Source: https://es.scribd.com/doc/158783949/Thevenin
Timestamp: 2016-10-28 01:21:42+00:00

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1. 2. Introducción.............................................................................................................. 1 Fuentes independientes............................................................................................. 2 2.1. Fuente de tensión .................................................................................................. 2 2.2. Fuente independiente de intensidad...................................................................... 2 3. Resistencias. ............................................................................................................. 4 3.1. Asociación de resistencias .................................................................................... 5 Resistencias en serie ................................................................................................. 5 Resistencias en paralelo............................................................................................ 6 3.2. Divisor de tensión e intensidad............................................................................. 6 4. Fuentes de dependientes y lineales........................................................................... 8 5. Algunos teoremas de circuitos.................................................................................. 9 5.1. Transformación de fuentes ................................................................................... 9 5.2. Equivalentes Thévenin y Norton ........................................................................ 11 Cálculo de Vth ......................................................................................................... 11 Cálculo de Rth ......................................................................................................... 11 5.3. Teorema de superposición .................................................................................. 15
En el tema anterior se presentaron las magnitudes principales de un circuito, es decir, la tensión y la intensidad. Además, se dijo que estas magnitudes suelen ser las incógnitas en cualquier problema de teoría de circuitos. A partir de estos conceptos vimos que, utilizando las Leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de los dispositivos, se puede plantear un sistema de ecuaciones para calcular la tensión y la intensidad en cada uno de los elementos del circuito. En este tema definiremos una serie de elementos de circuitos. Por otro lado, utilizando estos elementos veremos algunos ejemplos de resolución de circuitos. Por último, se presentarán una serie de teoremas de circuitos útiles para simplificar la resolución de algunos problemas.
Fuente independiente de intensidad Una fuente independiente de intensidad es un elemento que proporciona una intensidad específica completamente independiente a la tensión entre sus nodos. (b) Característica I-V. (a) Fuente independiente de tensión de valor Vs . y puede ser constante o variable con el tiempo.2.
.1. y se puede ver que la tensión es siempre Vs independientemente del valor de la intensidad. Su importancia radica en que generalmente son las que entregan a todo el circuito la energía suficientes para funcionar. Fuente de tensión Una fuente independiente de tensión es un elemento que proporciona una tensión específica independientemente de la intensidad que pase por ella.Introducción a la Teoría de Circuitos
2. En la figura 1b se representa gráficamente el funcionamiento de una fuente de tensión. 2. Matemáticamente una fuente de tensión sólo fijará la tensión que cae en ella.
resto del circuito Vs
Figura 1. por lo que todo circuito posee al menos una fuente independiente. es decir: V = Vs Vs: Valor de la fuente de tensión. La gráfica relaciona la tensión y la intensidad del elemento. 2. En la figura 1a podemos ver el símbolo de una fuente independiente de tensión. En general una fuente independiente de tensión puede ser positiva o negativa. Fuentes independientes
Entre los elementos más importantes de un circuito se encuentran las fuentes independientes de tensión e intensidad.
I + V I
Is resto del circuito Is
Figura 2. Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff: I3 = I1-I2 = 2mA Podemos ver que dos fuentes de intensidad conectadas en paralelo se comportan como una sola fuente de valor la suma de ambas. Por la ley de tensiones de Kirchhoff podemos escribir: V2-V1-VAB = 0 Î VAB=V2-V1=1V Este ejemplo muestra que dos fuentes de tensión en serie son equivalentes a una sola fuente de tensión de valor la suma de ambas. Determinar la tensión entre los nodos A y B del circuito de la figura 3a. Aplicando la Ley de corrientes de se obtiene: I1=I2. (a) Fuente independiente de intensidad de valor Is . Comprobar que no es posible conectar dos fuentes ideales en configuraciones como las de la figura 3b. (b) Característica I-V.Introducción a la Teoría de Circuitos El símbolo de una fuente de intensidad puede verse en la figura 2a y en la figura 2b se representa su característica I-V. ¡¡ 3mA = 2mA !! Kirchhoff en el nodo A
. La ley que rige el comportamiento de una fuente independiente de intensidad es la siguiente: I = Is Is: Valor de la fuente independiente de intensidad. Determinar la intensidad I3 en el circuito de la figura 3a.
(b) Característica I-V. ¡¡ 2V = 5V !!
A V2=3V
V1=2V
resto del circuito
I2=1mA
I1=3mA I2=3mA
(b) Figura 3. (a) Símbolo de una resistencia de valor R. Y en ese caso podemos directamente sustituir una de las fuentes del circuito por un cortocircuito sin alterar el funcionamiento.
En la figura 4a se ve el símbolo de una resistencia. R: Valor de la resistencia medido en Ohmios (Ω)
I + V I R
resto del circuito 1/R
Figura 4. La ecuación que rige el comportamiento de una resistencia se conoce como la ley de Ohm y se escribe: v =i⋅R v i= R v.
3. Circuito del ejemplo 1.Introducción a la Teoría de Circuitos
Notar que dos fuentes de intensidad ideales pueden estar en serie sólo si tienen el mismo valor. Con las fuentes de tensión en paralelo ocurre lo mismo.i: Tensión e intensidad en la resistencia. Por la segunda ley de Kirchhoff obtenemos: V1=V2. utilizando las referencias de la figura 4a.
V2=5V
I1=2mA
. Resistencias.
El valor de R puede variar entre cero e infinito. el valor de la resistencia equivalente de cualquier número de resistencias conectadas en serie es la suma de los valores de cada una de ellas.
. Asociación de resistencias En un circuito práctico suelen aparecer resistencia en serie o paralelo con mucha frecuencia. simplificando de esta forma el circuito. Resistencias en serie
Req=R1+R2
Figura 5. Notar que la intensidad va del signo + al – de la referencia de tensión.1. En la figura 4a se definen las polaridades correctas de tensión e intensidad que se han considerado en la definición matemática.Introducción a la Teoría de Circuitos Como se puede ver en la figura 4b. 3. llamándose a los casos particulares de R=0 cortocircuito y R=∞ circuito abierto. Por ambas resistencias circula la misma intensidad (I1). Cuando esto ocurre es posible combinarlas de forma que varias resistencias se sustituyan por una sola. de forma que:
V AB = R1 + R2 = Req I1
De esta ecuación deducimos que ambas resistencias se comportan como una sola de valor la suma de ambas (figura 5b). la tensión en una resistencia es directamente proporcional a la intensidad que pasa por ella. (a) Circuito con dos resistencias en serie. En general. (b) Circuito equivalente combinando las resistencias En la figura 5a las resistencias R1 y R2 están en serie.
Aplicando la Ley de tensiones de Kirchhoff obtenemos:
I1 1 1 1 1 1 = + ⇒ = + V AB R1 R2 Req R1 R2
De forma general.Introducción a la Teoría de Circuitos
Resistencias en paralelo
Req R1 R2
1 1 1 = + Req R1 R2
Figura 6. de forma que. al circuito formado por varias resistencias en serie se le suele llamar divisor de tensión. (b) Circuito equivalente combinando las resistencias En la figura 6a se pueden ver dos resistencias en paralelo. (a) Circuito con dos resistencias en paralelo. Por este motivo. la resistencia equivalente de N resistencias conectadas en paralelo vale: N 1 1 =∑ Req k =1 Rk
. Divisor de tensión e intensidad Si analizamos un circuito compuesto por varias resistencias en serie como el de la figura 7a. cuanto mayor sea la resistencia más elevada es su caída de tensión. podemos comprobar que las tensiones entre los terminales de cada resistencia cumplen las siguientes ecuaciones:
R1 R1 Vs = Req R1 + R2 + R3
R2 Vs R1 + R2 + R3
R3 Vs R1 + R2 + R3
Se puede comprobar que la tensión de la fuente se ha dividido entre las diferentes resistencias.2.
Combinamos las dos resistencias en serie R7 y R8=R7+R2=2KΩ.
Is . Combinamos las dos resistencias en paralelo R5 y R7=R5||R6=1KΩ. 3. la intensidad que circula por cada resistencia sigue la siguiente expresión:
Is R1 R2 R3 Se puede ver que la intensidad se divide entre las distintas resistencias de forma inversamente proporcional a su valor. R4: R6: R2: R1:
. Circuito del ejemplo 2. I2 =
I s . en el caso de varias resistencias en paralelo (figura 7b). (b) Divisor de intensidad. Combinamos las dos resistencias en serie R3 y R6=R3+R4=2KΩ. Determinar la resistencia circuito de la figura 8 entre los nodos A y B. Combinamos las dos resistencias en paralelo R8 y Req=R8||R1=1KΩ.
Por otro lado. (Figura 9c). (a) Divisor de tensión.
Ejemplo 2. (Figura 9b). 4.
Seguiremos los siguientes pasos: 1. 2. I3 =
R4=1KΩ R3=1KΩ R5=2KΩ R1=2KΩ
Figura 8.Introducción a la Teoría de Circuitos
+ V1 + V2 + V3 -
R1 I1 R2 Is R1 I2 R2 I3 R3
(a) (b) Figura 7. A este circuito se le denomina divisor de intensidad. (Figura 9a).
β. Solución: 2.
+ vc + vd= α vc + vd= β ic Fuente de tesión controlada por tensión
Fuente de tesión controlada por intensidad
+ vc -
id= χ vc
Fuente de intensidad controlada por tensión
id= σ ic
Fuente de intensidad controlada por inensidad
Figura 11. Siendo α. Ejercicio.
Ejercicio. χ y σ constantes.8KΩ
4.Introducción a la Teoría de Circuitos
R2=1KΩ R2=1KΩ
R5=2KΩ R1=2KΩ R6=2KΩ
R1=2KΩ R7=1KΩ
R1=2KΩ R8=2KΩ
B (a)
Figura 9. Fuentes dependientes y lineales
Una fuente dependiente es un elemento que proporciona un valor de tensión o intensidad controlado por medio de otra tensión o intensidad existente en el circuito.
Figura 10. Existen cuatro tipos representados en la figura 11. Tipos de fuentes dependientes de intensidad.
Resolución del ejemplo 2. Calcular la resistencia equivalente entre los nodos A y B del circuito de la figura 10.
+ vi Figura 12.1.
vo = − g m vbe Rc
rπ vi rπ + rb
. de forma que la aplicación directa de las Leyes de Kirchhoff sea muy tediosa.
+ vbe -
gm vbe
+ vo -
Dado que la resistencia Rc está en serie con la fuente dependiente. utilizando las Leyes de Kirchhoff y las relaciones entre tensión e intensidad que imponen los elementos. los circuitos electrónicos pueden ser muy complejos. 5.
Ejemplo 3. Transformación de fuentes Para simplificar un circuito es posible transformar una fuente de tensión en serie con una resistencia en una de intensidad en paralelo con una resistencia. MOS. En este apartado veremos una serie de teoremas de circuitos que se utilizan para simplificar los circuitos antes de abordar su resolución. y viceversa 9
rπ
Circuito del ejemplo 3. Sin embargo. Calcular vo/vi en el circuito de la figura 12.Introducción a la Teoría de Circuitos
En la teoría de la asignatura se utilizará la Física de Semiconductores para obtener una serie de modelos de diferentes dispositivos electrónicos. por tanto:
v be =
Combinando ambas ecuaciones:
vo r = − g m Rc π vi rπ + rb
5. etc. la intensidad que circula por Rc es gmvbe. como transistores. Por tanto la tensión vo vendrá dada por:
Las resistencia rb y rπ forman un divisor de tensión. Algunos teoremas de circuitos
Hasta ahora hemos visto que. se pueden plantear las ecuaciones necesarias para resolver cualquier circuito. Las fuentes dependientes serán muy útiles para definir estos modelos.
Si combinamos todas las resistencias en paralelo y las fuentes de intensidad obtenemos el circuito de la figura 15b.
Realizando la transformación de fuentes en las dos fuentes de tensión se obtiene el circuito de la figura 15a.92Ω
Figura 15. es decir. (b) Circuito equivalente si se V cumple I s = s .
36A 20Ω 120V 60V 6Ω
1.92=57. tienen idéntico comportamiento visto desde los terminales A y B.
Circuito del ejemplo 4. Calcular la tensión entre los nodos A y B.Introducción a la Teoría de Circuitos
(ver figura 13).6Ω
1. Solución del ejemplo 4. R Para que los circuitos de la figura 13a y 13b sean equivalentes debe cumplirse:
Vs = I s R
Ejemplo 4.6V
1. Finalmente VAB=30·1.
Figura 13. simplificando previamente el circuito utilizando transformación de fuentes. (a) Fuente de tensión en serie con resistencia.6Ω
Figura 14. Esta transformación garantiza que ambos circuitos son equivalentes.
(b) Circuito simplificado utilizando el teorema de Thévenin. La tensión Thévenin vale:
Vth = VAB
Cálculo de Rth Existen dos métodos para calcular la resistencia Thévenin: a. Se calcula la intensidad ICC cuando los terminales A y B están en cortocircuito (figura 17b). de forma que sea más sencilla su resolución.
A Circuito compuesto por resistencias y fuentes B
Para poder aplicar el teorema de Thévenin necesitaremos calcular el valor de la tensión Vth (Tensión Thévenin) y la resistencia Rth (Resistencia Thévenin). A continuación calculamos la tensión entre los terminales A y B cuando están en circuito abierto. Sustitución de un circuito de dos terminales por su equivalente Thévenin. Cálculo de Vth Aislamos la parte del circuito que se pretende sustituir por su equivalente Thévenin del resto del circuito. La forma de aplicar el teorema para simplificar circuitos puede verse en la figura 16. la resistencia Thévenin vale: V Rth = AB I CC
.2. (a) Circuito original. Una vez obtenida. El objetivo del teorema de Thévenin es reducir una parte de un circuito a sólo dos elementos.Introducción a la Teoría de Circuitos
5. Equivalentes Thévenin y Norton El teorema de Thévenin establece que un circuito compuesto por resistencias y fuentes dependientes (y lineales) y fuentes independientes puede reemplazarse por un circuito equivalente consistente en una fuente de tensión Vth y una resistencia Rth. obteniendo VAB (figura 17a).
Introducción a la Teoría de Circuitos
b. (a) Tensión de circuito abierto. se anulan todas las fuentes independientes de tensión e intensidad. Equivalente Norton. Para ello se sustituyen todas las fuentes de tensión por cortocircuitos y las fuentes de intensidad por circuitos abiertos.
. Cálculo de la tensión y resistencia Thévenin. como puede verse en la figura 18. es decir.
El equivalente Norton no es más que una transformación de fuentes aplicada al equivalente Thévenin.
A Circuito compuesto por resistencias y fuentes + VAB B Circuito compuesto por resistencias y fuentes
Circuito pasivado
Req=Rth
(c) (a) (b) Figura 17. Normalmente este método requiere menos tiempo que el anterior. La resistencia Thévenin es igual a la resistencia equivalente entre los terminales A y B del circuito pasivado (figura 17c). Se pasiva el circuito.
Vth Rth
Figura 18. sin embargo sólo es aplicable cuando el circuito posea fuentes independientes y resistencias (no fuentes dependientes). (c) Resistencia equivalente del circuito pasivado. sustituimos la fuente de tensión con la resistencia por una fuente de intensidad en paralelo con una resistencia. Es decir. (b) Intensidad de cortocircuito.
Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en el nodo X del circuito de la figura 20b se obtiene:
I 1 − I 2 + I 3 − I CC = 0 ⇒
25 − V X V X V − + 3 − X = 0 ⇒ V X = 16V 5 20 4
Por tanto. la intensidad de cortocircuito vale:
VX = 4A 4
Finalmente la tensión Thévenin vale Vth=VAB=32V y la resistencia Rth=VAB/ICC=8Ω. Como no circula intensidad por la resistencia de 4Ω. por tanto: VAB=VX=32V Para obtener la resistencia Thévenin utilizaremos el primero de los métodos explicados anteriormente. Obtener los equivalentes Thévenin y Norton circuito de la figura 19 respecto a los terminales A y B. Quedando los equivalentes Thévenin y Norton como puede verse en la figura 21.Introducción a la Teoría de Circuitos
. Asignamos las la figura 20a y en el nodo X:
I1 − I 2 + I 3 = 0 ⇒
25 − V X V X − + 3 = 0 ⇒ V X = 32V 5 20
A 5Ω
+ VAB B -
Figura 20. Resolución del ejemplo 5. calcularemos la intensidad de cortocircuito. Circuito del ejemplo 5. (b) Intensidad de cortocircuito. la caída de tensión en la misma en nula. Para calcular Vth resolveremos el terminales A y B en circuito abierto (figura referencias de tensión e intensidad en planteamos la ley de corrientes de Kirchhoff circuito con los 20a).
5Ω 4Ω A
Figura 19. es decir. (a) Tensión de circuito abierto.
6A y I4=3A. (b) Equivalente Norton. calcularemos la resistencia equivalente del circuito pasivado de la figura 23b. La fuente independiente se ha sustituido por un cortocircuito. I3=0.8V Para obtener la resistencia Thévenin utilizaremos el segundo método explicado. Solución del ejemplo 5. Para calcular Vth planteamos las leyes de Kirchhoff en los bucles indicados en la figura 23a y el nodo X: -72+5I2+20I4=0 -5I2+12I3+8I3=0 I3+I2-I4=0 Resolviendo el sistema de ecuaciones: I2=2.
Ejemplo 6. Obtener el equivalente Thévenin del circuito de la figura 22 entre A y B.
La tensión de circuito abierto vale: VAB=Vth=8I3+20I4=64. es decir. Circuito del ejemplo 6.
12Ω 5Ω 8Ω
Figura 22. Req=Rth=(5||20+8)||12=6Ω
.4A.Introducción a la Teoría de Circuitos
8Ω A A
Figura 21. (a) Equivalente Thévenin.
12Ω 12Ω
I3 I1
X I3 I4
+ VAB B-
Figura 23. Paso 2. Para aplicar el teorema de superposición seguiremos tres pasos: • • •
Paso 1. Como se ha comentado anteriormente.
Ejercicio: Calcular el equivalente Thévenin del circuito de la figura 24.Se calcula la variable que se pretende determinar. se puede determinar la respuesta total calculando la respuesta a cada fuente independiente por separado y sumando sus contribuciones. Paso 3.3. Se vuelve al paso 1 para cada una de las fuentes independientes. Ejercicio. (a) Cálculo de Vth.
2ΚΩ
vd =3vc
id =20 ic
Figura 24. utilizando las leyes de Kirchhoff.. ya sea una tensión o una intensidad.Se calcula la tensión o intensidad final sumando todas las contribuciones obtenidas de realizar el paso 2 para cada una de las fuentes independientes.Anular todas las fuentes independientes excepto una... Teorema de superposición
El principio de superposición establece que en un circuito lineal. (b) Cálculo de Rth. Resolución del ejemplo 6.
. para anular una fuente de tensión se sustituye por un cortocircuito y una de intensidad por un circuito abierto.
. Calcular las tensiones de los nodos A y B aplicando el teorema de superposición. por tanto:
VB1 =
4 V A1 = 20V 2+4
Como existe otra fuente dependiente volvemos el paso 1.Anulamos en primer lugar la fuente independiente de intensidad.
6Ω A 2Ω B
Figura 25. Paso 1. resultante se puede ver en la figura 26b. Paso 3.
I1 − I 2 − I 3 = 0 ⇒
120 − V A1 V A1 V A1 − − = 0 ⇒ V A1 = 30V 6 3 2+4
Las resistencias de 2 y 4 Ohmios forman un divisor de tensión. Seguiremos los pasos anteriores: Paso 1. obteniendo el circuito de la figura 26a..Introducción a la Teoría de Circuitos
Ejemplo 7..Anulamos la fuente de tensión... Para ello planteamos la ley de Kirchhoff en el nodo A.Calculamos las nuevas contribuciones a las tensiones (VA2 y VB2). Paso 2. Aplicamos la ley de Kirchhoff en los nodos A y B.Calculamos las contribuciones VA1 y VB1 de la fuente de tensión.Sumamos las contribuciones:
V A = V A1 + V A2 = 18V VB = VB1 + VB 2 = −4V
. El circuito
Paso 2. Circuito del ejemplo 7.
V A 2 V A 2 V A 2 − VB 2 − − =0 V A 2 = −12V 6 3 2 ⇒ V V − V A2 VB 2 = −24V − B2 − B2 − 12 = 0 4 2
Ya hemos terminado con todas las fuentes independientes y pasamos al paso 3.
. Resolución del ejemplo 7.Introducción a la Teoría de Circuitos
Se deja modo ejercicio comprobar que el resultado sería el mismo si no se aplican directamente las leyes de Kirchhoff sobre el circuito de la figura 25.
120V 3Ω 4Ω
12A 3Ω
Figura 26. (a) Se anula la fuente de intensidad. sin usar el teorema de superposición. (b) Se anula la fuente de tensión.
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