Source: https://6viola.wordpress.com/2018/10/05/new-model-mod_eg-einsteingauss-physics/
Timestamp: 2018-12-16 07:12:42+00:00

Document:
new model: MOD_EG = Einstein+Gauss [physics] | 6 VIOLA
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Qui, nell’attuale articolo, dunque, vogliamo esaminare un ragionamento che abbiamo iniziato con l’articolo seguente, laddove abbiamo introdotto la matematica di Gauss applicata alla gravitazione:
Il primo risultato notevole è lo studio della situazione seguente:
Va detto che si possono esaminare 2 tipologie di modello:
MODELLO_1 (MOD_1)
Gauss _Classico:
Le due sole masse considerate sono:
m=massa del sasso che cade nel pozzo
M(r)=massa del “nucleo della Terra”, davanti al sasso, in riferimento alla sfera di raggio r, dal centro della Terra fino al sasso.
Esempio di Gauss_Classico nel link seguente:
MODELLO_2 (MOD_2)
Gauss_new_model:
Vi sono 3 masse da considerare:
m1=massa della calotta sferica alle spalle del sasso
m2=massa della calotta sferica davanti al sasso.
Confrontando il MOD_1 & MOD_2 ci si può accorgere che potrebbero essere equivalenti, se lo spazio complementare ad M(r), però sotto m che cade, e cioé M'(r),
M(r)’=spazio complementare a M(r)|sotto m che cade,
assolva all’equilibrio tra m1 che frena m & M'(r) che accelera m
M(r)’=m2-M(r)=”spazio complementare al nucleo della Terra”;
M(r) =nucleo della Terra
Equivalenza che veda -dunque-
l’azione frenante di m1, bilanciata dalla azione accelerante di M(r)’ ..
.. allora, in tal caso,
la forza risultante sarà solo quella (fino al centro della Terra) espressa dal nucleo M(r).
Da cui si può “formalizzare” il tema come segue:
Nelle ipotesi precedenti dimostreremo che
Premesso che R, nel calcolo degli “indivibili” https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_degli_indivisibili
r_max=r0=raggio della Terra=/=R;
usando R=a come nel link https://it.wikipedia.org/wiki/Calotta
considerare solo la massa M(r)=massa del nucleo della Terra, mentre si è in caduta per un sasso al centro della Terra, e quindi solo della sfera di raggio r davanti
è equivalente a considerare la forza applicata sul sasso, m, da 2 masse:
la prima m1 decelerante (dietro al sasso mentre è in caduta)
la seconda m2 accelerante (davanti del sasso mentre è in caduta)
Per DIMOSTRARE ciò necessita calcolare:
Volume EMIsfera = V1 = (2/3).pi.r0^3
Volume Calotta = V2 = (5/24).pi.r0^3
Volume Base_Calotta = V3 = (11/24).pi.r0^3
Volume Settore=V1+V3=[2/3 + 11/24].pi.r0^3
Volume Settore=(27/24).pi.r0^3
Volume della sfera=(4/3).pi.r0^3
baricentro EMIsfera = Rcm1=(3/8).pi.r0
baricentro Calotta = Rcm2= (109/160).pi.r0
baricentro BASE_Calotta = Rcm3 = (21/88).pi.r0
baricentro Settore=EMIsfera+Base_Calotta
Premesso che -nel foglio di calcolo- dalla dimostrazione che segue .. abbiamo:
Posto che nei valori seguenti la convenzione è la seguente:
(è leggermente variata rispetto alla formalizzazione precedente)
m = massa del sasso che cade
m1 = massa intorno (EMIsfera superiore) al sasso che cade
m2 = massa alle spalle (calotta) al sasso che cade
m3 = massa BASE_calotta di fronte al sasso che cade
m4 = massa di fronte (EMIsfera inferiore) al sasso che cade
m5 = M(r) = massa del nucleo della Terra al raggio r
m’ = m2
m” = m3 + m4
d=M/V=densità -> M=d.V; V=M/d
V0 = V(m) = V(massa del sasso) = 1 kg/d
V1 = V(EMIsfera) = (2/3).pi.r0^3; dim: § 1.1
V2 = V(calotta) = (5/24).pi.r0^3; dim: §1.2
V3 = V(BASE_calotta) = (11/24).pi.r0^3; dim: §1.3
Rcm1’=Rcm(EMIsfera) = (3/8).r0; dim: §2.1
Rcm2’=Rcm(calotta) = (109/160).r0; dim: §2.2
Rcm3’=Rcm(BASE_calotta) = (21/88).r0; dim: §2.3
(coordinate da origine della sfera)
Rcm1=Rcm(EMIsfera) = (5/8).r0; dim: §2.1
Rcm2=Rcm(calotta) = (51/160).r0; dim: §2.2
Rcm3=Rcm(BASE_calotta) = (67/88).r0; dim: §2.3
(coordinate da polo nord della sfera)
in valori precedenti in ipotesi di posizione del sasso in r=r0/2
rif. al centro della sfera.
Se risulterà:
F1= G.m.m’/r1^2 (forza frenante totale)
m=massa del sasso
m’=massa alle spalle del sasso che cade (detta m2 nel foglio di calcolo)
m’=massa calotta alle spalle del sasso che cade (esplicito)
r1=distanza tra baricentro di m & baricentro di m’ (Rcm2′)
calcoli: vedi §2.2
dove: r1=distanza tra m & m’=1.16E6 metri
r1=R_cal=(109/160-0,5).r0=0.18125.r0
F2=G.m.m”/r2^2 (forza accelerante totale)
m”=massa davanti al sasso che cade = m3 + m4
r2=distanza tra baricentro di m & baricentro di m”
FΔ = F2-F1 > 0 forza risultate in caduta
M(r)=m5=massa del nucleo della Terra davanti al sasso che cade.
F5=G.m.M(r)/r3^2
r5=distanza tra baricentro di m & baricentro di M(r)
if FΔ = F2-F1 = F5
la forza risultante,F5, sarà solo quella (fino al centro della Terra) espressa dal nucleo M(r).
Il modello di Gauss a costanti concentrate m, M(r), può essere utilizzato anche in cosmologia passando per i modello di Einstein che è un modello a 2 masse: m, M(r).
Va scomposta, per facilità di lettura, la dimostrazione in più Capitoli e Sezioni:
Nella PRIMA PARTE: mostreremo il calcolo dei vari volumi di interesse.
Nella SECONDA PARTE: mostreremo il calcolo dei bar_i=baricentri che richiedendo il calcolo dei volumi usufruiranno dei calcoli della “prima parte”.
PRIMA PARTE: mostreremo il calcolo dei vari volumi di interesse.
Calcolo del volume di una EMIsfera.
dicesi EMIsfera la metà (1/2) di una Sfera.
Poiché per il centro di massa abbiamo le seguenti formule:
(1) G=Σi mi.xi/Σi mi = (1/M)∫z.ρ.dV
(2) M=∫ρ.dV
Nel Capitolo 1 il calcolo delle masse si ridurrà, in ipotesi di ρ=costante, al calcolo di volumi:
(3) V=∫dV
Poiché nel caso della sfera .. sia la sfera e anche tagli simmetrici della sfera lungo l’asse z godono di proprietà di simmetria, avremo secondo “il metodo degli invisibili” che il calcolo della (3) può essere risolto come nella (4) che segue:
https://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_degli_indivisibili
(4) V=∫∫∫dV
V(x,y,z) = V(z)
Si consideri il Volume di una Calotta:
V(z) = pi.r0.(z^2) – pi.(z^3)/3
d/dz[V(z)]=2.pi.r0.z – pi.z^2
(5) dV(z)=(2.pi.r0.z – pi.z^2)dz
Sostituendo la (5) nella (4):
(6) (4) V=∫∫∫dV=∫(2.pi.r0.z – pi.z^2)dz = V(z) = 2.pi.r0.(z^2)/2 – pi.(z^3)/3
Nota §1:
Non vanno sottovalutati gli “estremi di integrazione”!
Va precisato che gli estremi di integrazione poiché pongono a parametro h, vedono
h=0 quando siamo al polo nord della sfera.
h=/=0 ed h < r0, quando espandiamo h verso il centro della sfera
per cui la freccia crescente del sistema cartesiano lungo l’asse z è dal polo nord al sud.
Nel caso di una calotta completa = EMIsfera:
z1=r0
r0=raggio della sfera generatrice della calotta in esame.
sostituendo nella (6) otteniamo
il volume della EMisfera
if z1=h=r0
in 2.pi.r0.(z^2)/2 – pi.(z^3)/3 =pi.h^2.[r0 – h/3]
(7) V0(EMI_sfera) = pi.r0.(r0^2) – pi.(r0^3)/3
(7)’ V0=V(EMI_sfera) = pi.(r0^3) – pi.(r0^3)/3 =
(2/3).pi[r0^3]
che è metà del volume della sfera
cvd.§1.1
Nel caso di una calotta alta h=r0/2 = calotta particolare
z1=h=r0/2
z0=h0=0
Il calcolo è svolto al link seguente:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera
i particolare si veda:
(8) V2(Calotta generica)=pi.h^2.[r0 – h/3]=Vks
Ma non si trascuri che
solo se h=r0/2
Da cui, sostituendo nella (8) h=r0/2 si otterrà
(9) V2(Calotta particolare)=pi.(r0/2)^2.[r0] – pi.(r0/2)^3)/3=Vks
(10) V2(Calotta particolare)=
(5/24).pi.r0^3;
if h=r0/2
cvd.§.1.2
Nel caso di un “settore=segmento sferico” come al link seguente:
chiameremo “tale segmento sferico, con h=r0/2″=“base calotta”
(11) V2(base_calotta) = pi.z^2[r0 –z/3]| z1=r0; z0=h=r0/2
pi.h^2.[r0 – h/3]
(11)’ V2(base calotta) =
pi.(r0)^2[r0 -(r0)/3] +
-pi.(h)^2[r0 –h/3]
-pi.(r0/2)^2[r0 -(r0/2)/3]
pi.(r0)^2[r0] -pi.[(r0)/3] +
-pi.(r0/2)^2[r0] +pi.[(r0/2)/3]
(11/24).pi.r0^3
volume calotta di r0/2 + volume base calotta=
(5/24)pi.r0^3 + (11/24).pi.r0^3 = (16/24)pi.r0^3=
(2/3)pi.r0^3=(1/2).volume della sfera.
cvd.§1.3
calcolo “base calotta” dall’integrale:
(13) ∫dV(z) = ∫(2.pi.r0.z – pi.z^2)dz
V3(base calotta)=2.pi.(z^2)(1/2).[r0] – pi.[z/3]|z1; z0
z0=h=r0/2
V2(base calotta) = (11/24)pi.r0^3
Lo studio precedente, anche sugli estremi di integrazione, è fondamentale.
Infatti nel calcolo dei baricentri:
E come si vede dalla (1) la funzione sotto il segno di integrale avrà un modifica: essendo la funzione standard da moltiplicare per z.
V1=V(EMIsfera)=(2/3).pi.r0^3; §1.1
V2=V(BASE_calotta)=(11/24).pi.r0^3; §1.3
Volume Settore=V1+V2=[2/3 + 11/24].pi.r0^3
SECONDA PARTE: mostreremo il calcolo dei vari BARICENTRI di interesse.
stiamo calcolando il baricentro di EMIsfera:
La (1) diviene se ρ=costante
(1)’ =(1/V)∫z.dV
dove: Volume EMIsfera ..
1/V=1/{[(4/3).pi.r0^3].0.5}
dove: l’integrale associato ..
∫z.dV = ∫z.pi[2.r0.z-z^2]dz
∫z.dV = pi.∫[2.r0.z^2 – z^3]dz
∫z.dV = pi.[2.r0.(z^3)/3 -(z^4)/4]
gli estremi di integrazione sono:
da cui .. sostituendo gli estremi di integrazione:
∫z.dV = pi.[2.r0.(r0^3)/3 -(r0^4)/4]
∫z.dV = (pi.2.r0^4)/3 – pi.(r0^4)/4
∫z.dV = pi.r0^4[2/3 – 1/4] = (2/3).pi.r0^4[1-(1/4).(3/2)]
∫z.dV = (2/3).pi.r0^4[1-(3/8)]=(2/3).pi.r0^4[5/8]
(1) G=Σi mi.xi/Σi mi = (1/M)∫z.ρ.dV =
Rcm1′(EMIsfera)=r0.(5/8)(*);
secondo coordinate con origine “il polo nord sfera”.
Rcm1(EMIsfera)=r0.(3/8)(*);
secondo coordinate con orogine “il centro della sfera”
(*)Nota Bene:
Come già detto nella “Nota §1” e nel calcolo §1.1
“per cui la freccia crescente del sistema cartesiano lungo l’asse z è dal polo nord al sud.”
Ciò significa che r0.(5/8) è misurato dal polo nord della sfera!
Per ottenere il valore secondo l’origine della sfera:
z_baricentro_EMIsfera=(8/8).r0 – (5/8).r0 = (3/8).r0
Quindi lo stesso valore al link seguente:
dal link qui sopra ci riferiamo al seguente calcolo:
C’è da aggiungere che la “funzione generatrice” sotto il segno di integrale della foto qui sopra tratta da wikipedia non è generale, poiché si sarebbe dovuto scrivere, in generale:
G=ρ/[ρ.(2/3).pi.r0^3] ∫z dV = 1/[(2/3).pi.r0^3] ∫z.dV
Essendo: ∫z.dV = ∫z.pi[2.r0.z-z^2]dz
dove gli estremi di integrazione sono:
Quindi la “funzione generatrice” dV=pi[2.r0.z-z^2]dz
è diversa da quella utilizzata da wiki, poiché è diverso l’uso delle coordinate.
Ma la trattazione seguente ci sarà utile quando non dovremo solo calcolare il baricentro di 0.5 di una sfera, ma anche per la base di una calotta, ed altre sezioni tra z1 & z0.
Però è da ricordare che i due sistemi di riferimenti vanno “NORMALIZZATI” come detto in modo complementare.
E solo incidentalmente coincidono in h, quando z1=h=r0; z0=0 .. ma NON coincidono quando
0 < h < r0
il sistema wiki misura dall'origine della sfera
il sistema Tufano utilizza la matematica degli indivisibili, e misura dal polo nord della sfera:
calcolo baricentro di calotta con h=r0/2
dove: Volume calotta con h=(1/2).r0 ..
desumibile da §1.2 V(calotta alta h)=pi.h^2.[r0 – h/3]
sostituendo h=r0/2:
V=(5/24).pi.r0^3
1/V=1/(5/24).pi.r0^3
ma la misura è in coordinate dal polo nord della sfera..
∫z.dV = pi.[2.r0.(r0/2)^3)/3 -(r0/2)^4)/4]
∫z.dV = [pi.2.(r0)^4]/[(3).(8)] – [pi.(r0)^4)]/[(4).(16)]
∫z.dV = [pi.2.r0^4]/[24] -[pi.(r0)^4)]/[64]
∫z.dV = [pi.r0^4][(2/24) -(1/64)]
∫z.dV = [pi.r0^4][102/1536]
Rcm2=Rcm(calotta con h=r0/2)=
Rcm2={1/[(5/24).pi.r0^3]}[pi.r0^4][102/1536]
Calotta con h=r0/2:
Rcm2=[102/1536][24/5].r0=[51/160].r0 (rif.polo nord)
Rcm2=0.31875.r0 (rif. polo nord)
Rcm2’=[160/160 – 51/160].r0 = 109/160.r0=0.68125.r0
(rif. centro sfera)
calcolo baricentro di “BASE_calotta” con h=r0/2
dove: Volume BASE_calotta con h=(1/2).r0 ..
desumibile da §1.3.2 V[BASE_calotta alta h=(r0/2)]=(11/24)pi.r0^3
V=(11/24)pi.r0^3
1/V=1/(11/24).pi.r0^3
da cui .. sostituendo gli estremi di integrazione in ..
∫z.dV = pi.[2.r0.(r0)^3)/3 -(r0)^4)/4] – pi.[2.r0.(r0/2)^3)/3 -(r0/2)^4)/4]
∫z.dV = pi.[2.r0.(r0)^3)/3 -(r0)^4)/4] – {[pi.2.(r0)^4]/[(3).(8)] – [pi.(r0)^4)]/[(4).(16)]}
∫z.dV = pi.[2.r0.(r0)^3)/3 -(r0)^4)/4] – {[pi.2.r0^4]/[24] -[pi.(r0)^4)]/[64]
∫z.dV = pi.r0^4[536/1536]
Rcm3=Rcm(BASE_calotta con h=r0/2)=
Rcm2={1/[(11/24).pi.r0^3]}[pi.r0^4][536/1536]
BASE_Calotta con h=r0/2:
Rcm3=[536/1536][24/11].pi.r0=[67/88].r0 (rif.polo nord)
Rcm3=0.76136363636364.r0 (rif. polo nord)
Rcm3’=[88/88 – 67/88].r0 = (21/88).r0= 0.23863636363636.r0
Calcolo del baricentro del Settore
Settore=BASE_calotta+EMIsfera
Dal §1.4 conosciamo già il volume del “Settore”.
Per avere il baricentro de il “Settore”, poiché conosciamo i 2 baricentri
Rcm2’=(3/8).pi.r0 (EMIsfera)
Rcm3’=(21/88).pi.r0 (BASE_Calotta)
Rcm(Settore) = Σi mi.xi/Σi mi = Σi Vi.xi/Σi Vi
Per semplicità di calcolo eseguiremo una traslazione dei baricentri al “nord della sfera”
Rcm2=(5/8).r0 (EMIsfera)
Rcm3=(67/88).r0
Naturalmente Rcm(Settore) risulterà in coordinata “al nord della sfera” che andrà convertita se da indicare rif. al “centro sfera”.
Rcm(settore)=(1/Σi Vi).(Σi Vi.xi)
V1=EMIsfera
V3=BASE_Calotta
x1=distanza EMIsfera dal nord
x3=distanza BASE_Calotta dal nord
Σi Vi.xi = V1.x1 + V3.x3
V1=(2/3).pi.r0^3
V3=(11/24).pi.r0^3
x1’=Rcm1=(3/8).r0 EMIsfera dal centro sfera
x3’=Rcm3’=(21/88).r0 BASE_Calotta dal centro della sfera
V1.x1”=[(2/3).pi.r0^3].[(11/8).r0]
V2.x3”=[(11/24).pi.r0^3].[(67/88).r0]
V1+V3=(27/24).pi.r0^3
x1”=[(1) + (3/8)].r0=(11/8).r0 baricentro EMI_sfera dal polo nord sfera
x3″=[(67/88).r0] baricentro Base_Calotta dal polo nord sfera
Σi Vi.xi = V1.x1 + V2.x3 =
Σi Vi.xi = (22/24).pi.r0^4 + [(11).(67)]/[(24).(88)].pi.r0^4
Σi Vi.xi = (2673/2112).pi.r0^4
Rcm(settore)=(1/Σi Vi).(Σi Vi.xi) = {1/[(27/24).pi.r0^3]}{1969/(24.88).pi.r0^4}
Rcm(settore)={[(2673/2112)]/[1/(27/24)]}r0={[(2673/88)]/[1/(27)]}r0
Rcm(settore)=(99/88).r0=(1,125).r0 = 1,125.r0 dal polo nord
Rcm'(settore)=(99/88).r0 – r0 =(11/88).r0 = 0,125.r0 dal centro della sfera
Dal foglio di calcolo
la massa alle spalle è circa, come forza, quella della base calotta (si elidono)
F1 = forza tra m(sasso) & la Calotta (dietro al sasso in caduta) = 46,4 Nw
F2 = forza tra m (sasso) & BASE_calotta (davanti al sasso che cade) = 49,1 Nw
F3 = forza tra m (sasso) & EMIsfera_inferiore (davanti al sasso .. ) = 6,37 Nw
F4 = forza tra m (sasso) & M(r), dove M(r) è il nucleo Terra = 4,88 Nw
F_C = F2+F3=tot forze a cadere = 55,47 Nw
F_D = “forza netta” (tra forze a cadere e frenare)= F_C – F1 = 9,07 Nw
F5 = forza tra m e M(tutta la Terra in t=0) = 9,79 Nw
Si noti come F_D=circa F4; Inoltre una variazione di densità maggiore verso il centro, rispetto alla periferia giustifica F4=circa F_D
Si noti, infine, che la forza esercitata da M'(r) che dovrebbe da sola bilanciare quella della calotta alle spalle del sasso che cade, è equivalente a cercare la F_D= forza “netta” tra le forze a cadere e frenare.
La approssimativa COLLIMAZIONE, a nostro avviso, è dovuta alla variazione di densità sia nella caduta in un PIANETA, e sia nel cosmo.
Tuttavia questo problema è stato trattato ai link seguenti:
si esegue il download facendo click sul link
si apre il file con il software (free) open office
http://www.partitoviola.it/docs/calcoli 4-10-2018.ods
11 ottobre 2018, ore 15.04

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