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Timestamp: 2019-10-21 05:18:08+00:00

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Dynamique des structures (Techniques d'analyse et d'essai)
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Techniques d’analyse et d’essai
Expert technique de la division Études et Recherche d’INTESPACE
Professeur vacataire à l’École nationale supérieure de l’aéronautique et de l’espace
et à l’École nationale supérieure d’ingénieurs de constructions aéronautiques
Généralités sur les techniques d’analyse..........................................
Problème et solutions .................................................................................
Techniques d’analyse ..................................................................................
B 5 150 - 2
Analyse dynamique des systèmes ......................................................
Système à un degré de liberté....................................................................
Systèmes à N degrés de liberté..................................................................
Approche modale ........................................................................................
Systèmes continus ......................................................................................
Sous-structuration .......................................................................................
Conclusions sur l’analyse ...........................................................................
Techniques expérimentales...................................................................
Généralités ...................................................................................................
Identification par essai modal ....................................................................
Simulation par générateurs de vibrations.................................................
es structures se rencontrent dans tous les domaines : ce sont elles qui
assurent une fonction de support pour des objets de toutes natures. Ainsi,
un mât, un pont, un bâtiment, une caisse de voiture, un fuselage d’avion..., sont
des structures plus ou moins complexes, dont la première mission est de résister
Si l’environnement est statique, c’est-à-dire ne dépendant pas du temps,
comme la gravité ou une pression constante, il s’agit de vérifier que les
contraintes restent dans les limites admissibles par les matériaux.
Si l’environnement dépend du temps, il faut d’abord étudier le mouvement
qui en résulte. Ce comportement dynamique peut, par amplification, donner
lieu à des niveaux bien supérieurs à ceux du comportement statique. Il importe
donc de maîtriser la prévision de ces phénomènes pour comprendre, remédier,
optimiser : c’est l’objet de la dynamique des structures.
La prévision peut reposer sur deux types d’activités : l’analyse et l’expérimentation. Négliger l’un au profit de l’autre est dangereux : l’analyse seule n’est pas
suffisamment fiable, l’expérimentation seule ne donne pas une vue complète
de la situation. Aussi, ces deux mondes doivent-ils être parfaitement imbriqués
dans le développement d’une structure.
Cet article est une introduction aux techniques d’analyse et d’essai en dynamique des structures. Des généralités sur les techniques d’analyse seront d’abord
présentées pour poser le problème et parler de sa résolution. La formulation
est ensuite développée, tout en restant limitée au profit des résultats pratiques
et en insistant sur la compréhension physique des phénomènes. Enfin, les techniques expérimentales sont abordées, en relation avec l’analyse.
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Pour plus de détails, on se reportera aux références bibliographiques donnant quelques
ouvrages ou publications de base et, notamment, à la référence [19] qui donne une vue
d’ensemble sur le sujet.
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DYNAMIQUE DES STRUCTURES ___________________________________________________________________________________________________________
1.1 Problème et solutions
amortissement visqueux, combinaison linéaire
flexibilité (déplacement/force)
fonction de transfert, facteur d’amplification
identité, inertie
raideur (force/déplacement)
facteur de participation modale, longueur
masse (force/accélération)
amplification à résonance : Q = 1/(2 ζ )
déplacement modal
densité spectrale de puissance (DSP), section
transmissibilité (déplacement/déplacement, ...)
coordonnée (position)
amortissement visqueux réduit
amortissement structural
coefficient de cisaillement
mode de jonction
pulsation : ω = 2 π f
1. Généralités sur les techniques
1.1.1 Structure et conditions aux limites
On considère une structure soumise à un environnement dynamique donné. Des forces de diverses natures (volumiques, surfaciques, ponctuelles) s’appliquent sur elle et provoquent un
mouvement que l’on peut décrire par des déplacements, des vitesses
ou des accélérations en tous ses points. La notion d’appui, ou de
condition aux limites, est souvent réservée aux parties de la structure
où le mouvement est bloqué (déplacements correspondants imposés nuls). Elle peut être généralisée à un mouvement imposé
quelconque. Ainsi, toute structure peut être décomposée en deux
parties exclusives, comme schématisé figure 1 :
— une partie où des forces sont imposées (éventuellement
nulles) : ce sont les forces d’excitation. Le mouvement de cette partie
est alors une réponse. On qualifiera par la suite cette partie d’interne
et on lui affectera l’indice mnémotechnique i ;
— une partie où le mouvement est imposé (éventuellement nul) :
ce sont les conditions aux limites (éventuellement absentes). Les
forces de réaction correspondantes sont alors des réponses. On qualifiera par la suite cette partie de jonction (ou liaison, ou interface)
pour lui affecter l’indice mnémotechnique j.
Cette décomposition naturelle, d’une grande généralité, va
influer sur les développements qui suivent de manière fondamentale.
Exemple d’un pylône
La jonction j sera constituée de tous les points d’ancrage au sol, la
partie interne i de tout le reste. Des forces, par exemple dues au vent,
éventuellement nulles par endroits, pourront être imposées sur la partie
interne. Un mouvement, par exemple dû à un tremblement de terre,
pourra être imposé sur la jonction. Sous l’action, éventuellement simultanée, de ces deux sollicitations, la partie interne répondra par un mouvement et la jonction par des forces de réaction.
1.1.2 Structure et discrétisation
jonction (appui)
relation linéaire (multi-ddl)
rigide (jonction isostatique)
sélection, secondaire
excitation, réponse
Toute structure réelle est continue au départ. Quelle que soit la
nature de l’excitation et de la réponse, les équations qui régissent
le mouvement sont des équations aux dérivées partielles. La difficulté de les résoudre analytiquement dans le cas de structures
complexes incite à discrétiser ces dernières, par exemple par la
méthode des éléments finis. Dans ce cas, les équations deviennent
matricielles, la taille des matrices dépendant directement de la discrétisation considérée.
Un cas intermédiaire est celui d’une structure continue avec des
excitations (en force ou en mouvement) discrètes. Les équations
restent aux dérivées partielles, mais les résultats peuvent se mettre
∂ ⁄ ∂t
Figure 1 – Structure et conditions aux limites
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Par la suite, on se place toujours dans le cas d’excitations
discrètes ou discrétisées. De plus, sauf avis contraire, on considère
des structures discrétisées. L’état de la structure est alors défini par
un nombre fini de paramètres que l’on appelle degrés de liberté
(en abrégé ddl) et sur lesquels on rapporte les excitations comme
les réponses. Une approche continue peut être faite sur les mêmes
bases, mais n’est pas développée ici, son application pratique
restant limitée : seuls des cas particuliers simples sont abordés au
paragraphe 2.4 pour servir de référence.
1.1.3 Domaine temporel et domaine fréquentiel
L’analyse du comportement dynamique d’une structure soumise
à une excitation quelconque peut, d’une manière générale, être effectuée en restant dans le domaine temporel. Ainsi, si l’on considère
une excitation fonction du temps x (t ), la réponse structurale y (t )
sera, sous réserve de linéarité, donnée par la relation (intégrale dite
de Duhamel) :
où hyx (t )
est la réponse y à une excitation x sous forme d’impulsion unité.
Cette relation (1) s’interprète en disant que le résultat est la superposition des réponses à l’excitation décomposée en impulsions.
Cette approche nécessite donc le calcul d’une intégrale.
Une autre solution consiste à passer dans le domaine des fréquences f (ou des pulsations ω = 2 πf ), ce qui conduit à des opérations différentes et permet des interprétations complémentaires.
Cela peut être fait grâce à la transformée de Fourier qui, par sa réversibilité, permet une bonne communication entre les deux domaines,
à certaines réserves près (cf. ouvrages de base sur le traitement du
signal) :
–i ω t
dt ⇔ x ( t ) = ------2π
X (ω )e
matrice de fonctions de transferts entre le vecteur des excitations
X et le vecteur des réponses Y. Ce formalisme nécessite l’emploi
de notations appropriées pour développer efficacement la
formulation : elles sont introduites au paragraphe 1.2.1.
1.1.4 Basses fréquences et hautes fréquences
Plus les fréquences d’excitation sont élevées, plus les longueurs
d’onde sont faibles et plus les formes engendrées par les réponses
sont complexes. Les méthodes de discrétisation habituelles
s’essoufflent, soit par le volume de calcul engendré, soit par les
erreurs dues à une perte d’information. Le seuil au-delà duquel leur
efficacité devient médiocre délimite le domaine des basses fréquences : c’est celui où l’on sait caractériser économiquement le
comportement dynamique des structures et calculer ainsi de
manière convenable leurs réponses à une excitation de nature
On verra plus loin que la caractérisation dynamique d’une structure peut être faite en introduisant la notion de mode propre, qui
est une forme associée à une fréquence. La basse fréquence est
alors le domaine qui n’implique qu’un nombre limité de modes
propres. Ce domaine dépend donc essentiellement de la structure
En haute fréquence, le mode propre devient une caractéristique
trop volumineuse, et l’on doit faire appel à des notions plus globales
comme la densité modale. En fait, ces méthodes sont surtout utilisées pour des sollicitations acoustiques, domaine où la formulation
est difficile [13]. La plus connue est celle de l’analyse énergétique
statistique (Statistical Energy Analysis : SEA). Ces problèmes ne sont
pas abordés ici.
1.1.5 Différents types de mouvements
Dans le domaine fréquentiel, l’excitation la plus simple est
l’excitation sinusoïdale de fréquence f = ω /2 π, de type
x (t ) = X max sin (ωt + ϕ ). En utilisant le formalisme complexe, elle se
note x (t ) = X eiω t, X pouvant être complexe, son amplitude étant
l’amplitude du mouvement et sa phase étant le déphasage à t = 0.
La première relation exprime la décomposition de la fonction du
temps en fonctions sinusoïdales et la deuxième reconstitue cette
même fonction à partir de ces fonctions sinusoïdales. X (ω ) est une
fonction complexe, avec partie réelle et partie imaginaire, ou amplitude et phase.
La réponse d’une structure linéaire est une fonction sinusoïdale
de même fréquence y (t ) = Y eiω t, Y étant donnée par :
Dans le domaine des fréquences, l’équivalent de la relation (1)
Dans le cas d’une excitation périodique, donc décomposable en
un nombre fini de fonctions sinusoïdales, on peut appliquer la
relation (4) à chaque harmonique et reconstituer ensuite le signal
Une excitation x (t ) qui ne dure qu’un temps limité sera qualifiée
de transitoire. Dans ce cas, suivant la stratégie préconisée au
paragraphe 1.1.3, on peut encore utiliser la relation (3) grâce à la
transformée de Fourier (TF) :
où H yx (ω ) est la réponse y à une excitation x sous forme de
sinusoïde de pulsation ω.
C’est une fonction complexe de la fréquence, dite fonction de
transfert, dont l’amplitude traduit l’amplification du mouvement et
la phase le déphasage entre excitation et réponse à la fréquence
considérée. C’est en fait la transformée de Fourier de h yx (t ), ce qui
justifie sa notation.
La relation (3) fait intervenir un simple produit, au lieu d’une intégrale dans (1), la liaison avec le domaine temporel étant assurée par
transformée de Fourier. C’est cette approche qui sera adoptée par
la suite, avec une présentation centrée sur l’utilisation des fonctions
Dans le cas de plusieurs excitations et/ou de plusieurs réponses,
la relation (3) peut se généraliser, toujours sous réserve de linéarité,
avec l’emploi du formalisme matriciel. H yx représente alors une
Y = Hyx (ω ) X
conséquence directe de la relation (3).
Y (ω) = H y x (ω) X (ω)
TF –1
y ( t ) (5)
Si l’excitation est une superposition de deux fonctions sinusoïdales :
x (t ) = x 1 sin (ω 1 t + ϕ x 1) + x 2 sin (ω 2 t + ϕx 2)
la transformée de Fourier va extraire ces deux fonctions ( ω 1 , x 1 ,
ϕ x 1) et (ω 2 , x 2 , ϕ x 2), la relation (3) va calculer les deux réponses
sinusoïdales correspondantes avec les amplitudes y 1 = |H (ω1)| x 1 et
y 2 = |H (ω 2)| x 2 et les phases ϕ y1 = ϕ x 1 + ϕ [H (ω1)] et
ϕ y 2 = ϕ x 2 + ϕ [ H ( ω 2 )], et la transformée inverse restituera
y (t ) = y 1 sin(ω1 t + ϕ y 1) + y 2 sin(ω 2 t + ϕ y 2).
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En fait, toute excitation réelle a un début et une fin et est donc
transitoire. Si sa durée est brève, on parle plutôt de choc, mais cette
stratégie reste applicable. Si, au contraire, sa durée est longue, sans
être périodique, on parle d’excitation aléatoire [4] [7]. Dans le cas
d’un mouvement quasi stationnaire (ne dépendant pas du temps)
et ergodique (non répétitif dans ses réalisations), l’excitation se
caractérise dans le domaine fréquentiel par sa DSP (densité spectrale
de puissance), ou autospectre, Sxx (ω ), que l’on peut définir comme
la moyenne quadratique de x (t ) en fonction de la fréquence. Plusieurs excitations simultanées seront caractérisées par leur matrice
d’auto et interspectres Sxx [moyenne des produits x i (t ) x j (t )] et les
réponses y seront données par :
S yy ( ω ) = H *
yx ( ω ) S xx ( ω ) H xy ( ω )
yx = H yx conjugué,
H xy = H yx transposé.
Ces notations matricielles sont explicitées plus loin.
On retiendra que, quelle que soit la nature du mouvement, les
réponses dans le domaine des fréquences se déduisent des excitations par de simples produits matriciels faisant intervenir les fonctions de transfert.
1.1.6 Fonctions de transfert
Introduite au paragraphe 1.1.3, la fonction de transfert est donc
le rapport dans le domaine fréquentiel entre une excitation et une
réponse. À noter que ce n’est pas, comme on pourrait l’envisager
dans certaines circonstances, un rapport entre deux réponses, ce qui
engendrerait des erreurs dans l’utilisation des développements qui
Suite aux considérations du paragraphe 1.1.1, les excitations,
comme les réponses, sont de type force ou de type mouvement. Ce
dernier peut être défini en termes de déplacements u, vitesses u̇
ou accélérations ü, et la forme u (ω ) eiω t dans le domaine fréquentiel
implique les relations :
ü = i ω u̇ = – ω u
leur utilisation étant strictement équivalente.
Par la suite, on considère principalement les déplacements.
Suivant le type d’excitation et de réponse considérées, on obtient
les fonctions de transfert du tableau 1, les dénominations indiquées
étant les plus courantes (éventuellement suivies du qualificatif
dynamique ).
Tableau 1 – Fonctions de transfert
Flexibilité (1) G
1.2 Techniques d’analyse
Afin de développer efficacement la formulation impliquant un certain formalisme matriciel, on utilise par la suite des notations où les
indices vont jouer un grand rôle : mnémotechnique d’abord (dans
la mesure du possible), évitant ensuite la multiplicité des notations
pour les matrices, et enfin garants de la cohérence des produits
matriciels par enchaînement des indices.
Par convention, X ij désigne une matrice de dimension (n, p )
dont les lignes sont relatives aux n ddl i et les colonnes aux p ddl j
(sauf indication contraire). Cela implique la relation X ji = X Tij , et
le fait que X ii soit symétrique, ce qui est licite dans le présent
contexte grâce au principe de réciprocité valable en mécanique
(en excluant les structures en rotation).
Toujours par convention, un indice souligné a une valeur
fixée : ainsi, X i j désigne la ligne i de X ij .
— les excitations en forces F i et en déplacements u j d’une part ;
— les réponses en déplacements u i et en forces de réaction F j
peuvent alors s’écrire dans le domaine fréquentiel :
Cette relation fait ainsi apparaître les matrices de flexibilité G ii et
de raideur K jj (symétriques par réciprocité), ainsi que les matrices
de transmissibilité en déplacements T i j et en forces T j i (avec
T ji = T Tij par réciprocité), le signe (–) pour les forces venant du fait
que l’on considère ici les réactions, opposées aux forces transmises.
On voit ici la pertinence de la convention sur les indices.
Avec l’exemple du pylône cité au (§ 1.1.1), les forces F i seront celles
créées par le vent sur les ddl i, certaines composantes pouvant être
nulles, les déplacements u j seront ceux engendrés par le tremblement
de terre aux points d’ancrage, certains pouvant être nuls. Les réponses
en déplacements internes u i et réactions F j seront obtenues par superposition des effets des deux sollicitations, comme indiqué par la
relation (8), à partir des fonctions de transfert caractéristiques du
iω G
Accélérance
– ω2 G
On va maintenant déterminer ces fonctions de transfert en fonction
des propriétés physiques de la structure considérée, pour en déduire
ses réponses à des excitations de nature quelconque (cf. § 1.1.5).
Les principales notations utilisées par la suite sont récapitulées
dans le tableau Notations et symboles placé en tête de cet article.
1.2.2 Système à un degré de liberté et modes propres
Raideur (1)
– ω2 T
K/i ω
T/i ω
M = K/(– ω 2)
T/(– ω 2)
Le système le plus simple à analyser est le système à un degré
de liberté (1 ddl) c’est-à-dire un système dont l’état est défini par un
seul paramètre. Sa représentation classique est celle de la figure 2,
le paramètre en question étant la position de la masse par rapport
à la position de repos. Il est composé de :
— une masse de valeur m, conférant au système une énergie
(1) Terme utilisé dans cet article.
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— un ressort de raideur k, conférant au système une énergie
— un amortisseur de constante c, permettant au système de dissiper de l’énergie.
Ce ddl est de type i (interne). Suite aux considérations du
paragraphe 1.1.1, on peut lui adjoindre un ddl de type j (jonction)
représentant le mouvement imposé à la base. On a alors, comme
indiqué sur la figure 2, toutes les excitations et réponses possibles
de l’équation (8) où chaque terme est ici un scalaire (i et j de
taille 1). La résolution des équations du mouvement, exposée plus
loin, permet de déterminer sans difficulté les 3 fonctions de transfert impliquées : flexibilité, raideur et transmissibilité.
Non seulement le système à 1 ddl est le système le plus simple,
mais on verra par la suite que tout système, aussi complexe soit-il,
peut se ramener à une collection de systèmes à 1 ddl mis en parallèle,
comme schématisé sur la figure 3. Chacun de ces systèmes représente en fait un mode propre de la structure considérée, dont la
notion a déjà été évoquée au paragraphe 1.1.4. Les fonctions de
transfert de l’équation (8) sont alors obtenues en sommant les contributions de chaque mode k (indice k fixé) : c’est la technique dite de
superposition modale :
u i (ω )
F j (ω )
G ii,
– T ji,
modes k
T ij,
K jj,
(ω ) u j (ω )
F i (ω )
À chaque étape, correspond une technique de sous-structuration, c’est-à-dire de calcul d’une structure à partir de ses sousstructures :
— à partir des matrices des sous-structures, on obtient les
matrices de la structure par assemblage matriciel ;
— à partir des modes des sous-structures, on obtient les modes
de la structure par manipulation adéquate : c’est ce qui est appelé
la synthèse modale ;
— à partir des fonctions de transfert des sous-structures, on
obtient les fonctions de transfert de la structure par manipulation
adéquate : c’est ce qui est parfois appelé le couplage impédanciel.
Figure 2 – Système à un degré de liberté
Le système à 1 ddl est donc la clé de voûte de l’analyse : la
connaissance de son comportement permet de déterminer celui de
toute structure, continue ou discrétisée. Une structure discrétisée à
N ddl comportera N modes, une structure continue une infinité.
Cependant, en basse fréquence, seuls les premiers seront contributifs, en gros ceux dont la fréquence associée se situe dans la
bande d’excitation : la somme de l’équation (9) ne concernera que
ceux-ci, les autres pouvant être globalement représentés par un
terme résiduel (opération de troncature modale).
Ces modes propres s’obtiennent en résolvant les équations du
mouvement sans excitation, ce qui revient à un problème aux valeurs
propres : les valeurs propres fournissent les fréquences propres, et
les vecteurs propres les formes associées. Dans la mesure où les
modes contributifs sont peu nombreux, l’effort à consentir pour les
calculer sera largement compensé par le gain relatif au calcul des
réponses par l’équation (9) : là réside l’efficacité de cette technique
par rapport à une intégration directe des équations, toujours
Signalons enfin une autre utilisation du système à 1 ddl : il
constitue un système de référence pour une caractérisation des
excitations par spectres de réponse.
Un spectre de réponse se définit comme une certaine réponse
d’un système à 1 ddl à l’excitation considérée en fonction de sa
fréquence propre, d’où la notion de spectre de choc ou de réponse
aléatoire que l’on introduira plus loin.
Figure 3 – Système complexe
La même démarche est utilisée pour définir le dommage par
fatigue d’une excitation.
1.2.3 Analyse et essais
L’analyse par superposition modale se fait schématiquement en
trois étapes, comme indiqué sur la figure 4 :
— constitution de matrices représentant les propriétés de masse,
raideur et amortissement de la structure discrétisée ;
— recherche des modes propres par résolution d’un problème
aux valeurs propres ;
— détermination des fonctions de transfert par superposition
Figure 4 – Analyse et essais
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En ce qui concerne les essais, les étapes se font en sens inverse :
— détermination des fonctions de transfert par mesure des excitations et des réponses de la structure ;
— recherche des modes propres par identification des fonctions
de transfert (d’autres techniques sont possibles, cf. § 3.2) ;
— restitution éventuelle de matrices expérimentales.
Lorsque les excitations en force F i et en déplacement u j sont
séparées, la première se réduit aux équations suivantes :
mü i + cu˙ i + ku i = F i
• F i seul :
La comparaison entre analyse et essais pour recaler les modèles
mathématiques peut se faire à tous les niveaux, mais le plus intéressant est celui des modes propres, de par la valeur de l’information qu’ils représentent. Ces considérations seront reprises au
La relation (14) est la classique équation du mouvement du système limité au ddl i. La relation (15), correspondant au système
excité par sa base, montre que ce cas est équivalent au cas précédent,
u i étant remplacé par le déplacement relatif (u i – u j) et F i par la force
d’inertie (– mü j).
• u j seul :
m ( ü i – ü j ) + c ( u˙ i – u˙ j ) + k ( u i – u j ) = – mü j
2.1.2 Résolution des équations
2. Analyse dynamique
Ce paragraphe développe les notions d’analyse dynamique
présentées précédemment, avec le formalisme introduit au paragraphe 1.2.1.
La résolution de l’équation (13) dans le domaine des fréquences, c’est-à-dire pour des forces et des déplacements de la
forme X ei ω t, se fait schématiquement de la manière suivante : on
considère d’abord la première équation à la seule inconnue u i ,
dont le premier membre est celui de l’équation (14) et qui devient
(– ω 2 m + i ω c + k ) u i ( ω ), d’où la solution u i , que l’on reporte
ensuite dans la deuxième équation pour en déduire F j . On aboutit alors au résultat suivant :
2.1 Système à un degré de liberté
Le système à un degré de liberté est analysé en détail dans divers
ouvrages de base [3] [11] [17] [18]. On ne retiendra ici que les résultats utiles à la suite de l’article.
Gii (ω )
T ij (ω )
K jj (ω )
H 1 (ω )
2.1.1 Équations du mouvement et résolution
T 1 (ω )
T = --- m u˙ i = --2
u˙ i u˙ j
0 u˙ j
T ij ( ω ) F i ( ω )
K jj ( ω ) u j ( ω )
= H 1 ( ω ) ---- ,
= T 1 (ω ) = T ji (ω ),
= T 1 (ω ) (– m ω 2) ou encore M jj (ω ) = T 1 (ω ) m,
= ------------------------------------------------------------- facteur d’amplification
1 – -------- + i 2 ζ 1 -------ω1
1 + i 2 ζ 1 -------ω1
= ------------------------------------------------------------- facteur de transmissibilité
= 2 π f 1 = ------- pulsation propre du système non
= ---------------------- amortissement réduit (fraction, que l’on
supposera petite, de l’amortissement critique, à partir
duquel le mouvement libre n’est plus oscillant).
Les fonctions de transfert G ii , T ij et M jj résultent ainsi du produit
— un terme indépendant de la fréquence et de même dimension
que le transfert considéré : 1/k pour G, 1 pour T, m pour M, que l’on
peut qualifier de statique puisqu’il correspond à ω = 0 ;
— un terme sans dimension dépendant de la fréquence, H1 (ω )
ou T 1 (ω ) suivant le transfert (l’indice 1 signifie mode propre k = 1
du système, unique ici, cf. § 1.2.2).
Les deux fonctions H 1 (ω ) et T 1 (ω ), très semblables en dehors des
hautes fréquences, sont tracées sur la figure 5 en amplitude/phase.
■ énergie élastique :
U = --- k ( u i – u j ) = --2
u iu j
k –k
■ énergie dissipée :
D = --- c u˙ i – u˙ j = --- u˙ i u˙ j
Les équations du mouvement peuvent s’en déduire en appliquant
les principes énergétiques fondamentaux de la mécanique, pour
trouver l’expression suivante qui traduit tout simplement l’équilibre
des forces pour chaque ddl :
m 0 üi + c – c
0 0 üj
+ k –k
Forces : d ′ inertie de dissipation
élastiques extérieures
Si l’on scinde la relation (13) en 2 équations, la première permet
de résoudre u i , alors que la deuxième restitue F j à partir de u i .
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G ii ( ω )
– T ji ( ω )
Les énergies mises en jeu par le système à 1 ddl de la figure 2
■ énergie cinétique :
■ L’amplitude représente l’amplification du mouvement due aux
phénomènes dynamiques.
● Elle est voisine de 1 aux fréquences petites devant la fréquence
propre f 1 du système : le comportement est quasi statique.
● Elle est grande devant 1 au voisinage de f 1 où l’on dit que le système est en résonance. Le maximum est atteint pour f ≈ f 1 et vaut
approximativement Q1 = 1/(2 ζ1). Les structures faiblement amorties,
cas habituel en l’absence de dispositif spécifique, ont typiquement
où h 1 (t ) est la transformée inverse de Fourier de H1 (ω ), c’est-à-dire :
–ζ1 ω1 t
sin ω 1
h 1 ( t ) = --------------------- e
1 – ζ1
1 – ζ 21 t
qui représente la fonction sinusoïdale amortie résultant de la réponse
impulsionnelle du système à une excitation F i (cf. § 1.1.3).
Dans le cas d’une excitation aléatoire dans la bande de fréquence
[f min, f max], la relation (6) remplace la relation (5) pour donner la DSP
de la réponse connaissant celle de l’excitation. La moyenne quadratique y 2 de la réponse s’en déduit par intégration sur la bande
S yy ( f ) df =
H yx S xx ( f ) df
Dans le cas d’une DSP d’excitation S xx (f ) variant peu avec la fréquence, en particulier au voisinage de la fréquence propre f 1 , et avec
f min f 1 f max ∞ , on aboutit aux résultats suivants :
H 1 ( f ) df
-------------------SF i ( f 1 )
T 1 ( f ) df
≈ --π2
m üi
– -------------------S Fi ( f 1 )
-------------------Su j ( f 1 )
m Su j ( f 1 )
≈ ---2
f 1 Q1
2.1.4 Spectres de réponse
Figure 5 – Facteurs d’amplification et de transmissibilité dynamiques
des Q de 5 à 50 suivant la nature des matériaux et des liaisons. C’est
dans cette amplification importante qui peut engendrer de grands
déplacements ou forces, donc de fortes contraintes, que réside le
danger du comportement dynamique.
● Elle s’atténue aux hautes fréquences, en 1/ω pour H1 (ω ), en
1/ω 2 puis 1/ω pour T 1 (ω ). On a là le principe de la suspension : l’excitation est filtrée par ce dispositif lorsque sa fréquence est suffisamment grande devant la fréquence propre du système.
■ La phase représente le déphasage entre excitation et réponse
(toujours négative ici : la réponse suit l’excitation) ; elle est :
— de 0 aux fréquences petites devant f 1 (excitation et réponse en
phase) ;
— de π/2 à la résonance (excitation et réponse en quadrature) ;
— de π au-delà (excitation et réponse en opposition de phase).
2.1.3 Réponses
Les résultats précédents permettent de déterminer directement
les réponses y (t ) = Y ei ω t à une excitation sinusoïdale x (t ) =X ei ω t,
connaissant sa fréquence f = ω /2π, son amplitude |X | et sa phase
ϕ (X ), d’après la relation (4), H yx (ω ) étant donné par la relation (16).
Dans le cas d’une excitation transitoire, les relations (1), (2), (3),
(4), (5), (14), (15) et (16) permettent de déterminer les réponses après
passage dans le domaine temporel. On peut écrire, par exemple :
u i ( t ) = --k
F ( τ ) – mü j ( τ ) h 1 ( t – τ ) d τ + u j ( t )
Comme signalé précédemment, le spectre de réponse pour une
excitation donnée est une certaine réponse d’un système à 1 ddl en
fonction de sa fréquence propre. En fait, un deuxième paramètre
intervient nécessairement, l’amortissement, qu’il faut donc préciser
pour définir complètement le spectre, par exemple ζ1 = 5 % (Q1 = 10).
Le plus souvent, l’excitation et la réponse considérées sont des mouvements.
Ainsi, pour une excitation transitoire u j (t ), le spectre de réponse
extrême, souvent appelé spectre de choc, est la réponse maximale
de u i (t ) en fonction de la fréquence propre f 1 , pour un amortissement donné ζ1 . On obtient diverses variantes de spectres suivant
la réponse considérée :
— déplacement u i (t ), vitesse u̇ i ( t ) ou accélération ü i (t ) ;
— réponse absolue u i (t ) ou relative u i (t ) – u j (t ) ;
— partie positive (spectre positif) ou négative (spectre négatif) ;
— réponse pendant le choc (spectre primaire) ou après le choc
(spectre résiduel).
On s’intéresse le plus souvent au spectre de déplacement relatif
qui renseigne sur les contraintes maximales (certains réservent
l’appellation spectre de réponse extrême au spectre de déplacement
relatif multiplié par ω 2 pour le rendre homogène à une accélération)
ou au spectre d’accélération absolue qui renseigne sur les efforts
maximaux. La figure 6 donne l’exemple du spectre d’accélération
absolue d’un choc en forme de demi-sinus.
Le fait de ne retenir de la réponse qu’une amplitude implique une
perte d’information, ce qui rend la transformation non réversible,
contrairement à la transformée de Fourier : on ne peut pas restituer
l’excitation à partir de son spectre de choc et il existe une infinité
d’excitations correspondant à un spectre donné.
En contrepartie, l’excitation est ici caractérisée par une réponse
physique aisément interprétable et exploitable pour un dimensionnement (on verra § 2.3.5 la manière d’utiliser cette information pour
une structure quelconque). C’est aussi un critère pour comparer deux
excitations ou pour déterminer une excitation enveloppe par enveloppe des spectres de choc.
B 5 150 − 7
■ Cette notion n’est applicable qu’en régime harmonique où
u̇ = i ω u , donc dans le domaine fréquentiel. Le retour au domaine
temporel pose problème.
■ Si l’on associe la force de dissipation à la force élastique, il vient :
F élastique + F dissipée = k (1 + i η1)u
qui introduit la notion de raideur complexe k (1 + i η1), à rapprocher
de la notion de module complexe d’un matériau E (1 + iη), η facteur
de perte que l’on peut mettre sous la forme η = tan δ, δ angle de
perte traduisant le déphasage entre contraintes et déformations.
■ Le rapport entre l’énergie dissipée par cycle et l’énergie élastique
maximale vaut 2 π η1 , ce qui donne un moyen de déterminer η1 .
Si l’on compare les deux représentations, on a l’équivalence
(k η1) ⇔ (ω c), c’est-à-dire η1 ⇔ 2 ζ1 ω /ω1 que l’on peut utiliser dans
les expressions de H 1 (ω ) et T 1 (ω ) des formules (16) pour remplacer
l’amortissement visqueux par l’amortissement structural. Ainsi, là
où le rôle de l’amortissement est important, c’est-à-dire au voisinage
de la résonance ω = ω1 , η est équivalent à 2 ζ.
D’autres représentations de l’amortissement peuvent être envisagées, mais au détriment de la linéarité. Pour une analyse dynamique classique, on préférera en général se ramener à un
amortissement visqueux équivalent qui produit la même énergie dissipée par cycle.
Figure 6 – Spectre de choc
2.2 Systèmes à N degrés de liberté
La même notion peut se transposer à une excitation aléatoire, en
considérant par exemple la réponse efficace (racine carrée de la
moyenne quadratique) de u i (t ) au lieu de la réponse maximale. On
peut aussi retrouver la notion de spectre de réponse extrême en
considérant la réponse maximale en moyenne pour une durée
donnée, ce qui permet de comparer une excitation aléatoire et une
excitation transitoire, et plus généralement deux excitations de
nature quelconque, du point de vue de la réponse maximale.
fatigue d’une excitation. La réponse maximale de u i (t ) est remplacée
par la notion de dommage, basée sur la courbe d’endurance du matériau impliqué et sur la loi de Miner qui permet de cumuler les effets
des cycles de contrainte de niveau donné. Le spectre de réponse
extrême et le spectre de dommage par fatigue sont les deux caractéristiques usuelles qui permettent d’évaluer la sévérité d’un environnement donné. Ces aspects ne sont pas développés ici.
2.2.1 Équations du mouvement
et techniques de résolution
On considère une structure dont l’état est défini par un certain
nombre de ddl internes i et de jonction j. En généralisant ce qui a
été dit au paragraphe 2.1.1 pour le système à 1 ddl, les énergies
mises en jeu par un système à N ddl s’écrivent :
C ii C ij u˙ i
■ énergie cinétique : D = ----- u˙ T u˙ T
C jj u˙
U = ----- u T
D = ----- u˙ T
K ij u i
K jj u j
C ij u˙ i
C jj u˙ j
2.1.5 Amortissement : rôle, représentations
On a vu, à la suite des équations (16), le rôle de l’amortissement
représenté par le coefficient ζ1 : c’est lui qui limite l’amplification à
la résonance à la valeur Q1 = 1/(2ζ1) approximativement. Par contre,
loin de la résonance, son effet est faible dans la mesure où il reste
petit devant 1.
Ce coefficient ζ1 sans dimension provient de l’introduction du
coefficient c dans l’expression de l’énergie de dissipation de
l’équation (12), qui correspond à une force de dissipation de type
visqueux, c’est-à-dire proportionnelle à la vitesse : F dissipée = cu̇
[équations (13), (14) et (15)]. Si le mouvement est sinusoïdal de pul2
sation ω, l’énergie dissipée par cycle vaut π c ω u max .
Or l’expérience montre que, dans les structures, cette énergie dissipée est plutôt indépendante de ω. Cela correspond à une force de
dissipation de la forme : F dissipée = η 1 ku̇ ⁄ ω = i η 1 ku , donc en quadrature avec le déplacement, η1 étant un coefficient sans dimension
appelé amortissement structural. Cette nouvelle représentation
appelle diverses remarques.
B 5 150 − 8
Les matrices [M ], [K ] et [C ] sont les matrices de masse, de
raideur et d’amortissement de la structure, traduisant la répartition
de ces propriétés sur les ddl considérés. Le principe de réciprocité
les rend symétriques. On verra au paragraphe 2.2.3 comment les
obtenir. Les équations du mouvement s’écrivent alors :
M ij ü i
M jj ü j
Forces : d ′ inertie
C jj u̇ j
u̇ i
de dissipation
Comme pour la relation (13), cette relation (25) se scinde en
2 équations, la première permettant de résoudre u i , la deuxième restituant F j à partir de u i . Pour la résolution, deux techniques sont
— une intégration directe dans le domaine temporel, en discrétisant ces équations avec un pas de temps ∆t, en général constant.
C’est l’objet du paragraphe 2.2.2 ;
— une résolution préalable de l’équation sans excitation, dont les
solutions sont les modes propres de la structure. La solution de
l’équation complète peut alors être obtenue en la projetant sur ces
modes propres, ce qui conduit à des équations découplées que l’on
résoudra indépendamment, puis en revenant aux ddl physiques par
superposition des contributions des modes propres, comme
mentionné (§ 1.2.2). Cette stratégie n’est efficace que si les modes
les plus contributifs sont peu nombreux. C’est l’objet du
paragraphe 2.3.
2.2.2 Résolution par intégration directe
d’amortisseurs, traités ci-après. Dans tous les cas, les étapes à franchir sont les suivantes.
■ Détermination des matrices M e , K e , C e de ces éléments dans
leurs propres repères. Il est commode de raisonner à partir des
énergies, c’est-à-dire des équations (22), (23) et (24). Ainsi :
— pour une masse concentrée m e sur le ddl i : K e = C e = 0 et M e
déduit de :
T e = --- m e u˙ i2 ⇒ M e = m i associé au ddl i
On ne donne ici que les idées directrices. Lorsque la taille du système est élevée, des problèmes de stabilité numérique apparaissent,
dus au fait que les valeurs propres les plus élevées n’ont pas de signification physique, mais conditionnent la résolution [1].
— pour un ressort k e entre deux ddl i et j : M e = C e = 0 et K e
■ les méthodes explicites pour lesquelles la solution au pas (n + 1)
est obtenue à partir des équations au pas (n ). Un exemple simple
est celui de la méthode des différences centrées qui écrit :
— pour un amortisseur c e entre deux ddl i et j : M e = K e = 0 et
C e déduit de :
D e = ----- c e ( u˙ i – u˙ j ) ⇒ C e = c e 1
ü n = -----------2- ( u n + 1 – 2 u n + u n – 1 )
u˙n = ------------- ( u n + 1 – u n – 1 )
ce qui, appliqué à l’équation (25)
Mü n + Cu̇ n + Ku n = F n , conduit à :
Ces schémas d’intégration sont conditionnellement stables,
c’est-à-dire qu’ils peuvent diverger suivant les cas, ce qui est à éviter ;
associé aux ddli et j (31)
associé aux ddl i et j (32)
■ Pour chaque matrice élémentaire, passage du repère local ( ) au
repère global (g). Si le changement de repère s’écrit :
( u ) = λ g ( u ) g
----------2- M + ------------- C u n + 1 = F n – K – ----------2- M u n
– ----------2- M – ------------- C u n – 1
U e = ----- k e ( u i – u j ) ⇒ K e = k e 1
l’indépendance des énergies vis-à-vis du repère implique :
( M e , K e ou C e ) g = λ g ( M e , K e ou C e ) λ g
Ainsi, dans un problème plan, pour un nœud à 3 ddl (u, v, θ ),
désignant respectivement la translation suivant l’axe x, la translation suivant l’axe y et la rotation autour de l’axe z, le changement
de repère correspondant à une rotation dans le plan xy d’un angle
ϕ s’écrira :
■ les méthodes implicites pour lesquelles la solution au pas (n + 1)
est obtenue à partir des équations au pas (n + 1). Ces schémas sont
inconditionnellement stables suivant les cas. Un exemple classique
est celui de la méthode de β-Newmark [15] qui écrit :
ü n + β ∆t ü n + 1 
= u˙ n + ( 1 – γ )∆ t ü n + ∆ t ü n + 1
u n + 1 = u n + ∆tu̇ n + --- – β
u˙ n + 1
Ce schéma est inconditionnellement stable pour 2 β γ 1 ⁄ 2 .
Lorsque 2 β = γ = 1/2, il conduit à :
----------2- M + -------- C + K u n + 1 = F n + 1 + ----------2- M + -------- C u n
+ -------- M + C u˙ n + M ü n
2.2.3 Détermination des matrices structurales
Les matrices M, K et C de l’équation (25) peuvent être obtenues
par une décomposition de la structure en éléments structuraux
simples e. Cette décomposition fait généralement appel à la méthode
des éléments finis (§ 2.2.4) à moins que la structure ne se prête directement à des équivalences de masses concentrées, de ressorts et
= – sin ϕ cos ϕ
À 3 dimensions, on prendra en compte les cosinus directeurs de
chaque direction locale. Le plus souvent, chaque nœud de la structure servant à définir les éléments possède jusqu’à 6 ddl : 3 ddl de
translation et 3 ddl de rotation.
■ Assemblage des matrices élémentaires exprimées dans le repère
global. En écrivant que l’énergie de la structure est la somme des
énergies élémentaires, on construit les matrices M, C et K relatives
à l’ensemble des ddl de la structure en positionnant les termes des
matrices élémentaires sur les ddl correspondants de l’ensemble.
Deux termes ayant la même position s’ajoutent. Cette opération
d’assemblage revient à écrire l’équilibre des forces aux liaisons.
B 5 150 − 9
Ainsi, les matrices M, K et C du système à 3 ddl de la figure 7 (2 ddl
de type i et 1 ddl de type j, mais cela n’a pas d’importance ici),
u= u =
K = – k1
C = – c1
Nota : les traits sous u 1 et u j indiquent la partition de u en deux sous-vecteurs : u j
Figure 7 – Système à 3 ddl (2 ddl i + 1 ddl j)
avec u 1 et u i avec u 2 et u 3 .
2.2.4 Détermination des matrices élémentaires
par la méthode des éléments finis
On trouvera dans la littérature d’amples développements sur le
sujet [1][2][12]. On se limite ici aux grands principes et à quelques
applications pratiques. La méthode des éléments finis permet de
traiter un élément structural donné en projetant ses propriétés
(continues) sur les ddl (discrets) associés aux nœuds qui le
définissent. Cette discrétisation est réalisée en exprimant les
déplacements du point courant de l’élément en fonction des
déplacements aux nœuds, schématiquement :
[u (x, t )]e = A e(x ) u e(t )
[u (x, t )]e
CDA d v
La matrice d’amortissement C n’est en général pas calculée au
niveau élémentaire : l’amortissement est pris en compte le plus
souvent de manière forfaitaire au niveau de l’ensemble (cf. § 2.3.3).
L’exemple le plus simple est celui de l’élément de barre se déformant
suivant son axe. Une interpolation linéaire entre ses deux extrémités
déplacement du point courant de e, fonction de
sa position x et du temps t,
u e (t )
vecteur des déplacements aux nœuds, dépendant
uniquement du temps t,
A e (x )
matrice ligne des fonctions permettant d’interpoler les u e (t ), dépendant uniquement de la position x.
L’introduction de la relation (37) dans l’expression des énergies
de l’élément conduit aux expressions suivantes :
x x u1
u e ( x,t ) = 1 – ----- ----L L u2
M e = -------- 2
■ énergie cinétique de l’élément par intégration sur tout son
volume V e :
----- u˙ u˙ ρ d v
ρ masse volumique au point courant ;
A A ρ dv
K e = --------L
masses concentrées : M
L longueur de la barre,
m masse de la barre,
E module d’Young,
S section de la barre.
Du point de vue raideur, l’élément se comporte comme un ressort
de raideur k = ES /L suivant son axe.
Cette relation fournit une matrice de masse pleine, dite cohérente
(avec le champ de déplacement pris pour l’élément). On pourrait
aussi obtenir une matrice de masse diagonale, dite concentrée, après
avoir ramené la masse de l’élément directement sur ses nœuds :
cette approche, plus simple, est aussi moins précise ;
Dans le cas d’un élément de poutre joignant 2 nœuds à 6 ddl,
comme indiqué sur la figure 8, le problème peut être décomposé
en quatre parties, sous réserve que les déformations correspondantes soient découplées.
■ énergie de déformation de l’élément par intégration sur tout son
■ Poutre en extension (ou traction/compression) : ddl concernés à
chaque nœud : u. C’est l’élément de barre formulé précédemment,
conduisant aux matrices (41).
----- σ ε d v
σ et ε
contrainte et déformation au point courant, vérifiant
des relations du type,
= C ε (loi de Hooke),
= Du (relations cinématiques exprimant les déformations comme dérivées des déplacements, d’où l’opérateur différentiel D ).
B 5 150 − 10
■ Poutre en torsion : ddl concernés à chaque nœud : θ x . Le
problème est analogue à celui de l’extension, en remplaçant la masse
par l’inertie et la raideur d’extension ES/L par la raideur de
torsion GJ/L.
■ Poutre en flexion dans le plan xy : ddl concernés à chaque nœud :
v, θz . Le problème est différent et nécessite un développement
approprié conduisant aux résultats ci-après.
— d’où les matrices transformées [opération analogue à celle de
l’équation (34)] :
Mnn = Tn i M ii T in
Knn = Tn i K ii T in
2.3 Approche modale
Figure 8 – Élément de poutre
2.3.1 Modes réels et modes complexes
■ Poutre en flexion dans le plan xz : ddl concernés à chaque nœud :
w, θy . Le problème est analogue à celui de la flexion xy, mais avec
une orientation de repère différente (x → y, z → x ) se traduisant par
une modification de certains signes.
Les matrices généralement utilisées pour l’élément de poutre en
flexion dans le plan xy sont les suivantes :
M = ----------420
– 13 L
– 3L 2
– 22 L
12 E I
K = -------------------------3
L ( 1 + φ ) – 12
(4 + φ)L
(2 – φ)L
L longueur,
m masse,
I inertie de flexion,
φ coefficient de cisaillement.
[φ = 12 E I /(kGSL2), G module de cisaillement, k facteur de forme],
ce dernier permettant de prendre en compte les effets d’effort
tranchant dans les raideurs.
Si l’élément de poutre ne pose pas de problème particulier, il
n’en est pas de même avec les éléments de plaque pour lesquels
la flexion est délicate à traiter et peut être formulée de différentes
façons [2].
D’une manière générale, les codes de calcul par éléments finis
mettent à la disposition de l’utilisateur une bibliothèque diversifiée
d’éléments à une, deux ou trois dimensions pour offrir de grandes
possibilités de modélisation de la structure. On trouvera dans la
littérature diverses considérations sur les formulations, l’établissement des maillages et les précautions d’emploi, qui sortent du
cadre de cet article.
Signalons simplement, en complément des éléments déjà mentionnés, la possibilité d’introduire dans la modélisation des relations
linéaires entre degrés de liberté pour représenter des parties indéformables, des mécanismes, etc. Un traitement possible est
d’éliminer autant de ddl qu’il y a de relations par les opérations
— ensemble m de relations linéaires entre les ddl i (et éventuellement j) écrites sous la forme :
Cmi u i = 0
— sélection d’un sous-ensemble u m de ddl u i , à éliminer pour
ne garder que le sous-ensemble complémentaire un , d’où la relation Cmm um + Cmn un = 0, et la transformation :
u i = T in u n
avec T i n =
– C mm
L’approche modale consiste à résoudre l’équation du mouvement (25) en deux étapes : résolution de l’équation sans excitation
qui fournit les modes propres de la structure, puis superposition
L’équation (25) sans excitation, c’est-à-dire avec F i = 0 et u j = 0,
donne les deux équations :
M ii ü i + C ii u˙ i + K ii u i = 0
M ji ü i + C ji u˙ i + K ji u i = F j
Comme pour la relation (25), la première équation (46) permet de
résoudre u i , la deuxième relation (47) restituant F j à partir de u i .
L’équation (46) est homogène. La présence du second terme, due
à l’amortissement, complique sa résolution. Deux stratégies sont
— enlever ce terme d’amortissement de l’équation pour simplifier
sa résolution, puis réintroduire cet amortissement dans la deuxième
étape. C’est l’approche modes réels, qui conduit à des composantes
modales réelles : elle a l’avantage de la simplicité, mais elle comporte
une difficulté, décrite plus loin, que l’on ne peut contourner qu’au
prix d’une hypothèse réductrice ;
— conserver ce terme d’amortissement dans la résolution. C’est
l’approche modes complexes , qui conduit à des composantes
modales complexes (au sens algébrique) : la difficulté précédente
disparaît, mais au détriment de la simplicité et du volume de calcul.
La pratique courante utilise les modes réels en s’accommodant
de l’approximation qui en résulte. Les modes complexes sont en
général réservés à des cas particuliers comme les structures fortement amorties, ou les structures en rotation pour lesquelles l’effet
gyroscopique introduit une matrice antisymétrique en complément
de la matrice C.
Dans ce qui suit, on décrit sommairement la spécificité des modes
complexes avant de se focaliser sur les modes réels.
Si l’on garde tous les termes de l’équation (46), cette dernière peut
0 ii – K ii
K ii u˙ i
0 ii u i
le système étant maintenant de taille double (2 fois le nombre N de
ddl i), avec un vecteur d’état composé des déplacements et des
vitesses. Les deux matrices ainsi construites, que l’on nomme A ii
et B ii , sont symétriques. En cherchant des solutions de la forme :
u̇ i ( t )
= Ui e
on aboutit au problème aux valeurs propres :
( λ A ii + B ii ) U i = 0
qui admet :
— 2 N valeurs propres complexes conjuguées :
λk = – ζk ωk ± i ωk
1–ζk
(indice souligné = indice fixé ; ω k , ζ k : voir modes réels)
B 5 150 − 11
— 2 N vecteurs (formes) propres à composantes complexes
conjuguées : Φ i k , Φ *
Φi k =
λk φik
Φ i*k
φik
λ*k φ *
■ Élimination des ddl u s en négligeant les forces d’inertie correspondantes, d’où la relation K sd u d + K ss u s = 0, traduisant une interpolation statique des u s entre les u d , d’où la transformation :
La valeur λ k et la forme Φ i k définissent le mode propre k . Ces
formes propres vérifient des propriétés d’orthonormalité qui
découlent de la symétrie de A ii et B ii [14]. La suite de l’approche est
alors la même qu’avec les modes réels pour lesquels les matrices
A ii et B ii sont remplacées par les matrices M ii et K ii .
= T id u d
avec T id =
– K ss K sd
à appliquer aux matrices M ii et K ii comme pour l’équation (45).
Cette condensation n’est efficace que pour une élimination
massive des ddl, car les matrices obtenues ont une forte densité,
ce qui, conjugué avec la perte de précision engendrée, peut en limiter
l’intérêt. Reste l’attrait d’un modèle matriciel de taille réduite.
2.3.2 Modes réels
2.3.3 Réponses par superposition modale
Si l’on enlève le terme d’amortissement de l’équation (46), cette
dernière s’écrit :
M ii ü i + K ii u i = 0
En cherchant des solutions de la forme :
u i (t ) = u i e
La technique de superposition modale consiste à projeter les ddl
physiques sur les modes propres préalablement calculés. Comme
ces modes propres sont à composantes nulles sur les ddl de la
jonction et ne peuvent donc pas représenter son mouvement, il est
nécessaire de leur adjoindre des formes à composantes non nulles
sur ces ddl. Cela conduit à écrire :
( λ M ii + K ii ) u i = 0
— N valeurs propres imaginaires : λ k = i ω k ;
— N vecteurs (formes) propres à composantes réelles : Φ i k .
La pulsation ω k et la forme Φ i k définissent le mode propre k .
Ces formes propres Φ i k vérifient des propriétés d’orthonormalité
qui découlent de la symétrie de M ii et K ii :
Φ i M ii Φ i k = 0 si ≠ k
Φ i K ii Φ i k = 0 si ≠ k
Le calcul des modes propres d’une structure, c’est-à-dire la résolution de l’équation (54), est souvent l’étape la plus coûteuse de l’analyse. Pour la mener efficacement, il est nécessaire de disposer d’un
algorithme adapté au problème dont les principales caractéristiques
sont la taille du système, sa densité (proportion de termes non nuls)
et le nombre de modes désirés [16]. Un des plus usités pour ses
performances et l’algorithme de Lanczos. Ce calcul peut être précédé
d’une condensation des matrices M ii et K ii qui consiste à les transformer sans trop perdre de précision sur les propriétés aux basses
fréquences. La plus simple et la plus utilisée est la condensation dite
de Guyan qui découle des opérations suivantes.
■ Choix de ddl d (dynamiques) à conserver, sur lesquels on va projeter toutes les propriétés, les autres ddl s (secondaires) étant
destinés à être éliminés, d’où la partition de l’équation (54) :
– ω2
M ds u d
M ss u s
K ds u d
K ss u s
Ce choix est la partie délicate de l’opération, dont dépend la précision des résultats.
B 5 150 − 12
Ψ ij q k
matrice des formes statiques relatives aux ddl j : Ψ i j
est la forme obtenue sur les ddl i en imposant à 1 le
déplacement j et à 0 tous les autres (donnant Ψjj = I jj).
De par sa définition :
= ω k m k raideur généralisée
Si la structure est libre (pas de ddl j), les modes propres k incluent
des modes rigides r, c’est-à-dire sans déformation, les pulsation
propres correspondantes étant nulles. Dans le cas général à 3 dimensions, il y en aura 6 : 3 translations et 3 rotations autour du centre
de gravité. Si le mode rigide a une translation ou une rotation unité,
sa masse généralisée sera égale à la masse ou l’inertie correspondante.
Φ ik
Φ ik matrice des formes propres Φ ik (à jonction fixe, donnant
Φ jk = 0jk ), en nombre N au départ, mais que l’on peut
limiter aux plus contributifs (opération de troncature),
en pratique aux n premiers, d’où n composantes
modales q k pour N composantes physiques u i ,
Φ k i M ii Φ i k = m k masse généralisée
Φ k i K ii Φ i k = k k
Ψ ij = – K ii K ij
Si la jonction est isostatique (jusqu’à 6 ddl j, par exemple les 6 ddl
d’un nœud de jonction unique), ces formes seront rigides (sans
déformation) et l’on posera : j = r (rigide) pour distinguer ce cas
La première des deux relations (58) traduit simplement la décomposition du mouvement interne en un mouvement relatif, par rapport
à la jonction, exprimé dans la base des modes, et un mouvement
d’entraînement par la jonction. La deuxième est une identité.
Cette transformation (58), appliquée à l’équation (25), (introduction de (58) dans (25) et prémultiplication par la matrice de transformation transposée) conduit à :
q̈ k
0 q˙k
0 K jj
0 u̇ j
Φ ki F i
F j + Ψ ji F i
mkk = Φk i Mii Φ ik matrice diagonale, grâce aux relations
d’orthonormalité (55),
ckk = Φk i Cii Φ ik matrice a priori pleine,
kkk = Φk i Kii Φ ik matrice diagonale, grâce aux relations
M jj = Ψ ji
Ψ ij
condensée à la jonction. Si la jonction est isostatique
(jusqu’à 6 ddl j = r comme mentionné précédemment),
c’est la matrice de masse de corps rigide, directement
liée aux propriétés de masse M, centrage (x, y, z )G , et
inertie (tenseur I ). Dans le cas d’un nœud de jonction
unique à 6 ddl :
– Mz G /r
+ My G /r
– Mx G /r
+ Mx G /r
+ Mz G /r
– My G /r
= Ψ ji I jj
I xx /r
– I yx /r
– I zx /r
+ Mz G /r – My G /r
– I xy /r
I yy /r
– I xz /r
– I yz /r
– I zy /r
I zz /r
= K jj – K ji K
= Φk i 0k j
K ij matrice de
= Φ ki ( M ii Ψ ij + M ij )
matrice des facteurs de participation (couplage entre les
formes propres et statiques).
Comme pour la relation (25), cette relation (60) se scinde en
2 équations, la première permettant de résoudre q k , la deuxième
restituant F j à partir de q k .
Le fait que la matrice c kk ne soit pas diagonale empêche de
découpler les équations vérifiées par q k . Là est la contrepartie de
l’approche par modes réels : on ne peut profiter de cette approche
simplifiée qu’en faisant l’hypothèse, dite de Basile ou de Rayleigh,
de matrice c kk diagonale, c’est-à-dire d’amortissements découplés
dans la base des modes propres. On peut montrer que cette hypothèse est justifiée sous certaines réserves, la plus importante étant
celle de modes non voisins ; traduite par le facteur de séparation
en fréquence ( ω ⁄ ω k ) 2 – 1 qui ne doit pas être trop petit.
Dans ce dernier cas, l’équation matricielle (60) en q k se décompose en n équations scalaires découplées :
m k q¨ k + c k q˙ k + k k q k = Φ k i F i – L k j ü j
Chaque équation k est de la même forme que l’équation (14), ce
qui montre qu’un mode propre peut être représenté par un système
à 1 ddl, comme annoncé au paragraphe 1.2.2, avec une pulsation ω k
et un amortissement visqueux réduit ζ k . Ainsi, grâce à l’hypothèse
de Basile, l’amortissement peut être directement affecté sous cette
forme à chaque mode.
La résolution des équations (61), suivie de la restitution des déplacements physiques u i par la relation (58) qui traduit véritablement
la superposition des modes, et celle des réactions F j par la deuxième
relation (60), conduit à [8] :
Φ ik Φ k i
H k ( ω ) -----------------------2
ωk m k
avec Gii (ω )
Φi r Φ r 
 modes rigides r : -----------------------∑ 2 - ,
r – ω mr
Φi k L k j
T k ( ω ) ----------------------- – M ii M ij ,
Lj k L k j
= – ω  ∑ T k ( ω ) ---------------------- + M jj – M ji M ii M ij + K jj ,
k =1
= – ω M jj ( ω )
H k ( ω ) = --------------------------------------------------------------,
ω 2
1 – --------- + i 2 ζ k --------ω k 
1 + i 2 ζ k --------ωk
T k ( ω ) = --------------------------------------------------------------.
1 –  --------- + i 2 ζ k --------ω k 
raideur condensée à la jonction (matrice nulle si jonction isostatique),
K jj(ω )
C’est une généralisation de l’équation (16), qui n’est strictement
vraie que si la somme sur k est étendue aux N modes. Cette
somme est le résultat de la superposition modale : chaque mode
propre k se comporte comme un système à 1 ddl et sa contribution
est le produit de deux termes :
que le transfert considéré, que l’on appelle paramètre effectif du
mode [9] (§ 2.3.4) ;
— un terme sans dimension dépendant de la fréquence, H k ( ω )
ou T k ( ω ) suivant le transfert, fonctions des paramètres modaux
ω k et ζ k . Ils sont semblables aux H 1 (ω ) et T 1 (ω ) du paragraphe 2.1.2
et toutes les remarques faites à leur sujet restent valables.
Les termes de masse hors du signe somme s’interprètent comme
des propriétés directement liées à la jonction, d’autant plus petits
que le modèle est raffiné au voisinage de cette dernière : ce sont
en fait des termes correctifs dus à la discrétisation.
2.3.4 Paramètres modaux effectifs et troncature
L’équation (62) fait apparaître les paramètres modaux effectifs
Φi k Φ k i
G ii, k = -----------------------2
Ljk Lk j
M jj, k = ----------------------mk
Ces paramètres mesurent l’importance des modes vis-à-vis des
transferts considérés, puisque leur contribution y est proportionnelle. Par ailleurs, ils vérifient des règles de sommation déduites
de l’équation (62) à ω = 0 :
G ii, k = G ii
T ij, k = Ψ ij + M ii M ij
T ij, k = ----------------------mk
M jj, k = M jj – ( M jj – M ji M ii
M ij ) 
G ii étant la matrice de flexibilité statique (pseudo-flexibilité pour
une structure libre, c’est-à-dire flexibilité autour du centre de gravité). Le cumul des paramètres effectifs redonne la propriété statique (ω = 0).
Lorsqu’on veut éliminer les modes supérieurs pour réaliser la troncature indispensable à l’efficacité de l’approche, les équations (62)
montrent que leurs amplifications dynamiques sont voisines de 1
et donc que leur contribution globale est voisine du cumul de leurs
B 5 150 − 13
paramètres effectifs. Ce terme résiduel représentant les modes supérieurs peut, grâce aux règles de sommation (63), être exprimé en
fonction des données statiques :
G ii, res =
T ij, k – M ii M ij = Ψ ij –
M jj, res =
G ii, k
T ij, res =
G ii, k = G ii –
T ij, k
M jj, k + M jj – M ji M ii M ij = M jj –
M jj, k
n étant le nombre de modes retenus parmi les N modes.
Les équations (65) conduisent à une approximation
équations (62) avec les n premiers modes seuls :
H k ( ω )G ii, k + G ii, res
T ij ( ω )
( ω ) T ij, k + T ij, res
K jj ( ω )
≈ – ω2
( ω ) M jj, k + M jj, res
+ K jj ≈ – ω M jj ( ω )
 (65)
Dans le cas particulier d’une jonction isostatique j = r, le plus souvent avec un nœud de jonction unique, diverses simplifications sont
apparues dans les développements précédents, permettant une
compréhension plus physique :
Ψij = Ψir
modes rigides ;
K jj = K rr = 0
( K jj est directement lié à l’hyperstaticité de la
jonction) ;
M jj = M rr
masses de corps rigide (masse, centrage,
inerties) ;
M j j, k = M rr, k
À titre d’exemple avec le modèle de la figure 7 et les valeurs
m 1 = m 2 = m 3 = m, k 1 = 3 k 2 / 2 = k, on obtient les résultats du
La somme des paramètres effectifs est bien égale à la valeur statique
correspondante, hors jonction, pour la masse (M ij = 0 mais M jj = m ).
On peut en déduire le modèle masses effectives de la figure 11, strictement équivalent du point de vue de la jonction en l’absence de troncature. Si l’on tronque le deuxième mode tout en gardant le terme
résiduel, cela revient à souder sa masse à la base pour une masse résiduelle m + m/5.
Tableau 2 – Paramètres modaux du modèle de la figure 7
ψ ij = 1 ⇒ L k j
M jj,
-------5k +2
-----------10 k – 2 1
+ 3⁄5
+ 6⁄5
+ 2⁄5
– 1⁄5
masses effectives usuelles.
Les masses effectives M j j, k = M rr, k peuvent alors être directement utilisées pour représenter chaque mode par un système à
1 ddl (figure 3) : les masses, agissant dans une direction donnée,
sont directement issues des masses effectives, les ressorts sont
déduits de fréquences propres et les amortisseurs des amortissements modaux [10].
Figure 9 – Modèle masses effectives axial
Dans le cas particulier d’un modèle axial (jonction à 1 ddl :
u = ddl 1) ou latéral (jonction à 2 ddl : [v, θz ] = ddl [2, 6]), on aboutit
aux représentations des figures 9 et 10.
Dans le cas général, la masse agit suivant un mouvement hélicoïdal combinant translation et rotation dans un rapport donné. On
pourrait généraliser ces considérations à une jonction hyperstatique
ou aux paramètres effectifs autres que les masses, mais avec une
perte de sens physique rendant l’interprétation plus difficile.
Cette représentation par masses effectives peut être directement
utilisée pour élaborer un modèle dynamiquement équivalent
vis-à-vis de la jonction.
B 5 150 − 14
--k +1
Figure 10 – Modèle masses effectives latéral
Figure 11 – Modèle masses effectives du système de la figure 7
2.3.5 Paramètres modaux effectifs
et réponses dynamiques
Les fonctions de transfert G ii (ω ), T ij (ω ), M jj (ω ) des équations (66)
sont toutes de la forme :
∑A k
( ω ) X k + X res
A k (ω )
amplification dynamique,
paramètre effectif,
terme résiduel dû à la troncature.
ce qui est traduit graphiquement par la figure 12 pour l’amplitude
du transfert en fonction de la fréquence.
L’allure de la courbe est régie par les règles suivantes :
— à très basse fréquence, on retrouve l’asymptote vers la valeur
statique égale au cumul des paramètres effectifs, c’est-à-dire ceux
des modes retenus augmentés du terme résiduel représentant les
modes tronqués ;
— chaque mode provoque un pic qui correspond à sa résonance
où il est prépondérant si son paramètre effectif n’est pas trop petit
et s’il est relativement isolé. Dans le cas contraire, il peut se mélanger
avec les modes voisins et/ou disparaître pratiquement de la courbe ;
— entre deux modes adjacents non voisins d’importance analogue se situe un minimum qui, d’après les phases impliquées, se
présente sous la forme d’un antipic (antirésonance) si les deux paramètres effectifs correspondants sont de même signe, sous forme
d’un minimum plat dans le cas contraire. Ainsi, pour un transfert
ponctuel (excitation et réponse au même endroit) où les paramètres
effectifs sont nécessairement de même signe, on aura une succession d’antirésonances, alors qu’un transfert non ponctuel pourra
comporter les deux cas, au gré des signes.
Cette allure, modelée par les différents paramètres dans de
grandes proportions, peut, dans un contexte expérimental, être plus
ou moins modifiée par les bruits de mesure qui perturbent parfois
profondément le profil des pics et masquent les antirésonances.
Pour un transfert de la forme (67), la réponse y (t ) à une excitation transitoire x (t ) est de la forme :
y ( t ) = ∑ X k h k ( t ) + y res ( t )
de l’excitation, on en déduit directement l’accélération maximale de
chaque masse effective. On peut alors en tirer :
— en multipliant par la masse effective, la réaction maximale de
chaque mode ;
— en multipliant par la transmissibilité effective entre la jonction
et un ddl donné, la contribution maximale de chaque mode au mouvement de ce ddl.
Cependant, comme les maximums des différents modes n’ont
aucune raison, en général, d’arriver en même temps, on ne peut pas
restituer correctement les réponses physiques par superposition : là
est la conséquence de la perte d’information du spectre de choc qui
ne retient que des amplitudes (§ 2.1.4). On peut seulement recombiner forfaitairement ces contributions modales, par exemple par un
cumul direct (conservatif), quadratique (probablement plus précis,
mais pas nécessairement conservatif) ou mixte.
De même, la réponse y (t ) à une excitation aléatoire de DSP Sxx (f )
donne, par application des formules (19) et (20), la moyenne quadratique suivante :
≈ ∑X
h k ( t ) la réponse impulsionnelle sans dimension du mode
k , de la forme (18),
y res(t ) le terme résiduel dû à la troncature.
Dans le cas d’un transitoire dont on connaît le spectre de réponse,
par exemple le spectre d’accélération absolue S ü , de par sa définition
et la représentation par masses effectives de la figure 9 dans le sens
Figure 12 – Allure des fonctions de transfert G, T ou M
--2- f
( f k ) + X res
sous réserve que Sxx (f ) ne varie pas rapidement au voisinage des
fréquences propres f k et que les modes ne soient pas trop voisins,
afin que l’intégrale de la somme soit égale à la somme des intégrales. Là encore apparaît la contribution de chaque mode sous
forme d’un système à 1 ddl.
B 5 150 − 15
2.4 Systèmes continus
Les équations qui régissent le mouvement d’un système continu
sont des équations aux dérivées partielles (§ 1.1.2). Dans le cas
d’excitations ponctuelles, les résultats peuvent se mettre sous forme
matricielle pour un ensemble discret de réponses, comme pour les
structures discrètes.
La résolution des équations sans excitation conduit aussi à un
problème aux valeurs propres qui fournit les modes propres k de
la structure en pulsations ω k et en formes Φ i k aux ddl de réponse i,
en nombre infini dont on peut, en basse fréquence, ne retenir que
les premiers. Ces formes propres Φ i k vérifient des propriétés
d’orthonormalité qui découlent du principe de réciprocité, et
l’approche modale vue avec les structures discrètes s’applique ici
Dans le cas de structures simples, la résolution des équations peut
se faire de manière analytique. Les résultats obtenus ont l’avantage
d’être indépendants d’une quelconque discrétisation et constituent
ainsi une référence. On traite ci-après l’exemple de la barre suivant
son axe et celui de la poutre en flexion pure avec, pour conditions
aux limites dans les deux cas, un encastrement à l’une des
2.4.2 Barre encastrée/libre
Avec les mêmes notations qu’au paragraphe 2.2.4, l’analyse de la
barre encastrée au nœud 1 et libre au nœud 2 donne les développements suivants.
■ Équation du mouvement u (x, t ) sans excitation (M masse de la
barre) :
Par rapport à ces résultats de référence, les équations (40) et (41)
relatives à l’élément de barre à champ linéaire (au lieu d’un sinus)
conduisent, pour un modèle à un seul élément, à un mode propre
unique avec :
— pour la pulsation : un facteur 3 ou 2 suivant que les masses
sont cohérentes ou concentrées, au lieu de π/2 ;
— pour la masse ou la flexibilité effective : un facteur 3/4 ou 1/2,
au lieu de 8/π 2 ;
— pour la transmissibilité effective : un facteur 3/2 ou 1, au lieu
de 4/π.
Ces erreurs diminuent avec le nombre d’éléments utilisés pour
représenter la barre.
■ Résolution avec excitations aux extrémités u 1 et F 2 , et une hypothèse d’amortissement structural que l’on peut traduire par un
module de matériau complexe E (1 + iη ) comme mentionné à la
suite de l’équation (21) :
u 2 (ω )
F 1 (ω )
--------------------- tan ----------M
ω ----- c
– -----------------------ω L
cos ---------c
----------------------ω L
cos ---------F2 ( ω )
ω L u1 ( ω )
– ω -------- c tan -----------L
= E ( 1 + i η ) SL ⁄ M , vitesse de propagation complexe
Les fonctions trigonométriques qui s’introduisent résultent de la
superposition des modes qui fournit leur développement limité,
mais peuvent aussi être obtenues directement à partir de l’équation complète du mouvement.
2.4.3 Poutre en flexion encastrée/libre
Avec les mêmes notations qu’au paragraphe 2.2.4, mais sans effet
d’effort tranchant (φ = 0), l’analyse de la poutre en flexion encastrée
au nœud 1 et libre au nœud 2 donne les développements suivants.
■ Résolution avec séparation des variables u (x, t ) = Φ (x ) f (t ), et la
condition d’encastrement u 1 = u (0) = 0 :
■ Équation du mouvement v (x, t ) sans excitation (M masse de la
poutre) :
M ∂ u
ES -------------- = ----- -----------L ∂ t2
ω k = ( 2 k – 1 ) ----2
Φ k ( x ) = sin ( 2 k – 1 ) ----2
d’où les paramètres effectifs aux extrémités ( G au nœud
nœud 1, T entre les nœuds 1 et 2) :
---------ML
ES 1 8
-------- G k = ------ M k = -------- --------------------------2
π 2 (2 k – 1)
2, M au
4 (– 1)
T k = ----- ----------------------- (72)
π 2 k–1
On peut vérifier dans chaque cas que la somme de tous les paramètres effectifs (jusqu’à l’infini) restitue la propriété statique correspondante : les deux séries du second membre convergent vers 1.
Le modèle masses effectives qui en résulte est celui de la figure 13.
∂ v M ∂ v
EI -------------- + ------- ----------- = 0
L ∂ t2
■ Résolution avec séparation des variables v (x, t ) = Φ (x ) f (t ), et
les conditions d’encastrement v1 = v (0) = 0 et θ z1 = dv/dx (0) = 0 :
-----------3- λ k solutions de : cos λ k cosh λ k + 1 = 0
– sin λ k + sinh λ k
( x ) = cos λ k --- – cosh λ k --- – ------------------------------------------------------L
cos λ k + cosh λ k
ωk = λk
sin λ k --- – sinh λ k --- L
 (75)
d’où les valeurs numériques du tableau 3, complétées par les para
mètres effectifs aux extrémités [ G au nœud 2, M au nœud 1, T
entre les nœuds 1 et 2 ; ddl (v, θz ) = (2, 6)]. Le modèle masses effectives qui en résulte est celui de la figure 14.
La résolution avec excitations aux extrémités (v 1 , θ z1 ) et
(F 2, Mz 2), et la même hypothèse d’amortissement structural η
que pour la barre donne des résultats analogues à ceux de
Figure 13 – Modèle masses effectives de la barre
B 5 150 − 16
l’équation (73), avec des termes en sin λ , cos λ , sinh λ , cosh λ ,
avec λ = ω L ⁄ c f et c f = ω E ( 1 + i η )IL ⁄ M vitesse de propagation en flexion dans la poutre.
Tableau 3 – Paramètres modaux d’une poutre en flexion encastrée/libre
EI ⁄ M L
M 22, k
G 66, k
----------------- = ---------------G 66
M 26, k
G 26, k
----------------- = ---------------G 26
G 22, k
M 66, k
----------------- = ---------------G 22
0,613 1
0,064 7
0,890 8
0,078 8
0,016 5
0,970 7
0,024 7
+ 1,566 0
– 0,867 9
+ 0,508 8
– 0,363 8
+ 1,137 7
– 0,181 5
+ 0,064 8
– 0,033 1
+ 2,155 6
– 4,149 4
+ 3,993 6
– 4,000 2
2 k – 1 )π  2
 (-------------------------
 --------------------------
 ( 2 k – 1 )π 
-----  ---------------------------
4  ( 2 k – 1 )π 
– 8 (– 1) k
--------------------------( 2 k – 1 )π
– 16 ( – 1 ) k
---------------------------------2[ ( 2 k – 1 )π ]
– 4 (– 1)k
-----------2 EI
-----EI
Figure 14 – Modèle masses effectives de la poutre en flexion
2.5 Sous-structuration
La sous-structuration peut s’effectuer à trois niveaux (cf. § 1.2.3).
■ À partir des matrices des sous-structures , par assemblage
matriciel. Cette technique est la même que celle décrite au paragraphe 2.1.3 pour les éléments et ne sera pas reprise ici. De mise en
œuvre très simple, elle peut conduire à des systèmes de taille très élevée, d’où l’intérêt des autres niveaux.
■ À partir des modes des sous-structures, par synthèse modale.
Puisque les premiers modes propres sont les ingrédients de base du
comportement basse fréquence de la structure, l’idée est d’utiliser
cette information condensée pour la représenter. Le point faible de
cette approche réside dans la troncature des modes qui peut provoquer des erreurs significatives.
■ À partir des fonctions de transfert des sous-structures, par manipulation adéquate de ces fonctions. Cette approche, la plus proche
du monde des essais, présente la difficulté de traiter des entités de
nature continue au départ, qu’il faut discrétiser par un échantillonnage en fréquence pour les besoins numériques, avec un compromis
T 22,
= T 66,
T 26, k
Ψ ir = 1
T 62,
à trouver entre précision et volume des données. Divers problèmes
numériques peuvent survenir, surtout en présence de données d’origine expérimentale.
Les deux derniers niveaux présentent en fait une certaine complémentarité dont on s’efforcera de tirer partie suivant les cas. La
démarche, commune, se fait en trois étapes :
— caractérisation de chaque sous-structure dans une configuration donnée (conditions aux limites et chargements éventuels
sur divers ddl, pas nécessairement ceux impliqués dans la liaison
avec les sous-structures adjacentes). Le choix de la configuration
peut être guidé par la représentativité des conditions de travail de
la sous-structure couplée, et éventuellement la compatibilité
expérimentale ;
— couplage en écrivant la compatibilité des déplacements et
l’équilibre des forces aux liaisons, et résolution des équations obtenues ;
— restitution des réponses des sous-structures à partir des solutions de l’étape précédente.
2.5.2 Synthèse modale
Suivant la configuration considérée pour l’analyse de chaque
sous-structure, la formulation sera différente, d’où les multiples
méthodes que l’on peut trouver dans la littérature, utilisant les modes
propres correspondants, éventuellement complétés par d’autres
modes de nature statique [3][12]. Les trois étapes se déroulent schématiquement de la manière suivante :
— caractérisation de chaque sous-structure : projection dans la
base Φ des modes choisis (propres et éventuellement statiques), par
la transformation u = Φ q (u déplacements physiques, q déplacements modaux, d’où les matrices M, C, K de l’équation (25) transformées ;
— assemblage des matrices transformées de chaque sousstructure traduisant la compatibilité des déplacements de l’équilibre
des forces aux liaisons, et résolution pour trouver les réponses
modales q ;
— restitution des réponses des sous-structures par la relation
u = Φ q.
B 5 150 − 17
Un exemple typique est celui où chacune des deux sous-structures
est analysée avec tous les ddl de liaison fixés (= ddl j). La transformation
(58), utilisant les modes propres correspondants complétés par les
modes statiques de liaison, peut alors s’appliquer pour fournir la
relation (60) pour chaque sous-structure. L’assemblage des matrices
se fait de manière classique puisque les déplacements u j sont
communs aux deux sous-structures. Après la résolution par superposition modale donnant les u j et q k , les déplacements physiques u i
sont restitués par la relation (58). Cette méthode est celle de CraigBampton, et revient à coupler des modèles de masses effectives, puisque ces derniers utilisent les mêmes ingrédients.
3. Techniques expérimentales
2.5.3 Couplage par fonctions de transfert
Cette approche est plus directe puisqu’elle ne passe pas par une
base intermédiaire, et se rapproche du monde des essais où les fonctions de transfert sont les premières caractéristiques accessibles. Les
trois étapes se déroulent schématiquement de la manière suivante :
— caractérisation de chaque sous-structure par ses fonctions de
transfert entre ddl d’excitation, de réponse et de liaison, de type G,
T ou K suivant les conditions aux limites. Les transferts nécessaires
pour les étapes suivantes sont :
• pour l’étape 2 (phase de résolution) : les transferts entre ddl
d’excitation et ddl de connexion, et entre les ddl de liaison euxmêmes,
• pour l’étape 3 (phase de restitution) : les transferts entre ddl de
liaison et ddl de réponse ;
— couplage par manipulation des transferts traduisant la compatibilité des déplacements et l’équilibre des forces aux liaisons, et
résolution aux liaisons ;
— restitution à l’intérieur de chaque sous-structure à partir des
résultats aux liaisons.
À titre d’exemple, le cas où chacune des deux sous-structures A
et B est analysée avec tous les ddl de liaison fixés (= ddl j), avec une
excitation sur des ddl internes s (sélection) de A et des réponses sur
des ddl internes s (sélection) de B, conduit à :
— transferts nécessaires pour la résolution : T js , K jj , K jj , et pour
la restitution : T sj
— couplage et résolution aux liaisons :
• équations pour chaque sous-structure :
F j = – T jsA F sA + K
• compatibilité et équilibre :
uj = u
— restitution :
F jA + F
= K jj ( K jj + K jj )
T jsA F s
u sB = T sjB u B
2.6 Conclusions sur l’analyse
Les développements qui précèdent montrent les possibilités et les
limites de l’analyse. Toutes ces techniques permettent de représenter
convenablement la structure considérée, sous certaines réserves :
moyens informatiques adaptés, complexité structurale raisonnable,
comportement linéaire, bande de fréquence limitée... Les limitations
concernant la taille des modèles reculent d’année en année avec la
capacité des ordinateurs et l’efficacité des logiciels, sans compter
les possibilités de sous-structuration.
Cette analyse, en permettant une prévision de comportement suffisamment fine, a donc un rôle important à jouer dans le développement d’une structure sensible à son environnement dynamique :
c’est elle qui va constituer le point de départ des activités, pour la
phase de conception et de dimensionnement.
B 5 150 − 18
Cependant, malgré tous les raffinements possibles, la représentativité des modèles ne peut être garantie : difficulté de modélisation
de parties complexes, erreurs sur les caractéristiques réelles, nonlinéarités, ignorance sur les phénomènes de dissipation... L’expérimentation doit alors prendre le relai pour combler ces lacunes en
renseignant sur une certaine réalité. L’analyse devra ensuite prendre
en compte cette réalité en recalant les modèles pour améliorer leur
fiabilité et extrapoler les calculs à l’environnement réel. Enfin, la
vérification de la structure se fera à nouveau par l’expérimentation,
sur la base de l’analyse qui lui apportera sa justification et ses spécifications. Ces points sont développés dans ce qui suit.
3.1.1 Essais dans le plan de développement
Malgré la diversité des pratiques pour la réalisation des structures,
on peut dégager quelques lignes communes. Ainsi, le plan de développement d’une structure donnée fait plus ou moins apparaître les
étapes suivantes où s’enchevêtrent les activités d’analyse et d’essais.
■ Conception d’après le cahier des charges. Des données concernant l’environnement que doit supporter la structure, on déduit des
spécifications permettant une première définition de la structure par
des calculs préliminaires de dimensionnement.
■ De cette première définition, on réalise un modèle de développement destiné à vérifier les modèles mathématiques mis en œuvre :
l’identification des caractéristiques de la structure permet d’ajuster
les modèles pour les rendre plus représentatifs de la réalité.
■ Ces modèles mathématiques recalés sont alors utilisés pour faire
une analyse détaillée du comportement de la structure soumise à
son environnement et, si celui-ci est influencé par la structure, faire
évoluer les spécifications. Diverses itérations peuvent être nécessaires à ce niveau avant d’aboutir à une configuration figée.
■ On réalise alors un modèle prototype de la structure finale que
l’on vérifie par des essais de simulation d’environnement, à des fins
de qualification. Une partie de ces essais seront reconduits, éventuellement à des niveaux moindres, sur la structure finale, à des fins
de réception et de déverminage.
On voit donc apparaître deux types d’essai : des essais d’identification pour caractériser la structure et des essais de simulation
pour la qualifier ou la réceptionner. En ce qui concerne l’environnement dynamique, la pratique courante est la suivante.
● Identification : par essai modal, dont l’objectif est de déterminer
expérimentalement des modes propres de la structure qui constituent les propriétés les plus caractéristiques du comportement basse
fréquence [5] [6].
● Simulation : tout dépend de l’environnement réel, qui peut être
mécanique ou acoustique. La simulation acoustique nécessite de
générer un champ acoustique approprié à l’aide de moyens d’essai
comme les chambres réverbérantes. Elle n’est nécessaire que pour
des structures sensibles, c’est-à-dire comportant des surfaces exposées légères et de grande taille. Comme pour les techniques d’analyse, ce point ne sera pas développé ici. Reste l’environnement
mécanique, de source mécanique ou acoustique d’ailleurs, que l’on
peut simuler à l’aide de générateurs de vibrations.
3.1.2 Matériel d’essai
Que ce soit pour l’identification ou la simulation, l’excitation est
en général réalisée par des générateurs de vibrations, de taille plus
ou moins grande : petite taille pour appliquer des forces ponctuelles
sur la structure (typiquement jusqu’à 200 N), grande taille pour imposer des mouvements aux appuis. Le plus souvent, ils sont de type
électrodynamique qui permet un bon contrôle jusqu’à des fréquences élevées (typiquement 2 000 Hz). Leurs principales limitations sont les débattements faibles (typiquement 2,5 cm crête à
crête), ce qui leur interdit la très basse fréquence (typiquement
< 5 Hz), et la force délivrable (300 kN pour les plus grosses installations actuelles). On peut alors envisager des vérins hydrauliques
si les fréquences restent basses (typiquement < 100 Hz).
Les réponses de type mouvement sont en général mesurées à
l’aide d’accéléromètres piézo-électriques qui sont simples de mise
en œuvre pour un encombrement réduit et une précision souvent
suffisante. D’autres types de capteur peuvent être utilisés pour des
besoins spécifiques (accéléromètres capacitifs, interférométrie
laser...). En ce qui concerne les réponses de type force de réaction,
les mesures directes sont beaucoup plus délicates de mise en œuvre,
car le dispositif, placé en série, ne doit pas perturber la configuration.
On peut éventuellement accéder aussi à des efforts par l’intermédiaire de jauges de contrainte préalablement calibrées.
Des deux points précédents, on retiendra qu’il est plus facile :
— pour l’excitation, de contrôler les forces que le mouvement ;
— pour la réponse, de mesurer le mouvement que les réactions ;
donc de déterminer expérimentalement des flexibilités (ou des accélérances) dynamiques que des transmissibilités ou des raideurs (ou
des masses) dynamiques.
Du point de vue conditions aux limites, le plus facile à approcher
est la configuration libre en utilisant une suspension dont les fréquences seront faibles vis-à-vis des premiers modes de la structure.
Une condition d’encastrement est souvent plus délicate à réaliser,
la souplesse du dispositif pouvant modifier sensiblement le comportement de la structure, malgré toutes les précautions prises.
3.2 Identification par essai modal
L’essai modal a pour but de déterminer expérimentalement des
modes propres de la structure. D’après les développements du
paragraphe 2.3.3 et en particulier l’équation (61), chaque mode k est
— sa pulsation ω k ;
— sa masse généralisée m k (d’où sa raideur généralisée
kk = ωk mk ) ;
— son amortissement visqueux réduit ζ k dans le cas de modes
complexes ou de modes réels avec l’hypothèse de Basile (d’où son
amortissement généralisé c k = 2 ζ k ω k m k ), ou les amortissements couplés c k sans cette hypothèse ;
— sa forme propre Φ i k sur tous les ddl i souhaités ;
— ses facteurs de participation L k j , c’est-à-dire les réactions
modales, s’il y a des appuis (u j = 0).
On peut faire sur ces paramètres modaux les remarques
— ω k et ζ k sont sans dimension, ainsi que Φ i k , forme définie
à un coefficient multiplicatif près : ces paramètres peuvent se déduire
uniquement de la mesure du mouvement ;
— les amortissements couplés c k exigent une grande précision
de mesure et la difficulté de leur prise en compte dans l’analyse
n’incite pas à les considérer ;
— L k j est délicat à déterminer puisqu’il se déduit de mesures de
réaction, et sa validité est d’autant moins bonne que les appuis
sont plus souples (u j ≠ 0). Ce n’est pas une pratique courante ;
— hormis L k j , m k est le seul paramètre dimensionnel (masse).
Il nécessite la détermination d’une force, ce qui conduit habituellement à une précision moins grande.
Les techniques utilisées pour cet essai se divisent en deux grandes
■ La méthode de séparation des modes, ou appropriation, ou résonance de phase, consiste à isoler successivement chaque mode par
une excitation appropriée et à en mesurer directement les caractéristiques.
■ L’essai avec excitation non appropriée, ou méthode de séparation de phase, sollicite un ensemble de modes dont on détermine
ensuite les caractéristiques par traitement des résultats de mesure.
3.2.2 Essais par appropriation
Ces essais sont apparus les premiers, dans les années 50. La mise
en œuvre était longue et délicate, car l’excitation doit être appliquée
avec beaucoup de soin pour approprier chaque mode, mais en
retour, la mesure proprement dite des caractéristiques modales,
simple, était compatible avec les moyens de l’époque. Depuis, ils
ont été constamment améliorés : contrôle automatisé de l’excitation,
optimisation du processus d’appropriation, mesures simplifiées des
paramètres généralisés, etc., pour aboutir aujourd’hui à une utilisation opérationnelle efficace par des laboratoires spécialisés.
Cette approche nécessite l’hypothèse de modes réels pour bénéficier du critère de phase : si un mode est approprié, tous les points
de la structure vibrent en phase ou en opposition de phase. L’excitation doit être sinusoïdale et proche de la fréquence propre du
mode pour obtenir des réponses importantes, donc plus précises.
Le nombre de forces d’excitation, en théorie infini pour une structure continue, peut, en pratique, être très réduit, de deux à une
dizaine suivant la complexité des formes cherchées.
Le déroulement des essais est schématiquement le suivant :
— balayage sinus préliminaire dans la gamme de fréquence considérée, afin de détecter la présence des modes recherchés d’après
l’apparition des résonances ;
Nota : le terme sinus est une abréviation pour en régime sinusoïdal assez courante
dans le domaine, à mettre au même plan que transitoire ou aléatoire : environnement
sinus, essai sinus, balayage sinus (sinus dont on fait varier lentement la fréquence).
— appropriation des modes par réglage des forces d’excitation.
Pour chaque mode, la répartition des forces est donnée par les équations du mouvement (60) relatif au mode seul. Lorsque la fréquence
d’excitation est égale à la fréquence propre, c’est-à-dire à la résonance, excitations et réponses sont en quadrature ;
— détermination des caractéristiques modales : la fréquence
propre est immédiatement déterminée par la résonance, ainsi que
la forme propre et éventuellement la réaction modale. Pour la masse
généralisée et l’amortissement, diverses méthodes peuvent être
utilisées pour les déterminer séparément ou simultanément :
masses additionnelles, lâcher, forces en quadrature, cercle d’admittance dans le plan complexe, puissance complexe, etc., cette dernière méthode étant la plus élaborée.
Le principal atout de cette approche est de conserver l’aspect physique des phénomènes : chaque mode est mis tour à tour en évidence et le critère de phase permet de confirmer son existence. Les
résultats sont ainsi très fiables, avec une précision souvent très
bonne. Pour cette raison, elle a toujours la faveur de certains. Cependant, elle a des inconvénients : outre ses problèmes de mise en
œuvre et sa limitation aux modes réels, la difficulté d’accès à certaines zones peut rendre l’appropriation de qualité insuffisante. C’est
pourquoi, depuis les années 70, diverses méthodes ne nécessitant
pas d’appropriation, donc avec une excitation simplifiée, ont été élaborées, grâce surtout à la capacité croissante des ordinateurs à traiter
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3.2.3 Essais sans appropriation
Parmi les méthodes proposées pour éviter l’appropriation, il en
est une qui s’est rapidement imposée pour sa généralité et sa souplesse d’utilisation.
Son principe est simple : identifier directement les fonctions de
transfert issues d’un essai sur la structure. Cela revient à réaliser
l’inverse de la superposition modale donnée par l’équation (62),
comme indiqué sur la figure 4 : on applique une excitation
quelconque mais connue et on mesure les réponses pour en déduire
les fonctions de transfert dont on identifie les paramètres d’après
leur expression analytique, d’où les paramètres modaux.
Par rapport à l’appropriation, les avantages sont les suivants :
— l’excitation peut être quelconque, non seulement du point de
vue spatial, mais aussi temporel : une excitation sinusoïdale n’est
plus nécessaire et l’on peut très bien utiliser une excitation transitoire
(marteau doté d’une cellule de force) ou de l’aléatoire, puisque l’on
se base directement sur les fonctions de transfert, c’est-à-dire les
rapports réponses/excitations dans le domaine des fréquences.
L’important est de bien exciter tous les modes cherchés : au besoin,
on appliquera plusieurs excitations les unes après les autres ;
— l’excitation peut se réduire à une seule force, ce qui élimine
le problème de l’accessibilité et simplifie considérablement la mise
en œuvre, puisque aucun réglage n’est requis. Dans le cas de
comportement pouvant être découplé, à l’image de celui d’une
poutre avec son mouvement dans l’axe, ses deux flexions et sa torsion, on utilisera une force adaptée à chaque cas, à moins de ne
vouloir qu’une force excitant tout à la fois ;
— la mise en œuvre de l’essai peut être complètement découplée du traitement, ce qui diminue d’autant la période d’immobilisation de la structure. En fin d’essai, il s’agit simplement de vérifier
que les transferts à identifier ont une qualité suffisante et que tous
les modes cherchés ont bien été excités ;
— on peut faire l’hypothèse de modes réels ou complexes : il suffit
pour cela d’utiliser l’expression analytique correspondante dans la
En contrepartie, toute la difficulté est reportée sur l’identification
des fonctions de transfert par les fonctions analytiques intervenant
dans les équations (62). C’est l’étape la plus délicate : elle nécessite
de bons algorithmes de calcul, ainsi qu’une solide expérience en la
matière, car la présence de bruit de mesure ne peut être totalement
résorbée par l’analyse. Divers systèmes combinant matériel et logiciels sont commercialisés pour réaliser l’essai, depuis la génération
de l’excitation jusqu’à la sortie des résultats.
En pratique, l’excitation transitoire avec marteau, la moins précise,
n’est utilisée que pour définir rapidement les tendances ou pour
dégrossir le problème. L’excitation aléatoire est la plus simple à
conduire, mais on préférera une excitation sinusoïdale bien contrôlée avec, si possible, plusieurs forces d’excitation, en fait pour se
rapprocher de l’appropriation qui donne les meilleurs résultats. En
ce qui concerne l’étape d’identification, diverses méthodes peuvent
être utilisées [5].
■ La plus simple est de considérer chaque mode séparément,
au voisinage de sa résonance où il prédomine. Le transfert à identifier est alors celui d’un système à 1 ddl et donne un cercle dans le
plan complexe. L’identification des paramètres de ce cercle fournit
les paramètres modaux cherchés. La présence des autres modes
perturbe cette analyse mais, après une première identification de
tous les modes, on peut procéder à une correction et itérer jusqu’à
■ En considérant plusieurs modes simultanément dans une
même bande de fréquence, le transfert est celui d’un système multiddl et diverses méthodes de séparation peuvent être utilisées. On
distingue habituellement les méthodes temporelles, la plus connue
étant celle de l’exponentielle complexe, et les méthodes fréquentielles, la plus connue consistant à décomposer les transferts en éléments simples pour identifier les pôles, qui donnent les fréquences
propres et les amortissements, et les résidus, qui donnent les composantes modales.
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De par ses avantages, simplicité de mise en œuvre et souplesse
d’utilisation, cette approche est très utilisée. Elle requiert cependant
beaucoup de savoir-faire pour le traitement qui peut s’avérer long
et délicat. Enfin, les résultats obtenus n’auront pas la même fiabilité
qu’avec l’appropriation dont la compréhension physique est
3.3 Simulation par générateurs de vibrations
La simulation mécanique sur la structure est à faire en fonction
de ce que l’on connaît de l’environnement réel. Ce dernier peut
nécessiter une analyse lorsqu’il est influencé par la structure ellemême : c’est le cas typique d’une configuration porteur/matériel où
le porteur est le siège de l’excitation qu’il communique à son matériel. Il faut alors déterminer les interactions dynamiques à partir de
modèles mathématiques de chaque partie, et l’on aura intérêt à
combiner judicieusement résultats de calcul et résultats d’essais partiels pour rendre l’analyse plus fiable.
Ces résultats d’analyse peuvent être directement reproduits au
cours de l’essai de simulation, ou forfaitisés pour simplifier et/ou
envelopper l’environnement réel. Cette forfaitisation doit se faire
avec certaines précautions pour ne pas rendre la simulation trop éloignée de l’environnement réel. C’est ainsi qu’un balayage sinus piloté
en déplacement (ou en accélération) devra être réduit en amplitude,
au voisinage des principales résonances du matériel, s’il s’avère que
les réponses issues de l’analyse porteur/matériel ont un faible
contenu à ces fréquences suite aux échanges d’énergie vibratoire
entre les 2 parties. Il est en général préférable de renoncer à la forfaitisation si la situation et le matériel d’essai le permettent.
D’une manière générale, les environnements suivants peuvent
être simulés.
■ Un environnement sinus, parfois représentatif de la réalité dans
le cas de fréquences privilégiées, souvent issus d’une forfaitisation
comme indiqué précédemment. L’essai est alors réalisé par un
balayage sinus (le plus souvent logarithmique) dans la bande de fréquences considérée, avec une vitesse permettant un mouvement
quasi permanent tout en conduisant à une durée d’essai raisonnable.
■ Un environnement transitoire reproduisant les excitations déterminées en fonction du temps. Les développements récents en
matière de pilotage permettent certaines réalisations dans le
contexte industriel. Pour les transitoires courts, ou chocs, parfois
générés par des dispositifs spécifiques, la notion de spectre de choc
introduite au paragraphe 2.1.4 peut être utilisée pour simplifier la
mise en œuvre de l’excitation par équivalence des effets sur un
système à 1 ddl.
■ Un environnement aléatoire donné par ses DSP (auto et intercorrelations des excitations), dans les cas où l’environnement réel est
trop long pour être représenté par un transitoire. C’est, par exemple,
le cas des vibrations d’origine acoustique que l’on simule habituellement dans une large bande de fréquences, typiquement jusqu’à
2 000 Hz.
D’autres cas peuvent être envisagés, comme le sinus sur bruit
qui consiste à superposer un manuel sinusoïdal à un mouvement
aléatoire de DSP donnée pour se rapprocher d’un environnement
où certaines fréquences émergent d’un bruit sans que leurs effets
soient prépondérants.
La simulation mécanique est en général assurée par des générateurs de vibrations de type électrodynamique ou hydraulique pilotés
en force ou en déplacement. La difficulté dépend de :
— la nature de l’excitation : sinusoïdale/aléatoire/transitoire,
force/déplacement ;
— la nature de l’interface : nombre de ddl, iso/hyperstaticité.
Le cas le plus simple et le plus courant est l’excitation monoaxiale.
La difficulté de mise en œuvre croît ensuite très rapidement avec
le nombre de ddl à contrôler.
L’excitation monoaxiale est justifiée dans le cas d’une seule force
d’excitation sur la structure ou d’un seul déplacement (ou accélération) imposé dans une direction bien déterminée :
— la force d’excitation pourra être simulée par un générateur
suspendu et piloté en force ;
— le déplacement imposé pourra être simulé en plaçant le spécimen sur un générateur fixe et piloté en déplacement. L’interface
est alors rigidifiée par les raideurs de la table vibrante. Ce cas est
fréquent dans la pratique industrielle.
Il est courant de réaliser ce type d’essais même s’il existe plusieurs
forces ou plusieurs déplacements, en supposant un découplage des
effets. C’est ainsi que l’on pourra réaliser des essais suivant chacun
des 3 axes de référence, en imposant à chaque fois la force ou le
déplacement concerné, cette excitation pouvant d’ailleurs être issue
d’une moyenne dans le cas de plusieurs points de fixation. Les
erreurs que l’on commet dans ce contexte peuvent être estimées
Lorsque les effets de couplage entre axes ne peuvent plus être
négligés, il est nécessaire de réaliser une excitation multiaxiale,
c’est-à-dire plusieurs excitations simultanées. La difficulté est de bien
représenter non seulement chaque excitation, mais aussi les relations entre excitations : phases en mode sinus, intercorrélations en
aléatoire, simultanéités en transitoire.
En ce qui concerne le pilotage en force, on peut disposer plusieurs générateurs suspendus autour du spécimen pour appliquer
autant de forces simultanées. C’est ce que l’on fait couramment en
essai modal. La limitation vient du montage (positions générateurs/spécimen) et du pilotage simultané des forces.
En ce qui concerne le pilotage en déplacement, certains moyens
d’essai permettent le contrôle du déplacement d’une table rigide suivant 2 à 6 ddl simultanément, mais ce n’est pas actuellement une
pratique courante car la mise en œuvre est relativement lourde. Dans
le cas d’une interface hyperstatique (fixations multiples) où la
contribution de l’hyperstaticité est significative (déformation importante de l’interface qui ne peut plus alors être considérée comme
rigide), on peut envisager des dispositifs d’excitation en plusieurs
points, par exemple un spécimen sur table vibrante lui-même excité
en force. Ce type de montage commence à apparaître dans la pratique industrielle.
Les principales techniques d’analyse et d’essai en dynamique des
structures ont été présentées de manière synthétique. Moyennant
certaines hypothèses, l’analyse permet de représenter convenablement les phénomènes et de traiter des structures relativement
complexes à condition de disposer d’outils de calcul et d’expérimentation adaptés, et d’adopter une logique de développement
À noter que cet article, tout en ayant été rédigé avec un certain
souci de généralité, ne prétend pas avoir un caractère exhaustif,
car le domaine concerné et ses applications sont vastes.
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Objectifs Plan de cours Pré
TD Entrainement des machines - point de fonctionnement
régulateur de tension r 220 pour alternateurs à
Module PHY206 - Électromagnétisme 1. Questions de
Formation Fondamentaux de l`administration de Bases de Données
TD N°3 : Génératrices à courant continu
Le moteur à courant continu excitation série

References: § 1
 § 3
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