Source: https://www.slideshare.net/rcolocho/guia-mate-9s-3269762
Timestamp: 2018-02-18 23:00:22+00:00

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1. Guia Mate 9 ° - Document Transcript 1. Í ndice N° de pagina Presentación y jornalización. 3 Planificaciones didácticas. 4 Unidad 1. Utilicemos ecuaciones con radicales Guía N° 1. Determinantes. Elementos y orden. Filas, columnas y diagonales. Determinantes de 22 segundo orden 2 x 2. Guía N° 2. Ecuaciones con radicales que se reducen a ecuaciones de primer grado. Eliminación 23 de la raíz por la propiedad potencia de otra potencia. Unidad 2. Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales Guía N° 3. Línea recta, sistema de coordenadas cartesianas, coordenadas de un punto (abscisa, 24 ordenada). Guía N° 4. Pendiente (m), pendiente positiva, pendiente negativa, pendiente cero, pendiente 25 indefinida. Guía N° 5. Gráfica: intercepto con el eje de las ordenadas, ecuación de una recta y = mx + b 26 Guía N° 6. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Método de determinantes. 27 Unidad 3. Calculemos la dispersión Unidad 4. Midamos ángulos Guía N° 7. Ángulos coterminales. 28 Unidad 5. Resolvamos ecuaciones de segundo grado Unidad 6. Apliquemos técnicas de conteo Unidad 7. Resolvamos sistemas de ecuaciones Guía N° 8. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Métodos de solución. 29 Guía N° 9. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Regla de Sarrus. 30 Guía N° 10. Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Regla de Cramer. 31 Guía N° 11. Resolución de problemas que conllevan sistemas de ecuaciones de tres incógnitas. 33 Unidad 8. Utilicemos potencias algebraicas Unidad 9. Utilicemos radicales 2 2. PRESENTACIÓN Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales deben abarcar el 80% de los contenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar el análisis de los contenidos desarrollados en los textos escolares “Competentes”, los cuales fueron creados bajo el enfoque por competencias y el modelo constructivista. Con este fin, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el propósito de apoyar, de forma responsable, el trabajo que realiza el personal docente que actualmente utiliza nuestros textos escolares. Esta iniciativa pedagógica nace con la intención de cubrir aquellos contenidos que establece la nueva propuesta curricular del MINED (los programas de estudio) y, con ello, volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal docente la búsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa. De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de: Jornalización para cada asignatura tomado en consideración: el tiempo, las unidades, los contenidos y los sistemas de evaluación trimestral que indica el MINED. Planificación del proceso de enseñanza- aprendizaje (unidades didácticas) basada en competencias: contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales; indicadores de logro; y orientaciones metodológicas y de evaluación, mediante la creación de actividades integradoras. Desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubren, que desarrollan de forma parcial o que necesitan ampliación. Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio. Jornalización Nº de Total de Total de horas Nº de Fecha de Fecha de Evaluación horas horas clase Unidades unidades inicio finalización trimestral anuales semanales por unidad 1. Utilicemos 12 de 200 5 9 20 ecuaciones con 6 de febrero enero radicales 2. Resolvamos 23 de sistemas de dos 9 de 20 6 de marzo marzo al 27 ecuaciones febrero de abril lineales 3. Calculemos la 9 de 15 27 de abril dispersión marzo 30 de 15 4. Midamos ángulos 24 de abril marzo 5. Resolvamos 30 ecuaciones de 27 de abril 8 de junio 10 al 14 de segundo grado julio 6. Apliquemos 25 9 de junio 14 de julio técnicas de conteo 7. Resolvamos 18 de 20 sistemas de 15 de julio agosto ecuaciones 8. Utilicemos 15 de julio 19 de 23 de al 26 25 potencias agosto septiembre octubre algebraicas 9. Utilicemos 24 de 26 de 23 radicales septiembre octubre 3 3. Planificación de unidad didáctica Unidad 1. Utilicemos ecuaciones con radicales Competencias Razonamiento lógico matemático Tiempo: 20 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Utilizar con seguridad los determinantes y las ecuaciones con radicales, aplicando sus propiedades en la propuesta de soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Determinantes Explicación del proceso de formación de un Confianza al explicar el proceso de determinante. formación de un determinante. Elementos y orden Filas, columnas y Identificación de los elementos de los Seguridad al identificar los elementos diagonales determinantes: filas, columnas, diagonales y de un determinante. orden. Construcción de determinantes a partir de Guía Nº 1 las ecuaciones. Segundo orden Resolución de ejercicios de determinantes Orden al resolver ejercicios y problemas de 2 x 2, aplicando la diferencia del producto de determinantes de 2 x 2. 2 x 2 aplicando la de sus diagonales. diferencia del producto de sus diagonales Resolución de problemas aplicando determinantes de segundo orden. Ecuaciones con Identificación y explicación de las Seguridad al identificar ecuaciones con radicales que se ecuaciones con radicales transformables en radicales. reducen a ecuaciones ecuaciones de primer grado. de primer grado. Guía Nº 2 4 4. Eliminación de la raíz Aplicación de reglas de los exponentes en la Interés por aplicar reglas de los por la propiedad solución de ecuaciones con radicales. exponentes al resolver ecuaciones con potencia de otra radicales. potencia. Resolución de ejercicios y problemas, utilizando las ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de primer grado. Sugerencias metodológicas: Orienta al grupo a explorar métodos de solución de ecuaciones. Presente diferentes matrices, pídales que enumeren sus elementos y construyan el concepto de determinantes. Proporcione la guía de ejercicios y problemas aplicando determinantes de segundo orden. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 1.1 Explica con confianza el proceso de formación de un determinante Elaborar una actividad donde las y los estudiantes, organizados en equipo, e identifica sus elementos. resuelvan ejercicios y problemas de determinantes de segundo orden. 1.2 Construye y resuelve de manera ordenada ejercicios y problemas Presentar una situación problemática en la cual los alumnos y las alumnas aplicando determinantes de segundo orden. plantean ecuaciones con radicales encontrando el conjunto solución. 1.3 Identifica y explica con seguridad serie de ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de primer grado aplicando Criterios de evaluación: reglas de los exponentes. Colaboración 1.4 Resuelve ejercicios y problemas utilizando ecuaciones con Respeto radicales transformables en ecuaciones de primer grado. Orden Aseo 5
2. 5. Planificación de unidad didáctica Unidad 2. Resolvamos sistemas de dos ecuaciones lineales Competencias Razonamiento lógico matemático Tiempo: 20 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Graficar la línea recta e interpretar sus elementos y características, con el fin de proponer soluciones a problemas relacionados con el ámbito escolar y del entorno. Proponer alternativas de solución a situaciones problemáticas de la vida diaria aplicando los sistemas de ecuaciones lineales, utilizando los diferentes métodos de solución y valorar el aporte de los demás. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Línea recta Identificación de los elementos de un Seguridad al identificar elementos sistema de coordenadas cartesianas. del sistema cartesiano. Sistemas de coordenadas Identificación y colocación de las Seguridad al colocar en el plano cartesianas. coordenadas de un punto p(x, y) en el cartesiano las coordenadas de plano cartesiano. puntos. Guía N° 3 Coordenadas de un punto P Interpretación y explicación del uso de la Valoración del uso de la fórmula de (abscisa, ordenada). fórmula de la pendiente de la recta, la pendiente. cuando se conoce el valor de dos puntos por donde esta pasa. Guía Nº 4 Pendiente (m) Exactitud al calcular la pendiente m= y2 – y1 Cálculo del valor de la pendiente positiva, cuando se conocen las Pendiente positiva negativa, cero e indefinida de una recta, coordenadas de dos puntos. Pendiente negativa cuando se conoce el valor de dos puntos Pendiente cero por donde esta pasa. Pendiente indefinida Esmero para encontrar la solución Resolución de problemas donde se utilice a problemas de pendiente. la pendiente. Gráfica: intercepto con el Construcción del gráfico de la recta Seguridad al graficar la recta, Guía Nº 5 eje de las ordenadas. identificando la pendiente y el intercepto utilizando el intercepto. 6 6. con el eje de las ordenadas si se conocen las coordenadas de dos puntos. Interés al calcular correctamente la pendiente y el intercepto en la Ecuación de una recta Utilización de la ecuación y = mx + b en ecuación punto pendiente y = mx + y = mx + b ejercicios de aplicación. b de la recta. Resolución de problemas de la ecuación Perseverancia en la resolución de pendiente- intercepto. problemas. Sistema de dos ecuaciones Determinación y explicación de un sistema Esmero al plantear situaciones de ecuaciones lineales con dos incógnitas. cotidianas, mediante un sistema de Ecuaciones con dos dos ecuaciones lineales. 48 incógnitas. Resolución de un sistema de dos 51 ecuaciones lineales con dos incógnitas. Interés al identificar un sistema de Sistema de ecuaciones ecuaciones con dos variables. lineales. Método para resolver un Resolución de sistemas de ecuaciones Valoración de la importancia del sistema de ecuaciones con usando el método gráfico. método gráfico para la solución de dos variables: un sistema de ecuaciones. Utilización del método gráfico para Gráfico solucionar problemas de aplicación. Seguridad y precisión en el trazo Sustitución de las rectas. Igualación Resolución de sistemas de ecuaciones Reducción usando el método de igualación, Interés en utilizar el método gráfico 52 sustitución y reducción. en problemas de aplicación. 54 53 Utilización del método de igualación, Seguridad al resolver un sistema 55 resolución y reducción para solucionar de ecuaciones usando el método problemas de sistema de ecuaciones. de sustitución, igualación y reducción. Interés y orden al aplicar el método de sustitución, igualación y reducción en problemas de aplicación. 7 7. Determinantes. Resolución de sistemas de ecuaciones Seguridad al resolver un sistema usando el método de determinantes. de ecuaciones usando el método de determinantes. Utilización del método de determinantes Guía Nº 6 para solucionar problemas de sistema de Interés en utilizar el método de ecuaciones. determinantes en problemas de aplicación. Sugerencias metodológicas: Presentar un plano cartesiano, en un cartel, para que los alumnos y las alumnas escriban las coordenadas de los puntos señalados. Proporcionar, en los sistemas de ecuaciones, situaciones de su entorno para que las expresen como ecuaciones y encuentren el conjunto solución. Proponer ecuaciones de rectas conocidos dos puntos para calcular la pendiente y su clasificación. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 2.1 Identifica y coloca con seguridad las coordenadas de un punto, Presentar una hoja de ejercicios para que, las alumnas y los alumnos en el plano cartesiano. organizados en equipo, calculen los diferentes tipos de pendientes y 2.2 Utiliza, valora y calcula con exactitud el valor de la pendiente resuelvan problemas usando la fórmula. positiva, negativa, cero e identifica de una recta al conocer los Desarrollar la actividad de la página 56 del texto como síntesis de la valores de las coordenadas de dos puntos. aplicación de sistemas de ecuaciones. 2.3 Construye con seguridad el gráfico de la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas y resuelve problemas. Criterios de evaluación: 2.4 Determina, explica y resuelve sistemas de ecuaciones lineales Colaboración con dos incógnitas. Respeto Orden Aseo 8 8. Planificación de unidad didáctica Unidad 3. Calculemos la dispersión Competencias Razonamiento lógico matemático Tiempo: 15 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Aplicar la desviación típica al analizar críticamente fenómenos numéricos y hechos sociales, con el fin de proponer y sustentar sus ideas, respetando la opinión de los y las demás. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Medidas de dispersión Cálculo de medias aritméticas Interés por calcular medias aritméticas Dispersión Explicación de las medidas de dispersión. Seguridad al explicar las medidas de Amplitud o rango dispersión. 10 Establecimiento de la dispersión de Desviación típica para datos a partir del rango Establece con orden y seguridad la datos sin agrupar. dispersión de datos a partir del 11 Resolución de ejercicios y/o problemas rango. aplicando la amplitud o rango en series de datos. Orden al resolver ejercicios y/o problemas aplicando el rango en Resolución de ejercicios y problemas series de datos. aplicando las fórmulas para el cálculo de la desviación típica de un conjunto de Dominio y confianza al aplicar las datos no agrupados. fórmulas de las medidas de dispersión. Sugerencias metodológicas: Plantee una situación del entorno para introducir las medidas de dispersión. Realice comparaciones de series de datos; recolectados por los estudiantes, aplicando la desviación típica. 9 9. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 3.1 Calcula con interés las medidas aritméticas Calcular, con los datos recolectados por los y las estudiantes, el rango y 3.2 Explica las medidas de dispersión y establece con orden y la desviación típica para datos no agrupados. seguridad la dispersión de datos a partir del rango. 3.3 Resuelve con dominio y confianza ejercicios y problemas Criterios de evaluación: aplicando las fórmulas para el cálculo de la desviación típica para Participación activa datos no agrupados. Orden Respeto Colaboración 10
3. 10. Planificación de unidad didáctica Unidad 4. Midamos ángulos Competencias Razonamiento lógico matemático Tiempo: 15 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Aplicar los ángulos y sus propiedades, en la búsqueda de soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Ángulos. Utilización de giros en sentido horario y anti- Seguridad al utilizar giros en Positivos y negativos. horario para construir y señalar ángulos sentido horario y anti-horario. 142 positivos y negativos. Coterminales. Construcción de parejas de ángulos Precisión al construir ángulos coterminales. coterminales. Cálculo y explicación del menor ángulo Confianza al calcular ángulos positivo y el mayor ángulo negativo que sea coterminales. coterminal a un ángulo dado. Guía Nº 7 Resolución de problemas determinando el menor ángulo positivo y el mayor ángulo negativo que sean coterminales a un ángulo dado. Sistema de medida Determinación y explicación de las medidas Esmero al determinar y sexagesimal y circular. de ángulos en grados sexagesimales y explicar las diferentes medidas radianes. de los ángulos. Conversiones 143 Conversión de medidas de ángulo expresadas Confianza en la utilización de 144 Arco como sección de una de grados a radianes y viceversa. factores de conversión. 145 circunferencia. 204 Resolución de problemas utilizando los Seguridad en la construcción 240 Longitud de arco factores de conversión. de longitud de arco. Construcción y explicación del arco 11 11. Área de un sector circular. Interés por el uso de S = rt del Deducción y explicación de la fórmula para cálculo de la longitud de arco. determinar la longitud de un arco S = rt Esmero para encontrar el área Cálculo de áreas de sector utilizando la de un sector circular. fórmula A r2n / 360 Resolución de problemas utilizando las fórmulas de área y longitud de arco. Circunferencia y círculo. Definición. Elementos de una circunferencia. Área de la corona, del sector y del trapecio circular. Sugerencias metodológicas: Presente un reloj de pared y que las y los alumnos experimenten el giro de las manecillas, para encontrar ángulos positivos y negativos. Continúe con la propuesta del texto que se encuentra páginas 143 y 204. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 4.1 Utiliza con seguridad los giros en sentido horario y anti-horario Retomar la actividad del inicio de unidades y que las y los alumnos para construir y señalar ángulos positivos y negativos. construyan los ángulos y efectúen conversiones del sistema 4.2 Calcula y resuelve problemas determinando el menor ángulo sexagesimal al sistema circular y viceversa. positivo y el mayor ángulo negativo que sean coterminales a un Partir de una situación del entorno, construir la circunferencia y el círculo ángulo dado. y calcular la longitud del arco y su área. 4.3 Utiliza con confianza factores de conversión para resolver problemas que involucran medidas angulares. Criterios de evaluación: 4.4 Construye, calcula y resuelve problemas de la longitud de arco S = Creatividad rt y el área de un sector circular. Precisión Orden Aseo 12 12. Planificación de unidad didáctica Unidad 5. Resolvamos ecuaciones de segundo grado Competencias Razonamiento lógico matemático Tiempo: 30 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Interpretar y resolver con seguridad, situaciones problemáticas, escolares y sociales, utilizando las ecuaciones de segundo grado Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Ecuaciones de Determinación de los elementos y las Interés por determinar una ecuación segundo grado. características que tiene una ecuación de de segundo grado a partir de sus segundo grado. características. Ecuación general: Ax2 + bx + c = 0 Diferenciación y resolución de las ecuaciones Confianza al diferenciar y resolver las completas e incompletas, puras y mixtas, a ecuaciones cuadráticas. Ecuaciones partir del número de sus términos. incompletas: Perseverancia al resolver problemas Resolución de problemas aplicando aplicando ecuaciones cuadráticas Puras ecuaciones cuadráticas incompletas, puras y incompletas, puras y mixtas. Mixtas mixtas. Interés y disposición por encontrar las 116 Aplicación del método completando trinomios raíces de una ecuación de segundo 117 para encontrar raíces en ecuaciones grado. cuadráticas. Interés por deducir y explicar, de Resolución de ecuaciones cuadráticas manera correcta, la fórmula general aplicando cuadrados perfectos. que desarrolla ecuaciones de segundo grado. Deducción y aplicación de la fórmula general que desarrolla ecuaciones de segundo grado a Orden y seguridad al utilizar la partir de una ecuación cuadrática. fórmula general en ecuaciones cuadráticas. Resolución de problemas utilizando la fórmula general. Seguridad y confianza al deducir, 13 13. explicar y resolver ejercicios y Deducción, explicación y resolución de problemas utilizando el discriminante: ejercicios y problemas utilizando el b2 4ac discriminante en la fórmula general: b2 4ac Métodos de solución: Métodos de solución para la ecuación general. Por factorización Factorización. Justificación. Ejercicios. Por complementación de cuadrados. Complementación de trinomios cuadrados 119 Fórmula general perfectos. Justificación. Ejercicios. 120 Discriminante 121 Fórmula para resolver una ecuación de 122 segundo grado. Discriminante y naturaleza de las soluciones. Sugerencias metodológicas: Elabore una guía de ejercicios de factorización, especialmente de trinomios y diferencias de cuadrados. Fabrique un rompecabezas de cuadrados y rectángulos y, organizados en equipos, orientar a los alumnos y las alumnas para completar trinomios que se conviertan en cuadrados perfectos. Oriente al grupo para que deduzca la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 5.1 Determinar con interés los elementos y características que tiene Presentar situaciones problemáticas y, organizados en equipos, que una ecuación de segundo grado. las y los estudiantes planteen las ecuaciones y las resuelvan. 5.2 Diferenciar las ecuaciones completas e incompletas, puras y Elaborar un juego de cartas para que, en equipos, determinen los mixtas a partir del número de sus términos, mostrando confianza. elementos y características de una ecuación cuadrática, su 5.3 Resolver con perseverancia problemas utilizado ecuaciones discriminante y los diferentes métodos de resolución. cuadráticas incompletas, puras y mixtas. Criterios de evaluación: Participación Cautividad Perseverancia Aseo Colaboración. 14 14. Planificación de unidad didáctica Unidad 6. Apliquemos técnicas de conteo Competencias Razonamiento lógico matemático Tiempo: 25 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Tomar decisiones, a partir de la valoración de la ocurrencia de un suceso, al aplicar las probabilidades y respetar la opinión de los demás. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Técnicas de conteo Determinación, construcción y explicación Seguridad al determinar y explicar del principio de la multiplicación. correctamente el principio de Principio de la multiplicación. multiplicación. Aplicación del
4. principio de multiplicación al resolver ejercicios y problemas de conteo. Seguridad al resolver problemas Factorial de un aplicando el principio de la número Determinación, interpretación y explicación multiplicación. del factorial de un número. 13 Permutación Seguridad al determinar e interpretar 15 Resolución de problemas de conteo el factorial de un número. 16 aplicando el factorial de un número. Perseverancia al resolver problemas Interpretación, aplicación y explicación de la aplicando el factorial de un número. permutación. Seguridad al determinar el número Resolución de permutaciones tomando de permutaciones de un conjunto todos los elementos de un conjunto. tomando todos los elementos. Número de Determinación del número de Confianza al resolver problemas ordenamientos permutaciones de un conjunto tomando aplicando permutaciones. parte de los elementos. Tomando todos los Interés en interpretar combinaciones. 17 elementos del Resolución de problemas utilizando las 18 conjunto. permutaciones. Seguridad en la determinación del número de combinaciones de un Tomando parte de los 15 15. elementos del Deducción, interpretación y explicación de conjunto de elementos. conjunto. combinaciones. Seguridad al resolver problemas Combinación Determinación del número de aplicando las combinaciones combinaciones de un conjunto de elementos. Resolución de problemas que involucren combinaciones. Sugerencias metodológicas: Inicie la unidad con una actividad similar a la planteada en el texto, en la página 13. Plante diversas situaciones de su entorno y aplicar las diferentes técnicas de conteo, haciendo énfasis en sus diferencias. Finalice con la actividad del texto planteada en las páginas 24 y 25. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 6.1 Determina, construye y aplica con seguridad el principio de la Retomar la actividad del texto sugerida al inicio de la unidad y que, en multiplicación en la resolución de ejercicios y problemas de parejas, resuelvan problemas que involucren permutaciones y conteo. combinaciones. 6.2 Determina, interpreta y resuelve con perseverancia problemas de conteo aplicando el factorial de un número. Criterios de evaluación: 6.3 Interpreta, aplica y resuelve con seguridad permutaciones Colaboración tomando todos o parte de los elementos de un conjunto. Respeto 6.4 Deduce, interpreta y determina con seguridad el número de Orden combinaciones de un conjunto de elementos. Limpieza 6.5 Resuelve con seguridad problemas que involucran permutaciones y combinaciones. 16 16. Planificación de unidad didáctica Unidad 7. Resolvamos sistemas de ecuaciones Competencias Razonamiento lógico matemático Comunicación con lenguaje matemático Tiempo: 20 horas Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Utilizar los sistemas de ecuaciones lineales y aplicar sus métodos y técnicas en la propuesta de alternativas de solución a problemas de su realidad. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Sistemas de ecuaciones Identificación, construcción y explicación Seguridad al identificar y formar un lineales. de un sistema de ecuaciones lineales de sistemas lineal con tres incógnitas. tres incógnitas. Confianza al aplicar los métodos Guía Nº 8 Métodos de solución: interpretación, aplicación y explicación de de solución para un sistema lineal Guía Nº 9 Reducción (suma y los métodos de solución para un sistema de tres incógnitas. Guía Nº 10 resta) lineal de tres incógnitas. Orden y perseverancia al resolver Guía Nº 11 Regla de Sarrus Resolución de problemas que conlleven sistemas de ecuaciones lineales Regla de Cramer sistemas de ecuaciones de tres incógnitas de tres incógnitas. Sugerencias metodológicas: Inicie con una actividad sobre los conocimientos previos de sistemas de ecuaciones lineales. Oriente la construcción de sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas y los diferentes métodos de resolución: guías 8, 9, 10 y 11. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 7.1 Identifica, construye y explica con seguridad un sistema de Elaborar una guía de situaciones problemáticas, en la cual, los y las ecuaciones lineales de tres incógnitas. estudiantes, planteen sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas y 7.2 Interpreta, aplica y explica los métodos de solución para encuentren el conjunto solución. sistemas lineales de tres incógnitas. 7.3 Resuelve problemas que conlleva sistemas de ecuaciones de Criterios de evaluación: tres incógnitas, con orden y perseverancia. Responsabilidad Colaboración Orden Aseo 17 17. Planificación de unidad didáctica Unidad 8. Utilicemos potencias algebraicas Competencias Razonamiento lógico matemático Tiempo: 25 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Proponer con criticidad soluciones a diversos problemas relacionados con el ámbito escolar y social, aplicando la potenciación algebraica y sus propiedades. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Potenciación en números Resolución de ejercicios y problemas Esmero al utilizar las potencias en reales con polinomios aplicando la potenciación en números ejercicios y problemas de aplicación. como base y exponentes reales con polinomios como base y enteros. exponentes enteros. Perseverancia al aplicar el Binomio de Newton. 74 Binomio de Newton. Aplicación del Binomio de Newton, 75 Desarrollo de la para obtener la potencia de un Orden y aseo en la construcción del 76 potencia n-ésima de un binomio. triángulo de Pascal. 79 binomio: (a+b)n=an + an-1b + an- Construcción del triángulo de Pascal 2 2 b +….+ abn-1 + bn hasta n = 9. Triángulo de Pascal Término general Deducción, aplicación y explicación de Seguridad al aplicar la fórmula para el la fórmula para el cálculo del término cálculo del término general. general del desarrollo de un binomio. Confianza al resolver problemas 80 Resolución de problemas utilizando la utilizando la fórmula que determina el fórmula que determina el término término general de un binomio. general de un binomio. Sugerencias metodológicas: - Inicie la unidad con la actividad propuesta en el texto de la página 75. - Explore los conocimientos previos de las combinaciones para aplicar el binomio de Newton al obtener las potencias de un binomio. - Proponga que deduzcan la fórmula que determina el término general. 18 18. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 8.1 Resuelve con esmero ejercicios y problemas aplicando la Solicitar a las alumnas y los alumnos que, organizados en equipos, potenciación en: números reales con polinomios como base y construyan el triángulo de Pascal hasta n= 9. exponentes enteros. Desarrollar, en parejas, las actividades de las páginas 76 y 77 del libro 8.2 Aplica con perseverancia el binomio de Newton para obtener la de texto. potencia de un binomio. 8.3 Construye con orden y aseo el triángulo de Pascal hasta n = 9. Criterios de evaluación: 8.4 Deduce, aplica y resuelve con confianza problemas utilizando el Perseverancia término general de un binomio. Orden Aseo Responsabilidad 19
5. 19. Planificación de unidad didáctica Unidad 9. Utilicemos radicales Competencias: Razonamiento lógico matemático Tiempo: 23 horas Comunicación con lenguaje matemático Aplicación de la matemática al entorno Objetivo de la unidad: Aplicar, con seguridad, las leyes de los radicales para la resolución de problemas relacionados con el aula y el entorno. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Pág. texto Santillana Radicación algebraica. Identificación de los elementos de un Confianza y seguridad al reconocer los radical y explicación de raíz n-enésima. elementos de una raíz. Raíz n-enésima. Extracción de la raíz n-enésima. Perseverancia al extraer una raíz n- enésima. 86 Simplificación de diversas expresiones Seguridad y perseverancia al 88 Reglas de los radicales: con radicales aplicando las simplificar expresiones con radicales. 87 Potencia n-ésima de la propiedades. raíz n-enésima. Raíz n-enésima de un producto. Raíz n-enésima de un cociente. Raíz n-enésima de una 88 potencia m-enésima. Raíz n-enésima de otra Conversión de una expresión radical a Interés y esmero al transformar un raíz m-enésima. potencias con exponentes fraccionarios radical en potencia con exponente 88 Exponente fraccionario. y viceversa. fraccionario. Métodos para cambiar la Identificación y reducción de radicales Seguridad al identificar y reducir 90 forma de un radical. semejantes. radicales semejantes. 91 Extraer factores de un 92 radical. Extracción de factores de un radical. Valoración y seguridad al extraer un 94 Introducir factores bajo el factor de un radical. 95 signo radical. Introducción de factores bajo el signo 96 20 20. Cambio del índice de un radical. Perseverancia al introducir un factor 97 radical. bajo el signo radical. Operaciones con Transformación de radicales utilizando radicales. cambio de índice. Seguridad al transformar el índice de Suma y resta. un radical. Multiplicación. Suma y resta radicales. División Seguridad al efectuar sumas y restas Racionalización. Multiplicación y división de radicales. de radicales. Racionalización de expresiones radicales. Destreza y seguridad al efectuar multiplicación y división de radicales. Resolución de problemas utilizando radicales y sus operaciones. Orden al aplicar la racionalización. Perseverancia y orden al resolver problemas. Sugerencias metodológicas: Inicie con la propuesta del texto que define la radicalización como la operación inversa de la potenciación (página 86). Identifique los elementos de un radical y continuar con la propuesta del texto que se encuentran en las páginas 86 a la 102. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 9.1 Identifica con seguridad todas las partes de un radical, extrae la raíz n – Proporcionar una guía de ejercicios de propiedades de radicales, enésima y simplifica expresiones que contengan radicales, empleando operaciones y radicación, para que lo resuelvan en pareja. sus propiedades. Realizar una prueba individual, que puede ser de simplificación 9.2 Convierte expresiones con radicales a potencias con exponentes de expresiones que contengan radicales, empleando sus fraccionarios e identifica radicales semejantes. propiedades. 9.3 Extrae e introduce factores de y bajo un radical. Criterios de evaluación: 9.4 Resuelve operaciones: suma, resta, multiplicación y división de radicales. Perseverancia 9.5 Resuelve problemas utilizando radicales y sus operaciones con Colaboración perseverancia y orden. Orden Aseo 21 21. DETERMINANTES. ELEMENTOS Y ORDEN. FILAS COLUMNAS Y DIAGONALES. DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN 2 X 2 Una matriz es un arreglo de números reales. 4 6 0 Fila 1 Columna 1 Columna 2 Columna 3 Para comenzar 1 6 0 2 2 3 Fila 2 -2 2 3 Escribe verdadero (v) o falso 3 1 1 Fila 3 3 1 1 (f). Las filas son los números escritos en forma horizontal. Los coeficientes de la ecuación Las columnas de la matriz son los números que aparecen en 2x3 – 3x = 1 son: forma vertical. a) 3, 1, 0 _________ b) 2, - 3 _________ El orden de una matriz se expresa como m x n, donde “m” c) 2, - 3, 1 _________ representa el número de filas y “n” el número de columnas. 6 7 2 0 3 2 1 3 7 3 6 7 8 Matriz 1 x 3 Matriz 2 x 2 Matriz 2 x 3 A cada matriz cuadrada B se le asocia un número llamado determinante de B. El valor de un determinante se calcula restando el producto de sus diagonales a b 3 2 ad bc (3)(5) ( 2)(1) 15 2 17 c d 1 5 + - Un sistema de ecuación se puede expresar en términos de un determinante. ax by e El sistema le asignamos tres determinantes. cx dy f a b P Se llama determinante principal P formada por los c d coeficientes de las variables x e y, tomados en ese mismo orden. e b a e x y Determinantes de las variables x y f d c f que se obtiene reemplazando la columna respectiva por los constantes del sistema, en ese mismo orden. Ejercicio resuelto 2x 2 y 6 En el sistema , encuentre las matrices P , x y y x 4y 2 3 2 6 2 3 6 P x y 1 4 2 4 1 2 1. De los siguientes determinantes 3. Encuentra el determinante principal P y los 1 2 3 determinantes de las variables ( x, y ) en los siguientes m n p 2 4 sistemas de ecuaciones. a) b) c) 4 5 6 r s t 3 5 7 8 9 mx ny c Identifica las filas, columnas y el orden de cada uno. a) dx ey f 2. Encuentra el valor de los siguientes determinantes de segundo orden 3 1 2x 3y 1 a) b) 2 3 x y 3 22 22. ECUACIONES CON RADICALES QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE PRIMER GRADO ELIMINACIÓN DE LA RA ÍZ POR LA PROPIEDAD POTENCIA DE OTRA POTENCIA. Mediante la experimentación y la aplicación de modelos matemáticos se ha logrado determinar que la distancia “d” en Para comenzar metros a la que cae un objeto partiendo del reposo en “t” El producto notable d (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 segundos, esta expresado por la fórmula t . 5 Desarrolla los siguientes Un grupo de alumnos decidió verificar esta fórmula dejando caer productos notables: una piedra desde un puente y, tomando el tiempo en que la piedra (2 + x)2 = tarda en llegar al suelo ¿Cuál será la altura del puente, según la (m – n)2 = fórmula, si la piedra cayó en 2 segundos? (2 + a )2 = d d d t 2 4 d 20m 5 5 5 Luego, la altura del puente es 20 m sobre el río. Para solucionar este problema fue necesario resolver una ecuación que contenía raíces y cuya incógnita formaba parte de su cantidad subradical. Observa el siguiente ejercicio Toma nota Encuentra el conjunto solución de: x 5 + x 2 =6 1. Trasladamos al miembro derecho el término que contiene Los elementos de una raíz son: radical. Í ndice x 5 =6 x 2 2. Elevamos al cuadrado ambos miembros n a ( x 5 ) 2 = (6 x 2 )2 Signo radical Cantidad subradical Resolvemos 1089 x + 5 = 36 – 12 x 2 +x+2x+2= 144 2 33 2 9 ( x 2) = Luego x= 5 12 16 Problema resuelto Toma nota Ecuación con radicales es una El área de un cuadrado mide 256 m2, ¿cuál es la medida de su igualdad en la que intervienen diagonal? raíces y cuya incógnita forma 1º) Escribimos la fórmula del área del cuadrado parte de una o más cantidades a = l2 subradicales. 2º) Sustituimos las variables por su valor 256 m2 = l2 3º) Resolvemos 256m 2 = l 2 16 m = l La medida del lado es 16 m; pero como nos pregunta la medida de su diagonal 16m x 16m d= (16m) 2 (16m) 2 d = 256m 2 256m 2 X 16 d= 512m 2 d = 22.6 m Luego, la medida de su diagonal es 22.6 m 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. 2. Resuelve los siguientes problemas. a. x 5 5 a. La resistencia de un circuito es de R = 18 ohms, su potencia P = 980 watts. Utiliza la fórmula I P para calcular la intensidad de la corriente I. b. 2 3 x 4 16 R c. x 5 3 x 7 b. Calcula la velocidad, sustituyendo d por 6 en la ecuación v2 = 64 d. d. 9x 1 1 3 3 23
6. 23. LINEA RECTA, SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS, COORDENADAS DE UN PUNTO (ABSCISA, ORDENADA) Un sistema de coordenadas cartesianas es un par de rectas numéricas perpendiculares entre si, cuyo punto en común es el cero de cada una. Para representar un punto (a, b) en el plano se localiza el primer elemento de la pareja en el eje horizontal y el segundo en el eje Para comenzar vertical. y Escribe el signo igual (=) o no es (a, b) igual ( ) entre los siguientes pares (a, b) (b, a) ordenados. (b, a) (1, 2) (2, 1) x (- 1, 2) (- 1, 2) Las coordenadas cartesianas dividen al plano cartesiano en cuatro cuadrantes que se enumeran en dirección contraria a las agujas del reloj. Eje de las ordenadas (y) II cuadrante + I cuadrante - + 0 Eje de las abscisas (x) III cuadrante - IV cuadrante 1) Escribe, en cada cuadrado, el 2) Observa el plano cartesiano. cuadrante donde se ubica el punto que (2, 3) D corresponde a cada par ordenado. 3 A C 2 a. (2, 3) 1 B E b. (- 2, 3) 1 2 3 4 5 Escribe, en los espacios en blanco, las c. (3, - 2) coordenadas con que se identifican cada uno de los puntos. d. ( - 2, - 3) a) A ____ b) B ____ c) C ____ d) D ____ e) E ____ Coloca, en el mismo plano de coordenadas, los siguientes puntos. a) (3, 1) b) (1, 1) c) (4, 0) d) (0, 5) e) (2, 3) f) (5, 1) 24 24. PENDIENTE (M); PENDIENTE POSITIVA, PENDIENTE NEGATIVA, PENDIENTE CERO, PENDIENTE INDEFINIDA Observa el gráfico y P2(x2,y2) y2 - y1 Para comenzar P1(x1,y1) x2 - x1 Dado los pares ordenados x 1y1 x 2y2 x (2, 3) (5, 7) Encuentra 3 7 ? 2 5 7 3 Figura 1 ? Una recta representada en el plano cartesiano tiene una 5 2 inclinación que está determinada por medio del concepto de pendiente (figura 1). Si P1 y P2 son puntos de una recta representados por las coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente se define la y2 y1 pendiente m de la recta como m . x2 x1 Ejemplo resuelto 1. Determina la pendiente de la recta que representa la función f(x) = 3x + 4 que pasa por los puntos (0, 4) y (1, 7). (- 0, 4) (1, 7) y2 y1 7 4 3 x1y1 x2y2 Solución: m 3 x2 x1 1 0 1 La pendiente de la recta que representa la función f(x) = 3x + 4 es 3. En una recta, cuando la variable “x” aumenta y la variable “y” aumenta, la pendiente es positiva (recta creciente) ejemplo: f(x) = 3x + 4. La función f(x) = - 3x + 2 es decreciente; es decir, cuando la variable “x” aumenta, la variable “y” disminuye. Su pendiente es negativa. Si la gráfica de la función es paralela al eje “x” la pendiente m = 0. Si la gráfica de la función es paralela al eje “y” la pendiente no esta definida. 1. Calcula la pendiente de la recta que pasa por 3. Indica cuáles de las siguientes rectas tienen pendiente: cada par de puntos. negativa, positiva, cero o indefinida. b) (1, 2); (3, 4) c) (0, -3); (-6, 7) y y y y 2. Dibuja las rectas que corresponden a cada par x x x de puntos, en el plano cartesiano. 25 25. GRÁFICA: INTERCEPTO CON EL EJE DE LAS ORDENADAS, ECUACIÓN DE UNA RECTA Y = MX + B Dado que una función se puede representar por medio de una expresión algebraica y además una función afín se representa por una línea recta, la expresión y = mx + b representa una línea recta. La expresión y = mx + b se denomina ecuación de la recta. En esta Para comenzar ecuación “m” es la pendiente y “b” es el valor de “y” en la cual la Indica el eje (x, - x, y, - y) en que recta corta al eje “y”, este valor se llama intercepto. se localizan los puntos que Ejemplo: corresponden a los siguientes La ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y que corta al eje pares ordenados “y” en -4 es a. (0, - 2)____ y = mx + b b. (2, 0)_____ y = -3x – 4 c. (5, 0)_____ d. (0, - 5)____ Pendiente Intercepto Ejercicio resuelto Encuentra la pendiente y el intercepto de la recta y = 3x -1. Solución: Como la ecuación de la recta es de la forma y = mx + b; la pendiente es m = 3 y el intercepto es b = -1. Representa gráficamente la ecuación anterior. Solución: 1. Se ubica en el plano el punto (0, -1); pues el intercepto en y es -1. 2. Como la pendiente es m =3, entonces por cada unidad que aumenta el valor de la variable “x”, la variable “y” aumenta 3 unidades, por lo tanto la recta pasa por el punto (1, 2) Y 4 3 2 (1,2) 1 X -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 (0,-1) -2 -3 -4 1) Identifica en cada una de las ecuaciones 2) Escribe la ecuación de cada recta a la pendiente y el intercepto con el eje “y”. partir de los datos dados. a. m = 4, b = -6 b. m = - 3, b = -2 Intercepto 1 2 Ecuación Pendiente con el eje y c. m = , b = 7x + 4 = y 4 3 y = -2x + 10 d. m = 1, b = 5 y = -3 -2x 3) Grafica cada recta a partir de los datos y = 1 + 7x dado: a) Pendiente 2; intercepto igual a -3 3 b) Pendiente ; intercepto igual a 0 5 26 26. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. MÉTODO DE DETERMINANTES ¿Que método se utiliza para resolver el sistemas de ecuaciones en el método de determinantes? Regla de Cramer. Ejemplo: Resolver el sistema 3 x 2y 6 Para comenzar x 4y 2 Encierra en un círculo el 3 2 proceso correcto de la 1. Encontrar el determinante principal P división de fracciones. 1 4 a c ac 2. Determinantes de las variables x, y 6 2 3 6 1. ÷= x y b d bd 2 4 1 2 a c ad El valor de las incógnitas se calcula así: 2. ÷= 6 2 b d bc 2 4 x ( 6 )( 4 ) ( 2 )( 2 ) 24 4 28 x x 2 P 3 2 ( 3 )( 4 ) ( 2 )( 1 ) 12 2 14 1 4 3 6 y 1 2 ( 3 )( 2 ) ( 6 )( 1 ) 6 6 0 y y 0 P 3 2 ( 3 )( 4 ) ( 2 )( 1 ) 12 2 14 1 4 Ejemplos: Resolver La suma de dos números enteros pares consecutivos es 30 y su diferencia es 2. Encuentra los números. Solución: Paso 1: Sea “x” un número entero par y “y” el otro número entero par. x y 30 Paso 2: Las ecuaciones que se forman son: x y 2 Paso 2: Las ecuaciones que se forman son: x y 30 x y 2 30 1 x 2 1 (1 )( 2 ) ( 30 )( 1 ) 30 2 32 x 16 P 1 1 (1 )( 1 ) (1 )( 1 ) 1 1 2 1 1 1 30 x 1 2 (1 )( 2 ) ( 30 )( 1 ) 2 30 28 y 14 P 1 1 (1 )( 1 ) (1 )( 1 ) 1 1 2 1 4 Los números son 16 y 14. 1. Resuelve, aplicando el método de 2. Aplicando el método de determinantes, determinantes. resuelve: x 2y 1 x 4 y 16 Entre monedas de 10 y de 5 centavos Ana a) b) reúne US$1.05; tiene en total 12 monedas. 3x y 3 x 2 y 10 Responde: ¿Cuántas monedas de 10 y cuántas monedas de 5 tiene Ana? 27 27. ÁNGULOS COTERMINALES En una circunferencia, una rotación completa en sentido contrario a las agujas del reloj equivale a 360º grados ó 2 radianes. Los ángulos coterminales son aquellos que en posición normal Para comenzar tienen el mismo lado inicial y terminal. 360º = 2 radianes Si es un ángulo cualquiera, por ello para encontrar el menor 180º = radianes ángulo positivo coterminal, se encuentra así: Escribe en radianes la medida que corresponde a los siguientes ángulos: + 360º +2 90º ______ Y el mayor ángulo negativo 30º ______ 60º ______ – 360º -2 45º ______ Ejemplo resuelto a. Encontrar el mayor ángulo negativo y menor ángulo positivo a = 60º 60º + 360º = 420º 60º - 360º = - 300º b. Encontrar dos ángulos entre 0 y 2 , que sean coterminales 11 con y dibujar uno de ellos. 4 11 Como 2 < < 3 restamos una vuelta 2 radianes 4 11 11 8 3 -2 = = 4 y 4 4 3 4 11 Otro ángulo coterminal a 4 x 3 3 8 5 2 11 4 4 4 4 c. Si = 40º 16’ 10’’, encontrar el mayor ángulo negativo que sea coterminal a dicho ángulo. Se descompone 360º en grados, minutos y segundos 360º = 359º 59’ 60’’; luego (40º 16’ 10’’) – (359º 59’ 60’’) = - (319º 43’ 50’’) 1. Dibuja el ángulo dado en posición 2. Encuentra el ángulo entre 0 y 2 radianes normal y determina dos ángulos coterminales al ángulo dado. coterminales positivos y dos negativos. a. a. 120º 4 b. 35º 23’ 38’’ b. 17 c. – 30º 2 2 c. 5.3 d. d. – 4 3 e. 7 28
7. 28. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODOS DE SOLUCIÓN- Reducción (suma y resta) Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas forman un sistema de de ecuaciones lineales Para comenzar ax by cz p dx ey fz q Cuando en una expresión gx hy kz r algebraica las variables se sustituyen por valores numéricos Resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas es específicos, al resultado obtenido encontrar una solución única, es determinar el trío ordenado(x, y, se le denomina valor numérico de la z) de números reales que satisfacen a la vez a las tres expresión algebraica. El valor numérico de 3x2 para x = 3 ecuaciones. es 27 Método de reducción Encuentra el valor numérico Observa cómo se resuelve el siguiente sistema 2x – 3y + z Si x = - 1 2 x 3 y 3z 10 (1) y= 3 3x 2 y 3z 1 (2) z= 5 2x 5 y 2z 5 (3) Eliminamos la incógnita z, sumando las ecuaciones (1) y (2) 2x + 3y + 3z = 10 + 3x – 2y – 3z = - 1 5x + y = 9 (4) Eliminamos la misma incógnita z de las ecuaciones (2) y (3), multiplicando estas ecuaciones por 2 y 3 respectivamente y las sumamos: 2x – 2y – 3z = - 1 x 2 6x – 4y – 6z = - 2 2x + 5y + 2z = - 1 x 3 6x + 15y + 6z = 15 12x + 11y = 13 (5) Formamos un nuevo sistema con las ecuaciones (4) y (5). Multiplicamos la ecuación (4) por ( - 11) para reducir la incógnita “y” y hallamos “x”: 5x + y = 9 x - 11 - 55x – 11y = - 99 12x + 11y = 13 12x + 11y = 13 - 43x = - 86 x=2 Ahora, reemplazamos el valor x = 2 en la ecuación (4): 5x + y = 9 5(2) + y = 9 10 + y = 9 y=-1 Para calcular el valor de la incógnita z, reemplazamos x = 2 e y = - 1 en la ecuación (1) 2x + 3y + 3z = 10 2(2) + 3(- 1) + 3z = 10 z=3 El conjunto solución es (2; 1;3) 1. En los espacios en blanco, numera del 1 al 5 para ordenar el 2. Encuentra el conjunto solución de los proceso de respuesta de un sistema de ecuaciones lineales siguientes sistemas de ecuación, por el con tres incógnitas. método de reducción. ______ Formamos un nuevo sistema con las 4 x y 3 z 15 ecuaciones (4) y (5). a) x 3 y z 15 ______ Para calcular el valor de la incógnita z reemplazamos los valores encontrados para x, y. 2 x y 4 z 14 ______ Reemplazamos el valor de x en la ecuación (4) x y z 1 para encontrar el valor de y. b) 2x y z 3 ______ Eliminamos la incógnita z sumando, las ecuaciones (1) Y (2). 3x 2 y 5z 8 ______ Eliminamos la misma incógnita z de la ecuación (2) y (3). 29 29. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS La regla de Sarrus es útil para calcular el valor de determinantes de orden 3. Para comenzar Para calcular el valor del determinante. Los términos con signo positivo (+) se encuentran multiplicando los Para sumar cantidades con signos elementos de la diagonal principal y los de las diagonales iguales. paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Se suman las cantidades y se escribe el signo común. -2+-3=-5 2+ 3=5 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 Signos diferentes, se restan las cantidades y se escribe el signo Los términos con signo negativo se forman al multiplicar los del numero de mayor valor absoluto. elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales -8+3=-5 paralelas con su correspondiente vértice opuesto. Resolver - 2 + - 10 = _______ 6 + - 10 = _______ - 9 + 3 – 10 = _______ = - a13 a22 a31 – a12 a21 a33 – a11 a23 a32 Ejemplo. Halla el valor de: 1 3 2 = (1)(5)(8) + (3)(9)(4) + (6)(2)(7) – (9)(5)(2) – (1)(7)(4) A 6 5 4 – (6)(3)(8) 9 7 8 = 40 + 108 + 84 – 90 – 28 – 144 = - 30 Partiendo de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede formar un determinante de orden 3 x 3. 3x y 2 z 3 Ejemplo x y z 2 x 2 y 3z 5 El determinante se forma con los coeficientes de las variables 3 1 2 1 1 1 1 2 3 1. Escribe los determinantes 2. Evalúa los siguientes correspondientes a los siguientes determinantes, utilizando la regla sistemas de ecuaciones. de Sarrus. 3x 3y z 2 a. 2x y 9z 1 1 6 7 2 3 2 a. 2 b. 3 x y z 3 3 6 1 6 7 x 3y z 7 1 1 1 5 b. 1 2x y 3z 2 2 4 3 5x 3y z 1 30 30. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS. MÉTODOS DE SOLUCIÓN Regla de Cramer Para comenzar Para resolver sistemas de ecuaciones por la regla de Regla de los signos del Cramer, seguimos el siguiente proceso: producto ax by cz p (+) x (+) = + Supongamos que queremos resolver dx ey fz q (+) x (-) = - gx hy kz r (-) x (+) = - (-) x (-) = + Tendremos 4 matrices de las cuales calcularemos sus Resuelve: determinantes: a) (-2)(3)(-1) = ______ b) (5)(2)(-1) = ______ c) (-3)(-1)(-2) = ______ La primera matriz, la principal, se formará utilizando los coeficientes de las variables. a b c P d e f g h k Otras tres, las determinantes de las variables, se obtienen reemplazando en la matriz principal la columna respectiva por las constantes o términos independientes del sistema: p b c a p c a b p x q e f ; P d q f ; P d e q Importante r h k g r k g h r Todo determinante tiene un valor que se calcula como se indica: Recuerda que primero se debe El valor de cada incógnita del sistema será encontrado repetir las dos primeras calculando los cocientes que siguen: columnas a la derecha de la x y z matriz y luego operamos. x ; y ; z P P P a b c a b P d e f d e x 2y 3z 3 g h k g h Resolver el sistema x y z 2 2x 3y 5z 5 P -(aek- + bfg- + cdh) – (ceg + afh + bdk) + + + 1º) Encontramos la determinante principal 1 2 3 (1)(1)(-5) + (-2) (-1) (2) + (-3) (1) (-3) = 8 P 1 1 1 (-3)(1)(2) + (1) (-1) (-3) + (-2) (1) (-5) = 7 2 3 5 Finalmente 8 – 7 = 1 P 1 31 31. 2º) Reemplazamos los coeficientes de dicha variable por la columna de los términos independientes 3 2 3 (3)(1)(- 5) + (- 2) (- 1) (5) + (- 3) (1) (- 3) = 13 x 2 1 1 (- 3)(1)(5) + (3) (- 1) (- 3) + (- 2) (2) (- 5) = 14 5 3 5 Finalmente 13 – 14 = - 1 x 1 Toma nota Para resolver un sistema de 1 3 3 (1)(2)(- 5) + (3) (- 1) (2) + (- 3) (1) (5) = - 31 ecuaciones se debe ordenar y 1 2 1 (- 3)(2)(2) + (1) (- 1) (5) + (3) (1) (- 5) = - 32 alfabéticamente. 2 5 5 Finalmente – 31 – (- 32) = 1 y 1 1 2 3 (1)(1)(5) + (-2) (2) (2) + (3) (1) (-3) = - 12 y 1 1 2 (3)(1)(2) + (1) (2) (-3) + (-2) (1) (5) = - 10 2 3 5 Finalmente – 12 – (- 10) = - 2 z 2 x 1 y 1 z 2 Luego x 1; y 1; z 2 P 1 P 1 P 1 Conjunto solución ( 1;1; 2) 1. Calcula el valor de los determinantes. 3. Encuentra el conjunto solución. 2 1 3 x 2y 3z 9 a. 3 0 2 a) 2x y 6 2 5 1 4 x 3 y 6 z 24 1 1 1 m 4n 5j 11 b. 1 1 1 b) 3m 2 n j 5 1 1 1 4m n 3 j 26 2. Encuentra P en el siguiente sistema de ecuaciones. 3x 2y 1 2z 2x 2z 3y 3 y 4 2z 8x 32 32. RESOLUCIÓNDE PROBLEMAS QUE CONLLEVAN SISTEMAS DE ECUACIONES DE TRES INCÓGNITAS A continuación se presenta un problema que se resuelve mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Para comenzar Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que los Escribe en lenguaje algebraico: hombres y el triple de las mujeres exceden en 20 al doble de los niños. 1. El doble de un número. También se sabe que los hombres y las mujeres duplican el número de 2. El triple de un número, niños. disminuido en cinco. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones para hallar el número de 3. El cuadrado de un número aumentado en tres. hombres, mujeres y niños. Solución. Llamamos x, y, z al número de hombres, mujeres y niños respectivamente. A partir de los datos del problema obtenemos el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones E1, E2, E3 con tres incógnitas x, y, z: E1 x + y + z = 30 E2 x + 3y = 20 + 2z E3 x + y = 2z Ordenamos las ecuaciones y formamos la determinante principal Toma nota x y z 30 1 1 1 Para resolver un problema: x 3 y 2z 20 P 1 3 2 6 1. Lee y comprende el problema. x y 2z 0 1 1 2 2. Plantea la solución. Luego encontramos 3.
8. Desarrolla el plan. 30 1 1 1 30 1 1 1 30 4. Revisa y reflexiona sobre la solución. x 20 3 2 60 y 1 20 2 60 z 1 3 20 60 0 1 2 1 0 2 1 1 0 x 60 y 60 z 60 Luego 10 ; 10 ; 10 P 6 P 6 P 6 El número de hombres es 10, mujeres 10 y niños 10 1. Calcula el valor de los 2. Resuelve los siguientes problemas aplicando el método de determinantes. determinantes. b. Un ganadero tiene a su cargo 110 animales entre 6 1 6 gallinas, cerdos y pavos. Si 1 del número de gallinas, 8 c. 3 2 2 1 del número de cerdos, más 1 del número de más 0 2 3 9 5 pavos, equivalen a 15 y la suma del número de gallinas 1 con el de pavos es 65. ¿Cuántos animales de cada 0 3 2 clase posee dicho ganadero? d. 2 2 4 c. Rosa, Fanny y Gisela tienen juntas $140. Sabiendo que 3 1 1 Gisela tiene la mitad de lo que tiene Rosa, y Rosa posee $10 más que Fanny. ¿Cuánto dinero tiene cada una? d. La suma de tres números es 12. El tercero es el cuádruplo del segundo y el segundo es igual a 6 veces el primero. ¿Cuáles son los números? 33 + MINED, 2 months ago Embed custom 165 views, 1 favs, 0 embeds more stats Related Documents • Sponsored result xyzmo@Bank Hapoalim • Guia Exani 1 • Tomando Mate Con El Espiritu • El Mate
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