Source: https://www.scribd.com/doc/57271302/21/Ingenieria-Didactica-en-Fisica-Matematica
Timestamp: 2016-02-11 17:14:03+00:00

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Ingeniería Didáctica en Física-Matemática for Acta latinoamericana de matemática educativa Vol 18
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Marta J. Marcolini
Universidad de Jaén, Departamento de Matemáticas
mmarcoli@ujaen.es
Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales – Superior
El objetivo de esta investigación ha sido estudiar, utilizando la metodología de la ingeniería didáctica,
las causas de las dificultades que se presentan en los procesos de enseñanza-aprendizaje del Cálculo
Diferencial. Para ello hemos usado como soporte las Ciencias Experimentales. Buscamos dichas
causas no sólo en las formas en que trasmitimos el conocimiento sino fundamentalmente en la
manera en que se articula el contenido que se enseña. Para ello hemos tratado de desarrollar en el
alumno la idea de variación, que nos posibilite abordar con éxito la noción de predicción, noción ésta
propia de las Ciencias Experimentales. La idea de variación, en el contexto de la Cinemática, se
presenta a través de las derivadas sucesivas, considerándolas como una sucesión de derivadas. En el
caso de la noción de predicción nuestra herramienta ha sido la serie de Taylor, siempre en el contexto
La noción de derivada no se constituye en objeto estable del saber en un primer curso de
Cálculo. Nosotros hemos observado que los alumnos asimilan la técnica pero no reconocen,
por ejemplo, las derivadas sucesivas como nuevas funciones. Esto ocurre por diversas causas
-La falta de estudio y de análisis de la variabilidad de fenómenos sujetos al cambio.
-El no haber logrado articular la noción de derivada con la noción de derivadas sucesivas.
Estas razones nos llevan a sostener que la derivada no se debe entender sólo como la primera
derivada, sino que es algo que permite organizar las derivadas sucesivas, porque las nociones
matemáticas no pueden reducirse a su definición. Esto es, debería entenderse a las derivadas
no como un algoritmo ni una simple iteración, como suele ser considerada en la mayoría de los
textos de Cálculo, sino como una “sucesión” de funciones donde cada una provee de
información muy rica en significaciones, especialmente en el contexto de las Ciencias
Experimentales. De esta manera, conjeturamos que sólo entonces adquieren significación
propia los términos de la serie de Taylor. Así surge el concepto de función analítica, asociado
con la noción de predicción, para predecir el estado ulterior de un sistema físico donde se
conoce su estado inicial, que es la idea germinal (Cantoral, 2000).
Con esta idea proponemos discutir con cuidado el proceso de reconocimiento de la
Matemática en los fenómenos físicos y no sólo aplicar la Matemática en la Física.
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18
El objetivo general de este trabajo ha sido diseñar una ingeniería didáctica que permita estudiar
las causas de las dificultades que se presentan en los procesos de enseñanza-aprendizaje del
Cálculo Diferencial cuando se enseña a estudiantes universitarios de Ciencias e Ingeniería,
buscando dichas causas no sólo en las formas en que se trasmite el conocimiento sino
fundamentalmente en la manera en que se articula el contenido matemático que se enseña.
a) Favorecer en el alumno el pensamiento y el lenguaje variacional que le posibilite abordar con
éxito los problemas propios de las Ciencias Experimentales.
b) Desarrollar en los estudiantes los mecanismos que permitan transitar desde la predicción,
noción propia de las Ciencias Experimentales, a lo analítico, noción propia de las Matemáticas,
utilizando para ello estrategias del pensamiento y del lenguaje variacional.
Para lograr estos objetivos se parte de los siguientes supuestos:
1.- Para que las derivadas sucesivas tengan entidad propia se les debería dar significado a cada
una y a su conjunto, mostrándolas como una “sucesión” o una “n-upla” de derivadas, es decir
(f,f’,f’’,f’’’, ... , fP
2.- Para abordar, a través de funciones analíticas, los problemas que requieren de la noción de
predicción es más propicia la concepción sobre derivadas sucesivas antes indicada.
Nuestra investigación sigue las pautas de la metodología de la “Ingeniería Didáctica”,
fundamentándose en las teorías de Situaciones Didácticas y de Transposición Didáctica, para la
cual se diseñó e implementó una particular situación didáctica dirigida a los alumnos de primer
curso de universidad. Una de las finalidades de este diseño fue la de resignificarPF
FP el concepto
de derivada de una función a través de las derivadas sucesivas situándonos en el marco gráfico.
A partir de aquí, se considera la derivada, en un sentido genérico, como la organización de las
derivadas sucesivas en relación con la Serie de Taylor, para tratar con problemas planteados
desde el contexto de las Ciencias Experimentales. Situándonos de este modo en el paradigma
pre-cauchiano para el Cálculo, donde la serie de Taylor es la herramienta para predecir los
fenómenos de flujo continuo en la naturaleza.
Como la metodología de investigación utilizada es la relativa a la ingeniería didáctica, se
tuvieron en cuenta sus distintas fases.
Para ello se hizo una revisión de programas y de manuales escolares de Matemáticas y Física y
se implementaron dos experiencias piloto con alumnos de Ingeniería Técnica Industrial y de la
Licenciatura en Química. En el diseño de las situaciones-problemasTPF
FPT intervienen las nociones
de variación y predicción a través de las derivadas sucesivas y de la serie de Taylor,
respectivamente, en el contexto de las Ciencias Experimentales.
Con el término resignificar queremos destacar que el concepto de derivada adquiere significaciones que
evolucionan con el progreso del alumno en su estudio. Así, al principio, puede reducirse a la aplicación de una
regla, después puede entenderse como razón de cambio y, más tarde, como un factor en la serie de Taylor.
También, en otras ocasiones, habrá que entenderlo conjuntamente con sus derivadas sucesivas.
El concepto de situación es tomado en el sentido de Vergnaud (1990); es decir, los procesos cognitivos y las
respuestas del sujeto son función de las situaciones a las que se enfrenta.
Ingeniería Didáctica en Física-Matemática
Presentamos dos situaciones-problemas representativas de las que conforman las situaciones
didácticas utilizadas en la parte experimental.
Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo no uniforme. En la siguiente tabla se muestran las posiciones
(en metros, desde el origen de coordenadas) en ciertos instantes.
a)A partir de estos datos, determina (razonando tu respuesta) para cuántos valores de t, como mínimo, el móvil
tiene velocidad instantánea cero.
b)¿Para cuántos valores de t, como mínimo, la aceleración es cero?¿Por qué?
c)¿Se puede asegurar que la variación instantánea de la aceleración s’’’(t), conocida como tirón, toma el valor
cero en algún instante dentro del intervalo considerado?Explica con detalle los motivos y razones de tu
Desde la terraza de un edificio de altura sB
0B se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial vB
0B. Esta
situación viene descrita por la siguiente ecuación diferencial:
s’’ = -g, donde g es la aceleración de la gravedad.
Predecir la posición de la pelota para cualquier instante t, es decir, hallar la expresión de s(t). Utilizar como
herramienta de predicción la serie de Taylor.
Estas situaciones problemas son analizadas individualmente atendiendo a lo siguiente:
a)Las razones de su elección
b)Importancia de la situación problema para los alumnos
c)Los comportamientos que se quieren provocar
d)Medios de que disponen los alumnos
e)Los marcos utilizados
f)Variables del problema y elecciones didácticas
Las mismas son validadas por un grupo de expertos. En base a este material se realiza el
análisis a priori.
En la parte experimental implementamos dos experiencias con alumnos de primer curso de la
En ellas, las etapas de aprendizaje seguidas han sido: acción, formulación y validación e
En la etapa de acción los alumnos trabajan en forma individual cada uno de los problemas que
conforman la situación didáctica. En las etapas de formulación y validación los alumnos
trabajan por equipos realizando un aprendizaje colaborativo. Sus producciones son recogidas
en cinta de audio.
La etapa de institucionalización se trabaja en forma grupal con activa participación del docente
investigador en la primera experiencia, y a través de entrevistas personales en la segunda.
Se fundamenta el análisis a posteriori en el conjunto de datos recogidos en estas etapas, como
las observaciones realizadas de las secuencias de aprendizaje y de las producciones de los
Si bien la metodología de la ingeniería didáctica es cualitativa, se han obtenidos algunos
resultados cuantitativos. Para ello, en la etapa de acción, agrupamos las producciones de los
estudiantes en distintas categorías atendiendo a argumentaciones similares. Para obtener una
valoración de estas producciones las catalogamos y le asignamos el siguiente puntaje
(Cajaraville, 1996):
CATALOGACIÓN DE LA RESPUESTA
En blanco o totalmente errónea.
Uso de conceptos o procedimientos próximos sin éxito.
Uso de conceptos y procedimientos próximos y/o adecuados,
con éxito limitado o con lagunas en la argumentación.
Tabla 1: Formas de catalogar las respuestas.
Para el análisis de las verbalizaciones que se producen en el aprendizaje colaborativo de las
etapas de formulación y validación, nos hemos basado en la existencia de una correlación
positiva y significativa entre algunas de las interacciones y el aprendizaje (Rodríguez y
Escudero, 2000). Esto se esquematiza en la tabla 2.
Como resumen de algunas conclusiones se destacan:
1) Los estudiantes tienden a abordar los problemas a partir del contexto que se les plantea sin
explorar en otros contextos y marcos.
2) Si bien el marco gráfico por sí sólo es insatisfactorio, provee de una intuición global
cualitativa que es fundamental para lograr un movimiento versátil entre distintos marcos y
3) Es interesante comentar que la fórmula: “la velocidad es igual al espacio dividido por el
tiempo”, que caracteriza el esquema conceptual de la mayoría de los alumnos, resulta ser tan
estable que dificulta e incluso impide la construcción del esquema conceptual de la noción de
velocidad instantánea, actuando como un obstáculo.
4) El presentar los conceptos involucrados en la Cinemática, para el caso del movimiento
rectilíneo con aceleración variable, desde diferentes marcos, ha favorecido en el alumno un
desarrollo más amplio de la noción de velocidad, aceleración y “tirón”. Esto, a la luz de los
resultados que hemos mostrado, clarifica los conceptos de la Cinemática, pero además amplía
la noción de función derivada, al darle significación a cada una de las derivadas sucesivas, que
en la mayoría de los casos se restringe a un mero algoritmo.
5) El uso de la ingeniería didáctica en un contexto interdisciplinario logra extender su margen
6) La metodología empleada permitió analizar informaciones cualitativas características al
estudiar un número reducido de casos, sin abandonar el ámbito académico, para interpretar y
comprender ciertos aspectos de la forma de razonar de los alumnos ante tareas específicas.
DE CARÁCTER COGNITIVO
Prácticaposterior
Dar ayuda (DA), (1)
Pedir ayuda (PA), (0)
Cometer errores (E), (0)
Recibir ayuda con
petición (RA), (1)
Contestarse a sí
mismo (AR), (0)
(UAR), (1)
aprobación (EA),
Integradoras (I)(0)
Directivas (D)(0)
Tabla 2: Sistema de categorías y puntaje para el análisis del habla.
Artigue, M. (1995). Ingeniería Didáctica en Educación Matemática: un esquema para la investigación y la
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Perspectivas Curriculares y Uso Didáctico de la Modelación en Educación
Víctor Martínez y José Ortiz
Universidad de la Repúblican de Uruguay, Universidad de Carabobo
victorml@fing.edu.uy, ortizjo@cantv.net
Pensamiento Matemático Avanzado – Nivel Superior
En Relme 15, comieza a gestarse la realización de actividades de modelación lo cual se
evidencia en hechos como el curso breve denominado “Ecuaciones Diferenciales con
Aplicaciones” (Martínez Luaces, 2002). Algunos de los problemas considerados en dicho curso
fueron: a) Cinética: Adsorción de COB
2B sobre superficie facetada de platino, b) Mezclas y
tanques: Sistema con tres tanques interconectados, c) Transferencia de masa: Difusión de
glucosa en una cereza y d) Transferencia de masa: Secado de un vegetal por las caras. Con el
abordaje de cada situación se logró acercar a los docentes a los problemas de modelado
vinculados a otras asignaturas o situaciones del mundo real. Aunque esto por si solo no
garantiza cambios sustantivos en la práctica docente, ya que “modelar es un modo de vivir”
Houston (2001). Esto significa que se requiere generar las condiciones para que el cambio sea
posible. Y este grupo de trabajo pretende coadyuvar en tan impostergable tarea.
En la primera edición de este Grupo de Trabajo, en RELME 17, se trató la pertinencia de las
actividades de modelado matemático en los diversos niveles educativos y la relación existente
entre dichas actividades y la resolución de problemas o la Matemática en el contexto de las
Ciencias (Martínez Luaces, Camarena y Sallet, 2003). Además, se consideraron cuestiones
vinculadas a la Enseñanza de la Matemática como asignatura de servicio (Martínez Luaces,
2002) y se presentaron ejemplos concretos de actividades de modelado (Martínez Luaces,
2003).En esta oportunidad, es decir RELME 18, se partió de una presentación a manera
introductoria seguida de unas preguntas que orientaron la discusión. Luego se hizo una
presentación-discusión teórica relacionada con modelación y su uso en la enseñanza y
posteriormente los participantes presentaron las respectivas respuestas a efectos de
confrontarlas en el grupo. En total hubo doce participantes, todos mexicanos, principalmente
profesores de matemáticas en secundaria y universidad, quienes manifestaron inquietud por
actividades concretas de modelación para el trabajo práctico en el aula. En lo que sigue se
presentarán los temas considerados en el grupo de trabajo.
Para orientar la discusión en las sesiones se consideraron las interrogantes siguientes: T1. ¿Por
qué incluir la modelación en lasT
Tactividades didácticas a desarrollar en el aula? 2. ¿Qué
competencias debe tener un profesor paraT
Tincorporar la modelación en sus propuestas
didácticas?, 3. ¿Es suficiente laT
Tformación inicial de los profesores de matemáticas para abordar
Tutilización de la modelación en su futuro trabajo docente? 4. Si el profesorT
incorpora la modelación en su futuro trabajo profesional, ¿podría apoyarse en las nuevas
tecnologías? 5. ¿Se realizan actividades de modelado por igual en las distintas áreas de la
Matemática? Por ejemplo: ¿es la misma situación en los cursos de Álgebra que en los de
Ecuaciones Diferenciales?, 6. ¿Cuál es la situación del Modelado Matemático en las distintas
carreras?. Para contextualizar y contribuir a unificar criterios se hicieron presentaciones teóricas
relacionadas con un análisis conceptual de modelo y delT
Tproceso de modelación (Niss, Blum &
Huntley, 1991; Ortiz, 2000), el usoT
Tdel modelado como un organizador del currículo para
diseñar actividadesT
Tdidácticas (Ortiz, 2000, 2002) y los modelos matemáticos en los cursos de
perfeccionamiento para profesores T(Martínez Luaces, 2004).
Existen referentes teóricos y conceptuales de interés para el abordaje de la modelación en
educación matemática. La noción de modelo matemático se entiende como un constructo de
carácter dinámico que resulta de la matematización de la realidad y que contribuye a la
descripción, explicación y predicción de fenómenos o hechos del mundo real (Ortiz, 2000). El
proceso de modelación matemática, se soporta en las propuestas de Blum (1991), Stewart y
Pountney (1995), Ríos (1995), Ortiz (2000, 2002) y Martínez Luaces, Camarena & Salett (2004).
En este sentido, se considera que la modelación matemática empieza con un problema del
mundo real, el cual es objeto de simplificación hasta la elaboración de un modelo real. Luego,
por medio de la abstracción, se propone un modelo matemático que permite plantear
interrogantes, a las cuales se intenta dar respuesta con el uso de técnicas de cálculo propias del
modelo; para posteriormente pasar al análisis de los resultados y su contrastación con el
problema propuesto inicialmente en el mundo real. En el paso del modelo matemático al
análisis y constrastación de los resultados, también es posible construir un modelo recurriendo
a las nuevas tecnologías (computadoras o calculadoras gráficas), las cuales permiten la
simulación que ayudará a enriquecer y visualizar los resultados del problema original. El
proceso de modelación tiene un carácter cíclico, lo cual le confiere una estructura dinámica y
flexible que permite su permanente enriquecimiento e incorporación de nuevas interrogantes
cada vez que se desea modelar una situación dada. De ahí se enfatiza que, en el contexto de la
modelación, un modelo matemático es casi siempre un sistema de ecuaciones o inecuaciones
algebraicas, diferenciales, integrales, entre otras; obtenidas a través del establecimiento de
relaciones entre variables consideradas esenciales al fenómeno bajo análisis (Bassanezi, 1994).
La modelación en el currículo de matemáticas
Diferentes trabajos de investigación en educación matemática, tales como los presentados por
Blum (1991), Bassanezi (1994) y Bair y Haesbroeck (1998) entre otros, centran su atención en
la modelación como una estrategia de enseñanza y aprendizaje.
En términos de enseñanza, el uso de la modelación permite el aprendizaje de contenidos
matemáticos conectados a otras formas de conocimientos. Su aplicación como una estrategia
de enseñanza y aprendizaje es cada día más utilizada por los educadores matemáticos. Blum
(1991) sostiene que hay consenso para que la modelación matemática sea incorporada en los
currículos de todos los niveles escolares. Además, este autor plantea que con la modelación se
logra comprender mejor el mundo a nuestro alrededor, a comprender con más profundidad los
Perspectivas Curriculares y Uso Didáctico de la Modelación en Educación Matemática
conceptos matemáticos y a mejorar las actitudes hacia las matemáticas. Pero al respecto, el
mismo autor sentencia que "...el factor más importante para el logro de los efectos citados es el
profesor de matemáticas..." (p.27).
Stewart & Pountney (1995) sostienen que la modelación matemática podría ser un componente
importante de varias carreras, como consecuencia de las deficiencias en resolución de
problemas del mundo real, encontradas en los egresados; mientras que los mismos muestran
alto grado de suficiencia en la resolución de problemas matemáticos sofisticados. En tal
sentido, plantean estos autores, los politécnicos y universidades vincularían la modelación
matemática con la resolución de problemas.
En educación matemática, cada día se incrementa la importancia de la modelación tanto en la
docencia como en la investigación. En cuanto a la docencia se está llegando a considerar que la
enseñanza debe hacerse tratando que los alumnos se esfuercen en la modelación matemática,
como un poderoso instrumento de aprendizaje significativo (Castro y Castro, 1997).
Lo antes señalado pone en evidencia la importancia que ha cobrado en los últimos años la
incorporación de la modelación en la enseñanza de las matemáticas, entendido esto como un
proceso clave en la mejora de la apreciación y comprensión vinculada al entorno social, de una
manera asequible al conocimiento que posee el estudiante.
La modelación en la formación del profesorado
La incorporación de la modelación en la enseñanza significa la adquisición de nuevas
competencias didácticas por parte de los profesores.
En torno a la modelación, Ríos (1995) sostiene que la mayoría de los ejercicios y problemas de
los libros de texto están alejados de las aplicaciones reales. Afirma que incluyen mucha teoría
que está muy lejos de favorecer el conocimiento de quienes en su gran mayoría tendrán que
aplicar las matemáticas a situaciones del mundo físico o social. Insiste Ríos que se debe enseñar
a modelar situaciones en íntima conexión con la vida cotidiana y disciplinas profesionales, con
la finalidad de potenciar nuevas habilidades y destrezas. Además, Ríos señala que la enseñanza
de las matemáticas debe incorporar las nuevas tecnologías y utilizarlas en el proceso de
Coxhead (1997), al referirse al desarrollo curricular y la evaluación, sostiene que los programas
de estudio de las matemáticas podrían dar oportunidades para el desarrollo de habilidades en
los alumnos relativas a la modelación matemática y aplicaciones, empezando en años
tempranos de la escolaridad, con énfasis en la contextualización de las actividades matemáticas
de los alumnos en situaciones de la vida real y en el uso de nuevas tecnologías. Sin embargo, la
autora encontró que muchos profesores han encontrado dificultades al crear o concebir
actividades de aprendizaje apropiadas para el desarrollo matemático de los alumnos y
proporcionar oportunidades para la evaluación. En ese sentido, Coxhead (1997) considera que
la formación inicial de los profesores de matemáticas es esencial para avanzar en los cambios
necesarios que permitan la introducción de nuevos métodos de enseñanza. Estas
consideraciones de Coxhead ayudan a reflexionar sobre la importancia de incluir, en la
formación inicial de profesores de matemáticas, actividades que promuevan en los profesores
en formación una actitud favorable hacia el cambio y contribuyan a fortalecer sus niveles de
competencia para su futuro desarrollo profesional.
Hodgson (1997), dictó un curso de modelación matemática, basado en situaciones abiertas del
mundo real, a profesores de secundaria en ejercicio. El trabajo tuvo dos fases. En la primera
fase se administró el curso y en la segunda fase los profesores fueron a sus lugares de trabajo a
aplicar la modelación matemática con sus alumnos, haciendo énfasis en el planteamiento de
situaciones abierta del mundo real. Este autor encontró que el uso de las situaciones abiertas
puede ayudar a facilitar el desarrollo de habilidades para la resolución de problemas tales como
la definición de los mismos y la investigación de la viabilidad de las suposiciones consideradas.
Este trabajo de Hodgson contribuye a la comprensión de ciertos aspectos relacionados con las
facilidades y dificultades que encuentran los profesores de matemáticas tanto en su fase
formativa en modelación matemática como en la fase aplicativa en su campo profesional.
La formación de los profesores de matemáticas debería contemplar experiencias en modelado
matemático y resolución de problemas vinculados a la carrera considerada (Hernández, 1997).
En ese sentido el NCTM plantea que se debe enseñar a los futuros profesores en forma similar
a lo que será su práctica docente posterior. Esto implica que es necesario mejorar la situación
actual, por ejemplo a través de cursos de modelado para profesores en actividad y más aún
para aquellos que no tienen alguna formación en la especialidad donde ejercen.
La discusión del grupo
Una vez presentados los preliminares, relacionados con el tema, se procedió a discutir acerca
de las respuestas dadas a las preguntas planteadas para orientar la discusión. En general, los
participantes emitieron respuestas que fundamentalmente apuntaron a la necesidad de formar
adecuadamente al docente de matemáticas desde sus aulas de formación inicial.
Específicamente, con metodologías que consideren modelados concretos de fenómenos del
mundo físico y social en diferentes contextos para que el futuro profesor se inicie en la
planificación de actividades didácticas acudiendo a la modelación matemática como un
organizador del currículo. Asimismo, surgió la importancia del uso de las nuevas tecnologías
como recurso didáctico que potenciaría la modelación en el aula. Dicho recurso ayudaría a
imprimirle agilidad al proceso de modelación y consolidaría en menos tiempo la resolución de
los problemas planteados y el aprendizaje significativo de los conceptos y propiedades
matemáticas que estarían involucrados en cada modelado.
Otra preocupación o respuesta surgida en el grupo fue la carencia actual de una formación
inicial del profesor de matemáticas con pocas competencias didácticas que favorezcan el uso
de la modelación en su trabajo profesional. En ese sentido, se planteó la necesidad de
continuar haciendo investigación empírica que promueva las bondades y limitaciones de la
modelación, de esa manera podría llegarse a su incorporación en los currículos de una manera
Respecto al modelado en las distintas áreas de las matemáticas, en el ámbito universitario, se
comentó que principalmente se realiza en los cursos de las matemáticas aplicadas, tales como
ecuaciones diferenciales o investigación de operaciones. Esto significa que, el modelado no
tiene tratamiento similar en las distintas carreras y además, por lo general, su tratamiento es
muy escaso. Se hace patente la introducción de la modelación en las diferentes asignaturas que
conforman el componente matemático en las distintas carreras.
FTinalmente, los participantes plantearon la importancia de seguir contando, dentro de la
RELME, con un grupo de trabajo estable y sólido que propicie la reflexión y contribuya al
intercambio de experiencias entre pares para seguir fortaleciendo el campo de la modelación
matemática en el ámbito latinoamericano.
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