Source: https://kupdf.net/download/matematicas-sm_5a22ccdae2b6f564552f53ac_pdf
Timestamp: 2020-01-23 20:32:23+00:00

Document:
matematicas sm - Free Download PDF
December 2, 2017 | Author: inma58633 | Category: Numbers, Exponentiation, Logarithm, Real Number, Rational Number
cuarto eso...
1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación y la concreción curricular de tu Comunidad Autónoma podrás encontrarlas en el CD Programación y en www.smconectados.com.
A medida que vamos aumentando nuestros conocimientos y nos planteamos preguntas más complejas, nos damos cuenta de que el concepto natural de número, como cantidad de elementos de un conjunto, es insuficiente. En los cursos anteriores ya hemos resuelto el problema de hallar la incógnita x en igualdades de la forma 8 + x = 2 o 5x = 2, pero nos surgen nuevos retos para responder a preguntas como “¿Hay algún cuadrado de área 2?”. Nuestra lógica nos dice que si hay cuadrados de área 1 y de área 4, y podemos ir ampliando progresivamente el lado del cuadrado desde 1 hasta 2, en algún momento obtendremos un cuadrado de área 2. Pero ¿cuánto mide su lado? Gráficamente se puede obtener, trazando la diagonal del cuadrado de lado 1, pero ¿cómo expresar su medida? Ya los grandes matemáticos griegos se dieron cuenta de la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado tomando como unidad el lado, o de la longitud de la circunferencia de radio la unidad. En este curso, el estudio de los números reales se centra en la caracterización de los radicales y los logaritmos, así como en las operaciones básicas asociadas con ellos. Será en los próximos cursos cuando se amplíe el concepto de número real a otros ámbitos, pero por el momento nuestro interés se centrará en el correcto manejo, con o sin calculadora, de los números reales y de sus operaciones. Para resolver estos y otros problemas ha sido preciso ir ampliando el concepto de número, y así han ido surgiendo los enteros, los racionales, los irracionales, los reales, los complejos, e incluso en 1843, el irlandés William Rowan Hamilton amplió el conjunto de los complejos y construyó el conjunto de los cuaterniones, de aplicación en teoría de números, electromagnetismo, física cuántica, etc.
OBJETIVOS 1. Comprender la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales con los irracionales, así como su expresión en forma decimal, y cuantificar el error que se comete al utilizar aproximaciones y redondeos, tanto en la utilización de la calculadora como en el cálculo manual.
1.1 Hallar la expresión decimal de los números racionales.
2. Representar gráficamente de manera clara y precisa las situaciones que surgen en los problemas de geometría para poder apreciar las relaciones de semejanza y expresar algebraicamente las relaciones entre las magnitudes del problema.
2.1 Interpretar y operar con potencias de exponente entero.
1.2 Utilizar y representar los números reales. 1.3 Evaluar los errores que se cometen con las aproximaciones decimales de los números reales.
• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital
2.2 Interpretar y operar con potencias de exponente fraccionario y con radicales. 2.3 Aplicar la definición de logaritmo de un número y las propiedades de los logaritmos para resolver problemas.
• Expresión decimal de los números racionales e irracionales
• Expresar números racionales en forma decimal
• Los números reales. La recta real • Valor absoluto. Intervalos, semirrectas y entornos
• Expresar números reales mediante aproximaciones decimales y determinar o acotar el error
• Potencias de exponente negativo. Notación científica
• Representar en la recta real números e intervalos
• Operar con potencias de exponente negativo
• Potencias de exponente racional • Operaciones con radicales
• Expresar cantidades mediante notación científica y realizar operaciones con ellas
• Racionalización de denominadores
• Operar con radicales
• Logaritmo de un número real
• Racionalizar denominadores
• Propiedades y operaciones con logaritmos
• Transformar y operar expresiones con logaritmos
• Resolver problemas de interés compuesto
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Aunque se repasan algunos conceptos, es básico que los alumnos realicen con soltura las operaciones con números racionales, incluyendo las potencias y las reglas de jerarquía, así como el concepto de raíz y su relación con las potencias. Para las representaciones de números reales es necesario que recuerden los procedimientos básicos de utilización de la escuadra, el cartabón y el compás.
2. Previsión de dificultades El concepto de logaritmo es, de largo, el más difícil de toda la unidad. Los alumnos suelen tener problemas en aplicar correctamente su definición y sus propiedades.
3. Vinculación con otras áreas Los números reales y sus operaciones aparecen en prácticamente todas las áreas de conocimiento y de la vida cotidiana. Cabe destacar cómo algunos de los problemas de aplicación de los logaritmos sirven como muestras magníficas de la importancia de esta herramienta en campos como la sismología, la química, la física o la economía. En este último caso hay que remarcar que el epígrafe final de la unidad se dedica por completo al estudio del interés compuesto.
4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con el repaso de las expresiones decimal y fraccionaria de un número racional. De aquí se pasa a caracterizar los números irracionales y a definir los reales. La utilización de las aproximaciones y la estimación de los errores cometidos es el siguiente paso en el desarrollo, seguido de la definición de recta real y de la explicación de cómo representar en ella los diferentes números reales tanto individualmente como en conjuntos definidos por intervalos, semirrectas y entornos. Posteriormente se repasan las potencias de exponente negativo y la notación científica, para abordar después el estudio de los radicales: su definición y propiedades, su identificación con las potencias de exponente fraccionario y las operaciones planteadas tanto en forma radical como en forma de potencias. La unidad termina con la introducción del concepto de logaritmo, su relación con la función exponencial y sus propiedades. El estudio del interés compuesto se da como un ejemplo en donde el uso de los logaritmos se hace imprescindible.
NÚMEROS REALES Racionales Irracionales
Expresiones decimales. Aproximaciones
Representación La recta real
Valor absoluto Intervalos
5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones: 1.ª Introducción: desarrolla tus competencias 2.ª Números reales. Aproximaciones de números reales. La recta real. Valor absoluto. Intervalos 3.ª Potencias de exponente entero. Notación científica. Radicales. Potencias de exponente fraccionario 4.ª Operaciones con radicales. Racionalización 5.ª Logaritmos. Propiedades. Aplicaciones de los logaritmos. Interés compuesto 6.ª Actividades de repaso y consolidación 7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.
CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividades competenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comunicación escrita.
Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de resolución de problemas, y la de uso de elementos y herramientas matemáticos.
Competencia para la interacción con el mundo físico En esta unidad hay varias aplicaciones de las matemáticas a diferentes campos de la ciencia y la técnica. Se trabajan las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico y de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.
Competencia social y ciudadana En esta unidad se pueden trabajar las tres subcompetencias asociadas: desarrollo personal y social, participación cívica, convivencia y resolución de conflictos y compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social.
Competencia cultural y artística Esta competencia aparece poco asociada con los contenidos de la unidad. Se puede trabajar de forma puntual la subcompetencia de referida a la sensibilidad artística.
Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de la información.
Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la sección de “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.
Competencia de autonomía e iniciativa personal La realización de un trabajo artístico y su posterior exposición en la clase permite trabajar las subcompetencias de planificación y desarrollo de proyectos y de liderazgo.
Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crítico. En esta unidad se propone un tema de debate en internet en la actividad de Aprende a pensar sobre el análisis crítico y responsable de las ofertas publicitarias por parte del consumidor en la que, además de la competencia social y ciudadana, citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan:
Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas
En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate en relación con las actividades señaladas. 4
TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.
DESEMPEÑO 4.º nivel de concreción
Utiliza las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.
– Utiliza las matemáticas para comprender y resolver problemas de interés compuesto. Actividades 69 a 72 y 120 a 122
Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana
– Aplica el concepto de logaritmo para el estudio y comprensión de diferentes fenómenos naturales. Desarrolla tus competencias, I Actividades 135, 136 Pon a prueba tus competencias: Calcula y descubre
Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico
Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la Ciencia y la Tecnología a la sociedad.
– Sabe en qué consiste un terremoto, los dispositivos técnicos existentes para su control y los modelos para estudiarlos. Desarrolla tus competencias. Actividad 135 – Conoce el concepto de pH y su utilidad para caracterizar la acidez o basicidad. Pon a prueba tus competencias: Calcula y descubre – Conoce diferentes características cuantitativas de la naturaleza. Sabías que… (epígrafes 5 y 11)
Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable
– Conoce el concepto de “umbral del dolor” en la audición humana y su relación con las características físicas del sonido. Actividad 136
– Conoce la historia de las matemáticas. Sabías que… (epígrafe 2)
Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos
Ejercer los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos.
– Sabe interpretar situaciones, incluyendo ofertas publicitarias, que tengan que ver con los conceptos de interés y de descuento. Actividades 69 a 72 y 120 a 122 Pon a prueba tus competencias: Aprender a pensar – Conoce el Euribor y su su papel en la economía. Sabías que… (epígrafe 12)
Compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social
– Reflexiona sobre el coste económico de diferentes actuaciones de la sociedad y los gobiernos. Pon a prueba tus competencias: Estima y comprende
– Reconoce y es sensible a la componente artística de la tecnología. Desarrolla tus competencias, II
Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.
– Visita la página librosvivos.net. Actividades 25, 44 y 67. Recursos, paso a paso, organiza tus ideas, autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red. Desarrolla tus competencias, II y III Pon a prueba tus competencias: Calcula y descubre, 4 y 6
DESCRIPTOR 3.er nivel de concreción
EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en la tabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores: • Educación ciudadana: educación para el consumo en las actividades 69 a 72 y 120 a 122 y en “Aprende a pensar”. • Educación para el desarrollo y para la igualdad: en “Estima y comprende”.
ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad. De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma. Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno: • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.
MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 1: Números reales • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO Bibliográficos
– Unidad 1. Números racionales y reales – Unidad 2. Potencias y raíces SM
Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 4.ºB de ESO – Unidad 1. Números reales • Cuadernos de matemáticas. 4.º de ESO: N.º 1: Números y operaciones – Unidad II y III. Números reales. Intervalos y Potencias, radicales y logaritmos • Cuaderno de matemáticas para la vida. 4.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas II
www.smconectados.com www.librosvivos.net • Números reales en las páginas correspondientes a 4.º de ESO del Ministerio de Educación:
Números reales: www.e-sm.net/4besomatprd01; www.e-sm.net/4besomatprd02
Potencias y radicales: www.e-sm.net/4besomatprd03; www.e-sm.net/4besomatprd04
• La calculadora científica va a ser un instrumento básico en el desarrollo de los contenidos de este curso. Hay que asegurarse que los alumnos la manejen con soltura y propiedad. En este tema deben conocer los modos de redondeo y científico, la notación científica y el cálculo de raíces, potencias, logaritmos y exponenciales.
Sugerencias didácticas Desarrolla tus competencias El tema tratado es un ejemplo claro de la utilidad de las matemáticas en la modelización de la naturaleza. Es evidente que todos los alumnos conocen qué es un terremoto, ya sea por las informaciones de prensa o televisión, por las recreaciones de películas o por las referencias en los libros de texto, pero es importante hacerles reflexionar sobre los diferentes aspectos de estos fenómenos naturales: su origen en la naturaleza dinámica de la corteza terrestre, sus efectos sobre la población y las infraestructuras de todo tipo, y la investigación sobre su predicción y sobre las normas para controlar los daños.
1. Números reales • Los estudiantes tienden a utilizar la calculadora para obtener la expresión decimal de una fracción, y aunque en muchos casos es recomendable para ganar tiempo, está bien que efectúen la división aplicando su algoritmo con dos objetivos: – No perder la agilidad en el cálculo mental. – Observar los restos parciales para comprender que el resto o es cero o tiene que repetirse, dando lugar a la expresión decimal periódica. • Determinar, utilizando la calculadora, expresiones decimales periódicas con períodos largos de más de 10 cifras. 15 Por ejemplo, de . 23 • Aunque en 3.o de ESO ya vieron el cálculo de la fracción generatriz, conviene recordarlo. • Hay que tratar de conseguir que los alumnos comprendan o al menos lleguen a intuir que ni los números racionales ni los irracionales tienen un siguiente, es decir, que entre dos números racionales o irracionales siempre hay infinitos números racionales e irracionales.
ACTIVIDADES POR NIVEL Básico
2. Aproximaciones de números reales • Hay que corregir expresiones del tipo 2 =1414 y acos, tumbrar a los alumnos a escribir 2 =1414 , … • Conviene hacer notar a los alumnos que es muy útil utilizar el mode Fix de la calculadora para obtener redondeos. • Mostrar la diferencia entre número de cifras significativas y número de cifras decimales al hablar de aproximaciones. • Los alumnos han de entender que la mejor medida del error es el error relativo y que el error relativo en porcentaje da una mejor referencia del error. • Es conveniente realizar ejercicios en los que con un dato aproximado, el resultado tenga un error considerable, y tratar de acotar el error obtenido.
• La nota del “Sabías que…” del margen permite tratar la importancia de las aproximaciones en el desarrollo histórico de las matemáticas.
3. La recta real • Mostrar que, aunque el proceso podría ser largo, todos los números racionales se pueden representar exactamente en la recta real. • Comprobar con distintos ejemplos que todo entero positivo puede descomponerse como suma de cuatro cuadrados perfectos a lo sumo. Proponer a los alumnos que busquen números que necesiten cuatro. Así hay que realizar, como máximo, tres construcciones con el teorema de Pitágoras para representar la raíz cuadrada de un entero positivo. • Es interesante comentar en clase que varios problemas clásicos a lo largo de la historia de las matemáticas que no tienen solución, como la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, se habrían podido resolver si se pudieran representar exactamente los números π y 2 en la recta real. • Inculcar a los alumnos la idea de que los números reales completan la recta real y, por tanto, a cada punto le corresponde un número real, y a cada número real le corresponde un punto.
4. Valor absoluto. Intervalos y semirrectas • Es importante que los alumnos tengan claro que el valor absoluto es una distancia y que, como tal, siempre debe ser positiva. • Los alumnos suelen tener dificultad en transformar un valor absoluto en una expresión equivalente, por lo que habrá que incidir en ello. • Dado que los intervalos se utilizan en próximas unidades, como en la resolución de inecuaciones o la determinación de dominios de funciones reales, conviene trabajar con ellos, representarlos, hacer uniones e intersecciones… • Aunque por el momento no van a utilizar entornos, por lo menos que asocien entorno a “puntos de una zona cercana” y sepan expresar cualquier entorno como intervalo y viceversa. • La definición de entorno mediante distancias puede utilizarse para resolver inecuaciones del tipo x−2 < 3 o incluso algo más complicadas, como 4 x+17 ≥ 2. Números reales
19, 20, 94 a 96 y 131 139 y 140
5. Potencias de exponente entero. Notación científica • Mediante la notación a−1 como inverso de a, los alumnos ven muy lógico y natural que (a)−n = (a−1)n. • Utilizando la nota incluida en el “Sabías que…”, debe pedirse a los alumnos que busquen ejemplos de objetos y sistemas naturales que cubran el amplio espectro de tamaños de la naturaleza. • Deben notar que un error en el signo del exponente de la notación científica es un macro-error. • Al ser importante el uso de la notación científica en este y en próximos cursos, tanto en esta asignatura como en otras áreas, los alumnos tienen que aprender a utilizarla en la calculadora.
6. Radicales • En este epígrafe, lo más interesante es el concepto de radical y conocer sus propiedades y operaciones. • Es frecuente el error de los estudiantes de considerar que las raíces cuyo radicando es negativo no existen. Conviene aclararles que cuando el índice es impar, siempre hay una solución real, y si el índice es par, no hay soluciones reales, pero sí de otro tipo.
28 y 104 29
8. Operaciones con radicales • Como los alumnos manejan las propiedades y las operaciones con potencias mejor que sus correspondientes en los radicales, para comprender estas últimas es útil expresar los radicales en forma de potencia, operar con ellas y después expresar el resultado utilizando radicales. No obstante, hay que practicar con las operaciones de radicales directamente, puesto que este es uno de los objetivos de la unidad. • Cuidado con la suma de radicales, siempre hay alumnos que los suman a su manera, es decir, mal, porque suman los radicandos. Prevenirles de este error común, que también ocurre frecuentemente al extraer sumandos de los radicandos, cuando se quieren sumar radicales. Hay que insistir mucho en el hecho de que la suma de radicales solo es posible si estos son semejantes o pueden transformarse en semejantes; en otros casos, la suma permanecerá indicada o se calculará una expresión decimal aproximada del resultado.
9. Racionalización • Para mostrar la utilidad de la racionalización de denominadores, se puede proponer alguna actividad como 3 6 + efectuar, sin calculadora, . 2 −1 3+ 2
10. Logaritmo de un número real • Se puede proponer la resolución de una ecuación del tipo 10x = 3 467 para que perciban la necesidad y utilidad de los logaritmos. • Insistir mucho y hacer numerosas actividades con la equivalencia loga N = b ⇔ ab = N .
7. Potencias de exponente fraccionario • Practicar con la calculadora el cálculo aproximado de raíces, para lo cual hay que calcular potencias. • Para comparar varios radicales reduciendo a índice común, a veces los radicandos que resultan son muy grandes y se tarda en hallarlos. Indicar que en estos casos es mejor ir comparando de dos en dos.
11. Propiedades de los logaritmos • El conocimiento de las propiedades de los logaritmos, junto con la propia definición, es el objetivo de estos epígrafes, ya que los alumnos lo van a necesitar en estudios posteriores. • Aunque los únicos logaritmos que tienen interés en el campo de las ciencias naturales son los decimales y los
neperianos, no está de más enseñar a calcular logaritmos en otra base utilizando el cambio de base, porque este procedimiento es útil en la resolución de ecuaciones en las que existen logaritmos con distintas bases. • A partir de la nota del “Sabías que…” se puede proponer que busquen la expresión que da el brillo de los objetos celestes y la analicen. A partir de aquí se puede analizar la magnitud de tales objetos haciendo una breve incursión en el campo de las observaciones astronómicas.
Sería enriquecedor interpretar las diferencias entre las ondas P y S, incluso proponiendo y realizando pequeños experimentos para mostrarlas en clase. 136. Se muestra otra aplicación de los logaritmos: la sonoridad. Los alumnos han oído hablar de decibelios, pero es probable que no sepan su significado. Puede ser útil interpretar las escalas de ruido que comúnmente se pueden ver en medios de comunicación o en internet. También analizar las curvas de sensibilidad del oído humano y ver su dependencia con la frecuencia del sonido, así como reflexionar sobre los umbrales de audición y de dolor.
Pon a prueba tus competencias CALCULA Y DESCUBRE. EL LOGARITMO DEL CHAMPÚ
• Es interesante comparar el interés simple y el compuesto, y estudiar las diferencias entre ambos.
El término pH es muy habitual en la publicidad de productos de limpieza e higiene. De hecho, es una información que aparece en el etiquetado de muchos de tales productos: geles, lejías, limpiadores…
69 a 72. Conviene utilizar estas actividades para conseguir que a los alumnos les queden claros los conceptos asociados al cálculo del interés.
Sin definir rigurosamente el pH, se puede intentar que los alumnos entiendan qué representa y las ventajas de utilizar logaritmos en su definición.
Hay que concienciarlos de lo importantes que son estos parámetros en la sociedad de hoy día, en la que las compras a crédito, los préstamos y los depósitos son realidades presentes en la inmensa mayoría de las economías domésticas.
Dado que muchos de los alumnos estarán cursando también la asignatura de Física y Química, sería aconsejable realizar algún tipo de experiencia en colaboración con el profesor correspondiente.
12. Interés compuesto
• Al tratarse de la referencia más extendida para los tipos de interés, es importante que los alumnos conozcan qué es y para qué se utiliza el Euribor.
Organiza tus ideas • Como una actividad que sirva para que trabajen el esquema-resumen, los alumnos pueden asignar las actividades realizadas en la unidad a los distintos contenidos presentados en el resumen. Sería suficiente con que encontraran dos o tres ejemplos de actividades para cada apartado. Así se les obliga a repasar el trabajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y procedimientos adquiridos.
Actividades 120 a 122. Se puede aplicar aquí lo ya comentado respecto de las actividades 69 a 72. 135. Esta actividad conecta de forma directa con la introducción de la unidad. En ella se trabaja explícitamente con la expresión matemática asociada a la escala de Richter.
ESTIMA Y COMPRENDE. ¿COMO CUÁNTO? Es básico conseguir que los alumnos entiendan los elevados costes que están asociados a las actuaciones de tipo gubernamental, ya sea en la construcción de infraestructuras esenciales como sanidad o transportes, en defensa, o en otro tipo de inversiones como educación. Se puede plantear que busquen los gastos previstos por los diferentes ministerios o consejerías autonómicas para después reflexionar si les parece razonable la distribución del gasto y qué tipo de cambios introducirían en el mismo. En cuanto a las cifras asociadas a los desastres naturales citados en la actividad 4, es importante que se den cuenta del enorme impacto tanto humano como material que pueden tener estas situaciones. APRENDE A PENSAR. PUBLICIDAD ENGAÑOSA El tomar conciencia de lo que significa la publicidad engañosa y el aprender a reconocerla es uno de los puntos básicos de la educación para el consumo. Debería ampliarse la actividad pidiendo a los alumnos que busquen posibles ejemplos de estas prácticas abusivas. Después se deberían exponer en clase para poder analizarlos y clasificarlos correctamente. Hay que estimular también a los alumnos para que expresen su opinión en el blog de “Aprender a pensar”, cuya dirección se proporciona.
En la página 16 presentamos una matriz de evaluación que el profesor puede utilizar para evaluar el grado de consecución de las competencias básicas trabajadas a lo largo de esta unidad. Además, en www.smconectados.com puede descargar una aplicación informática que le facilitará esta tarea.
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los estudiantes que comienzan 4.º de ESO han visto ya en cursos anteriores los conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales y reales, por lo que esta unidad no les extraña en principio. No obstante, nos vamos a encontrar con algunos estudiantes que tienen verdaderas dificultades para operar con fracciones, por lo que habrá que dedicar algún tiempo a recordarlas. El cálculo mental no hay que abandonarlo, a pesar de que la calculadora será una herramienta de gran ayuda. Así, es bueno dedicar algo de tiempo a recordar, o aprender, los cuadrados de los 20 primeros números naturales, las 10 primeras potencias de 2 y algunos cubos. Esto nos facilitará el cálculo de potencias, radicales y logaritmos. La calculadora científica es un material de gran ayuda y, en muchos casos, indispensable, por lo que es aconsejable dedicar algún tiempo a explicar su manejo. Aunque estas actividades de refuerzo están pensadas para atraer la atención de los estudiantes y que ellos vean la necesidad del conocimiento y manejo de los números reales en muchos aspectos de la vida ordinaria, conviene que además insistamos en estos puntos: • Determinar aproximaciones y redondeos hasta un orden preestablecido, y calcular o estimar el error que cometemos. • Efectuar operaciones con potencias y radicales, sin olvidar el cuadrado de un binomio. • Representar números reales, entornos e intervalos en la recta real. • Aprender la definición de logaritmo resulta clave para entender las propiedades y resolver la mayoría de los ejercicios sobre logaritmos.
ACTIVIDAD DE GRUPO Descomposición en cuadrados Se divide la clase en grupos de 3 o 4 alumnos. El juego consiste en descomponer un número como suma de varios cuadrados. Es aconsejable no utilizar números superiores a 1000 para que el juego no sea demasiado largo. Se pueden realizar competiciones distintas: en una gana el grupo que realice la descomposición utilizando el menor número de cuadrados; en otra, el que haga la descomposición en el menor tiempo… También se puede proponer a cada grupo un conjunto de números para que los descompongan. Resulta interesante que cada grupo busque aquellos números cuya descomposición requiere al menos cuatro cuadrados. En este ejercicio es curiosa la descomposición del 365 = 102 + 112 + 122 = 132 + 142.
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.
4. Φ = 1,618033989; Φ2 = 2,618033989 Φ −1 = 0,618033988 a) Tienen la misma parte decimal, la diferencia en la última cifra se debe al redondeo. ⎛ ⎞ ⎜1+ 5 ⎟⎟ 3 + 5 1+ 5 ⎟ = b) Φ = ⎜⎜ =1+ =1+ Φ ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠ 2
2. (1,497 ⋅ 10 ) : (3 ⋅ 10 ) = 499 s, que equivale a 8 minutos y 19 segundos. 11
Φ−1 =
a) 4 4 = 4 22 = 2 b) 2 + 2 = 2 2 = 22 ⋅2 = 23 = 8 3 + 3 + 3 = 3 3 = 32 ⋅ 3 = 33 =
= 3⋅ 3⋅ 3 d) 5 ⋅ 3 5 ⋅ 6 5 = 6 53 ⋅52 ⋅5 = 6 56 = 5
5 −1 1+ 5 = −1= Φ−1 2 2 b) 0 dB
6. a) A = 103 = 1000 b) B = 55 = 3125
d) D3 = 343 = 73 ⇒ D = 7 e) E = e2 = 7,39
1. Completa la tabla siguiente y escribe las mejores aproximaciones, hasta el orden indicado, por exceso y por defecto, y los redondeos del número 10π = 31,41592654… Decenas Exceso
1,497 · 1011 m
Velocidad de la luz 300 000 km/s
¿Cuánto tiempo tardará en llegarnos a la Tierra la luz del Sol? 3. Comprueba si son ciertas o no las igualdades siguientes. a)
3 + 3 + 3 = 3· 3· 3
5· 3 5· 6 5 = 5
4. El número de oro, también llamado número de Fibonacci o proporción áurea, es un número irracional que tiene la expresión Φ = 1+ 5 . Completa esta tabla utilizando la calculadora y contesta a las siguientes 2 preguntas. Aproximación con 9 cifras decimales Φ Φ2 Φ−1 a) ¿Tienen la misma parte decimal? Piensa que la calculadora siempre redondea, pero utiliza números aproximados, aunque el error sea muy pequeño. b) Completa la siguiente cadena de igualdades operando con radicales. 2
Φ −1=
1+ 5 −1= ... = Φ−1 2
5. Las ondas sonoras, como todas las ondas, transportan energía, y su intensidad depende de la potencia del aparato emisor y de la distancia que ha recorrido la onda. El oído humano solamente es capaz de detectar sonidos con una intensidad mínima, llamada intensidad umbral, de I0 = 10−12 W/m2. La percepción que tiene el oído humano de un sonido se llama “sonoridad”, se mide en decibelios (dB) y se obtiene por la ⎛ ⎞ relación β = 10⋅log ⎜⎜ I ⎟⎟⎟. Determina la sonoridad de los siguientes sonidos que llegan al oído de una persona ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ I0 ⎠ con las intensidades que se indican. a) I1 = 10−9 W/m2
b) I2 = 10−12 W/m2
c) I3 = 8,5 ⋅ 10−8 W/m2
6. Expresa las siguientes igualdades mediante potencias y determina el valor de la incógnita en cada caso. a) log A = 3
e) ln E = 2 Números reales
⎛ ⎞ 1+ 5 ⎜1+ 5 ⎟⎟ Φ2 = ⎜⎜ = ... =1+ Φ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ 4 ⎝ ⎠
Unidad 1 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS
Una vez que los alumnos conocen perfectamente los números reales, sus operaciones, sus propiedades y su representación, es útil motivarles proponiéndoles problemas de estrategia. Serán ellos los que deberán encontrar un camino para que, con los conocimientos que poseen, puedan llegar a la solución buscada. Hay que tener en cuenta que no se puede considerar un fracaso el encontrar un camino o método que no sea satisfactorio, ya que el propio fracaso en el intento es un buen método de aprendizaje. Es bueno que aquellos que hayan resuelto satisfactoriamente un problema expliquen a la clase cómo se les ocurrió esa idea, por qué eligieron ese procedimiento, e incluso si vieron otros métodos o rechazaron otros procesos, por qué lo hicieron; por eso conviene no aportar ninguna ayuda hasta que, una vez transcurrido cierto tiempo, creamos que es necesaria, porque lo realmente importante no es que los alumnos entiendan los problemas, sino que se les ocurra cómo resolverlos.
ACTIVIDAD DE GRUPO Imaginando la historia En pequeños grupos, imaginar situaciones a lo largo de la historia que hayan determinado la ampliación del conjunto de los números naturales y exponerlas al resto de sus compañeros. Se les puede dar diversos ejemplos que les sirvan de indicaciones. Un mercader vio aumentar su fortuna hasta que tras una época de calamidades tuvo que empezar a cuantificar sus pérdidas. Al principio debía 5 monedas; luego, 47… ¿Qué conjunto numérico utilizó? Una princesa que tenía un aposento de 6 metros de ancho por 6 metros de largo decidió que no era suficiente para ella y que quería otro que fuera también cuadrado con un área que fuera justo el doble. ¿Cuánto debería medir de ancho y de largo la nueva estancia de la princesa? ¿Qué conjunto numérico usó para construirla?
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. 0,521 739 130 434 782 608 695 6… Hay 22 restos distintos de cero, luego hay 22 cifras. Como 2000 = 22 ⋅ 90 + 20, será la cifra 20 del período, es decir, 9. 2. Como 0 < 1 + x < 0,5, y si 0 < k < 1 ⇒ 0 < k2 < k < 1. 1 −1 a→ 2 b→ c→ x d →−(x +1) x x 3 1 e → 1+ x f → x2 g →−x h→ x +1
4. a) x ≥ 5 ⇔ [5, +∞)
b) x ≤12 ⇔ (−∞, 12]
c) ∀x ∈R ⇔ (−∞, +∞)
d) −2 ≤ x ≤ 2⇔[−2, 2]
20 + 20 + 20 + ... = A ⇒ A2 = 20 + A ⇒ A = 5
6. 8111 = 2333, 1685 = 2340, 32120 = 2600, 4 < 7 < 8, luego 4300 = 2600 < 7300 < 8300 = 2900; análogamente, 25150 = 5300 verifica que 2600 < 25150 < 2900, y 7300 = 49150 > 25150 nos permite ordenar C < D < F < E < B < A. 2900 = 10900log2 = 10270 · 100,927 = 8,45 · 10270 7300 = 3,38 ⋅ 10253
8111 = 1,75 ⋅ 10100
1685 = 3,01 ⋅ 10175
25150 = 4,91 ⋅ 10209
32120 = 4,15 ⋅ 10180 7. a) log 20 = log 2 + log 10 = 1,301030
b) log 16 = log 24 = 4log 2 = 1,20412 1 c) log 0,125 = log = log 1 − log 23 = − 3log 2 = 8 = −0,90309 ⎛ 2 ⎞⎟ −13 ⎛ 3 ⎞⎟ ⎜⎜ 2 3 ⎟⎟ ⎜⎜ 4 ⎟ ⎟⎟ = log ⎜⎜ 5 ⎟⎟ = log 2 3 = −1,30446 d) log ⎜ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 32 ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎟⎠
12 , parece que no es periódica, pero 23 sí lo es. Calcula el número de cifras del período y determina la cifra que ocupa el lugar número 2000 después de la coma.
1. Si hallamos con la calculadora la expresión decimal de la fracción
2. Se sabe que x es un número real que verifica −1 < x < −0,5. Indica razonadamente a cuáles de los siguientes números reales representa cada letra. 1 1 −1 −(x + 1) (1 + x)3 x −x x2 x x +1 x2 a
3. Escribe los siguientes números como suma de no más de cuatro cuadrados perfectos y utiliza esta descomposición y el teorema de Pitágoras para representar los dos primeros. a) 41
4. Expresa mediante intervalos y representa en la recta real los valores de x para los que se pueden calcular las siguientes raíces. b) 24 −2 x
a) x−5
d) 4 4 −x 2
c) 3 3 x−9
5. Calcula el valor de la expresión 20 + 20 + 20 + 20 + ... considerando que este proceso se repite indefinidamente. 6. Los números de las tarjetas son tan grandes que no se pueden hallar con la calculadora. No obstante, utiliza las propiedades de las potencias para poder ordenarlos de mayor a menor.
Si se utiliza la calculadora hábilmente con los logaritmos y antilogaritmos, se puede hallar una expresión aproximada de cada uno de ellos en notación científica. Utiliza el siguiente esquema para expresarlos en notación científica. Tomo logaritmos decimales.
Aplico propiedades de los logaritmos.
n ⋅ log A Tomo antilogaritmos.
Y tenemos el resultado buscado.
10 ⋅ 10 p
Llamo p a la parte entera de n · logA y q = n · logA − p.
10 n ⋅ log A
7. Tomando como aproximación de log 2 = 0,301030 y utilizando las propiedades de los logaritmos, deduce el valor aproximado de los siguientes logaritmos. ⎛ 3 ⎞⎟ ⎜ 4 a) log 20 b) log 16 c) log (0,125) d) log ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ 32 ⎟⎟ ⎝ ⎠
A = 10 ⋅10 n
1. Sin efectuar la división, determina si la expresión decimal de las siguientes fracciones es periódica o exacta. 7 5 25 18 a) b) c) d) 8 3 12 75 22 2. Si tomamos como valor aproximado el número π = , determina con cuatro cifras significativas los 7 errores absoluto y relativo. 3. Representa en la recta real los siguientes conjuntos numéricos. a) |x − 5| ≤ 3
b) E(−4, 1)
4. Realiza las siguientes operaciones expresando el resultado como una única potencia. −3
a) 5 ⋅ 5 3
⎛ 1⎞ ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
5. Realiza las siguientes operaciones expresando el resultado en notación científica. a) 5,535 ⋅ 1016 : 1,25 ⋅ 1017
b) 4,527 ⋅ 1018 ⋅ 5,27 ⋅ 1015
6. Expresa con un único radical y transforma en una potencia los siguientes números. a)
( 7) 3
7. Expresa como radicales semejantes y efectúa las sumas. a) 2 27 + 5 12 −15 3
3 3 3 b) 5 54 −10 2 − 2 16
8. Escribe el valor de los siguientes logaritmos justificando la respuesta. a) log7 49
9. Utiliza la calculadora para hallar los logaritmos siguientes. a) log5 38,2
10. Convierte las expresiones algebraicas en logarítmicas y las logarítmicas en algebraicas.
3ln a +ln b a) ln A = 2
⎛ k2 ⎞ b) B =⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝10 ⎟⎠
SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a)
7 7 = ; exacta 8 23
25 25 = ; periódica mixta 12 22 ⋅ 3
5 ; periódica pura 3
18 6 6 = = ; exacta 75 25 52
22 = 31429 , y π = 3,1416. 7 Absoluto: 3,1429 − 3,1416 = 0,0013. Relativo:
0,0013 = 0,0004. 3,1416
3. a) x−5 ≤ 3 que se descompone en −3 ≤ x − 5 y x − 5 ≤ 3. De la primera 2 ≤ x y de la segunda x ≤ 8, luego E(5, 3) ⇔ [2, 8] b) E(−4, 1) luego tenemos ((−4) − 1, (−4) + 1) = (−5, −3) b) 23 − (−5) − (−3) = 211
5. a) 4,428 ⋅ 10−1
b) 23,85729 ⋅ 1033 = 2,385729 ⋅ 1034
b) 5 33 ⋅2 −10 2 −2 24 = 5⋅ 3 2 −10 2 −2⋅2 3
8. a) 2, porque 72 = 49 b) 3, porque 103 = 1000
log 38,2 = 2,26... log 5
( ) 2 = (15−10− 4)
7. a) 2 33 + 5 3⋅22 −15 3 = 2⋅ 3 3 + 5⋅2 3 −15 3 = 6+10−15 3
4. a) 53 + (−2) − (−3) = 54
3= 3 3
2= 2 3
c) 4, porque 54 = 625 1 d) −5, porque 2−5 = 32 b)
log (13,26...) = 3,72... log 2
10. a) 2ln A = 3ln a +ln b → ln A2 = ln a3 +ln b = ln (a3b) → A2 = a3b → A = a3b ⎛ k2 ⎞ b) log B = log⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 3 log k2 −log 10 = 6log k −3 ⎜⎝ 10 ⎟⎠ 3
Matemática Resolución de problemas
– Usa las matemáticas para comprender y resolver problemas de interés compuesto. Actividades 69 a 72 y 120 a 122
– Aplica logaritmos para estudiar y comprender fenómenos naturales. Desarrolla tus competencias, I Actividades 135, 136. Calcula y descubre
– Sabe en qué consiste un terremoto, los dispositivos técnicos existentes para su control y los modelos para estudiarlos. Desarrolla tus competencias. Actividad 135 – Conoce el concepto de pH y su utilidad para caracterizar la acidez o basicidad. Calcula y descubre – Conoce características cuantitativas de la naturaleza. Sabías que… (epígrafes 5 y 11)
Social y ciudadana Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos
– Interpretar situaciones que tengan que ver con los conceptos de interés y de descuento. Aprende a pensar Actividades 69 a 72 y 120 a 122 – Conoce el Euribor y su papel en la economía. Sabías que… (epígrafe 12)
Social y ciudadana Compromiso democrático y solidario con la realidad personal y social
– Reflexiona sobre el coste económico de diferentes actuaciones de la sociedad y los gobiernos. Estima y comprende
Cultural y artística Sensibilidad artística
– Visita la página librosvivos.net. Actividades 25, 44 y 67. Recursos. Paso a paso. Organiza tus ideas. Autoevaluación – Obtiene información o hace actividades en internet. En la red. Desarrolla tus competencias, II y III Calcula y descubre, 4 y 6
Matemática Uso de elementos y herramientas matemáticos
Interacción con el mundo físico Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico
Interacción con el mundo físico Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable Social y ciudadana Desarrollo personal y social
Tratamiento de la información y competencia digital Obtención, transformación y comunicación de la información
CON NO TOTALMENTE DIFICULTAD (2 puntos) (3 puntos)
COMPETENCIA Y SUBCOMPETENCIA
Report "matematicas sm"
Share & Embed "matematicas sm"

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución