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matricesv2008 | Determinant
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Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones
© Carlos J. Sánchez de Merás, noviembre 2007
csdemeras@hotmail.com
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Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones Matemáticas – 2º Bachillerato
1.1. Definiciones previas
• Matriz: Agrupación ordenada (en filas y columnas) de elementos (asumiremos que son números reales)
• El conjunto de las matrices de m filas y n columnas forman un espacio vectorial (para la suma de matrices y el producto por escalares), que llamaremos (m×n, ). Como tal, presenta las siguientes propiedades:
Sean A, BÎ(m×n, ), y l, µÎR
• λ λ λ ( ) A B A B ± ± propiedad distributiva respecto al producto por un escalar
• ( ) λ µ λ µ ± ± A A A propiedad distributiva respecto a la suma de escalares
• ( ) ( ) λµ λ µ A A propiedad asociativa respecto al producto de escalares
• I A A I A
⋅ ⋅ elemento neutro del producto de matrices
• Dimensión de una matriz (orden de una matriz): m×n (nº filas × nº columnas)
• Tipos de matrices según sus elementos:
Sea A Î(m×n, ) [A es una matriz de m filas y n columnas de números reales]
1) Matriz nula: a
=0 ∀i, j 2) Matriz triangular superior (inferior):
=0, ∀i >j
=0, ∀i <j
3) Matriz cuadrada (^ matriz rectangular): Aquélla que tiene el mismo número de filas que de columnas
4) Matriz diagonal: a
=0, ∀i ≠j [suponiendo A Î(n×n, ) ]
5) Matriz unidad o identidad de orden n (I
=0, ∀i ≠j ; a
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Matemáticas – 2º Bachillerato Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones
• Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales si y sólo si todos y cada uno de sus elementos son iguales:
A B m n A B a b i j
, ( , ) , ∈ × ⇒ ⇔ ∀  
La traspuesta de una matriz A es otra matriz B=A
(equivale a intercambiar filas por columnas)
• Matrices simétricas y antisimétricas
Una matriz (cuadrada) es simétrica si coincide con su traspuesta. (A=A
Una matriz (cuadrada) es antisimétrica si coincide con su traspuesta cambiada de signo. (A=-A
Toda matriz cuadrada puede escribirse como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. En efecto,
Sean SÎ(n×n, R) simétrica y AÎ(n×n, R) antisimétrica (ÞS=S
; A=-A
). Cualquier matriz cuadrada B podrá entonces escribirse:
B S A +
Trasponiendo esta ecuación matricial, y aplicando simetría para S y antisimetría para A,
B S A S A
Finalmente, sumando y restando las ecuaciones obtenidas para B y su traspuesta obtenemos:
S B B A B B
• Suma (resta) de matrices
Sean A,BÎ(m×n, R). Se define C m n A B ∈ ×
±  ,  , donde c a b i j
= ± ∀ ,
Sean AÎ(m×n, R), y lÎR. Se define C m n A ∈ ×
 ,  λ , donde c a i j
∀ λ ,
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Sean AÎ(m×n, R) y BÎ(n×p, R). Se define C m p A B ∈ ×
⋅  ,  , donde
c a b i m j p
∀ … ∀ …
1 2 1 2 , , , ; , , ,
11 11 12 21 1 1 1
21 11 22 21 2 1 21 1 22 2
m m mn n m p mp p mn np
1 11 2 21 1 1 1 2
• El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda.
• La matriz resultante tiene tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda.
• En general, el producto de matrices no es conmutativo. De hecho, es posible que exista el producto A·B y que el producto B ·A no sea realizable.
• La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto en orden inverso de las traspuestas de las matrices: (A·B)
• Rango de una matriz (por filas o por columnas) : Número de filas (o columnas) linealmente independientes
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• Determinante de una matriz (cuadrada)
Sea AÎ(n×n, R). Se define el determinante de la matriz A, representado por |A| o det(A), como una suma de n! términos, la mitad positivos y la mitad negativos, cada uno de los cuales está formado por un producto de n factores, tomados uno de cada fila y de cada columna.
• n=2
• n=3 [ Regla de SaRRuS ]
−− − − a a a a a a a a a
11 23 32 12 21 33 13 22 31
• Menor de una matriz
Sea AÎ(n×n, R). Se define el menor de orden r de la matriz A, como el determinante de cualquier submatriz r r r n r m n m × ≤ ≤ ≤ ( , , ).
Para matrices cuadradas, se define el menor complementario del elemento a
ij , y se representa por α
ij , como el determinante de la submatriz de orden n –1 obtenida al eliminar la fila i-ésima y la columna j-ésima.
Se define el adjunto (o cofactor) del elemento a
ij , y se representa por A
ij , como el menor complementario del elemento a
con el signo correspondiente según A
=( ) −
• Rango de una matriz: Orden del mayor menor no nulo.
• Desarrollo de un determinante por filas (o columnas):
Se puede calcular el determinante de una matriz mediante la suma de los productos de cada elemento de la fila (o columna) por su correspondiente adjunto:
A a a a a a a a a a a a a a a a a a + + − − −
11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22
11 22 33 23 32 12 23 31 21 33 13 21 32 22
− + − + − ( ) ( ) ( aa
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desarrollo por la fila k
desarrollo por la columna j
Este método es de especial utilidad para matrices de orden elevado, y matrices en las que la mayoría de los elementos de una fila o de una columna son nulos.
2.1. Propiedades de los determinantes
El estudio de las propiedades de los determinantes sirve para facilitar su cálculo.
➀ El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: A A
Por tanto, cualquier propiedad de los determinantes relacionadas con las filas de una matriz será válida si en lugar de las filas se consideran columnas, puesto que las columnas de la matriz son las filas de la matriz traspuesta
➁ Si la matriz B se obtiene de A, intercambiando dos de sus filas (o columnas): B A −
➂ Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales: A 0
➃ Si B es la matriz que se obtiene de la matriz A, multiplicando una fila (o columna) por una constante k : B k A ➄ Si una matriz A tiene una fila o una columna cuyos elementos son todos cero: A 0
➅ Si la matriz B se obtiene de A, sustituyendo una fila (o columna) por ella más k veces otra fila (o columna): B A ejemplO
F F F 11 12
21 11 22 1
÷ → ÷÷÷÷ − −
11 22 12 12 21 11 11
− − − A a a a a
B a a a a a a a ( ) ( ) aa a a A
− ➆ Si la columna j de A es la suma de las j -ésimas columnas de B y C, siendo las restantes columnas iguales: A B C +
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A B C − +
− + − + A B C ( )
➇ Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma una combinación lineal de sus paralelas, el determinante de la matriz resultante es igual al de la primera
Esta propiedad es consecuencia de las propiedades ➂, ➃ y ➆. En efecto,
g h i g i
g h i β
Estos dos últimos determinantes son nulos, por tener dos columnas proporcionales. Por tanto, se verifica la propiedad
➈ Si A y B son dos matrices cuadradas, el determinante de la matriz producto es igual al producto de los determinantes de ambas matrices: A B A B ⋅ ⋅
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3.1. Ecuación lineal
Se denomina ecuación lineal con n incógnitas x
a toda expresión del tipo
a x a x a x a x a x b
+ + + …+ ∑
donde los valores reales a
son los coeficientes de la ecuación, y el valor real b es el término independiente de la ecuación. Si el término independiente es igual a 0, la ecuación recibe el nombre de homogénea.
consituyen una solución de la ecuación si hacen que la igualdad se cumpla.
Una ecuación lineal puede tener más de una solución. Se denomina conjunto solución de la ecuación al formado por todas las soluciones de la misma.
Diremos que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución. Es fácil observar que si se multiplican los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas toma la forma
11 1 12 2 13 3 1 1
+ + + + + + + + …
mm m m mn n m
x a x a x a x b
Un sistema es homogéneo cuando todas las ecuaciones que lo componen lo son, es decir, cuando todos los valores b
i =0, con 1£i£m.
consituyen una solución del sistema si son una solución de todas y cada una de las ecuaciones que lo forman.
Se denomina conjunto solución del sistema al formado por todas las soluciones. Cuando el sistema no tiene solución recibe el nombre de sistema incompatible. Si la solución es única se denomina compatible determinado, y si tiene más de una (infinitas soluciones) se denomina compatible indeterminado.
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Todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles, ya que seguro admiten la solución trivial x
=0, con 1£i£n.
3.3. Sistemas equivalentes
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando admiten las mismas soluciones, esto es, cuando su conjunto solución es el mismo.
No es necesario que dos sistemas tengan el mismo número de ecuaciones para ser equivalentes. Así, los sistemas
tienen la misma solución, x =3, y =0, y por tanto son equivalentes
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4. Resolución de sistemas. Matriz inversa
4.1. Resolución de sistemas por el método de Gauss
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
+ − − + + − |
Aplicaremos el conocido método de reducción –de forma sistemática– para intentar convertirlo en un sistema escalonado, de tal forma que su resolución sea sencilla mediante sustitución inversa. Los distintos estados por los que pasa el sistema, así como las operaciones que se van realizando, son los siguientes:
5 3 7 5 3 7
2 11 11 7 3
4 3 4 3 17 8 25
187 119 51 11 7 3
187 88 275 31
→ − ⋅
→ ⋅ →
→− ⋅ → +
− + = → − + = − →
+ − = − + = −
 
→ − + = − → − + = −
Llegados a este punto, la solución se puede calcular fácilmente:
El procedimiento seguido se conoce como método de Gauss. Obsérvese que, en todo el proceso, las ecuaciones y las incógnitas se han mantenido en su lugar. Sólo se han modificado los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes. Por tanto, resultará mucho más comodo realizar todas estas operaciones con el sistema expresado en forma matricial.
Debemos centrar ahora nuestra atención en cuáles son las operaciones permitidas para convertir nuestro sistema original en uno de forma escalonada, o dicho de otra forma, cuáles son las transformaciones válidas para convertir una matriz (la ampliada) en triangular superior.
Del mismo modo, también puede seguirse el mismo desarrollo para llegar a una matriz triangular inferior. En este caso, la solución se hallará por sustitución directa, esto es, en primer lugar la incógnita x, luego la y, y así sucesivamente.
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En todo caso, lo que se pretende es convertir el sistema en uno equivalente, es decir, que las operaciones realizadas sobre las filas (o columnas) de la matriz no modifiquen las soluciones del sistema. Llamaremos operaciones elementales a todas aquéllas que transformen el sistema en uno equivalente. Estas operaciones elementales son:
⇨Multiplicar una fila (una ecuación) por un número distinto de 0
⇨Sumar a una fila otra multiplicada por un número distinto de 0
⇨Intercambiar filas
⇨Cambiar el orden de las columnas (incógnitas)
Una vez aplicadas alguna o todas de estas transformaciones (y tantas veces como sea necesario), la matriz asociada al sistema adopta una de las formas siguientes:
➀Hay tantas ecuaciones válidas como incógnitas. De forma escalonada, se va obteniendo un valor numérico para cada incógnita. El sistema tiene solución única.
Es, por tanto, un sistema compatible y determinado.
➁Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más se pasan al segundo miembro, con lo que las demás se darán en función de ellas.
El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones.
➂Si aparece una fila de ceros, salvo el último (el término independiente), que es distinto de 0, quiere decir que se ha llegado a una ecuación del tipo 0=K, lo cual es una igualdad imposible
El sistema es incompatible: no tiene solución.
Veamos unos ejemplos de aplicación de este método:
− + − + + + |
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En este punto, es inmediato calcular el valor de las incógnitas:
+ ÷ → ÷÷÷ + −
z −− ÷ → ÷÷÷÷ |
El sistema es compatible determinado: tiene solución única:
− + − + − + |
El sistema es compatible, pero indeterminado, como podemos comprobar al ver la última fila de ceros. Queda así:
y 22 −
La solución se calcula en función de z , que se convierte en el parámetro l:
+ ÷ → ÷÷ +
λ λ ;
÷÷ → ÷÷÷÷ +
x 7 λ
El sistema tiene infinitas soluciones en función del parámetro l:
7 2 7 2 0 1 1 1 λ λ λ λ
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El sistema es incompatible determinado: no tiene solución.
La potencia del método de Gauss radica en que no sólo sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales en los que todos los coeficientes vienen determinados, sino que también puede utilizarse para discutir el número de soluciones que tiene un sistema cuando éste viene en función de distintos parámetros.
Discutir y resolver el sistema en función de los valores del parámetro α:
Se observa claramente que si α=1 la última fila es [0 0 0 1]. El sistema es entonces incompatible, y no tiene solución.
Por el contrario, si α¹1 la solución puede calcularse según
+ + − + − − |
− ÷ → ÷
( ) ÷÷÷ −
− − ÷ → ÷÷÷÷÷÷ − − +
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El sistema es en este caso compatible determinado: la solución es única. Es especialmente importante notar que, aunque haya una dependencia con el parámetro α, no hay infinitas soluciones, sino infinitos sistemas de ecuaciones. Para cada uno de ellos (excepto para el caso α=1) la solución es única. Así, por ejemplo, para el valor α=0, la solución es x =1; y =0; z =0.
4.2. Resolución de sistemas mediante la regla de Cramer
La regla de Cramer proporciona un método sencillo de resolución de sistemas de n ecuaciones con n incógnitas que tengan solución única, es decir, sistemas cuya matriz de coeficientes sea invertible.
La forma general de un sistema de estas características es:
.++ |
Multiplicando ahora cada ecuación por el adjunto del elemento a
k1 , y sumando todas las ecuaciones,
a A x a A x a A x b A
a A x a A x a A
11 11 1 12 11 2 1 11 1 11
21 21 1 22 21 2 2
221 2 21
Analicemos con un poco más de detalle esta última ecuación. El segundo sumatorio del primer miembro representa, como sabemos, el determinante de la matriz A desarrollado por la columna 1, pero únicamente en el caso i =1:
ni n nn
Teniendo en cuenta este hecho, y reescribiendo el segundo miembro de la ecuación en forma de determinante, se obtiene finalmente la expresión de la regla de Cramer (para la incógnita x
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4.3. Matriz inversa
Sea AÎ(n×n, R) una matriz cuadrada. Se dice que la matriz B es la matriz inversa de A si cumple B A A B B A I
⇔ ⋅ ⋅ −1
. Nótese que si la matriz es rectangular no podemos definir su matriz inversa.
Es condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa que su determinante sea distinto de cero. Equivalentemente, si el rango de una matriz coincide con su orden, entonces la matriz es invertible.
4.3.1. Cálculo de la matriz inversa
Asumiremos, sin pérdida de generalidad, que el orden de la matriz es 3; calcularemos entonces una matriz BÎ(3×3, R) tal que
b b ⋅ ⇒
21 222 23
Esta ecuación matricial equivale a 3 sistemas de ecuaciones, con incógnitas los vectores b
i , y matriz ampliada
Resolviendo mediante la regla de Cramer se obtiene:
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Operando de idéntica manera para los otros dos sistemas de ecuaciones , se obtiene la siguiente fórmula para el cálculo de la matriz inversa:
Adj( ) Adj( )
donde Adj( ) A
y Adj( ) A
representan la traspuesta de la matriz de adjuntos y la matriz de adjuntos de la traspuesta, respectivamente
4.3.2. Algoritmo de Gauss-Jordan
Existen otras alternativas para calcular la matriz inversa. Una de las más populares es el algoritmo de Gauss-Jordan, que consiste en aplicar a la matriz identidad (del orden correspondiente) las mismas transformaciones que habría que aplicar a la matriz original para transformarla en la matriz identidad.
2 3 4 5 0 0 1 0
33 4 5 0 0 1 0
0 3 4 5 0 2 1 0
00 3 0 5 0 2 1 4
0 3 0 0 5 2 1 4
00 1 0 0 5 3 2 3 1 3 4 3
Se propone como ejercicio calcular la matriz inversa aplicando la fórmula y comprobar que el resultado es el mismo.
4.4. Resolución de sistemas utilizando la matriz inversa
Una vez calculada la matriz inversa, resulta inmediato resolver un sistema de ecuaciones teniendo en cuenta su expresión matricial. En efecto, consideremos el sistema de ecuaciones lineales
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a x a y a z b
+ + + + + + |
que podemos representar de forma matricial como
⇔ ⋅ A b x
Multiplicando (por la izquierda) ambos miembros de esta ecuación matricial por la matriz inversa de A se obtiene A A A b
Es decir, podemos hallar el vector de soluciones del sistema sin más que multiplicar la matriz inversa de la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes. Nótese que este producto debe hacerse necesariamente en este orden, puesto que el producto de matrices no es conmutativo.
4.5. Discusión de sistemas
4.5.1. Teorema de Rouché-Fröbenius
Sean AÎ(m×n, R), xÎ(n×1, R) y b Î(m×1, R), con m£n. El sistema A·x=b tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes A coincide con el rango de la matriz ampliada A|b.
A b A A b ⋅ ⇔ x tiene solución rg( ) rg( )
⇒ ∃ ]
, , , 1 2
El vector b es combinación lineal de los vectores columna de la matriz A, y por tanto el rango de la matriz ampliada coincidirá con el rango de la matriz de coeficientes.
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La demostración en sentido contrario también es inmediata: si rg (A|b)=rg(A) entonces el vector b es linealmente dependiente de los vectores columna de la matriz A, lo cual necesariamente implica la existencia de unos coeficientes x
i de la combinación lineal, solución del sistema A·x=b.■
4.5.2. Método de discusión de sistemas
Sean AÎ(m×n, R), xÎ(n×1, R) y b Î(m×1, R), con m£n.
➀ Escribir el sistema en forma matricial: A·x=b
➁ Determinar los rangos máximos de A y A|b : R A S A b R S ¦ ¦
≤ max rg( ) ; max rg( ) ;
 R n S m n +
; min , 1
➂ Determinar el rango real de A en función del parámetro k : rg(A(k))
/ rg(A(k
c ))=r<n [los valores que no hacen máximo el rango de A]
➃ Calcular rg(A(k
c )|b)=s³r [el rango de A|b para los valores que no hacen máximo el rango de A]
a) Si r =s Þ S.C.I.,(n –r)
b) Si s>r Þ S.I.
c) Si rg(A(k))=n "k ¹k
Þ S.C.D.
Discutir y resolver el siguiente sistema en función de los parámetros a y b:
x y az b
+ + + + + − |
El sistema se escribe en forma matricial según
El rango máximo de las matrices de coeficientes y ampliada es 3. Calculemos ahora cuáles son sus rangos reales:
⇔ ≠ ⇒ ⇔ ≠
rg rg ( ) ( )
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Para el valor a =1, se observa claramente que la matriz A tiene rango 2. Para este mismo valor de parámetro, la matriz ampliada vale entonces
Para calcular el rango de esta matriz, lo único que debemos hacer es hallar los valores del parámetro b que anulan el determinante de orden 3 formado por las columnas primera (o segunda), tercera y cuarta de la matriz ampliada. Es de notar que cualquier otro determinante va a dar siempre un resultado nulo, por ser la primera y la segunda columnas iguales. En este caso,
− ≠ ∀
Puesto que no hay valores de b que anulen el citado determinante, podemos concluir que la matriz ampliada tiene rango 3 independientemente de b (suponiendo que a = 1).
➊ a =1
• rg(A)=2¹rg (A|b)=3 ⇒ Sistema incompatible
➋ a ¹1
• rg(A)=3=rg(A|b)=n ⇒ Sistema compatible determinado
Por último, deberemos hallar la solución del sistema en los casos en los que ello sea posible. En concreto, este sistema tiene solución en un único caso, aquél en que a ¹1. Aplicando directamente la regla de Cramer, se obtiene la solución
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Realizaremos el cálculo del determinante de la matriz A mediante el desarrollo por la segunda fila, que resulta más conveniente por tener dos entradas nulas. Así,
A + ⋅ − + −
5 12 25 35 ( )
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Dado el sistema A b ⋅ x , con
A b ]
1. Calcular el determinante de A por el método de Gauss y por la regla de Sarrus.
2. ¿Existe la matriz inversa de A ? Si es así, calcularla de dos formas distintas
3. Resolver el sistema por el método de Gauss y utilizando la regla de Cramer
4. Comprobar que x ⋅
Dada la matriz A, su determinante utilizando la regla de Sarrus se calcula como
A + + − − − 0 4 2
0 2 4 0 0 4 2
Utilizando el método de Gauss (“haciendo ceros”) se obtiene de la siguiente forma:
A − − − −
Acabamos de calcular el determinante de la matriz, y hemos obtenido un resultado no nulo, lo cual constituye una condición necesaria y suficiente para que la matriz sea inversible. Esa matriz inversa podrá calcularse utilizando el algoritmo de Gauss-Jordan o bien utilizando la fórmula que expresa la matriz inversa en términos de la matriz de adjuntos (o cofactores) traspuesta. Veamos cada uno de estos dos métodos en detalle.
El algoritmo de Gauss-Jordan propone que si sobre la matriz identidad (en este caso de orden 3) se realizan las mismas operaciones que efectuaríamos sobre la matriz original para convertirla en la matriz identidad, obtenemos esa matriz inversa buscada. En concreto,
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2 2 0 1 4 6
Por tanto, el resultado buscado es
Utilicemos ahora el método directo que nos brinda la fórmula:
La traspuesta de la matriz de los adjuntos o cofactores resulta
Adj( ) A
y puesto que el determinante de A vale 2, como hemos calculado anteriormente, llegamos al mismo resultado que utilizando el algoritmo de Gauss-Jordan.
Resolvamos ahora el sistema (que debe ser compatible y determinado, puesto que el determinante de A es no nulo) por el método de Gauss. El proceso es análogo al empleado durante el cálculo de la matriz inversa. Partimos ahora de la matriz ampliada A|b :
Una vez llegados a este punto, en el que hemos convertido la matriz A en triangular, se puede resolver el sistema directamente, empezando por la incógnita z , y sustituyendo en orden inverso. Así, obtenemos la terna
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La solución que proporciona la regla de Cramer se calcula según
que, como vemos, coincide con la dada anteriormente.
Por último, para acabar el problema, hagamos el producto matricial que se nos indica, y comprobemos que, efectivamente, también es posible hallar la solución de un sistema una vez se ha calculado la matriz inversa de la matriz de coeficientes.
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Discutir en función de los parámetros a y b, y resolver, el sistema siguiente:
El sistema escrito en forma matricial queda:
El proceso de discusión del sistema es una aplicación directa del Teorema de Rouché-Fröbenius; nos interesará, por consiguiente, calcular los rangos de las matrices A y A|b . El rango máximo de la matriz de coeficientes es igual a 3, y su rango real será 2 ó 3 dependiendo del valor del parámetro a. Más concretamente, el rango de A es como mínimo igual a 2, puesto que el determinante de la submatriz formada al eliminar la fila y la columna en las que aparece el parámetro,
8 0 − ≠
Razonando de la misma forma, para la matriz total, averiguaremos qué valores de a hacen que el determinante de orden 3 sea nulo, y, consecuentemente, que la matriz tenga rango 2.
0 4 4 8 0 0 8 8 8 1 a a a a + + − − − − − ( )
Por tanto, si a =1, el determinante de orden 3 es nulo, y la matriz A tiene rango 2. En otro caso, la matriz de coeficientes tiene rango 3, el máximo posible. El sistema es entonces compatible determinado, esto es, tiene solución única, independientemente del valor del parámetro b, ya que el rango máximo de la matriz ampliada es, asimismo, igual a 3.
El parámetro b es limitante tan sólo en el caso en que a =1, ya que podemos encontrar valores que hagan que el rango de la matriz ampliada sea 3 mientras que el rango de la matriz de coeficientes sigue siendo 2. Así, cuando a =1,
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En este caso, podemos formar los siguientes determinantes de orden 3 a partir de las distintas columnas de la matriz ampliada:
+ + − − − − − ≠ ⇒ ≠
0 2 0 4 0 2 2 2 0 −−
+ + − − − − − ≠ ⇒ ≠ −
0 0 1 0 2 1 0 1
bb b b − − ≠ ⇒ ≠ − 4 4 0 1
Es decir, si se cumple simultáneamente a =1, b ¹–1, estamos en condiciones de afirmar que el sistema es incompatible, puesto que el rango de A es 2 mientras que el de A|b es 3. Por otra parte, si se cumple que a =1 y b =–1, el sistema será compatible indeterminado, con un grado de indeterminación que vendrá dado por la diferencia entre el número de incógnitas del sistema y el rango de ambas matrices. En este caso, el grado de indeterminación vale 1. A modo de resumen, presentamos la discusión del sistema:
• a ¹1 ⇒ rg(A)=rg(A|b)=3 ⇒ Sistema Compatible Determinado "b
• a =1⇒ rg(A)=2
• b = –1⇒ rg(A|b)=2 ⇒ Sistema Compatible Indeterminado
• b ¹ –1 ⇒ rg(A|b)¹rg(A) ⇒ Sistema Incompatible
Calculemos ahora la solución del sistema en los casos en los que ello sea posible:
➊ a ¹1 ⇒ rg(A)=rg(A|b)=3 ⇒ Sistema Compatible Determinado "b
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➋ b = –1⇒ rg(A|b)=2 ⇒ Sistema Compatible Indeterminado,1
Tomando las dos primeras ecuaciones, que nos proporcionan rango dos (equivalentemente, podemos afirmar que la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras), y haciendo la asignación z =l (esta asignación es arbitraria), obtenemos el siguiente sistema 2×2, necesariamente compatible determinado, puesto que hemos asegurado que las dos ecuaciones (filas) son linealmente independientes:
Resolviendo directamente,
λ λ λ ( ) ( )
En resumen, la solución total queda
3 1 1 2 ( ) λ λ λ
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Hallar el valor de a que hace que el conjunto ℬ ={(0,0,1), (2,1,1), (0,a,4)} sea una base de R
. Expresar el vector (1,0,2) como combinación lineal de los vectores de ℬ.
Para que el conjunto ℬ ={(0,0,1), (2,1,1), (0,a,4)} sea una base de R
será necesario y suficiente exigir que los tres vectores sean linealmente independientes. Veamos a qué equivale esta condición en términos matriciales.
Para estudiar si los vectores del conjunto son linealmente dependientes o independientes igualaremos una combinación lineal de los mismos al vector nulo. Si los coeficientes de la combinación lineal son todos nulos, habremos llegado a la conclusión de que los vectores son linealmente independientes. En caso contrario, si alguno de los coeficientes de la combinación lineal es no nulo, habremos conseguido escribir ese vector como combinación lineal de los demás, y por tanto el conjunto de vectores será linealmente dependiente. En el caso que nos ocupa, deberemos plantear la siguiente igualdad:
0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 4
Podemos escribir esta ecuación de forma matricial, según
donde vemos que se obtiene un sistema homogéneo (con el vector de términos independientes igual a cero) cuya matriz de coeficientes tiene por columnas a los vectores del conjunto ℬ.
Como sabemos, todo sistema homogéneo es compatible, ya que la matriz ampliada se diferencia de la de los coeficientes en una columna de ceros, lo cual no puede ampliar el rango. Por tanto, si el rango de A es el máximo, 3, el sistema tendrá solución única, y esa solución será la trivial x =0, y =0, z =0. Para que el sistema tenga soluciones distintas de la trivial el rango de la matriz de coeficientes debe ser menor que 3. Dicho de otro modo, para que las columnas de la matriz sean linealmente independientes deberemos exigir que el determinante de A sea distinto de 0. Así,
2 0 0 a a a ≠ ⇒ ≠
En definitiva, el conjunto ℬ será una base de R
para cualquier valor de a distinto de 0.
34 CJS v2008
Por lo que respecta a calcular los coeficientes de la combinación lineal de los vectores de ℬ que proporcionan un vector determinado, el problema es muy sencillo. No hay más que resolver el sistema
que será compatible determinado puesto que hemos exigido a ¹0, o lo que es lo mismo, rg(A)=3. Aplicando la regla de Cramer, por ejemplo, obtenemos
CJS v2008 35
Considerar los espacios vectoriales 
a) En 
, deducir la expresión matricial de la aplicación de giro a izquierdas (antihorario) de ángulo α, es decir, obtener la matriz G(α) tal que
G , y
) representan las coordenadas del punto de 
(x , y) una vez ha tenido lugar el giro
b) Demostrar que la aplicación g, con matriz G, es lineal:
÷ → ÷÷ ⋅ v v v
nOta: una aplicación es lineal si cumple simultáneamente
f f f f f ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) λ λ v v v v v v + +
o, equivalentemente, si cumple f f f ( ) ( ) ( ) λ µ λ µ v v v v
+ + para v
elementos del espacio vectorial y l y µ escalares
d) Extender el resultado al espacio vectorial 
. En particular, calcular la matriz de giro de ángulo α y eje de giro paralelo al eje y
sugerencia: Suponer que la matriz G( )
sen cos α
representa la matriz de la aplicación de giro a izquierdas de ángulo α y eje paralelo al eje z
e) Calcular la matriz de giro a derechas (horario) de ángulo α y eje z, H(α), correspondiente a la aplicación lineal h(v)=H·v
f) ¿Cuál es la expresión de la función f
(v)=g ◦h (v)? ¿Y la de f
(v)=h ◦g (v)? Calcular F
(α) y F
(α), las matrices de las aplicaciones f
(v) y f
36 CJS v2008
Nuestro objetivo es hallar una matriz G(α) que cumpla
es decir, calcular los cuatro valores g
ij , i, j =1,2, que proporcionan
y g x g y
Para ello, partiendo de la figura siguiente
podemos establecer las igualdades:
ρ β ρ β
ρ α β ρ α β
φ ψ φ ψ φ ψ
ρ α β α β α α
ρ α β α β
cos cos sen sen cos sen
sen cos cos sen + x y sen cos α α
que en forma matricial queda
La aplicación g (v) está definida sobre el dominio 
, y toma valores en ese mismo conjunto. Vemos, por tanto, que transforma puntos del plano en puntos del plano. Una función de esta forma, en la que el dominio y el recorrido (el conjunto de las imágenes) coinciden, se denomina homomorfismo.
Comprobemos que g (v) es lineal:
g G G G G G g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ µ λ µ λ µ λ µ λ v v v v v v v v v
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + µµg( ) v
CJS v2008 37
La fórmula que permite calcular el giro de ángulo α+b a partir del giro de ángulo α y el giro de ángulo b se demuestra con facilidad, utilizando el método de doble inclusión, que consiste en desarrollar cada miembro de la igualdad para obtener el otro. Con algo más de rigor, lo que se pretende es probar que el subconjunto de soluciones de un miembro está contenido en el subconjunto de soluciones del otro y viceversa. Si esto es así, necesariamente ambos subconjuntos de soluciones han de ser el mismo, y por consiguiente es posible establecer una relación de igualdad entre los dos miembros de la ecuación.
G G ( ) ( )
cos cos sen sen cos sen sen cos
α β α β ssen sen cos cos
sen( ) cos(
ssen cos cos sen
( ) ( ) ( ) G G G
Nótese que la segunda igualdad es en caso particular de la primera cuando b=α, por lo que en realidad no es necesaria su demostración.
Por otra parte, la demostración en sentido inverso es totalmente análoga a la realizada en sentido directo, por lo que se omitirá. La generalización del resultado obtenido al espacio 
es casi inmediata. Es evidente que, tal y como se ha calculado, la matriz G(α) representa un giro en 
cuando éste se produce en el plano XY (o uno paralelo a él), es decir, un giro con eje paralelo al eje z .
Es claro, asimismo, que la coordenada z del punto permanecerá inalterada tras el giro. En resumen, las coordenadas del punto girado se calcularán como
ρ α β
ρ α β α
ss α 0
que es el resultado que se nos propone como sugerencia.
Por tanto, el giro de eje paralelo al eje y (antihorario) vendrá representado por la matriz
38 CJS v2008
Es decir, extender el resultado a 
consiste en insertar una fila y una columna en la matriz correspondiente de 
, calculada anteriormente; esta fila y columna estarán formadas por ceros excepto en la posición correspondiente al eje de rotación, en la que tendremos un 1, que indica que esa coordenada permanece invariada tras el giro, como corresponde a los puntos del eje de rotación. Nótese que este mecanismo sólo es válido cuando el eje de rotación lleva una dirección paralela a la de uno de los ejes de coordenadas.
Podemos resolver el apartado e de varias formas, siendo las más sencilla de todas ellas sustituir en la matriz propuesta α por –α. Atendiendo a las propiedades de paridad del coseno y de imparidad del seno [i. e., cos(–x) = cos(x), y sen(-x) = –sen(x)], la matriz H(α) quedará
En cualquier caso, siempre es posible hacer un desarrollo análogo al del apartado a, a partir de la figura:
y haciendo uso de las expresiones
Finalmente, para acabar el problema, razonemos de forma intuitiva. Las funciones –compuestas– f
(v)=g ◦h (v) y f
(v)=h ◦g (v) representan la aplicación de un giro de ángulo α a derechas y de otro a izquierdas de la misma magnitud, en el caso de f
(v), y de un giro de ángulo α a izquierdas y de otro a derechas de la misma magnitud, en el caso de f
(v). En cualquiera de los dos casos, el desplazamiento total del punto original será nulo. Es decir, las funciones f
(v) son en realidad la misma función, la función identidad f (v)=v. En efecto:
f g h g h G h G H
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v v ]
· α α α
CJS v2008 39
Sustituyendo las matrices G(α) y H(α) por su valor, y realizando el producto,
s α α α
− een cos α α 0
( ) ; ( ) v v ]
(como por otra parte ya sabíamos, ya que H(α)=G(–α), y G(α)·G(b)=G(α+b), por el apartado c)
f h g h g H g H G
α α α))
sen cos −
y se tiene entonces
Otra forma de resolver el apartado e sería, por tanto, calcular H(α) como la matriz inversa de G(α),
Adj( ( )) α α
donde Adj(G(α)) representa la traspuesta de la matriz de los adjuntos o cofactores de G(α).
Merece la pena deternerse durante un momento en la forma que tienen las matrices G(α) y H(α): por una parte, hemos dicho que una es la inversa de la otra; pero además, por simple inspección, nos damos cuenta de que también se puede escribir una como la traspuesta de la otra. Este hecho nos permite definir una nueva clase de matrices. Diremos que una matriz es ortogonal cuando su traspuesta coincida con su inversa. En concreto, si AÎ(n×n, R), (necesariamente cuadrada)
ortogonal ⇔
CJS v2008 41
Dado el sistema de ecuaciones lineales
− + + − + − |
con l parámetro real, se pide:
1) Determinar razonadamente para qué valores de l es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible
2) Hallar el conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible determinado
3) Hallar el conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado
Aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius para ofrecer una discusión del sistema. Calcularemos, por tanto, los rangos de las matrices de coeficientes del sistema y ampliada, en función del parámetro.
A A b −
Se aprecia que el rango mínimo de la matriz A es 2, ya que −
0 . Se tiene entonces
rg( )
⇔ 3 0
El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor
− + + − + − − − λ
ecuación de segundo grado con raíces l
Calculemos ahora el rango de la matriz ampliada para los siguientes casos:
➀ l¹3, l¹–2
En este caso, la matriz de coeficientes tiene rango 3, que es el máximo posible tanto para A como para A|b. Los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz 42 CJS v2008
ampliada coinciden, y el valor coincide con el número de incógnitas. El sistema es, por tanto, compatible determinado.
➁ l=3
En este caso, la matriz de coeficientes tiene rango 2, y la cuarta columna de la matriz ampliada es proporcional a la primera, por lo que el rango de dicha matriz coincide con el de la matriz de coeficientes. Su valor es inferior al número de incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado, de grado de indeterminación 1.
➂ l=–2
El rango de la matriz de coeficientes es 2, y el rango de la matriz ampliada vale 3, ya que
Los rangos no coinciden, por lo que el sistema es incompatible.
Resolvamos ahora el sistema en los casos en los que ello sea posible. Comenzaremos por el caso en el que el sistema es compatible determinado. Podremos por tanto aplicar el método de Cramer (por ejemplo) para obtener la solución:
4 3 6 12 6
λ ( )( )
CJS v2008 43
12 6 4 3 6
Por último, resolvamos el sistema para el caso en que sea compatible indeterminado. La matriz ampliada se reduce entonces a
− + + − |
Haciendo y =µ, y sumando y restando a la segunda ecuación el doble de la primera,
➀ l¹3, l¹–2: Sistema Compatible Determinado
➁ l=3: Sistema Compatible Indeterminado, de grado de indeterminación 1
➂ l=–2: Sistema Incompatible
CJS v2008 45
Determinar el valor real de x para el que se cumple la siguiente propiedad: el determinante de la matriz 2B es 160, siendo
La ecuación que se nos pide resolver es 2 160 B . Ahora bien, es un hecho conocido que el determinante de un escalar por una matriz (de orden n) se puede escribir como kA k A
Por consiguiente, la ecuación inicial se convierte en
4 1 2 6 4 3 1 2 2 20
+ + − + − − + − − − − + − ( )( ) ( ) ( )
21 0 − + − cuyas raíces son
y puesto que se nos pide el único valor real, podemos afirmar que la solución final es:
Como podemos comprobar, en estas condiciones,
CJS v2008 47
Calcular los valores x
que satisfacen las siguientes ecuaciones:
AX AY B
AX AY C
' , , , A B C
Aplicando el método de reducción al sistema propuesto, podemos eliminar la incógnita X:
AY C B
Þ = -
y entonces Y A C B = × -
Calculemos entonces la matriz inversa de A. Aplicando la fórmula
Adj( )
= × - - × - =
obtenemos finalmente A
Por simple sustitución, podemos hallar los valores de X e Y pedidos:
Y A C B = × -
48 CJS v2008
X A C B = × -
CJS v2008 49
El sistema de ecuaciones lineales x y z
depende del parámetro real α. Discutir para qué valores de α es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado, y resolverlo en los casos compatibles
Aplicaremos el teorema de Roché-Fröbenius para la discusión del sistema. Con tal fin, lo primero que hemos de hacer es escribir el sistema en forma matricial, y calcular los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
⇔ ⋅ x
El rango de la matriz de coeficientes será el máximo posible (3) si la matriz tiene inversa, es decir, si su determinante es distinto de cero: rg( ) A A ⇔ ≠ 3 0 . El determinante de A puede calcularse mediante la regla de Sarrus,
3 4 2 3 3 3 4 3 2
+ + − − − − + − +
Podemos apreciar claramente que este determinante se anula para los valores α=0 y α=1. Son precisamente estos valores los que nos sirven como criterio de discusión:
⇨ Caso 1: α=0
⇨ Caso 2: α=1
⇨ Caso 3: α¹0 y α¹1
En los casos 1 y 2 el rango de la matriz A es menor que 3, por lo que el sistema NO podrá ser compatible determinado. En cambio, en el caso 3 la matriz de coeficientes tiene rango 3, y necesariamente coincide con el rango de la matriz ampliada, lo que implica que el sistema ES compatible determinado, esto es, tiene solución única.
Analicemos con detalle lo que ocurre en cada uno de estos casos:
50 CJS v2008
Como puede verse, la matriz de coeficientes tiene rango 1 (tiene las tres filas iguales), mientras que la matriz ampliada tiene rango 2, ya que 1 1
0 ≠ . Como los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada son diferentes, el sistema es incompatible, esto es, no tiene solución.
En este caso, es evidente que tanto la matriz de coeficientes como la matriz ampliada tienen rango 1, lo que hace al sistema compatible indeterminado, es decir, con infinitas soluciones. Como el número de incógnitas es 3 y el rango de A es 1, podemos concluir que el grado de indeterminación es 2.
Como hemos comentado anteriormente, los rangos de A y A|b son iguales y coinciden con el número de incógnitas. El sistema es, por consiguiente, compatible determinado, con una única solución.
Una vez finalizada la discusión del sistema, pasemos a resolverlo en los casos en los que sea posible:
⇨ Caso 2: α=1  S.C.I.,2
Teniendo en cuenta que el grado de indeterminación indica el número de parámetros que hemos de asignar a incógnitas, asi como el número de ecuaciones linealmente dependientes que debemos eliminar, asignaremos a las incógnitas y y z los parámetros l y µ, y eliminaremos las dos últimas ecuaciones (que son evidentemente linealmente dependientes).
El sistema se reduce entonces a
cuya solución podemos expresar
1 0 0 1 1 0 1 0 1 λ µ
CJS v2008 51
⇨ Caso 3: α¹0 y α¹1  S.C.D
Puesto que en este caso la matriz de coeficientes es invertible, podemos emplear la regla de Cramer para hallar la solución del sistema:
Factorizando el polinomio del numerador utilizando la regla de Ruffini,
1 1 1 − − + −
se tiene y −
⇨ Caso 1: α=0  S.I.
⇨ Caso 2: α=1  S.C.I.,2  x y z
⇨ Caso 3: α¹0 y α¹1  S.C.D.  x y z
CJS v2008 53
Dado el sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z, x y z
+ − + − − + |
a) Determinar razonadamente el valor de α para el cual el sistema es compatible
b) Para ese valor obtenido en a) de α, calcular el conjunto de soluciones del sistema
c) Explicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las tres ecuaciones del sistema, en función de los valores de α
El teorema de Rouché-Fröbenius nos permite afirmar que el sistema será compatible si los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada coinciden. Así pues, calcularemos en primer lugar el rango de la matriz de coeficientes, que no depende del parámetro α. Es evidente que dicho rango será como mínimo igual a 2, puesto que el determinante 1 2
2 es distinto de cero. Calculemos ahora el determinante de A:
Se comprueba entonces que el rango de la matriz de coeficientes es igual a 2. Como dicho rango es menor que el número de incógnitas, el mismo teorema nos asegura que el sistema será, en todo caso, compatible indeterminado de grado 1.
Por otra parte, el rango de la matriz ampliada A|b será 2 si cualquiera de sus determinantes de orden 3 es nulo. En concreto,
Cualquiera de dichos determinantes proporciona el valor de α buscado,
Calculemos ahora el conjunto de soluciones del sistema para dicho valor de parámetro. Como hemos comentado anteriormente, el sistema es compatible indeterminado de grado 1, por lo que una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras dos y por tanto redundante. Si bien podemos prescindir de una cualquiera de las ecuaciones, eliminaremos la segunda ecuación por comodidad. Además, el hecho de que el grado de 54 CJS v2008
indeterminación sea 1 nos obliga a considerar como parámetro una de las tres incógnitas. Sustituyendo entonces z por l, y teniendo en cuenta que hemos eliminado la segunda ecuación, el sistema puede reescribirse
Este sistema es, evidentemente, compatible determinado, ya que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada y con el número de incógnitas. Para resolverlo, emplearemos el método de reducción, que es el más apropiado en este caso. Sumando y restando las ecuaciones obtenemos
La solución del sistema propuesto para α=1 es entonces
que, como puede verse, es la ecuación de una recta.
Analicemos ahora el sistema desde el punto de vista geométrico. Cada una de las ecuaciones representa un plano, y sabemos que el sistema es compatible indeterminado de grado 1 cuando α=1. Hemos calculado, además, la solución en este supuesto, y podemos afirmar que los tres planos se cortan en una recta.
Ahora bien, cuando α¹1 el rango de la matriz ampliada aumenta a 3, mientras que el de la matriz de coeficientes sigue siendo igual a 2. El sistema es entonces incompatible, lo que indica que no hay ningún punto en común entre los tres planos. Sin embargo, puesto que los subsistemas formados por dos ecuaciones cualesquiera son compatibles indeterminados (de grado 1) podemos afirmar que los tres planos se cortan dos a dos.
⇨ Caso 1: α=1  S.C.I.,1  los tres planos se cortan en la recta
⇨ Caso 2: α¹1  S.I.  los tres planos se cortan dos a dos
CJS v2008 55
Dadas las matrices A − − −
y T − − −
a) Probar que la matriz T tiene inversa, T –1
, y calcular dicha matriz inversa T –1
b) Dada la ecuación con matriz incógnita B, A=T –1
BT, calcular el determinante de B
c) Obtener los elementos de la matriz B considerada en el apartado b)
La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que su determinante sea distinto de cero. Calculemos entonces el determinante de la matriz T :
T − − − − ≠
Por consiguiente, T es invertible.
Para calcular la matriz inversa utilizaremos la fórmula T
Adj( ) , donde Adj( ) T
representa la matriz de adjuntos de la traspuesta de T.
Adj( ) T
4 −−
Calculemos ahora el determinante de B sabiendo que A=T –1
A T BT B TAT
B TAT T A T
56 CJS v2008
y teniendo en cuenta el valor del determinante de A, así como el hecho de que el determinante de la matriz inversa es el recíproco del determinante de la matriz sin invertir,
El cálculo de la matriz B es inmediato sin más que realizar el doble producto
B TAT − −
lo que proporciona el resultado final
CJS v2008 57
Sean AÎ(3×4, R), BÎ(7×3, R), CÎ(3×3, R) y DÎ(1×7, R). Determinar la dimensión de las matrices producto
1 C ·A 2 D ·B
3 B ·A 4 C ·B
Sean A y B dos matrices no cuadradas. ¿Es posible que A ·B=B ·A? Razonar la respuesta
;; D −
1 A ·B 2 B ·A 3 A ·C 4 C ·A
5 B ·C 6 C ·B 7 A ·D 8 C ·D
Se dice que una matriz A es idempotente cuando A
=A. Demostrar que la matriz M es idempotente, siendo
58 CJS v2008
Decimos que una matriz A es ortogonal si cumple que A A A A I
⋅ ⋅ .
a) Demostrar que si una matriz es ortogonal entonces su inversa también lo es
b) Comprobar que la siguiente matriz, así como su inversa, son ortogonales
6 0 2 −
6 3 2 −
CJS v2008 59
Sabiendo que a b c
K , Calcular los siguientes determinantes:
− − − g h i
d e e d f
g h h g i
a g b h c i
Discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en función del parámetro a:
− − + + − + + + |
5 6 3 38
+ − − − − + |
60 CJS v2008
Discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en función de los parámetros m y n :
− + + + |
x my nz
+ + − + + |
− − + + + + + + |
x my m z
x my mnz m
nx my m nz m n
Sean S y S’ dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que difieren en los términos independientes. Si S tiene infinitas soluciones, ¿qué soluciones puede tener S’? Razonar la respuesta
Un sistema S de dos ecuaciones con tres incógnitas es incompatible. Si se le añade una ecuación, ¿cómo puede ser el nuevo sistema S’?
Sea S un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas, que es compatible y cuya matriz asociada tiene rango 2. Explicar cómo calcular el conjunto de soluciones de S, en cada uno de los casos siguientes:
a) Si S tiene tres ecuaciones
b) Si S tiene dos ecuaciones
Sean los sistemas S y S’ de ecuaciones lineales:
S S' ≡ ≡
b x y b
1 bb z − |
Obtener los conjuntos de soluciones de ambos sistemas y calcular los valores de a y b que los hacen sistemas equivalentes.
CJS v2008 61
Sea S un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Supongamos que a S le quitamos una ecuación y obtenemos así un sistema S’ com m –1 ecuaciones y n incógnitas. Contestar razonadamente:
a) ¿Puede ser S’ incompatible?
b) ¿Puede ocurrir que m<n?
c) Si m=n, ¿es S’ determinado o indeterminado?
d) Si m>n, ¿es S’ determinado o indeterminado?
Un sistema S, de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas , tiene dos soluciones y sólo esas dos,que son S x y z S x y z
3 4 7 2 1 9 ≡
; . ¿Es esto posible? ¿Existen más soluciones? Si las hay, calcularlas
Explicar cómo pueden ser el sistema de ecuaciones S:
a) Si S tiene dos ecuaciones y tres incógnitas
a) Si S tiene dos ecuaciones y cuatro incógnitas
a) Si S tiene tres ecuaciones y dos incógnitas
a) Si S tiene una ecuación y tres incógnitas
Justificar que el sistema S ≡
tiene infinitas soluciones, y explicar cómo se obtendrían. Si sabemos que dicho sistema admite como soluciones las ternas x x x
, ¿cuánto valen los determinantes a a
CJS v2008 63
1. Matrices 3
1.1. Defniciones previas
2. Determinantes 7
3. Sistemas de ecuaciones 11
4. Resolución de sistemas. Matriz inversa 13
5. Problemas resueltos 23
6. Problemas propuestos 57
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 Resolución 
 resolución 
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 resolución 
 Resolución 
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