Source: https://es.scribd.com/doc/58986646/GUIAS-DE-CALIGRAFIA
Timestamp: 2016-05-24 06:25:11+00:00

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Asesoría Hugo Balbuena Corro Colaboración María de los Ángeles Olivera Bustamante Irma Griselda Pasos Orellana Coordinación editorial Elena Ortiz Hernán Pupareli Diseño Mauro Calanchina Poncini Cuidado de la edición José Agustín Escamilla Viveros Supervisión técnica Alejandro Portilla de Buen Formación Martín Aguilar Gallegos Portada Diseño: Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, con la colaboración de Luis Almeida Ilustración: Matemáticas. Cuarto grado, SEP, 1994. Presencia núm. III, Fernando García Ponce, acrílico sobre tela, 1972. Museo de Arte Moderno, México, D.F. Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Bellas Artes y Literatura Primera edición, 1994 Segunda edición, 2001 Tercera edición, 2002 Segunda reimpresión, 2004 (ciclo escolar 2004 -2005) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 1994 Argentina 28, Centro, 06020, México, D. F. ISBN 970-18-7719-5 Impreso en México
5 7 10 18 51 53 54 Presentación Introducción Recomendaciones didácticas generales Recomendaciones didácticas por eje Recomendaciones de evaluación Sugerencias bibliográficas para el maestro Bibliografía consultada y créditos de ilustración
En el año escolar 1993-1994 se aplicó la primera etapa de la reforma de los planes y programas de estudio de la educación primaria. En esa etapa el nuevo currículo entró en vigor en los grados primero, tercero y quinto, y a partir del año escolar 1994-1995 se aplica también en los grados segundo, cuarto y sexto. Al mismo tiempo que se reformaron los planes y programas de estudio, se inició la renovación de los libros de texto gratuitos que el gobierno de la República entrega a todos los alumnos de las escuelas primarias del país. Con objeto de asegurar el conocimiento preciso del nuevo currículo, se ha enviado a todos los maestros y directivos escolares un ejemplar del libro Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria, en el que se describen los propósitos y contenidos de la enseñanza de cada asignatura y grado y del ciclo en su conjunto.
Por esta razón. Cuarto grado. a las condiciones específicas en las que realiza su labor y a los intereses. así como proporcionar material de estudio adecuado para los maestros que deseen profundizar en la enseñanza de una asignatura. Adicionalmente. a lo largo de todo el ciclo de la educación primaria.La reforma del currículo y los nuevos libros de texto tienen como propósito que los niños mexicanos adquieran una formación cul tural más sólida y desarrollen su capacidad para aprender permanentemente y con independencia. Este Libro para el maestro. se ha concebido como un medio para estimular y orientar el análisis colectivo de los maestros sobre su materia de trabajo. dosificación y articulación de contenidos y actividades de enseñanza. además de ser un recurso práctico para apoyar el trabajo en el aula. es indispensable que cada maestro lleve a la practica las orientaciones del plan y los programas y utilice los nuevos materiales educativos en forma sistemática. Para que esta finalidad se cumpla. lo que tienen que hacer en cada clase o en el desarrollo de cada tema. A partir de esta etapa hay libros de menor volumen para cada asignatura de un grado o. Actividades didácticas. Educación básica. ya sea que se realice de manera informal o como actividad
. Matemáticas. de manera rígida e inflexible. Esta nueva organización del Libro para el maestro tiene como propósito facilitar su manejo. El contenido del libro y su presentación parten de reconocer la creatividad del maestro y la existencia de múltiples métodos y estilos de trabajo docente. Matemáticas. los maestros recibirán el Fichero. las propuestas didácticas son abiertas y ofrecen amplias posibilidades de adaptación a las formas de trabajo del maestro. actualización y mejoramiento. creativa y flexible. Matemáticas. Tradicionalmente la Secretaría de Educación Pública distribuye los libros para el maestro como un apoyo al trabajo profesional que se realiza en nuestras escuelas primarias. Cuarto grado. Cuarto grado y podrán consultar el Avance Programático. En el pasado se integraban en un solo volumen las recomendaciones didácticas correspondientes a todas las áreas o asignaturas de un grado. necesidades y dificultades de aprendizaje de los niños. Primaria. Cuarto grado no tiene una finalidad directiva ni es su pretensión indicar a los profesores. excepcionalmente. El Libro para el maestro. para una pareja de asignaturas interrelacionadas estrechamente. recurso auxiliar para planear y organizar la secuencia. La forma de organización y presentación de estos libros ha sido modificada. La nueva presentación integra abundantes propuestas para la enseñanza de los contenidos y la utilización d el libro de texto y otros materiales educativos de cada asignatura y grado escolar.
a la luz de los resultados que se obtienen al utilizarlos en la práctica. el libro será material básico de actividades y cursos de actualización profesional. así como de los conocimientos construidos dentro y fuera de la escuela. El papel del maestro es fundamental como mediador entre los saberes de los alumnos. estrategias y
. Igualmente. los libros de texto grat uitos y otros materiales didácticos. Es por ello que la Secretaría de Educación Pública reitera la atenta invitación hecha a los profesores de educación primaria para que envíen a esta dependencia sus opiniones y recomendaciones relativas al mejoramiento de los instrumentos educativos mencionados y en particular del presente libro. El Plan y programas de estudio.del Consejo Técnico. la propuesta pretende ofrecer a los alumnos la oportunidad de desarrollar habilidades para estimar. Asimismo. La evolución de éstos se dará en la medida en que el maestro proponga diversos retos a sus alumnos. Paralelamente. operar (mentalmente y con los algoritmos usuales) para hacer inferencias y generalizaciones. La comprensión y uso de conceptos matemáticos. comunicar (de manera oral y escrita). El tipo de experiencias que tengan los niños durante el proceso de enseñanza. determinará también las actitudes que asuman ante los problemas que requieran el uso de esta disciplina. destinados a los maestros y a los alumnos. el dominio de los algoritmos usuales y la habilidad para resolver diversos problemas se apoya firmemente en la evolución de los conocimientos previos. las situaciones de aprendizaje que los maestros pueden proponer constituyen la materia prima necesaria para generar hipótesis. estudio y aprendizaje de las matemáticas en la educación primaria. Por tanto. las situaciones de aprendizaje y el conocimiento matemático que tiene rango social. son instrumentos educativos que deben ser corregidos y mejorados con frecuencia y sistemáticamente. medir. Los planes y programas de estudio. Primaria plantea estudiar en las aulas una matemática que permita a los alumnos construir conocimientos a través de la resolución de situaciones problemáticas que despierten su interés y su deseo de búsqueda de soluciones. se pretende que el alumno disfrute al hacer matemáticas desarrollando su creativi dad e imaginación. Educación básica. Secretaría de Educación Pública
La formación matemática que permita a cada miembro de la comunidad enfrentar y dar respuesta a los problemas matemáticos que se presentan en la vida moderna dependerá en gran medida de las habilidades y nociones desarrolladas durante la educación primaria.
utilizando los términos "más probable que" y "menos probable que". y Desarrolle la habilidad para elaborar e interpretar croquis y representar puntos y desplazamientos en el plano. organizar. el alumno logre obtener experiencias significativas en las que:
y Desarrolle la habilidad para leer. tablas. pictogramas. a lo largo del cuarto grado. superficie. medición. capacidad y tiempo para profundizar en el estudio del Sistema Métrico Decimal. gráficas. plantear y resolver problemas que impliquen el algoritmo de las cuatro operaciones fundamentales. y Desarrolle estrategias para estimar y calcular mentalmente el resultado de problemas de suma. los registre y los organice en tablas de frecuencias. con divisores hasta de dos cifras. la noción de ángulo y la capacidad para medirlos en fracciones de vuelta o en grados. y Resuelva problemas que impliquen el uso de fracciones en situaciones de reparto. figuras. Dada la dificultad para diseñar diversas situaciones de aprendizaje. y Adquiera la capacidad de estimar los resultados de diferentes juegos de azar. En el caso de la división. se han organizado alrededor de seis ejes:
Los números. resta y multiplicación. Propósitos generales del grado Con fundamento en este enfoque se espera que. y Desarrolle la habilidad en el manejo de diferentes instrumentos de geometría para trazar líneas paralelas y perpendiculares. y Desarrolle la capacidad de recolectar. comparación. a través de la comparación de giros. ubicar en la recta numérica y comparar números naturales hasta de cinco cifras y números decimales hasta centésimos. ordenar. comunicar e interpretar información que provenga de encuestas. a lo largo de la educación prim aria. los maestros de educa ción primaria cuentan con un repertorio importante en los libros de texto gratuitos y en los ficheros de actividades didácticas. peso. escribir. sus relaciones y sus operaciones Geometría Medición Tratamiento de la información Procesos de cambio
. y Adquiera. equivalencia u orden. etcétera.procedimientos por parte de los alumnos. ejes de simetría y desarrollos planos de cuerpos geométricos. y Resuelva problemas que impliquen el uso y equivalencia de unidades de longitud. y Desarrolle la capacidad para reconocer.
Organización de los contenidos Los contenidos de Matemáticas. y Use las tablas de variación proporcional directa en la resolución de problemas.
Por esta razón en el libro del alumno no aparecen definiciones formales. Por lo mismo. Ha de buscarse sistemáticamente la interrelación entre los contenidos correspondientes a cada uno de los diferentes ejes. presentando una matemática más cercana al niño. los cuales se tratarán con mayor profundidad en los siguientes grados de la educación primaria. El papel del profesor en la enseñanza de las matemáticas La participación del profesor es esencial para el éxito de esta propuesta. Por ejemplo. La organización por ejes no significa que los contenidos de cada uno deban tratarse de manera aislada o independiente. en todo caso. pero diferente área (véase. carteles. que tal interrelación debe tratar de hacerse de manera natural sin forzar la incorporación de otros contenidos. datos sobre animales. Esta nueva presentación de la matemática está más cerca de los intereses infantiles. el coordinador de las actividades.
Para que las matemáticas puedan disfrutarse. Con base en esta idea se trabaja a partir de situaciones propias de la cultura infantil. la lectura. sino también fomentar el gusto por esta asignatura. p.y La predicción y el azar
En cuarto grado se introducen contenidos correspondientes al eje "Procesos de cambio". la lección "Hilaza para el contorno". 42) se trabajan varios contenidos: la medición con el centímetro cuadrado. su enseñanza debe incluir informaciones y aplicaciones útiles e interesantes para el niño. plantas y fenómenos naturales. por otra parte. Los animales y las plantas.son soporte y contexto de los contenidos matemáticos. es una matemática atractiva y lúdica. s e han incorporado noticias periodísticas. entre otros. sorteos. éstas son. los juegos. Es el organizador. anuncios. en la actividad que consiste en trazar figuras con igual perímetro. Cabe señalar. paralelamente al aprendizaje de las matemáticas. la multiplicación y el trazo y manejo de formas geométricas. notas deportivas. Al enseñar matemáticas no sólo se pretende promover aprendizajes significativos. los libros y el periódico infantil -entre otros. el que orienta a los alumnos en
. pero también útil y significativa. El objetivo es que. la conclusión de actividades realizadas a lo largo de una o varias sesiones. los niños manejen información diversa y se interesen por indagar sobre temas de otras asignaturas o intereses personales que apenas se tocan.
definiciones y algoritmos matemáticos:
y Selecciona problemas matemáticos que sean adecuados para propiciar el aprendizaje de los distintos contenidos. Al resolver las situaciones que el maestro les presenta. y Promueve y coordina la discusión sobre las ideas que tienen los alumnos acerca de las situaciones que se plantean. como mediador del diálo go con el libro. mediante preguntas que permitan conocer el porqué de sus respuestas. algunas páginas del libro de texto probablemente resulten incomprensibles para el niño. que les permiten solucionar problemas diversos. lo llevan a abandonar. modificar o enriquecer dichas concepciones. en los juegos. sin olvidar que dicho proceso es largo y complejo. conocimientos adquiridos en la calle. 34. graduándolas de acuerdo con su nivel. y a acercarse paulatinamente al lenguaje y los procedimientos propios de las matemáticas. y Propone situaciones que contradigan las hipótesis de los alumnos. pp. Cuarto grado. y Elige actividades para favorecer que los alumnos pongan en juego los conocimientos matemáticos que poseen.
. mediante un proceso que. en el discurso y en los hechos. Los conocimientos previos y los procedimientos iniciales de los niños en la resolución de problemas deben ser. La actividad central del maestro en la enseñanza de las matemáticas va mucho más allá de la transmisión de conocimientos. etcétera. los niños utilizan los conocimientos y concepciones construidos previamente. 104 y 108 ). Por ello.
Los conocimientos previos de los niños La enseñanza de las matemáticas basada en la resolución de problemas se apoya en la idea de que los niños tienen. Con base en ellas puede. el punto de partida para avanzar en la construcción de nuevos conocimientos. a través de la presentación de situaciones concretas. ayudar a los niños a entender los algoritmos y otras nociones asociadas a la multiplicación y a la división.las dificultades. favoreciendo la reflexión sobre los problemas y la búsqueda de nuevas explicaciones o procedimientos que los aproximen hacia la formalización de los conocimientos matemáticos. además de los conocimientos aprendidos en la escuela. Puede decirse que éstas lecciones requieren especialmente de la participación directa del profesor. Sin el apoyo del profesor en la lectura. la enseñanza de las matemáticas se entiende como la promoción y enriquecimiento d e las concepciones iniciales del alumno. 60. Un ejemplo de esto son las lecciones dedicadas al algoritmo de la multiplicación y al de la división (véase Matemáticas. en la casa. quien sugiere fuentes de información y da apoyo adicional cuando es necesario.
como el algoritmo convencional. cálculo mental. De manera paulatina. Comparar las estrategias pertinentes favorece que los alumnos observen que unas son más sencillas que otras. en la medida en que los alumnos comprendan éste último procedimiento se apropiarán de él y lo utilizarán para resolver problemas. Dichas estrategias se deberán dar a conocer al grupo para determinar cuáles llevaron a la solución del pr oblema y cuáles no. al menos. la posibilidad de resolver problemas con sus propios recursos facilitará al estudiante desarrollar su capacidad de razonamiento. De acuerdo con lo anterior. Los estudios realizados al respecto muestran una regularidad en los recursos que los niños utilizan. cuando se enfrente a ellos. Posteriormente. el maestro deberá proponer el procedimiento convenciona l como una forma. los niños deben reso lver primero diversos problemas mediante sus propios recursos. Es importante señalar que al permitir a los niños usar sus propias estrategias no sucede que cada uno utilice una estrategia diferente y que. se pide a los niños que los resuelvan utilizand o sus propias estrategias y recursos. los niños evolucionarán en sus procedimientos de solución. a través del diálogo entre los compañeros. dibujos. por lo general encuentran. el maestro tenga que conciliar 30 o 40 procedimientos distintos para cada problema. no aparece rán más que un número
. una forma de aproximarse a la solución. más económica para encontrar la solución. para llegar al procedimiento usual de cada una de las operaciones aritméticas. es decir. Mediante este proceso se espera que las expresiones matemáticas y los algoritmos de cálculo convencionales tengan sentido y sean de utilidad para los niños. por lo tanto. Poco a poco. el maestro y el libro de texto. sin imponerles restricciones ni indicarles caminos precisos. éstos implican la búsqueda creativa de variados caminos. Es probable que después de que se les haya enseñado el procedimiento usual. Es decir. etcétera). los alumnos continúen utilizando sus estrategias con las que los han resuelto. Por otra parte. ensayos y errores. Este acercamiento paulatino a los algoritmos convencionales permitirá al alumno comprenderlos. utilizando las operaciones que conocen o con otros procedimientos (con material. más económicas. y que éstas les permiten llegar con mayor facilidad a la solución del problema. Es recomendable permitírselos y después recordarles que también pueden resolverse con el procedimiento convencional enseñado. Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema. aproximándose a los procedimientos convencionales.La resolución de problemas y la adquisición de conocimientos significativos Con el propósito de que los alumnos aprendan matemáticas a través de la resolución de problemas.
la confrontación y el aprendizaje en grupo. gráfico. y Que a veces los problemas tengan más de una respuesta correcta. p. Es ahí donde se muestra la solidez y validez de los conocimientos. se aprende también cuando se aplican los conocimientos a situaciones diversas porque se abstrae y se generaliza el saber anteriormente construido. promueve desde sus páginas el diálogo. con los compañeros de equipo. Antes de presentar o redactar un problema es importante que el maestro tenga claro qué propósito se persigue. 180). refutar. Interrogantes como: ¿qué forma de resolver este problema les gusto más? ¿Con cuál procedimiento pueden resolver más rápido el problema?. Es recomendable que el maestro proponga también problemas que tengan diferentes respuestas correctas. y Que su grado de dificultad no sea tan alto como para desanimar a los alumnos. y el texto. geométrico. son cuestionamientos clave que el maestro puede formular para promover la comparación de estrateg ias y llevar a los niños a seleccionar las que les parezcan más económicas. comparar y argumentar redunda en beneficio de alumnos y maestros. material fundamental con que se cuenta en las escuelas. la discusión misma les permitirá adoptar aquellas estrategias utilizadas por sus compañeros que consideren mejores.manejable de estrategias de resolución que obedecen al momento de desarrollo conceptual en el cual los niños se encuentran. El diálogo y la interacción en la clase de matemáticas Ésta es una propuesta para dialogar con el compañero de banca. libro de texto. Por otra parte. Se aprende al resolver problemas nuevos porque se construyen conocimientos para poder hacerlo.
Desde esta perspectiva la resolución de problemas es fuente y criterio de verdad de los conocimientos para el niño. con el maestro y para interactuar con la información escrita y con las ilustraciones del propio libro o de otras fuentes. "El puesto de tortas". y Que despierte el interés de búsqueda para resolverlo. Escuchar las opiniones de los demás. con el propósito de que los alumnos no se acostumbren a resolver sólo problemas con respuestas únicas (véase. preguntar. y Que pueda expresarse en varios lenguajes (aritmético. por ejemplo.
. debe asegurarse que el problema cumpla con determinadas condiciones:
y Que responda a una necesidad o interés del niño. Por otro lado. El grupo es una instancia educadora. Se aprende más y más rápidamente si se dialoga con los compañeros y con el maestro. etcétera) y
que sea posible la traducción de uno a otro.
un fichero de actividades didácticas y el avance programático. debe considerar que durante la enseñanza y el aprendizaje hay tres momentos en el planteamiento de un problema o actividad:
y Cuando el maestro organiza a su grupo en equipos. lo que contribuye a fortalecer la seguridad del alumno. Esto se puede lograr si el maestro propicia un clima para que los niños expliquen la lógica de sus estrategias. también permite ayudar a los compañeros menos avanzados en el proceso de aprendizaje. a verificar respuestas y enriquecer conocimientos. es decir. Aprovechar los momentos en los que los alumnos resuelven alguna situación problemática con procedimientos propios y no convencionales. La confrontación de estrategias y respuestas ayuda a los niños a percatarse de que puede haber mejores formas para solucionar un problema determinado. la confrontación y el convencimiento deben prevalecer en el proceso educativo. y Cuando los niños se hacen cargo del problema. entonces. El hecho de explicar los procedimientos permite que sea el propio niño quien convenza a los otros de su validez. la interacción en tre compañeros y alumnos con el maestro juega un papel fundamental. así como a los más adelantados. para clarificar la naturaleza del error. Se espera que en este diálogo el niño construya los conocimientos y desarrolle las habilidades matemáticas planteadas para e l cuarto grado. en el momento en que los alumnos realizan las acciones que consideran pertinentes para resolverlo y en el que el maestro observa cómo lo hacen. Este proceso ayuda a disminuir la frustración que genera el no resolver correctamente un problema matemático. el libro de texto. por lo que es necesario analizar tanto los procedimientos que llevan a una solución acertada como lo s que no. El maestro. y Cuando se discuten.
El uso del libro de texto y las fichas didácticas Los materiales con los que el maestro cuenta para trabajar en el transcurso del año escolar son: el libro para el maestro.En la construcción de conocimientos.
. en parejas o de manera individual y en el que se plantea la actividad. se socializan los procedimientos encontrados por los alumnos y se analizan sus ventajas y sus desventajas. se validan. El diálogo. Es formativo. para comunicar lo al resto del grupo. es una tarea que se debe llevar a cabo todos los días. que el alumno sepa por qué con determinados procedimientos no es posible resolver el problema. sin que deba esperar una respuesta externa que apruebe sus acciones. El maestro también debe tener en cuenta que no todas las respuestas de los niños son correctas. identifiquen sus errores y los corrijan.
adaptar o ampliar la secuencia propuesta en el libro. aborden las lecciones de acuerdo con las consignas señaladas. Al maestro le corresponde iniciar. en conjunto. simbolizacion es y ejercicios de aplicación que.antes o después de tratar algún tema. " Organízate en equipo" o "Trabaja con un compañero". En cualquiera de los dos casos el libro de texto contiene los puntos clave del proceso de aprendizaje. por lo que el alumno deberá entender que no son únicamente decorativas y tendrá que aprender a interpretarlas. como "Compara tu procedimiento o tu resultado con tus compañeros". preguntas. por grupos o en parejas. Es decir. pues su propósito es que los alumnos. En el avance programático se sugiere una forma de integrar las actividades de ambos materiales.El libro del alumno ayuda al profesor a orga nizar la clase porque contiene los elementos básicos para apoyar el proceso de construcción de cada concepto. Las ilustraciones del libro de texto juegan un papel fundamental para la solución de ejercicios y problemas. Las situaciones problemáticas que se plantean en el libro no presen tan explicaciones de cómo resolverlas o definiciones conceptuales. Importancia del uso de material concreto
. se incorporan porque la dificultad o la novedad de la tarea hacen necesaria la ayuda mutua. Además. el maestro debe tomar en cuenta que hay algunas lecciones que introducen al tema y otras que requieren de acti vidades previas. de manera individual. el intercambio de puntos de vista y la conjunción de ideas para promover el aprendizaje colectivo y la reflexión individual. permiten lograr los propósitos del tema en cuestión. en cada lección se presenta una situación problemática a partir de la cual se derivan actividades. las actividades propuestas en las fichas didácticas son sugerencias complementarias que apoyan y enriquecen la propuesta contenida en el libro del alumno. finalmente. adaptarlas y proponer otras activid ades que el propio maestro considere pertinentes. discusiones. los llevarán al conocimiento deseado. para que busquen estrategias de solución. discutan y reflexionen sobre sus procedimientos que. Las consignas incluidas en las lecciones. como las que se sugieren en las fichas didácticas. utilizando las actividades y problemas propuestos en las fichas. mismas que el maestro podrá utilizar cuando lo considere necesario -porque hay que reforzar algún tema o porque las actividades incorporadas en el libro no son suficientes.
si plantea el problema. En otras ocasiones el material es un instrumento que permite verificar las hipótesis y soluciones anticipadas por los niños. En cambio.14). cuando se utiliza para comprobar si la estimación del resultado de un cálculo o una medición son o no correctos. En este sentido. el papel del material concreto es fundamental. dado que uno de los propósitos de la educación primaria es que los alumnos desarrollen la habilidad para calcular. los niños pondrán en juego sus conocimientos sobre la situación planteada. También será conveniente guardar el material en un sobre o en una bolsa con el nombre de cada alumno. "La tienda del pueblo". revistas infantiles. etcétera. De este modo. El uso de estos materiales ayudará a que los problemas
. aprenderán a seguir instrucciones. Éste está compuesto por 19 recortables y puede completarse con corcholatas de colores. pero muy probablemente no podrán comprender por qué tuvieron que realizar dichas acciones con el material. La intención es que se conserve todo el año y pueda utilizarse cuantas veces sea necesario. Se sugiere que el profesor solicite ayuda a los padres de familia cuando la tarea de recortar sea difícil para los niños. en cuarto grado también es muy importante para continuar con la construcción o el desarrollo de muchos conocimientos matemáticos. estimar y verificar sus resultados. Si para resolver un problema el maestro entrega el material a los alumnos y les indica la manera en que deben utilizarlo. por ejemplo. cuando el maestro lo necesite. como fuentes de situaciones para el trabajo matemático. En muchas de las actividades que realizan los niños de cuarto grado. Algunas veces lo utilizan como un instrumento que permite buscar. echarán mano de experiencias anteriores y utilizarán el material como un recurso que les ayude a resolver los problemas.Si bien el empleo de material concreto en los primeros grados es indispensable. construir y llegar a la solución de un problema. Generalmente se asocia la palabra actividad a la manipulación de objetos. cuya comprensión y manejo sería prácticamente inaccesible sin el apoyo del material concreto (véase. tendrá el material suficiente para desarrollar su curso. Éste es el caso de las secuencias planteadas para la medición de longitudes usando fracciones. La mayor parte del material que se utiliza durante el año se ha incorporado en el libro de texto. Otros materiales que el maestro debe utilizar para que el desarrollo de los temas son: periódicos. por ejemplo. el material concreto es necesario. los Libros del Rincón editados por la Secretaría de Educación Pública u otros. les entrega el material y les da libertad de usarlo como ellos consideren c onveniente para encontrar la solución. semillas. p.
a través de preguntas como: ¿qué números conoces? ¿Dónde has visto números? ¿Qué números sabes escribir? ¿Cuál es el número más grande que conoces? ¿Cuál es el más pequeño? ¿Qué número va primero. etcétera.sean más interesantes. permitirá al maestro conocer el rango de números que sus alumnos manejan oralmente o por escrito y. la alimentación o el peso de algunos animales y además apoyará la lectura. ? Las respuestas a preguntas como éstas. además iniciar el trabajo con números a partir de sus experiencias y de sus conocimientos. con Ciencias Naturales. mediante el cálculo de los años que han transcurrido desde determinado acontecimiento al elaborar "la línea del tiempo". Por ejemplo. debido a que los utilizan funcionalmente...
Recomendaciones didácticas por eje
Los números. permitirá relacionar la matemática con otras asignaturas del plan de estudios. sus relaciones y sus operaciones
Este eje tiene como uno de sus objetivos centrales el estudio y uso del sistema de numeración decimal. Para iniciar el trabajo con la numeración se sugiere promover el reconocimiento y uso de los números que los niños conocen. El rango que se trabaja en el cuarto grado es el de las decenas de millar. con Historia. los domicilios. con frecuencia. Es decir. los niños conocen los números más allá de lo que han aprendido en la escuela. Se parte de la idea de que los alumnos reconocen y usan los números en rangos mayores a los previstos en la escuela para resolver situaciones y problemas que se les presentan en las diversas actividades que desarrollan en sus juegos y en sus compras. a partir de situaciones basadas en datos referentes a los hábitos. reales y atractivos para los niños.? ¿Cuál va después del. así como su discusión. en el aprendizaje de las Matemáticas. desde luego. Asimismo. En esta etapa también es importante promover que los alumnos identifiquen números y reflexionen sobre los que ven en los precios. actividad fundamental en la formación de los niños propia de Español y. se trata de
. los anuncios.. el periódico. Para el trabajo en esta dirección el maestro deberá tener en cuenta que. las placas de los autos. el mil o el dos mil? ¿Cuál va antes del.. pueden establecerse relaciones con Geografía a tra vés de la lectura y la elaboración de croquis y mapas.
que manejen los números y reflexionen sobre ellos en situaciones en las que son útiles. de 500 en 500. se realiza un primer trabajo de comparación. ordenación. El uso del tablero puede hacerse más interesante a medida que avanza el año escolar si las preguntas o consignas a partir de las cuales se trabaja se van haciendo cada vez más complejas. se sug iere utilizarlo para representar números. de 100 en 100. de 250 en 250. es probable que en el transcurso del año se abandone el uso de este material. Por ejemplo: señalar como punto de partida el número 20 000 y solicitar a los niños escribir los 10 números que van antes y los 10 números que van después . La construcción de series numéricas cortas. pero será el avance y dominio del tema por parte de los alumnos lo que marcará la pauta para dejar a un lado estos materiales. se propone que a lo largo del año los niños manejen significativamente los números.
Representación de números mediante monedas y billetes
. por ejemplo. esto los hará reflexionar sobre los principios que subyacen a la escritura de dichos números. para conocer y estudiar la serie numérica y el valor posicional de las cifras. sin necesidad de hacer series numéricas largas y aburridas. la intención es que el alumno se dé cuenta de que el valor del número es por el lugar que ocupa y no por el color que tiene. en "El sorteo" y "Cuadros y números". identificación y descomposición de números. así como para desarrollar la habilidad del cálculo mental en los alumnos. a continuación se proporcionan al maestro algunas sugerencias generales que pueden realizarse a lo largo del año escolar. hasta de cinco cifras. etcétera) permitirá observar otras regularidades en la serie numérica. Con base en esta idea. etcétera. páginas 12 y 50. En síntesis.
El tablero (véase la página 25 de este libro) es un material que puede ser elaborado por los alumnos. Paulatinamente se logrará una ordenación más sistemática -y con rangos más amplios. orales y escritas son también actividades en las que se pueden hacer reflexiones interesantes. La elaboración de series con intervalos amplios (como podría ser contar de 50 en 50.de la serie numérica. anuncios . En este grado las fichas para representar a los números en el tablero no tienen color diferente como en los grados anteriores. en los primeros bloques el trabajo sobre esta temática se inicia con la lectura de números en situaciones que les den significado. de 1000 en 1000. A partir de la lectura de los números que aparecen en precios. Para apoyar dicha tarea.
Por ejemplo. que el alumno discrimine un resultado lógico de otro que no lo es y genere procedimientos propios cuando lleve a cabo operaciones por vías distintas a los algoritmos convencionales. este ejercicio es sumamente interesante por los resultados que arroja: 12 x 8 = 12 x 4 x 2 12 x 8 = 12 x 10 . sin multiplicar directamente por 8.12 x 2
. se le debe conducir hacia la estimación del resultado o pedirle que haga el cálculo mental. Solicitar a los niños el cálculo mental aproximado de operaciones o problemas y después verificar sus resultados realizando cálculos escritos o u tilizando la calculadora. los alumnos trabajan diversos aspectos que implican el aprendizaje de los números. después del ejercicio. o entre 150 y 200? Después de esta etapa de estimación puede indicarse a los alumnos que calculen mentalmente el resultado exacto. favorece la comprensión del valor relativo de las cifras contenidas en un número.
Estimación de resultados y cálculo mental
La anticipación de resultados. ligadas al desarrollo específico de las lecciones y de la resolución de problemas. así como el cálculo mental son actividades que deberán desarrollarse durante todo el año. Por ejemplo. Una vez que el niño ha comprendido lo que se desea al plantear un problema. entre otras cosas. En la lección "Cajeros y clientes". se pueden plantear algunas preguntas como las siguientes para estimar el resultado de un problema que implique multiplicar 12 x 8: ¿cuál creen que será el resultado? ¿Será más de 100 o menos de 100? ¿Estará entre 100 y 150.El uso de material concreto para representar cantidades favorece que los alumnos entiendan la regla de cambio "diez por uno" del si stema de numeración decimal y. página 104. registrar las diferentes maneras que surgieron del grupo y discutir la estrategia utilizada en cada caso. La frecuencia con la que se practique este tipo de cálculos permitirá. Dentro del sistema decimal de numeración se manejan diferentes maneras de representar el mismo número y se continúa con la secuencia didáctica de actividades orientadas al estudio del algoritmo de la división. puede ser una forma habitual de trabajar. ad emás de las equivalencias propias y naturales que se trabajan en contextos de dinero. a la vez. Es conveniente. sin olvidar que tanto la estimación como el cálculo mental sólo adquieren sentido si el niño los compara con el resultado exacto del problema planteado.
y en particular el conteo de cantidades grandes de objetos. de manera autónoma. 24) y en el fichero de actividades algunas sugerencias para el desarrollo de estas nociones. lejos de obstaculizar el aprendizaje lo favorece.
El conteo de cantidades grandes
El conteo. es una actividad importante para desarrollar la intuición sobre los números e ideas claras acerca de su magnitud. Por ejemplo. los alumnos deberán resolver la operación para verificar sus resultados. El profesor encontrará en el libro del niño (véase. hacer grupos y sumar la cantidad que tiene cada grupo. diez mil. numerosas experiencias en el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas han podido constatar que el uso controlado de la calculadora en ciertas actividades específicas. y Verificar resultados obtenidos mediante el cálculo mental o escrito. permite:
adecuadas entre los datos y seleccionen. un millar. se darán cuenta de que es mejor buscar otras estrategias para contar. pe ro. Sin embargo. cinco mil. y Inferir los procesos que sigue la calculadora a partir del análisis de las teclas que se oprimen y de los resultados que arroja. a medida que avancen. les permitirá tener una idea más precisa de lo que es una centena. por ejemplo. "Un montón de lentejas". Los niños probablemente empezarán a contar "de uno en uno". p. Pedirle a los niños que cuenten la cantidad de corcholatas que hay en una caja. La realización frecuente de actividades como las que se acaban de señalar permitirá al maestro llevar a sus alumnos a la comprensión de la magnitud de los números y del sistema decimal con el que los representamos.Por último. la o las operaciones con las que pueden resolverse. por ejemplo. entre otras razones por el temor de los maestros y padres de familia de que este instrumento evite que los niños aprendan a efectuar (sin calculadora) las operaciones básicas.
El uso de la calculadora se ha restringido en la escuela primaria. Es conveniente proponer a los alumnos la búsqueda de errores para posteriormente discutirlos en clase. argumentando en qué consiste el error (véase la página 26 de este libro). etcétera. y Resolver problemas que requieren efectuar muchas operaciones o cálculos numéricos engorrosos. etcétera. la cantidad de garbanzos que contiene un frasco.
y Plantear problemas cuya finalidad es que los alumnos establezcan relaciones
Para construir sucesiones numéricas con estas últimas calculadoras.. Actividades didácticas. tal vez se requiera oprimir dos veces seguidas el signo + (17 ++ 3 = = = .). se observa que la calculadora toma como constante el primer sumando (17 + 3) y en el tercer caso (20. 35. la calculadora suma de manera constante el segundo sumando que se introdujo (17 + 3).. 32. 2.
¿Cómo trabajar las actividades con la calculadora?
Es conveniente que antes de aplicar las actividades. 26.... 23. etcétera. 54.. 71. 37. 71. Puede observarse que en el primer caso (20.).. Matemáticas. 20. 88..). 37. 23. Oprima las teclas para realizar la siguiente suma: 17 + 3 (en la pant alla aparece primero el 17 y luego el 3). favorecen el aprendizaje de la serie numérica oral y escrita y de las operaciones de suma y resta. Sin embargo. probablemente encontrará distintos resultados al ejecutar. Es probable que en alguna de las calculadoras obtenga la siguiente sucesión de números al oprimir repetidamente la tecla =: 20. 105.Por lo anterior. Por ejemplo. 26. 35.. con cualquier calculadora es posible construir sucesiones numéricas de 1 en 1.. En otra calculadora tal vez los resultados sean: 20.). 32. no se modifica el primer resultado. Encienda la calculadora (en la pantalla aparece el 0).. el maestro las experimente usando diferentes tipos de calculadoras.. 29. 105. 88. mismos que se verifican con el auxilio de la calculadora.. Saber cómo funcionan las calculadoras que usan los alumnos permitirá al maestro coordinar con éxito las actividades propuestas. 12 y 40 del Fichero. 35. no siempre se procede de la misma forma. de 2 en 2. en cada una. pues no todas funcionan de la misma manera. al oprimir consecutivamente la tecla =. las siguientes instrucciones: 1. Cuarto grado se incorporaron situaciones en las que se sugiere utilizar la calculadora. Algunas de las actividades del fichero permiten indagar los conocimientos previos de los alumnos acerca de los números. Oprima tantas veces como desee.
.. la tecla = y observe cada vez el número que aparece en la pantalla. Otras propician el cálculo mental y la estimación de resultados. En el segundo caso (20. 3. otra quizás arroje los siguientes resultados: 20. 20. 54. 20. 29. Si tiene a la mano dos o tres calculadoras sencillas de diferente modelo y marca. 93 y 181) y en las fichas 7. en algunas lecciones del libro de texto (véanse las páginas 17. 20.
sino que construye sus propias estrategias en la interacción con sus compañeros. tiende a ser autónomo.
Los juegos como apoyo didáctico
Cuando los alumnos practican por primera vez un juego lo hacen sin tener estrategias definidas con las que aseguren ganar. frente al juego.
En los libros Juega y aprende matemáticas y Los números y su representación. ya que no aplica instrucciones dictadas por otro. algunos juegos que permiten al niño profundizar. Por ejemplo. los alumnos aplican los conocimientos que poseen sobre series con intervalos constantes. Cuarto grado se propone que los alumnos utilicen la calculadora para verificar resultados. En este grado se utilizan las cuatro operaciones fundamentale s.En algunas lecciones del libro Matemáticas. El reto es entonces descubrir o construir actividades que sean realmente juegos para los niños y que. que conozcan y dominen sus reglas y analicen las jugadas. entre otros. En tales casos es importante que los alumnos resuelvan primero las actividades mediante el cálculo mental o con lápiz y papel y después usen la calculadora para verificar los resultados obtenidos. no todos los juegos son interesantes para el alumno. en el juego "La pulga y las trampas" del libro Juega y aprende matemáticas. De esta manera el jugador. propicien aprendizajes interesantes de matemáticas (véase la página 27 de este libro). Sin embargo.
Las operaciones con números naturales es un tema central en la educación primaria. a la vez. La
. desde el punto de vista de las matemáticas que se aprenden ni todas las actividades que sirven para aprender son realmente juegos. de la colección de Libros del Rincón (SEP) el maestro podrá encontrar. Para construir una estrategia que les permita ganar sistemáticamente es necesario que jueguen varias veces el mismo juego. afianzar o introducir diversos aspectos del sistema de numeración decimal.
y En su trabajo Gerardo ganó $ 3 176 y le dio $ 1 875 a Lalo. En cuarto grado. Por ejemplo. como se muestra enseguida: 23 + _____ = 32 25 + 19 = _____ En el primer problema identificar la resta como la operación que permite encontrar el dato no es sencillo. página 16 del libro de texto. Se deja de lado el trabajo relacionado con los algoritmos de esas operaciones. Ninguno de estos dos problemas es sencillo para los niños que cursan cuarto grado. se da énfasis a la resolución de problemas que implican alguna de ellas. En relación con la adición y la sustracción. Para ellos resulta más difícil resolver problemas como éstos -aun teniendo números pequeños. la identificación de la operación no es obvia para el alumno. la complejidad del uso de la suma y la resta se centra en el tipo de problemas que se plantean y no necesariamente en el tamaño de los números. ¿cuánto dinero le quedó?
A pesar de que los datos de este problema involucran números de cuatro cifras. ¿cuántos lugares quedaron vacíos? (En
Los problemas se pueden expresar. no obstante que no se involucran datos de más de dos dígitos.multiplicación y la división se abordan con matices distintos a la adición y la sustracción. ya que desde el primer grado de primaria los alumnos realizan un amplio trabajo para comprenderlas y en tercer grado amplían sus conocimientos sobre el manejo de los algoritmos convencionales de la suma y de la resta. ¿cuántas personas caben en el látigo?
y A la rueda de la fortuna subieron 23 personas. y Rosa dijo: cuando me subí al látigo íbamos 25 personas y quedaron 19 lugares vacíos.que resolver algunos problemas con números de cuatro o cinco cifras. en "La rueda de la fortuna". La primera de ellas es que
. se plantean problemas como los siguientes:
la ilustración se observa que caben 32 personas en la rueda). en los que la suma o la resta son identificadas fácilmente. ya que los niños te ndrán primero que hacer una inversión en el planteamiento inicial del problema: 23 + _____ = 32 ----> 32 . por diversas razones es de fácil resolución. respectivamente.23 = ____ Aunque este problema se resuelve con una resta muy simple.
la palabraquedó anuncia a los niños la resta. mientras que en el problema del dinero la dificultad se ubica en el dominio del algoritmo. se propone introducir la representación gráfica. No solamente se maneja la multiplicación con la idea de arreglos rectangulares. cuando las hayan identificado como instrumentos para resolver cierto tipo de problemas. por ejemplo. El maestro debe apoyar ambos aspectos de las operaciones. a partir de la misma estrategia se amplía el rango de números hasta que se presenta el procedimiento usual para resolver multiplicaciones. a la representación simbólica: 5 X 4 = 20
Desde segundo grado los alumnos resuelven problemas de reparto de objetos y en tercero se incluyen problemas de agrupamiento o tasativos. posteriormente. 168). 34). la segunda razón es que el problema tiene la incógnita al final: 3 176 .1 875 = _____ Por lo anterior. basado en la descomposición de arreglos rectangurales (véase. La multiplicación se inicia con una síntesis del tratamiento que se hizo en tercer grado. Una vez que los alumnos han resulto la situación con material concreto. El maestro deberá hacer reflexionar a los alumnos sobre la relación entre el número de faldas. p. Se espera que la descomposición de una multiplicación en arreglos rectangulares haga más comprensible a los niños el algoritmo de tal operación. Posteriormente. por ejemplo. es decir. a lo largo del programa y en los materiales de apoyo se ha establecido una diferencia entre la dificultad en el uso del alg oritmo y la dificultad en la resolución de problemas. la ac tividad consiste en combinar un número diferente de faldas y blusas para vestir a una muñeca. como se muestra en la misma lección. por ejemplo. En el primer problema de la rueda de la fortuna. Probablemente los niños todavía no dominan ambos algoritmos. el de blusas y el total de combinaciones. La situación es diferente con la multiplicación y la división. "El mercado". p. por lo tanto. la dificultad radica en la identificación de la resta como operación que resuelve el problema. también se utiliza en problemas de variación proporcional directa (véase."El vivero de don Fermín´. p. para llegar. es decir. teniendo la precaución de trabajar las "técnicas de cálculo" cuando éstas ya tengan significado para los niños.
. en este grado deberán ser tratados por el profesor de manera especial. "Combinaciones". 10) y en problemas de combinatoria (véase.
28 y 62). entre 10 y 100. p. Deciden repartirlos en partes iguales. Paco y René quieren guardar sus dulces en bolsas. Cada piso tiene 4 filas y cada fila tiene 5 chocolates. pp. y A Yólotl. entre 100 y 1000 (véase. "Entre 10 y 100". Es importante continuar con este tipo de problemas en cuarto grado porque ayuda al alumno a profundizar en los diferentes significados de la división y se afianza a la comprensión del procedimiento usual para dividir. "La huerta de Don Fermín" y "Entre 10 y 100". La caja tiene 3 pisos. ¿Cuántos le tocan a cada quien? y Uriel. 62) hará que el alumno infiera si el resultado de las operaciones efectuadas es absurdo o lógico.
. Quiere saber si le alcanzan o le sobran cajas. Carlos. Uriel tiene 153 dulces. En tercer grado los niños llegaron a conocer el procedimiento usual para dividir. También es recomendable que antes de efectuar las divisiones los alumnos estimen el número de cifras que tendrá el cociente y verifique n cada vez si su estimación fue o no correcta.aquellos en los que se debe determinar cuántas veces cabe una cantidad en otra. Luis. Anticipar el resultado de la división. Tiene 40 cajas. Esta forma de trabajo constituye uno de los propósitos más importantes de esta propuesta. lo que les permite construir su conocimiento es el proceso de poner constantemente a prueba sus propias hipótesis en las situaciones que se les presentan. La lectura de los diálogos que aparecen en el libro del alumno también permitirá a los niños aclarar dudas y corregir posibles errores. El primero y el tercero son de agrupamiento o tasativos. La secuencia de situaciones que s e plantea en el libro de cuarto grado comienza con el uso de distintos procedimientos para resolver problemas de división (véase. por ejemplo . A continuación se dan algunos ejemplos de problemas. Paco 192 y René 214. y el segundo es de reparto. Cesar y Pamela les regalaron una caja de chocolates. situándolo entre 1 y 10. Esta actividad será un apoyo importante en la construcción y autoevaluación de las estrategias de resolución de problemas y de cálculos. Más bien. pero es necesario un trabajo mucho más amplio para que poco a poco adquieran dominio sobre esta operación. ¿Cuántas bolsas necesita cada niño para guardar sus dulces? ¿Sobrarán dulces? ¿Podrán hacer otra bolsa con los dulces sobrantes?
Con los ejemplos anteriores queremos ilustrar el hecho de que los niños no adquieren conocimientos en pequeñas dosis mediante la información que reciben del maestro. Deciden poner 10 dulces en cada bolsa. Entre una lección y otra el maestro debe proponer otros problemas similares para que los niños sistematicen y afirmen su conocimiento sobre la multiplicación al resolver problemas de división. por ejemplo.
y Catalina debe colocar 250 manzanas en cajas con 6.
Estos significados permiten a los niños hacer reflexiones como las siguientes: ¾ es mayor que 3/5.
Las fracciones en situaciones de reparto
Más que memorizar los términos de una fracción y saber distinguirlos. que es lo mismo que 5/3. por ejemplo 3/3 y 4/4. cuatro u ocho. Este aspecto se aborda en la lección "Más galletas y más niños". Además de trabajar con las fracciones cuyo denominador es dos. 3 y 4 de la lección. los quintos y las fracciones decimales. se incluyen también los tercios. pero en ¾ hay cuatro niños.
Por ejemplo. relacionados con la medición de longitudes.
. libro de texto. porque en los dos casos se reparten tres galletas. de tal manera que descubran que en el resultado de un reparto se puede identificar el número de unidades que se repartieron y el número de elementos entre los que se hizo el reparto o que. por lo que les toca lo mismo en ambos casos. es conveniente que el maestro propicie un análisis sobre la relación que existe entre los datos del reparto y la fracción que representa el resultado del reparto. Cuando el caso es de fracciones equivalentes a un entero. mientras que en 3/5 hay cinco. En la fracción 5/3 el numerador indica el número de pasteles que se repartieron y el denominador indica el número de niños entre los que se hizo el reparto. Una vez resueltos los puntos 1. el razonamiento es que hay igual número de galletas que de niños. 2.Fracciones
En cuarto grado se amplía el trabajo con las fracciones. mediante el análisis de los datos del reparto se puede anticipar el resultado. en tanto que en 8/15 hay más niños que galletas. página 94. enfatizando su uso en situaciones problemáticas en diferentes contextos. La diferencia entre problemas que se plantean en tercer grado y los de cuarto es el nivel de complejidad de las actividades y el tipo de fracciones con las que se trabaja. e s necesario que los alumnos le den un significado al numerador y al denominador. Si el problema es comparar 3/2 con 8/15 puede actuarse intuitivamente mediante la siguiente reflexión: en tres medios hay más galletas que niños. en la que se trabaja la noción de fracción como resultado de un reparto. así como en situaciones de reparto. por lo que a estos últimos les toca menos. la capacidad de algunos recipientes. el peso de algunos objet os. si se reparte 5 pasteles entre 3 niños a cada niño le toca 1 pastel + 1/3 + 1/3 de pastel. por lo tanto 3/2 es mayor que 8/15.
Estas comparaciones a nivel intuitivo son más importantes que la introducción prematura de cualquier algoritmo para comparar fracciones. para medir con más precisión una longitud. el centímetro. ½ kilogramo (véase la página 37. sus relaciones y sus operaciones".14) o bien el problema de dividir un segmento en partes iguales (véase. el decímetro y el centímetro cuad rado. ¼ de litro. la capacidad de recipientes y la superficie de figuras. "En partes iguales sin doblar". ¼ de kilogramo. Otro aspecto importante que se presta para trabajar también con las fracciones es la medición de ángulos. Este aspecto se introduce a partir de giros de una vuelta completa. un segmento o cualquier objeto alargado y también se propicia el uso de fracciones con numerador mayor que uno y de los números mixtos. para que los usen en juegos o actividades que involucren contenidos del eje "Medición". Es por eso que en cuarto grado no se sugieren algoritmos para estos temas. p.. En el transcurso del año escolar las situaciones de reparto y de medición que involucran el uso de las fracciones se van haciendo más complejas.
Uno de los aspectos más importantes para la comprensión de las fracciones es la noción de equivalencia. con el fin de que los procedimientos iniciales empleados por los niños evolucionen. "La tienda del pueblo". así como contenidos del aspecto de fracciones correspondientes al eje "Los números. página 38 de este libro). Igualmente. se sugiere que los niños construyan o consigan algunas unidades de medida: el metro. se empieza a trabajar la idea de fracción como parte de un todo formado por 360º (véase la ficha 5. Al principio. por ejemplo. En este tipo de situaciones se usa n fracciones con numerador diferente a uno.
Fracciones en situaciones de medición
La noción de fracción como resultado de la medición de longitudes se introduce a través de situaciones en las que.. etcétera. porque ésta no cabe un número exacto de veces en la lon gitud a medir. p. el litro. es necesario fraccionar en partes iguales la unidad de medida. En un principio se plantean problemas en lo s que se utilizan fracciones para medir longitudes (véase. En estas situaciones se enfatiza el hecho de que la unidad de medida puede ser una tira. Para medir el peso de algunos objetos. los niños utilizan hojas o tiras de papel para realizar y verificar sus ejercicios y posteriormente pueden usar su regla graduada para encontrar las soluciones. un cuarto de vuelta o un tercio de vuelta. media vuelta.18).. Antes de abordar este tema se maneja en el libro de
. de este libro). por ejemplo.
peso. El propósito fundamental que se plantea en cuarto grado sobre los números decimales es que los alumnos comprendan su significado. en la lección "Esferas de plastilina". deben realizarse actividades para verificar los resultados que obtienen los niños. los niños no tendrán dificultad para inferir los resultados de las sumas o de las restas. Por ejemplo. "Galletas redondas". por ejemplo. es importante que éstas estén asociadas a unidades de medida. por ejemplo. Para ello se insiste en la necesidad de que interpreten primero las cantidades escritas con punto
. En las situaciones de medición puede resultar de gran utilidad el uso de una hoja rayada para dividir segmentos en partes iguales. en una situación en la que es necesario dividir una unidad (pedazo de cuerda) en diez partes iguales. pueden surgir distintas expresiones aditivas que representan el mismo valor (véase. sin embargo. dinero). El primer tratamiento de estos números está en la lección "Adornos para el festival". supeditado exclusivamente a la unidad de que se trate (longitudes. Para que los niños comprendan el significado de las fracciones que se trabajan.
El campo de los números fraccionarios se amplía en cuarto grado con la introducción de las fracciones decimales.texto la comparación de fracciones con procedimientos informales (véase. al principio pueden usarse hojas de papel y. los niños apoyarán sus razonamientos sobre la equivalencia de los repartos en sus propios dibujos. No se pretende que los alumnos utilicen las expresiones formales o las reglas para encontrar fracciones equivalentes. página 102. página 136. Si se trata de situaciones de reparto. "Más galletas y más niños". ½ litro. Que los alumnos realicen este tipo de situaciones es fundamental para darle a los decimales su carácter genérico. 94). p. A lo largo del curso se presentan situaciones que propician el uso de expresiones equivalentes que se pueden aprovechar para enfatizar dicha noción. por ejemplo: ¾ de metro. capacidad. Es importante destacar que en todas las situaciones donde aparece la noción de equivalencia. p. 82). y no con fracciones en abstracto como ¾ y ½. Si la equivalencia y el orden entre las fracciones se trabaja detenidamente. superficies. Las situaciones de medición de longitudes y de capacidades también pueden aprovecharse para el uso de expresiones equivalentes. poco a poco. dependiendo de las particiones que se hagan. La escritura formal de la suma y la resta de fracciones se trabaja en el bloque IV. en los problemas de reparto. hay otras situaciones a lo largo del texto en las que se calculan sumas o restas sin necesidad de utilizar el algoritmo con vencional.
por ejemplo. en "Particiones decimales". como antecedente al uso de las unidades convencionales. las descomposiciones aditivas de números representados con punto decimal.decimal en términos de número de unidades + décimos + centésimos. 140). con fracciones. etcétera (véase. más 5 centésimos de metro o 3 metros más 75 centésimos de metro. no sólo porque permite adquirir una noción más amplia acerca del concepto de unidad de medida. litros. Es entonces recomendable que el maestro promueva el trabajo de medición con unidades arbitrarias. Asimismo. sino porque permite apreciar mejor la utilidad de las medidas convencionales. por ejemplo. antes de que los niños logren interpretar 3. Medición El trabajo que se desarrolla en este eje está relacionado con las unidades de medida de longitud. se pueden plantear problemas mediante actividades que involucren el uso de publicidad impresa. las tiras de cartón que se utilizan en la lección "La paloma de la paz". superficie. página 134.75 es igual a 3 + 7/10 + 5/100 El uso de la recta numérica es un recurso gráfico de gran utilidad para trabajar la partición de las unidades en partes iguales. p. Por ejemplo. Los números decimales también se pueden trabajar mediante actividades que impliquen el uso de dinero.75 metros como 3 metros 75 centímetros es necesario que comprendan que 3. página 118.
Peso. en donde los alumno s deben investigar los precios reales de diferentes objetos. Por ejemplo: 3.75 significa 3 metros más 7 décimos de metro. Para alcanzar los propósitos asociados a esta temática. se presentan situaciones en diversos contextos que se resuelven utilizando los números decimales. tiempo y medidas angulares. peso. el maestro ha de considerar que las nociones relacionadas con la medida se desarrollan precisamente haciendo mediciones y reflexionando sobre el resultado de las mismas. el uso de unidades arbitrarias de medida es también de suma importancia. capacidad y longitud
En el caso de la medición de longitudes se han diseñado actividades en las que es necesario realizar mediciones usando unidades arbitrarias.
. Desde el punto de vista didáctico. Se insiste también en que los alumnos representen. metros. capacidad. como se hace en algunos problemas de la lección "Animales que saltan".
cómo elaborarlos y muchos otros pueden adquirirse con facilidad. "Cuerdas resistentes". que se utilizan en diferentes lecciones del texto. Los niños podrán apreciar mejor el significado de estas unidades de medida si se hace referencia a su experiencia cotidiana: por ejemplo. En cuanto a las unidades de medida de capacidad y de peso.
Algunos de los materiales necesarios para la construcción de estas unidades de medida aparecen en el material recortable o se sugiere. de
. es conveniente que el niño tenga la información de que tal forma de expresión usada comúnmente está relacionada con el kilogramo. 5/3 o ¼ de kilogramo como unidades de medida. Si bien en el uso diario de algunas magnitudes se emplea solamente el prefijo de algunos múltiplos de la unidad. el uso del "doble". "un kilo de frijol" o "un litro de petróleo". Otro tipo de actividad que se sugiere es el uso de un intermediario para realizar mediciones. p. 110) y el uso de paquetes de 1 kilogramo. del "cuartillo" y la "maquila" en el estado de Guerrero). La construcción de una balanza (véase. En estos casos un cordón es un instrumento útil para hacer mediciones (véase. "Las golosinas". también permitirá a los alumnos aproximarse significativamente a la noción de peso. es conveniente que el maestro presente a los niños distintos objetos pequeños.así como unidades convencionales como el centímetro y el metro. de perfume. Tal actividad tiene sentido en situaciones en las que resulta difícil medir directamente. por ejemplo. comprar "un kilo de tortillas". de especias. pp. "Cuerdas resistentes" e "Hilaza para el contorno". por ejemplo: frascos de medicina. Otro elemento que enriquecerá de manera significativa el trabajo en este eje es el empleo de algunas unidades de medida usadas en las d iferentes regiones de nuestro país. 26). por ejemplo. así como la comparación de esas medidas con las unidades de medida convencionales (por ejemplo. por ejemplo kilo. p. 26). (véanse. A lo largo del grado se plantean situaciones en las que es necesario el uso del kilogramo y del litro. por ejemplo. 26 y 42). "Cuerdas resistentes". en el libro de texto. utilizando la regla graduada en centímetros o el metro rígido. p. especialmente aquellos en los que se utilicen submúltiplos del litro o gramos como unidades de medida. Otro aspecto importante de la medición que se debe desarrollar en este grado consiste en ordenar y comparar dos o más longitudes a partir del resultado de mediciones (véase. por ejemplo.
"Hilaza para el contorno". La idea que se maneja en éste es que los ángulos se describen cuando se realizan giros. como el mililitro y el gramo (véase.
Respecto a la medición de superficies. y no estarán obligados a depender de la memoria para recordar la fórmula para cada figura. El calendario es otro recurso que el maestro puede utilizar para plantear situaciones en las que se mida el tiempo transcurrido entre un suceso y otro. p. p. "La ONU". pp. De esta manera los alumnos pueden formarse una idea acerca de la magnitud de las unidades pequeñas. en la que los alumnos ubiquen lustros. y por último llegar a la deducción de la fórmula respectiva y su aplicación en el cálculo de áreas de cuadriláteros (véase. utilizando el día. déc adas o siglos durante los cuales se desarrollaron determinados sucesos históricos (véase. por ejemplo. 178). 52 ). Otro tipo de actividades que permite trabajar con esta noción es la elaboración de la línea del tiempo. "La mitad de un rectángulo". "Jarabe para la tos" y "Las golosinas". se plantean algunos problemas en los que pueden reflexionar sobre el uso y la utilidad de estas unidades de medida y sobre los diferentes tipos de instrumentos de medición del tiempo que conocen. para los alumnos. según convenga. por ejemplo. para posteriormente pasar a la medición de la superficie del triángulo mediante el conteo de cuadrados (véase. La mayor parte de la secuencia de situaciones se desarrolla en el contexto de viajes a diferentes países.
. 42). cuadrados y rectángulos. página 32. p. De esta manera se relaciona este aspecto de la medición con otras asignaturas. 154). etcétera. p. se parte de formar figuras con igual perímetro y diferente área (véase. De esta manera contarán con un procedimiento general para obtener el área de figuras de lados rectos. "Alfombras de flores". es una de las nociones más difíciles de adquirir. 96 y 110). por ejemplo.
El tiempo. En la lección "El circo". por ejemplo.
La noción de ángulo y su medida es un aspecto que por primera vez se introduce en el libro de texto de cuarto grado.cremas. Por ello es importante que durante el curso realicen diferentes actividades en las que se utilicen la hora y los minutos como unidades de medida. por ejemplo. a través de su descomposición en triángulos. la semana y el mes como unidades de medida.
Los ángulos se presentan en otras lecciones del texto como una de las características de las figuras. Geometría Tradicionalmente. de la misma lección. aparece el grado como unidad de medida. en otras palabras. en "El cazador". página 78. En esta lección se propicia la reflexión en el sentido de que la medida de los ángulos es independiente de la longitud de los lados que lo forman. recta y plano. Investigaciones realizadas en torno del aprendizaje infantil han mostrado que el proceso es inverso. se pretende que los niños identifiquen qué figuras forman las caras de un sólido (véase. y se ilustra la amplitud que tiene un ángulo de un grado. intentando plasmar sus tres dimensiones. 74) y que establezcan la relación entre el dibujo en el plan o y el sólido en tres dimensiones. es decir: se abordan dos aspectos. ante la pregunta: "¿Cuál de los si guientes ángulos mide más?".La medición se inicia considerando giros menores de una vuelta. En "La vuelta al mundo en 360 grados". se inicia el trabajo con los ángulos y se sugiere el uso de material recortable que consiste en un círculo dividido en octavos. "Casas de diferentes países". En el punto 10. figuras y luego c uerpos. es necesario partir de lo sólido para llegar a lo más abstracto: las líneas y los puntos. p. Es necesario que el maestro propicie la discusión sobre este aspecto y haga notar que los dos ángulos miden lo mismo porque ambos se generan con un giro de ¼ de vuelta. página 132. Esa es la idea de ángulo en su forma estática. A partir de estos conceptos se definían rectas perpendiculares. página 112. Cada giro se describe entre una línea de salida y una de llegada. los que miden 30° o un número múltiplo de 30. la enseñanza de la geometría partía de las definiciones de punto. misma que el maestro puede complementar propiciando que los niños distingan los áng ulos en algunos objetos que estén a la vista. es decir. paralelas. En la lección "La vuelta al mundo". seguramente muchos niños pensarán que mide más el que tiene los lados más largos.
y Un sólido puede representarse en el plano.
Con el estudio que se hace en el libro de texto sobre los sólidos geométricos. Se pide a los niños que traten de reproducirlo en papel transparente o plástico para que lo puedan usar como instrumento para medir ángulos. ángulos. En este nivel se utiliza la palabra grado más que su símbolo.
. por ejemplo. aparecen los ángulos de 1/12 de vuelta. Posteriormente.
para que los niños reproduzcan figuras. una figura o construir un sólido (véase. Se pretende que los niños se apoyen en tales aspectos cuando se les pide la reproducción y el análisis de figuras. y que las utilicen como criterios para hacer descripciones y clasificaciones. entre otras lecciones). las medias de las aristas. con lo cual se espera que los alumnos desarrollen su imaginación espacial e identifiquen relaciones para saber si con determinada plantilla se puede o no construir un poliedro. Con ello.
Trazos y reproducción de figuras
Un aspecto importante del eje "Geometría" es el que se refiere a las características de las figuras y su trazo. además de desarrollar destrezas en el trazo se estará promoviendo el análisis de las figuras y de sus propiedades geométricas. Una situación importante que se presenta en algunas lecciones de geometría consiste en reproducir. el tamaño de los lados y de los ángulos son características geométricas importantes en las que se basa la construcción y el análisis de figuras en este grado. el número de caras. así como para crear y construir formas diversas. los mensajes. los lados adyacentes. por ejemplo. 54 y 120.
. "Dibujos y medidas" y "Forma y tamaño exactos". etcétera. Es importante destacar que en ningún caso se pretende que los niños hagan un análisis riguroso y exhaustivo de las figuras o de los sólidos. etcétera. Únicamente se pretende que desarrollen la capacidad de análisis y de observación. El tipo de figuras que se reproducen podrá hacerse progresivamente más complejo a lo largo del curso. la simetría. La reproducción de figuras es una actividad motivante para los niños si se plantea adecuadamente. a partir de un mensaje. que encuentren similitudes y diferencias. Se sugiere utilizar diversos recursos como el doblado de papel. y se solicita permanentemente la anticipación de formas y espacios. En dicha situación tener las figuras a la mano y observar sus características geométricas es fundamental para poder realizar la actividad. descubrirán que para elaborar un sólido determinado pueden construir más de una plantilla. Se propone que el maestro dé libertad a los niños para que busquen estrategias que les permitan reproducirlas. Asimismo. por ejemplo. la perpendicularidad. De ahí derivan
lecciones como "Cubos y construcciones" y "Construimos poliedros". El paralelismo.y A partir del plano puede construirse un sólido (con tres dimensiones). el dibujo. pp. páginas 146 y 182.
En las lecciones del libro se diferencian los sólidos que son poliedros de los que no lo son.
ya que permiten al niño anticipar las formas que se obtendrán doblando de determinada manera un pedazo de papel. donde las casas no han perdido sus características más evidentes (véase. En un primer momento se recomienda que los alumnos de cuarto grado utilicen este recurso para reproducir figuras simétricas. por ejemplo. Se espera que. En "Bordados y simetría". están dirigidas a la interpretación y construcción de planos urbanos. en su mayoría. Con el apoyo de este recurso se hará más atractiva la clase de geometría y más accesibles algunos contenidos de este aspecto del programa. página 36. Otras actividades que el maestro puede sugerir con el mismo propósito son las de papiroflexia (doblado de papel). por ello el trabajo se inicia con la ubicación de puntos y descripción de trayectos en un pueblo sencillo. la tarea de interpretar un plan o no es fácil para los niños. se propone el uso de papel cuadriculado para que los niños dibujen o completen figuras simétricas. Mediante las actividades de papiroflexia se promueve el desarrollo de la imaginación espacial y la capacidad de construir hipótesis. Sin embargo. cuando los
. "Camino al mercado". En un segundo momento se propone la elaboración de planos a partir de fotografías aéreas más complejas. la simetría se inició con un tratamiento intuitivo. en "Artesanías". de esta manera. se aplica el reconocimiento y trazo de los ejes de simetría. Posteriormente.
El trabajo en el eje de "Geometría" incluye situaciones que inducen al niño a buscar diferentes maneras de ubicarse en su entorno y a experimentar formas de expresar y registrar tal ubicación. En todos los casos es necesario que se liguen las situaciones planteadas en el texto y en las fichas con el entorno de los niños. 8). es decir. El trabajo en este aspecto se ha orientado básicamente a construir un sistema elemental (no formal) de ubicación de puntos en el plano. a la lectura y trazo de planos que tienen calles y avenidas. Las actividades incluidas en las fichas y en el libro de texto tienen también como finalidad que los niños hagan sus propias representaciones del entorno inmediato y familiar. se realizan actividades que permiten profundizar un poco más acerca de la simetría y algunas de sus características. utilizando hojas cuadriculadas hasta que se sientan con la suficiente confianza para abandonarlas.En tercer grado. Es por ello que las actividades. página 130. pero ya sin apoyo de la cuadrícula. para el desarrollo de este tema el maestro también podrá sugerir juegos o dejar a los alumnos que exploren diversas posibilidades. o a través del dibujo de las figuras "reflejadas en el espejo". sin embargo. p. mediante la simulación de formas reflejadas en el agua como si ésta fuera un gran espejo.
al análisis de situaciones que implican variación proporcional directa. las líneas que representan las calles tengan significado para ellos. tendrá que concluir que el doble de 4 kg es 8 kg y el doble de $12 es $24. en la lección "El mercado". es decir. que podríamos llamar "lectura comprensiva del plano". no alcanzan para completar dichas tablas y es necesario recurrir al valor unitario. etcétera. etcétera. por ejemplo. En el caso de los jitomates se sabe que 1 kg cuesta $3 y a partir de este dato puede calcularse. el precio para 5 kg. Para completar en la misma lección la tabla del precio de la sandía es necesario averiguar cuanto cuesta 1 kg (valor unitario). Procesos de cambio Las actividades correspondientes al eje "Procesos de cambio" introducen a los alumnos de cuarto grado. además de profundizar en el significado de la multiplicación.4) en lugar de decir "dos calles a la derecha y 4 calles hacia arriba". página 38. y a partir de este dato calcular los que faltan. Por ejemplo: "Si Juanito tiene 10 años y Pedro tiene el doble.niños se enfrenten a un plano como el que aparece en "Las calles de la ciudad". Para completar cuánto cuestan 8 kg de jitomate. La elaboración de tablas y el análisis de la información propicia que los alumnos descubran las relaciones de dobles. el alumno calculará el doble de los $12 que corresponden a 4 kg. Con este tipo de problemas. Una vez realizado este trabajo. no son tan evidentes (véase la página 49 de este libro). El propósito es que el maestro ayude a los alumnos a desarrollar procedimientos intuitivos de proporcionalidad. se inicia la tarea específica de ubicar puntos tomando como referencia los ejes de coordenadas que se representan con dos calles principales. por ejemplo. triples. ¿cuántos años tiene Pedro?". El uso de este lenguaje implica un proceso en el que se usen expresiones que los niños construyan. como son las relaciones entre los datos. como se puede observar en las últimas tablas de la lección "El
. se plantean varios problemas que implican la relación proporcional entre los kilogramos de frutas y verduras que se venden. En ocasiones las relaciones de dobles. triples. El maestro podrá reforzar estas ideas planteando problemas que impliquen una comparación multiplicativa. triples y mitades entre los datos de un problema. donde las relaciones de dobles. El propósito fundamental del curso es llegar a manejar un lenguaje simplificado como (2. y el dinero que se obtiene en cada caso. página 10.
Situaciones de variación ligadas a la geometría
Es importante que además de presentar a los alumnos situaciones numéricas de variación. además. dicho valor puede ser modificado. como su nombre lo indica. Éste es un caso de variación proporcional directa. por ejemplo. el registro y el análisis de datos:
y En cuanto a los contenidos referidos a la elaboración e interpretación de registros. analizar y utilizar información numérica en distintos contextos. Es conveniente resaltar dos aspectos de este eje. página 10. Por ejemplo. El objetivo es que los niños se aproximen a la noción de proporcionalidad directa en términos cualitativos. como analizar recetas de diferentes comidas para distinta cantidad de comensales. "Naciones poco pobladas" y "El censo de población". por supuesto sin llegar a mecanizar reglas ni a repetir definiciones. Si se aumenta al doble la medida de sus lados el perímetro aumenta también al doble. por tanto se propone que los alumnos completen tablas a partir de las nociones intuitivas que tienen sobre la proporcionalidad. se prepara al alumno para identificar relaciones proporcionales sin hacerlo explicito. página 122. se pretende que el alumno comprenda que es necesario duplicar la cantidad de cada uno de los ingredientes. favorecen que el alumno empiece a trabajar en este tema. 5 000 o 10 000 para representar números grandes (véanse.
. Otras actividades.mercado". Tratamiento de la información El objetivo de los contenidos incluidos en este eje es. En "Hacemos recetas". se debe enfatizar la lectura de gráficas de barras e introducir pictogramas a los que se les asignan valores de 1 000. pp. desarrollar la capacidad de los alumnos para obtener. Los valores de los pictogramas pueden modificarse dependiendo de las cantidades que se manejen y. Cabe destacar que la noción de variación proporcional directa es compleja. a través del análisis de diferentes tablas de variación proporcional para que los alumnos puedan ver la manera en que una cantidad varía en función de la otra. se les planteen situaciones de geometría. dado que la receta esta hecha para seis. y si disminuye a la mitad el perímetro disminuirá en la misma proporción. si se quiere preparar gelatina para doce personas. el perímetro de un cuadrado está en función de la medida de sus lados. 70 y 128).
El maestro deberá aprovechar todos los temas del programa par a trabajar el tratamiento de la información como un aspecto colateral del contenido. Para su resolución los niños deben. Esto quiere decir que ayudar a los niños a obtener y analizar información es una tarea fundamental para contribuir al mejoramiento de su capacidad para plantear y resolver problemas. las ventas de la cooperativa o la organización de algún acto cívico. Por ejemplo. los animales. entre otros. Esta información puede ser oral. por ejemplo. Lo primero que debe hacer el niño para resolver un problema es organizar y analizar la información que se le presenta. por ejemplo.
obtener de ilustraciones y documentos. libro de texto. El tratamiento didáctico que se le ha dado es meramente intuitivo y mediante situaciones de juego (véase. el maestro puede aprovechar otras situaciones escolares que sean de interés para los niños. en "Estadios y números". escrita o presentarse en ilustraciones o imágenes. el aseo. p. como el registro diario de la puntualidad. en la mayoría de los casos. seleccionar y analizar la información que se proporciona en una ilustración o en un documento y hacer preguntas con las que pueda obtener más información o información más relevante. página 90. los juegos o las materias escolares que les gustan. Las lecciones del libro de texto favorecen el análisis de la información durante el curso. y Identificación de preguntas que pueden o no responderse. Los fenómenos meteorológicos pueden ser otra fuente de situaciones interesantes para los alumnos.
y Planteamiento de preguntas y problemas a partir de la información que puedan
La predicción y el azar El estudio de este eje se inicia en tercer grado. deben analizar la información contenida en el cuadro para contestar las preguntas. por
. durante el año escolar.
El tratamiento didáctico en este eje debe iniciarse con situaciones cercanas a los intereses de los niños de este nivel. Un ejemplo de esta actividad es la lección "¿Se puede responder?".y Para el estudio de los contenidos referidos al análisis de la información se debe promover. con ello promoverá a la vez la capacidad de reflexión y de resolución de problemas. la reflexión sobre los datos que son útiles para resolver un problema. a partir de la información contenida en un texto. Además de las situaciones sugeridas en el libro de texto y en las fichas de actividades didácticas. página 20. Dicha tarea podría apoyarse en actividades como las que se describen a continuación. "¿Se puede responder? ". los que no lo son y los que faltan (véase. 20).
22). el no saber puede deberse a la falta de información. del libro Juega y Aprende matemáticas. En este grado se empieza a manejar a través de las actividades de "Canicas de colores". por ejemplo. Es recomendable también que el maestro utilice los juegos practicados en su región o localidad para el trabajo sobre la predicción y el azar. mientras que en otros no es posible obtener la información porque se está. en indagar cuales son los juegos propios de lugar y. la noción de mayor o menor probabilidad de que ocurra un evento. dada la dificultad para establecer afirmaciones rigurosas respecto al concepto de azar. Esto sin precisar que. cuando éstas sean difíciles. pp. precisamente. Se sugiere al maestro permitir una amplia flexibilidad en lo que se refiere a las caracterizaciones que hagan los niños de los juegos. sobre todo en este nivel. Se pretende introducir a los niños en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y en otras en las cuales no es posible saberlo. Sin embargo. distinguir los que son de azar.ejemplo. 22). p. También deben aprender que existe una gran variedad de juegos en los que el azar no interviene. "Águila o Sol". y a anticipar lo que creen que sucederá. p. Es conveniente que durante el desarrollo de estas actividades el maestro ayude a los niños a entender las reglas de los distintos juegos. página 114. Una tarea puede consistir. página 57.
. como en el ajedrez o como en el juego "Carrera a veinte". El registro de las diferentes posibilidades en un juego de azar y la comparación de los registros y respuestas entre los compañeros es importante para que el alumno intuya la posibilidad de predecir o instrumentar alguna estrategia para ganar el juego (véanse. precisamente. al analizar la posibilidad de sacar de una caja una ca nica de algún color determinado (véase la página 50 de este libro). Por ejemplo. "Águila o sol". En éstos siempre hay una estrategia para ganar. En un primer momento los niños pueden asociar el término azar a la palabra suerte que ellos manejan. 76 y 114). en situaciones de azar. por ejemplo. entre ellos. en algunos casos. al lanzar una moneda al aire no se sabe con certeza sobre qué cara caerá (véase. hay que promover gradualmente su significado correcto. "Los colores del dado" y "Canicas de colores".
La evaluación. el maestro debe tener presente que los conceptos se construyen paulatinamente. En el caso de las matemáticas. así como plantear preguntas y problemas relacionados con dicha información.
. los errores no constituyen un elemento para etiquetar a los que saben y a los que no saben. es conveniente que el maestro observe el desarrollo paulatino de la habilidad de sus alumnos para utilizar los instrumentos y las unidades de medida convencionales (de longitud. y Respecto a la medición. desde este punto de vista. medidas angulares. el maestro deberá valorar el avance de los alumnos al observar la forma en que manejan los instrumentos geométricos. Generalmente. no corresponde a una sesión específica o a un examen cada mes. por sencillos que éstos sean. superficie. no sólo en la resolución de problemas escritos. Muchas veces la evaluación no se considera como parte del proceso de aprendizaje. a partir del desempeño del alumno en las diferentes actividades de aprendizaje.Recomendaciones de evaluación
La evaluación es uno de los aspectos de mayor complejidad en la enseñanza. por lo que su adquisición deberá ser valorada a lo largo de todo el año escolar. sino que son una fuente muy importante para que los niños busquen nuevos procedimientos para resolver problemas y para que el maestro sepa cómo piensan sus alumnos. los errores que cometen los niños son muestra del grado de comprensión que han alcanzado de un concepto. peso y tiempo). son indicadores del grado de comprensión que tienen sobre diferentes conceptos o procedimientos matemáticos asociados a ellos. capacidad.
aproximada a determinadas situaciones son también habilidades que deben considerarse y valorarse mediante la observación.
y La estimación y el cálculo mental que realizan los alumnos al dar una respuesta
Por esta razón. así como su habilidad para realizar los trazos. y Las destrezas y habilidades que muestran los niños en el manejo de los instrumentos geométricos. sin olvidar que deben tener la capacidad para relacionar y "escoger" la operación u operaciones adecuadas para resolver el problema. En este sentido. sino fundamentalmente en su uso práctico y en la decisión del niño para seleccionar la unidad adecuada para cada contexto. las dificultades que enfrentan y las actividades que conviene que realicen para superarlas. sino como el momento en el que se miden conocimientos terminales a partir de la calificación de un examen. la revisión de los trabajos y la participación individual y en grupo. pues no consiste solamente en otorgar una calificación a los alumnos.
y También es importante considerar si los alumnos logran analizar la información contenida en diferentes documentos e ilustraciones. sino en la apreciación permanente de su aprendizaje.
y Es conveniente elaborar un expediente individual de los alumnos que contenga diferentes documentos (pruebas, registros, observaciones, anécdotas, etcétera), con la finalidad de observar la evolución de la aplicación de las operaciones y diferentes estrategias en la resolución de problemas, además de los avances en los trazos y análisis de figuras geométricas. Dicho expediente puede servir también para el registro de actividades y avances que presenten en cualquiera de las otras asignaturas.
En síntesis, la evaluación en Matemáticas debe realizarse desde el primer día de clases, con el propósito de obtener información acerca de los conocimientos y avances de los niños. Esta información sirve al maestro para ajustar las actividades de enseñanza a las necesidades y momentos particulares de aprendizaje de los alumnos.
Plan de clase: Las ecuaciones
Resumen: En un mundo donde los conocimientos matemáticos se desarrollan vertiginosamente y aumentan sus aplicaciones día a día, en el que calculadoras y ordenadores forman parte del quehacer cotidiano, hay consenso social a nivel mundial sobre la importancia de la matemática y la necesidad de su aprendizaje por todos los estudiantes, esto significa dotar a los alumnos y alumnas de una cultura matemática que les proporcione recursos para toda su vida, lo que implica brindarles oportunidades de aprendizaje que estimulen el desarrollo de su pensamiento lógico matemático. Publicación enviada por Rudy Mendoza Palacios
I. TITULO : RESOLVEMOS ECUACIONES II.- FUNDAMENTACION 2.1.- PEDAGOGÍA En un mundo donde los conocimientos matemáticos se desarrollan vertiginosamente y aumentan sus aplicaciones día a día, en el que calculadoras y ordenadores forman parte del quehacer cotidiano, hay consenso social a nivel mundial sobre la importancia de la matemática y la necesidad de su aprendizaje por todos los estudiantes, esto significa dotar a los alumnos y alumnas de una cultura matemática que les proporcione recursos para toda su vida, lo que implica brindarles oportunidades de aprendizaje que estimulen el desarrollo de su pensamiento lógico matemático, y particularmente del aprendizaje de las ecuaciones, toda vez que estas son la base de todo proceso cognitivo que aspira a dar respuesta a cuestiones problemáticas. Las ecuaciones permiten al alumno el hacerles partícipes conscientes y activos en la creac ión de conocimientos, potenciar la actitud de reflexión ± acción abierta, el análisis crítico y la capacidad de adaptación a las necesidades emergentes de la sociedad, lo cual exige un gran esfuerzo y un proceder perseverante de todos los actores educativos. El pensamiento matemático se va estructurando desde los primeros años de vida en forma
gradual y sistemática. El niño y la niña observan y exploran su entorno inmediato y los objetos que lo configuran, estableciendo relaciones entre ellos al realizar actividades concretas a través de la manipulación de materiales, participación en juegos didácticos, elaboración de esquemas, gráficos, dibujos. Estas interacciones les permiten representar y evocar aspectos diferentes de la realidad vivida, interiorizarlas en operaciones mentales y manifestarlas utilizando símbolos como instrumentos de expresión, pensamiento y síntesis de las acciones que despliegan sobre la realidad, para luego ir aproximándose a niveles de abstracción. Al empezar su escolaridad, las niñas y los niños poseen cierto nivel de desarrollo de sus estructuras cognitivas, llevan al aula una considerable experiencia matemática, a partir de las cuales pueden seguir avanzando en la construcción de sus conocimientos lógico matemáticos con el apoyo pedagógico del docente en función a las necesidades particulares de cada alumno y alumna para permitirles que desarrollen sus potencialidades en forma óptima. A partir de la actividad lógico matemática en la resolución de ecuaciones , los alumnos van desarrollando y modificando sus esquemas de interpretación de la realidad, ampliándolos, reorganizándolos y relacionando los nuevos saberes con sus conocimientos previos. El Cuarto grado de Primaria es una etapa de afirmación de las competencias básicas y la formación de estructuras de conocimientos y conceptos fundamentales en relación con los diversos aspectos de la realidad, construidos activamente a partir del contacto con el medio estas estructuras y conceptos serán la base de nuevos aprendizajes referidos a otros espacios y tiempos. El Área Lógico Matemática en la Estructura Curricular Básica del Cuarto grado de Primaria prevé la enseñanza a de las ecuaciones en su forma simple , tomando en cuenta que a partir del aprendizaje de las mismas , los alumnos podrán desarrollar su aparato cognitivo, mejorando su nivel de deducción e inducción, y estableciendo hipótesis, probándolas y extrayendo conclusiones. Por otro lado, la enseñanza de las ecuaciones es importante porque ayuda al niño a, pensar en la resolución de problemas, no solo del tipo matemático, sino también le ayudara a resolver aquellas cuestiones que se le presentan en su vida cotidiana En el tratamiento de las ecuaciones, en busca de la solución el alumno podrá desarrollar operaciones matemáticas utilizando la adicción, sustracción, multiplicación y división, ya que con estas operaciones básicas su desarrollo mental cognitivo , ayudara a reconocer componentes y establecer la respuesta o solución correcta al planteamiento que la ecuación otorga. 2.1.1.- PSICOPEDAGÓGICA La formulación de problemas dentro de la enseñanza de la Matemática es tan importante como su solución y al decir de Polya (1998) La experiencia de un alumno en Matemática será incompleta mientras no tenga la ocasión de resolver un problema que él mismo haya inventado", algunos investigadores coinciden en afirmar que mediante la formulación de problemas se contribuye a la solidez de los conocimientos, se desarrollan la expresión oral y escrita, el análisis y la síntesis, la abstracción y la generalización como operaciones mentales que contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico, flexible, heurístico y creativo (González, D. 1996 ). Además, como los problemas deben estar vinculados a situaciones de la vida en sus diferentes esferas, tanto en lo político-ideológico, económico-laboral y científico-ambiental, ello propicia que los mismos se apoyen en informaciones actualizadas, tanto del ámbito internacional como nacional así como de la comunidad en que viven, todo lo cual contribuye al fortalecimiento de valores y el desarrollo multilateral del estudiante. Los libros de texto de que se dispone en la primaria datan de 1990,y algunos remozados del año 2000 en los mismos se refleja de manera adecuada el contenido matemático, pero los problemas que contienen, en su mayoría son de carácter hipotético, por lo que para los profesores resulta tanto útil como necesario saber formular problemas y saber enseñar a sus alumnos a hacerlo, lo que contribuye a fortalecer sus valores, su educación político-ideológica, desarrollar habilidades matemáticas relacionadas con la solución de problemas y ampliar su bagaje cultural.
El desarrollo de las matemáticas a decir de Piaget: "En la mayoría de las lecciones de matemática toda la diferencia estriba en el hecho de que se le pide al alumno que acepte una disciplina intelectual ya completamente organizada, la cual puede o no entender, mientras que en el contexto de actividad autónoma tiene que descubrir por sí mismo las relaciones y los conceptos, y recrearlos hasta el momento en que es feliz de ser guiado y enseñado."(Introducción a Piaget. Pensamiento, Aprendizaje, Enseñanza. Labinowicz, , 1987) Para Piaget el conocimiento lógico-matemático es el que no existe por si mismo en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún lado vemos el "tres", éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos El conocimiento lógico-matemático de las ecuaciones ,"surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los números , desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos. Las operaciones lógico matemáticas de las ecuaciones antes de ser una actitud puramente intelectual, requiere en el alumno la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con los componentes de la ecuación y que a partir de una reflexión le permiten adquirir las nociones fundamentales para la solución . El docente que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe planificar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con los problemas que representan las ecuaciones , que sean su realidad: personas, juguetes, ropa, animales, plantas, etc. 2.1.2.- FILOSÓFICA La originalidad de la filosofía de la matemática radica en su elaboración desde la perspectiva de la inteligencia sentiente o de la impresión de la formalidad de realidad. Wolf (2002), afirma que la inteligencia no es concipiente sino sentiente. Su función primaria no es concebir y juzgar lo dado por los sentidos, sino impresión de realidad. La inteligencia siente "a una" el contenido sensible y su realidad . La matemática filosóficamente es un juego. ¿Por que? Porque la matemática se ama con reglas que se van combinando con una lógica para llegara conclusiones. Tan es asi que podemos cambiar las reglas de juego y armar otra matemática. Esto seria para charlar lo largo y tendido pero es así. Eso por un lado, pero hay otra cosa que es importante y es que en realidad , cuando pensamos en nuestros alumnos , incluso en nuestros docentes quetienen que lidiar con la matemática, estamos pensando en una matemática cotidiana, no una cosa muy abstracta , muy filosófica, sino en una cosa muy cotidiana. La matemática mueve al mundo , es decir, la matemática tiene verdades que las necesitamos para que funcione el supermercado, para que funcionen los colectivos , las cosas de todos los días . Entonces, esa matemática que nosotros tenemos que enseñar y que aprender, tiene que tener que ver con las cosas de todos los días. El filosofar del porque enseñar las ecuaciones implica pensar en como y porque debemos no solo enseñarla sino también aprenderla. No existe filosofía de las ecuaciones, pero si podemos decir que esta ayudan al niño y al hombre a pensar que cada acto , que cada hecho tiene una razón, las incógnitas que nos presentan las ecuaciones nos indican que cada hecho también las tiene. Aprender a resolver incógnitas de las ecuaciones , de una u otra forma ayuda al niño y al hombre a desarrollar su pensamiento en la toma de decisiones para dar solución a los
E. familiarizarse con ellos.Reconocemos las ecuaciones como una igualdad de número naturales 2. alumno. currículo. de este modo comprenderán mejor los conocimientos que vayan estructurando y tendrán ocasión de organizar su experiencia perceptiva y activa.. de sus propias construcciones.Identificamos los elementos y miembros de una ecuación 3.. Las experiencias físicas conducen a la abstracción del objeto mismo y las experiencias lógico matemáticas conducen a la abstracción a partir de las acciones operaciones realizadas sobre el objeto. Por eso el niño y la niña en esta etapa de su escolaridad necesitan manipular objetos concretos. La niña y el niño adquieren y desarrollan competencias matemáticas a través de un proceso en espiral en el que van ampliando el nivel de elaboración y profundización de sus saberes.. sintetizar o transmitir el saber : conocer m.. Las competencias (capacidades y actitudes) y las orientaciones metodológicas constituyen también elementos interactuantes que deben considerarse en conjunto..así encuentran su trabajo fácil.Metodología La Metodología es la ciencia que se encarga del método utilizando para descubrir . Las orientaciones metodológicas que enmarcan la acción pedagógica en esta etapa de la escolaridad se dirigen al logro de las competencias básicas que deben alcanzar las niñasy los niños al terminar el Cuarto Grado de Primaria.1. Las ecuaciones con sus componentes nos idealizan que en el mundo real todo tiene un orden y una consecuente realidad.Usamos diferentes estrategias para resolver ecuaciones 2. El maestro pacientemente deberá comprender el valor que tienen las exploraciones que hacen los alumnos y alumnas y promoverlas.. Donde la incógnita ³x´ es el numero 5. lo cual les permite aplicar sus conocimientos a nuevas construcciones mentales y encontrar sentido a lo que aprenden.. Entre los contenidos que se desarrollan en el informe ³Aprendamos a resolver ecuaciones´ tenemos 1.EPISTEMOLÓGICA En toda experiencia educativa interactúan en el proceso varios elementos en forma dinámica: docente. para lo cual es necesario tener en cuenta lo siguiente: El edificio de las matemáticas reposa sobre estructuras de la inteligencia: es necesario basar la didáctica matemática en la organización progresiva de estas estructuras operatorias. esencial en el acto de aprender. La adquisición y desarrollo de las competencias matemáticas dependerá en gran medida de lo que el niño y la niña hagan.N. de igual forma el pensar de porque hay que colocar el 5 en lugar de la ³X´ lleva al niño a pensar .Resolvemos ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales 4.FUNDAMENTACION METODOLOGICA 2. buscar regularidades. ser y convivir (ECITEC) ³Metodología y tecnología educativa´ U. establecer relaciones. Nada hay mas racional que en la expresión 4 + x = 9.. En el niño y la niña todo conocimiento supone una participación de la experiencia para constituirse.problemas que se le presentan en la vida cotidiana. Enrique Guzmán y valle´)
. interesante y espontáneo además el tiempo utilizado es importante para crear un clima de confianza.. dándoles cada vez mayor complejidad e introduciendo nuevos conocimientos de acuerdo a sus progresos y ritmos de aprendizaje.2. de engendrar nuevas situaciones. y el pensar es la base de toda filosofía. La organización del Currículo por Grados permite a los educandos disponer de más tiempo para lograr las experiencias necesarias y construir las competencias esperadas. medio o contexto en el cual se da la experiencia. Las operaciones se originan en las acciones que se interiorizan coordinándose en estructuras.. hacer.3. 2.2. de rectificar sus realizaciones cuando convenga.
La inducción puede ser completa o incompleta. de enseñar o aprender algo(. 2. 1999) Existen varias clases de métodos .CLASES DE MÉTODO El método en cuanto a su origen científico : MÉTODO LÓGICO DEDUCTIVO Mediante ella se aplican los principios descubiertos a casos particulares. cuando sabemos que el conocimiento generalizado pertenece a cada uno de los elementos del objeto de inve stigación. Si un cuerpo cae decimos que pesa porque es un caso particular de la gravitación ..2. ³ La Ciencia y su Método´.METODOLOGÍA TRADICIONAL O CONDUCTISTA El profesor es el centro de todo el sistema de enseñanza y el alumno es solamente un ser pasivo. a partir de un enlace de juicios. El método lo definimos como lo hace ( Luria 1998) la Manera ordenada de hacer cierta cosa.MÉTODO Hay unas variedades de definiciones acerca el método. La conclusión es sacada del estudio de todos los elementos que form el an objeto de investigación. pero nosotros vamos a verlos desde la óptica del alumno y la relación del docente alumno: 2. y en consecuencia . los de la educación con un nuevo esfuerzo y un máximo de rendimiento (Incder Nerice.También sirve para descubrir consecuencias desconocidas. en particular.. alcanzar los objetivos de la enseñanza . se eleva a conocimientos generales. solo que en ellas se toman muestras que poco a poco se van articulando hasta lograr el estudio por inducción completa.1980) CLASES DE METODOLOGÍA 1. investigación de leyes científicas. es decir. siendo el profesor un facilitador . Si sabemos que la formula d la e velocidad es v=e/t. parte de axiomas y definiciones MÉTODO LÓGICO INDUCTIVO Es el razonamiento que. Las llamadas demostraciones complejas son formas de razonamiento inductivo. es decir que solo es posible si conocemos con exactitud el numero de elementos que forman el objeto de estudio y además. podremos calcular la velocidad de un avión. y las demostraciones. Rousselot dice que el método es el camino mas corto para descubrir la verdad para comunicarla cuando ha sido descubierta. José Maria .2. Inducción completa. partiendo de casos particulares.. desde el etimológico que lo considera como el camino mas corto para llegar a una meta.Es una forma simple de decirla así : la disciplina que estudia aspectos teóricos y objetivos (Suárez Froilan.2. 2002) La metodología de la enseñanza es el conjunto de procedimientos didácticos implicado en los métodos y técnicas de enseñanza que tiene por objeto llevar a un buen término de acción didáctica. receptor y memorista. Dewey lo define como la dirección eficaz del material hacia los resultados deseados. relacionándolos con sus conocimientos previos. un guía para descubrir los nuevos aprendizajes. La matemática es la ciencia deductiva por excelencia. Este método permite la formación de hipótesis.2. El papel de la deducción en la investigación es doble: Primero consiste en encontrar principios desconocidos.. de principios conocidos. a partir de los conocidos. -Mendoza Bermejo. 2.. Inducción incompleta: Los elementos del objeto de investigación no pueden ser numerados y
.1. Una ley o principio puede reducirse a otra más general que la incluya.METODOLOGÍA MODERNA ACTIVA Y CONSTRUCTIVISTA El alumno es el centro del aprendizaje .
si es posible. . tabulación y selección de los datos obtenidos. a nuestro entender. lo que realiza es una especie de generalización. el método inductivo necesita una condición adicional.Método Individual: Es el destinado a la educación de un solo alumno. que permita hacer generalizaciones. mas fácilmente demostrable (las HP complejas. la conclusión en su totalidad a partir de unas premisas.Observación: el primer paso es la observación de una parte limitada del universo o población que constituye la muestra. supone soluciones probables al problema de estudio Los métodos en cuanto al trabajo del alumno . . Diferencia entre método inductivo y deductivo La diferencia fundamental entre el método deductivo y el inductivo es que el primero aspira a demostrar. o sea ser reproducible.Experimentación: la hipótesis debe ser comprobada en estudios controlados.estudiados en su totalidad. estudio dirigido o contratos de estudio. Un plan de estudio es repartido entre los componentes del grupo contribuyendo cada uno con una parcela de responsabilidad del todo.efecto entre los hechos.
. Anotación de lo observable. el más aconsejable pues da oportunidad para una acción socializadora y. De la reunión de esfuerzos de los alumnos y de la colaboración entre ellos resulta el trabajo total. mediante la lógica pura. La HP debe estar de acuerdo con lo que se pretende explicar (atingencia) y no se debe contraponer a otras HP generales ya aceptadas. para quedarse con los más representativos. Está compuesta por enunciados teóricos probables. al mismo tiempo. cuando procurando conciliar principalmente las diferencias individuales el trabajo escolar es adecuado al alumno por medio de tareas diferenciadas. .Hipótesis: se desarrolla en esta etapa. en realidad. si no se invalida la lógica aplicada.Método de Trabajo Colectivo: Es el que se apoya principalmente. La HP debe poder ser comprobable experimentalmente por otros investigadores. Puede ser llamado también Método de Enseñanza Socializada. Por el contrario. Este paso intenta explicar la relación causa . sobre la enseñanza en grupo. En el campo de la investigación. . . obligando al sujeto de investigación a recurrir a tomar una muestra representativa. generalmente son reformulables a dos o más HP simples). la hipótesis. Es recomendable en alumnos que por algún motivo se hayan atrasado en sus clases. al mismo tiempo. el planteamiento de las hipótesis que expliquen los hechos ocurridos (observados).Hipótesis en Investigación: Hipótesis significa literalmente ³lo que se supone´. referentes a variables o relaciones entre ellas. sin que por medio de la lógica pueda conseguir una demostración de las citadas leyes o conjunto de conclusiones. Estas conclusiones podrían ser falsas y. posterior ordenamiento. Cuanto más simple sea. su aplicación se considera válida mientras no se encuentre ningún caso que no cumpla el modelo propuesto. quedando el profesor con mayor libertad para orientarlo en sus dificultades. Se trata del modelo axiomático propuesto por Aristóteles como el método ideal. a otra de tipo individualizador. la aplicación parcial efectuada de la lógica podría mantener su validez. Es. por eso. en su desarrollo actividades socializadas e individuales.Método Mixto de Trabajo: Es mixto cuando planea. . La HP debe tener matices predictivos.Método de Trabajo Individual: Se le denomina de este modo. con autentica veracidad. mediante la generalización del comportamiento observado. Proceso del método inductivo deductivo . el método inductivo crea leyes a partir de la observación de los hechos. Los métodos en cuanto a la relación entre el profesor y el alumno. Para buscar la relación causa ± efecto se utiliza la analogía y el método inductivo. de manera que se garantiza la veracidad de las conclusiones.
Gracias a ellos. Los métodos y técnicas tienen por objeto hacer más eficiente la dirección del aprendizaje. conviene aclarar que la dinámica grupal existe en todo momento como consecuencia del comportamiento de las personas y de su interacción en el grupo. metódica y adecuada de la misma. DISCUSIÓN DIRIGIDA Consiste en un intercambio de ideas y opiniones entre los integrantes de un grupo relativamente pequeño. UNMSM . MÉTODO A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE En nuestra clase aplicaremos el método individual y grupal de manera que los alumnos interioricen primero el concepto de ecuación y luego en grupo. con independencia de la técnica que se emplee. gracias a la retroalimentación constante de respuestas correctas TÉCNICAS A USAR EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE Nosotros usaremos las técnicas de la exposición. Es importante destacar que hay una gran confusión entre la experiencia estructurada y las llamadas "Dinámicas de grupo".. al tiempo que se limita la participación de éste. LA TÉCNICA La TÉCNICA la definimos como los recursos necesarios de la enseñanza. LECTURA COMENTADA Consiste en dejar a los participantes leer un documento y que lo comenten con la dirección del instructor. cuya mecánica es semejante. cuyo propósito es destacar los principales elementos de un tema o aspecto del programa. y consiste en proporcionar información al grupo. acerca de un tema específico con un método y una estructura en la que se mezclan la comunicación formal y las expresiones espontáneas de los participantes. EXPERIENCIA ESTRUCTURADA Es una técnica en la cual los participantes realizan una serie de actividades previamente diseñadas. 1999) Destacan las principales técnicas : EXPOSICIÓN Es una técnica explosiva centrada en el instructor. las habilidades e incorporados con menor esfuerzo los ideales y actitudes que la escuela pretende proporcionar a sus alumno. 2. pueden ser elaborados los conocimientos adquiridos. para representar un problema real o hipotético con el objeto de que pueda ser comprendido y analizado por el grupo. la instrucción programada y las lluvias de ideas en el aprendizaje y la enseñanza de las ecuaciones.( Didáctica general. INSTRUCCIÓN PROGRAMADA Es una técnica individualizada por medio de materiales que permiten que el participante dirija su aprendizaje a su propio ritmo. opiniones y soluciones obre algún tema.· Método Recíproco: Se llama así al método en virtud del cual el profesor encamina a sus alumnos para que enseñen a sus condiscípulos. Como variante de esta práctica se puede usar el debate. JUEGO DE PAPELES En esta técnica algunos participantes asumen un papel diferente al de su propia identidad. LLUVIA DE IDEAS Es una técnica que permite la libre expresión de las ideas de los participantes sin las restricciones o limitaciones con el propósito de producir el mayor número de datos. son los vehículos de realización ordenada.4. la experiencia estructurada.2.2.3.ESTRATEGIAS
.Luis Marcel. puedan dialogar ye intercambiar opiniones para su resolución 2.
siguiendo a la acepción que da la Real Academia Española : el Arte de dirigir un asunto para lograr el objeto deseado. dirigidas a elaborar o transformar información y las dirigidas a comunicar información (. es decir. exponen sus trabajos y los mejoran con el aporte de toda la clase . Hay que tener en cuenta que algunos conceptos son abarcados bajo otros conceptos más amplios. 2000: 43) Las enunciamos como un proceso consciente e intencionado que favorece el análisis .. de allí que definimos ESTRATEGIA . sirve para descubrir los preconceptos del alumno y cuando se llegue al final del proceso servirá para clarificar relaciones entre nuevos y antiguos conocimientos ANALOGÍAS Consiste en analizar comparaciones entre la información nueva y la información ya conocida. ORGANIZADOR PREVIO Es un material elaborado por el docente en forma de texto o de diagramas que contiene ideas y conceptos generales sobre el tema que van a aprender. Los mapas conceptuales le permiten a los profesores y alumnos intercambiar sus puntos de vista sobre la validez de un vínculo preposicional determinado para finalmente proporcionar un resumen esquemático de todo lo que se ha aprendido. la reflexión. comprendemos un texto . exposición de trabajos . intercambian trabajos para corregir errores. su estructura organizaciones (Novack. ³ Estrategias y técnicas de Enseñanza. 2001) Actualmente las estrategias los mapas conceptuales: Los mapas conceptuales permiten organizar de una manera coherente a los conceptos. 2. los conceptos relacionados se unen por líneas y el sentido de la relación se aclara con las palabras enlaces. Diccionario de la Reala Academia de Lengua Española.( RAE. Este puede servir como punto de partida de cualquier concepción de concepto que la persona pueda tener concerniente a la estructura del conocimiento.5. de allí que en matemáticas creemos que podemos emplear las estrategias de dirigidas a obtener o movilizar información . desarrollan ejercicios y problemas de ecuaciones . gráficos .planificamos una entrevista (PLANCAD. ILUSTRACIONES Son las fotografías . 2001) Nosotros consideramos que las estrategias se confunden con las técnicas. histogramas que tienen como propósito despertar el interés y mantener la atención de los alumnos sobre un determinado aprendizaje ESTRATEGIA A EMPLEAR EN LA SESION DE APRENDIZAJE En la sesión de aprendizaje emplearemos la estrategia de grupo.2. es decir.MEDIOS Y MATERIALES Los MEDIOS Y MATERIALES los definimos como Medios auxiliares que usa el docente para lograr motivar e interesar a los alumnos a adquirir y similar nuevos contenidos dentro de una materia o asignatura escolar. esculturas . y los conceptos menos inclusivos.( ³ La Didáctica educativa´ Marcus José México DF. los conceptos más generales deben situarse en la parte superior del mapa. 1999) se produce mediante relaciones significativas entre los conceptos en forma de proposiciones. por lo tanto deben ser jerárquicos. más inclusivos. Joseph. Taylor. en la parte inferior. que se escriben en minúscula junto a las líneas de unión. Utilizamos estrategias cuando solucionamos .Todo método tiene una estrategia. 2000)
. Los mapas conceptuales son herramientas útiles para ayudar a los estudiantes a aprender acerca de la estructura del conocimiento y los procesos de construcción de pensamiento. ubican los trabajos en el área de lógico matemática del cuarto grado de educación primaria. el control del proceso y la valoración de lo que se hace. Además los conceptos se sitúan en una elipse o recuadro. dibujos. estas a su vez constan de dos o más términos conceptuales unidos por palabras enlaces que sirven para formar una unidad semántica.
Discusión e interpretación de los resultados Ante resultados no satisfactorios. manuales . En las actividades se proponen ejercicios que dan lugar a la discusión de la ecuación de primer grado. aunque por vicio adquirido tienda a introducir varias. envases. fichas informativas . palitos. método que en general le pude resultar más fácil a la hora de plantear el problema. es decir. rompecabezas. hojas. CLASES DE MEDIOS Y MATERIAL ES Según los medios de comunicación que emplea : . A la hora de resolver un problema algebraico. laminas .Materiales audiovisuales : Videos . MATERIALES EDUCATIVOS Son todos los medios y recursos que facilitan el proceso de enseñanza y la construcción de los aprendizajes porque estimulan la función de los sentidos y activa las experiencias y aprendizaje previos para acceder más fácilmente a la información . 2. semillas . papelotes. sonidos grabados y uso de textos de autoaprendizaje. Ejemplo : Chapas. . regla. cuadernos de apuntes. etc.Materiales multimediales : Programa de computadora con materiales impresos . al desarrollo de habilidades y destrezas y a la formación de actitudes y valores. retazos de lana. conchas .Materiales impresos : Textos. folletos . . Ejemplo : regletas de colores. lapiceros. etc. diapositivas .Resolver la ecuación .Leer y comprender el enunciado . y visuales: pizarra. cuaderno de apuntes. plumones. instrumentos musicales. equipos de laboratorio con textos de aprendizajes . es aconsejable que el alumno siga ciertas pautas. su fin es le logro de los objetivos educacionales. juegos de encaje .Los Medios.Designar la incógnita . intentaremos que el alumno los resuelva utilizando una sola incógnita. cuartillas. fichas de aplicación. pues generalmente desconoce el estudio de la compatibilidad de sistemas. Aún cuando algunos de los problema que proponemos pueden resolverse utilizandosistemas de ecuaciones. maquetas armables. con ejemplos concretos de cada caso posible (problema sin solución. consustancial a la enseñanza y al aprendizaje orientado a identificar las necesidades de aprendizaje y valorar el valor del logro alcanzado por los niños y
. De particular importancia para nuestro objetivo es la clasificación de medios y materiales que establece Edgard Dale en su famoso Cono de la experiencia (1966). MEDIOS Y MATERIALES A USAR EN LA SESIÓN DE CLASE En nuestro caso aplicaremos los símbolos orales.Plantear la ecuación . cordones. materiales de arte plástica con diapositivas . con infinitas soluciones y con solución única). tabla de multiplicar. donde ordena los niveles de concreción y abstracción de los métodos de enseñanza y los materiales instructivos en el sentido de abstracción creciente. programas de radio . que el alumno no llegue a la solución o bien ésta no cuadre.2. cuentas.Estructurado : Son aquellos elaboraos para que sirvan de soporte en las actividades de aprendizajes. . Generalmente se recolectan del entorno. tiza. Según su intencionalidad : . programas de computadoras. etiquetas . se podría plantear una serie de interrogantes mediante el dialogo. periódicos. etc. bloques lógicos. pero no a la de resolverlo. Un esquema posible a seguir es el siguiente: . grabaciones de audio .LA EVALUACION · Es un proceso interactivo .No estructurados : Aquellos no elaboraos con propósitos definidos. y su interpretación en el problema planteado. películas .6. Dale opinaba que las ideas pueden ser más fácilmente entendidas y retenidas si se construyen a partir de la experiencia concreta.
(PLANCAD. Esta evaluación debe hacerse en relación al año académico . con el propósito de tomar decisiones que lleven a la mejora de la práctica educativa. igualmente se puede percibir las actitudes manifiestas hacia las mismas. entendiéndose como la que proporciona el docente al alumno para atender oportunamente las dificultades . por ejemplo. TIPOS DE EVALUACION Existen tres tipos básicos de evaluación : . La información resultante deberá ser contrastada con la evaluación de inicio y de proceso para identificare el nivel de logros. logros. Pone de manifiesto los distintos ritmos de avances de los alumnos y permite hacer reajustes necesarios a la programación y a las estrategias empleadas por el docente. para reconocer y precisar sus avances. lo acompañan como parte constitutiva de el. obstáculos y necesidades que se van presentando durante el desarrollo de una unidad didáctica.2001) · La evaluación es integral y continua en todo proceso educativo para proporcionar al maestro la información que le permita mediar y apoyar de cerca los aprendizajes de los niños y niñas. si los materiales han sido los más adecuados y si en consecuencia las medidas adoptadas han sido eficaces. EVALUACIÓN DE PROCESO O DE SEGUIMIENTO Consiste en la valoración del aprendizaje del niño o niña y de la enseñanza del profesor mediante el recojo sistemático de datos análisis de los mismos y de la toma oportuna . Esta evaluación permite detectar las idea previas que l alumno posee en relación con las capacidades a desarrollar. la evaluación puede ser inicial. pone en cuestión el proceso y trata de indagar si las competencias han sido desarrolladas. Esta evaluación tiene un carácter diagnostico . EVALUACION QUE SE APLICARA EN LA SESIÓN DE APRENDIZAJE
. La información obtenida durante esta evaluación permite al profesor una ayuda ajustada . .Cuando se inicia un proceso de aprendizaje concreto.niñas en el desarrollo de competencias. . si llegara por primera vez es necesaria una amplia recogida de datos (personales. como el propio docente. servirá para conocer a esa niña o niños y poder adecuar desde el primer momento la actuación del profesor y del centro a sus peculiaridades. al inicio de una unidad didáctica. un trimestre o al inicio de una unidad didáctica. Esta evaluación no admite los resultados sin más. En este sentido . considerados en la unidad didáctica que se esta autoevaluando. otros miembros de la institución educativa y los padres de familia. EVALUACIÓN DE CONFIRMACIÓN O SUMATIVA Es la valoración que busca confirmar los resultados y las tendencias que se han venido registrando durante la evaluación de seguimiento. de proceso o seguimiento y de confirmación o sustantiva.La auto evaluación Cuando cada alumno hace una reflexión y Apreciación critica de sus aprendizajes.la Heteroevaluacion es la que realizan los agentes externos del proceso de aprendizaje. intereses y aprendizajes previos. CLASES DE EVALUACIÓN EVALUACIÓN INICIAL Le evaluación inicial posibilita recoger datos para precisar el nivel de expectativas .La coevaluacion es la apreciación de los desempeños que se hace entre pares ( niña -niño) cuya finalidad es la de retroalimentarse mutuamente. . esfuerzos y meritos en relación a sus indicadores de logros previstos. .Cuando un alumno llega por primera vez a una institución educativa ya sea para iniciar su escolaridad o para continuarla . mientras tiene lugar el propio proceso. teniendo como referencia los indicadores de logro. familiares y sociales).
el establecimiento de los necesarios engranajes sensoriales. la misma que el alumno desarrollara y evaluara la construcción de sus aprendizajes.En nuestro caso estamos aplicando la Heteroevaluacion y Auto evaluación a través de una ficha de observación. 6. en el juicio crítico y razonado. ya que prepara y favorece una actitud crítica. en el reconocimiento de las propias limitaciones. es decir. Como notamos una de las características de este método es que incluye otros métodos. al mismo tiempo que intenta su formulación teórica. pues muchos de ellos se complementan y relacionan entre si. La tendencia actual de la enseñanza se dirige hacia la disminución de la teoría. aspectos intelectivos y motores para que el referido reflejo se materialice y concrete.
. INSTRUMENTOS DE EVALUACION Entre los instrumentos mas usados tenemos : · Practica calificada · Prueba Oral · Prueba escrita · Ficha de auto evaluación · Ficha de coevaluacion 2. no es tan fácil de adquirir en nuestro medio. o complementarla con la práctica. uno es los medios audiovisuales que normalmente son más accesibles de obtener económicamente y con los que se pretende suprimir las clásicas salas de clase. El proceso enseñanza-aprendizaje constituye un verdadero par dialéctico en el cual y. En este sentido la educación comprende la enseñanza propiamente dicha. es decir que se busca que la parte teórica no pierda su sentido. 3.TIEMPO El tiempo que se utilizara para el desarrollo de la sesión de aprendizaje será de ciento ochenta minutos ( 180¨) 1. En este campo.8. debe insertarse en todo proyecto de desarrollo de la persona y colaborar en la formación de un ciudadano capaz de tomar sus propias decisiones. Los métodos de enseñanza descansan sobre las teorías del proceso de aprendizaje y una de las grandes tareas de la pedagogía moderna a sido estudiar de manera expermental la i eficacia de dichos métodos. por ello la teoría se relaciona posteriormente con la realidad. Es difícil escoger un método como el ideal y único camino para realizar una investigación. todo con el fin de lograr un beneficio en la autonomía del aprendizaje del individuo. por la relación asociada que existe entre la respuesta y el estímulo que la provoca. un tanto más moderno. ya que ésta tiene por objeto la formación integral de la persona humana. es la utilización de los multimedios. asentado en el subsistema nervioso central del individuo. por medios diversos. es el proceso mediante el cual se comunican o transmiten conocimie ntos especiales o generales sobre una materia. 5. existen varios métodos. en su interacción con un sustrato material neuronal. razonable. La adquisición de una metodología basada en el cuestionamiento científico. mientras que la enseñanza se limita a transmitir. Otra forma. respecto al primer componente. pero que brinda grandes ventajas para los actuales procesos de enseñanza± aprendizaje 4. 2.. La enseñanza. En este campo sobresale la teoría psicológica : la base fundamental de todo proceso de enseñanza aprendizaje se halla representada por un reflejo condicionado. el mismo se debe organizar y desarrollar de manera tal que resulte como lo que debe ser: un elemento facilitador de la apropiación del conocimiento de la realidad objetiva que. hará posible en el menor tiempo y con el mayor grado de eficiencia y eficacia alcanzable. todo lo cual constituyen en definitiva premisas y requisitos para el logro los objetivos propuestos. determinados conocimientos. pero que económicamente por su infraestructura. Este concepto es más restringido que el de educación. A mi consideración el método mas completo es el método Inductivo-Deductivo ya que en él se plantea una hipótesis que se puede analizar deductiva o inductivamente y posteriormente comprobar experimentalmente.2.
Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda de soluciones Capacidades y Actitudes . es decir. proponemos que el profesor pida a sus alumnos expresen sus dudad o temores en sus aprendizajes. por lo que una de nuestras propuestas principales en este ámbito es la asistencialidad como factor evaluativo. 8.. IV. Por lo tanto. si realmente son potentes y están bien ajustadas. que no deban trabajarse al margen del currículum.COMPETENCIA . Las estrategias las emplea el profesor al enseñar y el alumno al aprender y. Reconocemos las ecuaciones como una igualdad de números naturales · Los alumnos observan el ejemplo de ecuaciones · Dialogan con el docente acerca de las características de las mismas · Reconocen la ecuación como una igualdad de números naturales.Utiliza las propiedades de los números naturales d dicción. La evaluación debe considerar la posibilidad del error por parte del estudiante.ACTIVIDADES Y ESTRATEGIAS
RESOLVEMOS ECUACIONES ACTIVIDADES 1.7. sustracción. en el ámbito educativo.Halla de manera rápida y eficaz el resultado de una ecuación aplicando estrategias personales. III. cada vez que sea necesario. de ahí. . ya que permite realizar un seguimiento de los aprendizajes que los alumnos y alumnas van obteniendo. los programas para enseñar a pensar. por ejemplo. .Usa distintas estrategias para resolver problemas y las comunica. multiplicación y división para resolver ecuaciones . las estrategias están integradas en el propio proceso de E-A. Verifica y comprueba lo razonable de los resultados. La evaluación es un aspecto fundamental de la práctica docente.Resuelve problemas que requieren de operaciones con números naturales en la solución de ecuaciones .. son los procedimientos que el alumno pone en marcha para concretar las capacidades propuestas en los objetivos de aprendizaje de sus programaciones de aula.Inventa y resuelve problemas relacionados con las ecuaciones demostrando originalidad y coherencia con la realidad. . ESTRATEGIAS · El docente presenta una ecuación a los alumnos
.Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adicción y sustracción. multiplicación y división de números naturales. en una evaluación formal. las que se utilizan para transmitir información y para procesarla deben ser las mismas. Las estrategias. tal y como proponen. o de una desmesurada exigencia por parte del docente.
en la Era del Renacimiento en Italia. Historia de las ecuaciones Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes. La cosa era la incógnita. la ecuación general de tercer grado: .· 2... los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue. Identificamos a los elementos y miembros de una ecuación
Dada la ecuación los alumnos expresan de manera oral los componentes de la ecuación
El docente establece los componentes de la ecuación
El docente realiza la resolución de la ecuación especificando el papel de cada componente
3. En efecto.tomen las variables implicadas en cada expresión. en un libro llamado Tratado de la cosa. Aquí se presentará el ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas.INFORMACIÓN TEÓRICA LA ECUACIÓN Definición . ax3 + bx2 + cx + d = 0 Requirió consideraciones bastante profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad.. algabru walmuq balah.Usamos diferente estrategias para resolver ecuaciones
Los alumnos expresan problemas de la vida cotidiana a foie de resolver ecuaciones De manera individual y grupal resuelven las ecuaciones Sistematizan la información y presentan resultados
V.Forma matemática de expresar la igualdad de dos expresiones algebraicas. en física. La primera traducción fue hecha al latín en España.. . como en México/Méjico..Una ecuación es toda igualdad entre dos expresiones matemáticas sin importar el valor que . y a la ciencia de hacerlo. .Resolvemos ecuaciones aplicando las propiedades de los números naturales
Se desarrollara en la sesión de aprendizaje
4.Es un planteamiento de igualdad escrito en términos de variables y constantes. y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio. reducción y cotejo). Jiménez/Jiménez). el hombre no encont ó gran dificultad. expresión que relaciona una o dos cualidades fundamentales. Sólo se pudieron resolver a principios del siglo XVI. Los hombres que perfeccionaron las
. También se emplea en Química. Álgebra (del ár. la r situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Tartaglia pronto se encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano. los grandes algebristas italianos constituían en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas. Antonio Fior. el hijo de un fabricante de papel. Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico. espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento. La chispa pudo haber sido encendida. probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. (Algo muy similar a lo que hacían los hindúes siglos antes). Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas. pasó el resto de su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. En esta atmósfera combativa estalló la guerra en torno a la ecuación cúbica. Tartaglia había encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas resolvió todas las ecuaciones de Fior. Cardano en su
. en problemas de interés compuesto y de seguros. También en el mismo libro. Como nuevo e insigne calculador de Italia. Tartaglia había solucionado los problemas de Fior y éste no había solucionado los de Tartaglia. Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrían todavía solucionar ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos. por un padre Franciscano. llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padecía este defecto. Tartaglia. Nícolo Fontana. La mayoría de ellos eran autodidactas. hijo ilegítimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. algunas veces hacían apuestas que depositaban en manos de un tercero. solución de las de cuarto grado o cuárticas (con fórmulas más complicadas que las de tercer grado). a base de adulaciones. tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente. obtuvo de Tartaglia la solución de la ecuación cúbica. trabajaban en contabilidad.cúbicas. Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia. el libro de Cardano reconocía el descubrimiento de Tartaglia. le respondió con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. que llegó a ser catedrático de matemáticas en la Universidad de Bolonia. ocho días antes de finalizar el plazo. italianos todos. El Santo Padre lo pensionó solucionándole así sus problemas económicos y Cardano. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h. Fue también un jugador inveterano. quien en 1492 publicó un compendio de álgebra. como ya dijimos Scipio del Ferro. y había ideado un arma secreta propia: Una solución general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h Como resultado. de la misma forma Ferran. cuando Fior le dio un grupo de ejemplos específicos del tipo x3 + px + q = 0. constituyeron un grupo de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. siempre balanceándose al borde de la prisión. Cardano hizo pasar a la historia a otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años. a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. la publicó unos cuantos años después. Tartaglia había pasado a ser uno de los más sagaces solucionadores de ecuaciones de Italia. que había estado a punto de escribir su propio libro. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes. No obstante. Para hacer doblemente difícil su deporte. en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna" (Gran Arte). la "Suma Aritmética". quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival. Pero en sus últimos días confío su solución a un estudiante. Al descubrir la obra de ambos hombres. como en las cátedras de Universidad. Así como Tartaglia había solucionado la cúbica. El ganador se lo llevaba todo. en 1545. cuando se acabó el tiempo y llego el día de hacer el cómputo. Pero Cardano siempre salía bien parado. sin querer. Luca Pacioli. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sí competencias para la solución de problemas. envenenado por su propia he rmana. de esta suerte. En la época de la contienda con Fior. El primer hombre en recoger el desafío de Pacioli en torno a las cúbicas fue. un médico que visitaba a sus enfermos y un escritor científico de cuya pluma emanaron montañas de libros. Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento. cuando todavía estudiaba con Cardano.
que es incluso más difícil de comprender que un número negativo propiamente. en todo el curso de la Edad Media. Y esto sucedió en el siglo XVI. 1300 años antes. Tschimhausen (1651. de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma. no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto. más de dos siglos y medio habían pasado y nadie durante este gran intervalo había dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales. es decir. sexto y más alto grado en forma análoga a los italianos. las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del Renacimiento enormemente enriquecidas. En gran parte debido a Cardano. en palabras del mismo Lagrange. Sin embargo. ( con más de 200 páginas) críticamente examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo. tercero y cuarto grado. Más tarde. Era la primera vez en que la ciencia moderna había sobrepasado las conquistas de los antiguos. Su método estaba basado en la transformación de una ecuación a otra más simple. divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde la muerte de Diofanto. resta.1708) creyó haber encontrado un método general de solución. esto es. Después de esto. esto es. resolverlas por radicales. cuya solución no era conocida. cuando dicha cantidad se combina con un número real. pero esta sola transformación requería de algunas ecuaciones auxiliares. el resultado se llama número complejo.
. tercer y cuarto grado conocid as hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Los matemáticos pensaron que sus fracasos se debían principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solución. el problema permaneció sin solución y constituía. a pesar de sus persistentes esfuerzos. ciertas cuestiones que los antiguos no habían tenido éxito en conquistar. en efecto. En la actualidad los matemáticos llaman a la raíz cuadrada de un número negativo número imaginario. exponenciación y raíces con exponentes enteros positivos. da la solución de ecuaciones de segundo. fórmulas similares a aquélla por la que se había resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Tal fue la raíz cuadrada de un número negativo. Los matemáticos posteriores han mostrado que los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones. El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo "Reflexiones sobre la solución de ecuaciones algebraicas" publicado en 1770-1771. El prominente algebrista del siglo XVII. Hasta entonces. multiplicación. que pueden expresar la solución de una ecuación en términos de los coeficientes. pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de sexto grado. ya que ningún número real multiplicado por sí mismo da un número negativo. Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y enunció las leyes que los rigen. fueron resueltas. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange. Lagrange avanzó bastante en la teoría de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teoría y otras como la teoría de las permutaciones. la aportación había consistido solament e en entender el trabajo de los antiguos. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. y ahora finalmente. Lagrange dice en sus memorias: "El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos". un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometría analítica y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. En el Ars Magna. con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación de Tschimhausen. división. encontrando una fórmula general o como se dice actualmente. El éxito de los matemáticos italianos produjo un gran efecto."Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generales de las cúbicas y las cuárticas.
b. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sí se pueden resolver por radicales. para resolver por radicales cualquier ecuación de cualquier grado. En el problema de saber algo acerca de las soluciones. Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824 vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 . b y c son coeficientes. era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones sumamente complicadas que se tenían que hacer. que fue escrito en treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20 años. por tres siglos los esfuerzos de los más grandes matemáticos de todos los países para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema simplemente no tiene solución. y. Resumiendo.1829). Entonces. Lo anterior lo introdujo el matemático René Descartes en 1637. los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones completamente diferentes. La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sí se pueden resolver por radicales y cuáles no? o en otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la dio el brillante matemático francés Evariste Galois. En la ecuación: ax + b = c a. importantes no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general. x es la incógnita
. después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente: Aunque la ecuación general de grado mayor que 4 no se podía resolver por radicales. y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la realidad. que son: En el problema de la existencia de raíces (soluciones). En el cálculo aproximado de las raíces o soluciones de una ecuación. (1811-1832). Para la solución práctica de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente: Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en los casos particulares en que existe. Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teoría de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado "Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales". sólo trabajando con sus coeficientes. z y cantidades conocidas (coeficientes). (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo). En vista de lo anterior."Un reto para la mente humana". En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos. pero para ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas Pero eso no es todo aún. c. tercero y cuarto grado. Un resultado extremadamente importante en la teoría de las ecuaciones algebraicas esperaba todavía ser descubierto. A pesar de lo corto de su vida. RECONOCIENDO LAS ECUACIONES En una ecuación existen cantidades desconocidas (incógnitas). Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo. El problema resultó ser más difícil y más profundo de lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos. hay un número ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sí se pueden resolver por radicales. entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes que fuera solución de la ecuación correspondiente. que en general se designan por letras minúsculas de la parte final del alfabeto: x. en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simp lemente como letras. que pueden designarse por letras minúsculas iniciales del alfabeto: a.
1.50) ¿qué vuelto recibiré? Si v representa el valor del vuelto. 4. Por ejemplo la ecuación: 500 = 450 + v (el caso del vuelto) se satisface para v = 50 Luego el vuelto de franquear 3 cartas con s/. 4 x3 + 35 x2 ±3x + 2 =7 es una ecuación de tercer grado. Llamaremos raíces o soluciones de la ecuación a los valores de las incógnitas que cumplen la igualdad.. Notemos los siguientes casos: a) Pertinencia de la solución: Se quiere repartir equitativamente 24 dulces a 5 niños. 500 y quiero despachar 3 cartas (franqueo nacional: S/. Ejemplos: Si voy al Correo con s/. Clasificación de las ecuaciones con una incógnita: Las ecuaciones se catalogan según el exponente o potencia más alto que tenga la incógnita. En caso que el valor de la incógnita no se pueda encontrar por inspección se procede a En situaciones reales la solución de la ecuación debe tener sentido en el contexto en que se trabaja. y 16 y la incógnita es z. 6x + 34 = 5 es una ecuación de primer grado. éste tiene que cumplir: 500 = 3 x 150 + v En la ecuación anterior v es la incógnita y el valor v = 50 es la solución. x debe ser un número natural que satisfaga la ecuación: 5 x = 24 La ecuación anterior no tiene solución en los naturales (N). 8x2 + 7x +45 = 3 es una ecuación de segundo grado. Sea x la cantidad de dulces que corresponde a cada niño.500 es s/.En la ecuación 5z ± 4 = 16 Los coeficientes son los enteros 5. La ecuación 4x. Resolución de ecuaciones Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisface la igualdad. Así.x = -7 No tiene solución en los reales (R) ya que no existe ningún número real que la satisfaga.50. b)Existencia de la solución La ecuación 4x + 5 = 2 No tiene solución en los naturales (N) ni en los enteros (Z) sino que en los racionales y en los reales. c) Infinitas soluciones La ecuación
6. 6. mediciones.ORGANIZACIÓN DEL APRENDIZAJE
MOMENTOS INICIO ACTIVIDADES · El docente plantea una situaron actual ³Ala de precios constantes´ y lo hace en forma de ecuaciones · · · · · Los niños y niñas se organizan por grupos de trabajo con la dinámica ³Las frutas´ · Pizarra · Palabra oral Mota Pizarra Tiza Mota · Tizas 15¨ · Pizarra MEDIOS Y MATERIALES · Palabra oral TIEMPO
· Se extraen saberes previos a través de conceptos ...Resuelve ecuaciones y crea problemas matemáticos relacionados con situaciones cotidianas para cuya solución se requiere de la adición y sustracción. Se pretende dar a conocer en esta sesión de aprendizaje la forma como el niño (a) logra aprender dichos contenidos para su propio beneficio.Demuestra confianza en sus propias capacidades y perseverancia en la búsqueda d e soluciones CAPACIDADES ACTITUDES .
. multiplicación y división de números naturales . comprensión de la Provincia de Sechura desconocen la importancia de aprender a resolver ecuaciones .Aplica técnicas operativas o estrategias propias para resolver problemas de ecuac iones .).Analiza el enunciado de una ecuación para identificar los componentes y la incógnita de la misma a fin de lograr una solución acertada .COMPETENCIA .GRADO DE ESTUDIOS : 4º GRADO DE PRIMARIA 6..1.5.2 + x + x = 2(x+1) Es una ecuación que es satisfecha por cualquier valor que tome x.TITULO: APRENDEMOS A RESOLVER ECUACIONES APLICANDO LAS PEOPIEDADES DE LOS NUMEROS NATURALES 6.4.2. etc.esto debido al desinterés que muestran sus padres y ellos mismos en el proceso educativo.Resuelve ecuaciones y problemas aplicando la propiedades de adición sustracción. multiplicación y división de los números naturales relacionados con las actividades que se desarrollan en su entorno (compra venta.. luego tiene infinitas soluciones VI.SESIÓN DE APRENDIZAJE 6..JUSTIFICACIÓN Los niños y niñas del cuarto grado de Primaria de la Institución educativa Nº 14970 del caserío El Barco.3. resolución de ejercicios..
Ficha informativa Texto De Matemática Papelotes Plumones Regla Lápices de Colores
.(Anexo 1)
PROCESO · 2) Los niños analizan la ficha informativa (anexo
Ficha informativa Cuartillas conteniendo ecuaciones
Se les distribuye
cuartillas conteniendo ecuaciones y problemas para que formulen sus planteamientos · Dialogan ycomentan al respecto · El docente alcanza una hoja practica conteniendo problemas sobre ecuaciones (Anexo 3) · El docente pregunta¿Cómo se verifican los resultados de una ecuación? · Da las pautas para verificar los ejercicios de ecuaciones.
Texto de Lógico Matemática Lapicero. aplican las propiedades de los números naturales y demuestran los resultados verificándolos. lápiz de color Cuaderno de apuntes Lapicero Regla Pizarra
Crean problemas teniendo en cuenta situaciones de la vida cotidiana.
Desarrollan practica Calificada ( Anexo 4)
VII..EVALUACIÓN
CAPACIDADES INDICADORES INSTRUMENTO TIPO A C H
.TERMINO
Los niños hacen uso del texto Lógico Matemático y desarrollan las ecuaciones.
Analiza el enunciado de una ecuación para identificar los componen tes y la incógnita de la misma a fin de lograr una solución acertada
Identifica los componentes de la ecuación
Aplica técnicas operativas o estrategia s propias para resolver problemas de ecuacione s
Desarrolla problemas de ecuaciones de manera individual y grupal y comunica los resultados obtenidos
Ficha e · Resuelve ecuacione sy problemas aplicando la propiedad es de adición sustracció n. multiplicac ión y división de los números naturales relacionad os con las actividade
Aplica las propiedades de los números naturales para dar solución a las ecuaciones planteadas por el docente
debilidades. El tratamiento del concepto de ecuación y su identificación de componente debe partir de dar un ejemplo . etc. para que después .
A : Auto evaluación C : Coevaluacion H : Heteroevaluacion VIII. temores. conocer sus logros y dificultades.). fortalezas.s que se desarrolla n en su entorno (compra venta. tras la solución el docente denote sus componentes y como actúan en la solución del problema. 2. de manera que le sea fácil su comprensión y solución 3.
.). Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados tomando como base la realidad y el contexto en donde vive e interactúa el alumno. etc. tener un registro personal (situación familiar. El docente necesita conocer a sus alumnos y alumnas: debe llamarlos por su nombre. etc. RECOMENDACIONES 1. estado de salud. tener una idea sobre su carácter. medicione s.
ANEXOS FICHA INFORMATIVA LA ECUACIONES El misterio de las ecuaciones Antes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el concepto de igualdad. Del alumno 1. En el proceso de evaluación debemos tener en cuenta los resultados. ³ La enseñanza de la Matemática. Ahora que conocemos las igualdades. 7 . se nombra con una letra. los ritmo de consecución. Lima. . 3. BIBLIOGRAFÍA Del docente 1. en este sentido. llamado también incógnita. guía. Miguel ( 2004). PEREZ YUPANQUI. 9 . tanto en su aula como fuera de ella. Tomo II. la vida familiar. Universidad Nacional de Ingeniería. Lima. CARDOZA PEÑA.4. Arturo ( 2004). en el segundo. Colección ³Historia General del Perú´. Generalmente esa letra es la x. son. 6. En : Editorial San Marcos.etc. su comunidad. Es necesario que reflexione sobre su comportamiento como persona y profesional de la educación. Por ejemplo: 5 + x = 12 La x representa al número que. en el segundo. sus deportes. Editores. Perú. 120 pp. un complemento e la información dada por el profesor . SANTILLANA . tiene como suma al 12. su cultura. mas debe evitarse que su uso implique la copia o genere el facilismo en los alumnos al momento de dar solución a las ecuaciones 7. Pedagogía y Didáctica´. Para saber cuál es el
. las estrategias puestas en marcha. Perú. El uso del texto Lógico Matemática debe ser estructurada como una guía para el alumno . podremos desarrollar el concepto de ecuación. MENDAÑA. Ese término desconocido. ³Didáctica de la Matemática´ Editorial Abedul. Lima Perú X. pero también las condiciones iniciales.1 Segundo miembro: en el primer ejemplo 5 . El docente debe ser consciente de su rol como organizador. Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo significado. Lima. sumado con 5. significativas. Los problemas sobre ecuaciones deben ser formulados en base a situaciones reales. Editorial Santillana. IX. como podemos ver en los siguientes ejemplos: 3+2=571=9-2 En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo = Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2. Joel (2000). los procesos desencadenados. ( 20003) ³Lógico Matemática´ Texto para el Cuarto Grado de Primaria.2. su historia. 100 pp. Perú. la proporción rendimiento /esfuerzo . es decir . 2. Definición Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce un término de uno de los miembros. ³ La enseñanza de la matemática en el Nivel Primario´.las situaciones vinculadas con sus juegos. 5. facilitador de los aprendizajes de sus alumnos y alumnas.
63 Este es el valor de la incógnita. Comprobémoslo con un ejemplo.38 + 4.82 Aplicamos la operación inversa: x = 1. Veamos lo que sucede con ejemplos en el ámbito de los decimales: x .5 + 26.3.3 0. x = 12 . queda así: x + 0.79 Hay muchos problemas cuyo enunciado literal se transforma en una expresión matemática relacionada con números.82 Escribiendo la ecuación.82 .3.9 Expresiones matemáticas El doble de un número: 2 x El triple de un número: 3 x La mitad de un número: x : 2 El número aumentado en 5.8 Inverso de la multiplicación de 2 x = 29.5 + 26.término que falta.03 metros. Comprobamos si es efectivo reemplazando la x por su valor:
Resolviendo problemas Las ecuaciones son una forma rápida y efectiva para resolver problemas. si tenemos que el doble de un número es igual a 3.3 x + 5.3 El número disminuido en 3. Mi hermano mide 1.8 : 2 x = 14.4.25 = 19. x = 19. porque 5 + 7 = 12.03 x = 1.6 Resolvemos el 2º miembro. en este caso aplicamos la operación inversa: sustracción.3 Sumamos 2x = 29.25 Sumamos x= 23.82 metros.9 El número es 14.25 = 32.9 Dos números consecutivos: x y x + 1 Espero que estos contenidos te ayuden a conocer que es la ecuación y a resolver los problemas con ecuaciones INDICADORES SI NO Anote adecuadamente la ecuación Comprendí adecuadamente el problema para establecer la ecuación
.03 = 1.4.5 x=7 En esta ecuación el valor de x es 7.9 x . ¿Cuánto mide mi papá? Estatura del papá: x Aumentada = más 0. Por ejemplo.38 Aplicamos operación inversa a la del primer miembro. que equivalen a la estatura de mi papá aume ntada en 0.0. Con decimales Resolver la ecuación es bastante simple si utilizamos numerales pequeños.03 Estatura de mi hermano: 1. Transformamos a: 2x = 3. x .
¿He utilizado todos los datos? ¿He planteado bien la ecuación? Logre establecer el valor de x? ¿Está bien elegida la incógnita? ¿La ecuación está bien resuelta? ¿Seguí el método adecuado y enseñado por el profesor? Logre sistematiza la información LISTA DE COTEJOS
Anote adecuadamente la ecuación Comprendí adecuadamente el problema para establecer la ecuación ¿He utilizado todos los datos?
Logre establecer el valor de x?
¿Seguí el método adecuado y enseñado por el profesor? Logre sistematiza la información
AUTOR Rudy Mendoza Palacios ( 073)35.6820 Piura -Perú
en la difusiónfacilitada la magnitud de difusión se aproxima a un máximo (Vmax). es el cambio de un medio de mayor concentración (medio hipertónico) a otro de menor concentración (un medio hipotónico). se generará una presión osmótica desde el potencial químico mayor (p. Difusión facilitada : Es el movimiento de moléculas más grandes que no pueden pasar a través de la membrana plasmática y necesita ayuda de una proteína u otros mecanismos (exocitosis) para pasar al otro lado. Por otra parte. debido a que va a favor del gradiente de concentración o a favor de gradiente de carga eléctrica. al aumentar la concentración de la sustancia. no sólo el movimiento al azar de las partículas hasta lograr la homogénea distribución de las mismas (y esto ocurre cuando las partículas que azarosamente vienen se equiparan con las que azarosamente van) sino también el homogéneo potencial químico del fluido. Las vías de transporte a través de la membrana celular y los mecanismos básicos para las moléculas de pequeño tamaño son: Transporte pasivo o difusión: El transporte pasivo es el intercambio simple de moléculas de una sustancia a través de la membrana plasmática.e. Se diferencia de la difusión simple a través de conductos en que mientras que la magnitud de difusión de la difusión simple se incrementa de manera proporcional con la concentración de la sustancia que se difunde. es decir. Por ejemplo. La difusión implica. También se llama difusión mediada por portador porque la sustancia transportada de esta manera no suele poder atravesar la membrana sin una proteína portadora específica que le ayude.
.e. durante el cual no hay gasto de energía que aporta la célula. siendo un proceso físico basado en el movimiento al azar. los poros de la membrana de la cápsula de Bowman en los glomérulos renales. gracias a la capacidad de la membrana celular que permite el paso o salida de manera selectiva de algunas sustancias. FILTRACION: La filtración es el movimiento de agua y moléculas disueltas a través de la membrana debido a la presión hidrostática generada por el sistema cardiovascular. En sí. son muy pequeños. tienen la capacidad de ser filtrada a través de ella. Difusión simple: Algunas sustancias pasan al interior o al exterior de las células a través de una membrana semipermeable. La difusión es el movimiento de átomos. por lo que una gran variedad de solutos pueden atravesarla. y sólo la albúmina. la más pequeña de las proteínas. Dependiendo del tamaño de los poros de la membrana.La célula necesita este proceso porque es importante para esta expulsar de su interior los desechos del metabolismo y adquirir nutrientes del líquido extracelular. El proceso celular pasivo se realiza por difusión. de un lugar donde hay una gran concentración a uno donde hay menor. solvente puro) hacia el menor (p. solvente y soluto) hasta que ambas particiones se equiparen o la presión hidrostática equilibre la presión osmótica. los poros de las membranas de los hepatocitos son extremadamente grandes. ya que de existir una membrana semipermeable que particione un fluido en dos de distinto potencial químico. y se mueven dentro de éstas por Difusión simple. moléculas o iones de una región de mayor concentración a una de menor co ncentración sin requerir gasto de energía. sólo los solutos con un determinado tamaño pueden pasar a través de la membrana.
. TRANSPORTE ACTIVO: Consiste en el transporte de sustancias en contra de un gradiente de concentración. para lo cual se requiere un gasto energético. En la mayor parte de los casos este transporte activo se realiza a expensas de un gradiente de H+ (potencial electroquímico de protones) previamente creado a ambos lados de la membrana. por hidrólisis de ATP mediante ATP hidrolasas de membrana (F1F0). La función de la osmosis es mantener hidratada a la membrana celular. separadas por una membrana semipermeable. El movimiento de agua se realiza desde un punto en que hay mayor concentración a uno de menor para igualar concentraciones. Dicho proceso no requiere gasto de energía. Se relaciona con el movimiento browniano. por procesos de respiración y fotosíntesis. En otras palabras la ósmosis u osmosis es un fenómeno consistente en el paso del solvente de una disolución desde una zona de baja concentración de soluto a una de alta concentración del soluto.OSMOSIS: La ósmosis es un tipo especial de transporte pasivo en el cual sólo las moléculas de agua son transportadas a través de la membrana. Los sistemas de transporte activo son los más abundantes entre las bacterias. El transporte activo varía la concentración intracelular y ello da lugar un nuevo movimiento osmótico de rebalanceo por hidratación. la ósmosis varía. y se han seleccionado evolutivamente debido a que en sus medios naturales la mayoría de los procariotas se encuentran de forma permanente o transitoria con una baja concentración de nutrientes. De acuerdo al medio en que se encuentre una célula.
TRANSPORTE DE MATERIALES A TRAVES DE LAS MEMBRANAS PLASMATICAS Los mecanismos que permiten a las sustancias cruzar las membranas plasmáticas son esenciales para la vida y la c omunicación de las células. Al ser la concentración de agua mayor en la solución hipotónica. esta debe estar rodeada de una solución isotónica. el oxígeno.
Transporte pasivo: cuando no se requiere energía para que la sustancia cruce la membrana plasmática Transporte activo: cuando la célula utiliza ATP como fuente de energía pasa hacer atravesar la membrana a una sustancia en particular TRANSPORTE PASIVO Los mecanismos de transporte pasivo son: Difusión simple Osmosis Ultrafiltración Difusión facilitada
Difusión Simple Las moléculas en solución están dotadas de energía cinética y. La membrana de las células es una membrana semi -permeable ya que permite el paso del agua por difusión pero no la de iones y otros materiales. HCO3. la creatinina. por tanto tienen movimientos que se realizan al azar. Debido al pequeño tamaño de los canales. El movimiento es siempre desde el área de mayor presión al de menos presión. La presión osmótica es la presión necesaria para prevenir el movimiento neto del agua a través de una membrana semi -permeable que separa dos soluciones de diferentes concentraciones. existe una tendencia a que el agua pase al lado donde su concentración es menor.
El movimiento del agua a través de la membrana semi -permeable genera un presión hidrostática llamada presión osmótica. K +. Algunos ejemplos notables son el Na +. lo que quiere decir que la concentración de agua de esta solución es la misma que la del interior de la célula. el agua entra en el hematíe con lo que este se hincha. Por el contrario. En condiciones normales.el agua en el caso de los sistemas biológicos . etc. esteroides. la difusión a través de estos es mucho más lenta que a través de la bicapa fosfolipídica Osmosis
Es otro proceso de transporte pasivo. urea. disolviendose en la capa de fosfolípidos.9% de NaCl) es isotónico para los hematíes. sólo el agua puede atravesarla. pudiendo eventualmente estallar (este fenómeno se conoce con el nombre de hemolisis. Ca++. Ultrafiltración En este proceso de transporte pasivo. dióxido de carbono. alcohol es de pequeño peso molecular atraviesan la membrana celular por difusión.pasa selectivamente a través de una membrana semi-permeable. Algunas sustancias iónicas también pueden cruzar la membrana plasmática por difusión. por ejemplo un hematíe. dado que la membrana celular es semi -permeable. Para mantener la forma de un célula. pero empleando los canales constituídos por proteínas integrales llenas de agua. Para ello. si los hematíes se llevan a una solución hipertónica (con una concentración de sales superior a la del hematíe) parte del agua de este pasará a la solución produciéndose el fenómeno de crenación y quedando los hematiés como "arrugados". vitaminas liposolubles. Si la concentración de agua es mayor (o lo que es lo mismo la concentración de solutos menor) de un lado de la membrana es mayor que la del otro lado. sales. Las
. un disolvente . La ósmosis puede entenderse muy bien considerando el efecto de las diferentes concentraciones de agua sobre la forma de las células. 2. La ultrafiltración tiene lugar en el cuerpo humano en los riñones y es debida a la presión arterial generada por el corazón. Si los hematíes son llevados a una solución que contenga menos sales (se dice que la solución es hipotónica). el suero salino normal (0. La difusión tiene lugar hasta que la concentración se iguala en todas las partes y será tanto más rápida cuanto mayor sea energía cinética (que depende de la temperatura) y el gradiente de concentración y cuanto menor sea el tamaño de la s moléculas. Esta presión hace que el agua y algunas moléculas pequeñas (como la urea. mediante el cual. glicerina. es decir cuando en una parte de la solución la concentración de las molécul as es más elevada. la célula dispone de dos procesos:
1. el agua y algunos solutos pasan a través de una membrana por efecto de una presión hidr ostática. Algunas sustancias como el agua. etc) pasen a través de las membranas d e los capilares microscópicos de los glomérulos para ser eliminadas en la orina. Ladifusión consiste en la mezcla de estas moléculas debido a su energía cinética cuando existe un gradiente de concentración.
. disminuyendo su concentración en la sangre.
Los mecanismos de transporte pasivo son:  Difusión simple  Osmosis  Ultrafiltración  Difusión facilitada
. la célula dispone de dos procesos:  Transporte pasivo: cuando no se requiere energía para que la sustancia cruce la membrana plasmática. y el gradiente de concentración exterior --> interior favorece la difusión de la glucosa. Tan pronto como la glucosa llega al citoplasma. la membrana celular presenta una permeabilidad selectiva. Esta sustancias. Para posibilitar este intercambio. De esta forma. sabemos que la bicapa lipídica de la membrana celular actúa como una barrera que separa dos medios acuosos. Tal es el caso de la glucosa y algunos otros monosacári dos. vitaminas. no pasan a través de las membranas de los capilares y son reten idas en la sangre. Los mecanismos que permiten a las sustancias cruzar las membranas plasmáticas de las células son esen ciales para la vida y la comunicación de las células. ya que permite el paso de pequeñas moléculas. una hormona producida por el páncreas. Esto explica el porque la ausencia o disminución de la insulina en la diabetes mellitus aumenta l os niveles de glucosa en sangre al mismo tiempo que obliga a las células a utilizar una fuente de energía diferente de este mono sacárido
Conociendo la estructura celular. Difusión facilitada Algunas moléculas son demasiado grandes como para difundir a través de los canales de la membrana y demasiado insolubles en lípidos como para poder difundir a través de la capa de fosfolípidos. una kinasa (enzima que añade un grupo fosfato a un azúcar) transforma la glucosa en glucosa-6-fosfato. Las células requieren nutrientes del exterior y deben eliminar sustancias de desecho procedentes del metabolismo y mantener s medio interno u estable.  Transporte activo: cuando la célula utiliza ATP como fuente de energía para hacer atravesar la membrana a una sustancia en particular.proteínas y grandes moléculas como hormonas. pueden sin embargo cruzar la membrana plasmática mediante el proceso de difusión facilitada. Para ello. etc. En el primer paso. con la ayuda de una proteina transportadora. las concentraciones de glucosa en el interior de la célula son siempre muy bajas. y esta cambia de forma. La difusión facilitada es mucho más rápida que la difusión simple y depende:
del gradiente de concentración de la sustancia a ambos lados de la membrana del número de proteínas transportadoras existentes en la membrana de la rápidez con que estas proteínas hacen su trabajo
La insulina. siempre que sean lipófilas. el medio donde vive la célula y el medio interno celular. permitien do el paso del azúcar. facilita la difusión de la glucosa hacia el interior de las células. la glucosa se une a la proteína transportadora. pero regula el paso de moléculas no lipófilas.
Para mantener la forma de un célula. el suero salino normal (0. mediante el cual. El movimiento es siempre desde el área de mayor presión al de menos presión. Pregunta 07_2010. pudiendo eventualmente estallar (este fenómeno se conoce con el nombre de hemolisis. La difusión tiene lugar hasta que la concentración se iguala en todas las partes y será tanto más rápida cuanto mayor sea la energía cinética (que depende de la temperatura) y el gradiente de concentración y cuanto menor sea el tamaño de las moléculas. lo que es lo mismo. existe una tendencia a que el agua pase al lado donde su concentración es menor. Si la concentración de agua es mayor (o.. glicerina. el oxígeno. la difusión a través de estos es mucho más lenta que a través de la bicapa fosfolipídica.
Si los hematíes son llevados a una solución que contenga menos sales (se dice que la solución es hipotónica). Esta presión hace que el agua y algunas moléculas pequeñas (como la urea. urea. cuando en una parte de la solución la concentración de las moléculas es más elevada. el agua entra en el hematíe con lo que este se hincha.9% de NaCl) es isotónico para los hematíes. dióxido de carbono. Algunos ejemplos notables son el Na+. esta debe estar rodeada de una solución isotónica. La ósmosis puede entenderse muy bien considerando el efecto de las diferentes concentraciones de agua sobre la forma de las células. la concentración de solutos es menor) de un lado de la membrana que la del otro lado. K+. sales. La presión osmótica es la presión necesaria para prevenir el movimiento neto del agua a través de una membrana semipermeable que separa dos soluciones de diferentes concentraciones. El movimiento del agua a través de la membrana semipermeable genera un presión hidrostática llamada presión osmótica. La membrana de las células es una membrana semipermeable ya que permite el paso del agua por difusión pero no la de iones y otros materiales. es decir.
Ejemplo de endocitosis. Ver: PSU: Biología. si los hematíes se llevan a una solución hipertónica (con una concentración de sales superior a la del hematíe) parte del agua de este pasará a la solución produciéndose el fenómeno de crenación y quedando los hematíes como "arrugados". un disolvente ±el agua en el caso de los sistemas biológicos± pasa selectivamente a través de una membrana semipermeable. La ultrafiltración tiene lugar en el cuerpo humano en los riñones y es debida a la presión arterial generada por el corazón. Ca++. lo que quiere decir que la concentración de agua de esta solución es la misma que la del interior de la célula. por ejemplo un hematíe. Por el contrario. La difusiónconsiste en la mezcla de estas moléculas debido a su energía cinética cuando existe un gradiente de concentración. sólo el agua puede atravesarla. no pasan a través de las membranas de los capilares y son retenidas en la sangre. tienen movimientos que se realizan al azar.Las moléculas en solución están dotadas de energía cinética y. etcétera) pasen a través de las membranas de los ca pilares microscópicos de los glomérulos para ser eliminadas en la orina. HCO3. Pregunta 08_2006 Algunas sustancias como el agua. Ver: PSU: Biología. Algunas sustancias iónicas también pueden cruzar la membrana plasmática por difusión. pero empleando los canales constituidos por proteínas integrales llenas de agua. vitaminas liposolubles. Al ser la concentración de agua mayor en la solución hipotónica. vitaminas. esteroides. la creatinina. Pregunta 03_2005
Es otro proceso de transporte pasivo. etc. etc. alcoholes de pequeño peso molecular atraviesan la membrana celular por difusión. Las proteínas y grandes moléculas como hormonas. por tanto.
. el agua y algunos solutos pasan a través de una membrana por efecto de una presión hidrostática.En condiciones normales. disolviendose en la capa de fosfolípidos. Ver: PSU: Biología.
En este proceso de transporte pasivo. Debido al pequeño tamaño de los canales. dado que la membrana celular es semipermeable.
Por este mecanismo pueden ser transportados hacia el interior o exterior de la célula los iones H+ (bomba de protones) Na+ y K+ (bomba de sodio-potasio). y esta cambia de forma. También mueve los iones K+ desde el exterior hasta el interior de la célula pese a que la concentración intracelular de potasio es superior a la extracelular. permitiendo el paso del azúcar. disminuyendo su concentración en la sangre. para el caso de moléculas pequeñas o iones y el transporte grueso específico para moléculas de gran tamaño como proteínas y polisacáridos e incluso células enteras como bacterias y hematíes. y el gradiente de concentración exterior --> interior favorece la difusión de la glucosa. un proceso que consume energía y que requiere del concurso de proteínas integrales que actúan como "bombas" alimentadas por ATP. la naturaleza ha desarrollado el transporte activo. la glucosa se une a la proteína transportadora.
Algunas sustancias que son necesarias en el interior de la célula o que deben ser eliminadas de la misma no pueden atravesar la membrana celular por ser muy grandes.
Transporte activo primario: en este caso. De esta forma. En el primer paso. Cl-. modificando la forma de las proteínas de transporte (bomba) de la membrana plasmática.
Tipos de gradientes de concentración. con la ayuda de una proteina transportadora. que mantiene una baja concentración de Na+ en el citosol extrayéndolo de la célula en contra de un gradiente de concentración. Tal es el caso de la glucosa y algunos otrosmonosacáridos. facilita la difusión de la glucosa hacia el interior de las células. por llevar una carga eléctrica o porque deben vencer un gradiente de concentración. El ejemplo más característico es la bomba de sodio potasio (Na+/K+). Ca++. Tan pronto como la glucosa llega al citoplasma. La difusión facilitada es mucho más rápida que la difusión simple y depende:  del gradiente de concentración de la sustancia a ambos lados de la membrana  del número de proteínas transportadoras existentes en la membrana  de la rápidez con que estas proteínas hacen su trabajo La insulina. I.Algunas moléculas son demasiado grandes como para difundir a través de los canales de la membrana y demasiado insolubles en lípidos como para poder difundir a través de la capa de fosfolípidos. Todas las células poseen cientos de estas bombas por cada mµ2 (milimicra cuadrada) de membrana. una kinasa (enzima que añade un grupo fosfato a un azúcar) transforma la glucosa en glucosa -6-fosfato. una hormona producida por el páncreas. las concentraciones de glucosa en el interior de la célula son siempre muy bajas. Para estos casos.
. aminoácidos y monosacáridos. pueden sin embargo cruzar la membrana plasmática mediante el proceso de difusión facilitada. Esta bomba debe funcionar constantemente ya que hay pérdidas de K+ y entradas de Na+ por los poros acuosos de la membrana. Esto explica el porqué la ausencia o disminución de la insulina en la diabetes mellitus aumenta los niveles de glucosa en sangre al mismo tiempo que obliga a las células a utilizar una fuente de energía diferente de este monosacárido. la energía derivada del ATP directamente empuja a la sustancia para que cruce la membrana. Esta sustancias. Esta bomba actúa como una enzima que rompe la molécula de ATP y también se llama bomba Na+/K+-ATP'asa.
El material sólido dentro de la vesícula es seguidamente digerido por enzimas liberadas por los lisosomas. no se forman pseudópodos. Los glóbulos blancos constituyen el ejemplo más notable de células que fagocitan bacterias y otras sustancias extrañas como mecanismo de defensa . los pseudópodos se fusionan formando una vesícula alrededor de la partícula llamada vesícula fagocítica o fagosoma.
Endocitosis mediante un receptor. la sustancia a transportar es una gotita o vesícula de líquido extracelular. En este caso. proteínas y otras células cruzan las membranas plasmáticas mediante varios tipos de transporte grueso: Endocitosis: es el proceso mediante el cual la sustancia es transportada al interior de la célula a través de la membrana.Fagocitosis
Algunas sustancias más grandes como polisacáridos.
 Pinocitosis: en este proceso. Una vez rodeada. Se conocen tres tipos de endocitosis:  Fagocitosis: en este proceso. sino que la membrana se repliega creando una vesícula pinocítica. la célula crea proyecciones de la membrana y el citosol llamadas pseudópodos que rodean la partícula sólida. Una vez que el contenido de la vesícula ha sido procesado. la
Aunque este mecanismo es muy específico. De esta forma hay un tráfico constante de membranas entre la superficie de la célula y su interior. a veces moléculas extrañas utilizan los receptores para penetrar en el interior de la célula. y parece que juegan diversos papeles: La superficie de los cavéolos dispone de receptores que pueden concentrar sustancias del medio extracelular. Así. el HIV (virus de la inmunodeficiencia adquirida o del sida) entra en las células de los linfocitos uniéndose a unas glicoproteínas lamadas CD4 que están l presentes en la membrana de los mismos. se une al receptor existente en la membrana. con la salvedad de que la invaginación de la membrana sólo tiene lugar cuando una determinada molécula. Dentro del endosoma se produce la separación del ligando y del receptor: Los receptores son separados y devueltos a la membrana.
Es el mecanismo por el cual las macromoléculas contenidas en vesículas citoplasmáticas son transportadas desde el interior ce lular hasta la membrana plasmática.  Los cavéolos son invaginaciones tapizadas por una proteína especializada llamada caveolina.membrana de la vesícula vuelve a la superficie de la célula. Esto ocurre. Están implicados en el proceso de envío de señales intracelulares: la unión de un ligando a los receptores de los cavéolos po en marcha un ne mecanismo intracelular de envío de señales. para ser vertidas al medio extracelular. Se utilizan para transportar material desde el exterior de la célula hasta el interior mediante un proceso llamado transcitosis. Las vesículas endocíticas se originan en dos áreas específicas de la membrana:  Los "hoyos recubiertos" ("coated pits") son invaginaciones de la membrana donde se encuentran los receptores.
. Una vez formada la vesícula endocítica está se une a otras vesículas para formar una estructura mayor llamada endosoma. mientras que el ligando se fusiona con un liposoma siendo digerido por las enzimas de este último. por ejemplo.
 Endocitosis mediante un receptor: este es un proceso similar a la pinocitosis. en las células planas endoteliales que tapizan los capilares sanguíneos. llamada ligando.
En toda célula existe un equilibrio entre la exocitosis y la endocitosis.
Transcitosis: el doble proceso endocitosis -exocitosis. transportándose así las sustancias desde el medio sanguineo hasta los tejidos que rodean los capilares. las células son capaces de eliminar sustancias sintetizadas por la célula. la membrana de la vesícula secretora se fusiona con la membrana celular liberando el contenido de la m isma. la insulina). enzimas (por ejemplo. o bien sustancias de dese cho. Implica el doble proceso endocitosis-exocitosis. Por este mecanismo las células liberan hormonas (por ejemplo.
Es el conjunto de fenómenos que permiten a una sustancia atravesar todo el citoplasma celular desde un polo al otro de la célula. Mediante este mecanismo. Es propio de células endoteliales que constituyen los capilares sanguineos. para mantener la membrana plasmática y que quede asegurado el mantenimiento del volumen celular.
. las enzimasdigestivas) o neurotransmisores imprescindibles para la transmisión nerviosa.Exocitosis
Durante la exocitosis.
es mejor guardarla primero en el ordenador. Ficha educativa 333 Fichas caligrafía Caligrafía de los números 0 y 1.
Para imprimir la ficha.
.Ficha didáctica para imprimir para hacer caligrafía .
Ficha educativa 339 Fichas caligrafía Caligrafía de los días de la semana. es mejor guardarla primero en el ordenador.
Para imprimir la ficha.Fichas didáctica para imprimir para hacer caligrafía.
es mejor guardarla primero en el ordenador.Ficha didáctica para imprimir para hacer caligrafía .
Para imprimir la ficha. Ficha educativa 335 Fichas caligrafía Caligrafía de los números 4 y 5.
Para imprimir la ficha. es mejor guardarla primero en el ordenador.Ficha didáctica para imprimir para hacer caligrafía .
. Ficha educativa 334 Fichas caligrafía Caligrafía de los números 2 y 3.
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