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MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE
Iñigo J. Losada, Raúl Medina, Miguel A. Losada y César Vidal
Grupo de Ingeniería Oceanógrafica y de Costas. Universidad de Cantabria
E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Avda. de los Castros, s/n. 39005 Santander
Tfno.: 942 / 20.18.10 ; Fax: 942 / 20.18.60
magnitud más lentos.Cada uno de estos módulos ha
INTRODUCCIÓN GENERAL evolucionado de distinta forma y su integración
plantea aún serias dificultades.
Uno de los fines más importantes de la Ingeniería de
Costas es la predicción de la evolución de la línea de De forma general, se puede decir que el estudio de la
costa con o sin la presencia de estructuras costeras. Sin evolución de la línea de costa se ha abordado desde
embargo, la construcción de un modelo de predicción tres direcciones diferentes,
semejante precisa del conocimiento de la interacción
entre el oleaje y la batimetría, así como de los  Los modelos llamados de
mecanismos que inducen el transporte de sedimentos sedimentación/erosión inicial que
fuera y en el interior de la zona de rompientes. El básicamente realizan el cálculo del sistema
modelo ideal debería estar constituido por diversos de corrientes y del transporte de sedimentos
elementos. Un primer elemento lo constituiría el módulo en una batimetría que se asume permanece
de propagación de oleaje, cuyo fin sería llevar un constante, y determinan al tasa de
oleaje,definido por su espectro direccional, desde aguas sedimentación o erosión en cada punto de la
profundas hasta la costa, incluyendo refracción, batimetría dada. Son los más utilizados en la
difracción, asomeramiento, rotura e interacción ola- actualidad, dado que son de fácil
corriente. El segundo elemento, alimentado con los implementación y a muy bajo coste,pero son
resultados del módulo anterior, debería ser capaz de solo válidos para modelar procesos mucho
reproducir la hidrodinámica en la zona de rompientes, más cortos que la escala del proceso
determinando el sistema de corrientes inducido por el morfológico (p.e. escala de un temporal).
oleaje en tres dimensiones e incluyendo la corriente de
resaca ("undertow"). A continuación, sería precisa la  Los modelos morfodinámicos de medio
inclusión de un modelo de transporte de sedimentos que, plazo en los que la nueva batimetría vuelve
a partir de las corrientes calculadas anteriormente, a alimentar el modelo de propagación,
evaluara el transporte de sedimentos en suspensión y por iniciando, de nuevo, el ciclo. Estos modelos
fondo en todas las direcciones y a cualquier profundidad. describen, fundamentalmente, las
Por último, un módulo en el que se planteara la ecuación variaciones del lecho y sus escala de tiempo
de conservación del sedimento relacionaría el transporte es muy próxima a la correspondiente a los
anteriormente calculado con la evolución del lecho. procesos hidrodinámicos. Sus resultados no
son extrapolables a escalas de tiempo
A primera vista, se puede observar que una de las superiores.
principales dificultades que presenta este "modelo ideal"
radica en las diferentes escalas temporales que rigen los  Los modelos morfodinámicos de largo plazo
fenómenos hidrodinámicos y los relacionados en los que las ecuaciones constitutivas del
modelo no describen los procesos físicos
con el transporte de sedimentos y evolución de la línea individuales sino que integran estos
de costa, puesto que éstos últimos son varios órdenes de procesos a un más alto nivel,
Ingeniería del Agua. Vol. 2 Num. Extraordinario (Abril 1995) p. 99
 Teorías matemáticas de ondas
mediante procesos matemáticos (promediado
temporal), y razonamientos físicos y empíricos.Las  Modelos basados en la ecuación de la "mild-
escalas de tiempo correspondientes a estos modelos slope" (pediente suave).
son incluso mayores que las escalas de los procesos
Solución de la ecuación en forma
morfodinámicos predominantes. El ejemplo más
característico del uso de estetipo de modelo es la
determinación del impacto morfológico inducido por la Solución de la ecuación en forma
sobreelevación del nivel medio del mar. parabólica.
Solución de la ecuación como un
MODELOS DE PROPAGACIÓN DE ONDAS
sistema de ecuaciones hiperbólicas.
Introducción  Modelos basados en las ecuaciones de
La determinación del oleaje es absolutamente
Conservación de la acción de onda
necesaria para el Ingeniero de Costas, dado que ese
constituye la solicitación fundamental a la que se ve Irrotacionalidad del número de onda
sometida él elemento en estudio, ya sea natural o
artificial. Conceptos Básicos
El modelo más simple de propagación de oleaje es el
Los datos de partida son obtenidos, generalmente, en
debido a Airy, que estableció que la superficie libre de
aguas profundas y es necesaria su transformación hasta
una onda propagándose en la dirección positiva del eje
la zona de interés considerando procesos tales como
x es (en z=0),
asomeramiento, refracción, difracción, disipación u
otros procesos que puedan afectar a la onda en su η( x , t ) = a cos( kx − σt ) (1)
proceso de propagación hacia la costa.
donde a es la amplitud de la onda, k es el número de
Los modelos de propagación existentes se basan en: onda, que se define como k=2 π / L, donde L es la
longitud de onda, y \sigma = 2 π / T es la frecuencia
angular asociada a la onda, y T su período (Figura 1).
Si la onda se propaga en una dirección arbitraria, la
forma de la superficie libre se expresa como,
η( x , t ) = a cos(k cos θx + k sin θy − σt ) = (2)
= a cos S( x , y, t )
donde 0 es el ángulo de incidencia que el tren de ondas
forma con el eje x (Figura 1). El argumento del la
función coseno, S(x,y,t), es llamado fase de la onda. Si
definimos el vector número de onda por sus
componentes en los ejes (x,y), k = (k cos θ, k sin θ) y x
= (x,y), tenemos que S = kx - σt.
A medida que el tren se propaga pasando de una
profundidad a otra, se produce la refracción y
asomeramiento ("shoaling") del frente, dado que la
longitud de onda L (y por tanto la celeridad de la onda
C = L/T), cambia con la profundidad. La longitud de
onda local para teoría lineal se relaciona con la
profundidad local, h, para un período dado, mediante la
ecuación de la dispersión que puede ser expresada de
Figura 1 Definición de los parámetro de la onda y sistema de donde L0 = gT2/2π es la longitud de ondas en
referencia profundidades indefinidas.
Ingeniería del agua. Vol. 2 num. Extraordinario (abril 1995) p. 100
y a 1 en profundidades reducidas. Ū: longitud de onda es siempre más corta en ∂ ( E / σ) E  profundidades reducidas que en indefinidas. llamada El fenómeno de la refracción tiene lugar cuando un celeridad de grupo. la conservación de la técnica iterativa. L0. ω es la frecuencia absoluta. MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Introduciendo k y σ constante. C = C0 tanh kh ( 6) E ( ) ∇ ⋅  C g  = − ∈d σ  (13) donde C0 es la celeridad de la onda en profundidades indefinidas (C0 = gT/2π). la ecuación de conservación de la onda se reduce a (8). σ 2 = gk tanh kh ( 4) Finalmente. se C g . efectos de rotura o fricción en el fondo puede incluirse 2π/T. donde + ∇ ⋅  (U + C g )  = 0 (10) solamente depende del período. C2. C1. T. (9). en la ecuación de la conservación de la energía La celeridad de la onda C = L/T. para su energía se reduce a: resolución. (E )t + ∇ h ( E C g ) = 0 (8) Para batimetría recta y paralela. Como puede ∂t  σ  observarse. propagación Las ondas de pequeña amplitud no transportan masa. En ese caso. sin θ1 sin θ 2 = (14) C1 C2 La ec.0 llega a la siguiente ecuación de la dispersión. Sin embargo. la ley de Snell. En este caso la magnitud que se conserva es la acción de onda. no es dirección de incidencia en profundidades reducidas. cerradas. la ec. a partir de (4). como primera lo que conduce a. que se define como: tren de ondas incidiendo oblicuamente sobre la costa encuentra un cambio de profundidad. como: estacionario y fondo variable. para el estudio de este fenómeno. asimismo. H = H0 = H0Ks (12) Cg ω= kU +σ (5) donde Kx es el coeficiente de asomeramiento o donde Ū es la corriente y σ la frecuencia intrínseca "shoaling". para ondas propagándose sobre fondo corriente. puede extenderse al caso de la La ecuación de la dispersión (3) ó (4) indica que la presencia de una corriente.Varias han sido las técnicas desarrolladas horizontal. Este tipo de fenómeno se presenta. sobre medios porosos o rotura debida a oleaje regular o puesto que las trayectorias de sus partículas son irregular. Extraordinario (Abril 1995) p. lo que hacen a una velocidad Cg. por lo que es necesario utilizar una tren de ondas es constante. cuando A partir de la ecuación de la energía mecánica se el frente de la onda se encuentra con una deriva. una 1 2kh  parte del frente de la onda viaja en aguas más someras Cg = n C = 1 + C (7 ) 2  sin 2kh  que el resto de la cresta. dondeed tiene distintas expresiones según se trate de introducir efectos de la fricción por fondo. derivada en óptica. nos da la información relativa a la Esta ecuación de la conservación de la energía. sin más que calcular las ∂t σ  celeridades correspondientes a profundidades reducidas. θ2: válida para el caso de la existencia de una corriente o de disipación. E/σ Es evidente que si la σ se mantiene Ingeniería del Agua. Vol. es evidente que sí transportan energía. para el que se obtiene. Esta ecuación tan simple nos sirve para calcular el ángulo de incidencia del frente de ondas propagado. la siguiente expresión. se puede expresar mediante un término adicional. (8). puede extenderse al caso de fondo suavemente variable. con una consiguiente reducción en la velocidad de propagación. la ecuación de la dispersión es Para el caso estacionario. tipo Newton-Raphson. aproximación. (4). lo cual El factor n es igual a 1/2 en profundidades indefinidas produce el giro del frente. que la corriente es uniforme en la profundidad y que fluye en la dirección del oleaje. asociada a unos ejes moviéndose con la corriente y que La introducción de disipación de energía inducida por se obtiene de la ec. 101 . y donde la frecuencia del trascendente. e indefinidas. en ∂ ( E / σ) E  + ∇ ⋅ Cg  = 0 (9) profundidades reducidas. 2 Num. Para el caso para el caso sin corriente. Para el caso de ondas propagándose en presencia de EC g = EC g ( )0 (11) una corriente y asumiendo.
la asumir batimetría recta y paralela pudiera conducir a resultados erróneos. a la separación inicial entre rayos y b a la separación en la En el caso de que la batimetría no sea recta y paralela. a partir de los gráficos obtenidos puede aplicarse la teoría del rayo y. Esta técnica consiste en asumir batimetría recta y paralela en cada punto de las batimétricas. ∂θ 1 ∂C resolviendo simultáneamente el sistema de cuatro =− (18) ∂s C ∂n ecuaciones diferenciales siguiente: ∂x ∂y = cos θ . y . de hecho. ∂S σ=− (16) ∂t cos 2 θ ∂C sin θ ∂ 2C p=− − (21) de donde fácilmente se deduce C ∂x C ∂y 2 sin 2 θ ∂ 2C sin 2θ ∂ 2C cos 2 θ ∂ 2C ∂k sin θ ∂k cos θ q=− − + ∇x k = 0 = − (17) C ∂x 2 C ∂x∂y C ∂y 2 ∂x ∂y La altura de ola local se calcula como. probablemente. analíticamente. y teniendo en cuenta que ∂ 2β ∂β 2 +p + qβ = 0 (20) ∂s ∂s k = ∇S ( x.Para una C0 1 H = H0 (22) batimetría real esta ecuación puede resolverse de 2 Cg β diversas formas. Extraordinario (Abril 1995) p. 102 . S. donde Cges la celeridad de grupo local.MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Hay. Para batimetría recta y paralela. Vol. las derivadas en la dirección y son nulas. por tanto. s y n son las coordenadas tangente y normal al para la batimetría descrita analíticamente en la gráfica. Para β = del número de onda. 1984). zona de estudio. Esta ecuación es el Principio de Fermat que. (Dean y Dalrymple. = sin θ ∂s ∂s ∂θ 1  ∂C ∂C  = sin θ − cos θ  ∂s C  ∂x ∂y  ∂β ∂r =r . definición de la fase de la onda. b(). con lo que la irrotacionalidad del número de onda se reduce a la Ley de Snell. como una generalización de la b/b(). que hacer notar que este método no Asociada a este cambio de dirección. = − p r − qβ ∂s ∂s donde las dos últimas ecuaciones se obtienen al convertirla ecuación diferencial de segundo orden (20) en dos ecuaciones de primer orden. que aborda el problema de la refracción y asomeramiento. t ) (15) donde. aplicando la b0 ley de Snell localmente para trazar un rayo desde Kr = (19) b profundidades indefinidas hasta aguas someras. para la cual para establecer la separación entre rayos y. se ha escrito (Figura 2). El mejor ec. Mediante un cambio de variable. es de aplicación la irrotacionalidad variación de la altura de ola. se produce una tiene en cuenta la forma del perfil que une los dos variación de la altura de ola debido a la convergencia o puntos de estudio. establece que la luz siempre sigue rotura que compara la profundidad con la altura de ola la trayectoria más corta entre dos puntos. ésta ha mediante la propagación de los rayos se puede obtener sido la técnica más utilizada hasta hace unos pocos el coeficiente de refracción. Esta ecuación se deriva a partir de la diferencial. sin embargo. (17) en: ejemplo es. Sistema de referencia asociado a los ejes La Figura 3. para una batimetría irregular. Munk y Arthur (1952) desarrollaron unas ecuaciones Finalmente. Una de ellas es la teoría del rayo. convirtieron la varios programas utilizando la teoría del rayo. Ingeniería del Agua. 2 Num. Si llamamos. muestra los resultados obtenidos por Noda donde. resultante de la propagación en ese punto. dique. Kr como: años. a unos ejes tangente y normal al rayo Con el fin de mecanizar el procedimiento. el de Noda (1974). divergencia de los rayos. puede establecerse la siguiente ecuación Ley de Snell. Figura 2. La línea de rotura se obtiene aplicando un criterio de tomada de la óptica.
1988 y modelar la difracción en las zonas próximas a 1991). 1974) Cierto es que el primer problema. dado que no son capaces de rectangular (Perlin y Dean. la conservación de la energía se reemplaza por dique. a priori. de partida en modelos secundarios. lo cual cada nodo de la malla pueden ser empleados como datos conduciría a alturas de ola infinitas. los programas basados en la teoría La Figura 4 presenta un caso de aplicación del modelo del rayo. es insalvable si no fuera por la utilización de modelos sobre mallas. mientras que el frente continuaría propagándose sin ∂ ( E / σ) E  variar ni su forma. Dalrymple. 1983. aunque muy utilizados hace una década.desconocemos la dirección que seguirá cada rayo. como son:  No garantiza una densidad de rayos suficiente en la zona donde deseamos realizar nuestro diseño. Si no se produjera la cesión lateral de energía. La altura de ola puede calcularse a partir de la dirección dominante de propagación. la refracción ha sido estudiada predecir los fenómenos de refracción. (17) se resuelve mediante diferencias finitas. obteniéndose como El proceso de difracción se pone de manifiesto como la resultado la dirección de la onda en cada punto de la cesión lateral de energía. dado que. Esto daría lugar a una + ∇ ⋅  (U + C g )  = 0 (23) discontinuidad. la la ecuación de la conservación de la acción de onda: zona a sotavento del dique permanecería en calma. de gran importancia para el desarrollo de un "modelo ideal". Posteriormente. Figura 3. La mejor ecuación de la conservación de la energía o de visualización de este proceso la configura la propagación conservación de la acción de onda. 103 .  Se produce el corte de los rayos propagados.están limitados. el área de interés. Extraordinario (Abril 1995) p. ∂t σ  Ingeniería del Agua. Los modelos analizados hasta ahora son capaces de Más recientemente. 2 Num. (Noda. Para el caso de ola— de un tren de ondas. la ec. Para explicar este fenómeno es necesario introducir el El punto de partida es la generación de una malla sobre concepto de la difracción. han REFRACT. Como ya hemos dicho.  La obtención de datos de partida para programas basados en mallas. perpendicularmente a la malla. sin irrotacionalidad del número de onda sobre una malla embargo. interrumpida por la presencia de un corriente. ni altura de ola. asome\-ramiento y mediante la resolución de la ecuación de la rotura incluyendo un criterio de rotura. resultaría terriblemente tediosa. ni elfenómeno que tiene lugar cuando se este tipo de modelos es que los resultados obtenidos en produce la intersección entre dos rayos. Dalrymple (1988). para cálculo de corrientes o transporte de sedimentos. sin desplazándose con la corriente. el segundo punto. Vol. Por estos problemas. la ventaja principal de obstáculos. puede resolverse calculando el rayo desde nuestro punto de donde σ es la frecuencia intrínseca asociada a unos ejes diseño en la dirección opuesta a la propagación. MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Sin embargo la teoría del rayo presenta varios problemas. embargo. caido en desuso. lo cual implicaría altura de ola infinita. Rayos obtenidos para un tren de ondas incidiendo oblicuamente en una playa.
a.4 m. marea = 2. T = 12 . 2 Num. Batimetría resultante del programa REFRACT aplicado a la costa de Granadilla (Tenerife).MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS BATIMETRÍA GRANADILLA Figura 4. H = 1 m. Vol. Ingeniería del Agua. 104 . Extraordinario (Abril 1995) p. dirección: SE.
Extraordinario (Abril 1995) p.0 sg. T = 12 . marea = 2.4 m. Ingeniería del Agua. Diagrama de vectores (amplitud y dirección) resultante del programa REFRACT aplicado a la costa de Granadilla (Tenerife).b.4 m. MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS REF2VEC RESULTADOS AMPLITUD Y DIRECCIÓN ESCALA H = 1. DIR = SE MAREA = 2. Vol.0 T = 9.0 Figura 4. dirección: SE. 2 Num. H = I m. 105 . ESCALA V = 1.
Por otro lado. para el estudio de resonancia en η 2 dársenas. donde la amplitud. 172. requiere la determinación de las condiciones de contorno en todo el dominio.  ∂x    ∂x  ∂y  ∂y  La solución teórica a la difracción en un dique semi- infinito fue formulada por Sommerfeld y se basa en la y la fase. A. aproximación parabólica de la ecuación de la "mild slope". teórica para dique finito fue obtenida por Penney y La primera aproximación al problema se realizó Price (1952) como la suma de la difracción debida a mediante el método de los elementos finitos (Berkhoff. La primera componente nos da el número de onda real. La solución La ecuación (30) ha sido resuelta de maneras diversas. En dichos siguiente ecuación aproximada en 2-D: casos. son reales. podemos separar resolución de la ecuación de Laplace con sus la ecuación de la "mild slope" en dos ecuaciones. Bettes y Zienkiewicz. Es por ello necesario. simplifica cosh kh notablemente la resolución numérica del problema. (31). Radder (1979) introdujo la donde. introducir la difracción. (33). Más aún. Ingeniería del Agua. y ) e (26) cosh kh ecuación de la dispersión (4). Houston. computación.MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS La difracción es también importante para el caso de La ecuación en 3-D de Laplace se transforma en la propagación de ondas en largas distancias. y por tanto. energía. con el fin de reproducir la cesión lateral de energía ∂  φ  ∂  φ  CC g  +  CC g + k 2CC g φ = 0 (31) donde se cortan los rayos. es la conservación de la acción de onda. en la ec. programa. fundamentalmente.y) e's(x'y). Definiendo el del modelado numérico. cada uno de los extremos del dique. ∫ w( z ) ∇ φdz = 0 (29) −h Frente a este problema. la ecuación de la "mild slope" es una ∂x 2 ∂y 2 herramienta poderosa para el estudio conjunto de los efectos de la refracción y difracción. La primera ecuación consta de dos componentes. 106 . correspondientes condiciones de contorno. únicamente. casi w( z ) = (30) siempre desconocida. los efectos de la refracción daría lugar a zonas de alta concentración de Si sustituimos φ = A(x. S. Extraordinario (Abril 1995) p. 2 Num. 1977. La segunda llegamos a la ecuación de Helmholz. Esta ecuación de tipo elíptico debe ser resuelta con sus correspondientes condiciones de contorno. considerar. MSP. el método de los elementos finitos exige el φ=φ e (28) cosh kh uso de grandes mallas. La solución del problema elíptico SPM. ecuación. llamado. fue introducida por las condiciones de absorción para incidencia oblicua Berkhoff (1972) para estudiar la propagación de ondas puesto que aparecen reflexiones no deseadas. ∂2 A ∂2 A + + k2A = 0 (27) Por tanto. para propagación en superficies muy cosh k (h + z ) iσt grandes. la inversión de grandes matrices que precisan de mucho tiempo de Berkhoff realizó la siguiente integración. resolviendo la ecuación en su forma elíptica. 1981). para la resolución completa La Figura 5 muestra una de los gráficos incluidos en el de dicha ecuación. sobre todo en La ecuación de la "mild slope". El SPM contiene una serie de diagramas mediante los cuales puede obtenerse el coeficiente de difracción El Grupo de Ingeniería Oceanógrafica y de Costas de asociado a distintos tipos de estructuras y para la Universidad de Cantabria generó su propio diferentes ángulos de incidencia para fondo horizontal. resultante de los gradientes donde A(x. más un término corrector debido a la difracción. Vol. una vez ∇ ⋅ CC g ∇A asumido fluido incompresible y flujo irrotacional: k 2 − | ∇ S |2 + =0 (32) CC g A ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ  ∇S   E 2 + 2 + 2 =0 (25) ∇ ⋅  C g A2σ  = ∇ ⋅  C g  = 0 (33) ∂x ∂y ∂z  | ∇S |  σ Si asumimos. en función del número de onda k obtenido de la φ = A( x. propias sobre fondos suavemente variables.y) es una amplitud que varía en el espacio. Ecuación de la "Mild Slope" Esta cuestión plantea grandes problemas. potencial total como. que tiene la ventaja fundamental de no precisar cosh k (h + z ) el uso de la condición de contorno en la costa. locales de amplitud y celeridad de la onda. Esto hace reconmendable su uso. cosh k (h + z ) − iσt VS.
y) elkx. En este caso. Esto se traduce en una limitación del ángulo de incidencia que obliga. el potencial puede expresarse como. Error entre la solución parabólica y la solución la dirección en la que hemos asumido el elíptica comportamiento ondulatorio del tren de ondas. 107 . Coeficientes de difracción en un dique semi-infinito impermeable para una incidencia de 30° SPM La aproximación parabólica introduce la hipótesis de que las ondas se propagan en una dirección predominante respecto a uno de los ejes coordenados del sistema de referencia en el que se resuelve la ecuación. Ingeniería del Agua. Substituyendo esta expresión en la ecuación de ik − sin 2 θx + ik sin θy Laplace y asumiendo profundidad constante. para ondas propagándose los dos siguiente con lo que llegamos a la fundamentalmente en la dirección del eje x. y ) = ae 2 (37) a: Si comparamos la solución aproximada. y. Vol. A. (36). ∂2 A ∂2 A∂A con la solución de onda plana obtenida para la 2 + 2 + 2ik =0 (35) ∂x ∂y ∂z ecuación elíptica (27). A(x. dado que ésta es Figura 6.y) varía lentamente en x. se obtiene la siguiente solución a la ec. A(x.en algunos casos. llegamos A ( x. Por tanto. este Se puede demostrar que para pequeños ángulos de comportamiento se expresa mediante una función de la incidencia el primer término es despreciable respecto a forma elkx. Extraordinario (Abril 1995) p. esta aproximación parabólica para profundidad constante. 2 Num. debe variar rápidamente en la dirección del eje x. a utilizar más de una malla para una misma localización. y ) e e (34) cosh kh Para onda plana. podremos hacer la hipótesis de que la amplitud. En este caso. Para ondas propagándose en esta dirección. función contendrá la mayor parte de la información relativa a la oscilación. si examinamos la forma del potencial φ. que hemos utilizado en el estudio de la difracción. t ) = A( x. ∂A i ∂2 A = (36) ∂x 2 k ∂y 2 cosh k (h + z ) ikx − iσt φ( x. Volviendo al caso de fondo horizontal plano. MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Figura 5. z .
Para ángulos la ecuación de Laplace o de la "mild slope". Dean y Dalrymple otras teorías. ser importantes (Figura 6). + h  − 2 ∂x 2  ∂t  6 ∂x 2 ∂t La Figura 7 incluye la batimetría y resultados de superficie libre e isolineas de altura de ola máxima ∂η ∂ (h + η)u + =0 (41) obtenidos de la aplicación del modelo REF/DIF a la ∂t ∂x playa de Plencia (Vizcaya) para un oleaje incidente de T = 18 s y dirección NW. que para fondo constante tienen como determinada fracción de la profundidad y que la tasa de solución las conocidas onda solitaria y onda cnoidal. Vol. incluye reflexión.. los experimentales de Berkhoff. Este modelo asume que después del proceso de la propagación en este caso son las ecuaciones de rotura existe una altura de ola estable igual a una Boussinesq... primeros términos de su desarrollo en serie. 2 2 h ∂  ∂u  h ∂ ∂u 2 .El programa profundidades reducidas. diferentes modelos para la ∂t ∂z ∂x disipación por fondo incluyendo efectos de capa límite (40) o propagación sobre fangos o lechos arenosos. disipación de energía en la zona de rotura es Para fondo variable. ∂u ∂u ∂η +u =− + . miembros del Laboratorio de Ingeniería Marítima Partiendo de este modelo. ha mostrado resultados excelentes a la hora de comparar los mismos con los resultados Basándose en las ecuaciones de conservación. y que no puntos donde la superficie libre se anula. asimismo. Rivero et al. Sin mayores. Grassa (1992) desarrolló un modelo . en corrección de la celeridad de la onda hasta el orden de zonas donde la intersección de los frentes da lugar a Stokes III. el error cometido RCPWAVE. Posteriormente. cualquier modelo que utiliza estas ecuaciones no predice de forma adecuada Kirby y Dalrymple (1983) introdujeron una los efectos que se producen en zonas donde la aproximación. sí tiene algunos de aplicación de la aproximación parabólica. todos los modelos planteados. Freilich y Guza (1984). La aplicación de estos modelos parabólica de la ecuación de la "mild-slope" tipo Boussinesq a casos reales ha mostrado un correcto linealizada.. Para pequeños valores de θ. Ebersole (1985) desarrolló un modelo de propagación. tenemos: García (1994).. l/2sin2θ). sin embargo. kh < π/10 o h/L < 1/20. Booij y Radder (1982). inconvenientes. lo cual delimita el campo presente en los modelos parabólicos. el Grupo de Ingeniería (LIM) de la UPC han desarrollado un modelo de Oceanógrafica y de Costas de la Universidad de propagación. han tratado de resolver ángulos de incidencia menores de 45°. la rotura mediante la modela más eficientemente mediante la utilización de inclusión del modelos de Daily. con base en frente a (39) una aproximación minimax extendió la solución hasta ángulos de 70°.parabólica no lineal. pero con un algoritmo a la playa. (1993). REF/DIF incluye. Cantabria ha realizado una serie de modificaciones al programa que optimizan su rendimiento y mejoran su Modelos en profundidades reducidas aplicabilidad a casos reales. tanto que el modelo trabaja muy satisfactoriamente para matemáticos como numéricos. 108 . 1967). ae − ik cos θx + ik sin θy Con el fin de ampliar el rango de validez angular de las aproximaciones parabólicas. Ingeniería del Agua. y ) = a eik cos θx + ik sin θy (38) numérico distinto y variando alguna de las condiciones de contorno. se REF/DIF incluye. De la experiencia adquirida mediante estas aplicaciones se ha observado Hasta ahora. además.MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS A( x.  1  ik  1− sin 2 θ  x + ik sin θy ae  2  Existen otros modelos de propagación que se basan en la programación no de la ecuación de la "mild slope" Esto demuestra que la aproximación parabólica para en su forma parabólica o elíptica sino en la ondas planas aproxima cos θ = (l-sin20)l/2 por los dos implementación de las ecuaciones de conservación. A pesar de ángulos mayores de 45°. que resuelve las ecuaciones (32) (33) y es prácticamente despreciable. es necesario orientar la malla hasta alcanzar embargo. que incluye la refracción-difracción es importante o. en general. los errores cometidos pueden que este modelo no tiene la limitación del ángulo. Básicamente. Extraordinario (Abril 1995) p. real y el flujo de energía estable. Básicamente. se ha realizado algunos códigos nuevos basados en las mismas ecuaciones. Este modelo llamado REF/DIF. funcionamiento para oleajes incidiendo normalmente numérico semejante al anterior.. Existen varias soluciones numéricas para problemas en dos dimensiones y fondo irregular que han dado lugar Siguiendo esta misma linea. basada en la aproximación a diferentes programas. Kirby (1986). para (17) sobre una malla en diferencias finitas. H = 4 m y media marea. 2 Num. las ecuaciones no lineales que proporcional a la diferencia entre el flujo de energía gobiernan el fenómeno son (Peregrine. las ecuaciones que modelan (1985). es sabido que la propagación de ondas en ángulos en el rango especificado. (l.
a. Batimetría Ingeniería del agua. 2 num. MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Figura 7. Vol. Extraordinario (abril 1995) p. 109 . Plencia (Vizcaya).
Extraordinario (Abril 1995) p. H = 4 m. NW. Isolíneas de altura de ola máxima. NW. marea de 2. Figura 7. Vol. T = 18 s. marea de 2.2 m.MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Figura 7. Superficie libre. Plencia (Vizcaya).2 m. H = 4 m. 110 .c. 2 Num. T = 18 s. Plencia (Vizcaya). Ingeniería del Agua.b.
MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Estos modelos se han extendido también al caso de γ es un parámetro empírico. En cualquier caso. semejante a un resalto sistema circulatorio en la zona de rompientes es hidráulico. Liu. Vol. movimiento y la ecuación de la continuidad. los modelos se han ido sofisticando. La segunda aproximación al problema del oleaje es mediante la propagación del espectro directamente. Posteriormente. Yoon y Kirby (1985). En ese caso. tratándose como superposición lineal de ondas. bidimensional formado por un espectro frecuencial y una función de dispersión angular y se discretiza En esta linea. se como por la comente. S(f. asumiendo una distribución de alturas de ola tipo El sistema circulatorio en la zona de rompientes es Rayleigh. más compleja. incluyendo oleaje irregular y con especial aplicación al estudio de la agitación portuaria. simultánea sin interacción entre ellas. Asimismo. caracterizan por un periodo y una dirección asociadas. permite una resolución de las ecuaciones promediadas del solución analítica. Ecuación de la "MildSlope" incluyen la posibilidad de propagar oleaje irregular siguiendo el esquema aquí En España. introdujeron necesario para resolver el transporte de sedimentos y funciones de distribución de la altura de ola en rotura las variaciones morfológicas en la línea de costa. propaga cada una de las componentes de forma Holthuijsen y Booij (1990). utilizando uno de los modelos incluyen tanto la refracción inducida por el fondo lineales. θ) = S0 σ. Presentaron dos Estos modelos se basan fundamentalmente en la expresiones. embargo. existen modelos que incluyen los Todos los modelos numéricos incluidos en el apartado efectos de la rotura. resolviendo la conservación de la acción de ondas.42. Modelos para oleaje irregular Para batimetría recta y paralela. el oleaje irregular sigue para cada componente. obteniendo componentes individuales que se apareciendo modelos en diferencias finitas que. ∈d = ρg 5 H rms 1 − 2 5/ 2  (43) 32 π 2 3 Y h  (1 + ( H rms / yh )  Ingeniería del Agua. se puede obtener parámetros estadísticos tales espectrales de este tipo aunque todavía. que posteriormente compararon con datos de campo. 111 . anteriormente descritos. Sin consigue un mejor ajuste a los datos.monocromáticos. para como H1/3 o Hms a partir de las amplitudes obtenidas aplicaciones ingenieriles. Battjes y Janssen (1978). fricción e incidencia oblicua. índice de rotura en oleaje direccional introduciendo una aproximación régimen de saturación. Thornton y Guza (1983). se parte de un espectro para procesos de asomeramiento entre 10 m y 4 m. Para ello. para el que se suele tomar 0. El modelado del basado en un "bore" turbulento.θ) puede obtenerse como. obtenidas teóricamente. la primera (42). Una vez realizada la propagación en cada punto de la malla Actualmente se sigue trabajando en modelos definida. diferentes frecuencias y direcciones. más simple. S (σ. Koseki e Iwake (1983). La interacción entre componentes. la 3 B3σ 7 utilización de las ecuaciones promediadas precisa unas ∈d = ρg H rms ( 42) expresiones para las tensiones tangenciales y 32 π Y 4 h5 turbulentas que obligan a introducir una serie de 3 B3σ  1  ecuaciones de cierre. el LIM de la UPC ha desarrollado un expuesto. Sakai. el oleaje puede ser representado mediante la introducción kC go   k  de un espectro de energía. Estos modelos pueden incluir también efectos tales MODELOS DE HIDRODINÁMICA EN LA ZONA como la rotura mediante la introducción de modelos de DE ROMPIENTES rotura para oleaje irregular. la propagación del Aunque este modelo tan simple no considera la mismo puede abordarse por dos vías diferentes.θ). Guza y Elgar primera se basa en asumir que el espectro puede ser (1990) demostraron que funciona razonablemente bien discretizado. estas ecuaciones pueden ser resueltas con diferentes grados de complejidad. la segunda (43). LeMéhaute y Wang Es sabido que en la realidad la superficie del mar se (1982) demostraron que el asomeramiento sufrido por compone de un conjunto de trenes de ondas con un espectro S(σ. Freilich. 2 Num. parabólica de las ecuaciones. truncaron dicha distribución en la altura de dominado por las fuerzas inducidas por el oleaje y ola de rotura y utilizaron un modelo de disipación asociadas a la rotura del mismo. sin −1 sin θ   (44) k0C g   k0   Una vez definido el espectro representativo del estado de mar que se desea modelar. Extraordinario (Abril 1995) p. salvo pequeñas diferencias en el tratamiento programa que resuelve las ecuaciones de Boussinesq de la discretización y de la rotura.
que utilizando los resultados del modelo REF/DIF 1 t +T η 2 1 t +T 0 de propagación. y la dirección 1 t+T η V = ∫ ∫ v( x. esquemas de tipo implícito. Los resultados obtenidos de este T t −h programa. + 1 ρH ∂ ∂x ( ) S xy + 1 ∂ ρ H ∂y ( S yy ) + . En el primer caso (2- . llamado COPLA (COrrientes en PLAyas) para T t −h T −h −h PC.. 1 t+T η U = ∫ ∫ u ( x. Los modelos (2-DH).MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Ecuaciones del Movimiento: El modelo más completo es el tridimensional (3-D) que resuelve las ecuaciones en una malla tridimensional y. que numéricamente resuelve las ecuaciones 1 t +T del movimiento promediadas en el período de la onda e η= ∫ η( x. Este tipo de modelo está todavía en fase de desarrollo y no es usado ∂U ∂U ∂U ∂η +U +V +g + . con mucha frecuencia. 2 Num.. los puramente 2-D (2-DV) y los modelos integrados en vertical (2-DH). c el + + =0 (45) ∂t ∂x ∂y coeficiente de fricción. las características del sistema circulatorio en toda la columna de agua. T período del oleaje. Ingeniería del Agua. t )dt / / T t integradas en vertical. las ecuaciones que Tt −h resuelve el modelo COPLA son las siguientes: Continuidad: donde h es el calado hasta el nivel de referencia. (47) DV). y. + ( S xx ) + ( S xy ) + . + (U 2 + V 2 1/ 2 ) − ∈    = 0 paralela a la costa son nulos y los resultados obtenidos c2H  ∂x 2   ∂y 2    son velocidad y niveles. t )dzdt T t −h Asumiendo un sistema de ejes cartesianos en los que x indica la dirección transversal a la playa... así como el sistema de corrientes. Extraordinario (Abril 1995) p. z. por tanto. calcula los tensores de radiación como S yy = ∫ ∫ (ρv + p )dzdt − ∫ ∫ P0 dzdt T t −h T −h −h agentes impulsores de las corrientes... H calado total.. Stivey Battjes (1984)). z . La técnica de resolución . especialmente. + (U 2 + V 2 1/ 2 ) − ∈    = 0 c2H  ∂x 2   ∂y 2    numérica más comúnmente utilizada es diferencias finitas y... Vol. se  ∂ 2V  ∂ 2V  gV asume que las velocidades y gradientes en la dirección . 1 ∂ 1 ∂ . (46) Con el fin de simplificar el modelo circulatorio.. y. pasando a los modelos gU  ∂ 2U  ∂ 2U  bidimensionales (2-D). a lo x: largo y perpendicularmente a la costa. sin embargo. (Daily y Dean (1984). ε el coeficiente de viscosidad turbulenta. se ρ H ∂x ρ H ∂y reduce una dimensión.. dado que estos reducen las inestabilidades numéricas. El Grupo de Ingeniería Oceanógrafica y de Costas de la Universidad de Cantabria ha desarrollado un modelo 1 t +T η 2 1 t +T 0 S xx = ∫ ∫ (ρu + p )dzdt − ∫ ∫ P0 dzdt 2-DH. dada su complejidad y sus ∂t ∂x ∂y ∂x elevados costes de computación. de Vriend (1987)) resuelven las ecuaciones del movimiento y de continuidad integradas en vertical sobre una malla y donde como resultado se obtiene niveles y las dos componentes horizontales de la velocidad... 112 .. Toda la estructura vertical H = η+ h (48) del flujo queda embebida en la expresión de la fricción en el fondo. Existen dos aproximaciones diferentes a estos ∂t ∂x ∂y ∂y modelos. (Basco (1983). p es la presión total y p0 la presión estática a partir del nivel medio. y.. y. ∂V ∂V ∂V ∂η +U +V +g + . presentan el inconveniente de perder la estructura vertical del flujo. son niveles ("set-up" y "set- down"). El modelo también puede utilizar el viento o la marea como 1 t +T η S xy = ∫ ∫ (ρuv + p )dzdt agentes impulsores.. t )dzdt longitudinal y z la profundidad. Sxx Sxy. Syx Syy son ∂η ∂ (UH ) ∂ (VH ) las componentes del tensor de radiación.
Exlraordinario (abril 1995) p. Vol. MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Figura 8. NW. T -18 s. pleamar Ingeniería del agua. Corrientes en la playa de Plencia. 113 . 2 num. H-5 m.
mucho más ancha hasta el nivel del seno de las Evidentemente. ya sea mediante los resultados obtenidos a partir de un modelo 2-DV o. 114 . y Hb la altura de ola significante en rotura. La introducción de la distribución vertical del flujo no es donde Q es la tasa de transporte de sedimento en la trivial. sería necesario introducir modelo hidrodinámico utilizado. es el elemento más variaciones de manera sencilla. (1990). de cara a un modelado adecuado del sedimentos está asociada al nivel de sofisticación del transporte del sedimentos.e. hasta la superficie libre. una primera modelo 3-D o cuasi 3-D será preciso dar una estructura solución puede ser la utilización de modelos 2-DH en vertical al transporte de sedimentos. para su uso en Proyecto es conveniente realizar fluido y la licuefacción del lecho. la tasa de transporte de sedimentos puede Para realizar el cálculo del transporte de sedimentos es determinarse a partir de fórmulas como la del CERC necesario introducir unas funciones en los modelos (SPM. Es decir. Q. donde Q es la tasa de transporte de sedimentos en MODELOS DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS m3/año. lo cual. mediante la introducción de expresiones Qsi = ∫ ui ( z )C ( z )dz (49) z =0 analíticas de la distribución vertical de velocidades. conocimiento científico del transporte de sedimentos se este modelo constituye una herramienta fundamental basa en resultados para flujo unidireccional sobre lechos para entender los procesos morfodinámicos que se no rugosos. El problema campañas de medida de corta duración. La determinación de la principal es su fácil manejo y la posibilidad de introducir tasa de transporte de sedimentos. No obstante. u¡ el perfil local de velocidades en la diferenciar tres zonas: una próxima al fondo. Kamphuis (1990). 2 Num. Una vez obtenida una descripción adecuada de la Para modelos más sencillos (p. descrita mediante un modelo 1-DV de perfil mediante fórmulas específicas que sean función de una vertical. que permitan fundamental radica en que la mayor parte de nuestro estimar los parámetros locales. este perfil es tan complicado como se ondas. velocidad representativa de la corriente longitudinal. 2-DH.MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Dado que el modelo depende de una serie de parámetros. Q. Sánchez-Arcilla et al. Para ello. únicamente. tensión tangencial en el fondo masa y los procesos de rotura son predominantes. permitiendo estudiar un importante de este módulo del "modelo ideal". de la ecuación de conservación global del sedimento. Es decir. La UPC ha elaborado un modelo tipo Q3-D dividiendo la corriente en 2 componentes: la corriente primaria. dista mucho de las producen en una playa o tramo de costa. Se tanto para el material transportado en suspensión como basan en las ecuaciones del 2-DH pero se introduce la por el lecho. bajo la distintas capas horizontales del fluido. 1984) Ingeniería del Agua. la descrita mediante un modelo tipo 2-DH. hipótesis de que el sedimento viaja a la velocidad del fluido. hidrodinámicos que tengan en cuenta los efectos de las como son la viscosidad turbulenta o el coeficiente de formas de lecho. más h frecuentemente. 1-D). oleaje). estructura vertical del flujo. multiplicados por los perfiles locales se trabaja en la actualidad es lade los modelos de velocidad eintegrados en toda la columna de agua. inducida por la interacción ola-corriente o los efectos turbulentos generados por la rotura. central. si se utiliza un cierta estructura vertical al flujo. en los que se hidrodinámica del sistema. denominados cuasi-tridimensionales (Q3-D). una variación de la concentración del sedimento. que ha sido sin duda a más estudiada. es necesario determinar el asume la presencia de transporte longitudinal. dirección i y C(z) representa el perfil vertical de caracterizada por la presencia de la capa límite. la solución más extendida y en la que más de sedimento que. Kraus et al. Su virtud condiciones que nos interesan. dado que amplio espectro de condiciones diferentes (batimetría. ecuación en la que se basa el módulo de evolución de La Figura 8 presenta resultado de corrientes en playas costa. para adecuada es. dado que en la estructura vertical hay que dirección i. cualquiera de los modelos expuestos. la adecuada determinación de la fricción o de las tensiones turbulentas constituye el elemento clave es el que es Q = 0. donde el ransporte de límite en el fondo.024 H b2 V (50) necesario progresar todavía mucho más. es necesario hacer hincapié en que. a priori. Briand y den lugar a la tasa local de transporte de sedimentos. las aceleraciones que se producen en el fricción. para diseño. La complejidad de los modelos de transporte de Evidentemente. es preciso definir unos perfiles de concentración Sin embargo. Para modelos integrados en vertical. y la corriente determinación de la tasa de transporte puede realizarse secundaria. Extraordinario (Abril 1995) p. obtenidos mediante el modelo COPLA para Plencia. los gradientes espaciales de esta magnitud forman parte marea. y la desee y debe tener en cuenta factores tales como la capa superior. transporte de sedimentos en suspendión y por el lecho. V. Vol. (1982) demostraron que una formulación Por último. Para ello. Katapodi y Ribberink (1990).
Los modelos de líneas tienen por porosidad de la playa. Ke es una constante Este modelo puede enmarcarse dentro de los modelos de función del índice de rotura.25 Q = KH sbT p mb D50 sin 0. Larson.obtuvo que la posición e la línea de costa. respectivamente y t es la variable tiempo. puede representarse mediante la siguiente ecuación de la difusión ∂y ∂2 y =K 2 (53) ∂t ∂x Figura 9. y(x). Introducción Como ya se dijo anteriormente.5 0. Una vez determinado el transporte de sedimentos por suspensión y por el lecho. m. donde Hsb es la altura de ola significante en rotura. los modelos de lineas y los modelos sobre mallas. es necesario introducir una ecuación de conservación del sedimento que relacione el transporte con las variaciones en la batimetría. tras varias hipótesis simplificativas. La Figura 9 presenta la evolución de la línea de costa MODELOS DE LA EVOLUCIÓN DE LA LÍNEA aguas arriba de un dique que interrumpe el transporte DE COSTA longitudinal completamente. Extraordinario (Abril 1995) p. según la solución analítica obtenida por Larson. x e y representan las direcciones paralela y perpendicular a la costa.Le Méhauté y Soldate (1977) y Dean (1984) utilizaron el 2 1. despreciables frente a tendencia general de evolución. Vol. Para este caso.. diámetro medio del sedimento y de la costa.e.. Los modelos de líneas predicen la evolución de una o N batimétricas en el tiempo. 2 Num. 115 . Hanson y Kraus (1987). Existen otras fórmulas semejantes como la de Kamphuis consecuencia de un temporal) como perturbaciones (1991a). y αb el ángulo de incidencia en rotura. la pendiente de la presentaron un extenso resumen de soluciones analíticas playa en la zona de rompientes y D50 el diámetro medio del modelo de una linea incluyendo los efectos inducidos del material en la playa. la predicción de la evolución de la línea de costa constituye uno de los fines más importantes de Ingeniería de Costas. densidad del agua y del una línea. únicamente.32. para una arena de porosidad 0. objeto describir las variaciones a largo plazo considerando las variaciones a corto plazo (p. MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS 5/ 2 Q = K c H sb sin 2α b (51) del transporte litoral. que depende de la dique que interrumpe el transporte longitudinal profundidad de cierre (profundidad máxima hasta la que completamente se produce transporte de sedimentos) y de la magnitud Ingeniería del Agua. K = 6. idealmente en todas direcciones. Los modelos de evolución de la línea de costa pueden dividirse en dos.75 −0. mientras que los modelos sobre mallas calculan la evolución de la profundidad en cada punto de la malla.4 x 104 por espigones.6 (2α b ) (52) modelo de una línea para estudiar la evolución de un relleno artificial. Modelos de líneas El primer modelo de línea fue el modelo analítico desarrollado por Pelnard-Considéré que. Evolución de la línea de costa aguas arriba de un donde K es una constante. dado que predice la evolución de la línea de sedimento. Hanson y Kraus (1987) donde Tp es el período de pico. rellenos o desembocaduras.
tales como la la malla. Aunque los modelos. este módulo calcula la variación del fondo representar adecuadamente factores de los que estos en un intervalo de tiempo determinado. sedimento El área del transporte de sedimentos es. e Vriend realizarse con modelos sencillos. La propagación de teniendo en cuenta la conservación del sedimento.o mediante evolución de costa existentes. Ingeniería del Agua. se está realizando un gran esfuerzo en la hidrodinámica de la Estos constituyen el último eslabón del "modelo ideal" zona de rompientes. Extraordinario (Abril 1995) p. 116 . de sedimentos. diferentes escalas de complejidad. como el de una línea. es necesaria una mayor investigación para y sedimentos. aplicando la ecuación de conservación del viscosidad de remolino o la fricción en el fondo. (a) Batimetría y esquema de transporte inicial. sin duda.MODELOS HIDRODINÁMICOS Y DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS Asumiendo que el perfil de playa mantiene un perfil de CONCLUSIONES equilibrio. Existen numerosos modelos de este tipo. de Vriend y Por último. ya sea numérico. resultados de un modelo evolución 3-D obtenidos por de Vriend. Perlin y Dean (1985) la evolución de la línea de costa puede realizarse con presentaron un modelo de N líneas que describe la diferentes escalas de tiempo y espacio. La Figura 10 muestra los los modelos más completos 3-D. ya sea mediante un modelo basado en las utilizado para analizar la distribución del transporte de ecuaciones de conservación o en la ecuación de la "mild sedimentos en la zona de rompientes. (b) Batimetría y esquema de transporte a los 5 días. el modelado de la línea de costa puede Ribberink (1988).Sobre la malla definida en la zona de estudio y integrados en vertical o cuasi 3-D. en cada punto de modelos dependen de forma importante. En la actualidad. se encuentran muy una vez ejecutado el modelo de propagación. Vol. Bakker (1968) desarrolló un modelo de dos líneas utilizando como segunda línea una batimétrica El modelado de los diferentes fenómenos implicados en distinta de la línea de costa. 2 Num. el transporte en la slope". A el área de cada elemento de formulaciones que se emplean para modelar el transporte la malla y Q la tada del transporte de sedimentos. parece quedar bien modelada. Sin embargo. Briand y Kamphuis (1990). (1992) hace un extenso resumen de los modelos de tendentes a buscar una situación de equilibrio. Este modelo. donde ∂h 1 más queda por hacer. así como evolución en el tiempo de N batimétricas. es ondas. corrientes desarrollados. Figura 10. dirección perpendicular a la playa e incluso para analizar la evolución de playas con barras. La sofisticación de los modelos + ∇Q = 0 (54) ∂t A que se utilizan para la hidrodinámica es desproporcionada con las mucho más simples donde h es la profundidad. en este campo queda mucho trabajo por realizar en el ámbito del oleaje y de la propagación en Modelos sobre mallas profundidades reducidas. Evolución de la batimetría obtenida mediante un modelo 3-D.
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