Source: http://matematicasn.blogspot.pe/2016/01/areas-de-regiones-circulares-y.html
Timestamp: 2018-03-21 10:29:00+00:00

Document:
ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES Y CUADRANGULARES EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF
1. ÁREA DEL CUADRADO(S)
2. ÁREA DEL PARALELOGRAMO(S)
3. ÁREA DEL ROMBO (S)
4. ÁREA DEL TRAPECIO (S)
TEOREMA Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.
7. ÁREA DE UN TRAPEZOIDE (S)
8. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA (S)
9. TEOREMA En todo cuadrilátero convexo se cumple, que al unir los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo; cuya área es igual a la mitad del área del cuadrilátero.
Demostración Comparación de Áreas S1 = Sumando las 2 expresiones S1 + S3 =
S1 + S3 = Analógicamente: S2 + S4 = S = L.q.q.d Observación: Igualando (1) y (2)
S1 + S3 = S2 + S4
10. ÁREA DEL CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, el área es igual al producto del semiperímetro y el radio de dicha circunferencia.
S = p.r.
p = S = Area (ABCD) Demostración S = Area (AIB) + Area (BIC) + Area (CID) + Area (AID)
S = p.r. L.q.q.d
11. Área del Cuadrilátero Inscrito (Teorema de Bramaguptha)
S = Area (ABCD), p = * Se deja la demostración al lector
12. Área del Cuadrilátero Bicéntrico (S) (Teorema de Leudesdorf)
Demostración: 1) PITHOT a+c = b+d = p 2) Teorema de Bramaguptha
S= S =
S = L.q.q.d
13. PROPIEDADES DE LAS REGIONES CUADRANGULARES 13.1 Si en un cuadrilátero convexo se trazan las diagonales se determina cuatro triángulos parciales y cumple que los productos de las áreas de los triángulos opuestos son iguales.
S1 . S3 = S2 . S4
Demostración 1) Comparación de Áreas
2) Igualando
S1 . S3 = S2 . S4 L.q.q.d
13.2 En todo trapecio, las áreas de los triángulos laterales determinados al trazar las dos diagonales, son iguales. Es decir dichos triángulos son equivalentes.
Demostración 1) Área (ABD) = Área (ACD) = S1 + Z = Z + S2
2) Simplificando Z
S1 = S2 L.q.q.d.
13.3 Si ABCD es Trapecio
S1 = Area (BPC) S2 = Area (APD) S = Area (ABCD)
Demostración 1) Propiedad 13.2 Area (APB) = Area (CPD) = X
2) Propiedad 13.1 X² = S1 . S2  X = 3) S = S1 + 2X + S2 ..... (2) 4) (1) en (2) S=( )²+ 2 + ( )² S = ( + )²
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES
CIRCULO. Es la región del plano limitada por una circunferencia Teorema 1. El área de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio S: Área del Círculo C: Longitud de la circunferencia
C = 2 R
S = R = S =  R² D: Diámetro S =  R: Radio S =
II. SECTOR CIRCULAR Es la porción del círculo limitada por dos radios Teorema 2. El área de todo sector circular de radio R y ángulo central “” es: S: Area del Sector Circular R² ------ 360º s ------ º
 O es centro 2R ----- 360º R es radio  ------   es longitud de arco
 = (II) Dividendo I entre II
III. SEGMENTO CIRCULAR Es la porción del círculo limitada por una cuerda y su respectivo arco.
S = Area del Segmento Circular
IV. ZONA O FAJA CIRCULAR Es la porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas. a) Las bases a un mismo lado del centro. S: Área de la faja circular
mAOD =  mBOC = 
S = SADsegmento – SBCsegmento
S = Si  +  = 180º Sen  = Sen  S =
b) Las bases a diferentes lados del centro. O : Centro S : Area de la faja circular
mAOD = º
mBOC = º S = R² - S AD segmento – S BC segmento S = Si  +  = 180º => Sen  = Sen 
V. CORONA CIRCULAR Se llama así a la región del plano exterior a la menor de dos circunferencias concéntricas e interior a la mayor S : Área de la A B Corona Circular S =  R² -  r²
S =  (R² - r²)
Pitágoras: R² - r² = S =
AB es cuerda tangente a la circunferencia menor
VI. TRAPECIO CIRCULAR O es el centro S es área del trapecio circular
S = a : Longitud del arco AB b : Longitud del arco CD
OBSERVACION En algunos problemas donde no sea necesario resaltar el ángulo central del sector circular al que hagamos referencia escribiremos las expresiones directas para el área, como una fracción del círculo correspondiente
La Mitad de circulo Un Tercio de circulo
Un cuarto de circulo Un Sexto de circulo
S1 + S2 = S3
S1 : Área del semicírculo de diámetro AB S2 : Área del semicírculo de diámetro BC S3 : Área del semicírculo de diámetro AC
Demostración. 1. S1 = AB², S2 = BC², S3 = AC² 2. S1 + S2 = (AB² + BC²) 3. S1 + S2 = AC²
4. S1 + S2 = S3 L.q.q.d.
LUNULAS DE HIPÓCRATES
S1 y S2 son áreas de las lúnulas. S : Área del triángulo ABC
S1 + S2 = S
Demostración: Por la propiedad 1
(S1 + X) + (S2 + Z) = (X + S + Z)
S1 + S2 = S L.q.q.d.
S = S2 – S1
S : Area del triángulo ABC
(Z+X+S1)+(S1+Y+W) = (Z + S2 + W)
x + S1 + y + S1 = S2
S + S1 = S2
S = S2 - S1 L.q.q.d.
S4 = S1 + S2 + S3
Propiedad 2 : S4 – S3 = Area (ABC) Lúnulas: S1 + S2 = Area (ABC) Igualando: S4 – S3 = S1 + S2
S4 = S1 + S2 + S3 L.q.q.d.
1. Las diagonales de un cuadrilátero miden 30m y 40m. Calcular el área del cuadrilátero sabiendo además que dichas diagonales forman un ángulo de 30°. A) 100m2 B) 200 m2 C) 300 m2 D) 400 m2 E) 500 m2
2. Sobre la circunferencia de un círculo de 6m de radio se toma el punto “M”, luego haciendo centro en “M” y con radio m. se traza un arco en el interior, cortando a la circunferencia en los puntos A y B. Calcular el área de la lúnula que se ha formado.
A) 12m2 B) 20 m2 C) 30 m2 D) 36 m2 E) 46 m2
3. Se tiene un rectángulo ABCD en la que AB = 12m y BC= 6m; se toma como diámetro AB y se construye el semicírculo en el interior del rectángulo y luego haciendo centro en A y B se construyen en el interior del cuadrado, cuartos de círculos. Calcular el área común a los tres arcos. A) 6( - ) B) 6( - ) C) 4( + ) D) 2( - ) E) 3( + )
4. ABCDEF, es un hexágono regular da lado 6cm. Con centro en “A”, se traza un arco CE. Luego con centro en “D” se traza un arco de radio 6cm. hallar el área de la región que encierran dichos arcos. A) (30 - ) B)(30- ) C) ( +6) D) ( - 30) E) ( - 36)
5. AC es diámetro de una semicircunferencia circunscrita al triángulo isósceles ABC. Con centro en A y radio AC, se traza un arco CF, estando F en la prolongación de AB. Luego exteriormente al triángulo ABC se dibuja otra semicircunferencia de diámetro AF. Hallar el área de la región que encierra las curvas ABC, CF y FA, si la región triangular ABC tiene un área de 8m2.
A) 4m2 B) 5 m2 C)6 m2 D) 8 m2 E) 16m2
6. Sobre el diámetro AC de un semicírculo se toma el punto B y se dibuja interiormente dos semicircunferencias AB y BC (ABBC). Hallar el área de la región que encierran los arcos AB, BC y AC, si el segmento tangente común a AB y BC mide 8cm.
A) 64cm2 B)24cm2 C)32cm2 D) 16cm2 E) 8cm2
7. Un rectángulo de 48m2 de superficie esta inscrito en una circunferencia de 10 metros de diámetro. Hallar el perímetro del rectángulo
A) 48m B) 28m C)30m D) 40m E) 25m
8. En el interior de un rectángulo ABCD, se ubica el punto “P” y en AD se ubica el punto “M”, tal que el triángulo MPD es equilátero. Calcular el área de la región cuadrangular BDCP, si MD= 2AM=12u.
9. Hallar el área de un trapecio rectángulo cuyas base miden 4 y 13 metros, sabiendo que una diagonal es perpendicular a un lado
A) 42m2 B) 51m2 C)64m2 D) 36m2 E) 60 m2
10. Se tiene un cuadrado ABCD, en la prolongación de AD se ubica el punto “M” y en CD al punto “L” tal que DMNL sea un cuadrado y AM=10u. Calcular el área de la región cuadrangular ABNM
A)25 u2 B) 30 u2 C)50u2 D)100 u2 E) 60 u2
11. Hallar el área de un rombo ABCD si “M” biseca a BC; AM corta BD en R, RM=2u y BRM=45°.
A) 12u2 B) 24u2 C)36u2 D) 48u2 E) 60u2
12. Hallar el área de un trapecio rectángulo ABCD, si ADDC; la base menor es DC=4; el lado no paralelo CB = 13 y la diagonal DB = 15.
A) 68u2 B) 78u2 C)88u2 D) 98u2 E) 100 u2
13. Hallar el área de región limitada por el rectángulo ABCD. Si las proyecciones de AB y AD sobre AC son 4m y 8m repectivamente
1. En el romboide ABCD donde , se construyen exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es
sen 30º
2. En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura:
A) B) 2:1 C) D) 3:1 E) 5:1
• Luego
3. En un trapezoide de área se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios.
Del dato = S •
x  RPTA.: C
4. Las bases de un trapecio RUSO están unidas por un segmento MN (N en ) , US= 10 m, RO= 20 m y NO = 12 m Calcule MS si MS > UM y las áreas de las regiones parciales están en la relación de 1 A 2
A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m
• Por áreas:
5. En la figura, calcule el área de la región triangular CAD si: , y siendo y lados del triángulo equilátero y cuadrado inscritos en la circunferencia, “Z” es el centro.
 Por arcos
 Por tanto
6. En el cuadrilátero MAON donde y . Calcule el área de la región triangular NAO.
* (ALA)
7. En el cuadrante , OA = 1m. Calcule el área de la región sombreada.
(Isósceles):
Por relación de áreas:
8. En la figura “M” es centro, CP = PM ND = 2 MN y el radio mide 60m. Calcule el área de la región sombreada.
9. Se tiene 2 circunferencias congruentes de radios “R” y secantes en los puntos C y D (Los centros de las circunferencias son A y B) de tal manera que el centro de una circunferencia pertenece a la otra circunferencia; la recta tangente en “A” intercepta a la otra circunferencia en “P” y luego intercepta a en Q. Calcule el área del segmento circular QAC. A) B) C) D) E)
10. En la figura mostrada, “O” es centro. Calcule el área de la región sombreada.
11. En un cuadrante AOB de centro “O” y radio 2 m se ubica en el punto M y se traza una perpendicular a que intercepta a y en los puntos N y P respectivamente. Calcule el área de la región triangular mixtilínea ANP si MN = NP.
12. Calcule el área de la región sombreada si: AB = BC = CD y el radio mide (“O” es centro de la circunferencia).
• OHD (Pitágoras)
 2 RPTA.: D
13. En el octágono regular ABCDEFGH inscrito es una circunferencia de radio 2 m. Calcule el área de la región cuadrangular que se obtiene al unir los puntos medios de , , y .
RESOLUCIÓN Radio = 2 m • • BF = Diámetro = 2R = 2 (2) = 4 • Trapecio
• Área =
14. En la figura, calcule Sx, si: , y EF = FL
RESOLUCIÓN … Área AEDF = ………………… • Igualando =
8 + 18 = 36 =
15. Calcule el área de la región sombreada si: , AG = GF y el área de la región triangular ABC es
• Por Thales: y • Paralelogramo DBEF: BO = OF • ( BASC Media):
• y ( igual):  RPTA.: A
16. Calcule el área de la región sombreada si: AB =BC y R = 6 m.
17. En la figura el área de la región triangular mixtilínea AGE es , el área del sector DOC es y = ; BG = BF = 2 AG. Calcule el área de la región sombreada (O es centro de la circunferencia).
RESOLUCIÓN • Por igual altura
18. En la figura: “O” centro, AM= 2 y . Calcule el área de la región sombreada.
19. En el triángulo ABC se traza la mediatriz MN de siendo , N en ; luego se traza la altura BH. Calcule el área de la región cuadrangular ABNH, si el área de la región triangular ABC es S.
Se trata la mediana BM
• Luego trapecio BHMN, por propiedad:
• Finalmente:
20. Calcule el área de la corona circular si: AP = a y PC = b (C: pto. de tangencia)
RESOLUCIÓN Por Teorema de la tangente
• Por Pitágoras AED:
RPTA.: C 1. En el romboide ABCD donde , se construyen exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es
A) B) C) D) E) 2. En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura:
A) B) 2:1 C) D) 3:1 E) 5:1 3. En un trapezoide de área se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios.
A) B) C) D) E) 17. En la figura el área de la región triangular mixtilínea AGE es , el área del sector DOC es y = ; BG = BF = 2 AG. Calcule el área de la región sombreada (O es centro de la circunferencia).
A) B) C) D) E) 18. En la figura: “O” centro, AM= 2 y . Calcule el área de la región sombreada.
A) B) C) D) E) 19. En el triángulo ABC se traza la mediatriz MN de siendo , N en ; luego se traza la altura BH. Calcule el área de la región cuadrangular ABNH, si el área de la región triangular ABC es S.
DISTRIBUCIONES NUMERICAS PREGUNTAS RESUELTAS
SUFICIENCIA DE DATOS PREGUNTAS RESUELTAS
RAZONAMIENTO ESPACIAL DESAROLLO Y RECONSTRUCCION D...
PSICOTÉCNICO GRÁFICO PREGUNTAS RESUELTAS
ORDENAMIENTO DE INFORMACION PREGUNTA RESUELTA
CRIPTO ARITMÉTICA Y OPERADORES MATEMÁTICOS PREGUNT...
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS DE ESTADÍSTI...
PLANTEO DE INECUACIONES Y REGLA DE TRES EJERCICIOS...
CONTEO DE CUADRILATEROS PREGUNTA RESUELTA
COMBINACIONES CON REPETICIÓN PREGUNTAS RESUELTAS
MATEMÁTICAS PARA PRIMARIA Y SECUNDARIA EN TUTORIAL...
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN PREGUNTAS RESUELTAS D...
NÚMERO FACTORIAL PREGUNTAS RESUELTAS
PRINCIPIO DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN PREGUNTAS RE...
COMBINACIONES , PERMUTACIONES Y VARIACIONES SIN RE...
PERMUTACIONES Y ARREGLOS CIRCULARES PREGUNTAS RESU...
LA HIPERBOLA PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI...
LA ELIPSE PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI-SA...
ECUACIÓN DE LA RECTA PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE N...
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA PROBLEM...
SISTEMA CARTESIANO-PLANO COORDENADO PROBLEMAS CON ...
ÁNGULOS HORIZONTALES PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE N...
RUEDAS Y NÚMERO DE VUELTAS PROBLEMAS CON RESPUESTA...
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS PROBLEMAS CON...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS PROBLEMA...
SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR PROBLEMAS CON RESPUESTA...
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE ...
MÁXIMOS Y MÍNIMOS PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVE...
TEOREMA DE PAPPUS Y GULDING PROBLEMAS CON RESPUEST...
LA ESFERA Y SUS PARTES PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE...
CONO PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI-SAN MAR...
PIRÁMIDE PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI-SAN...
CILINDRO PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NIVEL UNI-SAN...
PRISMA Y PARALELEPÍPEDO PROBLEMAS CON RESPUESTAS D...
POLIEDROS REGULARES PROBLEMAS CON RESPUESTAS DE NI...
ÁNGULOS POLIEDROS Y ÁNGULOS TRIEDROS PROBLEMAS CON...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NOR...
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE PROBLEMAS CON RESPUE...
LAS LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS EN EL CÍRCULO UNITARIO ...
VERSO , COVERSO , EXSECANTE , EXCOSECANTE LÍNEAS A...
GUIA DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PROBLEMAS CON ...
SENO , COSENO Y LA TANGENTE DE LA SUMA Y RESTA DE ...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE PROBLEMAS...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD Y TRIPLE ...
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS PROBLEMAS CON RES...
SERIES TRIGONOMÉTRICAS , DOMINIO Y RANGO DE UNA F...
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PROBLEMA...
EL PERIODO Y LOS DESPLAZAMIENTOS DE LAS GRÁFICAS D...
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS PROBLEMAS CON R...
ANÁLISIS BÁSICO DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES T...
LÍMITES Y DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRIC...
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS PROBLEMAS CON RESPUESTA...
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS ...
LEY DE SENOS , COSENOS , TANGENTES Y PROYECCIONES ...
DETERMINACIÓN DE BISECTRICES , RADIOS Y ÁREAS EN F...
MÉTODO DE HORNER PARA DIVIDIR POLINOMIOS EJERCICIO...
MÉTODO DE RUFFINI PARA DIVIDIR POLINOMIOS EJERCICI...
DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR EL MÉTODO CLASICO O TRA...
LA ESFERA EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA DEL ES...
CILINDRO Y CONO EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ...
PRISMA Y PIRAMIDE EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍ...
RECTAS , PLANOS , DIEDROS , TRIEDROS Y POLIEDROS E...
ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES Y CUADRANGULARES EJER...
POLÍGONOS REGULARES EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMET...
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIO...
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTANGULOS ...
PROPIEDADES EN LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS RESUEL...
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS RESUELTOS ...
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS EJERCICIOS RESUELTOS DE ...
SEGMENTOS Y ÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMET...
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS - TEOREMA D...
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE...
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS EJERCICIOS RESU...
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS DE SUMA A PRODUCT...
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO DOBLE Y MITAD E...
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO TRIPLE EJERCICI...
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO Y R...
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS D...
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA EJERCICIOS RESUELTOS...
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULA...
LONGITUD DE ARCO , SECTOR CIRCULAR , RUEDAS Y ENGR...
LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGU...
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Y ÁNGULO ENTRE 2 RECT...
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS , DIVISIÓN DE UN SEGMEN...
ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y DE UN CUADRILÁTERO USANDO E...
TEORÍA DE CONJUNTOS , OPERACIONES , PERTENENCIA E ...
INTERÉS Y DESCUENTO SIMPLE EJERCICIOS RESUELTOS DE...
REGLA DE TRES Y PORCENTAJES EJERCICIOS RESUELTOS D...
MAGNITUDES PROPORCIONALES EJERCICIOS RESUELTOS DE ...
RAZONES , PROPORCIONES Y PROMEDIOS EJERCICIOS RESU...
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ARITMÉTICA EJERCICIOS RE...
NUMEROS RACIONALES Y AVALES EJERCICIOS RESUELTOS D...
MÁXIMO COMUN DIVISOR Y MÍNIMO COMUN MÚLTIPLO EJERC...
NÚMEROS PRIMOS EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA ...
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS DE...

References: RESOLUCIÓN 

RESOLUCIÓN 

RESOLUCIÓN 

RESOLUCIÓN 

RESOLUCIÓN 

RESOLUCIÓN