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Timestamp: 2019-10-15 19:34:58+00:00

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Probabilidades y Combinatoria | Probabilidad | Teoría de la probabilidad
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PROBABILIDADES EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO
PREUNIVERSITARIO EN PDF
¿Cuál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado? EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba. EJEMPLOS ε1 : Se lanza una moneda dos veces y se observa los resultados posibles ε2 : Se lanza un dado y se observa el número que resulta ESPACIO MUESTRAL (). Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Para los ejemplos antes mencionados:
1 = (c,c); (c,s); (s,c); (s,s) 2 = (1;2;3;4;5;6) EVENTOS O SUCESOS:
Un evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota generalmente por letras mayúsculas del alfabeto (A; B; ….).
Del ejemplo 1 antes mencionado, sea el evento A = en los 2 lanzamientos sale un cara, por lo menos
OPERACIONES ENTRE SUCESOS:
Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos.
Operación Se lee:
A  B: Ocurre A, ocurre B o ambas Ocurre al menos uno de ellos. A  B: Ocurre A y ocurre B; Ocurre ambas a la vez A – B: Ocurre solamente A; Ocurre A pero no B AC : No ocurre el suceso A.
CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS
En una aula de Pre UNI , se tiene los siguientes sucesos:
A: Un grupo de alumnos tienen de 15 a 17 años B: Un grupo de alumnos tienen más de 17 años pero no más de 19 años C: Un grupo de alumnos son mayores de 19 años.  Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos.
* SUCESOS COMPATIBLES Aquellos que pueden presentarse simultáneamente. Ejemplo:
* SUCESOS INDEPENDIENTES:
Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultánea o sucesivamente B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo:
Se lanza un dado 2 veces D: Sale 3 en el primer lanzamiento E: Sale 3 en el segundo lanzamiento.
* SUCESOS DEPENDIENTES Cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro.
* DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD. (Definición Clásica). Si A es un suceso de un espacio muestral , entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota P (A) y está dado por la relación:
Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número primo.
En forma general para “n” dados se cumple que Nº casos totales = 6n
6² = 36 casos en total Los eventos más frecuentes, son aquellos que involucran a la SUMA de los números que aparecen en sus caras superiores.
Dado 2 Dado 1  1 2 3 4 5 6
* SUMA MAS PROBABLE que salga es el 7 y su probabilidad es de 6/36. * SUMAS MENOS PROBABLES son el 2 y el 12 y su respectiva probabilidad es de 1/36, para cada uno.
Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nº de casos 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Proba-bilidad 1 36 2
– palo de 13 cartas de corazones() – palo e 13 cartas de diamantes (•) – palo de 13 cartas de Tréboles () – palo de 13 cartas de Espadas ()
Una moneda tiene una CARA y un SELLO, es decir, cada moneda tiene dos casos totales. En general, para “n” monedas, se cumple que:
Nº de casos totales = 2n Deducción sencilla: en cada MONEDA, se cumple que:
Probabilidad para obtener CARA = ½ Probabilidad para obtener SELLO = ½
AXIOMAS DE PROBABILIDADES 1. Si A es un suceso definido en el espacio muestral () entonces:
O < P(A) < 1 ; O% < P(A) < 100% 2. Al espacio muestral () le corresponde P() = I * La probabilidad será 1 cuando el suceso sea seguro. * La probabilidad será cero cuando el suceso sea imposible TEOREMA DE LA ADICIÓN: Si A y B son sucesos no excluyentes definidos en un espacio muestral, entonces:
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes A  B = ; P (A  B) = 0 P(A  B) = P(A) + P (B) TEOREMA DE LA MULTIPLICACION Sean A y B dos sucesos incluidos en el espacio muestral , entonces: – Si A y B son sucesos no independientes P(A  B) = P(A) x P(B/A) Ejm. 4: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea blanca y la segunda azul. Solución P(b a) = P(b) x P(a/b) = – Si A y B son independientes P(A  B) = P(A) x P(B) Ejm. 5: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente, con reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea azul y la segunda blanca. Solución: P(a y b) = P(a) x P(b) = EXTRACCIÓN SIMPLE Para naipes, bolas y otras, cuando se quiere extraer de una en una, la probabilidad se determina por un simple cociente de los casos favorables respecto a los casos totales. Ejm. 6: De una caja que contiene
5 bolas rojas y 3 negras, se extrae uno de ellos al azar. Determinar la probabilidad que sea negra. Solución n () = 8 n (N) = 3 => P(N) = 3/8
EXTRACCIÓN MÚLTIPLE Cuando se extraen DOS o más objetos, se puede hallar la Probabilidad por dos métodos.
MÉTODO DE LA FRACCIÓN
Hacer el PRODUCTO de tantas fracciones como EXTRACCIONES
se hayan realizado. Nº de Fracciones = Nº de Extracciones
En un mazo de 52 cartas existen 4 cartas “J”, 4 cartas “Q” y 4 cartas “K”, entonces tendremos 12 cartas favorables que se van a extraer de una en una. La probabilidad de la primera será:
La probabilidad de la segunda será: , ya que hay una figura menos. La probabilidad de la tercera será La probabilidad respuesta será el producto:
MÉTODO DE LAS COMBINACIONES
Cuando se extraen varios objetos, se cumple que la
“Probabilidad de la Extracción Múltiple equivale a un COCIENTE de COMBINACIONES”. Se debe aplicar una COMBINACIÓN, tanto a los CASOS FAVORABLES como a los CASOS TOTALES.
K = Número de casos favorables que se extraen al azar de “r”
en “r” (r>1) M = Número de casos totales, que se extraen al azar de “r” en “r”.
La probabilidad será de =
En total son: 10+4+2 = 16 objetos en total Por el método de las fracciones, será:
1. Determina la probabilidad de realizar el siguiente suceso:
“Obtener cara por lo menos 2 veces al lanzar al aire 3 veces
una moneda” Solución:
LANZAMIENTO DE LA MONEDA 1 vez 2 veces 3 veces
SS CCC
P(por lo menos 2 caras) =
2. En una caja hay 5 bolas rojas y 3 negras. Sin mirar se saca una bola y no se devuelve a la caja, luego se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas que se sacaron sean rojas?
P(R y R) = P(R) + P(R) =
3. Se escogen al azar 4 naranjas entre 10 naranjas que habían en una caja, de las cuales 6 estaban malogradas, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 exactamente sean malogrados?
Total de naranjas: 10 6 malogrados 4 sanos
a) Si se extraen 4 naranjas del total de naranjas (10), entonces
el número de maneras se obtendrá:
b) Si se extraen 4 naranjas, donde dos naranjas deben ser
malogradas entonces los otros dos serán sanas.
Un profesor de aula ha seleccionado a 10 niños y 4 niñas
para recitar 3 poesías para actuación central del aniversario del plante. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros sean niños y la última sea niña? Solución:
4 niños Determinando las probabilidades tenemos:
5. Nueve personas se sientan al azar en una mesa redonda.
¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas queden contiguas? Solución:
3 x 2 x 1 = 6 formas Las 6 personas restantes se podrán ubicar de:
6! formas Finalmente la probabilidad (P(A)) de que las tres personas queden contiguas es:
Se tiene una baraja de 52 cartas y de ellas se extrae una.
Hallar la probabilidad de que la carta extraída:
a. Sea una reina de “oros”
b. Sea un As
c. Sea de figura negra
d. Represente su valor con un número
2. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 veces una moneda
a. 2 caras y un sello
b. Por lo menos 2 veces cara
c. Caras únicamente
d. A lo sumo 2 veces sello
e. 2 caras no aparezcan consecutivamente
f. Todos los resultados no sean iguales
g. No se obtengan 3 sellos
3. Se va a seleccionar un comité de 5 hombres, a partir de un
grupo de 8 norteamericanos, 5 ingleses y 3 franceses. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté compuesto por 2 norteamericanos, 2 ingleses y 1 francés?
Rpta.: …… ..
4. Se lanza un par de dados. Si la suma es 6, ¿Hallar la
probabilidad de que uno de los dados sea dos ?.
5. Una caja contiene 4 bolas rojas, 3 bolas blancas y 2 bolas
azules. Si se extraen 3 bolas al azar, determinar la
a. Las 3 bolas sean rojas
b. 2 sean rojas y 1 sea blanca
c. Las 3 bolas sean blancas
d. Salga una de cada color
6. Se lanza una moneda cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad
de que salgan todos iguales? Rpta.: …… ..
7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma 7 u 11 en el
lanzamiento de dos dados?
8. De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes.
Determinar las probabilidades siguientes:
a. Que todos sean ases.
b. Que todos sean tréboles
c. Que todos sean del mismo palo
Rpta.: …… .. PROBABILIDADES
1. Se lanzan un par de dados. Halle la probabilidad de obtener
una suma múltiplo de 3.
RESOLUCIÓN =3 ó 6 ó 9 ó 12 = 2 + 5 + 4 + 1
2. Se lanzan tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que los
resultados de cada dado sea impar?
3. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra bolsa
contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probabilidad de que ambas sean blancas.
RESOLUCIÓN 4 B y 2 N 3 B y 5 N
4. Se lanza un dado y dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener un número primo en el dado y dos sellos en las
5. Se le pide a un niño que sombree un cuadrado en la
siguiente figura. ¿Cuál es la probabilidad que este sea de 2 cm. de lado?
A) 2/9 B) 2/7 C) 4/7
D) 5/9 E) 5/14
6. Se lanza una moneda 5 veces, cuál es la probabilidad de
obtener 3 caras y 2 sellos?
7. Se lanzan 4 monedas y dos dados. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener 3 caras en las monedas y una suma igual a 10 en
los dados?
RESOLUCIÓN A: 3 caras B =  = 10
8. Se lanzan 4 monedas en forma simultánea. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un sello y 3 caras?
9. Desde un avión se suelta un proyectil dirigido hacia un
blanco (región circular de radio 40 m). ¿Cuál es la probabilidad que el proyectil dé en el blanco, si está sobre una región circular de radio 20 m?
RESOLUCIÓN RPTA.: E
Diez libros, de los cuales 6 son de física y 4 de química, se
colocan al azar en un estante. Determinar la probabilidad de
que los libros de física queden juntos.
RESOLUCIÓN RPTA.: B
11. En una caja se tiene 90 fichas numeradas del 1 al 90.
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una ficha esta sea
múltiplo de 3 o 7?
12. Dos sementales se distribuyen al azar en 3 corrales
denominados A, B y C, pudiendo estar ambos en un mismo corral. ¿Cuál es la probabilidad de que el corral A quede vacío?
13. Se pide a Diana que escriba un número de 3 cifras. ¿Cuál
es la probabilidad de que sea múltiplo de 5?
Ocho parejas de enamorados se encuentran en una
reunión y se escogen dos personas al azar. ¿Cuál es la
probabilidad que una se hombre y la otra mujer?
15. Diez personas participan en una competencia de 400
metros planos; si tres participantes son de una misma nacionalidad, ¿cuál es la probabilidad de que ocupen los tres
16. En una banca se van ubicar 4 hombres y 4 mujeres. ¿Cuál
es la probabilidad de que se sienten en forma alternada?
17. Cinco personas se van a sentar en fila y al azar; si entre
ellas están Maria y Diana, cuál es la probabilidad que María se siente a la derecha de Diana?
Walter desea viajar a Cuzco, pero solo puede hacerlo por
avión o por ómnibus. Si la probabilidad de viajar en avión es el
cuádruple de viajar en ómnibus y además la probabilidad de no viajar es de 0,75. ¿Cuál es la probabilidad de viajar en ómnibus?
RESOLUCIÓN  P(no viajar) = 0,75
19. Una familia con tres hijos salen al campo. Una vez allí
prenden una fogata y se sientan alrededor, ¿Cuál es la probabilidad de que los padres se sienten juntos?
20. Maria da en el blanco 4 veces en 5 tiros, Diana 3 veces en
4 tiros y Elena da 2 veces en 3 tiros. Si las tres disparan en forma simultanea, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres acierten en el blanco?
RESOLUCIÓN RPTA.: A
21. Se arroja una moneda 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad
que se obtengan 4 caras y 2 sellos?
RESOLUCIÓN P() = P() = RPTA.: C
22. Una ficha cuyas caras están marcadas con los números 3 y
4 es lanzado tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la
suma sea igual a 11?
23. En una carpeta se van ubicar 4 hombres y tres mujeres al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 mujeres se ubiquen
24. Un lote de 12 focos de luz tiene 4 defectuosos. Se toman
tres al azar del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad de que los tres estén buenos.
25. Se compran las dupletas: 2-5, 6-6 y 8-6. Si en la primera
carrera corren 10 caballos y en la segunda corren 8 caballos.
¿Cuál es la probabilidad de ganar en una dupleta?
26. En una caja hay 6 cartas rojas y 16 blancas, se saca una
carta y se devuelve a su lugar, luego se saca otra carta. Hallar
la probabilidad de que ambas cartas sean rojas.
27. La probabilidad de que Milagros se compre una blusa es de
0,3 y de que compre una falda es de 0,5. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas, si la probabilidad de no comprar ninguna es de 0,5.
 P (1 sola prenda) =0,2 RPTA.: B
28. La probabilidad de aprobar Matemáticas es de 0,6 y la
probabilidad de aprobar Lenguaje es de 0,8. ¿Cuál es la
probabilidad de aprobar sólo uno de dichos cursos?
A) 0,12 B) 0,48 C) 0,32
D) 0,44 E) 0,14
RESOLUCIÓN P (M) = 0,6 P (L) = 0,8
P (MoL)=0,6+0,8-2(0,6)(0,8) = 0,44 RPTA.: D
29. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces se obtenga como mínimo dos caras?
Rpsta C
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