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Timestamp: 2018-05-24 17:56:14+00:00

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4.2. INECUACIONES.
4.2.1. Definición. Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades
4.2.2. CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACION.
Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es
decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado.
4.2.3. RESOLUCION DE UNA INECUACION.
El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo
donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.
4.2.4. NECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
ax ± b > 0
ax ± b < 0
ax ± b ≥ 0
ax ± b ≤ 0
Para todo a ≠ 0
La idea es despejar el valor de x, teniendo en cuenta las propiedades de los números reales.
1) Resolver: 5x+2 > x-6
La idea es tener la incógnita en un miembro y los números en el otro miembro.
5x + 2 > x - 6
Pasando a x al primer miembro
5x + 2 -x >- 6
4x+2>-6
Pasamos ahora 2 al segundo miembro.
4x>-6-2
4x>-8
Pasando 4 al segundo miembro; como está multiplicando ; pasa dividiendo.
x 2, 8
∴ ∈ − +
4.2.5. INECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
Las inecuaciones de segundo grado con una incógnita son de la forma:
ax +bx+c>0 o ax +bx+c<0 , a 0 ≠
Donde a, b, c ∈ R, siendo a ≠ 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales o también por medio de la naturaleza de las raíces del trinomio
Pueden presentarse los siguientes casos:
I. CASO: RESOLUCIÓN POR DESCOMPOSICION DE
Deberá tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades, tales como:
i). El producto de dos números reales es positivo, si sólo si ambos factores son positivos o
-3x-4>0
-3x-4=(x-4)(x+1)
entonces: (x-4)(x+1) >0
i) x 4 0 x 1 0
(x 4)(x 1) 0 .......(*)
ii) x 4 0 x 1 0
− > ∧ + > ¦
− + > ¬
− < ∧ + <
(*) Si : a.b>0¬a>0 ∧ b>0
a<0 ∧ b<0
Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano
Luego en (*)
i) x>4 ∧ x>-1
x>4 ….(1)
ii) x<4 ∧ x<-1
x<-1 ….(2)
La solución será (1) ∪ (2): x , 1 4, ∈ −∞ − ∪ +∞
II CASO: COMPLETANDO CUADRADOS
Para resolver inecuaciones de segundo grado por este método se debe tener en cuenta las
siguientes propiedades de números reales.
i) Si : a 0; x a a x a
ii) Si : a 0; x a (x a ) ( x a)
> < ⇔− < <
> > ⇔ < − ∨ >
El procedimiento usual es convertir un trinomio:
ax bx c 0 (a 0) (b 0) + + > ≠ ≠ en un trinomio
cuadrado perfecto, para lo cual se procederá de la siguiente forma:
a) Se observará que existan los coeficientes de los términos
cuadráticos (x
) , y es lineal (x
b) El coeficiente del término cuadrático deberá ser: 1….(siempre)
c) Se suman ambos miembros el cuadrado de:
d) Se llevará a una forma conocida i) o ii).
Resolver la inecuación. x
+3x+3>0
x 3x 3 0 ; donde : b 3, a 1
+ + > = =
Luego deberemos agregar:
x 3x 3 x 3x 3 0
3 12 9 3 3
+ + + > ¬ + + − + >
¬ + + > ¬ + + >
¬ + > −
La solución será : x R ∈
4.2.6. INECUACIONES POLINOMICAS DE GRADO ≥ 2(FACTORIZABLES)
Si tenemos una inecuación polinómica en una variable, ordenada de la forma:
P(x) a a x ... a x = + + +
Con a ,a ,...a constantes 0 ≠ ;la cual podemos escribir de la forma:
x r x r x r ... x r 0 − − − − > Con x∈R
r ,r ,r ,r ,...,r se llaman puntos críticos
i) Estos puntos críticos se hallan igualando parcialmente cada factor a cero (no importando por
ahora el sentido de la desigualdad)
ii). Los puntos críticos los ubicamos en forma ordenada en la recta numérica real formando
iii).Una vez colocados estos intervalos, se les asignará signos positivos y negativos en forma
alternada, de extremo derecho al izquierdo comenzando siempre por la derecha de la forma:
Para la solución final tomaremos en cuenta las siguientes recomendaciones.
a). Si la inecuación tiene el signo >, la solución estará dada por la unión de los intervalos
“positivos” (llevan el signo +) y si tiene el signo ≥ , los intervalos serán cerrados.
b). Si la inecuación tiene el signo <, la solución estará dada por la unión de los intervalos
“negativos” (llevan el signo -) y si tiene el signo ≤ , los intervalos serán cerrados.
c). Los intervalos - ∞ y + ∞ son considerados abiertos en la solución final.
d). Los términos en x (los coeficientes) deberán ser siempre positivos.
24x 2x 5x x 0 + − − ≥
Factorizando la expresión aplicando la regla de ruffini:
− + + ≥
Hallando los puntos críticos:
x 0 ; x 0; x 0 ; x 0
x 0; x ; x ; x
= − = + = + =
¬ = = = − = −
Ubicando los “puntos críticos” en la recta numérica:
Por tener signo ≥ 0; los intervalos (+) serán cerrados.
x , ,0 ,
∈(−∞ − +∞,
4.2.7. INECUACIONES RACIONALES.
Donde P(x) y Q(x) son polinomios ordenados en “x“ completos o no.
Para la solución al factorizar Q(x), los valores críticos en sus intervalos respectivos siempre
serán “bola abierta”…..”o”
El método más práctico es el de los “puntos críticos”
Entonces P(x)= x-2 , Q(x)= x
+x-2=(x+2)(x-1)
Los puntos críticos serán:
x-2=0 ; x+2=0 ; x-1=0
Deben ser "bola abierta"
para evitar la indet er minacion
de dividir entre cero
x 2 ; x 2 ; x 1 = = − =
[ x 2,1 2, ∴ ∈ − +∞,
x 4 x 5 x 3
3x 2 (2x 1)(x 4)
• Cuando un factor tiene exponente natural impar, sólo lo consideraremos una vez
• Cuando un factor tiene exponente natural par, se obvia en la solución (teniendo en
cuenta si puede o no ser “cero”)
0; Con 3x 2 0
> + ≠
x 4 0 ; x 5 0 ; x 3 0 ; 2x 1 0 ; x 4 0
x 4 ; x 5 ; x 3 ; x ; x 4
− = + = − = − = + =
= = − = = = −
x 5, 4 ,3 4, x
∈ − − +∞ − = −
4.2.8. INECUACIONES EXPONENCIALES
Se presentan únicamente las formas:
1). N N
2). N N
Tanto en f(x) como g(x); x R; ademas N R
Si : N N f(x) g(x) ; siempre que N 1(el sentido no cambia) > ¬ > >
Colocamos 4 y 8 en base 2:
Efectuando “el exponente de exponentes”….
Se observa que N=2 (2>1)…….
2x 3( x 2)
Entonces estamos en el primer caso:
2x 3(x 2)
Resolviendo; la solucion sera
x , 2 6,
∈ −∞ − +∞
2. Resolver: ( ) ( )
Transformando convenientemente
Estamos en el caso 2
Se observa que N=0.2(<1)
3 x 1 2 x 3
Resolviendo la inecuacion por puntoscriti cos :
x 1,2 3,5
4.2.9. INECUACIONES LOGARITMICAS
Debemos recordar previamente que si:
log N x N b = ⇔ =
Además de las siguientes propiedades del logaritmo:
I. log AxB log A log B
II. log log A log B
III. log A nlog A
IV. log A .log A
V. log 1 0
VI. log b 1
VII. log N (cambio de base)
1) Los logaritmos sólo se extraen a números reales.
2) La base de un logaritmo no puede ser menor que cero(tampoco cero)
Se presentan entonces dos casos:
I CASO: La base b es mayor que 1.
a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo negativo
log x< log y
log x>N x>b
log x<N x<b
Por ello ;dados x, y R
Si : b 1 0 x y
Si : x 0; b 1
x 0; b 1
> ∧ < < ¬
> > ¬ ¬
II CASO: La base b es 0 <b <1
a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo.
b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo positivo.
log x>N 0<x<b
log x<N x>b
Si : x 0; 0 b 1
x 0; 0 b 1
> < < ¬ ¬
1. Resolver: 2
2 3 log 2 log 3 xlog 2 log 3
x log 3, Rpta.
> ⇔ > ⇔ >
∴ ∈ + ∞
Por estar la incógnita como exponente, la hemos bajado tomando logaritmo a ambos miembros.
Además hemos tomado log
2; para aplicar la propiedad:
log b 1 =
2log (x 2) log (x 3)
2log (x 2) log (x 3) log .......(*)
En (*) : 0 8
x 2; x 3 0 4
x 2; x 3 4 0
− − − > ¬ >
> ∧ >
≠ − > ∧ >
≠ > ∧ − >
x 2 4(x 3)
x 8x 16
x 3 0 ; x 4
x 2; x 3 x 3 ; x 4
x 2,3 4,
∧ >
∧ − > ≠
≠ > > ≠
∴ ∈ +∞
4.2.10. INECUACIONES CON RADICALES
1.- LEMA : Sean x , y números ℜ Entonces:
0 x ≤ y ≤ 0 x y ⇔ ≤ ≤
2.- LEMA : Sean x , y números ℜ
0 x ≤ < y 0 x y ⇔ ≤ <
3.- TEOREMA si n es un Z
par entonces:
x y ≤ 0 x y ⇔ ≤ ≤
y 0 x y ⇔ ≤ <
4.- TEOREMA Si n es una Z
impar entonces
a) x y x y
c) x 0 x 0
d) x 0 x 0
5.- TEOREMA Sean a y b números R, entonces :
a b a 0 b 0 a b
< ⇔ ≥ ∧ > ∧ <
≤ ⇔ ≥ ∧ ≥ ∧ ≤
6.- TEOREMA Sean a y b números R, entonces :
a b a 0 b 0 (b 0 a b )
> ⇔ ≥ ∧ < ∨ ≥ ∧ >
≥ ⇔ ≥ ∧ < ∨ ≥ ∧ ≥
Resolver las inecuaciones dadas y representar sus soluciones sobre una recta real.
Por el teorema: ] )
b a 0 b ( 0 b [ 0 a b a ≥ ∧ ≥ ∨ < ∧ ≥ ⇔ ≥
Calculo del universo:
) 0 4 x 2 0 2 x
x ( < + − ∧ ≤ − − ∨ > + − ∧ ≥ − −
Calculo de A:
2 4 x 0 2 x
x : A < + ∧ ≥ − −
4 4 x 0 ) 1 x ( ) 2 x ( < + ∧ ≥ + −
4 4 x 0 ) , 2 [ ] 1 , x ( < + ≤ ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
0 x 4 ) , 2 [ ] 1 , x ( < ≤ − ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
> − ∈ ∩ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈ 0 , 4 [ x ) , 2 [ ] 1 , x (
] 1 , 4 [ x A − − ∈ = ∴
4 x 2 0 2 x
x : B + < ∧ ≤ − −
4 x 4 0 ) 1 x ( ) 2 x ( + < ∧ = + −
4 x 4 0 0 ) 1 x ( ) 2 x ( + < ≤ ∧ = + −
4 x 4 4 0 ) 0 1 x 0 2 x ( + < ∧ ≤ ∧ = + ∨ = −
x 0 ) 1 x 2 x ( < ∧ ℜ ∧ − = ∨ =
0 x ) 1 x 2 x ( > ∩ − = ∨ =
} 2 { B = ∴
Sustituyendo A y B
} 2 { ] 1 , 4 [ x U ∪ − ∈ =
Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es
} 2 { ] 1 , 4 [ U x C.S. ∪ − = ∈ = ∴
b a 0 b ( 0 b [ 0 a b a > ∧ ≥ ∨ < ∧ ≥ ⇔ >
x 9 0 3 2 x
x ( < − − ∧ ≤ + − + ∨ > − − ∧ ≥ + − +
x 9 1 3 2 x
x : A − < ∧ − ≥ − +
x 9 1 0 0 ) 1 x ( ) 2 x ( − < ≤ ∧ ≥ − +
x 1 0 ) , 1 [ ] 2 , x ( < − ∧ ≤ ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
] 0 ) 2 2 x ( ) 2 2 x ( [ ) , 1 [ ] 2 , x ( < + − ∧ ℜ ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
] 2 2 , 2 2 x [ ) , 1 [ ] 2 , x ( > − < ∈ ∧ ℜ ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
> − < ∈ ∩ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈ 2 2 , 2 2 x ) , 1 [ ] 2 , x (
> ∪ − − < ∈ = ∴ 2 2 , 1 [ ] 2 , 2 2 x A
x : B < − ∧ ≤ + − +
x 9 < − ∩ φ
φ = ∴ B
> ∪ − − < ∈ = φ ∪ > ∪ − − < ∈ = 2 2 , 1 [ ] 2 , 2 2 x ) 2 2 , 1 [ ] 2 , 2 2 x ( U
> ∪ − − < = ∈ = ∴ 2 2 , 1 [ ] 2 , 2 2 U x C.S.
) 0 4
x 21 0 4 3x
x ( < − − ∧ ≤ − − ∨ > − − ∧ ≥ − −
x 0 4 x 3
x : A < − ∧ ≥ − −
x 0 ) 1 x ( ) 4 x ( < − ∧ ≥ + −
x 0 ) , 4 [ ] 1 , x ( < − ≤ ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
x 4 ) , 4 [ ] 1 , x ( < ≤ ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
] 5 , 5 x ) ] 2 , x , 2 [ x ( [ ) , 4 [ ] 1 , x ( > − < ∈ ∩ − ∞ − < ∈ ∪ > ∞ + ∈ ∧ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
) 5 , 2 [ ] 2 , 5 x ( ) , 4 [ ] 1 , x ( > ∪ − − < ∈ ∩ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈
> ∪ − − < ∈ = ∴ 5 , 4 [ ] 2 , 5 x A
x 21 0 4 x 3
x : B − < ∧ ≤ − −
x 21 0 ) 1 x ( ) 4 x ( − < ∧ = + −
x 21 0 0 ) 1 x ( ) 4 x ( − < ≤ ∧ = + −
x 21 21 0 ) 0 1 x 0 4 x ( − < ∧ ≤ ∧ = + ∨ = −
x 25 ) 1 x 4 x ( < ∧ ℜ ∧ − = ∨ =
) 5 x 5 x ( ) 1 x 4 x ( − < ∨ > ∩ − = ∨ =
φ ∪ > ∪ − − < ∈ = ) 5 , 4 [ ] 2 , 5 x ( U
> ∪ − − < ∈ = ∈ = ∴ 5 , 4 [ ] 2 , 5 x U x S. C.
4. 6 x
2 4 5x
) 0 2 x 2 0 2 4 x 5
x ( < − − ∧ ≤ − + − ∨ > − − ∧ ≥ − + −
4 2 x 4 4 x 5
x : A < − ∧ ≥ + −
4 2 x 0 4 5x
x 4 0 < − ≤ ∧ + − ≤ ≤
6 x 2 4 5x
x 4 0 4 < ≤ ∧ + − ≤ ∧ ≥
6 x 2 0 ) 5 x ( x < ≤ ∧ ≥ − ∧ ℜ
> ∈ ∧ > ∞ + ∪ ∞ − < ∈ 6 , 2 [ x ) , 5 [ ] 0 , x (
> ∈ = ∴ 6 , 5 [ x A
2 x 4 0 2 4 x 5
x : B − < ∧ ≤ − + −
2 x 4 0 4 4 5x
x − < ≤ ∧ ≤ + −
2 x 4 4 0 4 4 5
x 0 − < ∧ ≤ ∧ ≤ + − ≤ x
6 x ) 4 4 5x
x 0 4 5x
x ( > ∧ ℜ ∧ ≤ + − ∧ ≥ + −
6 x ] 0 ) 5 x ( x 0 ) 1 x ( ) 4 x ( [ > ∧ ≤ − ∧ ≥ − −
> ∞ + < ∈ ∩ ∈ ∩ > ∞ + ∪ ∞ − < ∈ , 6 x ] ] 5 , 0 [ x ) , 4 [ ] 1 , x ( [
> ∞ + < ∈ ∩ ∪ ∈ , 6 x ) ] 5 , 4 [ ] 1 , 0 [ x (
φ ∪ > ∈ = 6 , 5 [ x U
> = ∈ = ∴ 6 , 5 [ U x C.S.
5. Si } 0 5 x 3 2x / x { A ≥ − + ℜ ∈ = y } 0 8 2 x 6 x / x { B > + − − ℜ ∈ = ; hallar B A∩ .
Determinar por extensión el conjunto A:
} 0 5 x 3 2x / x { A ≥ − + ℜ ∈ =
( x 0
{ 0 x
∨ <
∧ ≥
4x 20x 25
( x 2 5 [ 2 5 { 0 x
≥ ∧ ≤ ∨ > ∧ ≥ x x
} ] 0 25 29x
4x 2 5 x [ 2 5 x { 0 x ≤ + − ∧ ≤ ∨ > ∧ ≥
} ] 0 ) 1 (x ) 25 4x ( 2 5 x [ 2 5 x { 0 x ≤ − − ∧ ≤ ∨ > ∧ ≥
} ) ] 4 25 , 1 [ x 2 5 x ( 2 5 x { 0 x ∈ ∧ ≤ ∨ > ∧ ≥
} ] 2 5 , 1 [ x 2 5 x { 0 x ∈ ∨ > ∧ ≥
> ∞ + ∈ ∧ ≥ , 1 [ x 0 x
> ∞ + ∈ = , 1 [ x A
Determinar por extensión el conjunto B:
} 0 8 2 x 6 x / x { B > + − − ℜ ∈ =
Por el teorema: ]
b a 0 b [ 0 a b a < ∧ > ∧ ≥ ⇔ <
( 2 x 0
[ 0 2 x
< − ∧ >
∧ ≥ −
] 64 16x
x ) 2 x ( 36 8 x [ 2 x + + < − ∧ − > ∧ ≥
x 72 36x 8 x [ 2 x + + < − ∧ − > ∧ ≥
] 0 138 20x
x 8 x [ 2 x > + − ∧ − > ∧ ≥
] 0 38
) 10 x ( 8 x [ 2 x > + − ∧ − > ∧ ≥
] 8 x [ 2 x ℜ ∧ − > ∧ ≥
8 x 2 x − > ∧ ≥
> ∞ + ∈ = , 2 [ x B
Hallar > ∞ + ∈ ∩ > ∞ + ∈ = ∩ , 2 [ x , 1 [ x B A
> ∞ + ∈ = , 2 [ x C.S.
1. Resolver : 0
x ( . ) 12 (x . ) 8 7x
x ( .
) 1 x ( .
) 2 - x ( .
x . x - 12
2. Si } 0
x - 21 4x 3x - 3 / Z x { A ≤ + − ∈ = y }
y x / Z y / A x { B = ∈ ∃ ∈ = ;
hallar el complemento de A en B.
3. Resolver: 0
) 48 4x
) 12 13x
) 1 - x ( .
4. Determinar el valor de m para que la inecuación: 3
< , se cumpla
ℜ ∈ ∀ x .
4.2.11. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO.
1). a 0 , a R
2). a a, a R
3). a a
4). ab a b
5). , b 0
6). a b a b (desigualdad triangular)
1. x y y 0 ( y x y)
2. x y y 0 (x y x y)
3. x y x y x y
4. x y x y
< ⇔ > ∧ − < <
> ⇔ ≥ ∧ > ∨ < −
< ⇔ < ⇔ =
1. Demostrar la validez de cada uno de las siguientes proposiciones:
a) Si 1
c) 20 5 3x 4 , 5 [ x ≤ − → > − ∈
b) Si > < ∈
→ < 1 , 0 )
( 4 1 - x
e) Si a, b, c ℜ ∈ c b a c b a + + ≤ + +
3 x 3 3 x < < − ↔ < Multiplicando por -1:
3 x 3 < − < − ↔ Sumando + 4:
7 x 4 1 < − < ↔
< ↔ Pero como 1
< − ↔
∴ La afirmación es verdadera.
4 1 x 4 4 1 - x < − < − ↔ <
4 1 x 4 < − < − ↔ Sumando + 6:
8 5 x 2 < − < ↔ Invirtiendo:
< ↔
> < ∈
∴ La afirmación es falsa.
20 5 3x 20 20 5 3x ≤ − ≤ − ↔ ≤ −
20 5 3x 20 ≤ − ≤ − ↔ Sumando + 5:
25 3x 15 ≤ ≤ − ↔ Dividiendo entre 3:
≤ ≤ − ↔
x 5 ≤ ≤ − ↔
, 5 [ x − ∈
i ) 1 x 1 1 x < < − ↔ <
1 x 1 < < − ↔ Multiplicando por 5:
5 x 5 5 < < − ↔ Restando – 1:
4 1 x 5 6 < − < − ↔
ii ) 1 x 1 1 x < < − ↔ <
1 x 1 < < − ↔ Multiplicando por 2:
2 x 2 2 < < − ↔ Restando – 3:
1 3 x 2 5 − < − < − ↔ Invirtiendo:
1 − <
Multiplicando en aspa i) y ii)
1. En las siguientes implicaciones, el antecedente es verdadero, demostrar que el consecuente
1 , 0 x <
→ > < ∈
b) Si a, b ℜ ∈ b a b a + ≤ −
d) 2 2 x x 1 1 x = − + → < −
< − ↔ <
− < − ↔ Multiplicando por - 1:
< − ↔ Sumando + 2:
< ↔ Invirtiendo:
< ↔ Multiplicando por 6:
< + < ↔ Restando – 3:
< < − ↔
> − < ∈
x ∴ La afirmación es falsa.
b ab 2
b 2ab
b) a (
− = + − ≤
≤ + − = − = −
b a − ≤ −
b a b a − ≤ − l.q.q.d.
+ < − ↔ Restando - 1:
< − ↔ Invirtiendo2:
< − ↔ Multiplicando por 4:
2 1 x 1 < + < − ↔ Restando – 3:
1 x 2 < < − ↔ Pero -1 > -2
1 x 1 < < − ↔
2. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
a) Si 12 x 0 x y
> → > < −
b) Si 28 4 3x
x ] 2 , 3 [ x < − + − → − ∈
c) Si 0 c con c, b a c b a > + < → ≤ −
→ > ∧ < −
> ∧ <
0 x 14 2 x > ∧ > +
0 x ) 14 2 x 14 2 x ( > ∧ − < + ∨ > +
0 x ) 16 x 12 x ( > ∧ − < ∨ >
12 x >
Ya que si ] 2 , 3 [ x − ∈ , podemos elegir 3 x − =
En este caso: 2 ) 3 ( 3
) 3 ( 4 3x
x + − + − − − = − + −
Por ejemplo si : que tiene se , 1 c b , 1000 a = = − =
0 c c, b a pero , c ] b a [ > + < < −
1 1 1000 pero , 1 ] 1 1000 [ + < < − −
3. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones para números reales.
a) Si 0 ) 2
x 3x ( ) 1 x ( 0 x > − − − → <
c) 3 7 2x 0 10 7x
x < − → < + −
b) 2 5 x
< − → <
d) > − − < ∈
→ < 10 1 , 4 1 )
28 58 <
0 ] ) 2 3x
x ( [ ) 1 x ( > + − − −
0 ) 2 3x
x ( ) 1 x ( < + − −
0 ) 2 x ( ) 1 x ( ) 1 x ( < − − −
0 ) 2 x (
) 1 x ( < − −
1 x 2 x ≠ ∧ <
} 1 { 2 , x − > ∞ − < ∈
2 5 x 2 2 5 x < − < − ↔ < − Sumando + 8:
10 3 x 6 < + < ↔ Invirtiendo:
< ↔ Multiplicando por - 1:
− < − ↔ Sumando + 1:
− < ↔
0 10 7x
x < + −
) 2 7 x ( < − −
) 2 7 x ( < −
2 3 2 7 x 2 3 < − < −
3 7 x 2 3 < − < −
3 7 x 2 < −
3 x 3 3 x < < − ↔ <
4 7 x 10 − < − < − ↔
> − − < ∈
4. Demostrar que ℜ ∈ ∀ b , a : b a b a + ≤ −
Aplicaremos la desigualdad triangular para la resta:
ℜ ∈ ∀ + ≤ − y , x , y x y x
i) a b a a b) (a + + ≤ − +
a b a b + + ≤
b a b a + − ≥ −
ii) b b a b b) (a + + ≤ − +
b b a a + + ≤
b a b a + ≤ −
Por i) y ii), se tiene:
b a b a b a + ≤ − ≤ + −
Por el Teorema: b x b 0 b b x ≤ ≤ − ∧ ≥ ↔ ≤
b a b a + ≤ − l.q.q.d.
5. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
2 5 - x <
1 x 0 <
< → < <
d) > < ∈
→ > − < ∈ 4 1 , 10 1 )
( 5 , 2 x
∴La afirmación es verdadera.
b) Si 3
3 2 x 1 < + < ↔ Restando – 2:
10 x 8 4 < − < ↔ Multiplicando por – 1:
4 8 x 10 − < − < − ↔
4 x 2 < < − ↔
> − < ∈ 4 , 2 x
6. Demostrar que si ) b a ( ) b (a b a a b 0 − + ≤ − → ≤ ≤
Como: a, b 0 ≤ ≤ entonces: b a b - a , b b , a a − = = =
y b a b a + = +
Sabemos que: a / b b - + ≤
0 b) a ( / b a b a ≥ − + ≤ −
/ b) (a b) (a
b) (a − + ≤ −
b) (a b) (a b a − + ≤ −
) b a ( ) b (a b a − + ≤ −
7. Demostrar que : d c, b, a, ℜ ∈ ∀ d c c b b a d a − + − + − ≤ −
Desde la desigualdad triangular: v u v u + ≤ + , ℜ ∈ ∀ v u,
Es posible demostrar la siguiente desigualdad:
z ) y x ( z y x z y) (x + + ≤ + + ≤ + + , Pero: y x y x + ≤ +
ℜ ∈ ∀ + + ≤ + + ¬ z y, x, , z y x z y x
: haciendo , se tiene:
d c c b b a ) d (c c) (b b) (a − + − + − ≤ − + − + − ¬
d c c b b a d a − + − + − ≤ − ¬
8. Demostrar que : d c, b, a, ℜ ∈ ∀ ; se cumple:
abc 8 ) c b ( ) c a ( ) b a ( ≥ + + +
) b a ( . c
) c a ( . b
) c b ( . a
: que Esclaro
También: ....(**) 0 abc ) 8 - 8 ( abc 8 abc 8 ≥ ¬ ≥
Luego, de (*) y (**), se tiene:
0 abc ) 8 8 (
) b a ( c
) c a ( b
) c b ( a ≥ − + − + − + −
abc 8 ) c b ( bc ) c b ( ab ) c b ( ac ) c b (
a ≥ + + + + + + +
abc 8 ) c b ( . ) bc ab ac
a ( ≥ + + + +
abc 8 ) c b ( ] ) c a ( b ) c a ( a [ ≥ + + + + .
9. Sean los números reales a, b, c tales que a y c son signos diferentes demostrar que si
c a b c b a + ≤ → < < .
Sabemos que c b a < < y a, c tiene signos diferentes:
Como a < c, entonces: c es positivo y a negativo.
c 0 a < < ∴
Caso 1: 0 b< en este caso: 1) ( . / 0 b a − < < ∴
0 b a > − > − ¬
b a > ∴ a b < ¬
(*) ..... c a b + <
Caso 2: 0 b≥ en este caso: c b 0 < ≤ ∴ c b < ¬
....(**) a c b + < ¬
De (**) y (*)
c a b + <
10. Demostrar que:
2 x si , x 4
2 x 0 si , 2
Si: 2 x 0 < <
) x 2 ( ) x 2 (
Si: 2 x >
11. En los ejercicios siguientes, hallar el valor de la expresión E en el intervalo indicado.
a) > < ∈
= 1 , 0 x si ,
1 x 1 4x
b) > < ∈
= 3 , 0 x si ,
2 x 3 2 x 7
c) > − − < ∈
= 4 , 5 x si ,
24 x 5 8 x 3 3
= 2 , 3 x si ,
x 8 4 32 x 6
Eliminamos las barras del valor absoluto, partiendo de la condición dada, esto es:
Si 5 1 4x 1 4 4x 0 1 x 0 1 , 0 x < + < → < < → < < → > < ∈
Dado que: 1 4x 1 4x 1 , 0 x 0 1 4x + = + → > < ∈ ∀ → > +
Si 0 1 x 1 1 x 0 1 , 0 x < − < − → < < → > < ∈
Aquí se observa que: 1) x ( 1 x 0 1 x − − = − < −
Por lo tanto: 5
Elimínanos las barras del valor absoluto, partiendo de la condición dada, esto es:
Si 23 2 7x 2 21 x 7 0 3 x 0 3 , 0 x < + < → < < → < < → > < ∈
Dado que: 2 x 7 2 7x 3 , 0 x 0 2 7x + = + → > < ∈ ∀ → > +
Si 5 2 x 3 2 3 x 3 0 3 , 0 x < + < → < < → > < ∈
Dado que: 2 x 3 2 x 3 3 , 0 x 0 2 3x + = + → > < ∈ ∀ → > +
Por lo tanto: 4
2 x 3 2 7x
Si 20 8 x 3 23 12 x 3 15 4 x 5 4 , 5 x − < − < − → − < < − → − < < − → > − − < ∈
Aquí se observa que: 8) 3x ( 8 3x 0 8 3x − − = − < −
Si 4 24 x 5 1 20 x 5 25 4 x 5 4 , 5 x < + < − → − < < − → − < < − → > − − < ∈
Dado que: 24 x 5 24 x 5 4 , 5 x 0 24 5x + = + → > − − < ∈ ∀ → > +
Por lo tanto: 7
24) (5x ) 8 (3x 3
Si 20 32 x 6 14 12 x 6 18 2 x 3 2 , 3 x < + < → − < < − → − < < − → > − − < ∈ Dado que:
32 x 6 32 x 6 2 , 3 x 0 32 x 6 + = + → > − − < ∈ ∀ → > +
Si 11 x 8 10 3 x 2 2 x 3 2 , 3 x < − < → < − < → − < < − → > − − < ∈
Dado que: x 8 x 8 2 , 3 x 0 x 8 − = − → > − − < ∈ ∀ → > −
x) (8 4 32 x 6
12. Si ] 3 , 1 [ x∈ , hallar el menor numero M, tal que M
i) Si 3 x 1 ] 3 , 1 [ x ≤ ≤ ↔ ∈ Restando – 5:
2 5 x 4 − ≤ − ≤ − ↔
ii) Si 3 x 1 ] 3 , 1 [ x ≤ ≤ ↔ ∈ Multiplicando por 2:
6 x 2 2 ≤ ≤ ↔ Sumando + 1:
7 1 x 2 3 ≤ + ≤ ↔ Invirtiendo:
≤ ↔
13. Si ] 6 , 5 1 [ x 2 ∈ , hallar el menor numero M, tal que M
i) Si 6 x 2 5 1 ] 6 , 5 1 [ x 2 ≤ ≤ ↔ ∈ Invirtiendo:
≤ ≤ ↔ Multiplicando por 2:
10 x 3 1 ≤ ≤ ↔ Sumando + 3:
13 3 x 3 10 ≤ + ≤ ↔
ii) Si 6 x 2 5 1 ] 6 , 5 1 [ x 2 ≤ ≤ ↔ ∈ Invirtiendo:
10 x 3 1 ≤ ≤ ↔ Sumando + 6:
16 6 x
≤ + ≤ ↔ Invirtiendo:
14. Si )' , 2 1 , ( x 1 > ∞ + < ∪ > ∞ − < ∈ , hallar el menor numero M, tal que M
] 2 , 1 [ x 1 )' , 2 1 , ( x 1 ∈ = > ∞ + < ∪ > ∞ − < ∈
2 x 1 1 ≤ ≤ ↔ Invirtiendo:
1 x 2 1 ≤ ≤ ↔ Sumando + 5:
6 5 x 2 11 ≤ + ≤ ↔ Invirtiendo:
6 1 ≤
≤ ↔ Multiplicando por – 12:
11 24 − ≤
− ≤ − ↔ Sumando + 1:
1 11 13 − ≤
− ≤ − ↔ Pero como: 1
11 13 ≤
≤ − ↔
15. Si 3 5 - 2x ≤ , hallar el menor numero M, tal que M
i) 3 5 2x 3 3 5 2x ≤ − ≤ − ↔ ≤ − Restando + 4:
7 1 x 2 1 ≤ − ≤ ↔ Invirtiendo:
ii) 3 5 2x 3 3 5 2x ≤ − ≤ − ↔ ≤ − Restando + 5:
7 x 2 2 ≤ ≤ ↔ Dividiendo entre 2:
x 1 ≤ ≤ ↔ Sumando + 2:
2 x 3 ≤ + ≤ ↔
≤ Pero como: 3
∴ 3 M =
16. Si ] 3 , 1 [ x∈ , hallar el menor numero M, tal que M
) 1 (x
≤ → ≤
3 x 1 ] 3 , 1 [ x ≤ ≤ → ∈ Pero como: 3 1 − >
3 x 3 - ≤ ≤
3 x ≤
17. Si ] 2 1 , 6 1 [ x 2 ∈ , hallar el menor numero M, tal que M
i) ] 2 1 , 6 1 [ x 2 ∈
2 1 x 2 6 1 ≤ ≤ ↔ Invirtiendo:
2 ≤ ≤ ↔ Multiplicando por 4:
24 x 2 8 ≤ ≤ ↔ Restando – 3:
21 3 - x 2 5 ≤ ≤ ↔
ii) ] 2 1 , 6 1 [ x 2 ∈
2 ≤ ≤ ↔ Multiplicando por 2:
12 x 4 ≤ ≤ ↔ Restando – 1:
11 x 3 ≤ ≤ ↔ Invirtiendo:
11 1 ≤
≤ Pero como:
18. hallar el menor numero m tal que : x ℜ ∈ ∀ m 6 2 x 4
x ≥ − + −
0 6 ) 2 x ( 4
0 6 8 x 4
x ≥ − − −
) 2 x ( ≥ − − − −
) 2 x ( ≥ − −
) 2 x ( ≥ −
∴ 18 M =
I. En los ejercicios del 21 al 36, hallar los números reales que satisfagan la desigualdad dada; dar
el intervalo solución:
21. Resolver: 8 3x 2x 3 − < −
Por el teorema: ] b a b [ 0 b b a < < − ∧ ≥ ¬ <
] 8 3x 2x 3 ) 8 3x ( [ 0 8 3x − < − < − − ∧ ≥ −
] 8 3x 2x 3 2x 3 8 3x [ 3 8 x − < − ∧ − < + − ∧ ≥
] 11 x 5 5 x [ 3 8 x > ∧ > ∧ ≥
5 11 x 5 x 3 8 x > ∧ > ∧ ≥
> ∞ + < ∈ ∩ > ∞ + < ∈ ∩ > ∞ + ∈ , 5 11 x , 5 x , 3 8 [ x
> ∞ + < ∈ = ∴ , 5 x C.S.
22. Resolver: 2 3x 4 5x − > −
Por el teorema: b a b a b a − < ∨ > ⇔ >
) 2 3x ( 4 5x 2 3x 4 5x − − < − ∨ − > −
2 4 3x 5x 2 2x + < + ∨ >
> −∞ < ∈ ∪ > ∞ + < ∈
< ∨ >
4 3 , x , 1 x
4 3 x 1 x
6 8x 1 x
> ∞ + < ∪ > −∞ < ∈ = ∴ , 1 4 3 , x C.S.
23. Resolver: 5x x
2x ≥ −
Por el teorema: b a b a b a − ≤ ∨ ≥ ⇔ ≥
0 ) 3 x ( ) 1 2x ( 0 ) 3 x ( ) 1 2x (
0 3 5x
2x 0 3 5x
2x 5x 3
≤ + − ∨ ≥ − +
≤ − + ∨ ≥ − −
− ≤ − ∨ ≥ −
Calculando los puntos críticos:
∞ + ∞ −
+ − + ∞ − ∞ +
3 x 0 3 x ; 3 x 0 3 x
2 1 x 0 1 2x ; 2 1 x 0 1 2x
− = ¬ = + = ¬ = −
= ¬ = − − = ¬ = +
> ∞ + ∪ − ∞ − < ∈ , 3 [ ] 2 1 , x ] 2 1 , 3 [ x − ∈
> ∞ + ∪ ∞ + < ∈ = ∴ , 3 [ ] 2 1 , x C.S.
24. Resolver: 1 4x
x 5 2x
x + + ≥ − −
Por el teorema: 0 ) b a ( ) b a (
a b a ≥ − + ⇔ ≥ ⇔ ≥
0 ] ) 1 4x
x ( ) 5 2x
x ( [ ] ) 1 4x
x ( [ ≥ + + − − − + + + − −
0 ) 2 x ( ) 1 x ( ) 1 x (
0 ) 1 x ( ) 2 x
x ( 12
x ( ) 12 (
0 ] ) 1 x ( 6 [ ) 2 x
0 ) 6 6x ( ) 4 2x
≤ + − +
≥ + − − +
1 x 0 1 x
2 x 0 2 x
= ¬ = −
− = ¬ = +
] 1 , 1 [ ] 2 , x C.S. − ∪ − ∞ − < ∈ = ∴
2 1 2 1 −
− + + − ∞ − ∞ +
1. Resolver: 6
x ) x 2 x 1 ( ) 2 x 2 x ( − ≥ − − − + + −
2. Resolver: 8 3 x 2
3 x 3 < − − −
3. Resolver: 3 1 x 8 2x + + ≤ +
4. Resolver: 3 5 2x 1 x 2 x < − − + +
5. Resolver: 2 9x
2x 3 x 3
6x − + < + −
6. Resolver: 2 x 9 x 4
x − ≤ − − −
7. Resolver: 3
2 x x 6 x
8.Resolver: 3
4 x x 8 x
9. Resolver: 1
10. Resolver: 3
6 x ) 4 x 5 3 1 x ( ) 4 x 5 3 1 x ( − ≤ − − + − − − − − − −
13. Resolver( x 1 3 5 x 4)( x 1 3 5 x 4) x 6 − − − − − − − + − − ≤ −
14. Resolver: 0 x 9
− − + 6
15. Expresar los siguientes conjuntos como un intervalo de números reales.
a) } 0 3 x x 0
/ x { A > − → <
ℜ ∈ =
b) } 8 x 2 4x 6 3x 1 2x / x { A − − − ≤ + − − ℜ ∈ =
c) } ] 2 , 1 x /
{ A − < ∈
16.Hallar m de modo que la solución de 1 5mx 2mx mx
− ≤ + sea la misma de:
2 7 2 3 ≤ − x
17. Sean }
2 x / x { A < − ℜ ∈ = y }
3) (x 7
12 7x x
/ x { B
ℜ ∈ = , Hallar
B ∩ A .
4.2.12. INECUACIONES CON MAXIMO ENTERO
3.11. MAXIMO ENTERO
Definición. Siendo “x” un número real; se define “el máximo entero no mayor de x” denotado
por x , a un número entero “n”, (n∈Z) tal que:
n x n ≤ < + ≤ < + ≤ < + ≤ < + 1
De lo cual indicamos:
x n n x n
= ⇔ ≤ < + = ⇔ ≤ < + = ⇔ ≤ < + = ⇔ ≤ < +
≤ < + ≤ < + ≤ < + ≤ < +
n x = == = : Sea un número entero
3.11.1. PROPIEDADES.
1. x R, x Z ∀ ∈ ∈
2. x x x Z = ⇔ ∈
3. x R, x x x ∀ ∈ ≤ < +1
4. Si: a Z, x a x a ∈ ≥ ⇔ ≥
5. Si : x a x a, a Z < ⇔ < ∀ ∈
6. Si : a Z y x a x a ∈ ≤ ⇔ < +1
7. Si : m Z x m x m ∈ ¬ + = +
8. x y x y , x, y R + > + ∀ ∈
9. x x x , x R − < ≤ ∀ ∈ 1
10. Si : y x y x x ; y Z, x R > ¬ ≥ + ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ 1
11. Si : n x x n = − ¬ ≤ < 0 1
12. Si : x R/ x y n, n y x ∈ = + ≤ < ¬ = 0 1
13. x R ycualquier n Z, n se tiene que : ∀ ∈ ∈ > 0
Ejercicios resueltos con máximo entero
1. Si A {x / x 1 2 x 17 , si x 2 5} = ∈ℜ − + ≥ + = , hallar A.
x 1 2 x 17 (#) − + ≥
Sabemos que: x 1 x 1 − = − sustituyendo en (#)
2( x 1) 5 x 17 − + ≥
2 x 4 x 2+5 x 17 − + ≥
2 x x 15 0 + − ≥
(2 x 5)( x 3) 0 − + ≥
(2 x 5 0 x 3 0) (2 x 5 0 x 3 0) − ≥ ∧ + ≥ ∨ − ≤ ∧ + ≤
( x 5 2 x 3) ( x 5 2 x 3) ≥ ∧ ≥ − ∨ ≤ ∧ ≤ −
(x 3 x 3) (x 3 x 2) ≥ ∧ ≥ − ∨ < ∧ < −
x ,2 [3, ∈< ∞ > ∪ ∞ >
x 2 5 5 x 2 6 / 2 + = ⇔ ≤ + < −
3 x 4 ⇔ ≤ <
x [3,4 ∈ >
2. Si { A x / x 1 2 x 17 , si x 2 5 }
= ∈ℜ − + ≥ + =
, hallar A.
Del enunciado: p si , q
q p' q p ~ q p ∪ ≡ ∨ ≡ →
) , 3 [ 2 , x ( )' 4 , 3 [ x ( A > ∞ ∪ > − ∞ < ∈ ∪ > ∈ =
) , 3 [ 2 , x ( ) , 4 [ 3 , x ( A > ∞ ∪ > − ∞ < ∈ ∪ > ∞ + ∪ > ∞ − < ∈ =
> ∞ + ∞ − < ∈ = , x A
φ = A'
3.Expresar el conjunto A en términos de intervalo:
x 4 2x 3
A {x / 2 , si x 4x 6 3 2}
= ∈ℜ ≤ − − < −
A {x / 10 3x x 9 x 1 3} = ∈ℜ − − ≤ ↔ − =
3 x 2 4 x
2 1 x 2 3 x 2 4 x
+ − − + + −
Calculando los puntos críticos
2 3 x 0 3 2x
4 x 0 4 x
i) > ∞ + = , 4 [ U
1 ) 1 x (
2 ) 1 x ( 2 ) 3 2x ( ) 4 x (
U ) ] 2 , 3 [ x ( ∩ − ∈
ii) > = 4 , 1 [ U
U ) , 11 [ x 2 , x ( ∩ > ∞ + ∈ ∪ > ∞ − < ∈
> ∈ = 2 , 1 [ x C.S.
iii) > − = 1 , 2 3 [ U
+ − + + + − −
U ) , 0 x ] 3 7 , x ( ∩ > ∞ + < ∈ ∪ − ∞ − < ∈
> < ∈ = 1 , 0 x C.S.
vi) > − ∞ − < = 2 3 ,
+ − + + − − −
U 0 , 1 [ x ∩ > − ∈
φ ∪ > < ∈ ∪ > ∈ ∪ φ =
∪ ∪ ∪ =
1 , 0 x 2 , 1 [ x C.S.
C.S. C.S. C.S. C.S. C.S.
x 4x 6 3 2 − − < −
x 4x 6 1 − − < −
1 6 4x
x − < − −
0 5 4x
x < − −
0 ) 5 x ( ) 1 x ( < − +
> − < ∈ 5 , 1 x
> < ∈ ∪ > − < ∈ = 2 , 0 x )' 5 , 1 x ( A
> < ∈ ∪ > ∞ + ∪ − ∞ − < ∈ = 2 , 0 x ) , 5 [ ] 1 , x ( A
> ∞ + ∪ > < ∪ − ∞ − < ∈ = , 5 [ 2 , 0 ] 1 , x A Rpta.
A {x / 10 3x x 9 x 1 3}
= ∈ℜ − − ≤ ↔ − =
10 3x x 9 − − ≤
10 3x x 3 − − ≤
> < ∈ = ∴ 2 , 0 x q
3 10 3x x 3 − ≤ − − ≤
10 3x x 3 10 3x x 3 − − ≥ − ∧ − − ≤
10 3x x 3 10 3x x 4 − − ≥ − ∧ − − <
10 3x x 3 10 3x x 16 − − ≥ − ∧ − − <
x 0 10 3x x 16 ∈ ℜ ∧ ≤ − − <
0 10 3x x 10 3x x 16 ≤ − − ∧ − − <
0 6 3x
x 0 10 3x
x > + + ∧ ≤ − +
ℜ ∈ ∧ ≤ − + + x 0 ) 2 x ( ) 5 x (
ℜ ∈ ∧ − ∈ x ] 2 , 5 [ x
] 2 , 5 [ x p − ∈ ≡
x 1 3 − =
Por el Teorema: x n n x n 1 ; n = ⇔ ≤ < + ∈
x 1 3 − = 4 1 x 3 < − ≤ ⇔
5 x 4 < ≤ ⇔
> ∈ 5 , 4 [ x
> ∈ ≡ 5 , 4 [ x q
Del enunciado: q) p ( q) p ( p p ∧ ∨ ∧ ≡ ↔
q)' p ( ) q p ( ) q' p' ( ) q p ( q) ~ p ~ ( ) q p ( q p ∪ ∪ ∩ ≡ ∩ ∪ ∩ ≡ ∧ ∨ ∧ ≡ ↔
)' 5 , 4 [ ] 2 , 5 [ ( ) 5 , 4 [ ] 2 , 5 [ ( A > ∪ − ∪ > ∩ − =
] )' 5 , 4 [ ( ' ) ] 2 , 5 [ ( [ A > ∩ − ∪ φ =
) , 5 [ 4 , ( ) , 2 5 , ( A > ∞ + ∪ > ∞ − < ∩ > ∞ + < ∪ > − ∞ − < =
> ∞ + ∪ > < ∪ > − ∞ − < ∈ = , 5 [ 4 , 2 5 , x A
a. 0 2 x 2
x ≤ − −
) 1 x ( < −
3 1 x < −
3 1 x 3 < − < −
3 1 x 3 1 x < − ∧ − > −
3 1 x 3 1 x + < ∧ − >
3 x 1 x < ∧ − >
3 x 0 x < ∨ ≥
> ∈ 3 , 0 [ x
b. 1 2 5x
2x < − +
Por el Teorema: n x n x < ⇔ <
1 2 5x
x < − + 1 2 5x
2x < − + ⇔
2x < + ⇔
2x 3 < + < − ⇔
2x 3 5x
2x < + ∧ − > + ⇔
2x < − + ∧ > + + ⇔
0 ) 3 x ( ) 1 2x ( 0 ) 1 x ( ) 3 2x ( < + − ∧ > + + ⇔
> − < ∈ ∩ > ∞ + − < ∪ > − ∞ − < ∈ ⇔ 2 1 , 3 x ) , 1 2 3 , x (
Entonces: > − < ∪ > − − < ∈ = 2 1 , 1 2 3 , 3 x C.S.
Por el Teorema: 1 n x n x + < ⇔ ≤
2x 10 x 5
> ∞ + < ∪ ∞ − < ∈ , 5 ] 3 5 , x
> ∞ + < ∪ − ∞ − < ∈ = , 5 ] 3 5 , x C.S.
d. 1 4 5x
4x ≤ − −
Por el Teorema: n ; 1 n x n n x ∈ + < ≤ ⇔ ≤
1 4 x 5
x 4 ≤ − 2 4 5x
4x < − − ⇔
0 6 5x
0 ) 2 x ( ) 3 x 4 ( < − + ⇔
> − < ∈ ⇔ 2 , 4 3 x
> − < ∈ = 2 , 4 3 x C.S.
1. Hallar el conjunto solucion:
e. 0 9
x ≤ + −
f. 0 ) 6 x
x ≥ − − + −
g. 0 ) 15 x 2
x ( 9
x ≤ − − + −
h. 0 2x x 2 ≥ −
2. Expresar el conjunto A en términos de intervalo:
a) } 2 3 6 4x
x si , 2
3 2x 4 x
/ x { A − < − − ≤
b) } 3 1 x 9
x 3x 10 / x { A = − ↔ ≤ − − ℜ ∈ =
3. Si } 5 2 x si , 17 x 2 1 x / x { A = + ≥ + − ℜ ∈ = , hallar A.
4. Dados los conjuntos } 0 6 2 x 8 ) 2 x ( 2 / x { A ≥ + + − + ℜ ∈ = y
1 x / x { B = + − ℜ ∈ = . Hallar ' B A
4x+2>-6 Pasamos ahora 2 al segundo miembro. 4x>-6-2 4x>-8 Pasando 4 al segundo miembro; como está multiplicando ; pasa dividiendo.
>− ∴ ∈ − +
4.2.5. INECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Las inecuaciones de segundo grado con una incógnita son de la forma:
Donde a, b, c ∈ R, siendo a ≠ 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las propiedades de los números reales o también por medio de la naturaleza de las raíces del trinomio ax2+bx+c=0 Pueden presentarse los siguientes casos: I. CASO: RESOLUCIÓN POR DESCOMPOSICION DE FACTORES Deberá tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades, tales como: i). El producto de dos números reales es positivo, si sólo si ambos factores son positivos o negativos. Ejemplos. Resolver: x2-3x-4>0 Resolución. x2-3x-4=(x-4)(x+1) entonces: (x-4)(x+1) >0
(x − 4)(x + 1) > 0 i) x − 4 > 0 ∧ x + 1 > 0 .......(*) ii) x − 4 < 0 ∧ x + 1 < 0
(*) Si : a.b>0
a>0 o a<0
Carlos García Cortegano
Luego en (*) i) x>4 ∧ x>-1 x>4 ….(1) ii) x<4 ∧ x<-1 x<-1 ….(2) La solución será (1) ∪ (2): x ∈ −∞, −1 ∪ 4, +∞
II CASO: COMPLETANDO CUADRADOS Para resolver inecuaciones de segundo grado por este método se debe tener en cuenta las siguientes propiedades de números reales.
i) Si : a > 0; x 2 < a ⇔ − a < x < a ii) Si : a > 0; x 2 > a ⇔ (x < − a ) ∨ ( x > a )
El procedimiento usual es convertir un trinomio: ax 2 + bx + c > 0 (a ≠ 0) (b ≠ 0) en un trinomio cuadrado perfecto, para lo cual se procederá de la siguiente forma: a) Se observará que existan los coeficientes de los términos cuadráticos (x2) , y es lineal (x1) b) El coeficiente del término cuadrático deberá ser: 1….(siempre) c) Se suman ambos miembros el cuadrado de: d) Se llevará a una forma conocida i) o ii). Ejemplo. Resolver la inecuación. x2+3x+3>0 Resolución.
x 2 + 3x + 3 > 0 ; donde : b = 3, a = 1 b 3 = =3 a 1
1 b de . 2 a
x 2 + 3x + 3 + x+ x+ 3 2 3 2
9 9 > 4 4
x 2 + 3x + x+
9 9 − +3 > 0 4 4
12 − 9 >0 4 3 4
3 >0 4
La solución será : x ∈ R 4.2.6. INECUACIONES POLINOMICAS DE GRADO ≥ 2(FACTORIZABLES) Si tenemos una inecuación polinómica en una variable, ordenada de la forma:
P(x) = a0 + a1x + ... + an x n
Con a0 ,a1,...an cons tan tes ≠ 0 ;la cual podemos escribir de la forma:
( x − r )( x − r )( x − r ) ... ( x − r ) > 0
Con x ∈ R
A los números r1,r2 ,r3 ,r4 ,...,rn se llaman puntos críticos i) Estos puntos críticos se hallan igualando parcialmente cada factor a cero (no importando por ahora el sentido de la desigualdad) ii). Los puntos críticos los ubicamos en forma ordenada en la recta numérica real formando intervalos. iii).Una vez colocados estos intervalos, se les asignará signos positivos y negativos en forma alternada, de extremo derecho al izquierdo comenzando siempre por la derecha de la forma:
Para la solución final tomaremos en cuenta las siguientes recomendaciones. a). Si la inecuación tiene el signo >, la solución estará dada por la unión de los intervalos “positivos” (llevan el signo +) y si tiene el signo ≥ , los intervalos serán cerrados.
los intervalos (+) serán cerrados.2. 4. c).0 4 1 . x + = 0 2 3 4 1 1 1 x = 0. Factorizando la expresión aplicando la regla de ruffini: x x− 1 2 x+ 1 3 x+ 1 ≥0 4 Hallando los puntos críticos: x =0. d). x− 1 1 1 = 0. Resolver: 24x 4 + 2x 3 − 5x 2 − x ≥ 0 Resolución.∞ y + ∞ son considerados abiertos en la solución final. x = − .7. x + = 0 . Se pueden presentar los siguientes casos: a) b) c) P(x) >0 Q(x) P(x) ≥0 Q(x) P(x) <0 Q(x) 89 . x = . Los términos en x (los coeficientes) deberán ser siempre positivos. Si la inecuación tiene el signo <. +∞ 2 Rpta: x ∈ −∞. los intervalos serán cerrados. 1 3 1 − . x = − 2 3 4 Ubicando los “puntos críticos” en la recta numérica: Por tener signo ≥ 0.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano b). Ejemplo. INECUACIONES RACIONALES. la solución estará dada por la unión de los intervalos “negativos” (llevan el signo -) y si tiene el signo ≤ . Los intervalos .
los valores críticos en sus intervalos respectivos siempre serán “bola abierta”…. x = −2 . x-1=0 x =2. Cuando un factor tiene exponente natural par.1 [2. se obvia en la solución (teniendo en cuenta si puede o no ser “cero”) Tendríamos: 90 .. sólo lo consideraremos una vez como factor. Para la solución al factorizar Q(x). Entonces P(x)= x-2 .Matemática I d) P(x) ≤0 Q(x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios ordenados en “x“ completos o no.”o” El método más práctico es el de los “puntos críticos” Ejemplos. x = 1 Deben ser " bola abierta " para evitar la in det er min acion de dividir entre cero ∴ x ∈ −2. • • Cuando un factor tiene exponente natural impar. Q(x)= x2+x-2=(x+2)(x-1) Tenemos: x−2 ≥0 (x + 2)(x − 1) x−2 ≥0 x2 + x − 2 Los puntos críticos serán: x-2=0 . +∞ 7 ( x − 4 ) ( x + 5 )( x − 3 ) 2) Resolver: >0 ( 3x + 2 ) (2x + 1)(x + 4) 8 Resolución. 1) Resolver: Resolución. x+2=0 .
x + 4 = 0 x = 4 . x−2 x+2 x−2 Efectuando “el exponente de exponentes”…. siempre que N > 1 (el sentido no cambia) Ejemplo. x x+2 2x 3. x = 3 . 2 Se observa que N=2 (2>1)…….Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ( x − 4 ) ( x + 5 )( x − 2 ) > 0.2. Colocamos 4 y 8 en base 2: x x−2 (2 ) 2 x x+2 < ( 23 ) x + 2 2. x + 5 = 0 . x = −4 2 Rpta: x ∈ −5. Resolver: 4 x + 2 < 8 x + 2 Resolución. x = 1 . −4 1 . 2x − 1 = 0 . 3( x − 2 ) x+2 f(x) > g(x) . x − 3 = 0 . Nf ( x ) > Ng( x ) 2). siempre que N > 1 (el sentido no cambia) 91 .8. Nf ( x ) < Ng( x ) Tanto en f(x) como g(x). x = −5 . x ∈ R.3 2 4. +∞ − x = − 2 3 4. INECUACIONES EXPONENCIALES Se presentan únicamente las formas: 1). Entonces estamos en el primer caso: Si : Nf ( x ) > Ng( x ) <2 2 x+2 < 2 . ( 2x − 1)( x + 4 ) 1 Con 3x + 2 ≠ 0 x≠− 2 3 Los puntos críticos serán: x − 4 = 0 . 1. ademas N ∈ R Si : Nf ( x ) > Ng( x ) f(x) > g(x) .
2)2 ) x −1 x −3 x−3 ((0. logb A n = nlogb A 1 IV. x−2 ( 0.2(<1) Entonces: 3 ( x − 1) x−2 x −1 Re solviendo la inecuacion por puntoscriticos : x ∈ 1. la solucion sera x ∈ −∞. logb 1 = 0 VI. Resolver: Resolución.5] 4.008 ) x −1 x −2 x −1 x−2 ≥ ( 0.2 ≤ 2 ( x + 3) [3.2.008 ) x −1 ≥ x −1 ( 0. 2) La base de un logaritmo no puede ser menor que cero(tampoco cero) 92 . INECUACIONES LOGARITMICAS Debemos recordar previamente que si: logb N = x ⇔ N = b x Notacion Logaritmica Notacion exp onencial Además de las siguientes propiedades del logaritmo: I. II. −2 6. logb b = 1 VII.logb A n V. logb AxB = logb A + logb B logb A = logb A − logb B B III.2) ) 3 Estamos en el caso 2 Se observa que N=0.Matemática I 2x 3(x − 2) − <0 x+2 x+2 Re solviendo.04 ) x −1 ≥ ( (0.04 ) x+4 Transformando convenientemente ( 0. loga N = logb N (cambio de base) logb a Tener en cuenta que: 1) Los logaritmos sólo se extraen a números reales. +∞ 2. logb n A = .9.
Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Se presentan entonces dos casos: I CASO: La base b es mayor que 1. + ∞ Rpta. b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo positivo. la hemos bajado tomando logaritmo a ambos miembros. b > 1 logb x >N logb x <N x>bN x<bN logb x < logb y II CASO: La base b es 0 <b <1 a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo. 0 < b < 1 x > 0. para aplicar la propiedad: logb b = 1 2 3 2. b) Los números fraccionarios ( entre 0 y 1) tienen logaritmo negativo Por ello .y ∈ R Si : b > 1 ∧ 0 < x < y Luego : Si : x > 0.dados x. b > 1 x > 0. 0 < b < 1 logb x >N logb x <N 0<x<bN x>bN logb x < logb y Ejemplos. Por ello . Resolver: 2log8 (x − 2) − log8 (x − 3) > Resolución.y ∈ R Si : b > 1 ∧ 0 < x < y Luego : Si : x > 0. Resolver: 2x > 3 2 x > 3 ⇔ log2 2x > log2 3 ⇔ x log2 2 > log2 3 ⇔ x > log2 3 ∴ x ∈ log2 3. a) Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.dados x. Por estar la incógnita como exponente. 93 . Además hemos tomado log22. 1.
Matemática I 2log8 (x − 2) − log8 (x − 3) > En (*) : 2 3 ∧ ∧ ∧ log8 ( x − 2) x−3 2 2 > 2 2 .- TEOREMA Sean a y b números R. x > 3 ∴ x ∈ 2. y números ℜ 0 ≤ x < y ⇔0≤x< y 3..- TEOREMA Si n es una Z+ impar entonces a) b) c) d) n n n n x ≤n y⇔x≤y x <n y⇔x< y x ≥0⇔x≥0 x <0⇔x<0 5.. y números ℜ Entonces: 0 ≤ 2.(*) 3 ( x − 2) x−3 2 >0 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2) x −3 x−3 2 x −3 > 83 >4 −4 >0 2 x ≠ 2. +∞ ( x − 4) 2 4.2. entonces : a < b ⇔ a ≥ 0 ∧ b > 0 ∧ a < b2 a ≤ b ⇔ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 ∧ a ≤ b2 94 .LEMA : Sean x .x ≤ y ⇔0 ≤x ≤y LEMA : Sean x .. INECUACIONES CON RADICALES 1. x > 3 ∧ ( x − 2) 2 − 4(x − 3) x −3 x 2 − 8x + 16 ∧ >0 x−3 >0 ∧ x ≠ 2.. x≠4 4. x ≠ 4 x>3.10..- TEOREMA si n es un Z+ par entonces: n x ≤n y ⇔ 0≤ x ≤ y x < n n y ⇔ 0≤ x < y 4.x − 3 > 0 x ≠ 2.3 >0 x−3 ∧ x−3 > 0 ..
1. − 1 ] Calculo de B: B: 2 x −x −2 ≤ 0 ∧ 2< x +4 ( x − 2)(x + 1) = 0 ∧ ( x − 2) ( x + 1) = 0 4 < x +4 ∧ 0 ≤ 4 < x +4 0≤4 (x − 2 = 0 ∨ x + 1 = 0 ) ∧ ( x = 2 ∨ x = −1 ) ∧ ∧ 4 < x +4 ℜ ∧ 0<x 95 . + ∞ > ) ∧ 0 ≤ x + 4 < 4 ( x ∈ < − ∞ . − 1] ∪ [ 2 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 6. 0 > ∴ A = x ∈[ − 4 . − 1] ∪ [ 2 . − 1] ∪ [ 2 . + ∞ > ) ∩ x ∈ [ − 4 . + ∞ > ) ∧ − 4 ≤ x < 0 ( x ∈ < − ∞ . entonces : ∨ ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b2 ) (b ≥ 0 ∧ a ≥ b2 ) a >b⇔ a≥0∧ b<0 a ≥b⇔ a≥0∧ b<0 EJEMPLOS Resolver las inecuaciones dadas y representar sus soluciones sobre una recta real.- TEOREMA Sean a y b números R. 2 x −x −2 2− x +4 ≥ x −3 Resolución Por el teorema: a ≥ b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] Calculo del universo: 2 x −x −2 2− x +4 ≥ 0 ( x2 − x − 2 ≥ 0 ∧ 2 − A x+4 >0) ∨ ( x2 − x − 2 ≤ 0 ∧ 2 − B x+4 <0) Calculo de A: A: 2 x −x −2 ≥ 0 ∧ x +4 < 2 x +4 < 4 ( x − 2)( x + 1) ≥ 0 ∧ ( x ∈ < − ∞ .
− 2] ∪ [ 1 . 2 x + x −2 +3 2 9. −2] ∪ [ 1 . 2 2 > ∴ A = x ∈ < −2 2 .2 2 > Calculo de B: 96 . 2 2 > ] ( x ∈ < − ∞ . − 2] ∪ [ 1 . ∴ C. + ∞ > ) ∧ 0 ≤ 1 ∧ x − 8 < 0 ( x ∈ < − ∞ .x − 1 > x −4 Resolución Por el teorema: a > b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a > b )] Calculo del universo: 2 x + x −2 + 3 2 9 − x −1 ≥ 0 ( x2 + x − 2 + 3 ≥ 0 ∧ A 9 − x2 − 1 > 0 ) ∨ ( x2 + x − 2 + 3 ≤ 0 ∧ B 9 − x2 − 1 < 0 ) Calculo de A: A: 2 2 x + x −2 ≥ −3 ∧ 1 < 9− x 2 ( x + 2)(x − 1) ≥ 0 ∧ 0 ≤ 1 < 9 − x 2 2 ( x ∈ < − ∞ . + ∞ > ) ∩ x ∈ < − 2 2 . + ∞ > ) ∧ [ ℜ ∧ x ∈ < − 2 2 . + ∞ > ) ∧ [ ℜ ∧ (x − 2 2)(x + 2 2) < 0 ] ( x ∈ < − ∞ . 1] ∪ { 2 } Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo. 1] ∪ { 2 } 2.S. = x ∈ U = [ − 4 . − 2] ∪ [ 1 . − 2] ∪ [ 1 .Matemática I (x = 2 ∨ x = − 1 ) ∩ x > 0 ∴ B = {2} Sustituyendo A y B U = x ∈ [ − 4 .
+ ∞ > ) ∩ ( x ∈ < − 5 . 5 > ) ∴ A = x ∈ < −5 . − 1] ∪ [ 4 . + ∞ > ) ∧ [ ( x ∈[ 2 . = x ∈ U = < − 2 2 . − 1] ∪ [ 4 .5 > ] ( x ∈ < − ∞ . − 2 ] ) ∩ x ∈ < − 5 . 2 2 > ) ∪ φ = x ∈< − 2 2 . −1] ∪ [ 4 . + ∞ > ∪ x ∈ < − ∞ . 2 2 > Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo.S. − 2 ] ∪[ 4 . + ∞ > ) ∧ 0 ≤ x − 4 < 21 2 ( x ∈ < − ∞ . Resolución 2 x − 3x − 4 21 − 2 x −4 ≥ x −8 Por el teorema: a ≥ b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] Calculo del universo: 2 x − 3x − 4 21 − ( 2 x −4 ≥ x −8 x 2 − 3x − 4 ≥ 0 ∧ 21 − A x2 − 4 > 0 ) ∨ ( x 2 − 3x − 4 ≤ 0 ∧ B 21 − x2 − 4 < 0 ) Calculo de A: A: 2 x − 3x − 4 ≥ 0 ∧ 2 x −4 < 21 ( x − 4)( x + 1) ≥ 0 ∧ 2 x −4 < 21 2 ( x ∈ < − ∞ . ∴ C. − 2 ] ∪ [ 1 . − 1] ∪ [ 4 . − 2 ] ∪ [ 1 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano B: 2 x + x −2 + 3 ≤ 0 ∧ φ ∩ 2 9−x < 1 2 9−x < 1 ∴ B = φ Sustituyendo A y B U = ( x ∈< − 2 2 . − 2 ] ∪ [2 . 2 2 > 3. − 2 ] ∪ [ 1 .5> 97 . + ∞ > ) ∧ 4 ≤ x < 25 ( x ∈ < − ∞ .
5 > 4.Matemática I Calculo de B: B: 2 x − 3x − 4 ≤ 0 ∧ 21 < 2 x −4 ( x − 4)( x + 1) = 0 ∧ 21 < x2 − 4 2 ( x − 4) (x + 1) = 0 ∧ 0 ≤ 21 < x − 4 ( x −4 = 0 ∨ x +1 = 0 ) ( x = 4 ∨ x = − 1) ∧ ℜ ∧ ∧ 0 ≤ 21 ∧ 2 21 < x − 4 2 25 < x ∨ ( x = 4 ∨ x = − 1) ∩ ( x > 5 ∴ B = φ x < −5 ) Sustituyendo A y B U = (x ∈ < − 5 . ∴ C. − 2 ] ∪ [ 4 . − 2 ] ∪ [ 4 . = x ∈ U = x ∈ < − 5 . 5 > ) ∪ φ Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo.S. 2 x − 5x + 4 − 2 2− x −2 ≥ x −6 Resolución Por el teorema: a ≥ b ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] Calculo del universo: 2 x − 5x + 4 − 2 2− ( x−2 ≥ 0 ∧ 2 − x − 2 > 0 ) ∨ ( x2 − 5x + 4 − 2 ≤ 0 B ∧ 2 − x − 2 < 0 ) x2 − 5x + 4 − 2 ≥ 0 A Calculo de A: A: 2 x − 5x + 4 ≥ 4 ∧ x−2 < 4 2 0 ≤ 4 ≤ x − 5x + 4 ∧ 0 ≤ x − 2 < 4 98 .
Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2 4 ≥ 0 ∧ 4 ≤ x − 5x + 4 ∧ 2 ≤ x < 6 ℜ ∧ x ( x − 5) ≥ 0 ∧ 2 ≤ x < 6 ( x ∈ < − ∞ . 5 ] ] ∩ x ∈ < 6 . + ∞ > ) ∧ x ∈[2 . 1] ∪ [ 4 . + ∞ > ) ∩ x ∈[0 . Resolución Determinar por extensión el conjunto A: A = { x ∈ ℜ / 2x + 3 x − 5 ≥ 0 } x ≥ 5 − 2x 3 a ≥ b Por el teorema: ⇔ 2 a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b )] x ≥0 ∧{ 5 − 2x 5 − 2x 5 − 2x 2 <0 ∨[ ≥0 ∧ x≥( ) ]} 3 3 3 25 − 20x + 4x2 )} ] 9 x ≥0 ∧{x > 5 2 ∨ [x ≤ 5 2 ∧ x ≥ ( 2 x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ [ x ≤ 5 2 ∧ 4x − 29x + 25 ≤ 0 ]} 99 . = x ∈ U = [ 5 . 6 > ∪ φ Resolviendo la inecuación dentro del universo nos damos cuenta que el segundo miembro es negativo. + ∞ > ∴ B = φ Sustituyendo A y B U = x ∈[ 5 . 6 > 5. ∴ C.S. 5] ) ∩ x ∈ < 6 . hallar A ∩ B . 1] ∪ [ 4 . 0] ∪ [ 5 . + ∞ > ( x ∈ [0 . Si A = { x ∈ ℜ / 2x + 3 x − 5 ≥ 0 } y B = { x ∈ ℜ / x − 6 x − 2 + 8 > 0 } . 6 > Calculo de B: B: 2 x − 5x + 4 − 2 ≤ 0 ∧ 4< x−2 x2 − 5x + 4 ≤ 4 ∧ 0 ≤ 4 < x − 2 2 0 ≤ x − 5x + 4 ≤ 4 ∧ 0 ≤ 4 ∧ 4 < x − 2 2 ( x − 5x + 4 ≥ 0 2 ∧ x − 5x + 4 ≤ 4 ) ∧ ℜ ∧ x >6 [ (x − 4)(x − 1) ≥ 0 ∧ x (x − 5) ≤ 0 ] ∧ x > 6 [ ( x ∈ < − ∞ . 6 > ∴ A = x ∈[ 5 .
Si A = { x ∈ Z / 3 . x + 6 .( x2 + 7x − 8).(x3 − 27) ≤0 2.Matemática I x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ [ x ≤ 5 2 ∧ (4x − 25 )(x − 1) ≤ 0 ]} x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ ( x ≤ 5 2 ∧ x ∈ [1 . + ∞ > Nos piden: Hallar A ∩ B = x ∈[1 . = x ∈[2 .( x + 1) 1. + ∞ > ∩ x ∈[2 . 25 4] )} x ≥ 0 ∧ { x > 5 2 ∨ x ∈ [ 1 .3x − 2 4x + 21 . 5 2] } x ≥ 0 ∧ x ∈ [1 . + ∞ > A = x ∈ [1 .S.x .( x . + ∞ > C. 4 x + 3 . + ∞ > EJERCICIOS PROPUESTOS 3 2 4 5 7 x − 9x − 10 . hallar el complemento de A en B.2) . Resolver : 12 . + ∞ > Determinar por extensión el conjunto B: B = { x ∈ ℜ / x −6 x − 2 + 8 > 0 } x −2 < x +8 6 a <b ⇔ Por el teorema: x − 2≥ 0 ∧ [ 2 a ≥ 0 ∧[ b > 0 ∧ a < b ] x +8 x +8 2 > 0 ∧ x−2 < ( )] 6 6 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ 36 (x − 2) < x + 16x + 64] 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ 36x − 72 < x + 16x + 64] 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ x − 20x + 138 > 0] 2 x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ (x − 10) + 38 > 0] x ≥ 2 ∧ [ x > − 8 ∧ ℜ] x ≥ 2 ∧ x > −8 B = x ∈ [2 .(x − 12).x ≤ 0 } y 2 B = { x ∈ A / ∃ y ∈ Z/ x = y } . 100 .
( x3 + 8x2 + 4x − 48) 4. x + y ≥ x + y EJEMPLOS. 1 > x+5 b) Si x . a = −a 4). a + b ≤ a + b (desigualdad triangular) PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES 1.1) .3 < ∀ x ∈ℜ . INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO. ∀a ∈ R 3). Determinar el valor de m para que la inecuación: .4 > → 1 4−x <1 3x − 5 ≤ 20 1 )∈ < 0 . x < y ⇔ x < y ⇔ x 2 = y 2 4. ab = a b 5). x2 − mx + 1 < 3 .11. a a = . Resolver: ≥0 3 (x + 4) . a ≥ a.( x . x > y ⇔ [ y ≥ 0 ∧ (x > y ∨ x < − y) ] 3.1 < 4 → ( 101 .b ≠0 b b 6).Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 3 2 2 x − 1 .( x3 − 13x + 12) 3. a ≥ 0 . 1.2. se cumpla x2 + x + 1 4. Demostrar la validez de cada uno de las siguientes proposiciones: a) Si x < 3 → c) x ∈[−5 . 1). x < y ⇔ [ y > 0 ∧ ( − y < x < y)] 2 2 2. ∀a ∈ R 2).
c ∈ ℜ a + b + c ≤ a + b + c Resolución a) Si x < 3 → x <3 ↔ ↔ ↔ 1 4− x <1 −3 <x < 3 −3 <− x < 3 Multiplicando por -1: Sumando + 4: 1 < 4−x < 7 ↔ ↔ 1 1 < <1 7 4− x Pero como 1 > −1 7 −1 < 1 <1 4−x 1 <1 4−x ∴ La afirmación es verdadera.Matemática I d) x < 1 → 1 − 5x 2x − 3 <6 e) Si a.4 > → 3x − 5 ≤ 20 3x − 5 ≤ 20 ↔ − 20 ≤ 3x − 5 ≤ 20 ↔ − 20 ≤ 3x − 5 ≤ 20 ↔ − 15 ≤ 3x ≤ 25 Sumando + 5: Dividiendo entre 3: 102 . 1 > x+5 x -1 < 4 ↔ − 4 < x − 1 < 4 ↔ − 4 < x − 1 < 4 Sumando + 6: ↔ 2 < x −5 < 8 Invirtiendo: ↔ 1 1 1 < < 8 x −5 2 1 1 1 ∈ < . b) Si x .1 < 4 → ( 1 )∈ < 0 . > x −5 8 2 ∴ La afirmación es falsa. c) x ∈[−5 . b.
En las siguientes implicaciones. demostrar que el consecuente también es verdadero. d) x < 1 → 5x − 1 2x − 3 <6 i ) x < 1 ↔ −1 < x< 1 ↔ −1 < x< 1 ↔ − 5 < 5x < 5 ↔ − 6 < 5x − 1 < 4 Multiplicando por 5: Restando – 1: ii ) x < 1 ↔ − 1 < x < 1 ↔ −1 < x< 1 ↔ − 2 < 2x < 2 ↔ − 5 < 2x − 3 < −1 Multiplicando por 2: Restando – 3: Invirtiendo: ↔ −1 < 1 1 <− 2x − 3 5 Multiplicando en aspa i) y ii) 5x − 1 6 < 2x − 3 5 5x − 1 2x − 3 −4 < − < 6 5 6 5x − 1 6 < < 5 2x − 3 5 ∴ La afirmación es falsa. 1. el antecedente es verdadero. 25 ] 3 ∴ La afirmación es falsa. 103 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ↔ − 15 3x 25 ≤ ≤ 3 3 3 25 3 ↔ −5 ≤ x ≤ x ∈[ − 5 .
b) Si a. b ∈ ℜ a − b ≤ a + b d) x − 1 < 1 → x + x − 2 = 2 Resolución a) Si x ∈ < 0 .Matemática I a) Si x ∈ < 0 . 104 . > 4 2 ↔ − x∈ < − ∴ La afirmación es falsa. b ∈ ℜ a − b ≤ a + b a−b 2 2 2 2 = (a − b) = a − 2ab + b ≤ 2 2 2 ≤ a − 2 ab + b =( a − b ) a−b 2 2 ≤( a − b ) a − b a−b ≤ l.q. 1 > → 2x x+3 ↔ − 2x x +3 < 2 3 < 2 3 ↔ − 2x 2 2 < < 3 x+3 3 6 2 2 < 2− < 3 x+3 3 Multiplicando por .q. 1 > → c) Si x < 1 → 2x x +3 < 2 3 x +5 x +1 <3 b) Si a.1: ↔ − ↔ ↔ 6 2 2 Sumando + 2: < − 2< 3 x+3 3 6 4 8 < < 3 x+3 3 3 x+3 3 < < 4 8 6 Invirtiendo: Multiplicando por 6: Restando – 3: ↔ 18 18 < x + 3< 4 8 3 3 <x< 4 2 3 3 .d.
Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano c) Si x < 1 → x+5 x +1 x+5 x +1 <3 x+5 x +1 <3 4 ↔ − 3< <3 ↔ − 3< 1 + ↔ −4< 4 x +1 <3 Restando . 2. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: a) Si x 1 −1 < x+2 7 y x > 0 → x > 12 b) Si x ∈[ − 3 . con c > 0 Resolución a) Si x 1 −1 < x+2 7 y x > 0 → x > 12 x−x−2 x+2 1 7 x 1 −1 < x+2 7 ∧ x >0 → < ∧ x >0 2 x+2 < 1 7 ∧ x >0 x + 2 > 14 ∧ x > 0 ( x + 2 > 14 ∨ ( x > 12 ∨ x > 12 x + 2 < − 14 )∧ x > 0 x < − 16 )∧ x > 0 105 . 2] → x3 − 2x2 + 3x − 4 < 28 c) Si a−b ≤ c → a < b + c.1: Invirtiendo2: Multiplicando por 4: Restando – 3: x +1 <2 ↔ − 1 x +1 1 < < 4 4 2 ↔ − 1< x + 1 <2 ↔ − 2 < x < 1 Pero -1 > -2 ↔ − 1 < x <1 x <1 ∴ La afirmación es verdadera.
Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones para números reales. 2] → x3 − 2x2 + 3x − 4 < 28 Ya que si x ∈[ − 3 . b) Si x ∈[ − 3 .− 1 10 > x −7 Resolución a) Si x < 0 → ( x − 1) 3x − x2 − 2) > 0 ( 106 . c > 0 [ − 1000 − 1] < 1 . c) Si a−b ≤ c → a < b + c. a) Si x < 0 → (x − 1) 3x − x2 − 2) > 0 ( c) x2 − 7x + 10 < 0 → 2x − 7 < 3 b) x+2 3 < x+3 2 → x −5 < 2 d) x < 3 → ( 1 )∈ < − 1 4 .Matemática I ∴ La afirmación es verdadera. podemos elegir x = − 3 3 2 En este caso: x3 − 2x2 + 3x − 4 = ( − 3) − 2(−3) + 3( − 3)+ 2 = − 27 − 18 − 9 + 2 = − 58 Luego: x3 − 2x2 + 3x − 4 < 28 − 58 58 < 28 ∴ La afirmación es falsa. se tiene que: Por ejemplo si [ a − b] < c . pero 1000 < 1 + 1 ∴ La afirmación es falsa. con c > 0 a = − 1000 . pero a < b + c. 3. 2]. b = c = 1 .
1: Sumando + 1: ↔ 6 < x + 3 < 10 ↔ 1 1 1 < < 10 x + 3 6 1 1 1 <− < − 6 x+3 10 ↔ − ↔ ↔ 5 1 9 < 1− < 6 x + 3 10 5 x+2 9 < < 6 x + 3 10 9 x+2 9 < < 10 x + 3 10 x+2 9 < x+3 10 ↔ − ∴ La afirmación es falsa. b) x+2 3 < x+3 2 → x −5 < 2 x −5 < 2 ↔ −2 < x −5 < 2 Sumando + 8: Invirtiendo: Multiplicando por . c) x2 − 7x + 10 < 0 → 2x − 7 < 3 2 x − 7x + 10 < 0 2 (x − 7 2 ) − 9 4 < 0 2 (x − 7 2 ) < 9 4 107 . 2 > − {1 } ∴ La afirmación es verdadera.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2 ( x − 1) [ −( x − 3x + 2) > 0 ] 2 ( x − 1) ( x − 3x + 2) < 0 ( x − 1)( x − 1)( x − 2) < 0 2 ( x − 1) ( x − 2) < 0 2 ( x − 1) ( x − 2) < 0 x <2 ∧ x ≠1 x ∈ < − ∞ .
108 . ∀ x .− > x −7 4 10 ∴ La afirmación es verdadera.y ∈ ℜ Luego: i) (a + b) − a ≤ a + b + a b ≤ a+b + a a − b ≥ − a+b ii) (a + b) − b ≤ a + b + b a ≤ a+b + b a − b ≤ a+b Por i) y ii). se tiene: − a+b ≤ a − b ≤ a+b Por el Teorema: x ≤ b ↔ b ≥ 0 ∧ − b ≤ x ≤ b a − b ≤ a+b l.Matemática I −3 2 < x −7 2 < 3 2 − 3 < 2x − 7 < 3 2x − 7 < 3 ∴ La afirmación es verdadera. 4.− 1 10 > x −7 ↔ −3 < x < 3 ↔ − 10 < x − 7 < − 4 ↔ ↔ − 1 1 1 < <− 4 x −7 10 1 1 1 ∈ < − . b ∈ ℜ : Demostración a − b ≤ a+ b Aplicaremos la desigualdad triangular para la resta: x−y ≤ x + y .d. Demostrar que ∀ a .q.q. d) x < 3 → ( x <3 1 )∈ < − 1 4 .
Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 5. 1 4 > 8− x x+2 x+3 < 2 3 x −5 < 2 ↔ −2 < x −5 < 2 Sumando + 8: Invirtiendo: Multiplicando por .5 > → ( Resolución a) x -5 < 2 → 1 )∈ < 1 10 . Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) x . ↔ − b) Si x < 1 → x+5 x +1 x +5 x +1 <3 <3 ↔ − 3< x+5 x +1 4 <3 ↔ − 3< 1 + x +1 <3 Restando .1: Invirtiendo2: ↔ −4< 4 x +1 <2 109 .1: Sumando + 1: ↔ 6 < x + 3 < 10 ↔ 1 1 1 < < 10 x + 3 6 1 1 1 <− < − 6 x+3 10 ↔ − ↔ ↔ 5 1 9 < 1− < 6 x + 3 10 5 x+2 9 < < 6 x + 3 10 9 x+2 9 < < 10 x + 3 10 x+2 9 < x+3 10 ∴ La afirmación es verdadera.5 < 2 → c) 0 < x < 1 → b) x < 1 → x+2 x+3 < 2 3 1 1 < <1 3 x+2 x+5 x +1 <3 d) x ∈ < − 2.
4 > ∴ La afirmación es falsa. 1 4 > 8− x 1 1 1 < < 10 8− x 4 4 < 8 − x < 10 − 10 < x − 8 < − 4 −2 < x < 4 Invirtiendo: Multiplicando por – 1: x ∈ < − 2. a . c) 0 < x < 1 → ↔ 1 1 < <1 3 x+2 1 1 < <1 3 x+2 Invirtiendo: Restando – 2: ↔ 1 < x+2 < 3 ↔ −1 < x < 1 x <1 ∴ La afirmación es falsa. 6.5 > → ( ↔ ↔ ↔ ↔ 1 )∈ < 1 10 .b = a − b y Luego: a+ b =a+ b 110 . Demostrar que si 0 ≤ b ≤ a → Demostración a − b ≤ (a + b)(a − b) Como: 0 ≤ b ≤ a. b = b .Matemática I ↔ − 1 x +1 1 < < 4 4 2 Multiplicando por 4: Restando – 3: Pero -1 > -2 ↔ − 1< x + 1 <2 ↔ − 2< x <1 ↔ − 1 < x <1 x <1 ∴ La afirmación es verdadera. entonces: a = a . d) x ∈ < − 2.
d ∈ ℜ : ..8 ) abc ≥ 0 .b ≤ b a−b ≤ a+b /+ a / (a − b) ≥ 0 2 (a − b) ≤ (a + b)(a − b) a−b ≤ a − b (a + b)(a − b) ≤ / (a + b)(a − b) 7. ∀ x.( a − c ) ≥ 0 . se tiene: z = c−d (a− b)+(b−c) +(c−d ) ≤ a− b + b−c + c −d a −d ≤ a − b + b−c + c−d 8.b.( a − b ) ≥ 0 También: 8 abc ≥ 8 abc (8 .d ∈ ℜ : Demostración a−d ≤ a− b + b−c + c−d Desde la desigualdad triangular: u + v ≤ u + v . se cumple: ( a + b ) ( a + c )( b + c )≥ 8 abc Demostración 2 a .z ∈ ℜ .y.c..(*) 2 c ..( b − c ) ≥ 0 Esclaro que: 2 b . Demostrar que ∀ a.c. ∀ u. Pero: x+y ≤ x + y x = a− b haciendo: y = b − c ...Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Sabemos que: .v ∈ ℜ Es posible demostrar la siguiente desigualdad: (x +y) z ≤ x +y + z ≤ ( x + y )+ z + x + y +z ≤ x + y + z . Demostrar que ∀ a.b..(**) 111 .
c tiene signos diferentes: Como a < c.( b + c ) ≥ 8 abc 8 abc [ a ( a + c ) + b ( a + c ) ] .. Sabemos que a < b < c y a. (*) Caso 2: b ≥ 0 en este caso: b < c + a . b... Demostrar que: Demostración 2 + x − 2.Matemática I Luego. entonces: c es positivo y a negativo... Sean los números reales a. c tales que a y c son signos diferentes demostrar que si a< b < c → b ≤ a + c .. de (*) y (**). −1) ( ∴ a > b b < a b < a + c . si x > 2 112 .x x = 2 ..(**) ∴ 0≤ b < c b < c De (*) y (**) b < a + c 10. Demostración. ( b + c )≥ ( a + b ) ( a + c )( b + c ) ≥ 8 abc 9. si 0 < x < 2 4 x . ∴ a< 0 < c a b 0 b c Caso 1: b < 0 en este caso: −a> − b > 0 ∴ a < b < 0 /. se tiene: a ( b − c )2 + b ( a − c )2 + c ( a − b )2 + ( 8 − 8 ) abc ≥ 0 a 2 ( b + c ) + ac ( b + c ) + ab ( b + c ) + bc ( b + c ) ≥ 8 abc ( a 2 + ac + ab + bc ).
− 4 > c) E = d) E = 3 3x − 8 − 5x + 24 2x 6x + 32 − 4 8 − x 5x .1 > . hallar el valor de la expresión E en el intervalo indicado. 4x + 1 − x − 1 x 7x + 2 − 3x + 2 x a) E = b) E = . esto es: Si x ∈ < 0 . si x ∈ < 0 . si x ∈ < 0 .3 > Elimínanos las barras del valor absoluto.1 > → 4x + 1 = 4x + 1 Si x ∈ < 0 . partiendo de la condición dada. En los ejercicios siguientes.− 2 > Resolución 4x + 1 − x − 1 x a) E = . si x ∈ < 0 .1 > → 0 < x < 1 → 0 < 4x < 4 → 1 < 4x + 1 < 5 Dado que: 4x + 1 > 0 → ∀ x ∈ < 0. si x ∈ < −5 .1 > Eliminamos las barras del valor absoluto.3 > . partiendo de la condición dada. si x ∈ < −3 .3 > → 7x + 2 = 7x + 2 113 .1 > → 0 < x < 1 → − 1 < x − 1 < 0 Aquí se observa que: x − 1 < 0 Por lo tanto: E = 4x + 1 + x − 1 x = x − 1 = −(x − 1) 5x =5 x b) E = 7x + 2 − 3x + 2 x .3 > → 0 < x < 3 → 0 < 7x < 21 → 2 < 7x + 2 < 23 Dado que: 7x + 2 > 0 → ∀ x ∈ < 0.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Si: 0 < x < 2 ( 2 + x ) − (2 − x ) x = 2 + x − 2 + x 2x = =2 x x Si: x > 2 ( 2 + x ) + (2 − x ) 2 + x + 2 − x 4 = = x x x 11. si x ∈ < 0 . esto es: Si x ∈ < 0 .
partiendo de la condición dada. hallar el menor numero M. 3] ↔ 1 ≤x≤3 Multiplicando por 2: Sumando + 1: Invirtiendo: ↔ 2 ≤ 2x ≤ 6 ↔ 3 ≤ 2x + 1 ≤ 7 114 .3 > → 0 < 3x < 3 → 2 < 3x + 2 < 5 Dado que: 3x + 2 > 0 → ∀ x ∈ < 0.− 2 > → 6x + 32 = 6x + 32 Si x ∈ < − 3 . 3] ↔ 1 ≤x≤3 x −5 ≤M 2x + 1 Restando – 5: ↔ −4 ≤ x −5 ≤ −2 ii) Si x ∈ [1 . − 2 > → − 3 < x < − 2 → − 18 < 6x < − 12 → 14 < 6x + 32 < 20 Dado que: 6x + 32 > 0 → ∀ x ∈ < − 3. si x ∈ < −3 . esto es: Si x ∈ < − 5 . Si x ∈ [1 . partiendo de la condición dada. esto es: Si x ∈ < − 3 . tal que Resolución i) Si x ∈ [1 .− 2 > Elimínanos las barras del valor absoluto.− 4 > Elimínanos las barras del valor absoluto.− 4 > → 5x + 24 = 5x + 24 Por lo tanto: E = − 3(3x − 8) −(5x + 24) − 14x = =−7 2x 2x d) E = 6x + 32 − 4 8 − x 5x .− 4 > → − 5 < x < − 4 → − 25 < 5x < − 20 → −1 < 5x + 24 < 4 Dado que: 5x + 24 > 0 → ∀ x ∈ < − 5. − 4> → − 5 < x < − 4 → −15 < 3x < −12 → − 23 < 3x − 8 < − 20 Aquí se observa que: 3x − 8 < 0 3x − 8 = −(3x − 8) Si x ∈ < − 5 . 3].− 2 > → 8 − x = 8 − x Por lo tanto: E = 6x + 32 − 4 (8 − x) 10x = =2 5x 5x 12.− 2 > → − 3 < x < − 2 → 2 < − x < 3 → 10 < 8 − x < 11 Dado que: 8 − x > 0 → ∀ x ∈ < − 3. si x ∈ < −5 .Matemática I Si x ∈ < 0 .3 > → 3x + 2 = 3x + 2 Por lo tanto: E = 7x + 2 − 3x − 2 x = 4x =4 x c) E = 3 3x − 8 − 5x + 24 2x .
6] ↔ ↔ 1 x ≤ ≤5 6 2 15 ≤2x≤6 Invirtiendo: Multiplicando por 2: Sumando + 3: ↔ 1 3 ≤ x ≤ 10 ↔ 10 3 ≤ x + 3 ≤ 13 ii) Si 2 x ∈ [1 5 . tal que x+3 ≤M x +6 Resolución i) Si 2 x ∈ [1 5 . Si 2 x ∈[1 5 . 6]. 6] ↔ ↔ 1 x ≤ ≤5 6 2 15 ≤2x≤6 Invirtiendo: Multiplicando por 2: Sumando + 6: Invirtiendo: ↔ 1 3 ≤ x ≤ 10 ↔ ↔ 19 ≤ x + 6 ≤ 16 3 1 1 3 ≤ ≤ 16 x + 6 19 Multiplicando en aspa i) y ii) 15 x +3 3 ≤ ≤ 16 x + 6 19 115 . hallar el menor numero M.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ↔ 1 1 1 ≤ ≤ 7 2x + 1 3 Multiplicando en aspa i) y ii) − − 4 x −5 2 ≤ ≤− 7 2x + 1 3 4 x −5 4 ≤ ≤ 7 2x + 1 7 x −5 2x + 1 ∴ M= ≤ 4 7 4 7 13.
1 Restando + 4: Invirtiendo: ↔ 1 1 ≤ ≤1 7 2x − 1 116 . + ∞ > )'. Si 2x . tal que Resolución 1 x ∈( < − ∞ . Si 1 x ∈( < − ∞ . + ∞ > )' = 1 x ∈ [ 1 . hallar el menor numero M.Matemática I − 4 x −5 4 ≤ ≤ 7 2x + 1 7 ≤ 4 7 x −5 2x + 1 ∴ M= 4 7 14. 1 > ∪ < 2 . tal que Resolución i) 2x − 5 ≤ 3 ↔ − 3 ≤ 2x − 5 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 2x − 1 ≤ 7 x+2 ≤M 2x .5 ≤ 3 . 1 > ∪ < 2 . hallar el menor numero M. 2 ] ↔ 1≤ 1x ≤2 ↔ 12≤ x ≤1 x −7 ≤ M x+5 Invirtiendo: Sumando + 5: ↔ 11 2 ≤ x + 5 ≤ 6 ↔ 16≤ 1 ≤ 2 11 x +5 Invirtiendo: Multiplicando por – 12: ↔ − 24 11 ≤ − 12 ≤ − 12 6 Sumando + 1: x+5 12 ≤ −1 x+5 ↔ − 13 11 ≤ 1 − ↔ − 13 11 ≤ Pero como: 13 > −1 11 x −7 ≤ 13 11 x+5 x −7 ≤ 13 11 x+5 ∴ M= 13 11 15.
tal que 3 − 2x 2x − 3 ≤M → ≤M x −1 x −1 3 − 2x ≤M x −1 Resolución. 117 . hallar el menor numero M. Si 2 x ∈ [1 6 . Si x ∈ [1 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano ii) 2x − 5 ≤ 3 ↔ − 3 ≤ 2x − 5 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 2x ≤ 7 Restando + 5: Dividiendo entre 2: Sumando + 2: 11 2 ↔ 1 ≤x≤ 7 2 ↔ 3 ≤ x+2 ≤ Multiplicando en aspa i) y ii) 11 x+2 ≤ ≤3 14 2x − 1 −3 ≤ x+2 ≤3 2x − 1 ≤3 Pero como: 11 > −3 14 x+2 2x + 1 ∴ M= 3 16. 3] → 1 ≤ x ≤ 3 -3 ≤ x ≤ 3 Pero como: 1 > − 3 x ≤3 ∴ M= 3 17. hallar el menor numero M. tal que Resolución x3 + 2x ≤ M → x2 − 2x + 8 x x2 + 2 2 (x − 1) + 7 ≤M → x ≤M x3 + 2x ≤M x2 − 2x + 8 x ∈ [1 . 1 2]. 3].
Matemática I i) 2 x ∈ [1 6 . 1 2] ↔ 16≤ 2x ≤12 ↔ 2≤ x ≤6 2 Invirtiendo: Multiplicando por 4: Restando – 3: ↔ 8 ≤ 2x ≤ 24 ↔ 5 ≤ 2x . hallar el menor numero m tal que ∀ x ∈ ℜ : x2 − 4 x + 2 − 6 ≥ m Resolución 2 x − 4(x + 2)− 6 ≥ 0 2 x − 4x − 8 − 6 ≥ 0 118 .3 ≤ 21 ii) 2 x ∈ [1 6 . 1 2] ↔ 16≤ 2x ≤12 ↔ 2≤ x ≤6 2 Invirtiendo: Multiplicando por 2: Restando – 1: Invirtiendo: ↔ 4 ≤ x ≤ 12 ↔ 3 ≤ x ≤ 11 ↔ 1 11 ≤ 1 ≤1 3 x −1 Multiplicando en aspa i) y ii) 5 2x − 3 21 5 21 ≤ ≤ Pero como: > − 3 x −1 11 3 11 − 21 2x − 3 21 ≤ ≤ 11 x −1 11 ≤ 21 11 2x − 3 x −1 ∴ M= 21 11 18.
+ ∞ > ∩ x ∈ < 5 . En los ejercicios del 21 al 36. dar el intervalo solución: Resolver: 3 − 2x < 3x − 8 21.S.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2 ( x − 2) − 4 − 8 − 6 ≥ 0 2 ( x − 2) − 18 ≥ 0 2 ( x − 2) ≥ 18 ∴ M = 18 I. + ∞ > −∞ +∞ 11 5 83 5 ∴ C. = x ∈ < 5. hallar los números reales que satisfagan la desigualdad dada. Resolución Por el teorema: a < b b≥0 ∧ [ −b<a< b] 3x − 8 ≥ 0 ∧ [ − ( 3x − 8) < 3 − 2x < 3x − 8 ] x≥83 x ≥83 x≥ 8 3 ∧ [ − 3x + 8 < 3 − 2x ∧ ∧ [x>5 ∧ ∧ x>5 5x > 11 ] ∧ 3 − 2x < 3x − 8 ] x > 11 5 x ∈ [ 8 3 . + ∞ > ∩ x ∈ <11 5 .+ ∞ > 119 .
Resolver: 2x2 − x ≥ 5x Resolución Por el teorema: a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ − b 2 2x − 3 ≥ 5x 2 2x − 5x − 3 ≥ 0 (2x + 1) ( x − 3) ≥ 0 ∨ ∨ ∨ 2 2x − 3 ≤ − 5x 2 2x + 5x − 3 ≤ 0 (2x − 1)(x + 3) ≤ 0 Calculando los puntos críticos: − ∞ + − 1 2 − 3 + + ∞ − ∞ + − 3 − 1 2 + + ∞ 120 . + ∞ > ∪ x ∈ < −∞ . 3 4 > ∪ < 1 . + ∞ > 23.S.Matemática I 22. = x ∈ < −∞ . 3 4 > −∞ +∞ 34 1 ∴ C. Resolver: 5x − 4 > 3x − 2 Resolución Por el teorema: a > b ⇔ a > b 5x − 4 > 3x − 2 ∨ 2x > 2 ∨ ∨ a < −b 5x − 4 < −(3x − 2) 5x + 3x < 4 + 2 x>1 x>1 ∨ 8x < 6 ∨ x<34 x ∈ < 1 .
2x − 1 = 0 x+3 =0 x =1 2 x = −3 x ∈ < − ∞ . 1 ] 121 . 1 2 ] − ∞ + ∞ −3 −1 2 1 2 3 ∴ C. Resolver: 2 2 x − 2x − 5 ≥ x + 4x + 1 Resolución 2 2 Por el teorema: a ≥ b ⇔ a ≥ b ⇔ (a + b)(a − b) ≥ 0 2 2 2 2 [( x − 2x − 5) + (x + 4x + 1)][(x − 2x − 5) − ( x + 4x + 1)] ≥ 0 2 ( 2x + 2x − 4) ( − 6x − 6 ) ≥ 0 2 2( x + x − 2) [ − 6 ( x + 1) ≥ 0 ] 2 ( − 12)(x + x − 2) ( x + 1) ≥ 0 2 12( x + x − 2)( x + 1) ≤ 0 ( x + 1)(x − 1)(x + 2) ≤ 0 Calculando los puntos críticos: x+2=0 x +1 = 0 x −1 = 0 x = −2 x = −1 x =1 −∞ − -2 + -1 − 1 + + ∞ ∴ C. = x ∈ < − ∞ . + ∞ > 24. + ∞ > x ∈[ − 3 . − 2 ] ∪ [ − 1 . . −1 2 ] ∪ [ 3 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2x + 1 = 0 x −3 = 0 x = −1 2 x=3 . = x ∈ < + ∞ . 1 2 ] ∪ [3 .S.S.
Resolver: 8. Resolver: x + 2 x + 1 − 2x − 5 < 3 5. Resolver: 2 x + 3x + 11 x−2 ≤3 11. Resolver: 2x + 8 ≤ x + 1 + 3 4. Resolver: x −3 5− x ≥ 2− x x +1 12. Resolver: 6x2 − 3x + 3 < 2x2 + 9x − 2 6. Resolver: 7.Matemática I EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Resolver: x +1 −2 2− x ≥1 10. a) = ∈ℜ − < → − > 122 . Resolver: ( x − 2 + x + 2 ) ( 1 − x − 2 − x ) ≥ x2 − 6 2.Resolver: 2 x −4 − x −9 ≤ x − 2 x −6 − x + x + 2 x −2 <3 x −8 − x + x +4 x+2 <3 9. Resolver 14. Resolver: − − + − − − + − − − + − − − + + − − ≥ − ≤ − −6 + + 15. Expresar los siguientes conjuntos como un intervalo de números reales. Resolver: ( x −1 − 3 − 5 − x − 4 ) ( x −1 − 3 + 5 − x − 4 ) ≤ x − 6 13. Resolver: 3 x − 3 2 − 2 x − 3 < 8 3.
x ≥ a ⇔ x ≥ a 5.11. ∀x ∈ R. a un número entero “n”. x ∈ Z 2. x ≤ x < x + 1 4. ∀a ∈ Z 123 .11. Si : x < a ⇔ x < a. PROPIEDADES. se define “el máximo entero no mayor de x” denotado por x .Hallar m de modo que la solución de x −3 2 ≤ 7 2 + ≤ − sea la misma de: 17.2. ∀x ∈ R. Hallar 4. x = x ⇔ x∈Z 3. INECUACIONES CON MAXIMO ENTERO 3. Si: a ∈ Z. MAXIMO ENTERO Definición. (n ∈ Z) tal que: n≤ x<n+1 De lo cual indicamos: x = n ⇔ n ≤ x < n +1 Luego : x ≤ x < x +1 Siempre que: n = x : Sea un número entero 3.1.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano b) c) = = ∈ℜ 1+ − − + − + ≤ − − − ∈< − 16. 1. = ∈ℜ − < y = ∈ℜ − − + < − − .12. Siendo “x” un número real. Sean ∩B.
2 > ∪[3. Si : x ∈ R / x = y + n. Si : y > x y ≥ x + 1 ≥ x . x − 1 < x ≤ x . Si A = {x ∈ ℜ/ x − 1 + 2 x ≥ 17 . Si : a ∈ Z y x ≤ a ⇔ x < a + 1 7. y ∈ R 9. Si : m ∈ Z 8. ∀x ∈ R 10. Si : n = x − x 12. ∀x ∈ R y cualquier n ∈ Z.∞ > x+2 =5 ⇔ 5≤ x+2< 6 ⇔3≤x<4 / −2 x ∈ [3. 0 ≤ n < 1 13. x+m = x +m x + y > x + y . Sabemos que: x − 1 = x − 1 sustituyendo en (#) Se tiene: 2( x − 1)2 + 5 x ≥ 17 2 x 2 x 2 − 4 x + 2+5 x ≥ 17 + x − 15 ≥ 0 2 (2 x − 5)( x + 3) ≥ 0 (2 x − 5 ≥ 0 ∧ x + 3 ≥ 0) ∨ (2 x − 5 ≤ 0 ∧ x + 3 ≤ 0) ( x ≥5 2 ∧ x ≥ −3) ∨ ( x ≤5 2 ∧ x ≤ −3) (x ≥ 3 ∧ x ≥ −3) ∨ (x < 3 ∧ x < −2) x ∈< ∞. n > 0 se tiene que : x n = x n Ejercicios resueltos con máximo entero 1. ∀x ∈ R 0 ≤ n <1 y= x 11. ∀ x.4 > 124 .Matemática I 6. si Resolución x − 1 + 2 x ≥ 17 (#) x + 2 = 5} . ∀y ∈ Z. hallar A.
Expresar el conjunto A en términos de intervalo: x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 a) A = {x ∈ ℜ / ≤ 2 . + ∞ > ) ∪ ( x ∈ < ∞ . − 2 > ∪ [3 . p Del enunciado: q . − 2 > ∪ [3 . si x + 2 = 5 } . ∞ > ) A = x ∈ <−∞ . Si A = {x ∈ ℜ/ x − 1 + 2 x ≥ 17 q . si x2 − 4x − 6 < − 3 2} p −2 ≤ 0 x − 4 + 2x + 3 − 2 x − 1 + 2 x −1 −1 ≤0 Calculando los puntos críticos −∞ x −4 = 0 2x + 3 = 0 x −1 = 0 x =4 x = −3 2 x =1 + ∞ -3 2 1 4 125 . ∞ > ) A = ( x ∈ < − ∞ .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 2. hallar A. si x 2 − 4x − 6 < − 3 2 } b) A = {x ∈ ℜ/ Resolución 10 − 3x − x 2 2 ≤ 9 ↔ x − 1 = 3} a) A = {x ∈ ℜ/ x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 q x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 ≤ 2 . 3 > ∪ [ 4 . 4 > )' ∪ ( x ∈ < ∞ .+∞ > A' = φ 3. si p p → q ≡ ~ p ∨ q ≡ p' ∪ q A = ( x ∈ [ 3 .
S. 2 > 2 iii) U = [ − 3 2 . − 7 3] ∪ x ∈ < 0 . 2 > ∪ x ∈ [11 . − 3 2 > 4 −(x − 4)−(2x + 3 ) + 2 x − 1) + 2 ( −(x − 1) − 1 ≤0 − x −1 −x ≤0 126 . = φ 1 1 ii) U = [1 . + ∞ > ) ∩ U C. 1 > 3 −(x − 4)+(2x + 3 ) + 2 x − 1) + 2 ( −(x − 1) − 1 ≤0 3x + 7 ≥0 x ( x ∈ < − ∞ .S.S. 4 > 2 −(x − 4)+(2x + 3 ) − 2 x − 1) + 2 ( ( x − 1) − 1 ≤0 − x + 11 x−2 ≤0 x − 11 x−2 ≥0 ( x ∈ < − ∞ . 1 > 3 3 vi) U = < − ∞ . + ∞ > 1 (x − 4)+(2x + 3 ) − 2 x − 1) + 2 ( ( x − 1) − 1 ≤0 x+3 ≤0 x−2 ( x ∈ [ − 3 . 2 ]) ∩ U C. + ∞ > ) ∩ U C.2 = x ∈ [ 1 .Matemática I i) U = [ 4 . = x ∈ < 0 .
5 > )' ∪ x ∈ < 0 .S. 1 3 4 C. 2 > A = x ∈ < −∞ . = φ 4 C.Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano x +1 ≤0 x x ∈[−1 . 2> 3 x2 − 4x − 6 < − 3 2 x2 − 4x − 6 < −1 2 x − 4x − 6 < −1 2 x − 4x − 5 < 0 ( x + 1) ( x − 5) < 0 x ∈ < −1 . 0 > ∩ U C. ∪ C. 2 > ∪ x ∈ < 0 . 1 > ∪ φ ∴ q = x ∈ < 0 .S. + ∞ > Rpta.S.2 ∪ C.S. 2 > A = (x ∈ < − ∞ .S.S. ∪ C.S. = C. = φ ∪ x ∈ [1 .5> Del enunciado: q . b) A = {x ∈ ℜ / 10 − 3x − x2 p 2 ≤ 9 ↔ x −1 = 3} q 10 − 3x − x 2 10 − 3x − x2 2 ≤ 9 ≤3 127 . si p p → q ≡ ~ p ∨ q ≡ p' ∪ q A = ( x ∈ < − 1 . − 1 ] ∪ [ 5 .2 > ∪ [ 5 . −1 ] ∪ < 0 . + ∞ >) ∪ x ∈ < 0 .
+ ∞ > ) A = x ∈ < − ∞ .+ ∞ > 128 . − 5 > ∪ < 2 . 2 ]) ∩ ([ 4 . n∈ x −1 = 3 ⇔ 3 ≤ x −1 < 4 ⇔ 4 ≤ x <5 x ∈ [4 .2] p ≡ x ∈ [ −5 . 2 ] ∩ [ 4 .2] ∧ ∧ ∧ 2 x + 3x + 6 > 0 x∈ℜ x∈ℜ x −1 = 3 Por el Teorema: x = n ⇔ n ≤ x < n +1 . 5 > Del enunciado: p ↔ p ≡ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ q) p ↔ q ≡ (p ∧ q)∨(~p ∧ ~ q) ≡(p∩q)∪ ( p' q' ≡(p∩q)∪ ( p∪q)' ∩ ) A = ([ − 5 . + ∞ > ) ∩ (< − ∞ . 5 > ) ∪ ( [ − 5 . 5 > )' A = φ ∪ [([ − 5 . 4 > ∪ [ 5 . 5 > q ≡ x ∈ [4 . 2 ] ∪ [ 4 . 5 > )' ] ' A = (< − ∞ . 4 > ∪ [ 5 . − 5 > ∪ < 2 .Matemática I −3 ≤ 10 − 3x − x 2 ≤ 3 ∧ ∧ 10 − 3x − x 2 ≥ −3 10 − 3x − x 2 ≥ −3 10 − 3x − x2 ≤ 3 10 − 3x − x 2 < 4 10 − 3x − x 2 ≥ −3 ∧ 10 − 3x − x2 < 16 x∈ ℜ ∧ 0 ≤ 10 − 3x − x2 < 16 0 ≤ 10 − 3x − x2 ∧ 10 − 3x − x 2 < 16 2 x + 3x − 10 ≤ 0 ( x + 5 )+ ( x − 2) ≤ 0 x ∈ [ −5 .
2x2 + 5x − 2 < 1 129 . x − 2 x −2 ≤0 Resolución Completando cuadrados: ( x 2 − 1) − 3 < 0 ( x 2 − 1) < 3 ( x 2 − 1) < 3 x −1 < 3 − 3 < x −1 < 3 x −1 > − 3 ∧ x −1 < 3 x > 1− 3 ∧ x < 1+ 3 x > −1 ∧ x < 3 x ≥0 ∨ x < 3 x ∈ [0 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano 4. Resolver 2 a. 3 > b.
= x ∈ < − 3 .− 3 2 > ∪ < − 1 . 1 2> Entonces: C.Matemática I Resolución Por el Teorema: x < n ⇔ x<n x2 + 5x − 2 < 1 ⇔ 2x2 + 5x − 2 < 1 ⇔ 2x2 + 5x <3 ⇔ 2 − 3 < 2x + 5x < 3 ⇔ 2 2x + 5x > − 3 ∧ 2 2x + 5x < 3 ⇔ 2 2x + 5x + 3 > 0 ∧ 2 2x + 5x − 3 < 0 ⇔ (2x + 3) ( x + 1) > 0 ∧ (2x − 1) ( x + 3) < 0 ⇔ ( x ∈ < − ∞ . 1 2 > c.S. + ∞ > ) ∩ x ∈ < − 3 . 5+ x 5−x ≤1 Resolución 130 .− 3 2 > ∪ < − 1.
S. 2 4x − 5x − 4 ≤ 1 Resolución Por el Teorema: x ≤n ⇔ n ≤ x < n +1 . n∈ 2 4x 5x − 4 ≤ 1 ⇔ 2 4x − 5x − 4 < 2 ⇔ 2 4x − 5x − 6 < 0 ⇔ (4x + 3) ( x − 2) < 0 ⇔ x∈ < − 3 4 . − 5 3] ∪ < 5 . + ∞ > C. 5 3] ∪ < 5 .Ecuaciones e Inecuaciones Carlos García Cortegano Por el Teorema: x ≤ n ⇔ x < n +1 5+x 5− x < 2 ⇔ 5+x <2 5− x ⇔ 5+x 5−x −2 ≥ 0 ⇔ 5 + x − 10 + 2x <0 5− x ⇔ 3x − 2 <0 5−x ⇔ 3x − 5 >0 x −5 x ∈ < − ∞ . = x ∈ < − ∞ . 2 > 131 . + ∞ > d.
Hallar x + 2 +6 ≥ 0} y A B' 132 . x 2 − 12 + ( x 2 − x − 6) ≥ 0 g. x −1 +2 x ≥ 17 . x 2 −9 + ( x 2 −2 x − 15 ) ≤ 0 h. x f. Dados los conjuntos A = { x ∈ ℜ / 2( x + 2) − 8 B = { x ∈ℜ / x −1 2 + 2 x 2 = 57 }.= x ∈ < − 3 4 . Si A = { x ∈ ℜ / 4. si 2 x − 4x − 6 < −3 2 } b) A = { x ∈ ℜ / 10 − 3x − x2 2 ≤9 ↔ x −1 =3} 3. hallar A. 2 x − 2x ≥0 2. si x+2 = 5 } . 1. 2 > EJERCICIOS PROPUESTOS. Hallar el conjunto solucion: 4 2 − 10 x +9 ≤ 0 e.Matemática I C. Expresar el conjunto A en términos de intervalo: x − 4 + 2x + 3 x −1 −1 a) A = { x ∈ ℜ / ≤ 2 .S.
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