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Timestamp: 2017-02-24 15:09:59+00:00

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Definiciones básicas segmentos y ángulos
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GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com Puntos Colineales. Son aquellos que pertenecen a una misma línea recta. Puntos No Colineales. Son aquellos que no están ubicados en una misma línea recta. 1.3.3 El Plano: - Es un concepto imaginario - Tiene dos dimensiones - No se puede medir - No tiene espesor - Superficie plana ilimitada en todo sentido Postulados sobre planos * Existen infinitos planos * Por tres puntos no colineales pasa un plano y solamente uno * En cualquier plano existen infinitos puntos y rectas 1.4 SEGMENTO DE RECTA Es una porción de recta limitado por dos puntos denominados extremos. Se denota por AB y se lee segmento AB. La medida de un segmento AB denota por mAB o AB, y es un número positivo que compara la longitud del segmento dado con la longitud del segmento unitario (u). 1.4.1 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Un punto B se llama punto medio de un segmento AC, si B está entre A y C y se verifica que AB = BC. 1.4.2 OPERACIONES CON SEGMENTOS Para sumar dos segmentos cualesquiera, se toman en una recta dos segmentos consecutivos cualesquiera y congruentes respectivamente a los segmentos que se quieren sumar. Suma: AC = AB + BC Diferencia: BC = AC – AB 1.5 ÁNGULO Rayos que tienen el mismo punto de origen. Elementos Lados: OB y OA Vértice: O Notación AOB , AOB O, m AOB = oº : Medida del ángulo AOB es igual a oº Bisectriz de un Angulo: Es el rayo que partiendo del vértice de un ángulo, lo divide en dos ángulos congruentes. A B
a (b - a)
GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com B OX : Bisectriz de AOB mAOX = mXOB = o AOX ~ XOB Clasificación de los Ángulos Los ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según sus características. I. SEGÚN SU MEDIDA 1. Ángulo Llano. Llamado también ángulo rectilíneo, es aquel ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos es decir una recta. Su medida en; - Sistema Sexagesimal: o = 180º 2. Ángulo Agudo. Es aquel ángulo cuya medida es menor que 90º pero mayor que 0º Oº < oº < 90º 3. Ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º 90º < oº < 180º 4. Ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90º. o = 90º 5. Ángulo Nulo: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 0º mAOB = 0º II. SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS 1. Ángulos Adyacentes. Dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común tal que los ángulos se encuentran a uno y otro lado del lado común. AOB y BOC son ángulos adyacentes, llamado también ángulos consecutivos. Dos o más ángulos serán adyacentes cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato. O
Lado Común
GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com AOB, BOC y COD son ángulos adyacentes. AOB, BOC y COD son ángulos adyacentes sobre una recta. AOB, BOC, COD y AOD son ángulos adyacentes alrededor de un punto 2. Ángulos Opuestos por el Vértice Son dos ángulos en donde los lados de uno son los rayos opuestos del otro. Es decir, se determinan al trazar dos rectas secantes, dichos ángulos con congruentes (tienen la misma medida). o = | III. SEGUN SUS CARACTERÍSTICAS 1. Ángulos Adyacentes Complementarios Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 90º. AOB y BOC son ángulos adyacentes complementarios o + | = 90º 2. Ángulos Complementarios Son dos ángulos cuyas medidas suman 90º. o + u = 90º Nota 1. Complemento de un ángulo es lo que le falta a este ángulo para medir 90º. COMPLEMENTO DE o = 90º - o = u Nota 2: 1º <> 60´ , 1´ <> 60” 90º <> 89º60´ <> 89º59´60” 3. Ángulos Adyacentes Suplementarios Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas suman 180º. o
o GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com AOB y BOC son ángulos adyacentes suplementarios. o + | = 180º 4. Ángulos Suplementarios Son dos ángulos cuyas medidas suman 180º o +| = 180º Nota 3. Suplemento de la medida de un ángulo es lo que le falta para medir 180º. SUPLEMENTO DE o = 180º - o = | Nota 4: 180º <> 179º60´<>179º59´60” Nota 5: Cuando la palabra suplemento se repite un número par de veces, el resultado es el mismo valor del ángulo y si el número es impar, el resultado es su suplemento. Sup del Sup ......... Sup de o = o #ro. Veces par Sup del Sup ......... Sup de o = 180º- o #ro. Veces impar ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Paralelas: Se llama rectas paralelas cuando no tienen ningún punto en común y están situados en un mismo plano. L1 L1//L2 L2 Ángulos formados por dos rectas al ser cortados por una Secante Ángulos Internos 3,4 5,6 Ángulos Externos 1,2 7,8 Alternos Internos 4 y 6 3 y 5 Alternos Externos 1 y 7 2 y 8 Conjugados Internos 4 y 5 3 y 6 Conjugados Externos 1 y 8 2 y 7 Ángulos correspondientes 1 y 5; 2 y 6 4 y 8; 3 y 7 ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS AL SER CORTADOS POR UNA SECANTE a) Los ángulos alternos internos o externos son congruentes. b) Los ángulos conjugados internos o externos son suplementarios. c) Los ángulos correspondientes son congruentes. ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, serán congruentes cuando ambos ángulos sean agudos o cuando ambos sean obtusos; y serán suplementarios cuando uno de ellos sea agudo y el otro sea obtuso. o
GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com o = u o + | = 180º ANGULOS DE LADOS PERPENDICULARES Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares serán congruentes cuando ambos sean agudos o cuando ambos sean obtusos; y serán suplementarios cuando uno de ellos sea agudo y el otro obtuso. o = u o + | = 180 PROBLEMAS RESUELTOS 01. Sobre una línea recta se considera los puntos consecutivos A, B, C y D. Luego los puntos medios M y N de AB y CD respectivamente. Hallar MN si: AC + BD = 50. a) 20 b) 25 c)30 d) 40 e) 50. Resolución 1) Dato: M y N son puntos medios de AB y CD. AM = MB = a , CN = ND = b 2) Dato: AC + BD = 50 (2a + c) + (c + 2b)= 50 2a + 2c + 2b = 50 2 (a + c + b)= 50 2MN = 50 MN = 25 Rpta. B 02. sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Luego los puntos medios M y N de AC y BD respectivamente. Hallar MN si: AB + CD = 60 a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 60 Resolución A M B C N D
(a + c + b )
A B M N C D
GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com 1) Dato: M y N puntos medios de AC y BD AM = NC = a , BN = ND = b 2) Dato: AB + CD = 60 (a + x - b) + (x + b - a) = 60 2x = 60 x = 30 MN = 30 Rpta. C 03. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que B es punto medio de AD y AC – CD = 50. Hallar BC a) 20 b) 25 c) 30 d) 40 e) 50 Resolución 1) Dato: B es punto medio de AD AB = BD = a 2) Dato AC – CD = 50 (a + x) – (a - x) = 50 2x = 50 x = 25 BC = 25 Rpta. B 04. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C siendo “0” punto medio de BC, AB² + AC² = 100. Hallar A0² + B0² a) 10 b) 25 c) 50 d) 100 e) 20 Resolución 1) Como nos pide AO² + BO² ponemos AO = a y BO = b 2) Dato: O punto medio de BC BO=OC=b 3) Dato: AB² + AC² = 100 (a - b)² + (a + b)² = 100 2(a² + b²) = 100 a² + b² = 50 AO² + BO² = 50 Rpta. C 05. En el gráfico, halle el máximo valor entero de y. a) 45 b) 50 c) 60 d) 59 e) 58 Resolución 1) xº - 2yº + 3yº = 180º xº + yº = 180º xº = 180º - yº (I) 2) Todo ángulo es positivo 0º < xº - 2yº 2yº < xº (II) 3) I en II 2yº < 180º - yº 3yº < 180º yº < 60º y = 59 Rpta. D 06. La diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es 6 veces el ángulo. El suplemento del complemento de dicho ángulo es: a) 15º b) 75º c) 105º d) 120º e) 150º A B C D a a x (a-x) A B O C
xº-2yº
3yº
GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com Resolución 1) Sup o - Comp o = 6o (180º - o) – (90º - o) = 6o o = 15º 2) Nos piden E E = Sup. Comp. 15º E = Sup. 75º E = 105º Rpta. C 07. Las medidas de tres ángulos consecutivos sobre una recta están en progresión aritmética. Calcular la medida del mayor ángulo, si el menor y el mayor están en la relación de 3 a 7. a) 30º b) 36º c) 42º d) 60º e) 84º Resolución 1) a, b y c están en progresión aritmética Dato: ,
= a = 3k c = 7k 2) b = 2
k 7 k 3
c a +
b = 5k 3) a + b + c = 180º 3k + 5k + 7k = 180º 15k = 180º k = 12º 4) El mayor ángulo es c = 7k c = 7 (12º) c = 84º Rpta. E 08. Calcular x si: L
a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º Resolución Propiedad (Serrucho) 80º + x + 70º = 90º + 90º x = 30º Rpta. C 09. En la figura L
, el valor numérico de 3xº - 12º es: a) 15º b)16º c)17º d) 18º e) 19º L
Resolución 1) a + b + 11xº = 180º……. I 2) Ángulos correspondientes a = 2xº, b = 5xº...... II 3) II en I: 2xº + 5xº + 11xº = 180º b
L3 L4 2xº 5xº 11xº L2 L3 L3//L4 2xº
5xº
11xº
GEOMETRÍA www.carpetapedagogica.com 18xº = 180º xº = 10º 4) Hallando E: E = 3xº - 12º E = 3(10º) – 12º E = 18º Rpta. D More From This UserSkip carouselActividad Nº 2 Primitiva Gòmez CastilloDISCURSO.docxactividades de aprendizaje03_barrallo ojojojojojojoj.pdf1_practicas_de_lectura_en_el_aula.pdfpeaiFechas de Monitoreo a Cebesdiptico.docxViaje de Promoción 2016_sucarayllaModulo 1 PeaiComprensionLectoraNiniosPoblacionesVulnerables.pdfEvaluación Cognitiva Del Área de Comunicación Para El Primer Grado de SecundariaLOS NIVELES DE COMPRENSION LECTORA.docxComprensionLectoraNiniosPoblacionesVulnerables.pdfDISCURSO.docxeejerccicios de tema central e ideas secundarias.docxEejerccicios de Tema Central e Ideas SecundariasLOS NIVELES DE COMPRENSION LECTORA.docxDISCURSO.docxDISCURSO.docxLos Niveles de Comprension Lectoram0 Tarea Dre Apurimac Santos Mendoza Lauradiptico.docxDIA DE LA BIBLIOTECA ESCOLAR.pdfguia8compromisos.pdfAngela María Domínguez Ardila_152783.pdf
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