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Timestamp: 2020-05-29 10:22:42+00:00

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Réduction des endomorphismes : tableaux de Young, Cône nilpotent, représentations des algèbres de Lie semi-simples | Rached Mneimné | download
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Réduction des endomorphismes : tableaux de Young, Cône nilpotent, représentations des algèbres de Lie semi-simples
Rached Mneimné
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Hans J Baues
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Rached Mneimné Réduction des endomorphismes Tableaux de Young — Cône nilpotent Représentations des algèbres de Lie semi-simples g> Calvage & Mounet <f]
RACHED MNEIMNÉ est ancien élève de l'École normale supérieure de Saint- Cloud et agrégé de mathématiques. Il est actuellement maître de conférences à l'Université Paris 7, Denis-Diderot, et membre de l'équipe « Théorie des groupes, représentations et applications » qui dépend de l'Institut de mathématiques de Jussieu (UMR 7586). Il a publié en 1986, chez Hermann, avec Frédéric Testard, une Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, et en 1997 un ouvrage sur les Actions de groupes, chez Cassini, qui constitue le chapitre zéro de ses Éléments de géométrie. Courrier électronique : mneimne@math.jussieu.fr Public concerné : Licence, Master - Agrégation Mathematics Subject Classification (1991): - 13A50 Invariant theory - 14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients) - 15-XX Linear and multilinear algebra; matrix theory - 17B10 Représentations, algebraic theory (weights) © Imprimé sur papier permanent ISBN 2-916352-01-5 © Calvage et Mounet, Paris, 2006 (pour la présente édition) © R. Mneimné
à la France, et en souvenir de ma mère
... nous jouissions avec délices de la beauté du spectacle qui nous entourait, lorsque le chevalier de B***, rompait! brusquement le silence, s'écria: — « Je voudrois bien voir ici, sur cette même barque où nous sommes, un de ces hommes pervers, nés pour le malheur de la société ; un de ces monstres qui fatiguent la, terre... » - - « Et qu 'en feriez-vous, s'il vous plaît (ce fut la question de ses deux amis parlant à la fois) ? » — « Je lui demanderais, reprit le chevalier, si cette nuit lui paroit aussi belle qu'à nous. » Joseph de Maistre. Les soirées de Sai; nt-Pétersbourg. Préface. La réduction des endomorphismes est devenue de nos jours un chapitre bien classique des mathématiques de Propédeutique. Le présent ouvrage n'est pas une présentation de plus du sujet destinée aux jeunes étudiants qui font leurs premiers pas dans l'apprentissage des mathématiques supérieures. Il suppose en fait une familiarité certaine avec le sujet, même s'il reprend ici ou là quelques énoncés bien connus et en donne des démonstrations souvent inédites et concises, et même si, également, il explique ou rappelle les éclairages nécessaires pour une compréhension de qualité de la matière dans ses parties les plus classiques. Nous avons, il est vrai, opté sans détours pour le langage des groupes opérant, pour celui des suites exactes (courtes), et surtout pour l'utilisation de la réduction de Jordan, sans le souci des limites d'un programme actuel ou d'un autre à venir! Il nous semble en effet que les scrupules des anciens, comme des contemporains, à introduire l'usage de cette réduction seront tôt ou tard écartés, comme furent écartés les scrupules à enseigner l'intégrale de Lebesgue dans les classes préparatoires. La réduction de Jordan présentée avec le secours des tableaux de Young allie à une efficacité et une simplicité certaines un attrait esthétique bien souvent absent des méthodes que nos jeunes ont le loisir de manipuler. La maîtrise de cette réduction ramène, par exemple, toute l'apparente complexité du cas nilpotent à la combina- toire élémentaire des tableaux de Young. Elle ouvre par ailleurs la voie à une compréhension inattendue de bien des aspects de la théorie des représentations, aspects dont on était bien conscient aux moments fondateurs, mais qui sont noyés de nos jours dans un vocabulaire tout aussi opaque que dense. Une fois maîtrisée la réduction de Jordan, le chemin est alors libre1 vers l'apprentissage des représentations de l'algèbre *Ce chemin est presque obligé dès lors que se pose la question de la recherche effective d'une base de Jordan. Un passage crucial dans le texte consiste d'ailleurs à déterminer une base explicite dans laquelle l'opérateur ad Jn : X i—> [Jn,X], où Jn est le bloc de Jordan plein d'ordre n, est réduit sous forme de Jordan. - vu -
de Lie sl(2, C) des matrices d'ordre deux de trace nulle, véritable génome de la théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples complexes et lieu d'initiation privilégié pour apprécier et comprendre quelques aspects des représentations des algèbres associatives2 : théorème de Burnside, théorème sur le bicommutant, composantes isotypiques, etc. Ici, comme avec les tableaux de Young, c'est visuellement et par la manipulation des « pyramides renversées » que l'on maîtrise la complexité de la situation3. Le titre volontairement modeste que nous avons donné à l'ouvrage souligne en réalité cette unité et cette continuité, dans la théorie des représentations, entre les parties élémentaires et celles qui le sont moins. Notre penchant pour les représentations de sl(2, C) nous a fait choisir d'initier le lecteur à cette théorie par ce biais, quand d'autres auteurs le font par l'étude des représentations des groupes finis (ou des groupes compacts)4. Ce choix impliquait naturellement tout un développement sur la structure des algèbres de Lie semi-simples complexes. Il ne s'agissait cependant guère pour nous de récrire le livre de J.-P. Serre sur le sujet en moins bien, ce que d'autres auteurs ont fait avec plus ou moins de bonheur, mais de reprendre avec le maximum de concision les idées et la philosophie de ce grand classique en y usant, quand cela rendait les choses plus claires, du langage des suites exactes, mais surtout en montrant au lecteur comment tout (ou presque) y est finalement de la « jordanisation » (effective) cachée. Nous avons voulu également insister sur le côté géométrique des choses en dégageant en priorité le groupe Aut(g) des automorphismes de l'algèbre de Lie g, ainsi que le groupe Int(g) de ses automorphismes intérieurs. Nous pensons ainsi avoir bien fait comprendre la part synthétique de la théorie, gérée par les invariants de nos automorphismes, par opposition à la part analytique 2Ces algèbres (et leurs représentations) réapparaîtront tôt ou tard (notamment avec les algèbres enveloppantes), pour s'attirer bien vite une part privilégiée de l'attention de nos lecteurs, du fait de la relative simplicité de leurs techniques et de la bonne connaissance que l'on a d'elles (idéaux primitifs, localisation, etc.). 3La justification à gauche de ces pyramides donne le tableau de Young des composantes nilpotentes figurant dans les sl2-triplets. 4On doit avouer qu'avec cette approche on se retrouve dépouillé d'un outil que la théorie des groupes offre généreusement à ceux qui lui accordent leur prédilection : la liberté de « moyenner », rendue possible par l'existence de la mesure de Haar. - vin -
qu'implique le choix d'une sous-algèbre de Cartan. Cet objet qui pourrait dérouter le débutant s'éclaire d'une façon nouvelle quand on saisit que la donnée d'une sous-algèbre de Cartan permet de calculer, un peu comme celle d'un repère cartésien le fait en géométrie ! La conjugaison des sous-algèbres de Cartan vient à point pour rappeler la prééminence de la symétrie sur les relations algébriques, même si chaque territoire marque l'autre de son sceau. Nous avons exposé pour une part cet aspect des choses dans [Mn-97]. La note sur la similitude qui figure dans cet ouvrage introduisait à la combinatoire des tableaux de Young et à celle des pyramides renversées. Cette note, à ma grande surprise, se révéla difficile, même pour les normaliens. Il fallait se rendre à l'évidence : une introduction à cette note s'imposait. J'ai donc écrit le Poly vert [Mn-98]. Les premiers étudiants à en « subir » le contenu furent les agrégatifs de l'IPEST à La Marsa, suivis par ceux de la rue d'Ulm, normaliens de deuxième ou troisième année. Le Poly vert sortira sous une forme expurgée comme article d'encyclopédie aux Techniques de l'Ingénieur5. Nous reprenons ici, à quelques modifications et ajouts près, le texte de ce polycopié. La partie élémentaire du livre est un panorama du sujet que nous avons développé dans un ordre descriptif, préféré à l'ordre déductif. Mais ce dernier est malgré tout au rendez-vous ici ou là. On peut dire que, d'une certaine manière, le texte ici proposé est une introduction à l'important morceau de [Mn-97] consacré à la similitude, tout en en étant le développement naturel. Il peut cependant être lu indépendamment, mais avoir sous les yeux les deux textes est préférable. Nous n'avons pas voulu donner ici toutes les démonstrations. Ce sont de jolis exercices6. Les références bibliographiques peuvent alors être d'un certain secours, et d'un secours certain. La partie moins élémentaire du livre est quelque peu lacunaire : nous nous sommes contenté, une fois fixées les notations, d'y faire figurer ce que nous avions à dire de signifiant sur le sujet. Cette partie provient de notes de cours faits devant, des étudiants de DEA à l'Université Paris VII en 1999. 5Techniques de l'Ingénieur. AF 87. 4-99. 6Nous nourrissons un peu l'espoir que la petite communauté des professeurs de mathématiques spéciales et de leurs élèves les plus brillants trouvera dans ces exercices moins un quelconque défi qu'un vivier, pour deux ou trois ans, d'exercices de concours inédits. - IX -
Certains de nos choix terminologiques ont été ici ou là commentés ou défendus. Il fallait, par exemple, choisir des noms pour les matrices à valeurs propres distinctes, ou pour celles dont le polynôme minimal coïncidait avec le polynôme caractéristique. Nous avons voulu une terminologie bien adaptée, vu le contexte, au cadre des algèbres de Lie semi-simples, et qui heurte le moins possible les usages déjà établis, à défaut de s'y plier systématiquement. On peut rester longuement dans le cadre matriciel en se confinant à sl(n, C) et y faire des choses intéressantes, non triviales. Il s'avère cependant nécessaire de passer, tôt ou tard, au cadre général des algèbres de Lie semi-simples, où les choses deviennent d'un côté plus simples, notamment par la reconnaissance des ustensiles intrinsèques, et de l'autre plus ardues du fait de la relative complexité technique du cadre concerné. Les livres qui introduisent les algèbres de Lie s'orientent systématiquement vers la classification des systèmes de racines, ou, ce qui revient au même, vers la classification des algèbres de Lie semi-simples complexes. Une fois déroulé le processus usuel qui part de la définition d'une sous-algèbre de Cartan et qui aboutit aux diagrammes de Dynkin, plusieurs développements sont possibles : représentations de dimension finie, géométrie des orbites nilpotentes, cohomologie des algèbres de Lie, etc. Le choix opéré dépend du goût des auteurs, mais également de leur savoir-faire. L'étude du cône nilpotent et des orbites nilpotentes présente, à nos yeux, un côté esthétique supérieur, et constitue un lieu où se déploient des méthodes mathématiques d'une vitalité et d'une élégance remarquables. Dans ce livre, tout comme dans [Mn-97], nous n'avons fait qu'effleurer ce territoire mathématique, et nous l'avons fait à travers le cadre familier de l'algèbre linéaire élémentaire et des actions de groupes. Dans notre étude de la structure des algèbres de Lie semi-simples, nous n'avons été ni systématique, ni exhaustif, mais nous avons eu le souci de ne passer aucun choix sous silence et de n'en faire que lorsque cela était nécessaire. Quand, par exemple, une sous-algèbre de Cartan était introduite, ou qu'un système de racines positives était préféré à un autre, on gardait en mémoire la dépendance ou la non dépendance des objets les uns par rapport aux autres. Cette démarche correspond évidemment à une plus grande rigueur, mais éclaire souvent un contexte ou une formule d'une lumière de vérité. Les vérifications que l'on fait en physique au sujet de l'homogénéité d'une formule s'accommodent ici - x -
aux mots « intrinsèque » et « canonique » qu'on épingle ou non, comme attributs, à nos choix successifs. Nous avons consacré ainsi une partie non négligeable de notre travail à la structure des algèbres de Lie semi-simples, au risque d'ôter à ce livre son image de marque de livre élémentaire. Nous insistons cependant sur le fait que nous avons parlé de ces algèbres de la façon la plus simple, en usant de la symétrie incarnée par le groupe adjoint, et en nous laissant guider par ce fil d'Ariane, fourni par les rapports entre les sl^-triplets et la réduction de Jordan. Le lecteur qui nous aura suivi aura compris l'objectif que nous poursuivions en l'occurrence : non pas faire comprendre la théorie élémentaire des algèbres de Lie semi- simples complexes, mais la faire comprendre mieux ! Nous n'avons de ce fait pas été avare de commentaires qui éclairent certaines fois le secret des choses, ou qui supportent à d'autres moments l'articulation et la mémoire de ces mêmes choses. Nous nous sommes fait plaisir en concevant beaucoup d'exercices, à notre connaissance souvent inédits. Mais d'autres exercices sont là pour détailler une démonstration ou proposer des compléments utiles. En organisant la matière comme nous l'avons fait, nous avons parfois soustrait à leur cadre habituel quelques théorèmes, ou certaines techniques à l'aspect fastidieux, et nous avons essayé d'en faire de jolis petits exercices. Sous cette forme, une démonstration de théorème ou un passage clé vivent presque par eux-mêmes. Fragmentés ou éclatés, ils sont plus instructifs que réunis ensemble pour les besoins d'une cause locale. L'informatique autorise des libertés que n'avaient pas les auteurs anciens. Le présent livre s'est construit par assemblages, superpositions, insertions et remaniements successifs. À mesure qu'il prenait corps, par touches successives, nous avions beaucoup plus l'impression de composer un bouquet que de bâtir une tour. L'ouvrage porte en lui, de ce fait, les qualités et les défauts de sa constitution. Le texte a été saisi en TeX, dans le format BTjgX. Les dessins ont été réalisés avec Adobe Illustrator en langage postscript. S'il est très agréable de rédiger un texte mathématique directement sur machine, l'ardeur nous fait un peu défaut quand, mal assorti, nous devons le reprendre. Le sacrifice d'une feuille remplie, puis précipitée au fond d'une corbeille à papier, était par le passé moins douloureux que ne l'est, de nos jours, l'abandon d'un texte déjà saisi sur machine au bénéfice - xi -
d'un autre. On procède alors par retouches et colmatages; le résultat n'en est pas pour autant obligatoirement médiocre. Tout instrument possède ses justifications. Notons enfin que le progrès technologique n'a pas toujours, dans ce contexte, les meilleurs des effets. D'une version de votre machine à la suivante, les minutes délectables dont on disposait pour réfléchir, phrase après phrase, durant la compilation d'un long ouvrage, se raccourcissent pour n'être plus aujourd'hui qu'un frisson ou un soupir, et s'estompent avec elles ces précieux moments de mise en perspective et de synthèse. La lecture du présent livre suppose évidemment une certaine maturité mathématique, même si elle ne requiert essentiellement que le niveau d'une bonne Taupe. L'apprentissage d'une théorie mathématique dans le monde surinformé où nous vivons s'opère souvent par touches multiples et successives. Nous pensons que par notre texte nous apporterons au lecteur qui voudra bien s'y exposer une aide et un éclairage qui lui seront utiles, mais qui resteront incomplets. Cependant, ce qui manquera ici, par défaut ou par choix, nous sommes sûr qu'il le trouvera facilement ailleurs. Signalons enfin que nous avons choisi de publier ce texte avant de le peaufiner véritablement. Cela aurait demandé beaucoup trop de temps, et aurait retardé d'autant la sortie du livre. En offrant au public un cadeau non emballé, on commet peut-être une erreur, mais on a quand même préféré ne pas le remettre une fois la fête terminée. Paris, décembre 2005. Nos remerciements vont en priorité à Alberto Arabia, Abderrazak Bouaziz et Bernhard Keller, mais aussi à A. Achour, M. Artigue, J.-Y. Charbonnel, R. Cori, J.-Y. Ducloux, J.-D. Eiden, J. Durin, A. Hersant, A. Moreau, B. Randé, D. Schnitzpahn, S. Yammine, J. Van de Wiele et Ch. Velpry. Nous n'oublions pas Ph. Caldéro, P. Gabriel, Ch. Torossian, et à nouveau R. Cori et J.-D. Eiden, qui ont eu la gentillesse de lire des parties du manuscrit et de nous suggérer plusieurs améliorations significatives. Une mention spéciale revient enfin à Sahar J. Mawlawi, dont le soutien et les encouragements ne se sont jamais démentis. - xii
Sommaire 1. Introduction 1 2. Manipulations premières sur la relation de similitude 4 1. Similitude et rang 4 2. Similitude et PG-équivalence 5 3. Similitude et congruence 6 4. Fonctions polynomiales invariantes 6 5. Commutant d'une matrice et matrices de changement de base 7 3. Valeurs propres. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal 8 1. Généralités 8 2. Valeur, vecteur et sous-espace propres 9 3. Sous-espaces en somme directe et sous-espaces propres . 11 4. Matrices diagonalisables 13 5. Le polynôme caractéristique 15 6. Théorème de Cayley-Hamilton 19 7. Théorème spectral et autre point de vue sur le théorème de Cayley-Hamilton 20 8. Le théorème spectral - Deux démonstrations 22 9. Discriminant du polynôme caractéristique 26 4. La partition de M(n, C) en classes de similitude 28 1. La partition donnée par l'égalité des polynômes caractéristiques 29 2. Description des classes de similitude d'une même classe modulo &> 30 5. La suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young 32 1. Une suite qui s'essouffle 32 2. Tableaux de Young 33 3. Tableau de Young associé à une valeur propre 34 4. La pratique de la réduction de Jordan pour une matrice nilpotente 34 5. La pratique de la réduction de Jordan pour une matrice quelconque 36 6. Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent 37 1. Matrices nilpotentes 37 2. Filtration et gradué associés à un endomorphisme nilpotent 39 3. Le cône nilpotent. L'exemple des matrices d'ordre 8 . . 41 4. Cône nilpotent et classes de similitude dans M(2,R) . . 44 - xiv -
7. La réduction de Jordan pour elle-même 44 1. Pratique et preuve 44 2. Arrangements possibles d'une base de Jordan 46 3. Degrés de liberté dans le choix d'une base de jordanisation. Les sl2-triplets 47 4. Réduction de Jordan effective de ad(J„) 51 8. Familles particulières de matrices. Les matrices de la classe S 55 1. Une première classe 55 2. Une seconde classe 57 9. Application. Racines carrées de matrices 59 10. Application au calcul de la dimension du commutant 62 11. Application. Connexité et centralisateur 63 12. Matrices régulières 65 13. Réduction simultanée 67 1. Cas de deux matrices 68 2. Théorèmes d'Engel et de Lie 69 3. Théorème de Kolchin 69 4. Diagonalisation simultanée 70 5. Poids et sous-espace poids 70 6. La représentation irréductible de sl(2, C) de dimension n 71 7. Conjugaison des p-Sylow 73 14. Un autre point de vue sur la réduction de Jordan. La version K[_X"]-modules 74 1. Théorème de Jordan et modules injectifs 74 2. Modules simples et modules indécomposables 75 3. La suite exacte longue de Frobenius 75 4. Modules injectifs et dimension infinie 76 5. Qui est le plus fort? 77 6. Si l'on n'est pas encore convaincu 77 7. Retour sur le commutant. Application au bicommutant. 79 8. Les facteurs invariants et la forme normale de Smith ... 79 15. Matrices de Hessenberg 81 1. Généralités 81 2. Calcul du déterminant 82 - xv -
16. Le cas réel 83 1. Généralités 83 2. De certaines matrices régulières 84 3. Jordanisation réelle 85 4. Graphe d'une armoire à polynôme caractéristique réel et dans M(8,C) 86 5. L'armoire complexe 86 6. La sous-armoire réelle 87 7. Connexité et classes de similitude réelles 88 8. Racines carrées et logarithmes dans le cas réel 89 17. Similitude et Congruence. Les matrices symétriques réelles 91 1. Généralités 91 2. Action du groupe unitaire 91 3. Matrices normales. Premières propriétés 92 4. Matrices normales. Autres caractérisations 92 5. Cas n = 2 94 6. Théorème de Specht 94 7. Matrices symétriques et antisymétriques réelles 94 8. HausdorfRen d'un opérateur 97 9. Théorème de Horn 98 10. Théorème de Liapounov . 99 11. Matrices unitairement équivalentes 100 18. Quelques exemples récapitulatifs 101 1. Une diagonalisation explicite 101 2. Une jordanisation effective 102 3. Autre exemple 103 4. Les ressorts de Trubowitz 103 19. Laissés de côté 104 20. Exercices 106 21. Algèbres de Lie de dimension finie 245 1. Introduction 245 2. Vers la définition abstraite d'une sous-algèbre de Cartan 246 3. Les sous-algèbres de Cartan se ressemblent toutes dans le cas complexe 248 4. Algèbres de Lie semi-simples. Algèbres de Lie résolubles 252 5. Sous-algèbres de Cartan des algèbres de Lie semi-simples 254 - xvi -
6. Orbites semi-simples et orbites génériques à la lumière du choix d'une sous-algèbre de Cartan 257 7. Plus loin avec le système de racines M(g, ()) 260 8. Petit appendice. Au sujet des systèmes de racines .... 271 22. Les représentations irréductibles de dimension finie des algèbres de Lie semi-simples complexes 278 1. Par ailleurs 279 2. Multiplicités des poids 281 3. Chambres de Weyl 282 4. Récapitulons 292 5. Retour sur les vecteurs primitifs 293 6. Faisons maintenant le point 294 7. La variété des sous-algèbres de Borel 294 8. Modules de Verma 295 9. Représentations irréductibles fondamentales 297 10. Représentations irréductibles et isomorphismes de Cheval- ley, Harish-Chandra et Duflo 299 11. Idéaux primitifs 304 23. Dernières considérations sur les orbites. Le cône nilpo- tent 310 24. Appendice. Poincaré-Birkhoff-Witt 311 1. Introduction 311 2. La démonstration du théorème de P.B.W 314 3. Retour sur l'algèbre graduée Gr(U(g)) 319 4. Quelques considérations sur U(sI(2,C)) 320 5. Exercices 320 25. Examens 327 26. Postface 350 27. Bibliographie 354 - xvii -
1. Introduction L'algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l'étude des systèmes d'équations linéaires, mais également du besoin de saisir ce qui survit à la géométrie d'Euclide, une fois gommé l'effet des translations, et éventuellement oubliée l'idée de distance. La vérité est en réalité plus complexe. Les chemins qui mènent, ou qui ont mené, à ce territoire mathématique sont, comme souvent, assez divers. Cette constatation, qui soulève évidemment plus d'une question épis- témologique ou philosophique sur la réalité des objets mathématiques, est relevée dans le contexte ici présent pour la voir confirmée (ou reconfirmée) dans le contexte de l'algèbre linéaire. Sans aller à la pêche aux matrices dans les sciences appliquées, en électricité, en mécanique ou en statistique, et en restant dans le territoire de la géométrie élémentaire, il importe de souligner que l'algèbre linéaire, invisible à Euclide et longtemps après lui, se dévoile ou presque dès lors que l'on s'occupe de perspective! C'est le mot, utilisé encore il y a moins d'un demi- siècle, pour désigner ce qui allait devenir la géométrie projective. En effet, quiconque s'interroge sur les propriétés géométriques du plan invariantes par projection conique à partir d'un point, examine en réalité les invariants géométriques de l'action du groupe linéaire GL(3, R) sur les droites de l'espace vectoriel R3 de dimension trois7. L'« invention » de l'algèbre linéaire aura été rendue possible par la « découverte » de deux correspondances : la première, subtile, est celle qui attache à une transformation affine sa partie linéaire8 et la seconde, qui l'est peut- être un peu moins9, celle qui associe à un vecteur non nul de l'espace 7Ou plus précisément l'action du groupe projectif PGL(2,R)=GL(2,R)/R* sur le plan projectif P2(K). *I1 s'agit là de l'homomorphisme « flèche » qui donne naissance à la suite exacte fondamentale de la géométrie affine {Id* } —» T(«?) —► GA(S) ^+ GL(E) —» {IdE} , où figurent le groupe affine et le sous-groupe des translations. 9I1 n'est pas étonnant de voir comment les auteurs du début du vingtième siècle ont du mal à distinguer et à nommer la projection £\{0}-P(i?) = (£\{0})/r, parce qu'il leur manquait précisément la structure axiomatique des espaces vectoriels. Evidemment, le passage de la dimension deux (qui va devenir en langage moderne le plan projectif) à l'espace environnant de dimension trois (qui est l'espace vectoriel au dessus du plan projectif) s'est fait naturellement ; la projection, par contre, correspond au niveau conceptuel à un saut qualitatif non trivial. - 1 -
2 Introduction §1 vectoriel E la droite vectorielle qu'il engendre. La mise en évidence de ces correspondances soutenue par l'intuitif « principe de symétrie »10 façonnera l'édifice linéaire dont nous disposons aujourd'hui. Le rôle prépondérant de la réduction des endomorphismes se dessine progressivement, l'intérieur de l'édifice se réalisant en même temps, ou presque, que les murs. On incline à rapporter à Camille Jordan la paternité de la réduction des endomorphismes11. Ce sont pourtant D'Alembert et Lagrange qui ont, semble-t-il, rencontré les premiers des valeurs propres et un problème de diagonalisation12. Plus tardivement, mais toujours avant Jordan, l'étude des homographies et autres homo- logies en géométrie projective conduira naturellement à des problèmes liés aux sous-espaces propres d'endomorphismes13. L'algèbre linéaire se développe ainsi lentement en une spécialité digne d'intérêt en elle-même, et devient au sens élémentaire du terme la « science » qui s'occupe de matrices14, ou encore d'espaces vectoriels et d'applications linéaires entre ces espaces vectoriels15. Les objectifs de base se réduisent, essentiellement, à l'examen de quatre, voire cinq, relations d'équivalence définies entre matrices16. Il s'agit en fait de la 10C'est Félix Klein qui, avec son fameux « Programme d'Erlangen », marque l'époque historique où l'idée primordiale de symétrie va se traduire mathématiquement par le concept de groupe de transformations, avec la logique de ses invariants. 11 C'est dans une étude consacrée aux équations différentielles à points singuliers réguliers (la théorie de Fuchs) qu'il réduit (« sous forme de Jordan ») l'opérateur linéaire correspondant à l'effet sur les solutions d'une rotation autour d'une singularité isolée (cf. [V], pages 196-200). 12Un système différentiel linéaire, inhérent au mouvement d'un nombre fini de masses réparties sur la corde élastique qui les porte, intéresse les mathématiciens et mécaniciens du xvnc siècle. La résolution de ce système conduit, comme on le sait, à la diagonalisation d'une matrice symétrique réelle (cf. [L-M], page 329). 13Les points fixes d'une involution de la droite projective complexe ne sont- ils pas les droites propres d'une matrice d'ordre deux de trace nulle? 14L'usage du mot science et des guillemets qui l'entourent est là pour rappeler le caractère riche et à la fois complexe et simple de ce domaine. Il nous revient cette boutade de notre collègue J.-Y. Charbonnel : « Pourquoi les matrices? Mais c'est parce que ce sont les objets les plus simples des mathématiques compliquées ». 15 Les adeptes de l'algèbre homologique useront ici du langage des catégories et des méthodes homologiques, tandis que les fidèles du programme d'Erlangen préféreront celui de la théorie des groupes, notamment du groupe linéaire et de ses petits ou grands frères.
§1 Introduction 3 x-équivalence (A = PBQ), la PG-équivalence (A = PB) qui fonde une des sources historiques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss), la similitude (A = PBP-1), qui est l'objet principal de notre étude, et la congruence (A = PBtP). Une autre relation établit enfin certains liens entre similitude et congruence : c'est la similitude orthogonale (A = OBO~x = OBlO). Il s'agira dès lors de chercher à dégager des critères d'appartenance ou de non-appartenance à une classe d'équivalence donnée, à défaut de pouvoir toujours donner une description explicite de ces classes. La présentation adoptée ici fait libre usage du langage des groupes opérant, chaque classe étant une orbite sous l'action du groupe adéquat qui gère la « symétrie » de la situation. Pour la similitude, deux aspects sont à prendre en compte. Un premier aspect, classique, consiste, une fois choisie une matrice A d'ordre n à coefficients dans le corps K, à rechercher dans sa classe de similitude une matrice ayant une forme simple (diagonale, quand c'est possible, ou à défaut triangulaire, etc.), et l'on dit alors qu'il s'agit de la réduire, puis à trouver un élément du groupe GL(n, K) qui « transporte » A vers sa forme simple considérée et l'on parle alors de matrice de passage. Cela correspond pour l'endomorphisme de K™ canoniquement associé à A à un changement de base. Le deuxième aspect, qui se développe actuellement aux côtés du premier, consiste en l'examen pour une matrice donnée A de la géométrie de sa classe de similitude regardée comme un tout, ainsi qu'en l'étude de la géométrie de l'ensemble de toutes les classes de similitude, c'est-à-dire de l'espace des orbites. L'étude de la réduction soulève de nombreux problèmes d'algorithmique ou d'approximation, dus essentiellement au fait que le calcul des valeurs propres passe par le calcul dans un premier temps d'un déterminant à coefficients polynomiaux (le polynôme caractéristique) et dans un second temps par le « calcul » de ses racines. Des résolutions de systèmes linéaires et des inversions de matrices sont également à prendre en considération. C'est la réduction des endomorphismes « effective ». Enfin, le chapitre de la réduction s'articule sur le celui de la réduction des formes quadratiques (la relation de. congruence pour les matrices symétriques). C'est le problème de la réduction des opérateurs symétriques dans les espaces euclidiens ou plus généralement des opérateurs 16Les classes d'équivalence sont ici d'un type précis : ce sont les orbites pour l'action de certains groupes issus du cadre linéaire.
4 Manipulations premières. .. §2 normaux dans les espaces hermitiens. Similitude et congruence dépendent différemment de la nature du corps de base. La réduction des endomorphismes fait peu intervenir la nature du corps (polynôme caractéristique scindé ou pas) alors que la congruence et les résultats qui s'y rattachent dépendent énormément de l'arithmétique du corps. On se contentera, sauf exception, de regarder la similitude dans les cas de M et de C. Quelques applications classiques de la similitude, en physique ou ailleurs, devraient être ici évoquées. Les axes d'inertie d'un solide ou les états propres d'un système de masses avec ressorts peuvent servir plus comme illustration des idées subtiles de la théorie que comme exemples fondamentaux d'application ; on se limitera en fait à l'exemple des ressorts de Trubowitz. On laissera également de côté l'intervention de la réduction dans l'étude, dans le plan complexe, des équations différentielles à points singuliers réguliers (la théorie de Fuchs - cf. [V]). Indiquons, enfin, que l'étude des systèmes différentiels et de la nature de leurs points d'équilibre (pendule, circuit RLC, ressort avec frottements, etc.), étude qui se fait au niveau du système linéaire associé, dépend fortement de la réduction des endomorphismes et notamment des signes des parties réelles des valeurs propres de la matrice associée (cf. [H-W] et [R]). 2. Manipulations premières sur la relation de similitude Définition 2.A. Deux matrices A et B, carrées d'ordre n et à coefficients dans le corps commutatif K, sont dites semblables, et l'on écrira A ~ B, s'il existe une matrice inversible P G GL(n,K) telle que A = PBP-\ Nous verrons plus bas que la définition met aussitôt en évidence quelques propriétés essentielles de la similitude, et qu'une certaine prudence s'impose quand il s'agit d'appliquer à la similitude des propriétés propres à la congruence ou à la PG-équivalence. 2.1. Similitude et rang Rappelons que deux matrices A et B sont dites r-équivalentes, et l'on notera cela A = B, s'il existe deux matrices inversibles P et Q telles que A = PBQ. Il est bien connu que deux matrices sont r-équivalentes si,
§2.2 Similitude et PG-équivalence 5 et seulement si, elles ont même rang. Autrement dit, le rang classifie les classes d'équivalence pour la r-équivalence. Deux matrices semblables sont en particulier r-équivalentes, ou, ce qui revient donc au même, ont même rang: A~B^>A = B. Par ailleurs, si A et B sont semblables, il en est de même de leurs puissances : A ~ B =► VA; e N, Ak ~ Bk , et également des matrices A — AI et B — AI pour tout A dans K, où 1 désigne la matrice identité : A~B =► VAeK, (j4-AI)~(B-AI). On peut dès maintenant énoncer : Théorème 2.1.A. (E. Weyr) Sur un corps K algébriquement clos, deux matrices A et B sont semblables si, et seulement si, pour tout scalaire A G K et pour tout entier k ^ 0, on a rg(A— XT)k = rg(B — XI)h. Corollaire 2.I.B. Toute matrice est semblable à sa transposée. Remarques a ) La démonstration de ce théorème découle de la réduction de Jordan, qui sera elle traitée plus bas. b) L'intérêt de l'énoncé est d'abord théorique: l'idée de rang se révèle être l'idée cruciale, et tout invariant attaché à une classe de similitude devrait pouvoir s'exprimer en terme de rang. c ) 11 s'avère que l'on peut conjuguer A et sa transposée avec une matrice de passage symétrique, soit lA = SAS-1, et déduire de là, par exemple, que toute matrice complexe est produit de deux matrices symétriques, soit A = (AS~1)S. 2.2. Similitude et PG-équivalence Si A est une matrice d'ordre n à coefficients dans K, notons encore A l'endomorphisme de Kn qui a pour matrice A dans la base canonique (ei,...,en). Si donc A = PBP'1, on a alors Keryl = P(KerB) et Im(yt) = P(lmB). Quand A et B sont PG-équivalentes, soit A = PB avec bien sûr P inversible, on a Ker A = Ker B ; d'ailleurs, la réciproque est vraie. Les classes d'équivalence sous l'action par translation à gauche par les éléments de GL(n, K) sont ainsi paramétrées par les sous-espaces vectoriels de Kn.
6 Manipulations premières. .. §2 2.3. Similitude et congruence Rappelons que deux matrices à coefficients dans le corps K sont dites congruentes, et l'on écrit A « B, s'il existe une matrice inversible P G GL(n, K) telle que A = lPBP. Le caractère symétrique ou antisymétrique d'une matrice ne se conserve pas en général par similitude, contrairement à ce qui se passe dans le cas de la congruence : (AssB et lA = ±A) => lB = ±B. Il est facile par exemple de prouver [cf. remarque a) page 13] que la matrice [1 x [0 0 est semblable, pour tout x, à une matrice symétrique (en fait diagonale) . On démontre plus généralement que toute classe de similitude, dans M(n,C), contient une matrice symétrique (cf. exercice 20.36) ; par contre, sur R, on établit que pour qu'une classe de similitude contienne des matrices symétriques, il faut et il suffit qu'elle contienne une matrice diagonale (cf. section 17.7). Il est de même aise de prouver que la matrice ^0 1 0 à la matrice symétrique 0 -1 0 est semblable symétrique 0 -i i 0 0 1 0' 0 0 1 L0 0 0. en même temps qu'à la matrice anti- 1 0 i 0 i 0 (cf. exercice 20.23) . 2.4. Fonctions polynomiales invariantes La fonction trace M k» trM et la fonction déterminant M >—» det M sont invariantes par similitude. Il en est de même, par exemple, de M \-* det M'trM2. Les fonctions invariantes sont constantes sur les orbites de GL(n, K) opérant par similitude sur M(n,K), ce qui donne un moyen pour établir que deux matrices ne sont pas conjuguées sous l'action de G, c'est-à-dire ne sont pas semblables. L'algèbre des fonctions polynomiales sur M(n,K) ou M(n,C) (c'est-à-dire des fonctions qui dépendent polynomialement des coefficients des matrices considérées) invariantes par similitude est une algèbre de type fini et même une algèbre de polynômes (en n indéterminées). Théorème 2.4.A. L'algèbre des fonctions polynomiales sur M(n,C) invariantes sous l'action par conjugaison de GL(n,C) est engendrée par les n fonctions polynomiales M >-> tr(A/'), où i G [l,n]. Ces fonctions sont algébriquement indépendantes17. 17En particulier, l'anneau sous-jacent à l'algèbre de ces fonctions polynomiales invariantes est factoriel.
§2.5COMMUTANT D'UNE MATRICE ET MATRICES DE CHANGEMENT DE BASE 7 Remarques a) Notons que les fonctions polynomiales invariantes ne séparent pas dans ce cas les orbites (s'il est vrai que deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique, la réciproque est en général fausse)18. b) Le théorème implique que le déterminant s'exprime polynomiale- ment en fonction des traces des puissances fc-ièmes. Pour une matrice 2 x 2, on a 2detA= (trA)2-trA2, et pour une matrice 3x3, on a 6det7l= (trJ4)3-3(tryl)(trJ42)+2tryl3. Exercice. Montrer que pour une matrice 3 x 3 on a toujours 6 tr A4 - 8(tr A)(tr A3) - (tr A)4 + 6(tr A)2 tr A2 - 3(tr A2)2 = 0. En particulier, une matrice M d'ordre 3 et de trace nulle vérifie l'identité remarquable 2trM4 = (trM2)2. 2.5. Commutant d'une matrice et matrices de changement de base Supposons les matrices carrées A et B, d'ordre n, semblables. Les matrices qui conjuguent (ou transportent) A en B s'obtiennent toutes en fonction de l'une quelconque d'entre d'elles et du groupe des matrices (inversibles) qui commutent avec A. De façon plus précise, si 18Le réflexe de déterminer les fonctions polynomiales invariantes sur un espace vectoriel E, muni de l'action linéaire d'un groupe G, s'impose en priorité. Leur algèbre est de type fini quand le groupe G est fini. Ce résultat est appelé communément « théorème des invariants de Hilbert » (cf. par exemple [Mn- 97], pages 18 et 49) ; sa démonstration est facile dès lors que l'on dispose de la notion de nœthérianité. Un cas familier bien connu de cette situation est celui de l'algèbre des polynômes symétriques en n indéterminées à coefficients dans C, qui est une algèbre de type fini, et plus précisément une algèbre de polynômes en n indéterminées ; un système algébriquement indépendant de générateurs est donné par les fonctions symétriques élémentaires, ou encore par les sommes de Newton. La démonstration du théorème 2.4.A fait bien sûr appel aux sommes de Newton, mais découle en fait de deux résultats sur la réduction : d'une part qu'une telle fonction polynomiale est complètement déterminée par sa restriction aux matrices diagonalisables [ou ce qui revient au même que ces matrices sont denses dans M(n, C)], et d'autre part que deux matrices diagonales sont semblables si, et seulement si, les termes diagonaux de l'une se déduisent par une permutation des termes diagonaux de l'autre.
8 Valeurs propres. .. §3 M G M(n,K) et ZM = {X G GL(n,K), MX = XM}, alors le groupe Zm est égal au stabilisateur de M sous l'action de GL(n,K) opérant par similitude (on dit également par conjugaison) sur M(n,K). Il est facile de voir que si A et B sont semblables, disons A = PBP~l, les sous-groupes Z\ et Zb sont conjugués, c'est-à-dire que Z& = PZbP^1, et que si la matrice inversible Po conjugue A en B, alors toutes celles qui le font aussi sont obtenues en multipliant Pq à droite par un élément de Za (ou bien, soit dit en passant, à gauche par une matrice de Zb)- Remarques a) Le groupe Zm apparaît également comme le groupe des éléments inversibles de l'algèbre Im (de dimension finie) des matrices qui commutent avec M. Le groupe Zm est désigné souvent comme le centralisateur de M, et l'algèbre Im comme le commutant de M. b) Les matrices dont la classe de similitude est réduite à un point sont exactement les matrices scalaires. 3. Valeurs propres. Polynôme caractéristique. Polynôme minimal 3.1. Généralités L'existence d'une famille finie de scalaires (il s'agit ici des valeurs propres) associés à une matrice on plus précisément à sa classe de similitude est un phénomène remarquable. On l'abordera mathématiquement de plusieurs points de vue. Ce phénomène se manifeste dans certaines situations physiques. Les ressorts de Trubowitz sont un bel exemple, facile à traiter : il s'agit de l'étude du mouvement de n masses identiques, mobiles sur un rail circulaire et reliées par des ressorts également identiques. L'existence et la détermination de ce que l'on appelle les états purs du système (cas où les masses oscillent toutes avec la même fréquence), et qui sont en nombre fini, sont en fait intimement liées à l'existence et à l'étude des valeurs propres d'une matrice naturellement associée au système (cf. section 18.4, mais également l'allusion historique à Lagrange et D'Alembert faite en 1). 3.1.1. Un exception bien rare Commençons par un premier constat. Pour une matrice A d'ordre n, le rang de A—AI est un entier qui ne dépend que de la classe de similitude de A et qui a la propriété remarquable d'être constamment égal à n sauf pour un nombre fini de scalaires A.
§3.2 Valeur, vecteur et sous-espace propres 9 3.1.2. Un trait commun aux matrices triangulaires semblables Dans la classe de similitude d'une matrice complexe A, il y a toujours des matrices triangulaires. Le fait que toutes les matrices triangulaires d'une classe donnée ont des coefficients diagonaux identiques (à permutation près) ne peut passer inaperçu. Si deux matrices triangulaires A et B sont semblables, les produits respectifs de leurs termes diagonaux sont égaux et constituent, bien entendu, l'invariant donné par le déterminant (commun) à toutes les matrices semblables à A (ou B), mais ces mêmes termes diagonaux se lisent en fait comme les racines du (polynôme) déterminant des deux matrices A — XI et B — XI, qui sont encore semblables. 3.1.3. Une configuration de sous-espaces Etant donné une matrice A, la considération de sous-espaces vectoriels (maximaux et non nuls) de K™ sur lesquels l'endomorphisme (associé à) A agit comme une homothétie nous fait découvrir la notion de sous- espace propre. Le fait remarquable est que ces sous-espaces (qui existent dès lors que l'on se place dans C) sont en situation de somme directe. Ils sont donc en nombre fini. Les sommes directes ainsi associées aux deux matrices semblables A et B = PAP~l se correspondent par l'action de l'opérateur P. 3.1.4. Une série génératrice La série entière X^fc(tr Ak)tk a un rayon de convergence R^ non nul et se prolonge en une fonction méromorphe sur C dont les pôles, en nombre fini, sont donnés par les inverses des valeurs propres. Le nombre p(A) — I/Ra n'est autre que le plus grand des modules de ces valeurs propres. Le calcul des résidus en ces pôles devrait porter de l'information sur la classe de similitude de A. C'est en fait le cas (cf. par exemple [G-L]). 3.2. Valeur, vecteur et sous-espace propres On donne dans ce paragraphe les définitions usuelles de valeur propre et de vecteur propre, et l'on s'étendra plus longuement sur l'idée de sous-espace propre. Définition 3.2.A. Un sous-espace vectoriel F de E = Kn est dit stable sous l'action de f G End(E) si f(F) C F. L'application f définit dans ce cas par restriction un endomorphisme de F appelé l'endomor- phisme induit par f sur le sous-espace stable F.
10 Valeurs propres. .. §3 La trigonalisation d'un endomorphisme, comme son éventuelle diago- nalisation, est intimement liée à l'examen des sous-espaces stables: un endomorphisme / d'un espace E de dimension n est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire. Cela s'exprime aussi par l'existence d'une filtration19 maximale, c'est-à-dire formée de k = n sous-espaces distincts, soit {0}cFlCF2C ■■■cFn = E, stable par l'endomorphisme / : pour tout i, f(Fi) Ç Fi. De même, les endomorphismes réels diagonalisables sur C (on parle alors d'endomorphismes semi-simples) peuvent être caractérisés en ternies de stabilité, et plus précisément par le fait que tout sous-espace stable par un tel endomorphisme admet un supplémentaire stable. Définition 3.2.B. Soit f € End(E). Quand Vendomorphisme f admet une droite stable (ou droite propre), il y induit, par restriction, une homothétie de rapport A € K. Ce scalaire A est appelé valeur propre de f. L'ensemble des valeurs propres de l'endomorphisme f dans K s'appelle le K-spectre de f, ou tout simplement son spectre. Remarques a) L'étude de l'ensemble des droites stables par un endomorphisme / est liée à la notion de sous-espaces en somme directe. b) Génériquement en / € End(.E), où dimc E = n, il existe un nombre fini (égal à n) de droites propres. Si un endomorphisme en a strictement plus que n, il en a une infinité. En dimension 2, l'existence de trois droites stables distinctes implique que les valeurs propres qui leur sont associées sont égales, auquel cas, toute droite de ce plan est stable. Dans le cas général, la réunion de toutes les droites stables correspondant à une même valeur propre A est un sous-espace vectoriel, qui n'est autre d'ailleurs que le noyau (forcément non nul) de / — Aid. Ce sous-espace, noté Ef(X), est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre A. Une filtration (ou encore drapeau) est une famille de sous-espaces emboîtés {0} Ç Fi Ç F2 Ç • • • Ç Ffc .
§3.3 Sous-espaces en somme directe et sous-espaces propres 11 Définition 3.2.C. On dit que v est un vecteur propre de f s'il est non nul et si la droite D = Kv qu'il engendre est stable par f. On dit que v est un vecteur propre associé à X, si v est un vecteur non nul de Ker(/ — Aid) : il est alors vecteur propre de f. De plus, un scalaire X est une valeur propre de f si, et seulement si, il existe un vecteur non nul v tel que f(v) = Xv (qui est alors vecteur propre). 3.3. Sous-espaces en somme directe et sous-espaces propres Définition 3.3.A. a) On dit que deux sous-espaces Fi et F2 d'un espace vectoriel E sont en somme directe si leur intersection est réduite à {0}. Le sous- espace somme, autrement dit le sous-espace qu'ils engendrent, est noté alors Fi © F2. b) On dit que l'espace E est somme directe des sous-espaces Fi et F2 siE = Fl®F2. c ) On dit que trois sous-espaces sont en somme directe si F\ est en somme directe avec F2 et si F3 est en somme directe avec Fi © F2 ■ Cette propriété ne dépend pas de l'ordre dans lequel on procède. On note alors Fi(BF2®F3 le sous-espace F1 + F2 + F3 qu'ils engendrent. On dit que E est somme directe des sous-espaces F{ si E = F\(BF2fB F3. Ces définitions se généralisent aisément au cas de n sous-espaces vectoriels. Proposition 3.3.B. Soit n sous-espaces vectoriels Fi,...,Fn d'un même espace vectoriel E. Les propriétés suivantes sont équivalentes. i ) Les sous-espaces Fi sont en somme directe. ii) La dimension de Fi + ■ —V Fn est égale à la somme des dimensions des sous-espaces Fi. iii) Si ^2i Xj = 0, où x; est dans Fi pour tout i, alors les Xi sont tous nuls. iv) // existe un gonflement des sous-espaces Fi en des sous-espaces Gi, soit Fi Ç d pour tout i, tel que E soit somme directe des sous- espaces Gi. v) Les sous-espaces Fi sont les sous-espaces propres d'un même endo- morphisme de E (pourvu que le corps de base ait suffisamment de scalaires).
12 Valeurs propres. .. §3 Remarques a) les valeurs propres sont en nombre fini. b) Les droites propres dessinent ensemble la réunion des sous-espaces propres; cela précise la géométrie des droites propres20. c ) Un hyperplan stable par l'eudomorphisme / est appelé hyperplan propre (pour /). Pour décrire la géométrie des hyperplans propres, on regarde dans le dual E* les sous-espaces propres de '/. Les hyper- plans cherchés sont les hyperplans qui passent par les orthogonaux dans E de ces sous-espaces propres. Exercices 1 ) a) Montrer que si E = ©,-Fj est la somme directe des k sous-espaces Fi, alors en réunissant ensemble des bases Mi de Fi, on obtient une base M = Uj Mj de E, munie d'une partition privilégiée21. Montrer qu'inversement, toute base partitionnée M de E donne naissance à une écriture de E comme somme directe22. b) On considère une famille (vt)i, pour i = 1,... ,k, où chaque Vj est un vecteur non nul de Fi. Montrer que si cette famille engendre E, c'est que chaque sous-espace Fi est de dimension 1. c ) On considère dans chaque sous-espace Fi une famille V,- de di vecteurs, et l'on suppose que la famille V = U;Vi engendre E. Montrer que dimFj < di. d) On suppose que la famille V formée du vecteur non nul uj auquel on a joint des vecteurs pris en vrac dans les sous-espaces Fi, pour i = 2,... k, engendre E. Montrer que dim F\ = 1. 2) a) Montrer que l'espace E est somme directe des sous-espaces Et si, et seulement si, il existe une décomposition de l'unité Id = YlPi en somme d'idempotents orthogonaux23 tels que Im(pj) = E-t. b) Montrer que si Id = YlPi et S1> Pour tout /, p2 = Pi, alors les idempotents p, sont orthogonaux. Indication. Du fait que tr(p,;) = rg(p;), et en invoquant ii) ci- dessus, on prouve que E = Q)Im(pi). 20Et donc la géométrie des points fixes d'une application projective ! 21On dira souvent que la base ■$! est adaptée à la somme directe E — ®,F,. 22Définir quatre partitions naturelles différentes de la base canonique de K[À", Y] et examiner les écritures correspondantes de K[A", V] en somme directe (on aura intérêt à mettre en correspondance bijective les monômes A"' A'J et les points (i,j) à coordonnées entières, positives ou nulles, du plan M"). Lesquelles de ces sommes directes se comportent convenablement par rapport à la multiplication? 23C'est-à-dire vérifiant p,pj — 5tJp,, pour tout couple (i,j).
§3.4 Matrices diagonalisables 13 3.4. Matrices diagonalisables Définition 3.4.A. a) Si la classe de similitude d'une matrice A contient au moins une matrice diagonale, on dit que la matrice est diagonalisable. Le nombre des matrices diagonales d'une même classe de similitude est fini. b) Un endomorphisme f est diagonalisable si sa matrice dans une base l'est. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'espace E soit somme directe des sous-espaces propres de f. Remarques a) Une matrice A € M(n, K) qui, dans K, a n valeurs propres distinctes est diagonalisable. b) Une fois acquise l'existence de valeurs propres (voir paragraphe suivant), il est facile d'établir qu'un endomorphisme u de E = C™ est diagonalisable si, et seulement si, tout sous-espace vectoriel stable par u admet un supplémentaire stable24 (considérer un supplémentaire stable de la somme de tous les sous-espaces propres) . Quand un endomorphisme / € End(.E), où E est de dimension finie, est donné sur un corps algébriquement clos, il existe un gonflement privilégié de ses sous-espaces propres en une somme directe de l'espace E : il s'agit des sous-espaces caractéristiques. Définition 3.4.B. Pour A € K, valeur propre de Vendomorphisme f, le sous-espace vectoriel formé des vecteurs annulés par l'une ou l'autre des puissances de f — A Id est appelé sous-espace caractéristique associé à la valeur propre X, et est noté F/(\). La restriction de / à F = Ff(X) s'écrit Xldp+z, où l'endomorphisme z est nilpotent, c'est-à-dire admettant une puissance nulle (invoquer la dimension finie). On trouvera en 3.7 deux preuves du théorème important qui suit. Théorème 3.4.C. (Théorème spectral25). Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps algébriquement clos K, et soit f un 24Notons qu'un endomorphisme est diagonalisable sur R si, et seulement si, tout sous-espace admet un supplémentaire stable ! 25Certains auteurs réservent ce nom au théorème de réduction des opérateurs autoadjoints dans un espace hilbertien (de dimension finie ou non). En fait, tout théorème qui donne une décomposition d'un espace vectoriel E en une somme directe indexée par le spectre d'un endomorphisme de E mérite légitimement le nom de théorème spectral. Le théorème ici énoncé pourra être au besoin distingué d'autres théorèmes de ce type par l'appella-
14 Valeurs propres. .. §3 endomorphisme quelconque de E. L'espace E est somme directe des sous-espaces caractéristiques de Vendomorphisme f : E = Ff(Xl)(B---®Ff(Xk). On dispose donc d'un système complet privilégié d'idempotents orthogonaux, donné par les projections pi sur chaque facteur (de la somme directe ci-dessus) parallèlement à la somme des autres : PiPj = ôijPi et 1 = Pi + h pk ■ Remarques a) Ces idempotents, que l'on notera Pi(f), vivent en fait dans l'algèbre K[/] des polynômes en / . b) L'endomorphisme s de E dont les sous-espaces propres se confondent avec les sous-espaces caractéristiques de / et qui coïncide, pour tout i, avec l'homothétie de rapport A* sur Ff(Xi) s'appelle la composante semi-simple de /. Il s'avère que s = ^/i XiPi commute avec / et que n = / — s est nilpotent, c'est-à-dire qu'une puissance de n est nulle. L'écriture / = s + n s'appelle la décomposition de Jordan de /, ou encore la décomposition de Dunford26 de /. c ) Les composantes s et n de l'endomorphisme /, tout comme les projecteurs pi, sont des polynômes en /. d) Le fait que s est diagonalisable dans C, que n est nilpotent et que sn = ns, caractérise les composantes semi-simple et nilpotente de /. 27 tion plus précise de « théorème spectral caractéristique ». On parlera alors de « théorème spectral normal » quand on réduira un opérateur normal dans un espace hermitien ou de « théorème spectral hermitien » quand on écrira la décomposition spectrale d'un opérateur hermitien dans un espace de Hilbert. 260n trouve ainsi suivant les pays diverses appellations de ce résultat. Comme il a été, par ailleurs, généralisé par C. Chevalley au cas des al- gèbres de Lie semi-simples, on pourrait l'appeler la « décomposition de Jordan-Dunford-Chevalley » ! ou encore « la décomposition en semi-simple+ nilpotent ». 27Si / = s' + n' est une autre écriture, les composantes s' et n' commutant avec / commutent avec tout polynôme en /, et donc également avec s et n. Il s'ensuit que l'endomorphisme s — s' = n' — n est à la fois nilpotent et semi-simple (cf.13.4), donc est nul. On a ainsi s = s' et n = n'.
§3.5 Le polynôme caractéristique 15 Autres remarques a) Le sous-espace caractéristique Ff(X) apparaît ici comme la limite croissante de la suite des noyaux itérés Ker(A — AId)fc, avec k € N. Cette suite stationne en fait à l'étape a, où a est la multiplicité de A dans un polynôme, ayant les valeurs propres comme racines: le polynôme minimal (voir plus bas). La dimension de Ff(X) est égale à la multiplicité de A dans le polynôme caractéristique ; ceci suppose que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique, ce que confirme le théorème de Cayley-Hamilton (cf. 3.6). b) Les vecteurs de Ff(X) sont appelés parfois vecteurs propres généralisés associés à la valeur propre A. c ) En s'aidant de la réduction de Jordan, il est facile de prouver que s + n et s + 2n sont semblables. 3.5. Le polynôme caractéristique L'existence de valeurs propres et de vecteurs propres n'est pas garantie en général : pour que tout endomorphisme de tout espace vectoriel E ^ {0} sur K ait une droite stable, il faut et il suffit que le corps de base K soit algébriquement clos. 3.5.1. Généralités Définition 3.5.1.A. Si A est une matrice d'ordre n à coefficients dans K, les valeurs propres et les vecteurs propres de Vendomorphisme cano- niquement associé à A sont appelés les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice A. Le polynôme unitaire de degré n défini par Xa{X) = (—l)"det(A — Xln) est appelé le polynôme caractéristique de A. Le facteur ( — 1)™, qui est parfois omis, vise ici à rendre le polynôme xa normalisé. Les racines dans K du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de A. De plus, le polynôme (unitaire) P = Xn — an_iX™-1 — • • • — a$ (de degré n) est polynôme caractéristique de sa matrice compagnon Cp définie comme la matrice, de taille n x n, ayant des 1 sur sa sous- diagonale, les ai (dans l'ordre approprié) sur sa dernière colonne et 0 partout ailleurs : CP = 0 0 1 0 0 1 0 a0 0 ai '■■ 0 an-2 0 1 an_i
16 Valeurs propres. .. §3 Remarques a ) Lorsque K est algébriquement clos, le déterminant d'une matrice est bien comme déjà remarqué le produit des valeurs propres. b) Le polynôme caractéristique \a{X) ne dépend que de la classe de similitude de A. Plus généralement, les matrices AB et BA ont même polynôme caractéristique et donc mêmes valeurs propres. c ) Le théorème de Sourour. Aucun lien ne semble en revanche exister entre les polynômes caractéristiques de deux matrices et celui de leur produit, autre que le lien évident ordonné par la multiplicativité du déterminant, qui y apparaît comme le terme constant. En effet, si ai,... ,an sont les valeurs propres de la matrice inversible A, et si 0i,...,/3n et 71,...,7„ sont deux familles quelconques de scalaires, l'existence de deux matrices B et C ayant les fii et les 7,. respectivement pour valeurs propres et telles que A = BC est possible si, et seulement si, le produit des ftca est égal à celui des a,;. d) On établit que les matrices AB et BA sont semblables si, et seulement si, leurs puissances respectives ont à chaque fois même rang (cf. [Mn-97] page 293). e ) On laisse enfin au lecteur le soin de déterminer à titre d'exercice les idempotents pi(C) associés à une matrice compagnon C de polynôme donné. On s'arrêtera au cas d'un polynôme à racines distinctes. 3.5.2. Matrices trigonalisables Théorème 3.5.2.A. Sur un corps algébriquement clos, toute matrice est trigonalisable. Démonstration. Soit A une valeur propre de l'endomorphisme / canc- niquement associé à la matrice considérée. Tout hyperplan contenant l'image de / — A Id est stable par / — A Id, donc par /. En recommençant avec un tel hyperplan et une valeur propre de la restriction de / à cet hyperplan, et ainsi de suite, on exhibe un drapeau maximal stable par l'endomorphisme /. Si l'on dispose d'un drapeau stable par un endomorphisme /, la matrice de / dans une base adaptée à ce drapeau est une matrice triangulaire par blocs. Le polynôme caractéristique de / est, d'après une propriété bien classique du déterminant, le produit des polynômes caractéristiques des blocs diagonaux. Il est facile à partir de là de démontrer que pour qu'une matrice à coefficients dans un corps K soit trigonalisable sur K, il faut et il suffît que son polynôme caractéristique soit scindé sur K.
!3.5 Le polynôme caractéristique 17 Remarques a) Si P = pmXm + ■■■ + piX + po e C[X], on note P(A) la matrice pmAm -\ \-piA+poln- Les valeurs propres de P(A) sont exactement les P(X), pour A parcourant le spectre de A (trigonaliser). En particulier, pour P = xa(X) on constate que Xa(A) est nilpotente; en fait, le théorème de Cayley-Hamilton (cf. 3.6) dit que xa(A) est nulle. b) Une matrice nilpotente N a pour unique valeur propre 0. Inversement, si une matrice N de M(n, K) a toutes ses valeurs propres nulles, elle est semblable à une matrice triangulaire T supérieure stricte; cette dernière vérifie clairement Tn = 0, il en est donc de même de N. c ) Si les matrices complexes A et B commutent avec le crochet C = [A, B] = AB — BA, alors cette dernière matrice est nilpotente. En effet, l'hypothèse est encore vérifiée sur Ec(X), où Ec(X) est un sous-espace propre quelconque de C. L'homothétie de Ec(X) de rapport A s'écrit donc comme un crochet, ce qui n'est possible (par un argument de trace) que si A est nul. d) L'ensemble des drapeaux maximaux (on dit également complets) d'un espace vectoriel E de dimension n est un espace homogène28 sous l'action du groupe linéaire GL(.E). Le choix d'un tel drapeau 3F identifie leur ensemble à GL(E)/B&, où Bg est l'ensemble des automorphismes linéaires de E qui stabilisent le drapeau 3", c'est-à- dire encore l'ensemble des automorphismes de E qui ont une matrice triangulaire par rapport à une base adaptée à 3". Un théorème dû à Bruhat (dont l'idée remonterait à Gauss) décrit l'action de GL(E) sur les couples de drapeaux complets; il y a alors n! orbites (cf. exercice 20.15). 3.5.3. Coefficients du polynôme caractéristique Le calcul effectif du polynôme caractéristique donne lieu à différentes méthodes en calcul numérique, que nous ne traitons pas ici. Pour une matrice 2 x 2, on a XA(X) = X2 - ti(A)X + det(A). 8Un G-espace homogène À" est un espace muni d'une action transitive du groupe G. Le choix d'un point x0 dans À' identifie .Y au G-espace G/H, où H est le stabilisateur de x0 dans G.
18 Valeurs propres. .. §3 Pour une matrice A r3 i._t a\ v2 abc d e f g h k on a Xa(X) = X3 - tr(A)X2 + [(oc- M) + (ak-cg) + (ek- fh)]X -det(A). Plus généralement, le coefficient de Xn~k est égal, au signe (— \)k près, à la trace de la puissance extérieure Kk{A) de A, ou encore à la somme des mineurs principaux d'ordre k de A. C'est aussi la fonction symétrique fc-ième des racines de xa(X), qui sont les valeurs propres. Ainsi, la trace est la somme des valeurs propres et le déterminant leur produit. Quant au coefficient de Xn~2, c'est une forme quadratique en (les coefficients de) A, qui est non dégénérée et, dans le cas réel, de signature n(n — 1) n(n + 1) 1 Exemple. La matrice a b c d est bordable en une matrice nil- ~a b x" c d y .z t u. potente si, et seulement si, elle n'est pas la matrice d'une homothetie non nulle. On pourra prendre, dans un premier temps, z = u = —a — d, x = a et y = c. Quant à la matrice I2, elle ne peut être ainsi bordée en une matrice nilpotente Ar, car alors N — I3 serait inversible, ce qui n'est pas. 3.5.4. Multiplicités d'une valeur propre Définition 3.5.4.A. La multiplicité d'une valeur propre X en tant que racine du polynôme caractéristique de A est appelée sa multiplicité algébrique et est notée ma(X). La dimension du sous-espace propre E\ est désignée comme la multiplicité géométrique et est notée mg(X). Théorème 3.5.4.B. On a ma(X) = dimFx(A) = tr{pi{A)). On a donc toujours mg(X) < ma(X). Si la matrice A a toutes ses racines dans K, alors elle est diagonalisable si, et seulement si, pour tout X dans son spectre, on a mg(X) — ma(X). Démonstration. Le polynôme caractéristique de la restriction de A au sous-espace stable E\ divise celui de A (penser au calcul d'un déterminant triangulaire par blocs). On en déduit l'inégalité mg(X) < ma(X). Si la matrice A est diagonalisable, l'espace est somme directe des sous- espaces propres et l'on a donc n = X^img(^i)- Mais n = degxA(X) = J2ima(M)- Les inégalités mg(Xi) < "^(Ai), pour tout i, sont donc
§3.6 Théorème de Cayley-Hamilton 19 dans ce cas des inégalités. La condition nécessaire vient d'être établie. La condition suffisante est facile. Reste la première assertion. La deuxième égalité résulte du fait que le rang d'un projecteur est égal à sa trace (le diagonaliser). Par ailleurs, le théorème spectral s'interprète en disant que la matrice A est semblable à une matrice B diagonale par blocs (les sous-espaces caractéristiques sont stables) et telle que chaque bloc est de la forme Ald+iV, où A est la valeur propre correspondante et où N est nilpotent. Le calcul du polynôme caractéristique de B est alors facile et permet de conclure. Remarque. Si N est une matrice nilpotente d'ordre n, on a Xxi+N(X) = (X-\)n. 3.6. Théorème de Cayley-Hamilton Théorème 3.6.A. (Cayley-Hamilton). Le polynôme caractéristique de la matrice A est annulé par A, ce qui signifie que la matrice xa(A) est nulle. Démonstration. Si Ai est une valeur propre de A, et H un hyperplan contenant l'image de A — Ai I, la restriction de A à H a les mêmes valeurs propres que A, la valeur propre Ai en moins (juste une fois). En répétant l'opération, il est facile d'établir que le rang de la matrice (A — Ai I) x (A — A21) x • • • x (A — A, I) est inférieur ou égal à n — i. Remarques a) On aurait pu procéder également en partant d'un drapeau complet {0}' C F\ C • • • C Fn-i C Fn = E stable par A, et remarquer que si A, est la valeur propre correspondant à i^/i^-i, alors l'endomor- phisme (A — Xn I) o (A — A„_i I) o • • • o (A — Aj I) applique E dans Fi-i. b) L'opérateur Pn(A) — (A — Ai I)o- • -o(A—A„_i I), obtenu en oubliant la valeur propre An, est de rang ^ 1. Il est de rang 1 si, et seulement si, An est racine simple de xa(X) ; dans ce cas, l'opérateur 1 r(A) = (^-A1I)o---o(A-An-iI) ; x'A(xn) n (A„ - Ai) x ••• x (A„-A„_i) ' de rang 1 et de trace 1, est l'idempotent canonique de projection sur FXn(A) = EXn(A). c ) Si toutes les valeurs propres de A £ M(n, K) sont nulles, le polynôme caractéristique est donc égal à Xn. Le théorème de Cayley-Hamilton nous permet donc de retrouver le fait que la matrice A est nilpotente et vérifie An = 0.
20 Valeurs propres. .. §3 Définition 3.6.B. L'ensemble des polynômes qui annulent A est un idéal de Vanneau principal K[X]. Le polynôme unitaire qui engendre cet idéal s'appelle le polynôme minimal de A et est noté ha(X). Il divise le polynôme caractéristique et son degré, qui est aussi la dimension de l'algèbre K[A] des polynômes en A, est donc inférieur ou égal à n. Remarques a) Soit A £ GL(ti,K). L'inverse A-1 de A appartient à l'algèbre de dimension finie K[A] : l'endomorphisme X h-» AX de cette algèbre est en effet injectif, donc surjectif. Un polynôme p en A tel que A'1 = p(A) dépend, bien sûr et dès la dimension 1, de A. De plus, un tel polynôme peut être obtenu à partir de \a{X) ou encore de fj,A(X). En effet, si A annule un polynôme dont le terme constant est non nul, alors A est clairement inversible dans K[A]. Or, les termes constants dans xa(X) et ha{X) sont non nuls dès que A est inversible (et réciproquement d'ailleurs). C'est clair pour \a(X), car son coefficient constant est det A Quant au terme constant de /j,a(X), s'il était nul, on disposerait d'une écriture Aq(A) = 0, avec q(A) 7^ 0 (minimalité du degré de /x^(X)), et cela interdirait à A d'être inversible. b) Soit A = Diag(ai,..., an). Supposons les a, distincts. L'algèbre K[A] coïncide avec l'algèbre des matrices diagonales (penser aux polynômes d'interpolation de Lagrange), et l'on a XA(X) = nA(X) = Ui(X-ai). c ) Le polynôme minimal d'une matrice diagonale par blocs est égal au PPCM des polynômes minimaux des blocs diagonaux. Exercice. (Ecole polytechnique, 2002) On suppose que les matrices complexes A et B commutent. On pose pA B(X, Y) = det(Y.A — XB). Montrer que pAB(A,B) = 0. Indication. L'ouvert (algébrique) des matrices inversibles du commutant de A est dense, car non vide (cf. page 26). On écrit alors (-l)ndet(YA - XB) = det(B)YnxAB_1(y) = àet(B) £fcafcX"-fcY*, où les scalaires a* sont les coefficients du polynôme caractéristique de la matrice AB~l. Remarquer enfin que An'kBk = (AB^l)n'kB'1. 3.7. Théorème spectral et autre point de vue sur le théorème de Cayley-Hamilton Le théorème spectral peut s'établir de diverses manières. Nous en indiquons deux. La première passe par l'examen des noyaux des polynômes
§3.7 Théorème spectral. .. 21 en A et l'autre par des considérations élémentaires sur la structure de l'algèbre des polynômes en A et de ses idempotents. On utilisera dans l'une, de façon franche, l'identité de Bezout et on pourra éviter de le faire dans la suivante. Il ne faut cependant pas se leurrer, l'identité de Bezout (ou son frère le théorème des restes chinois) et sa pratique effective sont dans ce cadre, et quelle que soit l'approche, fort importants. On s'en sert pour calculer par exemple les idempotents du théorème spectral mais aussi la décomposition de Jordan explicite d'une matrice, ou pour calculer une exponentielle, etc. Une fois acquis le théorème spectral, son interprétation matricielle implique aisément le théorème de Cayley-Hamilton. En effet, la matrice A est semblable à une matrice diagonale par blocs, avec au niveau du i-ème bloc, une matrice de la forme A,I+AT,, où Ni est une matrice nilpotente dont l'indice de nilpotence est la multiplicité ram(A,) dans le polynôme minimal. Le calcul du polynôme caractéristique indique, comme déjà remarqué, que l'ordre des matrices figurant dans le i-ème bloc est exactement la multiplicité (algébrique) ma(\i) de la valeur propre À, dans le polynôme caractéristique. Le théorème de Cayley- Hamilton exprime simplement que la multiplicité mm(À) est inférieure ou égale à ma{\). Cela résulte du fait que l'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente quelconque iV est au plus égal à son ordre m : en effet, cela a été déjà constaté par une trigonalisation, mais on peut aussi l'obtenir en remarquant que pour une matrice quelconque M d'ordre m opérant dans Km, la suite des noyaux itérés {0} C KerM C KerM2 c • • • C KerM* C ... est strictement croissante avant d'être stationnaire. Si KerM"7 ^ KerMm+1, toutes les inclusions précédentes seraient strictes et la dimension de KerM* serait supérieure ou égale à i pour tout i, y compris i = ra + 1, d'où contradiction ; l'application de ce résultat dans le cas de N prouve que la suite des noyaux itérés de N stationne avant l'étape m; or elle stationne, en l'espace total Km, à l'étape donnée par son indice de nilpotence. Remarques a) Soit À une valeur propre de M. On retient donc que la suite des noyaux itérés {0}cJEA/(A)=Ker(M-AId)cKer(M-AId)2C---CKer(M-AId)iC...
22 Valeurs propres. .. §3 est strictement croissante jusqu'à l'étape donnée par la multiplicité mm(À) de À dans le polynôme minimal, et qu'elle stationne au-delà. L'espace auquel aboutit la suite est le sous-espace caractéristique FmW> qui est, lui, de dimension ma{\). La manipulation adroite de cette suite, notamment dans les cas limites importants où dim.Ejw'(À) = 1, ou mm(À) = 1, permet de surmonter la plupart des difficultés que l'on peut rencontrer dans la pratique. D'autres propriétés de cette suite seront rencontrées, la plus importante étant que les sauts de dimension vont en décroissant. La manipulation de l'information contenue dans cette suite devient alors d'autant plus aisée que l'on a recours aux tableaux de Young. b) Relevons au passage qu'au vu du théorème 3.5.4.B et de ce qui précède, il est clair qu'une matrice M £ M(n, C) est diagonalisable si, et seulement si, Ker(A/—À In)2 = Ker(M—À I„), pour tout À £ C. 3.8. Le théorème spectral — Deux démonstrations 3.8.1. Noyaux des polynômes en une matrice Notons A(X) et T(X) le PGCD et le PPCM des deux polynômes P et Q de l'anneau principal K[X]. Ils peuvent se définir comme les polynômes unitaires qui engendrent les idéaux Homme et intersection des idéaux engendrés par P et Q, soit (P) + (Q) = (A) (P) n (Q) = (r). À ces écritures correspondent , pour tout opérateur linéaire A, les écritures dissimilaires suivantes (cf. par exemple [C-O]) : KerP(yl)+KerQ(yl) = KerT(yl) KerP(yi)nKerQ(yi) = KevA(A). On y réfère sous l'appellation « lemme des noyaux ». L'identité de Be- zout y joue un rôle essentiel. Si maintenant fj,A(X) = (X - Ai)ai (A' - \2)a2 x • • • x (X - Xk)ak est la décomposition du polynôme minimal (ou de n'importe quel polynôme annulâteur) ha(X) de A en facteurs irréductibles, le lemme des noyaux donne une décomposition de E en somme directe : E — ©j Ker(yl—Àj)ai. Par ailleurs, les projecteurs sur les facteurs de cette somme directe sont encore des polynômes en A, comme on peut le voir sur l'exemple typique suivant, où k = 3 : L'endomorphisme P(A), où P vérifie le système de congruences
§3.8 Le théorème spectral - Deux démonstrations 23 p = p = p = --o . 1 = 0 mod (X - mod (A' - mod (X - -Ai)"' - A2)aa - A3)û3 s'annule sur Ker(yl — Ai)m © Ker(yl — A.3)Q3 et coïncide avec l'identité sur Ker(yi — A^)02 ; c'est donc le projecteur sur le deuxième facteur de la somme directe £ = Ker(yi-Ai)ai®Ker(yi- A2)"2 © Ker(yl ■ A3r, parallèlement à la somme des deux autres. Le théorème des restes chinois assure l'existence de P. En pratique, le calcul de P{A) découle de la résolution effective du théorème des restes chinois, résolution que l'on sait faire, mais que nous ne traitons pas ici. Applications a ) Calcul de la partie semi-simple d'une matrice. On considère la matrice r a x z M= 0 a y 0 0 6 où l'on a supposé a ^ b. La partie semi-simple de M est donnée par a 0 0 0 a 0 xy _ b—a y b En effet, le polynôme p(X) = a + ^r^(X — a)2 vérifie p(A') = a mod (X - a)2 et p(X) = b mod (X - b). On a donc S = p(M)29. b) Calcul astucieux de l'exponentielle. Soit à calculer l'exponentielle d'un opérateur A vérifiant (A — là)2(A — 2là) = 0. On considère pour cela l'écriture suivante de E eu somme directe E = Keï(A - Id)2 « Ker(A - 2 Id), qui répond à l'identité de Bezout 1 = a(A)(A-l)2 + 6(A')(A'-2), et l'on note p la projection sur le facteur Ker(.4 — 2Id) parallèlement "9Une autre manière pour déterminer S consiste à remarquer d'abord que 5, qui est un polynôme en A/, est triangulaire. On remarque ensuite que l'élément en position 1,2 est nul (la restriction de S au plan formé par les deux premiers vecteurs de base est encore semi-simple). On termine en écrivant que 5 et M commutent.
24 Valeurs propres. .. §3 à Ker(yl — Id)2, et q = Id -p. On a alors eA = eAp + eAq. Or, eAp = e2eA-2idp = C2[^(^_2ld)n/Ti!]p = e2p, car (A-2ld)op = 0, et de mêmeeAq = eeA~ldq = e(ld+A-ld)q = eAq, car (A — 21d)2oq = 0. Comme on peut prendre a(X) = 1 et b(X) = —X, on a donc, pour tout v e E, v = (A-21d)2(v) - A(A - 2Id)(u) = q(v)+p(v). On en déduit eA = e2p + eAq = -e2A(A - Id) + eA(A - 2Id)2. 3.8.2. L'algèbre K[A] et ses idempotents L'anneau K[A"]//iyi(A"), quotient de l'anneau des polynômes K[X] par l'idéal engendré par /tA(X) = (X - \i)ai(X - A2)Q2 x ■ ■ ■ x (X - Àfe)£, s'identifie à l'algèbre K[A] des polynômes en A. Cet anneau est isomorphe au produit des anneaux K[X]/(X — Àj)Qi : K[X\/nA(X) cz K[X]/(X - \y)ai © ■ ■ ■ © K[X]/(X - XkfK On remarquera à cet effet que si P = P1P2, où Pi et P<i sont premiers entre eux, l'application naturelle K[X]/P(X) -> K[X]/Pi(X) x K[X]/P2(X) est un homomorphisme injectif d'algèbres de même dimension. C'est donc un isomorphisme. Lemme. Si, pour i = 1,..., k, on dispose d'une sous-algèbre unitaire ^4>i de End(i^), alors l'algèbre somme je = (Bi.jtf-i est naturellement une sous-algèbre unitaire de End(£'), où E = ©j£j. Inversement, à une réalisation d'une sous-algèbre unitaire j4- Ç End(E) comme produit d'algèbres unitaires j&i correspond une décomposition de E en une somme directe de sous-espaces vectoriels Ei, telle que chaque j&i apparaît comme une sous-algèbre unitaire de End(£'j) et que si- s'identifie à la sous-algèbre ©/ «^{. On a donc ^ ~ ©j j4{ Ç ©jEnd(£V) Ç End(£?) 6~' ©y Hom(.Ej, Ej). Démonstration. La première assertion est facile, en considérant des matrices diagonales pur blocs. Pour le reste, il est important de bien comprendre comment l'unité de chaque t.<^,- devient un idempotent pi de l'algèbre produit, et comment, partant d'une décomposition de l'unité Id = p\ + • • • + pk dans *d C End(E) en une somme d'idempotents orthogonaux, c'est-à-dire en des projecteurs de E vérifiant piPj = S(j, on obtient E comme somme directe des images des p\.
§3.8 Le théorème spectral - Deux démonstrations 25 Le théorème spectral s'obtient maintenant grâce au lcmme ci-dessus et à la remarque suivante: l'endomorphisme A s'identifie à la classe de X dans le quotient K[X]/ij,a(X), laquelle s'identifie au fc-uplet formé des classes de X dans chaque quotient K[X]/(X - Xi)akl. Mais, dans un tel quotient, on a X = À + (X — À), où À est inversible et (X — À) est nilpotent d'indice a. Il s'ensuit que la matrice A est semblable à une matrice B = PAP'1 diagonale par blocs, avec comme t-ème bloc une matrice de la forme ÀjI+iVj, où iV, est une matrice nilpotente dont l'indice de nilpotence est la multiplicité mm(À) dans le polynôme minimal. La vérification de l'assertion à examiner est directe pour la matrice B. Mais les polynômes caractéristiques de A et B sont égaux et leurs sous-espaces caractéristiques sont conjugués par P et donc de même dimension. Enfin, les sous-espaces caractéristiques de B sont les sous-espaces apparaissant dans sa décomposition par blocs. Ils sont donc trivialement en somme directe, et il en est de même des sous- espaces caractéristiques de A. Remarques a) On montre facilement que l'algèbre commutative K[X]/(.Y - À)a est une algèbre locale (c'est-à-dire ayant un idéal maximal unique) et par suite est indécomposable, c'est-à-dire ne peut s'écrire comme somme directe de deux idéaux non triviaux. b) Les facteurs apparaissant dans l'écriture de ^ = K[X]//j,a(X) comme produit d'algèbres sont des idéaux uniquement caractérisés dans l'algèbre commutative ^4 comme les idéaux indécomposables Cela se voit en considérant deux décompositions de l'unité en somme d'idempotents orthogonaux et en faisant leur produit pour obtenir une nouvelle plus fine a priori, c ) Si 1 = Yl Pi est une décomposition en somme d'idempotents orthogonaux de l'unité de jd- ~ ©.*/,-, chaque facteur est un idéal principal de %& engendré par p,-. On laisse au lecteur le soin de constater que le polynôme minimal de P(A), où la dérivée de P £ K[X] ne s'annule en aucune valeur propre de A, s'obtient simplement à partir du polynôme minimal de A en remplaçant les racines Àj par P(À,)30. 30Considérer d'abord, à cet effet, la décomposition en sous-espaces caractéristiques puis le bloc correspondant à la valeur propre A. Ecrire ensuite la formule de Taylor en A de P.
26 Valeurs propres. .. §3 Remarques a) Les algèbres K[A] et K[B] sont isomorphes si, et seulement si, les polynômes minimaux ont des multiplicités de racines identiques (à l'ordre près). b) Comme en toute généralité C[PÇA)] Ç C[A], il y a égalité si, et seulement si, le polynôme P est injectif sur l'ensemble des zéros du polynôme minimal \ia et le polynôme dérivé P' ne s'annule en aucun zéro multiple de ha- c ) Deux algèbres K[A] et K[B] sont conjuguées dans End(E) si, et seulement si, la liste de tous les tableaux de Young (voir 5.5) de A est (à l'ordre près) identique à celle des tableaux de Young de B, et ce indépendamment des valeurs propres elles-mêmes. En particulier, lorsque A et B sont nilpotentes, les algèbres sont conjuguées si, et seulement si, les matrices sont semblables. [On utilisera le théorème de Jordan et le fait que iV est semblable à N + N2 = N(l+N).] d) Tout idéal de Ai © Ai se décompose bien. 3.9. Discriminant du polynôme caractéristique L'ouvert (algébrique) des matrices ayant toutes leurs valeurs propres distinctes (on parlera de matrices génériques) est, comme tout complémentaire des zéros d'un polynôme, un ouvert connexe31 dense32 pour la topologie usuelle de M(n,C). L'ouvert des matrices génériques est, en fait, le complémentaire de la variété algébrique affine, formée par les zéros dans M(n, C) du discriminant du polynôme caractéristique de la matrice générale (Xij). Une matrice générique complexe est à la fois semi-simple (c'est-à-dire diagonalisable) et régulière (c'est-à-dire telle que son polynôme caractéristique est égal à son polynôme minimal). Ces deux propriétés caractérisent les matrices génériques, que nous appellerons de ce fait parfois matrices « semi-simples régulières ». 31 Si A et B sont deux points du complémentaire t? dans Cfc de l'ensemble des zéros du polynôme p en k variables, l'application z € C ■-> p(zA+(l — z)B) applique le complémentaire dans le plan complexe des zéros d'un polynôme en une variable sur un connexe qui contient à la fois A et B et qui est contenu dans V. 32Une fonction polynomiale nulle sur un ouvert non vide de Rk (ou Cfc) est nulle partout. L'argument le plus simple consiste à appliquer la formule de Taylor en un point de l'ouvert !
§3.9 Discriminant du polynôme caractéristique 27 La matrice générale (Xy) a ses valeurs propres distinctes. En effet, le discriminant de son polynôme caractéristique, qui est un polynôme de !\X\\,.. .,Xnn], est non nul, car, sinon, par spécialisation, toute matrice aurait au moins une valeur propre double, ce qui est évidemment faux. Le théorème de Cayley-Hamilton, facile à établir dans le cas dia- gonalisable, est donc vrai pour la matrice générale33. Par spécialisation, il est donc valable pour toute matrice. Remarque sur la terminologie. Certains auteurs parlent de « matrices cycliques » ou « matrices monogènes » pour les matrices appelées ici régulières. Les matrices que nous avons appelées génériques ou semi- simples régulières deviennent chez certains « matrices régulières »34. Les notions concernées trouvent des répondants dans le cadre des algèbres de Lie (cf. remarque page 259). Une discussion sérieuse sur la valeur respective de tel ou tel choix terminologique doit tenir compte de son adaptabilité à ce cadre. Les choix, ici effectués, ont été dictés par des considérations d'usage, de simplicité et précisément d'adaptabilité au cadre des algèbres de Lie. r^ n=^3 l ^^J VT^ i n^J fr^J i»rsJ H La matrice générale vue a priori comme matrice à coefficients dans le corps des fractions rationnelles en n2 indéterminées est en fait diagonalisable dans une extension adéquate de ce corps. 34D'autres réservent ce vocable pour désigner les matrices inversibles ! Cf. d'ailleurs la remarque a) en page 229.
28 La partition de M(n, C) en classes de similitude §4 4. La partition de M(n, C) en classes de similitude Et des placards, et des armoires, et des tiroirs et des resserres, et des fouillis de toute sorte, en veux-tu. en voilà... jamais, je ne me retrouverai dans tout cela... à chaque minute, en me montrant quelque chose, madame me disait : — Il faudra faire bien attention à ça, nui fille. C'est très joli, ça, nui fille... c 'est très rare, ma fille... ça coûte très cher, ma fille. — Elle ne pourrait donc pas m'appeler par mon nom, au lieu de dire, tout le temps: - « nui fille » par' ci... « ma fille » par là, ... Octave Mirbeau. Le journal d'une femme de chambre. Alors que la r-équivalence donne des classes d'équivalence en nombre fini (paramétrées par le rang), et que la congruence donne dans le cas des matrices symétriques réelles un nombre également fini d'orbites (paramétrées par la signature), le nombre d'orbites sous l'action à gauche du groupe GL(n,K) est infini dès lors que le corps K l'est. En effet, les classes d'équivalence sont alors paramétrées par les matrices échelonnées, ou encore par les sous-espaces vectoriels de Kn. Le nombre d'orbites est également infini dans l'action par conjugaison de GL(n, K) dès que K l'est aussi. On a cependant le fait remarquable suivant : pour la relation d'équivalence 9* définie par A SP B 4=> A et B ont même polynôme caractéristique, qui est moins fine que la relation de similitude, on est en présence d'une partition de M(n, C) en une infinité, bien contrôlable, de classes d'équivalence (car clairement paramétrées par les polynômes de degré n, ou, ce qui revient au même, par les orbites du groupe symétrique <5n sur <Cn), qui sont toutes réunions finies de classes de similitude ! On se représentera cela comme une infinité d'armoires comportant chacune un nombre fini de tiroirs. Nombre infini d'armoires »- tu Xi S o M(n,C) C{n)—-Xn Cône nilpotent
§4.1 La partition donnée. .. 29 4.1. La partition donnée par l'égalité des polynômes caractéristiques La relation 0* définie ci-dessus répartit les matrices en familles ayant le même polynôme caractéristique. Une classe d'équivalence est attachée à chaque polynôme unitaire de degré n. L'espace quotient est donc l'ensemble C"[X] de ces polynômes. Mais un polynôme unitaire Xn + an-iXn~l + ■ • ■ + a,\X + ao de degré n dépend des n scalaires ao,..., an-i- Leur ensemble s'identifie donc à Cn. Par ailleurs, l'application qui au n-uplet (A1( ..., An) associe le polynôme Tli(X — Aj) passe au quotient par l'action de &n sur Cn et identifie l'espace des orbites &n\Cn avec l'ensemble Cnu[X]. On a donc M(n,C)/^~Q[X]~C" et 6n\C" ~ C£ [X]. Dans l'identification 6n\Cn ~ Cn <p : (Ai,..., A„) i-> [ai = ^ Aj , a2 = ^2 k\i , ■■■ > o"n = JJ kj i i<j i qui en découle, le sous-ensemble de ôn\Cn formé des orbites de n- uplets distincts (un tel n-uplet est dit point générique) correspond au sous-ensemble de Cn formé des points en dehors de la variété algébrique affine définie par le discriminant du polynôme U.i(X — Zi). La plupart des classes d'équivalence modulo 3P sont donc formées de matrices génériques. Il reste qu'une classe modulo 3* sera appelée par les valeurs propres communes aux matrices qu'elle contient ou par le polynôme unitaire de degré n qui la paramètre. À ce stade, deux remarques s'imposent : la première est que dans une classe modulo 0 formée de matrices génériques (associée donc à un point générique de C") toutes les matrices sont semblables (autrement dit, une armoire générique ne contient qu'un seul tiroir, c'est donc une penderie) et c'est le cas de la majorité écrasante des armoires (on dit que cela est le cas génériquement) et la deuxième est que parmi toutes les classes modulo ^, il en est une qui occupe une position importante dans la théorie, position que confirme avec éclat le cadre géométrique, c'est celle attachée à l'orbite de l'origine sous l'action de &n ou encore à l'élément nul de Cn correspondant donc au polynôme unitaire Xn. Cette classe n'est autre que le cône nilpotent ^(n). Remarquons enfin que les ^-classes d'équivalence sont également les fibres de l'application \x : M(n, C) —> C" qui à la matrice M associe
30 La partition de M(n, C) en classes de similitude §4 n{M) — (trM,... ,tr Mn) (chose qui se voit directement mais également dans les identifications ci-dessus) et que le rang de la différentielle de n en la matrice Mq est égal au degré de son polynôme minimal (cf. [Mn-97] page 194). L'ensemble des matrices régulières est donc ouvert (comme le lieu des points de rang maximum d'une application de classe C1). De plus, toutes les fibres /j,~l(M) sont des sous-variétés algébriques affines équidimensionnelles et plus précisément des intersections complètes de dimension commune égale à n2 — n. L'ensemble des points lisses (ou encore réguliers, au sens géométrique du ternie) d'une fibre donnée coïncide avec la classe de similitude des matrices de cette fibre qui sont régulières ! Par ailleurs, comme GL(n, C) est connexe pour la topologie (usuelle) de HausdorfF, toutes les fibres sont donc connexes. (On pourra se reporter avec profit à l'exercice 20.41.) Enfin, ces fibres sont lisses si, et seulement si, elles sont les fibres au dessus des points génériques. Remarque. L'adhérence d'une relation d'équivalence n'en est pas une en général, mais engendre une relation d'équivalence. Quelle est donc la relation d'équivalence engendrée par l'adhérence de la similitude? En se posant cette question, on « réinvente » le polynôme caractéristique ! On établira, en effet, dans l'exercice 20.41 que l'adhérence de l'ensemble UA,B)£M(n,C)2 3PeGL(n,K) : PAP l = b\ est. l'ensemble des couples (A, B) tels que x^(-^) = xb(X). 4.2. Description des classes de similitude d'une même classe modulo 0* Soit P(X) un polynôme unitaire de degré n. On le décompose en produit de facteurs irréductibles, soit P(X) = (X - X,)ai x • • • x (X - \k)a*. L'ensemble ,j&p des matrices ayant P{X) comme polynôme caractéristique (qui est donc /x-1 [<^(Ai,..., Àn)]) est réunion de classes de similitude en nombre fini, égal exactement au produit p{ot\) x • • • x p(ak), où p(m) est le nombre de partitions de l'entier m £ N, c'est-à-dire le nombre de façons d'écrire l'entier m = J^i m« comme somme d'entiers mi ^ ?7i2 > • • • > rrih allant en décroissant. Le cas particulier où les ai sont tous égaux à 1 a déjà été évoqué. Un autre cas particulier est celui où k = 1, duquel relèvent et le cône nilpotent ^(n) = ^xn et, ce
§4.2 Description des classes. .. 31 qui revient essentiellement au même, l'ensemble des matrices A telles que A — XI est nilpotente. Le cône nilpotent ^(n) contient ainsi p(;n) classes de similitude. Par ailleurs, deux classes de similitude (éventuellement confondues) occupent dans « l'armoire » ,<<i<p une place spéciale : - la première, de taille nettement plus grande que les autres (quand il en existe), est formée des matrices dont le polynôme minimal est P; - la deuxième est (quand d'autres également existent) toute petite et formée des matrices de t^p qui sont diagonalisables. On a déjà constaté que ces deux classes sont les mêmes précisément dans le cas générique. Dans le cas nilpotent, la première est formée des matrices nilpotentes telles que An~l est non nulle et l'autre est réduite à la matrice nulle. Les autres classes de similitude qui sont contenues dans le cône nilpotent sont particulièrement bien repérées grâce aux tableaux de Young, qui eu donnent un paramétrage (voir 5.4). Le cas général s'obtient à partir de là en associant à chaque valeur propre \ un tableau de Young, comportant ai cases correspondantes, qui résume l'information sur les rangs des puissances successives de (A — À; I). Les classes de similitude dans j&p sont ainsi paramétrées par les systèmes de k tableaux de Young. Remarques a ) Soit 3F une famille de matrices close par similitude (c'est-à-dire telle que toute matrice semblable à un élément de #" est dans &'). La famille 3F est une réunion de classes de similitude, réparties en sous- familles finies suivant leur polynôme caractéristique. L'ensemble des matrices de rang donné est un exemple d'une telle famille. b) Deux matrices de rang 1 sont semblables si, et seulement si, elles ont même trace35. c ) En recherchant les matrices de rang deux dans les multiples armoires, il n'est pas difficile d'établir que deux telles matrices, c'est- à-dire deux matrices complexes de rang deux, sont semblables si, et seulement si, elles ont même polynôme minimal. 35Noter au passage qu'une matrice A de rang 1 vérifie toujours A2 = tr(A)A. Voici trois démonstrations : écrire A = X*Y, ou bien écrire A = 0 (g> v et tr{A) — 4>(v), ou enfin utiliser le fait que la trace d'un endomorphisme est égale à la trace de sa restriction à son image, qui dans le cas du rang 1 est une homothétie. Cela montre de façon inattendue que si une matrice de rang 1 vérifie tr(A) ^ 0 alors elle est diagonalisable (car elle annule un polynôme à racines distinctes).
32 La suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young §5 d) L'ensemble des matrices diagonalisables dans M(n,C) tout comme l'ensemble des matrices régulières (polynôme minimal égale polynôme caractéristique) sont connexes et denses, car ils contiennent tous les deux l'ensemble des matrices génériques (valeurs propres distinctes). Cela n'est pas inintéressant de les représenter schéma- tiquement parmi les armoires (l'un et l'autre apparaîtraient comme des peignes se regardant). L'intérieur du premier est l'ensemble des matrices génériques ou semi-simples régulières. Quant au second, qui est un ouvert, c'est en fait un ouvert algébrique dont le complémentaire est une variété algébrique affine de codimension 3. Ce résultat délicat (dû a VeldKamp) se pressent localement comme suit : il faut trois équations pour décrire localement l'ensemble V des matrices non régulières. En effet, une matrice non régulière générique a obligatoirement une seule valeur propre double, les autres étant simples. Dans le voisinage d'une telle matrice, les autres éléments de V s'obtiennent par l'annulation du discriminant du polynôme caractéristique et par deux autres conditions qui expriment qu'une matrice d'ordre deux ayant une valeur propre double est scalaire. 5. La suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young Soit À une valeur propre de A. En remplaçant dans ce qui suit A par A —XI, on pourra supposer que A est nulle. On va donc considérer pour la valeur propre À = 0, une suite croissante de sous-espaces vectoriels, et de là on associera à À = 0 un tableau de Young, noté TY(A, À). 5.1. Une suite qui s'essouffle La suite croissante {0} C Ker A C KerA2 C • • • C Ker Ak... est une suite qui « s'essouffle », en ce sens que les sauts de dimension vont en diminuant ; ce résultat clé (que l'on peut aussi voir, cf. remarque c) plus bas, au niveau de la suite des images itérées {0} C • • • C Im Ak~l C • • • C Im A2 c Im A C E, qui, elle, « a du souffle ») découle des injections de Frobenius induites par l'endomorphisme A KerAfc+1/KerAfc ^ KerA*/Ker A*-1.
§5.2 Tableaux de Young 33 Mais on peut également constater cela à partir des suites exactes courtes de Frobenius {0} —» Ker(Am) —* Ker(Am+1) -^ Ker(i4) n Im(ylm) —» {0}. Remarque. La suite des noyaux itérés est strictement croissante jusqu'au moment où elle devient, du fait de la dimension finie, stationnaire, et l'on a toujours KerAn = KerAn+1, pour toute matrice d'ordre n, car, dans le cas contraire, toutes les inclusions précédentes seraient strictes et KerAn+1 serait au moins de dimension n + 1. Autres remarques a) La décomposition de Fitting. On a E = KerAn@lmAn. Le sous-espace ImAn coïncide dans le cas complexe avec la somme des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres non nulles (cf. exercice 20.102). b) L'image de l'application qui à M G M(n,C) associe Mn est donnée par l'ensemble des matrices telles que rg(M) = rg(M2). (On relèvera à cet effet que cette application induit une surjection sur GL(n,C), et l'on pensera à la décomposition spectrale.) c ) Notons l'existence des surjections suivantes induites par A et appelées surjections de Frobenius Im Ak/ Im Ak+1 —+ Im Ak+1/ Im Ak+2. 5.2. Tableaux de Young Un tableau de Young est un tableau formé de cases disposées en colonnes (ou si l'on préfère en lignes) et dont les longueurs vont en décroissant (on notera que le transposé d'un tableau de Young en est encore un). Voici tous les tableaux comportant 5 cases m™; B™; ffP; ËP ; §3 Le nombre de tableaux de Young ayant en tout l cases est, plus généralement, égal à p(l), le nombre de partitions de l'entier l. Ce nombre p(n) pour un n donné devient vite considérable. Si p(10) n'est égal qu'à 42, on a, par exemple, p(50) = 204 226, dont 98 sont autoduaux (c'est-à-dire égaux à leur tableau transposé).
34 La suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young §5 5.3. Tableau de Young associé à une valeur propre À partir de la suite des noyaux itérés, on compose, colonne après colonne, le tableau de Young associé à la valeur propre 0, en plaçant à la première colonne un nombre de cases égal à la dimension de Ker A, à la deuxième colonne le saut de dimension entre Ker A et Ker A2 (égal aussi à la dimension de Ker A Dlm A), et, ainsi de suite, on place donc à la fc-ième colonne le saut de dimension entre Ker Ak~l et Ker Ak [égal aussi à la dimension de Ker Ak~l D Im(^)]. Le tableau de Young TY(i4, A) associé à la valeur propre A de A se compose de façon analogue à partir de la suite des noyaux itérés de l'endomorphisme (A — Aid). Le nombre de cases dans le tableau de Young TY(A, A) correspond à la dimension du sous-espace caractéristique associé à la valeur propre A, c'est-à-dire la multiplicité de A dans le polynôme caractéristique. Quant à la longueur de la première ligne, elle indique la multiplicité de la valeur propre A dans le polynôme minimal. Le théorème de Weyr s'exprime dans ce contexte comme suit : pour que deux matrices A et B soient semblables, il faut et il suffit que leurs polynômes caractéristiques soient égaux et que pour chaque valeur propre A, on ait TY(A, A) = TY(B,A). En convenant que le tableau de Young TY(M, A) est vide si A n'est pas valeur propre de la matrice M, l'énoncé précédent gagne en concision, et la condition nécessaire et suffisante de similitude des deux matrices complexes A et B se traduit par l'égalité, pour tout scalaire A, des tableaux de Young de A et B correspondants. 5.4. La pratique de la réduction de Jordan pour une matrice nilpotente Un bloc de Jordan Jn, ou encore cellule de Jordan, est une matrice triangulaire supérieure stricte, dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la surdiagonale, qui valent 1. Ainsi, le bloc J4 est donné par Ja 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 La forme de Jordan canonique d'une matrice nilpotente consiste en une matrice diagonale par blocs, avec sur la diagonale des cellules de Jordan de tailles décroissantes. De façon plus précise, comme les sauts de dimension dans la suite croissante des noyaux itérés {0} C KerAc Ker A2 c ••• C KerAfc c ...
§5.4 La pratique... 35 vont en diminuant, on dispose ces sauts de dimension en colonnes dans un tableau de Young et l'on obtient la forme de Jordan en considérant les lignes36. Les tailles des cellules de Jordan diagonales dans la forme de Jordan sont les longueurs des lignes du tableau de Young associé. Ainsi, par exemple, pour une matrice A d'ordre 8 telle que dim Ker A — 3, dim Ker A2 = 5, dim Ker A3 = 7 et A4 = 0, le tableau des sauts de dimension est donné par ^±H ; la réduite de Jordan canonique de A est alors °h Loi J Il est peut-être utile de remarquer, pour se souvenir ensuite du processus, que chaque bloc de Jordan contribue par une dimension au calcul de la dimension de Ker A Enfin, faut-il aussi le dire?, la matrice nil- potente A est semblable à sa réduite de Jordan. Applications a) On considère deux matrices A et B nilpotentes d'ordre n ^ 4 et telles que rg(A2) = rg(B2) = n — 3. Les matrices A et B sont alors semblables, b ) Les matrices A telles que Ker A = Im A forment une seule classe de similitude. Le seul tableau de Young non vide d'une telle matrice (forcément nilpotente) est rectangulaire. Une généralisation figure en page 122. c) Soit Ni et N2 deux matrices nilpotentes de M(n, K). On suppose que rg(JVi) = rg(N2) = r et que N[ et N2 sont non nulles. Les matrices Ni et N2 sont alors semblables. La détermination effective d'une base de « jordanisation », ou, ce qui revient au même, d'une matrice de passage, sera traitée sur deux exemples importants dans la section 7.4 et dans l'exercice 20.95. 36Cette mécanique de la « jordanisation .. enseignée et mémorisée dès la première année de faculté s'avère être une remarquable porte d'entrée dans l'apprentissage de la réduction des endomorphismes. Citons à l'occasion cette repartie de notre collègue B. Keller formé à l'ETH de Zurich : « Comment voulez-vous que le cerveau comprenne quelque chose qu'il n'a pas au préalable
36 La suite des noyaux itérés. Les tableaux de Young §5 5.5. La pratique de la réduction de Jordan pour une matrice quelconque Le cas d'une matrice quelconque M se déduit aisément du cas nilpotent. On considère les tableaux de Young associés aux différentes valeurs propres de M. Sur chacun des sous-espaces caractéristiques, la matrice M est, à l'addition d'une homothétie près, nilpotente. Pour une valeur propre A non nécessairement nulle, la forme de Jordan canonique de la restriction de M au sous-espace caractéristique est donnée par un tableau diagonal de cellules de Jordan associées à A et données par Jk{ty = A Ifc + Jfc. Les tailles décroissantes de ces cellules correspondent aux longueurs des lignes du tableau de Young TY(M, A) de M relatif à la valeur propre A. Ainsi, si A est une matrice d'ordre 5 ayant 1 puis 2 pour valeurs propres (et que l'on ordonne comme indiqué), et pour tableaux de Young respectifs associés fp et en, la forme de Jordan canonique de A est [110 0 0" 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 On peut dès lors énoncer : Théorème 5.5.A. Une matrice M G M(n, C) est diagonalisable si, et seulement si, tous les tableaux de Young associés à ses valeurs propres sont unicolonnes, et une matrice M est régulière (c'est-à-dire que son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique) si, et seulement si, tous les tableaux de Young associés à ses valeurs propres sont unilignes. Exercice. Si exp(A) est semi-simple, il en est de même de A. Indication. On réduit A sous forme de Jordan et on voit qu'un bloc de Jordan de taille k ^ 2 s'envoie par l'exponentielle sur une matrice régulière, dont le tableau de Young est une ligne de longueur k. On peut aussi écrire A = S + N (la décomposition en semi-simple + nilpotent) et constater que si exp(A) = exp(S) exp(JV) (décomposition en semi- simple x unipotent) est semi-simple, c'est que exp(iV) = In (pourquoi?); comme tN i-+ exp(iAT) est injective si N est nilpotent, on a donc N = 0.
§6 Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent 37 6. Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent L'ensemble des matrices nilpotentes est le cône nilpotent. C'est une variété algébrique affine irréductible de dimension ?i2 — n. Le cône nilpotent a été repéré plus haut comme une armoire très particulière se distinguant des autres. 6.1. Matrices nilpotentes On obtient facilement les caractérisations suivantes. Une matrice A e M(rz, C) est dite nilpotente si elle satisfait l'une des conditions équivalentes suivantes, où le crochet [.Y, Y] des matrices X et Y désigne la matrice XY — YX. Proposition 6.1.A. Les propriétés suivantes sont équivalentes. a ) La matrice A a une puissance nulle. b) La puissance n-ième de A est nulle. c ) La suite des noyaux itérés aboutit à E = Cn. d) Le tableau de Young associé à la valeur propre À = 0 comporte n cases, e ) Le polynôme caractéristique de A est égal à Xn. f ) Les valeurs propres de A sont toutes nulles, g) Les traces des puissances fc-ièmes de A sont nulles pour tout k — l,...,n. h) La matrice A est semblable à sa moitié, i ) La matrice nulle appartient à l'adhérence de la classe de similitude de A. j ) Il existe H telle que [H, X] = X. k) La matrice A est semblable à une matrice triangulaire de diagonale nulle. 1 ) La matrice A est semblable à une matrice diagonale par blocs de cellules de Jordan (associées au scalaire 0) de tailles décroissantes, m) La matrice A est limite de matrices semblables au bloc de Jordan MO)- n) La restriction de A à chaque sous-espace stable est non inversible, o ) Il existe X tel que A = [A, [A, X}]. p) Une puissance de ad A : X h-> [A, À'] est nulle et tr(A) = 0. q) La matrice A est localement nilpotente [Vx, 3k, Ak{x) = 0]. Ces différentes caractérisations des matrices nilpotentes, que nous avons énumérées délibérément dans le désordre, sont laissées aux bons soins du lecteur comme de simples exercices.
38 Les matrices nilpotentes. Le cône nilpotent §6 Remarques a) Soit / = s + n la décomposition de Dunford de /. On montre que / est semblable à s + 2n. h) Sous-espaces vectoriels contenus dans le cône nilpotent (cf. [F] page 213). Les matrices triangulaires supérieures de ^(n) forment un sous-espace vectoriel maximal de dimension n(n — l)/2. Tout autre sous-espace vectoriel est de dimension inférieure ou égale à ce plafond. c ) Si A commute avec AB — BA, un calcul facile37 et g) ci-dessus montrent que la matrice AB — BA (qui seule visiblement est de trace nulle) est alors nilpotente. d) Les propriétés m) et i) se voient particulièrement bien dans l'armoire correspondant au cône nilpotent. C'est que, tout d'abord, dans une armoire qui n'est pas une penderie, il y a deux tiroirs extrêmes : celui formé des matrices génériques de cette armoire, et dont elle est l'adhérence, et

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