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Timestamp: 2020-06-02 09:45:31+00:00

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Seminario de Resolución de Problemas: Grupos, anillos y campos
En estas entradas hemos visto cómo distintas herramientas de álgebra nos pueden ayudar en la resolución de problemas. En las primeras dos entradas, hablamos de identidades algebraicas básicas y un par de avanzadas. Luego, hablamos de factorización en polinomios y del teorema de la identidad. Ahora platicaremos de cómo estructuras un poco más abstractas nos pueden ayudar. De manera particular, nos enfocaremos en aplicaciones de teoría de grupos a la resolución de problemas. Sin embargo, hacia el final de la entrada también hablaremos un poco acerca de anillos, dominios enteros y campos.
Teoría de grupos básica
Una de las nociones de álgebra abstracta más básicas, y a la vez más flexibles, es la de grupo. La teoría de grupos es muy rica y se estudia a profundidad en un curso de álgebra abstracta o álgebra moderna. Aquí veremos únicamente un poco de esta teoría y algunas aplicaciones a resolución de problemas. Comenzamos con la definición.
Definición. Un grupo es un conjunto no vacío con una operación binaria que cumple lo siguiente:
Asociatividad: Para cualesquiera elementos en tenemos que .
Neutro: Existe un elemento en tal que .
Inversos: Para cada elemento en , existe un elemento en tal que .
Usualmente se simplifica la notación de la siguiente manera. Por un lado, en vez de poner el símbolo de producto, simplemente se ponen elementos consecutivos, por ejemplo . Además, por la asociatividad, muchas veces no se ponen los paréntesis, de modo que expresiones como se escriben simplemente como , a menos que los paréntesis ayuden a entender un argumento.
Hay que tener cuidado con invertir el orden de factores. En grupos, no necesariamente sucede que la operación es conmutativa, es decir, que para todo par de elementos y . Si decimos que y conmutan y si todo par de elementos de conmutan, decimos que es conmutativo. Un elemento siempre conmuta consigo mismo. Para un entero positivo definimos como el producto formado por veces el elemento .
A partir de la definición se puede ver que el neutro es único, pues si hubiera dos neutros y tendríamos , en donde primero usamos que es neutro y después que lo es. Para en , definimos como .
En grupos se vale «cancelar». Por ejemplo, si , entonces podemos multiplicar esta igualdad a la izquierda por un inverso de y obtendríamos
Del mismo modo, la igualdad implica .
En particular, si y son inversos de , tenemos , de donde . Esto muestra que los inversos también son únicos, así que al inverso de le llamamos . Observa que . Nota que si y son elementos de , entonces
de modo que el inverso de un producto es el producto . Para un entero positivo, definimos como el inverso de , que por lo anterior, es precisamente . De hecho, ya definido para todo entero, se puede verificar que se satisfacen las leyes usuales de los exponentes.
Problema. Sean y dos elementos en un grupo con neutro tales que , y . Muestra que .
Sugerencia pre-solución. Observa que si y conmutaran, entonces el resultado se deduce fácilmente de la primer igualdad. Así, intenta modificar el problema a demostrar que y conmutan. Para ello tienes que hacer un paso intermedio que necesita inducción.
Solución. Lo primero que veremos es que y conmutan. Poniendo una identidad entre ambas en el producto , tenemos que
De , tenemos , así que siguiendo con la cadena de igualdades,
Ahora veremos que y conmutan. Para ello, como y conmutan, tenemos que y conmutan para cualquier entero . Esto se puede probar por inducción. El caso es lo que ya probamos. Si es válido para cierta , se sigue que
Por hipótesis, , así que el resultado anterior nos dice que y conmutan.
Por esta razón, la primer hipótesis se puede reescribir como , que por cancelación izquierda da , como queríamos mostrar.
Dentro de un grupo pueden vivir grupos más pequeños.
Definición. Un subgrupo de un grupo es un subconjunto de que es un grupo con las operaciones de restringidas a .
Para que sea subgrupo, basta con que no sea vacío y que sea cerrado bajo la operación de grupos y la operación «sacar inverso».
Por ejemplo, se puede ver que , los enteros módulo con la suma, forman un grupo. De aquí, es un subgrupo y es otro.
Proposición. Si es un elemento de un grupo , entonces o bien
son todos elementos distintos de , o bien existe un entero positivo tal que y son todos distintos. En este segundo caso, es un subgrupo de .
Sugerencia pre-demostración. Divide en casos. Luego, usa el principio de cancelación o las leyes de exponentes para grupos.
Demostración. Si todos los elementos son distintos, entonces no hay nada que hacer. De otra forma, existen tales que , de donde por la ley de cancelación tenemos que y . Así, el conjunto de enteros positivos tales que es no vacío, de modo que por el principio de buen orden tiene un mínimo, digamos .
son todos distintos. En efecto, de no ser así, como en el argumento de arriba existirían tales que , pero sería una contradicción a la elección de como elemento mínimo.
Probemos ahora que es subgrupo de . Si tenemos y en , su producto es . Por el algoritmo de la división, , con , de modo que
así que es cerrado bajo productos. Además, si , entonces y . Así, es cerrado bajo inversos. Esto muestra que es subgrupo de .
En teoría de grupos, la palabra «orden» se usa de dos maneras. Por un lado si es un grupo, su orden es la cantidad de elementos que tiene. Por otro, dado un elemento , el orden de es el menor entero positivo tal que , si es que existe.
Definimos al subgrupo generado por como
La proposición anterior dice que si es finito, entonces es un subgrupo de de orden A los grupos de la forma se les llama cíclicos.
Cuando estamos trabajando con grupos finitos, el orden de un subgrupo debe cumplir una condición de divisibilidad.
Teorema (de Lagrange). Sea un grupo finito y un subgrupo de . Entonces divide a .
No daremos la demostración de este teorema, pero veremos algunos corolarios que sirven en la resolución de problemas.
Proposición. Sea un grupo finito.
Si es un primo , entonces es cíclico.
El orden de cualquier elemento de divide al orden de , y por lo tanto .
Si es un elemento de de orden y , entonces divide a .
Demostración. Para la primer parte, si tomamos un elemento de que no sea , ya vimos que es un subgrupo cíclico de . Por el teorema de Lagrange, su orden debe dividir al primo . Pero el orden de es al menos , así que el orden de debe ser y por lo tanto .
Como vimos arriba, el orden de es el orden de , que divide a . Así,
Con esto queda probado el segundo punto.
Para el último punto, usamos el algoritmo de la división para escribir con entre y . Tenemos que
Por lo visto en la sección anterior, necesariamente , así que divide a .
Veamos cómo se pueden aplicar algunas de las ideas anteriores a un problema de teoría de grupos concreto.
Problema. En un grupo , tenemos elementos y tales que y . Determina qué posibles valores puede tener el orden de .
Sugerencia pre-solución. Conjetura una fórmula para buscando un patrón. Establécela por inducción.
Solución. El orden de debe dividir a , así que es o o . Si es , entonces , por lo que por la hipótesis tenemos . De aquí , así que el orden de es . La otra opción es que el orden de sea .
Afirmamos que para todo entero se tiene que . Esto se prueba inductivamente. Es cierto para por hipótesis. Si se cumple para cierta y elevamos la igualdad al cuadrado, tenemos que
lo cual termina la inducción.
En particular, para tenemos que , por lo que , y por lo tanto . Como es primo, el orden de puede ser ó .
En realidad, en el problema anterior falta mostrar que en efecto existe un grupo que satisfaga las hipótesis, y para el cual el orden de sea exactamente . Esto no lo verificaremos aquí.
Teoría de grupos en teoría de números
Lo que hemos platicado de teoría de grupos se vale para grupos en general. Cuando aplicamos estos resultados a grupos particulares, tenemos nuevas técnicas para resolver problemas. Uno de los casos que aparecen más frecuentemente es aplicar teoría de grupos en problemas de teoría de números.
Si tomamos un entero , los enteros entre y que son primos relativos con forman un grupo con la operación de producto módulo . Si llamamos a la cantidad de primos relativos con entre y , el teorema de Lagrange da el siguiente corolario.
Teorema (de Euler). Para todo entero positivo y un entero primo relativo con , se tiene que
Como corolario al teorema de Euler, tenemos el pequeño teorema de Fermat, que hemos discutido previamente aquí en el blog.
Teorema (pequeño teorema de Fermat). Para un primo y un entero que no sea múltiplo de , se tiene que
Así, cuando es primo y no es múltiplo de , se tiene que el orden de divide a . Veamos un ejemplo en donde esta idea forma parte fundamental de la solución.
Problema. Muestra que para ningún entero se tiene que divide a .
Sugerencia pre-solución. Procede por contradicción, suponiendo que sí existe. Considera un primo que divida a y que además sea extremo en algún sentido. Trabaja módulo .
Solución. Supongamos que existe un entero tal que divide a . Sea el primo más pequeño que divide a . Tomemos el orden de en el grupo multiplicativo .
Por un lado, como divide a y divide a , se tiene que divide a y por lo tanto
De esta forma, divide a .
Por otro lado, por el pequeño teorema de Fermat, tenemos que
así que divide a y por lo tanto .
Si , entonces tiene un divisor primo que divide a y es menor que , lo cual es imposible pues elegimos a como el menor divisor primo de . De esta forma, . Pero esto da la contradicción .
Anillos, dominios enteros y campos
Cuando se están resolviendo problemas, es importante tener en mente que existen otras estructuras algebraicas. Definiremos sólo las más comunes y veremos un problema ejemplo.
Definición. Un anillo es un conjunto con dos operaciones binarias suma y producto tales que:
con la suma es un grupo conmutativo.
El producto en es asociativo, es decir para en .
Se cumple la ley distributiva, es decir y para en .
El producto en no tiene por qué ser un grupo. De hecho, ni siquiera tiene que tener neutro.
Definición. Si un anillo tiene neutro, decimos que es un anillo con . Si la multiplicación de es conmutativa, decimos que es conmutativo.
Definición. Un dominio entero es un anillo conmutativo con uno en donde además se vale cancelar, es decir, implica y implica .
Definición. Un campo es un anillo conmutativo con uno en donde cada elemento tiene inverso multiplicativo. En otras palabras, es un anillo en donde la suma y el producto son grupos.
Problema. Muestra que todo dominio entero finito es un campo.
Sugerencia pre-solución. Usa el principio de las casillas.
Solución. Supongamos que es un dominio entero con una cantidad finita de elementos. Lo único que falta para que sea campo es que los elementos tengan inversos multiplicativos.
Sea un elemento de y supongamos que no tiene inverso multiplicativo. Entonces, los números
sólo pueden tomar a lo más valores diferentes, de modo que por principio de las casillas existen dos de ellos que son iguales, digamos para .
Como es dominio entero, se vale cancelar, lo cual muestra . Esto es una contradicción, pues y eran elementos distintos de . Así, todo elemento tiene inverso multiplicativo.
En cursos de matemáticas a nivel superior se ven muchos ejemplos de estas estructuras algebraicas. En cursos de Álgebra Superior se construye el dominio entero de enteros . Se construyen los campos , y . También, se construyen los anillos de polinomios . La noción de campo es fundamental cuando se construye la teoría de Álgebra Lineal. Como se puede ver, la teoría de álgebra es muy amplia, así que esta entrada sólo queda como invitación al tema.
Puedes encontrar más problemas de estructuras algebraicas en la Sección 4.4 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.
Esta entrada se publicó en Matemáticas y está etiquetada con anillos, campos, dominios enteros, grupos, heurísticas, lagrange, orden, teoría de grupos, teoría de números en abril 24, 2020 por Leo.
Seminario de Resolución de Problemas: Aritmética de números complejos
En entradas anteriores de esta sección hablamos de propiedades aritméticas de números enteros. En esta entrada veremos varias de las propiedades aritméticas de los números complejos y cómo se pueden usar para resolver problemas, incluso aquellos en los que los números complejos no están mencionados de manera explícita en el enunciado.
Distintas formas de los números complejos
La forma más común en la que pensamos en números complejos es en su forma rectangular, en donde un complejo se escribe de la forma , en donde y son números reales y pensamos a como un número tal que . A le llamamos la parte real y a la parte imaginaria.
Podemos colocar al complejo en el plano cartesiano, identificándolo con el punto . De aquí, la forma polar del complejo es , en donde es la norma y si , es el argumento, que es el ángulo en el sentido antihorario desde el origen entre el eje horizontal y el punto . Si , no definimos el argumento.
Forma polar y rectangular de un complejo.
Así como le hacíamos en el caso de trabajar con módulos, a veces conviene pensar que el argumento es el único ángulo en que cumple lo anterior. En otras ocasiones, conviene pensar al argumento como a veces que es la clase de todos los ángulos módulo .
Cuando tenemos a complejos y en forma rectangular, su suma corresponde geométricamente a encontrar la diagonal del paralelogramo definido por , y el origen, pues corresponde justo al punto .
Suma de números complejos.
Su multiplicación en forma rectangular es , que geométricamente no es tan claro que sea.
La forma exponencial es simplemente una forma de abreviar a la forma polar, pues por definición . En forma exponencial, el producto es más sencillo de entender.
Ejercicio. Demuestra lo siguiente:
Muestra que la norma es multiplicativa, es decir, que para complejos y se tiene que .
Sugerencia. Para el primer punto, haz las cuentas usando la forma rectangular. Para el segundo punto, escribe las definiciones de todos los términos en forma polar. Haz las multiplicaciones en el lado izquierdo y usa las fórmulas trigonométricas para sumas de ángulos.
Por el ejercicio anterior, si tenemos a los complejos en forma polar , , entonces el producto es , de modo que el producto corresponde al complejo con el producto de normas y suma de argumentos. En ocasiones esto nos permite plantear algunos problemas geométricos en términos de números complejos.
Aplicaciones de aritmética de complejos
Veamos dos aplicaciones de la teoría anterior a problemas que no mencionan en el enunciado a los números complejos.
Problema. Sean y enteros. Muestra que el número se puede expresar como la suma de los cuadrados de dos números enteros.
Podría ser tentador usar el binomio de Newton para elevar el binomio a la -ésima potencia. Sugerimos que intentes esto para darte cuenta de las dificultades que presenta.
Sugerencia pre-solución. Escribe a como el cuadrado de la norma de un complejo y usa que es multiplicativa.
Solución. El número es la norma al cuadrado del número complejo . Entonces, el número es la norma al cuadrado del número complejo . Pero al desarrollar obtenemos únicamente a , potencias de y de , y coeficientes binomiales. De modo que con y enteros (aquí estamos usando notación adecuada: no es necesario saber quienes son, sólo que son enteros). Así, con y enteros.
Veamos ahora un ejemplo de geometría. Este problema es posible resolverlo de muchas formas, pero notemos que los números complejos nos dan una forma de hacerlo de manera algebraica de manera inmediata.
Problema. En la siguiente figura hay tres cuadrados de lado pegados uno tras otro. Determina la suma de los ángulos marcados con y .
Determinar el valor de la suma .
Sugerencia pre-solución. El problema pide determinar una suma de ángulos, así que conviene pensar esta suma de ángulos como el ángulo del producto de dos complejos. Haz tu propia figura, pero ahora sobre el plano complejo.
Solución. El ángulo es igual al argumento del complejo y el ángulo es igual al argumento del complejo . De esta forma, es igual al argumento del complejo . Este complejo cae sobre la recta , de modo que su argumento es .
Este problema también se puede resolver de (numerosas) maneras geométricas, que puedes consultar en este video.
El siguiente teorema se puede demostrar por inducción sobre .
Teorema (fórmula de De Moivre). Para cualquier entero y ángulo se tiene que
Dicho de otra forma, en términos de la forma exponencial, se vale usar la siguiente ley de los exponentes
La fórmula de De Moivre es otra herramienta que ayuda a resolver problemas de números reales enunciándolos en términos trigonométricos. El truco consiste en:
Tomar una expresión real que queramos entender.
Identificarla como la parte real o imaginaria de una expresión compleja.
Usar la aritmética de números complejos para entender la expresión compleja.
Regresar lo que entendamos a los reales.
Veamos un par de ejemplos, relacionados con funciones trigonométricas. Comenzamos con una fórma de encontrar la fórmula para el coseno de cinco veces un ángulo.
Problema. Sea . Expresa a en términos de .
Sugerencia pre-solución. Identifica a como la parte real de un número complejo. Inspírate en la fórmula de De Moivre. Usa binomio de Newton.
Solución. Por la fórmula de De Moivre, es la parte real del complejo , así que calculemos quién es exactamente este número usando binomio de Newton. Para simplificar la notación, definimos y . Tenemos que
Además, por la identidad pitagórica recordemos que , de donde , de modo que la parte real de la expresión anterior es
que agrupando es
Recordando que es , obtenemos la fórmula final
En muchos problemas se utilizan las raíces de la ecuación .
Teorema. Sea un entero. Las ecuación tiene soluciones complejas, que en el plano complejo forman los vértices del -ágono regular con centro en y tal que uno de sus vértices es . Si es la raíz de menor argumento positivo, entonces estas soluciones son .
Raíces -ésimas de la unidad para .
A estas soluciones les llamamos las raíces -ésimas de la unidad. Notemos que , y que en general si escribimos a un entero usando el algoritmo de la división como , entonces . ¡Los productos de raíces de la unidad se comportan como los elementos de bajo suma módulo !
Proposición. Sea un entero. La suma de las raíces -ésimas de la unidad es y su producto es .
La proposición anterior nos permite, en ocasiones, «filtrar» ciertas expresiones algebraicas. A continuación presentamos un ejemplo, que retomamos de los primeros ejemplos que vimos, cuando estábamos aprendiendo la heurística de encontrar un patrón.
Problema. Determina el valor de la suma
Sugerencia pre-solución. Si no recuerdas lo que debería salir, vuelve a experimentar con los primeros valores, para cuando en vez de usar se usan números más chiquitos. Para entender mejor el patron, generaliza el problema, y en vez de sólo tener múltiplos de abajo, explora también qué sucede cuando tienes los números que dejan residuo , o módulo .
Ya que recuerdes la fórmula que queremos, considera una raíz cúbica de la unidad distinta de . Calcula , y usando el binomio de Newton y aprovechando que toda potencia de es , u para simplificar la notación.
Solución. Sea una raíz cúbica de la unidad distinta de . Tenemos que y que . De este modo, podemos usar y el binomio de Newton para calcular las siguientes expresiones
¿Qué sucede al sumar las tres expresiones? En el lado derecho, cada vez que es un múltiplo de , tenemos , y cada vez que no es un múltiplo de , tenemos
¡Se filtran exactamente los coeficientes binomiales con parte inferior múltiplo de ! Así, tres veces la suma que buscamos es igual a
Esta ya es una expresión suficientemente cerrada, pero podemos simplificar todavía más:
Así, la expresión que queremos es .
Puedes ver más ejemplos del uso de esta teoría en la Sección 3.5 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.
Esta entrada se publicó en Matemáticas y está etiquetada con aritmética, complejos, conjugado, de moivre, heurísticas, multiplicación, norma, raíces n-ésimas, teoría de números en marzo 30, 2020 por Leo.

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