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Timestamp: 2017-11-18 16:43:12+00:00

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Uploaded by Maca Guzman Colihueque
Propuesta preliminar presentada a revisión del Consejo Nacional de Educación
Presentación Nociones básicas -Aprendizajes como integración de conocimientos, habilidades y actitudes -Objetivos Fundamentales Transversales -Mapas de Progreso Consideraciones generales para implementar el programa -Uso del lenguaje -Uso de las Tecnologías de Información y Comunicación -Atención a la diversidad Orientaciones para planificar y evaluar -Orientaciones para planificar -Orientaciones para la evaluación Matemática: Propósitos, habilidades y orientaciones didácticas Visión global del año - Cuadro sinóptico de aprendizajes esperados Unidades - Semestre 1 - Unidad 1. Números y Álgebra - Unidad 2. Geometría -Semestre 2 - Unidad 3. Números Geometría - Unidad 4. Datos y Azar Material de apoyo sugerido Anexos: -Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares -Anexo 2: Ejemplo de Calendarización Anual -Anexo 3: Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad. -Anexo 4: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad -Anexo 5: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO)
4 5 5 7 9 11 11 12 12 14 14 17 20 23 23 25 26 37 43 44 56 66 70 71 74 75 77
y presentan estrategias diversas que pueden ser utilizadas para este fin. Una organización temporal de estos aprendizajes en semestres y unidades Una propuesta de actividades de aprendizaje y de evaluación. Ilustran formas de apreciar el logro de los aprendizajes esperados. • • De manera adicional a estos componentes. Orientaciones para planificar y evaluar. lo que se expresa a través de los aprendizajes esperados2. Instrumentos y ejemplos de evaluación. sin que sea necesario su desgloce en definiciones más específicas. Algunos casos estos aprendizajes están formulados en los mismos términos que algunos de los OF del marco curricular.PRESENTACIÓN El programa de estudio ofrece una propuesta para organizar y orientar el trabajo pedagógico del año escolar. Visión global del año. distinguiendo aquéllos para ser consultados por el docente de los que pueden ser utilizados por los estudiantes. Se trata de recursos bibliográficos y electrónicos que pueden ser utilizados para promover los aprendizajes del sector. Consisten en orientaciones relevantes para trabajar con el programa y organizar el trabajo en torno al mismo. • • • • • • • Decretos supremos 254 y 256 de 2009. 2 1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 4 . Consideraciones generales para implementar el programa. previa aprobación de los mismos por parte del Mineduc. Esta propuesta tiene como propósito promover el logro de los Objetivos Fundamentales (OF) y el desarrollo los Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) que define el marco curricular1. y a la vez una visión general sobre la función de los mapas de progreso. presentadas a modo de sugerencia. habilidades y orientaciones didácticas. Junto con especificar los aprendizajes esperados propios a la unidad. Presenta la totalidad de aprendizajes esperados a desarrollar durante el año. El presente programa constituye una propuesta para aquellos establecimientos que no cuentan con programas propios. Unidades. Los principales componentes que conforman la propuesta del programa son: • Una especificación de los aprendizajes que se deben lograr para alcanzar los OF y CMO del marco curricular. se presenta un conjunto de elementos que se entregan con la finalidad de orientar el trabajo pedagógico realizado a partir del programa y promover el logro de los objetivos que éste propone. También entrega algunas orientaciones pedagógicas relevantes para implementar el programa en el sector. organizados de acuerdo a unidades. El programa como propuesta para lograr los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos La ley establece que cada establecimiento puede elaborar sus propios programas de estudio. Propósitos. Esta sección presenta sintéticamente los propósitos y sentidos sobre los que se articulan los aprendizajes del sector y las habilidades a desarrollar. Entregan sugerencias generales para poner estos procesos al servicio del logro de los aprendizajes definidos en el programa. Material de apoyo sugerido. Esto ocurre cuando dicho OF puede ser desarrollado de manera íntegra en una misma unidad de tiempo. Esta sección presenta conceptos fundamentales que están a la base del Marco Curricular. La totalidad de los elementos que componen el programa se organizan de la siguiente manera: • Nociones básicas. incluyen indicadores de evaluación y sugerencias de actividades que apoyan y orientan el trabajo destinado a promover estos aprendizajes.
Para estos efectos. realizar cálculos en forma mental y escrita y verificar proposiciones simples. habilidades y actitudes para desarrollar de manera efectiva una acción determinada. formular conjeturas. la continua expansión y complejización del conocimiento demanda crecientemente capacidades Son fundamentales en el actual contexto social de pensamiento que permitan. como al desenvolverse en su entorno. entendidas como la movilización de conocimientos. Esto supone una orientación hacia el logro de competencias. como por ejemplo: resolver problemas. adquirir nuevos conocimientos. Por otra parte. Se busca que los estudiantes pongan en juego estos conocimientos. estos aprendizajes involucran tanto al desarrollo de conocimientos propios de la disciplina.NOCIONES BÁSICAS 1. Aprendizajes como integración de conocimientos. como habilidades y actitudes. Se trata de una noción de aprendizaje en la que estas habilidades. sino también el saber hacer. Requieren ser promovidas de manera metódica y estar explícitas en los propósitos que articulan el trabajo de los docentes. entre otras. Requieren ser promovidas de manera sistemática Las habilidades. conocimientos y actitudes… desarrollo integral de los estudiantes. enriqueciéndose y potenciándose de manera recíproca. y generar nuevos conocimientos e información. Esta situación hace relevante la promoción de diversas habilidades. habilidades y actitudes Los aprendizajes que promueve el marco curricular y los programas de estudio apuntan a un Habilidades. entre otras cosas. examinar críticamente la diversidad de fuentes de información disponibles. Habilidades Son importantes porque… … el aprendizaje involucra no sólo el saber. …y que se desarrollan de manera integrada. utilizar el conocimiento de manera apropiada y rigurosa. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 5 . conocimientos y actitudes se desarrollan de manera integrada. conocimientos y actitudes no se adquieren espontáneamente a través del estudio de las disciplinas. tanto en el contexto del sector de aprendizaje. habilidades y actitudes …movilizados para enfrentar diversas situaciones y desafíos… para enfrentar diversos desafíos.
Estos involucran aspectos de carácter afectivo. Se deben desarrollar de manera integrada porque… Son una base para el desarrollo de habilidades … son una condición para el desarrollo de las habilidades. es decir. elementos que no pueden ser puestos en juego para comprender y enfrentar las diversas situaciones a las que se ven enfrentados. Siempre están asociados con las actitudes y disposiciones de los estudiantes. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 6 . el estudiante utiliza sus conocimientos sobre estadística para interpretar a esa información. los conocimientos y conceptos que puedan adquirir los Permiten poner en juego los conocimientos alumnos resultan elementos inertes. si se observa una información en un diario que contenga datos representados en tablas o gráficos. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. estos conceptos son fundamentales para la construcción de nuevos aprendizajes por parte de los estudiantes. A modo de ejemplo. Les permiten relacionarse con el entorno utilizando nociones de una complejidad y profundidad que complementan de una manera crucial el saber obtenido desde el sentido común y de la experiencia cotidiana. Las habilidades no se desarrollan en un vacío. Actitudes Son importantes porque… Están involucradas en los propósitos formativos de la educación … los aprendizajes no son elementos que involucran únicamente la dimensión cognitiva. ético y ciudadano. social. Los conocimientos previos le capacita para predecir sobre lo que va a leer para luego verificar sus predicciones en la medida que entiende la información y así construir este nuevo conocimiento. y a la vez el desarrollo de ciertas disposiciones. los aprendizajes involucran actitudes tales como perseverancia. trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos y respeto por ideas distintas a las propias. rigor. sino sobre la base de ciertos conceptos o conocimientos determinados.Se deben desarrollar de manera integrada porque… … sin el desarrollo de habilidades. Adicionalmente. Dentro de los propósitos establecidos para la educación se contempla el desarrollo en los ámbitos personal. Conocimientos Son importantes porque… … los conceptos de las disciplinas o sectores de aprendizaje enriquecen la comprensión de Enriquecen la comprensión y la relación con el entorno los estudiantes sobre los fenómenos a los que se ven enfrentados. Por ejemplo.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 7 . A partir de la actualización al marco curricular realizada el año 2009. y que apuntan al desarrollo personal. las actitudes orientan el sentido y el uso que cada alumno otorgue a los conocimientos y habilidades adquiridas.Se deben desarrollar de manera integrada porque… Son enriquecidas por los conocimientos y habilidades … en muchos casos requieren de los conocimientos y habilidades para su desarrollo. De acuerdo a este esquema. del conjunto del currículum. Orientan la forma de usar los conocimientos y habilidades A la vez. Integran conocimientos. analizar críticamente diversas circunstancias. formación ética. y por lo tanto los establecimientos deben hacerse cargo de promover su logro. la práctica docente. Tienen lugar tanto a través de las diversas disciplinas del currículum. social e intelectual de los estudiantes. como de las diversas dimensiones del quehacer educativo (por ejemplo. sino que dependen … que deben ser promovidos en la totalidad de la experiencia escolar. habilidades y actitudes No se trata de objetivos que involucran únicamente actitudes y valores. ético. y para contrastar criterios y decisiones. Son por lo tanto un antecedente necesario para hacer un uso constructivo de estos elementos. la persona y su entorno. Estos conocimientos y habilidades entregan herramientas necesarias para elaborar juicios informados. Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) Son propósitos generales definidos en el curriculum… Son aprendizajes que tienen un carácter comprensivo y general. estos objetivos están Se organizan en una matriz común para educación básica y media. el clima organizacional. Los OFT no se desarrollan a través de un sector de aprendizaje en particular. desarrollo del pensamiento. y tecnologías de información y comunicación. Forman parte constitutiva del currículum nacional. la disciplina o las ceremonias escolares). entre otros procesos involucrados en el desarrollo de actitudes. Supone la integración de estos elementos con el desarrollo de conocimientos y habilidades. 2. a través del proyecto educativo institucional. los Objetivos Fundamentales Transversales se Organizan en 5 ámbitos: crecimiento y autoafirmación personal. organizados bajo un esquema común para la Educación Básica y la Educación Media.
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Mapas de progreso Son descripciones generales que señalan de qué manera progresan típicamente Describen sintéticamente cómo progresa aprendizaje… los aprendizajes en las áreas clave de un sector determinado. Los mapas de progreso no establecen aprendizajes adicionales a los definidos en el marco … de manera congruente con el marco curricular y los programas de estudio. los mapas de progreso son un referente útil para atender a la diversidad de estudiantes dentro del aula. y que por lo tanto se inscribe dentro de lo que se plantea en ellos. como para aquellos que ya lo han alcanzado o superado. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. el nivel 2 corresponde al término de Cuarto Básico. - La progresión que describen permite reconocer en qué sentido orientar los aprendizajes de los distintos grupos que se manifiestan en un mismo curso. Se trata de formulaciones el sintéticas que se centran en los aspectos esenciales de cada sector. La progresión que describen es una expresión más gruesa y sintética de los aprendizajes que estos dos instrumentos establecen. el Nivel I corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico. curricular y los programas de estudios. ¿Qué utilidad tienen los mapas de progreso para el trabajo de los docentes? Los mapas de progreso pueden ser un apoyo importante tanto para planificación y para la evaluación que se presentan en el programa). que describe el nivel 6 en cada mapa. Sirven de apoyo para planificar y evaluar… definir objetivos adecuados como para realizar el proceso de evaluación (ver orientaciones para la - Permiten dar un paso que va más allá de la simple constatación que existen distintos niveles de aprendizaje dentro de un mismo curso. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 9 . Por ejemplo. y así sucesivamente. es decir.3. va más allá de la expectativa para Cuarto Medio. … y para atender la diversidad al interior del curso. tanto de aquellos que no han logrado el nivel esperado para el curso. Adicionalmente. a partir de su uso para analizar los desempeños de los estudiantes. A partir de esto ofrecen una visión panorámica sobre el conjunto de la progresión del aprendizaje en los 12 años de escolaridad 3. El nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”. Su particularidad consiste en la visión de conjunto que entregan sobre la progresión esperada a lo largo de toda la asignatura. Dan pie para caracterizar e identificar con mayor precisión en qué consisten estas diferencias. Expresan el progreso del aprendizaje en un área clave del sector de manera sintética y alineada al marco curricular 3 Los mapas de progreso describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector.
000 para… Ejemplo: Aprendizaje Esperado 7° básico Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicarlos en la recta numérica. y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en diversas situaciones.Relación entre Mapas de progreso. Programa de estudio Orientan la labor pedagógica estableciendo Aprendizajes Esperados que dan cuenta de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos. Ejemplo: Mapa de progreso Números y Operaciones Nivel 7 Comprende los diferentes conjuntos numéricos… Nivel 6 Reconoce los números complejos cómo… Nivel 5 Reconoce a los números racionales cómo… Nivel 4 Reconoce a los números enteros como un conjunto numérico en donde se pueden resolver problemas que no admiten solución en los números naturales. y los organiza temporalmente a través de unidades. Justifica la Nivel 3 Reconoce que los números naturales… Nivel 2 Utiliza los números naturales hasta1.000… Nivel 1 Utiliza los números naturales hasta 1. comparar y cuantificar magnitudes. Resuelve problemas y formula conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos. Programa de estudio y Marco Curricular Marco Curricular Prescribe los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos obligatorios que todos los estudiantes deben lograr. Contenido Mínimo Obligatorio Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos… . reconocer algunas de sus propiedades. Mapa de Progreso Entregan una visión sintética del progreso del aprendizaje en un área clave del sector. reconoce sus propiedades y los utiliza para ordenar. y que se ajusta a las expectativas del marco curricular. Comprende y realiza las cuatro operaciones con números enteros. Establece proporciones y las usa para resolver diversas situaciones de variación proporcional. Ejemplo: Objetivo Fundamental 7º Básico Establecer relaciones de orden entre números enteros. decimal positivo o entero y exponente natural en la solución de diversos desafíos. Utiliza raíces cuadradas de números enteros positivos y potencias de base fraccionaria positiva. Integrados en la formulación del mapa de progreso MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 10 .
la búsqueda de información en fuentes escritas.CONSIDERACIONES GENERALES PARA IMPLEMENTAR EL PROGRAMA Las orientaciones que se presentan a continuación destacan algunos elementos relevantes al momento de implementar el programa. síntesis de las ideas y argumentos presentados en los textos. compartir puntos de vista y desarrollar acuerdos. el planteamiento de preguntas para expresar dudas. la lectura de textos de creciente complejidad en los que se utilicen conceptos especializados del sector. la interacción con otras personas para intercambiar ideas. inquietudes. Se deben contemplar diversas consideraciones al promover estas habilidades - Escritura: la escritura de textos de diversa extensión y complejidad (por ejemplo. el uso apropiado del vocabulario en los textos escritos. Comunicación oral: la capacidad de exponer ante otras personas. involucran los otros sectores de aprendizaje del currículum. un uso del lenguaje con niveles crecientes de precisión. respuestas breves). Se trata de habilidades que no se desarrollan únicamente en el contexto del sector Lenguaje y Comunicación. y para superar dificultades de comprensión. la realización de resúmenes. la escritura y la comunicación oral. discriminándola y seleccionándola de acuerdo a su pertinencia . Esto se justifica porque las habilidades de comunicación son herramientas fundamentales que los estudiantes deben emplear para alcanzar los aprendizajes propios de cada sector. la escritura y la comunicación oral deben ser promovidas en los distintos sectores de aprendizaje como parte constitutiva del trabajo pedagógico correspondiente a cada sector de aprendizaje. la organización y presentación de información a través de esquemas o tablas. narrativos. tablas y gráficos). y por lo tanto. Uso del lenguaje Los docentes deben promover el ejercicio de la comunicación oral. de la lectura y la escritura La lectura. el uso correcto de la gramática y de la ortografía. textos periodísticos. la comprensión y dominio de nuevos conceptos y palabras. sino que se consolidan a través del ejercicio en diversos espacios y en torno a diversos temas. manteniendo la atención durante el tiempo requerido. la expresión de ideas y conocimientos de manera organizada. los docentes deben procurar: Lectura: la lectura de distintos tipos de textos relevantes para el sector (textos informativos propios del sector. incorporando los conceptos propios del sector. la identificación de las ideas principales y la localización de información relevante. analizar información y elaborar conexiones en relación a un tema en particular. Al momento de recurrir a la lectura. el desarrollo de la argumentación al formular ideas y opiniones. descripciones. 1. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 11 . ensayos. la disposición para escuchar información de manera oral. la presentación de las ideas de una manera coherente y clara. reportes. Algunas de estas orientaciones se vinculan estrechamente con algunos de los OFT contemplados en el currículum.
2. en un contexto de tolerancia y apertura. ya sea en términos culturales. pese a la diversidad que se manifiesta entre ellos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 12 . señalar las fuentes de donde se obtiene la información.buscar. regularidades y patrones relativos a los fenómenos estudiados en el sector . plantillas de presentación (Power Point). espacios interactivos en sitios web. Uso de las Tecnologías de Información y Comunicación (TICs) El desarrollo de las capacidades para utilizar las tecnologías de la información y comunicación El uso de las TICs debe ser promovido a través de los sectores de aprendizaje (TICs) está contemplado de manera explícita como uno de los Objetivos Fundamentales Transversales del marco curricular.intercambiar información a través de las herramientas que ofrece Internet como el correo electrónico. étnicos o religiosos.respetar y asumir consideraciones éticas en el uso de las TICs. 3. como el cuidado personal y el respeto por el otro al utilizar estas herramientas. audio y video . evitando las distintas formas de discriminación procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación al contexto y la realidad de los estudiantes procurar que todos los estudiantes logren los objetivos de aprendizaje señalados en el currículum. o comunidades virtuales . Esto demanda que el dominio y uso de estas tecnologías se promueva de manera integrada al trabajo realizado al interior de los sectores de aprendizaje. acceder y recolectar información en páginas web u otras fuentes. La diversidad entre estudiantes establece desafíos que deben ser tomados en consideración sociales. Esta diversidad trae consigo desafíos que requieren ser contemplados por los docentes. Atención a la diversidad En el trabajo pedagógico. Chat. y manipular la información sistematizada en éstas para identificar tendencias. y seleccionar esta información examinando críticamente su relevancia y calidad . y respetar las normas de uso y de seguridad de los espacios virtuales Se puede recurrir a diversas formas de utilizar estas tecnologías. Entre estos cabe señalar: promover el respeto a cada uno de los estudiantes. así como en términos de estilos de aprendizaje y de los niveles de conocimiento. Para esto se debe procurar que la labor de los estudiantes incluya el uso de las TICs para: . así como herramientas y aplicaciones de imagen.desarrollar y presentar información a través del uso de procesadores de texto.procesar y organizar datos utilizando plantillas de cálculo. el docente debe tomar en cuenta la diversidad entre los estudiantes.
Por el contrario. por Es necesario atender a la diversidad para que todos logren los aprendizajes. y en base a esto definir flexiblemente las diversas medidas pertinentes evaluar y diagnosticar en forma permanente para reconocer las necesidades de aprendizaje definir la excelencia considerando el progreso individual como punto de partida incluir combinaciones didácticas (agrupamientos. trabajo grupal. el contrario. Para esto debe desarrollar una planificación inteligente que genere las condiciones que le permitan: conocer los diferentes niveles de aprendizaje y conocimientos previos de los estudiantes Esto demanda conocer qué saben. la necesidad de educar en forma diferenciada aparece cuando nos damos cuenta que para que los alumnos alcancen altas expectativas. debemos reconocer sus necesidades didácticas personales. el docente debe considerar que para que algunos estudiantes logren estos aprendizajes precisarán más tiempo o métodos diferentes. la necesidad de educar en forma diferenciada aparece cuando nos damos cuenta que para que todos los alumnos alcancen altas expectativas. debemos reconocer sus necesidades didácticas personales. En atención a lo anterior.Atención a la diversidad y promoción de aprendizajes Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad de estilos y ritmos de aprendizaje no implica “expectativas más bajas” para algunos estudiantes. rincones) y materiales diversos (Visuales. Aspiramos a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel o grado. Se debe tener en cuenta que atender a la diversidad no implica “expectativas más bajas”. Aspiramos a que todos los estudiantes alcancen los aprendizajes dispuestos para su nivel de curso. objetos manipulables) evaluar de diversas maneras a los alumnos y dar tareas con múltiples opciones promover la confianza de los alumnos en sí mismo Promover un trabajo sistemático por parte de los estudiantes y ejercitación abundante MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 13 . es conveniente que al momento de diseñar el trabajo en una unidad.
ORIENTACIONES PARA PLANIFICAR La planificación favorece el logro de los aprendizajes La planificación es un elemento central en el esfuerzo por promover y garantizar los aprendizajes de los estudiantes. Para estos efectos han sido elaborados como un material flexible El programa sirve de apoyo a la planificación a través de un conjunto de elementos elaborados para este fin que los profesores pueden adaptar a su realidad en los distintos contextos educativos del país. El principal referente que entrega el programa de estudio para planificar son los aprendizajes esperados. el tiempo real.ORIENTACIONES PARA PLANIFICAR Y EVALUAR I. Permite maximizar el uso del tiempo y definir los procesos y recursos necesarios para que los estudiantes logren los aprendizajes que deben alcanzar. el programa apoya de planificación a través de la propuesta de unidades. De manera adicional. Los programas de estudio del Ministerio de Educación constituyen una herramienta de apoyo al proceso de planificación. y de la sugerencia de actividades para desarrollar los aprendizajes. las prácticas anteriores y los recursos disponibles La diversidad de niveles de aprendizaje que han alcanzado los estudiantes del curso. El tiempo real con que se cuenta. lo que implica planificar considerando desafíos para distintos grupos de alumnos. • • • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 14 . entre otros. Los recursos para el aprendizaje con que se cuenta: textos escolares. de manera de optimizar el tiempo disponible. materiales disponibles en el Centro de Recursos de Aprendizaje (CRA). recursos elaborados por la escuela o aquellos que es necesario diseñar. Consideraciones generales para realizar la planificación La planificación es un proceso que se recomienda realizar considerando los siguientes aspectos • Se debe planificar tomando en cuenta la diversidad. laboratorio. materiales didácticos. Las prácticas pedagógicas que han dado resultados satisfactorios. de la estimación del tiempo cronológico requerido en cada una.
Para lograr esto se recomienda elaborar la planificación en los siguientes términos: Lograr una visión lo más clara y concreta posible sobre los desempeños que dan cuenta de los aprendizajes … - Partir por una especificación de los aprendizajes esperados que no se limite a listarlos.Sugerencias para el proceso de planificación Para que la planificación efectivamente ayude al logro de los aprendizajes. y las instancias de retroalimentación. Esto permitirá desarrollar una idea de las demandas y requerimientos a considerar para cada unidad. es necesario desarrollar una idea lo más clara posible de las expresiones concretas que estos puedan tener. Esto debe desarrollarse a partir de los aprendizajes esperados especificados en los programas. ¿qué habría que observar para saber que un aprendizaje ha sido logrado? … y en base a esto decidir las evaluaciones. Se debe poder responder preguntas como ¿Qué deberían ser capaces de demostrar los estudiantes que han logrado un determinado aprendizaje esperado?. A partir de las respuestas a estas preguntas. así como las modalidades de enseñanza que facilitarán alcanzar este desempeño. Realizar este proceso considerando una visión realista de los tiempos disponibles durante el año MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 15 . Estos entregan elementos útiles para reconocer el tipo de desempeño asociado a los aprendizajes. los docentes pueden complementar los programas con los mapas de progreso. debe estar centrada en torno a estos y desarrollarse a partir de una visión clara de lo que los estudiantes deben aprender. decidir las evaluaciones a realizar y las estrategias de enseñanza. Identificar. estimar el tiempo que se requerirá para cada unidad. enseñanza. las estrategias de enseñanza. los mapas de progreso pueden resultar un apoyo importante. En base a este proceso se deben definir las evaluaciones formativas y sumativas. las actividades de Para llevar a cabo este proceso. Esto implica reconocer qué desempeños de los estudiantes dan cuenta del logro de los aprendizajes. Se sugiere que la forma de plantear la planificación arriba propuesta sea utilizada tanto en la planificación anual como en la correspondiente a cada unidad y al plan de cada clase. se requiere identificar qué tarea de evaluación es más pertinente para observar el desempeño esperado. Adicionalmente. y la distribución temporal. el tipo de evaluación que se requerirá para verificar el logro de los aprendizajes. La planificación anual: En este proceso el docente debe distribuir los aprendizajes esperados a lo largo del año escolar considerando su organización por unidades. dimensionando el tipo de cambio que se debe observar en los estudiantes. Una vez identificados. Específicamente. y priorizar las acciones que conducirán a logros académicos significativos Para esto el docente debe: Lograr una visión sintética del conjunto de aprendizajes a lograr durante el año. en términos generales.
La planificación de la unidad: Implica la toma de decisiones más precisas sobre qué enseñar y cómo enseñar. asignar los tiempos a destinar a cada unidad. 4 En el Anexo 2 se presenta un ejemplo de calendarización anual. desarrollo y cierre. considerando los feriados. La planificación de clase: Es imprescindible que cada clase sea diseñada considerando que todas sus partes estén alineadas con los aprendizajes esperados que se busca promover y Procurar que los estudiantes sepan qué y por qué van a aprender. considerando la necesidad de ajustarlas a los tiempos asignados a la unidad. y que visualicen cómo lo que aprenderán se relaciona con lo que ya saben y con las clases anteriores. Crear una evaluación sumativa para la unidad Crear una herramienta de diagnóstico de comienzos de la unidad Calendarizar los aprendizajes esperados por semana Establecer el tipo de actividades de enseñanza que se desarrollará Crear un sistema de seguimiento de los aprendizajes esperados. es decir. de repaso. qué aprendieron y de qué manera con la evaluación que se utilizará. Para procurar que esta distribución resulte lo más realista posible se recomienda realizar lo siguiente: • • Listar días del año y horas de clase por semana para estimar el tiempo disponible. esta visión debe aprendizajes esperados de la unidad. especificando claramente qué elementos se considerarán en cada una de estas partes. especificando los tiempos y las herramientas para realizar evaluaciones formativas y realizar retroalimentación. Adicionalmente. y se recomienda los complementarla con los mapas de progreso. Para cada uno de estos momentos de la clase resulta necesario considerar aspectos como los siguientes: Inicio: En esta fase se debe procurar que los estudiantes conozcan el propósito de la clase. La planificación de la unidad debiera seguir los siguientes pasos: Realizar este proceso sin perder de vista la meta de aprendizaje de la unidad Especificar la meta sustentarse en de la unidad. Ajustar el plan continuamente ante los requerimientos de los estudiantes. A la vez se debe buscar captar el interés de los estudiantes. Hacer una calendarización tentativa de los aprendizajes esperados para el año completo. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 16 . Al igual que la planificación anual. se recomienda que cada clase sea diseñada distinguiendo su inicio. así como la realización de evaluaciones formativas y retroalimentación. los días de prueba.4 • • Hacer una planificación gruesa de las actividades a partir de la calendarización. Ajustar permanentemente la calendarización o las actividades planeadas (ver ejemplo en tabla adjunta). qué se espera que aprendan.- Sobre la base de esta visión.
Compartir esta Ofrecer retroalimentación información con los estudiantes permite orientarlos acerca de los pasos que deben seguir para avanzar. pero es central. Permite también desarrollar procesos metacognitivos y reflexivos destinados a favorecer sus propios aprendizajes. El análisis de esta información permite tomar decisiones dirigidas a mejorar resultados alcanzados. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN La evaluación es un proceso que forma parte constitutiva del proceso de enseñanza. fundados en el análisis de los desempeños de los alumnos. así como sobre la utilidad de las estrategias y experiencias desarrolladas para efectos de promover su aprendizaje. • Ser una herramienta útil para la planificación ¿Cómo promover el aprendizaje a través de la evaluación? Las evaluaciones adquieren su mayor potencial para promover el aprendizaje si se llevan a cabo considerando lo siguiente: . . II. sino que cumple un rol central en la promoción y desarrollo del aprendizaje. y que a la vez facilitan involucrarse y comprometerse con éstos. Las Identificar logros y debilidades evaluaciones entregan información para conocer las fortalezas y debilidades de los estudiantes. . No sólo Apoya el proceso de aprendizaje al permitir su monitoreo. Para que la evaluación efectivamente cumpla con esta función debe tener como objetivos. • • Ser un medio con el cual medimos progreso en el logro de los aprendizajes. ¿Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del evaluación? Aprendizaje con la MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 17 . retroalimentar a los estudiantes y sustentar la planificación.Elaborar juicios sobre el grado en que se logran los aprendizajes que se busca alcanzar.Desarrollo: En esta etapa el docente lleva a cabo la actividad contemplada para la clase. y sobre esta base retroalimentar la enseñanza y potenciar los logros esperados dentro del sector. debe ser utilizada como un medio para controlar qué saben los estudiantes.Informar a los alumnos sobre los aprendizajes que se evaluarán. Cierre: Esta etapa puede ser breve (5 a 10 minutos).Retroalimentar a los alumnos sobre sus fortalezas y debilidades. En ella se debe procurar que los estudiantes logren formar una visión sobre qué aprendieron. Esto facilita que Explicitar qué se evaluará puedan orientar su actividad hacia la consecución de los aprendizajes que deben lograr. Proporcionar información que permita conocer fortalezas y debilidades de los estudiantes.
para que los diversos estudiantes puedan resolverlas evidenciando sus distintos niveles y estilos de aprendizaje. métodos. ensayos. progresión o crecimiento de las competencias de un alumno. ¿Cómo diseñar la evaluación? La evaluación debe diseñarse a partir de los aprendizajes esperados. informes de laboratorio. al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa. debates. En lo posible se deben presentar situaciones que pueden ser resueltas de distintas maneras y con diferente grado de complejidad. entrevistas. • Observar el desarrollo. al conocer la descripción de cada nivel.Los Mapas de Progreso ponen a disposición de las escuelas de todo el país un mismo referente para observar el desarrollo del aprendizaje de los alumnos. • Contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno evidenciar sus aprendizajes. • ¿Qué evidencia necesitaría que sus estudiantes exhiban para demostrar que dominan los aprendizajes esperados? (Para esto se recomienda utilizar como apoyo los indicadores de logro que presenta el programa). • ¿Cuáles son los criterios de éxito ¿ Cuáles son las características de una respuesta de alta calidad? y que permitan demostrar la real comprensión del MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 18 . Para esto los mapas de progreso pueden ser de especial utilidad). mapas conceptuales. • Clarificar la expectativa de aprendizaje nacional.. informes. con el objeto de observar el grado en que éstos son logrados. ubicándolos en un continuo de progreso. • ¿Qué preguntas incluirá en su evaluación? Debe formular preguntas rigurosas y alineadas con los aprendizajes esperados contenido evaluado. Los Mapas de Progreso apoyan el seguimiento de los aprendizajes en tanto permiten: Los mapas apoyan diversos aspectos del proceso de evaluación • Reconocer aquellos aspectos y dimensiones que son esenciales de evaluar. preguntas y criterios ¿Qué método empleará para evaluar? Es recomendable utilizar instrumentos y estrategias de diverso tipo (ej. sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa. • … y luego decidir qué se requiere para su evaluación en términos de evidencias. guías de trabajo. Para lograr esto se recomienda diseñar la evaluación junto a la planificación y considerar al desarrollarla las siguientes preguntas: Partir estableciendo los aprendizajes esperados a evaluar … • ¿Cuáles son los aprendizajes esperados del programa que abarcará la evaluación? (Si debe priorizar piense en aquellos aprendizajes que serán duraderos y prerrequisitos para desarrollar otros aprendizajes. investigaciones). pruebas escritas.
como por ejemplo: o Comparar las respuestas de sus estudiantes con las mejores respuestas de otros alumnos de edad similar. Para esto se pueden utilizar los ejemplos presentados en los mapas de progreso. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 19 . o Identificar respuestas de evaluaciones previamente realizadas que expresen el nivel de desempeño esperado. o Desarrollar rúbricas que indiquen los resultados explícitos para un desempeño específico y muestren los diferentes niveles de calidad para dicho desempeño. y utilizarlas como modelo para otras evaluaciones realizadas en torno al mismo aprendizaje.Esto se puede responder utilizando distintas estrategias.
En consecuencia. el cálculo. La tabla siguiente puede resultar útil. Entre estas herramientas se encuentra el cálculo. La matemática ofrece también la posibilidad de trabajar con entes abstractos y sus relaciones. perseverancia y confianza en sí mismo. pertinencia y amplitud de ese conocimiento afecta las posibilidades y la calidad de vida de las personas. ordenado. la visualización espacial y el pensamiento analítico. las cuales se valoran no sólo en la Ciencia y la Tecnología sino también en todos los aspectos de la vida cotidiana. así mismo generando en el receptor. el entorno social valora el conocimiento matemático y lo asocia a logros. Habilidades Matemáticas En el aprendizaje de las Matemáticas se desarrollan competencias intelectuales del estudiante tales como el razonamiento lógico. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 20 . El aprendizaje de la matemática contribuye también al desarrollo de habilidades asociadas a la comunicación. la tecnología y las ciencias se están redefiniendo y complejizando en forma permanente. desempeño y vida de las personas. por ejemplo. jóvenes y adultos construyen sobre sí mismos y sus capacidades. la calidad. Espacios en los que la cultura. • Observar diferencias y similitudes en los énfasis por ciclos de enseñanza. afecta el potencial de desarrollo del país. formular conjeturas. beneficios y capacidades de orden superior. Todo esto contribuye al desarrollo de un pensamiento lógico. el modelamiento y las habilidades para resolver problemas. el análisis de la información proveniente de diversas fuentes. rigurosidad. el razonamiento. Habilidades y Orientaciones Didácticas El aprendizaje de la Matemática ayuda en la comprensión de la realidad y proporciona herramientas para desenvolverse en la vida cotidiana. la capacidad de generalizar situaciones.Matemática: Propósitos. preparando a los estudiantes en la comprensión del medio y de las complejas relaciones que se dan en un espacio simbólico y físico de complejidad creciente. El proceso de aprender matemática. y a nivel de la sociedad. proporcionando precisión y rigurosidad en la presentación de la información. interviene en la capacidad de la persona para sentirse un ser autónomo y valioso en la sociedad. por lo tanto. los sistemas de comunicaciones. crítico y autónomo y al desarrollo de actitudes tales como la precisión. donde las finanzas. las interrelaciones entre naciones y culturas se relacionan y se globalizan. En efecto. El conocimiento matemático y la capacidad para usarlo tienen profundas e importantes consecuencias en el desarrollo. • Situarse en el nivel y observar las habilidades que se intencionaron los años anteriores y las que se trabajarán más adelante. evaluar la validez de resultados y la selección de estrategias para resolver problemas. De esta forma el aprendizaje de la matemática influye en el concepto que niños. para: • Observar transversalmente las habilidades que se desarrollan en el sector • Focalizarse en un nivel y diseñar actividades y evaluaciones que enfaticen dichas habilidades. las competencias para exigir precisión y rigor tanto en la información como en los argumentos que recibe.
Verificar proposiciones simples. Formular conjeturas y verificarlas. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 21 . Analizar la Evaluar la validez validez de los de los resultados obtenidos y el procedimientos utilizados y de empleo de dichos los resultados resultados para obtenidos. explicación y predicción de situaciones y fenómenos del medio que nos rodea. Emplear formas Emplear formas simples de simples de modelamiento modelamiento matemático matemático. De esto se desprende la importancia del esfuerzo que deben hacer los docentes para que todos los estudiantes en nuestro país aprendan los conocimientos y desarrollen las capacidades propias de esta disciplina. Formular y verificar conjeturas. no como fragmentos aislados del conocimiento. Realizar cálculos en forma mental y escrita. Se sugieren en estos programas algunas orientaciones que pueden ayudar a los docentes en su planificación y en sus clases para cumplir con este objetivo: Los conceptos Matemáticos: profundidad e integración Los estudiantes deben desarrollar y explorar las ideas matemáticas en profundidad y deben ver las matemáticas como un todo integrado. Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables. escrita. significativos diversos y diversos y significativos. Ordenar Ordenar números y números y ubicarlos en la ubicarlos en la recta numérica. significativos significativo utilizando los contenidos del nivel. Realizar cálculos Realizar Realizar Realizar cálculos en forma cálculos en cálculos en en forma mental mental y forma mental y forma mental y y escrita. para casos particulares I° medio Analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos Fundamentar opiniones y tomar decisiones. escrita. Diferenciar entre verificación y demostración de propiedades Orientaciones didácticas Este sector está concebido como una oportunidad para que los estudiantes desarrollen aprendizajes para la vida. Se recomienda especialmente en el ciclo básico el uso de material concreto. de trabajos prácticos y el apoyo de la tecnología como parte de estas experiencias de aprendizaje. Habilidades de pensamiento matemático matemático 5° básico 6° básico 7° básico 8° básico Resolver Resolución de Resolución de Resolución de problemas en problemas en problemas en problemas en contextos contextos contextos contextos diversos. ya que la Matemática constituye un área de la cultura poderosa en la comprensión. en casos particulares. escrita. fundamentar opiniones y tomar decisiones.4° básico Resolver problemas en contextos significativos que requieren el uso de los contenidos del nivel. A los estudiantes se les debe enfrentar a variadas experiencias de aprendizaje para ayudarlos a desarrollar una comprensión profunda de los conceptos matemáticos así como sus conexiones y aplicaciones de tal manera que les permita participar activamente y obtener mayor confianza en explorar y aplicar las matemáticas. recta numérica. para algunos casos particulares Ordenar números y ubicarlos en la recta numérica.
hacerlas explícitas. la valoración de las diferencias. límites y posibilidades de conceptos. son considerados parte integrante y valiosa del proceso de construcción del conocimiento. un error puede. el reconocimiento. así como generar situaciones en las que sea natural que los estudiantes formulen y verifiquen conjeturas acerca del comportamiento de los elementos y relaciones con que se trabaja. tanto de los esfuerzos como de los logros. Todo esto. se sugiere el uso de las aplicaciones de la matemática a otras áreas del conocimiento y en la vida diaria. verificar en casos particulares. y de alto impacto en cuanto a su formación para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. ¿de qué otra manera es posible? Adicionalmente. Por esto es central hacer uso frecuentemente de preguntas y situaciones que inviten a buscar regularidades. es un instrumento poderoso en manos del docente. son anclas importantes del conocimiento que debemos proponer a nuestros estudiantes. y se puede estudiar el comportamiento de funciones. tanto propias como las de los demás. de parte del que aprende. propiedades y relaciones. Un ambiente en que el error la duda o pregunta . en manos de un educador. En un clima de construcción. permiten la experimentación con nociones y relaciones. como un apoyo en la construcción del conocimiento matemático. El uso de analogías y representaciones cercanas a los estudiantes. relaciones o procedimientos matemáticos.El uso del contexto Es importante que la matemática sea presentada como una disciplina culturalmente situada. el exceso de énfasis en las habilidades de procedimiento sin comprensión de los principios matemáticos subyacentes debe evitarse. Es una oportunidad para la meta cognición: ¿cómo lo hice?. Uso del error Asociado a un ambiente de búsqueda y de creación. Los procesadores geométricos. con impacto en otras áreas del conocimiento científico o tecnológico. y crear situaciones en las que los estudiantes pueden explorar las características. Razonamiento matemático y resolución de problemas La matemática se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas. son un recurso didáctico altamente recomendado. en un espacio de alto interés para los estudiantes. Con un procesador simbólico. con historia. cartesiana o vectorial. contribuyen a desarrollar en cada estudiante la confianza en sí mismo. analizar los procedimientos por medio de los cuales se resuelve un problema. está el uso adecuado del error. un clima de confianza y la forma que cada uno enfrenta las situaciones de éxito o fracaso. ¿cómo lo hicieron?. de conjeturas en los problemas que aborda. Clima y motivación En el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Matemática se debe propiciar un ambiente creativo y crítico que favorezca la formulación verificación o refutación. resultados . permitiendo que todos los alumnos alcancen los aprendizajes propuesto. en tanto. En este aspecto. especialmente en las etapas de exploración. ambiente en el que los aportes de todos son valorados y puestos en el contexto MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 22 . Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que es posible experimentar con ideas matemáticas. Aunque los estudiantes deben ser competentes en variadas y diferentes habilidades matemáticas. Aprendizaje matemático y desarrollo personal La clase de matemática ofrece abundantes oportunidades para el auto conocimiento y las interacciones sociales. A su vez. con consecuencias y aplicaciones. La pregunta acerca del origen de los conceptos y modelos matemáticos. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático El programa propone el uso de software y ambientes creados con tecnologías digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los estudiantes. grandes números o números muy pequeños pueden ser analizados y dotados de sentido. A su vez. Los procesadores geométricos. de esta forma contribuye al desarrollo del razonamiento por sobre la acción mecánica. simbólicos y de estadística son laboratorios para explorar relaciones y ponerlas a prueba. incluso de alta complejidad. desarrollar la noción de estrategia. sea de la geometría euclidiana. comparar diversas formas de abordar problemas. El error debe considerarse como un elemento concreto para trabajar en clases la diversidad. ser una oportunidad para aprendizajes especialmente significativos. el concepto que cada uno de nosotros tiene acerca de su capacidad para aprender y hacer matemática se ha construido a través de la retroalimentación que la experiencia nos ha brindado. Internet ofrece múltiples ambientes en los que se puede encontrar representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. la aceptación de los logros o acciones de los pares. justificar y cuando sea adecuado. y su ubicación histórica en el desarrollo del pensamiento de la humanidad.
Debe constituirse en un espacio en el que es natural el análisis de las acciones y procedimientos de modo de comparar caminos alternativos. compás o un Caracterizar procesador expresiones geométrico. 6. 5. Calcular multiplicaciones y población. y problemas que involucran 2° semestre Unidad 3 Unidad 4 Números y Geometría Datos y Azar 1. 5. 9. Reconocer que la algunas propiedades5 de las potencias de naturaleza y el método de selección base y exponente de muestras inciden natural. 4. usando aplicarlas en cálculos regla y compás o numéricos. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. multiplicación de potencias de igual exponente. 7. experimentos aleatorios simples. Construir triángulos a a la adición y sustracción de partir de la medida de sus lados y/o números enteros y ángulos. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. Conjeturar y verificar 3. semejantes y reconocerlas en contextos diversos. potencia de una potencia. 2. 6. 1. VISIÓN GLOBAL DEL AÑO Cuadro sinóptico de aprendizajes esperados 1° Semestre Unidad 1 Unidad 2 Números y Álgebra Geometría 1. Establecer estrategias para reducir términos semejantes. simetrales. Seleccionar formas número fraccionario de organización y o decimal positivo. bisectrices y transversales de Sumar y restar gravedad de números enteros e triángulos utilizando interpretar estas operaciones. 4. Calcular eventos a partir de la frecuencia relativa multiplicaciones y obtenida en la cocientes de realización de potencias de base 10 y exponente entero. Predecir la cocientes de probabilidad de potencias de base y ocurrencia de exponente natural. 3. 2. Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 23 . 8. Comprender el Teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. Analizar información presente en diversos potencias de tipos de tablas y exponente natural cuya base es un gráficos. propiedades relativas 3. 2. en el estudio de una 4.de una búsqueda y construcción colectiva. proporción como una 4. Interpretar potencias representación de de base 10 y datos de acuerdo al tipo de análisis que exponente entero. Interpretar 1. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. 3. 8. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. que no admiten solución en los paralelas y números naturales y bisectrices de que pueden ser ángulos usando regla y compás o resueltos en los procesadores números enteros. se quiere realizar. Construir rectas Identificar problemas perpendiculares. por ejemplo. regla y compás o procesadores Reconocer geométricos. Reconocer una procesadores geométricos. ubicar estos números en la recta numérica. Construir ángulos igualdad entre dos utilizando regla y razones. 7. Comprobar de orden entre propiedades de números enteros y alturas. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. 5 Se refiere. Establecer relaciones geométricos. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. 2.
Formular y verificar conjeturas. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. 12. Formular y verificar conjeturas. b. Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural.proporcionalidad. y las potencias de base 10 y exponente entero. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. Resolver problemas en contextos diversos: a. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. 10. 11. Tiempo estimado 40 horas Tiempo estimado 77 horas Tiempo estimado 40 horas Tiempo estimado 63 horas MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 24 . en casos particulares. en casos particulares.
SEMESTRE 1 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 25 .
flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. Conceptos claves Números enteros – proporciones. Proporción como igualdad de razones. decimales o fracciones positivas. Conocimientos previos • • • Operatoria con números naturales. Usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional. rigor. Razón como cuociente entre cantidades. y puedan resolver diversas situaciones cuyos modelos representan situaciones de variación proporcional. Actitudes • • Actitudes de perseverancia. El trabajo con ecuaciones que se propone en este nivel continúa naturalmente ampliando el ámbito numérico. Plantear ecuaciones de primer grado con una incógnita que representan distintas situaciones. para este nivel el enfoque es numérico. fracciones o decimales positivos. El álgebra progresa naturalmente junto al ámbito numérico ya que en este nivel se trabajan expresiones donde los factores de los términos involucrados en ellas están en el ámbito de los enteros y las fracciones y decimales positivos. Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros. Resolver problemas que involucran cálculo de porcentajes usando proporciones. ya que tanto los coeficientes como los valores incógnitos pueden ser números enteros. Es decir. se busca que los estudiantes comprendan los alcances de comparar dos magnitudes estableciendo el cuociente entre ambas. Adición y sustracción de números enteros. Ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números naturales. Ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 26 . Habilidades • • • • • • • • Analizar si un problema tiene soluciones en el conjunto de los números naturales. Resolver problemas que implican ordenar u operar con números enteros. Contenidos disciplinares • • • • Números enteros. Esta unidad también propone un trabajo con razones y proporciones y. Discriminar entre las relaciones proporcionales directas e inversas. si bien es cierto que este tema puede trabajarse desde una mirada algebraica.UNIDAD 1 Números y Álgebra Propósito de la unidad Se espera que en esta unidad los estudiantes sean capaces de resolver problemas de adición y sustracción con números enteros. Resolver problemas y formular conjeturas en diversos contextos en los que se deben establecer relaciones entre conceptos.
Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicar estos números en la recta numérica. las relaciones 6. Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: • • • Dan ejemplos de problemas que admiten solución en los números naturales. y restar Identifican sumas y restas de números enteros en diversos contextos en interpretan estas operaciones en función del contextos. Explican diferencias que se presentan en las ecuaciones asociadas a problemas que admiten solución en los números naturales y las ecuaciones asociadas a problemas que admiten solución en los números enteros Ordenan enteros. • • • Intercalan números enteros entre dos enteros. Por ejemplo. Realizan adiciones y sustracciones en la recta numérica.Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. • • • 5. Por ejemplo. como una • • • • Comparan los cuocientes entre dos razones para plantear una proporción. enteros e • • • • Explican sumas y restas de números enteros. Reconocen expresiones semejantes en contextos geométricos. 4. Discriminan en el entorno entre proporcionales y las no proporcionales. y • • Identifican expresiones semejantes y no semejantes en contextos algebraicos y reconocen las diferencias. Ubican en la recta numérica números enteros sujetos a restricciones dadas. Determinan el término desconocido de una proporción. Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. Argumentan si dos razones forman una proporción utilizando el teorema fundamental de las proporciones. Por ejemplo: 70 – 45 = 70 + (-45) Reconocen propiedades de la adición en los números enteros. Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que pueden ser resueltos en los números enteros. Sumar y restar números interpretar estas operaciones. Dan ejemplos de problemas que admiten solución en los números enteros. de números enteros 3. ubican en la recta numérica números enteros menores que -4 y mayores que -10. Transforman la sustracción entre dos números enteros en una adición de estos. de mayor a menor y viceversa números 2. Caracterizar expresiones semejantes reconocerlas en contextos diversos. Calculan sumas y restas de números enteros utilizando propiedades. Reconocer una proporción igualdad entre dos razones. reconocen que los lados de triángulos expresados en centímetros son expresiones semejantes. Utilizan y elaboran estrategias para sumar números enteros. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 27 .
Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. Establecer estrategias para reducir términos semejantes. la suma 2a + 3b + 3c + a la expresan en la forma 2( a + b + c) + ( a + b + c) y posteriormente la reducen. • Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el ámbito numérico de los enteros. Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solución del problema. Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos contextos. Por ejemplo. Verifican si la solución de la ecuación es la solución del problema Comunican en forma oral u escrita las soluciones del problema. semejantes utilizando Convierten sumas y restas de términos en expresiones semejantes y las reducen. 8. Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa. • • • • • • • • • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 28 . Utilizan las propiedades de la adición en el conjunto de los números enteros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas.7. Identifican la incógnita del problema y le asignan un nombre de x por ejemplo. y problemas que involucran proporcionalidad. fracciones positivas o decimales positivos. Resuelven correctamente la ecuación resultante. Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enunciado del problema. • • Reducen sumas de términos estrategias establecidas.
rigor. Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. Es responsable en la tarea asignada. • • • • • • • Tener un orden y método para el registro de información.Aprendizajes esperados en relación a los OFT Actitudes de perseverancia. Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos numéricos y algebraicos en actividades grupales. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. Terminar los trabajos iniciados. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 29 . Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos Participar de manera propositiva en actividades grupales. Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presente en problemas matemáticos numéricos y algebraicos.
cuando los grupos se generan por capacidades. de lo contrario se expone a que apelen sólo a la memoria e intenten recordar reglas y procedimientos carentes de sentido. Respecto a las operaciones de adición y sustracción. es más. las reglas para operar con números enteros no suelen ser de fácil comprensión para los estudiantes. los estudiantes presentarán sistemáticamente problemas en el despeje de una ecuación del tipo x – 3 = 5. Los algoritmos tradicionales de “pasar de un lado para otro” generan aprendizajes de reglas mecánicas que sin comprensión instalan errores en los estudiantes que permanecen por largo tiempo. Esta es una de las razones por la cual es común en este nivel encontrar estudiantes que generan nuevas reglas. por sobre la ejercitación rutinaria. “pasando” el 3 positivo al otro lado de la igualdad. su única posibilidad es apelar a la memoria. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 30 . por el solo hecho de asociar el signo negativo solo a la sustracción. en particular en la relevancia que estos números tuvieron en la resolución de problemas y en la representación de cantidades negativas. por ejemplo cuando se trata de representar las deudas.Observaciones al docente En esta unidad. se recomienda al docente poner especial cuidado en los procedimientos que seleccione para la resolución de ecuaciones de primer grado con números positivos y negativos. entregando actividades adicionales para aquellos más aventajados y permaneciendo más tiempo con aquellos que muestren más dificultades. Se recomienda iniciar el trabajo con los números enteros situando a los estudiantes en su contexto histórico. También resulta interesante presentar los números enteros a partir de situaciones que no tienen solución en los números naturales. sino se ha trabajado correctamente la interpretación del signo negativo de un número versus el signo de la sustracción. En la formación de grupos de estudio en matemática no es requisito que sean necesariamente heterogéneos. Una posibilidad para filtrar este tipo de errores es fomentar el trabajo y desarrollo de actividades en parejas o pequeños grupos. tanto para intentar gravar ideas y conceptos como para recordarlos más tarde. Cuando un estudiante no comprende lo que está haciendo. cero grado no representa “templado”. generalmente incorrectas a partir de un grupo de reglas válidas. Se recomienda la utilización de metáforas y representaciones visuales para facilitar la comprensión de los procedimientos involucrados. se propone un trabajo integrado entre álgebra y números. por ejemplo. en un contexto de temperaturas. se les puede mostrar que dos variables no necesariamente están en proporción directa cuando el crecimiento de una de ellas implique el crecimiento de la otra. por ejemplo. por ejemplo. observar con los estudiantes como el cero representa situaciones distintas dependiendo del contexto en que se encuentra. En cuanto a la proporcionalidad. buscando de esta manera apoyar el establecimiento de conexiones entre estas dos áreas. si el contexto fuese de altitudes. Una discusión atractiva en la presentación del conjunto de los enteros es la interpretación del cero. Al trabajar con ecuaciones. las temperaturas o altitudes. el cero representa el nivel de mar. sino que el punto de congelación del agua. para la proporcionalidad directa. le permitirán al docente diferenciar los trabajos. se sugiere trabajar actividades que ofrezcan la posibilidad de observar la proporcionalidad directa e inversa en variados contextos que posibiliten comparar entre ellas y con magnitudes que no se relacionan proporcionalmente.
Exponen las situaciones encontradas y justifican la necesidad de un conjunto numérico con números negativos. Por ejemplo: a) En una semana de invierno en una ciudad se registraron las siguientes temperaturas mínimas: lunes: -2ºC martes : -5ºC miércoles: 0ºC jueves : 1ºC viernes: 4ºC sábado: -6ºC domingo: -6ºC ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas esa semana en esa ciudad? b) ¿Qué número sumado con el doble de 5 da como resultado 0? A continuación les pide que propongan este tipo de problemas y que argumenten respecto a qué diferencia uno de estos problemas y otros que admiten solución en los naturales. 5.Los estudiantes indagan en diferentes medios de comunicación para extraer situaciones contextualizadas que estén representadas por números enteros (que incluya positivos y negativos). 4.El docente exhibe a sus estudiantes situaciones cuyos modelos son ecuaciones con soluciones en los números naturales y les propone que: • • Inventen ecuaciones con solución en los naturales. las ecuaciones: a) b) 2 x + 1 = 17 3 x − 2 = 16 2.El docente exhibe a sus estudiantes ejemplos de problemas que no tienen solución en los naturales: ...Los estudiantes resuelven mentalmente y de manera escrita una lista de ecuaciones de primer grado cuya solución es un número natural... 3. El docente y sus estudiantes revisan estas propuestas de problemas y caracterizan estas diferencias.Ejemplos de actividades AE 1: Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que pueden ser resueltos en los números enteros. Inventen problemas cuyo planteamiento sean ecuaciones con soluciones en los naturales.. Actividades 1. Por ejemplo.En contextos matemáticos.En contextos cotidianos. . y argumentan acerca de las estrategias empleadas. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 31 .
suman y restan números enteros. en este ejemplo.- Ordenan. que mientras más a la derecha se encuentren los números. 4. 3. de manera que los enteros negativos queden asociados con los enteros negativos y los positivos con los positivos. ubican enteros que se encuentren entre -5 y 5. 50-35+24-36-47. en este caso 74-118. les presenta pares de sumas: -24+(-48) 35+(-10) -48+(-24) -10+35 -8+(-15) Les propone que efectúen las operaciones involucradas y que reconozcan la propiedad conmutativa de la suma. • • • • • • El año 1492 DC corresponde al año del descubrimiento de América y al comienzo de los tiempos modernos. ®4. por ejemplo.El docente trabaja sumas de enteros y les pide que reconozcan propiedades de esta operación... El año 476 DC marca el fin de la Edad Antigua. por ejemplo.Los estudiantes ubican números enteros en la recta numérica de acuerdo a restricciones dadas. AE 3: Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones.. La invención de la escritura data del año 3000 AC.AE 2: Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicar estos números en la recta numérica.Ordenan.. 2.Expresan restas de enteros positivos como sumas.. ubiquen enteros mayores que -20 y menores que -4 y que sean pares. por ejemplo: Ubican en una línea de tiempo las siguientes fechas.Leen datos sobre temperaturas máximas y mínimas y responden preguntas del tipo: a) b) ¿Cómo se determina la diferencia de temperaturas en un día? ¿Cuál fue la máxima variación de temperaturas registradas? MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 32 . mayores son. que los números negativos cercanos al cero son mayores que los más alejados de el.. por ejemplo. Los primeros desarrollos de la agricultura están fechados en el 8000 AC aproximadamente. 40-75-23 como 40+(-75)+(-23). información referida a fechas importantes. de menor a mayor.. Actividades 1. (-35-3647)+(50+24) y expresan el resultado como una resta. por ejemplo. Actividades 1. La Segunda Guerra Mundial finalizó el año 1945 DC. 3.Establecen resultados respecto a la posición de los números ubicados en ella. AE 4: Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. Por ejemplo. En el año 1789 DC se produjo la Revolución Francesa.Los estudiantes dibujan la recta numérica que utilizan para ubicar números naturales y la extienden a aquella que incluya el cero y números enteros negativos. 2.
donde se realicen adiciones y sustracciones con números de distintos signos.El docente muestra a sus estudiantes una serie de situaciones relativas a proporciones y define los elementos involucrados en ellas.c) ¿Qué puede decir respecto a la suma de las variaciones registradas? Observaciones al docente: Es importante no entregar a priori reglas como “restar dos números negativos. Con el fin de completarlas.Deducen de la proporción a : b = c : d ... e identifican el valor de esa constante. lo que es una proporción y la razón de proporcionalidad o factor de conversión. para que luego el docente observe los errores y los haga reflexionar sobre ellos. Por ejemplo. AE 5: Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones. donde a. Determinen la constante de proporcionalidad en situaciones de proporcionalidad en contextos diversos. En el caso del perímetro asociado al lado 7. 2. todas las igualdades posibles. ax = bc .5 2 3 .Deducen que la razón entre el peso de un cuerpo y su masa es constante.. Por ejemplo. b. = o x 4 2 x = 0. conocido que la relación entre el lado de un cuadrado y su perímetro es proporcional. 3.Utilizan distintas estrategias para resolver ecuaciones que se transforman en la forma son números enteros. Actividades 1. plantean ecuaciones que permiten completar los valores de la siguiente tabla. Los problemas de temperaturas no cubren todas las posibilidades de operaciones con números enteros.Plantean ecuaciones relativas a situaciones que involucran pares de magnitudes proporcionales. define lo que es una razón. se podría plantear la ecuación Lado del cuadrado 1 2 3 7 36 48 15 1 4 = 7 x Perímetro 4 16 ®5. o fracciones positivas. Por otra parte. se propone que el docente plantee ejercicios numéricos o problemas. o decimales positivos y x es la incógnita. c 2 3 Por ejemplo. a b = c d 4. es importante también que redacten en su propio lenguaje las conclusiones... De esta manera.. Les pide que: • • • Reconozcan razones en contextos diversos.” sino que incentivar a los estudiantes a que observen los diferentes casos y que hagan las asociaciones correspondientes entre la adición y la sustracción.. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 33 . Relacionen razones con proporciones en situaciones en contextos diversos.
Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros.8 6. 6. Plantear la ecuación que relaciona los ángulos interiores del triángulo. AE 8: Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos.Aplican la reducción de términos semejantes en cálculos en contextos diversos.Plantean y resuelven ecuaciones relativas a problemas en contextos diversos.AE 6: Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos. Actividades 1.7 5. donde a es una constante. doble → 2 .El docente presenta a sus estudiantes problemas sobre enteros.. Por ejemplo: la suma entre el doble de un número y el triple de 5 equivale a cuatro veces 6. 2.Convierten términos no semejantes en términos semejantes modificando su parte literal.Resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes fraccionarios o decimales positivos.. 3.2 6. y en su resolución aplica propiedades referidos a adiciones y sustracciones. uno de sus ángulos interiores mide 30°. Posteriormente les pide que indaguen en libros de matemática y en Internet acerca de problemas donde se aplican estas propiedades para su resolución.A partir de una lista de términos algebraicos de la forma abc . y las utiliza para traducir expresiones en lenguaje común a lenguaje matemático. Sólo le falta una nota para cerrar el promedio y sus notas hasta el momento son: 5... 7uv . identifican los términos que son semejantes en las listas siguientes: n 2 x. 5 x u a) 2.. . calculan perímetros de polígonos cuyos lados están expresados mediante términos algebraicos con coeficientes en el ámbito de los racionales y entregan el resultado de manera reducida. 3u v. − y .El docente entrega a sus estudiantes una serie de equivalencias entre palabras del lenguaje común y el lenguaje matemático. modifican el exponente de y en el término 2x 2 y 4 para que sea semejante a 2x 2 y 4 3. 2x + 3 ⋅ 5 = 4 ⋅ 6 .Plantean ecuaciones utilizando lenguaje matemático.. lo traduce en la forma propone que traduzcan expresiones del lenguaje común al lenguaje matemático y viceversa.7 ¿Cuál es la nota mínima que necesita para obtener el promedio deseado? 4.8 6. 5 y . − 5vu . Por ejemplo. evaluando la pertinencia de la solución en el contexto original del problema. 5. y problemas que involucran proporcionalidad..3 y así eximirse del examen final.Reducen términos semejantes en sumas y restas de expresiones algebraicas.. Por ejemplo. Por ejemplo. identifican los términos semejantes. 3 y . y expresiones en lenguaje matemático a lenguaje común. 4 x. evaluando la pertinencia de la solución en el contexto original del problema. de → ⋅ . Por ejemplo: Marisol está calculando la nota que necesita para obtener de promedio un 6. x. − 7 y 2 2 2 2 2 c) ux . AE 7: Establecer estrategias para reducir términos semejantes. Por ejemplo. Por ejemplo. 4. En un triángulo cualquiera. Actividades 1.. El segundo ángulo interior es el doble del tercero.4a . como el cálculo de calificaciones conocidas algunas notas y el promedio. − 5 y 2 4 2 4 4 b) 2a .5 6. Les MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 34 ..
Verifican si la solución de la ecuación es solución del problema Comunican en forma oral u escrita las soluciones del problema. x por ejemplo.Observaciones al docente: Se sugiere al docente cerciorarse que la resolución de la ecuación no se transforme en un procedimiento mecánico.. Aplican proporcionalidad directa para calcular porcentajes en diversos contextos. fracciones positivas o decimales positivos. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que justifiquen matemáticamente sus respuestas. Resuelven correctamente la ecuación resultante. Instrucciones. Calculan problemas relativos a proporcionalidad directa. Léelo cuidadosamente y responde las preguntas planteadas MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 35 . Además debe poner atención en la interpretación que los estudiantes hagan de los resultados finales. y problemas que involucran proporcionalidad. Utilizan las propiedades de la adición en el conjunto de los números enteros para resolver problemas asociados a situaciones aditivas. 8.. Les presenta problemas para que los resuelvan y les pide que justifiquen matemáticamente sus respuestas. Identifican la incógnita del problema y le asignan un nombre.El docente caracteriza las proporcionalidades directas y discute con ellos ejemplos referidos a situaciones donde se presenta este tipo de proporcionalidad. y pedir que expliquen el resultado obtenido. 7. Establecen las relaciones entre las variables que se desprenden del enunciado del problema.El docente caracteriza las proporcionalidades inversas y pide a sus estudiantes que comparen ambos tipos de proporciones y que den conclusiones al respecto. A continuación se presenta un problema. Indicadores de Evaluación: • • • • • • • • • • Identifican situaciones que se pueden abordar mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado en el ámbito numérico de los enteros. Distinguen los datos relevantes de los irrelevantes para la solución del problema. Actividad de Evaluación Aprendizaje Esperado: Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos.
Si representamos por z el número de chocolates rellenos con ? licor de naranja ¿qué representa la expresión 4. 2. licor de naranja y licor de guinda. Comunica. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 36 . número de bombones. Responde la pregunta del problema. Identifica las incógnitas del problema: número de bombones rellenos con manjar. Reconoce las relaciones entre datos e incógnitas del problema. 6. Fundamenta. Establece una ecuación cuya solución es la solución del problema. Escribe una ecuación cuya solución sea respuesta a la pregunta planteada en el problema.Situación Criterios de evaluación: 1. está adornada con 2 cintas de color y contiene 70 bombones rellenos con manjar. La caja de la figura. la solución del problema. 5. y el número de bombones rellenos con licor de naranja es el doble que el número de bombones rellenos con licor de guinda. ¿Cuántos bombones de cada tipo hay en la caja? Preguntas: 1. Justifica. El número de bombones rellenos con manjar es el doble que el número de bombones rellenos con licor de naranja. Resuelve la ecuación en forma correcta. Distingue los datos relevantes de los irrelevantes del problema. 5. 4. ¿Qué datos del enunciado es o son irrelevantes a la solución del problema? 3. 3. ¿Qué datos entrega el enunciado que son necesarios para resolver el problema? 2. número de bombones rellenos con licor de naranja. por escrito.
Triángulos según sus lados y según sus ángulos. bisectrices. Actitudes • • Actitudes de perseverancia. Caracterización de elementos lineales del triángulo mediante regla y compás o un procesador geométrico. Construcción de ángulos y triángulos mediante regla y compás o un procesador geométrico. Realizar construcciones de ángulos. rectos y obtusos. Prerrequisitos • • • • Rectas paralelas y perpendiculares. base de estas construcciones. Se inicia la unidad con los trazados fundamentales en el plano. simetrales. alturas. base de las construcciones. Contenidos disciplinares • • • • • Trazados fundamentales en el plano mediante regla y compás o un procesador geométrico. Bisectrices. a través de las construcciones geométricas con regla y compás o un procesador geométrico. tales como el trazado de perpendiculares. transversales de gravedad. Realizar justificaciones de construcciones. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 37 . Conceptos claves Construcciones de triángulos – construcciones de ángulos – justificación de las construcciones – trazados fundamentales. Justificación de construcciones geométricas realizadas mediante regla y compás o un procesador geométrico Redacción de pasos de una construcción mediante regla y compás. copiado de segmentos y ángulos. Habilidades • • • • • Realizar trazados fundamentales en el plano. Se caracterizan los elementos lineales de los triángulos y se comprueban algunas de sus propiedades. paralelas. rigor. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. y se construyen ángulos utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Ángulos agudos. y la posibilidad de desarrollar la deducción. Realizar construcciones de triángulos según lados y ángulos. Se construyen triángulos a partir de las medidas de sus lados y/o ángulos. Caracterizar elementos lineales de triángulos.UNIDAD 2 Geometría Propósito de la unidad Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de resolver desafíos que estimulen el pensamiento y la imaginación.
Construir ángulos utilizando instrumentos manuales o un procesador geométrico. construyen hexágonos regulares utilizando el ángulo 60°. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos utilizando instrumentos manuales o procesadores geométricos. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. bisectrices y transversales de gravedad de un triángulo equilátero. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos.5° mediante bisecciones del ángulo de 60°. utilizan los ángulos 60° y 90° para construir el ángulo 150°. Construyen la altura de un paralelogramo utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Utilizan regla y compás para construir ángulos mediante bisecciones consecutivas de ángulos. • • 3. • • • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 38 . Comprobar propiedades de alturas. Construir rectas perpendiculares. 2. 4. construyen 7.Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: 1. Por ejemplo. Por ejemplo. Redactan pasos para construir triángulos dados las medidas de sus lados. Dividen segmentos en partes iguales utilizando regla y compás. • • • • Bisectan ángulos que se forman entre rectas oblicuas utilizando regla y compás. simetrales. Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas para construir triángulos. Construyen ángulos mediante regla y compás o un procesador geométrico utilizando construcciones de ángulos conocidas. Utilizan construcciones de ángulos hechas para construir mediante regla y compás polígonos regulares. • • • Determinan si un conjunto de datos son suficientes para construir un triángulo. paralelas y bisectrices de ángulos usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. Por ejemplo. Comprueban utilizando regla y compás la relación que existe entre las alturas. Construyen paralelas a lados de triángulos utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Comprueban utilizando regla y compás propiedades de las bisectrices de un triángulo.
de pasos posteriormente. por lo tanto se sugiere al docente que se deben dar para lograr construcciones pedidas y la secuencia de pasos es correcta usando regla y compás o En las actividades que diseñe el docente. Es responsable en la tarea asignada. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • • • • Participar de manera propositiva en actividades grupales. Observaciones al docente El foco de esta unidad. puede resultar más exitoso partir de la construcción del triángulo equilátero y posteriormente realizar la bisección de un ángulo interior del triángulo. los estudiantes podrán verificar si un procesador geométrico. tal y como lo sugieren los aprendizajes esperados. flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. Proponer alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. está puesto en la construcción de figuras geométricas a través de regla y compás o por medio de un software de geometría.Aprendizajes esperados en relación a los OFT Actitudes de perseverancia. • • • Demostrar un método para realizar las construcciones geométricas. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 39 . El trabajo en construcciones se presta de manera natural para trabajar en grupos y en ambientes distintos a la sala de clases. estudiantes sistematicen y ordenen instrucciones las cuales con éxito la construcción. por ejemplo. rigor. Desarrollar tenacidad frente a obstáculos o dudas que se le presente en problemas propuestos sobre construcciones. Tomar iniciativa en actividades de carácter grupal. debe resaltar en todo momento la secuencia. si el objetivo es construir un ángulo de 30º. Las construcciones en geometría permiten que los requieren seguir de forma rigurosa para completar trabajar la redacción en el cuaderno. Terminar las construcciones iniciadas. orden y que respeten en todo momento los conocimiento previos que los estudiantes poseen. El monitoreo de actividades de construcción geométricas resulta ser más fácil que en otros temas debido a que el producto al que tienen que llegar los estudiantes es muy concreto.
Por ejemplo. I CB.El docente da a sus estudiantes las propiedades de las transversales de gravedad de triángulos y les pide que utilizando regla y compás las verifiquen. trazar una circunferencia. Actividades 1. AE 2: Comprobar propiedades de alturas.Trabajan copiando ángulos y trazos. bisectrices. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 40 . utilizando regla y compás de pizarra. donde d (P. El docente verifica. Paso 2: Con centro en A y con centro en B trazar circunferencias CA y CB de radio r. cuando sea posible.Triángulos rectángulos .. que al ejecutar estos pasos se logra la construcción. simetrales. una construcción de rectas paralelas diferente a las construidas por los estudiantes. Paso 3: Trazar la recta que pasa por P y cualquiera de los puntos que pertenecen a CA pedida. paralelas y bisectrices de ángulos usando regla y compás o procesadores geométricos. Los guía solicitándoles que repasen la construcción de rectas perpendiculares a una recta L que pasa por un punto P cuando P ∈ L. El docente. Se sugiere al docente revisar las redacciones hechas por los estudiantes en conjunto con ellos y dar indicaciones para mejorarlas en caso que ellas presenten imperfecciones.Triángulos equiláteros . muestra la redacción de los pasos para construir la perpendicular a L que pasa por P cuando P∉ L: Paso 1: Con centro en P y radio r>d (P..Los estudiantes caracterizan las alturas. y transversales de gravedad de: . Actividades 1. Denotar por A y B los puntos en los que la circunferencia corta a L.El docente solicita a sus estudiantes que redacten los pasos para la construcción de una recta paralela a una recta L que pase por un punto P del plano y que verifiquen la construcción ejecutando los pasos. 2. el docente dice a sus estudiantes que las bisectrices de un triángulo se cortan en la razón 2 es a 1. Los estudiantes verifican esa propiedad usando regla y compás.Ejemplos de actividades AE 1: Construir rectas perpendiculares.Triángulos isósceles 2.. Esta es la recta Observaciones al docente: Se sugiere al docente mostrar. Observaciones al docente: Se sugiere al docente previo a la determinación de sumas y restas de ángulos trabajar copiados de ángulos sobre rectas y copiados de ángulos sobre las rectas que determinan los lados de ángulos. a modo de ejemplo. L). bisectrices y transversales de gravedad de triángulos utilizando regla y compás o procesadores geométricos. Con este propósito los estudiantes observan ángulos y encuentran sumas y restas de ellos utilizando regla y compás.. L) denota la distancia entre P y L.
Construyen un triángulo equilátero de lado cualquiera y lo utilizan para construir un ángulo de 30°.. dados el lado AB = c. el ángulo CAB= el ángulo CBA= β. 2.Comprueban utilizando regla y compás que en un triángulo isósceles la altura.Elaboran estrategias para construir mediante regla y compás ángulos y las verifican utilizando regla y compás. Por ejemplo.Utilizan Geogebra para construir ángulos de distintas medidas..Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo de lados dados.. Actividades 1. 3. AE 3: Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. α y Observaciones al docente: Es importante que el docente sugiera a sus estudiantes que previo a la redacción realicen un bosquejo del triángulo que se desea construir y que se guíen en él para redactar esos pasos. AE 4: Construir ángulos utilizando instrumentos manuales o un procesador geométrico.. redactan los pasos para construir el triángulo de lados: a b c 2.. A continuación verifican esas construcciones ejecutando los pasos redactados. Por ejemplo. por ejemplo. usando instrumentos manuales o procesadores geométricos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 41 . Verifican la construcción redactada ejecutando los pasos mediante regla y compás. elaboran una estrategia para construir el ángulo de 150° y la verifican utilizando regla y compás.Los estudiantes redactan los pasos para construir un triángulo ABC. Se sugiere al docente mostrar al estudiante redacciones técnicas relativas a la construcción con regla y compás.. Actividades 1. transversal de gravedad y bisectriz correspondientes coinciden. “trazar un arco de circunferencia con centro en un punto dado y con un radio dado”.3.
Construyen el triángulo apoyados en una figura análisis. su acuerdo o desacuerdo con la afirmación dada en 2.Actividad de Evaluación Aprendizaje Esperado: Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. 2. ¿Está de acuerdo con esa afirmación? Fundamente su respuesta. Argumentan. 3. • Si su respuesta es NO. utilizando dichas varillas. Pregunta: ¿Es posible construir dicha figura? • Si su respuesta es SÏ. Instrucciones. 5. Verifican mediante regla y compás redacciones realizadas para construir triángulos. se puede o no construir un triángulo. de modo que la longitud de los lados de la figura coincida con la longitud de las varillas. usando regla y compás o procesadores geométricos. comprendido entre ellos mide 65 °. correctamente. argumente por qué no es posible su construcción. fundamente su respuesta y construya con regla y compás una representación geométrica de ella. Establecen si con los datos de la situación 1. se puede construir un triángulo conociendo sólo datos lineales (sin datos angulares). 12cm y 8cm de largo. Se tienen tres varillas de 4cm. Argumentan porqué es posible o no la construcción del triángulo en la situación 1. Redactan pasos para construir triángulos dados las medidas de sus lados. Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las preguntas. 4. Se afirma que una condición necesaria (pero no suficiente) para construir un triángulo es que uno de los datos dados sea uno de sus elementos lineales y que sin embargo. Criterios de Evaluación: 1. 3. Situación: 1. Indicadores de Evaluación • • • Determinan si un conjunto de datos son suficientes para construir un triángulo. 2. Construir un triángulo si se sabe que los de sus lados miden 10 cm y 9 cm y el ángulo. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 42 . Discuten las soluciones posibles. Se quiere construir una figura triangular.
SEMESTRE 2 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 43 .
verificar y aplicar propiedades de las potencias. Contenidos disciplinares • • • • • Potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de base 10 con exponente entero. Se espera que los estudiantes interpreten estos números. Esta es la ocasión que tienen además. Actitudes • Trabajo en equipo y la iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. su cálculo y su estimación. Volúmenes de prismas rectos y pirámides. Conceptos claves Potencias de base fraccionaria o decimal – potencias de base 10 y exponente entero – raíz cuadrada – teorema de Pitágoras – volumen de prismas y pirámides – variación de perímetros de polígonos. Perímetro de figuras planas. Utilizar estrategias para calcular volúmenes de prismas rectos y pirámides. y de formular y verificar conjeturas relacionadas con el volumen y perímetro de las formas geométricas en estudio. Habilidades • • • • • • Interpretar información expresada en potencias. Conjeturar. Se les presenta la oportunidad de trabajar el concepto de raíz cuadrada. apliquen algunas de sus propiedades. Formular y verificar conjeturas respecto a la variación del perímetro de polígonos al variar sus elementos lineales. Establecer relaciones entre potencias y raíces cuadradas. conjeturen respecto a ellas. Elementos de prismas rectos y pirámides. Teorema de Pitágoras y teorema recíproco de Pitágoras. incluyendo el matemático. Prerrequisitos • • • Potencias de base y exponente natural. Estudio de la variación en el perímetros de polígonos. de utilizar estrategias para obtener el volumen de prismas rectos y pirámides. Resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras.UNIDAD 3 Números y Geometría Propósito de la unidad Esta unidad ofrece a los estudiantes la posibilidad de profundizar sus conocimientos respecto a las potencias de base y exponente natural extendiendo sus propiedades a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural y a potencias de base 10 y exponente entero. Raíz cuadrada de un número entero positivo. y utilizar este conocimiento para aplicar el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos diversos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 44 . y verifiquen estas conjeturas formuladas.
Dividen potencias de base y exponente natural utilizando propiedades. Dividen potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y exponente natural utilizando propiedades. Estiman en forma mental y de manera escrita números que son cuadrados perfectos. • Sugerencias de indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: Identifican situaciones que pueden ser representadas por medio de potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. • • 5. Interpretan información expresada por potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva Identifican situaciones que pueden ser representadas por medios de potencias de base 10 y exponente entero. multiplicación de potencias de igual exponente. Interpretar potencias exponente entero. Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras. • • • • Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras. • 2. Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 45 . de base 10 y • • 3. Calculan en forma mental raíces cuadradas en casos simples. Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente entero. • • Multiplican potencias de base fraccionaria positiva o decimal positiva y exponente natural utilizando propiedades.Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. potencia de una potencia. Conjeturar y verificar algunas propiedades6 de las potencias de base y exponente natural. • • Descubren regularidades relativas a propiedades de las potencias de base y exponente natural. Comprender el Teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. • • • 16 . a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. 6 Se refiere. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. de manera manual o utilizando un procesador geométrico. Multiplican potencias de base y exponente natural utilizando propiedades. por ejemplo 7. 8. en forma manual o utilizando un procesador geométrico. 6. • • Relacionan la raíz cuadrada de un número entero positivo con las potencias de exponente dos. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo. Verifican en casos particulares el teorema de recíproco de Pitágoras. Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos geométricos. 4. Identifican en forma mental y de manera escrita números que no son cuadrados perfectos. Verifican conjeturas relacionadas con las propiedades de las potencias de base y exponente natural. Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural. por ejemplo. Relacionan raíces cuadradas con números positivos.
Utilizan estrategias para obtener el volumen de paralelepípedos y expresan el resultado en la unidad correspondiente. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente. Verifican que un triángulo no es rectángulo utilizando el teorema de Pitágoras. • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 46 . Formular y verificar conjeturas. • • • Proponer ideas durante el trabajo con sus pares en la clase. Es responsable con los compromisos asumidos en actividades grupales. Resuelven problemas relativos a cálculos de lados en triángulos rectángulos. por ejemplo. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el volumen de prismas rectos cuando varían las medidas de los lados de su base y su altura. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. Utilizan estrategias para obtener el volumen de pirámides rectas expresando los resultados en la unidad de medida correspondiente. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de rombos cuando varían la medida de sus diagonales. Conjeturan acerca de los cambios que se producen en el perímetro de paralelogramos cuando varían las medidas de sus lados. • b) • • • • • Aprendizajes esperados en relación a los OFT El trabajo en equipo y la iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. • • • • 10. Construyen ángulos rectos utilizando el teorema recíproco de Pitágoras. • • 12. Aplican el teorema de Pitágoras para calcular longitudes en figuras planas. Utilizan las propiedades de las potencias de base 10 y exponente entero para resolver problemas que involucren este tipo de potencias.9. Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los cambios que se producen en el perímetro de rectángulos cuando varían sus lados. Resolver diversos: a) problemas en contextos • Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. • • • Reconocen la unidad de medida de volumen en contextos diversos. Interpretan información relativa a volúmenes de cubos en contextos diversos. calculan los lados de triángulos rectángulos. en casos particulares. • 11. Formular y verificar conjeturas. Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. construyen el ángulo recto dividiendo una cuerda en 23 partes iguales. Tomar iniciativa en relación al trabajo colectivo. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. Utilizan la calculadora para resolver problemas que involucren raíces cuadradas de números enteros positivos cuando su resultado es un número irracional. Evalúan las soluciones de problemas resueltos en función del contexto del problema. Por ejemplo. en casos particulares. Utilizan las propiedades de las potencias de base y exponente natural para resolver problemas que involucren este tipo de potencias. y las potencias de base 10 y exponente entero. Verifican en casos particulares las conjeturas formuladas acerca de los cambios que se producen en el volumen de prismas rectos cuando varían las medidas de los lados de su base y su altura.
los que en general son energéticos y dispersos. la cual es posible de resolver saber su resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. en el caso de potencias con base fraccionaria. Finalmente. El énfasis debiera estar puesto en la detección de ciertas regularidades en el desarrollo de potencias de este tipo. los estudiantes tendrán la posibilidad de resolver problemas en contextos matemáticos y cotidianos aplicando ambos teoremas. debido a la edad de los estudiantes del nivel. como por ejemplo (0. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 47 . La utilización de material concreto suelen ser de ayuda en la verificación de las relaciones que se producen. También resultan desafiantes actividades conducentes a detectar ciertas reglas que se dan con las potencias de base decimal. es decir multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. El trabajo con potencias específicamente en esta unidad. las potencias pueden ser representadas como una multiplicación iterada.02)4. amplía el campo de potencias con base y exponente natural a potencias con exponente natural también pero con base fraccionaria o decimal positivo. El docente podría construir actividades que posibiliten que los estudiantes conecten sus conocimientos previos con los nuevos conceptos. La raíz cuadrada en este contexto aparece casi natural y pueden ser trabajadas tanto con resultados naturales como decimales. sin embargo en el nivel no están propuestos los números irracionales por lo que el énfasis debe estar solo en la relación que tiene la raíz cuadrada de un número entero positivo con las potencias cuadradas. es probable que requieran de monitoreo permanente. En este contexto. De esta manera. presentar a los estudiantes actividades que involucran variaciones en las medidas de las aristas de prismas y pirámides. sin embargo. en el caso de las figuras 3D. por ejemplo. por ejemplo de pequeños avances que deban reportar en períodos de tiempos relativamente cortos.Observaciones al docente. verificando que las propiedades ya estudiantes para potencias son válidas también para potencias de base fraccionaria y decimal positiva. El teorema de Pitágoras en una buena instancia para introducir la necesidad de verificar propiedades y relaciones geométricas trabajando no solo su verificación directa. debiera surgir naturalmente la regla que dice “que el exponente multiplica tanto al numerador como al denominador. ya que esto facilitará la realización de conjeturas relativas a los cambios que se producen en el volumen de estos cuerpos cuando varían las medidas de sus aristas y les facilitará la verificación en casos particulares de las conjeturas formuladas. las actividades que se les presente a los estudiantes debieran poder facilitar el establecimiento de conjeturas y su posterior verificación. sino también su recíproco. Dado que el exponente aún es un número natural. El trabajo en parejas o grupos de discusión en torno a una problemática resultan ser atractivos para los estudiantes. Se sugiere profundizar la comprensión de estos teoremas. Las propiedades de potencias entonces serán una ampliación normal de las propiedades de las potencias para base y exponente natural. su verificación y sus aplicaciones utilizando algún software geométrico en la medida que el establecimiento disponga de los recursos.
. que comprueben conjeturada en la multiplicación: la propiedad 75 ⋅ 73 7 Se refiere.. AE 3: Conjeturar y verificar algunas propiedades 7 de las potencias de base y exponente natural. 3. Actividades 1. Actividades 1. Esa será la conjetura. que expresen multiplicaciones del tipo 23 ⋅ 2 4 en la forma 7 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅ 2⋅2 los exponentes de la multiplicación Que posteriormente relacionen 2 3 ⋅ 2 4 con el exponente del resultado de la multiplicación anterior: 2 . por ejemplo..Los estudiantes realizan las siguientes actividades: .3cm.Conjeturan acerca de la multiplicación de potencias del tipo naturales.Verifican la conjetura formulada Observaciones al docente: El docente puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. AE 2: Interpretar potencia de base 10 y exponente entero. 2. Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario hasta que descubran un patrón y lo generalicen. por ejemplo.. potencia de una potencia.Interpretan información expresada en potencias de base 10 y exponente entero. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. multiplicación de potencias de igual exponente.Ejemplos de Actividades de Aprendizaje AE 1: Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. Por ejemplo. a n ⋅ a m donde la base y los exponentes son números Observaciones al docente: Respecto de la conjetura El docente puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. por ejemplo. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero.Identifican potencias de base 10 y exponente entero en la conversión de kilómetros a centímetros y de centímetros a kilómetros. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 48 .Identifican potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural en la expresión que representa el volumen de un cubo de arista 2. comparan la masa de la tierra expresada en gramos con la masa de un electrón expresada en gramos..
2. Por ejemplo.Los estudiantes ahora: . 4 expresen (5 ⋅ 5 ⋅ 5 ) en la forma (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) 12 y que relacionen los (5 ) 3 4 con el exponente del resultado de la multiplicación anterior: 5 .Verifican la conjetura formulada Observaciones al docente: El docente puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. . de esta 10 ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 3 2 4 3 3 2 4 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 49 . Por ejemplo. que en el caso de la multiplicación. utilice esta propiedad y el trabajo con paréntesis para expresar 43 ⋅ 53 en la forma ( 4 ⋅ 4 ⋅ 4) ⋅ (5 ⋅ 5 ⋅ 5) = ( 4 ⋅ 5) ⋅ ( 4 ⋅ 5) ⋅ ( 4 ⋅ 5) 2. que expresen multiplicaciones del tipo (a ) n m donde la base y los (5 ) 3 4 en la forma Que posteriormente exponentes de (5 ⋅ 5 ⋅ 5)4 . Que repitan el experimento anterior las veces que sea necesario hasta que descubran un patrón y lo generalicen. por ejemplo..Conjeturan acerca de potencias de potencias. es decir acerca de expresiones del tipo exponentes son números naturales. Observaciones al docente: Respecto de la conjetura El docente puede guiar a sus estudiantes en esta actividad sugiriéndoles. para calcular 43 ⋅ 53 Observaciones al docente: Se sugiere al docente que previo al establecimiento de estos procedimientos trabaje con sus estudiantes la conmutatividad de la multiplicación y que ejercite la multiplicación de números en paréntesis. por ejemplo. en este caso que descomponga manera 10 = 2 ⋅ 5 y que aplique el procedimiento anterior.Los estudiantes establecen procedimientos para calcular potencias de distinta base natural y exponentes naturales iguales. Actividades 1. AE 5: Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero.-Aplican este resultado para resolver expresiones del tipo: 10 3 ⋅ 2 2 ⋅ 5 4 . Observaciones al docente Se sugiere al docente que repase con sus estudiantes descomposiciones de números en forma multiplicativa. que comprueben conjeturada en la potencia de potencia: la propiedad (4 ) 5 2 AE 4: Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural.. Esa será la conjetura.
. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 50 .Elaboran estrategias para determinar. estiman el lado desconocido de un polígono. Por ejemplo. 4. verifican utilizando el teorema recíproco de Pitágoras si una ventana de forma rectangular está cuadrada.Verifican en casos particulares que: .La suma de las áreas de triángulos equiláteros construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo. distintas a cuadrados. que ciertas figuras son rectangulares. en contextos cotidianos.. 3. 2.Relacionan raíces cuadradas con potencias de exponente dos. Actividades 1.Utilizan el teorema recíproco de Pitágoras para verificar que para construir un segmento perpendicular a otro segmento una posibilidad es unir los segmentos y dividir en doce partes iguales esta unión. 2. si la medida de dicho lado está expresada por una raíz cuadrada. Observaciones al docente: Se sugiere al docente que de al estudiante estrategias para aproximar raíces cuadradas. y en segundo lugar trabajar actividades asociadas al cálculo de raíces de cuadrados perfectos.Aplican el concepto de raíz cuadrada para estimar medidas.. AE 8: Comprender el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras..Los estudiantes resuelven las siguientes operaciones con potencias: a) 15 3 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4 b) 24 3 2 2 ⋅ 34 20 3 10 −5 c) AE 6: Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo.Identifican otras figuras. Por ejemplo. ... Observaciones al docente: Se sugiere al docente trabajar. en primer lugar.3. triángulos equiláteros y semicírculos que satisfacen el teorema de Pitágoras. AE 7: Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas..La suma de las áreas de los semicírculos construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al área del semicírculo construido sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo. Actividades 1. actividades relacionadas con el cálculo de cuadrados de números enteros positivos.
de un prisma recto de base hexagonal de lado 8cm y de altura 12cm.La variación del perímetro de pentágonos cuando varían sus lados. un 4.Utilizan las propiedades de potencias para establecer unidades de medidas que expresen volúmenes. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente.Calculan volúmenes de prismas rectos y pirámides en contextos de la vida cotidiana y las expresan en las unidades de medida correspondiente. que asigne valores a sus lados en centímetros y que registre el perímetro.Utilizan estrategias para deducir el volumen de prismas rectos de base hexagonal. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales..Los estudiantes formulan conjeturas relativas a: . Observaciones al docente: Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta deducción. A continuación que varíe en 1cm el lado del pentágono y que registre el perímetro. 5. para transformar m 3 en cm 3 y Km 2 en m 2 3.. AE 10: Formular y verificar conjeturas. Actividades 1. sugerirles que construyan paralelepípedo de aristas 6cm. 30cm y 25cm. A continuación que varíe en 2cm el lado del pentágono y que registre el perímetro. calculan la cantidad de agua que se necesita para llenar una piscina de largo 8m.. Observaciones al docente: Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. Por ejemplo. Por ejemplo. y que formule la conjetura..Utilizan las propiedades de potencias para transformar unidades de medida. que dibuje un pentágono. Observaciones al docente: Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta deducción. Por ejemplo.. Por ejemplo. Después que descubra regularidades en la secuencia de datos de los lados y del perímetro del pentágono. Actividades 1. Por ejemplo. de una pirámide recta de base cuadrada de lado 6cm y altura 9cm. y que construyan un paralelepípedo a partir de la altura del hexágono y la altura del prisma. en casos particulares. 2.AE 9: Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos. 6cm y 9cm con material concreto y que a partir de él formen la pirámide. Por ejemplo.. ancho 6m y alto 2m. y así sucesivamente. Por ejemplo. calculan el volumen de un paralelepípedo de aristas 20cm. sugerirles que en la base del prisma relacionen el lado del prisma con la altura del hexágono que se forma. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 51 .Utilizan estrategias para deducir el volumen de pirámides rectas de base cuadrada. Por ejemplo.
. A continuación que varíe en 2cm los lados de la base y de la altura del prisma recto y que registre el perímetro. donde b se relaciona con potencias de a . que dibuje triángulo rectángulo de catetos 3cm y 4cm.En la variación del volumen de pirámides de base cuadrada y triangular cuando varían los lados de su base y su altura. AE 12: Resolver problemas en contextos diversos: c) d) Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural. y que formule la conjetura. y así sucesivamente. A continuación que varíe en 2cm el lado de los catetos. .. ®2.Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas en prismas de lados de la base y altura dados y pirámides de base cuadrada y triangular de datos de la base y la altura dados. Por ejemplo.Resuelven problemas en contextos matemáticos: . que asigne valores en centímetros a los lados de su base y a su altura y que registre su volumen. Después que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondientes a los catetos y al perímetro del triángulo. aplicando propiedades de potencias. transforman expresiones.. A continuación que varíe en 1cm cada uno de los lados de la base y la altura y que registre el volumen. Actividades 1. Actividades 1.La variación del perímetro de triángulos rectángulos cuando varían sus catetos. que calcule la hipotenusa de manera aproximada y que registre el perímetro aproximado. y así sucesivamente. y las potencias de base 10 y exponente entero. 2.La variación del volumen de prismas rectos cuando varían los lados de su base y su altura.. que dibuje un prisma recto. en casos particulares. Por ejemplo. Observaciones al docente: Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación. para obtener soluciones de ecuaciones del tipo aplican propiedades para expresar a x = b . MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 52 . Por ejemplo. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. que calcule su hipotenusa y que posteriormente calcule su perímetro.Los estudiantes formulan conjeturas relativas a: . que descubra regularidades en la secuencia de datos correspondientes a los lados de la base y de la altura del prisma. A continuación que varíe en 1cm el lado de los catetos. Por ejemplo.- Utilizan las potencias de base 10 y exponente natural para analizar las distancias que separan a diversos cuerpos celestes. Después.Relativos a cálculos de valores. 2. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. Observaciones al docente: Se sugiere al docente guiar al estudiante en esta formulación.Los estudiantes verifican las conjeturas formuladas en pentágonos de lados dados y en triángulos de catetos dados. que calcule la hipotenusa de manera aproximada y que registre el perímetro aproximado.. 8 en la forma 2 3 y para concluir que 3 es la solución de la ecuación 2 x = 8 . y que formule la conjetura. AE 11: Formular y verificar conjeturas.
Resolver problemas en contextos diversos utilizando el teorema de Pitágoras. después cada una de estas personas contacta otras tres personas cada una de las cuales dona tres kilos de arroz (etapa 2). Por ejemplo. Es importante que el docente guíe a sus estudiantes a que deduzcan tríos común divisor entre ellos sea 1 y que satisfagan la condición a . 10.Calculan la medida de superficies rectangulares cuyos lados están expresados en potencias de 10. por ejemplo.Calculan la cantidad de centímetros cúbicos que están contenidos en 1 litro de agua. con ese propósito (etapa 1) contacta tres personas. kc . Por ejemplo. y así sucesivamente. Por ejemplo: .Estiman perímetros de triángulos rectángulos cuya hipotenusa no es un número entero.c que satisfacen la condición a2 + b2 = c2 .Utilizan propiedades de potencias para modelar situaciones. determina los valores de a .. y que dividan estos números por 2 hasta obtener el trío Pitagórico 3.b . la siguiente estrategia: a) que encuentren un trío Pitagórico..Calculan perímetros de triángulos rectángulos..b . Por ejemplo: de un rectángulo de largo 10 3 cm.. 5. 4. y si es así.Resuelven problemas relativos a cálculos de áreas y volúmenes en contextos cotidianos. Por ejemplo. determinen que estos números tienen un factor común que es el 2. ¿cuánto arroz se recolecta en la etapa 9? 4. Por ejemplo: .Utilizan tríos Pitagóricos tales que su máximo común divisor sea 1 para calcular lados de triángulos rectángulos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 53 . se obtienen tríos ka . .. 8.Determinan tríos Pitagóricos. .Obtienen de manera práctica el ángulo recto utilizando los tríos pitagóricos. 6. kb . que si encuentran el trío 6. Observaciones al docente: Es importante que el docente guíe a sus estudiantes a que deduzcan que de los tríos a . c) que dividan los números por ese factor hasta obtener este tipo de tríos. Observaciones al docente: Se sugiere al docente entregar a sus estudiantes estrategias para encontrar tríos Pitagóricos de máximo común divisor 1. y ancho 10 −1 cm 3. por ejemplo.Determinan áreas de triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras.b . b) que determinen si estos elementos tienen factores comunes. . de un triángulo de catetos 2cm y 3cm. modelan la siguiente cadena alimenticia: una persona desea recolectar arroz para una campaña benéfica.2.c que satisfacen la condición: la suma de los cuadrados de los primeros dos términos es igual al cuadrado del tercer término. cada una de las cuales dona 3 kilos de arroz. de manera que el máximo a +b = c 2 2 2 5. k ∈ N que satisfacen la condición anterior.c . .
de manera que sus estudiantes visualicen figuras desde otras perspectivas.Utilizan el teorema de Pitágoras para resolver problemas en contextos geométricos. Por ejemplo. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 54 . 8 cm 8 cm 14 cm Observaciones al docente: Se sugiere al docente trabajar actividades relacionadas con trazados de segmentos en figuras. los estudiantes determinan el perímetro del trapecio rectángulo de la figura..
en forma manual o utilizando un procesador geométrico. fija ahí el extremo libre de la cuerda.Actividad de Evaluación Aprendizaje Esperado: Comprender el Teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. ¿qué hago ahora? Juan: Clava una estaca en el lugar donde quieres dibujar tu ángulo recto. Criterios de Evaluación: 1. Reconocen la importancia del teorema recíproco de Pitágoras en la resolución de problemas en contextos geométricos. Fija uno de los extremos de la cuerda de modo que quede tensa y mueve el otro extremo. tendrás un ángulo recto. quien tiene más experiencia. Preguntas: Nudo 3 1. Le manifiesta su problema al maestro Juan. Nudo 1 Nudo 2. midiendo la distancia entre el primer y tercer nudo hasta que esa distancia sea igual a 50 cm. 3. Aplica el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. tiene que construir una radier rectangular. Indicadores de Evaluación: • • • • Verifican en casos particulares el teorema de Pitágoras. Construya un triángulo rectángulo de catetos iguales a 30cm y 40 cm respectivamente. sean realmente rectos.a lo que Juan le responde: toma una cuerda y en uno de sus extremos haz un nudo. No sabe cómo asegurarse que los ángulos. ¿Es verdad que el procedimiento descrito por el Juan permite construir ángulos rectos? Justifica. Y entonces. éste le indica que use la “regla de los tres nudos”. 2. y coloca la cuerda de modo que el segundo nudo quede en la estaca. en las esquina. Reconoce el inverso al teorema de Pitágoras. conocido la longitud de los catetos. mi amigo. Explica la situación basándose en el Teorema de Pitágoras. de manera manual o utilizando un procesador geométrico. a partir del nudo mide 30 cm y haz un segundo nudo finalmente haz un tercer nudo a una distancia de 40 cm del segundo. 2. ¿Qué conocimiento geométrico serviría para apoyar el método descrito por Juan para construir ángulos rectos? Justifica. ¿Y? pregunta Pedro. Identifican situaciones donde se aplica el teorema de Pitágoras. 3. Instrucciones Leer cuidadosamente las situaciones dadas y responder a las pregunta Situación: El maestro Pedro. ¿Cuánto medirá la hipotenusa? ¿Por qué? MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 55 . Verifican en casos particulares el teorema de recíproco de Pitágoras. Cuál es esa – le pregunta Pedro.
en función del tipo de análisis que se desee realizar. Se espera que los estudiantes reconozcan que la naturaleza de la muestra y el método de selección inciden en el estudio de la población.UNIDAD 4 Datos y Azar Propósito de la unidad El propósito de esta unidad es profundizar en las habilidades de interpretar. Frecuencia relativa. Comparar información gráfica. Estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento asociado a un experimento aleatorio. barras múltiples. de modo que sea también posible comparar más de un evento. Utilizar herramientas tecnológicas en la construcción de gráficos. tales como gráficos de barras. Por otra parte. profundizando en el estudio de situaciones de incerteza y experimentos aleatorios. Representar un conjunto de datos a través de tablas y gráficos. Probabilidad de ocurrencia de un evento. Razones y proporciones. Selección de escalas numéricas. de líneas y circulares. Por otro lado. Será importante la iteración de cada experimento e ir registrando lo que sucede con la frecuencia relativa para cada evento. Cálculo de porcentajes. Experimento aleatorio. Contenidos disciplinares • • • • • • • • • • Frecuencia absoluta. en esta unidad los estudiantes continúan su trabajo con el tópico de probabilidades. Obtener muestras aleatorias desde una población. así como también en la capacidad de organizar y representar datos a través de los instrumentos mencionados. fundamentalmente en contextos extraídos de los medios de comunicación. comparar y analizar información a partir de diversos tipos de tablas y gráficos en diferentes contextos. se profundiza en los conceptos de población y muestra como algo fundamental en el estudio de la estadística. Evento de un experimento aleatorio. Prerrequisitos • • • • • Gráficos de línea. Muestra. Población. Comparación de cantidades. Ocurrencia de un evento. Habilidades • • • • • • • • Extraer información desde datos organizados en tablas y gráficos. En este nivel se enfatiza el trabajo con tablas de frecuencia a partir del registro de los resultados de experimentos aleatorios. Resolver problemas utilizando datos organizados en tablas y gráficos. lanzar dos monedas. También cobra relevancia el uso de herramientas tecnológicas para simular un gran número de veces un cierto experimento aleatorio. Conceptos claves Población – frecuencia – frecuencia relativa – tablas de frecuencias – azar – probabilidad – experimento aleatorio – evento de un experimento aleatorio. para los ejes de un sistema de coordenadas. El énfasis en este nivel está puesto en el análisis crítico de la información y en la selección de las formas de organizar y representar los datos. por ejemplo. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 56 . Frecuencia relativa porcentual. Representatividad de una muestra. En esta unidad los estudiantes trabajarán con tablas y gráficos revisados en años anteriores. barras y circulares. adecuadas a los datos. Evaluar críticamente información gráfica.
Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. Seleccionan la representación gráfica más adecuada para la representación de un conjunto de datos y justifican su elección basándose en el tipo de datos involucrados. Comparan información extraída de diversos tipos de gráficos y tablas y comunican sus conclusiones. que usualmente aparece en los medios de comunicación. un • • • • 2. seleccionando el tipo de frecuencia 8 según el análisis que se requiera hacer. Comparan información gráfica. con las descripciones o textos que les acompañan y evalúa la coherencia entre ambas. • • • • Señalan las ventajas y desventajas de las estrategias establecidas para escoger muestras de un determinado tamaño desde una población específica. 8 Frecuencia absoluta. Establecen estrategias para escoger muestras de determinado tamaño desde una población específica. que involucren la comparación de dos o más conjuntos de datos seleccionando la representación gráfica más adecuada. Resuelven problemas que involucren la construcción de tablas de frecuencias. relativa.Actitudes • • • Actitudes de interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos. Leen e interpretan información a partir de datos organizados en gráficos que usualmente aparecen en los medios de comunicación. de líneas y pictogramas. Evalúan si una tabla o tabla de frecuencia es suficiente para organizar un conjunto de datos o si es necesario construir un gráfico para comunicar información. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos Aprendizajes esperados Se espera que los estudiantes sean capaces de: 1. Resuelven problemas. circulares. Identifican elementos que caracterizan a una muestra representativa. en diversos contextos. Sugerencias de Indicadores de evaluación Cuando los estudiantes han logrado este aprendizaje: • Leen e interpretan información a partir de datos organizados en diversos tipos de tablas. Organizan un conjunto de datos en diferentes tipos de gráficos. • • • • • 3. Una actitud crítica frente a la información gráfica presente en los medios de comunicación. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. Por ejemplo. de modo que las conclusiones se generalicen a la población. circular o líneas y seleccionan aquél que le permita responder mejor las preguntas planteadas. Evalúan si las conclusiones presentadas en los medios de comunicación son pertinentes apoyándose en la información gráfica. Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 57 . gráficos de barras. Por ejemplo. Deciden y argumentan acerca del número y las formas de extraer muestras. por ejemplo de barras. porcentual o acumulativa. tablas de frecuencia donde se incorpora la frecuencia relativa porcentual.
• Evaluar las conclusiones enunciadas. 9 Sobre 100 para que tenga sentido el análisis. 4. etc. a partir de la interpretación de información entregada en una tabla de frecuencia. Trabajo en equipo e iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos • Participan de manera propositiva en actividades grupales. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 58 . Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con dados. Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento. • Formular preguntas sobre los temas implicados en la información trabajada. Identifican la muestra tomada desde estudios y encuestas publicadas en medios de comunicación. ruletas. Una actitud crítica frente a la información gráfica presente en los medios de comunicación. • Toman iniciativa en actividades de carácter grupal. • Demuestran responsabilidad en la tarea asignada. • Verificar las fuentes de información.• • Argumentan si una muestra es o no representativa a partir de diferentes ejemplos. • Buscar información cuantitativa por iniciativa propia. • Proponen alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales.) para identificar los resultados posibles y los registran en tablas de frecuencia que involucren una gran cantidad de iteraciones9. tablas y medidas de tendencia central y de dispersión). Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir del registro de los resultados de un experimento aleatorio en tablas de frecuencias. • • • • En relación a los OFT. • Evaluar las formas de representación de los datos (gráficos. y evalúan la pertinencia sobre las conclusiones obtenidas en el estudio. a partir de la simulación (un número grande de iteraciones) de un experimento aleatorio usando tecnología. Señalan si un suceso es más o menos probable. la unidad promueve Actitudes de interés por conocer la realidad al trabajar con información cuantitativa de diversos contextos. monedas.
esta unidad se conecta naturalmente con los Objetivos Fundamentales Transversales. con el concepto de representatividad y si las conclusiones de un estudio pueden ser o no generalizables a la población. decidan la manera de organizarlos y el tipo de gráfico que mejor comunique la información. 5.000 o más). que respondan preguntas y resuelvan problemas de manera grupal e individual. Por otra parte. lo cual es muy difícil con pocos lanzamientos. se puede considerar el lanzamiento de dos monedas o dos dados unas 200 veces por lo menos. o contexto utilizado debe resguardar cualquier situación de sesgo cultural. Por ejemplo. considerando un número elevado de iteraciones (por ejemplo. Es importante que los estudiantes realicen conjeturas acerca de los resultados y luego las verifiquen o refuten realizando los experimentos.Observaciones al docente Tal como lo sugieren los aprendizajes esperados. Finalmente. En la parte de probabilidades (Azar) se recomienda proponer a los estudiantes diversas situaciones y experimentos aleatorios. Cabe señalar que es importante en esta unidad el trabajo con herramientas tecnológicas que permitan realizar simulaciones de los experimentos aleatorios. A través del trabajo propuesto en Datos y Azar. se puede incentivar el interés por conocer la realidad y la búsqueda de la información en diversas fuentes. se recomienda proponer a los estudiantes discusiones relacionadas con las formas de seleccionar una muestra. El énfasis debe estar en el registro de la frecuencia relativa para los diferentes eventos y en las regularidades observadas a medida que se aumenta el número de lanzamientos. analicen e interpreten situaciones expresadas a través de tablas y gráficos. a partir de un conjunto de datos. Es importante dejar que los estudiantes lean.sello”. En esto será muy relevante el tipo de datos que se estén utilizando. De este modo será posible observar con más claridad las regularidades de ciertos eventos. usando representaciones tales como tablas y gráficos. se sugiere proponer a los estudiantes situaciones en las que. revistas o Internet. y que observen y busquen regularidades en la información. Por otra parte. al lanzar dos monedas el evento “cara y sello” claramente es más frecuente que los eventos “cara cara” o “sello . toda información socioeconómico o de género. En cuanto a los conceptos de población y muestra.000. Se sugiere seleccionar situaciones que permitan a los estudiantes resolver problemas que impliquen interpretar información presentada en diversos tipos de tablas y gráficos. También pueden evaluar la coherencia entre los gráficos que se presentan en los medios de comunicación y los textos asociados donde se realizan comentarios y conclusiones respecto del estudio en cuestión. de modo que los estudiantes vean permanentemente que la Estadística está en conexión con la vida cotidiana y es una herramienta para interpretar y modelar la realidad. 1. En la parte estadística (Datos) se sugiere trabajar usando contextos de interés para los estudiantes. el terreno es propicio para promover una actitud crítica frente a la información presente en los diferentes medios de comunicación y el trabajo en equipo en la resolución de problemas que involucren el análisis de datos. por ejemplo) o si es necesario utilizar algún gráfico para clarificar la situación. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 59 . a través de los cuales puedan registrar los resultados en tablas de frecuencia y establecer comparaciones entre los distintos eventos. También pueden discutir sobre si es suficiente con organizar un conjunto de datos en una tabla (de frecuencia. Por ejemplo. deseablemente escogidos desde diarios.
Se sugiere orientar el trabajo mediante preguntas del tipo ¿qué significa cada barra?. extraída desde un diario local10. por ejemplo: ¿Qué significa cada barra?. Comunican las conclusiones. Proponen otras preguntas que puedan ser respondidas desde el gráfico. Se sugiere que los estudiantes. con el apoyo del profesor. Observaciones al docente Es importante motivar a los estudiantes para que observen los gráficos. o bien ¿qué se está comparando? Responden preguntas más específicas respecto del gráfico tales como: ¿En qué años las concentraciones de smog fueron más bajas?. Actividades ®1. jueves 13 de agosto de 2009. ¿qué representa el eje X?.Observan tablas y gráficos de interés obtenidos desde distintos medios de comunicación y escriben información relevante en el contexto. • • 10 El gráfico aquí presentado fue extraído del diario La Tercera. comprendan el contexto y entiendan los números que aparecen. o bien utilizar otro para la actividad. discuten acerca de cierta información presentada en un gráfico.. puedan analizar a fondo la información presentada y que evalúen la pertinencia de las conclusiones entregadas por los medios de comunicación y las contrasten con sus propias conclusiones. o bien ¿qué se está comparando? Luego introducirlos a situaciones más específicas que se pueden extraer desde el gráfico.Ejemplos de actividades AE 1: Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. ¿qué representa el eje X?. ¿Qué sucede con la calidad del aire en el 2009? El profesor debe evaluar las respuestas entregadas por los estudiantes y llegar a una interpretación correcta en conjunto con ellos. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 60 . • Responden preguntas cuyas respuestas se extraen del gráfico. El docente podría utilizar este mismo gráfico. Por ejemplo. ¿En qué año las condiciones del aire fueron más críticas?.
224. ¿qué región es la que tienen menor población?..470 21.exitoexportador.792.121.Recopilan información en diferentes medios de comunicación.470 1.946 266.948.272. http://www.420 828.240.htm (consultado el 03/10/2010) MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 61 .6% Asia 42.845.1% • Comparan la información de la tabla con la información del gráfico.511 212. ¿qué región tiene mayor cantidad de usuarios conectados? • • 11 © 2000-2010. ¿qué región tiene una mayor cantidad de usuarios conectados?. mencionando la fuente.336.852 813.1% Africa 5.972 34.2% Oceania/Australia 1.735 63. Responden preguntas tales como: ¿qué región es la que tiene mayor población?.124.com/stats.500 205.1% Europa 24.319.970. Por ejemplo: • Observan una tabla y gráfico como los siguientes: Usuarios del Internet y Población por Países y Regiones11 Regiones África Asia Europa Oriente Medio Norte América Latinoamérica / Caribe Oceanía / Australia TOTAL MUNDIAL Población ( 2010 ) 1.013.450 592.836. o bien ¿qué regiones tienen una cantidad similar de usuarios conectados? En relación a su población total. dato más reciente 110.700.050 3.4% Norte América 13.5% Oriente Medio 3.960 Usuarios.924 344. Se aseguran de que aparezca organizada en tablas y en distintos tipos de gráficos para compararla con la hallada por otros estudiantes u otros grupos. Miniwatts Marketing Group.779.609.097. Verifican cada uno de los porcentajes que muestra el gráfico circular Discuten la manera en que la información de la tabla pueda ser representada en un gráfico de barras múltiples u otras representaciones.397 Usuarios de Internet por Zonas Geográficas Latinoamérica/Caribe 10.834.930.556.2.201 6.856 475.
de Chile. recogidos a través de la encuesta anterior. Estas actividades apuntan a que los estudiantes verifiquen las fuentes de información. de modo que los estudiantes visualicen su importancia.. Cobreloa. 3.iccom.cl/html/difusion/estudios_difusion/Uso%20de%20Facebook/Uso%20de%20Facebook%20-%20ICCOM%202008. otros.Observaciones al docente: Se sugiere al docente incluir tablas que incluyan. AE 2: Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar. la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual. Se sugiere al docente propiciar intercambio de la información e investigación individual con el objeto de motivar la búsqueda por iniciativa propia en los estudiantes.. tabla de frecuencias simple o diferentes tipos de gráficos) realizando la construcción en el cuaderno..A partir de los datos no organizados. Española. 3. construyen una tabla de frecuencias que incluya las columnas de frecuencia. AE 3: Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. Actividades 1. 2. Actividades 1. Católica. por ejemplo: Encuestar a 40 personas sobre su preferencia de equipo de fútbol de primera división de Chile con el siguiente espacio muestral: Colo-Colo.Determinan la mejor forma de organizar la información (información básica. además de la frecuencia. La presentación de información proveniente de diversas fuentes genera inquietudes en los estudiantes y ellos formulan preguntas. U. U.Escriben los criterios que utilizaron para escoger la muestra (encuestados). U.Responden preguntas sobre la idoneidad de la muestra escogida tales como: Los resultados. evalúen las conclusiones enunciadas y participen de manera propositiva en actividades grupales.Realizan una encuesta de un tema de interés categorizando las respuestas.Realizan un estudio (basado en otros anteriores12) en el colegio respecto al uso de Facebook en dos aspectos: • Frecuencia de Uso: ¿Cuán a menudo te conectas a Facebook? Alta Todos los días 2 a 3 veces por semana Media 1 vez por semana Baja Cada 2 a 3 semanas 1 vez al mes/más a lo lejos • Red de amigos: ¿Cuántos amigos tienes en Facebook? 3 a 19 20 a 37 38 a 70 70 a 300 Más de 300 2... son representativos de la realidad de su ¿barrio? ¿Comuna? ¿Región? ¿País? ¿Qué elementos aseguran que la muestra sea o no representativa? 12 http://www.pdf MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 62 . frecuencia relativa y frecuencias relativas porcentuales.
Consideran para el lanzamiento de dos dados como resultados.Describen en su cuaderno experimentos y encuestas en los cuales los resultados no son representativos de la población producto de que la muestra tampoco lo es.4.Observan la columna de frecuencias relativas y determinan qué resultados tienen mayor y menor probabilidad de ocurrencia. 5.. Por ejemplo: Dos miembros del grupo deben lanzar un dado cada uno 50 veces.. los relativos a: • • La suma de los puntajes de los dados El producto de los puntajes de los dados 3.. Observaciones al docente: Se sugiere al docente que este tipo de actividades sean desarrolladas en grupos de trabajo a fin de promover la discusión entre los estudiantes.A partir de distintos estudios extraídos de medios de comunicación.En grupos de 3 o 4 estudiantes realizan una actividad de repetición de un experimento aleatorio y uno de ellos registra os resultados obtenidos. 4.Conjeturan acerca de la probabilidad “a priori” de obtener un determinado resultado MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 63 . Actividades 1. completan una tabla de frecuencias simple que incluye la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de cada resultado. realizan un análisis crítico acerca de la validez o pertinencia de las conclusiones que se enuncian. AE 4: Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples... 2. Un tercer integrante debe registrar los resultados en la siguiente tabla: N° de Lanzamiento Dado 1 Dado2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado2 N° de Lanzamiento Dado 1 Dado2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Con esta información. por ejemplo.
cara.. Buscan regularidades. ¿qué resultado es más probable. que permita la simulación de experimentos aleatorios una gran cantidad de iteraciones. ¿cómo podrían ser representados los posibles resultados? ¿a qué resultado apostarían. por ejemplo. Se sugiere incorporar el uso de tecnología.Utilizan alguna herramienta tecnológica para simular los resultados del lanzamiento de dos dados y elevar el número de lanzamientos. sello .. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 64 . cara .5. 6. a 5 mil o 10 mil.Analizan la existencia de tendencias de datos representados en tablas de frecuencias o gráficos de barras. respecto al lanzamiento de dados o monedas con ayuda de la tecnología.sello o mezclado? Observaciones al docente: Se sugiere al docente que este tipo de actividades sea desarrollado en grupos de trabajo a fin de promover la discusión entre los estudiantes. Por ejemplo. cara o sello? Si se lanzan dos monedas. Responden preguntas del tipo: • • Si se lanza una moneda.
La siguiente actividad la realizarán en grupos de 5 personas. ruletas. Compara eventos de acuerdo a su probabilidad de ocurrencia.resultados de los 125 lanzamientos – del grupo en la siguiente tabla. Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa porcentual Criterios de Evaluación: 1. se deben resumir los resultados totales . Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento. Compara eventos de acuerdo a la ocurrencia según la tabla de frecuencias. Al lanzar nuevamente un dado. Explica lo ocurrido. Instrucciones. 3.Realiza el experimento Aleatorio 2. a partir de la interpretación de información entregada en una tabla de frecuencia. ¿Qué es más probable: “ que salga un número mayor que 2 o que salga un número menor que 5” ?. que crees que ocurrirá. a partir de la simulación (un número grande de iteraciones) de un experimento aleatorio usando tecnología. Indicadores de Evaluación: • • • • Realizan diferentes experimentos aleatorios simples (con dados. uno por integrante. Justifique.Actividad de Evaluación Aprendizaje Esperado: Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples. etc. 4.) para identificar los resultados posibles y los registran en tablas de frecuencia que involucren una gran cantidad de iteraciones13. Cada integrante de su grupo debe lanzar 25 veces su dado y registrar los resultados en una tabla. Construyen la tabla de frecuencia con los resultados. lanza el dado y contrasta el resultado con tu predicción. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 65 . ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor ocurrencia? a) “que salga un número mayor o igual a 3” b) “ que salga un número par” 2. monedas. Resultados Posibles 1 2 3 4 5 6 De acuerdo a los resultados obtenidos y registrados en la tabla responde las siguientes preguntas: 1. Si lanzas nuevamente un dado. ¿Con qué probabilidad? Una vez que hayas respondido a la pregunta anterior. Determinan eventos que tienen mayor ocurrencia a partir del registro de los resultados de un experimento aleatorio en tablas de frecuencias. Señalan si un suceso es más o menos probable. Predicen acerca de la probabilidad de ocurrencia. 5. 3. Finalizado los lanzamientos. Cada grupo recibe 5 dados. 13 Sobre 100 para que tenga sentido el análisis.
A. Burgués Flamerich. Laurentiev. Argentina. 1984.A. Enseñar Matemática Hoy. Graó. Alicia Cofré. M. Michéle y otros. Cooperativa Editorial Magisterio. Dickson L. Contenidos Básicos de Estadística y Probabilidad. 2000. Editado por Centro Comenius. Razonamiento Matemático. Argentina 2005 Aprendizaje Cooperativo en Matemática. Nuria Planas y Ángel Alsina. Editorial Grao. Artigue. Editorial Labor S. El hombre que calculaba. México. 1995. Uno. El Currículo de Matemática en los inicios del siglo XXI. Santiago 1993. Lom Ediciones. Argentina. Un club de Matemática para la diversidad. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Internacional Thompson Editores. 1ª edición. De C. Tres volúmenes. M. Araya S.. Editorial Síntesis. Buenos Aires. 1990. Julia. en Enseñanza de la Matemática. Villanueva y otros. 2006. Editorial Síntesis. José Villela. MCyE 1994. Editorial Grao. Portus Govinden L. Sadovsky. El aprendizaje de las Matemáticas. y Gibson O. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Editorial Grao. Tres… Geometría otra vez.. 2ª Edición.T González. 2ª edición. 1988. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 66 . Editorial AIQUE. GRAO. Alsina Catalá. Centeno. Burgués.. Artigue. Fortuny Aymeni. 2002. 1997. Crego. 2005. Bruno D’Amore. P. Didáctica de la Matemática. Corbalán Fernando.. Ministerio de Educación de Chile. Kolmogorov. 2006. Barcelona. Editorial Síntesis. Enseñar matemáticas. métodos y significado. Manual para Kinder a Octavo básico. 1968. Azar y probabilidad. 1ª edición. Introducción a la didáctica de las ciencias y la matemática. Introducción a la Estadística. Narcea. 1997. Números Decimales ¿Por qué? ¿Para qué? Serie Matemáticas: cultura y aprendizaje. Madrid. Alianza universidad. A. C. colección ciencias. Editorial Síntesis. B. Malila C.. Invitación a la didáctica de la geometría.1994.. La matemática: su contenido. M. traducción para el PTFD. 2003. “Una introducción a la didáctica de la matemática”. Editorial Poseidón. Luz Callejo. Las Matemáticas en el entorno. Eugenio. México.. Cómo desarrollar el razonamiento lógico matemático. Ediciones Universidad Católica de Chile. Rodriguez. 1997 Encuentros cercanos con la matemática. Razones para enseñar Geometría en la educación Básica. Moscú. Barcelona. Mayo 2009. 2001. M.. Geometría elemental. Aleksandrov. Serrano y otros. Johsua S.. Grupo Editorial Iberoamericana.A. Cedillo. 1997. M. Alsina Catalá. Colihue. Editorial Universidad de Santiago.1997. Tenoch. Editorial Síntesis. Editorial AIQUE. Proyecto Enlaces Matemática. Madrid.M Bressan. Editorial Universitaria. Madrid. José y otros. Revista UNO. C. Kostovsky. 1996. Editorial Mc Graw Hill. Dupin J. 2008. 2005.E. Universidad de Santiago de Chile. Matemática. México. Bogisic.V. J. N.M. Saavedra G. 1ª edición. 1998. Madrid. Simetría dinámica. Fortuny. Buscando un orden para el azar. (2005). Ingeniería didáctica en educación matemática. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan). C. Ghyka. Duhalde. Giménez y Torra. J. Colombia. 1995. 1987. Brown M. Roberto y Matus Claudia. Lucila Tapia. Burgués Flamerich. Madrid. 1976. Barcelona. A. J. 1995. A. Editorial Limusa S. Materiales para construir la geometría.). Ediciones Novedades Educativas. México. Goñi (Coord. Alsina Catalá. Editorial Mir. Winston H Elphick D. Alsina. 1991. C. Dos. Y otros. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. M y otros. Barcelona. Selección bibliográfica. Fortuny Aymeny. J. 101 Actividades para implementar los Objetivos Fundamentales transversales. Barcelona. Libros del Zorzal.M. Díaz J y otros. Construcciones Geométricas Mediante un Compás. Universidad de Murcia. K. Buenos Aires.. Educación Matemática y buenas prácticas.MATERIAL DE APOYO SUGERIDO Referencias bibliográficas para el docente • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios. C. Grupo Editorial Iberoamericana. 2001.
cl/ Instituto Nacional de Estadísticas http://www. DLS-Euler Editores. educación secundaria México: http://www.ine. R.org/MI/master/interactivate/ • • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 67 . España: http://recursostic.dgme.educarchile.educacion. Colombia: .com/x19850. El ingenio en las Matemáticas.php?t=sub_pages&cat=204 .cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65 • Proyecto Descartes.mx/mat_ed/mat_ed_01. Caravantes.eduteka. applets de la Universidad de UTAH: http://nlvm.• • Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. luego elegir la carpeta “Matemáticas” o bien desde el enlace directo: .http://www. Villarino.Actividades sugeridas por temas: http://www.cl/Portal.keypress. Portal Educativo.gob. Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid.com/x19578.usu. Nafría.cl Red Maestros de Maestros (MINEDUC) http://www.eduteka.php • Recursos digitales interactivos en la Web: Portal Educar Chile: http://www. Garrán. Páginas Web recomendadas: • • • • • Ministerio de Educación de Chile http://www.sep. Santiso.edu/es/nav/vlibrary.rmm.eduteka. Madrid. Programas de estudio. Martínez. 1992.curriculum-mineduc.mx/matematicas/recdidactico.org/directorio/index.html EDUTEKA.xml (Ver capítulos de lecciones en español) Textos para docentes y estudiantes. Díez.catalogored.html http://telesecundaria.reformasecundaria. Sáenz Y González.es/descartes/web/ Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales.keypress.sep.http://www. 1994.xml (Ver capítulos de lecciones en español) Álgebra http://www.Base/Web/verContenido.cl Instrumentos Curriculares (Mapas de Progreso.aspx?ID=186119 Enlaces: http://www. Colección "La Tortuga de Aquiles".cl Sitio Key Curriculum Press de textos de matemática Geometría: http://www. Timón. etc) http://www.org/directorio. Honsberger.mineduc. Domínguez. Arias.gob.
2008. Azcárate Giménez. Villarino.El enlace genérico es http://nlvm. Nafría.educacion.Base/Web/verContenido.reformasecundaria. 1989. Santiso.eduteka. Páginas Web recomendadas: • Textos para el docente y el estudiante educación secundaria México: http://www.php?t=sub_pages&cat=366 • MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 68 . Araya S.catalogored. Portal Educativo.gob.sep. Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan).usu.Probabilidad y Estadística http://www. Introducción a la Estadística.Números y operaciones: http://nlvm.mx/matematicas/recdidactico.php?t=sub_pages&cat=365 .eduteka.cl/Portal. Madrid.Álgebra http://www. Arias. 1994.edu/es/nav/category_g_3_t_2. Buscando un orden para el azar. 1992.eduteka. Garrán.php?t=sub_pages&cat=362 .org/directorio/index.eduteka. applets de la Universidad de UTAH: .org/directorio/index.org/directorio/index.Referencias bibliográficas para el alumno • • • • • • • Historia de la matemática.cl/recursos-educativos-digitales?nivel_educativo=50&subsector_basica=65 • EDUTEKA. Proyecto Enlaces Matemática. C..edu/es/nav/category_g_3_t_3. De C.html http://telesecundaria. Honsberger. El ingenio en las Matemáticas.php?t=sub_pages&cat=364 .Análisis de Datos y Probabilidad: http://nlvm.usu. Colección "La Tortuga de Aquiles". Caravantes.eduteka. Editorial Limusa S. Roberto y Matus Claudia.usu.org/directorio/index.aspx?ID=186119 Enlaces: http://www.org/MI/master/interactivate/ . 2ª Edición. 2002. Sáenz Y González.edu/es/nav/category_g_3_t_4.es/descartes/web/aplicaciones.php?t=sub_pages&cat=363 http://www. Funciones y gráficas. o bien puede escoger los enlaces directos: . Hoja de Cálculo en la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. DLS-Euler Editores.gob.Álgebra: http://nlvm. Editorial Akal. R.edu/es/nav/category_g_3_t_5. El hombre que calculaba.html .php Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales.dgme.usu.html .edu/es/nav.eduteka.html . Domínguez.educarchile. Timón. 1998.eduteka. Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid.html http://nlvm.edu/es/nav/category_g_3_t_1.Geometría http://www. Editado por Centro Comenius.El enlace genérico de las unidades temáticas es http://www.org/directorio/index.A. Colombia: .html Portal Educar Chile: http://www. Argüelles Rodríguez.org/directorio o bien puede escoger los enlaces directos: . Universidad de Santiago de Chile. Martínez. Editorial Mc Graw Hill.usu. Díez. Deulofeu Piquet. 2ª edición.php Recursos digitales interactivos en la Web: • Proyecto Descartes.Geometría: http://nlvm. J..mx/mat_ed/mat_ed_01. Portus Govinden L. España: http://recursostic.sep.Números y operaciones: http://www. 1990. J.V. Editorial Síntesis.usu.Actividades sugeridas: http://www.
2006. Sierra i Fabra. Varios Autores.f Sólidos geométricos. 2005. Gardner. Cuerpos geométricos. Barcelona. Moscovich. Varios Autores. s. A..n. RIL.n. México.l. Apuntes de matemáticas. La Vasija. México. Varios Autores. Calculadora.. . ¡Sal si puedes!. Matecuentos 3 : cuentos con problemas. Parramón. Scott Heather. Todas las Unidades Snape Charles . Pérez.. Anaya. 2006.f. Dallas. RIL. s.f. Santiago de Chile. Texas. El idioma de los espías. J. s. Tangramas. El asesinato del profesor de matemáticas.n. Blum. Varios Autores. . s. Santiago de Chile. Cubos en base dos.f. Festival de ingenio. Varios Autores. Usa las matemáticas: soluciona desafíos de la vida real 5 v. Martin. MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 69 . Unidad 3 Varios Autores. s. s. Learning Resources. Alfaguara Infantil y Juvenil... Madrid. Collantes. s. Jordi. ..l.Referencias bibliográficas CRA Unidad 2 Varios Autores.. Juegos de naipes ingleses.d. s. 2005. Santiago de Chile.. Ivan. Raymond . s. 2000. Varios Autores. Nivola Libros. Madrid.. Madrid. . 2008. Limusa. s.. Imaginación geométrica. 2007..
que describe el nivel 6 en cada mapa. Los docentes pueden enriquecer la implementación del currículum haciendo también uso de los recursos entregados por el Mineduc a través de: Los Centros de Recursos para el Aprendizaje (CRA) y los materiales impresos. Estos pueden ser usados de manera flexible para apoyar el diseño e implementación estrategias didácticas y para evaluar los aprendizajes. En una página describen en 7 niveles el crecimiento típico del aprendizaje de los estudiantes en un ámbito o eje del sector a lo largo de los 12 años de escolaridad obligatoria. El Programa Enlaces. el nivel 2 corresponde al término de Cuarto Básico. En la página web del Ministerio de Educación se encuentra disponible el documento “Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del Aprendizaje” y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas (http://www. Cada uno de estos niveles presenta una expectativa de aprendizaje correspondiente a dos años de escolaridad. Mapas de progreso 14. Ofrecen un marco global para conocer cómo progresan los aprendizajes clave a lo largo de la escolaridad 15. audiovisuales. es decir. 15 14 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 70 . y las herramientas tecnológicas que éste ha puesto a disposición de los establecimientos. va más allá de la expectativa para Cuarto Medio. ya que permiten: caracterizar los distintos niveles de aprendizaje en los que se encuentran los estudiantes de un curso.ANEXOS Anexo 1: Uso flexible de otros instrumentos curriculares Existe un conjunto de instrumentos curriculares que los docentes pueden utilizar de manera conjunta y complementaria con el programa de estudio. y les entregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. Apoyan el trabajo didáctico en el aula Textos escolares. y así sucesivamente. El nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es “sobresaliente”. Por ejemplo. Desarrollan los Objetivos Fundamentales y los Contenidos Mínimos Obligatorios para apoyar el trabajo de los alumnos en el aula y fuera de ella.cl/ayuda/documentos/). Orientan sobre la progresión típica de los aprendizajes Pueden ser usados. digitales y concretos entregados a través de éstos. reconocer de qué manera deben continuar progresando los aprendizajes de los grupos de estudiantes que se encuentran en estos distintos niveles. el Nivel I corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico. entre otras posibilidades. como un apoyo para abordar la diversidad de aprendizajes que se expresa al interior de un curso.curriculum-mineduc.
V 29 fracciones propias o impropias y números mixtos en magnitudes. Divisores. impropias y números mixtos. Repaso datos. Repaso acerca e temas referentes a datos. J 28 Mie 16 J 17 MCM. M 20 Evaluación acerca de cálculos de áreas en rectángulos y triángulos rectángulos. Prueba global. Fraccionamientos a nivel concreto y gráfico. Mi14 Estimación de áreas de superficies planas J 15 estrategias para estimar áreas y formas de rectángulos . Variables en contexto. Repaso probabilidades. V 18 Revisión de la evaluación. M3 gráficos de barras múltiples. J 12 M 26 V 11 Estimar V 13 M 15 Múltiplos. Ejercicios y revisión áreas en paralelogramos. M 15 Mi 16 J 17 M8 M 10 Mi 11 V8 Repaso Mie 9 Números naturales. M 19 Descripción de situaciones de incerteza. Mi1 0 J 11 V 12 Repaso de los temas vistos en geometría. J5 Construcción de gráficos de línea Mi 6 Repaso de los temas tratados. Lectura y escritura de decimales positivos. Mi21 Revisión de la evaluación. Escalas y variables.. Ejemplos números decimales. V 16 V5 Escritura de números de más de 6 cifras. Ejercitación acerca de áreas en paralelogramos. Repaso acerca e temas referentes a datos. V 16 Ejercitación de áreas rectángulos y triángulos rectángulos. Agos to MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 71 . Julio M2 V1 Evaluación expresiones algebraicas. Posición de los dígitos V6 Construcción de gráficos de barras múltiples Gráficos de líneas o barras múltiples. Ejercicios adicionales acerca de áreas. J7 Repaso de los temas tratados. Calculo áreas paralelogramos. gráficos de líneas o barras múltiples usando herramientas tecnológicas. M 17 Predicción gráficos de barras y de líneas del comportamiento de variables.ANEXO 2: Ejemplo de una calendarización Anual de Matemática 5º año Básico Marz May o Presentación del curso. V 18 M 15 J 22 Estrategias Cálculo áreas en paralelogramos. M 13 Áreas de triángulos rectángulos. fraccionarios y decimales. Mi27 de fracciones propias. 11 a 24 Revisión de la prueba global. Repaso J 10 Números naturales. Evaluación de la materia tratada referente a datos. Repaso Mie 3 J4 Diagnóstico Mi 4 M5 Lectura de números de más de 6 cifras. Calculo de áreas de figuras planas. Revisión de la evaluación. V 23 Mi 16 J 17 V 18 M 27 Mi2 8 Repaso probabilidades. Repaso números naturales.
M 22 Determinar reglas de divisibilidad. Adición y sustracciones de fracciones simplificando fracciones. números naturales. factores. divisores y múltiplos. Mi 17 J 18 M6 Revisión prueba de síntesis. V 25 Diviidir Relación . Composición y descomposición suma y resta sumar y restar mentalmente V3 Evaluación probabilidad. V 20 Justificación de la probabilidad de ocurrencia M 24 Mi2 5 J 26 Comparación y descripción de eventos Ejemplos probabilidad segura. decimales finitos positivos a fracciones. Actividad grupal acerca de probabilidades de eventos. J9 numéricos de expresiones algebraicas. Resolución de problemas con estimaciones. M2 fracciones y decimales. Computador Mi 10 J 11 J6 Resolución de ejercicios prueba de síntesis. Ejercicios para la prueba de síntesis. estrategias cálculo de las áreas. fracciones equivalentes V 30 Mie 23 J 24 J4 Oct Repaso álgebra. Revisión de la evaluación. J 20 Concepto de variación. Repaso a probabilidades. Repaso álgebra. Revisión de las estrategias formuladas. Problemas de divisiones. J1 ejercicios para la prueba de síntesis. V 27 Repaso probabilidades. M 13 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 72 . Trabajo grupal áreas en triángulos obtusángulos. Composición y descomposición aditiva de factores para multiplicar números. V 14 Mi 7 J8 Feriado Mie 6 J7 Mi 8 Introducción al álgebra. J 29 estrategias calculo áreas de triángulos acutángulos. Revisión del trabajo. Mie 30 J 31 Revisión de la evaluación V7 triángulo obtusángulo. M 18 Mi1 9 V9 V 10 Ejercitación algebraicas y ejercicios propuestos. V 19 V8 Calculo mental de adiciones y sustracciones múltiplos de 100 mil millón y aplicación en la resolución de problemas. Conjeturas Verificar conjeturas Mi 3 Fracciones en números decimales. Orden de fracciones positivas. Orden en los decimales positivos. Resolución de problemas fracciones y decimales. Justificación de resultados en l problema. M9 Mi5 M 29 Evaluación M 31 Juni o Mi 1 Trabajo a probabilidades. Evaluación triángulos acutángulos. Abril J2 M 16 V2 V1 Estimación resolución de un problema. fracciones y decimales en la recta numérica. V 12 M 11 Mi1 2 J 13 Trabajo áreas de triángulos obtusángulos. M 23 Justificación de resultados en función del contexto del problema. Prueba de síntesis. M5 M7 Revisión de la evaluación. Mi24 Adición y sustracción de fracciones mediante factorización prima. posible. probable o imposible. Repaso álgebra. Comparar fracciones positivas y decimales positivos. V5 M4 Ejercicios triángulos acutángulos.V 18 MCD. Trabajo calcular áreas de triángulos obtusángulos. Revisión estrategias M 22 Mi 23 J 24 V 25 M 29 Mi 30 Dic Repaso probabilidades. Estimación de cantidades o medidas.
cálculo mental en que se reemplaza un factor por un cuociente equivalente.
Calculo mental multiplicaciones y divisiones múltiplos de 100 mil y de un millón resolución de problemas. Orden en números naturales de más de 6 cifras. Calculo escrito de multiplicaciones y divisiones números naturales de más de 6 cifras. Cálculos utilizando la calculadora. Evaluación acerca de las materias tratadas. Revisión de la evaluación.
Identificación de propiedades en lenguaje simbólico.
Calculo de adiciones y sustracciones con decimales , propiedades de la adición de números naturales. Resolución de problemas adición y sustracción con fracciones positivas.
Formulación de conjeturas relativas variaciones del área de paralelogramos al variar la medida de lados. Trabajo verificación de conjeturas formuladas. área de un rombo o romboide al variar las medidas de sus diagonales. área de un rombo o romboide al variar las medidas de sus diagonales.
Objetivo Fundamental 1. Comprender que los números enteros constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números naturales. Establecer relaciones de orden entre números enteros, reconocer algunas de sus propiedades, y efectuar e interpretar adiciones y sustracciones con estos números y aplicarlas en diversas situaciones. Emplear proporciones para representar y resolver situaciones de variación proporcional en diversos contextos. Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo y potencias de 10 con exponente entero, conjeturar y verificar algunas de sus propiedades, utilizando multiplicaciones y divisiones y aplicarlas en situaciones diversas. Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo, calcular o estimar su valor y establecer su relación con las potencias de exponente dos. Resolver problemas en diversos contextos que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros16, fracciones o decimales positivos, identificando términos semejantes y estrategias para su reducción. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y ángulos, caracterizar sus elementos lineales y comprobar que algunas de sus propiedades son válidas para casos particulares, en forma manual y usando procesadores geométricos. Comprender el teorema de Pitágoras y aplicarlo en situaciones concretas. Utilización de estrategias para la obtención del volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos, expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente y formular y verificar conjeturas, en casos particulares, relativas a cambios en el perímetro de polígonos y al volumen de dichos cuerpos al variar uno o más de sus elementos lineales. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos, y seleccionar formas de organización y representación de acuerdo a la información que se quiere analizar. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. Predecir acerca de la probabilidad de ocurrencia de un evento a partir de resultados de experimentos aleatorios simples. Emplear formas simples de modelamiento matemático, aplicar las habilidades propias del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, utilizando los contenidos del nivel, y analizar la validez de los procedimientos utilizados y de los resultados obtenidos fomentando el interés y la capacidad de conocer la realidad.
Contenidos Mínimos Obligatorios NÚMEROS: 1. Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales al conjunto de los números enteros y caracterización de éstos últimos. 2. Interpretación de las operaciones de adición y sustracción en el ámbito de los números enteros, empleo de procedimientos de cálculo de dichas operaciones, argumentación en torno al uso del neutro e inverso aditivo y su aplicación en la resolución de problemas. 3. Representación de números enteros en la recta numérica y determinación de relaciones de orden entre ellos considerando comparaciones de enteros negativos entre sí y de enteros positivos y negativos, utilizando la simbología correspondiente. 4. Interpretación de potencias que tienen como base un número natural, una fracción positiva o un número decimal positivo y como exponente un número natural, establecimiento y aplicación en situaciones diversas de procedimientos de cálculo de multiplicación de potencias de igual base o igual exponente, formulación y verificación de conjeturas relativas a propiedades de las potencias utilizando multiplicaciones y divisiones. 5. Caracterización de la raíz cuadrada de un número entero positivo en relación con potencias de exponente 2, y empleo de procedimientos de cálculo mental de raíces cuadradas en casos simples o de cálculo utilizando herramientas tecnológicas, en situaciones que implican la resolución de problemas. 6. Interpretación de una proporción como una igualdad entre dos razones cuando las magnitudes involucradas varían en forma proporcional, y su aplicación en diversas situaciones, por ejemplo, en el cálculo de porcentajes. 7. Elaboración de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de 10 con exponente entero y su aplicación para representar números decimales finitos como un producto de un número natural por una potencia de 10 de exponente entero. 8. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos en los que se utilizan adiciones y sustracciones con números enteros, proporciones, potencias y raíces como las estudiadas, enfatizando en aspectos relativos al análisis de las estrategias de resolución, la evaluación de la validez de dichas estrategias en relación con la pregunta, los datos y el contexto del problema. ÁLGEBRA: 9. Caracterización de expresiones semejantes, reconocimiento de ellas en distintos contextos y establecimiento de estrategias para reducirlas considerado la eliminación de paréntesis y las propiedades de las operaciones. 10. Traducción de expresiones en lenguaje natural a lenguaje simbólico y viceversa. 11. Resolución de problemas que implican el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita, interpretación de la ecuación como la representación matemática del problema y de la solución en términos del contexto. Semestre 1 Unidades: 1 2 Semestre 2 Unidades: 3 4
afectan los datos recolectados y las conclusiones relativas a una población. 18. Formulación de conjeturas relativas a los cambios en el perímetro de polígonos y volumen de cuerpos geométricos. a partir del tamaño y los criterios en que ésta ha sido seleccionada desde una población. argumentando en cada caso acerca de sus ventajas y desventajas en relación con las variables representadas. mediante el uso de un procesador geométrico. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población. 16. en casos particulares. del teorema reciproco de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos. Establecimiento de estrategias para la obtención del volumen de prismas rectos de base rectangular o triangular y de pirámides. 19. y el tamaño de ella. DATOS Y AZAR: 17. Transporte de segmentos y ángulos. Análisis y discusión de las condiciones necesarias para construir un triángulo a partir de las medidas de sus lados y de sus ángulos. Determinación del punto de intersección de las alturas. en forma manual o mediante el uso de un procesador geométrico del teorema de Pitágoras. el método de selección. 21. 14.GEOMETRÍA: 12. Discusión acerca de la manera en que la naturaleza de la muestra. 20. x x x x x x x x x x 17 También conocidas como mediatrices MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 76 . la información a comunicar y el tipo de datos involucrado. al variar la medida de uno o más de sus elementos lineales. Establecimiento y aplicación de criterios para la selección del tipo de tablas o gráficos a emplear para organizar y comunicar información. construcción de rectas paralelas y perpendiculares. construcción de ángulos y bisectrices de ángulos. Caracterización de la representatividad de una muestra. 13. mediante regla y compás o un procesador geométrico. mediante construcciones con regla y compás o un procesador geométrico. Predicción respecto a la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio simple y contrastación de ellas mediante el cálculo de la frecuencia relativa asociada a dicho evento e interpretación de dicha frecuencia a partir de sus formatos decimal. la relación de dependencia entre estas variables. obtenida desde diversas fuentes. Verificación. transversales de gravedad. bisectrices y simetrales17 en un triángulo. cálculo del volumen en dichos cuerpos expresando el resultado en milímetros. como fracción y porcentual. 15. y verificación. centímetros y metro cúbicos y aplicación a situaciones significativas. en casos particulares. Análisis de ejemplos de diferentes tipos de tablas y gráficos. y construcción de dichas representaciones mediante herramientas tecnológicas.
7 12 MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 77 . Resolver problemas que impliquen plantear y resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita en el ámbito de los números enteros y fracciones o decimales positivos. paralelas y bisectrices de ángulos usando regla y compás o procesadores geométricos. simetrales. y problemas que involucran proporcionalidad. Construir triángulos a partir de la medida de sus lados y/o ángulos. Reconocer una proporción como una igualdad entre dos razones. Construir rectas perpendiculares. 7 12 7 13 3. 3. bisectrices y transversales de gravedad de triángulos utilizando regla y compás o procesadores geométricos. 2. Sumar y restar números enteros e interpretar estas operaciones.ANEXO 5: Relación entre Aprendizajes Esperados. Reconocer propiedades relativas a la adición y sustracción de números enteros y aplicarlas en cálculos numéricos. Establecer estrategias para reducir términos semejantes. Caracterizar expresiones semejantes y reconocerlas en contextos diversos. Establecer relaciones de orden entre números enteros y ubicarlos en la recta numérica. usando regla y compás o procesadores geométricos. OF CMO 1 2 2 2 3 6 6 1 3 2 2 6 10-11 9 2. Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) Semestre 1: Aprendizajes Esperados Unidad 1: Números y álgebra 1. 7. Construir ángulos utilizando regla y compás o un procesador geométrico. 7 13 4. Identificar problemas que no admiten solución en los números naturales y que pueden ser resueltos en los números enteros. 6. 5.13 2 – 6 – 8 -11 Unidad 2: Geometría 1. 8. Comprobar propiedades de alturas. 4. 6 .
por ejemplo.Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base y exponente natural. y las potencias de base 10 y exponente entero.Conjeturar y verificar algunas propiedades de las potencias de base y exponente natural.Calcular multiplicaciones y divisiones de potencias de base 10 y exponente entero. 6. 10. 8..Comprender el significado de la raíz cuadrada de un número entero positivo..Interpretar potencias de base 10 y exponente entero.Utilizar estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos.. 11.. en casos particulares. Reconocer que la naturaleza y el método de selección de muestras inciden en el estudio de una población. 12 21 18 Se refiere. 3. multiplicación de potencias de igual exponente. y expresar los resultados en las unidades de medida correspondiente.Formular y verificar conjeturas.14 10 17 10 17-18 3. Aplicando propiedades de las potencias de base y exponente natural.. Solo para el caso de base 10 se trabaja el exponente entero. 2. Analizar información presente en diversos tipos de tablas y gráficos. 9. relativas a cambios en el perímetro de polígonos al variar uno o más de sus elementos lineales. 18 OF 4 4 4 4 4 5 5 8 9 CMO 4 7 4 4 7 5 5 14 15 9 16 9 16 4 -8 . MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRÍCULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2010 78 . en casos particulares. 12.Determinar y estimar el valor de raíces cuadradas.Resolver problemas en contextos diversos: a. a las propiedades de multiplicación y división de potencias de igual base. 11 19 4.. 7. Predecir la probabilidad de ocurrencia de eventos a partir de la frecuencia relativa obtenida en la realización de experimentos aleatorios simples.Formular y verificar conjeturas.13 4 – 7 – 8 ..Comprender el Teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras... 2. Unidad 4: Datos y Azar 1.Interpretar potencias de exponente natural cuya base es un número fraccionario o decimal positivo. b.. 4. relativas a cambios en el volumen de prismas rectos y pirámides al variar uno o más de sus elementos lineales. Utilizando el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. Seleccionar formas de organización y representación de datos de acuerdo al tipo de análisis que se quiere realizar.. 5.. potencia de una potencia.Semestre 2 Aprendizajes Esperados Unidad 3: Números y Geometría 1.
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