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Timestamp: 2017-02-23 17:11:28+00:00

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UNIDAD III: CORRIENTE ELECTRICA Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Desplazamiento de cargas eléctricas. Intensidad y densidad de corriente. Unidades. Resistencia y resistividad. Ley de OHM. Variación de la resistividad con la temperatura. Superconductividad. Energía en un circuito eléctrico. Ley de JOULE. Generadores de energía eléctrica. Fuerza electromotriz. Unidades. Cálculos de corrientes y diferencias de potencial. Leyes de KIRCHOFF. Diferencias de potencial en los terminales de un generador y de un motor. Resistencias en serie y paralelo. Análisis del circuito RC. Carga y descarga de capacitores.
Introducción ......................................................................................................................................... 2 Velocidad de arrastre. ......................................................................................................................... 5 Densidad de corriente eléctrica. ......................................................................................................... 6 Resistencia, resistividad y conductividad............................................................................................ 8 Dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura. ................................................ 11 Ley de OHM ...................................................................................................................................... 13 Resistividad - Comportamiento de los átomos ................................................................................. 14 Conducción en semiconductores ......................................................................................................18 Semiconductores tipo-n y tipo-p. ..................................................................................................19 Intercambios de energía en un circuito eléctrico ..............................................................................21 Fuerza Electromotriz ......................................................................................................................... 23 Calculo de la corriente en un circuito ................................................................................................26 Algunos circuitos simples .................................................................................................................. 27 Diferencias de potencial .................................................................................................................... 28 Resistencia equivalente - Resistencia en serie y en paralelo........................................................... 29 Resistencia equivalente de un conjunto de resistencias en serie ............................................... 29 Resistencia equivalente de un conjunto de resistencias en paralelo ........................................... 31 Ejemplo de resolución de circuitos aplicando la Ley de Ohm ...................................................... 32 Redes eléctricas – Leyes de Kirchhoff ..............................................................................................34 La regla de los nodos o primera Ley de Kirchhoff ........................................................................ 35 La regla de las mallas o segunda Ley de Kirchhoff ...................................................................... 35 Resolución de circuitos mediante la aplicación de las Leyes de Kirchhoff .................................. 36 Ejemplo de resolución de circuitos ...............................................................................................36 Circuitos RC – Caga y descarga del condensador ........................................................................... 38
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UNNE – Facultad de Ingeniería Introducción
Hasta ahora hemos tratado principalmente la electrostática, es decir los efectos de cargas estacionarias. Comenzaremos ahora a considerar el movimiento de los portadores de carga, la conducción eléctrica. Ya vimos que el campo eléctrico es nulo en el interior de un conductor,
sin embargo, si mantenemos un campo eléctrico distinto de cero en un
conductor, por ejemplo conectándolo a una batería o una fuente, los portadores de carga del conductor se moverán, y se establecerá una corriente eléctrica. Veremos los efectos de corrientes estacionarias e investigaremos modelos que nos ayuden a comprender la conducción eléctrica en la materia. Un conductor es un material en el cual algunas de las partículas cargadas se pueden mover libremente, estas partículas son los portadores de carga del conductor. Por ejemplo si pensamos en un metal como una estructura de iones positivos localizados en posiciones de red fijas, y entre éstos se distribuyen los electrones libres. La carga del conjunto de los electrones libres es igual y opuesta a la carga del conjunto de los iones, resultando un material neutro. Los electrones de un metal pueden moverse entre la red de iones, y constituyen los portadores de carga de un metal. Los electrones libres en un conductor metálico aislado, tal como trozo de alambre de cobre, se encuentran en movimiento irregular como las moléculas de un gas encerrado en un recipiente. No tienen ninguna dirección de movimiento definida a lo largo del alambre. Si hace pasar un plano hipotético a través del alambre, la rapidez con la cual pasan electrones a través de él de derecha a izquierda, es misma que la rapidez con la cual pasan de izquierda a derecha; rapidez neta es cero. Si los extremos del alambre se conectan a una batería, se establece campo eléctrico
Este campo en la dirección de
r −E.
actuará sobre los electrones y les dará un movimiento resultante
Decimos que se ha establecido una corriente eléctrica ,si pasa una carga neta una sección transversal cualquiera del conductor en el tiempo constante, es:
La unidad en el sistema internacional será el Amper , definido como
[i] = [q] = [coul ] = [Amp] , se le ha dado el nombre de amperio en honor a André [t ] [seg ]
Marie Ampére (1775-1836).
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Si la velocidad de flujo de carga no es constante al transcurrir tiempo, la corriente varía con el tiempo y estará dada por:
, en los primeros análisis consideraremos corrientes constantes. La corriente
aun cuando el área de la sección transversal ser distinta en diferentes puntos. De la misma manera, la velocidad con la cual el agua (supuesta incompresible) fluye a través una sección transversal cualquiera de un tubo, es la misma aun cuando cambie la sección El agua fluye más aprisa en donde el tubo es de menor sección y más lentamente en donde su sección es mayor, tal manera que el caudal, medido por ejemplo en litros / minuto cambia. Esta constancia de la corriente eléctrica se deduce del hecho de que la carga debe conservarse; bajo las condiciones de régimen estable supuestas, ni se acumula continuamente en ningún punto conductor ni se pierde continuamente en ningún punto. Usando expresiones ya vistas no hay "fuentes" ni "sumideros" de carga La existencia de un campo eléctrico dentro de un conductor no contradice lo que se explicamos anteriormente, ya que antes considerábamos aislado al conductor y que no se conservaba expresamente una diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de él.. El campo eléctrico que obra sobre los electrones en un conductor no produce una aceleración neta, debido a los choques entre los electrones y los átomos (en rigor, los iones) que constituyen el conductor. Esta disposición de los iones, junto con las fuerzas intensas de resorte de origen eléctrico,- se llaman la red. El efecto total de estos choques es transformar energía cinética de los electrones que aceleran en energía de vibración de la red. Los electrones adquieren una velocidad de arrastre constante media
vd , en dirección
hacer una analogía con una bola que rueda por una escalinata muy larga y no con una bola que cae libre desde la misma altura. En el primer caso, la aceleración causada por el campo (gravitacional) es contrarrestada efectivamente por los efectos retardadores de los choques con los escalones de tal manera que, condiciones adecuadas, la canica baja por la escalera con una aceración media cero, esto es, a velocidad media constante. Aun cuando en los metales los portadores de carga son los electrones, en los electrólitos o en los conductores gaseosos los portadores de carga pueden ser también iones positivos, negativos o ambos. La corriente eléctrica es una magnitud escalar, y aunque no es vectorial, comúnmente se habla de la dirección de una corriente, indicando con esto la dirección en que fluyen los portadores de carga positivos Se necesita adoptar una convención para asignar las direcciones de las corrientes porque las cargas de signos opuestos se mueven en direcciones opuestas en un campo dado. Una carga positiva que se mueve en una dirección es equivalente, para casi los efectos externos, a una carga negativa que se mueve en dirección opuesta. Por consiguiente, por
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carga son positivos y dibujamos las flechas de la corriente en el sentido en que se moverían tales cargas. Si los portadores de carga negativos, simplemente se mueven en sentido contrario a las
flecha de la corriente. Hay casos, como en el efecto may, que ya veremos en el cual tiene mucha importancia el signo de los portadores de carga en los efectos externos, en estos a corriente eléctrica I es una magnitud escalar, y aunque no es vectorial, comúnmente se habla de la dirección de una corriente, indicando con esto la dirección en que fluyen los portadores de carga positivos por alto la convención y tomaremos en cuenta la situación real. En las figuras vemos los distintos casos que se nos presentan
En la figura 1 se muestran portadores de carga positivos moviéndose hacia la derecha, mientras que en la Figura 2 vemos portadores de carga negativos moviéndose hacia la izquierda. En la Figura 1 los portadores de carga positivos que se mueven hacia la derecha tienden a hacer que la parte derecha del alambre sea más positiva y la parte izquierda más negativa. En la Figura 2 los portadores de carga negativos que se mueven hacia la izquierda tienden a hacer que la parte derecha sea más positiva y la izquierda más negativa. Es decir que el movimiento de portadores en ambas figuras produce el mismo resultado, y por tanto el sentido de la corriente es en las dos el mismo, hacia la derecha. La corriente
es una característica de un conductor dado. Es una magnitud escalar, es una
cantidad macroscópica, como la masa de un objeto, o la longitud de varilla. Una magnitud microscópica relacionada con la anterior la densidad de corriente conjunto.
característica de punto dentro de un conductor; no es la característica del conductor en
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los portadores de carga interaccionan con las demás partículas del material. llamada velocidad de arrastre.
Cuando se aplica a un conductor un campo eléctrico externo.) Si sobre los portadores de carga no actuaran otras fuerzas. pero continúan ligadas en su s posiciones de la red iónica. y el efecto combinado de estas interacciones y el campo eléctrico aplicado hace que los portadores se muevan a velocidad constante. estos portadores son reemplazados por los del siguiente cilindro a la izquierda.
. La longitud del cilindró
. un campo eléctrico constante produciría sobre ellos una aceleración constante.es
El número de portadores de carga en el cilindro es y todos ellos pasan por la superficie que pasa a través de la superficie
en un alambre de sección
carga en el alambre (número de portadores por unidad de volumen) y portador.UNNE – Facultad de Ingeniería Velocidad de arrastre. el valor de la carga dQ
dt . Arturo R. de
En condiciones de flujo estacionario. (Las partículas que no son portadores se desplazan ligeramente. Castaño
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y el módulo de la velocidad de arrastre. de manera que no varía la carga neta en el tramo de alambre. Veremos ahora la relación entre la corriente
vd . éste ejerce una fuerza sobre cada uno de los portadores de carga del conductor produciendo su movimiento a través del material.
. podemos escribir
. Si la densidad de corriente es uniforme. no es la característica del conductor en conjunto. y por tanto la dirección de
Ing. La corriente eléctrica
caracteriza el flujo de carga a través de la sección perpendicular total
r j . sustituyendo el valor de i nAvd q j= = = nvd q . el moduló de j es igual a la corriente i dividida por el área A de la sección
i i = nAvd q obtenido nos queda A . Arturo R. o sea
Ya dijimos que una magnitud microscópica relacionada con la corriente eléctrica densidad de corriente
r j. Castaño
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. que podemos expresar en forma vectorial A A j=
La densidad de corriente apunta en la misma dirección que contra de
para portadores negativos.UNNE – Facultad de Ingeniería
Es un vector y es la característica de punto dentro de un
r j será: j x = nevd + + n(− e )(− vd − ) = nevd + + nevd −
Como ambos factores son positivos las contribuciones de ambos tipos de iones a lo son.
es valida para cualquier clase de distribución de corriente. Castaño
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. independientemente de su signo.UNNE – Facultad de Ingeniería
r Si un conductor posee más de un tipo de portadores de carga. y la velocidad de arrastre de los iones negativos tiene dirección opuesta al campo. a y b .
mientras que la ecuación uniforma. existirá una contribución a j por cada tipo de portadores. Por tanto. E = Ei .
donde los módulos de las velocidades
vd + y v d −
son ambos positivos.
tendríamos que escribir
correspondientes a cada tipo de portadores. el sentido de la corriente
corresponde con la dirección de
también tanto
para portadores positivos como negativos. Arturo R.
Podemos utilizar la ecuación anterior para demostrar que las contribuciones a
portadores de distinto signo apuntan en la misma dirección. la
velocidad de arrastre de los iones positivos tiene la dirección del campo.
S i el medio es neutro las densidades de ambos tipos de iones son iguales. De nuevo vemos que el efecto externo de los portadores
de carga es el mismo.
Ing. con lo que la velocidad de arrastre es r r vd − = vd + i para los iones positivos. Tomaremos el eje
r r x en la dirección del campo. Consideremos la densidad de corriente en una solución salina en la que los portadores son iones con carga
−e. y vd − = −vd − i para los iones negativos. Es decir. Si tuviésemos dos tipos de portadores de carga.
Resistencia. Definimos la resistencia de un conductor (a menudo llamado una resistencia. símbolo -~) entre dos puntos aplicando una diferencia de potencial
entre puntos. la misma diferencia de potencial producirá una corriente menor. con una bomba. cuyo
. Arturo R. entonces la resistencia estará en ohms. ya que es una medida de la oposición que ejerce un trozo de material al flujo de carga a través de él. en honor a Georg Simon Ohm (1787-1854). En los circuitos se añade a menudo resistencia para limitar o controlar la corriente.
El nombre de resistencia eléctrica es apropiado. la densidad de corriente variará en la misma forma
i a través de una superficie dada puede obtenerse mediante la integral r de superficie de la densidad de corriente j
r r i = ∫ j dS
Por lo tanto podemos decir que la corriente a través de una superficie es el flujo de la densidad de corriente a través de dicha superficie. como se ve en la figura. Castaño
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. Si un trozo de un material tiene mayor resistencia. establecida. resistividad y conductividad
Si se aplica la misma diferencia de potencial entre los extremos de una barra de cobre y de una barra de madera se producen corrientes muy diferentes. Esta diferencia presión se puede comparar con la diferencia de potencial establecida entre los extremos de una resistencia mediante una batería.UNNE – Facultad de Ingeniería
Si la velocidad de arrastre de los portadores varía. midiendo la corriente
resistencia serán si símbolo es
i en Amper . por ejemplo. La característica del conductor que interviene esta diferencia es su resistencia.
Ing. el cual se debido a que hay una diferencia de presión entre los extremos tubo. El flujo de carga a través de un conductor se compara a nudo con el flujo de agua a través de un tubo.
la intensidad campo eléctrico y la densidad de corriente serán constantes en todos.5x10-5 a Coeficiente temperatura 3. En la tabla siguiente vemos una lista de algunos valores para metales comunes.10-8 Ohm-m. Relacionada con la resistencia está la resistividad
ρ. Para materiales isótropos.UNNE – Facultad de Ingeniería
El de agua (digamos m3/ seg.0x10-7 3.7 X .8 1. los puntos en el cilindro y tendrán los valores:
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Ing. grava? Estas características del tubo son análogas a la resistencia de un conductor.
i . La rapidez de flujo del agua para una diferencia de dada depende de la naturaleza del tubo.0x10-3 -5x10-4 de Densidad Punto de fusión °C 2. por ejemplo. se la define como
E La resistividad del cobre es de 1. Resistividad 20°C ohm-m Aluminio Plata Cobre Hierro Carbono 2. Varía con la
temperatura.9x10-3 5.6x10-8 1.7 10.8x10-8 1. los valores que aquí se consignan son para 20°C.39 x 100 para un aumento de temperatura de 1 C° cerca de 20°C. en esta tabla esta definido como
la fracción que cambia la resistividad
1 dρ ρ dT
por unidad de cambio de temperatura.) se compara con la corriente ( amp).6x10-8 1.9 659 960 1080 1530 3500
α .9 7. que la resistividad disminuye al aumentar la temperatura.8x10-3 3. eléctricas en este caso. Apliquemos una diferencia de potencial V entre sus extremos. Castaño
. la del j
cuarzo fundido es aproximadamente de 10'° Ohm-m.9x10-3 3. no varían con la dirección que se tome en el material. o sea. Pocas propiedades físicas pueden medirse entre márgenes tan amplios de valores. Si las
secciones transversales del cilindro son superficies equipotenciales.
que es una característica de un
material y no de una muestra especial del material. Considérese un conductor cilíndrico de sección transversal corriente constante
A.9 X 10-'/C°) la resistividad aumenta en 0. Para el cobre = 3. que son los materiales cuyas propiedades. Arturo R. es el coeficiente de temperatura. Nótese que a para el carbón es negativa. ¿Es largo o corto? ¿Es angosto o ancho? ¿Está vacío o lleno de algo.5 8.
designadas superficie equipotencial terminal negativa. en forma vectorial por E = ρ j
Las cantidades macroscópicas se pueden encontrar por integración de cantidades microscópicas
r r Vab = − ∫ Edl
La integral en la ecuación de la corriente es una integral de superficie. que se aplican a un cuerpo a una región extensa en particular. la
podría escogerse como una sección transversal del alambre cerca
de la terminal positiva de la batería y
tomarse como una sección transversal cerca de la
puede expresarse en términos microscópicos
dividiendo las dos ecuaciones miembro a miembro así:
Ing. que se debe obtener en una sección transversal cualquiera del conductor.UNNE – Facultad de Ingeniería
ρ puede escribirse entonces así:
R son cantidades macroscópicas. Para un alambre largo conectado con una batería. Castaño
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. La integral en la ecuación de la diferencia de potencial es una integral de línea que se debe efectuar siguiendo una línea arbitraria trazada a lo largo del conductor. j y ρ . Las cantidades macroscópicas están relacionadas entre sí por medio de la ecuación de la ecuación
V = Ri cantidades microscópicas están relacionadas . éstas tienen sus
valores particulares en cada punto de cuerpo. Arturo R. La resistencia de un conductor entre
. uniendo dos superficies equipotenciales cualesquiera. de manera que se obtiene:
V. Las cantidades microscópicas correspondientes son E.
j y ρ
nos ocupamos del comportamiento fundamental de la materia.
Dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura.i y R
son de interés primordial cuando efectuamos
mediciones eléctricas en objetos conductores reales. Son las cantidades que se leen en los medidores.
La resistividad de muchos metales puros varía casi linealmente con la temperatura en un amplio rango de valores de ésta.
están en sus extremos. Las cantidades microscópicas
Ing. Castaño
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. como se muestra en la figura siguiente para el cobre. Arturo R.UNNE – Facultad de Ingeniería
Si el conductor es un cilindro largo de sección transversal
A. como ocurre ordinariamente en el campo de la física del estado sólido. Las cantidades microscópicas son también importantes cuando estamos interesados en el comportamiento interior de objetos conductores de forma irregular. la anterior ecuación de
El l = ρ jA a
Las cantidades macroscópicas
V. Más adelante nos ocuparemos apropiadamente del punto de vista atómico de la resistividad de un metal y no de la resistencia de una muestra de metal.
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.UNNE – Facultad de Ingeniería
Como generalmente para los metales sólo aparece una ligera curvatura en la gráfica de frente a
T . las medidas de resistividad a bajas temperaturas se usan a menudo o para determinar la cantidad de impurezas que contiene un metal. Arturo R. figura siguiente Este comportamiento se muestra en la
Ing. por debajo de 20 K. Realmente en la practica.
en un rango limitado de temperaturas podemos aproximar la ligera curvatura de la gráfica de
ρ frente a T por una recta. En
la tabla dimos valores de los coeficientes términos de la resistividad para
algunos materiales representativos La dependencia de la resistividad de los metales con la temperatura figura vemos el comportamiento típico en este rango altura se aparta
claramente de la linealidad a bajas temperaturas. podemos escribir
ρ ≈ ρ
α (T − T 0
ρ es la resistividad a la temperatura T . ρ0 la resistividad a una temperatura de referencia T 0 y α es el llamado coeficiente térmico de la resistividad. En la siguiente
A estas bajas temperaturas la resistencia de un metal depende fuertemente de las pequeñas cantidades de impurezas que contenga. En algunos metales aparece un hecho sorprendente cuando son enfriados a muy baja temperatura: su resistencia se anula completamente. Es decir. Notamos que en la figura
la línea recta dada por
la ecuación anterior es difícilmente distinguible de la curva para temperaturas cercanas a
la corriente también se duplicará.
Ing. Arturo R. Hoy día la superconductividad constituye una activa área de investigación en física. de forma que su resistencia es independiente de caso podemos escribir
V (o de i ).
Todas las experiencias llevadas a cabo parecen indicar que la resistencia de los materiales en el estado superconductor es realmente cero. la corriente a través de un trozo del conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada entre los extremos del mismo. En estas circunstancias la ley de Ohm
resulta muy útil. Por el contrario se trata de una expresión empírica que describe con precisión el comportamiento de muchos materiales en el rango de valores de
típicamente utilizados en los circuitos eléctricos. aun cuando no haya batería en el circuito. Si la temperatura se eleva ligeramente sobre el punto superconductor. si se duplica la diferencia de
potencial entre los extremos de un conductor. Kamerlingh Onnes (1853-1926). Castaño
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El nombre de Ley de Ohm esta ecuación es posiblemente algo erróneo porque el rango de validez de esta ecuación está en ocasiones demasiado limitado como para garantizarlo utilizando la palabra ley. como por ejemplo lo es la ley de Coulomb. y se conoce como superconductividad.
Para muchos conductores.UNNE – Facultad de Ingeniería
El fenómeno fue descubierto en 1911 por H. persisten sin disminuir durante muchas semanas. No se trata de un hecho fundamental en la naturaleza. y cada vez es mayor su importancia en ingeniería. una vez que se establecen corrientes en un circuito superconductor cerrado. Así por ejemplo. las corrientes se anulan inmediatamente.
Un conductor no-óhmico no posee un valor único de resistencia. Arturo R.
En un metal. es posible dar un paso más y calcular los valores de la resistividad
para diversos metales. En el cobre hay uno de estos electrones por cada átomo. Castaño
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. Si se modifican estas ideas cuando sea necesario de acuerdo con los requisitos de la cuántica. La distribución de velocidades de los electrones de conducción correctamente aplicando la física cuántica. los electrones de valencia no están ligados átomos individuales sino que tiene libertad para moverse dentro la red y se llaman electrones de conducción. de forma que la pendiente en todos los pu de la gráfica es la misma. los veintiocho restantes están ligados núcleos de cobre formando corazones iónicos. Un conductor óhmico se caracteriza por tener un único valor de su resistencia. de
V con respecto a i .
Ing. y su gráfica de línea recta
Resistividad .UNNE – Facultad de Ingeniería
Los materiales que cumplen la ley de Ohm se denominan óhmicos. para nuestras finalidades basta
v definida en forma conveniente. Estos cálculos no son sencillos.
La grafica. considerar solamente una velocidad media sólo se puede describir
recta.Comportamiento de los átomos
Podemos entender por qué los metales obedecen la ley de Ohm fundándonos en las ideas clásicas sencillas. los
ρ. y los que no la cumplen
no-óhmicos. y corresponde a
. pero cuando se han efectuado.
Estos choques concuerdan a los choques de las moléculas de un gas confinado en depósito. Lo mismo que en el caso de los choques moleculares describir los choques del electrón con la red mediante un recorrido libre medio
. Los electrones chocan constantemente con los corazones iónicos del conductor. no es sorprendente que la resistividad de un metal se pueda aumentar de las siguientes maneras: (a) elevando su temperatura. cuando T →00 K en los cristales ideales. esto es.
λ →∞. las direcciones en que se
mueven los electrones están completamente azar. esto es. como las de las moléculas de un gas confinado en un depósito. para aumentar el número de imperfecciones de la red. interactúan con la red. (b) agregando pequeñas cantidades de impurezas.6x10
cm / seg. En un cristal metálico ideal a 0 ° K no ocurrirían choques electrón-red según pronostica la física cuántica. Los choques ocurren
están vibrando en torno de sus
(a) los corazones jónicos a cualquier temperatura T
posiciones de equilibrio en una forma desordenada. los electrones modifican su movimiento irregular de tal manera que son arrastrados lentamente en dirección opuesta a la del campo. (c) sometiéndolo a esfuerzos severos.
Ing. estirándolo a través de una hilera. (c) los cristales pueden contener imperfecciones en la red.
(b) pueden existir impurezas. En vista de lo anterior. con una velocidad media de arrastre la velocidad efectiva media
vd . Castaño
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. se puede demostrar que los choques entre electrones ocurren muy pocas veces y tienen poco efecto en la resistividad. tales como filas de átomos
faltantes y átomos desalineados. átomos extraños. sufriendo a menudo cambios repentinos en la rapidez y dirección. Arturo R.UNNE – Facultad de Ingeniería
v es igual a 1. Cuando se aplica un campo eléctrico a un metal. esto es. Esta velocidad de arrastre es mucho menor que
v mencionada anteriormente. siendo
la distancia media que recorre un electrón entre
choques consecutivos. En ausencia de un campo electrónico. por ejemplo.
el electrón avanza de
x . El choque. terminando en y y no y .UNNE – Facultad de Ingeniería
La figura sugiere la relación entre estas dos velocidades. Notamos que el electrón es arrastrado ′ constantemente hacia la derecha. la velocidad del electrón habrá cambiado a:
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. v Se puede calcular la velocidad de arrastre d de los electrones en del campo eléctrico aplicado r E y de vd y λ .
Las líneas interrumpidas muestran cómo hubiera podido ocurrir el mismo fenómeno si se
r hubiese aplicado un campo eléctrico E . Arturo R. La línea llena es una trayectoria irregular posible seguida un electrón cuando no se aplica un campo.
que le comunica una aceleración a dada por la segunda
Consideremos a un electrón que ha chocado precisamente contra un corazón ion. Cuando se aplica campo a un electrón que está inicialmente en reposo. en general. destruirá momentáneamente tendencia del arrastre y el electrón tendrá una verdadera dirección desordenada después de este choque. a y efectuando seis choques en el camino. Al siguiente choque.
Contra la fuerza gravitacional fuerza resistente viscosa que es proporcional a la velocidad. Castaño
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. Así pues. Arturo R.UNNE – Facultad de Ingeniería
⎛λ ⎞ vd = a⎜ ⎟ . obtenemos:
j eE λ = ne mv
. piedra es constante. dando una relación del orden de 10 10
Podemos estar seguros de que cualesquiera que sean valores de se aplica un campo eléctrico. lo cual es el criterio para saber si un dependen de la distribución de material obedece la ley de Ohm. En tal caso. la velocidad final de la
en función de la densidad de corriente
ecuación anterior. ρ no dependerá de E . si bien se ha efectuado este cálculo en
10 − 2 cm / seg. nuestra ecuación de eléctrico
el cobre a 20°C) cuando no hay un campo eléctrico. se conservan casi sin cambio cuando
y el material obedece la ley de Ohm.
jm v ne 2 λ
E 1 jm v mv = = j j ne 2 λ ne 2 λ
v y λ no dependen del campo eléctrico aplicado E . mientras que
es solamente es del orden de .. ⎝v ⎠
⎛λ ⎞ ⎜ ⎟ siendo ⎝v ⎠
El movimiento del electrón a través del conductor es análogo a la velocidad constante con que cae una piedra en el agua. sobre la piedra se opone una Así pues. puesto que es del orden de
Esta ecuación se puede considerar como la afirmación de que los metales obedecen la ley
/ seg. Vemos que esta distribución queda afectada sólo ligeramente al aplicar un campo eléctrico aun cuando sea relativamente grande.. El cálculo numérico de
ecuación se complica por la dificultad de calcular a un buen numero de casos
. Las cantidades v y λ
de Ohm si es que podemos demostrar que velocidades de los electrones de conducción.
los semiconductores. Es decir.) Los electrones liberados térmicamente serán Además de los electrones libres. cada uno tiene cuatro vecinos más próximos. la densidad de portadores es el factor clave para controlar la conductividad de un semiconductor. Los semiconductores están formados por elementos de las columnas centrales de la tabla periódica. Arturo R.
cada átomo aparece como un ion de carga
acompañado de cuatro electrones de valencia. Estudiaremos el silicio como nuestro semiconductor representativo. pero las fluctuaciones de energía térmica hacen que algunos de ellos se encuentren libres. deja atrás una
ionizado. entre los que el silicio es el más común. (A temperatura ambiente. C o n d u c c i ó n e n s e m i c o n d u c t o r e s p u r o s . Los semiconductores juegan un papel esencial en la tecnología moderna.
En el silicio puro casi todos estos electrones están ligados a sus respectivos iones a temperatura ambiente.. aproximadamente un átomo de cada
portadores de carga negativos. Pues bien. Castaño
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. transistores y circuitos integrados. El silicio
tiene una valencia 4. cuya conductividad es intermedia entre la de los conductores y la de los aislantes. En la figura anterior vemos que si un electrón se libera de su sitio en el sólido.UNNE – Facultad de Ingeniería
Conducción en semiconductores
Anteriormente habíamos dividido los materiales en dos clases dependiendo de su conductividad eléctrica: conductores y aislantes. una pequeña fracción de los átomos de silicio está térmicamente
ionizada. los semiconductores tienen portadores de carga positivos. En siguiente figura mostramos una representación en dos dimensiones de la red cristalina tridimensional del silicio. es decir una fracción muy pequeña. Son los materiales usados para fabricar dispositivos electrónicos como diodos. y cuando los átomos de este elemento se juntan
formando un sólido. Existe un tercer tipo.
ya vimos que en el silicio a temperatura ambiente hay aproximadamente uno por cada
1012 átomos. considerar el agua subiendo. debido a un campo eléctrico aplicado. pensamos en termino de «la falta de agua» (la burbuja) en ve. el de los metales.
En el caso anterior el número de portadores del silicio era muy bajo en comparación con. Sin embargo. Un hueco moviéndose en un semiconductor. El fósforo
valencia. y un campo eléctrico aplicado puede hacer que un hueco se mueva a través del sólido en la dirección del campo. En lugar de hablar del agua cayendo resulta más apropiado hablar de la burbuja subiendo. En un metal hay aproximadamente un portador por átomo. aunque realmente el agua está cayendo conforme la burbuja sube. Por tanto esencialmente cada átomo de la impureza de fósforo cede un portador de carga negativo. Arturo R.
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. Esta «falta de electrón» se llama hueco. electrón libre al material. Si se introduce una pequeña cantidad de fósforo en el silicio sólido. De esta forma un hueco es un portador de carga positivo. la 11 resistividad del silicio a temperatura ambiente es del orden de 10 veces mayor que la de los
metales. Consideremos el efecto de la incorporación de átomos de fósforo en silicio. la densidad de portadores en un semiconductor puede aumentarse considerablemente introduciendo ciertas impurezas en el material. En consecuencia. es similar a una burbuja moviéndose hacia arriba desde e el fondo de una piscina debido al campo gravitatorio de la tierra. uno más que el silicio.UNNE – Facultad de Ingeniería
posición donde falta un electrón. la burbuja sube a través del agua.
Semiconductores tipo-n y tipo-p. como se muestra en la siguiente figura
Cuatro de los cinco electrones de valencia de cada átomo de fósforo estarán ligados al ion de fósforo (en la misma disposición de los electrones alrededor de los iones de silicio). algunos lugares normalmente ocupados por los iones silicio (con carga ocupados por iones fósforo (con carga
+ 4e ) serán ahora
+ 5e ). y el electrón restante está siempre prácticamente libre a temperatura ambiente.
y ahora el material tiene un portador de carga en forma de hueco. formado por la falta de un electrón de valencia en el aluminio. A temperatura ambiente el hueco. está prácticamente siempre libre. de forma que casi todos los iones aluminio tienen cuatro electrones a su alrededor. El átomo de aluminio acepta un electrón del material. como los de silicio. Si se introduce una pequeña cantidad de aluminio en silicio sólido. El silicio dopado con aluminio es un semiconductor tipo p. Por ejemplo. Para calificar un semiconductor corno tipo n o tipo p. los huecos. en este caso electrones. como los de silicio. como se muestra en la figura
A temperatura ambiente el hueco. algunos lugares normalmente ocupados por iones silicio pasarán a estar ocupados por iones aluminio (con carga
+ 3e ).UNNE – Facultad de Ingeniería
Consideremos ahora el efecto de impurezas de aluminio en silicio. Castaño
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. formado por la falta de un electrón de valencia en el aluminio. el silicio dopado con fósforo contiene un exceso de portadores de carga negativos. El aluminio
tres electrones de valencia. Como hemos visto. Este tipo de material se denomina semiconductor tipo n. cuando se introduce fósforo en silicio puro. o sea a la carga positiva de los portadores. Arturo R. Cuando se introduce a propósito una impureza en un material que era puro se dice que el material está dopado. de forma que casi todos los iones aluminio tienen cuatro electrones a su alrededor. uno menos que el silicio. está prácticamente siempre libre. Esencialmente cada átomo de aluminio produce un hueco en el material. la concentración debe ser suficientemente alta como para que la densidad de electrones libres o huecos debe ser mucho mayor que la densidad de portadores en el material puro. el material resultante es silicio dopado-con fósforo.
Ing. refiriéndonos a la carga negativa de los portadores.
la energía aparece casi toda como energía química almacenada en esa segunda batería. Arturo R. Castaño
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. lo cual significa que la energía cinética ya no aumenta. Si
cae en el vacío. Si el artefacto es una resistencia. un motor o un acumulador.UNNE – Facultad de Ingeniería Intercambios de energía en un circuito eléctrico
La figura muestra un circuito que consiste en una batería conectada con una caja cerrada. conectada con el borne positivo
de la batería está a mayor potencial que la terminal
b . o sea. Para darse cuenta de ello. entre otras cosas.
a . esta energía se transforma en energía cinética de la piedra. o bien -para muchos fines prácticos el aire. Disminuye su energía potencial gravitacional en una cantidad mgh .
esta carga disminuirá su energía potencial
eléctrica en una cantidad
El principio de conservación de la energía nos dice que esta energía se transforma dentro de la caja. si artefacto es un acumulador que se está cargando. la energía aparece casi toda como trabajo mecánico hecho por el motor. La
Ing. Si se mueve una carga dq
Si el artefacto que está dentro de la caja es un motor. Pero si la piedra cae en el agua. La caja podría
contener una resistencia. sino solo su comportamiento al relacionarla con el exterior . aseguramos que la energía aparece como calor en la resistencia. es decir no sabemos y para este primer análisis no importa que hay adentro. de energía potencial eléctrica a alguna otra forma ¿Qué cosa será esa otra forma? Ello depende del contenido de la caja. su velocidad al cabo de cierto 'tiempo se hace constante. consideremos una piedra de masa m que cae desde una altura
h . Por los alambres de conexión pasa una corriente i constante y existe una diferencia de potencial constante
b . Entonces en un tiempo dentro de la caja es:
Encontramos la rapidez de transmisión de energía
dividiendo entre el tiempo.
La unidad de potencia la podemos deducir de:
⎡ joule ⎤ ⎢ seg ⎥ = [watt ⎣ ⎦
⎡ joule ⎤ ⎡ coul ⎤ = ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ coul ⎦ ⎣ seg ⎦
Ing. estas son las que se conocen como de Joule. que es termodinámicamente irreversible. En una escala microscópica
por consiguiente no ganan energía cinética. pero de la ley de Ohm tenemos que
se aplica a la transmisión de energía
eléctrica de todas las clases.UNNE – Facultad de Ingeniería
energía potencial de que continuamente se dispone conforme cae la piedra aparece entonces como energía térmica en la piedra y en el agua circundante. las ecuaciones
a la transformación de energía eléctrica en energía calórifica a en una resistencia. El paso de los electrones a través de la resistencia es muy semejante al de la piedra a través del agua. Castaño
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. en una escala macroscópica esto corresponde a un aumento de temperatura. se llama calentamiento por efecto Joule. Los electrones avanzan con una velocidad constante de arrastre transmite a la resistencia como calor. Arturo R. Esta ley es en definitiva una manera particular de escribir el principio de la conservación de la energía para el caso especial en el cual energía eléctrica se transforma en energía calorífica. Este efecto. y es en esta superficie en donde aparece la energía térmica. semejante a la fricción y que obra en la superficie de la piedra. La energía potencial eléctrica que pierden se esto puede interpretarse considerando que los choques de los electrones con la red aumentan la amplitud de ls vibraciones térmicas de la red. la que evita que ésta acelere. Es la fuerza viscosa de arrastre del agua. Para una resistencia tenemos:
Arturo R. como se representa con los signos + y . Muchas veces para los cálculos el valor de la resistencia interna
tan pequeño que se lo puede despreciar. y el sentido de la corriente en el interior de la batería va del terminal negativo hacia el positivo.
. Dos importantes magnitudes que caracterizan una batería son su fem resistencia interna
y. se produciría una corriente en el
Ing.La fuente de fem conserva la terminal superior positiva y la
terminal inferior negativa. En nuestro estudio capítulo no nos ocuparemos de cómo están construidos o de los detalles de su funcionamiento. representada por una batería y la cual va
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. sino que nos dedicaremos a describir sus características eléctricas y a explorar su utilidad en circuitos eléctricos.. abreviado fem. el sentido de la corriente fuera de la batería (a través de la resistencia) va desde el terminal positivo al terminal negativo. El terminal que está a mayor potencial se denomina terminal positivo. Por tanto. el circuito debe contener un componente que actúe como fuente de energía eléctrica.
. La batería produce esa corriente estable al mantener una diferencia de potencial aproximadamente constante entre sus terminales. Una fuente de fuerza electromotriz proporciona a los portadores de carga la energía eléctrica necesaria para que realicen su trayecto a través del circuito. En otras palabras.UNNE – Facultad de Ingeniería
Para que en un circuito eléctrico exista una corriente continua. su
. Estos componentes se llaman fuentes de fuerza electromotriz.
En el circuito exterior a la fem los portadores positivos de carga se moverían en la dirección que muestran las flechas representadas por sentido de las manecillas del reloj. y el terminal que está a menor potencial se denomina terminal negativo.
mayor potencial. La energía química proporcionada por la batería en el circuito anterior se almacena en los campos eléctricos y magnéticos que rodean al circuito. La fuente debe hacer una
de. Por ejemplo. la terminal positiva. en energía eléctrica. Esta energía. La energía que proporciona la persona al sistema aparece al fin de cuentas como calor
Ing. en el mismo. Esta energía almacenada no aumenta porque se está gastando al transformarse en calor por el efecto Joule en la resistencia con la misma rapidez con que es abastecida. funcionando como depósitos de almacenamiento. Después van rodando por el piso hacia la izquierda. almacenada temporalmente como energía de campo electromagnético. Realiza un trabajo similar al de una bomba mediante la cual el agua se puede subir un lugar de bajo potencial a otro de elevado potencial. En el circuito anterior. debe haber una
transmisión de energía dentro de la fuente. energía química. Castaño
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. La fem
. mecánica o de otra forma. en forma reversible. Esta energía queda almacenada temporalmente como energía en el campo gravitacional
Las bolas ruedan lentamente por el anaquel. El dibujo siguiente un símil gravitacional del circuito. de la fuente define así:
Si una fuente de fem hace trabajo sobre un portador de carga. y son extraídas mediante un mecanismo adecuado que no se muestra en la figura. cayendo por el extremo derecho a un cilindro lleno de aceite viscoso. aparece al fin de cuentas como calentamiento por el efecto Joule en la resistencia
. Podemos describir una fuente de fem como un dispositivo en el cual se transforma.
El hombre. la terminal negativa. Arturo R. Los campos eléctrico y magnético juegan el papel de intermediarios en el proceso de transmisión de energía. en una batería se transforma energía química en eléctrica. la fuente de fem hace trabajo sobre los portadores de carga. Se hunden hasta el fondo a velocidad constante. a través fuente a un punto de elevado potencial. esta carga entra a la fuente fem en su extremo
de bajo potencial y sale de ella en su extremo de elevado potencial. En la circuito pasa carga cantidad debajo
Una fuente de fem debe ser capaz de hacer trabajo sobre portadores de carga que penetren a ella. el efecto de la fuente es mover las cargas pos de un punto de bajo potencial. hace trabajo sobre ellas. al levantar las bolas de boliche del piso al anaquel.
que proporciona la mayor diferencia de potencial. química. Arturo R. La circulación de las cargas en el circuito. ideales A y B. Castaño
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. La batería A se está "cargando" mientras que la batería B se está descargando. la circulación de las bolas de boliche en el dibujo se suspenderá a la larga si la persona no recupera con alimentos su provisión de energía interna. La energía que proporciona la persona viene de su propia energía interna. La figura muestra un circuito que contiene dos baterías. Nuevamente. la dirección definitiva de la corriente queda determinada por B. se suspenderá a la larga si la batería no carga. Las transformaciones de energía en este circuito son:
E n e rg ía q u ím ic a to m a d a d e B
E n e rg ía d e cam po e lé c tric a y m a g n e tic a a l m acenada
E n e rg ía q u ím ic a a lm a c e n a d a en A
Ing. una resistencia R y un motor eléctrico ideal que opera levantando un peso. Las baterías se conectan de tal manera que tienden a mandar cargas por el circuito en direcciones opuestas.UNNE – Facultad de Ingeniería
en el fluido viscoso. apareciendo la energía en las tres formas mostradas a la derecha. los campos eléctrico y magnético que rodean al circuito obran como intermediarios.
La energía química en B se está consumiendo continuamente.
Arturo R. Castaño
V a − iR + ε = V a
Ing. que lo podemos expresar
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. es preciso que un punto dado no pueda tener más que un solo valor del potencial en un momento dado. lo cual debe ser cierta porque los portadores de carga positiva se mueven por sí mismos del potencial alto al potencial bajo. hacia arriba hay un aumento de potencial de valor
debido a que la batería hace trabajo (positivo) sobre los
portadores de carga. debemos llegar al mismo potencial cuando regresemos al punto de partida. o sea. Al atravesar el acumulador de abajo. lo que quiere decir que los mueve de un punto de bajo potencial a un punto de potencial elevado. la suma algebraica de los cambios de potencial que se
encuentren al recorrer el circuito completo. El
signo menos indica que la parte superior de la resistencia tiene un potencial mayor que la parte inferior.
manecillas del reloj. debe ser cero. sumando algebraicamente los cambios de potencial encontrados. y ésta
habrá hecho un trabajo sobre esa carga dado por la siguiente expresión
dW = εdq = εidt
De acuerdo con el principio de la conservación de la energía. el trabajo hecho por la fuente debe ser igual al calor generado por el efecto Joule.
dW = εidt = i 2 Rdt
εidt = i 2 Rdt ⇒ εi = i 2 R ⇒ ε = iR ⇒
También podemos derivar esta ecuación considerando que. Durante ese mismo tiempo se habrá movido una carga dq = idt a través de la fuente de fem. Añadiendo la suma algebraica de los cambios de potencial al potencial obtenerse el mismo valor
. En otras palabras.UNNE – Facultad de Ingeniería
dt aparecerá una cantidad de energía dada por la expresión: dW = i 2 Rdt en la resistencia del circuito anterior como calor por el efecto Joule. e imaginariamente seguimos todo el circuito el una dirección cualquiera. Si comenzamos en un punto cualquiera del circuito de la figura. Al pasar por la resistencia hay un cambio de potencial de valor
− iR . para que el potencial eléctrico tenga un verdadero significado.
Si bien lo volveremos a ver más adelante. en realidad. ocupan la misma
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. el cambio de potencial es
. basadas en la conservación de la energía y en el concepto de potencial son completamente equivalentes porque las diferencias de potencial se definen en función del trabajo y energía. Veamos las reglas para encontrar las diferencias de potencial en cualquier circuito.
y la fem separadas. el enunciado de que la suma de los cambios de potencial que se encuentran al seguir un circuito completo es cero se llama segunda ley de Kirchhoff. aun cuando desde el punto
de vista de las energías sería mejor hacerlo. La figura muestra la resistencia interior región del espacio. Estas dos maneras de encontrar la corriente en circuitos simples. aun cuando. Si se atraviesa una fuente de fem en el sentido de la fem. en el sentido contrario es
2. el cambio de potencial es
. o también teorema de la trayectoria o de las mallas. Si se recorre una resistencia en el sentido de la corriente. porque es una parte inherente del aparato. Siempre debe tenerse presente que este teorema es simplemente una manera particular de enunciar el principio de la conservación de la energía en circuitos eléctricos.UNNE – Facultad de Ingeniería
− iR + ε = 0
Expresión esta que no depende del valor de
y que expresa explícitamente que la suma
algebraica de los cambios de potencial al recorrer un circuito completo es cero. en el sentido contrario es
intrínseca. Arturo R. Esta resistencia no se puede eliminar.
1. estas reglas se deducen del análisis anterior.
contra la corriente. Arturo R. Si
Si aplicamos la ley de las mallas. tenemos:
V b − Ri − r1 i + ε 1 = V a
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+ ε − ir − iR = 0
Veamos como calcular la diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito. comenzando en el punto de las manecillas del reloj. respectivamente. En el circuito siguiente calculamos la entre la diferencia de potencial entre los puntos
V b + ε − ir − iR = V b
o sea. es decir
V ab = V a − V b
Para encontrar esta relación comencemos en el punto pasando a través de la resistencia en los puntos
Los circuitos eléctricos contienen generalmente combinaciones de resistencias. debemos obtener el mismo resultado para todas las trayectorias que conecten estos puntos
Resistencia equivalente . Esta suma algebraica será la diferencia de potencial. así pues.
Es decir. Las líneas rectas de conexión indican alambres de resistencia despreciable. Arturo R. El concepto de resistencia equivalente de una combinación de resistencias es útil para calcular la corriente que pasa por las diferentes ramas de un circuito. Vamos a decir que dos o más resistencias están conectadas en serie cuando la corriente que circula por ellas es la misma. donde
la diferencia de potencial entre los extremos de la combinación. R 2 y R 3
serie. la resistencia
única debe transportar la misma corriente que la combinación cuando la diferencia de potencial entre sus extremos sea igual que en ésta. e i la corriente
que fluye a través de la combinación. salvo que en este caso las diferencias de potencial se agregan en una parte del circuito y no en todo el circuito. Para producir el mismo efecto externo que la combinación. combinación.
R1 . Este procedimiento es similar al que sirve para encontrar la corriente en un circuito cerrado.
La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera no puede tener más que un solo valor. También se muestra la variación del potencial en la dirección correspondiente al sentido de la corriente.UNNE – Facultad de Ingeniería
V ab = V a − V b = − Ri − r1 i + ε 1
Resumiendo podemos decir: Para encontrar la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera en un circuito se comienza en un punto cualquiera y se recorre el circuito hasta llegar al otro punto. siguiendo cualquier trayectoria y se suman algebraicamente los cambios de potencial que se encuentren. La resistencia equivalente de una combinación de
resistencias es el valor de una única resistencia que reemplazada por la combinación produce el mismo efecto externo. Castaño
Año 2008 29 de 43
Vemos que la diferencia de potencial entre los extremos de la combinación es igual a la suma de las diferencias de potencial entre extremos de cada resistencia:
Puesto que están en serie.
Una única resistencia de valor
resistencias. de forma que
V = V 1 + V 2 + V 3 = iR 1 + iR 2 + iR 3 V = i (R 1 + R 2 + R 3 ) ⇒ V = R1 + R 2 + R 3 i
Por definición la resistencia equivalente es :
V = R 1 + R 2 + R 3 ⇒ R eq = R 1 + R 2 + R 3 i
R eq = R 1 + R 2 + R 3 . debe pasar la misma corriente por las tres resistencias. Arturo R. manteniendo el mismo efecto externo. Castaño
Año 2008 30 de 43
. Generalizando podemos decir que para resistencias conectadas en serie
Para nuestro caso el circuito quedará
Castaño Año 2008 31 de 43
La condición para considerar a dos o más resistencias en paralelo es que la diferencia de potencial entre los extremos de ambas resistencias sea la misma. aplicando la Ley de Ohm
reemplazando será
V V V + + ⇒ R1 R2 R3
⎛ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ i 1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⇒ = + + i =V⎜ ⎜R ⎟ ⎜R ⎟ R R V R R 2 3 ⎠ 2 3 ⎠ ⎝ 1 ⎝ 1
atraviesan cada resistencia. Arturo R.
luego por aplicación de la Ley de Ohm encontrar las corrientes por cada resistencia. Castaño
Año 2008 32 de 43
Ing.UNNE – Facultad de Ingeniería
y por definición de resistencia equivalente
de la ecuación anterior nos queda:
⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎟ =⎜ + + ⎜R ⎟ R eq R R 2 3 ⎠ ⎝ 1
Nuestro circuito quedará
⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎟ =⎜ + + ⎟ ⎜R R eq R R 2 3 ⎠ ⎝ 1
Ejemplo de resolución de circuitos aplicando la Ley de Ohm
Entendemos por resolución de circuitos el hecho de calcular todas las corrientes eléctricas que circulan por el mismo. En el ejemplo siguiente nos limitamos a un circuito que tiene una sola batería. Arturo R. el método de resolución será tratar de encontrar la resistencia equivalente del circuito.
Arturo R.UNNE – Facultad de Ingeniería
A continuación el paralelo entre
Año 2008 33 de 43
dos nodos son consecutivos cuando para ir de uno al otro no es necesario pasar por un tercero. podemos calcular las corrientes sobre las resistencias
Redes eléctricas – Leyes de Kirchhoff
A la hora de diseñar un circuito que realice alguna función. en este ultimo circuito será:
. No siempre se pude hallar una única resistencia equivalente para todo el circuito. generalmente se cuenta con baterías u otras fuentes de fem conocida y resistencias de valor conocido. R. A menudo el problema reside en cómo hacer que una determinada corriente pase por un elemento particular.UNNE – Facultad de Ingeniería
Ing. Kirchhoff (1824-1887) . calculamos las diferencias de
tensión sobre las resistencias equivalentes
R34 y R56 .nos ayudan a encontrar las corrientes que pasan por las diferentes partes de un circuito. Estas reglas son: la regla de las mallas y la regla de los nudos. Rama es la parte del circuito comprendida entre dos nodos. como
Conociendo las diferencias de potencial. Definimos algunos conceptos que usaremos en los próximos enunciados: • • Nodo o nudo a todo punto del circuito a donde concurren tres o más conductores. Castaño
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. en una rama la corriente será siempre la misma. que fue el primero en enunciarlas .
. Arturo R. en consecuencia no podemos simplificarlo como el ejemplo anterior. en estos casos debemos aplicar las reglas conocidas como Leyes de Kirchhoff en honor al físico alemán Gustav.
Año 2008 35 de 43
. Como el potencial está directamente relacionado con la energía potencial de los portadores. la regla de las mallas no es sino una forma de expresar la conservación de la energía. nace en un nodo y termina en otro
Malla es cualquier camino conductor cerrado que se pueda distinguir en el circuito. es una corriente auxiliar para el calculo.
Para analizar un circuito con dos o más mallas debemos usar la regla de los nudos. Podemos escribir la regla de los nudos como
= ∑ isalientes
Por convención consideramos con signo positivos a las corrientes entrantes a un nodo y con signo negativo a las salientes. podemos escribir entonces que para cada nodo del circuito se cumple que
Esta regla es una consecuencia del principio de conservación de energía. La regla de las mallas establece que la suma de las consecuencia de la diferencias de potencial encontradas en el recorrido de cualquier camino cerrado (malla) de un circuito es cero. pero una rama puede pertenecer a distintas mallas. Ya dijimos que un nudo es un punto de un circuito donde confluyen más de dos conductores.UNNE – Facultad de Ingeniería
Corriente de rama. Arturo R. mecánica o cualquier otro tipo de energía. Podemos escribir la regla de las mallas como:
o también. esta formada por ramas. fem. la energía que gana la unidad de carga al recorrer la malla debe ser igual a la energía convertida en calor. teniendo en cuenta la presencia de baterías. la regla de los nudos es una consecuencia de la conservación de la carga. y resistencias como
∑ ε = ∑ Ri
Ing. Dado que la carga no se puede acumular en ningún punto de los conductores de conexión. La regla de los nudos dice que la suma de las corrientes que llegan a un nudo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. además de la de las mallas que veremos a continuación.
basándonos en las reglas de Kirchhoff. vemos la cantidad de ecuaciones de mallas que necesitaremos plantear.UNNE – Facultad de Ingeniería
1. en el sentido contrario es
Resolución de circuitos mediante la aplicación de las Leyes de Kirchhoff
Entendemos por resolución de un circuito a calcular todas las corrientes que circulan por el mismo. • Muchas veces es posible realizar simplificaciones a nuestro circuito. Planteamos todas las ecuaciones de nodos independientes. siendo n
Ejemplo de resolución de circuitos
Ing. el cambio de potencial es
. Si luego de resolverlo el valor de la corriente da positivo es sentido arbitrario es el correcto de la corriente. Si bien no lo demostramos la cantidad de ecuaciones de nodos que podemos plantear es igual a de nodos totales del circuito.
n − 1 . algebraico o no. por ejemplo encontrando resistencias equivalentes para una red de resistencias. Castaño
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. debemos tener presente que al finalizar debemos hallar también las corrientes originales que pasa por cada resistencia. a fin de disminuir el número de incógnitas con el cual trabajamos. utilizamos cualquier método. Planteamos las ecuaciones de mallas. • Una vez que planteamos la cantidad de ecuaciones necesarias para resolver todas las corrientes incógnitas . si da negativo es sentido es el contrario. A continuación resumimos los pasos a seguir: • Dado el circuito identificamos los nodos del mismo.
2. en el sentido contrario es
. tantas ecuaciones como corrientes incógnitas tengamos. Si se atraviesa una fuente de fem en el sentido de la fem. dándole un sentido arbitrario de circulación. el cambio de potencial es
. identificamos las mallas con las que vamos a trabajar y fijamos un sentido arbitrario para recorrerla. Buscaremos plantear. • Dibujamos las corrientes. • Conociendo la cantidad de incógnitas. para despejar las incógnitas. Si se recorre una resistencia en el sentido de la corriente. Arturo R.
estas cinco corrientes son las que debemos hallar. simplificamos nuestro circuito hallando la resistencia equivalente R 45 . vemos además que las resistencias
R 4 y R 5 . en consecuencia planteamos la ecuación de nodos en el nodo
1 . Castaño
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Trabajamos con este circuito. Arturo R. están el paralelo. será
Ing. y planteamos todas las corrientes que circulan por el mismo
Podemos identificar tres nodos y cinco corrientes en el circuito. en el vemos dos nodos independientes.UNNE – Facultad de Ingeniería
Identificamos los nodos. haciendo
será: será:
V 1 − V 2 = R 1 i1 + R 3 i 2 + R 6 i1 V 2 = − R 3 i 2 + R 2 i 3 + R 45 i 3
Tenemos entonces un sistema formado por tres ecuaciones y tres incógnitas que se puede resolver por cualquier método. quedando el circuito resuelto.
Circuitos RC – Caga y descarga del condensador
Hasta ahora vimos circuitos en los cuales elementos eran resistencias y en los que las corrientes no variaban en el transcurso del tiempo.
A continuación identificamos dos mallas cerradas. Nos queda hallar el valor de las corrientes
i 5 . lo que nos conducirá al concepto de corrientes variables con el tiempo. Arturo R. R 45
V 45 = R 45 i 3 . para ello aplicamos la Ley de Ohm. primera ecuación a utilizar. V i 4 = 45 R4
Encontramos de esta manera las cinco corrientes.
Ing. las que llamamos toda la malla
Ι y ΙΙ
. en la malla en la malla
i1 − i 2 − i 3 = 0 . recorremos las
mallas según el sentido que indica la flecha. pero debe mantenerse para
Planteamos las ecuaciones de mallas. Ahora vamos a introducir al condensador como un elemento del circuito. Castaño
Año 2008 38 de 43
. Consideramos el siguiente circuito. este sentido es arbitrario.
quedando nuestra ecuación
ε = iR +
Ing. la cual será
. Arturo R. en esta situación analizamos la corriente que comienza a
circular. dividiendo todos los miembros por dt C
Año 2008 39 de 43
. realizamos la derivación y nos queda como ⎝ ⎠ q ε dq = i 2 Rdt + dq . que
debe ser igual a la energía que aparece como calor por el efecto Joule sobre la resistencia durante el tiempo
dt .UNNE – Facultad de Ingeniería
Colocamos la llave en la posición
a . el cual lo podemos expresar como
Más el aumento en la cantidad de energía que se almacena en el condensador
⎛ q2 ⎞ dU C = d ⎜ ⎜ 2C ⎟ ⎟. Realizamos nuestro análisis aplicando los principios de la conservación de la energía En un tiempo
dt se mueve por el circuito una carga dq . ⎝ ⎠
escribimos la ecuación del balance de energías en el circuito
⎛ q2 ⎞ ε dq = i Rdt + d ⎜ ⎜ 2C ⎟ ⎟ .
debemos encontrar la función
ecuación diferencial. Esta ecuación presenta dos
q variables. Arturo R. dt
. para poder resolver esta ecuación debemos separar variables. Castaño
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Vemos que esta ecuación también responde a la regla de las mallas. de manera que queden en cada miembro de la igualdad
dq q ε =R + dt C
dq ε q = − dt R RC
dq ε q − =− dt R RC Rdq − εdt = −
Rdq − εdt q =− Rdt RC
q q Rdt = − dt RC C
q Rdq = − dt + εdt C
dq ⎛ q − Cε ⎜ ⎝ C
Rdq = dt ⎛ q⎞ ⎜− ⎟ +ε ⎝ C⎠
Rdq = dt ⎛q ⎞ ⎜ −ε ⎟ ⎝C ⎠
dq − RC = dt (q − Cε )
dq 1 =− dt (q − Cε ) RC
Tenemos las variables separadas. a continuación integramos ambos miembros de la igualdad
Ing. la carga
i . pero ambas están relacionadas
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. vemos que para t = 0 .UNNE – Facultad de Ingeniería
1 dq = − dt ∫ ∫ (q − Cε ) RC 0 0
Resolviendo la integral será
1 ⎛ q − Cε ⎞ ln⎜ = − t ⎟ RC ⎝ − Cε ⎠
Derivando esta función encontramos la ecuación de la corriente
ε dq (t ) i (t ) = = e dt R
Vemos algunos gráficos de estas funciones
la ecuación de la carga finalmente para
q (t ) . se cumple que q = 0 t → ∞ la carga alcanza el valor de q = Cε
y luego disminuye de tal manera que para
en las ecuaciones anteriores tiene las dimensiones de tiempo. Supongamos ahora que el interruptor tiempo
del circuito ha estado en la posición
. Arturo R. Entonces el interruptor
se pasa a la posición
del condensador y la corriente eléctrica Con el interruptor
. puesto que el
exponente no debe tener dimensiones y se llama la constante de tiempo capacitiva del circuito.UNNE – Facultad de Ingeniería
En el gráfico superior vemos que para la corriente
t → ∞ . no hay fem en el circuito y la regla de las mallas da
podemos escribir la ecuación diferencial
Año 2008 42 de 43
. veamos como cambia en función del tiempo la carga
El condensador ha quedado totalmente cargado para todos los fines prácticos. equivalente al sesenta y tres por ciento del valor total. Es que tarda el condensador en aumentar su carga en un factor
equilibrio. entonces i → 0
Arturo R. Como la carga inicial anterior y quedará
q0 = C ε
Ing. la constante de tiempo capacitiva aparece igual que en el
proceso de carga. Castaño
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. podemos reemplazar el la ecuación
ε Cε RC ε RC i=− e = e . siendo
la carga inicial del condensador . la corriente de descarga viene dada por la expresión
q dq i= = − 0 e RC dt RC
el signo negativo pone de manifiesto que la corriente circula en sentido contrario a la del proceso de carga. donde para t = 0 . se cumple que i = R RC R
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