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Super resolución de imágenes y vídeo (I).
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José Méndez de la Fuente
1 Super resolución de imágenes y vídeo (I). Rafael Molina Depto. Ciencias de la Computación e I. A. E.T.S.Ingeniería Informática Universidad de Granada Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo2 I. Introducción Índice El problema de la super resolución. Ejemplos Jerarquía en super resolución Por qué es posible la super resolución? II. Modelización del proceso de obtención de imágenes de baja resolución a partir de imágenes de alta resolución Notación Modelo de observación Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo3 III. Algoritmos de super resolución en el dominio de las frecuencias Introducción. Métodos basados en la supresión de aliasing. IV. Algoritmos basados en la interpolación de muestras no uniformes V. Métodos en el dominio espacial sin regularización Proyección algebráica hacia atrás filtrada Métodos de simulación y corrección. VI. Bibliografía Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 34 I. Introducción I. El problema de la super resolución En numerosos problemas reales son necesarias imágenes de alta calidad espacial (resolución): imágenes médicas, imágenes de teledetección, policía forense y en general problemas de visión artificial donde una mayor resolución de las imágenes puede proporcionar un mejor reconocimiento. Eiste también un límite inferior en el tamaño que un píel puede tener y tampoco es posible hacer crecer el tamaño de la CCD más allá de un límite que haga imposible la lectura de datos en tiempo real, es, por tanto, necesaria una aproimación software al problema []. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 45 I. Ejemplos Super resolución a partir de imágenes estáticas disponemos de varias imágenes de baja resolución con pequeños desplazamientos entre ellas Hacer crecer una de ellas no es buena solución Reconstrucción combinando varias imágenes Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 56 Super resolución a partir de vídeo (con compresión) Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 67 I.3 Jerarquía en Super resolución Mejora espacio-temporal de la resolución de vídeo a partir de vídeo de baja resolución. Mejora de la resolución espacial de vídeo a partir de vídeo de baja resolución. Mejora de la resolución temporal de vídeo a partir de vídeo de baja resolución. Mejora de la resolución espacial de una imagen estática a partir de vídeo de baja resolución Mejora de la resolución espacial de una imagen estática a partir de varias imágenes de baja resolución Mejora de la resolución espacial de una imagen estática a partir de una imagen de baja resolución Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 78 I.4 Por qué es posible la super resolución? La hipótesis básica para aumentar la resolución espacial es la eistencia de varias imágenes de baja resolución de la misma escena con pequeños desplazamientos entre ellas. con este tamaño de píel tenemos cuatro CCDs con símbolos nuevo tamaño de píel Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 89 El movimiento puede no ser único y global El problema es ahora más complicado, puede haber varios objetos moviéndose simultáneamente Pasaremos ahora a describir el proceso de obtención de las imágenes de baja resolución a partir de las imágenes de alta. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 910 II. Modelización del proceso de obtención de imágenes de baja resolución a partir de imágenes de alta resolución II. Notación Consideremos la imagen de alta resolución que buscamos, esta imagen tiene tamaño L N L N y la vamos a notar como un vector columna de la forma =[,..., N ] t siendo N= L N L N. L y L representan el factor de submuestreo en el modelo de observación en las direcciones vertical y horizontal, respectivamente. Cada imagen de baja resolución tiene, por tanto, tamaño N N. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 011 CCD para la imagen de alta resolución CCD para las observaciones de baja resolución N =3, L =, N =3, L = Objetivo: estimar la imagen que tendría que haber sido observada en la CCD de alta resolución, a partir de K imágenes y k, k=,...,k observadas en CCDs de baja resolución, donde y k =[y k,,...,y k,m ] con M= N N Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo12 II. Modelo de observación cómo obtenemos las imágenes de baja resolución a partir de las de alta?, (Elad y Feuer []) y k = DB M + n k k k Imagen de baja resolución y de alta resolución M k : matriz de warping de orden (L N L N ) (L N L N ) B k : matriz de emborronamiento de orden (L N L N ) (L N L N ) D: matriz de submuestreo de orden (N N ) (L N L N ) n k : ruido aleatorio (normal) Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo13 II.. Descripción del warping, M k Imagen A Imagen B Observemos que A(,y)=B(+,y+) Si definimos W(A,(,))(,y)=A(-,y-) W(A,(,))(,y)=B(,y) Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 314 Desgraciadamente el problema puede ser muy complejo o Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 415 Son numerosas las técnicas de estimación de movimiento, o desplazamientos entre imágenes. En general, la aproimación es la siguiente: Dentro de la super resolución, se interpolan las imágenes de baja resolución (se hacen del tamaño de las de alta resolución) y se estiman los desplazamientos entre ellas. Obviamente, el método no es completamente correcto. Una aproimación alternativa consiste en reestimar el movimiento a partir de las imágenes de alta resolución que se van obteniendo por un proceso iterativo. Puede tener problemas de convergencia. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 516 El trabajo de S. C. Park y colaboradores [] contiene referencias interesantes sobre aproimaciones clásicas. El trabajo de Segall y colaboradores [3] contiene también una descripción de métodos de estimación de movimiento en SR para imágenes comprimidas. Ver también el ecelente tutorial de S. Borman y R. Stevenson [4], y el libro editado por Chaudhuri [5]. El trabajo de Irani y Peleg [6] presenta una nueva metodología para la estimación del movimiento. Sin embargo, creo que son necesarias nuevas aproimaciones entre las que destacaría: Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 617 [7] E. P. Simoncelli, E.H. Adelson y D.J. Heeger, Probablity distributions of optical flow, en Proc. IEEE Computer Soc. Conf. Computer Vision and Pattern Recognition, 99, pgs [8] J. Chamorro-Martínez, Desarrollo de modelos computacionales de representación de secuencias de imágenes y su aplicación a la estimación de movimiento, Tesis doctoral, Universidad de Granada, 00. [9] O. Nestares y R. Navarro, Probablistic estimation of optical flow in multiple band-pass directional channels, Image and Vision Computing, vol. 9, pgs , 00. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 718 II.. Descripción del emborronamiento, decimación y ruido. original borrosa decimada con ruido Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 819 III. Métodos en el dominio de las frecuencias III. Introducción Vamos a analizar ahora los métodos basados en el procesamiento en el dominio frecuencial. La base de esta aproimación es el trabajo [0] de Tsai y Huang de 984. Antes de analizar esta aproimación es conveniente repasar algunos conceptos de transformada de Fourier. Ver el capítulo III del libro de Telkap []. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 920 III. Métodos basados en la supresión de aliasing (, ) es la imagen original. Traslaciones globales de esta función producen R imágenes desplazadas r (, ) = ( +, + r r ) r =, K,R Las imágenes desplazadas son muestreadas produciendo y r [m =,m r ] = (m T (m T,m T ) + Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 0 0,m m T M Bajo hipótesis razonables sobre la imagen original de alta resolución, relacionamos la transformada de Fourier de las imágenes de baja resolución y la de alta y a partir de ahí estimamos la imagen de alta resolución. r < +, 0 r ) m < M21 La eistencia de emborronamiento en las observaciones es analizada en Tekalp, Ozkan y Sezan [] y el capítulo 7 del libro [] de Tekalp (que contiene una eposición muy clara). Cómo estimamos los desplazamientos entre imágenes? En el trabajo de Tsai y Huang [0] se describe un método que utiliza todas las imágenes simultáneamente, una alternativa simple pero interesante es la propuesta por Kaltenbacher y Hardie en [3]. Kim, Bose y Valenzuela analizan en [4] bajo qué condiciones podemos, a partir de las observaciones, recuperar la imagen de alta resolución. Proponen también un método recursivo que va incorporando al proceso de estimación las imágenes observadas secuencialmente. El método no tiene en cuenta el posible emborronamiento. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo22 Kim y Su [5] etienden el trabajo de [4] a la presencia de emborronamiento e introducen regularización en la obtención de la solución (una importante aportación). El método vuelve a ser recursivo. Siguiendo la teoría desarrollada por Davila en [6,7], Bose, Kim y Valenzuela [8] adaptan su método recursivo descrito anteriormente al problema en el que suponemos que los desplazamientos son estimados y tienen ruido. Desde mi punto de vista la evolución de los métodos frecuenciales es un ejemplo de evolución de la investigación en un tema. El uso de DCT en lugar de FFT se describe en Rhee y Kang [9]. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo23 Por último, dentro del campo del procesamiento en el dominio frecuencias, Ur y Gross [0] proponen un método para la super resolución basado en el teorema de muestreo de Papoulis [] y su versión multicanal descrita por Brown []. Es importante notar que el método de Ur y Gross es espacial pero está basado en el análisis de las frecuencias de la imagen. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 324 IV. Interpolación a partir de muestras no uniformes Reconstrucción directa Método iterativo A continuación se utilizan algoritmos clásicos de supresión de emborronamiento Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 425 La idea es simple: Las imágenes de baja resolución son registradas, el resultado es una imagen compuesta de muestras no uniformemente distribuidas sobre el retículo de la imagen de alta resolución, estos puntos muestreados son interpolados y vueltos a muestrear en el retículo de alta resolución. A continuación se aplican técnicas de restauración de imágenes. Es importante tener en cuenta en todos los procesos de interpolación el siguiente resultado de Clark, Palmer y Laurence [3] sobre reconstrucción de funciones a partir de muestras no uniformemente espaciadas. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 526 Sea f() una función muestreada en los instantes m que no están uniformemente espaciados. Si eiste una función γ() tal que mt= γ( m ) y si f(γ - () ) tiene una banda limitada a ω 0 =π/t, entonces f() puede reconstruirse mediante f() = m= sen f(m) ω m= 0 ( ω0( γ() mt) ) ( γ() mt) Aizawa, Komatsu, Saito e Igarashi etienden sus resultados sobre visión estéreo en [4] a problemas de super resolución en [5] y [6]. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 627 En general, en todos estos métodos, una vez que R imágenes de baja resolución son registradas utilizando compensación de movimiento, se forma una imagen de alta resolución que no está muestreada uniformemente. Se utiliza entonces el algoritmo de Landweber [7] para estimar la imagen de alta resolución muestreada uniformemente. Veamos su descripción: Si es la imagen de alta resolución muestreada uniformemente y es la imagen de alta resolución muestreada no uniformemente resultante del agrupamiento y registrado de las imágenes de baja resolución entonces: Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 728 =A donde A representa el proceso de muestreo no uniforme. Como esta ecuación no se puede invertir se propone un método iterativo de la forma j+ = j +αa*(-a) donde A* representa el operador adjunto y α es un parámetro de control, en todas las ecuaciones hemos de incluir además el proceso de obtención de las imágenes de baja resolución a partir de las de alta. Alam y colaboradores [8] proponen para imágenes infrarrojas una técnica de super resolución basada en interpolación con el vecino más cercano. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 829 (a) Original (b) Baja resolución (c) Método de Alam y col. (d) Interpolación bilineal (c) Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 9 (d)30 La utilización de algoritmos de tipo Landweber es también propuesta en los trabajos de super resolución para imágenes en color de Shah y Zahor [9]. Este trabajo está también relacionado con el método de simulación y mejora que veremos con posterioridad. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 3031 V. Métodos en el dominio espacial sin regularización V. Proyección algebráica hacia atrás Frieden y Auman [30] consideran el problema de super resolución -D a partir de varias observaciones de una escena estacionaria. El proceso de observación se define como Y=H donde Y denota todos los datos observados, H es la matriz del sistema y es la señal de alta resolución a ser estimada. Observemos que esta forma de escribir el problema de super resolución es equivalente a reescribir la fórmula y k = DB M + n k k k Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 332 Con todos los vectores y k ordenados y llamar a este vector Y y a la correspondiente composición de los DB k M k notarla H. Frieden y Auman proponen como estimador la proyección hacia atrás de las observaciones t ^ = H Y Observemos de las ecuaciones anteriores ^ = H t H por tanto la estimación y la imagen original coinciden si y sólo si H t H=I. Recordemos que el filtrado inverso produciría como estimador de ~ = ( t )- t H H H Y Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 333 V. Métodos de simulación y corrección. Los métodos que vamos a considerar ahora tienen en común la aproimación que podríamos llamar de simulación y corrección y la no introducción de información sobre la imagen de alta resolución. Dado un estimador de la imagen de alta resolución y un modelo de formación de las imágenes de baja resolución, estos métodos simulan el proceso de formación de las imágenes de baja, estas imágenes generadas se comparan con las imágenes de baja resolución observadas y el error se usa para corregir la imagen de alta resolución. El proceso simulación/corrección se itera hasta que se cumple una condición de parada. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 3334 Keren, Peleg y Brada [3] describen el siguiente proceso: Registrar las imágenes continuas f a (, ) y f b (, ) utilizando un modelo de rotación y traslación globales, f b (, f a ( ) = cosθ - senθ +, cosθ + senθ + ) ( desarrollando seno y coseno hasta orden ) f a ( + - θ + θ, + + θ + θ ) (desarrollando f a hasta orden ) Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 3435 Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 35 a a a b f θ θ f θ θ - ), ( f ), ( f [ ] a a a b, θ, ) ( f ) θ θ ( f ) θ θ - ( ), ( ) - f, ( f : θ, E min, + = Se procede ahora a encontrar la solución de36 Para encontrar dicha solución se utiliza una pirámide gaussiana de menor a mayor resolución. Una vez encontrados los parámetros: Sobreponer todas las imágenes registradas en un retículo de alta resolución, usualmente del doble de filas y columnas y con la mitad del tamaño del píel. Realizar en cada píel de alta resolución un promedio robusto de todos los píeles de baja cuyos centros se encuentren dentro de dicho píel de alta resolución. Esta imagen de alta resolución es la imagen de partida del proceso de simula y corrige que discutiremos a continuación. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 3637 Cómo se utilizan los errores para corregir la imagen de alta resolución tiene muchas variantes, en cualquier caso todas ellas tienen una forma similar, veámosla. Notemos Y las R imágenes de baja resolución ordenadas leicográficamente en la que en cada imagen los píeles han sido también ordenados leicográficamente, la imagen de alta resolución es notada y el operador que realiza la compensación de movimiento, emborronamiento y submuestreo H, tendremos Y=H notemos que un problema muy importante es la correcta modelización de H. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 3738 ^ Dado un estimador de la imagen de alta resolución, podemos aplicar la fórmula anterior para obtener un estimador de Y, mediante ^ ^ Y = H Podemos entonces diseñar un procedimiento iterativo de propagación hacia atrás (corrección) de los errores j+ j BP = + H (Y - Y ) = + H j j BP ( Y -H j ) donde el superíndice indica proceso iterativo y BP indica un proceso de distribución de los errores en la imagen de alta resolución. En muchos casos H BP es una aproimación del inverso del operador H. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 3839 Peleg, Keren y Schweitzer [3], Keren, Peleg y Brada [3] e Irani y Peleg [33] proponen diferentes formas simples de proyección hacia atrás. Sin lugar a dudas los trabajos más relevantes dentro del modelo simular y corregir son los trabajos de Irani, Rousso y Peleg [34] e Irani y Peleg [6] que analizaremos a continuación. El trabajo de Irani, Rousso y Peleg [34] es de hecho una descripción de un proceso de estimación de movimiento y seguimiento de objetos que pueden estar parcialmente ocultos o ser transparentes. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 3940 Los movimientos que consideran son traslaciones, movimiento afín y de superficies planas y se realiza su estimación en alta resolución. Irani y Peleg discuten en [6] la aplicación de los resultados de [34] a la mejora de resolución espacial, a la reconstrucción de oclusiones y a la reconstrucción de objetos semitransparentes. Comenzamos aumentando la resolución de nuestras imágenes observadas, a estas imágenes le aplicamos la metodología de [34] y obtenemos una estimación del movimiento de los objetos de alta resolución. Tenemos, por tanto, una estimación de las matrices M k. Gráficamente: Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 4041 Las imágenes son segmentadas teniendo en cuenta el movimiento Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 442 Vamos obteniendo representaciones de los objetos en las imágenes que no son más que compensaciones del movimiento de los objetos de las imágenes de alta resolución. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 443 Vamos a describir en detalle la mejora de la resolución espacial siguiendo la notación de [6]. Es importante notar que el método propuesto en [6] se basa en la propagación hacia atrás de los errores y que se realiza independientemente para cada objeto que ha sido encontrado en la imagen. La propagación hacia atrás se hará mediante la utilización de un núcleo de convolución y es interesante destacar que en su forma no permite la incorporación de información a priori. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 4344 La secuencia de imágenes de baja resolución {y k } se modeliza mediante y k =σ k (h(t k ())+n k ) y k es la observación de baja resolución del objeto que queremos aumentar su resolución en la imagen k-ésima, es la imagen de alta resolución del objeto que estamos analizando, T k es la transformación geométrica de a y k, que se supone inversible y que se realiza en alta resolución para cada objeto, h es un operador de convolución que relaciona las imágenes de baja y alta resolución, n k es ruido aditivo es la imagen de alta resolución del objeto que estamos analizando, σ k es el proceso de submuestreo. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 4445 Si (n) es una estimación de la imagen de alta resolución que buscamos en un proceso iterativo, entonces utilizando la fórmula anterior y k (n) puede escribirse como ( ( ) h) s ( n) T ( n y = ) k k donde s denota submuestreo por un factor s y convolución Podríamos pensar en construir la sucesión { (n) }de forma que se fuese minimizando, K denota número de imágenes de baja resolución, e K ( n) = ( n y ) k yk K k= Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 4546 Para ello el proceso de actualización de la imagen de alta resolución que proponen los autores se escribe como ( n+ ) ( n) = + ( n T ) k yk yk K K k= ( ( ) s) p) donde p es un operador de proyección hacia atrás. Los autores estudian qué tipos de operadores de proyección hacia atrás pueden utilizar y obtienen, en el caso de transformación afín sin disminución de muestreo, una condición suficiente para la convergencia. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 4647 V. Bibliografía [] S. C. Park, M.K. Park y M.G. Kang, Super-resolution image reconstruction: A technical overview, IEEE Signal Processing Magazine, vol. 0, no. 3, pgs. -36, 003. [] M. Elad y A. Feuer, Restoration of a Single Superresolution Image from Several Blurred, Noisy, and Undersampled Measured Images, IEEE Transactions on Image Processing, vol. 6, pgs , Dec [3] C. A. Segall, R. Molina y A.K. Katsaggelos, High-Reesolution images from low-resolution compressed video, IEEE Signal Processing Magazine, vol. 0, pgs , 003. [4] S. Borman y R. Stevenson, Spatial resolution enhancement of lowresolution image sequences. A comprehensive review with directions for future research, Tech. Rep., Laboratory for Image and Signal Analysis, University of Notre Dame, 998. [5] S. Chaudhuri, Super-resolution Imaging, editor, Kluwer Academic Publishers, 00. Rafael Molina Super resolución de imágenes y vídeo 4748 [6] M. Irani y S. 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