Source: https://es.scribd.com/doc/3232441/metodo-para-calcular-determinantes
Timestamp: 2016-02-07 08:37:18+00:00

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PROFESOR: M.C. ADRIAN MORALES GALVEZ
TURNO: MATUTINO GRUPO: 813
INTEGRANTES: GOMEZ ZARAGOZA TANIA NATIVIDAD GPE. MEZA ROMERO BRENDA BEATRIZ APOLINAR MORALES GADIEL FERNANDEZ MARTINEZ JOEL MORENO PINEDA SALVADOR
INTRODUCCION……………………………………………………………………………… ………………………….3 DEFINICIÓN DE DETERMINANTES………………………………………………………… ………………..4 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES……………………………………………… ……………….5 MÉTODOS PARA CALCULAR DETERMINANTES………………………………………… …………..7 A. MÉTODO CRUZADO ………………………………………………………………… ……………………9 B. MÉTODO DE COFACTORES ……………………………………………………… ………………….9 C. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA FORMA ESCALONADA (GAUSS). MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………………………………………………………………………………… …………………………….11 INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES…………………… …….12 A. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTANEAS………………………………… ………14 B. ELIMINACIÓN DE GAUSS…………………………………………………………… …………………15 C. ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDÁN ……………………………………………… ……………..18 D. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS……………………… ……20
El mundo de la administración esta cambiando, día a día los directores de una organización se ven en la necesidad de tomar decisiones muy importantes de las cuales dependerá el futuro de su empresa.
En este capítulo definiremos el determinante de una matriz n x n. Esto se puede hacer de muchas formas, la definición que daremos nos permite obtener un procedimiento relativamente fácil para el cálculo de determinantes, parte de la teoría de determinantes envuelve procesos engorrosos y difíciles que no serán expuestos. Con la elaboración de este trabajo buscaremos comprender y entender la resolución de ecuaciones para la toma de decisiones dentro de una organización.
DEFINICIÓN 2.1 (Determinante de una matriz de orden 1) Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a. Ejemplo 1 DEFINICIÓN 2.2(Menores y cofactores de una matriz de orden n) Sea A una matriz de orden elemento , definimos el menor asociado al
de A como el determinante de la matriz que se obtiene al asociado al
eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor elemento de A esta dado por .
Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |tA|.Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero .Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero. Si descomponemos en dos sumandos cada número de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la matriz original. Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero. Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía. Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varíe. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los números de la diagonal. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes |A.B| = |A|.|B|
El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante. |A-1| = 1 / |A| Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes. Resolvamos el sistema:
Como se puede observar, para que podamos utilizar el método de Cramer, el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule. Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras, es decir, tendríamos parámetros. La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que tomemos como parámetro y de esta forma tendremos un determinante que no se anula pero de menor grado. Al aplicar las fórmulas de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes.
Si a un menor M de orden h de la matriz A se le añade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M orlando este menor con la fila p y la columna q. Ejemplo El método para el cálculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos: Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son 0, el rango será 0. El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida. 1. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a éste el método. 2. Si todos los menores orlados obtenidos añadiéndole al menor de partida los elementos de una línea i 0 son nulos, podemos eliminar dicha línea porque es combinación de las que componen el menor de orden k. 3. Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el método en realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k).
A) METODO CRUZADO
Método cruzado Supongo que te debes referir a las derivadas cruzadas, es muy sencillo: Supongamos sabes que su que derivada tienes parcial una respecto a función x es f(x,y) ∂f(x,y)/∂x
Ahora sacas la derivada respecto a y, de la derivada parcial en x ∂²f(x,y)/(∂x∂y) Ahora se dice que si la función es continua la derivada cruzada de y respecto a x, debe ser igual a la que escribimos, esto es: ∂²f(x,y)/(∂x∂y) = ∂²f(x,y)/(∂y∂x)
Osea que si la función cumple ciertas propiedades no importa si derivamos primero respecto a x o respecto a y para obtener las cruzadas. Y esto lo podemos trasladar a 3 o más variables
B) METODO DE COFACTORES
SOLUCIÓN POR COFACTORES El estudiante se preguntará si existe un método único que resuelva determinantes de cualquier orden, la respuesta es afirmativa y se dará su demostración partiendo de la solución general del .
Sacando factor común y agrupando (observando la primer fila)
Cambiando signo al segundo término
Lo que esta entre paréntesis se escribe con determinantes de segundo orden ( )
Se observa que los determinantes que acompañan a los elementos a1 b1 c1 se obtienen al eliminar la fila y columna a que pertenecen respectivamente, y que uno de ellos tiene signo negativo. Estos determinantes reciben el nombre de COFACTOR de un elemento de un determinante quedando su definición como sigue: Definición. Se llama COFACTOR de un elemento de un determinante al determinante de orden inmediato inferior que se obtiene al suprimir la fila y columna a que pertenece dicho elemento y que además posee signo positivo o negativo. Para justificar el signo del cofactor del elemento, se puede pensar en dos formas. 1. Tendrá signo positivo si la posición del elemento en cuanto a la suma de fila y columna es número par y negativo si la suma da impar. 2. El signo del cofactor del elemento de un determinante tendrá signo positivo o negativo de acuerdo a la siguiente “tabla” de signos.
El valor de cualquier determinante de orden n, es igual a una suma algebraica de n términos, cada uno de los cuales se forma al multiplicar cada elemento de cualquier fila o columna por su COFACTOR correspondiente. Ejemplo. Calcular el valor del Determinante del ejemplo anterior usando el Método de Cofactores a): tomando como base los elementos de la 1er fila
Solución. a) Base a 1er fila.
Este método de solución se “Complica” cuando se aplica a Determinantes de Orden Superior. Dicho problema se puede evitar si conocemos las Propiedades de los Determinantes para combinarlas con la solución por cofactores.
MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Cramer obtuvo las incógnitas despejadas de un sistema en función de determinantes . Resolvamos el sistema :
Como se puede observar, para que podamos utilizar el método de Cramer , el determinante de la matriz de los coeficientes no debe ser 0 para que el denominador de las fórmulas no se anule . Si diese 0 es que una de las incógnitas se puede poner en función de las otras , es decir , tendríamos parámetros . La forma de resolver este problema es pasar al otro miembro (al lado del término independiente) la incógnita que tomemos como parámetro y de esta forma tendremos un determinante que no se anula pero de menor grado . Al aplicar las fórmula de Cramer tendremos un parámetro en la columna de los términos independientes .
INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS.
Introducción  La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es uno de los problemas matemáticos más importantes en Ingeniería Ø Hasta la llegada de los computadores digitales (segunda mitad del s. XX) la capacidad de resolver sistemas de ecuaciones estaba muy limitada, no por la complejidad del problema, sino por el número de operaciones aritméticas Ø Ahora se puede resolver con un PC un sistema 1000×1000 en menos de 1 seg. Ø Con programas especiales que aprovechan la estructura de la matriz se pueden resolver de forma rutinaria con PCs, sistemas de decenas ó cientos de miles de ecuaciones lineales  Muchos métodos matemáticos (cálculo de valores y vectores propios, integración de ecuaciones diferenciales, optimización, ...) se reducen a la resolución repetida de sistemas de ecuaciones lineales  La resolución de sistemas de ecuaciones lineales tiene además un importante valor didáctico Ø Para los métodos numéricos en general Ø Para la programación de ordenadores Resolución de Sistemas de Ecuaciones
 El sistema de ecuaciones lineales Ax=b se puede resolver combinando
ecuaciones hasta que la matriz quede triangularizada y realizando después una vuelta atrás, según se ha expuesto  Otra forma de resolver el sistema Ax=b Ø El sistema se puede escribir en la forma: LUx=b Ø Se define un vector y=Ux Ø Se calcula y a partir del sistema triangular Ly=b Ø Conocido y, se calcula x del sistema triangular Ux=y
 Ventajas de la forma LUx=b
Ø Se puede aprovechar una factorización anterior, previa al cálculo de b. Esto es bastante frecuente en la programación de métodos iterativos
Ø Se puede utilizar una misma factorización para un número grande e incluso indeterminado de segundos miembros
A) RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Cuando se escribe el sistema de ecuaciones que representan el flujo en un sistema de tuberías deben obtenerse finalmente tantas ecuaciones independientes como incógnitas del sistema físico.Las ecuaciones obtenidas deben satisfacerse simultáneamente, lo cual significa que se debe obtener su solución simultánea. Las ecuaciones simultáneas obtenidas son de diversas características:
Las ecuaciones provenientes de la energía son cuadráticas, si se ha usado la ecuación racional de Darcy-Weisbach. Describen la disipación de energía a lo largo de las tuberías. Las ecuaciones provenientes de la continuidad de caudales son lineales. Describen la distribución de caudales en los nudos. Las ecuaciones provenientes de los factores de fricción son logarítmicas, si se ha usado la expresión de Colebrook-White. Describen las relaciones de resistencia en los tubos.
Una posible estrategia para resolver un sistema mixto como el descrito puede ser suponer el vector solución y mediante aproximaciones sucesivas acercarse cada vez mas al vector solución que satisface las exigencias físicas del problema. Para esta estrategia el procedimiento a seguir, conocido como método de Seidel-Gauss, puede ser: 1. Formar las ecuaciones que describen el problema, algunas ecuaciones de energía, otras de continuidad, otras para los factores de fricción. 2. Cada ecuación se dedicará a obtener una sola de las incógnitas, por ejemplo con la ec. 1 se obtendrá Q1, con ec. 2 se obtendrá Q2 y así sucesivamente. 3. Suponer los valores iniciales para el vector solución , por ejemplo (Q1, Q2, Q3, ..., f1, f2, f3...)
4. Con los valores supuestos calcular la primera incógnita mejorada, por ejemplo Q1mejorado mediante la ec. 1. 5. Actualizar el vector solución: (Q1mejorado, Q2, Q3, ..., f1, f2, f3...) 6. Con el vector actualizado calcular la siguiente incógnita mejorada con la siguiente ecuación, por ejemplo Q2mejorado mediante la ec. 2. 7. Actualizar el vector solución: (Q1mejorado, Q2mejorado, Q3, ..., f1, f2, f3...) 8. Obtener las demás incógnitas mejoradas a partir de la utilización de las otras ecuaciones. 9. Reanudar desde el paso 4 hasta que el vector solución se estabilice en valores constantes para todas las incógnitas.
C) ELIMINACIÓN DE GAUSS
El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebricas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación. Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss. Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente. El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra en (2), a un sistema triangular equivalente como:
1. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en
esa ecuación para obtener: (7 )
2. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la
segunda ecuación (2) y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la tercera ecuación (2), y la ecuación resultante se resta de la misma para eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas las ecuaciones del conjunto excepto la primera, de manera que el conjunto adopta la forma:
3. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las
ecuaciones que la siguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos previos).
4. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación (8) se
convierte en la ecuación pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote. Esta reducción nos conduce a:
5. A continuación se utiliza la tercer ecuación (9) como ecuación
pivote, y se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (9). Este procedimiento, utilizando diferentes ecuaciones pivote, se continúa hasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ec. (6). 6. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn (ver ec. 6). Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de Xn-1, que a su vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor Xn-2 y asi sucesivamente. Este es el procedimiento de sustitución inversa al que nos referimos previamente. Para ilustrar el método con un conjunto numérico, apliquemos estos procedimientos a la solución del siguiente sistema de ecuaciones: X1 + 4 X2 + X3 =7 X1 + 6 X2 - X3 = 13 2 X1 - X2 + 2 X3 =5 ( 10)
Utilizando como ecuación pivote la primera coeficiente pivote es unitario), obtenemos: X1 + 4 X2 + X3 =7 2 X2 - 2 X3 = 6 9 X2 + (0) X3 = -9 ( 11)
A continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular de ecuaciones: X1 + 4 X2 + X3 =7 2 X2 - 2 X3 = 6 - 9 X3 = 18 Finalmente mediante sustitución inversa, comenzando con la última de las ecs. (12) se obtienen los siguientes valores: X3 = -2 X2 = 1 X1 = 5 ( 12)
B) ELIMINACIÒN DE GAUSS - JORDAN
En la matemática, la eliminación Gaussiana o eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada"
Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones 2x + y − z = 8, − 3x − y + 2z = − 11, − 2x + y + 2z = − 3 Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica. En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es: , ,
Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y. 2x − 2z = 6, , −z=1 Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
2x = 4, , −z=1 Despejando, podemos ver las soluciones: x = 2, y = 3 y z = −1. Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial: Primero:
D) SISTEMAS ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS
ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN
Consideramos la ecuación
y supongamos que Podemos resolver directamente esta ecuación: Será forma, tendremos .....................De la misma ,.... Vemos que la solución general es
Llamamos a esta sucesión progresión geométrica de valor inicial C y razón A. ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN • Partimos de la ecuación de recurrencia
y buscamos geométricas: Suponemos
• Podemos simplificar esta ecuación en la forma
de donde, si
, deducimos la ecuación
Llamamos a esta ultima ecuación característica de la recurrencia. Tenemos ahora tres casos:
1. Las raíces de la ecuación característica son reales y distintas Sean las raíces.
son, para valores arbitrarios de las constantes Ci, soluciones de la ecuación de recurrencia (1). Comprobarlo sustituyendo.
• La suma de las dos soluciones anteriores también es una solución. Lo comprobamos sustituyendo. • Hemos obtenido una solución que depende de dos constantes arbitrarias. Todas las soluciones están comprendidas en la fórmula:
Demostración: Si suponemos dados los valores iniciales, a0 y a1, de la solución, el resto de la sucesión queda unívocamente determinado, por recurrencia y por ser la ecuación de orden 2, por estos dos valores (igual que en el caso de Fibonacci). Sustituyendo n = 0, 1 en (2) obtenemos
Como suponemos que a0, a1, r1 y r2 son conocidos, vemos que (3) es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Su determinante es tiene solución única. y, por tanto, el sistema
Hemos visto, entonces, que toda solución de (1) puede ser dada como caso particular de (2) para una elección adecuada, la dada por la solución de (3), de las constantes C1 y C2. 2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales Llamemos r0 a la única raíz de la ecuación característica. La discusión es en este caso similar a la anterior, salvo que debemos usar
Las comprobaciones necesarias para ver que, en este caso también, todo funciona bien son tan parecidas que las omitimos. 3. Las raíces de la ecuación característica son números complejos conjugados Supongamos que las raíces son:
Podemos tratar este caso en la misma forma que el primero, de forma que obtenemos que la solución es
Esta solución es satisfactoria, salvo si observamos que la solución está expresada en términos de funciones de variable compleja. Si escribimos las raíces en forma , donde podemos tomar como definición ei_ : podemos como reescribir la solución polar,
con . De esta forma la solución es combinación lineal de dos funciones de variable real y son los coeficientes los que son números complejos. Ejemplo: Volvemos a la ecuación de Fibonacci Su ecuación característica es y . Son raíces reales distintas. La solución general es , con raíces
Sustituyendo n = 0, 1 en esta expresión podemos obtener los valores de las constantes que corresponden a valores iniciales dados. Por ejemplo, para F0 = 0 y F1 = 1 se obtiene .
¿Que valor tiene, aproximadamente, Fn para n grande? Como 0 < r2 < 1, para n muy grande el segundo sumando de la expresión exacta obtenida para Fn tiende a cero (i.e. se puede hacer tan pequeño como queramos). Entonces, para n muy grande, se obtiene
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