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hacer matematicas para el docente
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Planificacion III Unidad Matematica 2016 4
Planificación de clase a clase 1° medio segundo semestre
Eval Docente Jorge Manzi
Esta obra fue realizada por el equipo editorial de Ángel Estrada y Cía. S.A., bajo la dirección de la Lic. Silvia Jáuregui y la coordinación general de Su- sana Aime.
Edición: Susana Aime y Sebastián Vargas. Corrección: Mónica Graziolo. Dirección de Arte: D.G. Silvia Lanteri. Diseño gráfico: Pablo A. Alarcón. Películas: D.G. Norma Alonso.
Agradecimientos: Para elaborar Hacer Matemática 3 y este libro del do- cente, hemos retomado ideas largamente discutidas con nuestros colegas del Equipo de Matemática de la “Asesoría del Consejo de Educación de Corrientes” y del Equipo de Matemática de la “Dirección de Currículum del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires”. Hemos, incluso, retomado párrafos de textos escritos junto con ellos. Por la fecundidad del trabajo compartido queremos agradecer a Cristina Camerano, Clara Barrionuevo, Patricia Sadovsky, Claudia Broitman y Horacio Itzcovich. En particular, queremos agradecer a Lidia Acosta y Adriana Castro, quie- nes fueron lectoras críticas de esta obra desde los primeros borradores. Queremos agradecer también a una gran cantidad de maestros con quie- nes, a lo largo de los años, llevamos adelante el trabajo que constituye la experiencia de base en la que nos apoyamos. Sin duda, los alumnos también enriquecieron nuestra experiencia, pero como es difícil hacerles llegar nuestro agradecimiento esperamos que la “devolución” suceda a raíz de que otros niños aprendan mucha Matemá- tica —y disfruten— usando este libro.
Ángel Estrada y Cía. S.A. Bolívar 462, Buenos Aires, Argentina. Internet: www.estrada.com.ar
PROHIBIDA LA FOTOCOPIA (Ley 11.723). El editor se reserva todos los derechos so- bre esta obra, la que no puede reproducirse total o parcialmente por ningún mé- todo gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo el de fotocopiado, el de registro magnetofónico o el de almacenamiento de datos, sin su expreso consentimiento.
O RGANIZACIÓN DEL LIBRO DEL ALUMNO
Cómo pensamos Hacer Matemática 3. El análisis de las fichas. Algunos comentarios sobre la utilización de juegos en las clases de Matemática.
Utilizar los números en contextos variados.
2 O PERACIONES
El sentido de las operaciones. Los procedimientos de cálculo. En relación con el algoritmo.
3 ESPACIO, FORMA Y MEDIDA
La organización del espacio. La representación gráfica del espacio. Regularidades gráficas. Figuras geométricas. Medición.
Representación gráfica de situaciones. Identificación de elemementos a partir de sus características.
Un año para recorrer
• Explorar el libro en forma conjunta. Establecer relaciones con lo ya trabajado y con lo que anticipan como trabajo del año.
Los días de clase
• Realizar una estimación y un posterior conteo efectivo trabajando con distintas unidades de tiempo (meses, semanas, días).
• Ubicar información en el calendario anual.
• Localizar informaciones numéricas o no en portadores de uso cotidiano.
• Determinar nuevas informaciones numéricas a partir de los datos presentes en el portador o provistos en el texto.
• Formular preguntas. Explorar las diversas informaciones que pueden producirse a partir de las dadas.
Las latas de gaseosas
• Resolver una situación compleja en la que se incluyen algunos datos y variadas relaciones entre ellos.
• Interpretar informaciones espaciales y cuantitativas. Explicitar el tratamiento de los datos.
• Identificar los datos pertinentes y operar con ellos para responder las preguntas planteadas.
Caras y gatos
• Analizar elementos gráficos para reconocer diferencias y criterios de orden.
• Analizar cuál es la nueva información que se puede obtener relacionando los datos disponibles.
Las materias especiales
• Resolver una situación problemática bajo ciertas condiciones planteadas en el texto.
Inventar problemas
• Pensar contextos y situaciones vinculables a una pregunta.
• Producir los datos necesarios.
Compras para el asado
• Resolver problemas de varios pasos en los que hay que localizar y tratar informaciones diversas.
ESPACIO, FORMA Y MEDIDA
• Extraer y tratar información contenida en un portador.
• Realizar cálculos de duraciones de tiempo.
• Describir o interpretar la ubicación espacial de algunos objetos a partir de relaciones entre ellos o con referentes externos.
• Trabajar con las distintas unidades de medida de tiempo (horas y minutos) en la lectura del reloj y en el cálculo de duraciones.
• Buscar estrategias para comparar longitudes de segmentos que tienen un punto común.
• Utilizar la medición para identificar un objeto. Estimar la medida de un objeto de uso cotidiano.
• Relacionar elementos de las figuras y su ubicación en la cuadrícula para realizar, comunicar
controlar su reproducción.
Medir con regla
• Realizar mediciones con la regla. Determinar una longitud con la ayuda de una recta incompleta.
• Relacionar elementos de la figura y ubicación en la cuadrícula para realizar o controlar la reproducción de una figura.
partir de los triángulos
• Construir figuras complejas rotando y desplazando otras. Argumentar sobre la posibilidad
no de construir una figura con las figuras disponibles.
• Establecer relaciones de equivalencia a partir de los datos representados.
• Caracterizar figuras planas, identificando sus propiedades.
Trenes de cartón
• Identificar elementos en los cuerpos que cumplen ciertas condiciones.
Gramos, kilos
• Conocer las relaciones entre unidades convencionales de peso.
• Vincular magnitudes y unidades de medida convenientes.
Hacer Matemática 3
Con figuras y líneas
• Identificar figuras a partir de su representación gráfica, independientemente de su posición.
• Ejercitar el trazado firme de líneas horizontales y verticales con regla.
• Analizar la forma y los elementos de las piezas para definir su ubicación.
Centímetros, metros y kilómetros
• Conocer las relaciones entre unidades convencionales de longitud.
• Vincular magnitudes y unidades convenientes.
• Identificar y reproducir las figuras que componen el piso atendiendo a su forma, tamaño y posición.
Calcomanías para
• Identificar una figura a partir de la descripción de la ubicación espacial de sus figuras componentes.
La guarda de azulejos
• Componer una longitud a partir de distintas unidades y de la combinación entre ellas.
Litros, medios y cuartos
• Iniciar el trabajo con fracciones usuales en el contexto de capacidad.
• Realizar cálculos con distintas unidades de medidas de peso.
• Comunicar por escrito un procedimiento.
La mueblería “Expocasa”
• Establecer relaciones entre la información extraída del gráfico y la información numérica.
• Utilizar las fracciones usuales de la hora.
• Calcular duraciones a partir de horas dadas.
El reparto de los postres de gelatina
• Utilizar la información que provee cada una de las cifras de un número.
¿Qué número será?
• Determinar números a partir de informaciones dadas sobre sus cifras o sobre sus relaciones con otros números.
• Componer y descomponer cantidades en términos de unos, dieces y cienes.
Cifras borradas
• Utilizar criterios de comparación y explorar las diversas cifras que pueden ocupar una posición.
• Producir descomposiciones de los números atendiendo condiciones dadas.
Armar números
• Explorar combinaciones de cifras para armar números. Vincular valor absoluto y valor relativo de las cifras para ordenar números.
• Vincular el conteo de a 1, 100, 1.000 a la posición de la cifra que cambia al adicionar cada uno a un número dado.
• Producir cálculos relativos a la descomposición aditiva o multiplicativa de los números.
Calculadora con
• Resolver problemas de numeración planteados con el soporte de la calculadora.
Armar números (2)
• Componer números a partir de sus designaciones en palabras. Establecer relaciones de orden. Considerar la doble condición “mayor que” y “menor que”.
• Componer y comparar números según su distancia a uno dado.
• Interpretar y establecer distancia entre números en el contexto de estructuración del tiempo. Establecer relaciones entre sucesión en el tiempo y orden de los números. Trabajar con una línea de tiempo como forma de organización de los datos.
Lo más cerca posible (2)
• Analizar si un número dado cumple con ciertas condiciones. Utilizar diversos procedimientos para medir la distancia entre números.
Tarjetas para ordenar
• Ubicar y producir números encuadrados entre centenas.
La recaudación de la carrera
• Producir cálculos relativos a la descomposición aditiva de números.
Calculadora de mano en mano
• Determinar las transformaciones aritméticas que es necesario realizar sobre un número para obtener otro.
Hacer Hacer matemática Matemática 1 3
• Resolver problemas de reunión y de complemento por procedimientos diversos.
• Resolver un problema complejo que involucra distintos pasos y cálculos aritméticos.
Sumas incompletas
• Ejercitar y comentar procedimientos de cálculo de complemento.
Las cuentas del mozo
• Resolver una situación que involucra suma, resta y multiplicación.
La cuenta de suma
• Ejercitar el algoritmo de la suma.
• Reconstruir resultados intermedios y determinar por complemento los números intervinientes.
Problemas y cálculos
• Interpretar el significado de los cálculos en el contexto de la situación. Analizar la resolución de un problema de varios pasos.
Vuelos 2508 y 2509
• Resolver y comparar problemas en los que se desconoce el dato de partida o estado inicial.
Problemas y cálculos (2)
• Resolver problemas diversos e identificar entre ellos los que se vinculan con la resta (en términos de relaciones entre los datos).
• Aprender a recurrir a la suma para resolver las restas.
¡Cuántas figuritas!
• Organizar los distintos pasos de la resolución de un problema, controlando la significación de cada uno de los datos.
• Iniciar la práctica de la estimación. Revisar los procedimientos utilizados.
La cuenta de resta
• Analizar y ejercitar el repertorio sustractivo involucrado en el algoritmo de la resta.
• Analizar colecciones organizadas en forma rectangular y relacionarlas con estructuras multiplicativas.
Sumas incompletas (2)
• Ejercitar y comentar procedimientos de cálculo de complemento. Producir cálculos equivalentes descomponiendo términos para facilitar la resolución.
El piso del patio
• Establecer relaciones entre escrituras multiplicativas, organizaciones rectangulares y cantidad de elementos de una colección.
El edificio de Juan
• Identificar situaciones aditivas y multiplicativas.
Problemas y cálculos (3)
• Ubicar los datos de los problemas interpretando el significado de las operaciones con que fueron tratados.
Pintando cuadraditos
• Utilizar la multiplicación para designar un número de objetos dispuestos en una configuración rectangular.
• Conocer las teclas de diversas funciones. Tomar decisiones sobre el recurso de cuál cálculo usar.
• Resolver problemas multiplicativos. Establecer relaciones entre productos que permitan utilizar los resultados conocidos para producir nuevos.
Cartas y piratas
• Resolver problemas de división utilizando varios procedimientos. Analizar procedimientos de sumas y restas reiteradas para resolver problemas de división.
• Iniciar la práctica de la estimación para las restas. Revisar los procedimientos utilizados.
• Ejercitar el algoritmo de la resta con números de tres y cuatro cifras.
• Resolver problemas de división utilizando procedimientos varios.
• Realizar la partición de una colección cumpliendo ciertas condiciones.
¿Mentalmente o con calculadora?
• Elegir y comparar recursos de cálculo. Convertir sumas en multiplicaciones.
• Resolver situaciones que involucran distintas operaciones combinadas entre sí.
Las que todos sabemos
• Construir el repertorio multiplicativo.
• Reconocer los resultados disponibles y aprender a apoyarse en ellos para resolver cálculos.
• Construir la tabla de Pitágoras.
• Iniciar el análisis de algunas informaciones que provee.
• Buscar y analizar procedimientos de descomposición de los factores para realizar una multiplicación.
• Buscar criterios para seleccionar el resultado de un cálculo.
Excursiones para estudiar y divertirse
• Resolver situaciones multiplicativas utilizando distintos procedimientos.
La cuenta de multiplicación
• Conocer y ejercitar el algoritmo convencional de la multiplicación.
Vencer a la calculadora
• Analizar los cálculos en función de los recursos que permiten resolverlos.
• Resolver situaciones relativas a la resta y comparar los distintos cálculos producidos.
Una fiesta en el aula
• Presentar la división vinculada con la búsqueda del factor desconocido de la multiplicación.
Muchos problemas, pero cortitos
• Analizar cuál es la operación que permite resolver un problema.
• Elaborar textos de problemas que correspondan a cada operación.
La colección de Carlitos
• Resolver una situación en la que se involucran distintos datos y donde es necesario determinar un dato a partir de las relaciones entre ellos.
Más problemas cortitos
• Aprender a usar la tabla pitagórica para resolver divisiones.
Las que todos sabemos (2)
• Relacionar multiplicaciones para obtener nuevos resultados a partir de los conocidos.
¡Sin hacer la cuenta!
• Comparar productos por medio de las relaciones que pueden establecerse entre sus factores.
• Averiguar cociente y resto de distintas divisiones, con un mismo divisor. Analizar la variación del resto en función del divisor.
Juego de a tres
• Estimar orden de resultados y resolver multiplicaciones y divisiones.
Productos “vecinos”
• Determinar multiplicaciones cuyo resultado sea un número dado y que cumplan ciertas condiciones de proximidad.
Las pulseras para las muñecas
• Controlar en los distintos pasos del procedimiento el cumplimiento de las condiciones planteadas.
Las veces que entra
• Utilizar el repertorio multiplicativo para resolver divisiones. Ejercitar la resolución de divisiones exactas y euclideanas apoyándose en el repertorio multiplicativo.
• Resolver problemas de división con resto.
• Considerar el resto para elaborar la respuesta.
• Estimar resultados de multiplicaciones.
• Ejercitar el algoritmo de la multiplicación.
• Establecer cociente y resto, en función de un divisor variable.
Probar soluciones
• Interpretar y, eventualmente, utilizar la aproximación por productos para resolver divisiones.
Elegir respuestas
• Establecer relaciones entre la multiplicación y la división. Buscar el factor desconocido de un producto.
• Encuadrar el resultado de divisiones entre las potencias de 10: 1, 10, 100 y 1.000.
Cómo pensamos Hacer Matemática 3
Hace muchos años que acompañamos a niños en la tarea de aprender matemática, y a maestros, en la tarea de enseñarla. Para hacer esta obra recuperamos nuestra experiencia, pe- ro al mismo tiempo la transformamos, ya que teníamos que proponerla a través de un ele- mento particular: el libro de texto. Las situaciones elaboradas buscan que los chicos aprendan Matemática haciendo mate- mática. Nos basamos en el convencimiento de que aun los más pequeños aprenden resol- viendo problemas, discutiendo, produciendo soluciones, revisándolas, encontrando nuevas formulaciones, reutilizando sus conocimientos ante otras situaciones, haciendo preguntas, detectando errores, empezando otra vez… Es decir, aprenden a través de las acciones que emprenden como respuesta a las preguntas, a las consignas, a los desafíos de los cuales se apropiaron. Aprenden a raíz de volver sobre la producción propia y de otros. Aprenden cuan- do expresan sus ideas y también cuando comienzan a dar sentido a signos y palabras larga- mente utilizados. Aprenden cuando su propia producción es reconocida y vinculada con los conocimientos disponibles en la sociedad. Dimos importancia a las situaciones abiertas que admiten diversas soluciones y cuyo tra- tamiento puede evolucionar. Otorgamos mucho valor a la interacción entre los alumnos co- mo fuente de aprendizaje. El libro fue pensado como un elemento que favorezca un aprendizaje vivo y funcional de
la Matemática, pero sabemos y afirmamos que las características del proceso de aprendizaje
que se lleve adelante van a estar altamente determinadas por el proyecto del maestro. En es- te sentido, nuestro libro alienta la diversidad, contempla la interacción y la formulación del producto común del trabajo, pero, a la vez, no puede contenerlos. Estos aspectos serán una realidad viva en la clase si son relevantes para el maestro.
Somos conscientes de que el maestro es responsable del proyecto global, lleva adelante
la enseñanza de muchas áreas y, para ello, es conveniente, y necesario, que cuente con he-
rramientas concretas que le permitan articular, en lo pequeño, sus convicciones generales. En
ese sentido, Hacer Matemática 3 pretende ser un punto de apoyo relevante y fue pensado para desencadenar procesos de aprendizaje. ¿Qué significa esto? Significa que no lo consideramos como un libro de aplicación. La idea no es que el maestro tiene que enseñar los elementos (los números, los signos, las figu- ras…) y después recurrir al libro para que los alumnos apliquen lo que les enseñó. Al contra-
rio, la mayoría de las propuestas fueron pensadas para iniciar un proceso de aprendizaje. Tra- tamos que constituyan verdaderos problemas, verdaderos desafíos; son, básicamente, cues- tiones “difíciles”, es decir, en general, los alumnos no van a dominar de entrada aquello que está en juego. Se pensaron contextos accesibles a los niños, se trató de presentar en térmi- nos claros para los alumnos lo que deben lograr (por ejemplo, poder determinar quién ganó
o mandar un mensaje para hacer una construcción), se analizaron los conocimientos en los
que pueden apoyarse para empezar a trabajar, pero, y queremos insistir en ello, se espera que los alumnos “tengan que trabajar”, es decir que tengan que detenerse, pensar, probar, pro- ducir unas primeras soluciones sobre las que haya que volver, para mejorarlas, para cambiar- las. Muchas veces, se escucha decir que los alumnos pueden o no pueden hacer tal cosa, sa- ben o no saben resolver una cuestión. Estamos proponiendo pensar el aprendizaje en térmi- nos más abiertos: cuando los alumnos abordan una situación saben algunas cosas y algunas, no; usarán sus conocimientos, pero, al mismo tiempo, estarán abordando algo nuevo, traba-
joso, que “fuerza” a producir, y como resultado de un proceso que no es corto ni lineal, sa- brán más que lo que sabían. Obviamente, no todas las fichas tienen ese carácter de apertura, algunas representan una oportunidad de práctica, de vuelta individual sobre algún aspecto. Hay fichas de trabajo que retoman cuestiones iniciadas antes, pero, en muchos casos, la continuidad, la reelaboración dependerán de propuestas del docente estructuradas en torno de las líneas de trabajo tendi- das. Justamente, uno de los sentidos de este libro para el docente es el de compartir cuáles son esas líneas que organizan la totalidad.
El maestro tiene la responsabilidad de asegurar un conjunto de adquisiciones en sus alum- nos, en tiempos relativamente determinados. Tiene que inscribir su proyecto de enseñanza en una historia que ya comenzó y que continúa después. El proyecto tiene que contemplar tiem- pos largos y cortos, y plantearse evoluciones a distintas escalas. Para pensar este libro intentamos considerar esas distintas escalas. Trabajamos con una ima- gen de los objetivos a lograr en el año, pero lo organizamos en cuatro períodos (asimilables a los bimestres que rigen en muchas jurisdicciones). En cada período nos planteamos cuestiones que se abren, otras que se consolidan, etcétera. Para ello, tomando en cuenta las adquisiciones consideradas relevantes para cada bloque de contenido, proponemos una sucesión de situacio- nes pensadas a partir del análisis de los conocimientos básicos que cada una requiere, lo que po- ne en juego o lo que busca convertir en disponible. A la vez, consideramos la simultaneidad y las potenciales relaciones entre los aspectos que se abordan dentro de cada bloque o entre blo- ques para cada bimestre. Algunos aspectos tienen imbricaciones más fuertes: por ejemplo, los niños avanzan en sus conocimientos del sistema de numeración a raíz de las posibilidades de operar con los números y, a la vez, enfrentan muchos problemas de cálculo gracias a sus cono- cimientos de los números; otras imbricaciones son más débiles o simplemente responden a la necesidad de llevar varios asuntos de trabajo en paralelo. Las fichas de trabajo están pensadas básicamente en sucesión, pero en el índice para el docente se las reagrupó por bloque para per- mitir miradas internas a cada uno y también la definición de ritmos propios. Se incluyen evaluaciones al término de cada bimestre, que pueden ser propuestas a los alum- nos en función de las actividades de enseñanza efectivamente realizadas. Como dijimos, un li- bro de texto no tiene capacidad de contener la singularidad de los procesos reales de un aula. El maestro que decida utilizarlas definirá la valoración de los ítem según el peso que les haya otorgado en la enseñanza o las características que haya tenido dicho proceso. Como todo el li- bro, en realidad, son meras herramientas al servicio del proyecto que monitorea el docente. Así como intentamos considerar líneas de evolución a lo largo del año para los contenidos de los bloques, también intentamos considerar las posibles líneas de evolución dentro de las si- tuaciones planteadas, ya sea en una ficha de trabajo como en los “paquetes” de fichas vincula- das. Incorporamos actividades donde los niños resuelven o contestan cuestiones, cuya finalidad es la reflexión sobre los procedimientos. Imaginamos y proponemos diversas dinámicas en las cuales subyace un cierto esquema so- bre momentos de una clase o de una serie de clases:
PRIMER MOMENTO: EXPLORACIÓN COLECTIVA DE LA SITUACIÓN
Buscamos que todos los alumnos comprendan la finalidad de la tarea o se apropien de las reglas del juego o construyan una representación del contexto de la situación presentada grá- ficamente o como enunciado. Básicamente, tienen que comprender qué se espera de ellos y tienen que poder imaginar una manera de empezar a enfrentar la situación.
SEGUNDO MOMENTO: TRABAJO INDIVIDUAL O POR PAREJAS O EN EQUIPO
Los alumnos trabajarán solos y se los alentará o se reinterpretarán las consignas si están detenidos, resituándolos en la finalidad de la tarea, pero sin juzgar los emprendimientos.
TERCER MOMENTO: PUESTA EN COMÚN
Se organizan diversas formas de interacción según el asunto que esté en juego. Puede provocarse la necesidad de llegar a una respuesta común, u organizar la exposición de proce- dimientos, la formulación y confrontación de resultados, la revisión y el análisis de procesos, etcétera.
CUARTO MOMENTO: CONCLUSIÓN CON LOS ALUMNOS
El docente hace la síntesis del trabajo de los niños, afina o introduce modos de represen- tación del problema o de las soluciones, señala lo producido y/o lo que queda por hacer. Es un momento relevante y delicado a la vez: para que el discurso del docente tenga sentido pa- ra los niños, es imprescindible que se apoye verdaderamente en el trabajo de los alumnos. Si ello no ocurre, se estaría frente a una ficción: el docente estaría reconociendo en el trabajo de
los niños un saber que realmente no produjeron. Por otra parte, los alumnos deben tratar de establecer cuáles son los aspectos de su producción personal que se relacionan con la expli- cación del docente. Si no lo hacen, corren el riesgo de recordar aspectos irrelevantes de la si- tuación, que no funcionarán como referencias importantes para nuevas situaciones.
La mayor parte de las propuestas del libro alimentan el primer y el segundo momento. In- cluimos cuestiones que propician que los alumnos actúen, hablen, registren, comenten o dis- cutan su producción con un compañero o con varios. En algunos casos, propusimos produc- ciones simuladas intentando provocar la convicción de que la revisión y el análisis forman par- te del trabajo de Matemática. En cuanto al tercer y cuarto momento, entendemos que es el maestro quien, a partir de su análisis de la actividad propuesta y munido de las observaciones que hace durante la rea- lización efectiva, toma decisiones sobre qué tipo de puesta en común desarrollar y qué con- clusiones pueden ser establecidas, que guarden verdadera relación con el trabajo y las pro- ducciones de los alumnos. De todas maneras, en muchas fichas hay preguntas o consignas que sugieren o requieren de puestas en común. En otros casos, en este libro hemos indicado la pertinencia de realizarlas para abordar algún aspecto que está en juego. Muchos maestros con los que trabajamos manifestaron su alegría, e incluso su asombro, cuando, utilizando propuestas como las incluidas en Hacer Matemática 3, vieron cuán pro- ductivos eran sus alumnos, cuántas ideas se les ocurrían, etcétera. Renovar la confianza en la capacidad de aprender de los alumnos es, sin duda, muy bueno. Pero suele tener un efecto indeseable que deseamos comentar: descubrir que los niños pueden ser verdaderos protago- nistas de su aprendizaje y que para ello hay que dejarlos trabajar, cuestiona, para algunos maestros, el protagonismo que ellos tenían en el proceso de enseñanza y provoca una con- fianza excesiva en las posibilidades de los alumnos. En esos casos, suele ocurrir que los do- centes se “retiran” más de lo necesario del proceso de enseñanza. Entendemos que la mo- dalidad propuesta invita a nuevas formas de intervención, pero, insistimos, las situaciones in- cluidas no funcionan por sí solas y la calidad de las adquisiciones depende mucho del proyec- to y del trabajo del maestro. El trabajo con las fichas del libro representa una parte de la actividad del aula. Sin duda, este trabajo se enriquecerá con las propuestas de cada maestro, articuladas con las activida- des cotidianas o con los diversos proyectos que están llevando adelante. Elaborar conocimien- tos para resolver situaciones vivas de la clase favorece la construcción de sentido, no solo de los conocimientos, sino de la Matemática misma.
El análisis de las fichas
Para comunicar la fundamentación didáctica de las situaciones propuestas, optamos por presentarlas en función de los bloques definidos. Al respecto, queremos insistir en que la dis- tinción entre los bloques es relativa, ya que son muchas las relaciones entre los contenidos asignados a cada uno. Especialmente, queremos señalar que las situaciones propuestas en el bloque “Tratamiento de la información”, se organizan, en general, sobre contenidos de los otros bloques, y que la progresión de las propuestas de “Número” y “Operaciones”, se refe- rencian unas a otras constantemente. Es por esto que algunas fichas de trabajo se analizan en más de un bloque, de acuerdo con los diversos aspectos que ponen en juego. Armamos el libro para el alumno imaginando que se lleva el trabajo en los cuatro bloques más o menos en paralelo. Es decir que en un lapso de, por ejemplo, uno o dos semanas, los alumnos trabajan con situaciones de los cuatro bloques. Para cada bloque, presentamos una breve introducción del enfoque y, luego, analizamos las fichas agrupadas por líneas de trabajo o en función de aspectos que las vinculan. El análisis de las fichas es variable en cuanto a lo que abarca, pero, en general, apunta a precisar lo que constituye el desafío para los niños. Suele suceder que, como los conocimien- tos involucrados en los primeros años de escolaridad resultan muy elementales para los adul-
tos, esto dificulta estar consciente de la complejidad que representa para los niños. Pese a que el análisis de cada ficha o grupo de fichas no es exhaustivo en algunos momentos, puede re- sultar tediosa nuestra pormenorizada descripción de procedimientos, enumeración de argu- mentos, etcétera. Incluimos dichas informaciones porque estamos convencidas de que para que un maestro pueda proponer y conducir el trabajo con situaciones abiertas, que pueden ser abordadas de muy diversos modos por los alumnos, necesita tener una representación de esa diversidad y de posibles evoluciones. En los análisis de las fichas hacemos referencia a la evolución de los conocimientos. Tenemos presente la función limitada de un libro de texto, por tal razón intentamos co- municar elementos que nos parecen importantes para los maestros, sabiendo que son ellos, con su conducción de la clase y su trabajo con cada alumno, quienes van a provocar y asegu- rar los progresos en los alumnos. Confiamos en que resulten herramientas útiles para quienes comparten el deseo de que, para los chicos, hacer Matemática sea una aventura de saber.
EXPRESA LA INTENCIÓN
MATERIALES NECESARIOS PARA REALIZAR LAS ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN.
EL COLOR IDENTIFICA EL BLOQUE DE CONTENIDO AL QUE CORRESPONDE LA FICHA:
T RATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
O PERACIONES
E SPACIO, FORMA Y MEDIDA
INDICA LA CANTIDAD DE PARTICIPANTES PROPUESTA PARA CADA ACTIVIDAD:
INFORMACIÓN PARA AYUDAR A QUIEN REALIZA LA ACTIVIDAD.
Algunos comentarios sobre la utilización de juegos en las clases de Matemática
En Hacer Matemática 3 proponemos muchos juegos y queremos compartir algunas refle- xiones sobre las posibilidades que ofrecen, señalar algunas de sus limitaciones y explicitar la finalidad de los juegos simulados que se incluyen. La concepción del aprendizaje de la Matemática sustentada sostiene la importancia del trabajo independiente de los alumnos frente a las situaciones. Especialmente en primer año es necesario emprender la tarea de iniciar a los niños en esta forma del quehacer particular, representada por la actividad matemática y los juegos, que constituyen un medio importan- te para favorecer intercambios entre los alumnos en torno a algo común. Los juegos regla- dos con cartas, dados, etc., son instituciones sociales tradicionales, más o menos conocidas por los niños. Para algunos, representarán reencontrar, en la escuela, prácticas que disfrutan en otros ámbitos; para otros, será una oportunidad de conocerlas. Muchos de los juegos reglados involucran cantidades —que se acumulan, se pierden, in- dican desplazamientos, etc.— y son tomados en este libro como contextos potentes para plantear problemas de registro, problemas de conteo, problemas de reunión, de compara- ción, etc., a la vez que permiten poner en juego diversos recursos y favorecer su dominio al practicarlos con frecuencia.
En las fichas de trabajo se busca mantener y provocar estas formas diferentes de explo- ración de la solución del problema, se busca propiciar el intercambio entre los alumnos res- pecto de los conocimientos que tienen y, muy fundamentalmente, que se apropien de nue- vas preguntas, que aprendan a preguntar y que construyan medios para responder y para es- tar seguros de sus respuestas. Las propuestas presentadas relativas a número pueden ser agrupadas en tres líneas de trabajo que apuntan respectivamente a:
■ utilizar los números en contextos variados (fichas 4, 44, 62, 81);
■ conocer la serie numérica oral y escrita (fichas 9, 46);
■ explorar el agrupamiento y analizar el valor posicional (fichas 20, 21, 27, 28, 35, 49, 57,
71, 76, 93).
Estas líneas se interrelacionan, ya que, si en una de ellas se apunta a que los niños en- frenten situaciones cuya resolución ponga en juego sus conocimientos y en las otras se bus- ca mejorar los recursos o tomarlos como objeto de reflexión, la calidad del aprendizaje va a estar dada justamente por el movimiento de ida y vuelta entre el planteo de situaciones abier- tas, la aparición de recursos y de formas de representación, su análisis y mejoramiento, la bús- queda de dominio de los recursos, al mismo tiempo que se exploran otras situaciones que muestran la utilidad y también los límites de lo que ya se conquistó.
Utilizar los números en contextos variados
La hipótesis central de este enfoque es que resulta vano definir, componer, simbolizar los números fuera de un contexto de utilización de los números, fuera de los problemas que le dan sentido. Al contrario, es a través del uso que haga, del dominio que logre, que el alumno elabo- rará sus propias concepciones del número, no definitivas, siempre en evolución, completadas o cuestionadas con la extensión del campo numérico que conoce, con el descubrimiento de
nuevas posibilidades de utilización, con el avance en las capacidades de calcular, y… mucho más tarde, con el descubrimiento de la existencia de otras clases de números. Desde esta perspectiva, el rol del maestro no consiste en presentar los números uno por uno, sino en proponer a los niños situaciones que les permitan utilizarlos de modo que las palabras y los signos que los designan se impregnen de sentido. Estos números que los alumnos comenza- ron a utilizar pueden ser “aprovisionados” (registrados, ordenados…) buscando comprender sus escrituras con cifras, sus denominaciones orales, ciertas relaciones entre ellos, etcétera. Se plantea trabajar con un conjunto de números, de los cuales al principio los niños poseen pocos conocimientos: reconocen algunos, saben comparar unos pocos, saben recitar una serie más o menos larga; pero usándolos para resolver problemas o en los juegos, en las discusiones con sus compañeros, argumentando para defender sus ideas, adoptando recursos utilizados por ellos, en la utilización de cada nuevo aprendizaje en otras situaciones, irán adquiriendo co- nocimientos más sistemáticos y convencionales sobre ese conjunto de números. Hay, desde el punto de vista didáctico, dos funciones principales de los números que se busca poner en juego en las situaciones: el número como memoria de la cantidad y el núme- ro como recurso para anticipar.
Las situaciones propuestas para trabajar las operaciones buscan favorecer la construcción del sentido de los conocimientos por parte de los alumnos. ¿Qué significa, en particular, la construcción del sentido de las operaciones? Significa, centralmente, ser capaz de reconocer los problemas que cada operación resuel- ve. Representa un largo proceso en el que los alumnos, a raíz de enfrentar nuevos problemas, van enriqueciendo el sentido construido. Si, en un primer momento, la suma está vinculada a un aumento de cantidades, y la resta, a una disminución, después, estas operaciones se mostrarán útiles, por ejemplo, para conocer lo que se tenía antes de perder o ganar, invirtien- do en el terreno de las operaciones el sentido de la acción evocada. La evolución de los sentidos de las operaciones se hace posible a raíz de enfrentar nuevos problemas y se produce trabajando en distintos planos: en el plano de la interpretación de las situaciones; en el plano de los procedimientos que utilizan los niños, de las formulaciones y escrituras que son capaces de producir e interpretar; en el plano de las propiedades que se ponen en juego y que en algún momento serán explicitadas; en el plano de las relaciones que pueden ser establecidas entre los distintos conocimientos producidos. Todos estos aspectos son constitutivos del sentido de las operaciones y requieren ser tomados como objeto de tra- bajo en su especificidad y en sus vinculaciones. En el trabajo propuesto otorgamos mucho valor a la exploración de las situaciones por parte de los niños. Apuntamos a que traten de construir una representación personal de la si- tuación, que comprendan de qué se trata y qué hay que lograr o averiguar, aun cuando es- tén lejos de disponer de medios operatorios para resolverla. Nos referimos largamente a este aspecto al describir los diversos problemas propuestos en la línea de trabajo “Utilizar los nú- meros en contextos variados”. Pretendemos que los alumnos adquieran disposición para bus- car con qué recursos cuentan para resolver el problema, “comandados” por su comprensión de la situación. Entendemos que en esas producciones están construyendo los primeros sen- tidos de las operaciones. Dado que estamos hablando de aprendizajes en tiempos largos, sería muy conveniente que esos distintos sentidos (que se propician en la enseñanza) fueran objeto de trabajo entre los maestros de distintos años, dentro de cada ciclo y en el conjunto de la escolaridad. Esto apunta a determinar, para cada año, cuáles aspectos se están iniciando, para cuáles se bus- cará provocar una evolución firme en el terreno de los procedimientos, qué formas de escri- tura se aceptan, cuáles se presentan o, incluso, se exigen. Hay algo importante que aclarar: que se valoren las distintas aproximaciones de los alum- nos no significa proponer, a largo plazo, “que cada cual haga a su manera con tal que lo re-
suelva”. Esa formulación, que puede ser adecuada para un momento, para una etapa, no puede sostenerse a la hora de considerar el conjunto de adquisiciones que se pretende en la
escolaridad. Al contrario, entendemos que la tarea del maestro se plantea tanto a nivel de se- lección de los problemas, como de relevamiento de los procedimientos de los alumnos y de
la gestión de actividades para asegurar, en el tiempo, la evolución de los mismos y permitir la
construcción de nuevos significados. Intentamos considerar el problema de la evolución de los conocimientos al armar las progresiones que organizan el libro. Las actividades seleccio- nadas para las evaluaciones dan cuenta de las adquisiciones que creemos pueden lograrse en cada período y que desde la enseñanza hay que asegurar. Desde este punto de vista, las fichas del bloque “Operaciones” se organizan en dos líneas de trabajo:
■ el sentido de las operaciones,
■ los procedimientos de cálculo.
Como ya sucedió al definir líneas de trabajo para otros bloques, una vez más tenemos que aclarar que están íntimamente vinculadas. En particular, acabamos de afirmar que los
procedimientos de cálculo forman parte del sentido de las operaciones. La distinción apunta
a que una línea se organiza según las clases de problemas presentados y, en la otra, son los cálculos los que se toman como objeto de trabajo.
El sentido de las operaciones
Nuestro enfoque del trabajo para construir el sentido de las operaciones está completa- mente vinculado con lo que planteamos en el bloque de “Número”. Decíamos allí que se trata de “proponer a los niños situaciones que les permitan utilizar los números, de modo que las palabras y los signos que los designan se impregnen de sentido”. Entre las diversas situaciones a proponer, se pueden mencionar las siguientes:
■ Problemas ligados con desplazamientos en una pista, tabla, etc., en los cuales los núme-
ros aparecen como recurso para anticipar: “¿En qué casillero va a caer si…? ¿Cuántos tiene que sacar para alcanzar a…?”.
■ Problemas en los que interviene la reunión de dos o más colecciones, particularmente
cuando se trata de anticipar el número de elementos que se va a obtener o que hay que agre- gar a una de las colecciones para obtener otra.
■ Problemas en los que una colección se distribuye en dos subcolecciones y hay que esta-
blecer el número de elementos de una de las dos subcolecciones. “Hay … chicos, … son ne-
nas. ¿Cuántos son varones?”.
■ Problemas relativos a transformaciones de una colección: agregar, quitar, repartir, dupli-
Básicamente, son los sentidos de la suma, de la resta, de la multiplicación y de la división los que son reencontrados a lo largo del libro, en distintos contextos, con distintas presenta- ciones (gráfica, enunciados), con distintos soportes (colecciones presentes, evocadas, en pis- tas, calendario, etcétera).
Los procedimientos de cálculo
Ante un mismo problema, los niños utilizan diversos procedimientos, por ejemplo:
“En el colectivo había 8 pasajeros, subieron 4. ¿Cuántos hay ahora?”
■ Algunos niños usan los dedos o dibujan 8 marcas; luego, 4, y cuentan todo.
Otros niños sobrecuentan: 8… 9, 10, 11, 12.
■ Algunos niños usan algún recurso de cálculo, por ejemplo, 8 y 2, 10 y 2 más, 12.
■ Otros disponen del resultado memorizado: 8 + 4 = 12.
Si bien todos estos procedimientos suponen el establecimiento de relaciones pertinentes (hay que agregar 4), tienen diferencias en cuanto a sus alcances y límites. Solo los dos últimos utilizan procedimientos de cálculo. El recurso de calcular supone utilizar un modelo aritmético general, que se podrá emplear aun cuando se aumenten significativamente las cantidades. Los otros procedimientos son de conteo y se apoyan en una representación figurada de la situación evocando los objetos, o en el conteo de los objetos mismos. Resultarían muy po- co eficaces si el mismo problema se planteara con cantidades mucho más grandes. Esto nos advierte sobre los límites para anticipar, inherentes a los procedimientos de conteo. ¿Cómo favorecer en los alumnos el pasaje de un tipo de procedimiento a otro? Se trata de proponerles problemas en los que tengan que calcular aun cuando no dispongan de una solución experta. A través de la resolución de diferentes problemas, de la confrontación de diversas soluciones, de la puesta a prueba de los procedimientos con números más grandes, los alumnos podrán empezar a apropiarse de procedimientos vinculados con el cálculo. Esta transición no se hace de manera lineal, ni al mismo tiempo para todos los niños, ni de un modo definitivo para el mismo niño. No se trata de saltear los procedimientos de conteo, pues son indispensables por un tiempo para muchos alumnos y para diversos problemas. La ta- rea consiste en ayudar a los niños a superarlos y a incorporar otros procedimientos vinculados con la posibilidad de operar con los números, como así también de disponer de resultados. Hay que saber aceptar que, en cada categoría de problemas, el pasaje de la utilización de procedimientos ligados al conteo y vinculados a una representación figurativa de la situación, al reconocimiento de un modelo de resolución que implica el recurso a técnicas de cálculo expertas es frecuentemente lento, raramente definitivo para un alumno y nunca simultáneo para todos los niños. Esta observación implica muchas consecuencias:
■ Hay que aceptar, e incluso favorecer en la clase, la pluralidad de procedimientos de resolu-
ción, porque no solo anima a los alumnos a elaborar su propia solución, sino que puede ser fuente de progreso, de aprendizaje a partir de las confrontaciones que se pueden organizar en- tre ellos.
■ Hay que aceptar que, para situaciones aparentemente análogas, algunos alumnos dan la
impresión de retroceder. El aprendizaje está lleno de dudas, de retrocesos, de aparentes de- tenciones hasta que las adquisiciones se estabilizan.
■ Una exigencia precoz de formalización de soluciones (reconocimiento del cálculo a efec-
tuar y producción de la escritura matemática correspondiente) puede ser una fuente de obs- táculos para muchos alumnos que tratarán de producir la escritura matemática directamen- te a partir del enunciado, apoyándose en palabras clave, sin involucrarse en la fase esencial de tratar de comprender la situación propuesta.
■ Para favorecer el pasaje de un polo a otro, el docente deberá variar las situaciones que
propone a los alumnos (para los problemas aditivos y sustractivos el “tamaño” de los núme- ros es una variable decisiva), lo cual exigirá nuevos procedimientos y mostrará los límites o la inutilidad de los anteriores.
■ Otra herramienta fundamental es organizar los intercambios y las discusiones entre los
alumnos, así como asegurar la difusión de los “hallazgos” de los alumnos entre todos. Lle- gan momentos en que ciertos procedimientos y, particularmente, ciertas formas de escritura matemática, se “oficializan” y se convierten, en cierto modo, en procedimientos más o me- nos obligatorios y pueden empezar a ser requeridos o planteados como condición ante nue- vas actividades. Los alumnos avanzan tanto con los nuevos objetos de trabajo que se les pro- pone como con cierta exigencia de producir a partir de lo ya conquistado.
En relación con el algoritmo
Profundizar el conocimiento del sistema de numeración es necesario para comprender los algoritmos. Al respecto, queremos retomar lo señalado en la “Introducción”: la separación del bloque “Número” del de “Operaciones” responde a la intención de señalar la necesidad de realizar actividades específicas y promover reflexiones particulares, pero esto no debe ocul- tar la profunda imbricación entre los mismos. Los niños avanzan en sus posibilidades de ope- rar a raíz de sus crecientes conocimientos sobre los números, y al mismo tiempo profundizan su conocimiento sobre el sistema de numeración al poner en juego las relaciones aritméticas que subyacen al mismo. Históricamente, la enseñanza del cálculo se centró en la de los algoritmos de las cuatro operaciones, dejando por fuera la de otras modalidades de cálculo. Actualmente, se plantea que los alumnos aprendan a discernir, frente a un problema, si es necesaria una respuesta exacta o aproximada, y a elegir, en función del problema o del cál- culo en particular, mediante qué medio van a producir la respuesta. Para que esta finalidad de largo aliento sea posible, se debe promover tempranamente que los alumnos desarrollen diversas modalidades de cálculo (exacto, aproximado, mental, con papel y lápiz, con calculadora) y plantearles con frecuencia la actividad de elegir modali- dades y, eventualmente, justificar la elección.
En este bloque, se ofrece un grupo de experiencias con las cuales los niños pueden con- tinuar con el proceso de organización y estructuración del espacio que los rodea e iniciar sus primeros aprendizajes geométricos. Las fichas incluidas en el bloque se refieren a:
■ La organización del espacio (fichas 10, 40, 60, 99).
■ La representación gráfica del espacio (fichas 3, 7, 60).
■ Regularidades gráficas (fichas 26, 34, 73, 85).
■ Figuras geométricas (fichas 38, 48, 51, 79).
■ Medición (fichas 16, 32, 58, 70, 91, 95, 101).
En la mayoría de las fichas, las actividades propuestas corresponden a dos o más de es- tos aspectos, pero en este texto serán analizados separadamente.
Cuando hablamos de organización del espacio estamos hablando de conocimientos im- portantes en la vida de toda persona, pero raramente aceptados como tales en la escuela. Nos referimos a saber interpretar un plano, dibujar un croquis para proveer cierta información de ubicación a otra persona, dar instrucciones verbales para llegar a un lugar preciso o poder representar en un plano objetos o situaciones espaciales. Muchos de estos conocimientos son necesarios para abordar con éxito el aprendizaje de la Geometría, pero no son capacidades espontáneas y son dejados, en general, bajo la responsabilidad de cada uno de los niños. La escuela tiene el deber de promover su adquisición. Incluimos actividades que hacen enfrentar a los niños con situaciones que implican describir, tanto oral como gráficamente, la ubicación de objetos o personas en un lugar determinado o in- terpretar una descripción realizada. Para hacer estas descripciones es necesario establecer relacio- nes entre los objetos involucrados en la situación y elaborar y utilizar un vocabulario específico.
El vocabulario ligado al espacio es utilizado frecuentemente para ubicarnos o ubicar obje- tos o personas en la vida cotidiana. Con las actividades correspondientes se pretende, por un lado, precisar las expresiones utilizadas por los niños y, por otro, favorecer y equiparar su uso en el grupo escolar.
Representar gráficamente los objetos del espacio tridimensional en un plano de dos di- mensiones, la hoja del cuaderno, el libro o el pizarrón, y, por otra parte, interpretar una re- presentación gráfica, constituyen competencias fundamentales para el desarrollo de los niños y un instrumento importante para adquirir nuevos conocimientos, no solo en el ámbito de la Matemática. El pasaje del espacio al plano exige un trabajo específico que se plantea en distintas fi- chas. Aparecen, por un lado, actividades relacionadas con la representación de situaciones y de movimientos y, por otro, con la interpretación de tales representaciones, en particular de dibujos realizados por niños. Producir una representación gráfica implica seleccionar la información que debe represen- tarse, los objetos involucrados y las relaciones que mantienen entre ellos. Por otra parte, si se trata de comunicar una información, la consideración del receptor del mensaje exige hacerse cargo de la comprensibilidad del mensaje: ¿qué lenguaje y qué códigos usar?, ¿serán com- prensibles?, ¿entenderán lo que se quiere comunicar? La construcción de figuras utilizando la regla es una actividad poco habitual en la escue- la y, en particular, en los primeros años de escolaridad. Con frecuencia, se considera que los niños deben tener la libertad de expresarse en un dibujo sin restricciones. Las actividades se centran en otro aspecto de las representaciones gráficas, que es necesario desarrollar, de ma- nera que los niños puedan contar, más adelante, con la capacidad de reproducir con precisión una figura o realizar un croquis a escala o diseñar un objeto, maquinaria, etcétera. Seguir instrucciones para armar o manipular un aparato es una de las capacidades bási- cas necesarias para vivir en la sociedad actual.
Regularidades gráficas
Cuando hablamos de regularidades gráficas nos referimos a traslaciones de un modelo en una sola dirección, formando una línea, o en dos direcciones para cubrir el plano.
En relación con las figuras geométricas, la propuesta es para que los alumnos empiecen a identificarlas, trazarlas, describirlas, descubrir sus propiedades… Trabajarán con un conjunto de figuras básicas, las más conocidas y utilizadas, como cuadrados, triángulos, círculos y rec- tángulos. La opción de involucrar a todas estas figuras en cada actividad y no de presentarlas una por una, debería permitir que los niños establezcan distintas relaciones entre ellas, las identifiquen por sus propiedades comunes o diferentes, tomen conciencia de cuáles son las características que permiten distinguir sus representaciones gráficas…
Las unidades convencionales de medición, como el metro y el centímetro, están muy pre- sentes en la vida de los niños, sobre todo en la escuela. Los niños poseen numerosos conocimientos sobre medición, adquiridos en el contacto con las actividades propias de su edad, que les permiten enfrentarse con problemas e imagi-
nar procedimientos o diversos intentos para resolverlos. En algunos casos, habrá que deter- minar si hay que medir o no; en otros, seleccionar la unidad de medida (convencional o no) y, en otros casos, determinar si se requiere una medida exacta o aproximada.
En la vida cotidiana, tratamos constantemente informaciones muy diversas y, para ello, usamos conocimientos, habilidades, etc., que no son patrimonio exclusivo de la Matemática. Pero el tratamiento de la información también está involucrado en la actividad matemática y resulta conveniente, sobre todo en los primeros acercamientos de los alumnos al aprendizaje sistemático, proponer situaciones que enfoquen aspectos particulares de dicha actividad. Formular preguntas a partir de distintos contextos, distinguir cuáles pueden ser respondi- das utilizando herramientas matemáticas y cuáles, no; identificar fuentes de información; leer un gráfico, un anuncio, una tabla; organizar, recolectar, seleccionar y comunicar información, etc., son algunos de los aspectos de la actividad matemática, que pueden ser objeto de pro- puestas específicas de enseñanza. En este bloque, las propuestas se organizan en las siguientes líneas de trabajo:
■ Representación gráfica de situaciones.
■ Identificación de elementos a partir de sus características.
■ Extracción de información presente en diversos portadores.
Representación gráfica de situaciones
Tanto la interpretación como la representación de situaciones utilizando diversos recursos como gráficos, tablas, etc., facilita la extracción y el tratamiento de la información. Para resolver un problema, uno de las aspectos más importantes es poder representar, es decir, poder imaginar la situación, mentalmente o en forma gráfica, identificando los perso- najes o elementos que intervienen y la “historia” que cuenta. Si bien, a cierta altura, se pretende que los alumnos logren resolver un problema a nivel matemático sin necesidad de graficar la situación, este es un paso importante para lograrlo.
Identificación de elementos a partir de sus características
Hubo un momento, en la enseñanza de la Matemática, que se difundieron múltiples pro- posiciones para estimular el desarrollo del pensamiento lógico en los niños. Entre ellas, los juegos propuestos por Z. Dienes (Bloques lógicos, Trimat, Cuadrimat, etcétera). Aunque dichas propuestas fueron objeto de revisiones e incluso de cuestionamientos, eso no debería conducir a la creencia de que los niños no necesitan trabajar sobre aspectos lógi- cos o que la escuela no tenga nada que ofrecer. En la serie Hacer Matemática incluimos actividades vinculables a estos aspectos, asumien- do que los avances de los niños en este terreno no se generalizan de modo inmediato y que las actividades no provocan por sí solas cambios estructurales. Como en otros terrenos de la actividad matemática, los alumnos avanzan de modo com- plejo, no lineal, producen en contextos determinados y las descontextualizaciones son relati- vas, pasan por períodos largos de relativa detención y en otros se producen profundas rees- tructuraciones que modifican claramente sus desempeños. Si bien, hasta cierto punto, estos avances son producto del desarrollo de los niños, hay al- gunos aspectos que pueden ser objeto de propuestas específicas.
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