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Timestamp: 2014-11-28 09:32:41+00:00

Document:
Matemáticas de la Forma - Javier Brihuega
Optativa del Bachillerato de Artes
por Javier Brihuega
Criterios de organización y secuencia de los contenidos
Planteamientos metodológicos generales
Las Matemáticas de la Forma es una materia optativa de la modalidad de Artes del Bachillerato y,
en este sentido, proporciona un espacio idóneo para introducir a los alumnos y alumnas en los
aspectos matemáticos de la creación artística.
El conocimiento de los elementos matemáticos presentes en las formas y proporciones no solamente
permite su comprensión, sino también su utilización en diversos aspectos del arte --por ejemplo, el
estudio de la perspectiva conlleva un análisis de los objetos, respecto a su tamaño y su forma,
imprescindible para su representación plástica. También se puede observar este análisis y sus
aspectos matemáticos en obras concretas, así por ejemplo, en el modelo de hombre de Leonardo da
Vinci la distancia desde el ombligo a los pies esta en proporción áurea con la altura del cuerpo
humano, y Le Corbusier también utilizó esta proporción en sus construcciones y proyectos
arquitectónicos--. La forma y el tamaño, su análisis, interpretación y manipulación, no es el único
componente del planteamiento artístico, pero si es una de las bases de su estructura.
Desde la antigüedad, el ser humano ha observado las formas geométricas en la naturaleza y las ha
utilizado en sus representaciones artísticas, de tal manera que los elementos geométricos los
encontramos en multitud de formas creadas por él --decoraciones de vasijas, frisos, construcciones
arquitectónicas, etc.--. Desde las pinturas rupestres, los adornos espirales en la cerámica primitiva o
en la decoración del palacio de Knosos, hasta las expresiones artísticas más modernas, los hombres
y las mujeres han estado interesados por el análisis y representación de las formas, así como por su
proporción. En este sentido, tanto en la antigüedad como en la actualidad, las formas geométricas han servido
de base en manifestaciones artísticas de diferente naturaleza como puede observarse en expresiones
arquitectónicas --como las pirámides egipcias en la antigüedad o los edificios de la Defense (París)
en la actualidad--, escultóricas --como las estatuas votivas prehistóricas o el monumento a la
constitución (Madrid)--, pictóricas --como las pinturas rupestres de El Castillo en Puente Viesgo
(Cantabria) o las obras de Kandinsky-- o simplemente decorativas --como las cerámicas griegas o el
diseño de joyas--.
En coherencia con lo anterior se puede afirmar que el medio artístico requiere un cierto grado de
conocimiento y destreza en el manejo de los elementos y propiedades matemáticas de las formas y
los tamaños y, en el contexto de la modalidad de Artes del Bachillerato, es conveniente la existencia
de un espacio para que estos elementos y propiedades puedan ser estudiados. Este espacio es el que
cubre la materia Matemáticas de la Forma.
En la Educación Secundaria Obligatoria los estudiantes han realizado un estudio, desde un punto de
vista fundamentalmente práctico, de las componentes geométricas más elementales para la
organización del espacio. Este desarrollo del conocimiento geométrico ha estado basado en el
estudio y descripción de la realidad que les rodea --el mundo físico, la publicidad, el arte, las propias
configuraciones matemáticas--. Paralelamente, han desarrollado capacidades básicas --como la
abstracción y el razonamiento inductivo-- y procedimientos y estrategias de carácter general que
permiten un conocimiento más completo del mundo geométrico. Los estudiantes han construido
polígonos y poliedros con materiales diversos --varillas de mecano, libro de espejos, tamgrans,
etc.--, han trabajado sus clasificaciones y han utilizado algunas propiedades geométricas de los
polígonos para su estudio y construcción. También deben de haber manejado, ya con cierta soltura,
los instrumentos de dibujo y pueden calcular, por diversos medios, la medida de ángulos, áreas y
perímetros. Este desarrollo cognitivo que, en términos generales, deben haber alcanzado los estudiantes de
Bachillerato, va a permitir que en esta etapa estén en disposición de aplicar sus conocimientos
geométricos al mundo artístico, desde un punto de vista instrumental y de fundamentación de la
componente matemática del arte.
Una de las características fundamentales de esta materia se deriva del lugar que ocupa en la
modalidad de Artes del Bachillerato. Las Matemáticas de la Forma es una materia optativa propia
de modalidad y en este sentido tiene un marcado carácter de apoyo en la construcción, análisis e
interpretación de las formas artísticas. Es por tanto aconsejable partir siempre de situaciones
concretas y contextualizadas que pongan de relieve los aspectos matemáticos de la creación artística
con la finalidad de entenderla mejor y poder utilizarlos con este fin. Por otro lado su carácter de materia optativa va a permitir al profesorado adaptar el desarrollo de
los contenidos a las necesidades y expectativas de los alumnos y alumnas que la cursen, pues al no
estar incluida en las Pruebas de Acceso a la Universidad permite un tratamiento más flexible de los
contenidos pudiendo poner el énfasis en aquellas facetas del aprendizaje más próximas a las
necesidades de los estudiantes que la cursan en cada centro. De todo lo anteriormente expuesto se desprende que la materia de Matemáticas de la Forma, dentro
de la modalidad de Artes del Bachillerato, tiene un doble papel que cumplir:
En su papel instrumental ha de proporcionar una serie de técnicas y estrategias básicas, para su
aplicación en otras materias de esta modalidad. Es precisamente su carácter de materia aplicada al
análisis y creación de las formas en el arte, el que le confiere este papel. Los contenidos
matemáticos y su desarrollo y estudio deben estar siempre en función de su aplicabilidad en el
En su papel formativo, el valor intrínseco de la formación aportada por las matemáticas y en
concreto la geometría --desarrollo de las capacidades de razonamiento abstracto, de enfrentarse y
resolver problemas del mundo artístico, de modelizar situaciones, etc.-- es una parte fundamental de
su aprendizaje que no debe nunca olvidarse en esta modalidad de Bachillerato. La materia
Matemáticas de la Forma, debe proporcionar los conocimientos x destrezas cognitivas, de carácter
geométrico, necesarias para desenvolverse en el mundo del arte, que utiliza, cada vez en mayor
medida, conceptos y procedimientos matemáticos.
La importancia de las matemáticas, y en concreto de la geometría, en este contexto de la modalidad
de Artes del Bachillerato, se debe a su utilidad para el estudio y manejo de las formas y, en este
sentido, el tratamiento geométrico de la proporcionalidad; el concepto, estimación y cálculo de la
medida de longitudes, superficies y volúmenes; el estudio de los movimientos de las formas
geométricas y su integración en el análisis y creación de teselas, frisos y mosaicos; el estudio y
análisis de los poliedros regulares y semiregulares y sus secciones; así como el análisis y
construcción de curvas --círculos, cónicas, espirales, hélices, etc.-- y superficies constituyen los
aspectos fundamentales en los que se basará el desarrollo de esta materia
Los Contenidos que tiene esta materia, están estructurados en torno a cuatro bloques de
contenidos: Elementos y movimientos en el plano. Elementos y movimientos en el espacio. Curvas y superficies.
Proporciones y medidas.
Elementos y movimientos en el plano
Con los contenidos incluidos en este bloque se pretende que los alumnos y alumnas dispongan de
una visión dinámica de la geometría plana que les permita crear y analizar formas planas presentes
en el mundo artístico. Uno de los elementos artísticos más utilizados desde la antigüedad son los
frisos y los mosaicos, en ellos se combinan elementos geométricos del plano interesantes para el
estudio de las formas planas y sus movimientos. Las isometrías en el plano son los movimientos más
sencillos y, junto a las teselaciones, pueden dar lugar a un campo de estudio interesante y
productivo desde una perspectiva de resolución de problemas.
Desde los mosaicos árabes, a los dibujos de Escher, nos encontramos con representaciones
artísticas, admiradas por todos, cuyo análisis, desde un punto de vista dinámico, permite el estudio
de las formas geométricas elementales --triángulos, paralelogramos, hexágonos, etc.-- y de las
isometrías de figuras planas. El estudio de las isometrías de figuras planas y su integración en el
análisis y creación de teselas, frisos y mosaicos, permite que los estudiantes se aproximen a la
adquisición del concepto de semejanza, enriqueciendo las estructuras conceptuales sobre el plano y
desarrollando la habilidad para percibir las formas y sus combinaciones --que es una de las bases
para poder analizar las construcciones geométricas en la naturaleza y en el arte--, además permite
que estos desarrollen capacidades importantes, recogidas en los objetivos de esta materia --como la
de visión espacial--.
Elementos y movimientos en el espacio
una visión dinámica de la geometría espacial, como en el caso del bloque anterior con la geometría
del plano, que les permita utilizarla en la creación y análisis de formas espaciales del mundo
artístico. El estudio de esculturas y representaciones arquitectónicas en la historia de la humanidad, así como
de elementos geométricos presentes en la naturaleza, es una fuente de problemas y actividades que
tiene que estar presente en el desarrollo de los contenidos de este bloque. Las Isometrías en el
espacio son difíciles de visualizar, por lo que puede ser interesante contar con los medios
audiovisuales e informáticos para el desarrollo de estos contenidos.
Con este bloque se pretende conseguir una idea más dinámica que estática de las curvas y las
superficies. Así el estudio de la circunferencia, el circulo, las espirales y las cónicas, estas últimas
como lugares geométricos y envolventes de rectas, permite tener una visión más completa de dichas
curvas, permitiendo, posteriormente, el estudio de otras más complicadas como la astroide, la
cardioide o la cicloide. El estudio de superficies se debe limitar al de algunas superficies sencillas,
como la esférica y las superficies regladas. Por último, los contenidos relativos a curvas fractales
deben limitarse a una introducción geométrica a partir de procesos de iteración.
Con los contenidos de este bloque no se pretende realizar un estudio analítico de curvas y
superficies, sino analizar las principales propiedades de las mismas desde un punto de vista sintético
y visual relacionandolas con formas de la naturaleza y manifestaciones artísticas --diseño, pintura,
arquitectura, etc.--. El proceso de análisis y construcción, así como su utilización en la creación de
formas artísticas y en situaciones de resolución de problemas, permite que el estudio de estos
contenidos contribuya al desarrollo de las capacidades expresadas en los objetivos de esta materia
--entre otros Valorar el uso del lenguaje geométrico aplicandolo a la comunicación artística y al
diseño, Reconocer formas y realizar conjeturas sobre sus propiedades, Aplicar el conocimiento
matemático a la explicación de los quehaceres artísticos, apreciando las cualidades estéticas y
creativas de las formas, etc.--
Con los contenidos de este bloque se pretende completar el estudio de las proporciones, iniciado en
la etapa anterior, y su utilización para el análisis y creación de manifestaciones artísticas. Tan importante como los objetos en si mismos son las relaciones que se establecen entre ellos. A
este respecto, la medida y la proporción son dos conceptos que parece necesario abordar en esta
modalidad de Bachillerato. El análisis de proporciones notables --como la proporción áurea-- en
representaciones artísticas y en la naturaleza, las relaciones entre perímetros, áreas y volúmenes y
las proporciones antropomórficas, son fundamentales en el estudio de las manifestaciones del arte a
través de la historia y son referencias básicas en el momento de la creación artística.
La importancia de los contenidos incluidos en este bloque radica, por tanto, en su aplicación al
análisis de las formas, al estudio de sus propiedades, a la construcción de otras nuevas y al
desarrollo de capacidades como la intuición geométrica, la visión espacial y la utilización creativa de
formas para la comunicación artística.
Los contenidos de esta materias deben ser organizados y secuenciados teniendo en cuenta una serie
de criterios para mantener y propiciar la relación con las demás materias de la modalidad. Estos
criterios deberán determinarse teniendo en cuenta el carácter de opcionalidad de la materia, así
como las características de los alumnos y alumnas que la cursan --sus necesidades, intereses y
motivaciones--. Entre ellos uno de los criterios prioritarios para la secuencia es la competencia
curricular que cabe esperar de los estudiantes. El grado de madurez de estos, así como los
aprendizajes previos asociados al mismo, constituyen, por sí solos, un dato importante en el
momento de secuenciar los aprendizajes a lo largo de cada curso. La lógica interna de la geometría
es otro de los criterios fundamentales que hay que tener en cuenta, puesto que va a indicar,
necesariamente, una cierta organización temporal de una parte sustancial de los contenidos --por
ejemplo, parece claro que es preciso el estudio de las relaciones y proporciones de los lados de
triángulos rectángulos previo al estudio de las razones trigonométricas--. Los núcleos temáticos
A partir de estos criterios, una de las formas más habituales de reorganización y secuencia de los
contenidos, para establecer la programación de la materia, es la configuración de unos determinados
núcleos temáticos. Estos no tienen que ser, necesariamente, los bloques establecidos en el decreto
de currículo, aunque sea esta una de las posibles opciones. Una vez seleccionados estos núcleos, en
cada uno, se podría establecer una secuencia de unidades didácticas que fuera tratando espiralmente
los contenidos del tema atendiendo a los criterios antes mencionados.
-- Por ejemplo se podría estructurar esta materia en los bloques propuestos y cada uno de ellos en
las unidades: El mundo de los polígonos, Dinámica plana y Decoración plana para el primer
bloque. El mundo de los poliedros y dinámica espacial para el segundo. Lugares geométricos. Las
cónicas y Generación de curvas y superficies para el tercero y Razón y semejanza y Teoría de la
proporción para el cuarto(1)--.
-- Otro ejemplo sería estructurar tres núcleos temáticos El plano, El Espacio y Los movimientos,
en el primero de ellos se desarrollaría en tres Unidades didácticas Elementos del plano, Las
proporciones en el plano y Curvas planas, el segundo en otras tres Elementos del espacio, Las
proporciones en el espacio y Curvas y superficies en el arte y la naturaleza y, por último, el
tercero en dos Frisos y mosaicos e Isometrías espaciales. Esta distribución establecería una clara
separación entre el estudio del plano y del espacio debiendose establecer, en cada caso, las
relaciones entre las manifestaciones artísticas planas y espaciales--.
Dada la característica de esta materia optativa de servir de base instrumental y formal a la creación
artística, otra posibilidad de organizar y secuenciar sus contenidos sería la introducción de
contenidos de los diferentes bloques, mediante uno o varios centros de interés que vertebren la
incorporación de nuevos conocimientos, técnicas y herramientas matemáticas. Esta programación
respondería a unos criterios no lineales en el desarrollo de los contenidos de los bloques, y a una
secuencia en espiral en la que conceptos, actitudes y procedimientos se introducen en el momento
en que la investigación lo requiere para seguir avanzando.
Por ejemplo un centro de interés podría ser Las matemáticas de la arquitectura griega. En él se
incorporarían contenidos de los bloques Elementos y movimientos del plano --polígonos, ángulos,
etc.--, Elementos y movimientos en el espacio --Planos, ángulos diédricos, poliedros, etc.-- y
Proporciones y medidas --prácticamente completo--. El desarrollo de este centro de interés podría ir
paralelo al desarrollo matemático de la geometría --por ejemplo, un estudio de la arquitectura antes
y después de Euclides, Thales o Pitágoras, y analizar las posibles diferencias de los estilos de
representación--
Otro centro de interés en el que se desarrollarían los contenidos de esta materia sería Las
representaciones artísticas en las diferentes culturas. Analogías y diferencias. Desde este punto de
vista se pueden estudiar las distintas formas geométricas dominantes en las distintas culturas, así
como su utilización en sus creaciones artísticas más representativas. El análisis cultural de la
utilización de las formas es un modo de introducirse en la comprensión de otras culturas y una
forma de trabajar algunos temas transversales en el desarrollo del currículo de esta materia.
Otros posibles centros de interés podría ser: Los mosaicos de la Alhambra --en el que se incluirían
todos los contenidos dinámicos del plano, así como los del bloque de Proporciones y medidas,
analizando los movimientos presentes, así como las formas planas representadas y los polígonos de
donde provienen y sus medidas y proporciones--, La representación de la perspectiva a lo largo de
la Historia; Las matemáticas en la pintura contemporánea; La simetría dinámica en el cubismo; etc.
Como se ha indicado anteriormente, las Matemáticas de la Forma es una materia optativa de la
modalidad de Artes del Bachillerato en la que se introducen nuevos conceptos y procedimientos
matemáticos ajustándolos a la evolución intelectual y cognitiva de los estudiantes y a las
necesidades derivadas de su aplicación a este ámbito de conocimiento. Es por esto, por lo que debe
realizarse un tratamiento de los contenidos con la finalidad de propiciar, a partir del estudio de
situaciones problemáticas del mundo del arte, que los estudiantes sean capaces de formular
conjeturas, analizar y construir las formas presentes en la naturaleza y en la creación humana y
ampliar su dominio del lenguaje geométrico, todo ello como mecanismo para introducirse en un
nivel de formalización suficiente para aplicarlo a otras materias de esta modalidad y estar en
disposición de abordar estudios o actividades productivas posteriores relacionados con esta
modalidad de Bachillerato.
En este contexto, la resolución de problemas debe constituir uno de los ejes metodológicos
fundamentales en el proceso de aprendizaje y de la propia estructuración de los contenidos del
currículo de esta materia. Siempre que sea posible, la aproximación a contenidos nuevos debe
producirse desde una situación de aprendizaje de resolución de problemas. Es la aplicación de las
matemáticas a la resolución de los problemas derivados de la construcción e interpretación de las
manifestaciones artísticas la principal finalidad de esta materia y, por tanto, partir de situaciones
concretas --estudios de pinturas, publicidad, arquitectura, etc.-- en las que se necesiten elementos
matemáticos --proporcionalidad, isometrías, espirales, etc.-- para su análisis y posible resolución, es
uno de los métodos de desarrollo de los contenidos de esta materia más acordes con su finalidad
educativa. La utilización de la resolución de problemas, en esta materia, puede potenciar su
capacidad para la posterior resolución de los problemas que les aparezcan en su actividad artística.
-- Así, por ejemplo, en un problema como el siguiente(2):
Descubre, en los trazados de la arquería gótica del dibujo,
como se construyeron gráficamente las curvas presentes.
se presenta una situación, enmarcada en un contexto
artístico, que requiere un análisis geométrico para su
resolución. Un problema de este tipo puede dar lugar a que los estudiantes analicen los elementos
de las circunferencias, investiguen e interpreten sus propiedades en el contexto de la situación y
analicen otras situaciones parecidas, con diferentes curvas o polígonos, de manera que se optimice
la situación, adoptando la decisión más creativa--.
En general, la utilización metodológica de la resolución de problemas en esta materia, puede
hacerse de formas diferentes atendiendo a la diversidad del alumnado, a la estructura de la
programación decidida y a las propias preferencias del profesor o profesora que imparte el grupo:
Pudiera emplearse, para introducir una Unidad didáctica, con situaciones motivadoras, que
planteen la necesidad de trabajar contenidos nuevos o profundizar en otros ya conocidos. También se podría utilizar como método más general de manera que los propios alumnos y
alumnas fueran descubriendo y acercándose a nuevos conocimientos de una forma más o menos
guiada que dependería de la diversidad en el aula. Otra de las formas posibles sería utilizar problemas de investigación, al final de una unidad o de
una parte de ella, para que algunos estudiantes profundicen, mientras otros consolidan
conocimientos y otros refuerzan los que les resultan más problemáticos --En este último caso, no
debe pretenderse que todos lleguen a los mismos resultados, pues se pretende atender a la
diversidad y que cada uno trabaje según sus necesidades--.
Para acercarse a la interpretación de los aspectos matemáticos de las representaciones artísticas es
fundamental potenciar su visualización y manipulación, y los medios audiovisuales e informáticos
pueden prestar una importante ayuda para ello. La incorporación, de una manera habitual y
sistemática, de las Nuevas Tecnologías --ordenadores, transparencias, diapositivas, fotografías,
vídeos y otros-- en las actividades de enseñanza y aprendizaje de esta materia, es una de las
estrategias metodológicas que es preciso ir incorporando progresivamente a la práctica educativa
--la utilización de diapositivas, videos y transparencias, así como programas informáticos de diseño
son cada vez más interesantes para el análisis y la creación artística--.
Además hay que tener en cuenta sus diversas formas de utilización, que pueden proporcionar
distintas situaciones de aprendizaje. --Por ejemplo la utilización por parte del profesor o profesora
de un solo ordenador en el aula, mediante la proyección de la pantalla, plantearía una situación de
aprendizaje diferente a la utilización de los ordenadores por los alumnos en un aula especial.
Aunque las situaciones de aprendizaje son diferentes, no son incompatibles y ambas dependen de los
planteamientos que se hayan establecido en la programación--.
Además, es necesario tener presente que la utilización de los medios informáticos y audiovisuales
lleva implícito un enfoque diferente del currículo de esta materia, haciendo variar la importancia
relativa de determinadas técnicas y conceptos, y la necesaria variación en el desarrollo de los
contenidos seleccionados. Así, por ejemplo, la existencia de vídeos y software informático, que
permiten visualizar de una manera sencilla representaciones gráficas de objetos, ofrece la posibilidad
de que se pueda dedicar una parte importante de las actividades a la aproximación a los conceptos
geométricos implícitos y a su aplicación en la representación artística.
Hay que tener en cuenta que en esta modalidad de Bachillerato la visualización de los objetos
geométricos, así como su utilización en la composición artística, es una de sus características más
importantes, y la utilización de las nuevas tecnologías va a permitir que los alumnos y alumnas se
aproximen significativamente al papel que desempeñan las propiedades geométricas en todas las
En esta modalidad de Bachillerato las matemáticas tienen, principalmente, un carácter de aplicación
que debe marcar todo el planteamiento metodológico de esta materia. En este sentido, y dado que
una de las principales aplicaciones de las Matemáticas de la Forma es el análisis y resolución de
problemas y situaciones de este ámbito de conocimiento, el profesor o profesora debe fomentar que
sus estudiantes se enfrenten a situaciones en las que la aplicación de los contenidos matemáticos
proporcionen la posibilidad de una discusión sobre la validez de las posibles soluciones en el
En este sentido el profesor o profesora debe potenciar la investigación de situaciones problemáticas,
relacionadas con el arte, sin adelantar resultados ni marcar, de manera rígida, las posibles vías de
avance de sus estudiantes. Es preciso estimular a cada estudiante en su investigación con
sugerencias concretas cuando éstas sean necesarias, sin olvidar que cada uno de ellos y de ellas es
quien debe encontrar sus propios resultados. El profesor o profesora debe actuar como elemento
dinamizador y encauzador de las ideas, descubrimientos y vías de avance de los alumnos, actuando
más como formulador de preguntas que como expendedor de respuestas.
De cara a la atención a la diversidad de sus alumnos y alumnas, el profesor o profesora debe tener
siempre presente que no debe actuar de la misma manera con todos ellos, para lo que es
conveniente disponer de actividades complementarias --de refuerzo, ampliación o consolidación--
con el fin de intervenir en un momento determinado en la marcha del trabajo de un grupo o de algún
estudiante concreto. Una buena manera de tener presente la diversidad es la utilización de una
evaluación diagnóstica o inicial, previa al desarrollo de nuevos conceptos o núcleos temáticos
(según se planifique la programación), pues es evidente que no todos los estudiantes tienen
dificultades en el trabajo de los mismos contenidos y que algunos pueden tener dificultades en unos
temas en que los que otros no los tienen y viceversa.
En la materia de Matemáticas de la Forma, los temas transversales han de contemplarse,
fundamentalmente, desde una perspectiva actitudinal. Es importante, por tanto, que el profesor o
profesora seleccione situaciones y problemas, en los distintos momentos del proceso de enseñanza y
aprendizaje, en los que se tengan en cuenta los contenidos transversales --igualdad de
oportunidades, educación para la paz, coeducación, educación ambiental, educación para la salud,
etc.-- para resaltar su importancia respecto a las actitudes hacia ellos.
Uno de los problemas más generales en el aprendizaje de los contenidos de las Matemáticas de la
Forma se encuentra en relación con la medida y el uso de los números para medir. En todo estudio
de formas geométricas es fundamental el estudio de sus medidas --longitud, área y volumen-- y en el
problema de la medida hay dos aspectos, fundamentales, intrínsecos en este tema: contar y
comparar. --Esta materia es optativa de la modalidad de Artes del Bachillerato y habrá que tener en
cuenta, para el tratamiento didáctico de la medida, las otras materias de la modalidad que tendrán
que cursar los estudiantes--
Cuando, para realizar una construcción geométrica, se utiliza el compás para trasladar una medida
un número determinado de veces, o para construir un exágono regular se utiliza la medida del radio
para construir los lados, se están utilizando propiedades geométricas importantes y es básico ser
conscientes de que se están utilizando.
Para establecer la medida directa de una forma geométrica es preciso establecer una comparación
entre ella y un patrón establecido, que tendrá una cierta graduación de tal manera que nos permita
establecer la medida del objeto con la precisión que necesitemos. En la Educación Secundaria
Obligatoria se han desarrollado una serie de contenidos básicos de la medida --unidades de medida,
Sistema métrico decimal, medida de ángulos, utilización de regla, compás y portaángulos como
instrumentos de medida, estimación, etc.-- que tiene que servir de base para el desarrollo de los
contenidos relativos a esta tema. Es a partir de ellos desde donde se deben estudiar las propiedades
métricas más importantes para el análisis y creación de formas geométricas. La utilización y estudio
de las medidas antropométricas puede ser otro punto de partida para el estudio y comprensión del
problema de la medida.
Sin embargo uno de los aspectos más problemáticos se deriva del tipo de magnitud --lineales,
cuadráticas o cúbicas-- del objeto a medir, esto es, uno de los problemas de aprendizaje es la no
distinción entre longitudes áreas y volúmenes. Un ejemplo claro está en el problema que se les
plantea a los alumnos y alumnas en la distinción entre la variación del perímetro y del área de una
figura al realizar una transformación no isométrica en ella --por ejemplo, la variación del área de un
rombo al modificar sus ángulos sin modificar la medida de los lados--. Este problema se acentúa en el caso del volumen. La dificultad de los conceptos de longitud, área y
volumen, debida en parte a su grado de abstracción y a su habitual representación es la raíz de este
problema.--cuando se representa un polígono suele dibujarse exclusivamente sus lados y no se suele
diferenciar, al referirnos a él, el interior (superficie) del contorno (perímetro), este problema aparece
también entre circunferencia y circulo (su dibujo es el mismo) y mucho más, en las formas
espaciales, como en los poliedros con relación a las aristas, los lados y el volumen--.
Este problema se plantea ya en la Educación Secundaria Obligatoria, pero puede seguir apareciendo
en el Bachillerato y, además, puede haber una diversidad amplia de posibles errores entre los
estudiantes. Por esto es importante la realización de una evaluación inicial que facilite un
diagnóstico de este problema que permitirá al profesor o profesora realizar un tratamiento acorde a
las circunstancias. La utilización de materiales manipulables --varillas, cartón, etc.-- y de programas
informáticos --DAO, Cabri, etc.-- puede ser muy útil para alumnos y alumnas con dificultades en el
aprendizaje de estos conceptos.
Las relaciones de proporcionalidad entre objetos geométricos es otro de los conceptos más difíciles
que se han trabajado en geometría en la Educación Secundaria Obligatoria. A la dificultad de la
medida se le une la de la relación entre esas medidas. Como se ha comentado en capítulos anteriores
las relaciones de proporcionalidad las encontramos en multitud de representaciones artísticas --por
ejemplo en la perspectiva esta incluido, de una forma intrínseca, el concepto de proporcionalidad-- y
es básico desarrollar, en los alumnos y alumnas, este concepto. Muchos de los procedimientos empleados en la creación artística están fundamentados en el
concepto de proporción -- en la utilización del lápiz con el brazo extendido para trasladar al papel
una medida lejana de forma proporcional, se está utilizando el Teorema de Thales-- y, en este
sentido, es muy importante que los estudiantes, al realizar estos procedimientos, sean conscientes de
ello. Para lograr esta conciencia es necesario que se realicen actividades que pongan de manifiesto
la proporcionalidad y ésta se calcule por diversos métodos, estudiando el margen de error de cada
uno de ellos. La utilización de vídeos, transparencias y programas informáticos va a permitir una
visualización más fácil de la proporcionalidad entre las formas, sobre todo en el espacio, y su
empleo cotidiano en el aula es un recurso metodológico importante para el tratamiento de este
El análisis de las relaciones de proporcionalidad entre superficies o entre volúmenes resulta más
complicado para los estudiantes --en la Educación Secundaria Obligatoria ya se ha tratado el tema
de la proporcionalidad, pero sobre todo en su vertiente lineal--, la dificultad que representa el
estudio y análisis de la semejanza entre figuras se acrecienta al trabajar las áreas --por ejemplo en la
construcción de un polígono semejante, de área doble, a otro dado-- y mucho más al trabajar
volúmenes --vease el típico ejemplo de error como el que Vitrubio relata en la construcción de un
altar cúbico, de doble volumen que otro existente, mediante la duplicación de sus aristas--. El problema básico es que la proporcionalidad de áreas y de volúmenes deja de ser lineal. Es una
constante en la literatura fantástica las variaciones sobre el tamaño de los objetos y de las personas
--vease, por ejemplo, Alicia en el País de la maravillas de Lewis Carroll o Los viajes de Gulliver
de J. Swift-- y ello es debido a la relativa sorpresa que producen los resultados reales que no se
corresponden con los que se pueden pensar vulgarmente que parecería lógico que ocurriera --de
aquí que resulte tan sorprendente el resultado del problema planteado por Y. Perelman sobre la
torre de Eiffel "La torre Eiffel mide, aproximadamente, 300 metros de altura y está construida
enteramente de hierro; su peso es de unos 8 millones de kilos. Si encargamos un modelo exacto de
dicha torre, también de hierro, que pese sólo un kilo �Su altura será mayor o menor que la de un
lápiz?"(3)--.
La dificultad estriba en que se aplican proporciones lineales en el cálculo proporcional de las
medidas de volumen, además del cálculo de las medidas mismas, y esta concepción está muy
extendida entre los estudiantes. Es preciso, por tanto, realizar actividades de este tipo que
desmonten estos preconceptos erróneos, al mismo tiempo que les resulten motivadoras para trabajar
Los movimientos isométricos de figuras planas se han estudiado ya en la Educación Secundaria
Obligatoria, sin embargo existen dificultades en el análisis y elaboración de representaciones
artísticas en las que existen estos movimientos. En muchas ocasiones el problema radica en la
visualización de los movimientos de las formas geométricas incluidas en una representación
--por ejemplo en un mosaico como el del dibujo adjunto, se puede observar fácilmente que los peces se encuentran girados, pero para muchos estudiantes no es tan fácil determinar el centro y el ángulo de giro para obtener un determinado pez a partir de otro dado--.
El problema se complica cuando en la representación artística existen
deslizamientos --composición de simetría axial y traslación paralela al eje de simetría--. La simetría es la isometría plana que presenta más problemas de aprendizaje en los alumnos y alumnas de este nivel educativo. La dificultad estriba en que para realizar una simetría con una figura plana, es
preciso salirse del plano para visualizar el movimiento. En la Educación Secundaria Obligatoria ya se ha estudiado este movimiento y, se han utilizado espejos y materiales manipulables para ello, sin embargo en su utilización para el análisis de frisos y mosaicos, así como para su creación va a seguir
planteando dificultades a los estudiantes.
Para el desarrollo de la capacidad de visión espacial, y más concretamente del aspecto dinámico de
las formas, es muy conveniente la utilización de los medios audiovisuales --vídeos, diapositivas,
transparencias--, así como algunos programas informáticos específicos de este tema . La
visualización de las isometrías en las representaciones artísticas es fundamental para potenciar el
aprendizaje significativo de estos contenidos.
Otro aspecto importante, que conlleva una seria dificultad en su aprendizaje, es la creación de
rosáceas, frisos y mosaicos por parte de los alumnos y alumnas que cursan esta materia. Para ello es
positivo el estudio y creación de diferentes motivos mínimos a partir de los cuales, realizando las
isometrías convenientes, se pueden elaborar las rosáceas, mosaicos o frisos que se deseen.
El color es otro de los elementos que hay que considerar en el estudio de los mosaicos y las
representaciones que contienen isometrías. Por un lado, la utilización del color va a permitir obtener
diferentes mosaicos a partir del mismo diseño, por otra parte, en el análisis de representaciones,
permite identificar módulos dentro de las mismas.
A pesar de que los estudiantes se desenvuelven en un mundo tridimensional carecen, en muchos
casos, de intuiciones espaciales. Este problema, bastante generalizado, se basa en la dificultad para
representar las formas espaciales en el plano.
Un elemento metodológico muy importante para conseguir desarrollar la capacidad de visión
espacial es la utilización de las nuevas tecnologías, tanto los medios audiovisuales como distintos
juegos y programas informáticos tridimensionales, que simulan el espacio desde el plano y permiten
la visualización de las formas espaciales mediante una representación en el plano, potenciando el
desarrollo de la abstracción espacial de las propiedades geométricas de las formas.
Otro de los recursos importantes, para el trabajo con formas espaciales, es la utilización de
materiales manipulables. A partir del manejo de cuerpos sólidos, sus cortes y truncamientos, se
pueden identificar y analizar propiedades importantes de las formas espaciales.
Para el estudio de las isometrías en el espacio los programas y juegos informáticos espaciales van a
cumplir un papel metodológico importante --por ejemplo el Tetris espacial, aparte de su aspecto
lúdico, implica un desarrollo importante de la capacidad de visualizar distintas isometrías de una
forma espacial concreta--. De igual modo, para la identificación y análisis de curvas en el espacio
los programas informáticos permiten su visualización de una manera fácil y rápida --si se utilizan
programas informáticos, como el Derive, es conveniente que sea el profesor o profesora quien
maneje el ordenador, pues la finalidad es la visualización de las curvas espaciales y no su estudio analítico--.
La evaluación en Matemáticas La evaluación es un proceso, paralelo al de enseñanza y aprendizaje, que va a servir de base para
diferentes propósitos. Por un lado, tiene la finalidad de identificar la evolución de los estudiantes y
orientar al profesor o profesora sobre sus líneas de avance y sobre las modificaciones en la
planificación del proceso de enseñanza y aprendizaje, esto es para ayudar a comprender mejor lo
que los estudiantes saben y como han evolucionado y, teniendo esto en cuenta, tomar decisiones
docentes significativas. Por otra parte, la evaluación debe servir para que los estudiantes sean
conscientes de su propio proceso --lo que han aprendido, que bloqueos tienen, que necesidades de
aprendizaje han aparecido, etc.--. --No debe confundirse la evaluación con la calificación, puesto que en muchas ocasiones se evalúa
a los estudiantes con una finalidad formativa y no calificadora. Aunque en ocasiones la evaluación
pueda servir para establecer una calificación, la evaluación debe tener, por encima de esa
calificación, un papel formativo y de revisión del proceso de enseñanza y aprendizaje--.
Es necesario, por tanto, plantearse la manera en que se va a controlar el avance de los estudiantes
en la consecución de los objetivos de la materia y los métodos que se van a emplear para ello. En
este sentido uno de los factores más fundamentales para que puedan extraerse inferencias
significativas de la evaluación es la coherencia entre los métodos de enseñanza y los de evaluación.
El aprendizaje de las Matemáticas es un proceso acumulativo que va incrementando y modificando
las estructuras conceptuales de cada alumno y alumna, lo que se pretende con la evaluación de los
aprendizajes es conseguir una imagen válida y fiable, en cada momento, de la adquisición y la
modificación de sus estructuras conceptuales y de sus destrezas procedimentales, tanto para el
profesor o profesora como para los propios estudiantes.
No hay que olvidar que esta materia es optativa de la modalidad de Artes y por tanto es muy
importante, por medio de la evaluación, comprobar que se están adquiriendo los conocimientos
necesarios que van a permitir que los estudiantes los apliquen en otras materias de esta modalidad.
�Qué evaluar?
Para responder a la pregunta �Qué evaluar?, es necesario tener en cuenta los elementos de que
consta el proceso de enseñanza y aprendizaje, sus fases y los resultados que queremos obtener. Los objetivos de la materia Matemáticas de la Forma están formulados en términos de capacidades
que tienen que desarrollar los alumnos y alumnas al término de la etapa. Sin embargo, es importante
tener en cuenta que el desarrollo de capacidades no es directamente medible. Del mismo modo
que se desarrollan capacidades, a través del proceso de enseñanza y aprendizaje, por medio de los
contenidos, la evaluación debe estar basada en ellos. Esto es, es por medio de los contenidos como
podemos evaluar los objetivos, pero no de una manera excluyente, pues con esos contenidos se
están desarrollando capacidades y estas deben ser el referente de la evaluación. � Los criterios de evaluación
En este sentido los criterios de evaluación --que son el elemento del currículo en que se relacionan
los objetivos con los contenidos-- van a ser los que nos marquen las pautas de la respuesta a la
pregunta �Qué evaluar?, pues los criterios de evaluación indican la manera de medir el grado de
desarrollo de los objetivos alcanzado por medio de los contenidos básicos seleccionados.
Los criterios de evaluación son, por tanto, la referencia obligada, no solamente en el momento de la
evaluación, sino, también, en el momento de la planificación del proceso de enseñanza y
aprendizaje, pues al marcar los contenidos básicos para el logro de los objetivos propuestos, nos
indican el grado de desarrollo y la aplicabilidad que deben tener.
Así, por ejemplo, el criterio de evaluación n� 1 (Resolución de 29 de diciembre de 1992, de la
Dirección General de Renovación Pedagógica, por la que se regula el currículo de las materias
optativas del Bachillerato --BOE n� 25 de 29 de enero de 1993--):
Resolver problemas de cubrimientos en el plano a partir de figuras simples y localizar en un
friso o en un mosaico un motivo mínimo que lo pueda generar.
Este criterio pretende averiguar si el alumno/a ha adquirido un conocimiento suficiente de las
configuraciones planas y de las técnicas necesarias para llegar a uno de los más bellos recursos
de la decoración artística: la simetría del diseño geométrico reflejada en frisos y mosaicos. Con
ello se pretende conocer si saben combinar movimientos para crear nuevas figuras y clasificarlas.
Este criterio marca el grado de los contenidos --combinar movimientos para crear nuevas figuras y
clasificarlas y también localizar en un friso o en un mosaico un motivo mínimo que lo pueda
generar--, indicando la aplicabilidad de estos --Resolver problemas de cubrimientos en el plano a
partir de figuras simples-- , e indica la relación entre los contenidos del bloque Elementos y
movimientos en el plano con los objetivos 1, 2 y 3 de esta materia(4). Además en él se remarca, por
un lado, la identificación del motivo mínimo de un mosaico, así como de los movimientos que hay
que realizar con él para reconstruir el mosaico y, por otro, la utilización de las isometrías para
elaborar nuevos cubrimientos del plano.
Los criterios de evaluación, por tanto, marcan pautas para evaluación de los aprendizajes de los estudiantes indicando su grado y tipo. No pueden entenderse como tareas de examen pero sí indican en qué tiene que fijarse el profesor o
profesora en el momento de evaluar una tarea o actividad de sus estudiantes.
Así, por ejemplo, sea una tarea de evaluación la resolución
de un problema como el siguiente:
a) Identifica y señala el motivo mínimo del mosaico adjunto (este mosaico se encuentra en el Palacio de Comares de la Alhambra)
b) Señala los movimientos que hay que hacer con el motivo mínimo para construir este mosaico,
indicando los elementos que caracterizan cada movimiento concreto que tengas que hacer.
c)�Puedes reconstruir el mosaico sólo con un tipo de movimientos? En caso afirmativo indica
cuál es. En caso negativo indica todos los movimientos necesarios para reproducir el mosaico.
En este caso hay aspectos de varios criterios de evaluación implícitos --entre ellos el criterio de
evaluación referido anteriormente está ampliamente recogido-- que van a proporcionar al
profesorado elementos para evaluar distintos elementos del aprendizaje de sus estudiantes --como la
comprensión del concepto de motivo mínimo, la identificación y utilización de los giros y
traslaciones--. Esta tarea de evaluación puede haberse realizado en grupo o individualmente, como prueba de
examen o como trabajo en clase --que se utiliza para evaluación de la marcha del grupo--, puede
haberse planteado al principio de un tema --como evaluación de diagnóstico de lo que los alumnos y
alumnas han aprendido en la etapa anterior-- o como resumen de los contenidos de una unidad. Es
el profesor o profesora del grupo concreto quien tendrá que estimar cuando y para que utiliza sus
instrumentos de evaluación, pero es fundamental que todos ellos tengan en cuenta y estén basados
en los distintos aspectos que integran los criterios de evaluación.
� Tipos de contenidos
Para evaluar el grado de adquisición de los contenidos por parte de los alumnos y alumnas debemos
tener en cuenta, como se ha comentado anteriormente, que no todos los contenidos desarrollados a
lo largo de un programa son del mismo tipo.
La adquisición de los conceptos geométricos es un proceso dinámico en el tiempo, no estático y
cerrado, y es la aplicación de estos conceptos a situaciones concretas, que los doten de significado
para los estudiantes, lo que les permite su comprensión de una manera significativa. Las
matemáticas tienen sentido para los estudiantes cuando éstos llegan a asimilar sus conceptos
y a entender sus significados e interpretaciones. Por tanto, la evaluación del aprendizaje de los
conceptos debe considerar estas situaciones. Para evaluar el grado de desarrollo en la adquisición de un concepto se deberá tener en cuenta los
diferentes aspectos que condicionan el aprendizaje del mismo, como la capacidad de reconocer las
condiciones y propiedades que lo determinan; de identificar ejemplos validos y no validos --por
ejemplo identificar cuando una figura es un motivo mínimo--; de reconocer sus distintos
significados; de aplicarlos a las situaciones que así lo requieran y de conectarlo con otros conceptos
--esto excluye la utilización exclusiva, en la evaluación de este tipo de contenidos, de ejercicios en
los que los estudiantes tengan que demostrar una mera memorización de definiciones y el simple
reconocimiento de estos en ejemplos comunes--.
La evaluación del conocimiento procedimental no debe limitarse a una valoración de la soltura con
que los estudiantes ejecuten procedimientos, lo que debe evaluarse, por encima de las destrezas en
su aplicación, es su capacidad para determinar cuándo y cómo aplicarlos y por qué funcionan, así
como entender los conceptos sobre los que se apoyan y la lógica que los sustentan. El conocimiento
procedimental está íntimamente entrelazado con el conocimiento conceptual. De esta manera será
precisa la realización de tareas de evaluación en las que los estudiantes tengan que aplicar distintas
estrategias de una manera no rutinaria, dando sentido al proceso y al resultado obtenido.
El aprendizaje de las matemáticas también implica desarrollar actitudes --como la tendencia a
pensar y actuar de forma positiva valorando las matemáticas como una herramienta potente para
analizar y transformar la realidad--. La evaluación del conocimiento matemático incluye una
valoración de estos indicadores y del reconocimiento que haga el alumno del papel y el valor de las
Una evaluación de la actitud matemática de los estudiantes requiere información, acerca de sus
ideas y acciones, en una gran variedad de situaciones. Esta información se puede recoger por medio
de la observación directa de estos mientras participan en discusiones de clase, tratan de resolver
problemas, o trabajan en tareas diversas por separado o en grupo. También ofrece una valiosa
información sobre su actitud matemática los trabajos escritos, las investigaciones y trabajos a largo
plazo, tareas para realizar fuera del aula, las exposiciones orales, etc. La evaluación de la actitud de
los alumnos ofrece información muy valiosa sobre los cambios que es preciso introducir en el
desarrollo de la programación y en el entorno de trabajo.
Cuando se valora un proceso y se evalúa a los alumnos y alumnas, debe acumularse la información,
que se recoja por distintos medios, para darle sentido a lo que se ha observado o medido. La
información acumulada puede utilizarse además, para emitir un informe, para calificales o como
indicativo de la validez del proceso y, en su caso, como vía para su reconducción. Los instrumentos de evaluación que se utilicen deben capacitar al profesorado para entender la
forma en que sus estudiantes están percibiendo las ideas y los procesos matemáticos y su capacidad
de funcionamiento en un contexto matemático. También deben contribuir a que tanto el profesor o
profesora, como los estudiantes, identifiquen los errores o aspectos matemáticos que resulten
problemáticos, con objeto de mejorar el proceso enseñanza y aprendizaje. Por tanto la mera
asignación de un número a un examen escrito, una calificación numérica que se dé en un momento
determinado, no puede dar una imagen completa de los conocimientos de los alumnos, sólo deja
entrever aspectos parciales.
Todos los métodos de evaluación deben hacer uso de múltiples técnicas o instrumentos que estén en
consonancia con el desarrollo del currículo establecido y tengan en cuenta el propósito final de la
evaluación, en este sentido las tareas de evaluación han de ser coherentes con los métodos de
docencia. No es lo mismo evaluar si un alumno o alumna a adquirido un a destreza en la aplicación
de un algoritmo que si tiene el conocimiento suficiente de un concepto como para aplicarlo cuando
la situación de estudio lo requiera. Hay que tener en cuenta que los contenidos son de distinto tipo
y, por lo tanto, los instrumentos tienen que ser variados. � La observación como instrumento de evaluación
Hay diferentes tipos de instrumentos y técnicas de evaluación en matemáticas --como los trabajos
escritos, los trabajos realizados en grupo durante las clases, las investigaciones y trabajos a largo
plazo, las exposiciones orales, explicaciones individuales de un trabajo realizado, informes de los
problemas resueltos en grupo, recogida de algunos de los problemas trabajados en una sesión,
exámenes individuales o por equipos--, pero uno de los instrumentos de evaluación, especialmente
significativo en la materia de Matemáticas de la Forma, es la observación del profesor o profesora
sobre el progreso de sus estudiantes, lo que convierte a la evaluación en un proceso cotidiano,
continuo y dinámico. La recogida de la información generada por la observación puede hacerse mediante la utilización de
plantillas en las que se subrayen los elementos que queremos evaluar mediante la observación y que
permitan una información clara y concisa. Es especialmente importante que el uso de dichas
plantillas no sea complicado ni tedioso para el profesor o profesora y, sobre todo, que no suponga
una dedicación de tal nivel que dificulte su puesta en práctica. En la mayoría de las ocasiones no es preciso observar a toda la clase sino que una observación
reducida produce información suficiente para estar al corriente de la marcha del proceso.
� La autoevaluación
Es importante desarrollar en el estudiante la actitud crítica sobre su propio trabajo y el de sus
compañeros. En este sentido, es conveniente incorporar al proceso de evaluación del aprendizaje la
opinión del sujeto activo del mismo, mediante técnicas de autoevaluación. Los objetivos de la autoevaluación serían: contrastar las opiniones de cada estudiante y las del profesor o profesora a lo largo del proceso de evaluación, implicar al alumnado en todas las fases del desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje, enjuiciar críticamente el trabajo propio, la planificación de las actividades y el material utilizado.
�Cuándo evaluar?
La evaluación es un proceso enmarcado en el propio proceso de enseñanza y aprendizaje en el que
cabe distinguir tres fases: una primera de carácter inicial y de diagnóstico, una segunda, desarrollada
a lo largo del proceso y de carácter formativo y una tercera de carácter final que sirva de análisis de
la consecución de objetivos por los alumnos.
Hay que remarcar que la evaluación es un proceso y como tal en ella se darán estas fases en
repetidas ocasiones a lo largo de un mismo curso. Además, como ya se ha indicado, una misma
tarea de evaluación puede servir para identificar los conocimientos iniciales de los estudiantes sobre
algún contenido novedoso, al mismo tiempo que para evaluar la evolución de estos en la adquisición
y aplicación de otros. A continuación se analiza brevemente cada una de estas fases:
� Inicial o de diagnóstico
Esta fase sirve para conocer el nivel de conocimientos de los estudiantes y sus posibles
preconceptos erróneos y tiene el sentido de posibilitar la modificación de la planificación inicial de
alguna parte de la programación. Es conveniente realizarla al introducir nuevos contenidos o al
comienzo de un núcleo temático o Unidad didáctica, aunque, en muchas ocasiones, resultados
anteriores pueden servir para este propósito.
� A lo largo del proceso o formativa
Esta es una fase en la que se evalúa la forma y grado en que los estudiantes adquieren los
contenidos y el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje. Es de carácter regulador y
orientador del propio proceso y va a permitir realizar posibles modificaciones en el desarrollo de lo
planificado. Esta fase es fundamental en dicho proceso y tiene que ir de manera paralela a él, de esta
forma podemos ir calibrando el avance de los estudiantes en el desarrollo de las capacidades
previstas en cada unidad, cada núcleo y a lo largo del curso. En esta fase, la recogida de la
información puede hacerse de manera simultanea al proceso de enseñanza y las propias actividades
de aprendizaje van a servir, en la mayoría de los casos, para realizar esta evaluación.
� Final o sumatíva
Esta fase sirve de análisis de la consecución, por parte de los estudiantes, de los objetivos
propuestos a partir de sus conocimientos iniciales, del proceso de enseñanza y del de evaluación
mismo. Es una fase en la que debe recogerse toda la información obtenida a lo largo del proceso de
enseñanza y aprendizaje para valorar los resultados obtenidos y hacer balance entre estos y los
previstos. Esta fase debe servir como evaluación inicial del próximo proceso de enseñanza y
aprendizaje, para posibles modificaciones de la planificación de las siguientes unidades, núcleos o
ALSINA, C.; BURGUÉS, C. Y FORTUNY, J. M. (1988) Invitación a la Didáctica de la Geometría, col.: Matemáticas: Cultura y aprendizaje n� 12, Madrid: Síntesis,
A lo lago de seis capítulos se desgranan temas tales como la historia de la Geometría, la intuición,
la percepción, el entorno natural, social y artístico, el razonamiento, la representación, el
aprendizaje, y temas más específicamente didácticos sobre el currículum, la simbolización, las
clasificaciones, los problemas o la evaluación. En todos ellos se incluyen propuestas y actividades
para el aula y se indican los niveles a los que van destinadas.
ALSINA, C., BURGUES, C, y FORTUNY, J.M. (1988) Materiales para construir la geometría.
Col. Matemáticas, cultura y aprendizaje n� 11, Madrid: Síntesis.
La obra ofrece una guía estructurada de materiales geométricos, especificando su interés y su uso,
con el objetivo de familiarizar al alumno a través del tacto, la vista, el dibujo y la manipulación, con
las formas, las figuras y los movimientos, como requisito previo para trabajar más tarde los modelos
geométricos abstractos. En el capítulo 1 se dan las bases sobre los tipos de materiales y sus
posibilidades. Se dedican cinco capítulos a la Geometría visual, construida, dibujada, medida y
lúdica, en los que se incluyen tanto indicaciones de tipo general como fichas de material.
ALSINA, C., PÉREZ, R., y RUIZ, C. (1989) Simetría dinámica, Col. Matemáticas, cultura y
aprendizaje n� 13, Madrid: Síntesis.
Se estudian algunas transformaciones geométricas, se analizan sus propiedades, sus combinaciones
y sus usos (frisos, mosaicos, calidoscopios, � ), se dan ideas para el aula y se incluyen algunas
investigaciones y ejercicios. Se puede completar este tema con los dos libros de actividades para el
alumno que se indican a continuación: ALSINA, C. TRILLAS, E. (1986). Lecciones de Álgebra y Geometría, Barcelona, Gustavo Gili.
Este libro de texto para estudiantes de Arquitectura de primer curso, incluye descripciones sobre
proporciones, simetría, geometría métrica y grafos que pueden ser de interés para estudiantes de
esta materia de Bachillerato.
BELTRÁN, C. y GARCÍA, J. (1988). Geometría y experiencias. Col. Biblioteca de Recursos
Didácticos n� 20, Alhambra, Madrid,
Manual ameno que condensa toda la Geometría elemental. El libro se compone de dos partes bien
diferenciadas: Geometría del plano y Geometría del espacio. Se tratan los siguientes temas:
segmentos, ángulos, paralelismo, perpendicularidad, polígonos, proporcionalidad, teorema de
Pitágoras, circunferencias y áreas. En cada tema se presentan experiencias, contenido teórico,
actividades para que el alumno descubra y ejercicios de Geometría recreativa.
COKCROFT, W.H. (1985). Las Matemáticas sí cuentan, Madrid: M.E.C.
Traducción de la obra clave de la reforma educativa en el Reino Unido. Presenta una adecuada
revisión de la situación de las matemáticas en los últimos años con las aportaciones en las que se
considera se debe insistir en el nuevo currículo. Es de obligada lectura para entender las reformas
curriculares posteriores en muchos países.
GUILLEN, G. (1991). Poliedros. Col. Matemáticas, cultura y aprendizaje n� 15. Madrid: Síntesis,
En esta bella y completa obra de Geometría espacial se tratan procesos matemáticos como
observación, manipulación, recuento, clasificación, generalización y prueba. Los temas que se
estudian son los siguientes: construcción de poliedros; descripción y criterios de clasificación de
poliedros; poliedros platónicos; truncamiento, despliegues de poliedros y dualidad; poliedros
arquimedianos y estrellados; representación y desarrollo de poliedros; caleidoscopios poliédricos;
rellenado del espacio y retículas espaciales. Finaliza con una serie de ejercicios que ponen a prueba
y fomentan la visión espacial.
GHYKA, M. (1983) Estética de las proporciones en la naturaleza y en el arte, Poseidón.
Texto ameno e interesante, insustituible como fuente de ideas. Estudia con detalle cómo el
crecimiento armonioso de los seres vivos se proyecta en los principios matemáticos y en las
realizaciones de la arquitectura y el arte occidental.
GUZMÁN. M. de. (1994). Para pensar mejor. Madrid: Colección Ciencia hoy. Pirámide.
Este libro trata sobre el pensamiento en general y sobre el pensamiento matemático en particular.
En el se plantean situaciones en la que se identifican los bloqueos en la resolución de situaciones
problemáticas; las estrategias generales de pensamiento en el curso de la resolución de un problema;
las estrategias del pensamiento matemático y, por último, da pautas sobre la dirección en la que
podría ir la selección de contenidos de aprendizaje de los diversos dominios de conocimiento, de
modo que se favorezca en el individuo la creación de esquemas mentales eficaces para abordar
MASON, J., BURTON, L. y STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente, Barcelona:
Labor-MEC
La tesis del libro es que la capacidad de razonamiento matemático se puede mejorar si se atacan los
problemas de forma eficaz y concienzuda, se aprende de la experiencia y se reflexiona sobre el
propio proceso de resolución.
PACIOLI, L. (1959). La divina proporción, Madrid: Losada.
Gran recopilación renacentista de las cuestiones relacionadas con el número áureo y sus
PEDOE, D. (1979). La geometría en el arte, Barcelona: Gustavo Gili. Colección: Punto y Linea.
Un libro muy interesante para esta materia. Desarrolla sobre todo los aspectos estéticos y de
POLYA, G. (1982). (Primera edición de 1945). Cómo plantear y resolver problemas, Méjico,
Libro básico para la resolución de problemas. Se ofrece un camino para el desarrollo de estrategias
con ejemplos sistematizados y muy adecuados. El enfoque no es directamente curricular, pero la
reflexión es de gran potencia y profundidad. SÁNCHEZ SORDO, M. (1986). Fundamentos de geometría. Madrid: Playor,
Iniciación a la Geometría en forma de autoaprendizaje. Síntesis teórica, ejercicios propuestos y
resueltos y autoexámenes sobre conceptos básicos de Geometría plana. Muy claro.
WOOD, L.E., (1987). Estrategias de pensamiento, Barcelona: Labor.
Destrezas básicas para resolver problemas y plantea problemas para su aplicación. La autora
explora la cara heurística de la resolución de problemas poniendo un énfasis especial en desarrollar
habilidades generales para resolver problemas.
ALSINA, C. (1995). Matemáticas de la Forma Madrid: Colección Materiales Didácticos
Bachillerato. M.E.C.
ALSINA, C. y FORTUNY, J.M. (1992) Miralandia. Un viaje geométrico al país de los espejos.
Col. 2 Puntos, Granada: Proyecto Sur.
BOSSARD, Y. (1977) Rosaces, frises et pavages París: CEDIC;
BRIHUEGA, J. Y OTROS (1985) Didáctica de las Matemáticas: Geometría Comunidad de
Madrid col.: Programa de formación del profesorado; Madrid.
BURN, B. (1987) The Design of Tessellations Cambridge University; Cambridge.
CARRIÓN, J. Y GUERRERO, J. (1988) Transformaciones Geométricas Generalitat Valenciana
Materiales Reforma; Valencia.
CASTELNUOVO, E. (1963) Geometría Intuitiva Labor; Barcelona
COXETER, H. S. M. (1971) Fundamentos de Geometría Limusa Wiley: Mexico.
GHYKA, M. (1983) El número de oro, Poseidón.
Grupo BETA. (1990). Proporcionalidad geométrica y semejanza. Col. Matemáticas, cultura y
aprendizaje n� 14, Madrid, Síntesis,
GUZMÁN, M. DE. (1991). Aprender a pensar. Barcelona: Labor.
MORA, J.A. y RODRIGO, J. (1993). Mosaicos 1. Col. 2 Puntos, Granada: Proyecto Sur.
N.C.T.M. (1991). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática.
Sevilla: S.A.E.M. Thales.
NESTARES, P. Y PÉREZ, M. T. (1989) Tramas Geométricas en la Decoración Cerámica de la
Alhambra Proyecto Sur; Granada.
PÉREZ GÓMEZ, R. (1990) Alicatados Proyecto Sur col.: Vivo la Alhambra; Granada.
POLYA, G. (1966). Matemáticas y razonamiento plausible. Madrid: Tecnos.
PUIG ADAM, P. (1956) Didáctica de la Matemática Eurística Inst. de Formación Laboral;
Los recursos audiovisuales deben ser un instrumento de uso cotidiano como recurso didáctico en
este nivel educativo. La utilización de este material abarca todas las fases de cada actividad práctica
ya que se puede utilizar como introducción de un tema a investigar, como herramienta de trabajo en
el desarrollo de la investigación, como soporte para la presentación de resultados e incluso como
instrumento para la evaluación de los alumnos y alumnas y de la actividad.
Los principales recursos de que se podría disponer son:
Magnetoscopio y monitor de TV.
Producción: SERTEL S.A.
Distribuidora: Subdirección General de Formación del Profesorado del M.E.C.
El ojo matemático (1� y 2� parte) Vídeos 1, 8, 9, 10, 11 y 15
Distribuidora: Imagen 35 & Asociados
Producción: Südwestfunk. Alemania
Distribuidora en España: Mare Nostrum. I.M. 10 investigaciones matemáticas
B.B.C. TV
Distribuidora: B.B.C. Enterprises
La aventura del cuadrado
Productora: Michele Emer & Film 7. Italia
Distribuidora en España: Mare Nostrum
Producción CBC. Canadian Broadcasting Corp.
Distribuidora en España: Metrovídeo española S.L.
Transformaciones Geométricas. Enunciado de Thales
Centro Nacional de Documentación Pedagógica (Francia)
Distribuidoraen España: Mare Nostrum
En el uso del ordenador ha de evitarse confundir el fin con los medios y evitar utilizar herramientas
cuyo dominio exija un esfuerzo en tiempo y recursos que no se vea compensado con el resultado
final. Se debe tener siempre presente que no se trata de "enseñar Informática". Por el contrario, se
trata de aplicar la herramienta informática al desarrollo y aprendizaje de la materia. Por ello, se
deben buscar programas de fácil manejo y que no requieran unos grandes medios en cuanto a los
Producción: Marta Olivero y José Luis Abreu
Derive: A Mathematical Assistant Program.
Distribuidor: Add Link.
Decorando la mezquita
Producción: Proyecto Sur de Ediciones. 1992
Autor: Miguel de la Fuente Martos
El objetivo del juego es rellenar el área de la izquierda completando el mosaico que se presenta
en fotografía. Para ello es preciso colocar sucesivamente los módulos unitarios que van
apareciendo, utilizando reflexiones y giros.
Producción: PNTIC-CIDE (M.E.C.)
Autores: Julio Castiñeira y Jorge Pacual
Es un programa más bien concebido para uso del profesor, bien para su utilización como pizarra
gráfica o como herramienta para preparar y presentar problemas geométricos en el plano, en
papel o transparencias.
Notas 1. Esta estructura ha sido extraída del documento de Alsina, C. (1993). Matemáticas de la Forma.
Madrid: M.E.C., Col. Materiales Didácticos: Bachillerato.
2. Problema extraído del documento de Alsina, C. (1993). Matemáticas de la Forma. Madrid:
M.E.C., Col. Materiales Didácticos: Bachillerato.
3. Problema extraído de Perelman, Y. (1982) Matemáticas recreativas. Moscú: MIR
4. Ver el currículo oficial de esta materia que se adjunta al principio de este documento.
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References: resolución 
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