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Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA - PDF
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María Alejandra Lara Iglesias
1 Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA
2 Sumario 1 Los vectores Los elementos de un vector Las componentes de un vector El módulo de un vector Los tipos de vectores Consolidación Las operaciones con vectores La suma y la resta de vectores La multiplicación de un vector por un número La distancia entre dos puntos del plano Consolidación Las ecuaciones de la recta La ecuación vectorial de la recta Las ecuaciones paramétricas de la recta La ecuación continua de la recta La ecuación punto-pendiente de la recta La ecuación explícita de la recta La ecuación general o implícita de la recta Consolidación Las posiciones relativas entre dos rectas Consolidación La resolución de problemas Consolidación Ejercitación y competencias
3 1 Los vectores 1 Los vectores La geometría analítica nos permite resolver problemas geométricos utilizando métodos algebraicos. Los vectores, la representación de las rectas y sus posiciones relativas se aplican a diversas situaciones en las que es necesario establecer la posición y el desplazamiento de objetos, por ejemplo, en los radares y los localizadores empleados en la navegación aérea y marítima, entre otros. En el radar de la torre de control de un aeropuerto, cada punto de la pantalla representa la posición de un avión y está determinado por vectores. Algunas magnitudes, como la longitud, quedan definidas mediante un único número: son las llamadas magnitudes escalares. Por otro lado, existen magnitudes, como la fuerza, que para poder definirlas (además de indicar un valor numérico) debemos señalar su sentido y dirección: estas son las magnitudes vectoriales y se representan mediante vectores. Recuerda Los elementos fundamentales de la geometría plana son los puntos, las rectas y el plano: Un punto no tiene longitud ni anchura. Sirve para indicar una posición y se representa con letras mayúsculas: A, B Una recta tiene solo una dimensión: la longitud. Está formada por infinitos puntos alineados en una misma dirección. Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios. Se representa con una letra minúscula: r, s, t Un plano tiene dos dimensiones: longitud y anchura. Se nombra con letras griegas α, β, γ 3
4 1 Los vectores Un vector fijo es un segmento orientado que se determina mediante un par ordenado de puntos, A y B: el primero se llama origen y el segundo es el extremo, y lo representamos así: El vector AB tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Imagen ampliada en el anexo final 1.1 Los elementos de un vector Un vector está formado por los siguientes elementos: El módulo: es la longitud del segmento AB. Se representa: 4
5 1 Los vectores La dirección: es la recta sobre la cual está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Imagen ampliada en el anexo final El sentido: es la orientación hacia un lado u otro de la recta sobre la que se sitúa el vector. 5
6 1 Los vectores Un par de puntos determinan dos vectores con el mismo módulo y la misma dirección, pero con sentidos opuestos. Imagen ampliada en el anexo final Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 1.2 Las componentes de un vector Las coordenadas o componentes de un vector son las coordenadas del punto extremo B(x2, y2) menos las del punto de origen A(x1, y1): 6
7 1 Los vectores Representación de las componentes de un vector en un sistema de coordenadas cartesianas. Imagen ampliada en el anexo final Por ejemplo, cuáles son las coordenadas del siguiente vector?: 7
8 1 Los vectores El vector representado tiene origen A( 1, 1) y extremo B(2, 3). Imagen ampliada en el anexo final Las coordenadas del vector AB son (3, 4). 8
9 1 Los vectores Las coordenadas (3, 4) del vector del ejemplo indican que el vector se orienta tres unidades a la derecha y cuatro hacia arriba. Imagen ampliada en el anexo final Otro ejemplo: Hallar el origen de un vector, conocidos su extremo B(3, 4) y sus componentes (3, 1): A(x1, y1) B(x2, y2) = (3, 4) 9
10 1 Los vectores Para resolver el ejercicio, procedemos así: 1. Escribimos las componentes del vector, expresadas en función de las coordenadas del extremo y del origen del mismo. 2. Resolvemos las ecuaciones para obtener las coordenadas del origen del vector: Por tanto, las coordenadas del origen del vector son: A(0, 3). Representación gráfica del vector del ejemplo en el sistema de coordenadas cartesianas. Imagen ampliada en el anexo final 1.3 El módulo de un vector Si las coordenadas de un vector son (x2 x1, y2 y1), el módulo del vector se calcula mediante el teorema de Pitágoras: 10
11 1 Los vectores Un vector y sus coordenadas forman un triángulo rectángulo, en el cual el módulo del vector está representado por la hipotenusa. Imagen ampliada en el anexo final Por ejemplo, para determinar el módulo del vector de origen A( 2, 2) y extremo B(2, 1), procedemos de la siguiente forma: 1. Representamos el vector en un sistema de coordenadas cartesianas: 11
12 1 Los vectores Representación del vector de origen A( 2, 2) y extremo B(2, 1) en un sistema de coordenadas cartesianas. Imagen ampliada en el anexo final 2. Sabemos que las coordenadas del vector son: Por tanto, el módulo del vector es: 12
13 1 Los vectores Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 1.4 Los tipos de vectores Distinguimos varios tipos de vectores, según sus características: El vector fijo: es un segmento orientado determinado por un par ordenado de puntos, A (origen) y B (extremo). Observa un ejemplo de vector fijo, definido por su origen y su extremo. Imagen ampliada en el anexo final 13
14 1 Los vectores El vector equipolente: un vector es equipolente a otro cuando tiene igual módulo, dirección y sentido que el primero. Por tanto, dos vectores equipolentes tienen las mismas componentes. Todos estos vectores tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido: son vectores equipolentes. Imagen ampliada en el anexo final El vector libre: es el conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí. 14
15 1 Los vectores El vector libre es el conjunto de todos los vectores equipolentes. Imagen ampliada en el anexo final Un vector libre se representa mediante una letra minúscula con una flecha encima. Por ejemplo: 15
16 1 Los vectores Cada vector fijo es un representante de su vector libre. Imagen ampliada en el anexo final Las componentes de un vector libre son las de cualquier vector fijo que lo representa. En el ejemplo de la figura anterior, las componentes del vector v son: El vector de posición: es un vector cuyo origen es el origen de coordenadas. 16
17 1 Los vectores Un ejemplo de vector de posición. Imagen ampliada en el anexo final El vector fijo nulo: es aquel vector fijo en el cual el origen coincide con el extremo. El vector opuesto: un vector fijo es opuesto a otro cuando ambos tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos contrarios. 17
18 1 Los vectores Ejemplo de vectores opuestos. Imagen ampliada en el anexo final Aplicaremos las definiciones anteriores para determinar si los vectores de la ilustración son equipolentes. 18
19 1 Los vectores Son equipolentes estos tres vectores? Imagen ampliada en el anexo final Los vectores AB y CD son equipolentes, es decir, tienen el mismo módulo, dirección y sentido. En cambio, el vector EF es paralelo a los anteriores, pero no es equipolente a ellos, pues tiene diferente módulo. Atención! Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección, es decir, sus componentes son proporcionales. 1.5 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección. 19
20 2 Las operaciones con vectores Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online Las operaciones con vectores En cualquier conjunto de vectores, se pueden realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación, así como la multiplicación de un vector por un número. Además, podemos sumar un vector con un punto. Estas operaciones se pueden resolver de forma gráfica y de forma analítica. 2.1 La suma y la resta de vectores La suma de vectores Para sumar dos vectores u y v mediante el procedimiento gráfico, seguimos estos pasos: 1. Dibujamos el vector u desde el origen de coordenadas y, a continuación de este, es decir, desde el extremo del vector u, trazamos el vector v. 2. Unimos el origen de coordenadas con el extremo del vector v y obtenemos el vector suma: 20
21 2 Las operaciones con vectores Observa que el vector suma tiene su origen en el origen del primer vector y su extremo coincide con el del segundo vector de la suma. Imagen ampliada en el anexo final Otro procedimiento gráfico para resolver una suma de vectores es el de la regla del paralelogramo: 1. Dibujamos los dos vectores u y v con el mismo origen. 2. Completamos un paralelogramo trazando lo siguiente: Por el extremo del vector u, un segmento de recta paralelo al vector v. Por el extremo del vector v, un segmento de recta paralelo al vector u. 3. La suma de los dos vectores es la diagonal orientada del paralelogramo obtenido, que tiene su origen en el origen común de los dos vectores u y v. 21
22 2 Las operaciones con vectores Este es el procedimiento gráfico o regla del paralelogramo, que se emplea para sumar vectores; en este caso, los vectores u y v. Imagen ampliada en el anexo final Para sumar dos vectores u y v mediante el procedimiento analítico, seguimos estos pasos: Dados los vectores: Los sumamos componente a componente: La resta de vectores Para restar dos vectores u y v mediante el procedimiento gráfico, seguimos estos pasos: 1. Dibujamos el vector u desde el origen de coordenadas y, a continuación de este, es decir, desde el extremo del vector u, trazamos el opuesto del vector v. 2. Unimos el origen del vector u con el extremo del vector v y obtenemos el vector resta: 22
23 2 Las operaciones con vectores Recuerda El opuesto de un vector u es el vector u, con la misma dirección y el mismo módulo, pero con sentido contrario. Observa que el vector resta tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el extremo del vector opuesto del vector v. Imagen ampliada en el anexo final Para restar dos vectores u y v mediante el procedimiento analítico, seguimos estos pasos: Dados los vectores: 23
24 2 Las operaciones con vectores 1. Los restamos componente a componente: Por ejemplo, realizaremos la suma y la resta, de forma analítica y gráfica, de los vectores u y v: La suma y la resta de los vectores dados mediante el procedimiento analítico son: La suma y la resta de los vectores dados mediante el procedimiento gráfico son: Suma (izquierda) y resta (derecha) gráficas de los vectores u y v. Imagen ampliada en el anexo final 24
25 2 Las operaciones con vectores 2.2 La multiplicación de un vector por un número Cuando multiplicamos un número k por un vector u, obtenemos otro vector con las siguientes características: Tiene la misma dirección que el vector u. Tiene el mismo sentido que el vector u si k > 0, y sentido contrario al vector u si k < 0. Su módulo es igual al producto del módulo del vector u por el valor absoluto de k: La resolución gráfica de la multiplicación de un vector por un número consiste en repetir el módulo del vector sobre la misma recta de acción, uno a continuación de otro tantas veces como indique el número k. Resolución gráfica del producto del vector u por el número k = 3. Imagen ampliada en el anexo final La resolución analítica consiste en multiplicar cada componente del vector por el número k: Por ejemplo, dado el vector AB definido por los puntos A( 1, 2) y B(1, 3), calculamos su producto por los números k = 2 y k = 1: 25
26 2 Las operaciones con vectores 1. Las componentes del vector son: 2. Efectuamos el producto del vector por el número 2, componente a componente: 3. Efectuamos el producto del vector por el número 1, componente a componente: 4. A continuación, dibujamos la resolución gráfica de ambos productos: Representaciones gráficas del vector AB (izquierda) y de sus multiplicaciones por 1 y 2 (derecha). Imagen ampliada en el anexo final 2.3 La distancia entre dos puntos del plano La distancia entre dos puntos del plano, A y B, es el módulo del vector fijo AB: Para calcular el módulo de un vector, utilizamos el teorema de Pitágoras: 26
27 3 Las ecuaciones de la recta Recuerda Un vector y sus coordenadas forman un triángulo rectángulo, en el cual el módulo del vector está representado por la hipotenusa del triángulo y se puede calcular aplicando el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, para calcular la distancia entre el punto A(2, 2) y B(6, 4), hacemos: Así pues, la distancia entre A y B es de 4,47 unidades. Aprende a calcular el punto medio de un segmento en la página del Proyecto Descartes. Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 2.4 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección. Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online Las ecuaciones de la recta Una ecuación de una recta r es una expresión que determina las coordenadas de todos sus puntos. Existen distintos tipos de ecuaciones de la recta: vectorial, paramétrica, continua, punto-pendiente, explícita, general y canónica. 27
28 3 Las ecuaciones de la recta 3.1 La ecuación vectorial de la recta Para determinar la ecuación vectorial de una recta, debemos conocer dos puntos de la recta o un punto de la misma y un vector con la misma dirección que la recta. Los elementos necesarios para obtener la ecuación vectorial de la recta son dos puntos (izquierda) o un punto y un vector con la misma dirección que la recta (derecha). Imagen ampliada en el anexo final Supongamos que conocemos un punto P(a, b) y un vector v = (v1, v2), que es el vector director de la recta. Entonces, podemos obtener cada punto de la recta sumando el punto P con un vector proporcional al vector director. De esta manera, obtenemos la ecuación vectorial de la recta, que se expresa: (x, y) = (a, b) + t (v1, v2) 28
29 3 Las ecuaciones de la recta Observa la representación gráfica de la ecuación vectorial de una recta. Imagen ampliada en el anexo final Por ejemplo, representamos la recta que pasa por el punto (2, 4) y tiene como vector director al vector v = (2, 3), y calculamos la ecuación vectorial de la recta. 29
30 3 Las ecuaciones de la recta Representación gráfica de la recta del problema. Imagen ampliada en el anexo final La ecuación vectorial de la recta es: (x, y) = (2, 4) + t (2, 3) 30
31 3 Las ecuaciones de la recta 3.2 Las ecuaciones paramétricas de la recta Para obtener las ecuaciones paramétricas de una recta, debemos desarrollar su ecuación vectorial e igualar coordenada a coordenada. Las ecuaciones paramétricas de una recta son: Por ejemplo, las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(2, 4) y tiene como vector director v = (2, 3) son las siguientes: 3.3 La ecuación continua de la recta Una ecuación continua se obtiene despejando t de las ecuaciones paramétricas e igualando ambas ecuaciones: Por ejemplo, dados los puntos A(2, 1) y B( 2, 3), calcularemos la ecuación continua de la recta que pasa por estos dos puntos. Hallaremos también otro punto de la recta. Para ello, procedemos de la siguiente manera: 1. Calculamos el vector y comprobamos que ninguna de las coordenadas del vector es 0. Si alguna de las coordenadas fuera 0, no podemos escribir la ecuación continua de la recta: 2. Aplicamos la expresión de la ecuación continua tomando, por ejemplo, el punto B y el vector AB = ( 4, 2) como vector director: 31
32 3 Las ecuaciones de la recta 3. Para encontrar un punto de la recta, damos un valor a x o a y, y calculamos el otro valor. Por ejemplo, si x = 1: En consecuencia, el punto (1, 1,5) es un punto de la recta. Representación gráfica de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B( 2, 3). Imagen ampliada en el anexo final 32
33 3 Las ecuaciones de la recta Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. Puedes practicar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos en la página del Proyecto Descartes. 3.4 La ecuación punto-pendiente de la recta Una ecuación punto-pendiente se obtiene despejando y b, a partir de la ecuación continua de la recta: El cociente v2/v1 se denomina pendiente de la recta y se designa con la letra m. Por tanto, la ecuación punto-pendiente de la recta es: y b = m (x a) La pendiente de una recta es la tangente (cateto opuesto entre cateto adyacente) del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas. Imagen ampliada en el anexo final 33
34 3 Las ecuaciones de la recta La pendiente de una recta La pendiente de una recta indica su inclinación respecto a la horizontal; es decir, es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje X. Dado un vector director de una recta, con componentes v1 y v2, la pendiente m de la recta es: Dados dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) de una recta, la pendiente m de la misma es: Por ejemplo, para calcular la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P (1, 1) y tiene como vector director el vector v, de componentes (2, 3), procedemos así: y b = m (x a) En la ecuación y b = m (x a) sustituimos a y b por 1 y 1, respectivamente, y m por el cociente v2/v1, es decir, 3/2, por lo que la ecuación punto-pendiente de esta recta es: Puedes practicar la ecuación de la recta en forma de punto-pendiente en la página del Proyecto Descartes. 3.5 La ecuación explícita de la recta A partir de la ecuación punto-pendiente, despejando la y podemos obtener la ecuación explícita de la recta: Donde m es la pendiente de la recta y n = b ma es la ordenada al origen, es decir, la ordenada del punto en el que la recta corta el eje Y. Por ejemplo, para calcular la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto P(2, 4) y tiene como vector director al vector v = (2, 3) procedemos así: 34
35 3 Las ecuaciones de la recta La pendiente de la recta es: La ecuación explícita de la recta es: 35
36 3 Las ecuaciones de la recta El término n de la ecuación explícita de la recta es su ordenada en el origen. Imagen ampliada en el anexo final Puedes practicar la ecuación explícita de la recta en la página del Proyecto Descartes. 36
37 3 Las ecuaciones de la recta Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 3.6 La ecuación general o implícita de la recta Para obtener una ecuación general o implícita, debemos multiplicar en cruz las fracciones de la ecuación continua y agrupar todos los términos en un miembro de la ecuación, es decir, igualarla a 0. Observa el procedimiento para determinar la ecuación general o implícita de una recta, a partir de su ecuación continua. Imagen ampliada en el anexo final La ecuación general o implícita de la recta es: Ax + By + C = 0 Donde A = v2, B = v1 y C = v1b v2a. 37
38 3 Las ecuaciones de la recta Los vectores director y perpendicular El vector director de la recta es: Un vector perpendicular a la recta anterior es: Por ejemplo, calculemos la ecuación general de la recta que pasa por el punto P( 1, 3) y tiene como vector director al vector v = (2, 4). 1. Determinamos el valor de A y B: 2. Calculamos C, sustituyendo las coordenadas del punto P en la ecuación implícita resultante: Por tanto, la ecuación general de esta recta es: 4x 2y 2 = 0 38
39 3 Las ecuaciones de la recta Observa la representación gráfica de la recta 4x 2y 2 = 0. Imagen ampliada en el anexo final Puedes practicar la ecuación general de la recta en la página del Proyecto Descartes. 3.7 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección. Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 39
40 4 Las posiciones relativas entre dos rectas... 4 Las posiciones relativas entre dos rectas En el plano, las posiciones relativas de dos rectas pueden ser: Paralelas: tienen la misma dirección pero no tienen puntos en común. Coincidentes: tienen la misma dirección y todos los puntos son comunes. Secantes: las direcciones son diferentes y tienen un único punto en común, que es el punto de corte de las rectas. Observa la representación de las posiciones relativas de dos rectas en el plano. Imagen ampliada en el anexo final Para averiguar cuál es la posición relativa de dos rectas, basta con resolver el sistema formado por las ecuaciones de las rectas. No obstante, también podemos determinar su posición relativa observando los valores de sus vectores directores y de sus pendientes: 40
41 4 Las posiciones relativas entre dos rectas Se puede averiguar cuál es la posición relativa de dos rectas observando los valores de sus vectores directores y de sus pendientes. Imagen ampliada en el anexo final Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas Dos rectas paralelas tienen vectores directores con componentes proporcionales y pendientes iguales. Dos rectas perpendiculares, r y s, tienen vectores directores perpendiculares, es decir, vr = ( B, A) y vs = (A, B), y sus pendientes son inversas y de signos contrarios (ms = 1/mr). Por ejemplo, para determinar la posición relativa de las rectas r y s: s: 6x 5y 4 = 0 Determinamos las pendientes de r y de s: mr = 3 ms = 6/5 Como ambas pendientes son diferentes, las dos rectas son secantes. 41
42 5 La resolución de problemas Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 4.1 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección. Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online La resolución de problemas A continuación, resolveremos un problema sobre la ecuación de una recta. Determinamos cuál de los cuatro puntos siguientes está alineado con la recta que pasa por los puntos (0, 6) y (2, 3): P1( 2, 8), P2(5, 2), P3(6, 3) y P4(3, 1) 1. En primer lugar, escribimos la ecuación de la recta que pasa por (0, 6) y (2, 3): La ecuación general de la recta es: 3x + 2y 12 = 0 2. Comprobamos si cada uno de los puntos pertenece a la recta. Para saber cuál de los puntos dados pertenece a la recta, sustituimos las coordenadas x e y de la ecuación de la recta por las coordenadas de cada punto: 42
43 6 Ejercitación y competencias Cuando la igualdad se mantiene, significa que el punto pertenece a la recta. En caso contrario, no pertenece a ella. Por tanto, el punto P3(6, 3) es el único que pertenece a la recta. Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 5.1 Consolidación Actividades para consolidar lo que has aprendido en esta sección. Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online Ejercitación y competencias Pon a prueba tus capacidades y aplica lo aprendido con estos recursos. 43
44 Anexos: Imágenes ampliadas Practica Encontrarás actividades de ejercitación en la versión online. 44
45 Anexos: Imágenes ampliadas El vector AB tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. 45
46 Anexos: Imágenes ampliadas Un par de puntos determinan dos vectores con el mismo módulo y la misma dirección, pero con sentidos opuestos. 46
47 Anexos: Imágenes ampliadas Representación de las componentes de un vector en un sistema de coordenadas cartesianas. 47
48 Anexos: Imágenes ampliadas El vector representado tiene origen A( 1, 1) y extremo B(2, 3). 48
49 Anexos: Imágenes ampliadas 49
50 Anexos: Imágenes ampliadas Las coordenadas (3, 4) del vector del ejemplo indican que el vector se orienta tres unidades a la derecha y cuatro hacia arriba. Representación gráfica del vector del ejemplo en el sistema de coordenadas cartesianas. 50
51 Anexos: Imágenes ampliadas Un vector y sus coordenadas forman un triángulo rectángulo, en el cual el módulo del vector está representado por la hipotenusa. 51
52 Anexos: Imágenes ampliadas Representación del vector de origen A( 2, 2) y extremo B(2, 1) en un sistema de coordenadas cartesianas. 52
53 Anexos: Imágenes ampliadas Observa un ejemplo de vector fijo, definido por su origen y su extremo. 53
54 Anexos: Imágenes ampliadas Todos estos vectores tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido: son vectores equipolentes. 54
55 Anexos: Imágenes ampliadas El vector libre es el conjunto de todos los vectores equipolentes. 55
56 Anexos: Imágenes ampliadas Cada vector fijo es un representante de su vector libre. 56
57 Anexos: Imágenes ampliadas Un ejemplo de vector de posición. 57
58 Anexos: Imágenes ampliadas Ejemplo de vectores opuestos. 58
59 Anexos: Imágenes ampliadas Son equipolentes estos tres vectores? 59
60 Anexos: Imágenes ampliadas Observa que el vector suma tiene su origen en el origen del primer vector y su extremo coincide con el del segundo vector de la suma. 60
61 Anexos: Imágenes ampliadas Este es el procedimiento gráfico o regla del paralelogramo, que se emplea para sumar vectores; en este caso, los vectores u y v. 61
62 Anexos: Imágenes ampliadas Observa que el vector resta tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en el extremo del vector opuesto del vector v. 62
63 Anexos: Imágenes ampliadas Suma (izquierda) y resta (derecha) gráficas de los vectores u y v. 63
64 Anexos: Imágenes ampliadas Resolución gráfica del producto del vector u por el número k = 3. 64
65 Anexos: Imágenes ampliadas Representaciones gráficas del vector AB (izquierda) y de sus multiplicaciones por 1 y 2 (derecha). Los elementos necesarios para obtener la ecuación vectorial de la recta son dos puntos (izquierda) o un punto y un vector con la misma dirección que la recta (derecha). 65
66 Anexos: Imágenes ampliadas Observa la representación gráfica de la ecuación vectorial de una recta. 66
67 Anexos: Imágenes ampliadas 67
68 Anexos: Imágenes ampliadas Representación gráfica de la recta del problema. Representación gráfica de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B( 2, 3). 68
69 Anexos: Imágenes ampliadas La pendiente de una recta es la tangente (cateto opuesto entre cateto adyacente) del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas. 69
70 Anexos: Imágenes ampliadas 70
71 Anexos: Imágenes ampliadas El término n de la ecuación explícita de la recta es su ordenada en el origen. Observa el procedimiento para determinar la ecuación general o implícita de una recta, a partir de su ecuación continua. 71
72 Anexos: Imágenes ampliadas Observa la representación gráfica de la recta 4x 2y 2 = 0. 72
73 Anexos: Imágenes ampliadas Observa la representación de las posiciones relativas de dos rectas en el plano. Se puede averiguar cuál es la posición relativa de dos rectas observando los valores de sus vectores directores y de sus pendientes. 73

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