Source: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/asartori/lehre/seminardt/index.html
Timestamp: 2019-10-23 21:43:41+00:00

Document:
Seminar Darstellungstheorie – SS2015
Dr. Antonio Sartori
Das Seminar findet freitags von 8.15 bis 10.00 Uhr in dem Seminarraum 404 statt.
1 24.04 Operationen mit Young tableaux. P. Laun
2 08.05 Das plaktische Monoid. Grom
3 15.05 Tableaux und das plaktische Monoid. D. Laun
4 22.05 Die Robinson-Schensted-Knuth Korrespondenz. Seyfried
5 05.06 Halbeinfache Algebren. Lehmann
6 12.06 Darstellungen endlicher Gruppen. Bärenfänger
7 19.06 Darstellungen der symmetrischen Gruppen durch Young Tableaux. ?
8 26.06 Dimension der einfachen S_n-Darstellungen und die Haken-Länge-Formel. Seyfried
9 03.07 Modulare Darstellungstheorie der S_n. P. Laun
10 10.07 Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. ?
11 17.07 Schur-Weyl Dualität. Grom
12 24.07 Littlewood-Richardson Koeffizienten. D. Laun
Vortrag 1: Operationen mit Young tableaux.
Definition von Young-Diagrammen, Young-Tableaux, und skew Young-tableaux; Transposition von Tableaux [F, Notation]. Multiplication von Tableaux durch "Bumping" und das "Row Bumping Lemma" [F, §1.1]. "Sliding" von skew Young Tableaux, ohne Beweise [F, §1.2].
Vortrag 2: Das plaktische Monoid.
Knuth Transformationen und Knuth Äquivalenz, und Beziehungen zu "Row Bumping" [F, §2.1]. Schur Polynome [F, §2.2].
Vortrag 3: Tableaux und das plaktische Monoid.
Beweis des Isomorphismus zwischen dem Tableaux-Monoid und dem plaktischen Monoid [F, §3.1 und §3.2].
Vortrag 4: Die Robinson-Schensted-Knuth Korrespondenz.
Aussage und Beweis der R-S-K Korrespondenz zwischen Paaren von Young Tableaux und Permutationen [F, §4.1]. Anwendungen aus [F, §4.3].
Vortrag 5: Halbeinfache Algebren.
Darstellungen einer endlich-dimensionalen Algebra als linke Moduln. Einfache Moduln und das Lemma von Schur. Halbeinfache Algebren. Referenzen dafür sind z.B. [L, XVII, §1-2 und §4] und/oder [S, §1.4, §1.7 und Satz 2.1.6].
Vortrag 6: Darstellungen endlicher Gruppen.
Die Gruppenalgebra einer endlichen Gruppe und der Satz von Maschke. Struktur von Gruppenalgebren. Definitionen und Eigenschaften von Charakteren (ggf. ohne Beweise). Referenzen dafür sind z.B. [L, XVIII, §1-2, §4 und Einiges aus §5] und/oder [S, §1.2, §2.3-5].
Vortrag 7: Darstellungen der symmetrischen Gruppen durch Young Tableaux.
Wirkung der symmetrischen Gruppe auf Tableaux und Konstruktion der Zell-Moduln und der Specht-Moduln [F, §7.1 und §7.2].
Vortrag 8 (Bachelor): Dimension der einfachen S_n-Darstellungen und die Haken-Länge-Formel.
Eine kombinatorische Formel für die Dimension der einfachen S_n-Darstellungen [dF, §4.3 ab Seite 53] und [Sag, §3.10].
Vortrag 9 (Bachelor): Modulare Darstellungstheorie der S_n.
(Arbeiten von Erdmann zum Fall von Tableaux mit zwei Zeilen. Zusammenhang mit Kipp-Moduln von SL_2 und allgemeiner SL_r. Arbeiten von Olivier Matthieu und seinen Schülern.)
Vortrag 10: Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe.
Schur Moduln und Wirkung der allgemeinen linearen Gruppe [F, §8.1-2].
Vortrag 11 (Bachelor): Schur-Weyl Dualität.
Der Double-Centralizer-Theorem und Schur-Weyl Dualität, [F, §8.3 bis Seite 119] und [G, §3.3.2].
Vortrag 12 (Bachelor): Littlewood-Richardson Koeffizienten.
Littlewood-Richarson Koeffizienten [F, §5.1] und Multiplikation von Schur-Polynomen (aus [F, §5.3]). Charakteren von GL(n)-Darstellungen und Zerlegungsformel für Tensorprodukte [F, §8.3 ab Seite 120].
[F] Fulton, William. Young tableaux. With applications to representation theory and geometry. London Mathematical Society Student Texts, 35. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[G] Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. Representations and invariants of the classical groups. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 68. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[L] Lang, Serge. Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002.
[S] Soergel, Wolfgang. Nichtkommutative Algebra und Symmetrie. Online verfügbar hier.
[Sag] Sagan, Bruce E. The symmetric group. Representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 203. Springer-Verlag, New York, 2001.

References: §1
 §1
 §2
 §2
 §3
 §3
 §4
 §4
 §1
 §4
 §1
 §1
 §1
 §4
 §5
 §1
 §2
 §7
 §7
 §4
 §3
 §8
 §8
 §3
 §5
 §5
 §8