (P’’, P’) de la (fig. 43) una recta paralela a la recta de perfil CD.
34 Para ello, se proyecta la recta sobre el plano de perfil π que pasa por el punto, y luego se llevan el punto y la recta a tercera proyección, en P’’’ y C’’’D’’’ respectivamente. Recordando lo que establece el (N.° 17), se traza entonces por P’’’ una paralela a C’’’D’’’, que será la recta buscada P’’’M’’’ en tercera proyección. Para llevar dicha recta al depurado, basta con llevar un punto M cualquiera, que unido con P nos determina la recta de perfil PM que se quería trazar. (Fig. 43) Aplic. 2.a Hallar los puntos de corte de una recta con el primer y el segundo bisector. Sabemos del (N.° 11, X), que los puntos del primer bisector tienen sus proyecciones equidistantes de LT. Por lo tanto, las proyecciones del punto buscado, además de estar sobre las proyecciones de la recta dada, deberán cumplir con la condición de equidistar de LT. Para hallarlo utilizamos el siguiente procedimiento geométrico (fig. 44). Por el punto H’’ (intersección de a’’ con LT) trazamos una recta auxiliar r que forme con LT el mismo ángulo que forma a’’ con LT. Donde la recta auxiliar r corta a la proyección a’ de la recta dada, estará P’, proyección hori- zontal del punto buscado. En consecuencia, P’’ estará en la línea de correspondencia de P’ y sobre a’’. En efecto, el punto P pertenece a la recta a puesto que sus proyecciones están sobre las proyecciones de la recta a, y además el punto P es del primer bisector, puesto que sus pro- (Fig. 44)
35 yecciones equidistan de LT (ya que de la igualdad de los triángulos P’’H’’Po y P’H’’Po se deduce que P’’Po = P’Po). Por otra parte, el punto de corte de la recta α con el segundo bisector, será un punto de la recta que tenga sus proyecciones confundidas (N.° 11, XI). Dicho punto se determina fácilmente como el punto de corte (R’’, R’) de las proyecciones de la recta dada. Cuando se trate de una recta de perfil, habrá que recurrir a la tercera proyección. Aplic. 3.a Lα relación de las medidas de los segmentos de una recta, es igual a la relación de las medidas de sus proyecciones. Demostraremos por ejemplo que, las proyecciones del punto medio de un segmento de recta, son los puntos medios de las proyecciones del segmento. En efecto, sea M (fig. 45) el punto medio de un segmento de recta AB. Las proyecciones M’’ y M’ del punto M deberán estar, respectivamente, sobre las proyecciones A’’B’’ y A’B’ de la recta a la cual pertenece. Además, por el Teorema de Thales, si MA = MB, resulta que M’A’ = M’B’ y M’’A’’ = M’’B que es lo que se quería demostrar. (Fig. 45) Aplic. 4.a Hallar la verdadera magnitud de la distancia entre dos puntos. Sean los puntos (A’’, A’) y (B’’, B) de la (fig. 46) cuya distancia queremos hallar. Observando la (fig. 45) en el espacio, notamos que si en el plano proyectante del segmento AB trazamos por A una paralela AB1 a la proyección AB’, se forma un triángulo AB1B rectángulo en B1, cuyos catetos son AB1 = A’B’ (distancia entre las proyecciones horizontales de los puntos) y BB1 = BB’ - B1B’ (diferencia entre las cotas de los puntos); y cuya hipotenusa AB es en verdadera magnitud la distancia entre los puntos dados. (Fig. 46)
36 Por lo tanto, en el depurado (fig. 46), para hallar la distancia entre los puntos A y B construimos ese triángulo rectángulo, con un cateto A’B’ y otro cateto c igual a la diferencia de cotas (B’’B0 - A’’Ao). La hipotenusa d será entonces la verdadera magnitud de la distancia entre A y B. PROBLEMAS RELATIVOS AL CAPÍULO IV 1. 	Representar un segmento de recta contenido en el segundo bisector y en el 4.° diedro y hallar su verdadera magnitud. 2. 	Dada una recta de perfil por los puntos A (2 cm., 4 cm.) y B (-3 cm., 6 cm.); determinar un punto C de la recta cuyo alejamiento mida 5 cm. Hallar la verdadera magnitud de los segmentos AB y BC. 3. 	Dada una recta cualquiera: hallar sus trazas, determinar qué diedros atraviesa y hallar sus intersecciones con los planos bisectores. Determinar en verdadera magnitud la distancia entre sus trazas. 4. 	Hallar los puntos de corte de una recta vertical con los planos bisectores. 5. 	Dada una recta de perfil AB, hallar sus puntos de corte con los planos bisectores y determinar qué diedros atraviesa. 6. 	Por un punto R (-2 cm., 3 cm.) trazar una recta que pase por los diedros IV, III y II. 7. 	Por un punto P (3 cm., 4 cm.) trazar una recta que pase por los diedros I, IV y III. 8. 	Dada una recta (r’’, r’), hallar un punto de la misma cuya cota sea el doble de su alejamiento. 9. 	Por un punto dado, trazar una recta horizontal que corte a otra recta dada. 10. 	Por un punto dado, trazar una recta de perfil que corte a una recta dada del segundo bisector. 11. 	Dados un punto A y una recta r vertical, hallar el punto de menor cota de r que diste 6 cms. de A. 12. 	Idem al problema anterior, siendo r paralela a LT. 13. 	Determinar una recta de perfil, conociendo uno de sus puntos P (8 cm., 3 cm) y el ángulo de 60° que la recta forma con el plano horizontal. 14. 	Dadas las proyecciones de un triángulo cualquiera, hallar las proyecciones de su centro de gravedad. 15. 	Dadas las proyecciones de un triángulo A (2 cm., 3 cm.) B (-5 cm., 6 cm.) C (3 cm., -4 cm.) situado en un plano de perfil, hallar las proyecciones de su centro de gravedad. 16. 	Dada una recta (r’’, r’), hallar un punto r que diste 2 cm. de su punto de corte con el segundo bisector y tenga la mayor cota posible.
CAPITULO V REPRESENTACIÓN DEL PLANO Sabemos de Geometría elemental, que un plano queda definido por dos rectas que se cortan o son paralelas, por una recta y un punto exterior a ella o por tres puntos no situados en línea recta. Pero es evidente que, cualquiera que sea la manera de definir el plano, siempre se le puede considerar como dado por dos rectas que se cortan. En efecto, si el plano está dado por una recta y un punto exterior a ella, bastará trazar por el punto una recta que corte a la dada para que el plano quede determinado por dos rectas que se cortan. Si el plano está dado por tres puntos no situados en línea recta, bastará unir mediante rectas uno de los puntos con cada uno de los otros dos, para que el plano quede determinado por dos rectas que se cortan. Por consiguiente, en general, consideraremos que los planos están definidos por dos rectas que se cortan. Así las rectas a y b de la (fig. 36) determinan un plano. 31. Determinación de elementos de un plano. — Veremos ahora que, en un plano dado por dos rectas que se cortan se puede determinar un elemento geométrico cualquiera situado en el plano, conociendo sólo una de sus proyecciones. Se pueden presentar los siguientes casos: I. — Dado un plano por dos rectas que se cortan y una de las proyecciones de otra recta, hallar la restante proyección de ésta, de manera que pertenezca al plano de las dos primeras. Sean en la (fig. 47) dos rectas (a’’, a) y (b’’, b) que determinan el plano dado, y sea r’’ la proyección vertical de una tercera recta r. Hallaremos r’ de modo que la recta r pertenezca al plano de las rectas a y b. Como la recta r (de la cual sólo conocemos su proyección vertical) debe estar situada en el plano de a y b, cortará a estas dos rectas. Las proyecciones verticales de los puntos de corte serán entonces A’’ y B’’ intersecciones de las proyecciones verticales a’’y b’’con r’’.
38 Ahora bien, la proyección horizontal A’ del punto A, estará en la línea de corres- pondencia de A’’ y sobre la proyección horizontal de la recta a a la cual perte- nece. Del mismo modo, el punto B se pro- yectará horizontalmente en B’, intersec- ción de b’ con la línea de correspondencia de B’’. Por consiguiente, como los puntos A y B pertenecen a las rectas a y b, y también a la recta r, sus proyecciones horizontales A’ y B’ nos determinarán r’, proyección horizontal de la recta que queríamos determinar. Si la recta dada fuese paralela a una de las rectas que determinan el plano, bastará aplicar el teorema del (N.° 29). (Fig. 47) II. — Dado un plano por dos rectas que se cortan y una de las proyecciones de un punto, hallar la restante proyección de éste, de manera que el punto pertenezca al plano. Sean en la (fig. 48) dos rectas (a’’, a’) y (b’’, b’) que determinan el plano dado, y sea P’’ la proyección vertical de un punto P que haremos pertenecer al plano de las dos rectas. Tracemos por el punto P del espacio, una recta auxiliar r contenida en el plano de a y b. Para ello, comenzamos por trazar la proyección r’’ de dicha recta, pasando por P’’. Como la recta r es coplanar con a y b, su proyección horizontal r’ la hallamos fácilmente como en el caso anterior. Ahora bien, como el punto P pertenece a la recta r, la proyección buscada P’ estará en la intersección de r’ con la línea de correspondencia de P’’. (Fig. 48) 32. Representación del plano. liazas. — Al principio de este capítulo vimos que un plano queda definido por dos rectas que se cortan.
39 En Geometría Descriptiva se acostumbra representar el plano, no por dos rectas cualesquiera que se cortan, sino por sus trazas, denominándose así a las rectas de intersección del plano dado con cada uno de los planos de proyección. Diremos entonces que; TRAZA VERTICAL de un plano es la intersección del plano con el vertical de proyección; y TRAZA HORIZONTAL de un plano es la intersección del plano con el horizontal de proyección. Resulta evidente que si el plano corta a LT, sus dos trazas, siendo rectas del plano y situadas a la vez en planos distintos (los de proyección), deberán cortarse sobre la línea de tierra, que es la intersección de los planos de proyección. Por consiguiente, un plano dado por sus trazas presenta su depurado como en la (fig. 49), determinado por dos rectas ay b (que se cortan en LT) y pertenecientes al plano dado y a los planos vertical y horizontal respectivamente. (Fig. 49) 33. 	Notaciones, - Los planos del espacio se designan con las letras del alfabeto griego (α, β, γ,...) y sus trazas se indican con dos tildes la traza vertical (α’’, β’’, γ’’...) y con un tilde la traza horizontal (α’, β’, γ’,...). De esta manera, cuando en un depurado se da un plano α por sus trazas, se lo designa plano (α’’, α’), con lo cual se indica que sus trazas α’’ y α’ están perfectamente determinadas. Además, de acuerdo con lo establecido en el (N.° 4), se dibujará con trazo lleno las partes de las trazas del plano simadas en el primer diedro puesto que son rectas vistas, y con trazo punteado las partes de las trazas del plano situadas en los demás diedros, puesto que son rectas ocultas. 34. 	Problema fundamental. — Dado un plano por elementos suficientes, hallar sus trazas. En el (N.° 32) hemos definido como trazas de un plano, las intersecciones del plano con los planos de proyección. En consecuencia, todas las rectas de un plano cortarán a los planos de proyección en puntos de las trazas correspondientes del plano. Por lo tanto podemos decir que: las trazas de un plano son el lugar geométrico de las trazas del mismo nombre de todas las rectas que contiene, y, recíprocamente, todas las rectas de un plano tienen sus trazas sobre las trazas del mismo nombre del plano que las contiene. Veamos algunas aplicaciones:
40 I. — Hallar las trazas de un plano dado por dos rectas que se cortan. Sean las rectas a y b de la (fig. 50) que se cortan en el punto O, determinando un plano α. De acuerdo con lo recientemente expuesto, hallamos las trazas Va,Ha, y Vb,Hb de las rectas dadas. Las trazas del plano serán las rectas α’’ y α’ que unen las trazas del mismo nombre de las rectas a y b. (Además, como comprobación, las trazas del plano deberán cortarse en un mismo punto de LT). (Fig. 50) II. — Hallar las trazas de un plano dado por dos rectas paralelas. Este problema se diferencia del anterior en que el punto O es impropio, pero para resolverlo se efectúan las mismas construcciones que en el caso anterior. III. — Hallar las trazas de un plano dado por una recta y un punto. Sean a y P de la (fig. 51) la recta y el punto que determinan un plano α. Para resolver este problema, lo reducimos al caso I, para lo cual trazamos una recta auxiliar (r’’, r’) que pase por P y corte en un punto O a la recta dada. Procediendo como ya hemos visto hallamos las trazas α’’ y α’ del plano dado. Podríamos también haber trazado por P una paralela a la recta a y estaríamos en el caso II. (Fig. 51) 1 V. Hallar las trazas de un plano dado por tres puntos no situados en línea recta. Si se tienen tres puntos A, B y P no situados en línea recta, ellos determinan un plano. Para hallar sus trazas, se unen dos de los puntos, A y B por ejemplo. De esta manera, la recta AB y el punto restante P se presentan como en el caso III; de modo que la solución de este problema se reduce a la de ese caso. 35. Diferentes posiciones que puede ocupar un plano con respecto a los planos de proyección. Un plano, considerado con relación a los planos de proyección, puede ocupar diversas posiciones características, que expondremos a continuación.
41 I. Plano cualquiera. — Un plano cualquiera presenta su depurado como en la (fig. 49), determinado por sus trazas. Además, considerando la posición del plano en el espacio y la de los planos de proyección, observamos en la (fig. 52) que todos los elementos del plano que están en el primer diedro quedan comprendidos entre α’’ y α’. Todos los elementos del (Fig. 52) plano que están en el 2.° diedro quedan comprendidos entre α’’ y la prolongación de α’. Todos los elementos del plano que están en el tercer diedro quedan compren- didos entre las prolongaciones de α’’ y α’. Y finalmente, todos los elementos del plano que están en el cuarto diedro quedan comprendidos entre α’ y la prolon- gación de α’’. II. Plano horizontal. — Se denomina plano horizontal, a todo plano paralelo al horizontal de proyección. Un plano horizontal ω por ser paralelo al plano horizontal de proyección, cortará al plano vertical según una recta ω’’ paralela a LT que será su traza vertical. En cuanto a la traza horizontal ω’ del plano, será una recta impropia, intersección de dos planos paralelos: el dado y el horizontal de proyección. Dicha traza no tendrá representación en el depurado. Es decir que un plano horizontal ω presentará su depurado como en la (fig. 53), con la traza vertical ω’’ paralela a LT y sin traza horizontal. (Fig. 53)
4 2 Dicho plano está simado por encima del horizontal de proyección; y cuando se halle, como el plano φ, por debajo del horizontal de proyección tendrá la traza vertical φ’’ por debajo de LT. Recíprocamente, si un plano ω o φ presenta su depurado como en la (fig. 53) con la traza vertical paralela a LT y sin traza horizontal, el plano es paralelo al horizontal de proyección. Esto es evidente, puesto que si el plano dado no tiene traza horizontal quiere decir que no corta al horizontal de proyección, por consiguiente ambos planos son paralelos. III. Plano frontal. — Se denomina plano frontal, a todo plano paralelo al vertical de proyección. Un plano frontal γ por ser paralelo al vertical de proyección, cortará al plano horizontal según una recta γ’ paralela a LT que será su traza horizontal. En cuanto a la traza vertical γ’’ del plano, será una recta impropia, intersección de dos planos paralelos: el dado y el vertical de proyección. Dicha traza no tendrá representación en el depurado. Es decir que un plano frontal γ presentará su depurado como en la (fig. 54), con la traza horizontal γ’ paralela a LT y sin traza vertical. (Fig. 54) Dicho plano está simado delante del vertical de proyección; y cuando se halle, corno el plano δ, detrás del vertical de proyección tendrá la traza horizontal δ’ por encima de LT. Recíprocamente, si un plano γo δ presenta su depurado como en la (fig. 54) con la traza horizontal paralela a LT y sin traza vertical, el plano es paralelo al plano vertical de proyección. Lo cual se deduce de inmediato, puesto que si el plano dado no tiene traza vertical quiere decir que no corta al vertical de proyección, por consiguiente ambos planos son paralelos. IV. Plano perpendicular al plano horizontal. — Todo plano perpendicular al horizontal de proyección se denomina plano proyectante horizontal. Un plano proyectante horizontal α presentará su depurado como en la (fig. 55) con su traza vertical α’’ normal a LT y su traza horizontal α’ inclinada con respecto a LT. En efecto, α’’ es la intersección del plano dado con el vertical de proyección, siendo ambos normales al plano horizontal. Por consiguiente α’’ será recta normal al plano horizontal, y, en consecuencia, normal a LT que pasa por su pie en dicho plano.
4 3 La traza horizontal del plano, intersección del plano dado con el horizontal de proyección, será una recta α’ que pasará por el punto de corte de α’’ y LT: Recíprocamente, si un plano presenta su depurado como en la (fig. 55) con la traza vertical normal a LT y la traza horizontal cualquiera, el plano es perpendicular al horizontal de proyección. (Fig. 55) En efecto, por ser α’’ normal a LT y estar contenida en el plano vertical, resultará normal al horizontal de proyección. Por lo tanto, el plano dado α que pasa por una recta α’’ normal al horizontal de proyección, será también normal a este plano. V. Plano perpendicular al plano vertical. — Todo plano perpendicular al vertical de proyección se denomina plano proyectante vertical. Un plano proyectante vertical β presentará su depurado como en la (fig. 55), con su traza horizontal β’ normal a LT y su traza vertical β’’ inclinada con respecto a LT. En efecto, β’ es la intersección del plano dado con el horizontal de proyección, siendo ambos normales al plano vertical. Por consiguiente, β’ será una recta normal al plano vertical, y, en consecuencia, normal a LT que pasa por su pie en dicho plano. La traza vertical del plano, intersección del plano dado con el vertical de proyección, será una recta β’’ que pasará por el punto de corte β’ con LT. Recíprocamente, si un plano presenta su depurado como en la (fig. 55) con la traza horizontal normal a LT y la traza vertical cualquiera, el plano es perpendicular al vertical de proyección. En efecto, por ser β’ normal a LT y estar contenida en el plano horizontal, resultará normal al vertical de proyección. Por lo tanto el plano dado β, que pasa por una recta β’ normal al vertical de proyección, será también normal a este plano. VI. Plano de perfil. — Hemos visto anteriormente, en el (N.° 12), que se denomina plano de perfil a todo plano perpendicular a la vez a los dos planos de proyección. Un plano de perfil γ presentará su depurado como en la (fig. 55), con sus trazas normales a LT en un mismo punto. En efecto, como el plano γ es por definición normal al plano horizontal, razonando como en el caso IV deducimos que γ’’ debe ser normal a LT. Como también por definición el plano γ es normal al plano vertical, razonando como
44 en el caso V deducimos que γ’ debe ser normal a LT. Por consiguiente, γ’’ y γ’ son normales a LT y en un mismo punto de ella, puesto que se trata de las trazas de un plano. Recíprocamente, si un plano γ presenta su depurado como en la (fig. 55) con sus trazas normales a LT en un mismo punto de ella, el plano es también perpendicular a los planos de proyección. Esto es evidente, puesto que el plano dado pasa por dos rectas γ’’ y γ’ que se cortan en un punto de LT y que, como vimos en los recíprocos de los casos IV y V, son normales a los planos horizontal y vertical, respectivamente. VII. Plano paralelo a la línea de tierra. — Si consideramos un plano paralelo a LT, cortará a todo plano que pase por dicha recta, según, una paralela a LT. Como los planos de proyección pasan por LT, las intersecciones de todo plano paralelo a LT con los planos de proyección (o sea sus trazas), serán rectas paralelas a LT. En consecuencia, un plano α paralelo a LT, presenta su depurado como en la (fig. 56), con sus dos trazas α’’ y α’ paralelas a LT. Recíprocamente, si un plano presenta su depu- rado como en la (fig. 56) con sus trazas paralelas a LT, el plano es paralelo a LT. Lo cual es evidente, puesto que el plano dado al pasar por dos rectas α’’ y α’ paralelas a LT, resulta también paralelo a LT. (Fig. 56) (El plano α pasaría por los diedros II, I y IV; el α, por los diedros II, III y IV; el α2 por los diedros I, II y III, y el α3 por los diedros I, IV y III). Nota. — En el planteamiento de algunos problemas, se facilita la resolución de los mismos considerando la tercera proyección de los elementos. En ese caso, cuando se tiene un plano β paralelo a LT, se puede hallar su tercera proyección sobre un plano de perfil π. Bastará para ello en la (fig. 57), determinar β’’1, y β’1, intersecciones de las trazas del plano β con el plano de perfil, y llevando esas intersecciones a tercera proyección, se unen, obteniendo β’’’, a la que llamaremos tercera proyección del plano β. Dicha recta β’’’ no es sino la intersección del plano β con el plano de perfil auxiliar. (Fig. 57)
4 5 VIII. Plano que pasa por la línea de tierra. — Un plano que pasa por LT cortará según dicha recta a los planos de proyección. Es decir que sus trazas coincidirán con la línea de tierra. Como planos que pasan por LT hay infinitos, para determinar uno cualquiera de ellos, bastará con fijar la posición de uno de sus puntos. En consecuencia, un plano α que pase por LT presentará su depurado como en la (fig. 58) con sus trazas coincidiendo con LT y determinado por un punto (A’’, A’). Como notación, y para indicar que el punto A es el que individualiza al plano α, colocaremos a continuación del nombre de las trazas, la letra del punto entre paréntesis. (Fig. 58) Recíprocamente, si un plano presenta su depurado como en la (fig. 58), con sus trazas coincidiendo con LT, el plano pasa por LT. Lo cual es evidente, puesto que todo plano que corte a los de proyección según la línea de tierra, será un plano que pasa por LT. De los planos que pasan por LT hay dos muy particulares. Uno de ellos es el primer bisector, que es el plano β de la (fig. 58) en la cual el punto B que determina el plano es un punto del primer bisector. El otro plano particular es el segundo bisector, que en la (fig. 58) queda determinado en γ por LT y un punto C del segundo bisector. Nota. — Con el mismo objeto que hallamos la tercera proyección de un plano paralelo a LT, hallaremos ahora la tercera proyección de un plano que pasa por LT. Sean en la (fig. 59) un plano α que pasa por LT y un punto A, y un plano de perfil auxiliar. Llevando el punto A a tercera proyección, en A’’’, y uniéndolo con (LT) (que es la tercera proyección de LT) obtenemos α’’’, a la que llamaremos tercera proyección del plano α. Dicha recta α’’’ es la intersección del plano α con el plano de perfil auxiliar. Como ejercicio, y procediendo como terminamos de explicar, si se hallan las terceras proyecciones del primer bisector y del segundo bisector (planos β y γ de la fig. 58), se deberán obtener los mismos resultados del (N.° 13, 2.a). (Fig. 59) IX. Plano perpendicular al primer bisector. — Si consideramos una recta perpendicular al primer bisector, todo plano que pase por ella será también perpendicular al primer bisector.
46 Tomaremos entonces en la (fig. 60) una recta (V’’H’’, V’H’) normal al primer bisector (N.° 24, XIII), y haremos pasar un plano por dicha recta. Para ello, las trazas del plano deberán pasar por las trazas del mismo nombre de la recta (N.° 35). Por lo tanto, si construimos una traza α’’ pasando por V’’, la otra traza α’ deberá pasar por H’ y por el punto P, intersección de α’’ con LT. De este modo, el plano α pasa por la recta VH y, en consecuencia, será normal al primer bisector. Como además sabemos del (N.° 24, XIII) que V’’V’ = H’’H’, los triángulos rectángulos V’’V’P y H’H’’P son iguales, y, en consecuencia, sus ángulos en P serán también iguales. Por lo tanto podemos decir que, un plano perpendicular al primer bisector tiene sus trazas formando igual ángulo con la línea de tierra. Recíprocamente, si un plano α presenta su depurado como en la (fig. 60), con sus trazas formando igual ángulo con LT, el plano es normal al primer bisector. En efecto, todo plano como el α contiene rectas de perfil como la VH que tendrán sus trazas equidistantes de LT (puesto que los triángulos rectángulos V’’V’P y H’H’’P son iguales por tener el lado V’P común y los ángulos en P iguales). Por consiguiente, los planos como el α, al pasar por rectas normales al primer bisector, serán también normales al primer bisector. (Fig. 60) X. Plano perpendicular al segundo bisector. — Si consideramos una recta perpendicular al segundo bisector, todo plano que pase por ella será también perpendicular al segundo bisector. Tomaremos entonces en la (fig. 61) una recta (V’’H’’, V’H’) normal al segundo bisector (N.° 24, XIV), y haremos pasar un plano por dicha recta. Para ello, las trazas del plano deberán pasar por las trazas del mismo nombre de la recta. Por lo tanto, si construimos una traza β’’ pasando por V’’, la otra traza β’ deberá pasar por H’ y por el punto P, intersección de β’’con LT. Pero como H’ coincide con V’’, tendremos que β’ coincide con β’’. En consecuencia, podemos decir que un plano perpendicular al segundo bisector tiene sus trazas confundidas. (Fig. 61)
47 Recíprocamente, si un plano β presenta su depurado como en la (fig. 61) con sus trazas confundidas, el plano es normal al segundo bisector. En efecto, todo plano como el β contiene rectas de perfil como la VH, que tendrán sus trazas coincidentes, puesto que las trazas del plano están confundidas. Por lo tanto, los planos como el β, al pasar por rectas normales al segundo bisector (puesto que dichas rectas tienen sus trazas coincidentes), serán también normales al segundo bisector. RECTAS Y PUNTOS DE UN PLANO 36. Generalidades. — De acuerdo con lo que hemos expuesto sobre el punto, la recta y el plano, resolveremos algunos importantes problemas relativos a puntos y rectas contenidas en un plano. Para ello recordemos del (N.° 34) que toda recta contenida en un plano tiene sus trazas sobre las trazas del mismo nombre del plano; y para que un punto esté contenido en un plano, bastará con que se halle simado sobre una recta del plano, es decir, que sus proyecciones estén sobre las proyecciones del mismo nombre de una recta del plano. Teniendo presente esto, resolveremos los siguientes problemas: 1) Dado un plano por sus trazas y una de las proyecciones de una recta, hallar la restante proyección de la recta para que pertenezca al plano dado. Sea el α de la (fig. 62) el plano dado y α’’ la proyección vertical de una recta a. El punto en que a’’ corta a LT es H’’, proyección vertical de la traza horizontal de la recta a. La proyección H’ estará en la línea de correspondencia de H’’ y sobre α’, puesto que para que la recta a pertenezca al plano α sus trazas deberán estar sobre las trazas del mismo nombre del plano. Por esta misma razón, el punto de corte de a’’ con α es V’’, proyección vertical de la traza vertical de la recta a. La proyección V’ estará por lo tanto en LT y en la línea de correspondencia V. (Fig. 62) De esta manera, uniendo H’ con V’ obtenemos la proyección a’ que con a’’ nos determina la recta a . Si se diera un plano y la proyección horizontal a’ de una recta, razonando como anteriormente, hallaríamos los puntos H’’ y V’ que nos determinarían la restante proyección a’’.
48 II) Dado un plano por sus trazas y una de las proyecciones de un punto, hallar lα restante proyección del punto para que pertenezca al plano dado. Sea el α de la (fig. 63) el plano dado y A’ la proyección horizontal de un punto A. Para hallar A’’ de modo que el punto A pertenezca al plano α, trazamos primeramente por A’, la proyección horizontal a’ de una recta auxiliar a. Hallamos luego a’’ de modo que la recta a pertenezca al plano α (es el caso del ejercicio anterior). Finalmente ubicamos A’’ en la línea de correspondencia de A’ y sobre a’’. De este modo, el punto A, al pertenecer a una recta a del plano α, pertenece al plano. (Fig. 63) 37. Caso de los planos proyectantes. — Si un plano es proyectante horizontal, por ser perpendicular al horizontal de proyección, todos los elementos que contiene se proyectarán horizontalmente sobre la traza horizontal del plano. De igual modo, si un plano es proyectante vertical, todos sus elementos tendrán su proyección vertical sobre la traza vertical del plano. Finalmente, si un plano es de perfil, es a la vez proyectante horizontal y vertical, por lo tanto, todos sus elementos se proyectarán sobre las trazas del plano, que son coincidentes. RECTAS NOTABLES DE UN PLANO En el planteamiento de ciertos problemas relativos al plano, se facilita la resolución de los mismos considerando rectas del plano que ocupen posiciones particulares respecto a los planos de proyección. Estas rectas notables de un plano son: las horizontales, las frontales, las rectas de máxima pendiente y las rectas de máxima inclinación. 38. Horizontales de un plano. — Se denominan horizontales de un plano, a todas las rectas del plano que son paralelas al horizontal de proyección. Veremos cómo presentan su depurado. Para ello, recordemos del (N.° 24, IV) que toda recta horizontal tiene su proyección vertical paralela a LT. Por consiguiente, si tenemos un plano α (fig. 64), para hallar una horizontal del plano, comenzamos por trazar su proyección vertical h’’ paralela a LT. Hallamos luego
49 la traza vertical (V’’,V’) de la recta h, sabiendo que pertenece al plano. La restante proyección A’ de la recta pasará por V’. Además, como la recta h es paralela al plano horizontal, será también paralela a α’ que está contenida en dicho plano de proyección. Por lo tanto h’ que también es paralela a h, por ser la proyección sobre un plano de una recta paralela al plano, resultará paralela a α’. Es decir que la restante proyección h’ pasará por V’ y será paralela a la traza horizontal α’del plano dado. Podremos decir entonces que, en el depurado, las horizontales de un plano tienen su proyección vertical paralela a LT y su proyección horizontal paralela a la traza horizontal del plano. (Fig. 64) 39. Frontales de un plano. — Se denominan frontales de un plano, a las rectas del plano que son paralelas al vertical de proyección. Para hallar el depurado de estas rectas, razonamos como en el caso anterior, recordando que toda recta frontal tiene su proyección horizontal paralela a LT. Luego, si tenemos un plano α (fig. 65), para hallar una frontal del plano, comenzamos por trazar su proyección horizontal f’ paralela a LT. Hallamos luego la traza horizontal (H’’H’) de la recta f, sabiendo que pertenece al plano. La restante proyección f’’ de la recta pasará por H’’. Además, como la recta f es paralela al plano vertical, será también paralela a α’’ que está contenida en dicho plano de proyección. Por lo tanto f’’, que también es paralela a f, por ser la proyección sobre un plano de una recta paralela al plano, resultará paralela a α’’. (Fig. 65) Es decir que la restante proyección f’’ pasará por H’’ y será paralela a la traza vertical del plano dado. Podremos decir entonces que, en el depurado, las frontales de un plano tienen su proyección horizontal paralela a LT y su proyección vertical, paralela a la traza vertical del plano.
50 40. Rectas de máxima pendiente y de máxima inclinación de un plano. Se denomina ángulo de pendiente de una recta con respecto a un plano considerado horizontal, al ángulo que forma la recta con su proyección sobre dicho plano, y se da el nombre de pendiente a la tangente trigonométrica de dicho ángulo. Análogamente, se denomina ángulo de inclinación de una recta con respecto a un plano considerado vertical, al ángulo que forma la recta con su proyección sobre dicho plano, y se da el nombre de inclinación a la tangente trigonométrica de dicho ángulo. Resulta evidente que mientras los ángulos de pendiente y de inclinación de una recta pueden variar de 0° a 90°, la pendiente o inclinación respectiva varían de cero a infinito. Considerando las rectas de un plano y recordando que entre 0° y 90° a mayor ángulo corresponde mayor tangente, llamaremos recta de máxima pendiente de un plano, a toda recta que forme con su proyección horizontal un ángulo mayor que el formado por cualquier otra recta del plano con su respectiva proyección horizontal. Del mismo modo, llamaremos recta de máxima inclinación de un plano, a toda recta que forme con su proyección vertical un ángulo mayor que el formado por cualquier otra recta del plano con su respectiva proyección vertical. Con respecto a las rectas de máxima pendiente y por sus inmediatas aplicaciones, demostraremos el siguiente 41. Teorema. — Toda recta de un plano cuya proyección horizontal sea perpendicular a la traza horizontal del plano que la contiene, es recta de máxima pendiente del plano. Sea el α de la (fig. 66) un plano cualquiera y el H un plano horizontal. (Fig. 66) Consideremos una recta AB del plano α que sea perpendicular a la traza horizontal α’ del plano. La proyección horizontal de la recta AB la obtenemos uniendo el punto B (que coincide con su proyección horizontal) con el punto A’, proyección horizontal del punto A. Como tomamos AB normal a α’ y siendo por construcción AA’ normal al plano H, por el teorema recíproco de las tres perpen- diculares resulta que AB es normal a α’. Por consiguiente tenemos una recta AB del plano α cuya proyección horizontal AB es normal a la traza horizontal α’ del plano.
5 1 Demostraremos ahora que AB es recta de máxima pendiente del plano α. Para ello, habrá que demostrar que el ángulo 1 que forma AB con su proyección horizontal AB, es mayor que el ángulo 2 que forma cualquier otra recta del plano α con su respectiva proyección horizontal. Tracemos entonces en el plano α y pasando por A una recta cualquiera AC. La proyección horizontal de dicha recta será A’C, que se obtiene uniendo C (que coincide con su proyecci

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