Source: http://usuaris.tinet.cat/picl/mates/pa.htm
Timestamp: 2018-01-24 03:37:27+00:00

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Sea una sucesión cualquiera, formada por los elementos: 2, 5, 8, 11, ...
Cualquiera sería capaz de decirme, cual es el elemento siguiente. Seguro que me dirá que el número 14. Y el siguiente, el 17.
Vemos que si sumamos 3 al último número, encontramos el siguiente.
Lamamos a1 al número 2, que es el primer término; a2, al 5, que es el segundo término...
Si al segundo término le restamos el primero, encontramos el número 3 que es la clave para hallar los siguientes números.
Por lo tanto a2 - a1 = 3; a éste número le llamaremos diferencia. o tambien "d".
a1 a1= 2
a2= a1 + d a2= 2 + 3 = 5
a3= a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a3= 2 + 2.3 = 2 + 6 = 8
a4= a1 + 3d a4 = 2 +3.3 = 2 + 9 = 11
a5= a1 + 4d
a9= a1 + 8d
a157= a1 + 156d
Esta fórmula es fundamental para hallar el último término de una progresión aritmética.
Vamos a averiguar otra fórmula fundamental: la de la suma.
Sean los elementos: 2, 5, 8, 11, 14; creo que la suma da 40. Por lo tanto podemos escribir:
40 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14	o también
40 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
---------------------------------------- Por lo tanto, si sumamos miembro a miembro, resulta:
80 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16
Oh! que casualidad, siempre grupos de 16. Precisamente 5 grupos. Tantos como términos.
Vamos a hacerlo con letras:
S = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
S= an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1
2S = (a1+an) + (a2+an-1) + (a3+ an-2)+...+(an-2+a3) + (an-1+a2) + (an+a1)
Como que hay n grupos iguales, resulta:
2S = (a1+an) * n
S = (a1+an) * n / 2
Y no hay más teoría en las progresiones. Todo está aquí.
Falta hablar de la interpolación, pero si te fijas en la etimología de la palabra, observarás que si inter = entre y polar = polos, extremos, resulta que interpolar 5 términos, nos da una progresión con siete términos, los cinco más los dos extremos. Cuando tengamos que interpolar, será una progresión con dos términos más.
Solución 130. Calcular la suma y el número de términos de una p.a., cuyo primer término es 4, el último 40 y la razón 3. Resolución
Solución 131. Conociendo el primer término de una p.a. 3, el último 25 y el número de términos 12, determinar la razón y la suma. Resolución
Solución 132. Conociendo el primer término 3, el último 39 y la suma 210 de las términos de una p.a., calcular la razón y el número de términos. Resolución
Solución 133. Formar una p.a. de términos positivos de razón 2, el último 18 y 88 la suma de sus términos. Resolución
Solución 134. Determinar el número de términos de una p.a. y el último, sabiendo que el primero vale 3, la razón es 2 y la suma 120. Resolución
Solución 135. Cual será la profundidad de un pozo si por el primer metro se han pagado 760 duros y por cada uno de los restantes, 150 duros más que por el anterior. El pozo ha costado 43.700 duros. Resolución
Solución 136. Hallar el número de términos de una p.a. que tiene por primer término 7, por último 112 y por razón 3. Resolución
Solución 137. Hallar los cuatro ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que forman p.a. de razón igual a 25�. Resolución
Solución 138. La suma de cierto cantidad de números impares consecutivos tomados a partir de 1, es 11.025. Calcular el último de los citados números impares. Resolución
Solución 139. Calcular la distancia que recorre un peón que arroja un cubo de agua en cada uno de los 30 árboles de un lado de la calzada, sabiendo que el primer árbol dista del pozo 10 m. y entre sí distan 6 m. y al final deja el cubo al lado del pozo. Resolución
Solución 140, Calcular la suma de todos los números que, teniendo tres cifras, son múltiplos de 7. Resolución
Solución 141. Cuántas campanadas da diariamente un reloj que suena solamente las horas. Resolución
Solución 142. Calcular el valor de cada uno de los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que están en p.a. Resolución
Solución 143. Los ángulos de un triángulo están en p.a., valiendo uno de ellos 100�. Hallar el valor de los demás. Resolución
Solución 144. Hallar la suma de los números pares que estan comprendidos entre 99 y 1001. Resolución
Solución 145. Hallar la suma de todos los números múltiplos de 4 comprendidos entre 122 y 1.418. Resolución
Solución 146. Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de cinco. Resolución
Solución 147. Hallar la suma de los cincuenta primeros números que son múltiplos de siete. Resolución
Solución 148. Hallar la suma de los términos de la siguiente progresión: 5, 8, 11, 14, ... , 338. Resolución
Solución 149. Interpolar 10 elementos entre los números 3 y 25, para que formen progresión. Resolución
Solución 150. Interpolar 5 medios aritméticos entre los números 1/2 y 1 para que formen una progresión. Resolución
Solución 151. Interpolar 13 medios aritméticos entre 22a2 y 8a2 para que formen progresión. Resolución
Solución 152. Interpolar cinco medios aritméticos entre el octavo y el noveno término de la p.a., cuyo primer término es 1/2 y el segundo 7/12. Resolución
Solución 153. Hallar el número de bolas que contiene una pila triangular completa, teniendo sobre cada lado 20 bolas. Resolución
Solución 154. Hallar el número de bolas que contiene una pila triangular cuya base inferior tiene 25 bolas y la superior 13 bolas. Resolución
Solución 155. Un coronel que manda 2.485 soldados los quiere formar en triángulo, de tal forma, que la primera fila tenga un soldado, la segunda 2, la tercera 3, y así sucesivamente. Cuántas filas podrá formar ? Resolución
Solución 156. Un hexágono tiene un ángulo recto y los restantes, a partir de él, están en p.a. Hallar el valor de cada uno de ellos. Resolución
Solución 157. Un coronel coloca un soldado en la primera fila, 3 en la segunda, 5 en la tercera, etc., hasta colocar 1024 soldados. Se desea saber: a) Cuántos soldados tiene la fila 10. b) Cuántas filas hay. c) Qué superficie hubiera ocupado si los hubiera dispuesto en filas y columnas de igual número de soldados, distantes entre sí un metro. Resolución
Solución 158. Calcular la suma de los múltiplos de 5 comprendidos entre 1243 y 4728. Resolución
Solución 159. Encontrar tres números en p.a. de razón 5 sabiendo que el término central es igual a la media geométrica de los extremos mas uno. Resolución
Solución 160. En un parque hay 50 filas de árboles y se sabe que la diferencia entre el número de árboles de una fila y el del anterior es constante y además que en la fila ocho hay 41 y en la quince 62. Hallar; 1�) La diferencia entre le número de árboles de dos filas consecutivas; 2�) Valor de la plantación si cada árbol vale 100 pesetas. Resolución
Solución 161. Formar una p.a. de 6 términos, sabiendo que su suma es 69 y la diferencia entre los extremos es 15. Resolución
Solución 162. La suma de los once términos de una p.a. es 220. Sabiendo que la diferencia entre el último y el primero es 30, formar la progresión. Resolución
Solución 163. La suma de 10 términos de una p.a. es 205. La diferencia entre el último y el primero es 27. Formar la progresión. Resolución
Solución 164. En una p.a. de once términos, la suma de éstos es 176, y la diferencia entre el último y el primero es 30. Formar la progresión. Resolución
Solución 165. En una p.a. creciente la diferencia entre el último y el primer término es 20. La razón es igual al número de términos y la suma de éstos es 65. Hallarla. Resolución
Solución 166. El segundo y el noveno término de una p.a. suman 29 y el tercero con el duodécimo suman 41. Calcular los cuatro términos. Resolución
Solución 167. Una p.a. de doce términos es tal que la suma de sus once primeros términos es 253. Sabiendo que la semidiferencia entre dos términos consecutivos es 2, hallar el último termino. Resolución
Solución 168. La razón de una p.a. aritmética creciente es 2 y 11 el número de términos. Averiguar el primer término y la suma de los 11, sabiendo que el último termino es igual al cuadrado del primero. Resolución
Solución 169. Los tres lados de un triángulo rectángulo están en p.a. de razón 3. Hallarlos. Resolución
Solución 170. Los lados de un triángulo rectángulo están en p.a. de razón 2, calcula las medidas. Resolución
Solución 171. La suma de los 5 primeros términos de una p.a. es 75 y la suma de los 7 primeros es 129'5. Calcular el primer término y la razón. Resolución
Solución 172. Los tres primeros términos de una p.a. son 12, 16 y 20. Calcular el número de términos que hay que añadirle para que la suma total sea 300. Resolución
Solución 173. La suma de los 12 primeros términos de una p.a. es 157'8 y el cuarto término es 8'9. Calcular el séptimo y el onceavo. Resolución
Solución 174. La suma de los términos de una p.a. de términos positivos es 199'5, el último término es 24 y la diferencia entre dos términos consecutivos es 1'5. Calcular el número de términos y el primero. Resolución
Solución 175. Tres números en p.a. creciente tienen por producto 45 y el más pequeño es 1. Cuáles son los otros dos ? Resolución
Solución 176. La suma de tres números en p.a. es 21 y el producto 280. Formarla. Resolución
Solución 177. Hallar tres números en p.a. siendo su suma 33 y su producto 1287. Resolución
Solución 178. Hallar un número de tres cifras que, dividido por la suma de las mismas, dé 15; las cifras están en p.a. y sumando al número 396 se obtiene el número invertido. Resolución
Solución 179. El volumen de un paralelepípedo es 1.232 cm3. Calcular sus aristas, sabiendo que están formadas por tres números en p.a. de razón 3. Resolución
Solución 180. Las tres aristas de un ortoedro que concurren en un mismo vértice tienen longitudes en p.a. cuya suma es 78 metros. El volumen del ortoedro es 16.640 m3. Hallar las longitudes de las aristas. Resolución
Solución 181. En un paralelepípedo rectángulo las tres dimensiones están en p.a. y su suma vale 24 metros. Sabiendo que el área total mide 366 m2, calcular: a) sus dimensiones, y b) su volumen. Resolución
Solución 182. Dado un ortoedro cuyas dimensiones son tres números naturales en p.a. de razón 2, determinar su volumen, sabiendo que su área total mide 142 m2. Resolución
Solución 183. Encontrar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma vale 15 y la suma de sus cuadrados 107. Resolución
Solución 184. Hallar tres enteros en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 12 y la suma de sus cuadrados 56. Resolución
Solución 185. Encontrar cuatro números en p.a. creciente, sabiendo que su suma es 92 y la suma de sus cuadrados es 2.136. Resolución
Solución 186. La suma de los cuatro términos de una p.a. es 2, y la suma de sus cuadrados es 46. Averiguar la progresión. Resolución
Solución 187. Calcular los 10 términos de una p.a., sabiendo que la suma de los seis términos centrales es 93 y el producto de sus extremos es 58. Resolución
Solución 188. La suma de los seis términos centrales de una p.a. creciente de 16 términos es 141, y el producto de sus extremos es 46. Escribir la progresión. Resolución
Solución 189. La suma de los cuatro términos centrales de una p.a. creciente de ocho términos es 70 y el producto del primero por el último 196. Formar la progresión Resolución
Solución 190. La suma de 5 números en p.a. es 45 y la suma de sus inversos 137/180. Formar la progresión. Resolución
Solución 191. En una p.a. la razón y el número de términos son iguales. La suma de los términos es 120 y la diferencia de los extremos es 20. Construir la progresión. Resolución
Solución 192. Una p.a. tiene un número impar de términos. El central vale 44 y el producto de los extremos 336. Calcular los extremos. Resolución
Solución 193. Un número compuesto de tres cifras es igual a 26 veces la suma de sus cifras; éstas están en p.a.; y si al número dado se le suman 396, resulta el mismo número invertido: Cuál es el número ?. Resolución
Solución 194. Si a, b y c están en p.a., los A= a2+ b2+ ab, B= a2+ c2 + ac, C= b2+c2+bc están también en p.a. Comprobarlo. Resolución
Solución 195. Hallar la suma de los n primeros números impares. Resolución
Solución 196. Hallar la suma de los n primeros números pares. Resolución
Solución 197. Hallar la suma de los n primeros múltiplos de 3. Resolución
Solución 198. Calcular cuatro enteros en p.a. conocida su suma 26 y el producto del segundo término por el cuarto 55. Resolución
Solución 199. El n término de una p.a. es (3n - 1)/6: Hallar el primer término, la razón y la suma de n términos. Resolución
Solución 200. Hallar la suma de los p primeros números positivos de la forma 4p + 1. Resolución
Solución 201. La suma de n términos de una p.a. es n (3n + 2): hallar el octavo término. Resolución
Solución 202. En una p.a. am = m y an = m, calcula ap en función de m, n y p. Resolución
Solución 203. Hallar el primer término y la razón de una p.a. sabiendo que la suma de los n primeros términos es igual al cuádruplo de n2, para cualquier valor de n. Resolución
Solución 204. Encontrar una p.a. tal que la suma de n términos sea igual a 5n2, para todos los valores de n. Resolución
Solución 205. Hallar la p.a. en la que la suma de sus n primeros términos es n2/2, para todos los valores de n. Resolución
Solución 206. Hallar una p.a. tal que la suma de sus n primeros términos sea igual a n ( 3n + 1), para todos lo valores de n. Resolución

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