Source: https://es.scribd.com/doc/142406745/138033620-razonamiento-matematico
Timestamp: 2016-08-28 19:19:38+00:00

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BrowseUploadSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicWelcome to Scribd! Start your free trial and access books, documents and more.Find out more9Introducción Justificación Objetivos Índice 1.1. Fundamentación 1.1.1. Constructivismo matemático 1.1.2. CENEVAL 1.1.3. EXANI II. Examen Nacional de Ingreso a la Educación Superior. ¿Qué es? 1.1.4. Razonamiento matemático 1.1.5. Reactivos 1.1.6. Evaluación CENEVAL 1.2. Metodología 1.2.1. Cómo plantear y resolver problemas 1.2.2. Leer, comprender, plantear y resolver / elegir 1.3. Desarrollo de la propuesta 1.3.1. Descripción del instrumento 1.3.2. Taller de razonamiento matemático 5 6 8 9
1. Información General de CENEVAL y Algunos Métodos para Resolver Problemas
10 10 14 15 19 20 22 24 24 26 30 30 31
2.1. Razonamiento Matemático 2.2. Problemas que se resuelven con ecuaciones lineales 2.2.1. Problemas sin opción múltiple 2.2.2. Problemas con opción múltiple 2.3. Problemas que se resuelven con ecuaciones cuadráticas 2.4. Problemas que se resuelven con geometría 2.5. Problemas que se resuelven con habilidad matemática 2.6. Problemas propuestos
2. Problemas para Razonamiento Matemático 32
32 32 32 37 44 52 66 99
3. Prueba de la Propuesta
3.1. Diseño y descripción del experimento 3.2. Análisis de resultados 3.2.1. Asistencia 3.2.2. Rendimiento académico en cada aplicación de examen. (Excepto Pre – EXANI II) 3.3. Análisis de datos 3.3.1. Generación 2000 – 2003 3.3.2. Generación 2001 – 2004 3.3.3. Generación 2002 - 2005 3.4. Información general de la aplicación. Ingreso a escuelas del nivel superior
114 115 115 120
124 124 125 126 129
4.1. Conclusiones generales 4.2. Conclusiones específicas 4.3. Comentarios finales y continuidad del trabajo
131 132 136
En este capítulo se presenta la información general acerca del examen denominado EXANI II, en cuanto a su estructura y a la metodología propuesta para resolver reactivos de opción múltiple; además de una breve descripción del experimento que se realizó con miras a incrementar el índice de ingreso al nivel superior de una escuela de nivel bachillerato.
1.1. Fundamentación 1.1.1. Constructivismo matemático
En general, según Kilpatrick (1993), el "constructivismo" designa una corriente filosófica cuyo planteamiento de los problemas epistemológicos se configura en torno al Los dos principios del constructivismo son los siguientes: entorno. concepto de la constructividad.
afuera de la mente del que conoce.
De acuerdo a esta teoría, el conocimiento se construye como un proceso activo en el que el sujeto se adapta a su propia experiencia. No es un proceso de adaptación a la “realidad”. Pero, además, este es un proceso de adaptación a lo que la experiencia dice que no es. El conocimiento se puede ver como un “modelo” de la experiencia y este modelo va cambiando a medida que la experiencia muestra que hay partes de él que no son correctas. Lo que conocemos son entonces las restricciones que nos impone la experiencia. Cambiamos nuestro modelo cuando hay algo en él que no concuerda con nuestras experiencias. El término que involucra a esta teoría con las matemáticas es el término resolución de problemas que ha sido usado con diversos significados, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer matemática profesionalmente. Según Stanic y Kilpatrick (1988), “los problemas han ocupado un lugar central en el currículo matemático escolar desde la antigüedad, pero la resolución de problemas, no”. Sólo recientemente los que enseñan matemáticas han aceptado la idea de que el desarrollo
experiencia. Por lo tanto, no es posible descubrir un mundo independiente y pre-existente
2) El proceso de conocer es un proceso de adaptación del sujeto al mundo de su propia
1) El conocimiento es construido por el que conoce; no se puede recibir pasivamente del
de la habilidad para resolver problemas merece una atención especial. El termino resolución de problemas se ha convertido en un slogan que acompañó diferentes concepciones sobre qué es la educación, qué es la escuela, qué es la matemática y por qué debemos enseñar matemática en general y resolución de problemas en particular. Según este autor, la utilización de los términos “problema” y “resolución de problemas” ha tenido múltiples y a veces contradictorios significados a través de los años, como se describe brevemente a continuación: Primer significado: resolver problemas como contexto. Desde esta concepción, los problemas son utilizados como vehículos al servicio de otros objetivos curriculares, jugando cinco roles principales:
Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos problemas relacionados con experiencias de la vida cotidiana son incluidos en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática.
frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento implícito o
secuenciados, los problemas pueden proporcionar a los estudiantes nuevas habilidades y proveer el contexto para discusiones relacionadas con algún tema.
Como práctica: la mayoría de las tareas matemáticas en la escuela caen en esta categoría. Se muestra una técnica a los estudiantes y luego se presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la técnica.
Sin embargo, en cualquiera de estas cinco formas, los problemas son usados como medios para algunas de las metas señaladas arriba. Esto es, la resolución de problemas no es vista como una meta en sí misma, sino como facilitador del logro de otros objetivos y tiene una interpretación mínima: resolver las tareas que han sido propuestas. Segundo significado: resolver problemas como habilidad. La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término resolución de problemas son de este tipo. La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas habilidades a ser enseñadas en el curriculum. Esto es, resolver problemas no rutinarios es caracterizado como una habilidad de nivel superior, a ser adquirida luego de haber resuelto problemas
Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que, cuidadosamente
que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos.
Como actividad recreativa: muestran que la matemática puede ser “divertida” y
explícito de que favorecerán el aprendizaje de un determinado contenido.
Para proveer especial motivación a ciertos temas: los problemas son
a los estudiantes se les debe brindar alguna oportunidad de resolver problemas en los que primero imaginen y luego prueben alguna cuestión matemática adecuada a su nivel. en el
. Consiste en creer que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática realmente consiste en problemas y El matemático más conocido que sostiene esta idea de la actividad matemática es Polya. la pedagogía y la epistemología de la matemática están estrechamente relacionadas y considera que los estudiantes tienen que adquirir el sentido de la matemática como una actividad. Es importante señalar que. las concepciones pedagógicas y epistemológicas que subyacen son precisamente las mismas que las señaladas en la interpretación anterior: las técnicas de resolución de problemas son enseñadas como un contenido. que es activo en la investigación. Los aspectos matemáticos son primero imaginados y luego probados. sus experiencias con la matemática deben ser consistentes con la forma en que la matemática es hecha. Enseñar a partir de la resolución de problemas. es adquirida a partir del aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas básicas). 1954) Para Polya. con problemas de práctica relacionados.
concepto que desarrolla luego en “Matemática y razonamiento plausible” (1957) y
Nos hemos familiarizado con su trabajo a través del libro “How to solve it” (1954).M
“Mathematical Discovery” (1981). Hay un punto de vista particularmente matemático acerca del rol que los problemas juegan en la vida de aquellos que hacen matemática. se vuelve difícil para los docentes por tres razones diferentes:
La conceptualización de Polya sobre la matemática como una actividad se evidencia en la
. cual introduce el término “heurística” para describir el arte de la resolución de problemas. la matemática puede aparecer algunas veces como un juego de imaginación: hay que imaginar un teorema matemático antes de probarlo. Si el aprendizaje de la matemática tiene algo que ver con el descubrimiento en matemática. Tercer significado: resolver problemas es "hacer matemáticas". hay que imaginar la idea de la prueba antes de ponerla en práctica. para que las técnicas puedan ser dominadas. tal como lo plantea Polya. y casi todos los pasajes de este libro están destinados a mostrar que éste es el procedimiento normal. aún cuando en esta segunda interpretación del término los problemas son vistos como una habilidad en sí misma. es decir.
siguiente cita: “Para un matemático. soluciones.12
rutinarios (habilidad que a su vez.” (Polya.
qué sugerencias ayudarán a los estudiantes. la enseñanza debería ser encarada como una comprensión conceptual más que como un mero desarrollo mecánico de habilidades. 3.c
. Debería también proveer a los alumnos de la oportunidad de explicar un amplio rango de problemas y situaciones problemáticas. sin impedir que la resolución siga quedando en sus manos. Desde esta perspectiva. destacándose tres aspectos principales a profundizar en la investigación: 1. y realizar esto para cada alumno o grupo de alumnos de la clase. porque el docente debe decidir cuándo intervenir. sobre sus interacciones y la clase de atmósfera que existe. y su historia). El rol del docente en una clase centrada en la resolución de problemas: poca literatura discute la especificidad del rol del docente. Trabajar bien sin saber todas las respuestas. su poder. Lo que realmente ocurre en las clases centradas en la resolución de problemas: no hay
3. Personalmente. de un sentido de la disciplina (su alcance. porque los docentes deben poder percibir las implicaciones de las diferentes aproximaciones que realizan los alumnos. requiere experiencia. La investigación debe centrarse en los grupos y las clases como un todo. indagando los procesos de enseñar y aprender matemática desde la perspectiva del aprendizaje situado. a pesar de existir
. 2. darse cuenta si pueden ser fructíferas o no. Matemáticamente.13
1. que desarrolle en los estudiantes la habilidad de aplicar los contenidos que han aprendido con flexibilidad y criterio. distintos autores señalan que existe una urgente necesidad de proveer a los docentes con mayor información acerca de cómo enseñar a través de la resolución de problemas. confianza y autoestima. Por otra parte. La educación matemática debería proveer a los estudiantes de una concepción de la matemática. en el nivel adecuado a sus posibilidades. que vayan desde los ejercicios hasta los
alumnos. porque el docente estará a menudo en la posición (inusual e incómoda para muchos profesores) de no saber. y no en los individuos aislados: gran parte de lo investigado en resolución de problemas matemáticos se ha centrado en los procesos de pensamiento usados por los individuos mientras resuelven problemas. sus usos. relacionada con la investigación en la enseñanza a través de la resolución de problemas 2.
w . sobre los comportamientos de los
una descripción adecuada de lo que realmente ocurre en estas clases. Pedagógicamente. Sin embargo. y de una aproximación al hacer matemático.M
largas listas sobre los comportamientos de los docentes. queda pendiente profundizar la investigación centrándose en los grupos y en los ambientes de clase. y qué podrían hacer en lugar de eso.
autoridades gubernamentales. objetivos y válidos. La evaluación externa brinda información útil y complementa las evaluaciones internas.1. caracterizado por la habilidad de analizar y comprender. Esto es. como en todas las actividades humanas. detectar potencialidades y
. A. Contar con la información válida y confiable garantiza tomar
proceso que permite valorar los aciertos.
decisiones acertadas. universidades. el Centro se ha ocupado de identificar y evaluar las competencias profesionales y ocupacionales de la población mexicana. 1992). de expresarse oralmente y por escrito con argumentos claros y coherentes. Desde su nacimiento en 1994. las aulas deben ser comunidades en las cuales la matemática adquiera sentido. ayudando a desarrollar “un punto de vista matemático” (Schoenfeld. lo más posible.C. reconocer las fallas. así como de certificar las laborales. Casi desde un principio también. la comunidad de práctica en la cual ellos aprenden matemáticas debe reflejar y sostener estas formas de pensar. (CENEVAL)
1. organizaciones de profesionales del país y otras instancias particulares y
. de percibir estructuras y relaciones estructurales.14
problemas abiertos y situaciones de exploración. primero como derivación natural de su objetivo inicial y después como un propósito con derecho propio. intérpretes y usuarios de la matemática.2.
planificar las acciones. debería preparar a los estudiantes para convertirse. competir con otras en igualdad de circunstancias y atraer a los estudiantes más capaces. y lo que como docentes esperamos de los estudiantes. CENEVAL
. la evaluación es el
ofrece servicios de evaluación a cientos de escuelas.M
En el terreno de la educación. Las instituciones educativas buscan ofrecer programas académicos cada vez mejores. El empresario necesita enriquecer su planta laboral con profesionales cuya capacidad haya sido validada y certificada. sea realmente practicado (Schoenfeld.c
El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior. En suma. Para cumplir estos objetivos. empresas. el CENEVAL ha cumplido con su misión al proveer al sistema de educación superior de México con mecanismos sólidos y confiables de evaluación para mejorar su calidad. De ello dependen su prestigio y su captación de recursos. Las asociaciones de profesionales y las autoridades oficiales requieren contar con elementos de juicio confiables. en aprendices independientes. 1992).
. el CENEVAL es el principal centro del país en la evaluación externa de competencias. hoy por hoy. el CENEVAL cuenta con un amplio conjunto de exámenes que responden a
1. EXANI II. en consecuencia. que evalúan los conocimientos y la información indispensables que debe mostrar un recién egresado de los estudios de licenciatura. los exámenes para la evaluación de las competencias profesionales. con base en el Acuerdo 286 de la Secretaría de Educación Pública docente. que evalúan las habilidades y competencias fundamentales.M
. El Centro desarrolla. que adquirieron los conocimientos necesarios en forma autodidacta o a través de la (SEP). Destacan los programas especiales que se han desarrollado para la acreditación del bachillerato y de ciertas licenciaturas por personas experiencia laboral. Es. utilizada con fines de selección de ingreso al nivel de licenciatura. así como los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL). Examen Nacional de Ingreso a la Educación Superior. necesidades y planteamientos específicos. y los procesos para la certificación de competencias laborales conforme a lo establecido por el Consejo Nacional de Normalización y Certificación (CONOCER).3. una fuente de información indispensable para la toma de decisiones sobre la educación y el capital humano de México. que se describe a continuación. así como para establecer comparaciones con el resto de las instituciones del país que se evalúan con dicho organismo. principalmente. conocimientos y habilidades al servicio de la educación superior. ¿Qué es?
El EXANI II es una prueba de razonamiento y conocimientos básicos del nivel bachillerato.1. la medición y la certificación de las destrezas y las competencias de nuestra fuerza de trabajo.c
. La prueba que se aplica se denomina EXANI II. la práctica Además. la preparación para la docencia y el perfil profesional. Desde el año 1998 la Universidad Veracruzana contrató los servicios de CENEVAL para participar como organismo evaluador en el proceso de selección de aspirantes a ingresar al nivel superior en esta casa de estudios.15
El crecimiento ha sido notable. así como los conocimientos indispensables que debe tener quien aspira a continuar sus estudios de educación media superior y superior. y el que con mayor dedicación se ocupa del estudio. dos tipos de exámenes: los Nacionales de Ingreso (EXANI). La participación consiste en examinar de tal forma que se establezca un criterio eficaz para el ingreso.
Razonamiento matemático. • Identificación de patrones y algoritmos. Reconstrucción de textos.M
. • • • • • Completamiento de frases y oraciones. El grupo de exámenes designado genéricamente como EXANI II revisa las habilidades intelectuales y los conocimientos de los sustentantes en base a la siguiente estructura: ÁREAS Habilidades intelectuales Información REACTIVOS POR ÁREA 40 16 Razonamiento verbal Razonamiento matemático Mundo contemporáneo Ciencias naturales SECCIONES REACTIVOS POR SECCIÓN 20 20 16 16 16 16 16 120
Estas secciones se desglosan de la siguiente manera: Razonamiento verbal.c
. Inferencias lógicas y silogísticas.16
dirigido a egresados del nivel medio superior que solicitan ingreso a instituciones que hayan contratado los servicios del CENEVAL. Analogías y relaciones.
ESTRUCTURA DEL EXANI II
. Comprensión de textos.
. reinos de la naturaleza. autores. etc. electricidad. Deducción e inducción. ecuaciones de segundo grado. cronología. geografía física y económica. mecánica. propiedades. conceptos. ondas. tabla periódica. evolución.c
cinemática. reacciones. del espectáculo. sistemas de ecuaciones.17
• • Clasificación y análisis de datos. demografía. teoría de la historia. Álgebra: monomios y polinomios. Química: materia. Trigonometría: funciones trigonométricas. político. económicas.
Ciencias sociales. semejanza. • • • • Física: unidades de medida.
enlaces. deportivo. Matemáticas. acústica. • • • • Aritmética: conjuntos numéricos. teorema de Pitágoras. balanceo de ecuaciones. dinámica. relaciones. figuras y símbolos. teorías sociológicas. Psicología: teorías y corrientes de pensamiento. • Historia de México y universal.
. Ciencias naturales. ecuaciones de primer grado. ecológico. • Acontecimientos recientes de México y del mundo en diversos ámbitos: social. Geometría: clasificación de ángulos.
Mundo contemporáneo. científico. estructura. biodiversidad. triángulos y polígonos.M
genética. óptica. operaciones.
w . Biología: origen de la vida. elementos. políticas y filosóficas. ecología. relaciones. autores. moléculas.
comprensión y análisis de textos. concordancia de género y número. sinónimos y antónimos. sintaxis. verbo y adverbio. límite. Pre-cálculo: números reales. circunferencia. probabilidad elemental. Estadística: población y muestra. elipse. función. media.M
que su grado de dificultad sea equivalente a las anteriores. desviación estándar. Español • Vocabulario.
II se integra con reactivos que no hayan sido utilizados en versiones recientes y de manera está formado por reactivos nuevos que se pilotean y no se toman en cuenta para la calificación de los sustentantes. permutaciones y combinaciones. obras y compositores. se integran al banco. parábola. pintura. si no es así. representantes de instituciones de educación superior de alcance nacional y representantes de los órganos gubernamentales encargados de los asuntos educativos de los estados. con base en las normas.
preposiciones y conjunciones. Entre 10% y 15% del examen
su nivel taxonómico. formas y corrientes literarias. Se estructura y elabora en el CENEVAL. Además exigen del sustentante su máximo rendimiento en la
. El Examen Nacional de Ingreso a la Educación Superior (EXANI-II) fue creado y diseñado en lo fundamental por la Coordinación Nacional para la Planeación de la Educación Superior (CONPES). EXANI II tiene criterios de calificación unívocos y precisos. poesía y prosa. desigualdades. música de concierto. autores. políticas y criterios que establece su Consejo Técnico.18
• • • Geometría analítica: plano cartesiano. con los datos de
. lo cual permite realizar procesos de calificación rápidos y confiables por medio de sistemas automatizados. ello es indispensable cuando se requiere evaluar a decenas de miles de sustentantes y ofrecer resultados rápidamente. Cada versión del EXANI
El EXANI II posee un banco de reactivos clasificados por sección y tema. Si el desempeño en tales reactivos está dentro de los criterios establecidos. acentuación. mediana y moda. el cual está integrado por académicos e investigadores de reconocido prestigio en los ámbitos de la educación y la evaluación del aprendizaje escolar. ortografía. se desechan o se modifican para volver a ser piloteados en versiones futuras. recta. grado de dificultad y relación discriminativa.
es decir. contiene reactivos de diferentes grados de dificultad y tienen un tiempo límite suficiente para poder contestar el instrumento en su totalidad. según CENEVAL. Son exámenes de opción múltiple. cada pregunta se acompaña de cinco opciones de respuesta.
1. CENEVAL proporciona un temario para razonamiento matemático que se ejecuta en cada aplicación de EXANI II.c
. de las cuales sólo una es la respuesta correcta.19
tarea o tareas que se le piden que ejecute.M w
Deducción Discernimiento Gráficas
Identificación y comparación Planteo y resolución Total
CARGA DE REACTIVOS Los niveles taxonómicos de la habilidad cognoscitiva de carácter académico. Razonamiento matemático
En lo particular.1. son los siguientes:
4a6 1a3 1a2 1a2 1a3 1a2 3a4 4a6 20
TEMAS Algoritmos y propiedades Cálculo Clasificación y analogías
Nivel taxonómico 3a5 2a4 3a4 3 2a5 3a4 2a3 3a5
at w w .4. En el siguiente esquema se muestra cada tema con su carga de reactivos correspondiente.
entre las cuales una responde correctamente al enunciado o pregunta y las otras son respuestas incorrectas llamadas distractores.1.
1. caso o problema planteado explícita o implícitamente en una pregunta. la interpretación. En este nivel lo característico es la actividad del sujeto. Requiere la capacidad para relacionar y organizar de manera diferente. Análisis. Conocimiento. convenciones. Aquí se agrupan las situaciones que demandan del sujeto la reestructurar.M
capacidad para proponer algo en forma original. En este nivel el sujeto debe mostrar un juicio de valor respecto a hechos. NIVEL 3. NIVEL 4. distinguir NIVEL 5. propuestas.5. descomponer los elementos y relaciones que configuran lo aprendido. integrar. Ejemplos de este nivel son los datos concretos.
. NIVEL 2. Aplicación. nueva. la interpolación y la extrapolación. Comprensión. Para elaborar un reactivo CENEVAL sugiere:
personal. criterios. Son características de este nivel el planteo y resolución de problemas con base en la aplicación de procedimientos o algoritmos. En este tercer nivel se considera la capacidad que el sujeto demuestra para aplicar o ejecutar lo aprendido. principios y teorías. que es el enunciado que presenta la situación. reconoce o recuerda. En este nivel se consideran tanto la capacidad de expresarse con las propias palabras como la traducción. combinar o
. argumentos. Síntesis. para coordinar. con lo cual denota la capacidad de actuar por sí mismo. • Las opciones. proyectos. corresponden a la estructura de lo que se denomina reactivo de opción múltiple. es decir. NIVEL 6. se entienden como las posibles respuestas. de explicar lo que ha aprendido. de abstraer. identifica. categorías. Reactivos
Los cuestionamientos propuestos en EXANI II. afirmación o enunciado incompleto. tendencias.c
. Evaluación o valoración. los cuales se conforman por: • La base. las rutinas o procedimientos. situaciones. Este nivel implica la capacidad del individuo para identificar y componentes y su concatenación. los hechos. las definiciones.20
NIVEL 1. conocimientos. en el sentido de que puede dar una respuesta original. Este se re…ere a la capacidad de recuperar información: el sujeto percibe.
excepto cuando se está midiendo esta habilidad en particular. evitar errores gramaticales de puntuación y de ortografía. participios. La complejidad del problema no dependerá de la redacción sino del nivel taxonómico para el cual fue diseñado el reactivo.M
en lugar de sinónimos o vocabulario rebuscado. habrá que favorecer el empleo de conceptos conocidos comprensión del enunciado. El uso complicado de gerundios. Permitiendo la
. Particularmente. o La gramática debe verificarse en todo momento. así como abreviaturas. • En cuanto al contenido: o o Tome como referencia la tabla de especificaciones. deberán formar parte de la base. para minimizar el tiempo. El problema no debe medir habilidad para comprender estructuras gramaticales complejas. utilice la información necesaria pero suficiente. Si no son iguales para todas las opciones. preposiciones debe evitarse. artículos y
Los artículos o preposiciones que acompañan a los sustantivos
. o La redacción debe ser clara y sencilla. o Habrá que considerar el tiempo de lectura por reactivo. o En lo posible. o Tome en cuenta el nivel escolar y el de maduración de los examinados.c
• En cuanto a su escritura: El lenguaje usado en la redacción de un problema debe ser apropiado para la materia que cubre. o No elabore reactivos que evalúen sólo el sentido común del sustentante. deben ser colocados en cada una de ellas. Elabore reactivos con base en los aprendizajes importantes y significativos de la asignatura. particularmente en los que se refiere al vocabulario técnico. Es necesario también verificar su nivel conceptual así como el conocimiento previo.
no elija estímulos oscuros y menos significativos del conocimiento.6. o En la mayoría de los casos el problema debe contener sólo el material relevante a su solución. Evaluación CENEVAL
1. se basa en puntajes donde la máxima
. sin traslaparse información contenida en uno sugiera la solución de otro. La información del siguiente cuadro ejemplifica la información respecto al resultado que CENEVAL envía una vez aplicado el examen. Esta regla no rige aquellos casos en los que se quiere determinar si el alumno puede evaluar la relevancia de ciertos datos. Los reactivos que evalúan comprensión siempre deben ser originales para evitar respuestas aprendidas de memoria. debe ser lo en contenido. o o o o o Incluya una sola idea al elaborar el reactivo. No emplee preguntas capciosas. sin que la suficientemente diferente de cualquier otro reactivo.22
o Evite aumentar la dificultad. o Cada reactivo debe ser independiente uno de otro. Evite evaluar contenidos intrascendentes o triviales.1. esto es.c om
Alumno 42 10
976 Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1045 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 780
. Evite evaluar conceptos de manera textual.
Nombre: Lugar que ocupó en la aplicación de Pre – EXANI II en Bachilleres “Experimental”:
La escala de calificación en EXANI II.
calificación posible corresponde a 1300 puntos y la mínima a 700 puntos.
Mundo contemporáneo:
Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1191 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 782
950 Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1175 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 775
875 Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1000 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 750
1122 Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1122 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 789
1086 Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1128 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 807
cuantitativa o de otra clase.
. se vio obligado a proporcionar una definición. Polya no definió lo que entendía por problema cuando escribió su libro en 1945.c om
.2.2. Sin embargo. La heurística moderna. trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas. sino en el capítulo 5. 1945). parecida a la de Polya es la de Krulik y Rudnik: Un problema es una situación. en particular las operaciones típicamente útiles en este proceso. Pero no para empezar su disertación.24
850 Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1200 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 700
935 Puntuación más alta obtenida por un aspirante: 1091 Puntuación más baja obtenida por un aspirante: 700
La heurística o ars inveniendi tenía por objeto el estudio de las reglas y de los métodos de descubrimiento y de la invención. Cómo plantear y resolver problemas
. 1980). que requiere solución.M
1. en su libro Mathematical Discovery (Polya. inaugurada por Polya con la publicación de su obra How to solve it (Polya. 1961).1. y para la cuál no se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma (Krulik y Rudnik. a la que se enfrenta un individuo o un grupo. y después de una amplia exposición práctica sobre algunos procesos que intervienen en la resolución de problemas: Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata. Otra definición.
en cuatro fases bien definidas: Comprender el problema. al puro estilo socrático. Los intentos iniciales no dan fruto. cuya intención clara es actuar como guía para la acción. 2.M
Concebir un plan. El individuo o grupo. ¿Puede verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal. Los trabajos de Polya. Una pregunta. El compromiso personal o del grupo fuerzan la exploración de nuevos métodos para atacar el problema. Aceptación. debe existir un compromiso formal. 3. debe aceptar el problema. a grandes rasgos. Para George Polya (1945). ¿Son correctos los pasos dados? Examinar la solución obtenida.
. para la mayoría de los humanos. las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan. Exploración. como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.
Ejecutar el plan.25
De ambas definiciones se infiere que un problema debe satisfacer los tres requisitos siguientes: 1. que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas. Bloqueo. la resolución de problemas en matemáticas? Los trabajos de Schoenfeld (1985). la resolución de un problema consiste. competente. son por otro
¿Podría enunciar el problema de otra forma? ¿Ha empleado todos los datos?
. se pueden considerar por lo tanto. ¿por qué es tan difícil entonces. Cada fase se acompaña de una serie de preguntas.
la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas. Así. Cada uno de tales componentes explica las carencias. y por lo tanto. Leer. En esta etapa se intenta hacer énfasis en que la lectura correcta del problema acarrea beneficios en la solución del mismo.2. cuando a pesar de conocer las
. Sistema de creencias: Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y como trabajar en ella. Control: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles. • • • • Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor. Pero las heurísticas y un buen control no son suficientes.. comas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas. comprender. puntos. la respuesta correcta a cada caso. Leer. Etapa 1. mediante la elección.26
lado. así como la ortografía ya que omitir alguno de esos detalles puede originar un resultado incorrecto. Hay que resaltar los signos de puntuación.M
conozca un hecho. plantear y resolver / elegir
Para los fines de este material se ha establecido un mecanismo similar al que propuso Polya.c
. en el cual se describe un proceso que únicamente difiere con el anteriormente expuesto en que aquí los problemas serán reactivos de opción múltiple. Esto último indica que es posible no resolver sino hallar. el poco éxito en la heurísticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles.2. Heurísticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento fallido en la resolución. algoritmo o procedimiento específico del dominio matemático del
resolución de problemas de los resolutores reales. pues puede que el resolutor no problema en cuestión. etc.
Comprender. El más usual es el segundo puesto que es posible hallar la solución correcta “terribles” matemáticas.M
Por otra parte.27
Etapa 2. Resolver / elegir. o simplemente pensando en la solución. o en general. ? Así sucesivamente hasta determinar la respuesta. ¿Una expresión algebraica? Con el objetivo de idear algún plan de solución. Plantear. y el segundo en virtud de la habilidad o razonamiento dibujando. El mecanismo que resuelve lo hace una vez que se ha planteado
. ¿Qué características tiene lo que busco?. el primero parte de plantear mediante el uso de matemáticas. Esto significa que es posible agotar cada inciso mediante la pregunta: ¿Qué pasa si la respuesta es. Etapa 3. Para esta etapa es necesario haber decidido algún mecanismo de solución. Cada uno de los métodos requiere que se ejecuten con todo detalle las etapas preliminares puesto que de ello dependerá el éxito en la solución del problema.
matemático. ¿Es un número?.
el problema mediante alguna ecuación. se sugiere responder preguntas como: ¿Qué estoy buscando?. . esquematizando. es por ello que se escogieron para describir su solución en virtud de las etapas anteriores. ¿Un entero o fracción?. Los ejemplos que se analizarán presentan en mayor grado dificultad para la ejecución de cada una de las etapas. A continuación se mostrarán las etapas recién propuestas para resolver problemas. . aplicadas a casos específicos. algún gráfico. esquivando las matemático. ¿Una frase?. intentando verificar el proceso mediante la comparación de los enunciados propuestos. mediante algún recurso
. el mecanismo que elige es más sencillo en su aplicación ya que permite partir de las opciones múltiples para llegar a la respuesta correcta.c
. Consiste en analizar el enunciado a detalle. Además serán problemas consecutivos y que aparecen en la misma aplicación de algún examen. En general se presentan dos tipos de procesos.
En la lectura debemos referirnos a: “la mitad de cuatro elevado al doble de tres. La mitad de cuatro… Condición 2.
¿Qué estamos buscando? Un número que corresponde a la frase “cuánto es…” ¿Qué características tiene lo que buscamos? Es un número. elevado al doble de tres. Positivo puesto que las cinco opciones lo son. menos la raíz cúbica de ciento veinticinco? a) 59 b) 95 c)2048 d) 69 e) 13
Etapa 1.M
No hay coma. La raíz cúbica de 125… EJEMPLO 2 Condición 1.28
EJEMPLO EJEMPLO 1 ¿Cuánto es la mitad de cuatro elevado al doble de tres.
Etapa 2. El detalle de la etapa 1 permitirá diferenciar los ejemplos propuestos. Leer.…”
Hay coma. En la lectura debemos referirnos a: “la mitad de cuatro.” después de “cuatro” en el segundo ejemplo. La raíz cúbica de 125…
Lo expuesto anteriormente permite decidir por un planteamiento matemático para determinar la solución de cada caso. La herramienta que permite ejecutar de manera correcta esta etapa dice que después de coma detendremos un momento la lectura. menos la raíz cúbica de ciento veinticinco?
a)2043 b)2048 c)4096 d)2034 e)2096
EJEMPLO 2 ¿Cuánto es la mitad de cuatro. La mitad… Condición 2. Comprender. Además debemos pensar de quién estamos hablando. sin embargo. Elevado al doble de tres… Condición 3.c o
. lo cual acarrea cambios radicales en la lectura del enunciado y en la solución del mismo.…”
. aparece “. La pregunta que se plantea en cada caso es casi idéntica. El número buscado debe satisfacer varias condiciones. EJEMPLO 1 Condición 1. Cuatro elevado al doble de tres… Condición 3.
elevado al doble de tres.M
¿Cuánto es la mitad de cuatro elevado al doble de tres. El entrenamiento en este tipo de situaciones debe alcanzar niveles óptimos una vez que se haya resuelto totalmente Problemas para Razonamiento Matemático. menos la raíz cúbica de ciento veinticinco? Planteamiento
⎛4⎞ 3 ⎜ ⎟ − 125 ⎝2⎠
. con 59 y 2043 como opciones de respuesta. en un examen.
2 4096 = −5 2 = 2048 − 5 = 2043
− 3 125
⎛4⎞ 3 ⎜ ⎟ − 125 ⎝2⎠ = (2 ) − 5 = 64 − 5 = 59
El diseño de las etapas propuestas corresponde a las necesidades establecidas en exámenes de opción múltiple.
. Plantear. elevado al doble de tres. menos la raíz cúbica de ciento veinticinco?
¿Cuánto es la mitad de cuatro. menos la raíz cúbica de ciento veinticinco?
. Es importante mencionar que alguno de los ejemplos utilizados para aplicar las etapas de solución no debería aparecer. EJEMPLO 1 ¿Cuánto es la mitad de cuatro elevado al doble de tres.29
Etapa 3.c o w w
EJEMPLO 2 Solución
Etapa 4. menos la raíz cúbica de ciento veinticinco? Planteamiento EJEMPLO 2 ¿Cuánto es la mitad de cuatro. y su ejecución correcta trae consigo beneficios en la solución general de este tipo de pruebas. Resolver.
presentan también han sido analizadas con tal de no utilizar conceptos o herramientas matemáticas de grado superior al requerido en el bachillerato. Los problemas propuestos han sido
práctica. De aparecer las dos respuestas para el mismo reactivo complicaría su solución en virtud de saber si la etapa de lectura se desarrollo de manera correcta. Además las respuestas que se
. con ecuaciones cuadráticas y con geometría. mucho menos idénticos a los originales. y en cuanto a la elaboración de reactivos con Dicho material presenta 160 reactivos de opción múltiple. Desarrollo de la propuesta 1.M
situaciones matemáticas del nivel medio superior. con uno sólo de los resultados se confirmaría o se desmentiría la etapa inicial propuesta.
1. Los resultados de su aplicación han sido tales que el grado de dificultad de cada reactivo es adecuado para el nivel. es decir.3. El objetivo es que. se desarrolle un mecanismo que permita determinar solución correcta a
. problemas con ecuaciones lineales. Los problemas que aparecen en el instrumento han sido piloteados en poblaciones de diferente grado dentro de nivel bachillerato.3. Ingreso al Nivel Superior está diseñado de tal manera que su similitud respecto a los reactivos que aparecen en EXANI II permite mejorar el rendimiento académico de un estudiante preuniversitario. El orden temático propuesto en el documento se debe al diseño que CENEVAL propone en sus exámenes. el objetivo es alcanzar a cubrirlos en la sección de habilidad matemática. Así.
cuidadosamente seleccionados para no superar dicho nivel. sección de razonamiento matemático. generando una solución correcta. Si bien los temas propuestos parecen no ser similares. La similitud se basa en la información presentada anteriormente en cuanto a temas propuestos para la criterios de CENEVAL. una vez que se ha practicado lo suficiente con problemas de ejecución simple. además de que el problema debe representar su grado de dificultad en su base.1.c
. Descripción del instrumento
Problemas para Razonamiento Matemático.30
dado que los criterios de CENEVAL para un reactivo indican que la respuesta debe ser única. según el nivel de razonamiento empleado para su solución y el nivel taxonómico propuesto por CENEVAL para los EXANI II.
UNAM. El taller se ejecutó con el alumnado de la Escuela de Bachilleres “Experimental”.
Aplicación de Pre – EXANI II. y se verificó mediante el examen correspondiente al ingreso. UAEP. en la generación 2004 – 2005. Cabe resaltar que en los últimos años el porcentaje de ingreso de Bachilleres fijó para satisfacer las necesidades escolares fue el 60%. explorando el material en sesiones de dos horas de duración. En las dos primeras se aplica EXANI II y en la tercera el examen propuesto por COSNET. 3 de ellos únicamente en la
30 sesiones fuera del horario normal de clases. sección de razonamiento matemático.M
Aplicación de 6 exámenes de diagnóstico.31 1. Escuela Normal y Tecnológico de Xalapa. • • • • “Experimental” al nivel superior era de aproximadamente el 20%.2. Universidad Veracruzana.c
. en las escuelas de nivel superior de la localidad. por lo que la meta que se El proceso que se siguió para alcanzar la meta consistió en los siguientes puntos: para abordar los problemas recopilados. de dos horas de duración.3.
. Ingreso al nivel Superior consistió en implementar un curso donde se expusieran y analizaran el total de los reactivos propuestos en el documento. CENEVAL.
. Solución de guías de ingreso al nivel universitario en las secciones de Matemáticas y Razonamiento Matemático. Taller de razonamiento matemático
La aplicación del Problemas para Razonamiento Matemático. verificando la utilidad del mismo mediante el resultado que los aspirantes obtengan en la prueba denominada EXANI II.
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES LINEALES. Razonamiento Matemático
Definiremos una situación problemática como un espacio de interrogantes que posibilite. En lo sucesivo aparecerán diversas cuestiones que intentan desarrollar habilidades de
2. el estudiante debe tener la habilidad para hallar solución a los segundos.
2. tanto la conceptualización como la simbolización y aplicación significativa de los conceptos para plantear y resolver problemas de tipo matemático. 2. Prácticamente todos los problemas encuentran solución mediante procedimientos matemáticos.1. Se resolvieron la mitad de los ejercicios. Problemas sin opción múltiple
1. En particular. sin embargo. Problemas para Razonamiento Matemático
En este capítulo se presentan cerca de 160 ejercicios que fueron empleados en el instrumento para incrementar el índice de ingreso al nivel superior de la Escuela Bachilleres “Experimental”. tal cual se presenta en este capítulo.2. en algunos casos procederemos mediante las no correcta la respuesta elegida. Halle ambos números. lectura. los requisitos para el nivel preuniversitario. mientras que el resto de ellos se propusieron para su solución individual.c
.2. comprensión. eligiendo e intentando mostrar. Una vez expuestos los primeros. si es o Por último se señala que este material tiene un diseño basado en problemas resueltos y problemas propuestos. pueden no ser del nivel medio superior. por lo cual se ha presentado una solución idónea posibles respuestas. Es inútil el desarrollo de habilidades sin al menos intentar cada uno de los problemas que aparecen en la sección de problemas propuestos. Un número es equivalente al cuádruplo de otro y la suma de ellos es 80.
. mediante situaciones que tienen alguna relación con las matemáticas. planteamiento y elección – solución. Los mecanismos para resolver son muy diversos.32
.1. mediante diversos argumentos.
Sin embargo. en la ecuación x + y = 80 . puesto que son los números buscados. Enseguida. deberíamos entender que el cuádruplo de y es 4 veces y . Por lo tanto. La
El proceso ha determinado el valor y = 16 .c
sugerencia es sustituir el valor de la variable x . esto es. El enunciado. Raúl tiene 14 años menos que David y ambas edades suman 56 años. 4 y . para luego
a1 . sin embargo resta encontrar el valor de x . es decir. “la suma de ambos es 80”.
2. es el cuádruplo del segundo.
x = 4(16)
Evidentemente la suma de ambos números corresponde a 80. ¿Qué edad tiene cada uno?
5 y = 80
4 y + y = 80
. Volviendo al enunciado del problema se genera la ecuación x = 4 y . implica necesariamente la ecuación x + y = 80 . “Un número es igual al cuádruplo de otro” implica que x = 4 y y “la suma de ambos es 80” implica la ecuación x + y = 80 . en otros términos. Sean x y y el par de números buscados. Así.
Ahora bien. en virtud de las ecuaciones generadas. El proceso que ha concluido hasta el momento ha sido el de la lectura – comprensión. para hallar los números tendremos que ejecutar algún proceso algebraico. 16. procederemos a plantear el problema. De manera sencilla se puede sustituir el valor de y en la ecuación x = 4 y . el problema en su primer enunciado define que “un número es igual al cuádruplo de otro”.33
El problema consiste en hallar un par de números que tienen una relación numérica entre sí. y el primero. los números buscados son 64 y 16. Como ambos números son desconocidos asignaremos variables cualesquiera para proceder.M
despejar la variable y . 64.
“Raúl tiene 14 años menos que David”. la cual generará el valor de la variable d que corresponde a la edad de David.
Después de haber planteado el problema. Para comenzar debemos asignar variables algebraicas a cada uno de ellos.
Algebraicamente el proceso es simple. hay que despejar la variable única que aparece en la
. la suma de las edades de Raúl y David debe ser 56. Así.
el valor de la variable d en la ecuación r + d = 56 . que es la
r + 14 = d
ecuación. De hecho que su diferencia de edades es 14 años. implica algebraicamente la ecuación
r + 14 = d . sustituyendo
1. para plantear el problema debemos establecer una relación entre las variables que corresponda a lo que se lee en el enunciado. mediante
este caso tenemos un par de ecuaciones lineales que se podrían representar.
r + ( r + 14) = 56 . Por otra parte. Ahora bien. o bien r = d − 14 .34
Solución: El problema deberá concluir una vez que se determinen las edades de los dos individuos en cuestión. La primera oración del problema. Además. se debe continuar con la solución del mismo. si David tiene 24 años entonces Raúl debe tener 10 años. “La suma de las
r + ( r + 14) = 56
r + r + 14 = 56 2r + 14 = 56 2r = 56 − 14
2r = 42
Para terminar. En
edades es 56”.M
ecuación lineal a resolver. habrá que sustituir el valor numérico de la variable r en la ecuación
r + 14 = d . genera la ecuación r + d = 56 . en un ejemplo numérico. Sean r la edad de Raúl y d la edad de David. es decir. En el enunciado es necesario comprender que David es mayor de edad que Raúl.
2a . ambas ecuaciones son equivalentes según el ejemplo anterior. Recordemos que
a es el mayor de los números y b el menor. sustituir el valor de la variable a en la segunda ecuación 2a − 2 = 3b . Así.
En términos algebraicos podríamos decir que a = b + 7 o bien que a − 7 = b . Lo leído indica que
. 3. Hallar ambos números.
comprender esa frase. es conveniente ejemplificar numéricamente. Si el mayor de los en 7 unidades. la edad de Raúl es 21 años y la edad de David es 35 años. en términos algebraicos. Un número es más grande que otro en 7 unidades.
Para hallar los números debemos.35
21 + 14 = d 35 = d
Según la asignación de variables propuesta. Es importante verificar que las condiciones del problema se cumplan. de la misma forma que en los casos anteriores.
debemos hallar un par de números. que llamaremos a y b . esto es. Podemos plantear entonces el problema a partir de un par de ecuaciones.
2a − 2 = 3b
números es 10 entonces el menor de ellos debe ser 3. excede o es más
grande que el triple del menor. en este caso es evidente que la suma de ambas edades es 56 años. y que Raúl es 14 años menor que David. 3b . el doble del mayor. El doble del mayor excede al triple del menor en 2.M
La lectura permite determinar que el mayor de los números lo es en 7 unidades. puesto que el mayor es “más grande”
. Esto. Solución:
mayor que el otro. que serían
a = b + 7 y 2a − 2 = 3b . en donde uno de ellos es
En este caso la solución del problema es un poco más complicada. La dificultad del problema consiste en comprender el segundo enunciado.
a1 . Para
Sea a el mayor de los números buscados y b el menor de ellos. en 2 unidades. representa que 2a − 2 = 3b o bien que 2a = 3b + 2 .
Por otra parte. debemos trabajar con la ecuación a = b + 7 . consecutivo a 533 sería 534.c
.2. si pensamos en –11 entonces se generaría un error. en 2 unidades.3.
a =b+7 a = 12 + 7
clara. Una vez que se ha comprendido el concepto de número entero consecutivo procederemos a plantear algebraicamente.
. 38.1.M
o es más grande.−3.−1.
4.. que el triple del menor.
. el consecutivo a –533 es –532. Sin embargo. Además el doble del mayor. ¿cuál sería un número entero consecutivo a –10? Según el orden establecido. debemos hallar tres números de dicha colección que cuenten con la característica de ser consecutivos.. excede
Los números buscados son 19 y 12.0. de la misma forma. Observemos que el consecutivo siempre se encuentra a la “derecha”. tendríamos que un número entero consecutivo a 3 sería 4.
Para resolver este problema es importante recordar que números enteros son todos aquellos de la colección Z = {− ∞. ∞} . pensando en la recta numérica. Ejemplificando.. es decir. Hallar tres números enteros consecutivos... Esto significa que el entero consecutivo a –10 es –9. sustituyendo el valor numérico que hemos encontrado.36
2(b + 7) − 2 = 3b
2b + 14 − 2 = 3b 12 = 3b − 2b 12 = b
Para determinar el valor de a .. consecutivo a 10 sería 11. lo cual se observa de manera
El primero es mayor que el segundo en 7 unidades.. 36.−2. cuya suma sea 204..
68 y 69.
3x + 3 = 204
. sería x + 2 .
5. De la misma forma. Diana tiene 6 monedas más de 25 centavos que de 10 centavos.20. tal y como aparecerán en la mayoría de los exámenes de selección al nivel superior. x + 1 . ¿cuántas monedas tiene de cada clase?
. debe ser igual a 204. Recordando el enunciado inicial. es decir.2. el consecutivo a x + 1 . Debemos observar lo conveniente que puede ser resolver un problema en virtud de sus soluciones. Esto implica que x . x + 2 . La suma de ellos corresponde a 204.
En esta sección se presentarán cinco opciones de respuesta para cada caso.37
Sea x el primer número entero.
x + ( x + 1) + ( x + 2) = 204
x + x + 1 + x + 2 = 204
Los tres números buscados serían 67.2 Problemas con opción múltiple.
2. El proceso algebraico se indica en seguida. son números enteros consecutivos. si el número consecutivo a 14 es 14 + 1 entonces el número entero consecutivo a x sería x + 1 . En algunos casos se partirá de las soluciones para determinar cuál es la correcta. la suma de x . como se exigen en el problema y evidentemente son números enteros consecutivos. Si Diana junta el total de monedas obtiene $ 9. x + 2 .M
3x = 201
3x = 204 − 3
a1 . lo cual indica que la ecuación lineal que se deberá resolver es x + ( x + 1) + ( x + 2) = 204 . Así para generar el siguiente debemos agregar la unidad. x + 1 .
así x + 6 . esto es.
. esto es. la cantidad económica que Diana tiene. $ 9.38
a) 22 monedas de 10 centavos y 28 de 25 centavos b) 22 monedas de 25 centavos y 28 de 10 centavos c) 25 monedas de 10 centavos y 10 de 25 centavos d) 28 monedas de 10 centavos y 22 de 15 centavos e) 20 monedas de 10 centavos y 26 de 25 centavos Solución: En este caso hablamos de un par de monedas que definiremos en seguida. Sea x el número de monedas de 10 centavos. Ahora bien. se obtiene a partir de la suma del total de monedas. Un entero supera en 4 a otro. puesto que Diana tiene 6 más de 25 centavos que de 10. mientras que 28 monedas de 25 centavos forman $ 7.2. Ahora como
x + 6 es el número de monedas de 25 centavos. en el enunciado.
a1 .2. entonces se deduce dicho número
sustituyendo. lo cual suma la cantidad final de Diana $ 9.0. y 28 monedas de 25 centavos.20 (o bien 920 centavos). Es claro que hay 6 monedas más de 25 centavos que de 10 centavos y que 22 monedas de 10 centavos hacen $ 2.
x + 6 = 22 + 6 = 28
Por lo tanto Diana tiene 22 monedas de 10 centavos.
35x = 920 − 150
35x + 150 = 920
10 x + 25x + 150 = 920
resuelve mediante el siguiente proceso algebraico. que se
35x = 770
x= 770 35
Lo que hallamos es el número de monedas de 10 centavos que Diana tiene. 6. será el número de monedas de 25 centavos. Encuentre ambos si un cuarto del menor es igual a un quinto del mayor. El planteamiento del problema corresponde a la ecuación 10( x ) + 25( x + 6) = 920 .c
10( x ) + 25( x + 6) = 920 .
el proceso para determinar las soluciones a este problema consiste en sustituir el
a−4 a = 4 5
5( a − 4) = 4a
5a − 20 = 4a 5a − 4a = 20 a = 20
Hemos determinado el valor del mayor de los números buscados.39 a) 16 y 12 b) 25 y 21 c) 20 y 16 d) 20 y 18 e) 24 y 20
Solución: Sean a y b dos números enteros.c
a−4=b y
b a = . Si uno supera a otro entonces podremos establecer que a es mayor que b . Para hallar el otro valor sustituiremos en a − 4 = b . En términos algebraicos. Así la frase “un entero supera en 4 a otro” representaría la ecuación a − 4 = b . Por otra parte se lee que “un cuarto del menor”. esto es.
20 − 4 = b b = 16
b a = 4 5
. es decir. mayor”.
1 b . es igual a “un quinto del 4
1 1 1 a . Ahora 4 5
. en la igualdad
b a = . 5 4 5
El par de ecuaciones que plantean el problema pueden ser
bien. 4 5
a1 . podríamos establecer que b = a .M
valor de la variable b . En seguida el método.
2 x + 12 para Olivia.40
Por lo tanto los números buscados son 20 y 16. y dentro de doce años tendrá
5 de la que Olivia tenga entonces. puesto que Isabel tiene la mitad
partir de una variable. Isabel.
7. y un cuarto del menor es igual a un quinto del mayor. Isabel tiene actualmente la mitad de la edad de Olivia.
. Luego.M
Por su parte dentro de doce años dichas variables cambiarán por x + 12 para Isabel. y
5 de la edad de Olivia”.
x + 12 = x + 12 =
5 (2 x + 12) 6 10 x + 60 6
6 x + 72 = 10 x + 60
. el primero supera en 4 al otro. ¿Cuáles son las edades actuales de 6
Isabel y Olivia? a) 3 y 6 años b) 6 y 3 años c) 4 y 7 años d) 5 y 8 años e) 12 y 15 años
Solución: De manera similar a los casos anteriores definiremos las edades de Isabel y Olivia a
de años respecto a Olivia. 6
Procederemos a la solución de dicha ecuación. Hallaremos el valor de x . la edad de Olivia será 2 x .
x + 12 =
5 (2 x + 12) .
Para plantear el problema correctamente habrá que considerar el dato que menciona “dentro de doce años. que corresponde a la edad de Isabel. así la igualdad que resulta es 6
Sea x la edad de Isabel.
lo cual algebraicamente significa que a + b = 28 .
Llamaremos a y b . la base b . lo cual genera la ecuación b = 2a − 8 . altura y base respectivamente. Debemos pues señalar como correcta la respuesta del inciso a.
a + b = 28
a + ( 2a − 8) = 28
a + 2a − 8 = 28 3a = 28 + 8 3a = 36
a= 36 3
sustituir en la fórmula correspondiente al área.41
72 − 60 = 10 x + 6 x 12 = 4 x
12 =x 4
3= x
Por lo tanto la edad de Isabel es 3 años. es 8 pulgadas menos que 2a . La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pulgadas. Por otra parte. Determinar el
a) 86 in2
b) 126 in2
c) 116 in2
. d) 106 in2 e) 96 in2
8. y la edad de Olivia corresponderá a 6 años puesto que Isabel tiene la mitad de años que Olivia. El proceso algebraico es similar a los casos anteriores.
En este caso la solución requiere saber la base del triángulo y su altura para después
. La suma de a y b corresponde a 28.c
área del triángulo si su base es de 8 pulgadas menos que el doble de su altura.
c) 42. 24. tiene 18 años menos que la mayor. 20
más que la menor y la de en medio 18 años menos que la mayor. 22
d) 48. es decir.c o
(16)(12) = 96 . 26. Por último tenemos
que la persona de en medio. debemos marcar la respuesta del
. a) 44.
a . De la primera frase podemos escribir que a + b + c = 88 .
b = a − 18 .
. para las edades de las tres personas. Además dichas variables relacionan en orden al mayor. La suma de las edades de tres personas es 88 años. 24
b) 40. 20
inciso e. La mayor tiene 20 años
. la altura del triángulo es 12 pulgadas y la base es igual a 16 pulgadas. 20. En seguida. tiene 20 años más que la menor. 22. Sin embargo el problema exige calcular el área. 18
Solución: En este caso la solución es más complicada puesto que debemos hallar tres datos según el enunciado. es decir. b. Hallar las
9. b . para lo cual recordaremos que
respectivas edades. 24. Para plantear el problema definiremos las variables a. 2
e) 46.42
La base del triángulo se determina de la siguiente forma:
b = 2a − 8
b = 2(12) − 8
b = 24 − 8 b = 16
El área del triángulo es igual a 96 pulgadas cuadradas. “la mayor”. mediano y menor de edad respectivamente. c . esto es. lo cual significa que c = a − 20 .
c) 80°. 35°. 55°. Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso c. que debemos solucionar para hallar la mayor de las edades. El mayor
a1 . tiene c = 42 − 20 . que se representa con la El inciso que responde correctamente este problema es el inciso c.
. la de en medio. 55°
y el mediano.
La mayor de las personas tiene 42 años de edad. relacionado con ecuaciones lineales. tiene b = 42 − 18 .
excede al menor en 35° y el menor excede en 20° a la diferencia entre el mayor
a) 80°. Hallar los ángulos. que corresponde a 24 años. y por último la menor de las tres personas. La siguiente tabla permite ilustrar de mejor manera el mecanismo. Condición Planteamiento numérico Se cumple La suma de ángulos internos 80 + 55 + 45 = 180 de un triángulo es 180°. 45° e) 70°. donde las edades letra c . 65°
b) 70°. que corresponde a 22 años. La suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°. respectivas son 42.M
a + a − 18 + a − 20 = 88 3a − 38 = 88 3a = 88 + 38 3a = 126
a= 126 3
a = 42 . 150°
Solución: Para este problema. procederemos a responder a partir de las soluciones propuestas. 55°. 45° d) 70°. 45°.43
En la ecuación a + b + c = 88 podemos sustituir el resto de las ecuaciones para generar
a + ( a − 18) + ( a − 20) = 88 . 24 y 22 años. b .
. 65°.
Para resolver. b. debemos generar una ecuación de la forma
. Como la suma de ellos es 17.3
. d. lo cual queda expresado a partir de la ecuación x 2 − y 2 = xy + 19 .
ax 2 + bx + c = 0 . sin más. La igualdad anterior plantea el problema. es decir. Lo novedoso es interpretar las soluciones que se generan puesto
que en cualquier caso hallaremos un par de ellas. 80 excede en 35 a 45 Se cumple
El menor excede en 20 a la 80 – 55 = 25 diferencia entre 80 y 55. y como dos números naturales cualquiera. dado que las tres condiciones del problema se satisfacen. La suma de dos números naturales es 17. y
posteriormente determinar alguno de los métodos de solución para dicha ecuación.
general de segundo grado. 80. 45 excede en 20 a 25
Luego. x 2 − y 2 . La diferencia entre sus cuadrados. a) 12 y 5 Solución: Definamos x. debemos señalar como correcta la respuesta del inciso c. en 35. supera en 19 al producto de los números. el proceso algebraico se expone a continuación.44
El mayor. 45. podemos expresar tal situación mediante x + y = 17 . xy . La diferencia de sus cuadrados supera en 19 al producto de los números. y e siempre la diferencia entre el mayor y el menor es diferente de 35°
CUADRÁTICAS.c
lo cual respalda la respuesta del inciso c. b) 10 y 7 c) 9 y 8 d) 11 y 6 e) 13 y 4
. excede al 80 – 45 = 35 menor. En los incisos a. Determine ambos números.M
En esta sección nos dedicaremos a plantear problemas mediante la ecuación
que 2a
x 2 − y 2 = xy + 19 x 2 − (17 − x) 2 = x(17 − x) + 19 x 2 − (289 − 34 x + x 2 ) = 17 x − x 2 + 19
x 2 − 289 + 34 x − x 2 = 17 x − x 2 + 19 x 2 + 34 x − x 2 + x 2 − 17 x = 19 + 289 x 2 + 17 x = 308 x 2 + 17 x − 308 = 0
Ahora bien.c o
La última ecuación.45
De la expresión x + y = 17 podemos despejar una variable. y = 17 − x . c = −308 . b = 17. x 2 + 17 x − 308 = 0 .
− (17) ± (17) 2 − 4(1)(−308) x= 2(1)
− 17 ± 208 + 1232 2 − 17 ± 1521 2
− 17 ± 39 2 − 17 + 39 22 = = 11 2 2
− 17 − 39 − 56 = = −28 2 2
. es la que plantea correctamente el problema. en donde sustituiremos los valores a = 1. para resolverla utilizaremos la fórmula general de segundo grado. Dicho despeje se deberá sustituir en la ecuación x 2 − y 2 = xy + 19 .M
corresponden a los coeficientes de la igualdad inicial. esto es.
− b ± b 2 − 4ac .
supera en 19 al producto de los números. Así. Para ello recordemos que estamos en búsqueda de dos números naturales. generando el número 6. Hallar las e) 8 y 15 años
Por otra parte el enunciado “la suma los cuadrados de las edades es 305”.46
Existen dos valores de x y debemos escoger sólo uno de ellos. de la siguiente forma:
p 2 + j 2 = 305 (9 + j ) 2 + j 2 = 305 81 + 18 j + j 2 + j 2 = 305
En seguida simplificaremos la ecuación hasta llegar a una del tipo ax 2 + bx + c = 0
81 + 18 j + 2 j 2 = 305 2 j 2 + 18 j + 81 − 305 = 0 2 j 2 + 18 j − 224 = 0
una diferencia negativa. Así. 112 − 6 2 = 121 − 36 = 85 . Se sabe además que
. es decir. representa la igualdad p 2 + j 2 = 305 . por eso escribimos p − j = 9 y no j − p = 9 dado que obtendríamos
. lo cual se comprueba fácilmente. Pedro es el mayor y se edades de Pedro y Jorge. uno de los números es 11 y el otro se obtiene por sustitución en la igualdad y = 17 − x . La diferencia de las edades de Pedro y Jorge es 9. lo cual implica que habría que desechar x 2 = −28 . puesto que no es un número natural. a) 7 y 16 años Solución: b) 16 y 7 años c) 12 y 3 años
. 12.M
Sea p la edad de Pedro y j la edad de Jorge.
Pedro es el mayor. Ambos números suman 17. mayores que cero. Debemos señalar como correcta la respuesta del inciso d. así p − j = 9 . (11)(6) = 66 . y la diferencia de sus cuadrados.c
d) 15 y 8 años
sabe que la suma de los cuadrados de las edades es igual a 305. podemos sustituir el despeje p = 9 + j .
. Así. 13. a) 5. sustituyendo los valores que acabamos de definir. es decir. Habrá que señalar que el mayor de ellos sería x + 2 . es decir.
Habrá que señalar como correcta la respuesta del inciso b. x + 1. generando la igualdad j 2 + 9 j − 112 = 0 .47
Esta ecuación puede simplificarse aún más dividiendo entre 2 cada término. es igual a tres décimos del intermedio. el cociente entre el mayor y el menor.
se descarta. 7 b) 4. generando que Pedro tiene 16 años de edad.
3 x+2 . en donde a = 1. ( x + 1) . Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el menor equivale a 3/10 del número intermedio. se obtiene por sustitución en la
16 2 + 7 2 = 305 . 6. por lo cual esa solución Por lo tanto la edad de Jorge es 7 años y la edad de Pedro. el intermedio x + 1 . 4 e) 1. c) 6. 5. b = 9. 7. Pedro es
Solución: Según el problema 4. tres números consecutivos son x. y el menor x . x + 2 . 10 x
mayor que Jorge en 7 años. 6.
a1 . y la suma de los cuadrados de los edades es 305.M
ecuación p = 9 + j . j =
− b ± b 2 − 4ac . 8 d) 2. 3.
Es importante señalar que las condiciones del problema se satisfacen. 2a
− (9) ± (9) 2 − 4(1)(−112) − 9 ± 81 + 448 − 9 ± 529 − 9 ± 23 j= = = = 2(1) 2 2 2
− 9 + 23 14 = =7 2 2 − 9 − 23 − 32 = = −16 2 2
Es importante señalar que la edad de Jorge no puede ser –16 años. Para resolver dicha ecuación utilizaremos nuevamente la fórmula general de segundo grado. es decir. c = −112 .
x1 = 4 y x 2 =
3 x 2 − 7 x − 20 = 0
1. es decir. co
0 = 3 x 2 − 7 x − 20
se obtienen dos
contrario si lo hay para 4. equivale a (5) . b = −7. $5 e) 32.M
− 10 .48
En términos algebraicos tendríamos la ecuación una cuadrática mediante el siguiente proceso. $36 d) 36. a saber.
x+2 3 = ( x + 1) . 5 y 6. c = −20 . $4
. para elegir la adecuada debemos señalar 12
3 6 6 15 . $5 b) 5. mientras que por el
. soluciones. que aparecen en el inciso b.
que no existe un número consecutivo al propuesto en la fracción. que se transforma a 10 x
x + 2 3x + 3 = x 10
10( x + 2) = x (3 x + 3) 10 x + 20 = 3 x 2 + 3 x 0 = 3 x 2 + 3 x − 10 x − 20
Utilizando la fórmula general definiendo a = 3.
Por lo tanto los números buscados son 4. 10 4 4 10
14. lo que asegura la solución como correcta. $63 c) 5. Se verifica también que el cociente entre el mayor y el menor. Ahora. = . Si hubiera comprado seis libros menos por el mismo dinero entonces cada libro le habría costado $1 más. ¿Cuántos libros compró y cuánto le costó cada uno? a) 63. Una persona compró cierto número de libros por $180.
Por lo tanto las dos soluciones que surgen.
0 = x 2 − 6 x − 1080
x 2 − 6 x − 1080 = 0
hallar un par de números que multiplicados sean –1080 y sumados sean –6 .49
Sea x el número de libros que compró la persona en cuestión. Así el número de libros comprado fue 36.
En este caso utilizaremos el método por factorización para generar el resultado. Sin embargo es imposible comprar –30 libros por lo que se debe descartar la
segunda opción. quedando como única respuesta la del inciso d. son x1 = 36 y
x 2 = −30 . y su costo.
180 x = x 2 + 174 x − 1080
x (180) = ( x − 6)(180 + x )
. entonces. cada libro le habría costado un peso más.M
0 = x 2 + 174 x − 180 x − 1080
1. En ese caso se compraron 5 libros de 36 pesos.
x 2 − 6 x − 1080 = ( x − 36)( x + 30) . esto es. x−6 x 180 180 180 + x . resolviendo la suma de fracciones la cual debe reducirse hasta llegar a una de segundo grado. Algebraicamente tendríamos que si hubiera comprado seis libros menos por el mismo dinero. El costo de cada libro será
180 puesto que de haber comprado 10 libros entonces cada uno de ellos le habría x
costado $ 18. Lo cual aparece en la respuesta del inciso d. +1. es = x x−6 x
La ecuación que se genera. + 1 . Debemos
. es de $ 5. ¿qué pasaría si compramos seis libros menos? Es imposible comprar –1 libro por lo que la respuesta se descarta.
180 180 . dividiendo 180 entre 36. Debemos notar que la respuesta del inciso c es similar pero incorrecta. igualando a cero cada factor.
300 300 . entonces el costo por
suma de fracciones indicada. resultando
w 2 − 3w − 180 = 0
Ahora bien.50
Por otra parte si hubieran ido 3 estudiantes menos.M
Algebraicamente tendríamos la igualdad
300 300 + 5w que se justifica resolviendo la = w−3 w
300 300 + 5w = w−3 w
300 w = ( w − 3)(300 + 5w) 300 w = 5w 2 + 285 w − 900 0 = 5w 2 + 285 w − 300 w − 900 0 = 5w 2 − 15 w − 900 5w 2 − 15 w − 900 = 0
Esta última ecuación puede simplificarse dividiendo entre 5 cada término. es decir.c om
. Una excursión costó $ 300. habría sido $ 5 más. el proceso para determinar el valor de la variable es idéntico a los casos
w . ¿cuántos estudiantes fueron a la excursión? a) 15 b) 16 c) 12 e) 14 f) 20
Solución: Sea w el número de estudiantes que fueron a la excursión. Si suponemos que fueron 10 estudiantes entonces el costo para cada uno de ellos sería de $ 30.
anteriores. w − 3 . en otros términos. Si hubieran ido 3 estudiantes menos entonces el costo por estudiante habría sido de $ 5 más. sería el costo por estudiante en la excursión. + 5. w−3 w
del precio del caballo y el precio de los arreos es $ 860625. Así el caballo costaría $ 900 y los arreos $ 225.
. ¿Cuánto costó el
. A c) C $860. Por lo tanto el número de estudiantes es de 15. Supongamos que la respuesta correcta es la del inciso a. de hecho cada uno paga un total de $20. A $900 Para el último caso relacionado con las ecuaciones cuadráticas utilizaremos las respuestas para determinar cuál es la correcta. e) C $225. La respuesta correcta es la del inciso a. lo cual genera el par de soluciones correspondientes a la ecuación de segundo grado.
C$1400.51
Utilizando el método por factorización. La siguiente tabla permitirá demostrar si es o no correcta la respuesta del inciso a. A d) A$350
16. Condición Planteamiento numérico Se cumple El caballo cuesta cuatro veces (4)(225) = 900 lo que sus arreos La suma de sus cuadrados es $ (900)2 + (225)2 = 810000 + 50625 860625 860625 Se cumple Como ambas condiciones se satisfacen podemos estar seguros que la respuesta es la del inciso a. la expresión w 2 − 3w − 180 = ( w − 15)( w + 12) . La interpretación de ambas soluciones diría que no es posible que vayan –12 estudiantes a la excursión. A b) C $720. Un caballo costó cuatro veces lo que sus arreos y la suma de los cuadrados caballo y cuánto los arreos?
a) C $900. w1 = 15 y w2 = −12 .
4 PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON GEOMETRÍA. En la figura se muestran dos torres. etc. En la respuesta del inciso e. semejanza de triángulos.
Para los casos geométricos es fundamental lograr un esquema de la situación. la separación entre ambas es de 42 m. Las aplicaciones que son frecuentes para solucionar estos casos se relacionan con conceptos básicos como el teorema de Pitágoras. el caballo cuesta $ 225 y sus arreos cuestan $ 900 Condición Planteamiento numérico
El caballo cuesta cuatro veces (4)(900) = 225 lo que sus arreos Error (4)(900) = 3600
Luego de la información presentada en las tablas se tiene que la respuesta correcta es la del la correcta puede detenerse la búsqueda. parece tener la misma información. 17.M at
inciso a.c
$ 860625
La suma de sus cuadrados es (900)2 + (225)2 = 810000 + 50625
2. lo que indica que una vez que se encontró
. A y B.52
Sin embargo la respuesta del inciso e. Ambas tienen un reflector que les permite buscar a los presidiarios cuando se fugan. veamos mediante el mismo mecanismo si se cumplen las hipótesis del problema. Si un presidiario es localizado en la línea que une las torres. Recordemos que la respuesta es única. ¿Qué distancia habrá de la torre B al punto donde fue localizado. En caso que éste se presente como parte del problema habrá que observar detenidamente y aceptar como cierta cualquier inferencia que se haga sobre el dibujo. para que los triángulos sean semejantes?
Además los mismos triángulos comparten un ángulo en C.0 m
d) 26.66. Ahora verificaremos si la respuesta puede ser la del inciso a. es decir. altura de la torre B.
EBC. 42 metros. Si dicho inciso es correcto entonces la medida del segmento BC sería 15.2 m
e) 30.0 m
c) 21.53 D
A 42m
a) 15.8 m
b) 18.2 . Por otra parte. es decir. y la medida del segmento AC . la altura de la torre A. lo cual asegura que son semejantes. lo cual surge de restar la medida total desde A hasta B.M
iguales. y que el segmento BE mide 18 metros.8 metros y como consecuencia la medida del segmento AC sería 26.0 m
Por su parte podemos establecer una relación entre sus lados. que tiene la misma
. como los cocientes son iguales y hablamos de triángulos semejantes podemos
∆ DAC ≅ ∆ EBC entonces
AD AC DC . de tal forma que si
Observando la figura es posible determinar que el segmento AD mide 30 metros. Por lo tanto.2 metros. = = BE BC EC
w . como las razones entre lados de triángulos semejantes son iguales tendríamos que
AD 30 AC 26.c o
manera correcta. que = = BE 18 BC 15.8
corresponde a 1. El triángulo DAC es rectángulo y de la misma manera lo es el triángulo
En este caso la figura y las soluciones serán muy útiles para definir la situación de
. debería ser igual al cociente .
Lo que hemos demostrado hasta el momento es que los triángulos tienen dos ángulos
medida. 1.658.
Además se determina según la definición de ángulos internos que la medida de ∠ FAC es la igual a la medida de ∠ GDC. lo cual se verificó anteriormente.54
aceptar que la distancia de B hasta donde fue localizado el presidiario es 15. los triángulos AFC y DGC son semejantes dado que hemos mostrado un par de ángulos iguales. entonces
AF FC AC . la altura es perpendicular a la base. Se tiene que el segmento DE que es paralelo a AB.8 metros. Además la medida de AC es 6 metros.2 m
Los dos ángulos que tienen medidas iguales son el ∠ AFC para el primer triángulo.0 m
e) 3. lo cual implica que el segmento DC mide 3 metros.5 m
d) 3. la medida del AF sería 2 metros puesto que F es el punto medio del segmento AB. Luego entonces.0 m
G E 6m D
A F 4m
a) 1. E y F son puntos medios de BC y BA respectivamente. = = DG GC DC
Según se observa en la figura. BC=6m.0 m Solución:
b) 2. La respuesta correcta es la del inciso a.M
c) 2. ya que D divide en partes iguales al segmento AC. Se tiene el triángulo isósceles ABC. ¿Cuánto tiene de longitud el segmento DE?
m a1 .
. y el ∠ DGC para el segundo triángulo. cuyos lados son: AB=4m. De la misma manera que el problema anterior. podemos escribir que si ∆ AFC ≅ ∆ DGC. AC=6m.
¿Cuántas regiones se forman si se unen 5 puntos cualquiera de todas las formas posibles? a) 5 b) 6 c) 8
Bajo el mismo argumento debemos dividir la circunferencia a partir de 5 puntos en donde cada punto esté unido con el resto.
. Sustituyendo valores llegamos a la ecuación a 1. por lo que el segmento DE mide 2 metros.
2 6 = . Llamaremos a los puntos A.55
Luego la ecuación
AF AC = DG DC
generará el valor del segmento DG. si se unen 3 puntos. que es la mitad del
segmento DE. B. En una circunferencia si se unen 2 puntos se forman 2 regiones. posteriormente contar cada región.M
Se verifica que si se unen dos puntos de una circunferencia entonces se forman dos
a1 . y colocaremos un número en cada región.
. D y E. de donde DG es igual DG 3
19. C. Debemos marcar como correcta la respuesta del inciso b.
regiones. se forman 4 regiones. de las diferentes maneras posibles.
. calcular el perímetro del
de una circunferencia.c o
I 3 2 G 1 F C 4 B 2 2 E 3 D H K
J 2 2 4 A
a) 2 2 Solución:
c) 3 + 2 2
d) 4 + 2 2
e) 6 + 4 2
2 6 13 7 14 9 15 12
Por lo tanto se forman 16 regiones si se unen 5 puntos de todas las formas posibles dentro
polígono formado por los segmentos HI .
. La respuesta correcta es la del inciso e.M
20. IJ . JK y KH . En la figura mostrada GI es paralela JK .
equivocarnos. Según se observa.
IJ + JK + KH + HI = 3 + 2 2 + 3 + 2 2 = 6 + 4 2 . su base es 4 y sus lados son iguales a 2 2 .
3 2 G 1 F C 4 B 2 2 H K I J 2 2 4 A
Dicho eje nos permite observar que el segmento ED mide lo mismo que el IJ . como la figura en cuestión es un paralelogramo. el de HI . que HI mide 2 2 .
Sin embargo. las mediatrices a los lados AB y BC cortan a estos en los puntos D y E. en la figura propuesta trazaremos un eje de simetría. podemos decir. lo cual corresponde al siguiente procedimiento. Las mediatrices se cortan en el punto F. Por lo tanto la medida de los lados que forman al
que IJ es igual a KH .
21. El triángulo ABC es isósceles.
a1 . Además.57
Es claro que el perímetro del polígono se determinará sumando las medidas de los lados HI . que es punto medio de AC y a su vez es el
paralelogramo KHIJ . por lo que resta sólo un valor por determinar. JK y KH . sin temor a
IJ = 3
JK = 2 2
HI = 2 2
El perímetro se obtendrá mediante la suma de los lados.
La respuesta correcta aparece en el inciso e. el lado JK tiene una medida igual a 2 2 . Para determinar las medidas de los lados IJ y KH . IJ . son:
centro del círculo que es tangente a los lados AB y BC . puesto que el segmento BC es uno de los lados del triángulo isósceles. En la figura faltaría agregar una siguiente línea.
BC es paralelo a DG y DB es paralelo a CG. entonces podemos asegurar que el segmento DF sería
a) πu2
b) 3/2πu2
c) 2πu2
d) 4πu2
e) 8πu2
B D A F E C
Las líneas BC y DG tendrían la misma medida. es decir.M
El primer mecanismo consiste en observar que DBCG forman un paralelogramo. Procederemos a
. Por otra parte. 2 2 . ¿Cuánto vale el área de este círculo?
Solución: determinarlo. como F pasa por el segmento DG y es el centro de la circunferencia. en los puntos D y E. en donde
Para hallar el área de un círculo debemos saber primero su radio.
En la figura se muestra el triángulo rectángulo en B. Por lo tanto la base del triángulo es 6 unidades. lo que indica que el área de la misma circunferencia sería
Ac = πr 2 = (3.
22. que el radio de la circunferencia sería igual a la mitad de segmento DG.
em w . de donde surge el valor 2π u2. Así el radio de la circunferencia con centro en M sería precisamente 2.c o
a) A C > A T
b) A C =
c) A C < A T
d) A C = A T
e) A C =
Solución: Asignemos un valor numérico al segmento MB para proceder.M at
. que según se observa es 4. Sea MB = 2.14)( 2) 2 = (3. Si A C es el área del círculo centrado en M y A T es el área del triángulo ABC.
. El punto M bisecta al lado AB y los puntos P y Q trisectan al lado BC . encuentra la afirmación que las compara correctamente. Nota: todas las circunferencias tienen el mismo diámetro.59
igual a al FG. mientras que su altura corresponde a la medida del segmento AB.
Por su parte el triángulo tiene una base que corresponde al triple del radio de la circunferencia centrada en M ya que todas las circunferencias tienen el mismo diámetro. Esto indica que DF = r =
DG 2 2 = = 2 2 2
Luego. que aparece en el inciso c. en otros términos.56 unidades cuadradas.14)(4) = 12. el área del círculo está dada por la fórmula A = πr 2 .
Luego, AT =
ba (6)(4) 24 = = = 12 unidades cuadradas. 2 2 2
Lo que hemos probado se satisface para cualquier caso numérico. Esto indica que el área del círculo es mayor que el área del triángulo. Por lo tanto la respuesta correcta se encuentra en el inciso a, AC > AT .
23. En el trapecio irregular ABCD el ángulo ADC es el doble del ángulo ABC. Los lados AB, CD y DA miden a, c y d respectivamente. ¿Cuánto mide el lado BC?
Tracemos una recta paralela al segmento AB, y llamémosla DP. Además x será el ángulo interno en B. En la figura original debemos agregar la siguiente información.
Según la construcción, las rectas AB y DP son rectas paralelas, lo cual implica que el ∠ABC = ∠DPC. Por otra parte, la clasificación de ángulos menciona que ángulos alternos internos
a) BC = d + b
b) BC = a + b
c) BC = d + c
d) BC = d + d
e) BC = d + a
tienen la misma medida, alternos respecto a la diagonal (recta DP) e internos respecto a las rectas AD y BC. En la figura tendríamos tres ángulos que tienen ya la misma medida, los denotados con la letra x.
aA x B
segundo se ha llamado x entonces el primero tendría que llamarse 2x.
∠CDP, lo cual indica que dicho triángulo es isósceles, en donde los lados iguales serían los
respectivamente. Así, la respuesta sería que BC = d + c, lo cual aparece en el inciso c.
24. Si el lado del cuadrado más grande mide 4 unidades, ¿cuánto mide el área de la región sombreada?
a) 2 u2
b) 10 u2
Por último, como se puede observar en la figura los segmentos BP y CP miden d y c
segmentos CD y CP.
c) 8 u2
Luego, hemos probado que el triángulo DPC tiene dos ángulos iguales, a saber ∠DPC y el
Según el enunciado original el ángulo ADC es el doble del ángulo ABC, por lo tanto si el
d) 4 u2
Solución: Habría varias formas de resolver este problema. Una muy simple sería ordenar los cuadrados de manera que sea más visible su semejanza, es decir,
implica que el mismo cuadrado tiene de área 4 unidades cuadradas.
los lados de cada cuadrado. Por ejemplo, el lado del segundo cuadrado se obtendría mediante la igualdad c2 = 22 + 22 = 8, lo cual implica que el lado tendría por medida c =
⎛ 8⎞ ⎛ 8⎞ 8 8 16 ⎟ ⎜ ⎟ c2 = ⎜ ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = = 4 + 4 = 4 = 4 , lo cual implica que el lado tendría por medida c = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Mostrando, nuevamente, que el área de la figura sombreada sería 4 unidades cuadradas. Inciso d.
De manera similar se obtendría la medida del lado del cuadrado sombreado, en donde
Otro camino más formal sería establecer el teorema de Pitágoras para hallar la medida de
en donde se observa que el lado del cuadrado sombreado corresponde a 2 unidades, lo cual
Si AG = 30 cm.
AE 4 = 30 5
AE DE = AG FG
72 48 = cm 5 5
correspondientes de cada triángulo mantienen constante su razón.
AB 3 = 24 5 AB =
AB CB = AE DE
72 cm 5
25. es decir.M
∆ CBA semejante con ∆ DEA semejante con ∆ FGA. Por lo tanto las razones entre los lados
AE = 24 cm
Lo cual implica que BE = AE – AB
BE = 24 −
La respuesta correcta aparece en el inciso c. En la figura se tiene que 3DE = 5CB y que 4FG = 5DE.c om
c) 48/5 cm
d) 72/5 cm
e) Ninguna de la anteriores
Solución: Como CB || DE || FG. la longitud de BE es:
360°.M
Luego. cada uno de los cinco lados del pentágono subtiende arcos de magnitud idéntica a 72°. la medida del ángulo señalado denotado con β corresponde a 108°.
. se forma una estrella como en la figura. Al trazar las diagonales de un polígono regular de 5 lados.
(semisuma de los arcos que describe)
. Esto implica que el arco AB mide 72° y además que el arco EC es igual a la suma de los arcos CD + DC.64
26. Para un ángulo β como el de la figura se cumple la fórmula:
AB + EC 2
72 + 144 216 = = 108° 2 2
w . en números se obtiene que el arco EC mide 144°.c
Recordemos que todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia. Entonces el ángulo β mide:
a) 36° b) 45° c) 60° d) 72° e) Ninguna de las anteriores
En este casi. que resulta de dividir el total. entre 5. señalando como correcta la respuesta del inciso E.
tiene diagonal igual a EF. y que E es punto medio. Por otra parte. tiene área A. ABCD es un cuadrado de lado a . el cuadrado más pequeño de lado s. 2
La región sombreada. pero DB DA
5a 2 8
EA 1 = . luego
s 2 + s 2 = EF 2 ⇒ s =
a . Entonces. por los puntos medios se trazan nuevos cuadrados. DA 2
Esto implica que EF =
DB a 2 = . lo cual se obtiene también por el Teorema de 2 2
Pitágoras sobre el triángulo AFE.M
. el área del cuadrilátero sombreado mide:
3a 2 b) 16 5a 2 c) 32
w . que puede obtenerse como Área cuadradododelados de lado s − áreacuadra 4
áreaABCD
Los triángulos EAF y DAB son semejantes con proporciones
EF EA = .
señalando la respuesta del inciso b. la clave es observar cada serie e intentar varias propuestas. suma. multiplicando 9 x 2. Así debemos pensar en una estrategia distinta para obtener. a partir de 4. Dejaremos de lado las ecuaciones y dibujos.66
1 ⎛ 2 a2 ⎜a − 4⎜ 4 ⎝
⎞ 3 2 ⎟ ⎟ = 16 a . 4.
28. Además. En cada uno de
comprender de mejor manera lo planteado. multiplicación y división.c o
siempre el tipo de respuesta que se propone puesto que en la mayoría de los casos esto nos
. Parecería que si multiplicamos 4 x 2 entonces llegaríamos a 8. que es el siguiente número.
. La sugerencia es observar ayudará a determinar la correcta. resta. sucesivamente.5
MATEMÁTICA. la primera idea consiste en sumar la unidad. 4 + 1. Posteriormente si a 8 le agregamos el número 1 entonces obtenemos 9. hay que intentar imaginar cada situación para
los siguientes casos la solución consiste en establecer una regla que permita generar el casos. 3 + 1 = 4. llegamos a 18. En síntesis
.. y entonces estamos ya ejecutando la misma regla para varios casos. b) 36 c) 38 d) 37 e) 35
Solución: Para llegar de 3 al número siguiente. 8. 18.M
siguiente número. no sumarían el 8 que está en la siguiente posición. ⎠
Lo cual indica el área de la región sombreada. a) 20
3. sin embargo. el número 8. 4. en la mayoría de los
El primer tipo de problemas a resolver tiene que ver con series numéricas. La paciencia en estos casos es fundamental. y se resolverá mediante habilidades y razonamientos matemáticos. 9. en las operaciones básicas.
En seguida los problemas requerirán de mayor concentración ya que los problemas expuestos elevan su nivel taxonómico. es decir.
2.. 19. Es importante señalar que dichas reglas se basan.
29. el 65 que está marcado en el inciso d.67
Números de la serie 3 4 8 9 18 19
Regla para generar la serie 3+1=4 4x2=8 8+1=9 9 x 2 = 18 18 + 1 = 19 19 x 2 = 38
Luego entonces parecería que el número que sigue en la serie sería el producto de 19 y 2. a) 66
. en este caso habrá que multiplicar cada número por 2 y posteriormente. al resultado restarle la unidad. b) 34
La regla parece ser sencilla.
. 5.. 17. 33.M
cual generaría el número 38 que está marcado con el inciso (c).
. según la regla.. 9. esto es: Números de la serie 3 5 9 17 33 65 Regla para generar la serie 3x2=6 5 x 2 = 10 9 x 2 = 18 17 x 2 = 34 33 x 2 = 66 6–1=5 10 – 1 = 9 18 – 1 = 17 34 – 1 = 33 66 – 1 = 65
El número que sigue a 33 es.
que aparece en la respuesta del inciso e. 31. 21. 15. sin embargo para generar el siguiente número la misma regla se hace insuficiente.M
15 x 2 = 30 31 x 2 = 62
Solución: La serie parece obtenerse de manera más sencilla. la suma debería ser la primera opción. así el dato que continua en la serie es el número 63. Así debemos proponer una segunda alternativa que genere el dato indicado según la serie.. a) 60
1. es decir. La primera intención será siempre averiguar si mediante la suma es posible generar el número que sigue a 9 en la serie propuesta. 1x2=2
. ¿Cómo llegar del número 1 al número 3? Según lo expuesto en el problema anterior. 3. 45. ya que 3 + 2 = 5 y deseamos obtener el número 7. 7. en la tabla podríamos escribir los siguientes pasos para obtener el número Números de la serie 1 3 7 15 31 63 Podemos concluir que la regla consistía en multiplicar cada número por 2 y posteriormente agregar el número 1. 21. es claro que la regla inicial podría ser. a) 56 9.. 1 + 2 = 3.c
30.. b) 35 c) 65 d) 64 e) 63
Solución: El análisis en este caso parece ser igual de sencillo que en los casos anteriores..
2+1=3 6+1=7 30 + 1 = 31 62 + 1 = 63 14 + 1 = 15
. b) 54 c) 58 d) 55 e) 57 Regla para generar la serie 3x2=6 indicado en la serie propuesta. 31. Sin más. 33. entonces.
b) 1/81 c) 1/30 d) 1/33 e) 1/35
Solución: Para este caso debemos recordar que la multiplicación de fracciones se hace de la forma
a c ac x = .
. parece que cada número propuesto en la serie se b d bd
1 . Números de la serie 9 21 33 45 57 Regla para generar la serie 9 + 12 = 21 21 + 12 = 33 33 + 12 = 45 45 + 12 = 57
32. 1/27. el cual aparece en el inciso e. a) 1/51
1/3. que es el número que sigue en la serie. 3
Regla para generar la serie
multiplica por la fracción Números de la serie
1 1 1 x = 3 3 9
Así el número que sigue a la serie es 57.M
ic a1 . entonces llegamos al resultado 21. En la tabla. esto es.. 1/9. Particularmente. Para verificar si ese es el proceso indicado entonces habría que sumar 21 + 12 y averiguar si el resultado es 33.c
. la regla que parecería ser correcta indica que a cada número de la serie debe sumarse el número 12 con tal de generar el consecutivo en la misma serie.69
Si sumamos 9 + 12.. En la tabla tendríamos lo siguiente.
3. a) 10 Solución: 2. el número que seguiría a 25 sería 6.
observando detenidamente. 9.c
.70 1 9 1 27 1 81 1 1 1 x = 9 3 27 1 1 1 x = 27 3 81
Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso b. en virtud del mismo orden. la regla parece definirse mediante el enunciado “el cuadrado de”. Hay que notar que los números 2. 4 y 5 tienen una relación de orden. Visualizar cada Números de la serie 2 4 3 9 4 16 5 25 El cuadrado de 5 es El cuadrado de 4 es El cuadrado de 3 es Regla para generar la serie El cuadrado de 2 es
La respuesta correcta es la marcada con el inciso e. b) 18 c) 15 d) 20 e) 25
Parecería ser un poco más complicada la serie propuesta en este caso. 5.
caso a partir una tabla es recomendable. 4.
ic a1 .. 4. de menor a mayor.. lo cual no afecta el resultado. 16. Es decir. agregando siempre la unidad. 3. 33. sin embargo. es sencillo inferir que el número buscado es el cuadrado de 5.
¿Cuánto es la mitad de cuatro. ¿Cuánto es la mitad de cuatro elevado al doble de tres. 17. 19. El siguiente número primo a 23 sería 29. 2 2
36. La coma que aparece indica que debemos separar cada situación para resolver correctamente. 13. 11. b) 31 c) 29 d) 33 e) 26
Solución: Para la serie propuesta debemos observar detenidamente que se trata de una lista ordenada de números primos.M
c) 386
35. La respuesta correcta es la del inciso e. Además la raíz cúbica de 125 corresponde a 5. el número cuatro está elevado a la sexta potencia. es decir. Mantenemos que la respuesta es 29 ya que 29 antecede a 31 y hablamos de una lista ordenada. Por lo tanto la respuesta es la del inciso c.
cúbica de ciento veinticinco? a) 1448 Solución: b) 277
46 4096 −5 = − 5 = 2048 − 5 = 2043 . menos la raíz d) 2048 e) 2043
. la situación numérica que se ha propuesto en el enunciado corresponde a
Según la lectura. 7. puesto que dicho número únicamente se divide entre él mismo y entre la unidad.c o
46 − 5.71
34. ¿31 también es número primo? Si lo es. menos la raíz cúbica de ciento veinticinco? a) 1448 b) 59 c) 386 d) 2048 e) 2043
elevando y reduciendo según se indica se llega al número 2043. 23. 5. a) 25
2. el doble
. elevado al doble de tres. El procedimiento se expone a continuación. Luego. 3.
⎛4⎞ 6 ⎜ ⎟ − 5 = (2) − 5 = 64 − 5 = 59 . generaría el número de partidos ganados. se obtendría la siguiente información. Partidos jugados 22
. Aparece una coma separando cada frase lo cual trae cambios radicales en la solución.57 Solución: b) 51. el cual aparece en el inciso b. que corresponde al doble de 3.17
e) 71. que es 2.63
siguientes 6. Además como se ganaron esos juegos la cantidad de partidos ganados aumentó a 20.72
Parecería que el problema anterior y el propuesto son idénticos. en la tabla. es decir. Un equipo de voleibol lleva perdidos 8 de 22 partidos jugados.85 c) 63. ⎝2⎠
Por lo tanto el número que responde correctamente es 59. 22 – 8. 37. el procedimiento que determina la respuesta es el siguiente. jugados.42
Partidos perdidos 8
La diferencia entre el número de partidos jugados y el número de partidos perdidos.M
ganados y perdidos. Si gana los a) 28. El dato adicional consiste en recordar que en el voleibol no existen
. Posteriormente habría que agregar el dato que menciona que el equipo ganó los siguientes 6 juegos. Partidos jugados 22 + 6 Partidos ganados 14 + 6 Partidos perdidos 8
Evidentemente la cantidad de partidos jugados se debe aumentar en 6 porque los juegos que se ganan se deben de jugar primero. ¿cuál será su porcentaje final de victorias?
Es fundamental ejecutar una tabla de partidos bajo las tres características. De esta forma. que surge de extraer la raíz cúbica al número 125. y por último hay que restar 5. La mitad de cuatro. se podría generar la siguiente tabla. Así. debe elevarse a la sexta potencia. Luego entonces el porcentaje final de victorias se
. según el problema. partidos empatados. 14.c
d) 69. pero no es así.
si su suma es 72 y su producto resulta mayor que 13600? Al mayor de ellos le falta una pierna. es decir. de los tres amigos es cojo. a) 25. pero también. según lo analizado anteriormente. Sin embargo es aún más fácil observar que de aceptar dicha respuesta entonces habría 3 amigos con la misma edad. el producto de las edades resulta ser menor que 13600. 18 x 24 x 30 = 12960.c o
correcto. En el caso del inciso (c). En el primer caso. 25 y 22. (d). lo cual no genera alguna contradicción. lo cual es menor que lo propuesto inicialmente. Queda pendiente analizar los casos (d) y (e). que uno. en la suma 23 + 23 + 26 = 72 se satisface la condición inicial. 24 c) 23. El dato “al mayor de ellos le falta una sólo uno.42 . es claro que la edad del mayor. lo cual aparece en el ⎝ 26 ⎠
Solución: En este caso utilizaremos las respuestas propuestas para generar el resultado formato de pregunta. y sólo uno. lo cual está prohibido porque uno de ellos es mayor. lo cual es indicador para no elegir esa respuesta. 23. Así la repuesta que debemos elegir. ⎜ inciso e. y multiplicando por 100. lo cual implica que el producto entre las edades es mayor que 13600. 38.M
. de ellos es mayor. condición. 22 x 22 x 28 = 13552. en años. en el producto de las edades tenemos que 23 x 23 x 26 = 13754. 24. 24. Por último. entre el total de partidos jugados. ¿Cuáles son las edades. Además el producto entre las mismas edades resulta inciso (a)? Falta una última condición por analizar. El análisis correspondiente al inciso (b) es similar al anterior. esto es. y las edades de los otros dos amigos son 23 y 23 años. 28 e) 18. 22. 25. es decir. Analizaremos la respuesta del inciso (a). 22 b) 24. En el caso (e) el producto. Las edades 25. ¿Debemos marcar la respuesta del pierna” implica que uno. es decir. es 26 años. la suma de las tres edades resulta igual a 72. 28. 20. de tres amigos.7142)(100) = 71. satisfacen esa ser mayor que 13600.73
calcula dividiendo el total de partidos ganados. 30
⎛ 20 ⎞ ⎟(100) = (0. 26 d) 22. es la del inciso (c). 25 + 25 + 22 = 72. es decir. 25 x 25 x 22 = 13750. Dicha respuesta debería generar una suma igual a 72. posteriormente. Así la respuesta del inciso (a) es incorrecta ya que habría dos
. y amigos con la misma edad. lo cual es permitido ya que en cualquier examen de admisión existe el mismo
39. ¿Qué probabilidades existen de que el premio mayor del próximo sorteo de la lotería termine en cero? a) .00 b) .10 c) .25 d) .50 e) .35
Solución: Las posibilidades de que el premio mayor de la lotería termine en cero son 1 de 10. Por definición, la probabilidad de un evento es el cociente entre casos favorables y casos posibles. ¿Cuáles son las posibles opciones en el último número cuando se juega a la lotería? La respuesta son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, es decir, hay 10 casos Esto es un décimo o uno de cada diez, lo cual se indica en el inciso b. posibles por uno favorable, el que pide que el número que salga en la última posición sea 0.
ganancia del 10%. Si el señor B lo vende al señor A con una pérdida del 10% a) A no gana algo b) A no gana nada c) A gana $ 100 d) A gana $ 1000 e) A gana $ 900 Solución: Cuando el señor A vende su auto, con ganancias del 10%, está vendiendo en $ 11000. Eso significa que lleva ganados $ 1000. Sin embargo cuando el señor B lo regresa al señor A perdiendo el 10%, B habrá vendido en $ 9900, ya que el 10% de $ 11000 son $ 1100. Esto último significa que el señor A ganó $ 100 pesos más, ya que su auto originalmente estaba valuado en $ 10000. Así el señor A gana $ 1100, respuesta que no aparece en alguna casilla. Debemos analizar cuidadosamente el par de respuestas marcadas con los incisos a y b.
40. El señor A tiene un auto que vale $10000. Lo vende al señor B con una
En el inciso b, la frase A no gana nada es la que debemos marcar como correcta. El análisis es el siguiente. En la frase “el señor A gana nada” debemos entender que “el señor A gana cero”, pero a dicha frase le antecede una negación, por lo tanto debemos entender que "el señor A no gana cero”, lo cual es cierto, el señor A no gana cero, de hecho, el señor A gana $ 1100. La teoría dice que la negación de una negación es la afirmación del contenido, esto implica que la frase propuesta en el inciso b, se traduciría como “el señor A gana algo”, de hecho gana $ 1100. La respuesta correcta es la del inciso b. 41. En una tómbola todas las esferas son rojas excepto tres, todas las esferas son azules excepto tres, y todas las esferas son amarillas excepto tres. ¿Cuántas esferas hay en la tómbola? Nota: La última esfera es transparente
número de esferas rojas en la tómbola. En el siguiente enunciado se definen como 3 el número de esferas azules y ya no quedaría lugar para las esferas amarillas. Son 3 las esferas rojas, 3 las azules, formarían 6. Analizaremos ahora la respuesta marcada en el inciso a. Parecería que el número de esferas rojas es 1, el número de esferas azules es 1 y que el número de esferas amarillas es 1 también. Todas excepto tres, genera la diferencia entre 4 y 3, que es 1. Es claro que la última esfera es a la que hace referencia la nota. Por lo tanto el número de esferas en la tómbola es 4. La respuesta correcta es la del inciso a. 42. En un zoológico hay 40 animales. Se sabe que por lo menos uno es hembra y que de cada dos animales por lo menos uno es macho. ¿Cuántos de los animales son machos? a) 1 Solución: b) 19 c) 20 d) 21 e) 39
la tómbola. La frase inicial, “todas las esferas son rojas excepto tres”, define como 3 el
Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso d, es decir, hay 6 esferas en
Imaginemos los 40 animales. La frase “por lo menos uno es hembra” significa que hay una hembra pero que podría haber más, de hecho podrían ser 40 hembras, no se ha dicho lo contrario. Sin embargo, poco después dice que en cada pareja de animales por lo menos hay un macho, ¿puede entonces haber 2 hembras? La respuesta es no. De permitir dos hembras en el zoológico entonces esos animales podrían formar una pareja de hembras, lo cual está prohibido ya que en cada pareja por lo menos uno es macho. Ahora ¿podría haber 3 o más hembras?, evidentemente si permitimos la existencia de más hembras entonces podrían formarse varias parejas de hembras lo cual no es posible por la segunda condición del problema. Luego entonces, el número de hembras es 1, lo cual indica que el resto son machos, es del inciso e. decir, hay 1 hembra y 39 machos en el zoológico. La respuesta que debemos marcar es la
43. En una clase hay 47 alumnos. Se sabe que por lo menos hay una niña y en distintas se puede elegir una pareja en la que haya una niña y un niño?
Nuevamente la labor inicial consiste en imaginar la situación planteada. Se sabe que por lo menos hay una niña y esto implica que hay una niña pero que podría haber más, por lo menos es una. De manera similar al problema anterior, ¿podría haber dos niñas? La respuesta es no, recordemos que en cada par debe haber por lo menos un niño. De permitir dos niñas en el grupo, ellas, podrían formar una pareja en donde la condición de “por lo menos un niño” no se cumpla. Es claro que no pueden ser ni 3 ni más niñas porque se formarían varias parejas de niñas lo cual no es permitido. Así, en el grupo hay 1 niña y el resto, 46, son niños. Pero el problema radica en determinar la cantidad de parejas diferentes que se pueden formar con 1 niña y 46 niños. La respuesta es 46 puesto que cada niño formaría una pareja diferente con la niña del grupo. Inciso c.
cualquier par de alumnos hay por lo menos un niño. ¿De cuántas maneras d) 69 e) 92
De hecho. María termina con 80 pesos en la bolsa. ¡Contradicción!. posteriormente pierde 40 pesos quedándole un total de 80 pesos. de $ 120. Si aceptamos como correcta la respuesta del inciso b entonces María tendría $ 40 más el triple de lo que tenía. lo cual quiere decir que la respuesta correcta no es la del inciso b. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que 20 que no es primo? a) 19/6 b) 17/6 c) 15/2 d) 5 e) 5/2
x + 3 x − 40 = 80 . 45. pudimos haber planteado este problema mediante la ecuación Resolviendo dicha ecuación tendríamos. habría que comprobar que la diferencia entre $ 120 y $ Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso d. ¿cuánto dinero tenía María al principio? a) $ 20 Solución: Analicemos algunas de las respuestas. $ 120. Luego. En un segundo intento analizaremos la respuesta del inciso d. por lo tanto después de haber ganado tendría $ 160. María tenía $ 30 como se indica en el inciso d. lo cual implica que María tendría la suma 40 sea lo que le quedó. fácilmente. lo cual asegura la respuesta. un total de $ 80 pesos. b) $ 40 c) $ 50 d) $ 30 e) $ 60
4 x − 40 = 80
4 x = 80 + 40
Lo anterior solo es un método alterno para hallar la solución. Parecería que de $ 30 iniciales el triple es $ 90. en donde. Posteriormente María pierde $ 40 lo cual hace una diferencia de $120. como pierde $ 40. x sea el dinero que tenía María en un principio. María apuesta su dinero y gana el triple de lo que tenía.
10 personas fueron a la reunión. lo cual debería ser igual a 45. Por lo tanto la respuesta no es la del inciso d.c
. que aparece en el inciso e. advirtió que hubo 45 apretones de mano. 5. efectivamente. entonces supondremos que la respuesta es mayor que 9. 15 y por supuesto es impar. generando el número 5 y su mitad correspondería a la fracción 5/2. Además la tercera parte de 15 resulta de dividir 15 entre 3. 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. pero no es así. si la respuesta fuese la marcada con el inciso d entonces. 17 también es primo y 16 es par. el sexto invitado
en octavo lugar daría 7 apretones de mano.
lugar daría 8 apretones de mano. el quinto a 4 y así sucesivamente. 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. la suma resulta ser 36. el noveno a 8.M
Así. el anfitrión. debería ser igual a 45. ¿cuántas personas asistieron a la reunión? a) 10 Solución: b) 12 c) 11 d) 9 e) 8
Esto indica que deberíamos sumar los apretones que cada invitado da cuando llega a la reunión. puesto que no se saluda a él mismo. Resolviendo la suma es posible determinar que. el invitado que llegó en séptimo lugar saludaría a 6 personas. ya que es primo. es decir.78
Solución: El número impar menor que 20 que no es primo no puede ser 19. 46. así que pensemos en la opción marcada con el inciso a. puesto que se divide entre 1.
saludaría a 5 personas. el octavo a 7. Debemos marcar la respuesta del inciso a. Si 10 personas fueron a la reunión entonces el décimo invitado saludó a 9 personas. Como la sumatoria es menor que el total de apretones requerido. puesto que aún no estaba presente el noveno. tampoco puede ser 18 puesto que es par.
. En una reunión. Así el número impar menor que 20 que no es primo es 15. esto es. El invitado que llegó
Si aceptamos la respuesta del inciso d entonces el invitado que llegó en el noveno
. y así sucesivamente. 3.
76 m. se involucra velocidad. Así la velocidad de Paco es 9. es decir. sin más d = vt .6. habrá que generar una expresión para encontrar dicha variable. pero ganó $ 10. la fórmula general de dicho desplazamiento corresponde a la expresión v = distancia y tiempo respectivamente.c
Km/hr.79
47. es decir. 77 metros b) 7. En este caso.7 metros
no cambia. d = (9. el tiempo que Paco viaja es el mismo en el que Jesús carga su pistola. que surge de restar los $ 10000 iniciales y $ 7200. Cuando Ramiro salga de la cárcel le quedarán $ 2800.72 m/s. en donde. Por otra parte la velocidad de Paco. 8 segundos.
w . 48. Si la esposa gasta $ 100 al mes entonces después de ese tiempo habrá gastado $ 7200 pesos. sustituiremos en la ecuación d = vt en donde los datos son ya conocidos. Ramiro fue condenado a 6 años por asesinato.72m / s )(8) = 77. como el dato buscado corresponde a la distancia. ¿cuánto dinero le quedará cuando salga de la cárcel? a) $ 0 b) $ 280 c) $ 2800 d) $ 3600 e) No se puede saber Solución: En 6 años el número de meses que transcurre es de 72. Por aproximación el dato que resulta es similar al que aparece en el inciso a. Por último.77 e) 280 kilómetros
Debemos recordar que dentro de la física hay un movimiento denominado MRU.
. 35 km/hr. Ahora bien. deberá transformarse al sistema internacional dividiendo dicho valor entre 3.000 por el "trabajo". Inciso b. Jesús carga su 357 mágnum en 8 segundos. t
. ¿Qué tan lejos va a estar
77. Paco se va en friega con la bicicleta a 35 Paco cuando Jesús le dispare? Nota: Paco viaja en línea recta y su velocidad
a) 77. Si su esposa legítima gasta $100 al mes. que es la respuesta que debemos marcar en este problema. Paco se robó la bicicleta de Jesús. en el cual la velocidad es constante y la trayectoria es una línea recta.77 metros
c) 777.M
por lo tanto la nueva suma correspondería a 232.80
La respuesta del inciso d es incorrecta pues las unidades deben ser metros y no kilómetros. 50. 70 + 35 + 28 + 7 = 140
Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso c. 140 canicas. 35. Algebraicamente podría resolverse el problema a partir de la ecuación variable representa la cantidad de canicas. a otro una cuarta parte.
. 49. al segundo corresponde a 28 y al último niño le tocan 7. Si quitamos el número 68 de ese conjunto entonces la media aritmética de los restantes es: a) 7 Solución: Se tienen 30 números en un conjunto.c om
x x x + + + 7 = x en donde la 2 4 5
300 = 10 . El número total de canicas es: a) 100 Solución: Procederemos analizando las posibles opciones de respuesta. Cuatro niños se dividen una bolsa de canicas. b) 120 c) 140 d) 180 e) 250
Según el enunciado. a uno le toca la mitad. La media aritmética de un conjunto de 30 números es 10. ya que b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
Si la respuesta es correcta entonces la sumatoria de los datos anteriores debe ser 140. 70. es decir. El promedio. Así el número de canicas sería 140. o media aritmética. ahora si las condiciones del problema se cumplen. es decir. es. 30
El enunciado indica que se debe eliminar del conjunto de 30 números el 68. lo cual indica que la sumatoria del total de números debió haber sido 300. al tercero una quinta y al último le tocan 7. esto
. al tercer niño le toca una quinta parte que
Elegiremos a la respuesta del inciso c. es 10. Verificaremos
. al primer niño le toca la mitad de canicas.M
niño le toca una cuarta parte.
5 metros. que resulta de dividir el número de horas.66 m Solución: En el primer rebote la altura alcanzada por la pelota es de 0.c
. ¿Qué diferencia habrá entre los dos relojes a las 9 a. del día siguiente? a) 3 minutos Solución: b) 8 minutos c) 13 minutos d) 15 minutos e) 18 minutos
que se habrá adelantado 9 minutos en total. 2. si el primer reloj se adelanta un minuto cada dos horas significa
El número de horas que transcurre entre las 3 de la tarde y las 9 de la mañana del
. marcando las 8:54 a. 29
corresponde a 8. es decir. El primero se adelanta un minuto cada dos horas y el segundo se atrasa un minuto cada 3 horas. ¿Qué altura alcanza la pelota al cuarto rebote? a) 26.11 m El segundo reloj se atrasa un minuto cada 3 horas lo cual implica que después de 18 horas
. b) 22. Una pelota se deja caer desde una altura de 30m. La respuesta correcta es la del inciso d. de cierto día. Por lo tanto el primer reloj marcará las 9:09 a.75 es equivalente a la fracción ¾.m.m. Luego.M
día siguiente es 18.75)(30) = 22.81
Para calcular el promedio de los números restantes tendremos que dividir 232 entre 29 ya que es la cantidad de números bajo la eliminación del 68.75 veces la altura inicial. La diferencia entre ambos relojes sería de 15 minutos. La cantidad 0. y el número de minutos.49 m e) 7.87 m d) 9.50 m c) 16.m. 30 metros. y así sucesivamente. que es la respuesta correcta y que aparece marcada con el inciso b. al segundo rebote alcanza una altura ¾ veces la altura del primer rebote. 18. Dos relojes se pusieron en hora a las 3 p. 51. Al primer rebote alcanza una altura ¾ veces de la altura total.
232 . se habrá atrasado por 6 minutos. Esto significa que la altura del primer rebote fue (0.m. 52.
lo cual genera el número 50 que aparece en el inciso d. es decir. la altura será 0.M
En este caso podemos plantear de manera simple una regla de tres directa.75)(12. 4 10 20
Para resolver. Posteriormente la mitad de la raíz cúbica de 1000. Es importante señalar que el rebote varía en relación a la altura del rebote anterior.
. La altura del tercer rebote será (0. y la altura del cuarto y último rebote será (0.5. 53. El proceso deberá repetirse hasta llegar al cuarto rebote.c
.75)(16. ¿Cuánto valdrá A. es 5. debemos multiplicar 10 y 20 y en seguida dividir el resultado entre 4. 54. si B vale 10? a) 2 Solución: b) 8 c) 25 d) 50 e) 100
Representaremos con x a la incógnita que hace referencia al valor de A. Para resolver el problema debemos hallar la cuarta potencia de 5.5) = 16.75 veces la altura del primer salto. es decir. 22. Por lo tanto la respuesta correcta es la que aparece en el inciso a. que corresponde a multiplicar 5 x 5 x 5 x 5 = 625.82
En el segundo rebote el mecanismo es similar. A = 20. La cuarta potencia de la mitad de la raíz cúbica de 1000 es a) 625 Solución: Para comprender este problema debemos aceptar que la raíz cúbica de 1000 es 10.87 metros. La altura del segundo rebote será de (0.49 metros.65 metros.75)(22. que aparece en el inciso d.875) = 12. El valor de B varía en proporción directa con el de A. cuando B = 4. b) 825 c) 925 d) 525 e) 725
.656) = 9.
4 min. obteniendo las siguientes mediciones: 3 min.16 min b) $ 300 c) $ 3000 d) $ 1500 e) $ 2600
w . Si el vestido costó el doble que el pastel.8 + 2. La quinta parte de $ 3000 es $ 600 y la mitad de $ 600 es $ 300. aceptaremos la respuesta del inciso a.75 + 2.05 + 2.83
55. ¿Cuál puede pertenecer a la lista?
. En una boda el novio juntó en su saco la mitad de la quinta parte de lo que gastó en el pastel y en el vestido de la novia. En una fábrica de camisas se establece que el promedio para que las ingeniero industrial realiza un estudio de tiempos y movimientos a 6 2. cuando este último tuvo un valor de $ 1000. Un
d) 2.00 15 = = 2.50 min. ¿cuánto junto el novio? a) $ 400 Solución: Es sencillo saber que el vestido costó $ 2000. Considera la lista: 289.20 min.M
rebasar el promedio establecido?
c) 2. ¿Cuál debe ser el tiempo de la sexta costurera para no a) 2. de hecho rebasará el establecido. 244. Como debemos hallar el tiempo para no rebasar el promedio supondremos que la posible solución deberá ser la menor de los propuestas. es decir. lo cual no es deseado. y el pastel costó $ 1000.05 min. 2.
. 56. 25. se verificará a continuación si es o no la correcta.75 min. puesto que su valor fue el doble del pastel. 169.
e) 2. 36. 144.40 min. Lo cual aparece en el inciso b.8 min.4 + 2. 49. Entonces la cantidad que representan el pastel y el vestido juntos es de $ 3000.5 6 6
Si sustituimos algún tiempo mayor al propuesto en el inciso a entonces el promedio aumentará. 121. 2.00 min Solución: b) 2.5 minutos por prenda. Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso a.
Pr omedio =
3 + 2.c
costureras peguen los botones debe ser de 2. De los números: 119. 2. 57.
El promedio se obtiene sumando el total de datos y dividiendo entre el número de ellos.
es decir. que es 169. lo dividen el 1. el número que sigue es el marcado en el inciso d.c
. 49 7 es primo. 58. Números de la serie 289 Regla para generar la serie 289 es el cuadrado de 17.M
121 es el cuadrado de 11
5 es primo. Las condiciones expuestas en la anterior tabla argumentan la respuesta. los números 1 y 11 son sus únicos divisores.
. tendríamos que 6 no es primo. 17 es primo ya que únicamente se divide entre la unidad y él mismo. los números 1 y 7 son sus únicos divisores. Queda en el lector averiguar porqué no son posibles las respuestas de los incisos c y e. 169 es el cuadrado de 13 y además 13 es primo. los números 1 y 5 son sus únicos divisores. Aunque 36 si lo es. 25 es el cuadrado de 5 b) 36 c) 244 d) 169 e) 144
El siguiente número no podría ser 119 puesto que no es un cuadrado de algún número. En la lista. En este caso la serie consiste de números primos cualesquiera elevados al cuadrado. ¿Cuál de los siguientes números no tiene un número primo de divisores enteros positivos? a) 3 Solución: b) 5 c) 16 d) 40 e) 49
11 es primo. La respuesta correcta es la del inciso d. los números 1 y 13 son sus únicos divisores.
. 2. 49 es el cuadrado de 7. 3 y el propio 6.84
a) 119 Solución: Los casos suelen complicarse y abarcar varios conceptos matemáticos.
2. Junto a cada número se indica la cantidad de cifras que en él ocupan el mismo lugar que en otro número oculto. En otras palabras al 40 lo dividen 8 números y 8 no es primo.c
Si Si N0 Si
La tabla muestra que el 40 es el único número de los propuestos que no cuenta con un número primo de divisores. Ahora bien. 7. 20. 2.85
El enunciado menciona al conjunto de los números primos. 8
. La tabla siguiente nos permitirá comprender de mejor manera tal enunciado. que según el problema anterior son aquellos que cuentan con dos divisores únicos y diferentes a saber. Números propuestos ¿Quiénes son todos ¿Cuántos sus divisores? 3 5 16 40 49 1. la unidad y el propio número. 4. Con base en esa información descubra ese número entre las opciones.M
1. para resolver el problema es conveniente analizar que se está en búsqueda de un número que NO tenga un número primo de divisores enteros positivos. Por lo tanto la respuesta correcta es la del inciso d. 49
. 59. ¿es primo? Si
om a1 . 8. 5 1. 3 1. 16 divisores? 2 2 5 son sus El número de
divisores. 01234 56784 94814 94186 (3) (2) (2) (2)
1. 4. como se pide en el enunciado. 5. 8. 10.
tendríamos que hallar dos cifras que ocupen la misma posición en el
. 91284.M
posición respectivamente. dado que es el único que satisface las condiciones del problema. Por lo tanto el número oculto según la codificación propuesta sería 91284. Por último es sencillo observar que el cuarto dato y el número propuesto comparten en la misma posición un par de números que son el 9 que aparece en la primera posición. tendríamos que en el tercer dato los números 9 y 4 aparecen en la primera y última posición respectivamente.
. que dichas cifras serían 1. Esto es. Lo cual indica que se satisface la condición de tener 2 cifras en la misma posición.
Para el segundo dato. y que ocupen la misma posición que el número que se presenta como dato inicial. es decir.86
a) 91284 Solución: Haremos el análisis del problema en virtud de las soluciones propuestas. Del número 0 1 2 3 4 b) 01284 c) 01264 d) 01714 e) 31714
aparecen 3 cifras en el número oculto ocupando la misma posición. tercera y quinta
Las posiciones cuarta y quinta están ocupadas por las mismas cifras. Respuesta inciso a. y el 8 que aparece en la cuarta.
dato original y en el número oculto. En el caso del inciso a debemos hallar 3 números que aparezcan en el número oculto. según se observa 8 y 4. Si el número oculto es el del inciso a 9 1 2
a1 . 2 y 4. Que aparecen en la segunda. La tabla nuevamente nos permite visualizar tal situación.
es evidente. Continuando con el análisis de la respuesta del inciso a.
para hallar el número que ocupa el lugar 100 de la sucesión multiplicamos 5 por 99 y le sumamos 4. ocupando el tercer lugar de la serie..
Luego podríamos construir la tabla siguiente
9 = 5(1) + 4. obteniendo así 499.. 24. Evidentemente Por otra parte debemos observar que para encontrar el segundo número es posible escribir generar 14 tendríamos que 14 = 5(2) + 4. 19. Para responder al número que ocupe la posición 100 de la serie existirían dos mecanismos. La regla que encontramos exige restarle uno al número del lugar que ocupa el que estamos buscando. La regla parece ser “suma 5”. si a cada número de la lista se le agrega 5 entonces el resultado será el número consecutivo en la sucesión. De la misma forma. esto sería tardado pero tendría un alto grado de efectividad.. 100
Lugar que ocupa en la serie
.. 9.. el cual ocupa el segundo lugar de la serie. Por lo tanto la respuesta aparece marcada con el inciso a.. En el primero se construye una tabla generando cada uno de los números.
Regla para generar la serie 9 = 5(1) + 4 14 = 5(2) + 4 19 = 5(3) + 4 24 = 5(4) + 4 29 = 5(5) + 4 x = 5(99) + 4
. es decir. De la siguiente sucesión: 4. para
Sabiendo lo anterior. que b) 444 c) 599 d) 549 e) 694
4 9 14 19 24 29 . 14.c o
2 3 4 5 6 .87
60. ¿Qué número ocupará el lugar 100 de la sucesión? a) 499 Solución: Debemos determinar el procedimiento que permite construir la sucesión y así conocer el número que ocupará el lugar número 100.
¿en qué canal quedará la televisión cuando se detenga? a) 41 Solución: Para que Alejandra llegue por primera vez al canal 2. Por lo tanto. En la televisión de Alejandra se reciben los canales del 2 al 42. 2x. es necesario que apriete el botón 28 veces. por lo tanto 6
n = 6 . de donde se desprende que
. correspondería a la expresión b) 6 c) 4 d) 8 e) 9
⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎝ 3 ⎠⎝ 2 ⎠
algebraica que sintetiza el enunciado. La respuesta correcta aparece en el inciso d.M
Sea x la edad de Emigdio. a) 5 Solución: Sea n el número buscado. si aprieta el botón 39 = 518 – 479 veces llegará al canal 41. Alejandra debe apretar el botón 41 veces.
edad de Emigdio.c o
62. b) 42 c) 23 d) 35 e) 39
el valor de x es 15. Así. Así ⎜ ⎟⎜ ⎟ = n . Por otra parte. cada vez que da una vuelta completa iniciando en el canal 2 hasta el canal 42 y terminando otra vez en el canal 2.
mayor que el doble de la edad de Emigdio. por lo que n 2 = 6n . Entonces tendremos que 45. El papá de Emigdio tiene 45 años. después 28 + (41 x 11) = 479 veces que aprieta el botón estará en el canal 2.88
61. la edad del papá. Inciso a. Entonces. Ahora. Si Alejandra enciende la televisión en el canal 15 y aprieta 518 veces el botón para subir canales. ¿Cuántos años tiene Emigdio?
63. la televisión quedará en el canal 41. Inciso b. es 15 años
. Es quince años mayor que dos veces la e) 18
. Encuentra un entero positivo tal que el resultado de multiplicar su mitad y su tercera parte sea él mismo. 45 = 15 + 2x. Luego
n2 = n .
puesto que ellos formarían una terna de aprobados.5 cm2 d) 224. 66. ¿Cuánto medirá el área de un triángulo con base igual al lado y altura equivalente a 1/5 del lado? a) 122. todas las esferas son azules excepto tres. y el resto están reprobados.5 m2 e) 422. d) 2 e) 10
. Inciso e. La frase inicial. Se sabe que por lo menos dos están ¿Cuántos de los alumnos están aprobados?
No podría haber en el salón tres estudiantes aprobados. Respuesta del inciso d. En una tómbola todas las esferas son rojas excepto tres. lo cual nos genera que el lado del cuadrado mide 65 metros.5 metros cuadrados. El área de un cuadrado mide 4225 metros cuadrados. En un salón hay 20 estudiantes. lo cual es 13 metros.5 m2
65. para calcular el área del triángulo debemos saber la medida de su base y de su altura.M
aprobados y que de cada tres estudiantes por lo menos uno está reprobado. mientras que se condiciona que por cada tres estudiantes al menos uno esté reprobado. ¿Cuántas esferas hay en la tómbola? Nota: La última esfera es transparente a) 4 Solución: Supondremos que la respuesta correcta es la del inciso d. “todas las esferas son rojas excepto tres”. y todas las esferas son amarillas excepto tres. define como 3 el número de esferas rojas en la tómbola. Lo anterior permite asegurar que sólo hay 2 estudiantes aprobados.c
bxh 65 x13 = = 422. El lado es igual a 65 metros mientras que la altura equivale a 65/5. Por su parte. El área del triángulo corresponde a A = b) 522 m2 c) 422. es decir.89
64.5 m2 Solución: Para obtener la medida del lado deberíamos extraer la raíz cuadrada del número 4225. hay 6 esferas en la tómbola. En el siguiente enunciado se definen como 3 el b) 3 c) 8 d) 6 e) 2
es decir.m. Todas excepto tres. Por lo tanto la respuesta no es la del inciso d. de cierto día. Resolviendo la suma es posible determinar que. Parecería que el número de esferas rojas es 1.c o
lugar daría 8 apretones de mano. el onceavo a 10. y así sucesivamente. esto es. En una reunión todos los asistentes se saludaron entre sí. ¿Qué diferencia habrá entre los dos relojes a las 9 a. Como la sumatoria es menor que el total de apretones requerido. puesto que aún no estaba presente el noveno.90
número de esferas azules y ya no quedaría lugar para las esferas amarillas. 12 personas fueron a la reunión. ¿Cuántas personas había ahí. Es claro que la última esfera es a la que hace referencia la nota. que es 1. pero no es así. genera la diferencia entre 4 y 3. El primero se adelanta un minuto cada dos horas y el segundo se atrasa un minuto cada 3 horas. 68. entonces supondremos que la respuesta es mayor que 9. el quinto a 4 y así sucesivamente. Por lo tanto el número de esferas en la tómbola es 4. El invitado que llegó
Así. 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. Si 12 personas fueron a la reunión entonces el doceavo invitado saludó a 11 personas. Debemos marcar la respuesta del inciso a. Dos relojes se pusieron en hora a las 3 p. la suma resulta ser 36.
. el sexto invitado
en octavo lugar daría 7 apretones de mano. 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1. lo cual debería ser igual a 66. puesto que no se saluda a él mismo. si la respuesta fuese la marcada con el inciso d entonces. debería ser igual a 66. si en total se dieron 66 saludos? a) 10 Solución: b) 12 c) 11 d) 9 e) 8
Esto indica que deberíamos sumar los apretones que cada invitado da cuando llega a la reunión.m. el décimo a 9. el invitado que llegó en séptimo lugar saludaría a 6 personas. así que pensemos en la opción marcada con el inciso b. efectivamente. 3 las azules. el número de esferas azules es 1 y que el número de esferas amarillas es 1 también. Analizaremos ahora la respuesta marcada en el inciso a. Son 3 las esferas rojas. del día siguiente?
saludaría a 5 personas. La respuesta correcta es la del inciso a. formarían 6.
C. En el hipódromo se sabe que: Negro es más veloz que Palomino lento que Palomino b) 8 minutos c) 13 minutos d) 15 minutos e) 18 minutos
Negro es más lento que Melodía. Melodía.c
Asignaremos letras para cada caballo. 18. pero a diferencia de Negro. y el número de minutos. La diferencia entre ambos relojes sería de 15 minutos.m. Por otra parte. y Azabache. y
a) Palomino y b) Azafrán Solución:
¿Cuáles son los dos caballos más lentos?
. pero más P > A > C
. que resulta de dividir el número de horas. El segundo reloj se atrasa un minuto cada 3 horas lo cual implica que después de 18 horas se habrá atrasado por 6 minutos. si el primer reloj se adelanta un minuto cada dos horas significa que se habrá adelantado 9 minutos en total. Luego. marcando las 8:54 a. La respuesta correcta es la del inciso d. es más
. Por lo tanto el primer reloj marcará las 9:09 a. 2. Az. A. Palomino será P. según la información que aparece en el problema se puede generar una relación de orden de la siguiente manera. Cubilete. así Negro será N. Frase Negro es más veloz que Palomino lento que Palomo Nubio es más lento que Melodía Cubilete es más veloz que Azabache N<M C > Az Interpretación N>P
Azafrán es más veloz que Cubilete. Azafrán.M
Cubilete es más veloz que Azabache y c)
Azabache y d) Cubilete
Azafrán es más veloz que Cubilete.91
a) 3 minutos Solución: El número de horas que transcurre entre las 3 de la tarde y las 9 de la mañana del día siguiente es 18. M. 69.m.
el valor de una alcachofa.60 la docena de alcachofas. que aparece en el inciso d. tales que su suma sea 695? a) 128 Solución: Algebraicamente. sin embargo cuando llegaba la noche.3. por lo tanto saldrá en a) 3 días Solución: A partir de la lectura se puede inferir que el caracol. Sin embargo estamos en búsqueda del tercero de cinco números consecutivos. El argumento es el siguiente.c
e) $144
. lo cual se reduce a la igualdad Resolviendo dicha ecuación tendríamos que x = 137. que aparece como respuesta en el inciso d.M
. Un caracol está en el fondo de un pozo de 12 metros y decide salir. 71. cada día subía 3 metros. 70. agregando la unidad. Luego. el caracol lograba elevarse 5 metros. x + 1. Un comerciante decidió vender a $15. 139. Cuando se suman todos los números el resultado debe ser igual a 695. Así el valor de la alcachofa será de $1. mediante una regla de tres directa. Cuando había luz natural. cinco números enteros consecutivos serían x. los dos caballos más lentos son Cubilete y Azabache. Cuando la clienta decide comprar 100 alcachofas deberá pagar $ 130. ¿Cuánto a) $ 86 Solución: Obtendremos. 72. que aparece en el inciso e. x + 2. Cada b) 5 días c) 4 días d) 2 días e) 6 días b) $ 112 x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 695 b) 134 c) 139 d) 140 e) 145
cobró a la clienta que compró cien alcachofas?
. x + 4.92
Esto último implica que M > N > P > A > C > Az. x + 3. Por el día sube 5 metros y por la noche baja 2 metros. descendía 2 metros según la lectura. ¿Cuál es el tercero de cinco número enteros consecutivos. el mismo. en donde si el primero es 137 entonces el tercero será.
lo cual indica que. al día en realidad el caracol logra elevarse la diferencia entre los datos anteriores. Un hombre tiene 20 años más que su hijo y en 5 años su edad será el triple
. el doble de horas. esto se observa de mejor manera en la siguiente tabla. es decir. ¿Cuál es la edad actual del padre? a) 30 Solución: Sea P la edad del padre y H la edad del hijo. Número de días 1 día 2 días 3 días 4 días Altura alcanzada cada día 3 metros 6 metros 9 metros 12 metros
que la de su hijo.
cual. entonces cuando el número de horas sea 48. 12 metros.c o
. se tiene el sistema de ecuaciones: H + 20 = P 3H + 15 = P + 5 Que encuentra soluciones en H = 5 y P = 25. entonces el número de metros será el doble también. Si cada 24 horas el caracol logra elevarse 3 metros. 3. es decir. para lo cual debemos considerar la altura del pozo. llegará a los 12 metros de altura que es precisamente la altura del pozo.M
Así la respuesta que debe marcarse como correcta es 4 días. inciso (c).93
24 horas sucede que se eleva 5 metros y baja 2. b) 5 c) 25 d) 40 e) 34
73. Entonces si el padre tiene 20 años más que el hijo: H + 20 = P Y si en 5 años más la edad del padre será el triple que la del hijo: 3 (H + 5) = P + 5 Por lo tanto. Ahora el problema consiste en determinar el número de días en los cuales el caracol saldrá. según lo anteriormente expuesto.
Dada esta información es simple observar que cada día el caracol se eleva 3 metros por lo
. el día 4.
76 c) 5.80
uno de los restantes. El promedio del curso fue: a) 5.52 d) 5. b) 6 c) 10 d) 11 e) 15
75. Terminando el evento. para dividir dicha suma entre el total de estudiantes que fue de
Para generar el promedio fue necesario sumar cada calificación según el número de
. por lo tanto hay que ponderar cada promedio por el número de alumnos que lo tuvo. 25 alumnos obtuvieron 5.2) + (20 ⋅ 5. regalo 10 veces.7) + (5 ⋅ 6. cada persona entregó (n-1) regalos.7 y los demás promedio de 6. es decir. En una celebración cada uno de los asistentes entregó un regalo a cada
w .2 de promedio.4. y así sucesivamente. es decir: b) 5. con lo cual el número de regalos contados fue de: n(n – 1)= 110 n2 – n – 110 = 0 de donde la solución positiva de dicha ecuación sería 11.60 e) 5. Inciso d.c o
(25 ⋅ 5.52 50
ocasiones que se apareció. En un curso de 50 personas.7 Solución: Se pide el promedio del curso. Inciso c. se habían contado un total de 110 regalos. Cada una de ellas entregó un regalo a cada una de las restantes (nadie se autorregaló ). 74. el total de personas que asistió a la celebración es de 11.52.94
Sin embargo la pregunta es ¿cuál es la edad actual del padre? A lo cual debemos responder 25 años. El resultado obtenido indica 5. lo mismo que hizo la persona 10. Así la persona 11. lo cual aparece en el inciso c. El número de personas que asistió a la celebración fue: a) 5 Solución: Supongamos que a la celebración asistieron n personas.4) = 5.M
50. 20 alumnos obtuvieron promedio de 5.
¿Cuántas descendientes tiene la señora González? a) 95 Solución: La señora González tiene 5 hijas y como cada hija tiene 4 hijas entonces. P + Q = 1 a) Sólo i Solución: Veamos cada caso para así poder determinar cuál de ellos se cumple según las condiciones del problema. la respuesta es la del inciso e. tienen 5 + 20 + 60 = 85 descendientes. Para el segundo y tercer punto la situación es aún más clara puesto que P debe ser. que debe ser. Q ≤ 1 d) Sólo ii y iii e) i. debe ser claro que México puede clasificar al mundial o puede ii. según el teorema de Bernoulli y la deducción anterior deberá ser 1. la señora deberá tener 60 bisnietas. Consecuentemente. Lo cual satisface el primer punto. Según uno de los teoremas de Bernoulli para la probabilidad. según
76. 77. Es importante señalar que ambos casos se acotan por sí solos puesto que hablamos de probabilidad. P ≥ 0 b) Sólo ii c) Sólo i y ii iii. b) 65 c) 45 d) 85 e) 90 evento seguro es la unidad. cada una de ellas tiene 4 hijas y cada una de ellas tiene 3 hijas.M
definición estrictamente mayor o igual que cero.c
. un evento es mutuamente excluyente si la ocurrencia del evento preliminar no incide en la ocurrencia de un evento secundario. si ocurre P no pasa algo con Q. es decir. Luego. ii y iii
. esto es. Debemos señalar como respuesta la del inciso d. Luego. la señora tendrá 20 nietas. mediante un argumento similar. Lo mismo Q. Si P representa la probabilidad de que México clasifique para el próximo Mundial de Futbol y Q la probabilidad de que no clasifique. según definición. Por otra parte la probabilidad de un no clasificar. Así la suma de los eventos P y Q. estrictamente menor o igual que 1. entonces: i. P no puede ser 2 porque en probabilidad siempre estaremos entre 0 y 1. La señora González tiene 5 hijas.
¿Cuál fue el número que marcó? a) 30 Solución: Supongamos que el número que marcó Renata es 10a + b y que el resultado que obtiene al final es 10c + 5. a = 3. lo multiplica por 3.8 mg c) 12 mg d) 30 mg e) 48 mg Si c = 3. De leche contiene: Sodio: 48 mg. Renata marca un número de dos dígitos en su calculadora. luego la única solución es 31. Calcio: 128 mg. Como 30a ≤ 270. si c = 2. le suma 12 y divide el resultado entre 7.c
. 79. a = 16/3 que tampoco es entero. si c = 1. tenemos que c ≤ 3. que aparece en el inciso e. El número resultante es de dos dígitos y termina en 5. En una caja de Leche se lee la siguiente información nutricional: “Cada 100 ml. si 100 ml de leche contienen 12 mg de magnesio entonces.” ¿Cuánto magnesio contiene una taza de leche de un cuarto de litro? a) 0. La respuesta correcta es la del inciso d. entonces se reduce la ecuación a 30a = 70c + 20. Potasio: 165 mg. b) 4. ¿cuánto magnesio habrá en 250 ml de leche? El resultado es 30 mg de magnesio. El mecanismo para hallar solución a este problema consiste en establecer una regla de tres directa que involucre a las variables mencionadas. Por último. Mucho más simple que lo anterior era partir de las opciones de respuesta y observar que la única que satisface lo leído totalmente es precisamente 31. De acuerdo a las operaciones que realizó. se tiene que: 3(10a + b) + 12 = 7(10c + 5) 30a +3b + 12 = 70c + 35 Para que el número de la izquierda termine en 5 es necesario que b = 1.96
78. b) 21 c) 53 d) 13 e) 31
. Fósforo: 103 mg. a = 23/3 que no es entero.3 g Solución: Un cuarto de litro de la taza corresponden a 250 ml. Magnesio: 12 mg. es decir.M
x2 + x = y2 + y x2 − y2 + x − y = 0 ( x − y )( x + y + 1) = 0
Pero como x ≠ y ⇒ x − y ≠ 0 y entonces para que la expresión sea igual a cero. y su antecesor. lo cual también se divide entre 3. b) 3 c) 4 d) 6 e) 9
relación x 2 + x = y 2 + y ? I. Por su parte. Luego la suma de 1 con su sucesor. el otro factor está “obligado a ser cero: x = −1 − y . El resultado indica que la respuesta es correcta para el inciso b. 0.M
81. Sin embargo vale la pena explorar varios casos mas para tener la certeza de la respuesta.c
. se divide indicada tiene por resultado 9. El resultado de la suma será divisible entre 3. y nuevamente es divisible entre 3. x 2 y − xy es siempre divisible por 3 a) Sólo I Solución: Factorizando la relación: b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I. 2. Así. conociendo la
. entre 3. entonces. x = 2 y y = −3
II. la suma Según los casos se indica que cada sumatoria tiene una característica especial. la suma que se expone en la lectura corresponde a 2 + 3 + 1. Si x y y son números reales distintos de cero y distintos entre sí. es de 3. es el propio 1. el número 2 también cumple con n ≥ 1. Si n es un número natural tal que n ≥ 1. lo cual es 6.
80. Veamos en caso siguiente. x − y es un número impar III. la suma de éste con su sucesor y su antecesor siempre será divisible por: a) 2 Solución: El primer número que satisface la desigualdad n ≥ 1. El número 3 es mayor o igual que 1.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s).
Por lo tanto: I.
83.M
. no existen tres números consecutivos de manera que uno de ellos no sea múltiplo de 3.15 x = 13294 13294 x= 1. lo que implica que el producto de tres números de los cuales uno de ellos es divisible por 3. también es divisible por 3. sólo interesa el valor de los números.15 x = 11560
La cantidad depositada inicialmente fue $ 11560. Nota: Los signos no interesan.c
. ¿Qué R R1 R2
Aumenta c) Aumenta 15% d)Disminuye 15% e)Disminuye 10%
. tenemos la ecuación:
x + 0. Si después de un año retira $ 13294. la expresión queda ( x − 1) xy . tenemos el producto de tres números consecutivos. VERDADERO: Si x = 2 entonces y = −3 VERDADERO: Si x es un número par. Entonces si llamamos x a la cantidad inicial de dinero depositado.
y es par. y siempre es impar. III. Luego. Dada la relación ocurre con R ? a) Aumenta 10% b) 20%
1 1 1 = + . y si x es impar. Como − y es el sucesor de x y x − 1 es el antecesor de x . VERDADERO: Factorizando. Una persona deposita una cierta cantidad de dinero en el banco al 15% de inicialmente es: a) $ 11299 b) $ 11560
c) $ 11742
interés anual. 82. el monto depositado d) $ 11327 e) Ninguna de las anteriores
Este es un problema de interés simple. Si R1 y R2 disminuyen en un 10%. II. Por lo tanto x − y siempre es la suma o resta de un par con un impar y
por ende siempre es impar.
Si sólo llegaron a la meta 12 personas.4 b) 54 c) 540 d) 5400 e) 54000 c) se queda igual d) disminuye e) aumenta
w . cuando aumenta p.1R1 ) y que R2 pasa a ser ( R2 − 0.1R2 ) . Si p es positivo y q = 1 – (1/p). entonces q a) llega a ser b) llega a ser 0 uno 4.
2.M at
a1 .6 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Inciso e. ¿Cuántos kilómetros recorrió? a) 5.1R 9 ⎝ R1 R2 ⎠ 9 ⎝ R ⎠ 9 R R− R 10 10
. Iniciaron una competencia 25 personas y se les unieron otras 3 personas. la expresión dada se transforma en:
10 10 10 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 + = + = ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 R1 − R1 R2 − R2 9 R1 9 R2 9 ⎝ R1 R2 ⎠ 10 10
1 1 1 = + . entonces: R R1 R2
Es decir R disminuye en un 10%.
1 1 10 ⎛ 1 1 ⎞ 10 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ + = ⎜ ⎟= = = ⎜ ⎟ 1 R − 0. Un avión voló durante 10 horas a una velocidad promedio de 540 kilómetros por hora. ¿Cuál expresión es la mayor si a y b son números enteros positivos? a) a b) b c) a – b d) b – a e) a + b
3. Por lo tanto.99
Solución: Si R1 y R2 disminuyen en un 10% cada uno significa que R1 pasa a ser ( R1 − 0. ¿cuál de las siguientes expresiones representa el número de personas que NO llegaron a la meta? a) 25 – (3 – 12) b) 25 + (3 + 12) c) (25 + 3) – 12 d) (25 – 3) + 12 e) (25 – 3) – 12
Si p es un entero positivo divisible por 3. ¿Cuál es el otro número?
. La suma de dos números es 150 y la mitad del mayor es k. En la expresión ax71 + bx51 + 6 = 10. Recibió 45 puntos en total. ¿Cuál de los siguientes números es divisible por 3 y por 5.2b
6. Si el día primero de un mes es lunes. si x = 1? a) 60 b) 16 c) 10 d) 4 e) 1. ¿cuál de los siguientes NO es divisible por 3? a) 3p b) 2p c) 3p d) 6p + 9 e) p + 1
20 semanas?
9. ¿cuántas tareas incompletas entregó? a) 3 b) 5 c) 13 d) 15 e) 27
12. Si entregó 6 tareas completas. pero NO por 2? a) 685 b) 750 c) 880 d) 975 e) 1000
14. Si 1 de cada 15 niños de un pueblo pertenece a una organización juvenil. Si el largo mide 16 metros. Julio ahorró $ 20 en 8 semanas. ¿cuántos metros mide el ancho? a) 4 b) 8 c) 16
600 niños del pueblo son miembros de la organización? a) 10 b) 20
10. La igualdad a – b = b – a es cierta si a) a > b b) a = b c) a < b d) a = 2b e) a = . ¿cuál es el valor de a + b. ¿cuál es el mayor número de miércoles que puede haber en un mes de 31 días? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
8. Si continúa ahorrando a esa razón. ¿cuántos de los c) 36 d) 38 e) 40
11. Jennifer recibe 5 puntos cada vez que entrega una tarea completa y 3 puntos si la entrega es incompleta. ¿cuánto ahorrará en e) 28
a1 . El área de un rectángulo es 128 metros cuadrados.100
500 son varones y 200 son estudiantes varones de primer año.
1/1.…
. 18/8 e) 20/6. 435. ¿Cuántos números reales tienen la propiedad de que su cuarta parte es igual a su cuadrado? a) Ninguno b) Uno c) Dos
3/2.… b) 163. c
e) Cuatro
19.18) sean colineales m debe valer: d) – 1/26 e) 38
Para los ejercicios 20 al 24 escoja la pareja de números propuestas que sea continuación de cada una de las series enlistadas. De una hoja de papel de 10 centímetros de largo y 8 de ancho se desean obtener triángulos de 4 centímetros cuadrados de área.… b) 18/5.… b) 655. 21/7 23. 173 21. 745 22. El radio de la circunferencia x2 + y2 – 18x + 6y + 41 = 0 es: a) 4 b) 9
a) 645.10). 735 e) 654. Una escuela tiene 1000 estudiantes de los cuales 300 son de primer año. 12/4. 9/3. 21/6 c) 16/6. 765 c) 654.101
a) 2k b) 2(k + 1) c) 150 – k d) 150 + k e) 150 – 2k
15. 545. 137. 155. 128. 1/24.5) y (m. 25/7
a) 18/6. 172 c) 164. (26. 146.M
c) – 26
18. El mayor número de triángulos que se obtendrá es a) 20 b) 10 c) 8 d) 5 e) 2
16. 1/2. 175 a) 164. 15/5. ¿Cuántos estudiantes no son ni varones no de primer año? a) 800 b) 700 c) 500 d) 400 e) 300
17. 755 d) 635. 172 d) 165. 175 e) 160. 20. Para que los tres puntos (6.
215. 325. 18/7 d) 16/7. 1/6.
25. ¿cuál es la edad de Paty? a) 9 b) 8 c) 18 d) 10 e) 6
30. 1/30
0. 12. Si a una fiesta asiste Raúl con su esposa y sus 4 hijos.4. Martín es menor que Jesús y Daniel es mayor que Jesús.102
a) 1/30. ¿Cuántas personas asisten a la fiesta?
primo? a) 19/6 b) 17/6
28. 13. b) 1/30. 11.4. 8
a) 6.8.4.8 d) 3. Paty es menor que Lulú por 8 años y la edad de Lulú es el triple de la de Ana. La mitad del triple de 120 es: a) 170 b) 150 c) 190 d) 180 e) 360
26. 1. 1/36 e) 1/25.8 c) 6. 3.8 e) 4.6.… b) 6.2.4. Si Miguel tiene 3 años de edad. 1/720 d) 1/30. ¿cuál es el mayor? a) No se sabe b) Martín c) Jesús d) Daniel e) Los 3 son de la misma edad 31. 1/120 c) 1/120. Mi primo es el nieto de la madre del hermano de mi: a) Madre b) Hermana c) Madrina d) Prima e) Sobrina
. Ana tiene 6 años de edad. 0. ¿Cuál es la mitad de la tercera parte del mayor número impar menor que 20 que no es c) 15/2 d) 5 e) 5/2
29.4. entonces: a) Javier es b) Arturo es c) Arturo y d) No se sabe e) Miguel es que mayor Arturo que mayor Javier que Javier tienen la algo mayor Javier
y dos amigos. 1/36 24. La edad de Javier es el triple de la de Miguel y Arturo es mayor por 6 años que Miguel. cada hijo con su respectiva esposa d) 14 e) 22
luego se sacan 4 litros y se reemplazan con litros de agua que queda en la mezcla final es:
2 metros va a ser llenado hasta ¾ de su capacidad. Un contenedor que tiene 50 metros de largo. Si diariamente corta un pedazo de 2 metros terminará de cortarlo en: a) 14 días b) 16 días c) 18 días d) 15 días e) 10 días
34. Un plomero tiene un tubo de 30 metros.M
a) 16/5
b) 16/9
d) 36/5
alcohol. entonces la media aritmética de los restantes es: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
35. El perímetro de un cuadrado tiene el mismo número de metros que los metros cuadrados de su área. ¿Cuál es ésta?
36. 20 metros de ancho y una profundidad de
. Un bote de 20 litros se llena de agua. El volumen de agua que se requiere es: a) 2000 m3 b) 1750 m3 c) 1650 m3 d) 1500 m3 e) 1250 m3
37. Un tanque de Guerra de la armada norteamericana es capaz de correr a velocidad promedio de 90 km/hr durante 4 horas y media. La media aritmética de un conjunto de 30 números es 10. y otro lo hace a 40 km/hr durante 10 horas y cuarto. Joaquín tiene una caja grande con 4 medianas dentro. La cantidad de e) 64/5
a1 . entonces el total de cajas que Joaquín tiene es: a) 88 b) 89 c) 90 d) 54 e) 62
33. Luego… a) Los dos recorren igual distancia b) El segundo recorre poco más que el primero c) El primero recorre poco más que el segundo d) El primero recorre mucho menos que el segundo e) El segundo recorre mucho menos que el primero 38. 3 chicas en cada una de las medianas y 6 todavía más pequeñas en cada una de las chicas. Si quitamos el número 68 de ese conjunto.103
32. después se sacan 4 litros de la mezcla y se reemplazan con alcohol.
a) 1 m2 b) 2 m2 c) 4 m2 d) 8 m2 e) 16 m2
39. Un granjero tiene 37 animales entre conejos y gallinas.M
. ¿qué a) 20 b) 21 c) 24 edad tendré yo dentro de 7 años?
1. ¿A qué porcentaje aproximado de salinidad ha quedado la solución? a) 100% b) 80% c) 25% d) 20% e) 16%
suman 100 patas. hoy tengo el triple de la edad que ella tenía hace siete años y dentro de siete años la suma de nuestras edades será siete por siete. Gómez y el Gral. ¿Cuántos conejos y gallinas tiene? a) 12 conejos y 25 gallinas b) 13 conejos y 24 gallinas c) 15 conejos y 22 gallinas d) 17 conejos y 20 gallinas e) 20 conejos y 17 gallinas 43. Hernández han apostado cien mil pesos a una carta. Todos estos animales juntos
. Para preparar un compuesto químico se han utilizado 20 gramos de sal y 100 gramos de agua. Después de una noche de juego. Si gana Gómez se levantará de la mesa con el doble de lo que tendrá el general. el Lic. Un planteamiento posible para conocer los números de conejos y gallinas en el problema anterior es: a) 4x + 2( 37 – x ) = 100 b) 4x + 2( 37x ) = 100 c) 4x – 2 ( 37 + x ) = 100 d) 4x – 2 ( 37x ) = 100 e) 4x + 2 ( 37 ) x = 100
42. Si gana este último. los dos tendrán igual cantidad. Cuando mi hermana nació yo tenía 7 años. ¿Cuánto tiene sobre la mesa cada uno de ellos? a) $ 300 000 y $ b) $ 500 000 y $ c) $ 300 000 y $ d) $ 700 000 y $ e) 100 000 300 000 500 000 500 000 Cada uno tiene $ 300 000
En su cumpleaños le regalaron uno de lana y dos de estambre. Mireya con Ocho. Si ahora su guardarropa tiene 2/3 de suéteres de lana. se desprenden las siguientes afirmaciones.105
44. el quebrado queda multiplicado por el mismo e) Al dividir el numerador por un número. pero cada hermano tiene sólo la mitad de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hermanos y hermanas hay en la familia? a) hermanas Cuatro b) Cuatro c) hermanas Cuatro d) hermanas Tres e) Dos hermanas y hermanas y tres hermanos y tres hermanos y tres y tres hermanas
cuatro hermanos hermanos
47. excepto: a) Al multiplicar el denominador por un número. A una fiesta asistieron 17 personas. Silvia con Siete. Rosa tiene tantas hermanas como hermanos. Carola bailó con seis muchachos.M
. el quebrado queda dividido por el mismo mismo número número número
46. y así sucesivamente hasta llegar a Rita quien bailó con todos los muchachos. ¿Cuántos muchachos había en la fiesta? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
45. Alfredo tenía tres suéteres de lana por cada uno que tenía de estambre. el quebrado queda dividido por el mismo número b) Al dividir el numerador por un número. el quebrado queda multiplicado por el d) Al dividir el denominador por un número. el quebrado queda multiplicado por dicho número c) Al multiplicar el numerador por un número.c
. ¿cuántos suéteres tiene en total? a) 6 b) 7 c) 9 d) 12 e) 15
48. Del teorema: Si los dos términos de un quebrado se multiplican o dividen por un mismo número. el quebrado no se altera. Con base en los datos del problema anterior. ¿cuántos suéteres de lana tiene José después de su cumpleaños? a) 3 b) 4 c) 6 d) 9 e) 10
Si a es un número tal que a < 0. La suma de las edades de dos hermanos no gemelos es de 32 años. al restarla del total siempre obtendremos el doble de la edad
. podemos restas la diferencia del total y obtener el doble b) Sea cual sea la diferencia. ésta sea blanca? a) 2/5 b) 4/15 c) 1/3 d) 3/5 e) 2/3
54. éste sume 15? a) 2/9 b) 4/30 c) No se sabe d) 1/18 pues azar 50. entonces: a) 1/a > 0 b) 1/a < 0 c) 1/a = 0 d) 1/a > 1 e) 1/a = 1
53. al restarla del total no obtendremos el doble de la edad de c) Obtendremos el doble de la edad del menor sólo si el mayor tiene menos de 24 años del menor de ellos de la edad del menor ninguno de ellos
e) Obtendremos el doble de la edad del menor sólo si este tiene menos de 10 años 52. ¿qué resultado
. ¿Qué probabilidad hay de que al sacar con los ojos cerrados un par. En una urna de 9 esferas numeradas de 1 al nueve. Un avión y un barco salen a las 6 de la mañana. sea un as? a) ¼ b) 1/13 c) 1/26 d) 1/52 e) 1/104
d) Sea cual sea la diferencia. Cada 18 minutos sale un avión y cada 2 horas un barco. ¿Qué probabilidad tenemos de que la primera carta que saquemos de una bajara de 52.M
a1 .106
51. 4 blancas y 5 azules. ¿cuál es la probabilidad de que al extraer una con los ojos cerrados. Si en un recipiente tenemos 6 canicas rojas. ¿A qué hora volverán a salir simultáneamente un avión y un barco? a) A las 12 del b) A las 4 de la c) A las 6 de la d) A las 9 de la e) A las 12 de la día tarde tarde noche noche saldrá al e) 4/36
obtendremos si restamos ahora de la suma total la diferencia de edades? a) Sólo si las edades son 12 y 20.
¿cuánto tiempo falta para que den las 8:00 p.M
58. ¿Cuál de las siguientes cantidades quedaría más a la izquierda en la representación de una recta numérica? a) 10-10 b) 11 c) 41/4 d) 8. el segmento MN es perpendicular a la diagonal AC en su
a) 30° b) 33° c) 45° d) 57°
55. En la figura ABCD es un rectángulo en el que AB =8 y BC =6. Si M es el a) 65° b) 75° c) 45°
a1 . Sea ABCD un rectángulo con BC = 2AB y sea BCE un triángulo equilátero.5 8.
. además DP es perpendicular a la diagonal AC y QR es un segmento paralelo a AC con Q como punto medio de DP .
punto medio de CE. 11 minutos y 45 segundos b) 15105 segundos c) 144000 segundos d) 3 horas y 705 segundos e) 250 minutos y 45 segundos 56. ¿cuánto mide el ángulo CMD?
encuentra ∠ LNM
punto medio M . Si se sabe que ∠ ACB=57°. Además.m. En el rectángulo ABCD.
. Si son las 15 horas con 48 minutos y 15 segundos.? a) 5 horas. la recta LN es paralela al lado CB . Encuentra la longitud del segmento PR .5 e) 3-1/3
d) 4. a) No es cierto.M
Luego.0
60. __________
61. los ángeles no existen b) la mitad de los ángeles son también un número par c) el número de ángeles es divisible entre dos d) Los ángeles no se pueden dividir e) No es cierto.2
c) 3.108
Q 6 P A 8 B
a) 2. Todo triángulo equilátero es equiángulo. los ángeles son incontables
d) Al carecer de e) Al saber que conocimiento ignora
b) un triángulo es equilátero sólo si es equiángulo c) un triángulo puede ser equiángulo d) un equilátero siempre es triángulo e) sólo es triángulo un equilátero si es equiángulo 62. Todo triángulo equiángulo es equilátero.
. a) Al no estar b) Al saber enterado c) Al no saber
a1 . Seleccione la forma adecuada de hacer afirmativa la siguiente frase.4
e) 5. Seleccione la opción que se sigue de la afirmación: El número de los ángeles es par. sin cambiar su sentido original: Al no ignorar.
. a) Al no b) Al estar c) Al dudar seguro libremente
dudar d)
ic a1 . se introdujeron 2 rectángulos como lo indica la figura. Escoja la forma adecuada de hacer afirmativa la frase. El perímetro de la parte sombreada es
65. ¿Cuál de los siguientes enunciados define correctamente al Teorema de Pitágoras?
. En el interior de un cuadrado ABCD de lado a. la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa c) En un triángulo rectángulo. el cuadrado de la suma de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa 66. la suma de los catetos al cuadrado es igual al doble de la hipotenusa d) En un triángulo rectángulo.109
63. De acuerdo al siguiente esquema se puede afirmar que:
HOMBRES AVES MORTALES
a) Las aves son mortales b) Todos los hombres son mortales c) Hombres y aves son mortales d) Ni las aves ni todos los hombres son mortales e) Los mortales son hombres y aves 64. sin cambiar su sentido original: A no estar libre de duda. la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa e) En un triángulo.c
Al estar e)
a) En un triángulo equilátero. la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa b) En un triángulo.
el complemento del suplemento de β se mueve entre: Falta
a1 . entonces el área del rectángulo EFQP es:
a) 6 cm2
b) 9 cm2
a) 2a b) 3a
c) 4a d) 3. AC = 6 cm y BC = 8 cm.
67. 5a e) información Falta
respectivamente. Sea ∆ ABC rectángulo en C. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono? a) 360° b) 1080° e) información 69. y tanto α como β son ángulos obtusos. Sean P y Q puntos medios de los lados AC y BC
. Si β es un ángulo tal que 0 < β < α.M
c) 75/4 cm2
d) 12 cm2 e) Ninguna de las anteriores c) 1260° d) 1800°
68. En un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales. Si EFQP es un rectángulo.
ii.α y 90° e) α . Dos grillos cantan durante diez segundos.90° y 90°
70. b) i y ii c) ii y iii d) i. El menor de los números que arroja residuo 3 al dividirlo por 9. Teniendo dos lados y el ángulo que comprenden. Uno canta cada 48 segundos y el otro cada 56 segundos. a) Sólo i b) Sólo ii c) Sólo iii d) i y ii e) Ninguno de los anteriores siguiente vez que comiencen al mismo tiempo serán las:
d) 12 horas 50 minutos 36 segundos
.7) y D(5. iii. a) Sólo i Teniendo sus tres ángulos interiores. Si a las 12 horas 48 minutos 52 segundos empezaron a cantar juntos. donde C(3. iii. ¿En cuál de los siguientes casos es posible construir ∆ un cualquiera? i. ii y iii e) Ninguna de las anteriores 71.90° d) 180° . El mínimo común múltiplo entre n y m es nm. ii. excepto el 1. n y m no tienen divisores comunes. Si n y m son dos números primos entre sí. La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(1. Ambos números son primos.111
a) 90° y 180° b) 0° y 90° c) 0° y α .M
1.2) y B punto medio del trazo CD. ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? i. c
. Teniendo dos de sus tres alturas y un lado. la a) 12 horas 49 minutos 40 segundos b) 12 horas 54 minutos 28 segundos c) 12 horas 50 minutos 40 segundos e) 12 horas 54 minutos 38 segundos 73. 13 y 17 es: a) 120 b) 3981 c) 1992 d) 156 e) Ninguna de las anteriores 74.1) es: a) 2/3 b) -2/3 c) 3/2 d) -3/2 e) 0
En una elección.M
¿Cuánto vale el perímetro del rectángulo ABCD?
d) 54 cm
a) 24 cm b) 36 cm c) 42 cm
1. RF = 4 cm y AF = 10 cm. 8 candidatos se presentan postulando a 3 cargos diferentes. ¿Cuál es el número de resultados distintos que pueden producirse? Nota: Una persona no puede tener más de un cargo. II. cuando m = -1/2 es: a) m b) –m2 c) m3 d) –(2m)2 e) 2m3
76. a) Sólo I xy2 x–y xy – x2 b) Sólo II c) II y III
e) I.112
75. Si FC = 5 cm. c
e) 72 cm
79. cuatro kilos de manzanas valen: a) $ 137. ¿cuál (es) de los siguientes números son SIEMPRE negativos? I. AB || PR. Si x < y. a) 10 b) 56 c) 60 d) 336 e) Ninguna de las anteriores
. Un kilo de manzanas vale 25% más que un kilo de naranjas y éste vale 10% más que un kilo de peras.5 b) $ 550 c) $ 135 d) $ 142 e) Ninguna de las anteriores. 77. III. II y III
78. En el rectángulo ABCD de la figura.
. La expresión mayor. Si las peras valen $ 100 el kilo.
a 23. c 29. c 70.c
. d 31. b 6. b 46. e 73.
1. e 3. e 13. d 50. e
. e 48. c 67. b 35. e 40. b 22. c 76. b 9. a 44. d 65. a 28. b 58. d 75. a 32. e 11. c 79. a
21. d 5. d 17. e 15. b 56. b 38. b 55. d 26. d 60. d 14. c 71. a 10. a 51.M
. c 24. d 8. b 78. c 2. b 59. c 74. e 45. e 39. c 63. b
61. b 43. d 36. c 27. c 69. d
41. b 12. b 47. Se lanza un dado 6 veces. c 25. a 34. b 62.113
80. a 16. d 7. a 57. d 66. b 37. a 33. d 68. d 64. La probabilidad de que el quinto lanzamiento salga un seis es: a) 1/66 b) 1/65 c) 5/6 d) 1 e) 1/6
Clave de respuestas. b 52. b 54. d 30. b 77. d 4. d 20. b 53. a 72. c 19. e 49. d 42. d 80. c 18.
Ingreso al Nivel Superior se aplicó a estudiantes de la Escuela Secundaria y de Bachilleres “Experimental” en el periodo comprendido entre septiembre de 2004 y mayo de 2005. 3 argumentaron no tener intenciones o posibilidades de ingresar al nivel superior. De la misma manera. en las cuales se intentó explicar.
3. Es por ello propuestos en el material. en la primera sesión se abordaron problemas entre el 1 y 9. en la segunda sesión. al menos. se pensó que sería bueno comparar el rendimiento de los asistentes al taller con el de alumnos de otras instituciones. mientras que el último se propuso para trabajo individual. Las septiembre del 2004 y hasta el primer fin de semana de mayo del 2005. sin la necesidad de asistir al taller. sirvieron de indicador de la mejora en el rendimiento de cada estudiante en las distintas áreas propuestas por EXANI II en su evaluación.
. De ellos. así como una serie de evaluaciones exploratorias del nivel sesiones presenciales se desarrollaron durante sábados consecutivos desde el mes de
. La dosificación de problemas se indicó respecto a la numeración. por lo cual el taller se inició con 84 estudiantes. en las cuales se abordaron el total de los reactivos desarrollado en razonamiento matemático y otras áreas propuestas en EXANI II. así sucesivamente. El material se desarrolló en 30 sesiones. que cursaron el último año de bachillerato y La matrícula de estudiantes inscritos para los dos semestres finales del bachillerato. 8 problemas por sesión. es decir. fue de 87 estudiantes en la generación.M
. El resto de los días laborales del taller se contempló para las evaluaciones anteriormente mencionadas. El documento se redactó pensando en que pudiera revisarse de manera autónoma. dejando el problema 18 como actividad extraclase. así como el análisis de resultados que generó dicho experimento. Las evaluaciones aplicadas de manera interna. Concretamente. es decir.1. La información genera las primeras conjeturas acerca del ingreso al nivel superior. Prueba de la Propuesta
En este capítulo se presenta la descripción del experimento que se realizó en la generación 2002 – 2005 de bachilleres Experimental. con duración de dos horas cada una. se resolvieron los problemas del 9 al 17. los primeros ocho se resolvieron durante clase. durante el taller.114
3. Diseño y descripción del experimento
Problemas para Razonamiento Matemático. con los estudiantes de la generación 2002 – 2005.c om
tenían intenciones de ingresar al nivel superior. Sin embargo.
se aplicó en febrero del año 2005 para 71 estudiantes de la institución. para posteriormente relacionarlas con el ingreso La variable “ingreso al nivel superior” se presentará respecto a los porcentajes alcanzados los resultados expuestos serán de EXANI II para la generación 2000 – 2003 y para la ocupados serán de Pre – EXANI II. únicamente 44 asistieron con regularidad al taller. después de haber analizado detalladamente a la población estudiantil de la generación 2002 – 2005.c
. la asistencia al taller de razonamiento matemático y el aprovechamiento académico dentro del mismo. las cuales se intentan describir para diseñar un proceso que mantenga los porcentajes de ingreso en un nivel adecuado. Asistencia
Del total de la población en cuestión. Análisis de resultados 3. Dentro del experimento se observó que hay dos circunstancias que determinan el ingreso al nivel superior. los resultados
. Los datos evaluados por CENEVAL en esa aplicación son los que más adelante se compararán con los resultados obtenidos por las generaciones 2000 – 2003 y 2001 – 2004.2. mientras que el resto sólo asistió a la aplicación de algunos exámenes.2. la prueba de la propuesta.115
que se decidió contratar los servicios de CENEVAL en cuanto a la aplicación de una prueba que permitiera comparar con los resultados de otros estudiantes. Se estableció que la asistencia debió ser de al menos un 80% para considerarla regular.M
en las dos generaciones anteriores a la 2002 – 2005. Razonamiento Matemático”. Para lo cual es necesario recalcar que
al nivel superior. Se analizan por principio variables como la asistencia y el
En resumen. consistió en incrementar al 60% los índices de ingreso al nivel superior de bachilleres “Experimental”. 84 estudiantes.
3. mientras que para la generación analizada. Esta evaluación externa. que inició con la aplicación de “Problemas para Razonamiento Matemático”. denominada Pre – EXANI II.1. consistió en presentar un análisis estadístico de los resultados obtenidos en el ingreso al nivel superior a partir de dicho material. La meta propuesta.
generación 2001 – 2004. Para ello se muestra un análisis detallado de la aplicación del material en el “Taller de rendimiento académico dentro del taller.
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