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1ER AÑO - CONCEPTOS BÁSICOS geometria
Word Pro - Material Clases 2
Geom Re Creat 02
PROSABER 1 - MATEMATICAS
P_Matematica-UNI2009-2.pdf
Minerales Con Habitos Romdododecaedrigo
4_ Informe d Topografía Campo
5_ Informe de Topografía
“Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ing Civil”
“TRIGONOMETRIA
ESFÉRICA”
-Para Docente:
Dr.Msg.Ing. Roberto Supo Hallasi
-Presentado por el Alumno:
Randall Ordonez Ramos
2011-104051
Dr.Mgs.Ing Roberto
Supo Hallasi que con
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“trigonometría
Esférica” ya que
polígonos que forman
esfera, en especial los
triángulos, ya que la
triángulos tiene
especial resonancia en
la astronomía náutica
y navegación para
ubicación en el océano
10 Ejercicios propuestos 16 CAPÍTULO SEGUNDO: RELACIONES ENTRE LOS LADOS Y LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO 2.3 1.7 1.5 1.1 Teorema del seno 2.2 1.6 1.2 Teorema de coseno 2.3 Teorema de la cotangente 2.9 Diedros y Triedros 6 Propiedades y Definiciones 7 Triángulos esféricos 9 Propiedades de los triángulos esféricos 11 Clasificación de triángulos esféricos 12 Triángulos esféricos polares 12 Triángulos esféricos adyacentes y simétricos 13 Superficie de un triángulo esférico 14 Superficie de un polígono esférico 14 1.4 1.4 Teorema del coseno para los ángulos “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.8 1.1 1.Índice CONTENIDO CAPÍTULO PRIMERO: GEOMETRÍA SOBRE LA SUPERFICIE ESFÉRICA 1. Facultad de Ingeniería Civil” 19 20 22 23 3 .
Regla de Neper 3.2 Proposiciones 3.4 Triángulos esféricos rectiláteros.9 Ejercicios propuestos 24 26 27 28 30 CAPÍTULO TERCERO: TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOS Y RECTILÁTEROS 3.1 Triángulos rectángulos.5 Ejercicios propuestos 35 36 37 39 42 CAPÍTULO CUARTO: PROBLEMAS 4.6 Analogías de Gauss-Delambre 2.1 Problemas resueltos 4.8 Distancia esférica entre dos puntos 2.Índice 2.3 Resolución de triángulos rectángulos 3.3 Soluciones “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.7 Analogías de Neper 2.2 Problemas propuestos 4.5 Funciones de los ángulos mitad 2. Facultad de Ingeniería Civil” 46 52 57 4 . Resolución 3.
5 1.Geometría sobre la superficie esférica.1 1. Facultad de Ingeniería Civil” 16 5 .3 1.7 1.9 Diedros y Triedros 6 Propiedades y Definiciones 7 Triángulos esféricos. Definiciones y Propiedades 9 Propiedades de los triángulos esféricos 11 Clasificación de triángulos esféricos 12 Triángulos esféricos polares 12 Triángulos esféricos adyacentes y simétricos 13 Superficie de un triángulo esférico 14 Superficie de un polígono esférico 14 1.8 1. CAPÍTULO PRIMERO : Geometría sobre la superficie esférica 1.2 1.10 Ejercicios propuestos “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.6 1.4 1.
Se llama ángulo correspondiente a un diedro. Los lados a.1-c Tres semirrectas en el espacio no situadas en el mismo plano. 1. al ángulo formado por dos perpendiculares a la arista en un mismo punto y una en cada cara. 1 . a la región del espacio comprendido entre dos semiplanos a y b limitados por una recta común AB (fig. y la recta común AB arista. 1. b y c. B y C. B y C. b y c se llaman. Facultad de Ingeniería Civil” 6 . “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. constituyen un triedro (fig. Los semiplanos a y b que lo forman se llaman caras del diedro.1. B B E a V a H b c V c A b A A C b a B A C F Fig .1 Diedros y Triedros Se llama diedro. y con origen común en un punto V. Los ángulos que determinan cada dos aristas consecutivas se llaman lados o caras del triedro. vértice y aristas del triedro.1-b Fig. y recíprocamente. su medida es siempre menor que 180.a Fig. Así. si EF y HE son perpendiculares a la arista AB.Geometría sobre la superficie esférica. y análogo para B y C).1. y se designan con las letras a. El punto V y las semirrectas se llaman. Los diedros así definidos se llaman ángulos del triedro. Cada semirrecta determina dos semiplanos que contienen respectivamente a las otras dos. respectivamente.1-a).1-b). 1. respectivamente. opuestos a los ángulos A. el ángulo FEH es el ángulo del diedro. y se designan mediante las letras A. su medida es siempre menor que 180. (Se designa por A el diedro cuya arista contiene a la semirrecta que no está en el plano de la cara a.1 .
1-b por la arista VA se puede colocar las tres caras sobre un plano.Geometría sobre la superficie esférica. La suma de las caras de un triedro es menor que cuatro ángulos rectos.1-c. Triedros simétricos son los formados por semirrectas opuestas. que se compone de tres ángulos consecutivos. Cortando el triedro VABC de la figura 1. Por consiguiente. en dos triedros simétricos los elementos homólogos son iguales. A Ba b 3. como se expresa en la figura 1. y recíprocamente. sus caras son ángulos opuestos por el vértice. a b c 360º 4. pero el orden de sucesión de estos elementos es inverso. En todo triedro. a mayor ángulo diedro se opone mayor cara. Por lo tanto. por lo que. Facultad de Ingeniería Civil” 8 7 . una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia. y sus diedros son opuestos por la arista. Así se obtiene el llamado desarrollo del triedro. dos triedros simétricos no son superponibles. La suma de los tres ángulos diedros de un triedro está comprendida entre dos y seis ángulos rectos. 180º A B C 540º “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. b c a b c 2. en general.2 Propiedades Los lados y los ángulos de un triedro cumplen las propiedades siguientes: 1. En todo triedro. 1.
P  B O C A  P´ Fig. sobre una esfera. Facultad de Ingeniería Civil” 8 .2. no diametralmente opuestos. o ciclo. cuya intersección con la esfera define el ciclo AB. Una Circunferencia menor es el perímetro de la sección producida por la intersección de la esfera con un plano que no pase por su centro. 1. La distancia esférica entre dos puntos A y B de una superficie esférica es la longitud del menor arco de ciclo comprendido entre los dos puntos A y B. Circunferencia menor Circunferencia máxima O B A Fig. siempre existe un plano y sólo uno.a Puesto que por tres puntos no alineados pasa un plano y sólo uno. Definiciones Una Circunferencia máxima.Geometría sobre la superficie esférica. dados dos puntos A y B de la esfera. 1.2-b “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. es el perímetro de la sección producida por la intersección de la esfera con un plano que pasa por el centro de la esfera. su radio será el de la esfera. por tanto.
dar otra definición de triángulo esférico: Es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro. La condición necesaria y suficiente para que dos ciclos sean perpendiculares es que uno de ellos pase por los polos del otro. (fig.3). trazado por el centro de la esfera. 1. La medida de la distancia AB es la del ángulo plano AOB. entonces. el ángulo esférico es el correspondiente al diedro formado por los planos de los dos ciclos y su medida es la misma que la del arco AC.2-b. Todo ciclo posee dos polos. Se llama ángulo esférico entre dos ciclos al ángulo formado por las dos tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto. Dos ciclos siempre se cortan en dos puntos P y P´ diametralmente opuestos. y los vértices de los tres ángulos esféricos son los vértices del triángulo esférico. Se llaman polos de un ciclo a los extremos del diámetro perpendicular a su plano. B C c b A O Fig. Podemos. en la figura 1. 1. Facultad de Ingeniería Civil” 9 . P y P´ son los polos del ciclo AC. Dos ciclos son perpendiculares si el ángulo esférico formado por ambos es recto. Así. Los arcos son los lados del triángulo esférico. Puesto que dichas tangentes son perpendiculares al diámetro PP’.Geometría sobre la superficie esférica. se obtiene un triedro. Cuando se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la esfera.3 Triángulos esféricos Un triángulo esférico es la región de superficie esférica limitada por tres arcos de circunferencia máxima que se cortan dos a dos.3 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. en cuyo caso éste pasa por los polos de aquél. 1.
B. y recíprocamente. a cada propiedad de los ángulos triedros corresponde una propiedad análoga de los triángulos esféricos. OB. por medio de la siguiente analogía: Longitud del ciclo Longitud del arco = 360 grados del arco = 2 r “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. Facultad de Ingeniería Civil” 10 . OA. son expresados normalmente en unidades angulares. y C de intersección de las aristas del triedro con la esfera son los vértices o ángulos del triángulo esférico y su medida es la misma que la de los diedros del triedro. por tanto. BC y CA del triángulo ABC llamados lados del triángulo se designan por c. Los tres puntos A. a. es por tanto la de los ángulos de las caras del triedro. las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico son independientes de la longitud del radio. respectivamente. y OC. su medida. Los tres arcos AB . será necesario saber el radio de la esfera correspondiente al triángulo. Si se desea conocer la dimensión lineal de un lado. y b. Los lados de un triángulo esférico.Geometría sobre la superficie esférica. siendo arcos. Es evidente que los ángulos de las caras y los ángulos diedros de un ángulo triedro no se alteran en magnitud variando el radio de la esfera. En la práctica la longitud de un lado (arco) puede hallarse en función de cualquier unidad lineal. Según esto. grados o radianes.
a b c 360º .) La expresión 360ºa b c se llama defecto esférico 4ª En un triángulo. Y recíprocamente.Geometría sobre la superficie esférica. 180º A B C 540º Una demostración de esta propiedad se realiza en el problema (1) ya que requiere el uso del triángulo polar que estudiamos más adelante.4 Propiedades de los triángulos esféricos 1ª Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que una semicircunferencia a 180º . a bA B 6ª La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que dos rectos y menor que seis rectos. a b c a b . a lados iguales se oponen ángulos iguales. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. Y recíprocamente. 1. La expresión A B C 180º se llama exceso esférico y la representamos por. a bA B 5ª En un triángulo esférico. Facultad de Ingeniería Civil” 11 . 2ª Cada lado del triángulo esférico es menor que la suma de los otros dos y mayor que el módulo de su diferencia. esférico a mayor lado se opone mayor ángulo. 3ª La suma de los lados de un triángulo esférico es menor que cuatro rectos. (Estas propiedades se derivan de las correspondientes propiedades referentes a los ángulos de las caras de un ángulo triedro.
Un triángulo esférico se llama birrectilátero si tiene dos lados rectos. y los vértices Ap. Facultad de Ingeniería Civil” 12 . c p = 180 .C Cp Ap A B Bp “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. c. Un triángulo esférico se llama rectángulo si tiene un ángulo recto. cp son suplementarios de los vértices A. b.A . C del triángulo dado. B. 1.B . Un triángulo esférico se llama equilátero si tiene los tres lados iguales. bp. c se denomina triángulo polar a aquel cuyos lados ap. es decir: A p = 180 a .5 Clasificación de los triángulos esféricos Teniendo en cuenta las propiedades de los triángulos esféricos. b p = 180 . Bp.6 Triángulos esféricos polares Dado un triángulo ABC de lados a. Un triángulo esférico se llama birrectángulo si tiene dos ángulos rectos. B p = 180 b . 1.Geometría sobre la superficie esférica. Un triángulo esférico se llama rectilátero si tiene un lado recto. estos pueden tener más de un lado y un ángulo recto. Según esto. y Cp son suplementarios de los lados a. C p = 180 c a p = 180 . b. se clasifican en: Un triángulo esférico se llama isósceles si tiene dos lados iguales.
Para representar el triángulo polar ApBpCp del triángulo ABC. el lado BC es común a ambos. dos triángulos simétricos tienen todos sus elementos iguales.7 Triángulos esféricos adyacentes y simétricos Ya que un triedro tiene tres caras. A   C’  C B’ A’ Es claro que. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. 1. pero situados en orden inverso. En la figura el triángulo A´BC es adyacente al triángulo ABC.Geometría sobre la superficie esférica. hallamos el polo Cp del lado c más próximo al vértice C. por tanto no son en general superponibles. a pesar de tener la misma área. Del mismo modo determinamos el polo Bp del lado b y el polo Ap del lado a. cuya denominación es la siguiente: Dos triángulos esféricos son adyacentes si tienen un lado común. En la figura los triángulos ABC y A´B´C´ son simétricos. Facultad de Ingeniería Civil” 13 . Dos triángulos esféricos se llaman simétricos si los vértices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vértices del otro. los planos de las mismas dividen a la superficie esférica en ocho triángulos esféricos.
S'. sumando 2S en la igualdad anterior se tiene: (S S' ) (S S' ' ) (S S' ' ' ) 2r 2  2S cada uno de los paréntesis del primer sumando de la ecuación anterior es la superficie de un huso esférico. BCA'. S+S' es la superficie del huso de ángulo cuya área es 90 De la misma manera r 2  S+S'' es la superficie del huso de ángulo con área 90 S+S''' la del huso de ángulo por tanto. siendo´ el 180 exceso esférico. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. y CA'B' constituyen la mitad de la superficie esférica. r 2  90 con área r 2   90 r 2  90º .8 Superficie de un triángulo esférico Se observa en la figura anterior que los triángulos ABC. por tanto. así: r 2  . si S. r 2  90 2r 2 2S y despejando S S r 2 (α β γ 180 ) 180 Si los ángulos se expresan en radianes y debido a que π  1 radián. cuyos lados son arcos de circunferencia máxima. Facultad de Ingeniería Civil” 14 . ACB'.Geometría sobre la superficie esférica. S r 2′. S'' y S''' son respectivamente las superficies de los triángulos anteriores.9 Superficie de un polígono esférico Se llama polígono esférico a la porción de superficie esférica limitada por una poligonal cerrada. 1. S S′  S′ ′  S′ ′ ′  2r 2. 1.
Tracemos el arco de ciclo A  I’   D II B  C AC que lo divide en dos triángulos esféricos. .. En efecto: Sea el cuadrilátero esférico ABCD cuya área queremos determinar. S r 2A 1 A 2 ... se tiene S r 2A 1 A 2 . A n (n 2)180 S 180  ó bien....... se puede descomponer en n-2 triángulos esféricos siendo por tanto el área del polígono: r 2 A1 A 2 . A n (n 2) .Geometría sobre la superficie esférica. El área pedida vale: r 2 r 2 r 2 (I II 180 ) (I II 180 ) ( 180 180 S 180 2 180 ) Si el polígono tiene n lados.. A n (n 2) 180 S 180  Si los ángulos se expresan en radianes.An . Facultad de Ingeniería Civil” 15 . El área de un polígono esférico situado sobre una esfera de radio r. A2.. expresando los ángulos en radianes.. con n lados y de vértices A1. A n (n 2)  “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. viene dada por: r 2 A1 A 2 ..
6277 cm2 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180º y menor que 540º. a p b p c p 0ºA B C 540º y a p b p c p 360ºA B C 180º Problema 2.¿Cuál es. A a p B b p C c p 180º de donde.2 metros de radio.Geometría sobre la superficie esférica.10 Ejercicios propuestos. Hallar el área de un cuadrilátero.00531 m ⎝  ⎠ 1. A B C a p b p c p 540º Ahora bien. sobre una esfera cuya superficie es 4 cm2. sobre una esfera de 1. Sea ABC un triángulo esférico y sea ApBpCp su triángulo polar.. Facultad de Ingeniería Civil” 16 . sabiendo que todos sus ángulos son 100. la superficie del triángulo esférico cuyos ángulos miden 60. 2 S 180 r 2⎛ ⎜ 400− 2⋅180⎞⎟ 1. 1. 108 y 125? Solución. St = 0. Problema 1.
V = 150. Facultad de Ingeniería Civil” 17 . 150. S = 75.Hallar el área del pentágono esférico cuyos ángulos miden: 8716´.796447 cm3 3. Solución. un triedro equilátero cuyos diedros miden 100 y cuyo vértice es el centro de dicha esfera.Hallar el área del triángulo esférico y el volumen de la pirámide esférica que determina en una esfera de 6 cm de radio. 2.Geometría sobre la superficie esférica. 12623´..7302 dm2 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. 10834´.. 15648´ en una esfera de radio 16 dm. S = 397.3982 cm2. Solución.
CAPÍTULO SEGUNDO : Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico 2.1 Teorema del seno 2.2 Teorema del coseno 2.8 Distancia esférica entre dos puntos 2.6 Analogías de Gauss-Delambre 2.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.4 Teorema del coseno para los ángulos 2.5 Funciones de los ángulos mitad 2. Facultad de Ingeniería Civil” 18 .3 Teorema de la cotangente 2.9 Ejercicios propuestos 19 20 22 23 24 26 27 28 30 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.7 Analogías de Neper 2.
y P sobre la recta OA en N. por contener dos perpendiculares a la recta OA. este triángulo está en un plano perpendicular a OA. de los triángulos II y III se tiene:  CP CM senB  CP senB CM  CP CN senA    CP senA  CN Igualando ambas ecuaciones “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. C C C II a r III B hc b b M P Oa P r B N A M N C H A c O IV C b a I P r M O V N Por tanto. por tanto la recta CN también es perpendicular a OA.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. El arco de ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C se llama altura esférica CH del triángulo y se designa por hc. Se obtiene así el triángulo III de la figura. De manera análoga en el triángulo II la recta CM es perpendicular a la recta OB. Facultad de Ingeniería Civil” 19 . los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Proyectamos el vértice C sobre el plano OAB en P. Sea el triángulo esférico ABC definido sobre una esfera de radio r.1 Teorema del seno (Primer grupo de fórmulas de Bessel) En un triángulo esférico. Obtenemos así dos nuevos triángulos rectángulos el IV y V. 2.
y otro par de elementos opuestos.2 Teorema del coseno (Segundo grupo de fórmulas de Bessel) En todo triángulo esférico. De los triángulos IV y V de la figura anterior “ e a N o J . 2. y por senB senC tanto: sen a  sen b  sen c sen A sen B sen C Esta relación permite calcular un lado o un ángulo. el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados. se probaría la relación senb senc  . Hay que buscar una nueva fórmula que ligue elementos no opuestos. más el producto de los senos de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido. se sigue r sena senB r senb senA simplificando por r 0. conocido su ángulo o lado opuesto.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. CM senB =CN senA (*) De los triángulos IV y V se obtiene:  CM  sena r  CN CN r senb senb r sustituyendo CM y CN en la ecuación (*). sena  senb senA senB Trazando la altura esférica ha sobre el lado a. La dificultad estriba en calcular el tercer ángulo pues aquí no hay relación constante entre los ángulos de un triángulo.
Basadre Grohmann, Facultad de Ingeniería Civil”
CM r sena
 OM r cos a ON r cos b
CN r senb
 PM r sena cos B
 CM r sena
  
 PN r senb cos A
 PM CM cos B

 PN CN cos A
    
Si expresamos que la proyección de la resultante OC de la poligonal ONPM, sobre OB, es
igual a la suma de las proyecciones de las componentes ON, NP, y PM, sobre la misma
Pr oyOB (OC)=OM r cos a
Pr oyOB (ON) OG ON cos c r cos b cos c
Pr oyOB (NP) GM JP NP cos(90º-c) NP senc r senb cos A senc
Pr oyOB (PM) 0
“Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann, Facultad de Ingeniería Civil”
r cos a r cos b cos c r senb senc cos A
y simplificando por r  0 , obtenemos
cos a cos b cos c senb senc cos A
Por tanto el segundo grupo de fórmulas de Bessel, que permiten calcular los ángulos
conocidos los tres lados, o bien, un lado conocidos los otros dos y el ángulo comprendido,
cos a cos b cos c senb senc cos A
cos b cos a cos c sena senc cos B
cos c cos a cos b sena senb cos C
2.3 Teorema de la cotangente. (Tercer grupo de fórmulas de Bessel)
 cos a cos b cos c senb senc cos A
  
cos a cos b sena
cos c
senA
 senb cos C⎫
 senc sena senC
sustituyendo cosc y senc en⎩la primera fórmula obtenemos
cos a cos bcos a cos b sena senb cos C+senb sena senC cot A
 cos a  cos a cos 2 b sena senb cos b cos C sena senb senC cot A
cos a(1  cos 2 b) cos a sen 2 b
se tiene: cot a senb= cos b cos C+senC cot A De forma análoga y por permutación. cos a sen 2 b sena senb cos b cos C sena senb senC cot A y dividiendo en ambos miembros por sena senb.4 Teorema del coseno para los ángulos (Cuarto grupo de fórmulas de Bessel) Aplicando el segundo grupo de fórmulas al triángulo polar del ABC.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. se tendrá: cos a p cos b p cos c p senb psenc p cos A p por tanto cos180 A cos (180 B) cos (180 C) sen180ºB sen180ºCcos180ºa  cos A cos B cos C senB senC ( cos a) obteniéndose las fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado: cos A  cos B cos C senB senC cos a cos B  cos A cos C senA senC cos b cos C  cos A cos B senA senB cos c “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. cot a senb= cos b cos C+ senC cot A cot a senc= cos c cos B+ senB cot A cot b sena= cos a cos C+ senC cot B cot b senc= cos c cos A+ senA cot B cot c sena= cos a cos B+ senB cot C cot c senb= cos b cos A+ senA cot C 2. Facultad de Ingeniería Civil” 23 . por tanto.
Facultad de Ingeniería Civil” 24 . se tiene cos 2 A 1  2 2 ⎜1 senb senc⎠ ⎟= cos a cos b cos c ⎜  2⎝ senb senc⎠ 1⎛ cos a− cos(b c)⎞ *  cosbc ⎜⎟ = 2⎜ senb senc⎟ ⎞ ⎝⎛⎠ 1⎜ cos a senbsenc− cos b cos c⎟ ⎜a b c b c− a sen sen 2 2 senb senc ⎟ ⎟ Llamando p al semiperímetro. si partimos de sen 2 2  senp sen(p a) senb senc senp sen p a senb senc 1 cos. 2. y del segundo grupo de fórmulas de Bessel cos A cos a cos b cos c .5 Funciones de los ángulos mitad. se tiene: a b c 2p⇒ b c− a 2p a y sustituyendo resulta cos 2 A  2 Por consiguiente. senb senc sustituyendo cos A en la ecuación [*] .  Por trigonometría plana sabemos que cos 2 2  (1 cos)  R. se obtiene: “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. A  cos 2  Análogamente.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.
conocidos los tres lados o bien el perímetro y dos lados.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.y a b c 2p sen45  sen60 2 A 2   arcsen A 109 28'16' ' . Ejemplo. En un triángulo isósceles los lados miden b=c=60. Calcular A. c=60º b=60º C A  sen 2 a=90º sen(p b) sen(p c) senb senc sen(p 60 ) A  sen60 sen 2  B . A 109 28'16' ' “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. B y C. Este caso puede resolverse más fácilmente mediante el teorema del coseno (antes tenía el inconveniente de ser poco apto para el cálculo logarítmico). 2 3 3 senA senB  sena senB senC 0.8164971 senb por tanto. A sen A 2  A tg 2 cos 2 sen( p b ) sen( p c ) senp sen( p a ) Éstas fórmulas permiten calcular los ángulos de un triángulo esférico. a=90.. Facultad de Ingeniería Civil” 25 . C = B = 54 44'08' ' y los ángulos pedidos miden C B 54 44'08' ' .
las fórmulas de los ángulos mitad 2 2 Sustituyendo en cos( para los ángulos senp sen(p− a) senp sen(p− b) senb senc cos⎜ ⎝ 2⎠ sena senc sen(p a) sen(p b) senp senc  sen(p b) sen(p c) sen(p a) sen(p c) senb senc sena senc sen(p c) sen(p a) sen(p b) sena senb senc =  sena senb C sen 2  sena senb senc   ⎜⎟ .6 Analogías de Gauss-Delambre A B A B A B ) cos  sen cos sen . 2. 2⎝ senc⎠ cos sen senc 2 Con lo que 2p c sen 2 c c 2sen cos 2 2 2 cos cos( A B sen senp sen(p c) c sen(2 ) 2 2 C 2 cos A B 2 C sen 2 cos  cos c 2 a b cos 2 c 2 a b 2 c cos 2 . De forma análoga se obtienen: sen A+B cos 2 C 2  cos a b cos 2 c 2 cos A B sen 2 C 2  sen a b sen 2 c 2 sen A B cos 2 C 2  sen a b sen 2 c 2 “ i N l B G n F d I í .Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.
a-b cos A B C 2  cot a+b 2 tg 2 cos 2 De forma análoga se obtienen: a b 2 sen A B C a b cot  2 tg 2 2 sen y para el lado c: A B 2 sen A B  tg 2 2 sen tg a b 2 A B 2 cos c A B  tg 2 2 cos tg a b 2 Fórmulas que permiten resolver un triángulo esférico conocidos dos lados y el ángulo comprendido. 2. usando previamente el   A B .7 Analogías de Neper ⎛ A B⎞ ⎟ Calculemos tg A B . 2 cos a b 2 c cos A B cos 2 A B 2 senp a senp b  senp sen p c A B a b A B 2 cos tg cos 2 2 c sen cos 2 sen C 2 a-b C 2 C⎛ senp− senp− c⎞ = cot a+b 2 cos C 2 2 cos por tanto. ó bien dos elementos y el opuesto a uno de ellos.26 Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. a b   y que 0 a b . teorema del seno y teniendo en cuenta que 2 2 2 2 2 .
DB y el ángulo P. la diferencia OD OC CD es la medida del ángulo P en el triángulo esférico APB. Por tanto. hallar la distancia esférica que los separa. “ i .CA. en el triángulo esférico APB se conocen los lados PA=90. Facultad de Ingeniería Civil” 27 Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.8 Distancia esférica entre dos puntos Dadas las coordenadas geográficas de dos lugares. PB=90º. P B G V A O D C P' Sean A y B los dos lugares cuyas coordenadas geográficas son: ⎧Latitud = CA . Punto A ⎩Longitud = OC Latitud = DB Punto B Longitud = OD Suponiendo el ciclo PGP’ el meridiano origen de longitudes. La distancia esférica queda determinada por el lado AB del triángulo APB.A B  2 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. 2.
Nacional Jorge Basadre Grohmann. Facultad de Ingeniería Civil” 28 .
Los ciclos DAP y FBP los meridianos respectivos de A y B. Sean P y P' los polos norte y sur respectivamente. siendo las longitudes y latitudes geográficas de A y B las siguientes: Longitud de A = 405'' Oeste. es el ángulo complementario del arco FA. Longitud de B = 1210' Este. será la suma de las longitudes. El arco BP que llamaremos lado a del triángulo esférico APB. Ejemplo. Se pide calcular el arco AB = p.9752724 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. El arco AP que llamaremos lado b del triángulo esférico APB. es el ángulo complementario del arco DA. Facultad de Ingeniería Civil” 29 . El ciclo EDF el ecuador. P A B 44 36' E 40 10'20'' D ecuador F P´ La medida del arco DF ó lo que es lo mismo el ángulo esférico en P. de un triángulo esférico del que conocemos el lado a = 49 49'40''. cos p cos a cos b sena senb cos P 0. Latitud de B = 4010'20'' Norte.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. el lado b = 4524' y el ángulo P = 1615'10''. Calcular la distancia entre los puntos A y B situados sobre la superficie terrestre. Latitud de A = 4436' Norte.
Solución: S = 1760. b = 4230´10".Resolver los triángulos esféricos siguientes conocidos los tres lados: a) a = 6000´31". B = 6836´57” . C = 92 02´00" “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil” 30 . el exceso y defecto esférico del triángulo esférico: A=4030´ .. c = 7827´. B = 4821´42". B = 13132´45" . C = 75 34´59" c) A = 58 08´00". C = 9656´15" C = 9157´21” C = 12344´19" 6.9 Ejercicios propuestos 4. b = 4105´06". C = 5840´52" Solución: a) A = 11609´10". c) A = 2640´19" . b) A = 5808´13” . c = 11600´32" b) a = 5622´. a) a = 7358´58". b = 13720´40".6881 m2. b = 3845´00". B = 3857´12" . C = 4633´41" b) a = b = 7823´03".Calcular el área. c) a = 2759´02"..Resolver los triángulos esféricos siguientes conocidos dos lados y el ángulo comprendido. B=10920´ . B = 68 36´00"..Resolver los triángulos esféricos siguientes conocidos los tres vértices: a) A = 70 00´25". = 8024'31'' 5. b = 6554´. c) A = 9359´09". B = 67 36´45". c = 6022´25" Solución: a) A = 7303´58" . p = arccos(0. Suponiendo la Tierra perfectamente esférica con radio 6373 m la distancia será de 1418. C = 118 54´04" c) a = 6424´03". = 6303´.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. c = 12010´ siendo el radio r = 40 m.. C = 94 50´53" b) A = 54 41´10". b) A = B = 7109´46". B = 131 10´15".5 km. 2. c = 5102´04" c = 11502´04" c = 5033´38" 7. B = 3546´12".9752724) = 1246'05''.
a1= 134 33´. B = 83 34´15". C = 95 32´21" c = 115 02´04" a = 58 46´22" 9. d) b = 76 40' 08''. C = 119 15' 32''. C = 118 54´04". C1 = 14823´30" “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. c) B = 131 52´33". a = 78 23´03" c) A = 110 51´51". b = 137 24´18". b) a = 41 17´19".. B = 131 20´26". B = 131 10´06". b = 48 23´28". c = 150 35´28". C1 = 41 05´ A2 = 54 46´. a1= 5723´28". b = 74 18´02" Solución: a) Existen dos soluciones c1 = 15154´19". A =7224'24'' Solución: a) Existen dos soluciones: A1 = 69 08´09".. b) Existen dos soluciones: C2 = 147 32´56" A1 = 151 16´.Resolver los triángulos esféricos conocidos dos ángulos y el lado común: a) A = 70 51´15". b) A = 71 09´46". C1 = 137 09´38" A2 = 110 51´51". C2 = 138 55´ c) No existe ningún triángulo esférico que se adapte a los datos de partida. b = 65 55´53". A = 87 34´ d) a = 80 26'12''. b = 137 02´50". c = 116 12´05" b) B = 71 09´46". b = 137 12´51". c = 115 57´16" c = 51 33´10" c = 78 32´11" 8. c = 115 30' 36''.Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. b = 31 09´. B=131 52´33" b) b = 37 47´.Resolver los triángulos esféricos siguientes conocidos dos lados y un ángulo opuesto: a) a =5846´22". c2 = 150 35´28". C = 147 32´56" Solución: a) a = 58 23´08". B = 109 50' 44'' 10.Resolver los triángulos esféricos siguientes conocidos dos ángulos y un lado opuesto: a) A = 110 21´52". a2 = 73 56´. c1= 141 31´13". c) a = 56 23´38". b = 78 23´02". b = 137 26´15" b) C = 42 12´20". B=2425´ c) a = 30 53´. Solución: a) a = 57 59´37". b =13702´50". c =10302´.. Facultad de Ingeniería Civil” 31 .
Se pide: a) Resolver el triángulo b) Hallar su área c) Hallar el volumen de la pirámide esférica cuyo vértice es el centro de la esfera y su base el triángulo dado Solución: a) a = 83 57´.De un triángulo esférico trazado en una superficie esférica cuyo radio es 10 dm. se conocen : A = 71 20´.. B = 143 18´ 00" 13. c2 = 6332´26"..Determinar los ángulos A y B de un triángulo esférico conocida su diferencia B A 32º14' y los lados opuestos a = 6725´35" y b = 14344´46" Solución: A = 111 04´ 00". C = 60 45´.79 dm2 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil” 32 .En un triángulo esférico se verifica que a + b = mediana correspondiente al lado c. a = 7442´07". Calcular el arco de ciclo que es la m = 90 14.Calcular los ángulos de un triángulo esférico equilátero de lado 3319´ 22" Solución: A = B = C = 62 55´16" 12..Demostrar que en un triángulo esférico equilátero se verifica: a) sec A sec a 1 cos a b) cos A c) 2 cos⎜⎟1+⎜cos ⎟ a1 ⎛ a⎞⎛ A⎞ sen ⎝ 2⎠⎝ 2⎠ 15. a2 = 12236´32". b = 113 53´. Solución: .Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.. B = 119 25´. b) A = 11051´33".. C2 = 8506´11" c = 4036´13" 11. c = 6619´ b) S = 124.
Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. c) V = 415. se verifican las relaciones:  senb sen A b) cos b cot B cot A a) sen 2 2 d) cos A a  tgb⋅ cos B  cos senB c) tg 2 2 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.96 dm3 16.En todo triángulo isósceles. Facultad de Ingeniería Civil” 33 ..
5 Ejercicios propuestos “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil” 35 36 37 39 42 34 .1 Triángulos rectángulos. CAPÍTULO TERCERO : Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros 3.3 Resolución de triángulos rectángulos 3. Regla de Neper 3. Propiedades 3.4 Triángulos esféricos rectiláteros. Resolución 3.Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros.2.
(Recuérdese la consonancia de las palabras en cada frase. Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos rectángulos basta sustituir un ángulo por 90 en las fórmulas generales obtenidas anteriormente. Proposición. Facultad de Ingeniería Civil” 35 . cos A 0 . el coseno de cada vértice es igual al producto: a) De los senos de los vértices opuestos. b) De las cotangentes de los vértices adyacentes.Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. senA 1 .1 Triángulos rectángulos Habíamos definido el triángulo esférico rectángulo como aquél que tiene uno o más ángulos rectos. entonces.) a C A = 90º 90º-c 90º-b “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. Sea el ángulo recto A. 3. y los diversos grupos de fórmulas se reducen a las siguientes : ⎧( 1 ) senb sena senB⎫ ⎨⎬ II I cos a cos b cos c III ⎧( 1 ) ⎪( 2 ) ⎨ ⎪( 3 ) ⎪⎩( 4 ) ⎩( 2 ) senc sena senC⎭ tgb tga cos C⎫ tgc tga cos B⎪⎪ ⎬ tgb senc tgB⎪ tgc senb tgC⎪⎭ ⎧( 1 ) cos a cot B cot C⎫ ⎪⎪ ⎨( 2 ) cos B cos b senC⎬ ⎪( 3 ) cos C cos c senB⎪ ⎭⎩ IV Regla de Neper de los elementos circulares Las fórmulas anteriores pueden recordarse mediante la regla enunciada por Neper (fig 14): Puestos los elementos del triángulo esférico en los vértices de un pentágono y en el orden que indica la figura.
o uno tan sólo de ellos cumple con esa condición. un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. cos b 0⎫ cos b 0⎫ ⎬ó ⎬ . En todo triángulo rectángulo. cos c 0⎭ Si la hipotenusa a es obtusa. cos c 0⎭ cos c 0⎭ esférico rectángulo. luego tgb y tgc han de tener siempre el mismo signo que tgB y tgC . será cos a 0 . respectivamente. Se relacionan a. y por la misma razón que en el caso anterior. según que los dos catetos sean de la misma o de distinta especie. b y B mediante la ecuación: cos(90− b) senb sena senB Se relacionan b.2 Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos En todo triángulo esférico rectángulo. tgb senc tgB y tgc senb tgC tenemos los factores senc y senb . siempre positivos. y esto según la formula cos a cos b cos c se cos b 0⎫ cos b<0⎫ verifica si ⎬ó ⎬ . En las fórmulas del grupo III. respectivamente. o los tres lados son menores de 90. por tanto. c y C mediante la ecuación: cos( 90− b) senb cot( 90− c) cot C tgc cot C 3. será cos a 0 . Si la hipotenusa a es aguda. los tres lados son agudos o sólo lo es uno de cos c<0⎭ ellos.Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. Es consecuencia inmediata de la proposición anterior. sólo uno de ellos es agudo. la hipotenusa es menor o mayor En todo triángulo que 90. Facultad de Ingeniería Civil” 36 . por tanto.
cos C sena tga cos c cos b Para que la solución exista es necesario que cos a cos b . y su ángulo opuesto B Utilizando las fórmulas II. III...Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. se tiene cos a senb tgb . hay que elegir el valor que verifique la propiedad "a mayor lado se opone mayor ángulo ". Cumplida esta condición la solución es única puesto que de los dos valores suministrados por senB . Facultad de Ingeniería Civil” 37 .1. Tercer caso. es decir. puesto que cos c ha de estar entre -1 y 1. sale cos a cos b cos c . y III. hay que elegir el B agudo si b<a ó el B obtuso si b>a. II.Conocidos los catetos b y c Utilizando las fórmulas I. senc .1.3.Conocida la hipotenusa a. se deduce senb tgb cos B . II.3 . senC tgB cos b sena senB “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.1. III. y IV. senB .2.3 Resolución de triángulos rectángulos Son seis los casos de resolución: Primer caso. 3. y un cateto b Utilizando las formulas I. tgC tgc senb Segundo caso.4.. tgB tgb senc .Conocido un cateto b.
y IV.Conocido un cateto b y el ángulo adyacente C Utilizando las fórmulas I. para que exista solución es necesario que senb senB . cos B cos bsenC tga cos C La solución es siempre única. tgC cos a El problema siempre tiene solución y es única.Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. tgc tga cos B .Conocida la hipotenusa a.. si existe un triángulo solución.1. Cuarto caso. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.2. Quinto caso. Verificada la condición anterior. IV. y un ángulo B Utilizando las fórmulas II. el adyacente a él por el lado b.1.2 se obtiene tgb . 1 A=90º A=90º c2 b C1 C2 B Este es un caso ambiguo. Facultad de Ingeniería Civil” 38 . III.. también satisface los datos de partida. III. tgc senb tgC .4. se tiene cot B senb sena senB .
Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. IV.1. de donde se deduce que c = 33 40 05" cos c cos b 56 42 21" senb  senB sena  0. Resolver el triángulo esférico rectángulo siendo: a 50 30 30" y b 40 10 10" cos a  0. uno agudo y otro obtuso. cos c senC senB Ejemplo.6956588 . de donde se deducen los valores B =⎨ó 123 17 39" ⎩ De los dos valores que pueden tomarse para B. sale cos a cot B cot C .8358636 . solo es valido el primero. pues al ser a b también ha de ser A 90º B . cos b cos B cos C .. Facultad de Ingeniería Civil” 39 . por tanto C = 45 55 13" cos C tga 3. luego B = 5642´21" tgb  0. Sexto caso. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.Conocidos los ángulos B y C Utilizando las fórmulas IV.8322634 . IV.4 Triángulos esféricos rectiláteros Un triángulo esférico es rectilátero si uno de sus lados es un cuadrante (a = 90 ).3.2.
cos B cos C Resolución de triángulos rectiláteros Las fórmulas anteriores nos permiten resolver los triángulos rectiláteros. se determina el triángulo dado hallando los suplementos de los ángulos y lados de ApBpCp.Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. Proposición Si el lado recto es a. pues si a = 90. sena 1. su triángulo polar ApBpCp es rectángulo en Ap.cot b cot c⎫ ⎪⎪ [I’]⎨(2) cos b= cos B senc⎬ ⎪(3) cos c= cos C senb⎪ ⎭⎩  (1) senB=senA senb  [II’]     (2) senC=senA senc ⎧(1) ⎪(2) [III’] ⎪(3) ⎪⎩(4) tgB=-tgA cos c  tgC=-tgA cos b   tgB=senC tgb  tgC=senB tgc   [IV’]cos A=. Facultad de Ingeniería Civil” 40 . cosa = 0. Resuelto el polar. y los diversos grupos de fórmulas para los triángulos esféricos en general se reducen a las fórmulas siguientes: ⎧(1) cos A=. También se pueden resolver reduciéndolos a los casos de triángulos rectángulos.
C = 180  c p C = 144 29'58' ' “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. a p 180 A 143 34'52'' . y su ángulo suplementario es el vértice C buscado. ap Bp 90º-cp Cp Ap=90º 90º-bp cos a p cot C p cot B p por tanto 1 1 tgB p tgC p cos a p  0.5936842 09781476=0.5807107 luego c p    144 29'58' ' la solución lado obtuso.26414 B p 165 12'13''  b 180  165 12'13'' 14 47'47'' cos (90  c p) senc p sena psenC p por tanto ⎧⎪35 30'02' ' c p senc p =0. Facultad de Ingeniería Civil” 41 . ya que C p < A p c p a p .2427020)  0.2125565(  1. c=102 y calcular la superficie que ocupa él y su triángulo polar sobre una esfera de radio1. Ejemplo. Cp 180 c 78 . no es válida.Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. Resolver el triángulo esférico a=90. A=3625'08".
sólo es válido el valor obtuso pues Bp>Ap bp>ap. C = 81 20´ 39" B = 54 35´ 12".2443) 0. b) a = 72 14´ 28". c) a = 70 29´ 59". a) A=90. b = 153 52´ 42". c = 65 42´ 00" c) A=90.5 Ejercicios propuestos 17.. conocidos la hipotenusa y un cateto. c) c = 59 52´ 00". C = 73 08´ 17" B = 152 09´ 21".Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. B = 16 59´ 31". bp=17128'17''. c = 59 00´ 12" b) A=90.. por tanto. C = 49 23´ 59" B = C = 63 20´ 33'' “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. a = 60 07´ 13".Resolver los siguientes triángulos esféricos rectángulos. a = 75 24´ 11". de los dos ángulos ⎪⎩171 28'17' ' ⎪⎧8 31'43' ' uno agudo y otro obtuso. Facultad de Ingeniería Civil” 42 . b) c = 37 00´ 44". a) A=90. b = 42 10´ 00". b = 59 52´ 00" Solución: a) b = 14 40´ 42".Resolver los siguientes triángulos esféricos. b = c = 59 52´ 00" b) A=90. B = C = 63 20´ 33". siendo el vértice B el ángulo suplementario del bp B = 8 31' 43'' La superficie del triángulo más la de su triángulo polar es r2 π (A B C 180 ) S 180 r 2 (A p B p C p  180 ) 180 r 2 (A B C A p B p C p 360 ) 180 r 2 (36. conocidos dos catetos. a = 52 27´ 10". cos(90  b p ) senb p sena psenB p 0. C = 100 18. b = 40 15´ 12" c) A=90.1483047 b p  . c = 111 49´ 32" Solución: a) a = 75 24´ 11".6325 180 3. B = 44 49´ 11".
b) a = 50 30´ 29". a) A = 90. c2 = 114 18´ 01''. Solución: b = 79 18´ 08". a = 70 30'. c1 = 65 41' 59''. C = 100 Solución: a) C = 102 49´ 24". B1 = 26 15´ a2 = 54 26´. C = 82 14´ 00" b) A=90. a = 107 32´ 10". a) A=90. c = 20 41´ 52" “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. c = 12833'.. conocidos los ángulos. conocida la hipotenusa a y un ángulo. C1=4707´02” a2 = 134 31´ 51". B2 = 153 48´ 20.. C1 =7308'16” a2 = 107 45´ 33''. b = 42 10' 00''. b = 153 52´ 42". c1 = 31 29´ 25". a) A = 90. b = 34 40´23". B = 56 42´ 21". c = 75 06´ 12" c = 30 40´ 05" 21. B= 44 49' 11'' c) A = 90. C2=13252´58” a1 = 72 14´ 27''.Resolver los siguientes triángulos rectángulos. c2 = 14830´35". B = 31 42´ 53". c = 11136´21" c = 11149´32" 22. B = 37 04´ 11" b) A = 90. b = 30 50´ 44".Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. b = 40 10´ 10". C = 45 55´ 13" Solución: a) a = 77 14´ 57".Resolver los siguientes triángulos rectángulos. B = 52 56´32" b) A = 90. b1 = 21 04. C=105 59' Solución: a) b) c) En estos casos existen dos triángulos adyacentes solución: a1 = 45 28´ 09".Resolver los siguientes triángulos rectángulos. conocidos un cateto y su ángulo opuesto. Facultad de Ingeniería Civil” 43 . b2 = 158 56´. b = 35 05´ 01". 19... C2 =10651´44” a1 = 125 33´. b) B = 152 09´ 18".Calcular los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa es a = 80 y la suma de los catetos vale 100.
c=5407'37'' c=9746'00'' B = 2954'32'' B = 11524'05'' B = 12218'05'' e) Solución: a) A = 11743´58". Encontrar el rumbo inicial y la distancia recorrida. B = 4806´06''. c) b = 3603´24". b = 7532´33''. A = 5754' 13''. corta al Ecuador en un punto cuya longitud es 50 O.31 km Rumbo = 140 27´ 22" 25.Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. a = 6034' 05''. b = 5714' 20''. C= 4549´35" C= 10453´ 47" C = 12748´20" C =11206´51" C =6655´47" “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. Solución: d = 4907. c) c = 90. b = 14817' 07''. b) a = 90. Se cumple: 2 2 a) cos C sen a sen(c a) sen(a c) b) tga cos c senb cot B cos b sena C c) sen(a b) 2sen 2 24.) y que navega a lo largo de una circunferencia máxima.. e) b = 11744´12".. a) a = 90. d) c = 90.Resolver los triángulos esféricos a = 90. A = 4250´07''.Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo siendo el ángulo recto A=90 . Facultad de Ingeniería Civil” 44 . A = 3253' 04''.. 23. y longitud 7620' O.Un barco que parte del punto A (latitud 3650' N. c = 11108´56''. d) a = 3535´34". b) A = 10245´03". B = 14909´16''.
CAPÍTULO CUARTO : Problemas 4.2 Problemas propuestos 4.3 Soluciones 46 52 57 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann Facultad de Ingeniería Civil” 45 .Problemas resueltos.1 Problemas resueltos 4.
7731488⇒ C⎨ ⎪⎧50 ⎪ ⎩12938'15'' 21'45'' senC cos b Si a1 = 5113’46’’⇒ c1 = 3704’13’’ por ser b y a1 agudos..Como c2 es agudo también lo es C2 .Resolver los triángulos esféricos rectángulos (A=90). C2=12921’45’’.Problemas resueltos.779660⇒⎨  ⎧⎪51 13'46'' c) sena senB ⎪⎩128 46'14'' tgb  0. 4. con los datos siguientes: a) b=0205’07’’. Si a2=12846’14’’⇒ c2=14255’47’’ por ser b agudo y a2 obtuso.8235809⇒c=3433’34’’ cos C tgb  0.6027941⇒ c⎨ ⎧⎪37 ⎪ ⎩14204'13'' 55'47'' senc tgB cos B  0.3089847⇒C=7200’07’’ tga senb ⎧ ⎫ ⎪senB sena  0.1 Problemas resueltos 1.0366728⇒B=0206’01’’ tgB senc tgc  228. B=5238’34’’ Solución: a) cos a cos b cos c =0. c=8308’56’’ b) a=14321’58’’. Facultad de Ingeniería Civil” 46 .1192107⇒a=8309’12’’ tgb  0. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.3752673⎪ ⎨ ⎬⇒  B=15757’33’’ ⎪⎩B A ⎪⎭ senb  0. b=16703’38’’ c) b=3817’46’’. Por ser c1 <a1 es C1=5038’15’’.7387658⇒C=8944’58’’ tgC senb b) cos c cos a cos b  0.
senA=0.. 2.248976.Resolver el triángulo esférico isósceles de lados: a=5334’18’’. cos a cos b cos c senb senc cos A . cosb=0.46764682B=C=62 07’ 06’’ cosA=0.59381684.751394a=4117’19’’. Solución: De la fórmula del coseno para los lados. C=75 34’59’’ Solución: De la fórmula de los cosenos para los ángulos cos A cos B cos C senBsenC [1 cos C cos A cos B senAsenB cos c [2 cos A cos B cos C senBsenA cos a se obtiene..380868. cosC=0. senC=0.Calcular los lados de un triángulo esférico conocidos los tres ángulos: A=5441’10’’. cos a y de manera análoga se obtienen: cos b cos B cos A cos C senAsenC .24525939A=75 48’ 10’’ 3.621792 c=5133’10’’ “ i N .73360468 en las formulas [1 y [2 se tiene: cosB=0.924629. cosb=0.380868. cos B cos C cos a  cos 2 b sen 2 b [1 cos b  cos a cos b 1  cos acos b senasenb  senasenb [2 Sustituyendo cosa=0. Sustituyendo cosA=0.80460024 y senb=0.664038b=4823’29’’. y siendo los lados b y c iguales se tiene: cos a cos 2 b sen 2 b cos A cos A De forma análoga.968509. en [1 y [2 se tiene: cosa=0.67957646. cosB=0.578055. cosc=0. B=6736’ 45’’. b = c = 4711’22’’. sena=0.Problemas resueltos. senB=0.
sena=0. se tiene: cosA=0. sustituyendo en la fórmula del coseno ⎪cos c=0. senc=0.375614 senbsenc  0.74770152⎬ . ⎧cos a 0. B y C.37782283B=5422’56’’ cosC=0. y ello es debido a no verificarse: c > a-b = 3235’ 5. b = 4141’00’’. senb=0.⎨cos b=0.65985596⎫ ⎪⎪ Por tanto.62178968.66403497.332506 1.58237356A=5422’56’’ cosB=0.24557310C=7547’03’’ “ s N a J B e G . cos A No existe un triángulo esférico para los datos anteriores.Calcular A con los datos siguientes: a = 7416’00’’.l Jorge Basadre Grohmann.. ⎪c− a 1015'51'' Solución: Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se tiene a=4117’20’’ b=4823’30’’ c=5133’11’’.7539211.calcular A.78318427⎪ para los lados.-De un triángulo esférico se sabe: ⎧a b c 14114 '01'' ⎪ . resultado absurdo. c = 3000’00’’ Solución: cos a cos b cos c  0.129643 . 4. Facultad de Ingeniería Civil” 47 Problemas resueltos.
ann. Facultad de Ingeniería Civil” 48 ⎨b− a 0706 '10 '' ⎩ ⎭⎩ .
69182118 el ángulo C: C1=7902’40’’. resultando dos posibles valores para sena 0. c=6015’07’’ y el ángulo A=5128’21’’ de un triángulo esférico.55134911b1=5744’25’’ b2  0.55134911b2=3708’37’’ Para el caso C2 . B1 B2 C1 C2 A b2 b1 Solución: El ángulo C puede ser calculado mediante la fórmula de Bessel senC senA   senc sena senA 0. De la analogía tg 2 2 cot A sen a 2c Para el caso b1 . tg 2 a c sen B  1 2 2C se obtienen los valores de B y B .981775 .74100302B1 73 04'37'' 2 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. y C2=180-C1=10057’20’’ A C 2 cos a c b  A C tg se obtienen: 2 Utilizando las analogía de Neper tg 2 cos 2 senC b Para el caso C1 .Problemas resueltos.. 6.78230928 senc 0.86821565 0. obtener los restantes elementos.Conocidos los lados a=4346’28’’. Facultad de Ingeniería Civil” 49 . C1 . tg 12 0. tg B1  0.
y los lados m y h.Problemas resueltos. y los ángulos C y C’. ya que. Facultad de Ingeniería Civil” 50 .357992)0. que nos permite calcular el lado HM.697295C=4412’37’’ puesto que la solución senb 13547’23’’ no es válida. “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. 7. Para el caso b2 . tg B2  0.la altura h=4215’00’’ y la mediana m=6210’00’’ que parten del vértice A. A b C' B' m h B < C M H > Solución: Del triángulo rectángulo HAM conocemos el ángulo H=90.Resolver el triángulo esférico conociendo el lado a=12010’00’’.466901   0. hallamos el lado HC.. 0 cos m cosh cos HM senhsenHMcos Hcos HM cos m 0.740218( 0. en un triángulo rectángulo. un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.264992b=10521’59’’ 1 senC senH senh senb por tanto senC= senh  0. C2 .630761 cosh 0.39454162B 2 43 03'45'' 2 Existen dos posibles triángulos esféricos solución como se indica en la figura.740218 0 HM=5053’37’’ Del triángulo rectángulo HAC conocemos H=90 y h=4215’. 0 HC  HM 110 58'37' 'cos b cosh cos HC senhsenHCcos H 0 cos b 0.
984896B=8001’45’’ puesto que. Del triángulo rectángulo HAB conocemos H=90 y h=4215’. 0  HM 09 11'23' ' . c=4303’12’’ C=4412’37’’ “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. La solución del triángulo pedido es: a=12010’.233937B’=1331’44’’ por la misma razón senc que el caso anterior. c y el ángulo B’.7402180 0987165 0. A=B’+C’=11759’6’’. 1 senC' senHC  senH por tanto senC'= senb senHC  0. hallamos los lados BH . Facultad de Ingeniería Civil” 51 .730717c=4303’12’’ 1 senh  0.Problemas resueltos.968341C’=10427’22’’ por la misma razón senb que el caso anterior. senB senH por tanto senB 1 senB' senBH  senH por tanto senB'= senc senBH  0. el lado h es senh senc senc agudo su ángulo opuesto B también lo será. cos c cosh cos BH senhsenBHcos H BH 0 cos c 0. b=10521’59’’. B=8001’45’’.
B=820’0’’. Facultad de Ingeniería Civil” 52 . b=c=4711’22’’ 7. c=4000’10’’ 2. 11.-Conocidos a. b=5000’00’’.-Dados los siguientes elementos. 4.Con los siguentes datos. C=8212’03’’ 10. b y c hallar los ángulos del triángulo: a=7635’36’’. resolver el triángulo: A=8908’0’’.-Calcular los tres lados de un triánguloesférico con los datos que siguen: A=5441’10’’. C=880’0’’ 12. resolver el triángulo: a=7635’36’’. b=7113’15’’. calcular los demás elementos.-Dados los siguientes elementos. B=1535’00’’.-Resolver un triángulo con los datos siguientes: “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. a=b=6314’24’’. 4. calcular los tres lados: A=16108’00’’..-Calcular los tres ángulos de un triángulo. c=5402’02’’ 6.Calcular los tres lados conocidos los tres ángulos A=B=C=7357’02’’. C=3415’02’’ 14. calcular los tres lados del triángulo: A=B=5214’24’’. 8.-Resolver el triángulo equilátero de lados a=b=c=6732’08’’. C=7534’59’’.-Con los tres ángulos que siguen.2 Problemas propuestos 1. C=0938’00’’ 9. C=5316’24’’ 13. 5. B=7640’42’’.Con los elementos que siguen.-Resolver un triángulo con los datos siguientes: a=3927’42’’. calcular los tres lados: A=670’0’’. B=6736’45’’. c=6000’00’’ 3.Problemas propuestos. b=5010’30’’.-Con los siguientes datos.Con los datos que siguen.. con los datos que siguen: a=5334’18’’. b=5010’30’’... resolver el triángulo: a=10000’00’’. c=3704’13’’.
resolver el triángulo: a=1246’32’’. b=5010’36’’.-Resolver el triángulo: A=12136’19’’.-Resolver el triángulo: A=100. Facultad de Ingeniería Civil” 53 . B=650’0’’..Con los elementos que se dan a continuación. c=4000’10’’ 25. B=560’0’’. b=4236’10’’. b=3742’50’’. a=80 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. c=57.-Dados los siguientes elementos. b=6536’0’’. a=5324’00’’. c=3814’10’’ 20-Resolver un triángulo con los datos que siguen: A=820’0’’. B=8214’07’’ 16. resolver el triángulo: A=8054’22’’.Con los elementos que siguen. B=7603’03’’. B=4215’15’’. c=1854’08’’. resolver el triángulo: a=7214’10’’. C=5932’00’’ 17. resolver el triángulo: a=4242’12’’. c=2202’02’’.. C=2436’52’’ 23. resolver el triángulo: a=6903’13’’. c=340’0’’ 21.Con los elementos que se dan a continuación. C=3104’17’’ 24. A=12136’19’’ 27..-Resolver el triángulo: a=7635’36’’. b=85. A=3745’0’’ 26. C=270’0’’ 22.-Resolver un triángulo con los datos siguientes: b=11101’00’’. resolver el triángulo: a=380’0’’.-Resolver un triángulo con los datos que siguen: b=7432’14’’.Problemas propuestos. B=8208’16’’. C=8200’30’’ 15.-Dados los siguientes elementos. B=7342’18’’. A=57 18.Con los datos que siguen..Calcular el exceso y defecto esférico del triángulo: a=6431’46’’. A=3654’07’’ 19..
a=16317’55’’ 34.. C=7203’16’’ 36.-Resolver un triángulo con los datos siguientes: b=11431’18’’. resolver el triángulo: a=7642’12’’. a=7635’36’’ 33.-Resolver un triángulo con los datos siguientes: A=11224’32’’. resolver los triángulos rectángulos A=90. resolver el triángulo: a=13236’00’’.B =5238’34’’ d) B =3238’34’’.Siendo conocidos los elementos que siguen.Con los datos que siguen. b=9654’00’’. A=120 31. B=11942’34’’. resolver el triángulo: A=16116’32’’. B=6112’40’’ .Con los elementos del triángulo que se dan a continuación...Con los elementos que siguen. B=12657’15’’. b=5010’36’’. B=15757’33’’ c) b=3817’46’’. C =4218’14’’ 39. resolver los triángulos rectángulos (A=90): a) b=0205’07’’. A=14443’00’’ 29. c=8308’56’’ b) b=16703’38’’.-Resolver el triángulo: A=12135’36’’.Con los datos que siguen.Resolver los triángulos rectángulos (A=90) siguientes: a) a=8309’12’’. estudiar las soluciones: a=7030’10’’. 28..Con los elementos que se dan a continuación. B=15757’33’’ c) a=5113’46’’.Con los datos que siguen. B=0206’01’’ b) c=3433’34’’. a) c=8308’56’’. B=8214’46’’ 35.-Resolver un triángulo con los datos siguientes: b=B=4652’30’’. B=0206’01’’ b) a=14321’58’’. b=100.C=5038’15’’ d) c=7318’36’’ . A=3811’23’’. resolver el triángulo: b=5246’13’’.. Facultad de Ingeniería Civil” 54 . C=7200’07’’ c) B=5238’34’’. C=13651’13’’ 38.. b=7414’35’’.. a=7236’24’’ 37. c=8414’40’’ 32.. A=8241’40’’ 30.Problemas propuestos.C =5038’15’’ “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.
5º Entre Valencia y Cáceres. a) a = 90 . la distancia esférica entre esas dos capitales. entre Madrid y Málaga. Sevilla.En cada uno de los ejercicios debe razonarse en primer lugar si puede o no existir al menos un triángulo esférico con los elementos del enunciado.6 km (radio de la Luna). 4º Entre Valencia y Sevilla. A=8054’31’’ . c = 102 b) a = 6325´36".Problemas propuestos.. b =7814´15''. calcular los elementos restantes. 45.Los cuatro vértices de un cuadrilátero esférico corresponden a Bilbao.-Calcular. a=5432’24’’ y r=1736.Resolver los triángulos rectángulos con los datos siguientes: (A=90) a) c=8309’12’’. A = 3625´08'' . (r=6366) 44. 3º Entre Bilbao y Cáceres. Facultad de Ingeniería Civil” 55 . Valencia. C =9450´53" d) a = 100 . en kilómetros. suponiendo el radio terrestre 6366 km. y las de Málaga 49’55’’ Oeste y 3643’13’’ Norte. 40.. c = 60 “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.Calcular el área del triángulo esférico a=b=c=6732’08’’ y r=2375 km. A = 4009´53" c) a = 57 59´ 36" . (Meridiano inicial es el de Greenwich). 42. C=8944’58’’ b) B=15757’33’’. 43. latitud 3759’03’’N y las de Granada 5’15’’E y 3710’37’’N respectivamente. (radio aproximado de Mercurio). 46. Cáceres.. B = 131 10´ 15''.Calcular la distancia en km. b = 50' . En caso afirmativo.. C=7200’07’’ c) b=3817’46’’.-Las coordenadas geográficas de Murcia son: longitud 233’33’’E. Las coordenadas geográficas de éstas capitales son: Longitud Latitud Bilbao 45’49’’ E 4315’26’’ N Valencia 318’42’’ E 3928’30’’ N Sevilla 218’18’’ O 3723’10’’ N Cáceres 241’ O 3928’22’’ N Calcular las distancias siguientes: 1º Entre Bilbao y Valencia. la longitud del lado c de un triángulo esférico siendo C=7224’52’’. 6º Entre Sevilla y Cáceres. siendo las coordenadas de Madrid longitud 0 y latitud 4024’30’’ Norte. Calcular en Km.c =3704’13’’ 41.. 2º Entre Bilbao y Sevilla.
Demostrar que en un triángulo esférico rectángulo con A 90º se verifica: 1º) tgc cosa = senb cot B a c  tg a c  tg 2 b 2º) tg 2 2 2 50. C = 13210´50''.Demostrar que la bisectriz esférica de un ángulo de un triángulo esférico. C b=54º10' B A=84º30 ' c=104º22' 49.. a = 90 . “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann. a = 11242´36". el área de un triángulo esférico coincide con el área de su triángulo polar.. B = 4754´10".. cuyos senos son proporcionales a los senos de los lados contiguos. a = 10321´. C = 11843´30". a = 7658´55". a = 5736´00".Problemas propuestos. divide al lado opuesto en dos arcos. e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ñ) o) p) a = 13209´32". b = 5620´05''. 51. Facultad de Ingeniería Civil” 56 . a = 77 15´ 10" . c = 8814´15''. Calcular su perímetro sabiendo que su exceso esférico es de 45. c = 72 . A = 3745´00''. A = 2733´15''. a = 38 .. c = 90. b) Bisectriz del ángulo C. c = 7132´. a = 4242´12".En el triángulo esférico rectilátero en el que c = 90. obtener la altura esférica correspondiente al lado c en función de los otros dos lados. c) Mediana sobre el lado c.Sobre una esfera de radio unidad. b = 7644´15''. c = 11221´15''.Dado el triángulo esférico de la figura: Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a: a) Altura sobre el lado c. B = 10021´15''.. A = 67 . A = 10425´00''. b = 7200´36". 48. B = 94 58´ b = 6536´00" C = 7712’ b = 3114´00" C = 10033´60" c = 13220´53" b = 10433´53" B = 6632´57" A = 90 B = 90 c = 100 b = 102 A = 77 47. b = 11122´00''.
Problemas propuestos. B=10448’45’’. 9..a=7635’36’’. C1 =3512’17’’. 5.Existen dos soluciones B1 =5110’16’’.Existen dos soluciones A1 =8437’44’’.A=12136’21’’..B=9424’25’’.b=3358’08’’.a=8540’57’’.A=B=C=7357’01’’. B=C=6207’06 7. C1 =8414’40’’. 14..A=7954’35’’. 18. C=6010’49’’.. B=3840’27’’.A=13815’45’’. C=3415’02’’ C=3549’58’’ C=5544’14’’ c=5133’10’’ c=3103’59’’ c=8422’45’’ c=5148’58’’ c=4000’09’’ c=5902’30’’ b=7001’59’’ c=5732’19’’ a=5409’55’’ A=3654’07’’ C=4533’56’’ C=5255’48’’ A=9259’57’’ A=7337’11’’ C=3415’03’’ c1 =8752’37’’ c2 =3226’12’’ c=4000’03’’ c1 =4716’45’’ c2 =11551’22’’ c=6341’59’’ a1 =8437’44’’ “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.a=7841’35’’.a=6626’21’’.B=4215’18’’. 25. 8..A=B=8015’59’’. b=8026’18’’. c=3512’30 10..3 Soluciones 1.a=4356’54’’. 19. Facultad de Ingeniería Civil” 57 .B=14551’21’’...A=10323’13’’. 16... 31. C1 =11533’58’’..A=6759’10’’.a=4117’19’’.-=142’35’’. b=3531’19’’.No existe triángulo para los datos conocidos. c=1615’12’’. 4. B=5124’58’’.. b=5010’31’’. c=0617’10’’.A=12136’20’’. 6... 22. 3. 20..A=4027’55’’. b=5556’05’’. b=7236’51’’. 27. C=4142’41’’.. 15. B2 =12442’23’’.. C2 =13504’38’’. b=5617’51’’..a=5851’15’’. 12.a=b=c=6732’08’’ 11.No existe triángulo para los datos conocidos. C=3414’58’’. 23. 2.. B=4215’13’’.  =20946’0’’.. C=133’44’’. 13. 24..Existen dos soluciones B1 =5517’37’’..B=7847’07’’. C2 =2857’32’’.. 21. 28.A=7548’10’’.a=b=2723’29’’. B2 =12849’44’’. C=6601’19’’. B=3111’14’’.. 26.. 17.b=1319’33’’. 29.... B=4215’13’’. b=4823’29’’. 30. 4... C=1302’11’’.
a =2947’22’’. 41..Existen dos soluciones a1 =6531’13’’. 32. B =5238’34’’. c2 =5420’33’’. 38. 35. C1 =10759’53’’ C2 =7200’07’’ c =3704’13’’ c1=8308’56’’. a2 =4624’38’’. C1 =14128’17’’ C2 =11449’23’’ C =7328’00’’ c1 =8513’50’’. b) c) b=3817’46’’.B=4215’17’’.. a=14321’58’’. b=0205’07’’. c =1758’40’’. b=0205’07’’. b2 =13419’29’’. 34. 37. a=8309’12’’.1 km 44. 33. c) a=5113’46’’. a2=9650’48’’.. Facultad de Ingeniería Civil” 58 .. c=3704’13’’.1º 470.Existen dos soluciones c1 =14606’26’’.a) b) a=14321’58’’.5 km 45. c =5023’04’’.1571. B=5238’34’’. 36. b=16703’38’’. c2 =3433’34’’. c=8308’56’’..2 km 6º 234. B=0206’01’’. b=16703’38’’.. c2 =9446’10’’.1 km “Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.8 km 4º 541 km C2 =9545’20’’.. c2=9651’04’’.a) b=0205’07’’.b =6446’28’’.36 km 43. A2 =7231’09’’.. a1=8309’12’’. b) c) a=5113’46’’.235. c=3433’34’’.416. A1 =6019’27’’ A2 =4344’35’’ C =1723’54’’ C=8944’58’’ c1 =14526’26’’. a2 =7231’09’’ C=3415’28’’. b) a1 =3638’02’’. C1=8944’58’’ C2=9015’02’’ C=7200’07’’ C=5038’15’’ C=8944’58’’ C=7200’07’’ c=3704’12’’ B=0206’01’’ c=3433’34’’ C=5038’15’’ 2º 702 km 5º 514 km 3º 509..Problemas propuestos...a) b=16703’38’’.. 40.- c) a) a2 =14321’58’’.. c=4000’42’’ b1 =4540’31’’. a=5113’46’’.4120159 km2 42. 39. b =3817’46’’.
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