Source: https://www.scribd.com/document/134721997/Algebra-y-aritmetica-desbloqueado
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Relime Vol.6, Núm. 1, marzo 2003, pp.
Algunas explicaciones vigotskianas para los primeros aprendizajes del álgebra
María Cecilia Papini 1 RESUMEN Este trabajo resulta de un informe de tesis 2 que se inscribe en la problemática de las relaciones entre psicología cognitiva y didáctica de la matemática. Más específicamente, se propone avanzar en la tarea de precisar en qué sentido la psicología de Vigotsky 3 puede resultar relevante para abordar cuestiones relativas a la enseñanza y el aprendizaje del álgebra elemental. Se estructura el contenido de este artículo alrededor de tres puntos. En primer lugar, se propone una caracterización de la actividad algebraica, donde se retoma y relaciona información proveniente de la Didáctica de la Matemática alrededor de algunas cuestiones del aprendizaje del álgebra elemental. Luego se rescatan algunas ideas de la teoría de Vigotsky con el propósito de establecer relaciones con las explicaciones didácticas trabajadas identificando posibles elementos nuevos que amplíen la descripción del aprendizaje de las primeras herramientas algebraicas. Finalmente, se trata de estructurar una única explicación que permita pensar el aprendizaje del álgebra elemental en la escuela a partir de la articulación de las explicaciones psicológica y didáctica trabajadas. PALABRAS CLAVE: Aprendizaje del álgebra elemental, Psicología Vigotskiana. Some explanations from the Vygotsky’s theory for the first learnings Of algebra ABSTRACT This work results from a thesis report that deals with the relations between Cognitive Psychology and Didactics of Mathematics. More specifically, it is proposed to advance in the task of specifying in what sense Vygotsky's Psychology can turn out relevant to approach the questions related to the teaching and learning of elementary algebra. The content of this article is structured into three points. Firstly, a characterization of the algebraic activity is set out, where information from Didactics of Mathematics about some questions on the learning of elementary algebra is retaken and related. Then, some ideas from Vygotsky's theory are taken to establish relations with the didactic explanations worked, inferring possible new elements that broaden the learning description of the first algebraic tools. Finally, it is intended to structure a single explanation that allow to think the learning of elementary algebra at school from the articulation of the psychological and didactic explanations worked. KEY WORDS: Learning of elementary algebra, Vygotsky's Psychology.
Fecha de Recepción: Diciembre de 2002 1 Docente e investigadora del Departamento de Formación Docente y del Grupo de Investigación en Enseñanza de las Ciencias. Facultad de Ciencias Exactas. Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA). Tandil, Buenos Aires, Argentina. 2 Titulado "Algunos aportes de la psicología de Vigotsky a la problemática didáctica de los primeros aprendizajes del álgebra elemental", para optar al grado de Magister en Educación orientación en Psicología de la Educación correspondiente al Programa de Postgrado en Educación de la Facultad de Ciencias Humanas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires en convenio con la Facultad de Educación de la Universidad Estadual de Campinas (San Pablo, Brasil), presentado en junio de 2002. Dirigido por Patricia Sadovsky, profesora adjunta ordinaria del Centro de Formación e Investigación en Enseñanza de las Ciencias. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires (UBA). Argentina. 3 Se ha decidido utilizar en este texto el apellido del autor ruso con la ortografía "Vigotsky" utilizando el criterio explicado en el texto de Castorina y otros (1996), pero en la bibliografía se ha respetado la ortografía elegida en el texto que se cita.
Quelques explications depuis la théorie de Vigotsky pour les premiers apprentissages de l'algèbre élémentaire RÉSUMÉ Ce travail est le produit d’un premier rapport de thèse encadré dans la problématique des rapports entre la Psychologie Cognitive et la Didactique des Mathématiques. Plus spécifiquement, le but est préciser dans quel sens la psychologie de Vygotsky peut être important pour aborder certaines questions de l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre élémentaire. Le contenu de cet article est structuré autour de trois points. D’abord on propose une caractérisation de l’activité algébrique, on reprend et on met en rapport des informations provenant de la Didactique des Mathématiques, surtout en ce qui concerne les questions de l’apprentissage de l’algèbre élémentaire. Puis, on reprend certains notions de la théorie de Vygotsky, avec le but d’établir des rapports entre les explications didactiques travaillées en inférant de probables nouveaux éléments qui étend la description de l’apprentissage des premiers outils algébriques. Enfin, il s’agit de structurer une unique explication qui permet de penser l’apprentissage de l’algèbre élémentaire dans l’école à partir de l’articulation des explications psychologiques et didactiques dont on a parlé. MOTS CLÉS: Apprentissage de l'algèbre élémentaire, Psychologie de Vygotsky
Algumas explicações desde a teoria de Vigotsky para as primeiras aprendizagens da álgebra elementar RESUMO Este trabalho resulta de um informe de tese que se inscreve na problemática das relações entre a Psicologia Cognitiva e a Didáctica da Matemática. Mais especifico, propôe-se adiantar na tarefa de precisar em que sentido a Psicologia de Vygotsky pode resultar relevante para abordar questões relativas ao ensino e à aprendizagem da álgebra elementar. Estrutura-se o conteúdo deste artigo ao redor de três pontos. No primero lugar, propôe-se uma caracterização da atividade algébrica, onde se retoma e relaciona informação proveniente da Didática da Matemática ao redor de algumas questões da aprendizagem da álgebra elementar. Depois resgatam-se algumas idéias da teoria de Vygotsky com a intenção de estabelecer relações com as explicações didáticas trabalhadas e inferindo possíveis novos elementos que ampliem a descrição da aprendizagem das primeiras ferramentas algébricas. Finalmente, trata-se de estruturar a única explicação que permita pensar a aprendizagem da álgebra elementar na escola a partir da articulação das explicações psicológicas e didáticas trabalhadas. PALAVRAS CHAVE: Aprendizagem da álgebra elementar, Psicologia de Vygotsky
INTRODUCCIÓN Como lo prueban numerosas investigaciones en el área de Didáctica de la Matemática, la entrada en el mundo del álgebra supone para los alumnos que vienen de prácticas aritméticas una ruptura cognitiva esencial, un cambio fundamental en su racionalidad matemática. (Chevallard, 1985, 1989; Grugeon, 1995; Vergnaud, Cortes y Favre, 1987; Kieran y Filloy, 1989). En este trabajo se considera el término “racionalidad” en un sentido
es necesaria una toma de posición epistemológica respecto de la relación entre el sujeto de conocimiento y el objeto de conocimiento. puesto que los objetos de estudio de estas dos disciplinas son distintos y bien definidos. Es esta fertilidad para el despliegue de capacidades específicas de la actividad matemática la que lleva a pensar que la interacción de los alumnos con ciertos problemas de este dominio contribuirá a transformar la racionalidad matemática de los alumnos respecto de aquella construida como producto de sus prácticas aritméticas. la didáctica se apoya en la psicología. por lo tanto. Por 4 Por nuestra formación y recorrido. (1987) insistiendo sobre la continuidad entre didáctica y psicología y admitiendo una cierta relación de complementariedad. En el mismo texto se cita a Vergnaud et al. la verdad de una afirmación sustentada en argumentaciones deductivas. tomamos en este trabajo como referencia principal a la escuela francesa de Didáctica de la Matemática. que tiene la intención de enseñar. pero concibe la necesidad de definir una problemática específica que requiere de un cuerpo teórico original. Según este autor la psicología estudia y analiza las conductas y concepciones del sujeto mientras que la didáctica investiga los medios de hacer evolucionar estas concepciones y las competencias que les son asociadas. G. Recíprocamente. sabiendo que estamos haciendo una fuerte restricción. la exploración. formulación y validación de conjeturas sobre propiedades numéricas. la coordinación entre diferentes registros de representación semiótica. la didáctica aporta nuevos problemas a la psicología.amplio que abarca los modos de validación. las explicaciones psicológicas no serían suficientes para interpretar las intervenciones del alumno en situación de clase. discutida desde hace mucho tiempo pero que merece ser redefinida para este caso particular. Esto tiene relación directa con la pregunta de cuál es la relación entre psicología y didáctica. Por esta razón. no necesariamente ligados a las resistencias opuestas por el objeto de conocimiento. En el punto de partida de toda cuestión didáctica. la escuela. Algunos autores como Portugais (1994) apoyan la idea de continuidad conceptual e histórica entre la epistemología genética y la didáctica de la matemática. la didáctica de la matemática adopta para su propia problemática una posición constructivista e interaccionista siguiendo las huellas de la epistemología genética piagetiana y nutriendo el punto de vista interaccionista con las ideas de Vigotsky (Brun. se asume como hipótesis de trabajo que las explicaciones psicológicas resultan significativas para abordar los problemas didácticos en este campo. las estrategias de control y las creencias que pone en juego un sujeto en su actividad matemática. La epistemología genética intenta responder ¿cómo aumentan los conocimientos?. El dominio del álgebra elemental es un campo fértil para la puesta en juego de prácticas que recuperan rasgos esenciales del quehacer matemático como lo son el tratamiento con lo general. mientras que la didáctica de la matemática intenta responder también a la cuestión de la transformación de los conocimientos pero teniendo en cuenta los fenómenos de transmisión cultural de los saberes por medio de una institución. Se concibe esta relación asumiendo a la psicología cognitiva como ciencia de referencia. El hecho de buscar aportes psicológicos para la didáctica coloca el problema de cómo utilizarlos. la didáctica de la matemática puede tomar de ella algunas metodologías. las formas de abordar los problemas. aclarando que esta continuidad no implica una identificación entre ambas. entre otros. pone de relieve el hecho de que muchas de las intervenciones del alumno obedecen a condicionamientos institucionales. Existen cuestiones comunes entre las preguntas de la epistemología genética y la didáctica de las matemáticas. o ¿cómo evolucionan sus organizaciones sucesivas?. En tanto el pasaje de la aritmética al álgebra supone – como se ha señalado – una ruptura cognitiva esencial. 1994). De hecho. La Didáctica de la Matemática 4 toma de Piaget el reconocimiento de la necesidad de un punto de partida epistemológico para la investigación en enseñanza. . Brousseau (1986) al distinguir entre el sujeto cognitivo y el alumno.
el problema de la necesidad de tomar en cuenta los contenidos de conocimiento a la hora de realizar un análisis cognitivo y de desarrollo.ejemplo. en las clases de matemática. En primer lugar se asume como punto de partida una caracterización de la actividad matemática proveniente de una línea de investigación en didáctica de la matemática que toma como supuestos psicológicos los propuestos por Piaget. 35-40) que no existe inconsistencia entre las propuestas de ambos autores. La pregunta "¿cuál es la naturaleza de la actividad algebraica escolar?". para comprender algoritmos relacionados con las escrituras algebraicas. El sentimiento de dominar aquello con lo que se interactúa. como dice Castorina (1996. Finalmente puede considerarse central en la teoría vigotskiana la cuestión de los procesos de apropiación de los signos de la cultura y el impacto que ellos provocan en el desarrollo del sujeto. como tampoco estos aprendizajes (escolares y extraescolares) explican por sí solos las conductas observadas. numerosas investigaciones acreditan las dificultades con las que se enfrentan los alumnos cuando son acercados a las primeras herramientas algebraicas. y como dice Bruner (en Carretero. y este punto coloca nuevamente esta teoría en un lugar sumamente interesante para tratar de explicar la apropiación de los símbolos del álgebra. Existen varias razones que justifican la elección para este trabajo de la propuesta teórica de Vigotsky. pero también. se escapa para la mayoría de los alumnos cuando trabajan en "álgebra". Vergnaud plantea que las conductas observadas por el psicólogo no son independientes de la experiencia escolar y extraescolar del niño. cometan o no errores. 1996. con fenómenos de tipo didáctico como suele ser el excesivo énfasis puesto. consecuentemente. pueden encontrarse en las explicaciones vigotskianas nuevas ideas que esclarezcan algunos aspectos de la cognición relativos al aprendizaje del álgebra elemental. en la mecanización del trabajo algebraico en desmedro de un uso modelizador de estas herramientas. pp. o en general. Al respecto. el propósito de este trabajo es avanzar en este problema y profundizar en qué sentido algunos aportes teóricos de la psicología cognitiva. que puede pensarse como la manifestación de una profunda falta de comprensión. Dificultades para utilizar dichas herramientas en la resolución de problemas. en el sentido que la admisión de una de las teorías implique la negación de la otra. UNA CARACTERIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD ALGEBRAICA Como ya se dijo. en falta de interés por parte de muchos alumnos. sean más o menos eficientes en la manipulación de las técnicas. Como se ha explicitado. Asumiendo. que provoca una gran satisfacción intelectual. La aparición de estas dificultades puede tener relación con las características propias de este tipo de conocimientos o con la necesaria ruptura de los conocimientos algebraicos respecto de los conocimientos aritméticos anteriores. tiene que ver con la relación entre desarrollo y aprendizaje. el tipo de aprendizaje que se aborda en esta tesis encuentra en la escuela su único lugar de circulación social. Otro problema que introduce. En segundo lugar. es una de las primeras en surgir de este propósito general y. p. sino preguntas diferentes. Estas dificultades se suelen manifestar generalmente. y en particular de la teoría de Vigotsky resultan relevantes para abordar cuestiones relativas a la enseñanza y el aprendizaje del álgebra elemental. la construcción de . 23) Vigotsky tiene auténtica relevancia para la educación "porque la mayoría de sus ideas nacen en un contexto y con una finalidad educativa y desde ese lugar se relacionan con la Psicología" o como reconocen muchos otros autores las variables sociales en esta teoría tienen un papel central en los mecanismos subyacentes a las construcciones cognitivas.
. Todos ellos incluyen. La actividad algebraica como actividad modelizadora (Chevallard. 6 Se ha elegido ubicarse en una posición desde la cual "se ven" las rupturas en los procesos de construcción de conocimiento. El hecho de que la práctica aritmética es punto de apoyo para la actividad algebraica. La relación entre la actividad modelizadora del álgebra y el aprendizaje y el dominio de las técnicas (Grugeon. y que al mismo tiempo esta última supone una ruptura respecto de la aritmética ubica la cuestión del pasaje como una problemática ineludible para todos aquellos que estudian problemas relativos a la enseñanza y el aprendizaje del álgebra elemental. p. de una minicultura dicen algunos. Esta idea permite reconocer que todo objeto matemático es el fruto de una matematización. 1989). 5 Hay muchos recortes didácticos posibles para un objeto matemático. En términos de Chevallard (1989. por modelo (instrumento del trabajo matemático) y sistema (matemático o no matemático) a ser modelizado. Distintos autores focalizan en aspectos diferentes y todos en conjunto dan cuenta de esta actividad. cuando se utilizan las herramientas semióticas típicas de un cierto dominio matemático para dar cuenta de los objetos pertenecientes a otro dominio. 1995). 1997.una descripción de la actividad algebraica elemental se plantea como necesaria para poder comprender mejor algunas de estas dificultades a las que se enfrentan los alumnos al entrar en el mundo del álgebra. 1996. 1995.. En segundo lugar. una mirada del funcionamiento matemático de dicho objeto. Se elige estructurar este punto de la caracterización de la actividad algebraica retomando las siguientes cuatro líneas: 1.. puede ser tomado como matematizado en un estudio de nivel superior: tanto el sistema como el modelo son objetos matemáticos. 2.. Pero esta mirada está atravesada por el hecho de que el "didacta" piensa en los objetos viviendo en instituciones en las que éstos se enseñan. la caracterización de modelización matemática de Chevallard (1989. Se trata de una práctica. ¿Cómo funciona el álgebra? Todo intento de caracterizar “el álgebra” es arduo. Grugeon. en el trabajo de numerosos autores que describen el funcionamiento del álgebra elemental desde una perspectiva didáctica 5 . 4. Drouhard et al. 1989). Para avanzar en la tarea nos hemos apoyado. en este punto. El álgebra como actividad modelizadora Se recupera. se suele hablar de “representación”. hemos tomado autores que ubican el funcionamiento del álgebra con relación a la aritmética 6 . Drouhard et al. 53) modelizar supone tres etapas: 3. necesariamente. p. en primer lugar. Chevallard. 53) que utiliza un mismo esquema de modelización matemática tanto para el estudio de sistemas extramatemáticos como para sistemas intramatemáticos. 1995. de una manera de abordar problemas. En general. 1995. 1995). I. Los instrumentos de pensamiento que se ponen en juego en esta actividad (Mason. La idea de modelización que propone Chevallard cambia el status de representante y representado. 1. Los distintos estatutos de las letras (Drouhard et al. o denomina al registro del modelo como el matemático y al objeto a estudiar como matematizado. El lenguaje simbólico como herramienta que ocupa un lugar principal en esta actividad modelizadora. es decir. Hay entonces un “representante” y un “representado”.
El modelo es el conjunto de estas relaciones. Provee una imagen voluntariamente empobrecida. 61) lo asume como una construcción artificial puesta en relación de una manera determinada con aquello que se quiere representar. La articulación del conjunto de los registros puestos en movimiento. p. Como señalan Bolea. Este modelo no es la imagen más completa posible del sistema. entendidas como objetos matemáticos desconocidos. el hecho de que este uso permite conservar la estructura de los cálculos. y pone de relieve nuevamente estos dos elementos esenciales de la actividad algebraica: la simbolización y el uso reglado de símbolos (Chevallard. conjuntos. a los cuales los otros se encuentran de cierta manera sujetos. 61). en una perspectiva escolar. 9 o 10 años): la medida b del lado de un rectángulo de área S. 65) propone como ejemplo el de la fórmula del área del rectángulo (muy usada en la escuela desde aproximadamente cuarto año. y por consiguiente de todo aprendizaje. entendidos. p. Si se supone S fijo y se hace variar a. Esta cuestión será retomada en los puntos siguientes. permite poner en evidencia relaciones que se “esfuman” en un único resultado. no radica solamente en la posibilidad de introducir letras para representar las incógnitas o variables del problema. Pero la clave del éxito. El problema general en toda actividad humana. 1989. como objetos matemáticos conocidos (sean números. por las implicancias que tiene en las posibilidades de generalización. p. 61) La introducción de las letras. . matrices o cualquier otro objeto) que se manipulan como si fueran desconocidos. considera que esta idea de modelización permite dar una mirada global a la actividad matemática de toda la escolaridad. e incógnitas. Chevallard (1989. p. también reside en el empleo de parámetros ya que estos permiten estudiar tipos de problemas en lugar de tratar con problemas aislados (Chevallard. forma lo que se denomina complejo semiótico donde el registro de la lengua natural está siempre presente. la actividad matemática oprime el espesor semiótico en torno de códigos específicos sin eliminar la pluralidad de los códigos. actividad de simbolización y uso reglado de sistemas de signos. (Chevallard.1) Definir las variables del sistema que se propone estudiar precisando los "aspectos" pertinentes en relación con el estudio que se quiere hacer del sistema. es el del uso adecuado de los registros semióticos articulados. Finalmente. Esta visión de la idea de modelo científico (Chevallard. y conduce a considerar la familiarización aún precoz con la noción de función. cuando sólo se utilizan números. Chevallard señala que la potencia del álgebra. deja planteado como problema la cuestión de la relación entre el dominio del cálculo algebraico y los avances en las posibilidades de producir conocimiento sobre los objetos matemáticos. Construir el modelo estableciendo un cierto número de relaciones entre las variables tomadas en cuenta en la primera etapa. Efectivamente. p. 65). toma de éste sólo los aspectos que resultan pertinentes al problema que se plantea. figuras. Desde un punto de vista semiótico. funciones. que toma la forma de nuevas relaciones entre las variables de dicho sistema. De todos estos registros la actividad deja aparecer uno o varios códigos dominantes. la medida del otro lado es una función de a. En este aprisionamiento en torno a un código privilegiado. 1989. sino en utilizar letras para representar los datos o parametrizar. espacios vectoriales. 1989. vía la modelización algebraica. produce una ampliación indefinida de la potencia de la matemática. Bosch y Gascón (2001. que se manipulan como si fueran conocidos”. 1989. y es justamente esto lo que potencia sus posibilidades. entonces. supuestamente adecuada pero no una copia de “lo real”. 266): “para poder manipular la estructura global de los diferentes tipos de problemas es preciso hacer un uso sistemático del juego entre parámetros. p. Mirando a la matemática como a una práctica semiótica. Esta reflexión sobre el uso de parámetros coloca. se gana en potencia. sino un agregado. está dado por la fórmula b=S/a. en el que el otro lado mide a. Al hacer esto último. a su propósito. toda actividad humana se encuentra inmersa y utiliza una pluralidad coordinada de registros semióticos. en un lugar central la noción de fórmula (tanto su producción como su ejecución). de una manera muy general. está dotada desde el comienzo de un cierto espesor semiótico. 2) 3) Trabajar matemáticamente el modelo para interpretarlo con el fin de producir conocimientos nuevos relativos al sistema.
La elección de transformaciones y procedimientos aplicables a estas expresiones en función de la tarea a realizar depende de su sentido. el rol del paréntesis. Estas convenciones pueden ser descritas de manera rigurosa y pertinente. no ponen en evidencia las mismas relaciones. tomar en cuenta en conjunto su sintaxis. también sostenida por la mirada vigotskiana y que se describirá más adelante. Por ejemplo. Drouhard construye un modelo de tipo lingüístico para describir las expresiones simbólicas del álgebra elemental y las transformaciones formales de reescritura. su única denotación. la noción de connotación designa la percepción y la interpretación que tiene un sujeto. Se describe brevemente la interpretación que hace este autor de las dimensiones mencionadas. Llama interpretación de una expresión en un marco 7 dado a todo objeto que corresponde a la denotación de esta expresión en este marco. Los instrumentos de pensamiento del álgebra 7 La idea de "marco" que es utilizada en el sentido en el que la considera Douady (1986). y fue constituida en situaciones y cursos en los que el sujeto ha manipulado expresiones algebraicas. como por ejemplo. 1998). mayoritariamente es escolar. su denotación. (1995). su sentido y su interpretación. tiene por interpretación la función que a cada valor de x. remite a un cierto dominio organizado de la matemática. Sin embargo. en términos de Drouhard et al. 3. . sino que las ESA conllevan una gran dificultad intrínseca de su sintaxis. no tienen el mismo sentido puesto que ellas no recuperan el mismo dominio de descripción. la gran cantidad de convenciones que no siempre son explicitadas: las tres funciones del punto multiplicativo. las reglas algebraicas formales para transformar expresiones. la no presencia de la constante multiplicativa 1. La complejidad de las escrituras simbólicas del álgebra "Comprender" las escrituras simbólicas del álgebra elemental (ESA) es. le asigna otro número real cuyo valor es el doble de x disminuido en 3 (Grugeon. Finalmente. 2 4 . Además. el rol implícito de la barra de fracción. Por ejemplo las expresiones 4 . pero la descripción no es trivial (Drouhard. número real. Por ejemplo la expresión 2 x − 3 . La noción de denotación se apoya en la distinción establecida por Frege (en Drouhard. 1998) entre sentido y denotación. encuentra que no sólo existen diferencias (por ejemplo la escritura matemática se desarrolla en dos sentidos de la hoja de papel: horizontal y vertical). (1+1) se refieren todas al número 2.2. 1995). Defiende la idea de que no se puede hablar de la significación dejando de lado la sintaxis (convenciones ligadas a la escritura de expresiones algebraicas). La dimensión matemática supone justamente esto: establecer una relación entre las escrituras y los objetos matemáticos que estas escrituras designan. El trabajo de Drouhard da cuenta de la complejidad que supone el dominio de las escrituras simbólicas algebraicas y lleva a preguntarse acerca de las relaciones entre las distintas categorías que él establece en el proceso de comprensión de dichas escrituras. Obviamente esta interpretación es personal y tiene relación con su experiencia anterior con este tipo de objetos. aporta elementos que abonan la visión de ruptura (entre aritmética y álgebra como procesos psicológicos superiores rudimentarios y avanzados respectivamente). de una expresión algebraica. en el marco de las funciones de R en R. Al comparar la sintaxis de las ESA y las de las lenguas naturales como el castellano. el marco geométrico.
direccionando de alguna manera las actividades de enseñanza hacia la manipulación de objetos. Para esto hace falta apreciar la generalidad. y responsabiliza a los teóricos de la educación de este efecto. generalmente. acerca del rol de los objetos concretos. Consideraciones parecidas se pueden obtener de las explicaciones vigotskianas del aprendizaje de conceptos. Se pregunta si usar un compás particular para dibujar un círculo particular es un indicador de la conciencia del potencial para dibujar círculos de las herramientas del estilo del compás. Sin embargo. generando sustento a una predilección por lo concreto. La aritmética generalizada. 8 • "Transparente" en el sentido de no cuestionada. requiere una intencionalidad específica. lo esencial del trabajo matemático tiene que ver con reconocer “tipos” de preguntas para las cuales se plantea el problema de reconstruir una técnica general. sino es natural.: p. como una de las varias raíces del álgebra. Automatizar una técnica es sólo un aspecto de la cuestión (op. 70) sostiene que algunos teóricos han malinterpretado la epistemología de Piaget. 1996. o si los programas de computación que proveen instancias particulares necesariamente llevan a los alumnos a darse cuenta de la generalidad (Mason. es central para la matemática como ciencia. y esto no es lo que ocurre habitualmente en la escuela. Es habitual que en la escuela se homologue el sentido de "ejercicio" con automatizar una técnica. cit. el uso que hacen los docentes de los ejemplos que proponen a sus alumnos y las interpretaciones que ellos están en condiciones de hacer. Entrar en las prácticas de generalización que supone el trabajo matemático. 70). Cuestiona los programas de enseñanza de la matemática de la escuela actual porque enfatizan lo particular quitando la atención de lo general. mientras que para el alumno un ejemplo es una totalidad. Considera que la diferencia entre un experto matemático y un novato reside en los puntos de atención de uno y otro. ofrece más de una oportunidad para sacar la atención de lo particular y llevarla hacia lo general (op. Respecto de los tipos de tareas escolares Mason (1996) afirma que: • Estudiar las propiedades de los números es una manera de no comprometerse con lo particular y darse cuenta de los procesos.cit.: p. Mason parece considerar que el tipo de actividad que se realiza en la escuela. con los objetos de la matemática. Esto es muchas veces considerado un fenómeno “transparente” 8 en la enseñanza y lleva a que los docentes no tomen conciencia de las distancias que existen entre su propia estructuración de los conceptos matemáticos y la que pueden tener los alumnos que se acercan a esta disciplina. 71). La tarea del alumno es reconstruir la generalidad a partir de estos casos particulares que le son ofrecidos. 70). p. o no considerada como objeto de reflexión e investigación. . o si la manipulación de los bloques de Dienes o las regletas de Cuisenaire necesariamente llevan a la apreciación de lo que el educador considera que se está instalando.Respecto de los instrumentos de pensamiento que la actividad algebraica moviliza. no le remite a otras cosas por detrás. Es decir. Mason (1996. es tan importante como los mismos objetos. algo completo que. Al respecto señala que un ejemplo para el profesor es una manifestación de una noción más general. Mason analiza en particular. La generalización es tan central en la matemática que el modo de pensar del matemático incluye una búsqueda permanente de generalidades. p. endémica y omnipresente. La generalización no se encuentra presente sólo en la culminación de las investigaciones matemáticas. Es interesante destacar que estas apreciaciones de Mason muestran una consideración especial respecto del tipo de tarea que se hace en clase de matemática. Mason (1996) centra su atención en la actividad de generalización en tanto instrumento de pensamiento clave para la matemática. reconocer lo invariante.
cualquiera sea el título que tengan (op. Este aspecto modelizador de la matemática fue el que posiblemente le dio al álgebra su carácter revolucionario y su mayor potencia respecto de la aritmética. que es parte de la tesis doctoral de Grugeon 9 (1995) en la que coloca como estructuradoras las dimensiones “instrumento” y “objeto” (Douady.. A la vez.) no suele ser una práctica habitual en clase y. en la afirmación?: "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados". dotados de propiedades. 1986) para dar una primera gran clasificación del saber algebraico elemental. notaciones En su tesis estudia las relaciones institucionales y personales con el álgebra elemental en la transición entre dos instituciones del sistema de educación media en Francia. • El lenguaje es sumamente importante: al hablar. Al sacar la atención de la generalidad. En la dimensión objeto del álgebra se puede hablar de un conjunto estructurado de objetos matemáticos: incógnitas. sin embargo. gráficos. o para cualquier triángulo. aplicar una teoría a una situación. 4. Recíprocamente..: p. Mason afirma que las clases que no están "embebidas" de generalización y conjeturas no son clases de matemática. • Trabajar en clase el estudio de las afirmaciones matemáticas buscando "lo invariante". Se otorga un interés particular a la capacidad de utilizar el álgebra como instrumento para probar conjeturas numéricas. no es para nada obvia y sí sumamente rica. Esta tarea de lograr que los alumnos reconozcan los indicadores de generalidad. parámetros. puede transformarse en una ocasión de producir relaciones generales. los sujetos muestran su capacidad de generalizar. porque está indicando que esta propiedad vale para todos. Al identificar una situación con una palabra se está incluyendo algo particular en una clase más general que es el significado. esta utilización del álgebra supone la interpretación de una expresión algebraica que debe articularse con un marco o un contexto y la utilización de la herramienta algebraica para hacer funcionar otras nociones matemáticas. de ver lo general a través de lo particular y lo particular en lo general en matemática. se está viendo "lo general" a través de algo particular. cit. es especializar. etc. puesto que se pasaba de resolver uno a uno problemas particulares a resolver clases de problemas de similar estructura mediante un mismo modelo. variables. 9 .Esta idea resulta cercana a la de modelización que propone Chevallard. considerando la generalidad que suelen representar los artículos en una expresión verbal y que tienen relación con los cuantificadores (todos. ver lo particular en lo general. desde el punto de vista matemático. funciones.cit. con la esperanza de hacer el aprendizaje más fácil. algunos. La relación entre la actividad de modelización y el aprendizaje de las técnicas algebraicas En este punto se retoman algunos aspectos de una caracterización de la actividad algebraica.: p. En la perspectiva de instrumento el álgebra es considerada como una herramienta para resolver problemas que emergen en contextos internos o externos a la matemática. ninguno.. se está quitando el derecho de cada alumno de experimentar y trabajar con confianza con la generalidad tanto como con la particularidad. de modos de representación que permiten esos tratamientos (escrituras algebraicas. inecuaciones. Y concluye que la palabra más importante es el artículo un. y este no es un acto trivial. La competencia algebraica se evalúa en esta dimensión a través de la capacidad de producir expresiones y relaciones algebraicas para traducir un problema. 83). de modos de tratamiento en particular de naturaleza formal. Por ejemplo (op. una de las instituciones responde a un esquema de enseñanza de tipo profesional y la otra es un bachillerato (liceo). 67) se pregunta ¿cuál es la palabra más importante. requiere dejar lo particular y ver "más allá". ecuaciones. e interpretar y después movilizar los instrumentos algebraicos adaptados para su resolución.
“resuena” la cuestión del “justo lugar” a la dimensión técnica. El álgebra aparece como una "cuestión de reglas". existe tratamiento de tipo algebraico en donde los conocimientos matemáticos que se ponen en juego no forman parte de la resolución de un problema. “la igualdad no se 2 verifica”. sí tienen a su disposición medios para evaluar sus producciones. son “calculadores ciegos”. deben conservar la denotación 10 . Efectivamente.. Como consecuencia de lo anterior. 1987) en Drouhard et al. En particular. el valor que toma el primer miembro de la igualdad cuando las letras se reemplazan por dicho par.. de competencias para manipularlos y de articulación entre sus atributos sintácticos y semánticos. Drouhard piensa que los “calculadores ciegos” no saben que las transformaciones algebraicas. La autora encuentra que en la escuela el dominio de las técnicas puede vivir en forma independiente de las actividades de matematización o modelización o. . Se produce entonces un "malentendido" en el que los "calculadores ciegos" no saben que las expresiones denotan y sus profesores no son conscientes de esto. dicho de otro modo. Si bien los algebristas expertos (“fluents algebraists”: (Krishner. La explicación de Drouhard es. Drouhard et al. y el valor que toman las expresiones no es. Es necesario aquí dar un lugar “justo” a la dimensión técnica. para ser válidas. Drouhard se pregunta ¿cómo hacer tomar conciencia a los interlocutores de que. también es común la intervención del docente mostrándole que si se le asignan valores a las letras de esa expresión.funcionales. Esta característica del funcionamiento algebraico experto (la no-necesidad de remitirse permanentemente a las situaciones introductorias o de referencia) permite afirmar que el sentido de las expresiones no reside únicamente en estas situaciones de origen. interpretación y sentido de las expresiones (en el sentido de Drouhard et al. Frente a esto. esa intervención tiene el supuesto de que los alumnos a quienes va dirigida. no hablan en realidad de la misma cosa? 10 Es claro que no se espera que los alumnos manejen esta terminología sino que pongan en acto lo que la misma quiere expresar. que para estos alumnos ("calculadores ciegos") ese no es un conocimiento disponible. 1995). un criterio pertinente de control. entonces ( a + b ) = 25 mientras que a 2 + b 2 = 13 . para ellos. etc. empleando todos las mismas palabras. 1995 p. porque justamente en esta posibilidad de transformar las expresiones algebraicas sin referirse constantemente a los objetos que las expresiones simbolizan es donde reside la fuerza del álgebra. La competencia algebraica se evalúa a través de capacidades técnicas de orden sintáctico y capacidades interpretativas que ponen en juego denotación. El saber algebraico se expresa en términos de estatuto de los objetos algebraicos. pero también es en este punto donde se genera la mayor fuga de sentido. es igual al valor que toma el segundo miembro cuando se hace el mismo reemplazo. los alumnos pierden la posibilidad de desarrollar estrategias de control refiriéndose a algún significado de aquello que manipulan. En estas situaciones lo técnico no funciona como instrumento matemático. justamente. Encuentra que éste es uno de los puntos paradójicos y dificultosos del aprendizaje del álgebra. Un ejemplo que propone Drouhard resulta interesante para describir el comportamiento del calculador ciego: es común que el profesor de matemática encuentre en sus clases que los alumnos “escriban” ( a + b ) = a 2 + b 2 . (1995) dice que aquellos alumnos que pueden manipular las técnicas del álgebra pero no pueden hacer referencia a alguna significación en ningún momento. 21) tampoco tienen necesidad de apelar constantemente a las situaciones de referencia (de modelización u otras) en cada etapa del cálculo. Por ejemplo: si a=2 y b=3. conocen que la transformación es válida sí sólo sí para cualquier par de números. El trabajo de Grugeon (1995) da cuenta de la complejidad de la actividad algebraica y lleva a preguntarse cómo se constituye la posibilidad de articulación entre las múltiples dimensiones que ella identifica. 2 En otros términos. sino que es un fin en sí mismo.). Pero este argumento no es para nada convincente para los alumnos.
y la aritmética propia de los filósofos como dice Platón. Esto plantea la necesidad de considerar muy de cerca. 153). pero al mismo tiempo. se plantea su incidencia sobre el desarrollo no sólo relacionada con la apropiación de los instrumentos de mediación semióticos sino también con el modo en el que se produce esta apropiación o el tipo de actividad que la posibilita. no favorece la comprensión. La cuestión de la denotación “contiene” un aspecto que se considera fundamental en el tratamiento algebraico y que normalmente es omitido en los pizarrones y los textos: el relativo al uso de cuantificadores. el resultado debe ser el mismo. p. “saber que las expresiones denotan” es saber que cualquiera sea el valor por el que se reemplace en una expresión y en su transformada (a través de una transformación válida). Los calculadores calculan y los "aritméticos" estudian las propiedades de los números. Esta cuestión también se plantea como central en el planteo vigostkiano y en el de sus seguidores. una de la otra. cambian el sentido pero conservan la denotación. la de los calculadores. La recuperación del aspecto técnico dentro de la actividad algebraica. Dentro del apartado en el que se discuten las ideas vigotskianas. La relación entre la aritmética y el álgebra: continuidad y ruptura Nuevamente se consideran muy explicativos los aportes de Chevallard. a ambos tipos de actividades. alrededor de las relaciones entre aritmética y álgebra. se redimensiona la idea de "actividad" como "bisagra entre cultura e individuo" (Baquero. El "reino del cálculo numérico" se rige por la ley de simplificación. La escasez de palabras “completando” el significado de las expresiones algebraicas. en este caso. 73). Chevallard (1985) considera que existe históricamente (e incluso antes de la aparición del lenguaje algebraico propiamente dicho) una relación dialéctica funcional entre lo numérico y lo algebraico. en el esquema de caracterización de Grugeon. Encuentra que los griegos ya distinguían dos aritméticas: la aritmética vulgar o logística. 1997.Se puede pensar que la relación entre la tarea de modelización y el dominio de las técnicas se da justamente en este punto: en el del reconocimiento de que las expresiones algebraicas tienen cierta denotación y que las sucesivas transformaciones que se les realizan. coloca nuevamente el centro de la cuestión en la relación entre el tipo de tarea que se le propone al alumno y el tipo de conceptualización matemática (o de conocimiento algebraico) que de ese tipo de tarea el alumno obtiene. las destrezas algebraicas no podrían desarrollarse y controlarse de manera independiente de la actividad de modelización. II. parecen coincidir en la necesidad de que los alumnos elaboren estrategias de control de las técnicas que utilizan. p. Esas estrategias “necesitan” referencias que pueden buscarse en diferentes niveles: reemplazo de las letras por números utilización de propiedades válidas de las operaciones aritméticas utilización de transformaciones que conservan la denotación utilización del objeto que se modeliza como marco de control. Los distintos trabajos sobre la actividad algebraica elemental. 1997. . Efectivamente. Ambos manipulan un lenguaje numérico pero no lo emplean en las mismas tareas ni le reconocen los mismos valores. Señalemos finalmente que el dominio de las técnicas condiciona la utilización del álgebra como herramienta de modelización (Vergnaud. la teoría de los números.
la respuesta debería ser 12. las explicaciones que se han trabajado sucesivamente en los . Por ejemplo. e) El contrato didáctico. de un modo informal a un modo formal de representación y resolución de problemas. pero sobrepasándola en ductilidad y potencia. d) La experiencia anterior con las letras. 1985. Si bien estas "demostraciones" tienen fuerza demostrativa sólo para los valores tratados. pasar de situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre los números y las operaciones. Es un instrumento superior para una tarea semejante. Permite explicitar lo que estaba implícito. 74). Puede decirse que el lenguaje numérico tiene eficacia designativa para favorecer los cálculos. también es cierto que tienen valor genérico como el de las figuras geométricas y se puede pensar que no estarían lejos de una demostración válida para un cierto conjunto de números. tiende a ignorar el valor mostrativo de la escritura. Al contrario. Küchemann. Kieran y Filloy. se evidencia acá la copresencia de dos modos de enfrentar lo numérico. 4+8 no podría ser una respuesta a un problema porque "está sin terminar". El álgebra permite evidenciar la problemática de lo numérico. Aprender álgebra implica un cambio de pensamiento. colocándola (sin oponerla) al lado de la perspectiva calculadora. Booth 1982. hacer explícito lo que en la aritmética estaba implícito. las propiedades de los números son los instrumentos que permiten transformar las expresiones algebraicas. para que estas últimas puedan "mostrar" nueva información. proporciona información mostrativa porque hace aparecer la información pertinente. aprender álgebra (Kieran. y por lo tanto de operaciones que se ejecutan a operaciones que se indican por signos. El surgimiento histórico del álgebra permite evidenciar esta dialéctica de lo numérico y de lo algebraico. Lo algebraico es un instrumento de estudio de las propiedades de los números. es una aritmética generalizada. Este cambio de pensamiento requiere "romper" con algunos conocimientos y "hábitos" que provienen del marco de referencia anterior de tipo aritmético.interiorizada en hábitos. En la prolongación de este análisis de lo numérico se situaría una demostración que utiliza el lenguaje algebraico actual. realizaban otro tipo de trabajo numérico: a partir de la representación geométrica de los números. 1989.. no es sólo. el lenguaje algebraico funciona como una memoria que conserva la huella o la traza de las operaciones efectuadas. 1989): a) La forma de ver el signo igual b) Las convenciones de notación c) Los métodos de resolver problemas. puede dedicarse al mismo tipo de problemas que la aritmética pero al mismo tiempo permite "desnudar" o mostrar la estructura de los problemas estudiados. encontraban propiedades de valor general. Una de las cláusulas está constituida por el principio de finalización de los cálculos. 1983 en Kieran y Filloy. dice Chevallard (1985. No se piensa tanto en el resultado de las operaciones como en elaborar fórmulas que solucionan todos los problemas de un mismo género. por ejemplo. Asumiendo esta "definición" de lo algebraico. pero esa misma posibilidad de resolver las cuentas y reemplazar la operación entre dos números por su resultado. p. Finalmente. cambiar con (Vergnaud et al. La creación del lenguaje algebraico permite poner en evidencia la problemática del estudio de lo numérico. 1989). 57). por ejemplo. Mientras que los pitagóricos. explicita las propiedades de los números que estaban implícitas. Esta "ruptura" con la aritmética implica. extendida de los números particulares a números cualesquiera. no conserva la traza o la historia de las transformaciones. y recíprocamente. (Chevallard. 1987. p. 1981.
p. Las relaciones entre pensamiento y palabra. pp. 25-26) buscaba porque es tanto palabra como pensamiento y representa la relación entre ambos. tales como la numeración o las ayudas mnemónicas). es la unidad de pensamiento verbal. 2. Vigotsky (1987. La unidad es un elemento teórico ("un producto del análisis" dice el autor) que conserva todas las propiedades básicas del total y no puede ser dividida sin perderlas. Se distingue por operaciones externas que son utilizadas como ayuda en la solución de problemas internos. 1. p. si.75): 1. Propone que el aspecto interno de la palabra. Una palabra es una generalización. 3. Las relaciones entre pensamiento y palabra. Etapa en que el niño cuenta con los dedos. la actividad técnica como instrumento matemático posibilitador medios de control de los procedimientos matemáticos. se refiere a una clase de objetos y no a un solo objeto y obligatoriamente tiene significado (no puede ser un sonido vacío). es justamente la idea que representa esta conexión buscada. El lenguaje sigue el mismo curso y obedece a las mismas leyes que todas las otras operaciones mentales (incluido el uso de signos. Uso de signos externos. la unidad de análisis que Vigotsky (1987. cuando. 2. El desarrollo de los conceptos científicos y su relación con el desarrollo de los conceptos espontáneos. 22) plantea un método de análisis que denomina por unidades. son retomadas en las siguientes reflexiones a la luz de las ideas de Vigotsky. Fase de la psicología simple: el niño experimenta con las propiedades físicas de su propio cuerpo y con las de los objetos. la palabra es un acto verbal del pensamiento que refleja la realidad en un sentido distinto del que lo hacen la percepción y la sensación. 3. Por lo tanto. El significado de la palabra es. la complejidad de las escrituras simbólicas del álgebra. sino del social al individual. 4. La formación de conceptos. y también se establecen algunas relaciones con la caracterización de la actividad algebraica que se hizo previamente.ítems anteriores: la actividad de modelización. la valorización de los procesos de generalización como inherentes al pensamiento matemático. . justamente. En el lenguaje se manifiesta por el uso correcto de las formas gramaticales. aplica esta experiencia al uso de herramientas (primer ejercicio de la inteligencia práctica). Estas operaciones se desarrollan en cuatro etapas según Vigotsky (1987. recurre a ayudas mnemónicas. porque es tanto pensamiento como habla. ALGUNOS ELEMENTOS TEÓRICOS VIGOTSKIANOS Y SU RELACION CON LA CARACTERIZACION ANTERIOR A continuación se describen brevemente algunos elementos de la teoría de Vigotsky. En el desarrollo del lenguaje corresponde a la fase egocéntrica. Fase primitiva o natural: corresponde al lenguaje preintelectual y al pensamiento preverbal. Respecto de la dirección del desarrollo del pensamiento considera que no va del individual al socializado. pero). añadidas a las explicaciones acerca de la continuidad y la ruptura de los conocimientos aritméticos respecto de los algebraicos. Se estructura este apartado alrededor de tres puntos: 1. su significado. antes que haya entendido las operaciones lógicas en las cuales se apoyan (porque. Al identificar la necesidad de enfocar en las relaciones entre pensamiento y lenguaje como objeto de estudio.
En sus términos. recíprocamente. retomando esta distinción de Paulhan. El lenguaje interiorizado se desarrolla a través de lentas acumulaciones de cambios estructurales y funcionales. El niño comienza a contar en su cabeza. 188) diferencia el sentido del significado de una palabra. el crecimiento intelectual del niño depende del dominio de los medios sociales del pensamiento. Mientras que el significado es la zona más estable y precisa del sentido. El sentido de una palabra es la suma de todos los sucesos psicológicos que la palabra provoca en la conciencia de una persona. y se separa del habla externa. Pero. por las herramientas lingüísticas del pensamiento y el desarrollo sociocultural del niño. Entonces. es decir. Wertsch (1988. la operación externa se convierte en interna y opera una transformación profunda en el proceso. p. la interacción social presupone generalización. La función indicativa de la palabra implicaría una función puramente referencial. El desarrollo del pensamiento está determinado por el lenguaje. el niño descubre y consolida su función como signos. Crecimiento interno. atribuir una palabra a una clase conocida o a un grupo de fenómenos conocidos. encuentra una relación entre los niveles de generalización del sujeto y los niveles de desarrollo en la interacción social. En el desarrollo del habla esta es la etapa final del lenguaje interiorizado. El desarrollo del lenguaje interiorizado depende de factores externos. por ejemplo señalar con el dedo índice. que denomina índice cuando el signo tiene una conexión física directa con el objeto. en términos de Pierce es que al usarlo para identificar un objeto. al mismo tiempo. cambia su sentido en diferentes contextos. El lenguaje tiene implícitamente el potencial para ser usado en la reflexión abstracta. y principalmente del dominio del lenguaje. pp. Otra propiedad importante del índice. una palabra adquiere un sentido del contexto que la contiene. y finalmente las estructuras de este último se convierten en estructuras básicas del pensamiento. Para comprender esta distinción Wertsch plantea que se debe diferenciar entre las ideas de significado y referencia (inspiradas en Husserl). puesto que la estructura e interpretación de los signos lingüísticos depende de las relaciones con el contexto en que éstos aparecen. El niño descubre la función simbólica del lenguaje en forma gradual (no repentina) y a través de una serie de cambios moleculares. a usar la memoria lógica (operar con relaciones inherentes y signos interiorizados). se refiere directamente a los objetos. Parte de la idea de que la organización de las lenguas humanas se sostiene en dos tendencias opuestas que pueden parecer pero no son contradictorias: la descontextualización y la contextualización. 109-111) explica cuál es el razonamiento de Vigotsky para llegar a aseverar que la interacción social genuina es la que conduce el desarrollo psicológico humano. simultáneamente con la diferenciación de las funciones sociales y egocéntricas del lenguaje.no es más que una piedra en el edificio del sentido. Las palabras son concebidas inicialmente como propiedades de los objetos más que como símbolos de esos objetos. En la comunicación. 11 . reconoce dos funciones del habla y sus relaciones con los niveles de generalización: la función indicativa y la función simbólica del habla. se debe distinguir el significado de la palabra de los objetos que ella representa o expresa. necesariamente implica generalización. es decir. en la descontextualización. en especial la descontextualización del "significado". nada más que una potencialidad que encuentra su realización en el lenguaje". este objeto se caracteriza en un mínimo sentido.5. se mantiene estable a través de los cambios de sentido. Además. Y. Su nombre (indicativa) tendría relación directa con la clasificación de los signos según Pierce. Teniendo en cuenta estas dos tendencias opuestas (contextualización y descontextualización). "El significado ‘de diccionario’ de una palabra -dice Vigotsky. el signo vehiculante (índice) y el objeto son espacial y temporalmente copresentes. según él mismo dice. Esto tiene estrecha relación con la definición de "sentido" utilizada por Vigotsky 11 . el desarrollo del significado de la palabra (generalización) se hace posible en presencia de la interacción social. Vigotsky (1988. En el proceso de operar con las palabras concebidas como propiedades de los objetos. la organización lingüística tiene sus raíces en la contextualización.
¿Cómo se pasa de un nivel de funcionamiento semiótico contextualizado a un nivel descontextualizado?. y por otro. ¿cómo se produce la descontextualización o el significado de las palabras o conceptos? Dos aspectos de la explicación a estas cuestiones resalta Wertsch como novedosas y sumamente importantes: por un lado. . Al comienzo del desarrollo. Vigotsky traza una progresión ontogenética de tres fases: compilaciones no organizadas. Pensamiento pseudoconceptual: coinciden en la referencia pero no en el significado. aparecen las relaciones descontextualizadas entre los signos y otros signos. sino muestra algo. regulan la actividad del niño. al sujeto. Estas fases evidencian desacuerdo con la idea de que una vez incluida una palabra en el vocabulario de un niño éste ha comprendido por completo su significado. como fuerza motivadora del pasaje de los signos contextualizados (muy relacionados con la función indicativa del habla). generalización. al momento en que el funcionamiento semiótico llega a un punto en el que las relaciones signo . Pensamiento conceptual: el niño se apropia de los significados compartidos con el adulto. no sirven para caracterizar objetos ni propiedades abstractas de estos objetos. Mientras que. de los significados de las palabras entre un niño y un adulto. De ahí que Vigotsky atribuya a la sistematicidad propia de los conceptos científicos la principal fuente de progreso del funcionamiento psicológico. y en particular a la escuela. por el contrario. Consecuentemente puede anticiparse el importante lugar que otorga a la interacción social. en el uso práctico del lenguaje. ¿Por qué este último paso posibilita la evolución de los procesos psicológicos superiores? Porque el control o la regulación del pensamiento del niño pasa del plano de los objetos o de las relaciones icónicas entre objeto y signo. la génesis en el desarrollo de los significados de las palabras (que continúan desarrollándose luego de la aparición de las palabras en el habla de los niños). La palabra no tiene un significado para el niño. explica la coincidencia sólo aparente. las palabras del adulto son indicadores para el niño. comparando las palabras del niño con las del adulto: • • • Pensamiento pre-pseudoconceptual: las palabras del niño no coinciden ni en la referencia ni en el significado con las del adulto. esta aparición sólo marca el comienzo del desarrollo del significado de esa nueva palabra. el sujeto puede operar con el significado de las palabras ejerciendo un control voluntario y consciente.signo. Además. la categoría de los pseudoconceptos (un tipo de complejo) y su equivalencia funcional con los conceptos. sirven para dirigir la atención del niño hacia un objeto. Al lograr independizarse del contexto y ubicarse en el plano de las relaciones entre conceptos. complejos y conceptos. la relación entre sistematicidad. Respecto del significado de las palabras.A partir de esta información es que Vigotsky plantea que los primeros niveles de generalización y los primeros niveles de desarrollo en la interacción social se basan en la función indicativa del habla. ¿Por qué Wertsch considera que la distinción entre significado y referencia que asume Vigotsky es la clave para comprender su propuesta sobre el desarrollo de los conceptos? Porque a partir de esta diferenciación traza la génesis del pensamiento conceptual. descontextualizadas. mecanismos semióticos y significado de la palabra (no sólo relaciones entre signos y objetos sino relación entre signos). la función simbólica del habla implica la clasificación de eventos y objetos en categorías generalizadas y la formación de relaciones entre categorías posibilitando los niveles más avanzados de generalización.
por estar sometidas a las retroacciones de los otros sujetos permitirían avanzar en la elaboración de su función simbólica. Si vale la comparación entre el lenguaje natural y el algebraico (al menos como instrumentos de mediación semiótica). se están realizando abstracciones y generalizaciones de los números que ya son abstracciones y generalizaciones. En este punto aparece bastante claro el rol de la escuela. al estudiar las propiedades de los conjuntos de números. En la fase colectiva las alumnas insisten en que es la tabla la que da las soluciones que luego se comprueban a través de la fórmula.El lenguaje natural es en términos vigotskianos un instrumento de pensamiento y de modo similar el lenguaje algebraico también es un instrumento de pensamiento que requiere o presupone actos de generalización. En este caso. la representación algebraica se “agregaría” a la tabla de valores en la que se expresan todas las soluciones y las alumnas no estarían en condiciones de aceptar que la fórmula constituye una representación del conjunto solución en lugar de un agregado de los objetos de conocimiento trabajados.objeto” 12 que su estructura simbólica interna? ¿Qué forma cobraría la interiorización del lenguaje algebraico en pensamiento algebraico? Con relación a la idea de que los símbolos algebraicos constituirían en primer lugar una propiedad de los objetos. 1987. que se propone caracterizar un espacio didáctico de articulación entre prácticas aritméticas y algebraicas. ¿Qué aspectos de estos dos instrumentos de mediación pueden ser comparados y qué nuevas explicaciones permite obtener esta comparación? ¿Qué condiciones se pueden establecer para esta comparación? ¿Qué restricciones? Los objetos que representa el álgebra no son los objetos. Algunas cuestiones propuestas por Vigotsky con respecto a las relaciones entre pensamiento y lenguaje podrían dar lugar a una lectura que “justifique” en el plano psicológico una práctica didáctica según la cual primero es necesario aprender la mecánica de la manipulación de símbolos para luego utilizarlos en tareas de modelización. Este modo de concebir la fórmula como representación del conjunto solución se lograría en el tiempo como un producto de la interacción sostenida entre los alumnos y con el docente a propósito de este problema y de otros similares. un grupo de alumnas explica que ellas hicieron una tabla y luego hicieron la fórmula “para verificar”. 13 Este trabajo se encuentra en elaboración y lleva el título “Condiciones de un espacio Didáctico de articulación entre prácticas aritméticas y prácticas algebraicas". ni las clases de objetos tangibles de la vida cotidiana. ¿Cuántas monedas de cada clase puede ser que tenga? Frente al pedido de la profesora de proponer una fórmula para “fabricar” todas las soluciones. que es el medio social que ofrece la posibilidad de interactuar con este lenguaje.79). como un elemento externo al sujeto antes que un símbolo interno (Vigotsky. Por ejemplo. Por otro lado. entonces también valdría preguntarse ¿cuál sería el correlato para el caso del álgebra de la idea de que el lenguaje es primero una propiedad de los objetos más que un símbolo de los mismos? ¿Qué significaría que se aprehende antes la estructura externa de la “palabra algebraica. de construir o "fabricar" un ambiente en el que se puedan desplegar funciones de comunicación del lenguaje algebraico que. alumnos de séptimo grado debían resolver un problema que se modeliza a través de una ecuación lineal con dos variables: Marisa tiene 20 pesos en monedas de 10 centavos y de 50 centavos. En el marco del trabajo de tesis de Patricia Sadovsky 13 . a pesar de las diferencias señaladas. no está sujeto de la misma manera que el lenguaje natural a las retroacciones de la interacción social porque no es un instrumento de uso cotidiano. sino abstracciones y generalizaciones de anteriores abstracciones y generalizaciones de esas clases de objetos. Las cuestiones referidas son las siguientes: Se utiliza esta expresión para marcar el paralelo con la expresión de Vigotsky de "palabra-objeto" que pretende simbolizar esta idea de la palabra como propiedad del objeto. si bien el lenguaje algebraico tiene simultáneamente una función de comunicación y de producción de conocimiento. 12 . se plantea el siguiente ejemplo.:p.
memorizaciones o repetición. sino que evoluciona. es decir. y porque los motivos de su formación tampoco son los mismos. La mente se enfrenta a problemas muy distintos cuando asimila los conceptos de la escuela que cuando aprende los de la vida diaria. la memoria lógica. Esta sistematización transforma gradualmente la estructura de los conceptos espontáneos del niño. . p. por lo tanto. Vigotsky afirma que un concepto es más que la suma de enlaces asociativos que se forman en la memoria. 3. cuyo dominio no es posible a través del aprendizaje aislado. no es posible retransmitir un concepto a través de explicaciones. Y además. En relación con el aprendizaje del álgebra es posible recuperar algunas ideas de Vigotsky. En segundo lugar. 123) Vigotsky afirma que es pertinente esta diferenciación. porque se forman a partir de condiciones internas y externas diferentes. o escolarización formal. entre conceptos espontáneos y no espontáneos. la idea de estructura externa del signo no implica aislar el signo del conjunto de “objetos” que le den significado sino. Se proponen a continuación argumentaciones en contrario de la lectura mencionada. él dice: "un 14 Se asume "instrucción" como el proceso de enseñanza socialmente organizado. 1987.1. justifica esta división porque permite estudiar la relación entre la instrucción y el desarrollo de los conceptos científicos. determina el destino de su evolución mental completa". 75). no se mantiene estático. "una fuerza poderosa en la dirección de su desarrollo. que se encuentra afectado por las variaciones externas y las condiciones internas. el pensamiento pseudoconceptual muestra coincidencia entre el lenguaje del adulto y del niño a nivel de referencia pero no de significado. por el contrario. 79) en el proceso de desarrollo del lenguaje existe "un uso correcto de las formas y estructuras gramaticales antes de que el niño haya entendido las operaciones lógicas en las cuales se apoyan" (op. el uso correcto de las formas gramaticales deviene en la comprensión de las operaciones lógicas en las que se apoyan. En el caso de la manipulación mecánica de símbolos estas retroacciones no tendrían lugar con lo cual es difícil concebir una evolución en la conceptualización de las escrituras. son partes de un proceso único: el de la evolución de la formación de un concepto. ayuda a organizarlos en un sistema. En su explicación. p. 2. la habilidad para comparar y diferenciar. (Vigotsky. y promueve su desarrollo a niveles superiores. “el uso funcional de un nuevo signo se halla precedido por un período de aprehensión de la estructura externa del signo" (Vigotsky. a partir de dicha práctica. sostiene que el desarrollo de las actividades que dan origen a unos y a otros se relacionan e influyen constantemente. • 2.: p. gracias a las retroacciones. Un concepto expresado en una palabra es un acto de generalización que se desarrolla desde sus formas más primitivas hasta las más avanzadas. Este desarrollo de los conceptos o evolución del significado de las palabras implica la evolución de muchas funciones intelectuales como la atención deliberada. Tampoco es posible la enseñanza directa de los conceptos. como una de las fuentes principales de los conceptos infantiles. La presencia o ausencia de un sistema es la diferencia psicológica fundamental entre los conceptos científicos y espontáneos. 1987. Esto no ocurre con los conceptos científicos del niño que desde el principio involucran relaciones de generalidad y rudimentos de sistematización. la abstracción.cit. es un acto de pensamiento que no puede ser enseñado mediante la instrucción 14 . La formación de conceptos. producto de la interacción social que supone el uso del lenguaje. El pensamiento de un nivel superior está gobernado por las relaciones de generalidad entre conceptos. supone que el signo no puede concebirse de manera independiente de dichos objetos. Respecto de la diferenciación entre conceptos espontáneos y no espontáneos. la instrucción tiene un lugar central. • En primer lugar. Las particularidades del pensamiento infantil tienen relación con la falta de distancia con la experiencia inmediata.
las ideas del sujeto están reguladas por "la tendencia determinante". En relación con lo anterior se puede establecer la siguiente reflexión: puede ubicarse una de las causas de la falta de control de los procedimientos o razonamientos de los niños en los modos de aparición y de articulación de las actividades de tipo técnico. 3. ¿Cómo puede entonces el niño alcanzar eventualmente el conocimiento y dominio de sus propios pensamientos?. En este aspecto admite coincidir con las explicaciones de Piaget quien encuentra que los conceptos del escolar se caracterizan fundamentalmente por su falta de conocimiento consciente de las relaciones... establecida por la visualización de una finalidad. conservan esta denotación. porque no se estaría dando un proceso de conceptualización y por lo tanto no se puede esperar la comprensión. Como se planteó anteriormente. La formación del concepto es un proceso dirigido por un objetivo.. no está claro el fin de la tarea. se enriquecen las posibilidades de interpretación de este trabajo. donde estas técnicas son trabajadas como un fin en sí mismas y no como instrumentos de resolución de problemas. Drouhard dice: los alumnos no saben que las expresiones simbólicas del álgebra denotan y sus docentes no son conscientes de este desconocimiento. también Drouhard (1995) considera que es preciso ofrecer a los alumnos instancias que les permitan elaborar medios de control de la validez de sus producciones." (p. A su vez es interesante pensar desde otro lado este fenómeno del "malentendido" entre el docente y el alumno. Mientras la tarea técnica tenga como objetivo la sola manipulación técnica es razonable pensar que los alumnos no encontrarán en ella elementos para construir medios de control de sus aprendizajes.. conciencia de ser consciente.El pensamiento infantil es no deliberado y no tiene conciencia de sí mismo. Dice y se pregunta: ". Los "calculadores ciegos" (aquellos alumnos que no pueden hacer referencia a alguna significación en ningún momento) no tienen conciencia de que las escrituras denotan y menos aún podrán tener conciencia de que las transformaciones (matemáticamente válidas) sobre estas expresiones. después de haber sido utilizada en forma inconsciente y espontánea. 125) El escolar avanza en el conocimiento y en el dominio pero no en la conciencia de sus propias operaciones conceptuales. 125) estudia las características y la dirección de desarrollo (en la edad escolar) de los conceptos cotidianos. Buscando explicar la diferencia entre el desarrollo de los conceptos científicos y los cotidianos. . no permiten una buena contextualización. es necesario que el adulto sea consciente de esta aparente similitud y genere a partir de ahí instancias de interacción tendientes a compartir los significados de los conceptos que se utilizan conjuntamente. sin la posibilidad de "visualizar" un objetivo (distinto del de manipular signos de acuerdo a reglas) no generan las retroacciones necesarias para que las expresiones algebraicas se conviertan progresivamente en símbolos de objetos matemáticos.concepto puede estar sujeto a un control consciente cuando es parte de un sistema" y esta preocupación por la posibilidad de control de los conceptos es considerada por los distintos autores y retomada en la caracterización de la actividad algebraica."Para poder someter una función 15 Define conciencia como conocimiento de la actividad de la mente. Desde esta teoría vigotskiana en todo aprendizaje habría unas primeras instancias de coincidencia de los conceptos a nivel de referentes pero no a nivel de significado.. (Vigotsky. Estas tareas planteadas sin vinculación con problemas. que suelen encontrarse en los textos. Si por ejemplo se dijera hallar los valores de x para los cuales 3x +2 = 5x-7 se cumple. p.. . los procedimientos de resolución que los alumnos ponen en juego en estos casos no permiten acceder a relaciones que podrían actuar como elementos de control. Aparecen en la escuela actividades técnicas alejadas de tareas de matematización o modelización. 1987. Por ejemplo las tareas del tipo “Hallar x” para resolver una ecuación. En términos vigotskianos. El desarrollo de los conceptos científicos y su relación con el desarrollo de los conceptos espontáneos. una serie de operaciones como escalones que persiguen la meta final. La conciencia 15 y el control aparecen en la última etapa del desarrollo de una función.
".. 130131).. y generalización significa la formación de un concepto sobreordenado que incluye el concepto dado como un caso particular.. Esto denota el comienzo de un proceso de generalización de las formas de actividad interna superior. p. que hacen de los instrumentos de mediación (Baquero.. Desde un punto de vista descriptivo. con su jerarquía sistemática de intercalaciones. parecen ser el medio de desarrollo de conocimientos y las destrezas que luego se transfieren a otros conceptos. Este cambio de plano en el pensamiento promueve en el niño la conciencia de su propio proceso mental. que si bien requieren de la existencia previa del . Mientras que esta sola pertenencia no alcanza para la apropiación de la lengua escrita.cit. . del mismo modo en que el niño pasa de la primitiva percepción sin palabras a la percepción de los objetos guiada por palabras. El hacernos conscientes de nuestras propias operaciones nos conduce a poder dominarlas (op. primero debemos poseerla". o en el tipo de uso. Si conciencia significa generalización. cambiando totalmente su estructura psicológica"...(op. se entiende que un concepto puede estar sujeto a un control consciente sólo cuando es parte de un sistema. Esto no significa que dicha actividad psicológica sea más pura o esté menos sujeta a limitaciones. 128).: p. Cuando el niño opera con conceptos espontáneos su atención está centrada en los objetos a los cuales se refieren los conceptos y no en sus propios actos de pensamiento. por estar mediatizados por otros conceptos desde el principio. En palabras de Wertsch (op. representan el punto final de la descontextualización de los instrumentos de mediación. mientras que el contexto concreto disminuye su papel. los PPS “avanzados” requieren para su formación de la participación del sujeto en situaciones sociales específicas. Para poder establecer el lugar que ocupan las prácticas educativas (como construcción social que "ofrece" los conceptos científicos) en el proceso de desarrollo del sujeto. Esto significa. Por el solo hecho de pertenecer a una cultura los sujetos aprenden a hablar movidos por la necesidad de la comunicación. sin embargo. Al fin y al cabo.: pp. Baquero coloca como ejemplo paradigmático la relación entre la adquisición de las competencias para participar en los actos del habla y la adquisición de la lengua escrita. Vigotsky coloca la interrelación entre conceptos científicos y espontáneos como caso especial de la relación entre la instrucción escolar y el desarrollo mental del niño. ambos comparten las características de los PPS pero se diferencian en el grado de control consciente y voluntario que implican. corren la atención de los objetos centrándola en las relaciones entre conceptos.cit. el escolar pasa de la introspección no formulada a la verbalizada. la diferenciación al interior de los procesos psicológicos superiores (PPS) en “rudimentarios” y “avanzados” resulta interesante. a este respecto es crucial la estructura de los propios sistemas de signos. no alcanza con pertenecer y crecer en el seno de una cultura para que este tipo de procesos se desarrollen. crecientemente descontextualizado. Los conceptos científicos que el niño aprende en la escuela. 1996. La adquisición de las competencias para la escritura se posibilitan con la participación en situaciones sociales específicas. Es decir. (op.cit. Desde un punto de vista “genético” ambos surgen como producto de la vida social pero. 100).cit.al control intelectual y volitivo.118): ". percibiendo sus propios procesos psíquicos como significativos.Los rudimentos de sistematización ingresan primero en la mente infantil por medio de su contacto con los conceptos científicos y son transferidos entonces a los conceptos cotidianos. Esta negociación en la fuente del control en la actividad psicológica constituye el tema de la investigación sobre complejos y conceptos llevada a cabo por Vigotsky". 128). Justamente el desarrollo de la introspección comienza en los años escolares.: p. que abre nuevas posibilidades de manejo de esta actividad interior.los conceptos científicos son los que permiten a los humanos realizar la actividad mental con la máxima independencia del contexto concreto.Los conceptos científicos.:pp. que los mecanismos semióticos sociohistóricamente desarrollados desempeñan un papel cada vez más importante en el funcionamiento psicológico.
un paso hacia otro plano superior de pensamiento. como una lengua escrita. el uso que se realiza del instrumento de mediación apropiado". La posibilidad de manejarse con la idea de número y con algunas operaciones elementales entre números se obtiene a partir de la vida en sociedad. pero también convergencia y mutua reorganización debida a la permanente interacción que sostienen durante el curso del desarrollo. su aprendizaje necesita de situaciones específicas. podría explicar la relación entre aritmética y álgebra. entonces. 1996. pp. Evidentemente existen diferencias en la naturaleza de las actividades sociales y en las características de los instrumentos mediadores y en su modo de uso. no aparecen en la vida diaria. Esta diferencia en los orígenes de los PPS rudimentarios y avanzados también impulsa a Baquero a preguntarse sobre cuáles son las diferencias de las situaciones que les dan origen. que dan lugar a los distintos tipos de procesos psicológicos. dice Baquero. A partir del estudio de algunos trabajos de investigadores de la Psicología Socio-histórica (Scribner y Cole. no es la continuación de un movimiento en una misma dirección sino se produce un cambio en el vector del desarrollo. procesos genéticos diferentes. es decir.cit. Cazden. Se puede asumir que los conocimientos algebraicos reestructuran los aritméticos a través de la sistematización que las herramientas algebraicas permiten. La escritura requiere de mayor abstracción y para ello de un creciente control voluntario y consciente de los procesos psicológicos superiores. Y en este terreno la escuela tiene un lugar central. una definición de desarrollo que establece . pp. más precisamente de situaciones escolares de enseñanza y también implican un mayor nivel de abstracción acompañado de elementos que favorezcan un creciente control consciente y voluntario. mientras que los aprendizajes que sistematizan esas ideas. Rogoff.habla no resultan de su evolución espontánea. de orígenes y procesos distintos y a la vez convergencia y mutua reorganización. Baquero (op. Los sujetos escolarizados muestran un funcionamiento cognitivo diferente de los que no lo son y esto tendría relación con el modo de trabajo escolar. van der Veer y Valsiner. Nuevamente el ejemplo que se cita es el del cambio desde los preconceptos aritméticos del niño hacia los verdaderos conceptos algebraicos del adolescente: los conceptos algebraicos son generalizaciones de los aritméticos pero a la vez implican una nueva manera de pensar. (Baquero. 106-118) plantea que "no parece ser el dominio en sí mismo del sistema de representación o el instrumento mediador. Edwars y Mercer en Baquero.: p. 1996. pero simultáneamente existe una diferencia entre los objetos que se generalizan. Luria. Estas características. 133-134). recién señalada. La ruptura se produce porque no se generaliza sobre objetos sino sobre pensamientos (generalización de generalizaciones). lo que produce mayor impacto sobre la vida cognitiva. ya sea que utilicen o no el lenguaje algebraico. 102) pone énfasis en que a pesar de pertenecer ambos (PPS rudimentarios y avanzados) a la “línea cultural de desarrollo” tienen orígenes evolutivos diferenciados. La idea de continuidad y ruptura. tiene sentido hablar de "impacto cognitivo de la escolarización" y también tiene sentido preguntarse si ese impacto tiene relación sólo con la apropiación de los instrumentos de mediación o con la modalidad de trabajo intelectual que propone la escuela. entonces. que las ubican en un sistema teórico. sino las características de las situaciones de su apropiación efectiva. En este contexto vigotskiano. Baquero propone. La continuidad está sostenida porque cada generalización se realiza sobre objetos ya generalizados en el sistema anterior. Se puede pensar en una relación semejante entre las competencias relativas a los aprendizajes "numéricos" y a los aprendizajes "algebraicos". El tipo de tareas que se plantea en la escuela sería el que genera diferencias en el modo de procesar la información de las personas. se vincula con las ideas de ruptura y continuidad de las construcciones inferiores y superiores.
pero sí mantienen una interacción continua con las contribuciones de dicha instrucción. incluyendo el dominio de su estructura. Los alumnos no necesariamente captan el alcance de lo que es un modelo 16 . y la ponen en juego por un proceso de imitación. • • El dominio de la lengua escrita y el desarrollo de los conceptos científicos que son ejemplos paradigmáticos de los grados y modalidades de desarrollo que se logran en la escuela. “provoca” que los alumnos comprendan. . dice. la aparición de hábitos y destrezas en el niño antes de que pueda aplicarlos consciente y deliberadamente.. No se refiere a imitación como a una actividad mecánica. más profundamente su funcionamiento y su significado hasta lograr un uso consciente.: p.claramente el lugar de la educación: ". Y en estas primeras adquisiciones provisorias tiene un rol importante la imitación. con ellos. saberes. tal vez porque el docente muestra el funcionamiento.. Sus investigaciones le muestran que el desarrollo de las funciones psicológicas no precede a la instrucción. se la introduce a propósito de situaciones particulares. normas e instrumentos culturales en contextos de actividad conjunta socialmente definidos.. mientras que los actos de pensamiento que tienen que ver con estos aprendizajes son la generalización y las capacidades relativas a la modelización (posibilidad de recortar ciertas relaciones de un objeto o una situación y pensar ese objeto o situación en términos de las relaciones). Es también una manifestación de que el desarrollo se produce a consecuencia de la instrucción. un dominio creciente y voluntario de su propia actividad" (op. 105). el contenido conceptual que se aprende está integrado por las propias herramientas algebraicas. • Es para Vigotsky claro que la instrucción precede al desarrollo puesto que las funciones que se requieren para los aprendizajes de las distintas áreas no están maduras aún cuando comienza la instrucción. referidas tanto a cuestiones matemáticas o extra matemáticas.: p. es posible encontrar buenos argumentos en las ideas de Vigotsky para incluir la enseñanza del álgebra en el curriculum de la escuela: los conocimientos algebraicos son sistemáticos e 16 En el sentido de "modelo matemático" definido por Chevallard (1989) y trabajado en apartados anteriores.. pero sujeto en su actividad a cierto régimen de trabajo intelectual que permite crecientes grados de toma de conciencia de las propias operaciones intelectuales y. ". el hecho de “forzar” a utilizar e interpretar modelos matemáticos en variadas situaciones de interacción con problemas.un sujeto activo. Desde esta perspectiva vigotskiana.cit. voluntario y controlado de la herramienta algebraica. porque requiere de medios para pasar de algo ya conocido a algo nuevo. de sus características propias y de su modo de uso típicamente escolar. Puede pensarse que en los procesos de aprendizaje del álgebra." (op.. organización de las actividades particular. progresivamente. Ahora. o régimen de trabajo. el trabajo escolar parece implicar: • La participación en actividades que comprometen la cognición y la voluntad de una manera particular con motivaciones diferentes de las que impulsan el desarrollo en contextos cotidianos (régimen discursivo. La cuestión específica que aporta este punto de la teoría de Vigotsky es la siguiente: cuando se introduce la noción de modelo.los procesos de desarrollo consisten en la apropiación de objetos. Tanto en el aprendizaje del habla como en el de las materias escolares la imitación resulta indispensable. Como podía suponerse. y también en la interacción social con el conjunto de pares y el docente. Aceptan su utilización. 118).cit. El dominio de instrumentos de mediación crecientemente descontextualizados.. todos son en general diferentes). En este punto es interesante destacar esta diferenciación que hace Vigotsky entre contenido de un concepto y los actos de pensamiento que permiten captar ese contenido (que representa con la analogía geográfica) porque aparece claramente la relación entre instrucción y desarrollo.
Por otro lado. De un modo similar se pueden relacionar con la idea de contrato didáctico las de lenguaje social y ventriloquización (Wertsch. de que hay mucho de implícito en las comunicaciones sociales. La contribución de la enseñanza del álgebra al pensamiento. la noción de contrato didáctico viene a señalar que en las interacciones en la clase el alumno interpreta las intervenciones de los otros (docente y alumnos) atribuyéndoles una cierta intencionalidad con respecto al objeto (matemático) con el que se está trabajando. En un segundo término se tratan de particularizar algunos de los aspectos incluidos en la primera explicación a modo de hipótesis que pueden resultar como puntos de partida de investigaciones futuras en esta área. . 1. Esta sistematización promueve el desarrollo del niño a niveles superiores. por parte del docente. y quizás una relación más profunda. Interpretar los mensajes que se producen en estos "códigos sociales" resulta ser una de las tareas de cuyo éxito depende el desarrollo de cada uno de los sujetos participantes. 1998. Tanto el análisis de Baquero como el de Wertsch. otorgan un lugar central a la actividad de mediación. y esto conduce a poder dominar esas operaciones. En los diálogos contextualizados en una clase. de que el habla interior se construye socialmente o de que la privacidad (subjetividad) se construye cuando se internaliza aquello que ha surgido en primer lugar de relaciones interpersonales. existiría la posibilidad de explicitación en clase de muchos de estos significados que serían imprescindibles para posibilitar la comunicación. el aprendizaje. resulta interesante retomar esta cuestión. y que si bien no es posible ni deseable una explicitación exhaustiva de todos los significados que se movilizan. Parece sumamente interesante por sus posibilidades explicativas la idea de que el mayor impacto cognitivo no sólo tiene relación con la apropiación de instrumentos de mediación sino también.implican relaciones de generalidad. o más precisamente con el modo de trabajo escolar. PENSAR EL APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA EN LA ESCUELA A PARTIR DE LA TEORÍA DE VIGOTSKY Dos grandes líneas se han pensado como estructuradoras de estas palabras finales. aparentemente paradójica. ¿Cómo se explica esta afirmación con los elementos teóricos planteados? Utilizando argumentos vigotskianos la interacción con este tipo de instrumento de mediación semiótica genera procesos psicológicos superiores de tipo avanzado. Efectivamente. ¿Qué implicancias tendrían para un docente estas ideas? En principio puede pensarse que hace falta una toma de conciencia. La puesta en juego de determinadas actividades de tipo algebraico ofrece la posibilidad de impulsar el desarrollo intelectual de los sujetos. La interpretación de esa intencionalidad puede funcionar como un motor de avance en el conocimiento en la medida en que la misma entra en diálogo con las posibilidades del sujeto. el desarrollo. se trata de explicar cuál sería la contribución del aprendizaje del álgebra al pensamiento del sujeto. la voz de cada uno de los sujetos que interactúan estaría impregnada de voces y significados que no siempre se explicitan. con el tipo de uso que se hace de esos instrumentos. pp. En primer lugar. el hecho de asumir relaciones de inclusión entre conceptos y clases de conceptos implica tener conciencia de los procesos de pensamiento puestos en juego y asumirlos como de un determinado tipo. Se podría establecer una cierta relación entre esta idea y la noción de contrato didáctico ya definida en términos de Brousseau (1986). 44-45).
Cabe recordar que los PPS "avanzados" se diferencian de los "rudimentarios" en el grado de control consciente y voluntario que implican. Esto necesariamente moviliza un plano superior de abstracción. crecientemente descontextualizado. un paso hacia otro plano superior de pensamiento. En este punto se puede apreciar el rol fundamental del docente en cuanto al impulso del desarrollo de sus alumnos en tanto que es quien decide el tipo de tareas a trabajar en clase. La continuidad está sostenida porque la generalización algebraica se realiza sobre los objetos numéricos que ya son generalizaciones en el sistema anterior. Está claro que no es posible controlar todos los significados. extraer relaciones pertinentes e independientes. Por otro lado. Aún más. Dos características propias de la actividad algebraica permiten afirmar que trabajar con las herramientas del álgebra genera procesos psicológicos superiores avanzados: • El álgebra en tanto que herramienta de generalización de la aritmética. los símbolos del álgebra encontrarían sus referentes en los números. en este caso algebraicos. La ruptura se produce porque no se generaliza sobre objetos de la vida cotidiana sino sobre números que ya son pensamientos (generalización de generalizaciones). el sujeto puede operar con el significado de los símbolos ejerciendo un control voluntario y consciente. o entre la evolución desde los PPS rudimentarios y hacia los avanzados. también se plantea hasta dónde se puede tener el control de los significados y procesos que se promueven en clase. requiere de un mayor nivel de abstracción. y las ideas de lenguaje social o de contrato didáctico lo . o en el tipo de uso. pero simultáneamente existe una diferencia entre los objetos sobre los que se generaliza. Como se dijo. remitirse a formas simbólicas y a una sintaxis explícitas. Como puede desprenderse de estas ideas el tipo de tarea que se realiza sobre los instrumentos de mediación semiótica es decisivo. desde la relación entre los objetos de la vida cotidiana y los números. que son símbolos de anteriores símbolos. Este cambio de pensamiento requiere "romper" con algunos conocimientos y "hábitos" que provienen del marco de referencia anterior de tipo aritmético. son abstracciones y generalizaciones de anteriores abstracciones y generalizaciones. no resulta un proceso "espontáneo". renunciar a la búsqueda aritmética directa de la solución. los estudiosos y continuadores de la teoría de Vigotsky sostienen que el tipo de actividad decide sobre el desarrollo tanto o más que los propios instrumentos de mediación. • Esta relación entre aritmética y álgebra. que tiene relación con una mayor distancia respecto del plano de los objetos. Por implicar orígenes y procesos distintos y a la vez convergencia y mutua reorganización: la relación entre aritmética y álgebra es de continuidad y ruptura a la vez. hacia el plano de las relaciones entre los números y los símbolos del álgebra posibilita que el control o la regulación del pensamiento se independice del contexto y se ubique en el plano de las relaciones entre conceptos. que el paso del trabajo aritmético al algebraico promueve. no es la continuación de un movimiento en una misma dirección sino que se produce un cambio en el vector del desarrollo. Esta posibilidad es atribuida por Vigotsky a la sistematicidad propia de los conceptos científicos. Es decir. que hacen de los instrumentos de mediación. entonces. de un modo informal a un modo formal de representación y resolución de problemas. existe un cambio en el modo de pensar: pasar de situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre los números y las operaciones. Este cambio de plano de actuación intelectual.
• • c) La validación de las escrituras en la interacción social • La validación de escrituras no se realiza a través de un sistema de teoremas matemáticos y esto distingue el proceso de emergencia de las mismas respecto de la elaboración de otros objetos matemáticos • La función comunicativa del lenguaje. el sentido de lo convencional. por la posibilidad de generalización que supone es un dominio fértil para el desarrollo de los alumnos. los instrumentos de pensamiento anteriores (aritméticos) que posee el sujeto condicionan la apropiación de las herramientas del álgebra. de manera independiente de los conocimientos. b) Sobre la necesidad de la mediación del docente. da pistas para fundamentar una hipótesis de trabajo según la cual las primera producciones vinculadas al lenguaje algebraico se validarían en la interacción social. • El modelo teórico que explica la producción de conocimientos en términos de adaptación a un medio resistente que ofrece retroacciones con relación a la validez de las relaciones matemáticas invertidas en la resolución de un problema. Recíprocamente. Existe entre la aritmética y el álgebra una relación de continuidad y a la vez de ruptura. ese marco de relación entre conceptos espontáneos y conceptos científicos puede servir para pensar la relación aritmética y álgebra: La apropiación de las herramientas del álgebra genera una reestructuración del pensamiento aritmético anterior ubicándolo como un cuerpo teórico de conocimientos. pero sí es posible la toma de conciencia de este fenómeno y la puesta en juego de situaciones de reflexión y de explicitación que permitan acordar y compartir algunas nociones y convenciones hasta ese momento implícitas. en contextos culturales muy diferentes a los de los alumnos actuales no puede producirse de la sola interacción del alumno con un problema. desde ese marco. Si bien todos los conocimientos aritméticos no pueden considerarse conceptos espontáneos.explican. Si el sujeto posee • • • • . d) La función intelectual de las herramientas semióticas. Esto también es una contribución al crecimiento intelectual. • El álgebra. no resulta del todo explicativo para la producción de escrituras. de la cultura en la que están inmersos. • El tipo de tarea que se proponga la apropiación de las herramientas del álgebra (como la apropiación de cualquier instrumento de mediación semiótica) debiera posibilitar las instancias de contextualización / descontextualización. El lenguaje algebraico. en la medida en que está descontextualizado obliga a la explicitación de relaciones que pueden quedar implícitas en el lenguaje natural. y de las funciones que le atribuyen quienes las producen. 2. El aprendizaje de las herramientas del álgebra necesita de situaciones específicas que impliquen la intervención de otro sujeto que las ofrezca como tales. Se está pensando en actividades que se propongan en contextos (tanto matemáticos como extramatemáticos) tales que permitan visualizar un objetivo. que ofrezcan elementos que permitan una adecuada interpretación (en el sentido de Drouhard). El aprendizaje de las herramientas semióticas. que son el producto cultural de una compleja trama construida y reconstruida una y otra vez a lo largo de siglos. Algunas hipótesis para pensar la enseñanza del álgebra elemental a) Acerca del tipo de tareas. Pensar que la sola interacción con un tipo de problemas llevaría a producir las mismas escrituras sería considerar que el problema las determina. ofreciendo al alumno la posibilidad de tomar dichas herramientas como objeto de discusión y entender.
Francia: La pensée sauvage. Bolea. Argentina: Aique. Recherches en Didactique des Mathématiques. (1994). de aprehensión de la estructura externa del signo. Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemática.). Brousseau. M. Bosch. 247-304. El manejo de la gramática del lenguaje sin un total manejo del significado en situaciones de interacción social que ofrecen permanentes retroacciones desemboca necesariamente en instancias en las que se comparten los significados convencionales de las palabras. A. no ofrecen medios de retroacción. “Vingt ans de didactique des mathématiques en France”. (1993). (D. (2001). et al. en algún punto puede establecerse una relación entre ambos. J.hábitos de generalización a partir del trabajo con problemas numéricos se ve favorecida esta posibilidad de continuidad entre los procesos de pensamiento de ambos dominios. Mientras que estas actividades mecánicas no tienen otro fin más que el de manipular reglas sin apelar a ningún sentido. 33-115. Recherches en Didactique des Mathématiques 21(3). (1996). Buenos Aires. y en el sentido de que es un fin en sí misma). Buenos Aires. Sí valdría interpretar que esta primera etapa vigotskiana. P. Castorina J. (1996). Ortega Trads. la ecuación sería una propiedad del objeto número. BIBLIOGRAFÍA Baquero. Universidad Nacional de Córdoba. Brun. (1986). Como en el ejemplo que se planteó. (1996). Fregona y F. J. Este tipo de explicaciones no justifica posturas didácticas que postulen una enseñanza "mecánica" del álgebra previa a otra instancia posterior de "significación" (mecánica en el sentido de que no recupera ningún significado. Brousseau. La transposición didáctica de organizaciones matemáticas en proceso de algebrización: el caso de la proporcionalidad. Argentina. Ese modo de concebir los objetos del álgebra podrá evolucionar hacia considerarlos modelos matemáticos si existen (como en el lenguaje natural) variadas situaciones de interacción social (escolar) en las que un docente mediador genera interacciones con sus alumnos a través de actividades que pongan en evidencia justamente este aspecto modelizador de los símbolos algebraicos. R. Gascón. El debate Piaget – Vygotsky: La búsqueda de un criterio sobre su evaluación. en esta etapa habría coincidencias provisorias de los referentes del adulto y del niño y no del significado de los signos. porque su circulación social es completamente diferente. Carretero. G. Vigotsky y el aprendizaje escolar. e) Primeras instancias en el aprendizaje del álgebra.. Fondament et méthodes de la didactique des mathématiques. FaMAF. G. Sin embargo. Introducción a la Psicología Cognitiva. Argentina: Paidós . En Piaget – Vygotsky: Contribuciones para replantear el debate. implica concebirlo provisoriamente como una propiedad de los objetos en lugar de un símbolo de dichos objetos. Vigotsky plantea que en el proceso de apropiación del signo existe una primera etapa de aprehensión de la estructura externa del signo o del uso correcto de las formas y estructuras gramaticales del lenguaje antes de que el niño haya entendido las operaciones lógicas en las cuales se apoyan.. M. es posible esperar una etapa en la que el niño concibe una ecuación como un "agregado" a una cuenta con números o una "verificación" de una tabla numérica. • El lenguaje algebraico no puede pensarse de la misma manera que el natural. Argentina: Aique. 7(2).
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