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MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas - PDF
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José Manuel Eugenio Aguilera López
1 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos
3 Índice 1. Ecuaciones de primer grado Ecuaciones e identidades Ecuaciones equivalentes Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Ecuaciones fraccionarias Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado Problemas de primer grado con una incógnita Ecuaciones de segundo grado 6.1. Resolución de la ecuación general. Soluciones Suma y producto de las raíces. Forma canónica de una ecuación de segundo grado Descomposición en factores de un trinomio de segundo grado Ecuaciones trinomias Resolución de ecuaciones irracionales Sistemas de ecuaciones de primer grado Sistemas de primer grado con dos incógnitas Método de sustitución Método de igualación Método de reducción Sistemas de primer grado con tres incógnitas Sistemas de ecuaciones de grado superior Sistemas de segundo grado con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado Problemas con dos o más incógnitas Inecuaciones Inecuaciones y desigualdades Inecuaciones de primer grado Sistemas de inecuaciones en una variable Inecuaciones de segundo grado Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo Inecuaciones fraccionarias Soluciones reales de una ecuación de segundo grado Ejercicios propuestos 5
5 Tema Ecuaciones de primer grado 1.1. Ecuaciones e identidades En primer lugar, tenemos que distinguir la identidad de la ecuación propiamente dicha. Para más facilidad, consideremos las siguientes igualdades: 6(x 3) = 6x 18, 5x = 3(x + 4). Estas dos igualdades tienen un comportamiento muy distinto cuando se sustituye la letra x en sus dos miembros: 6(x 3) 6x 18 5x 3(x + 4) x = x = x = x = x = x = x = x = La primera igualdad se verifica para cualquier valor se dé a x, mientras que la segunda sólo se verifica para x = 7. Diremos que la primera igualdad es una identidad, mientras que la segunda es una ecuación. Definición 1.1 Una identidad es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de las letras que la componen. Una ecuación es una igualdad literal que se verifica para valores específicos o determinados de las letras que la componen. Resolver una ecuación consiste en hallar estos valores particulares que, sustituidos en las incógnitas, convierten las ecuaciones en identidades. A estos valores los llamaremos soluciones o raíces de la ecuación. 1.. Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se tienen los siguientes principios de equivalencia: Primer principio de equivalencia. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente. De este principio se pueden deducir dos consecuencias importantes: Si en una ecuación se pasa un término de un miembro al otro, cambiándole el signo, la ecuación que resulta es equivalente a la primera. Si los dos miembros de una ecuación tienen dos términos iguales, y con el mismo signo, se pueden suprimir sin que varíen las soluciones. Segundo principio de equivalencia. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un número o una expresión distinta de cero, y que no contenga la incógnita, se obtiene una ecuación equivalente. De este otro también se pueden deducir consecuencias fundamentales:
6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Se puede cambiar el signo a todos los términos de una ecuación, pues equivale a multiplicar por 1 sus dos miembros. Dada una ecuación con coeficientes racionales, se puede transformar en otra con coeficientes enteros, reduciéndolos primero al mínimo denominador común y, después, multiplicando los dos miembros por este denominador común. Una ecuación es entera cuando las incógnitas no figuran en el denominador; en caso contrario, se llama fraccionaria. El grado de una ecuación entera con una incógnita es el mayor exponente de la misma Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Para la resolución de una ecuación entera de primer grado con una incógnita nos limitaremos a recordar los pasos fundamentales: a) Se suprimen los paréntesis. b) Se suprimen, igualmente, los denominadores, reduciendo previamente los dos miembros a denominador común. c) Se hace la transposición de términos, pasando a un miembro todos los términos que contengan la incógnita y al otro miembro, los demás. d) Se reducen los términos semejantes. e) Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de la incógnita. Ejemplo x 1) + 5x 6 4 = 1 x a) No tiene paréntesis. (13 x) + 3(5x ) 1 (x + 1) b) m.c.m.(6,4,1) = 1 = =. 1 1 Suprimir el 1 en los dos miembros es lo mismo que multiplicarlos por 1; así, c) 4x + 15x + x = d) 1x = 9. e) x = 9 1 = 3 4. ) 7x 9 7 ( ) x 3 = (x + ) 6 4x + 15x 6 = 1 x 1. x. a) 7x 9 x 6x + 9 = x + 4x + 4 x. 7 b) m.c.d.(7,) = 14 = (7x 9) 7(x 6x + 9) = 7(x + 4x + 4) 14x c) 14x 18 7x + 4x 63 = 7x + 8x x. d) 14x 7x 7x + 4x 8x + 14x = e) 8x = 109. f) x =
7 Tema Ecuaciones fraccionarias El método para resolver las ecuaciones numéricas fraccionarias es análogo al que hemos seguido para las ecuaciones enteras; sin embargo, debemos tener presente que, para librar los términos de sus denominadores, debemos multiplicar los dos miembros por el mínimo denominador común y éste contiene la incógnita. En este caso, una vez halladas las soluciones, hemos de desechar las que anulen este denominador común pues, como sabemos, no se pueden multiplicar los dos miembros de una ecuación por una expresión nula. Ejemplo 1. 1) 3 x (x 3) = x 1 x 1. El denominador común es x 1, que se anula para x = ±1. Así, 3(x 1) 4(x + 1) x 1 = (x 3) x 1 = 3x 3 4x 4 = x 6 = = 3x 4x x = = 3x = 1 = x = 1 3. ) (3x + 4) x x x = 4 x x +. El denominador común es x 4, el cual se anula para x = ±. Se tiene que (3x + 4) (x + )(x + 3) = (x )(4 x) = = 6x + 8 x x 3x 6 = 4x 8 x + x = = 6x x 3x 4x x = = 5x = 10 = x =. Como x = es un valor que anula el denominador común, no podemos considerarlo como solución de la ecuación Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado Cuando tenemos una ecuación formada por la igualación a cero de un polinomio, esto es, P(x) = 0, y podemos descomponer P(x) en factores binómicos de primer grado, para buscar las soluciones de la ecuación, basta igualar a cero cada uno de los factores y hallar las raíces de cada ecuación así obtenida. Ejemplo 1.3 Para la resolución de la ecuación x 4 + 3x 3 x 3x = 0, hacemos x = 0, P(x) = x 4 + 3x 3 x x 1 = 0 = x = 1, 3x = x(x 1)(x + 1)(x + 3) = 0 = x + 1 = 0 = x = 1, x + 3 = 0 = x = 3. En efecto, si P(x) = (a 1 x + b 1 )(a x + b ) (a n x + b n ), la ecuación P(x) = 0 se convierte en a 1 x + b 1 =0, a x + b =0, (a 1 x + b 1 )(a x + b ) (a n x + b n ) = 0. a n x + b n =0. Cada una de estas ecuaciones nos proporciona una raíz de la ecuación inicial.
8 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Ejemplo 1.4 Para resolver la ecuación 3ax a + 6x x = 0, hacemos a(3x 1) + x(3x 1) = 0 (3x 1)(a + x) = 0 3x 1 = 0 3x = 1 x = 1 3, a + x = 0 x = a x = a Problemas de primer grado con una incógnita Una de las aplicaciones más importantes del estudio de las ecuaciones es la resolución de problemas. En cualquier problema podemos distinguir unas cantidades conocidas, llamadas datos, y otras desconocidas que reciben el nombre de incógnitas, y que representaremos, generalmente, por las letras x, y, z,... Todo problema nos proporciona una serie de relaciones entre los datos y las incógnitas, que se tratarán de expresar mediante ecuaciones. Al resolver estas ecuaciones, obtendremos los valores de las incógnitas, que constituyen la solución del problema, con la condición de que cumplan todos los requisitos de éste, aun aquellos que no puedan ser traducidos en las ecuaciones. Un problema se llama de primer grado cuando da lugar a una ecuación de primer grado; de la misma forma podríamos hablar de problemas de segundo, tercer, cuarto grado, etc., según que las ecuaciones matemáticas sean de segundo, tercer, cuarto grado, etc. Podemos resumir en el siguiente esquema los pasos que se precisan seguir en la resolución de un problema con una incógnita: a) Representar por una letra (en general, por x) la cantidad que ha de considerarse como incógnita. b) Expresar con una ecuación la relación entre los datos y la incógnita: traducir en símbolos o expresiones matemáticas lo que nos dice el enunciado del problema. c) Resolver la ecuación obtenida. d) Comprobar si el resultado de la ecuación cumple todas las condiciones expresadas en el enunciado. Los dos primeros puntos son los más importantes, los más difíciles y los que requieren más ejercicio. Es esencial tomar como incógnita una cantidad clave, a partir de la cual podamos expresar matemáticamente el problema. Para ello, es aconsejable leer con atención el enunciado del problema hasta que hayamos captado completamente su significado. Para comprender el procedimiento que se sigue, veamos algunos ejemplos. Problema 1 Hallar el número cuyo quíntuplo, disminuido en los 3/4 del mismo, es igual al triple de la suma de dicho número con cinco. Sea x el número pedido. Traduzcamos ahora el problema a una expresión matemática: Enunciado Hallar un número cuyo quíntuplo disminuido en los 3/4 Traducción matemática x 5x 5x 3 4 x es igual al triple 5x 3 4 x = 3 de la suma de dicho número más cinco 5x 3 x = 3(x + 5) 4
9 Tema 3 5 Así, 5x 3 4 x = 3(x + 5) 5x 3 0x 3x x = 3x + 15 = 3x x = 4(3x + 15) 17x = 1x x 1x = 60 5x = 60 x = 1. Problema El área de un rectángulo aumenta 185cm cuando la base y la altura se ven aumentadas en 5 cm cada una. Hallar las dimensiones del rectángulo sabiendo que la primera es triple de la segunda. Si la altura vale x, la base será 3x. El área será 3x x = 3x. El área aumentada en 185cm será 3x El nuevo área se obtiene cuando las nuevas dimensiones son 3x + 5 y x + 5, es decir, dicho área es igual a (3x + 5)(x + 5). La ecuación del problema será pues 3x = (3x + 5)(x + 5), cuya solución es x = 8. Las dimensiones serán entonces base= 3 8 = 4 cm y altura= 8 cm. Problema 3 Hallar dos números impares consecutivos tales que la mitad más la cuarta parte del menor sumen lo mismo que la mitad y la séptima parte del mayor. Sea x el menor. El mayor será entonces x +. La mitad y la cuarta parte del menor es igual a x + x 4. La mitad y la séptima parte del mayor es igual a x + La ecuación correspondiente a este problema viene dada por x + x 4 = x + + x x +. 7 La solución de la ecuación es x = 1, que no es solución del problema, ya que su enunciado pide hallar números impares. Problema 4 Un padre tiene 38 años, su hijo, 10, y su hija mayor, 14. Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea 3 veces la del hijo? Y cuántos para que la edad del padre sea 3 veces la de la hija? Este problema se considerará como dos problemas distintos, con los mismos datos. a) Sea x el número de años que han de pasar para que el padre tenga el triple de edad que el hijo. Entonces, al cabo de x años, la edad del padre será igual a 38 + x mientras que la del hijo será 10 + x. La ecuación del problema viene dada pues por 38 + x = 3(10 + x), cuya solución es x = 4 años. De este modo, dentro de 4 años, la edad del padre será el triple de la edad del hijo. En efecto; = 4, = 14, 4 = 3 14.
10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas b) Sea y el número de años que deben transcurrir para que el padre tenga triple edad que la hija. Transcurridos esos y años, la edad del padre será de 38 + y y la de la hija 14 + y. La ecuación que se obtiene es entonces 38 + y = 3(14 + y), cuya solución es y =. Este valor negativo nos dice que hace dos años que la edad del padre fue el triple de la edad de la hija. Así es; 38 = 36, 14 = 1, 36 = Ecuaciones de segundo grado Una ecuación entera es de segundo grado si el mayor exponente de la incógnita es. Su forma general completa, después de quitar denominadores, paréntesis y reducir términos semejantes es ax + bx + c = 0, donde a es el coeficiente del término de segundo grado, llamado también coeficiente cuadrático o primer coeficiente; b es el coeficiente del término de primer grado, también denominado coeficiente lineal; c es el término independiente. Cuando algún coeficiente de la ecuación es nulo, diremos que la ecuación es incompleta. Se pueden presentar los casos siguientes: 1) Si a = 0 se obtiene la ecuación de primer grado bx + c = 0, cuya solución es x = c b. ) Si b = 0 obtenemos una ecuación de segundo grado pura: ax + c = 0. Ésta se puede resolver del modo siguiente: ax + c = 0 ax = c x = c a x = ± c a. Nótese que, si c a > 0, esta ecuación no tendrá solución real, pues un número al cuadrado, x, no puede ser igual a un número negativo, c a. 3) Si c = 0 la ecuación queda en la forma ax + bx = 0, de modo que se obtienen dos soluciones: { ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0, ax + b = 0 x = b a. 4) Si b = 0 y c = 0 la ecuación se reduce a ax = 0, que tiene como solución doble x = Resolución de la ecuación general. Soluciones Dada la ecuación completa de segundo grado ax + bx + c = 0, sus soluciones vienen dadas por x 1 = b + b 4ac a, x = b b 4ac. a
11 Tema 3 7 Ejemplo.1 Halla las soluciones de la ecuación 3x x 1 = 0. x = ± = ± 4 6 = { x1 =1, x = 1 3. A la expresión b 4ac la denominaremos discriminante y se denotará por el símbolo. Nótese que, según los valores del discriminante, se pueden distinguir los casos siguientes: Si > 0 se obtienen dos soluciones reales distintas. Si = 0 se obtiene una raíz doble. Si < 0 la ecuación no tiene soluciones reales, ya que los números negativos no tienen raíz cuadrada real... Suma y producto de las raíces. Forma canónica de una ecuación de segundo grado Dada una ecuación de segundo grado ax +bx+c = 0, se pueden conocer la suma y el producto de sus raíces y expresarlas en función de los coeficientes a, b y c sin necesidad de conocer las soluciones. En efecto, si denotamos por s y p, respectivamente, a la suma y el producto de las raíces de la ecuación, x 1 y x, se tiene que s = x 1 + x = b a, p = x 1x = c a. Ejemplo. Para la ecuación 3x + x 4 = 0, tenemos s = x 1 + x = 3, p = x 1x = 4 3. Dada la ecuación de segundo grado ax +bx+c = 0 y continuando con la notación anterior, si dividimos todos los términos por a, resulta x + b a x + c ( a = 0 x b ) x + c a a = 0, es decir, se obtiene la ecuación x sx + p = 0, llamada forma canónica de la ecuación de segundo grado, y que nos da la ecuación en función de la suma y el producto de sus raíces. 3 Ejemplo.3 Hallar la forma canónica de la ecuación x + 1 x x 1 =. El denominador común es (x + 1)(x 1) = x 1, de modo que resulta 3(x 1) x(x + 1) = (x 1) 3x 3 x x = x 3x + x 1 = 0. Dividiendo entre 3, se obtiene la forma canónica: x 3 x = 0. La forma canónica nos permite resolver dos problemas importantes: Conociendo la suma y el producto de dos números, hallar dichos números.
12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas a) Planteamos la ecuación x sx + p = 0. b) Resolvemos la ecuación y obtenemos las dos soluciones pedidas, x 1 y x. Ejemplo.4 Halla dos números cuya suma sea 3 5 y cuyo producto sea 5. Dichos números serán las soluciones de la ecuación x x 5 = 0. Así, x x 5 = 0 5x + 3x = 0 x = 3 ± { = 3 ± 7 x = 1 = 5, x =1. Conocidas las raíces o soluciones, x 1 y x, construir la ecuación de segundo grado. Para ello basta hacer s = x 1 + x, p = x 1 x = x sx + p = 0. Ejemplo.5 Formar una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean 3 y 3. s = = 3, p = 3 3 = 9 = x 3 x 9 = Descomposición en factores de un trinomio de segundo grado Considérese el polinomio P(x) = ax +bx+c. Este trinomio de segundo grado se puede descomponer en factores, resolviendo la ecuación asociada al trinomio: ax + bx + c = 0. Sabemos que, si x 1 y x son las dos raíces de esta ecuación, podemos escribir s = x 1 + x = b a, p = x 1x = c a. Aplicando estas fórmulas a la descomposición de P(x), tendremos que ( P(x) = ax + bx + c = a x + b a x + c ) [ ( = a x b ) x + c ] = a a a = a [ x (x 1 + x )x + x 1 x ] = a(x x 1 x x x + x 1 x ) = = a[x(x x 1 ) x (x x 1 )] = a(x x 1 )(x x ), esto es, P(x) = a(x x 1 )(x x ). Ejemplo.6 Para descomponer el trinomio P(x) = 3x + 5x, consideramos su ecuación asociada, 3x +5x = 0, cuyas raíces son x 1 = 1 3 y x =. Como las dos raíces son reales, podemos escribir ( P(x) = 3x + 5x = 3 x 1 ) (x + ). 3
13 Tema Ecuaciones trinomias Una ecuación trinomia es aquella que puede reducirse a la forma ax m + bx m + c = 0. (1) Las ecuaciones trinomias en las que m = se llaman ecuaciones bicuadradas. Para la resolución de (1) hacemos y = x m, y obtenemos la ecuación de segundo grado ay + by + c = 0. Una vez conocidas las soluciones de esta ecuación, y 1 e y, debemos resolver Ejemplo.7 x m = y 1, x m = y. 1) Para resolver la ecuación x 4 5x 36 = 0, hacemos y = x obteniendo la ecuación y 5y36 = 0, cuyas soluciones son y 1 = 9 e y = 4. Ahora bien, y 1 = 9 = x = x = ±3 = x 1 = 3, x = 3, y = 4 = x = No se obtiene ninguna solución real. ) En la resolución de la ecuación 8x 6 63x 3 8 = 0, realizamos el cambio de variable y = x 3 ; la ecuación resultante es 8y 63y 8 = 0, cuyas soluciones son y 1 = 1 8 e y = 8. Entonces.5. Resolución de ecuaciones irracionales y 1 = 1 8 = x3 = x 1 = = 1, y = 8 = x 3 = x = 3 8 =. Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en las que alguna de las incógnitas figura bajo el signo radical. Estudiaremos aquí sólo las ecuaciones irracionales con radicales cuyo índice es. Así, son ecuaciones irracionales las siguientes: x 3 = x, x 1 = 1, x = 1 x 5. La resolución de ecuaciones irracionales se basa en el siguiente principio: Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación que, además de tener las soluciones de la primera, contiene las de una segunda, obtenida al cambiar de signo a uno de los miembros de la ecuación dada. Efectivamente; consideremos la ecuación Elevando al cuadrado los dos miembros resulta la ecuación A(x) = B(x). () A(x) = B(x) A(x) B(x) = 0, (3)
14 10 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas que es, en realidad, una diferencia de cuadrados: [A(x) B(x)] [A(x) + B(x)] = 0, (4) cuyas soluciones vendrán dadas por { A(x) B(x) = 0 A(x) = B(x), A(x) + B(x) = 0 A(x) = B(x). De este modo, la ecuación (4) y, por tanto, la ecuación (3), contiene, además de las soluciones de A(x) = B(x), las de A(x) = B(x), como se quería demostrar. Una consecuencia fundamental que se puede extraer de lo anterior es que siempre que la resolución de una ecuación exija elevar sus dos miembros al cuadrado, es preciso comprobar si las soluciones halladas satisfacen la ecuación propuesta. Ejemplo.8 1) Resolver la ecuación 18 x + 10 =. Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación, el radical no desaparece; para eliminar el radical, habrá que aislarlo en uno de los dos miembros: Elevando al cuadrado los dos miembros resulta 18 = x = x + 10 = x = 46. Comprobamos que la solución obtenida es válida: = =. ) Para resolver la ecuación 4x + 1 3x = 1, aislamos un radical y elevamos al cuadrado: ( 4x + 1 ) = ( 1 + 3x ) 4x + 1 = 1 + 3x + 3x 4x + 1 = 3x + 3x 1. Aislamos el radical resultante y reducimos los términos semejantes: Elevamos entonces al cuadrado: 3x = 4x + 1 3x + 1 3x = x +. 4(3x ) = x + 4x + 4 1x 8 = x + 4x + 4 x 8x + 1 = 0. Las soluciones de la ecuación de segundo grado obtenida son x 1 = y x = 6. Comprobamos, por último, si éstas son soluciones de la ecuación irracional inicial: =3 = 1, =5 4 = 1. Ambas soluciones son válidas.
15 Tema Sistemas de ecuaciones de primer grado 3.1. Sistemas de primer grado con dos incógnitas Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de primer grado o lineal cuando las dos ecuaciones que lo forman son de primer grado o lineales, y tendrá la forma que sigue: { a1 x + b 1 y =c 1, a x + b y =c, donde a 1,a,b 1,b,c 1,c son números reales. Llamamos solución del sistema a todo par (x 0,y 0 ) que satisfaga las dos ecuaciones del sistema. Para su resolución presentamos aquí los tres métodos más conocidos: el de sustitución, el de igualación y el de reducción Método de sustitución Dado el sistema { a1 x + b 1 y =c 1, a x + b y =c, se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones, a ser posible, la que tenga como coeficiente 1 o 1; en este caso, despejemos y de la primera ecuación: y = c 1 a 1 x b 1. A continuación se sustituye este valor de y en la segunda ecuación: a x + b c 1 a 1 x b 1 = c. Obsérvese que la ecuación así obtenida sólo posee una incógnita y se puede resolver fácilmente sin más que despejar x: x = b 1c b c 1 a b 1 a 1 b. Una vez conocido el valor de x, lo sustituimos en la expresión de y. Ejemplo 3.1 Considérese el sistema En la segunda ecuación despejamos y, { 5x y = 4, 3x + y = 9. y = 9 3x, y lo sustituimos en la primera ecuación, obteniendo así una ecuación de primer grado cuya única incógnita es x: 5x (9 3x) = 4 5x x = 4 11x = x =. Sustituyendo ahora el valor de x en la expresión de y se tiene que Así, la solución del sistema es (,3). y = 9 3 = 3.
16 1 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Método de igualación Dado un sistema en su forma normal { a1 x + b 1 y =c 1, a x + b y =c, podemos despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones; por ejemplo, x: x = c 1 b 1 y a 1, x = c b y a. Entonces debe ser c 1 b 1 y = c b y, a 1 a esto es, se ha obtenido una ecuación de primer grado en y. Una vez resuelta ésta, sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones obtenidas para x. 3x + 4y = x, Ejemplo 3. Sea el sistema x = 1 y y 3. Antes de resolverlo, transformémoslo en su forma normal: 3x + 4y x y = x = 1 y 3 Despejando x en las dos ecuaciones obtenemos: { 3x + 4y = x 4 x = 3y x = 4 4y, x = 3y 4 4y = 3y 8 8y = 3y 5y = 10 y =. Sustituyendo en la primera expresión de x se obtiene finalmente Método de reducción x = 4 4() = 4. { x + 4y = 4 x + 3y = Dado el sistema { 3x y = 6, 5x + y = 10, podemos sumar las dos ecuaciones que lo forman, obteniendo así una ecuación en x: 3x y = 6 + 5x + y = 10 8x = 16 de donde x =. Sustituyendo ahora este valor en cualquiera de las ecuaciones, se obtiene el valor de y; hagámoslo, por ejemplo, en la primera: La solución del sistema es pues (,0). 3 y = 6 y = 0 y = 0.
17 Tema 3 13 { x 3y = 5, Ejemplo 3.3 Resolver, por el método de reducción, el sistema 3x + 4y = 7. Lo que se pretende es eliminar una de las dos incógnitas. Como los coeficientes de y tienen signo opuesto, basta con multiplicar por 4 la primera ecuación y por 3 la segunda, sumando después las ecuaciones resultantes: x 3y = 5 4 8x 1y = 0 3x + 4y = 7 3 9x + 1y = 1 17x = 41 de donde x = 41. Para eliminar x, podemos multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda por 17, sumando a continuación: x 3y = 5 3x + 4y = 7 3 6x + 9y = 15 6x + 8y = 14 17y = 1 con lo que y = Sistemas de primer grado con tres incógnitas Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas es de la forma a 1 x + b 1 y + c 1 y =d 1, a x + b y + c y =d, a 3 x + b 3 y + c 3 y =d 3. En una de las tres ecuaciones podremos despejar una incógnita y sustituirla en las otras dos, obteniendo así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que podemos resolver utilizando cualquiera de los métodos estudiados anteriormente. Las soluciones obtenidas se sustituyen en la expresión de la primera incógnita despejada, hallando de este modo su valor. Ejemplo 3.4 Resolver el sistema 3x 4y z =, x + 5y + 3z = 5, x + y z = 11. En la segunda ecuación despejamos x: x = 5 5y 3z, y sustituimos el valor de esta incógnita en las otras dos ecuaciones: { 3(5 5y 3z) 4y z = (5 5y 3z) + y z = 11 { 19y 11z = 13 9y 7z = 1 Resolvemos ahora este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 19y 11z = 13 9y 7z = y + 99z = y 133z = 19 34z = 136
18 14 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas con lo que z = 4. Por otro lado, 19y 11z = 13 9y 7z = y + 77z = y 77z = 11 34y = 10 de donde y = 3. Sustituyendo los valores de y y z en la expresión de x se obtiene finalmente x = (4) =, de manera que la solución del sistema es la terna (,3, 4). 4. Sistemas de ecuaciones de grado superior 4.1. Sistemas de segundo grado con dos incógnitas Como el grado de un sistema es el producto de los grados de las ecuaciones que lo componen, para que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas sea de segundo grado, deberá estar formado por una ecuación de primer grado y otra segundo. Luego su forma normal es { ax + by = c, mx + ny + pxy + qx + ry + s = 0, donde a,b,c,m,n,p,q,r,s son números reales. Para resolver un sistema de segundo grado, puede emplearse el método de sustitución, despejando una incógnita en la ecuación de primer grado y sustituyendo en la de segundo grado. Resulta así una ecuación de segundo grado con una incógnita cuyas raíces, sustituidas en la expresión de la incógnita despejada, nos proporciona los valores correspondientes a ésta. Ejemplo 4.1 1) Resolver el sistema { 3x + y = 5, x y = 3. Despejando y en la primera ecuación y sustituyendo su expresión en la segunda se obtiene: y = 5 3x = x (5 3x) = 3 = 4x 15x + 14 = 0. Resolvemos ahora esta ecuación de segundo grado: x = 15 ± = 15 ± 1 8 x 1 =, = x = 7 4. Si x 1 = entonces y 1 = 5 3 = 1. Si x = 7 4 entonces y = = 1. De este modo las 4 soluciones del sistema son x 1 =, y 1 = 1, x = 7 4 e y = 1 4. ) Resolver el sistema { x + y = 8, xy = 1. Despejando x de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se tiene que x = 8 y = (8 y)y = 1 = y 8y + 1 = 0 = = y = 8 ± = 8 ± 4 { y1 =6, = y =. Si y 1 = 6 se tiene que x 1 = 8 6 =, y si y = entonces x = 8 = 6, de modo que las soluciones del sistema son (,6) y (6,).
19 Tema Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado Aplicando el método de sustitución a un sistema de dos ecuaciones de segundo grado cuando sea posible hacerlo sin demasiadas complicaciones, se llega a ecuaciones de cuarto grado que sólo podemos resolver en casos especiales por ejemplo, si son bicuadradas. { x Ejemplo 4. Para resolver el sistema + y = 17, despejamos x en la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x = 6 y, ( ) 6 xy = 6, + y = 17. y Resolviendo la segunda ecuación: 7 y + y = 17 = y 4 17y + 7 = 0 = { = y = 17 ± = 17 ± 1 y y1 = = 8 y = = { y y3 = 3 = 9 y 4 = 3 De este modo, y 1 = = x 1 = 6 = 3, y = = x = 6 = 3, y 3 = 3 = x 3 = 6 3 =, y 4 = 3 = x 4 = 6 3 =. De este modo, se han obtenido cuatro soluciones: ( 3 ) ( ),, 3,, (, 3), (,3). En otros sistemas resulta sencillo eliminar una de las incógnitas empleando el método de reducción. { x Ejemplo 4.3 Resolver el sistema + 3y = 49/4 8x y = Usando el método de reducción resulta: x + 3y = 49/4 8x y = 8 8x + 4y = x + y = 5y = 100 de donde se obtienen y 1 = e y =. Ahora bien, sustituyendo estos valores en la primera ecuación del sistema se obtiene: y 1 = = x + 1 = 49 4 = x = 1 4 = x = ±1, con lo que las soluciones del sistema son los pares y = = x + 1 = 49 4 = x = 1 4 = x = ±1, ( ) 1,, ( 1 ) ( ) 1,,,, ( 1 ),.
20 16 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas 4.3. Problemas con dos o más incógnitas En ocasiones, en la resolución de un problema, es bastante complicado encontrar una cantidad clave a partir de la cual podamos expresar matemáticamente las relaciones de un problema. En ese caso se pueden considerar dos o más incógnitas, indicadas usualmente por x,y,z,... y, expresando las relaciones existentes entre estas incógnitas y los datos conocidos, formar tantas ecuaciones como incógnitas hayamos introducido. El procedimiento seguido para este tipo de problemas es, sustancialmente, el que se ha establecido para los problemas con una incógnita. La única diferencia reside en que, como hemos apuntado antes, se han de formar tantas ecuaciones como incógnitas se hayan fijado. Consideremos varios ejemplos. Problema 1. Las dos cifras de un número suman 1. Hallar dicho número, sabiendo que si se invierte el orden de sus cifras, el número disminuye en 36. Recordemos que un número de tres cifras, por ejemplo, 58, se puede expresar de la siguiente forma: 58 = Así, si x e y indican, respectivamente, las decenas y las unidades de un número de dos cifras, dicho número será 10x + y; mientras que el número que se obtiene al invertir las cifras del anterior será 10y + x. Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos establecer el sistema { x + y = 1, 10x + y 36 = 10y + x, que tiene como solución x = 8 e y = 4, con lo que el número buscado es el 84. Problema. Si se aumenta la longitud de un campo rectangular en 5 m y la anchura en 7 m, la superficie aumenta en 830 m ; mientras que si se disminuye la longitud en 8 m y la anchura en 4 m, la superficie disminuye en 700 m. Calcular las dimensiones del campo. y + 7 y y 4 x 8 x x + 5
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