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Timestamp: 2016-07-31 06:27:26+00:00

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P ROGRAMAS D E A SIGNATURAS DEL P ROCESO D E A DMISIÓN A L C URSO P REPARATORIO D E I NGENIERÍA (CPI)
MATEMÁTICA II AÑO 2012
En esta disciplina se exponen los conceptos básicos sobre las figuras de dos y tres dimensiones, para operar con sistemas de medidas lineales y angulares, con el fin de resolver, entre otros, problemas topográficos y astronómicos simples.
Objetivos generales 1. Estudiar las propiedades de las figuras geométricas. 2. Desarrollar de la capacidad de razonamiento lógico para el planteo y solución de problemas. 3. Adquirir destrezas en la resolución de problemas. Objetivos específicos 1. Utilizar axiomas y propiedades ya establecidos en la demostración de teoremas. 2. Demostrar las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio. 3. Analizar y resolver problemas gráficos. 4. Analizar y resolver problemas numéricos que envuelven medidas de figuras geométricas en el plano y en el espacio. 5. Resolver problemas de triángulos y otras figuras, mediante el estudio de la relación entre lados y funciones trigonométricas de ángulos. 6. Resolver problemas de la trigonometría con procedimientos algebraicos de aplicación en Ingeniería.
Programa Sintético Fundamentos, definiciones, axiomas. Ángulos: consecutivos, adyacentes, recto, agudo, obtuso, opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios. Propiedades de los ángulos. Teoremas relativos a los mismos. Rectas: perpendiculares y oblicuas. Teoremas relativos a las mismas. Triángulos: definición, clasificación según sus lados y sus ángulos. Teoremas relativos a los casos de congruencia. Teoremas relativos a lados y ángulos. Teoremas relativos a la mediatriz de un lado y bisectriz de un ángulo. Rectas paralelas. Axioma. Teoremas relativos a ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una secante. Teoremas relativos a ángulos de lados respectivamente paralelos o perpendiculares. Polígono: definición, clasificación según el número de lados, diagonal. Teoremas relativos a ángulos de polígonos.
PRO-A-CPI. Programa de Matemática II Página 31
Resolución de sistemas de ecuaciones trigonométricas. Representaciones gráficas. cuerdas. Clasificación y características. Funciones trigonométricas de arcos complementarios y suplementarios. Teorema relativo a rectas perpendicular y oblicuo a un plano. Circunferencia: definición. Formulas de área lateral. Nociones preliminares de trigonometría. pirámides y tronco de pirámides. Fórmulas de área lateral. Cuerpos poliedros convexos. Formulas del área lateral.Paraguay
Cuadrilátero: definición. Funciones trigonométricas inversas. Teoremas relativos a los lados. Teoremas relativos a los ángulos diedros y poliedros. Figuras equivalentes.
PRO-A-CPI. Teoremas relativos a semejanza de triángulos. Teoremas relativos a rectas y planos paralelos. Formulas fundamentales y derivadas. arcos iguales y de signos contrarios. Verificación. Identidades trigonométricas. semiinscritos y exteriores. Teoremas relativos a arcos. Deducción de las fórmulas trigonométricas del segundo grupo. inscritos. Resolución de ecuaciones trigonométricas. ángulos centrales. Deducción de las formulas trigonométricas del tercer grupo. Identidades trigonométricas condicionadas. diagonales y ángulos de trapecios y paralelogramos. Proporcionalidad de segmentos de rectas: definición. Superficie cónica: directriz y generatriz. Representaciones gráficas de las funciones trigonométricas. semejanza de polígonos. Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. Superficie cilíndrica: directriz y generatriz. Superficie esférica y esfera. Determinación de planos. de arcos que difieren en una semicircunferencia positiva. clasificación. Área de la superficie esférica y volumen de la esfera. Deducción de las formulas trigonométricas del primer grupo. Áreas de figuras planas. Programa de Matemática II Página 32
. interiores. elementos. tronco de prismas. total y volumen de prismas.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . Determinación geométrica de los valores de las funciones trigonométricas de arcos notables. área total y volumen de un cono. Ejercicios de construcción de figuras geométricas. área total y volumen de un cilindro. Área de triángulos. Reducción de funciones trigonométricas de un arco a funciones trigonométricas de un arco del primer cuadrante.
mediana relativa a un lado. • Objeto y división de la geometría. • Figura convexa. son congruentes si tienen n − 1 lados consecutivos respectivamente iguales comprendiendo n − 2 ángulos iguales idénticamente dispuestos. Definición. • (EDA)Teorema: Las bisectrices de dos ángulos adyacentes pertenecen a rectas perpendiculares y las de dos ángulos opuestos por el vértice a una misma recta. agudo y obtuso. según David Hilber. Sistemas sexagesimal y centesimal. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. desigualdad. los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. división del ángulo. Ángulos recto. Programa de Matemática II Página 33
. a.3) En un triángulo isósceles. mediatriz de un lado. • Concepto de movimiento de las figuras. a) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales. • Axiomas de congruencia. • (EA)Teorema: Casos de congruencia o igualdad de triángulos. • Rectas perpendiculares y oblicuas. demostración y aplicaciones en ejercicio. Unicidad de la recta perpendicular a otra por un punto de la misma o exterior a ella. • Axiomas de enlace y de ordenación. Ángulos complementarios y suplementarios. sin demostración. Propiedad general de las figuras convexas. Los términos primitivos en geometría.1) Dos polígonos del mismo número n ( n ≥ 3 ) de lados. Bisectriz de un ángulo. perímetro y semiperímetro.2) Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen sus catetos respectivamente iguales. altura relativa a un lado. Introducción • Fundamentos.Paraguay
Programa Analítico Detalle de los contenidos EDA: Teorema o corolario con enunciados. • Ángulos. bisectriz de un ángulo. EA: Teorema o corolario con enunciados y aplicaciones en ejercicios.
PRO-A-CPI. de paralelismo y de continuidad. congruencia o igualdad. Las categorías de axiomas en la Geometría. • (EA)Teorema: Dos ángulos consecutivos suplementarios son adyacentes. operaciones con ángulos. a. • Clasificación de triángulos de acuerdo a sus lados y a sus ángulos.
• Segmentos de rectas: definición. congruencia o igualdad. desigualdad y operaciones con segmentos de rectas. • (EA)Teorema: Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. • Mediatriz de un segmento de recta. • Medida de ángulos. • (EA)Teorema: Dos ángulos adyacentes son suplementarios. a.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • Elementos de un triángulo: base.
1) Dos polígonos del mismo número n ( n ≥ 3 ) de lados son iguales si tienen n − 2 lados consecutivos respectivamente iguales contiguos a n − 1 ángulos iguales idénticamente dispuestos.4) Un triángulo equilátero es equiángulo. • Denominaciones de ángulos determinados por dos rectas cortadas por una recta secante o transversal a ambas. b) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y los ángulos contiguos respectivamente iguales. • Otras consecuencias del axioma del paralelismo "Por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a la dada (Euclides)": a) Dos rectas perpendiculares a una tercera. son paralelas. a.1) Dos polígonos del mismo número n ( n ≥ 3 ) de lados son iguales si tienen n lados respectivamente iguales y n − 3 ángulos consecutivos respectivamente iguales idénticamente dispuestos. son iguales. • Corolario: En un triángulo isósceles. son paralelas. b. pertenecen a la mediatriz del lado opuesto. el triángulo es isósceles. • (EA)Teorema: Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman: a) Ángulos alternos internos o externos iguales.5) Si dos ángulos de un triángulo son iguales. c. d) Las respectivas rectas perpendiculares a dos rectas paralelas. c) Ángulos conjugados internos o externos suplementarios.6) Un triángulo equiángulo es equilátero. la mediana y la bisectriz que tienen por origen el vértice donde concurren los lados iguales. a. • (EDA)Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. Programa de Matemática II Página 34
. • (EA)Teorema: Si dos rectas cortadas por una secante forman: a) Ángulos alternos internos o externos iguales. • Definición de ángulos exteriores de un polígono. la altura. b) Ángulos correspondientes iguales.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . son concurrentes. por otras dos rectas paralelas. Las rectas son paralelas. la altura. son paralelas.
PRO-A-CPI. • (EDA)Teorema: Los segmentos determinados en dos rectas paralelas. e) Las respectivas rectas perpendiculares a dos rectas concurrentes. c) Toda recta secante a una recta corta también a sus paralelas y toda recta perpendicular a una recta es perpendicular a sus paralelas. b) Ángulos correspondientes iguales.2) Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen un ángulo agudo y la hipotenusa respectivamente iguales. b. b) Dos rectas paralelas a una tercera. c) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus tres lados.Paraguay
a. la mediana y el segmento de la bisectriz que tienen por origen el vértice donde concurren los lados iguales y extremos en el lado opuesto. c) Ángulos conjugados internos o externos suplementarios. • Corolario: En un triángulo isósceles. son iguales.
• (EA)Teorema: Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. • (EA)Teorema: Si dos segmentos oblicuos comprendidos entre un punto y una recta son iguales. c) El punto de intersección de dos rectas no paralelas cortadas por una transversal o secante a las mismas. • (EDA)Teorema: Si en un triángulo dos ángulos son desiguales. a mayor lado se opone mayor ángulo. • (EDA)Teorema: La distancia de un punto a una recta es menor que un segmento oblicuo comprendido entre el punto y la recta. de lados situados en rectas respectivamente perpendiculares.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • (EA)Teorema: La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a cuatro ángulos rectos. • (EDA)Teorema: Dos ángulos de lados situados en rectas respectivamente paralelas. de lados situados en rectas respectivamente perpendiculares. • Corolario: El ángulo interior de un polígono convexo regular de n lados es igual a 2Rt(n -2)/n (1Rt es igual a un ángulo recto). son iguales. • (EDA)Teorema: Dos ángulos. uno agudo y otro obtuso.Paraguay
a) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. d) Todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él y mayor que cada uno de ellos. dos de ellos dirigidos en el mismo sentido y los otros dos en sentidos opuestos. • (EDA)Teorema: Dos ángulos de lados situados en rectas respectivamente paralelas y dirigidos en el mismo sentido o en sentidos opuestos son iguales. pertenece al semiplano en que se encuentran los ángulos conjugados internos cuya suma es menor que dos rectos. Segmentos oblicuos. e) Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen un ángulo agudo y un cateto respectivamente iguales. son suplementarios. • (EA)Teorema: Dos segmentos oblicuos comprendidos entre un punto y una recta y cuyos pies equidistan del de la perpendicular por el punto a la recta. • Definiciones de: Distancia entre dos puntos. • Definición de polígonos regulares. son iguales.
PRO-A-CPI. son suplementarios. a mayor ángulo se opone mayor lado. Programa de Matemática II Página 35
. • Corolario: La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados ( n > 2 ) es igual a 2Rt(n – 2) (1Rt es igual a un ángulo recto). a) En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado mayor. b) Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto ni más de uno obtuso. sus pies equidistan del pie de la perpendicular por el punto a la recta. • Definición de sentidos en semirrectas que pertenecen a rectas paralelas. • (EDA)Teorema: El menor de los segmentos de rectas comprendidos entre un punto y una recta es el que pertenece a la perpendicular por el punto a la recta. Distancia de un punto a una recta. agudos u obtusos. • (EDA)Teorema: Si en un triángulo dos lados son desiguales. • (EDA)Teorema: Dos ángulos.
el segmento de extremos en dichos puntos medios. base media. el pie del segmento oblicuo mayor dista más que el pie del menor. • (EA)Teorema: Las rectas perpendiculares por los vértices de un triángulo a las rectas que contienen a los lados opuestos son concurrentes (ortocentro) • (EDA)Teorema: Las medianas de un triángulo concurren en un punto situado a la tercera parte de cada una de ellas. es el conjunto de las dos rectas perpendiculares formado por las bisectrices de los cuatro ángulos que aquellas determinan. semisuma y semidiferencia de las bases.
PRO-A-CPI. es mayor. • (EDA)Teorema: La recta determinada por los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela a la recta que contiene el tercer lado. tres o más rectas paralelas y una transversal o secante a las mismas. del pie de la recta perpendicular trazada por el punto a la recta. aquel cuyo pie dista más del pie de la perpendicular por el punto a la recta. pasa por el punto medio del tercer lado. • Definición de lugar geométrico • (EDA)Teorema: La mediatriz de un segmento de recta es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos de dicho segmento. Programa de Matemática II Página 36
. • (EDA)Teorema: Dadas. Suma de los ángulos internos y externos. • (EDA)Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido desigual. también serán iguales los determinados en cualquier otra transversal por las mismas rectas paralelas. por el punto medio de otro lado. y. es la mitad del primer lado. • (EDA)Teorema: La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados del ángulo. la hipotenusa es el doble del cateto menor. • (EDA)Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el tercer lado desigual. Trapecios: características y clasificación. • (EA)Teorema: De dos segmentos oblicuos comprendidos entre un punto y una recta. a mayor ángulo se opone mayor lado.Paraguay
• (EDA)Teorema: dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales la hipotenusa y un cateto. a mayor lado se opone mayor ángulo.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . en un plano. a contar del lado correspondiente (baricentro) • (EDA)Teorema: Si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es el doble del otro. si los segmentos de recta determinados en la secante por las rectas paralelas son iguales. • (EDA) Teorema: La recta paralela a la que contiene un lado de un triángulo. • Cuadriláteros: clasificación y características. • (EA)Teorema: las bisectrices de los ángulos de un triángulo concurren en un punto equidistante de los lados (incentro) • (EA)Teorema: Las mediatrices de los lados de un triángulo concurren en un punto equidistante de los vértices (circuncentro) • (EA)Teorema: El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices. • Corolario: El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas secantes. • (EA)Teorema: Si dos segmentos oblicuos comprendidos entre el punto y la recta son desiguales.
a) El diámetro es la mayor cuerda de una circunferencia. ángulo seminscrito. cuerdas iguales subtienden arcos iguales. segmento circular. diámetro. relación entre distancia entre los centros de dos circunferencias y sus radios. • (EDA)Teorema: Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales. circunferencias secantes. circunferencias tangentes interiores y exteriores. • (EA)Teorema: En una misma circunferencia o en circunferencias de radios iguales. es un paralelogramo. b) La recta determinada por el centro de una circunferencia y el punto medio de una cuerda es perpendicular a la recta secante que contiene la cuerda. y la mayor de dos cuerdas desiguales subtiende mayor arco.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • (EDA)Teorema: En una misma circunferencia o en circunferencias de radios iguales. cuerda. Programa de Matemática II Página 37
. • Propiedades de las diagonales de los cuadriláteros. ángulo central. arcos iguales subtienden ángulos centrales iguales. sector circular. ángulo exterior. • (EDA)Teorema: En una misma circunferencia o en circunferencias de radios iguales. c) La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. • (EA)Teorema: Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos iguales y situados en rectas paralelas. arco. las cuerdas equidistantes del centro son iguales. División de un arco y operaciones con arcos de una misma circunferencia o de circunferencias de radios iguales. • (EA)Teorema: La recta perpendicular a una recta tangente por el punto de tangencia contiene al centro de la circunferencia. rectas tangente y secante. y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda. corona y trapecio circular. círculos interiores y exteriores. ángulo inscrito. • (EA)Teorema: En una misma circunferencia o en circunferencias de radios iguales. arcos iguales son subtendidos por cuerdas iguales. • (EDA)Teorema: La recta tangente a una circunferencia es perpendicular a la recta determinada por el centro y el punto de tangencia. la primera es tangente a la circunferencia. círculo. recta tangentes común interna y externa a dos circunferencias. • (EA)Teorema: En una misma circunferencia o en circunferencias de radios iguales. intercepta mayor arco. y el mayor de dos arcos desiguales subtiende mayor ángulo central. ángulos centrales iguales interceptan arcos iguales y el mayor de dos ángulos centrales desiguales. cuerdas iguales equidistan del centro y de dos cuerdas desiguales la mayor dista menos del centro que la menor. • (EDA)Teorema: La recta perpendicular por el centro de una circunferencia a una recta secante.
PRO-A-CPI. bisecta la cuerda y los arcos subtendidos. • (EDA)Teorema: Si una recta es perpendicular a otra que contiene un radio en el extremo del mismo. centro y radio.Paraguay
• (EDA)Teorema: Si un cuadrilátero tiene respectivamente iguales sus lados o sus ángulos opuestos. es un paralelogramo. • Definiciones: circunferencia. y de dos cuerdas no equidistantes del centro es mayor la que menos dista del mismo. • (EDA)Teorema: En una misma circunferencia o en circunferencias de radios iguales. círculos concéntricos. a) Un diámetro bisecta la circunferencia. ángulo interior.
dos rectas paralelas interceptan arcos iguales.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • Propiedades: relaciones de igualdad de dos cantidades y sus medidas. tiene por medida la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados. Programa de Matemática II Página 38
. es inscriptible en una circunferencia. • (EDA)Teorema: Un ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados. de extremos en dicho punto exterior y los de tangencia. es la mediatriz de la cuerda común. la recta determinada por los centros pasa por el punto de tangencia. • Corolario: Un ángulo inscrito en un arco menor que una semicircunferencia es obtuso y en un arco mayor que una semicircunferencia es agudo.
PRO-A-CPI. Considerar: a) punto de la recta y b) punto exterior a la recta. • Ejercicios de construcciones geométricas: o o Por un punto trazar una recta perpendicular a una recta. dos ángulos centrales son entre sí como los arcos que los subtienden. cantidades variables que permanecen iguales y sus límites. • Definición de arco capaz de contener un ángulo dado. • (EDA)Teorema: Si dos circunferencias son tangentes. • (EDA)Teorema: Si un cuadrilátero tiene sus ángulos opuestos suplementarios. considerando como cuerda un segmento de recta dado. límite de una cantidad variable. • (EA)Teorema: Un ángulo seminscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados. • Corolario: La recta determinada por los centros de dos circunferencias secantes. • (EDA)Teorema: Un ángulo exterior a una circunferencia. son iguales. • (EA)Teorema: En una misma circunferencia o en circunferencias de radios iguales. pasa por el punto de tangencia. Trazar la bisectriz de un ángulo. • (EDA)Teorema: Un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tiene sus ángulos opuestos suplementarios.Paraguay
• (EA)Teorema: La recta perpendicular por el centro de una circunferencia a una recta tangente. • Definiciones: Unidad de medida de una magnitud. • (EDA) Teorema: Un ángulo interior a una circunferencia tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre las rectas que contienen sus lados. • Corolario: Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. • (EA)Teorema: Dos rectas tangentes a una circunferencia por un punto exterior a la misma forman ángulos iguales con la determinada por el punto exterior y el centro de la circunferencia y los segmentos de las tangentes. cantidades constante y variable. cantidades conmensurables e inconmensurables. medida de una cantidad de una magnitud. • (EDA)Teorema: En una circunferencia. • Corolario: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco o en arcos iguales. son iguales. • (EA)Teorema: Un ángulo central se mide por el arco que lo subtiende (medida de un ángulo por un arco).
Considerando un segmento de recta como cuerda. dados dos lados y el ángulo comprendido. b) un cateto y la altura relativa a la hipotenusa. • Corolario: Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales. Construir un triángulo. Por un punto de una recta trazar una semirrecta que forme con ella un ángulo igual a un ángulo dado. es paralela a la recta que contiene al tercer lado. c) la mediana y la altura relativa a la hipotenusa.
• (EDA)Teorema: (Thales) los segmentos interceptados en dos rectas transversales por tres o más rectas paralelas son proporcionales. Dividir un segmento de recta en un número dado de segmentos iguales. • Definición de división armónica de un segmento de recta. Trazar una recta tangente a una circunferencia por un punto dado. • Corolario: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales los dos catetos. Construir un triángulo rectángulo dados: a) la hipotenusa y un cateto. divide los otros dos en segmentos proporcionales. dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. • (EDA)Teorema: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales. construir las circunferencias inscrita y circunscrita al mismo. Programa de Matemática II Página 39
PRO-A-CPI.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . dados: a) dos lados y el ángulo comprendido. b) un lado y dos ángulos y c) los tres lados. • (EDA)Teorema: Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.Paraguay
Determinar el punto medio de: a) un segmento de recta y b) un arco de circunferencia. Construir un paralelogramo. trazar un arco capaz de contener un ángulo dado. b) la base y el radio de la circunferencia circunscripta. dividen el lado opuesto armónicamente en la razón de los lados que comprenden dicho ángulo. razón de semejanza. Dado un triángulo. • (EDA)Teorema: La bisectriz de un ángulo de un triángulo y la del externo suplementario de éste. Considerar: a) punto de la circunferencia y b) punto exterior a la circunferencia. • (EDA)Teorema: Dos triángulos son semejantes si tienen respectivamente iguales dos ángulos. Considerar la tangente a) interior y b) exterior. Por un punto exterior a una recta trazar una recta paralela a ella. Construir un triángulo. c) la base y el radio de circunferencia inscrita y d) el perímetro y la altura relativa a la base. • Definición de polígonos semejantes: elementos homólogos en polígonos semejantes. Trazar una recta tangente común a dos circunferencias dadas. • Corolario: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual un ángulo agudo. d) un cateto y el radio de la circunferencia inscrita y e) un ángulo agudo y el radio de la circunferencia inscrita. Construir un triángulo isósceles dados: a) la base y el ángulo opuesto. • Corolario: Toda recta paralela a la que contiene un lado de un triángulo.
b) La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos determinados en la hipotenusa. • (EDA)Teorema: En un triángulo rectángulo se verifican: a) Los dos triángulos determinados por la altura relativa a la hipotenusa son semejantes y semejantes al triángulo dado. • b) La cuerda de extremos en el punto de la circunferencia y uno de los extremos del diámetro. es media proporcional entre el diámetro y su proyección sobre este. • (EDA)Teorema: Si por un punto exterior a una circunferencia se consideran una recta tangente y una secante a la misma. • (EA)Dos polígonos semejantes se pueden descomponer igual número de triángulos semejantes. Determinar la cuarta proporcional de tres segmentos de rectas dados. • (EDA)Teorema: Si dos rectas secantes se cortan en un punto interior de una circunferencia. el producto de los segmentos determinados en una de las cuerdas. c) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. se verifican: • a) El segmento de la perpendicular. de extremos en los puntos de intersección con la circunferencia y comunes en el punto dado. por los extremos no comunes pasa una circunferencia. • Corolario: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. • Corolario: Si se considera la recta perpendicular por un punto de una circunferencia a una recta que contiene un diámetro de dicha circunferencia.
PRO-A-CPI. el segmento de la recta tangente de extremos en el punto dado y el de tangencia es media proporcional entre los segmentos de la secante. • (EDA)Teorema: El cuadrado del segmento de la bisectriz de un ángulo de un triángulo. es constante. de extremos en los puntos de intersección con la circunferencia y comunes es el punto dado. • (EDA)Teorema: El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto del diámetro de la circunferencia circunscripta al mismo por la altura relativa al tercer lado. de extremos en el vértice de dicho ángulo y su intersección con el lado opuesto.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • Corolario: Si por un punto exterior a una circunferencia se consideran rectas secantes a la misma. de extremos en el punto de la circunferencia y el pie de la perpendicular. • Ejercicios de construcciones geométricas: o o Dividir un segmento de recta dado en segmentos proporcionales a otros dos segmentos de rectas dados m y n. el producto de los segmentos de cada secante. es igual al de los determinados en la otra.Paraguay
• Corolario: los perímetros de dos polígonos semejantes son entre sí como dos lados homólogos cualesquiera. idénticamente dispuestos. • (EDA)Teorema: Si en dos rectas que se cortan se tienen cuatro segmentos de extremos comunes y tales que el producto de dos de ellos contenido en una de las rectas es igual al de los otros dos contenidos en la otra recta. • Definición de proyección de un punto y de un segmento de recta sobre una recta. es media proporcional entre los dos segmentos determinados en el diámetro. es igual al producto de los lados del ángulo menos el producto de los segmentos determinados por la bisectriz en el lado opuesto. Programa de Matemática II Página 40
. • Corolario: Dos polígonos que pueden descomponerse en igual número de triángulos semejantes idénticamente dispuestos son semejantes.
área de una superficie. • Corolario: Las áreas de dos polígonos semejantes son entre sí como los cuadrados de los lados homólogos. Determinar la media proporcional de dos segmentos de rectas dados. Determinar la tercera proporcional de dos segmentos de rectas dados. • (EDA)Teorema: Las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual son entre sí como los productos de los lados que comprenden ese ángulo. • (EA) Teorema: Las áreas de dos rectángulos que tienen igual altura son entre sí como sus bases respectivas. • Corolario: El área de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las bases por la altura. las de dos alturas iguales son entre sí como sus bases respectivas y las áreas de dos paralelogramos cualesquiera son entre sí como los productos de las bases por las alturas respectivas. (división áurea) Construir un polígono semejante a otro dado. • (EA) Teorema: Las áreas de dos rectángulos son entre sí como los productos de las bases por las alturas respectivas. Considerar si son consecutivos y si están superpuestos con un extremo común. • Corolario: Las áreas de dos paralelogramos de bases iguales son entre sí como sus alturas respectivas.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • Corolario: (de Pitágoras) el cuadrado que tiene por lado la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente a la suma de los cuadrados que tienen por lados a los catetos del mismo triángulo rectángulo.
• Definiciones de: unidad de superficie. y las áreas de dos triángulos cualesquiera son entre sí como los productos de sus bases por las alturas respectivas. • Corolario: Dos paralelogramos de bases y alturas iguales son equivalentes. • Corolario: Las áreas de dos rectángulos que tienen igual base son entre sí como sus alturas respectivas. figuras equivalentes. • Corolario: Las áreas de dos polígonos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos segmentos homólogos cualesquiera. • Corolario: Las áreas de dos triángulos de bases iguales son entre sí como sus alturas respectivas. • Corolario: El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura. Definición y construcción de la división de un segmento de recta dado en media y extrema razón.
PRO-A-CPI.Paraguay
Determinar la tercera proporcional de dos segmentos de rectas consecutivos dados. las de dos triángulos de alturas iguales son entre sí como sus bases respectivas. • (EDA)Teorema: Las áreas de dos triángulos semejantes son entre sí como los cuadrados de dos lados homólogos cualesquiera. • Corolario: El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. • Propiedad: Dos figuras iguales son equivalentes. • Corolario: El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura. • Corolario: El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura. Programa de Matemática II Página 41
. conociendo un lado homólogo a uno de lados del polígono dado. Inscribir en una circunferencia dada un triángulo semejante a un triángulo dado.
o Segmento de bisectriz. Construir un polígono semejante a dos polígonos semejantes dados y cuya área de superficie es igual a la suma de las áreas de las superficies de los polígonos dados.Paraguay
• Expresiones de la altura. o Mediana relativa a un lado.
• Ejercicios de construcciones geométricas: o o o o o o o o o o Construir un cuadrado equivalente a la suma de dos cuadrados dados. • (EA)Teorema: La suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera de un triángulo es igual a dos veces el cuadrado de la mitad del tercero.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . en función de los lados de un triángulo: o Altura relativa a un lado o Área de la superficie (Fórmula de Herón) o Radios de las circunferencias inscrita. Programa de Matemática II Página 42
. radio de la circunferencia circunscripta y radio de la circunferencia inscrita en función del lado de un triángulo equilátero. Suma de los inversos de los radios de sus circunferencias exinscritas y el inverso del radio de la circunferencia inscrita. • (EDA)Teorema: En todo triángulo. conociendo la suma de la base y la altura. exinscritas y el cuadrado del área de su superficie. circunscrita y exinscritas. • Definición de circunferencia exinscrita a un triángulo • Determinación de las fórmulas que relacionan los lados de un triángulo y segmentos determinados en los mismos por las circunferencias inscrita y exinscrita. • Deducciones de las siguientes relaciones en un triángulo: o o o Sumas de los inversos de sus alturas y el inverso del radio de la circunferencia inscrita. según que el ángulo opuesto al lado considerado sea obtuso o agudo. Construir un paralelogramo equivalente a un cuadrado dado. • (EA)Teorema: La diferencia de los cuadrados de dos lados cualesquiera de un triángulo es igual a dos veces el producto del tercero por la proyección de su mediana sobre él. de extremos en el vértice y su intersección con el lado opuesto. Construir un cuadrado cuya área de superficie esté en una relación igual a la de dos segmentos dados m y n con el área de superficie de un cuadrado dado. el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más o menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Construir un triángulo equivalente a un polígono dado. Construir un cuadrado equivalente a un polígono dado. Construir un cuadrado equivalente a un triángulo dado. más dos veces el cuadrado de la mediana relativa al mismo.
PRO-A-CPI. Construir un polígono semejante a un polígono dado y equivalente a otro polígono dado. Producto de los radios de las circunferencias inscrita. conociendo la diferencia de la base y la altura. • Deducción de las siguientes fórmulas. Construir un paralelogramo equivalente a un cuadrado dado. Construir un cuadrado equivalente a un paralelogramo dado. • Expresión del área de la superficie de un triángulo equilátero.
Inscribir un polígono regular de 8. Programa de Matemática II Página 43
.. tres y cuatro lados. corona. un arco de longitud igual al radio de la misma. segmento y trapecio circulares. • (EDA)Teorema: Los perímetros de dos polígonos regulares de un mismo número de lados son entre sí como los radios o los apotemas respectivos. • Corolario: Los ángulos centrales de un polígono regular son iguales entre sí y suplementarios de los internos del polígono. ángulo central. • Corolario: El área de un círculo es igual a la mitad del producto de la longitud de su circunferencia por el radio. lados en una circunferencia dada.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • Corolario: La recta que contiene un radio de un polígono regular bisecta el ángulo por cuyo vértice pasa. • (EA)Corolario: La relación de la circunferencia al diámetro es un número constante. • Corolario: Todo polígono equilátero inscrito es polígono regular. • Unidad de medida en el sistema radial o circular para la medida de arcos y ánulos: • Arco de un radián: es el arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia a la que pertenece. 24. • Ejercicios de construcciones geométricas: o o o o o Inscribir un cuadrado en una circunferencia dada. • Áreas del sector.. • Corolario: relativo al cálculo de los lados de los polígonos regulares diez y cinco lados. • (EDA)Teorema: Dos polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes. lados en una circunferencia dada. 32.. • (EA)Corolario: La longitud de una circunferencia es igual al doble del producto de π por el radio. • (EA) Teorema: Todo polígono regular tiene una circunferencia inscrita y una circunscrita. • (EA)Teorema: El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema. • Corolario: relativo al cálculo de los lados de los polígonos regulares seis. . 48.Paraguay
Construir un polígono semejante a un polígono dado y cuya área de superficie esté en una relación igual a la de dos segmentos dados m y n con el área de la superficie del polígono dado.. en función del radio de la circunferencia circunscrita.. . • (EA)Teorema: Dos circunferencias son entre sí como sus radios respectivos. Inscribir un polígono regular de 12. centro. • Ángulo de un radián: es el ángulo central que intercepta en su circunferencia.
• Polígonos regulares: radio. en función del radio de la circunferencia circunscrita. Inscribir un triángulo equilátero en una circunferencia dada.. • Corolario: Todo polígono equiángulo circunscrito es polígono regular. apotema. Inscribir un exágono regular en una circunferencia dada. • Fórmula de la longitud de un arco de una circunferencia. 16.
PRO-A-CPI. y se lo representa por la letra griega π.
• Determinación gráfica del lado del pentágono y del decágono regular. • Relación entre el lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia y el lado del polígono regular de doble número de lados inscrito en la misma circunferencia: • Relación entre el lado de un polígono regular circunscripto a una circunferencia y el lado del polígono regular de igual número de lados inscrito en la misma circunferencia. Inscribir un polígono regular de 20. Verificación. Inscribir un pentadecágono regular en una circunferencia dada. coseno y tangente del arco mitad. • Circunferencia trigonométrica. • Signos de la funciones trigonométricas de arcos del primer. tangente. a) Fórmulas del seno.. que difieren en una semicircunferencia positiva y arcos de igual valor absoluto y signos contrarios. Identidad condicionada. 60. arc cotangente. • Resolución de ecuaciones trigonométricas. tercer y cuarto cuadrantes. Representaciones gráficas. Líneas trigonométricas. tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos arcos... Fórmulas fundamentales y derivadas. • Funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo en función de sus lados. coseno.Paraguay
Inscribir un decágono regular en una circunferencia dada. a) Transformación en producto de la suma y diferencia de dos senos. arc secante y arc cosecante. coseno. coseno. b) Fórmulas del seno. • (EDA) Deducción de las fórmulas trigonométricas del primer grupo. Programa de Matemática II Página 44
. Inscribir un pentágono regular en una circunferencia dada.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • (EDA)Deducción de las fórmulas trigonométricas del tercer grupo. • Relaciones entre funciones trigonométricas de arcos suplementarios. . Relaciones entre funciones trigonométricas de arcos complementarios. lados en una circunferencia dada. • (EDA) Deducción de las fórmulas trigonométricas del segundo grupo. b) Transformación en sumas y diferencias de un producto de dos senos y de dos cosenos.
PRO-A-CPI. cotangente. Representación gráfica de las funciones trigonométricas. y tangente del arco doble. secante y cosecante de un arco. segundo. lados en una circunferencia dada.. Inscribir un polígono regular de 30. • Funciones trigonométricas: seno. c) Fórmulas del seno. 40. arc coseno.
• Nociones preliminares de Trigonometría.. • Funciones trigonométricas inversas: arc seno. de dos cosenos y de dos tangentes. . arc tangente. • Identidades. • Reducción de funciones trigonométricas de un arco a funciones trigonométricas de un arco del primer cuadrante. • (DA) Cálculo geométrico de los valores de las funciones trigonométricas de arcos notables..
Y sin punto común alguno
• Rectas perpendicular. todo punto exterior al plano pertenece a una u otra región. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. (EA) El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre los mismos.Paraguay
• Resolución de sistemas de ecuaciones trigonométricas. en dos clases o regiones.
PRO-A-CPI. • Definición de semiespacio. y. oblicua y paralela a un plano. recta del plano.
• En un triángulo: o o o (EA) Los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. lo es al plano que determinan. coseno y tangente de la mitad de un ángulo de un triángulo en función de sus lados: • Expresiones del área de un triángulo en función de sus lados: (Fórmula de Herón)
• Determinación del plano. y no perteneciente al plano. Programa de Matemática II Página 45
. tienen una recta común que pasa por dicho punto. • Definición de rectas coplanares y alabeadas. Un cateto es igual al otro cateto por la cotangente del ángulo contiguo al primer cateto. • Consideraciones de o o un plano. • (EDA)Teorema: Si una recta es perpendicular a otras dos en su punto de intersección. con un punto común. (EA) La suma de los lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la semidiferencia de los mismos. una recta y un plano. Un cateto es igual al otro cateto por la tangente del ángulo opuesto al primer cateto. Mediante una recta y un punto exterior a ella. tres puntos no pertenecientes al plano y la intersección de los segmento de extremos en dichos puntos. • (EA)Teorema: E1: Dos planos con un punto común. • Observaciones sobre la clasificación de los puntos de una recta que corta a un plano. • Axioma: (de ordenación) Todo plano establece una clasificación de los puntos del espacio no contenidos en él. • En un triángulo rectángulo: o o o o o Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto a dicho cateto. borde de semiespacios y semiespacios opuestos. dos rectas que se cortan y dos rectas paralelas. Un cateto es igual a la hipotenusa por el coseno del ángulo contiguo a dicho cateto.
• Expresiones del seno. • Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo .
• Definición de distancia de un punto a un plano. uno paralelo a dos rectas no situadas en un mismo plano. • (EDA)Teorema: Si dos rectas son paralelas. Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza la recta perpendicular a cualquier recta del plano. y. a) Por un punto de una recta pasa un solo plano perpendicular a ella. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de tres puntos no pertenecientes a una misma recta es la recta perpendicular al plano determinado por los tres puntos por el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos. la otra también lo es. es mayor el del pie más distante. • Corolario: Si una recta es paralela a un plano. • (EA)Teorema: Si una recta es paralela a un plano.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • Corolario: Todos los segmentos oblicuos iguales comprendidos entre un plano y un punto exterior a él. o El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos puntos dados. e) El menor de los segmentos de rectas comprendidos entre un plano y un punto exterior a él. de dos segmentos oblicuos desiguales. • Corolario: Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre sí. • Dos rectas paralelas a una tercera.
• (EDA)Teorema: (de las tres rectas perpendiculares). es perpendicular a la mencionada recta cualquiera del plano. el pie del mayor dista más del de la recta perpendicular. b) (EDA) Por un punto exterior a una recta pasa un solo plano perpendicular a ella.
PRO-A-CPI. y. Programa de Matemática II Página 46
. de dos segmentos oblicuos cuyos pies no equidistan del de la recta perpendicular por el punto al plano. por el punto medio del segmento de extremos en dichos puntos.Paraguay
• Corolario: Todas las rectas perpendiculares a una recta en un mismo punto están en un plano perpendicular a ella en ese punto. también es paralela a la intercepción de dicho plano con cualquier otro plano que contenga a la recta. toda recta determinada por la intersección de estas dos y un punto de la recta perpendicular al plano. • (EA)Teorema: Si una de dos rectas paralelas es perpendicular a un plano. • (EA) Teorema: Por cada una de dos rectas no situadas en un mismo plano pasa un plano paralelo a la otra y sólo una. tienen sus pies equidistantes del de la recta perpendicular trazada por el punto al plano. c) Por un punto de un plano pasa una y solo una recta perpendicular a dicho plano. lo son entre sí. es el perteneciente a la recta perpendicular al plano por dicho punto. todo plano que contiene a una sola de ellas es paralelo a la otra. son iguales. toda recta paralela a aquella trazada por un punto del plano está contenida en el plano. • (EA) Teorema: Por un punto cualquiera puede trazarse un plano y sólo. d) Por un punto exterior a un plano pasa una recta y solo una perpendicular a dicho plano. • Definición de planos paralelos. es el plano perpendicular a la recta determinada por ellos. • Corolario: Considerados un plano y un punto exterior: los segmentos oblicuos cuyos pies equidistan del de la recta perpendicular por el punto al plano. • (EDA)Teorema: Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí.
sus caras no comunes son semiplanos opuestos. • (EDA)Teorema: si una recta es perpendicular a un plano. • (EDA)Teorema: Por una recta no perpendicular a un plano pasa un plano y solo uno perpendicular al primero. diedro recto. de una figura y de una recta sobre un plano. Programa de Matemática II Página 47
. • Corolario: Por una recta paralela a un plano pasa un plano y solo uno paralelo al dado. • Corolario: Los segmentos de rectas paralelas interceptados por planos paralelos son iguales. • Corolario: Si una recta es perpendicular a un plano. diedros adyacentes. lo es a su intersección. • (EDA)Teorema: si los Ángulos rectilíneos de dos diedros son iguales. Ángulo rectilíneo de un diedro. • (EDA)Teorema: Si dos rectas que se cortan son paralelas a un plano. • Corolario: Si la suma de los rectilíneos de dos diedros consecutivos es igual a dos rectos. • Definición de: Ángulo diedro. estará contenida en éste último. todo plano que la contiene también lo es. su proyección sobre él es un punto. toda recta perpendicular a la intersección y contenida en uno de ellos. es perpendicular al otro.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . • Corolario: Dos planos que se cortan forman diedros adyacentes suplementarios. son proporcionales. • (EDA)Teorema: si un plano es perpendicular a otros dos que se cortan. • Corolario: Dos planos paralelos equidistan en todos sus puntos. • (EA)Teorema: Si una recta es perpendicular a uno de dos planos paralelos. división de un diedro. son rectas paralelas. diedros opuestos por la arista. planos perpendiculares. • (EA)Teorema: La proyección de una recta sobre un plano al que no es perpendicular. es una recta del otro. • (EA)Teorema: Si dos planos son perpendiculares entre sí.Paraguay
• (EA) Por un punto exterior a un plano pasa un plano y solo uno. • (EA)Teorema: Las intersecciones de un plano con otros dos paralelos. • Definición de proyección de un punto. toda recta perpendicular a uno de ellos por un punto cualquiera del otro. es menor que el que forma con cualquier otra recta del plano que pasa por su pie. • (EDA)Teorema: Si dos planos son perpendiculares entre sí.
PRO-A-CPI. • (EA)Teorema: Si dos planos son perpendiculares entre sí. toda recta perpendicular a uno de ellos y que corta su intersección. es una recta. paralelo a dicho plano. bisector de un diedro. los diedros también lo son. • (EDA)Teorema: Los segmentos determinados en dos rectas del espacio por tres o más planos paralelos. • Corolario: Dos diedros son entre sí como sus ángulos rectilíneos respectivos. • Definición de ángulo de una recta y un plano • (EA) Teorema: El ángulo agudo que una recta forma con su proyección sobre un plano. • Corolario: El ángulo rectilíneo de un diedro es la medida del diedro. • Corolario: el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano bisector del diedro. diedros consecutivos. es perpendicular al otro. diedros congruentes o iguales. el plano que determinan también lo es.
el ángulo con vértice en el punto es suplemento del rectilíneo del diedro. área total y volumen. • Cono circular. • Definición de superficie esférica: centro. y si dos caras son desiguales. y. • (EDA)Teorema: En todo triedro. b) la sección es un polígono semejante a la base. cilindro de revolución. hexaedro regular. Clasificación. una cara es menor que la suma de las otras dos y mayor que la diferencia de las mismas. Área de la superficie esférica y volumen de la esfera. Prisma truncado: características. octaedro regular. triedro trirrectángulo. • (EA)Corolario: Si se corta una pirámide cualquiera con un plano paralelo al que contiene a la base: a) las aristas y la altura quedan divididas en segmentos proporcionales. características y fórmulas de área lateral. área total y volumen • Tronco de pirámide de bases situadas en planos paralelos. • Paralelepípedos: recto y rectángulo. área total y volumen. Cilindro. Figuras obtenidas con planos secantes y tangentes a una superficie esférica. • Cilindros: recto y oblicuo. altura. • Definición de superficie poliédrica convexa. características y formulas de área lateral. radio. rectas y planos tangentes a una superficie esférica. sección de un cilindro. altura y sección recta. cono de revolución. área total y volumen. unidad de volumen sólidos equivalentes. ángulo poliedro. tronco de cono de bases situadas en planos paralelos.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . Programa de Matemática II Página 48
. área total y volumen. • Cuerpos poliedros regulares posibles. • Pirámide: áreas: lateral y total. apotema.Paraguay
• (EDA)Teorema: Si por un punto interior de un ángulo diedro se trazan rectas perpendiculares a los planos que contienen las caras del diedro. los diedros opuestos a ellas son iguales. si los diedros son desiguales a mayor diedro se opone mayor cara. • (EA)Teorema: En todo triedro se verifica que si dos caras son iguales. Circunferencia menor y circulo menor. características y formulas de área lateral. superficies esféricas tangentes entre si. a diedros iguales se oponen caras iguales. rectas y planos secantes a una esfera. • Prismas: recto y oblicuo. clasificación y formulas de área lateral.
PRO-A-CPI. conos: recto y oblicuo. pirámide inscrita y circunscrita a un cono. • Esfera. cilindro circular. apotema características y formulas de área lateral. • Definiciones de circunferencia máxima y círculo máximo. tronco de pirámide regular. características y fórmulas de área lateral. área total y volumen. • Corolario: Toda sección plana de una esfera es un círculo. • Definición de plano tangente a un cono. • (EA)Teorema: En todo triedro. dodecaedro regular e icosaedro regular. cubo. • Definición de ángulos triedro. pirámide regular. cuerpos poliedros convexos. a la cara mayor se opone mayor diedro. • Definición de superficie cilíndrica: directriz y generatriz. prisma inscrito y circunscrito a un cilindro. Prisma regular. • Definición de plano tangente a un cilindro. ángulos poliedros iguales o simétricos. sección cónica. tetraedro regular. • Definición de superficie cónica: directriz y generatriz. Polos de un círculo. • (EDA)Teorema: La suma de las caras de un Angulo poliedro es mayor que cero y menor que cuatro ángulos rectos. altura.
Textos Básicos • Héctor A. Darío Coronel. Problemas gráficos y numéricos de Geometría • Ediciones Bruño Geometría.A. Lecciones de Geometría Plana y del Espacio. Swokowski Álgebra.
PRO-A-CPI. Civ. Editorial Porrúa. Trigonometría con Geometría Analítica. 1.Paraguay
IV. México • Frank Ayres Trigonometría Plana y Esférica. • Teoremario de Geometría Plana y del Espacio Ing. Rojas – Raimundo Sánchez A. Curso superior. 3ª Edición. Madrid España.Grupo Editorial Iberoamérica. • Jorge Wentworth. Serie de compendios Schaum de Mc Graw Hill Textos Complementarios • Earl W. España. 2 ª Edición . Manuel García Ardura. • Ángel Secchia – Severino Montiel Problemas de Geometría Plana • Ángel Secchia – Severino Montiel Problemas de Geometría del Espacio • Ángel Secchia –Francisco Pujol Problemas de Trigonometría rectilínea y esférica • D. Edición 2004.Universidad Nacional de Asunción Facultad de Ingeniería
Campus Universitario – San Lorenzo . David Eugenio Smith Geometría Plana y del Espacio. Prentice-Hall Hispoamericana S.988 • Walter Fleming – Dale Varberg Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Programa de Matemática II Página 49
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