Source: https://es.scribd.com/doc/21949788/Guia-de-Trabajo-2-Expresiones-Algebraic-As-y-Ecuaciones
Timestamp: 2018-03-24 00:44:16+00:00

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TEMAS DE TRABAJO TUTORIA No 2 2 ALGEBRA.
2.1 Lenguaje algebraico. Expresiones algebraicas. Monomios. Suma. Resta, multiplicación y división de monomios. 2.2 Ecuaciones 2.3 Resolución ecuaciones 1º grado 2.4 Resolución de problemas con ecuaciones de 1º grado. 2.5 Sistemas de ecuaciones 2.6 Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones de 1º grado. TUTORIA No 2 2.1.1 Expresión algebraica
Es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Ejemplo 2.1.1 6x+ 3y = 5x + 7
Ejemplo 2.1.2. (Expresión algebraica) Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular.
Solución: Si suponemos que mide x metros de largo e y metros de ancho, tenemos que: Perímetro = 2x + 2 y Área = x. y
Actividad 2.1: Asigna cada expresión algebraica con su enunciado.
Tutora: JEAMMY JULIETH SIERRA HERNÁNDEZ Profesional en Matemáticas con Énfasis en Estadística E-mail: Jeammy.sierra@gmail.com
Ubica cada expresión en la casilla que le corresponde
Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos). Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ejemplo: 3x2 Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ejemplo: 2x2 + 3xy Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio. Ejemplo: 5x2 + 4y5 – 6x2y. Dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual ( ) se llaman ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes. En un polinomio tendremos en cuenta lo siguiente:
Grado dos Parte Literal
Ejemplo de polinomio este tiene 3 términos
El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el término de mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado. Para polinomios de dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término; el grado del polinomio será el monomio de mayor grado. Por ejemplo, el polinomio x2y2 + 3x3 + 4y, tiene un grado 4, el mismo grado que el término x2y2. Sí, está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado. Sí, está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0. ¿Cuál es su grado? El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos. Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor numérico.
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.
Ejemplo 2.1.2. (Valor numérico de una expresión algebraica) a) Halla el valor numérico del perímetro y del área de un terreno rectangular cuyos lados miden 50 y 30 m, respectivamente. b) Halla el valor numérico del polinomio Solución: a) Según vimos en el ejemplo anterior: Si x es el largo e y el ancho, en metros, tenemos que: para
Perímetro = 2 x + 2 y = 2.(50) + 2.(30) =100 + 60 =160 m Area = x.y = 50.(30) =1500 mts
b) El valor numérico del polinomio es: 3.(25) + 2.(2) = 3(32) + 4 = 96 + 4 =100
Actividad 2.1.2: Calcula el valor numérico de cada expresión para x = -1
Suma y resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado.
Ejemplo 2.1.4. 2x3 + 5x3 – 6x3.Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. 2x3 + 5x3 – 6x3 = x3.
Suma y resta de polinomios: Puede realizarse sumando o restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en vertical y en horizontal o en fila. Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios:
Ejemplo 2.1.4 P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15 y Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x •
En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes: P(x) = –5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15 5x3 + 9x2 – 6x –
________________________________ –5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22 •
En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes: P(x) + Q(x) = (–5x4 + 0x3 + 7x2 + 3x – 15) + (5x3 + 9x2 – 6x – 7) = –5x4 + 5x3 + 16x2 – 3x – 22
1. Realiza las siguientes operaciones: a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) = b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) = d)
2 1 4 7 3  1 2 2   2 2 3 2  x − x + 31x + 12 + x  +  − x + 2 x + 3 x  −  − x + + x  = 6 3 4  6 3   3 
e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) = f) (xy2 –3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) =
2. Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 – x5 + 3x2, calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) – R(x) c) P(x) – Q(x) d) R(x) + P(x) – Q(x) e) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)
1. Realiza las siguientes operaciones: a) (8x2 – 2x + 1) – (3x2 + 5x – 8) = 8x2 – 2x + 1 – 3x2 – 5x + 8 = 5x2 – 7x + 9 b) (2x3 – 3x2 + 5x – 1) – (x2 + 1 – 3x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 1 – x2 – 1 + 3x = = 2x3 – 4x2 + 8x – 2 c) (7x4 – 5x5 + 4x2 –7) + (x3 – 3x2 – 5 + x) – (–3x4 + 5 – 8x + 2x3) = = 7x4 – 5x5 + 4x2 –7 + x3 – 3x2 – 5 + x + 3x4 – 5 + 8x – 2x3 = = – 5x5 + 10x4 – x3 + x2 + 9x – 17
2 1 4 7 3  1 2 2   2 2 3 2  x − x + 31x + 12 + x  +  − x + 2 x + 3 x  −  − x + + x  = 6 3 4  6 3   3  = 1 4 7 3 1 2 2 2 x − x + 31x 2 + 12 + x + − x 2 + 2 x 3 + 3 x + x − − x 2 = 4 6 6 3 3 3 1 4 5 3 88 2 14 69 x + x + x + x+ 4 6 3 3 6
e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =
= –5z + 2y – 2z + 5y + 7x +1 + –3z – 4y – 9x + 4y – 8x + 5 = –10z + 7y – 10x +6
f) (xy2 – 3x2 – y2 + x2y) – (x2y + 5x2) + (3xy2 – y2 – 5x2) = = xy2 – 3x2 – y2 + x2y – x2y – 5x2 + 3xy2 – y2 – 5x2 = 4xy2 – 13x2 – 2y2
2. Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q(x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 –x5 + 3x2, calcula: a) P(x) + Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) + (–2x2 + 2 + 3x5) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 = 3x5 – 7x4 + 4x2 + 6x + 7 b) P(x) – Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 = –3x5 – 7x4 + 8x2 + 6x + 3 c) P(x) + Q(x) + R(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) + (–2x2 + 2 + 3x5) + (x3 –x5 + 3x2) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – 2x2 + 2 + 3x5 + x3 –x5 + 3x2 = 2x5 –7x4+ x3 + 7x2 + 6x + 7 d) P(x) – Q(x) – R(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) – (x3 –x5 + 3x2) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 – x3 +x5 – 3x2 = –2x5 –7x4 – x3 + 5x2 + 6x + 3 e) R(x) + P(x) – Q(x) = (x3 –x5 + 3x2) + (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (–2x2 + 2 + 3x5) = = x3 –x5 + 3x2 – 7x4 + 6x2 + 6x + 5 + 2x2 – 2 – 3x5 = –4x5 – 7x4 + x3 + 11x2 + 6x + 3 f) P(x) – R(x) + Q(x) = (–7x4 + 6x2 + 6x + 5) – (x3 –x5 + 3x2) + (–2x2 + 2 + 3x5) = = –7x4 + 6x2 + 6x + 5 – x3 +x5 – 3x2 – 2x2 + 2 + 3x5 = 3x5 – 7x4 – x3 + 6x + 7 2.1.5 Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ejemplo: 3xy.(4x2y3) = 12x3y4
2.1.6 División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ejemplo 2.1.6 4x5y3 ÷ 2x2y = 2x3y2
Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales. Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.
Ejemplo 2.1.7
P(x)= 2x5+3x4–2x3-x2+2x P(x).Q(x)= 4x8+6x7–4x6–2x5+4x4
Q(x)= 2x3
División de polinomios y
un monomio: Ordenamos y completamos los
polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.
División de dos polinomios: Haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.
Ejemplo 2.1.9 1. (4x3 + 2x2 + 4x + 3) ÷ (x2 - x - 1). Tomamos el término de mayor grado del dividendo y lo dividimos entre el término de mayor grado del divisor, obteniendo el primer término del cociente.
Primer paso en una división de polinomios
Este término lo multiplicamos por el divisor y el resultado lo restamos al dividendo.
Segundo paso en una división de polinomios Ahora el término de mayor grado en el dividendo es 6x2; repetimos el proceso anterior, obteniendo el segundo término del cociente.
Ultima operación en una división de polinomios Como 14x es de menor grado que x2, la división no puede continuar. El polinomio cociente y el polinomio resto son:
C(x) = 4x + 6
R(x) = 14x + 9 2. (8x3 - 4x2 + 2x + 7) ÷ (2x2 + x - 1).
Los polinomios resultantes de la división son: Dividendo → D(x) = 8x3 - 4x2 + 2x + 7 Resto → R(x) = 10x + 3 Cociente → C(x) = 4x - 4 Divisor → d(x) = 2x2 + x – 1 Comprobamos el resultado: C(x) · d(x) + R(x) = (4x - 4 ) · (2x2 + x - 1) + (10x + 3)= (8x3 - 4x2 - 8x + 4) + (10x + 3) = 8x3 - 4x2 + 2x + 7 = D(x)
2.2 Ecuaciones Los métodos para resolver ecuaciones datan de los tiempos de los babilonios (2000 a.C.).
Una ecuación es
denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por el signo =, una en el lado izquierdo (LI), y otra en el lado derecho (LD).
Es una expresión de igualdad con una variable, la x. La solución, o raíz, de la ecuación es un número a que produce una expresión cierta al sustituirlo por la x, es decir a satisface la ecuación. En el ejemplo x= 5 es la solución o raiz.
Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación. Una ecuación algebraica en x contiene sólo expresiones algebraicas como
polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.
Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se denomina identidad, p.ej. x2+2x+1 = (x+1)2. Si hay números que no sean solución, la expresión se llama simplemente ecuación, p.ej. 5x-10 = 2x+8.
La ecuación más básica en álgebra es la ecuación lineal, ax + b = 0, ∀a ≠ 0 Generalmente, para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una ecuación cuya solución podemos hallar con facilidad.
2.3 Criterios de equivalencia de ecuaciones 1. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
x + 3 = −2 x + 3 − 3 = −2 − 3 x = −5
2. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada.
5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x+2=3 x + 2 −2= 3 −2 x=1 MÉTODO : - Eliminamos paréntesis - Eliminamos denominadores - Agrupamos términos semejantes - Despejamos la variable - Comprobamos la solución
Si hay, eliminamos todos los niveles de paréntesis que aparezcan, comenzando por el más interno, resolviendo las operaciones indicadas.
Si hay, eliminamos todos los denominadores, multiplicando por el m.c.m.(de los denominadores) ambos lados de la ecuación.
Agrupamos las expresiones con la variable en un lado (generalmente el izquierdo) y las expresiones numéricas en el otro lado.
Despejamos la variable, obteniendo así la solución.
Ejemplos 1) 2 x − 3 = 6 + x Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos: 2 x − x = 6 + 3
2) 2 ( 2 x − 3) = 6 + x Quitamos paréntesis:
Agrupamos términos y sumamos: Despejamos la incógnita: x = 3
3) Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.
Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
4) Quitamos paréntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:
5) Quitamos corchete:
Dividimos los dos miembros por: −9 x =3
SOLU CIÓN DE ECUACI ONES
Sistema de ecuaciones. Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones. Los métodos de eliminación son: 1º. Por adición o sustracción. 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución. 1º. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método adición o sustracción: 1. 2. 3. 4. 5. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. Se resuelve la ecuación resultante. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso. 1.
Sustituimos el valor de “y” en la segunda ecuación inicial.
TEMA: ECUACIONES 2º. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación 1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
3º. Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
TEMA: ECUACIONES RESUMEN
1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. 2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. 3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. 4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. 5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
Método de sustitución 1.- Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2.- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3.- Se resuelve la ecuación. 4.- E l valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despeja da. 5.- Los dos va lores obtenidos constituyen la solución del sistema. Método de igualac ión 1.- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2.- Se igua lan incógnita. las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una
3.- Se resuelve la ecuación. 4.- E l va lor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Método de reducción 1.- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2.- La restamos, y desa parece una de las incógnitas. 3.- Se resuelve la ecuación resultante. 4.- E l va lor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Ejercicios y problemas resueltos
Por igu alación:
TEMA: ECUACIONES 5. Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno? x y dinero de Antonio. dinero de Pedro.
(Por sustitución) Sustituimos a x= 2y en la segunda ecuación.
dinero de Antonio. dinero de Pedro.
6. En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa? x y número de hombres. número de mujeres.
hombres con gafas.
número de hombres. número de mujeres.
TEMA: ECUACIONES 7. La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número? x cifra de las unidades y cifra de las decenas 10x + y número número invertido 10y + x y = 2x (10y + x) − 27 = 10x + y 10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x 20x + x − 12x = 27 x=3 Número 63
TALLER (GRUPOS)
ELIMINACION POR ADICIÓN O SUSTRACCION 1. 2x + 5y = 51 3. 9x + 7y = 16 5. 3x + 8y = 38 7. 5x + 2y = 32 9. 4x - 7y = 20 5 x+ 2y = 54 3x – 2y = 1 7x - 2y = 6 3x + y = 18 7x - 4y = 68 2. 6x + 5y = 33 4. 9x + 2y = 24 6. 5x - 3y = 20 8. 4x + 3y = 18 10. 2x + 7y = 34 7x + 2 y = 74 3x - 4y = 1 7x + 3y = 23 3x - 2y = 5 7x - 2 y = 15 ELIMINACION POR SUSTITUCIÓN 11. x + 7y = 26 2x+ 3y = 19 12. x - 3y = -1 3x +2 y = 19 13. 1x + 4y= 35 3x – 2y= 7 14. 1x - 4y = 1 5x + 2y= 49 15. 1x + 5 =25 7x +3 = 47 16. 1x - 2y= 2 6x + 5y= 80 17. 2x + 17y = 61 19. 0.8x + 0.3y = 11.3 8x - y = 37 2x + 3.5y = 14.5 20. 5x + 7y = 125 18. 4.5x - 7y = 7 = 13 5.5x + 6y = 59.5 7x -y
RESOLVER LOS SISTEMAS DE ECUACIONES POR IGUALACIÓN
Desarrollar los problemas planteados en la autoevaluación de la unida del texto guía, El arte de las matemáticas, páginas 51 – 53.
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