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Timestamp: 2020-05-30 10:46:10+00:00

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Une année de colles en Math Sup MPSI | Eric Kouris | download
Главная Une année de colles en Math Sup MPSI
Rituel incontournable des classes préparatoires, la "khôlle" hebdomadaire est un élément
déterminant de leur succès. Voici, écrit par un spécialiste chevronné, un guide des trente
d'indications puis d'une solution très détaillée (ponctuée souvent de remarques
concours blancs, réviser et approfondir tout au long de l'année les notions fondamentales
niveau, ont été choisis avec un très grand soin et leurs sources sont scrupuleusement citées.
concours. Ce livre très complet rendra aussi grand service aux étudiants en licence ainsi
Éric Kouris est agrégé de mathématiques et ingénieur en construction mécanique et
2916352244
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Bertram G. Katzung (Ed.)
Éric Kouris Une année de colles en Math Sup MPSI Calvage & Mounet
Im-et-Ker 101. — Les clefs pour l'X. Bernard Randé & Franck Taïeb 102. — Les clefs pour l'X (2). Roger Mansuy & Bernard Randé 103. — Les clefs pour les Mines. Françoise Fontanez & Bernard Randé 104. — Problèmes clefs pour mathématiques supérieures. Hervé Gianella, Romain Krust, Franck Taïeb & Nicolas Tosel 105. — Les clefs pour la PSI et la PSI*. Roger Mansuy & Bernard Randé 106. — Une année de colles en Math Sup MPSI. Éric Kouris
Éric Kouris Une année de colles en Math Snp MPSI dfe Calvage & Mounet ô
ÉRI€ KOURIS est agrégé de mathématiques et ingénieur en construction mécanique et informatique. Il a traduit de l'anglais Problèmes d'analyse, volume 1 à 3, de W. J. Kaczor et M. T. Nowak (publiés par EdP Sciences), Problèmes et théorèmes d'algèbre linéaire de V. V. Prasolov, Séries et intégrales de Fourier de H. Dym et H. P. McKean et, du russe, Problèmes d'analyse réelle de B. M. Makarov et coll. (publiés par Cassini). Il colle en Math. sup. MPSI depuis quinze ans au lycée Janson de Sailly, à Paris. Illustration de couverture : Radja Sauperamaniane Illustrations intérieures : Angela Taylor ® Imprimé sur papier permanent © Calvage & Mounet, Paris, 2011 ISBN 978-2-91-635224-4 9n7829 16n35224 4"
Pour Alain Legendre
Introduction L'année de mathématiques supérieures est rythmée par les cours, les de™ voirs à la maison, les contrôles et les interrogations orales, les fameuses colles. Chaque semaine, de la fin du mois de septembre au début du mois de juin, vous passerez des interrogations orales dans différentes disciplines. Dans la filière MPSI, vous aurez ainsi durant l'année trente colles de mathématiques. Des colles, pourquoi faire ? Une colle en mathématiques dure une heure. Il n'y a pas de format imposé mais, généralement, cela débute par une question de cours portant sur le programme de la semaine (... ou des semaines précédentes), suivie d'un ou plusieurs exercices. Apprendre son cours Comm; e son nom l'indique, la question de cours vise à s'assurer que vous apprenez régulièrement votre cours. Elle peut porter sur des définitions, des théorèmes et, éventuellement, leur démonstration ou sur les exercices classiques vus en cours. Le but de cette question n'est pas de vous coincer. La maîtrise du cours est le prérequis à la résolution de tous les exercices que l'on peut vous poser. Le minimum que l'on attend de vous lorsque vous venez en colle est la connaissance du cours 1. Il y a peu d'intérêt à perdre une heure pour montrer que l'on n'a pas travaillé, sauf à aimer recevoir des mauvaises notes. 1. Cet ouvrage ne vous propose aucune « méthode » pour apprendre votre cours. Une seule chose est sûre, il n'existe pas de méthode idéale et infaillible pour apprendre son cours (contrairement à ce que peuvent affirmer certains ouvrages proposant la méthode, généralement présentée en fiches, sous-fiches, tableaux synoptiques et, depuis quelques années, « contenus interactifs » sur des sites internet). C'est à vous de voir ce qui vous convient le mieux pour retenir la masse de connaissances que l'on vous demande d'apprendre. - Vil -
vin Encore faut-il bien s'entendre sur ce que veut dire maîtriser son cours. Il ne s'agit pas d'avoir une vague idée des théorèmes vus durant la semaine, mais de connaître parfaitement les hypothèses de chacun d'entre eux (voire de connaître un contre-exemple si l'on enlève une des hypothèses) et même d'en connaître les démonstrations faites par votre professeur (lorsque celles- ci ne sont pas explicitement hors programme). Souvent les techniques utilisées dans les démonstrations vues en cours peuvent être recyclées dans la résolution de problèmes. Par exemple, les exercices XIII.7 et XXIX. 11 du présent ouvrage reposent sur la technique utilisée pour démontrer la formule du binôme de Newton. Se préparer aux oraux des concours L'exercice après la question de cours poursuit, en partie, les mêmes buts. Il peut avoir un lien avec la question posée précédemment, comme il peut n'avoir aucun rapport avec celle-ci. L'exercice peut être une simple application du cours ou faire appel à une idée originale. Dans tous les cas, c'est l'occasion de voir ce que vous avez compris des théorèmes vus en cours au-delà de leur énoncé. Il ne suffît pas de pouvoir les réciter, encore faut-il voir quand les utiliser. En d'autres termes, on vous demande de faire le tri dans tout ce que vous avez appris afin de sélectionner les connaissances précises à mettre en oeuvre dans la résolution du problème posé. Et une fois que le plan d'action est dégagé, on vous demande en plus de rédiger votre solution. Il ne s'agit pas d'aligner des calculs en laissant au colleur le soin de deviner les liens logiques dans votre raisonnement. Vous pouvez être sûr qu'il mettra toute la mauvaise volonté qu'il faut pour ne pas comprendre. C'est une occasion en plus du cours et des devoirs de mettre en pratique ce que vous avez appris, de vous y habituer2. Mais, c'est aussi l'occasion de s'habituer à être en situation de stress en étant confronté à un problème que vous n'avez certainement jamais vu auparavant et sur lequel vous êtes évalué. C'est précisément la situation que vous aurez à affronter lors des épreuves orales des concours d'entrée dans les grandes écoles. Il n'y a, de toute façon, pas de raison de vous abandonner au stress. Si vous bloquez sur un exercice, le colleur vous donnera des indications pour que vous avanciez dans l'exercice. L'évaluation faisant partie de la colle, le colleur vous aidera en cas de blocage. Si vous restez bloqué et ne produisez rien, il n'y a rien à évaluer, ce qui réduit la colle à une heure perdue. Encore faut-il que vous ayez fait le minimum que l'on attend de vous, apprendre votre cours. Ces remarques s'appliquent également aux épreuves orales des concours. 2. « Young man, in mat hématies you don't under stand things. You just get used to them. » (John von Neumann)
IX Apres la colle La colle ne s'arrête pas avec l'attribution d'une note à la fin de votre prestation. Votre travail dans les jours qui suivent consiste à reprendre l'exercice sur lequel vous avez travaillé. Ceci sera d'autant plus nécessaire que vous aurez rencontré des difficultés durant la colle. De cette façon, vous assimilerez mieux les techniques utilisées dans l'exercice et vous améliorerez votre connaissance et votre maîtrise -du cours. Bien sûr, ceci nécessite que vous mettiez par écrit à la fin de la colle l'énoncé de l'exercice sur lequel vous avez travaillé (si le colleur ne vous en donne pas une copie). Cette remarque a une portée plus générale et peut s'étendre à la plupart des exercices que vous travaillez chez vous ou en cours. C'est en faisant et en refaisant des exercices que vous vous habituerez aux notions que vous étudiez. Ce que contient ce livre Des questions de cours Cet ouvrage est divisé en trente chapitres, autant que de semaines de colle durant l'année de math. sup. Chaque chapitre commence par le programme de la semaine, ce que vous devez connaître lorsque vous venez en colle. Votre professeur ne suivra certainement pas exactement cette progression. Pour autant, toutes les notions au programme sont traitées. Dans certains chapitres, vous trouverez, en plus, un rappel des notions à maîtriser parfaitement. Viennent ensuite des exemples de questions de cours. La liste n'est pas limitative et vos colleurs en auront certainement d'autres à vous proposer. Cela vous donne néanmoins une bonne idée de ce que l'on peut vous demander. Des exercices corrigés Enfin, chaque chapitre contient au moins dix exercices. À quelques rares exceptions près, tous ont été posés en colle. Les exercices sont indépendants les uns des autres. Cependant, par souci d'économie, une première question commune à plusieurs exercices n'est donnée qu'une fois. Ceci est signalé par une remarque précédant le premier exercice de la série. C'est le cas, par exemple, des exercices XIX. 11 à XIX. 13 et des exercices XXVI. 8 à XXVI. 11. Le niveau peut varier beaucoup d'un exercice à l'autre. Cependant, si quelques uns sont très faciles, le niveau global est assez élevé. La sélection des exercices part du principe que pour obtenir plus des élèves, il faut leur demander plus.
X Vous retrouverez dans cet ouvrage quelques grands classiques figurant dans la plupart des livres s'adressant aux élèves de math. sup. (ce n'est pas parce qu'un exercice est considéré comme un classique qu'il faut l'éviter). Vous y trouverez aussi bon nombre d'exercices que vous ne trouverez pas ailleurs dans la littérature s'adressant aux élèves de sup. Pour autant, il n'y a aucune prétention ici à l'originalité. Si vous bloquez sur un exercice, comme en colle, des indications sont fournies pour vous aider. Elles se trouvent après les énoncés et il y a des indications pour à peu près toutes les questions. Viennent enfin les solutions détaillées et entièrement rédigées. En général, une solution commence par une ou plusieurs références bibliographiques, suivies de la solution proprement dite. Vous pouvez, bien sûr, passer directement de l'énoncé d'un exercice à sa solution sans faire aucune recherche. Vous pouvez même mémoriser ce que vous avez lu pendant quelques heures et, si vous avez la chance de tomber sur cet exercice durant votre colle, faire illusion. Mais, la note que vous aurez ne doit surtout pas vous aveugler. Vous n'avez en fait rien appris et, quelques jours plus tard, il ne restera rien de ce que vous aviez mémorisé. Pour reprendre les propos d'un enseignant, « vos progrès en mathématiques se mesurent au volume de brouillon que vous avez produit ». L'important n'est pas de résoudre une question, mais de chercher suffisamment pour que la solution proposée vous apporte quelque chose si vous n'aviez pas trouvé par vous-même. De cette façon, il en restera une trace dans votre esprit et vous serez capable de faire cet exercice si on vous le pose dans quelques temps, non pas en vous souvenant de ce que vous avez lu, mais en produisant un raisonnement menant à la résolution du problème. Pour reprendre la citation de von Neumann, le but est de vous habituer aux notions que vous étudiez jusqu'à ce qu'elles vous paraissent naturelles. Les solutions sont parfois complétées par des remarques prolongeant la question traitée. Ce peut être un assouplissement des hypothèses, une application directe du résultat obtenu, une mise en perspective historique ou encore un renvoi à un autre exercice traitant un thème connexe. Certains exercices sont très difficiles. N'hésitez pas à regarder les indications, le colleur vous les donnerait si vous aviez cet exercice en colle. Mais, avant de passer à la solution, faites un effort de recherche. En plus de vous aider à assimiler les notions vues en cours, vous aurez certainement le plaisir de résoudre l'exercice, en vous aidant au besoin des indications. Et plus l'exercice est difficile, plus le plaisir procuré par sa résolution est grand. Certains exercices, sans être particulièrement difficiles, sont très longs. En pratique, durant la colle, seules les premières questions sont abordées. Par exemple, la question c) de l'exercice XXVI. 11 est rarement traitée, la question d) n'est jamais abordée. Les deux premières questions forment un tout
XI cohérent et, dans le cadre d'une colle, on peut s'arrêter là. Mais, autant profiter du format offert par le livre et que ne permet pas la limite temporelle cie la colle pour voir plus loin et approfondir le résultat étudié. Quelques très rares exercices dépassent largement les limites du programme de la math. sup. C'est le cas, par exemple, de l'exercice XIV. 12 (un des rares, dans cet ouvrage, à n'avoir pas été donné en colle). C'est l'occasion de voir ce que l'on peut faire avec les connaissances que vous avez acquises en cours lorsque l'on s'aventure au-delà du programme. Une bibliographie Comme dit précédemment, il n'y a aucune prétention à l'originalité, la plupart des exercices sont accompagnés de références bibliographiques. La bibliographie se trouve à la fin de l'ouvrage et est divisée en deux parties. La première contient les références à des articles publiés dans des revues mathématiques (seule une petite partie est accessible librement sur internet). La seconde partie contient les livres et chaque entrée est accompagnée d'un commentaire (certains vous mettent en garde sur le niveau des ouvrages cités). Cela peut constituer le point de départ à l'approfondissement d'un sujet. X'hésitez pas à en parler à votre professeur, qui saura vous conseiller. Une référence donnée ici peut ne contenir que l'énoncé du problème, mais ni solution ni développement. À l'inverse, les développements peuvent être très volumineux et vous risquez de vous perdre dans des théories dépassant de loin votre niveau (par exemple, l'article [A2] contient le résultat présenté dans l'exercice XIX. 13 et une ébauche de démonstration, noyés au milieu de mathématiques d'un niveau dépassant de loin celui de la math. sup.). Notations mathématiques Les notations utilisées ici sont celles que vous rencontrerez en cours tout au long de l'année. Nous utilisons deux notations pour le produit scalaire de deux vecteurs, (u, v) ou u - v , suivant le contexte. Seule la notation pour la partie entière d'un nombre réel différera peut-être de celle utilisée par votre professeur. Nous avons choisi de noter [x\ la partie entière du réel x. Remerciements Carine Apparicio a rédigé les programmes hebdomadaires et les questions de cours se trouvant au début de chaque chapitre, à l'usage de sa classe. Je la remercie vivement de me permettre de les reproduire ici (en les modifiant parfois très légèrement).
Xll Toutes les figures ont été réalisées avec le logiciel TexGraph (http:// texgraph.tuxfamily.org/) conçu par Patrick Fradin, que je remercie pour son aide. Je remercie aussi les spécialistes de WF^i2s du forum http://www.mathematex.net/ pour leur aide et leurs conseils techniques. Je tiens également à remercier Gilles Auriol, Olivier Bordellès, Gilles Boutte, Patricia Chwat, Frédéric Denizet, Jean-Pierre Ehrmann, Bruno Ingrao, Anne Pogodalla, Bernard Schott et Claire Tête qui ont bien voulu consacrer du temps à relire des parties du manuscrit afin de proposer des améliorations et de trouver les erreurs. Il en reste certainement ... Je veux aussi remercier chaleureusement Rached Mneimné pour avoir accepté de publier ce projet aux éditions Calvage et Mounet et m'avoir apporté ses conseils avisés et ses connaissances afin d'améliorer le contenu de cet ouvrage. Mes remerciements vont aussi à Radja Sauperamaniane, qui a dessiné l'illustration de couverture, et à Angela Taylor, qui a réalisé les deux illustrations qui ouvrent et referment ce livre. Enfin, cet ouvrage n'existerait pas sans la confiance que m'ont accordée les enseignants de classes préparatoires pour lesquels je colle ou j'ai collé. Il n'existerait pas non plus sans leurs élèves, qui ont activement travaillé sur les exercices qui leur étaient proposés, en indiquant d'éventuels problèmes dans la rédaction d'un énoncé, en m'obligeant à préciser les indications à apporter au cours de la résolution et, parfois, en produisant une solution originale (par exemple, la première solution de l'exercice XVIII.9 ou la seconde solution de l'exercice XXIII.5). Éric Kouris Il y a plusieurs moyens d'échapper au sérieux : - le comique, qui est pour l'auteur une façon de communiquer au lecteur les raisons de son allégresse ; - l'humour, que l'auteur ne semble pas désirer communiquer, mais qu'il lui laisse apercevoir ; - et surtout la jubilation, que l'auteur évite soigneusement de communiquer à qui que ce soit. C'est au lecteur de la débusquer lui-même, hors de toute trace de comique ou d'humour. Ce n'est pas si facile, car la jubilation parfois ressemble fort à l'ennui et même à la mélancolie. Le lecteur ne peut être à peu près sûr qu'il s'agit vraiment de jubilation de Fauteur, que s'il la partage. Et encore ! Ce n'est pas si simple ! François Caradec, La jubilation (tiré de Entre Miens)
Table des matières I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes ......... 1 IL Géométrie euclidienne du plan ..................................................... 23 III. Notion d'application - Rappels d'analyse ................................... 57 IV. Fonctions usuelles 75 V. Etude locale des fonctions au voisinage d'un point ..................... 93 VI. Équations différentielles 107 VIL Courbes paramétrées planes 123 VIII. Géométrie dans l'espace 171 IX. Coniques 201 X. Le corps ordonné II 227 XL Entiers naturels 245 XII. Suites numériques 273 XIII. Groupes, anneaux, corps 299 XIV. Arithmétique dans Z 323 XV. Algèbre linéaire (sans dimension) ................................................ 353 XVI. Limites et continuité 367 XVII. Algèbre linéaire : la théorie de la dimension finie ....................... 397 XVIII. Algèbre linéaire et dimension finie .............................................. 413 XIX. Dérivation d'une fonction d'une variable réelle ........................... 431 XX. Accroissements finis, convexité, étude de suites .......................... 465 XXL Matrices 489 XXII. Matrices (suite) 513 XXIÏL Polynômes à une indéterminée .................................................... 547 XXIV. Intégration 571 XXV. Intégration (suite) 607 - xiii -
xiv Table des matières XXVI. Fractions rationnelles, calcul des primitives 641 XXVII. Groupe symétrique, déterminants 673 XXVIII. Espaces euclidiens 723 XXIX. Fonctions réelles de deux variables réelles 757 XXX. Fonctions réelles de deux variables réelles (suite) 781 Bibliographie 797 Index 809
Chapitre I Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes Sommes a) Sommes classiques, identités remarquables. Utilisation du symbole J^, changement d'indice, séparation des termes pairs et impairs. b) Coefficients binomiaux, propriété de symétrie et de Pascall. Formule du binôme de Newton2. c) Sur des exemples, calcul de sommes doubles, inversion de Tordre de sommation. Éléments de logique^ ensembles a) Proposition logique. Négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence. b) Quantificateurs V et 3. c) Méthodes de démonstration : récurrence, contraposée, raisonnement par l'absurde. d) Ensembles : appartenance, inclusion, opérations (intersection, réunion, complémentaire, produit cartésien). 1. B. Pascal (1623- 1662). 2. I. Newton (1642 - 1727). - 1-
2 ■ I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes Nombres complexes Le corps des nombres complexes a) Construction rapide des nombres complexes (M2 muni de deux lois, l'addition et la multiplication). Puissances entières, inverse : définitions. Propriétés usuelles. Formule du binôme. b) Partie réelle et partie imaginaire. Représentation géométrique, plan complexe. Conjugaison (propriétés classiques : linéarité, etc.). c) Module. Propriétés classiques. Inégalité triangulaire. d) Arguments. Groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1. Notation el°. Rappel des formules de trigonométrie et compléments (en particulier, expression de cos#, sin# et tan# en fonction de t = tan — et interprétation géométrique). Argument, propriétés et interprétation géométrique. Forme trigonométrique d'un nombre complexe. Applications à la trigonométrie a) Somme de deux complexes de même module : technique de l'angle moitié et interprétation géométrique. b) Réduction de acosO + bsmO et interprétation géométrique. Application à la résolution d'équation acosx -\-bsmx — c d'inconnue x réelle. / n \ c) Calcul de sommes trigonométriques (par exemple ^ cos(kx)). d) Linéarisation. e) Expression de cos{n9) et sin(n#) comme polynômes en cos 0 et sin#. Équations polynomiales dans C a) Équation du second degré. Racines carrées d'un nombre complexe, racines d'un trinôme à coefficients complexes. Relations entre coefficients et racines. b) Racines n-ièmes d'un nombre complexe. Groupe Un des racines n-ièmes de l'unité. Existence et calcul des racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul. Exponentielle complexe a) Définition. Propriétés usuelles : exp: (C, +) —» (C*, x) est un mor- phisme de groupes, surjectif, de noyau 2iirWi. b) Équation ez = a.
il. Questions de cours 3 1. Questions de cours On commencera la colle en vérifiant que les formules de trigonométrie (formules d'addition, les conséquences telles que cosp + cos g, linéarisation de cos2 et sin2, cos#, sin# en fonction de t = tan —, etc.) sont connues sur le bout des doigts ! Puis, au choix : a) inégalité triangulaire ; b) linéarisation de cos4 0, de sin3 0 ou autres ; n c) calcul de Y2 cos(a + ■&&)> selon que 6 = 0 (mod 2vr) ou non ; k=0 d) expression de cos(n0) comme polynôme en cos et sin ; e) résolution de l'équation z2 + 2z + -r + i = 0 ; f) résolution de l'équation zb = — 1 ; g) résolution de l'équation ez — 1 4- z\/3. On pourra vérifier la connaissance des définitions, théorèmes et autres propriétés du cours. 2. Exercices Exercice 1.1 Soit x\ et x-2 les solutions (complexes) de l'équation x2 - x + 1 = 0. Calculer x\999 + 4"9 et x2000 + x2000. Exercice 1.2 Pris dans un livre de terminale des années 80 (les questions sont indépendantes). a) Résoudre dans II l'équation cos a; + \/3sinx = 1. b) Résoudre dans R l'équation cos x -f cos 3x + cos 5x = 0. c) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m l'existence de solutions réelles à l'équation suivante : 3 sin x + m cos x — 5 = 0. Exercice 1.3 Soit n E M*. Prouver que
4 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes et -(M)-Q+--I(-4"*H (où \_n/2\ est la partie entière de n/2). Exercice 1.4 Soit m G IN, m ^ 2 et r G M, 0 < r < ra. On pose [ 1 si p — r est un multiple de m, 10 si p — r n'est pas un multiple de m et u = e2™/™. m—1 a) Calculer, pour Z G Z, la somme J^ u;fc* et en déduire que fc=0 m—1 fc=0 b) Soit n G F. Établir que p=o W fc=i où |_(ra — 1)/2J est la partie entière de (m — l)/2. c) En déduire que VA I n 1 - 21 + 21^. V- œsn jrfc œs/Mi _ 27rrfcx ï-< p\v)~ m m 2^ cos m cosl m m ) p=0 V / fc=l d) Calculer p=0 mod 3 P=l mod 3 Exercice 1.5 Soit m un entier impair, m > 1. On pose n = 2m, u; = e27rz/n. Exprimer (1 — cj)~~ sous la forme d'un polynôme en uj à coefficients entiers. Exercice 1.6 Soit ^i, 22,. •., zn des nombres complexes non nuls de même module. On pose n n k=l 1=1 a) Prouver que z est un nombre réel positif s'annulant si et seulement si n E zk = 0. fc=i
p. Exercices 5 b) Si zi, Z2,.. •, zn sont de module 1, montrer que z ^ n2. 2 + i Exercice 1.7 Démontrer que — r est un nombre complexe de module 1 2 — % qui n'est racine n-ième de l'unité pour aucun nGl*. Exercice 1.8 Etablir les égalités suivantes en précisant l'ensemble sur lequel elles sont valides : . nO {n + l)0 sm —^- cos cos 0 + cos 20 + • • • + cos nO = sinf . nQ . (n + l)0 sm -—r- sm ■ sinn$ = cos nO = - 1Ï0 = 2 2 -f (2n + l)0 sin 2sin|- 2 sin2n$ sin 0 + sin 20 - —- + cos 6> + cos 20 cos 0 4- cos 30 + cos 50 + h cos(2n -1)0 n . „ 2 sine/ Exercice 1.9 Soit n E M, n > 1. a) Résoudre dans C l'équation l + z + '^ + z71-1 =0. En déduire la factorisation de P(z) = 1 + z -f • • • + z71^1. b) Montrer que l-eix = -2i$m(x/2)elx/2 et l-fe^ = 2cos(x/2)e2x/2 pour tout xEi c) En déduire que n—î IL et n-i /c=l nwi)i=^ fc=l z d) Prouver que n—i sinnx = 2n'x JJ sin(x + ^f ) fc=0 pour tout x G R.
6 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes Exercice 1.10 a) Démontrer que 1^1 +22|2 + |'-Z2 +23|2 + |2a + 2lf2 = kl^ + NI + | ^31 +1*1 +^2 +^|2 pour tout (zi,Z2, z$) G C3. b) En déduire Vinégalité de Hlawka3 : \zi\ + |^2| + ks| + kl + 32 + ^a| > kl + ^j + \Z2 + 2?3| + k3 + ^i| pour tout (^1, z2, z$) € C3. c) Prouver que l'inégalité de Hlawka est équivalente à l'inégalité ki + z2 + z3\ + |-^i + z2 + 231 H- kl - Z2 + ^| + kl + ^2 - ^31 ^ fkil 4- k2|; + N| + f- kil +1*2.1 + ks||. + |kil -1 ^21 + ka|| + |ki| + \z2\ - k3|| {inégalité de Hanner4) pour tout (zi,Z2rz$) £ C3. 3. Indications Exercice 1.1 Développez (x -f l)(x2 — x + 1). Que valent x3 et x3 ? Exercice 1.2 a) Vérifiez que cosx -f \fësmx = 2cos(x — 4r)' b) Factorisez cos x -f cos 3o? + cos hx. c) Écrivez 3 sin x -f m cos x sous la forme r cos(x — <p). Exercice 1.3 Considérez (l-fi)n. Exercice 1.4 a) Considérez deux cas, suivant que l est multiple ou non de m. b) Inversez l'ordre de sommation, utilisez la formule du binôme puis l'égalité cum~k = ou~k7 en notant que 1 -f u/m/2 = 0 si m est pair. c) Utilisez la formule d'Euler pour expliciter 1 + uok. d) Appliquez la question précédente. 1 — ujm 1 — (—m)™ Exercice 1.5 Considérez -— et — • Exercice 1.6 a) Posez \zk\ — r et utilisez l'égalité —— = —— pour tout k. Zk y>* Exercice 1.7 Notez que 2-M = (2 — i) + 2i et utilisez la formule du binôme. 3. E. Hlawka (1916 - 2009). 4. O, Hanner (1922 - )..
§3. Indications 7 Exercice 1.8 Utilisez la formule de Moivre5 et calculez la somme des premiers termes d'une suite géométrique bien choisie, La troisième égalité peut se déduire de la première en utilisant sin x cos y = — (sin(x + y) + sin(x — y) ) ou bien se démontrer directement en utilisant, pour z^l, 1 , „ , .2 , , „n __ 1 + Z - 2zn+1 -r z ■ 2 2(1-z) Exercice 1.9 b) Factorisez elxl2:. c) Prenez x = 2kn/n et z — 1 pour établir la première relation, z = — 1 pour établir la seconde. d) Justifiez d'abord que e2nxt — 1 = f] (e2x* - e~22/c7r/n) à l'aide le pre- fc=0 mière question. Utilisez alors les formules d'Euler pour établir l'égalité demandée. Exercice 1.10 a) \z\ = zz. b) Justifiez que \zi + Z2\ X \z2 + Z3\ < |^21 X |zi + Z2 + 23| + \ztZ3\ . Donnez deux autres inégalités semblables à celle-ci et utilisez la première question. c) Posez W = —Z\ + Z2 + 2:3, x = zi - 2;2 H- 23, y = zi + z2 - z3 pour montrer que l'inégalité de Hanner implique celle de Hlawka. Pour prouver l'implication réciproque, notez d'abord que \zi +Z2 + Z3\ + \-Z! + Z2 -fZ3| + |zi - Z2 +^3| + \zi + Z2 - Z3\ ^ 4|Z]J et que \z\ + ^2 + ^a| + \-*i +z2 + zs\ + \zi- z2 + z3\ + \zi + z2 - z3\ ^2(|zi| + |22| + |23|) (pour la seconde inégalité, prenez u;, x et y comme précédemment et appliquez l'inégalité de Hlawka). Par symétrie, vous pouvez supposer que \zi\ > |^21 ^ |^31. Considérez alors deux cas : \z\\ ^ \z2\ + |^31 ou \zi\ < \z2\ + \z3\. 5. A. de Moivre (1667 - 1754).
8 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes 4. Solutions Exercice 1.1 ([B4]) On note que (x + l)(x2 — x + 1) = x3 + 1. Par conséquent, x\ et X2 sont les deux solutions non réelles de l'équation x3 = — 1. Il s'ensuit que x3 = x\ = — 1 et ^1999 __ 666x3+1 ^2 000 _ 666x3+2 Xi — Xi Xi — Xi / -i \666 / -i \666 2 = (-1) X! = (-1) XX = X\ = X^. D'où, x1999+x1999=Xi+X2 = 1 (la somme des solutions de l'équation x2 + 6x + c = 0 est égale à —b) et 2 000 ,2 000 2,2 L/i | Xo — Xi "7 Xo \2 = (xi + x2) - 2xix2 = -1 (le produit des solutions de l'équation x2 + bx + c = 0 est égal à c). Remarque. On notera que l'on n'a pas explicité x± et x2. Exercice 1.2 a) On a cos x -f a/3 sin x = 2 ( — cos x H — sin x) = 2 (cos 4r cos x + sin 4r sin x) o o = 2cos(x- y)' L'équation cosx-f \/3smx = 1 est donc équivalente à cos(x - y) = — = cos y > ce qui donne 7T _ IX OU x - j- = j- + 2fe7r, fe G Z, x- -£- =-•!■ +2/C7T, fcez. 3 3 L'ensemble des solutions de l'équation cosx + \/3smx = 1 est donc {^f- + 2kir : k £ Z} U {2kn : k £ Z}.
14. Solutions 9 b) On a rp _J__ t~v rp rp ^\ ^p cos x -f cos 3x + cos 5x = cos 3x + 2 cos — cos —-— 2 2 ^ 2 cos 3x ( — + cos 2x) ^ 2 cos 3x (cos -|- + cos 2x) ■ 4 cos 3x cos cos ■ 6 6 L'équation cos x + cos 3x + cos bx = 0 est donc équivalente à cos 3x = 0 ou cos = 0 ou cos = 0. 6 6 L'équation cos3x = 0 donne 3x = y + 2/ctt, fcGZ ou 3x = -y+2/C7T, kZ, soit x = =b-f- -f -| feTr, fc G Z. L'équation cos = 0 donne ^6£ = ^ + ^ fc G z ou ^6x =_X+2Jfe7r, fceZ, SOit X = ^ + 2/C7T, fceZ,OUÏ=-y+ 2/C7T, fc G Z. 7T — 6x L'équation cos = 0 donne *~6x = ^ + 2fe7r, keZ 6 2 ou TT — 6x 71 + 2/C7T, kZ, soit s = -^ + 2/ctt, fc G Z, ou x = ^ + 2/br, fceZ. L'ensemble des solutions de l'équation cosx 4- cos3x + cos5x = 0 est donc {±-f + -| kn : k G Z}u{±f-+2/c7r : k G Z}u{±-?f + 2kir :keZ}. Do o o
10 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes c) Soit r = a/32 + ra2 et ip un réel tel que sincp = — et cosip = -—-. On a 3 sin x -f m cos x = r (cos x cos p + sin x sin <£>) = rcos(x — y?). 5 L'équation 3 sin x + m cos x — 5 =-0 admet donc des solutions si — ^ 1, autrement dit si m2 ^ 16. Exercice 1.3 ([B42]) L'alternance des signes et le fait que n'apparaît qu'un coefficient du binôme sur deux doivent vous faire penser à utiliser la formule du binôme avec le nombre complexe L On a, d'une part, (i+oB = E */* k=0 et, d'autre part, (l + i)n = (y/2eT)n ==2-/2(cos^+isin-^) v 4 4 y (on utilise la formule de Moivre pour passer de la première à la seconde ligne). En séparant partie réelle et partie imaginaire, on obtient les égalités demandées. Exercice 1.4 ([A19]) a) Si 1 est un multiple de ra, alors uj1 = 1 et la somme cherchée est égale à ra. Si l n'est pas un multiple de ra, alors uj1 ^ 1 et 771—1 rn-x in-x * k=0 k=0 En remplaçant l par p — r, on obtient 771—1 ■fe=0
§4. Solutions 11 b) En permutant l'ordre de sommation, on obtient n / v n m—1 / \ p=o w p=o k=o w 771—1 n / \ m —1 n / \ 771—1 = wE^fcr(1+-fe)ri fc=0 777—1 fe=i On utilise à présent l'égalité ujm~k = ou~~k. Si m est impair, la somme ci-dessus contient un nombre pair de termes (autrement dit (m — l)/2 est entier) et n / \ (m-l)/2 p=0 W fc=l 777—1 + -k E --fcrd+-T fe=(m+l)/2 (m-l)/2 k=l (m-l)/2 + 1^ E "M* ""Y- fc=l
12 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes Si m est pair, on note que 1 + ujm/2 = 1 + eZ7r = 0 et l'on n / \ m/2-1 p=0 fc=l 771—1 + i E «-fcp(i+«fc) hn fc=ra/2+l L(m-1)/2J lr + w E --"(i + ^) fc\«. fc=l L(m-l)/2j l- y, ^fcr(i+On, car m — 1 E^ p=0 n\ 2n m fe=i . On conclut donc que L(m-1)/2J m ' m | 5] [(1 + a;*r)narr* + (1 + arT^*] fc=i pour tout m ^ 2 (pour m = 2, la seconde somme est en fait nulle). Notez que le nombre de termes de la seconde somme ne dépend pas de n, mais de m. c) On note maintenant que (1 + ujk)nuj~rk et (1 + uo~k)nojrk sont des nombres complexes conjugués. Il s'ensuit que I> L(m-1)/2J ^ £ 2Re{(l + c/yV^}. p=0 W fe=l On utilise alors la formule d'Euler : m m = 2coS^expi|L. On en déduit que 5> p=0 r)n on+1 L(m-l)/2j ^/C7T — 2ikrir "k + ^fT E Ite{(coB-^)Be^r-e-TS-} 2" ■ 2n+1 2 (œs^)ncos^ 2*™ + m ' m m m y k=i
j4. Solutions 13 d) On applique le résultat précédent lorsque m = 3, d'abord dans le cas r — 0, puis dans le cas r = 1. On obtient V^ fn\ 2n , 2 / 717T x p=0 mod 3 et 'n\ 2n , 2 _, nn 2?r p=l mod 3 £ L) = ir + ycos(T--ir Exercice 1.5 ([B42]) On a cjm = (e2ïïi/2m)m = e™ = -1. Comme cj ^ 1, il s'ensuit que 1 — uj 1 — uj De plus, puisque m est impair et uj ^ — 1, on a aussi l-o; + a;2-...+a;™-1 = l/Jx =0. 1 - (-a;) En additionnant membre à membre les deux égalités précédentes, on obtient 2 + 2uj2 + <-- + 2ujrn~1 - 2 1-CJ d'où 1 -l + ^+^ + .-.+o;^1. l-o; Exercice 1.6 ([B4]) a) On pose \z±\ = r > 0. Pour tout k, z^z^ = r2. On a donc n n zi \Z^ «•) \L^j zi fc=l Z=l fc=l / = 1 n n fc=l ' '/c=l r 2fc fc = l n i2 ,2fc • 76 Yi ~ Il s'ensuit que V V -^— est un réel positif et il s'annule si et seulement k=n=i Zl n i2 n ]P £/J =0, autrement dit si et seulement si J2 zk = 0° k=l ' fc=l SI
14 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes b) En utilisant l'inégalité triangulaire et la croissance de la fonction carrée sur l'intervalle H+, on obtient 2 „*. |EH <(EH> - k-l k-1 Exercice L7 ('[B4]) On pose 2 + i On a I2 + ?.I \2-î\ 2? = |2-i| j2-i| On suppose que z est une puissance n-ième de l'unité, autrement dit qu'il existe n € H* tel que zn = 1. Ceci équivaut à (2 + i)n = (2 - i)n. Cette égalité est fausse pour n = 1 et l'on peut donc supposer que n ^ 2. On a (2 + i)n = ((2 - i) + 2i)n = E (f) <2 - <)"-* (2^)fe • -" Vfe. fc=0 V / L'égalité (2 + i)n = (2 — i)™ est alors équivalente à E 0) P - 0"-* (2*)* = 0, soit fe=1 x* n-1 ^ 1 /o '\n—k (c\ -\k (2i)n = E u <2 - *)""* ^ = (2-t)(a + i6), où a et 6 sont deux entiers. En passant au carré du module, on obtient 22n = 5(a2+b2), ce qui est impossible (puisque 5 ne divise pas 2). Il s'ensuit que z n'est une puissance n-ième de l'unité pour aucun n e IN*. Exercice 1.8 ([B52]) Si q ^ 1, on a £** = fe=0 1 - qn+1 1-9
j4. Solutions 15 et n n-1 1 — on fc=l fc=0 Donc, si e10 ^ 1 ou, ce qui revient au même, si 0 ^ 0 (mod 2?r), on a n n = = fc=l 1-e* * e^/2(e- eiB'\e -in6>/2 _ -Î0/2 _ • n<9 sm — 2 ei(n+l)9/2 sinf . ein0/2\ é6'2) Si 8 ^k 0 (mod 27r), on en déduit que et que cos 0 + cos 20 -f • sin# + sin2# + •■ / • • + cos n0 — Re ( sin / ■ • -f- sin n0 — Im ( V sin 'Sin M 2 eî(n+l)^/2 'sinf f cos(n+21)f? • 6» sm- sin^f sinf n# (n+l)0 2 Sm 2 sinf Il s'ensuit, en utilisant l'égalité sin x cos y = — (sin(x + 2/) + sin(x — ?/)),
16 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes que (toujours pour 9 ^ 0 (mod 2tt)) — + cos 0 -f cos 29 H + cos nO . 0 2 sm- 2sin-f cosi!^+sin| 2sin| sin(f+ i^)+Sin(f-i^)+sin| 2sinf (2n + 1)6» sin 2 sin- On peut aussi noter que, si z ^ 1, 1+Z + Z2 ....._»_ l + ^-2^+1 2 2(1-0) On a donc, pour 6 ^ 0 (mod 27r), i+E e 2 Éî 2(!-^) 2(e-^/2 - e^2) 2cos|- -2[cos(n + ~ ) 0 + i sin (n + -~)6>] et -4i sin — (2n + l)(9 sin <!+£ fc=i 2sin"2" Enfin, si n ^ 1 et si e2ie ^ 1 ou, ce qui revient au même, si 0 ^ 0 (mod 7r),
(4. Solutions 17 on a n-l fc=0 n-l eie^(e2'e)fc fe=0 ie 1 - e2ine 6 1 - e2ie inO( —inO ie e Ke " e*e(e^ - sinné> me - eine) -eie) siïiO Par conséquent, si 0 ^ 0 (mod 7r), cos6> + cos3(9 + cos5<9 + • •. + cos(2n - 1)0 = Re(^f ein0) — sin n0 cos n0 sinO sin 2n0 2$m6 REMARQUE. Il faut, bien sûr, connaître la formule donnant la somme des premiers termes d'une suite géométrique (et faire attention au premier terme). Voir l'exercice XXIV.3 pour une application de la troisième égalité démon- trée dans le présent exercice. Exercice 1.9 ([B17]) a) On a (1 - *)(1 + * + ."+ S71"1) = l-2n. Puisque 1 n'est pas solution de l'équation 1 + z + • • • + zn~x = 0, les solutions de cette équation sont les nombres complexes Uk = e2llxk^n pour k G [1, n — 1]. Il s'ensuit que n-l l + Z + ---+Zn-1 = l[(z~LOk). (*) fe=l b) On a \-eix = eiœ/2(e-W2 _ ete/2) = ^2ieix/2 sin(a;/2) et, de même, 1 + elx = eix/2{e-lx'2 + éxl2) = 2e"/2 cos(a;/2). c) D'après la question précédente (en prenant x = 2kn/n), on a 1 - w* = 1 - e2**"/" = -2ieik7r/n sm{kTr/n).
18 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes La factorisation (*■) donne alors, pour z = 1, n=ll[-2ieik^nsm(^)]. En passant au module, on obtient n—1 n—1 n = 2«-in|Bin(^)|=2-insin(¥)- fe=l fc=l Toujours d'après la question précédente, on a 1 + o;fc =■ 1 + e2i/c7r/n = 2eikn/n cœ(ikn/n) et, en prenant z = —1 dans (*), on obtient -. / -t \n n—-1 k=l En passant au module, on a alors n-l 1 _ ( — ~\ \n n—i LzvL=2"-inicos(^)i fc=l d) D'après la première question (en prenant z = e2lx)y on a n—1 n—1 2nxi - l — TT(e2xi — e2ife7r/n\ _ TT/2a;i _ e-2ikTc/n\ k=0 k=0 car u;^1 = u;ffe = u™_fc. Or, n—1 n—1 7 ■_ , A(x-\-k-K / n) „—i(x-\~k7r/n) kn }■ _ Yl g ' ' — e v ^ ; y 2i k=0 k=0 n-l I TT — i(x—kir/n)( 2ix _ —2ik7r/n\ (2*r M ( } -i(nx—7r.{n-l)/2) (2i)n JJ (e2« _ e-2ifar/»)> k=0
: î. Solutions 19 d'où n-l T-T / kir \ p-inx iir(n-l)/2 Wm{x+¥) (V <e (pijr/2^n-l 2inx (2t) Remarque. En remplaçant x par x + tt/2, on obtient n-l sinnx = (—l)n/ 2n_1 TT cos(x H—-^) si n est pair, fe=0 n-l (n-l)/29n-l TT^C^J_ J^_ cosnx = fc=0 Exercice 1.10 ([A21, B4]) a) On a 1^1 + 22|2 + \Z2 + 23|2 + N +^l|2 ^(n-i)/2 2n-i J| œs^ + ^ZL) si n est impair. : (21 + z2)(z1 + 22) 4- (z2 4- 23X22 + 2:3) + (23 4- 21X23 + z3) --2\Zl\2 + 2\z2\2 + 2\z3\2 4- 2:1^2" + z2~z~i + Z2Z3" + 23Z2" 4- zzz~i + 23.23" : ki|2'+ N|2 + k3|2 + {zi + z2 + 23) (zT + ^ + zs") : kl|2 + \z2f + |23|2 -f |2i + 22 + 23|2 . b) On a \Z\ + 22| X \Z2 + 23| = |22(2l + 22 4" 23) + 2i23| et, en utilisant l'inégalité triangulaire, on obtient \Z\ + 22| X \Z2 + 23| < |22| X |zi 4" 22 4" 231 + \z1Z3\ . De même, \Z2 + 23| X \Z3 + 2i| ^ \z3\ X \zi +22 +23| 4- |222i| , \Z3 +2i| X \zi +Z2\ ^ \zi\ X \zi +22 +23| + |2322| . En multipliant ces trois inégalités par 2 et en les additionnant membre à membre avec l'égalité trouvée à la question précédente, on obtient Oi 4-22| 4- \z2 4-23J + |23 4-2i|)2 ^ (|2l| + \z2\ + |23| 4- \zi + 22 + 23|)2 . Les quantités dans les parenthèses étant positives, on en déduit que \z\ +22| + \Z2 +23| + \z3, + Zi\ ^ \zi\ 4" \Z2\ 4- |23| 4" \zi +22 + 23 | .
20 I. Révisions et compléments d'algèbre - Nombres complexes c) On prouve d'abord que l'inégalité de Hanner implique celle de Hlawka. On a |N + \z2\ + M| +1- kl + N + N| + |ki| - 1*21 + \z3\\ + ||*i| + \z2\ - \z3\\ > kil + k2| + ksi — Nil + k2| + ksi + \zi\ - \z2\ + \z3\ + ki| + \z2\ - \z3\ ^2{\Zl\ + \z2\ + \z3\) Il suffit alors de prendre w = -zi +z2 + 23, X = 2i -22 + 23, y = zt+z2- z3 pour obtenir |w + x + 2/| + H + |x| + \y\ > \w + x| + |x + y\ + |y + w\ , ce qui est l'inégalité de Hlawka. Pour prouver l'implication réciproque, on note d'abord, en utilisant l'inégalité triangulaire, que \Z\ + 22 + Z3\ + \-Z1 +Z2+ Z3\ + kl - Z2 + 231 + ki + Z2 - Z3\ > IOl + Z2 + 23) + (21 - 22 - 23)| + |(2i - Z2 + 23) + (2i + 22 - 23)| , soit kl + 22 + 231 + |-2i + 22 + 231 + |2l - Z2 + 23 | + |2i + 22 - 23 | >4|2l|. (*) Par ailleurs, en prenant n, v et w définis comme précédemment et en appliquant l'inégalité de Hlawka, on obtient kl + 22 + 231 + |-2i + 22 + 231 + |2i - 22 + 23 | + |2i + 22 - 231 = \w + x + y\ + \w\ + |x| + |y| ^ \w + x| + |x + 2/| + |y + H = 2(|2i| + |22| + |23|). (**) Les inégalités de Hanner et de Hlawka étant symétriques en 21, 22 et 23, 'on peut supposer, sans perte de généralité, que ki| ^ |22| ^ I23I. On a
§4. Solutions 21 alors |M + N + N|+|-M + M + N| + \\zi\ ~ \z2\ + \z3\\ + \\Zl\ + \z2\ - \z3\\ = (N + M + M) + |-M + N + M| + (ki|-N + M) + (M + M-N) = 3|zi| + \z2\ + ks| + |- \zi\ + |z2| + N|- On considère deux cas. - Si \zi\ ^ |z2| + 1-^3|i alors 3|^i| + N + \z3\ + |- N + \z2\ + |z3|| = 3 |*i| + M + N + |zi| - H - ks| = 4 |zi| ce qui, combiné avec l'inégalité (*), donne l'inégalité de Hanner. - Si \z\\ < \z2\ + \zz\, alors 3|*l| + |;Z2| + |*3| + |-|2l| + N + |z3|| = 3 ki| + 1*21 + ksi ~ \zi\ + \z2\ + |z3| = 2(k1| + k2| + |z3|) ce qui, combiné avec l'inégalité (**), donne à nouveau l'inégalité de Hanner.
Chapitre II Géométrie euclidienne du plan Plan euclidien orienté a) Repère du plan, coordonnées cartésiennes, colinéarité. Famille libre, liée. Base du plan. Coordonnées d'un vecteur dans une base. Coordonnées cartésiennes d'un point, équation cartésienne d'un ensemble de points. Paramétrage. b) Orientation, notion d'angle : angle orienté de deux vecteurs du plan. Propriétés opératoires usuelles. Base et repère (orthonormés) directs. Formules de changement de repère (et plus particulièrement pour des repères orthonormés directs). Coordonnées polaires d'un point, équation polaire. Affixe d'un point ou d'un vecteur. c) Barycentre : définition et caractérisât ion du bary centre. Théorème d'associât ivité du barycentre. Produit scalaire et déterminant a) Produit scalaire de deux vecteurs du plan : définition géométrique du produit scalaire. Propriétés : forme bilinéaire, symétrique, définie, positive. Expression analytique dans une base orthonormée. b) Déterminant de deux vecteurs du plan. i) Définition géométrique (comme l'exige le programme det (lt ^) = Ultll \\lï\\ sin (^, 1^) si ¥ et ¥ sont non nuls et 0 sinon). Propriétés usuelles (forme bilinéaire, antisymétrique, alternée). Expression analytique dans
24 IL Géométrie euclidienne du plan une base orthonormée directe. Caractérisation de la colinéarité, des bases directes. Aire d'un triangle. ii) Déterminant relativement à une base B donnée (quelconque) (noté det^), formules de changement de base pour les déterminants. Utilisation pour la colinéarité de deux vecteurs. Droites et cercles a) Droites du plan : équation cartésienne, vecteur directeur et vecteur normal. Distance d'un point à une droite. Paramétrage, équation polaire et complexe. b) Cercles dans le plan : équation cartésienne (cercle défini par centre et rayon ou par diamètre), équation d'une tangente à un cercle. Paramétrage, équation polaire et complexe. c) Intersections de droites et cercles. d) Lieux géométriques classiques : É • lï = fc, det(l£, AÊ) = fc, MA. = k, (MÏ, WÈ) = 0 (mod tt). MB Utilisation des nombres complexes en géométrie Interprétation géométrique des transformations z h» ~z, z i-> az, z i-> az-\-b. 1. Les savoir-faire de base à maîtriser a) Changement de repères. Par exemple, dans le plan muni d'un repère orthonormé 1Z — (O; % , j ) (on notera B la base ( % , j )), on considère le point 17(1,1)^ et les deux vecteurs non colinéaires u (1,2)B et v (—1,1)B. Déterminer les coordonnées (x;, yf) du point M (5, —2)n dans le repère K' = (17; 1?,^). b) Donner une équation cartésienne d'une droite passant par deux points (en utilisant le déterminant) ou d'une droite définie par un point et un vecteur directeur (en utilisant le déterminant) ou d'une droite définie par un point et un vecteur normal en utilisant le produit scalaire. c) Calcul de l'aire d'un triangle via le déterminant.
j2. Questions de cours 25 d) Distance d'un point à une droite donnée par deux points (via le déterminant), distance d'un point à une droite dont une équation cartésienne est donnée. e) Équation de la tangente à un cercle en un point donné du cercle. 2. Questions de cours a) Formules de changement de repères orthonormés directs de (O; i , j) à (O; ne, v e) ou ~uo = cos0 l + sm$ J • b) Existence et unicité du barycentre d'un système de n points pondérés (Ai; ai),..., (An; an), où la somme s = ai -\- • - - + an n'est pas nulle. c) Expression de \\u + v || . Inégalité triangulaire et cas d'égalité. d) Lieu des points M tels que det(.AM, u) = k. e) Lieu des points M tels que MA = fcM5 où k > 0. 3. Exercices Remarque. Aucun des triangles considérés dans les exercices suivants n'est dégénéré. Exercice II. 1 On rapporte le plan euclidien à un repère orthonormé direct et l'on exprime les coordonnées des points de ce plan à l'aide des nombres complexes. a) Démontrer que l'équation d'une droite dans ce plan est de la forme ~ôl~z H- olz + (3 = 0, oùtt€C*Jelet^C. b) Soit di et d^ deux droites d'équations respectives 7xï~ZJr oliZ + Pi = 0 et â^z + a2z + /52 = 0. Démontrer que les droites di et d2 sont i) parallèles si et seulement si —— = —— ; ii) perpendiculaires si et seulement si — h —— = 0. Exercice IL2 Soit ABC un triangle. On construit sur chaque côté, extérieurement, un triangle équilatéraL Montrer que les centres de chacun de
26 IL Géométrie euclidienne du plan Figure II.l ces trois triangles équilatéraux sont les sommets d'un triangle équilatéral (théorème de Napoléon1). Exercice II.3 Soit ABC un triangle. a) Démontrer que son orthocentre Hy son centre de gravité G et le centre de son cercle circonscrit O sont alignés. Préciser la position relative de ces trois points. b) Soit A', B' et C les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB\. Prouver que le cercle circonscrit au triangle A!B'C passe par les pieds des hauteurs du triangle ABC et que son centre est le milieu de [HO]. c) Soit Ia7 Ih et I.c les centres des cercles exinscrits2 au triangle ABC et I le centre de son cercle inscrit. On appelle Oe le centre du cercle circonscrit au triangle Ialblc et S le centre du cercle inscrit dans le triangle A'B'C. Montrer que O est le milieu de [IOe]. En déduire que le point S est le milieu de [HOe]. Exerciee II.4 Les pieds des perpendiculaires aux trois côtés du triangle ABC passant par le point P sont alignés si et seulement si P se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC (voir la figure II.l). 1. N. Bonaparte (1769 - 1821). 2. Un cercle exinscrit au triangle ABC est tangent aux trois côtés de ce triangle et se trouve à l'extérieur de celui-ci. Son centre est l'intersection de deux bissectrices extérieures et d'une bissectrice intérieure du triangle ABC.
•3. Exercices 27 Exercice II.5 a) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; I, J). Soit X, Y et Z trois points. On pose det{X, Y} = det(Ô^, Ô?). Montrer que X, Y et Z sont alignés si et seulement si det{X, Y} + det{Y, Z} + det{Z, X} = 0. b) En déduire que l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit d'un triangle sont alignés. c) Soit ABCD un quadrilatère. On appelle E le point d'intersection de (AB) et (CD), F le point d'intersection de (BC) et (AD), L le milieu de [EF] et M et N les milieux des diagonales de ABCD. Démontrer que les points L, M et N sont alignés. Exercice II.6 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. a) Soit A, B, C et D quatre points sur le cercle unité. On note a, b, c et d leurs .affixes respectives. Établir que le point d'intersection E des droites (AB) et (CD) a pour affixe (ô + b) - (c + 2) ab — cd b) Soit Z et Z' deux points du cercle unité. On note ( et (f leurs affixes respectives. Montrer que le point d'intersection X des tangentes au cercle unité en Z et Zf a pour affixe e = ^- c + e c) Prouver que les milieux des diagonales d'un quadrilatère circonscrit à un cercle sont alignés avec le centre de ce cercle (théorème de Newton). Exercice II. 7 a) Soit ABCD un quadrilatère cyclique (un quadrilatère inscrit dans un cercle) et convexe d'aire srf. On note AB = a, BC = b, CD = c, DA = d et s le demi-périmètre de ABCD. Montrer que si2 = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d). b) Soit ABC un triangle d'aire si. On note AB = c, BC = a, CA = 6 et s le demi-périmètre de ABC. Montrer que si2 = s (s - a) (s - b)(s - c). Exercice II.8 On rappelle que si a ^ 0 et b ^ 0, alors —-— ^ y ab. Soit ABC un triangle et M un point à l'intérieur de ce triangle, (AM) coupe (BC) en D, (BM) coupe (CA) en B, (CM) coupe (AB) en F. Prouver que la somme des rapports , , est supérieure à 6 M D ME Mr et que leur produit est supérieur à 8.
28 IL Géométrie euclidienne du plan Figure II.2 Exercice II.9 a) Soit r un cercle et M un point. Soit Q) une droite passant par M et coupant F en A et B (si M se trouve sur i-1, A ou B est confondu avec M). Montrer que le réel Ml • M^ ne dépend pas du choix de la droite Q). Ce nombre s'appelle la puissance du point M par rapport au cercle r. b) Soit r et r' deux cercles non concentriques. Démontrer que l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles est une droite perpendiculaire à celle passant par les centres de F et r' (appelé Vaxe radical des deux cercles). Préciser cette droite si les deux cercles sont sécants ou tangents. c) Soit r, r7 et F" trois cercles de centres distincts. Prouver que les trois axes radicaux sont concourants ou parallèles (s'ils concourent, leur point d'intersection s'appelle le centre radical des trois cercles). d) On considère trois cercles deux à deux sécants en des points deux à deux distincts. Avec les notations de la figure IL2, établir l'égalité
§4. Indications 29 & X d X / " (théorème de Haruki3). Exercice 11.10 a) Soit ABC un triangle. Montrer qu'il existe un unique point X du plan tel que AX + BX + CX soit minimal b) Si les mesures des trois angles du triangle ABC sont inférieures à 27r/3, alors ce point se trouve à l'intersection des droites (AA!)^ (BBf) et (CC), où A', B' et C" sont tels que les triangles ABC7, BCAf et CABf soient équilatéraux et se trouvent à l'extérieur de ABC. c) On pose a = BC, b = (7^4, c = Ai? et l'on note srf l'aire du triangle ABC. Établir Y inégalité de Weitzenbôck^ : a2 + 62 + c2 > 4^W. 4. Indications Exercice II. 1 a) Une droite du plan admet une équation cartésienne de la forme Ax + By + C = 0, où (A, J5, C) G H3 et (A, B) ^ (0, 0). Posez z = x -\- iy et exprimez x et y en fonction de z. b) Exprimez les coefficients directeurs des deux droites en fonction de ai et OL2- Exercice II.2 Vous pouvez considérer les cercles circonscrits aux triangles BCA' et CAB' (voir la figure IL3). Ils se coupent en C et en un point O. Montrez que O se trouve sur le cercle circonscrit à ABC1 (quelles sont les mesures des angles COA, BOC et AOB1). Déduisez-en que (XZ) est la médiatrice de [OB] et (YZ) celle de [OA], puis que XZY = tt/3. Exercice II.3 a) On peut supposer que le triangle ABC n'est pas équi™ latéral. Soit A! le milieu de \BC\ B' le milieu de [AC] et C le milieu de [AB]. Quel est l'orthocentre de A'B'C'l Appliquez l'homothétie de centre G et de rapport —2. b) Soit K, L et M les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH]. Prouvez que les six points A1', B\ C7, K, L et M sont cocycliques (considérez les quadrilatères A'CfKM et A''B''KL). Quels sont les orthocentres de A'B'C etdeKLM? c) Les bissectrices intérieure et extérieure en un sommet sont perpendiculaires. Déduisez-en les hauteurs et l'orthocentre du triangle IaIi)ICJ puis appliquez la question précédente pour montrer que O est le milieu de [/Oe]. Considérez alors le triangle HIOe et utilisez l'homothétie de centre G et de rapport —1/2. 3. H. Haruki ( ? - 1997) 4. R. Weitzenbôck (1885 - 1955).
30 IL Géométrie euclidienne du plan \ / a Figure II.3 Exercice II.4 Faites une figure et repérez des angles de même mesure ou des angles supplémentaires en utilisant la CNS de cocyclicité de quatre points. Exercice II.5 b) Posez C — (0,0), B = (a,0) et A = (frcos^, 6cos(£>). Quelles sont les coordonnées de l'orthocentre, du centre de gravité et du centre du cercle circonscrit du triangle ABC ? c) Utilisez la bilinéarité du déterminant. Exercice II.6 a) La droite (AB) a pour équation z + abz = a -\-b. b) Utilisez la première question. c) On peut supposer que le cercle inscrit dans le quadrilatère est le cercle unité. Notez z\, z^ z$ et z^ les affixes des points où le cercle unité est tangent au quadrilatère. Appliquez la deuxième question pour obtenir les affixes des sommets du quadrilatère. Exercice II.7 a) Appliquez le théorème d'al-Kashi à deux angles opposés du quadrilatère (que vaut leur somme 7) et exprimez son aire en fonction du sinus de ces mêmes angles. b) Comment utiliser le résultat de la question précédente ? Exercice II.8 Sur la figure H.4, les lettres p, q et r désignent les aires respectives des triangles BCM, ABM et CAM. Justifiez que AM = q + r MD P
>4. Indications 31 B C Figure II.4 Par ailleurs, montrez que si u et v sont des réels strictement positifs, alors -—--4- ■ jj- ^ 2 (utilisez la remarque se trouvant au début de l'énoncé). Exercice II.9 a) Introduisez le point A' diamétralement opposé à A. b) Introduisez le milieu de [0O/] et le projeté orthogonal de M sur {OOr). c) Distinguez deux cas, selon que les centres de F, Ff et F" sont alignés ou non. d) Utilisez les deux questions précédentes et considérez des triangles semblables. Exercice 11.10 a) Montrez qu'un tel point X, s'il existe, se trouve à l'intérieur ou sur la frontière du triangle ABC en utilisant une symétrie axiale. Supposez que A $J B ^ C et notez (p la rotation de centre A et d'angle tt/3, (p(C) = O* et <p(M) = M*, où M est un point à l'intérieur ou sur la frontière de ABC. Justifiez que la longueur de la ligne polygonale BMM*C* est supérieure à BC* en distinguant trois cas, suivant que C < 2ir/3-, C = 2tt/3 ou C > 2tt/3. b) Considérez les rotations de centres B et C et d'angle tt/3. c) Si l'on multiplie cette inégalité par \/3/4, on obtient si A' + ^b> + sfc ^ 3«é/, où ^^4/, «e^/ et j^c" sont les aires respectives des triangles ABC', J50A; et CAB'. Faites apparaître dans chacun de ces triangles trois fois Faire respectivement des triangles ABX, BCX et CAX (le recouvrement n'est pas total) en distinguant deux cas (selon que le triangle ABC a ou n'a pas un angle supérieur à 2tt/3).
32 IL Géométrie euclidienne du plan 5. Solutions Exercice II. 1 ([B4]) a) Une équation (cartésienne) d'une droite dans le plan est de la forme Ax + By + C = 0, où (A, B, C) e H3 et A2+B2 ^ 0. En posant z = x+iy, on a x = Z "t * et ?/= ——— et l'équation de la droite devient A z + z , b1^l_ +(7 = 0 2 2z ou, de façon équivalente, A — iB — On pose a = et /3 = C. On note que si a = a, alors 5 = 0 et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées. Si a j^ a, alors la pente de la droite est égale à A a + â . p= - — = =r ^. B a — a b) Le coefficient directeur de d\ est égal à — i et celui de g?2 est égal v a2 + ai" . a 3H z. o;2 — oi2 i) Les droites d\ et c^ sont parallèles si et seulement si OL\ + Ôï" . C^2 + C^2~ . __ ï = ___ % ai — ol\ 0L2 — ot2 . ... i , v âl Ô2~ ce qui est équivalent a aia2 = «2^1, ou encore — = ai 0L2 ii) Les droites d\ et d^ sont perpendiculaires si et seulement si ai + cF[ . a2 + ô~2 . ., __ % x z=r % = —1 ai — ai a2 — a2 aï" Ô2" ce qui est équivalent à aia2 + a2ai = 0, ou encore 1 = 0. ai a2 Exercice II.2 ([B13, B27]) Sur la figure II.5, le point A' est tel que BCAf soit équilatéral. Les points B' et C sont définis de la même façon. Les cercles circonscrits aux triangles BCA' et CAB' se coupent en C et en O. Les points A, O, C et B' étant cocycliques et l'angle AB'C mesurant -^-? il s'ensuit que AOC = -^L. De même, COB = -^ et l'on en déduit que BOA = ^r1 • Puisque 'BCTA = 4r, on conclut que 5, O, A et C' sont o o
;5. Solutions 33 a Figure II.5 cocycliques. Soit X le centre du cercle circonscrit à BCA'^ Y celui du cercle circonscrit à ACB' et Z celui du cercle circonscrit à ABC. Les points X et Z étant à égale distance de O et 5, (XZ) est la médiatrice de [BO] et (XZ) est donc perpendiculaire à (BO). De même, {YZ) est perpendiculaire à (AO). La somme des angles d'un quadrilatère étant égale à 2?r, on conclut que YZX — -—-. De même, ZXY — 4t~ et le triangle XYZ est équilatéral. o o On donne maintenant une démonstration utilisant les nombres complexes. On munit le plan d'un repère orthonormé (O; i , j ) et l'on reprend les notations précédentes en supposant que ABC est un triangle direct (l'angle (iÊ,iê) est orienté comme l'angle ( % , j )). Soit a, b et c les affixes respectives des points A, B et C, a', b' et c' celles des points A', B' et C", x, y et z celles des points X, Y et Z. On a alors a' -c = ein/3(b-c) et a' - x = e2î7r/3 (6 - x), d'où x - c = eî7r/3(6 - c) - e2i7r/3(6 - x), soit x(l - e2™'5) = b(em/3 - e2i7r/3) + c(l - ei7r/3) qui, après simplification par 1 — eî7r//3, donne x(l + ei7r/3) = &ei7r/3 + c.
34 II. Géométrie euclidienne du plan Figure II.6 On obtient donc où uj — eZ7r/3 et, de même, cuj + a buo 4- c 1+CJ y = et z = auo + b - uj On note que w2 — uj uj{y - x) - {z -x) = 1-\-uj 1 = 0. Il s'ensuit que (cuj + a — buo — c) —- 1 T ^ (uj2c — ujc H- c — uj2b — b + .a;fe) 1+a; 1 (aa; + b — 6a; 0 1 + cj et le triangle XYZ est équilatéral. Remarque. Le point O sur la figure IL5 est le premier centre isogonique du triangle ABC (voir la solution de l'exercice 11.10). Voir les exercices VIII. 1 et XXVIII. 11 pour deux autres démonstrations. Ce résultat apparaît pour la première fois dans un almanach, le Ladies' Diary, en 1825. L'attribution à Napoléon Bonaparte (mort en 1821) semble bien plus récente, elle ne remonterait qu'au début du XXe siècle et a de grandes chances d'être erronée. Exercice II.3 ([B18, B27, B36]) a) Si le triangle ABC est équilatéral, les points O, G et H sont confondus. On suppose dans ce qui suit que ABC n'est pas équilatéral. On donne plusieurs démonstrations de la proposition. i) On appelle Ha le point d'intersection de la hauteur issue de A avec la droite (GO) et A! le pied de la médiane issue de A. Les
1-5. Solutions 35 droites {AH.a) et (A'O) sont parallèles (car toutes les deux perpendiculaires à (BC), voir la figure II.-6). D' après le théorème de Thaïes, on a GHA = _GA_ =2 GO G A' (car G se trouve aux deux tiers de [AAf] en partant de A). La CH a relation = 2 ne détermine pas le point Ha ; il existe deux GrCJ points H sur la droite (OG) vérifiant cette relation. Le point Ha est complètement déterminé lorsque l'on remarque que le point G se trouve entre la hauteur issue de A et la médiatrice de [BC] (car A se trouve sur cette hauteur et le milieu de [BC] sur cette médiatrice) et donc entre les points O et Ha • Si l'on appelle Hb et Hc les points d'intersection respectifs des hauteurs issues de B et C avec (GO), on a de même GHb __ GHç __ GO GO ~~ ' De plus, la même remarque que précédemment assure que ces égalités déterminent de façon unique les points Hb et Hc sur la droite (GO). Ceci montre5 que les points Ha? Hb et Hc sont confondus, autrement dit que les hauteurs sont concourantes en un point H. De plus, H, G et O sont alignés et = 2. Le centre de gravité G GO se trouve aux deux tiers de [HO] en partant de H. ii) On appelle B' le milieu de [AC] et G' le milieu de [AB]. D'après la propriété de la droite des milieux, (BfC) et (BC) sont parallèles. La médiatrice (OAf) de [BC] est donc aussi la hauteur issue de A' dans le triangle A'B'C. De même, (OB') et (OC) sont les deux autres hauteurs de A'B'C et l'on en déduit que O est Forthocentre de ce triangle. Les images par l'homothétie de centre G et de rapport —2 des points A!, B' et C sont respectivement A, B et G et cette homothétie envoie Forthocentre O de AfBfC sur l'orthocentre H de ABC. Il s'ensuit que H, G et O sont alignés et que G se trouve aux deux tiers de [HO] en partant de H. iii) On rapporte le plan à un repère orthonormé direct d'origine O et l'on utilise les nombres complexes pour représenter les coordonnées 5. On peut éviter les contorsions sur la position de G en utilisant des mesures algébriques au lieu de longueurs. D'après le théorème de Thaïes, on a GHA GA GO GA' et cette relation détermine un unique point Ha sur la droite (GO).
36 IL Géométrie euclidienne du plan des points du plan. On note a, b et c les affixes respectives des points A, B et C. Les points O et G ont pour affixes respectives 0 et . On appelle E le point d'affixe a + b + c = S. On a o b + c -^-=-^ et -^-±-^ est l'affixe du milieu A' de [J5C]. Mais, 2 est aussi l'affixe du vecteur OA! et S ~ a est l'affixe du 2 _> vecteur AS1. Ainsi la droite (SA) est parallèle à la droite (A'O). On en déduit que (SA) est la hauteur issue de A dans ABC. Par symétrie, U se trouve sur les trois hauteurs, c'est l'orthocentre de ABC et son affixe est a -f b + c. Il s'ensuit que O, G et if sont alignés et que (puisque a + b + c est l'affixe de OÉ o et a + b + c est l'affixe de Ô#). iv) On pose ï? = (JE - 3ÔÔ. On a T? = ÔC^ + CE - (OÏ + ÔÈ + Ôè) = CÊ-(jôX + ÔÈ) f ■ JE = CÊ ■ JE - (Ôl + ÔÈ) ■ JE = (ÔÎ + ÔÈ) -{ÔÏ-ÔÈ) et = ||o^||2-||ô5||2 = o. De même, f ■ Je = o. Si V 7^ 0 , ceci signifie que V est un vecteur normal aux droites (AB) et (AC), ce qui n'est possible que si (AB) et (AC) sont parallèles, autrement dit si i, 5 et C sont alignés. Le triangle ABC n'étant pas dégénéré, on en conclut que V — 0, autrement dit ÔÈ = 3ÔG. Remarque. Voir l'exercice IL5 pour une démonstration utilisant des coordonnées. La droite passant par H, G et O s'appelle la droite d'Euler du triangle ABC (elle n'est définie que si ce triangle n'est pas équilaté- ral). L. Euler (1707 - 1783) a publié ce résultat en 1767 (Novi Com- mentarii academiae scientiarum Petropolitanae 11, 1767, p. 103-123). On peut consulter cet article sur le site internet des Archives Euler (http://eulerarchive.maa.org/). Il s'agit de l'archive E325. On trouvera la démonstration d'Euler remise dans une notation moderne dans [B20].
§5. Solutions 37 P ----^A' Figure II.7 b) Soit K, L et M les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH]. D'après la propriété de la droite des milieux (appliquée dans les triangles ABC et AHC), (A'C) et (KM) sont parallèles à (AC) (voir la figure II.7). De même (en utilisant les triangles BAH et BCH), (C K) et (A'M) sont parallèles à (BH). Les supports des côtés opposés du quadrilatère A'C KM sont deux à deux parallèles et A'C KM est donc un parallélogramme. De plus, (BH) et (AC) étant perpendiculaires, (C K) et (KM) sont aussi perpendiculaires et A'C KM est un rectangle. De même, A'B'KL est un rectangle et ces deux rectangles ont [AfK] pour diagonale commune. Il s'ensuit que A1', B', C', K, L et M sont cocy- cliques et que [A'K] est un diamètre du cercle (de même que [BfL] et [CM]). Soit N le centre de ce cercle. La symétrie de centre TV" envoie le triangle A'B'C sur le triangle KLM. L'orthocentre de A'B'C étant O (les médiatrices de ABC sont les hauteurs de A'B'C) et celui de KLM étant H (KLM et ABC ont les mêmes hauteurs), on en déduit que N est le milieu de [HO]. On appelle P, Q et R les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets A, B et C dans ABC (voir la figure IL7). Le triangle PA'K est rectangle en P donc P se trouve sur le cercle de diamètre [A'K]. De même, Q se trouve sur le cercle de diamètre [B'L] et R se trouve sur le cercle de diamètre [CM]. Enfin, on a montré précédemment que [.A'jftT], [B'L] et [CM] sont des diamètres d'un même cercle. Le cercle passant par les points A', B', C, P, Q, R, K, L et M s'appelle le cercle des neuf points du triangle ABC. REMARQUE. Bien que le cercle des neuf points soit souvent nommé cercle d'Euler, ce sont J.-V. Poncelet (1788 - 1867) et C. J. Brian- chon (1783 - 1864) qui ont montré en 1821 la cocyclicité de ces neuf
38 IL Géométrie euclidienne du plan h la Figure IL8 points (voir [A9], théorème IX). Cependant, ils ne précisent pas le rayon du cercle des neuf points. Ils prouvent aussi que les centres de toutes les hyperboles équilatères passant par A, B et C se trouvent sur le cercle des neuf points du triangle ABC ([A9], théorème VII). En 1822, K. W. Feuerbach (1800 - 1834) publie en allemand un article où il montre que les pieds de médianes et ceux des hauteurs sont cocycliques (ils ne considèrent pas les points K, L et M de la figure IL7). Il précise aussi le rayon du cercle et la position de son centre. Il démontre de plus que le cercle des neuf points est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits au triangle ABC (pour cette raison, le cercle des neuf points est parfois aussi appelé cercle de Feuerbach). Voir [A28] pour une étude détaillée de l'histoire du cercle des neuf points. e) Les bissectrices intérieure et extérieure en A sont en fait les deux bissectrices de l'angle formé par les droites (AB) et (AC). Sur la figure II.8, on a 2x + 2y =■ 7r, d'où x + y- = tt/2 et les bissectrices intérieure et extérieure sont perpendiculaires. On en déduit que (AIa), (BIb) et (CJC)
§5. Solutions 39 Figure II.9 sont les hauteurs du triangle IaIi)Ic. Ces droites étant les bissectrices intérieures du triangle ABC', I est donc l'orthocentre de IaIbIc. D'après la question précédente, le cercle des neuf points de Iahlc es"t le cercle circonscrit à ABC1 dont le centre est O. Par conséquent, O est le milieu de [IOe]. Ainsi, (HO) est une médiane du triangle HIOe. D'après le résultat de la première question, G est le centre de gravité de ce triangle. L'homo- thétie de centre G et de rapport —1/2 envoie H sur O et I sur le milieu de [HOe]. On a vu à la première question que cette homothétie envoie le triangle ABC sur le triangle A'B'C'. Elle envoie donc aussi le centre du cercle inscrit dans ABC sur le centre du cercle inscrit dans A'BfCr. Il s'ensuit que S est le milieu de [HOe]. Remarque. Le point S est appelé point de Spieker6 du triangle ABC. Exercice II.4 ([B36]) Soit P un point sur le cercle circonscrit au triangle ABCr 1/, M et N ses projetés orthogonaux respectifs sur les droites (BC), (CA) et (AB). Sur la figure IL9, on note x la mesure de l'angle AMN', y celle de CML et z celle de NPC. Le but est de montrer que x = y. Le quadrilatère APMN est cyclique (autrement dit il est inscrit dans un cercle) et AMN = APN. De même, PMCL est cyclique et CML = CPL. 6. T. Spieker (1824 - 1913).
40 IL Géométrie euclidienne du plan Figure 11.10 Bien sûr, ABCP est cyclique et les angles en B et en P sont supplémentaires : B + X + Z = 7T. Enfin, BLPN est cyclique (les angles en L et iV sont droits) et l'on a donc d'où B + y + z x = y et les points L, M et TV sont alignés. La réciproque se démontre en inversant le raisonnement précédent. Remarque. Ce résultat a été prouvé par W. Wallace (1768 - 1843) en 1797. La droite passant par les pieds des trois perpendiculaires s'appelle la droite de Simson (ou droite de Wallace) de P par rapport à ABC', bien que l'on n'en trouve pas trace dans les travaux de R. Simson (1687 - 1768). Exercice II.5 ([B55]) a) L'aire algébrique s^oxy du triangle OXY (son signe dépend de l'orientation des angles) est égale à — det{X, Y}. Ainsi, det{X, Y} + det{y, Z} + det{Z, X} = ±2^XYZ. Les points X, Y et Z sont alignés si et seulement si le triangle XYZ est dégénéré, autrement dit si et seulement si son aire est nulle. b) Soit ABC un triangle qui n'est pas équilatéral, O le centre de son cercle circonscrit, G son centre de gravité et H son orthocentre (si ABC est équilatéral, les points G, O et H sont confondus). On munit le plan d'un repère orthonormé d'origine C et d'axe des abscisses (CB). Dans ce repère, on a (voir la figure 11.10) C = (0,0), B = (a, 0) et A = (bcos(p,bsmcp). On en déduit que
j5. Solutions 41 / a -f b cos ip hsiïiip , G = (—3—'~3~^ La médiatrice de [BC] a pour équation x = a/2. Un point M = (x,y) de la médiatrice de [CA] vérifie B'M - Au = 0, où B1 est le milieu de [AC]. Cette médiatrice a donc pour équation / b cos cp x 7 . / 6 sin (p A 6cos(/?(x j +&sin^(î/ ô~' = °? ce qui est équivalent à x cos p> + y sin y? = —. On obtient ainsi , a b-acosip, °~^' 2sin<^ J' La hauteur issue de A a pour équation x = b cos cp. Un point M = (x,y) de la hauteur issue de S vérifie ËÉ • cl = 0. Cette hauteur a donc pour équation (x — a) cos <p + y sin (/? = 0. On en déduit que H = (b cos ip,(a — b cos <^?) cotan ^). On utilise maintenant la première question. On a sn n\ a + bcoscp b — acoscp bsiiap a det{G,U} = - x —- - x — S zsiïïip 6 2 - cos^_(&2_a2)! 6 sin ip i r^ m a / 7 \ t 6 — a COS (^ detiO, H \ ~ — (a — b cos en) cotant — bcosœ—-—: 2 2sm<^ _ co^.(a2_62)) 2sm<p , c TT ^ , 6sin(p , . x a + bcoscp det{ii,G} = b cos cp— (a — bcoscp) cotan (^ O ô -(62-a2). Ssincp Il s'ensuit que det{G, O} + det{0, H} + det{#, G} - 0 et les points H, G et O sont alignés. Remarque. Voir l'exercice II.3 pour d'autres démonstrations de cette propriété. La droite passant par H, G et O s'appelle la droite d^Euler du triangle ABC.
42 II. Géométrie euclidienne du plan c) On munit le plan d'un repère orthonormé (O; I, J). On appelle M et N les milieux respectifs de \AC] et [BD\. On a det{M, N} + det{N, L} + det{£, M} ,,<A + C B + D t , A ,( B + D E + F 1 , Anlrf E + F A±CX A + C où ——-— est le milieu de [AC). En utilisant la bilinéarité du déterminant, on obtient det{M, iV}+det{iVr, L} + det{L, M} = -|- (det{A, B} + det{A, L>} + det{C, 5} + det{C, £>} + det{B, E} + det{ J3, F} + det{£>, F} + det{D, F} + det{£, ^} + det{£, C} + det{F, A} + det{F, C}). On note que A, B et E sont alignés, d'où det{A, B} + det{J3, E} + detf F, A} = 0. De même, B, C et F sont alignés, A, J9 et F sont alignés, D, C et E sont alignés. Il s'ensuit que det{M, N} + det{7V, L} + det{L, M} = 0 et les points L, M et iV sont alignés. Remarque. La droite (MN) s'appelle la droite de Newton-Gauss7 du quadrilatère ABCD. Exercice II.6 ([B55]) a) Soit M = (x,y) un point de la droite (AB) (on suppose donc que A=fi B), A = (x^, 2/a)> ^ = (xb, 2/b)- On pose a = x^ + iyAi b ■= x^ -h iys et 2: = x + iy. 7. G. F. Gauss (1777 - 1855).
§5. Solutions 43 Le point M vérifie àeïÇÊ, ~È) = 0, soit 0 = x — y~ z - y- î 2% î 2% ii: zâ - xa xb-xa\ y a y.B-yA\ -a b — a y a yB - y a z — a z — ~z — a + û z — a b — a ~â — ~z a — b - a) (a — b) — 2Ï - ~za ~ zb + ~z Li <- L\ +iL b — a b — b — a + a Z/2 <— L2 — Li (a — z)(6 — a) & + a& — â& L2 <- 2il2 2i On multiplie cette dernière égalité par 2abi et Ton note que aâ = bb = 1 pour obtenir z(b - a) - zab(a - b) + (a - 6)(a + 6) = 0. Après division par &■— a (a 7^ 6, car A ^ J3), on obtient z + a&z = a + 6, (1) qui est donc une équation de la droite (AB). De même, la droite (CD) admet pour équation z + cdz = c-\- d. L'affixe e du point d'intersection des droites (AB) et (CD) vérifie abë — a — b — cdê — c — d, d'où (â + 6) - (c + d) e = = • âb — cd b) La tangente en A au cercle unité a pour équation cartésienne xxa + wa = 1, soit (z + z)(a + â)-(z- z) (a — a) = 4, ce qui est équivalent à zâ + ~za = 2, ou encore (après division par a = I/o) à z + a2 ~z = 2a. (2)
44 IL Géométrie euclidienne du plan On voit donc que le passage à la limite dans l'égalité (1) lorsque b tend vers a donne l'équation de la tangente en A au cercle unité. On peut donc aussi faire un passage à la limite dans la relation (2). Le point d'intersection des tangentes en Z et en Z' au cercle unité a pour amxe £__ 2C-2C7 _ 2 f-c2 c + c c) On peut supposer que le cercle inscrit dans le quadrilatère est le cercle unité (si ce n'est pas le cas, on peut s'y ramener par une translation et une homothétie qui sont des transformations conservant l'alignement). Soit zi, z2, zs et z^ les afflxes des points d'intersection du cercle unité avec le quadrilatère (de sorte que le quadrilatère correspondant aux afflxes z\, z2l z% et Z4 soit convexe). D'après la question précédente, les sommets du quadrilatère ont pour affixes (,12 — — , — 1 S>23 — z\ + z2 z2-t z3 t - 2 r - 2 (,34 — — , — ' (,41 Z3 + Z4 Z4 + Z\ et les milieux de ses diagonales ont pour affixes = &2 + Ç34 = 1 1 = ^1+^24-^3+^4 ^T + ^2 ^3+^4 (^3+^4)(^ï + ^2") et = C23 + Ç41 _ 1 , f = ^ï + ^2 +^3 +^4 2 ~^2+^3 ^4+^ï (^2+^3X^4+^1) 72-O Les points d'affixes 71, 72 et 0 sont alignés si — G H, autrement 7i - u dit si ^— = ^=-. On a (en utilisant l'égalité ~z~ï = \jz\ découlant de 7i 71 1) 72 _ (^3 + ^4X^1 +z2) 71 (Z2 +^3)(^4+^ï") (i + iwi + i V z3 ^ Z4 A z\ ^ z2 v z2 ^ z3 A Z4 ^ z\) _ (£3 + ^4)(^l +^2) _ J2_ {z2JrZ3){zA-\-z1) 7ï et il s'ensuit que les points d'affixes 71, 72 et 0 sont alignés. Remarque. Il s'agit d'un cas particulier d'un résultat plus général. Les centres des ellipses inscrites dans un quadrilatère sont alignés. On
j5. Solutions 45 peut considérer ici les diagonales du quadrilatère comme deux ellipses dégénérées. Exercice II.7 ([B18]) a) Le quadrilatère ABCD est cyclique. On a donc B + D = 7T (B et D sont les angles internes en 5 et D), d'où cosD = — cosB et sinJ9 = sinJ5. Le théorème d'al-Kashi (1390 - 1450) donne a2 + b2 - 2abcosB = AC2 = c2 + d2 -2cdcosZ), d'où _ 2(a6 + cd) cos S = a2 + h2 - c2 - d2. Par ailleurs, ^ = \ ab sin 5 -f | cd sin D = | (aè + cd) sin B et _ 2(a6 + cd) sin 1^=4^. En élevant au carré et en additionnant les deux expressions précédentes, on obtient 4 (ab + cd)2 = (a2 + b2 - c2 - d2)2 + 16^2, d'où 16j3f2 = (2ab + 2cd)2 - (a2 + b2 - c2 - d2)2 = (2a6 + 2cd - a2 - b2 + c2 + d2) x (2a6 + 2cd + a2 + b2 - c2 - d2) = [(c + d)2 - (a - b)2] [(a + 6)2 - (c - d)2] = (c + d - a + 6)(c + d + a - b)(a + 6 - c + d)(a + 6 + c - d) = (25 - 2a) (2s - 2b) (2s - 2c) (2s - 2d). On obtient ainsi la formule de Brahmagupta (VIIe siècle ap. J.-C), ^2 = (s - a)(s - 6)(s - c)(s - d). b) En prenant d = 0, les points C et D se trouvent confondus et l'on est ramené au cas du triangle. On obtient alors la formule de Héron d Alexandrie (Ier siècle ap. J.-C), se2 — s (s — a) (s — b)(s — c). Remarque. Voir les commentaires à la fin des exercices X.7 et X.8 pour des applications de la formule de Héron.
é6 IL Géométrie euclidienne du plan B D C Figure 11.11. Les aires q et x sont dans le même rapport que À et 1. Exercice II.8 ([Ail, B36j) On note d'abord que (v^ — Vb) ^ 0 pour tous a et b positifs, positifs, on a alors tous a et b positifs. Il s'ensuit que 0 ^ y/âb. Si u et v sont strictement M. _l IL v ^~ u > Jixl= 1, V v u ' d'où £ + £>2. On note p, g, r, x et y les aires respectives des triangles BCM, ABM, CAM, BMD et CMD et l'on pose A = 4rk (voir la figure 11.11). Les MD v y triangles ABM et BMD ont une hauteur commune (celle issue de B). Les aires g et x sont dans le même rapport que les longueurs AM et MD, donc dans le même rapport que À et 1. On en déduit que A = JL 1 x ' De même, en considérant les triangles CAM et CMD, on obtient On en déduit que q + r = À(x + y) = Xp et A P En posant u = -tttt et z/ = -rrrr , on a de même K ^ ME MF ' p+q x r+ M = -—p— et i/ = —--
§5. Solutions 47 On obtient alors AM , BM + CM MD ME MF ~ À + /i + ï/ g-fr p > 2 + 2 + 2: r + (r- = 6 + - + r +p _________ _) + + r _ et _4M „ BM „ CM X X fl X 1/ g + r p + q _________ x —— X 2\/qr 2y/pq _____—___ x -— ) r -fp ' _ 2\/pr < — MD M_5 MF > v x - v x v = 8. ^ p r q REMARQUE. On ne peut pas améliorer les deux inégalités démontrées précédemment. Il y a égalité précisément lorsque P est le centre de gravité du triangle ABC. On peut aussi montrer que AD_ x MM_ x çfl ^ 27 (1) MD ME MF ^ ' W MD ME , MF > _3_ /2x _4M BM CM ^ 2 ' l } AD BE CF > 9_ (^ AM BM CM " 2 ' { } L'inégalité (1) se déduit de l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique (p + ç + r)' ^ 27pqr (voir l'exercice XI.2). L'inégalité (2) est équivalente à P , r , g > _3_ g -h r P + g r + p connue sous le nom d'inégalité de Nesbitt (publiée par A. M. Nesbitt en 1903) et qui se démontre, par exemple, en posant p + g = a, g + r = 6, r + p == c. L'inégalité (3) est une conséquence immédiate de l'inégalité (2). Enfin, on note que si k_ M*, alors (voir l'exercice XI.2) Àfc + // -h ^ ^ (aVi/*)1/3 3 et, puisque À//z/ ^ 8, on en déduit que Àfc+^ + i/fc)Ex2fc.
48 IL Géométrie euclidienne du plan Exercice II.9 ([B36]) a) Soit O le centre de r et R son rayon. Soit A! le point diamétralement opposé à A sur F. On a M% • ~MÈ = Wl • {MA' H- A'B) = Ul • M4' = AÏÔ2 + ôloA' = MO2 - R2 et cette quantité ne dépend que du point M. On notera qu'elle est strictement positive si M se trouve à l'extérieur de J1, strictement négative si M se trouve à l'intérieur de r et nulle si M se trouve sur JT. b) Soit O et O' les centres respectifs de r et F', R et i?; leur rayon. Soit M un point dont les puissances par rapport à F et rr sont égales. On a donc OM2 - R2 = O'M2 - i?'2, soit i?2 - i?'2 = ÔÉ2 - ~ÔM2 = (ÔÉ - WM) ■ (ÔÉ + O'M) = ôo' -(ôâI + ô7^). Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite (OO7) et I le milieu de [OO'). On a alors R2 -R'2 = ÔOf • (Ôl + Ô7^) = OO' • (Ô^ + Ô7^) = 2ÔO' ■ JE. On en déduit que le point H est fixe lorsque M parcourt le lieu cherché. Ce lieu est donc une droite perpendiculaire à (OO'). On notera que si r et r' sont sécants, l'axe radical passe par leurs deux points d'intersection (la puissance de ces deux points par rapport à chacun des cercles est nulle). Si F et F' sont tangents, l'axe radical est la tangente commune en leur point d'intersection. c) D'après b), si les centres de r, r' et F" sont alignés, les trois axes radicaux sont parallèles (ils peuvent être confondus). Si les centres de J1, F' et F" ne sont pas alignés, alors le point d'intersection de deux de ces axes radicaux (ils sont bien sécants, puisque perpendiculaires à deux droites sécantes) a la même puissance par rapport aux trois cercles. Il se trouve donc aussi sur le troisième axe radical. d) On utilise les notations de la figure 11.12. D'après b), les trois axes radicaux obtenus en prenant les trois cercles par paire sont les droites (AD), (BE) et (CF). D'après c), ces droites sont concourantes en un point S. On considère, par exemple, le cercle r. Les angles EAD et
j5. Solutions 49 Figure 11.12 EBD interceptent le même arc sur F donc ils ont la même mesure. De plus, ES A = BSD. On en déduit que les triangles ES A et BSD sont semblables et, en conséquence, —- = -~. De même, on a — = |- et y x z y — = -j-. Il s'ensuit que fbd = cea et l'on obtient A x _Ç_ x A = i. Exercice 11.10 ([B2, B7]) a) Soit X un point à l'extérieur de ABC tel que la somme AX H- BX + CX soit minimale. Le point X et le triangle ABC se trouvent de part et d'autre d'une des droites (AB), (BC) ou (CA). On peut supposer qu'il s'agit de (AB) (si ce n'est pas le cas, on renomme les sommets du triangle). Soit X' le symétrique de X par rapport à (AB) et Y l'intersection des droites (AB) et (CX) (voir la figure 11.13). On a AX = AX1 et BX = BX'. De plus, l'inégalité
50 IL Géométrie euclidienne du plan X Figure II13 triangulaire donne CX' < CY + YX' = CY +■ YX = CX. On en déduit que AX' + M7 -t- CX' < AX + EX + CX, contredisant la définition du point X. On conclut donc que le point X, s'il existe, ne se trouve pas à l'extérieur de ABC. On note a,/3,7 les mesures respectives des angles A, B et C dans le triangle ABC. On peut supposer que a ^ /3 ^ 7. Les angles A et B sont tous les deux aigus (la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à tt radians). Si M est un point du plan et si M* est son image par la rotation ip de centre A et d'angle 7r/3, alors le triangle AMM* est équilatéral. On considère un point M à l'intérieur de ABC ou sur un côté de ABC. Soit C* = if{C) et M* = if{M). On a donc AM + M + CM = MM* + M + C*M^ c'est-à-dire la longueur de la ligne polygonale BMM*C* (voir la figure 11.14). On considère trois cas, suivant que 7 < 2tt/3,. 7 = 2tt/3 ou 7 > 2n/3. i) Cas où 7 < 2tt/3. Puisque a < 7r/2, on a BCC* = 7 + tt/3 < tt et BAC* < n. En conséquence, les segments [BC*] et [AC] se coupent en un point D. On note Xq le deuxième point d'intersection de (BC*) avec le cercle circonscrit à ACC* (voir la figure 11.14). Le point Xq se trouve sur le segment [BD] et Xq = (f(Xo) se trouve sur le
§5. Solutions 51 A ■-■-■-■'' b Figure IL 14 segment [C*D] (car AX0C* = ACC* = 7r/3, ces deux angles interceptant le même arc sur le cercle circonscrit à ACC*). On en déduit que BX0 + XqX% + X*C* - BC\ Or, X0X* + BX0 + X*C* = AX0 + BX0 + CX0 et il s'ensuit que AM + BM + CM ^ AX0 + -BX0 + CXQ pour tout point M à l'intérieur de AI^O (la longueur de la ligne polygonale BMM*C* est minimale lorsque M et M* se trouvent sur le segment [B'C*]). Il n'y a égalité que si M et M* se trouvent tous les deux sur [BC*], ce qui n'est possible que si M = Xq. On a donc établi l'existence et l'unicité d'un point X minimisant AX + BX + CX, à savoir le point Xq défini ci-dessus. On propose pour le cas où 7 < 2n/3> une deuxième solution utilisant les nombres complexes. On note qu'il existe un unique point Xq se trouvant à l'intérieur du triangle ABC tel que les trois angles AXqB, BXqC et CX0A aient pour mesure 2tt/3 (Xq se trouve à l'intersection des cercles circonscrits aux triangles équiia- téraux construits extérieurement à ABC sur les côtés de celui-ci ; par exemple sur la figure 11.14, le quadrilatère AC*CXq est cyclique, donc la somme des mesures des angles AC*C et CXqA est égale à 7r). On introduit un repère orthonormé d'origine Xq et l'on note a, 6, c et z les affixes respectives des points A, B, C et d'un point M quelconque. On a alors -A- + -^ + -Ç- = 0. M |6 |C|
52 IL Géométrie euclidienne du plan Par exemple, si le triangle orienté ABC est direct, alors b _ 2i7r/3 _0L_ ^ _C_ _ e4ivr/3 _0L_ ? |&| \a\ \c\ \a\ et 1 + e2i7r/3 + e4i7r/3 = 0. Il s'ensuit que -^(a-z)+-£-(b-z) + f-(c-z) \a\ \b\ \c\ = \a\ + \b\ + \c\-z(ï- + ±- + -f-) \a\ \b\ \c\ = |a| + |6| + |c| et, les nombres complexes -^-, —— et -^— étant de modules égaux \a\ \b\ \c\ à 1, l'inégalité triangulaire donne \a - z\ + \b - z\ + \c - z\ ^ |a| + |6| + |c|, autrement dit AM + 5M + CM ^ AX0 + 5X0 + CX0. Ceci montre que le point Xq minimise la somme AM + 5M + CM. De plus, A, B et C n'étant pas alignés, il n'y a égalité dans l'inégalité ci-dessus que si z = 0, autrement dit si M = X$. ii) Cas où 7 = 2tt/3. Le point C se trouve alors sur [BC*] et l'on a BM + MM* + M*C* = .BC* précisément lorsque M — C. iii) Cas où 7 > 27r/3. Dans ce cas, les segments [AC] et [£?C*] ne se coupent pas (voir la figure 11.15). Si AM > AC, l'inégalité triangulaire donne AM + #M + CM ^ AC + J3C. Si AM < AC, alors M* se trouve à l'intérieur du triangle ACC* et C se trouve à l'intérieur du quadrilatère J5MM*C* (voir la figure 11.15), d'où BM + MM" + M*C* ^ CC* + 5C = AC + 5C. Dans les deux cas, on a égalité précisément lorsque X = C. Remarque. Ce problème avait été posé par Fermât à Torricelli8. Le 8. P. de Fermât (v. 1605 - 1665) , E. Torricelli (1608 - 1647).
j5. Solutions 53 Figure 11.15 point minimisant la somme AX + BX -f CX est appelé point de Fermai ou point de Torricelli b) On a C* = B'. Lorsque 7 < 27r/3, on a vu à la question précédente que le point X se trouve sur (BBf) en utilisant la rotation de centre A et d'angle 7r/3. Le même raisonnement avec la rotation de centre B et d'angle tt/3 implique que X se trouve sur (CC). De même, X se trouve sur (AA'). Remarque. On peut montrer que les droites (AAf), (BBf) et (CC) concourent quel que soit le triangle ABC. Ce point de concours s'appelle le premier centre isogonique du triangle ABC. Il ne coïncide avec le point de Fermât que si les trois angles du triangle sont inférieurs à 27r/3. Au lieu de placer les triangles équilatéraux à l'extérieur de ABC, on peut les construire vers l'intérieur de ABC. On obtient alors trois points A", B" et C" et l'on peut montrer que {AA"), (BB") et {CC") concourent (en un point appelé le second centre isogonique du triangle ABC). Voir l'exercice VIII. 1. c) On note encore X le point tel que la somme AX + BX + CX soit minimale. i) On suppose d'abord que les angles du triangle ABC sont inférieurs à 27r/3. Soit x, y et z les longueurs respectives des segments [AX], [BX] et [CX]. Dans chacun des triangles ABX, BCX et CAX, l'angle en X mesure 27r/3 et la somme des deux autres angles est égale à tt/3. On peut donc recouvrir le triangle ABC par trois copies du triangle ABX et d'un triangle équilatéral (de côté \x — y\), le triangle BCA' par trois copies du triangle BCX et d'un triangle équilatéral (de côté \y — z\), le triangle CABf par trois copies du triangle CAX et d'un triangle équilatéral (de côté \z — x|), voir la figure 11.16. On a donc (g/\x_y\ représentant Faire d'un triangle équilatéral de côté \x — y|, s^a1-, ^b1 et srfc1 représentant respectivement l'aire des triangles BCA\ CAB' et ABC) ^A> + ^B> + Stc = 3^ + SÏ\x-V\ + ^\y-z\ + ^\z-x\ > ^
54 IL Géométrie euclidienne du plan B' Figure II16 et, en multipliant les deux membres de cette inégalité par 4/\/3, on obtient l'inégalité de Weitzenbock. ii) On suppose maintenant que 7 > 27r/3. On a alors (voir la figure IL17) et l'inégalité de Weitzenbock s'en déduit. On notera qu'il y a égalité si et seulement si x = y = z, ce qui implique a — b = c, autrement dit le triangle ABC est équilatéral. Figure 11.17
§5. Solutions 55 A B Figure 11.18 Remarque. On peut améliorer le résultat précédent. On considère d'abord le cas où les trois angles sont inférieurs à 2tt/3. On peut supposer que a ^ b ^ c. Sur la figure 11.18, on a placé le symétrique de [CA] par rapport à (CX), ce qui fait apparaître des triangles isométriques (en gris clair). Dans le troisième triangle (en gris foncé), on a b+y — x ^ o, soit y\ — x ^ a — b ^ 0. On en déduit que \y — x\ ^ \a — b\. On a de même \z — y\ ^ \b — c\ et \x — z\ ^ c — a. Il s'ensuit que &ÏA' + ^B' H" Sfc — 3^ + &t\x-y\ + ^\y-z\ + ^z-z| ^ 3^/ + &?\a-b\ + «^|6-c| + ^\c-a\- En multipliant par 4/\/3, on obtient Y inégalité de Hadwiger-Finsler9, a2 4- fr2 + e2 ^ (a - 6)2 + (6 - c)2 + (c - a)2 + 4a/3^. On suppose maintenant qu'un des angles du triangle /L£?0 est supérieur à 2tt/3 (mettons 7 > 27r/3). On a alors z = 0,x = 6et?/ = a. On affine l'inégalité s^a' + ^B7 + ^c ^ ^c ^ 3-^ démontrée précédemment (voir la figure 11.17) : et l'on note que a > [6 — c\ et 6 > \c — a\. On retrouve ainsi Finégalité de Hadwiger-Finsler. Voir l'exercice XX.7 pour une autre démonstration de Finégalité de Hadwiger-Finsler. 9. H. Hadwiger (1908 - 1981), P. Fïnsier (1894 - 1970).
Chapitre III Notion d'application - Rappels d'analyse Notion d'application a) Définition. Graphe. Image et antécédent. Restriction et prolongement. b) Composition. Associativité de la composition. c) Image directe et image réciproque d'une partie. d) Injection, surjection, bijection. Propriété de la composée. Bijection réciproque. e) Familles, définition. Rappels d'analyse a) Fonctions paires, impaires. Fonctions périodiques. Fonctions majorées, minorées, bornées. Fonctions (strictement) croissantes ou décroissantes. b) La notion de limite est admise (pas de définition pour l'instant autre qu'intuitive). Continuité en un point, sur un intervalle. Dérivabilité en un point, nombre dérivé. Rappel des opérations usuelles : dérivée d'une somme, d'un produit, de l'inverse, d'une composée. Fonction dérivée1. c) Révisions des techniques classiques de calcul de limites et notamment pour lever les indéterminations, utilisation - des croissances comparées entre logarithme, exponentielle et puissances 1. On fera attention à ne pas confondre une fonction / et son expression f(x). On veillera, en particulier, à éviter les (/(x)) . -57-
58 III. Notion d'application - Rappels d'analyse des limites, lorsque x tend vers 0, de lnÇl+qQ ex-l (l+a?)"-! l-cosrr d) Révision du plan d'étude d'une fonction. Par exemple : x i-> y/x + x2. e) Étude des branches infinies : branches paraboliques et direction asymp- totique, asymptote horizontale, verticale, oblique. f) Résultats admis (pour l'instant), mais à connaître : - théorème de la limite monotone, - théorème des valeurs intermédiaires, - théorème de la bijection monotone, - théorème de dérivation de l'application réciproque, - théorème sur le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie de la fonction, - théorème d'existence de primitive d'une fonction continue. Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances Logarithme népérien. Propriétés classiques, variations, limites. Position de la tangente en 0. Exponentielle, idem. Logarithmes et exponentielles de base a G R+ \ {!}• Fonctions puissances. Résultats sur les croissances comparées de ces fonctions en 0 et +oo. Fonctions circulaires directes Fonctions trigonométriques directes : cos, sin et tan. Propriétés usuelles, variations. 1. Questions de cours a) Toute définition du cours sur les applications : par exemple, définitions d'une application /.: E —> F injective, surjective, bijective. Définitions de l'image directe d'une partie de .E, de l'image réciproque d'une partie de F. b) Exercice type : image directe et réciproque d'une union ou d'une intersection de parties2. 2. Plus précisément : soit E et F deux ensembles, /: E —> F une application, A et A' deux parties de E et B et B' deux parties de F. Montrer que i) /-i(BuB') = r1(S)U/-1(B')) ii) /-1(BnB') = /-i(S)n./-1(B').
\2: Exercices 59 c) Un autre exercice (presque du cours) : soit D l'ensemble R\{| + /ctt: keZ}. Soit E = J-*(R, R) et F = T{D,.R). On considère l'application (p définie par (E—ïF, LP'' \/K->/otan. i) Montrer que (p est injective. ii) (p est-elle bijective ? d) Composées d'injections, de surjections, de bijections. Résultats et démonstrations. e) Pour fiE—>Fetgi F —► G,. i) g o f injective => / injective, ii) g o f injective et / surjective => g injective, iii) g o f surjective => g surjective, iv) 9 ° f surjective et g injective => / surjective. f) Enoncé du théorème des valeurs intermédiaires et du théorème de la bijection monotone. g) Enoncé du théorème de dérivabilité d'une application réciproque. h) Étude de x >->> xa, a G R, x G R!*j_ : prolongement éventuel en 0 et étude- de la continuité et de la dérivabilité de la fonction éventuellement prolongée. i) La parfaite connaissance du formulaire de trigonométrie est toujours d'actualité. 2. Exercices Exercice III. 1 Soit (Ai)ieI une famille de parties d'un ensemble X. On note &(X) l'ensemble des parties de X. Les relations ^(n^)=n^(^)> iei iei iei iei sont-elles vraies ? iii) f(AuA') = f(A)\Jf(A'). iv) Montrer que l'on n'a pas nécessairement f(A n A1) — f(A) H /(A;), mais qu'une des deux inclusions est toujours vraie et que l'égalité est vraie si / est injective.
60 III. Notion d'application - Rappels d'analyse Exercice III.2 Cet exercice permet de vérifier, sur un cas simple, que les notions d'injection et de surjection sont comprises. Soit Dans chacun des cas suivants, préciser si / est injective, surjective ou bi- jective : a) A = WL, £ = R; b) A = R+, £ = 3R; c) A = R, B = R+ ; d) A = R+, 5 = R+. Exercice III.3 Cet exercice généralise les identités vues en cours dans le cas de deux ensembles. Il permet de se familiariser avec la manipulation des quantificateurs. Soit X et Y deux ensembles et / une fonction définie sur X et à valeurs dans Y. Soit I et J deux familles d'indices, {Ui}ieI une famille de sous- ensembles de X et {Vj}-eJ une famille de sous-ensembles de Y. Établir les égalités suivantes : b) r1(n^-)= nr1^); SeJ ' jeJ c) /(U^)= \Jf(Ui). HEi J iei d) A-t-on/(n^) = n/(w Hei J iei Exercice III.4 Soit / : X —> Y une application. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : a) l'application / est injective ; b) \/AcX,f-1(f(A))=A; c) WL, B C X, f(A) H f(B) = f(A n B) ; d) \/A,B cX,ADB = 0=ï f(A) n f(B) = 0 ; e) \/A,B c X,BcA^f(A\B) = f(A)\f(B). Remarque. Lorsque plusieurs équivalences sont à démontrer, il faut réfléchir aux implications à prouver. On peut essayer d'en minimiser le nombre, on peut aussi en démontrer plus que nécessaire, mais de façon à ne prouver que des choses simples. Ici, vous pouvez prouver a) => b) =>* c) =>• d) => e) => a).
§2. Exercices 61 Exercice III.5 Soit A,B,C trois ensembles et /: A —> J5, g: B —> C, h : C —> A trois applications. On considère les composées ho go f^ go f oh et / o h o g. a) Montrer que si deux de ces composées sont injectives et la troisième est surjective, alors /, g et h sont bijectives. b) Même question en supposant deux composées surjectives et la troisième injective. Exercice III.6 Soit A et B deux ensembles et f : A —> B une application. a) Démontrer que / est injective si et seulement si, pour tout ensemble B et toutes fonctions a, a' : E —> A, on a / o a = f o a' =^> a — a!. b) Démontrer que / est surjective si et seulement si pour tout ensemble E et toutes fonctions /3, /3f : B —y E, on a 0°f = P'of =s> /3 = /3'. Exercice III.7 On suppose connue la proposition suivante. Si X et Y sont deux ensembles, /: X —> Y une application, I une famille d'indices et {Ui}ieI une famille de sous-ensembles de X, alors /( |J U^ = |J f (Ui). iei iei a) Soit ^4 et B deux ensembles, 5 C i et /: i —> B une application injective. On pose Cq = A \ B et, pour tout /c € M*, C& = f(Ck-i). i) Montrer que Cm H Cn = 0 si n ^ m. ii) En déduire qu'il existe une bijection h: A —> B. b) Soit A et B deux ensembles, /: A —> B et g: B —> A deux applications injectives. Démontrer qu'il existe une application bijective de A sur B (théorème de Cantor-Schrôder-Bernstein3). Exercice III.8 Les questions sont indépendantes. a) La fonction / est définie sur R par f(x) = ex $mx. Établir l'égalité n /(n)(x) = 2Texsin(x + n-|-) pour x G R et n ^ 1 ; b) La fonction / est définie sur W+ par f(x) = xn Inx. Établir l'égalité /W(x)=n!(lnxH-l+i-+... + i-) pour x > 0 et n ^ 1 ; 3. G. Cantor (1845 - 1918), E. Schrôder (1841 - 1902), F. Bernstein (1878 - 1956).
62 III. Notion d'application - Rappels d'analyse e) La fonction / est définie sur 3R* par f(x) = xn-1e1^x. Établir l'égalité e l/x f^(X) = (-iy xn+1 pour x G IR* et n ^ 1. Exercice III.9 On définit sur E^ la fonction / par f(x) = -Ël|^-. Montrer que \f{x)\ < -i- pour tout x G \k7r, ^tt + tt] (fe G N*). Exercice III. 10 Soit n G IN, n > 1. Montrer que i£ e-* ^ e"* - (1 - f )* < -fi e- pour x G [0, n]. Exercice III.ll Démontrer que (1 ■+ x) ln2(l 4- x) < x2 pour x > -1, .a; ^ 0. 3. Indications Exercice III. 1 Procédez par double inclusion pour la première égalité. Pour la seconde, vous pouvez considérer une famille de deux ensembles réduits chacun à un élément. Exercice III.2 Appliquez le cours. Exercice III.3 Procédez par double inclusion pour les trois premières égalités. La quatrième est fausse en général. Exercice III.4 Utilisez l'égalité /(/"1(Cr)) = c n f(x) valide Pour tout C C Y afin de prouver b) => c). Pour montrer e) => a), raisonnez par l'absurde. Exercice III.5 Que peut-on dire si gof est injective, si gof est surjective ? Et si g o / est injective et / bijective ou si g o f est surjective et g bijective ? Exercice III.6 a) (=>) Une fonction injective admet un inverse à gauche. (<=) Choisissez pour E un singleton. b) (=>) Une fonction surjective admet un inverse à droite. (<=) Prouvez la contraposée en choisissant pour E un ensemble à deux éléments. Exercice III.7 a) i) Supposez que CmflCn ^ 0, avec m < n.ll existe donc x et x' dans A\B tels que /m(x) = fn(xf), où fn = /o- • -o/ est la n-ième itérée de /. Vérifiez que x e B. ii) Posez C = [J Cn et vérifiez que f(C) — C \Cq. Définissez l'ap- nGlN plication h: A —> B par \ f(x) si x G C, [■x sinon. Démontrez que l'application à est bijective.
§4. Solutions 63 b) L'application g o f : A —y g(B) est injective. Appliquez le résultat de la question précédente. Exercice III.8 Montrez ces égalités par récurrence. Exercice III.9 Calculez \f\x)\ et majorez cette expression sur [kir , /ctt+tt] à l'aide de l'inégalité triangulaire. Exercice III. 10 Pour démontrer la première inégalité, considérez la fonc» tion (p(x) = [1 — — J ex H — — 1 définie sur [0,n]. Vérifiez que si (p'(xo) = 0 et xq > 0, alors (f(xo) ^ 0. Procédez de la même façon pour la seconde inégalité en considérant une fonction appropriée. Exercice III. 11 Considérez la fonction g définie sur ] —1, +oo[ par ib(x) Sa dérivée peut se mettre sous la forme gf(x) = —. Quel est le signe (1 + x)2 de ip(x) ? 4. Solutions Exercice III.l ([B23]) a) Soit B G &{ f| aX c'est-à-dire B C f| A{. \ei ' tel On a donc B C Ai pour tout i G I. Il s'ensuit que B G ^(At) pour tout i G I et B G f| &(Ai). Ainsi, ^* ( f| A, Je f| ^(A%). iei Hei ' iei Soit C G p) ^(^). On a donc C G ^(-A,) pour tout i G I ou, ce qui iei revient au même, C C Ai pour tout i G /. Il s'ensuit que (7 C p| A2 et iei C € &'([) Ai). Ainsi, f| &(Ai) C ^f f| A,Y On a montré que MG/ ' iG/ HG/ ' b) Soit jB G |J ^(Ai). Il existe donc i0 G J tel que B G ^(A2o), autre- iG/ ment dit B C Aio. Il -s'ensuit que B C |J A, et 5 G. «^( (J A% ). On a 2G/ HG/ ' donc y ^(Ai) c Wy V). iG/ HG/ ' Soit C G ^( y A/), autrement dit C C y Av. Ceci n'implique pas mg/ ' iei que C C Ai0 pour un certain io £ 1. On peut, par exemple, considérer
64 III. Notion d'application - Rappels d'analyse le cas particulier de la famille formée des parties A\ = {e} et Ai = {e'}, e ^ e'. OnaiiUi2 = {e, e'} et ^(A1U^2) = {0,{e},{e/},{e,e/}} alors que On voit que {e,e'} G ^(AiUA2), {e,e'} ^ ^(^i) et {e, e'} £ &>{A2). Ainsi, en général, iei iei et ^(U^)^U^(^)- iei iei Exercice III.2 a) Soit x et y dans II tels que f(x) = f(y). On a donc x2 = y2, d'où (x — y)(x -f- y) = 0 et x = y ou x = —y. L'application / n'est donc pas injective. On peut aussi remarquer que /(l) = /(—1). Par ailleurs, —1 n'est l'image d'aucun réel et / n'est pas surjective. b) On reprend le raisonnement précédent. Soit x et y dans II tels que f(x) = f(y). On a donc x2 = y2, d'où (x — y)(x + y) = 0 et x = y (car x et y sont positifs). L'application / est donc injective. Comme précédemment, / n'est pas surjective. c) L'application / n'est pas injective. Soit y G 11+. On a f(sjy) = y et f est surjective. d) De ce qui précède, on déduit que l'application / est bijective. Exercice III.3 ([B19]) a) Soit x G X. On a jeJ jeJ f{x)e{JVj <=► 3j0eJ, f(x)evj0i 3j0eJ,f(x)eVjo <=> 3j0e J, x e rl (Vjo), BjoeJ^xer1^) 4^ xeUrHVj). On obtient ainsi l'égalité jeJ jeJ
j4. Solutions 65 b) Soit x G X. On a Vj G J, /(x) G ^ 4=^ WjEJ,xE f-1 (Vj) , On obtient ainsi l'égalité c) Soit y G F. On a 3xe \JUi, y = f(x) <=> 3i0 el,3xe UlQJ y = f(x), iei 3i0 el,3xe UioJ y = f(x) <=> 3i0 G J, y e f (Uio), 3i0el, yef(Uio) «=> ye{jf(Ui). iei On a donc établi l'égalité iei iei Remarque. Voir l'exercice III.7 pour une application de cette proposition. d) Soit y G F. D'une part, 2/É/(f|tfi) *=> 3xef)Uuy = f(x), 3xef)Uuy = f(x) => VieI,yef(Ui), iei VieI,yef(Ui) =» yef^fm, tel d'où /(n^)cn/(^)- w iei iei
66 III. Notion d'application - Rappels d'analyse D'autre part, yep\.f(Ui) ^ Viel,yef(Ui}, iei Vie/, ye f(Ui) <=^ VieI,3xie.Ui, y = f(xi). Arrivé là, on ne peut pas conclure que tous les xi se trouvent dans p| Uiy ce qui empêche de poursuivre le raisonnement. L'inclusion iei n/(^)c/(n^) iei iei est donc fausse en général. On notera que si / est injective, tous les xi sont alors égaux et l'on obtient l'égalité. Si / n'est pas injective, l'inclusion (*) peut être stricte. On considère, par exemple, l'application / : R —y R définie par f{x) = x2, *7i = [-1, 0], U2 = [0 ,1]'.. On obtient WJ = f(u2) = [o, î], d'où fiUt) n f(u2) = [o, i], et ut n u2. = {o}, d'où fiUï n u2) = {o}. Exercice Iïï.4 ([B19]) a) =* b) Soit x G A. On a f(x) G /(A), d'où x G /-1(/(-A)). En conséquence, A C /_1(/(A)) (ceci est toujours vrai, que / soit injective ou pas). Soit x G f~1(f(A)).. On a f(x) G /(A) et il existe y e A tel que f(y) — /(#')• L'application / étant injective, on en déduit que y = x et x G A Ainsi, f^lfiA)) C A b) =* c) On note d'abord que /(/"HC)). = C n /(X) pour tout Cc7. On a /-1(/(^) n f(B)) = r\f(A)) n rH/^)) = AnB (la seconde égalité se déduit de l'hypothèse b), la première se trouve dans le cours) et l'on déduit de la remarque initiale que f{r\f{A) n /(£))) = f(A) n f(B) n f(x) = f(A) n f(B), d'où f(A) n f(B) = f (A nB).. On remarquera que l'on a toujours /(A n 5) C f(A) Pi f(B), que / soit injective ou non (voir l'exercice III.3 pour un exemple d'inclusion stricte lorsque / n'est pas injective). c) => d) On a f(A) ^ 0 si et seulement si A ^ 0. Par conséquent, si 4n5 = 0,ona alors, par hypothèse, f(A) H f(B) = f{A n B) = 0. d) => e) On remarque que A = (A \ B) U 5, d'où /(A) = /((A \B)UB) = f(A \ B) U /(S)
§4. Solutions 67 et f(A)\f(B) = (f(A\B)Uf(B))\f(B) = f(A\B)\(f(B)nf(A\B)). On note maintenant que (A\B)nB = 0, d'où f(A\B)Df(B) = 0 (c'est l'hypothèse d)). On déduit que f(A\B) \ (/(B) n f(A \ B)) = f(A \ B) etf(A\B)=f(A)\f(B). e) =4> a) Soit x et x' dans X tels que f(x) = f(xf). On suppose que x ^ x! et l'on considère les ensembles A = {x,x7} et B = {x}. On a alors /(4\ £) = /({*'}) et f(A)\f(B)=f({x,x'})\f({x}) = 0, d'où /({^;}) = 0 (c'est l'hypothèse e)), ce qui est absurde. Ainsi. x = x' et / est injective. Exercice III.5 ([B19]) a) On remarque qu'il y a une symétrie en /, g et h des composées (autrement dit si l'on applique une permutation circulaire à /, g et /i, on considère encore les mêmes composées). On peut donc supposer, sans perte de généralité, que hogofetgofoh ' sont injectives et que / o h o g est surjective. On en déduit que /, h, g o f et f o h sont injectives et que / et / o h sont subjectives. Par conséquent, l'application / est bijective et, puisque f oh est surjective, h est surjective, d'où bijective. Enfin, f o h étant bijective et f o h o g surjective, on en déduit que g est surjective et g o f o h étant injective, on en déduit que g est injective, donc bijective. b) On suppose maintenant que hogofetgofoh sont surjectives et que fohog est injective. On en déduit que /i, g^hog et go f sont surjectives et que g et ho g sont injectives. Il s'ensuit que g est bijective et, h o g étant injective, h est injective, d'où bijective. Puisque ho g est bijective, on en déduit alors que / est injective et surjective, donc bijective. REMARQUE. Notez que l'argument de symétrie permet de ne traiter à chaque fois qu'un cas. On peut généraliser cet exercice. Soit E±,..., En des ensembles, on pose En+i = E\. Soit fi'. Ei —y ^+1 des applications. On considère les composées fn ° fn-1 O ' * ' o/l, fl ° fn°'"° Î2^ fn-1 o/n-2 ° ' •' °/n- On suppose qu'une de ces composées est injective et que toutes les autres sont; surjectives... Montrer que /i,...., /n sont bijectives. Même question en
68 III. Notion d'application - Rappels d'analyse supposant qu'une des composées est surjective et que toutes les autres sont injectives. Exercice III.6 ([B3]) a) (=>) On suppose d'abord que / est injective. Elle possède donc un inverse à gauche, que l'on note g. Soit a, a! des applications d'un ensemble E dans A telles que / o a = f o ol . En composant à gauche par g et en utilisant l'associâtivité de la composition, on obtient alors (9 ° /) ° a = g o (/ o a) = g o (/ o a') = {gof)oa', autrement dit IÔ.A o a = Id.A ° ol et l'on en déduit que a — a'. (<=) On suppose maintenant que / o a = / o a' => a = a' pour tout ensemble E et toutes fonctions a, a' : E —> A. On peut donc choisir l'ensemble E qui nous convient. On choisit un singleton, {p}. La propriété précédente devient alors / o a(p) = f o a'(p) =^ a = ol et, en notant a(p) = a, a;(p) = a7, ceci s'écrit aussi f(a) = /(a') =» a = a'. Mais, deux fonctions de E = {p} dans A sont égales si et seulement si elles envoient p sur le même élément de A. On a donc /(a) = /(a') => a = a'. Cette implication est vraie pour tout choix de a et a/, donc pour tout choix de a et af dans A. Ainsi, l'application / est injective. b) (=>) On suppose d'abord que / est surjective. Elle possède donc un inverse à droite, que l'on note h. Soit /3, fi' des applications de B dans un ensemble E telles que /3 o / = /?' o /. En composant à droite par h et en utilisant l'associativité de la com-
j4. Solutions 69 position, on obtient alors !3o(foh) = (f3of)oh = (/3'o/)oft = /?'o(/oft), autrement dit fi o làB = /?' o IdB et l'on en déduit que fi = fi'. (4=) On suppose maintenant que / n'est pas surjective. Il existe donc b G B tel que f(x) ^ b pour tout xGi. On choisit E = {p,p7} (p 7^ p') et l'on définit /3 et fi' de 5 dans E par /3(?/) = _p pour tout y £ B et \p si y ^ 6, (jj si y = 0. On a donc fi(f(x)) = fi'{f(x)) pour tout x G A et /3 ^ /3;. Ainsi, il existe un ensemble i2 et deux fonctions /3, fi' : B —> E telles que /3o/ = /?'o/ et 13^/3'. Par contraposition, si pour tout ensemble E et toutes fonctions fi et /?': B —^,ona fiof = pof => fi = fi\ alors / elle est surjective. Remarque. Soit A et B deux ensembles et /: A —> B une application. Si pour tout ensemble E et toutes fonctions a, a' : E —> A, on a / o a = / o ot => a = a j l'application / est appelée un monomorphisme. Si pour tout ensemble E et toutes fonctions (3, fi' : B —> E, on a (3of = P'of =j> p = p, l'application / est appelée un épimorphisme. Ces deux notions relèvent de la « théorie des catégories », un domaine qui n'est pas au programme des classes prépa. Exercice III.7 ([A12]) a) i) On suppose que A ^ B (sinon A\B = 0 et Cn = 0 pour tout n G M). Soit (m,n) G M2, m < n. On suppose que Cm f) Cn 7^ 0. Il existe donc x et x' dans A \ 5 tels que fm(x) = fn(x'), où /n = / o • • • o / est la n-ième itérée de /. L'application / étant injective, on obtient fn~~m(x') = x et Ton en conclut que x E B. Or, xEi\5, d'où x G 0, contradiction.
70 III. Notion d'application - Rappels d'analyse ii) On pose C — |J Cn. On observe alors que f(C) = f({]Cn) = {jCn = C\Co (le passage de la première à la deuxième ligne est une application de la proposition donnée dans l'énoncé, l

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