Source: https://www.slideserve.com/johana/logica-clasica-de-primer-orden-jos-alfredo-amor-jaamhp-fciencias-unam-mx
Timestamp: 2018-05-27 14:23:21+00:00

Document:
PPT - LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN José Alfredo Amor jaam @hp.fciencias.unam.mx PowerPoint Presentation - ID:188997
LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN José Alfredo Amor jaam @hp.fciencias.unam.mx PowerPoint Presentation
<iframe src="https://www.slideserve.com/embed/188997" width="600" height="485" frameborder="0" marginwidth="0" marginheight="0" scrolling="no" style="border:1px solid #CCC;border-width:1px 1px 0;margin-bottom:5px" allowfullscreen webkitallowfullscreen mozallowfullscreen> </iframe>
LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN José Alfredo Amor jaam @hp.fciencias.unam.mx - PowerPoint PPT Presentation
PowerPoint Slideshow about 'LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN José Alfredo Amor jaam @hp.fciencias.unam.mx' - johana
LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDENJosé Alfredo Amorjaam@hp.fciencias.unam.mx
Lógica de Predicadoso Lógica de Primer Ordeno Lógica Cuantificacional
En el lenguaje coloquial se llama “lógico” a lo que es considerado de sentido común
¿Este sentido común que aplicamos en situaciones reales debe dirigir la construcción del razonamiento lógico?
o por el contrario, ¿Son las normas de la lógica las que deben regir nuestra manera natural de razonar?
¿La manera natural de razonar determina a la lógica, o la lógica nos enseña a razonar correctamente?
¿Qué es lo lógico y lo no lógico?
¿Esto es lógico o no lógico ?
Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto.
El razonamiento deductivo correcto es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos, en el que las conclusiones se siguen necesariamente de las suposiciones o hechos.
Esto es sumamente importante en matemáticas, ya que las pruebas en matemáticas son sucesiones de argumentos, y estos deben ser argumentos correctos. Resulta pues obvia la importancia de saber si un argumento dado es correcto o no.
DIPLOMADO EN LOGICAMódulo: Lógica de Predicados
I. LA LOGICA DE PREDICADOS(o cuantificacional o de primer orden)
II. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN
III. SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN
IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN ENFOQUE COMPUTACIONAL
I. LA LOGICA DE PREDICADOS (O CUANTIFICACIONAL O DE PRIMER ORDEN)
1.Lenguajes naturales y lenguaje analítico.
2.Traducciones del lenguaje natural al lenguaje analítico, e inversamente.
3.Relación entre la lógica proposicional y la lógica cuantificacional.
4.Reglas de formación de fórmulas. Variables, enunciados. La igualdad.
II. LA SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN
1. Prerrequisitos de teoría de conjuntos.
2. Interpretaciones: verdad o falsedad de enunciados respecto a una interpretación.
3. Definición de verdad de Tarski. Fórmulas lógicamente válidas.
4. Argumentos deductivos válidos e inválidos.
5. La igualdad. Fórmulas y argumentos que incluyen igualdades.
III. LA SINTAXIS DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN
1. Deducción natural. Solo reglas. Correctud y Completud.
2. Sistemas axiomáticos: axiomas, reglas de inferencia y definición de deducción. Metateorema de la Deducción. Correctud y Completud.
3.Otros conceptos relacionados: teorías, consistencia, satisfacibilidad, completud, axiomatizabilidad, decidibilidad, etc.
1.Regla de RESOLUCION. Correctud y Completud
2. Demostración Automática de Teoremas
3. Programación Lógica
Enunciados simples
Paris es la Capital de Francia
Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005
La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes
Paris es la Capital de Francia C(p,f)
2 + 2 = 1 =(2+2, 1)
El Sol es una estrella E(s)
Vincente Fox es el presidente de México en el año 2005 PM(f,2005)
La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes est(u)>250 mil
Enunciados complejos
Tegucigalpa es la capital de algún país y alguna ciudad es la capital de Costa Rica
Caracas es la capital de Venezuela y San José es la capital de Costa Rica
Si 2+2 = 4 y 4 es par, entonces 2+2 es par
No existe alguien que rasure a todos los que no se rasuran a si mismos y sólo a esos
CUANTIFICADORES Y VARIABLES
El uso de cuantificadores yvariables no es común en el lenguaje coloquial.
Pero cuando se comprende su poder expresivo y riguroso se ha dado el primer paso para saber expresarse con él.
Lenguaje formal LP: símbolos básicos
Parámetros de predicado: letras mayúsculas del alfabeto P, Q, R, ….
Parámetros de constante: letras minúsculas a, b, c, ….
Variables individuales: x, y, z, w, ….
Símbolos lógicos: ,, , , , =
Símbolos de cuantificación: , 
Símbolos auxiliares: ), (
Reglas de construcción de fórmulas de LP
*Todo parámetro de predicado aplicado a constantes o variables y toda igualdad de constantes o variables, es una fórmula (atómica) de LP
*Si  y  son fórmulas de LP, entonces
(), (), (), () y () son fórmulas de LP
*Si  es una fórmula de LP y x es una variable entonces (x) y (x), son fórmulas de LP
Formalizar el Lenguaje Coloquial
No se pretende formalizar todo el lenguaje coloquial sino el de contenido preciso estilo matemático:
“Todo S es P" y “Algún S es P”
x[S(x)  P(x)] y x [S(x)  P(x)]
S(x) simboliza “xes S” y P(x) “x es P”
Estas expresiones son nuevas para el alumno por eso hay dificultad para representarlas
Proposiciones Categóricas en LP
A: Todo S es P E: Ningún S es P
x [S(x)  P(x)]x [S(x) P(x)]
x [S(x)  P(x)]
I: Algún S es P O: Algún S no es P
x [S(x)  P(x)] x [S(x) P(x)]
EXPRESIVIDAD DEL LENGUAJE LP(PERROS Y CARTEROS)
1. Todos los perros muerden a algún cartero
x[P(x) y(C(y)  M(x, y))]
2.Hay un cartero al que muerden todos los perros
x[C(x) y(P(y)  M(y, x)]
3.Todos los carteros son mordidos poralgún perro
x[C(x) y (P(y) /\ M(y, x)]
4. Hay un perro que muerde a todos los carteros
x [P(x) /\ y(C(y)  M(x, y)]
Y SE PUEDE COMPLICAR!
Todos los perros que asustan a algún cartero, lo muerden:
xy [P(x) /\ C(y) /\ A(x, y)  M(x, y)]
x[P(x)  y(C(y) /\ A(x, y)M(x, y))]
Hay un perro que muerde a todos los perros que muerden a algún cartero:
x[P(x) /\ y(P(y) /\z(C(z)/\ M(y,z)) M(x,y))]
Ejemplos Fórmulas de LP
Todos son amigos de alguien:
xy A(x, y)
Todos son amigos de todos:
xy A(x, y)
Juan vió a María con el telescopio:VT(j, m) ? V(j, m)  T(m) ?
Alguien es amigo de todos:
x y A (x, y)
Ejemplos de Fórmulas de LP
x [P(x, c) y P(y, c)]
x[(P(x)Q(x))  (Q(x) P(x))]
x [P(x)  y (P(y)  x = y)]
[x P(x)]xy[P(x)P(y)x = y]
Objetivos: conocer los criterios de verdad de los conectivos, los cuantificadores y la igualdad.
Saber analizar a partir de ellos, la verdad o falsedad de cualquier enunciado interpretado. Especialmente el caso del condicional.
"no P" denotada (P), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es falsa respecto a esa interpretación.
"P o Q" denotada (P  Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación o Q es verdadera respecto a esa interpretación.
Queda incluida aquí la posibilidad de que ambas, P y Q, sean verdaderas respecto a esa interpretación.
"P y Q" denotada (P  Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación, y Q es verdadera respecto a esa interpretación.
A)“Si P entonces Q” denotada (PQ) es falsa respecto a la interpretación dada, si P es verdadera y Q es falsa, respecto a esa interpretación.
B) “Si P entonces Q” denotada (PQ) es verdadera respecto a la interpretación dada, si no es falsa respecto a esa interpretación.
Es decir si no sucede que P es verdadera y Q es falsa.
"P si y sólo si Q" denotada (PQ), es verdadera respecto a la interpretación dada, si ambas P y Q son verdaderas, o bien ambas P y Q son falsas, respecto a tal interpretación.
Cuantificación Existencial
[x Q(x)] es verdadera respecto a la interpretación dada, si hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que Q es verdadera respecto a ese individuo yrespecto a esa interpretación.
[x Q(x)] es verdadera respecto a la interpretación dada, si para todos los individuos en el universo de esa interpretación, Q es verdadera respecto a cada uno de ellos ahí respecto a esa interpretación.
Verdades Lógicas de LP:
TODA FÓRMULA QUE RESULTA VERDADERA, BAJO CUALQUIER INTERPRETACION PARA LOS PREDICADOS Y LAS CONSTANTES DE LA FÓRMULA,
Y CUALQUIER ASIGNACIÓN DE INDIVIDUOS A LAS VARIABLES
Ejemplo de Tautología en Lenguaje LP
xA
x Ax A
Ejemplos donde la validez lógica de primer orden coincide con la proposicional
P(c) P(c) formaA  A
“c cumple la propiedad P o no la cumple”
[P(c)  Q(c)]  [Q(c) P(c)]
forma [A B]  [BA]
[P(c) Q(c)]  [P(c)  Q(c)]
forma [A B]  [A B]
Ejemplos donde la validez lógica de LP NO coincide con la proposicional o LE
[x y P(x,y)]  [y x P(x,y)] (AB)
“Si hay alguien en la relación P con todos entonces para todos hay alguien en la relación P con ellos”
P(c) x P(x) (A  B)
“Si c cumple la propiedad P entonces hay alguien que cumple la propiedad P”
xy [ R(x,y) R(y,y) ]
“No hay en el universo de interpretación un individuo tal que esté en la relación R con todos los individuos (de ahí) que no están en la relación R consigo mismos, y sólo con esos”
¿Sabemos negar?
La negación lógica del enunciado
“Si te portas bien entonces te llevo al cine” es:
a)Si no te portas bien entonces no te llevo al cine
b)Si te portas bien entonces no te llevo al cine
c) Te portas bien y no te llevo al cine
2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que w  AB, entonces:
a) wA y wB b) wA o wB
3.La negaciónlógica de “ser blanco” es:
a) ser negro b) no ser blanco
c) ser de color distinto al blanco
4.La negaciónlógica de “3 < x”es:
a) 3 > x b) 3  x c) 3 ≮ x
5. La negación lógica de
“Todos los perros ladran” es:
a) Hay perros que no ladran
b) Ningún perro ladra
c) Todos los perros no ladran
Respuestas Correctas: c,b,b,c,a.
1. La negación lógica del enunciado
c) Te portas bien y no te llevo al cine.
2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que wAB, entonces:
b) wA o wB
3. La negaciónlógica de “ser blanco” es:
b)no ser blanco.
4. La negaciónlógica de “3 < x” es:
c) 3 ≮x
5. La negación lógica de “Todos los perros ladran” es:
a)Hay perros que no ladran.
Leyes de la Negación
Si P y Q son proposiciones cualesquiera las siguientes son ejemplos de equivalencias lógicas:
  P  P
(P Q) 	(P Q)
(P Q) 	(P Q)
(P  Q) 	(P Q)
(P  Q) 	(PQ) (Q P)
x P x P
xP x P
Otras Equivalencias Lógicas
(P  Q)	 (Q P)
(P  Q)	 ( P  Q)
(P  Q) (P Q)
x P x P
x P	x P
x (P Q)  (x P x Q)
x (P Q)  (x P  x Q)
x (P  Q) x P x Q
x (P  Q) x P x Q
Cuando no hay equivalencia
la prueba es un contraejemplo
Símbolo para Consecuencia Lógica
Conclusión
Ejemplo de Razonamiento en LP
P(a)  Q(c)
Q(c)
P(a)
Prueba de validez lógica por tablas de verdad. PREMISAS CONCLUSION
P(a)
P1 P2 C
x [ B(x) y [ R(x,y) R(y,y) ]]
 x B(x)
Prueba de validez lógica de razonamientos en lenguaje coloquial:
Traducir del lenguaje coloquial a LP
Determinar la validez proposicional de la traducción por tablas de verdad
Si es valido proposicionalmente, entonces es valido en LP
Si no, entonces aplicar criterios de verdad de igualdad y cuantificadores (no hay algoritmo)
Diferencias entre lógica proposicional y lógica cuantificacional
¿No importa qué son A, B, C realmente? ¡En primer orden si importa!
A x P(x)B  C P(a)  Q(a)
________________________________ _____________________________________________C Q(a)
NO ES INF. CORRECTASI ES INF. CORRECTA
PROPOSICIONAL EN PRIMER ORDEN
A P(c)
B c = b
C P(b)
NO ES INF. CORRECTA SÍES INF CORRECTA!
Un razonamiento en lenguaje coloquial
Todos los borogroves son kismis,
si alguien tirila.
Nito tirila y Pac es un borogrove.
Por lo tanto, Pac es un kismi.
Traducción del Razonamiento
B: predicado ser borogrobe
K: predicado ser kismi
T: predicado tirila (del verbo “tirilar”)
n: constante para el individuo Nito
p: constante para el individuo Pac
(xT(x)) x[B(x) K(x)]
T(n)  B(p)
 K(p)
Unrazonamientoen lenguaje coloquial
si alguien tirila
xT(x) x[B(x) K(x)]
Nito tirila y Pac es un borogrove
T(n)  B(p).
 B(p).
 T(n)  xT(x)  x[B(x) K(x)]
[B(p) K(p)]  K(p).
Un argumento es un conjunto finito ordenado de afirmaciones de las cuales se dice que la última (conclusión), se sigue de las anteriores (premisas).
Un argumento es: lógicamente correcto o lógicamente incorrecto
¿QUÉ ES UN ARGUMENTO CORRECTO?
Un argumento es lógicamente correcto
si y sólo si sucede que:
sin importar la interpretación,
Si todas las premisas son verdaderas, la conclusión debe ser necesariamente verdadera.
Dicho de otra manera, es lógicamente correcto, si no hay interpretación alguna para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa.
Hay ejemplos de los cuatro tipos de argumentos:
Correcto con conclusión verdadera
Correcto con conclusión falsa
Incorrecto con conclusión verdadera
Incorrecto con conclusión falsa
(Aquí verdadera o falsa es respecto a la interpretación natural)
Esto es correcto con conclusión falsa? O incorrecto con conclusión verdadera?
Obsérvese que en un argumento correcto, si las premisas son todas verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera.
Por lo tanto, en un argumento correcto, si la conclusión es falsa, entonces al menos una de las premisas debe ser falsa.
¡No importa lainterpretación!
Si un argumento es incorrecto, lo único que podemos decir es que hay una interpretación para la cual las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa.
Pero con otras interpretaciones puede suceder cualquiera otra cosa.
Juan vendrá, si hay buen día.
No hay buen día.
 Juan no vendrá
a) El argumento es lógicamente correcto?
b) El argumento es lógicamente incorrecto?
El argumento es lógicamente incorrecto:
la conclusión no se sigue de las premisas.
Es posible una interpretación donde las
premisas sean verdaderas y la conclusión
Si en un argumento, la conclusión es falsa con alguna interpretación, sólo podemos concluir que:
o bien el argumento es incorrecto,o bien alguna de las premisas es falsa.
¿Cómo podemos demostrar que un argumento incorrecto es efectivamente incorrecto?
La manera de hacerlo es dando una interpretación conveniente al lenguaje involucrado, de modo que resulte que las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa.
Ejemplos con interpretación natural:
A)ARGUMENTOCORRECTOC)ARGUMENTOINCORRECTOCON CONCLUSIÓN VERD.	CON CONCLUSIÓN VERD.
Todo hombre es mortal. Todo pingüino es ave.
Sócrates es hombre. Mi perro no es pingüino.
Sócrates es mortal Mi perro no es ave.
B)ARGUMENTOCORRECTOD) ARGUMETO INCORRECTO
CON CONCLUSIÓN FALSA	CON CONCLUSIÓN FALSA
Toda ave es voladora.	Todo pez es nadador.
El avestruz es ave. El delfín no es pez(mamíf)
El avestruz es volador El delfín noes nadador
Los dos ejemplos de argumentos incorrectos C) y D) tienen
lamisma forma
El hecho de que la conclusión pueda ser verdadera (con la interpretación usual) es una contingencia.
Es decir, se debe a la casualidad, si únicamente consideramos las premisas dadas.
Para demostrar que el argumento C) es incorrecto, la interpretación natural no sirve. Pero basta con cambiar “ave” por “animal”
Otra interpretación con igual formalógica respecto a la cual las premisas son verdaderas y la conclusión falsa:
Todo pingüino es animal.
Mi perro no es animal.
Ejemplos de argumentos, con la interpretación natural de la aritmética, son los siguientes:
A)ARGUMENTO CORRECTO C)ARGUMENTO INCORRECTO CON CONCLUSIÓN VERD CON CONCLUSIÓN VERD
Todo múltiplo de 6 Todo número con exactamente
es múltiplo de 3. dos divisores es primo.
12 es múltiplo de 6. 4 no tiene exactamente n dos divisores(Tiene tres:1,2,4)
12 es múltiplo de 3.  4 no es primo.
B)ARGUMENTO CORRECTO D)ARGUMETO INCORRECTO CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN FALSA
Todo múltiplo de 4 es par. Todo múltiplo de 6 es par.
5 es múltiplo de 4.	8 no es múltiplo de 6.
 5 es par.	8 no es par.
Para demostrar que el argumento C) es incorrecto, la interpretación natural no sirve, pues tanto las premisas como la conclusión son verdaderas.
Damos otra interpretación con igual formalógica respecto a la cual las premisas son verdaderas y la conclusión falsa:
Todo polinomio conexactamente dos raíces es cuadrático.
X2-4x+4 no tiene exactamente dos raíces. (Su única raíz (doble) es 2)
 X2 - 4x + 4 no es cuadrático.
¿Y cómo demostramos la correctud de un argumento?
La manera directa de demostrar que un argumento es correcto, consiste en suponer verdaderas todas las premisas pero sin tomar en cuenta ninguna interpretación particular. A partir de eso, usando únicamente los criterios de verdad, hacer ver que la conclusión es necesariamente verdadera.
La manera indirecta
En algunos casos la manera directa no es posible, por lo que hay que hacerlo de modo indirecto: por reducción al absurdo, es decir suponiendo que hubiera una interpretación respecto a la cual todas las premisas fueran verdaderas y la conclusión fuera falsa. A partir de ahí, llegar a una contradicción.
Escribir el número y su respuesta
1. Considere el siguiente argumento:
Todos los borogroves son kismis, si alguien tirila.
 Pac es un kismi.
a) El argumento es lógicamente correcto
b) El argumento es lógicamente incorrecto
2. Considere el siguiente argumento:
Todos le tienen miedo a Drácula.
Drácula sólo le tiene miedo a William.
 William es Drácula.
3. Considere el siguiente argumento:
Si hoy es jueves entonces mañana será viernes.
 hoy es jueves.
b)El argumento es lógicamente incorrecto
4. Considere el siguiente argumento:
Juan es hermano de todos los hermanos de Roberto.
Juan no es hermano de sí mismo
Juan no es hermano de Roberto
5.Considere el siguiente argumento:
X es un número menor que todos los números menores que Y.
X no es menor que X.
 X no es menor que Y.
6. Considere el siguiente argumento:
Algunos humanos son mexicanos.
Algunos mexicanos fuman.
 Algunos humanos fuman.
7. Considere el siguiente argumento:
Hay una lanza que perfora a todos los escudos.
Hay un escudo al que no lo perfora ninguna lanza.
 Hay una lanza que perfora y no perfora a un escudo.
8. Considere el siguiente argumento:
2 divide al numerador de 6/8.
6/8 = 3/4.
 2 divide al numerador de 3/4
9.Considere el siguiente argumento:
Romeo ama a Julieta.
 Romeo ama a una palabra de siete letras.
10.Considere el siguiente argumento:
Cualquier barbero de Ensenada, rasura a todos los hombres de Ensenada que no se rasuran a sí mismos y sólo a esos.
 No hay barberos en Ensenada.
ENFOQUE AXIOMÁTICO
Sistematización de razonamientos válidos y fórmulas lógicamente válidas de LP
Mediante un sistema formal axiomático: axiomas y reglas de inferencia
Mediante un sistema formal de deducción natural: sólo reglas
En el caso de LP, se han construido sistemas formales completos:
Permiten derivar todas las fórmulas universalmente válidas
Permiten derivar todos los razonamientos válidos en LP
Y por otro lado, son correctos
Toda fórmula derivable en tales sistemas formales es una verdad lógica
Todo razonamiento derivable de tales sistemas es válido
REGLAS DE INFERENCIA CUANTIFICACIONALES
La letra φ denota fórmulas, las letras x, y, z denotan variables.
La letra t denota términos: variables, constantes o funciones aplicadas a términos.
Es muy importante precisar con rigor las restricciones. Es común cometer errores o entender mal estas reglas.
1. IUINSTANCIACIÓN UNIVERSAL
xφ(x)
φ(t) resulta de sustituir t en los lugares
de las presencias libres de x en φ(x)
Ejemplos:x P(x)
xR(a, x) xyR(x, y) xyR(x, y)
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________
R(a, b) yR(c, y) yR(z, y)
Restricción: Si t es una variable y, o bien y aparece en t, entonces ningunapresencia de x en φ(x) debe estar afectada por un cuantificador con esa variable y.
xyR(x, y) xy [P(x)  P(y)]
_________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________
yR(y, y) y [P(y)  P(y)]
2.GE GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL
xφ(x)
Ejemplos: P(c)
xP(x)
R(a, b) R(a, b)  P(a)
_________________________________ _______________________________________________________________
x R(x, b) x [R(x, b) P(x)]
2. GE GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL
Misma restricción de IU: Si t es y, o bien y aparece en t, entonces ninguna presencia de x en φ(x) debe estar afectada por un cuantificador con esa variable y.
y R(y,y) y [P(y) Q(y)]
_________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________
x y R(x, y) xy [P(y) Q(x)]
3.GUGENERALIZACIÓN UNIVERSAL
Si x es variable que noaparecelibre en fórmulas de Γ y además Γ├ φ(x), entonces Γ├ xφ(x)
Intuición: Si podemos probar φ(x) sinninguna suposición sobre x, podemos por ser arbitrario, afirmar que x φ(x)
Obs: P(x)├ P(x), pero P(x) ⊬x P(x)
Ejemplo: xy φ(x, y)├ yx φ(x, y)
3. GUGENERALIZACIÓN UNIVERSAL
xy φ(x, y)├ y φ(x, y) IU(t=x)
y φ(x, y)├ φ(x, y) IU(t=y)
3. xy φ(x, y)├ φ(x, y) Trans1,2
4. xy φ(x, y)├ x φ(x, y) GU,3
5. xy φ(x, y)├ yx φ(x, y) GU,4
4.IEINSTANCIACIÓN EXISTENCIAL
Si c es una constante nueva que no aparece en φ(x), ni en ψ, ni en Γ, y además Γ,φ(c)├ψ
entonces Γ,xφ(x) ├ψ
IEno afirma que xφ(x)├φ(c) Esto es falso, por ejemplo:
x Vuela (x) ⊬Vuela (juan)
Si c es una constante que no aparece en φ(x), ni en ψ, ni en Γ, y además Γ,φ(c)├ψentonces Γ,xφ(x) ├ψ
Intuición: Supongamos que sabemos que hay x tal que cumple φ. Es decir sabemos que xφ(x). Llamemos “c” a tal individuo. Ahora, si a partir de φ(c) probamos ψ, entonces podemos probar ψ
4. IEINSTANCIACIÓN EXISTENCIAL
x y P(x, y) ├ y x P(x, y)
Por la regla IE, es suficiente probar:
y P(c, y) ├ y x P(x, y).
Donde c es una constante nueva que no aparece en φ(x) = y P(x, y) ni en ψ = y x P(x, y), ni en Γ = ø
Prueba de: y P(c, y)├ yx P(x, y)
y P(c, y)├ P(c, y) IU(t=y)
P(c, y)├ x P(x, y) GE(t=c)
3. y P(c, y)├ xP(x, y) Trans1,2
4. y P(c, y)├ yxP(x, y) GU,3
(y NO LIBRE EN HIPOTESIS)
xyP(x, y)├ yxP(x, y) IE,4
Procedimientos de prueba automática de teoremas en cualquier teoría finitamente axiomatizable en un lenguaje de primer orden con igualdad.
Para cualquier conjunto finito de enunciados A1, . . . ,An y cualquier enunciado B en un lenguaje de primer orden con igualdad.
¿ A1, . . . ,An B ?
Para cualquier conjunto finito de enunciados A1, . . . ,An y cualquier enunciado B en un lenguaje de primer orden con igualdad:
Bes teorema a partir de
A1, . . . , Ansí y sólo sí el procedimiento así lo indica
1. Prueba de la cancelación para la multiplicación a partir de los axiomas de grupo.
2. Prueba de que una relación R es reflexiva, suponiendo que R sea simétrica, transitiva y “sin puntos aislados” (para todo x hay un z tal que x está R-relacionado con z o z está R-relacionado con x)
Dos ejemplos sencillos (argumentos)
La conclusión del argumento es un “teorema” a partir de las premisas, que serán las hipótesis.
Juan no es hermano de sí mismo.
Juan no es hermano de Roberto.
Drácula sólo le tiene miedo a Pedro.
 Pedro es Drácula.
1. HACEMOS LA TRADUCCIÓN Y LO VEMOS COMO CONSECUENCIA LÓGICA
A1, . . . ,An B
2. TEOREMA BÁSICO PARA PRUEBAS POR REFUTACIÓN:
A1, . . . , An B si y sólo si
(A1 . . . AnB) no es satisfacible
3. TRANSFORMACIÓN A FORMA CLAUSULAR (CONJUNCIÓN DE CLÁUSULAS)
Las cláusulas son disyunciones de atómicas o atómicas negadas.
Toda fórmula A puede transformarse a una conjunción de
cláusulas, llamada forma clausular denotada CL (A).
(A1 . . . AnB) ~ ~ ~> CL(A1 . . . AnB)
Teorema de Skolem:
A es insatisfacible si y sólo si CL(A) es insatisfacible
Un conjunto de enunciados es insatisfacible si y sólo si el conjunto de formas clausulares de ellos es insatisfacible.
REGLA DE RESOLUCIÓN (Robinson 1965)
La regla RESOLUCIÓN generaliza al silogismo disyuntivo:
A CASOS COMO:
A  B  ¬D
¬A  C  ¬E
B  C  ¬D  ¬E
La regla Resolución nos permite hacer todas las inferencias de tipo:
L  Q1  ...  Qm Cláusulas
¬L  R1  ...  Rn Padres
Q1  ...  Qm  R1  ...  Rn Resolvente
¿Y en el caso especial de tener como cláusulas padres a L y ¬L? El resolvente es nada y lo llamamos cláusula vacía denotado ڤ y significa que hubo una contradicción o es insatisfacible
RESOLUCIÓN CON UNIFICACIÓN
Q(x,b)  P(x,a)
¬ Q(a,w)  R(w,b)
P(a,a)  R(b,b){x/a, w/b} es el u unificador
Obsérvese que al hacer la sustitución del unificador Q(x,b) y ¬Q(a,w) quedan como: Q(a,b) y ¬Q(a,b) por lo que se eliminan.Desde luego el resolvente queda afectado por la sustitución.
Teorema de Loveland
Si K es un conjunto de cláusulas de un lenguaje de primer orden con igualdad, entonces: K es insatisfacible si y sólo si hay una deducción de la cláusula vacía ڤ a partir de K, usando únicamente resolución.
COROLARIO: D. A. T.
Si B es teorema a partir de A1, ..., An:
1. Negar B (B)
2. Formar el conjunto K = {¬B, A1, ..., An} en forma clausular.
3. Aplicar pasos de resolución a K hasta
obtener la cláusula vacía ڤ.
B es teorema a partir de A1, ...,Ansi y sólo si se obtiene la cláusula vacía ڤ, a partir de K.
 Juan no es hermano de Roberto
SIMBOLIZACIÓN DE CONSECUENCIA LÓGICA:
x [H(x,r) H(j,x)], H(j,j) H(j,r)
Por Teo. Básico, No Satisfacible:
x[H(x,r) H(j,x)],H(j,j),H(j,r)
Por Teo Skolem, No Satisfacible:
K= { [H(x,r)  H(j,x)], H(j,j), H(j,r) }
X/j RESOLUCIÓN
ڤTEO. LOVELAND
Drácula sólo le tiene miedo a Pedro
x[M(x,d)], x[M(d,x) (x=p)]  (p=d)
x[M(x,d)] ,x[M(d,x) (x=p)] ,(pd)
Por Teo. Skolem, No Satisfacible:
K = { M(x,d), [M(d,x)(x = p)],(p  d) }
X/d Resolución y Paramodulación
PROGRAMA LÓGICO P
padre(x, y)  padre(y, z) abuelo(x, z)
hijo(x, y)  padre(y, x)
padre(juan, raul).
hijo(juan, roberto).
?abuelo(roberto, w)
w = raul
Significado: Pabuelo(roberto, raul)
La enseñanza del análisis lógico, J.A. Amor, en La Razón Comunicada II, TDL, 2003.
Introducción a la lógica, LTF Gamut, Editorial Eudeba, Argentina, 2002.
Lógica clásica de primer orden con igualdad, J.A. Amor, notas de clase.
BIBLIOGRAFÍACOMPLEMENTARIA
Amor J. A., Paradojas, intuición y lógica, revista Ciencias no.29, Facultad de Ciencias, UNAM, 1993.
Easley, J. A. Lógica y heurística en la reforma curricular de las matemáticas, Matemáticas y Enseñanza, Nos. 7 y 8, SMM, 1976.
Solow, D. Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas, Limusa, 1987.
Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas, Editorial Trillas, 1965.
Smullyan Raymond, ¿Cómo se llama este libro?, Editorial Cátedra colec. Teorema, 1978.
Tarski Alfred, Truth and proof, Scientific American, junio 1969.
Torres Torija, Planteo y resolución de problemas, Editorial Trillas, 1976.
MÁS BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
Barwise, Jon et. al.Handbook of mathematical logic Amsterdam: North-Holland, 1977.
Una introducción Matemática a la lógica, 2a.Edicion, E. Enderton, traducción de J.A. Amor, IIF-UNAM, 2004. Version original: A mathematical introduction to logic, 2nd. edition, E. Enderton, Academic Press, 2001.
Mendelson, Elliot. Introduction to mathematical logic. Pacific Grove, California: Wads­worth, 1987.
Suppes, Patrick Colonel. Introducción a la lógica simbólica. Tr. por Gabriel Aguirre Carrasco. México: Continental,1956
SP Security Primer 101 -. peers working together to battle attacks to the net version 2.1. free use. this slide deck can be used by any operator to help empower their teams, teach their staff, or work with their
-Universidad de salamanca. pago electrónico y dinero digital. veracruz, 24-28 marzo 2007. alfredo batuecas caletrío Área de derecho
GENETICA DE POBLACIONES agosto 2013 Luis E. Eguiarte ( luis.eguiarte@gmail ,) -Genetica de poblaciones agosto 2013 luis e. eguiarte ( luis.eguiarte@gmail.com ,) jaime gasca ( jaimegasca@yahoo.com ) erika aguirre ( eaplanter@ gmail.com
COMPLICACIONES DEL EMBARAZO EN EL PRIMER TRIMESTRE -. also dra. elly guerrero r2go. parámetros de laboratorio del embarazo normal en primer trimestre. hgc β deben duplicarse cada 48 a 72 hr durante la 4ª - 8ª sem progesterona
Minhas poesias -. meus passos a caminho da felicidade se você estiver presente se você estiver comigo lolita xerez 2007. passos para a felicidade. um amor. o amor mexeu muito comigo e todos os dias pergunto a deus o que posso fazer para
Oligo 7 Primer Analysis Software -. rules for pcr primer selection and presentation of the software. Ⓒ 2010 molecular biology insights, inc.
-“has dejado tu primer amor” apoc. 2:4 “you have left your first love” rev. 2:4. “ has dejado tu primer amor” “you have left your first
SB 346 Primer -. sb346 primer contents. ocga 48-5-2: definitions of fmv ocga 48-5-18: return of property ocga 48-5-306: annual notice of assessment ocga 48-5-311: appeals procedures ocga 48-5-380: refunds ocga 48-5-303: corrections to

References: RESOLUCIÓN 
 RESOLUCIÓN 
 Resolución 

RESOLUCIÓN 
 resolución 
 RESOLUCIÓN

 Resolución 
 resolución