Source: http://www.slideshare.net/soisliferick/analisis-y-diseo-algoritmos-14692296
Timestamp: 2015-11-25 20:04:18+00:00

Document:
Analisis y diseño algoritmos
Algoritmos y Representación de los ...
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Enrique Y., Docente
MANU AL DE ANÁLISIS Y DISEÑO DE ALGORITMOS Versión 1 .0 Dirección de Áre a I nform ática w ww . i nform ati ca.i na cap. cl
Colaboraron en el presente manual: Víctor Valenzuela Ruz v_valenzuela@inacap.cl Docente Ingeniería en Gestión Informática INACAP Copiapó Página 1
Copyright© 2003 de Instituto Nacional de Capacitación. Todos los derechos reservados. Copiapó, Chile.Este documento puede ser distribuido libre y gratuitamente bajo cualquier soporte siempre ycuando se respete su integridad.Queda prohibida su venta y reproducción sin permiso expreso del autor. Página 2
Prefacio "Lo que debemos aprender a hacer lo aprendemos haciéndolo". Aristóteles, Ethica Nicomachea II (325 A.C.)El presente documento ha sido elaborado originalmente como apoyo a laasignatura de “Análisis y Diseño de Algoritmos” del séptimo semestre de lacarrera de Ingeniería en Gestión Informática, del Instituto Nacional deCapacitación (INACAP). Este documento engloba la mayor parte de la materiade este curso troncal e incluye ejemplos resueltos y algunos ejercicios que serándesarrollados en clases.El manual ha sido concebido para ser leído en forma secuencial, pero tambiénpara ser de fácil consulta para verificar algún tema específico.No se pretende que estos apuntes sustituyan a la bibliografía de la asignatura nia las clases teóricas, sino que sirvan más bien como complemento a las notasque el alumno debe tomar en clases. Asimismo, no debe considerarse undocumento definitivo y exento de errores, si bien ha sido elaborado condetenimiento y revisado exhaustivamente.El autor pretende que sea mejorado, actualizado y ampliado con ciertafrecuencia, lo que probablemente desembocará en sucesivas versiones, y paraello nadie mejor que los propios lectores para plantear dudas, buscar errores ysugerir mejoras.El Autor.Copiapó, Enero 2003 Página 3
Índice Gener al Página Presentación 71. Introducción 1.1. Motivación y Objetivos 8 1.2. Algunas Notas sobre la Historia de los Algoritmos 10 1.3. Fundamentos Matemáticos 112. Algoritmos y Problemas 2.1. Definición de Algoritmo 18 2.2. Formulación y Resolución de Problemas 19 2.3. Razones para Estudiar los Algoritmos 22 2.4. Formas de Representación de Algoritmos 23 2.5. La Máquina de Turing 243. Eficiencia de Algoritmos 3.1. Introducción 25 3.2. Concepto de Eficiencia 25 3.3. Medidas de Eficiencia 26 3.4. Análisis A Priori y Prueba A Posteriori 27 3.5. Concepto de Instancia 27 3.6. Tamaño de los Datos 28 3.7. Cálculo de Costos de Algoritmos 3.7.1. Cálculo de eficiencia en análisis iterativo 29 3.7.2. Cálculo de eficiencia en análisis recursivo 29 3.8. Principio de Invarianza 31 3.9. Análisis Peor Caso, Mejor Caso y Caso Promedio 314. Análisis de Algoritmos 4.1. Introducción 34 4.2. Tiempos de Ejecución 34 4.3. Concepto de Complejidad 36 4.4. Órdenes de Complejidad 37 4.5. Notación Asintótica 4.5.1. La O Mayúscula 39 4.5.2. La o Minúscula 39 4.5.3. Diferencias entre O y o 42 4.5.4. Las Notaciones Ω y Θ 42 4.5.5. Propiedades y Cotas más Usuales 42 4.6. Ecuaciones de Recurrencias 4.6.1. Introducción 45 4.6.2. Resolución de Recurrecias 45 Página 4
4.6.3. Método del Teorema Maestro 45 4.6.4. Método de la Ecuación Característica 46 4.6.5. Cambio de Variable 48 4.7. Ejemplos y Ejercicios 495. Estrategias de Diseño de Algoritmos 5.1. Introducción 51 5.2. Recursión 51 5.3. Dividir para Conquistar 55 5.4. Programación Dinámica 57 5.5. Algoritmos Ávidos 58 5.6. Método de Retroceso (backtracking) 60 5.7. Método Branch and Bound 616. Algoritmos de Ordenamiento 6.1. Concepto de Ordenamiento 63 6.2. Ordenamiento por Inserción 63 6.3. Ordenamiento por Selección 64 6.4. Ordenamiento de la Burbuja (Bublesort ) 65 6.5. Ordenamiento Rápido (Quicksort) 65 6.6. Ordenamiento por Montículo (Heapsort) 68 6.7. Otros Métodos de Ordenamiento 6.7.1. Ordenamiento por Incrementos Decrecientes 74 6.7.2. Ordenamiento por Mezclas Sucesivas 757. Algoritmos de Búsqueda 7.1. Introducción 78 7.2. Búsqueda Lineal 78 7.3. Búsqueda Binaria 80 7.4. Árboles de Búsqueda 81 7.5. Búsqueda por Transformación de Claves (Hashing) 81 7.6. Búsqueda en Textos 7.6.1. Algoritmo de Fuerza Bruta 88 7.6.2. Algoritmo de Knuth-Morris-Pratt 88 7.6.3. Algoritmo de Boyer-Moore 928. Teoría de Grafos 8.1. Definiciones Básicas 97 8.2. Representaciones de Grafos 8.2.1. Matriz y Lista de Adyacencia 101 8.2.2. Matriz y Lista de Incidencia 103 8.3. Recorridos de Grafos 8.3.1. Recorridos en Amplitud 104 8.3.2. Recorridos en Profundidad 106 8.4. Grafos con Pesos 108 8.5. Árboles 108 Página 5
8.6. Árbol Cobertor Mínimo 8.6.1. Algoritmo de Kruskal 109 8.6.2. Algoritmo de Prim 111 8.7. Distancias Mínimas en un Grafo Dirigido 8.7.1. Algoritmo de Dijkstra 113 8.7.2. Algoritmo de Ford 114 8.7.3. Algoritmo de Floyd-Warshall 115 9. Complejidad Computacional 9.1. Introducción 118 9.2. Algoritmos y Complejidad 118 9.3. Problemas NP Completos 118 9.4. Problemas Intratables 121 9.5. Problemas de Decisión 123 9.6. Algoritmos No Determinísticos 124Bibliografía 126 Página 6
PresentaciónEl curso de Análisis y Diseño de Algoritmos (ADA) tiene como propósitofundamental proporcio nar al estudiante las estructuras y técnicas de manejo dedatos más usuales y los criterios que le permitan decidir, ante un problemadeterminado, cuál es la estructura y los algoritmos óptimos para manipular losdatos.El curso está diseñado para propor cionar al alumno la madurez y losconocimientos necesarios para enfrentar, tanto una gran variedad de losproblemas que se le presentarán en su vida profesional futura, como aquellos quese le presentarán en los cursos más avanzados.El temario gira en torno a dos temas principales: estructuras de datos y análisis dealgoritmos. Haciendo énfasis en la abstracción, se presentan las estructuras dedatos más usuales (tanto en el sentido de útiles como en el de comunes), susdefiniciones, sus especificaciones como tipos de datos abstractos (TDAs), suimplantación, análisis de su complejidad en tiempo y espacio y finalmente algunasde sus aplicaciones. Se presentan también algunos algoritmos de ordenación, debúsqueda, de recorridos en gráficas y para resolver problemas mediante recursióny retroceso mínimo analizando también su complejidad, lo que constituye unaprimera experiencia del alumno con el análisis de algoritmos y le proporcionaráherramientas y madurez que le serán útiles el resto de su carrera.Hay que enfatizar que el curso no es un curso de programación avanzada, suobjetivo es preparar al estudiante brindándole una visión amplia de lasherramientas y métodos más usuales para la solución de problemas y el análisis dela eficiencia de dichas soluciones. Al terminar el curso el alumno poseerá unnutrido "arsenal" de conocimientos de los que puede echar mano cuando lorequiera en su futura vida académica y profesional. Sin embargo, dadas estascaracterísticas del curso, marca generalmente la frontera entre un programadorprincipiante y uno maduro, capaz de analizar, entender y programar sistemas desoftware más o menos complejos.Para realizar las implantaciones de las distintas estructuras de datos y de losalgoritmos que se presentan en el curso se hará uso del lenguaje de programaciónMODULA-2, C++ y Java. Página 7
Capítulo 1Introducción1.1 Motivación y Objetivos La representación de información es fundamental para las Ciencias de la Computación. La Ciencia de la Computación (Computer Science), es mucho más que el estudio de cómo usar o programar las computadoras. Se ocupa de algoritmos, métodos de calcular resultados y máquinas autómatas. Antes de las computadoras, existía la computación, que se refiere al uso de métodos sistemáticos para encontrar soluciones a problemas algebraicos o simbólicos. Los babilonios, egipcios y griegos, desarrollaron una gran variedad de métodos para calcular cosas, por ejemplo el área de un círculo o cómo calcular el máximo común divisor de dos números enteros (teorema de Euclides). En el siglo XIX, Charles Babbage describió una máquina que podía liberar a los hombres del tedio de los cálculos y al mismo tiempo realizar cálculos confiables. La motivación principal de la computación por muchos años fue la de desarrollar cómputo numérico más preciso. La Ciencia de la Computación creció del interés en sistemas formales para razonar y la mecanización de la lógica, así cómo también del procesamiento de datos de negocios. Sin embargo, el verdadero impacto de la computación vino de la habilidad de las computadoras de representar, almacenar y transformar la información. La computación ha creado muchas nuevas áreas como las de correo electrónico, publicación electrónica y multimedia. La solución de problemas del mundo real, ha requerido estudiar más de cerca cómo se realiza la computación. Este estudio ha ampliado la gama de problemas que pueden ser resueltos. Por otro lado, la construcción de algoritmos es una habilidad elegante de un gran significado práctico. Comput adoras más poderosas no disminuyen el significado de algoritmos veloces. En la mayoría de las aplicaciones no es el hardware el cuello de botella sino más bien el software inefectivo. Página 8
Este curso trata de tres preguntas centrales que aparecen cuando uno quiereque un computador haga algo: ¿Es posible hacerlo? ¿Cómo se hace? y ¿Cuánrápido puede hacerse? El curso da conocimientos y métodos para responderestas preguntas, al mismo tiempo intenta aumentar la capacidad deencontrar algoritmos efectivos. Los problemas para resolver, son unentrenamiento en la solución algorítmica de problemas, y para estimular elaprendizaje de la materia.Objetivos Generales: 1 . Introducir al alumno en el análisis de complejidad de los algoritmos, así como en el diseño e implementación de éstos con las técnicas y métodos más usados. 2. Desarrollar habilidades en el uso de las técnicas de análisis y diseño de algoritmos computacionales. 3. Analizar la eficiencia de diversos algoritmos para resolver una variedad de problemas, principalmente no numéricos. 4. Enseñar al alumno a diseñar y analizar nuevos algoritmos. 5. Reconocer y clasificar los problemas de complejidad polinómica y no polinómica.Metas del curso:Al finalizar este curso, el estudiante debe estar capacitado para: • analizar, diseñar e implementar algoritmos iterativos y recursivos correctos. • medir la eficiencia de algoritmos iterativos y recursivos, y de tipos o clases de datos orientados por objetos. • utilizar la técnica de diseño de algoritmos más adecuada para una aplicación en particular. • definir la aplicabilidad de las diferentes técnicas de búsqueda y ordenamiento, del procesamiento de cadenas de caracteres, de los métodos geométricos, del uso de los algoritmos de grafos, de los algoritmos paralelos y de los alg oritmos de complejidad no polinómica. • diferenciar entre los algoritmos de complejidad polinómica y no polinómica. Página 9
1.2 Algunas Notas sobre la Historia de los Algoritmos El término proviene del matemático árabe AlKhwarizmi, que escribió un tratado sobre los números. Este texto se perdió, pero su versión latina, Algoritmi de Numero Indorum, sí se conoce. El trabajo de AlKhwarizmi permitió preservar y difundir el conocimiento de los griegos (con la notable excepción del trabajo de Diofanto) e indios, pilares de nuestra civilización. Rescató de los griegos la rigurosidad y de los indios la simplicidad (en vez de una larga demostración, usar un diagrama junto a la palabra Mira). Sus libros son intuitivos y prácticos y su principal contribución fue simplificar las matemáticas a un nivel entendible por no expertos. En particular muestran las ventajas de usar el sistema decimal indio, un atrevimiento para su época, dado lo tradicional de la cultura árabe. La exposición clara de cómo calcular de una manera sistemática a través de algoritmos diseñados para ser usados con algún tipo de dispositivo mecánico similar a un ábaco, más que con lápiz y papel, muestra la intuición y el poder de abstracción de AlKhwarizmi. Hasta se preocupaba de reducir el número de operaciones necesarias en cada cálculo. Por esta razón, aunque no haya sido él el inventor del primer algoritmo, merece que este concepto esté asociado a su nombre. Los babilonios que habitaron en la antigua Mesopotania, empleaban unas pequeñas bolas hechas de semillas o pequeñas piedras, a manera de "cuentas" y que eran agrupadas en carriles de caña. Más aún, en 1.800 A.C. un matemático babilónico inventó los algoritmos que le permitieron resolver problemas de cálculo numérico. En 1850 A.C., un algoritmo de multiplicación similar al de expansión binaria es usado por los egipcios. La teoría de las ciencias de la computación trata cualquier objeto computacional para el cual se puede crear un buen modelo. La investigación en modelos formales de computación se inició en los 30s y 40s por Turing, Post, Kleene, Church y otros. En los 50s y 60s los lenguajes de programación, compiladores y sistemas operativos estaban en desarrollo, por lo tanto, se convirtieron tanto en el sujeto como la base para la mayoría del trabajo teórico. El poder de las computadoras en este período estaba limitado por procesadores lentos y por pequeñas cantidades de memoria. Así, se desarrollaron teorías (modelos, algoritmos y análisis) para hacer un uso eficiente de ellas. Esto dio origen al desarrollo del área que ahora se conoce como "Algoritmos y Estructuras de Datos". Al mismo tiempo se hicieron estudios para comprender la complejidad inherente en la solución de algunos problemas. Esto dió origen a lo que se conoce como la jerarquía de problemas computacionales y al área de "Complejidad Computacional". Página 10
1.3 Fundamentos Matemáticos Monotonicidad Una función f es monótona si es creciente o decreciente. Es creciente si rige la implicación siguiente: ∀ n0, n1 : (n1 = n2 ) è f(n1 ) = f(n2 ) Es decreciente si rige la implicación siguiente: ∀ n0, n1 : (n1 = n2 ) è f(n1 ) = f(n2 ) Una función f(n) es monotónicamente creciente si m ≤ n implica que f(m) ≤ f(n). Similarmente, es monotónicamente decreciente si m ≤ n implica que f(m) ≥ f(n). Una función f(n) es estrictamente creciente si m < n implica que f(m) < f(n) y estrictamente decreciente si m < n implica que f(m) > f(n). Conjuntos Un conjunto es una colección de miembros o elementos distinguibles. Los miembros se toman típicamente de alguna población más grande conocida como tipo base. Cada miembro del conjunto es un elemento primitivo del tipo base o es un conjunto. No hay concepto de duplicación en un conjunto. Un orden lineal tiene las siguientes propiedades: • Para cualesquier elemento a y b en el conjunto S, exactamente uno de a < b, a = b, o a > b es verdadero. • Para todos los elementos a, b y c en el conjunto S, si a < b, y b < c, entonces a < c. Esto es conocido como la propiedad de transitividad. Permutación Una permutación de una secuencia es simplemente los elementos de la secuencia arreglados en cualquier orden. Si la secuencia contiene n elementos, existe n! permutaciones. Página 11
Funciones Piso y TechoPiso (floor) y techo (ceiling) de un número real x. Son respectivamenteel mayor entero menor o igual que x, y el menor entero mayor o igual a x.Para cualquier número real x, denotamos al mayor entero, menor que o iguala x como floor(x), y al menor entero, mayor que o igual a x comoceiling(x); (floor=piso, ceiling=techo). Para toda x real, x - 1 < floor(x) ≤ x ≤ ceiling(x) < x + 1Para cualquier entero n, ceiling(x/2) + floor(x/2) = n,y para cualquier entero n y enteros a ≠ 0 y b ≠ 0, ceiling(ceiling(n/a)/b) = ceiling(n/ab) y floor(floor(n/a)/b) = floor(n/ab).Las funciones floor y ceiling son monótonas crecientes.Operador móduloEsta función regresa el residuo de una división entera. Generalmente seescribe n mod m, y el resultado es el entero r, tal que n= qm+r para q unentero y/0 menor o igual que r y r < m.Por ejemplo: 5 mod 3 = 2 y 25 mod 3 = 1PolinomiosDado un entero positivo d, un polinomio en n de grado d es una funciónp(n) de la forma: p(n) = ∑ d*ai n i i=0donde las constantes a0 , a1 ,..., ad son los coeficientes del polinimio y ad ≠0. Un polinomio es asintóticamente positivo si y sólo si ad > 0. Para unpolinomio asintóticamente positivo p(n) de grado d, tenemos que p(n) =O(nd ). Para cualquier constante real a ≥ 0, la función na es monótonacreciente, y para cualquier constante real a ≤ 0, la función na es monótonadecreciente. Decimos que una función f(n) es polinomialmente acotadasi f(n) = nO(1), que es equivalente en decir que f(n) = O(nk ) para algunaconstante k. Página 12
ExponencialesPara toda a ≠ 0, m y n, tenemos las siguientes identidades: aº = 1 a¹ = a a(-1 ) = 1/a (a m ) n = a m n (a m ) n = (a n ) m a m a n = a m +nPara todo n y a ≥ ,1 lim nà ∞ nb/an = 0de lo que concluimos que nb =o(an).Entonces, cualquier función exponencial positiva crece más rápido quecualquier polinomio. i=0 exp(x) = ∑ x i /(i!) ∞LogaritmosUn logaritmo de base b para el valor y, es la potencia al cual debe elevarseb para obtener y. Logb y = x ó bx =y.Usos para los logaritmos: • ¿Cuál es el número mínimo de bits necesarios para codificar una colección de objetos? La respuesta es techo(log2 n). • Por ejemplo, si se necesitan 1000 códigos que almacenar, se requerirán al menos techo(log2 1000) = 10 bits para tener 1000 códigos distintos. De hecho con 10 bits hay 1024 códigos distintos disponibles. • Análisis de algoritmos que trabajan rompiendo un problema en subproblemas más pequeños. Por ejemplo, la búsqueda binaria de un valor dado en una lista ordenada por valor. ¿Cuántas veces puede una lista de tamaño n ser divida a la mitad hasta que un sólo elemento quede en la lista final? La respuesta es log2 n. Página 13
Los logaritmos tienen las siguientes propiedades: • log nm = log n + log m • log n/m = log n – log m • log nr = r log n • loga n = logb n/ logb a (para a y b enteros)Esta última propiedad dice que el logaritmo de n en distintas bases, estárelacionado por una constante (que es logaritmo de una base en la otra). Asíque análisis de complejidad que se hacen en una base de logaritmos, puedenfácilmente traducirse en otra, simplemente con un factor deproporcionalidad.FactorialesLa notación n! se define para los enteros n ≥ 0 como: 1 si n=0n! = n·(n-1)! si n>0Entonces, n!=1·2·3·4 ··· n.Una cota superior débil de la función factorial es n! ≤ nn , pues cada uno delos n términos en el producto factorial es a lo más n. La aproximación deStirling, proporciona una cota superior ajustada, y también una cotainferior : n! = sqrt{2pn} (n/e)n (1 + Q(1/n))donde e es la base del logaritmo natural. Usando la aproximación deStirling, podemos demostrar que: n! = o(nn) n! = (2n ) lg(n!) = Q(n lg n)Números de FibonacciLos números de Fibonacci se definen por la siguiente recurrencia: F0 = 0 F1 = 1 F i = F i-1 + Fi-2 para i ≥ 2 Página 14
Entonce s cada número de Fibonacci es la suma de los números previos,produciendo la sucesión: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...RecursiónUn algoritmo es recursivo si se llama a sí mismo para hacer parte deltrabajo. Para que este enfoque sea exitoso, la llamada debe ser en unproblema menor que al originalmente intentado.En general, un algoritmo recursivo tiene dos partes: • El caso base, que maneja una entrada simple que puede ser resuelta sin una llamada recursiva • La parte recursiva, que contiene una o más llamadas recursivas al algoritmo, donde los parámetros están en un sentido más cercano al caso base, que la llamada original.Ejemplos de aplicación: cálculo del factorial, torres de Hanoi y función deAckermann.Sumatorias y recurrenciasLas sumatorias se usan mucho para el análisis de la complejidad deprogramas, en especial de ciclos, ya que realizan conteos de operacionescada vez que se entra al ciclo.Cuando se conoce una ecuación que calcula el resultado de una sumatoria,se dice que esta ecuación representa una solución en forma cerrada .Ejemplos de soluciones en forma cerrada: • Σ i = n(n+1)/2 • Σ I 2 = (2n 3 +3n 2 + n)/6 • Σ 1 log n n = n log n • Σ ∞ a i = 1/(1-a)El tiempo de ejecución para un algoritmo recursivo está más fácilmenteexpresado por una expresión recursiva.Una relación de recurrencia define una función mediante una expresiónque incluye una o más instancias (más pequeñas) de si misma. Por ejemplo: Página 15
n! = (n-1)! n , 1! = 0! = 1La secuencia de Fibonacci: • Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2); Fib(1)=Fib(2)=1 • 1,1,2,3,5,8,13,...Técnicas de Demostración MatemáticaPrueba por contradicciónEs la forma más fácil de refutar un teorema o enunciado, es mediante uncontra-ejemplo. Desafortunadamente, no importa el número de ejemplosque soporte un teorema, esto no es suficiente para probar que es correcto.Para probar un teorema por contradicción, primero suponemos que elteorema es falso. Luego encontramos una contradicción lógica que surja deesta suposición. Si la lógica usada para encontrar la contradicción escorrecta, entonces la única forma de resolver la contradicción es suponer quela suposición hecha fue incorrecta, esto es, concluir que el teorema debe serverdad.Prueba por inducción matemáticaLa inducción matemática es como recursión y es aplicable a una variedad deproblemas.La inducción proporciona una forma útil de pensar en diseño de algoritmos,ya que lo estimula a pensar en resolver un problema, construyendo a partirde pequeños subproblemas.Sea T un teorema a probar, y expresemos T en términos de un parámetroentero positivo n. La inducción matemática expresa que T es verdad paracualquier valor de n, si las siguientes condiciones se cumplen: • Caso base. T es verdad para n = 1 • Paso inductivo. Si T es verdad para n-1, => T es verdad para n.Ejemplo de demostración del teorema:La suma de los primeros n números enteros es n(n+1)/2. Página 16
EstimaciónConsiste en hacer estimaciones rápidas para resolver un problema. Puedeformalizarse en tres pasos: • Determine los parámetros principales que afectan el problema. • Derive una ecuación que relacione los parámetros al problema. • Seleccione valores para los parámetros, y aplique la ecuación para obtener una solución estimada.Ejemplo: ¿Cuántos libreros se necesitan para guardar libros que contienenen total un millón de páginas?Se estiman que 5 00 páginas de un libro requieren cerca de una pulgada en larepisa del librero, con lo cual da 2000 pulgadas de repisa. Lo cual da 167pies de repisa (aprox. 200 pies). Si una repisa es alrededor de 4 pies deancho, entonces se necesitan 50 repisas. Si un librero contiene 5 repisas,entonces se necesitan 10 libreros. Página 17
Capítulo 2Algoritmos y Problemas2.1 Definición de Algoritmo El concepto intuitivo de algoritmo, lo tenemos prácticamente todos: Un algoritmo es una serie finita de pasos para resolver un problema. Hay que hacer énfasis en dos aspectos para que un algoritmo exista: 1 . El número de pasos debe ser finito. De esta manera el algoritmo debe terminar en un tiempo finito con la solución del problema, 2. El algoritmo debe ser capaz de determinar la solución del problema. De este modo, podemos definir algoritmo como un "conjunto de reglas operacionales inherentes a un cómputo". Se trata de un método sistemático, susceptible de ser realizado mecánicamente, para resolver un problema dado. Sería un error creer que los algoritmos son exclusivos de la informática. También son algoritmos los que aprendemos en la escuela para multiplicar y dividir números de varias cifras. De hecho, el algoritmo más famoso de la historia se remonta a la antigüedad: se trata del algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor. Siempre que se desee resolver un problema hay que plantearse qué algoritmo utilizar. La respuesta a esta cuestión puede depender de numerosos factores, a saber, el tamaño del problema, el modo en que está planteado y el tipo y la potencia del equipo disponible para su resolución. Características de un algoritmo 1. Entrada: definir lo que necesita el algoritmo 2. Salida: definir lo que produce. 3. No ambiguo: explícito, siempre sabe qué comando ejecutar. 4. Finito: El algoritmo termina en un número finito de pasos. 5. Correcto: Hace lo que se supone que debe hacer. La solución es correcta 6. Efectividad: Cada instrucción se completa en tiempo finito. Cada instrucción debe ser lo suficientemente básica como para que en principio pueda ser ejecutada por cualquier persona usando papel y lápiz. Página 18
7. General: Debe ser lo suficientemente general como para contemplar todos los casos de entrada. Así podemos, decir que un Algoritmo es un conjunto finito de instrucciones precisas para resolver un problema. Un algoritmo es un método o proceso seguido para resolver un problema. Si el problema es visto como una función, entonces el algoritmo toma una entrada y la transforma en la salida. Un problema es una función o asociación de entradas con salidas. Un problema puede tener muchos algoritmos. Por tanto, un algoritmo es un procedimiento para resolver un problema cuyos pasos son concretos y no ambiguos. El algoritmo debe ser correcto, de longitud finita y debe terminar para todas las entradas. Un programa es una instanciación de un algoritmo en un lenguaje de programación.2.2 Formulación y Resolución de Problemas Los algoritmos son los procedimientos que se construyen para la resolución de cualquier problema. De este modo, cuando se refiere a la construcción de un programa, nos estamos refiriéndo a la construcción de un algoritmo. El algoritmo no es un concepto proveniente del campo de la computación, sino que es un término matemático. Los algoritmos los encontramos, o mejor, los ejecutamos a lo largo de nuestras actividades diarias; por ejemplo, cuando hacemos una llamada telefónica, tenemos en cuenta un conjunto de instrucciones mínimas y el orden en el cual debemos ejecutarlas para conseguir comunicarnos con alguien en particular; o cuando consultamos un diccionario, cuando se prepara un menú, etc. Podemos conceptuar que un algoritmo es un procedimiento que contiene un conjunto finito de pasos que se deben ejecutar en un orden específico y lógico, para solucionar los problemas. Un algoritmo puede ser caracterizado por una función lo cual asocia una salida: s= f (E) a cada entrada E. Se dice entonces que un algoritmo calcula una función f. Entonces la entrada es una variable independiente básica en relación a la que se producen las salidas del algoritmo, y también los análisis de tiempo y espacio. Página 19
Cuando se tiene un problema para el cual debemos especificar un algoritmosolución, tendremos en cuenta varios puntos: o Si no se conoce un método para solucionar el problema en cuestión, debemos hacer un análisis del mismo para llegar a una solución, después de evaluar alternativas, exigencias y excepciones. o Si se conoce un "buen" método de solución al problema, se debe especificar exacta y completamente el método o procedimiento de solución en un lenguaje que se pueda interpretar fácilmente. o Los problemas pueden agruparse en conjunto de problemas que son semejantes. o En algún sentido, en general, un método para solucionar todos los problemas de un conjunto dado, se considera superior a un método para solucionar solamente un problema del conjunto. o Hay criterios para determinar que tan "buena" es una solución, distintos de ver si trabaja o no, o hasta qué punto es general la aplicabilidad del método. Estos criterios involucran aspectos tales como: eficiencia, elegancia, velocidad, etc.Al definir con exactitud un método de solución para un problema, este debeestar en capacidad de encontrarla si existe; en caso de que no exista, elmétodo debe reconocer esta situación y suspender cualquier acción.Formular y resolver problemas constituye una actividad esencial de la vida.Los modelos educativos se han dedicado a plantear problemas y enseñarcomo solucionarlos. Sin embargo, no se enseña nunca técnicas de cómoresolver problemas en general.La formulación y resolución de problemas ha sido preocupación de lospsicólogos cuando hablan de la inteligencia del hombre. Ellos han concebidoesta capacidad como el concurso de ciertas destrezas mentales relacionadascon lo que ya se ha aprendido y que incluyen: o Capacidad de analizar los problemas. o La rapidez y precisión con que acude al pensamiento. o Una organización de ideas para garantizar que se posee la información esencial que asegura el aprendizaje. o Una retención clara del incremento de conocimiento.No se trata de almacenar problemas y sus correspondientes soluciones, sinode desarrollar una capacidad para hacer frente con éxito a situacionesnuevas o desconocidas en la vida del hombre. Ante situaciones nuevas, elque no sabe buscar soluciones se sentirá confuso y angustiado y entonces nobusca una estrategia y dará una primera solución para poner punto final a suagonía. Página 20
El que sabe buscar soluciones, selecciona la estrategia que le parece máscercana a la requerida y hace una hábil adaptación que se ajusta a la nuevademanda.Al movernos dentro de la informática no siempre encontramos losproblemas a punto de resolverlos, es necesario empezar por hacer suformulación. Se exige hacerlo en términos concisos y claros partiendo de lasbases o supuestos que se dispone para especificar sus requerimientos.Sólo a partir de una buena formulación será posible diseñar una estrategiade solución. Es necesario aprender a desligar estos dos procesos. No sedeben hacer formulaciones pensando paralelamente en posibles soluciones.Es necesario darle consistencia e independencia para determinar conprecisión a qué se quiere dar solución y luego canalizar una gama dealternativas posibles.Si ya se ha realizado la formulación del problema podemos cuestionarla conel fin de entender bien la naturaleza del problema.En nuestra área, el análisis de un problema tiene dos etapas claramentedefinidas y relacionadas: o Formulación o planteamiento del problema. o Resolución del problema.A su vez, la formulación la podemos descomponer en tres etapas: o Definición del problema. o Supuestos: aserciones y limitaciones suministradas. o Resultados esperados.La fase de planteamiento del problema lo que pretende un algoritmo essintetizar de alguna forma una tarea, cálculo o mecanismo antes de sertranscrito al computador. Los pasos que hay que seguir son los siguientes: o Análisis previo del problema. o Primera visión del método de resolución. o Descomposición en módulos. o Programación estructurada. o Búsqueda de soluciones parciales. o Ensamblaje de soluciones finales.La fase de resolución del problema se puede descomponer en tresetapas: o Análisis de alternativas y selección de la solución. o Especificación detallada del procedimiento solución. Página 21
o Adopción o utilización de una herramienta para su implementación, si es necesaria. Hay que notar que el computador es un medio y no es el fin en la solución de problemas. En otras palabras, no es el computador el que soluciona los problemas, somos nosotros quienes lo hacemos y de alguna manera le contamos como es la cosa para que él con su velocidad y exactitud trabaje con grandes volúmenes de datos. En el campo de las ciencias de la computación la solución de problemas se describe mediante el diseño de procedimientos llamados algoritmos, los cuales posteriormente se implementan como programas. Los programas son procedimientos que solucionan problemas y que se expresan en un lenguaje conocido por el computador. Se pueden dar problemas que por su tamaño es necesario subdividirlos en problemas más simples para solucionarlos, utilizando la filosofía de "Dividir para conquistar". Se parte del principio de que es más fácil solucionar varios problemas simples como partes de un todo que seguir una implantación de "Todo o Nada". Desarrollar la capacidad de formular y resolver problemas nos prepara para enfrentar situaciones desconocidas.2.3 Razones para Estudiar los Algoritmos Con el logro de computadores cada vez más rápidos se podría caer en la tentación de preguntarse si vale la pena preocuparse por aumentar la eficiencia de los algoritmos. ¿No sería más sencillo aguardar a la siguiente generación de computadores?. Vamos a demostrar que esto no es así. Supongamos que se dispone, para resolver un problema dado, de un algoritmo que necesita un tiempo exponencial y que, en un cierto computador, una implementación del mismo emplea 10-4 x 2n segundos. Este programa podrá resolver un ejemplar de tamaño n=10 en una décima de segundo. Necesitará casi 10 minutos para resolver un ejemplar de tamaño 20. Un día entero no bastará para resolver uno de tamaño 30. En un año de cálculo ininterrumpido, a duras penas se resolverá uno de tamaño 38. Imaginemos que necesitamos resolver ejemplares más grandes y compramos para ello un computador cien veces más rápido. El mismo algoritmo conseguirá resolver ahora un ejemplar de tamaño n en sólo 10-6 2n segundos. ¡Qué decepción al constatar que, en un año, apenas se consigue resolver un ejemplar de tamaño 45! En general, si en un tiempo dado se podía resolver un ejemplar de tamaño n, con el nuevo computador se resolverá uno de tamaño n+7 en ese mismo tiempo. Página 22
Imaginemos, en cambio, que investigamos en algorítmica y encontramos un algoritmo capaz de resolver el mismo problema en un tiempo cúbico. La implementación de este algoritmo en el computador inicial podría necesitar, por ejemplo, 10-2 n3 segundos. Ahora se podría resolver en un día un ejemplar de un tamaño superior a 200. Un año permitiría alcanzar casi el tamaño 1500. Por tanto, el nuevo algoritmo no sólo permite una aceleración más espectacular que la compra de un equipo más rápido, sino que hace dicha compra más rentable. Dado estos argumentos, podemos resumir las siguientes razones para justificar el estudiar los algoritmos: 1 . Evitar reinventar la rueda. Para algunos problemas de programación ya existen buenos algoritmos para solucionarlos. Para esos algoritmos ya fueron analizadas sus propiedades. Por ejemplo, confianza en su correctitud y eficiencia. 2. Para ayudar cuando desarrollen sus propios algoritmos. No siempre existe un algoritmo desarrollado para resolver un problema. No existe regla general de creación de algoritmos. Muchos de los principios de proyecto de algoritmos ilustrados por algunos de los algoritmos que estudiaremos son importantes en todos los problemas de programación. El conocimiento de los algoritmos bien definidos provee una fuente de ideas que pueden ser aplicadas a nuevos algoritmos. 3. Ayudar a entender herramientas que usan algoritmos particulares. Por ejemplo, herramientas de compresión de datos: • Pack usa Códigos Huffman. • Compress usa LZW. • Gzip usa Lempel-Ziv. 4. Útil conocer técnicas empleadas para resolver problemas de determinados tipos.2.4 Formas de Representación de Algoritmos Existen diversas formas de representación de algoritmos, pero no hay un consenso con relación a cuál de ellas es mejor. Algunas formas de representación de algoritmos tratan los problemas a un nivel lógico, abstrayéndose de detalles de implementación, muchas veces relacionados con un lenguaje de programación específico. Por otro lado, existen formas de representación de algoritmos que poseen una mayor Página 23
riqueza de detalles y muchas veces acaban por oscurecer la idea principal, el algoritmo, dificultando su entendimiento. Dentro de las formas de representación de algoritmos más conocidas, sobresalen: • La descripción narrativa • El Flujograma convencional • El diagrama Chapin • El pseudocódigo, o también conocido como lenguaje estructurado.2.5 La Máquina de Turing Alan Turing, en 1936 desarrolló su Máquina de Turing (la cual se cubre en los cursos denominados Teoría de la Computación o Teoría de Automátas), estableciendo que cualquier algoritmo puede ser representado por ella. Turing mostró también que existen problemas matemáticos bien definidos para los cuales no hay un algoritmo. Hay muchos ejemplos de problemas para los cuales no existe un algoritmo. Un problema de este tipo es el llamado problema de paro (halting problem): Dado un programa de computadora con sus entradas, ¿parará este alguna vez? Turing probó que no hay un algoritmo que pueda resolver correctamente todas las instancias de este problema. Alguien podría pensar en encontrar algunos métodos para detectar patrones que permitan examinar el programa para cualquier entrada. Sin embargo, siempre habrá sutilezas que escapen al análisis correspondiente. Alguna persona más suspicaz, podría proponer simplemente correr el programa y reportar éxito si se alcanza una declaración de fin. Desgraciadamente, este esquema no garantiza por sí mismo un paro y en consecuencia el problema no puede ser resuelto con los pasos propuestos. Como consecuencia de acuerdo con la definición anterior, ese último procedimiento no es un algoritmo, pues no se llega a una solución. Muchas veces aunque exista un algoritmo que pueda solucionar correctamente cualquier instancia de un problema dado, no siempre dicho algoritmo es satisfactorio porque puede requerir de tiempos exageradamente excesivos para llegar a la solución. Página 24
Capítulo 3Eficiencia de Algoritmos3.1 Introducción Un objetivo natural en el desarrollo de un programa computacional es mantener tan bajo como sea posible el consumo de los diversos recursos, aprovechándolos de la mejor manera que se encuentre. Se desea un buen uso, eficiente, de los recursos disponibles, sin desperdiciarlos. Para que un programa sea práctico, en términos de requerimientos de almacenamiento y tiempo de ejecución, debe organizar sus datos en una forma que apoye el procesamiento eficiente. Siempre que se trata de resolver un problema, puede interesar considerar distintos algoritmos, con el fin de utilizar el más eficiente. Pero, ¿cómo determinar cuál es "el mejor"?. La estrategia empírica consiste en programar los algoritmos y ejecutarlos en un computador sobre algunos ejemplares de prueba. La estrategia teórica consiste en determinar matemáticamente la cantidad de recursos (tiempo, espacio, etc.) que necesitará el algoritmo en función del tamaño del ejemplar considerado. El tamaño de un ejemplar x corresponde formalmente al número de dígitos binarios necesarios para representarlo en el computador. Pero a nivel algorítmico consideraremos el tamaño como el número de elementos lógicos contenidos en el ejemplar.3.2 Concepto de Eficiencia Un algoritmo es eficiente cuando logra llegar a sus objetivos planteados utilizando la menor cantidad de recursos posibles, es decir, minimizando el uso memoria, de pasos y de esfuerzo humano. Un algoritmo es eficaz cuando alcanza el objetivo primordial, el análisis de resolución del problema se lo realiza prioritariamente. Puede darse el caso de que exista un algoritmo eficaz pero no eficiente, en lo posible debemos de manejar estos dos conceptos conjuntamente. La eficiencia de un programa tiene dos ingredientes fundamentales: espacio y tiempo. • La eficiencia en espacio es una medida de la cantidad de memoria requerida por un programa. Página 25
• La eficiencia en tiempo se mide en términos de la cantidad de tiempo de ejecución del programa. Ambas dependen del tipo de computador y compilador, por lo que no se estudiará aquí la eficiencia de los programas, sino la eficiencia de los algoritmos. Asimismo, este análisis dependerá de si trabajamos con máquinas de un solo procesador o de varios de ellos. Centraremos nuestra atención en los algoritmos para máquinas de un solo procesador que ejecutan una instrucción y luego otra.3.3 Medidas de Eficiencia Inventar algoritmos es relativamente fácil. En la práctica, sin embargo, no se pretende sólo diseñar algoritmos, si no más bien que buenos algoritmos. Así, el objetivo es inventar algoritmos y probar que ellos mismos son buenos. La calidad de un algoritmo puede ser avalada utilizando varios criterios. Uno de los criterios más importantes es el tiempo utilizado en la ejecución del algoritmos. Existen varios aspectos a considerar en cada criterio de tiempo. Uno de ellos está relacionado con el tiempo de ejecución requerido por los diferentes algoritmos, para encontrar la solución final de un problema o cálculo particular. Normalmente, un problema se puede resolver por métodos distintos, con diferentes grados de eficiencia. Por ejemplo: búsqueda de un número en una guía telefónica. Cuando se usa un computador es importante limitar el consumo de recursos. Recurso Tiempo: • Aplicaciones informáticas que trabajan “en tiempo real” requieren que los cálculos se realicen en el menor tiempo posible. • Aplicaciones que manejan un gran volumen de información si no se tratan adecuadamente pueden necesitar tiempos impracticables. Recurso Memoria: • Las máquinas tienen una memoria limitada . Página 26
3.4 Análisis A Priori y Prueba A Posteriori El análisis de la eficiencia de los algoritmos (memoria y tiempo de ejecución) consta de dos fases: Análisis A Priori y Prueba A Posteriori. El Análisis A Priori (o teórico) entrega una función que limita el tiempo de cálculo de un algoritmo. Consiste en obtener una expresión que indique el comportamiento del algoritmo en función de los parámetros que influyan. Esto es interesante porque: • La predicción del costo del algoritmo puede evitar una implementación posiblemente laboriosa. • Es aplicable en la etapa de diseño de los algoritmos, constituyendo uno de los factores fundamentales a tener en cuenta. En la Prueba A Posteriori (experimental o empírica) se recogen estadísticas de tiempo y espacio consumidas por el algoritmo mientras se ejecuta. La estrategia empírica consiste en programar los algoritmos y ejecutarlos en un computador sobre algunos ejemplares de prueba, haciendo medidas para: • una máquina concreta, • un lenguaje concreto, • un compilador concreto y • datos concretos La estrategia teórica tiene como ventajas que no depende del computador ni del lenguaje de programación, ni siquiera de la habilidad del programador. Permite evitar el esfuerzo inútil de programar algoritmos ineficientes y de despediciar tiempo de máquina para ejecutarlos. También permite conocer la eficiencia de un algoritmo cualquiera que sea el tamaño del ejemplar al que se aplique.3.5 Concepto de Instancia Un problema computacional consiste en una caracterización de un conjunto de datos de entrada, junto con la especificación de la salida deseada en base a cada entrada. Un problema computacional tiene una o más instancias, que son valores particulares para los datos de entrada, sobre los cuales se puede ejecutar el algoritmo para resolver el problema. Ejemplo: el problema computacional de multiplicar dos números enteros tiene por ejemplo, las siguientes instancias: multiplicar 345 por 4653, multiplicar 2637 por 10000, multiplicar -32341 por 12, etc. Página 27
Un problema computacional abarca a otro problema computacional si las instancias del segundo pueden ser resueltas como instancias del primero en forma directa. Ejemplo: Problema del Vendedor Viajero. C1 Una instancia de solución sería: 9 <C1 , C2 , C4 , C3 > 5 10 con una longitud de 27. C3 3 6 C4 9 C23.6 Tamaño de los Datos Variable o expresión en función de la cual intentaremos medir la complejidad del algoritmo. Es claro que para cada algoritmo la cantidad de recurso (tiempo, memoria) utilizados depende fuertemente de los datos de entrada. En general, la cantidad de recursos crece a medida que crece el tamaño de la entrada. El análisis de esta cantidad de recursos no es viable de ser realizado instancia por instancia. Se definen entonces las funciones de cantidad de recursos en base al tamaño (o talla) de la entrada . Suele depender del número de datos del problema. Este tamaño puede ser la cantidad de dígitos para un número, la cantidad de elementos para un arreglo, la cantidad de caracteres de una cadena, en problemas de ordenación es el número de elementos a ordenar, en matrices puede ser el número de filas, columnas o elementos totales, en algoritmos recursivos es el número de recursiones o llamadas propias que hace la función. En ocasiones es útil definir el tamaño de la entrada en base a dos o más magnitudes. Por ejemplo, para un grafo es frecuente utilizar la cantidad de nodos y de arcos. En cualquier caso, se debe elegir la misma variable para comparar algoritmos distintos aplicados a los mismos datos. Página 28
3.7 Cálculo de Costos de Algoritmos Queremos saber la eficiencia de los algoritmos, no del computador. Por ello, en lugar de medir el tiempo de ejecución en microsegundos o algo por el estilo, nos preocuparemos del número de veces que se ejecuta una operación primitiva (de tiempo fijo). Para estimar la eficiencia de este algoritmo, podemos preguntarnos, "si el argumento es una frase de N números, ¿cuántas multiplicaciones realizaremos?" La respuesta es que hacemos una multiplicación por cada número en el argumento, por lo que hacemos N multiplicaciones. La cantidad de tiempo que se necesitaría para el doble de números sería el doble.3.7.1 Cálculo de eficiencia en análisis iterativo Cuando se analiza la eficiencia, en tiempo de ejecución, de un algoritmo son posibles distintas aproximaciones: desde el cálculo detallado (que puede complicarse en muchos algoritmos si se realiza un análisis para distintos contenidos de los datos de entrada, casos más favorables, caso peor, hipótesis de distribución probabilística para los contenidos de los datos de entrada, etc.) hasta el análisis asintótico simplificado aplicando reglas prácticas. En estos apuntes se seguirá el criterio de análisis asintótico simplificado, si bien nunca se ha de dejar de aplicar el sentido común. Como en todos los modelos simplificados se ha mantener la alerta para no establecer hipótesis simplificadoras que no se correspondan con la realidad. En lo que sigue se realizará una exposición basada en el criterio de exponer en un apartado inicial una serie de reglas y planteamientos básicos aplicables al análisis de eficiencia en algoritmos iterativos, en un segundo apartado se presenta una lista de ejemplos que permitan comprender algunas de las aproximaciones y técnicas expuestas.3.7.2 Cálculo de eficiencia en análisis recursivo Retomando aquí el socorrido ejemplo del factorial, tratemos de analizar el coste de dicho algoritmo, en su versión iterativa , se tiene: PROCEDURE Factorial(n : CARDINAL) : CARDINAL BEGIN VAR Resultado,i : CARDINAL ; Resultado :=1 ; FOR i :=1 TO n DO Resultado :=Resultado*i ; Página 29
END ; RETURN Resultado END Factorial ;Aplicando las técnicas de análisis de coste en algoritmos iterativos de formarápida y mentalmente (es como se han de llegar a analizar algoritmos tansimples como éste), se tiene: hay una inicialización antes de bucle, de costeconstante. El bucle se repite un número de veces n y en su interior se realizauna operación de coste constante. Por tanto el algoritmo es de coste lineal oexpresado con algo más de detalle y rigor, si la función de coste delalgoritmo se expresa por T(n), se tiene que T(n) ? T .Una versión recursiva del mismo algoritmo, es: PROCEDURE Factorial(n: CARDINAL): CARDINAL; BEGIN IF n=0 THEN RETURN 1 ELSE RETURN ( n* Factorial(n-1) ) END END Factorial;Al aplicar el análisis de coste aprendido para análisis de algoritmos iterativosse tiene: hay una instrucción de alternativa, en una de las alternativassimplemente se devuelve un valor (operación de coste constante). En la otraalternativa se realiza una operación de coste constante (multiplicación) condos operandos. El primer operando se obtiene por una operación de costeconstante (acceso a la variable n), el coste de la operación que permiteobtener el segundo operando es el coste que estamos calculando!, es decir esel coste de la propia función factorial (solo que para parámetro n-1).Por tanto, para conocer el orden de la función de coste de este algoritmo¿debemos conocer previamente el orden de la función de coste de estealgoritmo?, entramos en una recurrencia.Y efectivamente, el asunto está en saber resolver recurrencias. Si T(n) es lafunción de coste de este algoritmo se puede decir que T(n) es igual a unaoperación de coste constante c cuando n vale 0 y a una operación de costeT(n-1) más una operación de coste constante (el acceso a n y lamultiplicación) cuando n es mayor que 0, es decir: c si n = 0 T(n) = T(n-1) + c si n > 0Se trata entonces de encontrar soluciones a recurrencias como ésta.Entendiendo por solución una función simple f(n) tal que se pueda asegurarque T(n) es del orden de f(n). Página 30
En este ejemplo puede comprobarse que T(n) es de orden lineal, es decir del orden de la función f(n)=n, ya que cualquier función lineal T(n)= an+b siendo a y b constantes, es solución de la recurrencia: T(0)= b , es decir una constante T(n)= a.n+b= an-a+ b+a= a(n-1)+b+a= T(n-1)+a, es decir el coste de T(n) es igual al de T(n-1) más una constante.3.8 Principio de Invarianza Dado un algoritmo y dos implementaciones I1 y I2 (máquinas distintas o códigos distintos) que tardan T1 (n) y T2 (n) respectivamente, el principio de invarianza afirma que existe una constante real c>0 y un número natural n0 tales que para todo n>=n0 se verifica que T1 (n)<=c·T2 (n). Es decir, el tiempo de ejecución de dos implementaciones distintas de un algoritmo dado no va a diferir más que en una constante multiplicativa. Asumimos que un algoritmo tarda un tiempo del orden de T(n) si existen una constante real c>0 y una implementación I del algoritmo que tarda menos que c·T (n), para todo n tamaño de entrada. El comportamiento de un algoritmo puede variar notablemente para diferentes secuencias de entrada. Suelen estudiarse tres casos para un mismo algoritmo: caso mejor, caso peor, caso medio.3.9 Análisis Peor Caso, Mejor Caso y Caso Promedio Puede analizarse un algoritmo particular o una clase de ellos. Una clase de algoritmo para un problema son aquellos algoritmos que se pueden clasificar por el tipo de operación fundamental que realizan. Ejemplo: Problema: Ordenamiento Clase: Ordenamiento por comparación Para algunos algoritmos, diferentes entradas (inputs) para un tamaño dado pueden requerir diferentes cantidades de tiempo. Por ejemplo, consideremos el problema de encontrar la posición particular de un valor K, dentro de un arreglo de n elementos. Suponiendo que sólo ocurre una vez. Comentar sobre el mejor, peor y caso promedio. ¿Cuál es la ventaja de analizar cada caso? Si examinamos el peor de los casos, sabemos que al menos el algoritmo se desempeñará de esa forma. Página 31
En cambio, cuando un algoritmo se ejecuta muchas veces en muchos tiposde entrada, estamos interesados en el comportamiento promedio o típico.Desafortunadamente, esto supone que sabemos cómo están distribuidos losdatos.Si conocemos la distribución de los datos, podemos sacar provecho de esto,para un mejor análisis y diseño del algoritmo. Por otra parte, sinoconocemos la distribución, entonces lo mejor es considerar el peor de loscasos.Tipos de análisis: o Peor caso: indica el mayor tiempo obtenido, teniendo en consideración todas las entradas pos ibles. o Mejor caso: indica el menor tiempo obtenido, teniendo en consideración todas las entradas posibles. o Media: indica el tiempo medio obtenido, considerando todas las entradas posibles.Como no se puede analizar el comportamiento sobre todas las entradas posibles,va a existir para cada prob lema particular un análisis en él: - peor caso - mejor caso - caso promedio (o medio)El caso promedio es la medida más realista de la performance, pero es másdif ícil de calcular pues establece que todas las entradas son igualmenteprobables, lo cual puede ser cierto o no. Trabajaremos específicamente conel peor caso. Página 32
EjemploSea A una lista de n elementos A1 , A2 , A3 , ... , An . Ordenar significa permutarestos elementos de tal forma que los mismos queden de acuerdo con unorden preestablecido. Ascendente A1 <=A2 <=A3 ..........<=A n Descendente A1 >=A2 >=........>=A nCaso peor: Que el vector esté ordenado en sentido inverso.Caso mejor: Que el vector esté ordenado.Caso medio: Cuando el vector esté desordenado aleatoriamente. Página 33
Capítulo 4 Análisis de Algoritmos4.1 Introducción Como hemos visto, existen muchos enfoques para resolver un problema. ¿Cómo escogemos entre ellos? Generalmente hay dos metas en el diseño de programas de cómputo: • El diseño de un algoritmo que sea fácil de entender, codificar y depurar (Ingeniería de Software ). • El diseño de un algoritmo que haga uso eficiente de los recursos de la computadora (Análisis y Diseño de algoritmos). El análisis de algoritmos nos permite medir la dificultad inherente de un problema y evaluar la eficiencia de un algoritmo.4.2 Tiempos de Ejecución Una medida que suele ser útil conocer es el tiempo de ejecución de un algoritmo en función de N, lo que denominaremos T(N). Esta función se puede medir físicamente (ejecutando el programa, reloj en mano), o calcularse sobre el código contando instrucciones a ejecutar y multiplicando por el tiempo requerido por cada instrucción. Así, un trozo sencillo de programa como: S1; FOR i:= 1 TO N DO S2 END; requiere: T(N):= t1 + t2*N siendo t1 el tiempo que lleve ejecutar la serie "S1" de sentencias, y t2 el que lleve la serie "S2". Prácticamente todos los programas reales incluyen alguna sentencia condicional, haciendo que las sentencias efectivamente ejecutadas dependan de los datos concretos que se le presenten. Esto hace que más que un valor T(N) debamos hablar de un rango de valores: Tmin(N) <= T(N) <= Tmax(N) Página 34
los extremos son habitualmente conocidos como "caso peor" y "caso mejor".Entre ambos se hallará algún "caso promedio" o más frecuente. Cualquierfórmula T(N) incluye referencias al parámetro N y a una serie de constantes"Ti" que dependen de factores externos al algoritmo como pueden ser lacalidad del código generado por el compilador y la velocidad de ejecución deinstrucciones del computador que lo ejecuta.Dado que es fácil cambiar de compilador y que la potencia de loscomputadores crece a un ritmo vertiginoso (en la actualidad, se duplicaanualmente), intentaremos analizar los algoritmos con algún nivel deindependencia de estos factores; es decir, buscaremos estimacionesgenerales ampliamente válidas.No se puede medir el tiempo en segundos porque no existe un computadorestándar de referencia, en su lugar medimos el número de operacionesbásicas o elementales.Las operaciones básicas son las que realiza el computador en tiempo acotadopor una constante, por ejemplo: • Operaciones aritméticas básicas • Asignaciones de tipos predefinidos • Saltos (llamadas a funciones, procedimientos y retorno) • Comparaciones lógicas • Acceso a estructuras indexadas básicas (vectores y matrices)Es posible realizar el estudio de la complejidad de un algoritmo sólo en basea un conjunto reducido de sentenc ias, por ejemplo, las que más influyen enel tiempo de ejecución.Para medir el tiempo de ejecución de un algoritmo existen varios métodos.Veamos algunos de ellos:a) Benchmarking La técnica de benchmark considera una colección de entradas típicas representativas de una carga de trabajo para un programa.b) Profiling Consiste en asociar a cada instrucción de un programa un número que representa la fracción del tiempo total tomada para ejecutar esa instrucción particular. Una de las técnicas más conocidas (e informal) es la Regla 90-10, que afirma que el 90% del tiempo de ejecución se invierte en el 10% del código. Página 35
c) Análisis Consiste en agrupar las entradas de acuerdo a su tamaño, y estimar el tiempo de ejecución del programa en entradas de ese tamaño, T(n). Esta es la técnica que se estudiará en el curso. De este modo, el tiempo de ejecución puede ser definido como una función de la entrada. Denotaremos T(n) como el tiempo de ejecución de un algoritmo para una entrada de tamaño n.4.3 Concepto de Complejidad La complejidad (o costo) de un algoritmo es una medida de la cantidad de recursos (tiempo, memoria) que el algoritmo necesita. La complejidad de un algoritmo se expresa en función del tamaño (o talla) del problema. La función de complejidad tiene como variable independiente el tamaño del problema y sirve para medir la complejidad (espacial o temporal). Mide el tiempo/espacio relativo en función del tamaño del problema. El comportamiento de la función determina la eficiencia. No es única para un algoritmo: depende de los datos. Para un mismo tamaño del problema, las distintas presentaciones iniciales de los datos dan lugar a distintas funciones de complejidad. Es el caso de una ordenación si los datos están todos inicialmente desordenados, parcialmente ordenados o en orden inverso. Ejemplo: f(n)= 3n2 +2n+1 , en donde n es el tamaño del problema y expresa el tiempo en unidades de tiempo. ¿Una computadora más rápida o un algoritmo más rápido? Si compramos una computadora diez veces más rápida, ¿en qué tiempo podremos ahora ejecutar un algoritmo? La respuesta depende del tamaño de la entrada de datos, así como de la razón de crecimiento del algoritmo. Si la razón de crecimiento es lineal (es decir, T(n)=cn) entonces por ejemplo, 100.000 números serán procesados en la nueva máquina en el mismo tiempo que 10.000 números en la antigua computadora. ¿De qué tamaño (valor de n) es el problema que podemos resolver con una computadora X veces más rápida (en un intervalo de tiempo fijo)? Por ejemplo, supongamos que una computadora resuelve un problema de tamaño n en una hora. Ahora supongamos que tenemos una computadora Página 36
10 veces más rápida, ¿de qué tamaño es el problema que podemos resolver? f(n) n n´ cambio n´/n 10n 1000 10000 n´=10n 10 20n 500 5000 n´=10n 10 5n log n 250 1842 √(10)n 7.37 <n´<10n 2n2 70 223 n´=√(10)n 3.16 2n 13 16 n´=n+3 ---- En la tabla de arriba, f(n) es la razón de crecimiento de un algoritmo. Supongamos que tenemos una computadora que puede ejecutar 10.000 operaciones básicas en una hora. La segunda columna muestra el máximo valor de n que puede ejecutarse con 10.000 operaciones básicas en una hora. Es decir f(n)=”total de operaciones básicas en un intervalo de tiempo”. Por ejemplo, f(n)=10.000 operaciones básicas por hora. Si suponemos que tenemos una computadora 10 veces más rápida, entonces podremos ejecutar 100.000 operaciones básicas en una hora. Por lo cual f(n’)=100.000 operaciones básicas por hora. Ejercicio: Comentar sobre la razón n´/n según el incremento de velocidad de la computadora y la razón de crecimiento del algoritmo en cuestión. Nota: los factores constantes nunca afectan la mejora relativa obtenida por una computadora más rápida.4.4 Órdenes de Complejidad Se dice que O(f(n)) define un "orden de complejidad". Escogeremos como representante de este orden a la función f(n) más sencilla del mismo. Así tendremos: O(1) orden constante O(log n) orden logarítmico O(n) orden lineal O(n2 ) orden cuadrático O(na ) orden polinomial (a > 2) O(an ) orden exponencial (a > 2) O(n!) orden factorial Es más, se puede identificar una jerarquía de órdenes de complejidad que coincide con el orden de la tabla anterior; jerarquía en el sentido de que cada orden de complejidad superior tiene a los inferiores como Página 37
subconjuntos. Si un algoritmo A se puede demostrar de un cierto orden O1 ,es cierto que también pertenece a todos los órdenes superiores (la relaciónde orden cota superior es transitiva); pero en la práctica lo útil es encontrarla "menor cota superior", es decir el menor orden de complejidad que locubra.Antes de realizar un programa conviene elegir un buen algoritmo, dondepor bueno entendemos que utilice pocos recursos, siendo usualmente losmás importantes el tiempo que lleve ejecutarse y la cantidad de espacio enmemoria que requiera. Es engañoso pensar que todos los algoritmos son"más o menos iguales" y confiar en nuestra habilidad como programadorespara convertir un mal algoritmo en un producto eficaz. Es asimismoengañoso confiar en la creciente potencia de las máquinas y elabaratamiento de las mismas como remedio de todos los problemas quepuedan aparecer.Un ejemplo de algunas de las funciones más comunes en análisis dealgoritmos son:La mejor técnica para diferenciar la eficiencia de los algoritmos es el estudiode los órdenes de complejidad. El orden de complejidad se expresageneralmente en términos de la cantidad de datos procesados por elprograma, denominada n, que puede ser el tamaño dado o estimado.En el análisis de algoritmos se considera usualmente el caso peor, si bien aveces conviene analizar igualmente el caso mejor y hacer alguna estimaciónsobre un caso promedio. Para independizarse de factores coyunturales, talescomo el lenguaje de programación, la habilidad del codificador, la máquinade soporte, etc. se suele trabajar con un cálculo asintótico que indicacómo se comporta el algoritmo para datos muy grandes y salvo algúncoeficiente multiplicativo. Para problemas pequeños es cierto que casi todoslos algoritmos son "más o menos iguales", primando otros aspectos comoesfuerzo de codificación, legibilidad, etc. Los órdenes de complejidad sóloson importantes para grandes problemas. Página 38
4.5 Notación Asintótica El interés principal del análisis de algoritmos radica en saber cómo crece el tiempo de ejecución, cuando el tamaño de la entrada crece. Esto es la eficiencia asintótica del algoritmo. Se denomina “asintótica” porque analiza el comportamiento de las funciones en el límite, es decir, su tasa de crecimiento. La notación asintótica se describe por medio de una función cuyo dominio es los números naturales (Ν ) estimado a partir de tiempo de ejecución o de espacio de memoria de algoritmos en base a la longitud de la entrada. Se consideran las funciones asintóticamente no negativas. La notación asintótica captura el comportamiento de la función para valores grandes de N. Las notaciones no son dependientes de los tres casos anteriormente vistos, es por eso que una notación que determine el peor caso puede estar presente en una o en todas las situaciones.4.5.1 La O Mayúscula La notación O se utiliza para comparar funciones. Resulta particularmente útil cuando se quiere analizar la complejidad de un algoritmo, en otras palabras, la cantidad de tiempo que le toma a un computador ejecutar un programa. Definición: Sean f y g funciones con dominio en R ≤ 0 o N es imagen en R. Si existen constantes C y k tales que: ∀ x > k, | f (x) | ≤ C | g (x) | es decir, que para x > k, f es menor o igual a un multiplo de g, decimos que: f (x) = O ( g (x) ) La definición formal es: f (x) = O ( g (x) ) ∃ k , N | ∀ x > N, | f (x) | ≤ k| g (x) | ¿Qué quiere decir todo esto? Básicamente, que una función es siempre menor que otra función (por ejemplo, el tiempo en ejecutar tu programa es menor que x2 ) si no tenemos en cuenta los factores constantes (eso es lo que significa la k) y si no tenemos en cuenta los valores pequeños (eso es lo que significa la N). Página 39
¿Por qué no tenemos en cuenta los valores pequeños de N? Porqué paraentradas pequeñas, el tiempo que tarda el programa no es significativo ycasi siempre el algoritmo será sufic ientemente rápido para lo que queremos.Así 3N3 + 5N2 – 9 = O (N3) no significa que existe una función O(N3) quees igual a 3N 3 + 5N 2 – 9.Debe leerse como: “3N 3+5N 2 –9 es O-Grande de N3”que significa: “3N 3+5N 2 –9 está asintóticamente dominada por N3”La notación puede resultar un poco confusa. Veamos algunos ejemplos.Ejemplo 1: Muestre que 3N 3 + 5N 2 – 9 = O (N 3).De nuestra experiencia anterior pareciera tener sentido que C = 5.Encontremos k tal que: 3N 3 + 5N 2 – 9 ≤ 5N 3 for N > k : 1. Agrupamos: 5N2 = 2N 3 + 9 2. Cuál k asegura que 5N2 = N3 para N > k? 3. k = 5 4. Así que para N > 5, 5N2 = N3 = 2N3 + 9. 5. C = 5, k = 5 (no es único!)Ejemplo 2: Muestre que N 4 ≠ O (3N3 + 5N2 – 9) .Hay que mostrar que no existen C y k tales que para N > k, C* (3N3 + 5N2 –9) ≥ N4 es siempre cierto (usamos límites, recordando el curso de Cálculo). lim x4 / C(3x3 + 5 x2 – 9) = lim x / C(3 + 5/x – 9/x3 ) xà ∞ xà ∞ = lim x / C(3 + 0 – 0) = (1/3C) . lim x = ∞ xà ∞ xà ∞ Página 40
Así que sin importar cual sea el C que se elija, N4 siempre alcanzará y rebasará C* (3N3 + 5N2 – 9). Podemos considerarnos afortunados porque sabemos calcular límites! Límites serán útiles para probar relaciones (como veremos en el próximo teorema). Lema: Si el límite cuando x à ∞ del cociente |f (x)/g (x)| existe (es finito) entonces f (x) = O ( g (x) ). Ejemplo 3: 3N3 + 5N2 – 9 = O (N3 ). Calculamos: lim x3 / (3x3 + 5 x2 – 9) = lim 1 /(3 + 5/x – 9/x3) = 1 /3 xà ∞ xà ∞ Listo!4.5.2 La o Minúscula La cota superior asintótica dada por la notación O puede o no ser ajustada asintóticamente. La cota 2n² = O(n²) es ajustada asintóticamente, pero la cota 2n = O(n²) no lo es. Utilizaremos la notación o para denotar una cota superior que no es ajustada asintóticamente. Definimos formalmente o(g(n)) ("o pequeña") como el conjunto: o(g(n)) = {f(n): para cualquier constante positiva c > 0, existe una constante n0 > 0 tal que: 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) para toda n ≥ n0 }. Por ejemplo, 2n = o(n²), pero 2n² no pertenece a o(n²). Las notaciones de O y o son similares. La diferencia principal es, que en f(n) = O(g(n)), la cota 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) se cumple para alguna constante c > 0, pero en f(n) = o(g(n)), la cota 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) se cumple para todas las constantes c> 0. Intuitivamente en la notación o, la función f(n) se vuelve insignificante con respecto a g(n) a medida que n se acerca a infinito, es decir: lim (f(n)/g(n)) = 0. xà∞ Página 41
4.5.3 Diferencia entre O y o Para o la desigualdad se mantiene para todas las constantes positivas, mientras que para O la desigualdad se mantiene sólo para algunas constantes positivas.4.5.4 Las Notaciones Ω y Θ Ω Es el reverso de O. f (x ) = Ω(g (x )) àß g (x ) = O (f (x )) Ω Grande dice que asintóticamente f (x ) domina a g (x ). Θ Grande dice que ambas funciones se dominan mutuamente, en otras palabras, son asintóticamente equivalentes. f (x ) = Θ(g (x )) àß f (x ) = O (g (x )) ∧ f (x ) = Ω(g (x )) f = Θ(g): “f es de orden g ”4.5.5 Propiedades y Cotas más Usuales Propiedades de las notaciones asintóticas Relaciones de orden La notación asintótica nos permite definir relaciones de orden entre el conjunto de las funciones sobre los enteros positivos: • f ∈ O (g (x )) ↔ f ≤ g (se dice que f es asintóticamente menor o igual que g ) • f ∈ o (g (x )) ↔ f<g • f ∈ Θ (g (x )) ↔ f=g • f ∈ Ω (g (x )) ↔ f≥ g • f ∈ ω (g (x )) ↔ f>g Página 42
Relaciones entre cotas 1. f(n) ∈ O(f (n)) 2. f(n) ∈ O(f (n)) ∧ g(n) ∈ O(f (n )) ⇒ f(n) ∈ O(h (n )) 3. f(n) ∈ O(g (n)) ⇒ g(n) ∈ Ω(h(n )) 4. lim f(n)/g(n) = 0 ⇒ O(f (n)) ⊂ O(g (n)) nà ∞ 5. O(f (n)) = O(g (n)) ⇔ f(n) ∈ O(g (n)) ∧ g(n) ∈ O(f (n )) 6. O(f (n)) ⊂ O(g (n)) ⇔ f(n) ∈ O(g (n)) ∧ g(n) ∉ O(f (n )) 7. Ω(f(n )) ⊂ Ω(g (n)) ⇔ f(n) ∈ Ω(g (n)) ∧ g(n) ∉ Ω(f (n ))Relaciones de inclusiónSon muy útiles a la hora de comparar funciones de coste en el casoasintótico. ∀ x, y, a, ε ∈ R >0 1 . loga n ∈ O(logb n) 2. O(loga x n) ⊂ O(loga x+δ n) 3. O(loga x n) ⊂ O(n) 4. O(n x ) ⊂ O(nx+δ ) 5. O(nx loga y n) ⊂ O(nx+δ ) 6. O(n x ) ⊂ O(2n ) Página 43
Propiedades de clausura El conjunto de funciones del orden de f(n) es cerrado respecto de la suma y la multiplicación de funciones: 1 . f1(n) ∈ O(g1(n)) ∧ f2(n) ∈ O(g2(n)) ⇒ f1(n) + f2(n) ∈ O(g1(n) + g2(n)) 2. f1(n) ∈ O(g1(n)) ∧ f2(n) ∈ O(g2(n)) ⇒ f1(n) * f2(n) ∈ O(g1(n) * g2(n)) 3. f1(n) ∈ O(g1(n)) ∧ f2(n) ∈ O(g2(n)) ⇒ f1(n)+f2(n) ∈ O(max(g1(n), g2(n)) como consecuencia es que los polinomios de grado k en n son exactamente del orden de nk aknk + … + a 1n + a0 ∈ Θ(nk ) Cotas Asintóticas Más Usuales1 . c ∈ Θ(1) ∀ c ∈ R ≥ 0 n2. ∑ i = (n/2)(n+1) ∈ Θ(n2 ) i=1 n3. ∑ i2 = (n/3)(n+1) (n+1/2) ∈ Θ(n3 ) i=1 n4. ∑ ik ∈ Θ(nk+1) ∀ k ∈ N i=1 n5. ∑ log i ∈ Θ(n log n) i=1 n6. ∑ (n- i)k ∈ Θ(nk+1) ) ∀ k ∈ N i=1 Página 44
4.6 Ecuaciones de Recurrencias4.6.1 Introducción Como ya hemos indicado, el análisis del tiempo de ejecución de un programa recursivo vendrá en función del tiempo requerido por la(s) llamada(s) recursiva(s) que aparezcan en él. De la misma manera que la verificación de programas recursivos requiere de razonar por inducción, para tratar apropiadamente estas llamadas, el cálculo de su eficiencia requiere un concepto análogo: el de ecuación de recurrencia. Demostraciones por inducción y ecuaciones de recurrencia son por tanto los conceptos básicos para tratar programas recursivos. Supongamos que se está analizando el coste de un algoritmo recursivo, intentando calcular una función que indique el uso de recursos, por ejemplo el tiempo, en términos del tamaño de los datos; denominémosla T(n) para datos de tamaño n. Nos encontramos con que este coste se define a su vez en función del coste de las llamadas recursivas, es decir, de T(m) para otros tamaños m (usualmente menores que n). Esta manera de expresar el coste T en función de sí misma es lo que denominaremos una ecuación recurrente y su resolución, es decir, la obtención para T de una fórmula cerrada (independiente de T) puede ser dificultosa.4.6.2 Resolución de Recurrencias Las ecuaciones de recurrencia son utilizadas para determinar cotas asintóticas en algoritmos que presentan recursividad. Veremos dos técnicas básicas y una auxiliar que se aplican a diferentes clases de recurrencias: • Método del teorema maestro • Método de la ecuación característica • Cambio de variable No analizaremos su demostración formal, sólo consideraremos su aplicación para las recurrencias generadas a partir del análisis de algoritmos.4.6.3 Método del Teorema Maestro Se aplica en casos como: 5 si n=0 T(n) = 9T(n/3) + n si n ≠ 0 Página 45
Teorema: Sean a = 1, b > 1 constantes, f(n) una función y T(n) una recurrencia definida sobre los enteros no negativos de la forma T(n) = aT(n/b) + f(n), donde n/b puede interpretarse como n/b o n/b. Entonces valen: 1 . Si f(n) ∈ O(mlog ba - ε) para algún ε > 0 entonces T(n) ∈ Θ(nlog ba ). 2. Si f(n) ∈ Θ(nlog ba ) entonces T(n) ∈ Θ(nlogba lgn). 3. Si f(n) ∈ Ω(nlog ba + ε) para algún ε > 0, y satisface af(n/b) ≤ cf(n) para alguna constante c < 1, entonces T(n) ∈ Θ(f(n)). Ejemplos: 1 . Si T(n)=9T(n/3)+n entonces a=9, b=3, se aplica el caso 1 con ε=1 y T(n) ∈ Θ(n2 ). 2. Si T(n)=T(2n/3)+1 entonces a=1, b=3/2, se aplica el caso 2 y T(n) = Θ(lgn). 3. Si T(n)=3T(n/4)+nlgn entonces a=3, b=4, f(n) ∈ Ω(nlog 43 + 0,2 ) y 3(n/4) lg(n/4) ≤ 3/4n lgn, por lo que se aplica el caso 3 y T(n) ∈ Θ(n lgn)4.6.4 Método de la Ecuación Característica Se aplica a ciertas recurrencias lineales con coeficientes constantes como: 5 si n=0 T(n) = 10 si n=1 5T(n-1) + 8T(n-2)+2n si n > 0 En general, para recurrencias de la forma: T(n) = a1T(n-1) + a2T(n-2) + … + akT(n-k) + bn p(n) donde ai , 1 ≤ i ≤ k, b son constantes y p(n) es un polinomio en n de grado s. Ejemplos: 1. En T(n)=2t(n-1)+3n , a1 =2, b=3, p(n)=1, s=0. 2. En T(n)=t(n-1)+ t(n-2)+n, a1 =1, a2 =1, b=1, p(n)=n, s=1. En general, para: T(n) = a1T(n-1) + a2T(n-2) + … + akT(n-k) + bnp(n) Página 46
♦ Paso 1: Encontrar las raíces no nulas de la ecuación característica: (xk - a1xk-1 - a2 xk-2 - … - ak)(x-b)s+1 = 0 Raíces: ri , 1 ≤ i ≤ l ≤ k, cada una con multiplicidad mi. ♦ Paso 2: Las soluciones son de la forma de combinaciones lineales de estas raíces de acuerdo a su multiplicidad. T(n) = ----- ♦ Paso 3: Se encuentran valores para las constantes cij, tal que: 1 ≤ i ≤ l, 0 ≤ j ≤ mi - 1 y di, 0 ≤ i ≤ s – 1 según la recurrencia original y las condiciones iniciales (valores de la recurrencia para n=0,1, …).Ejemplo: Resolver la ecuación de recurrencia siguiente: 0 si n=0 T(n) = 2T(n-1) + 1 si n > 0 donde b=1 y p(n)=1 de grado 0.La ecuación característica (x-2)(x-1)0 +1 = 0, con raíces 2 y 1 demultiplicidad 1.La solución general es entonces de la forma: T(n)=c112n + c211n.A partir de las condiciones iniciales se encuentra el siguiente sistema deecuaciones que sirve para hallar c11 y c21 : c11 + c21 = 0 de n = 0 2c11 + c21 = 1 de n = 1de donde c11 = 1 y c21 = -1.La solución es entonces: T(n) = 2n – 1 . Página 47
4.6.5 Cambio de Variable Dada la siguiente ecuación de recurrencia: a si n=1 T(n) = 2T(n/2) + nlog2 n si n = 2k No se puede aplicar el teorema maestro ni la ecuación característica. Se define una nueva recurrencia S(i) = T(2i), con el objetivo de llevarla a una forma en la que se pueda resolver siguiendo algún método anterior. Entonces el caso general queda: S(i) = T(2i) = 2T(2i /2) + 2ii = 2T(2i-1 ) + i2i = 2S(i-1) + i2i Con b=2 y p(i) = i de grado 1. La ecuación característica de esta recurrencia es: (x - 2)(x - 2)i+1 = 0, con raíz 2 de grado 3. La solución es entonces S(i) = c1 12i + c12 i2i + c13 i2 2i, con lo que volviendo a la variable original queda: T(n) - 2T(n/2) = nlog2 n = (c12 - c13)n + 2c13 n(log2 n). Se pueden obtener los valores de las constantes sustituyendo esta solución en la recurrencia original: T(n) = c11 n + c12(log2 n)n + c13(log2 n)2 n. de donde c1 2 = c13 y 2c12 = 1. Por tanto T(n) ∈ Θ(nlog2 n | n es potencia de 2). Si se puede probar que T(n) es eventualmente no decreciente, por la regla de las funciones de crecimiento suave se puede extender el resultado a todos los n (dado que nlog2 n es de crecimiento suave). En este caso T(n) ∈ Θ(nlog2 n). Página 48
4.7 Ejemplos y Ejercicios Ejemplos de cálculo del tiempo de ejecución de un programa Veamos el análisis de un simple enunciado de asignación a una variable entera: a = b; Como el enunciado de asignación toma tiempo constante, está en Θ(1). Consideremos un simple ciclo “for”: sum=0; for (i=1; i<=n; i++) sum += n; La primera línea es Θ(1). El ciclo “for” es repetido n veces. La tercera línea toma un tiempo constante también, el costo total por ejecutar las dos líneas que forman el ciclo “for” es Θ(n). El costo por el entero fragmento de código es también Θ(n). Analicemos un fragmento de código con varios ciclos “for”, algunos de los cuales están anidados. sum=0; for (j=1; j<=n; j++) for (i=1; i<=j; i++) sum++; for (k=1; k<=n; k++) A[k]= k-1; Este código tiene tres partes: una asignación, y dos ciclos. La asignación toma tiempo constante, llamémosla c 1. El segundo ciclo es similar al ejemplo anterior y toma c 2n= Θ(n). Analicemos ahora el primer ciclo, que es un doble ciclo anidado. En este caso trabajemos de adentro hacia fuera. La expresión sum++ requiere tiempo constante, llamemosle c 3. Como el ciclo interno es ejecutado j veces, tiene un costo de c3j. El ciclo exterior es ejecutado n veces, pero cada vez el costo del ciclo interior es diferente. El costo total del ciclo es c 3 veces la suma de los números 1 a n, es decir Σn i=1 j = n(n+1)/2, que es Θ(n2). Por tanto, Θ(c1 +c2 n+c3 n2) es simplemente Θ(n2 ). Página 49
Comparemos el análisis asintótico de los siguientes fragmentos de código: sum1=0; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=n; j++) sum1 ++; sum2=0; for(i=1; i<=n; i++) for(j=1; j<=i; j++) sum2++;El primer fragmento de ejecuta el enunciado sum1++, precisamente n2veces.Por otra parte, el segundo fragmento de código tiene un costo aproximadode ½ n2 . Así ambos códigos tienen un costo de Θ(n2 ).Ejemplo, no todos los ciclos anidados son Θ(n2 ): sum1=0; for(k=1; k<=n; k*=2) for(j=1; j<=n; j++) sum1++;El costo es Θ(n log n). Página 50
Capítulo 5 Estrategias de Diseño de Algoritmos5.1 Introducción A través de los años, los científicos de la computación han identificado diversas técnicas generales que a menudo producen algoritmos eficientes para la resolución de muchas clases de problemas. Este capítulo presenta algunas de las técnicas más importantes como son: recursión, dividir para conquistar, técnicas ávidas, el método de retroceso y programación dinámica. Se debe, sin embargo, destacar que hay algunos problemas, como los NP completos, para los cuales ni éstas ni otras técnicas conocidas producirán soluciones eficientes. Cuando se encuentra algún problema de este tipo, suele ser útil determinar si las entradas al problema tienen características especiales que se puedan explotar en la búsqueda de una solución, o si puede usarse alguna solución aproximada sencilla, en vez de la solución exacta, difícil de calcular.5.2 Recursión La recursividad es una técnica fundamental en el diseño de algoritmos eficientes, que está basada en la solución de versiones más pequeñas del problema, para obtener la solución general del mismo. Una instancia del problema se soluciona según la solución de una o más instancias diferentes y más pequeñas que ella. Es una herramienta poderosa que sirve para resolver cierto tipo de problemas reduciendo la complejidad y ocultando los detalles del problema. Esta herramienta consiste en que una función o procedimiento se llama a sí mismo. Una gran cantidad de algoritmos pueden ser descritos con mayor claridad en términos de recursividad, típicamente el resultado será que sus programas serán más pequeños. La recursividad es una alternativa a la iteración o repetición, y aunque en tiempo de computadora y en ocupación en memoria es la solución recursiva menos eficiente que la solución iterativa, existen numerosas situaciones en las que la recursividad es una solución simple y natural a un problema que en caso contrario ser difícil de resolver. Por esta razón se puede decir que la Página 51
recursividad es una herramienta potente y útil en la resolución de problemasque tengan naturaleza recursiva y, por ende, en la programación.Existen numerosas definiciones de recursividad, algunas de las másimportantes o sencillas son éstas: • Un objeto es recursivo si figura en su propia definición. • Una definición recursiva es aquella en la que el objeto que se define forma parte de la definición (recuerde la regla gramatical: lo definido nunca debe formar parte de la definición)La característica importante de la recursividad es que siempre existe unmedio de salir de la definición, mediante la cual se termina el procesorecursivo.Ventajas: • Puede resolver problemas complejos. • Solución más natural.Desventajas: • Se puede llegar a un ciclo infinito. • Versión no recursiva más difícil de desarrollar. • Para la gente sin experiencia es difícil de programar.Tipos de Recursividad • Directa o simple: un subprograma se llama a si mismo una o más veces directamente. Página 52
• Indirecta o mutua: un subprograma A llama a otro subprograma B y éste a su vez llama al subprograma A.a) Propiedades para un Procedimiento Recursivo • Debe de existir cierto criterio (criterio base) en donde el procedimiento no se llama a sí mismo. Debe existir al menos una solución no recursiva. • En cada llamada se debe de acercar al criterio base (reducir rango). El problema debe reducirse en tamaño, expresando el nuevo problema en términos del propio problema, pero más pequeño. Los algoritmos de divide y vencerás pueden ser procedimientos recursivos.b) Propiedades para una Función Recursiva • Debe de haber ciertos argumentos, llamados valores base para los que la función no se refiera a sí misma. • Cada vez que la función se refiera así misma el argumento de la función debe de acercarse más al valor base.Ejemplos:Factorial n! = 1 * 2 * 3 ... * (n-2) * (n-1) * n 0! = 1 1! = 1 2! = 1 * 2 3! = 1 * 2 * 3 ... n! = 1 * 2 * 3 ... * (n-2) * (n-1) * n ⇒ n! = n* (n-1)! Página 53
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