Source: https://issuu.com/oscarnoelangulo/docs/libro-7-division
Timestamp: 2018-01-24 06:12:13+00:00

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libro 7 division by Oscar Noel Angulo Molina - issuu
introducción... ...y para desperezarnos un poco, ahí van unas cuestiones sencillas para entrar en materia y en calor. Tratemos de resolverlas antes de seguir adelante.
La diferencia de dos números naturales es 940 y el cociente exacto del mayor entre el menor es 11. ¿De qué números se trata?
1. Un reloj adelanta 16 segundos durante el día y retrasa 10 segundos en la noche. Al empezar la mañana del 1º de abril se pone en la hora exacta. ¿Cuál es el primer día en que llegará a tener 3 minutos de adelanto?
4. Complete las casillas del siguiente cuadro:
2. ¿Cuál es el mayor número menor que 100 tal que, al dividirse entre 23, produce un resto igual al cociente? ¿Cuál es el valor de 0,1 : 0,001? 3. Pedro tiene 43,75 pesos entre monedas de 0,25; 0,50; 1; 2 y 5 pesos. Si tiene el mismo número de monedas de cada tipo, ¿cuántas monedas tiene en total?
x + + :
7. Se reparten 134 libros en seis cajas A, B, C, D, E y F. En cada caja y siguiendo el orden anterior, se va colocando un libro cada vez. ¿En qué caja se depositará el último libro? La suma de dos números enteros es 168; al dividirse el mayor entre el menor se obtiene 7 como cociente y 16 como residuo. ¿Cuáles son los números? 8. Un desagüe vacía un depósito de 1 m3 a razón de 20 litros por minuto. ¿Cuántos desagües iguales al anterior se necesitan para vaciarlo en 10 minutos?
9. Dada la siguiente disposición numérica bajo las columnas A, B, C, D y E: A 6 14
B C D 2 3 4 7 8 9 10 11 12 15 16 17 18…………….
Averiguar en qué columna se hallará el número 641. 10. Diariamente llegan al aeropuerto un promedio de 6.480 pasajeros. Cada avión trae 90 pasajeros. ¿Cuál es el promedio de aviones que aterrizan cada hora en el aeropuerto? Se ha dividido un número entre 5. ¿Cuántas veces el dividendo contiene al cociente? ¿Cuál es el divisor cuando el cociente contiene al dividendo 4 veces? Bien, ya tenemos nuestras respuestas, que iremos contrastando con las indicaciones y ejercicios que plantearemos a lo largo de las líneas que siguen.
Y un segundo recordatorio: La sugerencia que proponíamos en el Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: vamos a estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer
1. ¿Qué es la división de números naturales? De entrada, nos encontramos con una diferencia sustancial con respecto a las tres operaciones anteriores: adición, sustracción y multiplicación. En esos tres casos se trata de una operación aritmética según la cual a cada par de números naturales se le hace corresponder otro número natural: su suma, su diferencia (si el primer número del par no es menor que el segundo) o su producto, respectivamente. En el caso de la división de números naturales, no siempre a cada par de números (dividendo y divisor) se le puede
A – B = A1 38 – 7 = 31 A1 – B = A2 31 – 7 = 24 A2 – B = A3 24 – 7 = 17 A3 – B = A4 17 – 7 = 10 A4 – B = A5 Cociente = 5
3 Residuo
en la división de D entre d, al par (D , d) se le hace corresponder el par (c , r) de tal manera que: D = d x c + r, con d ≠ 0, r < d Los signos habituales para la operación de dividir D entre d son: D :d
D÷d
Como puede observarse, esta forma de conceptuar la división corresponde a su apreciación como una resta reiterada. Apreciación que, como se ve, tiene su fundamento en la descripción que acabamos de presentar. Sin embargo, existe otra referencia de la división como operación inversa de la multiplicación, que corresponde a la forma en que habitualmente suele presentarse por primera vez en el aula.
Esta segunda referencia debe manejarse con cierto cuidado. Es cierto que, por ejemplo, si en la multiplicación 4 x 6 = 24 ocultamos uno de los factores: 4 x ? = 24 y deseamos obtener su valor, procedemos a la división 24 : 4 = 6. Análogamente, la interrogante 24 : ? = 6 nos remite para su respuesta al conocimiento de la multiplicación 4 x 6 = 24. En este sentido, ambas operaciones “funcionan” como inversas una de la otra.
reiterada Multiplicación
2. El desarrollo de destrezas para dividir Atención: Todo lo que se va a decir ahora no es sólo para entenderlo. Es, sobre todo, para practicarlo. Pero no un par de veces, y ya. La ejercitación frecuente y abundante es requisito indispensable para desarrollar destrezas de cálculo mental.Y esto es muy importante, porque si no las poseemos no podremos construirlas con nuestros alumnos.
2.1. Relaciones entre los cuatro términos de la división En primer lugar, nos conviene aﬁanzar los conceptos y las relaciones existentes entre los cuatro términos que intervienen en la división. Para ello intentaremos contestar a las siguientes preguntas (hágalo primero por su cuenta, antes de revisar las respuestas):
a) ¿Cómo se calcula el dividendo en una división exacta? b) ¿Cómo se calcula el dividendo en una división inexacta? c) ¿En qué casos el cociente es mayor que la unidad? d) ¿En qué casos el cociente es menor que la unidad? Ahora, en el caso de una división exacta: e) Se ha dividido un número por 5. ¿Cuántas veces el dividendo contiene al cociente? f) Si el cociente es 12, ¿cuántas veces contiene el dividendo al divisor? g) ¿Cuál es el divisor cuando el dividendo contiene al cociente 10 veces? h) ¿Cuál es el cociente cuando el dividendo contiene al divisor 25 veces?
He aquí las respuestas: a) Multiplicando el divisor por el cociente b) Multiplicando el divisor por el cociente y agregando el residuo c) Cuando el dividendo es mayor que el divisor
2.2. Expresiones equivalentes Hay otras consideraciones prácticas que se derivan de las relaciones presentes en las divisiones exactas. Por ejemplo, expresiones equivalentes tales como:
2.3. Otras relaciones y regularidades Aunque no contamos con propiedades similares a las de la adición y multiplicación (conmutativa, asociativa y disociativa), sí podemos establecer un cuerpo de relaciones y regularidades útiles. Veamos esto con más detalle. En efecto, no podemos considerar la propiedad conmutativa en la división ya que 5 : 3 no es lo mismo que 3 : 5. Los únicos casos en que m : n es igual a n : m ocurren si n = m ≠ 0. También es cierto que no podemos hablar de la propiedad asociativa en el caso de la operación de división, y que el elemento neutro (el 1) sólo “funciona” por la derecha, es decir, que 5 : 1 = 5 (pero 1 : 5 ≠ 5). Sin embargo, hay otras propiedades de interés que pueden facilitarnos el desarrollo de destrezas para dividir. Destrezas que, como veíamos en las otras operaciones, son la base del cálculo mental aplicado a las divisiones. Si reflexionamos sobre el funcionamiento de la división como inversa de la multiplicación y nos centramos en el signiﬁcado de algunas tablas de multiplicar (ver Cuaderno 5), podemos inferir también el signiﬁcado de la división para el caso de algunos divisores particulares. Así, tenemos que (para entender mejor los casos que se proponen,
(secuencia de 5 dobles a partir de 23: 46 92 184 368 736).
: 25 = 6.500 : (100/4) = 65 x 4, que lleva a la secuencia de dobles 130 260.
2. De manera inversa se procede para la división entre potencias de 2: ahora la secuencia será de “la mitad de” a partir del dividendo, tantas veces como lo indique el exponente de la potencia de 2. Así, 2.032 : 16 = 127 (ya que 16 = 24; partiendo de 1.016 se sigue una secuencia de 4 mitades: 1.016 508 254 127).
En el caso en que el divisor no esté formado exclusivamente por potencias de 2 y de 5, sino que pueda disociarse en estos y otros factores, la división puede ir transformándose en sucesivas divisiones entre cada uno de esos factores. Así, para dividir 732 entre 12, como 12 = 2 x 2 x 3, podemos establecer una secuencia de divisiones equivalentes a la primera: 732 : 12 366 : 6 183 : 3 = 61. Esta secuencia puede llevarse mentalmente de esta manera: 732 entre 2 es su mitad, 366; 366 entre 2 es su mitad, 183; y 183 entre 3 es la tercera parte de 180 (que es 60) y de 3 (que es 1), es decir, 61. Lo que se busca es hacer más “ligeras” las cantidades que se dividen...
3. Como 25 = 100/4, multiplicar un número por 25 equivale a agregarle dos ceros y obtener dos veces la mitad a partir de este resultado. Así, 25 x 18 = (100/4) x 18 = 1.800 : 4, que lleva a la secuencia de dos mitades: 900 450. De un modo análogo se procede con el factor 125 (125 = 1.000/8); así, 28 x 125 = 28.000 : 8, que lleva a la secuencia de tres mitades: 14.000 7.000 3.500.
4. De manera inversa se procede para la división entre potencias de 5 (25, 125, 625, etc.). Así, dividir un número entre 25 equivale a dividirlo entre 100 (eliminar dos ceros a la derecha) y luego multiplicarlo por 4 (operar dos veces “el doble de”). Así, 6.500
Pero en algunas oportunidades puede resultar útil el proceso inverso, es decir, multiplicar adecuadamente dividendo y divisor para facilitar la división. Así, por ejemplo, para dividir 73,5 entre 1,5 podemos multiplicar ambas cantidades por 2 y pasar a la división equivalente de 147 entre 3, más sencilla de resolver. Otra propiedad que también es útil para el cálculo mental de las divisiones es la de la distributividad con respecto
Vamos a propiciar el desarrollo de nuestras destrezas con la división. Para ello, resuelva mentalmente los siguientes ejercicios: 864 : 8 272 : 16 3.500 : 25 216 : 18 1.010 : 5 49.049 : 7 12.423 : 123 294 : 3
170 : 5 356 : 4 38.000 : 100 432 : 24 315 : 15 6.010 : 10 484 : 2 606 : 6 120.120 : 120 792 : 8 162 : 18
División entera (exacta y no exacta) Supongamos que tenemos que resolver la división 41.507 : 18. ¿Cómo llegar a construir y explicar el algoritmo habitual para esta división (u otra cualquiera)? Una vía sencilla es la que habitualmente hemos propuesto con materiales concretos: los billetes de denominación decimal. En primer lugar, debemos “romper” el dividendo: 4 billetes de 10.000 (decenas de mil), 1 de 1.000 (unidades de mil), 5 de 100 (centenas) y 7 de 1 (unidades).
3. La división en el sistema de numeración decimal Hasta ahora se han resuelto algunos ejercicios de división sobre la base del conocimiento de las tablas de multiplicar y de la utilización de las regularidades de la operación. Pero no todas las divisiones pueden realizarse con soltura por esta vía. Basta con tener grandes cantidades, o decimales, en el dividendo y en el divisor. En estos casos, procedemos basándonos en las mismas tablas y en las potencialidades del sistema de numeración decimal. Distinguimos dos casos: el de la división entera y el de la división con decimales.
17. Como puede verse al proceder por esta vía del reparto (restas sucesivas), en principio no es necesario saber multiplicar para poder dividir. ¿Cuál es, pues, la utilidad del uso de las tablas de multiplicar? Abreviar el proceso de reparto. Por ejemplo, al repartir los 55 billetes de cien, el proceso se acorta si se sabe que 18 x 3 = 54: no son necesarias las rondas y de una vez se conoce que a cada sujeto le corresponden 3 de tales billetes y que queda uno de sobra. A partir de estas consideraciones es posible construir y –sobre todo– entender el algoritmo habitual de la división. En una primera instancia, puede procederse a escribir los sustraendos que progresivamente se van restando del dividendo; escritura que, posteriormente, puede desaparecer para dar paso a los correspondientes cálculos mentales: 41507 18 – 36 2305 55 – 54 10 – 0 107 – 90 17
41507 18 55 2305 107 17
Caso División
1.000 : 100
1.000 contiene 10 veces a 100 100 es la décima parte de mil
100 : 0,1
100 contiene 1.000 veces a 0,1 0,1 es la milésima parte de 100
10 es la centésima parte de 1.000 sólo la centésima parte de 1.000 está contenida en 10
0,001 : 0,01
0,001 es la décima parte de 0,01 sólo la décima parte de 0,01 está contenida en 0,001
Interprete las divisiones siguientes: 1.000 : 10 100 : 10 1 : 100 0,1 : 10 0,01 : 100 1 : 0,01 1.000 : 0,1 100 : 0,01 10 : 0,001 0,1 : 0,001 0,01 : 0,001 0, 001 : 0,1 0,01 : 0,1 También resulta de mucho interés establecer una equivalencia entre la “multiplicación por” y la “división entre”, como se ilustra en la siguiente tabla: Dividir Multiplicar entre por
35 : 1.000
35 x 0,001
35 (con 3 decimales) = 0,035
86,5 : 100
86,5 x 0,01
865 (con 3 decimales) = 0,865
0,2 : 1.000
0,2 x 0,001
2 (con 4 decimales) = 0,0002
2,3 : 10
23 (con 2 decimales) = 0,23
3,39 : 100
3,39 x 0,01
339 (con 4 decimales) = 0,0339
64 : 0,01
0,079 : 0,001
0,0041 : 0,1
0,0041 x 10
0,35 : 0,001
0,35 x 1.000
0,01 : 0,01
0,01 x 100
Esta propiedad nos permite transformar cualquier división en una equivalente, cuyo divisor no posea decimales: 315,2 : 0,23 (multiplicando ambos por 100) 31.520 : 23 0,63 : 1,5 (multiplicando ambos por 10) 6,3 : 15 86 : 0,725 (multiplicando ambos por 1.000) 86.000 : 725 0,0042 : 3,05 (multiplicando ambos por 100) 0,42 : 305
Y así podemos proseguir tantas veces como decimales se requieran en el cociente. Obsérvese que antes del 4 debe colocarse la coma en el cociente, no porque sea una regla, sino porque se trata de 4 décimas y esta identiﬁcación requiere de tal coma. El resultado de 3.808,47 : 26 es, ﬁnalmente, un cociente de 146,47 y 25 (centésimas) como resto.
Con el ﬁn de intentar ahora la reducción de los demás casos al anterior, recordemos que el cociente de una división no se altera si el dividendo y el divisor se multiplican o se dividen por la misma cantidad. Así, por ejemplo, son equivalentes las siguientes divisiones:
¿Y cómo darle significado a una división como 0,42 : 305? Veámoslo en esta tabla: Situación parcial
0 unidades a repartir 4 décimas a repartir
No hay reparto posible No hay reparto posible
42 centésimas a repartir 420 milésimas a repartir 1.150 diezmilésimas a repartir etc.
No hay reparto posible Se reparte 1 milésima y sobran 115 Se reparten 3 diezmilésimas y sobran 235 diezmilésimas etc.
Acción en el cociente Se coloca un 0 en las unidades Se coloca un 0 en las décimas (y una coma previa, necesaria) Se coloca un 0 en las centésimas Se coloca un 1 en las milésimas Se coloca un 3 en las diezmilésimas etc.
Trate de “razonar” de este modo algunas divisiones que Ud. mismo(a) puede proponerse... Lo importante, como se ve, es darle signiﬁcado a cada uno de los pasos de la operación y no tanto enseñar reglas mecánicas y memorísticas. Estas reglas deben aparecer más bien como un descubrimiento de los propios aprendices.
operación, sino que resulta suﬁciente una aproximación adecuada a nuestros intereses o a la naturaleza del problema. Es de hacer notar que la estimación en el caso de la división resulta más sencilla que en el de las otras operaciones aritméticas, ya que en ella se procede de izquierda a derecha con las cifras del dividendo.
Finalizamos esta sección proponiéndole la resolución de los siguientes ejercicios, en los que debe escribir el elemento ausente de cada fila de la tabla:
Para estimar el valor del cociente basta seguir el proceso indicado: “leer” el dividendo desglosado en unidades del sistema de numeración decimal y proceder con la idea de repartirlas entre tantos sujetos como indica la cantidad del divisor. Como hemos visto, inmediatamente aparece un dígito que nos indica en qué orden máximo de unidades se ubica el cociente, con lo que ya llegamos a una respuesta inicial razonable.
157 14,328 0,000175 ? 183 ? ? ? 1,69 0, 0345 2,38
? 143,28 ? 0,00001 ? 1.000 0,076 0,1 0,0169 10 ?
1,57 ? 0,0175 4,37 0,1 92,03 100 101 ? ? 100
4. Estimar el cociente de una división Ya sabemos que esto signiﬁca dar el resultado aproximado del cociente. Decisión que se justiﬁca porque a veces no es necesario el valor exacto de la
A veces resulta útil redondear los valores del dividendo y del divisor para facilitar ese cálculo inicial, pero hay que tener presente que tienen mayor repercusión en el resultado las variaciones que se aplican al divisor que las que se hacen en el dividendo. Hecha esta primera estimación, sólo es cuestión de ir aﬁnando el valor obtenido. Por ejemplo, si se desea estimar el cociente de 0,786 : 18,154 procedemos primero a transformar la división (multiplicando por 1.000) en 786 : 18.154
y vamos razonando: Con 786 unidades, no alcanza para una unidad; con 7.860 décimas, no alcanza para una décima; con 78.600 centésimas, sí alcanza para centésimas. Y para estimar cuántas, podemos redondear los términos a 80.000 : 20.000, lo que nos da un valor aproximado de 4 centésimas. Por consiguiente, el valor aproximado de la división es 0,04. Estime mentalmente el cociente de las siguientes divisiones: 138,2 : 0,65 0,059 : 37,2 3.178 : 0,51 0,035 : 0,48 0,0086 : 0,39
3,1416 : 18 763.156 : 328 61,02 : 975,9 0,0046 : 0,00074 0,0101 : 2,1
5. Tengo ante mí una situación de división; y ahora, ¿qué hago? 1. Observo la situación y decido si necesito un resultado exacto, o me basta con una aproximación. En el segundo caso procedo por la vía de la estimación... y listo. 2. Si necesito un resultado exacto, leo el dividendo y estimo el valor del cociente, para tener desde el comienzo una idea razonable y aproximada del resultado.
3. Decido la vía que voy a utilizar para realizar la división: el cálculo mental o el algoritmo escrito habitual. 4. Efectúo la división por esa vía y llego al cociente (con los decimales solicitados, si es el caso) y al resto. 5. Reviso el resultado obtenido. Para validar su exactitud, puedo servirme de la calculadora (cociente x divisor + resto debe ser igual al dividendo). Además, aprovecho para revisar la estimación inicial y buscar la forma de aﬁnarla. Este proceso puede seguirse tanto si se trata de un ejercicio directo de división o de estimación –con lo cual en el paso 1 queda decidido–, como si se trata de una situación problema que implique la división como modelo adecuado.
Lo que sí conviene destacar es que, dados el dividendo (D) y el divisor (d), no siempre es necesario escribirlos en la forma D d (con la galera) para realizar la operación en ese espacio. La operación puede realizarse con toda libertad por cualquiera de las vías propuestas, y algunas de ellas no necesitan recursos para escribir, sino una mente activa.
6. La resolución de problemas de división Los “problemas de dividir” pueden adoptar la forma de situaciones de la vida diaria en las que la división aﬂora sin diﬁcultad como la operación matemática que sirve de modelo oportuno. Otras veces, pueden presentar un carácter lúdico, o referirse a regularidades o características que presentan algunos números y series de números. Vamos a plantear algunos de estos tipos de problemas. Lo que volvemos a sugerir a nuestros lectores es que, una vez leído el enunciado de cada situación, intenten resolver el problema por cuenta propia, antes de revisar la vía de solución que se presenta posteriormente. a) ¿Cuál es la 987ª letra de la serie: A B C D E D C BA B C D E D C BA B C D... ? b) La suma de 101 números impares consecutivos es 12.827. ¿Cuál es el menor de tales números? c) Si se escriben los números desde 0 hasta 1.000, ¿cuántas veces se escribe la cifra 5? d) Se tienen 9 monedas entre las cuales hay una falsa que pesa un poco menos que
las demás. Para averiguar cuál de las 9 es, se dispone de una balanza sin pesas y se dan sólo dos oportunidades para utilizarla. ¿Cómo hacemos? e) Un kilo de naranjas tiene entre 6 y 8 naranjas. ¿Cuál es el mayor peso que pueden tener 6 docenas de naranjas? f) La diferencia de dos números es 1.231; al dividirse el mayor entre el menor se obtiene 17 como cociente y 15 como residuo. ¿De qué números se trata? g) Arturo acude a un restaurante con sus tres hijos, dos gemelos y una hija que es 2 años mayor que ellos. La ración de pollo cuesta 4.600 pesos para los adultos; los niños pagan 450 pesos por cada año de su edad. Después de comer, Arturo paga 16.300 pesos. ¿Cuáles son las edades de sus tres hijos? h) Complete las casillas del siguiente cuadro: 4 x
=3 =5 x
primera columna: 4 x 3 : 2; 4 x 6 : 4; etc. Y a partir de cada selección, ensayar valores para los cuatro espacios restantes. El resultado ﬁnal es: g) Los tres hijos pagan: 16.300 – 4.600 = 11.700 pesos. Si dividimos esta cantidad por 450 obtendremos el total de años por los que se está pagando: 11.700 : 450 = 26. La suma de las edades de los tres hijos es 26 años. Si la hija mayor tuviera 2 años menos, esa suma sería de 24 años y equivaldría a tres veces la edad de los gemelos. Por consiguiente, la edad de éstos es 8 años, y la de la hija mayor, 10. h) Ya sabemos que este tipo de ejercicios requiere grandes dosis de observación y ensayo. 4 x
=3 x =5 x
4 x 3 : 2 =6
2 + 7 : 3 =3
2 =3 x 2 =5 x 2 =7 =8
j) a. Para llegar de 32 a 0 podemos aplicar 16 veces seguidas la tecla A. Pero también podemos pulsar la tecla B y, al ﬁnal, la tecla A: (32)—B —B
(16)—B (2)—A
(8)—B (0)
b. Hay varios caminos posibles. Por ejemplo, aplicar 25 veces la tecla A. También puede ser llegar hasta 32 aplicando la tecla A y agregar después la secuencia anterior. O esta otra, quizá más breve: (50)—A (12)—B (2)—A
(48)—B (6)—A (0)
(24)—B (4)—B
c. Está claro que para los números impares no existe ninguna secuencia que lleve a 0. Y también, que cualquier secuencia para los pares no puede terminar con la tecla B. d. Se trata de reconstruir la secuencia de números provocada por B B B A A A: (0)—A (6)—B (48)
(2)—A (12)—B
(4)—A (24)—B
7. La resolución de problemas que involucran las cuatro operaciones aritméticas Para cerrar de momento el ciclo de las cuatro operaciones aritméticas básicas proponemos a nuestros lectores la resolución de los siguientes problemas. De nuevo les sugerimos que, una vez leído cada enunciado, intenten resolverlo por cuenta propia antes de revisar la vía de solución que se presenta posteriormente. k) La edad de una persona al morir era casualmente el cociente de dividir su año de nacimiento entre 31. ¿Qué edad tenía esta persona en el año 1921? l) A y B son dos números escogidos entre 1 y 45, ambos inclusive, tales que su suma es 45. ¿Cuál es el mayor valor posible de la expresión A x B : (A – B)?
m) Acabo de perder el tren por un minuto. Pero si pasaran 3 trenes más cada hora tendría que esperar al próximo tren 1 minuto menos que lo que tengo que esperar ahora. Y a todo esto, ¿cuánto es lo que tengo que esperar ahora?
n) Todos los números naturales desde 8 hasta 2.004 se dividen entre 7. ¿Cuánto da la suma de los residuos de todas esas divisiones?
por el número con las dos cifras cambiadas de posición. El producto obtenido así es 2.808 unidades menor que el que debería haberse obtenido. ¿Cuál era este producto?
ñ) Tenemos una gran hoja de papel cebolla, de 0,08 mm de espesor. Esta hoja se divide en dos mitades iguales que se colocan una encima de la otra. Este “bulto” se corta a su vez en dos mitades iguales que vuelven a colocarse una encima de la otra. Suponga que la operación se prosigue de manera similar hasta llegar a 15 veces desde el primer corte. ¿Cuál será el espesor del “bulto” que se obtendrá al ﬁnal?
r) Un comerciante compra 12 cajas de mercancía a 87 pesos cada una y vende 4 de ellas por un total de 380 pesos. ¿A cómo tendrá que vender cada una de las cajas restantes para que pueda obtener una ganancia de 156 pesos por la venta de las 12 cajas?
o) En el lugar de las ? coloque cualquiera de los cuatro signos de las operaciones aritméticas de tal forma que se cumpla la igualdad propuesta en cada caso:
s) Divida 45 en cuatro sumandos tales que si al 1º le agrega 2, al 2º le resta 2, al 3º lo multiplica por 2, al 4º lo divide entre 2, y vuelve a sumar estos cuatro nuevos números, obtiene otra vez 45.
170 ? 17 ? 12 + 120 ? 97 = 143 25 ? 40 ? 125 + 255 ? 63 = 200
t) Nueve cuadernos importados cuestan 11 dólares y algunos centavos; 13 cuadernos similares cuestan 15 dólares y algunos centavos. ¿Cuál es el valor, en dólares, de cada cuaderno?
p) Un tanque de agua tiene dos grifos. El primero lo llena en 10 minutos y el segundo en media hora. ¿En cuánto tiempo se llenará si se abren los dos grifos a la vez? q) Debía multiplicar 78 por un número de dos cifras, cuya cifra de las decenas es el triple de la de las unidades. Pero me equivoqué y multipliqué 78
u) Escriba los números pares hasta el 12 utilizando cada vez 4 cuatros y sirviéndose de los signos de las operaciones aritméticas, incluida la potencia (Vale escribir dos dígitos juntos para constituir un solo número de dos dígitos).
Pliegos de entrada
Pliegos de salida
1ª 2ª 3ª 4ª … 15ª
1 2 = 21 4 = 22 8 = 23 … 214
2 = 21 4 = 22 8 = 23 16 = 24 … 215
a ser: 15 + 3 + 18 + 9; 3 + 6 + 12 + 24 pasa a ser: 5 + 4 + 24 + 12; etc. t) Si los 9 cuadernos costaran 11 dólares exactos, cada uno de ellos valdría 11 : 9 = 1,22 dólares. Análogamente, si los 13 cuadernos costaran 15 dólares exactos, cada uno de ellos valdría 15 : 13 = 1,15 dólares. Pero como cuestan algunos centavos más que las cantidades exactas, debemos inferir que cada cuaderno cuesta algo más que estos dos precios unitarios, es decir, algo más que 1,22 dólares. Ensayemos con 1,23. Los 9 cuadernos costarían 9 x 1,23 = 11,07 dólares; los otros 13 costarían 13 x 1,23 = 15,99 dólares. Esta es una respuesta posible y, además, la única, ya que si se pasa al precio unitario de 1,24 dólares, el lote de 13 pasaría de los 16 dólares (13 x 1,24 = 16,12). u) He aquí algunas de las respuestas posibles: 0 = 4 + 4 – 4 – 4; (4 x 4)/4 – 4; 2 = 4/4 + 4/4; 4 – (4 + 4)/4; 4 + (4 – 4)/4; 6 = 4 + (4 + 4)/4; 4/4 x (4 + 4); 4 + 4 + 4 – 4; 12 = (44 + 4)/4;
(4 x 4) – (4 x 4) 4 x 4 x (4 – 4) (4 x 4)/(4 + 4) 4 = 4 x 44 – 4 4 + 4 x (4 – 4) 8 = 4 x (4 + 4)/4 (4 + 4)4/4 10 = (44 – 4)/4 4 x (4 – 4/4)
8. La división en el aula No pretendemos dar una prescripción didáctica relativa a cómo desarrollar la enseñanza de la división, sino tan sólo destacar algunos puntos que nos parecen de mayor interés: • Al trabajar con la división debe buscarse también la consolidación de los aprendizajes de la multiplicación, ya que ambas operaciones son como los dos polos de la estructura multiplicativa que debe construir el aprendiz. • Es importante destacar el carácter conceptual de la división como resta reiterada y como inversa de la multiplicación. Como se ha visto, hay ejercicios y problemas adecuados a este ﬁn.
vendió a razón de 10 caramelos por 800 pesos.Al venderlos todos obtiene una ganancia de 21.000 pesos. ¿Cuántos caramelos compró? 13. Una prueba comienza a las 8.25 a.m. y debe terminar a las 9.55 a.m. Si ha transcurrido la quinta parte del lapso previsto, ¿qué hora es? 14. En una ferretería, 1 cuesta 2.500 pesos y 918 cuesta 7.500 pesos. ¿Qué se está comprando?
• Hay que recalcar también la importancia de la adquisición y desarrollo de destrezas sobre la base de la observación de las regularidades presentes en la división. • Es fundamental la comprensión de los cocientes de las diversas unidades, enteras y decimales, del sistema de numeración decimal. • Se debe reforzar el sentido del algoritmo de la división. Esto puede lograrse mediante el recurso al proceso de reparto de billetes de denominación decimal. • El desarrollo del cálculo mental y de la resolución de problemas debe ﬁgurar como una actividad permanente. • No debe insistirse en la resolución de divisiones con cantidades de muchas
cifras enteras o decimales. En estos casos puede estimarse el cociente y utilizar la calculadora para validar el resultado.
15. Una persona ha vivido hasta ahora 44 años, 44 meses, 44 semanas, 44 días y 44 horas. ¿Cuántos años y meses cumplidos tiene?
16. María compra tres piezas de la misma tela, en distintos momentos pero al mismo precio. El costo de la primera pieza fue de 31,05 pesos; la segunda, que tenía 5 metros más que la primera, costó 36,80 pesos; y la tercera, 85,10 pesos. ¿Cuántos metros de tela ha comprado en total?
17. Si en cada autobús caben 40 estudiantes, ¿cuántos autobuses se necesitarán para transportar simultáneamente a los 736 alumnos de la escuela?
20. Un número de 6 dígitos empieza (por la izquierda) por 1. Si este dígito se quita de su lugar y se lleva a la posición de las unidades, el número que se obtiene es el triple del número original. ¿Cuál es este número?
En un juego de billar hay 27 bolas, 26 de las cuales son de igual peso y una es más pesada. Si se dispone de una balanza sin pesas, explique cómo determinaría esa última bola con sólo tres pesadas en la balanza.
21. La edad de Juan es el cuádruplo de la de René y dentro de 10 años será el triple. ¿Cuántos años tiene Juan ahora?
18. ¿En qué columna de la siguiente distribución numérica estará el número 2.305? A B C D E F G 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ……………………………........... 19. Complete las casillas del siguiente cuadro: x :
=9 =3 +
22. Se puede observar que 1.996 = 4 x 499. ¿Cuáles de los siguientes números: 1.908 1.952 2.299 2.500 pueden obtenerse mediante un producto de dos números de la forma a x abb? 23. Hallar el número cuyo quíntuplo disminuido en 17 es igual a su triple aumentado en 41. 24. Un grupo de estudiantes, entre los que hay 4 chicas, está merendando. El costo total de la merienda es de 12.000 pesos y todos consumen lo mismo. Si las chicas no pagan, los chicos deben pagar 500 pesos más cada uno. ¿Cuántos estudiantes están merendando?
Referencias bibliográﬁcas - Maza G., C. (1991). Enseñanza de la multiplicación y la división. Madrid: Síntesis. - Vergnaud, G. (1991). El niño, las matemáticas y la realidad. Problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. México: Trillas.
30. Un perro persigue a un conejo que le lleva una ventaja equivalente a 50 saltos de conejo. Si un salto del perro equivale a 3 del conejo, y si el conejo da 8 saltos mientras el perro da 3, ¿en cuántos saltos alcanza el perro al conejo? 31. Tres niños están jugando. En cada jugada, uno pierde y dos ganan. Los que ganan doblan el puntaje que traían y el que pierde resta a su puntaje la suma de los puntajes que traían los dos ganadores. Después de tres jugadas, cada jugador ha ganado dos veces y ha perdido una. Al ﬁnal, los tres tienen 40 puntos. ¿Cuántos puntos tenía cada uno al comienzo del juego? 32. A, B y C son tres números diferentes cuya suma es 28. Si A es la tercera parte de la suma de B y C, ¿cuánto suman estos dos últimos?
33. Utilizando la calculadora divido 9.307 : 146 y leo en la pantalla 63,7465. Pero no me interesan los decimales sino el resto de la división entera. ¿Cómo lo obtengo?
Respuestas de los ejercicios propuestos 1. 29 de abril 2. 96 3. 25 monedas 4. 1ª ﬁla: 6, 3, 2; 2ª ﬁla: 8, 5, 6; 3ª ﬁla: 7, 9, 9 5. 9 años 6. 71 7. Caja B 8. 5 desagües 9. Columna D 10. 3 aviones 11. 6 minutos 12. 420 caramelos 13. 8.43 a.m. 14. Los tres números: 1, 8 y 9 15. 48 años y 7 meses 16. 133 metros 17. 19 autobuses 18. Columna C 19. 1ª ﬁla: 3, 5, 6; 2ª ﬁla: 1, 8, 3; 3ª ﬁla: 4, 9, 6 20. 142.857 21. 80 años 22. 1.908 = 4 x 477; 1.952 = 4 x 488; 2.500 = 5 x 500;
2.299, no 23. 29 24. 12 estudiantes 25. Agregar 1 unidad a cada número 26. 765 plantas 27. 26, 51, 76, 101 ó 126 28. Un factor > 1 y el otro < 1 29. 1 = (4/4)4 – 4; 3 = 4 – 44 – 4; 5= 4 + 44 – 4; 7 = 4 + 4 – 4/4 = 44/4 – 4; 9 = 4 + 4 + 4/4 30. 150 saltos 31. Jugador que pierde la 1ª jugada: 65; jugador que pierde la 2ª jugada: 35; jugador que pierde la 3ª jugada: 20 32. 21 33. 109; resto a 9.307 el producto de 63 x 146
Índice A modo de introducción
Capítulo I ¿Qué es la división de números naturales?
Capítulo II El desarrollo de destrezas para dividir 2.1. Relaciones entre los cuatro términos de la división 2.2. Expresiones equivalentes 2.3. Otras relaciones y regularidades
Capítulo III La división en el sistema de numeración decimal División entera (exacta y no exacta) División con decimales
Capítulo IV Estimar el cociente de una división
Capítulo V Tengo ante mí una situación de división; y ahora, ¿qué hago? 19 Capítulo VI La resolución de problemas de división
Capítulo VII La resolución de problemas que involucran las cuatro operaciones aritméticas
Capítulo VIII La división en el aula
Capítulo IX Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
Este libro se termin贸 de imprimir en el mes de febrero de 2006.
libro 7 division
372.7 And. División Federación Internacional Fe y Alegría, 2006. 30 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980-6418-77-8 Matemáticas, División. 2 Padre Jos...

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