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Timestamp: 2019-04-23 20:32:39+00:00

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Enciclopedia de Economía y Negocios Vol. 02 B
Programacion Lineal INVOPE
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I. Introducción a la Investigación de Operaciones
II. Modelos de Programación Matemática
Programación No- lineal
III. Modelos Probabilísticos
I. Introducción a la Investigación de
El principal objetivo de esta área de conocimientos
consiste en formular y resolver diversos problemas
orientados a la toma de decisiones.
La naturaleza de los problemas abordados puede
ser determinística, como en los Modelos de
Programación Matemática, donde la teoría de
probabilidades no es necesaria, o bien de
problemas donde la presencia de incertidumbre
tiene un rol preponderante, como en los Modelos
Hoy en día, la toma de decisiones abarca una gran
cantidad de problemas reales cada más complejos
y especializados, que necesariamente requieren
del uso de metodologías para la formulación
matemática de estos problemas y, conjuntamente,
de métodos y herramientas de resolución, como los
que provee la Investigación de Operaciones.
I.2 Elementos de un modelo de optimización.
Supongamos que se dispone de determinadas
piezas para la elaboración de dos productos finales.
Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas
grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas
(usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y
mesas (usando 2 piezas de cada tipo).
Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de
modo de obtener la máxima utilidad, dado un
beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20
por cada mesa fabricada.
Posibles soluciones factibles a considerar, esto es
soluciones que respetan las restricciones del
número de piezas disponibles, son por ejemplo,
Un modelo matemático para hallar la mejor
solución factible a este problema tiene tres
i) Las variables de decisión, que consiste en
definir cuáles son las decisiones que se debe
tomar. En el ejemplo,
ii) La función objetivo del problema, que permita
tener un criterio para decidir entre todas las
soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la
utilidad dada por:
y  0 de no – . Introducción a la Investigación de Operaciones iii) Restricciones del problema. respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas: Piezas pequeñas: Piezas grandes : También se negatividad: 2x + 2y  8 x + 2y  6 impone restricciones x. que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles.Gestión de Investigación de Operaciones I. En el ejemplo.
Por otra parte.y  0 El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal.Gestión de Investigación de Operaciones I. tendríamos un modelo de Programación Entera.b >1. Introducción a la Investigación de Operaciones En resumen: Max sa: 15x + 20y 2x + 2y  8 x + 2y  6 x. deberíamos emplear una función objetivo no lineal como f(x. y tendríamos un modelo de Programación No Lineal.y) = cxa + dyb con a. . Si además restringimos los valores de x e y a números enteros. si hubiese retornos crecientes a escala.
y Broadie M. Hillier and G.C.Gestión de Investigación de Operaciones I. Model Operations Research: A practical Introduction. 2. 1997.S. Introduction to Management Science.. 1999. 4. M. México. CRC Press. Lieberman.W. Hillier. 1998. Taha.J.C. M. Investigación de Operaciones. Winston.A. F. W. una introducción. Carter and C. International Thomson Publishing Company. Sexta Edición. Irwin McGraw-Hill. Introducción a la Investigación de Operaciones. Practical Management Science: Spreadsheet Modeling and Applications. 1997. 3.J. Prentice Hall. Introducción a la Investigación de Operaciones BIBLIOGRÁFIA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1. . Lieberman.L. Albright S. McGraw Hill. 2000. F.Price. Sexta Edición. Hillier y G.. 5. H.
Modelos Probabilísticos Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov Sistemas de Espera .lineal III. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Programación Entera Programación No. Introducción a la Investigación de Operaciones II.Gestión de Investigación de Operaciones Contenidos I.
3.5. II.4. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Temario: II. II. II.6.Gestión de Investigación de Operaciones II. Análisis de Sensibilidad.2. El Método Simplex. II. Resolución gráfica de problemas. Introducción y ejemplos de modelamiento. II. Dualidad en Programación Lineal.1.
Gestión de Investigación de Operaciones II. dada la oferta y demanda en dichos puntos. etc.. etc.) de modo de minimizar los costos de transporte. . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. ciudades.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución. El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas. ciudades. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte. i) Problema de Transporte.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. los requerimientos de demanda y la oferta disponible.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Dist.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. respectivamente.3 Planta 1 21 25 15 Planta 2 28 13 19 . Por ejemplo.Dist. suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 450 unidades diarias.Dist. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200. respectivamente. 200 y 250 unidades. Los costos de transporte (en $/unidad) son: C. 1 C.2 C.
1 Introducción y ejemplos de modelamiento.D.D. Diagrama: C. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.1 X11 Planta 1 X12 X21 X22 C.D.3 Orígenes Destinos .Gestión de Investigación de Operaciones II.2 Planta 2 X13 X23 C.
2).3) Función Objetivo: Minimizar el costo total de transporte dado por la función: 21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23 .1 Introducción y ejemplos de modelamiento.Gestión de Investigación de Operaciones II.2. hasta el centro de distribución j (j=1. Variables de decisión: xij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
Restricciones del problema: 1) No Negatividad: xij  0 2) Demanda: CD1 : x11 +x21 CD2 : x12 +x22 CD3 : x13 + x23 = 200 = 200 = 250 .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
1 Introducción y ejemplos de modelamiento.L. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. 3) Oferta : P1 : x11 + x12 + x13 P2 :  250 x21 + x22 + x23  450 Las variables de decisión deben aceptar soluciones como números reales para tener un modelo de P.Gestión de Investigación de Operaciones II. .
8 13 Tianina 1.12 1.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales.Gestión de Investigación de Operaciones II.19 15 Vitamina C 32 0 93 45 Costo 2 0. Supongamos que se tiene la siguiente información: Leche Legumbre Naranjas Requerimientos (galon) (1 porción) (unidad) Nutricionales Niacina 3. a partir de un conjunto dado de alimentos.2 0. ii) Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta de manera eficiente.25 .2 4.3 0.9 0.
x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.25 x3 .Gestión de Investigación de Operaciones II. Función Objetivo: Minimizar el costo total de la dieta.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.2 x2 + 0. dado por: 2 x1 + 0. Variables de decisión: x1 : galones de leche utilizados en la dieta. x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.
19 x3  15 32 x1+ + 9 x3  45 x1  0 .1 Introducción y ejemplos de modelamiento.Gestión de Investigación de Operaciones II.8 x3  13 1. Restricciones del problema: Requerimientos considerados: mínimos de los 3.12 x1+ 1. x 3  0 nutrientes . x 2  0 . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.3 x2 + 0.9 x2 + 0.2 x1 + 4.
de modo de minimizar costos de producción e inventario. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este consiste en hallar una política óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo.Gestión de Investigación de Operaciones II. Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información: . considerando la disponibilidad de diversos recursos escasos.
2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir.5 4 195 9 3 Supuestos adicionales: 1) Existe un inventario inicial de 15 unidades. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. se debe satisfacer toda la demanda del periodo).Gestión de Investigación de Operaciones II. Costo de Inventario (unidades) (US$/unidad) (US$/unidad) 1 130 6 2 2 80 4 1 3 125 8 2. . Periodos Demandas Costo Prod.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.
6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2. It : número de unidades de inventario al final del periodo t.Gestión de Investigación de Operaciones II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión: xt : número de unidades elaboradas en el periodo t. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Función objetivo: Consiste en minimizar los costos de producción y el costo de mantenimiento de inventario.5I3 + 3I4 .
Restricciones del problema: 1) Restricciones de cotas.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II. pero de todos modos la consideramos. Notar que en el óptimo I4 va a ser 0. que reflejan la capacidad de producción. así que incluso podríamos no incluirla. xt 150 .
Gestión de Investigación de Operaciones II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. 2) Restricciones de no negatividad xt  0 3) Restricciones de demanda x1 + I0 – I1 = 130 Periodo 1 x2 + I1 – I2 = 80 Periodo 2 x3 + I2 – I3 = 125 Periodo 3 x4 + I3 – I4 = 195 Periodo 4 I0=15 . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. iv) Problema de planificación financiera: Supongamos que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos. tasas de crédito: • Primer crédito corriente :12% • Segundo crédito corriente :16% • Crédito para el hogar :16% • Crédito personal :10% . los cuales tienen las siguientes.
el 55% del monto asignado a los créditos corrientes. debe satisfacer la siguiente política utilizada por la institución: El monto asignado a los PCC. y al menos un 25% del total del dinero prestado.Gestión de Investigación de Operaciones II. por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado. no puede exceder el 30% del total del dinero prestado. La asignación de estos créditos. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. El SCC. . debe ser al menos.
de la manera más eficiente. . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. x2 : Monto asignado SCC. respetando la política del banco? Variables de decisión: x1 :Monto asignado al PCC. x4 : Monto asignado al crédito personal.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. x3 : Monto asignado al crédito para el hogar.Gestión de Investigación de Operaciones II. ¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito.
dados por: 0.12 x1 + 0.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Función Objetivo: Se propone maximizar los retornos recibidos en la asignación.10 x4 .16 x3 + 0.16 x2 + 0.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
14 ( x1+ x2 +x3 +x4 ) Adicionalmente: x1 + x2 +x3 + x4  250 .1 Introducción y ejemplos de modelamiento.16x2+0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 ) x2  0. Restricciones del problema: x1  0.Gestión de Investigación de Operaciones II.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 ) (0.55 ( x1 + x2 ) x1  0.16x3+0. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.10x4 )  0.12x1+0.
v) Problema de mezcla de productos: en este problema una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1. Dos características importantes de cada gasolina son su número de performance (NP) y su presión de vapor (RVP). gas 3 y gas 4).1 Introducción y ejemplos de modelamiento. gas 2. que están dados por: NP RVP Barriles diarios gas 1 107 5 3814 gas 2 93 8 2666 gas 3 87 4 4016 gas 4 108 21 1300 .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.91 Al menos 91 A lo más 6 .45 Avgas B 25. Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de $2483 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de aviación (avgas A y avgas B).Gestión de Investigación de Operaciones II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. La calidad de estas dos últimas junto con sus precios de venta son: NP RV Precio por barril (US$) avgas A Al menos 100 A lo más 7 26.
El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Se desea obtener un plan de venta de las distintas gasolinas que maximice los retornos. .
xjB: cantidad de gas j usado en avgas B. 3. xB : cantidad de barriles de avgas B. con j = 1. 4.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. 2. xA : cantidad de barriles de avgas A.Gestión de Investigación de Operaciones II. Variables de decisión: xj : cantidad de barriles del gas j que son vendidos sin mezclar. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. . xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.
Gestión de Investigación de Operaciones II.45xA + 25. Función objetivo: Max 24. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.91xB Restricciones: x1 + x1A + x1B = 3814 x2 + x2A + x2B = 2666 x3 + x3A + x3B = 4016 x4 + x4A + x4B = 1300 x1A + x2A + x3A + x4A = xA x1B + x2B + x3B + x4B = xB .
avgas A: 107 x 1B  93x 2B  87x 3B  108 x 4B  91 xB 5 x 1A  8x 2 A  4 x 3 A  21x 4 A 7 xA RVP. avgas B: 5 x 1B  8x 2B  4 x 3B  21x 4B 7 xB . avgas A: 107 x 1A  93x 2 A  87 x 3 A  108 x 4 A  100 xA NP.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.Gestión de Investigación de Operaciones II. NP. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. avgas B: RVP.
. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. 2. T.. La demanda (estimada) para el año t corresponde a dt MW para t = 1. 2. T.. vi) Problema de expansión de la capacidad de un Sistema de Potencia Eléctrica: En este problema se desea planificar la expansión de la capacidad de un sistema eléctrico para los siguientes T años. La capacidad existente del sistema corresponde a ct MW para el año t = 1... ... .
Gestión de Investigación de Operaciones II. . • Usar plantas térmicas a gas.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. y el correspondiente costo para una planta a gas es gt. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Existen 2 alternativas para la expansión de la capacidad del sistema: • Usar plantas térmicas a petróleo. Se requiere una inversión pt por MW instalado de una planta a petróleo que esté operativa al comienzo del año t.
Cada planta a petróleo tiene una vida de 20 años y una planta a gas una vida de 15 años. Por razones políticas y de seguridad. se ha decidido que no más del 30% de la capacidad instalada.Gestión de Investigación de Operaciones II. . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. Se desea proponer un plan de expansión al mínimo costo posible. corresponda a plantas a gas (nuevas).
zt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a petróleo al inicio del año t.. 2. Variables de decisión: xt : cantidad de MW expandidos en planta a petróleo al inicio del año t. T. 2. T.1 Introducción y ejemplos de modelamiento.. con t = 1.. yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas al inicio del año t.Gestión de Investigación de Operaciones II. ... con t = 1. . wt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a gas al inicio del año t.. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. .
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Función Objetivo: Min T   p t x t  gt y t  t 1 Restricciones: c t  z t  w t  dt t z t   xk k 1 zt  t  xk k  t  19 t  20 t  20 .1 Introducción y ejemplos de modelamiento.Gestión de Investigación de Operaciones II.
.. w t  0 t  1.1 Introducción y ejemplos de modelamiento. yt . z t . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.T .Gestión de Investigación de Operaciones II. t w t   yk k 1 wt  t  yk k  t  14 t  15 t  15 wt  0.30 ct  zt  w t x t .
Análisis de Sensibilidad. Introducción y ejemplos de modelamiento. II.4. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal .Gestión de Investigación de Operaciones II. Resolución gráfica de problemas. II.3. II.6.1.2. II. Dualidad en Programación Lineal.5. II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Temario: II. El Método Simplex.
Consideremos el siguiente problema a resolver gráficamente: Max z = 3x1 + 5x2 sa: x1 4 2x2 12 3x1 + 2x2  18 x1.2. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.x2 0 . Resolución gráfica de problemas.Gestión de Investigación de Operaciones II.
2. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Región de puntos factibles x2 Curvas de Nivel 9 x* 6 Solución Optima x* 4 2 4 6 x1 . Resolución gráfica de problemas.Gestión de Investigación de Operaciones II.
. obtenida por medio de la intersección de todos los semi .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. En primer lugar.espacios que determinan cada una de las inecuaciones presentes en las restricciones del problema. se debe obtener la región de puntos factibles en el plano. Resolución gráfica de problemas.2.
con el desplazamiento de las curvas de nivel de la función objetivo en la dirección de crecimiento de la función (que corresponde a la dirección del vector gradiente de la función.5)T). Enseguida. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II. z(x1. Resolución gráfica de problemas. Esto es: x1* = 2 x 2* = 6 z* = 3 x1* + 5 x2* = 36 .x2) = (3. se obtiene la solución óptima del problema en la intersección de las rectas: 2x2 = 12 y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas).2.
porque no existen puntos factibles. reemplace cada desigualdad  por una . Resolución gráfica de problemas.2. Notar que se pueden dar otras situaciones en la búsqueda de una solución óptima para esta clase de problemas: 1) La solución óptima exista pero haya más de una.Gestión de Investigación de Operaciones II. suponga que agregamos la restricción: x1  5. dada una región de puntos factibles no . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. . 3) El problema no tenga solución. En el ejemplo.acotada. En el ejemplo. considere la nueva función objetivo: z = 6x1+4x2. 2) El problema no tenga solución. En el ejemplo.
II. II. Dualidad en Programación Lineal. Resolución gráfica de problemas. II.3. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Temario: II.5.6.4.Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos de modelamiento. Análisis de Sensibilidad.2. II. El Método Simplex. II.1. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal .
Gestión de Investigación de Operaciones II. Análisis de sensibilidad.3. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. y  0 4 3 4 6 . Max sa : 15 x  20 y 2x  2 y  8 x  2y  8 x.
x2*= 2 Valor óptimo : z = z(2.2) = 70 El análisis de sensibilidad permite responder. entre otras. A partir de la resolución gráfica del problema se tiene: Solución óptima : x1*= 2 .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. las siguientes preguntas: .3. Análisis de sensibilidad.
seguirá siendo: x1*= 2 . 1) ¿Cuál es el intervalo de variación de algún coeficiente de la función objetivo.3. x2*= 2 ssi:  c1 1  1  c2 2 . Análisis de sensibilidad. de modo que la actual solución siga siendo la óptima? Sea z = c1x1+c2x2 La solución óptima de la nueva función. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II.
También podemos estudiar el intervalo de un sólo coeficiente.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. dejando el resto de los parámetros fijos: Para C1: Para C2:  c1 1  1  20 2  10  c1  20  15 1  c2 2  15  c 2  30  1 . Análisis de sensibilidad.3.
3. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. esto es. . de modo preservar la geometría del problema. 2) ¿ Cuál es la variación del actual valor óptimo de la función objetivo. si cambamos en una unidad algún coeficiente del lado derecho de las restricciones ? Estudiaremos por separado las variaciones de cada uno de los coeficientes del lado derecho de las restricciones. que se conserven las mismas restricciones activas de la solución óptima inicial.Gestión de Investigación de Operaciones II. Análisis de sensibilidad.
4) = 15 x 0 + 20 x 4 = 80 y b1* = 0 + 2 x 4 = 8 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x1 = 4 .3.0) = 15 x 4 + 20 x 0 = 60 y b1 = 4 + 2 x 0 = 4 . La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x1 = 0 y x2 = 4. de donde se obtiene: z(4. Análisis de sensibilidad. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. x2 = 0. Primera restricción. de donde se obtiene: z(0.Gestión de Investigación de Operaciones II.
Análisis de sensibilidad.0) 80  60 1   5 * b1  b1 84 .Gestión de Investigación de Operaciones II. que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: z(0.3.4)  z(4. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. De aquí. se calcula el precio sombra  1.
4) = 15 x 6 + 20 x 0 = 90 y b1*= 2 x 6 + 2x0 = 12 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x1= 0 . Análisis de sensibilidad. x2= 3. Segunda restricción.3.Gestión de Investigación de Operaciones II.0) = 15 x 0 + 20 x 3 = 60 y b1= 2 x 0 + 2 x 3 = 6 . de donde se obtiene: z(0. La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x1 = 6 y x2 = 0. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. de donde se obtiene: z(4.
que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: z(6.3. Análisis de sensibilidad.Gestión de Investigación de Operaciones II.0)  z(0. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. De aquí.3) 90  60 2   5 * b2  b2 12  6 . se calcula el precio sombra P2.
Dualidad en Programación Lineal.6. Análisis de Sensibilidad. II.1. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Temario: II.Gestión de Investigación de Operaciones II. El Método Simplex. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal . II. II.4. II.2. Introducción y ejemplos de modelamiento. Resolución gráfica de problemas.3.5. II.
n y mn . . El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. ......... + a2nxn = b2 . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . + cnxn a11x1 + a12x2 + .. am1x1 + am2x2 + . Min sa c1x1 + c2x2 + ..... + amnxn = bm xi  0..Gestión de Investigación de Operaciones II...4. i = 1.. En lo que sigue consideremos el siguiente problema de programación lineal en su forma estándar. 2. .
si tuviésemos el siguiente problema: . El Método Simplex.4. Matricialmente escrito como: Min sa cTx Ax = b x0 No existe pérdida de la generalidad al suponer que un problema viene dado en la forma estándar. En efecto.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
v  0 z  IR Es posible reformular de manera equivalente el problema anterior usando que: . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. P) Max sa 9u + 2v + 5z 4u + 3v + 6z  50 u + 2v + 3z  8 2u – 4v + z = 5 u. El Método Simplex.4.Gestión de Investigación de Operaciones II.
 x factible . El Método Simplex.f(x) . Si f(x) es la función objetivo a maximizar y x* es la solución óptima: f(x*)  f(x) .f(x*)  .Gestión de Investigación de Operaciones II.f(x) .4. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. 1) Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de minimización.  x factible x* es también mínimo de .
.Gestión de Investigación de Operaciones II.4. 4) Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de dos variables no negativas. 2) Cada restricción del tipo  puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de holgura no negativa. 3) De igual modo. con un coeficiente nulo en la función objetivo. El Método Simplex. cada restricción del tipo  puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una variable de exceso no negativa. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
x4 = 5 xi  0. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. En resumen el problema P) puede ser escrito de manera equivalente como: Min sa: . El Método Simplex.4.4.3x3 + 3x4 .5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6 4x1 + 3x2 + 6x3 .x6 = 8 2x1 . i=1.5.Gestión de Investigación de Operaciones II.2. .6x4 + x5 =50 x1 + 2x2 .6.9x1 .2x2 .3.4x2 + x3 .
Gestión de Investigación de Operaciones II. corresponde a una solución básica factible del sistema Ax = b. llamado región de puntos factibles. Con u = x1 v = x2 z = x3 . El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. .4.x4 s1 = x5 (HOLGURA) s2 = x6 (EXCESO) La búsqueda de la solución óptima se restringe a encontrar un vértice óptimo y cada vértice del conjunto de las restricciones del problema.
corresponde a su vez a aquellas soluciones que resultan de resolver el sistema para exactamente m variables. . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Esta solución básica factible.4.Gestión de Investigación de Operaciones II. que además deben satisfacer condiciones de no-negatividad. fijando las restantes n-m en cero. El Método Simplex. llamadas respectivamente variables básicas y no-básicas.
.Gestión de Investigación de Operaciones II.4. El Método Simplex. Dada una matriz B de m x m invertible. tiene una solución básica factible óptima. esta induce una partición de las variables y parámetros del modelo como lo muestra la siguiente diapositiva. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Teorema Fundamental de la Programación Lineal: Si un problema tiene solución óptima.
m m nm . n-m B : es llamada una matriz de base cB :costos básicos. El Método Simplex. cD :costos no básicos.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.   cD  xB :variables básicas. n B   xB      x D A=  x1   x  2 m   xn         m     cB   c nm  xD    xD :variables no básicas.4.
El Método Simplex. 1  D xB xD vector de costos reducidos. Criterio de Optimalidad: c T x  cBT x B  cDD x D   cBT B  1b  B  cBT B 1  1  D x B  cDT x D b  cDT  cDT B valor actual de la función obj.Gestión de Investigación de Operaciones II. . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.4.
La actual solución básica factible es óptima ssi rj  j. El Método Simplex. La ecuación que define cada uno de los costos reducidos es: rj  c j  cBT B 1A j Donde j es el índice de variable no-básica y Aj la respectiva columna en A de esa variable.4. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. que entra a la nueva base. .Gestión de Investigación de Operaciones II. existe una variable no básica xp con costo reducido negativo.
Gestión de Investigación de Operaciones II. El Método Simplex. Para decidir quién deja la base. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. con:  y1 0   x  20  y1 p   y  2p B  1b    B  1A j         y se debe calcular:   xm 0     ym p   yi 0  yk 0  Min  / yip  0  x k deja la base ykp  yip  . es necesario calcular el mayor valor que puede tomar la variable entrante que garantiza la factibilidad de la nueva solución básica.4.
Resolver el siguiente problema de P.Gestión de Investigación de Operaciones II.4.y  0 .L. El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Max sa: 40x + 60y 2x + y  70 x + y  40 x + 3y  90 x. Ejemplo.
4. 4.Gestión de Investigación de Operaciones II. Min sa: -40x4 – 60x5 x1 + 2x4 + x5 = 70 x2 + x4 + x5 = 40 x3 + x4 + 3x5 = 90 xi  0. y llevar a forma estándar (x4 = x y x5 = y). x3 var. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. x2 . 5 . 2. 3.básicas). Se deben agregar 3 variables de holgura ( x1 . El Método Simplex. i = 1.
El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II.4. Tabla inicial: x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 2 1 70 0 1 0 1 1 40 0 0 1 1 3 90 0 0 0 -40 -60 0 .
Gestión de Investigación de Operaciones II. por lo tanto sale x3. x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 2 1 70 0 1 0 1 1 40 0 0 1 1 3 90 0 0 0 -40 -60 0 Se calcula Min { 70/1. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.4. 40/1. . 90/3 } = 30. Usamos como variable entrante a la base x5 (pues r5<0). El Método Simplex.
. 10/(2/3). Actualizando.Gestión de Investigación de Operaciones II. queda la siguiente tabla (no óptima).4. El Método Simplex. x1 x2 x3 x4 x5 1 0 -1/3 5/3 0 40 0 1 -1/3 2/3 0 10 0 0 1/3 1/3 1 30 0 0 20 0 1800 -20 Se calcula Min { 40/(5/3). donde la variable entrante a la base es x4 (pues r4<0). 30/(1/3) } = 15. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. por lo tanto x2 deja la base actual.
. queda la siguiente tabla final: x1 x2 x3 x4 x5 1 -5/2 0 ½ 0 0 15 -1/3 -1/2 1 0 15 0 1/3 ½ 0 1 25 0 20 10 0 0 2100 Como todos los costos reducidos son mayores o iguales que cero nos encontramos en la solución óptima.Gestión de Investigación de Operaciones II. El Método Simplex.4. Actualizando. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
4. con valor óptimo 2. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. El Método Simplex. y *=25. tenemos como solución óptima x*=15.Gestión de Investigación de Operaciones II.2100 En la formulación inicial. .  x1   15  x B   x 4    15       x 5   25   x2   0 xD        0  x3  z* = .60 x 25 = .40 x 15 .100.
parar. Paso 2 : Escoger una variable no . .4. El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. si todos los costos reducidos son mayores que cero . Resumen del Método Simplex: Paso 0 : Escribir el problema de programación lineal en su forma estándar. Sin embargo. Paso 1 : Escoger una solución básica factible inicial.básica con costo reducido negativo que determina la variable entrante y seguir al paso tres.Gestión de Investigación de Operaciones II. ya que la actual solución es la óptima.
los costos reducidos y el valor de la función objetivo. Si todos los cuocientes son negativos: problema no . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Paso 4 :Actualizar la tabla de modo de despejar el valor de las nuevas variables básicas. Paso 3 : Calcular el criterio de factibilidad que determina que variable deja la base.4. Volver al Paso 2. .acotado. parar.Gestión de Investigación de Operaciones II. El Método Simplex.
en las variables originales del modelo. Para conseguir esto existen varios procedimientos como son: • • Método Simplex de dos fases. El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.4.Gestión de Investigación de Operaciones II. Método de la M – grande. . No siempre es fácil obtener una solución básica factible inicial.
Método Simplex de dos Fases. no existe solución factible.4. . Si el valor óptimo es cero ir a la Fase 2. de modo de obtener una solución básica factible. Fase 1: Se considera un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema.Gestión de Investigación de Operaciones II. Resolver por Simplex un nuevo problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. En caso contrario. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. El Método Simplex.
x2  0 .4.Gestión de Investigación de Operaciones II. Fase 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible hallada en la Fase1. El Método Simplex. Ejemplo: Max sa: 2x1 + x2 10x1 + 10x2  9 10x1 + 5x2  1 x1. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Método Simplex de dos Fases.
Min -2x1 .4. Se debe agregar una variable de holgura (x3) y una variable de exceso (x4). x3. x4  0 .x2 sa: 10x1 + 10x2 +x3 =9 10x1 + 5x2 . y llevarlo a su forma estándar. Método Simplex de dos Fases.Gestión de Investigación de Operaciones II. El Método Simplex.x4 = 1 x1. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.x2.
4. Aplicamos Simplex de dos Fases : Fase 1: Min sa: x5 10x1 + 10x2 +x3 =9 10x1 + 5x2 . El Método Simplex. x3.x2. x5 0 .x 4 + x5 = 1 x1. x4. Método Simplex de dos Fases. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II.
El Método Simplex.4. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II. Método Simplex de dos Fases. Quedando la siguiente tabla: donde: x1 x2 x3 x4 x5 10 10 1 0 0 9 10 5 0 -1 1 1 0 0 0 0 1 0  x3   9 xB        1  x5   x1   xD   x 2        x 4   0 0 0  .
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. x1 x2 x3 x4 x5 10 10 1 0 0 9 10 5 0 -1 1 1 -10 -5 0 1 0 -1 .4. El Método Simplex.Gestión de Investigación de Operaciones II. Método Simplex de dos Fases. Luego se hace cero el costo reducido de la variable x5 de la tabla anterior. y queda la siguiente tabla inicial.
1/10}= 1/10. .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. La variable entrante a la base es x1 ( pues r1 < 0). El Método Simplex. x1 x2 x3 x4 x5 10 10 1 0 0 9 10 5 0 -1 1 1 -10 -5 0 1 0 -1 Calculamos Min { 9/10.4. por lo tanto sale x5. Método Simplex de dos Fases.
Gestión de Investigación de Operaciones II. El Método Simplex. Obteniéndose la siguiente tabla final: x1 x2 x3 x4 x5 0 5 1 1 -1 1 ½ 0 0 0 0  x1   1 / 10 xB       x 8    3 8 -1/10 1/10 1/10 0 1 0  x2   xD   x 4        x 5   0 0 0  .4. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Método Simplex de dos Fases.
al anterior. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Fase 2: x1 x2 x3 x4 0 5 1 1 1 ½ 0 -2 -1 0 8 -1/10 1/10 0 0 . El Método Simplex.Gestión de Investigación de Operaciones II. Donde. Método Simplex de dos Fases. De aquí entonces tomamos x1 y x3 como variables básicas. con valor óptimo 0. corresponde a la solución óptima del problema en la Fase 1.4.
Método Simplex de dos Fases.Gestión de Investigación de Operaciones II.4. (-1/10)/(1/10) } = 8. . se tiene que sale x3. Y calculando Min { 8/1. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. El Método Simplex. En la tabla hacemos 0 los costos reducidos de variables básicas x1 x2 x3 x4 0 5 1 1 8 1 ½ 0 -1/10 1/10 0 0 0 -1/5 1/5 Luego la variable entrante a la base es x4 (pues r4<0).
Método Simplex de dos Fases. El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II. Quedando: x1 x2 x3 x4 0 5 1 1 8 1 1 0 1/10 9/10 0 1 1/5 0 9/5 donde la solución óptima del problema resulta ser:  x1   9 / 10  xB      8  x    4  x2   0 xD        0  x3  .4.
Gestión de Investigación de Operaciones II.4. El Método Simplex. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Esta situación se detecta cuando existen costos reducidos iguales a cero en una o más de las variables básicas óptimas. Método Simplex de dos Fases. Algunos casos especiales 1) Problema Infactible. 2) Múltiples soluciones óptimas. . Esta situación se detecta cuando el valor óptimo del problema de la Fase 1 da mayor que cero.
Gestión de Investigación de Operaciones II. 3) Problema no acotado. todos los elementos ykj de la columna j en la tabla. Método Simplex de dos Fases. . Esta situación se detecta cuando al realizar el cálculo de la variable que deja la base. son negativos para j el índice de una variable no básica con costo reducido negativo. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. El Método Simplex.4.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal .3. Análisis de Sensibilidad.4. II. II. II. Introducción y ejemplos de modelamiento.5. II. Resolución gráfica de problemas. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Temario: II.6.1. Dualidad en Programación Lineal.2. El Método Simplex. II.
5. P) Max 40x1 + 60x2 sa: 2x1+2x2  70 x1 + x2  40 x1 + 3x2  90 x1. Dualidad en Programación Lineal. x2  0 . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Consideremos un ejemplo de producción de 2 productos finales que hacen uso de tres recursos escasos (máquinas).Gestión de Investigación de Operaciones II. cuyas disponibilidades en horas corresponden a los lados derechos de las restricciones.
5. Dualidad en Programación Lineal. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II. La solución óptima y el valor óptimo del problema P) esta dada por: x1* = 5 x2* = 25 z = v(p) = 2100 .
respectivamente. Vale decir:  1(2x1+2x2) +  2(x1+x2) +  3(x1+3x2)  70  1 + 40  2 + 90  3 .Gestión de Investigación de Operaciones II. de modo de obtener la mejor cota superior del valor óptimo del problema P). Dualidad en Programación Lineal. ponderando por los valores  1.5.  2 y  3 cada una. En lo que sigue. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. combinaremos las distintas restricciones del problema.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Para garantizar que el lado derecho de esta última desigualdad sea una cota superior de la función objetivo se debe cumplir que : 2  1 +  2 +  3  40 2 1 +  2 + 3  3  60 . Dualidad en Programación Lineal.5.
La mejor elección de esta cota se obtendría al resolver: D) Min 70  1 + 40  2 + 90  3 sa: 2  1 +  2 +  3  40 2 1 +  2 + 3  3  60  1. Dualidad en Programación Lineal.  2.  3  0 .5.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
5. . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. También resulta que al formular el problema dual de D) se obtiene el problema primal (o uno equivalente). Este problema se conoce como el problema “ Dual” D) asociado al problema “Primal” P). Cualquiera de los dos entrega la misma información y el valor óptimo alcanzado es el mismo.Gestión de Investigación de Operaciones II. Dualidad en Programación Lineal.
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.. Más generalmente.Gestión de Investigación de Operaciones II. m .2. si el problema primal es: P) Max n  c jx j j1 sa : n  aijx j  bi j1 xj  0 i  1..5..2. n j  1.... Dualidad en Programación Lineal...
.. su dual resulta el problema: D) Min m  bi i i 1 sa : m  aij i  c j i 1 i  0 j  1.5. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II...Gestión de Investigación de Operaciones II.2. n i  1..2... m . Dualidad en Programación Lineal..
5.Gestión de Investigación de Operaciones II. Lo que se puede expresar en forma matricial como: P) Max sa: cTx Ax  b x0 D) Min bT  sa: AT   c 0 . Dualidad en Programación Lineal. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Si el problema primal corresponde a: P) Max -cTx sa: Ax  b x0 Su dual resulta ser: D) Min sa: -bT  AT   c 0 Es decir.Gestión de Investigación de Operaciones II. Dualidad en Programación Lineal. el dual del dual es el problema primal .5.
5. Dualidad en Programación Lineal. si ambas soluciones son los óptimos de sus respectivos problemas. Teorema de dualidad débil: Si x IRn. es una solución factible del problema primal P) y  IRm. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II. sus valores óptimos cumplen que : v(P)  v(D) . una solución factible del problema dual D). entonces: n m j1 i 1 c x   c j x j   bi i  b T  T En particular.
II.5. Dualidad en Programación Lineal.
Teorema de dualidad fuerte:
Si x* = (x1*, x2*, ..., xn*)T, es una solución óptima
problema primal P), entonces el problema dual D)
tiene solución óptima  * = ( 1*,  2*, ...,  m*)T que
v(P)  c x *   c j x j *   bi i *  b T   v(D)
i)Si P) es no-acotado entonces D) es infactible.
ii)Si D) es no-acotado entonces P) es infactible.
Min 3x1 + 4x2 + 5x3
x1+ 2x2 + 3x3  5
2x1 + 2x2 + x3  6
Max 5  1 + 6  2
 1 + 2 2  3
2 1 + 2 2  4
3 1 +  2  5
 1,  2  0
Resolvemos D) por Simplex, en su forma estándar:
1 2 3 4 5
 3 
xB   4    4
 5 
 5 
 1 
xD      
 2 
Luego la variable entrante a la base es  2 (pues
r2<0). Y calculando Min { 3/2, 4/2, 5/1 } = 3/2, se
tiene que sale  3
 2 
 3 / 2
xB   4    1 
  5 
 7 / 2
 3 
Luego la variable entrante a la base es  1 (pues
r2<0). Y calculando Min { (3/2)/(1/2), 1/1, (7/2)/(5/2)}
= 1, se tiene que sale  4
x B   2    1
 1
 4 
Sol. óptima de D):
 1* = 1;  2* = 1;
v(D) = 11
Sol. óptima de P):
x1* = 1; x2* = 2; x3* = 0;
v(P) = 11
Método Simplex Dual:
La idea de este método consiste en resolver de
alguna manera el problema dual asociado a P) en
la tabla y variables del problema primal P), según
veremos en su aplicación a un problema primal
(ejercicio anterior).
3x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5
x1 + 2x2 + 3x3 - x4
- x5  6
2x1 + 2x2 + x3
x1, x2, x3, x4, x5  0
5. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. y se multiplica por un número negativo con la finalidad de encontrar la matriz identidad IRn. . Dualidad en Programación Lineal.Gestión de Investigación de Operaciones II. además es necesaria la condición de que los costos reducidos de la tabla sean mayores que cero ( lo que en este caso se cumple). Método Simplex Dual: En la tabla anterior se toman dos variables de exceso x4 y x5 .
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. alguna variable con valor negativo. . Dualidad en Programación Lineal.Gestión de Investigación de Operaciones II. Método Simplex Dual: En la tabla anterior se escoge.(-5/-1)} = 3/2. variable que dejará la base. De donde resulta que x1 entra a la base.5. usando el lado derecho. (-4/-2). Escogemos x5 . Enseguida . se obtiene la variable entrante calculando: Min { (-3/-2) .
por lo cual no es factible en P). Dualidad en Programación Lineal. Método Simplex Dual: x1 x2 x3 x4 x5 0 -1 -5/2 1 -1/2 -2 1 1 1/2 0 -1/2 3 0 1 7/2 0 3/2 -9 La tabla posee aún un lado derecho negativo (costos reducidos negativos del problema dual). .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.5.
((-7/2)/(-5/2)).5. por lo que x2 entra a la base. Método Simplex Dual: x4 (=-2) deja la base. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. x1 x2 x3 x4 x5 0 1 5/2 -1 ½ 2 1 0 -2 1 -1 1 0 0 1 1 1 -11 . Dualidad en Programación Lineal.((-3/2)/(-1/2))} = 1.Gestión de Investigación de Operaciones II. luego calculamos : Min {(-1/-1).
Gestión de Investigación de Operaciones II. x4 y x5 son no-negativos .5. por lo que tenemos una solución factible en P) que es la solución óptima del problema. Dualidad en Programación Lineal.  x1   x   x2        x 3   1 2  0 v(P)  11 . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Método Simplex Dual: La tabla posee lados derechos no-negativos (costos reducidos positivos del problema dual) y también los costos reducidos de las variables no básicas x3.
II.6. II.1.3. Análisis de Sensibilidad. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Temario: II. II. Introducción y ejemplos de modelamiento.5.2. El Método Simplex. Dualidad en Programación Lineal.4. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal .Gestión de Investigación de Operaciones II. II. Resolución gráfica de problemas. II.
Si lo anterior no se cumple. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal 1) ¿Qué ocurre con las actuales variables básicas si se cambia algún coeficiente del lado derecho (b)? Si calculamos: xB  B 1b y se cumple: x B  0 Las mismas variables básicas lo son también de la nueva solución óptima. . calculada con el nuevo b .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.6. se puede aplicar el Método Simplex Dual.
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.6. calculamos el costo reducido de la nueva variable mediante la formula: rk  ck  cBT B 1A k . Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal 2) ¿ Qué ocurre con la actual solución óptima si se agrega una nueva variable al problema ? Para decidir si la actual solución básica es óptima para el nuevo problema.Gestión de Investigación de Operaciones II.
6. se sigue con el Simplex. Si se cumple que rk0 se conserva la actual solución óptima. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. . Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal donde k es el índice de la nueva variable y Ak su respectiva columna en la matriz de coeficientes.Gestión de Investigación de Operaciones II. En caso contrario.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal 3) ¿ Que ocurre con la actual solución óptima del problema P) si se cambian los coeficientes que definen la función objetivo ? Supongamos que el vector de coeficientes en la función objetivo cambia a un vector c  IR n La actual solución óptima también lo es para P con: T P) Min c x sa : Ax  b x0 .6. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
6. Es decir se debe cumplir que: rD  cD  cBT B 1D  0 rj  T 1 c j  cBB A j 0 o equivalentemente j En caso contrario. se aplica el Simplex a partir de la tabla final de P) con los nuevos costos reducidos y nuevo valor de la actual solución básica. .Gestión de Investigación de Operaciones II. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Siempre que los nuevos costos reducidos sean mayores o iguales a cero (notar que también cambia el valor de la función objetivo en la actual solución óptima). Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Veamos los cambios que tienen lugar cuando sólo varía un coeficiente del vector c de la función obj.6. para esa variable xJ: T rj  c j  cBB  1A j  0 j . a) Cambio de un coeficiente asociado a una variable no-básica xJ: Se conserva la misma solución óptima del problema P) ssi.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Consideremos : c j  c j  j Por lo tanto se conserva la misma solución ssi: j  rj  c j  c j  rj . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.Gestión de Investigación de Operaciones II.
6.Gestión de Investigación de Operaciones II. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal b) Cambio en un coeficiente de la función objetivo asociado a una variable básica: En este caso para tener la misma solución óptima. rj  T 1 c j  cBB A j 0  0 c i  c i  i cB  cB  i 1  cB  iei    0  . se debe cumplir que el costo reducido de todas las variables. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.a cero.
Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Si el incremento es cualquiera en el siguiente intervalo. se conserva la misma solución óptima:  rj   rj  Max  / yij  0  i  Min  / yij  0  yij   yij  donde rj es el costo reducido de la respectiva variable no básica en la actual solución óptima y los coeficientes yij denotan las entradas en la tabla final del Simplex asociadas a la variable básica xi (cuyo costo cambia) y la respectiva variable no básica xj . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.6.Gestión de Investigación de Operaciones II.
67 0.00 3.67 0.00 -0.00 2.33 0.00 -0. es la tabla final de un problema de programación lineal.93 0.07 1333. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. 1. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Ejemplo: La siguiente tabla.27 18666.67 Con esta tabla sensibilidad: realizaremos un análisis de .6.33 1.00 0.67 6.03 66.33 0.00 2.01 0.03 1.27 -0.Gestión de Investigación de Operaciones II.03 0.
Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal a) Variar los recursos ( lado derecho): Las xB del problema primal no cambian como base óptima. . si los valores asociados a estas variables. x B  B 1b y se cumple xB  0 Para calcular estos intervalos de recursos.Gestión de Investigación de Operaciones II.6. se necesita la matriz inversa asociada a las variables básicas del tabla final. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal  4 10  B  1 40    1 / 15   4 / 15 B    1 / 150 2 / 75   1 Intervalo recurso 1:  1 / 15   6000  b1   4 / 15 0   1 / 150 2 / 75  x   4000     20000 4 b1  0 15 15 b1  5000   10000 b1  0 150 150 b1  10000 .Gestión de Investigación de Operaciones II.6. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal  5000  b1  10000 1000  b1  16000 Intervalo recurso 2: 6000   1 / 15    4 / 15   1 / 150 2 / 75  x  4000  b   0    2  2500  b2  20000 1500  b2  24000 .Gestión de Investigación de Operaciones II.
Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Variable x1: Max {0}  C1  Min {((20/3)/(7/3)).Gestión de Investigación de Operaciones II.6.((10/3)/(5/3))} 0  D1  2 10  C1* 12 Variable x4: Máx {((20/3)/(-1/30))}  D4  Min {((10/3)/(1/30))} -200  D4  100 -60  C4* 240 .
20 .( 20/3) C2*  .Gestión de Investigación de Operaciones II.64/3 .18 .r2 C2*  .6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal Variable x2: C2* = C2 +  2 C2 = -20  2 . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal II.r3 C3*  .80/3 Variable x3: C3* = C3 +  3 C3 = -18  3 .( 10/3) C3*  .
Introduction to Linear Optimization. D.Bazaraa. Williams. Linear Programming and Extensions. New York. Introducción a la Programación Lineal y No Lineal.Bertsekas and J.. 6. Athena Scientific USA. G.H. Adisson Wesley Iberoamericana.. New York.. H. 1997. 5. Inc.Chvátal. Dantzig. Linear Programming.Luenberger. 1989. D.Sherali. V. Princeton University Press. Murty. New Jersey. tenth printing.P.Gestión de Investigación de Operaciones II. Model Building in Mathematical Programming. Freeman and Company. Second Edition 1976. John Wiley & Sons. . 7. New York. M. Second Edition 1990. Linear Programming and Network Flow. 4rd Edition 1999. 3. 4. John Wiley & Sons. New York. Inc. K. Linear and Combinatorial Programming. 1983.Tsitsiklis. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN LINEAL 1.Jarvis and H. 1993. Inc. J. John Wiley & Sons. 2. W.
gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.html •Guía de software de Programación Lineal en revista OR&MS Today (INFORMS Magazine): http://lionhrtpub. ejemplo problema de la dieta: http://www-fp.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html •Servidor NEOS.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN PROGRAMACIÓN LINEAL •Preguntas de consulta frecuente en Programación Lineal: http://www-unix.mcs.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.mcs.mcs.com/software-surveys.anl.anl.shtml .html •Servidor NEOS. guía de software de Programación Lineal: http://www-fp.anl.
lineal III. Modelos Probabilísticos Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov Sistemas de Espera .Gestión de Investigación de Operaciones Contenidos I. Introducción a la Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Programación Entera Programación No.
E.2.1.3. Modelos de Programación Matemática Programación Entera Temario: III. Método de Branch and Bound. III. Resolución de problemas de P. III. Introducción y ejemplos de modelamiento.Gestión de Investigación de Operaciones II. .
cada proyecto se finaliza a lo más en 3 años. concluídos los años de ejecución.Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Los flujos de caja requeridos en cada año junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto. Una empresa está pensando invertir en cuatro proyectos diferentes. a) Problema de la mochila. y las disponibilidades de recursos financieros se resumen en la siguiente tabla: .1.
P. . Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp.P.N. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Introducción y ejemplos de modelamiento.1. 35 18 24 16 Interesa determinar en cuáles proyectos invertir de modo de conseguir el mayor V.Gestión de Investigación de Operaciones II. de la inversión.N. Recursos Año 1 10 8 6 12 30 Año 2 8 15 4 0 15 Año 3 18 0 16 0 12 V.
1. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. si se invierte en el proyecto i xi    0.Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos de modelamiento. Variables de decisión:  1.2.4 .3. sin o Función objetivo: Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4 con i  1.
1} + 16x3 i = 1.1.Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Restricciones (tres alternativas): 1) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período: Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 Año2: 8x1 + 15x2 + 4x3 Año3: 18x1 xi  {0.3.2.4 = 30 + s2 = 15 + s1  12 + s2 .
3. 2) Sin invertir el dinero no utilizado en un período.1. pero utilizando el retorno de los proyectos concluídos: Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4  30 Año2: 8x1 + 15x2 + 4x3  15 + 16x4 Año3: 18x1  12 + 18x2 xi  {0.1} + 16x3 i = 1.2.4 .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Gestión de Investigación de Operaciones II.1} + 16x3 i = 1.4 + s2 = 15 + s1 + 16x4  12 + s2 + 18x2 .3. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.2.1. 3) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período y. también el retorno de proyectos concluídos: Año1: 10x1+ 8x2+ 6x3+ 12x4+ s1 = 30 Año2: 8x1+ 15x2+ 4x3 Año3: 18x1 xi  {0. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Gestión de Investigación de Operaciones II. de hecho las soluciones factibles son menos de 16 pues en particular xi=1 para i=1. el número de soluciones factibles no supera el número de las soluciones binarias del problema (variables restringidas sólo a valores 0 o 1) que son 24 = 16.3. En el ejemplo. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.1. Esto ocurrirá generalmente con los problemas de Programación Entera (puros). . Introducción y ejemplos de modelamiento.2.4 no satisface las disponibilidades de capital en cualquiera de las tres alternativas. Notar que el conjunto de las soluciones factibles es finito. dado el número de variables utilizadas.
1. i) Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos: x1 + x2 + x3 1 i) El proyecto 2 no puede ser tomado a menos que el proyecto 3 si sea tomado: x2 x3 .Gestión de Investigación de Operaciones II. Supongamos que adicionalmente la inversión efectuada requiera nuevas restricciones. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Introducción y ejemplos de modelamiento.
Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.1.Gestión de Investigación de Operaciones II. iii) Se puede tomar el proyecto 3 o 4 pero no ambos: x3 + x4  1 iv) No se puede invertir en más de dos proyectos: x1 + x2 + x3 + x4  2 . Introducción y ejemplos de modelamiento.
Gestión de Investigación de Operaciones II. b) Cumplimiento de un subconjunto de las restricciones de un problema. Consideremos un problema siguientes restricciones: 12x1 + 24x2 + 18x3  2400 15x1 + 32x2 + 12x3  1800 20x1 + 15x2 + 20x3  2000 que posee las . Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.1.
1. Variables de decisión:  1. si la restricción j se satisface yj    0. que nos basta con obtener alguna solucion óptima que verifique el cumplimiento de al menos 2 de las 3 restricciones anteriores. Introducción y ejemplos de modelamiento. sin o . Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Supongamos además.Gestión de Investigación de Operaciones II.
Gestión de Investigación de Operaciones II.y3) Además. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.1.y2) 20x1 + 15x2 + 20x3  2000 + M3 (1. debemos agregar la restricción que permita que a lo más una de las restricciones no se cumpla: y1 + y2 + y3  2 Mi = constante lo suf. Introducción y ejemplos de modelamiento.y1) 15x1 + 32x2 + 12x3  1800 + M2 (1. Cada inecuación anterior la reemplazamos por: 12x1 + 24x2 + 18x3  2400 + M1 (1. grande .
Supongamos que se desea tener lotes de compra de un producto dado. Introducción y ejemplos de modelamiento. c) Inclusión de costos fijos. los costos fijos asociados a la compra de una unidad pt.. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.1.. T. Asumimos conocidos: una estimación de la demanda dt.. para satisfacer demandas que fluctúan en el tiempo sobre un horizonte de planificación dividido en T períodos.Gestión de Investigación de Operaciones II. 2. . con t = 1. .
Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II.1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Observación: no se permite unidades de faltante. st. . los costos asociados al mantenimiento de una unidad en inventario de cada período ht y los costos fijos asociados a la gestión de compra en el período t.
.1. It : nivel de inventario al final del período t. sin o con t: 1.  1. si se hace una compra en el periodo t yt    0.. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Introducción y ejemplos de modelamiento. 2.. . T . Variables de decisión xt: número de unidades compradas en t.Gestión de Investigación de Operaciones II.
Función objetivo Min T  st t 1 y t  p t x t  h t It Restricciones xt + It-1 .It = dt t = 1.. T I0 = inventario inicial xt  Mt yt t = 1...Gestión de Investigación de Operaciones II... Introducción y ejemplos de modelamiento. 2.. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. grande . . .1. 2. T Mt = cte.
país. compañías de bomberos. se desea instalar un cierto número de servidores (escuelas. en las cuales se ha subdividido una comuna. etc. Introducción y ejemplos de modelamiento. centros de atención primaria de salud. digamos que un total de m. etc.1.) de entre un conjunto de n potenciales servidores ubicados en alguna de las zonas dadas.. . cuidad.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. d) Problema de cobertura: Dado un número de regiones o zonas.
2.. es decir. m y j  1.....2.. se conoce la matriz de incidencia A = (aij) donde :  1. n . si la zona i puede ser atendida por el servidor j aij    0. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Se conoce la información relativa a que zonas pueden ser atendidas por cada uno de los n potenciales servidores.1. sin o con i  1..Gestión de Investigación de Operaciones II.. Introducción y ejemplos de modelamiento.
1.Gestión de Investigación de Operaciones II. Se desea determinar cuáles son los servidores que deben ser instalados de modo de dar cobertura a cada zona. sin o . Introducción y ejemplos de modelamiento. si se instala el servidor j xj    0. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Variables de desición:  1. dados los costos de instalación cj del servidor j.
Función objetivo: Min n  cj xj j1 Restricciones:Para cada zona i n  aij x j  1 j1 Se agrega la siguiente restricción. si adicionalmente.1.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Introducción y ejemplos de modelamiento. hay algún límite en el número de servidores que se pueden instalar (digamos k) : m  xj  k j1 .
Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos de modelamiento. e) Problema de transporte y localización : Si se tiene un conjunto de m clientes que demandan di unidades de un producto determinado. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. . Una compañía desea satisfacer esas demandas desde un cierto conjunto de plantas elegidas de n potenciales lugares donde se instalarán.1.
Se desea decidir cuáles plantas abrir y el tamaño de cada una de modo de satisfacer las demandas estimadas. .1. vj el costo unitario de producción de la planta j y tij el costo de transporte de una unidad desde la planta j al cliente i .Gestión de Investigación de Operaciones II. Sean cj los costos asociados a la instalación de la planta j . Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Introducción y ejemplos de modelamiento.
..m.. Variables de decisión:  1..1.. .. si se abre la planta j yj    0. con j = 1... sin o xij = el número de unidades elaboradas en la planta j para satisfacer el cliente i..n y i = 1. Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II.
Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II.1. Función objetivo: Min  c y  v  j j  j n n j 1 j1   x  ij   i 1  m n m   t ijx ij j 1 i 1 Costo de Costo de Costo de Instalación Producción Transporte .
.1. capacidad máxima de producción de la planta j).Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.1}. Introducción y ejemplos de modelamiento . con xij  0 e yj  {0. Restricciones: 1) Demanda cliente i: m  xij  di i 1 2) Relacionar variables de producción con las asociadas a la apertura de plantas (variables binarias): n  x ij  M j y j j 1 donde Mj es una constante grande (por ejemplo.
2.3. . Introducción y ejemplos de modelamiento. Modelos de Programación Matemática Programación Entera Temario: III. III.1. III. Resolución de problemas de P. E.Gestión de Investigación de Operaciones II. Método de Branch and Bound.
dando origen a un problema de Programación Entera (puro) o de Programación Entera. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.a.Gestión de Investigación de Operaciones II.Mixta. E. Resolución de problemas de P. . respectivamente. Ax=b x0 Pero todas o una parte de las variables deben restringir su valor a números enteros.2. Supongamos que tenemos el siguiente problema de programación lineal: PL) Max cTx s.
. cTx Ax=b x  0.a.2.Gestión de Investigación de Operaciones II. Por ejemplo: PLE) Max s. que resulta de eliminar las condiciones de integralidad de las variables de decisión en PLE). Resolución de problemas de P. E. xj entero El problema PL) corresponde a la relajación continua del problema PLE). Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.
E.Gestión de Investigación de Operaciones II. que si la solución óptima de PL) cumple con la integralidad de los valores requiridos.2. Resolución de problemas de P. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Notar sin embargo. . El valor óptimo de PL) provee sólo una cota superior del valor óptimo de PLE). entonces esta solución es también solución óptima de PLE).
E.a. x2 .Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.2. Resolución de problemas de P. x2  0 enteros .2x1 + 2x2  1 2x1 + x2  7 x1  0. Ejemplo PLE) Max s.
. . x2 2x1 + x2  7 . .2. . . . Resolución de problemas de P. . E. 3. .5 x1 .2x1 + 2x2  1 7 . Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II.
Resolución de problemas de P. Notar que en el ejemplo la solución óptima puede ser hallada por simple enumeración de todas las soluciones factibles.Gestión de Investigación de Operaciones II. Aquí las soluciones óptimas son: x1* = 1 x2* = 1 o x1* = 2 x2* = 1 Esta alternativa de enumeración queda naturalmente restringida a problemas muy pequeños. . E.2. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.
Alternativamente. esa es la solución óptima no solo del problema lineal sino que también lo es del problema lineal entero.Gestión de Investigación de Operaciones II. podemos resolver la relajación continua asociada al problema PLE). E. la solución de la relajación continua es: x1 = 3/2 x2 = 2 . Si la solución óptima de la relajación continua da una solución entera. Resolución de problemas de P. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.2. En el ejemplo.
A partir de esta última solución podemos redondear o truncar los valores que no salieron enteros. . E.Gestión de Investigación de Operaciones II.2. de modo que desde el punto de vista de una resolución numérica no es suficiente con resolver la relajación continua. Resolución de problemas de P. obteniendo respectivamente en el ejemplo: x1 = 2 x1 = 1 x2 = 2 x2 = 2 las cuales no son soluciones factibles de PLE). Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.
E.2. Resolución de problemas de P. pero no neceasariamente óptimas. Todavía podrían resultar soluciones factibles de PLE). x2  0 enteros .a. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Por ejemplo: PLE) Max s. x2) = x1 + 5x2 x1 + 10x2  10 x1  1 x1  0.Gestión de Investigación de Operaciones II. f(x1.
5 x2 = 9/10 Redondeando o truncando los valores x1 = 1 infactible x1 = 1 x2 = 1 x2 = 0 f(1.9/10)=5. E. Solución óptima de PL) x1 = 1 f(1.2. Resolución de problemas de P.0)=1 Pero la solución óptima de PLE) es: x1 = 0.Gestión de Investigación de Operaciones II. v(PLE) = 5 . x2 = 1. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.
Introducción y ejemplos de modelamiento. III. E. . III.Gestión de Investigación de Operaciones II. Método de Branch and Bound.2.3. Resolución de problemas de P. Modelos de Programación Matemática Programación Entera Temario: III.1.
3. Consideremos el siguiente programación entera: PLE) Max s. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II.a. x2 enteros problema de . Método de Branch and Bound. 21x1 + 11x2 7x2 + 4x2  13 x1  0 x2  0 x1.
Método de Branch and Bound.3. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Consideremos inicialmente la resolución de la relajación continua de PLE). . que consiste en eliminar las condiciones de integralidad.Gestión de Investigación de Operaciones II.
3. Método de Branch and Bound. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II. relajada 21x1+11x2 x1 = 1 x1 x1 = 2 7x1+4x2=13 . x2 3 x2 = 3 3/2 2 x2 = 2 21x1+11x2=39 1 x2 = 1 13/7 sol.
3. Descripción del método Branch and Bound (maximización) Paso 0 Hacer P0).Gestión de Investigación de Operaciones II. Método de Branch and Bound. la relajación continua de PLE) Fijar la cota inferior del v(PLE) en -. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. .
. Método de Branch and Bound. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II. usando: (i) que se encontró una solución entera (ii) que el problema resulta infactible (iii) que el problema no provee un valor mejor que la actual cota del valor óptimo v(PLE).3. Pi) Resolver Pi) como problema de programación lineal. Paso1 Seleccionar un problema no resuelto. Agotar este problema.
si existe (si no existe entonces PLE) es infactible) Si el problema no está agotado pasar al paso 2. . Modelos de Programación Matemática Programación Entera III. Si el problema Pi) resulta agotado y da solución entera.Gestión de Investigación de Operaciones II. Si todos los problemas están agotados. Solución óptima de PLE). la solución entera asociada a la actual cota inferior de v(PLE). mejorar el valor de la cota inferior de v(PLE). Método de Branch and Bound. parar.3.
Gestión de Investigación de Operaciones II. cuyo valor en la solución óptima de Pi) no de entero. Paso 2 Seleccionar una variable xj= ûj. . Método de Branch and Bound. xj   ûj +1 una en cada problema y volver al paso 1. Eliminar la región correspondiente a  ûj < ûj <  ûj + 1 Crear dos nuevos problemas de programación lineal que incorporen a Pi) dos restricciones mutuamente excluyentes: xj   ûj . Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.3.
a.5 x11 P1 P11 x1 = 0 x2 = 13/4 z = 35.a.75 x23 x1 = 0 x2 = 3 P1211 z = 33 P2 P12 x1 = 5/7 x2 = 2 z = 37 x11 P121 P122 x24 P0) Relajación continua P1) Max s. Método de Branch and Bound.3. -< z  39 21x1 + 11x2 7x1 + 4x2  13 x1  1 x1  0 x2  0 21 x1 + 11x2 7x1 + 4x2  13 x1  1 x2  1 x1  0 x2  0 De donde 32  z  39  Solución óptima . P0 x1 = 1 x2 = 3/2 z = 37. Modelos de Programación Matemática Programación Entera III.Gestión de Investigación de Operaciones II. infactible x22 x21 x1 = 1 x2 = 1 z = 32 x1 = 13/7 x2 = 0 z = 39 x12 infactible P1212 infactible P2) Max s.
Nemhauser and Laurence A. 1998.Papadimitriou and K. 3) Linear and Combinatorial Programming..H.. John Wiley & Sons. New York. USA. 1982. New York. 4) Integer and Combinatorial Optimization. Wolsey. Inc.. New York. L. Modelos de Programación Matemática Programación Entera BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN ENTERA 1) Integer Programming. John Wiley & Sons. . Inc. New York. 1999.Wolsey. Inc. H.Gestión de Investigación de Operaciones II. Prentice Hall Inc. K.. 5) Model Building in Mathematical Programming. George L.Steiglitz. John Wiley & Sons.A. Inc.P. Second Edition 1976. Murty.. John Wiley & Sons. 2) Combinatorial Optimization C. Williams. 4rd Edition 1999.
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Introducción a la Investigación de Operaciones II.Gestión de Investigación de Operaciones Contenidos I. Modelos Probabilísticos Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov Sistemas de Espera . Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Programación Entera Programación No.lineal III.
IV. Métodos de optimización restringida. Introducción y ejemplos. Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad. . Problemas con restricciones de igualdad.lineal Temario: IV.3. Propiedades básicas de los problemas de programación no-lineal. IV. Problemas de optimización no restringida.Gestión de Investigación de Operaciones II.4.5. IV. IV.6. Modelos de Programación Matemática Programación No .1. IV.2.
la programación no-lineal provee una manera de abordar el no cumplimiento del supuesto de proporcionalidad de la programación lineal.lineal IV. A esta clase de problemas de optimización pertenecen todos aquellos.1. Introducción y ejemplos. Modelos de Programación Matemática Programación No . permitiendo la programación de economías o deseconomías de escala y/o retornos crecientes o decrecientes a escala. en los cuales la función objetivo y/o las restricciones son funciones nolineales de las variables de decisión.Gestión de Investigación de Operaciones II. . En particular.
000 x4 0. El retorno que provee cada producto es una función de la cantidad de recursos asignados a la promoción y venta de cada producto.000 x1 0.50 Producto 2 7.500 x2 0.000 x3 0.1. Una compañía vende cuatro productos diferentes.Gestión de Investigación de Operaciones II.30 .lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .60 Producto 4 15. según la siguiente tabla: PRODUCTO RETORNO (M$) Producto 1 10.75 Producto 3 9. Introducción y ejemplos. a) Rendimientos decrecientes a escala.
. con i = 1.lineal IV.1. de modo de maximizar las utilidades.2.000. considerando una inversión anual no superior a los M$ 75.3.4. Introducción y ejemplos. En este ejemplo: xi es la cantidad de recursos asignados al producto i. Modelos de Programación Matemática Programación No . El siguiente modelo provee una asignación de estos recursos.Gestión de Investigación de Operaciones II.
a: x1 + x2 + x3 + x4  75.500 x20. 2. 3.000 xi  0. Max 10.5 + 7.000 x40. 5.6 + 15. Modelos de Programación Matemática Programación No .1.75 + 9.000 x30. Introducción y ejemplos.000 x10.lineal IV. . 4. i = 1.3 s.Gestión de Investigación de Operaciones II.
.Gestión de Investigación de Operaciones II.y2). Supongamos que se tiene un conjunto de datos correspondientes a una determinada función y=g(x) (desconocida). b) Aproximación y ajuste de curvas. (xm. Modelos de Programación Matemática Programación No . Introducción y ejemplos. .. digamos (x1.1. (x2.y1).ym) y se desea aproximar g(x) por una función h(x) ym y2 y1 x1 x2 xm .lineal IV.
Algunas elecciones posibles: i) ii) iii) iv) v) vi) h (x) = a0 + a1 x h (x) = a0 + a1 x + a2 x2 h (x) = a0 + a1 x a2 h (x) = a0 e a1x h (x) = a0 + a1 x + a2 e a3 x h (x) = a0 + a1 ln(x) .1.Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos.lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .
a) i 1 2 = m 2  ( y  h ( x ))  i i i i 1 ..an) en la función h(x) que aproxima o ajusta los datos observados? Se define una función de error: e(x. es decir: Min F(a) = m  i e(x i .. ¿Cómo elegir los coeficientes a=(a0..lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II.1.a) = g(x) – h(x) Una elección posible de los coeficientes ai resulta de minimizar la suma ponderada de los errores al cuadrado en cada uno de los datos .. Introducción y ejemplos. Modelos de Programación Matemática Programación No .
el problema corresponde a una regresión lineal.. Que da origen a un problema de programación nolineal sin restricciones.1.Gestión de Investigación de Operaciones II..lineal IV. =  m = 1 y h(x) = a0 + a1x. Si escogemos  1 = . Introducción y ejemplos. h(x)= a0 + a1x ym y2 y1 x1 x2 xm . Modelos de Programación Matemática Programación No .
lineal IV.1. Modelos de Programación Matemática Programación No . Cuya solución resulta ser: m y   a0    i  i1  m   m  i 1 m   yi x i  a1        i 1 x i2    .Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos.
cuyas coordenadas se muestran en la siguiente figura: Puerto B 40 Puerto C 30 Puerto A 30 80 . Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II.lineal IV.1. Una compañía petrolera desea construir una refinería que recibirá suministros desde tres instalaciones portuarias. c) Localización de instalaciones. Introducción y ejemplos.
Modelos de Programación Matemática Programación No . Introducción y ejemplos.lineal IV.1.Gestión de Investigación de Operaciones II. Si denotamos por x e y las respectivas coordenadas de la refinería que se debe instalar.y) = ( x  0 ) 2  ( y  0 )2  (x  30)2  ( y  40)2  (x  80)2  ( y  30)2 . dada por: Min f(x. una posible elección es aquella que resulta de minimizar la cantidad total de tubería necesaria para conectar la refinería con los puertos.
lineal IV.1.Gestión de Investigación de Operaciones II.8900128 Puerto C Refinería Puerto A .8052225 y*= 37. Introducción y ejemplos. Modelos de Programación Matemática Programación No . La solución óptima calculada por el solver de Excel es: Puerto B x*=30.
pagarés. La cartera elegida deberá reflejar un compromiso entre los retornos de los instrumentos elegidos y el riesgo asociado a cada uno de ellos. Introducción y ejemplos.Gestión de Investigación de Operaciones II. de hecho es natural esperar que a mayor retorno haya un mayor riesgo y también que exista cierta correlación entre los retornos de los distintos instrumentos de la cartera.lineal IV.1. etc). bonos. . Modelos de Programación Matemática Programación No . d) Optimización de carteras de inversión Se desea obtener una cartera de inversiones en base a distintos instrumentos (acciones.
Gestión de Investigación de Operaciones II. .1.. . n y j = 1. r2. con un vector de retornos que tiene una distribución normal con media: r = (r1. .... n donde  ii denota la varianza del retorno del instrumento i y donde  ij (i  j) es la covarianza de los retornos del instrumento i con el j.. 2.lineal IV... 2. Introducción y ejemplos. Modelos de Programación Matemática Programación No . ... A continuación se formula un modelo para obtener una cartera de inversión de un tomador de decisiones con aversión al riesgo. rn)T y matriz de covarianza: Q = ( ij) con i = 1.
.Gestión de Investigación de Operaciones II. con i = 1. Premio Nobel de Economía 1991).1. Introducción y ejemplos.lineal IV. Sea xi el porcentaje de inversión del instrumento i en la cartera. Modelos de Programación Matemática Programación No .. n las variables de decisión del modelo y sea K una constante de aversión al riesgo. 2. combina ambos elementos presentes en una decisión de esta naturaleza: . El siguiente modelo (propuesto por Markowitz.. .
Gestión de Investigación de Operaciones II.. Max sa : n n n i1 i1 j1  rixi  K   ijxix j n  xi  1 i1 xi  0 1  1. se tiene: ..1. n Usando el servidor Neos para una cartera con tres acciones seleccionadas del menú para este problema en el servidor y un bono. Modelos de Programación Matemática Programación No ...lineal IV. Introducción y ejemplos.2.
Selected value of K is 10.6 Bond 0.7 Texaco Inc 1.647 4.939 13.Gestión de Investigación de Operaciones II.6 Exxon Corp 1. pet) Std Desviation Pet of optimal Portfolio Coca Cola Co 2.00407 Name Avg Return (monthly.407 0 21 .869 6. Modelos de Programación Matemática Programación No .885 6.574 48.381 16. Introducción y ejemplos.1.00 Risk less rate of return (monthly) is 0.lineal IV.
Optimal Portfolio Statistics Avg Return (monthly.03 Std Desviation 4.lineal IV.6% Exxon Corp Texaco Inc 16.Gestión de Investigación de Operaciones II.02 Pet of Optimal Potrfolio 27.1.2 21.0% Coca Cola 48. pet) 2.7% 13.7% Bond . Introducción y ejemplos. Modelos de Programación Matemática Programación No .
Propiedades básicas de los problemas de programación no-lineal. Problemas con restricciones de igualdad. IV.6. Métodos de optimización restringida.3.1. IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .2. IV.lineal Temario: IV. Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad.4. . IV. IV. Introducción y ejemplos.Gestión de Investigación de Operaciones II.5. Problemas de optimización no restringida.
.lineal IV.. un problema de optimización considera la resolución de un modelo como el que sigue: P) Min f(x) s. NL De manera general. generalmente dado por: D = {x IRn / gi(x) = bi i=1...l} . Propiedades básicas de los prob. de prog.2. Modelos de Programación Matemática Programación No . x  D  IRn Donde f: IRn IR es una función.a..Gestión de Investigación de Operaciones II.. comúnmente continua y diferenciable.. y D es el dominio de factibilidad del problema.m. hr(x) dr r =1..
lineal IV. Propiedades básicas de los prob.Gestión de Investigación de Operaciones II. decimos que x^  D es un mínimo local del problema P) ssi: f(x^)  f(x) para todo x en una vecindad de x^ (x  D  B(x^. Modelos de Programación Matemática Programación No .2. NL Decimos que x*  D es un mínimo global o solución óptima del problema P) ssi: f(x*)  f(x) para todo x  D Por otra parte. de prog. )) .
de prog.1) (x .a: f(x) = (x .Gestión de Investigación de Operaciones II.lineal IV. en tanto la solución óptima o minimo global es x* x* 1 2 3 x+ 4 x 5 . Modelos de Programación Matemática Programación No . NL Min s.2) (x .2.5) 1x5 f(x) Son mínimos locales x=1. x+ y x*.3) (x .4) (x . Propiedades básicas de los prob.
Propiedades básicas de los prob.lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .2. NL f(x.6y .y) = -4x3 + 3x . de prog.Gestión de Investigación de Operaciones II.
lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II. Propiedades básicas de los prob.4x .y) = x2 . Modelos de Programación Matemática Programación No .2. NL f(x. de prog.2y .
NL Existen resultados que garantizan la existencia y unicidad de la solución de un problema de programación no lineal.Gestión de Investigación de Operaciones II.2. Propiedades básicas de los prob.lineal IV. Teorema. entonces P) tiene solución óptima. Si f es una función continua y D es un conjunto cerrado no vacío y además f cumple que: lim f (x )  . Si f es una función continua y D es un conjunto no vacío cerrado y acotado de IRn. Modelos de Programación Matemática Programación No . entonces P) tiene solución óptima. de prog. |x|  . Teorema (Weiertrass).
2. NL Por su parte. .Gestión de Investigación de Operaciones II. la unicidad de la solución óptima se puede garantizar sólo bajo ciertas condiciones muy especiales.lineal IV. Para esto se requiere saber si el problema P) es un problema convexo. Propiedades básicas de los prob. Modelos de Programación Matemática Programación No . De igual modo es posible garantizar si un mínimo local es un mínimo global del problema. esto es si la función objetivo f(x) es convexa y el conjunto D de puntos factibles es un conjunto convexo. de prog.
lineal IV. Propiedades básicas de los prob. Modelos de Programación Matemática Programación No . NL Definición.Gestión de Investigación de Operaciones II. . Decimos que f: IRnIR es una función convexa ssi: fx + (1-)y )  f(x) + (1-)f(y) para todo x. decimos que f es estrictamente convexa. 1] Si la desigualdad anterior se cumple de manera estricta.2. y  D (x  y) con   [0. de prog.
lineal IV. Propiedades básicas de los prob. de prog. Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II. NL Lineal a trozos f(y) f(x) x y .2.
Propiedades básicas de los prob. Modelos de Programación Matemática Programación No . es semi positiva definida para todo x. se tiene el siguiente resultado Teorema. denotada en lo que sigue por D2f(x).lineal IV. Si f es una función dos veces continuamente diferenciables. las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) f es una función convexa ii) f(x)  f(y) + fT(y)(x-y) para dos puntos cualesquiera x e y. .2.Gestión de Investigación de Operaciones II. de prog. iii) La matriz hessiana de las segundas derivadas parciales de f. NL Adicionalmente.
NL Por otra parte. D  IRn. x y Es convexo y x No es convexo . también podemos caracterizar si un conjunto cualquiera es convexo o no.2.lineal IV. un conjunto no vacío. para todo x  D. es convexo ssi x + (1-) y  D. Modelos de Programación Matemática Programación No . y  D con   [0. Propiedades básicas de los prob. de prog.Gestión de Investigación de Operaciones II.1]. de acuerdo a la siguiente: Definición.
. de prog.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación No ..l .. Propiedades básicas de los prob.lineal IV.2. NL Así por ejemplo. De aquí que por ejemplo el problema P) Min f(x) s..2. si h(x) es una función convexa el conjunto D = { x  IRn  h(x)  d } es convexo para cualquier escalar real d. También es posible demostrar que la intersección de conjuntos convexos es un conjunto convexo.a hr(x)  dr r=1.
.. pues el dominio de factibilidad es la intersección de los conjuntos convexos Dr={ x  IRn  hr(x)  dr }. Propiedades básicas de los prob. para r=1.l definen un problema convexo.2.2. ..l. f es una función estrictamente convexa x* es una solución óptima única. Modelos de Programación Matemática Programación No .. NL Con f(x) y hr(x) funciones convexas para r=1. Si P) es un problema convexo y x* es un mínimo local de P) entonces x* es un mínimo global o solución óptima de P). si además..2.lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II. de prog.. Teorema.
lineal IV. . Por lo tanto no todos los problemas de programación no lineal son convexos y esto hace más difícil garantizar que la solución encontrada por un solver sea una solución óptima del problema. NL La principal dificultad en los problemas de programación no lineal es que incluyen restriciones no lineales de igualdad como g(x) = b y el conjunto de puntos {xIRn : g(x)=b} generalmente no es convexo cuando g(x) es una función no lineal cualquiera. Propiedades básicas de los prob. de prog.2. Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II.
Gestión de Investigación de Operaciones II.lineal IV.3)2 + (x2 . de prog. x1 + x 2  5 x1 . x2  0 . Consideremos el siguiente problema: Min (x1 . que resolveremos gráficamente.x2  5/2 x1  0. la geometría de los problemas también cambia respecto de lo observado en programación lineal.4)2 s. Modelos de Programación Matemática Programación No . NL Como puede verse en el siguiente ejemplo.a.2. Propiedades básicas de los prob.
de prog.lineal IV. Propiedades básicas de los prob. Modelos de Programación Matemática Programación No . NL .Gestión de Investigación de Operaciones II.2.
Programación No - lineal
IV.2. Propiedades básicas de los prob. de prog. NL
La solución óptima x* de este problema se alcanza
el punto x1* = 2, x2* = 3 correspondiente al único
punto de la curva de nivel que tiene el menor valor
y que intersecta la región de puntos factibles.
Notar que la solución ya no corresponde a un
vértice del dominio de factibilidad del problema,
aún cuando todavía esta solución se alcanza en la
frontera de dicho conjunto.
Sin embargo, esto último, a diferencia de lo que
ocurre en programación lineal, no siempre se
produce. Si por ejemplo el problema es ahora:
(x1 - 2)2 + (x2 - 2)2
x1 - x2  5/2
La solución cambia a lo representado en la
siguiente figura, donde la solución óptima se
alcanza en x1* = 2, x2* = 2, ahora perteneciente al
interior del dominio de factibilidad del problema.
divesos mínimos
locales en un
IV.1. Introducción y ejemplos.
IV.2. Propiedades básicas de los problemas de
programación no-lineal.
IV.3. Problemas de optimización no restringida.
IV.4. Problemas con restricciones de igualdad.
IV.5. Problemas con restricciones de igualdad y
IV.6. Métodos de optimización restringida.
En esta sección consideraremos un problema
P) Min f(x)
con x  IRn
A esta clase de problemas pertenece por ejemplo
el problema de aproximación y ajuste de curvas.
Sin embargo, la principal razón para su estudio
radica en la extensión de las ideas y métodos para
esta clase de problemas a los problemas de
Problemas de optimización no restringida. .lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación No . entonces: f(x+) = 0. A continuación se resumen algunos resultados teóricos para esta clase de problemas: Teorema (condiciones necesarias de primer orden).3. Si f es una función continuamente diferenciable y x+  IRn es un mínimo local de P).
sin embargo existen resultados que proveen condiciones necesarias y suficientes para que un punto sea un mínimo local. Si f es una función dos veces continuamente diferenciable y x+  IRn es un mínimo local de P).3.lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No . Dado lo anterior. entonces: f(x+) = 0 y D2 f(x+) es semi positiva definida.Gestión de Investigación de Operaciones II. . Teorema (condiciones necesarias de segundo orden). no todos los puntos x  IRn que satisfacen las propiedades mencionadas son mínimos locales de la función. Problemas de optimización no restringida.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Teorema. Si f(x+) = 0 y D2f(x+) es positiva definida. .3. Teorema (condiciones necesarias y suficientes de segundo orden). Problemas de optimización no restringida. Sea f una función convexa continuamente diferenciable.lineal IV. entonces x+ es un mínimo local estricto. entonces x+ es un mínimo global ssi f(x+) = 0. Sea f una función dos veces continua diferenciable en x+  IRn . Modelos de Programación Matemática Programación No .
3.Gestión de Investigación de Operaciones II.3/2 x22 su gradiente y matriz Hessiana corresponden a:  6x1  f (x )   2  3 x  3 x  2 2 0  6 D f (x )    0 6 x  3   2 2 .lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No . Considere la función: f(x1. Problemas de optimización no restringida.x2) = 3 x12 + x23 . Ejemplo.
De modo que hay dos posibles candidatos. Problemas de optimización no restringida. de modo que x* es un mínimo local del problema.Gestión de Investigación de Operaciones II.1). .lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No . 1)T. x+ = (0. 0)T y x* = (0.3. Sin embargo 0  6 D f (x )    0 6 x  3   2 2 sólo es positiva definida en x* = (0. que satisfacen las condiciones necesarias de primer orden.
lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación No . Problemas de optimización no restringida. .3.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Problemas de optimización no restringida. . La mayor parte de los algoritmos de optimización para abordar esta clase de problemas pertenecen a la clase de algoritmos generales de descenso que reducen el cálculo de un mínimo local a una secuencia de problemas de búsqueda lineal (o búsqueda unidimensional). Modelos de Programación Matemática Programación No .3.lineal IV.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Decimos que un vector d  IRn es una dirección de descenso de la función f en el punto x+ ssi la derivada direccional de f en x+ en la dirección d.lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No . Problemas de optimización no restringida.3. es x negativa: 2 f(x) d x+ -f(x) Z=20 Z=10 x1 .
.Gestión de Investigación de Operaciones II. Esta función da el valor de la función f cuando uno se mueve a partir del punto x+ en la dirección d un cierto paso .lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No . Consideremos además la función unidimensional (en una variable) g() = f(x+ + d) donde  es un escalar real llamado el tamaño del paso. Problemas de optimización no restringida.3.
Claramente. que reduzca el valor de la función respecto del valor actual en x+. . Problemas de optimización no restringida.Gestión de Investigación de Operaciones II. si g’(0) = fT(x+)d < 0. es posible escoger un paso  tal que: g() = f(x+ + d) < f(x+) = g(0) esto es. Modelos de Programación Matemática Programación No .3.lineal IV.
Algoritmo general de descenso 1) Considere un punto inicial x = x0.lineal IV. Si converge parar. 5) Hacer un test de convergencia. Modelos de Programación Matemática Programación No . En caso contrario. hacer k=k+1 y volver a 2) . Problemas de optimización no restringida. 2) Escoger una dirección de descenso dk.3. 3) Realizar una búsqueda lineal que seleccione un paso  k tal que: gk( k) = f(xk +  kdk) < f(xk) = gk(0) 4) Hacer xk+1 = xk +  kdk. Hacer k = 0.Gestión de Investigación de Operaciones II.
En el paso 5).lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II.3. Problemas de optimización no restringida. Modelos de Programación Matemática Programación No . por ejemplo  = 10-4. los criterios más usuales de convergencia son que se cumpla:  f(xk)     f(xk+1) . y donde  es una tolerancia de error dada. .f(xk) / (1+ f(xk) )   para un cierto número L de valores consecutivos de k.
la dirección de descenso se escoge como: dk = -f(xk) . uno de ellos es: Método del Descenso más Pronunciado En este método. Problemas de optimización no restringida.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación No .3.lineal IV. dado la actual aproximación xk. Existen varios métodos para escoger una dirección de descenso. también conocido como Método del Gradiente o Método de Cauchy.
Problemas de optimización no restringida.3. x20 = 3 . Modelos de Programación Matemática Programación No . Ejemplo.lineal IV.Considerar el problema: Min (x1 – 2)4 + (x1 – 2x2)2 sa:  x1  2  IR  x   2 que resolvemos usando el método del descenso más pronunciado a partir del punto x10 = 0.Gestión de Investigación de Operaciones II.
Gestión de Investigación de Operaciones II.lineal . Modelos de Programación Matemática Programación No .
1.20) 0.062 2 (2.16) 0.00.73.1.48) 0.Gestión de Investigación de Operaciones II. 1.09 (0. 0.33. Modelos de Programación Matemática Programación No .36 .52.1.04 (0.-0.24.70.18) (0.28) 0.30.28) 0.3.00) 0.31 5 (2.18.02 (0. 0.1.12) 0.80.00.20) 0.12 6 (2.43. Iteración k xk f(xk) f(xk) k 1 (0.34 (0.00) 52.3.-0.00 (44.37.1.51) 0.25) 0.lineal IV.08.11 4 (2. Problemas de optimización no restringida.24 3 (2.
lineal IV.f(x) . Modelos de Programación Matemática Programación No .3. Problemas de optimización no restringida.Gestión de Investigación de Operaciones II. Otra elección posible para la dirección de descenso es la que usa el: Método de Newton Aquí el vector dk se calcula como la solución del siguiente sistema de ecuaciones: D2f(x)dk = .
requiere en cada iteración. Problemas de optimización no restringida.Gestión de Investigación de Operaciones II. Además. Al aplicar el método al ejemplo anterior se tiene: . Modelos de Programación Matemática Programación No . a pesar de ser un método más eficiente que el anterior respecto de su rápidez de convergencia.3. Sin embargo. dk está garantizada que es una dirección de descenso sólo si D2f(xk) es positiva definida. el cálculo de las segundas derivadas parciales y la resolución de un sistema de ecuaciones.lineal IV.
3.63 (-2.00) 6 (1.lineal IV.0009 (-0. Modelos de Programación Matemática Programación No .00) 52.84.80.-0.0.91) 0.0.80) 0.74.-0.87) 0.04) 5 (1.61.0. Problemas de optimización no restringida. 0.39.05 8 (1.04) 3 (1.24.04) .-0.13 (-9.07.-0.0003.67.02 (-0. Iteración k f(xk) f(xk) 1 (0.33) 3.83.56) 0.70) 0.00.04) (-0.0.00.00) 2 (0.0.22.41.Gestión de Investigación de Operaciones II.04) 4 (1.11.12 (-0.00 (-44.3.-0.0.
Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad. Problemas de optimización no restringida.4. Propiedades básicas de los problemas de programación no-lineal.2. IV.lineal Temario: IV.1. Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II.3. . Introducción y ejemplos. IV. IV.6. Métodos de optimización restringida. Problemas con restricciones de igualdad. IV. IV.5.
lineal IV. f(x) g1(x) = b1 g2(x) = b2 g m(x) = bn mn . Problemas con restricciones de igualdad.Gestión de Investigación de Operaciones II. El problema que se desea abordar consiste en: P) Min s.4. Modelos de Programación Matemática Programación No .a.
.Gestión de Investigación de Operaciones II.. 2. .4. . Definición... gm(x) son vectores l. .i.. m g1(x). Problemas con restricciones de igualdad. g2(x). Decimos que x  IRn es un punto regular de las restricciones del problema P) ssi: gi(x) = bi i = 1.. Modelos de Programación Matemática Programación No .lineal IV.
Para presentar algunos resultados teóricos. A continuación.lineal IV. introducimos Lagrangiana asociada a P): m la L(x.Gestión de Investigación de Operaciones II. que permiten el cálculo de mínimos locales.  )  f ( x )    i (gi (x )  bi ) i1 función . que se relaciona con el cumplimiento de ciertas condiciones de regularidad del problema. Modelos de Programación Matemática Programación No .4. se introdujo la definición anterior. Problemas con restricciones de igualdad.
en particular.Gestión de Investigación de Operaciones II. las cuales muestran. Problemas con restricciones de igualdad. Modelos de Programación Matemática Programación No .lineal IV. . donde    m)T representa el vector de los Multiplicadores de Lagrange.4. Los siguientes resultados teóricos establecen ciertas propiedades que satisface un mínimo local. que dicho punto es un punto estacionario de la función lagrangeana.
de multiplicadores de Lagrange tales que: m  x L(x ^ . Modelos de Programación Matemática Programación No .g2(x). (Condiciones necesarias de primer orden): Sean f(x) y g1(x). Teorema..lineal IV.gm(x) funciones continuamente diferenciales y sea x^ un mínimo local que además es un punto regular de las restricciones de P).... Problemas con restricciones de igualdad. entonces existe un vector λ^  IRm.4.Gestión de Investigación de Operaciones II. ^ )  f (x ^ )   ^i gi (x ^ )  0 i 1 .
gm funciones dos veces continuamente diferenciables y sea x^  IRn un punto regular de las restricciones de P) que junto con λ^  IRm...lineal IV.  )  f ( x )   ^igi (x ^ )  0 y que ^ m D2 f (x ^ )   i 1 ^i D2 gi (x ^ ) i1 definida entonces x^ es un es una matriz positiva mínimo local de P). g1 . satisfacen: ^ ^ m  xL(x . Sean f. Problemas con restricciones de igualdad.4. . Teorema (Condiciones necesarias y suficientes de segundo orden).. Modelos de Programación Matemática Programación No . .Gestión de Investigación de Operaciones II.g2.
Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II. Ejemplo: Min x12  x 22 sa : x1  x 2  4  x1  2  IR  x   2 Buscamos la solución óptima condiciones de optimalidad: usando las .4. Problemas con restricciones de igualdad.lineal IV.
m  1 h1(x )  x1  x 2  4 f (x )  (2x1. Modelos de Programación Matemática Programación No .4. 2x 2 )T  0 0 h1(x )    0 0    2 0 D f (x)    0 2    0 0 D h( x )    0 0   2 2 .Gestión de Investigación de Operaciones II. f (x )  x12  x 22 .lineal IV. Problemas con restricciones de igualdad.
4 = 0 ( Factibilidad) Resolviendo el sistema: x1 = x2 = 2.lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II. Problemas con restricciones de igualdad.4. Luego las condiciones de primer orden son: 2x1 + λ1 = 0 2x2 + λ1 = 0 x1 + x2 . Modelos de Programación Matemática Programación No . x2=2 . λ1 = -4. luego por existencia de la solución óptima de P) se tiene que la solución óptima es : x1=2 .
Problemas con restricciones de igualdad. De todos modos las condiciones de segundo orden se cumplen pues:  2 0  0 0  2 0  0 2   1  0 0   0 2       es positiva definida.lineal IV. m * * *   f ( x )    h ( x Notar que en x* se tiene:  i i )  4 i1  4  T  4 1 1 T .4.Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación No .
Problemas con restricciones de igualdad. IV. IV. IV. . Métodos de optimización restringida. Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad.Gestión de Investigación de Operaciones II. Introducción y ejemplos.1.lineal Temario: IV.4.2.6. Problemas de optimización no restringida. IV. IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .3. Propiedades básicas de los problemas de programación no-lineal.5.
de igualdad y desigualdad. l En este caso decimos que x^ es un punto regular de las restricciones del problema ssi: . 2. Modelos de Programación Matemática Programación No .. m hr(x) = dr r = 1. 2. .a. con rest.lineal IV. Por último consideramos un problema más general de optimización: P) Min f(x) s. . gi(x) = bi i = 1.Gestión de Investigación de Operaciones II...5.... Prob.
.. g2(x^).i.. l g1(x^).. de igualdad y desigualdad. gi(x^) = bi ... 2.Gestión de Investigación de Operaciones II. con rest.. hj(x^) vectores l. Modelos de Programación Matemática Programación No .lineal IV..5.. . . con j  { r / hr(x^) = dr } . 2. m hr(x^)  dr . r = 1. gm(x^). Prob. i = 1..
l .. gm....5. Sea x^ un punto regular de P) y mínimo local del problema.. g1.Gestión de Investigación de Operaciones II. con rest. de igualdad y desigualdad.lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .. Teorema (condiciones necesarias de primer orden de Karush-Kuhn-Tucker (KKT)). h1. . Prob. r  1. Suponga que las funciones f. 2.. ... . hl son continuamente diferenciables. entonces existen multiplicadores de lagrange:    m y    l ^ m ^ f (x )    i gi (x )  i 1  r (hr (x ^ )  dr )  0 l ^   h ( x  r r )0 r 1 .
lineal Temario: IV. IV. IV.6.2.5. Introducción y ejemplos. Métodos de optimización restringida. IV. . IV.3. Propiedades básicas de los problemas de programación no-lineal.4.Gestión de Investigación de Operaciones II.1. Problemas de optimización no restringida. Modelos de Programación Matemática Programación No . Problemas con restricciones de igualdad. Problemas con restricciones de igualdad y desigualdad. IV.
. Métodos de optimización restringida. se considera k restricciones como de igualdad y se resuelve este problema restringido hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas.6. La idea es que si el problema no restringido tiene una solución óptima que no satisface una parte de las restricciones.Gestión de Investigación de Operaciones II. a) Método de activación de restricciones Este método se aplica en esta descripción a problemas que sólo poseen restricciones de desigualdad.lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .
lineal IV. Si se han tomado todos los conjuntos de k restricciones sin hallar solución factible ir al paso 3. . active otro conjunto de k restricciones y repita el paso. Paso 2: Activar cualquiera de las k restricciones y hallar una solución que satisfaga las condiciones de optimalidad KKT. Si el óptimo satisface todas las restricciones parar. Métodos de optimización restringida.6.Gestión de Investigación de Operaciones II. Paso1: Resuelva el problema no restringido. Si la solución resulta factible para las restantes restricciones parar. hacer k=1 e ir al paso 2. en caso contrario. Modelos de Programación Matemática Programación No . Sino.
lineal IV. Métodos de optimización restringida. Ejemplo. Paso 3: Si k = L (# total de restricciones) no existe solución factible.a.6.Gestión de Investigación de Operaciones II. x1 + 2x2  2 x1 . hacer k= k+1 e ir a paso 2. En caso contrario. Consideremos el problema: Min (2x1 – 5)2 + (2x2 – 1)2 s. x2  0 . Modelos de Programación Matemática Programación No .
El problema no restringido tiene como solución a x1* = 5/2 y x2* = ½ obtenida al resolver: f(x) = 0 Claramente. Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II. Métodos de optimización restringida. .x2) = x1 + 2x2  2.lineal IV.6. este punto no satisface la restricción: h1(x1.
Métodos de optimización restringida. Modelos de Programación Matemática Programación No . x2) = 2 Cuya solución optima es: x1^ = 22/10 = 11/5 x2^ = -1/10  ^ = -12/5 que no satisface x2  0 .Gestión de Investigación de Operaciones II.6.lineal IV. x2) +   h1(x1. Consideramos entonces activa la restricción lineal. esto es resolvemos: f(x1. x2) = 0 h1 (x1.
.lineal IV. Continuando con el método.  3= 0 Notar que otro mínimo local se tiene con x1 + 2x2  2 y x2 = 0 activas. x2 = 0. Métodos de optimización restringida. Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II. si sólo se activa x1= 0 se llega al mínimo local: x1 = 0. obteniéndose: x1 = 2.  1= 0. x2 = ½  2= 0.6.
Modelos de Programación Matemática Programación No . Métodos de optimización restringida. . b) Método de Frank – Wolfe. Este método permite la resolución de un problema cuya función objetivo es una función convexa nolineal y cuyas restricciones son todas lineales. dando así origen a una secuencia de problemas de programación lineal.lineal IV. Este método reemplaza la función objetivo por una secuencia de funciones lineales que la aproximan.Gestión de Investigación de Operaciones II.6.
lineal IV. Modelos de Programación Matemática Programación No .6. Si xk es la actual aproximación a la solución óptima del problema P) Min f(x) s.a. a saber f(x) = f(xk) + f(xk)(x – xk).Gestión de Investigación de Operaciones II. Métodos de optimización restringida. Ax = b x0 Entonces la expansión en serie de Taylor en torno a x =xk. permite aproximar el problema P) por el problema lineal: .
lineal IV.6. Ax = b x0 . Modelos de Programación Matemática Programación No .a. Métodos de optimización restringida. eliminando los términos constantes.a.Gestión de Investigación de Operaciones II. Ax = b x0 o equivalentemente. Min f(xk) + f(xk)(x – xk) s. se puede considerar el problema: PLk) Min f(xk)x s.
6. Si xPLk denota la solución óptima de PLk). Modelos de Programación Matemática Programación No . Métodos de optimización restringida. Todo lo anterior se resume en el siguiente algoritmo: . este punto no necesariamente es cercano a xk de modo que es necesario proponer un punto que resulte de hacer una minimización unidimensional en el segmento que une xk con xPLk.lineal IV.Gestión de Investigación de Operaciones II.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación No . Hacer k = 1. Ax = b x0 . Paso 1: Evaluar c= f(xk-1) Paso 2: Hallar la solución óptima xPLk del siguiente problema lineal Min cT x s.6.a. Pao 0: Escoger un punto inicial factible x0. Métodos de optimización restringida.lineal IV.
Modelos de Programación Matemática Programación No . 1]} . Métodos de optimización restringida. se define g() = f(xk-1 +  [xPLk – xk-1]) Usar algún procedimiento de minimización unidimensional para hallar un  k que aproxime la solución de Min { g() /   [0. 1].Gestión de Investigación de Operaciones II. Paso 3: Para la variable   [0.6.lineal IV.
Métodos de optimización restringida. Paso 4: Hacer xk = xk-1 +  k (xPLK – xk-1) Paso 5: Si se satisface el criterio de parada del método. En caso contrario.lineal IV. parar.6. hacer k = k + 1 y volver al Paso 1. . Modelos de Programación Matemática Programación No .Gestión de Investigación de Operaciones II.
Gestión de Investigación de Operaciones II. Ejemplo.lineal IV. -8) (0. 2) 2/3 2 (0. x2  0 Iteración k x k-1 f(x k-1) xLPk xk k 1 (0. 2) (-5. 7/6) 5/12 . Modelos de Programación Matemática Programación No . Min sa: x12 – 5x1 + 2x22 – 8x2 3x1 + 2x2  6 x1. 0) (5/6.6. Métodos de optimización restringida. 3) (0. 0) (-5. 0) (2.
Inc. M. SIAM Publications.Luenberger. Nonlinear Programming. Philadelphia 1993. Inc. Optimization Software Guide. John Wiley & Sons. Nonlinear Programming.Wright. J. Introducción a la Programación Lineal y No Lineal.Bazaraa. 5. Inc. . Modelos de Programación Matemática Programación No . 1981. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations...Fletcher. SIAM Publications. 4.lineal BIBLIOGRÁFIA EN PROGRAMACIÓN NO LINEAL 1. 2.Gestión de Investigación de Operaciones II. John Wiley & Sons. Athena Scientific USA..Shetty.Bertsekas. New York. SIAM Frontiers in Applied Mathematics 14. John Wiley & Sons.Minoux.Sherali and C. SIAM Classics in Applied Mathematics 16. M. 3. R. Practical Methods of Optimization.Schnabel. 1996. New York. 1986 7. J. D.Moré and S. Adisson Wesley Iberoamericana 1989.Dennis and R. 1995. 6. H. Second Edition 1993. Philadelphia. Mathematical Programming: Theory and Algorithms. D.
ejemplo problema de carteras de inversión: http://www-fp.anl.gov/otc/Guide/faq/nonlinear-programming-faq.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/port/index.mcs.shtml . Modelos de Programación Matemática Programación No .lineal DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN LINEAL PROGRAMACIÓN NO •Preguntas de consulta frecuente en Programación No Lineal: http://www-unix.html •Guía de software de Programación No Lineal en revista OR&MS Today (INFORMS Magazine): http://lionhrtpub.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/unconstropt.Gestión de Investigación de Operaciones II.anl.mcs.html •Servidor NEOS.html http://www-fp. guía de software de Programación No Lineal : http://www-fp.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/constropt.com/software-surveys.anl.html •Servidor NEOS.mcs.
Modelos Probabilísticos Procesos Estocásticos y Cadenas de Markov Sistemas de Espera .Gestión de Investigación de Operaciones Contenidos I.lineal III. Introducción a la Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Programación Entera Programación No.
V. Cadenas de Markov en tiempo continuo.1.4.2. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Proceso de Poisson. . Clasificación de los estados y distribución límite. Introducción.5. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov Temario: V.Gestión de Investigación de Operaciones III. V. V. V.3.
por ejemplo T = {0.. Introducción..). por ejemplo T= [0.Gestión de Investigación de Operaciones III. caso en el cual decimos que el proceso es en tiempo continuo.1.3. donde el conjunto de índices T puede ser un conjunto discreto. Un Proceso Estocástico se define como secuencia de variables aleatorias {Xt} tT..2.1.}. caso en el cual decimos que el proceso es tiempo discreto o bien T puede ser un intervalo. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V. .
1.Gestión de Investigación de Operaciones III. • El número de máquinas descompuestas o en reparación en un determinado taller en el instante t. • El número total de llamadas recibidas solicitando un determinado servicio hasta el instante t. El proceso estocástico {Xt} por ejemplo: tT puede representar • El número de vehículos esperando en una plaza de peaje en el instante t. . Introducción. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V.
entre las 8:00 y 9:40 de la mañana (100 minutos) puede ser representada por un proceso estocástico y una posible realización de éste se observa en la siguiente gráfica: .1. • El valor de una determinada acción en el instante t. Por ejemplo. Introducción. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V. la evolución del número de compradores en una tienda al ser abierta al público.Gestión de Investigación de Operaciones III. • El nivel de inventario de cierto producto al final del día t.
Introducción.1. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de Markov V. 4 Número de 3 compradores en el 2 sistema 1 0 20 40 60 Tiempo (en minutos) 80 100 .Gestión de Investigación de Operaciones III.
Cadenas de Markov en tiempo continuo. V. V. Introducción. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Cadenas de Markov en tiempo discreto.Gestión de Investigación de Operaciones III.1.2. Temario: V. . Proceso de Poisson. V.4. V.5. Clasificación de los estados y distribución límite.3.
ocurridas hasta el instante t.Gestión de Investigación de Operaciones III. que corresponde al número total de eventos o llegada de entidades. . definimos un proceso estocástico de conteo {Nt} t0. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. ii) Los valores de Nt están restringidos a números enteros. Proceso de Poisson. En primer lugar.2. el cual satisface: i) N0=0. a un sistema dado. V.
iii) Nt es un proceso no decreciente en el tiempo.Gestión de Investigación de Operaciones III. V. es decir si s < t entonces Ns  Nt iv) Si s < t entonces Nt – Ns es el número total de eventos en el intervalo (s. Nt denota el número total de llamadas recibidas en una central telefónica hasta el instante t. para todo t  0. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.t] Si por ejemplo.2. Proceso de Poisson. una realización posible del proceso estocástico {Nt} t0 puede ser: .
V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.2.Gestión de Investigación de Operaciones III. Proceso de Poisson. 6 Número de llamadas Nt 5 4 3 2 1 0 Tiempo .
Gestión de Investigación de Operaciones III.s+h] depende sólo del tiempo de duración h y no del instante s. Proceso de Poisson. Un proceso estocástico de conteo {Nt} t0 se dice un proceso de Poisson ssi satisface las siguientes propiedades: i) Incrementos estacionarios. t20 y h0 entonces Nt1+h–Nt1 y Nt2+h–Nt2 son v. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. La probabilidad de que ocurra exactamente k eventos en el intervalo (s. si t10.2. con igual distribución.a. V. es decir. .
Es decir.a. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.. El número de eventos que ocurren durante intervalos de tiempo disjuntos son independientes. Nt1-Nt0. V... Proceso de Poisson. ii) Incrementos Independientes.. .<tn entonces Nt0. iii) Propiedad de orden.Gestión de Investigación de Operaciones III.2. si 0<t0<t1<. Independientes.. . Ntn-Nt(n-1) son v. Se asume que no tiene lugar de manera simultánea la llegada u ocurrencia de dos o más eventos.
Existe una constante  > 0 tal que para todo t [0. esto es .2. la variable aleatoria Nt es una variable aleatoria Poisson de parámetro t.[ y h > 0. V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. entonces para todo t  0.Nt  2) = o(h) Si {Nt}t0 es un proceso de Poisson. Proceso de Poisson. se tiene: IP(Nt+h – Nt =1) = h +o(h) IP(Nt+h .Gestión de Investigación de Operaciones III.
Gestión de Investigación de Operaciones III.. Proceso de Poisson.2.2. k= 0..3. V.. De aquí entonces que IE (Nt) = t Var(Nt) = t .1. donde  es la tasa de ocurrencia de eventos por unidad de tiempo. IP(Nt = k) = -et (t)k / k .. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
entonces . Proceso de Poisson. V. Ejemplo. se sabe que entre 0 y t han ocurrido n eventos. Sea {Nt}t0 dicho proceso.2. Hallar la probabilidad de que en un subintervalo de longitud h haya ocurrido exactamente k de esos eventos. Para un proceso de Poisson a tasa .Gestión de Investigación de Operaciones III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
V.2. Proceso de Poisson.
IP(Nh=k / Nt=n)
= IP(Nh=k, Nt=n) / IP(Nt=n)
= IP(Nh=k, Nt – Nh = n - k) / IP(Nt=n)
= IP(Nh=k)IP(Nt – Nh = n - k) / IP(Nt=n)
= IP(Nh=k)IP(Nt-h= n - k) / IP(Nt=n)
= e-h(h)k / k e-(t-h) ((t-h))n-k / (n-k) /
e-t(t)n k/ n
 h  h   t  h 
=    
 k  t   t 
Suponga que llegan pasajeros a un terminal de
buses de acuerdo a un proceso de Poisson {Nt}t0
a tasa =3 pas./min. En el instante t=0 acaba de
salir un bus y no deja ningún pasajero en la fila,
suponga además que cada bus tiene una
capacidad suficiente para no dejar pasajeros
esperando en el terminal.
Sea T el tiempo que transcurre hasta la próxima
salida de un bus, este corresponde a una v.a.
uniforme en el intervalo (9 min, 11 min) y es
independiente del proceso {Nt}t0. Se desea
calcular el número esperado de pasajeros que
aborda cada bus.
IE(Y  n)   IE(Y / T  t )
11  9
  IE(Nt ) dt
  3t dt
Interesa estudiar sistemas en los cuales ocurren
determinados eventos a través del tiempo. Hemos
utilizado un proceso de Poisson {Nt}t0 para el
número de eventos que ocurran hasta un instante
t, asociado a este proceso también existen v.a.
continuas T1, T2,..., Ti, ... que indican el instante de
ocurrencia del i-ésimo evento y v.a. continuas
S1 = T1, S2 = T2 - T1, ... que representan el tiempo
transcurrido entre eventos sucesivos.
Teorema. Si {Nt}t0 es un proceso de Poisson a
tasa , las v.a. S1, S2, S3, ... de los tiempos entre
eventos sucesivos, son i.i.d. con distribución
exponencial de parámetro . Es decir, para t0
F(t) = IP (Si  t) = 1 – e-t
f(t) = e-t
son sus respectivas funciones de distribución y
Sea {Nt}t0 un proceso de Poisson a tasa . Proceso de Poisson.2. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. . Si la primera ampolleta lleva s horas funcionando. calcular la probabilidad de que complete más de s + t horas funcionando.Gestión de Investigación de Operaciones III. V. Ejemplo. que cuenta el número de veces que se ha reemplazado una ampolleta en una lámpara determinada.
V. correspondiente al tiempo transcurrido hasta que se produce el primer reemplazo. Denotamos por T1 la v. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Proceso de Poisson.a.2.Gestión de Investigación de Operaciones III. luego IP(T1  s  t ) IP(T1  s  t / T1  s)  IP(T1  s) e ( s t )  s   e  IP(T1  t )  t e . Entonces T1  Exp().
Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. esta propiedad es conocida como la falta de memoria de la distribución exponencial. Proceso de Poisson.Gestión de Investigación de Operaciones III.2. Lo anterior quiere decir que el funcionamiento de la ampolleta durante las siguientes t horas no depende de cuantas horas lleva funcionando. . V.
Gestión de Investigación de Operaciones III. Sean Nt1 y Nt2 procesos de Poisson independientes a tasas  1 y  2 que cuentan el número de fallas hasta el instante t de la máquina 1 y 2 respectivamente. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Suponga que en un proceso productivo se tiene dos máquinas que trabajan en paralelo elaborando un mismo producto. Calcular la probabilidad de que la máquina 2 falle por primera vez antes de que la máquina 1 falle por primera vez. V. Ejemplo. Proceso de Poisson. .2.
Sean T1 y T2 los tiempos transcurridos hasta que se produce la primera falla en la máquina 1 y 2 respectivamente. IP (T2<T1 ) =  2/( 1 + 2) . Proceso de Poisson. V. Entonces. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. T1  Exp( 1) y T2  Exp ( 2) y se pide calcular IP(T2<T1) lo cual resulta.2. condicionando por ejemplo en el valor de T1.Gestión de Investigación de Operaciones III.
2. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Proceso de Poisson.Gestión de Investigación de Operaciones III. Condicionando el valor de T1 se tiene: IP(T 2  T 1 )   IP(T 2  T 1  t ) 1e   dt 1   IP(T 2  t ) 1e   t dt 1   IP(1  e   t ) 1e   t dt 2 1  1   1  e (    ) t dt 1 2  1   1 /( 1   2 )   2 /( 1   2 ) . V.
de los instantes de ocurrencia de los eventos satisfacen: T1 = S1  Exp () T2 = S1 + S2  Gamma (2.. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Ti = S1 + S2 + .T2.Gestión de Investigación de Operaciones III. V. + Si  Gamma (n. las variables aleatorias T1..) .. Proceso de Poisson.2.. . ..) . Por otra parte..
Gestión de Investigación de Operaciones III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.2. Cuya función de distribución corresponde a: k (  t ) IP(Ti  t )  1   e  t k! k 0 n 1 . V. Proceso de Poisson.
4. V. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Clasificación de los estados y distribución límite. . V. Temario: V.5. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Proceso de Poisson.Gestión de Investigación de Operaciones III.3.1. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.2. V. V. Introducción.
Consideremos un ejemplo simplificado relacionado con la propagación de una enfermedad contagiosa.Gestión de Investigación de Operaciones III. Asuma que una vez que una persona ha sido infectada queda inmune. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.3. V. Cadenas de Markov en tiempo discreto. una vez que ha sido tratada. . Sea p la probabilidad de que durante una semana cualquiera un individuo infectado le transmita la enfermedad a uno susceptible. La transmisión de la enfermedad se produce desde un individuo infectado a uno susceptible. Consideremos periodos semanales.
.3.. Sea Xn el número de individuos susceptibles de contagio en la población.2. V. Cadenas de Markov en tiempo discreto. pij  IP(X n1  j / X n  i) . al final de la semana n=1.. como la Se define probabilidad de que haya j individuos susceptibles al final de la semana n+1 dado que hay exactamente i individuos susceptibles al final de la semana n (i  j ). Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.Gestión de Investigación de Operaciones III.  i  i j Entonces: pij    p (1  p) j  j .
X 1  i1 .. . X n  i)  IP(X n1  j / X n  i) Donde i0. se denomina una Cadena de Markov en tiempo discreto ssi satisface las siguientes propiedades: i) Propiedad Markoviana: IP( X n1  j / X 0  i0 ...... V.Gestión de Investigación de Operaciones III..2. . i. Cadenas de Markov en tiempo discreto. X n1  in1 .. Un proceso estocástico en tiempo discreto {Xn}n=1.3. i1. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.. in-1. j son posibles “ estados” o valores que puede tomar el proceso estocástico en las distintas etapas...
a. ii) Propiedad estacionaria: pij  IP(X n1  j / X n  i) . . Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. M..2.. no La probabilidad depende de la etapa n..3. estas probabilidades definen una matriz P de probabilidades de transición en una etapa. V. Suponiendo que cada etapa n la v. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Xn toma un número finito de valores (estados). Las probabilidades pij son llamadas “probabilidades de transición en una etapa del estado i al estado j “. digamos 1.Gestión de Investigación de Operaciones III.
3..M p  (M1)1 p (M1)2  pM1 p M2    p (M1)M  pMM   . Cadenas de Markov en tiempo discreto.Gestión de Investigación de Operaciones III.M   j1.... p11 p 21    p12 p 22   p1M  p 2M   P  (pij )i1. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.
3. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.Gestión de Investigación de Operaciones III. donde :  IP(X 0  1)   IP(X  2)  0 f0      IP(X  M)   0  . Adicionalmente. se supone conocida la distribución de probabilidad de la Cadena de Markov en la etapa inicial. Cadenas de Markov en tiempo discreto. que denotamos según f0 . V.
. El conocimiento del proceso estocástico {Xn}n=0. Cadenas de Markov en tiempo discreto.. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII..2. esto es calcular IP (Xn = j) para cada n  1 y estado j= 1..2.consiste en poder determinar la distribución de probabilidad en cada etapa.3.1... Notar que para cada j: IP(X n  j)   IP( X n  j / X n1  i) IP(X n1  i) i   pij IP(X n1  i) i ..M. V..Gestión de Investigación de Operaciones III..
V.Gestión de Investigación de Operaciones III. Cadenas de Markov en tiempo discreto. Matricialmente esto equivale a tener:  IP(X n  1)   p11 p 21   pM1   IP(X  2)   p  p   p n 12 22 M2     fn               IP(X n  M)  p1M p 2M   pMM  De manera recursiva se tiene entonces: fn = PT fn-1 = (PT)n f0  IP(X n1  1)   IP(X   2 ) n 1         IP(X n1  M)  . Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.3.
P (k )  (pij(k ) ) Estas satisfacen las ecuaciones de Chapman y Kolmogorov que implican: P(k) = Pk . que denotamos por : pij(k )  IP(X nk  j / X n  i)  IP(X k  j / X 0  i) Que resumidas en una matriz ( para el caso de un número finito de estados). Cadenas de Markov en tiempo discreto. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.Gestión de Investigación de Operaciones III. También es posible obtener las probabilidades de transición de un estado a otro al cabo de k etapas.3.
Cadenas de Markov en tiempo discreto. tiene la siguiente distribución: IP (D = 0) = 1/4. Ejemplo 1. se . que consiste en que si al final del día se posee menos de s. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. IP (D = 2) = 1/4. IP (D >= 3) = 0 Sea Xn el nivel de inventario al inicio del día n y suponga que la tienda tiene la política de mantención de inventario (s. IP (D = 1) = 1/2.Gestión de Investigación de Operaciones III. V.3. La demanda diaria D. S). Considere una tienda que mantiene un inventario de un producto dado para satisfacer una demanda (aleatoria).
Cadenas de Markov en tiempo discreto. 2. . no se pide nada.. V. Se tiene que: Xn  {1.. . hace una orden de pedido que al inicio del día siguiente eleva las existencias al nivel S y en caso contrario. 2} .3. 1. n = 0. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.Gestión de Investigación de Operaciones III. Asuma que la demanda no satisfecha es demanda perdida y que al inicio del horizonte de planificación hay S unidades en inventario con s = 1 y S = 2.
3. V.2} p11  IP(D  0)  1/ 4 p12  IP(D  1)  3 / 4 p 21  IP(D  1)  1/ 2 p 22  IP(D  0)  IP(D  2)  1/ 2 .  IP(x 0  1)   0 f      1  IP(x 0  2) pi. Cadenas de Markov en tiempo discreto.Gestión de Investigación de Operaciones III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. i. j  {1. j  IP( X n1  j / X n  i) 0 .
Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.3.Gestión de Investigación de Operaciones III. Cadenas de Markov en tiempo discreto. V. Entonces la matriz de probabilidades de transición en una etapa corresponde a:  1/ 4 3 / 4  P  1 / 2 1 / 2   .
Cadenas de Markov en tiempo discreto.Gestión de Investigación de Operaciones III.3. la superintendencia está preocupada de que las cuentas individuales estén al día. . Suponga que en el sistema de las AFP existen solo 2. Para ello ha establecido un sistema de control basado en el siguiente procedimiento: al final de cada mes escoge una persona al azar de los N existentes en el sistema. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. las AFP A y las AFP B. Ejemplo 2. V. Sea N el número de personas afiliadas al sistema.
V.3. Cadenas de Markov en tiempo discreto.
Si la AFP a la cual pertenece la persona no tiene
su cuenta individual al día; la persona es
traspasada de inmediato a la otra AFP, en caso
contrario la deja en la AFP en la que estaba.
Suponga que la probabilidad de que un afiliado en
la AFP A tenga su cuenta al día es P1 y que esta
probabilidad para la AFP B es P2.
Se desea estudiar la movilidad de los clientes en
cada AFP en cada mes del horizonte de
Xn: el número de personas en la AFP A al final del
mes n; con n = 0, 1, 2, ..., n
xn  {0, 1, 2, ..., N}
Calculemos las probabilidades de transición en
una etapa (mes)
pi,i1  (1  P1 ) ; 1  i  N  1
(N  i)
pi,i  P1 
pi,i1 
(1  P2 )
pij  0 ; j  i  1, i, i  1
p 0,0  P2
p 0,1  (1  P2 )
pN,N1  1  P1
pN,N  P1
p 0, j  0 j  0,1
pNj  0 j  N  1, N
V.4. Clasificación de los estados y distribución
V.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
V.4. Clasificación de los est. y distribución límite.
En esta sección se presentan algunos resultados
que tienen relación con la existencia y cálculo de
una distribución para la Cadena de Markov en el
largo plazo. Previamente, se enumeran algunas
definiciones que clasifican los estados de una
i) Un estado j se dice accesible desde el estado i
ssi para algún n
pij(n)  IP(X n  j / X 0  i)  0
ii) Si tanto el estado i es accesible desde j como
viceversa decimos que los estados i y j se
iii) Dos estados que se comunican están en una
misma clase de estados.
iv) Se dice que una cadena es irreducible si hay
una sola clase de estados.
v) Un estado se dice que tiene periodo d, para el
mayor valor del entero d que cumple:
pii(n)  IP(X n  i / X 0  i)  0
sólo para valores de n pertenecientes al conjunto
{d, 2d, 3d, ....}. Si d=1 decimos que el estado es
j)  IP(X k  j. .. De igual modo se define: Fk (i. V.. j)  k ) es decir : Fk (i.4. X 1  j / X 0  i) como la probabilidad de que comenzando en i. Clasificación de los est. j)  IP(T (i. vi) Se define T(i.. X k 1  j..j) como el número de etapas requeridas por el proceso para pasar de estado i al estado j por primera vez.Gestión de Investigación de Operaciones III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. ocurra la primera transición al estado j al cabo de exactamente k etapas. y distribución límite.
Gestión de Investigación de Operaciones III. la siguiente formula: F1 (i. m j k1 vii) En particular. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.4. V. i) k 1 . Clasificación de los est. Puede probarse por inducción. j). i)    Fk (i. y distribución límite. se denota por Fk(i. j)  pij Fk  (i.i) la probabilidad de que el proceso retorne al estado i por primera vez al cabo de k etapas. De modo que: F(i. j)   pim Fk 1(m.
que es la probabilidad que partiendo en i . Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.i)< 1  IE ( T ( i . viii) Un estado se dice recurrente ssi F(i. . i) . y distribución límite.i) = 1 ix) Un estado se dice transciente ssi F(i. el proceso regrese al estado i alguna vez.Gestión de Investigación de Operaciones III. V. el valor esperado x) Sea de el número de etapas que le toma al proceso volver al estado i por primera vez.4. Clasificación de los est. i ))  k 1k Fk (i. partiendo del estado i.
i))   Un estado se dice recurrente nulo ssi : F(i.Gestión de Investigación de Operaciones III. Un estado se dice recurrente positivo ssi: F(i. Clasificación de los est. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. i))   . i)  1 y IE(T (i. i)  1 y IE(T (i. y distribución límite. V.4.
Clasificación de los est.4. y distribución límite.Gestión de Investigación de Operaciones III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. . V. Ejemplo 0   1/ 2 1/ 2 p   0 1/ 3 2 / 3    1/ 3 1/ 3 1/ 3  Define una cadena de estados irreducible con estados recurrente positivos periódicos 0   1 1/ 2 p   1/ 2 1/ 6 1/ 3     1/ 5 3 / 5 1/ 5  Posee dos clases de estados y uno de los estados es transciente.
Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. y distribución límite. de estados recurrentes positivos y todos sus estados son periódicos de periodo d=2.4. .Gestión de Investigación de Operaciones III. V.  0  1/ 2 p  0  1  1 0 0 1/ 2 0 0 0 0 0 0  1 0 Es una cadena irreducible. Clasificación de los est.
4. y distribución límite. decimos que el proceso tiene una distribución estacionaria  1 2 M T  j  lim IP(X n  j)  lim pij(n) n  n  . Clasificación de los est. Si la distribución de probabilidad del proceso en el largo plazo existe y es independiente de la distribución inicial (o del estado inicial). Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.Gestión de Investigación de Operaciones III.
Proposición.2 una cadena de Markov irreducible con estados recurrentes positivos aperiódicos. entonces existe una distribución estacionaria . Sea {Xn}n=0.1.Gestión de Investigación de Operaciones III. y distribución límite. Clasificación de los est. V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. tal que  > 0 y que se obtiene como la solución única del sistema:   PT   j  1 j j  0 .4.
4. y distribución límite. Clasificación de los est. V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Se desea calcular las probabilidades estacionaria  j.Gestión de Investigación de Operaciones III. que también representan la fracción del tiempo que el sistema esta en el estado j en el largo plazo 1/2 1/2 0   1/ 2 1/ 2 p   0 1/ 3 2 / 3    1/ 3 1/ 3 1/ 3  1 1/3 1/3 T P  1   2   3  1 2 2/3 3 1/3 1/3 . Ejemplo.
Sistema que ecuaciones: (1) (2) (3) (4) corresponde a las 1 1 1   3 2 3 1 1 1  2  1   2   3 2 3 3 2 1 3  2  3 3 3 1   2   3  1 1  siguientes .4. Clasificación de los est.Gestión de Investigación de Operaciones III. y distribución límite. V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.
y distribución límite. V.Gestión de Investigación de Operaciones III. de de 2 (1) 1   3 3 (2)  2   3 2 así 3  3  3  1 3 1 3  Solución 1  2  3  4 8 . Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.4. Clasificación de los est.
2 0. Clasificación de los est.1 2 0.05 0.Gestión de Investigación de Operaciones III.02 3 0.1 0. V. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes: 1 2 3 1 0.4.95 0. y distribución límite.03 0. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Ejemplo: Una compañía esta considerando emplear cadenas de markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto.75 .8 0.
30  0.05 0.75  . V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Clasificación de los est. 25% y 30%. En la actualidad los porcentajes de mercado son 45%.2 0.8 P   0.95 0.  IP(X 0  1)  0.4.3}: marca que adquiere un cliente cualquiera en el mes n=0.45  f 0   IP(X 0  2)  0..02     0.1 0.3...25     IP(X 0  3)  0.Gestión de Investigación de Operaciones III.03 0. respectivamente.2. ¿Cuales serán los porcentajes de mercado de cada marca en dos meses más? xn{1.2. y distribución límite.1.1   0 .
Al término del mes siguiente:  IP(X 1  1)  0.2550  .Gestión de Investigación de Operaciones III.2975     IP(X 1  3)  0. y distribución límite. V.2750  Y dos meses después:  IP(X 2  1)  0. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.4059  f 2  P T f 1   IP(X 2  2)  0. Clasificación de los est.4275  f 1  P T f 0   IP(X 1  2)  0.3391    IP(X 2  3)  0.4.
V. las probabilidades estacionarias de largo plazo.91% y de un 30% a un 25.59%.2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la cuota de mercado en el largo plazo para cada una de las marcas? La cadena resultante es irreducible con estados recurrentes positivos y aperiódicos . Denotando por =( 1. De aquí las cuotas de mercado en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.Gestión de Investigación de Operaciones III.4.  2. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Clasificación de los est.50%. las cuales satisfacen: . de un 25% a un 33.  3)T. para las marcas 1. y distribución límite.
6184  3= 0. y distribución límite.2373  2= 0. V.20  3  2=0.Gestión de Investigación de Operaciones III. =PT    i = 1 . Clasificación de los est.8  1+ 0.1443 . i = 1.02  2+0.3.03  2+0.05  3  3=0.95  2+0. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.10  1+ 0.  1=0.10  1+ 0.75  3  1 +  2+  3 =1 Cuya solución resulta:  1= 0.2.4.
84% y 14.Gestión de Investigación de Operaciones III. V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.43% para las marcas 1. Notar que las actuales cuotas difieren significativamente de las cuotas obtenidas en el largo plazo lo cual puede implicar que de alguna manera deban ser corregidas las probabilidades de transición. 61. Clasificación de los est.2 y 3 respectivamente. . De aquí que la cuotas de mercado en el largo plazo resultan ser 23. y distribución límite.4.73%.
V. Clasificación de los estados y distribución límite. . Cadenas de Markov en tiempo discreto. Introducción. V. Proceso de Poisson.4.Gestión de Investigación de Operaciones III.1. V.5.3. Temario: V.2. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V.
Gestión de Investigación de Operaciones III. . V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Xt: número de máquinas funcionando correctamente en un taller en el instante t. Xt: número de personas esperando ser atendidas en el banco o en el supermercado en el instante t.5. Se desea estudiar el comportamiento de sistemas que dependen en forma continua del tiempo: Xt: número de ambulancias disponibles en el instante t. Cadenas de Markov en tiempo continuo.
5. 0  u  t.Gestión de Investigación de Operaciones III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V. X t  i)  IP(X t  s  j / X t  i) Propiedad Estacionaria IP(X t  s  j / X t  i) . Propiedad Markoviana: IP(X t  s  j / X u  X(u). . Cadenas de Markov en tiempo continuo. no depende de t. sólo de s.
V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.Gestión de Investigación de Operaciones III. Cadenas de Markov en tiempo continuo.5. Una realización posible del proceso estocástico es: 4 3 Xt 2 1 t .
Cadenas de Markov en tiempo continuo. . V. .5.Gestión de Investigación de Operaciones III. Se necesita explicitar: i) Probabilidades de transición pij (asumiendo pii=0) ii) Tasas vi de los tiempos exponenciales Ti de permanencia en el estado i.Se necesitan las probabilidades de que ocurra un “salto” de un estado a otro. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. ¿Cómo representar el proceso? .La distribución de los tiempos de permanencia en un estado.
Cadenas de Markov en tiempo continuo.5. V. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.Gestión de Investigación de Operaciones III. Distribución de Xt : pij (t )  IP(X t  j / X 0  i) Estas probabilidades satisfacen: d pij (t )   pik (t )vkpkj  v jpij ( t ) dt k j Si existe una distribución estacionaria:  j  lim pij (t ) t  .
5.. Cadenas de Markov en tiempo continuo. V.  j  1 k j j O equivalentemente el sistema: v j j   k vkpkj .. j  1. k j  j  1 j .2.. La ecuación diferencial anterior provee el siguiente sistema de ecuaciones para las probabilidades estacionarias (de existir): 0  k vkpkj  v j j . Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. j  1.Gestión de Investigación de Operaciones III.2....
Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. El tiempo que le toma a una grúa descargar un tren es exponencial a tasa . En esta unidad existen c grúas ( c < N) para descargar los trenes.Gestión de Investigación de Operaciones III. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Ejemplo : En el puerto de Valparaíso existen N trenes encargados de traer cargas de contenedores desde los buques hasta una unidad de descarga. Un tren deja la unidad de descarga cuando la grúa termina de atenderlo y vuelve con una nueva carga después de un tiempo exponencial de tasa . Formular un modelo que nos permita obtener en el largo plazo : . V.5.
5. .. V..Gestión de Investigación de Operaciones III.2. Cadenas de Markov en tiempo continuo.Número medio de grúas que se encuentran atendiendo trenes Fracción del tiempo en que hay al menos una grúya desocupada Xt : El número de trenes que están en la unidad de descarga (Xt {0.Número medio de trenes esperando ser atendidos en la cuidad de descarga .N}) Si existen 0  j  c trenes en la unidad de descarga vj= j + (N – j)  .1. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII...
. Cadenas de Markov en tiempo continuo. V.5.Gestión de Investigación de Operaciones III. el tiempo que transcurre con j trenes en la unidad de descarga es una v.a. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Exponencial correspondiente al mínimo entre los tiempos que transcurren hasta que se descarga completamente un tren de los j existentes en dicha unidad y los tiempos que transcurren hasta que retorna uno de N – j trenes que vuelve con carga. Es decir.
j )  / (j  + (N – j ) ) Esto es.Gestión de Investigación de Operaciones III. las probabilidades que se termine de descargar un tren antes de que vuelva uno con carga y viceversa.j-1= j  / (j  + (N – j ) ) j>0 pj.5. Cadenas de Markov en tiempo continuo. las únicas posibles transiciones son: pj.j+1=( N. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. V. . Además.
j-1= c  / (c + (N – j ) ) pj. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.5.Gestión de Investigación de Operaciones III. Análogamente si c < j  N resultan: estos parámetros vj= c + (N – j)  pj.j )  / (c + (N – j ) ) (jN) .j+1=( N . V.
Cadenas de Markov en tiempo continuo. V. En este caso las ecuaciones que determinan las probabilidades estacionarias :  j  lim pij ( t ) t  Resultan ser las siguientes: N  0 [ + ( N – 1 )] . [c + ( N – c ) ]  C .. [c + ]  N-1 = = N  0  1 + 2  2 = (N –( c – 1))   c-1 + c   C+1 = 2   N-2 + c  N .... Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.Gestión de Investigación de Operaciones III.5.
5.+  N = 1 Así... V. c   N =  N-1  1+  1+. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII.Gestión de Investigación de Operaciones III. el número de trenes esperando ser atendidos en la unidad de descarga es : N  (n  c) n n c El número promedio de grúas atendiendo trenes c N n 1 n c 1  n n   c n . Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Cadenas de Markov en tiempo continuo.5. V.Gestión de Investigación de Operaciones III. Modelos Probabilísticos Ptrocesos Estocásticos y Cadenas de MarkoIII. Y la fracción de tiempo en que hay al menos una grúa desocupada es : c 1  n n 0 .
Mc. 3. Introduction to Probability Models.M. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal BIBLIOGRÁFIA EN MODELOS PROBABILÍSTICOS 1. S.Gestión de Investigación de Operaciones II.M.M. Dover Publications. Santiago. Applied Probabability Models with Optimization Applications. 1995. Ross. Ediciones Universidad Católica. P. S. 4. 2000. W. New York. Modelos Estocásticos para la Gestión de Sistemas. 2.D. A. Kelton. Third Edition. New York. Inc.Graw Hill. Ross. 1980. Academic Press. Simulation Modeling and Analysis. . 1992. Gazmuri. New York. Law.
Gestión de Investigación de Operaciones III.edu/faculty/wjyurci/nsfteachsim/indexnew. Modelos Probabilísticos Sistemas de Espera DIRECCIONES ELECTRÓNICAS EN MODELOS PROBABILÍSTICOS •Sección de simulación en INFORMS: http://www.informs-cs.html .org/ •Simulation Education Homepage: : http://www.acs.ilstu.
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