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Timestamp: 2018-11-17 20:45:18+00:00

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LFGL_AcInU3
La Importancia Del Uso De Múltiples Representaciones En La Resolución De Problemas De Matemáticas
LA IMPORTANCIA DEL USO DE MÚLTIPLES REPRESENTACIONES EN LA
En este trabajo se pretende estudiar el uso de las múltiples representaciones en la resolución de
problemas de matemáticas, que tienen influencia en el desarrollo de la competencia de resolución de
problemas de tipo variacional en estudiantes de 3° y 5° de las instituciones educativas Pablo Sexto
de Calima el Darién – Valle del Cauca y Centro Pedagógico Creativo del Cauca de la ciudad de
Popayán- Cauca.
necesario estar a la vanguardia de las orientaciones culturales, sociales y económicas que
dictaminan en gran parte en vaivén de los avances tecnológicos y que a su vez dirige las
disposiciones de la educación.
Las competencias en matemáticas son una respuesta a estas procuras que la sociedad encuentra
sobre las cuales reposa. Es bajo esta consigna se implementa la evaluación del sistema educativo
trabajo se centrará bajo el ciclo I y II que comprende la evaluación del grado 3° y 5°.
están enfocadas en la valoración de la calidad educativa nacional en concordancia con los
lineamientos curriculares y los estándares básicos de competencias, dichas pruebas permiten
evidenciar un alto indice de fracaso en el componente de resolución de problemas y más aún si se
De esta forma, este trabajo también apunta hacia el fortalecimiento de la competencia de resolución
de problemas a partir de un análisis cualitativo y la implementación de estrategias pedagógicas y
metodologías. Siendo necesario el análisis de los resultados obtenidos en las aplicaciones de las
pruebas como insumo para recurrir en el mejoramiento de las prácticas y procesos educativos que
se desarrollan en cada institución.
El presente trabajo es una adaptación del trabajo publicado por Benítez, D y Santos, L.M (2000) el
estrategias de control en la resolución de problemas de matemáticas.
1.1.1. Objetivo General. Identificar las características de la competencia de la resolución de
problemas de variación con estudiantes de diferentes grados escolares
 Estudiar los recursos de matemáticas que tienen los estudiantes en la resolución de
 Estudiar las habilidades heurísticas que tienen los estudiantes en la resolución de
 Estudiar las habilidades de control que tienen los estudiantes en la resolución de problemas.
 Analizar la importancia que tiene el empleo de las múltiples representaciones en la
En el surgimiento de las matemáticas los avances y desarrollos suscitados en esta disciplina son
concernientes a la resolución de problemas. Éste hecho no ha sido ajeno dentro del diseño
curricular. El movimiento de la resolución de problemas surge a finales de la década de los 70 como
producto de fracaso obtenido en los movimientos mundiales de reforma en la matemática escolar,
conocidos con los nombres de matemática moderna y el regreso a lo básico.
Después del lanzamiento del Sputnik por los soviéticos, las escuelas norteamericanas se vieron en
la necesidad de iniciar una renovación en la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas tanto
en la educación secundaria como media. La premisa era de formar a estudiantes con conocimientos
de matemáticas a la altura de las nuevas directrices del avance tecnológico. En este camino
hacia las ramas de la lógica y la teoría de conjuntos como bases fundamentales de las matemáticas.
En la década de los sesenta, debido al movimiento de reformas educativas surgen las matemáticas
modernas, las cuales producen una transformación profunda en la enseñanza, modificando su
filosofía y sus contenidos. Entre las principales características del movimiento y los efectos que se
 Se enfatiza sobre las estructuras abstractas en diferentes áreas, especialmente en algebra.
 El estudio de la geometría elemental en los currículos de matemáticas se había abandonado
como consecuencia del advenimientos de las matemáticas modernas (Ministerio de
 El rigor en la teoría de conjuntos y el álgebra se enfatiza, considerando que son fácilmente
Más tarde, en los años 70 se empezó a evidenciar que esta reforma educativa no lograba alcanzar
las expectativas y más aún los resultados no eran los acertados, suscitando problemas que
superaban las supuestas ventajas que se esperaban conseguir como el rigor en la fundamentación,
la comprensión de las estructuras matemáticas y el acercamiento a la matemática moderna.
Después del inminente fracaso de la reforma, se ve la necesidad de una contrarreforma que fue
llamada el regreso a lo básico donde lo fundamental era que los alumnos adquirieran procesos
algorítmicos y se apropiaran de las cuatro operaciones tanto en enteros, fraccionarios y decimales.
Sin embargo, dominar estos procesos no era suficiente puesto que se corría el riesgo en que se
procediera de forma mecánica, donde la memoria jugara un papel fundamental. Los estudiantes no
eran capaces de pensar matemáticamente y daban respuestas deshilvanadas a actividades con
datos insuficientes y a problemas que no tenían sentido (Santos, 1997)
Como respuesta a las necesidades motivadas sobre lo que un alumno necesita matemáticamente
desde las matemáticas modernas y el regreso a lo básico para desenvolverse en la sociedad, se
(Polya, 1965) presenta desde su introspección, acciones encaminadas a resolver problemas y las
cuales son aplicables a la solución de problemas de cualquier tipo. Él presenta en su trabajo titulado
“Como planear y resolver problemas”, cuatro etapas para resolver un problema:
iv. Visión retrospectiva
En esta etapa inicial, se debe realizar el análisis sobre los datos, incógnitas y condiciones del
 ¿Cuáles son los datos del problema?
 ¿Cuáles son las incógnitas?
 ¿Cuáles son las condiciones sobre las cuales ésta planteado el problema?
En esta segunda etapa se establece las relaciones de los elementos como datos, incógnitas y
papel importante las estrategias heurísticas, no como un factor determinante para resolver el
problema sino más bien como acciones que permiten un mayor entendimiento de las relaciones.
 Considerar parte de la hipótesis
 Pensar en problemas conocidos
 Dividir un problema en subproblemas
 Formular el problema de forma diferente
 Usar diagramas para representar el problema en forma diferente.
Ejecutado el plan no es solo llegar a una solución sino también se debe validar y verificar resultados
y razonamientos con el fin de explorar nuevos caminos que permitan llegar a la misma solución de
una forma más corta y eficaz en la solución del problema.
Es evidente que Polya vislumbra cuatro fases diferenciadas para la resolución de problemas, que en
¿por qué están difícil para los estudiantes resolver un problema matemático? Es aquí donde los
trabajados de Schoenfeld buscan dar explicación a esta pregunta.
Este autor señala una diferencia esencial en la forma de resolver un problema tanto por un experto
como un estudiante y es que “los expertos dedican más tiempo en la fase del entendimiento del
problema que los estudiantes…”(Santos, 1992), lo cual influye en forma determinante en el éxito o
Schoenfeld propone que en el proceso de resolución de problemas deben intervenir cuatro
dimensiones: recursos cognitivos referidos al conocimiento matemático en sí, es decir, las
definiciones, hechos y algoritmos; las heurísticas como estrategias para abordar un problema, por
ejemplo, como dividir un problema en otros más simples, invertir el problema, hacer tablas y gráficas,
etc.; el control o metacognición como el monitoreo del proceso de resolución y validación de
las matemáticas y al proceso de resolución de problemas. (Rivas, 2009).
A la par, para que la resolución de problemas sea significativa, es necesario considerar que el
contexto en que se pueden plantear los problemas son de tres tipos: hipotético, real y puramente
matemático. Es recomendable que se haga alusión a situaciones reales para que los estudiantes
perciban la aplicación inmediata de las matemáticas, y que de alguna manera esto despierte su
Es así que, gracias a la articulación de esta serie de dimensiones y contextos, la capacidad de
comunicarse matemáticamente es más asertiva y permite a los estudiantes articular nociones
informales e intuitivas con un lenguaje simbólico y abstracto, donde se crean conexiones entre las
múltiples representaciones de las ideas matemáticas.
Dados los anteriores argumentos y debido a las reformas y fracasos dentro del ámbito educativo
algunos consideran necesario recurrir a la resolución de problemas como eje central del currículo de
matemáticas donde es necesario que sea transversal a toda actividad matemática dentro de la
escuela, con el fin de proporcionar contextos donde los conceptos matemáticos cobren significancia
Algunas investigaciones del NCTM (1981) y el MEN (1998) han reconocido la resolución de
problemas como una actividad muy importante para aprender matemáticas y por lo tanto proponen
considerar en el currículo escolar de matemáticas los siguientes aspectos:
 Formulación de problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas.
 Desarrollo y aplicación de diversas estrategias para resolver problemas.
 Verificación e interpretación de resultados a la luz del problema original.
 Generalización de soluciones y estrategias para nuevas situaciones de problemas.
 Adquisición de confianza en el uso significativo de las matemáticas.
El MEN (1998) propone dentro de la competencia de resolución de problemas argumentos para
 Desarrollar habilidad para comunicarse matemáticamente: expresar ideas, interpretar y
 Provocar procesos de investigación que subyacen al razonamiento matemático; nos
estamos refiriendo precisamente a los procesos del pensamiento matemático: la
manipulación (exploración de ejemplos, casos particulares); la formulación de conjeturas
(núcleo del razonamiento matemático, proponer sistemáticamente afirmaciones que parecen
generalización (descubrir una ley y reflexionar sistemáticamente sobre ella); la
argumentación (explicar el por qué, estructurar argumentos para sustentar generalización,
 Investigar comprensión de conceptos y de procesos matemáticos a través de:
símbolos para representarlos, traducción entre distintas formas de representación;
identificación de propiedades y el reconocimiento de condiciones, ejecución eficiente de
procesos, verificación de resultados de un proceso, justificación de pasos de un proceso,
reconocimiento de procesos correctos e incorrectos, generación de nuevos procesos,
 Investigar estrategias diversas, explorar caminos alternos y flexibilizar la exploración de
ideas matemáticas (pp. 76-77).
En los Estándares Básicos de Competencias (Ministerio de Educacion Nacional, 2006) se enfatiza la
importancia de la formulación, tratamiento y resolución de problemas:
[…] Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de
matemáticas y no una actividad aislada y esporádica; más aún, podría convertirse en el
principal eje organizador del currículo de matemáticas, porque las situaciones problema
proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido, en la
medida en que las situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y,
por ende, sean más significativas para los alumnos. Estos problemas pueden surgir del
mundo cotidiano cercano o lejano, pero también de otras ciencias y de las mismas
matemáticas, convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad (p.52).
3. SUJETOS, PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS.
Para la realización de este proyecto se han tomado como marco de referencia las siguientes
instituciones educativas que por sus características tan diversas nos permitirán nos
permitirán hacer un análisis más amplio de la importancia de los elementos empleados en
diferentes contextos de aplicación de instrumentos y los resultados obtenidos.
I.E CENTRO PEDAGÓGICO CREATIVO DEL CAUCA
Esta institución es de carácter privado, ubicada en la ciudad de Popayán – Cauca, la
comunidad educativa de esta institución se ubica en los estratos socio económico 3 y 4
cuenta con una población estudiantil de 171 estudiantes distribuidos en Los niveles de
preescolar, Básica primaria, Básica secundaria y Media técnica. Su modelo pedagógico es
constructivista y la mayoría de la población se dedica al comercio.
Este proyecto se desarrolla en el grado tercero de básica primaria, cuyas edades oscilan
entre 7 y 8 años y en el grado quinto de básica primaria, cuyas edades oscilan entre 9 y 11
GRADOS Niños Niñas Niños Niñas
Esta institución de carácter oficial, ubicada en el Corregimiento El Mirador del municipio de
Calima El Darién, Valle del Cauca; es una institución rural con especialidad agropecuaria y
fundamenta el desarrollo de su proyecto pedagógico en el Sistema Escuela Nueva cuenta
con una población estudiantil de 230 estudiantes distribuidos en los niveles de Preescolar,
Básica primaria, básica secundaria y media técnica a través de proyectos pedagógicos
productivos, cuenta con una sede principal se presta el ciclo educativo completo, además
cuenta con cinco (5) sedes unitarias de básica primaria con la modalidad multigrados; la
mayoría de su población está ubicada en el estrato socio económico 1 y sus principales
multigrado y cuenta con la siguiente población.
GRADOS Niños Niñas Niños Niñas Niños Niñas
3.2. PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS.
Utilizamos un problema formulado en contexto hipotético, el cual debimos hacerle los
respectivos ajustes para adaptarlo al contexto de cada institución educativa donde lo
aplicamos con el objetivo de hacer un levantamiento de información que nos sirva de base
Se dieron una instrucciones claras sobre el problema que se propuso, debían resolverlo en
forma escrita, individual y en un tiempo de una hora de clase, se les pidió que utilizaran
específicamente esfero de tinta negra para poder evidenciar los elementos que utiliza cada
estudiantes para resolver un problema matemático.
3.3. LA SITUACIÓN PROBLEMA PROPUESTA A LOS ESTUDIANTES
En la institución rural se presentó la siguiente versión.
Mientras que en la institución urbana, se presentó la siguiente Versión del mismo
 Lee el problema con detenimiento.
 Escribe con lapicero negro
En el parqueadero del papá de Julián se encuentran estacionados
varios vehículos entre taxis y motos. Cuando Julián y su hermano
David visitaron el parqueadero, Julián contó 25 vehículos en total,
mientras que su hermano contó 70 llantas en total. ¿Cuántos taxis y
cuantas motos había en el parqueadero?
4. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS.
Luego de la aplicación de nuestro primer problema como instrumento de diagnóstico se
en cada grupo que se aplicó para realizar su debido análisis que permita sacar las
grados escolares, de acuerdo d dos variables: El método de solución utilizado y la calidad de la
solución (Acierto (A) o Fallo (F)).
Grado Pictórico Ensayo – Error Algebraico Total
Pictórico Ensayo – Error Algebraico Total
A continuación se hace una presentación de algunos procedimientos utilizados por los estudiantes.
Método Pictórico. En esta clasificación se encuentran las soluciones donde los estudiantes utilizan
las representaciones gráficas. Los estudiantes que utilizan este método tienen un pensamiento
Fig. No 1. Método Pictórico con Fallo
En esta solución se aprecia que el estudiante dibujó los 70 llantas y los dividió en grupos de dos
(motos) y de cuatro (Taxis). La distribución que hizo fue arbitraria. El estudiante únicamente tuvo en
cuenta la condición que era 70 llantas en total. Sin embargo, no tuvo en cuenta la variable de
cantidad de vehículos. El total de vehículos que el estudiante encontró fue de 24, la respuesta
correcta era 25. El alumno no se percató de este error, los cual nos lleva a concluir que no tiene
Fig. No 2. Método Pictórico con Acierto
En esta otra solución, el estudiante también emplea el método pictórico. Dibuja 25 vehículos y en la
Método Ensayo y Error. Este método es el más utilizado de todos. Consiste en que los estudiantes
particularizan usando el registro numérico, asignan valores específicos para la cantidad de motos, de
En el ejemplo anterior el estudiante utilizó la estrategia heurística de particularizar. Propuso 11
Motos y dos Taxis. Las motos las multiplicó por 2, los taxis por 4 y el total le dio 70. Sin embargo, no
realizó control sobre la cantidad de vehículos
En este caso los dos estudiante buscó parejas de números que sumaran 25.los unos los multiplicó
por dos, los otros por cuatro y sumó las respuestas, hasta llegar a encontrar la respuesta correcta
que son 10 vacas y 15 gallinas. En esta solución se observa que el estudiante maneja correctamente
sus recursos de procesamiento aritmético y tiene despiertas las estrategias de control.
Método algebraico. Este método solo es utilizados desde el grado noveno. Cosiste en asignar
Figura No 5. Método algebraico con Fallo
En el caso anterior, el estudiante plantó de manera correcta el sistema de ecuaciones. Después
empezó a realizar despejes y a realizar cálculo con errores de tratamiento o procesamiento
revisó la solución, por tanto, no llega a detectar que esta respuesta es errónea.
Figura No 6. Método algebraico con Acierto
En esta solución el estudiante plantea bien el sistema de ecuaciones y lo resuelve por el método de
Los estudiantes emplearon tres tipos de métodos: pictóricos, numéricos y algebraicos. Los
estudiantes de los primeros años de escolaridad emplean métodos pictóricos. A medida que avanza
el nivel escolar utilizan representaciones numéricas y algebraicas.
En términos generales la efectividad en la solución de este tipo de problemas es muy baja. Hemos
detectado que existen estudiantes que inician la solución de un problema sin haberlo entendido, o
sin haber realizado una adecuada solución. También encontramos que los estudiantes realizan
cálculos de procesamiento numérico o algebraico que no le aportan nada al proceso de solución.
Los estudiantes que llegan con éxito a la solución del problema, además de haber comprendido
adecuadamente el problema, pueden ejecutar los procedimientos de cálculo y tienen muy despiertas
sus estrategias de control. Para esto último, las representaciones juegan un papel importante.
El método más utilizado es el ensayo y error y también el más efectivo , porque arroja los mayores
porcentajes de éxito.
Se detectaron errores de procesamiento numérico como por ejemplo errores en las operaciones
básicas. También se detectaron muchos errores de procesamiento algebraico.
Cuando los estudiantes utilizan las representaciones numéricas, tienen activas sus estrategias de
metacognición para ejercer control sobre los procedimientos y sobre los resultados. Mientras que
Benítez, D y Santos, L.M. (2000). El uso espontáneo de representaciones y la importancia de las
estrategias metacognitivas para el entendimiento en la solución de problemas. En Hitt, F y
Hernández , A. (Eds). Experimentaciones en Educación Matemática en los Niveles Medio
Superior y Superior. CINVESTAV-México
Ministerio de Educacion Nacional. (1998). Estándares Básicos de Competencias en matemáticas.
Ministerio de Educacion Nacional. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas.
Polya, G. (1965). ¿Cómo plantear y resolver problemas? (Trillas). México.
Rivas, A. (2009). Un estudio sobre la Enseñanza y el Aprendizaje de la Probabilidad en Secundaria.
Santos, T. (1992). Resolución de problema: el trabajo de Alan Shoenfeld: una propuesta a
considerar en el aprendizaje de las matemáticas.
Santos, T. (1997). Principios y Métodos de la Resolución de Problemas en el Aprendizaje de las
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