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TEMAS DE MATEMÁTICAS (OPOSICIONES DE SECUNDARIA) TEMA 42 - PDF
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Rosa María López Olivares
1 TEMAS DE MATEMÁTIAS (OPOSIIONES DE SEUNDARIA) TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. Introducción. 2. Homotecis en el plno Propieddes de l homoteci en el plno Producto de homotecis Producto de homotecis del mismo centro Producto de dos homotecis de distinto centro. 3. Semejnz en el plno 3.1. Propieddes de l semejnz Producto de semejnzs onstrucción del centro de semejnz direct Ecuciones de l semejnz. Biliogrfí Recomendd. 1/192 TEMA 42 HOMOTEIA Y SEMEJANZA EN EL PLANO. 1. INTRODUIÓN. Vmos indicr lgunos teorems y propieddes de los que hremos uso lo lrgo del tem Teorem de Thles. Los segmentos limitdos por los puntos de intersección de vris prlels en dos secntes, son proporcionles. Teorem recíproco l de Thles. r s Si los segmentos B y son proporcionles AB y A siendo ls rects y prlels, se verific que l rect c es prlel l, o ien los puntos A y coincidentes. A B A B c Rzón simple de tres puntos. Ddos tres puntos A,B, de un rect se determin el cociente, AB/A que se represent (AB) de ls distncis del primero l segundo y l tercero. A este cociente se le llm rzón simple. Y que AtAB (AB)t Movimientos. En tod plicción iyectiv que conserv l distnci - Los movimientos trnsformn rects en rects - onservn los ángulos. 2. HOMOTEIAS EN EL PLANO. Definición. Se O un punto del plno y un número rel, 0. Llmremos homoteci de centro O y rzón, y l designremos por H l plicción del plno en sí mismo que hce corresponder cd punto P distinto de O, otro punto tl que OOP. Al punto se le llm homotetico de P y se escrie 2/193 H (P) De l definición se deduce que O, P, están liendos. Si >0 P y están en l mism semirrect de origen O. O P P Si <0 P y están seprdos por el centro O P O P undo 1 O-OP es decir P y P coinciden. Por lo tnto l homoteci H I identidd. undo -1 OP -OP l homoteci es un simetrí de centro. Proposición. ) Si 1 todos los puntos son invrintes. ) Si 1 el único punto invrinte es el centro de l homoteci. c) Ls rects que psn por el centro de l homoteci son invrintes glolmente. ) Si 1 H I y l identidd mntiene todos los puntos invrintes. ) Si P es un punto invrinte y es su homotetico tl que P OP OP OP OP 0 (1 ) OP 0 y como 1 OP0 luego P0 c) Es inmedit por l definición de homoteci. Proposición. Se H un homoteci. Entonces se verific que H es un iyección. Por l definición tenemos que H es un plicción. Demostrremos que H es un iyección, prondo l existenci de un plicción invers de H. Se H l homoteci de centro O y rzón. Se P un punto P 0 y proemos que H o H I 3/194 H (H (P)) H () 1 omo H (P) O,P, están linedos y O OP. omo H () O,, están linedos y O O. omo O, P, están linedos y O,, están linedos entonces O,P,, están linedos entonces O,P, están linedos y O O OPOP P y como P es un punto culquier del pln se deduce H o H I. De form nálog se demuestr H o H I. Por lo tnto Ho, tl que H H o H o H I I H es un iyección 2.1. Propieddes de l homoteci en el plno. Proposición 1. L rzón de ls distncis entre dos puntos homólogos y sus originles es igul l rzón de l homoteci en vlor soluto. Se P, Q dos puntos culesquier del plno, Q sus trnsformds por un homoteci de centro O y rzón. Entonces se cumple O OQ OOP OQ OQ luego OP OQ O Se el punto en el que l prlel OP trzd por Q cort l rect PQ. Por el teorem de Thles se deduce que (QP)(QOQ ) P Q Utilizndo ls propieddes de ls rzones simples (PQ)(OQ Q) es decir P Q P PQ OQ OQ P PQ Pero como PQ es un prlelogrmo y que PQ//Q (por el reciproco del teorem de Thles) y P//Q por construcción result que PQ 4/195 Luego Q PQ o, Q ) P, Q) Proposición 2. Si P, Q son dos puntos del plno y, Q son sus homólogos es un trnsformción H en el plno tl que Q PQ, entonces H es un homoteci si 1 y un trslción si 1. Si 1 Q PQ y como los segmentos Q y PQ son prlelos y, Q ) 1 P QQ P, Q) lo cul indic que H es un trslción del vector P. Si 1 P no es prlel QQ y por lo tnto se cortn en un punto que llmmos O., Q ) omo Q PQ tenemos que y como los puntos O, P, y O, Q, P, Q) Q están linedos l trnsformción es un homoteci de centro O y rzón. Proposición 3. Ls homotecis trnsformn puntos linedos en puntos linedos. En efecto. Sen P, Q, R tres puntos linedos y sen, Q, y R sus homólogos medinte H. Se trt de demostrr que, Q y R están linedos. De cuerdo con l Proposición 1 se tiene: Q PQ r PR Q R QR Si P, Q y R están linedos, uno de los tres puntos estrá situdo entre los dos restntes. Se por ejemplo Q PR. Entonces se tiene: PRPQQR Luego PR ( PQ QR) PQ QR esto es R Q Q R on esto qued demostrdo no solo que, Q, y R formn un rect, sino que demás, si Q est entre P y R, Q est entre y R. Es decir ls homotecis trnsformn rects en rects y conservn l posición reltiv de los puntos. 5/196 Not. undo decimos que ls homotecis formn rects en rects queremos decir que trnsformn puntos de un rect en puntos de un rect y que un homoteci es un plicción entre puntos. Proposición 4. Ls homotecis trnsformn rects prlels en rects prlels. Se H un homoteci, sen P y Q los puntos que determinn l rect y, Q sus trnsformds por H. Se trt de demostrr que l rect PQ es prlel l rect Q. ) Q OP. omo por l definición de homoteci O,P, están linedo y O,Q,Q tmién. Tenemos que,q PQ. Entonces ls rects PQ y Q, son prlels, porque coinciden. OQ O ) Q OP. omo O OP y OQ OQ, tenemos que y por el OQ OP reciproco del teorem de Thles se tiene que ls rects PQ y Q son prlels. Proposición 5. Los homotecios trnsformn puntos no linedos en puntos no linedos. Demostrcion. Si P,Q,R no estn linedos, deer tenerse que: PR < PQ QR PR > PQ QR Sen,Q y R los trnsformdos por l homoteci H entonces se tiene que: P R K PR P Q K PQ Q R K QR (Prop1) omo K >0, multiplicndo ls desigulddes por K K PR < K PQ K QR K PR > K PQ K QR luego P R < Q Q R R > Q Q R esto es,r y Q no estn linedos. Proposición 6. Ls homotecis trnsformn segmentos en segmentos. 6/197 Demostrcion. omo consecuenci de l proposición 3. Proposición 7. Ls homotecis trnsformn tringulos en tringulos semejntes. Demostrcion. (Dos triángulos son semejntes si tienen sus ángulos homólogos igules y sus ldos correspondientes proporcionles). Se AB un tringulo y sen H (A), B H (B), y H (). Se trt de demostrr que B es un tringulo semejnte l AB. Por l proposicion 5 A,B, no linedos,b, no linedos. luego B constituyen un tringulo. Por l proposicion 1 se tiene que B K AB B K B K A. luego los tringulos AB y B tienen sus ldos proporcionles. Bstr por tnto demostrr que tienen sus ngulos homologos igules. onsideremos, por ejempl el ngulo AB. A A O B " B" B Trzndo por un rect prlel l A se otiene en su interseccion con A, el punto tl que A. Del mismo mod en l semirect de origen A que contiene B existe un punto B tl que AB B Por lo tnto se tiene A A AB AB K A B K AB Luego A A AB AB K 7/198 Esto nos indic que B y son ls trnsformciones respectivs de B y, en l homoteci de cnetro A y rzon K, luego por l proposicion 1 se tiene: B B K B K B B Por tnt los tringulos AB y B son igules por tener sus ldos igules: AB B y A por construccion y B B según hemos visto en. Luego AB y B tendrn sus ngulos correspondientes, respectivmente igules. En prticulr B B A. Pero l eleccion de B y se tiene que B A BA. Anlogmente prorimos l iguldd de los otros ngulos. on lo que qued demostrdo que los homotecios trnformn tringulos en tringulos semejntes. Proposición 8. Los homotecios trnsformn circunferencis en circunferencis. Demostrcion. Se un circunferenci de centro y rdio r. Su trnsformd por un homoteci de centro O y rzon es otr circunferenci de centro H() y rdio r K r, pues se verific que O,) K,P) P r P r O KOP O KO O O K OP O Por l propiedd 1 P K Proposición 9. Dds dos circunferencis culesquier siempre hy dos homotecis, un de rzon >0 y otr de rzon <0, respecto de los cules ls dos circunferencis son homotetics. 8/199 P r O P r P" O Sen ls circunferencis de rdios r y r y centros y, trcemos sore l primer circunferenci un rdio P y sore l segund, los rdios opuestos y prlelos P. Ls rects P y se cortn en el punto O, que es el cnetro de un homoteci de rzon >0 que trnsform l primer circunferenci en l segund y que: O O K OP O siendo K>0 l rzon de l homoteci. Ls rects que determinn y P se cortn en el punto O, que es el centro de l homoteci de rzon K <0, K -K que trnsform l primer circunferenci en l segund. En efecto O O K siendo K l rzon. K -K y que K K O P O P P Proposición 10. Sen AB, D dos segmentos prlelos distintos, no situdos en l mism rect. Entonces existen dos homotecios h 1 y h 2 que trnsformn AB en D. O Sen OA BD y O AD B. Demostrmos que l homoteci de centro O y O rzon trnsform AB en D. Pr ello OA teniendo en cuent ls propieddes nteriores, str demostrr que H (A) H (B)D. A O B D Se H (A) por definición de H, O, A, estn linedos y verificn O O O O OA OA Se H (B)B O, B, B estn linedos OB O OD OB OD B D OB OA OB luego H (A) Luego H (B)D 9/1910 Demostrremos hor que l homoteci de centro O y rzon AB en D, pr ello proremos que H o, (A)D y H o, (B) O trnsformn O B Se H o, (A) y O, A, estn linedos y cumplen que O O O O D D O A O A luego H o, (A)D De form nálog H o, (B) Por tnto existen dos homotecis que trnsformn el segmento AB en el D Proposición 11. Sen AB y D dos segmentos de l mism rect y tles que A BD. Entonces se verific que existe un unic homoteci que trnsformn AB en D. Supongmos que exist l homoteci y se O su centro. Entonces O OD H (A) y H (B)D OA OB De cuerdo con ls propieddes de ls proporciones AO O BO DO AO BO O DO A AO DB BO AO BO O AO DO BO A DB Por lo tnto se tiene AO BO A DB OA OB A BD A omo A BD 1 BD A Se BD Por tnto AO BO AO BO OA Es decir, O es unico. L homoteci es pues un homoteci de centro O y rzon O 2.2 Producto de homotecis Producto de homotecis del mismo centro. El producto de dos homotecis del mismo centro es otr homoteci del mismo centro y de rzon el producto de ls rzones de ls homotecis. 10/1911 Sen H 1 y H 2 dos homotecis. Si P es un punto del pln H 1 (P) y H o, 2 () se cumple O 1 OP O 2 O Luego O 2 O 2 1 OP es el trnsformdo de P por un homoteci de centro O y rzon 1 2. Luego H 2 H 1 H 1 2. Proposición. L invers de H es H 1/. Si P y son puntos homoteticos tendremos OP OP 1 H H 1/ H 1 OP O onsecuenci: el conjunto de ls homtecis de centro un punto dd con el producto definido form un grupo elino Producto de dos homotecis de distinto centro. El producto de dos homotecis de distinto centro es otr homoteci cuyo centro est linedo con los nteriores y cuy rzon es el producto de ls rzones de ls homotecis dds. Sen H o1,1 y H o2,2, dos homotecis. P O 1 P Q Q Q" P" O 2 O 3 onsideremos los puntos P y Q del pln que se trnsformn por H o1,1 en, Q. Estos ultimos se trnsformn su vez en, B por H o2,2. Se verific que: 11/1912 O1 O1Q Q 1 O P O Q PQ 1 O2 O2Q Q O O Q Q Q PQ 1 2 que define un homoteci de rzon 1 2. omo l rect O 1 O 2 es homolog ls dos homotecis, tmien lo ser su producto y por tnto estr en ell el centro O 3 de l homoteci producto. Luego H o2, 2 H o1,1 H o3,12. Si l homoteci es un trslción. 2.3 Ecuciones de l homoteci. Se R { O i j}, r, r un sistem de referenci ortonorml del plno. O(,) P(x,y) P(x,y) j O i onsidermos l homoteci H o, con centro O (,) y rzón que trnsform P(x,y) en (x,y ) O O P Sustituyendo sus componentes qued OOO O OO O P (x,y )(,)(x-,y-) x ( x ) x x (1 ) o ien y ( y ) y y (1 ) Que son ls ecuciones de l homoteci con centro O (,) y rzon. Si ñdimos 11 se puede escriir en form mtricil. 12/1913 (1,x,y ) ( 1 x y) 3 SEMEJANZA EN EL PLANO Definición (1 ) 0 (1 ) 0 Se llm semjnz en el plno tod plicción del plno en si mism que puede descomponer en producto de un homoteci por un movimiento o de un movimiento por un homoteci. Si el movimiento es direct l semejnz se llm direct y si el movimiento es invers l semejnz se llm invers. En prticulr, si considermosn l homoteci identidd. Ls semejnzs son movimientos. 3.1 Propieddes de ls semejnzs. Proposición 1. L rzon de ls longitudes de dos segmentos homologos es un semejnz es constnte. A es constnte le llmremos rzon de semejnz. onsideremos un semejnzs S igul l producto de un homoteci H y de un movimiento M, es decir, Smo H. Se A y B dos puntos del plno cuys trnsformds por l homoteci son y B, y que se trnsformn su vez en, B por el movimiento M. Se verific entonces que: B B y B AB de donde, B ) A B AB, B ) D( A, B) A, B) siendo l rzon de l homoteci, es l rzon de l semejnz. Not: undo se hl de rzon de semejnz se supone >0. Proposición 2. 13/1914 Ls semejnzs trnsformn puntos linedos en puntos linedos y como consecuenci rects en rects. Sen A, B, tres puntos linedos, pr los puntos semejntes tenemos que plicr un homoteci y un movimiento. omo l homoteci y el movimiento conservn l lineción, los puntos semejntes estn linedos. Proposición 3. Ls semejnzs trnsformn ngulos en ngulos igules, del mismo sentido si l semejnz es direct y de sentido contrrio si esinvers. Demostrcion. Ls homotecis conservn ngulos y el sentid por lo tnt si l semejnz es direct, el movimiento es directo y conserv ngulos y sentido. Si l semejnz es invers, el movimiento tmien y cmi el sentido de los ngulos. Oservción. Teniendo en cuent ls propieddes nteriores se dice que dos figurs son semejntes cundo tienen los ngulos correspondientes igules y los ldos homologos proporcionles. 3.2 Producto de semejnzs Proposición. El producto de dos semejnzs de rzones 1, y 2 es otr semejnz de rzón. 1 2 En efect sen A, B dos puntos del plno que se trnsformn en, B respectivmente, por un semejnz de rzón 1 y sen, B ls trnsformds de, B por l semejnz de rzon 2. Se verific que, B ) 1 A, B), B ) 2, B ) d (, B ) 21 A, B) lo que indic que el producto de semejnzs de rzon 1 2. Proposición. 14/1915 Existe el elemento inverso de un semejnz. Supongmos que S es igul l producto de un homoteci H por un movimiento M, es decir SMH. Tnto H como M tienen inversos H y M y por tnto H o M existe. Veremos que H o M S S o S S ( M o H ) o ( H o S( H o M o M ) o ( M o H ) H ) M o I o M o I o H H M o M I o H I onclusión: el conjunto de ls semejnzs del pln con el producto definid formn un grupo no conmuttivo. El grupo se llm equiforme porque ls semejnzs conservn l form de ls figurs. El conjunto de ls emejnzs directs es un sugrupo del nterior, no si el de ls semejnzs inverss y que el producto de dos semejnzs inverss es un direct. Teorem fundmentl de l semejnz. Existe un unic semejnz que trnsform un tringulo en otro semejnte el. Demostrción B B B 2 α B 1 A P x A 1 α 2 Existenci. Se el tringulo AB, semejnte l,b,, es decir, mos tringulos tienen sus ngulos respectivmente igules y sus ldos proporcionles. L trslción B 1 1, por tnto t de vector A, trnsform el tringulo AB en el tringulo AA 15/1916 AB t B 1 1 AA El giro de centro y ángulo orientdo B 1 B 2 de semirrect origen B 1 y de semirrect extremo B, trnsform B 1 en B 2. Luego el tringulo B 1 1, G A A B ) B 2 2, En l composición G()o t AA ( B 1 2 t AA G(A,B 1 AB 2 ) AB AB 1 1 AB 2 2 G(A,B 1 AB 2 ) o t AA Puede ocurrir que en el G(,B,B 2 ), l semirrect 2 coincid con l (como indic en l figur), o ien ests dos semirrects pudiern ser simétrics respecto de l B. En este ultimo cso es necesrio plicr l B 2 2 un simetrí xil de eje B con lo que se otendrí un B 2 3 igul l B 2 2 que tendrí el ngulo B 2 2 coincidiendo como ocurre en nuestro cs con el B. Situdos y los dos tringulos. 1º cso B y B º cso B y B 2 3. con estos dos ngulos coincidiend esto es 1º cso B coincidiri con B º cso B coincidiri con B 2 3. se tiene que l proporcionlidd 1º cso 2º cso B2 2 B B2 3 B Existe por tnto en mos cso un homoteci de centro y rzon (l otenid nteriormente) que nos trnsform el tringulo. B 2 2. B o ien B 2 3. H(A A 3 A ) B 16/1917 L trnsformción producto H(,) o G(,α) o t trnsform el tringulo AB en el B AA y como los movimientos y ls homotecis son semejntes, el producto de dos semejnzs es un semejnz. Luego existe un semejnz que trnsform el tringulo AB en el B. Unicidd ( por reducción l surdo) Supongmos que existiesen dos semejnzs f y g que nos trnsformn el tringulo AB en B. Se x un punto culquier, que tendr f(x)x g(x)x. L rect BX cort A en un punto P y sen f ( P) P se verific que g( P) P" PB P B y que l semejnz conserv ls rzones simples (PB)(B ) Análogmente PB P B por ser (PB)( B ) luego es evidente B B (B ) ( B ) Lo cul olig por ls propieddes de ls rzones simples Del mismo modo (XAP)(X,,) (XAP)(X,,) XA XP XA XP X X X X por tnto (X )(X ) X X luego l semejnz es únic. 17/1918 3.3 onstruccion del centro de semejnz direct. En el producto de un giro por un homoteci es interesnte determinr o hllr el punto O que se l vez centro de giro y centro de homoteci, que trnsform un segundo AB en otro B siendo estos segmentos directmente semejntes. P B Prolongr B hst que corte l rect B l segmento AB en un punto P. A B O ϕ onstruir -L circunferenci ψ que ps por P, A y -L circunferenci ϕ que ps por P, B y B ψ A El segundo punto de intersección de ψ con ϕ, el O, es el uscdo. En efecto Deern ser igules OABOB siendo y B los trnsformdos de los A y B. Sore l circunferenci ϕ, OAB rc el OP en ψ y OB rc tmien el OP, luego OABOB Tmien puede verificrse que OBAOB En efecto y en ϕ A B O OB P 180 PBO OB P 180 o o A B OPBO El ngulo PBO, sore ϕ rc el rco PO (que contiene B ) El ngulo OBA, sore ϕ rc el rco PO Luego PBOOBA por tnto OB PBOOBA OB OBA 3.4 Ecuciones de l semejnz omo semejnz se puede descomponer en un homoteci y un movimiento o vicevers, ls ecuciones se otienen plicndo en cd cso ls ecuciones correspondientes del movimiento y de l homoteci. Vemos el cso en que l semejnz S se puede descomponer en producto de un homoteci H de centro O(,) y rzon, y un trslción Tu de vector (, ), es decir STu o H Se A(x,y) un punto que se trnsform en (x,y ) medinte l homoteci y este en (x,y ) por l trslción. 18/1919 19/19 Entonces se otiene plicndo H ) ( ) ( y y x x y si plicmos T u ) ( " ) ( " y y y x x x o ien ) (1 " ) (1 " y y x x que son ls ecuciones de l semejnz dd. Si ñdimos 11 se puede expresr en form mtricil y x y x ) (1 ) (1 1 ) (1 ") ", 1, ( Biliogrfí Recomendd. Puig Adm, P. urso de Geometrí Métric. Ed.Biliotec Mtemátic. Queysnnne, H y Revuz,A. Geometrí. Ed..E..S.A. Tuduri, Fortuni, Jovellnos. Mtemátics OU Angel Primo Mrtínez. Mtemátics OU. Ed.S.M. Documentos relacionados
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XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus Más detalles 1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre Más detalles Presentación Axiomática de los Números Reales
Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos Más detalles Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres Más detalles R 1 R 2. Ángulos diedros: Axioma de división del espacio: Todo plano del espacio determina en éste dos regiones tales que:
Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento Más detalles 8 - Ecuación de Dirichlet.
Ecuciones Diferenciles de Orden Superior Prte V III Integrl de Dirichle t Ing. Rmón scl Prof esor Titulr de nálisi s de Señles Sistems Teorí de los Circuit os I I en l UTN, Fcultd Regionl vellned uenos Más detalles UNIDAD. Vectores y rectas
UNIDAD 6 Vectores y rects L os ectores fcilitn el estudio de los elementos del plno y los prolems que se pueden estlecer entre ellos En su origen, el concepto de ector prece en Físic pr crcterizr cierts Más detalles CAPÍTULO 1. Rectas y ángulos
ÍTUO 1 Elementos ásicos de l Geometrí Rects y ángulos 1.1 En Geometrí hy ides ásics que todos entendemos pero que no definimos. Ésts son ls ides de unto, Rect, lno y Espcio. Señlmos un punto con un mrc Más detalles Curvas en el plano y en el espacio
Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que Más detalles Resolución de circuitos complejos de corriente continua: Leyes de Kirchhoff.
Resolución de circuitos complejos de corriente continu: Leyes de Kirchhoff. Jun P. Cmpillo Nicolás 4 de diciemre de 2013 1. Leyes de Kirchhoff. Algunos circuitos de corriente continu están formdos por Más detalles Hl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES
4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos Más detalles MATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m Más detalles Inecuaciones con valor absoluto
Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor Más detalles Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN Más detalles LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS
L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic Más detalles Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).
64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls Más detalles La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y
L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri. Más detalles Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero
Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd Más detalles Los Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x = Más detalles TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)
.0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems Más detalles FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De Más detalles Resolución de triángulos
8 Resolución de triángulos rectángulos. Circunferenci goniométric P I E N S A Y C A L C U L A Escribe l fórmul de l longitud de un rco de circunferenci de rdio m, y clcul, en función de π, l longitud del Más detalles PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO
PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este Más detalles CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE
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UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre Más detalles 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN
http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el Más detalles MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS
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INTEGRAL DEFINIDA APLICACIÓN l CÁLCULO de ÁREAS Isc Brrow (60-677), teólogo y mtemático inglés, mestro de Newton y precursor de l regl que llev su nomre. MATEMÁTICAS II º Bchillerto Alfonso González IES Más detalles Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.
1.3. L función Logrítmic Con el uso de los ritmos, los procesos de multiplicción, división, elevción potencis extrcción de ríces entre números reles pueden simplificrse notorimente. El proceso de multiplicción Más detalles 51 EJERCICIOS DE VECTORES
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.. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de Más detalles 1.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Cualquier vector v tiene dos componentes (v 1. v = (4,3) 1 2 1 2 u v. u = v (u, u ) = (v, v )
º Bchillerto Mtemátics I Dpto e Mtemátics- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz-Curso 0/0 TEMA 8.- GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS.- VECTORES EN EL PLANO. OPERACIONES. Concepto e vector Un Más detalles Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida
Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de Más detalles REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS
TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen Más detalles INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE
Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo Más detalles A modo de repaso. Preliminares
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Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem Más detalles 3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.
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Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles Más detalles NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007
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CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes Más detalles LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco Más detalles TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo
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Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos Más detalles 7. Integrales Impropias
Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Bsdo en el punte del curso Cálculo (2d semestre), de Roerto Cominetti, Mrtín Mtml y Jorge Más detalles PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que Más detalles Q + simboliza el conjunto de los números fraccionarios y está formado por
CONJUNTOS NUMÉRICOS N simboliza el conjunto de los números naturales: N = {0; ; ; 3; 4; } Q + simboliza el conjunto de los números fraccionarios y está formado por a todas las fracciones de la forma ; Más detalles E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619
1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del Más detalles Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores
Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción Más detalles MATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes Más detalles Tema 4. Integración compleja
Not: Ls siguientes línes son un resuen de ls cuestiones que se hn trtdo en clse sore este te. El desrrollo de todos los tópicos trtdos está recogido en l iliogrfí recoendd en l Progrción de l signtur. Más detalles TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes Más detalles PROBLEMAS DE RODADURA EJEMPLOS SELECCIONADOS
POBLEMAS DE ODADUA EJEMPLOS SELECCONADOS UNDAMENTOS ÍSCOS DE LA NGENEÍA Antonio J. Brbero / Alfonso Cler Belmonte / Mrino Hernández Puche Dpt. ísic Aplicd. ETS ng. Agrónomos (Albcete) EJEMPLO Considere Más detalles 2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.
. Ecuciones de l rect en. Posiciones reltivs. R Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de rects Determine si dos rects son coincidentes, prlels o si son intersecntes Encuentre punto Más detalles 2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.
. Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( ) Más detalles TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz Más detalles Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril. Contenidos
Coordinción de Mtemátic I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semn 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril Complementos Contenidos Clse 1: Funciones trigonométrics. Clse : Funciones sinusoidles y ecuciones trigonométrics. Más detalles 10.- Teoremas de Adición.
Trigonometrí 10.- Teorems de Adición. Rzones trigonométrics de los ángulos A + B y A B. Hy que tener cuiddo de no confundir l rzón trigonométric de l sum de dos ángulos, con l sum de dos rzones trigonométrics. Más detalles MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun? Más detalles Aplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales
Aplicciones lineles Bloque 2 Lección 2.2.- Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción Más detalles UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul Más detalles Z := Z {0} a partir de este nuevo conjunto construimos el producto cartesiano
Cpítulo 4 Números Rcionles. Luego de construir los Números Nturles, se presentron ciertos problems como Cuál es el resultdo de 3 menos 5?, pr poder encontrr un solución se creó prtir de N el conjunto de Más detalles Suma de DOS vectores angulares o concurrentes
Suma de DOS vectores angulares o concurrentes y F 2 o a q=? F 1 x Suma de DOS vectores angulares o concurrentes Trángulo oblcuo: aquel que no tene nngún ángulo recto Ley de los Senos Ley de los Cosenos Más detalles Clasifica los siguientes polígonos. a) b) c) d)
1 FIGURS PLNS EJERIIS PR ENTRENRSE Polígonos 1.44 lsific los siguientes polígonos. ) b) c) d) ) Pentágono irregulr cóncvo. b) Heptágono regulr convexo. c) ctógono irregulr cóncvo. d) Hexágono irregulr Más detalles 7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 161
7Soluciones los ejercicios y problems ÁGIN 161 ág. 1 RTI Rzones trigonométrics de un ángulo gudo 1 Hll ls rzones trigonométrics del ángulo en cd uno de estos triángulos: ) b) c) 7 m m 11,6 cm 8 m m 60 Más detalles Tema VII: Plano afín y espacio afín
Tem VII: Plno fín y espcio fín Hst hor el contexto en el que hemos trbjdo h sido fundmentlmente el de los espcios IR n, y de estos espcios nos h interesdo su estructur vectoril, es decir, por decirlo con Más detalles CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL DOBLE.
CAMBIO E VAIABLES EN LA INEGAL OBLE. 7. Se = [, ] [, ] se define : como (, ) = ( +, ). Encontrr = ( ). Es inecti? Cd n de ls componentes = +, =, es fnción de n sol rible. Pr er qe es inecti, bst comprobr Más detalles 153 ESO. La mayoría de los hombres nacen como originales y terminan como copias. Oriental
L myorí de los omres ncen como originles y terminn como copis 15 ESO Orientl ÍNDICE: MILLA NÁUTICA PISTA DE ATLETISMO 1. FÓRMULAS FUNDAMENTALES PARA CÁLCULO DE LONGITUDES, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. LONGITUDES Más detalles 2017 © DocPlayer.es Política de privacidad | Condiciones del servicio | Feedback

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