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tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. plantear. y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. para utilizar y transformar dichas representaciones y. modelar procesos y fenómenos de la realidad. formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros. con ellas. • Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear. • Usar la argumentación. Es decir dominar con ﬂuidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes matemáticos. la prueba y la refutación. • Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo. Estas actividades también integran el razonamiento. identiﬁcar lo relevante en ella. además.
En la enumeración anterior se pueden ver con claridad –aunque en distinto orden– los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas: formular y resolver problemas. posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. Debe aclararse. reformular. expresar y representar ideas matemáticas. Así se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedimientos. razonar.
Los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son: formular y resolver problemas. comunicar. y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. Ello requiere analizar la situación. transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana. En los apartados siguientes se hará mención de cada uno de esos procesos generales desde las particularidades presentes en la actividad matemática que ocurre en su enseñanza y en su aprendizaje. en tanto exigen formular argumentos que justiﬁquen los análisis y procedimientos realizados y la validez de las soluciones propuestas. el ejemplo y el contraejemplo. que esta clasiﬁcación en cinco procesos generales de la actividad matemática no pretende ser
. de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular. y avanzar en el camino hacia la demostración. comunicar. establecer relaciones entre sus componentes y con situaciones semejantes. formular distintos problemas. Este proceso general requiere del uso ﬂexible de conceptos. cuándo y por qué usarlos de manera ﬂexible y eﬁcaz. formular y sustentar puntos de vista. razonar. modelar procesos y fenómenos de la realidad.• Formular. como medios de validar y rechazar conjeturas.
En todas las áreas curriculares pueden considerarse procesos semejantes y en cada una de esas áreas estos procesos tienen peculiaridades distintas y deben superar obstáculos diferentes que dependen de la naturaleza de los saberes propios de la respectiva disciplina.
es clave para el desarrollo del pensamiento matemático en sus diversas formas. para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las demostraciones. tratamiento y resolución de problemas Este es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y no una actividad aislada y esporádica. ni tampoco pretende ser disyunta. En ese sentido. La formulación. para los que los estudiantes mismos tengan que formular las preguntas. gráﬁco o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible. Estos problemas pueden surgir del mundo cotidiano cercano o lejano. porque las situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido. pero no toda representación es necesariamente un modelo. en particular. el estudio y análisis de situaciones problema suﬁcientemente complejas y atractivas. en las que los estudiantes mismos inventen. es decir. el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva. un sistema –a veces se dice también “una estructura”– que puede usarse como referencia para lo que se trata de comprender. el proceso de formular y resolver problemas involucra todos los demás con distinta intensidad en sus diferentes momentos. todo modelo es un sistema. podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas. aunque pueden estarse interpretando en un modelo. o con enunciados narrativos o incompletos. desplegar una serie de estrategias para resolverlos. es decir. que existen traslapes y relaciones e interacciones múltiples entre ellos. Es una construcción o artefacto material o mental. modiﬁcar condiciones y originar otros problemas. más aún. sean más signiﬁcativas para los alumnos. pues esa es la manera de producir nuevas metáforas. analogías. una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo. convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad. pero también de otras ciencias y de las mismas matemáticas. Más bien que la resolución de multitud de problemas tomados de los textos escolares. veriﬁcar e interpretar lo razonable de ellos. en la medida en que las situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y. La formulación. que suelen ser sólo ejercicios de rutina. Es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones o tal vez ninguna. encontrar resultados. Análogamente.
. que pueden darse otros procesos además de los enumerados. aunque cualquier sistema podría utilizarse como modelo. Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados. sin necesidad de manipularlos o dañarlos. por ende. como se verá a continuación. formulen y resuelvan problemas matemáticos. La modelación Un modelo puede entenderse como un sistema ﬁgurativo mental. pero no todo sistema es un modelo. todo modelo es una representación. como sucede con las representaciones verbales y algebraicas que no son propiamente modelos. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o les falte información. símiles o alegorías.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
como creación de nuevos modelos y teorías matemáticas que permitan simular la evolución de una situación real en el tiempo. que podemos llamar “modelos” o “patrones” (“patterns”).
. para poder formular y resolver los problemas relacionados con ella. científicas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente. utilizar procedimientos numéricos. gestualmente.La modelación puede hacerse de formas diferentes. que simpliﬁcan la situación y seleccionan una manera de representarla mentalmente. 611-616. pero la primera puede comenzarse desde el preescolar e irse complejizando en los sucesivos grados escolares. ingeniería. y en la multitud de esos modelos o patrones detectar de nuevo otros más y teorizar sobre sus relaciones para producir nuevas estructuras matemáticas. demografía y similares. (1988) “The science of patterns. 1988). Steen continúa así: “El matemático busca modelos o patrones en el número. Vol. En una situación problema. economía. La segunda forma de entender la matematización y la modelación es más propia de los cursos avanzados de física. Al respecto. Un buen modelo mental o gráﬁco permite al estudiante buscar distintos caminos de solución. esta primera manera de entender la matematización y la modelación es la que se utiliza en los Lineamientos Curriculares y en el presente documento de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. D.” Science. (1977). o si es imposible o no tiene sentido. hasta una forma muy avanzada.
Con respecto a la modelación. en la didáctica de las matemáticas se ha hablado también con frecuencia desde 1977 de “la matematización” de una situación problema. Por lo tanto. en los ordenadores y en la imaginación. A. cómo se relaciona con otras y qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación. Reidel. en el espacio. Esta expresión se suele tomar como sinónimo de “la modelación” y ambas pueden entenderse en formas más y más complejas. Norwell. 240 (29 April. como simpliﬁcación y restricción de la complejidad de una situación real para reducirla a una situación ya conocida. la modelación permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes. estimar una solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a través de cálculos numéricos o algebraicos sí es plausible y signiﬁcativa. de tal manera que se pueda detectar fácilmente qué esquema se le puede aplicar. Mathematics as an educational task. en la ciencia. las matemáticas serían la ciencia de los modelos o patrones (“Mathematics is the science of patterns”). Las teorías matemáticas explican
Freudenthal. H. obtener resultados y veriﬁcar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales. sin poner límites a la producción de nuevos modelos mentales. que van desde una forma muy elemental. Massachusetts. pero para detectar en ella esquemas que se repiten. nuevas teorías y nuevas estructuras. Este primer sentido de la matematización o modelación puede pues entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas. gráﬁcamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos.
La matematización o modelación puede entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas. lo que posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad. a partir de los cuales se pueden hacer predicciones. Steen. con un término introducido por Hans Freudenthal5. L. Lynn Arthur Steen propuso en 19886 una deﬁnición de las matemáticas que va más allá de la descripción usual de ellas como la ciencia del espacio y el número: considera que las matemáticas parten de una base empírica. cientíﬁcas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente.
los operadores y los morﬁsmos conectan un tipo de modelos o patrones con otros para producir estructuras matemáticas perdurables” 7. de tal manera que la dimensión de las formas de expresión y comunicación es constitutiva de la comprensión de las matemáticas8.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
las relaciones entre modelos o patrones. justiﬁcar o refutar esas conjeturas.). proponer interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con argumentos y razones.
Ibid. S. vol. Es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales. problemas. Buenos Aires. pero suele apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos. MEN. las matemáticas no son un lenguaje. en el que los estudiantes compartan el signiﬁcado de las palabras. postulados o principios. págs. Thomas (1992). Bogotá. R. ed. Paidós. (2004). 237-239. Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matemático. el razonamiento se va independizando de estos modelos y materiales. dibujos y otros artefactos. págs. (Original francés publicado en 1995). y puede trabajar directamente con proposiciones y teorías. M. las funciones y los mapas. el razonamiento numérico y. reﬁnarse y comunicarse a través de diferentes lenguajes con los que se expresan y representan. 1. Duval. Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a comprender que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos. 616. México. (Comp. sentidos. Las distintas formas de expresar y comunicar las preguntas.). para tomar conciencia de las conexiones entre ellos y para propiciar el trabajo colectivo. potencian la capacidad de pensar y son divertidas. cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones. se leen y se escriben. eﬁcacia y economía de los lenguajes matemáticos. axiomas. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. En esas situaciones pueden aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar tanto el razonamiento lógico inductivo y abductivo. pero ellas pueden construirse. Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). como el deductivo.
. materiales. Peter Lang-Universidad del Valle. en particular. sino que tienen sentido. Barcelona. o al intentar refutarla por su contradicción con otras o por la construcción de contraejemplos. conceptos y simbolizaciones. págs. New York. 32-42 y 74-83. La enseñanza para la comprensión. Directora General de la Obra. hacer predicciones y conjeturas. son lógicas. “Características problemáticas del currículo escolar de matemáticas” (en inglés). Macmillan. Cali. Pequeños aprendices.. al intentar comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas previamente como teoremas.). Vinculación entre la investigación y la práctica. En: Philip W. Wiske. frases. dar explicaciones coherentes. aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun universales y valoren la eﬁciencia. métricos y geométricos. pág. Handbook of research on curriculum: A project of the American Educational Research Association. se hablan y se escuchan. Ver también el artículo de Romberg. 48-53. el razonamiento proporcional apoyado en el uso de gráﬁcas. El razonamiento El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones. conjeturas y resultados matemáticos no son algo extrínseco y adicionado a una actividad matemática puramente mental. Semiosis y pensamiento humano. La adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un proceso deliberado y cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y explícita sobre situaciones. al formular hipótesis o conjeturas. formas que él llama “registros de representación” o “registros semióticos”. 2 vols. La comunicación A pesar de que suele repetirse lo contrario. no parece posible aprender y comprender dicho contenido9. (2003). Jackson (ed. gráﬁcos y símbolos. sino que la conﬁguran intrínseca y radicalmente. En los grados superiores.). Registros semióticos y aprendizajes intelectuales (2a.
lo cual requiere atención. Uno de estos mecanismos es la alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que prima el procedimental. control. el uso de hojas de cálculo. Todo ello estimula a los estudiantes a inventar otros procedimientos para obtener resultados en casos particulares. es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas. comparación y ejercitación de procedimientos
La formulación. Esto los prepara también para el manejo de calculadoras. Por ello. por lo tanto. procurando que la práctica necesaria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter de herramientas eﬁcaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que. pero sí contribuye a adquirir destrezas en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas. es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas. ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas. seguir la lógica que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera ﬁable y eﬁcaz y cuándo basta utilizar una técnica particular para obtener más rápidamente el resultado. Estas destrezas dan seguridad al alumno y pueden aﬁanzar y profundizar el dominio de dichos conocimientos. Esta reﬂexión exige al estudiante poder explicar y entender los conceptos sobre los cuales un procedimiento o algoritmo se apoya. compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. Para analizar la contribución de la ejecución de procedimientos rutinarios en el desarrollo signiﬁcativo y comprensivo del conocimiento matemático es conveniente considerar los mecanismos cognitivos involucrados en dichos algoritmos.
Así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales. así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales. planeación. Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización. la elaboración de macroinstrucciones y aun para la programación de computadores. ejecución. que requiere de la práctica repetida para lograr una rápida. segura y efectiva ejecución de los procedimientos. veriﬁcación e interpretación intermitente de resultados parciales. pero también pueden perder utilidad en la medida en que se disponga de ayudas tecnológicas que ejecuten dichas tareas más rápida y conﬁablemente. o aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras. Esta comparación permite distinguir claramente la operación conceptual de las distintas formas algorítmicas de ejecutarla y el resultado de dicha operación conceptual del símbolo producido al ﬁnal de la ejecución de uno u otro algoritmo. también llamados “algoritmos”. esta automatización no contribuye directamente al desarrollo signiﬁcativo y comprensivo del conocimiento. pueden modiﬁcarse. compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas.Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina. Otro mecanismo cognitivo involucrado es la reﬂexión sobre qué procedimientos y algoritmos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico y en qué contribuyen a su conceptualización.
y ojalá avanzar hacia a demostración formal. Pero no puede pretenderse que las matemáticas son las únicas que desarrollan el pensamiento lógico en los estudiantes. Introducción a la epistemología genética. el aleatorio o probabilístico y el variacional. El pensamiento matemático (2a. ser matemáticamente competente se concreta de manera especíﬁca en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. en la ﬁlosofía. que utiliza los dos anteriores pero tiene una relación diferente con la realidad y la experiencia. Buenos Aires. eﬁcaz y eﬁciente en el desarrollo de cada uno de esos procesos generales. en la lectura de textos literarios extensos y profundos. Piaget. y Piaget.
. pues ser matemáticamente competente requiere ser diestro. Barcelona. Es pues necesario dejar claro que el pensamiento lógico no es parte del pensamiento matemático. No hay duda pues de que hay una estrecha relación entre el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. probar y refutar. al analizar el proceso general de razonamiento. (1985). (Original francés publicado en 1950). en las ciencias naturales y sociales. es en donde muchos de los niños y las niñas empiezan a desarrollar competencias argumentativas y deductivas más complejas con el ﬁn de defender a su equipo o a su jugador favorito contra las acusaciones de fuera de lugar. B. en ﬁn. ed.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Los aspectos referidos anteriormente con respecto a la expresión ser matemáticamente competente muestran la variedad y riqueza de este concepto para la organización de currículos centrados en el desarrollo de las competencias matemáticas de manera que éstas involucren los distintos procesos generales descritos en la sección anterior. sino que el pensamiento lógico apoya y perfecciona el pensamiento matemático. (1978). en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de competencia. Estos procesos están muy relacionados con las competencias en su sentido más amplio explicado arriba. se mencionó el desarrollo de las competencias argumentativas que implican saber dar y pedir razones. En sus estudios previos sobre la lógica y la epistemología había propuesto que el pensamiento lógico actúa por medio de operaciones sobre las proposiciones y que el pensamiento matemático se distingue del lógico porque versa sobre el número y sobre el espacio11. Además de relacionarse con esos cinco procesos. Tal vez en los deportes. I. y con éste –en cualquiera de sus tipos– se puede y se debe desarrollar también el pensamiento lógico. en cualquiera de las áreas curriculares o de los ejes transversales del trabajo escolar se puede y se debe desarrollar el pensamiento lógico. J. En el aprendizaje del castellano y de las lenguas extranjeras. el espacial. en la sección siguiente.). el métrico o de medida. y aun en el sentido restringido de “saber hacer en contexto”. J. (Original francés publicado en 1955). Tanto el pensamiento lógico como el matemático se distinguirían del pensamiento físico. falta. de la racionalidad y de la argumentación. mano voluntaria u otra violación del reglamento. Paidós. Igualmente. el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico. Jean Piaget estudió la transición de la manera de razonar de los adolescentes de lo que él llamó “el pensamiento operatorio concreto” al “operatorio formal” y propuso un conjunto de operaciones lógico-matemáticas que podrían explicar ese paso10.
Inhelder. De la lógica del niño a la lógica del adolescente. dando lugar a la aritmética y a la geometría. En la primera sección se enunciaron algunos argumentos clásicos y actuales con respecto a la contribución de la educación matemática a la formación integral de los estudiantes: el desarrollo del pensamiento lógico. Paidós. El pensamiento lógico y el pensamiento matemático A mediados del Siglo XX. cuando hay diﬁcultades en la interpretación y la aplicación de los reglamentos de cada uno de ellos.
Para la aritmética se pensó durante siglos únicamente en los números de contar. la deﬁnición. Pero en toda la tradición griega y medieval ya se había distinguido entre la manera de hacer matemáticas con respecto al número: la aritmética. Era pues conveniente distinguir también el pensamiento métrico del pensamiento numérico y del espacial. En especial. el espacial y el métrico. velocidad. ante todo. multiplicación y división. y la manera de hacerlas con respecto al espacio: la geometría. “topos”). Para la geometría se pensó también durante siglos únicamente en la geometría euclidiana. densidad. lo concreto y lo abstracto y lo cotidiano y lo académico. con las operaciones de adición y sustracción. La subdivisión del pensamiento matemático Para los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias podría haber bastado la división entre pensamiento lógico y pensamiento matemático. la geometría euclidiana es un campo muy fértil para el cultivo de la abstracción. de los que se desarrolló una ciencia abstracta del espacio (llamada “topología” por la palabra griega para el espacio o el lugar. temperatura. Con el desarrollo de las matemáticas y luego de la física. (Documento inédito disponible en la OEI).). M. se empezó a notar también que entre los estudiantes de matemáticas había algunos que sobresalían en los aspectos aritméticos y geométricos. OEI. los cuales no necesitaban de las nociones métricas. pero que tenían diﬁcultad en pensar en los conceptos de la probabilidad o en las variaciones continuas de los procesos físicos. Al desarrollarse desde el Siglo XVII la teoría de la probabilidad y el cálculo diferencial e integral. Se notó también que las nociones métricas no se aplicaban sólo a lo espacial (como en el caso de longitud. se notó también que había aspectos espaciales más intuitivos y cualitativos que los de la geometría. por tener una articulación óptima entre lo intuitivo y lo formal. etc. del álgebra abstracta y de otras ramas ya axiomatizadas de las matemáticas. Pareció pues conveniente distinguir también el pensamiento probabilístico o aleatorio y el pensamiento analítico o variacional como tipos de pensamiento matemático diferentes del numérico. la de la argumentación a partir de premisas de las que no se sabe si son verdaderas o no y la de la deducción formal basada en axiomas más o menos arbitrarios y aun contrarios a la intuición espacial o numérica se desarrollan más naturalmente con el aprendizaje de la geometría euclidiana y de las no euclidianas. Bogotá. de la deducción formal a partir de axiomas.
. masa. señala al respecto que. Conferencia en el Seminario de Educación Matemática. de (1995) “Tendencias e innovaciones en educación matemática”. sin subdividir este último. sobre todo en lo que concierna a las argumentaciones y deducciones informales que preparan la demostración rigurosa de teoremas matemáticos a partir de axiomas. área y volumen) sino también a lo temporal (duración y frecuencia) y a otras muchas disciplinas. deﬁniciones y teoremas previos. una de las ﬁguras más inﬂuyentes en la educación matemática en España y en Latinoamérica.Eso no quiere decir que las matemáticas no sean el lugar privilegiado para desarrollar algunos aspectos del pensamiento lógico. presión. aunque muy relacionados con ellos. peso. Miguel de Guzmán12. Estas dos maneras de hacer matemáticas sugieren pues una primera subdivisión del pensamiento matemático al menos en dos tipos: el pensamiento numérico y el espacial. sistematizada en el Siglo IV antes de nuestra era. la axiomatización y. más allá de las ramas tradicionales
Guzmán. La práctica de la deﬁnición cuidadosa de términos técnicos. aceleración. la generalización. especialmente la física y la química (fuerza.
en su devenir histórico “el espíritu matemático habría de enfrentarse con: • la complejidad del símbolo (álgebra) • la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo) • la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad. el aleatorio o probabilístico y el variacional). el pensamiento numérico. el métrico o de medida. y en la probabilidad y estadística. pues –como se indicó arriba– en todos esos cinco tipos es necesario atender al uso y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y. en la geometría. el pensamiento espacial y el métrico. la comprensión del sentido y signiﬁcado de las operaciones y de las relaciones entre números. estadística) • la complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática)”. se propone trabajar con las magnitudes.
. en el álgebra y el cálculo. a la vez que ellos se desarrollan y perfeccionan con los avances en dichos tipos de pensamiento. el pensamiento espacial y el métrico. para el de los números racionales y reales. el pensamiento numérico. mencionando simultáneamente los sistemas conceptuales y simbólicos con cuyo dominio se ejercita y reﬁna el tipo de pensamiento respectivo. se trabaja con el conteo de cantidades discretas y. el pensamiento métrico y el variacional. Se describen a continuación uno por uno estos cinco tipos de pensamiento. • El pensamiento numérico y los sistemas numéricos Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los signiﬁcados de los números y de la numeración.
Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética. en la geometría. en los Lineamientos Curriculares se preﬁrió hablar de los cinco tipos de pensamiento matemático ya mencionados (el numérico. para el estudio de los números naturales. a su vez.
Por todo ello. el pensamiento métrico y el variacional. y en la probabilidad y estadística. en el álgebra y el cálculo. el pensamiento aleatorio. de la medida de magnitudes y cantidades continuas. el progreso en el pensamiento lógico potencia y reﬁna los cinco tipos de pensamiento matemático. puede verse la alusión al pensamiento lógico. sin incluir en ellos el lógico. el pensamiento aleatorio. el espacial. Por ejemplo. además.
Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética. llamado también hipotético-deductivo o pensamiento formal. Dichos planteamientos se enriquecen si. las cantidades y sus medidas como base para dar signiﬁcado y comprender mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. ﬁnalmente. y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
expresado a veces por frases como “3 de 4”.En el caso de los números naturales. o por un decimal como “0. o “3 por cada 4”. los reales y los complejos. El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir. la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o “fraccionarios”). Hoy día se aceptan como una nueva clase de números. así como las notaciones algebraicas para los números irracionales. agrupaciones o reparticiones de estas cantidades. Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor (algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en partes iguales).
Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeración representan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de diﬁcultades didácticas para estos últimos. o con la pareja. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes. y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario. representado usualmente por una fracción como “¾”. aunque de hecho se reﬁeren más bien a los números que resultan de esas mediciones. las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones usuales (adición. separaciones.75”. Entre los Siglos XIV y XIX. y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. En cierto sentido. por ejemplo. Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos en la Educación Básica y Media. el hexadecimal. y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo.
. o “la relación de 3 a 4”. los racionales. y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones. la repetición y la repartición de cantidades discretas. el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales). la separación. se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros. las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano.
Históricamente. Las otras situaciones llevan al número racional como razón. que signiﬁca “razón”). o por un porcentaje como “el 75%”. las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano. en particular. multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión. además de los naturales. Históricamente. Es conveniente recordar. que durante la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números. o por la abreviatura “3:4”. llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”. así como una extensión del concepto de número. la decena o la docena como unidades complejas. los reales y los complejos. la numerosidad o cardinalidad de estas cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple. el octal. sustracción.
que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema uniﬁcado de números racionales e irracionales llamados “reales”. cero o negativo. cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los nuevos sistemas numéricos a partir de su signiﬁcado en los naturales y con sus sistemas de numeración o sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional) no sólo amplía el concepto de número. proposiciones. y del concepto de número racional positivo (también llamado “número fraccionario”) al de número racional más general. Así pues. y por ende.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general. El complejo y lento desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no puede restringirse a grados especíﬁcos del ciclo escolar. Aunque los chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años. “enteros”. o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de referencia. “racionales positivos” (o “fraccionarios”). tanto por medio de decimales inﬁnitos como de símbolos algebraicos. y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos naturales. o negativo. El concepto de número negativo es el resultado de la cuantiﬁcación de ciertos cambios en las medidas de una magnitud. El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número irracional. el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos. la construcción de las nociones de inconmensurabilidad. los cuales permiten conﬁgurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eﬁcaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. conceptos. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas numéricos en interacción con los sistemas de numeración. en los países europeos éstos no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. las relativas a los números irracionales. sobre todo. El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de número. sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las relaciones entre ellos. llamado “imaginario”. identiﬁcado con el cero. con sus operaciones y relaciones apropiadamente extendidas a los nuevos números. “racionales”. cero. a su vez. mucho menos los demás. que también puede ser positivo. este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de diferentes tipos de representaciones numéricas. “reales” y “complejos”. modelos y teorías en diversos contextos. que complementó el de número real y llevó a pensar en un sistema uniﬁcado de números llamados “complejos”. irracionalidad. completitud y continuidad. Éstos. que puede ser positivo. Se fueron conﬁgurando así sistemas numéricos llamados “naturales”. Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos inﬁnitos. sino que todos ellos se van construyendo y
. Igualmente. conﬁgurando así sistemas numéricos diferentes. requieren de diferentes tipos de representaciones y una extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos.
etc. el reconocimiento y ubicación del estudiante en el espacio que lo rodea. en un segundo momento se hace necesaria la metrización. Aportes y Reflexiones. en particular. “La geometría. 56. Paidós Educador.
Ministerio de Educación Nacional (1998). en tanto reﬂexión sistemática de las propiedades de los cuerpos en virtud de su posición y su relación con los demás y. Buenos Aires. representaciones a escala de sitios o regiones en dibujos y maquetas.). de otro lado. entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio.). Lo anterior implica relacionar el estudio de la geometría con el arte y la decoración. pág. sino también a su relación con esos espacios14. las relaciones entre ellos. En este primer momento del pensamiento espacial no son importantes las mediciones ni los resultados numéricos de las medidas. se convertirán en conocimientos formales de la geometría. y sus diversas traducciones o representaciones materiales”13 contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio. Desde esta perspectiva se rescatan. y a medida que se complejizan los sistemas de representación del espacio. hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. los deportes y la danza. Didáctica de las matemáticas. las relaciones topológicas.
utilizando paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media. en lo que Grecia Gálvez ha llamado el meso-espacio y el macro-espacio. sino las relaciones entre los objetos involucrados en el espacio. con el diseño y construcción de objetos artesanales y tecnológicos. Esto signiﬁca un salto de lo cualitativo a lo cuantitativo. lo cual hace aparecer nuevas propiedades y relaciones entre los objetos. y la ubicación y relaciones del individuo con respecto a estos objetos y a este espacio. en un tercer momento. Matemáticas. Gálvez. con la educación física. Lineamientos curriculares. la percepción geométrica se complejiza y ahora las propiedades de los objetos se deben no sólo a sus relaciones con los demás. La psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela primaria”. reﬁriéndose no sólo al tamaño de los espacios en los que se desarrolla la vida del individuo. De esta manera.
. animales u otros fenómenos de la naturaleza) y con otras formas de lectura y comprensión del espacio (elaboración e interpretación de mapas. Posteriormente. MEN.• El pensamiento espacial y los sistemas geométricos El pensamiento espacial. a través de la coordinación entre ellas. En: Cecilia Parra e Irma Saiz (comps. Bogotá. sus transformaciones. sino también a sus medidas y a las relaciones entre ellas. en teoremas de la geometría euclidiana. El estudio de estas propiedades espaciales que involucran la métrica son las que. desarrollar variadas representaciones y. con la observación y reproducción de patrones (por ejemplo en las plantas. pues ya no es suﬁciente con decir que algo está cerca o lejos de algo. entre otras muchas situaciones posibles muy enriquecedoras y motivadoras para el desarrollo del pensamiento espacial. Un acompañamiento pedagógico paciente y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad. Esto requiere del estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos. de un lado. Grecia (1988). sino que es necesario determinar qué tan cerca o qué tan lejos está.
Los sistemas geométricos pueden modelarse mentalmente o con trazos sobre el papel o el tablero y describirse cada vez más ﬁnamente por medio del lenguaje ordinario y los lenguajes técnicos y matemáticos. y del estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas transformaciones. los sistemas geométricos. regiones planas o curvas limitadas o ilimitadas y los Como todos los sistemas. El trabajo con la geometría activa puede complementarse con distintos programas de computación que permiten representaciones y manipulaciones que eran imposibles con el dibujo tradicional. entre los propósitos principales de su estudio está deﬁnir. de cada cuerpo sólido o hueco con sus formas y con sus caras. MEN. La geometría euclidiana fue la primera rama de las matemáticas en ser organizada de manera lógica. las operaciones y transformaciones con las que se combinan. líneas rectas y curvas. de las superﬁcies. deducir y comprender algunas demostraciones. la apropiación por parte de los estudiantes del espacio físico y geométrico requiere del estudio de distintas relaciones espaciales de los cuerpos sólidos y huecos entre sí y con respecto a los mismos estudiantes. Como todos los sistemas. con los cuales se pueden precisar los distintos modelos del espacio y formular teorías más y más rigurosas. Bogotá.
. lados y vértices. Así. y las relaciones o nexos entre ellos. gestos. la geometría activa se presenta como una alternativa para reﬁnar el pensamiento espacial. tampoco se hubiera podido perfeccionar el trabajo con los sistemas geométricos y. La geometría euclidiana puede considerarse como un punto de encuentro entre las matemáticas como una práctica social y como una teoría formal y entre el pensamiento espacial y el pensamiento mé-
Ministerio de Educación Nacional (1998). Sin estos últimos. a su vez. lo cual a su vez posibilita conexiones con los sistemas métricos o de medida y con las nociones de simetría. operaciones y transformaciones con las que se transformaciones y relaciones espaciales: combinan. El pensamiento espacial opera mentalmente sobre modelos internos del espacio en interacción con los movimientos corporales y los desplazamientos de los objetos y con los distintos registros de representación y sus sistemas notacionales o simbólicos. Estos sistemas se expresan por dibujos. bordes y vértices. transforma y utiliza. los geométricos tienen tres aspectos: los elementos de que constan. en donde se destacan los procesos de localización en relación con sistemas de referencia.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Así pues. pág. y las relaciones o nexos entre ellos. las tados pueden considerarse como los elementos de complicados sistemas de ﬁguras. en consecuencia. El trabajo con objetos bidimensionales y tridimensionales y sus movimientos y transformaciones permite integrar nociones sobre volumen. área y perímetro. letras y palabras que se utilizan como registros de representación diferentes que se articulan en sistemas notacionales o sistemas simbólicos para expresar y comunicar los sistemas geométricos y posibilitar su tratamiento. para razonar sobre ellos y con ellos y. Estos modelos con sus teorías se suelen llamar “geometrías”. reﬁnar el pensamiento espacial que los construye. maneja. Lineamientos curriculares. justiﬁcar. entre otras. en tanto se constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación del espacio15. para producir nuevos reﬁnamientos en los sistemas geométricos. Matemáticas. 57. Los puntos. semejanza y congruencia. regiones y ﬁguras planas con sus fronteras. Por ello. los geométricos tienen cuerpos sólidos o huecos limitados o ilimitres aspectos: los elementos de que constan.
el inglés y su variante norteamericana y. Por ello. • La asignación numérica. como el francés. En los Lineamientos Curriculares se especiﬁcan conceptos y procedimientos relacionados con este tipo de pensamiento.
trico. • La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes. • La diferencia entre la unidad y los patrones de medición. así como la expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación cientíﬁca. Históricamente. las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana. de patrones y de instrumentos y procesos de medición.. el SI (Sistema Internacional de unidades y medidas). • El papel del trasfondo social de la medición16. que fueron luego estandarizadas para el comercio y la industria. Sin embargo. pág. que es el más extendido actualmente. En relación con los anteriores conceptos y procedimientos.• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades. el pensamiento espacial y el métrico encuentran en la geometría euclidiana un lugar privilegiado –aunque no exclusivo– para el desarrollo del pensamiento lógico y éste. el inglés y el norteamericano siguen siendo muy utilizados en todo el mundo y muchos de los antiguos sistemas locales subsisten más o menos adaptados a las unidades internacionales. el pensamiento métrico se perfeccionó con el reﬁnamiento de las unidades de medida de longitud. • La apreciación del rango de las magnitudes. su medición y el uso ﬂexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. 63. el ruso. tomadas al comienzo de partes del cuerpo y por tanto muy diversas en cada región y cultura. es importante destacar que la estimación de las medidas de las cantidades y la apreciación de los rangos entre los cuales puedan ubicarse esas medidas trascienden el tratamiento exclusivamente numérico de los sistemas de medidas y señalan la estimación como puente de relaciones entre las matemáticas. el tratamiento del error. a su vez. después de la Revolución Francesa. más recientemente. la valoración de las cifras signiﬁcativas y el uso de técnicas de encuadramiento. se empezó a diseñar un sistema decimal de pesos y medidas que tuvo varias etapas y conﬁguraciones. Se conﬁguraron en distintas regiones y países muchos sistemas de unidades y medidas o sistemas métricos. el español. en contextos en los que no se requiere establecer una medida numérica exacta. como el sistema CGS (centímetro-gramo-segundo) y el MKS (metro-kilogramo-segundo) y. • La selección de unidades de medida. • La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes y los aspectos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”. como: • La construcción de los conceptos de cada magnitud. Otros aspectos importantes en este pensamiento son la integración de la estimación con los procedimientos numéricos de truncamiento y redondeo. como se dijo al tratar sobre el pensamiento lógico. Así pues. el pensamiento mé-
. potencia y reﬁna los dos primeros.
voltio. mili-. desbordan el campo de las matemáticas y requieren del desarrollo del pensamiento cientíﬁco y del aprendizaje de algunos contenidos de la física. kilo-. en particular del SI. como ya se indicó arriba. con lo que al cuidado del medio ambiente se reﬁere. centena. que son mayores (múltiplos) o menores (submúltiplos) de dicha unidad básica. ni éstos reﬁnarse sin las notaciones. del metro) y su correspondencia con las unidades superiores del sistema métrico decimal (decena. entre unidades y patrones de medida. con punto y en notación cientíﬁca. tablas. etc. milésima. metro cúbico. algunas de las cuales. sus procesos de medición y facturación y las unidades respectivas (litro. centi-. el área. como por ejemplo. El estudio de esas primeras magnitudes muestra que el pensamiento métrico no se limita a las matemáticas. hecto-. centésima. en una interacción dialéctica constante y cambiante. de riesgo o de ambigüedad por falta de información conﬁable.) y con las unidades inferiores (décima. sino que se extiende también a las ciencias naturales y sociales. En lo que respecta al aprendizaje de sistemas de medida y. etc. es necesario establecer diferencias conceptuales entre procedimientos e instrumentos de medición. kilovatio.) y submúltipos (deci-. Igualmente. De esta manera. identiﬁcar cuándo se está haciendo un gasto innecesario de ellos. es importante el reconocimiento del conjunto de unidades de medida que se utilizan para cada una de las diferentes magnitudes (la velocidad. ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre. etc. la densidad. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y procedimientos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial. etc. Así se construyen herramientas conceptuales para el análisis y la ejercitación de la equivalencia entre medidas expresadas en distintas unidades y la explicitación de las relaciones pertinentes del SI con el sistema de numeración decimal en sus diversas formas escriturales: con coma. abordándolos con un espíritu
. registros. explicar las razones por las cuales pudo haberse incrementado el gasto y proponer medidas eﬁcaces para el ahorro del agua. abreviaturas y otros sistemas notacionales o simbólicos. amperio. y entre la precisión y la exactitud de una medición.) de la unidad básica (en este caso. De especial importancia son aquellas magnitudes que tienen estrecha relación con aspectos claves de la vida social. de azar. etc. • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos Este tipo de pensamiento. vatio. e indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. todo lo relacionado con los servicios públicos.). y no sólo de las magnitudes más relacionadas con la geometría: la longitud. el volumen y la amplitud angular). llamado también probabilístico o estocástico. unidad de mil. en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. en tanto conviene tener elementos conceptuales claros para hacer un uso racional de los servicios públicos. el pensamiento métrico está estrechamente relacionado con las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales y con las competencias ciudadanas. Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura. en particular. kilovatio-hora). la temperatura. el gas y la energía eléctrica. En cada conjunto de unidades del SI para cada magnitud hay una unidad que sirve de base a las otras.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
trico no puede trabajar sin sistemas de medidas o métricos.. Esas relaciones entre el sistema de numeración decimal y cada sistema de unidades del SI para una determinada magnitud (por ejemplo la longitud) se indican por los preﬁjos que expresan los múltiplos (deca-.
desarrollan en los estudiantes la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o azarosas y permiten reﬁnar las mediciones de la probabilidad con números entre 0 y 1. fallas mecánicas. por ello. de la ocurrencia de los terremotos. esas situaciones y procesos pueden modelarse por medio de sistemas matemáticos relacionados con la teoría de probabilidades y la estadística. junto con el registro de diferentes resultados de un mismo juego. si acaso existen. Las situaciones y procesos que permiten hacer un conteo sistemático del número de combinaciones posibles que se puedan asumir como igualmente probables.
de exploración y de investigación mediante la construcción de modelos de fenómenos físicos. de los accidentes. epidemias y enfermedades. así como los intentos de interpretación y predicción de los mismos a partir de la exploración de sistemas de datos. que les permitirá interpretar. como sí lo es el desarrollo del pensamiento aleatorio. que se presenten en la televisión o que aparezcan en pantalla o en hojas impresas como productos de los distintos programas de análisis de datos. que comienzan con asignar probabilidad 0 a la imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia. si acaso existen. y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones.
En las experiencias cotidianas que los estudiantes ya tienen sobre estos sucesos y estos juegos. como es el caso de los estados del tiempo. Los sistemas analíticos probabilísticos y los métodos estadísticos desarrollados durante los siglos XIX y XX se han reﬁnado y potenciado en los últimos decenios con los avances de la computación electrónica y. Más tarde. y el estudio de los sistemas de datos por medio del pensamiento aleatorio llevó a la estadística inferencial y a la teoría de probabilidades. y asignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia. de las elecciones por votación.
El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas específicos en las repeticiones de eventos o sucesos. como es el caso de los estados del tiempo. y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones. asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se consideran igualmente probables. Estas estimaciones conforman una intuición inicial del azar y permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o sucesos. de los resultados de dispositivos como los que se usan para extraer esferas numeradas para las loterías y de las técnicas para efectuar los lanzamientos de dados o monedas o para el reparto de cartas o ﬁchas en los juegos que por esto mismo se llaman “de azar”. huracanes u otros fenómenos de la naturaleza. analizar y utilizar los resultados que se publiquen en periódicos y revistas.El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas especíﬁcos en las repeticiones de eventos o sucesos. sociales o de juegos de azar y la utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos. así sean inicialmente un poco arbitrarias. la simulación de experimentos y la realización de conteos. hoy día ya no es tan importante para los estudiantes el recuerdo de las fórmulas y la habilidad para calcular sus valores. El manejo y análisis de los sistemas de datos se volvió inseparable del pensamiento aleatorio. empiezan a tomar conciencia de que su ocurrencia y sus resultados son impredecibles e intentan realizar estimaciones intuitivas acerca de la posibilidad de que ocurran unos u otros. El empleo cada vez más generalizado de las tablas de datos y de las recopilaciones de información codiﬁcada llevó al desarrollo de la estadística descriptiva.
En particular la relación con otros pensamientos aparece con mucha frecuencia. este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento. no es ya necesario aprender las fórmulas y procedimientos matemáticos para calcular la media o la mediana. formas o sonidos. con el ﬁn de intentar predecir dentro de ciertos rangos el curso de los acontecimientos respectivos y de tomar decisiones lo más razonables posibles ante la imposibilidad de saber con certeza lo que va a pasar. El desarrollo de este pensamiento se inicia con el estudio de regularidades y la detección de los criterios que rigen esas regularidades o las reglas de formación para identiﬁcar el patrón que se repite periódicamente. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio. de medidas y de datos y porque todos estos sistemas. a su vez. sino avanzar gradualmente en el desarrollo de habilidades combinatorias para encontrar todas las situaciones posibles dentro de ciertas condiciones. porque la variación y el cambio. la unidad que se repite con regularidad da lugar a un patrón. resumir y diagramar sistemas de datos estadísticos y tratar de extraer de ellos toda la información posible con la ayuda de calculadoras. pueden presentarse en forma estática o en forma dinámica y variacional. la percepción. y en la modelación de procesos de la vida cotidiana. algoritmo o fórmula. Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Por ello. la varianza o la desviación estándar. del cálculo diferencial e integral. del sistema de los números reales. fundamentales en la construcción de las funciones de variable real). se desarrolla la capacidad para identiﬁcar en qué consiste la repetición de mismo patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto procedimiento. gráﬁcos o algebraicos. el espacial. en especial a través del proceso de modelación de procesos y situaciones naturales y sociales por medio de modelos matemáticos. aunque se representan usualmente por medio de sistemas algebraicos y analíticos. el de medida o métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias. icónicos. así como en dominar los conceptos y procedimientos necesarios para recoger. El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pensamiento matemático (el numérico. modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos. sucesos. estimar si son o no igualmente probables y asignarles probabilidades numéricas. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos signiﬁcativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos. • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos Como su nombre lo indica. requieren de conceptos y procedimientos relacionados con distintos sistemas numéricos (en particular. así como con su descripción. las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. la identiﬁcación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos.
. en la Educación Media. Al identiﬁcar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias. hojas de cálculo y otros programas de análisis de datos. ya sean verbales. geométricos. uno detrás de otro en un orden ﬁjado o de acuerdo a un patrón. para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y. De esta manera. estudiar.
algoritmo o fórmula que permita reproducir el mismo patrón. Esta primera aproximación a la noción la función es la de dependencia funcional entre magnitudes variables. o por medio de dibujos y otras representaciones.. en algunos casos. procurar expresar ese término. que actúan como intermediarias en la construcción general de los procedimientos. como constante. calcular los siguientes términos. El estudio de los patrones está relacionado con nociones y conceptos propios del pensamiento variacional. conﬁrmar o refutar las conjeturas iniciales e intentar generalizarlas..
El estudio del cambio también se puede iniciar en la Educación Básica Primaria a través del análisis de fenómenos de variación (por ejemplo. sucesos. algoritmos o fórmulas que deﬁnen el patrón y las respectivas reglas que permiten reproducirlo.
. Labor. Las actividades de generalización de patrones numéricos. e intentar formular un procedimiento.
Mason. pero éstas también se expresan por medio de otros tipos de representaciones como las gestuales. Esta manera de acercarse al pensamiento variacional está muy relacionada con el manejo de los sistemas de datos y sus representaciones. L. permite coordinar cambios de una magnitud Y con cambios de una magnitud X. En la Educación Básica Secundaria. entre otras. como las relaciones entre edad y altura de un niño (o entre edad y masa o peso corporal). dependencia e independencia de una variable con respecto a otra. las numéricas (tablas). y Stacey. formas o sonidos.Para desarrollar este pensamiento desde los primeros niveles de la Educación Básica Primaria son muy apropiadas. uno detrás de otro en un orden fijado o de acuerdo a un patrón. entre la temperatura a lo largo de un día y la hora que marca un reloj. o mejor los dos o tres términos siguientes. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. y con los distintos tipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones. El estudio de las relaciones funcionales que pueden detectarse en la vida cotidiana. como las lineales y las aﬁnes (o de gráﬁca lineal). (1992). el sistema de representación más directamente ligado con las variaciones es el sistema algebraico. oralmente o por escrito. función. llegar a precisar la magnitud de los cambios y aun la tasa de cambio en relación con el tiempo. exploración y manipulación de los números y las ﬁguras en los cuales se basa el proceso de generalización17. hacer conjeturas sobre la forma o el valor del siguiente término de la secuencia. las gráﬁcas (diagramas) y las icónicas. las del lenguaje ordinario o técnico. Por el análisis cuidadoso de esas representaciones se puede identiﬁcar la variación que ocurre y. Barcelona. así como con las relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones. las polinómicas y las exponenciales. etc. números o letras. aumenta o disminuye la forma o el valor en una secuencia o sucesión de ﬁguras. variable. el crecimiento de una planta durante un mes o el cambio de la temperatura durante el día o el ﬂujo de vehículos frente a la institución durante una mañana) representados en gráﬁcas y tablas. geométricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las ﬁguras involucran la visualización. Pensar matemáticamente. Burton. las siguientes actividades: analizar de qué forma cambia. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico mucho antes de llegar al séptimo y octavo grado. razón o tasa de cambio. J. K.
Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos.
en el cual se sitúa el
. El desarrollo del álgebra en los Siglos XVI y XVII y el del cálculo diferencial e integral en los Siglos XVII y XVIII mostraron también que el pensamiento variacional no se podía reﬁnar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél. sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas. el cálculo algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación de los valores de las mediciones de cantidades relacionadas funcionalmente. ecuaciones. los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones. el campo de variación de cada variable y las posibles relaciones entre esas variables. términos. De esta manera.– que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en la resolución de problemas. o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad y el carácter antisimétrico y transitivo de la desigualdad). en las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento. todo lo cual se relaciona con el pensamiento lógico y el pensamiento cientíﬁco. etc. Los objetos algebraicos. se reconstruyen como representaciones de funciones y las ecuaciones e inecuaciones se reinterpretan como igualdades o desigualdades entre funciones. también se dan múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas. El desarrollo del pensamiento variacional. pero indispensable para caracterizar aspectos de la variación tales como lo que cambia y lo que permanece constante. Además. Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables. tablas. fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones. dadas sus características. Es necesario señalar que el desarrollo de este pensamiento debe también atender al estudio de las actividades matemáticas propias de los procesos inﬁnitos. es lento y complejo. por útiles. la puesta a prueba de las mismas. como por ejemplo los términos algebraicos. su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización. ingeniosos e interesantes que sean dichos juegos. por ejemplo). parámetros. Es importante también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana. para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición. La relación del pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos muestra que el álgebra es un sistema potente de representación y de descripción de fenómenos de variación y cambio y no solamente un juego formal de símbolos no interpretados. las variables que intervienen. constantes. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de ciertas representaciones matemáticas –gráﬁcas.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el estudio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. pues son éstos los que caracterizan el campo conceptual del análisis matemático. inecuaciones o desigualdades. De aquí que las múltiples relaciones entre la producción de patrones de variación y el proceso de modelación –y particularmente el estudio de las nociones de variable y de función– sean las perspectivas más adecuadas para relacionar el pensamiento variacional con el cálculo algebraico en la Educación Básica Secundaria y con la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral en la Educación Media.
químicos y físicos que utilicen expresiones algebraicas. posibilitan que los procesos de aprendizaje de las matemáticas se den a partir de la construcción de formas generales y articuladas de esos mismos tipos de pensamiento matemático.cálculo diferencial e integral que se suele introducir en el grado 11. ya se señaló a propósito del pensamiento numérico cómo el tratamiento de las magnitudes cobra fuerza en el aprendizaje del concepto de número (medir y contar como base para su aprendizaje). el estudio de las propiedades de los números y sus operaciones y de la manera como varían sus resultados con el cambio de los argumentos u operandos. sobre las cantidades y magnitudes que ellos representan en el contexto del problema que se pretende resolver) y de las relaciones entre ellos (al comparar números es conveniente comparar longitudes de segmentos y trazos o marcas en una recta numérica). de las operaciones entre números (al operar no solo se opera sobre números. de intervalos de valores aceptables. la continuidad. de problemas de estimación de posibles valores en el contexto de medidas de longitudes. todo lo cual prepara a los estudiantes para conceptualizar el límite. Por tal razón es necesario incorporar tempranamente a los estudiantes en el estudio de los conceptos fundamentales de ese campo y de las técnicas y métodos de estimación y de aproximación. Entre los elementos integradores de mayor relevancia se pueden destacar: • El estudio de la variación como una base fundamental para acceder a los procesos de generalización propios de cada uno de los pensamientos. lo cual se logra articulando la búsqueda de soluciones no exactas. sino también. al reconocimiento de las magnitudes y de las medidas de las cantidades asociadas. la derivada como tasa de cambio instantánea y la integral deﬁnida como límite de una suma. El estudio de la variación hace necesaria una referencia a la identiﬁcación de variables. y por tanto. a la vez. • El tratamiento de las magnitudes y sus procesos de medición se constituyen en la base conceptual sobre la cual se organizan los procesos conceptuales de cada pensamiento. por ejemplo. Así. Ya desde el comienzo de la Básica Secundaria cobra especial importancia el estudio de los números decimales como sistemas de representación de valores aproximados y como expresiones inﬁnitas para números racionales e irracionales. así como el cálculo del área del círculo. se proponen como procesos de abstracción y generalización a partir del análisis de lo que es invariante en medio de los aspectos variables de un conjunto de situaciones. o de los objetos de la geometría y sus características y de la manera como cambian las medidas de las cantidades asociadas con las transformaciones de esos objetos. conos y esferas y de las áreas exteriores de los mismos. áreas y volúmenes y de modelos matemáticos de procesos biológicos. En este sentido. de los volúmenes de cilindros. pero ganarían mucho en ﬂexibilidad y generalidad y atraerían más el interés de los estudiantes si se presentan en forma dinámica y variacional. Se refuerza así a la estimación como núcleo conceptual importante en el desarrollo del pensamiento numérico. Relaciones entre los cinco tipos de pensamiento matemático Los cinco tipos de pensamiento descritos anteriormente tienen elementos conceptuales comunes que permiten el diseño de situaciones de aprendizaje –y en particular de situaciones problema– que integren los diferentes pensamientos y que. Muchos de los conceptos de la aritmética y la geometría se suelen presentar en forma estática.
determinar su comportamiento a lo largo de su posible conjunto de valores. densidad. al ambiente local. ventanas. en particular. Igualmente. Por ello también se podría decir. muebles
Ministerio de Educación Nacional (1998). 36. se reﬁere tanto al contexto más amplio –al entorno sociocultural. y por lo tanto. con las demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas. Matemáticas. en tanto que se deben identiﬁcar variables. al métrico y al aleatorio. desde donde se establecen conexiones con la vida cotidiana de los estudiantes y sus familias. regional. esta aproximación hace que los conceptos relativos al pensamiento métrico se relacionen de manera directa con el numérico y sirvan de puente para el estudio de las disciplinas cientíﬁcas naturales y sociales. procesos y procedimientos relativos a cada pensamiento. La palabra contexto. discriminar entre las variables independientes y las dependientes. Lineamientos curriculares. como se dijo con respecto a los procesos generales y a los tipos de pensamiento. De otra parte. argumentar y construir conocimiento en forma signiﬁcativa y comprensiva.. la distribución de las variables independientes para predecir el posible comportamiento de las variables dependientes para distintos rangos de valores de las dependientes. volumen. velocidad. formular. con las demás actividades de la institución educativa y. tal como se utiliza en los Lineamientos Curriculares18. creado por la disposición de las paredes. • El tratamiento de las situaciones que involucran fenómenos estocásticos hace necesario el recurso a conceptos relacionados con el pensamiento variacional. discutir. principalmente al numérico. muestran que en la mayoría de las situaciones cotidianas lo que se necesita es tener una buena estimación del rango de magnitud de un resultado y no tanto un resultado exacto. y determinar. 41 y 42. que hay al menos tres tipos o niveles de contexto o. págs. a partir de las cuales los alumnos puedan pensar. MEN. 38. a otras áreas. si se preﬁere.
. que hay tres contextos distintos pero muy relacionados entre sí: el contexto inmediato o contexto de aula. puedan entenderse como funciones de otras magnitudes más simples.
El contexto del aprendizaje de las matemáticas es el lugar –no sólo físico. al igual que el recurso a los conceptos numéricos. con la creación de situaciones referidas a las matemáticas. Bogotá. a la vida escolar y al mismo entorno sociocultural.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
• La estimación y la aproximación son dos procesos presentes en los diferentes pensamientos. etc. dentro de las posibilidades del fenómeno. sino ante todo sociocultural– desde donde se construye sentido y signiﬁcado para las actividades y los contenidos matemáticos. Ellas son elementos fundamentales en la construcción de los conceptos. llaman la atención sobre el carácter inexacto e incompleto de muchos de los resultados de las matemáticas y de otras ciencias.. aceleración. y ayudan a organizar formas de pensamiento ﬂexibles asociadas a contextos particulares. etc. nacional e internacional– como al contexto intermedio de la institución escolar –en donde se viven distintas situaciones y se estudian distintas áreas– y al contexto inmediato de aprendizaje preparado por el docente en el espacio del aula. • El tratamiento de los conceptos relativos a la medida de magnitudes compuestas a partir de las relaciones funcionales con respecto a las magnitudes fundamentales que las componen hace que conceptos como el de área. o a situaciones hipotéticas y aun fantásticas.
los conceptos y procedimientos de las matemáticas. Así pues. empleados administrativos y directivos. los contextos. en cada situación problema. las estrellas. docentes. el país y el mundo. las tradiciones y los saberes de los estudiantes. las normas de convivencia. y el contexto extraescolar o contexto sociocultural. los tipos de pensamiento con sus sistemas conceptuales y simbólicos más aﬁnes y los procesos generales de la actividad matemática se entrecruzan en cada clase. sino que se extiende al país y a todo el planeta Tierra. Esta recomendación suele entenderse como la búsqueda de una relación cercana con el contexto extraescolar o sociocultural de los estudiantes. conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local. proyecto de aula o período académico. Igualmente. proyectos de aula. el currículo explícito de las distintas áreas curriculares y el llamado “currículo oculto” de la institución. el sistema solar. o sea. en particular con las actividades que ocurren en las clases de distintas áreas curriculares como el lenguaje. actividades y otras situaciones de aprendizaje. de la región. pero que pueden estar muy bien contextualizadas en el ambiente de estudio e investigación matemática que el docente ha logrado crear en el contexto inmediato de su aula. pues para muchos estudiantes el espacio. reﬂejan los que tradicionalmente se habían llamado “los contenidos del área”. por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema preparada por el docente. pero involucran también los procesos generales. en cada unidad temática. En la misma forma. A su vez. pero no puede olvidarse que este contexto extraescolar o sociocultural no se reduce al vecindario. Cuando se habla de preparar situaciones problema. en las que es necesario tomar continuamente en el curso de la misma y en las que se toman después de ella como resultado de la evaluación que el docente hace de sus alumnos y del éxito de la actividad misma. Esta útil recomendación de tener muy en cuenta el contexto extraescolar o sociocultural para el diseño y planeación de las actividades y situaciones de clase no puede servir de excusa para no trabajar también situaciones problema relacionadas con el contexto escolar o institucional. ante todo en la toma de decisiones previas a la realización de cada actividad. el contexto escolar o contexto institucional. los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas se distribuyen según los tipos de pensamiento y sus sistemas. de las cuales pueden tomarse provechosamente muchos temas y situaciones muy bien contextualizadas para el trabajo matemático.y materiales. conﬁgurado por los escenarios de las distintas actividades diarias. la educación física y la artística. la competencia profesional del docente de matemáticas se muestra precisamente en su manera de navegar en medio de tantas corrientes y vientos cruzados. los planetas. unidades o proyectos integrados. al municipio.
. constelaciones y galaxias son tan cercanas a su interés y a sus afectos como los accidentes geográﬁcos de sus pueblos y ciudades. las ciencias sociales y las naturales. al departamento o a la región. dicha relación es importante para despertar su interés y permitirles acceder a las actividades con una cierta familiaridad y comprensión previa. dentro del ambiente de trabajo que se crea en la clase de matemáticas se pueden diseñar situaciones problema que a un observador externo le pueden parecer puramente teóricas y alejadas del contexto extraescolar o del sociocultural. y se reﬁeren a los contextos en los cuales se pueden alcanzar y ojalá superar los niveles de competencia seleccionados como estándares para cada conjunto de grados. así como por el PEI. la arquitectura escolar. y tal vez al universo entero. se suele decir que éstas deben ser adaptadas al contexto o tomadas del contexto.
). a continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones. sino que tienen que ser interpretados activamente por los estudiantes. gráﬁcas. En sus experiencias con el tratamiento de una situación bien preparada. analizar. la actividad estimulada por la situación permite avanzar y profundizar en la comprensión. Es importante señalar que un mismo contenido matemático
. gestuales. conjeturas o hipótesis. pero éstos no son evidentes en sí mismos. modelar y reformular la situación. utilizar materiales manipulativos.
Las situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo en las matemáticas escolares son situaciones que superan el aprendizaje pasivo. gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemático signiﬁcativo y comprensivo –y en particular situaciones problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen con sus compañeros. representativos y tecnológicos. Por su parte. algebraicas. En esta interpretación intervienen tanto factores sociales y culturales propios de la clase de matemáticas. redactar y presentar informes. investigaciones. interpretar y transformar representaciones (verbales. el conocimiento surge en ellos como la herramienta más eﬁcaz en la solución de los problemas relacionados con la misma. En la comunidad de educadores matemáticos se distingue hoy claramente entre situación y actividad. Por situación se entiende el conjunto de problemas. producir. proyectos. En este sentido. profesores y materiales para reconstruir y validar personal y colectivamente el saber matemático. en las habilidades y en las actitudes de los estudiantes. instrucciones y relatos que se elaboran basados en las matemáticas. por tanto. formular preguntas y problemas. comparar y discutir resultados producidos con o sin computador. gracias a que generan contextos accesibles a los intereses y a las capacidades intelectuales de los estudiantes y. formular estrategias de solución y usar productivamente materiales manipulativos. modelos y problemas. La situación problema apunta siempre a distintos contenidos y hacia diversas estructuras matemáticas. la enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cual el docente planea. tabulares. tales como deﬁnir estrategias para interpretar. calcular con lápiz y papel o emplear calculadoras y hojas de cálculo u otros programas de computador. el aprendizaje y la evaluación
Conforme a los planteamientos expuestos en el apartado anterior. les permiten buscar y deﬁnir interpretaciones. como los que median a través del ambiente de aprendizaje y el clima institucional y los que provienen del contexto extraescolar. etc. construcciones. la actividad se reﬁere al trabajo intelectual personal y grupal de los estudiantes. en otras ciencias y en los contextos cotidianos y que en su tratamiento generan el aprendizaje de los estudiantes. en una palabra: en las competencias matemáticas. Para comprender de forma más detallada cómo y qué aspectos deben impulsarse.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Sobre la enseñanza. explicar. etc. justiﬁcar (y aun demostrar) o refutar sus conjeturas e hipótesis.
de las fracciones y sus diversas interpretaciones. Así al docente le parezca que las concepciones previas son erróneas.
El aprendizaje se propone como un proceso activo que emerge de las interacciones entre estudiantes y contextos. no dispone de otra base para que el estudiante mismo inicie activamente sus procesos de aprendizaje. o sea. que el estudiante vive en la tensión entre lo que ya sabe o cree saber y lo que se le propone para aprender.La importancia de la naturaleza y la variedad de situaciones es un aspecto determinante para la calidad de las actividades de los estudiantes. pero en ningún caso descaliﬁcarse o ser objeto de burla o reprensión por parte de profesores y compañeros. reconstruirse. son la base de su proceso de aprendizaje. Por ello se enfatiza en el diseño de situaciones matemáticas que posibiliten a los estudiantes tomar decisiones. Estas formas de interacción tienen importancia capital para la comunicación y la negociación de signiﬁcados. seguridad y confianza hacia las matemáticas
Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto. estos saberes previos deben ampliarse a redes conceptuales más generales.
Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto. generar discusión y desarrollar la capacidad de justiﬁcar las aﬁrmaciones con argumentos. las potencialidades mínimas y las actitudes negativas. sus concepciones previas. sus potencialidades y sus actitudes. genera en él una posición activa y una actitud positiva para enfrentar esos nuevos aprendizajes. por los materiales utilizados y por las formas de enseñanza. grados y colegios. guía y apoyo de los docentes que median en el tratamiento de la misma. como es el caso de la multiplicación y sus diversos signiﬁcados. sus concepciones previas. o incluso descartarse como inútiles por el mismo estudiante. Esta construcción y reconstrucción de sentidos y signiﬁcados matemáticos. Es necesario señalar que las actividades de los estudiantes están inﬂuenciadas por el tipo de instrucciones con que se presentan las situaciones.
. Sólo a partir de ellas puede empezar a cuestionar las preconcepciones. por el tipo de preguntas que se proponen en ellas. etc. lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas (formal o informalmente). a incrementar las potencialidades y a modiﬁcar las actitudes para que el progreso en los saberes conceptuales y procedimentales le vaya dando la seguridad y la conﬁanza en que puede avanzar hacia nuevos aprendizajes. Todo ello conlleva a incluir en la organización del aprendizaje matemático el trabajo en equipo y a fomentar la cooperación entre los estudiantes. lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas ( formal o informalmente).
puede –y en ocasiones debe– presentarse a través de diversas situaciones. son la base de su proceso de aprendizaje. exponer sus opiniones y ser receptivos a las de los demás. En ocasiones.
Fomentar en los estudiantes actitudes de aprecio. sus potencialidades y sus actitudes. o sea. entre estudiantes y estudiantes y entre estudiantes y profesores en el tratamiento de las situaciones matemáticas. la cual no excluye momentos de competición sana y leal entre ellos o con otros cursos.
la consulta en Internet y el intercambio con otros colegas. en particular. Esto obliga al diseño de procesos.
Los recursos didácticos. de sus potencialidades y de sus actitudes hacia las matemáticas es característica de una posición constructivista del aprendizaje. que ojalá los lleven mucho más allá de lo que proponen los estándares para cada conjunto de grados. es necesario ampliar la visión sobre los textos escolares y las directivas ministeriales como los únicos medios para hacer explicitas las exigencias del cambio. Se trata de generar la necesidad de mirar críticamente la amplia oferta de textos escolares que se encuentra en el mercado. profundizar. centradas en el desarrollo de las competencias matemáticas. culturales y sociales de la educación matemática. de tal forma que se tenga una vigilancia crítica por parte de los docentes sobre la pertinencia. situaciones y actividades contextualizadas en situaciones que portan una visión integral del conocimiento matemático. también es necesario reconocer que es una característica distintiva de muchas otras propuestas actuales en la pedagogía de las matemáticas y. y por que no. pedagógicos y didácticos. Se trata también de ampliar. o de grupos informales de autoformación y de investigación. de las teorías del aprendizaje signiﬁcativo y de la enseñanza para la comprensión. el reconocimiento de su papel activo cuando se enfrenta a las situaciones problema propuestas en el aula de clase. concordancia y coherencia de éstos con los ﬁnes de la educación y las políticas del sistema educativo. Estos elementos imprimen nuevas dinámicas a las prácticas escolares de enseñar y aprender matemáticas que ayudan a estructurar los procesos curriculares y a planear las actividades de aula.
Como se mencionó antes. la conformación de grupos de trabajo por departamento en cada institución. potencialidades. el reconocimiento de que el estudiante nunca parte de cero para desarrollar sus procesos de aprendizaje y. las bibliotecas y centros de documentación de las alcaldías y universidades. desarrollar las competencias matemáticas supone organizar procesos de enseñanza y aprendizaje basados en estructuras curriculares dinámicas que se orienten hacia el desarrollo de competencias. disponible hoy en día en múltiples formatos (impresos y digitales) que se pueden obtener a través del Ministerio de Educación Nacional. El reconocimiento de nociones y conocimientos previos. entendidos no sólo como el conjunto de materiales apropiados para la enseñanza. orientadas a alcanzar las dimensiones políticas. dejará atrás las propuestas de los textos escolares y de los documentos oﬁciales en el avance de los docentes hacia el perfeccionamiento de sus conocimientos matemáticos. en particular con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias. de otro.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Si bien esta consideración cuidadosa y respetuosa de las concepciones previas del estudiante. Así mismo. y actitudes del estudiante pone de maniﬁesto –entre otras– dos cuestiones importantes: de un lado. las Secretarías de Educación Departamental y Municipal. de trascender los textos escolares y los documentos oﬁciales a través de una amplia documentación bibliográﬁca. sino como todo tipo de soportes materiales o virtuales sobre
. de sus estrategias de enseñanza y del logro de aprendizajes signiﬁcativos y comprensivos en sus estudiantes. De igual modo.
1. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. en muchos casos. argumenten. o tomados de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los ﬁnes que requiera la tarea. S.Dicho de otra manera. Bogotá. Estas actuaciones se potencian cuando el docente mantiene siempre la exigencia de que los estudiantes propongan interpretaciones y conjeturas. a través de las situaciones. esa situación ayuda a profundizar y consolidar los distintos procesos generales y los distintos tipos de pensamiento matemático. La enseñanza para la comprensión.). los recursos se hacen mediadores eﬁcaces en la apropiación de conceptos y procedimientos básicos de las matemáticas y en el avance hacia niveles de competencia cada vez más altos. Directora General de la Obra. proporcionen explicaciones y ampliaciones. o si no existen. La evaluación formativa como valoración permanente integra la observación atenta y paciente como herramienta necesaria para obtener información sobre la interacción entre estudiantes. gráﬁcas. que bien pueden estar presentes desde los primeros años de la Educación Básica. puede poner a su alcance problemáticas antes reservadas a otros niveles más avanzados de la escolaridad19.). modelaciones. México. vol. así. cada conjunto de recursos. Para obtener información de calidad sobre las actividades de los estudiantes es necesario precisar los criterios de referencia acordes con lo que se cree es el nivel exigible de la actividad matemática del estudiante en el conjunto de grados al que pertenece. Barcelona. págs. 95-107. Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). MEN. págs. páginas interactivas de Internet. Estos ambientes informáticos. obtenidas de diversas fuentes de información y de
Respecto a este tema de los medios informáticos en la enseñanza de las matemáticas existe una amplia documentación publicada por el MEN.
La evaluación formativa ha de poner énfasis en la valoración permanente de las distintas actuaciones de los estudiantes cuando interpretan y tratan situaciones matemáticas y a partir de ellas formulan y solucionan problemas. Todo esto facilita a los alumnos centrarse en los procesos de razonamiento propio de las matemáticas y. software especializado. simulaciones. 2 vols. justiﬁquen y expliquen los procedimientos seguidos o las soluciones propuestas20. ﬁchas. deben ser analizados en términos de los elementos conceptuales y procedimentales que efectivamente permiten utilizarlos si ya están disponibles. M.
los cuales se estructuran las situaciones problema más apropiadas para el desarrollo de la actividad matemática de los estudiantes. Wiske. etc. pueden destacarse aquellos conﬁgurados desde ambientes informáticos como calculadoras. En este sentido.
. la cual se referencia en la Bibliografía. etc. pues no sólo realizan de manera rápida y eﬁciente tareas rutinarias. permite recrear ciertos elementos estructurales de los conceptos y de los procedimientos que se proponen para que los estudiantes los aprendan y ejerciten y. (2003). juegos. diseñarlos y construirlos. etc. proponen nuevos retos y perspectivas a los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en tanto que permiten reorganizaciones curriculares. ecuaciones. No puede olvidarse que la calidad de los juicios que se emitan sobre el avance en los niveles de competencia de los estudiantes depende de un amplio número de evidencias de las actuaciones de los estudiantes. Buenos Aires.). puestos en escena a través de una situación de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo. Pequeños aprendices. madera o plástico. modelos en cartón. entre éstos y los materiales y recursos didácticos y sobre los procesos generales de la actividad matemática tanto individual como grupal. cartas. Vinculación entre la investigación y la práctica. Entre estos recursos. (Comp.). Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con ﬁnes educativos (regletas. Paidós. 115-120. sino que también integran diferentes tipos de representaciones para el tratamiento de los conceptos (tablas.
razonar. Los estándares presentados a continuación no deben pues entenderse como metas que se puedan delimitar en un tiempo ﬁjo determinado. se debe
. sino que éstos identiﬁcan niveles de avance en procesos graduales que. Dicho de otra manera. aunque muchos de esos estándares se reﬁeran también a otros tipos de pensamiento y a otros sistemas. ni menos todavía puede pensarse en una separación por periodos del año escolar claramente delimitados para cada uno de esos estándares. aleatorio y variacional.
Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas seleccionan algunos de los niveles de avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de pensamiento matemático: numérico. modelar procesos y fenómenos de la realidad. espacial. incluso. Por ello aparecen en cinco columnas que corresponden a cada uno de dichos tipos de pensamiento y a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a él. con el ﬁn de ir superando niveles de complejidad creciente en el desarrollo de las competencias matemáticas a lo largo del proceso educativo. Por el contrario. pero suele referirse también a otros procesos generales que pueden practicarse en distintos contextos para contribuir a superar el nivel seleccionado como estándar. El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias que se desarrollan gradual e integradamente. comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos). si en un conjunto de dos grados se proponen 12 estándares para un determinado pensamiento. gestuales. no son terminales en el conjunto de grados para el que se proponen. El registro de las evidencias por parte del docente. sexto a séptimo. seis para un grado y seis para el otro). complementado con los registros que cada estudiante debe llevar de su propio trabajo –carpetas para la Básica Primaria y diarios de clase y portafolios para la Básica Secundaria y la Media– ayuda para que los estudiantes se apropien de su propio avance y asuman la responsabilidad conjunta en su aprendizaje. octavo a noveno y décimo a undécimo) para dar mayor ﬂexibilidad a la distribución de las actividades dentro del tiempo escolar y para apoyar al docente en la organización de ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo que estimulen a los estudiantes a superar a lo largo de dichos grados los niveles de competencia respectivos y. a ir mucho más allá de lo especiﬁcado en los estándares de ese conjunto de grados. comunicar. métrico. cuarto a quinto. ello no signiﬁca que éstos pueden dividirse por partes iguales entre los grados de dicho conjunto (por ejemplo. ojalá. y formular. En forma semejante.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
distintas situaciones que estimulen las producciones orales. pictóricas y escritas. cada estándar de cada columna pone el énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que cruzan dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas. Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero.
C. y formular. A.
Así entonces. de igual manera. de comprender que la organización curricular de cada institución. Una propuesta de integración curricular. T. Bogotá.
procurar una organización del trabajo escolar que garantice un trabajo integrado de todos los estándares correspondientes a mismo grupo de grados y que atienda a su conexión con los estándares de los grados anteriores y de los siguientes (ver más abajo la sección sobre coherencia vertical y horizontal de los estándares). debe buscar el desarrollo de un trabajo integrado en los distintos pensamientos. 2 vols. se reﬁeren también a la siguiente estructura: Procesos generales Conceptos y procedimientos matemáticos Contextos
La estructura descrita es evidente en tanto los cinco procesos generales que se proponen en los Lineamientos Curriculares para toda actividad matemática y que se describieron arriba (formular y resolver problemas. Sobre integración curricular. además. (1999). grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. Negret. pues en la práctica del diseño de situaciones de aprendizaje es conveniente que se integren estándares de varios tipos de pensamiento matemático y de una o más áreas diferentes... razonar. Directora General de la Obra. MEN. en coherencia con su PEI. H. Bogotá. Escobedo. más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás.Si bien en este libro el capítulo de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas se encuentra separado de los de otras áreas y del de las competencias ciudadanas y. o articuladas alrededor de tópicos generadores. los estudiantes pueden avanzar con mucha motivación y satisfacción en distintas competencias relacionadas con varias áreas y llegar a superar varios de los estándares de esas áreas para un conjunto de grados y aun para otros conjuntos de grados más avanzados. Pequeños aprendices. entonces. Así mismo. en cada institución se pueden coordinar docentes de distintas áreas para proponer proyectos integrados que integren dos o más de ellas a lo largo de actividades programadas para resolver problemas de la institución o del entorno. ver también: Vasco. esta organización responde exclusivamente a una necesidad analítica. distintos tipos de pensamiento matemático y todos los procesos generales. CINEP. y en el aprendizaje de un determinado concepto es necesario ubicarlo y utilizarlo en los distintos contextos. A través de uno solo de estos proyectos integrados debidamente diseñado y gestionado. C. J.
. los estándares están distribuidos por columnas correspondientes a cada tipo de pensamiento y a sus sistemas asociados. los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas. comunicar. Esto se logra si el desarrollo del trabajo en el aula se piensa desde las situaciones de aprendizaje –y en particular desde las situaciones problema– más que desde los contenidos. El saber tiene sentido. comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos) constituyen las actividades intelectuales que van a permitir a los estudiantes alcanzar y superar un nivel suﬁciente en las competencias.. E. que están encabezadas por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados a él. proposiciones. Bermúdez. para aprovechar de esta forma en cada situación las posibilidades de relacionar los distintos estándares y los diferentes tipos de pensamiento matemático. En una misma situación problema del área de matemáticas –y más todavía en proyectos integrados de dos o más de ellas– usualmente se involucran conceptos.). narraciones o proyectos productivos21. y León. Se trata.
República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). modelar procesos y fenómenos de la realidad. teorías y procedimientos de diferentes áreas.
sino también en el tipo de procesos generales de la actividad matemática que pueden realizar con solvencia. la representación de conceptos geométricos por medio de ﬁguras. A medida que los estudiantes vayan disponiendo de mejores comprensiones conceptuales. para superarlos ampliamente. las proposiciones acerca de las propiedades de las operaciones numéricas. el desarrollo de las competencias es mediado por diferentes contextos. que un concepto matemático admite diversas aproximaciones.. El tejido de estos hilos requiere aceptar. variacional y aleatorio). etc. ojalá. Los estándares para cada pensamiento están basados en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. espacial. del mismo modo. para darles oportunidad de avanzar en los niveles de competencia matemática señalados en los estándares del conjunto de grados respectivo y. como por ejemplo. se requiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales. como es el caso de los procedimientos asociados a las representaciones gráﬁcas. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar. métrico. para el numérico. también es necesario reconocer que algunos son transversales a varios de ellos. van a poder desarrollar procesos de mayor complejidad y estarán en capacidad de enfrentar el tratamiento de situaciones de mayor nivel de abstracción. La primera está dada por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
tal como se ha descrito. La segunda está
. de las ﬁguras geométricas.
La complejidad conceptual y la gradualidad del aprendizaje de las matemáticas a las que ya se hizo mención exigen en los estándares una alta coherencia tanto vertical como horizontal. las representaciones de relaciones entre dos variables por medio de gráﬁcas cartesianas o las representaciones en gráﬁcos de barras en los sistemas de datos. los distintos signiﬁcados de las fracciones o los signiﬁcados de la multiplicación presentes en la estructura multiplicativa. la lectura y escritura de números). eﬁcacia y actitud positiva. los contextos y situaciones dentro de los cuales los estudiantes pueden desplegar su actividad matemática pueden y deben involucrar mayores niveles de complejidad y ofrecerles desafíos cada vez más retadores. A medida que los estudiantes avanzan en la Educación Básica y Media. tal como se ha descrito en cada pensamiento. ambientes y situaciones de aprendizaje signiﬁcativo y comprensivo de las matemáticas. pues el uso de gráﬁcas incluye la representación lineal de los números en la recta numérica. si bien es necesario distinguir procesos y procedimientos asociados a cada uno de esos tipos (por ejemplo. pueden alcanzarse usualmente por más de una vía. en donde procesos generales como la comunicación y el razonamiento son esenciales para todos ellos. Así. la complejidad conceptual de sus conocimientos no se evidencia sólo en los aspectos formales de la disciplina que ellos pueden expresar verbalmente o por escrito. En cuanto a cada uno de los cinco tipos de pensamiento (numérico.
como sí es importante en las gráﬁcas circulares. porque en los procesos de medición (pensamiento métrico) es necesario describir la situación numéricamente (por ejemplo un área o volumen. la temperatura del salón.. lo que involucra el pensamiento espacial) y seleccionar los tipos de gráﬁcas y las convenciones necesarias para traducir los datos numéricos de las tablas de datos en el tipo de gráﬁca seleccionado (pensamiento aleatorio). pictogramas y diagramas de barras.
Pensamiento Numérico: Describo. la coherencia vertical se hace evidente en el primer ejemplo.
De 10º a 11º: Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión especíﬁcos. si en los pictogramas o en las gráﬁcas de barras es importante sólo la altura o también el área de la barra. De 8º a 9º: Justiﬁco la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias. la hora del día. Pensamiento Aleatorio: Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos. Así. tener en cuenta las características geométricas de los patrones y gráﬁcos usados para describir los datos (por ejemplo. en donde los resultados de las mediciones implican el pensamiento numérico). comparo y cuantiﬁco situaciones con números. apropiadas para diferentes mediciones. en diferentes contextos y con diversas representaciones. que toma distintos estándares relacionados con el pensamiento métrico. tanto convencionales como estandarizadas. reducir). La coherencia horizontal también es clara en el ejemplo siguiente. Pensamiento Geométrico: Reconozco congruencia y semejanza entre ﬁguras (ampliar.
. porque –si bien el contenido matemático es el mismo: la medición– aquello que varía en los estándares de pensamiento métrico de un conjunto de grados a otro es la complejidad y precisión del proceso de medición o la de las unidades utilizadas.
dada por la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de grados.
Pensamiento métrico Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados.Un ejemplo de la coherencia vertical y de la horizontal se presenta en el diagrama siguiente. etc. De 4º a 5º: Selecciono unidades. De 6º a 7º: Identiﬁco relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. de acuerdo al contexto.
• Reconozco propiedades de los números (ser par.) en diferentes contextos. codiﬁcación. ser menor que. • Dibujo y describo cuerpos o ﬁguras tridimensionales en distintas posiciones y tamaños. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para realizar equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal. etc. • Identiﬁco regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculadoras. • Identiﬁco.
. • Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño. etc. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para explicar el valor de posición en el sistema de numeración decimal.) y relaciones entre ellos (ser mayor que. • Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas. comparación. • Reconozco nociones de horizontalidad. si a la luz de los datos de un problema. distancia y posición en el espacio. etc. en diferentes contextos y con diversas representaciones. • Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar tercer grado. ábacos. conteo. ser impar. • Represento el espacio circundante para establecer relaciones espaciales. • Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una ﬁgura. localización entre otros).
• Diferencio atributos y propiedades de objetos tridimensionales. paralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia.). ser múltiplo de. comparo y cuantiﬁco situaciones con números. reducir). verticalidad. • Desarrollo habilidades para relacionar dirección. • Realizo construcciones y diseños utilizando cuerpos y ﬁguras geométricas tridimensionales y dibujos o ﬁguras geométricas bidimensionales.
• Reconozco signiﬁcados del número en diferentes contextos (medición. • Describo. los resultados obtenidos son o no razonables. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de variación proporcional.. • Reconozco congruencia y semejanza entre ﬁguras (ampliar. bloques multibase. • Describo situaciones de medición utilizando fracciones comunes. ser divisible por.
. geométrico.
• Clasiﬁco y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas. • Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones aditivas y multiplicativas. • Comparo y ordeno objetos respecto a atributos medibles. • Describo situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos. • Interpreto cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno escolar. • Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo cómo cambian los símbolos aunque el valor siga igual. • Resuelvo y formulo preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar datos del entorno próximo. económica y de las ciencias. • Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados. • Identiﬁco regularidades y tendencias en un conjunto de datos. • Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural. dibujos y gráﬁcas. entre otros). musical. • Analizo y explico sobre la pertinencia de patrones e instrumentos en procesos de medición. • Explico –desde mi experiencia– la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos. • Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. • Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolución de problemas relativos particularmente a la vida social. peso y masa) y. en los eventos. • Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las ﬁguras geométricas.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud.
• Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico. volumen. su duración. • Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos. pictogramas y diagramas de barras. área. de acuerdo al contexto. capacidad.
. en el contexto de una situación. relaciones parte todo. • Conjeturo y veriﬁco los resultados de aplicar transformaciones a ﬁguras en el plano para construir diseños. • Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y puedo realizar el proceso contrario en contextos de arte. • Justiﬁco el valor de posición en el sistema de numeración decimal en relación con el conteo recurrente de unidades. puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas. • Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas.
• Comparo y clasiﬁco objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras. sus relaciones y operaciones. • Identiﬁco. ﬁguras. aberturas. • Identiﬁco y uso medidas relativas en distintos contextos. represento y utilizo ángulos en giros.. inclinaciones. lados) y propiedades. • Justiﬁco regularidades y propiedades de los números.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar quinto grado. cociente.. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa. • Identiﬁco y justiﬁco relaciones de congruencia y semejanza entre ﬁguras. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición. • Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa. • Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones. • Identiﬁco la potenciación y la radicación en contextos matemáticos y no matemáticos. inversa y producto de medidas. diseño y arquitectura. • Comparo y clasiﬁco ﬁguras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos. transformación. la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos. • Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes.
• Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición. vértices) y características. comparación e igualación. • Identiﬁco. • Utilizo sistemas de coordenadas para especiﬁcar localizaciones y describir relaciones espaciales. razones y proporciones. • Construyo y descompongo ﬁguras y sólidos a partir de condiciones dadas.
• Comparo diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. • Justiﬁco relaciones de dependencia del área y volumen. • Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales. capacidad. diagramas circulares). • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de observaciones. diagramas de líneas. (pictogramas. • Predigo patrones de variación en una secuencia numérica. • Conjeturo y pongo a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos. distancias. • Describo la manera como parecen distribuirse los distintos datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos. • Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de relaciones entre distintos datos. amplitud de ángulos). • Describo y argumento relaciones entre el perímetro y el área de ﬁguras diferentes. duración. geométrica o gráﬁca. volúmenes de cuerpos sólidos. pesos y masa de cuerpos sólidos. • Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar el área de la superﬁcie exterior y el volumen de algunos cuerpos sólidos. • Utilizo y justiﬁco el uso de la estimación para resolver problemas relativos a la vida social. temperatura) y de algunas de las unidades que se usan para medir cantidades de la magnitud respectiva en situaciones aditivas y multiplicativas. volumen. • Interpreto información presentada en tablas y gráﬁcas. gráﬁcas de barras. consultas o experimentos. tanto convencionales como estandarizadas. rapidez.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Diferencio y ordeno. cuando se ﬁja una de estas medidas.
. económica y de las ciencias. respecto a las dimensiones de ﬁguras y sólidos. • Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas. áreas de superﬁcies. gráﬁcas de barras. peso y masa. diagramas circulares). sociales y de las ciencias naturales. en objetos y eventos. duración de eventos o procesos. utilizando rangos de variación. • Reconozco el uso de algunas magnitudes (longitud. área. • Selecciono unidades.
• Describo e interpreto variaciones representadas en gráﬁcos. volúmenes de líquidos y capacidades de recipientes. propiedades o atributos que se puedan medir (longitudes. • Uso e interpreto la media (o promedio) y la mediana y comparo lo que indican. diagramas de líneas.
• Represento datos usando tablas y gráﬁcas (pictogramas. apropiadas para diferentes mediciones.
• Justiﬁco procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. • Clasiﬁco polígonos en relación con sus propiedades.
• Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. • Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones. • Identiﬁco y describo ﬁguras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales. • Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. reﬂexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre ﬁguras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. etc. • Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. multiplicación. transitiva. razones.. • Justiﬁco la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales. como las de la igualdad. • Identiﬁco características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográﬁca. decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.
. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números. sustracción.. utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal. • Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. asociativa.) en diferentes contextos. • Justiﬁco la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas. en diferentes contextos y dominios numéricos. • Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números. • Utilizo números racionales. división y potenciación. etc. en sus distintas expresiones (fracciones. • Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales. rotaciones. • Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica. • Justiﬁco la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. • Justiﬁco el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar séptimo grado.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa. • Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo. las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición. utilizando calculadoras o computadores.
• Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.
. mediana. entrevistas). formadas por segmentos.
• Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas. diagramas de barras. diagramas circulares. complementación) en la solución de ecuaciones. • Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación).PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de ﬁguras planas y cuerpos con medidas dadas. produzco y comparo representaciones gráﬁcas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas. moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos. mapas).
• Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa. • Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables.) • Uso medidas de tendencia central (media. • Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. • Identiﬁco relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos. diagramas circulares. • Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación. experimentos. etc. • Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de ﬁguras y cuerpos. televisión. • Utilizo métodos informales (ensayo y error.) en relación con la situación que representan. • Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad. continuas. • Predigo y justiﬁco razonamientos y conclusiones usando información estadística. (diagramas de barras. revistas. consultas. • Identiﬁco las características de las diversas gráﬁcas cartesianas (de puntos. • Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas. • Uso modelos (diagramas de árbol. expresiones verbales generalizadas y tablas). por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento. • Interpreto.
• Aplico y justiﬁco criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.
. • Utilizo la notación cientíﬁca para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes. • Resuelvo problemas y simpliﬁco cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. • Identiﬁco y utilizo la potenciación. • Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.
• Conjeturo y veriﬁco propiedades de congruencias y semejanzas entre ﬁguras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar noveno grado..
• Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.. • Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).
• Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. consultas. • Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral. evento. independencia. etc. • Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa.). experimentos. • Analizo los procesos inﬁnitos que subyacen en las notaciones decimales. • Analizo en representaciones gráﬁcas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones especíﬁcas pertenecientes a familias de funciones polinómicas. experimentos. diagramas de árbol. entrevistas). • Identiﬁco la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráﬁcas que las representan. de información y al nivel de la escala en la que esta se representa (nominal. entrevistas. • Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema. • Identiﬁco y utilizo diferentes maneras de deﬁnir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación. revistas. exponenciales y logarítmicas. televisión. revistas. • Identiﬁco diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. televisión. • Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.
. técnicas de conteo). áreas de superﬁcies. • Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes. (prensa. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. • Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas.
• Identiﬁco relaciones entre propiedades de las gráﬁcas y propiedades de las ecuaciones algebraicas. • Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados. mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría. racionales. consultas. • Interpreto y utilizo conceptos de media.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.
• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones. • Justiﬁco la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias. • Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico. ordinal. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. de intervalo o de razón).
• Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos.11
Nota. • Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.. cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y ﬁguras cónicas. La publicación de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas realizada por el MEN en 2003 salió con algunos errores que se cometieron al momento de diseñar la cartilla. En las tablas anteriores aparece la versión original planteada por los expertos que se encargaron de estructurar los estándares.
• Identiﬁco en forma visual. gráﬁca y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales.
10 . enteros. manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos..COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS
Al terminar undécimo grado. • Identiﬁco características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares. • Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir. • Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de ﬁguras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas ﬁguras. • Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos. • Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada. • Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales. geométricos y algebraicos.
. • Utilizo argumentos de la teoría de números para justiﬁcar relaciones que involucran números naturales.
• Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales. diagonales y transversales en un cilindro y en un cono.
• Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráﬁcas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas. espacio muestral. • Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen deﬁnir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes. cuartiles. • Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población.
. • Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas. varianza. • Uso comprensivamente algunas medidas de centralización. naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. muestra. la aceleración media y la densidad media. • Justiﬁco o refuto inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. como la velocidad media.
• Utilizo las técnicas de aproximación en procesos inﬁnitos numéricos. covarianza y normalidad). • Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas.
• Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación. parámetros y estadígrafos). • Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas. variable aleatoria. • Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos. • Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. rangos de variación y límites en situaciones de medición. rango. distancia.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS
• Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión especíﬁcos. • Justiﬁco resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva. permutaciones. • Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas. • Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones. distribución de frecuencias. dispersión y correlación (percentiles. localización. centralidad. muestreo aleatorio. muestreo con remplazo).
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Gloria García O... consultora Ascofade y Beatriz Espinosa B.Carlos Alberto Trujillo S..Gloria García O. consultor Ascofade . .Grupo de Maestros del Distrito Capital de Bogotá . Pontiﬁcia Universidad Javeriana .Pedro Javier Rojas G..Cecilia Casasbuenas S... MEN
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