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María Antonia Pereyra Molina
1 1 Departamento de Administración de Empresas TÍTULOS DE DEUDA (FIXED INCOME SECURITIES): Rentabilidad y Riesgos D.T.: Nº 37 Víctor Adrián Álvarez DICIEMBRE 20022 2 ÍNDICE Introducción 3 1 Medidas de rentabilidad 1.1 Tasa de rentabilidad de un activo durante un período Análisis de las fuentes de rentabilidad Tasas de rendimiento ex-ante y ex-post Tasa del Cupón y Rendimiento Corriente Tasa interna de rentabilidad (TIR) o rendimiento hasta el vencimiento Relaciones que involucran el rendimiento hasta el vencimiento (TIR) Métodos de cálculo de la tasa de rendimiento hasta el vencimiento (TIR) Tasa interna de rentabilidad hasta el rescate (TIRR) Tasa Interna de Rentabilidad Ex-post (TIREP) 26 2 Rentabilidad y tipos de riesgo 2.1 Tasas Nominal Libre de Riesgo, Real y de Inflación Esperadas Premio por el riesgo y distintos tipos de riesgo 32 3 Rentabilidad y tipo de cambio 3.1 Ideas básicas y definición de términos Relación entre tasas de interés local y extranjera con tipos de contado y futuro Relación internacional entre tasas de interés y de inflación Relación entre tasas de inflación y tipos de cambio Gestión de carteras internacionales 48 4 Soluciones de los Ejercicios 51 5 Anexos 54 6 Algunas referencias bibliográficas 563 3 INTRODUCCIÓN Este trabajo se realizó a efectos de ser utilizado en el curso optativo de Mercado de Capitales y Selección de Inversiones. Su objetivo general es proporcionar una introducción a los principios del análisis de la rentabilidad y riesgos de los Títulos de Deuda, que incluya tanto los fundamentos teóricos como los aspectos prácticos que permitan su concreta implementación mediante la utilización de calculadoras con funciones financieras y/o la planilla de cálculo Excel. Entre los objetivos específicos debe puntualizarse el de considerar las particularidades de títulos emitidos en la Argentina, que por supuesto no aparecen en la bibliografía usual en inglés. También, debido a la creciente globalización de los mercados, se presta especial atención al riesgo de cambio de las inversiones en bonos denominados en monedas distintas de la doméstica. Asimismo se procura la posibilidad de un doble nivel de profundidad en la lectura: una básicamente operativa y otra, más profunda, que incluya los fundamentos matemático financieros de las técnicas que se estudian; a tal efecto en la primera lectura puede omitirse el material en letra cursiva. Diciembre de 2002.4 4 1 Medidas de rentabilidad En el Documento anterior * se supusieron dados como datos los flujos de fondos generados por un bono hasta la fecha de su vencimiento y, conocida una tasa de interés requerida por el inversor se determinó el precio teórico de ese bono a efectos de compararlo con su precio de mercado con el fin de tomar una decisión de inversión en el mismo. En el presente Documento, partiendo de los mismos datos referentes a los flujos, y conocido el precio de mercado del bono, se procederá a determinar una tasa de rentabilidad de la inversión en ese bono, a efectos de compararla con una tasa requerida para fundamentar una decisión de inversión. En resumen, aparte de los flujos y plazo hasta el vencimiento, antes el dato era la tasa de interés y la incógnita el precio. En lo que sigue se revierte el proceso y partiendo del precio como dato se verán las maneras de determinar una tasa de interés. Previo al detalle de los distintos tipos de tasas que son comúnmente utilizadas para medir la rentabilidad de un bono, es conveniente realizar una breve exposición acerca del concepto más general de tasa de rentabilidad asociada a la tenencia de un activo durante un determinado período de tiempo. 1.1 Tasa de rentabilidad de un activo durante un período. Considérese el período comprendido entre los momentos t = 0 y t = 1, que el valor del activo al comienzo es P 0 y al final es P 1 y, además, que el activo no genera flujos de fondos durante el período. En ese caso se define la tasa de rentabilidad de ese activo, durante el período considerado, como: P 1 - P 0 P 1 TASA(0;1) = = - 1 (1) P 0 P 0 Ver Alvarez, V. A. y Fernández Molero, D., Títulos de Deuda (Fixed Income Securities) Aspectos Básicos y Valuación, Documento de Trabajo Docente Nº 13, Cátedra Mercado de Capitales y Selección de Inversiones, Departamento de Administración, Universidad de San Andrés, Diciembre 2000.5 5 EJEMPLO 1: Se compra en un banco un certificado de depósito a plazo fijo por 30 días en $ y en el mismo se estipula que en la fecha de vencimiento la entidad pagará al titular del certificado un importe de $ En ese caso se tiene que t=0 es la fecha de compra del certificado, t=1 es la fecha de vencimiento a los 30 días, P 0 =1.000 y P 1 = La tasa de rentabilidad del certificado, para el período de 30 días considerado, es según (1): TASA(0;1) = = 0,0150 por 30 días (1,5% mensual) EJEMPLO 2: Un bono "cero cupón" al que le restan dos años para su vencimiento tiene un valor nominal de $ y hoy su precio de mercado es de $ Utilizando (1) se puede calcular la tasa de rentabilidad prometida del bono haciendo t=0 la fecha actual, t=1 la fecha de vencimiento dentro de dos años, P 0 = y P 1 = : TASA(0;1) = = 0,17 por dos años (17% bianual) Si se elimina el supuesto que el activo no genere flujos de fondos durante el período y se denomina F 1 al valor en t=1 de los flujos producidos durante el período, entonces puede generalizarse (1) mediante: P 1 + F 1 - P 0 P 1 + F 1 TASA(0;1) = = - 1 (2) P 0 P 0 EJEMPLO 3: Un bono de valor nominal $1.000, con amortización total al vencimiento y cupones del 10% nominal anual pagaderos los días 1 de agosto de cada año, es comprado el 1 de febrero de un determinado año a $1.050 y vendido el 1 de febrero del año siguiente a $ Supóngase que el cupón de $100 percibido el 1 de agosto se colocó en un plazo fijo al 12,5% nominal anual, con vencimiento el 1 de febrero del año siguiente (184 días de plazo). Para calcular la tasa de rentabilidad de la inversión durante el período de tenencia mediante (2), nótese que t=0 es la fecha de compra, t=1 la de venta, P 0 = (precio de compra) y P 1 = (precio de venta). El flujo de 100 originado el 1 de agosto por el pago del cupón, tiene el 1 de febrero del año siguiente (t=1) un valor de:6 6 0,125x184 F 1 = 100(1 + ) = 106, Finalmente: , TASA(0;1) = = 0,0860 (8,60% anual) En los ejemplos anteriores se expresó la tasa de rentabilidad con referencia al período de tenencia: 30 días en el N 1, dos años en el N 2 y uno en el N 3. Lo corriente es expresar las tasas de rendimiento con referencia a un período estándar (generalmente el año), independientemente del tiempo de tenencia. Si "q" es el número de períodos (puede ser una fracción de período) que abarca el tiempo de tenencia, entonces la tasa efectiva periódica de rentabilidad que corresponde a ese lapso es: P q + F q 1/q TE(0;q) = r'(0;q) = - 1 (3) P 0 donde: r'(0;q): tasa efectiva periódica de rentabilidad en el P 0 P q F q tiempo que va de t=0 a t=q. : precio del activo en t=0. : precio del activo en t=q : valor en t=q de los flujos originados por el activo durante el tiempo que va de t=0 a t=q. La fórmula (3) es equivalente a la siguiente: P 0 [1 + r'(0;q)] q = P q + F q (4) La fórmula (4) muestra que si se coloca un valor presente P 0, igual al precio del activo en t=0, durante q períodos a la tasa periódica r'(0;q) de interés compuesto, se obtiene al final de la operación un valor futuro P q +F q, igual al precio del activo en t=q más el valor en ese momento de los flujos producidos durante el lapso que va de t=0 a t=q. La definición (3) y la fórmula equivalente (4) corresponden a un régimen financiero de interés compuesto con capitalización periódica. En algunas oportunidades es conveniente, por razones teóricas, utilizar el régimen de capitalización continua. En ese caso (3) y (4) se transforman en:7 7 ρ = ln 1/q P q + F q (3)* _ P 0 - P 0.e ρq = P q + F q (4)* donde ρ (rho) es la tasa periódica de interés contínuo equivalente a r (0;q). La elección del sistema de capitalización es teóricamente irrelevante por cuanto a (4) y (4)* corresponden exactamente los mismos flujos de fondos. De esas fórmulas se deduce: o, lo que es igual: 1 + r (0;q) = e ρ (4)** ρ = ln[1 + r (0;q)] (4)*** pudiéndose, en consecuencia, expresar las tasas efectiva y contínua una en función de la otra. EJEMPLO 4: Si se desea calcular la tasa efectiva de rentabilidad anual correspondiente a cada uno de los tres ejemplos previos, se tiene: a) para el ejemplo 1 es q=30/365, P 0 =1.000, P q =1.015 y F q =0. Reemplazando estos valores en (3), resulta: /30 r'(0;30/365) = = 0,1986 (19,86% anual) Puede verificarse, usando (4), que 1.000(1+0,1986) 30/365 = 1015 Con calculadora financiera: 30/ === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 19,86 b) para el ejemplo 2 es q = 2, resultando: /2 r'(0;2) = = 0,0817 (8,17% anual) Con calculadora financiera:8 === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 8,17 c) en el ejemplo 3 el tiempo de tenencia coincide con el período de la tasa y, en consecuencia es q=1: ,30 r'(0;1) = - 1 = 0, (8,60% anual) Si se usa una planilla de cálculo Excel, entonces puede realizarse el cómputo mediante la función financiera TASA, según se muestra a continuación, a modo de ejemplo, para el inciso a): Para los mismos tres ejemplos previos es posible calcular la tasa anual de interés contínuo equivalente a la efectiva anual utilizando (4)*** o bien usar (3)* si se quiere hacer el cálculo sobre la base de flujos de fondos y años de duración de la operación: a*) ρ = ln(1 + 0,1986) = 0,1812 (18,12% anual) o bien: ρ = ln[(1.015/1.000) 365/30 = 0,18129 9 Verificación: 1.000e 0,1812(30/365) = b*) ρ = ln(1 + 0,0817) = 0,0785 (7,85% anual) Verificación: 8.547e 0, = c*) ρ = ln(1 + 0,0860) = 0,0825 (8,25% anual) Verificación: 1.050e 0,0825 = 1.140,30 = , Análisis de las fuentes de rentabilidad. La fórmula (2) que permite calcular en forma general la tasa de rentabilidad de un activo durante un período, la que suele denominarse tasa de rendimiento total, puede ser expresada como: P 1 - P 0 F 1 TASA (0; 1) = + (5) P 0 P 0 El primer sumando es la tasa de rendimiento del capital (mide la variación relativa en el precio del activo durante el período, es decir las ganancias o pérdidas de capital), mientras que el segundo es la tasa de rendimiento asociada a los flujos de fondos producidos por el activo (mide la rentabilidad de esos flujos con relación al precio de adquisición del activo). A su vez esta última tasa suele ser dividida en dos componentes: F 1 Flujos Percibidos Int. Reinversión = + (6) P 0 P 0 P 0 La primera componente mide el rendimiento sobre la inversión inicial atribuible al importe percibido de los flujos de fondos producidos por el activo, mientras que la segunda capta la parte del rendimiento originada por los intereses ganados mediante la reinversión de esos flujos desde la fecha en que se reciben hasta la finalización del período. En resumen, es posible analizar el rendimiento total de un activo calculando la rentabilidad que corresponde atribuir a cada una de las tres fuentes mencionadas: ganancias o pérdidas de capital, ingresos por flujos10 10 percibidos y renta originada por la reinversión de esos flujos. EJEMPLO 5: En el ejemplo 3 se determinó el rendimiento total (8,60% anual) de un bono cuyas características fueron especificadas. A efectos de calcular la rentabilidad atribuible a cada una de las tres fuentes, nótese que el precio de compra es P 0 =$1.050, el de venta P 1 =$1.034, el importe del flujo percibido (cupón) es de $100 y los intereses ganados por la reinversión de ese importe hasta el fin del período ascienden a $6,30. Se tiene entonces: P 1 - P Rent. del capital = = =-0,0152(-1,52% anual) P Flujo Perc. 100 Rent. de flujos = = = 0,0952 (9,52% anual) P Int. Reinv. 6,30 Rent.reinvers. = = = 0,0060 (0,60% anual) P Tasa de rendimiento total = 0,0860 (8,60% anual) ===================== 1.3 Tasas de rendimiento ex-ante y ex-post. La rentabilidad de una inversión en un activo financiero sólo puede conocerse con certeza a la finalización del período de tenencia del activo, ya que los valores de P 1 y D 1 que figuran en las fórmulas anteriores no son conocidos hasta ese momento. También se desconoce en la fecha de compra el valor de los flujos y/o los ingresos que producirá la reinversión de los mismos. Las tasas de rentabilidad calculadas al final del período de tenencia son tasas ex-post que permiten medir a posteriori el rendimiento de una inversión y eventualmente hacer una comparación con el rendimiento que se esperaba obtener al realizar la misma. Precisamente ese rendimiento esperado o prometido es el que se tiene en cuenta en el momento de decidir una inversión. Si en las fórmulas anteriores se hace, en el momento de compra (t = 0), una estimación de los valores de las variables que figuran en ellas, entonces las tasas calculadas son ex-ante y deberían interpretarse como valores esperados de una variable aleatoria. Entonces las tasas de rendimiento ex-ante deben entenderse como pronósticos más o menos adecuados del valor de las tasas ex-post y debe quedar claro que como todo pronóstico acerca de un evento incierto, es probable que el rendimiento esperado no coincida con el efectivamente realizado.11 Tasa del Cupón y Rendimiento Corriente. La tasa del cupón definida en el Documento previo * es un porcentaje fijo (para los bonos típicos) sobre el valor nominal y como tal no es una apropiada medida de rendimiento por cuanto no toma en cuenta el valor de mercado del bono. Los inversores suelen hacer referencia al rendimiento corriente de un bono, valor que es habitualmente informado en las publicaciones especializadas y que se define como el cociente entre el importe nominal de los pagos anuales en concepto de cupones y el precio de mercado del bono. in RC = (7) PM donde: RC: rendimiento corriente i: tasa nominal anual del cupón N: valor nominal PM: precio de mercado EJEMPLO 6: La tasa de rendimiento corriente en la fecha de compra del bono del ejemplo 3 es: in 0,10x1.000 RC = = = 0,0952 (9,52% anual) PM Si bien el rendimiento corriente es mejor medida de rentabilidad que la tasa del cupón al tomar en cuenta el precio de mercado del bono en lugar de su valor nominal, es técnicamente inapropiado por cuanto de las tres fuentes de rentabilidad mencionadas en 1.2, sólo toma en consideración la atribuible a los flujos de fondos, dejando de lado tanto el rendimiento del capital como el de las rentas producidas por la reinversión del importe del cupón (véase ejemplo 5). * Ver Alvarez, V. A. y Fernández Molero, D., Títulos de Deuda (Fixed Income Securities) Aspectos Básicos y Valuación, Documento de Trabajo Docente Nº 13, Cátedra Mercado de Capitales y Selección de Inversiones, Departamento de Administración, Universidad de San Andrés, Diciembre 2000.12 Tasa interna de rentabilidad (TIR) o rendimiento hasta el vencimiento. La tasa interna de rentabilidad de un activo se define como aquélla tasa de descuento que iguala el valor actual de los flujos de fondos que producirá el mismo con su precio de mercado. Formalmente es el valor de "k" que resuelve la siguiente ecuación: n* F t n* PM = Σ = Σ F t (1+k) -t (8) t=1 (1+k) t t=1 Donde PM: Precio de mercado del activo F t : Flujo valuado al final del período t. n*: Número de períodos que le restan a la vida del activo Nótese la analogía con la fórmula (1) * del Documento previo. La diferencia estriba en que antes la incógnita era el precio (PT) y la tasa (k) un dato, mientras que ahora el precio (PM) es dato y la incógnita es la tasa (k). La tasa interna de rentabilidad con capitalización contínua es el valor de κ que resulta ser una solución de la ecuación: n* PM = Σ F t.e -κt (8)* t=1 El cálculo efectivo de la TIR se realiza mediante calculadoras con funciones financieras o bien con programas adecuados en un computador. Se trata de una tasa ex-ante que sólo coincidirá con la tasa de rendimiento ex-post en el caso en que todos los flujos se reinviertan a esa misma tasa desde el momento de su percepción hasta el fin de la vida del activo. En el caso de un bono típico, la TIR nominal anual, calculada en la fecha de emisión o de pago de un cupón, es la solución de la siguiente ecuación, que es caso particular de (8): nm-1 Ni/m N(1 + i/m) PM = Σ + (9) t=1 (1 + TIR/m) t (1 + TIR/m) nm donde PM: Precio de mercado del bono n : Número de años hasta el vencimiento m : Número de cupones que se pagan por año N : Valor nominal del bono i : Tasa del cupón TIR: Tasa interna de rentabilidad nominal anual (incógnita a determinar) * Alvarez, V. A. y Fernández Molero, D, Títulos de Deuda (Fixed Income Securities)..., op. cit.13 EJEMPLO 7: En la fecha se puede comprar en el mercado por $909 un bono típico de valor nominal $ 1.000, que paga cupones semestralmente a una tasa del 10% nominal anual y al que le restan exactamente tres años para su vencimiento. El rendimiento hasta el vencimiento prometido por este bono (TIR nominal anual) es, según (9), la solución de la ecuación: x 1, = Σ + t=1 (1 + TIR/2) t (1 + TIR/2) 6 ya que, en este caso, se tiene: PM = 909; n = 3; m = 2; N = 1.000; i = 0,10 Con una calculadora financiera puede calcularse efectivamente la solución así: === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 6,9035 Si se usa una planilla de cálculo Excel, entonces puede realizarse este cálculo mediante la función financiera TASA: 1314 El valor obtenido de 6,9035% es la tasa interna de rentabilidad efectiva semestral, pues los períodos de capitalización considerados en la ecuación son semestres. En consecuencia, de acuerdo al uso en los mercados internacionales, debe multiplicárselo por dos para obtener la tasa nominal anual: TIR = 6,9035x2 = 13,81% nominal anual Si no se dispone de una calculadora financiera o una PC, puede calcularse aproximadamente la TIR nominal anual hasta el vencimiento mediante una sencilla fórmula que sacrifica exactitud pero permite un cálculo rápido y fácil. La idea básica es relacionar el flujo promedio producido por el bono con la inversión promedio realizada en el mismo, donde: Flujo promedio = Cupón anual + Amortización lineal periódica de las ganancias o pérdidas de capital. Amortización periódica = Ganancia o pérdida de capital a- ños hasta el vencimiento. Inversión promedio = (Precio compra + Val.nominal) 2 En símbolos: mc + (N - PM)/n TIR (10) (PM + N)/2 EJEMPLO 8: El cálculo aproximado de la tasa de rendimiento hasta el vencimiento del bono típico del ejemplo 7 mediante la fórmula (10) es: 2x50 + ( )/3 TIR = 0,1365 (13,65% nominal anual) ( )/2 valor bastante parecido al calculado mediante (9) pues tiene solamente el 1,16% de error relativo. Debe puntualizarse que el rendimiento hasta el vencimiento (TIR) es una medida de rentabilidad que solamente es representativa en el caso de la estrategia de inversión consistente en comprar el bono, mantenerlo en cartera hasta su vencimiento y, además, reinvertir los fondos generados por los cupones, por el período restante hasta el vencimiento, a una tasa igual a la TIR. En efecto, con referencia al bono de los ejemplos 7 y 8, si se coloca un importe igual a su precio de compra en una inversión alternativa que produzca una tasa de rentabilidad del 13,81% nominal anual con capitalización semestral de intereses, entonces al fin de tres años (seis semestres) se obtendrá un monto de $1.356, (1 + 0,1381/2) 6 = 1.356,91 1415 15 Por otra parte, adquiriendo el bono y siguiendo la estrategia mencionada, se logra acumular: Cobro y reinversión cupón 1: 50(1 + 0,1381/2) 5 = 69,81 " " " " 2: 50(1 + 0,1381/2) 4 = 65,32 " " " " 3: 50(1 + 0,1381/2) 3 = 61,09 " " " " 4: 50(1 + 0,1381/2) 2 = 57,14 " " " " 5: 50(1 + 0,1381/2) = 53,45 Cobro cupón 6 y val.nominal: = 1.050,00 MONTO TOTAL ACUMULADO = 1.356,81 que coincide con el valor anterior salvo una pequeña diferencia por redondeo de decimales. Es evidente que si no se mantiene el bono en cartera hasta su vencimiento o bien si no se logra reinvertir los flujos a una tasa igual a la TIR, entonces el monto acumulado variará, con lo que la tasa de rendimiento al vencimiento prometida será diferente de la tasa ex-post efectivamente realizada.(se analiza este tema más adelante en 1.9). Si en lugar de medir los rendimientos en términos nominales, se lo hace en términos efectivos, entonces puede calcularse una tasa interna de rentabilidad efectiva anual (TIREA), mediante la fórmula: TIREA = (1 + TIR/m) m - 1 (11) EJEMPLO 9: La tasa interna de rentabilidad efectiva anual del bono del ejemplo 7 es: TIREA = (1 + 0,1381/2) 2-1 = 0,1429 (14,29%) que por supuesto es superior al rendimiento al vencimiento (TIR) 1.6 Relaciones que involucran el rendimiento hasta el vencimiento (TIR). Se ha hecho notar que la tasa del cupón no es una adecuada medida del rendimiento prometido por un bono, ya que está referida al valor nominal cuando debiera basarse en el precio de compra (PM). En ese aspecto hay una mejora al considerar el rendimiento corriente, pero esta medida dista mucho de ser representativa por cuanto sólo refleja la rentabilidad de los flujos (cupones), dejando de lado la originada tanto en la reinversión de los mismos como aquélla debida a las pérdidas o ganancias de capital (véase 1.2 y 1.4). El análisis de la fórmula (9) y las consideraciones realizadas en 1.5 muestran que la TIR hasta el vencimiento toma en cuenta las tres fuentes de rentabilidad mencionadas en 1.2 y en consecuencia es una medida de rendimiento16 prometido superior a las otras dos. A continuación se tratarán algunas relaciones entre las tres medidas de rentabilidad definidas hasta este punto. En 3.1 * del Documento anterior se mostró que el precio teórico y el rendimiento requerido están inversamente relacionados (véase Fig.11 de ese Documento) *. Puesto que las fórmulas(4) * del Documento previo y (9) del presente son formalmente idénticas, puede advertirse que la relación entre precio de mercado y tasa interna de rentabilidad hasta el vencimiento es también inversa. Resulta entonces el siguiente principio general: Las tasas y los precios de mercado varían en direcciones opuestas. También se mostró en 3.1 * cuál es la relación entre rendimiento requerido y tasa del cupón, según que la cotización del bono sea sobre, bajo o a la par. De las consideraciones precedentes se deduce que la misma relación se verifica entre TIR e "i". En lo que concierne a la relación entre la tasa interna de rentabilidad hasta el vencimiento y el rendimiento corriente, es fácil comprobar que si el bono cotiza a la par entonces ambas son iguales. En efecto, de PM = N se deduce, aplicando la fórmula (7), que: in in RC = = = i PM N En forma análoga puede verificarse que si el bono cotiza sobre (bajo) la par entonces el rendimiento corriente es menor (mayor) que la tasa del cupón. En general es posible demostrar que se cumplen las siguientes relaciones entre las tres medidas de rentabilidad, según que el bono cotice: Sobre la par, entonces i > RC > TIR A la par, entonces i = RC = TIR Bajo la par, entonces i < RC < TIR EJEMPLO 10: El bono a que se refiere el ejemplo 7 está cotizado bajo la par ya que PM = 909. Su tasa de rendimiento corriente es RC = 100/909 = 0,11. Nótese que se verifica la relación entre las tasas del cupón, de rendimiento corriente y de rentabilidad hasta el vencimiento correspondiente al caso de bonos cotizados bajo la par: i = 0,10 < RC = 0,11 < TIR = 0,1381 Si este bono cotizara sobre la par, por ejemplo PM = 1.100, entonces puede calcularse su tasa interna de 16 * Alvarez, V. A. y Fernández Molero, D, Títulos de Deuda (Fixed Income Securities)..., op. cit..17 17 rendimiento hasta el vencimiento mediante el procedimiento previamente descripto: === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 0,03145 con lo que resulta: TIR = 0,03145x2 = 0,0629 También puede calcularse el rendimiento corriente: RC = 100/1.100 = 0,0909, y puede verificarse que: i = 0,10 > RC = 0,0909 > TIR = 0,0629 Se deja al lector constatar que si la cotización fuera a la par entonces las tres tasas de rentabilidad son iguales. 1.7 Métodos de cálculo de la tasa de rendimiento hasta el vencimiento (TIR). En 1.5 se presentó la noción de tasa de rendimiento hasta el vencimiento y en el apartado siguiente diversos conceptos vinculados. Sin embargo, la fórmula (9) y las técnicas explicadas y utilizadas en los ejemplos para el cálculo de la TIR, sólo son válidas en el caso en que se trate de la fecha de emisión o pago de un cupón. Si la fecha no cumple la citada condición y/o el bono no es típico (p.ej. existen amortizaciones parciales; la tasa del cupón es flotante; etc.), entonces deben desarrollarse metodologías adecuadas a cada uno de los casos. En lo que sigue se expondrán algunas de estas metodologías y casos. a) TIR de un bono típico en una fecha arbitraria. Quizá el caso más común es el de un bono típico cuya TIR hasta el vencimiento debe calcularse en una fecha "t" que no es de emisión ni de pago de cupón (véase Fig.6 del capítulo previo). Debe plantearse una ecuación formalmente similar a (9) * de ese capítulo, pero en la que el precio (PM) es dato y la tasa (TIR) es la incógnita. nm-1 Ni/m N(1 + i/m) PM = [ Σ + ](1 + TIR/m) d1/d2 (12) j=1 (1 + TIR/m) j (1 + TIR/m) nm donde los símbolos ya han sido definidos y "n" representa el número de años hasta el vencimiento contados desde el momento18 "h",de pago del último cupón previo a la fecha "t" de evaluación. EJEMPLO 11: En el ejemplo 7 se calculó la TIR de un bono típico en una fecha de pago de cupón exactamente tres años antes de su vencimiento. Se desea evaluar la TIR del mismo bono en una fecha sesenta días posterior a la anterior, suponiendo que en esa fecha su precio de mercado es $ 910. Si se dispone de una calculadora financiera con un programa para bonos (véase 2.5 del capítulo anterior) *, entonces puede realizarse el cálculo en forma simple sin más que introducir una serie de datos que el programa requiere, como p.ej. fechas de la operación y de vencimiento del bono, tasa del cupón y frecuencia de pago de cupones indicando si se considera el año comercial de 360 días o el real de 365 y, finalmente, el precio del bono. Para este último dato, de acuerdo a lo expresado en el mencionado apartado, resulta que en el caso de este ejemplo los intereses devengados son $ 16,67, con lo que el precio ajustado es: PA = 910,00-16,67 = 893,33 por cada $1.000 de valor nominal. Finalmente, una vez introducidos todos los datos, el programa calcula: TIR = 14,72 % nominal anual Si no se dispone de un programa específico para bonos pero se tiene acceso a un programa para resolución de ecuaciones, entonces también es factible una solución. Para ello el único requisito es la capacidad de escribir la ecuación a resolver que debe introducirse en el programa. En el caso de este ejemplo, la fórmula (12) deviene en la siguiente ecuación: =[ Σ + ](1 + TIR/2) 60/180 (13) j=1 (1 + TIR/2) j (1 + TIR/2) 6 Desde ya que la solución coincide con el valor ya determinado por otro método: TIR = 14,72%. Cualquier ecuación equivalente a (13) podría ser utilizada en lugar de la misma. Así, por ejemplo, de (7) en el capítulo anterior * resulta: 910=[100/TIR (1+ TIR/2) -6 (1-0,1/TIR)](1+ TIR/2) 1/3 (14) cuya solución es obviamente la misma que la anterior. Con la planilla Excel puede usarse la función Buscar Objetivo : 18 * Alvarez, V. A. y Fernández Molero, D, Títulos de Deuda (Fixed Income Securities)..., op. cit.19 19 Finalmente, si no se dispone de programas para bonos o resolución de ecuaciones, puede intentarse una solución por aproximaciones sucesivas. A tal efecto, en cualquiera de las fórmulas (13), (14), o en la ecuación apropiada que se haya elegido, se asigna un valor tentativo a la variable TIR y se determina el precio correspondiente para ese valor. Si es mayor que 910, entonces el valor asignado a la TIR fue menor que el correcto y en consecuencia se hará un nuevo intento con un valor mayor. Así sucesivamente hasta alcanzar el grado de precisión deseado. Por ejemplo si se comienza por TIR = 13,81%, que es el valor determinado en el ejemplo 20, entonces resulta, utilizando del capítulo anterior la fórmula (9) *1, un precio de: 909(1 + 0,1381/2) 60/180 = 929,46 Este valor es mayor que $910 y en consecuencia deberá intentarse con una TIR mayor. Si, por ejemplo, se hace TIR = 15%, resulta: 882,65(1 + 0,15/2) 60/180 = 904,19 donde el primer factor puede obtenerse, p.ej., así: 6 7, === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 882,65 El precio resultante es menor que 910 y por lo tanto en el próximo paso se disminuirá la TIR, y así sucesivamente hasta encontrar la precisión que se desee. Véase la Fig.1 para interpretar gráficamente este proceso.20 20 EJEMPLO 12: Pueden aplicarse las técnicas sugeridas al eurobono del Banco de Quilmes citado en el Ejercicio 1 del Documento previo. Supóngase que el 20/10/93 se cotizaba en el mercado a $ 101,42 y verifíquese que en esa fecha la TIR era igual a 9,66% nominal anual. Si utiliza un programa de bonos, tenga en cuenta que los intereses devengados ascienden a $1,16, 0, , F i g u r a 1 PT ,00% 13,50% 14,00% 14,50% 15,00% 15,50% 16,00% TIR (1)========================>(2) r(%) (3)<========== =====>(4) Cálculo de la TIR por aproximaciones sucesivas Tasa : r Precio : PT para el cálculo del precio ajustado. En caso de contar con un programa para resolución de ecuaciones, la que surge de (7) * es: 101,42=[10/TIR+100(1+ TIR/2) -2 (1-0,1/TIR)](1+ TIR/2) 42/181 (Véase en el Anexo 1 una solución mediante planilla Excel) Ejercicio 1: Determínese la TIR del bono típico del tesoro argentino (BONTE 01), a que se refiere el ejemplo 4 del Documento Nº13* previo, en fecha 2/8/00 supuesto que su precio de mercado era de $ 102,50. Téngase presente que los datos relevantes son: N = $100; i = 9,5%; n = 1; m = 2; d 1 = 70 y d 2 = 184.(Respuestas a los ejercicios al final del documento) b) TIR de un bono no típico con tasa fija Un problema adicional puede presentarse cuando, aparte de no coincidir la fecha de cálculo de la TIR con la Alvarez, V. A. y Fernández Molero, D, Títulos de Deuda (Fixed Income Securities)..., op. cit. Mostrar más
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