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Timestamp: 2020-06-05 13:48:50+00:00

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Calculo Matricial - Metodo de La Rigidez | Análisis | Física Aplicada e Interdisciplinaria
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1. Componentes.
Diseño de grua con polipasto
RAMON ARGUELLES ALVAREZ. Calculo Matricial de Estructuras
Introduccion al Metodo de la Rigidez
ejercicio-9-terminado-1.xlsx
Verificacion de Anclajes Segun ACI 318-02
Diagnostico de Riesgos Pereira
CAPÍTULO 5 - Mallas electrosoldadas
Cap. 7, Vigas en sección compuesta
Losas y Cajones de cimentación
Actividad 4, U2, Leyes Lógicas
( LECCIÓN )
CONCEPTOS E HIPÓTESIS BÁSICAS
1ª RF.
LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO.
( F=0, M=0).
Dentro de la estructura, en cualquier elemento, sección, nudo,
barra, conjunto, y con las cargas exteriores.
2ª RF.
LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE
Entre los elementos de la estructura y con las condiciones de
contorno; así, por ejemplo; en uniones rígidas tendremos los
ángulos y movimientos solidarios; en uniones articuladas tan
solo los movimientos serán solidarios.
3ª RF.
LA LEY DE COMPORTAMIENTO.
Que relaciona las tensiones con las deformaciones
(leyes de Hooke, ecuaciones de Lamé,
MÉTODO DE LA RIGIDEZ MÉTODO DE EQUILIBRIO
i i , i F i R i
= vector desplazamientos y giros de nudos. = vectores esfuerzos y deformación de barras. =
= vector de ligaduras liberadas (internas y externas).
vector cargas externas.
i = f 1 ( i )
i = = f f
2 ( ( i ) )
3 ( (
(R i ,F i ) = f 4 ( i )
(R ,F
(R i ,F i ) = f
5 ( i )
f 5 ( i ) = (R i ,F i ) = (F i ,valor conocido
( ) = (R
,valor conocido
) i , R
COEFICIENTES DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD
P = K ·
= ---- = ---- · P = a · P
M = K ·
= ---- = ---- · M = a · M
Si en [1] o [3] hacemos el alargamiento o giro, respectivamente, unidad:
= 1 P = K
= 1 M = K
Si en [2] o [4] hacemos la fuerza o momento, respectivamente, unidad:
M = 1 = a
= K · u
K = matriz de rigidez.
= A · F
A = matriz de flexibilidad.
El coeficiente de rigidez, krs, que relaciona las coordenadas “r” y “s”, es la fuerza que aparece en la coordenada “r” al dar un movimiento exclusivo y unitario en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (us=1; uj=0 para j s).
El coeficiente de flexibilidad, ars, que relaciona las coordenadas“r” y “s”, es el movimiento que aparece en la coordenada “r” debido a una fuerza exclusiva y unitaria en la coordenada “s”, manteniendo nulos todos los demás (Fs=1; Fj=0 para j s).
F r = krs 1 u 1 + krs 2 u 2 + krs 3 u 3 + Matricialmente.
+ krs i u i ,
k12 k13 k14 k15 k16
k22 k23 k24 k25 k26
k23 k33 k34 k35 k36
k42 k43 k44 k45 k46
k52 k53 k54 k55 k56
k62 k63 k64 k65 k66
[ F ] = [ K ] · [ ]
SISTEMAS DE COORDENADAS; DISCRETIZACIÓN
Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura (coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc).
Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos)
En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local, al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra.
Puesto que en el proceso de discretización de la estructura se ha supuesto ésta formada por un conjunto de elementos y nodos, será preciso definir un sistema único, global, que permita referir a él de forma única y para toda la estructura los movimientos y fuerzas de los nodos.
Sistema nodal
A veces, para facilitar ciertas condiciones de contorno (caso de un patín,) será conveniente definir un sistema nodal de coordenadas, distinto del global, operando conjuntamente con ambos.
RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES
1].- BARRA DE CELOSÍA, ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS)
LEY DE HOOCKE:
u 1 = 1
u 1 = 0
u 2 = 1
( L = 1)
k 22 =
Generalizando para ambos nudos.
F 1 1 = k 11 u1 + k 12 u2
F 2 = k 21 u 1 + k 22 u 2
F 2 = k 21 u 1 + k 22 u
En forma matricial.
A E/L
- A E/L
[ F ] = [ K ]
2].- BARRA EN VOLADIZO
v = 0 = 0
E·A
v 2 =1
V = k 22
M = k 32
12·E·I
6·E·I
= k 13 =
= k 23 =
4·E·I
M = k 33 =
Matricialmente:
EA/L
12EI/L 3
-6EI/L²
4EI/L
3].- BARRA DE ESTRUCTURA PLANA (INEXTENSIBLE)
Movimiento unitario vertical en nodo :
µ 2 = µ 4 =
6EI ( 1 =1) L²
= k 21 = k 41
V 1 =
2 + µ 4
12EI
= k 11
V 3 = - V =
= - V =
= k 31
µ 2 = k 21
µ 4 = k 41
V 3 = k 31
V 1 = k 11
2 = 3 = 4 = 0
Giro unitario en nodo :
Fig.Fig. 11
µ 2 = k 22
1 = 3 = 4 = 0
µ 4 = k 42
= ß · M =
V 1 = k
Fig.Fig. 22
12EI 12EI
2EI 2EI
6EI 6EI
4EI 4EI
k 22 = =
+ µ 4
V 3 = k 32
4 ].- BARRA DE ESTRUCTURA PLANA (EXTENSIBLE)
COMBINACIÓN DE LOS CASOS 1 Y 3.-
Condensando las particiones:
KK 1111
KK 1212
uu 11
KK 2121
KK 2222
uu 22
CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ RIGIDEZ
• Un elemento kij, representa, la fuerza que aparece en la coordenada i cuando se comunica un movimiento unidad en la coordenada j, manteniendo nulos todos los demás.
• La columna j (k1j,k2j, knj),
analizando las fuerzas que van apareciendo en todas las coordenadas
al comunicar un movimiento
unidad en la coordenada j, manteniendo
se genera,
(1,2,
nulos todos los demás.
• La fila i (ki1,ki2, kin),
analizando las fuerzas que aparecen en la coordenada i, al comunicar un
movimiento unidad, sucesivamente, a las n coordenadas, manteniendo en cada caso nulos todos los demás.
• Los elementos de la diagonal principal no pueden ser negativos pues representan las fuerzas que aparecen en una coordenada al dar justamente movimiento unidad en ella misma.
• La matriz de rigidez es simétrica debido al principio de reciprocidad(kij=kji).
5 ].- ELEMENTO DE EMPARRILLADO
G · I
6 ].- ELEMENTO DE PÓRTICO TRIDIMENSIONAL
12EIy
6EIy
6EIz
12EIz
2EIy
2EIz
12EIz 12EIz
SIMETRÍASIMETRÍA
P = Px + Py = P´x + P´y
P´y
P´x
z z´
Px · cos
P'x =
Py · sen
P'y =
Px · sen
Py · cos
Si designamos por ux', uy' los vectores unitarios que definen la posición de
los ejes x'-y' respecto a los x-y:
ux´ =
i · cos +
j · sen
uy´ = - i · sen +
j · cos
Los cosenos directores l 1 , l 2 , m 1 , m 2 , por columnas, de los nuevos vectores respecto de los antiguos, serán:
1 = cos (x'x) l 2 = cos (y'x)
m 1 = cos (x'y)
= cos (y'y)
ux'
ux'=
uy' =
L T , matriz de rotación.
L , matriz de transformación.
Por lo tanto, podemos escribir para los vectores (y lo mismo para los
movimientos):
P' = L T · P
´ = L T ·
Puede comprobarse que L T · L = I = matriz unidad; o sea, L T = L -1 ; con lo que resulta, premultiplicando las [11]:
L · P' = L · L T · P L · ' = L · L T ·
P = L · P’
= L ·
ALGUNOS CASOS DE TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Elemento plano empotrado:
Los ángulos y momentos flectores no cambian con los nuevos ejes.
Parra el caso de la barra completa:
P' P'j
Parra el caso de un elemento tridimensional:
(z´x)
(y´x)
(x´x)
l 1 = cos(x'x)
m 1 = cos(x'y)
n 1 = cos(x'z)
l 2 = cos(y'x)
m 2 = cos(y'y)
n 2 = cos(y'z)
l 3 = cos(z'x)
m 3 = cos(z'y)
n 3 = cos(z'z)
L T =
Aquí las relaciones entre vectores de fuerzas, de momentos, de desplazamientos y giros son, en un nodo:
P’x
P’y
’z
M’ =
M’x
M’y
M’z
Y si consideramos el elemento tridimensional, establecemos (nudos i y j, i < j):
[P'] =
P'j
(12x1) (12x1)
Para un elemento cualquiera de los antes considerados:
; pero también:
P' = k' · '
(en locales)
L T · P = k' · ' = k' · L T ·
Premultiplicando por L:
L · L T · P = ( L · k’ · L T ) ·
P = ( L · k’ · L T ) ·
RELACIÓN FUNDAMENTAL
P, vector de cargas en globales. , vector desplazamientos en globales. Matriz ( L · k' · L T ), en globales.
K = ( L · k’ · L T )
Nos permite pasar cada matriz en coordenadas locales a matriz en coordenadas globales por operaciones con la matriz de transformación, L, y su transpuesta, L T .
EL ELEMENTO Y LA ESTRUCTURA; DISCRETIZACIÓN
La elección usual de la discretización (a) obedece a que las matrices de los elementos son iguales en coordenadas locales para todos y a que es la forma intuitiva de descomponer en lo que consideramos como elementos-vigas.
Estructura a discretizar
P jy
P iy
P jx
i P ix
P = k · =
Pi = kii · i + kij · j
Pj = kji · i + kjj · j
Representa las fuerzas que aparecen en el nodo i al aplicar movimientos unidad en el nodo j
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
(f) P
Barra 1,2 (a):
Barra 2,3 (b):
Barra 2,5 (c):
k k 52
=> P a
a · · 2
= k 22 b · 2
=> P 2 c = = k k
k 25 c ·
Sumando y teniendo en cuenta las relaciones de compatibilidad:
a · · 1
a + ( k
c ) ·
b · ·
b + +
k k c ·
k k c · 5
Vector de fuerzas en coordenadas globales asociado al nudo 2.
1 , 2 , 3 , 5
Vectores de movimientos en coordenadas globales asociados a los nudos 1, 2, 3, 5, que físicamente están ligados con el propio nudo 2.
Elemento de la matriz de rigidez que relaciona fuerzas en el nudo 2 con 2 ; es decir, es la fuerza que aparece en 2 con un movimiento unidad en 2, permaneciendo nulos todos los demás; y es la suma de las submatrices asociadas a ese nudo 2 de los distintos elementos que en él concurren ( K 22 a , K 22 b , K 22 c ); a K 22 se la suele denominar "rigidez directa" del nudo 2.
K 21 a ,K 23 b ,K 25 c
Fuerzas que aparecen en el nudo 2 con movimientos unitarios respectivos en 1,3,5, (ligados físicamente al 2) manteniendo nulos todos los demás; cada una relaciona las fuerzas en los nudos 1,3,5, con los respectivos movimientos 1 , 3 , 5 .
Un "elemento" de la matriz de rigidez de la estructura se compone:
Si se trata de un "elemento" de la diagonal ( k nn ) de tantos sumandos como barras concurran en el nudo asociado a la fila (o columna).
Los "elementos" que no pertenezcan a la diagonal principal se compondrán de un solo sumando, si existe unión física real entre los nodos asociados a la fila y columna de que se trate; y serán idénticamente nulos si no existe unión física.
La ecuación matricial es la imagen “fotografía”de la estructura
K 35 d
+ K 44
f +K
K 46 ff
K 53 d
K 64 ff
APLICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE CONTORNO:
CÁLCULO DE LAS REACCIONES Y ESFUERZOS EN LOS ELEMENTOS
Cada grado de fijación de la estructura, supone, un movimiento nulo, si R son las restricciones y L los grados de libertad, tendremos:
ecuaciones, L incógnitas)
ecuaciones, R incógnitas)
En la práctica no es necesario cambiar el orden de filas matriciales para
, columnas correspondientes, de igual numeración.
F L = K LL ·
Cálculo de los esfuerzos en los elementos.
Resumen del Método. Sistematización práctica.
Analizar bien la estructura. Predimensionar. Fijar modo físico de trabajo (articulado, empotrado, torsión, plana o espacial, etc.)
Ordenar nudos y barras, fijar coordenadas locales y globales.
Paso de locales a globales las cargas aplicadas en los nudos, previo cálculo de las matrices de transformación y su traspuesta de cada barra.
Vector de cargas.
P nudos = L · P´ nudos
Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de las barras, previo calculo en locales de las mismas.
k´ barras
Ecuación matricial global.
k barras = L · k´ barras · L T
Separar acciones con restricciones (filas y columnas).
Resolución del sistema, calculando los movimientos incógnita en globales.
´ =
Paso de movimientos a locales.
Cálculo de esfuerzos en cada barra en locales y comprobación de la solución estudiada.
P´ =
K´ · ´
Cálculo de reacciones, bien a través de los esfuerzos calculados en barras o bien en la forma.
= K RL · L
ACCIONES EXTERIORES SOBRE LOS ELEMENTOS
La solución se obtiene aplicando superposición, en la siguiente forma:
Separamos las cargas aplicadas en nudos de las aplicadas en barras.
Suponemos todos los nudos empotrados y calculamos las fuerzas de empotramiento para las cargas aplicadas en las barras, considerando el estado (b) como la superposición de dos.
En (c) aplicamos en los nudos las fuerzas necesarias para mantenerlos fijos, esto es, las que aparecerían en los empotramientos si estuvieran empotradas todas las barras.
Puesto que el sistema (d) sí provoca movimientos en la estructura, a él aplicaremos el cálculo matricial y, al final, tendremos en cuenta las fuerzas del estado (c), que quedan como aparcadas hasta entonces.
esfuerzos totales en ===> globales:
P't j
= P'
L T ·
k ji
k jj
Resueltos los movimientos, para calcular los esfuerzos en las barras hemos de considerar las acciones de empotramiento, que dejamos antes.
Calcular cargas y reacciones en nudos extremos de cada barra. Pasar cargas a nudos y anotar para su utilización posterior las reacciones hiperestáticas.
P´ nudos = - P´ hiperestáticas .
Paso de locales a globales de los vectores de carga, previo calculo de las matrices de transformación y su traspuesta de cada barra.
P´ hiperestáticas
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