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Timestamp: 2018-01-18 01:00:26+00:00

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Estudiar Matemática 3 by Marcela Lalia - issuu
a partir del trabajo en las aulas
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Estudiar Matemática en 3.° Edición revisada a partir del trabajo en las aulas es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega por el siguiente equipo: Coordinación: Claudia Broitman y Cinthia Kuperman Autoría: Claudia Broitman, Cinthia Kuperman, Mónica Escobar, Héctor Ponce, Inés Sancha Lectura crítica: Horacio Itzcovich Editora: Silvia de Rojas Editora de esta edición revisada: Andrea Gutiérrez Coordinadora editorial: Mónica Pavicich Subdirectora editorial: Lidia Mazzalomo
APORTES PARA LA ENSEÑANZA ¿Por qué esta edición revisada? ........................................................ 3 1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática en 3.º ............................. 3 2. La organización de contenidos en Estudiar Matemática en 3.º ... 6 3. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática relativas a cada eje de contenidos en Estudiar Matemática en 3.º ............... 7 Numeración ..................................................................................... 7 Operaciones...................................................................................... 9 Espacio ........................................................................................... 13 Geometría ...................................................................................... 14 Medida ........................................................................................... 15
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La realización artística y gráﬁca de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por: Coordinación de arte:
De esta edición: Coordinación de arte: Mariana Valladares.
Diseño maqueta, interior y tapa: 2martini • estudio de diseño Ilustración:
Lancman Ink., Juan Noailles y Gerardo Baró.
Diseño interior y tapa: Estudio Martini 07
Laura Peña, Federico Stefani y Macarena Ayestarán.
Ilustración interior y tapa: Lancman Ink.
Corrección y asistente de edición: Marta Castro. Preimpresión: Subgerencia de producción industrial:
Miriam Barrios, Matías Pedullá, Maximiliano Rodríguez y Omar Tavalla. Gregorio Branca.
Documentación fotográﬁca: Macarena Ayestarán, Patricio Calvo, Ariadna Demattei. Fotografía: Archivo Santillana. Corrección: Marta Castro. Preimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez, Maximiliano Rodríguez, Nicolas Verdura. Subgerencia de producción industrial: Gregorio Branca.
Estudiar matemática en 3º : edición revisada a partir del trabajo en las aulas : libro del docente / Claudia Broitman ... [et.al.]. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 160 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-1883-6 1. Libros de Texto. 2. Matemática. 3. Educación Primaria Básica. I. Broitman, Claudia CDD 372.7
© 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-1883-6 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina Primera edición: febrero de 2006. Segunda edición revisada: enero de 2008.
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Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2008, en Graﬁsur, Cortejarena 2943, Buenos Aires, república Argentina.
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ESTUDIAR MATEMÁTICA en 3.
APORTES PARA LA ENSEÑANZA La Edición revisada a partir del trabajo en las aulas de Estudiar Matemática en 3.º conserva la misma estructura que la primera, tanto respecto de la organización de las propuestas de enseñanza como del enfoque didáctico que las sustenta. A partir del trabajo en las aulas, la observación de su implementación y los comentarios que aportaron muchos maestros, se incorporó más espacio para la producción individual de los niños y se reorganizaron los momentos de trabajo colectivo.
1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática en 3.º La intención en este apartado es hacer explícitas algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática en los primeros años de la escolaridad y comunicar ciertos rasgos del enfoque que sustenta la selección, organización y secuenciación de los contenidos y propuestas de este libro. Se parte de la idea de que es necesario que los alumnos se enfrenten a nuevos problemas que favorezcan procesos constructivos a partir de poner en juego conocimientos iniciales y construir otros nuevos. Este proceso exige elaboraciones y reelaboraciones sucesivas que pueden promoverse desde la enseñanza apuntando a un acercamiento progresivo desde los conocimientos de los niños hacia los saberes propios de la Matemática. ¿A qué nos referimos con problema? Para que los niños puedan poner en juego un trabajo matemático necesitan enfrentarse a situaciones que les presenten un grado de diﬁcultad, sean verdaderos “problemas”. No se espera, entonces, que “salgan bien” desde el primer intento; por el contrario, es la diﬁcultad de la situación propuesta la que genera la posibilidad de aprender algo nuevo. Es importante advertir que –además de los problemas presentados con un enunciado contextualizado y una pregunta– se considera también “problemas” a otras prácticas: poner en palabras una estrategia, interpretar un procedimiento ajeno, discutir la validez de una aﬁrmación, analizar un error, copiar una ﬁgura, dictar un mensaje.
Los problemas enmarcan el trabajo matemático. Permiten presentar nuevos desafíos y durante cierto tiempo se constituyen en objeto de estudio.
Para que los niños puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de partida –aun cuando sean erróneos o no convencionales– y a la vez ponerlos a prueba, modiﬁcarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso enfrentarlos a una misma clase de problemas en repetidas oportunidades. Un trabajo sistemático de varias clases próximas entre sí promueve reorganizar una y otra vez estrategias de resolución, pensar nuevamente en las relaciones que aparecieron en clases anteriores, abandonar ensayos erróneos e intentar nuevas aproximaciones. Por ello, en este libro, las diferentes propuestas se organizan en pequeñas secuencias de varias páginas en las que se visitan y revisitan los mismos tipos de problemas una y otra vez para favorecer avances. Esas situaciones propuestas pueden permanecer en la clase durante un tiempo más prolongado que el de las páginas en sí mismas para que verdaderamente logren instalarse. Además de volver sobre una misma clase de situaciones con otras herramientas, es preciso enfrentar a los niños a nuevos problemas. Por ello, se van incorporando progresivamente variaciones en las situaciones que agregan nuevos desafíos. Para sostener estas ideas sobre los problemas y su secuenciación es necesario aceptar y prever la provisoriedad y el largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela. Aquellas cuestiones que en algún momento se resuelven con estrategias menos avanzadas, luego de cierto trabajo sostenido se resolverán con recursos más económicos.
Para promover avances sobre una clase de problemas es preciso enfrentar a los alumnos a una secuencia de situaciones similares y que estas “vivan” un tiempo en la clase...
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Los problemas admiten diversidad de procedimientos. Producir nuevos, interpretar otros y establecer relaciones entre ellos es parte del quehacer matemático.
Interpretar producciones ajenas requiere considerar otros puntos de vista y enriquece la mirada sobre el problema en cuestión.
Los errores de los niños tienen su lógica. Comprenderla y superar los errores requiere un trabajo colectivo.
A lo largo de una secuencia de problemas es necesario considerar la potencia de diferentes formas de organización de la clase.
Esta mirada sobre los problemas implica provocar la aparición de una variedad de procedimientos posibles por parte de los niños. Ya se trate de sumar dos cantidades, de escribir un número, de medir una longitud o de describir una ﬁgura, los niños podrán resolver la situación con estrategias variadas según los conocimientos y recursos que tengan disponibles. La variedad de formas de resolución es también un buen indicador de que los problemas inicialmente propuestos no son tan simples como para que todos los resuelvan del mismo modo, ni tan complejos como para que no los puedan resolver. Ahora bien, un problema que ya se ha tornado conocido, un tiempo después suele resolverse con estrategias más homogéneas, con aquellas cuya incorporación se ha promovido, y entonces podrá ser interpretado como marca de un avance colectivo. Los procedimientos de resolución son en sí mismos objeto de estudio y de debate. En muchas de las propuestas didácticas se explicitan momentos de trabajo dirigidos especialmente a comunicar, comparar y apropiarse de diferentes formas de resolver los problemas. El libro propone en reiteradas oportunidades interpretar procedimientos ajenos en cuadernos o voces de niños hipotéticos que presentan procedimientos característicos de los niños en esta etapa. La intención es aportar otras estrategias que tal vez no hayan aparecido, darles estatuto de validez a estrategias poco convencionales, y también que los niños aprendan a considerar otros puntos de vista sobre la misma situación. De algún modo son marcas del tipo de tarea que se pretende instalar en la clase, espacios colectivos de análisis del problema a propósito de la diversidad de formas de abordaje. En ocasiones, entre las producciones infantiles que se presentan se incluyen errores para analizar. Partimos de la idea de que explicar por qué una respuesta, una opinión o un procedimiento son erróneos puede constituirse en fuente de conocimientos para todos, tanto para aquellos niños que los han producido –o que producen errores similares a los propuestos– como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error pero se ven forzados a justiﬁcar y explicitar razones. Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conocimientos de los niños en un momento determinado, y exigen un trabajo sistemático para su superación –trabajo a veces de la misma naturaleza que producir nuevos conocimientos más acertados–. En Estudiar Matemática en 3.º se presentan para ser discutidas algunas producciones o expresiones erróneas típicas del pensamiento infantil. En este libro se presentan diversas modalidades de trabajo. En ocasiones, las propuestas se inician para que sean abordadas desde el trabajo individual. Son aquellos problemas necesarios para que cada niño, en un tiempo personal, pueda enfrentarse al problema desde los conocimientos de que dispone. Estos primeros acercamientos a la resolución del problema serán puntos de partida para que el maestro pueda organizar el análisis colectivo posterior. En otras oportunidades se sugiere comenzar o retomar el problema en pequeño grupo o en parejas. Las interacciones entre los niños serán fecundas para la circulación de conocimientos. Esta modalidad se adopta cuando la actividad es exploratoria y no se espera que puedan resolver de manera autónoma la situación, cuando la propuesta es más compleja y es posible que en el intercambio se acerquen a una estrategia o respuesta más elaborada (que en forma individual tal vez no podrían abordar), y cuando la situación misma requiere roles diferenciados (enviar un mensaje, inventar un problema para que otro lo resuelva, etcétera). Tanto si las propuestas empiezan de manera individual como en pequeños grupos o en pare-
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jas, se prevén instancias de trabajo colectivo. Estos son momentos privilegiados para evocar acuerdos, para el debate, para la comparación de procedimientos, para la confrontación de ideas, para la discusión y, posteriormente, para la elaboración y reorganización de conclusiones. En realidad, los momentos de trabajo colectivo en torno a una situación ya resuelta son los espacios más ricos para difundir e instalar nuevos conocimientos, para que los niños se apropien de nuevos recursos a partir de vincularlos con los que ellos mismos han usado. Los desafíos que presentan los problemas, los errores que han aparecido, las diversas formas de resolución serán objeto de un trabajo reﬂexivo de manera conjunta, una ocasión para revisar y ampliar los conocimientos individuales que funcionaron como punto de partida. El trabajo colectivo tiene diferentes funciones. Es un espacio para comunicar y explicitar estrategias, “poner en palabras los descubrimientos”. La ﬁnalidad de esta explicitación es doble: que todos los niños puedan apropiarse de las estrategias de otros y reutilizarlas, y que se produzcan nuevas relaciones a la hora de explicarlas o compararlas. Es un momento propicio también para analizar algunos errores que han aparecido y que el docente devuelve al grupo para generar una discusión. Es habitual que a los niños les cueste hacer explícitas sus estrategias y mostrar su producción. En Estudiar Matemática en 3.º, cuando se presentan producciones típicas de niños la intención es que los alumnos puedan identiﬁcar similitudes y diferencias entre esas producciones, las propias y otras del grupo. También es un problema en sí mismo para los alumnos discutir sobre la validez de una aﬁrmación. En ocasiones se presenta una frase en voz de niños o simplemente como pregunta que se formula desde el mismo libro. Otras veces, el trabajo colectivo requiere interpretar y completar conclusiones elaboradas por otros grupos de 3.º, que recogen expresiones que utilizan los niños realmente en clases similares. En Estudiar Matemática en 3.º, dichos momentos de trabajo colectivo se presentan con la frase: Se abre la discusión. El rol del docente es central para que se organice un intercambio fecundo entre los niños. En muchos casos, el maestro deberá mantener provisoriamente cierta incertidumbre respecto de la validez de las aﬁrmaciones de algunos niños. Pondrá en duda lo correcto tanto como lo incorrecto, con el ﬁn de promover un intercambio de ideas y puntos de vista, posponiendo para un momento posterior la respuesta correcta. Existe otra ﬁnalidad del trabajo colectivo: permite constituir una memoria de lo trabajado, recapitular, comparar los conocimientos anteriores con los nuevos, tomar conciencia de las progresivas y sucesivas reorganizaciones del conocimiento. En oposición a la idea de que los niños aprenden “sin darse cuenta”, se intenta promover un trabajo reﬂexivo sobre el propio proceso de estudio que podrá irse profundizando en cada año. En 3.º se propone: volver a mirar los cuadernos y encontrar señales que puedan reconocerse como avances, encontrar en páginas anteriores problemas parecidos, consultar una conclusión y reutilizarla, comparar las nuevas formas de resolver un problema con las anteriores, agrupar problemas según similitudes, volver sobre el título de una hoja para pensar por qué se llamará así, etc. Estos momentos privilegiados para instalar procesos de estudio y puentes entre lo viejo y lo nuevo se proponen bajo el título Mirar para atrás. La idea central es la recapitulación de lo trabajado en un conjunto de problemas y a través de varias clases. Se invita a releer –o el maestro leerá en voz alta– algunos problemas o conclusiones con la idea de establecer nexos entre lo ya realizado y algo nuevo, o bien recordar lo que se fue haciendo en torno a determinados problemas. El maestro ayudará en esa tarea hasta que progresivamente los niños puedan realizarla de manera más autónoma.
Los problemas no “funcionan” por sí mismos. Son un campo fértil sobre el cual desplegar nuevas preguntas, elaborar conclusiones, organizar debates. Este trabajo necesariamente requiere una instancia colectiva.
Los momentos de trabajo colectivo son oportunidades para que los conocimientos se socialicen y sistematicen.
El trabajo reﬂexivo en torno a un conjunto de problemas exige recapitular y tomar conciencia de lo nuevo.
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El rol del docente es central para gestar condiciones que favorezcan la evolución de los conocimientos.
En algunas páginas se propone elaborar carteles con conclusiones para que puedan ser fuentes de consulta en clases siguientes. Se espera que los niños puedan dictar a su maestro, quien escribirá en un cartel visible para todos y lo leerá cuando sea necesario. Las portadas también apuntan a favorecer la recapitulación. Al iniciar cada etapa se propone Mirar para atrás aquellos contenidos que se fueron trabajando y escribir “conclusiones” para recordar y tener presentes en la etapa siguiente. La tarea de elaboración de conclusiones podrá ser presentada como un trabajo conjunto. En cada portada también hay un fragmento del índice correspondiente a la etapa siguiente: Mirar para adelante, que habilita anticiparse a los temas que se abordarán. Al ﬁnalizar las etapas también se propone mirar para atrás el libro y el año de trabajo. Esta propuesta aparece como Mirar para atrás 3.º y dejar huellas para 4.º (pp. 141, 142 y 143). La intención de estos espacios es recapitular, sistematizar, tomar conciencia de lo estudiado, identiﬁcar procesos de estudio y dejar marcas escritas de aquello que ha sido estudiado de manera de establecer puentes con lo que se realizará al año siguiente. En la medida de lo posible, se promueve también que dicho material “pase de grado” con los niños. También el maestro tiene “prácticas” o “roles” diferentes según los momentos de la clase y del desarrollo del contenido en cuestión. En algunos momentos propone a sus alumnos que expliciten los conocimientos y procedimientos utilizados. En otros, organiza los debates a propósito de los conocimientos en juego y promueve la difusión de los conocimientos (aunque sean producidos por algunos solamente). A veces genera espacios de análisis de procedimientos y soluciones erróneas (aunque sean solo de algunos niños) para promover avances para todos, o bien somete a discusión una nueva estrategia que no ha sido utilizada para resolver un problema. También aporta información cuando se requiere u ofrece “pistas” para que los niños puedan retornar al problema. Registra en carteles aquello que es nuevo para que pueda ser reutilizado y evoca lo realizado en clases anteriores para promover una continuidad entre lo ya hecho y lo que está por realizarse. Además, presenta conjuntos de problemas que permitan sistematizar, reutilizar o ampliar lo aprendido. Para ampliar estas ideas sobre el enfoque de enseñanza se sugiere consultar la bibliografía en la página 144 del libro del alumno.
2. La organización de contenidos en Estudiar Matemática en 3.º Este libro está organizado en torno a cinco ejes: • Numeración • Operaciones • Espacio • Geometría (incluye Figuras y Cuerpos) • Medida El primer eje –Numeración– está distribuido en las etapas del año previstas aproximadamente para un mes y medio o dos meses de trabajo. Dentro de cada etapa se presentan consecutivamente las páginas del mismo eje; esto fomenta la idea de seguir la secuencia planteada y no fragmentar el/los contenidos abordados. Dentro de cada etapa están indicados los ejes, y en cada página se informan también los contenidos propuestos para abordar en el pie de página. Cada una de las etapas se encabeza con una portada que incluye tanto Mirar para atrás lo
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realizado en la etapa anterior como Mirar para adelante, que anuncia qué se va a estudiar. Estas cinco etapas están organizadas teniendo en cuenta la complejidad creciente y ofrecen una distribución temporal. Cada una de las etapas presenta también una evaluación que le permitirá al docente recoger información sobre los avances en el proceso de estudio de los números y de las operaciones. A diferencia de lo propuesto con Numeración y Operaciones, en Estudiar Matemática en 3.º se presenta un único apartado con las propuestas de Espacio (pp. 118 a 120), Geometría (Figuras geométricas, pp. 123 a 127, y Cuerpos geométricos, pp. 128 a 132) y Medida (pp. 134 a 139), con la idea de que el docente elija en qué etapa abordar cada uno de estos contenidos y pueda distribuirlos según su planiﬁcación anual. También se presenta su portada y algunas evaluaciones. Los contenidos de Espacio, Geometría y Medida no necesariamente deben abordarse en el orden propuesto, ya que la complejidad es creciente solo dentro de cada contenido. Se sugiere intercalar el trabajo sobre Espacio, Figuras, Cuerpos y Medida con cuatro de las cinco etapas propuestas en el libro, o al ﬁnalizar cada etapa abordar durante diez o quince días exclusivamente uno de estos contenidos. Para ayudar a organizar esta distribución anual se ofrece, además del índice del libro con los títulos de cada propuesta (pp. 3 y 4), un índice por ejes (pp. 5 y 6).
3. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática relativas a cada eje de contenidos en Estudiar Matemática en 3.º Numeración Volver a estudiar los primeros mil números (en Etapa I) Se propone inicialmente un tiempo de trabajo recuperando y difundiendo los conocimientos de los niños que han sido abordados en segundo grado sobre los números a través de Números del 0 al 1.000 I, II y III (pp. 8, 9 y 10). Luego se propone analizar la representación en la recta numérica con Una recta del 0 al 1.000 (p. 11). El trabajo inicial propuesto en Estudiar Matemática en 3.º con los primeros mil números fomenta que los niños puedan desplegar sus conocimientos, los confronten con otros y puedan así resolver problemas que les exijan escribir, comparar y leer números al mismo tiempo que explorar regularidades de la serie oral, de la serie escrita y de las relaciones entre ambas. Explorar números “más grandes” (en Etapa I) Las páginas 12 y 13, Números muy grandes, presentan problemas de interpretación, producción y orden de números del orden de los millones o miles de millones para que los niños puedan realizar una actividad de exploración. Para ello podrán apoyarse en sus conocimientos sobre los primeros mil números y en la información provista de los nombres de algunos números. Esta situación no apunta al dominio en la lectura, la escritura o el orden en este campo numérico mayor, sino que es una situación de investigación. Además de explorar sobre cómo se llaman o cómo se escriben, se les propone ordenarlos. Los niños pueden comparar números escritos aun cuando no sepan cómo se llaman reparando en ciertas regularidades: la cantidad de cifras o, frente a los números de igual cantidad de cifras, comparar la primera de ellas. Si bien se trata de unas pocas
Es interesante promover situaciones que permitan explorar números con cantidad de cifras diversa.
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páginas, la intención es instalar que a lo largo del año, a partir de problemas que aparecen en diferentes contextos o en el estudio de otras áreas, puedan continuar explorando los números sin límite en su tamaño.
Para leer números, la información que brindan los nudos es un punto de apoyo.
Analizar el valor que tienen las cifras según la posición que ocupan en el número es una tarea compleja para los niños.
Estudiar los primeros diez mil números (en Etapas II y III) Se presentan situaciones que proponen explorar y analizar regularidades en los mil números juntos o en porciones de a mil no necesariamente crecientes. Se parte de la idea de que los niños podrán extender las regularidades encontradas y sistematizadas en los números. Trabajar con este campo numérico implicará aceptar que durante el proceso de su estudio aparecerán errores diversos. Su análisis permitirá promover avances para todos. Leer números es un proceso complejo en el que los niños ponen en juego sus ideas acerca de cómo se llaman los números. La confrontación entre diversas interpretaciones y la información sobre el nombre de los números “redondos” (1.000, 2.000, 3.000, etc.) permitirán revisar y ampliar los conocimientos de partida. En las páginas 30 y 31, Números hasta el 10.000 y ¿De qué número se trata?, se presenta una recta numérica con información de la escritura y nombres de números “redondos”. Apunta centralmente a ofrecer la serie de nudos para que los niños puedan avanzar en sus estrategias de interpretación. En este recorrido propuesto está en juego la relación entre la serie oral y la serie escrita de números: saber cómo se escriben o cómo se llaman números correspondientes al mismo nudo constituye un fuerte apoyo para los niños. En la página 31, ¿De qué número se trata?, se propone que adivinen los números elegidos según pistas dadas. En las páginas 32 y 33 se propone Leer, escribir y ordenar números hasta el 10.000 y en la página 34 hay un espacio de recapitulación para elaborar Conclusiones sobre los números del 0 al 10.000. La organización de los números en grillas favorece el análisis de las regularidades de la serie numérica: todos los números de la misma ﬁla empiezan igual, todos los números de la misma columna terminan igual. Algunos ejemplos se presentan en ﬁchas y en ciertas páginas (grillas de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100), como en Grillas con números hasta 10.000 (p. 54). En las páginas 55 y 56 se presentan problemas en diversos contextos que exigen realizar escalas ascendentes y descendentes, como en Series con números que se saltean I y II. Estudiar el valor posicional en números ya conocidos (Etapa V) Analizar y reﬂexionar acerca del valor de los números según la posición que ocupan es un problema que se debe poner en juego también en 3.º. Cuando los niños ya pueden dominar la lectura y la escritura de ciertos números, es conveniente instalar la reﬂexión en torno a su composición interna. Es por eso que en este libro se propone recién en la última etapa, en las páginas 96 a 105, estudiar los aspectos ligados al análisis del valor posicional. Por ejemplo, las páginas 96 y 97, ¿Unos, dieces, cientos o miles?, proponen componer y descomponer números en el contexto de un juego con billetes de 1.000, 100, 10 y 1. Las páginas 98 y 99, Estudiar el valor posicional I, apuntan a explorar cómo se transforman los números al aumentar 10, 20 o 30, 1, 10, 100 y 1.000, etc. En la página 100, Estudiar el valor posicional II, se propone Mirar para atrás las páginas 96 a 99 y resolver algunos problemas similares de composición y descomposiciones con ﬁchas de 100, ﬁchas de 10 y ﬁchas de 1, billetes de 1.000, de 100, de 10 y de 1, y cambiar los números en la calculadora. En las páginas 103 y 104, Mirar los números para saber cuánto sobra I y II, se propone reutilizar los conocimientos
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sobre el valor posicional para determinar el cociente y el resto al dividir por potencias de diez. Finalmente, en Resolver problemas “con solo mirar” los números (p. 105) se apunta a la explicitación de estrategias para resolver estos variados problemas. Desentrañar composiciones y reglas de funcionamiento de los números no es una tarea sencilla y necesariamente “visible” para quien ya conoce la serie. El estudio del valor posicional, como hoy sabemos, es más un punto de llegada que un punto de partida para el estudio de los números. El trabajo con el cálculo mental y algorítmico pondrá también en juego estos aspectos. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de los números se sugiere consultar la bibliografía en la página 144 del libro del alumno.
Operaciones La enseñanza de las operaciones está presente en todas las etapas de Estudiar Matemática en 3.º. La construcción del sentido de las operaciones incluye tanto el reconocimiento del campo de problemas como el dominio de diversas estrategias de cálculo. En las cinco etapas se proponen algunas páginas para abordar diversidad de sentidos de los problemas y otras que apuntan estrictamente al estudio de estrategias de cálculo. Algunas páginas proponen problemas que exigen vincular las situaciones a los cálculos que permiten resolverlas. Diversidad de problemas de suma y resta En las páginas 14 y 15, Problemas para resolver I y II, se propone una diversidad de situaciones problemáticas de suma y resta que les permitan producir o reutilizar estrategias variadas seguramente trabajadas en años anteriores. Algunos de estos problemas involucran un solo cálculo y otros, varios, y se propone analizar las diferentes formas de secuenciar los mismos. Algunos remiten a sentidos más sencillos (agregar, unir, quitar, perder, etc.) y otros a sentidos un tanto más complejos (comparar, buscar la transformación, averiguar el estado inicial, etcétera). Para estos problemas, el trabajo propuesto supone una fase de resolución individual en la que se busca que los niños ensayen y produzcan sus formas de resolución, y a continuación se presentan espacios de trabajo colectivo encabezados por Se abre la discusión en los que se invita a que los alumnos muestren sus maneras de resolver, las expliquen, puedan compararlas y también interpretar estrategias de otros niños. Este libro presenta en varias ocasiones procedimientos infantiles, en cuadernos o voces de niños, que fueron realizados teniendo en cuenta procedimientos habituales de los niños en cada momento del año. En otros momentos se propone que elaboren y registren conclusiones, que incorporen estrategias ajenas, que tomen conciencia de los cambios producidos en sus propias estrategias, que vuelvan a mirar un problema resuelto en otro momento con nuevas herramientas. Estas propuestas están habitualmente encabezadas por el título Mirar para atrás. En las etapas más avanzadas del libro se presentan nuevos problemas de suma y resta intercalados entre otros problemas que también involucran la multiplicación y la división, como por ejemplo, Para resolver con cálculos; Problemas con varios cálculos; ¿Dividir, sumar, multiplicar, restar? (pp. 24, 58, 70).
La variedad de problemas y de estrategias puede ser objeto de estudio y reﬂexión.
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El trabajo sobre la información en cuadros, sobre los datos, cálculos y preguntas de los problemas también requiere una labor sistemática.
El reconocimiento de la multiplicación en problemas de series proporcionales no es suﬁciente para usarlo en otros tipos de problemas.
Hay que construir algunos sentidos de los problemas de división antes de abordar sus recursos de cálculo.
Se presentan varios problemas con información en tablas o cuadros que apuntan a que los niños aprendan a seleccionar los datos necesarios para responder ciertas preguntas, entre otros dados. También en varias páginas se propone inventar preguntas o problemas y analizar la relación entre cálculos y problemas. Algunas situaciones para seleccionar los datos y para inventar problemas y preguntas se presentan en las páginas 37, Problemas con cuadros, y 38, Hacer cálculos para tomar decisiones. Las instancias de trabajo colectivo permitirán difundir los conocimientos ligados al tratamiento de la información, cuestión que inicialmente suele ser compleja para los niños. La intención es poder explicitar en la clase las estrategias para localizar los datos necesarios, discutir sobre la relación entre cálculos y preguntas, para favorecer que dichos conocimientos puedan ser apropiados por todos los niños. Diversidad de problemas multiplicativos Se proponen varias secuencias de problemas que apuntan a explorar la variedad de estrategias y cálculos para resolver problemas multiplicativos. Inicialmente se presentan en las páginas 22 y 23, Muchas veces el mismo número I y II, problemas para el estudio de la multiplicación. En este caso, se enfrenta a los niños a problemas de series proporcionales para que resuelvan a través de diversidad de estrategias, reﬂexionen sobre ellas y reconozcan y evoquen las escrituras multiplicativas como expresiones que simpliﬁcan la información. En la página 24, Para resolver con cálculos, se presentan otros problemas multiplicativos que exigen también realizar sumas y restas. El trabajo sobre estos problemas permitirá instalar un punto de partida rico para que en etapas siguientes continúen estudiando la multiplicación en sentidos más complejos. Los problemas de series proporcionales se presentan inicialmente con números más pequeños, y el tamaño de los números y la complejidad de los problemas van creciendo a lo largo de las etapas, del mismo modo que aparecen intercalados entre otros problemas que se pueden resolver por medio de multiplicaciones o divisiones o exigen más de un paso. Por ejemplo: ¿Dividir, sumar, multiplicar, restar? (p. 70); Repeticiones, combinaciones y ﬁlas... (p. 79); Problemas con calculadora, paso a paso (p. 92). Luego de que los niños se han iniciado en la escritura de cálculos multiplicativos sencillos en problemas de series proporcionales se les propone estudiar su uso en dos nuevos tipos de problemas: organizaciones rectangulares y combinatorias. Aun cuando los niños reconozcan la multiplicación en problemas de proporcionalidad, frente a estas situaciones más complejas, muchos alumnos tendrán diﬁcultades para reconocerla como medio de solución. Algunas de las páginas que presentan estas situaciones son: Problemas con ﬁlas y columnas y Cálculos para ﬁlas y columnas (pp. 39, 76 y 77). Para problemas de combinatoria: Problemas para combinar, ¿De cuántas formas se puede combinar?, Repeticiones, combinaciones y ﬁlas (pp. 59, 78 y 79). Es esperable que los niños los resuelvan inicialmente por conteo o por sumas sucesivas y recién posteriormente reconozcan el cálculo multiplicativo o que provenga de una instancia colectiva. Su explicitación y difusión abonarán a su reconocimiento en futuros problemas. Los números involucrados en estos problemas son más pequeños que en los problemas de series proporcionales, ya que su resolución es más compleja. ¿Problemas “de división”? Respecto de la división se propone inicialmente un conjunto de problemas de reparto y partición, previamente al estudio de los cálculos de división. En estos problemas se espera que los niños puedan desplegar estrategias variadas, tales como conteo, reparto uno a uno, sumas y restas sucesivas, y multiplicación, que les permitan empezar a construir el sentido de la división
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antes que los recursos de cálculo. Por ejemplo: Distintas formas de hacer repartos; Repetir y repartir cantidades; Nuevos cálculos para problemas conocidos (pp. 41, 66, 67, 68, 69), presentan situaciones de este tipo antes de haber presentado el símbolo de la división o las cuentas “de dividir”. Posteriormente a la presentación de la división se proponen nuevos conjuntos de situaciones que apuntan a construir estrategias de cálculo más avanzadas y a reconocer el símbolo de la división (ver este aspecto en el apartado siguiente). Una vez que los niños ya reconocen la división, además de proponer problemas para reutilizar los conocimientos sobre los problemas conocidos con nuevas estrategias, se profundizará también sobre nuevas clases de problemas: situaciones que exigen analizar qué sucede con el resto: ¿Qué hacer con lo que sobra? I, II y III; ¿Partir lo que sobra? (pp. 80, 91, 106, 108), y problemas que involucran averiguar cuántas veces entra un número dentro de otro o problemas de iteración: ¿Cuántas veces “entra” un número dentro de otro? (p. 107). Otras páginas proponen problemas de varios pasos y que involucren diferentes operaciones. En estos casos los niños tendrán que reconocer la división entre otras operaciones o resolver problemas que exijan realizar más de una operación. Para descentrar la atención de las cuestiones de cálculo, en muchos de ellos se propone resolverlos con calculadora y enfatizar cuáles cálculos los resuelven, y analizar, además, de qué diferentes maneras se pueden ordenar los pasos en cada problema. Se proponen problemas variados que involucran la división entre otras operaciones en: Problemas con calculadora, paso a paso (p. 92). Diversidad de estrategias de cálculo para cada operación En Estudiar Matemática en 3.º se propone que los niños elaboren diversos procedimientos de cálculo: cálculos mentales, cálculos algorítmicos, cálculos estimativos y cálculos con calculadora. Los cálculos mentales escritos (a veces llamados cálculos “horizontales”) son aquellos que exigen tomar decisiones sobre qué descomposiciones y composiciones realizar y son particularmente útiles para números “redondos”. Los mismos se apoyan en propiedades de los números y de las operaciones, y requieren un cierto repertorio de resultados disponibles. El trabajo con cálculo mental supone una reﬂexión y toma de decisiones, ya que no hay una sola manera de desarmar los números para operar con ellos. También exige controlar los pasos intermedios que se realizan y es, sin duda, la estrategia de cálculo que hoy es más usada socialmente y en situaciones cotidianas. Muchos niños tienen particular facilidad para este tipo de cálculos, pero en Estudiar Matemática en 3.º se proponen situaciones sistemáticas de cálculo mental para que sea posible analizarlas, estudiarlas, practicarlas, sistematizarlas para ser apropiadas por todos los niños de la clase. Entre otros, se proponen conjuntos de cálculos con números “redondos” de suma y resta: Sumar y restar mentalmente (p. 17); Saber una suma permite... (p. 19); Sumar y restar con cuentas (p. 20); Usar cálculos conocidos para hacer otros cálculos (p. 21); Retomar las multiplicaciones (p. 48); Multiplicar por 10, por 100, por 1.000 (p. 49), y Multiplicar por números que terminan en cero (p. 50). Posteriormente se proponen divisiones con números “redondos”: Multiplicaciones y divisiones por 10, por 100 y por 1.000 (p. 83); Usar multiplicaciones para divisiones (p. 84), y Cálculos mentales de división (p. 85).
Un mismo cálculo admite estrategias diferentes. La diversidad de formas de componer y descomponer los números para operar puede ser objeto de estudio.
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Construir un repertorio de cálculos conocidos es un buen punto de partida para el trabajo con el cálculo mental.
El estudio de los algoritmos convencionales exige un trabajo en torno a las diversas formas de representar y sintetizar los pasos intermedios y cálculos mentales.
Para poder realizar cálculos mentales es preciso disponer de un conjunto de resultados conocidos. Para la construcción de dicho repertorio se propone un trabajo que abona a la sistematización, explicitación y reconocimiento de grupos de cálculos similares. La utilización de dicho repertorio en nuevos cálculos es un objetivo para el trabajo con los niños. En Estudiar Matemática en 3.º se ha propuesto un trabajo sistemático para usar resultados conocidos de sumas y restas en otros cálculos: Saber una suma permite... (p. 19); Sumar y restar con cuentas (p. 20); Usar cálculos conocidos para hacer otros cálculos (p. 21); un análisis de las relaciones numéricas en tablas proporcionales para iniciar el estudio de los resultados multiplicativos: Muchas veces el mismo número I y II (pp. 22 y 23); Retomar las multiplicaciones (p. 48). También se propone el estudio de las relaciones numéricas y propiedades en la tabla pitagórica. Se presenta con los resultados de las multiplicaciones hasta 10 x 10 y se propone un análisis en torno a las propiedades de la multiplicación, por ejemplo, la relación entre resultados de la ﬁla del 2, del 4 y del 8, los resultados que se repiten, etc. (pp. 45, 46 y 47); La tabla de Pitágoras (p. 45); Retomar las multiplicaciones (p. 48). La intención es que preceda a la memorización un análisis de las relaciones numéricas y de las propiedades que permita a los niños construir recursos de control de resultados o de reconstrucción en caso de olvido. Otro aspecto que se enfatiza y es necesario para el cálculo mental y algorítmico es la multiplicación y división por la unidad seguida de ceros. Las páginas que presentan el estudio de dichas cuestiones son: Multiplicar por 10, por 100, por 1.000 (p. 49); Multiplicar por números que terminan en cero (p. 50); Multiplicaciones y divisiones por 10, por 100 y por 1.000 (p. 83); Usar multiplicaciones para divisiones (p. 84). También se propone el estudio de cálculos algorítmicos. Los algoritmos de suma y resta seguramente han sido estudiados en años anteriores. Para recuperarlos y aprender nuevos aspectos de cálculos mentales que aportan recursos para usar en los algoritmos de la suma y la resta se proponen algunas páginas iniciales, tales como: Sumar y restar con cuentas (p. 20) y Usar cálculos conocidos para hacer otros cálculos (p. 21). En Estudiar Matemática en 3.º el trabajo especíﬁco sobre los algoritmos de multiplicación y división se presenta posteriormente a que los niños conozcan los problemas y tengan un cierto dominio sobre el cálculo mental. El estudio del algoritmo de la multiplicación se aborda especíﬁcamente en Estudiar cuentas para multiplicar (p. 60); Multiplicar mentalmente y con calculadora (p. 61); Multiplicar mentalmente, con cuentas y con calculadora (p. 62). Se promueve un análisis de los pasos intermedios que se realizan en el algoritmo de la multiplicación y de la división por una cifra. En particular con la división, se apunta a instalar una cuenta que permita “mostrar” y controlar las multiplicaciones y restas que se realizan en cada paso. Hacia la quinta etapa se propone –una vez que se supone que hay un cierto control, por parte de los niños, de los pasos que se realizan– un acortamiento del algoritmo para reducir la cantidad de pasos. Si bien este algoritmo es más largo, para los niños es más sencillo de aprender porque permite ejercer un mayor control de cálculos parciales. El algoritmo de la división es un objeto de trabajo central en las etapas IV y V, Una cuenta para dividir I, II y III (pp. 86 a 90); Estimar al dividir (p. 110); Dividir mentalmente y con calculadora I y II (pp. 111 y 112); Acortar la cuenta de dividir I y II (pp. 113 y 114).
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Otra clase de cálculo que se propone enseñar es el cálculo estimativo. El cálculo estimativo (o aproximado) permite resolver una gran variedad de problemas (por ejemplo, aquellos en los que la pregunta es si alcanza cierta cantidad de dinero para comprar tales productos o quién tiene más). Otra función del cálculo estimativo es que permite anticipar y controlar resultados obtenidos por otros recursos de cálculo. Se propone explícitamente estimar resultados de cálculos y usarlos para anticipar resultados y luego veriﬁcarlos. Por ejemplo, para sumas y restas, Estimar el resultado (p. 18); Multiplicaciones I y II, y Estimar el resultado de multiplicaciones (pp. 63 a 65); ¿Partir lo que sobra? (p. 108), y Estimar el resultado de divisiones (p. 109).
El cálculo estimativo es una herramienta para resolver problemas y para anticipar y controlar resultados de otros recursos de cálculo.
Simultáneamente al estudio del cálculo mental, el cálculo algorítmico y el cálculo estimativo, se propone el uso cotidiano del cálculo con calculadora. En general, la calculadora se sugiere en Estudiar Matemática en 3.º como instrumento para veriﬁcar y corregir resultados obtenidos por medio del cálculo mental y del cálculo algorítmico. También es un instrumento al servicio de los otros contenidos. En particular hay problemas de varios pasos en los que directamente se propone su resolución con calculadora para centrar la atención en los sentidos de las operaciones y no en los cálculos: Problemas con varios cálculos (p. 58) y Problemas con calculadora, paso a paso (p. 92). También se propone su uso para estudiar algunos aspectos del sistema de numeración, como por ejemplo, en las páginas Estudiar el valor posicional I y II (pp. 98 y 100) y Cambiar los números en la calculadora I y II (p. 101). En ocasiones se presentan cálculos para que los niños decidan cuál es la estrategia de cálculo más conveniente según los números involucrados, por ejemplo: Multiplicar mentalmente, con cuentas y con calculadora; Multiplicaciones I y II (pp. 62 a 64); Dividir mentalmente y con calculadora I y II (pp. 111 y 112).
La calculadora es una herramienta presente en diversos contenidos y durante todo el año.
Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de las operaciones se sugiere consultar la bibliografía de la página 144 del libro del alumno.
Espacio Los niños utilizan el espacio y construyen un conjunto de conocimientos prácticos que les permiten dominar sus desplazamientos y construir referencias. Se trata de adquisiciones espontáneas en su proceso de construcción de nociones espaciales. Pero esto no sucede con todos los problemas espaciales: algunos exigen un verdadero trabajo sistemático para su adquisición. Resulta necesario hacer una distinción entre el uso del espacio real (desplazarse, recorrer lugares, hacer circuitos, etc.) y los aspectos matemáticos que podrían estar vinculados a cada una de dichas situaciones. En el uso real del espacio no hay necesariamente una actividad anticipatoria o una actividad matemática. Los problemas matemáticos relacionados con el espacio no se resuelven empíricamente, ya que están ligados a la representación de dicho espacio. Representación verbal (oral o escrita) y gráﬁca. La representación es un modelo de la realidad, no es la realidad misma, pero permite tomar decisiones y resolver problemas anticipándose a las acciones físicas. Se espera que los niños puedan avanzar en la resolución de problemas que exigen una representación gráﬁca. En Estudiar Matemática en 3.º se presentan propuestas que involucran problemas de interpretación y producción de planos. La ﬁnalidad es que los alumnos aprendan
Es preciso distinguir entre aquellas propuestas que abordan un uso físico del espacio real de aquellas otras que involucran una representación gráﬁca o verbal del mismo. En Matemática se trabajan estas últimas.
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a producir mejores representaciones planas de diferentes espacios físicos analizando puntos de vista y ubicación de los objetos, y se inicien en la interpretación de dibujos, planos y recorridos realizados por sus compañeros y por adultos en situaciones de uso social analizando formas diversas de representar y discutiendo sobre los tamaños y proporciones de los objetos a representar. Las páginas Interpretar un plano I y II (pp. 118 a 120) abordan estas problemáticas.
Geometría Estudiar objetos geométricos y sus propiedades requiere trabajar con diversidad de problemas que exijan un trabajo intelectual y no se resuelvan exclusivamente mirando o manipulando.
Estudiar los objetos geométricos y sus propiedades requiere resolver problemas y luego reﬂexionar sobre los conocimientos usados y aprender nuevos. En Estudiar Matemática en 3.º se proponen en las páginas 123 a 127 secuencias de problemas para ﬁguras geométricas y en las páginas 128 a 132, problemas para el estudio de los cuerpos geométricos. Estos problemas intentan promover interacciones con estos objetos ideales propios de esta rama de la Matemática: las ﬁguras y los cuerpos geométricos. Entre las propuestas que abordan el estudio de las ﬁguras geométricas, Copiar una ﬁgura (p. 123) apunta a analizar una ﬁgura a partir del problema de reproducirla. Copiar y comparar no son actividades que se resuelvan exclusivamente mirando o dibujando. Se obliga a los alumnos a reparar en características y detalles de las mismas y a poner en palabras similitudes y diferencias. Esta explicitación de propiedades forma parte de un problema estrictamente geométrico. En Describir una ﬁgura (p. 124) se propone un problema de comunicación. Los niños tienen que describir ﬁguras y analizar qué mensajes corresponden a cada una. Este problema exige un análisis detallado de los datos necesarios a considerar para dar la información pertinente y segura, e invita a trabajar sobre el uso del vocabulario especíﬁco y el análisis de las propiedades de las ﬁguras. También se propone identiﬁcar ﬁguras a partir de sus propiedades, tal como en Reconocer una ﬁgura I y II (pp. 125 a 127). En Investigar cuerpos geométricos (pp. 128 y 129) el trabajo propuesto apunta a que los alumnos identiﬁquen y formulen propiedades de los cuerpos, en particular, la cantidad y variedad de aristas y la cantidad de vértices para lograr distinguir un cuerpo a partir de sus características entre otros cuerpos dados. También se proponen algunos problemas que apuntan a analizar cuáles desarrollos planos permiten construir efectivamente ciertos cuerpos geométricos; tal es el caso de Armar y desarmar cuerpos geométricos (pp. 130 y 131). En las propuestas geométricas, del mismo modo que en los otros contenidos, se intenta promover un clima de trabajo y de producción colectiva. Si bien se incluyen momentos de trabajo individual o en parejas, hay presentes instancias grupales de justiﬁcación, debate, confrontación de ideas, discusión, elaboración de conclusiones, todas ellas encabezadas por el título Se abre la discusión. Se trata de problemas que exigen varias clases, y aquellas propiedades que circularon en una clase se retoman, amplían o superan en las clases siguientes. Por ello se incluyen momentos para Mirar para atrás, otro espacio privilegiado para el trabajo colectivo. Las situaciones presentadas abordan diferentes tipos de prácticas. En algunas, se trata de que los niños tomen conciencia de propiedades a las que no suelen prestar particular atención, propiedades provisoriamente “no tan visibles”. En otros casos, la intención es que los niños puedan “poner en palabras” dichas propiedades, es decir, pasar de un reconocimiento im-
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plícito a la explicitación de las mismas e incorporar vocabulario especíﬁco. El trabajo de los alumnos, en otras secuencias, consiste en tomar decisiones anticipadamente –apoyándose en ciertas descripciones o características– para luego veriﬁcar su validez. Todas estas “prácticas” constituyen problemas diversos en torno a los mismos objetos: ﬁguras y cuerpos. Estos objetos seguramente serán visitados en los años siguientes para seguir estudiando nuevas propiedades, además de las abordadas en 3.º. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje del Espacio y la Geometría se sugiere consultar la bibliografía de la página 144 del libro del alumno.
Medida El estudio de la medida abarca una diversidad de cuestiones. Un aspecto reﬁere al conocimiento de las magnitudes a medir. Los niños podrán aprender que se pueden medir longitudes, capacidades, pesos, el tiempo, etc. Un aspecto a explorar son los diferentes instrumentos de medida que se usan socialmente. Suelen conocer algunos instrumentos; podrán consultarlos y explorar otros: reloj, jeringa, vaso medidor, balanzas diversas, etc. Se podrán explorar diversas unidades de medida que se usan para dichas magnitudes, y según las dimensiones de cada objeto a medir. Se apuntará a que reconozcan algunas unidades de medida convencional y a conocer las equivalencias entre ellas. Otro aspecto a considerar reﬁere a la posibilidad de iniciar a los niños en la estimación de medidas; para ello se los podrá enfrentar a analizar ciertas aﬁrmaciones y encontrar cuáles son posibles y cuáles no, y por qué: por ejemplo: “un bebé puede pesar 3 kilos”, “un bebé puede pesar 3 gramos”, o “un bebé puede pesar 3 toneladas”. En Estudiar Matemática en 3.º se proponen problemas de medida de longitud, peso, capacidad y tiempo. Medir en centímetros, metros y kilómetros (pp. 134 y 135), se propone trabajar con medidas de longitud, la relación y equivalencias entre diferentes unidades de medida, y se aborda el uso de la regla. En Saber cuánto pesa (pp. 136 y 137), se promueve el estudio de las medidas de peso, en particular de las unidades más usadas y las equivalencias entre ellas, y la relación con cuartos y medios kilos. Para el estudio de la medida de capacidad se propone trabajar con el litro y con medios y cuartos de litro en ¿Cuántos litros? (p. 138). Por último, Medir el tiempo (p. 139) se propone analizar medidas de tiempo, la relación entre horas, minutos, y el uso de cuartos y medias horas, así como también las diferentes formas de registrar informaciones horarias. En varios problemas de estas páginas se propone estimar la medida de ciertos objetos; en algunos casos, averiguar sus medidas reales y en otros, medir para veriﬁcar sus anticipaciones. También para la Medida, las propuestas se organizan con espacios colectivos bajo el título Se abre la discusión y espacios de recapitulación como Mirar para atrás. Mirar para atrás estas páginas Hemos intentado mostrar en estas páginas de Estudiar Matemática en 3.º una cierta característica común propuesta para todos los ejes de contenidos: el trabajo matemático implica resolver problemas, analizarlos, discutir sobre las estrategias usadas, analizar procedimientos ajenos, consultar información, elaborar conclusiones, discutir sobre formas de comunicar y registrar lo realizado, producir e interpretar escrituras, comparar soluciones, transformar los problemas en nuevas preguntas.
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Estudiar Matemática en 3.º se realiza por un camino en el que el trabajo individual se alterna con espacios colectivos en manos del docente dirigidos a difundir conocimientos, instalar debates y elaborar nuevas conclusiones. En todas las páginas del libro, en todos los ejes, se presentan problemas. A veces se trata de problemas nuevos, complejos, para abrir desafíos y diversidad de aspectos y puntos de vista. En otros casos, son problemas de recapitulación o sistematización en los que se espera que los niños usen herramientas ya conocidas. A veces los problemas exigen buscar un resultado, en otros casos exigen discutir una verdad o interpretar una estrategia ajena. El trabajo matemático propuesto intenta ser variado en cada eje y abarcar diferentes tipos de prácticas matemáticas. Además del quehacer propio del trabajo matemático, en Estudiar Matemática en 3.º se aborda una tarea de “estudiante de Matemática”; aunque se trata de niños pequeños, pueden tomar conciencia de lo estudiado, de lo enseñado, de lo aprendido. El trabajo propuesto en las portadas, en Mirar para atrás y dejar huellas para 4.º apunta a establecer momentos en la clase para instalar estos procesos de “estudio”. Los niños, además de aprender los conocimientos matemáticos, pueden aprender ciertas prácticas que les serán fértiles para seguir estudiando y reutilizando, más conscientemente, los conocimientos aprendidos hasta el momento. Solo queda resaltar el énfasis puesto en el trabajo colectivo, tanto para el análisis de estrategias, de errores, como para la discusión, el intercambio o la circulación de conocimientos nuevos. También es colectivo el lugar especialmente otorgado al “oﬁcio de estudiante”. Estudiar Matemática en 3.º es, sin duda, una tarea colectiva. Así lo ha sido para los autores y es nuestra intención que lo sea para los maestros, y especialmente para los niños de 3.º.
Estudiar Matemática es fruto de un trabajo colectivo. Así lo ha sido para el equipo de autores y se anhela que lo sea para los maestros, además de para los niños.
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