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PAMER ALGEBRA SM
PAMER ALGEBRA UNIFull description
Descripción: PAMER ALGEBRA UNI
Problemas tipo Catolica de la academia Pamer.
Pamer Algebra Completo
ÁLGEBRA TEMA 0
NÚMEROS COMPLEJOS SNII2X0
DESARROLLO DEL TEMA Al resolver la ecuación x2 + 4 = 0, obtenemos las raices –4 y – –4, osea números no reales. Si consideramos U = R, tenemos como conjunto solución el conjunto vacío, esto es, S=∅. La solución de ecuaciones de este tipo pasan a ser posibles debido a la introducción de un elemento matemático, denominado unidad imaginaria, que será indicado por la letra i tal que:
in = i4k+r = i4k . ir ⇒ in = ir siempre igual a 1
i = –1 o i2 = –1 En manuscritos fechados en 1777 y publicado posteriormente en 1794, el matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) fue el primero en utilizar la letra i para representar –1. A partir de la unidad imaginaria, comienza a configurarse un nuevo conjunto, el de los números complejos, que será indicado por C.
1, i, –1 y – i
II. PROCESO PRACTICO PARA CALCULAR POTENCIAS DEL I
Dado in, con n ∈ N tenemos: residuo
Por lo tanto el valor de la potencia i depende del resto r, observe el cuadro. Valor de r
I. POTENCIAS DE I Vemos ahora como podemos calcular potencias de i. i0 = 1 i1 = i i2 = – i i3 = i2.i = (–1)i = –i i4 = i3.i = (– i)(i) = –i2=1 i5 = i4.i = (1)(i) = i i6 = i5.i = (i)(i) = i2=–1 i7 = i6.i = (–1)(i) = –i i8 = i7.i = (– i)(i) = –i2 = 1 Observamos los valores obtenidos para esas potencias verificamos que ellas se realicen cada grupo de cuatro potencias, asumiendo los valores de:
El resto de la división de n por 4 seria siempre uno de estos valores: 0,1,2 ó 3
i250 →
250 4 → i250=i2 = –1 2 62
i931 →
931 4 → i931=i3 = –i 3 232
III. FORMA ALGEBRAICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Todo número complejo puede ser expresado con la forma. z = a + bi
Denomina forma algebraica, en el cual a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. El número a es la parte real de z y lo indicamos por Re(z) =a El número b es la parte imaginaria de z y lo indicamos por Im(z)=b. • Si Re (z) = 0, entonces z es un número imaginario puro. • Si Im(z) = 0, entonces z es un número real. Todo número real a es un número complejo a + Oi Luego R ⊂ C. Podemos visualizar esa relación de inclusión en el diagrama. C
n 4 ⇒ n=4k+r r k
VI. C O N J U G A D O D E U N N Ú M E R O COMPLEJO
Ejemplos: z = 2 + 7i ⇒ Re (z) = 2 e IM (z) = 7 z = –4i ⇒ Re (z) = O e IM (z) = – 4
Dado un número completo Z = a + bi, denominamos conjugando de Z al número complejo.
IV. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Z = a – bi
Dos números complejos Z1=a+bi e Zz = a+bi e Zz = c+di. Son iguales si y solamente si, sus partes reales e imaginarias fueron respectivamente iguales o sea:
Ejemplo: Si: Z = 2 + 5i entonces: Z = 2– 5i Z = –4 + 2i entonces: Z = –4–2i
Z1= Z2 ⇔ a+bi = c+di ⇔ a = c y b = d
V. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN LA FORMA ALGEBRAICA A. Adición Sean los números Z1 = a + bi y Z2 = c + di, con a,b, c d ∈ R. Entonces tenemos:
El conjugado de un número real es el propio número.
VII. PROPIEDADES DEL CONJUGADO
• Z1 + Z2 = Z1 + Z2
Z1+Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i Parte Parte real imaginaria • Ejemplo: Siendo Z1 = 3+4i y Z2 = –1+2i Determinar: Z1 + Z2 Z1 + Z2 = (3+4i) + (–1+2i) = (3–1)+(4+2)i = 2+6i
B. Sustracción Sean los números complejos Z1 = a + bi y Zz = c + di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:
• Z1 . Z2 = Z1 . Z2 • Z = Z ⇒ Z ∈ R n
• (Z) = Zn, con n ∈ N • Z = Z
VIII. DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA ALGEBRAICA
Z1–Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a–c)+(b–d)i
Sean los números complejos Z1 y Z2 con Z2 ≠ 0. Z1 El número complejo es obtenido multiplicando Z2 el numerador y denominador por conjugado del denominador, esto es:
Sean Z1, Z2 y Z3, números complejos cuales quiera. Entonces son validos las siguientes propiedades.
Parte Parte real imaginaria
Z1 . Z2 Z2 Z2
• Ejemplo: Siendo Z1 = 5+i y Z2 = –1+3i Determinar: Z1 – Z2 Z1 – Z2 = (5+i) – (–1+3i) = 5+i+1–3i Z1 – Z2 = (5+1) + (i–3i) = 6 – 2i
Ejemplo: Siendo Z1 = 5 + 3i y Z2 = 1– 4i. Calcular Z1 Z2 Z1 Z2
C. Multiplicación Consideremos los números compuestos Z1 = a + bi y Z2 = c + di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:
2 5 + 3i . 1 + 4i 5 + 20i + 3i + 12i = 2 1 – 4i 1 + 4i 1–16i
Z1 . Z2 = (a+bi) . (c+di) = ac + adi + bci + bdi2
5 + 20i + 3i – 12 1+16
Z1 . Z2 = ac + adi + bci + bd (–1) = ac + adi + bci – bd
Z1 . Z2 = (ac – bd) + (ad + bc) i 1442443 1442443 Parte Parte real imaginaria
• Ejemplo: Siendo Z1 = 2 – 3i y Z2 = 1 + i determine Z1 . Z2 Z1 . Z2 = (2 – 3i)(1+i) = 2 + 2i – 3i – 3i2 Z1 . Z2 = 2 + 2i – 3i + 3 = 5 – i
–7 17
–7+23i 17
23i 17
IX. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Actualmente a la siguiente representación es conocida como Argand – Gauss. Ahora observe en el grafico la representación de un número complejo Z = a + bi, a, b ∈ R.
Eje imaginario P(a,b)
Determine argumento de Z a la medida del ángulo ϕ, formado por el segmento OP y el eje x medido en radianes en sentido antihorario con O ≤ ϕ < 2p. Entonces tenemos: Sen ϕ =
b = r Sen ϕ ; a = r Cos
x(eje real)
Al punto P en el plano se le denomina afijo de Z. Podemos también indicar un número complejo Z = a + bi Como un par ordenado esto es: Z = (a,b)
Reemplazando: En Z = a + bi Z = r (Cos ϕ + i Sen ϕ) Esa expresión es la forma trigonométrica de un número complejo Z = a + bi, de módulo r y argumento ϕ.
X. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Sea P el afijo de un número complejo Z = a + bi, denominase módulo de Z a la distancia de P hacia el origen (O, O). El módulo de Z será indicado por |Z| o por la letra griega ρ. Gráficamente tenemos: y P
b a y Cos ϕ = r r
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo vemos: ρ2 = a2 + b2 ⇒ r = a2 + b2 Por lo tanto el módulo de un número complejo Z es dado por:
Ejemplo: Dar la forma trigonométrica a: Z = –1 + i Tenemos: a = –1; b = 1 Módulo: r =
(–1)2 + (1)2 ⇒ r =
–1 – 2 Cos ϕ = a ⇒ Cos ϕ = ⇒ Cos ϕ = 2 r 2 2 1 b ⇒ Cos ϕ = Sen ϕ = ⇒ Sen = 2 r 2 3p Luego: ϕ = (135°) 4 J 3p 3p N Por lo tanto: Z = 2 K Cos 4 + iSen 4 O P L Gráficamente: y 1 ϕ=
|Z| = r = a2 + b2 Observación: r es real no negativo Ejemplo: Calcular el módulo de: Z = –3 + 4i a = –3; b = 4 entonces: r = (–3)2 + 42 = 9 + 16 =
3p 4 x
XIII. O PERACIONES EN FORMA TRIGONOMÉTRICA
Dados: Z1 = r1 (Cosϕ1 + iSen ϕ1)
|Z| ≥ 0 |Z1 . Z2| = |Z1| . |Z2| |Z| = 0 ⇔ Z = 0 |Z| = |Z| Z1 Z1 = (Z2 ≠ 0) Z2 Z2
Z2 = r2 (Cosϕ2 + iSen ϕ2)
Z1 . Z2 = r1 . r2 [Cos(φ1 + ϕ2) + iSen(ϕ1 + ϕ2)]
|Zn| = |Z|n
XII. ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea P un afijo de un número complejo Z = a+bi representando en el plano. y P
División: Z1 r1  Cos (ϕ1 – ϕ2) + iSen (ϕ1 – ϕ2) Con Z2 ≠ 0 =  Z2 r2  Potenciación: Zn = rn [Cosnϕ + isen nϕ] Con n ∈ N (Primera fórmula de Moivre) Radicación: W = n Z
N N J J w = n r . Cos K ϕ + 2kpO + iSen K ϕ+2kp O  n n P P L L Con k ∈ Z; 0 ≤ k < n (n ∈ N*) (Segunda fórmula de Moivre)
XI. PROPIEDADES DEL MÓDULO
Si: z = 1 + 3 i, en que i es la unidad imaginaria entonces Z6 vale: A) 40 B) 48 C) 56 D) 64 E) 72
Si: |z+16| = 4 |z+1|. Calcular |z|
Si se cumple: Hallar x.
A) 24n
x + yi = 1+i
B) 24n+2 C) 44n+1
D) –24n+2 E) –24n+1 Resolución:
Resolución: Z6 = (Z3)2 = [(1 + 3i)3]2 = [13 + 3(1)2 3(1)( 3i)2 + ( 3i)3]2 = [1 + 3 3 i – 9 – 3 3 i]2 = (–8)2=64
Volviendo a escribir |z+16| = |4z+4|
[(z+16)+(4z+4)][(z+16)–(4z+4)]=0
x+yi = (1+i)8n+4 = [(1+i)2]4n+2 = [2i]4n+2
(5z + 20)(–3z+12)=0
x+yi = 24n+2. i4n+2 = –24n+2 14243 i2 = –1
z={–4;4}, luego |z| = 4
Respuesta: 64
Respuesta: –2
4. El producto (a+bi)(3+2i) es un número real. El valor de 2a + 3b es: A) –3 B) –2 C) 0 D) 2 E) 3
8. ¿Qué valor asume “k”, si k+3i es 2–5i un complejo imaginario puro? A) 2 B) –2 C) 15 D) 15/2 E) 1
PROBLEMAS DE CLASE 1. ¿Cuál debe ser el valor de x para que el número complejo Z=(x– 4)+(x 2–4x+3)i sea un número real? A) 3 B) 1 C) 0 D) 4 E) {1,3} 2. El módulo del número complejo (1+3i)4 es: A) 256 B) 100 C) 81 D) 64 E) 16 3. La forma algebraica del número complejo Z = Cos 3p + iSen 3p es 4 4 –1 i A) + 2 2 B)
–1 i + 4 4
2 2 + i 2 2
3 + 3i 2
5. Sea: Z = (1+i) Halle: Im(z) A) 32 B) 10 D) 128 E) 256
6. El cociente del número complejo a+ib por el número complejo no nulo c+id será un número real si: A) a = c b d B) a+b = c+d C) ac = bd D) a+c+b+d=0 E) Ninguna respuesta anterior 7. Sean: z=1+i; w = 1 – i Calcule: J z N100 E= K O Lw P
E) –1 + 2 i 2 2
A) 5 D) 3
A) –i D) –1
(1–i)302+(1+i)301 (1+i)302+ (1–i)301 B) i E) 1+i
10. De la igualdad: (1+i)5 + (1–i)3 = a + bi Halle el valor de “ab” A) 36 B) –36 C) 6 D) 30 E) –6 11. Calcule “a” para que: z = 2+2ai sea un complejo real. 1+2i A) 3 B) 1 C) 1/2 D) 2 E) 1/3 12. Si el resultado de: (1+i)2+(2+i)2+(3+i)2+...+(20+i)2 7n–m es igual a: m+ni, halle: 30
A) 1/2 D) 2
B) 0 E) –3
ÁLGEBRA TEMA 1
EXPRESIONES ALGEBRAICAS SNII2X1
DESARROLLO DEL TEMA TEORÍA DE EXPONENTES 1
an = a.a. .........a 144424443 n veces
Si: a ≠ 0
J a N–n J b Nn K O =K O Lb P L a P
J aN an K O= n LbP b n
amn.br
.∞ .. x x
n am = n amp = amp/n  
= a → x =a a .∞ ..
A A n A ... ∞ = n–1 A
ampq.brq.cs
n.p.q
am = amn
= n+1 A A …
JamN. bp . cr = amnqs.bpqs.crs L P 
9 (a.b.c)n = an.bn.cn
JamN  = amnp L P 
am/n.br/np.cs/npq
1 a–n
J mNn J Nm Ka O = amn = K anO L P L P
1 = n a
an = –n
am = am–n an
4 a0 = 1
A A m A ... n radicales =
mn–1 m–1
x n 29 Si: a = a ; entonces x = n n n 30 Si: x = a ; entonces: x = a
31 Si: xx = bb; entonces: x = b
mn–1 m+1
32 Si: xx = xb; entonces: x = 1; x = b
A "n" par
"n" radicales
2n representa a un número par. 2n – 1 representa a un número impar. n = {1,2,3,4,5,6,7,...}
m +1 m+1
A "n" impar
(–a)2n = + (a)2n (–a)2n–1 = –(a)2n–1
–n 27
n(n+1)+ n(n+1) +
n(n+1)+...∞ =
Suma de los n primeros números enteros: n 1+2+3+...+n = (n+1) 2
Suma de los cuadrados de los n primeros números enteros: n 12+22+32+...+n2 = (n+1)(2n+1) 6
POTENCIA DE UN EXPONENTE 28
Suma de los n primeros números pares: 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1)
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Si xy = 2 (donde x > 0), halle el valor de la siguiente expresión: y –y y y (4x )x . (xx ) + (x2)–y
2x2y – 6x–y A) 3 C) 16/5 E) 16/3
Si 5 = m y 5 = n, halle el valor de (0,04)–x+2z
Si a + b = 1 y ab =
A) m2.n–4
(ab+ba)(aa+bb)–(2a/2+2b/2) A) ab+1
C) m2.n–1/4
D) m–2.n4
B) ba+1
E) m2.n4
C) 1 D) a+1
J J1 K4x O . (xy) + K y O L P Lx P J N2 6 2 K xyO – y x L P
–x+2z
J1N (0,04)–x+2z = K 25O L P
Resolución: Efectuando.
= (5)–2x+4z
Reemplazando: 1 N2 2O
2 J (2) J 1 N 1 K4 . (2) + K 2 O 16 + 4 = 13 L P L P = 2 4 6 8–3 2 (2) – 2
ab+a+(ab)b+(ba)a+ba+b–(2a/2+2b/2) z 4
= (5 ) . (5 )
Reemplazando: a1+ 2 b+ 2 a+b1–2a/2–2b/2
Reemplazando: m–2.n4
Respuesta: 13/4
Problema 3 z
B) m1/2.n–4
B) 11/4 D) 13/4
1 y y Nx
Respuesta: m–2.n4
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN: 1. Hallar "x", si se cumple: 3x+4=272x–1 A) Cero B) 3 C) 2 D) 4/5 E) 7/5 2. Hallar "x", si se cumple: 4x.4x–1=64 A) 7/4 B) 2 C) 5/4 D) 1/2 E) 4/7 3. Hallar "x", si se cumple: 3 1 = ax–5 3x a A) 1 B) 0,5 C) 1,5 D) 2 E) 2,5 4. Efectuar: x x x . A) 1/x C) x7/8 E) Otro valor
x B) 1 D) x
5. El equivalente de: 2x+3.(3x–1)x es: 6x.x–x A) 1/8 B) 8 C) 1/6 D) 6 E) N.A.
9. Hallar "x", si se cumple:
6. Simplificar: 156.124.59.63 1011.313.54
10. Hallar x en: x3+x A) 5 B) 3 2 C) 2 D) 5 2 E) Otro valor
A) 2 D) 1
7. Reducir: E= A) 5 D) 12
(0,001) A) 1 D) 8
3+x3+x
....∞
11. Reducir: 38n.36 2n+1 27 +93n+1 B) 7 C) 11 E) 3n
8. Calcular el valor de: –4 1210.185 J 1 N E= 5 6 K O 8 .54 L0,5P A) 3 D) 9
–3–1 x27
B) 2 E) 16
n 813 J3 K
N 3n+1
A) 2 D) 4
B) 1/2 E) 1/4
O P C) 8
12. Hallar el valor de: M = [25x+2]50x,si: xx = (0,2)0,08 A) 8 B) 9 C) 25 D) 5 E) 125
ÁLGEBRA TEMA 2
NÚMEROS REALES SNII2X2
DESARROLLO DEL TEMA 5. Si a ∈ r! (–a) ∈ r /a+(–a) = a+(–a) Elemento inverso aditivo
Los números reales (desginados por r) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales.
B. Axiomas de la multiplicación 1. Si a ∈ r y b ∈ r → (a.b) ∈ r Clausura
A. Números naturales (N) N = {0; 1; 2; 3; 4...}
2. Si a.b = b.a; a.b ∈ r Conmutatividad
B. Números enteros (Z)
3. Si (a.b).c = a.(b.c); a.b.c ∈ r Asociatividad
Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2...}
C. Números racionales (Q) Son aquellos números que se pueden expresar como una fracción de términos enteros. Ejemplos: • 6 = 18 → 6 ∈ Q 3 • 0,2 = 1 → 0,2 ∈ Q 5
4. Números irracionales (I) Son aquellos números que no se pueden expresar como una fracción de términos enteros. Ejemplo:
4. Si !1/a.1 = 1.a = a; a ∈ r Elemento neutro multiplicativo 5. Si a ∈ r –{0}!(1/a) ∈ r /a.(1/a) = (1/a).a = 1 Elemento inverso multiplicativo
III. RELACIÓN DE ORDEN
• (a; a) ∈ r; ∀ a ∈ A (Propiedad reflexiva) • Si (a; b) ∈ r; ∧ (b; a) ∈ r ⇒ a = b (Propiedad antisimétrica)
7 • • π = 3,141592...
II. AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES
2. Si a+b = b+a; a, b ∈ r Conmutatividad
3. Si (a+b)+c = a+(b+c); a, b, c ∈ r Asociatividad
Estrictos No estrictos
> "mayor que" < "menor que" ≥ "mayor o igual que" ≤ "menor o igual que"
A. Clases de desigualdad
1. Desigualdad absoluta Aquella que se verifica para todos los valores reales
4. Si !0/a+0 = 0+a = a; a ∈ r Elemento neutro aditivo
• (a; b) ∈ r; ∧ (b; c) ∈ r ⇒ (a; c) ∈ r (Propiedad transitiva) Entonces podremos decir que el conjunto A es ordenado usaremos los siguientes símbolos: 14243 14243
A. Axiomas de la adición 1. Si a y b ∈ r → (a+b) ∈ r Clausura
Dado un conjunto A distinto del vacío donde se define r en A. r es una relación de orden en A si verifica las siguientes propiedades:
que se asignen a las letras que intervienen en ella. Ejemplos:
B. Intervalo abierto 〈a; b〉 = {x ∈ r /a < x < b} en el cual no se incluye los extremos "a" y "b".
• x2+10 > 0 (Se verifica ∀ x ∈ r) • (a–b)2 > –1 (Se verifica ∀ a; b ∈ r)
2. Desigualdad condicional Aquella que se verifica para determinados valores de sus letras (inecuaciones). Ejemplos: • x–5 > 3 (Se verifica solo para x>8)
C. Intervalo semiabierto o semicerrado [a; b〉 = {x ∈ r /a ≤ x < b} –∞
• (x–1)2 ≤ 0 (Se verifica solo para x=1)
〈a; b] = {x ∈ r /a < x ≤ b}
B. Definiciones relativas a desigualdad 1. "a" es positivo ↔ a > 0 2. "a" es negativo ↔ a < 0 3. a > b ↔ a – b > 0 4. a < b ↔ a – b < 0 5. a ≥ b ↔ a > b ó a=b 6. a ≤ b ↔ a < b ó a=b
D. Intervalo infinito o no acotado 〈a; +∞〉 = {x ∈ r /x > a} –∞
C. Teoremas relativos a desigualdades
Siendo a; b; c; d ∈ r 1. Si a > b ∧ b > c ⇒ a>c (Propiedad transitiva)
[a; +∞〉 = {x ∈ r /x ≥ a}
2. Si a > b ∧ c ∈ r ⇒ a± c >b± c
3. Si a > b ∧ c > 0 ⇒ ac >bc
4. Si a > b ∧ c < 0 ⇒ ac
〈–∞; b] = {x ∈ r /x ≤ b}
5. Si a>b c>d ⇒ a+c>b+d
6. Si a>b cb–d
7. Si a; b; c tienen el mismo signo 1 1 1 a > a b c 8. Siendo a; b; c del mismo signo
• r = 〈–∞; ∞〉 • r+ = 〈0; ∞〉 • r– = 〈–∞; 0〉
a< bn < cn
V. OPERACIONES CON INTERVALOS
9. Siendo a
A. Unión y disyunción "∪"
• Si: a; b; c positivos ⇒ an < bn < cn
• Si: a; b; c negativos ⇒ an > bn > cn
A ∪ B = {x ∈ r /x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Si: a y c de signos contrarios ⇒ 0 < bn < mayor potencia hallada
Ejemplo: Sean: A = [2; 5〉 hallar "A ∪ B" B = [4; 7〉 Graficando:
Los intervalos son subconjuntos de números reales que gráficamente son segmentos de recta o semirecta y cuyos elementos satisfacen ciertas desigualdades. Son de varias clases:
[a; b] = {x ∈ r /a ≤ x ≤ b} en el cual se incluye los extremos "a" y "b". x a
B. Intersección y conjunción "∩"
A ∩ B = {x ∈ r /x ∈ A ∧ x ∈ B}
Luego: A ∪ B = [2; 7〉 A ∪ B = {x/2 ≤ x < 7}
A. Intervalo cerrado
Ejemplo: Sean: A = [4; 9〉 hallar "A ∩ B"
–0, 027 = –0, 3 porque (–0, 3)3 = –0, 027
A. Exponente fraccionario
B = 〈6; 12〉 Graficando:
m m ∈ Q ∧ n a existe, entonces: n
a n = am = n a
Luego: Sean A ∩ B = 〈6; 9〉 A ∩ B = {x/6 < x < 9}
• 8 3 = 3 8 = 22 = 4
A – B = {x ∈ r /x ∈ A ∧ x ∉ B} Ejemplo: Sean: A = [3; 10〉 hallar "A – B"
=3–
1 1 =– 27 3
Nota: Recordar los tipos de exponentes estudiados: • an = a.a.a...a; n∈ N
B = 〈5; 8〉 Graficando:
–n • a =
1 1 =  an  a 
• a0 = 1 3 5
m • an = a
Luego: A – B = [3; 5] ∪ [8; 10〉 A – B = {x/3 ≤ x ≤ 5 ∨ 8 ≤ x < 10}
B. Teoremas
D. Complemento Ac; A'
Consideramos expresiones bien definidas, entonces se cumple: 1. Raíz de una multiplicación o división
A' = {x ∈ r /x ∉ A} Ejemplo: Sean: A = [2; 7〉 hallar "A" Graficando:
a ⋅ b = n a n b; n
VI. RADICACIÓN EN r n
a = b ↔ bn = a Donde: n = índice (n ∈ r) a = radicando (a ∈ r) b = raíz (b ∈ r)
3 64 64 4 = = 3 27 27 3
2 ⋅ 5 16 = 5 2 ⋅ 16 = 5 32 = 2
– = No existe
48 16 2 =4 = 243 81 3
–8 = –2 porque (–2)3 = –8 2
9 3 9 3 porque   = = 25 5 25 5
a = nm a
2. Raíz de una raíz
Además se debe cumplir que: Par
–27 ⋅ 64 = 3 27 ⋅ 3 64 = –3 ⋅ 4 = –12
A' = 〈–∞; 2〉 ∪ [7; +∞〉 A' = {x/x < 2 ∨ x ≥ 7}
n a a = n b b
64 = 26 = 2 6 = 2
(–3)8 = 3⋅ 4 (–3)2⋅ 4 = 3 (–3)2 = 3 9
3. Radicales sucesivos m n p
Ejemplos: b⋅
7 + 40 ; a = 7 ∧ b = 40
c = 72 – 40 = 9 = 3
Ejemplo: • ∴ 7 + 40 =
49 64 230 = 49 ⋅ 6 64 ⋅
= 5+ 2
= 7.2.2 = 28
(an+b)p+c mnp
Consiste en transformar una fracción con denominador irracional a una fracción equivalente con denominador racional.
7+3 7–3 + 2 2
(2⋅ 4+3)5+1 60 =5
• Factor racionalizante (F.R.)
28 = 5 15
Dados: N: Numerador de la fracción Di: Denominador irracional Dr: Denominador racional
C. Radicales dobles
A± B = x ± y • Caso I
a + b + 2 ab = a + b; a > 0;b > 0
n n–m
Ejemplo: 38 + 2 72 = 36 + 2 + 2 36(2) 3
= 36 + 2 = 6 + 2
• Caso II a+c ± 2
Denominador Condición Factor básica racionalizante racionalizado
Denominador irracional
a + b – 2 ab = a – b; a > 0;b > 0
a± b =
N F.R. N ⋅ F.R. ⋅ → Feq = Di F.R. Dr
a–b a–b
a; b ∈ R+
a+b a–b
a +3b
a – 3 ab + 3 b a + 3 ab + 3 b
a–c 2
donde : c = a2 – b
• Nota: • a2 – b es un cuadrado perfecto
5+ 3 =
2 5+ 3
N m2 5
5– 3 5– 3
N m2 m
2( 5 – 3) 5–3
2( 5 – 3) = 5– 3 2
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Halle el conjunto de los números reales x, tal que la suma del número x y su inverso multiplicado sea mayor que 2. A) {x ∈ R /x > 0 ∧ x ≠ 1} B) {x ∈ R /x > 1} C) {x ∈ R /x < 1}
D) {x ∈ R /x < –1} E) {x ∈ R /x ≠ 0} UNMSM 2011 - II NIVEL INTERMEDIO
∴{x ∈ R /x > 0 ∧ x ≠ 1 }
Resolución: (x –1)2 >0; x ≠ 1
x2 –2x+1 > 0 ⇒ x2+1> 2x x2+1 Si x > 0 ⇒ >2 x 1 x+ >2 x
Respuesta: {x ∈ R /x > 0 ∧ x ≠ 1}
• De 1 ≤
A) 2 ab B) 3a C) 2b D) 2a E) 2
De (I) y (II) a ≤ b ∧ a ≥ b
b ≤ a...(II)
UNMSM 2011 - II
Respuesta: 2a
Resolución: Del dato: a+b ≤ ab 2 a+b Pero: ≥ ab 2 Esto solamente se cumple si: a=b Luego: a2–b2=0
• De a2 ≤ b ⇒ – b ≤ a ≤ b...(I)
C) 3 UNMSM 2005 - II
⇒ b + a = a + a = 2a
B) 0 E) 7
∴a= b
ab y1≤ determine el valor de a2–b2. 2 a+b
⇒ 2 b ≤ a+ b
Si b > 0; a ≤ b y 1 ≤ a + b , 2 b determine b + a 2
Si a y b son dos números reales positivos
PROBLEMAS DE CLASE 5. Reducir:
EJERCITACIÓN 1. Si 1 < x ≤ 5, halle la variación de: E = x2 – 6x + 13 A) 〈4; 8〉 B) 〈–4; 8〉 C) [4; 7] D) [–6; 13] E) [4; 8]
B) 2 3 D) 3
3. Halle el denominador racionalizado de: n E= 5 3 2 mn A) m D) mn
B) n E) m2n2
4. Indique el numerador luego de racionalizar: 6x T= 7 9x 4 y 5 A)
C) 2 x y E) 2 243x 3y 2
5– 3 A) 2 5
A = 9 + 80 + 7 – 48 – 8 – 60
D) 2 15 E) 2 6
B) 6 x y 7
D) 2 6x y
6. Si A = 〈–7;–1〉 ∪ 〈4;12];
B = 〈–∞;–3〉 ∪ 〈7;19] halle la suma del mayor valor entero negativo, con el menor valor entero positivo. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Sean los conjuntos: A = 〈–∞;2〉 ∪ [7;+∞] y B = 〈4;10〉 indique el conjunto A'∩B A) 〈4;7〉 B) [4;7] C) 〈4;7] D) 〈2;7] E) [2;7〉
8. Transformar a radicales simples:
10. Calcular el valor de (a–b) si se cumple: 11 4+x 3 ≤ ≤ ; ∀x ∈ [–1;7] a 8x + 18 b A) 62 B) 63 C) 64 D) 65 E) 66 11. Indicar el denominador después de racionalizar: 6 E= 9 1000 + 9 8 A) 1 D) 4
12. Reducir: T=
12 + 140
2. Simplificar: 1 2 N= + – 2 +1 3 –1 A) 2 2 C) 2 E) 3 2
9. Efectuar:
38 + 12 2 + 26 – 8 3 + 1
A) 7 – 5
B) 3+ 2
C) 35 + 1
C) 6– 1
D) 6 + 1
E) 3 – 2
ÁLGEBRA TEMA 3
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO GRADO SNII2X3
DESARROLLO DEL TEMA I. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Ó ECUACIÓN LINEAL
Forma: ax + b = 0; a ≠ 0
III. PLANTEO DE ECUACIONES
Para resolver el problema relativo a números o cantidades desconocidos se debe expresar una información escrita en idioma normal, en el simplificado idioma de las proposiciones matemáticas, las cuales nos permiten operar con mas comodidad y rapidez que otros procedimientos. Esto implica realizar una especie de traducción de situaciones de la vida real, al simbolismo matemático, tarea que constituye el argumento más útil en todo el proceso de solución.
Procedimiento para resolver problemas Seguir las siguientes pautas: 1. Representación de las cantidades desconocidas o incógnitas por variables (x; y; z; etc) 2. Planteo de las ecuaciones que relacionan a las incógnitas con los datos del problema. 3. Solución de las ecuaciones planteadas, esto es determinar los valores de las variables. 4. Prueba o verificación de los valores obtenidos para ver si cumplen las condiciones del problema.
. Donde: "x" es la incógnita
de la ecuación, además:
C.S. =
Análisis de la ecuación paramétrica ax + b = 0 Se presentan los siguientes casos: • Si: a ≠ 0 ⇔ la ecuación es compatible determinado también llamada ecuación consistente determinado (tiene un número finito de soluciones, para la ecuación analizada tiene solución única) • Si: a = 0 ∧ b = 0 ⇔ la ecuación es compatible indeterminado también llamada ecuación consistente indeterminado (tiene infinitas soluciones) • Si: a = 0 ∧ b ≠ 0 ⇔ la ecuación es incompatible ó inconsistente también llamada ecuación absurda (no no tiene solución)
II. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Ó ECUACIÓN CUADRÁTICA
ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 . Donde: "x" es la
incógnita de la ecuación.
Resolución: • Factorizando: aplicar agrupación de términos, identidades ó aspa simple. • Por fórmula general:
ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0; ax + b < 0; ax + b > 0; a ≠ 0 Donde: "x" es la incógnita de la inecuación. Para realizar la solución, tener presente los siguientes teoremas. • a + c > b + c; a; b; c ∈ R • Si: a > b, entonces: ac > bc; c > 0 • Si: a > b, entonces: ac < bc, c < 0
– b ± b2 – 4ac = 2a
• Completando cuadrados: formar un trinomio cuadrado perfecto.
IV. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO Ó INECUACION LINEAL
• Si: a > b, entonces: a > b ; c > 0 c c b a • Si: a > b, entonces: < ;c<0 c c
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO GRADO
V. INECUACIÓN CUADRÁTICA
En forma análoga: P(x) = ax2 + bx + c > 0 ó P(x) = ax2 + bx + c ≥ 0 Segundo caso: Si: ∆ = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma a un trinomio cuadrado perfecto de la forma: (x + n)2 . Resolviendo cada una de las desigualdades: a. (x + n)2 ≤ 0 → se verifica C.S = R b. (x + n)2 > 0 → se verifica x ∈ R – {–n} c. (x + n)2 < 0 → se verifica x = φ d. (x + n)2 ≤ 0 → se verifica C.S = {–n} Tercer caso: Si: ∆ = 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, se transforma a un cuadrado perfecto más un cierto número real positivo, de la forma: (x + n)2 + k; k > 0 Resolviendo cada una de las desigualdades:
a. (x + n)2 + k > 0 → se verifica
b. (x + n)2 + k ≥ 0 → se verifica
c. (x + n)2 + k < 0 → C.S = φ
d. (x + n)2 + k ≤ 0 → C.S = φ
Teorema del trinomio positivo Si el polinomio: P(x) = ax2 + bx + c; {a; b; c} ⊂ R tiene discriminante (∆ = b2 – 4ac) negativo y (a > 0), entonces: ax2 + bx + c > 0; ∀ x ∈ R
x ∈ lR
Forma general: P(x) = ax + bx + c 0; a ≠ 0 Donde: {a;b,c} ⊂ R. Del rectángulo se obtiene: ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx+c < 0; ax2 + bx + c ≥ 0; ax2 + bx + c ≤ 0 . La solución de la inecuación depende del primer coeficiente y del discriminante: ∆ = b2 – 4ac. Primer caso: Si: ∆ > 0; (a > 0), el polinomio: ax2 + bx + c, es factorizable en el campo real, para resolver utilizaremos el método de los puntos críticos. a(x – x1) (x – x2) 0 Procedimiento: 1. Se factoriza el polinomio. 2. Hallar los dos puntos criticos, luego se ordenan en la recta real en forma creciente. 3. Es indispensable que el primer, coeficiente de cada factor lineal se positivo, por ellos se colocan entre los puntos criticos los signos (+) y (–) alternadamente de derecha a izquierda; comenzando por el signo (+). 4. Si tenemos: P(x) = ax2 + bx + c < 0 ó P(x) = ax2 + bx + c ≤ 0 El conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (–).
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Si las ecuaciones en "x" x2 + x + 2 = 0 x2 + 2x +b = 0 Tienen una raíz común, calcule: 5(a – b)2 ; b ≠ 2a b – 2a A) 5 D) 1
B) 4 E) 3
UNMSM 2014 - I NIVEL INTERMEDIO
Resolución: Sea "n" la raíz común de ambos ecuaciones, reemplanzando:
Problema 2 En una fiesta se observa que en un determinado instante el número de parejas que bailan es la mitad del número de hombres que no bailan y el número de mujeres que no bailan es el cuádruple del número de hombres que bailan. Si en total hay 120 personas, ¿cuántos hombres hay en dicha fiesta? A) 30 B) 15 C) 45 D) 60 E) 75
–n+a–b =0 n =a–b Luego, reemplazamos en la primera ecuación: (a – b)2 + (a – b) + a = 0 (a – b)2 = b – 2a Nos piden: 5(a – b)2 b – 2a
5(b – 2a) b – 2a
Resolución: Del enunciado: Hombres
Total de personas = x + x + 2x + 4x = 120 x = 15 Nos piden: El numero de hombres = 3x = 3(15) =45
UNMSM 2013 - II NIVEL INTERMEDIO
n +n+a=0 n2 + 2n + b = 0
Problema 3 El número de canicas que tiene Andrés es mayor en 10 que el cuadrado de un número N y menor en 3 que el cuadrado del número N+1. ¿Cuántos canicas tienen Andrés? A) 26 B) 36 C) 46 D) 42 E) 48
Resolución: Sea "x" el número de canicas de Andrés . Del enunciado: x = N2 + 10 x = (N + 1)2 – 3 Igualando: N2 + 10 = (N + 1)2 – 3 →N=6 Se pide: x = 62 + 10 = 46
1. Sea la ecuación de incognita "x": (2m – 10)x + (m2 – 5) = 0 es compatible determinado, indique el valor que no puede tomar "m". A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11
2. Resolver: 3x2 – 6x – 1 = 0 A) 3 + 2 3 3
B) 3 + 3 3
C) 3 – 3 3
D) 2 – 3 3 3
E) 1 3. La suma de los cuadrados de 2 números enteros, positivos y consecutivos es 113. Hallar el cuádruplo del menor, disminuido en 4. A) 20 B) 28 C) 24 D) 32 E) 35 4. Resolver: 2 – [4 – (x – 1)+2(x – 3)] ≤ x – [2 – 3x] A) x ≤ 1 B) x ≥1 C) x ≥ 0 D) x ≤ 4 E) x < 2 5. Resolver: 2x2 – 7x + 6 ≤ 0 A) [2; +∞>
B) [– 3/2; 2]
C) [3/2; 2]
D) <–∞; 2]
E) <4; +∞ >
D) <– 2 –1; 2 – 1> E) <–2 – 2; 2 – 2>
x(a + b)2 + (a + b)2 – (a + b)(x + 1) + x + 1 a + b +1 2
es igual a: a + b – a – b + 1+2ab A) a – b B) a + b C) a2 – b2 D) a + ab +1 E) a + 1
10. Resolver el sistema:
A) ] –∞; 2[ B) ] 4; +∞[ C) ] 1; 5[
7. Indicar una de las raíces de la ecuación: x2 + x + 1 = 0/ i = – 1 A) –1 + 3 2
–1 – 3 B) 2
C) –1 + 3 i 2
D) 1 + 3 i 2
5x – 1 < x2 + 2x + 1<7x – 3
D) ] –∞; 2[ ∪ ]– 4; +∞[ E) ]2; 4[
SISTEMATIZACIÓN 11. En la siguiente ecuación:
E) 1 – 8 i 2
x 2 + x – 2 2y – y – 1 5 + = x +1 2 y2 – 1
8. Resolver: (x + 1) (x + 2) (x + 3) ≤ x3 + 6x2 + 10x + 12 A) x ≤ 1 B) x ≤ 4 C) x ≤ 6
Determinar el valor de "y" si x = 1 A) 1 B) 0,1 C) 0 D) –3 E) A ó D
D) x ≥ 6 E) x ∈ φ 9. Resolver: x2 + 2x – 1 < 0 A) <– 2; 2> B) <– 2–1; – 2+ 1> C) <1 – 2; 1+ 2>
12. Al resolver: (x – 2) (x + 1)(x– 3) > (x – 1)(x+2) (x+4) se obtiene como conjunto solución: x ∈ < a; b>. Indique "a + b". A) 2/3 B) –1/9 C) –9 D) 1/3 E) –3
ÁLGEBRA TEMA 4
VALOR ABSOLUTO Y NÚMEROS COMPLEJOS SNII2X4
VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real “x”, se define como aquel número real no negativo que se denotas por |x| donde: x, si x $ 0 |x| = ) - x, si x < 0
El valor absoluto de la suma de dos número reales “x” e “y” es menor o igual que la suma de los valores absolutos de “x” e “y”.
|6| = 6, solo se borran las barras, pues 6 es positivo
|–8| = –(–8) = 8; al borrar las barras se cambia de signo de –8 a 8, pues –8 es negativo
|3| = 3 puesto que 3 > 0
|–4| = –(–4) = 4 puesto que –4 < 0
|x2+x+1| = x2+x+1 porque x2+x+1 > 0, ∀ x ∈ R
|x + y| < |x| + |y| ↔ xy < 0
El valor absoluto de un número real nunca es negativo, es decir: |x| ≥ 0; ∀ x ∈ R Si dos número reales se diferencian sólo en el signo sus valores absolutos son iguales, es decir:
El cuadrado del valor absoluto de un número real es igual al cuadrado de dicho número real
|x| = 0 ↔ x = 0 |x| = y ↔ [y ≥ 0 ∧ (x = y ∨ x = –y)
|x| < y ↔ [y > 0 ∧ (–y < x < y)
|x.y| = |x||y|; ∀ x, y ∈ R
|x| > y ↔ (x < –y ∨ x > y)
x x ;y≠0 = y y
Vienen a ser igualdades condicionales, los cuales frecuentemente se presentan en las siguientes formas:
Vienen a ser desigualdades relativas, las cuales frecuentemente se presentan en las siguientes formas:
|x|2 = x2; ∀ x ∈ R
|x| = |y| ↔ (x = y ∧ x = –y)
|–x| = |x|; ∀ x ∈ R 3.
|x + y| ≤ |x| + |y| ↔ x, y ∈ R |x + y| = |x| + |y| ↔ xy ≥ 0
x2 = |x|; ∀ x ∈ R
|x| < |y| ↔ |x|2 < |y|2 ↔ x2 < y2
VALOR ABSOLUTO Y NÚMEROS COMPLEJOS
NÚMEROS COMPLEJOS Al resolver la ecuación x2 + 4 = 0, obtenemos las raíces y – –4, o sea números no reales.
Si consideramos U = R, tenemos como conjunto solución el conjunto vacío, esto es, S=∅. La solución de ecuaciones de este tipo pasan a ser posibles debido a la introducción de un elemento matemático, denominado unidad imaginaria, que será indicado por la letra i tal que:
En manuscritos fechados en 1777 y publicado posteriormente en 1794, el matemático suizo, Leonhard Euler (1707-1783) fue el primero en utilizar la letra i para representar –1. A partir de la unidad imaginaria, comienza a configurarse un nuevo conjunto, el de los números complejos, que será indicado por C.
Denomina forma algebraica, en el cual a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.
El número a es la parte real de z y lo indicamos por Re(z) =a
El número b es la parte imaginaria de z y lo indicamos por Im(z)=b.
Dado in, con n ∈ N tenemos:
Todo número real a es un número complejo a + Oi Luego R ⊂ C. Podemos visualizar esa relación de inclusión en el diagrama. C
siempre igual a 1
z = 2 + 7i ⇒ Re (z) = 2 e IM (z) = 7 z = –4i ⇒ Re (z) = O e IM (z) = – 4
Dos números complejos Z 1 =a+bi e Z z = a+bi e Zz = c+di.
Son iguales si y solamente si, sus partes reales e imaginarias fueron respectivamente iguales o sea: Z1= Z2 ⇔ a+bi = c+di ⇔ a = c y b = d
Por lo tanto el valor de la potencia i depende del resto r, observe el cuadro.
in = i4k+r = i4k . ir ⇒ in = ir
Valor de ir
Z1+Z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i   
• Si Im(z) = 0, entonces z es un número real.
II. PROCESO PRÁCTICO PARA CALCULAR POTENCIAS DEL I
Todo número complejo puede ser expresado con la forma.
Vemos ahora como podemos calcular potencias de i. i0 = 1 i1 = i i2 = – i i3 = i2.i = (–1)i = –i i4 = i3.i = (– i)(i) = –i2=1 i5 = i4.i = (1)(i) = i i6 = i5.i = (i)(i) = i2=–1 i7 = i6.i = (–1)(i) = –i i8 = i7.i = (– i)(i) = –i2 = 1 Observamos los valores obtenidos para esas potencias verificamos que ellas se realicen cada grupo de cuatro potencias, asumiendo los valores de:
• Si Re (z) = 0, entonces z es un número imaginario puro.
I. POTENCIAS DE I
i = –1 o i2 = –1
Siendo Z1 = 3+4i y Z2 = –1+2i
Sean Z1, Z2 y Z3, números complejos cuales quiera.
Determinar: Z1 + Z2
Entonces son validos las siguientes propiedades.
Z1 + Z2 = (3+4i) + (–1+2i) = (3–1)+(4+2)i
= 2+6i
• Z1 . Z2 = Z1 . Z2 • Z = Z ⇒ Z ∈ R
B. Sustracción
• (Z) = Zn, con n ∈ N
Sean los números complejos Z1 = a + bi y Zz = c + di con a, b, c, d ∈ R, entonces tenemos:
• Z = Z
Parte Parte real imaginaria • Ejemplo:
Siendo Z1 = 5+i y Z2 = –1+3i Determinar: Z1 – Z2
Z1 – Z2 = (5+i) – (–1+3i) = 5+i+1–3i Z1 – Z2 = (5+1) + (i–3i) = 6 – 2i
Siendo Z1 = 5 + 3i y Z2 = 1– 4i. Calcular Z1 Z2
5 + 20i + 3i – 12 1+16 Z1 Z2
Siendo Z1 = 2 – 3i y Z2 = 1 + i determine Z1 . Z2
Z1 . Z2 = (2 – 3i)(1+i) = 2 + 2i – 3i – 3i
Z1 . Z2 = 2 + 2i – 3i + 3 = 5 – i
VI. CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Actualmente a la siguiente representación es conocida como Argand – Gauss.
Ahora observe en el grafico la representación de un número complejo Z = a + bi, a, b ∈ R. y Eje imaginario P(a,b) b
Ejemplo: Si: Z = 2 + 5i entonces: Z = 2– 5i
Z = –4 + 2i entonces: Z = –4–2i
Observación: El conjugado de un número real es el propio número.
Sea P el afijo de un número complejo Z = a + bi, denominase módulo de Z a la distancia de P hacia el origen (O, O).
El módulo de Z será indicado por |Z| o por la letra griega ρ. Gráficamente tenemos: y P
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo vemos:
Reemplazando: En Z = a + bi
Z = r (Cos ϕ + i Sen ϕ)
Esa expresión es la forma trigonométrica de un número complejo Z = a + bi, de módulo r y argumento ϕ.
Dar la forma trigonométrica a:
Z = –1 + i
Tenemos: a = –1; b = 1
Módulo: r =
–1 – 2 Cos ϕ = a ⇒ Cos ϕ = ⇒ Cos ϕ = 2 r 2
Sen ϕ =
ρ2 = a2 + b2 ⇒ r = a2 + b2
Por lo tanto el módulo de un número complejo Z es dado por:
1 b ⇒ Sen = ⇒ Cos ϕ = r 2
Ejemplo: Calcular el módulo de: Z = –3 + 4i
Luego: ϕ =
Por lo tanto: Z =
Gráficamente: y 1
r = (–3)2 + 42 = 9 + 16 =
|Z| ≥ 0 |Z| = 0 ⇔ Z = 0 |Z| = |Z| Z1 Z1 = (Z2 ≠ 0) Z2 Z2
Sea P un afijo de un número complejo Z = a+bi representando en el plano. y P
b ρ ϕ O
Determine argumento de Z a la medida del ángulo ϕ, formado por el segmento OP y el eje x medido en radianes en sentido antihorario con O ≤ ϕ < 2p. Entonces tenemos: b a Sen ϕ = y Cos ϕ = r r b = r Sen ϕ ; a = r Cos
Z1 = r1 (Cosϕ1 + iSen ϕ1)
XII. ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
XIII. OPERACIONES EN FORMA TRIGONOMÉTRICA
|Z1 . Z2| = |Z1| . |Z2|
|Z | = |Z|
J 3p + iSen 3p N O 2 K Cos 4 4P L
a = –3; b = 4 entonces:
3p (135°) 4
|Z| = r = a2 + b2 Observación: r es real no negativo
Z1 r1  Cos (ϕ1 – ϕ2) + iSen (ϕ1 – ϕ2) Con Z2 ≠ 0 =  Z2 r2 
Zn = rn [Cosnϕ + isen nϕ]
Con n ∈ N (Primera fórmula de Moivre)
Radicación: W = n Z
J ϕ + 2kpN J ϕ+2kp N  O + iSen K O r . Cos K n n P P L L
Con k ∈ Z; 0 ≤ k < n (n ∈ N*)
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Halle la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación: 2|x – 3|2 – 7|x – 3| + 3 = 0 A) 105/2 B) 97/2 C) 109/2 D) 117/2 E) 113/2 UNMSM 2006-II
Resolución: Haciendo |x – 3| = a Entonces: 2a – 7a + 3 = 0 2a –1 a –3 a = 1/2; a = 3 |x–3| = 1/2 |x–3|= 3 x = {7/2,5/2}; x = {6,0} ∑ cuadrados: 109/2
Problema 2 Si: a, b y c son las soluciones no negativas de la ecuación ||x – 3| – 5| = 0 entonces el valor de a + b + c es: a) 16 b) 12 c) 6 d) 2 e) 10
A) [1+∞〉 B) {–3/2} C) {–3/2} ∪ [1+∞〉
|x – 3| – 5 = 2 ∨ |x – 3| – 5 = –2 |x – 3| = 7 ∨ |x – 3| = 3 x = {10, –4} ∨ x = {6,0} Soluciones no negativas {10, 6, 0} \ ∑16
- 3x - 2 + x - 1 = 2x + 3 x < – 2/3 ∧ ) x = - 3/2 (OK)
3x 2 x 1 2x + 3 II) – 2 ≤ x<1∧ ) + + - = 3 1=3 (Q)
Respuesta: 109/2
+ D) [1+∞〉 – 21 – 3 n 1 7 E) R
Problema 3 Halle el conjunto solución de la ecuación |3x + 2| – |x – 1| = 2x + 3
3x + 2 - x + 1 = 2x + 3 3=3 (R) x≥1
III) x ≥ 1 ∧ )
\ C.S. : {–3/2} ∪ [1,+∞〉
Respuesta: {–3/2} ∪ [1,+∞〉
PROBLEMAS RESUELTOS EJERCITACIÓN
1. Resolver: |3x – 4| > 8 e indique el menor elemento entero positico del conjunto solución A) 4 B) 3 C) 5 D) –2 E) 1
6. Calcula “a” para que el complejo sea real: Z = 2 - ai 1 + 2i A) 2 B) 4 C) –4 D) 8 E) –2
10. Halle el conjunto solución de:
2. Resolver: |4x – 5| ≤ 7 A) [–1/2; 3] B) [–2; 12] C) [–7; 7] D) [–2; 3] E) [–1/2; 12] 3. Si 3 + 4i = x + yi Calcule: x2 + y2 A) –25 B) 4 D) 5 E) 5
4. Calcule: (1 + i)2 + (1 – i)2 + 1 + i + 1 - i 1-i 1+i A) 4i B) 2i C) 0 D) –2i E) –4i 5.
Sean Z, W, ∈ C, tal que: Z + W = 3 + 4i Z + W = 3 + bi Halle: Re(Z) + Re(W) – b A) 3/2 B) 4 C) 7 D) 2 E) 5/4
9. Resolver:
| x |- 1 #0 | 2x |- 3
C) [–1;0] ∪ [4;5]
a x + y b B) 2
12. Sea el número complejo Z = (2 – 2i)n donde n ∈ N*. Si |Z| = 512, el número n es: A) primo
y dé como respuesta la suma de elementos enteros del conjunto solución A) –1 B) 0 C) 2 D) 3 E) –3
B) 〈–∞;0] ∪ [4;+∞〉
11. Sean: a; b; x; y ∈ R tal que |a – b| + |x + y| = 0, calcular:
8. Sea Z = 2 + 3i. Calcule el área de la figura que se forma al unir los afijos de Z, Z, Z* A) 14 B) 6 C) 10 D) 12 E) 16
A) [–1;5]
E) ∅
B) ' 3 1 2 D) ∅
C) '- 1; 3 1 2 E) R
3 -| x - 2 | # 1
D) 〈–1;0] ∪ 〈 4;5]
7. Resolver: |3x – 2| = x – 4 A) {–1}
B) cuadrado perfecto C) divisores D) múltiplo de 4 E) divisible por 3
ÁLGEBRA TEMA 5
POLINOMIOS SNII2X5
DESARROLLO DEL TEMA II. OPERACIONES CON POLINOMIOS
Este polinomio tiene la forma:
A. Adición de polinomios
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + ... + an Presenta los siguientes elementos: Grado: Es el mayor exponente de la variable "x": n. Coeficiente principal: Es el coeficiente del término que contiene el grado del polinomio: a0. Término independiente: Es aquel en el cual no está presenta la variable "x": an
I. VALOR NUMÉRICO (V. N.)
Es el valor del polinomio que se obtiene al reemplazar la variable por un valor constante. Ejemplo: Sea: P(x) = 3x2 – 4x + 1 Reemplazamos la variable "x" por el valor de 2, obteniendo: P(2) = 3. 22 – 4.2 + 1 = 5
A. Cambio de variable Es aquella expresión que se obtiene al reemplazar la variable original por otra variable. Ejemplo: Sea: P(x) = 3x2 – 4x + 1 Reemplazamos la variable "x" por la nueva variable "m – 3" Obtenemos: P(m – 3) = 3(m – 3)2 – 4(m – 3) + 1
B. Valores numéricos notables Los valores numéricos notables determinan la suma de coeficientes y el término independiente remplazando la "variable" por el valor de uno y cero respectivamente.
Σ coeficientes = P(1) Término independiente = TI = P(0)
Al sumar polinomios se reducirán sus términos semejantes. Aquellos que no lo sean; serán colocados conservando su propio signo. Ejemplo: 1. Dados los polinomios: P(x) = 7x2 + 3x – 5 Q(x) = 5x2 – 2x + 9 Calcular: P(x) + Q(x)
Resolución: En primer lugar: escribimos los polinomios uno al lado del otro. P(x) Q(x) 144424443 144424443 7x2 + 3x – 5 + 5x2 – 2x + 9
Ahora seleccionamos los términos semejantes: 7x2 + 3x – 5 + 5x2 – 2x + 9 Hecho esto reducimos los términos seleccionados obteniendo el resultado: 12x2 + x + 4. 2.
Calcular P(x) + Q(x) + R(x); sabiendo que: P(x) = 3x2 + 5; Q(x) = 8x3 + 5x2 –1; R(x) = 8x + 4
Resolución: Colocamos los tres polinomios juntos: 3x2 + 5 + 8x3 + 5x2 – 1 + 8x + 4 Los términos semejantes se reducen; los otros son colocados con su propio signo. 8x3 + 8x2 + 8x + 8, esta es la respuesta.
B. Sustracción de polinomios La gran diferencia que existe con la suma, es que al polinomio negativo (precedido por un signo –) se le cambiarán previamente, los signos de TODOS sus términos. Luego de esto, se procederá como en la suma.
Ejemplo: Si tenemos: P(x) = 2x3 – 5x2 + 10x –7 Q(x) = x3 – 7x2 + 3x – 11 Calcular: P(x) – Q(x) Resolución: P(x) Q(x) 1444442444443 1444442444443 2x2 + 5x2 + 10x – 7 – (x3 – 7x2 + 3x – 11)
B. Grado Absoluto (G.A.) También llamado grado de polinomio, está dado por la suma de los exponentes de las variables (en el caso que presente un sólo término) Si tiene más de un término, está dado por la suma de los exponentes de las variables en uno de sus términos. Ejemplo: * P(x; y; z) = 5x3 y4 z8 GA = 3 + 4 + 8 = 15 (Es la suma de los exponentes de las variables)
Ojo: Q(x) es el polinomio negativo (observa el signo a su izquierda). Nota como se han colocado los "( )". Ahora cambiamos los signos a todos los términos de Q(x). 2x3 – 5x2 + 10x – 7 – x3 + 7x2 – 3x + 11 Seleccionamos términos semejantes y reducimos: 2x3 – 5x2 + 10x – 7x – x3 + 7x2 – 3x + 11 = x3 + 2x2 + 7x + 4
P(x; y) = 2x5y7 – 5x4y2 + 9x2y9 14243 14243 14243 12 6 11 GA = 12 (La mayor suma de los exponentes)
IV. POLINOMIOS ESPECIALES
Entre estos tipos de polinomios destacan los siguientes:
A. Polinomio Homogéneo Es el polinomio en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, el cual se denomina grado de homogeneidad. Ejemplo:
C. Multiplicación de polinomios Se efectúa multiplicando cada uno de los términos de un polinomio con todos los términos del otro polinomio; sumando después los productos obtenidos. Es conveniente ordenar los polinomios según las potencias crecientes (o decrecientes) de una de las variables. Ejemplo: Multiplicar: (x3 + 2x) por (x – 3) (método de multiplicación lineal)
P(x; y) = 7x5y7 + 5x10y2 + 3x4y8 14243 14243 14243 12 12 12 Se observa que el grado de todos los términos es 12, por lo tanto es un polinomio homogéneo. Grado de homogeneidad = 12.
B. Polinomio completo: Este tipo de polinomio se analiza respecto a una variable, es aquel cuya variable analizada presenta todos los exponentes desde el mayor hasta el exponente cero. Ejemplo: P(x; y) = x2y5 + 4x4y2 + x3y + 3x – 7y8
(x – 3).(x3 + 2x) = x4 + 2x2 – 3x3 – 6x Ordenando según las potencias: x4 – 3x3 + 2x2 – 6x
Analizando para la variable "x" se observa que sus exponentes son (2; 4; 3; 1; 0) están todos los exponentes desde el mayor hasta cero. Esto indica que el polinomio es completo respecto a "x". Analizando para la variable "y" se observa que los exponentes son {5; 2; 1; 0; 8}, falta los exponentes {7; 6; 4; 3}. Esto indica que el polinomio es incompleto con respecto a "y".
Es una característica que solo se presentan los polinomios y se le relaciona con los exponentes de las variable, existen dos tipos de grado:
A. Grado relativo (G.R.) Si tiene un término esta dado por el exponente de la variable referida. Si tiene más de un término, esta dado por el mayor exponente de la variable referida.
C. Polinomio ordenado Este tipo de polinomio se analiza también respecto a una variable, es aquel cuyos exponentes de las variable solo aumentan o disminuyen. Ejemplo: P(x; y) = x5y3 + 4x3y2 + x2y + y8 Analizando para la variable "x" se observa que sus exponentes son {5; 3; 2; 0}, están disminuyendo. Esto indica que el polinomio es ordenado decrecientemente respecto a "x".
Ejemplo: 2 7 5
* P(x; y; z) = 5x y z
GRx = 2; GRy = 7; GRz = 5
(Son los exponentes de cada variable)
* P(x; y; z) = 3x2 y3z5 + 2x7y2 – x5yz9 GRx = 7; GRy = 3; GRz = 9
(Son los mayores exponentes de las variables)
2. Si a(x – 3) + b(x + 2) ≡ 7x – 11. Calcule: a+b Resolución: Este polinomio no esta reducido entonces trabajaremos con el valor numérico. x = 3: a(3 – 3) + b(3 + 2) = 7.3 – 11 → b = 2 x = –2: a(–2 –3) + b(–2 + 2) = 7(–2)–11 → a = 5 ∴ a+b = 7
Analizando para la variable "y" se observa que los exponentes son {3; 2; 1; 8} están disminuyendo y aumentando a la vez. Esto indica que el polinomio no es ordenado con respecto a "y".
Propiedades  En todo polinomio completo y ordenado de una variable, se verifica que el valor absoluto de la diferencia de los exponentes de dos términos consecutivos es igual a la unidad.  En todo polinomio completo de una variable el número de términos esta dado por el valor del grado aumentado en uno.
E. Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel polinomio reducido en el cual todos los coeficientes de sus términos son nulos (cero). Notación: P(x) ≡ 0 También si el polinomio es idénticamente nulo entonces su valor numérico es igual a cero: VN [P(x)] = 0
D. Polinomios idénticos Dos polinomios son idénticos si poseen el mismo grado y sus términos semejantes tienen los mismos coeficientes: P(x) ≡ Q(x) También si dos polinomios son idénticos estos poseen el mismo valor numérico. VN[P(x)] = VN[Q(x)]
Ejemplos: 1. Si: (m – 1) x3 + (n – 5)x4 ≡ 0. Halle "m"
Resolución: Este polinomio está reducido y ordenado, por lo tanto igualamos los coeficientes a cero, generando las siguientes ecuaciones. m – 1 = 0 → m = 1 n – 5 = 0 → n = 5 ∴ mn = 15 = 1
Ejemplos: 1. Si: (a – 3)x2 + (b + 2)x9 ≡ 5x9 – 4x2. Halle "ab".
Resolución: Este polinomio está reducido y ordenado por lo tanto igualamos los coeficientes de los términos semejantes, generando las siguientes ecuaciones: a – 3 = – 4 → a = –1 b + 2 = 5 → b = 3 ∴ ab = –3
2. Si: a(x – 3) + b(x + 2) – 3x + 4 ≡ 0. Calcule: ab. Resolución: Este polinomio no esta reducido, entonces trabajaremos con el valor numérico: x = 3; a(3 – 3) + b(3 + 2) – 3 . 3 + 4 = 0 → b = 1 x = 2; a(–2; –3) + b(–2 + 2) –3(–2) + 4 = 0 → a = 2 ∴ ab = 2
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 1 Si: F(z) = z – ; halle el valor de: z f(f(1) + 1 ) + f(–2) f(2) 2 A) – 5 B) – 7 C) 2 3 3 3 D) – 2 E) 3 2
Reemplazando: f(f(1) + 1 ) + f(–2) = f(0 + 1 ) + f(2) 3 2
J2J 3 =fK K– = L3L 2 3 2 f(f(1) + 1 ) =  – 3 2 f(2)
• F(–2) = –2 –
1 =– 3 –2 2
2 – 1  – 3 3 2  2 – 
Es ordenado y completo. Halle el grado del polinomio P(x). A) 5 B) 4 c) 3 D) 6 E) 7 UNMSM 2014-I
3 3 7 =– 2 3
Respuesta: –7/3
Resolución: • F(1) = 1– 1 = 0 . f(2) = 2 – 1 = 3 1 2 2
J 3J K– K L 2L
Problema 2 El polinomio:
Como P(x) es ordenado y completo además los exponentes de "x" están en forma ascendente, luego: n + 5 = 0 → n = –5 Reemplazando en P(x): P(x) = –5 – 4x – 3x2 – 2x3 – x4 Nos piden: grado = 4
P(x)=nxn+5+(n+1)xn+6+(n+2)xn+7+...
Problema 3 Si: f(x – 3) = x2 + 1 y h(x + 1) = 4x + 1
Halle el valor de: h(f(3) + h(–1)).
Calculando f(3):
h(f(3) + h(–1)) = h(37 – 7) = h(30)
x–3=3 ⇒ x= 6; reemplazando en f(x–3)
x + 1 = 30 x = 20, reemplazando en h(x + 1):
A) 117 B) 145 C) 115 D) 107 E) 120
f(3) = 6 + 1 = 37 ⇒ f(3) = 37
h(30) = 4(29) + 1 = 117
Calculando: h(–1)
∴ h(f(3) + h(–1)) = 117
x + 1 = –1 ⇒ x = –2; reemplazando en h(x + 1): UNMSM 2013-I
Respuesta: 117
h(–1) = 4(–2)+1 = –7 ⇒ h(–1) = –7
PROBLEMAS RESUELTOS 5. Si el polinomio:
EJERCITACIÓN 1. Si:
P(x) = 3xa+3 – 2xc–3 + xb–1
es completo y ordenado decrecientemente. Hallar el valor de (a + b + c).
P(z) = 3z + 5, P(4x – 3) = ax + b Halla "ab". A) 30
B) –48
determine P(a + 2). A) 9a + 11
B) 3a + 2
C) 2a + 7
D) 4a – 1
E) 5a + 3
P(x) = (2x –1)3 + 4x + 2n Se cumple Σ coef + T.I = 12
3. Hallar "a" en:
10. Si el monomio: A(x; y) = xn. ym tiene los grados relativos iguales y su grado absoluto es 12. 1 1 Calcule: m + n A) 29 B) 42
P(3x – 1) = (2x – 1)2 + 8x2 + 3a, si el término independiente es 16. A) 1
11. Si el polinomio: 7. Si: P(x) = 2x + 1 y además:
P(x) = 3x3 + x2 – 2x + 1
Q(x) = ax(x–1)(x+1)+bx(x+1)+c
Calcular: a+b+c
E) 5 4. Hallar "mp" para que el polinomio sea de grado 14 y la diferencia de sus grados relativos a "x" e "y" sea 4. P(x; y)=xm+p+3yp–2+xp+m+1yp+4+xm+p–1y1+p
+ P(P
) (a + 1)
hallar "a". A) –11 C) 22 E) 3
B) 4 D) –2
2 mm–n
6 mm+n
+nx y +mx y
Hallar la suma de sus coeficientes.
Dado el polinomio homogéneo:
P(x; y) = m x
)= (a–1)
Q(x) = A(x–2)(x+1)+B(x2+1) son idénticos. Calcular AB. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
6. Halle "n" si en el siguiente polinomio:
E) 20 2. Si. P(3x – 1) = 6x + 1,
9. Si los polinomios: P(x) = 4x2 – 3x – 5
12. De la siguiente identidad: (ab + ac – 3)x2 + (ac + bc – 4)x + (ab + bc – 5) ≡ 0
Calcular: abc(a+b)(a+c)(b+c) A) 3
ÁLGEBRA TEMA 6
PRODUCTOS NOTABLES SNII2X6
DESARROLLO DEL TEMA Son aquellos productos que al adoptar cierta forma particular, evita que se efectúe la operación de multiplicación escribiendo directamente el resultado.
I. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES A. Binominio al cuadrado El desarrollo de un binomio al cuadrado nos da un trinomio cuadrado perfecto, esto es “el cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. (a + b)2 1442443
a2 + 2ab + b2 14444244443
(a – b)2 1442443
a2 – 2ab + b2 14444244443
(x + 6)2 + (x – 6)2 1444442444443 2(x2 + 62) = 2(x2 + 36)
( a + b)2 – ( a – b)2 14444444244444443 4( a )( b) = 4 ab
(10x + 4y)2 – (10x – 4y)2 14444444244444443 4(10x)(4y) = 160xy
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
C. Diferencia de cuadrados
(x + 1)2 = x2 + 2(x)(1) + (1)2
El producto de dos binomios; uno que presenta la suma de dos expresiones y el otro la diferencia de las mismas expresiones nos da el cuadrado de la primera, menos el cuadrado de la segunda.
= x2 + 2x + 1 •
(x – 4)2 = x2 – 2(x)(4) + (4)2
= x2 – 8x + 16 •
(3x – 54)2 = (3x)2 – 2(3x)(5y) + (5y)2
(am + bn)(am – bn) = a2m – b2n
= 9x2 – 30xy + 25y2 •
( a – b)2 = a + 2( a )( b) + ( b)
• (x + 4)(x – 4) = x2 – 42 2
= a – 2 ab + b
• ( a + b)( a – b) = a – b = a – b 2
B. Identidades de Legendre Son dos identidades que relacionan los binomios suma y diferencia.
• (2x4 + 3y6)(2x4 – 3y6) = (2x4) – (3y6)
= 4x8 – 9y12 • x – y =
x – y = ( a + b)( a – b)
D. Binomio al cubo
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 14243 123 suma producto
Al desarrollar un binomio al cubo se obtiene el cubo del primer término, más el producto del triple del primero al cuadrado por el segundo, más el producto del triple del primero por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo término.
Ejemplos: • (x + 3)(x + 5) = x2 + (8)x + 15 • (x + 5)(x – 10) = x2 + (5)x – 150
Análogamente con el binomio diferencia al cubo: 3
(x+a)(x+b)(x+c) = x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x+abc
(a – b) = a – 3a b + 3ab – b Ejemplos:
F. Suma y diferencia de cubos
• (x + 1)3 = x3 + 3(x)2(1) + 3(x)(1)2 + (1)3
= x3 + 3x2 + 3x + 1 3
• (3x – 1) = (3x) – 3(3x) (1) + 3(3x)(1) – (1)
= 27x3 – 27x2 + 9x – 1
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) 14243 Suma de cubos
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) 14243 Diferencia de cubos
Nota: Acomodando los desarrollos de los binomios al cubo, se obtienen:
a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ab + b2n)
a3m – b3n = (am – bn) (a2m + am.bn + b2n) Ejemplos:
Identidades que son de mucha utilidad en ciertos problemas operativos. Ejemplos: • (x + 4)3 = x3 + (4)3 + 3(x)(4)(x + 4) = x3 + 64 + 12x(x + 4) 3
1 1 − 3  x −  3 x  x
x3 – 64 = x3 – 43 = (x – 4) (x2 + 4x + 16)
x12 – y6 = (x4)3 – (y2)3 = (x4 – y2)(x8+x4y2+y4)
(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – bc – ac)
(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(–ab + bc – ac)
(x + y + 3)2 = x2 + y2 + 9 + 2(xy + 3y + 3x)
H. Desarrollo de un trinomio al cubo (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(a+c) (a + b + c)3 = a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)–3abc
Al multiplicar dos binomios con un término en común se obtiene: el común al cuadrado, más el producto de la suma de no comunes por el común, más el producto de no comunes.
8 + a3 = 23 + a3 = (2 + a) (4 – 2a + a2)
1 1 + 3  x +  x  x3
E. Multiplicación de binomios con un término común
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
•  x − 1  =x 3 −  1  − 3 ( x )  1   x − 1  x x  x  x  3 = x −
x3 + 125 = x3 + 53 = (x + 5) (x2 – 5x + 25)
G. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
•  x + 1  =x 3 +  1  + 3 ( x )  1   x + 1  x x  x  x  3 = x +
Ejemplos • (x + y + 2)3 = x3 + y3 + 8 + 3(x+y)(y+z)(x+2)
I. Identidades adicionales
a3 + b3 + c3 = (a+b+c)(a2 + b2 + c2 –(ab+bc+ac))
Identidad de Argand (a2 + a + 1)(a2 – a + 1) = a4 + a2 + 1 2
(a + ab + b2)(a2 – ab + b2) = a4 + a2b2 + b4
(x2m+xmyn+y2n)(x2m – xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n
(x + y)(y + z)(x + z) + xyz = (x + y + z)(xy + yz + xz) Identidades condicionales Si: a + b + c = 0, se cumple:
• a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac)
Sean {x,y,z} ⊂ R; {m,n,p} ⊂ Z+, luego:
• a3 + b3 + c3 = 3abc • (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 1 • a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 2 • a5 + b5 + c5 = –5abc(ab + bc + ac)
x2m + y2n + z2p = 0 ↔ x = y = z = 0 x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz ↔ x = y = z
Problema 1 1 Sabiendo que x + = 3, determine el x 1 1 valor de E = x3 + x2 + 3 + 2 x x A) 49 D) 18
B) 36 E) 23
C) 25 UNMSM 2002
Resolución: Al primer dato lo elevamos al cuadrado: 1 x+ =3 x 2   →  x + 1  = x 2 + 1 + 2 ( x )  1  2   x   x  x  1442443 1 +2 x2 1 7 = x2 + 2 x
(3)2 = x2 +
Luego, al primer dato lo elevamos al cubo 3
1 1  3  x + x  = x + 3 + 3 (x)   x
 1  1   x+   x   x  
14243 3 Despejando: 1 x3 + 3 = 33 – (3)(3) = 18 x Entonces: 1 1 E = x3 + 3 + x2 + 2 = 18 + 7 = 25 x x
Problema 2 Si: 24x + 2–4x = 119 y x > 0 Halle: 2x – 2–x + 5 A) 8 B) 2 C) 11 D) 4 E) 9
 1  2 1  1 27 + 3 x2  x + 2  = x6 x   x2  
1 x6 + 2 + 3(1)(3) = 27 x 1 x6 + 6 = 18 x
Resolución: Tenemos: 24x + 2–4x = 119 24x + 2(22x)(2–2x) + 2–4x = 119 + 2 (22x + 2–2x)2 = 121 22x + 2–2x = 11 2x 2 – 2(2x)(2–x) + 2–2x = 11 – 2 (2x – 2–x)2 = 9 2x – 2–x = 3 \ 2x – 2–x + 5 = 3 + 5 = 8
B) 9 E) 16
B) 25 E) 24
C) 21 UNMSM 2005-I
b2 = 3 a2
Resolución: 1 Tenemos: x2 + 2 = 3 x
 a2 b2   2 + 2  = ( 5 )2 a  b  a2   b2  a4 + 2   + 4 2  2  b  b  a 
b4 25 = a4
a4 b 4 23 + = b 4 a4
 2 1  ( 3 )3 x + 2  =  x 
Resolución: 2 2 a −b 3 = Tenemos:
C) 27 UNMSM 2004-I
a2  a  b  − 2   +  b  a  b2
1 Entonces: x + 6 es: x
El valor de la expresión:  a  +  b  es: b a
 3  a b   b − a =    3
Si: ab = 3 y a2 – b2 = 3,
Problema 3 1 Si: x2 + 2 = 3, x
A) 18 D) 25
EJERCITACIÓN 1. Calcule: R= A) –x
x3 + 1 x3 − 1 − x +1 x −1 B) –2x C) x
ab + bc + ac = 6.
Halle: a2 + b2 + c2 A) 68
(a + b)(b + c)(a + c) = 1
Halle: a3 + b3 + c3 B) 61
a3 + b3 + c 3 Calcule: M = 3abc A) 3 B) 1 C) 2 D) 4
Halle: R =
ab + bc + ac a2 + b2 + c 2
(2x2 + 2x + 3)(3y2 – 6y +10) B) –2
x2 + y2 + z2 = 2(x + 2y + 3z) –14
Calcula: M =
( x + y + z ) ( xyz )
x 3 + y 3 + z3 B) 4 C) 1
Donde: {a; b; c} ⊂ R+ – {0}
Simplifique: 5
( a + b + c )6 a6 + b6 + c 6
(7000)3–(6999)3–(6999)2–7(6999)(103)
12. Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac
Halle el valor de: A) –1
)( b − 2abc )( a − 2abc ) ( a + b )( a + c )( b + c ) − 2ab
11. Si: a, y, z ∈ R, tales que:
x ≠1 y ≠ −2
Reduzca: 3
8. Si se cumple:
5. Si: a + b + c = 0
 x 3 1, =  3  y = −8,
4. Si: a + b + c = 0
Halle: x3 + 3x2 – 3x
D) 7 3
10. Si: a + b + c = 0
a2 b2 2 + 2 b a B) 8
B) 6999.108 D) (1111)4
a b + = 3; ab ≠ 0 b a
7. Si: x =
A) 49.106 C) (6666)3 E) 11.108
3. Si: a + b + c = 4 y
PROFUNDIZACIÓN 6. Dado:
2. Si: a + b + c = 9 y
A) 2 1 D) 2
ÁLGEBRA TEMA 7
DIVISIÓN DE POLINOMIOS SNII2X7
DESARROLLO DEL TEMA I. DEFINICIÓN
Es la operación donde se busca obtener dos polinomios llamados cociente (q(x)) y resto (r(x)); a partir de dos polinomios llamados dividendo (D(x)) y divisor (d(x)).
Nota: Si R(x) ≡ 0 se dice que D(x) ÷ d(x) es exacta, además D(x) ≡ d(x) . q(x); pues el residuo R(x) ≡ 0 es nulo.
II. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Ordenar y completar al dividendo y divisor:
15x 5 – x 4 – 8x 3 + 3x 2 + 0x – 8 5x 2 – 2x – 2 Armar el esquema de Horner según:
D(x) = d(x)q(x) + r(x)
grad[r(x)] < grad[d(x)]
grad[r(x)]máx = grad[d(x)] – 1
gard [q(x)] = grad [D(x) – grad[d(x)]
x3 + x2 – x + 9 = (x + 2)(x2 – x + 1) + 7
D(x) = x3 + x2 – x + 9
d(x) = x + 2
q(x) = x2 – x + 1
coeficiente de P(x)
coeficiente de d(x)
÷ x + ...
igual (d)
coeficiente de q(x)
cocientes de R(x)
# de columnas
Nota: D(x) y d(x) deben esta completos y ordenados en forma descendente.
A. Clases de división Exacta: Si r(x) = 0 •
D(x) = d(x) q(x)
D(x) es divisible por d(x).
d(x) es un divisor o un factor de D(x).
Luego para el ejemplo: ÷1 5
Inexacta: Si r(x) ≠ 0 D(x) = d(x) q(x) + r(x)
III. MÉTODOS DE DIVISIÓN DE POLINOMIOS
notas 1442443 0 –8
1. Método de Horner Ejemplo:
5 4 3 2 Efectuar: 15x – x – 8x + 3x – 8 –2x + 5x 2 – 2
3 1 0 1 2 –6 14444424444443 1442443
q(x) = 3x3 + x2 + 1; R(x) = 2x – 6
Ejemplo 2. Caso a ≠ 1 Efectuar:
Procedimiento 1. Dividiendo el primer coeficiente del D(x) entre el primero de d(x). 2. El resultado se coloca como el primero coeficiente de q(x) y se multiplica con cada coeficiente de d(x) a excepción del primero. 3. Los resultados anteriores se colocan debajo de los coeficientes de D(x) corriendo un lugar a la derecha. Luego sumar y repetir pasos.
2x 3 + 3x 2 + 11x + 6 2x + 1 1. Observe que d(x) = 2x + 1 en este caso a = 2; b = 1 2. Esquema: + + 3 11 2x + 1 = 0 2 x=–
Nota: Hemos colocado la línea divisora contando 2 columnas, pues el grado (d) = 2.
2 método de Ruffini
R(x) = 1 3. Observe que cuando a ≠ 1 tenemos que dividir entre "a" antes de hallar los coeficientes de q(x).
P(x) ax + b Ejemplo 1: caso a = 1
Nota: El residuo en este método siempre es una constante. Los polinomios también deben estar completos y ordenados.
3 2 Efectuar: 3x – 8x + 2x – 24 x–3
1. Observe que d(x) = x – 3 en este caso a = 1, b = –3. 2. Ame el esquema D(x). ax + b = 0
coeficientes D(x)
IV. TEOREMA DEL RESTO
Nota: Sea el polinomio P(x) no constante. El resto de dividir P(x) entre ax + b es R = P(–b/a).
Para nuestro caso: x–3=0 x=3 x
+ –8 9
2 – 24 3
3 1 5 14444244443 2 q(x) = 3x + x + 5
Ejemplo 1 P(x) = (ax + b) q(x) +  Si x = –b/a   b b P  –  =  a  –  + b  q(x) +  a  a      Luego: b R = P  –   a
 = –9
Procedimiento: 1. El primer coeficiente de D(x) pasa por el grupo de los coeficientes de q(x) y multiplica al valor despejado de "x". 2. El resultado se coloca debajo de los coeficientes de D(x) corriendo un lugar a la derecha. 3. Se suma el resultado vuelve a multiplicarse con "x".
Halle el residuo de:
2x 2 + ax + 2 2x – 1
Solución Como el divisor d(x) = ax + b = 2x – 1 b 1 x=– = a 2
P(x) = 2x2 + 9x + 2
1 1 1 P   = 2   + 9   + 2 = 7 2 2 2
4. Cuando a ≠ 1 un paso adicional que realizar veamos
La aplicación permite obtener residuos sin efectuar la división.
a ÷a 1444442444443 coeficientes de q(x)
2 2 10 1 2 2 2 1444442444443 1 1 5 1444442444443 q(x) = x2 + x + 5
Nos permite efectuar
3. Si f(x) y g(x) son divisibles por h(x) la suma y la diferencia de f(x) y g(x) es divisible por h(x). 4. Si f(x) es divisible por g(x), el producto de f(x) por cualquier otro polinomio no nulo h(x) es tambien divisible por g(x). 5. Si el polinomio P(x) es divisible separadamente por los binomios (x – a), (x – b) y (x – c)/a ≠ b ≠ c, entonces P(x) es divisible por el producto. (x – a)(x – b)(x – c).
4. Regla práctica
P(x) Para hallar el residuo: ax + b
Iguale ax + b = 0 Despeje x = – b que es un valor conveniente. a Evalúe P(x) en x = – b a Luego de residuo es: b R = P  –   a
Nota: Recíprocamente, si P(x) es divisible por (x – a)(x – b) (x – c); a ≠ b ≠ c, será divisible separadamente por (x – a), (x – b) y (x – c).
Problema: Halle el residuo en:
x 30 – x10 + x 5 – 3 x2 + 1
6. Si al dividir un polinomio P(x) entre (x – a), (x – b)
x2 + 1 = 0 → x2 = – 1 un valor conveniente.
P(x) = x30 – x10 + x5 – 3
P(x) = (x )
y (x – c)/a ≠ b ≠ c en forma separada deja el mismo resto en cada caso entre (x – a)(x – b)(x – c) dejara el mismo resto común.
– (x ) + (x ) x – 3
R = (–1)15 –(–1)5 + (–1)2 x – 3
∴R = x – 3
V. TEOREMA DEL FACTOR 1. Un polinomio P(x) de grado no nulo se anula para x = a ↔ P(x) es divisible por (x – a), luego (x – a) es un factor de P(x). 2. Si f(x) es divisible por g(x) y g(x) es divisible y la diferencia de f(x) y g(x) es divisible por h(x).
Así: P(x) ÷ (x – a) ⇒ R1 (x) = R
P(x) ÷ (x – b) ⇒ R2(x) = R
P(x) ÷ (x – c) ⇒ R3(x) = R
⇒ P(x) ÷ (x – a)(x – b)(x – c) ⇒ R(x) = R 7. En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor, se les multiplica por un polinomio de grado no nulo, el cociente no se altera, pero el residuo queda multiplicado por dicho polinomio. 8. En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide por un polinomio de grado no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda dividido por dicho polinomio.
Problema 1 ¿Qué condición deben cumplir los números reales b y c para que el polinomio x2 + bx + x sea divisible por x – 1? A) b – c = 1 B) b + c = 1 C) x – b = 2 D) b – c = –1 E) b + c = –1
Para x = 1: 12 + b(1) + C = 0 b + c = –1
Respuesta: E) b + c = –1
Si el polinomio P(x) se divide por (x – 2); el cociente es x2 + 2x + 1 y el residuo es "r". Pero si P(x) se divide por (x – 4), el
Resolución: Tenemos: P(x) = d(x) . Q(x) + 0
P(x) = (x – 4) Q(x) – r Entonces:
P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 1) + t
residuo es (–r). ¿Cuál es el valor de "r"? A) 25
(x – 2)(x2 + 2x + 1) + r = (x – 4)Q(x) – r Para x = 4 (4 – 2)(42 + 2 . 4 + 1) + r = (4 – 4)Q(4) – r
2 . 25 + r = 0 – r r = – 25
B) –25 C) 20 D) –20 E) 0 UNMSM 2009-II
x + bx + c = (x B1).Q(x)
Respuesta: B) –25
Problema 3 El resto de la división de un polinomio P(x) entre x2 + 3x + 2 es 2x + 3; y entre x2 + 2x – 3 es x – 2. Hallar el resto de la división de P(x) entre x2 – 1. A) –x + 2 B) –3x + 5 C) –x D) 2x – 1 E) 2x – 3
P(x) = (x + 2)(x + 1) – 8(x) + 2x + 3 → P(1) = 1 P(x) = (x + 3)(x – 1)Q(x) + x – 2→P(1) = –1 14243
P(x) = (x2 – 1) Q2(x) + Ax + B→
A + B = –1 –A + B = 1 B=0 A = –1
Respuesta: C) –x
1. Calcule el resto: 7
2x + 3x + 2x + 3x – 8x – 1 2x + 3 A) 13
PROFUNDIZACIÓN 6. Al dividir P(x) entre (x3 – 3x + 2) se obtiene un cociente igual a (x – 2) y resto igual a 8. Indique el valor de P(–1).
x 5 + 2x 3 – 3x 2 + 4 x–2
Luego indicar el término independiente del cociente. A) –2
3. Halle el resto en: 5
(x – 1) + x + 1 x –1 A) –2
4. Calcular el resto de: x 3 – 9x 2 + 10x 4 + 16x – 3 – x + 2 + 2x 2 A) 2x – 13 C) 2x – 14 E) x – 13
B) 2x + 13 D) 2x + 7
Al dividir P(x) entre (x + 1) y (x – 1) se obtiene como resto 2 y 4 respectivamente. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre x2 – 1.
P(x) (x + 1)(x – 5)
D) 2x – 3 E) 0
8. Un polinomio P(x) al ser dividido entre (x – 3) y (x + 2) se obtuvo como restos 6 y 1 respectivamente, hallar el resto que se obtiene al dividir dicho polinomio entre (x – 3) (x + 2) A) x + 5 B) x + 4 C) x + 3
11. Si el resto de dividir P(x) entre (x – 5) y (x + 1) es 8 y –1 respectivamente; halle el resto de dividir
A) x + 3 B) x – 3 C) 2x + 3
C) 9 x – 13 4 4 D) 3x + 1 E) 3 x + 1 2 2 12. Un polinomio P(x) de 5to grado es tal que P(1) = P(–1) = P(2) = P(–2) y
D) x – 1 E) 2x + 1
son iguales a 7, y al ser dividido 9. Hallar el resto de la división: x 2 + 7x + 9
5. Calcule "b – a" Si: x4 + 2x3 – 3x2 + ax – b, es
divisible por x2 + 2x – 5.
10. Al dividir P(x) entre x + 1 se obtuvo como resto 2. ¿Qué resto se obtendrá al dividir (P(x))10 entre x + 1?
3 1 A) 2 x – 2
[(x + 3)(x + 4) + 1]2 + 3x(x + 7) + 10
p o r x 2 – 3 se ob tie ne co m o residuo –6x + 17, halle el término independiente de P(x). A) –13
álgebra tema 8
BINOMIO DE NEWTON COCIENTES NOTABLES SnIi2X8
DESARROLLO DEL TEMA I. FACTORIAL
Número combinatorio complementario
Se define el factorial de un número entero positivo a la multiplicación de números consecutivos, comenzando desde la unidad hasta el número dado.
Cnr = Cnn–r
1.2.3...n; n∈
nó=
Suma de números combinatorios
1 ; n = 0 +1 Cnr+1 + Cnr = Cnr+ 1
n! = n(n – 1)1; n ≥ 1
a! = b! ⇔ a = b; a, b ∈+ – {0, 1}
Igualdad de número combinatorios n = x ∧ r = y  Cnr = Cxy ⇔   n = x ∧ r + y = n  
II. Número combinatorio
índice superior índice inferior
Se define: Cn0 =
III. Desarrollo del binomio de newton con exponente natural.
n! . Donde: n, r, ∈+0; n ≥ r r !(n – r)!
Propiedades Valores usuales
Forma; (x + y)n Desarrollo:
(x + y)n = Cn0 xn + C1n xn –1y + Cn2 xn – 2 y 2 + ... + Cnn yn
Cn0 = Cnn = 1 , C1n = n
Degradación de un número combinatorio Índice superior Cnr
n = Cn –1 n–r r
Ejemplo: Desarrollo (a + b)3 Solución Para desarrollar se identifica que el exponente del binomio es 3(n = 3), entonces: 3 3 (a + b)3 = C0. a + C13a2b + C32ab2 + C32b3
Para determinar los coeficientes del desarrollo del Binomio de Newton se puede utilizar también el triángulo de Pascal, el cuál está dispuesto de la siguiente manera.
1 1 Cnr =
n – r +1 n Cr –1 r
Ambos índices 1
n n–1 C r r –1
BINOMIO DE NEWTON - COCIENTES NOTABLES
Estos coeficientes se leen en forma horizontal (fila), cada fila corresponde al desarrollo de la potencia de un binomio; la primera fila corresponde al binomio. (x + y)0; la segunda fila al binomio (x + y)1, la tercera fila al binomio (x + y)2; la cuarta fila al binomio (x + y)3; así sucesivamente. Ejemplo: Desarrolle (a + b)5
n: Puede ser par o impar, siempre será C0N0 ya que su resto es cero. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es: an – bn = an – 1 + an – 2 b + ...+ bn–1 a–b a4 – b4 Ejemplo: = a3 + a2b + ab2 + b3 a–b an + bn Segundo caso: a+b
Sea el binomio (x + y)n Tk+1: es el término de lugar (k + 1) dado por la fórmula
Tk+1 = Ckn xn – k yk
siendo: k∈{0; 1; 2; 3; ...; n}
Observación: Si el término es contado del extremo final (de derecha a izquierda), la fórmula es:
Tk +1 = Ckn xn – k yk Propiedades: • El número de términos de desarrollo del binomio de Newton esta indicado por el exponente aumentado en uno.
Solución: Para desarrollar este binomio, corresponde la sexta fila, entonces: (a + b)5 = 1a5b0 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1a0b5
n: Para este caso debe ser un número par necesariamente, lo cual nos da un resto cero y por consiguiente el cociente es notable.
El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es:
Número de Términos = Exponente del Binomio + 1
n n n n n n • C0 + C1 + C2 + C3 + ... + Cn = 2
• El término independiente de una variable, es aquel cuyo exponente de la variable es cero.
n: En este caso debe ser impar necesariamente, para que el resto sea cero y el cociente sea notable: El desarrollo obtenido por la regla Ruffini es: an + bn = an – 1 – an – 2 b + ... + bn – 1 a+b an + bn Ejemplo: = a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 a+b an – bn Tercer caso: a+b
• El término central del desarrollo del binomio se encuentra en el lugar n + 1, siendo "n" un número 2 natural par.
an – bn a–b
an – bn = an – 1 – an – 2 b + ... –bn – 1 a+b an + bn Ejemplo: = a3 – a2b + ab2 – b3 a+b an + bn a–b
n: Ya sea par o impar, el resto no será cero, por consiguiente este tipo de cociente nunca será cociente notable.
Propiedades generales de los cocientes notables n n Respecto al C0N0 cuya forma general es: Se satisfacen las siguientes propiedades.
a ±b a±b
an ± bn ;n ∈ + a±b El desarrollo de estos cocientes se pueden efectuar
1° El resto de la división debe ser igual a cero. 2° El número de términos que tiene en su desarrollo es igual al exponente del dividendo del cociente notable. 3° El desarrollo de un C 0 N 0 es un polinomio homogéneo cuyo grado es igual al exponente del dividendo del C0N0 menos uno. 4° En el desarrollo de un C0N0 los exponentes de la primera y segunda base varían consecutivamente en forma descendente y ascendente desde el mayor exponente, hasta el exponente cero. 5° Respecto a los signos de los términos del desarrollo de un C0N0 debemos considerar lo siguiente.
Son cocientes cuya fórmula general es:
directamente sin aplicar los criterios generales de la división algebraica.
Todo cociente notable debe satisfacer los siguientes principios:
1° El resto de la división debe ser igual a cero.
2° Las bases deben ser iguales.
3° Los exponentes deben ser iguales. Nota:
C0N0 = Cociente Notable
i) – = +, +, + ...+ (n: Par ó impar) – ii) – = +, –, + ...–, + (n: Impar) – iii) – = +, –, +, ..., +, –, (n: par) + Generalización La siguiente división es un cociente notable si se verifica. m
Fórmula para calcular el término de lugar "K"
Vemos que el término de lugar "k" adopta la forma matemática. TK = ±(a)n–k (b)k –1 ; 1 ≤ k ≤ n
+ – ó + +
iii) Tk siempre es positivo para una C0N0 de la forma
Dado el C0N0: hallar el T27
a31 + b31 a+b
TK = +(a)n – k (b)k – 1
an ± bn n–1 n–2 n–3 2 n–1 b+a b =a  ± b ±a     ± ... a±b T T T T T 2
Además: i) Tk es (+) ⇔ k, es impar ii) Tk es (–) ⇔ k, es par, pero solo para C0N0 de la forma.
Solución Dado que 27 es un número impar.
En la expansión del C0N0. 1
Donde las bases del cociente notable exacto (C.N.E) están dados por los términos del divisor: Primera base: xp Segunda base: yq
"n": Número de términos de C0N0 "k": Lugar que ocupa el término que queremos determinar.
– – Ejemplo:
x ± y es un m n Número de ⇔ = = p q C.N.E. p q tér minos x ±y
Donde: "a" = a "b" = b "n" = 31 "k" = 27
Reemplazando: T27 = (a)31 – 27(b)27–1
Debemos tener en cuenta que: "a": Primera base del C0N0 "b": Segunda base del C0N0
T27 = a4b26
PROBLEMAS resueltos Problema 1 Es el desarrollo del cociente notable: x14 + 128 x2 + 2 Halle el coeficiente del quinto término. A) 16 B) 8 C) – 16 D) 32 E) –8
2 3 J 1 Jn 1 J1 J J1 J ; K K ; K K ; . . . ; K K ; y S es la suma 4 L4 L L4 L L4 L de los n + 1 coeficientes de los términos del desarrollo de (a + b) n. Halle el producto G.S.. A) 1/8 B) 1 C) 2 D) 1/2 E) 4
UNMSM 2014 - I
Resolución: Del cociente notable: 14
+ 128 (x ) + 2 x + 2 = (x2) + 2
Luego: T5 = (–1)5 – 1(x2)7 – 5 . 25 – 1 4
⇒T5 = 1 . x . 16 = 16 x
Nos piden: El coeficiente del quinto término 16
Respuesta: A) 16 Problema 2 Si G es medio geométrico de los "n" números.
( )( ) ( ) ( ) 1 1 . 4 4
( 41 ) 1 =( ) 4 =n
Problema 3 Halle el producto de la suma de los coeficientes de (2x3 – 3y)5 con la suma de los coeficientes de (x + y)4.
n.(n+1) 2
B) –16 E) 20
C) 30 UNMSM 2011-II
S es la suma de n + 1 coeficientes del desarrollo de (a + b)n. S = 2n
Respuesta: D) 1/2
( 41 ) 1 =( ) 2
1 1 1 G.S. =  n+1  .2n = n .2n = 2 2 .2 2 
A) 15 D) –18
G = MG ("n" números)
Resolución: P(x; y) = (2x3 – 3y5) Suma de coeficientes = P(1; 1) = (2 – 3)5 = –1 Q(x; y) = (x + y)4 Suma de coeficientes = Q(1; 1) = (1 + 1)4 = 16 Piden: (–1)(16) = –16
Respuesta: B) –16
PROBLEMAS de clase ejercitación
x! + (x – 1)! = 0,2(x + 1)! a) 7
. Se obtuvo 2n+1
a . b 7.
Entonces: b – 2a, es: c) –6
8. Calcular "n" en: C1n + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn = 11 264
4. El quinto término del desarrollo de (x + 2)n es 240xa. Calcular el valor de "a". b) 2
Hallar el coeficiente de x16 en el desarrollo de: S(x) = (x2 – 2x)10 d) 1240 e) 2160
3. Calcular el grado de término central en el desarrollo de: (x3 + y2)40.
9. Hallar m y n sabiendo que el término tercero del desarrollo de:
x 4n+3 + y 2(3m –1) es igual a x14 y 16 xm + yn
11. ¿Cuál es el lugar que ocupa un término en el siguiente C.N. x 91 – y 26 ?;sabiendo que el grado x7 – y2 del término que ocupa el lugar "k" excede en 30; el G.A. del término que ocupa el lugar "k" contando desde la derecha. a) 1
6a – 3
8a+3
racionales fraccionarios en:
x a –1 – y a+1
x 462 – x –308 x 3 – x –2
b) n = 7; m = 7 c) n = 8: m = 8 D) n = 1; m = 3
e) n = 8; m = 7
12. Hallar el número de términos
a) n = 7, m = 4 5. Proporcionar el grado del término central del C.N.
a) 1024 b) 1728 c) 3360
d) 1 e) –1
x –2 x –1 x –2 x –20 C20 + C22 + C21 + C21 = C2x 22
6. Hallar un posible valor de (n + p) 1 n n 60 en: p + 1 nCp + Cp  = C20 a) 70 b) 78 c) 88
10. Calcular "x" en:
2. Al reducir:
álgebra tema 9
RAÍCES DE UN POLINOMIO SnIi2X9
DESARROLLO DEL TEMA I. Raíces de un polinomio
Sea P(x) un polinomio no constante, diremos que a es una raíz del polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) en x = a se hace cero. Luego, P(x) = (x – a) q(x). Ejemplos: • Sea P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 Vemos que P(1) = 0 ⇒ 1 es una raíz del polinomio de P(x), donde P(x) = (x – 1)(x2 – 2x + 1)
III. Polinomios de segundo grado
P(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 P(x) = a(x – x1)(x . x2) de donde:
x . x1 = 0 ∨ x – x2 = 0
x = x1 ∨
Nota: A las soluciones de una ecuación raíz del polinomio, se les llama también raíces del polinomio
∴ x1, x2 se llaman raíces de la ecuación polinomial cuadrática.
Ejemplo: • P(x) = x3 – x – 12 x –4
II. Raíz múltiple de un un polinomio
Sea P(x) un polinomio no constante, donde "a" es una raíz de multiplicidad k. Si y sólo si (x – a)k es un factor de P(x) y (x . a)k + 1 no es factor de P(x).
P(x) = (x – 7)(x + 2)7(x + 8), del cual se dirá:
7 es una raíz de multiplicidad 3
–2 es una raíz de multiplicidad 7
–8 es una raíz simple
Sea el polinomio P(x) ax2 + bx + x; a ≠ 0
Número de soluciones de P(x) = 0
–b+ b2 – 4ac –b– ; x2 = 2a
b2 – 4ac 2a
Ejemplo: • P(x) = 2x2 + x – 2
Nota: Si una raíz es de multiplicidad k, siginifica que la raíz se repite k veces
Número de raíces de P(x)
⇒ P(x) = (x – 4)(x + 3) ⇒ x –4 = 0 ∨ x + 3 = 0 x=4 ∨ x = –3
P(x) = (x – a)k q(x); donde q(a) ≠ 0
–1 + 12 – 4(2)(–2) –1 – 12 – 4(2)(–2) ; x2 = 2(2) 2(2)
–1 + 17 4
–1 – 17 4
A>0 x1 = x2
2. Teorema de Cardano – Viette
En el polinomio. P(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 de raíces. x1 ; x2. b • Suma de raíces: x1 + x2 = – a c • Producto de raíces: x1 . x2 = a • De la identidad de Legendre se tiene: (x1 + x2)2 – (x1 – x2)2 = 4x1 x2
i<0 x1 = x2
IV. Polinomio de tercer grado
3. Teorema (Análisis de las raíces)
Mediante el teorema fundamental del álgebra y su colorario, el polinomio tiene 3 raíces, denotaremos por x1; x2, x3. En tal caso el polinomio factorizado será: P(x) = A(x – x1)(x – x2)(x – x3); A ≠ 0
Del polinomio P(x) = ax + bx + c; a ≠ 0 de coeficientes reales, raíces x1 y x2 y discriminante i = b2 – 4ac se cumple:
Si: i > 0 ⇔ x1; x2 ∈ x1 ≠ x2
Si: i = 0 ⇔ x1; x2 ∈ x1 = x2
Si: i < 0 ⇔ x1; x2 ∉ x1 = x2
P(x) = x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3+x2x3)x – x1x2x3
4. Integración geométrica de y = Ax2 + Bx + C
Sea y = Ax2 + Bx + C; A ≠ 0 y coeficientes reales. El comportamiento geométrico de y depende de su discriminante (i), así: A>0 A>0 y x1
de donde se observa:
Teorema de Cardano - Viette En toda polinomio Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0, de raíces x1, x2, x3 se cumple: B I. Suma de raíces. x1 + x2 + x3 = – A II. Suma de productos binarios de las raíces: C x1x2 + x1x3 + x2x3 = A III. Producto de las raíces: D x1x2x3 = – A
Teorema de paridad raíces:
x1 = x 2 i>0 y
A>0 y x1 = x2
P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ...+ a0 = 0 an ≠ 0, si an, 3n–1, an–2, ... a0 ∈ se cumple que la ecuación admite como raíz a a Z = a + bi, (B ≠ 0), entonces tambien admite como raíz al número Z = a – bi, llamado el conjugado de Z. Si la ecuación admite como raíz: a + b ( b∈) entonces la otra raíz es: a – b
PROBLEMAS resueltos Problema 1 Sea el polinomio: P(x) = 8x3 + ax2 + bx + c Que tiene como raíces a: –3; –1/4; 1/2 Entonces P(x + 1) es: A) 8x3 + 41x2 – 3x – 3 B) 8x3 + 22x2 – 17x – 3 C) 8x3 + 46x2 – 61x + 20 D) 8x3 + 37x2 – 6x – 12 E) 8x3 + 35x2 – 7x – 3
Resolución: Aplicando el teorema de Cardano: a 1 1 = –3 – + ⇒ a = 22 8 4 2 b  1 1 1 1  = (–3)  –  + (–3)   +    –  ⇒ b = –7 8  4 2 2 4
C  1 1 – = (–3)  –    ⇒ C = –3 8  42
P(x) = 8x3 + 22x2 – 7x – 3 x = x + 1 ⇒ (P(x + 1) = 8(x + 1)3 +
Respuesta: C) 8x3 + 46x2 + 61x + 20 Problema 2 Halla la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación. 4x4 – 17x2 + 4 = 0
UNMSM 2005- II
P(x + 1) = 8x3 + 46x2 + 61x + 20
22(x + 1)2 – 7(x + 1) – 3
A) –1/2
D) –9
C) 17/2 UNMSM 2004-I Nivel Fácil
Problema 3 Se sabe que las raíces de la ecuació: x3 – 12x2 + rx – 28 = 0 Están en progresión aritmética. Halla el valor de "r".
Factorizando: 4x4 – 17x2 + 4 = 0 (4x2 – 1)(x2 – 4) = 0 4x2 – 1 = 0, x2 – 4 = 0 ​1 x=± ;x=±2 2
B) 24 E) –20
17 1  1 2 2   +  –  + (–2) + (2) = 2 2  2
Respuesta: C) 17/2
a – n + a + a + n = 12/1 ⇒ a = 4 (4 – n)(4)(4 + n) = 28/1 ⇒ b = 3 Entonces las raíces son: a; 4, 7
C) 39 UNMSM 2006-I
Aplicando el terome de Cardano
Luego: 134 + 1,7 + 4.7 = r/1 ⇒ r = 39
Resolución: Sabemos que las raíces son: a – n, a, a + n
Respuesta: C) 39
1. Halle el valor de "a" si una raíz de:
6. Si a y b son las raíces del polinomio:
P(x) = x2 – ax + 5, es igual a 1 a) 7
P(x) = ax2 + bx + c, halle el valor de:
2. Halle las raíces de:
M(x) = x2 + 16x + 17 e indique el producto de ellas. a) –16
B) –17
N(x) = x3 – 7x + 17 de raíces a; b y c. Halle el valor de a + b + c. a) 7
b) –7
e) –17
b) a(3bc – c2)
P(x) = x + kx + 16, sabiendo que tiene dos raíces iguales. a) –12
b) –13
d) –15
e) –16
11. En el polinomio:
P(x) = 3x3 + ax2 + bx + 12/a; b∈
una de las raíces es 1 + 3 a) –12
Q(x) = x – 7x + mx – 8, sabiendo que estan en progresión geométrica. Halle el valor de "m". a) 16
Q(x) = x3 – 4x2 + mx + n – 3 de coeficientes reales es 2 – 3i. Calcule m + n.
d) 12 e) –18 12. Si: 3 + 2 2 es una raíz irracional de:
9. Uno de los polinomios:
c) –7/9
8. Halle las raíces de:
d) –1/3 e) 1/3
7. Halle el valor de K en el polinomio:
x13 + x 32 + x 33
Q(x) = x3 – 7x + 6 calcule: x12 + x 22 + x 23
d) b(3ac – b )
5. Halle el valor de K para que el producto de las raíces del polinomio Q(x) = (k – 2)x2 – 5x + 2k sea 6.
sistematización 10. Si: x1, x2; x3 son las raíces de:
4. El polinomio:
a) c(3ba – b2)
e) a(abc – a2)
N(x) = 3x2 + ax + 18, son x1 y x2 halle el valor de x1. a) 1
2 a2 b + b a
b) 2+ 3 i c) 10
d) 9 e) 0
c) ab2 + bc
3. Si las raíces de:
P(x) = 2x3 – x2 – ax + b, a; b ∈
halle ab. a) 4
álgebra tema 10
FACTORIZACIÓN - mcm Y mcd SnIi2X9
DESARROLLO DEL TEMA FACTORIZACIÓN i. definición
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas, específicas, su operación depende de la práctica adquirida. En esencia es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos dentro de un determinado campo numérico. Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dichos polinomios pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Hay tres campos de importancia. • Racional () • Real () • Complejo () Ejemplo:
i) P(x) = 2x2 – 7x + 3, está definido en ,  y . no en . iii) R(x) = x3 – ix + 2i – 3; está definido solo en: (i = –1)
A. Factor o divisor Es un polinomio de grado distinto de cero que divide exactamente a otro.
B. Factor primo
Es un polinomio sobre un campo numérico el cual no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico. Ejemplo: 1. P(x) = x2 – 36 No es primo en , ni en ; ni en , ya que puede expresarse como: P(x) = (x + 6)(x – 6) 2. Z(x) = x2 – 7 Es primo en  pero no en , ni en  dado que: R(x) = (x + 4i)(x – 4i)
En la cantidad de factores no repetidos que tienen el polinomio, dependiendo sobre que campo numérico se factorice. Ejemplo: a) P(x) = x4 – 36 = (x2 + 6)(x2 – 6) ⇒ P(x) = tiene 2 factores primos en . b) P(x) = x4 – 36 = (x2 + 6)(x + 6 )(x – 6 )
⇒ P(x) tiene 3 factores primos en .
P(x) = x4 – 36 = (x + i 6)(x – i 6)(x + 6)( 6 – 6) ⇒ P(x) tiene 4 factores primos en .
II. Métodos para factorizar A. Método de factor común
ii) Q(x) = 2 x5 + 3x – 3 , está definido en  y , pero
C. Número de factores primos
El factor común esta contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente; puede ser monómico o polinómico. Ejemplos: 1. Factorizar N = 2x4y3 + 2x4z2 + 2x4 Resolución: El factor común es: 2x4 de donde. N = 2x4 (y3 + z2 + 1) Factorizar A = (a2 + b)x + (a2 + b)y + (a2 + b)z Resolución: El factor común en este caso es: (a2 + b), de donde: A = (a2 + b)(x + y + z)
B. Factorización por agrupación de términos
Consiste en agrupar convenientemente de forma que se tenga factor comunes polinómicos. Ejemplo:
Factorizar: P = (ax + by)2 + (ay – bx)2
FACTORIZACIÓN - mcm Y mcd
Resolución: Desarrollando por productos notables. P = a2x2 + 2abx + b2y2 + a2y2 – 2abxy + b2x2 Simplificando: P = a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2 Agrupando el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, se tiene: P = (a2x2 + a2y2) + (b2y2 + b2x2) P = a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2) P = (a2 + b2)(x2 + y2)
C. Método de Identidades
1. Diferencia de cuadrados Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forman un producto de la suma de las raíces. Multiplicadas por la diferencia de las mismas. En geberal: a2m – b2n = (am + bn)(am – bn)
2. Trinomio cuadrado perfecto Su forma general es:
am bn am bn 2am bn
b bn (iguales)
a2m ± 2ambn + b2n = (am ± bn)2 3. Suma o diferencia de cubos En esta base recordamos los productos notables. a3m + b3n = (am + bn)(a2m – ambn + b2n) a3m – b3n = (am – bn)(a2m + ambn + b2n)
P = x4(x3 + c3) – c4(x3 + c3)
Siendo el factor común: x3 + c3
P = (x3 + c3)(x4 – c4)
Factorizando la suma de cubos y la diferencia de cuadrado, obtenidos finalmente. P = (x + c)(x2 – xc + c2)(x2 + c2)(x + c)(x – c) Factorizar: M = 3ab(a + b)+ 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 Resolución Factorizando: 3(a + b); se tiene: M = 3(a + b)[ab + c(a + b) + c2] M = 3(a + b)[ab + ac + bc + c2]
M = 3(a + b)(a + c)(b + c)
III. Método de aspa simple
Se aplica en expresiones trinomias de la forma: ax2m + bxmyn + cy2n
Se descompone en factores los extremos y la suma de los productos en aspa debe ser igual al término central. Es decir dado: ax2m + bxmyn + cy2n a1xm c1yn m
a2c2 anc2 b
a los térmios, se
F = x8 – 81y8
Factorizando de 2 en 2
Resolución: Extrayendo obtiene:
Suma x dif
Haciendo (a + b) = x, se tendría.
P = x7 + c3x4 – c4x3 – c7
Ejemplos: Factoreizar: F = x8 – 81y8
P = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7
Factorizando en el corchete 2 de 2: M = 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] Siendo: (b + c) el factor coún, se tendría como factores.
a2m ± 2anbn = b2m m
x4 ↓ x
↓ 9y4 ↓ 2
De donde: F = (x4 + 9y4)(x2 + 3y2)(x2 – 3y2)
Los factores se toman horizontalmente: (a1xm + c1yn)(a2xm + c2yn)
Ejemplo: Factorizar: P = 64a12b3b3 – 68a8b7 + 4a4b11 Resolución Siendo el factor común: 4a4b3 Se obtiene:
P = 4a4b3 [16a8 – 17a4b4 + b8]
Aplicando aspa simple al corchete. 16a4
16a4b4
F = ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f
17a4b4
Factorizando la diferencia de cuadrados; obtenemos: P = 4a4b3(4a2 + b2)(2a – b)(a2 + b2)(a + b)(a – b) Factorización por aspa doble este método es aplicable para poinomios de la forma: ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f El polinomio debe presentar cierto orden para poder factorizarlo. 1. Debe tener 6 términos, si falta alguno de ellos, se reemplaza por ceros. 2. Con respecto al primer trinomio, los exponentes centrales deben ser la mitad de los extremos y en el cuarto y quinto término se repiten los exponentes centrales. Forma de factorizar 1. Extando ordenado los términos del polinomio, se trazan dos aspas de la siguiente forma: F = (ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f) 144444424444443
a2 Deben cumplir que:
a2 f1 d 3. A continuación descomponemos en factores el coeficiente del tercer término. La primera aspa debe verificar al coeficiente del segundo término y la segunda aspa debe verificar el coeficiente del quinto término. 4. Los factores se obtienen tomando las técnicas de las aspas en forma horizontal.
F = (20x4 + 13x2y3 – 21y6 – 2x2 + 23y3 – 6) 144444424444443 4x2 2 10 5x2
–12 –2
Dado que está verificado el cuarto término, descomponemos en factores el "tercer término". F = 20x4 + 13x2y3 – 21y6 – 2x2 + 23y3 – 6 144444424444443 10 4x2 –3y3 2 5x2
a1 f2
c1f2 a1c2 a2c1 c2f1
Factorizar: F = 20x4 – 21y6 + 13x2y3 – 2x2 + 23y3 – 6 Resolución: Ordenando el polinomio deacuerdo a las reglas dadas, se tiene:
f = (a1xm + c1yn + f1)(a2xm + c2yn + f2)
F = (ax + bx y + cy + dx + ey + f) a1 144444424444443 f1
c1yn
2. Descomponemos en factores los coeficientes de lso términos extremos multiplicados en aspa y sumados deben verificar "al cuarto término". 2m
a1xm a2x
P = 4a4b3 (16a4 – b4)(a4 – b4)
28 –15 13
Como se han verificado todos los términos, los factores son:
F = (4x2 – 3y2 + 2)(5x2 + 7y3 – 3) Ejemplo: Factorizar: P = 12a2 – 4b2 – 12c2 – 2ab + 7ac + 14ac Resolución: Ordenando convenientemente, se tendría: P = 12a2 – 2ab – 4b2 + 7ac + 14bc – 12c3 3a 4c 16 4a –3c –9 7
Dado que el cuarto término está verificado, descomponemos en factores el tercer término.
P = 12a2 – 2ab – 4b2 + 7ac + 14bc – 12c2) 3a
–2b 6 –8 –2
–3c
–9 7
Como todos los términos están verificados, entonces:
P = (3a – 2b + 4c)(4a + 2b – 3c)
Doble Aspa: Caso especial Polinomio de cuarto grado El polinomio a factorizar debe tener cinco términos o en su defecto debe completarse con ceros, su forma canónica es:
c'2x
a2c'2
c''2e1
a = a1 . a2
Los factores se toman horizontalmente: f = (a1x2 + c'2x + c1)(a2x2 + c'2x + c2)
Ejemplo: Factorizar: P(x) = 20x4 + 2x3 – 11x2 + 19x – 15
Resolución: Descomponiendo en factores los términos extremos, para determinar c1 se tendría.
f = ax4 + bx3 + cx2 + dc + c c1
c1 = a2c1
c2 = a1c2
–20x2
Caso de polinomios mónicos
El polinomio mónico se caracteriza porque el coeficiente de su máxima potencia es igual a la unidad. 1. Se hallan todos los divisores del término independiente del polinomio P(x) a factorizar, los divisores se consideran con el signo más y menos.
Luego se obtiene por diferencia: c2 = c = c1
2. Cada divisor con signo (+) o signo (–) se evalúa en P(x), si alguna de las evaluaciones vale cero, hemos encontrado un factor lineal.
2. c2 se descompone en factores: c2 = c'2 . c2' donde la primera aspa verifica a b y la segunda aspa veridia a a.
3. Se recomienda encontrar una cantidad de ceros igual al grado del polinomio P(x) menos dos.
f = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
4. Los demás factores se encuentran aplicando la regla de Ruffini. Ejemplo: Factorizar: f(x) = x4 – 2x3 – 16x2 + 2x + 15
Observando en forma inversa: i) Si: P(x) = 0; entonces un factor es (x – a) ii) Si: P(x) = 0; entonces un factor es (x + b)
ii) Si: P(x) es divisible entre (x + b), entonces P(–b) = 0
c = c1 . c2
Factorización por divisores binomios Este método se basa en el criterio del teorema del resto. i) Si: P(x) es divisible entre (x – a), entonces: P(a) = 0
Multiplicando en aspa y sumando los productos respectivos, obtenemos c1, es decir:
–5x2 ∴ P(x) = (4x2 – 2x + 3)(5x2 + 3x – 5)
c1x2 c2x2 tal que: c1 + c2 = c Forma de factorizar: 1. Se descompone en factores los coeficientes de los términos externos del polinomio de cuarto grado, de forma que:
–6x2 –5x2
El problema central consiste en descomponer cx en dos términos, dispuestos en la siguiente forma:
P(x) = 20x4 + 2x3 – 11x2 + 19x – 15
c12e2
Resolución: Nótese que el polinomio es de cuarto grado, entonces.
∴ Los divisores a evaluar son:
1° La cantidad de ceros a encontrar por evaluación es: 4° – 2° = 2
2° Los divisores del término independiente 15 son ± (1; 3; 5; 15) 3° Evaluando a) f(1) = 1 – 2 – 16 + 2 + 15 = 0 entonces un factor es: (x – 1) b) f(–1)=(–1)4–2(–1)3–16(–1)2+2(–1)+15 f(0) = 0; entonces otro factor lineal es: (x + 1).
(1; 2; 3; 6; 1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 2 ) 2 3 6 2 3
P(–1) = 6(–1)5 + 13(–1)4 –29(–1)3 – 43(–1)2 – (–1) + 6 P(–1) = 0 ⇒ un factor es: (x + 1)
( 12 ) = 6 ( – 12 ) +13 ( – 12 ) 5
( 12 ) – ( – 12 ) + 6 2
– 29 −
( 12 ) = 0 ⇒ otro factor es :( x + 12 )
( 13 ) = 6 ( 13 ) +13 ( 13 ) 5
( 13 ) = 0 ⇒ otro factor es :( x – 13 )
( 13 ) – ( 13 ) + 6 2
Aplicando Ruffini se tendría: 4° Por la regla de Ruffini x–1=0 x=1
1 –2 –16 +2 +15 1 –1 –17 –15
x+1=0 x = –1
1 –1 –17 –15 –1 +2 +15 1 –2 –15
x = 6 –1 ↓
∴P(x) = (x – 1)(x + 1)(x2 – 2x – 15) El factor cuadrático es más fácil de factorizar, obteniendose. P(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 5)(x + 3) Caso de polinomios no mónicos. Sea P(x) el polinomio a factorizar: 1° Se hallan los divisores correspondienyes al término independiente de P(x) y los divisores correspondientes al coeficiente de la máxima potencia. 2° Los divisores a evaluar son los divisores del término independiente más las fracciones que se obtiene al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente de la máxima potencia. Ejemplo: Factorizar: P(x) = 6x5 + 13x4 – 29x3 – 43x2 – x + 6 Resolución: Como el polinomio es de grado 5 a lo más debemos encontrar "3" ceros. Los divisores del primer coeficiente y del término independiente son: P(x) = 6x5 + 13x4 – 29x3 – 43x2 – x + 6
± (1; 2; 3; 6)
∴ P(x) = (x + 1) x + 1 x – 1 (6x 2 + 6x – 36) 2 3 Simplificando y factorizando el término cuadrático se obtiene: P(x) = (x + 1)(2x + 1)(3x – 1)(x + 3)(x – 2) Factorización de expresiones recíprocas: Las expresiones recíprocas se caracterizan porque los términos equidistantes de los extremos son iguales. Debemos tener en cuenta lo siguiente: 1. Si la expresión es recíproca de grado impar uno de sus factores es (x + 1) y este factor estará multiplicando por una expresión recíproca de grado par. 2. Si la expresión es recíproca de grado par los coeficientes equidistantes de los extremos son iguales y el último término es positivo. Ejemplo: P(x) = ax4 ± bx3 ± cx2 bx + a Formas de factorizar: 1. Se factoriza la variable que se encuentra elevado a un exponente igual a la mitad del grado de la expresión dada. 2. Se agrupan los términos equidistantes de los extremos quedando en cada grupo un término en x y su recíproco. 3. Se reemplaza el grupo de menor potencia por
una letra diferente de x y las otras potencias se encuentran en función de esta letra. Ejemplo: Factorizar:
P(x) = 6x4 + 35x3 + 62x2 + 35 + 6
35 6   P(x) = x 2  6x 2 + 35x + 65 + +   
Agrupando los términos equidistantes de los extremos:
1 1 Haciendo: x + = a ⇒ x 2 + 2 = a2 – 2 x
20a 15a 35a
P(x) = [3a + 10][2a + 5]
Como: x + 1 = a; se tendría x
   1 1 P(x) = x 2  3 x + + 10   2 x + + 5 x x   
   1  1 P(x) = x 2  6  x 2 +  + 35 x + x + 62  x2    
Por aspa: 6a + 35a + 50 3a 10 2a 5
Resolución: Dado que el grado de P(x) es 4; factorizamos: x2; obteniendo:
con lo cual: P(x) = x2[6(a2 – 2)+ 35(a) + 62] P(x) = x2 [6a2 + 35a + 5a]
P(x) = ( 3x 2 + 10x + 3 ) ( 2x 2 + 5x + 2 )
Nuevamente por aspa simple: P(x) = (3x + 1)(x + 3)(2x + 1)(x + 2)
MCD Y MCM I. Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente numérico(prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados. • Para hallar el MCD de varios polinomio se procede de la forma siguiente: 1. Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores de la forma siguiente. 2. El MCD es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevando a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios. Ejemplo: Dados los polinomios:
Observación: Dos o más polinomios son primos entre sí, si su MCD es la unidad. Dos o más polinomios son primos entre sí, si su MCD es la unidad.
II. EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
A = 24a5b2c6; B = 18a3b4c5 Como: A = 23 . 3 . a5 b2 c6 B = 2 . 33 . a3 b4 c5
Luego: MCD(A; B) = 2 . 3a3 c5
El cuál es la expresión de mayor G.A. que está contenida en A y B simultáneamente.
Determinar el MCD de:
A = 2x2 + 2xy ∧ B = 4x2 – 4xy Factorizando: A = 2x(x + 4) B = 22 x(x – 4)
MCD. (A ; B) = 2x
En dos o más polinomios el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados. • Para hallar el MCM de varios polinomios se procede de la forma siguiente. 1. Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos (se caracteriza). 2. El MCM es el producto obtenido al tomar todos los factores, comunes y no comunes elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios. Ejemplos: Dados los monomios: A = 160x7 . y3 z2; B = 192x4y6w Como: A = 25 . 5x7 y3 z2 B = 26 . 3x4 y6 w Luego: MCM(A; B) = 26 . 3 . 5x7y6z2w Finalmente: MCM(A; B) = 960x7y6z2w El cual es la expresión de menor G.A. que contiene exactamente a A y B simultáneamente. Se tienen los polinomios: P = 5x3(x+ 1)2 (3x + 1)(x2 – x + 1)7 Q = 3x2(x + 1)4(3x – 1)(x2 – x + 1) Se obtiene: MCM (P; Q) = 15x3(x+1)4(3x+1)(3x–1)(x2–x+1)7 Siendo este polinomio, el de menor G.A. que contiene a las expresiones P y Q.
PROBLEMAS resueltos B) P(x) = (x4+x–1)(x5–x4+x2– x+1)
Problema 1 P(x) = x5 + x + 1 A) P(x) B) P(x) C) P(x) D) P(x) E) P(x)
(x2 (x3 (x4 (x5 (x3
C) P(x) = (x +x+1)(x –x +x – x+1) + 1)[x2(x + 1)[x2(x + 1)[x2(x + 1)[x2(x + 1)[x2(x
– 1)+ 1] – 1)+ 1] + 1)– 1] – 1)– 1] – 1)+ 1]
Resolución: Restando y sumando x2, se tiene: P(x) = x5 – x2 + x2 + x + 1 P(x) = x2 (x3 – 1) + (x2 + x + 1) P(x) = x2(x – 1)(x2 + x + 1)+(x2 + x + 1) Extrayendo el factor común: x2 + x + 1, se tiene P(x) = (x2 + x + 1)[x2(x – 1)+1]
D) P(x) = (x3–x+1)(x4–x4+x2– x+1) E) P(x) = (x2+x+2)(x4–x4+x2– x+1) UNMSM 2004-I
Resolución: Restando y sumando x4, tal como sigue: P(x) = x7 – x4 + x4 + x2 + 1
–49 = – 60 + 11
Extrayendo el factor común: x2 + x + 1
resulta: 4
P(x)=(x + x + 1)[x (x – 1)+(x – x + 1)]
A) P(x) = (x3+x+1)(x5–x4+x2– x+1)
R(m)=(m2 +5m+5)2 –12(m2 +5m)–60+11 Factorizando: (–12) en la demarcación, resulta: R(m) = (m2 + 5m + 5 – 11)(m2 + 5m + 5 – 1)
Finalmente: 5
P(x) = (x + x + 1)(x – x + x – x + 1)
P(x) = x7 + x2 + 1
P(x)=x4(x–1)(x2+x+1)+(x2+x+1)(x2–x+1)
UNMSM 2006-I 
Resolución: Efectuando convenientemente el 2° grupo de términos y descomponiendo:
P(x) = x4(x3 – 1) + (x4 + x2 + 1)
Respuesta: A) P(x) = (x2 + x + 1) [x2(x – 1)+ 1]
Problema 3 R(m) = (m2 + 5m + 5)2 – 12m(m + 5) – 49 A) R(m) = (m + 4)(m – 1)(m + 4)(m + 1) B) R(m) = (m + 3)(m – 1)(m + 4)(m + 1) C) R(m) = (m + 5)(m – 1)(m + 4)(m + 1) D) R(m) = (m + 1)(m – 1)(m + 4)(m + 1) E) R(m) = (m + 6)(m – 1)(m + 4)(m + 1)
Respuesta: C) P(x) = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1)
R(m) = (m2 + 5m – 6)(m2 + 5m + 4)
Respuesta: E) R(m) = (m + 6)(m – 1)(m + 4)(m + 1)
PROBLEMAS de clase ejercitación 1. Factorice: N(x; y) = xy + 2y +x2 + 3x + 2 a) (x + 2)(y + x + 1) b) (x + y)(x + 2 + y) c) (x + 1)(x + y + 1) d) (x + 4)(x + y + 1) e) (x – 2)(x + y – 1) 2. Factoriza: P(x; y) = (x + 2y)2 – (3)2 y de la suma de sus términos independientes de sus factores primos. a) 3 B) 2 C) –3 d) 4 e) 0 3. Factorizar: x6 – 1 E indica la suma de coeficientes de uno de los factores primos cuadráticos. a) 0 b) 3 c) –4 d) 2 e) 6
4. Factoriza: (a + b)2 + 2(a + b) – 3 e indique la suma de factores primos: a) 2a + b + 1 b) a + 2b + 2 C) 2a + 2b + 2 d) 2a + 3b + 2 e) 2a – 2b + 2
7. Factorice: P(x; y)=3x2+10xy+8y2+14x+22y+15 y dé como respuesta la suma de factores primos. a) 8x + y + 1 b) 4x + 10y + 7 c) 5x + 7y + 9 d) 3x + 5y + 7 e) 4x + 6y + 8
5. La suma de factores primos de: E = x2 + xy + 3x + 2y + 2 a) 2x + 2y + 3 B) x + 2y + 3 c) 2x – y + 3 d) 2x + y + 3 e) x + 3y + 3
8. Factorizar: Q(x) = 5x4 + 22x3 + 21x2 + 16x + 6 y dé como respuesta la suma de coeficientes del factor primo de mayor coeficiente principal. a) 7 b) 10 c) 3 d) 2 e) 6
profundización 6. Señala un factor primo, luego de factorizar: P(x) = x2 + (b + c + 2d)x + d2+(b + c)d + bc a) x + a + b b) x + d + b c) x + b + 1 d) x + c + d e) "B" o "D"
9. Factorizar: P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 a) (x – 1)(x + 2)(x – 3) b) (x – 1)(x – 2 )(x + 3) c) (x + 1)(x + 2)(x – 3) d) (x – 1)(x – 2)(x – 3) e) (x + 1)(x – 2)(x + 3)
sistematización 10. Si P y Q son dos polinomios factorizables definidos por: P(x) = 2x4 – x3 – 3x2 + 3x – 9 Q(x) = 10x3 – 9x2 + 17x – 6 entonces el MCD (P, Q) es: a) 3x2 + 2x – 1 b) 2x2 – x + 3 c) 3x2 – x + 3 d) x2 – x + 1 e) 4x2 – x + 1
11. Si P, Q y R son tres polinomios factorizable por: P(x; y) = x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3 Q(x; y) = 3x3 + 5x2y + xy2 – y3 R(x; y) = x4 + xy3 + x3y + y4 Entonces el MCD (P, Q y R) es: a) x – 2y B) x2 + y C) x – y d) (x + y)2 e) xy
12. Sea d(x) el máximo común divisor de: P(x) = x4 – 2x2 – 8;
q(x) = x2 + 6x + 8 y r(x) = x2 – 5x – 14 en (x). Hallar d(–5) a) –1 B) –6 C) –3 d) –2 e) –4
TRIGONOMETRÍA TEMA 11
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I SNII2T11
DESARROLLO DEL TEMA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO DOBLE El objeto de estas igualdades es expresar las razones trigonométricas del ángulo doble en términos de las razones trigonométricas del ángulo simple ; estas igualdades serán válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
Sen2x = 1 – Cos2x ⇒ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x) Cos2x = 2Cos2x – 1
II. IDENTIDADES AUXILIARES 1 + Cos2x = 2Cos2x
I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES 1 – Cos2x = 2Sen2x Senx = 2SenxCosx ∀x∈
Cotx – Tanx = 2Cot.2x
Cos2x = Cos2x – Sen2x
Cotx + Tanx = 2Csc2x
∀x∈ Tan2x =
III. ÁNGULO DOBLE EN FUNCIÓN DE TANGENTES
2Tanx 1 – Tan2x
∀ x ≠ {(2n + 1) p ; (2n + 1) p }; n ∈  4 2
Observación: Con la ayuda de la identidad sen2x + cos2x = 1, se puede expresar el coseno del ángulo doble (cos2x), ya sea en función del seno o coseno del ángulo simple (senx o cosx) para lo cual procederemos del modo siguiente:
Sabemos que: Cos2x = Cos2x – Sen2x = 1 Pero: Cos2x = 1 – Sen2x ⇒ Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x ∴ Cos2x = 1 – 2Sen2x
1 + Tan2x
Sabemos que: Cos2x = Cos2x – Sen2x Pero:
Cuando se quiera expresar las razones trigonométricas del ángulo doble [RT(2x)] en función de la tangente del ángulo simple (Tanx), convendría elaborar el triángulo de las tangentes:
1 – Tan2x ⇒ Sen2x =
2Tanx 1 + Tan2x
⇒ Cos2x =
1 – Tan2x 1 + Tan2x
⇒ Tan2x =
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ARCO MÚLTIPLE I
IV. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES • Demostración de Sen2x = 2SenxCosx
Sen(a + q) = Senacosq + senqCosa Haciendo a = x ∧ q = x tendremos: Sen(x + x) = SenxCosx + SenxCosx
2 ∴
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁRCO MITAD DEFINICIÓN El objeto de estas igualdades es expresar las razones x a q trigonométricas del ángulo mitad  ; ;...  en términos de 2 2 2 las razones trigonométricas del ángulo simple estas igualdades son válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES
x 1 – Cosx Sen   = ± 2 2
Cos(a + q) = CosaCosq – SenaSenq
∀x∈
Haciendo; a = x ∧ q = x; tendremos: Cos(x + x) = CosxCosx + SenxSenx
x 1 + Cosx Cos   = ± 2 2
Cos2x = Cos2x.Sen2x
Demostración de: 2Tanx Tan2x = 1 – Tan2x
∀ x ∈  – {2n – 1}; n ∈ 
Tana + Tanq Tan(a + q) = 1 – TanaTanq
x 1 + Cosx Cot   = ± 1 – Cosx 2
Haciendo; a = x ∧ q = x; tendremos: Tan + tanx Tan(x + x) = 1 – Tanx.Tanx 2x
x 1 – Cosx Tan   = ± 1 + Cosx 2
∀ x ∈  – {2np}; n ∈ 
Observación: El signo que aparece en los radicales depende del cuadrante en el cual se ubique el ángulo mitad  x  y 2 del ordenador que lo afecte.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Simplificar:
Sen20° + Sen10° 2Cos10° + 1
A) Sen5° B) Sen20° C) Sen10° D) Sen15° E) Sen25°
A) 1/12 D) 1/8
2Sen10°Cos10° + Sen10° 2Cos10° + 1
Resolución: Por degradación de arco doble 2Sen2a = 1 – Cos2a
Respuesta: C) Sen10° UNMSM - 2000
Resolución: Desarrolamos por arco doble Sen20° = 2Sen10°.Cos10°
Remplazando Cos4a + 1 – cos2a = 0
Problema 2 Si: Cos4a + 2Sen2a = 0 y Cos2a ± 0 Calcule Cos2a
C) 2/9 UNMSM 2011-I
Factorizando Sen10° (2Cos10° + 1) A= 2Cos10° + 1 A = Sen10°
B) 1/3 E) 3/4
2Cos22a – Cos2a = 0 Cos2a(2Cos2a – 1) = 0; (Cos2a ≠ 0 )
1 A) CosaSen3a cm2 2
Nos queda: 2Cos2a – 1 = 0 Por arco doble: 2(2Cos2a – 1) – 1= 0 4Cos2a – 3 = 0 Cos2a = 3/4
1 B) Cos4aSena cm2 2
Respuesta: E) 3/4
Problema 3 En el gráfico, el triángulo rectángulo ABC es recto en B (a < 45°) y AM = MC = 1/2 cm. Calcular el área del triángulo ABC. C
1 C) Cos2aSena cm2 2
1 D) Cos3aSena cm2 2 1 E) CosaSen2a cm2 2
11 1 Sen2a  (1 + Cos2a) 2  2 2
11 1 2Sen2a  (2Cos2a) 2  2 2
1 SenaCos 3a cm2 2
Resolución: Por resolución en (MCB)
2a M 1 Cos2a B 2
UNMSM 2010–II
1 Sen2a 2
Respuesta: E) 2 + 1
5 5. Si: Tanq = 180° < q < 270° 2 Calcule: q Cos   2
1. Simplifica la expresión R= A) Tan(x/2) C) Tanx E) 2
Secx – 1 ; x ∈ 〈0; 90°〉 Secx + 1 B) Cot(x/2) D) Cotx
2. Hallar el valor de: A = Sec20°Sec40°Sec80° A) 4 B) 10 C) 6 D) 12 E) 8
6. Si: Cscb = –
B) ±1/ 2 D) ±1/ 5
Calcule: b Sen   2
; 180° < b < 270°
7. Simplificar:
4. Si Cos2x + Cos2y + Cos2z = a Calcule: Cos2x + cos2y + Cos2z A) a – 3 B) 2a – 3 C) a + 3 D) 2a + 3 E) 6a – 2
1 3. Si Senq = 3 Calcule: q Tan  45° –  2   A) ±1/ 3 C) ±1/2 E) ±1/ 6
A) 1/ 2 D) 1/4
(1 + Cos2x)(Csc2x – Cot2x) x Sen2x(1 + Cosx)  1 + Tan2  2  B) 1 E) 2
8. Reduce en términos de "x"  (Senq + Cosq)2 – 1  A=  –1  (Senf + C os f)2 – 1  
Si: Cosq.Cosf = Senx Senq.Senf = Cosx 1 1 A) – Sen4x B) Sen2x 2 2 1 D) Sen4x E) 2Sen2x 4
11. Si: Sena =
1 C) Sen4x 2
9. Reducir: M= A) Senx D) 2Sex
1 – Cos4x ;(4x : agudo) 1 – Cos2x B) Cosx E) 2Cosx
Halle: Tan a 2 A)
a +1 b +1
a –1 b –1
a+b b–b
a–b b+b
C) Tanx
SISTEMATIZACIÓN q 10. Si: Tan   = a 2 Calcula: M = Senq + Cosq + 1 2a A) a + 1 B) 2(1 + a) C) 2 a2 3(1 + a2 ) 1+ a 2 D) 1 – a E) a3 1 + a2
12. Si la siguiente igualdad: 2 2 + = P + qCot2 x 1 + Cosx Secx – 1
Verifica una identidad: Hallar "p + q" A) 1 D) 4
E) 3Csc p 6
ÁLGEBRA tema 12
Determinantes y SISTEMA DE ECUACIONES lineales
SnIi2X12
DESARROLLO DEL TEMA I. CONCEPTO
Es un conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican simultáneamente para un mismo conjunto de valores atribuidos a sus letras o incógnitas. Ejemplo: 3x – y = 7 5x – 2y = 8
Su conjunto solución está integrado por 4 pares ordenados, debido a que se tiene 4 soluciones, así: ⇒ C.S.: = {(3, 2), (–3, –2),(2, 3), (–2, –3)}
Vemos que se verifica simultáneamente para = 2, y = 1. Ejemplo: x2 – y2 = 13 xy = 6
x2 + y2 = 13 xy = 6
IV. clases de sistemas A. De acuerdo a su solución
1. Compatible Es aquel sistema que tiene solución que a su vez puede ser: • Compatible determinado: cuando su conjunto solución tiene un número finito de soluciones.
Estas ecuaciones verifican cuando: (x = 3, y = 2) ó (x = –3, y = –2) ó (x = 2, y = 3) ó (x = –2, y = –3) es decir se verifican para 4 pares de valores de sus incógnitas. Ejemplo en: x2 – y 2 = 2 : x+y=6
Dicho sistema solo se verifica si: x = 1, y = 1, z = 3.
En tal caso: C.S. = {(1, 1, 3)}, por tener na solución se dirá compatible determinada.
No existe "x" e "y" alguno en  que verifique simultáneamente.
II. conjunto solución de un sistema de ecuaciones
x + y+ z = 5 x – y+ z = 3 x + 2y – z = 0
• Compatible indeterminada: Cuando su conjunto solución tiene un núemro infinito de soluciones, así:
Es el conjunto de todas las soluciones de un sistema.
III. Resolución de un sistema de ecuaciones Consiste en hallar el conjunto solución. Ejemplo: Resolver:
Vemos que solo se verifica para x = 0, y = 3. ⇒ C.S.: {(0, 3)}
Estas 2 ecuaciones se simplifican a una sola ecuación de donde resulta: y=
x – 3y = 9 x – y = –3
x + 3y = 6...(1) 2x – 6y = 12...(2)
–x–6 3
x 0 y 2
6... 0...
C.S. = {(0, 2),(3, 1),(6, 0),...} Vemos que tendrá infinitas soluciones.
2. Incompatible.
2. Sistema homogéneo
Son aquellos sistemas que no presentan solución, su conjunto solución es el vacío. Así: 3x – 2y = 7 6x – 4y = 1
No existe x, y alguno que verifique simultáneamente a las ecuaciones.
En tal caso se dirá que el sistema no tiene solución. Entonces: C.S. = { } ó C.S. = ∅
a11x1 + a12x2 + ... a11x1 = 0 a21x1 + a22x2 + ... a12x1 = 0
1. Sistemas lineales Son aquellas donde cada una de las ecuaciones son de primer grado, así:
Dicho sistema siempre es compatible donde una de sus soluciones es la trivial {(0, 0, 0...0)}. Así mismo puede tener oras soluciones las llamadas no triviales TEOREMA
Un sistema homogéneo (**) tiene soluciones aparte a la trirvial, si y solo si:
2x + 3y = 16...(1) 8x – 2y = –36...(2)
a11 + a12 ... b1 ... a1n
Cuyo conjunto solución es: {(5, 2)}
a21 + a22 ... b2 ... a2n
2. Sistemas no lineales
Cuyo conjunto solución es: {(3, 4), (4, 3)}
v- análisis de las soluciones
a21x1 + a22x2 + ... a2nxn = b2
La solución del sistema (*) puede determinarse hallando cada incógnita como sigue: ∆i , ∀i = 1...n ∆
an1x1 + an2x2 + ... amnxn = bn
Ejemplo: Resolver: 2x + 5y = –4 3x – 2y = 13 Solución: Calculando los determinantes:
–4 5 = 8 – 65 = –57 13 –2
∆i ∆
∆i , determinante del sistema ∆i , determinante respecto a x
Diremos que el sistema tendrá:
A. Solución única
5 = –2 – 15 = –19 –2
Esto sucede si y solo si ∆ ≠ 0
Si y solo si ∆ = 0 ∧ ∆i ≠ 0, ∀i = 1, 2, ...n
–4 = 26 + 12 = 38 13
C. No tiene solución
Si y solo si ∆ = 0 ∧ ∆i ≠ 0 para algún i. Ejemplo:
2x – 3y = 3 ⇒ 3x – y = 2
∆y 38 ⇒ y = –2 = ∆ –19
= –9 – 2 = –11 ≠ 0
El sistema tiene solución única.
∴C.S. = {(3,2)}
Sabemos que la solución viene dado por: xi =
De donde: ∆ –57 ⇒x=3 x= x= ∆ –19 y=
a11x1 + a12x2 + ... a1nx1 = b1
an1 + a12 ... bn ... amn
Son aquellos sistemas donde al menos una de las ecuaciones no es lineal. x2 + y2 = 25 ...(1) x + y = 7 ...(2)
...(. .)
an1x1 + an2x2 + ... amnxn = 0
B. De acuerdo a grado de las ecuaciones
Es un sistema de ecuaciones lineales se llamará homogéneo si todos los términos independientes son nulos, así:
3. Si el determinante tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante es igual a cero.
Ejemplo: Desarrollar: (–)
3 –6 = 9
(–) ∆=
(+) ∆ = 1 × 5 × 9 + 4 × 8 × 3 + 7 × 2 × (–6) – 7 × 5 × 3 – 1 × 8 × (–6) – 4 × 2 × 9 ∆ = 45 + 96 – 84 – 105 + 48 – 72 ∆ = –72
con signo ( + )
FORMA PRÁCTICA DE LA REGLA DE SARRUS a2
4. Si en un determinante se multiplica o divide todos los elementos de una fila o una columna por un mismo número, el determinante queda multiplicado o divido por este número.
∴∆1 = n
A. Determinante de Van Der Monde
con signo ( – )
III. propiedades de los determinantes
2. Si en un determinante se intercambia entre si dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo. ∆=
a1 a2 b1 b2 a1 a2 b1 b2
= (z – x)(z – y)(y – x)
= (w – x)(w – y)(w – z) (z – x)(z – y)(y – x)
a2 b2 a2 a1
1. Si en un determinante se cambia las filas por columnas y la columnas por filas, el valor de determinante no se altera. a1 a2
= (5 – 3)(5 – 4)(4 – 3) = 2
sistema de ecuaciones lineales i. sistema de ecuaciones
• El sistema será compatible determinado, si y solo si:
Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones donde intervienen dos o más incógnitas. Ejemplo:
a1 b1 ≠ a2 b2
x2 + y + 5 = 0 xy – 2y = 0
• El sistema será compatible indeterminado, si y solo si:
El sistema que se ha formado es con dos ecuaciones polinomiales de incógnitas x e y. Pero también se constituyen sistemas de ecuaciones matemáticas, donde dichas expresiones deben estar bien definidas. Ejemplo:
a1 b1 c1 = = a2 b2 c2
• El sistema será incompatible, si y solo si:
x– y =7 x – y = 49
a1 b1 c1 ≠ = a2 b2 c2
ii. sistema de ecuaciones lineales
Se denomina así al sistema de la forma: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2
I. Determinantes
Donde a1, b1, a2, b2, c1, c2 son constantes arbitrarias Definición Es sistema de ecuaciones se llamará
A. Compatible determinado Si el sistema tiene solución única.
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz si "A" es una matriz de orden n, le determinante de la matriz "A" lo denotaremos por determinante (A) o también por |A| (las barras no significan valor absoluto)
A. Cálculo de una determinante de 2 × 2 Sea:
B. Compatible indeterminado si presenta un número ilimitado de elementos en su conjuntos solución
C. Incompatible o inconsistente No tiene solución, se dirá que su conjunto es el vacío
A = ad – bc
D. Solución de un sistema
B. Cálculo de una determinante de 3 × 3
Es aquella colección numérica correspondiente a la colección de incógnitas que verifica cada una de las ecuaciones en forma simultánea. Ejemplo:
xy = 6 x+y=5 Las colecciones numéricas que verifican a las ecuaciones en forma simultánea son (2; 3), (3; 2) ya que si x = 2, y = 3 Tendríamos:
(2)(3) = 6 2+3=5 TEOREMA Dado el sistema de ecuaciones: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2
A = aei + dhc + gbf – (ceg + fga + ibd)
Problema 1 Un estante puede llenarse con 24 libros de Álgebra y 20 libros de Historia o con 36 de Álgebra y 15 de Historia. ¿Con cuántos libros solo de Álgebra se pueden llenar el estante? A) 60 B) 84 C) 92 D) 90 E) 72 UNMSM 2004–I
Problema 2 Juan reparte S/. 24 000 en partes iguales a un grupo de personas. Si hubiera incluido dos personas más, la cantidad de soles que hubiera recibido cada uno de ellos hubiera disminuido en S/. 20. ¿Entre cuántas personas repartió Juan los S/. 24 000? A) 24 B) 50 C) 48 D) 32 E) 36
Resolución: T = 24x + 20H ...... (1) T = 36x + 15H ...... (2)
UNMSM 2008–Ii Nivel intermedio
Resolución: Total = Nº.º1 perso x cant/unitaria 24 000 = n . c ....... (1) 24 000 = (n + 2) . (c – 20) ...... (2)
(1) = (2) 24x + 20H = 36x + 15H 5H = 12x
En el siguiente sistema: x + y – z = 1 ....(1) x – y + z = 2 ....(2) –x + y + z = 3 ....(3) Halla el valor de (x + y + z)y. A) 1/36 B) 6 C) 216 D) 1/6 E) 36 UNMSM 2005–I Nivel fácil
Resolución: Sumando: x + y + z = 6
De (2): c = 10(n + 2) En (1): 2 400 = n × (n + 2) n = 48
En (1): T = 24x + 4(12x) T = 72x
Restando con (2): y = 2 Luego: ? = 62 = 36
Respuesta: E) 36
Respuesta: C) 48
Respuesta: E) 72
A) 11 D) 44
1. Indicar el valor de x, al resolver el sistema:  3x + y = 11  2   x+ y =7 2  A) 2 D) 5
B) 22 E) 55
6. Si:  a+b+c = 2   –a + b + c = 0  3a – 5b – c = 0 
4. Resolver el sistema:  x + 4y = –5   2x – y = 8 Indicando: xy A) 5 B) 1 C) –6 D) 2 E) –3
5. En el sistema: 2. Si el sistema:
 3x + 5y = 1   2ax – by = 8 tiene infinitas soluciones. Hallar el valor de "a – b". A) 52 B) –12 C) 34 D) –28 E) 16
3. Luego de resolver el sistema:
 5x + 3y = 41   –7x + 2y = –14 Halle: y2 – x2
 2x + 3y = m + 2   2x – 3y + 1 = 2m Hallar el valor de "m" para que x sea la quinta parte de y. 31 A) m = 29 31 B) m = – 29 C) m = 4 D) m = 1 E) m =
Entonces: 2a + 5 – 2c es igual a: b A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9
7. Resolver el sistema:  – x + 2y + z = 5   3x + 4y + 2z = 15  x – z = –1 
Luego indicar: xyz A) 4 B) 6 C) 5 D) 3 E) 8
8. Luego de resolver: a + m + e = 5 / 2  m + e + p = –2 r + a + p = 13 / 2 m + a + r = 5  p + e + r = 3
A) R B) R C) R D) R E) R
Hallar el valor de: "p + a + m + e + r". A) 5/3 B) 7/2 C) 5 D) 10/3 E) 4
9. ¿Para qué valores de "a" el sistema:  3x + ay = 1   x + 2y = 3
11. Dado: 0 3 10 0 4 12 x y z
{3} {16} {–3} {1} {–1}
sistematización 10. Resolver: 2 1 2 x x 1 1 2 = 4 3 1 x 2
tiene una única solución? Dar como respuesta todos los valores de "a"
A) 1 B) 2 C) 3 D) –1 E) –2
Calcular: yz A) 4 B) 3 D) 1 E) 0
12. Dado el sistema:  –2kx – 3y + (k + 5)z = 13  x + y – z = 0  3x – 2y + 2z = 10 
xyz; x ≠ 0
¿Para qué valor de "k" el sistema es compatible indeterminado? A) –1 B) –2 C) 1 D) 3 E) 4
álgebra tema 13
inecuaciones SnIi2x13
DESARROLLO DEL TEMA I. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Es aquella que al ser reducida adopta cualquiera de las siguientes formas: a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + .... + an > 0
admite como signo de relación a: <, o, ≤; el intervalo solución estará representado por las zonas (.)
iii. inecuaciones fraccionarias
Una inecuación en una incógnita es de la forma:
a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + .... + an ≥ 0
P(x) P(x) > 0ó < 0; Q(x) ≠ 0 Q(x) Q(x)
a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + .... + an < 0
a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + .... + an ≤ 0
Donde: x = incógnita ∧ n∈ N/ n ≥ 3, además: {a0; a1; a2; ....; an} ⊂ R/ a0 ≠ 0
ii. método de los puntos de corte
Es un recurso que se emplea para encontrar en forma práctica y sencilla el intervalo solución de una inecuación ya sea de 2.do grado o de grado superior. Para aplicar este método será necesario adecuar a la inecuación a una de las formas mencionadas en los ítems anteriores teniendo en cuenta que el primer coeficiente del primer miembro deberá ser positivo y que en el segundo miembro deberá figurar el cero. A continuación se indican los pasos que se deben seguir para resolver una inecuación por este método. • 1.er paso: Se lleva todo término de la inecuación al 1.er miembro. • 2.do paso: Se factoriza totalmente la expresión obtenida en el 1.er miembro. • 3.er paso: Se calculan los puntos de corte, los cuales son los valores que asume la incógnita al igualar a cero cada factor obtenido en el paso anterior. • 4.to paso: Se llevan los puntos de corte en forma ordenada a la recta numérica. • 5.to paso: Cada zona determinada por dos puntos de corte consecutivos, se señalan alternadamente de derecha a izquierda con signos (+) ∧ (–). Se iniciará con el signo (+). • 6. to paso: Si la inecuación admite como signo de relación a: >, o, ≥; el intervalo solución estará representado por las zonas (+). Si la inecuación
donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero. Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones: P(x) P(x) > 0ó < 0; son equivalentes a las inecuaciones Q(x) Q(x)
P(x), Q(x) > 0 ó P(x).Q(x) < 0 es decir:
si Q(x) ≠ Q2(x) > 0, de donde se tiene:
P(x) P(x) ⋅ Q2(x) >0⇒ > 0 ⋅ Q2 (x) ⇒ P(x) ⋅ Q(x) > 0 Q(x) Q(x)
P(x) P(x) ⋅ Q2(x) <0⇒ < 0 ⋅ Q2 (x) ⇒ P(x) ⋅ Q(x) < 0 Q(x) Q(x)
iv. inecuaciones con radicales
Vienen a ser desigualdades relativas en las que se presentan radicales y dentro de ellos las variables. Entre ellas se pueden reconocer a las siguiente formas:
2n 1. x
x ≥ 0 ∧ y > 0 ∧ x < y2n 2n 2. x > y Para la resolución de este tipo de inecuaciones se deberán considerar los siguientes casos:
Caso (A): x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x > y2n Caso (B): x ≥ 0 ∧ y < 0
de algún exponente. Los siguientes son los casos más comunes:
La solución final de este tipo de inecuaciones viene dado por la unión de las soluciones obtenidas en los casos (A) y (B).
Para resolución de este tipo de inecuaciones con radicales que admitan por índice a algún número impar, cualquiera que sea el signo de relación que se presente, debemos decir que no existe ninguna restricción para su resolución, bastando elevar a ambos miembros de la inecuación a un exponente que elimine el signo radical y a continuación proceder tal como se hizo con los diferentes casos de inecuaciones estudiados hasta aquí.
ax < ay; ax > ay; ax ≤ ay; ax ≥ ay
x < y; 2n+1 x > y • Propiedades 1. Siendo a > 1, tenemos: • Si: ax < ay ⇒ x < y • Si: ax > ay ⇒ x > y
Puede observarse que los exponentes presentan el mismo signo de relación que el de las potencias.
2. Siendo 0 < a < 1, tenemos: • Si: ax < ay ⇒ x > y
v. propiedades auxiliares
x ≥ x; ∀x ∈ R
x + y ≤ x + y ; ∀(x + y) ⊂ R
• Si: ax > ay ⇒ x < y
2m x + 2n y ≥ 0; ∀x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 C.
Observación: En aquellas inecuaciones donde intervengan signos de relación doble, se procederá de igual modo que en los casos anteriores. Por ejemplo en el caso (1). Si: a > 1/ ax ≥ ay ⇒ x ≥ y
vi. inecuaciones exponenciales
Observar que el signo de relación de la potencia se invierte para los exponentes.
Son aquellas desigualdades relativas, en las que las incógnitas se presentan de modo que forman parte
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Hallar el conjunto solución de la inecuación:
UNMSM 2012 – I
UNMSM 2010 – I
Resolución: Tenemos: 2x2 – 5x + 2 > 14 2x2 – 5x – 2 > 0 2x 3 x –4 (2x+3)(x–4) > 0 –
4 3 2 x ∈ 〈–∞; –3/2〉 ∪ 〈4; +∞〉
A) a + 11 C) a + 12 E) a + 8
B) a + 10 D) a + 9 UNMSM 2006-II
x < 0 ∧ –x + x3 > 0 x(x2 – 1) > 0 x(x+1)(x–1) > 0
|x–a|2 – 7|x–a| – 60 ≥ 0 |x–a| –12 |x–a| 5 (|x–a|–12)(|x–a|+5) ≥ 0 14243 (+)
Respuesta: 〈–∞; –3/2〉 ∪ 〈4; +∞〉
|x–a|2 – 7|a–x| – 60 ≥ 0
–1 0 1 x ≥ 0 ∧ x+x3 > 0 x(x2 + 1) > 0 x>0 ∴ C.S. 〈–1, 0〉 ∪ 〈0, +∞〉
a ≤ x ≤ a + 20
|x–a| ≥ 12
Respuesta: 〈–1, 0〉 ∪ 〈0, +∞〉
x–a ≤ –12 ∨ x–a ≥ 12 x ≤ a–12 ∨ x ≥ a+12
Problema 3 Hallar el menor valor de x que satisfaga las siguientes inecuaciones: 14243
(|x|+1)2x –5x+2 > (|x|+1)14 A) 〈–3/2; 4〉 B) 〈4; +∞〉 C) 〈–∞; –3/2〉 ∪ 〈4; +∞〉 D) 〈–∞; –3/2〉 E) 〈–∞; –3/2〉 ∪ 〈3/2; +∞〉
Problema 2 Hallar el conjunto solución de la inecuación: |x| + x3 > 0 A) 〈–1, 0〉 ∪ 〈0, +∞〉 B) 〈–1, 0〉 ∪ 〈1, +∞〉 C) 〈–∞, –1〉 ∪ 〈0, +∞〉 D) 〈–1, 0〉 ∪ 〈0, 1〉 E) 〈–∞, 0〉 ∪ 〈0, +∞〉
C.S.: x∈ [a+12; a+20] Menor valor: a+12
D) R E) 〈–6; 4〉
1. Hallar el complemento de: (x+5)2013(x–2)2015(2x–3)2014 > 0 A) 〈–∞; –5〉 ∪ 〈2; +∞〉 B) R C) 〈–5; 2〉 D) 〈3/2; +∞〉 E) [–5; 2] 2. Hallar un intervalo del C.S.: (x2+16)(x2+1)(x–3)(x–4) ≥ 0 A) 〈–∞; 1〉 B) 〈4; ∞〉 C) [4; ∞〉 D) [3; ∞〉 E) [3; 4] x –3
3. Si: 4 512 > 5 128 Indicar la suma de los 3 menores valores de "x". A) 0 B) 1 C) 39 D) 27 E) –10 x 2015 ≤0 4. Si: 16 – x 2 El conjunto solución será: A) 〈–4; 0] ∪ 〈4; ∞+〉 B) 〈–3; 0] ∪ 〈3; ∞+〉 C) 〈–2; 0] ∪ 〈2; ∞+〉
A) {x ∈ R B) {x ∈ R C) {x ∈ R D) ∅ E) {x ∈ R
5. Hallar el cardinal de: x–7 <2
sistematización 10. Al resolver: (x4–5x2+4)x ≥ 0 se obtiene como solución: [a;b] ∪ [c;d] ∪ [e; ∞〉. Hallar "a+b+c+d+e" (c > d). A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –2
6. Hallar el conjunto solución de: (x2+7)(x–2)(3–x) > 0 A) 〈2; 3) B) 〈– 7 ; 7 〉 C) 〈–∞; 2〉 D) 〈3; ∞+〉 E) 〈–2; 3〉
11. El complemento del C.S. de:
7. Hallar el conjunto solución de:
x – 2(3x – 2)2014 (x + 8)7 3 x + 4 < 0
x +2 > x
A) 〈–8; –4〉 B) [2; ∞+〉 C) 〈–8; –4〉 ∪ 〈∞; ∞+〉 D) R E) ∅
B) [–2; 0〉 D) R
8. Resolver: x – 1 < 3 – x A) 1 ≤ x < 2 B) 1 < x ≤ 2 C) x ≥ 2 D) 1 ≤ x < 3 E) x = 2
(x 2 – 9)x 2 12. Al resolver: (x – 4)(x – 3) ≤ 0
9. E l c o n j u n t o s o l u c i ó n d e l a inecuación: (0,16)x(x–2) < (0,256)x–15 es:
/ x<1 o x>3}
A) [0; +∞〉 C) [–2; 2〉 E) ∅
/ x<1} / x>3} / 1<3}
Se obtuvo como solución a:
[a; b〉 – {c}. Hallar "a+b+c". A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ÁLGEBRA TEMA 14
SISTEMA DE INECUACIONES E INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
SNII2X14
DESARROLLO DEL TEMA I. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Dado un sistema de inecuaciones lineales conformado por dos o más inecuaciones, la solución gráfica de dicho sistema es la región que se determina al intersectar todos los semiplanos originados por las inecuaciones que conforma el sistema. Ejemplo: Resolver:  2x + y ≥ 4 ... (1)   3x – y ≥ 6 ... (2)
Resolución: Inicialmente graficamos los semiplanos que correspondan a cada inecuación del sistema: (1) 2x + y ≥ 4 ↔ y ≥ 4 – 2x; semiplano ubicado por encima de la recta y = 4 – 2x, incluyendo a esta. y
II. PROGRAMACIÓN LINEAL A. Concepto Es un modelo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado por ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que llamaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Es una función lineal en dos variables que debemos maximizar o minimizar. La función objetivo presenta la siguiente forma: F(x; y) = ax + by + c
C. Conjunto de restricciones
Finalmente el conjunto solución del sistema viene dado por la intersección de los semiplanos hallados, veamos:
donde a, b y c son constantes y x, y se llaman variables de decisión.
B. Función objetivo
(2) 3x – y ≥ 6 ↔ –3x + y ≤ 6 y ≤ 3x – 6 semiplano ubicado por debajo de la recta y = 3x – 6, incluyendo a esta.
Es el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas que expresan un conjunto de limitaciones que presenta el problema propuesto. Aquí también se consideran a las variables de decisión como valores no negativos, es decir x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
D. Soluciones factibles Son cada una de las soluciones que verifican al conjunto de restricciones, cada solución factible se representa por un punto del plano cartesiano.
E. Región factible Se llama así al conjunto convexo formado por todos los puntos que representan a las soluciones factibles, en una región poligonal. La región factible puede, o no, ser acotada, la primera incluye los puntos de su frontera y la otra no.
S = región factible A, B, C y D son posibles puntos de organización.
III. MÉTODO ANALÍTICO O MÉTODO DE LOS VÉRTICES A. Descripción
Se determina la región factible calculando las coordenadas de todos sus vértices, luego cada punto que corresponde a un vértice se reemplaza en la función objetivo esperando obtener con alguno de ellos un valor máximo o mínimo según corresponda a la optimización.
Sólo las regiones factibles acotadas presentan siempre solución, en las otras puede o no existir solución.
F. Solución óptima
B. Teorema
Es el punto cuyas coordenadas hacen de la función objetivo un valor máximo o mínimo. La solución óptima, en caso de existir, se alcanza en un vértice de la región factible.
Si la función objetivo asume el mismo valor óptimo en dos vértices de la región factible, también asume el mismo valor en los puntos del segmento limitado por dichos vértices.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 2 Calcule la suma de todos los números enteros positivos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones:
f(x) = x2 – 2x +3 x g(x) = + 2 2 es:
A) 31/4 C) 41/4 E) 33/4
B) 31/3 D) 41/3 UNMSM 2011–II
A) 2849 C) 2850 E) 2948
A) 20/3 u2 D) 40/3 u2 Resolución:
UNMSM 2008–II
x +5 2 x x x +5 ≥ 0 ∧ [2x= +5 ∨ 2x=– –5] 3 3 3 4x = x+10 ∨ 4x = –x–10 Hacemos |2x| =
10 ∨ x=–2] 3 x = 10/3; y = 20/3 x = –2; y = 4
x ≥ –15 ∧ [x =
n ≤ 75
20 ≤ n ≤ 75 13
n ∈ {2, 3, 4, 5, ..., 75}
2+3+4+5+...+75 = 2849
Respuesta: 31/4
B) 32/3 u2 C) 30/3 u2 E) 16/3 u2 UNMSM 2009–I
B) 2848 D) 2949
Hacemos f(x) = g(x) x x2 – 2x + 3 = + 2 2 2x2 – 5x + 2 = 0 (2x – 1)(x – 2) = 0 1 9 x = ; y = 2 4 x = 2; y = 3 1 9 31 ∑: + +5= 2 4 4
n 3n+24 + 14 ≤ 5 2 n+1 – 29 ≤ –10 4
Problema 3 Halle el área de la región limitada por el sistema. f(x) = |2x| x g(x) = + 5 2 14243
Problema 1 La suma de las coordenadas de los puntos de intersección de los gráficos de las funciones:
Respuesta: 2849
(10/3,20/3) S=40/3
Respuesta: 40/3 u2
EJERCITACIÓN 1. Resolver el sistema: x2 – x + 1 > 0 x2 + 1 < 0 A) R B) ∅ D) {1} E) R+
B) [1/2; 3〉 D) [7/2; 4〉
7. Resolver el sistema:  22x –1 < 27  x 2 +6  1  1 < 2  2
 x2 + 1  x – 3 ≥ 0   1 ≤ −1  2 – x A) {–3} C) R E) ∅
11. Halle el mínimo valor entero de "x" ∈ R
A) 〈–∞; 2〉 ∪ 〈3; 4〉 B) 〈–∞; 2〉 C) 〈0; +∞〉 D) 〈2; 8〉 E) 〈–∞; 0〉
5 – x > –6 2x + 9 > 3x
B) 〈1; 6〉 D) 〈–∞; 1〉
(x+2)(x–1)+26 < (x+4)(x+5) B) 2 E) 0
12. Maximizar la función f(x; y)=5x+7y sometida a las siguientes restricciones:
9. Halle la suma de los dos menores valores enteros de "x" en: 5 x   2x – 3 > 3 + 10   (x – 1)2 – 7 > (x – 2)2 
3(x–2)+2x(x+3) > (2x–1)(x+4)
5x – 4 > 7x – 16 8 – 7x < 16 – 15x A) 〈1; 7〉 C) 〈1; +∞〉 E) 〈–∞; 6〉
B) 〈3; +∞〉 D) {3}
5. Halle la suma de los dos mayores valores enteros de:
Dados los conjuntos: A = {(x; y) ∈ R2/ –1 ≤ x ≤ 1} B = {(x; y) ∈ R2/ –1 ≤ y ≤ 1} halle el área de A×B A) 1u2 B) 2u2 C) 3u2 D) 4u2 E) 5u2
B) 〈2; +∞〉 D) R
A) 〈–∞; 2〉 C) 〈0; +∞〉 E) 〈–∞; –2〉
 x  x  5  – 2  < 3  – 2   3   3  3(x – 3) > 1 – 2x
B) 16 E) 19
3. Resolver: 3x – 7 ≤ 2x+8 < 17+5x e indique la suma de valores enteros. A) 116 B) 117 C) 118 D) 119 E) 120
3x2 – 11x + 6 < 0 2x2 – x – 10 ≥ 0
A) [5/2; 3〉 C) 〈9/2; 11〉 E) 〈7/2; 8]
x≥0 y≥0 x ≤ 120 y ≤ 100 x+y ≤ 150 A) 700 C) 600 E) 970
B) 810 D) 950
álgebra tema 15
logaritmos en r SnIi2x15
DESARROLLO DEL TEMA I. Teoremadeexistenciadellogaritmo
Para todo par de números reales "a" y "b" tales que a>0; a ≠ 1 y b > 0, existe un único número real x, que cumple ax = b.
Sean los números reales "a" y "b", si a>0; a ≠ 1 y b >0, el número real x se denomina logaritmo del número b en base a y se denota por Logab si y solo si ax = b. De la definición se tiene:
IV. Teoremas sobre logaritmos
II. Definición de logaritmo
• (m–4)logm–410 = 10, ∀ m > 4 ∧ m ≠ 5
Sea la base real a, tal que a > 0 ∧ a ≠ 1 1. Sea A y B reales, tal que: AB > 0: LogaAB = Loga A + Logb B
x = loga b ⇔ a = b
A 2. Sea A y B reales, tal que: B > 0
Donde: a: base del logaritmo b: número del logaritmo c: logaritmo de b en la base a
Ejemplos: 1. Log264 = x ⇔ 64 = 2x ⇒ 26 = 2x ⇔ x = 6
Luego: Log264 = 6
4. Sea A real, tal que n ∈ N, n > 2. Si A > 0:
3. Calcular el valor de "x" si cumple la igualdad: Log1/21024 = 3 – x
Logan Am =
⇔ 10 = x – 3
Si se eleva a un exponente "m" y se extrae raíz n-ésima a la base y número del logaritmo el valor de logaritmo no se altera. LogaA = Logan An = Logn
A ;A>0
=b 6. Si: A > 0 ∧ B > 0
Ejemplos: Log23
m LogaA ;n≠0 n
Si a > 0; a ≠ 1 ∧ b > 0 se cumple:
1 LogaA n
5. Sea A real, tal que: A > 0, m ∈ R ∧ n ∈ R
III. Identidad fundamental del logaritmo
Loga n A =
A – Logb B
LogaAn = nLoga A
Luego: Log 729 = –6 1
1 ⇔ 1024 = 2
3. Sea A real, tal que n ∈ N ∧ An > 0
1 2. Log 1 729 = x ⇔ 729 =   ⇔ 36 = 3– x ⇔ x = –6 3
( BA ) = Log
LogaA = LogaB ⇔ A = B
de logaritmos para una base positiva y diferentes de 1; los sistemas más importantes son:
7. Cambio de base: Sea la base "c" donde c > 0 ∧ c ≠ 1 Logab =
1. Sistema decimal o de Briggs Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10.
Por identidad: clogcb = b ..... (1) Por identidad: a
Notación: Log10N = LogN
= b ..... (2)
Se lee: Logaritmo de "N". En general:
Además: clogca = a ..... (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
Logcb Logab = Logca
LogN =
⇔ logc a loga b = logc b
↓ (característica)
Logba  Logab = 1
Parte decimal ↓ (mantisa)
Teorema Sea todo N > 1 el número de cifras es igual a la característica más uno. Es decir:
A. Propiedad Logba = ( Logba) –1 =
1 loga b
# de cifras N = característica + 1
2. Sistema hiperbólico o Neperiano Es aquel sistema cuya base es el número trascendental:
B. Regla de la cadena Si: a > 0; a ≠ 1; b > 0; b ≠ 1; c > 0; c ≠ 1 ∧ d > 0 se cumple:
1 1 1 1 + + + + ... 0! 1! 2! 3! e = 2, 7182....
loga b  logb c  logc d = loga d
C. Sistemas de logaritmos Cada base de logaritmos determina un sistema de logaritmos, en consecuencia existen infinitos sistemas
Notación: LogeN = LnN
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Si n es un número entero positivo y
y: 2log42 – 1 = log22+ log24 + log28
+ ...log22n
Problema 2 Si p, q, r ∈ R+ y E=
1 1 + logr (pq + 1) logq (prq + 1)
halle el valor de log 1 4 n
A) –1/2 B) 2 C) –2/3 D) –1 E) –2 UNMSM 2012 - II
Problema 3 Halle el dominio de la función F definida
1 +1 logp (qr + 1)
A) R – 〈–5,8] B) R – 〈–5,8〉 C) R – [–5,8] D) R – [–5,7〉 E) R – [–5,8〉
halle el valor de E. A) 1 B) 1,5 C) 3/5 D) 2 E) 3
UNMSM 2009 - I
UNMSM 2012 - I
Resolución: 3 = log22.22.23...2n → 21+2+3+...+n = 8 n (n+1) = 3 ⇒ n = 2 2
 2x – 3  0 2x – 3  ln   ≥ 0 → ln  x + 5  ≥ ln1    x +5 
2x – 3 2x – 3 >0∧ ≥1 x +5 x +5
E = logpqrr + logpqrq +logpqrp +1
= logpqr(pqr) +1 = 1 + 1 = 2
2x – 3 x–8 ≥1→ ≥0 x +5 x +5 –
Luego: log1/n4 = log1/24 = –2
 2x – 3  por: F(x) = ln    x +5 
x ∈ R – [–5,8〉
Respuesta: R – [–5,8〉
ejercitación 53log5x
1. La expresión para x > 0, es equivalente a: 2 A) 3x B) 5x C) 53x 5 3 D) x E) x 2. Sean log8128 = x, log464 = y e log232 =z entonces x + y + z es igual a: A) 13/2 B) 13 C) 64/3 D) 31/3 E) 18 3. Sea A = log3 15 ⋅ log 7 3 ⋅ log4 7 8 8 entonces: A) A < 0 B) 0<1 C) 1<2 D) A rel="nofollow">3 E) A = 1 4. La solución de la ecuación: log8x+log8(3x–2) = 1 es dada por: A) –4/3 D) 2
–0,3 < (0, 2) 5. I. (0, 2)
6. Considere las funciones:
x<1, y g(x)=x2–4x–4 definida para
8. Obtenga los valores de x e y que satisfacen el siguiente sistema:  x + y = 15   1 log4 x – log4 y = 2 A) x B) x C) x D) x E) x
III. log8 1,5 < log8 2
De las desigualdades anteriores: A) Solamente I es verdadera B) Solamente II es verdadera C) Solamente III es verdadera D) II y III son verdaderas E) I y II son verdaderas
todo x real. Resuelva la ecuación: 7 g(x) = f   8 A) {2} B) {3} C) {4} D) {5} E) {6}
7. La afirmación log(x+2) + 2 = log(4x2 – 400) es verdadera si y solamente si: A) x = 10 B) x =30 C) x= –5 ó x = 30 D) x = –10 ó x = 10 E) x = 15
II. ( 2) 7 < 1
f(x) = –5+log2(1–x), definida para
10 e y = 5 12 e y = 3 12 e y = 5 5 e y = 10 11 e y = 4
9. Determine todos los valores de x para los cuales
2 y= x– + log2 (– x + 3) x –1 es un número real.
A) [–1,1[ B) [–1,2[ C) [–1,2] D) [–1,1[ E) [–1,1]
∪ ∪ ∪ ∪ ∪
[2,3[ [3,4[ [3,4[ [2,3] [2,3]
sistematización 10. Resuelva la inecuación: log2x + log2(x+1) > 1 A) {x∈R /x B) {x∈R /x C) {x∈R /x D) {x∈R /x E) ∅
0} 0} 1} –1}
11. El número de soluciones enteras en la inecuación log3(2x – 9) ≤ 1 es: A) 0 B) 2 C) 4 D) 1 E) 3 12. En un concierto de rock, se verifica que el nivel sonoro fue mayor que 110 dB (dB es la unidad de nivel sonoro). Considerando que el nivel sonoro (N) obedece a una escala  i  y es definida por N = 10 log   ,  i0  donde i es la intensidad sonora e i0 es la menor intensidad que puede ser detectada para el oído humano, podemos afirmar que: A) i0 < 1011i 11
C) i > 10 i0
B) i = 1011i0 D) i < 1011i0
E) i0 > 1011i
álgebra tema 16
funciones SnIi2x16
DESARROLLO DEL TEMA III. FUNCIÓN
I. PAR ORDENADO
Es un conjunto que consta de dos elementos en el que interesa el orden, es decir, a uno se le distingue como el primero y al otro, el segundo del par ordenado. A los elementos de un par ordenado se les llama coordenadas.
(x; y) a
2. coordenada
Es la relación binaria en la que pares distintos no tienen el mismo primer elemento. Ejemplos: 1. f = {(1;3), (2;4), (3;5)} Es una función, pues no existen dos pares ordenados distintos que tienen el mismo primer elemento.
2. A = {(2;7), (3;8), (2;11)} No es función, pues los pares (2;7) y (2;11) tienen el mismo primer elemento. Sea la función: f: AB.
R = {(a;b)/ a ∈ A, b ∈ B ∧ aRb}
Donde: A → Conjunto de partida B → Conjunto de llegada
II. PRODUCTO CARTESIANO
Dados los conjuntos no vacíos "A" y "B", el producto cartesiano de "A" y "B" denotado como "A x B", es el conjunto de todos los pares ordenados (a;b) donde "a" es un elemento de "A" y "b" un elemento de "B".
Nota: Las funciones se denotan igualmente por letras tales como f, g, h, F, G, H. Si "f" es una función, entonces f(x). (Léase "f en x" o simplemente "f(x)") indica el segundo elemento del par cuyo primer elemento es "x" así podemos escribir. f = {(x; f(x))/ xDf}
Sea la función: f: A → B A conjunto de partida B conjunto de llegada
A x B = {(a;b)/a ∈ A ∧ b ∈ B} Ejemplos: Sean: A = {3; 2; 5} y B = {5; 2}. A × B = {(3;5), (3;2), (2;5), (2;2), (5;5), (5;2)} B × A = {(5;3), (5;2), (5;5), (2;3), (2;2), (2;5)} Relación binaria Sea "A" y "B" dos conjuntos no vacíos, se define la relación binaria de "A" en "B" de la siguiente manera.
R = {(a;b)/ a ∈ A, b ∈ B ∧ aRb} Entiéndase que aRb implica que entre a y b existe alguna relación o aun cuando en muchos casos no se pueda traducir en una fórmula o regla de correspondencia. Ejemplos: Dado A = {1; 2; 3; 4} y B = {5; 6}. Halla: R : A.B R = {(a;b)/ aA, bB y a + b<9} R = {(1;5), (1;6), (2;5), (2;6), (3;5)}
B 6 7 8 9 B 7
Nota: Una relación f: AB será una función si cumple: 1. Para cada xA yB/(x;y) f. 2. Si(x;y)f (x;z)f y = z. h
Y llamaremos rango de la función al conjunto de las imágenes de todos los elementos de A, mediante f al cual denotaremos por: Rf = Ranf, es decir: Ejemplo: Sea f = {(1;2), (3;4), (5;6), (7;8)}.
B. Sugerencia para el cálculo del dominio y rango de una función
• El dominio de una función f se determina analizando todos los valores posibles que pueda tomar "x". De manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dicho dominio sea especificado. • El rango de una función f se determina despejando la variable "x" en función de "y", luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar "y", de tal manera "x" sea real.
3 4 5 No es función
A. Dominio y rango de una función Sea f: AB una función de A en B, llamaremos dominio de la función f, al conjunto de todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por: Df = Domf, es decir:
Df = {x ∈ A / ∃ y ∈ B ∧ (x;y) ∈ f} ⊂ A
Nota: No debe existir 2 o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento. En caso existiera, de acuerdo a la definición, los segundos componentes tendrán que ser iguales; si no es así, entonces no será función.
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 2
Sea f(x) = ax + bx + c. Si: f(0) = –2 ; f(1) = 6 y f(3) + f(2) = 76. Determina el valor de: 3a + 2b + c. A) 19 D) 13
B) 23 E) 29
Problema 2 Dado A = {x ∈ Z/ |x| ≤ 4}. Sean "f" y "g" funciones de A en IR definidas por f(x) = x2 – 3 y g(x) = 1 – x + 1. Hallar la intersección del rango de "f" con el dominio de "g". A) {0; –2; –3} B) {–3; –2; –1} C) {1; 2; 3} D) {–3; –2; 1} E) {–1; 0; 1}
UNMSM 2007 - II
Resolución: Resolución: Para: x = 0 x = 1 - - - (1) x = 3 x = 2
a.02 + b.0 + c= –2 c= –2 a.12 + b.1 + c = 6 a + b = 8 a.32 + b.3 + c = 9a + 3b – 2 + a.22 + b.2 + c = 4a + 2b – 13a + 5b – 4 = 76 - - - (2)
Si: |x| ≤ 4 ⇒ – 4 ≤ x ≤ 4 ** g(x) = *F(x) = x2 – 3 –4 ≤ x ≤ 4
1 – x +1
Dg: 1 – x ≥ 0
0 ≤ x ≤ 16
2 –3 ≤ x – 3 ≤ 13 –3 ≤ f(x) ≤ 13
Resolución: Resolviendo: [f(x) = g(x)] y: 2x = x/2 + 5 ; x: 10/3 , y = 20/3 y: –2x = x/2 + 5 ; x = –2, y = 4 Del gráfico: A S = A ABC – A ADC
10.(20 3) 10.4 – 2 2
A S = 40 3
De (1) y (2): a = 5 ; b = 3 y c = –2
D(-2;4)
Entonces: 3.5 + 2.3 – 2 = 19
Rf ∩ Dg = {–3;–2;1} * x ∈ Z
Problema 3 Halla el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: f(x) = |2x| ; g(x) = x/2 + 5 A) (38/3)u2 B) (20/3)u2 2 C) (32/3)u D) (40/3)u2 2 E) (16/3)u
A(-10;0)
B(10/3;20/3)
C(0;0)
Respuesta: (40/3) u2
5. Halle el rango de:
1. hallar el dominio de la función cuya regla de correspondencia es: 1 F(x) = 3 x +1 A) R B) R–{–1} C) R–{1} D) R–{±1} E) φ 2. Hallar el dominio de la función cuya regla de correspondencia es: x –1 F(x) = 4 x – 3x2 – 4
A) R–{2} B) R–{– 2 ,
C) R–{–2,2} D) R E) R–{–2}
B) R–{–1}
C) R–{3,1}
D) φ
E) R–{–3, 1, 3} 4. Hallar el dominio de la función cuya regla de correspondencia es: 2
x –4 x2 = 2x
A) (–∞, –2] ∪ [2, +∞) B) (–∞, –2] ∪ (2, +∞) C) R D) R – [–2, –2) E) φ
G={(x; y)∈R /y= 5 – x + 3 + x } A) y ∈ [ 2 ; 4] B) y ∈ [0; 4] C) y ∈ R D) y ∈ [2 2 ; 4] E) y ∈ [0; 2 2 ]
6. Dadas las funciones:
F = {(x; y)/y = 2x2 + 4x – 2; x ∈ R}
G = {(x; y)/y = x2 + 10x + 3; x ∈ R}
Hallar: RAN(F) ∩ RAN(G) A) [–10; –2]
B) [–2; +∞〉
C) 〈–∞; –20]
D) [–10; –1〉
7. Sean F: {1,2,3,4,5} → {1,2,3,4,5} una función inyectiva, satisface F(1), F(2) ∈ {1,2} F(3) ∈ {2,4} F(4), ∈ {1,4, 5} Entonces F(5) es igual a: A) 1 D) 4
8. Sean las funciones F: R → R y A ⊂ R → R, tales que F(x) = x2 – 9 e (Fog)(x) = x – 6, en sus respectivos dominios. Entonces el dominio de A en la función g es: A) [–3, ∞〉 B) R C) [–5, +∞〉 D) 〈–∞, –1〉 ∪ [3 + ∞〉 E) 〈–∞, 6 〉
9. Sea: F: R → R una función impar. J1N Si F K O = 1 y F(x+3) = F(x) para L2 P todo x ∈ R, determine el valor de: 11 . F JK 1 NO – 7 F JK 11 NO 2 L 2 P L2 P 2 A) 6 B) 7 C) 8 11 D) 9 E) 2
E) [–4; +∞〉
3. Hallar el dominio de la función cuya regla de correspondencia es: x3 – 6x2 + 4x + 8 F(x) = 3 x – x2 – 9x + 9
10. Si f: Dom(f) = [1,5] → [5,11] es una función lineal decreciente y sobreyectiva, determine la regla de correspondencia de f. 25 3 A) f(x) = – + x 2 2 25 3 B) f(x) = – x 2 2 13 3 C) f(x) = – x + 2 2 17 7 D) f(x) = – – x 2 2 27 5 E) f(x) = – – x 2 2 11. Si f es una función creciente con 5 Dom(f ) = [1,3] y Ran(f) = [2, ] 2 1 , halle el valor tal que f(x) = ax – b de a + b. 5 11 B) – 3 20 3 1 D) – E) – 2 20 A) –
2x – 1 , definida en R – {3} x–3 e inversible. El valor de F–1(7) es:
12. Si f(x) = A) 1
Report "Algebra Pamer"

References: Resolución 
 Resolución 
 resolución 
 Resolución 
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 RESOLUCIÓN