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Timestamp: 2020-01-28 05:41:46+00:00

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E-Book ISBN 978-987-1676-43-9 Fecha de catalogación: 19/12/2014. SERIE DIDÁCTICVA N° 38 FACULTAD DE CIENCIAS FORESTALES UNSE Ing. Néstor René Lede...
Author: Sergio Villalobos Montoya
E-Book ISBN 978-987-1676-43-9 Fecha de catalogación: 19/12/2014.
SERIE DIDÁCTICVA N° 38
Ing. Néstor René Ledesma
CÁTEDRA DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Equipo docente Josefa Sanguedolce Elsa Ibarra de Gómez Sylvia Nabarro de Ger Claudia Cejas Ayudantes estudiantiles Oscar Barreto Cintya Prado MAYO DE 2012 Arte de tapa: Lic. Federico Soria
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES-Cátedra Álgebra y Geometría Analítica-Año 2012
ESQUEMA CONCEPTUAL DE LA SERIE DIDACTICA Espacios Vectoriales
Espacio Vectorial Rn Espacio Vectorial de Matrices Espacios Vectoriales R2 , R3
Paralelismo Ortogonalidad
INTERPRETACION DE LA PORTADA I.- La portada muestra las imágenes de destacados matemáticos Jamen Joseph Silvestre (18211879) Y Arthur Cayley (1821-1895) , quienes aportaron resultados muy importantes en la teoría de matrices , determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. II.- El gráfico representa el planteo del problema algebraico intitulado “Análisis del flujo del tráfico”, que a continuación se desarrolla. Planteo del problema: Sea una red de calles de un solo sentido en una ciudad grande. Se quiere analizar el flujo del tráfico. Desarrollo La dirección del tráfico en cada una de las calles, está dada en la Figura de la tapa de la presente Serie Didáctica. En varios sitios se han colocado contadores, y el número promedio de carros que pasan por cada uno de ellos en el período de 1 hora, aparece también en la Figura antes referida. Las variables x1 , x2 , ……., x6 y x7 representan el número de autos por hora que pasan de la intersección A a la intersección B, de la intersección B a la intersección C, etc, En primer lugar se determinan los valores posibles de cada x i . Asumiendo que no hay paradas en el tráfico, el número de autos que llega a una intersección debe ser igual al número de autos que sale de la intersección. En base a este supuesto se obtiene el siguiente sistemax1+x3 = 800 ( flujo de tráfico en intersección A ) x1- x2 +x4= 200 ( flujo de tráfico en la intersección B ) x2 – x5= 500 ( flujo de tráfico en la intersección C ) x3 + x6 =750 ( flujo de tráfico en la intersección F ) x4 + x6 – x7 = 600 ( flujo de tráfico en la intersección E ) -x5 + x7 = 50 ( flujo de tráfico en la intersección D),
Empleando el método de reducción de Gauss-Jordan, la matriz aumentada de este sistema se reduce a
1  0 0  0 0  0
0 0 0 0  1 0 50   1 0 0 0 0  1 450  0 1 0 0 1 0 750   0 0 1 0 1  1 600  0 0 0 1 0  1  50  0 0 0 0 0 0 0 
El sistema correspondiente es x1 = x6 +50 x2 = x7 + 450 x3 = -x6 + 750 x4 =-x6+x7+600 x5 = x7 – 50 x6 = x6 x7 = x7 No son permitidos valores negativos para las x i , ya que como las calles son en una sola dirección, un valor negativo de x i , sería interpretado como el número de autos que van en contramano. Con esta restricción tenemos x 3 = 750 – x6  o. O sea x6  750 . Igualmente x5= x7-50  0 , o sea x7  50 . Si se ahora se supone que la calle que va de D a E va a estar en reparación, por lo que se quiere que el tráfico en este espacio sea mínimo. Esto lleva a x 7= 50.Por consiguiente, x2 = 500 y x5 =0. Recíprocamente si x5 = 0, tenemos x7 = 50. Entonces, si se cierra la carretera entre C y D se tiene el mínimo tráfico posible entre D y E. Los flujos x 1, x3, x4, y x6 no están determinados en forma única .Si toda la distancia de D a F estuviera en reparación, se requeriría que x 6 fuera mínimo, o sea cero. En esta caso, x 1 = 50, x3 = 750 y x4 = 650.
Aprender es descubrir lo que ya sabemos Hacer es demostrar lo que ya sabemos Enseñar es recordar a otros que lo saben tan bien como nosotros. Todos somos aprendices, hacedores, maestros. Richard Bach
INTRODUCCION En esta tercera Serie Didáctica la cátedra de Algebra y Geometría Analítica se propone los siguientes aspectos que se pretende desarrollar en los alumnos, a saber: Resolver: Los problemas como punto de partida dando a los alumnos un primer contacto con el tema, permitiendo un saber que permite adquirir los conceptos de los temas expuestos, puesto que los problemas planteados permiten usar los temas matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones en distintos contextos. Analizar: Una vez reconocidos los distintos contextos del uso de los temas desarrollados en la presente Serie Didáctica, se debe iniciar un proceso de reflexión acerca de cuáles de dichos temas pueden ser abordados por los alumnos y en que momento de su proceso madurativo de aprendizaje. De esta manera se da lugar al análisis para poder acceder a los conceptos nuevos que se proponen. 3
Estudiar: Habiendo analizado los saberes a los que pueden acceder los estudiantes , se sigue con la acción de profundizar matemáticamente para lograr la formalización inherente a la ciencia matemática para lograr una adecuada fundamentación de los temas desarrollados. Proponer: La presente Serie Didáctica como guía en el proceso de aprendizaje de algunos contenidos del programa vigente de las asignaturas Algebra y Geometría Analítica y Matemática I correspondiente al ciclo básico de las carreras de Ingeniería Forestal, licenciatura en Ecología y C.del e Ingeniería en Industrias Forestales de la Facultad de Ciencias Forestales de la Universidad Nacional de Santiago del Estero. Año 2012 Lic. Josefa Sanguedolce Prof. Responsable de la Disciplina Matemática
INDICE Interpretación de la portada
I. ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES
I.2.-Matrices
I.2.1.- Definición
I.2.2.- Igualdad de matrices
I.3.- Operaciones con matrices
I.3.1.- Suma de matrices
I.3.2.- Multiplicación de un escalar por una matriz
I.4.- Espacio Vectorial de las matrices
I.4.1.- Diferencia de matrices
I.4.2.- Multiplicación de matrices
I.4.2.1.- Propiedades I.5.- Matrices particulares
I.5.1.- Matriz diagonal
I.5.2.- Matriz escalar
I.5.3.- Matriz identidad
I.5.4.- Matriz triangular superior e inferior
I.6.- Proposiciones
I.7.- Inversa de una matriz
I.7.1.- Propiedad
I.8.- Matrices especiales
I.8.1.- Matriz transpuesta I.8.1.1.- Propiedades
I.8.2.- Matriz simétrica
I.8.3.- Matriz antisimétrica
I.8.3.1.- Proposiciones
I.9.- Modelos matriciales
I.10.- Precursores de la teoría de matrices y Sistemas de ecuaciones lineales
II.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES II.1.- La ecuación matricial II.1.2.- Conjunto solución
II.2.- Observacines
II.3.- Operaciones elementales sobre una matriz
II.3.1.- Proposición
II.4.- Matriz escalón por fila
II.5.- Rango de una matriz
II.6.- Matriz escalón reducida por filas
II.7.- Método de Gauss-Jordan
II.7.1.-Método para encontrar el conjunto solución
II.7.2.- Teorema de Rouché Frobenius
II.8.- Sistemas lineales homogéneos
II.9.-Reseña histórica sobre los sistemas de ecuaciones lineales y su resolución
II.10.- Reseña histórica sobre los determinantes
III.- LA FUNCION DETERMINANTE III.1.- La función determinante. Definición. Propiedades III.1.1.-Proposiciones
55 57 57 6
III.1 2.- La función determinante de segundo orden
III.1.3.- La función determinante de tercer orden
III.2.- Cofactor o complemento algebraico
III.2.1.- Matriz de cofactores
III.2.2.- Adjunta de una matriz
III.3.- Matrices inversibles o no singulares. Teorema
III.3.1.- Teorema de Cramer
III.3.2.- Regla de Cramer
III.4.- Aplicaciones de la función determinante a la Geometría III.4.1.-Area del paralelogramo III.4.1.1.- Observación III.4.2.- Volumen del paralelepípedo
III.5.-Modelos matriciales
III.6.- Problemas resueltos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales
III.7.-Resolución de ejercicios con soporte informático
III.7.1.- Guía de trabajo práctico con SCIENTIFIC WORK PLACE.
III.7.2.- Matrices
III.7.2.1.- Operaciones con matrices III.7.3.- La función determinante III.7.3.1.- Aplicaciones de la función determinante III.7.4.- Sistemas de ecuaciones lineales
III.7.4.1.- Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales
III.7.4.2.- Forma normal del sistema de ecuaciones lineales
III.8.- Ejercicios de matrices , sistemas de ecuaciones lineales y determinantes III.8.1.-Ejercicios de matrices
III.8.1.1.- Resolución
III.8.1.2.- Autoevaluación
III.8.2.- Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales
III.8.2.1.- Resolución
III.8.2.2.- Autoevaluación
III.8.3.-Ejercicios de determinantes
III.8.3.1.- Resolución
III.8.3.2.- Autoevaluación
III.8.4.- Bibliografía_especifica para los ejercicios propuestos V.-BIBLIOGRAFIA_GENERAL
I.- EL ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES
I.2.Matrices
I.2.1. Definición
I.2.2. Igualdad de matrices
I.3. Operaciones con matrices
I.3.1. Suma de matrices
I.3.2. Multiplicación de un escalar por una matriz
I.4. Espacio Vectorial de las matrices
I.4.1. Diferencia de matrices
I.4.2. Multiplicación de matrices
I.4.2.1. Propiedades
I.5. Matrices particulares
I.5.1. Matriz diagonal
I.5.2. Matriz escalar
I.5.3 Matriz identidad
I.5.4. Matriz triangular superior e inferior
I.6. Proposiciones
I.7. Inversa de una matriz
I.7.1. Propiedad
I.8. Matrices especiales
I.8.1. Matriz transpuesta I.8.1.1. Propiedades I.8.2. Matriz simétrica
28 29 30 9
I.8.3. Matriz antisimétrica
I.8.3.1. Proposiciones
I.9. Modelos matriciales
I.10.Precursores de la teoría de matrices y Sistemas de ecuaciones lineales
Sin los recursos de la Matemática no sería Posible comprender muchos pasajes de la Sagrada Escritura. San Agustín ___________________________________
I.-Espacio Vectorial de Matrices n x m I.1.- Introducción En la vida diaria es frecuente que se presenten situaciones en las que intervienen una gran cantidad de datos, a los cuales si se los ordena de manera conveniente en filas y columnas dan origen a lo que se conoce con el nombre de matrices. Con el fin de obtener una ejemplificación de lo precedente se propone el siguiente ejemplo Una empresa produce cuatro productos A,B,C y D. Para producir cada artículo se requieren cantidades especificas de dos materias primas: X y Y, y también cantidades determinadas de mano de obra. Se supone que la empresa desea adquirir las unidades de materia primas X y Y , y de mano de obra requeridas en la producción semanal de estos cuatro producto. En la tabla aparece la información muestral para tal caso. Por ejemplo, la producción semanal del producto A requiere 250 unidades de materia prima X, 160 unidades de materia prima Y y 80 unidades de mano de obra. Producto Unidades de materia prima X Unidades de materia prima Y Unidades de mano de obra
Se puede observar que los datos de esta tabla aparecen en forma natural en un arreglo rectangular. Si se suprimen los encabezados, se obtiene un arreglo rectangular de la forma:  250 300 170 200     160 230 75 120   80 85 120 100   
Este arreglo es un ejemplo de una matriz.
Se puede observar que los datos están dispuestos en tres filas y cuatro columnas, las primeras se identifican con las unidades de las materias primas y de mano de obra y las segundas a los productos.
I.2.- MATRICES 1.2.1.-Definición 1 Sea el siguiente cuadro:
 a11   a 21  ... A  ai1  ...  a  n1
a2 j ...
ai 2 ...
a1m   a2m  ...   = (aij) 1i  n ,1j m aim  ...  a nm 
Un arreglo de esta naturaleza, cuyos elementos aij pertenecientes al conjunto de los números complejos, con 1 i n , 1 j m , se denomina matriz cuya notación es a través de las letras mayúsculas del abecedario. Los subíndices i,j del elemento aij de la matriz identifican , respectivamente, la fila y la columna en las que esta situado aij. La variación de los subíndices i, j determinan el orden de toda matriz. Esta matriz es de orden nxm contiene n filas de tipo ( ai1, ai2, …,aij ,…aim ) que constituyen las matrices filas.
y m columnas de tipo
 a1 j     a2 j   ...  que constituyen las matrices columna.    a   ij   ...  a   nm 
El conjunto de todas las matrices de orden ( nxm) con elementos en un cuerpo K se denota mediante Knxm.= { A= (aij) de orden (nxm) / aij  K , 1 i n , 1 j m} 12
Este tipo de matrices se las reconocen por rectangulares cuando n  m; y cuando n=m las matrices se denominan matrices cuadradas de orden nxn o de orden n . Las matrices cuadradas pertenecen al conjunto K nxn . A Kn xn se puede denotar esta matriz a través de los elementos A1,A2,.....,Ai,.....An y se denota asi:
 ai1  a   i2   .  A= (A1, A2, ....., Ai,......,An), donde Ai=    .   .     ain  Observación:
1  i  n
El concepto de matriz puede definirse también de la siguiente manera Sea In e Im dos intervalos naturales iniciales, esto es: In= {1, 2, 3,...,i,…, n} 1 i  n Im= {1, 2, 3,..j,.., m} 1 j m Sea K un cuerpo, llamaremos matriz nxm con elementos en el cuerpo K a toda función f definida por: f: In x ImK def
(i,j)  f (i,j)  aij
1i  n , 1j m
La imagen del elemento (i,j) perteneciente al dominio de f, se denota por aij , In x Im (1,1) (1,2) … (i,j) … …(nm)
K a1,1 a1,2 … ai,j … anm
Así la matriz A queda caracterizada por el conjunto de imágenes aij y suele escribirse como un cuadro de nxm elementos del cuerpo K dispuestos en n filas y m columnas. 13
En cada fila o renglón se escriben las imágenes de todos los pares ordenados que tienen la misma primera componente, y en cada columna se anotan las imágenes de todos los pares ordenados que tienen la misma segunda componente. El elemento de la matriz que figura en la fila i y en la columna j se denota por aij , y es la imagen dada por f, del par (i,j). Llamando A a la matriz cuyo elemento genérico es aij , escribiremos:
Observación: también se pueden estudiar las matrices desde el ámbito del Algebra Lineal. I.2.2.-Igualdad de matrices
Dos matrices A= aij  y B = bij  , con 
Son del mismo orden
 i ,  j es aij = bij
1i  n ,1j m
, son iguales si :
Ejemplo 1  0  A=   0,5 1
1   sen(0)  B=   1 / 2 cos( ) 
Las matrices A y B son iguales.
I.3.-Operaciones con matrices: I.3.1.-Suma de Matrices: Sean A y B dos matrices de Knxm su suma es otra matriz S Knxm. Es decir: +: Knxm x Knxm  Knxm (A, B)  S= A + B Donde A= (aij)nxm y B= (bij)nxm , su suma es: S = (sij)nxm = (aij)nxm + (bij)nxm = (aij +bij) ;  1 i n  1 j m
 a11   a 21  ... A B    ai1  ...  a  n1
         
a11  b11
a 21  b21 ...
a12  b12 a 22  b22 ...
ai1  bi1 ...
ai 2  bi 2 ...
a n1  bn1
 s11   s 21  ...   si1  ...  s  n1
a1m   a2m  ...   aim  ...  a nm 
b2 j ...
bi 2 ...
a1 j  b1 j a 2 j  b2 j ...
aij  bij ...
a nj  bnj
s 22 ...
s2 j ...
si 2 ...
sij ...
 b11   b21  ...   bi1  ...  b  n1
s1m   s2m  ...   S sim  ...  s nm 
b1m   b2 m  ...   bim  ...  bnm 
a1m  b1m   a 2 m  b2 m   ...  aim  bim   ...  a nm  bnm 
con S Knxm
Definición: la suma de dos o más matrices del mismo orden es otra matriz del mismo orden de las matrices sumandos dadas, donde cada elemento se obtiene a partir de la suma de los correspondientes elementos de las matrices sumandos. Ejemplo Dadas las matrices
1 2 5 0 1 2   A   B    3 4 6  2 x 3  3 4 1  2 x 3 La suma A+B esta dada por
1 2 5  0  1 2  1 1 7         A  B    3 4 6   3 4 1   6 8 7  2 x 3 I.3.2.-Multiplicación de un escalar por una matriz Sean el escalar α  K, la matriz A Knxm , se define el producto del escalar por la matriz, de la siguiente manera: .: K x Knxm  Knxm (α, A)  αA Sean A= (aij)nxm y α  K: def
α .A = α.(aij)nxm  (αaij)nxm
 1 i n
 1 j m
 a11   a 21  ... A     ai1  ...  a  n1
a1m   a11   a 2 m   a 21 ...   ...  aim   ai1 ...   ... a nm   a n1
a12 a 22
... a i 2
... a n 2
a1 j a 2 j
... aij
... a nj
a1m   a 2 m  ...   aim  ...  a nm 
Definición: el producto de un escalar por una matriz de orden (nxm) es otra matriz de igual orden donde cada elemento es el producto del escalar por el elemento correspondiente de la matriz dada. Ejemplo 1 3  2 6  1 3        Si A   2  1 y α =2 se tiene que A  2 2  1   4  2   4 6   8 12  4 6       3 x 2   3 x 2 
I.4.-Espacio vectorial de las matrices La cuaterna ( Knxm , +, K, . ) es un espacio vectorial , donde el conjunto de las matrices K nxm es el conjunto de vectores de este espacio vectorial. Esta cuaterna es un espacio vectorial si y sólo si se verifican los siguientes axiomas. Como antes definimos la suma de matrices, esto es: +: Knxm x Knxm  Knxm (A, B)  S= A + B donde A= (aij)nxm y B= (bij)nxm , S = (sij)nxm = (aij)nxm + (bij)nxm = (aij +bij) ;  1 i n  1 j m Ax1 : La suma de matrices es ley de composición interna Ax2: La suma de matrices es asociativa. A, B, C  Knxm : ( A  B )  C  A  ( B  C )
(ai j  bi j )  (ci j )  (ai j )  (bi j  ci j )
 1 i n  1 j m
Ax3: Existe el elemento neutro para la suma de matrices.  0 nxm  Knxm / A  Knxm : A  0 mxn  0 mxn  A  A ( a i j  0 i j )  (0 i j  ai j )  (a i j )  1 i n
 1 j m 17
Nota: 0nxm es la matriz nula de orden (nxm) Ax4: Existe Inverso aditivo u opuesto para cada matriz respecto de la suma de matrices A  Knxm ,   A  Knxm : A  ( A)  ( A)  A  0 nxm
(ai j )  ( ai j )  ( ai j )  (ai j )  0
Ax5: La suma de matrices es conmutativa A, B  Knxm : A  B  B  A
A+B= aij nxm  bij nxm  (a i j  bi j )  (bi j  a i j ) =B+A
Como antes definimos el producto de un escalar por una matriz: .: K x Knxm  Knxm (α, A)  αA Sean A= (aij)nxm y α  K:
α .A = α.(aij)nxm = a ij  =(αaij)nxm
Ax6 : El producto de un escalar por una matriz es ley de composición externa Ax7: Asociatividad Mixta. A  Knxm ,  ,   K : ( . ). A   .(  . A)
 . . A   . aij nxm
 (  . ) .( a i j )   .(  . a i j ) =  . .aij nxm   . . A
 1 i n ,  1 j m Ax8: Distributividad del producto en Knxm respecto de la suma en R. A  Knxm ,  ,   K : (   ). A   . A   . A
   . A     .aij nxm
 (   ) . ( a i j )   . (a i j )   . (ai j )  18
=  .aij nxm   .aij nxm   . A    . A
 1 i n ,  1 j m
Ax9: Distributividad del producto en K respecto de la suma en Knxm.   K  A, B  Knxm :  .( A  B )   . A   .B
 . A  B    aij nxm  bij nxm   .( aij  bij )   .( aij )   .(bij ) = =  .aij nxm   .bij nxm   . A   .B
Ax10: A  Knxm : 1. A  A.1  A
En particular si m=n, tenemos ( Knxn , +, K, . ) que es el espacio vectorial de las matrices cuadradas. Se prueban a manera de ejemplo algunos de los axiomas enunciados: i) Tomemos el Ax3  0 nxm  Knxm / A  Knxm : A  0 mxn  0 mxn  A  A
A  0 mxn
 a11   a 21  ...   ai1  ...  a  n1          
a11  x11
 x11   x 21  ...   xi1  ...  x  n1
a 21  x 21 ...
a12  x12 a 22  x 22 ...
ai1  xi1 ...
a i 2  xi 2 ...
aij  xij ...
a n1  x n1
an 2  xn 2
a nj  x nj
x2 j ...
xi 2 ... xn 2
xij ...
a1 j  x1 j a2 j  x2 j ...
x1m   x2m  ...   xim  ...  x nm 
a1m  x1m   a2m  x2m   ...  aim  xim   ...  a nm  x nm 
 a11   a 21  ...   ai1  ...  a  n1
a1m   a2m  ...   aim  ...  a nm 
Tomando la i-ésima fila y por igualdad de matrices tenemos la igualdad de la i.-ésima fila:
 xi1
ai 2  xi 2
... aij  xij
... aim  xim   ai1
... a ij
... a im 
a ij  xij  a ij
Teniendo en cuenta la existencia del opuesto de todo elemento en el cuerpo de los números reales, se tiene
xij  aij  aij xij  0 Por lo tanto, se deduce la matriz 0 de orden (nxm) denominada matriz nula del espacio vectorial, y se escribe del siguiente modo:
 011  021  ... 0=   0i1  ...  0  n1
012 .. 01j ... 01m  022 ... 02j ... 02m ... ... ... ... ...  0i2 ... 0ij ... 0im ... ... ... ... ... 0n2 ... 0nj ... 0nm
nxm
ii) Probando el Ax4 se obtiene la opuesta de toda matriz Sean entonces A  Knxm ,   A  Knxm : A  ( A)  ( A)  A  0 nxm Con
 a11   a 21  ... A X    ai1  ...  a  n1          
a 21  x 21 ... ai1  xi1
a1m   x11   a 2 m   x 21 ...   ...   aim   xi1 ...   ... a nm   x n1 .. ... ...
 011  021  ... =  0i1  ...  0  n1
a1m  x1m   a2m  x2m   ... = aim  xim   ...  a nm  x nm 
.. 01j
... 01m  022 ... 02j ... 02m ... ... ... ... ...  0i2 ... 0ij ... 0im ... ... ... ... ... 0n2 ... 0nj ... 0nm
Tomando la i-ésima fila y por igualdad de matrices tenemos la igualdad de la i.-ésima fila
... aim  xim   0 i1
... 0 ij
... 0 im 
a ij  xij  0 ij xij   aij
Por lo tanto, se deduce la matriz X de orden (nxm) denominada matriz opuesta de la matriz A del espacio vectorial, también se escribe X = -A, denotada por:   a11    a 21  ... A   ai1  ...  a n1 
 a12  a 22 ...  ai 2 ...  an2
 a1 j  a2 j ...  aij ...  a nj
 a1m    a2m  ...   o bien -A = ( a ij ) nxm  aim  ...   a nm  ( nxm )
I.4.1.-Diferencia de matrices Del axioma Ax4 se deduce la operación diferencia de matrices que se define de la siguiente manera: def
Sean A  Knxm , B  Knxm : A  B  ( A)  ( B ) def
A-B= (ai j ) nxm  (bi j ) nxm  (ai j ) nxm  (bi j ) nxm =A+  B 
I.4.2.-Multiplicación de Matrices Definición: Sean A  K m x p , B  K p x n y P  K m x n . El producto A.B se define como la matriz de dimensión (mxn) cuyo elemento de la i.ésima fila y la j.ésima columna se obtiene sumando el producto de los elementos de la i-ésima fila de A ,por los elementos de la j-ésima columna de B, Simbólicamente tenemos:  a11   a 21  ...  A.B   ai1  ...   a m1  
...a1 j ... a1 p ...a 2 j ... a 2 p
.... ai 2
..... ...aij ...
... am2
... ... ...a mj ... a mp
.... aip
  b11     b21   ...    .  bi1   ...     b p1    
...b1 j ... b1n ...b2 j ... b2 n
.... bi 2
..... ...bij ...
... bp2
... ... ...b pj ... b pn
.... bin
  p11     p 21   ...      pi1   ...     p m1    
p12 p 22
... p1 j ... ... p 2 j ...
p1n p2n
.... pi 2
..... ... pij ...
.... pin
... pm2
... ... p mj ...
... p mn
Por ejemplo para obtener p11 se suman los productos de la primera fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz p11  a1 1.b11  a1 2 .b2 1  ........  a1 p .b p 1 , para obtener p21 se suman los productos de la segunda fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz p 21  a 2 1.b11  a 22 .b2 1  ........  a 2 p .b p 1 , Análogamente para obtener pij se suman los productos de la i.ésima fila de la primera matriz por la j.ésima columna de la segunda matriz p i j  a i 1.b1 j  a i 2 .b2 j  ....  a i j .b j j  .....  a i p .b p j con 1  i  m
1  j n
Luego la definición del producto se puede simbolizar: 22
     P     
A . B  P  pi j   ai k .bk j  ai 1.b1 j  ai 2 .b2 j  ....  ai j .b j j  .....  ai p .b p j k 1
con 1  i  m
Observación: 1.-Para que dos matrices se puedan multiplicar, la primera debe tener tantas columnas como filas la segunda; este tipo de matrices se denominan matrices conformables. La matriz que resulta de la operación tendrá tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. 2.-La multiplicación de matrices no es conmutativa. Si bien dos matrices cuadradas pueden multiplicarse en cualquier orden, el resultado en general no es el mismo. I.4.2.-Propiedades del producto entre matrices 
El producto de matrices del conjunto Kmxn verifica las siguientes propiedades
Prop._1 Asociatividad del Producto de Matrices A  K m x p , B  K p x n , C  K n x t : ( A.B ).C  A.( B.C ) Prop._2: Distributividad del Producto respecto de la Suma de matrices A  K m x p , B  K p x n , C  K p x n : A .( B  C )  A .B  A . C ) A  K m x p , B  K mxp , C  K p x n : ( A  B ).C  A .C  B. C ) Prop._3: A  K m x p , B  K p x n ,   K :  .( A.B )  ( . A).B  A.( .B )
I.5.-Matrices Particulares I.5.1.-Matriz Diagonal: es aquella en que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. La matriz A  Knxn es diagonal  (  i ≠ j  aij = 0). La matriz diagonal AKnxn es de la forma
 a11   0  ... A  0  ...   0 
0   0  ...   0  ...  a nn 
Los siguientes son ejemplos de una matriz diagonal
2 0 0    A  0 5 0   0 0  3  
 0 0  C    0 0
I.5.2.-Matriz Escalar: es aquella matriz diagonal en que los elementos de la diagonal principal son todos iguales. La matriz A  Knxn es escalar  [(  i ≠ j  aij = 0)  (  i = j  aij = α)]. La matriz escalar A se denota como   0 A ...  0 
0 ...  ... ... ... 0 0
0  0 ...    
 2 0 0   A  0 2 0  0 0 2   3 x3
 4 0  B    0 4  2x2
0   3 0   C   0 3 0   0 0  3  3 x 3 
I.5.3.-Matriz Identidad: es aquella matriz escalar en la que α = 1.La denotamos con I Knxn 1  0  ...  0 
0  0 ...   1 
Por ejemplo 1  0 C  0  0 
1 0 0   B  0 1 0 0 0 1   3 x3
1 0  A    0 1  2x2
0 0 0  1 0 0 0 1 0  0 0 1  4 x 4
I.5.4.-Matriz Triangular Superior es la matriz en la cual todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son ceros. La matriz A  Knxn es triangular superior   i > j  aij = 0. La matriz triangular superior A se denota como
a1n   a2n  ...   ain  ...  a nn 
Son ejemplos de Matrices triangulares superiores
 1  2 1/ 4   A  0 5 3  0 0 2  3 x 3 
2 1  0 1 B 0 0  0 0 
0 2 / 3  2 1/ 4  3 5   0 1  4 x 4
Matriz Triangular Inferior es la matriz en la cual todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son ceros. 25
La matriz A  Knxn es triangular inferior   i < j  aij = 0. La matriz triangular inferior A se denota como
Son ejemplos de Matrices triangulares inferiores 1 0   N    4  2  2x2
0 0  2   M    3 1 0  1 1/ 4 6   3x3
En particular para las matrices pertenecientes al conjunto Knxn se verifican las siguientes proposiciones. I.6.-Proposiciones Prop._1: Distributividad del Producto respecto de la Suma de matrices. A, B , C  K nxn : A .( B  C )  A .B  A . C : ( A  B ).C  A .C  B . C
Prop._2: A  K n x n , I n  K nxn : I n .( A.B)  ( I n . A).B  A.( I n .B) Prop._3: A  K nxn : AI n  I n A  A donde I n es la matriz unidad o identidad de orden nxn. Proposición Sean A, B, C, matrices, si están definidos los productos B.C y A.(B.C) entonces también están definidos los productos A.B y (A.B).C y se cumple que A.(B.C)=(A.B).C
Demostración Sean A  Ksxm , B  Kmxn y C  Knxp , para probar la proposición se debe primero probar que las matrices son conformables para producto de ambos miembros de la igualdad y luego que ambos miembros son identicos. 1.-Las matrices B y C son conformables, el producto de ellas da una matriz de orden (mxp) y es conformable para efectuar el producto con la matriz A, resultando otra matriz producto de orden (sxp), con lo que se demuestra la posibilidad de efectuar A.(B.C). Asimismo, las matrices A y B son conformables por lo que es posible el producto de A.B , resultando la matriz de orden (sxn) conformable con la matriz C, resultando el producto (A.B).C de orden (sxp). 2.-A continuación se procede a probar la otra condición para la igualdad de dos o mas matrices, esto es probar que sus elementos son iguales. Continuando con la demostración se tiene:
ABC ij =  AB C ij Tomando el primer miembro de la igualdad, resulta:
ABC ij =  aih BC hj
por propiedad de sumatoria y por multiplicación de matrices se escribe
ih hk
 a h
  b c kj =  aih bhk c kj =    aih bhk c kj  k  h k h 
 c AB k
  AB C ij
Con lo cual queda probado la igualdad de elementos de las matrices . Probados 1 y 2 queda demostrada la proposición dada. I.7.-Inversa de una matriz cuadrada La matriz A  K nxn es no singular, iversible o regular si y solo si existe una matriz B  K nxn tal que su producto por A, a izquierda y a derecha, es la matriz identidad del mismo orden de las matrices dadas. A  K nxn es inversible  B  K nxn / AB  BA  I n 27
A la inversa de una matriz A, si existe, se la denota como A -1  K nxn La inversa de una matriz A  K nxn , si existe, es única.
Ejemplo  0 1  es la matriz B= La inversa de la matriz A=   1 1
 1 1  puesto que   1 0
 0 1   1 1   1 0   .   =   =In A.B =   1 1  1 0   0 1    1 1   0 1  1 0   .   =   =In B.A=   1 0   1 1  0 1  I.7.1.-Propiedad Si existe la matriz A 1 K nxn de la matriz A  K nxn , se verifica que :
Observación : El lector puede demostrar la propiedad enunciada. I.8.- Matrices especiales I.8.1.-Matriz Transpuesta: se llama transpuesta de la matriz AKnxm a la matriz que se obtiene de intercambiar las filas y columnas de la matriz A. Se la designa de la forma At. La transpuesta de la matriz A=[aij] es la matriz At = [aji]  1  i  m,  1  j  n, es decir que la t
i-ésima fila de A es la i-ésima columna de A .
Ejemplos: Sean las matrices 1 3 2  A    5 0 1  2 x3
 2  1  B    4 1  2x2
C  5  1 2 1x 3
1 5   At   3 0   2 1  3x2
 2 4  B t     1 1  2x2
5   C t    1  2   3 x1
I.8.1.1.-Propiedades i) Sea A Knxm , entonces (At )t = A ii) Sea A Knxm y α un escalar, entonces (αA)t = α At iii) Sean A y B Knxm , entonces (A+B)t = At + Bt iv) Sean A Knxm y B Kmxp , entonces (A.B)t = Bt . At Se prueba esta última propiedad, cuyo enunciado es: La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas en orden permutado. En símbolos es: Sean A  K nxp y B  K pxm   AB   B t A t t
Demostración p
C=AB  cij   aik bkj  ai1b1 j  ai 2 b2 j  ....  aip b pj k 1
c ij es el elemento de la fila j y de la columna i de de la traspuesta de la matriz C. Los elementos b1j , b2j ,………,bpj De la columna j-ésima de B, lon los de la fila j de Bt . Análogamente, ai1 , ai2 ,……..,aip son los elementos de la columna i-ésima de At Entonces, el elemento de la fila j y de la columna i de BtAt es p
b1j ai1 + b2j ai2+….+bpj aip =  aik bkj k 1
En consecuencia  AB   B t A t t
I.8.2.-Matriz simétrica A  K pxm es simétrica si y solo si A= At Ejemplo
 1 1 0  1 1 0     t su transpuesta es A    1 2 3  Sea la matriz A    1 2 3  0 0 3 0  3 x 3 3 0  3 x 3   I.8.3.-Matriz antisimétrica A  K pxm es antisimétrica si y solo si A= -At Los elementos de la diagonal principal de toda matriz antisimétrica son nulos, pues: A  K nxm es antisimétrica  aii   aii , i  2aii  0 , i  aii  0 , i Ejemplo
1  2 0   A  1 0 3  es antisimétrica  2 3 0    3 x3 I.8.3.1.-Proposiciones Prop.1.- El producto de toda matriz por su transpuesta es una matriz simétrica. Prop.II.- La suma de toda matriz cuadrada con su transpuesta es simétrica. Prop.III.-La diferencia de toda matriz cuadrada con su transpuesta es antisimétrica.
I.9. Modelos matriciales Observación Para el estudio de los modelos propuestos el alumno deberá remitirse al libro “Aplicaciones de Algebra Lineal” de Chris Rorres.Howard Antón. Editorial Limusa Administración de bosques 1.- Este es un modelo simplificado aplicable a la explotación racional duradera de un bosque cuyos árboles se han clasificado por alturas. Se supondrá que la altura de un árbol determina su valor económico al corte y a la venta. Se inicia con una cierta distribución de árboles de diferentes alturas y luego se deja crecer el bosque durante un cierto período; después se cortan algunos árboles de diferente altura y los que se dejan sin cortar deben tener la misma configuración de alturas del bosque original para que la explotación sea racional y duradera. Hay muchos procedimientos para lograr una explotación que corresponda a tales características y se tratará de encontrar uno en el que el valor económico de los árboles cortados sea lo mas alto posible. Esto determinará el rendimiento óptimo duradero del bosque y corresponde al máximo rendimiento posible de explotación continua del bosque sin que se agote. Conceptos Previos Fundamentales: Multiplicación y adición de matrices. Teoría de juegos 2.- Se analiza un juego de tipo general en el cual dos jugadores compiten con diferentes estrategias para lograr objetivos opuestos. Se aplica la técnica de las matrices para determinar cuál es la estrategia óptima de cada jugador. Conceptos Previos fundamentales: Multiplicación de matrices. Observación Para el estudio del siguiente modelo matemático el alumno deberá remitirse al libro Ecología Matemática. Principios y Aplicaciones. Fernando Momo- Angel Capurro Editorial: Ediciones cooperativas. Buenos Aires- Edición 2006 31
Conceptos previos fundamentales Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Modelos matriciales de poblaciones Cuando utilizamos modelos matemáticos para describir el crecimiento de las poblaciones o las interacciones entre ellas, asumimos que los individuos que las componen son iguales entre sí, de esta manera "olvidamos" intencionalmente, para no complicar excesivamente los modelos, la información acerca de las diferentes edades, estadíos, tamaños individuales o diferentes potenciales reproductivos de los individuos. Una de las formas de incluir parte de esa información en los modelos es el uso de modelos matriciales. En este tipo de modelos, la población es definida por un vector de estado cuyos elementos representan las abundancias de diferentes subgrupos de la población, por ejemplo edades o estadíos. Así, si en un momento dado la población que estamos estudiando está formada por 30 individuos juveniles, 57 adultos y 12 seniles, podemos representarla por un vector 30 57  n  12     
donde los números son los elementos del vector y representan la abundancia de cada estadío. Ahora podemos incluir en nuestro modelo información acerca de las diferentes probabilidades de supervivencia y potenciales reproductivos de cada estadío. Nótese que estamos considerando un crecimiento discreto de la población y, entonces, esa información estará sintetizada en una matriz de transición cuyos elementos representan los aportes de cada elemento del vector (cada estadío) en un momento dado (por ejemplo un año) a cada uno de los estadíos en el momento siguiente (por ejemplo el año siguiente). A la matriz de transición le llamaremos A, de manera que podemos sintetizar nuestro modelo como:
n t 1  A.n t
Por ejemplo podemos escribir el modelo de una población con tres estádios:
 n1   s11 n    s  2  21  n3  t 1  s31 
f2 s 22 s32
f 3   n1  a 23  n2   s33   n3  t
Vemos que los elementos de la primer fila de la matriz son los aportes de cada estadío al estadío inicial en el año siguiente, es decir la supervivencia del estadío 1 y las fecundidades de los estadíos 2 y 3. Los elementos de la subdiagonal representan los aportes de cada estadío al siguiente en el año siguiente. Los de la diagonal, los aportes de cada estadío a sí mismo en el año siguiente. Algunos de estos elementos o de los restantes pueden tener sentido biológico sólo cuando son nulos y eso depende de cómo estemos definiendo los estadíos y el modelo. Por ejemplo, si los estadíos son edades cronológicas absolutas, los elementos diagonales distintos de cero no tendrían sentido porque ningún organismo puede tener la misma edad cronológica dos años seguidos, tampoco el elemento a23 del ejemplo porque un organismo no puede ser más joven al año siguiente de lo que era este año; en cambio, si los estadíos son diferentes estados fenológicos de una planta, puede haber "vueltas atrás" o aportes de un elemento a sí mismo. Esto se comprende mejor si representamos el ciclo de vida en forma de grafo:
f2 S33
Todo grafo orientado como este tiene asociada una matriz, cada flecha corresponde a un elemento no nulo de la matriz donde el elemento que aporta es el que corresponde a la columna y el que recibe a la fila. Si damos valores arbitrarios a las flechas del grafo anterior y escribimos la matriz resultante, obtenemos:
18  0  5   1    2  4   0 
0 6 10  0 0 12  1 0  3  3 
¿Por qué decimos que los modelos matriciales nos aportan más información que sus equivalentes simplificados? Para comprender esta afirmación vamos a empezar por un ejemplo clásico: la matriz de Bernardelli que es la matriz de transición del ejemplo numérico anterior. Ésta matriz fue originalmente (1941) planteada para un problema demográfico pero para nuestros fines inventaremos una interpretación más ecológica. Supondremos que representa el ciclo de vida de un insecto; también que representa sólo la dinámica de las hembras, tal y como se hace en las tablas de vida, para que tenga sentido el valor de fecundidad. Se consideran tres estadíos: larvas, pupas y adultos: Esto significa que en el valor de fecundidad estamos colapsando la fecundidad sensu stricto y la supervivencia de los huevos a larvas; suponemos además que ningún estadío sobrevive como tal al año siguiente: las larvas pasan a pupas o mueren, las pupas pasan a adultos o mueren y las hembras adultas mueren después de reproducirse; esto asegura que todos los elementos diagonales tendrán valor 0. Por último, y obviamente, sólo las hembras adultas se reproducen y por lo tanto sólo la f 3 no es nula. El grafo que representa este ciclo de vida es el siguiente:
Si construimos la tabla de vida correspondiente y calculamos la tasa de crecimiento discreta R0 de esta población obtenemos: R 0  f 1  s 21 . f 2  s 21 .s 32 . f 3  0  1 .0  1 . 1 .6  1
Como vemos, la población es estable a largo plazo, no crece ni decrece, ¿eso es todo lo que podemos decir? Observemos
Larvas 10 18 24 10 18
Pupas 12 5 9 12 5
Adultos 3 4 1.67 3 4
24 10 18 24 10 18
9 12 5 9 12 5
1.67 3 4 1.67 3 4
qué pasa si simulamos el comportamiento de la población utilizando nuestro modelo matricial; definimos un vector de estado inicial para la población, multiplicamos la matriz de transición por ese vector y obtenemos el vector de la población al año uno (es lo que está representado en la ecuación 4), multiplicamos la matriz por este vector y obtenemos el vector del año dos y así sucesivamente; ¿cuál es el resultado de este proceso?
Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Larvas 10 18 24 10 18 24 10 18 24 10 18
Pupas 12 5 9 12 5 9 12 5 9 12 5
Adultos 3 4 1.67 3 4 1.67 3 4 1.67 3 4
Más allá de la presencia de valores fraccionarios que, en realidad, deberíamos interpretar como densidades, aparece aquí un comportamiento que la tabla de vida no permitía sospechar, hay oscilaciones periódicas en la abundancia de la población, ¿podríamos haber predicho esto a partir del análisis de la matriz? La respuesta es sí.
I.10.-PRECURSORES DE LA TEORIA DE MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
El primero que empleó el término ‘’matriz’’ fue el inglés James Joseph Sylvester en el año 1850. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto, empleaban tablas con números. Prueba de ello es que el método aparece en Los Nueve Capítulos, la obra matemática china más importante de la antigüedad .
Sin embargo hay que esperar hasta el siglo XIX para que se desarrolle una de las herramientas más importantes de la matemática: el álgebra de matrices. A ella contribuyeron diversos matemáticos, entre ellos los ingleses Cayley y Sylvester, a quienes algunos
invariantes”. James Joseph Sylvester nació el 3 de septiembre de 1814 en Londres en el seno de una familia judía lo que representó, en ocasiones, un obstáculo para su carrera. Arthur Cayley nació el 16 de agosto de 1821 en Richmond. Ambos matemáticos, que fueron amigos, tuvieron algunas características en común: • Una gran inteligencia que se puso de manifiesto en los primeros años escolares. • Ambos estudiaron en Cambridge aunque en distintos años debido a la diferencia de edad. Sylvester fue alumno de otro algebrista notable De Morgan. • Tenían una gran variedad de aficiones diferentes a las matemáticas: leer, viajar, pintar, etc. • Al no poder conseguir un puesto fijo en la Universidad decidieron estudiar Derecho para poder vivir aunque nunca perdieron su pasión por las matemáticas. Se conocieron siendo abogados. • Trabajaron en matemáticas hasta edades muy avanzadas y consiguieron al final de su vida una cátedra en la Universidad. 36
• Ambos lucharon para conseguir que la mujer pudiese estudiar en la Universidad. En aquel tiempo las mujeres no podían asistir a clase. Cayley es uno de los matemáticos más prolíficos de la historia siendo uno de los primeros en estudiar las matrices de forma sistemática. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz, suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas.(Fuente:
BOYER, C. Historia de la matemática. Alianza
Editorial. Madrid, 1986- BELL, ET. Men of Mathematics. Simon and Schuster, New York, 1937 ( En Internet existe una versión en castellano))
II.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES II.1.- La ecuación matricial
II.1.2.- Conjunto solución
_________________________________________ En las cuestiones matemáticas no se comprende la indecisión ni la duda, así como tampoco se pueden establecer distinciones entre medias verdades y verdades de grado superior . Hilbert _________________________________________
II-Sistemas de ecuaciones lineales A menudo se presentan problemas que pueden plantearse por medio de ecuaciones, las que pueden tener una o más incógnitas. Sea la siguiente situación: Un productor tiene tres tipos de fertilizantes G 1, G2 y G3 que se diferencian por el nitrógeno contenido en cada uno, el cual es de 30%, 20% y 15% respectivamente. Se desea obtener 600 Kg. de fertilizante con un contenido de nitrógeno del 25%. Además la cantidad del fertilizante del tipo G3 debe ser el doble del tipo G2. ¿Cuántos Kg. se deben usar de cada tipo de fertilizante? Las ecuaciones siguientes representan la información que provee el problema
 G1  0,30G1  
 G2
 0,20G2
 0,15G3
 0,25 600
 2G2
II.1.-La ecuación matricial Sea A  Knxm , X  Kmx1 y B  Knx1; La ecuación matricial es : A. X= B
 a11 a  21     ai1     a n1
a 22 
a2 j 
ai 2 
aij 
a1m   x1  a 2 m   x 2         . = aim   x j         a nm   x m 
 b1  b   2    b j     bn 
Efectuando el producto y por definición de matrices iguales se obtiene la forma escalar del sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas:
a11 x1  a12 x 2    a1 j x j    a1m x m  b1  a 21 x1  a 22 x 2    a 2 j x j    a 2 m x m  b2   a n1 x1  a n 2 x 2    a nj x j    a nm x m  bn  Notas: 
x1,x2,……..,xm
denotan las incógnitas del sistemas de ecuaciones lineales de n
ecuaciones con m incógnitas. 
Los nxm escalares aij son los coeficientes de las incógnitas.
Los escalares bj se denominan términos independientes del sistema de ecuaciones lineales.
La matriz A, cuyos elementos son los coeficientes de las incógnitas del sistema, se llama matriz de coeficientes del sistema.
Si los escalares bj ,  1  j  n son ceros se tiene que el sistema lineal toma el nombre de sistema lineal homogéneo, esto es: La ecuación matricial es A.X=O El sistema de ecuaciones lineales toma la forma: a11 x1  a12 x 2    a1 j x j    a1m x m  0  a 21 x1  a 22 x 2    a 2 j x j    a 2 m x m  0   a n1 x1  a n 2 x 2    a nj x j    a nm x m  0  Observación: Dado un sistema de ecuaciones lineales de ecuación matricial A.X=B con B  O siempre es posible asociar a dicho sistema su correspondiente sistema lineal homogéneo de ecuación matricial A.X=O que recibe el nombre de sistema lineal homogéneo asociado al sistema lineal dado. II.1.2.-Conjunto Solución Se denomina conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales o de la ecuación matricial y se lo denota con S, al conjunto de elementos de Kmx1 , en símbolos se tiene 40
S = { X  Kmx1 / A. X = B} II.2.-Observaciones 
A cada elemento del conjunto solución S, si existen , llamaremos solución del sistema lineal A.X=B
    x1  x2   .      X   .  es una solución de la ecuación matricial A.X = B  A. X =B    .   .  x   m 
La ecuación matricial A.X=B no tiene solución, o el sistema de ecuaciones lineales es incompatible  S= 
La ecuación matricial A.X=B tiene solución, o el sistema de ecuaciones lineales es compatible  S  
Si sucede esto, puede darse que; a) El sistema lineal es determinado si y solo si el conjunto solución S es unitario, esto es tiene un único elemento. b) El sistema lineal es indeterminado si y solo si el conjunto solución S tiene mas de un elemento. 
La ecuación matricial A.X=O siempre admite solución y el sistema lineal asociado a dicha ecuación es compatible, esto es S  Ǿ
Si sucede esto, puede darse las situaciones a) y b) del item precedente.
Si se da la situación a) la solución es la trivial, esto es
0  0     . X   0    .  0
II.3.- Operaciones elementales sobre una matriz Se denominan operaciones elementales entre ecuaciones (o entre filas o columnas) de una matriz a las siguientes tipos de operaciones;  Tipo I: permutación de dos filas o dos columnas. Simbólicamente se expresa: fr fi (se intercambia la fila r con la fila i).  Tipo II: multiplicación de una fila o columna por un escalar α no nulo. Simbólicamente se expresa: α fi (el escalar α multiplica la fila i).  Tipo III: suma de una fila (o columna) multiplicada por un escalar α no nulo a otra fila (o columna). Simbólicamente se expresa: fr + αfi (se suma a la fila r, la fila i multiplicada por el escalar no nulo α.). Al aplicar las operaciones elementales a una matriz, obtenemos matrices equivalentes y sistemas de ecuaciones lineales equivalentes. II.3.1.-Proposición Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene a partir de otro por operaciones elementales entre sus ecuaciones entonces ambos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes. Ejemplo: Dado el sistema
 2 x1  4 x 2  6 x3  18   4 x1  5 x 2  6 x3  24 2 x  7 x  12 x  30 2 3  1 En forma matricial y mediante operaciones elementales se tiene: 42
2 4 6  4 5 6  2 7 12 
1 2 3 18  1 f1 f1   2 24    4 5 6  2 7 12 30  
1 2 3     0 1 2 0 3 6  1 f2  f2 3
9  4 12 
9  24  30 
1 2 3    0  3  6 0 3 6 
9   12  12 
f 2  f 2 4 f1 f3  f3 2 f1
1 0 1    0 1 2 0 0 0  f1 f12 f2 f3 f3 3 f2
1  4 0 
El sistema finalmente obtenido es equivalente al sistema original y es de la forma:
 x1  
 2 x3
Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes al sistema inicial. Es decir, que cada sistema tiene el mismo conjunto solución que su precedente. II.4.-Matriz escalón por fila Una matriz E se llama escalón por fila si todo elemento de E es cero, o si se verifican las siguientes condiciones a) Si E tiene filas nulas, estas aparecen en la parte inferior de la matriz. b) El primer elemento no nulo (a partir de la izquierda) de cada fila no nula de E es igual a 1. Dicho número se denomina 1 principal o inicial. c) Las filas no nulas de E están dispuestas de tal forma que cada una de ellas presenta a la izquierda del 1 principal más ceros que la fila precedente. Ejemplos:
1 5 4   B   0 1 3 0 0 0  
1 0 1 - 4   C  0 1 0 1  0 0 0 1   
1 0 0 D   0 0 1
7  3 
B, C, D son matrices escalón por filas.
En una matriz escalón por filas, todos los elementos situados debajo del 1 principal de una fila son ceros. La columna que contiene un 1 principal se denomina columna principal.
En una matriz escalón por filas, sus filas están en “escalera descendente”, esto es: * El 1 principal de cada fila se encuentra en la esquina izquierda de cada peldaño * La altura de cada peldaño es igual a la altura de una fila. * Debajo de la escalera todos los elementos son ceros.
Dada una matriz, no siempre es posible hallar una única matriz escalón por filas, puesto que al cambiar las sucesiones de operaciones elementales sobre las filas de la matriz dada, es posible llegar a diferentes matrices escalón por filas.Las diferentes matrices escalón por filas obtenidas son equivalentes, y cumplen con la relación de equivalencia.
Dada una matriz, todas sus matrices escalón por fila tienen el mismo número de filas no nulas.
II.5.-Rango de una matriz. Sea A  K nxm una matriz, y sea E  K nxm una de sus matrices escalón por filas. Se define rango de la matriz A, y se denota rg(A), al máximo número de filas no nulas de la matriz escalón por filas E. Ejemplo
3 4 1    Sea la matriz A=  2 3 0  , mediante operaciones elementales se obtiene:  4 3 1   1  3 4 1  1 1 1  1 1 1  1 1   f1f1f2   f2f22f1   f3f34f1    2 3 0    0 1  2    0 1  2   2 3 0    4 3 1  4 3 1 4 3 1 0 1  5          1 1 1  f 1 f 1 1 1  3 3     f3f3 f2 7  0 1  2    0 1  2   0 0  7 0 0 1      de donde se puede notar que el rango de la matriz A es 3, esto es, rg(A)=3
II.6.-Matriz escalón reducida por filas Una matriz R de Knxm, se llama matriz escalón reducida por filas, si verifica las siguientes condiciones: a) R es una matriz escalón por filas. b) En las columnas principales de la matriz R, los elementos que están arriba y abajo del 1 principal son ceros. c) Toda matriz escalón reducida por filas es una matriz escalón por filas, pero no ocurre a la inversa. d) Toda matriz escalón de Knxm tiene una única matriz escalón reducida por filas. e) Si R es una matriz escalón reducida por filas de una matriz A, y si E es una matriz escalón por filas de la misma matriz A, las matrices R y E tienen el mismo número de filas no nulas. f) Podemos definir el rango de una matriz en términos de la matriz escalón reducida por filas, esto es: Sea A una matriz de Knxm. Sea R la matriz escalón reducida por filas de A. El rango de la matriz A es el máximo número de filas no nulas de la matriz escalón reducida por filas R. Ejemplos
1 0 0   A=  0 1 0  0 0 1  
1  0 B=  0  0 
0  0 0  1 
1 0 0 5  C=  0 0 1 2
1 0 2 5   D=  0 1 3 6  0 0 0 0  
II.7.-Método de Gauss- Jordan, para el tratamiento de rango e inversa de una matriz El método Gaussiano a través de las operaciones elementales definidas, no solo permite determinar el rango de toda matriz si no también calcular , de ser posible, la inversa de una matriz cuadrada.  Método de Gauss-Jordan para inversa de una matriz cuadrada
Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A de orden n se reduce la matriz [A| In] a la matriz [In| B] llegando desde A a la matriz identidad aplicando las operaciones elementales en la matriz [A| In]; luego B es la inversa de A. Ejemplo _El ejemplo citado en el ítem anterior muestra el empleo de este método para el cálculo del rango de una matriz. _Para la determinación de la inversa suponga el siguiente ejemplo.  2  3 x y  . Supongamos que existe la inversa A-1=   Sea la matriz A=   4 5   z w Y usando el hecho de que A.A-1=In , efectuamos: 2 y  3w   1 0   2  3   x y   2 x  3z     .   =   A.A-1=    4 5   z w    4 x  5 z  4 y  5w   0 1  De la igualdad de matrices se tiene la igualdad de sus respectivas componentes. Esto puede expresarse en la forma  3z 1  2x   3w  0 2y    5z 0  4 x   4y  5w  1 Que es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Se observa que hay dos ecuaciones que involucran solamente a x y a z , y las otras dos que involucran a y y w , esto se puede resumir a dos sistemas de ecuaciones de la forma  2 x  3z  1 a)   4 x  5 z  0
 2 y  3w  0 y b)   4 y  5 w  1
Reduciendo por filas ambos sistemas resulta  2 3 a)   4 5
1  f2 2 f1 f2  2  3    0 1 0  
1 f1 f1
1  f2 2(1) f2  1  3 / 2    0 2  1 
1/ 2    2 
3 f1 f2  f1 2
1 0 0 1
 
 5 / 2   2 
de donde se deduce que, x=-5/2 y z=-2
0  f2 2 f1 f2  2  3    0 1 1  
 2 3 b)   4 5 3 f1 f2  f1
2   
1 f1 f1 2 f2 (1) f2
1  3/ 2 0     0 1 1 
0   1
 3 / 2   1 
de donde se deduce que, y=-3/2 y w=-1 x y  = Luego, la matriz inversa A-1 es de la forma A-1=   z w
  5 / 2  3 / 2    1   2
II.7.1.-Método para encontrar la solución de un Sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema a11 x1  a12 x 2    a1 j x j    a1m x m  b1  a 21 x1  a 22 x 2    a 2 j x j    a 2 m x m  b2   a n1 x1  a n 2 x 2    a nj x j    a nm x m  bm 
Se denomina matriz ampliada a la matriz formada por la matriz de los coeficientes más el vector columna de los términos independientes y se la denota: A* = [AB], A* Kn x (m+1)
 a11 a  21   A*=   ai1    a n1
a12 a 22  ai 2 
 a1 j  a2 j
 a1m  a2m
  aim
a n 2  a nj
  a nm
b1  b2    bj    bm 
II.7.2.-Teorema de Rouché-Frobenius Sea el sistema lineal de ecuación matricial A.X=B, com A   mxn , X   nx1 y B   mx1 Sea A*  
mx  n 1
la matriz de coeficientes ampliada con la columna de términos
independientes. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución, es que la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada tengan igual rango. A.X=B es compatible  rg  A   rg  A*  Demostración  x1   x1       x2   x2  nx1 nx1   AX = B es compatible   X   : A. X  B   .   :  A1 , A2 ,...., An . .  = B    . .   x   x n   n  x1 , x 2 ,....., x n  
: x1 A1  x 2 A2  ....  x n An  B  B   xi Ai si
combinación lineal de las n columnas de la matriz A si y solo si la dimensión del espacio columna de la matriz A es igual a la dimensión del espacio columna de la matriz ampliada, si y solo si rg(A)=rg(A*). (Observación: esta demostración supone tener conocimientos sobre Álgebra Lineal) Además, llamando n al número de incógnitas: 48
Si rg(A) = rg(A*)=n Sistema compatible determinado y tiene una solución unica
Si rg(A) = rg(A*)n Sistema compatible indeterminado y infinitas soluciones.
Si rg(A) ≠ rg(A*)  Sistema Incompatible y no tiene solución.
Ejemplos a) Dado el sistema de ecuaciones lineales 2 x  4 y  6 z  18  4 x  5 y  6 z  24 3 x  y  2 z  4  2 4 6  La matriz ampliada A* asociada al sistema esta dada por A* =  4 5 6 3 1  2 
18   24  4 
Mediante el método de Gauss-Jordan se tiene 2 4 6  4 5 6 3 1  2 
1 2 3       4 5 6 3 1  2  1 f1 f1 2
1 2 3       0 1 2  0  5  11  1 f2  f2 3
f1f1f3 f2f22f3
1 0 0       0 1 0 0 0 1 
9   4   23 
9  24  4 
1 2 3       0  3  6  0  5  11  f2f24f1 f3f33f1
f1f12f2 f3f35f1
1 0 1      0 1 2 0 0 1 
1  4  3 
9    12   23 
1 0 1      0 1 2 0 0 1  f3 f3
1  4 3 
4   2 3 
haciendo uso del Teorema de Rouche Frobenius vemos que rg(A) = rg(A*) =3 y que coincide con el número de incógnitas, entonces el sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado y la solución única esta dada por S  4,2,3
c) Dado el sistema lineal
 10 z  5 x   3 x 1 y  4 z  1 4 x  y  6 z 1   1 0 10  La matriz ampliada B* asociada al sistema esta dad por B* =  3 1  4 4 1 6 
5   1 1 
Reduciendo por filas el sistema  1 0 10  3 1  4 4 1 6 
 1 0 10       0 1  34  0 1  34  f2f23f1 f3f34f1
5   16   19 
 1 0 10       0 1  34 0 0 0  f3f3f2
5   16   3 
haciendo uso del Teorema de Rouche Frobenius vemos que rg(A) = 2 y rg(A*)=3 de donde se puede concluir que el sistema de ecuaciones es Incompatible, eso es, no admite solución. II.8.-Sistemas lineales homogéneos: Sea el sistema de ecuaciones A.X = B, donde B es la matriz nula de K nx1, de manera que AX=0. Entonces este sistema de ecuaciones se denomina sistema lineal homogéneo. El sistema homogéneo siempre tiene solución, puesto que al menos admite la solución trivial , es decir el conjunto solución S   . El sistema lineal homogéneo siempre es compatible, por lo que puede suceder: 
rg(A)= n  Sistema compatible determinado
rg(A)  n  Sistema compatible e indeterminado.
Ejemplos Sea el sistema
 x1   x1  2x  1
 3x2
 2 x3
 4 x2
 6 x3
Reduciendo por filas el sistema, se tiene
 1  3  2   1   1 2 2 4 6  
f2f1f2 f3 (2)f1f31
1  3  2       0  1  1   0 10 10   
f1 (3)f2f1 f3 10f2f3
1 0 5        0  1  1 0 0 0   
1 0 5      0 1 1  0 0 0   f2 (1)f2
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería: y + 4x = 28 y + x = 10 restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 . También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.
Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.( Fuente: BOYER, C. Historia de la matemática. Alianza Editorial. Madrid, 1986- BELL, ET. Men of Mathematics. Simon and Schuster, New York, 1937 ( En Internet existe una versión en castellano)
II.10.-Reseña histórica sobre los determinantes Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”. Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co-inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10 años antes. Las contribuciones más importantes a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración del teorema detAB=detA detB. Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo Euler contribuyo en mayor medida. Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría de propagación de las ondas y las series infinitas.
A Cauchy se le reconoce el haber establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemáticas. Después de Cauchy, fue mucho más difícil publicar escritos basándose en la intuición; se exigió una estricta adhesión a las demostraciones rigurosas. Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocido por la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas. Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue con él con quien la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de las funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.(Fuente:Algebra Lineal- Stanley I. Grossman S.-Editorial McGrawwHill)
III.- LA FUNCION DETERMINANTE III.1.- La función determinante. Definición. Propiedades
III.1.1.-Proposiciones
III.7.1.- Guía de trabajo práctico con SCIENTIFIC WORK PLACE
78 80 80 80 55
III.8.4.- Bibliografía_especifica para los ejercicios propuestos
La matemática ha sido el alfabeto con el cual Dios ha escrito el UNIVERSO. Galileo Galilei ______________________________________________
III Función Determinante III.1.-La función determinante – Definición – Propiedades Sea A  Knxn y se la denota así: A  A1 , A2 ,...., A j ,......, An  La relación
, definida del siguiente modo : Kn x n K A  A
se llama función determinante de orden n definida sobre el conjunto de las matrices cuadradas de orden n, que toma valores en K y que satisface las siguientes propiedades: 1)
es una función lineal por columnas, es decir:
a) A1 , A2 ,....., A j  A ' j ,....., An  A1 , A2 ,......, A j ,...., An  A1 , A2 ,......, A ' j ,...., An b) A1 , A2 ,......, cA j ,...., An =c A1 , A2 ,......, A j ,...., An
 1 j  n
 1  j  n , c  R
2.-Si para algún j  k es Aj = Ak , entonces: A1 , A2 ,...., A j ,....., Ak ,...... An  0
3.- Si A es la matriz cuadrada unidad de orden n, su determinante es igual a 1,  n =1 Nota: el número A se denomina determinante de (la matriz) A, y el número n designa el orden del determinante. Por lo expuesto la función determinante es por definición: 1.- n-lineal 2.- alternada 3.- I n  I  1 III.1.1.-Proposiciones Proposición I Si para cualquier entero k / 1  k  n una columna es combinación lineal de otras dos; esto es Ak  c1 Ak'  c2 Ak'' con c1 y c2 K, entonces vale la siguiente igualdad:
A1 , A2 ,...., c1 Ak'  c2 Ak'' ,....., An  c1 A1 , A2 ,...., Ak' ,....., An  c2 A1 , A2 ,...., Ak'' ,....., An
Prueba Por Ax 1.a) se tiene que A1 , A2 ,...., c1 Ak'  c2 Ak'' ,....., An  A1 , A2 ,...., c1 Ak' ,....., An  A1 , A2 ,...., c2 Ak'' ,....., An y por Ax 1.b)
= c1 A1 , A2 ,...., Ak' ,....., An  c2 A1 , A2 ,...., Ak'' ,....., An Corolario Si los elementos de una columna cualesquiera de A  K nxn son todos nulos, entonces el determinante de la matriz es cero, esto es A=0 Demostración 0   0 . Si se supone que la columna k-ésima Ak=   . 0 0  
entonces Ak= 0 Ak donde Ak es cualquier
columna (de n-componentes), entonces: A1 ,...., Ak ,....., An  A1 ,....,0. Ak ,.., An  0 A1 ,..., Ak ,...., A n  0 Proposición II Si se intercambian dos columnas cualesquiera de una matriz A  K nxn , el determinante de la nueva matriz A’  K nxn así obtenida es el opuesto del determinante de la matriz A. Demostración Sean entonces A   A1 ,...., Ai ,...., Ak ,..., An  y A’=  A1 ,...., Ak ,...., Ai ,..., An  Se considera que las dos columnas son adyacentes, esto es, k= i+1 , entonces considerando la matriz A’’= A1 ,...., Ai  Ai 1 , Ai i 1 ,...., A n  se tiene A ''  0 por la Propiedad 2 de la función determinante , pero por la linealidad de la función determinante se tiene:
0  A ''  A1 ,...., Ai , Ai ,....., An  A1 ,...., Ai , Ai 1 ,...., An  A1 ,...., Ai 1 , Ai ,...., An  A1 ,...., Ai 1 , Ai 1 ,.... A
El primero y el último sumando son ceros por propiedad 1.(b) de la definición de la función determinante, porlo tanto 0= A  A'  A   A' Corolario Si a una columna cualesquiera Ai de la matriz A  K nxn se le suma un múltiplo escalar  por otra columna cualquiera Ak (i  k ) , entonces el determinante no varía, esto es: (i  k ) A1 ,..., Ai ,..., Ak ,...., An = A1 ,..., Ai  Ak ,..., Ak ,...., An
A1 ,..., Ai  Ak ,...., An  A1 ,..., Ai ,..., Ak ,...., An   A1 ,..., Ak ,..., Ak ,..., An   A1 ,..., Ai ,..., Ak ,...., An   0  A1 ,..., Ai ,..., Ak ,...., An III.1.2.-La función determinante de segundo orden : K2x2 K A A =
 a11 a 22  a12 a 21
Proposición 1.a) A1  A1' ,.A2  A1 ,.A2  A1' ,.A2 1.b) cA1 ,. A2  c A1 ,.A2 2) A1 ,.A2 =0 si A1=A2 3) I 2  1
Prueba ' 1
1.a) A1  A ,.A2 
a11  a11'
a 21  a
' = a11  a11' a 22  a 21  a 21 a12 =
' ' = a11 a 22  a11' a 22  a 21 a12  a 21 a12 a12 = a11 a 22  a 21 a12   a11' a 22  a 21
= A1 ,.A2  A1' ,.A2 1.b) cA1 ,.A2 
3) si A1=A2 A1 ,.A2 =
4) I 2 
 ca11 a 22  ca 21 a12  = c a11 a 22  a 21 a12  = c A1 ,.A2
 a11 a 21  a 21 a11  = 0
1 0  1.1  0.0   1 0 1
III.1.3.-La función determinante de tercer orden Si se considera las matrices de orden (3x3), se puede probar que la función determinante : K 3 x3  K A A Verifican las propiedades de la función determinante de dimensión 2.
 a11  Sea A   a 21 a  31 a11
A  a 21
a13   a 23  una matriz A de orden (3x3) , al aplicar determinante, se tiene a33 
a13 a12 a 23 a 21 a33 a31
a12 a 22 = a32
= a11 a 22 a 33  a12 a 23 a 31  a13 a 21 a32  a13 a 22 a31  a12 a 23 a32  a12 a 21 a33 Esta manera de calcular los determinantes de orden 3x3 se conoce con el nombre de Regla de Sarros
Entre las aplicaciones interesantes del determinante de matrices 3x3 es el cálculo de volúmenes de paralelepípedos y producto vectorial con sus características. III.2.-Cofactor o complemento algebraico Sea A  K nxn . El cofactor ij de un elemento cualquiera de la matriz A, es un elemento que se i j obtiene mediante la expresión  1 Ai / j  n 1 . Esto es, el cofactor de aij , denotado por Aij es tal que
Aij   1 Ai / j  n 1 donde Ai / j  n 1 denota el determinante de la matriz que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y columna j. i j
 1 2 0   Sea la matriz A=   1 3 4   5 0 1   Los cofactores de cada uno de sus elementos son:
A11   1
3 4  30  3 0 1
A13   1
1 3  0  15  15 5 0
A21   1
2 0   ( 2  0 )  2 0 1
A22   1
1 0  1 0  1 5 1
A23   1
1 2  (0  10)  10 5 0
A31   1
2 0 80 8 3 4
A33   1
1 2  3 2  5 1 3
31
A12   1
1 4  (1  20)  19 5 1
A32   1
1 0   ( 4  0 )  4 1 4
III.2.1.-Matriz de cofactores Sea A  K nxn de la forma
 an2
a1n  a 2 n     ain     a nn 
Llamamos matriz de cofactores a la matriz que resulta de sustituir en la matriz A cada elemento por su cofactor. Esto es
 A11 A  21     Ai1     An1
A1n  A2 n     Ain     Ann 
Para la matriz A del ejemplo anterior  1 2 0  3  19 15       10  A=   1 3 4  la matriz de cofactores es   2 1  5 0 1  8 4 5     III.2.2.-Adjunta de una matriz Sea A  K nxn dada por
a1n  a 2 n     ain     a nn  62
Llamamos adjunta de la matriz A, y denotamos por adj (A), a la transpuesta de la matriz que resulta de sustituir cada elemento por su cofactor. Esto es
 A11 A  12   adj ( A)    A1 j     A1n
Para la siguiente matriz A  1 2 0   A=   1 3 4  la matriz adj (A) =  5 0 1  
An1  An 2     Ani     Ann 
2 8   3    4   19 1  15  10 5   
Proposición Cualquiera que sea A  K nxn se verifica que A. adj(A)= adj(A).A = A I
III.3.-Matrices inversibles o no singulares Teorema Sea A  K nxn . A es inversible si y solo si A  0 . Si A  0 , entonces A 1  A  K nxn . A es inversible  A  0 . Si A  0 , entonces A 1  Prueba
1 adjA det A
i) A  K nxn es inversible  A  0 Por hipótesis A es inversible  B  K nxn / A.B  B. A  I luego A.B  B. A  I n por propiedad de determinantes
A . B  B . A  1 de donde se deduce que A  0 por ser el producto A. B no nulo.
ii) A  0  A  K nxn es inversible Por hipótesis A  0 y de la proposición anterior A. adj A = adj A.A = A I se tiene que precisamente
 adj ( A)   adj ( A)  A .I n A.adj ( A)  A   A  I n . entonces B  K nxn y es    A A A A    
adj ( A) 1  adj ( A)  A 1 A A
A partir de este teorema es posible resolver sistema de ecuaciones lineales de la forma a11 x1  a12 x 2    a1 j x j    a1n x n  b1  a 21 x1  a 22 x 2    a 2 j x j    a 2 n x n  b2   a n1 x1  a n 2 x 2    a nj x j    a nn x n  bn  cuya ecuación matricial responde a la forma AX=B con A  K nxn , X  K nx1 y B  K nx1 siempre que A sea una matriz no singular o inversible ( A  0 )
Nuestro problema radica entonces en determinar el conjunto solución S  X  K nx1 / AX  B Para ello utilizamos el resultado del siguiente teorema III.3.1.-Teorema de Cramer Sean A  K nxn , X  K nx1 y B  K nx1 Si A es una matriz inversible, el sistema lineal AX=B admite solución única. Si A es inversible  AX=B admite solución única. Prueba Por hipótesis A es inversible, esto significa que existe una matriz A-1. Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación AX=B por la inversa resulta: A-1(AX) = A-1B
asociando tenemos
(A-1A) X = A-1B
A-1A = In
resulta finalmente X = A-1B 64
Nota: este resultado nos muestra que:  el sistema lineal AX=B admite única solución debido a la existencia y unicidad de la inversa de la matriz A.  Todo sistema cuadrado en el que el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo se denomina crameriano.  A es inversible , si y solo si, A  0  Si B=0 y A es inversible, entonces el sistema AX=0 admite solución única trivial. Ejemplo Determinar si el siguiente sistema es o no crameriano. En caso afirmativo obtener la solución del sistema.  x1  2 x 2  3 x3  5  2 x1  5 x 2  3 x3  3 x  8 x3  17  1
 1 2 3   A=  2 5 3   1 0 8  
 x1    X=  x 2  x   3
5   B=  3  17   
1 adj ( A) A  2 5 3  1  0 entonces A 1 = A 1 0 8 Luego la solución del sistema esta dado por X  A 1 B
 x1   40 16 9   5   x    13  5  3   3      2   x3   5  5  1 17   x1   1  y la solución es  x 2    1  x3   2   1      o bien de la forma S   1  1,1,2   2     
III.3.2.-Regla de Cramer Sea AX=B un sistema lineal crameriano. La solución única del sistema esta dada por X  A 1 B Prueba 65
La solución del sistema es X  A 1 B  1  Pero A 1 B   adj ( A)  B  A 
 A11 A  12 1   luego X   A  A1 j     A1n
An1  An 2     Ani     Ann 
 b1  b   2  ..    b j   ..    bn 
de lo que se resulta que, adj ( A) B es una matriz de orden nx1
 A11b1  A12 b2  ....  An1bn   A b  A b  ....  A b  22 2 n1 n   21 1 1  .......................................  X    A  A1 j b1  A2 j b2  ....  Anj bn   ........................................     A1n b1  A2 n b2  ....  Ann bn  Por producto de escalar por una matriz, y por igualdad de matrices, se tiene que   x1   x    2  .  .  x     j  .  .      xn   
 K nx1
1  ( A11b1  A12 b2  ....  An1bn )  A  1 ( A21b1  A22 b2  ....  An1bn )   A .......................................  1 ( A1 j b1  A2 j b2  ....  Anj bn )  A  ........................................   1 ( A1n b1  A2 n b2  ....  Ann bn ) A 
Por lo tanto j  1,2,..., n se tiene que 1 x j  A1 j b1  A2 j b2  ....  Anj bn  1  j  n A 66
La expresión entre paréntesis es el desarrollo del determinante de la matriz-
 a11 a  21   Aj    ai1     a n1
b2 
bi 
a1n  a 2 n     ain     a nn 
columna j Si A es una matriz inversible de orden n, el sistema de ecuaciones lineales AX=B es compatible determinado y sus soluciones se calculan mediante la formula xj 
j  1,2,...., n
Donde A j es la matriz que resulta de sustituir en la matriz A la columna j por el vector columna B de términos independientes. Ejemplo Para el ejemplo anterior presentado
 x1  2 x1 x  1
 3 x3
 5x2
 8 x3
1 2 3 Se sabe que A  2 5 3  1 1 0 8 Luego, la solución única del sistema esta dado por
17 0 8 A
1 1 1
1 17 8 A
1 0 17 A
2 2 1
 x1   1  y la solución es  x 2    1  x3   2 
III.4.-Aplicaciones de la función determinante a la Geometría plana y a la Geometría Analítica plana. III.4.1.-Área del paralelogramo Una fila (a, b) de una matriz cuadrada de orden 2 representa un vector con origen en el punto de coordenadas (0, 0) y extremo en el punto de coordenadas (a, b). a b   define dos vectores fila y estos Una matriz cuadrada de orden 2, de la forma A   c d  determinan entres si un paralelogramo. El área del paralelogramo es el determinante de la matriz A y se designa por A .
Ejemplo 3 1  Sea la matriz cuadrada A    2 4 Figura 1
El área del paralelogramo determinada por los vectores filas es A =
3 1  3.4  2.1  10 2 4
Al permutar dos filas de un determinante este cambia de signo pero su valor absoluto no varía. Como puede verse en la figura 2, el paralelogramo no varia, solo cambia su orientación.
Nota: Observamos que el determinante de la matriz es cero cuando los dos vectores fila están alineados, es decir, cuando entre ellos no hay área. Figura 3
III.4.1.1.-Observación El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta. Ejemplo  3 4  3 2  , la transpuesta de esta matriz es A t    , que Sea la matriz cuadrada A    2 0  4 0 representan geométricamente los siguientes paralelogramos (figura 4)
El área de cada paralelogramo esta dado por el del determinante de la matriz. Esto es
3 4  3 . 0  2 . 4  8 2 0
3 2  3 . 0  4 . 2  8 4 0
Puesto que el área no es un valor negativo, dicha área es el valor positivo del determinante. III.4.2.-Volumen del paralelepípedo En R3 consideremos el paralelepípedo generado por los tres vectores: u  u1 , u 2 , u 3  , v  v1 , v 2 , v3  w  w1 , w2 , w3 
El volumen de dicho paralelepípedo es el valor absoluto del determinante cuyas filas son los vectores u, v y w.
V  v1
Ejemplos 1) Sean los vectores u  2,0,0  , v  0,3,0  , w  0,0,5 , entonces el volumen del paralelepípedo es
2 0 0 V  0 3 0 =30 0 0 5 2) Dados los vectores u  1,4,2  , v  3,2,2  , w   2,5,0 el volumen del paralelepípedo es
1 V  3 2
 2 2 = -4 5
III.5.-Modelos Matriciales Observación Para el estudio de los modelos propuestos el alumno deberá remitirse al libro “Aplicaciones de Algebra Lineal” de Chris Rorres.Howard Antón. Editorial Limusa Ecuaciones de curvas y superficies que pasan por puntos específicos 1.- Se desarrolla una técnica para utilizar los determinantes en la obtención de las ecuaciones de rectas, circunferencias y secciones cónicas que pasan por puntos específicos del plano. Este procedimiento se tulipa también cuando se quieren obtener las ecuaciones de planos y esferas que pasan por puntos fijos del espacio tridimensional. Conceptos Previos fundamentales: Sistemas lineales- Determinantes- Geometría Analítica. Cadenas de Markov 2.- Se describe un modelo general para un sistema de cambio de estado y se aplica a problemas concretos. Conceptos Previos fundamentales: Sistemas lineales- Matrices- Comprensión intuitiva de los Límites.
III.6.-Problemas resueltos de Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales 1)En un proceso de elaboración de jugos de fruta se emplea un evaporador del cual recibe una alimentación de 4.500kg por día de jugo con 21% de concentración. El producto final se debe concentrar hasta un 60%. Calcule la cantidad de agua evaporada. 1) w = ? W?; xW = 0% de jugo F=4.500kg/día xF= 21% de jugo
P; xP = 60% de jugo
Datos: F: alimentación P: producto W: cantidad de agua x: fracciones
F  W  P   Fx F  WxW  Px P
1 1 4500 0 0.6 4500(0.21)
1 1 4500 0 0.6 945
 x  2.925kg / día  W y  1.575kg / día  P
2) Se tienen dos tipos de alimentos para perros uno de 50 $/kg y el otro de 65$/kg. ¿Cuántos Kg. de cada alimentos se deben mezclar paras obtener 1.000 Kg a 54 $/Kg?
xA= 50 $/kg xB= 65 $/kg A=? [kg] B=? [kg]
donde: x: costo A, B : kg de alimento M: kg de mezcla M = 1000 kg xM = 54$/kg
A  B  M   Ax A  Bx B  Mx M 72
1 1000  1   50 65 1000(54)
1 1000  1   50 65 54000
 x  A  733.3kg y  B  266.7 kg
3) Una corriente de 1.000 Kg/hs que contiene 10% de alcohol, 20% de azúcar y resto de agua, se mezcla con 200kg/hs de una corriente con 25 % de alcohol, 50% de azúcar y el resto agua. Determinar la composición de la mezcla resultante.
C1=1000kg/h
M=3000kg/h
xA=10%alcohol xZ=20%azúcar xW=70%agua
C2=2000kg/h
xA= ? xZ= ? xW= ?
xA=25%alcohol xZ=50%azúcar xW=25%agua
donde: C1: corriente 1 C2: corriente 2 M: mezcla
xA: concentración de alcohol xZ: concentración de azúcar xW: concentración de agua
xAM, xZM y xWM son las concentraciones en la mezcla M, y xAM + xZM + xWM = 1
BC (alcohol)
C1  C 2  M  C1 x A  C 2 x A  Mx AM C x  C x  Mx 2 Z ZM  1 Z
(1)   ( 2)  (3) 
El problema se resuelve por una simple sustitución:
de (2): x AM  x AM 
de (3): x ZM 
C1 x A  C 2 x A M
1000(0,1)  2000(0,25)  0,2 3000 C 1 x Z  C 2 x Z 1000(0,2)  2000(0,5)   0,4 M 3000
de (4): xWM  1  x AM  x ZM  1  0,2  0,4  0,4 4) Se trata de concentrar una disolución de alcohol en un destilado. Entra 1.000kg/hs a 25ºC con una concentración de etanol de 10%. Por la parte superior sale alcohol con 79% de etanol y por la parte inferior sale un residuo con mucha agua y 0,01% de etanol. Determinar los flujos de la corriente.
A=? etanol 79% agua 21% F=1000kg/h
Destilador R=? etanol 0.01% agua 99.99%
etanol 10% agua 90%
donde: F: alimentación A: alcohol R: residuo xE: concentración de etanol
F  A  R   Fx E  Ax E  Rx E
1 1  1000 0,79 0,0001  100 74
 x  A  126,5kg / h y  R  873,5kg / h
5) La leche desnatada que se obtiene de eliminar grasa de una leche entera con 3,8% de grasa contiene; 90,5 de agua, 3,5 % de proteína, 5,1 % de hidratos de carbono, 0,8 de cenizas y 0,1 % de grasas. Calcular la cantidad de crema y de leche descremada suponiendo que: a) Se obtiene crema al 100% b) Que la crema obtenida contiene 65% de grasa.
Centrífuga 3,8% grasa
90,5% agua 3,5%proteína 5,1%hidratos de carbono 0,8%cenizas 0,1%grasa C 100% grasa
donde: L: leche entera LD: leche descremada C: crema x: fracción molar Suponiendo L = 100kg/h
 L  C  LD a)   Lx L  Cx C  LDx LD
1  0,001
 x  C  3,7 kg / h y  LD  96,3kg / h
 L  C  LD b)   Lx L  Cx C  LDx LD
 x  C  5,7 kg / h y  LD  94,3kg / h 75
6) En una fabrica de aceite de soja de proceso continuo, la semilla que ingresa contiene 1,5 % de materias extrañas, 14% de humedad y 19% de aceite. El sistema de extracción tiene capacidad para procesar 300 ton/día de soja limpia con 11% de humedad. La semilla es sometida a una operación de limpieza, donde se elimina la totalidad de las impurezas, pero además pierde un 7%.2
Estos problemas abiertos fueron presentados por el Ayudante Estudiantil Sr.Hernán Cifarelli actualmente egresado como Ingeniero en Industrias Alimentarias de la Facultad de A.y A- de la UNSE para la cátedra de Ingeniería en Alimentos en el año 2008 76
III.7.-Resolución de ejercicios con soporte informático. III.7.1.-Guía de trabajo practico con SCIENTIFIC WORKPLACE. Introducción SCIENTIFIC WORKPLACE es un procesador de textos que tiene incorporado un procesador de textos llamado MAPLE, el cual permite agregar en el texto, símbolos matemáticos y efectuar operaciones. En el mismo se permite plantear y resolver ejercicios mientras se confecciona apuntes o diferentes trabajos con mucha facilidad. El scientific workplace tiene dos modos de trabajo, el modo matemático y el modo texto. Se puede intercambiar entre ellos mediante la combinación de la teclas Ctrl+e (texto) Ctrl+m (matemático) o bien haciendo uso de la barra de herramientas en donde veremos que aparecerá una T (texto) y haciendo clic sobre ella cambiara a una M (matemático). En el modo de textos se cuenta con varias opciones de edición de textos , entrando en la barra de herramientas a la opción View  Toolbars aparecerán las mismas mediante las cuales se puede formatear el texto elaborado. Al trabajar el modo matemático, también se dispone de un comando para mantener el formato del trabajo, este está también en la opción View  Toolbars. Mientras que en la opción MAPLE esta el paquete completo de operaciones matemáticas que es posible realizar. Con el comando Evalute se puede encontrar la solución de los mismos o bien presionando el comando Ctrl+e desde nuestro teclado. Operadores Para trabajar con las operaciones de suma (+), resta (-), producto (*) haremos uso de los operadores usuales de nuestro teclado, y si no, el software cuenta en su barra de herramienta con los símbolos antes mencionados. Variables Para poder identificar una variable a la hora de poder realizar una operación, esta debe estar siempre escrita en modo matemático, caso contario no será identificada como tal. Se pueden usar las teclas mayúsculas o minúsculas indistintamente.
III.7.2.-Matrices. Las matrices en Scientific WorkPlace se trabajan de igual forma a como las trabajamos en nuestro cuadernos, es decir, en un tabla encerrada entre paréntesis, para ello contamos con reglas rapidas en la barra de herramientas. Veremos a continuacion todas las operaciones que podemos realizar entre matrices. Modo de ingreso de una matriz Para ingresar una matriz, utilizaremos la barra de herramienta, en esta aparecen los “paréntesis” () y en la barra math object esta la opción ''matrix'', la cual nos abre un menú especial para crear la matriz ingresando la cantidad de filas y columnas necesarias. 1 1  A=   0 2
 10 0   1  B=  2 3  1 2
III.7.2.1.-Operaciones con Matrices Suma: Para sumar matrices se escribe las matrices con el operador correspondiente a la suma (+) y luego presionando el comando ctrl+e se obtiene el resultado.  4  1  5 1 0   6  3  1  1  +   =    5   3  4 1    5 2  2 6  1 2 2 Resta: Para restar matrices se escribe las matrices con el operador correspondiente a la resta (-) y luego presionando el comando ctrl+e se obtiene el resultado.  1  2 0   3 4 1    2  6  1      _     3 2 4 1 5 5 2 7 1       Multiplicación: Para sumar matrices se escribe las matrices con el operador correspondiente al producto (*) y luego presionando el comando ctrl+e se obtiene el resultado.
0   1 2 1   1 2       3 2   3 4  *    1 0   0  1   1  2      Matriz Transpuesta. Para encontrar la transpuesta de una matriz utilizaremos en el menú maple  matrices  transpose.
1 3    1 0 5  Sea A=  0  1 , transpose At =  3 1 7 5 7    Rango de una Matriz. Para encontrar el rango de una matriz utilizaremos el menú maple  matrices  rank  1  2 3  , rank: Rg(A)=2 A =   3 5 10 5 
Matriz Inversa Para encontrar la inversa de una matriz utilizaremos el menú maple  matrices  inverse
 1 2 0   3 35  2 35  8 35     -1  Sea A=   1 3 4  , inverse: A =  19 35  1 35 4 35   5 0 1  3 7 27  1 7     Adjunta de una Matriz Para encontrar la adjunta de una matriz utilizaremos el menú maple  matrices  adjugate
 1  5 1 5   A=   5 2 30  , adjugate Adj (A) =  1 4 15  
  90 379 5  752 5     31   105 74 5   22  9  23   79
Traza de una Matriz Para encontrar la traza de una matriz utilizaremos el menú maple  matrices  trace
 1  5 1 5   A=   5 2 30  , trace: Trac(A) = 18  1 4 15   III.7.3.- La Función Determinante III.7.3.1.- Aplicaciones de la Función Determinante Para encontrar el determinante de una matriz utilizaremos el menú maple  matrices  determinant
 1 2 0   A=   1 3 4  , determinant: det(A) = -35  5 0 1   III.7.4.-Sistemas de Ecuaciones Lineales Podremos trabajar en este programa a los sistemas de ecuaciones lineales de dos maneras. La primera es trabajarlos en forma matricial y calcular su tipo de solución mediante el análisis de los rangos y luego haremos la reducción de la matriz ampliada. Otra manera es ingresando las ecuaciones de la manera habitual y buscar la solución de las mismas. III.7.4.1.-Forma Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales En esta forma, trabajaremos a los sistemas de ecuaciones expresándolos con su matriz asociada, el vector de incógnitas y el vector de términos independientes; es decir utilizaremos una expresión de la forma: A*X=B Ejemplo:
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
 2 x  y  3z  2   x  y  z  3  x  4 y  2z  0  Lo descomponemos matricialmente de la siguiente manera
 2 1 3   x   2         1 1  1 *  y  =  3   1  4 2   z  0      
 2 1 3 2   y sea A* =   1 1  1 3  1 4 2 0  
Para encontrar la solución del sistema haciendo uso de la matriz ampliada, ejecutaremos el comando Maple  matrices  reduced row echelom form, de esta forma veremos como se aplica Gauss Jordan a la matriz ampliada, luego obtendremos el rango de la matriz el cual nos permitirá decidir sobre la compatibilidad del sistema y además obtendremos la solución del mismo.
 2 1 3 2   A* =   1 1  1 3  , row echelon form: 1 4 2 0  
 1 0 0  27 2    0 1 0  5 4   0 0 1 37 4   
  27 2    de la cual podemos deducir que la solucion es: X=   5 4   37 4   
III.7.4.2.- Forma Normal del Sistema de Ecuaciones Lineales 81
En esta forma de trabajo, ingresaremos el sistema de ecuaciones lineales de la manera en que habitualmente lo vemos y lo trabajamos de la siguiente manera: 1º- Se carga el sistema de ecuaciones en una matriz de orden 3x1 y se coloca una ecuacion por fila; es decir: 2 x  3 y  3z  2 x yz 3 x  4 y  2z  0
2º- Ejecutaremos el comando Maple  solve  exact, como resultado obtendremos información sobre la compatibilidad del sistema, en caso de ser compatible nos darà las soluciones del mismo. 27  5 17  Solution is:  X   , y  , z   4 4 2 
IV.9.--Ejercicios de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes 3 IV.9.1- Ejercicios de matrices  2  1 0 1   1 3 5  , B    y C    1. Dadas las matrices A   3 2   4  2  2  1 1 Calcular si es posible: a) A+B
 2  1 0 1   1 3 5  , B    y C    2. Dadas las matrices A   3 2   4  2  2  1 1 Calcular si es posible: a) ABC
1  b) C t  B  A  c) A 2 , B 2 y C 2 2 
 2 6 3 1 1 1     3. Dadas las matrices A   0 9 5  , B   2  4 2  se pide:   6 2 1 3 5 7     a) Calcular AB y BA ¿coinciden los resultados? b) Calcular (A+B)2 y A 2  2 AB  B 2 ¿los resultados son iguales? c) Calcular A 2  B 2 y  A  B  A  B  ¿coinciden ambos resultados? 4. Mediante operaciones elementales transformar la matriz A en una matriz escalón equivalente y calcular el rango de A.
1 4 1    3  a) A   2 5  1 10  11  
3 1    b) A   1 4  5  2  
 2 4  c) A    5 3
1 4   3 5   d) A   6  7  2  5   4 1 1 0   
Esta propuesta de ejercicios fueron presentados por el Ayudante Estudiantil Sr.Hernán Cifarelli actualmente egresado como Ingeniero en Industrias Alimentarias de la Facultad de A.y A- de la UNSE para la cátedra de Ingeniería en Alimentos en el año 2008
IV.9.1.1.- Resolución 1) a) 1  2  0  1  1 2 0 2  1 0    A B    2 4  2  3  4 2  2  7 0 3 b) 2  1 1 3 5 2.1  (1).2 2.3  (1).(1) 2.5  (1).1 0 7 9   AC     3.3  2.(1) 3.5  2.1  7 7 17  3 2  2  1 1 3.1  2.2 c) El producto de CB no se puede efectuar porque el número de columnas de C y el número de filas de B no coinciden. En cambio, el producto CtB si que se puede realizar porque el número de columnas de C t y el número de filas de B es el mismo. En primer lugar se calcula la matriz transpuesta de C intercambiando sus filas y sus columnas: 1 2 t 1 3 5 C   3  1  2  1 1 5 1 t
1 2 0 Asi, C B  3  1  4 5 1  t
1.0  2.4 1   3.0  (1).4  2  5.0  1.4
1.1  2.(2)  8  3 3.1  (1).(2)   4 5 5.1  1.(2)  4 3 
d) Para calcular (2A+B).C se realiza en primer lugar la operación del paréntesis:
1 4  2 0 2.2 2.(1) 0 2A  B       2.3 2.2  4  2  6 4  4
1  4  0  2  1 4  1    2 6  4 4  2  10 2 
4  1 1 3 5 4.1  (1).2 4.3  (1).(1) 4.5  (1).1 2 13 19  Asi, (2 A  B).C     10.3  2.(1) 10.5  2.1  14 28 52  10 2  2  1 1 10.1  2.2
2) a) Para calcular ABC, se calcula primero el producto de AB y el resultado se multiplica a la derecha por la matriz C.
2  1 0 1  2.0  (1).4 AB     3 2  4  2 3.0  2.4
2.1  (1).(2)  4 4   3.1  2.(2)  8  1
 4 4 1 3 5  (4).1  4.2 (4).3  4(1) (4).5  4.1 4  16  16 Asi, ( AB ).C      25 39  8  1  2  1 1 8.1  (1).2 8.3  (1).(1) 8.5  (1).1  6 Por la propiedad asociativa del producto de matrices, el resultado seria el mismo si primero se calculase BC y el resultado se multiplicara a la izquierda por A. b) En primer lugar se calcula la matriz transpuesta de C intercambiando sus filas y columnas:
1 2 t 1 3 5 C   3  1  2  1 1 5 1 A continuación se calcula: t
1  2 .0 1 .B  A   2  1 .4  2
1  1 .1   2  1 0  2 2   2  1  0     2   3 2   3 2   1   .(2) 2  1 2  3 2 
 1.(2)  2.(1) 1 2  3  2    t 1  Asi, C  B  A  3  1 2   3.(2)  (1).(1)    2  5 1  1  3  5.(2)  1.(1) 
1    (1)  2  2    1  2   1
3 2   3
3   1.  2.(3)   4 2   3 3.  (1).(3)   5   2   3   11 5.  1.(3)   2
9   2  15  2 9  2 
2  1 2  1 2.2  (1).3 A 2  A. A     3 2  3 2  3.2  2.3 0 1  0 1  0.0  1.4 B 2  B.B     4  2 4  2 4.0  (2).4
2.(1)  (1).2 1  4  3.(1)  2.2  12 1  0.1  1.(2)  4  4.1  (2).(2)  8
 2 8 
No se puede calcular C2 = C.C, ya que C no es una matriz cuadrada. 3)
2 A.B  0  6
6 3 1 1 1  2.1  6.2  3.3 2.1  6.(4)  3.5 2.1  6.2  3.7       9 5 2  4 2  0.1  9.2  5.3 0.1  9.(4)  5.5 0.1  9.2  5.7  2 1  3 5 7  (6).1  2.2  1.3 (6).1  2.(4)  1.5 (6).1  2.2  1.7  23  7 35   33  11 53 1  9 5 
1 1 1  2 6 3 1.2  1.0  1.(6) B. A  2  4 2 0 9 5  2.2  (4).0  2.(6) 3 5 7   6 2 1 3.2  5.0  7.(6) 9   4 17    8  20  12   36 77 41
1.6  1.9  1.2 2.6  (4).9  2.2 3.6  5.9  7.2
1.3  1.5  1.1  2.3  (4).5  2.1  3.3  5.5  7.1 
No coinciden los resultas, es decir, A.B  B. A lo que significa que el producto de matrices no verifica la propiedad conmutativa.
7 4 3  1  3 6 3 1 1 1  2  1 6  1 2        5 7  9 5   2  4 2  0  2 9  (4) 5  2  2 A  B  0  6 2 1  3 5 7   6  3 2  5 1  7   3 7 8 b)
7 4 7 4  3 3    5 7   ( A  B)  ( A  B).( A  B)  2 5 7  2  3 7 8   3 7 8  84 93  3.7  7.5  4.7 3.4  7.7  4.8  11 3.3  7.2  4.(3)     2.3  5.2  7.(3) 88 99 2.7  5.5  7.7 2.4  5.7  7.8    5 (3).3  7.2  8.(3) (3).7  7.5  8.7 (3).4  7.7  8.8  19 70 101  2
A continuación se calcula A2+2AB+B2:
2 6 3 2 A  A. A  0 9 5 0  6 2 1  6 2
2.6  6.9  3.2 2.3  6.5  3.1 6 3 2.2  6.0  3.(6)     0.6  9.9  5.2 0.3  9.5  5.1 9 5  0.2  9.0  5.(6)  2 1 (6).2  2.0  1.(6) (6).6  2.9  1.2 (6).(6)  2.5  1.1 72 39  14    30 91 50   18  16  7 
La matriz AB se ha calculado en el apartado a), así:
2.35 46  14 70  23  7 35  2.23 2.(7)    2 AB  2 33  11 53   2.33 2.(11) 2.53   66  22 106 1  9  18 10  2.5  2 5 2.1 2.(9) 1.1  1.(4)  1.5 1 .1  1 .2  1 .7 1 1 1  1 1 1  1.1  1.2  1.3       B  BB  2  4 2 2  4 2  2.1  (4).2  2.3 2.1  (4)(4)  2.5 2.1  (4).2  2.7  3 5 7  3 5 7  3.1  5.2  7.3 3.1  5.(4)  7.5 3.1  5.2  7.7  2 10 6   0 28 8  34 18 62  2
72 39  46  14 70  6 2 10  14  A 2  2 AB  B 2   30 91 50   66  22 106  0 28 8   18  16  7  2  18 10  34 18 62 72  (14)  2 39  70  10  38 60 119   14  46  6   30  66  0 91  (22)  28 50  106  8  36 97 164   18  2  34  16  ( 18)  18  7  10  62  18  16 65
En conclusión, (A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2. 87
La igualdad que en realidad se cumple es (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2, y sólo en aquellos casos en los que se verifique que AB = BA, se cumplirá que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 .
c) En el apartado b) se han calculado A2 y B2, por tanto,
2 10  14  6 72  2 39  10   20 70 29   14 72 39  6        A  B   30 91 50   0 28 8    30  0 91  28 50  8    30 63 42   18  16  7 34 18 62   18  34  16  18  7  62  52  34  69 2
Para calcular (A + B)(A - B), se ha de calcular cada uno de los factores, el primero se ha calculado en el apartado b) y el segundo es:
6 3 1 1 1  2  1 6 1 3  1  1 5 2  2        A  B  0 9 5    2  4 2   0  2 9  (4) 5  2   2 13 3   6 2 1 3 5 7   6  3 2  5 1  7   9  3  6 De esta manera 5 7 4  1 3    ( A  B )( A  B )  2 5 7   2 13  3 7 8   9  3 3.1  7.( 2)  4.(9)  2.1  5.( 2)  7.(9) (3).1  7.(2)  8.(9)
2  3    6 3.5  7.13  4.(3) 3.2  7.3  4.(6)   2.5  5.13  7.(3) 2.2  5.3  7.(6)  (3).5  7.13  8.(3) (3).2  7.3  8.(6)
3   47 94    71 54  23  89 52  33
En conclusión, A2 – B2≠ (A + B) (A – B). La igualdad que en realidad se cumple es (A + B) (A – B) = A2 - AB + BA – B2, y al ser AB ≠ BA, como se ha comprobado en el apartado a), no se verifica (A + B) (A – B) = A2 – B2.
4) No existe un solo conjunto de operaciones elementales con las que escalonar una matriz. Por tanto, para cada matriz, la matriz escalonada equivalente que se obtiene no es única, aunque todas han de tener el mismo número de filas nulas ya que el rango de una matriz es único. a)
1  1 4  A  2 5 10  F2  F2  2 F1 , F3  F3  F1 1 10  11
1 4  1 0  3 5    0 0 0  La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene dos filas no nulas, por tanto, rg A = 2.
3 1  A  1 4  5  2
F1  F2
1 4  3 1    5  2
1 4  1  0  3 5  F  F  2 F 3 3 2   0 6  10
F2  F2  3F1 , F3  F3  5 F1
1 4  0  11    0  22
F3  F3  2 F2
4 1   0  11 0 0 
La primera operación elemental que se realiza, intercambiar la primera y segunda fila, tiene como objetivo obtener como “elemento pivote” el valor 1, lo que facilitará las posteriores operaciones elementales. La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene dos filas no nulas, por tanto, rg A = 2.  2 4 c) A    5 3 
F1  (1 / 2) F1
1 2  5 3  
F2  F2  5 F1
1 2  0  7   
La primera operación elemental que se realiza, multiplicar la primera fila por 1/2, tiene como objetivo obtener como “elemento pivote” el valor 1, lo que facilitará las posteriores operaciones elementales. La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene dos filas no nulas, por tanto, rg A = 2. Otra manera de escalonar la matriz A es la siguiente:  2 4 A  5 3 
F2  2 F2  5 F1
2 4  0  14   89
d) La matriz A se puede escalonar haciendo operaciones elementales por filas y por columnas, como se muestra a continuación.
 3 5 1 4  A  6  7  2  5 C1  C 3 4  1  1 0  1 5  3 4   0 3 0 3 F3  F3 0  6 7  4 
5 3 4  1   2  7 6  5 F  F  2 F , F  F  F 2 2 1 3 3 1    1 1 4 0 1 5  3 4   2 F2 0 3 0 3 0 0 7 2 
La matriz escalonada equivalente a A obtenida tiene tres filas no nulas, por tanto, rg A = 3. IV.9.1.2-Autoevaluación 1) Determinar el rango de la siguiente matriz:
tres uno dos cuatro 2) ¿Cuánto vale el rango de la matriz identidad de orden 4? 1 4 0 2 3) Determinar la matriz opuesta de la siguiente matriz:
4) Determinar una matriz equivalente a la siguiente matriz:
5) ¿Qué deben verificar dos matrices cuadradas A y B para que sea cierta la siguiente igualdad?
La matriz BA ha de ser regular La matriz AB ha de ser regular AB = BA A y B han de ser regulares
6) Determinar la matriz transpuesta de la siguiente matriz:
7) Si A y B son dos matrices de orden 2x5, ¿cuál de las siguientes operaciones se puede realizar? ABA 2A - B
8) Si A y B son dos matrices de orden 3x2, ¿de qué orden es la matriz resultante de trasponer A + B y multiplicar el resultado a la derecha por la matriz A? 2x2 2x3 3x3 3x2
IV.9.2.-Ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales IV.9.2.1-Ejercicios 2 x  3 y  3 1) Dado el sistema de ecuaciones lineales  4 x  5 y  6 a) Escribir la expresión matricial del sistema b) Discutir el sistema. c) Resolver el sistema por el método de Gauss.
x y z 0  2) Discutir y resolver el sistema homogéneo  x  2 y  z  0 2 x  y 0  y 2 z  3t  x  x  2 y  3 z  4t  3) dado el sistema de ecuaciones lineales   2 x  3 y  5 z  7t  2 x  2 y  4 z  6t Indicar si tiene solución y calcularla en este caso.
1 0 1 2
4) Hallar para qué valores de a el siguiente sistema es compatible determinado y calcular su solución para esos valores.  y  z 1  x  x y z 7    x  y  z  3  2 x  ay  4 z  a 5) Estudiar según los valores de a si el siguiente sistema es de Cramer y calcula en estos casos su solución
2 x  y  4 z  3  5 x  y  az  10  x  y  3z  4  IV.9.2.1.-Resolución
 2 3  x   6  1) a)       4 5  y  3  b) Escribimos la matriz ampliada del sistema dado y la escalonamos mediante operaciones elementales por filas. Observar que en este proceso también se escalona A.  2 3  3 4 5 6   
F2  F2 2 F1
 2 3  3 0 1  0    
rg A  2  n º de incógnitas
Aplicando el teorema de Rouche-Frobenius se deduce que el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución. 2 x  3 y  3 2 3  3 , el sistema  es equivalente al inicial. c) Teniendo en cuenta que   0  y 0 1  0  De la segunda ecuación se obtiene y = 0, y sustituyendo en la primera 2x + 3.0 = 3, por tanto, x=3/2. Luego la solución del sistema es x =3/2, y=0 2) Por ser un sistema homogéneo compatible. Calculamos el rango de A para determinar el número de soluciones que posee.
1 1 1  A  1 2 1  2 1 0
F2  F2  F1 ; F3  F3  2 F1
1 1 1  0 3 2  F  F  F 3 2   3 0 0 0
1 1 1  0 3 2    0 0 0
Así, rg(A)= 2, por tanto el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. El grado de indeterminación de sistema es 3 – rgA = 3 - 2 = 1, por lo que la solución dependerá de un parámetro. Para calcular la solución del sistema dado se resuelve el sistema equivalente asociado a la matriz escalonada que es:
x  y  z  0   3 y  2 z  0 De la última ecuación se obtiene 3y = 2z , luego, y =2z/3 Sustituyendo en la primera, x + 2z/3-z= x- z/3=0, luego x=z/3 Por lo tanto, las soluciones del sistema es: x=z/3; y=2z/3; z un número real cualquiera.
3) Escalonamos la matriz ampliada para determinar el rango de A.
2 3  1   1 1   1  2  3  4  0     2 3 5 7 1    4 6 2   2 2 1 1 2 0  1  1  0 1 1  0 0 0
3 1   1  1 1 3   0 4 
F2  F2  F1 ; F3  F3  2 F1 ; F4  F4  2 F1
F3  F3  F2
1 1 2 0  1  1  0 0 0  0 0 0
3  1   1  1  0  2  0  4
F4  F4  2 F3
3  1   1   1 0  2  0 0
rg A = 2 ≠ rg Aa = 3 entonces el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución
4) Estudiamos los rangos de A, escalonando la matriz ampliada
1  1 1  1 1  1 1 7    F2  F2  F1 ; F3  F3  F1 ; F4  F4  2 F1  1 1 1 3    2 a  4  a  1  1 1  1 1  1 1  1   0  2  02 2  6 2 6     F3  F3  F2 ; F4  2 F4  (a  2) F2 0 0  0 2  10 2 0 4      0 0 2(a  4)  8(a  2) 0 a  2  2  a  2 
F4  F4  (a  4) F3
1 1 0  2  0 0  0 0
1  1   2  6   2  10  0   2a  24
En este caso rg A = 3 independientemente del valor de a y como el número de incógnitas es también 3 para que el sistema sea compatible determinado debe ocurrir que rg Aa sea 3. rg Aa = 3 si –2a + 24 = 0 a =-24/-2=12 Resolvamos el sistema para a = 12 por el método de Gauss. 1 1  1 1  0  2 2  6    Luego el sistema a resolver es 0 0 2  10   0 0 0  0 
x  y  z  1   2 y  2 z  6 2 z  10 
 2 z  10  z  5  2 y  2 z  6   2 y  6  2 z  6  2.(5)  4  y  2 x  y  z  1 x  1 y  z  1 2  5  4 x  4
Por lo tanto, la solución para a= 12 es x = 4, y =2, z =5
5) Como el número de ecuaciones del sistema coincide con el de incógnitas, será un sistema de Cramer si A ≠ 0.
2 1 4 5 1 a A  1 1 3  -6 + 20 -a + 4 – 2a +15 = -3a + 33 = -3(a - 11) 2 1 4 5 1 a Por lo tanto, si a ≠ 11 A ≠ 0 y el sistema es un sistema de Cramer y por ello compatible determinado, es decir, con solución única para cada valor de a distinto de 11. Para resolverlo utilizaremos la regla de Cramer.
3 1 4 10  1 a 4 1 3  3(a  11) 2 3 4 5 10 a 1 4 3  3(a  11) 2 1 3 5  1 10 1 1 4  3(a  11)
 9  4a  40  16  3a  30 7  3  3(a  11)
60  3a  80  40  8a  45  3(a  11) 5  3  3(a  11)
 8  10  15  3  20  20 0  3(a  11)
Así, rg(A)= 2, por tanto el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. El grado de indeterminación de sistema es 3 – rgA = 3 - 2 = 1, por lo que la solución dependerá de un parámetro. Observar que en este caso el valor Observar que en este caso el valor de x, y, z es independiente de a.
IV.9.2.2.- Autoevaluación 1) ¿Cuál es el orden de la matriz ampliada de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas? 4x3 3x4 4x4 3x3
2) La solución del siguiente sistema es: -3x - y + 2z = 1 x - 3y - z = a 3x + y + z =1 x = (3a+5)/30, y = (-9a-5)/30, z cualquier número real No tiene solución para ningún valor de a x = (3a+5)/30, y = (-9a-5)/30, z = 2/3 x = 4/15, y = -7/15, z cualquier número real 3) ¿Qué se puede afirmar de un sistema lineal cuya matriz de coeficientes tiene determinante igual a 5? Es compatible determinado Es compatible indeterminado Es completo Es incompatible
4) El siguiente sistema cumple: x + y - 2z = 0 2x + y - 3z = 0 3x + 2y -5z = 0
Es compatible indeterminado y su solución es x = z, y = z, siendo z un número real cualquiera Es compatible determinado y su solución es x = 1, y = -1, z = 2 Es compatible determinado y su solución es x =0, y = 0, z = 0 Es compatible indeterminado y su solución es x = 0, y = 0, z siendo z un número real cualquiera 5) ¿Cúal de las siguientes operaciones realizadas en la matriz ampliada de un sistema, da lugar a una matriz correspondiente a un sistema equivalente al inicial? Se sustituye la primera fila por el resultado de sumarle el doble de la tercera Se multiplica la primera fila por la segunda fila A la primera fila se le suma la segunda columna Se sustituye la primera fila por el resultado de multiplicarla por 0 y sumarle el doble de la tercera 6) ¿Cúal de las siguientes afirmaciones es falsa? Todo sistema compatible es Cramer Todo sistema lineal homogéneo es compatible Todo sistema de Cramer es compatible Todo sistema compatible se puede reducir a uno de Cramer
7) El siguiente sistema es: x + 2y +z = 7 x - 2y + z = 3 x+y+z=6 Incompatible Compatible Determinado Homogéneo Compatible Indeterminado 8) Aplicando el Teorema de Rouche- Frobenius a un sistema AX = B de tres ecuaciones con dos incógnitas y AB distinto de 0, verifica: Es Compatible Determinado Es Compatible Indeterminado Es un sistema de Cramer Es Incompatible
IV.9.3.-Ejercicios de determinantes IV.9.3.1.-Ejercicios propuestos 1. Calcular los siguientes determinantes:
 5 13 a) 4 3
b) 3  1  1 1 3 4
1 0 7   2. Dada la matriz A   0 1 3  , calcular: 4 0 1   a) el menor complementario del elemento a 21 b) el adjunto del elemento a 32
3) calcular el siguiente determinante 0 1 2  1 2 1 4 a) por la regla de Sarrus b) Desarrollando por la segunda columna (por el método de los cofactores) 4) Escribir las propiedades de los determinantes que nos permiten asegurar que son ciertas las siguientes igualdades:
4 2 0 4 1 0 1 1 2 0  1 1 0 a) 2  3 10  1  3 5  1 4
d)  3 0 7    3 0  3 1 1 4 2
b) 1 2 0  2 2  3 1 1 0 0
4 1 3
e) 4  3 2  0  3 1 1
1 1 4
c) 0 0 0  0  3 1 1
20  1  0 f) 4  3  15  1
5. Decir si las siguientes matrices son regulares y en caso afirmativo calcular su inversa mediante adjuntos:
 4 2  3  a) A    1 0  1
1 3  0   b) A   6  3 0    2 3 6  
 2 1  1   c) A    1 0 1   6 1 2   
6. Mediante adjuntos, calcular la matriz inversa de A para aquellos valores del parámetro real a que sea posible.
1 2 1   A  0 a a 2 0 3  
IV.9.3.1.- Resolución
 5 13  (5)(3)  4.(13)  15  52  37 4 3
8 1 0 3 1 1 b)
1 3  4  8( 1)(4)  3.(3).0  1.(1).(1)  0.(1).1  (1).(3).(8)  (4).(1).(3)  8 1 0 3 1 1
 32  0  1  0  24  12  67
Para poder realizar el cálculo se agregan las dos primeras filas en la parte inferior del determinante.
2) a) Para calcular el menor complementario del elemento a 21 , se escribe el determinante de la 0 7 0 matriz eliminando la segunda fila y la primera columna, 0 1 1 7 b) A32  (1) 3 2  1 1.(3)  0.(7)   3 0 3 3) 2
1 1 2  2 1 4  2.(1 / 2).4  0.(1).(1)  (2).(3).(1)  (1).(1 / 2).(2)  (1).(1).(2)  4.(3).(0)  a) 2 3 1 0
1 2 2 1
 4  0  6  1  2  0  11 1 1  1  3 A12  A22  1A32 2 4
Eligiendo la columna del medio para trabajar, ahora calculamos cada uno de los adjuntos:
A12  (1)1 2
0 1  (1).(0  2)  2 2 4
A22  (1) 2 2
2 1  (1).(8  2)  6 2 4
A32  (1) 3 2
2 1  (1).(2  0)  2 0 1
Y sustituimos en el desarrollo del determinante: 2 3 1 1 1  1  3. A12  . A22  1. A32  3.(2)  .(6)  1.(2)  11 2 2 2 1 4
4) a) “Si en una matriz se multiplica una fila (columna) por un número real, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz inicial multiplicado por dicho número”. Se observa que en este caso la segunda columna de la matriz inicial se multiplica por 1/2 para obtener la segunda columna de la otra matriz. b) A t  A c) “El determinante de una matriz con una fila (columna) cuyos elementos son ceros es nulo”. d) “Si en una matriz se intercambian entre sí dos filas (columnas) el determinante cambia de signo”. Se observa que se han intercambiado F1 y F3. e) “El determinante de una matriz con dos filas (columnas) iguales es nulo”. Se observa que F1 = F3. f) “El determinante de una matriz con dos filas (columnas) proporcionales es nulo”. Se observa que C2 = 5 C1. 5) a) Al ser una matriz 2x3 no es cuadrada y, por lo tanto no tiene inversa.
0 1 6 3 b)  2 3 0 1 63
3 0 6  0  54  0  18  0  36  0 3 0
Al ser el determinante igual a cero la matriz no tiene inversa.
2 1 1 0 c) 6  1 2 1 1 0
1 1 2  0  (1)  6  0  (2)  (2)  9  0 1 1 105
Al ser el determinante distinto de cero la matriz tiene inversa. Para calcular A-1, en primer lugar hallaremos los adjuntos de todos los elementos. A11  (1)11
0 1 1 1 2
A13  (1)13
1 0 1 6 1
2 1  4  6  10 6 2
A23  (1) 23
A31  (1) 31
1 1 1 0 1
A32 (1) 3 2
A33  (1) 33
2 1 1 1 0
1 1  1.(2  6)  8 6 2
A21  (1) 21
1 1  1.(2  1)  1 1 2
2 1  1(2  6)  8 6 1
2 1  1(2  1)  1 1 1
1 8 1 La matriz adjunta de A es Adj(A) =  1 10 8 y la matriz inversa de A es: 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 8 A 1  ( Adj ( A)) t  8 10  1  A 9 9 1 8 1 1 9
1 1 9 9 10  1 9 9 8 1 9 9
6) Calculamos el determinante de A para hallar los valores del parámetro a que hacen que la matriz sea regular.
1 2 1 0 a a 2 0 3  3a  0  4a  2a  0  0  5a 1 2 1 0 a a Si el determinante es cero, la matriz no será regular. Como la ecuación 5a = 0 tiene por solución a = 0, esta matriz tiene matriz inversa para valores de a distintos de 0. Para estos valores de a, los adjuntos son: A11  ( 1)11
a a  3a 0 3
0 a   ( 2 a )  2 a 2 3
0 a  2 a 2 0
2 1  6 0 3
1 1  32 1 2 3
1 2   ( 4 )  4 2 0
2 1 2a  a  a a a
1 1  a 0 a
1 2 a 0 a
3a 2a  2a Adj ( A)   6 1 4 a a a
3 5 3a  6 a 1 1 2 A 1  ( Adj ( A)) t  2a 1  a  A 5a 5  2a 4 a 2 5
6 5a 1 5a 4 5a
1 5 1 5 1 5
IV.9.3.2.-Autoevaluación 1) Se llama matriz adjunta de la matriz A a: La matriz cuyo elemento ij es el menor complementario del elemento ij de la matriz A. La matriz que se obtiene al quitar la fila i y la columna j de la matriz A. La matriz inversa de A La matriz cuyo elemento ij es el adjunto del elemento ij de la matriz A. 2) Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con |A| = -2, ¿a qué es igual |-A|? -6 -2 0 2 3) La matriz inversa de una matriz regular A es igual a: La transpuesta de su matriz adjunta La adjunta de su matriz transpuesta El producto del inverso del determinante de A por su matriz adjunta transpuesta El producto del inverso del determinante de A por su matriz adjunta
4) Dadas A y B matrices cuadradas de orden 3, ¿cuál de las siguientes igualdades es cierta? |2A|= 2 |A| |AB|= |B||A| |2A|= 6 |A| |A+ B|= |A| + |B| 5) De entre las siguientes proposiciones señala la que es falsa: Si A es una matriz cuadrada entonces |t.A| = t.|A|, siendo t un número real. Si A es una matriz regular entonces el determinante de su matriz inversa coincide con el inverso del determinante de A Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden entonces |AB| = |A| |B| El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta 6) El adjunto del elemento que está en la quinta fila y la segunda columna de una matriz A es: La traspuesta del menor complementario de ese elemento El menor complementario de ese elemento El producto de (-1) elevado a 5+2 por la matriz que se obtiene al quitar de A la fila 5 y la columna 2 El opuesto del menor complementario de ese elemento 7) Si A es una matriz regular entonces: A no tiene matriz inversa |A| = 0 A tiene matriz inversa A es una matriz simétrica
8) Si |A|= 5 y |B| = -5, ¿a qué es igual |AB|? 1 25 -1 -25
IV.9.4.-Bibliografía especifica para los ejercicios propuestos 
MATEMÁTICAS EMPRESARIALES Alegre, P. y otros Editorial AC, Madrid, 1995 (Cap. 2, pp. 39-82).
ÁLGEBRA LINEAL Bermudez, L.; Pociello, E.; Ruiz, E. y Varea, J. Ediciones MEDIA, Barcelona, 1995 (Cap. 1, pp. 1-24).
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL PARA LA ECONOMÍA Heras, A. y Vilar, J. L.: Editorial AC, Madrid, 1998 (Cap. 1, pp. 1-51).
MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA. ÁLGEBRA LINEAL Y CÁLCULO DIFERENCIAL JARNE, G., PÉREZ-GRASA, I. y MINGUILLÓN, E. Editorial McGraw-Hill, Madrid, 1997 (Cap. 2, pp. 17-45).
CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS I LÓPEZ, M. y VEGAS, A Editorial Pirámide, Madrid, 1994 (Cap. 1, 2 y 3, pp. 35-96).
INTRODUCCIÓN A LA ECONOMÍA MATEMÁTICA SAN MILLÁN, M.A. y VIEJO, F Editorial Pirámide, Madrid, 1992 (Cap. 13 y 14, pp. 209-228). 110
V.-Bibliografía General 
ALGEBRA LINEAL CON GEOMETRÍA: Tomo I , Tomo II Irma Ruffiner Lucrecia Etchemaite Mercedes Martinelli
ALGEBRA SUPERIOR Araceli Reyes Guerrero Editorial : Thomson
ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA Samuel Selzer Editorial: Nigar
ALGEBRA Y TRIGONOMETERIA CON GEOMETRIA ANALITCA Louis Leithold Editoial: OXFORD University Press
ALGEBRA CON APLICACIONES Elizabeth P.Phillipd-Thomas Butts-Michel Shaughnessy Editorial: Harla- Mexico
ALGEBRA Y GEOMETRIA S.Gigena-F.Molina-O.Gómez.A.Vignoli Editorial: Cientifica Universitaria
GEOMETERIA ANALITICA Elena de Oteyza Emma Lam Osnaya José Antoonio Gomez Ortega Arturo Ramires Flores Carlos Hernández Gareladiego Editorial: Prentice-Hall, Hispanoamericana, S.A.
INTRODUCCION MODERNA A LA MATEMATICA SUPERIOR Allendoerfer y Oakley Segunda Edición. Mac Graw-Hill. Madrid 1967- ( 1 ejemplar en B.C.UNSE)
ALGEBRA MODERNA Y TRIGONOMETRIA Dolciani-Berman-Wooton Publicaciones Cultural S.A. 1965
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL Howard Antón Cuarta Edición 1990 – Limusa-Mexico-(6 ejemplares en BC UNSE)
ALGEBRA Y GEOMETERIA ANALITICA Lehmann, Charles H. Limusa 1997. Mexico- ( 1 ejemplar en BC UNSE)
ALGEBRA Y GEOMETRIA Hernández, Eugenio Universidad A. de Madrid 1987- Madrid ( 1 ejemplar en BC UNSE)
ALGEBRA I y ALGEBRA II Rojo, Armando 2ª Edición- El Ateneo. 1986- Bs.Aires (10 ejemplares en BC UNSE)
ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA CON GEOMETRIA ANALÍTICA Swokowski.Cole Décima edición-Thomson-Learning-México-2002
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN FORMA VECTORIAL Y MATRICIAL Sunkel Albino de Primera Edición-Nueva Librería 1984-Bs.Aires

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