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CAPÍTULO 3. ALGORITMOS DE PREVISIÓN BASADOS EN LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS DATOS MÁS RECIENTES - PDF
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Cristián Franco Maidana
1 CAPÍTULO 3. ALGORITMOS DE PREVISIÓN BASADOS EN LA EXTRAPOLACIÓN DE LOS DATOS MÁS RECIENTES El objetivo de esta tesina es la introducción de mejoras en la previsión meteorológica a corto plazo. El punto de inicio es la aplicación de un algoritmo de previsión basado en la extrapolación de los datos más recientes y la validación de su funcionamiento, para el posterior análisis de las posibles mejoras. En este capítulo se introducen los conceptos básicos para entender el funcionamiento de este tipo de algoritmos. Se definen, en primer lugar, las bases teóricas de los dos bloques conceptuales que los componen: el seguimiento y la extrapolación. En segundo lugar, se presenta el algoritmo de previsión utilizado y se analizan algunas de sus características INTRODUCCIÓN Los algoritmos basados en la extrapolación de los datos más recientes se articulan alrededor de dos bloques diferenciados, aunque relacionados entre ellos: la obtención del campo de velocidades y la extrapolación a partir de la imagen más reciente. El primer paso consiste en la obtención del campo de velocidades a partir de distintas imágenes radar. La esencia del procedimiento es la comparación de las últimas imágenes para determinar el desplazamiento del campo de precipitación. El parámetro utilizado para esta comparación es el coeficiente de correlación cruzada. Se calcula el valor del coeficiente de correlación cruzada para todos los posibles vectores desplazamiento, y se considera que el desplazamiento del campo de precipitación es el que corresponde al vector con coeficiente de correlación máximo. Si se realiza el procedimiento anterior para todo el campo de precipitación se obtiene como resultado el correspondiente vector de desplazamiento medio. Sin embargo, el campo de precipitación puede dividirse en distintas partes y calcular el desplazamiento para cada una de ellas por separado, obteniendo un campo de desplazamientos en lugar de un solo vector. En este caso, es necesario realizar algún tipo de comparación de los distintos desplazamientos obtenidos para asegurar una cierta coherencia entre ellos. Una vez se ha obtenido el campo de desplazamientos y se considera válido, el siguiente paso es la extrapolación. La extrapolación consiste, básicamente, en la configuración de un nuevo campo de precipitación a partir del campo de desplazamientos conocido. En primer lugar, el campo de desplazamientos obtenido debe ser interpolado, de modo que a cada píxel de la imagen corresponda un determinado vector. El campo de precipitación previsto se configura a partir de la última imagen radar registrada, trasladando el valor asociado a cada píxel a una nueva posición, en función del vector desplazamiento correspondiente. Cuando este procedimiento se realiza manteniendo constante el valor de las intensidades, se conoce como persistencia lagrangiana. A pesar la aparente simplicidad del procedimiento, hay que tener en cuenta las numerosas dificultades que plantea y la cantidad de variables que intervienen. En el caso de la obtención del campo de desplazamientos, por ejemplo, es importante la elección de un Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 15
2 intervalo de tiempo adecuado entre los campos de precipitación utilizados en la correlación, así como la resolución con la que se estima dicho campo. Del mismo modo, el máximo desplazamiento considerado o el criterio de comparación para asegurar coherencia entre vectores influyen en el campo de desplazamientos final BASE TEÓRICA El seguimiento El primer paso en los algoritmos de previsión es el seguimiento, que consiste en la determinación del campo de desplazamientos de la precipitación. Mediante la comparación de dos o más imágenes radar separadas un determinado intervalo de tiempo se determina el desplazamiento medio del campo de lluvia. Figura 7. Esquema del seguimiento. Dos imágenes separadas un intervalo de tiempo t se superponen en distintas posiciones y se calcula en cada una el valor de la correlación. El máximo obtenido indica el desplazamiento medio del campo de precipitación. Tradicionalmente, el método más usado para la comparación entre imágenes radar ha sido el método de la correlación cruzada. La idea básica consiste en superponer la imagen posterior sobre la precedente en diferentes posiciones, y calcular para cada una de ellas el Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 16
3 valor del coeficiente de correlación. El desplazamiento medio del campo de precipitación se obtiene a partir de la posición correspondiente al valor de correlación máximo. La Figura 7 muestra un esquema del proceso de obtención del vector desplazamiento medio del campo de precipitación. La imagen a tiempo t se compara con la correspondiente imagen al cabo de un cierto intervalo de tiempo en distintas posiciones, y se calcula, para cada una, el valor de la correlación. Se asume que el desplazamiento medio del campo de precipitación corresponde al vector definido por la posición con máxima correlación. En general, el campo de precipitación no se desplaza como un bloque uniforme, y la determinación del movimiento a través de un solo vector se aleja de la realidad. Sin embargo, si la imagen se divide en distintas partes y se aplica el mismo procedimiento a cada una, se obtiene un conjunto de vectores en lugar de uno sólo, aumentando la resolución del campo de desplazamientos obtenido. Teóricamente, la imagen podría dividirse en partes tan pequeñas como fuera necesario para llegar a la resolución deseada. Sin embargo, si el área utilizada para la correlación es excesivamente pequeña, aumentan las probabilidades de obtener un valor alto de correlación, lo que puede llevar a errores en la determinación del vector desplazamiento. Por tanto, el número de partes en que se divide la imagen depende del equilibrio entre la resolución deseada y el área necesaria para una correcta determinación de la correlación. Figura 8. Campo de desplazamientos obtenido a partir del método de correlación (derecha), y corrección mediante el método COTREC (izquierda). En rojo se muestran los vectores corregidos. La imagen corresponde a las 08:54 horas del episodio del 23 de septiembre del 2006 (radar INM, Barcelona). Una vez obtenido el campo de desplazamientos, puede aplicarse alguna técnica para asegurar la coherencia entre los distintos vectores. Una de las más conocidas es el método COTREC (L. Li y W. Schmid, 1995), que permite suavizar el campo de desplazamientos mediante la aplicación de la ecuación de continuidad. De este modo se evitan cambios bruscos de dirección entre vectores consecutivos, así como la presencia de vectores nulos que pueden aparecer en zonas con poca precipitación, que podrían ocasionar problemas en la fase de extrapolación. La Figura 8 muestra un ejemplo de aplicación del método COTREC para el episodio del 23 de septiembre de La imagen de la izquierda corresponde al campo de Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 17
4 desplazamientos obtenido mediante el método de máxima correlación, a partir de la comparación de los campos de reflectividad de las 08:42 horas y las 08:54 horas. En este caso se han utilizado 49 ventanas, cada una de 120 Km de lado. En la imagen de la derecha se observa el resultado obtenido mediante el método COTREC, y en rojo los vectores corregidos. Finalmente, previo a la extrapolación, es necesario interpolar el campo de desplazamientos a nivel de píxel, asignando un desplazamiento a cada uno de los píxeles del campo La extrapolación El segundo paso de los algoritmos de previsión es la extrapolación, en la cual se genera el conjunto de campos de relfectividad previstos. Figura 9. Extrapolación a nivel de píxel a partir del vector desplazamiento asociado al píxel i. Diferencias entre la extrapolación hacia delante (izquierda) y la extrapolación hacia atrás (derecha). En la extrapolación, el campo de desplazamientos, una vez interpolado a nivel de píxel, se utiliza junto con la última imagen radar para la obtención de los campos previstos. La imagen prevista se configura trasladando cada píxel en función del correspondiente vector desplazamiento. Este procedimiento puede realizarse de dos maneras distintas: hacia delante o hacia atrás. La forma más intuitiva sería extrapolar hacia delante, es decir, trasladando cada píxel según el vector desplazamiento encontrado en su posición. Sin embargo, hay dos tipos Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 18
5 de problemas asociados a esta metodología: podría ser que dos píxeles ocuparan la misma posición en la imagen prevista, o bien, que en la imagen final alguno de los píxeles quedara vacío por no tener ningún valor asociado en la imagen original. Estos problemas pueden solucionarse mediante la extrapolación hacia atrás. En este caso, a cada píxel de la imagen prevista se le asigna el valor correspondiente al píxel de la imagen real situado en el origen del vector desplazamiento asociado. En la Figura 9 se observan las diferencias entre los dos métodos de extrapolación. En la parte superior de la figura se muestra el vector desplazamiento asociado a un determinado píxel (i), y los píxeles que corresponden al origen y el final del vector. En el caso de la extrapolación hacia delante (inferior izquierda), el valor del píxel i se sitúa en la posición final del vector desplazamiento asociado, mientras que para la extrapolación hacia atrás (inferior derecha), el valor situado en el origen del vector desplazamiento se coloca en la posición i, y el píxel final del vector no se ve alterado. Un aspecto a tener en cuenta en esta fase es el tiempo al cual se realiza la previsión, conocido como lead time. Corresponde al intervalo entre el tiempo asociado a la imagen utilizada para la extrapolación y el tiempo de la imagen prevista. El campo de desplazamientos está asociado a un determinado intervalo de tiempo, según los campos de reflectividad utilizados en el seguimiento. Sin embargo, el lead time no corresponde necesariamente al mismo intervalo, por lo que es necesario realizar la extrapolación a partir del campo de velocidades. Esto supone dividir los vectores desplazamiento entre el intervalo de seguimiento, obteniendo las correspondientes velocidades, y a partir de éstas calcular de nuevo los desplazamientos necesarios para la extrapolación, en función del lead time. Según la forma de calcular el anterior desplazamiento, se definen dos tipos de extrapolación: la extrapolación según esquema constante o la extrapolación semi-lagrangiana. En el esquema constante, el vector desplazamiento para cada píxel se calcula simplemente multiplicando la velocidad por el lead time. El cálculo se muestra en la Ecuación 2, donde α es el vector desplazamiento, τ es el intervalo de tiempo correspondiente al lead time, y u(x 0,t 0 ) es la velocidad asociada al píxel de coordenadas x 0 en el tiempo t 0, correspondiente a la última imagen radar. d = τ u ( x 0, t Ecuación 2 ) 0 En este caso, se utiliza un sólo vector desplazamiento durante todo el intervalo de previsión. Como consecuencia, el movimiento es siempre lineal, y no se tiene en cuenta la posible rotación del campo de precipitación. En episodios de precipitación en los que existe una fuerte componente rotación, la extrapolación con esquema constante se traduce en graves errores en las imágenes previstas, provocando incluso la pérdida de la forma del campo de precipitación. El problema anterior puede evitarse utilizando un esquema semi-lagrangiano. En éste, el lead time se divide en distintos subintervalos, y para cada uno se calcula un desplazamiento distinto. El desplazamiento final se obtiene de la suma vectorial de los vectores desplazamiento obtenidos para cada uno de los subintervalos, y por tanto, corresponde a la trayectoria de la celda. Esto permite mayor libertad de movimiento y la consideración de la rotación del campo de precipitación. En el apartado se incluyen más detalles acerca del esquema semi-lagrangiano. Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 19
6 3.3. DESCRIPCIÓN DEL ALGORITMO DE PREVISIÓN En este apartado se exponen los detalles concretos del algoritmo de previsión base de esta tesina, en un sentido orientado a su programación. Se describen a continuación los pasos necesarios para implementar las bases teóricas introducidas en el apartado anterior Productos utilizados En primer lugar, la información proporcionada por el radar meteorológico debe ser transformada en un producto válido para su aplicación práctica. Previo a su utilización, los datos deben ser corregidos, con el fin de eliminar algunos de los errores comentados en el capítulo 2. Las correcciones efectuadas en este estudio son la eliminación de ecos de suelo y la corrección de apantallamientos orográficos. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que dichas correcciones no son totalmente efectivas y no es posible eliminar completamente los errores que afectan los datos. Los PPIs y CAPPIs, una vez transformados a coordenadas cartesianas, se representan a la práctica como matrices cuadradas de nxn píxeles, en función del alcance y la resolución del correspondiente radar. Cada píxel lleva asociado un determinado valor, que depende, en el caso de los datos utilizados en esta tesina, de la reflectividad media registrada por el radar en el área que representa El seguimiento En el algoritmo propuesto el seguimiento se articula en distintos niveles, para cada uno de los cuales se obtiene un campo de desplazamientos con una determinada resolución. En primer lugar, se calcula el desplazamiento medio para la imagen entera, comparando dos campos de reflectividad según la técnica de la correlación cruzada. Posteriormente, la imagen se divide en distintas partes y se aplica la misma técnica en cada una de ellas, obteniendo un campo de desplazamientos con mayor resolución. Este procedimiento se repite varias veces, y, progresivamente, el campo de desplazamientos se densifica, hasta llegar a la máxima resolución deseada. Para un nivel concreto (i), el número de partes en que se divide la imagen (n) viene determinado por la Ecuación 3. i+ 1 2 n = ( 2 1) Ecuación 3 Al mismo tiempo, cada uno de los niveles define el tamaño de las distintas partes, según se expresa en la Ecuación 4. En ella, L es la longitud del lado de la imagen original. Lx i L 2 = Lyi = i Ecuación 4 La imagen se divide de tal modo que las diferentes partes se solapan entre ellas, con el fin de obtener un campo de desplazamientos más continuo. La Figura 10 muestra la división Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 20
7 de la imagen original y la disposición de las distintas ventanas para el nivel i=1. La imagen original tiene 480 píxeles de lado, y se divide en 9 ventanas, cada una de 240 píxeles de lado. Puede observarse el solape de las distintas ventanas. Figura 10. División de la imagen original para el cálculo del campo de desplazamientos y disposición de las distintas ventanas en su interior para el nivel i=1. En cada uno de los niveles, se calcula el desplazamiento medio de las distintas partes. Este se obtiene mediante una rutina que maximiza el coeficiente de correlación en función del vector desplazamiento. La rutina se inicializa con el vector desplazamiento obtenido en el nivel anterior, y se obtiene el desplazamiento medio de cada una de las partes. Para que el vector resultante se considere válido, se aplican dos restricciones. En primer lugar, el valor de la correlación debe ser superior a 0.5, valor mínimo para considerar que realmente el desplazamiento obtenido corresponde a la realidad. En segundo lugar, la diferencia entre el desplazamiento obtenido en el nivel anterior y el nuevo desplazamiento debe ser inferior a 0.5 píxels, con el fin de evitar los problemas de ruido causados por el aumento de la resolución. Antes de pasar al siguiente nivel (mayor resolución) el campo de desplazamientos se Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 21
8 suaviza mediante el método COTREC, para asegurar la continuidad entre vectores. Una vez se alcanza la resolución deseada, se aplica el método COTREC de nuevo y se obtiene el campo de desplazamientos definitivo. Figura 11. Determinación de las ventanas válidas para realizar el seguimiento en dos niveles distintos, i=2 (49 ventanas) y i=3 (255 ventanas). A la izquierda se observa la división del campo de reflectividad en función de la resolución. A la derecha se observan en gris oscuro las celdas que no se consideran válidas para el seguimiento. Un aspecto a tener en cuenta es la determinación, en cada nivel, de las ventanas que se consideran válidas para realizar el seguimiento. No tendría sentido calcular el desplazamiento medio en una ventana en la que no existe lluvia, y por tanto, el algoritmo anterior no se aplica a todas las ventanas de cada nivel, sino que existe un proceso previo para determinar si una ventana es o no apta para el cálculo. Esta selección se basa en la existencia de un área mínima por encima de un cierto umbral de reflectividad. No se realiza el seguimiento de una ventana que no cumpla la condición, y se considera que el desplazamiento medio asociado es el obtenido en el nivel anterior para la posición que ocupa dentro de la imagen. En la Figura 11 se muestran las ventanas descartadas para los niveles i=2 e i=3 (49 ventanas y 255 ventanas, respectivamente). A la izquierda puede observarse la división inicial de la imagen en función de la resolución. El área en gris claro representa el área fuera del alcance del radar, para la cual no se dispone de información. A la derecha se muestran en gris las ventanas que no se consideran válidas para realizar el seguimiento. Hay que tener en cuenta, también, algunos de los parámetros que deben ser fijados en el procedimiento anterior, y que influyen directamente en el campo de desplazamientos Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 22
9 obtenido. En primer lugar, el intervalo de tiempo entre las imágenes utilizadas para la obtención del campo de desplazamientos. El campo de precipitación cambia con el paso del tiempo, y por tanto, el resultado del seguimiento dependerá en gran medida de la distancia temporal entre los campos comparados. El estudio de la influencia de este parámetro se analizará en el capítulo 4 de esta tesina. En segundo lugar, es importante la elección de la resolución del campo de desplazamientos obtenido. En el algoritmo propuesto, la resolución máxima alcanzada es de 225 vectores (15x15), de modo que cada ventana tiene 60 píxels de lado. Se ha comprobado que el uso de resoluciones superiores supone un incremento de tiempo excesivo, sin una mejora significativa de los resultados obtenidos. Otro parámetro que influye en el resultado es el umbral de reflectividad considerado en la elección de las ventanas aptas para el seguimiento. En este caso se ha considerado el valor de 15 dbz como el umbral mínimo de precipitación. Los valores superiores podrían ser demasiado restrictivos, y zonas con leve precipitación podrían quedar descartadas. También es importante el porcentaje de área mínima en la elección de las ventanas. Se utiliza aquí un porcentaje mínimo del 5%. Valores superiores serían excesivos, y muchas de las ventanas podrían ser descartadas, especialmente en precipitaciones de tipo convectivo, de alta intensidad y poca extensión espacial. Finalmente, antes de la extrapolación, el campo de desplazamientos obtenido se interpola hasta obtener un vector asociado a cada uno de los píxeles de la imagen. La interpolación se realiza mediante una triangulación de tipo lineal, en función de la posición de los distintos vectores dentro de la imagen La extrapolación Una vez se obtiene el campo de desplazamientos a nivel de píxel, el siguiente paso es la configuración de las imágenes previstas. Este procedimiento se realiza a partir de la información de la última imagen y mediante un esquema semi-lagrangiano y hacia atrás. En primer lugar, se calcula el campo de velocidades, a partir de los desplazamientos y el intervalo de tiempo entre imágenes utilizadas en el seguimiento. Posteriormente, se calcula el desplazamiento asociado a cada píxel mediante un esquema semi-lagrangiano. Como se ha comentado, el primer paso consiste en la división del tiempo de previsión en distintos subintervalos y el cálculo del desplazamiento asociado a cada uno de ellos. α k + 1 = Δt k α k u t0, x 2 Ecuación 5 La Ecuación 5 define un esquema iterativo, donde k se utiliza como contador de las diferentes iteraciones. El valor u se refiere al vector velocidad. t 0 corresponde al tiempo de la última imagen, a partir de la cuál se obtendrá la imagen prevista, y x es la posición de un píxel determinado en el interior de la imagen. El proceso se inicia con el valor de desplazamiento nulo (α=0), y en cada iteración, el Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 23
10 desplazamiento se calcula a partir del desplazamiento obtenido en la iteración anterior (α k+1 se obtiene a partir de α k ). El vector final asociado al píxel x corresponde a la suma vectorial de los vectores desplazamiento obtenidos en cada una de las iteraciones. En el caso en que los subintervalos en los que se divide el tiempo de previsión son iguales, la iteración puede realizarse en términos de desplazamiento en lugar de en términos de velocidad. En este caso, la Ecuación 5 queda modificada según se expresa en la Ecuación 6. En ella, aparecen las mismas variables que en la Ecuación 5, con excepción de d, que en este caso se refiere al desplazamiento. α k + 1 = d t 0, α k x 2 Ecuación 6 La Figura 12 muestra un esquema de la extrapolación semi-lagrangiana. En ella se observa la obtención del vector desplazamiento para cuatro iteraciones distintas. El vector desplazamiento final se obtendrá como la suma vectorial de los vectores obtenidos en las distintas iteraciones (matriz inferior izquierda). Para un píxel determinado, el vector desplazamiento de la iteración inicial (k=0) corresponde al vector asociado al propio píxel (matriz superior derecha). Este desplazamiento se divide entre dos, y el resultado se resta a la posición del píxel, obteniendo una nueva posición. El vector asociado a esta posición (vector rojo de la matriz central izquierda) corresponde al desplazamiento de la siguiente iteración, (k=1). De nuevo, el desplazamiento obtenido se divide entre dos y se resta a la posición del píxel para obtener el siguiente desplazamiento (K=2). El proceso se repite para todos los subintervalos de tiempo. El resultado final se obtiene a partir de la suma de los distintos vectores desplazamiento. Una vez se obtiene el desplazamiento asociado a cada píxel, el último paso es la configuración de las imágenes previstas mediante la extrapolación hacia atrás, tal y como se define en la Ecuación 7. Z( i, j, tk ) = Z( i dxi, j, j dyi, j, t0 ) Ecuación 7 Los índices i, j corresponden a la posición de un determinado píxel en el interior de la imagen, es decir, la posición de cada uno de los elementos en la matriz de reflectividad. El índice t se refiere al tiempo. t 0 es el tiempo correspondiente a la última imagen. El índice k se refiere al tiempo de previsión (lead time), de modo que el campo obtenido corresponde al instante t k. Los valores dx i,j y dy i,j corresponden al desplazamiento asociado al píxel i,j, una vez calculado mediante el esquema semilagrangiano. Puede observarse, por tanto, como la extrapolación se realiza hacia atrás. A partir de un determinado píxel i,j, se resta a su posición el desplazamiento asociado, obteniendo una nueva posición en la imagen inicial (i- dx i,j, j- dy i,j ). La reflectividad asociada a esta posición se traslada a la posición i,j de la matriz prevista. Este procedimiento se repite para cada uno de los píxeles de la imagen, hasta obtener el campo de precipitación previsto. Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 24
11 Figura 12. Extrapolación según un esquema semi-lagrangiano. El vector desplazamiento final se obtiene a partir de la suma vectorial de los vectores desplazamiento asociados a cada uno de los subintervalos. El método anterior tiene algunas limitaciones. En algunas ocasiones, al restar el vector desplazamiento a la posición del píxel, la nueva posición queda fuera de la imagen. En estos casos, no se dispone de información acerca de la reflectividad, y por tanto, en la imagen prevista, el píxel queda vacío, sin ningún valor de reflectividad asociado. Como consecuencia, el área de la precipitación prevista se reduce a medida que aumenta el lead time. En la Figura 13 puede observarse la reducción del área de precipitación con el tiempo de previsión. El área gris en las diferentes imágenes previstas corresponde a los píxeles vacíos después de la extrapolación, debido a que el origen del vector desplazamiento asociado queda fuera de la imagen. A pesar del inconveniente anterior, la ventaja de la extrapolación hacia atrás es que no es posible que un píxel tenga más de un valor de un valor de reflectividad asociado. Además, Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 25
12 todos los píxeles tienen una reflectividad asociada, excepto en el caso en que el origen del vector desplazamiento asociado quede fuera de la imagen. Figura 13. Ejemplo de la disminución del área de precipitación con el tiempo de previsión. Cuando el vector desplazamiento asociado a un píxel tiene origen fuera del campo de precipitación, no se dispone de información acerca de la reflectividad, y por tanto, el píxel queda vacío. Algoritmos de previsión a corto plazo en base a radar meteorológico Pág. 26
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