Source: https://www.scribd.com/presentation/106864591/Circunferencia
Timestamp: 2018-12-13 14:40:01+00:00

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Uploaded by Karina Andrea Andrade Bustos
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Cronograma 3º Semestre UNICAMP
Askep New Bph
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Lynchburg Aquatic League - 2018- A Meet Results
Flecha o
Arco BQ
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
L R±
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
MQ PM PQ R = ¬ ±
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
mBD mAC CD // AB : Si = ¬
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
Cuerdas congruentes
equidistan del
mCD mAB CD AB : Si = ¬ =
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
los centros (d)
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
o = mAB
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
mCD mAB +
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
o + mAB = 180°
mAB - mACB
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
mCD - mAB
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
mBC - mAB
Por ángulo semi-inscrito PQS
x º 70
x 2 º 140
PQS m + =
PSQ = x
PQS m = Z
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
En el triángulo rectángulo RHS
140° + X = 180°
m Z S = 70º
º 70 =
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si mZHRS=20º; calcule la mZQPR.
° ÷ °
APD = x
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
APN = x
Se traza el radio OM:
Ángulo central igual al arco
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mZAPN.
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
70° + mPQ = 180°
mPQ = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la mZPRQ.
º 130 =
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
a + b = 14 (1)
Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
Si el arco QR mide 80º, calcular mZQPR .
2a + 80º = 360º
a = 140º
En un cuadrilátero ABCD mZQ = mZS = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Teorema de Poncelet:
PQR  a + b = PR+2(3)
a + b + c + d = 22cm
PSR  c + d = PR+2(2)
Cuerda PQ P
Diámetro ( AB ) T
R L
02. P Q R  PQ  PM  MQ .Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes)..
A  C B  D Si : AB // CD  mAC  mBD .03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
A C Cuerdas congruentes Arcos congruentes B Las cuerdas equidistan del centro D Si : AB  CD  mAB  mCD .A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes..04.
Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2 ...Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.06.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1..Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A R   P R B AP = PB .
En todo triángulo rectángulo. Inradio b a r Circunradio R c R a + b = c + 2r a + b = 2(R+r) . la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio..TEOREMA DE PONCELET.
se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.TEOREMA DE PITOT.En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia. b Cuadrilátero circunscrito c a d a + c = b + d ..
A r C  r B  = mAB ..MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.Es igual a la medida del arco que se opone.1..
.3. A B  C mAB  2 .Es la mitad de la medida del arco opuesto..MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.
2.Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos D A  C B mAB  mCD  2 .MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR...
A C  B mAB  2 .4..Es igual al medida del arco opuesto.MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO..
A  C B mABC  2 .Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO..1..
A mACB .6...Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.mAB  2  O C B  + mAB = 180° .Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.-ÁNGULOS EXTERIORES.Son tres casos: a..
B C  D A O mAB ..Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.Ángulo formado por dos rectas secantes.mCD  2 .b..
.mBC  2 .c..Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. B  C A O mAB .
Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS. si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x Se traza la cuerda SQ Q 70º+x 50° mQRS mPQS  2 140º 2x mPQS   70º  x 2 En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: P Reemplazando: 2X R X S 140° X = 30° .
RESOLUCIÓN PSQ = x Q En el triángulo rectángulo RHS m  S = 70º Por ángulo inscrito mQR 70º  2 S 70° mQR = 140° 140° 20° X Es propiedad. si mHRS=20º. calcule la mQPR. luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”. que: P 140° + X = 180° X = 40° R Resolviendo: . se traza RH perpendicular a la cuerda QS.Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR.
RESOLUCIÓN APD = x A B 130° 50° D x Medida del ángulo interior 130  mBC  90 2 mBC = 50° Medida del ángulo exterior P 130  50 X 2 Resolviendo: C X = 40° . calcule la medida del ángulo APD. si el arco AD mide 130º.Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí.
si el arco AN mide 54º. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x N Dato: OM(radio) = PM 54° M Luego triángulo PMO es isósceles A o x x Ángulo central igual al arco x P Medida del ángulo exterior B 54  X X 2 Resolviendo: X = 18° .Problema Nº 04 En una circunferencia. desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio. Calcule la mAPN. el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”.
si el ángulo ABC mide 70º.Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB. “Q” y “R” respectivamente. BC y AC en los puntos “P”. Calcule la mPRQ. RESOLUCIÓN B 70° 110° P Q Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° PRQ = x Medida del ángulo inscrito: x A R 110 X 2 C Resolviendo: X = 55° .
A 70° X P B Resolución .Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”.
RESOLUCIÓN A C 70° 140º X P B Medida del ángulo inscrito: 70º  mAB 2 mAB=140º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º .
Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x” A 130º X P B Resolución .
A RESOLUCIÓN 260º 130º C X P B Medida del ángulo inscrito: 130º  mAB 2 mAB = 260º mACB = 100º X = 80º En la circunferencia: 260º + mACB = 360º Por la propiedad del ángulo exterior mACB + x = 100º formado por dos tangentes: .
B 2 A 5 5 C Resolución .Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC.
RESOLUCIÓN B a 2 b A 5 5 a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10 Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) C (1) (2) (2p) = 24 .
calcular mQPR . Si el arco QR mide 80º. PLANTEAMIENTO Q a 80º R S X P a Resolución .Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
RESOLUCIÓN Q a 80º R En la circunferencia: X P S a 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: a  80º 140º 80º X  2 2 X = 30º .
Calcule la longitud de PR Q PLANTEAMIENTO 3 P 2 R Resolución S . Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm.Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR.
Q RESOLUCIÓN Dato: a + b + c + d = 22cm P a 3 b R 2 c S Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) PSR  c + d = PR+2(2) a +b + c + d = 2PR + 10 + d 22 = 2PR + 10 PR = 6cm .
ANEXO 6Uploaded by Anali Guerrero Villoslada
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References: RESOLUCIÓN 

RESOLUCIÓN 

RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN 
 Resolución 

RESOLUCIÓN 
 Resolución 
 RESOLUCIÓN 
 Resolución 

RESOLUCIÓN 
 Resolución 

RESOLUCIÓN 
 Resolución 
 RESOLUCIÓN