Source: https://www.scribd.com/document/340053932/Inecuaciones-de-Primer-y-Segundo-Grado-1
Timestamp: 2018-08-20 00:20:23+00:00

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Description: inecuaciones
como agradecimiento a su esfuerzo. durante nuestra formación tanto personal como profesional. ÍNDICE . AGRADECIMIENTO A Dios. amor y apoyo incondicional. por brindarnos la dicha de la salud y bienestar físico y espiritual A nuestras familias.
) Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. INTRODUCCIÓN Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes. y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. pueden consignarse de varias maneras. la variable independiente. Por ejemplo.1 Los valores que verifican la desigualdad. d = a·t2/2. Estas magnitudes. Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera. Se dice qued es la variable dependiente de t. en particular. la distancia recorrida es una función entonces de a y t. una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales.66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Por otro lado las inecuaciones vienen a ser Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación. no solo los números.  Ejemplo de inecuación condicional: .  Ejemplo de inecuación incondicional: . existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo. calculadas a priori o medidas en un experimento. . son sus soluciones.
los alumnos deben: . en la medida que los alumnos realizan ejercicios. dar una explicación coherente a un conjunto de datos relacionados dentro del contexto. No es lo mismo hacer un ejercicio que resolver un problema. resolver un problema. Como pauta general para resolver problemas matemáticos. Por otra parte. El problema se agrava cuando se presentan los “problemas de aplicación” . aunque algunos no sirvan. los alumnos resuelven mejor los problemas si alguien se los lee que si los lee el mismo. progresarán en la adquisición del conocimiento. Una parte importante de los errores en la resolución de problemas son las dificultades de comprensión lectora . para aplicar conocimientos de matemáticas y poder proponer modelos de solución. La respuesta suele ser única. los alumnos requieren de conocimientos básicos de otras áreas. Por lo general. ya que muchos de ellos están fuera de su entorno de conocimientos. Una cosa es aplicar un algoritmo de forma más o menos mecánica. y otra. Es importante notar que hay una diferencia básica entre el concepto "problema" y "ejercicio" . certifica esta falta de comprensión global. este asunto plantea mayor dificultad que el poder despejar una ecuación. CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA A. lo cual muchas veces les impide resolver algunos problemas que se les plantean. CARACTERIZACIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Una de las mayores dificultades que tienen los alumnos es entender las matematicas y como tema en este caso es el de las inecuaciones . La tendencia de operar todos los datos presentados. pero la estrategia resolutoria está determinada por factores madurativos o de otro tipo. evitando las dificultades que introduce la aplicación de reglas cada vez más complejas. La mejor recomendación es la práctica cotidiana.
sino que cambian de tendencia. se usa "x". es decir. por costumbre. Las ecuaciones sirven a menudo para resolver problemas. Debemos recordar que en una ecuación la variable puede estar representada por cualquier letra. lo que llamamos su dominio de definición (si la variable está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada. JUSTIFICCIÓN E IMPORTANCIA al estudiar este tema de funciones y inecuaciones nos permitirá ampliar nuestros conocimientos además también sirve de mucho aprender este tema por que es para el beneficio de nosotros ya que para hacer los ejercicios se . B. y a introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones raramente son monótonas. para ello deben subrayar las palabras más significativas del mismo. DELIMITACIÓN DE LOS OBJETIVOS 1. Luego expresar el problema en lenguaje simbólico o matemátcio. OJETIVOS ESPECÍFICOS Conceptualizar a las inecuaciones de primer y segundo grado Conocer lo que es una función como segundo plano Aprender a resolver problemas sobre ecuaciones e inecuaciones C. para defiinir aquellas que dan las órdenes. ciertos valores reales son imposibles). 2.Analizar y comprender el enunciado. crecen o decrecen varias veces a lo largo de su dominio de definición). OBJETIVO GENERAL Analizar con mayor detalle el concepto de función y inecuación a definir el conjunto de valores para los que una función dada está definida.
toma en cuenta cada uno de sus pasos que niños ya que si no seguimos los pasos todo el ejercicio va a estar mal. LIMITACIONES. ANTECEDENTES Historia El concepto de función como un objeto matemático independiente. no apareció hasta los inicios .  la indisponibilidad del alcance económico  la falta de tiempo CAPÍTULO II MARCO TEORICO A. susceptible de ser estudiado por sí solo. D.
 Inecuación de Primer Grado. y por los ejemplos «patológicos» como funciones continuas sin derivada en ningún punto. .  Inecuación de Segundo Grado. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas.1 René Descartes. BASES TEORICAS INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CONTENIDO:  Desigualdad. de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. o sin relación con ningún fenómeno natural. B. La intuición sobre el concepto de función también evolucionó.  Aplicaciones. esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores. Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. «constante» y «parámetro». del cálculo en elsiglo XVII. La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.2 3 4 Inicialmente. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números. una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Clairaut. Sin embargo. Leibniz en particular acuñó los términos «función». Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico. y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.C. que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo. «variable».
DESIGUALDAD: Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos: Símbol Se lee Ejemplo o < menor que 2x − 1 < 7 ≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7 > mayor que 2x − 1 > 7 ≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7 La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. Un intervalo. Una representación gráfica. Intervalos: Podemos expresar la solución de la inecuación mediante: a. b. .
= (-∞. la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.Ejemplos: 1. ∞) 4. 2x − 1 < 7  2x < 8  x<4 C. 4) 2. 4] 3. = [4.S. = (-∞. ∞) Criterios de equivalencia de inecuaciones: Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número. .S.S. 2x < 6  2x ÷ 2 < 6 ÷ 2  x<3 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo. 2x − 1 > 7  2x > 8  x>4 C. 2x − 1 ≥ 7  2x ≥ 8  x≥4 C. la inecuación resultante es equivalente a la dada. = (4. la inecuación resultante es equivalente a la dada. 3x + 4 < 5  3x + 4 − 4 < 5 – 4  3x < 1 Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo. 2x − 1 ≤ 7  2x ≤ 8  x≤4 C.S.
Consideremos la inecuación: La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º Quitar corchetes. 5º Efectuar las operaciones . 2º Quitar paréntesis. 2 – 5x  0 x c. a≠0 Ejemplos: a. 7x – 3  0 b. 4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. −2 ≤ 0 3 Estrategias para la Resolución de Inecuaciones de Primer Grado Ejemplos: a. 3º Quitar denominadores. −x < 5  (−x) × (−1) > 5 × (−1)  x > −5 INECUACION LINEAL O DE PRIMER GRADO Inecuación que se puede escribir dela siguiente forma: ax + b ≤ 0.
S. pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica: Como un intervalo: C. Exprese el C. S .−4 ¿ . Resuelve 2 (3−x ) >14 Aplique la propiedad distributiva de la 6−2 x >14 multiplicación Reste 6 a ambos lados 6−2 x−6 >14−6 ¿−2 x> 8 Divida entre -2 para despejar la incógnita. +∞) b. 7º Despejamos la incógnita. por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. = [3. 6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1.S en forma de intervalo ¿ C . Obtenemos la solución como una desigualdad. la ¿ desigualdad cambia 2x 8 < −2 −2 ¿ x <−4 Represente gráficamente la solución.=¿−∞ .
7x – 3  0 b. 2 – 5x  0 x c. Consideremos la inecuación: x2− 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado. a≠0 Ejemplos: a. −2 ≤ 0 3 Estrategias para la Resolución de Inecuaciones de Segundo Grado Ejemplos: a. x2 − 6x + 8 = 0 2º Representamos estos valores en la recta real.INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Inecuación que se puede escribir dela siguiente forma: ax + b ≤ 0. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0 .
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio. no tiene solución. C. ∞) 2 b. 2) (4. Conjunto Solución x2 + x +1 ≥ 0 x2 + x +1 > 0 x2 + x +1 ≤ 0 . le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad. = (-∞. Resuelva: x + 2x +1 ≥ 0 Solución x2 + 2x +1 = 0 (x + 1)2 ≥ 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es Conjunto Solución x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0 x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2> 0 x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x=−1 x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2< 0 c. la solución es . Resuelva: x2 + x +1 > 0 Solución x2 + x+1 = 0 Cuando no tiene raíces reales.S. El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad.
Ejemplos: a) Resuelve: Solución 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. tienen que ser abiertas. independientemente del signo de la desigualdad. pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. x−2=0  x=2 x−4=0  x=4 2º Representamos estos valores en la recta real. 3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: . x2 + x +1 < 0 Inecuaciones racionales Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado. teniendo en cuenta que las raíces del denominador.
. 2] (4.S.S. ∞) b) Resuelva: Solución Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador. = (-∞. Hallamos las raíces del numerador y del denominador. −x + 7 = 0  x=7 x−2=0  x=2 Evaluamos el signo: C. = (-∞. C. ∞) Ejercicios 1 Resolver las siguientes inecuaciones a. 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica. 2) (7.
d. b. 4 Resuelve: 7 Resuelve: a. 1 7x2 + 21x − 28 < 0 6 Resolver la inecuación: b. c. 2 Resuelve el sistema : 3 Resolver las inecuaciones: a. 4x2 − 4x + 1 ≤ 0 b. c. 9 Halla los valores de k para los que las raíces de la ecuación x2 − 6x + k = 0 sean b. e. las dos reales y distintas. −x2 + 4x − 7 < 0 c. . b. 10 Resolver las inecuaciones de primer grado a. x4 − 16x2 − 225 ≥ 0 8 Resuelve: 5 Resolver las inecuaciones: a. x4 − 25x2 + 144 < 0 c.
grado g. 7x2 + 21x − 28 < 0 j. x4 − 25x2 − 144 < 0 d. x2 + x +1 > 0 i. c. 4x2 − 4x + 1 ≤ 0 a. −x2 + 4x − 7 < 0 11 Resolver las inecuaciones de segundo f. e. b. . a. x2 − 6x + 8 > 0 b. x2 + 2x +1 ≥ 0 h. d. x4 − 16x2 − 225 ≥ 0 12 Resolver las inecuaciones racionales c. e.
Bajo este plan el costo por kilómetro (gasolina y aceite) es de $0. si los costos fijos son de $600.40 por unidad. 4. si comprase el carro el gasto fijo anual sería de $3000 más $0. se vende al distribuidor a $0. Inversión: Una compañía invierte $30. Encuentre el menor número de revistas que pueden ser publicadas sin pérdida (suponga que toda la emisión será vendida). Si el precio para un mayorista es de $7. Renta versus compra:una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre los costos de compra y rentar un automóvil. Publicidad: El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0. una compañía determina que el costo de material es de $2.000.65. 5. determine el número mínimo de unidades que la compañía debe de vender para obtener utilidades. ¿Cuál es la menor cantidad de dinero que de invertir a la tasa de 6.000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5 y 6.75%. Ella puede rentar un automóvil por $400 mensuales (con una base anual). Utididades:La compañía “Durini” fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de$20 y un costo unitario de $15. 3. el gasto general.APLICACIONES: 1. ¿Cuál es el menor número de kilómetros que deberá conducir por año para que la renta no sea más cara que la compra. determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía obtenga utilidades. Utilidades:Para producir una unidad de un producto nuevo.50 y el de mano de obra es de $4.10.18 por kilómetro.75%? .000. sin importar el volumen de ventas es de $5000. 2.60 cada una y la cantidad que se recibe por publicidad es de 10% de lo recibido por todas las revistas vendidas arriba de las 10.
claramente el sueldo por t  40 hora en mejor. Durante una semana normal de trabajo.600. Si . ¿Para qué nivel de ventas anuales es mejor escoger el primer método? . Compensación:Suponga que una compañía le ofrece un puesto de ventas y que usted elija dos métodos para determinar su salario. Asignación de ventas: Un fabricante tiene 2. Sueldo por hora: A los pintores mayormente se les paga por hora o por obra terminada. Un método paga $12. La compañía debe producir 11. El otro método paga una sola comisión del 8% sobre sus ventas.500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $4. ¿Cuál es el número mínimo de relojes que deben ser producidos en una semana normal de trabajo? 7. el fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2. el próximo mes el precio por unidad se incrementará en $ 0. Asignación de Producción: Una compañía produce relojes despertadores. para que valores de t el salario por hora es mejor? 9.00.50. t  40 Suponga que el trabajo les toma t horas.750. el costo de mano de obra para producir un reloj es de $2. pero si es hecho en tiempo extra su costo es de $3.00. suponga que pueda trabajar por $8. más un bono de 2% sobre sus ventas anuales. o por $300 más $3 por cada hora por debajo de 40. si completan el trabajo en menos de 40 horas. ¿Cuál es el número máximo de unidades que pueden ser vendidas en este mes.000 por semana en mano de obra.000 relojes esta semana.50 la hora. El salario que reciba puede afectar la velocidad con la cual trabaje. Por ejemplo. 8. Si .6. El administrador ha decidido no gastar más de $25.500 unidades no sea menor que $10.
000 más el 40% de las entradas. Concierto en el campus:La rectora de la universidad está planeando que un grupo de rock realice un concierto en el campus. A lo más.10. El precio por el concierto sería un pago único de $2.440 o un pago de $1. Es probable que 800 alumnos asistan. ¿Cuánto podría cobrar la rectora por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único? Si se cobra este máximo ¿Cuánto dinero deberá de dejarse para publicidad. guardias y otros gastos del concierto? .
las inecuaciones tienen infinitas soluciones agrupadas en un conjunto. CAPÍTULO III ANÁLISIS Inecuación de primer grado simple Una inecuación es una expresión algebraica que consta de dos miembros separadospor una desigualdad. El método de resolución de inecuaciones de primer grado se similar a la resolución de ecuaciones salvo por el hecho de que si multiplicamos los dos miembros de una inecuación por un número negativo cambia el sentido de la inecuación. ≥. Resolver una inecuación consiste en encontrar el valor o valores que la verifican. . ≤ . Resolución de inecuaciones de primer grado Consideremos la inecuación: La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1º Quitar corchetes. La desigualdad puede ser < . alcontrario de las ecuaciones de primer grado. > .
4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro. 2º Quitar paréntesis. pero ésta también podemos expresarla: De forma gráfica: . 3º Quitar denominadores. 7º Despejamos la incógnita. 5º Efectuar las operaciones 6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1. Obtenemos la solución como una desigualdad. por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.
x 2 − 6x + 8 = 0 2º Representamos estos valores en la recta real. Como un intervalo: [3. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo: . +∞) INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Consideremos la inecuación: x 2 − 6x + 8 > 0 La resolveremos aplicando los siguientes pasos: 1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
P(0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0 P(3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P(5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0 3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio. 2) (4. S = (-∞. ∞) 2 + 2x +1 ≥ 0 x 2 + 2x +1 = 0 (x + 1) 2 ≥ 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es Solución x 2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1) 2 ≥ 0 .
le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad. El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad. la solución es . Solución x 2 + x +1 ≥ 0 x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 ≤ 0 x 2 + x +1 < 0 . x 2 + 2x +1 > 0 (x + 1) 2 > 0 x 2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1) 2 ≤ 0 x =− 1 x 2 + 2x +1 < 0 (x + 1) 2 < 0 x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 = 0 Cuando no tiene raíces reales. no tiene solución.
podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias. y creemos que también esta monografía nos será útil en la práctica. . El objetivo planteado en la introducción se cumplió. Tras el estudio de las nombradas funciones y inecuaciones matemáticas. nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática. CONCLUSIONES Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo. ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las inecuaciones matemáticas de primer y segundo grado. en especial la física y la química. ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica.
V. Cálculo Diferencial e Integral. Edwin J. MCATEE. EditorialPrentice Hall. John y otros. . Una Introducción a la Derivada a través de laVariación. PURCELL. Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica. BIBLIOGRAFÍA AIRES. Cálculo. Samuel. Cálculo Diferencial. de C. y Dale Varberg. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA. FUENLABRADA. Editorial Mc Graw Hill. FLORES. Matemáticas VI. Grupo Editorial Iberoamericana S. Editorial Mc Graw Hill. Preparatoria Abierta. Crisólogo Dolores. A. Frank y Elliott Mendelson.
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