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Timestamp: 2019-05-26 05:50:41+00:00

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Home page de Marco Maculan
Voir aussi la page de Jean-François Dat.
Le théorème de Bezout (pdf). Voir ici pour la source.
Équation de Weierstrass et loi de groupe sur une courbe elliptique. (pdf).
Exercices sur Riemann-Roch. (pdf).
Points de torsion. (pdf).
Courbes super-singulières et automorphismes. (pdf).
Courbes elliptiques sur les corps locaux. (pdf).
Algèbre linéaire 2, espaces affines (2M270)
Voir aussi la page de Cyril Demarche.
Polycopié du cours (par Laurent Koelblen, Patrick Polo et Vincent Humilière)
Notion de corps et d'espace vectoriel sur un corps (le cas $k=\mathbb{R}$ est le plus important).
Sous-espace vectoriel, sous-espace engendré par une famille finie, notation $\textrm{Vect}$.
Famille libre, génératrice, base, coordonnées.
Espace de dimension finie, notion de dimension d'un espace vectoriel (preuve que la dimension est bien définie).
Théorème du rang, avec preuve.
Matrice d'une application linéaires dans des bases, en insistant sur le fait qu'un espace vectoriel n'a en général pas de base canonique
Formules de changement de bases pour les applications linéaires et les endomorphismes.
Fin de rappels d'algèbre linéaire: somme de sous-espaces vectoriels, somme directe, supplémentaire d'un sous-espace, transposée d'une matrice.
Espace dual : définition, base dual.
Application duale, matrice transposée comme matrice de l'application duale
Orthogonal, ensemble des zéros communs pour un sous-espace d'applications linéaires, interprétation du dual comme “espace des équations”
Opérations sur les lignes et les colonnes. Lien avec la dualité.
Sous-espaces affines d'un espace vectoriel.
Sous-espaces affines définis par un système linéaire non homogène
Repères affines et cartésiens.
Intersection de sous-espaces affines.
Espace affine engendré et calcul de la dimension.
Coordonnées dans un repère affine/cartésien.
Applications affines : version abstraite et expression matricielle.
Symétries et projections.
Rappels sur les permutations : transpositions, cycles, longueur des cycles, énoncé du théorème de la composition en cycle (sans preuve), définition de la signature (à partir de la décomposition en cycles).
Déterminant d'une matrice $n \times n$: cohérence avec les cas $2 \times 2$ et $3 \times 3$
Applications multi-linéaires alternées: définition et exemple du déterminant
Déterminant par rapport à une base fixée
L'espace vectoriels des $n$-formes alternées est de dimension $1$.
Le déterminant d'une matrice est multiplicatif.
Une matrice carrée est inversible si et seulement son déterminant est non nul.
Calcul de déterminant d'une matrice diagonale et d'une matrice à blocs triangulaire supérieure.
Développement par rapport à une ligne/colonne.
Matrice des cofacteurs.
Polynôme caractéristique, valeurs propres, vecteurs propres.
Critères de diagonalisabilité simples: polynôme caractéristique scindé à racines simples, sommes des espaces caractéristique égale à la dimension de l'espace.
Division de polynômes.
Multiplicité algébrique et géométrique.
Critères de diagonalisabilité simples: une matrice est diagonalisable sur $k$ si et seulement si le polynôme caractéristique est scindé sur $k$ et, pour tout valeur propre, la multiplicité algébrique est égale à la multiplicité géométrique
Les coefficients du polynôme caractéristique: trace et déterminant
Exemple: diagonalisabilité des matrice $2 \times 2$ sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$
Un matrice est trigonalisable sur $k$ si et seulement si le polynôme caractéristique est scindé sur $k$.
Théorème de Hamilton-Cayley
Compléments sur les polynômes : tout idéal de $k[x]$ est principal et théorème de Bezout
Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples
Si un polynôme scindé à racines simples annule une matrice $A$, alors $A$ est diagonalisable.
Décomposition en espaces caractéristiques
Propriétés des applications nilpotentes et qui commutent
Forme de Jordan d'une matrice nilpotente
Forme de Jordan d'une matrice avec polynôme scindé
Feuilles d'exercices: TD 1, TD 2, TD 3, TD 4, TD 5
Contrôles continus: 17 octobre 2018 (sujet et corrigé), 12 décembre (sujet et corrigé)
Partiel: 11 novembre 2018 (sujet et corrigé)
Espaces vectoriels euclidiens, isométries affines (2M271BM)
Polycopié du cours (par Laurent Koelblen et Patrick Polo)
Notion de forme quadratique en plusieurs variables.
Noyau, cône isotrope, rang d'une forme quadratique.
Forme bilinéaire associée à une forme quadratique (et viceversa).
Noyau d'une application bilinéaire.
Orthogonal d'un sous-espace.
Exemples d'espaces orthogonaux:
L'orthogonal d'une droite pour la forme quadratique $x^2 + y^2$ est la droite perpendiculaire
L'orthogonal d'une droite pour la forme quadratique $x^2 - y^2$ est la droite symétriuque par rapport à la bisectrice $x = y$;
H.Minkowski, Espace et temps, 1908.
Dimension de l'orthogonal d'un sous-espace.
Bases orthogonales.
Matrice d'une forme quadratique dans une base quelconque, formule de changement de base.
Cours 4 (pdf)
Existence d'une base orthogonale.
Définition de signature d'une forme quadratique et exemples.
Théorème de Sylvester: la signature est bien définie.
Cours 5 (pdf)
Écriture d'une forme quadratique comme somme de carrés
Comment trouver la base orthogonale correspondante au changement de coordonneés
Cours 6 (pdf)
Formes quadratiques définies positives et produit scalaires. Exemples.
Bases orthonormées. Exemples dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$.
Norme euclidienne associée à un produit scalaire.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Cours 7 (pdf)
Angle entre deux vecteurs, rélation avec l'orthogonalité.
Procédé de Gram-Schmidt. Exemples.
Cours 8 (pdf)
Isomêtries: dêfinition et propriêtês de base
Isomêtries du plan euclidien: rotations et symêtries.
Cours 9 (pdf)
Classification des isométries de $\mathbb{R}^3$
Cours 10 (pdf)
Endomorphismes auto-adjoints
Cours 11 (pdf)
Coniques comme section d'un cône
Coniques comme polynômes de degré 2: exemples
Définition formelle de parabole, hyperbole et ellipse.
Cours 12 (pdf)
Classification affine des coniques : parabole et hyperbole
Definition of a Riemann surface ([Forster, 1.1-1.5])
Examples: projective line ([Forster, 1.5.c]), elliptic curves ([Forster, 1.5.d])
Structure of Riemann surface on a smooth place algebraic curve and its compactifications in the projective plane.
Definition of holomorphic and meromorphic functions on a Riemann Surface, and basic properties ([Forster, 1.6-1.16])
Elementary properties of Holomorphic mappings ([Forster, 2.1-2.11])
Examples: meromorphic functions on the projective line are rational, coordinate functions on algebraic curves as meromorphic functions on the compactification
Branched and unbrached coverings ([Forster, 4.11, 4.20-4.26])
Examples: computation of multiplicity of points of a coordinate function on an algebraic curve
Elliptic functions ([Silverman, Chapter VI, §2 and §3 up to Theorem 3.5])
Weierstrass' $\wp$ and $\wp'$.
Projective embedding of an elliptic curve ([Silverman, Chapter VI, Proposition 3.6])
Elliptic functions are rational combinations of $\wp$ and $\wp'$ ([Silverman, Chapter VI, Theorem 3.5])
Summation formula for $\wp$
On an elliptic curve, the sum of three points is zero iff they lie on the same line
Proof of the associativity of the group defined in the latter way (see figure)
Group morphisms between elliptic curves ([Silverman, Chapter VI, § 4])
The set of equivalences classes of elliptic curves ([Serre, Chapter VII, § 2.2])
Action of $\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ on the upper half plane ([Serre, Chapter VII, § 1])
The Eisenstein series are modular forms of weight $2k$ ([Serre, Chapter VII, § 2.3]).
The $j$-invariant of an elliptic curve ([Serre, Chapter VII, § 3.3]).
Complex structure on the quotient of a Riemann surface by a properly discontinuous action. (Except the proof of Riemann's Mapping Theorem) ([Bergeron et Guilloux, Chapitre IV, § 1])
The action of $z \mapsto z+1$ The action of $z \mapsto -1/z$
Formula for the order of vanishing of a modular form of weight $2k$. ([Serre, Chapter VII, Theorem 3])
The $j$-invariant is a biholomorpshim $\mathbb{H}/\textrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \mathbb{C}$ ([Serre, Chapter VII, § 3.3])
Topology on $\mathbb{H} \cap \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ and compactification of $\mathbb{H}/\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ by $(\mathbb{H} \cap \mathbb{P}^1(\mathbb{Q}))/\textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ ([Milne, p. 35-37])
The modular curves $Y(\Gamma) = \mathbb{H}/\Gamma$ and $X(\Gamma) = (\mathbb{H} \cap \mathbb{P}^1(\mathbb{Q}))/\Gamma$ for a finite index subgroup $\Gamma \subseteq \textrm{SL}_2(\mathbb{Z})$
The group $\Gamma(N) = \left\{ g \in \textrm{SL}_2(\mathbb{Z}) : g \equiv \textrm{id} \pmod{N}\right\}$ and modular interpretation of $Y(N) = Y(\Gamma(N))$ ([Milne, Lemma 8.7, p. 100])
The cross-ratio of the 2-torsion points on an elliptic curve gives a biholomorphism $Y(2) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \mathbb{C} \smallsetminus \{ 0, 1\}$
The Legendre family of elliptic curves on $Y(2)$ and degenerations
Proof of Riemann's Mapping Theorem. The proof given in the lecture is this one. A constructive approach (based on the solution of Dirichlet problem for harmonic functions) is sketched in the Wikipedia page.
Riemann's Mapping Theorem is implicitly used in cartography. Look for instance at the Peirce Quincucial Projection here. How is Riemann's Mapping Theorem applied?
M.C. Escher, Angels and devils.
Holomorphic and meromorphic differential forms on a Riemann Surface
Differential forms on $\mathbb{C}$, $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$
Invariant differential forms on an elliptic curve
Differential forms $dx$, $dy$ on a plane algebraic curve: computations of orders at infinity
Modular functions as differential forms (of order $k$) on $\mathbb{H}/\mathrm{SL}_2(\mathbb{\mathbb{Z}})$
Differential forms on a hyper-ellptic curve
Divisors: divisor of a meromorphic function, of a meromorphic differential form
Degree of a divisor, linear equivalence, Picard group
$\textrm{Pic}(\mathbb{P}^1(\mathbb{C})) = \mathbb{Z}$
For an elliptic curve $X$, the map $X \rightarrow \textrm{Pic}^0(X)$, $x \mapsto [x] - [0]$ is an isomorphism
(Arithmetic) genus of a compact Riemann surface
Riemann-Hurwitz formula (algebraic version)
Triangulation of a compact Riemann Surface
Topological genus and Riemann-Hurwitz formula (topological version)
The (arithmetic) genus and topological genus coincide
Genus of a modular curve
Genus of a modular curve (continued)
Hurwitz bound of the automorphism group
Genus of a plane curve
Genus of a hyperelliptic curve (even and odd cases)
Visual computation of the genus $X(7)$.
The spaces $H^0(D)$, $H^0(K-D)$
Statement of Riemann-Roch Theorem
Proof of Riemann-Roch for $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ and elliptic curves
Projective embeddings of a Riemann Surface
The canonical embedding for non hyperelliptic curves ([Reyssat, p. 102])
Embedding of $X(7)$ in $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$
Sketch of proof of Fermat Last Theorem for the exponent $7$
N. Bergeron, A. Guilloux, Introduction aux surfaces de Riemann
N. Elkies, The Klein Quartic in Number Theory (pdf here)
O. Forster, Lectures on Riemann surfaces
J. Milne, Modular Functions and Modular Forms
J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
E. Reyssat, Quelques aspects des Surfaces de Riemann (pdf here)
J.-P. Serre, Cours d'arithmètique (also translated in english, A course in Arithmetic)
Previous exams: 2016, 2017

References: §2
 §3
 § 4
 § 2
 § 1
 § 2
 § 3
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