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Timestamp: 2020-08-06 01:56:56+00:00

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1991 - Estudios de Matemático Extra Escolar - Robert Morris | Física y matemáticas | Matemáticas
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DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA.doc
Educacion Participación educada Antolin Lopez
Alternativa Metodológica para facilitar el aprendizaje de l
Prog Anual 1ro 2013 - Aritmetica
Dialnet-ATreintaAnosDeLaTeoriaEducativaMatematicaEnElConte-4707699
5. Cuadernillo Inducción Al Alumno. Primer Semestre
Bases Concurso Solve4Tomorrow 2015
proyecto final, modulo II
ElSalvador Dr. Nieto Ponencia Quetzaltenango
UNEFA INGENIERIA PENSUM
Evaluacion Sexto Grado (1)
EduMat_ElisaBonilla_PrimeraParte_
Trabajo Grado Version Final Final-1
Plan de Estudio Mateamatica 2014
1 JUI.1991
Estudios en educacióty + matemática
Educación matemática extraescolar
Editado por Robert Morris
La ensefianza de las ciencias básicas
Oscar Ladera
Publicado en 1987 por la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura, Unesco - 7, place de Fontenoy, 75700 París - Francia
en 1990 por la Oficina
de la Unesco para América
92-9089-0134
ISBN 92-3-1025264
CaUnesco 1987
La enseñanza de matemática trae la imagen del pizarrón y de la tiza, y aún, quizás, de las calculadorasydelosmicrocomputadorcs.EstevolumendeEstudios~Ed~iónM~mática aporta una visión diferente, que no tiene nada que ver con el aula. En él seexaminan varias formas de alentara los alumnos para que aprendan matemática en la escuela, a través de ac- tividades realizadas fuera del aula o del edificio escolar, tales como clubes de matemática, ferias y competencias. Se describen, asimismo, formas de aportar educación matemática a aquellos que no asisten, oque no han asistido nunca quizás, a la escuela. Algunas de estas formas se vinculan a través de artículos de popularización matemática en la prensa o en la televisión, de museos de ciencia, de microcomputadores y de calculadoras en el hogar, medios todos que podrían estar disponibles para todo público interesado en aprender más matemática. Se espera que este volumen resulte de interés - y sobre todo de utilidad para aquellos que desean prolongar el aprendizaje de matemática. Los próximos volúmenes estarán dedicados a la enseñanza de la estadística y al papel de los microcomputadorcs en la enseñanza de matemática. Unesco deseaexpresar su reconocimiento a Robert Morris, editor de la serie, así como a todos los que han contribuido a este volumen, el sexto correspondiente a Estudios OI Educación Matemática. Los puntos de vista expresados en los diversos capítulos son, obvia- mente, los de susautores y no representan, necesariamente, ninguna posición de parte de la Unesco o del editor.
Parte 1: Actioidades pkmifd
para los dumnos
m4.sjbuenes
1. Clubes de matemática, por Su&
Rada-Aranda
2. Campamentos matemáticos, por Barbara Rabijewska y Mieczyshw Trad
3. Competencias y olimpíadas matemáticas , por Sum~l L. Greitxr
4. Olimpiadas matemáticas nacionales en Vietnam,
Hái Ch&.
Parte JI: ?b4&mbx
y ios medios
5. Las emisiones de radio y televisión y la Universidad Abierta
del Reino Unido,
por Frank Louis
6. Educación matemática a distancia, por Gordon Ktight
Parte 111:Otras fuentes
7. Educación matemática de los niños de talento en Hungria, por Ferenc Genwein
8. Matemática en clases de alfabetización,
por Raymond @p
9. Formación matemhica
para el trabajo, por Rudolf Straesser
en familia, porjerm Kerr Stenrnark
Parte IV: Un estudio de uu0
La matemática extraescolar en Colombia, por Mary Falk de Losada y Ricardo Losada Márquez
Notas biogdicas
Este sexto volumen de Estudiosen Educucibn Matemática rompe completamente con el aula,
ya que estádedicado, exclusivamente, ala educación matemáticaextraescolar. La amplitud del tema permite considerarlo separado en tres sectores, a saber: actividades dirigidas a alentar aquellos que están todavía en los niveles primario y secundario de la educación; la matemática difundida por los medios de comunicación; y las otras varias formas de proporcionar y de apoyar la educación matematica, distintas de las dos anteriores. Las actividades extraescolares que se ofrecen a los que están todavla en la escuela incluyen clubes de matemática, campamentos matemáticos, competencias matemáticas, matemática en ferias de ciencia y en otros tipos de ferias y aquellas visitas y excursiones especialmente organizadas para mostrar la matemática empleada en las actividades hu- manas. La matemática surge, unas veces, deliberadamente de los medios de difusión cuando, por ejemplo, se dictan cursos regulares por radio y televisión y, otras veces, aparece por accidente cuando, por ejemplo, el editorialista de un periódico de prestigio se lamenta de que “la mitad de todos los escolares esdn por debajo del promedio de habilidad para la lectura”. Y hay que agregar, todavia, que existen muchos tipos de libros y revistas que
artículos de matemática o, más a menudo aún, acertijos matemáticos.
Las “otras fuentes”
incluyen museos de ciencia con exhibiciones sobre matemática,
cursos de matemática específicamente orientados hacia una ocupación determinada, educación matemática proporcionada por una fuente distante, instrucción matemática brindada en clasesalfabetizadas de adultos y, como esde suponer, la presencia creciente de calculadoras y de computadores en los hogares que, ademásde ser tratados como juguetes, siempre realizan tarea instructiva. Las tres categorias que se terminan de presentar muy brevemente explican la sub-
esta dedicada a un caso de estudio referente a la matemática extraescolar en
Los clubes de matemática constituyen el tema del Capítulo 1. Su propósito esencial, como lo señala Saulo Rada-Aranda, es completar y enriquecer la cuota regular de matemática que sebrinda en las aulas. Se discuten en este capitulo, los propósitos de estos clubes, la forma como podnan estar organizados asi como el tipo de actividades que podrían llevarse a cabo. Bárbara Rabijewska y Mieczyslaw Trad informan, en el Capítulo 2, respecto
material que aparece en las tres primeras partes del volumen. La cuarta parte
lntmducción
a los campamentos de verano en Polonia,
anos, su valor como medios de alimentar
edad escolar que han demostrado talento para matemática. Su descripción de tales
campamentos brinda una descripción vívida de su organización, de las actividades que proporciona, asícomo dc la forma como estasactividades serelacionan con las actividades regularesdelClubPitágoraspara JóvenesMatemáticosalquepertenecenloscampamentos. Los capítulos siguientes seocupan de las competencias matemáticas, particularmente aquellas que tienen como propósito subsidiario poner en evidencia aquellos talentos des- tacados que pueden llevar la representación en una “olimpíada” internacional. En el primero de ellos, Samuel Greitzer proporciona información, en base a su larga experiencia con estasactividades, relativa al origen y al desarrollo de las Olimpíadas Matemáticas de los Estados Unidos de América y de las Olimpiadas Matemáticas Internacionales. Este informe conduce a una discusión interesante respecto a las diferencias entre “talento” y “aptitlldesH,asicomodelaformaenquelospaísespuedenatenderdela mejor forma-tanto
enlaescuelacomoenelámbitomásampliodelacomunida~aaquellosmatemáticamente
dotados. Su conclusión -de que el tamaño de un psis es menos importante que la estima
pública que se tiene en él por los maternaticos- se ve apoyada por el caso especial de Hungría. El Profesor Lê Hái Châu brinda, en el Capítulo 4, una información interesante
y clara respecto a la forma en que se identifica en Viemam a los alumnos que demuestran
aptitudes para la matemática, alentándolos y entrenándolos para competir en pruebas nacionales y regionales de habilidad matemática. El informe del Profesor Lê incluye un
conjunto de problemas propuesto en una reciente Olimpíada Nacional. Resulta
interés la forma como discute la influencia que las Olimpiadas Nacionales ejercen, en general, sobre la enseñanza de matemática a nivel escolar. El lugar de la matemáticaen los mediosdedifusiónconstituye un tema evasivo y, eneste volumen, sebrinda s610un ejemplo, a saber, el de la experiencia acumulada con el trabajo realizado en ese sector por la Universidad Abierta del Reino Unido de Gran Bretaña e
Irlanda del Norte. La discusión secentra sobre el material emitido dentro del contexto de los cursos básicosde matemática que proporciona la Universidad Abierta e incluye el lugar queocupanlosaudioylos videocasetes. Loque resultade especial interés, enloquerespecta
a la efectividadde estos medios,
de utilidad, mientras que las de radio no lo son. 0, para expresar la conclusión de manera más clara, que el material transmitido por radio no constituye un sustituto del material escrito, pero que el material televisado puede, en ciertos casos, aventajarlo. Este curso de matemática de la Universidad Abierta es seguido por alrededor de 3.400 estudiantes y una característica de su importancia, referida en el Capítulo 5, es la riqueza de ejemplos de las secuencias de instrucciónempkadas en el curso para ilustrar susmétodos de enseñanza. Se presentan, así, tres ejemplos del material empleado para preparar a los estudiantes para el curso, mientras que la secuencia titulada “Funciones y Números” ilustra respecto a la forma como se combinan las audiciones de televisión, los audiocasetes y el material escrito. Se cita, finalmente, una secuencia para la determinación de antigüedad mediante el empleo del carbono que conduce a la definición de axpara valores irracionales de x con la finalidad de transmitir el gusto del material post programa con el que concluye el curso. Sigue el Capítulo dedicado a “Educación Matemática a Distancia”. Basado en una experiencia realizada en Nueva Zelandia, logra una feliz yuxtaposición con el capítulo an- terior en el sentido de que refuerza los resultados de la Universidad Abierta, a saber, que los estudiantes que dependen para su aprendizaje de lo que les trae el correo, tienen que pasar,
los que han probado a través de los últimosdoce los intereses y las habilidades de los jóvenes en
esla conclusión de que las emisiones de televisión resultan
Inm&cci6n
casi invariablemente, por tres etapas de desarrollo intelectual: en primer termino un proceso de familiarización con una unidad de trabajo de manera de enterarse de lo relativo a lo que la Universidad Abierta llama “orientaci6n”; en segundo lugar, una etapa de trabajo activo para resolver una serie de problemas, etapa que la Universidad Abierta denomina “experiencia”; y en tercer lugar una etapa de terminación, etapa que la Universidad Abierta denomina “de dominio”. Esta evolución en tres etapas de la madurez matemática ha influenciado fuertemente el material diseñado durante los dieciséis años de enseñanza de matemática a distancia en Nueva Zelandia. El Capitulo 7 puede ser mirado como un interludio en el sentido de que se refiere más especificamente a la identificación de talentos que a su atención dentro de algún contexto extraescolar, apoyándose en la experiencia húngara la que, como seha dicho, es“especial”
en lo que se refiere a su preocupación por la matematica extraescolar. De alli la relevancia de la contribución de Ferenc Genzwein. La Parte III concluye con tres capkulos relativos a la matemática que seproporciona particularmente a aquellos de menor talento o a aquellos que perdieron susoportunidades
para cl trabajo y Matemática en Familia. El primero de ellos está basado en la experiencia de Africa, Asia y el Caribe y cubre cuestiones tales como propósitos, valor social y educacional de las clases numkricamente alfabetizadas, métodos de ensefianza, contenido
curricular, consideraciones lingüísticas y la evaluación del progresode los adultos. De todo ello resulta una conclusión interesante: las clases numericamente alfabetizadas tienden a ser mantenidas en menor estima que las clasesalfabetizadas, aunque ellas tienden a ser más
exitosas. El ideal es que ambos alfabetismos, literario y numkico, deberian ir
para reforzarse, asi, mutuamente. La Preparación Matemática para el Trabajo comienza con una pregunta desafiante:
tque es“trabajo”? De la respuestaa estacuestión depende la diferencia entre la matemática utilizada en cl trabajo y la matemática concebida como una disciplina. Es decir, que se contrasta la instrucción matematica “en el trabajo” con la instrucción dentro de un contexto institucional. Y ambas modalidades tienen sus propias ventajas y sus propios inconvenientes. Mientras que la principal preocupación del Capítulo apunta al empleado considerado a nivel operacional, se toman también en cuenta las necesidades del graduado
que se incorpora a la industria, lo que conduce a una discusión corriente en Francia. El Capitulo concluye considerando cuidadosamente las tendencias en la industria y en el
comercio y predice
en nivel de dificultad. La Matemática en Familia proporciona habilidades y confianza a aquellos grupos de estudiantesquereducensusfuturasopcioneseliminando,prematuramente,alamatemática. Desarrollada en el Lawrence Hall of Science de la Universidad de California como parte
de su programa dirigido a incrementar la comprensión y el gusto del público por la matemática y por la ciencia, la Matemática en Familia junta a padres e hijos en un intento por desarrollar las habilidades matemáticas necesarias para la educación futura o para el trabajo. Y mientras seenseña a los padres a ayudar a sushijos en matemática, sepromueve
aprender matemática: matemática en clases alfabetizadas, preparación matemática
que susnecesidades matemáticas aumentadn tanto en cantidad como
una comunicación más estrecha entre los padres y la
La Parte IV está dedicada, como ya seha dicho, a un único caso de estudio, a saber, el de la matemática extraescolar en Colombia, en el que se traza el desarrollo, a lo largo de cinco ahos, de un esfueno bien determinado y muy exi toso dirigido a influenciar los cursos de matematica escolar hacia una orientación de resolución de problemas. Lo que comenzó
en 1981 con una competencia matemática organizada con carácter local en la capital del
Intmducci6n
paíshacrecido~pidamentetransformándoseenunaaceptaciónentusiastadelamatemática como un estimulante mental disponible para todos los miembros de la comunidad, ya se trate de profesionales o artesanos, poblador urbano o miembro de una comunidad campesina aislada. Esta contribución constituye una historia particularmente apropiada para cerrar con ella este volumen.
Saulo Rada-Aranda
Las actividades extraescolares en matemática tienen diversas finalidades, se pueden destacar las siguientes:
matemática que reciben niños y jóvenes. Por lo general, el
proceso de adaptación de los programas escolaresde acuerdo con las nuevas tendencias
en la enseñanza de la matemftica, es lento. Las actividades extraescolares ofrecen una
con tópicos novedosos
excelente oportunidad para que los participantes
sefamiliaricen
y de actualidad. Detectar estudiantes que poseen capacidad especial para el aprendizaje de la matemática. En muchos pakes no existen mecanismos sistemáticos que permitan descubrir estos estudiantes especialmente dotados y, si sedetectan ocasionalmente, el sistema escolar no brinda medios eficientes para desarrollar y orientar a quienes poseen estasaptitudes. Promover la matemática a nivel de estudiantes, docentes y público en general. Tradicio- nalmente, buena parte de la población escolar manifiesta un sentimiento de rechazo hacia el aprendizaje de la matemática. Es conveniente que el niño y el joven tengan oportunidad de participar en actividades atractivas y significativas que contribuyan a despertar o estimular su vocación en ramas científicas y técnicas y que no sea la matemática un factor que limite negativamente en el momento de tomar decisiones para proseguir estudios superiores. La forma más sencilla de iniciar la realización de actividades extraescolares en matemática, sin necesidad de una estructura organizativa complicada ni de costos elevados que obliguen a recurrir a un financiamiento externo significativo, es por medio de clubes de matematica, entendidos como asociaciones permanentes de niños y jóvenes con una organización establecida que, orientados por asesoresdebidamente calificados, desarrollan actividades que contribuyen a la educación científica y tecnológica de sus miembros y de la comunidad (SECAB-Unesco, 1985).
típicos de un club de matemática
el interés de los jóvenes hacia las ramas científicas y tkcnicas, al proporcio-
narles la oportunidad de desarrollar sushabilidades y destrezasa trav&s de actividades
amenas que contribuyan
a crear nuevos intereses en tomo a la matemática.
Estudios en educncibn matemática
matemática que los estudiantes reciben en la educación
formal, al ponerlos en contacto programas escolares y permiten
con temas que, generalmente, no estin incluidos en los
una mejor comprensión del papel que juega la
matemática en la sociedad. Estimular la capacidad creativa, el esplritu de investigación
y la actitud critica entre los
jóvenes, al mismo tiempo que sedesarrollan valores como la objetividad,
y el uso del pensamiento reflexivo y lógico en el análisis de los problemas.
el desarrollo de actividades y proyectos de interes común, a traves de una
organización que estimule el trabajo en equipo. Mejorar la formación matemática de los estudiantes miembros de! club, lo que lespermitid rendir mejor en susestudios regulares y les ayudar5 a obtener una preparación adecuada para seguir estudios superiores en los cuales se requiera de la matemática.
de ingreso y organización
La constitución de un club de matem&ica puede debersea la iniciativa de un profesor o de un grupo de estudiantes. En todo caso, al tratarse de una actividad mediante la cual se pretende captar el inter&de los participantes con un trabajo agradable, el ingreso a un club de matemática debe servoluntario y lascondicionesque en tal sentido seestablezcan deben garantizar la igualdad de oportunidades de participaci6n para todos los interesados. Lo fundamental esque loa jóvenes que secomprometan a participar ene! club tengan presente
que setrata de una actividad nueva, sistemática, que les demandad tiempo
sus estudios regulares y disciplina en el cumplimientn de los estatutos y normas que se
extra aparte de
por un grupo de estudiantes, debedn contar con la ayuda y
orientaci6n
entusiasta y con formaci6n matemática que permita avalar la seriedad del trabajo que seva
Si el club es promovido
permanente de un profesor asesor. Este debed ser un profesional calificado,
Esimportante tambidn que el club tenga el apoyo de una escuela o institucibn educativa
que permita que los miembros dispongan de un sitio de reuniones, de una biblioteca
experiencia en estas actividades.
que se encargue de elaborar los
estatutos que regitin las actividades del club. Estos debed ser suficientemente figiles y
flexibles, ya que de lo contrario
Los estatutos deben establecer lascondiciones allenar por los aspirantes a sermiembros de! club (edad, nivel escolar, instituto donde curse estudios, etc.). Generalmente, los clubes de matem9tica estan destinados a jóvenes estudiantes de secundaria ( 13 a 18 años aproximadamente), y a veces a estudiantes universitarios. No obstante, se ha reconocido la importancia de impulsar este tipo de actividades a nivel de escuelas primarias y de institutos de formación de maestros y se han formulado sugerencias en cuanto a la organización de los mismos y a las actividades que sepueden programar en dichos niveles (Srinivasan, 1983). En los estatutos deber-5establecerse también c6mo estar4 integrada la Junta Directiva de! club (v.gr. Presidente, Vicepresidente, Secretario y Tesorero), las responsabilidades de cada uno de los miembros de la Junta Directiva, el tiempo de permanencia en susfunciones,
de otros recursos materiales, asf como de la asesor-fade personas con
puede designar una comisibn
le pueden restar dinamismo al club.
cómo se va a elaborar el programa anual de actividades de la asociación, la posibilidad de designar algunos cargos para responsables de tareas especificas (relaciones públicas, coordinación de otras actividades matemáticas extraescolares como ferias, concursos y olimpíadas matemáticas, difusión de actividades del club, etc.).
TambiCn
seprecisadn los deberesde los miembros en cuanto a la asistencia a reuniones
y actividades programadas por el club, cancelación de cuotas periódicas, si esel caso,y otras.
Asimismo, en los estatutos sepueden distinguir diferentescategoriasde miembros (activos, colaboradores, honorarios, etc.). Esto da la posibilidad de brindar un reconocimiento a matemáticos, profesionales y otros integrantes de la comunidad que, de alguna manera, apoyen las actividades que programa el club.
La Comisión presentad el proyecto de estatutos que redacte al resto de los miembros quienes, con la orientaci6n del asesor,seconstituirãn en asambleapara considerar y aprobar
dicho proyecto incorporando las modificaciones que consideren necesarias, y para elegir la
de! club.
Afindecumplircon losobjetivosque seproponeelclub, lasactividadesadesarrollardeben tener las siguientes caracterlsticas:
Deben ser interesantes, amenas y de calidad científica.
Esto permite garantizar que la
participaciónactivadecada
compromiso que no seael contrakdo voluntariamente
miembrodel club setiespontánea y nosujeta aningúnotro
al aceptar los estatutos que rigen
a la asociación. Deben tener un propóuito educativo, de manera que contribuyan
miento de la formación matemática de los miembros. Deben ser variadas a fin de atender a las diferencias individuales de los miembros, tanto en lo relativo a grados de interés y maduración como en lo que respecta a los intereses individuales, además del intert% común por la matemática. Deben tomar en consideración las limitaciones de tiempo del grupo, de manera que el desarrollo de la actividad extraescolar no obstaculice la educaci6n formal de los miembros ni otros aspectos propios de la vida estudiantil.
Deben desarrollarse en un ambiente diferente al que prevalece en los estudios regulares. La relación asesor-miembro del club esdiferente a la tradicional profesor-alumno, ya que
en la primera deben ser los miembros activos quienes tengan la mayor iniciativa participación en la programación y desarrollo de las actividades.
eficazmente al mejora-
Ejemplos dpicos de actividades de un club de matem;jltica
Estudiodetemusespeciakrdema&m4tk.Unadelasactividadesfünc!amentalesquesepuede
desarrollar en un club de matematica consiste en el estudio de tópicos que no aparecen, por lo general, contemplados como temas b&icos de los programas. Estos tbpicos pueden ser desarrollados individualmente o por grupos, con la orientación del asesor, y estadn adaptados a la edad y nivel de formaci6n de los miembros. El tratamiento que se c& a los temas puede basarseen actividades como resolución de problemas, manejo de materiales concretos, aplicaciones a otras ciencias o a situaciones cotidianas y no tienen por quC ser
Estudiar en C&UXC~&~matemática
objeto necesariamente de un estudio sistemático. Los miembros pueden exponer poste-
riormente sus trabajos,
La selección de los temas puede comprender algunos que son fuente rica de problemas
y son tratados muy superficialmente en los programas tradicionales como
de números, otros que serán de utilidad al estudiante en sus estudios posteriores: calculo, estudio de algunos aspectos básicos de la matemática actual (funciones y relaciones, estructuras, etc.), y esencialmente, aspectosde la matemática que tienen mayor aplicabili- dad; probabilidades y estadística, teorla de grafos, programación linea!, cálculo matricia!,
matemática financiera y otros. Un listado excelente con ejemplos de aplicaciones en la ensefianza y el aprendizaje de la matemática en la escuela secundaria, puede verse en el informe de la reunión auspiciada por Unesco en Montevideo sobre dicho tema (Unesco,
geometrta y teorfa
con el apoyo del asesor.
Programadn
constituye un medio importante no ~610para satisfacer las expectativas e intereses de los
miembros, sino también para proyectar la acción de! club hacia la comunidad. Las conferencias y los foros pueden ser programados individualmente o por ciclos, y en los mismos deben participar maternaticos y otros profesionales que usen la matemática como herramienta de trabajo. Se sugiere que los temas a desarrollar sean lo suficientemente
generales e interesantes
por ejemplo, aspectos relativos a la historia de la matemática y a la vida y obra de matemáticosnotables, problemasde matemática recreativa, relacionesentrela matemática
y el arte, importancia de la matemática para el desarrollo de los pueblos, los requerimientos matemáticos de la sociedad futura, la matemática y la música. Tambien pueden abordarse aspectos relativos al método de la matemática y la ciencia: tipo de razonamiento que seusa en la matemática y en las ciencias naturales, la creación matemática, cómo estudiar matemática, nociones elementales de lógica matemática, cómo plantear y resolver proble-
mas, etc. Las proyecciones de películas, videos, diapositivas y otros audiovisuales pueden con- tribuir tambien a fomentar el interés por la matemática en la comunidad donde ejerce su acción el club. Para que cumplan cabalmente con este objetivo, las proyecciones deben planificarse con suficiente anterioridad y debe preverse un periodo de tiempo que permita exposiciones adicionales, asl como preguntas y respuestas. Actualmente hay muchas instituciones que disponen de estos recursos. Los miembros del club pueden dirigirse a institutos educativos, centros de recursospara el aprendizaje, departamentos de tecnologia educativa, embajadas y otros que pueden ofrecer aportes.
como para despertar la motivación del mayor número de asistentes;
para participar en otras actiwidadesmaem4tia.s exmesccilares. La estructura
de los clubes es la más sencilla de las diferentes actividades extraescolares, por lo cual
pueden ser el punto de partida para la organización de ferias escolares y olimpíadas matemáticas, entre otras actividades. Asi, el club puede promover una feria matemática, en la cual los miembros, con el apoyo y orientación de! asesor,expongan y discutan entre sI los trabajos realizados. También el club puede auspiciar la realización de olimpiadas matemáticas, bien a nivel
delaescuelaoconlaparticipaci6ndeestudiantesdeotrosi~ti~tosenl~cualesfuncionen
clubes semejantes. Para esto, el asesorpuede organizar cursos y talleres de entrenamiento
sobre resolución de problemas matemáticos dirigidos a todos los miembros interesados en
Clubesdematemática
participar en estascompetencias, con diferentes niveles en basea las edades y al grado de instrucción de los estudiantes. Estos cursos proporcionan además un magnifico refuerzo al joven en susestudios formales, por cuanto le ayudan a adquirir destrezasy habilidades para enfrentarse a situaciones nuevas, matemáticas 0 no matemáticas.
Organiwción deuna biblioteca. Esimportante que el club de matemática posea una pequefia
biblioteca, con libros y revistas diferentes a los textos escolares tradicionales. Al iniciar sus
probablemente por medio de la
escuela o de la institución que apoya a la asociación. Uno de los miembros del club puede ser responsabilizado del buen uso y funcionamiento de la biblioteca, aslcomode realizar las diligencias que sean necesarias para ir ampliando los titulos originales a través de aportes de los miembros, del presupuesto del club y de colaboraciones externas que pueda gestionar.
actividades, el club debeti adquirir algunas publicaciones,
Publicacibnde una revista o boktfn. El club de matemática debe difundir las actividades que
realiza, no ~610dentro de la misma comunidad escolar en la cual funciona,
debe dar a conocer suslogros a nivel de otros clubes que tengan intereses similares, asfcomo a matemáticos,educadores,onosprofesionaleseinstitucionesquepuedan,eventualmente, ayudar para la buena marcha del programa de trabajo.
visitas al club y, sobre todo,
En ta! sentido, se deben preparar informes, programar
disponer de un órgano de difusión, revista o boletín, el cual puede ser muy sencillo en sus
inicios, que permita mantener periódicamente informadas a todas las personas y grupos interesados sobre el funcionamiento del club. A través del boletín se puede establecer intercambios de experiencias con clubes semejantes, tanto del país como del exterior. Es conveniente que unode los miembros del club seresponsabilice del boletín, con la asesoría correspondiente.
Takr de matemática. En una etapa más adelantada, los miembros del club podrían estar interesados en instalar un taller o laboratorio de matemática. Allí los estudiantes, con asesoríaconveniente, tienen la posibilidad de elaborar materialespara visualizar y verificar conceptosy propiedadesmatcmáticas,locual esparticularmenteútilenciertos temascomo los geométricos y, a la vez, puede servir de apoyo para la elaboración de proyectos a ser presentados en ferias, concursos y otras actividades matemSticas extraescolares.
Además, se podrían construir
materiales didácticos de provecho tanto para la propia
escuela como para otros institutos educativos.
De acuerdo con los objetivos del club, es importante ver en qué forma las actividades realizadas se traducen en un cambio favorable de las actitudes de los miembros hacia la matemática y, por ende, cómo repercuten en un mejor aprovechamiento en sus estudios regulares. Para esto, serSde gran utilidad contar con una ficha persona! de cada uno de 10s miembros, en la cual se registren susantecedentes previos a la participación en el club asf como los rasgosque se vayan observando y evaluando posteriormente. Al igual que en el resto de las actividades matemáticas extraescolares, es preciso ver hasta qué punto el joven ha sido capazde participar activamente en un proyecto, poniendo de manifiesto su creatividad y actitud crkica; de igual forma se debe constatar si ha
Estudios en educaciónmatmmítica
aprendido a trabajar armoniosamente
desarrollado o consolidado valores fundamentales
responsabilidad y tenacidad. Estosson algunos de los aspectosen los cuales el asesordebed poner especial atención en el momento de evaluar el desarrollo de conductas deseablesen los jóvenes participantes en base al trabajo realizado.
en equipo con profesores y compañeros y si ha
en cuanto a colaboración,
medio de los
trabajos que han llevado a cabo los integrantes así como por la participación de los mismos en ferias, olimpíadas matemáticas y otras actividades extraescolares.
consolidarlo, provee retroalimentación para futuros planes de trabajo. La difusión puede hacerse a través del boletín y en convenciones de clubes de matemática, donde sepueden intercambiar experiencias con otros grupos que persiguen los mismos fines a n-avesdel análisis y discusión, con la orientación de especialistas, de temasque redunden en beneficio de sus respectivas asociaciones.
Con respecto al plan
de actividades del club, éste puede ser evaluado por
La evaluación que se realice del club debe ser difundida.
Esto, además de contribuir
SECAB-Unesco.
1985 Manual para el fomentode lasactividadescientfm
y tecnolbgicas
juveniles. Bogotá, Secretaría Ejecutiva Permanente del Convenio
“Andrés Bello”.
SRINIVASAN, P. K. 1983. Desarrollo de! ambiente matemático a través de clubes de matemática. En:R. Morris (editor), Estudioseneducaci6nmatemática.Vo1.3,pp. 295- 301. Montevideo, Oficina Regional de Ciencia y Tecnologla de la Unesco para América Latina y el Caribe.
Unesco. 1974. LaSaplicacionesen fa enseiirmzay el a@endizajede la nwtem&ica en la escr4ek1 S~~XUU&U.Montevideo, Oficina Regional de Ciencia y Tecnología de la Unesco para América Latina y el Caribe.
Barbara Rabijewsku y MieczyskzwTrd
La habilidad de un docente para dar y recibir respuestasadecuadas a preguntas planteadas
y contestadas, parece constituir una habilidad
una enseñanza efectiva, ya que ambos recursos estimulan el desarrollo del conocimiento de
los alumnos mejor dotados, Pero tal desarrollo no está determinado solamente por los métodos de enseñanza, sino que puede ser mantenido, también, mediante técnicas específicas de interacción, por la propia organización del proceso didáctico o, en otras palabras, a naves de un refuerzo de las estrategias de enseñanza más relevantes. Las necesidades y los intereses de los alumnos -que motivan y estimulan susesfucr-
zas- pueden cambiar a medida que se desarrollan y pueden, también, cuando se les guía
tan fundamental como necesaria para lograr
con habilidad, estimular la actividad de los alumnos, favoreciendo la voluntad
de empren-
der y de realizar tareas que, de otra manera, podrían resultarles realmente
acometer. Y son, precisamente, los factores de motivación los que favorcccn el desarrollo
deseado de las habilidades de los alumnos desde el estado innato a la situación dc bien desarrolladas. Para asegurar condiciones favorables de desarrollo a 10s alumnos mejor dotados, sehace necesario, como una norma, poner especial cuidado, no solamente en las actividades normales del aula, sino, tambien durante la realización de actividades ex- traescolares, actividades que pueden adoptar diversas formas. Así, por ejemplo, puede lograrseel progresomcdiantecl trabajodeequipoenlosclubcsde matemáticaoencírculos de interés matemático. Y un tal progreso puede ser logrado de mejor manera en los campamentos de matemática o en las escuelas de matemática de verano.
en el aula técnicas específicas, al margen de las
actividades extraescolarcs entre las que secuentan, por ejemplo, una atención especial a los alumnos más capaces. Y este temperamento implica una selección cuidadosa del materia! de aprendizaje y la adopción de métodos de enseñanza que resulten apropiados para atender tanto las necesidades como las habilidades de los alumnos mejor dotados. Además de ello se les proporciona, después de la escuela, clases especiales en los clubes escolares o en las universidades. Y cuando llegan las vacaciones se organizan clases
especiales en las escuelas de matemática de verano o en los campamentos de matemática
destinados al grupo seleccionado de alumnos más capaces (Hoyle y Wilks,
En los Estados Unidos se introducen
A su vez, en la Unión de Repúblicas Socialistas
Soviéticas existen escuelas secundarias
con pensionado patrocinadas por las Universidades de Moscú, Kiev, Leningrado y Novosi-
Estudios en eduucih
birsk y destinadas a alumnos particularmente dotados para ciencia. para matemáticas, que comenzaron a funcionar en 1963, colaboran
alumnos que pueden asistir a las escuelas con pensionado (Volkov y Rubinov, 1970) y (Vavilov y Zemiakov, 1979). Se organizan, tambien, campamentos maternaticos para
nifiosprovenientesdelascomunidades
pamentos como las escuelas de verano tienen por finalidad desarrollar el inte& por la matemática, desarrollar habitos de autoconfianza en el trabajo, desarrollar habilidad para resolver problemas no convencionales, ampliar el alcance del conocimiento y desarro!!ar la apreciación estética de la matemática.
Las escuelasde verano en la identificación de
rurales (Gorbunova ycolab., 1975).Tanto!oscam-
Se han realizado en Checoslovaquia asf como tambien en la República DemocrMca
Alemana. Por ejemplo, en el distrito de Kosice, en Checoslovaquia,
pantes de! campamento
República Democmtica Alemana seutilizan los campamentos matemáticos para preparar
a futuros participantes en olimpfadas matemáticas.
En la región sudoeste de Polonia se han organizado varios campamentos matem5ticos para alumnos de 13 y 14 años de edad. Estos campamentos comenzaron en 1978 y se organizan con la idea de incrementar y de profundizar el intert% de los participantes por la matemática. Y, además de estos, se organizaron otros campamentos matemáticos.
seeligen los partici-
entre aquellos alumnos de mejor actuación en la resolución de los
que se les envian, mensualmente, en grupos de seis problemas por vez. Yen la
En 1974 se estableció, en el distrito
de Zielona Gora, de Polonia, el llamado Club
“Pieágoras” destinado a los jóvenes maternaticos. Los objetivos de este club (que resultan
igualmente pertinentes para los campamentos matemáticos) son los siguientes:
Alentar el pensamiento creativo y original. Incrementar la autoconfianza en el pensamiento y en el trabajo. Elaborar un sistema apropiado para seleccionar alumnos matemáticamente bien dotados. Ampliar el bagaje de conocimientos de sus miembros.
Preparar para una educación posterior en escuelas de nivel secundario orientada hacia la matemáticaylaffsica,paraestudiosdenive! universitarioenmatematicayeneconomfa
los intereses y las habilidades de sus miembros.
y en facultades politécnicas
Formar una conducta socialmente aceptable. Los miembros del club participan en una variedad de actividades, entre ellas las siguientes:
Tomar clases en equipo, tales como actividades que conducen a matemática, a rompe- cabezas,semi-seminarios y torneos matemáticos.
Las tareas asignadas corresponden a los años escolaresque cursan los miembros del club, e incluyen el desarrollo de temas asignados, la redacción de trabajos breves, la resolución
de problemas y la participación
en torneos y en competencias.
de sesiones a las que invitan
científicos provenientes de universidades y de
Realizar trabajos individuales que puedan conducir a la obtención de una medalla del Club Pitágoras.
Lectura de publicaciones de popularización de la ciencia y revistas matemáticas. Participar en viajes matemáticos y en expediciones. Asistir a actos culturales y de diversión.
campamentos-s
La incorporación de los miembros al Club se hace de acuerdo a sus logros en las tareas escolares, a las recomendaciones de sus profesores de matemática y está sujeta a la aprobación del formulario de solicitud de ingreso por parte del director de la escuela. La incorporación al Club está limitada para alumnos de escuelas primarias y secundarias de edadescomprendidas entre los 12 y los 18 años. Algunos trabajan en equipos en los locales del Club y otros figuran como miembros correspondientes. El Club Pitágoras mantiene relaciones amistosas con un club de la región de Cottbus de la República Democdtica Alemana, las que permiten el intercambio de ideas, de puntos de vista y de experiencias de trabajo con alumnos matemáticamente bien dotados. Y se mantiene, también, un intercambio mutuo de miembros cuando seorganizan olimpíadas, competencias 0 campamentos matemáticos.
Esnecesarioseñalarque los campamentos matemáticos tienen
con las actividades diarias del Club, de manera que el trabajo del Club secontinúa en los
campamentos matemáticos. Y, recíprocamente, las actividades del campamento tienen
El primer campamento matemático para miembros del Club se organizó en junio de 1975. Y cada año, varios miembros de equipos determinados y de grupos de edad determinada toman parte en las actividades del campamento, dándose prioridad a los mejores alumnos de un equipo dado.
en las actividades que el Club desarrolla en el ano escolar siguiente.
Las autoridades locales de educación patrocinan
los campamentos, compartiendo
gastos y los participantes de un campamento cubrir-arr entre un 6 y un 50 por ciento de los
gastos, de acuerdo con la entrada familiar. Un campamento tiene una duración de alrededor de diecisiete días. Y como el aloja- miento y demás comodidades se brindan en el mismo lugar, la organización de las actividades didácticas y demás actividades no ofrecen dificultades; solamente la sala de lectura y la libreríade referencia tienenqueestar instaladasala iniciacióndel campamento.
La Tabla 1, que sigue, muestra el número de asistentes a los campamentos.
Tabla 1. Número de miembros del club que asisten a los campamentos matemáticos
’ Incluye once alumnos provenientes de la República Democrática Alemana.
’ Excluye doce miembros que asistieron
a un campamento en la República Democrática Alemana.
Antes que un campamento comience
relativas a suorganización. Sediseña, asimismo, la estructura del programa a desarrollar. Se
forman distintos grupos con los asistentes al campamento los que, a su vez, se subdividen en equipos de acuerdo con sus intereses y habilidades.
a los participantes en tres grupos, Alfa, Beta
y Gamma, los que a su vez, sesubdividían en tres equipos. Se designaba a los nueve equipos
con nombres tales que sus iniciales podían formar el nombre Pitágoras, tal como seescribe en polaco y como se indica a continuación:
a funcionar deben estar resueltas todas las cuestiones
Fue costumbre, durante varios años, dividir
Esrudimenedwzci6nmawm&ico
entagrama
S implex
algunos cambios. Los participantes de! cam-
pamentosedividen,ahora,encuatrogrupos,Alfa,Beta,GammayDeltaycadaunodeestos
grupossesubdivideendosequipos,recibiendocadaunodeestosequiposnombresdecurvas:
Asteroide, Cicloide, Cardiode, Leminescata, Nefroide, Roseta, Strofoide y Tractrix. La división en pequeños equipos de siete a ocho alumnos resultó una medida beneficiosa ya que ello permitió una mayor y más independiente participación de los integrantes en su trabajo matemático. Los equipos eligen susIlderes, llamados capitanes, los que constituyen
el consejo del campamento. Lasactividadesquesedesa~ollanenelcampamentomatemáticodirigidasa!ûsalumnos
máscapacesseagrupan en tres categorias: matemática, cultura, entretenimiento y deporte,
turismo y recreación, considedndose cada categor(a en el mismo nivel de importancia.
programa de nueve horas diarias se divide en cuatro sesiones: de 9 a 13 horas; de 14:30 a
En los últimos tres afios se introdujeron
153O;de 16:30a 18:30yde 20a 21:30. Deestas nueve horas, alrededordecuatrosededican
matemática, una y media a cultura y entretenimiento
y tres y media a deporte, turismo
recreación. La primera sesión del dia sededica casi enteramente al trabjoen
A la luz de la experiencia recogida se desarrollaron y se mejoraron ciertos metodos y formas de actividad, llegándose ahora, a un conjunto de veinticinco actividades que
resultaron las más efectivas para los alumnos máscapaces (Rabijewska y Trad, 1985~). En
la sesión siguiente sedescriben brevemente estasveinticinco actividades, pero esnecesario
tener en cuenta que este conjunto de actividades se enriquece constantemente.
de las actividades del campamento
Reuniones de cientfiis protientes de unioersidadesy de institutos de investigacibn. Las reuniones entre cientlficos universitarios y participantes del campamento adopta la forma de una conferencia o de una charla sobre algunos problemas matemáticos interesantes, las
que, como esnatural, seadaptan al nivel de conocimiento de los participantes. El propósito
del conferencista es desarrollar el
atracciones intelectuales. Resulta de gran importancia la personalidad
el estilo de presentación y la elección de problemas particulares. La idea es despertar un mayor inter& por los problemas que seestán discutiendo.
de los alumnos por la matemática y exhibir
del orador, aslcomo
VeladBs mutem&iw.
Las veladas maternaticas están destinadas a presentar a la
matemática como un medio de entretenimiento.
Tales veladas estin divididas, corriente-
mente, en dos partes. La primera de ellas puede incluir historias, trozos curiosos de información, discusiones, una conferencia o una reunión interesantes o la reunión con un matemático bienconocido. La segundaparte sededica, corrientemente, a trucos matemM- cos, juegos con números, sofismas, ejemplos de cálculos rápidos, poemas, ankdotas o presentación de escenasque incluyen matemática. Durante las veladas matemáticas, los alumnosmásjóvenessefamiliarizande manerainformalconvariasramasdelamatemática.
Concursos murem&cos. Un concurso matemático esuna competencia que se realiza en presencia de público. De doce a dieciséis alumnos participan en 6l mientras que el resto observa. Los que participan en el concurso deben resolver un conjunto de problemas especialmente preparados. El concurso puede dividirse en doso tres etapas con la finalidad de permitir que un mayor número de personaspueda participar activamente entl. Adern&, empleando tres o cuatro pizarrones seposibilita que varias personas puedan tratar simultá- neamente las mismas cuestiones. Una vez finalizado el concurso, un jurado adjudica puntos a los participantes.
RompecabezpJ. Rompecakas esel nombre que seemplea para designar ciertos tipos de
clasesque pueden ser realizadas en grupos o con la totalidad de la clase. La finalidad de estas
clases es complementar,
las reuniones realizadas con cien tlficos provenientes de la universidad o de institutos de in-
vestigación. Esta actividad puede desarrollarse, tambien, en clasesseparadasdedicadas a un determinado problema.
mediante explicaciones adicionales, los problemas discutidos en
Semi-seminurius. En los semi-seminarios, los alumnos toman la palabra y presentan sus
comentarios respecto a algún tema que les haya
la finalidad de alentara los alumnos para que lean libros de popularización de la ciencia, revistas o periódicos que seocupen de matemática, acostumbr5ndolos, a la vez, a trabajar independientemente con textos matemáticos o alendndolos a conseguir libros para su
propia biblioteca matemática. Para el que presenta su informe, el único criterio para la elección del tema es su habilidad para despertar el interés de los oyentes. Los temas presentados por los oradores, que muchas veces constituyen curiosos fragmentos de
resultan, con frecuencia, realmente muy interesantes. Previamente a la
presentación, el alumno registra en la cartelera su nombre, el problema a tratar en el semi- seminario, y una bibliografía.
interesado. Se organiza esta actividad con
Presewcibn
de ukas.
que busca estimular un mayor
problemas maternaticos, asf como de las formas en que pueden
Es esta una forma de actividad
conocimiento de ciertos
tratarse. La metodologfa empleada en estasclases implica la creación de situaciones en las que se enseña a los alumnos a imaginar y a formular un problema nuevo en base a otro
problema que ya hancomprendido y resuelto.
la habilidad para formular problemas con un nivel de dificultad cada vez mayor. Se espera que, de esta forma, su actividad matemática se aproxime a la de un matemático creativo. En resumen, con esta actividad sepretende desarrollar habilidades queayuden a estructurar el pensamiento creativo de un alumno.
La idea perseguida esdesarrollar en el alumno
Textos guks .
Se emplean estos textos en los
campamentos matemáticos con la finalidad
de hacer posible a los alumnos la resolución de un problema difki!
o la demostración de un
Estudim en txiucazibn rnamndica
teorema con la ayuda de elementos claves para tales soluciones o demostraciones. Se
incluyen los elementos claves en la parte inferior de hojas de papel separadasy numeradas; el alumno presenta la solución completa del problema o la demostración completa del
teorema, arreglando
puede contener los elementos claves de varios problemas propuestos o de teoremas que
deben demostrarse, y todo ello dentro del mismo conjunto temático o en los que seutilizan los mismos símbolos matemáticos. Los problemas para los textos gulas deben sercuidadosa- mente elegidos de manera de incluir, fundamentalmente, problemas cruciales o difkiles,
cuyas soluciones puedan lograrse mediante
la utilización, precisamente, de los textos gulas.
los elementos claves en el orden adecuado. Un conjunto de tales hojas
actividad dirigida a preparar alumnos para que
participen en competencias, torneos o en olimpfadas matemáticas. Durante las reuniones del club se discuten, en forma completa, diversas maneras de resolver un problema, prestando especial atención a los problemas de naturaleza metodológica. Se espera, con ello, que los alumnos adquieran algunas competencias fundamentales y que lleguen a conocer y a poner en pdctica aquellas formas de proceder típicas que aparecen como indispensables para todo trabajo que se les plantee.
Club olfmpico. El club olímpico es una
Juegosmuternkicos. Son juegos con contenido matemático y susreglas no están basadas en las estructuras matemáticas corrientes lo que hace que la estrategia ganadora pueda
depender del descubrimiento de una propiedad de una cierta estructura o de la resolución de algún problema matemático; esaestrategia puede depender, también, del uso adecuado
que pueda hacerse de un conocimiento anteriormente adquirido. Se considera la
de los alumnos desdeel punto de vista de los caminos que buscan para llegara una estrategia exitosa. Lafinalidadde losjuegosestádirigida aalentar tantolaactividadintelectual como el interés en la teoría. Y en el deseo de triunfar se sitúa, a menudo, la motivación de los participantes.
Consultas durunre lashoras detrabajo. Durante las horas de trabajo, los profesores están disponibles para aclarar cualquier dificul tad que sele pueda presentar a un alumno. Asi, por ejemplo, un alumno puede haber sido incapaz de seguir la argumentación empleada para llegara un resultado particular durante una competencia matematica y, en esecaso, puede preguntar cualquier duda que tenga o discutir cualquier problema que le interese y con el que ha tenido dificultades. La finalidad de tales consultas es guiar al alumno en forma individual, sirviendo, a la vez, para estimular y para desarrollar sus intereses y sus habilidades.
Auenrura con matemática. La aventura con matemática esuna actividad que se realiza, normalmente, al aire libre y que tiene, generalmente, cankter de competencia. Diferentes equipos de alumnos compiten entre ellos con la finalidad de ganar el mayor número de puntos. La asignación de puntos se hace en base al éxito logrado en la solución de problemas, con la ayuda de objetos tales como cuadrados, cubos, varillas, dados, piezas de ajedrez y materiales concretos semejantes.
denominadas “Deportes y Maremática”. Las marchas en grupos denominadas
“Deportes y Matemática” combinan diversiones con actividad matemática. Durante la marcha, equipos particulares realizan tareas de habilidad a lo largo de la ruta, resolviendo,
también, diversos problemas de matemática.
campalnentosmatemrItims
EI juego de cuzp. Esta actividad seorganiza dentro de un área claramente delimitada de un bosque. Los integrantes de! equipo que seesconde van primero al bosque y disimulan su escondite lo mejor que pueden. Y los miembros del equipo de búsquedaseponen en camino más tarde a la búsqueda de! primer equipo. Si encuentran a alguien, el que lo loca!izó le
plantea un problema. Si éste resuelve el problema pierde un “pequefio” punto, pero si falta
en la soluciónde! problema pierde, entonces, un punto “mayor”.
cuyos miembros logran la mayor cantidad de puntos “mayores”. Esfrecuente, sin embargo, que los puntos “pequeños” resulten decisivos. El equipo de búsqueda tiene que plantear los problemas que tendm que resolver el equipo que se esconde.
El equipo ganadores aquel
Matemática y OTOS.Estaactividad requiere una cierta habilidad física. Los alumnos tiran
aros para acertar en postesdispuestos en forma conc&nrica. de resolver problemas interesantes de matemática.
Y, al mismo tiempo, seocupan
&npemn&matermiricaporeqtipos.
Unequipodealumnosresuelveproblemastomados
de un conjunto de problemas preparados antes del comienzo de la competencia. Los problemas pueden ser resueltos por un equipo completo, por grupos menores, o por miembros individuales. Al término de la competencia, el equipo presenta las soluciones
LigumBtemática. Algunos equipos formulan y plantean una sucesiónde problemas y los proponen al equipo rival para que los resuelva en un plazo determinado.
hora, previa al partido, se
les propone a los equipos un conjunto
partido. Para los problemas que seproponen existe una probabilidad del 75 por ciento de ser resueltos por los equipos. El partido sedesarrolla, generalmente, frente a una audiencia
y tres árbitros adjudican públicamente
Purtido matemdtico. Con una anticipación
no menor de una
de problemas que tienen que resolver durante el
los puntos que cada solución merece.
Cfrcu!o y cruz. Este juego, tambien denominado “tres en raya”, resulta más adecuado
para dos alumnos o para dos equipos y, en ambos casos, puede desarrollarse con público o
sin el. El grupo de problemas destinados a
a saber, problemas de construcción,
geométricos con demostraciones, rompecabezaslógicos, desigualdades numéricas, análisis
de figuras geometricas y divisibilidad numérica. Las reglas que rigen el juego son las mismas querigenel “tresen raya”. Unalumnoo unequiposolicita unproblemade unode losnueve grupos temáticos. Si resuelven el problema, semarca un clrculoo una cruz en el espacio que representa el grupo temático particular de problemas. Y el juego termina con un alumno o
un equipo ganador que logra una linea con horizontal o diagonalmente.
este juego se divide en nueve grupos temáticos,
funciones, problemas
vectores, teorfa combinatoria,
tres círculos o con tres cruces marcadas vertical,
proponen aalumnos individuales,
matemáticos redactados en un lenguaje extranjero. Estos textos deben traducirse a la lengua materna y deben resolverse los problemas que pueden aparecer en ellos.
Probkmas maremkkos enunciudos en knguujes extranjeros. En esta actividad
agruposdealumnos oa equipos, problemas u otros textos
Estudiosen educmi6n macem&icn
Competencia por pares de alumnos. Se plantean problemas para ser resueltos por dos alumnos, pero la solución que se presenta debe ser acordada en común.
Competenciasindio&des.
y las olimpíadas son pruebas
en las que los participantes están obligados, y sin ninguna clase de
Las competencias individuales
de habilidad individual
ayuda, a resolver un conjunto dado de problemas haciéndolos bajoel control de un jurado.
Estascompetencias individuales
esperan ser seleccionados para participar en la competencia mayor.
proporcionan una experiencia útil aaquellos alumnos que
Competencias “masters”. Aquellos que han logrado una mejor actuación en una compe tencia individual se consideran “masters” y, en consecuencia, compiten con otros en competencias más importantes denominadas competencias “masters”.
Problemas del dia. Un problema denominado
“problema del día” se presenta en la
cartelera y debe ser resuelto dumnte el día. Los alumnos que resuelven el problema toman parte en una lotería y el poseedor del billete ganador recibe un libro como premio.
Formdución deproblemas. Los alumnos compiten entre ellos imaginando y formulando problemas y aquellos problemas adecuadamente propuestos sepublican en la cartelera.
Canekra
mutetiica.
La cartelera no s6lo proporciona información
campamento, sino que proporciona, también, una cierta cantidad decontenido matemático
preparado con fines didácticos.
El conjunto de veinticinco formas de actividad que se termina de presentar puede clasificarse de acuerdo a varios criterios y puede analizarse desdediferentes puntos de vista. No se incluyen ejemplos ilustrativos relevantes de actividad matemática, dado que tales ejemplos pueden encontrarse en un estudio separado (Rabijewska y Trad, 1985b). La lista de las formas de actividad sugeridas como adecuadaspara trabajar con los alumnos mejor dotados está, evidentemente, lejos de ser completa. Ello implica que debe mantenerse una investigación continua en búsqueda de actividades nuevas y másatractivas para incluir en
del campamento, dado que su único propósito esincrementar los intereses y las
habilidades de los alumnos. En consecuencia, las innovaciones se introducen año a año; se dan ejemplos, en lo que sigue, de nuevas formas de actividad introducidas en el cam- pamento en los años 1984 y 1985.
Ho& matemático. Los objetos que caracterizan esta forma de actividad en el cam- pamento son discos de cartón semejantes a los usadosen el hockey sobre hielo. Los discos están numerados y los tiene el árbitro jefe. Estosdiscos de cartón llevan escrito problemas dematemáticadecarjcter nocorriente. Ene1juegointervienendosequiposdeseisalumnos (tres forwards, dos backs y un guardameta) y cada equipo puede tener jugadores de reserva que pueden ser sustituidos durante cl juego. El capitán del equipo entrega el disco y le dice su número al equipo contrario. El disco pasa sucesivamente a los forwards, los backs y al guardameta, permitiéndosequecada jugador lo tenga durante30 segundossolamente, lapso durante el cual se espera que el equipo resuelva el problema. Dos árbitros evalúan la solución. Si ninguno de los jugadores resuelve el problema, el equipo contrario anota un punto y si lo resuelve, el equipo contrario no anota ningún punto. A continuación, el
campamentos-
capitán del equipo contrario sirve el disco y sigue asI, repitiéndose el proceso hasta el fin del juego. Un silbato interrumpe el partido o indica que el disco debe ser pasado al otro equipo. El arbitro puede separar por un lapso de 2 a 5 minutos a todo jugador de actuación incorrecta, 0 que instigue 0 moleste a un jugador 0 a un partidario de uno de los equipos. Se registra a todo jugador que se revele como un destacado solucionador de problemas.
Matenuftica d aire /ibre. Estaactividad comprende tareaspticticas que implican, funda- mentalmente, trabajo al aire libre. Por ejemplo, se les pide a los alumnos que midan la
distancia que han recorrido para determinar, asl, su velocidad media de marcha. Pueden
calcular, tambien, el ancho de un rlo o la altura de un árbol o estimar la distancia a algún
punto distante o calcular el número
aproximado de árboles en el bosque. Otra posible tarea
puede consistir en el trazado de un mapa o en la confecci6n de un plano.
Matemático-Departe. Los principios de estaactividad son similares a los de matemática
aros, con la diferencia de que en vez de arrojar aros, los alumnos emplean pelotas, dardos
bolas para tirar a determinados objetivos.
sobre trubujo indiuidual. Se le
escritos sobre el trabajo individual
0 en un campamento.
solicita a los alumnos que preparen informes realizado en matemática durante el afro escolar
Trubujo en unu sala delectura. Se aconseja a los alumnos que trabajen solos en la sala de lectura como una forma de estar bien preparados para las clases. El tutor o los alumnos designados a tal fin informan a los participantes del campamento acerca del material disponible en la sala de lectura, incluyendo informes y diarios de todos los campamentos precedentes. De esta manera, los alumnos adquieren experiencia para extraer información de libros o de otros materiales de referencia.
Dado que los participantes del campamento son también miembros del Club Pitágoras de Jóvenes Matemáticos, todas las actividades del campamento significan una extensión
de las actividades del Club. Una cuidadosa elección de actividades acrecentar& en gran medida, los intereses y las habilidades de los alumnos y las actividades atractivas y
estimulantes motivadn
como semi-seminarios, consultas durante las horas de trabajo, informes sobre el trabajo individual, trabajo en la sala de lectura, competencias individuales, participación en
programas de preguntas y respuestasy el planteo de problemas desarrollan la confianza en si mismo, mientras que el estudio de libros de matemática y de revistas robustece la autoseguridad. Las competencias por equipos, los partidos de matemática, el hockey matem5tico, las “competencias por pares de alumnos” y cruz o nada, ensefian a los
campamento cómo cooperar o cómo competir entre ellos. Y en caso de
y anima& a los participantes del campamento. Actividades tales
tener éxito adquieren una sensación de autoconfianza y de satisfacción. Las reuniones con científicos universitarios y de institutos de investigación, asi como las veladas matemáticas
contribuyen a familiarizara los participantes del campamento con la matemática. Otras actividades, tales como aventuras con matemática, deportes y matemática y juegos matemáticos tienen la doble finalidad de enseñar y de entretener. Pero, y como es natural, todas estas actividades están subordinadas a la finalidad principal que es la de desarrollar
Estudios en ehcaci6n matemhtica
y de reforzar los intereses y las habilidades matemáticas, asi como la de desarrollar una conducta socialmente aceptable. Cuando termina el campamento y los participantes regresan a las actividades escolares diarias, utilizan las experiencias del campamento asl como el conocimiento adquirido en
el trabajo normal del aula. Tanto la metodologfa
yverificadasenuncampamentocontribuyendeformaapreciablealprocesodidácticodesa-
rrollado en el año escolar siguiente. Los tutores del campamento son estudiantes provenientes de institutos de matemática que se están formando para ser profesores después de graduarse. Y al trabajar en los campamentosmatemáticosconalumnosbiendotadosadquierenunaexperienciadidáctica que, muy probablemente, les resultará muy útil en su trabajo futuro. Las reuniones con científicos universitarios y de institutos de investigación son provechosas tanto para los participantes del campamento como pan los tutores.
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Algunos jóvenes encuentran en las actividades atl&icas una salida para su exceso de energía, otros pueden encontrarlas en la música o, quizás, en el ajedrez. Existe, sin embargo, un número sorprendente de jóvenes para quienes la resolución de problemas matemáticos ocupa el lugar de aquellas actividades o de otras similares. Los diarios y las publicaciones periódicas pueden ser los proveedores de tales problemas, pero existen, además,competen- cias matemáticas con diversos grados de dificultad. Un ejemplo de éstas,lo constituyen las Competencias Eötvös, que se realizan en Hunda desde 1894. Otros ejemplos son las denominadas “Pruebas de Conocimiento”, que serealizan en el Reino Unido y IosConcours franceses. Se utilizaban estas pruebas para seleccionar el ingreso a la Universidad de Cambridge y a las Grandes Ecolesfrancesas. Pero limitaremos nuestra discusión, aquí, a las comperencias organizadas con propósitos de cadcter más general. No esnecesario explicar por qué senecesitan personascon competencia matemática en la investigaci6n científica, en la ingeniería, en los negocios, etc.; procederemos, en cambiot
a describir algunas formas de competencias para tratar, después, de explicar por qué han tenido tanto éxito. Podría considerarse al Examen de Matemática de las EscuelasSecundarias Americanas
como una de las competencias matemáticas más amplias y más
exitosas. Esta competencia -originada en 1959 como una competencia local realizada en
la ciudad de Nueva York-
emplea una versión en espafiol de esta competencia. En este sentido, esta competencia se
ha transformadoactualmenteen
otra paises ofrecen competencias semejantes. Asl, los ingleses realizan Ia Competencia
Nacional Inglesa de Matemática;
y Suecia realiza su Competencia
(sigla inglesa AHSME)
sefue extendiendo hasta transformarse en una competencia de
anualmente, alrededor de 400.000 estudiantes. Y
en la que compiten,
además, otros paísesque realizan el mismo tipo de competencia. Asi, Colombia
unacompetenciadecaticter
Porotrolado,
Polonia tiene supropiaolimplada
Sueca de Matemática.
Polaca de Matemática
Además de lascompetencias sefialadasexiste, como esnatural, una Olimpiada Matemática
(sigla inglesa IMO).
Esta competencia comenzó en 1959 cuando Rumania
Estudios en txhuacibn nuztem&icn
invit6 a otras naciones del este europeo para participar en una prueba para talentos matemáticos, patrocinada en conjunto, por los pakes participantes. Al comienzo, siete paises respondieron a la invitación: Bulgaria, Checoslovaquia, República Democtitica Alemana, Hungrfa, Polonia, Rumania y Ia URSS, enviando un grupo simbólico de estudiantes. La participación en la competencia estaba limitada a estudiantes de nivel secundario y de edad no superior a 20 afios. Y esta competencia fue aumentando el número de paises participantes; en 1965 se incorporó Finlandia, en 1967 lo hicieron Francia, el Reino Unido, Italia y Suecia y en 1974 se.incorporaron los Estados Unidos llegándose., en 1985 a una participación de 38 palses. Los problemas propuestos versaban sobre los temas de la matemática de nivel secundario, pero exigiendo ingenio para su resolución. Las IMO duran varios dfas, proponi&dose tres problemas cadadla y asignando cuatro horas y media de duracibn a cada secci6n. Se solicita a cada pals participante que presente problemas para su posible inclusión en
presentado, los organizadores seleccionan los seis
cada Olimpiada
problemas que constituidn la prueba de la competencia. Despu& que los participantes han
tratado los problemas, los
de los representantes de su país, puntaje
coordinadores del pals sede.Se distribuyen premios bajo forma de certificados especiales y
las soluciones particularmente
ingeniosas pueden serobjeto de mencionesy de premios
especiales. Cada pak actúa, cada airo, como pals sedee invita a participara
lo-sque aceptan la invitación son huéspedesdel psis sedey tienen oportunidad para visitar, en los momentos libres, puntos de inter& del pals. La atmósfera inicial de la competencia es calma hasta que el conocimiento de los primeros resultados provoca una natural excitación que termina cuando los delegados y los estudiantes participantes comparten
reuniones de camaraderia.
y, dentro del conjunto
delegadosde cada pais participante le atribuyen puntaje
que es examinado, después, por un grupo de
los otros paises.Todos
Consideraremos, ahora, el contenido y los propósitos de algunas competencias, comen- zando por el AHSME. El propósito principal de esta competencia es promover en los estudiantes el interés por la matemática. Pero sirve, tambien, como un medio de examinar el progreso de los participantes y de mejorar el arte de ensefiar. El examen consta, corrientemente, de 30 preguntas de respuesta breve, comenzando con una realmente fkil
y terminando con algunas más difíciles. La participaci6n independientemente del grado que cursa en la escuela.
de los estudiantes es voluntaria,
Esta competencia seha utilizado, tambien, en la Olimpiada Matematica de los Estados
Unidos (sigla inglesa USAMO). Y, más recientemente,
se ha organizado un examen
denominado Examen Americano Intermedio de Matemfitica (sigla inglesa AIME) con la
finalidad de mejorar la selección de estudiantes para la USAMO. Resulta, asf, que el AIME
y la USAMO
en la IMO. Siguiendo la experiencia de la USAMO
entrenamiento”, de ttes semanasde duracibn, para aquellos estudiantes que integran o que pueden integrar el equipo para la IMO. Estassesiones incluyen una preparación adicional
en matem8ticaasfcomo entrenamiento en la resohción de problemas.Varios pafseshan seguido esta pdctica organizando sesionesde entrenamiento similares. Y ha resultado
organizados para seleccionar miembros de los equipos que intervienen
seacostumbra organizar “secciones de
socptendentelo que puedelograrseen ~510tressemanasde trabajointensivo.
compete&
y olimpfadas matemcíticas
En Polonia, las Olimpfadas Matemáticas tienen como
finalidad estimular el interés por
la matemática e impulsara los estudiantes mejor dotados a ingresara las universidades y a los institutos politécnicos. Las olimpiadas polacas son distintas de las competencias
norteamericanas. Se realizan a tres niveles, en el primero de los cuales seenvían problemas a alrededor de 1500 estudiantes, los que deben resolverlos y enviar la solución por correo,
a razón de un problema por mes,a una dependencia que centraliza la recepción.
dos y tres incluyen alrededor de 350 y de 70 estudiantes respectivamente, los que deben resolver tres problemas por día durante dos días. Los ganadores pueden ser seleccionados para intervenir en la IMO y reciben, además, algunos beneficios académicos especiales. En el ReinoUnidoexiste, deforma análoga yademásde lacompetencia ya mencionada, una segunda ronda de problemas denominada Prueba Adicional de Selección Inter- nacional (sigla inglesa FIST). En estasegunda prueba seselecciona el equipo británico para intervenir en la IMO. En los PaísesBajos se organiza, tambien, una segunda ronda de problemas a la que seinvita a participar alrededor de 100 estudiantes. Pareceríaque existen, aproximadamente, tantos paísesque realizan una sola competen- cia, como paísesque organizan dos o tres rondas. Y los objetivos perseguidos parecerían también ser, en buena medida, los mismos. Estosobjetivos seproponen en primer termino identificar y alentara los jóvenes con talento matemático y, en segundo lugar, seleccionar un equipo para la IMO. Y un posible tercer objetivo podría ser influir, de cierta manera, en elcurrículoescolardemaneradeinducircambios tendientesalograrunamejorpreparación de los estudiantes. Puede citarse como ejemplo, que sepropuso recientemente un problema que involucraba el concepto de homogeneidad. Y un país objetó este problema dado que en sus escuelas no se enseñaba este concepto particular, lo que provocó el retiro del problema. Eseproblema hubiese sido aceptable en la actualidad dado que satisfacía todas lasotras condiciones que seimponen a un buen problema. Esto permi te suponer que el tema homogeneidad figura, ahora, en el currículo de aquel país.
Hacemos, ahora, una digresión para discutir la diferencia entre tener talento y ser un superdotado. Desde nuestro punto de vista, un estudiante talentoso esaquel que posee una excelente memoria y que, habiendo visto una vez un problema, puede, comúnmente, aplicar a la resolución de un problema similar lo que ha visto antes. Entiendo, en cambio,
problema es capaz de aplicar
por estudiante superdotado, aquel estudiante que frente a un
para su resolución tanto lo que sabeal respecto, como su imaginación para elaborar lo que resulta, con frecuencia, una vía de solución inesperada e ingeniosa. Un ejemplo puede ilustrar concretamente esta diferencia:
y el superdotado
Sea el problema: resolver, en números naturales, el sistema,
a’-l?-c’=3abc
u2 = 2(b + c)
El estudiante talentoso que ya ha visto anteseste tipo de problema eliminara, probable-
mente, a la incógnita
a para trabajar, después, con la ecuación diofántica
El estudiante superdotado podd, por otra parte, razonar de esta manera:
Estudiosen &u~i6n
1. a2es par, entonces, a es par y puede ser 2,4,6,8, etc.;
2. a > b y a > c (como resulta de la primera ecuación);
2a > b + c y 4a > 2(b + c);
dedonde4a>a2y4>a;
y, en consecuencia, a = 2 y, finalmente,
b = c = 1
siguiendo este camino resuelve mentalmente el problema. Nos referiremos nuevamente
esta diferencia entre tener talento y ser superdotado.
Deberia resultar obvio que la formulación
de problemas adecuados no escuestión fkil.
En las competencias preliminares, como el AHSME, uno de susobjetivos es identificar lo que sedenomina “habilidad manipulativa”. Los primeros ejercicios que seproponen-y en número reducido- (disfrazados como “problemas”) ponen a prueba la habilidad del estu- diante para realizar, entre otras, operaciones algebraicas simples. Los problemas aparecen con mayores complicaciones en la mitad de la prueba y los pocos últimos, requieren un
talentoespecialosersuperdotadopara matemática. Enmuchospakessepuedeapreciaruna
semejante en las competencias que realizan. La descripción anterior indica que
habilidad para manejar problemas adecuados, ya que si deben basarseen los
curriculos de enseñanza secundaria, no pueden reducirse meramente a problemas adicio-
nales, así como no pueden ser, tampoco, de naturaleza rutinaria. En realidad, los que imaginan los problemas deben ser tan ingeniosos como los estudiantes que se espera
descubrir con
trabajan juntos para preparar problemas a solicitud de las autoridades responsables de la competencia. Yen otros paises,el comité de problemas puede estar formado por matem&i- cos interesados en la realización de la competencia y, aún en ciertos casos,el comité de la competencia puede incluir a alguien que ha participado en competencias anteriores y que ha continuado trabajando en la universidad.
tico?No escomún detectar tales
estudiantes superdotados como, por ejemplo, Gauss, cuya habilidad semanifestó espon& neamente cuando s610contaba tres años de edad. En la mayorfa de los ca=, la revelación
de esasdotes está lejos de aparecer en forma obvia. Sin embargo, padres o docentes alertas
pueden reconocer que un nifioes capazde realizar
y que demuestra gusto por la matemkica, por los rompecabezasy que se muestra dispuesto
a dedicar un largo tiempo a los problemas que le interesan. La mayorfa de nosotros hemos
tenido alumnos que han logrado resultados que, aunque no siendo originales, constitufan una novedad para la clase. Los estudiantes pueden solicitar trabajo complementario en las áreasde matemática que les interesan, actitud que resulta muy marcada en lo que serefiere, por ejemplo, ala teorfade números. Y estosestudiantes realizan siempre un trabajo de mejor calidad, presentando explicaciones más correctas y muestran un intert% especial por la matemática en general.
ellos. Es asl que en algunos palses los miembros de la facultad matemática
puede reconocerse el talento o el genio mateti
tareasque están másalla del nivel normal
El docente tiene que ser receptivo
para des evidencias. No es raro que un estudiante
quiera resolver un problema por un camino original
estudiantes deben ser observados y alentados.
y no “siguiendo
el texto”;
a los superdotados
Cuando seidentifican
y apoyar el desarrollo de sushabilidades. Una forma de hacerlo es proponiéndoles
estudiantes talentosos o superdotados, la tareadel docente esatender
para realizar; en algunas escuelas existen clases especiales para los superdotados
competenciasy olimpladac lnaemum
en las que los métodos empleados pueden serla proposición de trabajo masintenso agregado al que demanda el cuniculo normal, o un tratamiento más tipido del programa normal. Y, en otros casos,existen escuelasespeciales a las que pueden concurrir los mejores estudian- tes. Así, por ejemplo, en la URSS los estudiantes ingresan a tales escuelas tan temprano como a los ocho años de edad. Cuando seha determinado que un estudiante tiene talento
sele ubica en una escuela especial. Esealumno recibe el equivalente de una beca y sufamilia
recibe, corrientemente, alguna clase de apoyo
superior al promedio, pero cesa
cuando el estudiante deja de ser acreedor a ella. Tuvimos oportunidad de visitar una de tales escuelasen la que los estudiantes estaban pasando el verano ocupados en tareas matemáticas. Se trataba, en realidad, de una escuela
con internado, en la que todos los gastoscorrían por cuenta del gobierno. En esta escuela,
los estudiantes aprendían matemática más allá
problemas para resolver con el grado de dificultad de la IMO. Las condiciones que imperaban eran agradables y los estudiantes encontraban todas las razones para querer
permanecer en ella. Ya dijimos que, a medida que aumentaba la edad de los estudiantes,
algunos debían
eventualmente, a una escuela vocacional.
Se utilizaban muchos métodos para formar y para alentar a los estudiantes destacados. En algunos países,las escuelaspueden tener un club de matemática en el que los estudiantes miembros del club pueden reunirse para resolver problemas propuestos por el profesor organizador. Se dictan, también, conferencias a cargo de oradores provenientes de las facultades locales. Además, los estudiantes son alentados para que diserten acerca de algún tema que ellos mismos eligen.
países se organizan competencias locales en las que participan dos o tres
escuelas vecinas, tales como las que cuentan con la participación de la Escuela Secundaria de Ciencia del Bronx, la Escuela Secundaria Walton, la Escuela Secundaria De Witt
Clinton y la Escuela Secundaria de la Universidad Yeshiva. Cada una de estas escuelas organizaba, por turnos, estascompetencias, las que constituían oportunidades tanto para el contacto social como para el intercambio de experiencias matemáticas apoyando, de manera significativa, el interés en el trabajo en matemática.
Por otra parte, algunas facultades realizan sus propias competencias. La Facultad
y esta situación se mantiene durante todo el
tiempo en que el estudiante demuestra una habilidad
normal y se les proponían
abandonar tales escuelas y debían ingresar a una escuela de tipo regular o,
Stockton y la Universidad de Rutgers son ejemplos de tales actividades en los alrededores
de Nueva York, pero son muchas las escuelas de los Estados Unidos que organizan
competencias de este tipo. Existen, por otra parte, competencias de carácter
por ejemplo, en la URSS y en los Estados Unidos, donde estados tale como Texas, Wisconsin y California organizan competencias. Quizás resulta relevante mencionar, ahora, una competencia que es peculiar de los Estados Unidos, pero que parece ser un medio muy valioso para desarrollar la habilidad matemática, como lo es la Liga Regional Americana de Matematica (sigla inglesa ARML) que constituye, ahora, una competencia de cadcter casi nacional. Los estudiantes que participan en ella tienen que concurrir a una facultad central viajando, en algunos casos, masde 1000millas. Allíserecreancon juegos matemáticosyenloqueserefiereaproblemas para resolver, algunos tienen camcter individual y otros son para resolver en equipo. Estos últimos incluyen una cuestión difícil o exigente para se tratada por los equipos. Existen, también, problemas de “relevo” para ser abordados por equipos de una escuela o de un estado, en los que cada integrante de un equipo enfrenta un problema que requiere para SU
regional como,
Estudiose.neducnci6nmntrmcltica
resoluci6n
entusiasmo que despierta la ARML esmuy marcado y su crecimiento continuo atestigua la peculiaridad de esta actividad.
de un resultado obtenido
Es creencia corriente que los estudiantes aprenden en el aula la mayor parte de la matemática que saben. Simplemente, esto noesasf. Los estudiantes aprenden muchoentre
ellos, asi comode lecturas, de conferencias y de otras actividades extraescolares. En muchos países, los periódicos forman parte de las fuentes de conocimiento de los estudiantes superdotados. La URSS tiene, por ejemplo, superi&bcoKuant , Canadá el CruxMu&rn& corrun, HungríaelKöMal, etc. Esdeseable,yenlamedidadeloposible, quecadapaístratase de proporcionar un periódico para uso de susestudiantes. Además, esútil confeccionar una lista de libros relevantes en varios temas. Existen muchas de tales publicaciones en paks tales como la URSS, los EstadosUnidos, los PaísesBajos y el Reino Unido. La máscompleta de estas listas es la titulada New Matkmukd Libmry, publicada por la Asociación Matemática de América. Tendrían que estar disponibles, asimismo, textos de algebra, geometrfa, trigonometría, cálculo y de otros temas especiales. Todo este material bi-
bliografico
recurrir a él con fines de información y de aprendizaje. En caso de que la biblioteca de la
escuela resulte insuficiente, alguna facultad local podría permitir a alumnos destacados de
la escuela, utilizar su biblioteca
A trav& de contactos con colegas de otros palseslos profesores podrfan obtener copias
de problemas propuestos en competencias anteriores, particularmente los propuestos en las
Olimpiadas Matemáticas Internacionales (IMO). Y estosproblemas pueden utilizarse para
el número de paisesque publican estas
colecciones de problemas, colecciones
poner aprueba a los estudiantes. Año a afro aumenta
deberfa figurar en la biblioteca
de la escuela para permitir
como fuente de referencia y de lecturas suplementarias.
que contienen, ademasy con frecuencia, soluciones
que otros estudiantes pueden estudiar y analizar e, incluso en algunos casos, mejorar. Con un número tan grande de palsesque participan en la IMO aslcomo con suspropias competencias locales, resulta pnkticamente imposible darle al tema la especificidad que se
quisiera. De todas maneras seesperaque lo presentadoy comentado en este articulo motive
a los países interesados para que contacten a los paks vecinos para un intercambio
fructffero de experiencias. Queda, sin embargo, una observación final para presentar que serefiere, precisamente, al logro de participantes. Se dice, a menudo, que dado que Estados Unidos tiene una población tan numerosa, puede contar con un m5s amplio número de estudiantes en condiciones y con disposición de participar. Sin embargo, el ejemplo, con una población muchísimo menor, esdigno de atención para todos nosotros. En esepafs se unen todos los medios para presentar la matematica en una forma que interesar& seguta-
mente, a los estudiantes. El problema secentra en una cuestiõn de motivación. En algunos palses, el fútbol predomina sobre la televisión y en ouos puede ser el baseball o el cricket.
Y en Hungtía puede ser la matemática. Esconveniente
intentar4 cualquier cosa siempre que ella seadivertida
confirmado en la prktica docente y los especialistas en pedagogfa podrtan considerar las implicaciones de este observable. En uno de los cuentos de Lewis Carroll titulado S$uk und
Bruno, la herofna
gram&ka griega, si fuese capaz de emplear su cabera para aprenderla”.
tener siempre presente que un nifto y desafiante. Los educadores 10ven
dice “yo creo que un ni& realmente sano disfrutarfa ampliamente de la
Lewis Carroll era un maestro sagas.
Li?Háichâu
Con la finalidad de incentivar y de apoyar a los alumnos especialmente dotados, se identifican a aquellos que demuestran talento para matemática y secrean condiciones para ayudarlos a desarrollar sus habilidades. Los medios de selección utilizados desde el año académico 1961-62 han sido las olimpíadas matemáticas nacionales organizadas por el
Vietnam, han sido aprobadas en todos los niveles educativos, desde los locales al central, y constituyen un movimiento de amplitud nacional que reúne a miembros del personal escolar, aprofesoresy apadresen la tareadedetectarydeformaralosalumnossuperdotados.
Lasolimpíadas matemáticas nacionales seorganizan anualmente cada mesde abril y se
educación. La selección de competidores secumple mediante un procedimiento
etapas. La primera etapa estadirigida a detectar a los alumnos de talento desdela iniciación del año escolar. Los profesores de primero, segundo y tercer nivel de educación (lo que corresponde en la actualidad a la escuela elemental y a la escuela secundaria) esperan poder atender y apoyar a los alumnos que demuestren destacadascondiciones matemáticas.
estosalumnos tanto a nivel escolar como
a nivel de distrito.
cada escuela o en cada distrito,
superdotados en matematica y que actúan como representantes de los dos primeros niveles
de educación. Estos equipos quedan, después, de instructores en clases extraordinarias,
su educación completa en la
escuela. Resulta, muy a menudo, que los alumnos seleccionados
para formar el eventual equipo local, dado que
para participar en las clases
extraordinarias son más que los necesarios
dado que los alumnos involucrados
Estascompetencias, que resumen una estrategia característica de
destinan a alumnos que se encuentran
Durante la segunda etapa, seponen aprueba
Las competencias organizadas por el Departamento de Educación, en
tienen por finalidad
la formación de equipos de alumnos
tienen que continuar
su integración final se determina después de otras pruebas de selección realizadas por el Departamento de Educación. Pero, en todo caso, se entrenan alumnos de reserva para la
La tercera etapa comprende pruebas locales realizadas en pueblos y en provincias y las
competencias para alumnos del primero y segundo nivel
tamento de Educación provincial. Y en base a los resultados que arrojan estas pruebas se
son organizadas por el Depar-
Estudiosent&caci6n matemática
determina la integración
hace en la segunda etapa, el número de alumnos seleccionados para integrar el equipo pro-
integranlosequiposprovincialesparticipan, r~mbién,delasclasesespecialesdematemática. Y, en igual forma, seproporciona entrenamiento especial a los alumnos del tercer nivel de
de los equipos provinciales
en los que, a semejanza de lo que se
el equipo definitivo.
es mayor que el número de los que integradn
es decir, a los estudiantes de escuela secundaria, los que integran
provinciales resultando, eventualmente, candidatos a intervenir en lasolimpfadasde nivel nacional.
Y esta constituye la cuarta etapa del proceso de selección. El Ministerio
envía los problemas a todas las provincias y poblaciones en una fecha dada. Los participan-
tes, en número de cinco a diez, según lo establezca el Ministerio de Educación, son miembros de los equipos provinciales.
Al término de los exámenes, se sellan las soluciones en presencia de los supervisores y
envían todos los sobresal Ministerio de Educación, el que designa un Consejo Examinador
de los representantes de los alumnos, los que deben firmar los sobresque las contienen.
cuya finalidad principal es ir acopiando experiencia para los años siguientes.
Los resultados de la olimpíada acompañados por la lista de equipos y de alumnos
ganadores, con los respectivos puntajes obten&, se envian a cada provincia
población. Se asignan dos clases de premios: premios individuales
tercero y premio consuelo), los que sedistribuyen con la finalidad de alentara los alumnos que demuestran aptitud para la matemática; y, a su vez, los premios colectivos van dirigidos a alentar los esfuerzos colectivos que realizan las comunidades para descubrir y para
patrocinara los alumnos superdotados.
El proceso de proponer problemas en las olimpíadas nacionales comienza con las invitaciones que cursa el Ministerio de Educación a profesores experimentados y a matemáticos para que presenten problemas cuya solución requiera imaginación y crea- tividad, asi como habilidad deductiva, cualidades que caracterizan a los alumnos superdo- tados. Se constituye, luego un comité de selección encargado de evaluar todos los problemas
presentados y de seleccionar los que integradn
despu&, los problemas seleccionados al Ministerio de Educación para que sean impresos y enviados a los comités examinadores provinciales.
(primero, segundo,
Se envían,
Lasseiscuestionesqueconstituyeron
laolimpíadade
1975, organizadaparaalumnosdel
requiere para enfrentarlas problemas.
año de escuela secundaria, ilustran acerca de la información
asi como acerca del nivel
matemática que se
Primer &a de comperencia
todos los pares (x , y) de números enteros que satisfagan la ecuación
- y’
= 2xy + 8.
2. SeaM el conjunto de todas las funcionesfdefinidas
para todos los númerosenteros
y que aceptan los valores reales que satisfacen las propiedades siguientes:
. f(y)
+ f(x
- y) para todo entero x, y ;
b)fb)
Olimprcrdasmatemáticarnacionalesen Vietman
todas las funciones f C: M tales que f (1) = 5/2.
3. Se secciona un paralelepípedo rectangular de dimensiones a, b, c por un plano que
pasa por el punto de intersección de susdiagonales y que de las diagonales. Calcular el área de la sección obtenida.
es perpendicular
Segundo&.I de competencia
4. Sea(n,b) el máximocomúndivisordeayb.
naturales, la condición
Probarquesiendoa,
necesaria y suficiente para que exista un número natural
bym tresnúmeros
(LP- 1). b seadivisible (ab, m) = (b,m)
por m es:
5. Determinar
todos los valores reales del parámetro a para que la ecuación
16x’--ax’+(2a+
17)x2-ax+
admita cuatro raíces distintas que formen una progresión geométrica.
6. El árcadela baseABCde unapidmide triangularOABCesS. Calcularelvolumen
de la pitimide
C no esmenor que la media aritmética de las dos aristas de las carasopuestas a estos
vkrticcs.
sabiendo que cada una de las alturas bajadas de los vértices A, B,
Prepuracidn de los competidores. El Ministerio de Educación organiza clases especiales de matemáticosy actividades extracurriculares en matemática con la finalidad de facilitar el
nacionales y de alentar tanto a
los alumnos como a los profcsorcs. Las clasesespeciales de matemática sellevan a cabo - por razones de conveniencia- en la mejor escuela de la provincia o de la población. Y en
ellas sc identifican los alumnos superdotados y seles apoya y seIcs prepara para integrar la nueva generación de los cuadros matemáticos que atenderán las necesidades que plantea
el desarrollo nacional en los órdenes científico y tecnológico.
clases cspcciales, los alumnos tienen que aprobar un examen realizado en el mes de junio, que el Ministerio de Educación organiza anualmente. Los participantes son aquellos alumnos que han integrado losequiposprovincialesdc matemática del segundo nivel y que lograron un desempeño exitoso en el conjunto de olimpíadas matemáticas nacionales correspondiente a este nivel. El reclutamiento sebasa en la calidad de los alumnos, inde- pendientemente de su número.
logro dc buenos resultados en las olimpíadas matemáticas
Para poder concurrir
Se eligen los instructores para esasclasesespeciales entre los profesores más capacesy de mayor experiencia y que han demostrado, a la vez, un marcado entusiasmo por la tarea
de entrenar alumnos superdotados. Estos criterios de selección son muy importantes, dado
que los instructores
más recientes y más importantes y
ayudara los alumnos a lograr un dpido progreso. Un instructor de nivel corriente no puede satisfacer estasexigencias.
deben tratar los conocimientos
Estudioseneduc&6n matenwítica
El contenido de la enseñanza en estasclasesespeciales esta“basadoen todos los recursos educativosnecesa~osparadcsarrollarlasaptitudesmatemáticas”.Elcontenido&matemática
que se trata es el mismo que el del currículo normal de la escuela primaria y secundaria,
aunque ampliado, profundizado
con algunas de las aplicaciones más recientes de la matemática. El método de enseñanza empleado busca cultivar los valores políticos, morales y pa- trióticos inculcando, a la vez, el gusto por el pensamiento matemático. Se busca capacitar en el pensamiento exacto y en el pensamiento de interés actual, asf como alentar el pensamiento independiente brindando campo para la aplicación de la habilidad reali- zadora, inteligente y creativa. Y, a la vez, sc trata de brindar una educación para todos.
margen de las clases especiales de
matemática- actividades extraescolares en matemática. Estas actividades, de cankter
popular, brindan buenas condiciones para que los alumnos con aptitud matemática puedan desarrollar sushabilidades. Sc realizan en las clasesal final del primero, del segundo y del tercer nivel de educación. Dos veces por mes, los alumnos discuten algún tema particular, intercambian experiencias y organizan veladas matemáticas, visitas y juegos matemáticos, ofreciendose premios que se anuncian en las carteleras.
y enriquecido con problemas modernos asícomo, también,
Todas las escuelas en Vietnam
organizan -al
Resumen. Tanto las olimpíadas matemáticas nacionales, como las clases especiales de matemática, como las actividades extracurriculares, ejercen una influencia armoniosa sobre la enseñanza de matemática, ayudando a movilizar los esfuerzosde los profesores en la tarea de organizar y clasificar a los alumnos, alentándolos para que presten una atención entusiasta a los alumnos superdotados. Alientan, tambien, a los alumnos de manera que sus padres les presten una mayor atención y les creen buenas condiciones de trabajo. Estas actividades crean, incidentalmente, un núcleo de instructores competentes y experimen- tadosconcapacidadparadescub~ryapoyaralosalumnossuperdotados,asícomounnúcleo de cuadros matemáticos promisores para el futuro del país. Y, finalmente, ellas alientan al personal de todas las escuelasy oficinas de educación de todos los niveles para que unan sus esfuerzoshacia una “mejor enseñanza y un mejor aprendizaje”elevando, con ello, la calidad de la educación matemática. Se ayuda a los alumnos con aptitudes para matemática para que desarrollen habitos de
aprendizaje, fortaleciendo
por matemática; aprenden a respetar tanto la teoría como la practica, a aprovechar la clase para aprender y para nuevas lecciones mientras repasan lecciones anteriores ya desarrollar e implementar un plan razonable de aprendizaje. Desarrollan, también, el habito de buscar
en libros de referencia de manera de enriquecer su conocimiento. Y aprenden, en último
término, a aplicar el conocimiento matemático
Muchos estudiantes vietnamitas han logrado, gracias a las iniciativas del Ministerio de Educación, un buen desempeño en la olimpiada matemática internacional. El primer equipo participó en 1974 y cuatro de los cinco participantes obtuvieron premios, a saber, un primer premio, un segundo premio y dos terceros premios. Este éxito inicial dio un gran impulso, en conjunto a todos aquellos con vocación matemática. Como consecuencia de ello, de 1974 a 1985, es decir, en las nueve olimpiadas matemáticas internacionales consecutivas, los equipos vietnamitas ganaron cuarenta y ocho premios, incluyendo cinco primeros y diecisiete segundos.
supropósito y susaptitudes para aprender, aslcomo su vocación
a suscondiciones de vida.
Las emisiones de radio y televisión Universidad Abierta del Reino Unido
El uso adecuado de la radio y de la televisión en la enseñanza de matemática resulta de gran importancia para una institución de aprendizaje a distancia como lo es la Universidad Abierta del Reino Unido. Y esto resulta particularmente asf dado que se le exigió a la
Universidad Abierta, desde suscomienzos, que hiciese todo el uso posible
elementos tecnológicos aplicables a la educación. Y dado que hubiese resultado sin sentido discutir solamente, al considerar la radio y la televisión, las transmisiones en circuito abierto, seconsiderara, también, en este capftulo, el lugar de los audios y los video-casetes
en la ensefianza de matemática. La Universidad Abierta utiliza ampliamente las transmisiones en circuito abierto, las que le han resultado un medio excepcionalmente barato de emplear, ya que no paga nada por el tiempo que está en el aire pagando, solamente, el costo de ingeniería de la transmisión. Estastransmisiones le significan al profesor distante la gran ventaja de poder entrarenelpropioh~ardelestudiante,aunquesehacreadoconellaslaanomal~aque,dado que una gran proporción de la teleaudiencia de las emisoras británicas las sintonizan, en algún momento, captando un programa de la Universidad Abierta, estaUniversidad resulta más conocida por sus programas de televisión aunque, actualmente, ocupa menos de un vigésimo del tiempo de estudio de un estudiante.
Desde un punto de vista, la Universidad
Abierta proporciona una instancia perfecta
para juzgar la efectividad
medio no tiene un control directo sobre susestudiantes, en su mayoría de edad madura y
gente ocupada. Es asi que programas que son evaluados por los primeros estudiantes de un
curso como siendo de poca ayuda para el paso de curso, senín en gran medida ignorados
el segundo y en los años sucesivos de su presentación. Inversamente, es razonable suponer que un aumento repetido en la proporción de estudiantes radioescuchas y televidentes de unaseriedeprogramas indicanque talesprogramashansidoencontradosde utilidad. Nadie aprobad un enfoque tan pragmático para evaluar el exito en educación, pero en el caso de un recurso tan caro, él puede justificarse en último término. Puede no haber interés en esforzarsepor producir programas perfectos si los estudiantes deciden no utilizarlos. Para un estudiante de la Universidad Abierta, un programa resulta exitoso cuando aprende suficientemente, en basea el, como para justificar (a suspropios ojos) el tiempo y el esfuerzo que gastó en Cl La Facultad de Matemática de la Universidad Abierta ha confiado, desde
de las transmisiones en la enseñanza de matemática. Con este
Estudioseneducaciónmatemática
suscomienzos, en que la televisión constituye un componente valioso para muchos de sus
cursos. Encontrasteconesto,se
por los estudiantes para con sus programas radiales. Parece adecuado, en consecuencia, abordar, en primer término, esta área problemática.
ha sentidodisgustadaporlafaltadeentusiasmodemostrado
Programas de radio en circuito
Despuésde mucha reflexión e investigación, la Facultad de Matemática de la Universidad Abierta ha llegado a la conclusión que las emisiones directas de radio no constituyen un medio adecuado para la enseñanza de conceptos matemáticos. Y’que tampoco ayudan mucho recursos adicionales como ser el suministro de la transcripción escrita, o aún la habilidad para registrar y repetir la conversación. Tales programas constituyen un substi- tuto inadecuado de los buenos materiales escritos y, cuando existen tales materiales, el agregado de audiciones vivas de radio no aporta nada significativo a su eficacia. Así, el Curso Fundamental de Matemática (MlOl) no contiene tales programas y emplea, en
efecto, transmisiones de radio bajo una sola forma, forma que seconsidera exitosa dado que
que utilizan estos programas. dos características esenciales: son de
naturaleza enteramente tutorial y le requieren al estudiante que seprepare cuidadosamente
aumenta, año tras año, la Las emisiones de radio
proporción de estudiantes del curso M101 presentan
para recibir la emisión. Y para ello no alcanza con que el estudiante lea el material escrito relacionado con el contenido de la emisión y realice con cuidado las tareas especfficas correspondientes antes de escucharla, sino que este trabajo debe ser cumplido, a menudo, dentro de una estructura especificada. De esta manera, el emisor tiene una información muy precisa del estado general de la preparación matemática de su audiencia. A titulo de
reproducimos aquf estos programas’, dos de ellos pertenecientes a una etapa
inicial del curso y dos correspondientes a las partes finales.
Programa de radio 1: (emisión 0635, viernes 21 de febrero, reitera- ción 0700, s5bado 23 de febrero)
1. EI rnktodo de bisección
Veremos en este programa el método de bisección para resolver ecuaciones. Considerare- mos Laecuación siguiente:
x’ - 6x2 +
9x - 1 = 0
factoreada
es: ((x - 6)x
+ 9)x - 1 = 0
Sírvase llenar, antesdel progrurnu,
la ecuación en el intervalo
[0,4].
Tabla 1. Esta Tabla indicar-5 que
existen tres raíces de
1. Se reproducen los materialesque siguen con autorización de la Universidad Abierta
1985,1986).
Las emisionesde radio y t.elevisi6ny kaUniversidad Abierta del Reino Unido
Valores correspondientes de x3 - 6xz + 9x - 1
Se discutir5 en el programa la forma de emplear el método de bisección para hallar los valores aproximados de dos de las r-alces,con un error máximo posible de 0,2; y orientare- mos, tambien, respecto a la forma mas fácil de completar las tablas siguientes:
Sea x,J - 6xmz
4bnxn+9xn-
Sea x”’ -
6x,z
anb,xn
9x”-
x. reemplaza
Programa de radio 3 (emisión 0635,
sábado 6 de abril)
lunes 24 de marzo,
En este programa la clase practica estad dedicada a ajustes y translaciones
cuadraticas y cúbicas. Nos gustarla que usted programa, los Problemas 1 y 2 que siguen.
y a las funciones
intentase resolver, antes de considerar el
Esttuh eneducaciónmatemática
Probiemu 1
Se transforma la gráfica de y = 4x’ + 12x* + 8x + 8 mediante el siguiente ajuste
seguido de la translación
(.K.Y)
(x+l,Y-2)
la ecuación de la gráfica transformada
Durante el programa nos referiremos a la gr5fica que sigue
Una sucesión de transformaciones y = 4x3 + 12x2 + 8x + 8 es la siguiente
de y = x3 - x
gtifica
b,Y)
(ALti)*
(a) Se transforma la gráfica de y = x2 mediante el ajuste de y siguiente
uy) seguido por la translación
+ Q. Y + 8).
l.m emisionesderadioy televisibny LzUniversidadAbertu del ReinoUnido
Probar que la ecuación de la gr5fic.a transformada es
y = p (x - a)Z + p.
(b) La forma cuadrática completa de 32 + 6x + 8 es
A lo largo del programa discutiremos la gr¿fka de y = 3x2 + 6x + 8
Programa de radio 13 (emisión 0635,
sábado 17 de agosto)
Niímems conqkjos y ecuacionesdiferenciak
En el programa de esta Semanase incluirh
complejos y la segunda sobre resolución de ecuaciones diferenciales.
dos clasespdcticas.
La primera sobre número
Nos gustaria que antes del programa usted pusiese el número complejo 1 + i en forma polar.
Nos gustarla que antes del programa usted diferenciase las siguientes funciones:
I + Ae””
donde K y A son constantes.
el programa las soluciones de las siguientes ecuaciones
(a) du --- dr
U-f;=l
Programa de radio 15 (emisión 0635,
stibado 14 de setiembre)
Revisián 1
En este programa continuaremos nuestro repaso para el examen. Nos gustarfa que antes de
el programa usted pensasecómo abordarfa las cuatro cuestiones siguientes:
Estudiosened.ucacibnmaternáuca
Dos variables x e y están relacionadas de manera tal que la g&ica de Iog*y respecto a x es una línea recta que pasa por los puntos X = 0, IogJ = 2 y x = 1, logey = 5. Determinar la función f tal que
Sea H el conjunto
Probar que H es cerrado
frente a la multiplicación
Probar, proporcionando adición.
un contraejemplo,
que H no es cerrado frente a la
El diagrama que sigue muestra tres fuerzas actuando sobre un mismo punto de un cuerpo en reposo. Una fuerza esde 5 kg (wt) y tiene por dirección el eje de las x. Las otras dosfuerzasde magnitudes Fy G kg (wt) respectivamente, tienen las posiciones que muestra el diagrama. Determinar F descomponiendo las fuerzas según una dirección conveniente, o por otro método.
Probar, empleando Inducción
Matemática, que
para todo número entero n 2 1.
+(2n-1)=n2
(ap + cq)(br
- bc)(ps
+ ds)
+ dq)(ar
+ cs)
h emisionesde radio y tekvisi6n
y la Universidad Abierta del Reino Unido
Ob.servese que los primeros programas confiaban más en un trabajo cuidadosamente
todavia, la costumbre de
escuchar los programas, más estabilizada, con la
marcadamente antisocial de las transmisiones y aunque no seprevé el uso de cintas grabadas
y de horarios dentro de la estructura del programa, debe tenerse presente que la mayoría de los estudiantes no escuchan realmente la transmisión en el momento de efectuarse. Hay aquí, por lo tanto, un tipo de transmisión que realmente ayuda en la enseñanza de matemática. Peroelloexige un alto precio. Y esnecesario que estécuidadosamente dirigida
estructurado por el
estudiante. En aquella etapa se alimentaba,
mientras que ya en los Programas 14 y 15, la audiencia esta mucho mirada puesta en el examen final. Obsérvese, también, el horario
a un punto del curso que se sabeque significa una gran dificultad para los estudiantes. Los profesores no pueden prever siempre tales áreasde problemas, sino que deben deducirse de
la experiencia obtenida con losestudiantes. Por lo tanto, la primera versión de lasemisiones
no ser%, ciertamente, las últimas. La realización de estastransmisiones requieren, además,
una cantidad de tiempo y de esfuerzo provenientes de profesores con condiciones perso- nales para la radio y poseedores de voces apropiadamente enérgicas y agradables para la
transmisión radial;
teoría y como esfacil suponer, utilizar locutores profesionales, pero la Universidad Abierta
no ha tenido éxito, en general, con el empleo de este personal en los programas tutoriales. De todas maneras resulta mejor cuando las voces pertenecen a alguien que conoce el curso en detalle).
y estos profesores constituyen, por cierto, una minoría. (Se podría, en
iQué gana un programa tutorial
con ser transmitido,
como sistema opuesto a propor-
cionarse bajo forma de audiocasete! La respuestaesnada: el audiocasete resulta, desdetodo
punto de vista, mejor. Las transmisiones de radio de la Universidad Abierta son consecuen- cia de una decisión económica suponiendo que, en efecto, cada estudiante posee una cinta grabada y que está en condiciones de comprar cintas en blanco, cuando le seanecesario. Los
programas de radio le resultan máseconómicos
de estudiantes de cada curso se sitúa alrededor de 500 o más. Si no sealcanza esenúmero, sedistribuyenaudiocasetesgrabadas. Paraotrospaíses,estenúmeroIímite,determinadopor
razones económicas, variad
obvio, sin embargo, que los programas tutoriales, que deben estructurarse sobre el supuesto de que sedn escuchados solamente una vez, podrán cubrir una menor extensión y de manera más superficial.
a la Universidad Abierta cuando el número
apreciablemente pero, de todas maneras, existira
La próximasección deestecapítuloexaminarálosotroscomponentesdelM101 pero,antes de hacerlo, se hace necesario explicar las razones de por qué se ha elegido esta mezcla particular. Ayudara en esta tarea un análisis rudimentario de las etapas del aprendizaje matemático. Consideraremos, por lo tanto, tres etapas:
1. Exposición : el primer contacto con el nuevo material.
2. Ex~K&&I
: con mayor profundidad y detalle.
Dominio : de c.adatécnica o de cada concepto.
EstudioseneíIucaci6n~
Ya se.ha indicado claramente que en el MlOl
radio a la etapa 3. iD6nde deberlan emplearse, entonces, los audiocasetes y la televisión?
se restringen las transmisiones en vivo de
El audiocasete presenta un número de ventajas básicas:
libertad para detenerse y pensar). La Libertad tanto para escuchar como para hacer otra cosa: por ejemplo, revisar material impreso 0 notas escritas. La presencia de una voz enérgica, amistosa y dispuesta a ayudar (que resulta significativa- mente menos formal que la palabra impresa).
Libertad para la elección del momento y del lugar para realizar la tarea. Lacinta grabadapuede ir acompañada por seccionescuidadosamente diseñadasde material escrito. (Kem y Mason (1977) presentan un análisis interesante del uso de audiocasetes en el MlOl).
Las cintas grabadas presentan dos desventajas de entidad. En primer término, su estilo
de presentación no puede sercopiadodeotros
a los profesores que quieren emplearlas. En segundo lugar,
a consumir por largo tiempo este método de enseñanza.
Los programas de televisión de la Universidad Abierta han tenido siempre la enorme
exigen un esfuerzo de creatividad el estudiante no puede limitarse
La Libertad para parar/arrancar y para repetir (incluyendo,
y ello es lo más importante,
medios tradicionales, loque implicaqueellos
producción. Y, dado que son transmitidos por los canales nacionales, se ha insistido en
significa, también, aceptar
algo dentro de un molde estrecho dado que, en realidad, no usamos la televisión, sino programas de televisión de 25 minutos de duración, pulcramente empaquetados precedidos de una introducción inteligente y de una despedida de reconocimiento y más o menos adaptadas a un molde. Los videccasetes preparados profesionalmente (análogos en flexi- bilidad a los audiocasetes) siguen en su infancia y con resultado, en general, demasiado incierto para utilizar en cursos tales como el M 101,dirigido a un gran número de estudiantes (alrededor de 3.400). En realidad son muy pocas las personas que pueden concentrarse, realmente y con continuidad, durante 25 minutos en un programa de televisión, lo que
significa que su potencial para la enseñanza es mucho menor de lo que podría suponerse a primera vista. Además, no puede esperarseque el estudiante, que esta concentrado en las imágenes y en el comentario, sea capaz de “pensar” al mismo tiempo. Los programas matemáticos de televisión sesiguen haciendo, todavia, en la actualidad (aunque no por la Producción BBC/Universidad Abierta) llenando la pantalla con símbolos y procesándolos, después,muy rapidamente. Nosesdiflcil reconocer que una enseñanza de este tipo no puede resultar efectiva. El saber que la televisión es un medio caro no debe tentamos a atiborrar un programa con contenido sino que, por el contrario, el programa debe contener, precisamente, una pequeña cantidad de enseñanza, cuidadosamente señalizada que, idealmente, dati vida a un concepto. Sin embargo, esnecesario reconocer que los programas de televisión causan un impacto por si mismos, a través de lo que seha descrito, en forma breve, como “la reverencia por la televisión en nuestra cultura” (Mason, 1979). Sus imágenes movedizas combinadas con cortes tipidos y efectivos, pueden dar una impresión dinámica de un nuevo concepto, impresión imposible de obtener con cualquier otro medio. Su innegable carkter effmero puedevolverse,aún,unaventajasi seutilizanenlaetapacorrectadel procesodeenseiíanza.
lograr un alto estándar de contenido
ventaja de ser producidos por la BBC, lo que ha asegurado un estándar profesional
y de presentación. Peroello
Lasemisionesderadioy televisióny la UniversidadAbiertadel ReinoUnido
Para volver a nuestra tres etapas de aprendizaje: la ExpcG611 debe ser rapida, amistosa
y alentadora, cualidades éstas que pueden incorporarse con facilidad a un programa de
televisión. Pero el programa no puede quedarse limitado a sí mismo: debe estar relacionado con material escrito también dirigido a introducir el nuevo concepto y el estilo de este
material escrito debe ser adecuadamente sencillo de manera de evitar que el estudiante piense equivocadamente que ya se encuentra en la Etapa 2.y que, en consecuencia, debe comprender todos los términos. Los audiocasetes no son apropiados para la etapa de
Exposicibn , dado que lo que no senecesita esprecisamente el “parar-iniciar”. Esen la Etapa 2, la de Experiencia en la que los audiocasetes son particularmente útiles. En la enseñanza de matemática, Experiencia significa, corrientemente el planteo de preguntas estructuradas
y la proposición de ejemplos desarrollados, para los que la voz amistosa del casete puede
brindar motivación e impulso. En casode tratarse de un concepto evasivo, puede utilizarse un programa de televisión en la Etapa 2 para ilustrarlo en forma vívida empleando, quizás, gníficas en el computador para mostrar movimiento o desarrollando una simulación computarizada. Pero también en esm etapa no debe perderse la efectividad de la imagen dentro de una masade detalles. En caso en que el detalle seaesencial debe presentarse en forma impresa, pero no en la pantalla. El programa MI01 no utiliza ni audiocasetes ni televisión en la Etapa 3 de Dominio. En matemática el término Dominio debe significar hacer, es decir, practica de rutina, cuando el estudiante está pronto para ello. Algunos estudiantes necesitaran ayuda suplementaria para poder lograr Dominio y, precisamente, son los programas tutoriales de radio los que tratan de proporcionarles tal ayuda.
Habiendo considerado ya los elementos individuales de la componente audiovisual, es oportuno ver, ahora, cómo seintegran todosellosen el conjunto total del curso MlOl . Para hacerlo examinaremos el Block II de este curso constituido por un conjunto de cinco unidades titulado Funciones y Números y en el que cada unidad se inicia con un diagrama (ver más abajo). Esto muestra ia manera cómo cl material impreso, los audiocasetes y el programade televisióndependencntresí. Esdignodedestacar la versatilidadde losarreglos entre estos elementos: el programa de televisión puede venir antes, despuéso en tandem con el audiocasete, el que puede ser utilizado de improviso o en forma parcial (cada audiocasete tiene una duración de 20 minutos). Obsérvese que la quinta unidad, la denominada Repusono tiene ningún audiocasete. A esta altura, el estudiante está preocu-
pado, solamente, con la Etapa 3, la denominada Dominio.
Las componentes
Se presenta, ahora y aqul, la introducción
II. “Funciones
y Números”
al primer uso de un audiocasete en este Block.
1.1 Trazado de grAficas y transformaciones
Le pedimos a usted, en estasección, que trace lasgr5ficas de algunas funciones simples y que investigue el resultado de aplicar varias transformaciones a alguna de las gráficas resultan- tes.
Estudiaseneduca&nm
Antes de comenzar con esta sección, usted debe quitar la hoja tcansparente del centro
de esta unidad y cortarla a lo largo de la Ilnea de puntos de manera de obtener ocho cubiertas numeradas. Usted necesitad las Cubiertas I-5, una calculadora y una lapicera o un lápiz.
Como se le solicitad, algunas veces, que dibuje
usted puede necesitar dos lápices de colores (las Cubiertas 6-8 seusalan en la !%xción 1.4).
dos gr&as
en el mismo papel de gr&as,
0 n o-o 3.2
/-y'
Lar emisionesderadioy televisibny kaUniversidadAbiertadel ReinoUnido
Dependencia de las secciones en cada una de las unidades
Como puede verse, en esta Unidad sedispone de no menos de ocho cubiertas para utilizar, cada una limitada por el material impreso y que el estudiante tiene que cortar. Siguen a las instrucciones catorce “marcos” de los que semuestran a continuación los primeros dos que el estudiante debe completar como seespecifica en la cinta. El audiocasete está dividido en
secciones de longitud
musical que le
indica al estudiante que debe detener la cinta y realizar las tareas que se le terminan de proponer.
cada una con un estribillo
Estudiosen educaaón
nutemaa
ti) z
jlf4m5
I (3L,yb+El,ytu).
Lar emisionesderadioy televisióny la Universidad Abiertudel ReinoUnido
Continuamos observando la estructura de la Unidad 1de este Block. El estudiante trabaja, ahora, con el material impreso de la Sección 1.2 y puede, después,pasar a la Sección 1.3, el programa de televisión, o a la Sección 1.4, la segunda parte del audiccasete. Esta alternativa no es siempre posible, pero cuando lo es puede ayudara evitar una demora en el trabajo del estudiante debida a la inflexibilidad de las transmisiones de televisión, lo que no puede arreglarse para que aparezca exactamente en el mismo punto del trabajo de la semana en cada ano del desarrollo del curso. Existe una pieza substancial del Trabajo de Pre-programa, parte de la cual semuestra a continuación. Se proponen, en total, cinco problemas cuyas soluciones aparecen al final de la Unidad.
de cúbicas
Trabajo de Pre-programa
En la Sección previa se utilizaron gdficas de las fmiones cuadráticas.
transformaciones para dar alguna visión relativa a las
Y.fIY2
b.x +
(XCW),
Y, en esta Sección realizaremos un programa similar para las funciones cúbicus.
.x--+d
(YE 88). f,
En la Sección 1.2 se Ilcgó a la conclusión que todas las gráficas cuadráticas son esen- cialmente la misma como la de y = x2, en el sentido de que toda gráfica cuadrática puede ser obtenida de la gráfica y = x2mediante ajustes y translaciones. En nuestra investigación relativa a las gráficas cúbicas seconsidera la posibilidad de un resultado análogo: es decir, json todas estas gráficas esencialmente las mismas que la gráfica de y = x3 ?
cuadrática con primer
coeficiente 1 (es decir, con a = 1 ) podía obtenerse a partir de y = x2mediante una única
translación.
gráficas cúbicas, si vale para estas un tratamiento análogo.
En el caso de las cuadráticas descubrimos que toda función
Le preguntamos entonces, y para comenzar la investigación
relativa a las
Probkmu I .3. I
(i) Encontrar la ecuación de la gmfica obtenida aplicando a la gráfica de y = x1 la translación (x, y ) + (x + a, y + /3). (Puede resultarle útil desarrollar mediante el Teorema de Binomio).
Pruebe que y = x’ + 3x2 + 3x + 2 es una transladada de y = x3. (Sugerencia: Iguale
Estu¿ioseneducaci6nnummícka
Pruebe que y = x3 + 3x2 + 4x + 2 no es una transladada de y = x-’ ,
Determine si y = x3 + 3x2 + 2x + 2 es, o no, una transladada de y = x3.
coeficiente igual a 1 no significa que sepuede lograr nuestro objetivo aplicando una única
translación. Exploremos, en consecuencia, qué sucede cuando se tiene una combinación de transformaciones.
1.3.1 nos muestra que, a diferencia de las funciones cuaddticas,
Problema 1.3.2
Encontrar la ecuación
de la gráfica obtenida de y = x’ajustando primero x mediante
un factor h , ajustando después,a y mediante un factor p ( A.y b
distintos de cero),
y efectuando, finalmente, la translación (XJ) c-t (X + a , Y + B ).
Probar que y = 2x’ - 6x2 + 6x + 5 puede obtenerse de y = x3por un ajuste de x y un ajuste de y seguidos por una translación.
Probar que y = x’ + 3x2 + 4x + 2 no puede obtenerse de y = x’ por un ajuste de x un ajuste de y seguidos por una translación.
Decidir si y = 2~~+ 6x2 + 4x + 2 puede obtenerse o no, de y = x’ mediante un ajuste de x y un ajuste dey seguidos por una translación.
Como lo indica la solución 1.3.2 la situación para las gráficas cúbicas es algo más complicada que para las gráficas cuadrAticas. Sin embargo, no todo esta perdido, como lo mostrad el programa de televisión. Se usadn en el programa las solucionesde los problemas 1.3.3 - 1.3.5.
Le sigue el Repasodel Programa de Tektisibn, presentado con considerable detalle. La intensión prioritaria de este Repasoesayudara todo estudiante que haya perdido el hilo del programa o que no pueda recordar claramente su contenido, pero sirve, tambien, para “rescatar” a todo estudiante que, voluntaria o involuntariamente, no ve el programa en su totalidad y que, sin embargo, debe ser guiado a través del resto de la Unidad de Trabajo. Es claro que la presencia de este Repasodetallado aumenta cualquier tentación que pueda sentir un estudiante para no aburrirse con el programa de televisión de la unidad y, es igualmente obvio, que obliga a los académicos a asegurar que la televisión es un compo- nente valioso. Se presenta a continuación la primera de las tres páginas del Repaso.
El programa comenzaba repasando el efecto de las translaciones y de los ajustes sobre las
funciones cuadrAticas. Y consideraba, en particular,
la función cuabática
Lasemkiona deradioy tekvisi6ny kaUniversidadAtierta del ReinoUnido
cuya escala esla misma que la de la función trayectoria en el Block 1,Unidad4, de la sección
de televisión. Completando
obtenerse la gráfica de y = 4x - x 2a partir de la gráfica de y = x zefectuando primero una
el cuadrado para la expresión 4x - x 2 vimos que podría
en el eje x y aplicando, luego, la translación
(x + 2, y + 4).
Problema 1.3.6
Escribir la expresión anterior 4x- x zcompletándola como un cuadrado completo y utilizar esta forma para verificar la proposición anterior relativa a las gráficas de y = 4x- x 2y de
El hecho que toda expresión cuadraáticaaw2+ bx + C, u * 0, puede escribirse como una
forma cuadr;itica completa, muestra que la gr5fica dey = ~1x2+ bx + c (x ER ),a z 0, puede
obtenerse de la g&ca
Se mostró, después, que la gr5fica de y = ~1x2+ bx + c estaba relacionada con la ecuación correspondiente a1<2+ bx + c = 0, dado que las soluciones de esta ecuación corresponden a los valores de x para los cuales se tiene y = 0; en otras palabras, los valores de x correspondientes a las intersecciones de la gráfica con el eje x . De esta manera, sabiendo si el vértice de la gr5fica era un máximo o un mínimo y conociendo el valor de la función en el v&tice, estamosen condiciones de determinar el número de soluciones de la ecuación correspondiente. Por ejemplo, si se tiene un m5ximo en el que la función es positiva,
entonces la ecuación correspondiente tiene dos soluciones; mientras que si se tiene un mfnimo en el que la función es positiva, entonces la ecuación correspondiente no tiene soluciones.
de y = x2 (x
ER ) mediante un ajuste
seguido por una translación.
valor máximo positivo dos soluciones
valor minimo positivo sin soluciones
El programa vuelve preguntas:
después a considerar las funciones cúbicas y plantea las siguientes
1. IPodria obtenerse la grzlfica de toda función
cúbica a partir de la g&ca
de y = x’
Estudiosen ed.ucaciá matemkca
partir de su ecuación?
podríamos determinar la forma básica de la grAfica de una función
cúbica a
3. Dada una función cúbica, ise podría determinar el número de soluciones de la ecuación correspondiente?
Una investigación de IasgrAficas cúbicas conduce ala hipótesis
dos tipos distintos. En primer término, aquellas como la gntfica de y = x’- x que tienen un
“pico”y un “hueco”, cuya ecuación correspondiente podría tener tres soluciones,
de que habrfa, por lo menos,
dos o una.
y=x’-x
= (x-
112 (x
y=x’+x+2
En segundo término, aquellas como las grtificas de y = 90 de y = x3 + x , que no presentan
picos o huecos, cuyas ecuaciones correspondientes tienen siempre una solución.
y=x’+x
y=x’+l
La componente de televisión
de la Unidad termina entonces con el Trub@o de Post-
progrurnu que presenta un estilo y una longitud similares a los del Trobujo de Pre-progrumu.
Este es seguido (a menos que el estudiante haya elegido
de televisión)
nueve cuadros adicionales
estudiarlo antes de la componente
por la segunda sección de trabajo con el audiocasete. Esta sección presenta
para completar de acuerdo con las instrucciones de la cinta. La únicamente materiales impresos. La componente restante de la
última sección (1.5) utiliza
unidad es el Programa de Radio tutorial 3 (ver más arriba, págs. 45 y sgts.) que se.refieren
La mayo&
de los programas de televisión
de este Block constituyen
directo de su contenido matemkko, sin embargo, existe una excepción en la Unidad 2. Y esto se describe, a continuación, para mostrar cómo desarrolla el curso la presentación matemática cuando sepresenta la oportunidad. El problema es el de definir apara valores irracionales de x. Se aproxima su valor mediante una aplicación interesante de la matemkica a la determinación de la fecha de una vieja pieza de madera. Siguen, a continuación, las paginas más relevantes de la Unidad 2.
El programa comienza describiendo el problema del arqueólogo de determinar la fecha de una pieza de madera proveniente de un antiguo camino de madera en Somerset. Puesto que
la evidencia obtenida de los hallazgos cercanos no es confiable, basada en propiedades del objeto mismo.
se emplea una técnica
El metodo descrito en el programa utiliza los hechos de que la madera, como la materia
contiene carbono y que una pequeña proporción de átomos de carbono
viva oque fue viva,
son radiactivos. El programa describe la forma radiactiva del carbono, carbono-14 (cuyo sfmbolo es “Cc) y su degradación en nitr6geno: el contenido en carbono- 14 de la muestra
de madera degrada con la edad y esta degradación del carbono-14 constituye el proceso fko bkico utilizado para calcular la edad de la madera.
La degradación de un átomo individual de carbono-14 resulta impresivible, perocuando se observa un gran número de ellos, comienzan a surgir ciertas pautas el programa ilustraba esta idea considerando dados con cinco caras rojas y una blanca. Cuando setiran juntos un gran número de dados, un sexto de ellos, aproximadamente, caen con la cara blanca hacia arriba. El número de dados que quedaba despds de cada tirada era, aproximadamente, cinco sextos del número de dados arrojados. Un modelo del comportamiento de los dados estaba dado por la gn@icade
x-100x 0 6 - 5’
Considerados en un gran número, los atomos
semejante, excepto que la proporción que se degrada es de ll8000 por afro.
de carbono-14 se comportan
En el programa, la degradación del carbono- 14 viene dada por
La forma general de la gráfica era similar a la gr&ca que es un modelo del comporta- miento del dado, pero dibujada a una “escala de tiempo” diferente.
(EH8000 se
[Tal como usted observó en el trabajo de pre-programa, la gráfica de y -
puede obtener de la de y = (l/2)rajustando
son “esencialmente la misma”. Podríamos adoptar los métodos empleados en la Solución 2.4.3 para mostrar que pueden obtenerse todas las gtificas exponenciales pasando de una a otra mediante un ajuste adecuado de x].
en algún sentido, las dos gráficas
x y entonces,
El programa describla la “escala de tiempo” para la degradación radiactiva tomando el
del material radiactivo para degradar - la vida mediu de la
sustancia considerada. Para el carbono-14, la vida-media es de alrededor de 5545 años puesto que
tiempo empleado por la mitad
5545 ~
o,5,
Lar emisionesdemdioy tefetii6n y la Uniuedad Abiermdel ReirwUnido
Habiendo llegado el programa a una descripción matemática de la degradación del ‘C pasa el problema de encontrar qué proporción seha dejado del *C original en la muestra de madera. Para comprender la técnica empleada se describe el “ciclo de vida” del 1C a partir de su creación por los rayos cósmicos en la alta atmósfera hasta su eventual degradación en l+N.
Puesto que el C
esd completamente mezclado en la atmósfera con el carbono ordinario
(bajo forma de di6xido de carbono), el árbol original del que la muestra absorbió átomos
la atmósfera cuando estaba creciendo. Una vez en
el árbol, no seforma más 1C (porque los rayos cósmicos no alcanzan el nivel del suelo con suficiente energ de manera que el IC degrada precisamente en el arbol. La relación en la atm6sfer-aentre el IC y el carbono ordinario se ha mantenido más o menos constante durante un período muy largo.
IC de un trozo de madera nueva. La tecnica descrita implica tomar muestras de carbón de igual tamano de la vieja y de la nueva madera y medir la degradación producida en un período dado de tiempo. Dado que seconoce la proporción que degrada en un año ( 1/SO00) , puede estimarse el número de átomos de 1C presentes en la muestra. Puesto que el número de degradaciones es pequefio, se toman precauciones muy estrictas para excluir la radiac-
tividad de fondo.
de 1C en cualquier proporción estaba en
De esta manera, el contenido
original de ‘C puede medirse midiendo el contenido
Las medidas hechas en el Hanvell
original en la muestra proveniente de Somerset. Se estimó la edad resolviendo la ecuación
dieron una cantidad de 0,6 para la proporción
conelempleodela~fica,loquediounvaloraproximado&4000a~os. Seobtuvounvalor más preciso empleando el proceso de bisección, pero ello levantó prontamente un problema matemático. El encaje de intervalos obtenidos por bisección podrla haber determinado un número irracional y, entonces, la función (79!39/8000)‘no habrfa estado definida para valores irracionales de X. El programa utilizó esta idea para lograr una definición de bpara un valor irracional de x, por ejemplo, x = r, lo que podrlamos resumir así:
1. Seleccione T , es decir,
un encaje de intervalos cerrados de extremos racionales que determinan un encaje
ta,.b,l
[+,l
[u,,b,J
(donde%, b”e
paran =
.), tal que r esel único número contenido en todos
[a,,, bJ

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución

 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
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