Source: http://www.slideshare.net/crtarguedas/fascculo-general-matemtica
Timestamp: 2015-11-29 23:44:56+00:00

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FASCÌCULO GENERAL MATEMÁTICA
D A T A S A Y W A T
by guest5ba718
Oscar Javier Caballero Huaccha
Hacer uso de saberes matemáticos para afrontar desafíos diversos Fascículo general 2 Un aprendizaje fundamental en la escuela que queremosHoy el Perú tiene un compromiso: mejorar los aprendizajes Todos podemos aprender, nadie se queda atrás Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 1
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Av. De la Arqueología, cuadra 2- San Borja. Lima, Perú Teléfono: 6155800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 417,200 ejemplares Emma Patricia Salas O’Brien Ministra de Educación José Martín Vegas Torres Vice Ministro de Gestión Pedagógica Equipo Coordinador de las Rutas del Aprendizaje: Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educación Básica Regular Neky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educación Inicial Flor Aidee Pablo Medina, Directora de Educación Primaria Darío Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educación Secundaria Asesor General de las Rutas del Aprendizaje: Luis Alfredo Guerrero Ortiz Equipo pedagógico: Holger Saavedra Salas (asesor) Pedro David Collanqui Díaz Nelly Gabriela Rodríguez Cabezudo Luis Justo Morales Gil Edith Consuelo Bustamante Ocampo Giovanna Karito Piscoya Rojas Julio Nemesio Balmaceda Jiménez Roger Justiniano Saavedra Salas María Isabel Díaz Maguiña Diagramación: Paola Sánchez Romero Ilustraciones: Patricia Nishimata Oishi Equipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeño, Carmen Rosa León Ezcurra y Luis Fernando Ortiz Zevallos Impreso por: Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita – Lima 43 R.U.C.: 20347258611 Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educación. Prohibida su venta. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N° 2013-01802 Impreso en el Perú / Printed in Peru Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes2
Índice INTRODUCCIÓN 4 I.	Buscando las piezas de un deseado rompecabezas: aprender a aprender matemática 6 1.1	Aprender a aprender matemática 7 1.2	Necesidad de plantearnos un modelo formativo 7 II.	Armando las piezas del rompecabezas: enfoque del aprendi- zaje matemático 8 2.1	La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela 10 2.2	El enfoque centrado en la resolución de problemas 10 2.3	¿Cómo enseñar matemática resolviendo situaciones problemáticas? 14 III.	Visualizando el rompecabezas: competencias, capacidades y dominios 19 3.1	Competencia matemática 19 3.2	Formulación de la competencia matemática 20 3.3	Resolución de situaciones problemáticas como competencia matemática 21 3.4	Capacidades matemáticas 22 3.5	Dominios matemáticos 28 BIBLIOGRAFÍA 31 TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 3
1. Introducción El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la necesidad de transformar las instituciones de educación básica de manera tal que aseguren una educación pertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y adolescentes puedan realizar sus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social del país. Es en este marco que el Mi- nisterio de Educación tiene como una de sus políticas priorizadas el asegurar que: Todos y todas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación, matemáticas, ciudadanía, ciencia, tecnología y productividad. Lograr este objetivo de política en el ámbito de matemática representa un gran desafío. De un lado, debido a los bajos resultados que se tienen y respecto de los cuales es muy poco lo que se ha podido avanzar; de otro lado, porque se trata de competencias y capacidades reconocidas mundialmente como cruciales para aprovechar las oportunidades del siglo XXI, de una sociedad de economías globales, con una acelerada producción de información de diversa complejidad y de significativos avances científicos y tecnológicos. En este contexto, necesitamos transitar hacia un mayor acceso, manejo y aplicación de conocimientos, en el que la educación matemática se convierte en un valioso motor de desarrollo económico, científico, tecnológico y social. Esto nos exige revisar, debatir, ampliar y enriquecer los enfoques con que hemos venido trabajando; y modificar la idea de la matemática como algo especializado sólo para estudiantes con mayor disposición para aprenderla. Necesitamos asumirla como algo fundamental para la vida, que tenga sentido y genere motivación para seguir aprendiendo. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes4
Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo en el cual se adopta un enfoqueque conecte la matemática con la vida, con lo que ocurre en el entorno inmediato y personalde los estudiantes, así como en los diversos contextos sociales, económicos y políticos de esteescenario mundial. Se trata de aprender a aplicar los conocimientos y contenidos matemáticosen el análisis, la comprensión y la resolución de problemas y situaciones de necesidad real. Elloimplica desarrollar en las aulas, capacidades cognitivas y actitudes como la perseverancia, laconfianza, la toma de decisiones, el trabajo colaborativo, el sentido de logro entre otros.El fascículo se encuentra organizado en tres capítulos. En el primero se presenta algunas apro-ximaciones teóricas relacionadas con el aprendizaje y el aprender a aprender matemáticas.En el segundo capítulo, se desarrolla el enfoque de resolución de problemas, basado en el usofuncional de la matemática para el cumplimiento de su rol social y sentar las bases para que losestudiantes desplieguen plenamente sus capacidades y potencialidades. En el tercer y últimocapítulo se presentan las competencias y capacidades matemáticas que desarrollarán los estu-diantes a lo largo de su educación básica. Las capacidades presentadas son seis y son trabaja-das a partir de una situación problemática que las moviliza en forma simultánea, configurandoel desarrollo de la competencia.Esperamos que este fascículo pueda serte de utilidad en tu labor cotidiana. Estaremos muy aten-tos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolo en las próximas reediciones, de manerade hacerlo cada vez más pertinente y útil para el logro de los aprendizajes a los que nuestrosestudiantes tienen derecho. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 5
I.	Buscando las piezas de un complicado pero deseado rompecabezas: aprender a aprender matemática La matemática siempre ha desempeñado un rol fundamental en el desarrollo de los conocimientos científicos y tecnológicos. En ese sentido, reconocemos su función instrumental y social que nos ha permitido interpretar, comprender y dar soluciones a los problemas de nuestro entorno. En efecto, todos los seres humanos, desde que nacemos hasta que morimos, usamos algún tipo de aprendizaje matemático. Nacemos sin saber matemáticas, pero el mundo está lleno de expe- riencias que pueden convertirse en aprendizajes matemáticos utilizables en diversas circunstan- cias. Así, el niño que cuenta los dedos de su mano por primera vez sabrá que en cada mano tiene cinco. Esto no lo exime de cometer errores al contar una y otra vez sus dedos, sin embargo ayuda a aprender. Además de las experiencias cotidianas que ayudan a aprender matemáticas, contamos con insti- tuciones educativas en donde se accede a una educación matemática formal. Se aprende a com- prender y producir textos matemáticos, a razonar matemáticamente, a resolver problemas mate- máticos, etc. En algunos casos al terminar la educación básica, se continúa con el aprendizaje de la matemáti- ca en la educación superior. El aprendizaje de la matemática es interminable, por lo que muchos eruditos, haciendo honor a la tradición socrática, declararon que mientras más se aprende mate- máticas, más falta por aprender. El problema es cuando la matemática que aprendemos resulta poco significativa, poco aplicable a la vida, o simplemente aburrida, tanto que al dejar el colegio olvidamos lo que aprendimos y no seguimos aprendiéndola por nuestra cuenta. Si bien hay quienes aprenden la matemática por sí mismos, la mayoría no lo hace. Necesitamos algún tipo de acompañamiento para aprender ma- temática y reflexionar sobre nuestro aprendizaje. Es en la educación matemática formal donde se puede ofrecer una intervención pedagógica que nos posibilite tal desarrollo. Esta tarea requiere esfuerzos, de los maestros, estimulando a pensar a nuestros estudiantes, de autoridades educativas comprometidas con el mejoramiento continuo de la educación matemáti- ca, de instituciones educativas que provean ambientes, recursos y materiales de alta calidad para estimular el aprendizaje de la matemática, etc. También de una sociedad educadora compro- metida, que nos rete a ser personas más propositivas y activas, no dependientes ni pasivas; que demande usar el propio razonamiento para resolver desde problemas cotidianos hasta problemas de gran trascendencia. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes6
1.1 APRENDER A APRENDER MATEMÁTICAS¿Cómo tener estudiantes motivados a aprender matemáticas y mucho más, a aprender a apren-der matemáticas por sí mismos? Requerimos ambientes educativos que brinden confianza y tran-quilidad, así como respeto mutuo, tolerancia y libertad, donde se puedan generar dinámicas deaprendizajes significativos y de reflexión crítica. La finalidad es propiciar el aprender y el aprendera aprender matemática de manera fácil y profunda utilizando los conocimientos matemáticos endiversas situaciones, no sólo en el ámbito escolar sino también fuera de él.El aprender a aprender matemáticas implica aprender a ser perseverante y autónomo en la or-ganización de nuestros aprendizajes, reconociendo experiencias, conocimientos previos, valores eimplicancias de diversa índole, haciendo que nuestros estudiantes sean eficaces en la construcciónde sus conocimientos y la toma de decisiones.En la escuela la promoción de la competencia matemática se da en torno a las capacidades dematematizar, elaborar y seleccionar estrategias, a representar matemáticamente situaciones rea-les, a usar expresiones simbólicas, a comunicar y argumentar, a explorar, probar y experimentar.Si los estudiantes adquieren estas capacidades y las usan en su vida, adquirirán mayor seguridady darán mayor y mejor sentido a su aprendizaje matemático.La matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situa-ciones de la vida real. Nuestros estudiantes sentirán mayor satisfacción cuando puedan relacionarcualquier aprendizaje matemático nuevo con algo que saben y con la realidad cotidiana. Esa esuna matemática para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de la vida y sus logrosvan hacia ella.Desarrollar habilidades de independencia y control sobre el proceso de aprendizaje exige quelos estudiantes reflexionen sobre su propio aprendizaje, sean conscientes sobre cómo aprenden,practiquen el autocuestionamiento y usen de forma abierta y flexible diversas estrategias para apli-car selectivamente en la ejecución de determinadas tareas y actividades matemáticas. Por ello, esimportante el rol del docente como agente mediador, orientador y provocador de formas de pensary reflexionar durante las actividades matemáticas.1.2 NECESIDAD DE PLANTEARNOS UN MODELO FORMATIVO PEDAGÓGICOEsta perspectiva de aprendizaje de la matemática obliga a repensar y resignificar la manera comomiramos la educación matemática de tal forma que concuerde con las características del ciuda-dano que queremos y necesitamos formar; el énfasis no estará, entonces, en memorizar el conoci-miento o en reproducirlo, por el contrario estará en desarrollar saberes significativos y con sentidopara que el estudiante, en un ambiente de desarrollo de competencias, aprenda a usar la mate-mática en distintos ámbitos de su vida y a aprender durante toda la vida.Mejorar la calidad de la enseñanza y del aprendizaje de la matemática es una tarea que compro-mete a todos. Por ello, es fundamental introducir una nueva práctica pedagógica donde la ma-temática sea concebida como parte de la realidad y de la vida misma que permita el logro deaprendizajes fundamentales. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 7
II. Armando las piezas del rompecabezas: enfoque del aprendizaje matemático Historia de la mano y la cabeza1: resolución de problemas como práctica social. D urante mucho tiempo, nuestras manos fueron maestras de nuestra cabeza. Así, con el paso de los años, las manos fueron adiestrándose y la cabeza despejándose. La habilidad manual desarrollaba nuestra inteligencia, y mientras más se esclarecía nuestra cabeza, más frecuente- mente dirigía el trabajo de nuestras manos. Las manos no podían levantar un pesado bloque de piedra. Nuestra cabeza aconseja, entonces, colocar una palanca. La palanca sólo nos puede ayudar a levantar la piedra un poco, mas ¿cómo subirla a lo alto? La cabeza interviene de nuevo: crea el plano inclinado. Nos recomienda entonces colocar troncos redondos bajo la piedra, pues ¡hacer rodar es más fácil que arrastrar! Pero la construcción de un plano inclinado para elevar pesos es faena laboriosa y compleja, y nuestra cabeza encuentra otra vez una solución más simple: inventa la polea. Haciendo pasar la cuerda por la polea el peso sube mejor; y si, además el peso cuelga de una segunda polea móvil, nuestras dos manos podían levantar un objeto que cuatro manos movían con dificultad. Esto, sin embargo, nos pareció poco. Entre manos y el peso colocamos tres, cinco poleas, siete poleas, etc. Cuantas más son las poleas tanto más fuerte nos hacemos. Así, ahora levantamos, sin gran trabajo, pesos cuyo manejo era exclusividad de los gigantes. N uestra cabeza ayuda a nuestras manos, pero éstas tampoco le dan reposo. Le plantean siempre nuevas tareas. Como no es fácil hacer subir el agua del río para que reguemos los campos, nuestra cabeza crea el pozo con la cigüeña, gracias a la cual podemos hacer subir el cubo desde el río. Pero un cubo es poco. Hace falta más agua. Nuestras manos ya no se dan abasto. Entonces, la cabeza crea el torno. Una manivela sujeta a un rodillo que nuestra mano hace girar, el rodillo da vueltas enroscando una cuerda, ésta arrastra un cubo. ¡Asombrosos descubrimientos! Durante miles de años ayudarían a nuestras manos en su trabajo. Pero crece la demanda de agua y aumenta el trabajo. La necesidad es la mejor de las maestras. Nuestra cabeza piensa: ‘‘¿No se podría hacer eso mismo, pero sin las manos?’’ Recuerda a los cuadrúpedos servidores del hombre, habituados desde largo tiempo a trasportar cargas. Las manos enganchan un cuadrúpedo a un madero, el caballo da vueltas, haciendo girar una rueda dentada. Ésta sigue su rotación sobre una piedra circular fija. Nuestras manos se liberan así de un trabajo que puede realizar un animal. En cambio, les espera un problema más complicado: construir los dientes de la rueda. Nuestras manos van haciendo trabajos cada vez más delicados y complejos, pero también nuestra cabeza tiene que resolver tareas más arduas. 1 Adaptación de Kak mui poznaem bsë Kolmogorov, A.S. (1984) Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes8
El hombre utiliza al caballo para sacar agua del río, pero comienza a pensar si no se puedeprescindir de él. ¿Para qué emplear al caballo? ¡Que el propio río suba el cubo de agua y lo viertaen el surco! Nuestras manos reciben una tarea más complicada: construir y colocar en el río unarueda tal que saque ella misma el agua. El río corre por su lecho y tropieza con un obstáculo: lasaletas de la rueda. El río las empuja, y eso es lo que busca el hombre. La rueda gira, carga elagua y la sube, vertiéndola por último en el canalón.E l río riega los campos en los que crece el trigo. El otoño llega y la cosecha debe ser recogida y el grano de las espigas molido. Hubo tiempos en que se molía el grano en pequeños molinosde mano. Esto era suficiente para una familia campesina, pero cuando hubo que dar de comera ejércitos enteros, cuando surgieron enormes ciudades que necesitaban inmensas cantidadesde harina para las panaderías, fue necesario poner en marcha grandes molinos y muelas depiedra. Semejantes muelas no se podían mover a mano, y de nuevo nuestra cabeza buscó laforma de salir del problema. Los hombres vuelven a probar la manivela, recuerdan otra vez alcaballo y a aquel trabajador más fuerte que el caballo: el agua. El hombre ya había dominado alrío. Quita los cangilones de la rueda y deja las aletas. En su eterno andar, el río empuja las aletas,la rueda hace girar el rodillo - eje que mueve la rueda dentada; ésta se engancha en otra quepone en movimiento un nuevo eje, en el que se encuentra la muela. Al principio, todo esto debióparecer un cuento a los hombres, y los primeros molinos de agua significaron, probablemente,una gran fiesta: la blanca espuma del agua, al estrellarse contra la rueda, la nube blanca deharina flotando sobre la muela, y las mujeres alrededor, escuchando el zumbido del molino deagua, más agradable que el chirrido del manual.Mas con todo su júbilo, no comprendían entonces la portentosa fuerza que habían descubierto.¿Podían acaso suponer que el molino de agua sería el origen de centenares de máquinas queno sólo molerían el trigo, sino que forjarían el hierro, machacarían el mineral, tejerían? Estas má-quinas trabajarían por el hombre y para el hombre, habrían de vestirlo y alimentarlo y, más tarde,incluso trasportarlo por el aire.Resolver problemas: una antigua costumbre de los pueblosLa historia del hombre es también la historia de la resolución de sus problemas y es precisamentea esto que se debe, como hemos visto, el avance de la ciencia y la tecnología en general, y de lamatemática en particular.La resolución de problemas es indesligable a nuestra existencia como seres sociales. Desde queaparece el hombre sobre la Tierra, nuestra propia vida nos impone encontrar soluciones a losdiversos problemas que nos plantea nuestra supervivencia.La adaptación al medio, tanto por las modificaciones que se producen en nuestro entorno (escasezde alimentos, condiciones climáticas adversas, etc.) como por la visión cada vez más amplia quevamos teniendo de la realidad, nos plantea a diario situaciones problemáticas. No siempre poseemosrespuesta inmediata para todas ellas, o soluciones afines a nuestras creencias o los instrumentos(materiales o teóricos) con qué enfrentarlas. Así, a lo largo de nuestra milenaria existencia sobre elplaneta, nuestra historia ha discurrido afrontando y resolviendo problemas cada vez más complejos,en un número de ámbitos cada vez mayor tanto en nuestra vida social como en el medio que nos ,rodea.Así, cabezas y manos siguen unidas como en el pasado, ayudándose mutuamente. Y el conocimientoque vamos ganando consolida y sintetiza la grandeza de la capacidad humana: resolver problemas. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 9
2.1 La resolución de problemas como práctica pedagógica en la escuela EL CAMBIO FUNDA MENTAL Asumimos el enfoque centrado en resolución de problemas o Es pasar de un aprendizaje, en la enfoque problémico2 como marco pedagógico para el desa- mayoría de los casos memorístico rrollo de las competencias y capacidades matemáticas, por de conocimientos matemáticos dos razones: (como supues tos prerrequisitos para aprend er a resolver La resolución de situaciones problemáticas es la actividad problem as), a un aprendizaje central de la matemática, enfocado en la constr ucción de conocimientos matemáticos Es el medio principal para establecer relaciones de funcio- a partir de la resolución de nalidad matemática con la realidad cotidiana. situaciones problemáticas. Este enfoque supone cambios pedagógicos y metodológicos muy significativos, pero sobre todo rompe con la tradicional manera de entender cómo es que se aprende la matemática. Este enfoque surge de constatar que todo lo que aprendemos no se integra del mismo modo en nuestro conocimiento ma- temático. EJEMPLO: Una fórmula matemática o la enunciación de una propiedad matemática, pueden adquirirse de forma superficial mediante un proceso de memorización simple. Esto posibilitará su reproducción de forma más o menos literal, pero no su utilización para la resolución de situaciones problemá- ticas. Es posible disponer de muchos aprendizajes matemáticos que no sólo seamos capaces de reproducir, sino de utilizar para dar respuesta a situaciones problemáticas reales. 2.2 El enfoque centrado en la resolución de problemas ¿Cuál es la importancia del enfoque centrado en la resolución de problemas? Este enfoque consiste en promover formas de enseñanza-aprendizaje que den respuesta a si- tuaciones problemáticas cercanas a la vida real. Para eso recurre a tareas y actividades mate- máticas de progresiva dificultad, que plantean demandas cognitivas crecientes a los estudiantes, con pertinencia a sus diferencias socio culturales. El enfoque pone énfasis en un saber actuar pertinente ante una situación problemática, presentada en un contexto particular preciso, que moviliza una serie de recursos o saberes, a través de actividades que satisfagan determinados criterios de calidad. Permite distinguir: a)	Las características superficiales y profundas de una situación problemática. Está demostrado que el estudiante novato responde a las características superficiales del problema (como es el caso de las palabras clave dentro de su enunciado), mientras que el experto se guía por las características profundas del problema (fundamentalmente la es- tructura de sus elementos y relaciones, lo que implica la construcción de una representación interna, de interpretación, comprensión, matematización, correspondientes, etc.). 2 Durch, B.J. (1995).What is Problem-Based Learning? About Teaching 47. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes10
b)	Relaciona la resolución de situaciones problemáticas con el desarrollo de capacidades ma- temáticas. Aprender a resolver problemas no solo supone dominar una técnica matemática, sino también procedimientos estratégicos y de control poderosos para desarrollar capacida- des, como: la matematización, representación, comunicación, elaboración de estrategias, utilización de expresiones simbólicas, argumentación, entre otras. La resolución de situacio- nes problemáticas implica entonces una acción que, para ser eficaz, moviliza una serie de recursos, diversos esquemas de actuación que integran al mismo tiempo conocimientos, procedimientos matemáticos y actitudes.c)	Busca que los estudiantes valoren y aprecien el conocimiento matemático. Por eso propicia que descubran cuán significativo y funcional puede ser ante una situación problemática pre- cisa de la realidad. Así pueden descubrir que la matemática es un instrumento necesario para la vida, que aporta herramientas para resolver problemas con mayor eficacia y que permite, por lo tanto, encontrar respuestas a sus preguntas, acceder al conocimiento científi- co, interpretar y transformar el entorno. También aporta al ejercicio de una ciudadanía plena, pues refuerza su capacidad de argumentar, deliberar y participar en la institución educativa y la comunidad.RASGOS PRINCIPALES DEL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASLos rasgos más importantes de este enfoque son los siguientes:1.	La resolución de problemas debe impregnar íntegramente el currículo de matemática	La resolución de problemas no es un tema específico, ni tampoco una parte diferenciada del currículo de matemática. La resolución de problemas es el eje vertebrador alrededor del cual se organiza la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la matemática.2.	La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas	La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre entidades matemáticas y elaboren proce- dimientos matemáticos.3.	Las situaciones problemáticas deben plantearse en contextos de la vida real o en contextos científicos	Los estudiantes se interesan en el conocimiento matemático, le encuentran significado, lo valoran más y mejor, cuando pueden establecer relaciones de funcionalidad matemática con situaciones de la vida real o de un contexto científico. En el futuro ellos necesitarán aplicar cada vez más matemática durante el transcurso de su vida.4.	Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes	Los problemas deben ser interesantes para los estudiantes, planteándoles desafíos que impli- quen el desarrollo de capacidades y que los involucren realmente en la búsqueda de solucio- nes.5.	La resolución de problemas sirve de contexto para desarrollar capacidades matemáticas	Es a través de la resolución de problemas que los estudiantes desarrollan sus capacidades matemáticas tales como: la matematización, representación, comunicación, utilización de expresiones simbólicas, la argumentación, etc. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 11
Algunas dificultades que aborda el enfoque centrado en la resolución de problemas El enfoque centrado en la resolución de problemas o enfoque problémico surge como una alternativa de solución a dificultades que nos enfrentamos en nuestro quehacer docente tales como: Dificultades para el razonamiento matemático. No se percibe la significatividad y funcionalidad de los conocimientos matemáticos. Su aprendizaje provoca aburrimiento, desvalora- ción y falta de interés por la matemática. Se aprende una matemática que no desarrolla el pensamiento crítico. Se promueve un pensamiento matemático des- contextualizado. Objetivos del enfoque centrado en la resolución de problemas Lograr que el estudiante: Se involucre en un problema (tarea o actividad matemática) para resolverlo con iniciativa y entusiasmo. Comunique y explique el proceso de resolución del problema. Razone de manera efectiva, adecuada y creativa durante todo el proceso de reso- lución del problema, partiendo de un conocimiento integrado, flexible y utilizable. Busque información y utilice los recursos que promuevan un aprendizaje significa- tivo. Sea capaz de evaluar su propia capacidad de resolver la situación problemática presentada. Reconozca sus fallas en el proceso de construcción de sus conocimientos mate- máticos y resolución del problema. Colabore de manera efectiva como parte de un equipo que trabaja de manera conjunta para lograr una meta común. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes12
DESARROLLO DE ACTITUDES EN EL ENFOQUE CENTRADO EN LARESOLUCIÓN DE PROBLEMAS La importancia de este enfoque radica en que eleva el grado de la actividad mental, propicia el desarrollo del pensamiento creativo y contribuye al desarro- llo de personalidad de los estu- diantes La actividad mental es aquella característica de la personali- dad que representa el esfuerzo, perseverancia y constancia inte- lectual que el estudiante debe realizar conscientemente en la resolución de una situación pro- blemática. Con el incremento sistemático del nivel de la actividad mental durante las prácticas educati- vas, se fomenta el aprendizajeconsciente de la matemática y se desarrolla la autonomía de pensamiento y la confianza de losestudiantes. El uso continuo de este enfoque posibilita además la actividad creativa, capacidadcon la que el alumno puede seguir aprendiendo, y que puede ir consolidando gradualmente.Este enfoque aporta también al desarrollo de la personalidad. Esta forma de aprender matemá-tica favorece tanto el razonamiento e importantes operaciones del pensamiento, como el afian-zamiento del auto concepto, la autoestima y el desarrollo personal. Ambas cosas lo conviertenen un motor del desarrollo de la personalidad del estudiante.El enfoque de resolución de problemas constituye entonces una vía potente y eficaz para desa-rrollar actitudes positivas hacia las matemáticas. Permite que cada estudiante se sienta capaz deresolver situaciones problemáticas y de aprender matemáticas, considerándola útil y con sentidopara la vida. La posibilidad que ofrezcamos a los estudiantes para enfrentarse a situaciones pro-blemáticas con diferentes niveles de exigencia matemática, junto al trabajo grupal, favoreceránel desarrollo de actitudes positivas hacia la matemática, una aspiración que la sociedad contem-poránea le plantea a la escuela peruana. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 13
2.3 ¿Cómo enseñar matemática resolviendo situaciones problemáticas? Como hemos podido ver, el enfoque centrado Teoría en la acción en la resolución de problemas no sólo permite a los estudiantes adquirir habilidades durade- ras de aprendizaje y meta-aprendizaje de la matemática, sino que modifica totalmente el papel del docente. A los docentes nos toca ahora guiar, explorar y respaldar las iniciativas de sus estudiantes, sin dar la clase de manera frontal tipo confe- rencia. La resolución de situaciones proble- máticas es un proceso que ayuda a generar e integrar actividades, tanto en la construcción de conceptos y procedimientos matemáticos como en la aplicación de estos a la vida real. Todo esto redundará, a su vez, en el desarrollo de capacidades y competencias matemáticas. a)	¿Qué es una situación problemática? Una situación problemática es una situación El enfoque centrado en la resolución de pro- de dificultad ante la cual hay que buscar y dar blemas, se relaciona de dos maneras con los reflexivamente una respuesta coherente, en- escenarios donde se puede aprender ma- contrar una solución. temática: el aula, la institución educativa y la Estamos, por ejemplo, frente a una situación comunidad: problemática cuando no disponemos de es- trategias o medios conocidos de solución. 1.	En tanto guía para nuestra acción educa- tiva nos ofrece herramientas para actuar b)	¿Qué es resolver una situación sobre la situación problemática; y nos per- problemática? mite distinguir aspectos de los procesos de Resolver una situación problemática3 es: aprendizaje que no siempre nos resultan visibles. Encontrarle una solución a un problema 2.	En tanto enfoque, posee una carga teóri- determinado. ca que requiere delimitación conceptual y Hallar la manera de superar un obstáculo. metodológica, para que en nuestro trabajo Encontrar una estrategia allí donde no se cotidiano podamos comprender y afrontar disponía de estrategia alguna. mejor todos los imprevistos que se esca- Idear la forma de salir de una dificultad. pan a cualquier predicción. Lograr lo que uno se propone utilizando los medios adecuados. 3 Villavicencio Ubillús, Martha. Et. Al. (1995). Guía Didáctica: Resolución de problemas matemáticos . Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes14
c)	¿En qué consiste la metodología centrada en la resolución de problemas?La metodología plantea que los estudiantes4 :1.	Conozcan una situación problemática. Ellos en grupo organizan sus ideas, actualizan su co- nocimiento previo relacionado con la situación y problemática y tratan de definirla.2.	Hagan preguntas. Se dialoga sobre aspectos específicos de la situación problemática que no hayan comprendido. El grupo se encarga de anotar estas preguntas. Los estudiantes son animados por el profesor para que puedan reconocer lo que saben y lo que no saben.3.	Seleccionen los temas a investigar. Lo hacen en orden de prioridad e importancia, entre to- dos los temas que surgen por medio de las preguntas durante la situación didáctica. Ellos deciden qué preguntas serán contestadas por todo el grupo y cuáles serán investigadas por algunos miembros del grupo, para después socializarlas a los demás. Los estudiantes y el docente dialogan sobre cómo, dónde y con qué investigar las posibles respuestas a las pre- guntas.4.	Trabajen en grupos. Vuelven a juntarse en grupo y exploran las preguntas previamente esta- blecidas integrando su nuevo conocimiento al contexto de la situación problemática. Deben resumir su conocimiento y conectar los nuevos conceptos y procedimientos a los previos. Deben seguir definiendo nuevos temas a investigar, mientras progresan en la búsqueda de solución a la situación problemática planteada. Observarán que el aprendizaje es un proceso en curso progresivo y que siempre existirán temas para investigar cuando se enfrentan a un problema cualquiera.En las siguientes líneas, explicaremos en forma resumida cada una de las fases5 de resolución de problemas.a)	Familiarización y comprensión. En esta fase el estudiante debe identificar la incógnita, reco- nocer los datos, identificar las condiciones, si son suficientes, si son necesarios o si son com- plementarios.b)	Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan. En la segunda fase, el estudiante comien- za a explorar la situación, experimenta, particulariza. El plan es un conjunto de estrategias heurísticas que se seleccionan con la esperanza de que el problema llegue a ser resuelto.c)	Ejecución del plan y control. Cuando el estudiante decide qué estrategias utilizar, viene la fase de la ejecución del plan, que debe realizarse siempre en forma controlada, evaluando cada paso de su realización, a fin de saber si el plan lo está acercando a la respuesta o lo está conduciendo a una situación compleja.d)	Visión retrospectiva y prospectiva. Cuando se ha obtenido una solución (no una respuesta, podrían haber varias o ninguna), se ingresa a la cuarta fase, donde se efectúa una reflexión acerca del proceso ejecutado.4 Durch, B.J. (1995).What is Problem-Based Learning? About Teaching 47.5 En el manual del docente del Módulo de Resolución de Problemas- Resolvamos 2, páginas 12-14, se explican en formadetallada cada una de las fases de resolución de problemas. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 15
EL JUEGO EN EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los juegos en general, y en particular los juegos de contenido matemático, se presentan como un excelente recurso didáctico para plantear situaciones problemáticas a los niños. Tales estra- tegias permiten articular por ejemplo la actividad matemática y la actividad lúdica en contextos de interacción grupal. Las situaciones problemáticas lúdicas son recomendables para toda la educación básica regu- lar, pero sobre todo para niños de los primeros ciclos. A esa edad es posible dirigir la atención y esfuerzo de los niños hacia metas de naturaleza matemática mediante el juego. En esta etapa, el juego constituye un valioso instrumento pedagógico para iniciarlos en la construcción de las nociones y procedimientos matemáticos básicos. Propiciar en los niños la resolución de situaciones problemáticas en actividades cotidianas, acti- vidades lúdicas y con la manipulación de material concreto permite desarrollar favorablemente su razonamiento lógico. El juego es un recurso de aprendizaje indispensable en la iniciación a la matemática, porque facilita los aprendizajes en los niños de una manera divertida despertando el placer por aprender y satisface su necesidad de jugar. Además, el juego: 1.	Es la primera actividad natural que desarrollan los niños y niñas para aprender, desarrollan- do sus primeras actividades y destrezas. 2.	Permite dinamizar los procesos de pensamiento, pues generan interrogantes y motivan la búsqueda de soluciones. 3.	Presenta desafíos y estímulos que incitan la puesta en marcha de procesos intelectuales. 4.	Estimula la competencia sana y actitudes de tolerancia y convivencia que crean un clima de aprendizaje favorable. 5.	Favorece la comprensión. 6.	Facilita la consolidación de contenidos matemáticos. 7.	Posibilita el desarrollo de capacidades. 8.	Se conecta con la vida y potencia el aprendizaje. En esta dinámica los estudiantes tienen la oportunidad de escuchar a los otros, explicar y justificar sus propios descubrimientos, confrontar ideas y compartir emociones, corregir y ser corregidos por sus compañeros. Tales juegos tienen alicientes: la actividad lúdica en sí misma, la actividad matemática que la acompaña y el relacionarse con otros. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes16
d) ¿Cuál es la importancia de los materiales concretos en el enfoque centrado en la resolución de problemas?Los materiales manipulativos o concretos, especialmente, en los primeros ciclos, son un apoyoimportante para el aprendizaje de la matemática.Dos principios didácticos a considerar: El uso de materiales educativos no es el objetivo de la enseñanza-aprendizaje de la matemá- tica, sino un medio para el logro de los aprendizajes. La mayoría de los conceptos matemáticos no tienen su origen en los objetos, sino en las relaciones que establecen los estudiantes entre ellos. El color “rojo” por ejemplo es una abs- tracción física que se origina en los objetos. El concepto “dos”, sin embargo, no está presente en las fichas con que juegan los estudiantes, sino en la relación que establecen entre ellas. Eso ocurre al entender que una es la primera y la otra es la segunda, y que el “dos” al que llegamos en el conteo resume la cantidad de fichas disponible.LOS MATERIALES EN EDUCACIÓN BÁSICA En el nivel de Educación Básica, el uso de material concreto es necesario porque: 1.	El estudiante puede empezar a elaborar, por sí mismo, los conceptos a través de las ex- periencias provocadas. 2.	Es motivador, sobre todo cuando las situaciones problemáticas creadas son interesantes para el estudiante e incitan su participación espontánea. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 17
LA INTERCULTURALIDAD Y EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Nuestro país es pluricultural y multilingüe. En consecuencia la educación matemática para ser pertinente a esta realidad tiene que ser intercultural. La perspectiva del enfoque centrado en la resolución de problemas implica que: 1) Debemos plantear a nuestros estudiantes situaciones problemáticas en un contexto socio cul- tural concreto que refleje la realidad del estudiante. 2) Debemos generar espacios de aprendizaje y reflexión que propicien capacidades matemá- ticas, utilizando las formas de comunicación, expresión y conocimiento propias de nuestras culturas. Esto supone diálogo intercultural entre las maneras de aprender matemáticas. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes18
III. Visualizando el rompecabezas: competencias, capacidades y dominios3.1 COMPETENCIA MATEMÁTICALa competencia matemática en la Educación Básica promueve el de-sarrollo de capacidades en los estudiantes, que se requieren para Como una alter nativa aenfrentar una situación problemática en la vida cotidiana. Alude, los mod elos fo rm ativossobre todo, a una actuación eficaz en diferentes contextos reales a tradicionales detravés de una serie de herramientas y acciones. Es decir, a una ac- aprendizaje m emorísticotuación que moviliza e integra actitudes. de m atemática s, los cuales difícilm ente pu ed en ser aplic ados a laLa competencia matemática es entonces un saber actuar en un con- vida re al, surg e la compe tenciatexto particular, que nos permite resolver situaciones problemáticas m atemáticareales o de contexto matemático. Un actuar pertinente a las caracte-rísticas de la situación y a la finalidad de nuestra acción, que selec-ciona y moviliza una diversidad de saberes propios o de recursos delentorno. Eso se da mediante determinados criterios básicos, como:a)	Saber actuar: Alude a la intervención de una persona sobre una situación problemática deter- minada para resolverla, pudiendo tratarse de una acción que implique sólo actividad mate- mática.b)	Tener un contexto particular: Alude a una situación problemática real o simulada, pero plausi- ble, que establezca ciertas condiciones y parámetros a la acción humana y que deben tomar- se en cuenta necesariamente.c)	Actuar pertinentemente: Alude a la indispensable correspondencia de la acción con la natu- raleza del contexto en el que se interviene para resolver la situación problemática. Una acción estereotipada que se reitera en toda situación problemática no es una acción pertinente.d)	Seleccionar y movilizar saberes: Alude a una acción que echa mano de los conocimientos ma- temáticos, habilidades y de cualquier otra capacidad matemática que le sea más necesaria para realizar la acción y resolver la situación problemática que enfrenta.e)	Utilizar recursos del entorno: Alude a una acción que puede hacer uso pertinente y hábil de toda clase de medios o herramientas externas, en la medida que el contexto y la finalidad de resolver la situación problemática lo justifiquen.f)	Utilizar procedimientos basados en criterios: Alude a formas de proceder que necesitan exhi- bir determinadas características, no todas las deseables o posibles sino aquellas considera- das más esenciales o suficientes para que logren validez y efectividad. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 19
La Competencia El resultado 1 2 Un saber Con vistas a A los objetivos Resolver una actuar en un una finalidad que nos hemos situación contexto propuesto lograr problemática particular de manera Al problema pertinente que se busca resolver Lograr un A las propósito características determinado del contexto 3 4 Tantos Seleccionando saberes Satisfaciendo y movilizando una propios de ciertos criterios diversidad la persona de acción de recursos considerados esenciales Como recursos del entorno Las capacidades La actuación 3.2 FORMULACIÓN DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA En la formulación de una competencia matemática necesita visibilizarse: La acción que el sujeto desempeñará Los atributos o criterios esenciales que debe exhibir la acción La situación, contexto o condiciones en que se desempeñará la acción EJEMPLO: En la competencia matemática «Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y mate- mático que implican la construcción del significado y el uso de los números y sus operaciones empleando diversas estrategias de solución, justificando y valorando sus procedimientos y resul- tados», puede distinguirse: Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes20
Acción Contexto/Condiciones Atributos situaciones problemáticas empleando diversas de contexto real y estrategias de matemático que implican la solución, justificando Resuelve construcción del significado y valorando sus y el uso de los números y sus procedimientos y operaciones resultados3.3 RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMÁTICAS COMO COMPETENCIA	MATEMÁTICALa resolución de situaciones problemáticas reales es la competencia matemática del Área deMatemática. El estudiante la desarrollará durante su experiencia escolarizada y no escolarizadaa lo largo de toda su vida.Se han definido cuatro competencias matemáticas en términos de resolución de problemas, queatraviesan toda la Educación Básica. Competencias que suponen un desempeño global y quecorresponden a los cuatro dominios del Área de Matemática: MATRIZ DE COMPETENCIAS Y CAPACIDADES COMPETENCIAS CAPACIDADES Resuelve situaciones problemáticas de contexto Operaciones real y matemático que implican la construcción del Números y significado y el uso de los números y sus operaciones empleando diversas estrategias de solución, Matematizar justificando y valorando sus procedimientos y resultados. Resuelve situaciones problemáticas de contexto Representar real y matemático que implican la construcción Relaciones Cambio y del significado y el uso de los patrones, igualdades, desigualdades, relaciones y funciones, utilizando Comunicar diversas estrategias de solución y justificando sus procedimientos y resultados. Elaborar Resuelve situaciones problemáticas de contexto real estrategias y matemático que implican el uso de propiedades y Geometría relaciones geométricas, su construcción y movimiento en el plano y el espacio, utilizando diversas estrategias Utilizar de solución y justificando sus procedimientos y expresiones resultados. simbólicas Resuelve situaciones problemáticas de contexto Estadística y Probabilidad real y matemático que implican la recopilación, Argumentar procesamiento y valoración de los datos y la exploración de situaciones de incertidumbre para elaborar conclusiones y tomar decisiones adecuadas. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 21
3.4 CAPACIDADES MATEMÁTICAS La resolución de situaciones problemáticas es entonces una competencia matemática impor- tante que nos permite desarrollar capacidades matemáticas. Todas ellas existen de manera integrada y única en cada persona y se desarrollan en el aula, la escuela, la comunidad, en la medida que dispongamos de oportunidades y medios para hacerlo. En otras palabras, las capacidades matemáticas se despliegan a partir de las experiencias y expectativas de nuestros estudiantes, en situaciones problemáticas reales. Si ellos encuentran útil en su vida diaria los aprendizajes logrados, sentirán que la matemática tiene sentido y per- tinencia. La propuesta pedagógica para el aprendizaje de la matemática toma en cuenta el desarrollo de seis capacidades matemáticas, consideradas esenciales para el uso de la matemática en la vida cotidiana. Éstas sustentan la competencia matemática de resolución de problemas y deben abordarse en todos los niveles y modalidades de la Educación Básica Regular. Estas seis capa- cidades son las siguientes: Matematizar Representar Comunicar Elaborar estrategias Utilizar expresiones simbólicas Argumentar Todas ellas están implicadas en cualquier situación problemática real, o matemática. Pueden ser utilizadas por nuestros estudiantes cada vez que las enfrentan para resolverlas. ERSAS EST DIV R LVER PRO SO A AT OR E EGIA BL PA R A R E L AB EMAS S TA MAT EN E M ARGU M A T IZ A Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático REPRES ICA UN EN CO M TA UTILIZ LICAS TÉ C ES AL N A IC BÓ XP A Y FORM E R ES M IONES SI Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes22
a) MatematizarLos sistemas de numeración tuvieron un origen anatómico.Nuestros antepasados valiéndose de los dedos de sus ma-nos contaban hasta diez: (uno/huk/, dos/iskay/, tres/ kim-sa/, cuatro/tawa/,cinco/pichqa/, seis/suqta/, siete/qanchis/,ocho/pusaq/, nueve/isqun/ y diez/chunka).Al llegar a diez /chunka/, es decir, después de consumir to-das las posibilidades de su «aparato de cálculo» natural, losdedos de sus dos manos, les fue lógico considerar el número10 como una unidad nueva, mayor (la unidad del orden si-guiente) y prosiguieron el conteo en los términos siguientes:diez y uno/chunka hukniyuq/, diez y dos /chunka iskayniyuq/,diez y tres /chunka kimsayuq/, diez y cuatro/chunka tawa-yuq/, diez y cinco /chunka pichkayuq/, diez y seis /chunkasuqtayuq/, diez y siete /chunka qanchikniyuq/, diez y ocho /chunka pusaqniyuq/, diez y nueve/chunka isqunniyuq/ y dos El conteo a ba se de losveces diez (veinte)/iskay chunka/. de la s dos de dos m anos dio sistem a de orig en al num eración q uechua. N decim alAl llegar a veinte, formaban la segunda decena y proseguían uestros an tepa sados dotaron deel conteo hasta llegar a diez decenas /chunkachunka/ y así- una es tr uc tura m atemátic alograban formar la unidad del tercer orden, la centena /pa- decim al a un de su anatom a parte ía (s us doschak/ y así sucesivamente. y nos le garo m anos) n el sistem a num eración de decim al q ue chua.Algo similar, sucedió probablemente con nuestros antepasa-dos aimaras. Ellos, a diferencia de los quechuas, se valieronde los dedos sólo de una de sus manos, y contaban con facili-dad hasta llegar a cinco (uno /maya/, dos/paya/, tres/kima/,cuatro/pusi/ y cinco/qallqu/). Al llegar a cinco, les fue lógicoconsiderar el número 5 como una unidad nueva, mayor (launidad del orden siguiente) y prosiguieron el conteo en lostérminos siguientes: uno y cinco /ma-qallqu/, dos y cinco /pa-qallqu/, tres y cinco /ki-qallqu/, cuatro y cinco/pu-qallqu/y cinco y cinco/qallqu qallqu. implicaAl llegar a cinco y cinco, formaban la unidad del segundo Matem atizar expres ar una parc ela deorden, después de tercer orden y así sucesivamente. Así los contexto la re alidad, unaimaras dotaron de una estructura matemática quinaria a a situación conc reto o ununa de sus manos y nos legaron el sistema de numeración definida en problemática, en términosquinaria aimara. Así matematizaron nuestros antepasados el mundo re al,porciones o partes de su anatomía. m atemáticos. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 23
La matematización es un proceso que dota de una estructura matemática a una parte de la realidad o a una situación pro- blemática real. Este proceso es eficaz en tanto pueda esta- blecer igualdad en términos de la estructura matemática y la realidad. Cuando esto ocurre las propiedades de la estructura matemática corresponden a la realidad y viceversa. Matema- tizar implica también interpretar una solución matemática o un modelo matemático a la luz del contexto de una situación problemática. b) Representar Existen diversas formas de representar las cosas y, por tanto, diversas maneras de organizar el aprendizaje de la mate- mática. El aprendizaje de la matemática es un proceso que va de lo concreto a lo abstracto. Entonces, las personas, los niños en particular, aprendemos matemática con más facili- dad si construimos conceptos y descubrimos procedimientos matemáticos desde nuestra experiencia real y particular. Esto supone manipular materiales concretos (estructurados o no), para pasar luego a manipulaciones simbólicas. Este tránsito de la manipulación de objetos concretos a objetos abstractos está apoyado en nuestra capacidad de representar matemá- ticamente los objetos. POR EJEMPLO: Cuando enfrentamos una situación problemática real suscep- tible de matematización, la representamos matemáticamen- te. Para eso utilizamos distintas representaciones tales como: gráficos, tablas, diagramas, imágenes, etc. Así capturamos y describimos la estructura y las características matemáticas de una determinada situación. Cuando ya disponemos de resultados matemáticos, presentados en diversos formatos o representaciones matemáticas, los interpretamos. Para hacer esa interpretación nos referimos a la situación problemática y La capacidad de representar usamos las representaciones para resolverla. A veces es ne- es fundamental no solo para enfrentar situaciones cesario crear nuevas representaciones. problemáticas, sino para organizar el aprendizaje de c) Comunicar la matemática y socializar los El lenguaje matemático es también una herramienta que nos conocimientos matemáticos que permite comunicarnos con los demás. Incluye distintas formas los estudiantes vayan logrando. de expresión y comunicación oral, escrita, simbólica, gráfica. Todas ellas existen de manera única en cada persona y se pueden desarrollar en las escuelas si éstas ofrecen oportuni- dades y medios para hacerlo. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes24
Buscamos desarrollar esta capacidad en los estudiantes paraque logren comprender, desarrollar y expresar con precisiónmatemática las ideas, argumentos y procedimientos utiliza-dos, así como sus conclusiones. Asimismo, para identificar,interpretar y analizar expresiones matemáticas escritas o ver-bales.En matemáticas se busca desarrollar en los estudiantes esacapacidad para recibir, producir y organizar mensajes mate-máticos orales en forma crítica y creativa. Esto les facilita tomardecisiones individuales y grupales. La institución educativadebe brindar situaciones reales de interacción oral para quelos estudiantes tengan oportunidad de hablar, dialogar, opi-nar, informar, explicar, describir, argumentar, debatir, etc., enel marco de las actividades matemáticas programadas.La lectura y el dar sentido a las afirmaciones, preguntas, ta-reas matemáticas permiten a los estudiantes crear modelosde situaciones problemáticas, lo cual es un paso importantepara comprender, clarificar, plantear y resolverlas en términosmatemáticos. La gran ca ntidad de in form ación m atemátic a q ue se disp req ui ere de one sarrollar en es tudiantes los la capacida comunic ac d de ión es crita. posibilita id Es o les entific ar pr , prod ucir y oc es ar , adminis trar inform ació m atemátic a n es crita.d) Elaborar estrategiasAl enfrentar una situación problemática de la vida real, lo primero que hacemos es dotarla deuna estructura matemática. Luego, seleccionamos una alternativa de solución entre otras opcio-nes. Si no disponemos de ninguna alternativa intentamos crearla. Entonces, cuando ya dispone-mos de una alternativa razonable de solución, elaboramos una estrategia. De esta manera, laresolución de una situación problemática supone la selección o elaboración de una estrategiapara guiar el trabajo, interpretar, evaluar y validar su procedimiento y solución matemáticos. Laconstrucción de conocimientos matemáticos requiere también seleccionar o crear y diseñar es-trategias de construcción de conocimientos. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 25
POR EJEMPLO: Un avión sube a una altura de 2000 metros, después baja 1300 metros, vuelve a subir 1500 metros y baja de nuevo 250 metros. ¿A qué altura se encuentra en este momento? Primera forma: de La capacidad ategias es ela borar es tr para cons tr uir Segunda forma: fundam ental m atemáticos, conocimientos resolver y ta mbién para oblemática s. situaciones pr e) Utilizar expresiones simbólicas Hay diferentes formas de simbolizar. Éstas han ido construyendo sistemas simbólicos con carac- terísticas sintácticas, semánticas y funcionales peculiares. El uso de las expresiones y símbolos matemáticos ayudan a la comprensión de las ideas mate- máticas, sin embargo éstas no son fáciles de generar debido a la complejidad de los procesos de simbolización. co máti mate En el desarrollo de los aprendizajes ma- je lenguaje temáticos, los estudiantes a partir de sus g ua l len técnico formal experiencias vivenciales e inductivas em- o de nsit plean diferentes niveles del lenguaje. Ini- Trá lenguaje Situación simbólico cialmente usan un lenguaje de rasgos co- matemática loquiales, paulatinamente van empleando lenguaje el lenguaje simbólico hasta llegar a un len- Situación experimental coloquial guaje técnico y formal como resultado de un proceso de convención y acuerdo en el Situación vivencial grupo de trabajo. Situaciones cotidianas Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes26
El dar una estructura matemática a una situación problemáti-ca, requiere del uso de variables, símbolos y expresiones sim-bólicas apropiadas. Para lograr esto es importante:-	Entender la relación entre el lenguaje del problema y el lenguaje simbólico necesario para representarlo mate- máticamente.-	Comprender, manipular y hacer uso de expresiones sim- bólicas—aritméticas y algebraicas—regidas por reglas y convenciones matemáticas, es decir, por una gramática específica de lenguaje matemático. La capacidad de us ar símbolos y ex pres iones simbólic as esf) Argumentar indisp ensa ble para cons tr uirEsta capacidad es fundamental no solo para el desarrollo del conocimientos y resolver pr oblem aspensamiento matemático, sino para organizar y plantear se- m atemáticos. Pero ta mbiéncuencias, formular conjeturas y corroborarlas, así como esta- para comunica r explicar ,blecer conceptos, juicios y razonamientos que den sustento y entend er re sultadoslógico y coherente al procedimiento o solución encontrada. m atemáticos.Así, se dice que la argumentación puede tener tres diferentesusos:1.	Explicar procesos de resolución de situaciones problemá- ticas2.	Justificar, es decir, hacer una exposición de las conclusio- nes o resultados a los que se haya llegado3.	Verificar conjeturas, tomando como base elementos del pensamiento matemático.La capacidad de argumentar se aplica para justificar la vali-dez de los resultados obtenidos. El diálogo colectivo basadoen afirmaciones u opiniones argumentadas, así como el aná-lisis de la validez de los procesos de resolución de situacionesproblemáticas favorecen el aprendizaje matemático. En laEducación Básica, se procura que los estudiantes: Hagan progresivamente inferencias que les permita de- ducir conocimientos a partir de otros, hacer predicciones eficaces en variadas situaciones concretas, formular con- jeturas e hipótesis. Aprendan paulatinamente a utilizar procesos de pensa- miento lógico que den sentido y validez a sus afirmacio- nes, y a seleccionar conceptos, hechos, estrategias y pro- cedimientos coherentes. Desarrollen la capacidad para detectar afirmaciones y justificaciones erróneas. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 27
El razonamiento y la demostración son partes integrantes de la argumentación. Entran en juego al reflexionar sobre las soluciones matemáticas y permiten crear explicaciones que Razonar implica reflexi onar sobre apoyen o refuten soluciones matemáticas a situaciones pro- los mecanismos lógicos e intuitivos que hac en pos ible conect blemáticas contextualizadas. ar diferentes par tes de la inform ación. Esto permite llegar a una solución 3.5 DOMINIOS MATEMÁTICOS plausible, analizar e inte grar la inform ación, para constr uir o Los dominios son los organizadores del Área de Matemática, sos tener argum entos, just ific ar y que se trabajan a lo largo de la Educación Básica. En algunos validar la tom a de decisio nes, para hac er generalizaciones momentos puede haber un mayor énfasis en un dominio que y combinar múltiples elem entos de info en otro. Estos dominios son: rm ación. Números Cambio y Relaciones y Operaciones Estadística Geometría y Probabilidad a) Números y Operaciones Se refiere al conocimiento de números, operaciones y sus pro- piedades. Este dominio dota de sentido matemático a la resolución de situaciones problemáticas en términos de números y opera- ciones. La situación sirve de contexto para desarrollar capacidades matemáticas mediante la construcción del significado y uso de los números y las operaciones en cada conjunto numérico, y en diversas formas a fin de realizar juicios matemáticos y desarrollar estrategias útiles en diversas situaciones. b) Cambio y Relaciones Se refiere a conocimientos algebraicos tales como ecuacio- nes, inecuaciones, relaciones, funciones, sus propiedades, entre otros. Este dominio dota de sentido matemático a la resolución de situaciones problemáticas en términos de patrones, equiva- lencias y cambio, las mismas que sirven de contexto para de- sarrollar las capacidades matemáticas. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes28
El mundo que nos rodea presenta una multiplicidad de re-laciones temporales o permanentes, que se manifiestan porejemplo en los diversos fenómenos naturales, económicos, El álg ebra no es solo un m ed de trad ucción iodemográficos, entre otros. Ellos influyen en la vida de todo del len guajeciudadano, exigiéndole capacidades que le permitan com- natural al sim bólico, es ta mbién una heprenderlos, describirlos, analizarlos, modelarlos y realizar rramienta de m atem atizació n de dis tinta spredicciones para enfrentarse a los cambios. Así se aligeran situaciones de la vida re al.o reducen sus consecuencias (OCDE, 2006).En este contexto resulta importante el aporte de la matemática Por es o, los es tudia ntes nea través de la matematización. Ella permite analizar las solu- cesitan aprend er a id entificarciones de un problema, generalizarlas y justificar su alcance. re gularidad es ,A medida que se desarrolla esta capacidad se va progresan- comprender eldo en el uso del lenguaje y el simbolismo matemático, nece- conc epto de igu aldad y anali za el ca mbio de rsarios para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico situaciones qu e va n incorpora ndopor medio de ecuaciones, variables y funciones. paulatinam ente el us o de códi gos, símbolos y funciones.La resolución de situaciones problemáticas sobre cambio yrelaciones, permite desarrollar la capacidad para identificarpatrones, describir y caracterizar generalidades, modelar fe-nómenos reales referidos a las relaciones cambiantes entredos o más magnitudes. Para eso se puede utilizar desde grá-ficos intuitivos hasta expresiones simbólicas como las igual-dades, desigualdades, equivalencias y funciones.c) GeometríaSe refiere a conocimientos de la geometría y a sus propieda-des. Este dominio dota de sentido geométrico a la resoluciónde situaciones problemáticas, las mismas que sirven de con-texto para desarrollar capacidades matemáticas.En efecto, vivimos en un mundo que está lleno de formas ycuerpos geométricos. A nuestro alrededor podemos encon- E l apre ndizaje pas a d e d e la g e l reco n om etríatrar evidencias geométricas en la pintura, la escultura, las ocimien d e la s f to y a náconstrucciones, los juegos, las plantas, los animales y en di- orm as lis is h a s ta la y s us re ar gum e lacionesversidad de fenómenos naturales. y la inte ntación form al r relació s is tem a n entre s g eom dis tintos convien étricos.Estas situaciones del mundo real demandan de la persona, e ap re n Por es o d es ar r d er g eoponer en práctica capacidades con relación a la geometría, olla ndo m etría c apacid vis ualiza ad es pacomo obtener información a partir de la observación; interpre- r comu , ra nic ar d , ibuja ar gum e r ,tar, representar y describir relaciones entre formas, desplazar- ntar y m o d elarse en el espacio, entre otras. Aprender geometría proporcionaa la persona herramientas y argumentos para comprender suentorno. La geometría es considerada como una herramientapara el entendimiento y es la parte de la matemática más in-tuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos, 2006). TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 29
La resolución de situaciones problemáticas sobre geometría permite desarrollar progresivamen- te la capacidad para: -	Describir objetos, sus atributos medibles y su posición en el espacio utilizando un lenguaje geométrico -	Comparar y clasificar formas y magnitudes -	Graficar el desplazamiento de un objeto en sistemas de referencia -	Componer y descomponer formas -	Estimar medidas, utilizar instrumentos de medición -	Usar diversas estrategias de solución de problemas d) Estadística y Probabilidad6 Se refiere a conocimientos de estadística, probabilidad y a sus respectivas propiedades. Este dominio dota de sentido matemático a la resolución de situaciones problemáticas en términos estadísticos y probabilísticos, la misma que sirve de contexto para desarrollar capacidades ma- temáticas. La incertidumbre está presente en nuestra vida cotidiana, somos testigos que raras veces las cosas ocurren según las predicciones realizadas. POR EJEMPLO: Los pronósticos del tiempo o el resultado de las elecciones a veces nos traen sorpresas. La cien- cia y la tecnología rara vez se ocupan de las certidumbres, pues el conocimiento científico casi nunca es absoluto e incluso puede ser erróneo en algunas ocasiones. Los aprendizajes que se logran a partir de la estadística y el cálculo de probabilidades adquieren hoy mayor importancia de la que tenían en el pasado7, pues son herramientas que ayudan al estudiante a organizar y profundizar su conocimiento sobre la realidad, permitiéndole tomar decisiones en escenarios de cambio y de abundante información. La resolución de situaciones problemáticas sobre estadística y a tadís tic probabilidad permite desarrollar progresivamente capacidades e la es nd izaje d ea l E l apre p ermit para procesar e interpretar diversidad de datos, transformán- a bilidad c es y la prob er lo s alc a n dolos en información. También ayuda a analizar situaciones de nte r e c o no c átic ay es tudia m atem incertidumbre para estimar predicciones, que permitan tomar es d e la los y lim itacion s oluc ión d e c er q ue la ún ic a decisiones adecuadas. r e c o no iempre no e s s una p ro blem a s q ue exis te dia ta, s ino óm eno s o in m e d e fen pr es encia f uer te ios. ale ator 6 Para las descripciones de los aprendizajes del presente dominio se han considerado los trabajos realizados por Juan Godino y Carmen Batanero, quienes lideran grupos de investigación en Didáctica de la Estadística y probabilidad. 7 Comisión para la Investigación de la Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela, 1982; LOGSE, 1990; MSEB, 1990; NCTM, 1989; NCTM, 2000. Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes30
BIBLIOGRAFÍA•	Aitkenhead, A.M. y J.M. Slak (1985). Issues in cognitive modelling. New Jersey:Lawrence Erlbaum Associates Ltd, Publishers Hillsdale.•	Chifflet, María Ofelia (1999). El paradigma de las competencias. Ginebra: Unión Internacional de Comunicaciones –UIT.•	Costa, Arthur (1991). Developing Minds. Alexandria (Virginia): ASCD.•	Dante, Luiz. (1991). Didáctica de resoluçao de problemas de Matemática. Sao Paulo: Editora Atica.•	De Sánchez, Margarita A. (1994). Desarrollo de habilidades del pensamiento: Procesos básicos del pensamiento. México: Ed. Trillas.•	Durch, B.J. (1995).What is Problem-Based Learning? About Teaching 47.•	Gardner, Howard (2000). Una introducción formal a la enseñanza para la comprensión.En: H. Gardner. La educación de la mente y el conocimiento de las disciplinas. Barcelona: Paidós, págs. 136 -157.•	Kolmogorov, A.S. (1984). Kak mui poznaem bsë. Kiev: Izdatelstvo Nauka.•	Le Boterf, Guy (2000). Ingeniería de las competencias. Barcelona: Ediciones Gestión.•	Lévy-Leboyer, Claude (2003). Gestión de las competencias: Cómo analizarlas, cómo evaluarlas, cómo desarrollarlas. Barcelona: Ediciones Gestión 2000.• OCDE (2006). La definición y selección de competencias clave. Proyecto de Definición y Selección de Competencias (DeSeCo) de OECD.Recuperado el 07 de diciembre del 2012	www.OECD.org/edu/statistics/deseco•	Pimm, D. (1990): El lenguaje matemático en el aula. Madrid. Morata.•	Schleicher, Andreas (2009). Lo que el Perú puede aprender de los resultados comparados de las pruebas Pisa. En: Boletín CNE N° 21, junio 2009.•	Tobón, Sergio (2007). El enfoque complejo de las competencias y el diseño curricular por ciclos propedéuticos. En: Acción Pedagógica, Nº 16 / Enero-diciembre, 2007, pp.14-28.•	Villavicencio Ubillús, Martha. Et. Al. (1995). Guía Didáctica: Resolución de problemas matemáticos. La Paz: Ministerio de Desarrollo Humano.•	Zabala, Antonio y Arnau, Laia. (2007). 11 ideas clave. Cómo aprender y enseñar competencias. Barcelona: Editorial GRAÓ. TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS. 31
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埼玉工業大学 2011年春学期 ボランティアの研究 第01回 あなたとボランティア
6 Step Framework Hand Phone - face detection (Sony Ericsson)

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