Source: https://es.scribd.com/doc/65922353/calculo-de-losas
Timestamp: 2016-05-28 03:04:23+00:00

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Muebles. etc. Debido a la dificultad que presenta la determinación de los valores de las cargas útiles o sobrecargas que no sólo pueden variar en valores sino también en ubicación. dormitorios. el espesor de contrapisos. los reglamentos establecen valores que surgen de consideraciones estadísticas. estacionamientos. en caso de ubicarse máquinas u elementos pesados como puede ser un cofre. Personas. En dicho reglamento se diferencia el caso de sobrecargas para edificios de viviendas y otros edificios como pueden ser oficinas. Durante su vida de servicio
1. En caso. etc. equipos. 2. un contrapiso muy liviano). Los valores de sobrecargas gravitatorias también están establecidos por el Reglamento CIRSOC 101. se debe determinar el con precisión el peso de este elemento y aplicarlo en la losa la losa. 2. deberá ser considerado en particular. contrapisos. En anexo se agrega una copia del reglamento donde se encuentran volcados los valores de diferentes tipos de elementos que se encuentran en una construcción. solados o cielorrasos puede determinarse fácilmente a partir de los datos del anteproyecto de arquitectura. vehículos. Así se establecen diferentes cargas por metro cuadrado si se trata de baños. etc. de utilizarse algún material especial (por ejemplo. Sin embargo. En cuanto a los pesos específicos. máquinas y todo terminada. carpetas. escaleras.
En este caso. hay que tener presente que.
La determinación de las cargas permanentes no ofrece menor dificultad ya que. Peso propio estructura completa y 1. cielorrasos).
. máquinas en pisos. Como ejemplo. de acuerdo al destino de los locales.2
b. aquellos que no constituya cargas permanentes. cargas dinámicas. La forma de obtener los valores de las cargas gravitatorias es tomar el espesor de cada componente y multiplicarlo por los pesos específicos que provee el Reglamento CIRSOC 201. el Reglamento CIRSOC 101 – CARGAS Y SOBRECARGAS GRAVITATORIAS PARA EL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS. se trata de una azotea. movimiento. pero de tipo estable. se agrega a continuación el corte de un entrepiso en corte donde se encuentran los diferentes espesores de los elementos contituyentes. habiéndose hecho un predimensionado del único elemento variable que es la losa. edificios públicos. de aplicación en nuestro país establece valores de pesos específicos de gran número de materiales. Cargas permanentes no estructurales (muros.
Para la determinación del peso de los muros se debe acudir al Reglamento CIRSOC 101. El valor de la carga total de una losa se compone de: q=g+p siendo: g = carga permanente p = sobrecarga
. se debe recurrir al Reglamento CIRSOC 101. En este caso. el valor el espesor del contrapiso se incrementa en este valor. en particular en losas cruzadas. peah d peb eb peca eca peco eco peco eco (peso específico del hormigón armado) (espesor de la losa) (peso específico del piso de baldosas) (espesor de las baldosas) (peso específico de la carpeta) (espesor de la carpeta) (peso específico del contrapiso) (espesor del contrapiso) (peso específico del cielorraso) (espesor del cielorraso)
Existen casos especiales en los edificios como son los locales sanitarios. una vez que se ha determinado el uso de los mismos. se debe calcular el peso de los mismos y se los debe distribuir uniformemente en toda la superficie de la losa. en ciertos proyectos en que esta circunstancia no puede evitarse. se acostumbra bajar el nivel superior de la losa en 20 cm. debido a que las piletas de patio deben poseer una altura para que el cierre hidráulico que excede el normal espesor de los ambientes interiores. Sin embargo.3
g := peha⋅ d + peb ⋅ eb + peca ⋅ eca + peco ⋅ eco + peci ⋅ eci Donde. En estos casos. Como se ha señalado anteriormente para obtener la sobrecarga de los locales.
En general no es conveniente que los tabiques de mampostería descarguen sobre losas sino sobre vigas.
desde los comienzos se encontró que existía una circunstancia que ejercía una gran influencia en el funcionamiento de las placas: la relación entre los lados. Por esta razón la resolución estática de las losas se diferencia entre las losas unidireccionales (o en una dirección) y losas bidireccionales (o en dos direcciones). los valores de pisos y contrapisos suelen ser uniformes.1 LOSAS UNIDIRECIONALES
Al estudiar el comportamientos de las losas en una dirección.3. o sea que la superficie deformada tiene la forma de un sector de cilindro:
. Otro aspecto a tomar en cuenta son los espesores de los contrapisos en azoteas. para el caso de la resolución estática de losas el valor relevante es h (la distancia entre la fibra más comprimida y el centro de las armaduras) y no d (la altura total de la losa). En efecto. 2. la determinación de reacciones y momentos de las losas es un problema de mucha mayor complejidad que la resolución de vigas o de pórticos. El segundo se obtiene multiplicando el primero por el valor de la aceleración de la gravedad que es 9. el hecho de que es necesario ejecutar pendientes para la evacuación de aguas pluviales. se debe multiplicar por 100 para obtener el valor en Kgf/m² (kilogramos fuerza por metro cuadrado). se las considera como una lámina flexible apoyada en sus extremos y cargada transversalmente. Las unidades de este sistema de medidas corresponden al llamado sistema MKSA que toma como medidas básicas el metro.3 RESOLUCIÓN ESTÁTICA DE LOSAS
Como ya se ha señalado. La diferencia principal con el sistema práctico que es uso común se da en las unidades de fuerza ya que para este sistema la unidad resultante es el Newton y no el kilogramo fuerza. las placas en las cuales un lado es aproximadamente el doble que el otro. 2. En particular. el segundo y el ampere. el kilogramo masa. descargan casi la totalidad de sus cargas sobre su dirección más corta. Por esta razón desde el primer momento se buscaron métodos simplificados que facilitaran la resolución. pero a los fines prácticos se adopta un valor de 10. aumenta el espesor de los contrapisos. De esta forma cuando el Reglamento CIRSOC 101 indica que una sobrecarga es de 2 kN/m² (kilo Newton por metro cuadrado).00 m de ancho. Por último se señala que los valores del Reglamento CIRSOC 201 están expresados en el denominado sistema internacional de unidades (SI) que en la Argentina es el sistema de uso legal.4
Con excepción de las losas bajas que se utilizan para los locales sanitarios. sean éstas accesibles o no. Se aclara que como para todos los elementos sometidos a flexión. no así las sobrecargas y el peso propio de la losa.81. Esto permite resolver las losas como si se tratara de vigas de 1. En efecto. por lo cual también se lo denomina Sistema Métrico Legal Argentino.
circunstancia que no es real. no son de aplicación cuando las luces son desiguales o las cargas muy diferentes o bien reciben cargas puntuales.5
En consecuencia. Cuando se trata de losas hiperestáticas es necesario hacer uso de alguno de los métodos de resolución de este tipo de sistemas. Es decir. Esto sentado. para la resolución bastan las ecuaciones de equilibrio estático (proyecciones. cada elemento rectangular actuaría en forma independiente. Sin embargo. b) el muro es paralelo a la dirección corta. en estas tablas se encuentran resueltos los casos de cargas distribuidas de un valor uniforme con luces iguales. esta simplificación puede aceptarse. pueden ocurrir dos casos: a) el muro es perpendicular a la dirección corta. Cuando un muro descarga sobre losas unidireccionales. En particular.
En el primero de los casos. este comportamiento cambia en la zona próxima a los apoyos del lado “largo” de la losa. momentos y momentos a izquierda o derecha de una articulación). es válido suponer que esta constituida por una sucesión de elementos iguales de ancho “a” trabajando a flexión. como se indica a continuación. Según estas hipótesis.
. Existen tablas que dan coeficientes que permiten obtener cortes y momentos en tramo y apoyo para estos sistemas. las losas se asimilan a vigas de sección rectangular de ancho “a” = 100 cm y altura “d” constante. En efecto. pueden resolverse sin recurrir a la simplificación de distribuir la carga del muro sobre la losa. Así. Sin embargo. se advierte que dichas tablas tienen un uso limitado. dado que el momento máximo se produce en la sección central que es la más alejada de los apoyos. Como todo sistema de barras. dada la facilidad de cálculo. las losas unidireccionales pueden ser isostáticas o hiperestáticas.
Por esta razón se buscaron métodos simplificados que permitieran obtener valores cercanos a los que se obtendrían por un cálculo matemático riguroso. Marcus que supuso que las losas estaban constituidas por una malla conformada por vigas de 1. etc.00 m de ancho perpendiculares entre sí. al ancho de faja.00 m de ancho y resolverse como es usual. Sin embargo. aunque es una carga lineal puede considerarse como una carga concentrada de una barra de 1. se señala que aunque a los fines del cálculo las losas unidireccionales se consideran como vigas. Una de las primeras ideas para resolver las losas bidireccionales fue desarrolladas por el Ing. a continuación se indica un método práctico que es conservador y que consiste en repartir la carga del muro haciendo crecer el área de apoyo según pendientes de 45º. Evidentemente ambas conjuntos de vigas tienen que tener flechas iguales.
. siguen siendo placas y las unidades de los de las reacciones son (Kg/m ò t/m) que es kilogramos o toneldas sobre metro y de los momentos. tal como se puede apreciar en el esquema. (Kgm/m ò tm/m) que son kilográmetros sobre metro y tonelámetros sobre metro. continua.3. El metro se refiere. por supuesto.2 LOSAS BIDIRECIONALES O CRUZADAS La resolución de losas en dos direcciones no es de resolución sencilla a partir de ecuaciones estáticas sino que implican un cálculo sumamente engorroso para obtener los valores de los momentos flexores y reacciones sobre los cuatro lados sobre los que se apoyan. voladizo.
b) En el caso de que el muro descarga sobre la losa. 2. el muro.6
a) En este caso. puede considerarse que su carga se encuentra repartida en una distancia que se denomina “ancho colaborante” o “ancho de distribución de cargas para el cálculo” que los reglamentos indican cómo considerar sea que la losa sea biarticulada.
como se detallará a continuación. pero la misma tiene validez general. relación indicada con la letra “r”. la flecha de las fajas centrales deben ser iguales. Así: q = qx + qy
Así definimos dos coeficientes (χ y ρ): qx χ= q qy ρ= q ⇒ qy =ρ. el esfuerzo que le produce la misma flecha debe ser mucho mayor. Se advierte que en la deducción siguiente se analizará el caso de losas con apoyos articulados. los lados de la losa son muy diferentes. Como ya dijimos. mucho mayor. La carga total que se aplica sobre una losa (q) se puede considerar como la suma de las cargas que absorben ambas direcciones de la losa. como es mucho más rígida una barra corta. Esto explica por qué en las losas de lados muy diferentes la parte de la carga que toma la faja más corta es. Si los lados de losa son iguales. se considera que las cargas aplicadas no son puntuales como aparecen en los esquemas precedentes sino que se analizará el caso más general de una losa con carga uniformemente distribuida. Si en cambio.q
Lo dicho en forma conceptual tiene su sustento analítico. para que se produzca la misma flecha las cargas que absorbe una y otra faja deberían iguales y.q ⇒ qx =χ. Para la deducción.7
Veamos qué ocurre con la faja central. En el gráfico que se agrega a continuación se puede apreciar cómo se modifican las reacciones para diferentes relaciones de lados. por lo tanto las reacciones sobre uno y otro lado serán iguales.
q ly4
. q lx4 fx = 384 E J Simplificando.8
De lo que surge que: ρ+χ =1 Como se ha visto en cursos anteriores la flecha para una viga simplemente apoyada resulta: 5 q l4 f= 384 E J Donde f es la flecha. se obtiene: 5 qx lx4 fx = 384 E J 5 qy ly4 fx = 384 E J = 384 E J = 384 E J 5 ρ . q ly4 5 χ . lx4 = ρ ly4 ρ χ  lx 4 =    ly  ⇒ = fy = 384 E J 5 ρ . q lx4
Como las flechas en el centro de la losa deben ser iguales. χ . E es el módulo de elasticidad del hormigón y J el momento de inercia de la viga: Si aplicamos esta expresión a cada una de las direcciones. resulta que: 5 χ . l es la luz.
para que este efecto pueda desarrollarse es necesario que la viga sea una placa maciza. en las zonas próximas a los bordes hay efectos que ayudan a absorber parte de las cargas y reducen los momentos flexores máximos en los tramos. que las cargas son inversamente proporcionales a las luces elevadas a la cuarta. q . esta primera idea desarrollada por Marcus fue modificada por el Ing. pero estudios posteriores demostraron que las losas como elementos bidimensionales que son. Para este tipo de losas. lx² Mx = 8 ρ . ello implica que no aparezcan momentos en esos bordes sino que el valor del momento flexor a todo lo largo del borde es igual a cero. ly² My = 8 Estas expresiones fueron las primeras utilizadas para calcular losas. q . poseían mayor capacidad de carga. las reacciones y los momentos flexores máximos serán: χ . lx Rx = 2 ρ . Como ya se ha dicho anteriormente los bordes articulados son aquellos en los cuales el giro es perfectamente libre. A este efecto se lo conoce como “alivianamiento por torsión”.
. Por ello. esta reducción no puede tomarse en cuenta en caso de losas alivianadas (conformada por nervios y zonas huecas). ly My = 2 χ . sino que también estudiaron los casos de placas con uno. la carga que toma es 16 veces menor.9
Es decir. De esta forma. Esto significa que cuando la luz mayor es el doble de al luz menor. Hay que tener presente que los bordes son continuos. q . tres y cuatro bordes empotrados en diferentes ubicaciones. para el caso de una losa articulada en sus cuatro bordes. Tanto Marcus como Lösser no sólo analizaron el caso de placas articuladas en sus cuatro bordes. q . En efecto. Sin embargo. Benno Lösser quien incluyó este efecto en el cálculo. dos.
una resolución matemática que considere que el hormigón armado es un material elástico perfecto.
Luego de las contribuciones de Marcus y Lósser se desarrollaron métodos matemáticos de cálculo que daban una solución analítica más precisa como es el caso de las tablas confeccionadas por Kalmanok. pero además. se deben trazar. líneas inclinadas 45° cuando los bordes que concurren al mismo poseen el mismo tipo de vinculación (articulado-articulado o empotrado-empotrado). Cuando esto no se cumple se traza una línea conformando un ángulo de 60° con respecto al borde empotrado. llamado “método por líneas de rotura”. Como consecuencia de esta restricción aparece en toda la longitud un momento de empotramiento. Según este método. Sin embargo. la norma permite una forma de resolución que toma en cuenta la forma en que se rompe una losa. desde los vértices de la losa. porque cuando se fisura (y este es el funcionamiento normal del hormigón armado en estado de servicio) modifica sensiblemente las propiedades elásticas. también puede dar resultados alejados de la realidad. Estos métodos no han tenido gran difusión para la determinación de momentos flexores pero sí lo han tenido para la determinación de reacciones. por un lado. el borde empotrado permanece perfectamente horizontal y su giro es nulo.10
En cambio en los bordes empotrados existe un vínculo lineal que impide cualquier giro. Tomando en cuenta estos métodos. porque el hormigón no es un material elástico como podría ser el acero. En efecto. es decir. Así la losa queda dividida en áreas según el siguiente diagrama. Multiplicando la carga por cada área encerrada y dividida por la longitud del borde se obtiene la reacción de la losa (carga uniforme).
. este tipo de resolución recibe el nombre de “cálculo plástico”. Esto ha llevado a la aparición de métodos de cálculo que toman en cuenta la situación en que se encuentra una losa en la situación previa al colapso.
dos bordes empotrados. es necesario dividir este valor por la longitud del lado correspondiente. Eso ha llevado a que la resolución por tabla subsista y sea de aplicación generalizada. los resultados muchas veces no resultan fáciles de manejar ya que las salidas de resultados suelen ser excesivamente voluminosas. A este método se lo conoce como “resolución por elementos finitos”. Esto permite determinar qué tipo de tabla utilizar. Como ya se ha adelanta en los elementos estructurales bidimensionales. todos los bordes articulados. empotrados y eventualmente a bordes libres o con apoyos puntuales. Por ejemplo si posee sus cuatro bordes articulados o algunos de ellos o todos están empotrados. para diferentes relaciones de lados. Estos métodos consisten en dividir las losas en un gran número de pequeñas placas que se unen unas con otras. por lo cual.
. como por ejemplo. Kalmanok en su libro Manual para el Cálculo de Placas con una pequeña adaptación en cuanto a los ejes y que se agrega en anexo. En los últimos años se han desarrollado programas de cálculo por computadora que permiten calcular las plantas en forma completa y cuyos valores serían mucho más cercanos a la realidad. para obtener la carga distribuida sobre la viga. Luego con la relación de lados que puede ser lx/ly o ly/lx se obtienen una serie de coeficientes que multiplicados por el cuadro de la luz menor y la carga permiten obtener los momentos de tramo y de apoyo (en caso de existan empotramientos) y también las reacciones sobre cada uno de los bordes. Sin embargo. Los resultados obtenidos se volcaron en tablas. En la realidad. A. no quedó otro camino que resolver un cierto número de casos que resultan de la combinación de bordes empotrados y articulados. un borde empotrado. Sobre las reacciones es preciso aclarar que el valor que se obtiene de este cálculo corresponde al la carga completa de todo el lado. tres bordes empotrados y finalmente todos los bordes empotrados. S.11
Claro que estos desarrollos. la precisión del resultado resulta mayor cuanto menor sea el tamaño de estas placas. debido a la complejidad de cálculo debieron circunscribirse a casos extremos como son los bordes articulados. Para la resolución práctica de los ejercicios adoptaremos las llamadas tablas de elaboradas por el Prof. Ing. lo que deberá tomarse en cuenta al calcular la planta. Para operar con estas tablas en primer lugar hay que definir la condición de los bordes de las placas. tanto la articulación como el empotramiento son condiciones bastante alejadas de la realidad ya que las losas no están aisladas e interactúan unas con otras generando empotramientos parciales. la resolución de cálculo adquiere gran complejidad. Por ese motivo.
c) Cuando la luz perpendicular al borde de la losa vecina es menor del 75% de la luz de la losa que se está calculando. En el esquema siguiente se puede apreciar el planteo del problema: en cada apoyo los momentos son diferentes. se consideran articulados. no hay que olvidar que. b) Los bordes que limitan con una losa baja.12
2. se considera que no hay empotramiento de esta losa en la vecina. si son articulados o empotrados. La resolución de las losas unidireccionales es similar a la resolución de vigas. Posteriormente. las losas unidireccionales. pero no a la inversa. las losas cruzadas como si fueran losas aisladas y posteriormente se recompone toda la planta. Sin embargo subsisten dos problemas: en cada borde hay dos momentos de apoyo uno correspondiente a cada losa que confluye allí y es necesario verificar la hipótesis previa en cuanto a bordes articulados y empotrados. es decir. Para la resolución de losas cruzadas en primer lugar se deben determinar las condiciones de sustentación de los diferentes bordes de las losas. lo que existen son losas que se continúan en dos dimensiones con empotramientos parciales en sus bordes. en segundo lugar. Así que se resuelven según éstas sean isostáticas o hiperestáticas. ya que aunque no lo parezca hasta las vigas de borde impiden un giro libre del borde de la placa y generan un cierto “empotramiento”.
. se determinan los momentos de tramo y apoyo y las reacciones de cada losa por separado. se consideran articulados. Para este fin es necesario tener en cuenta algunas reglas prácticas: a) Los bordes donde no continúa la losa. se resuelven en primer lugar.3. tomando en cuenta la ubicación y las dimensiones relativas de las diferentes losas. En este caso la losa menor se “empotra” en la mayor. Para tomar en cuenta todos estos aspectos en la resolución. Sin embargo.3 RESOLUCIÓN PRÁCTICA DE LOSAS DE UNA PLANTA Hasta aquí hemos hablado de cómo se resuelven las losas de una planta pero en forma aislada. en la realidad.
Si el momento real es levemente superior. En cuanto a los momentos de tramo Mt1 y Mt2. Allí se puede observar que el momento real de apoyo (Ma) debe poseer un valor intermedio entre los calculados anteriormente. se acepta que el cálculo por tablas es una suficiente aproximación. cuando la diferencia es grande se adopta como momento del apoyo el valor de Ma menor. lo que siempre dará un valor superior al real. Caso a) Ma1 Ma2 Ma1 + Ma2 Map = 2 ≥ 0. En el tercer caso se superponen los dos diagramas. se puede observar la situación real en la cual el momento es único. el momento real en un caso es superior y en otro inferior al valor real. En cuanto al momento en el apoyo en el primer caso en que la diferencia de momentos es pequeña se adopta como valor el promedio de los valores de los momentos en los apoyos. En el primer de los diagramas se indica el resultado del cálculo mediante tablas.80
. Entonces. Esto implica que el cálculo por tablas en un caso me brinda una solución segura.
El planteo del problema se puede visualizar en el gráfico anterior. También se considera una situación intermedia aumentando el valor de los momentos de tramos sin efectuar un cálculo de los mismos con diferentes condiciones de apoyo. A continuación se resumen los valores a adoptar en cada caso.13
El procedimiento que lleva a determinar los momentos de apoyo y la verificación de las hipótesis previas de sustentación (si el apoyo es articulado o empotrado) se denomina “Compatibilización de Apoyos”. se recalcula esa losa con el apoyo articulado. Si en cambio esta diferencia es grande ya no es posible adoptar este valor. pero en el otro ya que el momento real supera al calculado. En segundo lugar.
60 Ma2 Map El momento de tramo de las losas es: Mtrf1 = Mtr1 = Map1 = Mtr2 + 2 ≥ 0. Caso b) Ma1 0. independientemente de la losa que continúe. En este caso puede ser que la misma esté empotrada. no se alcanzaría el equilibrio por tal motivo.60
El momento de tramo de la otra losa se obtiene de calcular nuevamente la losa con el apoyo articulado (Mtr2(0)).80 < Ma2 Ma1 + Ma2 Map = 2 Los momentos de tramo que se adoptan para el cálculo (Mtrf1 y Mtrf2) resultan: Ma2 – Ma1 Mtrf1 = Mtr1 + 2 Ma2 – Ma1 Mtrf2 Caso c) Ma1 < 0.
. Mtrf2 = Mtr2(0)
La única excepción en este método viene dada por los voladizos. Los voladizos son elementos isostáticos. solamente se hace la evaluación indicada para la losa vecina. Por tal motivo.14
Los momentos de apoyos son los calculados son los calculados para cada una de las losas (Mtr1 y Mtr2). si no. articulada o empotrada con una corrección del momento de tramo. el momento en el apoyo del voladizo es el que surge del cálculo de este elemento y no puede ser “compatibilizado” porque.
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