Source: https://www.scribd.com/document/100573999/vite-ludica
Timestamp: 2017-07-22 23:00:43+00:00

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vite ludicaUploaded by Cecej Tacuba AhuachapanRelated InterestsNumbersNatural NumberSubtractionMultiplicationQuantityRating and Stats0.0 (0)Document ActionsDownloadShare or Embed DocumentEmbedView MoreCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentNÚMERO Y OPERACIONESEJE
En el momento en que mueve alguno. Respetando el orden de la ronda. por ejemplo. Desarrollo: en cada grupo. cada uno cuenta el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cada palito. de 5 en 5 y de 10 en 10 Materiales: para cada grupo. es decir que tengan que contar hasta números más grandes que los conocidos. y en distintas posiciones. Los palitos quedarán entonces sobre la mesa. cada jugador levanta de a uno los palitos sin mover los demás. el trabajo de reflexión sobre qué se repite y qué varía en cada uno se apoyará en la posibilidad de leer y escribir los números y a la vez contribuirá a ampliar estos conocimientos. En la primera vuelta. Se asigna 20 puntos extras al primero que obtiene su puntaje total. 5 para el verde y 10 para el azul. la siguiente actividad. basada en un juego clásico y bastante difundido. se podrá proponer. debe dejar el turno al siguiente jugador. Plantear situaciones para determinar cantidades y posiciones El avance en el dominio del conteo se puede dar en la medida en que planteemos situaciones que apunten a la extensión de la serie numérica. probablemente los chicos usarán variadas estrategias para averiguar el puntaje total. Organización del grupo: se divide la clase en grupos de 2. “El que mueve pierde”: contar de 2 en 2.
. 3 o 4 alumnos. las intervenciones tendrían que apuntar a la conveniencia de organizar los palitos obtenidos por colores y luego realizar el conteo. los coloca en posición perpendicular a la mesa y luego los deja caer. descontar desde cualquier número. Cuando no quedan palitos sobre la mesa.>
Cuando se apunte al trabajo con regularidades y se consideren distintos tramos de la serie numérica. Estas situaciones podrán requerir contar de 1 en 1 a partir de 1 o desde un número cualquiera. Más adelante en el año. se puede proponer que jueguen varias vueltas y que el conteo parta desde el número registrado en la vuelta anterior. un juego de palitos chinos o 30 palitos de madera pintados de 3 colores diferentes. A cada color se le asignará un puntaje. un alumno toma con una mano todos los palitos. por ejemplo: 2 para el rojo. de 5 en 5 o de 10 en 10. superpuestos o no. Para este último caso. y también contar de 2 en 2.
2 puntos. los tutores de plantas colocados con una distancia fija entre ellos. al final de este Cuaderno. los tomates recogidos en una huerta o los troncos de árboles talados. por ejemplo pelotitas de papel o chapitas. 5 puntos y en el tercero. como las sillas ordenadas en filas de 10 en el salón de actos. También podemos presentar situaciones en las que sea necesario contar los elementos ordenados de una colección numerosa. en un tiro al blanco donde los diferentes puntajes están en el blanco y cada acierto en un sector vale 10 puntos. Las citas completas de los textos mencionados en este Eje se encuentran en la “Bibliografía”. en otro. los ravioles en las planchas. Por ejemplo.Eje
Otros juegos en los que hay que hacer un recuento de puntaje pueden dar lugar al uso de distintas escalas. los bancos puestos de a 5 en cada mesa en el comedor de una escuela. Otras situaciones propicias para contar colecciones numerosas que. en principio.2
Recomendación de lectura: se recomienda la lectura de la secuencia “El coleccionista” desarrollada en el Cuaderno para el aula: Matemática 1. en la que los alumnos tienen que contar “grandes colecciones” desordenadas.
. no están ordenadas. o en un juego de embocar objetos en una lata donde los distintos puntajes se asignan a los colores de los objetos que se tiran. son los votos de todos los alumnos de la escuela o de varios grados cuando se elige el nombre de la biblioteca o del periódico escolar.
…. primero los más chicos y luego los más grandes. que todavía no han sido objeto de enseñanza y. Veamos unos ejemplos. ya que agrupar los objetos facilita y permite que se haga más rápido el conteo de la colección. Es probable que algunos alumnos. puede representar convencionalmente algunos números y otros de manera no convencional. podemos tanto analizar los procedimientos utilizados como las dificultades encontradas.) y después se apropian de la escritura de los números que se ubican en los intervalos entre los nudos. 5 sillas por mesa o 10 butacas por fila). Estas escrituras erróneas aparecen al plantear como problema la escritura de números “grandes”. Diego comienza a escribir el “trescientos” pero continúa escribiendo el 54 de manera convencional porque ya lo conoce. Los niños aprenden primero a escribir algunos nudos o números redondos (10. debemos tener en cuenta que un mismo niño. Conoce cómo se escriben convencionalmente algunos de dos y tres cifras (54 y 154) y también algunos nudos (400 y 500). Plantear situaciones para analizar la escritura de los números En 2o año/grado.>
Luego de contar los elementos de las colecciones. Es posible entonces. Convendrá también proponer situaciones en las que tenga sentido contar para atrás o descontar. al contar los elementos de 1 en 1. es decir. los alumnos pueden llegar a descubrir las ventajas de ciertos procedimientos a partir del intercambio sobre cómo lo hizo cada uno. Diego se apoya en la información que extrae de la “numeración hablada”. Para escribir 354. al apoyarse en la información que extraen de la forma de nombrar los números. lo que da cuenta de la descomposición aditiva 300 + 50 + 4. 1000. 20. o descubrir la regularidad de los elementos en la repetición (por ejemplo.
. etc. Así.
En este caso. podemos preguntarnos qué sabe Diego de los números. en algunos casos. Entonces. subsisten aun cuando se hayan trabajado. Las investigaciones didácticas muestran que el aprendizaje de la escritura convencional de los números no sigue el orden de la serie numérica. prepararse para una carrera y cuando se llega a 0 salir corriendo. 200. por ejemplo. el 354 se lee trescientos cincuenta y cuatro. hayan “perdido la cuenta” en más de una oportunidad mientras que otros pueden armar grupos o montoncitos con los objetos. como para indicar el momento exacto para comenzar una actividad a partir de la “cuenta regresiva”. …. 100.
C. A partir de la confrontación entre las diferentes escrituras numéricas de los alumnos y entre las argumentaciones con que ellos las fundamentan. ¿están bien escritos así?
Se podría generar un espacio de intercambio en el cual los alumnos pueden explicitar y discutir sus ideas. I. D.. unos chicos lo hicieron de este modo. (comps. por lo que pueden llegar a la conclusión de que si el cuatrocientos es mayor que el trescientos cincuenta y cuatro.) (1994). y Saiz. en: Parra. en general. es posible que sus hipótesis entren en contradicción y que avancen hacia la notación convencional.
. “El sistema de numeración. aprovechar estas producciones para que los chicos avancen en el conocimiento de la serie al confrontar las distintas escrituras que aparecen.
Recomendación de lectura: para profundizar en el conocimiento de las hipótesis de los alumnos acerca de la escritura de los números. y Sadovsky. ya saben que el 400 es mayor que el 354 y también que los números más grandes tienen igual o más cifras. se recomienda la lectura de Lerner. este último no puede tener mayor cantidad de cifras.3 Un problema a plantear para analizar escrituras tanto si esas escrituras se han producido en clase como si esto no ha ocurrido sería: al escribir trescientos cincuenta y cuatro y cuatrocientos.Eje
desde el enfoque que planteamos. P. Ellos. Un problema didáctico”.
será posible abrir un espacio de discusión para que los alumnos expliciten las razones por las que pueden afirmar que un número es mayor o menor que otro. comparan los números logrados y se anota un punto el que armó el mayor. Dani el 954 y María sacó un 9 y un 7.4 .800 que pudo escribir.7. Esto permitirá volver a ellas en el caso de que alguna nueva situación así lo requiera. entre 300 y 500”. se pueden plantear problemas que simulan situaciones de juego en los que deberán tener en cuenta las conclusiones a las que arribaron en la discusión posterior. • Nico sacó las cartas con las cifras 3 . se puede indicar que ganará la mano aquel que logre formar “el menor número posible” o “un número que esté en un intervalo determinado.5 Después de jugar.
.6 . • Con las cartas 2 .5 . Luego de jugarlo varias veces. Esto les permitirá arribar a nuevas conclusiones. Podemos introducir variantes a este juego modificando la consigna. Martín recibió tres cartas con las cifras 3 . • Juan armó el número 973.9. En este sentido. por ejemplo. escribí todos los números diferentes que se pueden armar y ordenalos de mayor a menor. Indicá cuál es el mayor número y cuál el menor que puede formar. Indicá todos los números del intervalo 500 . Al cabo de cuatro vueltas. Luego.Eje
Desarrollo: se reparten al azar 3 cartas a cada integrante y se les solicita que cada uno arme el mayor número posible. sería interesante que queden registradas en los cuadernos de clase algunas conclusiones como: el que tiene un número más grande a la izquierda es mayor o cuando dos números empiezan igual nos tenemos que fijar en el número siguiente para saber cuál es el más grande. ¿Cuál es la tercera carta que le tocó si formó un número que está entre el que armó Juan y el de Dani? ¿Hay una única posibilidad?
En el apartado “Los contextos” de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” en este Cuaderno se plantea la necesidad de articular el juego con otras actividades para que este pueda constituirse en un recurso de enseñanza.8. es decir. el ganador es el que obtiene más puntos.
cuáles tienen efectivamente disponibles para la resolución del juego. “Averiguar el número”: establecer relaciones entre números Organización del grupo: en equipos de hasta 4 participantes. Para iniciar el debate se puede plantear: un chico me dijo que encontró tres soluciones para el segundo caso. “es menor que…”. entre 0 y 100. Esas preguntas y sus respuestas no deben ser escuchadas por el resto de los grupos. “empieza con…”. “termina en…”. A partir de este juego se pretende que los chicos utilicen relaciones como “es mayor que…”. Cada grupo puede anotar lo que necesite para registrar su trabajo. Por ejemplo:
Al finalizar la resolución individual.
. Los participantes de cada grupo tendrán que realizar preguntas que se puedan responder por “sí” o por “no” para averiguar el número pensado. si no es utilizado por los niños.>
Luego. En el transcurso. ¿es posible? ¿Y para los otros? Otro tipo de actividad que permite a los alumnos establecer relaciones entre los números de un cierto intervalo seleccionado convenientemente es el siguiente. “está entre… y …”. el docente podrá tomar información acerca de las relaciones que usan los alumnos. La representación en una banda de números o una recta numérica del intervalo inicial y los fragmentos que se van descartando es un modo de registro que. puede ser introducido por el docente. es decir. se pueden proponer otros problemas que permitan establecer relaciones del mismo tipo. Desarrollo: el maestro piensa un número perteneciente a un intervalo determinado previamente. se puede generar una discusión acerca de la cantidad de soluciones que admiten estas situaciones. por ejemplo. y en función de la confrontación de las respuestas de los alumnos. Gana el grupo que averigua el número con menor cantidad de preguntas.
Esta forma de descomposición.. en general. Las características que se repiten en cada tramo se dan tanto en lo oral como en lo escrito. es posible proponerles que exploren tramos de la serie numérica escrita para establecer relaciones entre los números y analizar regularidades.Eje
Después de dos o tres partidas. es necesario respetar algunas reglas: cuando se usa más de un símbolo. el valor del símbolo es 10 veces mayor que en la posición a su derecha. Por ejemplo. decenas y centenas. Esto puede aprovecharse para relacionar la “numeración hablada” (la forma de decir los números) con la escrita. Esto no ocurre en el tramo del 11 al 15 porque sus nombres no comienzan con “dieci” ni en el caso de los “veinti. Esta descomposición.” con el 3 o los “ochenti. es posible pedirles que anoten las preguntas que van haciendo. Así. Al finalizar el juego. según la posición de cada cifra. Para escribir una cantidad en este sistema. corresponden a los “treinti”: treinta y uno .
. etcétera. como la suma de sus “partes”. denominada aditiva. 32. comprender que 345 es 3 centenas. treinta y dos. se podrá entonces discutir respecto de cuáles son las mejores preguntas para ganar. habitualmente se presentan las unidades. otro para los “cienes”. sus respuestas y los números que fueron descartando a partir de ellas. etc. Para conocer el sistema de numeración El sistema de numeración decimal es un modo de representar cantidades que tiene características propias: usa un conjunto de diez símbolos entre los cuales el cero tiene una función especial y cada símbolo tiene un valor distinto según la posición que ocupe en el número. resulta más adecuada a las posibilidades que tienen los niños para iniciarse en el conocimiento del sistema de numeración.” con el 8..” ya que no se asocian con el 2 del mismo modo que los “treinti. Así. las decenas como grupos de 10 unidades. 33... para decidir cuánto vale una cifra en cada posición.. y en cada posición. aunque se escriba solo como 3 c. es decir. las centenas como grupos de 100 unidades (o de 10 decenas). se apoyan en la forma de nombrarlos: hay un lugar para los “dieces”. Ellos. 4 d y 5 u es una descomposición que involucra la multiplicación y es frecuente que se utilice antes de haber iniciado la enseñanza de la multiplicación. Este abordaje se centra en la idea de agrupamiento y en la descomposición del número en unidades. Otra manera de iniciar el estudio de la serie es considerar como punto de partida las ideas de los niños cuando tienen que interpretar números. a 31. treinta y tres. 4 decenas y 5 unidades implica pensar el 345 como 3 x 100. Al abordar en la escuela el trabajo de interpretación y escritura de números. La forma de nombrar los números da lugar a pensarlos como ya planteamos. 4 x 10 y 5 x 1.. estos se escriben en forma horizontal. cuáles son las que permiten descartar mayor cantidad de números.
los números de la primera columna terminan en 0. Así. todos empiezan pero terminan igual: “veintiuno. cuarenta y uno”. mientras que la última cifra se mantiene constante. treinta y uno. en la segunda terminan en 1.. mientras que la primera cifra no se modifica. teniendo en cuenta que llevará varios años de la escolaridad lograr una comprensión más acabada de esta noción. treinta y tres. treinta y dos.”. etcétera. el segundo en 1 y el último en 9. La explicitación y el análisis de las regularidades de nuestro sistema de numeración.”. empiezan igual y terminan con la serie de uno a nueve: “veintiuno. el cuadro de números de 0 a 100. Al decir los números de una columna. Plantear situaciones para analizar regularidades El trabajo respecto de las regularidades de la serie se puede continuar en 2o año/grado con el mismo recurso utilizado en 1o. Esta misma situación se repite en las filas siguientes. el primer número termina en 0. lo que cambia es el inicio del número. veintidós. etcétera. “treinta y uno... En la segunda fila.>
Las regularidades de la serie numérica a la que nos referimos son las siguientes: los números que aparecen escritos en la primera fila son de una cifra y van cambiando desde 0 hasta 9. entonces. etc. En las columnas. Al decir los números.
. veintitrés. a partir de la del 20.. así como la composición y descomposición aditiva de números irán dando lugar a que los chicos elaboren la idea de valor posicional de un modo incipiente.. todos los de una fila.
Si se tratara de números mayores que 100. o de los libros que un bibliotecario tiene inventariados en un fichero. es conveniente acercar nuestro lenguaje al que usan los chicos al nombrar las posiciones “cienes”.6 Las diversas actividades que presentamos apuntan al reconocimiento de la escritura de números y a la toma de conciencia del valor diferente que tiene cada cifra en el número escrito. se pueden introducir nuevos cuadros para extender el estudio a otros intervalos numéricos. “dieces” y “unos”.Eje
Luego. 7
Recomendación de lectura: según cuál sea el dominio de la serie de 1 a 100 alcanzado por los alumnos. Recomendación de lectura: para profundizar en el análisis de las actividades con cuadros numéricos se sugiere la lectura de: Parra. o de un fotógrafo que tiene su material clasificado. se puede retomar el tratamiento de este tema por medio de las propuestas planteadas en el Cuaderno para el aula: Matemática 1. En este sentido. Desarrollo curricular 1º y 2º grados. etcétera. o donde los números cambien de 10 en 10 (entre 1 y 1000). Así. por ejemplo: de 100 a 200 o de 400 a 500 con los números aumentando de 1 en 1. pues esos son los términos significativos para ellos. los números de 0 a 100 pueden identificar. Los contextos apropiados para presentar situaciones con estos cuadros numéricos suelen ser diferentes según el intervalo que se desee trabajar. o de las figuritas que se completan en un álbum. C.
. los cuadros pueden usarse como control de la venta de talonarios de rifas de más números. además de números de una rifa. (1992). los maestros y los números. Los niños. en el apartado “”Plantear situaciones para analizar regularidades”. las habitaciones de un gran hotel o las posiciones en un juego de la lotería de cartones que se completa al sacar bolillas de una bolsa.
comenzar a contar desde 100 puede resultar eficaz para averiguar los números más pequeños que estén tapados (104 o 112). 173. en esta fila el número del medio es. la última cifra va cambiando desde 0 hasta 9 mientras la cifra del medio se mantiene igual en 10 números seguidos antes de cambiar al siguiente. porque está en la fila del ciento cincuenta y conté cuatro lugares. 185 y preguntar: ¿cuáles son los números tapados? ¿Cómo se dieron cuenta? La consigna no solo requiere que los alumnos escriban o nombren cuál es el número: también es importante que fundamenten cómo se dieron cuenta a qué número corresponde cada casillero. Es a partir de la confrontación de las argumentaciones que se podrán generar discusiones acerca de la conveniencia de utilizar una u otra estrategia de acuerdo con el número en cuestión. pero no cuando se trata de números más grandes como el 185.. Una primera actividad que se puede presentar con el cuadro anterior consiste en tapar algunos números. al igual que el que va desde 0 hasta 100. Por ejemplo. 129.
. los números cambian de 1 en 1. todas las filas terminan en 9..>
En este cuadro.. si subo un casillero es lo mismo que quitar 10. después de los casilleros terminados en 9 viene uno que termina en 0. se mantiene igual para las10 filas. algunos chicos podrían afirmar: es el 154 porque viene después del 153 y/o antes del 155. En cuanto a la tercera cifra comenzando desde la derecha..... Luego de interactuar con el cuadro de números. como el siguiente. se pueden proponer tablas con menos información presentando un cuadro con los números que encabezan las filas y las columnas. por ejemplo: 104.. etc. si bajo un casillero es lo mismo que sumar 10.. porque está en la fila del 150 y en la columna de los que terminan con 4. 137. Por ejemplo. es esperable que los alumnos comiencen a establecer ciertas relaciones que pueden ser enunciadas con frases como en esta columna todos los números terminan en. en esta fila todos comienzan con. Para continuar. en el que también realiza un recorrido de 0 a 9. 112. 154. etcétera.
. para escribir 346.
Ya avanzados en el trabajo.Eje
Completá los casilleros marcados. proporcionando solo fragmentos de cuadros para completar a partir de un dato correcto con consignas tales como las siguientes.
Por ejemplo. Otras consignas que es posible proponer con el mismo cuadro son las que siguen. podemos presentarles aún menos información.
En esta parte de un cuadro de números completá los casilleros remarcados. los chicos pueden establecer relaciones entre los números que encabezan la fila y la columna: está en la fila de los que empiezan con 3 y 4 y la columna de los que terminan con 6.
pues de lo contrario pueden suponer que en el lugar del 510 tendría que estar el 505.
Al presentar estos recortes de cuadros. En 2o año/grado. es conveniente que las actividades se realicen también en cuadros en los que las variaciones entre casilleros vecinos en sentido horizontal sean de 10 en 10. A partir del mismo cuadro se pueden proponer diferentes preguntas: ¿qué cambia en el número cuando se aumenta de a 10? ¿Qué cambia en el número cuando se baja un casillero? ¿Qué números del cuadro pueden ayudar para saber si ochocientos quince está bien escrito de la siguiente manera: 815? o ¿Les sirve saber cómo se escribe 810.
Este cuadro se puede hacer en un afiche y colgarlo en el aula a la vista de todos para que los chicos puedan recurrir a él cuando necesiten obtener información al escribir distintos números. es decir. 830 para escribir 815?
. es necesario hacer hincapié en que se presenta solo una parte de un cuadro y no un cuadro de cinco por cinco. aquellos que no están bien ubicados sabiendo que el número remarcado está en el lugar que le corresponde. como el siguiente.>
En esta parte de un cuadro de números encontrá los “intrusos”. 820.
En el caso de los juegos de emboque o tiro al blanco. $ 10 y monedas de $ 1. – el total de cada círculo expresado como producto entre el puntaje de cada uno y el número de tiros en él: 1 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1.Eje
Teniendo en cuenta que los conocimientos numéricos de un grupo escolar son siempre heterogéneos es conveniente que propongamos. Así. delimitar sus posibilidades de uso y. Así. mientras algunos grupos pueden trabajar completando lugares en el cuadro incompleto. presentamos propuestas para que los alumnos realicen composiciones y descomposiciones aditivas de números y. etcétera. además de tareas iguales para todos los niños.
. tal vez. – la suma de los totales de puntaje de cada círculo: 100 + 40 + 3. Para trabajar con la composición de los números en el sistema decimal conviene elegir solo billetes de $ 100. en un blanco con tres regiones circulares concéntricas podemos restringir los valores de cada región a 1. y. Estas actividades se pueden plantear en una variedad de contextos. por ejemplo. dieces y unos. como se verá en la secuencia que presentamos. es necesario que. con tres o cuatro números como información o solo con uno. Plantear situaciones para componer y descomponer números Continuando el trabajo realizado en 1er año/grado. para que se inicien en la descomposición multiplicativa. 10 y 100. tiro al blanco o dados. una cantidad se expresa mediante la suma de los valores de los billetes y monedas. En el caso de usar el dinero. todos pueden descubrir estrategias nuevas. Algunos de ellos son los que proporcionan los juegos con dinero o aquellos en los que se van sumando puntos. 143 puntos pueden ser: – la suma del valor de cada uno de los tiros: 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1. durante la clase. utilizarlas en nuevas situaciones. Al exponer en las puestas en común cómo pensó cada uno para resolver. las composiciones de cantidades tendrán como sumandos los valores que demos a cada tiro o dado. es necesario buscar semejanzas y diferencias entre las estrategias empleadas para precisar sus características. interactuemos con diferentes alumnos y también que promovamos la interacción de ellos entre sí. también. En todas las situaciones. como los de emboque. otras diferenciadas para que cada uno pueda avanzar de acuerdo con sus conocimientos disponibles. Por ejemplo. o productos donde intervienen esos números. si queremos que el puntaje total resulte como suma de cienes. otros pueden hacerlo con fragmentos de cuadros. en este último caso. Además.
. Por último. El primero que termina dice “basta” y el resto de los integrantes interrumpe su tarea solo si ya han escrito por lo menos cuatro cuentas. sin que los alumnos tengan que registrar los valores pues están escritos en estos. el que contaba dice el último número al que llegó.
Secuencia para componer y descomponer números: “El juego del cajero” 8 Los propósitos de esta secuencia son: utilizar descomposiciones aditivas y multiplicativas ligadas con la numeración. y diez billetes de 10 se cambian por uno de 100. las que sean compartidas por dos o más chicos valen 5 puntos. obtuvo el mayor puntaje. Cuando esto ocurre. se puede proponer un juego como el siguiente. y las no repetidas valen 10 puntos. un jugador va contando “para adentro” y otro del grupo debe decir “alto ahí”. una tabla para completar con 9 columnas y 8 filas. Gana el jugador que. comprender y utilizar las reglas de la numeración oral. que permite a los chicos avanzar en el conocimiento de un número por medio de las diferentes formas de escribirlo con adiciones de números cualesquiera. al cabo de 4 vueltas. Se usa una fila por mano.>
Antes de iniciar el trabajo con descomposiciones aditivas o multiplicaciones del tipo descrito. se procede a asignar puntos del siguiente modo: las cuentas cuyo resultado no sea el número cantado valen 0. “Tutti fruti de cálculos”: escribir números con sumas y restas Materiales: por alumno. Organización del grupo: se juega en grupos de cuatro jugadores. Cours préparatoire. del Grupo ERMEL (1991). todos escriben el número cantado en la primera columna y deben completar la primera fila de todas las columnas con cuentas de sumar o restar que den ese número. Desarrollo: por turno. Luego.
Adaptación de una actividad propuesta en el libro Apprentissages numériques et résolution de problémes. y hacer funcionar los cambios 10 por 1 en dos niveles: diez monedas de 1 se cambian por un billete de 10. En las primeras actividades. las descomposiciones y cambios se hacen con las monedas y billetes.
cada uno dice cuánto dinero tiene. puede pedir 27 billetes de $ 1. Los billetes y monedas pueden ser fotocopiados de billetes auténticos o extraídos de algún juego de mesa. podemos proponer al conjunto de la clase una actividad para resolver en el cuaderno. Se juegan tres vueltas y será ganador el que tenga menos dinero al finalizar. o hacer la suma con los números escritos en los cartones. Cada chico conserva los cartones y los billetes que extrajo. Por turno. En cada grupo se nombra un alumno que será el cajero y que tiene los billetes de $ 1. El cajero debe tener tres cajas para guardar las distintas clases de billetes y 22 cartones. La clase se organiza en grupos de 4 niños. precisamos el sentido de los intercambios grupales en las puestas en común. y entre el total con los números de los cartones. el cartón que dice 27. con preguntas como las siguientes. M. S. (2001). podemos organizar la puesta en común de los diferentes procedimientos para calcular el total de ganancias. de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno. Para averiguar el total.
. Al finalizar las tres vueltas. contar cuántos billetes de cada clase tiene y sumar. los chicos suelen usar procedimientos diferentes: agrupar los billetes según su valor.10 Por último. 30 billetes de $ 10. y Chara. e invitando a los niños a controlar el dinero que han ganado de las dos maneras. G. $ 10 y $ 100. si hay una correspondencia entre el total y los billetes. o 1 de $ 10 y 17 de $ 1 o 2 de $ 10 y 7 de $ 1. (coord. Agrasar. Es conveniente insistir en la verificación de la actividad preguntando si los cambios son correctos. cada alumno del grupo que no es cajero va extrayendo un cartón y pidiendo al cajero la cantidad de dinero expresada allí. por ejemplo. Cuando todos los grupos tengan un ganador. 6 billetes de $ 100. Si un alumno extrae. o fabricado con rectángulos de papel de diferentes tipos o colores. cada uno con un número del 8 al 30.).
Estos materiales se pueden obtener de Chemello.Eje
Actividad 1 Los materiales 9 para cada grupo de 4 niños son: 30 monedas de $ 1. especificándole qué billetes desea. o agrupar y pedir cambio al cajero por billetes más grandes. En el apartado “La gestión de la clase”. pidiendo a los niños que los expliciten.
4 billetes de 10 y 3
{ 3 billetes de 10 y 26 billetes de 1. 6. El material que proponemos armar para cada grupo consiste en un sobre con una cierta cantidad de billetes y monedas. ¿Qué billetes puede ser que tenga? Escribí distintas posibilidades. Cada par de sobres con la misma cantidad de dinero formada con billetes distintos será entregada al par de grupos que intercambiarán los mensajes. Para ello. Así. la partida será de cinco turnos por niño. ¿Es correcto? • Lucio tiene los siguientes billetes y monedas.1. ¿Qué billetes tiene? Proponé dos posibilidades. { 1 billete de 100. En la primera parte de la clase. A continuación. Actividad 3 Se trata de una actividad de comunicación en la que cada grupo de alumnos tendrá que elaborar e interpretar un mensaje. todos los grupos elaboran un mensaje y. los sobres pueden tener: $ 43 $ 56 $ 133 billetes de { 3 billetes de 10 y 13billetes de 1. que contengan respectivamente las cantidades siguientes: dos sobres con $ 43.
1 billete de 100. Ella dice que en total ha obtenido 42. es posible avanzar para lograr que el total que se gane pueda pasar el 100.>
Mariana ha extraído los cartones que dicen 15. La clase se organiza en una cantidad par de grupos. se pueden volver a proponer actividades de cuaderno similares a las anteriores.
Actividad 2 Una vez que los alumnos conocen el juego.
4 billetes de 10 y 16 billetes de 1. ¿Cuánto dinero tiene?
Sumando sus cartones. luego. Por ejemplo. 2 de 10 y 13 billetes de 1. Melisa ha obtenido 56. 20 y 8. cada uno intercambiará su mensaje con otro grupo previamente establecido. • Los cartones de Carolina suman 66. por ejemplo. dos con $ 56 y dos con $ 133.
. 3 de 10 y 3 de 1.
Después se reúnen para ver si los dos sobres tienen los mismos billetes. con lo cual se obtiene una descomposición con 9 billetes más. de modo de arribar a conclusiones como las siguientes: – Una cantidad de dinero se puede formar con distintos billetes. – Hay una manera de formar la cantidad de dinero con billetes de 10 y de 1 que se obtiene “mirando las cifras” de la cantidad a formar. el docente propone una puesta en común. hay que cambiar 1 billete de 10 por 10 monedas de $ 1.Eje
Les damos un sobre con una cierta cantidad de billetes y una posible consigna para la tarea sería: Deben escribir un mensaje al otro grupo que diga cuánto dinero tienen ustedes y cuántos billetes de cada clase. como los siguientes:
Indica el valor de cada uno de los billetes sin incluir signos de suma. el otro grupo tiene que reunir en un sobre vacío que le vamos a dar lo mismo que hay en el sobre de ustedes.
Indica la cantidad de cada tipo de billete. Luego de recibir el mensaje.
Cuando los grupos comprueban que los sobres tienen la misma cantidad de dinero y de billetes. Los mensajes que podrían escribir serían.
. en los ejemplos del juego.
Suma los valores de los distintos billetes. para que ellos formen después la misma cantidad de dinero con los mismos billetes. por ejemplo. – Para obtener otra descomposición de más billetes. esa descomposición es la que utiliza la menor cantidad de billetes posibles. No vale dibujar los billetes en el mensaje.
. el armado del 43 se apoya en los aspectos aditivos del número y. escribiendo algunos números en el pizarrón y que los niños escriban los billetes que hay que pedirle al cajero. En estos será necesario poner en común de qué manera la escritura convencional del número informa acerca de algunas descomposiciones. en cambio. Actividad 4 Se propone el mismo juego que en la Actividad 2 con la siguiente variante: en cada pedido.>
Con los registros de cada uno de los grupos. pero todo en billetes de $ 100.
Joaquín le pide al cajero del banco cambio de $ 1000. en la última. Le pide diez billetes de $ 10 y el resto. es 3 x 10 + 13 x 1). Luego. el cajero no puede dar más de 9 billetes de una misma clase y el pedido se realiza por escrito. No pretendemos que los alumnos reconozcan los aspectos multiplicativos de nuestro sistema de numeración. Cuando se extrae un cartón como el 23. pero solo esta última forma respeta la restricción. podemos plantear ejercicios sistemáticos en el cuaderno. de $ 100. comienzan a aparecer los aspectos multiplicativos (3 de 10 + 13 de 1. se podría pedir 1 billete de $ 10 y 13 de $ 1 o 2 billetes de $ 10 y tres de $ 1. Mariana. sino que empiecen a utilizarlos al resolver problemas. Actividad 5 Por medio de los problemas que siguen se busca descomponer los números aditiva y multiplicativamente. en la síntesis colectiva. le pide cambio de $ 1000. Se trata de lograr que al finalizar la clase. podremos proponerles que encuentren parecidos y diferencias entre las distintas escrituras. ¿Qué billetes le dará el cajero a cada uno? Completalo en la siguiente tabla. En los dos primeros casos. se llegue a la idea de que mirando la escritura del número sobre el cartón se sepa lo que hay que pedir al cajero.
pero quiere la menor cantidad posible de billetes. con lo que cada número se puede relacionar con su descomposición multiplicativa (es posible pensar 3 de 10 y 5 de 1 como 3 x 10 + 5 x 1. proponemos a continuación una actividad de juego de emboque. ¿Qué billetes le darán?
En las primeras actividades de esta secuencia. respondiendo a la restricción de no tener más de 9 billetes de cada tipo. permite que los alumnos avancen en su comprensión de nuestro sistema de numeración. en la segunda. En la cuarta. sin escribirlo aún de esta forma). que no van a superar el 90 en la primera y el 150. La secuencia. los chicos componen números hasta 30 con diferentes sumandos. se favorece la posibilidad de su transferencia a otras situaciones. los alumnos establecerán relaciones entre dos maneras de formar una cantidad.Eje
Nicolás pide que le paguen los $ 130 en billetes de $ 10. manipulando billetes o no según sus conocimientos. Su desarrollo puede pensarse a lo largo de varias semanas de clase. siendo una de ellas la composición donde hay tantos “dieces” y “unos” como indica el número. por lo tanto. continúan trabajando con esta descomposición. se vuelve sobre estas descomposiciones. También puede retomarse en 3o o 4o años/grados trabajando fundamentalmente sobre situaciones hipotéticas y ampliando el campo numérico. Plantear situaciones para el mismo conocimiento en nuevos contextos favorece que las relaciones establecidas se independicen de ellos y. En la tercera. pero sin usar los billetes. Va a pedir cambio al banco. como parte de una unidad de trabajo en la que se incluyan otras actividades. En la quinta. También hacen sumas. ¿Cuántos billetes le dará el cajero? • ¿Cómo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100 y el resto de $ 10? • ¿Cómo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100. Una opción de juego es la siguiente:
. Teniendo en cuenta que estas actividades de composición y descomposición se puedan realizar en una variedad de contextos. entonces. 15 de $ 10 y el resto de $ 1? • Laura tiene 3 billetes de $ 100 y tiene que pagar justo $ 135. que también da lugar a que los alumnos establezcan relaciones aditivas y multiplicativas.
y si caen en el piso. 1 punto.
• Juan anotó su puntaje en una tabla como la de abajo.>
“A embocar”: componer y descomponer números con sumas Materiales: una lata. una mesa y cinco pelotitas o bollitos de papel encintados para cada grupo. 10 puntos. Luego de jugar varias veces. deberán averiguar quién es el ganador calculando el total de puntos obtenidos.
• Según los puntajes obtenidos. indicá cuántas pelotitas cayeron en cada
lugar. Organización de la clase: grupos de 4 a 6 jugadores. se podrán presentar situaciones para resolver en los cuadernos tales como las que siguen. se obtienen 100 puntos. Al cabo de cuatro vueltas de cinco tiros cada una. Completá donde
corresponda. si caen sobre la mesa. Desarrollo: cada jugador debe tirar las cinco pelotitas y anotar el puntaje obtenido al caer. Por cada acierto adentro de la lata.
100. se pueden resolver problemas aritméticos de diferente complejidad para el alumno. respectivamente. de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno. en el segundo. los distintos significados a los que pueden asociarse en los problemas que resuelven. ¿cuántos pasajeros siguen viaje? – En el aula de 2o hay 23 varones y 14 chicas.Eje
Según los conocimientos disponibles de los alumnos. pues en cada caso se deben establecer relaciones distintas. por ejemplo. en una misma unidad didactica. cuando se trata de restar 23 – 14 para la resolución de los problemas siguientes. ¿cuántos varones más que chicas hay? – Para ganar en el juego necesito 23 puntos. si ya tengo 14. Para operar al resolver problemas con distintos procedimientos Respecto de las cuatro operaciones básicas con números naturales (suma. está asociada con el significado de sacar una cantidad de otra. con el de comparar dos colecciones y.
En el apartado “Los contextos”. – En el colectivo están viajando 23 pasajeros. con un mismo cálculo. hemos planteado la importancia de que los enunciados incluyan preguntas que aludan a situaciones reales o verosímiles. ya que los procedimientos que los alumnos ponen en juego frente a un problema están ligados a la interpretación que ellos hacen de la situación.11 Es importante señalar que. multiplicación y división). por otro. 10 para el emboque en la lata y 1 para el fuera de ella. debemos considerar en la enseñanza dos aspectos: por un lado. resta. se resta para averiguar lo que le falta a una cantidad para llegar a otra. Se sugiere abordar ambos aspectos a la vez.
. en el último caso. ¿cuántos puntos más debo obtener? La misma cuenta de restar tiene significados diferentes: en el primer caso. es posible plantear el mismo juego con solo dos niveles de puntajes. 10 y 1. o incorporando más latas con valores diferentes: 1000. los procesos que llevan a la construcción de los diferentes algoritmos de cada operación y. bajan 14.
Para la resolución de estas situaciones. según la intención del docente al plantear el problema. pues para solucionarlos se puede recurrir a una suma o a una resta como procedimientos más económicos. cambian el nivel de dificultad al resolverlos. para los chicos. los alumnos pueden. Para 2o año/grado. o la cantidad de revistas que alguien tiene si antes de su cumpleaños poseía una cantidad y le regalaron otra (agregar). Para ello. es conveniente discutir si alguna de ellas es más eficaz.
. sabiendo que se dispone de una cierta cantidad de dinero. Los alumnos podrán resolver estos problemas de distintas formas y. – o en cuánto puede aumentar la altura de un camión para poder pasar por debajo de un puente (complemento). – determinar cuánto dinero quedó después de hacer una compra o cuántas bolitas quedaron después de perder algunas (quitar). Presentar múltiples situaciones para resolver y reflexionar acerca de la diversidad de significados de cada operación facilitará la comprensión de los alcances y límites de cada una de estas. Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significados Las operaciones de suma y resta con números naturales deben constituirse paulatinamente para los alumnos en un recurso disponible que resuelve situaciones con distintos significados. – determinar si es posible agregar un artículo más a la compra. manejar diversos materiales que esta-
En el apartado “Los significados”. podremos plantear problemas para: – calcular el costo de una compra o el puntaje total en un juego de varias manos (unir).>
El tipo de números involucrados y el lugar de la incógnita12 son otros elementos del problema que. por ejemplo. – calcular cuánto hay que pagar si algo que costaba un valor aumenta de precio. luego. en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno se desarrollan con más detalles los diferentes significados que pueden asociarse con una misma noción. Es importante señalar que las categorías que aquí mencionamos son de uso didáctico y apuntan a enriquecer nuestra mirada sobre los problemas que es necesario presentar. presentaremos un conjunto de problemas que denominamos “aditivos”. – averiguar cuánto más cuesta un producto que otro o qué diferencia de edad tienen varios hermanos entre sí (diferencia).
Del total de 200 sillas que necesito para completar el salón para la fiesta del 25 de Mayo tengo 185. Novedades Educativas.14 Consideremos algunos de los procedimientos que podrían utilizar los chicos al resolver un problema como el siguiente en el tienen que completar la información. o réplicas de monedas y billetes para actuar de manera efectiva.buenosaires. pero les resulta más complejo reconocer que se puede usar esa operación en los problemas de comparación con significado de “complemento” o “diferencia”. En 1o. de Broitman. la mayoría de los niños resolverá este caso pensando cuánto le falta a 185 para llegar a 200. Después de que los niños hayan resuelto el problema. dando vueltos y realizando canjes.ar/educacion/docentes/planeamiento/txareas_mate. En este caso. luego. probablemente resolvían estos últimos problemas con sumas y. por ejemplo: 185 + 5 = 190. Algunos alumnos recurrirán al conteo desde 185. 185 + 5 + 10 = 200. En todos los casos. en 2o. Me faltan … sillas. se podrá promover la comparación de los procedimientos de conteo y sumas sucesivas. se podrá debatir con ellos si alguna cuenta de restar permite obtener un resultado que sea respuesta al problema. otros utilizarán ciertos resultados memorizados. 190 + 10 = 200 y. incluyendo dibujos como números sueltos o sumas o restas. 187… así hasta el 200. Aportes para el trabajo en el aula. (1999).13 Los niños de 2o año/grado suelen reconocer sin dificultad la posibilidad de usar la resta en un problema donde significa “quitar”. Los chicos también pueden usar otras representaciones. Buenos Aires. 186. Por ejemplo. pagando. chapitas u otros elementos de desecho con el fin de representar las cantidades. como son las escrituras de diverso tipo. Preguntas y respuestas.
Recomendación de lectura: se puede encontrar un interesante análisis sobre el uso de material concreto en la enseñanza de las operaciones en 1er año/grado en el material de la Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. se recomienda la lectura del primer capítulo de Las operaciones en el Primer Ciclo.Eje
rán disponibles para quienes los requieran. los procedimientos resultan económicos. Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. C. En Internet: http://www. como.gov.php 14 Recomendación de lectura: para ampliar la información sobre la complejidad de las situaciones de la suma y la resta.
Probablemente. Pensando en la enseñanza. el tipo de procedimiento de resolución que utilizarán los alumnos y la conveniencia de cada uno de ellos dependerá de los números involucrados en cada situación.
Después de estas actividades. como. Muchos pueden encontrar el número realizando sumas parciales hasta llegar al solicitado.
Luego de que se resuelven problemas de este tipo. El enunciado transformado podría ser como el que sigue. Por ejemplo. Los niños espontáneamente suelen interrogarnos o probar con qué tecla se enciende y con cuál se apaga. el tipo de problemas en los que presentamos esta herramienta mostrará claramente que no se trata de reemplazar el trabajo que es posible desarrollar con los algoritmos. el docente podrá preguntar: ¿es posible resolver esta situación con una resta? o bien comentar: un alumno resolvió esta situación haciendo 238 – 173.
. los alumnos podrán empezar a resolver problemas para aprender más sobre las operaciones o sobre el sistema de numeración.
Buscá usando la calculadora qué número hay que sumarle a 17 para obtener 30. por ejemplo. Me faltan … sillas. cuáles son las teclas de las diferentes operaciones. Conocer el funcionamiento de la calculadora demanda una serie de actividades iniciales. se puede dar lugar a una reflexión en la que los alumnos expliciten la relación entre la suma 17 + … = 30 y la resta 30 – 17 = . Si bien este uso a veces se cuestiona con el argumento de que de este modo los chicos no aprenderán a calcular.. Otros niños pueden reconocer que es posible hacer 30 – 17. 17 + 5 + 5 + 2 + 1. tengo 173. intentan borrar si se equivocan o preguntan el significado de diferentes teclas aunque no las utilicen.>
Para que los procedimientos que no implican la resta resulten más complicados. ¿es correcto el procedimiento que usó? Es posible plantear otras actividades para trabajar problemas de sumas y restas a partir del uso de la calculadora.
Del total de 238 sillas que necesito para colocar en el salón. como en el siguiente ejemplo. Se trata. Es factible que la relación entre estos procedimientos sea objeto de trabajo para todos los alumnos.. es posible modificar los números que intervienen en el problema. de desplegar un trabajo de anticipación de resultados que puede ser verificado rápidamente. en cambio. es posible plantear problemas que permitan analizar la relación entre la suma y la resta cuando se tienen como datos dos cantidades.
Si aún se mantiene la suma como procedimiento de resolución.
Ya pegó 8 y le falta pegar 14 . consideremos los siguientes enunciados. Como se produce una disminución en la cantidad inicial de 12 estampillas. ¿Cuántas estampillas nuevas tiene? – Juan tiene 22 estampillas nuevas. Por ejemplo. ¿Cuantas pegó ya? Con el primer problema. no es tan habitual que los alumnos reconozcan que si en el problema se produce una transformación positiva la resta puede ser un procedimiento posible y económico. estamos inhibiendo en los chicos el empleo de otros procedimientos. Serán necesarios varios problemas similares para que toda la clase recurra a la resta para resolverlos. Otros alumnos descubrirán que el cálculo puede encontrarse sumando cualquier número al 75 y luego escribiendo el resultado menos el número agregado. Si. se apunta a averiguar la cantidad final luego de una transformación negativa. ya que por el regalo recibido aumentó esta colección inicial. los chicos inician la exploración con la calculadora conociendo el resultado del cálculo. entonces podríamos preguntarnos cuál es el propósito de plantear esta actividad. Pues bien: pretendemos que los alumnos piensen la resta como una operación que permite averiguar la diferencia entre dos números. en cambio. La transformación es positiva.Eje
Con la intención de que los niños resuelvan problemas para los cuales la resta es un medio de resolución se puede presentar el siguiente problema. Hemos planteado también que es conveniente presentar problemas “moviendo” el lugar de la incógnita.
. sin embargo. ante este problema. es decir. proponemos el segundo problema. es fácil reconocer la resta como el procedimiento más conveniente. – Juan tiene 22 estampillas nuevas y ya pegó 8. el uso de la calculadora como forma de búsqueda de dicho cálculo. en cuántas estampillas tenía al comienzo. Al proponer. el dato a averiguar está en el estado inicial. como el uso del papel o el conteo de uno en uno.
Es importante destacar que. los chicos anticipan un cálculo y luego de realizarlo efectivamente con la calculadora. Ahora le falta pegar… – Juan tiene algunas estampillas nuevas para su colección. comienzan a hacer rectificaciones de alguno de los números en función del resultado obtenido. en este caso. Pegó algunas y le falta pegar 14. En cambio.
los más largos. se puede continuar trabajando sobre los distintos procedimientos: los más frecuentes. entre todos. podremos promover el pasaje a los procedimientos numéricos aumentando el tamaño de los números involucrados para que el dibujo de todos los elementos resulte un procedimiento poco económico. queremos subrayar algunas cuestiones. sabemos por experiencia. que comiencen a comparar los resultados obtenidos y descarten los procedimientos errados para que luego empiecen a discutir sobre las coincidencias y las diferencias. Así. hemos planteado que uno de los aspectos que cambian su complejidad es el tipo de números involucrados. como. Nuestra habitual recorrida nos habrá dado pistas sobre la variedad de procedimientos en uso y podremos. Es decir. Será el análisis de los datos y de las relaciones que se establecen entre sí lo que permitirá a los chicos elegir. por cierto. los más seguros. El encuentro del pequeño grupo. y no siempre en forma individual. se conoce el estado inicial y el estado final y se debe buscar la transformación que es negativa y se puede hallar a partir de la resta. llegar a los que resulten interesantes para una dis-
. Si los alumnos de 2o resuelven los problemas aditivos y sustractivos utilizando procedimientos gráficos como los que se explicitan en el Cuaderno para el aula: Matemática 1. En la puesta en común. Al proponer una variedad de problemas. A modo de cierre de este apartado. alguno más económico. en algunos casos se puede comenzar proponiendo directamente un trabajo en pequeños grupos y en otras oportunidades pedir inicialmente la resolución individual de las situaciones para que todos los chicos se involucren en la resolución. para lo cual. entre diversos procedimientos posibles.>
En el tercer problema. siempre teniendo en cuenta las diferencias entre los alumnos. de diversas maneras. Combinar opciones es una práctica frecuente y puede ser un camino fructífero. Es ciertamente importante que los alumnos resuelvan gran cantidad de problemas en los cuales las incógnitas se presenten en distintos lugares y las transformaciones sean positivas y negativas para que no establezcan relaciones lineales y estereotipadas. Si centramos la “mirada” en coincidencias o diferencias entre procedimientos. sobre esa base. por ejemplo: si me regalan tengo que sumar o si perdí tengo que restar. no es necesario que todos los grupos expongan. puede tener sentido en la medida en que contrasten los procedimientos de resolución utilizados por cada uno e identifiquen entre ellos el o los más convenientes. La organización de los alumnos en la clase para la resolución de problemas puede realizarse de diversas maneras. en un segundo momento. esta última trama suele ser de gran riqueza. etc.
tendrán la mitad de 24. también es conveniente incluir problemas que hagan referencia a distintos significados. se introducen en 2o año/grado. y aunque en este Ciclo no se trata de hacer un trabajo específico para reconocerlas. Otra posibilidad sería averiguar cuántas tabletas tienen 3 chocolates si conocemos que en 6 chocolates hay 24 tabletas. los elementos se presentan ordenados en filas o columnas. o sea 12. Los problemas de combinatoria son aquellos en los que hay que combinar elementos de diferentes colecciones. ¿Qué significados sería posible abordar en 2o año/grado? Los problemas que usualmente se presentan se pueden denominar casos sencillos de proporcionalidad. Plantear situaciones para multiplicar y dividir con distintos significados Para abordar la multiplicación. si conocemos que 1 chocolate tiene 4 tabletas y queremos saber cuántas tabletas tienen 6 chocolates iguales para repartirlos entre amigos. es decir. en este caso. Por ejemplo: para ir a un baile de disfraces.
. por ejemplo. si sabemos que en cada fila se colocan 5 sillas y queremos averiguar cuántas sillas necesitamos para completar 4 filas. Los problemas que remiten a organizaciones rectangulares son también problemas de proporcionalidad pero.Eje
cusión entre los chicos. pero se abordarán con mayor profundidad en 3º. En ambas resoluciones es posible usar distintas propiedades de la proporcionalidad. Recurriremos con ese propósito a un conjunto de problemas que denominamos multiplicativos. Por otro lado. Lo que se les pide a los chicos que averigüen es cuántas maneras diferentes de vestirse encontraron. amarillo y azul– y dos sombreros. aquellos que pueden resolverse con una multiplicación o con una división como procedimientos más económicos. Se fueron probando la ropa de todas las maneras posibles para ver cuál les gustaba más. en este caso. se cumple que 3 chocolates. sí es conveniente que empiecen a utilizarlas intuitivamente para resolver problemas. Preguntas del estilo: ¿quiénes usaron un procedimiento diferente? suelen ser organizadoras de este diálogo sobre las estrategias puestas en juego. Por ejemplo. los problemas denominados de combinatoria. dos hermanas encontraron tres vestidos de diferentes colores –rojo. y si. e incluyen aquellos que admiten una organización rectangular de los elementos. Es habitual iniciar este trabajo con problemas de proporcionalidad sencillos. se está planteando un problema en el que uno de los datos –la cantidad de tabletas de uno de los chocolates– es una constante de proporcionalidad. uno con plumas y otro con moño. que es la mitad de 6 chocolates.
Analicemos ahora algunos procedimientos que suelen usar los alumnos que aún no disponen de recursos de cálculo multiplicativo para resolver estos problemas.
Llega a 20 como resultado de sumar 4 + 4 + 4 + 4 + 4.15 Por ejemplo.
. en: “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno señalamos la necesidad de promover la diversidad de producciones y de analizarlas con todo el grupo. para armar 5 autos necesitaré … ruedas.
En el apartado “La gestión de la clase”.
Llega a 20 luego de haber efectuado el conteo. un problema como el que sigue:
Si para armar un auto necesito 4 ruedas.
Por ejemplo. Su elección puede interpretarse en función de considerar que la suma. Constituye parte del mismo proceso que los chicos tiendan a no reconocer que los números involucrados son magnitudes que corresponden a cantidades diferentes (autos y ruedas). para un grupo. etc. una actividad de producción de mensajes como la siguiente que permite. a la vez. se les solicita: Escriban un
. Por ejemplo. tanto desde el cálculo como en el nivel de los significados. ha sido un procedimiento eficaz hasta ese momento. 7 sobres con 3 fichas. Para generar un espacio en el cual puedan reconocer el cálculo adecuado. se puede escribir en el pizarrón 4 + 5 y 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y decirles por ejemplo: diferentes chicos escribieron estos cálculos para resolver esta situación. introducir el signo x. para otro.
Suele ser frecuente y también parte del proceso constructivo que algunos chicos intenten resolver esta situación haciendo 5 + 4. expliquen con cuál están de acuerdo y por qué. e intentan generalizarlo sin poder aún reconocer lo que es distinto en este nuevo tipo de problema.Eje
Se apoya en procedimientos de cálculo dominados por él. seguramente. Organizamos la clase en una cantidad par de grupos con 3 o 4 alumnos y entregamos a cada grupo una cantidad de sobres iguales que contengan la misma cantidad de fichas. A continuación. 4 sobres con 5 fichas. podemos también proponer otras situaciones. Para que los chicos avancen en el establecimiento de relaciones de semejanzas y diferencias entre la suma y la multiplicación.
¿Cuántos primos tiene? – En la calesita hay 5 autitos y se sentaron 3 chicos en cada auto. Con la misma intención.
. para que otro grupo averigüe cuántos sobres recibieron y cuántos fichas tiene cada uno.
Indicá con cuál de estos cálculos resolverías cada uno de los siguientes problemas. Nicolás trajo 3 caramelos. también es posible plantear la siguiente situación y hacer que la resuelvan en pequeños grupos.>
mensaje. que podrían estar escritos en lenguaje coloquial “5 sobres de 3 fichas cada uno” o bien en lenguaje simbólico como “3 + 3 + 3 + 3 + 3” se puede explicar que. con el propósito de abreviar estos cálculos de sumandos iguales. 3+2+4 5+5+5
– María tiene 3 primos varones y 5 mujeres. ¿Cuántos chicos se sentaron en autos? – En el campamento. lo más corto posible. En el mensaje no pueden incluir dibujos. cada chico llevó golosinas para compartir con los compañeros de la carpa.16 Luego. Bruno 2 chupetines y Marcos 4 chocolates. se usa el signo x y escribimos 5 x 3. cada par de grupos intercambia los mensajes elaborados y cada equipo debe interpretarlo y decir cuántos sobres de cuántas fichas había recibido el otro grupo inicialmente. ¿cuántas golosinas tienen?
Tomado de Ermel (1986). A partir de la reflexión en torno de los mensajes.
se espera que los chicos logren reconocer. Por ejemplo. expresando ambos productos como sumas diferentes. por un lado. y tomando en cuenta las respuestas de los distintos grupos. podremos también organizar la información en tablas que requieran que los chicos las completen. Luego podrá iniciarse el reconocimiento de la propiedad conmutativa a partir de una actividad en la que los alumnos discutan la diferencia entre 5 x 3 y 3 x 5. Para registrar la cantidad de ruedas que tiene que fabricar hace marcas en tablas como las siguientes. pero de igual resultado.
Escribí un cálculo que te permita averiguar cuántos lápices hay en cada tarjeta. que hay otras sumas que no pueden expresarse como multiplicación porque sus sumandos no son iguales. Completá las tablas. como en 3 + 2 + 4. si les planteamos la siguiente situación. que hay sumas que se pueden expresar como una multiplicación y que la escritura correspondiente es 5 x 3 y.
Un fabricante de rodados arma cada mes distintas cantidades de bicicletas y triciclos. Otra actividad posible consiste en presentar tarjetas dibujadas para que los niños indiquen la operación conveniente para averiguar la cantidad de elementos presentes en cada una.
Para presentar problemas de proporcionalidad. por otro.Eje
En el intercambio posterior.
le pongo 3 ruedas más. el doble de ruedas: O bien: yo uso la escala del 3: 3. 6.>
En el intercambio que luego promoveremos podremos preguntar cómo pensaron para completar las tablas. algunas maneras de organizar estos productos permiten poner en evidencia determinadas relaciones que facilitan la memorización. Las verbalizaciones de diferentes niños frente a este problema dan cuenta de los procedimientos que ponen en juego. o al doble de triciclos. 9… Todas las formas de resolver son adecuadas y en ese momento se puede destacar la posibilidad de encontrar diferentes maneras para pensar la solución. En este año/grado aún no resulta necesario organizar el repertorio de productos en las “tablas de multiplicar”. Sin embargo. o yo voy sumando 3 en cada casillero y completo la tabla. Es más. Por ejemplo:
. una vez que los niños hayan explorado una variedad suficiente de problemas y descubierto distintos productos. En varias oportunidades hemos escuchado a los chicos afirmar: para cada nuevo triciclo. será conveniente registrar los resultados que se conocen y organizar esta información para tenerla disponible al resolver nuevos problemas.
Algunos contextos que remiten a organizaciones rectangulares de los elementos son los timbres en los porteros eléctricos. En este sentido. se puede solicitar a los alumnos:
Averiguá la cantidad de baldosas necesarias para completar un piso como el del dibujo. se puede pedir a los alumnos que armen un piso rectangular con 18 baldosas. Teniendo en cuenta que los repartos pueden ser equitativos o no. los asientos en el teatro. Es esperable que. En los problemas de reparto. Por ejemplo:
• Tengo 16 libros para repartir en 4 estantes. Estos problemas surgen de cambiar de lugar la incógnita de la multiplicación. dando el producto y pidiendo que encuentren posibles factores. También para la iniciación en la división es conveniente incluir problemas que nos permitan abordar diferentes significados: los de reparto y los de partición. a partir del trabajo realizado y del aumento de la cantidad de baldosas. empezarán a tomar conciencia de la variedad de respuestas posibles (2 x 9. 3 x 6.). es necesario que presentemos enunciados de problemas con el fin de que los niños analicen si es condición el realizar un reparto en partes iguales. otros apelarán a la suma de baldosas que hay en cada fila (5 + 5 + 5 + 5) o en cada columna (4 + 4 + 4 + 4 + 4). las baldosas en un piso. ya sean gráficas o con forma de cálculos. con uno de los números de dos cifras como en 15 x 6 o en 34 x 5 encuentren en la multiplicación un procedimiento más económico que la suma. ¿Cuántos libros
. Al confrontar las diversas producciones. Este tipo de problemas puede variarse cambiando el lugar de la incógnita. se conoce la cantidad total de elementos a repartir y la de partes. Por ejemplo. etc. pero no cuántos elementos corresponden a cada una de las partes.
Algunos niños podrán dibujar las baldosas y luego contarlas. etc. lo que implica relacionar la multiplicación con la división.
Esta situación admite variadas respuestas ya que se pueden colocar 8 en uno. Discutir si lo que sobra puede seguir repartiéndose o no supone considerar la naturaleza de los números involucrados: ya que no es lo mismo que sobren chocolates o libros.
. luego de efectuado el reparto. 5. ¿Cuántas cartas recibirá cada uno?
Recurre a la representación gráfica para efectuar el reparto de 1 en 1 y luego cuenta cuántas cartas le dio a cada jugador. 5. es posible pedir que indiquen qué modificaciones podrían hacer al enunciado para que el reparto equitativo de libros sea una condición. ¿está bien lo que hizo? ¿Por qué? Luego de un espacio de discusión. Otro aspecto a considerar de un modo colectivo es qué se hace cuando. Los niños de 2o año/grado estarán en condiciones de resolver problemas de reparto utilizando distintos procedimientos.
En el apartado “Las representaciones” en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno comentamos sobre la evolución de las representaciones que usan los alumnos. 2 y 6. Nos referimos aquí a los problemas en los que el resto es diferente de cero. respectivamente. ya que no hay nada en el enunciado que indique que el valor de cada parte deba ser el mismo. se deben repartir 20 cartas en partes iguales entre 4 jugadores. 4 en otro y 2 en cada uno de los restantes. 17
Para un juego. con los procedimientos que se indican. sobran elementos. 4 y 3. una posible intervención que cuestiona dicha resolución sería: un alumno de otro 2o lo resolvió colocando 3. Por ejemplo. En el caso de que los alumnos resuelvan la situación colocando en cada estante 4 libros. como en estos casos los chicos podrán resolver un problema como el siguiente. También se pueden repartir en 6.
prueba con diferentes sumas sucesivas hasta llegar a 20.
Utiliza el número 1 para representar cada una de las cartas que se reparten. se conoce el valor de cada parte (4 cartas a cada amigo) y se
Tanteando. en este caso. pero. Por ejemplo:
• Tengo 20 cartas y quiero darle 4 a cada uno de mis amigos.
Dijimos que en algunos problemas la división se asocia con una partición. ¿Para
cuántos amigos me alcanzan? Las cantidades en juego son las mismas que en el problema anterior.
El primero de los siguientes problemas será necesario pensarlo como una partición. pero el segundo se podrá pensar como un reparto: – Para un acto debemos acomodar 48 asientos en filas de 8 asientos cada una.
Cuenta de 4 en 4 hasta llegar a 20. los alumnos no pueden recurrir al procedimiento de repartir de a uno los elementos. también se pueden plantear problemas donde la división tenga ambos significados.
En el caso de organización rectangular de los elementos. En este tipo de problemas.>
pregunta por la cantidad en las que puede repartirse la colección (en el ejemplo.
Realiza restas sucesivas: va quitando de a 4 tantas veces como necesita hasta arribar al resultado. podrán utilizar estrategias de resolución como las siguientes. ¿Cuántas filas deberemos armar? – Para un acto debemos acomodar 48 asientos en 8 filas. ¿Cuántos asientos tendrá cada fila?
. En cambio. de cartas).
el cálculo al que nos estamos refiriendo admite una diversidad de estrategias que pueden coexistir en el aula. favoreceremos que puedan volver a utilizarlas en nuevas situaciones. Y. Esto responde a dos motivos: por un lado. es interesante incluir algunos en los cuales la información esté vinculada con la vida cotidiana. en este sentido. en los diferentes momentos del año. situaciones que requieran de las distintas operaciones para su resolución y no trabajar exclusivamente con aquellas que apunten a la operación que se está abordando en un período determinado. luego. Es importante presentar. En el apartado “Para trabajar con la información” desarrollaremos algunos ejemplos. por otro.
. los chicos aún no han incorporado un repertorio de cálculos que permita resolver ese algoritmo y. se sistematicen. es decir. Por otro lado. calendarios y otros. es necesario que destinemos un tiempo importante del trabajo en el aula para que se identifiquen las diferentes estrategias personales de resolución. ya sea por medio de recortes de diario con publicidades de ofertas. Para calcular de diferentes formas Un propósito de toda la escolaridad es el trabajo con variados procedimientos y técnicas de cálculo de modo que. facturas o comprobantes que informan sobre lo comprado. los problemas que les presentaremos no justifican su uso ya que tendrán números pequeños. se expliciten y.Eje
En 2o año/grado no es conveniente avanzar en la resolución de estos problemas de división utilizando el algoritmo convencional de la división. esto dependerá de los números que intervengan. Si bien este tipo de cálculo interviene en la resolución de distintos problemas y se encuentra presente como herramienta útil frente a variadas situaciones –tal como lo hemos planteado en el apartado anterior–. distintos portadores de datos numéricos referidos a contextos que resulten familiares a nuestros chicos. el que resulte más “cómodo” para un alumno puede no serlo para otro. los alumnos puedan ir disponiendo de un repertorio memorizado de cálculos. boletos. de diferentes maneras de hacerlos por escrito y de un uso inteligente de la calculadora. A diferencia del algoritmo convencional que todos realizamos de la misma manera. en el conjunto de problemas que se presentan para usar cada operación con distintos significados. también debe ser abordado como “objeto de estudio” en sí mismo. a lo largo del tiempo. Si pretendemos que esto sea posible para todos los chicos. De este modo. Una idea importante es que un mismo cálculo puede resolverse con diferentes procedimientos y que el más rápido y económico para un caso puede no serlo para otro.
entonces. utiliza representaciones personales que pueden o no coincidir con las convencionales. un nuevo lugar en la enseñanza: son formas de cálculo con las que culmina un trabajo previo de producción y análisis de distintos procedimientos originales de los mismos alumnos. En un comienzo. lo que también dará lugar a la producción de diferentes procedimientos numéricos originales. 19 Tal como se ha planteado en el apartado “Las representaciones”.
. Veamos algunas producciones de alumnos. cuando el alumno produce una solución. para la suma y la resta se plantean situaciones como las ya presentadas en el año anterior y que los chicos resolvieron elaborando distintos procedimientos personales. – Para la suma:
Recomendación de lectura: para ampliar la propuesta sobre cálculo mental.19 En este año/grado. (1994). se recomienda la lectura de “El Cálculo mental” en Parra. C. avanzaremos con números más grandes.18 Plantear situaciones para pasar de los distintos procedimientos para sumar y restar a los algoritmos usuales El dominio de los algoritmos tradicionales es el punto de llegada de un trabajo a largo plazo.>
Los algoritmos tienen. en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno.
Si algún procedimiento determinado no surgiera espontáneamente en el grupo y resultara interesante su análisis. Se apunta a que los alumnos conozcan otros procedimientos. analicen en qué se parecen y se diferencian. en relación con la pertinencia. en las distintas ocasiones.
Resulta de particular interés generar espacios de puesta en común para que los chicos compartan los distintos procedimientos utilizados y expliquen cómo los han pensado. y de acuerdo con la cantidad de pasos. y puedan así realizar cada vez procedimientos más avanzados. además. como suma de dígitos. la reflexión podrá girar en torno de la economía de tiempo o de esfuerzo de los distintos procedimientos. algún control sobre los resultados. En otro momento. de decenas y de centenas enteras. En la medida en que estos conocimientos estén disponibles. si el procedimiento permite llegar o no al resultado correcto.Eje
Para que esta variedad de procedimientos sea posible. están usando las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones como instrumentos. Cuando los niños resuelven sumas y restas con diversos procedimientos. Es importante que. debemos proponer paralelamente actividades cuyo fin sea que los alumnos memoricen un conjunto de resultados de cálculos. en este Ciclo no es conveniente aún “poner-
. Sin embargo. al aprender el algoritmo. promovamos el análisis de procedimientos tanto acertados como erróneos. es decir. los chicos podrán elaborar esos diferentes procedimientos y tener. Primero. se puede presentar como realizado por otros alumnos.
En ellos.>
les nombre”. Del mismo modo. Una intervención posible frente al uso de la propiedad de manera espontánea es plantear una actividad de investigación donde se discuta si en una cuenta de sumar siempre es posible cambiar el orden de los números sin que cambie el resultado.
. Así. pero pueden haber considerado que 2 + 8 es más difícil que 8 + 2. Es decir. en 2o. es probable que desde 1er año/grado. los niños hayan usando en forma indistinta 3 + 4 y 4 + 3. podremos reconocer los conocimientos matemáticos que ellos usan en forma implícita para poder intervenir adecuadamente. Por ejemplo:
Aquí. En la medida en que analicemos las producciones de los alumnos. si fuera necesario. además de conmutar. es posible que las propiedades se utilicen como reglas prácticas que el grupo acepta y que. Por ejemplo. más adelante. Otros problemas donde las propiedades funcionan como instrumento de resolución de manera implícita son aquellos en los que los alumnos deben construir procedimientos originales para resolver cálculos o explicar los propuestos por otros. podrán cambiar los números de lugar para asociarlos según les convenga en función de los cálculos que tengan memorizados. los alumnos estarán usando las propiedades conmutativa y asociativa. serán explicitadas como tales. pueden usar 70 + 20 más fácilmente que 20 + 70 ó 23 + 7 en lugar de 7 + 23. utilizan las sumas que dan 10 para realizar este cálculo de manera más rápida. o cuál de los sumandos conviene poner primero para facilitar el cálculo.
Veamos otro ejemplo donde los alumnos descomponen los números. conmutan y asocian usando resultados conocidos de sumas de decenas enteras. – Para la suma: + 48 35 83 40 + 8 30 + 5 70 + 13 70 + 10 + 3 80 + 3 = 83 + 48 35 70 + 13 = 83 + 48 35
. el pasaje a la “cuenta parada” no debe estar tan alejado de las producciones que son del dominio de los niños. En un principio. procedimientos como los que se muestran a continuación podrían resultar “algoritmos intermedios” entre los cálculos horizontales y la cuenta convencional. En este sentido.
Progresivamente. entre las que se hallan los algoritmos convencionales. debemos plantear situaciones más complejas que inviten a los alumnos a buscar estrategias más claras y económicas.
Por tanto. los alumnos han trabajado un año sobre las regularidades del sistema de numeración. comparado cálculos “fáciles” y “difíciles” –explicitando por qué los consideraron de un modo u otro–. que luego de desplegar el trabajo explicitado precedentemente. y retomando lo explicitado al comenzar en “Para calcular de diferentes formas”. es conveniente plantear otras actividades centradas en la articulación de este último con el algoritmo usual basado en agrupamientos. Itzcovich (coord.>
Estas maneras de resolver los cálculos ponen en evidencia las relaciones entre los números.20 Solo después de un intenso trabajo sobre los procedimientos personales propios y de otros que les permita a los alumnos tener un claro control sobre el resultado. como mínimo. las que permanecen implícitas en el algoritmo convencional.
Recomendación de lectura: se sugiere la lectura de “Algunas reflexiones en torno a la enseñanza de la Matemática en el Primer Ciclo de la EGB” de H.
. hoy los algoritmos usuales no son el punto de partida. podremos introducirlo explicando cómo se hace y diciendo que es una forma de resolver esta cuenta que usan muchas personas y solicitarles que la comparen con las que ellos conocen. y es esperable que se conozcan luego de un intenso trabajo de producción y análisis de distintos procedimientos originales. Investigaciones realizadas en las aulas muestran que estas producciones son posibles si. Es decir. sino una de las tantas formas de cálculo. y una variedad de problemas de suma y resta en los que esas operaciones hayan tenido diferentes significados.) (1999). sugeridos por los mismos alumnos.
estimar también es un procedimiento muy utilizado en diferentes contextos de la vida cotidiana en los que es suficiente efectuar un cálculo aproximado.Eje
Otra opción consiste en pedirles que investiguen la manera en que los chicos más grandes o sus familiares resuelven “estas cuentas”. Por ejemplo. La estimación es un procedimiento que permite controlar el resultado de las cuentas realizadas con cualquier procedimiento. en la medida de lo posible. para calcular los gastos mensuales. se suelen usar procedimientos diferentes a los algoritmos convencionales. al hacer el análisis de los algoritmos usuales se debe tratar de establecer. podemos decir que con los $ 100 que ahorró Martín le alcanza. Las diferentes formas de cálculo se irán complejizando en tanto se modifiquen los números involucrados. En estos casos. se puede encuadrar cada número –el 54 está entre 50 y 60. por ejemplo: para anticipar el dinero que debemos llevar para realizar una compra de alimentos. entonces. Para realizar un cálculo aproximado. lo que puede hacerse antes o después de la operación. etc. En este caso. pues tendrá que gastar aproximadamente $ 90. 50 está más cerca de 54 que de 60. relaciones con los procedimientos construidos por ellos. y el 37 entre 30 y 40– y redondear a la decena más cercana. Por otra parte. Por lo tanto. y 40 está más cerca de 37 que de 30. De esta manera. el control del resultado puede promoverse como un modo de trabajar en matemática que permite asegurarse de lo realizado. estaremos promoviendo que los niños consideren la razonabilidad del resultado en función de la situación y de los datos. para operar con ellas. En cualquiera de las dos opciones.
. como 50 + 40 = 90. en el problema siguiente:
para la computadora que cuestan $ 54 y $ 37. los ingredientes que necesitaremos para preparar una comida. sea que el problema consista solo en inventar un modo de hacer el cálculo o que se trate de un problema en contexto de la vida cotidiana.
como: 1er año/grado Sumas de sumandos iguales de una cifra (1 + 1. Complementos a 100 (80 + .). hasta 9 + 9). la mitad de 80 es. 2o año/grado Sumas de sumandos distintos de una cifra (4 + 3. por ejemplo. Sumas y restas de múltiplos de 5 (35 + 15. Las sumas que dan 10 (1 + 9. etc. es posible trabajar diferentes propuestas de estimación como la siguiente. etc.>
Además de estos problemas.. Plantear juegos para memorizar cálculos Al igual que en 1er año/grado.). 40 + .. Sumas de decenas (40 + 30. . etc. en 2o es necesario seguir promoviendo la práctica del cálculo mental con el objetivo de que progresivamente los alumnos retengan un conjunto de resultados numéricos y de estrategias de cálculo relativos a la adición y sustracción. = 100. hasta 90 + 90). sin hacer la cuenta. es decir. etc. 20 + 5. y para el caso b) veinti y pico más un número cercano al veinte tiene que dar cuarenta y pico. etc.. = 100. 50 – 15... si los resultados de estos cálculos son mayores de 50: a) 28 + 42 b) 25 + 19 Fundamentá tus respuestas..)... Dobles y mitades (el doble de 20 es. 8 + 6..
En el caso a) es esperable que los niños digan: el resultado de 30 + 40 se pasa del 50.
Decidí.. y durante todo el Ciclo. 2 + 8. Para este tipo de actividades. 70 + 60. Sumas de números terminados en 0 que dan 100 (20 + 80).).). ya que una buena práctica de cálculo mental y la reflexión sobre los procedimientos empleados es el punto de partida de otros tipos de cálculo. Sumas de decenas enteras iguales (10 + 10. etcétera.)..
.. menos que cincuenta. Sumas de decenas enteras más unidades (10 + 8. una clase semanal.). etc. hay que destinar un tiempo considerable.
El juego como recurso para aprender y Juega y aprende matemática de Fuenlabrada. en grupos.
. Preguntas tales como: ¿todos lo jugaron de la misma manera?.). a diferencia del algoritmo convencional en el que todos lo resolvemos de la misma manera. más rápido. En cambio. para el docente. un representante de cada grupo deberá socializar para el total de la clase la producción de su grupo. Organización: la clase se podrá dividir en grupos de 4 niños. pero teniendo en cuenta que lo que permite levantar una carta del pozo es que sumen 100. (coord. ¿cuál les pareció la forma más rápida?.Eje
Una clase podría consistir en pedir a los alumnos que. será que el alumno aprenda un nuevo conocimiento. cabe aclarar que el juego en sí mismo no es una herramienta suficiente para garantizar una situación de aprendizaje. Desarrollo: tal como se juega a la “Casita Robada”. Finalmente. se podrá comenzar con una instancia de análisis en la que formularemos preguntas del tipo: cuál procedimiento les resultó más fácil. se recomienda la consulta del material recortable para los alumnos y material para el docente en el libro de Chemello. M. busquen y discutan diferentes maneras de resolver un cálculo. el objetivo en el juego reglado. Será nuestra intención como docentes lo que diferencie el uso didáctico del juego de su uso social. (2000). (2001). de las que debe haber 4. Agrasar. desde el 5 hasta el 95. etc. Pero. será ganar. excepto del 50. ¿qué estrategias utilizó cada uno?. un mazo con 40 cartas con dos de estas con cada uno de los números terminados en 5 y en 0. y Chara. Algunas propuestas21 para construir estrategias y memorizar cálculos son las siguientes. La intención no es encontrar el “mejor procedimiento” sino que cada niño encuentre la manera más “cómoda” de resolver el cálculo. que se reparten 3 cartas a cada niño y se colocan 4 boca arriba sobre la mesa. Para el alumno.
Recomendación de lectura: para ampliar el repertorio de juegos. Luego. Para ello es necesario que gestionemos momentos de análisis conjunto a propósito del desarrollo de cada propuesta lúdica. suelen ser típicas para orientar a los niños a que reflexionen sobre el contenido que se pretendió abordar. “Casita del 100”: sumar números terminados en 0 y 5 que dan 100 Materiales: para cada grupo. etc. I. G. generalmente. Es decir. ¿cuál permitió cometer menor cantidad de errores?. S. Una vía de acceso interesante para el trabajo con el cálculo mental es el juego reglado. para orientar el debate.
+ 5. cada uno debe deshacerse de todas las parejas de cartas que sumen 100. + 5. – 1. En caso de no poder hacerlo. el jugador que tiene más cartas “pide” una carta que le permita descartarse de un par. Organización de la clase: en grupos de 4.
. En su turno. –1. Desarrollo: para comenzar. verificarán que los pares armados sean correctos. Desarrollo: se reparten las 41 cartas entre los 4 jugadores sabiendo que al primer jugador le tocará una carta de más. pierde”: calcular dobles Materiales: un dado en cuyas caras se observen los números 2. Gana el primero que se queda sin cartas. Pierde el participante que supera el número 100. el mismo mazo que para el juego anterior y una carta cualquiera que no tenga pareja. Organización de la clase: en grupos de 2 o 3 alumnos.>
A su turno. desecha una de sus cartas. Desarrollo: un jugador tira el dado y dice el doble del número obtenido. y – 5 Materiales: un dado con etiquetas en cuyas caras se pueda leer +1. – 10. los otros jugadores van duplicando el número enunciado por el jugador anterior. y – 5. Pierde el jugador que al cabo de 5 tiros obtuvo el número más alto. cada grupo elige con qué número comenzar y lo escribe en su hoja. + 10. En un momento inicial. – 10. 7. El jugador que la tiene está obligado a entregársela pasando a ser el próximo participante que pedirá una carta al resto del grupo. + 10. A continuación. colocándola junto a las otras cartas sobre la mesa. A continuación y. “El que se pasa de 100. Entre todos. Papel y lápiz para cada jugador. 3. 8 y 9. Gana el jugador que al final tiene más cartas en su pozo. cada jugador tira el dado y hace con el número lo que se le indica. siguiendo la ronda. “El más grande pierde”: calcular + 1. cada jugador intentará sumar 100 entre una de sus cartas y una de la mesa. “Descartar 100”: calcular sumas que dan 100 Materiales: para cada grupo. Organización de la clase: en grupos de 2 o 3 alumnos. boca arriba. 5.
lográ que en el visor aparezca el número 100. dice el resultado considerando la suma obtenida. y que los puedan usar para resolver nuevos cálculos de sumas de decenas.
. Organización de la clase: en grupos de 4. Se anota 10 puntos el que obtiene la suma mayor.
Recomendación de lectura: para profundizar en el uso de la calculadora en el aula y conocer variedad de propuestas. las sumas de dos dígitos iguales. Luego se les solicita a los alumnos que registren en un afiche los distintos cálculos que fueron registrando. 30 + 30. se presentan actividades que permiten trabajar la memorización de un grupo de cálculos. se apunta a que construyan un repertorio aditivo con sumandos hasta 60: 40 + 20. 50 + 10. Los alumnos realizarán un registro de todos los cálculos para decidir el ganador después de cinco jugadas. Con una única resta. teniendo en cuenta que cada punto del mismo vale 10. En este caso. logra que aparezca 45.22 a partir de situaciones que exigen analizar los números involucrados y apoyarse en las relaciones entre estos. por ejemplo: 80 + 50. Haciendo únicamente una suma.Eje
Otro recurso interesante para trabajar las estrategias de cálculo mental y las propiedades de las operaciones es la calculadora. es decir. Materiales: dos dados por grupo. se recomienda la lectura del material Matemática. Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB de la Dirección General de Cultura y Educación de la provincia de Buenos Aires (2001). Actividad 1 “Guerra con dados”: sumar decenas enteras. en 2o año/grado:
Escribí en la calculadora el número 55. las que dan 10. luego 25. las de decenas enteras y unidades. Colocá el número 37. luego 35. Por ejemplo.
Secuencia para memorizar cálculos: “Cada punto vale diez” En esta secuencia. etcétera. Desarrollo: cada alumno tira los dos dados y. Nos proponemos que los alumnos reutilicen algunos de los cálculos sugeridos en 1er año/grado para memorizar.
otros podrán decir “como yo sé que 4 + 5 es 9. determinan el ganador sumando los puntos obtenidos. generemos un espacio para aclarar entre todos a qué llamamos “fáciles” y a qué. no alcanzará con resolverlos sino que será necesario que expliciten los procedimientos que utilizaron. otros irán agregando de a 10. es posible presentarlos a los chicos del Primer Ciclo en aulas de plurigrado. En algunos casos podrán reutilizar los cálculos trabajados en la Actividad 2 al obtener el puntaje de cada vuelta pero. por eso es necesario que. se recomienda hacerlo en otro momento. algunos grupos podrán jugar considerando que cada punto vale 1 mientras que para otros valdrá 100. se podrá preguntar cuál es más fácil: 10 + 60 o 60 + 10. En este sentido. por lo tanto.
Estos juegos son fácilmente adaptables para alumnos con distintos conocimientos de partida. por ejemplo. los chicos se enfrentarán con sumas de más números y con números mayores. Luego de cada ronda. 40 + 90 + 110.
. Es probable que muchos niños digan “todos son fáciles”. previamente. veremos que algunos alumnos contarán de a 1.>
Actividad 2 Esta propuesta se puede presentar a continuación de la anterior. Entre los procedimientos que pueden aparecer en el debate. Es esperable que consideren como fáciles aquellos que pueden resolver más rápidamente y difíciles a aquellos en los que deben “pensar un poco más” o no pueden resolverlos tan rápidamente.
Actividad 3 Se introduce como variante del juego anterior que cada alumno tire en su turno 3 veces los dos dados y registre los valores obtenidos. Es probable que los chicos que cuentan de 10 en 10 digan que es más fácil el segundo y los que resuelven este cálculo como una extensión de 1 + 6 y 6 + 1 los encontrarán igualmente sencillos de resolver. Es condición para esta actividad que en cada grupo se pongan de acuerdo. Si los alumnos no lo plantearan. pero si el tiempo de atención de los chicos ya fue suficiente. por ejemplo. entonces 40 + 50 es 90. también se podrán modificar los números de las caras del dado. se les solicita a los alumnos que en pequeños grupos armen dos columnas separando los cálculos que les parecieron fáciles de los que les resultaron más difíciles. al aumentar la cantidad de tiros y al obtener el puntaje total. “difíciles”. Usando los registros realizados en la Actividad 1.
considerando que 90 es lo mismo que sumar 100 y restar 10.
En nuevas propuestas. Por ejemplo:
Completá los siguientes cálculos. Actividad 4 Se dará lugar a la resolución de problemas que simulan situaciones presentadas en el juego.Eje
En el cierre de la actividad se podrá discutir sobre las distintas estrategias que permiten resolver estos cálculos con números más grandes. En estos casos. Por ejemplo:
Indicá qué puntaje anotó Mariela después de cada tirada y en total. conmutar y asociar convenientemente los puede llevar a pensar 110 +90 = 200 y 200 + 40 = 240. 70 + … = 130 70 + … = 120 70 + … = 110 ¿Qué relación podés establecer entre estos cálculos?
. Otros podrán pensar 110 + 40 = 150 y luego. es posible presentar los cálculos en forma descontextualizada. hacer 150 + 100 – 10 = 240.
Completá los casilleros de cada columna y después pensá con un compañero qué le dirían a otro para que pueda resolverlos más rápido sin hacer la cuenta. Para contribuir a que los niños desarrollen las posibilidades de “controlar” los resultados obtenidos en ciertas cuentas.
Marcá el resultado que más se aproxime a los cálculos siguientes. si sumo 100 aumenta 1 la cifra de los cienes. – 200. 90 170 100 180 120 200
Plantear situaciones para explorar relaciones numéricas Además de presentar variadas actividades de cálculo. etcétera.>
Las cuatro actividades de la secuencia no se han pensado como cuatro clases seguidas sino como cuatro momentos. De esta manera. en días sucesivos. A partir de los observado en el grupo.
En los casos de sumas y restas del tipo de las planteadas en las tablas o con + 20. También podemos proponerles completar tablas proporcionales elaboradas a propósito de otros problemas resueltos con anterioridad. por medio de propuestas como las que siguen. los alumnos podrán arribar a conclusiones tales como: si sumo 10 aumenta 1 la cifra de los dieces. tomaremos distintas decisiones: podremos hacer las Actividades 1 y 2 en un mismo día. se puede trabajar en la aproximación de los sumandos a la decena cercana. – 20. se podrán generar espacios de discusión sobre las relaciones entre los números
. A partir de estas. es probable que amplíen el repertorio aditivo y sustractivo. en función de sus conocimientos previos y de los avances logrados. es conveniente que algunas propuestas les permitan a los alumnos establecer relaciones y reglas sobre las que se apoyarán para la resolución de nuevos cálculos. y a veces volveremos a realizar la Actividad 1 luego de la Actividad 2 para que los chicos puedan implementar algunas de las estrategias discutidas. + 200.
En este sentido. y es conveniente considerarlas como parte de los logros alcanzados por el grupo. donde para encontrar la respuesta es necesario sumar 8 y 16. y de la tarea que pueden desarrollar para resolverlos.Eje
involucrados que permitan arribar a conclusiones como: para completar las tablas fuimos dando saltos de 2 en 2. ¿Qué tipo de situaciones problemáticas pueden ayudar a cuestionar y repensar esa hipótesis de los chicos? Es necesario. en el segundo.. De esta manera. estarán siempre disponibles y. El trabajo que proponemos apunta a construir condiciones que faciliten en los niños los procesos de comprensión de los enunciados de los problemas. tabla. es importante centrarnos en el análisis de los diferentes aspectos que algunas involucran: interpretar la información según el soporte en el que se presenta.
Las conclusiones que se extraen de estas propuestas se pueden escribir en los cuadernos o en carteles en la sala. diferenciar los datos de las incógnitas y seleccionar la información. entonces. organización y construcción de nueva información. etc. otros 16. Para trabajar con la información Dentro de la variedad de actividades que implica resolver problemas. Asimismo. y en el enunciado aparece la palabra “perdieron”.
. ya sea un enunciado verbal. será posible iniciar un trabajo de recolección. en este año. de 3 en 3. presentar enunciados como: en el torneo de salto en largo. …. ¿Cuántos alumnos quedaron descalificados en total?. en función de un contexto problemático que lo requiera. dentro de cada tabla siempre sumamos el mismo número. pediremos a los chicos que busquen esas conclusiones y evalúen si las están teniendo en cuenta. gráfico. en el primer salto. ante nuevas situaciones. los alumnos piensan que cada vez que en un problema aparece la palabra “perder” hay que restar. Por ejemplo. perdieron 8 participantes y. se trata de que puedan llevar adelante una práctica diferente de aquella más o menos estereotipada de búsqueda de una palabra “clave” en el enunciado que indique la operación que permitirá resolver la situación.
¿cuántos micros deben contratar? ¿Y si faltan 10 chicos? Finalmente. En este sentido. es conveniente anticipar a los niños que hay que seleccionar los datos que permiten responder las preguntas planteadas entre la información que se presenta en el enunciado. Los chicos también suelen pensar que la respuesta a la pregunta es el resultado de la cuenta que hagan. Si deben viajar 73 chicos y 3 maestros. Para ello. habrá que formular preguntas que. se respondan analizando el resto de la división. Si una persona gastó $ 20. escribiremos el enun-
Explicitamos la importancia de generar condiciones para que los alumnos se enfrenten con distintos tipos de problemas en el apartado “Las relaciones entre datos e incógnitas” en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno. y grandes a $ 5. Un problema como el siguiente permite pensar varias respuestas posibles. analizar las relaciones entre las preguntas y los datos necesarios para responderlas. se hace necesario presentar distintos tipos de situaciones. varias y ninguna respuesta posible. para que no piensen que se trata de un problema “con trampa”. En estas oportunidades. podemos proponer problemas que incluyan más datos de los necesarios. conviene presentar problemas con una. otra idea que los chicos usan al resolver los problemas es que siempre existe una única solución. con el fin de que los alumnos tengan que evaluar cuál o cuáles son pertinentes para la resolución de la situación. Para que esto se modifique. como en el siguiente caso: para salir de paseo los maestros de 2o grado contratan micros que pueden llevar 30 pasajeros.
. por ejemplo. Para ello. puede servirnos para otro propósito. ¿cuántos helados pudo haber comprado?
Si a este enunciado le agregamos más información pero no preguntas. En este caso.
En un kiosco venden helados chicos a $ 4.23 Plantear situaciones para establecer relaciones entre datos e incógnitas El trabajo de establecer relaciones entre datos e incógnitas y el análisis del número de soluciones obtenidas al resolverlo contribuye con la comprensión del sentido de las operaciones.>
Otra idea que usan los niños es que “todos los datos numéricos incluidos en el enunciado de un problema deben ser usados en el orden en que aparecen”. por ejemplo.
Todos los helados cuestan $ 1 menos los días miércoles. También se puede presentar una actividad similar a partir de una lámina que contenga información numérica como:
En este último caso. Daniel compró el domingo helados chicos para él y sus tres sobrinos.Eje
ciado en el pizarrón y por grupos tendrán que formular preguntas que se puedan responder a partir del texto anterior. y grandes a $ 5. nosotros podremos agregar otras como las siguientes:
• ¿Quién compró más helados? • ¿Cuáles son los helados más caros? • En un kiosco venden helados chicos a $ 4. como:
. podremos solicitar que diferencien aquellas preguntas que se contestan con solo leer el enunciado de las que para responderlas requieren de un cálculo. centraremos la reflexión en si es posible o no responder las preguntas. Mirta gastó el sábado $ 30. Para complejizar la propuesta y avanzar en el análisis de las preguntas. • ¿Cuantos helados pudo haber comprado Mirta? En un primer momento. La abuela Rosa les compró helados chicos a sus ocho nietos el día miércoles. esperamos que los chicos puedan avanzar en la formulación de preguntas cada vez más complejas a partir de atender distintas condiciones. Además.
. tablas o gráficos. Propuestas para el aula.>
. En escuelas con plurigrado.Con solo ver la lámina: ¿Cuántos caramelos te dan por $ 1? . Por ejemplo. A la vez. al enfrentar la resolución que otros desarrollaron.Haciendo cálculos: ¿Cuánto deberá pagar una familia que toma 2 helados grandes y dos helados chicos? ¿Cuánto más barato es el helado chico que el grande los días miércoles? . si se trata de una entrada a un cine.Relacionando datos: ¿Qué cuesta más caro: el chocolate grande o el helado chico? . comprobará si su anticipación fue adecuada. programas de espectáculos. pues habrá aún mayor diversidad en la puesta en común de las preguntas inventadas por los alumnos. menús. cada chico podrá anticipar el tipo de operación que utilizará para la resolución. luego de ser resuelto por otros compañeros. este tipo de actividad resulta muy interesante. se podrá preguntar: ¿a qué hora empieza la película?. De esta manera. Un modo de instrumentar esta propuesta en el aula es solicitando a los niños que inventen un problema que. al inventar el problema. Matemática EGB 1. ¿en qué cine la dan?. comprobantes de compra. Tanto para formular las preguntas como para responderlas. La experiencia de muchos docentes nos muestra que solicitar a los chicos que inventen problemas contribuirá a que puedan seleccionar la información. como listas de precios. folletos publicitarios de distinto tipo. boletos. etcétera. se requiere que los chicos aprendan a “leer” la información matemática incluida y a seleccionar aquella que resulta útil.24
Recomendación de lectura: otras actividades para trabajar con la información se encuentran en Equipo de Matemática de Gestión Curricular ( 2000).No se puedan contestar: ¿Cuántos caramelos se vendieron? La misma propuesta de inventar preguntas a partir de un enunciado y de una lámina se puede realizar mediante otros portadores de información. etc. deberán corregir. ¿cuánto costó la entrada?. a clasificarla y a analizar la manera más conveniente de organizarla: en cuadros.
se encuentran con libros de un género que no se había anticipado por ejemplo. relatar que se quieren preparar regalitos para el Día del Niño y que se necesita saber cuántos varones y cuántas nenas hay en cada año/grado. les pediremos que averigüen la cantidad de libros que hay para 1o. Tendremos que debatir con los niños cuál es la manera más conveniente de recabar la información necesaria y cómo organizar y registrar los resultados obtenidos. al recabar la información. Por ejemplo. etc. como la que sigue.Eje
Plantear situaciones para obtener y organizar datos Hemos planteado que en 2o año/grado también es posible desarrollar un trabajo de recolección y organización de datos. Una buena posibilidad sería una tabla. de historietas.
Preguntar a la clase qué le parece que significa “Total” en ambos lugares de la tabla.. Antes de hacerlo. Por eso. necesitarían saber qué material y de qué tipo dispone la escuela. o que se va a hacer una campaña en el barrio o el pueblo donde viven para pedir entre los vecinos libros que no usen con el fin de completar las bibliotecas de 1o. según sean de cuentos. cómo modificarían esta tabla para que le sirviera a una escuela que tiene dos secciones por grado. qué datos pondrían en cada lugar. 2o y 3er años/grados. para poder orientar el pedido. Para ello. 2o y 3er años/grados. qué habría que hacer si. etcétera. se puede plantear alguna pregunta que otorgue sentido a la actividad. libros para aprender a contar en 1er año/grado. de textos escolares. favorecerá una mejor interpretación.
¿cómo volcarían esta información en una tabla?. y. en una hoja cuadriculada. ¿qué conviene utilizar en este caso: la tabla o el gráfico?.>
Otra manera de registrar la información recolectada es pintando. ¿por qué?
. cuadraditos uno arriba del otro.
Si no se hubiera realizado la recolección de información. ¿podemos saber la cantidad de libros que hay en este grado?. podríamos presentarlo como el registro de datos de otra escuela y pedir que interpreten la información contenida a partir de preguntas orientadoras: ¿de cuál tipo de libros tienen mayor cantidad?. luego. ¿podemos saber la cantidad que hay de cada uno?. o presentando la información en un gráfico del tipo del que aparece a continuación. ¿de cuál tienen menos?.
es una forma de trabajo a promover permanentemente en matemática. En este sentido. es oportuno aclarar que el análisis de la información presentada bajo diferentes formas en función de la pregunta que se quiere responder es una práctica siempre presente en la resolución de problemas.
A modo de cierre de este apartado.
El reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos a partir de distintas características en situaciones problemáticas. el tipo de papel y los instrumentos que se proporcionen.nap
El reconocimiento y uso de relaciones espaciales en espacios explorables o que puedan ser explorados efectivamente en la resolución de situaciones problemáticas.* La diferenciación de distintas magnitudes y la elaboración de estrategias de medición con distintas unidades en situaciones problemáticas.
* La complejidad de la tarea crece en función de la combinación entre la figura utilizada.
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