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2 Básico. Problemas aditivos y. técnicas para sumar. Guía Didáctica EDUCACIÓN MATEMÁTICA - PDF
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Sergio Alarcón Poblete
1 2 Básico Problemas aditivos y técnicas para sumar Guía Didáctica EDUCACIÓN MATEMÁTICA
2 Asesoría a la Escuela para la Implementación Curricular en Lenguaje y Matemática, LEM Nivel de Educación Básica División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile Autores: Universidad de Santiago Lorena Espinoza S. Enrique González L. Ministerio de Educación: Dinko Mitrovich G. Colaboradores: Joaquim Barbé Grecia Gálvez María Teresa García Asesores internacionales: Josep Gascón. Universidad Autónoma de Barcelona, España. Guy Brousseau. Profesor Emérito de la Universidad de Bordeaux, Francia. Revisión y Corrección Didáctica Ministerio de Educación 2007: Patricia Ponce Juan Vergara Carolina Brieba Revisión y Corrección de Estilo Josefina Muñoz V. Coordinación Editorial Claudio Muñoz P. Ilustraciones y Diseño: Miguel Angel Marfán Elba Peña Impresión: xxxxx. Marzo 2006 Registro de Propiedad Intelectual Nº Teléfono: Fax
3 Matemática Segundo Año Básico PRIMERA UNIDAD Didáctica Problemas aditivos y técnicas para sumar Autores Joaquim Barbé F. Lorena Espinoza S. Enrique González L. Dinko Mitrovich G.
5 Índice I Presentación 6 II Esquema 12 III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica 14 IV Planes de clases 37 V Prueba y Pauta 43 VI Espacio para la reflexión personal 46 VII Glosario 47 VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 49
7 segundo básico Matemática primera Unidad didáctica Problemas aditivos y técnicas para sumar Aprendizajes esperados del Programa Plantean una adición o una sustracción, para encontrar información no conocida a partir de información disponible y resuelven problemas de tipo aditivo, empleando diferentes procedimientos de cálculo (Aprendizaje esperado 5, Primer Semestre). Amplían el dominio de procedimientos de cálculo mental, apropiándose de nuevas combinaciones aditivas y realizan cálculos escritos utilizando descomposiciones aditivas (Aprendizaje esperado 6, Primer Semestre). En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos del semestre, profundizan aspectos relacionados con la búsqueda y aplicación de procedimientos personales para resolver problemas (Aprendizaje esperado 8, Primer Semestre). Aprendizajes esperados para la Unidad Plantean una adición o una sustracción, para encontrar información no conocida a partir de información disponible y resuelven problemas aditivos simples, directos, de composición y de cambio, en que intervienen números de hasta dos cifras, empleando procedimientos de cálculo basados en la descomposición y composición canónica de los números y evocando combinaciones aditivas básicas. Amplían el dominio de procedimientos de cálculo mental, apropiándose de nuevas combinaciones aditivas básicas que suman más de 10 y realizan cálculos escritos utilizando descomposiciones aditivas. En la resolución de problemas profundizan aspectos relacionados con la búsqueda y aplicación de procedimientos personales y eficaces para resolver problemas. Aprendizajes previos Componen y descomponen canónicamente números de dos cifras. Obtienen sumas y restas de un número cualquiera de dos cifras, con uno de una, utilizando la secuencia numérica tanto en forma ascendente como descendente. Efectúan adiciones de un múltiplo de 10 y un número de una cifra y ambas sustracciones asociadas. Efectúan adiciones y sustracciones en que ambos términos son múltiplos de 10 utilizando la secuencia de 10 en 10. Manejan las combinaciones aditivas básicas que suman 10; dígito más 1; dígito par más 2; dígito impar más 2; los dobles de los números del 1 al 10.
8 I presentación El problema matemático fundamental de esta Unidad gira en torno al estudio de problemas aditivos, esto es, problemas que se resuelven con una adición o bien con una sustracción. Interesa que los niños reconozcan la operación que resuelve el problema y que, además, utilicen procedimientos más eficaces que el conteo para realizar los cálculos. En esta unidad se enfatizan las técnicas de cálculo de adiciones y sustracciones basadas en la descomposición canónica de números. El ámbito numérico en que se desarrollan estos problemas es hasta 100. A continuación se detallan los aspectos didáctico matemáticos que estructuran esta unidad: 1. Tareas matemáticas Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta unidad son: o Resolver problemas aditivos simples, directos, de composición y de cambio. o Calculan adiciones de dos números de hasta dos cifras del tipo: 46+3, 46+30, 46+32, 46+4, 46+34, 46+8 y o Calculan sustracciones de dos números de hasta dos cifras del tipo: 46-3 y Variables didácticas Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las tareas matemáticas que niñas y niños realizan son: o Ámbito numérico: hasta 100. o Tipo de acción involucrada en el enunciado del problema: del tipo agregar-quitar (problemas de cambio), del tipo juntar- separar (problemas de composición). o Relaciones entre los números: En las adiciones: números en que la suma de sus unidades es menor que 10, igual a 10, o mayor que 10.
9 Presentación En las sustracciones: un número de dos cifras y un número de una cifra en que las unidades del minuendo son mayores o iguales que las del sustraendo (sin reserva); y un número de dos cifras con un múltiplo de 10. o Presentación del problema: enunciado verbal (oral o escrito), dibujo, esquema, juego. o Tipo de enunciado verbal: redacción sintetizada que favorece la lectura y comprensión por parte de los niños; redacción más compleja en la que deben discernir la operación. o Presentación de los números del juego de cartas: números descompuestos en forma canónica, números no descompuestos. 3. Procedimientos Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son: o En la resolución de los problemas: se apropian gradualmente de una estrategia que incluye las siguientes fases: Reconocer el contexto en que se presenta el problema. De qué se trata el problema? Lo expresan con sus propias palabras. Identificar los datos y la incógnita. Qué nos dice el problema? Qué nos pide averiguar? Reconocer la relación aritmética entre datos e incógnita para decidir qué operación hay que hacer para resolver el problema. Qué relación hay entre los datos y la incógnita? Cómo podemos representarla? Qué operación hay que hacer para averiguar lo que nos piden? Realizar la operación. Cómo podemos efectuar los cálculos? Interpretar el resultado obtenido en el contexto del problema. Cuál es la respuesta a la pregunta del problema?
10 Presentación o En los cálculos: Para sumar y restar, se espera que niños y niñas utilicen procedimientos basados en la descomposición y composición canónica de números de dos cifras. 4. Fundamentos centrales o Para resolver un problema es necesario, comprender la situación planteada en él, identificar los datos e incógnita, reconocer la relación aritmética entre ambos, decidir la operación que debe realizarse e interpretar el resultado obtenido en el contexto del problema. o Un problema es aditivo si para resolverlo hay que realizar una adición o bien una sustracción. La resolución de este tipo de problemas permite comprender la relación inversa que existe entre ambas operaciones. o Un problema es directo cuando la acción presente en el enunciado coincide con la operación que debe efectuarse para resolverlo. Es decir, cuando del enunciado se desprende una adición y el problema se resuelve con esa adición, o si se desprende una sustracción y el problema se resuelve con esa sustracción. o Los problemas aditivos en que está presente una acción del tipo juntar-separar, se llaman problemas de composición. Los problemas aditivos en que está presente una acción del tipo agregar-quitar se llaman problemas de cambio. o Las acciones del tipo juntar que aparecen en el enunciado de un problema, se asocian con la suma, puesto que al juntar dos cantidades obtenemos una cantidad mayor que cualquiera de ellas. Asimismo, las acciones del tipo separar, se asocian con la resta, ya que al separarlas se obtiene una cantidad menor que el total. o Las acciones del tipo agregar que aparecen en el enunciado de un problema, se asocian con la suma, puesto que al agregar una cantidad a otra dada, se obtiene una cantidad que es mayor que la inicial. Las acciones del tipo quitar se asocian con la resta, ya que al quitarle cierta cantidad a otra dada se obtiene una cantidad menor que la inicial.
11 Presentación o Según el principio del valor posicional, un número se puede expresar como la suma de los valores de sus dígitos. Por ejemplo, el número 348 se puede expresar como A esta forma de descomponer los números se le llama descomposición canónica. o Para sumar dos números, se descompone cada uno de ellos en forma canónica y se suman los múltiplos de 10; luego, los números de una cifra. Esto se justifica por la propiedad asociativa y conmutativa de la adición. La asociatividad permite agrupar los sumandos de diferentes maneras, sin que el resultado cambie. La conmutatividad de la adición permite cambiar el orden de los sumandos, sin alterar el resultado. 5. Descripción global del proceso de enseñanza y aprendizaje El proceso parte en la primera clase proponiendo a niñas y niños un problema que les permite encontrarse con la necesidad de disponer de una técnica más eficiente que el conteo para sumar y restar números. Resuelven problemas aditivos de composición y de cambio, en que hay que calcular sumas y restas sin reserva del tipo: y ; 46 3 y De este modo avanzan hacia técnicas basadas en la descomposición canónica de un número de dos cifras y la composición aditiva de un múltiplo de diez y un número de una cifra. En la segunda clase el proceso avanza estudiando problemas aditivos de composición y de cambio, en que hay que calcular sumas de dos números de dos cifras sin reserva, del tipo Los enunciados de los problemas tienen un grado de dificultad levemente mayor que en la clase anterior. Los niños generan problemas a partir de contextos dados y formulan preguntas frente a cierta información dada. Para realizar los cálculos, descomponen en forma canónica los dos sumandos que aparecen en la adición. Esta técnica se justifica apelando a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición, pero enunciadas con términos cercanos a los niños, sin caer en un vocabulario excesivamente técnico para estas edades. De aquí en adelante, la unidad se focaliza en técnicas de adición. En la tercera clase, los niños profundizan su conocimiento sobre la estrategia de resolución de problemas, resolviendo problemas aditivos de composición y de cambio, en que hay que calcular sumas de un número de dos cifras con uno de una o dos cifras, en que la suma de las unidades en ambos casos es igual a 10. Por ejemplo, y En ambos casos, los niños descomponen en forma canónica los números de dos cifras y continúan de manera análoga a la de las clases anteriores. Generan igualmente problemas, dado un determinado contexto y, frente a un problema dado, identifican la
12 Presentación operación que permite resolverlo entre un conjunto de operaciones. Los enunciados de los problemas son de mayor dificultad que en las clases anteriores. En la cuarta clase el proceso progresa resolviendo problemas aditivos de composición y de cambio en que hay que calcular sumas de un número de dos cifras con uno de una o dos cifras en que la suma de las unidades en ambos casos es mayor que 10. Por ejemplo, y La técnica basada en la descomposición y composición canónica de los números se complejiza, porque esta vez hay que efectuar un número mayor de composiciones y descomposiciones. El proceso se completa en la quinta clase, profundizando el dominio de la estrategia de resolución de problemas estudiada en las clases anteriores, y de la técnica de cálculo de adiciones y sustracciones basada en la descomposición y composición canónica de números. Se realiza un trabajo de sistematización y articulación de los conocimientos adquiridos. En la sexta clase se aplica una prueba de finalización de la unidad, que permite conocer el nivel de logro de los aprendizajes esperados. 6. Sugerencias para trabajar los aprendizajes previos Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la Unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella. El profesor debe asegurarse de que todos los niños y niñas: Componen y descomponen canónicamente números de dos cifras. La profesora presenta una actividad que pone en juego la descomposición canónica de los números. Por ejemplo, puede proponer dos o más descomposiciones de un mismo número y preguntar cuál de ellas es la que refleja los nombres de los números, o cuál de ellas es la que, además del 0, utiliza solamente los dígitos del número. Obtienen sumas y restas de un número cualquiera de dos cifras con uno de una, utilizando la secuencia numérica tanto en forma ascendente como descendente. En el caso del conteo ascendente para la adición, niños y niñas ya no deberían contar a partir del número uno, sino a partir del número mayor. Por ejemplo, para calcular deben contar a partir del 12. En algunos casos, incluso solo basta con evocar algunas combinaciones aditivas básicas. Para las sustracciones, deberán utilizar la secuencia descendente a partir del minuendo ( contar hacia atrás ). 10
13 Presentación Efectúan adiciones de un múltiplo de 10 y un número de una cifra y ambas sustracciones asociadas. Este es un caso particular de operaciones con números de una y dos cifras en que el procedimiento que ya han aprendido en Primero Básico es la composición o descomposición canónica de los números. Efectúan adiciones y sustracciones en que ambos términos son múltiplos de 10, utilizando la secuencia de 10 en 10. Así como niñas y niños utilizan la secuencia de 1 en 1 para contar con los dedos en el caso de sumar o restar números de una cifra, deberán utilizar la secuencia de 10 en 10 para sumar o restar números terminados en 0. 11
14 Tareas matemáticas Resuelven problemas aditivos directos de composición y de cambio. Tareas matemáticas Resuelven problemas aditivos directos de composición y de cambio. II esquema Aprendizajes esperados Clase 6 Aplicación de Prueba y Evaluación de los aprendizajes esperados de la unidad. condiciones En la adición: n Todas las relaciones estudiadas en las clases. En la sustracción: n Todas las relaciones estudiadas en las clases. Ámbito numérico hasta 100. Problemas presentados a través de un dibujo y de un enunciado verbal. Clase 5 Técnicas Las mismas de las clases anteriores. condiciones En la adición: n Un sumando de dos cifras y uno de una cifra, tal que la suma de las unidades es mayor que n Ambos sumandos de dos cifras, tal que la suma de las unidades es mayor que En la sustracción: n Los mismos casos anteriores. Ámbito numérico hasta 100. Problemas presentados a través de un dibujo y de un enunciado verbal. Clase 4 Técnicas Para resolver un problema: la misma técnica de la primera clase. En la adición: descomposición canónica de uno o los dos números de dos cifras. Se suman los números con la misma cantidad de cifras. Se vuelve a descomponer los números. Se suman los múltiplos de 10 y finalmente se componen los números resultantes. 46+8=40+6+8= 40+14= = 50+4= = =70+14= =80+4=84 En la sustracción: la misma técnica de la clase anterior. fundamentos centrales Se sistematizan y articulan todos los fundamentos estudiados en las clases anteriores. fundamentos centrales En los problemas estudiados, siempre la operación que relaciona los datos con la incógnita es la que hay que realizar para responder al problema. Si al sumar dos números con la técnica basada en la descomposición y composición canónica de los números, la suma de las unidades es un número mayor que 10, es necesario volver a descomponer este número. Por ejemplo, 46+8=40+6+8= 40+14= = 50+4= 54 12
15 Tareas matemáticas Resuelven problemas aditivos directos de composición y de cambio. Tareas matemáticas Resuelven problemas aditivos directos de composición y de cambio. Tareas matemáticas Resuelven problemas aditivos directos de composición y de cambio. condiciones En la adición: n Un sumando de dos cifras y uno de una cifra, tal que la suma de las unidades es igual a 10; n Ambos sumandos de dos cifras, tal que la suma de las unidades es igual a 10; En la sustracción: n Los mismos casos anteriores. Ámbito numérico hasta 100. Problemas presentados a través de un dibujo y un juego. Clase 3 Técnicas Para resolver un problema: la misma técnica de la primera clase. En la adición: descomposición canónica de uno o los dos números de dos cifras. Se suman los números con la misma cantidad de cifras. Luego se suman los múltiplos de 10 y finalmente se componen los números resultantes = = = = = = 80 En la sustracción: la misma técnica de la 1a clase. condiciones En la adición: n Ambos sumandos de dos cifras, tal que la suma de las unidades es menor que 10 (sin reserva); En la sustracción: n Los mismos casos anteriores. Ámbito numérico hasta 100. Problemas presentados a través de un dibujo y un juego. Clase 2 Técnicas Para resolver un problema: la misma técnica de la clase anterior. En la adición: descomposición canónica de los números de dos cifras. Se suman los números con la misma cantidad de cifras. Luego, se componen los números resultantes = = = 78 En la sustracción: la misma técnica de la clase anterior. condiciones En la adición: n Un número de dos cifras y un número de una cifra, tal que la suma de las unidades es menor que 10 (sin reserva); n Un número de dos cifras y un múltiplo de 10; En la sustracción: n El minuendo tiene dos cifras y el sustraendo una cifra, tal que la resta de las unidades es menor que 10 (sin reserva); n El minuendo tiene dos cifras y el sustraendo es un múltiplo de 10; Ámbito numérico hasta 100. Problemas presentados a través de un dibujo y un juego. Clase 1 Técnicas Para resolver un problema: expresan la operación que relaciona los datos con la incógnita, la resuelven e interpretan el resultado en función del problema. En la adición: descomposición canónica del número de dos cifras. Se suman los números con la misma cantidad de cifras. Luego, se componen los números resultantes = = = 49; = = = 76 En la sustracción: descomposición canónica del número de dos cifras. Se restan los números con la misma cantidad de cifras. Luego, se componen los números resultantes = = = 43; = = = 16 Aprendizajes previos fundamentos centrales Para resolver problemas aditivos, una de las etapas más importantes es discernir la operación que debemos realizar. Es conveniente apoyarse en un dibujo o esquema que traduzca las relaciones entre datos e incógnita, y permita determinar la operación que lo resuelve. Para usar la técnica de descomposición y composición canónica en los casos de esta clase es necesario manejar las combinaciones aditivas básicas (CAB) que dan 10. fundamentos centrales Para sumar dos números, se descompone cada uno de ellos en forma canónica, se suman los múltiplos de 10, y luego los números de una cifra. Para usar esta técnica es necesario manejar de forma fluida las CAB involucradas. Esta técnica funciona, porque es posible agrupar los sumandos de diferentes maneras sin que el resultado cambie, y porque se puede cambiar el orden de los sumandos sin alterar el resultado. fundamentos centrales Para resolver problemas necesitamos una estrategia que nos permita organizar la información de tal forma que podamos discernir la operación que debemos realizar, hacer los cálculos y responder a la pregunta del problema. Las técnicas basadas en la descomposición y composición canónica de los números, por lo general, permiten sumar y restar de manera más rápida y precisa que la técnica basada en el conteo. 13
16 III orientaciones para el docente: estrategia didáctica En esta unidad niños y niñas progresan en su apropiación de una estrategia de resolución de problemas aditivos y en la adquisición de procedimientos para sumar y restar. De esta forma avanzan en la conceptualización de la adición y sustracción, considerándolas como operaciones inversas entre sí. Para ello resuelven problemas aditivos, directos, simples, de composición y de cambio, con números de hasta dos cifras. Problemas aditivos: Un problema es aditivo si para resolverlo hay que realizar una suma o bien una resta. Estos problemas constituyen una valiosa oportunidad de aprendizaje para los niños, ya que al no ser evidente la operación que resuelve el problema, deben analizar las relaciones que hay entre datos e incógnita para poder reconocer qué operación realizar para resolverlos. De este modo, construyen un significado amplio y profundo de ambas operaciones, comprendiendo la relación inversa que hay entre ellas. En esta Unidad se comienza estudiando problemas a través de situaciones concretas que permiten deducir fácilmente la operación que los resuelve y, paulatinamente, se va aumentando el nivel de dificultad, de tal forma que los niños deban elaborar una estrategia de resolución que considere la identificación de la operación. Problemas aditivos directos: En los problemas directos la relación aritmética entre los dos datos y la incógnita coincide con la operación que debe efectuarse para resolverlos. Los problemas en que esto no ocurre se llaman problemas inversos. Estos últimos tienen un nivel de dificultad superior, puesto que el análisis del enunciado y la identificación de la operación se hacen más complejos. Por ello en esta unidad no se estudian problemas inversos. Problemas aditivos simples: Son problemas en los cuales aparecen dos datos y una incógnita. En primer y segundo año básico estudiaremos problemas simples, en cambio, en tercer año básico, estudiaremos problemas combinados que son problemas en que hay tres datos y una incógnita. Problemas aditivos de composición: En los problemas de composición está presente una acción del tipo juntar o del tipo separar. Generalmente, se refieren a objetos de la misma naturaleza, que se distinguen por alguna característica. Por ejemplo, rosas y claveles como tipos de flores; lápices negros y azules; hombres y mujeres, etc. 14
17 Orientaciones Ejemplo de suma: En un huerto hay rosas y claveles. Hay 34 claveles y 45 rosas, cuántas flores hay? Ejemplo de resta: En un huerto hay 79 flores entre rosas y claveles. Se separan los claveles de las rosas y se cuentan 34 claveles. Cuántas rosas hay? Las acciones de juntar o de separar pueden ser realizadas físicamente o a un nivel lógico. En cualquier caso, no modifican la situación descrita en el problema. Si se sabe que en una repisa hay 15 vasos grandes y 12 vasos chicos, la suma permite determinar cuántos vasos hay en la repisa sin necesidad de ponerlos todos juntos para contarlos; si sumamos, los hemos juntado mentalmente. Los 27 vasos están ahora juntos en una misma categoría, ya no están separados de acuerdo a su tamaño. Problemas aditivos de cambio: En los problemas de cambio está presente una acción del tipo agregar o del tipo quitar. Hay una cantidad inicial a la que se le agrega o quita cierta cantidad, obteniéndose una cantidad final. Ejemplo: En un huerto hay 34 claveles. El jardinero planta 45 nuevos claveles, cuántos claveles hay ahora en el huerto? Los problemas de composición resultan para los niños de estas edades, por lo general, más sencillos de resolver que los problemas de cambio. Sin embargo, cuando se consideran números pequeños como en esta Unidad, la dificultad para resolverlos es similar. En esta Unidad los niños se apropian gradualmente de una estrategia de resolución de problemas, es decir, de un modo sistemático de proceder. El aprendizaje de niños y niñas se juega en el proceso de búsqueda de la operación que resuelve el problema, el desarrollo del cálculo y su interpretación para responder al problema. Si el profesor da a conocer la operación a los niños, estos no desarrollarán estrategias que permitan identificarlas. Una estrategia de resolución de problemas incluye las siguientes fases: o Comprender el problema: los niños lo leen por sí mismos, o escuchan la lectura hecha por un compañero o por el profesor. Lo reformulan con sus palabras para mostrar que lo han comprendido. o Identificar datos e incógnita: responden a preguntas, al principio planteadas por el profesor, del tipo: Qué nos dice el problema? Qué tenemos que averiguar? 15
18 Orientaciones o Decidir qué operación utilizar para resolver el problema: es fundamental que sean los niños quienes decidan si suman o restan, aunque se equivoquen. En muchos casos, esta decisión requiere que los niños se apoyen en un esquema o diagrama para representarse la situación y así reconocer la relación aritmética que existe entre los datos y la incógnita. Es importante, además, que puedan fundamentar su decisión. o Realizar la operación: los niños y niñas disponen de diversas técnicas. Entre las más elementales está la de contar de uno en uno, en orden ascendente para sumar y en orden descendente para restar. En esta unidad avanzan hacia técnicas de descomposición y composición aditiva para diferentes tipos de relaciones numéricas. Se espera que expliquen las técnicas que utilizan. o Interpretar el resultado de la operación en el contexto del problema: niñas y niños identifican la respuesta a la pregunta que fue formulada en el enunciado del problema. Para que la enseñanza logre promover en niñas y niños la apropiación de una estrategia como la descrita, es necesario que el profesor permita que los niños creen problemas y que estimule la discusión entre ellos, haciendo preguntas del tipo: Qué nos dice el problema? Qué nos pregunta? Qué operación será necesario efectuar? Cómo realizan esa operación? Cuál es la respuesta al problema? Paralelamente, se van apropiando de procedimientos más eficaces para sumar y restar. Se espera que utilicen procedimientos basados en la descomposición y composición canónica de números de dos cifras. La secuencia de casos propuestos, genera la necesidad de ir adaptando estos procedimientos a los diversos tipos de relaciones entre los números con los que se opera en las adiciones. Descomponer canónicamente un número es expresarlo como suma de los valores que toman sus dígitos, considerando el carácter decimal y posicional de nuestro sistema de numeración. Ejemplo: la descomposición canónica de 47 es: Estas no son descomposiciones canónicas de La descomposición canónica se refleja en el nombre que le damos a este número: cuarenta y siete. Con los mismos dígitos podemos escribir el número 74, cuya descomposición canónica es:
19 Orientaciones A continuación aparecen descritas cada una de las clases de la unidad. Se recomienda: o Iniciar cada clase poniendo en juego los conocimientos de la(s) clase(s) anterior(es). o Dejar espacio para que niñas y niños propongan y experimenten sus propios procedimientos. o Mantener un diálogo permanente con los alumnos, y propiciarlo entre ellos, sobre el trabajo que se está realizando, sin imponer formas de resolución. o Permitir que se apropien íntegramente de los procedimientos estudiados. o Promover una permanente evaluación del trabajo que se realiza. o Finalizar cada clase con una sistematización y justificación de lo trabajado. PRIMERA CLASE En esta clase niños y niñas resuelven problemas aditivos de composición y de cambio, en que hay que calcular sumas y restas sin reserva del tipo: y ; 46 3 y Los niños avanzan hacia técnicas basadas en la descomposición canónica de un número de dos cifras y la composición aditiva de un múltiplo de diez y un número de una cifra. Momento de inicio El profesor (a) plantea una actividad que permite a los niños experimentar la necesidad de disponer de una técnica más eficaz que el conteo para sumar y restar. El ámbito numérico de esta unidad no permite distinguir nítidamente la ventaja entre sumar y contar. Por ejemplo, sumar , y contar 7 a partir de 18, no son técnicas sustancialmente diferentes en términos de obtener el resultado correcto, como sí lo son en el caso de calcular Por ello, para que los niños experimenten las limitaciones del conteo como procedimiento para calcular sumas, en la primera actividad se recurre a restricciones como el límite de tiempo. El profesor (a) presenta 4 ejercicios de cálculo de sumas y restas que deben ser resueltos en un tiempo máximo de 2 minutos (Ficha 1). Una vez terminado el plazo, los niños discuten sobre los procedimientos que utilizaron y sobre la eficacia de los mismos en relación a la tarea pedida. Así por ejemplo, para sumar los niños pueden con- 17
20 Orientaciones tar a partir de uno de los sumandos para llegar al otro. Si cuentan a partir de 30, tendrán que recorrer la secuencia 30, 31, 32, 33, 34, 35 hasta el 58; o bien, contar de 10 en 10 a partir de 28. Ambos procedimientos resultan más lentos, y probablemente menos precisos, que descomponer 28 en y sumarle 30. Por ello, no permiten responder a la actividad en el tiempo solicitado. Aquí no es necesario que los niños escriban todos sus cálculos. Momento de desarrollo El profesor (a) propone una actividad colectiva que se realiza con cartas ( Actividad colectiva con tarjetas I ), en la que calculan adiciones. Hay dos mazos: el mazo D, que tiene cartas con múltiplos de 10, y el mazo U, que tiene dígitos. El recurrir a estas cartas propicia que los niños avancen paulatinamente hacia una técnica basada en la descomposición y composición canónica de los números. Salen dos niños o niñas a la pizarra y el profesor reparte a uno de ellos una carta del mazo D. Al otro, una carta del mazo D y otra del U. Les pregunta cuántos puntos tiene cada uno, y les pide que lo anoten en la pizarra. Los niños juntan sus cartas y calculan cuántos puntos tienen entre los dos. Luego, explican qué operación realizaron y cómo hicieron los cálculos. Cuando los niños o niñas juntan sus cartas y hacen sus cálculos, se espera que primero sumen los múltiplos de 10 y, a ese resultado, le sumen el dígito. Por ejemplo, para sumar se espera que sumen La actividad se repite con otras parejas de niños por lo menos tres veces, variando las cartas. Posteriormente, el profesor propone otra actividad colectiva que se realiza con cartas ( Actividad colectiva con tarjetas II ), que es un complemento de la anterior, en la que calculan sustracciones. Con esta actividad, niñas y niños avanzan en su comprensión acerca de la reversibilidad entre la adición y la sustracción. La primera parte de esta actividad es la misma que la anterior, hasta el momento en que calculan la cantidad de puntos que tienen entre los dos y lo anotan en la pizarra. Luego, el profesor les pide que tapen las cartas, que las desordenen y que escojan una de ellas. Deben calcular la cantidad de puntos que quedan al quitar al puntaje que está en la pizarra la cantidad que indica la carta. Les puede salir un múltiplo de 10 o un dígito. En cualquier caso, deben descomponer canónicamente el puntaje de la pizarra. Si sale un múltiplo de 10, deben restar los múltiplos de 10 y, a este resultado, sumar el dígito, tal como muestra el ejemplo: = = = 36 18
21 Orientaciones Si sale un dígito, deben restar los dígitos que siempre serán los mismos, por lo que el resultado será un múltiplo de 10, tal como muestra el ejemplo: 56 6 = = 50 La actividad se repite con otras parejas de niños por lo menos tres veces, variando las cartas. Luego de estas dos actividades colectivas, niñas y niños trabajan en la Ficha 2, resolviendo problemas de composición y de cambio, y ejercicios de cálculos de sumas y restas. Se espera que decidan si el problema se resuelve mediante una adición o una sustracción. En el primer problema, la acción sugerida es del tipo juntar, y se pregunta por la cantidad total; por lo tanto, el problema se resuelve mediante la suma Se espera que los niños puedan resolver este problema mediante la descomposición canónica del número de dos cifras = = = 54 En el segundo problema, la acción sugerida es del tipo quitar, y se pregunta cuánto queda; por lo tanto, el problema se resuelve mediante la resta Se espera que los niños puedan resolver este problema mediante la descomposición canónica del número de dos cifras, ya que contar en forma descendente a partir de 75 hasta llegar a 40 sería una técnica muy engorrosa = = = = 35 Después de evaluar en forma conjunta con el curso la resolución de estos dos problemas, se continúa el trabajo con los otros problemas y ejercicios de la Ficha 2. Para cada problema es conveniente realizar una puesta en común haciendo preguntas del tipo: Qué nos dice el problema? Qué nos pregunta? Qué operación será necesario efectuar? Cómo realizan esa operación? Cuál es la respuesta? Para resolver un problema es necesario, a partir de la comprensión de la situación planteada en él y de la identificación de datos e incógnita, reconocer la relación aritmética entre ellos, decidir la operación que debe realizarse para responder al problema e interpretar el resultado obtenido en el contexto del problema. 19
22 Orientaciones Para efectuar , es probable que los niños se apoyen en los dedos de su mano para contar de uno en uno: treinta y cinco, treinta y seis, treinta y siete, treinta y ocho y treinta y nueve. Cuando se trate de una suma , se espera que los niños digan directamente treinta y cinco y no treinta y uno, treinta y dos, etc. Pero la técnica que se quiere hacer emerger para que efectúen una adición del tipo consiste en: o Descomponer canónicamente 34 en o Sumar para obtener 9 o Componer canónicamente para obtener 39 Escritos en forma simbólica, estos pasos son: = = = 39 No se espera que niñas y niños hagan registros escritos como este, sino que sigan los pasos aquí secuenciados para llegar a la suma, y puedan verbalizarlos. Proponemos una escritura de árbol que permita facilitar las descomposiciones y los cálculos Para efectuar la adición 59-3, la técnica que se quiere hacer emerger consiste en: o Descomponer canónicamente 59 en o Restar 9-3 para obtener 6 o Componer directamente para obtener 56 Escritos en forma simbólica, estos pasos son: 59-3 = = = 56 20
23 Orientaciones Momento de cierre El profesor (a) formula preguntas que permitan reconocer los fundamentos centrales de esta clase. Estos son: o Para resolver problemas necesitamos una estrategia que nos permita organizar la información de tal forma que podamos discernir la operación que debemos realizar, hacer los cálculos y responder a la pregunta del problema. o Las técnicas basadas en la descomposición y composición canónica de los números, por lo general permiten sumar y restar de manera más rápida y precisa que la técnica basada en el conteo. o Las acciones del tipo juntar que aparecen en el enunciado de un problema, se asocian con la suma, puesto que al juntar dos cantidades obtenemos una cantidad mayor que cualquiera de ellas. Asimismo, las acciones del tipo separar, se asocian con la resta, ya que al separarlas se obtiene una cantidad menor que el total. o Las acciones del tipo agregar que aparecen en el enunciado de un problema se asocian con la suma, puesto que al agregar una cantidad a otra dada, se obtiene una cantidad que es mayor que la cantidad inicial. Las acciones del tipo quitar se asocian con la resta, ya que al quitarle cierta cantidad a otra dada se obtiene una cantidad menor que la inicial. SEGUNDA CLASE En esta clase niños y niñas resuelven problemas aditivos de composición y de cambio, en que hay que calcular sumas de dos números de dos cifras sin reserva, como por ejemplo Ahora descomponen en forma canónica los dos sumandos que aparecen en la adición. De aquí en adelante, esta unidad se focaliza en técnicas de adición. Momento de inicio El profesor (a) propone un juego que se realiza en parejas, y que impulsa el uso de técnicas de suma y resta basadas en la descomposición y composición canónica ( Juego de cartas colectivo ). El profesor (a) selecciona a dos parejas de niños o niñas. Cada pareja dispone de dos mazos: el mazo D que tiene cartas con múltiplos de 10, y el mazo U que tiene cartas con números de una cifra (dígitos). Cada pareja saca dos cartas, una de cada mazo, y escribe 21
24 Orientaciones en la pizarra el total de puntos que obtiene. Realizan una segunda ronda, y escriben al lado de su puntaje anterior, el nuevo puntaje. Gana la pareja que reúne más puntos al juntar sus dos puntajes. El mazo D está formado por cartas que son múltiplos de 10 hasta 50, habiendo sólo una carta que tiene 50 puntos. Esta condición determina que las sumas obtenidas no pasen de 100. En el caso del mazo U, las cartas tienen solo números de una cifra hasta 5, habiendo solo una carta que tiene 5 puntos. Esta condición asegura que la suma de las unidades de ambos números no exceda a 10, tal como propone esta clase. Se espera que cuando los niños y niñas junten sus cartas y hagan sus cálculos, sumen los múltiplos de 10 y los números de una cifra. Luego, sumen ambos resultados. Para realizar este cálculo existen varias alternativas que difieren levemente unas de otras, tal como muestra el siguiente ejemplo. Supongamos que un niño o niña saca las cartas 20 y 5, formando 25 puntos. Luego, el otro saca las cartas 30 y 4, formando 34 puntos. Deben calcular la suma Para ello pueden realizar algunos de los siguientes cálculos: o Si juntan las cartas 20 con 5, obtienen 25. A este puntaje le suman la carta 4, obteniendo 29. Finalmente, a este puntaje le suman 30 de la última carta, debiendo calcular la suma Para calcular esta suma habría que descomponer 29 como , y calcular = o Si juntan las cartas 20 con 4 obtienen 24. Luego, le suman la carta 5, obteniendo 29. Finalmente, a este puntaje le suman 30 de la última carta, debiendo calcular la suma Para calcular esta suma habría que descomponer 29 como , y calcular = o Si juntan las cartas 20 con 30, obtienen 50. Luego, a este puntaje le suman la carta 4, obteniendo 54. Finalmente, a este puntaje le suman la carta 5, debiendo realizar la suma Es posible que realicen esta suma contando a partir del 54, lo que requiere que conozcan la secuencia de números de uno en uno a partir de 54 hasta llegar a 59. o Si juntan las cartas 20 con 30, obtienen 50. Paralelamente, si juntan las cartas 4 y 5 obtienen 9. Finalmente suman , obteniendo 59. De las cuatro técnicas, la más rápida es la última, ya que en las otras se realizan más descomposiciones y por ello se puede perder precisión. En cualquier caso, los niños deben saber muy bien las combinaciones aditivas básicas (CAB) cuya suma es menor que 10, y la extensión de estas a múltiplos de 10 cuya suma es menor que 100. A conti- 22
25 Orientaciones nuación se describen a través de tablas todas las combinaciones aditivas que se pueden obtener con los mazos D y U: Momento de desarrollo El profesor propone a los niños dos actividades. La primera consiste en el juego realizado en el momento de inicio. Para ello reune al curso en grupos de a cuatro y pide a cada grupo que formen dos parejas para que compitan. Para disponer de un registro de las sumas que los niños realizan, entrega a cada pareja de niños la Ficha 3 Bitácora del juego de cartas, en la cual pueden ir anotando los puntajes y la cantidad de juegos ganados o perdidos. En la segunda actividad, entrega la Ficha 4 y pide que observen el primer problema. Realiza preguntas para que los niños vayan reconociendo los pasos que integran la estrategia de resolución de problemas. A diferencia de lo ocurrido en el juego de cartas, se espera que ahora sean los niños los que descompongan en forma canónica los números para realizar la suma. Los niños reconocen que es necesario descomponer en forma canónica los dos sumandos, a diferencia de la primera clase en que se descomponía en forma canónica solo uno de ellos. Así, la técnica para efectuar una adición del tipo consiste en: o Descomponer canónicamente 42 en o Descomponer canónicamente 37 en o Sumar para obtener 70 o Sumar para obtener 9 o Componer para obtener 79 23
26 Orientaciones Escrito en forma simbólica, estos pasos son: = = = = 79 Para hacer las descomposiciones de los números la escritura de árbol es: Se suman los múltiplos de 10 obteniendo 70. Se suman los números de una cifra obteniendo 9. Luego se suman ambos resultados. Permita que los niños utilicen la escritura que les acomode. Otra técnica consiste en descomponer solo uno de los sumandos = = = 79 Usando la escritura de árbol: Se descompone 37 y luego se calcula , obteniendo 72 y luego a 72 se suma 7, obteniendo 79. Para sumar dos números de dos cifras, se descompone cada uno de ellos en forma canónica; luego, se suman los múltiplos de 10, y los números de una cifra. Esta manera de realizar los cálculos es posible por la propiedad asociativa y conmutativa de la adición. La asociatividad permite agrupar los sumandos de diferentes maneras, sin que el resultado cambie. La conmutatividad permite cambiar el orden de los sumandos, sin alterar el resultado. 24
27 Orientaciones Se continúa el trabajo con la Ficha 4, en la cual hay problemas y ejercicios que permiten poner en práctica la resolución de problemas aditivos, y un conjunto de ejercicios para el cálculo de sumas y restas. La profesora observa si niñas y niños usan la técnica basada en la descomposición canónica y si evocan convenientemente las CAB. Se espera que los niños extiendan a las adiciones y sustracciones entre múltiplos de 10, las relaciones entre dígitos que ya conocen. Por ejemplo, puede ser calculado como: 40 más 30 debe ser 70, ya que 4 más 3 es 7. Asimismo, puede ser calculado como: 40 más 30 es 70, así que 70 menos 30 tiene que ser 40. Para impulsar este tipo de razonamientos, puede preguntar: o Cómo podremos saber cuánto es 40 más 30 sin contar de 10 en 10? o Nos servirá saber cuánto es 4 más 3? Para que los niños avancen en el manejo de las combinaciones aditivas básicas y dispongan de ellas en forma fluida, entrega a cada niño y niña la tabla 1 cuya suma es menor que 10. Se pide a los niños y niñas que formulen un nuevo problema a partir del problema de las bolitas que se echan en un plato. Se espera que cambien los datos y que digan el problema. Con esta actividad comprenden más profundamente la asociación de las acciones que están involucradas en un problema y la operación matemática que lo resuelve. También se propone a los niños que formulen una pregunta a partir de la información que se les entrega, lo que convierte a dicha situación en un problema. Momento de cierre El profesor (a) formula preguntas que permitan a niñas y niños reconocer los fundamentos centrales de esta clase. Estos son: o Para sumar dos números de dos cifras, la técnica basada en la descomposición y composición canónica de los números resulta eficiente. Para sumar dos números, se descompone cada uno de ellos en forma canónica, se suman los múltiplos de 10, y luego los números de una cifra. o Así, para usar esta técnica es necesario manejar de forma fluida las CAB involucradas. o Esta técnica funciona, porque es posible agrupar los sumandos de diferentes maneras, sin que el resultado cambie y, además, porque se puede cambiar el orden de los sumandos sin alterar el resultado. o Para cada operación, ya sea una adición o una sustracción, se puede generar un problema, o varios, que se resuelvan con ella. 25
28 Orientaciones TERCERA CLASE En esta clase los niños resuelven problemas aditivos de composición y de cambio, en que hay que calcular sumas de un número de dos cifras con uno de una y dos cifras, en que la suma de las unidades en ambos casos es igual a 10, es decir se completa una decena. Por ejemplo, y En ambos casos deben descomponer en forma canónica el o los números de dos cifras, y luego componer los múltiplos de 10 que obtienen. Momento de inicio El profesor dirige un nuevo juego en que compiten dos parejas de niños ( Juego de cartas colectivo ). El juego consiste en escoger una carta que, al sumar los puntos que ella indica con los ya acumulados, se obtenga un número que termine en 0, es decir, que sea múltiplo de 10. La idea es que los niños recurran a la descomposición canónica, porque la necesitan para hacer sus cálculos, y no necesariamente porque el profesor se los pida. El profesor separa al curso en dos grupos. Cada grupo dispone de los mazos D y U. Pide a dos niños, representantes de cada grupo, que saquen una carta de cada mazo. Ambos grupos determinan el puntaje total obtenido en las cartas y las guardan. Luego, cada una de las parejas saca sucesivamente una carta del mazo N, donde hay diversos números de una y dos cifras. El total de puntos obtenido por el número formado por las cartas que tienen en la mano, y los puntos que indica una carta del mazo N, debe ser un múltiplo de 10. Si la carta que saca un grupo les sirve, entonces la reúnen con las que tienen, las muestran al grupo contrario y justifican que efectivamente se obtiene un múltiplo de 10 al sumar ambos números. Si se equivocan, pierden el juego. Si la carta no les sirve, continúan sacando cartas del mazo N hasta obtener una que sirva. Gana la pareja que gana más juegos. Ejemplo: A continuación se detalla en una tabla las cartas que tiene una pareja de niños y las cartas que van saliendo hasta que sale la que gana el juego. Cartas que tiene el grupo A Puntos Cartas que sacan del mazo N 26 Total de puntos Gana el grupo 30 y no 30 y no 30 y no 30 y no 30 y no 30 y sí (siempre al decir parar, muestran las cartas y justifican que es igual a 60)
29 Orientaciones Momento de desarrollo Se realiza el mismo juego, pero esta vez juega todo el curso ( Juego de cartas colectivo en grupos de 4 niños ). Para ello, el profesor (a) organiza al curso en grupos de cuatro niños, y pide a cada grupo que formen dos parejas para que compitan. Es necesario que cada grupo disponga de los mazos U y D y un mazo N, para ambas parejas. Si un grupo gana el juego, se devuelven las cartas a los mazos correspondientes y se revuelven para continuar el juego. Gana la pareja que haya ganado más juegos. Es importante que el profesor (a) observe cómo niñas y niños van calculando las sumas hasta obtener un múltiplo de 10. Es posible que los niños anticipen la carta que les sirve. Por ejemplo, una pareja de niños ha formado 48 puntos y, sin efectuar la suma, reconocen que necesitan cualquiera de las cartas 2, 22, 32, 42. También es posible que vayan descartando las cartas, sin necesidad de realizar la suma de los puntajes. Por ejemplo, si una pareja tiene 48 puntos y sale la carta 6, reconocen inmediatamente que esa carta no les sirve ya que al sumar 8 con 6 da más que 10, sin necesidad de saber que = 54. Jugando varias veces se espera que niñas y niños vayan reconociendo las CAB que dan exactamente 10. Para ayudar a la memorización de las combinaciones aditivas básicas, el profesor (a) entrega a cada niño y niña la tabla 2 de combinaciones aditivas básicas cuya suma es igual a 10. A continuación se describe la técnica para los dos casos de sumas que pueden darse en este juego de cartas. o Para efectuar una adición del tipo la técnica consiste en: Descomponer canónicamente 34 en Sumar para obtener 10 Componer para obtener 40 27
30 Orientaciones Escritos en forma simbólica, estos pasos son: = = = 40 Usando la escritura de árbol, quedaría: Se suma 4 con 6 obteniendo 10 y luego a 10 se suma 30 obteniendo 40. o Para efectuar una adición del tipo la técnica consiste en: Descomponer canónicamente 42 en Descomponer canónicamente 38 en Sumar para obtener 70 Sumar para obtener Componer para obtener 80 Escrito en forma simbólica, estos pasos son: = = = = 80 Usando la escritura de árbol se tiene: Se descompone en forma canónica ambos sumandos y luego se suman los múltiplos de 10 y los números de una cifra (que suman 10). Luego se suman ambos resultados. 28
31 Orientaciones Otra técnica consiste en descomponer sólo uno de los sumandos = = = 80 Usando la escritura de árbol se tiene: A 42 se suma 30 obteniendo 72 y luego a 72 se suma 8 obteniendo 80. A continuación de esta actividad, niños y niñas desarrollan la Ficha 5. Momento de cierre El profesor (a) formula preguntas que permitan reconocer los fundamentos centrales de esta clase. Estos son: o Para resolver problemas aditivos, una de las etapas más importantes y a veces más difícil de la estrategia, es discernir la operación que debemos realizar para encontrar su respuesta. Para ello es conveniente apoyarse en un dibujo o esquema que traduzca las relaciones entre datos e incógnitas, y permita determinar la operación que resuelve el problema. o Insistir en que para sumar dos números de dos cifras con la técnica basada en la descomposición y composición canónica de los números, se descompone cada uno de ellos en forma canónica, se suman los múltiplos de 10, y luego los números de una cifra. o Para usar esta técnica en los casos estudiados en esta clase es necesario manejar de forma fluida las CAB que dan 10. CUARTA CLASE En esta clase niños y niñas resuelven problemas aditivos de composición y de cambio, en que hay que calcular sumas de un número de dos cifras con uno de una o dos cifras, en que la suma de las unidades en ambos casos es mayor que 10. Por ejemplo, sumas del tipo y
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