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Groupes et algèbres de Lie: Chapitre 1 | Nicolas Bourbaki | download
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Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements. Ce premier volume du Livre sur les Groupes et algèbre de Lie, neuvième Livre du traité, est consacré aux concepts fondamentaux pour les algèbres de Lie.
ISBN 10: 3540353356
ISBN 13: 9783540353379
Series: Eléments de mathématique
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N. BOURBAKI s s ELEMENTS DE MATHÉMATIQUE GROUPES ET ALGEBRES DELIE Chapitre 1 4y Spri nneer g<
Réimpression inchangée de l'édition originale de 1972 © Hermann, Paris, 1972 © N.Bourbaki, 1981 © N. Bourbaki et Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 ISBN-10 3-540-35335-6 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-35335-5 Springer Berlin Heidelberg New York Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 interdit les copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. Toute représentation, reproduction intégrale ou partielle faite par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Springer est membre du Springer Science+Business Media springer.com Maquette de couverture: WMXdesign, Heidelberg Imprimé sur papier non acide 41/3100/YL - 5 4 3 2 1 0 -
CHAPITRE PREMIER ALGÈBRES DE LIE Dans les paragraphes 1, 2 et 3, K désigne un anneau commutatif ayant un élément unité. Au paragraphe 4, K désigne un corps commutatif. Dans les paragraphes 5, 6 et 7, K désigne un corps commutatif de caractéristique 0 1. § 1. Définition des algèbres de Lie 1. Algèbres Soit M un module unitaire sur K, muni d'une application bilinéaire (x, y) H> xy de M x M dans M. Tous les axiomes des algèbres sont vérifiés à l'exception de l'associativité de la multiplication. Par abus de langage, on dit que M est une algèbre non nécessairement associative sur K, ou parfois, quand aucune confusion ne peut en résulter, une algèbre sur K. Dans le présent n°, nous emploierons cette dernière terminologie. Si on munit le K-module M de la multiplication (x, y) H> yx, on obtient encore une algèbre qui est dite opposée à l'algèbre précédente. Un sous-K-module N de M stable pour la multiplication est muni de manière évidente d'une structure d'algèbre sur K. On 1 Les propositions démontrées dans ce Chapitre s'appuient exclusivement sur les propriétés établies dans les livres I à VI, et sur quelques résultats de Alg. comm., chap. III, § 2.
8 ALGÈBRES DE LIE § 1 dit que N est une sous-algèbre de M. On dit que N est un idéal à gauche (resp. à droite) de M si les conditions sceN, y e M entraînent yx e N (resp. xy e N). Si N est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite, on dit que N est un idéal bilatère de M. Dans ce cas, la multiplication dans M permet de définir, par passage au quotient, une multiplication bilinéaire dans le module quotient M/N, de sorte que M/N est muni d'une structure d'algèbre. On dit que M/N est Y algèbre quotient de M par N. Soient Mx et M2 deux algèbres sur K, et <p une application de Mx dans M2. On dit que <p est un homomorphisme si <p est K-li- néaire, et si <p(xy) = <?(x)y(y) pour xeMu yeM^ Le noyau de <p est un idéal bilatère de Mu et l'image de <p est une sous- algèbre de M2. Par passage au quotient, <p définit un isomorphisme de l'algèbre Mx/N sur l'algèbre ^(M^. Soit M une algèbre sur K. Une application D de M dans M est appelée une dérivation de M si elle est K-linéaire et si B(xy) = (Dx)y + x{Dy), quels que soient ïeM et i/eM. Cette définition généralise la déf. 3 d'Alg., chap. IV, § 4, n° 3. Le noyau d'une dérivation de M est une sous-algèbre de M. Si Dx et D2 sont des dérivations de M, alors L\D2 - T)J}X est une dérivation de M (cf. Alg., chap. IV, § 4, n° 3, prop. 5 : la démonstration de cette proposition n'utilise pas l'associativité de l'algèbre). Soient Mx et M2 deux algèbres sur K. Sur le K-module produit M = Mj x M2, définissons une multiplication en posant (xu x2){yx, y2) = (xjt/!, x2y2), quels que soient xx, yx dans Ml5 x2, y2 dans M2. L'algèbre ainsi définie s'appelle Valgèbre produit de Mx et M2. L'application xx H»- {xx, 0) (resp. x2 H»- @, x2)) est un isomorphisme de Mj (resp. M2) sur un idéal bilatère de M. Par ces isomor- phismes, on identifie IV^ et M2 à des idéaux bilatères de M. Le K- module M est alors somme directe de Mx et M2. Réciproquement, soient M une algèbre sur K, et Ml5 Ma deux idéaux bilatères de M tels que M soit la somme directe de M1 et M2. On a M^ c M± n M2 = \ 0 j ; donc, si xu yx appartiennent à Mx et x2, y2 à M2, alors {xx + x2)(yx + y2) = xxyx + x2y2, de sorte que M s'identifie à l'algèbre produit Mx x M2. Tout idéal à gauche (resp. à droite, bilatère) de Mj est un idéal à gauche (resp. à droite, bilatère)
N° 2 DÉFINITION DES ALGÈBRES DE LIE 9 de M. Nous laissons au lecteur le soin de formuler les résultats analogues dans le cas d'une famille finie quelconque d'algèbres. Soit M une algèbre sur K, et supposons que le K-module M admette une base (a-x)-XeL. Il existe un système unique (YxuvVa^.vx-lxlxl d'éléments de K tels que axa^ = Eyw*v <Iuels que soient X, \x dans L. Les.y^av s'appellent les constantes de structure de M par rapport à la base (a^). Soient M une algèbre sur K, K0 un anneau commutatif ayant un élément unité, p un homomorphisme de Kq dans K transformant l'élément unité en élément unité. Alors, M peut être considéré comme algèbre sur K0 en posant x.x = p(a) .x pour a e K0, ïeM. Il en est ainsi, en particulier, lorsqu'on prend pour K0 un sous- anneau de K contenant l'élément unité, et pour p l'application identique de K^ dans K. Soient M une algèbre sur K, K^ un anneau commutatif ayant un élément unité, a un homomorphisme de K dans Kx transformant l'élément unité en élément unité. Soit M(Ki>a) = M(Kt) le K^-moduIe déduit de M par extension à Kx de l'anneau des scalaires (Alg., chap. II, 3e éd., § 5). Le produit dans M définit cano- niquement une application K1-bilinéaire de Mc^) X M(Kj) dans M(kx) {Alg., chap. IX, § 1, n° 4), de sorte que M(Kl) se trouve muni d'une structure d'algèbre sur K^ (qui est dite déduite de M par extension à K^ de Vanneau des scalaires). Il en est ainsi, en particulier, lorsque K est un sous-anneau de Kx contenant l'élément unité et que a est l'application identique de K dans Kx. 2. Algèbres de Lie Définition 1. — Une algèbre g sur K est appelée une algèbre de Lie sur K si sa multiplication (notée (x, y) h> [a:, y]) vérifie les identités : A) [x, x] = 0 B) Dr, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 quels que soient x, y, z dans g. Le produit [x, y] est appelé le crochet de x et y. L'identité B) est appelée Videntitéde Jacobi.
10 ALGÈBRES DE LIE § 1 Le crochet [x, y] est une fonction bilinéaire alternée de x, y. On a donc l'identité : C) l>, y] = - [y, x] de sorte que l'identité de Jacobi peut s'écrire : D) fo [y, z]] = [fo yl z] + [y, fo «]]. Toute sous-algèbre, toute algèbre quotient d'une algèbre de Lie sont des algèbres de Lie. Tout produit d'algèbres de Lie est une algèbre de Lie. Si g est une algèbre de Lie, l'algèbre opposée g0 est une algèbre de Lie, et l'application x h> - x est un isomor- phisme de g sur g0, en vertu de l'identité C). Exemple 1. — Soit L une algèbre associative sur K. Le crochet [x, y\ = xy- yx est une fonction bilinéaire de x et y. On vérifie facilement que la loi de composition (x, y) h> [x, y] dans le K-module L fait de L une algèbre de Lie sur K. Exemple 2. — Dans l'exemple 1, choisissons pour L l'algèbre associative des endomorphismes d'un K-module E. On obtient Valgèbre de Lie des endomorphismes de E, notée gl(E). (Si E = K", on note gl(rc, K) l'algèbre de Lie gl(E).) Toute sous-algèbre de Lie de gl(E) est une algèbre de Lie sur K. En particulier : 1° Si E est muni d'une structure d'algèbre (non nécessairement associative), les dérivations de E forment une algèbre de Lie sur K. 2° Si E admet une base finie, les endomorphismes de E de trace nulle forment une algèbre de Lie sur K, qu'on désigne par sI(E) (ou par sl(n, K) si E = Kn). 3° L'ensemble M„(K) des matrices carrées d'ordre n peut être considéré comme une algèbre de Lie sur K canoniquement isomorphe à gï(rc, K). Soit (Eij) la base canonique de M„(K) (Alg., chap. II, 3e éd., § 10, n° 3). On a facilement : E) [' [E^, Eu] = 0 si / ^ k et i ^ l [Eih Eji] = Ea si i =£ l [Eij,Eki]=-EIcj si jïk [Eij, Eji} = En — Ejj
N° 2 DÉFINITION DES ALGÈBRES DE LIE 11 On note t(rc, K) (resp. $t(n, K), n(n, K)) la sous-algèbre de Lie de M„(K) formée des matrices triangulaires (resp. triangulaires de trace nulle, resp. triangulaires de diagonale nulle) {Alg., chap. II, 3e éd., § 10, n° 7). * Exemple 3. — Soit V une variété indéfiniment différentiable réelle. Les opérateurs différentiels à coefficients réels indéfiniment différentiables sur V constituent une algèbre associative sur R, donc, d'après l'exemple 1, une algèbre de Lie A sur R. Le crochet de deux champs de vecteurs indéfiniment différentiables sur V est un champ de vecteurs indéfiniment différentiable, donc les champs de vecteurs indéfiniment différentiables sur V constituent une sous-algèbre de Lie f de A. Si V est un groupe de Lie réel, les champs de vecteurs invariants à gauche constituent une sous- algèbre de Lie g de f appelée algèbre de Lie de V. L'espace vectoriel g s'identifie à l'espace tangent à V en e (élément neutre de V). Soient V un autre groupe de Lie réel, e' son élément neutre, g' son algèbre de Lie. Tout homomorphisme analytique de V dans V définit une application linéaire de l'espace tangent à V en e dans l'espace tangent à V en e' ; cette application est un homomorphisme de l'algèbre de Lie g dans l'algèbre de Lie g'. Si V est le groupe linéaire d'un espace vectoriel réel E de dimension finie, il existe un isomorphisme canonique de gl(E) sur l'algèbre de Lie g de V, par lequel on identifie g et gl(E).* Définition 2. — Soient g une algèbre de Lie, x un élément de g. L'application linéaire y y-> [x, y] de g dans g s'appelle Vapplication linéaire adjointe de x et se désigne par adg x ou par ad x. Proposition 1. — Soit g une algèbre de Lie. Pour tout xe g, ad x est une dérivation de g. L'application x h> ad x est un homomorphisme de Valgèbre de Lie g dans Valgèbre de Lie b des dérivations de g. Si D e fc> et x e g, on a [D, ad x] = ad (Dx). En effet, l'identité D) peut s'écrire : (ad a;). [y, z] = [(ad a;). y, z] + [y, (ad a;). z] ou : (adO, y]). z = (ad a;). ((ad y). z) - (ad y). ((ad a;). z)
12 ALGÈBRES DE LIE § 1 d'où les deux premières assertions. D'autre part, si Deb, x e g, y e g, on a [D, ad x].y = D(|>,y])-[«, Dr/] = [Dz, y] = (ad Dx).y, d'où la dernière assertion. L'application ad x s'appelle aussi la dérivation intérieure définie par x. 3. Algèbres de Lie commutatives Définition 3. — Deux éléments x, y d'une algèbre de Lie sont dits permutables lorsque [x, y] = 0. On dit que g est commutative si deux quelconques de ses éléments sont permutables. Exemple 1. — Soient L une algèbre associative, g l'algèbre de Lie qu'elle définit (n° 2, Exemple 1). Deux éléments x, y sont permutables dans g si et seulement si xy = yx dans L. *Exemple 2. — Si un groupe de Lie réel G est commutatif, son algèbre de Lie est commutative. * Tout K-module peut évidemment être muni, d'une manière unique, d'une structure d'algèbre de Lie commutative sur K. Si g est une algèbre de Lie, tout sous-module monogène de g est une sous-algèbre de Lie commutative de g. 4. Idéaux Il résulte de l'identité C) que, dans une algèbre de Lie g, il n'y a pas à distinguer entre les idéaux à gauche et les idéaux à droite, tout idéal étant bilatère. On parlera donc simplement d'idéal. *Exemple. — Soient G un groupe de Lie, g son algèbre de Lie, H un sous-groupe de Lie de G. Tout champ de vecteurs invariant à gauche sur H définit canoniquement un champ de vecteurs invariant à gauche sur G, d'où une injection canonique de l'algèbre de Lie h de H dans g ; on identifie h à une sous-algèbre de Lie de g par cette injection. Si H est distingué dans G, l'image canonique de h dans g est un idéal de g.*
N° 5 DÉFINITION DES ALGÈBRES DE LIE 13 Un idéal de g est un sous-module de g stable pour les dérivations intérieures de g. Définition 4. — Un sous-module de g stable pour toute dérivation de g est appelé un idéal caractéristique de g. Proposition 2. — Soient g une algèbre de Lie, a un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g, et b un idéal caractéristique de à. Alors, b est un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. En effet, toute dérivation intérieure (resp. toute dérivation) de g laisse stable a et induit dans a une dérivation, donc laisse stable b. Soient g une algèbre de Lie. Si a et b sont des idéaux de g, a + b et a n b sont des idéaux de g. Soient a et b deux sous-modules de g. Par abus de notations, on notera [a, b] le sous-module de g engendré par les éléments de la forme [x, j/](ïea,p b). On a [a, b] = [b, a] d'après l'identité C). Si 2e g, on note [z, a], ou [a,z],le sous-module [Kz, a] = (adz)(a). Proposition 3. — Si aetb sont des idéaux (resp. des idéaux caractéristiques) de g, [a, b] est un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. En effet, soit D une dérivation intérieure (resp. une dérivation quelconque) de g. Si xe a et ^b, on a D([*, y]) = [Ds, y] + [x, Dy] e [a, b]. D'où la proposition. Si a est un sous-module de g, l'ensemble des seg tels que (ad x).aca est une sous-algèbre n de g, appelée normalisateur de a dans g. Si de plus a est une sous-algèbre de g, onaacn, et a est un idéal de n. 5. Série dérivée, série centrale descendante On appelle idéal dérivé d'une algèbre de Lie g, et on note <£)g, l'idéal caractéristique [g, g]. Tout sous-module de g contenant Œ)q est un idéal de g.
14 ALGÈBRES DE LIE § 1 On appelle série dérivée de g la suite décroissante tD°g, J^g, ... d'idéaux caractéristiques de g définis par récurrence de la manière suivante : 1) (D°q = g ; 2) ffî*\ = [G7g, <JFq\. On appelle série centrale descendante de g la suite décroissante C1g, C2g, ... d'idéaux caractéristiques de g définis par récurrence de la manière suivante : 1) G1q = g ; 2) E^+1g = [g, Og]. On a C2g = <£)g, et Cp+1q zd J>g pour tout p, comme on le voit aussitôt par récurrence sur p. Proposition 4. — Soient g et ï) deux algèbres de Lie sur K, etfunhomomorphismede g sur ï). Orc a j{(J7q) = (ïï% /(Cg) = 0f). Si a et b sont des sous-modules de g, on a aussitôt /([a, b]) = [/(a), /(b)]. La proposition est alors immédiate par récurrence sur/?. Corollaire. — Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g. Pour que Valgèbre de Lie g/a soit commutative, il faut et il suffit que a 3 (ÏÏQ. En effet, dire que g/a est commutative revient à dire que <£)(g/a) = { 0 }. Or, <£)(g/a) est, d'après la prop. 4, l'image canonique de Œ)q dans g/a. 6. Série centrale ascendante Soient g une algèbre de Lie, et P une partie de g. On appelle commutant de P dans g l'ensemble des éléments de g permutables à ceux de P. Ce commutant est l'intersection des noyaux des ad y, où y parcourt P ; c'est donc une sous-algèbre de g. Proposition 5. — Soient g une algèbre de Lie, a un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. Le commutant a' de a dans g est un idéal (resp. un idéal caractéristique) de g. En effet, soit D une dérivation intérieure (resp. une dérivation quelconque) de g. Si x s a' et y s a, on a [Dx,y] = D([x,y])-[x,Dy] = 0; donc Dxe a'. D'où la proposition.
N° 7 DÉFINITION DES ALGÈBRES DE LIE 15 Soit g une algèbre de Lie. On appelle centre de g le commutant de g dans g, c'est-à-dire l'idéal caractéristique des ieg tels que [x, y] = 0 pour tout y e g. Le centre de g est le noyau de l'homo- morphisme x h-> ad x. On appelle série centrale ascendante de g la suite croissante (?0g, fijg,... d'idéaux caractéristiques de g définis par récurrence de la manière suivante : 1) C0g = JOJ; 2) Cp+ig est l'image réciproque, pour l'application canonique de g sur QJGpQ, du centre de QJCpQ. _______--------------- L'idéal €XQ est le centre de g. 7. Extensions Définition 5. — Soient a et b deux algèbres de Lie sur K. On appelle extension de b par a une suite : —^g—>b où g est une algèbre de Lie sur K, où y. est un homomorphisme sur- jectif de g sur b, et où X est un homomorphisme injectif de a sur le noyau de jx. Le noyau rt de y. s'appelle le noyau de l'extension. L'homo- morphisme X est un isomorphisme de a sur rt et l'homomorphisme [x définit un isomorphisme de g/n sur b par passage au quotient. Par abus de langage, on dit aussi que g est extension de b par a. Deux extensions : a—»-g >■ b, a—» g' >■ b sont dites équivalentes s'il existe un homomorphisme / de g dans g' tel que le diagramme suivant : V 9 \n a{ f > 9' soit commutatif (c'est-à-dire tel que /° X = X', (jl'°/ = (jl). Montrons qu'un tel homomorphisme est nécessairement bijectif.
16 ALGÈBRES DE LIE 1 D'abord / est injectif. En effet, si a; s g est tel que f(x) = 0, on a [i(x) = y'(f(x)) = 0, donc x = \{y) avec un y ^a; et \'(y) = f(Hy)) — f(x) ~ ^) donc y = 0, donc x = 0. D'autre part, / est surjectif. En effet y.'° f = jx est surjectif, donc /(g) + X'(a) = g' ; et par ailleurs /(g) d/(X(<x)) = X'(a). Il résulte de là que la relation qu'on vient de définir entre deux extensions de b par a est une relation d'équivalence. Proposition 6. — Soient: une extension de b par a, et rt son noyau. a) S'il existe une sous-algèbre m de g supplémentaire de rt dans g, la restriction de y. à m est un isomorphisme de m sur b. Si v désigne Visomorphisme réciproque de cette restriction, v est un homo- morphisme de b dans g, et y.° v est Vautomorphisme identique de b. b) Réciproquement, s'il existe un homomorphisme v de b dans g tel que [i,°v soit Vautomorphisme identique de b, alors v(b) est une sous-algèbre supplémentaire de rt dans g. Les assertions de a) sont immédiates. D'autre part, soit v un homomorphisme de b dans g tel que [x° v soit l'automorphisme identique de b. Alors, v(b) est une sous-algèbre de g, et g est somme directe de v(b) et de ■jx(O) = rt (Alg., chap. VIII, § 1, n° 1). Définition 6. — Soient : a —>Q ^b une extension de b par a, et rt son noyau. On dit que cette extension est inessentielle (resp. triviale) s'il existe une sous-algèbre (resp. un idéal) de g supplémentaire de rt dans g. On dit que cette extension est centrale si rt est contenu dans le centre de g. Si l'extension est triviale, soit m un idéal de g supplémentaire de n dans g. Alors (cf. n° 1) g s'identifie canoniquement à l'algèbre de Lie m X rt, donc à l'algèbre de Lie a X b. Réciproquement, soient a et b deux algèbres de Lie ; alors a X b est extension triviale de a par b. Une extension centrale et inessentielle est triviale. En effet,
N° 8 DÉFINITION DES ALGÈBRES DE LIE 17 soient g une algèbre de Lie, rt un idéal de g contenu dans le centre de g, et m une sous-algèbre de g supplémentaire de rt dans g. On a [m, g] = [m, m] + [m, rt] = [m, m] c m, donc m est un idéal de g. 8. Produits semi-directs Soient a et b deux algèbres de Lie sur K. Il n'est pas facile de construire toutes les extensions de b par a. Mais nous allons décrire assez simplement les extensions inessentielles de b par a. Soit g une extension inessentielle de b par a. Identifions a à un idéal de g, b à une sous-algèbre de g supplémentaire de a, et le module g au module a X b. Pour tout b e b, soit <p6 la restriction à a de adg b ; c'est une dérivation de a, et l'application b h> <p6 est un homomorphisme de b dans l'algèbre de Lie des dérivations de a. D'autre part, pour a, a' dans a et bfi dans b, on a : F) [(a, b), (a\ b')] = [a + b, a' + b'] = [«, «'] + [a, b'] + [b, a'] + [b, b'] = ([«, «'] + 96«' - 96'«, [b, b']). Réciproquement, soient a et b des algèbres de Lie sur K, et b h> <pft un homomorphisme de b dans l'algèbre de Lie des dérivations de a. Dans le produit g des K-modules a et b, définissons le crochet de deux éléments en posant : [(a, b), (a', b')] = ([a, a'] + 9fta' - <pya, [b, b']) quels que soient a, a' dans a, 6, b' dans b. Il est immédiat que ce crochet est une fonction bilinéaire et alternée de (a, b), (a', b') ; montrons que, étant donnés 3 éléments (a, b), (a', b'), (a", b") de a X b, on a : G) [(a, b), [(a', b'), (a", b")]] + [(a', 6'), [(a", b"), (a, 6)]] + [(a", b"), [(a, 6), (a', 6')]] = 0. Comme le premier membre de G) est une fonction trilinéaire alternée de (a, b), (a', b'), (a", b"), il suffit de faire la vérification quand ce système d'éléments a l'une des formes suivantes : (8) (a, 0), (a', 0), (a", 0) (9) (a, 0), (a', 0), @, b") A0) (a, 0), @, 6'), @, 6") A1) @, b), @, 6'), @, 6"). 2—B.
18 ALGÈBKES DE LIE 1 Dans les cas (8) et A1), la relation G) est conséquence immédiate de l'identité de Jacobi dans a et b. Dans le cas (9), on a [(a, 0), [(a', 0), @, b")]] = [(a, 0), (- <py,a't 0)] = (- [a, <py,a'], 0) [(a', 0), [@, b"), (a, 0)]] = [(a', 0), («py/a, 0)] = ([a', 9j„a]), 0) [@, b"), [(a, 0), (a', 0)]] = [@, b"), ([a, a'], 0)] = (<py,([a, a']), 0) et la relation G) résulte de l'égalité : 9j"([«, «']) = hva, a'] + [a, ?*/<*']. Dans le cas A0), on a : [(«, 0), [@, &'), @, &")]] = [(a, 0), @, [6', 6"])] = (- ^,^, 0) [@, 6'), [@, 6"), (a, 0)]] = [@, b'), (96„a, 0)] = {Wb„a, 0) [@, 6"), [(a, 0), @, 6')]] = [@, 6"), (- <pya, 0)] = (- <py,<pya, 0) et la relation G) résulte de l'égalité : On a donc défini une structure d'algèbre de Lie sur g. L'application (a, b) h-»- 6 de g sur b est un homomorphisme jx, dont le noyau rt est l'idéal des éléments de g de la forme (a, 0). L'application a h*- (a, 0) est un isomorphisme X de a sur rt. Donc : A2) a —> g ^->b est une extension de b par a, de noyau rt, qui est dite définie cano- niquement par a, b, <p. L'application b h> @, b) est un isomorphisme v de b sur une sous-algèbre de g supplémentaire de rt dans g ; donc l'extension est inessentielle. Si on identifie a à rt par X et b à v(b) par v, on a, pour a e o et b e b : (ad b).a = [@, b), (a, 0)] = (<p6a, 0) = 9fta. Lorsque <p = 0, g est l'algèbre de Lie produit de b et a. Dans le cas général, g s'appelle le produit semi-direct de b par a (correspondant à l'homomorphisme b h> <p6 de b dans l'algèbre de Lie des dérivations de a). Nous avons donc établi la proposition suivante :
N° 8 DÉFINITION DES ALGÈBRES DE LIE 19 Proposition 7. — Soient aetb deux algèbres de Lie sur K, —y g >b une extension inessentielle de b par a, v un isomorphisme de b sur une sous-algèbre de g tel que y.° v soit Vautomorphisme identique de b, et <p Vhomomorphisme correspondant de b dans Valgèbre de Lie des dérivations de a. Soit a —>g<> Vextension inessentielle de b par a définie canoniquement par <p. Alors l'application (a, b) h> X(a) + vF) est un isomorphisme de g0 sur g, et le diagramme suivant ^9°\^o a( f > est commutatif, de sorte que les deux extensions sont équivalentes. Exemple 1. — Soient g une algèbre de Lie sur K, D une dérivation de g. Soit ï) l'algèbre de Lie commutative K. L'application X h> XD (X e K) est un homomorphisme de h dans l'algèbre de Lie des dérivations de g. Formons le produit semi-direct correspondant ï de I) par g. Soita;0 l'élément @,1) de ï. Pour tout ie g, on a Dx = [x0, x]. Exemple 2. — Soient g une algèbre de Lie sur K, M un K- module, p un homomorphisme de g dans gl(M). Si on considère M comme une algèbre de Lie commutative, l'algèbre de Lie dès dérivations de M est gl(M). On peut donc former le produit semi- direct b de g par M correspondant à p. Plus particulièrement, prenons g = gl(M), et prenons pour p l'application identique de gt(M). Le produit semi-direct de g par M se note alors af(M) (ou af(n, K) si M = K"). Un élément de af(M) est un couple (m, m), où m e M, u e gl(M) ; et le crochet est défini par [(m, u), (m', u')] = (u(m') - u'(m), [u, u']). * Lorsque M est un espace vectoriel de dimension finie sur R, af(M) s'identifie canoniquement à l'algèbre de Lie du groupe affine de M. *
20 ALGÈBRES DE LIE 1 Soit t une algèbre de Lie sur K. Une application linéaire 6 de t dans af(M) peut s'écrire x H* ((£(#), ^(x)), où Ç est une application linéaire de t dans M et où 7) est une application linéaire de t dans gl(M). Cherchons quelles conditions doivent vérifier Ç et rj pour que 6 soit un homomorphisme. Pour a;e t, yet, on doit avoir ©(!>, y\) = P(*), eB/)] c'est-à-dire («[*, ylh r>([x, y])) = [«(s), *)(*)), (Ç(y), Tj(y))] = M«) • W - -niy) • £(«)• [•»!(«>• i(y)]). Donc, pour que 6 soit un homomorphisme de t dans af(M), il faut et il suffît que y\ soit un homomorphisme de t dans gl(M), et que Ç vérifie la relation : A3) ï([x, y]) =^).^)-^).^). Soit N le K-module M x K. Prenons pour t la sous-algèbre de gl(N) formée des w e gl(N) tels que w(N) c M. Pour tout (cet, soit y\{w) e gt(M) la restriction de te à M, et soit X,{w) = w(Q, 1) e M. Pour Wx e t, W2 e t) on a S(l>it «J) = Wxmw2)) - W2(ÇK)) = fl(<Vi) ■ Ç(fl?a) - ^(«'a) • ^î)- Donc l'application w h* (£,{w), ri{w)) est un homomorphisme 6 de t dans af(M). Il est clair que 6 est bijectij. Soit <p = 8-1. Si (m, u) e af(M), <p(m, u) est l'élément w de t défini par w(m', X) = (u(m') + Xm, 0). On identifie souvent af(M) à la sous-algèbre t de gl(N) grâce à l'isomorphisme <p. * Lorsque M est un espace vectoriel de dimension finie sur R, l'homomorphisme <p de af(M) dans gl(N) correspond à un homomorphisme canonique ty du groupe affine A de M dans le groupe GL(N) ; si a e A, ^(a) est l'unique élément g de GL(N) tel que g(m, 1) = (a(m), 1) pour tout m e M. Cet homomorphisme est injectif, et fy(A) est l'ensemble des automorphismes de N qui laissent stables toutes les variétés linéaires de N parallèles à M.*
N° 9 DÉFINITION DES ALGÈBRES DE LIE 2l 9. Changement de Vanneau de base Soient K0 un anneau commutatif à élément unité, p un homo- morphisme de K0 dans K transformant l'élément unité en élément unité. Soit g une algèbre de Lie sur K. Soit g' l'algèbre obtenue en considérant g comme algèbre sur Ko grâce à p (cf. n° 1). Alors g' est une algèbre de Lie. Les sous-algèbres (resp. idéaux) de g sont des sous-algèbres (resp. idéaux) de g'. Si a et b sont des sous- modules de g, le crochet [a, b] est le même dans g et dans g' ; en n effet, [a, b] est l'ensemble des éléments de la forme 2 [x^ yi\ où i—l Xi e a, yi e b. Il en résulte que 67g = 67 q', Cpg = &%' pour tout p. Le commutant d'une partie est le même dans g et g'. Donc CPg = Cpg' pour tout p. Soient Kx un anneau commutatif à élément unité, a un homo- morphisme de K dans Kx transformant l'élément unité en élément unité. Soit g une algèbre de Lie sur K. Soit g(K]) l'algèbre sur Kx déduite de g par extension de l'anneau de base (cf. n° 1). Alors g(Ki) est une algèbre de Lie. Si a est une sous-algèbre (resp. un idéal) de g, l'image canonique de a(K ) dans g(Ki) est une sous- algèbre (resp. un idéal) de g(K). Si a et b sont des sous-modules de g, l'image canonique dans g(Ki) de [a, b](Kl) est égale au crochet des images canoniques de a(K) et b(Kl). Il en résulte que 67 (Q(^) est l'image canonique de ((Ê>pg)(Kl), et que Cp(g(K,)) est l'image canonique de (<H?q)(kj. Si K est un corps, Kx un surcorps de K, et a l'injection canonique de K dans K1? alors on a, avec les identifications habituelles, [a, b](Kl) = [a(Kl), b(Kl)], 6T(q{Ki)) = (^pg)(Kl), 6¾¾) = ((¾¾. Ces résultats seront complétés au § 2, n° 9. Si M est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K, M^) est un espace vectoriel de dimension finie sur K1} et l'algèbre associative ^(M(k,)) s'identifie canoniquement à l'algèbre associative ^(M)(Kl). Donc l'algèbre de Lie gI(M(Kj)) s'identifie canoniquement à l'algèbre de Lie g^M)^).
22 ALGÈBRES DE LIE 2 § 2. Algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie 1. Définition de Valgèbre enveloppante Soit g une algèbre de Lie sur K. Pour toute algèbre associative à élément unité L sur K, appelons a-application de g dans L une application K-linéaire a de g dans L telle que <KI>, y]) = o(x)o(y) - o(y)o(x) (x, y dans g) (autrement dit un homomorphisme de g dans l'algèbre de Lie associée à L). Si L' est une autre algèbre associative à élément unité sur K et t un homomorphisme de L dans L' transformant 1 en 1, alors t° <r est une a-application de g dans L'. Nous allons chercher une algèbre associative à élément unité sur K et une a-application de g dans cette algèbre qui soient universelles (Ens., chap. IV, § 3, n° 1). Définition 1. — Soient g une algèbre de Lie sur K, T Valgèbre tensorielle du K-module g, et J Vidéal bilatère de T engendré par les tenseurs x®y — y®x- [x, y] où x<= g, y e g. L'algèbre associative U = T/J s'appelle Valgèbre enveloppante de g. La restriction à g de Vapplication canonique de T sur U s'appelle Vapplication canonique de g dans U. Soit T+ l'idéal bilatère de T formé des tenseurs dont la composante d'ordre 0 est nulle. Soit T0 = K. 1 l'ensemble des éléments d'ordre 0 de T. Soient U+ et U0 les images canoniques de T+ et T0 dans U. Comme J c T+, la décomposition en somme directe T = T0 + T+ entraîne une décomposition en somme directe U = U0 + U+. L'algèbre U a donc un élément unité distinct de 0, et U0 = K. 1. Pour tout x s U, la composante de a; dans U0 s'appelle le terme constant de x. Les éléments de terme constant nul forment un idéal bilatère de U, à savoir l'idéal bilatère U+ engendré par l'image canonique de g dans U. L'algèbre associative U est engendrée par 1 et par l'image canonique de g dans U.
N° 2 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 23 Si a; s g et y s g, x®y-y®x et [x, y] sont congrus dans T modulo J ; donc, si g0 désigne l'application canonique de g dans U, on a : °o(xK(y) - °o(yho(%) = <*<>([>> y]) dans U. Autrement dit, <j0 est une a-application de g dans U. Proposition 1. — Soit g une «.-application de g dans une algèbre associative L à élément unité. Il existe un homomorphisme t et un seul de U dans L, transformant 1 en 1, tel que a = t° <t0, <t0 désignant Vapplication canonique de g dans U. En effet, soit t' l'homomorphisme unique de T dans L qui prolonge a et qui transforme 1 en 1. On a, pour a;, y dans g, x'(x®y-y®x- [x, y]) = a(x)a(y) - a{y)a{x) - o([x, y]) = 0 ; donc t' s'annule sur J et définit par passage au quotient un homomorphisme t de U dans L, transformant 1 en 1, tel que a = t» <t0. L'unicité de t est immédiate puisque <r0(g) et 1 engendrent l'algèbre U. Soient g' une autre algèbre de Lie sur K, U' son algèbre enveloppante, a'0 l'application canonique de g' dans U'. Soit <p un homomorphisme de g dans g'. Alors aé0 9 est une a-application de g dans U' ; donc il existe un homomorphisme q> et un seul de U dans U' transformant 1 en 1 et tel que le diagramme «0 | „ | ao soit commutatif. Cet homomorphisme transforme les éléments de U dont le terme constant est nul en éléments de U' dont le terme constant est nul. Si g" est une autre algèbre de Lie sur K, et si <p' est un homomorphisme de g' dans g", on a (<p7 ° <p)~ = ç' ° ç. 2. Algèbre enveloppante d'un produit d'algèbres de Lie Soient glt g2 deux algèbres de Lie sur K, Uf l'algèbre enveloppante de Qc, et <jj l'application canonique de gt-dans Uf (i = 1,2). Soient g = gx x g2, U son algèbre enveloppante, et a l'application
24 ALGÈBRES DE LIE 2 canonique de g dans U. Les injections canoniques de gx et g2 dans g définissent des homomorphismes canoniques de \J1 et U2 dans U dont les images commutent, donc un homomorphisme 9 de l'algèbre 1^(¾ U2 dans l'algèbre U, transformant 1 en 1. Proposition 2. — U homomorphisme 9 est un isomorphisme à algèbres. L'application a' : {xx, x2) h> al{x^j®\ + 1 ® it2(ï2) (¾ e glt x2 e Q2) est une a-application de g dans 1^(¾ U2, donc il existe (n° 1, prop. 1) un homomorphisme unique t de U dans 1^(¾ U2 transformant 1 en 1, tel que : A) a' = to a. On a <p°T° <t = 90 <r' = <t, et to 90 a' = t° a = a', donc 9° t et to 9 sont les applications identiques de U et L^®K U2 respectivement. D'où la proposition. On identifie 1^(¾ U2 à U par l'isomorphisme 9. Alors, l'application canonique de g dans U s'identifie, d'après A), à l'application : (xu xz) h-* o^xj B> 1 + 1 B> <r2(a:2). De façon analogue, si g1}..., gB sont des algèbres de Lie sur K, d'algèbres enveloppantes 11^..., U„, l'algèbre enveloppante U de Q± X • • • X g„ s'identifie canoniquement à 1^B½ . .. B>KU„, et l'application canonique de gi X • • • X g„ dans U s'identifie à l'application : (xlt ...,x„) h> o^xj BIB)---BI + ••• + 1B)---BIB) <rn(xn) (en désignant par a l'application canonique de gi dans Uï). 3. Algèbre enveloppante d'une sous-algèbre de Lie Soient g une algèbre de Lie sur K, h une sous-algèbre de g, et <r, a' les applications canoniques de g, ï) dans leurs algèbres enveloppantes U, V. Alors l'injection canonique i de h dans g définit un homomorphisme i, dit canonique, de V dans U, tel que ffo i = 1 o a'. L'algèbre 1(V) est engendrée par 1 et <r(h). On verra (n° 7, cor. 5 du th. 1) que i est injectif dans des cas importants.
N° 3 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 25 Si b est un idéal de g, l'idéal à gauche de U engendré par <r(b) coïncide avec l'idéal à droite engendré par <r(b), autrement dit est un idéal bilatère R. En effet, pour x e b et x' e g, on a a(x)a(x') = a(x')a(x) + a([x, x']) et [x, x'] e b. Proposition 3. — Soient b un idéal de g, p Vhomomorphisme canonique de g sur g/b, ei W Valgèbre enveloppante de g/b. Vhomomorphisme : j3:U->W défini canoniquement par p est surjectif et son noyau est Vidéal R de U engendré par <r(b). Soit a" l'application canonique de g/b dans W. Le diagramme commutatif : v —> u —> w prouve que p s'annule sur <r(b), donc sur R. Soit ^l'homomorphisme canonique de U sur U/R. Il existe un homomorphisme 9 de U/R g ï g/ï> U^U/Rï=tW dans W tel que j5 = <po ^. L'application ty° g de g dans U/R est une a-application et s'annule sur b, donc définit une a-application 6 de g/b dans U/R telle que 0° p = <J/° a. On a alors <po0op = <po ^o a = a"°p. D'où 9°0 = <t". Il existe (n° 1, prop. 1) un homomorphisme 9' et un seul de W dans U/R transformant 1 en 1 et tel que 0 = 9' o CT". Alors, <p' o q> o 6 = 9' ° a" = 0 et 9 o 9' o ff" = 90© = a", donc 9'o<p et 9° 9' sont les applications identiques de U/R et W respectivement. Ceci achève la démonstration. On identifie U/R à W par l'isomorphisme 9. Alors, l'application canonique a" de g/b dans W s'identifie à 0, c'est-à-dire à l'application de g/b dans U/R déduite de a par passage aux quotients.
26 ALGÈBRES DE LIE §2 4. Algèbre enveloppante de l'algèbre de Lie opposée Soient g une algèbre de Lie sur K, g0 l'algèbre de Lie opposée, a et <r0 les applications canoniques de g et g0 dans leurs algèbres enveloppantes U et V. Alors, a est une a-application de g0 dans l'algèbre associative U° opposée à l'algèbre associative U. Donc il existe un homomorphisme <p et un seul de V dans U° transformant 1 en 1 et tel que a = <p ° <r0. Proposition 4. — U homomorphisme <p est un isomorphisme de V sur U°. En effet, il existe un homomorphisme <p' de U dans V° transformant 1 en 1 et tel que <r0 = <p'°<r. On peut considérer <p' comme un homomorphisme de U° dans V. On a <r0 = <p' ° <p ° <r0, et a = <p o <p' ° a, donc <p' o <p et <p ° <p' sont les applications identiques de V et U. D'où la proposition. On identifie V à U° par l'isomorphisme <p. Alors, <r0 s'identifie à <r. Ceci posé, l'isomorphisme 6 : x h> - x de g sur g0 définit un isomorphisme 0 de U sur V = U°. Cet isomorphisme peut être considéré comme un antiautomorphisme de U. On l'appelle Vanti- automorphisme principal de U. Si xu..., xn sont dans g, on a : B) \a{xx). . . g(x„)) = Q(g(x„)) . . . 0(G(¾)) = (- a{xn)). . . (- n{Xl)) = (-1)"^)...^). 5. Algèbre symétrique d'un module Soit V un K-module. On peut, d'une manière unique, considérer V comme une algèbre de Lie commutative. L'algèbre enveloppante de V s'obtient alors de la manière suivante : soit T l'algèbre tensorielle de V ; soit I l'idéal bilatère de T engendré par les tenseurs x®y-y®x{x*=Y, y e\) ; on forme l'algèbre S = T/I. Rappelons (Alg., chap. III, 3e éd., § 6) que S est appelée algèbre symétrique de V, et résumons brièvement les propriétés dont nous aurons besoin dans ce chapitre et dont les démonstrations sont immédiates. Soit T" l'ensemble des tenseurs homo-
N° 6 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 27 gènes d'ordre n dans T. On a I = (I n T2) + (I n T3) + ..., donc S est somme directe des images canoniques S" des T". Les éléments de S" sont dits homogènes de degré n. On a S0 = K.l, S1 s'identifie à V, et S'S.'c Sn+3\ L'algèbre S est engendrée par 1 et S1 = V. Il est clair que deux éléments quelconques de S1 sont permutables, donc S est commutative. Si V est un K-module libre de base (#x)x6a, l'homomorphisme canonique f de l'algèbre de polynômes K[Xx]x6a sur S qui transforme 1 en 1 et Xx en xy, pour tout Xe A est un isomorphisme : en effet, d'après la propriété universelle de S (n° 1, prop. 1), il existe un homomorphisme g de S dans K[Xx]xeA qui transforme 1 en 1 et #x en Xx pour tout X e A, et f, g sont deux homo- morphismes réciproques l'un de l'autre. Soit S'" c T" l'ensemble des tenseurs symétriques homogènes d'ordre n (Alg., chap. III, § 5, n° 1, déf. 2). Si K est un corps de caractéristique 0, S'" et I n T" sont supplémentaires dans T". En effet, soit (x\)\e\ une base de V. Ordonnons totalement A (Ens., chap. III, § 2, n° 3, th. 1). Soit AB l'ensemble des suites croissantes de n éléments de A. Pour M = (Xx,. .., Xj e AB, soit Les yK, pour M e AB, forment un système de générateurs du K-espace vectoriel S™. Or, leurs images canoniques dans S" constituent, d'après l'alinéa précédent, une base de S". Donc (yu)ueAn est une base d'un supplémentaire de I n T" dans T" (Alg., chap. II, § 1, n° 6, prop. 4), ce qui établit notre assertion. Ainsi, lorsque K est un corps de caractéristique 0, la restriction à S'" de l'application canonique : T" ->■ S", est un isomorphisme de l'espace S'" sur l'espace Sn, et possède donc un isomorphisme réciproque. Les isomorphismes réciproques ainsi obtenus pour chaque n définissent un isomorphisme canonique de l'espace S sur l'espace S' = 2 S'" des tenseurs symétriques. 6. Filtration de l'algèbre enveloppante Soient g une algèbre de Lie sur K, et T l'algèbre tensorielle du K-module g. Soient T" le sous-module de T formé des tenseurs
28 ALGÈBRES DE LIE §2 homogènes d'ordre n, et T„ = S T*. On a TncTB+1, T0 = K.l, T„x = [Oj, et TBTpcTn+p. Soit U„ l'image canonique de Tn dans l'algèbre enveloppante U de g. On a UBcUB+1, U0 = K.l, U-i = 101, et UBUpcUn+.p ; on peut donc dire que U est une algèbre filtrée par les U„ {Alg. comm., chap. III, § 2, n° 1) ; les éléments de UM seront dits de filtration < n. Soit G" le K-module XJJ\Jn.u et soit G le K-module somme directe des G". La multiplication sur U définit, par passage aux quotients, une application bilinéaire de G" X Gm dans G"*™, donc une application bilinéaire de G X G dans G, qui est associative. Ainsi, G est muni d'une structure de K-algèbre associative. On a çnçm c q„+ct Leg eiéments de q» sont dits de degré n. L'algèbre graduée ainsi obtenue n'est autre que l'algèbre graduée associée à l'algèbre filtrée U {Alg. comm., chap. III, § 2, n° 3). Soit <pn la composée des applications K-linéaires canoniques r —> u„ —> gb. Comme T" est supplémentaire de T^x dans TB, <p„ est surjective. Les <pB définissent une application K-linéaire <p de S T1 = T sur SG" = G. n Proposition 5. — U application <p de T sur G est un homomorphisme d'algèbres transformant 1 en 1, et s'annule sur Vidéal bilatère engendré par les tenseurs x®y - y®x {x e g, y e g). Si t e T" et t'eV, on a <p@<p(*') = ?(«') P*r définition de la multiplication dans G. Donc <p est un homomorphisme d'algèbres, et il est clair que <p(l) = 1. Sis, y sont dans g, on a x®y-y®x<= T2, et l'image canonique de cet élément dans U2 est égale à celle de [a;, y], donc appartient à Ux. Donc <p{x®y - y®x) = 0, ce qui prouve la proposition. Soient S l'algèbre symétrique du K-module g et xl'homomor- phisme canonique de T sur S. La prop. 5 prouve qu'il existe un homomorphisme unique co, dit canonique, de l'algèbre S sur l'algèbre G, transformant 1 en 1, tel que <p = o>oT. On a to(S") = <p(T") == G". Soient tb la restriction de t à T", o>„ la restriction de
N° 6 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 29 <ù à S", <l>n l'application canonique de T" dans U„, et 6B l'application canonique de UB sur G". La définition de éprouve que le diagramme suivant est commutatif : C) T"^ )G" Proposition 6. — Si K est noethérien et si q est un module de type fini, Vanneau U est noethérien à droite et à gauche. En effet, S est une algèbre de type fini sur K, donc un anneau noethérien (Alg. comm., chap. III, § 2, n° 10, cor. 3 du th. 2). Donc G, qui est isomorphe à un anneau quotient de S, est noethérien. Donc U est noethérien à droite et à gauche (Alg. comm., chap. III, § 2, n° 10, Remarque 2). Corollaire. — On suppose que K est un corps, et que g est de dimension finie sur K. Soient Ix,..., Im des idéaux à droite (resp. à gauche) de codimension finie de U. Alors Vidéal produit IXI2.... Im est de codimension finie. Par récurrence sur m, il suffit d'envisager le cas de deux idéaux à droite par exemple. Le U-module à droite Ix est engendré par un nombre fini d'éléments Ux,...,uf (prop. 6). Soient pl5..., vs des éléments de U dont les classes modulo I2 engendrent l'espace vectoriel U/I2. Alors les images canoniques dans IJI^ des utVj engendrent l'espace vectoriel L7LJ2, qui est donc de dimension finie. Par suite dimK (U/IXI2) = dimK (U/Ix) + dimK (L7L.I2) < + 00. Remarque. — Soient g' une autre algèbre de Lie sur l'anneau K, U' son algèbre enveloppante, XJ'n l'ensemble des éléments de U' de filtration ^ n, U" (resp. U'B) l'ensemble des images canoniques dans U (resp. U') des tenseurs symétriques homogènes d'ordre n de g (resp. g'). Soit vj un homomorphisme de g dans g', et soit 9) l'homomorphisme correspondant de U dans U'. On a 9KU„) c U;, îj(U») c U'". En particulier, l'antiautomorphisme principal de U laisse stables U„ et U". L'application K-linéaire de T" sur lui-même qui transforme ^¾¾^ • • • (&xn en xn®xn.x® • ■ ■ (¾¾ quels que soient x1,.. ,,xn dans g est un opérateur de symétrie, donc
30 ALGÈBRES DE LIE §2 laisse fixes les tenseurs symétriques homogènes d'ordre n. Donc l'antiautomorphisme principal de U induit dans chaque U" l'ho- mothétie de rapport (- 1)". 7. Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt Théorème 1. — Soient g une K-algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante, G Valgèbre graduée associée à Valgèbre filtrée U, et S Valgèbre symétrique du K-module g. Si g est un K-module libre, rhomomorphisme canonique co : S ->■ G est un isomorphisme. En effet, soit (a;>v)>ieA un-e base du K-module g ; munissons A d'une structure d'ordre total (Ens., chap. III, § 2, n° 3, th. 1). Soit P l'algèbre de polynômes K[z-x]àsa par rapport à des lettres z\ en correspondance biunivoque avec les x\. Pour toute suite M = (Xx, X2,..., Xj d'éléments de A, on désignera par zu le monôme z^z^.. .z-^, par xu le tenseur a\<8>a^2<8> • • • <8>#v Les zm, pour M croissante, forment une base du K-module P (on convient que 0 est une suite croissante, et que z& = 1). Soit Pp le sous-module des polynômes de degré < p. Nous démontrerons d'abord plusieurs lemmes. (Pour abréger, on écrit X =¾ M si X < [i, pour tout indice [i. de la suite M.) Lemme 1. — Pour tout entier p 5= 0, il existe un homomor- phisme unique fp du K-module g<8>KPp dans le K-module P vérifiant les conditions suivantes : (Ap) fp{x\®zM) = zxZu pour X < M, zMePp; (Bp) /P(a^®zM) - zyfix e P2 pour zM e P2, q < p ; (Cp) fp(x-k®fP(xiL®Zx)) = /p(\8/,(ïi«%)) + fp([x\, £jJ<8zN) pour zN e Pp_i. (Les termes intervenant dans (Cp) ont un sens grâce à la condition (Bp).) En outre, la restriction de fp à g® Pp_i coïncide avec /p_i. La dernière assertion résulte des précédentes puisque la restriction de fp à g<8>EPp_i vérifie les conditions (Ap„x), (Bp_i), (Cp_i)- Nous allons prouver l'existence et l'unicité de /p par récurrence sur p. Pour p = 0, la condition (A0) impose f0(xx®l) = z\ et les conditions (B0), (C0) sont alors évidemment satisfaites. Supposons maintenant prouvées l'existence et l'unicité de /p_i. Montrons que /p_x
N° 7 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 31 admet une extension unique /p à g(8>KPP satisfaisant aux conditions (Ap), (Bp), (Cp). Nous devons définir /^(¾¾¾) pour une suite croissante M de p éléments. Si X < M, le choix est imposé par la condition (Ap). Dans le cas contraire, M s'écrit de manière unique sous la forme (jx, N), où [x < X, [x < N. Alors, z* = z^zs = /,,.1(^8¾) d'après (Ap_i), de sorte que le premier membre de (Cp) est /p(a^(g>zM). Or, le deuxième membre de (Cp) est déjà défini ; en effet, (Bp_x) permet d'écrire : fp{Xi®ZJS) = fp-i(X\®Zjg) = Ztfx + w avec w e Pp.! ; donc le deuxième membre de (Cp) devient : Ainsi, /p est définie de manière unique, et satisfait évidemment aux conditions (Ap) et (Bp). La condition (Cp) est satisfaite si [i, < X, [x < N. Comme [a^, #>,] = - [x\, a^], la condition (Cp) est aussi satisfaite pour X < fx, X =¾ N. Comme (Cp) est trivialement satisfaite pour X = fx, (Cp) est donc satisfaite si l'on a X =¾ N ou [x < N. Si aucune de ces inégalités n'est vérifiée, on a N = (v, Q), où v =¾ Q, v < X, v < [x. Posant désormais pour abréger fp{x®z) = xz pour xc=q et z e Pp, on a, d'après l'hypothèse de récurrence : ^11¾ = XyXXstZq) = X^X^Zq) -f- [Xy., Xv]Zq. Or, x^Zq est de la forme z^Zq + w, où w e Pp_2. On peut appliquer (Cp) à xxIx^z^Zq)) parce que v ^ Q et v < [x, et à x\{x^w) en vertu de l'hypothèse de récurrence, donc à x^x^x^Zq)). D'où : sx(av%) = £v(«x(*>Zq)) + [&k, <I(*>zq) + [œiu ^1(¾¾) + L^X) \.x<±i ^vJJzq- En échangeant X et fx, et retranchant membre à membre : »x(S|i%) - «|i(«x%) = «v(£x(*Vzq) - x^(xizq)) + [«X, [3,1, xJ]zQ - [Xp, [»x, »v]]Zq = XW{[XX, X^Zç) + [xh [Xp, «v]]Zq + [«,1, [«v, «X]]ZQ = [«x, x^aysç) + ([x,, [xx, »,J] + |>x, [x^, xj] + [xp, [x„ zx]])zQ
32 ALGÈBRES DE LIE §2 soit, en vertu de l'identité de Jacobi ^X (#(*%) ~ ^C^%) = [xli ^1x1% ce qui achève la démonstration dulemme 1. Lemme 2. — Il existe une a.-application a de g dans ÏK(P) telle que : 1° o(x\)zu = z\Zti pour X < M ; 2° ¢C^)¾ = z>vZm (mod. Pp) si M a p éléments. En effet, d'après le lemme 1, il existe un homomorphisme / du K-module g(8>KP dans P vérifiant, quel que soit p, les conditions (Ap), (Bp), (Cp) (où l'on remplace /p par /). Cet homomorphisme définit un homomorphisme a du K-module g dans le K- module ^K(P), et a est une a-application à cause de la condition (Cp). Enfin, a vérifie les propriétés 1° et 2° du lemme à cause des conditions (Ap) et (Bp). Lemme 3. — Soit t un tenseur de Tn n J. La composante homogène t„ iïordre n de t est dans le noyau I de Vhomomorphisme canonique T ->■ S. En effet, écrivons U, sous la forme S^, où les Mj sont des suites de n éléments de A. L'application a se prolonge en un homomorphisme de l'algèbre T dans l'algèbre ^k(P) (que nous noterons encore g), qui s'annule sur J. D'après le lemme 2, a(t)A est un r polynôme dont les termes de plus haut degré sont S zM,.. Comme fe J, on a a{t) = 0, donc SzMi = 0 dans P. Or, P s'identifie canoniquement à S, grâce à la donnée de la base (xi) de g. Donc l'image canonique de tn dans S est nulle, c'est-à-dire que i„e I. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 1. Il faut prouver que l'homomorphisme canonique de S sur G est injectif. Autrement dit, si t e T" et si ty désigne l'homomorphisme canonique de T sur U, il faut montrer que la condition <J/(i) e U«_i entraîne t e I. Or <\>{t) e U„_! signifie qu'il existe un tenseur t' e= T„_x tel que t ~ t' e J. Le tenseur t — t' admet t pour composante homogène d'ordre n, donc te I d'après le lemme 3.
N° 7 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 33 Corollaire 1. — Supposons que g soit un K-module libre. Soit W un sous-K-module de T". Si, avec les notations du diagramme C), la restriction de xn à W est un isomorphisme de W sur S", alors la restriction de tyn à W est un isomorphisme de W sur un supplémentaire de Un_i dans Un. En effet, la restriction à W de 0½0¾ est une bijection de W sur G" ; il en est donc de même de la restriction de û„oi„ à W. D'où le corollaire. Corollaire 2. — Si g est un K-module libre, Vapplication canonique de g dans son algèbre enveloppante est injective. Ceci résulte du cor. 1, où l'on prend W = T1. Lorsque g est un K-module libre (en particulier lorsque K est un corps), on identifie g à un sous-module de U par l'application canonique de g dans U. Cette convention est adoptée dès le corollaire suivant. Corollaire 3. — Si q admet une base totalement ordonnée (sc^heA) les éléments x\xx\%. . . x^ de Valgèbre enveloppante U, où (Xj,..., XJ est une suite finie croissante quelconque déléments de A, forment une base du K-module U. Soit A„ l'ensemble des suites croissantes de n éléments de A. Pour M = (Xx,.. ., X„) e An, soit yu = x-,^®x^® • • • ®xxn. Soit W le sous-module de T" qui admet pour base B/M)MeAB. Le cor. 1 montre que la restriction de tyn à W est un isomorphisme de W sur un supplémentaire de U„_x dans U„. Or, iLB(i/M) = x^xy^ ... x-^, d'où le corollaire. Corollaire 4. — Soit S'ncT" Vensemble des tenseurs symétriques homogènes d'ordre n. Supposons que K soit un corps de caractéristique 0. Alors, Vapplication composée des applications canoniques S» ». S>n v Vn est un isomorphisme de Vespace vectoriel S" sur un supplémentaire de U„_i dans UB. Ceci résulte du cor. 1, où l'on prend W = S'". Supposons toujours que K soit un corps de caractéristique 0. 3—B.
34 ALGÈBRES DE LIE § 2 Soit rin l'application de Sn dans U» qu'on vient de définir. Soit Un = 7]B(SB). L'espace vectoriel U est somme directe des U". Les ■/)„ définissent un isomorphisme rt de l'espace vectoriel S = 2 S" n sur l'espace vectoriel U = S U", appelé isomorphisme canonique n de S sur U ; ce n'est pas un isomorphisme d'algèbre. On a le diagramme commutatif : Un D) S'B<^ •*> )gb g» où chaque flèche représente un isomorphisme d'espaces vectoriels. Si xx, xz,...,xn sont dans g, ■/)„ transforme le produit calculé dans S, en l'élément —: S x^-jX^.. .x^ calculé dans U. Corollaire 5. — Soient I) une sous-algèbre de Valgèbre de Lie g et U' son algèbre enveloppante. Supposons que les K-modules I) et g/ï) soient libres (par exemple que K soit un corps). Soit (#a)aeL une base de ï), et (^)p61I «ree famille d?éléments de g dorei Zes images canoniques dans g/I) forment une base de g/I). a) Vhomomorphisme canonique de U' darcs U esi injectif. b) Si M esi totalement ordonné, les éléments y^.. .y$q, oà px < • • • < C , forment une base de U considéré comme module à gauche ou à droite sur U'. Munissons Lu M d'une structure d'ordre total telle que tout élément de L soit majoré par tout élément de M. Les éléments aV&a,- • -xolp calculés dans U' (où ax =¾ • • • < ap) forment une base de U' (cor. 3). Les éléments xai.. .xap y$t.. .y$q calculés dans U (où ax =¾ • • • < ap < px < • • • =¾ pg) forment de même une base de U. Donc l'homomorphisme canonique de U' dans U transforme les éléments d'une base de U' en éléments linéairement indépendants de U, et par suite est injectif. On voit en outre que les y^.. .y$q (où CX =¾ • • • < Cg) forment une base de U considéré comme U'-module à gauche. En ordonnant Lu M de façon que tout élément de M soit majoré par tout élément de L, on voit de même que les y^. . .y^g (où CX < • • • < fâg) forment une base de U considéré comme U'-module à droite.
N° 8 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 35 Dans les conditions du cor. 5, on identifie U' à la sous-algèbre de U engendrée par b grâce à l'homomorphisme canonique de U' dans U. Corollaire 6. — Supposons que le K-module g soit somme directe de sous-algèbres gl5 g2,..., g„, et que chaque gf soit un K- module libre. Soit U{ Valgèbre enveloppante de g{ A < i < n). Soit <p F application K-linéaire du K-module Ux(g>K • • • ®KXJn dans U définie par Vapplication multilinéaire (mx, ..., un) ->■ «x... un de UL x i • • X UB dans V. Alors q> est un isomorphisme de K-modules. Soit (a^heiiiune base de gt-. Ordonnons totalement Lx u ... u L„ de telle manière que tout élément de Lt- majore tout élément de L,- pour i > /'. Alors les éléments : Dx x\2.. . x\v) O • • • O (^ x^ ... a-), où Xx =¾ X2 ^ • • • ^ Xp < • • • =¾ vx =¾ v2 =¾ • • • =¾ v2, constituent une base de Ui B>K • • • ®K XJn. Ils sont transformés par tp en les éléments : ^Ij X%% • • • ^Ap • • • •^•i1 XV2 • • • &)q qui constituent une base de U. D'où le corollaire. Corollaire 7. — Si K est intègre, et si g est un K-module libre, Valgèbre U est sans diviseur de zéro. En effet, G est isomorphe à une algèbre de polynômes sur K (th. 1), donaest intègre (Alg^, chap^ IV, § 1,-n0 4, th. 1). D'oîr le corollaire (Alg. comm., chap. III, § 2, n° 3, prop. 1). 8. Prolongement des dérivations Lemme 4. — Soient V un K-module, T Valgèbre tensorielle de V. iSoif m «/i endomorphisme de V. /Z ercïsie une dérivation de T ef une seule qui prolonge u. Cette dérivation permute aux opérateurs de symétrie dans T. Soit F = VxVx---xV(rc facteurs). L'application (Xi,. . ., Xn) l-> UXX®X2® ■ ■ • ®Xn + XX®UX2® - - - 0»»+ • • • + xx ® x2 ® • • • ® »#„
36 ALGÈBRES DE LIE § 2 n de F dans 09 V est muitilinéaire. Donc il existe un endomorphisme n Un de 09 V tel que : un{xx® ■ ■ -®xn) — uxx® ■ ■ ■ <g>xn + • • • + id® • • • ®«£„ quels que soient x^..., x„ dans V. On a mx = m. Soit v l'endomor- n phisme du K-module T qui coïncide avec un sur chaque T1 = OD V, et qui s'annule dans T° = K.l. Montrons que v est une dérivation de T. Si #!,..., xn, y1:..., yp sont des éléments de V, on a vifa® • ■•®xn)®{y1® ■ ■ -®yP)) n = S xx ® ■ • • <2> #i_i B> m£ïB> «i+i <2> • • • <2> £„ B> t/i <2> • • • <2> r/p + S ^B) • • • ®£„B>2/i<2> • • • ®yj-1®uyj®y^1® ■ • • ®yn = 0B^(8- • ■®xn)<${y1®- • -®yp) + («i® • • ■®xn)®v{y1&- • -B)^). Par linéarité, on en déduit bien que v est une dérivation. L'unicité de v est évidente. Enfin, il est clair que un permute aux n opérateurs de symétrie dansOvV, d'où la dernière assertion. Proposition 7. — Soient g une algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante, a Vapplication canonique de g dans U, et D une dérivation de g. a) Il existe une dérivation D„ de U et une seule telle que a ° D — D„o a (c'est-à-dire telle que Dv prolonge D, quand on peut identifier g à un sous-module de U par a). b) D„ laisse stables U„ et Vensemble Un des images dans U des tenseurs symétriques homogènes d'ordre n sur g. c) D„ commute à Vantiautomorphisme principal de U. d) Si D est la dérivation intérieure de g définie par un élément x de g, D„ est la dérivation intérieure de U définie par a(x). En effet, soit DT la dérivation de l'algèbre tensorielle T de g qui prolonge D (lemme 4). L'idéal bilatère J de T engendré par.les x®y - y®x- [x, y] (x, y dans g) est stable pour DT. En effet : DT( x ®y -y ®x~ [x, y]) — Dx®y- y&Dx- [Dx, y] + x®Dy - Dy®x - [x, Dy].
N° 8 ALGÈBRE ENVELOPPANTE D'UNE ALGÈBRE DE LIE 37 Par passage aux quotients, DT définit une dérivation D„ de U, telle que <r°D = DBo<i. L'unicité de D„ est immédiate, puisque 1 et <r(g) engendrent l'algèbre U. L'assertion b) est évidente. Soit A l'antiautomorphisme principal de U, et prouvons c). Si xx,..., xn sont dans g, on a DvA{n{xx). . . n{xn)) = T>v((- l)"<x(sw). . . ¢(¾)) = (- 1)" S <r(xn)... DMxt)) ■ • • <*i) n = (- 1)" S aiXn). . . <r(T)Xi). . . g{xx) n = A( S a{xx). . . oiDxt). .. o(xn)) = ADu(<t(x1) . . . a(xn)). Enfin, soit x e g. Soit A la dérivation intérieure yv^- a(x)t/-ya(x) de U (Alg., chap. IV, § 4, n° 3, exemple 2). On a, pour x' e g, (A»j)(i') = <x(a:) <x(a:') - »(s'Ms) = <*(!>,£']) = (s«adi)(î'), d'où A"<t = <T° ad x. Ceci achève la démonstration. Appliquant la prop. 7 au cas d'une algèbre de Lie commuta- tive, on voit que tout endomorphisme u d'un K-module se prolonge de manière unique en une dérivation de l'algèbre symétrique de ce module ; cette dérivation se déduit par passage aux quotients de la dérivation de l'algèbre tensorielle qui prolonge u. Reprenons une algèbre de Lie g sur K, et soit D une dérivation de g. Utilisons les notations T, S, U, G antérieures. Soient DT, Ds les dérivations de T, S qui prolongent D, et soit D„ la dérivation unique de U telle que s<>D = Db<kt. Puisque Du laisse stables les U», D„ définit par passage aux quotients une dérivation DQ de G. Puisque D„ et Ds se déduisent de DT par passage aux quotients, le diagramme commutatif C) prouve que DQ peut aussi se déduire de Ds par I'homomorphisme w défini au n° 6. Si en outre K est un corps de caractéristique 0, les isomorphismes du diagramme D) transforment entre elles les restrictions de DT, Ds, Du, DQ à S'*, S", U", Gn. Donc Visomorphisme canonique de S sur U transforme Ds en D„.
38 ALGÈBRES DE LIE § 3 9. Extension de Vanneau de base Soient g une algèbre de Lie sur K, T son algèbre tensorielle, J l'idéal bilatère de T engendré par les x®y - y®x - [x, y] (x, y dans g), et U = T/J. Soit Kx un anneau commutatif à élément unité, et soit a un homomorphisme de K dans K^ transformant 1 en 1. Alors, l'algèbre tensorielle de g(K) s'identifie canonique- ment à T(jy. Soit J' l'idéal bilatère de T(Kl) engendré par les x'®y'- y'®x' - [x', y'] (x',y' dans g(Ki)). Il est clair que l'image canonique de J(k,) dans T^) est contenue dans J'. Pour voir qu'elle est égale à J', il suffit de montrer que, si x' et y' désignent deux éléments de g(Ki), x' ® y' - y' ® x' - [x', y'] appartient à cette image. Or x' =?LXi®li, y' = 2i//<8> \xj (Xi, yj dans g, X*, [i,?-dans KJ ; d'où x'&y' - y'®x' - [x', y'] = S (Xi<S>yf- yj0x{ - [xi, r//])<S> Xity-, ce qui prouve notre assertion. Ceci posé, on voit que U^) = (T/J)(Kl) s'identifie canoniquement à T^/J' : Valgèbre enveloppante de g(Kl> s'identifie canoniquement à U^), et l'application canonique de g^) dans son algèbre enveloppante s'identifie à a®l (en désignant par a l'application canonique de g dans U). § 3. Représentations 1. Représentations Définition 1. — Soient g une algèbre de Lie sur K, et M un K-module. Un homomorphisme de g dans Valgèbre de Lie gl(M) s-1 appelle une représentation de g dans le module M. Une représentation injective est dite fidèle. Si K est un corps, la dimension (finie ou infinie) de M sur K s'appelle la dimension de la représentation. La représentation x h> ad x de g dans le K-module g s'appelle la représentation adjointe de g. Une représentation de g dans M est donc une application K- linéaire p de g dans le module des endomorphismes de M telle que p(l>, y])-m = ?(x)ç>(y).m - ç>(y)ç>(x).m quels que soient xe g, y e g, m e M.
N° 1 REPRÉSENTATIONS 39 *Exemple. — Soient G un groupe de Lie réel, g son algèbre de Lie, 6 une représentation analytique de G dans un espace vectoriel réel E de dimension finie. Alors l'homomorphisme correspondant de g dans gl(E) est une représentation de g dans E.* Soit U l'algèbre enveloppante de g. La proposition 1 du § 2, n° 1 définit une correspondance biunivoque entre l'ensemble des représentations de g dans M et l'ensemble des représentations de U dans M. On sait d'autre part {Alg., chap. VIII, § 13, n° 1) qu'il y a équivalence entre la notion de représentation de l'algèbre asso- ciatrve U et celle de U-module à gauche. Définition 2. — Soient g une algèbre de Lie sur K, et U son algèbre enveloppante. Un module unitaire à gauche sur U est appelé un Q-module à gauche, ou simplement un Q-module. Si M est un g-module, et si xe U, on notera x^ l'homothétie de M définie par x (cf. Alg., chap. VIII, § 1, n° 2). Un module unitaire à droite sur U s'appelle un g-module à droite. Un tel module s'identifie à un U°-module à gauche, c'est-à- dire (§ 2, n° 4) à un g°-module à gauche. Soit <p l'antiautomorphisme principal de U. Si M est un g-module à droite, on définit sur M une structure de g-module à gauche en posant a.m = m. <p(a) pour m e M et a e U. On peut traduire en langage de représentations les notions et résultats de la théorie des modules : 1) Deux représentations p et p' de g dans M et M' sont dites semblables ou isomorphes si les g-modules M et M' sont isomorphes. Pour cela, il faut et il suffît qu'il existe un isomorphisme u du K-module M sur le K-module M'tel que : p'(x) = Bop(x) o u'1 quel que soit x e g. 2) Pour tout ie I, soit p* une représentation de g dans M4. Soit M le g-module somme directe des g-modules M*. Il lui correspond une représentation p de g dans M, appelée somme directe des
40 ALGÈBRES DE LIE § 3 Pi et notée 2 pf (où pi + • • • + p„ dans le cas de n représenta- tions Pi,...,p»). Si m = (mj){eI est un élément de M, et si xe g, on a p(x).m = (pi(x) .mi)i&1. 3) Une représentation p de g dans M est dite simple ou irréductible si le g-module associé est simple. Il revient au même de dire qu'il n'existe pas de sous-K-module de M (autre que jOj et M) stable pour tous les p(x), x s g. Une classe de g-modules simples (Alg., chap. VIII, § 3, n° 2) définit une classe de représentations simples de g. 4) Une représentation p de g dans M est dite semi-simple ou complètement réductible si le g-module associé est semi-simple. Il revient au même de dire que p est semblable à une somme directe de représentations simples, ou que tout sous-K-module de M stable pour les p(x) (ieg) possède un supplémentaire stable pour les p(x) («g) (cf. Alg., chap. VIII, § 3, n° 3). 5) Soit S une classe de représentations simples de g, correspondant à une classe C de g-modules simples. Soit d'autre part p une représentation de g dans M. Le composant isotypique M0 d'espèce C du g-module M (Alg., chap. VIII, § 3, n° 4) s'appelle aussi le composant isotypique d'espèce S de M. Ce composant est la somme des sous-K-modules de M stables pour les p(x) et dans lesquels les p(x) induisent une représentation de classe S ; il est somme directe de certains de ces sous-modules ; si Mc est de longueur «, on dit que p contient n fois S. La somme des différents Mc est directe ; elle est égale à M si et seulement si p est semi- simple. 6) Soient p, p' deux représentations de g. On dit que p' est une sous-représentation (resp. une représentation quotient) de p si le module de p' est un sous-module (resp. un module quotient) du module de p. Soit M un K-module. La représentation nulle de g dans M définit sur M une structure de g-module. Muni de cette structure, M est appelé un g-module trivial. Soit M un g-module. Les g-modules quotients des sous-g- modules de M sont aussi les sous-g-modules des modules quotients
N° 1 REPRÉSENTATIONS 41 de M : ils s'obtiennent en considérant deux sous-g-modules U, U' de M tels que UdU' et en formant le g-module U/U'. Ceci posé, si tous les modules simples du type précédent sont isomorphes à un g-module simple donné N, on dit que M est un g-module pur d'espèce N. Si p et a sont les représentations de g correspondant à M et N, on dit aussi que p est pure d'espèce a. Soit M' un sous-g-module de M. Pour que M soit pur d'espèce N, il faut et il suffit que M' et M/M' soient purs d'espèce N. En effet, la condition est évidemment nécessaire. Supposons-la vérifiée^ et soient U, U' des sous-g-modules de M tels que U' c U et que U/U' soit simple ; soit <p l'homomorphisme canonique de M sur M/M' ; si <p(U) ^ «p(U'), U/U' est isomorphe à <p(U)/«p(U'), donc isomorphe à N ; si <p(U) = «p(U'), on a Uc U' + M', donc U/U' est isomorphe à un sous-module simple de (U' + M')/U', et ce dernier module est lui-même isomorphe à M'/(U' n M') ; donc U/U' est encore isomorphe à N, de sorte que M est pur d'espèce N. Soit toujours M un g-module, et supposons que l'ensemble des sous-g-modules de M qui sont purs d'espèce N admette un élément maximal M'. Alors, tout sous-module M" de M qui est pur d'espèce N est contenu dans M'. En effet, M"/(M' n M") et M' sont purs d'espèce N, donc M' + M" est pur d'espèce N d'après ce qui précède, donc M' + M"cM'. Supposons que le g-module M admette une suite de Jordan- Holder (Mt-H^<^B. Pour que M soit pur d'espèce N, il faut et il suffit que Mq/Mx, Mi/M^..., M^/M,, soient isomorphes à N ; en effet, la condition est évidemment nécessaire ; sa suffisance résulte aussitôt, par récurrence sur n, de ce qu'on a vu plus haut. Proposition 1. — Soient g une algèbre de Lie sur K, et a un idéal de g. Soient M un Q-module, et N un a-module simple. Considérons M comme un a-module et supposons que Vensemble des sous- a-modules de M qui sont purs d'espèce N admette un élément maximal M'. Alors M' est un sous-Q-module de M. Soit ye g. Soient 9 l'application canonique de M sur M/M', et / l'application mh> ^(y^.m) de M' dans M/M'. Il suffit de montrer que /(M') = 101. Soit iea. Pour m e M, on a XuiwKm) = <p(xMyM.m) = ^(y^x^.m) + <p([>, y]u.m).
42 ALGÈBRES DE LIE § 3 Or, [x, y] e a, d'où <p(|>, y]*.m) = 0 ; par ailleurs, <p(i/Mav. m) = /(¾.m). Donc xuiu,.f(m) = f(xu.m). Il en résulte que /(M') est un sous-a-module de M/M' isomorphe à un quotient de M', donc pur d'espèce N ; d'où /"(M') = { 0 }. Corollaire. — Soient g une algèbre de Lie sur K, et a un idéal de g. Soit M un Q-module simple, de longueur finie en tant que K-module. Il existe un a-module simple N tel que M soit un a-module pur d'espèce N. Puisque le a-module M est de longueur finie, il existe un élément minimal N dans l'ensemble des sous-a-modules de M : c'est un sous-a-module simple de M. Le plus grand sous-a-module de M qui est pur d'espèce N est alors ^ j 0 j, et est un sous-g-module de M (prop. 1), donc est identique à M. 2. Produit ternsoriél de représentations Nous avons défini, au n° 1, la somme directe d'une famille de représentations de g. Nous allons maintenant définir d'autres opérations sur les représentations. Soient gx, g2 deux algèbres de Lie sur K, et M,- un grmodule (i = 1, 2). Soient U,- l'algèbre enveloppante de g<, et m l'application canonique de Qi dans U*. Alors M* est un U< -module à gauche, donc Mj ®K M2 est canoniquement muni d'une structure de (Ux <8>K U2)-module à gauche. Or XJ1 <8>K U2 est l'algèbre enveloppante de gx X g2, et l'application (xx, x2) h-> a^x^) (81 + 1® <x2(:r2) est l'application canonique de gx x g2 dans cette algèbre enveloppante (§ 2, n° 2). Donc il existe une structure de (q± X g2)- module sur M = Mx ®K M2 telle que : A) (xu xz)}l.(m1®mz) = K(^i)B)l + i®ai{xi)).(m1®mi) = ((Xi)K1-m1)®m2 + m^dx^.m^). Cette structure définit une représentation de & X g2 dans M. Si maintenant qx = g2 = g, l'homomorphisme x h* {x, x) de g dans g X g, composé avec la représentation précédente,
N° 3 REPRÉSENTATIONS 43 définit une représentation de g dans M, donc une structure de g-module sur M, telle que : B) Xx.{rrh®mà = (xUi. m^ ®ma + m1 <8> (xKt. m2). Par un raisonnement analogue, on voit que : Proposition 2. — Soient g une algèbre de Lie sur K, et Mj un Q-module A < i < n). Dans le produit tensoriel Mx <S>K M2 <8> • • • <S>K M„ il existe une structure de Q-module et une seule telle que n C) ^.fmj® • • • Qrrin) = S ^¾¾ • • • <S>(xw .mt)<S> ■ ■ ■ ®mn i=l quels que soient ieg, m^ M1?. . ., xn e M„. La représentation correspondante s'appelle le produit tensoriel des représentations données de g dans les Mj. En particulier, si M est un g-module, la prop. 2 définit une p structure de g-module sur chaque Mp = ®M, donc dans l'algèbre tensorielle T de M. La formule C) montre que, pour tout ieg, xT est l'unique dérivation de l'algèbre T qui prolonge xu. On sait (§ 2, n° 8) que x? définit par passage aux quotients une dérivation de l'algèbre symétrique S de M. Donc S peut être considéré comme un g-module quotient de T, et les xs sont des dérivations de S. Plus particulièrement encore, considérons g comme un g-module grâce à la représentation adjointe de g. Soit U l'algèbre enveloppante de g. D'après la prop. 7 du § 2, xu définit par passage aux quotients une dérivation de U qui n'est autre que la dérivation intérieure définie par a(x) (a désignant l'application canonique de g dans U). Donc U peut être considéré comme un g-module quotient de T. Si K est un corps de caractéristique 0, l'isomorphisme canonique de S sur U est un. isomorphisme de g-modules ( § 2, n° 8). 3. Représentations dans des modules d'homomor- phismes Soient encore Q± et g2 deux algèbres de Lie sur K, et M{ un grmodule (i = 1, 2). Soient Ut- l'algèbre enveloppante de gt-,
44 ALGÈBRES DE LIE § 3 et a{ l'application canonique de g4 dans Uf. Alors Mf est un U<- module à gauche, donc LiK(Mu M2) est canoniquement muni d'une structure de (U?(g>U2)-module à gauche. Or, 1^(¾ U2 est l'algèbre enveloppante de g? x g2, et l'application (xu x2) \~> o^xj B> 1 + 1 B> g2(x2) est l'application canonique de gj x g2 dans cette algèbre enveloppante. Donc il existe une structure de (g" X g2)-module sur M = ^(Mi, M2) telle que D) ((¾ x?)K.u).m1 = ((^fo)® 1 + 1 ®a2{x2)).h).77¾ = "((£l)Ml-Wl) + (^«.-«('Wl) quels que soient ue!£K(MuMz), m^ e Mx. Cette structure définit une représentation de gj x g2 dans M. Si maintenant Qx = g2 = g, l'homomorphisme x \-> (- x, x) de g dans g0 x g, composé avec la représentation précédente, définit une représentation de g dans M, donc une structure de g-module sur M, telle que E) (.¾.u).m1 = xU2.u(mi) - u{xWi.mx) ou yO) xu. u = x^u — uxu^. En combinant ce résultat avec la prop. 2, on voit que : Proposition 3. — Soient g une algèbre de Lie sur K, et M* un Q-module A < i < n + 1). Soit N le K-module ^(M^..., M„ ; Mn+1) n des applications multilinéaires de II Mt- dans M„+1. Il existe une î=i structure de Q-module et une seule sur N telle que n G) (%.«)(/«!,. .., m») = -2 u(m!,..., £M .m,-,..., m„) + ^-^1,---,^) ^ueta que soient x e g, u e N ei Zes mi e M» A < i < «). En particulier, soient g une algèbre de Lie sur K, M un g- module. Considérons d'autre part K comme un g-module trivial.
N° 3 REPRÉSENTATIONS 45 La prop. 3 définit dans ^K(M, K) = M* une structure de g-module. La représentation correspondante est appelée représentation duale de la représentation x h-> 3½. On a : (8) (*«•./) (m) = -/(¾. m) quels que soient x e g, /s M*, m e M. Autrement dit : (y) xu* = — Xx. Lorsque K est un corps et que M est de dimension finie, le g-module M est simple (resp. semi-simple) si et seulement si le g-module M* est simple (resp. semi-simple). Proposition 4. — Soient Mu M2 deux Q-modules. Les applications K-linéaires canoniques (Alg., chap. II, 3e éd., § 4, n° 2, prop. 2 et n° 1, prop. 1) : Mf^M, -^ ^(M1; M2), ^Ml7 M*) -*-> (M^M,)* (où la deuxième est bijectice) sont des homomorphismes de Q-modules. Posons N = Mf®Ma, P = ^(M1; M^, Q = ^(M!, M*), R = (M^M,)*. On a, pour x e g, / e Mf, mx e Mx, m2 e M2, ((?**) (/®W*a))-"h = (?(a«f/®W»a + f®Xxm^)).m1 = (^Mf/, ™l) ™2 + (/, ™l) ^M,^2 ((a^cp)(/®m^).m1=- a^(<p(/(¾m2)./¾) - <p(/® m2)(¾^) = (f,ih) xvLtm2 ~(f, xkx™-i) mz donc 9¾ = oyp. D'autre part, pour ieg, u e^(Mx, Mf), 7¾ e Mx, m2 e M2, on a : (<\ix<iu)(m1lSim2) = ((x^.m-L, m2) = (xw<tuml - uxw mu m2) (Xntyu)(m^®m2) — -(«J'K, a^m^ma + m^x^m^j = -(ux^rn^, mz) -(«% x^m^) donc ^¾ = £R^, ce qui achève la démonstration. On identifie les g-modules ^(M^ Mf) et (MX®M2)* par l'iso- morphisme <b. Si Mx et M2 ont des bases finies, 9 est un isomor-
46 ALGÈBRES DE LIE § 3 phisme (Alg., chap. II, 3e éd., § 4, n° 2, prop. 2), qui permet d'identifier les g-modules Mf ® M2 et ^(M1; M2) ; dans ce cas, on peut donc identifier les g-modules Mf ®MÎ, ^M^ M$) et (M^M,,)*. 4. Exemples Exemple 1. — Soient g une algèbre de Lie sur K, M un g-module. La structure de g-module de M et la structure de g-module trivial de K définissent une structure de g-module sur le K-module N = Ï(M, M ; K) des formes bilinéaires sur M. On a A0) (Xx.$)(m, m') = -^(Xtf.m, m')-$(m, x^.m!) quels que soient ieg, m, m' dans M,^eN. Si C est un élément donné de N, l'ensemble des ieg tels que £N.C = 0 est une sous- algèbre de g. Soient M un K-module, C une forme bilinéaire sur M. D'après ce qui précède, l'ensemble des x e gl(M) tels que $(x.m, m') + p(m, x.m') = 0 quels que soient m e M et m' e M est une sous-algèbre de Lie de gl(M). Supposons que K soit un corps, que M soit de dimension finie sur K, et que C soit non dégénérée. Alors, tout xegl(M) admet un adjoint à gauche x* partout défini (relativement à P), et la sous-algèbre considérée est l'ensemble des x e gl(M) tels que x* = - x. On peut construire par ce procédé deux exemples importants d'algèbres de Lie : a) Prenons M = K", et P((Si> • • • » U» (¾. • • • » *]«)) = £1¾ H 1- Zfm- Identifions canoniquement gl(K") à M„(K). Alors, l'algèbre de Lie obtenue est l'algèbre de Lie des matrices antisymétriques. *(Lorsque K = R, cette algèbre est l'algèbre de Lie du groupe orthogonal 0(n, R)).* b) Prenons M = K2"*, et P((?l, • • •, 12m), (>îl, • • •, >}&»)) = ll1\m*l ~ TQl^m+1 + ' ' ' + ?«.%», ~ ^m^m- La matrice de C par rapport à la base canonique de K2"* est la
N° 5 REPRÉSENTATIONS 47 . / 0 Im\ c . TT (A B\ . matrice I , ~ I. Soit il = I „ ~ j la matrice par rapport a la base canonique de K2"* d'un élément u de gl(M) (A, B, C, D dans Mm(K)). D'après la formule E0) d'Alg., chap, IX, § 1, n° 10, u* admet par rapport à la même base la matrice 0 -U\('A <C\( 0 Im\_( 'D -W Jm 0)\<B 'Dj\-Im 0j~\-lC tA/ La condition u* = - u équivaut donc aux conditions D = - lA B = 'B C = *C. ♦Lorsque K = R. l'algèbre de Lie obtenue est l'algèbre de Lie du groupe symplectique Sp Bm, R).* Exemple 2. — Conservons les notations de l'exemple 1. La structure de g-module de M définit dans le K-module P == ^(M, M) des endomorphismes de M une structure de g-module. D'après F), on a, quels que soient ieg,etseP; A1) Xy.u = [>m, u] = (ada^).u ad Xx désignant l'image de x^ dans la représentation adjointe de gl(M). Autrement dit : A2) xv = ada^ dans 2B(M, M)) = i£(gï(M)). 5. Éléments invariants Définition 3. — Soient g une algèbre de Lie, M un Q-module. Un élément m s M est dit invariant (pour la structure de Q-module de M, ou pour la représentation correspondante de g) si x^.m = 0 pour tout x e g. ♦Soient G un groupe de Lie réel connexe, g son algèbre de Lie, 6 une représentation analytique de G dans un espace vectoriel réel E de dimension finie, p la représentation correspondante de g dans E. Soit meE. L'élément m est invariant pour p si et seulement si 8(g) .m = m quel que soit g e G. Ceci justifie l'emploi du mot « invariant ».*
48 ALGÈBRES DE LIE § 3 Exemple 1. —; Soient M, N deux g-modules, et P = ^(M, N). Pour qu'un élément / de P soit invariant, il faut et il suffit, d'après F), que / soit un homomorphisme du g-module M dans le g-module N. En particulier, si M = N et 3½ = x^ pour tout jsg,/ est invariant si et seulement si / est permutable aux x^. Exemple 2. •—■ Soit M un K-module admettant une base finie. Si M est muni d'une structure de g-module, Ï(M, M) et M* B>M sont munis de structures de g-modules, et l'application canonique de M*®M dans Ï(M, M) est un isomorphisme de g-modules (prop. 4). Comme le^(M, M) est évidemment un invariant (cf. exemple 1), l'élément correspondant u de M*®M est un invariant. Si (e*)i^i^„ est une base de M, et si (e*I^t-^„ est n la base duale, on a u = S e* <8> e,-. Exemple 3. — Soit M un g-module. Soit p une forme bilinéaire sur M, et soit / l'élément correspondant de $(M, M*). Pour que p soit invariante, il faut et il suffit que / soit un homomorphisme de g-modules (prop. 4 et exemple 1). Supposons que K soit un corps, et que dimKM < + oo. Une forme bilinéaire p sur M invariante et non dégénérée définit un isomorphisme du g-module M sur le g-module M*, donc un isomorphisme du g-module M®M sur le g-module M*® M. Ainsi, compte tenu de l'exemple 2, la donnée de p définit canoniquement un élément invariant c dans le g-module M (¾ M, qu'on peut construire de la manière suivante : soit {e^I<i<n une base de M, (ef)i<»<n la base de M telle que p(et-, e'j) = Si}-; n alors c = Sej(8>e*. «=i Proposition 5. — Soient g une K-algèbre de Lie, h un idéal de g, p une représentation de g dans M, et p' la restriction de p à if. Alors Vensemhle N des éléments de M invariants pour p' est stable pour p(g). En effet, soient neN et y s g ; quel que soit x s ï), on a [x, y] s h, donc p(x)p(y)n = p(|>, y])n + p(y)p(x)n = 0 ; donc p(y)n S N. Proposition 6. — Soit M un Q-module semi-simple. Alors le sous-module M0 des éléments invariants de M admet un et un seul
N° 6 REPRÉSENTATIONS 49 supplémentaire stable pour les xK, à savoir le sous-module M1 engendré par les xK.m(x e g, me M). En effet, soit M' un sous-module de M stable pour les 2¾ et supplémentaire de M0 dans M. Pour tout m e M, on a m = m0 + m' avec me s M0, m' s M', donc xMm = xMm' s M'. Donc Mt c M'. Soit M2 un sous-module de M' stable pour les 3½ et supplémentaire de Mx dans M'. Pour tout me M2, on a xMm s M2 n M1 = j 0 j quel que soit iegi donc me M0, donc m = 0. Donc M2 = |0|, ce qui prouve que M± = M'. 6. Formes bilinéaires invariantes Soit g une algèbre de Lie sur K. La représentation adjointe de g dans g et la représentation nulle de g dans K définissent dans le K-module N = 5£(g, g ; K) des formes bilinéaires sur g une structure de g-module. On dit brièvement qu'une forme bilinéaire C sur g est invariante si elle est invariante pour la représentation x h- x^,. D'après la formule A0), la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que : A3) P(|>, y], z) = p(x, [y, z\) quels que soient x, i/, z dans g. Maintenant, soit b l'algèbre de Lie des dérivations de g. La représentation identique de b et la représentation nulle de b dans K définissent une représentation D h> Ds de b dans N. On dit brièvement qu'une forme bilinéaire sur g est complètement invariante si elle est invariante pour la représentation D i-> DN. Une forme bilinéaire complètement invariante est invariante. Pour qu'une forme bilinéaire C sur g soit complètement invariante, il faut et il suffit qu'on ait : A4) p(Dx, y) + p(x, Dy) = 0 quels que soient x, y dans g et D e b. Proposition 7. — Soient g une algèbre de Lie, p une forme bilinéaire symétrique invariante sur g, et a un idéal de g. a) L'orthogonal a' de a pour p est un idéal de g. 4 —B.
50 ALGEBRES DE LIE § 3 b) Si a est caractéristique, et si C est complètement invariante, a' est caractéristique. c) Si C est non dégénérée, a n a' est commutatif. Soit D une dérivation de g. Supposons que a soit stable pour D et que [3(D:r, y) + $(x, Dy) = 0 pour x, y dans g. Alors, zea' entraîne Dzea', car pour tout !ea, on a Df s a, donc p(Dz, f) = - p(z, Dz) = 0. Ainsi, a' est stable pour D. Ceci établit a) et b). Soit maintenant b un idéal de g, et supposons que la restriction de C à b soit nulle. Pour x, y dans b et z s g, on a C([a:, y], z) = C(a:, [y, z]) = 0, car [y, z] s b. Ainsi, [b, b] est orthogonal à g. Si C est non dégénérée, b est donc commutatif. Ce résultat, appliqué à a n a', prouve c). Définition 4. — Soient g une K-algèbre de Lie, M un Q-module. Supposons que M, considéré comme K-module, admette une base finie. On appelle forme bilinéaire associée au Q-module M (ou à la représentation correspondante) la forme bilinéaire symétrique (x, y) h- Tr(xriyu) sur g. Si la représentation considérée est la représentation adjointe, la forme bilinéaire associée s appelle la forme de Killing de g. Proposition 8. — Soient g une algèbre de Lie, M un Q-module. Supposons que M, considéré comme K-module, admette une base finie. La forme bilinéaire associée à M est invariante. En effet, pour x, y, z dans g, on a : Tr(|>, ^¾) = Tr(a;Mî/MzM) - Tr(î/MxMzM) = 1^(:¾^¾) - Tr(a^,zMi/M) = Tr(xM[i/, z]K). Proposition 9. — Supposons que K soit un corps et que Valgèbre de Lie g soit de dimension finie sur K. Soient a un idéal de g, C la forme de Killing de g, et p' celle de a. Alors, C' est la restriction de C à a. En effet, soit u un endomorphisme de l'espace vectoriel g qui laisse stable a. Soient v la restriction de k à a, et M? l'endomor- phisme de l'espace vectoriel g/a déduit de u par passage au quotient. On a Tr u = Tr ç + Tr w comme on le voit en prenant une base (rcj,..., xn) de g dont les p premiers éléments constituent une
N° 7 REPRÉSENTATIONS 51 base de a. Ceci posé, soient iea, y s a, et appliquons la formule précédente au cas oùb = (adg x) (adg y). On a v = (adQ x) (adQ y), et w = 0. Donc C(:r, y) = C'(£, 2/)- Proposition 10. —■ Supposons que K soiz are corps, et que V'algèbre de Lie g soit de dimension finie sur K. La forme de Killing C de g esz complètement invariante. Soit D une dérivation de g. Il existe une algèbre de Lie g' contenant g comme idéal de codimension 1, et un élément x0 de g', tels que Dx = [x0, x] pour tout xe g (§ 1, n° 8, exemple 1). Soit "|3'"la"forme de Killing dé g7. Pour x, y dans g, on a $'([x, x0], y) = $'(x, |>0, y]), c'est-à-dire p'(Drc, y) + C'(:r, Dr/) = 0. Or, la restriction de P' à g est C (prop. 9). D'où la proposition. 7. Élément de Casimir Proposition 11. — Soient g une algèbre de Lie sur un corps K, U son algèbre enveloppante, h un idéal de dimension finie de g, et C une forme bilinéaire invariante sur g, dont la restriction à F) soit non dégénérée. Soient (ej)lsgj^n, (e,')i<j^n rfe«:r bases de ï) n jeMes que C(e*, e,') = 8^. Alors Vêlement c = 2e,-ei de U appartient t*=l a« centre de U eZ esZ indépendant du choix de la base (e«). Pour £ s g, soit 2¾ la restriction à h de ad3 #. Alors, x \-+ x^ est une représentation de g dans l'espace h, et la restriction C' de C à ï) est invariante pour cette représentation. D'après le n° 5, _____Ji-----------~~~~ exemple 3, le tenseur Se«(8>e« est indépendant du choix de la base (&)> et est un élément invariant de l'algèbre tensorielle de h. C'est aussi un élément de l'algèbre tensorielle T de g, invariant pour la représentation déduite de la représentation adjointe de g. Son image canonique dans U, c'est-à-dire c, est donc indépendante du choix de la base (a), et est un invariant pour la représentation de g dans U considérée à la fin du n° 2. Cet élément est donc permutable à tout élément de g, et par suite appartient au centre de U. Lorsque C est la forme bilinéaire associée à un g-module M. on dit que l'élément c de la proposition 11 est Vêlement de Casimir
52 ALGÈBRES DE LIE § 3 associé à M (ou à la représentation correspondante). Cet élément existe si la restriction de C à h est non dégénérée. Proposition 12. — Soient g une algèbre de Lie sur un corps K, h un idéal de dimension finie n de g, et M un Q-module de dimension finie sur K. Soit c Vêlement de Casimir (supposé exister) associé à M et if. a) On a Tr (cM) = n. b) Si M est simple, et si n n'est pas divisible par la caractéris' tique de K, cM est un automorphisme de M. Reprenant les notations de la prop. 11, on a Tr (cM) = n n S Tr ((ef)M(e,')M) = S C(ei, e|) = n. Donc, si n n'est pas divisible par la caractéristique de K, c^ =£ 0. D'autre part, comme c appartient au centre de U, cM est permutable à tous les xu, x s g. Si de plus M est simple, c^ est donc inversible dans Î(M) (Alg., chap. VIII, §4,n°3, prop. 2). 8. Extension de Vanneau de base Soient K.x un anneau commutatif à élément unité, 9 un homo- morphisme de K dans Kx transformant 1 en 1. Soient g une K- algèbre de Lie, U son algèbre enveloppante, et M un g-module à gauche, c'est-à-dire un U-module à gauche. Alors, M(Kl> est cano- niquement muni d'une structure de U^-module à gauche, donc de g(K)-module à gauche. Soient p et p(Kj) les représentations de 9 e* 9(¾) correspondant à M et M^ : on dit que p(Kj) se déduit de p par extension de Vanneau de base, et on peut appliquer les résultats à'Alg., chap. VIII, § 13, n° 4. Si x s g, p(K)(x) n'est autre que l'endomorphisme p(x) (¾ 1 de M(Kl) = M®K Kx. Supposons que K soit un corps, que Kx soit une extension de K, et que <p soit l'injection canonique de K dans Kv Soient V et V des sous-espaces vectoriels de M. Soit a le sous-espace vectoriel de g formé des ieg tels que p(i)(V)cV. Soit a' le sous-espace vectoriel de g(Ki) formé des x' s g(Ki) tels que p(ki)(^')(V(k1)) <= V(K]). Alors, a' = a^). Il est clair en effet que a(K)Ca'. Soit maintenant
N° 8 REPRÉSENTATIONS 53 x1 s a'. On peut écrire x' = S Xj^, où les Xi sont dans g, et où les X»- sont des éléments de Kx linéairement indépendants sur K. Pour n tout k s V, on a p(x'). u s V^), c'est-à-dire S Xjp(a;i). k e Vfo), d'où p(x.). u s V, donc 2¾ s a et a;' s a^). Ceci montre bien que a' = a^y En particulier, le centre de g(Kj) se déduit du centre de g par extension de K à K^ : il suffit d'appliquer ce qui précède à la représentation adjointe de g. Il en résulte que Cp(g(Kl)) = (GpQ)^) pour tout/). De même, soient h une sous-algèbre de g, et rt le normalisateur de h dans g. Alors, le normalisateur de h(Ki) dans g(Ki) est rt(Kl). Soient K, K1} g, p, M comme dans l'alinéa précédent. Soient b un sous-espace vectoriel de g, et W un sous-espace vectoriel de M. Soit V le sous-espace vectoriel de M formé des m s M tels que p(b).mcW. Soit V le sous-espace vectoriel de M^) formé des m' s M(Kj) tels que p(Kl)(b(Kl)) • W c W(Kl)- On voit comme ci-dessus que V = V(Kl). En particulier, le sous-espace vectoriel des invariants de M(Kl) se déduit du sous-espace vectoriel des invariants de M par extension du corps de base de K à Kx. Soient K, Kx et <p comme au début de ce n°. Soient g une K-algèbre de Lie, M et N des g-modules. Si M et N sont des g-mo- dules isomorphes, M(Kj) et N(Kj) sont des g(Ki)-modules isomorphes. Inversement : Proposition 13. — Soient K un corps, Kx une extension de K, g une K-algèbre de Lie, M, N deux Q-modules de dimension finie sur K. Si M(Ki) et N(Kj) sont des Q^-modules isomorphes, M et N sont des ^-modules isomorphes. La démonstration se fait en deux étapes. 1° Supposons'd'abord que Kx. soit une extension de K de degré fini n. Soit U l'algèbre enveloppante de g, de Sorte que l'algèbre enveloppante de g(Kj) est U(Ki) = 11¾¾ (§ 2, n° 9). Étant isomorphes en tant que U^y-modules, M(Kl> et N(k,) le sont a fortiori en tant que U-modules ; mais en tant que U-modules, ils sont respectivement isomorphes à M" et N". Or, M et N sont des U-modules de longueur finie ; M (resp. N) est donc somme directe d'une famille (PÎ*)i<{<P (resp. (OJ')i</<j) de sous-modules tels que les P»- (resp. Oj) soient indécomposables et deux P,- (resp. Qj) d'in-
54 ALGÈBRES DE LIE § 3 dices distincts non isomorphes (Alg., chap. VIII, § 2, n° 2, th. 1). Alors M" (resp. N") est isomorphe à la somme directe des Pf * (resp. Q™?) ; on en conclut (loc. cit.) que p = q et qu'après permutation éventuelle des Q/ on a nn = ns{ et Pj est isomorphe à Q* pour 1 ^ i < p, donc M isomorphe à N. 2° Cas général. Soient P le g-module ^K(M, N) et Q le sous- espace des invariants de P, c'est-à-dire l'ensemble des homo- morphismes du g-module M dans le g-module N. Dans le g<K1>- module ^k1(M(k1), N^)) = (JS?K(M, N))^), le sous-espace des invariants est Qoy. L'hypothèse que M(Kl> et N(Kl> sont isomorphes entraîne que M et N ont même dimension sur K, et qu'il existe dans Q(k,) un élément g qui est un isomorphisme de M^ sur N(Kj). Soit (/i,...,/d) une base de Q sur K. Choisissons d'autre part des bases de M et N sur K. Si A* s Kx pour 1 ^ k ^ d, la ma- d trice de / = S A*/* par rapport à ces bases a un déterminant k=l qui est un polynôme D(A1,. .., A<j) à coefficients dans K. Lorsque / = g, ce déterminant est non nul, donc les coefficients de D ne sont pas tous nuls. Par suite, si O est la clôture algébrique de K, il existe (puisque O est infini) des éléments ^eO A ^ k ^ d) tels que 0(^,. ..,^)/0 (Alg., chap. IV, § 2, n° 5, prop. 8). Si K2 est l'extension algébrique de K engendrée par les \j.k A ^ k ^ d), d on en conclut que S ^/¾ est un isomorphisme de M(Ka) sur N^ ; mais K2 est de degré fini sur K (Alg., chap. V, § 3, n° 2, prop. 5), donc M et N sont isomorphes en vertu de la première partie du raisonnement. Soient à nouveau K, Kx et <p comme au début de ce n°. Soit p une représentation de g dans un K-module M possédant une base finie (xx,.. ., xn). Alors, la forme bilinéaire sur g(K) associée à p(Ki) se déduit de la forme bilinéaire associée à p par extension à Kx de l'anneau de base (car, si ue'£K(M), u a même matrice par rapport à (^,..., xn) que b®1 par rapport à (^01,. . ., :rB(g>l), donc «et b®1 ont même trace). En particulier, si le K-module g possède une base finie, la forme de Killing de g(Ki) se déduit de celle de g par extension à Kx de l'anneau de base.
§ 4, N° / ALGÈBRES DE LIE NILPOTENTES 55 § 4. Algèbres de Lie nilpotentes On rappelle que K désigne désormais un corps commutatif. Dans toute la fin du chapitre, les algèbres de Lie sont supposées de dimension finie sur K. 1. Définition des algèbres de Lie nilpotentes Définition 1. — Une algèbre de Lie g est dite nilpotente s'il existe une suite finie décroissante d'idéaux (Qi)o^i<p de g, avec 9o = 9, gP = {0 j, telle que [g, gj c gt+1 pour 0 s; i < p. Une algèbre de Lie commutative est nilpotente. Proposition 1. — Soit g une algèbre de Lie. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) g est nilpotente ; b) GkQ = 10 j pour k assez grand ; c) ^g = g pour k assez grand ; d) il existe un entier k tel que ad x1 o ad x2 ° • • • ° ad xk = 0 quels que soient les éléments xx, xz,.. ,,xk dans g ; e) il existe une suite décroissante d'idéaux (gt-)o<ï<n de g, avec g0 = g, g„ = jOj, telle que [g, gjcg^ et dim gjg^ = 1 pour 0 ï% i < n. Si €kQ = { 0 } (resp. C^g = g), il est clair que la suite <3xg, ...,£kQ (resp. 6kQ, Ci-ig,..., C0g) possède les propriétés de la définition 1, donc que g est nilpotente. Réciproquement, supposons qu'il existe une suite (g»)o^i^p possédant les propriétés de la définition 1. On voit par récurrence sur i que gj => Cmg et gj,_j <= £tQ. Donc ôJ>+1g = { 0 } et £pq = g. On a ainsi prouvé que les conditions a), b), c) sont équivalentes. D'autre part, E*g est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de la forme [Xi, [X2,. . ., [^_2, [X{-i, Xi]] ... JJ quand xx, x2,. .., x{ parcourent g. Donc les conditions b) et d) sont équivalentes. Enfin, s'il existe une suite (gt)o<t<p d'idéaux possédant les propriétés de la déf. 1, il existe une suite décroissante
56 ALGÈBRES DE LIE § 4 (ï)»)o^i^« de sous-espaces vectoriels de g de dimension n, n - 1, n - 2,. . ., 0, et une suite d'indices i0 < ^ < • • • < ip avec g0 = ï)fo, 9i = &,,- • -, QP = ï)fp ; alors, comme [g, ï)tg c ^, les ïL sont des idéaux et [g, ï)/)cï),+i pour tout i. Donc les conditions a) et e) sont équivalentes. Corollaire 1. — Le centre d'une algèbre de Lie nilpotente non nulle est non nul. Corollaire 2. — La formé de Killing dune algèbre de Lie nilpotente est nulle. En effet, quels que soient x et y dans une algèbre de Lie nilpotente, &àx°a.ày est nilpotent, donc de trace nulle. Proposition 2. — Une sous-algèbre, une algèbre quotient, une extension centrale d'une algèbre de Lie nilpotente sont nilpotentes. Un produit fini d'algèbres de Lie nilpotentes est une algèbre de Lie nilpotente. Soient g une algèbre de Lie, g' une sous-algèbre de g, ï) un idéal de g, l = g/ï), et <p l'application canonique de g sur ï. Si g est nilpotente, on aE*g = J0| pour un entier k, donc GkQ' c($*g = jOj et Ckî = <p(CÈg) = |0|, donc g' et l sont nilpotentes. Si ï est nilpotente et ï) contenu dans le centre de g, on a Gkî = JOj pour un entier k, donc ekQC\), et par suite E*+1gc[ï), g] = |0j, de sorte que g est nilpotente. Enfin, l'assertion relative aux produits résulte par exemple de l'assertion a) <=> d) de la prop. 1. La définition 1 et la proposition 2 montrent que les algèbres de Lie nilpotentes sont exactement les algèbres obtenues à partir des algèbres de Lie commutatives par une suite d'extensions centrales. Proposition 3. •—■ Soient g une algèbre de Lie nilpotente, ï) une sous-algèbre de g distincte de g. Le normalisateur de ï) dans g est distinct de ï). Soit k le plus grand entier tel que GkQ + 1)^1). Alors, [GkQ + ï), ï)]cE*+1g + Ï)CÏ), donc le normalisateur de ï) dans g contient GkQ -f ï).
N° 2 ALGÈBRES DE LIE NILPOTENTES 57 2. Le théorème d'Engel Lemme 1. — Soit V un espace vectoriel sur K. Si x est un endo- morphisme nilpotent de V, Vapplication y h- [x, y] de ^£(V) dans ^£(V) est nilpotente. En effet, si / désigne cette application, fm(y) est une somme de termes de la forme ± xlyxj avec i -\- j = m. Si xk = 0, on a donc f^'Hy) = 0 pour tout y. Théorème 1 (Ergel). — Soient V un espace vectoriel sur K, et g une sous-algèbre de dimension finie de gt(V), dont les éléments sont des endomorphismes nilpotents de V. Si V ^ [Oj, il existe un b^O dans V tel que x. u = 0 pour tout x s g. La démonstration procède par récurrence sur la dimension n de g. Le théorème est évident si n = 0. Supposons-le vrai pour les algèbres de dimension < n. Soit h une sous-algèbre de Lie de g de dimension m < n. Si is^ adg x applique h dans lui-même et définit par passage au quotient un endomorphisme a(x) de l'espace g/ï). D'après le lemme 1, adg x est nilpotent, donc a(x) est nilpotent. En vertu de l'hypothèse de récurrence, il existe un élément non nul de g/b qui est annulé par tous les a(x), xe\). Autrement dit, il existe y s g, y $ fo, tel que [x, y]eif pour tout x s fy. H en résulte que h est un idéal dans une certaine sous-algèbre de dimension m + 1 de g. On en conclut (par itération à partir de h = JOJ) que g possède un idéal h de dimension n-1. Soit as g, a * h. Faisons usage à nouveau de l'hypothèse de récurrence : les u s V tels que x.u ~ 0 pour tout xe\) forment un sous-espace vectoriel non nul U de V. Ce sous-espace est stable pour a ( § 3, n° 5, prop. 5). Puisque a est un endomorphisme nilpotent de V, il existe un élément non nul de U qui est annulé par a, donc par tout élément de g. Corollaire 1. — Pour qu'une algèbre de Lie g soit nilpotente, il faut et il suffit que, pour tout a; s g, ad a; soit nilpotent. La condition est nécessaire (prop. 1). Supposons démontrée sa suffisance pour les algèbres de Lie de dimension < n (n ¥= 0). Soit g une algèbre de Lie de dimension n telle que, pour tout
58 ALGÈBRES DE LIE § 4 je g, ad x soit nilpotent. Le théorème 1, appliqué à l'ensemble des ads(ie g), prouve que le centre c de g est non nul. Alors, g est extension centrale de l'algèbre de Lie g/c, qui est nilpotente d'après notre hypothèse de récurrence. On conclut en appliquant la prop. 2. Corollaire 2. — Soient g une algèbre de Lie, h un idéal de g. On suppose que g/h est nilpotente et que, pour toutxe. g, la restriction à h de ad x est nilpotente. Alors g est nilpotente. Soit xe q. Comme g/h est nilpotente, il existe un entier k tel que (adx)s(g) cft. Par hypothèse, il existe un entier k' tel que (ad£)*'(!)) = jOj. Donc (adrc)***' = jOj. Le cor. 2 est donc une conséquence du cor. 1. Corollaire 3. — Soient V un espace vectoriel, et g une sous- algèbre de dimension finie de gl(V) dont les éléments sont des endo- morphismes nilpotents de V. Alors, g est une algèbre de Lie nilpotente. Ceci résulte aussitôt du lemme 1 et du cor. 1. Exemple. — L'algèbre rt(rc, K) (§ 1, n° 2, ex. 2, 3°) est nilpotente. 3. Le plus grand idéal de nilpotence d'une représentation Lemme 2. — Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g, M un Q-module simple. Si, pour tout xe. a, x^ est nilpotent, alors :¾ = 0 pour tout xe a. En effet, soit N le sous-espace de M formé des m s M tels que x^.m = 0 pour tout x s a. D'après le th. 1, N / J0|. D'autre part, pour tout ye g, N est stable pour yu (§ 3, n° 5, prop. 5). Donc N = M, ce qui prouve le lemme. Lemme 3. — Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g, M un Q-module de dimension finie sur K et (MtH^^„ une suite de Jordan-Holder du Q-module M. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) pour tout x s a, x^ est nilpotent ;
N° 3 ALGÈBRES DE LIE NILPOTENTES 59 b) pour tout xe a, Xu est dans le radical de Valgèbre associative A engendrée par 1 et les yu, où ye g ; c) pour tout xe a, on a £M(M0) c Mi, :¾^) cM , xJM.^) c M„. Si ces conditions sont remplies, a est orthogonal à g pour la forme bilinéaire associée au Q-module M. b) => a) : comme A est de dimension finie sur K, le radical de A est un idéal niipotent (Alg., chap. VIII, § 6, n° 4, th. 3), donc tout élément de ce radical est niipotent. a) => c) : chaque Qj = Mf/Mj+1 @ < i < n) est un g-module simple. Pour tout x s a, I'endomorphisme x^ (qui se déduit de x^ par restriction à M,- et passage au quotient) est niipotent si la condition a) est satisfaite, donc nul d'après le lemme 2 ; autrement dit, xu(Mi) c Mi+1. c) => b) : supposons satisfaite la condition c) ; soient jeoet z e A. On a z(M{) cMf@^ i < n), donc (z^)B(M) = j 0} ; ainsi Aa^ est un niiidéai à gauche de A, donc est contenu dans le radical de A (Alg., chap. VIII, § 6, n° 3, cor. 3 du th. 1). Enfin, supposons satisfaites les conditions a), b), c). Soient xe a etyeQ. On vient de voir que y^x^ est niipotent, donc Tr(r/M^l) = 0, ce qui prouve la dernière assertion du lemme. Proposition 4. — Soient g une algèbre de Lie, M un Q-module de dimension finie sur K, A l'algèbre associative engendrée par 1 et Vensemble des xx(xe g). a) Les idéaux a de g, tels que xw soit niipotent pour tout x s a, sont tous contenus dans Vun d'eux, rt. b) V'idéal rt est Vensemble des xe g tels que x^ appartienne au radical de A. c) Soit (MjH^t^„ une suite de Jordan-Hôlder du Q-module M ; alors rt est aussi Vensemble des xe g tels que (^)^/1^+1 = ^ pour tout i. d) rt est orthogonal à g pour la forme bilinéaire associée à p. L'ensemble des x s g tels que xa appartienne au radical de A est évidemment un idéal de g. La proposition résulte alors aussitôt du lemme 3.
60 ALGÈBRES DE LIE §4 Définition 2. — L'idéal rt de la prop. 4 s'appelle le plus grand idéal de nilpotence pour le Q-module M, ou le plus grand idéal de nilpotence de la représentation correspondante. Il est clair que rt contient le noyau de cette représentation. Il lui est égal quand M est semi-simple (prop. 4 c)), mais non en général. On prendra garde qu'un élément # de g tel que 0¾ soit niipotent n'appartient pas nécessairement à rt. Notons par ailleurs qu'un cas particulier du lemme 3 fournit aussitôt le résultat suivant : Proposition 5. — Soient V un espace vectoriel de dimension -finie n sur K, et g une sous-algèbre de Lie de gl(V) dont les éléments sont des endomorphismes nilpotents de V. Alors, il existe une suite décroissante de sous-espaces vectoriels V0, Vl5. .., V„ de V, de dimensions n, n-î,..., 0, tels que x(Vij c \{+1 pour tout x^Q et tout i = 0.1,- . ., n- 1. 4. Le plus grand idéal niipotent d'une algèbre de Lie Soient g une algèbre de Lie, a un idéal de g. Pour que a soit niipotent, il faut et il suffit que, pour tout x s a, adg x soit niipotent ; la condition, évidemment suffisante, est nécessaire, car, si a est niipotent, et si x s a, ada x est niipotent et adg x applique g dans a, donc adg x est niipotent. Ceci posé, la prop. 4, appliquée à la représentation adjointe de g, fournit le résultat suivant : Proposition 6. — Soient g une algèbre de Lie, E la sous- algèbre associative de ^£(g) engendrée par 1 et les adg x (x& g). Soit R le radical de E. a) Llensemble rt des y^Q tels que adB ye R est le plus grand idéal niipotent de g. b) Il est orthogonal à g pour la forme de Killing. On prendra garde que g/rt peut avoir des idéaux nilpotents non nuls.
§5, N° 1 ALGÈBRES DE LIE NILPOTENTES 61 5. Extension du corps de base Soient g une K-algèbre de Lie, Kx une extension de K, et g' = g(Ki). Comme C*g' = (C^g)^, g est nilpotente si et seulement si g' est nilpotente. Soient M un g-module de dimension finie sur K, rt le plus grand idéal de nilpotence pour M, et M' = M(Kj). Soit (M,-H^«^» une suite de Jordan-Hôlder du g-module M. On a %(M()cM(tl pour tout i et tout xe rt, donc ^((M,-)^) c (Mi+1)(Ki) pour tout i et tout x' s rt(Kl) ; donc x'^ est nilpotent pour x' s n^ )} de sorte que n^-, est contenu dans le plus grand idéal de nilpotence rt' pour M'. Nous allons voir que, si Kx est séparable sur K, alors rt' = n^). Soient E la K-algèbre associative engendrée par 1 et.les x^ (xs g), E' la K-algèbre associative engendrée par 1 et les x'K> {x' s g'), R et R' les radicaux de E et E'. L'algèbre E' s'identifie canoni- quement à E(K). On a R' = R(K) {Alg., chap. VIII, § 7, n° 2, n cor. 2 c) de la prop. 3). Ceci posé, soit y' s rt', et écrivons y' = S "hy^ ï=i où les yi sont dans g et où les X* s Kx sont linéairement indépendants n sur K. On a y'* = S *<(&)*, et y'n, e R' = R(Kj). Donc (yt)x e R, et par suite y{ s rt pour tout i. On en conclut que y1 s n^, d'où n'cnpy. En particulier, si Kx est séparable sur K, le plus grand idéal nilpotent de g(Ki) se déduit de celui de g par extension de K à Ki du corps de base. § 5. Algèbres de Lie résolubles On rappelle que K désigne désormais un corps de caractéristique 0 et que toutes les algèbres de Lie sont supposées de dimension finie sur K '. 1 Le lecteur remarquera que l'hypothèse sur la caractéristique de K n'est pas employée dans les numéros 1 et 2 du présent paragraphe.
62 ALGÈBRES DE LIE § 5 1. Définition des algèbres de Lie résolubles Définition 1. — Une algèbre de Lie g est dite résoluble si sa fcième aigèbre dérivée <£)*g est nulle pour k assez grand. Une algèbre de Lie nilpotente est résoluble. Proposition 1. — Une sous-algèbre, une algèbre quotient d'une algèbre de Lie résoluble sont résolubles. Toute extension d'une algèbre résoluble par une algèbre résoluble est résoluble. Tout produit fini d'algèbres résolubles est résoluble. Soient g une algèbre de Lie, g' une sous-algèbre, ï) un idéal de q, î = g/ï), et <p l'application canonique de g sur t. Si g est résoluble, on a (DkQ = \0\ pour un entier k, donc <£)*g' c(£)*g = jOJ, et (jfl = <p((£)*g) = |0|, donc g' et ï sont résolubles. Si ï) et ï sont résolubles, il existe des entiers s, t tels que (jyi) = (f$t = 10 ] ; on a alors (ffQ c ï), donc 6?*q = 6iï{(ïï%) c (Dsï) = |0j, et g est résoluble. La dernière assertion résulte de la deuxième par récurrence sur le nombre des facteurs. Proposition 2. — Soit g une algèbre de Lie. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) g est résoluble ; b) il existe une suite décroissante g = q0d qxd ■ • • d gn = [Oj d'idéaux de g tels que les algèbres gi/gi+1 soient commutatives (£ = 0, Ï,...,»-1); c) il existe une suite décroissante g = gô 3 gi 3 • • • 3 QP = \ 0 j de sous-algèbres de g telles que g^+1 soit un idéal dans gt- et que gî/gl+i soit commutative (i = 0, 1,. . ., p - 1). d) Il existe une suite décroissante g = gô' 3 g{' 3 • • • 3 g^' = j 0 j de sous-algèbres de g telles que g^ soit un idéal de codimention 1 dans g-' (i = 0, 1,..., q - ï). a) => b) : il suffit de considérer la suite des idéaux dérivés de g. b) => c) : c'est évident. c) => d) : supposons la condition c) satisfaite; tout sous-espace vectoriel de gî contenant gt;+1 est un idéal de q-, d'où aussitôt d). d) => a) ; ceci résulte du fait qu'une extension d'une algèbre résoluble par une algèbre résoluble est résoluble.
N° 2 ALGÈBRES DE LIE RÉSOLUBLES 63 Exemples d'algèbres de Lie résolubles. I. Soient g un espace vectoriel de dimension 2 sur K, (e1} e2) une base de g. Il existe une multiplication bilinéaire alternée (x, y) h> [x, y] et une seule sur g telle que [eu e2] = e2. On vérifie facilement que g est ainsi muni d'une structure d'algèbre de Lie résoluble. Maintenant, soit ï) une algèbre de Lie non commuta- tive de dimension 2 sur K. On va montrer que ï) est isomorphe à g. Soit (/1} /2) une base de ï). L'élément \ju /2] n'est pas nul (sinon ï) serait commutative), donc il engendre un sous-espace ï de dimension 1 de ï). On a [ï), ï)] = ï. Soit (e{, e2) une base de ï) te

References: § 1
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