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Timestamp: 2019-04-25 06:17:27+00:00

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LOS CONTEXTOS “REALISTAS” EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA: UNA EXPERIENCIA PARA CAPACITADORES, DOCENTES Y ALUMNOS
María Luz Martínez Pérez, Nora A. Da Valle, Betina Zolkower, Ana Bressan
Grupo Patagónico de Didáctica de la Matemática Bariloche. Provincia de Río Negro (Argentina)
bressan@cab.cnea.gov.ar
INTRODUCCIÓN Entendemos como situaciones-problema aquellas narrativas accesibles, imaginables y significativas que orientan a los alumnos tanto hacia la naturaleza de los modelos, herramientas y operaciones a utilizar para su resolución como a las características y el grado de exactitud de las respuestas a obtener. Es sabido que en la escuela y en los libros de texto que en ella circulan suelen ser escasas las situaciones didácticas en las que estas narrativas funcionan como objeto del quehacer matemático de alumnos y docentes. Lo que aparecen en cambio son situaciones camufladas o seudo-problemas, enunciados verbales planteados en términos matemáticos y fuertemente ligados al tipo de operación que se quiere ejercitar donde el contexto resulta irrelevante para la comprensión y la resolución matemática del problema (de Lange 1996, Gysin 1997). Sabemos también que incluso ante situaciones problemáticas auténticas, los alumnos tienden a reaccionar de un modo mecánico, como si se aferraran al juego de lenguaje de la matemática escolar, un juego cuya regla implícita es el tratamiento de los contextos como `ruido’ a eliminar (Zolkower 1994). Los alumnos se empeñan en adivinar o descifrar cuál es la operación que deben realizar, apelando a formas de razonamiento estereotipadas, sin poner en juego su sentido común y lo que saben acerca de cómo son las cosas fuera del ámbito de la escuela. (Greer 1993, Lave 1997, Verschaffel y de Corte 1997). Considerar al contexto como un aspecto intrínseco al problema, permitiría a los alumnos imaginar la situación planteada, representarla esquemáticamente mediante un modelo y, por medio de esta modelización, llegar al resultado del problema en cuestión. La condición necesaria, aunque no suficiente, para desencadenar este proceso es que las situaciones problemáticas sean familiares y significativas para los alumnos. Sólo así el sentido común y las formas de razonamiento utilizadas en la vida extraescolar funcionarían como fuente de estrategias de resolución y orientadoras del quehacer matemático de los sujetos de aprendizaje. 30
1991.La didáctica de la escuela de H.). organizar didácticamente y facilitar estas trayectorias de aprendizaje. en el sentido de realizables o imaginables no sólo como dominio de aplicación sino también y sobre todo como punto de partida para la matematización (principio de realidad). razón y geometría. Estas y otras ideas claves sobre contextos realistas fueron trabajadas en los cursos dictados 1999 y 2000 para docentes de Nivel Inicial y Educación General Básica. se diseñan secuencias curriculares con el objeto de generar. Con el objeto de preservar el sentido de la actividad matemática. Gravemeijer 1994). esquematización y algebraización. los cuales cumplen la función de puentes entre los distintos niveles (de informales a formales) de matematización (principio de niveles) 4) El carácter interactivo del proceso de aprendizaje/enseñanza. etc. realistic mathematics education--da suma importancia al uso de situaciones realistas. quienes consideraron que la RME concibe a la matemática escolar como un conjunto de actividades progresivas y reflexivas de simbolización. entendidas como razonables. eficiencia. la cual da una mayor coherencia a la instrucción y hace posibles distintos modos de matematizar las situaciones (principio de interrelación). realizables o imaginables. elegancia. guiados por el docente y trabajando en interacción con sus pares. 2) El uso de contextos y situaciones realistas. generalidad. se apuesta a que los alumnos. 3) La génesis y el desarrollo de modelos matemáticos a partir de la organizacion de situaciones realistas. medida.(Treffers 1987). se insiste en que la instrucción mantenga accesible el camino de retorno a las situaciones y contextos que sirvieron de fuente de la actividad matematizadora. en forma concreta. Streefland 1991. 1996) A partir de estas situaciones. procesos de matematización progresiva a partir de las soluciones iniciales e informales que ellos mismos inventan. 1 31 .Tal como los sintetiza van den Heuvel-Panhuizen (1999). por parte de los alumnos. etc.Panhuizen. Esta corriente didáctica--conocida en el mundo anglosajón como RME. reinventen los objetos. modelización. a partir de contextos y situaciones susceptibles de ser organizados matemáticamente o matematizados (Freudenthal 1973. modelos y herramientas de la matemática.. (principio de interacción) 5) La fuerte interrelación de las distintos ejes y unidades curriculares (por ejemplo: álgebra y geometría. desarrollada en Holanda desde fines de los años sesenta. Freudenthal (1905-1990). los principios de la didáctica realista son los siguientes: 1) La matemática como actividad humana de organización y no como sistema preconstituido de saberes (principio de actividad).1 La actividad de matematización se da tanto en el eje horizontal (pasaje de la realidad a la matemática) como en el vertical (trabajo dentro de la realidad matemática misma). constituye un valioso aporte hacia la solución del problema endémico del sinsentido en las aulas de matemática. Desde esta perspectiva. guiadas por un docente capaz de anticipar.(van den Heuvel. el cual hace posible la discusión de los distintas producciones y construcciones de los alumnos desde el punto de vista de su sentido.
operaciones y modelos.’en contraposición con la pobreza de sentido y la rigidez algorítmica del quehacer matemático en el aula. reservando para el docente un rol de guía de estos aprendizajes? En razón de lo expuesto este documemnto se organiza en dos partes: la primera centrada en la labor de las dos docentes que llevaron a cabo la experiencia en sus aulas y la segunda. problematizar la matemática y su enseñanza es el primer paso hacia la toma de conciencia de la necesidad de redefinir el contrato didáctico en su aula. se trató de revisar de qué modo los docentes transforman su práctica a partir de lo aprendido en las instancias de capacitación. en general. los problemas de enunciado verbal. Dentro de la misma línea de investigación. la imaginación y el deseo de aprender de los niños. El paso siguiente fue el diseño y la puesta en acción de una experiencia didáctica destinada a sacudir el (sin) sentido común de sus alumnos en relación con su modo de interpretar los problemas de matemática. no son situaciones genuinamente problemáticas o dilemas que interpelan el sentido común. esta experiencia se vio motivada por su interés en lograr que los alumnos consideren los contextos específicos en los que se inscriben las situaciones-problema dados y pongan en juego sus conocimientos acerca de tales contextos. destacando la riqueza de significados y la flexibilidad en los métodos de cálculo de la matemática `de la calle. Para el docente. PRIMERA PARTE ANTECEDENTES DE LA EXPERIENCIA Tal como los describe Lave (1997). sino artefactos simbólico-culturales afines al género de los acertijos. en el trabajo conjunto de dichas docentes con las capacitadoras. la evaluación de esta experiencia didáctica estuvo guiada por las siguientes preguntas: ¿En qué medida se logró en estas aulas redefinir la matemática como actividad organizadora de la realidad (y de la matemática misma)? y ¿hasta qué punto fue posible renegociar el contrato didáctico de modo de dar a los alumnos la responsabilidad de reinventar objetos. Saxe (1991) y Nunes y otros (1993) coinciden en marcar los contrastes entre la matemática escolar y la utilizada por niños y adultos en ventas callejeras o en oficios.disociación entre la escuela y realidad cotidiana es una de las preocupaciones centrales de su práctica docente en el aula de matemática. OBJETIVOS DEL TRABAJO Desde el punto de vista de los docentes. Carraher y Schliemann (1988). En línea con la perspectiva realista. 32 . Los cursos del 99 y del 2000 generaron dicha ruptura epistemológica por parte de las docentes que escriben este trabajo. Desde el punto de vista de las capacitadoras. Carraher.
5. Construir un modelo matemático describiendo la esencia de esos elementos situacionales y las relaciones que sean de interés. estos investigadores concluyen. 2000). Dado el limitado efecto a largo plazo que estas intervenciones tuvieron sobre la capacidad de modelizar de los sujetos experimentales. por lo general. Como primer paso. Estos autores proponen que es posible modificar este estado de las cosas. presentados por lo general como instancias de aplicación. para los cuales las consideraciones ligadas a la realidad son. Interpretar y evaluar el resultado del trabajo de cálculo en términos de la situación inicial. en coincidencia con los investigadores de RME. muchos investigadores2 se han abocado a examinar las dificultades de los alumnos para modelizar situaciones problema no rutinarias. encontrando que “las consideraciones del mundo real raramente tienen un rol mediador en las soluciones de los escolares a los problemas aritméticos” (Abreu. irrelevantes y el uso mecánico de algoritmos resulta suficiente y eficiente para su resolución. Verschaffel y de Corte (1997). b) a nivel de los métodos de enseñanza: propiciando el aprendizaje cooperativo e interactivo. Comprender la situación del problema. Verschafel y sus colegas han probado varios programas de instrucción en modelización de situaciones problemáticas no rutinarias centrados en la práctica de resolución de este tipo de problemas (de Corte y otros 1998). 4.En los últimos quince años. en la necesidad de trabajar simultáneamente: a) a nivel del currículum: incorporando en forma habitual problemas más realistas y menos rutinarios. Así entendida. Comunicar los resultados. nos sugieren pensar la matemática como herramienta para resolver problemas del mundo real (y de la matemática misma) y concebir a la aplicación de la misma como un proceso que involucra las siguientes fases: 1. Greer (1993). 3. Abreu (2000). de Corte y Verschaffel (1989). tanto en grupos 2 Entre ellos. 2. Bélgica (1997) coinciden en señalar que las dificultades experimentadas por los alumnos en la resolución de problemas escolares son el resultado de modos de enseñanza basados exclusivamente en dietas de problemas estereotipados. Reorganizar el modelo matemático o la operación sobre él para identificar el elemento o los elementos desconocidos. la resolución de problemas de matemática es un proceso cíclico. Después de realizar una serie de investigaciones y búsquedas bibliográficas. 33 . Verschaffel y sus colegas en la Universidad de Leuven. complejo y cargado de sentido y no una progresión lineal de los datos a la solución mediante el uso de estrategias generales de resolución de problemas. Verschaffel (1997).
y c) a nivel de la cultura del aula: creando un ámbito donde las decisiones acerca de la interpretación de los problemas y la valoración de las estrategias de resolución dejen de ser prerrogativa absoluta del docente y. Este proceso de evaluación era conducido por las docentes. A partir de los cursos del 99 y del 2000. Los alumnos que participaron en este estudio no habían tenido contacto previo con la modalidad de trabajo aquí documentada. La evaluación de las soluciones solía orientarse al análisis de los problemas desde el punto de vista de la operatoria convencional y la obtención de respuestas correctas y unívocas. El eje vertebrador de la experiencia didáctica lo constituyó el artículo de Verschaffel y de Corte (1997). El trabajo se realizó con alumnos de dos secciones de quinto grado (total 42 alumnos). en una escuela pública de gestión privada de la ciudad de San Carlos de Bariloche (Argentina). El trabajo conjunto se llevo a cabo de acuerdo con la siguiente planificación: 1) Evaluación inicial: Esta consistió en un problema a resolver en forma individual.pequeños como en la discusión con toda la clase. Típicamente. DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA EN EL AULA En el marco del curso del año 2000. sin prestar atención alguna a las características y el sentido de los contextos y las situaciones en que estos problemas se encontraran enmarcados. seleccionados según las necesidades de sus planificaciones. CARACTERIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA DE AULA Esta experiencia didáctica fue llevada a cabo por dos docentes (una de castellano y la otra de inglés) en el año 2000. las docentes (coautoras del presente trabajo) eligieron la temática y diseñaron la experiencia utilizando materiales proporcionado por las capacitadoras pero con amplia libertad para crear su propia secuencia didáctica. desempeñar un papel no directivo sino proactivo en la guía de los aprendizajes. elegían los problemas con la intención de ofrecer a los alumnos instancias de aplicación y ejercicio de los conceptos y operaciones trabajados. Problema de inicio: 1438 pájaros están sentados en varios árboles 34 . en cambio. y abordar explícitamente la cuestión de la relevancia de los contextos en la resolución de problemas. las docentes se propusieron basar su práctica en una más fuerte interacción socio-cognitiva de alumnos y docentes. las docentes solían utilizar en sus clases problemas extraídos de los libros de texto. con discusión a posteriori de las soluciones realizadas por los alumnos. con escasa o nula participación de los alumnos. resulten de procesos de “negociación” entre el docente y los alumnos (Verschaffel y otros 1998). Previamente a esta experiencia.
del bosque. de las estrategias de resolución más eficaces para los problemas dados.1. 3A. 2B.Las distintas estrategias y modelos utilizados por los alumnos. 35 . esto es.La identificación y la comprensión de las situaciones problemáticas planteadas. 3) 4) Durante el período en que se realizó esta experiencia.2A. Evaluación final: Se administró una evaluación final con problemas similares a los presentados en la evaluación diagnóstica (Ver Cuadro No. 1. En esta ocasión. y 5A). por parte de los alumnos y guiada por la docente. Algunos cazadores vienen y les disparan a 725 pájaros.2): Este proceso duró tres meses. En estas discusiones se encararon los siguientes temas: . En estas sesiones. con puestas en común a posteriori.La comparación de estas producciones desde el punto de vista de su sentido y su adecuación para la resolución de los problemas en cuestión. problemas 1A. y 5B). las docentes sostuvieron reuniones semanales para analizar los registros e interpretar los datos obtenidos. las cuales fueron debidamente registradas.La elección y justificación. No se dieron explicaciones de ningún tipo con respecto a la resolución de los problemas presentados. los alumnos trabajaron en grupos pequeños y heterogéneos o en forma individual. . 4A. Los alumnos trabajaron de manera individual. . problemas en los cuales el contexto es relevante para su resolución (Cuadro No. 4B. problemas 1B. . 3B. se requirió nuevamente que el trabajo fuera individual y no se proporcionaron explicaciones de ninguna índole a los alumnos. Sesiones de resolución de problemas realistas basados en los temas curriculares de aritmética planificados para esa época del año (Ver ejemplos en Cuadro No. ¿Cuántos pájaros permanecen sentados en los árboles luego de los disparos? 2) Evaluación diagnóstica: Esta incluyó cinco problemas no rutinarios. a razón de tres bloques semanales de 40 minutos cada uno. evaluar el trabajo y reformular la propuesta didáctica en base a las necesidades surgidas de lo implementado en el aula.
228 turistas quieren disfrutar una vista panorámica de la parte de arriba de un edificio alto. Él fue director de la escuela desde el 1 de enero de1959 hasta el 31 de diciembre de1993. La capacidad máxima del ascensor es de 24 personas. 1 A. Ellos invitan a todos sus amigos. Un hombre quiere tener una soga lo suficientemente larga como para unir dos postes que están a una distancia de 12 m. ¿Cuántas veces deberá ascender el ascensor para llevar a todos los turistas a la parte de arriba del edificio? 2 A. cuán profunda será después de 30 segundos? (Este problema fue acompañado por un dibujo de un frasco) 36 . en menos de 2 minutos y saltar en alto1. ¿En qué año se hizo por primera vez? 4 A. ¿CUÁNTOS COLECTIVOS HACEN FALTA? 1 b. 9 chicos fallaron en la prueba de correr y 12 fallaron en la prueba de salto. de profundidad después de 10 segundos. 1180 HINCHAS DEBEN SER LLEVADOS EN COLECTIVO AL ESTADIO DE FÚTBOL. pero sólo tiene pedazos de soga de 1. pecho? 5 B. Carlos tiene 9 amigos que quiere invitar a su cumpleaños. Para conseguir dichos diplomas tenían que pasar dos pruebas: correr 400 m. Hace algún tiempo una escuela organizó una fiesta de despedida para su director. ¿Cuántos años fue director de esa escuela? 3 B. Si el agua tiene 4 cm.1: Problemas de evaluación inicial (A) y final (B) Nota: El número los agrupa según la operatoria que requiren.de largo. 50 chicos de una escuela primaria trataron de obtener su diploma de atletismo. Este frasco está siendo llenado por una canilla a un ritmo constante. Todos sus amigos vienen a la fiesta. ¿Cuánto tiempo le llevará nadar los 200 m. ¿Cuántos de estos pedazos necesitaría atar para unir los dos postes? 4 B. ¿Cuántas planchas de 1 m.5 m. El edificio tiene un solo ascensor.Cuadro No. Hacia el fin del año escolar. Esteban ha comprado 4 planchas de madera de 2.5 m. El mejor tiempo en que Matías puede nadar los 50 m. pecho es 54 segundos.¿Cuántos chicos no lograron conseguir sus diplomas? 2 B. ¿Cuántos amigos hay en la fiesta? 3 A. Y Jorge 12. CADA COLECTIVO PUEDE TRANSPORTAR 48 HINCHAS. Como cumplen años el mismo día deciden hacer una fiesta juntos..5 m. Estos problemas fueron extraídos de Verschaffel y de Corte 1997. Carlos y Jorge son compañeros de clase. Este año el festival de rock Torhout/Werchter fue llevado a cabo por quinceava vez. cada uno. puede serruchar de estas tablas? 5 A. Todos los chicos participaron en las dos pruebas.
1999). ¿Cuántas de estas cajas pueden ser transportadas a la vez por estos 300 soldados? -De vuelta en sus barracas. y sobraron 3. de guiso contiene una cacerola? . ¿Cuántos l. los soldados son llevados a un hangar. 1) Cumpleaños y empanadas: La Sra Isabel decidió festejar su cumpleaños invitando a sus amigos a comer empanadas. El cocinero había preparado 1224 empanadas en total. como en la fiesta de Miriam. Miriam le dijo que eran 27. -¿Puede esto ser cierto? Explica tu respuesta.Cuadro No.300 soldados deben ser transportados en jeep a su lugar de entrenamiento. cada uno tenía un plato con 5 empanadas y se comieron todas. El cocinero ha preparado 300 l. que había hecho una reunión la semana anterior. ¿Cuántos soldados sobran después de haber formado el máximo número posible de filas? Módulo B (Estos problemas fueron seleccionados y adaptados de Dickenstein A y otros. El cocinero y su ayudante dicen que ellos comieron 6 masitas de las 3500 que se habían comprado para la fiesta. Por lo tanto él necesitó 8 cacerolas grandes completamente llenas.En el lugar de entrenamiento. -¿Puede esto ser cierto? ¿Por qué? ¿Qué piensan que podrá haber sucedido? -Si él tuviera un ayudante cuántas empanadas se pudo haber comido? -A la hora del té sirvieron 152 platos con 23 masitas. Cada invitado comió 5 empanadas. y dijo que de esas él había comido sólo 5 y había distribuido el resto en los platos. Cada jeep puede llevar 8 soldados. 37 . todos los soldados tienen mucha hambre. Estas cajas son tan pesadas que se necesitan 8 hombres para levantarlas. -¿Cuántos invitados fueron a su fiesta? -¿Qué cuentas hicieron para calcular el número de invitados? 2) Casamiento y empanadas En un casamiento sirvieron 152 platos con 8 empanadas. de guiso. Ellos tienen que formar filas de 8. 2: Ejemplos de contextos. ¿Cuántos jeeps se necesitan? . todas del mismo tamaño. Como no sabía calcular la cantidad de empanadas llamo a su amiga Miriam. Este hangar está lleno de un gran número de cajas pesadas que necesitan ser transportadas a otro hangar.A la tarde los soldados tienen que participar en un desfile militar. En la cocina quedaron 4… -¿Qué cuentas hizo Isabel para calcular la cantidad de empanadas que había en la casa de Miriam? -¿Cuántas empanadas había? -Para su cumpleaños Isabel cocinó 163 empanadas. situaciones y problemas utilizados durante las sesiones de enseñanza/aprendizaje de modelización realista Módulo A: El día de un soldado (Estos problemas fueron extraídos de Verschaffel y de Corte 1997) .
“Cuando los otros terminen de llevar las cajas. Respecto del período de enseñanza: “La participación activa de los alumnos en las discusiones aumentó muchísimo. Respecto de la evaluación diagnóstica: “Notamos dificultades para la resolución de los problemas en la mayoría de los alumnos.’ Algunos niños comentaron que éste era un problema “con trampa” y una alumna preguntó si se trataba de un problema de `matemática o de ingenio’. -Mavi: “Sobran 4 y no pueden llevarla. En muchos casos. manifestadas a través de intentos de modificar el problema o incluir comentarios poco relacionados al mismo. Muchos alumnos demostraban un absoluto desinterés por resolver los problemas”. comprender la situación y distinguir los datos relevantes de los que no lo son”.RESULTADOS Y CONCLUSIONES A continuación se expone lo expresado por los docentes en su informe final: Respecto del problema de inicio: “Cuarenta alumnos resolvieron el problema por medio de una resta. Al enfrentarse con situaciones en las que la aplicación de las operaciones aritméticas sin discusión daban lugar a respuestas incorrectas y soluciones absurdas. No realizaron una lectura comprensiva de los enunciados ni una interpretación de las consignas.”). los alumnos se vieron influidos por sus pares en cuanto a la interpretación de los contextos. Cuando se les preguntó por qué hicieron la cuenta.” -Glenda: “Ah no.” -Nicol: “Los 4 que quedan se van a desmayar!” 38 . la mayoría respondió que es porque `ellos no saben pensar. Con esta metodología se fueron entusiasmando y comenzaron a tomarle el gusto a la matemática” Ejemplo: 300 soldados. Se notaron resistencias a cambiar su forma rutinaria de encarar problemas.” -Amely: “No le entra que 4 no pueden llevar la caja!” [refiriéndose a Gastón]. Se comenzó a valorar el escuchar. los 37 y los 4 que sobran no hacen nada. pero no es lo mismo. llevó a los alumnos a reconsiderar la relevancia de los contextos. La mayoría comentó lo fácil que les había resultado la tarea. aunque con distintos niveles de captación de la problemática. Se necesitan 38 hombres. Todos los niños coincidieron de inmediato con que no quedaría ningún pájaro en los árboles.” -Gastón: “4 pueden llevar una caja. dos alumnos indicaron que no podía haber quedado ningún pájaro “porque los que no se habían caído sin duda habrían de haber huido al escuchar los disparos”. cajas tan pesadas que cada una requiere de 8 hombres para ser cargada. Resolvieron los problemas de modo mecánico utilizando algoritmos conocidos. hacerse comprender y pedir y dar razones y justificaciones. ellos pueden ayudar a los 4 que quedan. Durante la puesta en común. se enfatizó la importancia de leer las consignas de los problemas completa y cuidadosamente. Durante las puestas en común. notamos que habían hecho la cuenta (“Por las dudas.” -Johanna: “No. al mirara sus carpetas.” -Belén: “Sabemos cuántas cajas tienen que llevar al mismo tiempo. No obstante.
b-Revisar la metodología empleada para el análisis de resultados. dando lugar a cuestionamientos irrelevantes en la realidad. en este caso de división. se incrementó entre los problemas de la evaluación inicial y final. El problema casamiento . Por el contrario. ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS Y SUS CONTEXTOS Al revisar la noción de contexto junto con las docentes. Observamos que el rendimiento menor en el área de la resolución de problemas se concentró en aquellos alumnos que poseen dificultades en otras áreas de la currícula escolar.empanadas (Cuadro No.invitados . los alumnos se abocaron a la tarea con un grado mucho mayor de flexibilidad de razonamiento y de interés”. Lo absurdo de la situación (valores numéricos disparatados) restó toda verosimilitud a la tarea. 39 .. d-Contribuir al análisis y la interpretación de los comentarios y producciones de los alumnos. al análisis crítico de la tarea de enseñar la matemática." respuesta "escolarizada". tanto por parte de las docentes a cargo de la experiencia como por parte del resto de los participantes del curso. A problema "escolarizado.Respecto de la evaluación final: “El porcentaje de respuestas realistas. o sea respuestas que tienen en cuenta el contexto de la situación. 2. e-Efectuar una devolución que provoque. c-Evaluar las inferencias realizadas por los docentes en relación con la experiencia. módulo B) es una situación “camuflage” donde el contexto sólo sirve como revestimiento formal de la situación de cálculo. Esta vez la situación de evaluación no creó malestar en los alumnos. ellas mismas notaron los siguientes errores en: El problema de inicio: los números seleccionados alejan al problema de la realidad. SEGUNDA PARTE ANÁLISIS DE LO REALIZADO EN CONJUNTO POR LOS DOCENTES Y SUS CAPACITADORES El informe presentado por las docentes generó por parte de las capacitadoras una serie de acciones convenidas con ellas: a-Analizar los problemas desde el punto de vista de la noción de contexto realista. La estructura matemática prima sobre la lógica de la solución.
2B). Respuestas realistas (R): Surgen a partir del uso efectivo del conocimiento del mundo real acerca del contexto implicado en el problema en una o más etapas del proceso de resolución. ANÁLISIS DE RESULTADOS De la lectura de las conclusiones aportadas por los docentes. 1B). Ejemplo: Para el problema del ascensor (Cuadro 1. Nicolás hace la siguiente tabla: Personas 24 240 216 Veces que sube 1 10 9 Y responde: “El ascensor deberá ascender 10 veces para llevar a los turistas a la parte de arriba del edificio”. surgen preguntas tales como: ¿Qué tipo de respuestas se juzgaron correctas para esta experiencia? ¿Se notó un cambio real en los alumnos a dar una mayor significación y relevancia a los contextos? Se rigorizan así las categorías de análisis de las respuestas que las docentes manejaron a nivel intuitivo.5 x 4 son 10 tablones” 40 . Ejemplos: Para el problema de los amigos invitados a la fiesta (Cuadro 1. (por ejemplo: “No se puede saber si se hizo el festival en un año 15 veces o 1 vez cada año. Se pudo hacer por primera vez este año”). anticipada al análisis. A continuación se detallan las categorías utilizadas. por ejemplo). Respecto del problema 5B acerca del llenado del frasco: “No se puede hacer con precisión porque 4cm abajo no es lo mismo que arriba…Se hacen más de 4cm en el pico” Problema 4B: “Puedo serruchar 8 de 1m porque de cada uno corto 2 y los 50cm que sobran los tiro” Respuestas no realistas (NR): Resultan de una aplicación de una operación aritmética implicada en el problema de una manera directa y no crítica. una alumna hace el siguiente cálculo rápidamente: “13 +10 = 23 amigos. 13 de Jorge y sus amigos y 10 de Carlos y sus amigos” Problema 4B: “Son 10 porque 2. 3B). Esto podría haberse evitado substituyendo esta situación por otra equivalente relacionada con un acontecimiento local (la Fiesta de las Colectividades.Uso de contextos poco familiares: el problema acerca del festival de rock Torhout/Werchter (Cuadro No 1. dio lugar a respuestas divergentes. Se consideran tanto los problemas con respuestas lógicas como aquellos que sin explicitar cálculos evidencian la consideración efectiva del contexto en cuestión.
los resultados logrados concuerdan fuertemente con los obtenidos por Verschaffel y sus colegas.4 Evaluación final (39 alumnos) Tipo de respuestas (%) Problema R NR ET SR OR 1B Ascensor 54 15. decidimos organizar la información en una tabla.7 23 7. pero 12 turistas faltaban así que 1 vez más. Luego dice:“El ascensor debe subir 91 veces para que lleguen todos arriba. un alumno realiza la siguiente cuenta: 228 : 24 = 90.5 0 18.25 10.25 7.5 50 18.6 Problema 1A colectivo 2A Diploma 3A Director 4A Soga 5A Nadador INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS Como lo anticipábamos.”(Acá se une la cuenta mal hecha y la falta de sentido común para juzgar el resultado) Otra respuesta (OR): En esta categoría se incluyen todas aquellas respuestas que no pueden ser clasificadas como pertenecientes a las categorías anteriores ya sea por tener operaciones incorrectas o porque no se logra comprender la argumentación. Tabla 1 Comparación de resultados entre la evaluaciones inicial y la final Evaluación inicial (38 alumnos) Tipo de respuestas (%) R NR ET SR OR 10 60 10 10 10 0 45 35 20 0 2. para así poder comparar y contrastar las respuestas de los alumnos en cada uno de los problemas de las pruebas inicial y final. Problema 5A: “216 seg = 2.5 x 100”. pero difieren de las respuestas no realistas por cambiar los números dados o una inadecuada ejecución de la operación.7 10.5 2B Cumpleaños 28. Una vez realizado nuevamente el análisis de las producciones de los alumnos a la luz de los criterios antedichos y triangulándose las categorizaciones de respuestas entre docentes y capacitadores.5 30 35 32.5 0 0 3B Festival 10.2 69. porque en la cuenta me dio 90.4 26 0 0 5. Los problemas ordenados en relación al mayor porcentaje de respuestas realistas en la prueba inicial fueron 4-1-3-2-5. Ejemplos: Problema 4B: “2.25 5B Frasco 43.2 2.3 28.Error técnico (ET): Resultan de la aplicación directa de una operación aritmética provocada por el enunciado.2 2. 41 .25 72 10.3 26.4 10.6 10.3 68.5 0 4B Madera 48.2 0 2.6 41 2. mientras que en la prueba final fueron: 1-4-5-2-3. 16 minutos” Para el problema del ascensor.
. Los alumnos ni querían salir a recreo ni nosotros irnos de la clase”. CONCLUSIONES: ENTRE EL PROBLEMA DEL CONTEXTO Y EL CONTEXTO DEL PROBLEMA A continuación citamos las reflexiones finales de las docentes que realizaron esta experiencia: “Nos resultó difícil seleccionar situaciones problemáticas realistas porque no teníamos suficientemente en claro las propiedades de éstas ni tampoco qué contextos resultarían significativos para nuestros alumnos… También notamos que al trabajar de este modo capacitamos a los alumnos para que en el futuro puedan analizar críticamente y con mayor profundidad las formas de pensamiento matemático que se usan en la vida diaria y en la ciencia y la tecnología. El problema 3B debió ser cambiado por un evento conocido por los alumnos. y los problemas 3 A y 3B que exigen el uso correcto del calendario como referente mental donde importan los intervalos temporales transcurridos y no el resultado de una de fechas. ascensor y soga obtuvieron el mayor porcentaje de respuestas lógicas y correctas.realista no significa realmente existente. Aprendimos a iniciar discusiones manejando nuestra ansiedad e incertidumbre acerca de las posibles respuestas de los alumnos. Los más dificultosos fueron: los problemas 2A y 2B. que decía cuántas tablas de 1m se podían serruchar. El problema 5 B resultó más sencillo a los alumnos que el 5A del nadador.. Finalmente.Los problemas de división. posiblemente por la presencia del dibujo. sino realizable o imaginable-- 42 . los problemas en contextos donde los alumnos parecieran tener mayor experiencia como los de colectivo. El problema 4B presentó confusión a los alumnos al centrarse en la posibilidad de usar todos los pedazos y no centrarse estrictamente en la información del problema.Las dificultades y los obstáculos para la comprensión. fueron en donde los alumnos obtuvieron mejores puntajes (Los problemas del Día del soldado incidieron fuertemente en ellos). que poseen distinto grado de dificultad lógica con respecto a los otros ya que admiten respuestas múltiples. esta experiencia nos lleva a una mayor toma de conciencia de: . por parte de los docentes. donde debían tener en cuenta el resto. dando lugar a una producción colectiva de ideas y argumentos. y como era de esperar. de la noción de contexto tal como se la utiliza dentro de la matemática realista. Esto incluye tanto el sentido amplio de esta noción -. Como capacitadoras.
seminarios. Nunes y otros 1993. a operar dentro del ámbito mismo de la matemática. Meira 2000). Lave 1997. respeto por el razonamiento ajeno).g. el diseño y la puesta a prueba de contextos y situaciones problemáticas desde el punto de vista de la lógica de lo cotidiano. hacer esto limitaría seriamente las oportunidades para que los alumnos aprendan a matematizar en el eje vertical. (Walkerdine 1988. esto es. interacción.La indispensabilidad de un cambio radical a nivel de la cultura del aula. hacia el modelo docente como mediador entre el saber matemático informal de los alumnos y la matemática formal. reconstruida otra vez a la práctica y así sucesivamente. Además. y el potencial de estos contextos. el sentido común. 43 . 2000) Por último. comparar y elegir entre dos ofertas diferentes. En la primera se trata de enseñar y aprender. la matemática funciona como medio o herramienta para conseguir lo que se busca (e. la reflexión conjunta de capacitadores y capacitandos acerca de los logros y las limitaciones de esta y otras experiencias didácticas. en un camino incierto en busca de aquellos modos que mejor permitan dar cuenta de la complejidad de los procesos de enseñanza/aprendizaje y preparar a los docentes para enfrentar los dilemas de su práctica en el aula de matemática. y talleres de capacitación el análisis crítico. provocador de discusiones y generador de preguntas. manejar un presupuesto limitado. donde haya espacio para que los alumnos contribuyan a las discusiones. . no sólo acerca de sus estrategias y las soluciones. y este es el objetivo último de la resolución de problemas en la escuela. Dicho esto vale subrayar una vez más que no se trata de utilizar la realidad como única fuente de actividades en el aula de matemática. (Meira. y llegar a fin de mes!) y no como disciplina escolar y campo del conocimiento. desde ésta.La necesidad de incluir en cursos. sino también y sobre todo en lo que respecta a interpretación de las situaciones problemáticas mismas y a reconocer modos de trabajo matemático diferente según los espacios en que se den y las metas propuestas.problema estereotipado. En el segundo caso. Escuela y cotidianeidad son dos ámbitos con culturas distintas y específicas. capaz de devolver a los alumnos el control de las situaciones “manejando la ansiedad e incertidumbre acerca de las posibles respuestas de los alumnos” y abriendo el discurso pedagógico y la negociación hacia las nuevas normas (autonomía. que se deben introducir en la clase para que esta tarea de frutos. De los que se trata es de incorporar al aula un modo de trabajo en el cual la pregunta por el sentido de la actividad matemática tenga lugar.como el carácter relativo de la misma: que un contexto sea o no realista depende de la experiencia previa de los alumnos y/o de su capacidad para imaginarlo o visualizarlo. . Säljö 1993. desde el modelo docente conocedor.alumno dependiente. cooperación. nos recuerda una vez más que la tarea de capacitación de docentes es un proceso espiralado que va de la práctica a la teoría.
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