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⭐m La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular
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Xavier Fidalgo Ortiz de Zárate
1 Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo en uent que l es el ldo del tpiz t su áre, ompletmos l siguiente tl de vlores prtir de estos vlores relizremos un representión gráfi. l (m) t (m ),00,00,0.,00,00,0.,00 9,00 Como l longitud del ldo puede tomr vlores entre metros, los vlores del áre estrán omprendidos entre m 9 m. Por onsiguiente, el dominio l imgen de l funión t(l) son: Dom ; t [ ] ( l ) [ ;9 ] ( l ) Im t m 9 m Funiones udráti de l fórmul ( ) L fórmul udráti que se usó pr onstruir el ejemplo nterior es un so prtiulr de f ( ) on perteneiente los reles distintos ero ( R { 0} ) Ests funiones están definids pr todo número rel, es deir que su dominio nturl result: Domf R En d so, l representión gráfi es un práol ls oordends de los puntos del plno que perteneen l práol verifin l euión udráti. En el so nterior, el dominio tení omo intervlo [; ] l funión definid es f ( ). f de2 Unidd Nª Como el udrdo de un número es siempre positivo o ero, el onjunto de 0 ;. l imgen es el intervlo [ ) f ( ) Como l funión f tom el mismo vlor pr los vlores opuesto de, su gráfio es simétrio on respeto l eje de ls ordends, su euión es 0 se denomin eje de simetrí de l práol. El únio punto de l práol que pertenee l eje de simetrí es el vértie. En este ejemplo es el punto v (0; 0) Los puntos de interseión de un práol on el eje de ls siss son quellos en que l ordend es ero; en este so sí 0; result que 0 est euión tiene omo úni soluión 0. El punto de interseión es el vértie. Representión gráfi de l funión ( ) En todos los gráfios de este tipo de funiones se puede oservr que el eje de simetrí es el eje de ls ordends () on el vértie en el origen del sistem v ( 0;0). En lgunos sos el vértie es un vlor mínimo en otros sos es el vlor máimo. f Cundo el oefiiente es positivo l ordend del vértie nul es menor tods ls ordends restntes, que son positivs. En onseueni el vértie es el menor vlor de l funión. Cundo el oefiiente es negtivo, suede lo ontrrio, l ordend nul del vértie es mor ls restntes ordends, que son negtivs. En onseueni el vértie es el máimo vlor de l funión. Tmién puede oservrse que pr distintos vlores de, l rpidez on l que reen ls rms de d un de ls práols es diferente. Por ejemplo, dd l funión, si >, el gráfio se otiene diltndo vertilmente el de ; por el ontrrio sí de3 Funión udráti-euión de do grdo < on 0, el gráfio se otiene ontrendo vertilmente el de. Trsliones de l funión ( ) f Trsliones en l direión del eje de ls ordends () L fórmul de l funión que permite onstruir un modelo on l situión nterior es un so prtiulr de f ( ) k. Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de on R. Gráfio de l funión k Compremos ls tls de vlores de ls funiones ; e Los vlores de, se otienen, omo es lógio, sumndo uniddes de l funión. Por lo tnto, l gráfi de se lo- gr suiendo tres uniddes l gráfi de. Como l práol siende uniddes, el vértie se trsldó v ( 0;), l imgen es hor el intervlo [ ; ). Tmién podemos deir que l práol no tiene interseión on el eje de ls siss; porque l funión no se nul pr ningún vlor de. Teniendo l mism onsiderión nterior, l gráfi se otiene jndo ino uniddes l de. El vértie tiene oordend v ( 0; ), mindo l imgen l intervlo[ ; ). En este so, l práol tiene dos puntos de interseión on el eje de ls siss, son los puntos donde l ordend es igul ero ( 0). Dihos puntos se denominn eros, ríes o siss l origen de l funión. de4 Unidd Nª Pr nuestro so, se otienen de l siguiente mner: 0 Ls oordends son ( ;0) ( ;0). En el primer so, no hlmos de eros o ríes porqué l resoluión de l euión son dos números omplejos onjugdos. 0 Podemos gregr demás que tods ls práols tienen omo eje de simetrí l eje de ls ordends (), que es l ret 0. El vértie se desplz vertilmente según los diferentes vlores de k. En resumen, prtir del gráfio de, pr grfir k se trsld k uniddes ls ordends de los puntos de l práol de l siguiente mner: si k es i positivo, hi rri hi jo, si k es negtivo. v 0;k el eje de simetrí es 0. El vértie tiene oordends ( ) Trsliones en l direión del eje de ls siss () L fórmul de l funión que permite onstruir un modelo on l situión nterior es un so prtiulr de f ( ) ( h). Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de on R. Gráfio de l funión ( h) Compremos ls tls de vlores de ls funiones ; ( ) e ( ) de5 ( ) Funión udráti-euión de do grdo ( ) ( ) Ahor el vértie de ( ) se enuentr en el punto donde 0, es deir el punto ( ;0), h un desplzmiento del vértie en direión horizontl igul h, no lterndo el rngo de l imgen ni del dominio on respeto. H un desplzmiento del eje de simetrí Análogmente, el vértie de ( ) estrá en el punto ( ;0) su eje de simetrí es Podemos deir en generl, l gráfi de ( ) h se otiene de l gráfi trsldándol un trmo h en l direión del eje de ls siss (). Trsliones en ulquier direión ( ) En lguns osiones, ls funiones udrátis pueden epresrse medinte l euión f ( ) ( h) k Est funión tiene l prtiulridd de que permite visulizr ls oordends del vértie de l práol que están indids en l fórmul, de l siguiente mner: ( h) k o ien ( v ) v v ( v ; v ) Veremos omo se otienen los gráfios de ls funiones de este tipo prtir del gráfio de. Pr trsldr l práol trnsformremos su euión del siguiente modo: se trsld h;, de modo que su vértie se sitúe en el punto ( k) h uniddes horizontlmente ( h) ( h) se trsld k uniddes vertil ( h) k Por ejemplo, vmos trsldr l práol v ;. en el punto ( ) L práol de modo que su vértie se enuentre se trsld uniddes l dereh ( ) se trsld uniddes hi rri ( ). de6 Unidd Nª Vemos que el eje de simetrí se trsldó uniddes. El dominio de l funión no se lteró, pero l im- ;. gen es hor el intervlo [ ) Análogmente, podemos deir que ( ) es un práol omo on su vértie en ( ;) o que ( ) es un práol omo on su vértie en ( ;). En onseueni podemos deir que un funión del tipo ( h) k, está ompuest por dos movimientos, uno horizontl otro vertil, siguiendo los oneptos de trslión visto nteriormente. Cundo un funión udráti se epres de l form ( h) k o ( v ) v, se l denomin form ordinri de l funión udráti. Pr lulr determinr los puntos, donde l funión ort l eje de ls siss, o se los eros, ríes o siss l origen, se proede de l siguiente mner: Prtimos que en dihos puntos es 0, omo muestr l siguiente figur pr los puntos. Por lo tnto igulmos ero l epresión nóni.. h k 0 despejmos Ejemplo: ( ). ( h) ( h) k h h h k h Clulr ls ríes de l funión ( ) k k Como 0, tenemos que: k k ( ) 0 ( ) ( ;0) ( ;0) de7 Funión udráti-euión de do grdo Ls oordends de ls ríes son: ( ) ( ;0) ( ;0 ) Otro punto rterístio es l ordend l origen, es el punto donde l funión ort l eje de ls ordends, por lo tnto omo ulquier punto de este eje tiene sis nul, podemos esriir 0 en l funión nóni. Ejemplo:.. ( h) k ( 0 h) k. h k Clulr l ordend l origen ( ) Como 0, tenemos que: L oordend de l ordend l origen es ( 0 ) ( ) 9 ( 0;) Otr form de epresr un funión de segundo grdo Vimos que se denomin form nóni de l funión de segundo grdo si se epres de l form: ( h) k Si, hor, se epres en funión de sus ríes de l siguiente mner: ( ) ( ) se denomin form ftorizd de l funión udráti. 7 de8 Unidd Nª Si se desrroll el udrdo del inomio se sum de l form nóni o se pli propiedd distriutiv l produto de los inomios de l form ftorizd, se otiene un nuev form del tipo: que se denomin form polinómi, donde el oefiiente es el mismo vlor en tods ls forms es l ordend l origen de l práol es el oefiiente del término de segundo grdo es el oefiiente del término linel o de primer grdo es el término independiente Pr psr de l form polinómi l form nóni se puede utilizr Gráfio de l funión polinómi Vmos grfir hor l funión udráti de l form polinómi; o se, donde ; ; R 0. Tmién est funión se l denomin funión udráti omplet. Pr poder grfir este tipo de funión será neesrio enontrr puntos rterístios. Ordend l origen Es el punto de interseión de l práol el eje de ls ordends; es deir 0 Su oordend es Asiss l origen, ríes o eros ( 0 ;) Ls siss l origen, ríes o eros de l funión son los puntos de interseión de l práol on el eje de ls siss; es deir 0. Pr enontrr estos puntos proedemos ompletndo el udrdo. Se he l funión igul ero (0) 0. Se etre ftor omún 0. En el préntesis se omplet un trinomio udrdo perfeto ( ) ( ) 0 Los tres primeros términos del préntesis formn un trinomio udrdo perfeto que se puede epresr omo el udrdo de un inomio. 0 de9 Funión udráti-euión de do grdo 9 de. Se despej. L fórmul resolvente es ; Deemos lrr, que tmién lo podemos resolver por el método de ompletr el udrdo visto nteriormente. Ejemplo Resolver l siguiente euión 0 Como, -, podemos reemplzr el l fórmul resolvente ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) 9 ; ; ; ; Vértie de l práol Es el vlor máimo o mínimo, según el tipo de práol, que puede tomr l funión. Pr lulr ests oordends se puede proeder de dos forms diferentes10 Unidd Nª 0 de. Trnsformndo l funión de form polinómi en form nóni, proediendo de l siguiente mner:. Se etre ftor omún. Se sum se rest, formndo un trinomio udrdo perfeto. Aplindo propiedd distriutiv d. Llmndo h k reemplzndo el l funión nterior, tenemos ( ) k h donde h k son ls oordends del vértie, es deir: ( ) k h v ; o ien v ;. Como l práol tiene eje de simetrí, entones dee psr por el medio de ls ríes, es deir h reemplzndo en l funión otendremos el vlor de l ordend. h h k11 Funión udráti-euión de do grdo Los puntos grfir son los siguientes Ordend l origen Ríes Vértie Ejemplo Grfir l funión 0 Aplindo ls fórmuls orrespondientes tenemos:. Ordend l origen: ( 0 ;0). Ceros de l funión ; Si - 0 reemplzndo ; ; ( ) ( ) ; ; de12 Unidd Nª. Vértie h h h k h h k ( ) ( ) k 9 0 k v ( ; ). Eje de Simetrí h 0 Un vez otenido los puntos rterístios podemos her un grfi proimd de13 Funión udráti-euión de do grdo Disriminnte Dd l euión de segundo grdo 0, u fórmul resolvente es ;, se denomin disriminnte l epresión se lo simoliz on l letr grieg (delt). El disriminnte determin que tipo de ríes tiene l funión de segundo grdo, soid su euión. Según l resoluión del disriminnte, pueden sueder tres sos:. > 0, l euión tiene dos ríes reles distints. Está soido un funión udráti uo gráfio trvies en dos puntos el eje de ls siss.. 0, l euión tiene un ríz rel dole. Está soido un funión udráti uo gráfio to en un solo punto el eje de ls siss.. < 0, l euión tiene dos ríes omplejs onjugds. Está soido un funión udráti uo gráfio no to en dos puntos el eje de ls siss. Propieddes de ls ríes. Si summos miemro miemro ls ríes de l fórmul de l resolvente de un euión de segundo grdo de l form 0, po- demos deir que: de14 Unidd Nª L sum de ls ríes de un euión de segundo grdo es igul l rzón del oefiiente linel el oefiiente prinipl mido de signo.. Si multiplimos, hor, ms ríes de l fórmul de l resolvente de un euión de segundo grdo de l form 0, tenemos: ( ) ( ) ( ) El produto de ls ríes de un euión de segundo grdo es igul l rzón del oefiiente independiente el oefiiente prinipl. Euiones Cudrátis Llmmos euiones udrátis o euiones de segundo grdo, ls euiones que pueden reduirse l form 0. Cundo igulmos ero l fórmul de un funión udráti pr verigur sus ríes, plntemos un euión udráti. Ls soluiones reles de est euión, que pueden ser dos, un o ningun, serán los vlores usdos. Deimos que un euión udráti es inomplet undo sus oefiientes o son nulos. Tods pueden resolverse plindo l fórmul resolvente o de Bhskr (primero se reduen l form 0 relizndo tods ls operiones posiles) ; O por el método de ompletr el udrdo que onsiste en: de15 Funión udráti-euión de do grdo de A prtir de l euión 0, se ps el término l segundo miemro Se s ftor omún el oefiiente del término de segundo grdo se lo ps l segundo miemro omo divisor Trtndo de formr un trinomio udrdo perfeto, se sum rest l mitd del oefiiente del término linel elevdo l udrdo, quedndo sí un trinomio udrdo perfeto Ahor despejmos : Ls ríes del polinomio son: Donde son l ríes del polinomio. Ejemplo: 0 ) ( p ( ) 0 0 016 Unidd Nª Si l euión no tiene término linel ( 0), se despej diretmente l inógnit. Si l euión no tiene término independiente ( 0), se etre ftor omún. En este so, 0 es siempre un de ls soluiones. L otr soluión se otiene igulndo ero el otro ftor. Sistem mito de dos euiones Un sistem mito de euiones es un sistem formdo por un funión udráti (práol) un funión linel (ret). Es deir usmos l interseión de ret on práol. Pr lulr los puntos de orte de un práol de euión on un ret m n, se resuelve el sistem de euiones: m n El método que se puede usr es el de igulión. Siendo que si los primeros miemros son igules los segundos tmién lo son, por lo tnto tenemos: m n Despejndo grupndo ( m) ( n) 0 Otenemos un euión de segundo grdo, que se resuelve por los métodos estudido. Est euión puede tener tres tipos de resultdo, según se el disriminnte.. > 0, l ret ort l práol en dos puntos,. Se die que l ret es sente.. 0, l ret to l práol en un punto,. Se die que l ret es tngente l práol.. < 0, l ret no ort l práol. Pr oservr ls posiiliddes, presentremos los siguientes ejemplos de17 Funión udráti-euión de do grdo 7 de. Igulndo ls euiones, se otiene: Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result: Los puntos de interseión son: ( ) ( ) ; ; ( ) ( ) ; ;. 7 Igulndo ls euiones, se otiene: Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result:18 Unidd Nª de 9 Los puntos de interseión son: ( ) ( ) ; ;. Igulndo ls euiones, se otiene: 0 7 019 Funión udráti-euión de do grdo 9 de Aplindo l fórmul pr resolver un euión udráti, result: ( ) ( ) 7 Como est ríz udrd no tiene soluión en R, no eisten vlores de que verifiquen l euión plnted. Por lo tnto, no h ningún punto de interseión entre l práol l ret.20 Unidd Nª Síntesis L funión udráti Son funiones de l form ( 0). Dom ( f ) : R Su gráfio es un urv llmd práol. Signo vlor soluto del oefiiente prinipl : (form po- Pr epresr un funión udráti en l form linómi, se desrrolln ls operiones indids Ríes eros de l funión: son ls siss de los puntos de interseión de l práol on el eje de ls siss. Pr hllrls, si es que eisten, en l fórmul de l funión se reemplz l vrile por 0 se resuelve l euión por ulquier método. Desplzmientos de f ( ) Al desplzr h uniddes en sentido horizontl k uniddes en sentido vertil del gráfio de f(), se otiene el gráfio de l funión: g ( ) ( h) k ( ) ( h) k g Su vértie es el punto: v ( h; k). El eje de simetrí es l ret de euión h. L funión sí epresd se denomin form nóni. Euiones udrátis k h Tods pueden resolverse plindo l fórmul resolvente (primero se reduen l form 0 relizndo tods ls operiones posiles). 0 de21 Funión udráti-euión de do grdo ; Si l euión no tiene término linel ( 0), se despej diretmente l inógnit. Si l euión no tiene término independiente ( 0), se etre ftor omún. En este so, 0 es siempre un de ls soluiones. L otr soluión se otiene igulndo ero el otro ftor. Construión del gráfio Se pli l fórmul resolvente se otienen ls ríes. Si ests son reles, se mrn los puntos de ontto sore el eje de ls siss. Coordends del vértie: Pr lulr v se puede usr: v v f, es deir se reemplz v en l fórmul de l funión. v ( v ) Vértie v ( ; ) v v Eje de simetrí es un ret vertil que ps por l sis del vértie (se mr on líne punted. 0 ;. Punto de ontto on eje de ls ordends. Se proveh el eje de simetrí pr otener puntos simétrios. Ordend l origen: ( ) Form Cnóni f ( ) ( h) k o f ( ) ( v ) v Pr hllr l fórmul de un funión udráti de l que se onoen el vértie otro punto que pertenee l práol, se reemplzn tods ls oordends en l fórmul f v se despej. ( ) ( ) v Disriminnte > 0 dos ríes reles distints 0 un ríz rel dole < 0 dos ríes omplejs onjugds Máimo mínimo Si el dominio de un funión udráti es R, lnz un máimo o mínimo en l ordend del vértie de su gráfio. de Documentos relacionados
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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito Más detalles VECTORES PLANO Y ESPACIO
TETO º 3 ECTOES PLAO ESPACIO Conceptos Básicos Ejercicios esueltos Ejercicios Propuestos Edict Arrigd D. ictor Perlt A Diciemre 008 Sede Mipú, Sntigo de Chile Introducción Este mteril h sido construido Más detalles 1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre Más detalles PROBLEMAS DE ELECTRÓNICA DIGITAL
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Uiversidd de Coepió Fultd de Cieis Veteriri Nivelió de Competeis e Mtemáti (0 Uidd-: Rdiles (* Rdil. Es u epresió de l form: que represet l ríz eésim priipl de. El etero positivo es el ídie u orde del Más detalles Tema 5. Trigonometría y geometría del plano
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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Hemos visto el prolem de enontrr el produto, ddos los ftores. L ftorizión es enontrr los ftores, ddo el produto. Se llmn ftores de un epresión lgeri quellos que multiplidos Más detalles Métodos de Integración I n d i c e
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Núleo e Imagen de una Transformaión Lineal Departamento de Matemátias CCIR/ITESM 8 de junio de Índie 7.. Núleo de una transformaión lineal................................. 7.. El núleo de una matri la Más detalles PROGRESIONES ARITMETICAS
PROGRESIONES ARITMETICAS. Hllr l sum de los primeros cien enteros positivos múltiplos de 7. L sum de n términos de un progresión ritmétic viene dd por l expresión: + n Sn n Aplicndo pr 00 términos: + 00 Más detalles INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Página 105 ELIPSE
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 05 6 LA ELIPSE 6. DEFINICIONES L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos cuy sum de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte. En l figur 6., Más detalles OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función f (x, y) = 0,4x + 3,2 y. sujeta a las restricciones: x + 5 y
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DP. - S - 59 7 Mtemátis ISSN: 988-79X 6 MTRICES. MTRIZ INVERS. DETERMINNTES. plino ls propiees e los eterminntes y sin utilizr l regl e Srrus, lulr rzonmente ls ríes e l euión polinómi. Enunir ls propiees Más detalles 2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR
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ELABORACIÓN: PROF. MANUEL LUQUE LLANQUI-FORMADOR DE ACOMPAÑANTES PEDAGÓGICOS 1 Mediión de Logro de Cpiddes en Comprensión Letor y Mtemáti Curto Grdo de Eduión Primri-2014 Diretiv N 18-2014-DGP-DRSET/GOB.REG.TACNA Más detalles 3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola
Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Prábol. Elipse. Hiperbol Objetivos. Se persigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos Más detalles Taller de Matemáticas I
Tller de Mtemátics I Semn y Tller de Mtemátics I Universidd CNCI de México Tller de Mtemátics I Semn y Temrio. Los números positivos.. Representción de números positivos... Frcciones... Decimles... Porcentjes..4. Más detalles Vectores en R 2 y R 3
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Funciones cudrátics A l función polinómic de segundo grdo f() + b + c siendo, b, c números reles y 0, se l denomin función cudrátic. Los términos de l función reciben los siguientes nombres: y + b + c Más detalles 2. Cálculo de primitivas
5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv Más detalles Transformadores METODOLOGÍA GENERALIZADA PARA DETERMINAR LOS GRUPOS DE CONEXIÓN
Nuev Metodologí pr Determinr los Grupos de oneión de Trnsformdores Trnsformdores METODOLOGÍ GENERLID PR DETERMINR LOS GRUPOS DE ONEIÓN Ls regls de formión de los voltjes induidos en los devndos del trnsformdor Más detalles Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
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Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos, Más detalles OBTENCIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN A PARTIR DE LA GRÁFICA
. DOMINIO inio de o cmpo de eistenci de es el conjunto de vlores pr los que está deinid l unción, es decir, el conjunto de vlores que tom l vrible independiente. Se denot por. { R / y R con y } OBTENCIÓN Más detalles VECTORES. b procesador de texto lo más usual es escribirlo con negrita (a). Ambas notaciones se leen el vector a. De ahora en
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UNI Geometrí. Triánguos 10. Triánguos OJETIVOS ur e áre e perímetro de triánguos. Otener os dos ánguos de triánguos utiizndo s reiones entre otros ánguos en figurs geométris. ur os dos de un triánguo usndo Más detalles REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS
TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen Más detalles 3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.
3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej. Más detalles CAPÍTULO 1. Rectas y ángulos
ÍTUO 1 Elementos ásicos de l Geometrí Rects y ángulos 1.1 En Geometrí hy ides ásics que todos entendemos pero que no definimos. Ésts son ls ides de unto, Rect, lno y Espcio. Señlmos un punto con un mrc Más detalles IES. MARIA MOLINER - (SEGOVIA) EXAMEN 3ª EV.
IES. MARIA MOLINER - (SEGOVIA) EXAMEN 3ª EV. FECHA: 2/6/2009 CICLO FORMATIVO: DESARROLLO DE PRODUCTOS ELECTRONICOS CURSO: 1º MODULO: CALIDAD (TEORIA) ALUMNO/A: 1.- El digrm de finiddes: A. Es un téni de Más detalles El tremendo error que se ha cometido no está en lo mal que se hayan hecho las operaciones, sino en
SIMPLIFICAR EXPRESIONES (OPERAR) Y DESPEJAR O RESOLVER ECUACIONES. Por qué el título enion tres oss que se estudin por seprdo o que ni siquier se estudin?. Pues no lo sé, pero tnto pr operr oo pr despejr Más detalles c. m a t e m á t i c a s
Guí de mtemátics ingeníeris Universidd Tecnológic de Agusclientes c. m t e m á t i c s Guí de estudio Educción...nuestr visión hci el futuro Eloro: M en C Mónic González Rmírez Guí de mtemátics ingeníeris Más detalles APUNTES DE MATEMÁTICA. Geometría Analítica
. Plno Crtesino Rects.... Producto Crtesino... 3 3. Distnci... 3 4. Gráfics de línes rects... 4 5. Ecución de l rect... 6 6. Prlelismo perpendiculridd... 8 7. Sistems de ecuciones lineles... 9 8. Distnci Más detalles Determinantes: un apunte teórico-práctico
Deterinntes: un punte teório-prátio Definiión d triz udrd se le soi un núero denoindo deterinnte de. El deterinnte de se denot por o por det(). Cálulo de deterinntes Pr un triz de x el deterinnte es sipleente Más detalles ( ) ( ) El principio de inducción
El priipio e iuió U ejemplo seillo pr empezr Si hemos oío hlr e progresioes ritmétis (series e úmeros e form que l iferei etre os oseutivos es siempre l mism, omo,,, 0,) prolemete o será fáil lulr l sum Más detalles ESCEMMat ESCENARIOS MULTIMEDIA EN FORMACIÓN DE FUTUROS PROFESORES DE MATEMÁTICAS DE SECUNDARIA FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO 2
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ESCENARIO Dominio I: Conocimientos de Mtemátics Tem: Funciones reles de un vrible rel. L función eponencil. L función logrítmic. Asignturs involucrds en l formción universitri: Análisis Más detalles INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: ASIGNATURA: MATEMATICA. NOTA EDISON MEJIA MONSALVE.
INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICA. ASIGNATURA: MATEMATICA. NOTA DOCENTE: EDISON MEJIA MONSALVE. TIPO DE GUIA: CONCEPTUAL-EJERCITACION. PERIODO GRADO N FECHA DURACION Más detalles Resolución de Triángulos Rectángulos
PÍTULO 5 Resoluión de Triángulos Retángulos En l ntigüedd l rquitetur (pirámides, templos pr los dioses,...) exigió un lto grdo de preisión. Pr medir lturs se sn en l longitud de l somr el ángulo de elevión Más detalles 2016 © DocPlayer.es Política de privacidad | Condiciones del servicio | Feedback

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 Resolución 

Resolución 
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