Source: https://es.scribd.com/doc/47144397/FUENLABRADA
Timestamp: 2016-10-24 11:04:55+00:00

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2009 d. México.coordinación editorial Felipe G. r. 2009 argentina 28 centro. cP 06020 cuauhtémoc. Sierra Beamonte diseño de portada e interiores Lourdes Salas Alexander Primera edición. © Secretaría de educación Pública. dF iSbn 978–607–467– impreso en México distribución gratuita/Prohibida su venta
................................07 Consideraciones generales .59
..................... 09 ¿Qué signiﬁca resolver un problema? ..............................................................................................................................Presentación ...................................................................... 31 A manera de conclusión ....
de tal manera que las niñas y los niños dispongan en todo momento de oportunidades de aprendizaje interesantes y retadoras que propicien el logro de competencias fundamentales. La reforma –cuyo eje es la aplicación del Programa de Educación Preescolar 2004– tiene como ﬁnalidad contribuir a la transformación de las prácticas educativas en el aula. volver a intentar y descubrir en esos intentos de cambio.E
l texto Diálogos sobre educación preescolar y primaria: un encuentro de opiniones forma parte de las acciones para impulsar la reforma pedagógica de la educación preescolar que la Secretaría de Educación Pública ha llevado a cabo desde hace más de seis años. ofrece además consideraciones didácticas precisas que ayudarán a reorientar la práctica docente y a fortalecer la competencia didáctica.
. equivocarse. Para las educadoras el logro de esta ﬁnalidad ha signiﬁcado un proceso de aprendizaje que implica probar con sus alumnos formas de trabajo innovadoras. La maestra Irma Fuenlabrada aporta en este ensayo ideas clave sobre el signiﬁcado de que los niños desarrollen competencias en el ámbito de las matemáticas y por qué ciertas concepciones o creencias sobre los procesos de desarrollo y aprendizaje infantil construidas en la tradición escolar aún rigen el trabajo educativo cotidiano. reﬂexionar. sino que es posible y necesario proponerles actividades que las hagan emerger. partiendo siempre de los saberes y las competencias que poseen. no sólo que los niños pequeños tienen múltiples capacidades.
¿Qué.deben.aprender.los.pequeños.sobre.matemáticas.durante.la.edu­ cación. preescolar?. ¿Es. posible. que. desde. los. tres. años. de. edad. los. niños. resuelvan.problemas.matemáticos?.¿Aprenden.diferente.los.niños.de.pri­ mero,.segundo.y.tercer.grados.de.preescolar?.¿Por.qué.el.Programa.de.Edu­ cación. Preescolar. 2004. no. plantea. competencias. para. cada. grado?. ¿Qué. deben.conocer.los.docentes.de.preescolar.para.plantear.distintos.tipos.de. problemas.a.sus.alumnos?.¿Qué.tipos.de.situaciones.es.conveniente.propo­ ner.a.los.niños.para.hacerlos.razonar,.buscar.y.encontrar.soluciones.a.pro­ blemas.matemáticos?. A.estas.y.otras.cuestiones.la.maestra.Fuenlabrada.responde.en.este.bre­ ve.pero.sustancioso.artículo,.con.ejemplos.que.ayudan.a.pensar.sobre.los. razonamientos.de.los.pequeños.y.las.formas.en.que.su.maestra.puede.inter­ venir. La autora invita a reflexionar sobre las prácticas pedagógicas que no generan.razonamiento,.conocimiento.ni.competencias.en.los.niños,.y.ofrece. alternativas.fundamentadas.y.factibles.para.mejorar.el.trabajo.docente.. Con.base.en.la.experiencia.obtenida.en.varias.investigación.sobre.pro­ blemas.de.conteo.de.colecciones.y.la.aplicación.de.diversas.formas.de.re­ solución. por. parte. de. alumnos. de. educación. preescolar,. la. maestra. Irma. Fuenlabrada.describe.cómo.pueden.plantearse.a.los.niños.situaciones.di­ dácticas.que.desafíen.su.intelecto.y.explica,.entre.otras.cosas,.cómo.iden­ tificar diversos tipos de problemas atendiendo la relación semántica entre los.datos.numéricos. El.estudio.de.este.material.no.se.agota.con.una.lectura;.es.útil.para.el. análisis.y.la.discusión.académica.y.sugerente.para.proponer.a.los.pequeños. situaciones.análogas.a.las.que.ofrece.el.texto. La.Secretaría.de.Educación.Pública.espera.que.este.texto.contribuya.a.la. apropiación.de.una.propuesta.de.trabajo.basada.en.la.resolución.de.proble­ mas.numéricos,.así.como.a.la.mejor.comprensión.y.aplicación.del.Programa. de.Educación.Preescolar.2004.
Irma Fuenlabrada1
ntre las diversas diﬁcultades que han enfrentado las educadoras al aplicar el Programa de Educación Preescolar 2004 (PEP)2 una sobre la que particularmente nos ocuparemos en este artículo es la confusión que tienen entre “adquirir conocimiento” y “desarrollar competencias”. En primera instancia trataré de esclarecer en dónde se origina dicha confusión para después ofrecer a las educadoras consideraciones didácticas que les ayuden a reorientar su práctica docente, de tal forma que al trabajar sobre el campo Pensamiento matemático propicien que los niños adquieran conocimiento matemático al mismo tiempo que vayan desarrollando competencias. Las reﬂexiones que plantearé en este documento se circunscriben a las ideas que las educadoras tienen sobre los primeros números, su representación y el conteo, y a cómo estas ideas inciden en la interpretación de los problemas y de su utilización como recurso didáctico para promover el conocimiento de los primeros números en los alumnos de preescolar; asimismo, haré algunas acotaciones sobre lo que se espera aprendan los niños al respecto.
1 Integrante del Departamento de Investigaciones Educativas (DIE) del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (Cinvestav) del IPN. Para la realización de este artículo se contó con la colaboración de Ruth Valencia Pulido, profesora de la SEP comisionada al DIE, así como de Bertha Vivanco Ocampo, auxiliar de investigación del mismo departamento. 2 Educación básica. Programa de Educación Preescolar 2004, México, SEP.
Teniendo presente que la pretensión del PEP es que las educadoras promuevan el desarrollo de competencias que permitan a los niños y las niñas del país una participación plena en la vida social (SEP, 2004:31) organizaré la discusión a partir de los planteamientos hechos en el programa 2004, en relación con las dos primeras competencias sobre número:
• Utiliza los números en situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo. • Plantea y resuelve problemas en situaciones que le son familiares y que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos (SEP, 2004:75).
Con el propósito de sustentar el desarrollo del contenido, en este documento retomaré algunos hallazgos de dos investigaciones,3 en una de las cuales se exploran las creencias matemáticas de las educadoras y la otra documenta y analiza los procedimientos de resolución de problemas de niños de preescolar.
¿Qué signiﬁca para las educadoras desarrollar competencias en los niños?
Desde las consideraciones que hace Mercado sobre los saberes docentes4 se puede decir que las educadoras han elaborado ideas y creencias sobre las matemáticas y su relación con el número, que tienen su origen en su propio tránsito por la escuela, en su formación profesional, en las
3 Saberes matemáticos de las educadoras y su incidencia en la enseñanza que realizan en el aula y El desarrollo del pensamiento matemático en niños del preescolar desde las consideraciones metodológicas del PEP04. Ambas investigaciones fueron realizadas con la dirección de Irma Fuenlabrada en el DIE del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN. 4 Ruth Mercado (2006), “La organización de la enseñanza”, en I. Fuenlabrada y E. Weiss (coords.), Prácticas escolares y docentes en las escuelas primarias multigrados Conafe/Cinvestav, Sede Sur, México.
y esto debe expresarse en situaciones y contextos diversos. al organizar la enseñanza suponen 11
.	habilidades	y	destrezas	que	una	persona	logra	mediante procesos de aprendizaje y que se manifiestan en su desempeño en	situaciones	y	contextos	diversos	(22). la cual se manifiesta.	actitudes. Sin embargo. simultáneamente al conocimiento que preocupa a las educadoras (los primeros números. Se observa todavía en muchos jardines de niños que las educadoras sólo retoman de la definición de competencia lo referido al conocimiento. y a partir de la experiencia. dicen. la cual señala:
Una	competencia	es	un	conjunto	de	capacidades	que	incluye	conocimientos. creencias y experiencia docente. Desde el ciclo escolar 2004-2005 las educadoras han establecido un diálogo con la definición de competencias planteada en el programa 2004. y también lo pueden hacer al revés (realizar la tarea inversa). cuando los niños pueden contar los elementos de una colección (dibujada) y escriben el número (correspondiente). Sin embargo. Es decir. su representación y el conteo) deben desarrollar en sus alumnos actitudes. con la finalidad de llegar a la representación y al reconocimiento de los símbolos numéricos. la definición citada dice que la competencia es “algo” más que un conocimiento. específicamente se hacen cargo de los primeros números en su significado de cardinal. A manera de ejemplo. así. Esto significa para ellas la culminación de la adquisición del conocimiento del número y por ello de una competencia. siguen –las más de las veces– avocándose a la transmisión de conocimiento por ostentación y repetición. aunque dicen estar desarrollando competencias.interacciones cotidianas con sus pares y particularmente en el hacer y decir de sus alumnos frente a las situaciones de enseñanza que realizan. habilidades y destrezas.
Las educadoras realizan este diálogo con base en sus ideas. he detectado que hay educadoras que sí reparan en ese “algo más” que incluye la definición de competencia.
finalmente. habilidades y destrezas.
. He observado este fenómeno de “partición” de la definición de competencia particularmente en jardines de niños en donde la directora y educadoras están organizadas como un colectivo.que deben hacer una “partición” de la definición para lograr los propósitos establecidos en el PEP.	no	le	gusta	compartir. Al cuestionamiento: En su planeación de enseñanza (matemática). esto no ocurre inconscientemente.]	a	veces	son	muy	caprichudos	[.	al	respeto	a	todos. es importante señalar que el desarrollo de actitudes involucrado en la definición se desdibuja en el trabajo sobre el campo de Pensamiento matemático..	Israel	[por	ejemplo]	es	hijo	único. que es equivalente al planteamiento de problemas. porque se considera que las actitudes se atienden en otros campos. No obstante. ¿en qué momento se ocupan del desarrollo de actitudes?.]	poco	a	poco	van	mejorando	su	actitudes. Las maestras deciden empezar en primer grado e inicios del segundo.	no	se	quitan	el	material. las educadoras dan cuenta de ello en sus planeaciones. que identifican con el dominio –por parte de los niños– de “lo aprendido” a través de la repetición (y en todo caso también refiere a una ampliación del rango numérico). esta “partición” de la definición de competencia.	él	tiene	problemas	con	sus	actitudes	[de	convivencia].
Una	educadora	dice:	“(trabajamos	el	desarrollo	de	actitudes)	cuando	les	enseñamos	a	los	niños	a	reconocer	lo	bueno	que	es	tener	actitudes	favorables	a	la	convivencia. frecuentemente responden que desarrollar actitudes corresponde al campo de Desarrollo personal y social.].. esto es equivalente a la “enseñanza” del conteo y la representación simbólica convencional. en segundo grado e inicios del tercero continúan trabajando con las actitudes..	pero	esto	tiene	que	ver	con	su	casa	[.. por los conocimientos.	[.	se	pelean	menos.	esperan	su	turno	para	hablar.	siempre	quiere	hacer	su	voluntad..	Hay	niños	que	les	cuesta	más	trabajo. De hecho.. Entre los acuerdos conjuntos que toman para la marcha e implementación del programa suceden cosas como las que a continuación se describen. dejan para tercer grado el espacio para la utilización de lo aprendido en situaciones y contextos diversos.
Sin embargo. ellos “no pueden” (encontrar la solución).
. en lugar de esperar que alguien (su maestra) les diga cómo resolverlo. como lo es la actitud de búsqueda de la solución de un problema. las educadoras no reconocen la importancia de ocuparse de las mismas en los campos con mayor contenido disciplinar. entendido como cuando los niños dominan el conteo de colecciones con los primeros números (alrededor del 30). en algunos casos. “se distraen fácilmente”. lo hacen hasta que sus alumnos dan muestra de “dominio” de los conocimiento necesarios para resolverlos. “son muy pequeños y algunos no saben qué hacer”. y a partir de un número los niños lo interpretan para dibujar una colección que le corresponda. como es el de matemáticas. En los datos que se tienen se observa que las educadoras.Con esta manera de entender el desarrollo de actitudes. se trabajan poco en la educación preescolar y en tercer grado ceden su lugar. si bien entienden que deben plantear problemas a los niños. los problemas no son entendidos por las educadoras como un recurso de la enseñanza para propiciar el aprendizaje del conocimiento y favorecerlo como se dice en el programa. Es fundamental que la enseñanza se ocupe de propiciar en los niños actitudes frente a lo que desconocen. a la ampliación del rango numérico y a la operatoria (sumas y restas) de bidígitos sin transformación. al margen de que los problemas sean considerados como un espacio de “aplicación” del conocimiento. “todavía necesitan que uno les ayude”. sino como el espacio en donde debe “mostrarse” la adquisición de un conocimiento “terminal”. son capaces de reconocer y producir la escritura numérica convencional (al menos hasta el 10) y realizan con éxito tareas explícitas –solicitadas por la educadora– de conteo de objetos en una colección dibujada y el registro numérico de su cardinalidad. Todavía me encuentro con educadoras que siguen asumiendo que si ellas no les dicen a los niños lo que deben hacer. es decir. Esta manera de actuar en la enseñanza se sustenta en las prácticas docentes dominantes que precisamente el programa 2004 pretende cambiar. Adicionado a esto último es necesario hacer otra precisión respecto a la utilización de lo aprendido en situaciones y contextos diversos.
. Además de lo señalado sobre la “partición” de la definición de competencia. las prácticas de enseñanza en muchos casos continúan signadas por una serie de actividades matemáticas que terminan siendo actividades manuales. por la preocupación de las educadoras.	¿rojo?	(dice	el	niño	con	duda). Y es desde esta consideración que aparecen las primeras dificultades. el 3 de verde”.	a	ver.	¿cuál	es	el	rojo?	(el	niño	toma	una	crayola	roja).Con base en el conocimiento actual acerca de cómo aprenden matemática los niños. la intencionalidad matemática original (reconocer los símbolos de los números) cede su lugar. deben observarse en situaciones y contextos diversos en el proceso mismo de aprendizaje. con asombrosa facilidad. actitudes.	muy	bien. habilidades y destrezas– que se espera desarrollar en ellos no se enseñan “por separado”.	sí. actitudes. los pinten de colores diferentes según las indicaciones de la educadora: “2 de rojo.	14
. a la actividad manual inmersa en la situación:
Este	es	el	2	(lo	señala	la	educadora).
En la definición de competencias en el programa de preescolar se señala que los conocimientos. porque la manera como usualmente las educadoras realizan la enseñanza todavía dista de la posibilidad de lograr lo que el programa establece.	ahora	píntalo	(el	número)	sin	salirte	de	la	rayita. etcétera.. habilidades y destrezas se logran mediante procesos de aprendizaje. más aún.	¿de	qué	color	dijimos	que	lo	vamos	a	pintar?. el reconocimiento de la representación simbólica de los números se entreteje con el boleo con papel crepé para que los niños rellenen las grafías de los números o bien. A título de ejemplo.	ese	es	el	rojo. estos componentes –conocimiento.
Los recursos gráficos para expresar la cantidad de objetos de una colección son diversos y los niños los manifiestan si se les da oportunidad de hacerlo. los colores y su motricidad. entre otras cosas. Desde luego que entre las muchas maneras como los niños resuelven las situaciones de comunicación de la cantidad aparece la
. a las primeras no resulta.Así. una directora-educadora nos explica lo que ella y sus compañeras pretenden: “Deben ser provechosas (las actividades) para que los niños integren varios conocimientos. En la situación descrita –y en muchas otras– la representación convencional de los números se presenta para ser aprendida por ostentación: “Este es el 2” (se señala) y por repetición para que los niños logren recordarlo y. la importancia en la enseñanza del hecho de que los niños aprendan a identificarlos y. la respuesta siguió la siguiente lógica: “De todo (identificación de los números. sólo quiero destacar el reconocimiento de que el número es difícil. es lento pero los niños lo logran”. de ser necesario. Usted lo pudo ver. Esto (la motricidad) es muy importante en la lectoescritura. Frente a la observación de que varios niños no identificaron los números y la educadora se los señalaba. a la larga. no lo podemos perder de vista”. los pequeños trabajaron con los números. Este espacio no es suficiente para analizar todo lo que hay detrás del hacer y decir de las educadoras frente a este suceso. pero más importante es reparar en los recursos didácticos que suelen utilizar para lograrlo: la repetición (“hay que hacerlo varias veces”). para la educadora acaba siendo más importante que el niño identifique los colores e ilumine bien y. y con ello vayan reconociendo una de las funciones del número. trazarlo. lo más difícil es el número. por el momento. hay que ayudarlos. por eso. es decir. es algo abstracto. no se consideran espacios de aprendizaje para que los niños enfrenten la situación de comunicar la cantidad de una colección. que poco a poco los niños van comprendiendo. Al respecto. a escribirlos. le ayuda llevándole la manita para que los padres vean “lo bien que trabaja su hijo”. los colores y el desarrollo de la motricidad). desde luego.
tesis de maestría. 6 piedritas.representación convencional de los números (1. 3. Cabe destacar que los niños sabían escribir los números y realizaban esa tarea razonablemente bien cuando les era explícitamente solicitado. sus relaciones y sus operaciones en un grupo del nivel preescolar.6 cuando sus recursos de enseñanza responden a los planteamientos metodológicos del PEP. 6 Ma. El material solicitado fue: 10 palitos. de cantidades de diferentes coleccio-
5 Por ejemplo. Para ilustrar lo expuesto en el párrafo precedente. ﬁchas 1. Experimentación de una secuencia didáctica del eje: los números. Solamente enfatiza la función de la nota: a partir del registro deben poder recuperar la información que ella les va a dar. 4. “como quisieran”.). en la manera de responder de los niños.
La docente en cuestión planteó a sus alumnos (de tercer grado) que el día siguiente debían traer material para hacer una maqueta. de los Ángeles Rangel (2007). pero no es ni la primera forma de resolver y por supuesto tampoco la única. Les pidió que tomaran nota. 12 hojas y 8 cocodrilos. que “leyendo su recado puedan decirle a su mamá lo que tienen que traer para mañana”. “con ese recado pudieran recordar lo que les había pedido”. puede revisarse la secuencia sobre clasiﬁcación cuantitativa. todo depende de la manera como se plantea la situación de aprendizaje5 y la actitud de la educadora sobre lo que espera de sus alumnos. etcétera).. 2. pero el objetivo de la actividad no es “practicar la escritura numérica” sino instalar a los alumnos en una situación de comunicación –para ellos mismos y para sus mamás–. se muestran los efectos de la enseñanza.
. usando palabras. revisemos cómo se conduce una educadora. DIE. les dijo. números.
Es muy importante analizar la manera como la educadora presenta la situación (consigna). No les dice a los niños cómo deben hacer la nota (con dibujitos. de los materiales para que en su casa.. Lo importante es. 13. 15 y 19 de ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático? Fichero de actividades para preescolar (2008).. Asimismo.
nes. Es así como tanto el manejo de la consigna por parte de la educadora como su actitud ante las diferente demandas de los niños propicia que en las producciones gráficas se pueda rastrear lo que entendieron de la situación planteada y sus posibilidades para resolverla. 3 y 4) particularmente ilustrativas sobre las posibilidades de comunicación de cantidades de niños. favorece al desarrollo de la habilidad de abstracción numérica. A Doris (imagen 3). Es decir. “Es que no sé escribir”. En las producciones de los niños queda claro que el autor de este primer registro (imagen 1) entendió que para hacer el recado debía “escribir”. La actitud de la educadora. como tú quieras”. pero el registro no comunica lo que necesita pedirle a su mamá para hacer la maqueta. y conocer los recursos gráficos con los que contaban para registrar esta información. registros como el de Doris. Entre las diferentes maneras como los alumnos resolvieron el registro de la información aparecen cuatro (imágenes 1. 2. de los ocho cocodrilos. Por cierto. cuando los niños intentaban resolver cómo registrar la información fue la de mantenerse en no decirles cómo hacerlo: “¿Con dibujitos maestra?” “Cómo ustedes quieran”. como lo hace la educadora protagonista de este ejemplo. por lo que la palabra cocodrilo se puede remplazar con un
. los números le “sirven” pero no son lo suficientemente claros para comunicar la cantidad. No debe perderse de vista que esto responde a uno de los planteamientos centrales de enseñanza sugeridos en el programa 2004. hazlo de otra manera. es mucho mejor para él dibujar las colecciones (cantidad y cualidad). “ No importa. es lo más que se puede esperar para quien utiliza los números como comunicación de cantidades pero todavía no sabe escribir. imita el gesto de quienes escriben y hace uso de las letras que sabe trazar. Plantear una consigna a los niños sin decirles cómo se espera que resuelvan la actividad. por lo que todavía necesita acompañarlos con el dibujo de las colecciones. en esta situación los números no le son útiles para comunicar cantidades. Para Rodrigo (imagen 2). se trataba de averiguar qué información de las colecciones (aspecto cualitativo y cuantitativo) resultaba significativa para los niños.
Observemos que en la tarea solicitada es igualmente importante registrar la información cuantitativa como cualitativa.	imita	el	gesto	de	quienes	escriben	y	hace	uso	de	las	letras	que	sabe	trazar.dibujo.
El	autor	de	este	primer	registro	entendió	que	para	hacer	el	recado	debía	“escribir”.	pero	el	registro	no	comunica	lo	que	necesita	pedirle	a	su	mamá	para	hacer	la	maqueta.
.	es	mucho	mejor	para	él	dibujar	las	colecciones	(cantidad	y	cualidad).	IMAGEN 2
para	Rodrigo	los	números	no	le	son	útiles	para	comunicar	cantidades. Jessica (imagen 4) se acerca mucho al tipo de registro que cualquier alfabetizado puede hacer. Finalmente. usa los números y desde sus posibilidades escribe las palabras correspondientes a los objetos de cada colección. sin embargo. que la intención de Doris era hacer ocho cocodrilos. Cabe señalar. pero dada la complejidad del dibujo ya no se ocupó de hacer los otros siete.
usa	los	números	y	desde	sus	posibilidades	escribe	las	palabras	correspondientes	a	los	objetos	de	cada	colección.IMAGEN 3
A	Doris.	pero	dada	la	complejidad	del	dibujo	ya	no	se	ocupó	de	hacer	los	otros	siete. no sólo para enfrentar situaciones de comunicación sino también en otras donde el número.	por	lo	que	todavía	necesita	acompañarlos	con	el	dibujo	de	las	colecciones.	los	números	le	“sirven”	pero	no	son	lo	suficientemente claros para comunicar la cantidad.	La	intención	de	Doris	era	hacer	ocho	cocodrilos. al finalizar preescolar se pretende que recurran a la escritura convencional de los números por propia iniciativa. 1
En el ejemplo debe quedar claro que las producciones de los niños son expresiones de las distintas formas de aproximarse a la representación gráfica de las cantidades.	IMAGEN 4
Jessica	se	acerca	mucho	al	tipo	de	registro	que	cualquier	alfabetizado	puede	hacer. su representación y el conteo sean utilizados.
Una pregunta que puede orientar la discusión es: ¿a los niños.
La manifestación del conocimiento en situaciones y contextos diversos
Promover el logro del conocimiento en situaciones y contextos diversos se establece en la definición de competencia. b) Comprender el significado de los datos numéricos en el contexto	del	problema.	del	conocimiento aprendido	(los	números.	el	conteo.	d) tilizar	ese	conocimiento	con	soltura	para	resolver	(habilidades y	U destrezas)	la	situación	planteada.	relaciones	aditivas. en su tránsito por la educación preescolar. entre otros.	esto	es.	si	muestran	actitud de seguridad	y	certeza	como	sujetos	pensantes	que	son.	es	decir. los niños tienen oportunidades para realizar las siguientes acciones ligadas al razonamiento:
a) Buscar	cómo	solucionar	la	situación. también tiene que ver con los procesos de aprendizaje que posibilite la educadora con las actividades que proponga y mediante su intervención docente. No han logrado incorporar aún a sus prácticas docentes recursos didácticos que favorezcan situaciones de aprendizaje en las cuales los niños produzcan registros personales.
.Desafortunadamente. para representar el sentido númerico de una colección.	para	mostrar	su	pensamiento matemático. se les está dando la posibilidad de desarrollar competencias correlacionadas con el conocimiento del número? Una manera de averiguarlo es si frente a situaciones y problemas diversos.	el	que	les	sirve	para	resolver	la	situación. en lugar de esperar que su maestra “les diga qué tienen que hacer”. c) legir. para muchas educadoras la escritura de los números sigue siendo prioritaria prácticamente desde el inicio de la enseñanza.	etcétera).	su	represenE tación.
igualar.	no	sólo	sobre	el	conocimiento	de	lo	numérico.	pero	no	pierdan	de	vista	que	para	lograrlo	es	indispensable	permitan	a	los	niños.	que	con	sus	propios	recursos	encuentren	cómo	resolver	las	diversas	situaciones	matemáticas	que	les	propongan.	ustedes	cuentan	con	menos	tiempo	para	“enderezar	el	rumbo”. quitar. los niños esperan sus indicaciones para proceder.	están	a	punto	de	que	sus	alumnos	terminen	preescolar	sin	haber	logrado	al	menos	las	dos	competencias	sobre	número	enunciadas	al	inicio	de	este	artículo. pero cabría preguntarse: ¿qué han aprendido los niños comúnmente en preescolar?
.	etcétera). • si	los	niños	son	de	segundo	grado. comparar y repartir objetos.	el	conteo.	Independientemente	de	las	“evidencias”	recabadas.	las	cuales	mostrarán	que	sus	alumnos	han	aprendido	algo	sobre	los	primeros	números	(su	representación.	pero	muy	débilmente	podrán	reconocer	cuáles	son	las	situaciones	en	las	que	el	número	es	un	conocimiento	útil	para	resolverlas.	sino	también	sobre cómo actuar frente a lo que desconocen. esto lo saben bien las educadoras y se han ocupado de ello desde antes del PEP 2004.	en	el	mejor	de	los	casos	sus	alumnos	aprenderán	a	contar	y	a	escribir	los	números.	¡todavía	están	a	tiempo	de	replantear	su enseñanza! atendiendo de manera más eficiente las orientaciones metodológicas	del	pEp	2004.	no	están	en	posibilidad	de	retomar	ese	conocimiento	para	resolver situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo. reunir.	tienen	lo	que	resta	del	año	y	dos	más	para	lograr	que	sus	alumnos	desarrollen competencias.	la	situación	es	grave. les sugiero hacer la siguiente valoración:
• si	los	niños	son	de	primer	grado	de	preescolar.	De	no	“dejarlos	hacer”.	no	hay	problema.	sistemáticamente.	• si	los	niños	son	de	tercer	grado.Si las educadoras hacen una pequeña exploración en su grupo y resulta que al plantear a sus alumnos un problema que implique agregar.
Durante la educación preescolar es necesario que los niños aprendan ciertas cosas sobre los números.
fíjense bien. Por ejemplo. al menos de esto presumen sus maestras. lo valoran positivamente). ¿están mal?. etcétera) usando los deditos de sus manos.
Entonces. auspiciado por la enseñanza (los docentes no sólo “lo enseñan” sino. la crucecita se lee “más” y dice que vamos a juntar estas tortuguitas con las otras (.. 2000. pueden contar y escribir cuántas son. con la salvedad de que lo hacen con apoyo de un gráﬁco8 (imagen 6). o bien. dado un número. ¿hasta el 20?. ¿hasta el 10?. siguiendo las indicaciones y explicaciones de su maestra:
¿Cuántas tortugas hay aquí? ¡Cuatro! En la rayita. en virtud de que los alumnos creen reconocer en él “la manera” de proceder.) y en total ¿soooon?. Realmente los niños cuentan y van llenando los espacios. • Algunos niños “muy avanzados” resuelven sumas. pero ese recurso (contar con los dedos) les sirve de poco... Grupo Editorial Iberoamérica. 8 De las operaciones con números de dos cifras. 2 y 4. que también suelen verse en preescolar. emito mi opinión más adelante. ¿son incorrectos? La respuesta es no. dada una colección de vacas. a ver. se convierte en un obstáculo en el proceso de aprendizaje. logran dibujar una colección cuya cardinalidad corresponda a ese número (imagen 5). ¿cuántas? A ver escriban el 7 en su lugarcito. en su artículo “Educación y didáctica de las matemáticas”. ¿hasta el 10?.. aquí abajo.. • Saben hacer cálculos (3 y 5. ¿hasta el 100? • Conteo de colecciones. sólo que es muy poco
7 Brousseau. ¿hasta el 20?. publicado en la revista Educación matemática... ¿cómo se escribe el 4? (. México. en caso de aparecer espontáneamente en al aula.
..• La serie numérica oral. y de hecho en ocasiones es un obstáculo didáctico7 para resolver cierto tipo de problemas.). a dónde van a escribir el 4. si estos son los aprendizajes que favorecen las educadoras. deﬁne como “obstáculo didáctico” aquello que. ¿hasta cuál…? • Realizan con éxito tareas explícitas de correlación entre una colección y el registro numérico de su cardinalidad y viceversa..) escriban el 3 (. escriban cuántas hay.. Sobre esto regresaremos más adelante.
)	y	en	total	¿soooon?.	dado	un	número.	escriban	cuántas	hay.)	escriban	el	3	(.	pueden	contar	y	escribir	cuántas	son.	fíjense	bien.	aquí	abajo....	a	ver...
¿Cuántas	tortugas	hay	aquí?	¡Cuatro!	En	la	rayita..	la	crucecita	se	lee	“más”	y	dice	que	vamos	a	juntar	estas	tortuguitas	con	las	otras	(. según se establece en el PEP 2004..	logran	dibujar	una	colección	cuya	cardinalidad	corresponda	a	ese	número.	¿cuántas?	A	ver	escriban	el	7	en	su	lugarcito.).	23
Dada	una	colección	de	vacas.	o	bien..respecto a lo que actualmente la investigación nos dice que los niños pequeños pueden aprender y a lo que se espera aprendan.	¿cómo	se	escribe	el	4?	(.	a	dónde	van	a	escribir	el	4...
argumentar. a la vez que adquieran la competencia para escuchar a sus compañeros. en parejas. no se trata de una repartición de tareas cuyos productos individuales se reúnen posteriormente para dar cuenta de “lo que hizo el equipo”. No basta con conocer los números. como utilizarlos en situaciones variadas que impliquen poner en práctica los principios del conteo. que se espera realicen los niños. Observemos que utilizar un conocimiento no es lo mismo que sólo “adquirirlo”. igualar. lograr esto hace indispensable que las educadoras modiﬁquen su manera de enseñar. las destrezas y habilidades que vayan adquiriendo estén a su disposición para resolver diversas situaciones. retomar lo ya citado en relación con lo que se espera que aprendan los niños sobre los números.
. ¿Cuáles son estas situaciones? Las que les sean familiares e impliquen agregar. comparar y repartir objetos. Es necesario. la cuestión sería: ¿cómo desarrollar en los niños competencias sobre lo numérico. en este momento. ¿Qué ideas van a defender? Las que les hayan surgido en la búsqueda de solución de los problemas. no sólo al término de su educación preescolar sino también en el futuro. su representación y saber
9 El trabajo en equipo. quitar. negociando con sus pares. esto signiﬁca que el conocimiento. cediendo a los niños más autonomía en el proceso de aprendizaje. Especíﬁcamente para el caso que nos ocupa. la solución a los problemas.Las aspiraciones del PEP 2004
Recordemos que la pretensión del programa es que las educadoras propicien en sus alumnos el desarrollo de competencias. etcétera? ¿Qué van a aprender a escuchar? Las explicaciones de sus compañeros (y no sólo de su maestra) sobre cómo resolver un problema. ¿Qué van a argumentar? Las consideraciones que tomaron en cuenta para resolverlos. ¿Cómo van a aprender a trabajar en equipo?9 Buscando juntos. trabajar en equipo. tríadas o equipos de cuatro. reunir. es un recurso para socializar su conocimiento. opinando sobre cómo proceder. defender sus ideas.
si el problema se planteara así:
Eric	tiene	25	carritos	y	le	regalaron	el	día	de	su	cumpleaños	547.	¿Cuántos	carritos	tiene	Eric?
Ciertamente. se podría contar una colección de 295 elementos (piedritas. con base en ese conocimiento es necesario. es claro que la estrategia de conteo 1 a 1 no es funcional cuando las cantidades son mayores.contar. Sin embargo. ésta. agregar otra de 547 para después iniciar un nuevo conteo desde el 1 hasta el 852 para averiguar si Eric tiene esa cantidad de carritos. Veamos un problema:
Eric	tiene	4	carritos. a ésta agregarle 8 y luego a contar desde el 1 la nueva colección para averiguar que son 12 los carritos que tiene Eric. los datos numéricos involucrados inevitablemente tienen que referir a cantidades pequeñas.	el	día	de	su	cumpleaños	le	regalaron	8. también contando de 1 en 1. fichas. ¡que puedan resolver diferentes situaciones! Para que un problema se pueda resolver poniendo en juego los principios de conteo y esto no resulte artificioso. es la suma:
25 547 852
. sabemos. En la matemática se ha desarrollado otra estrategia más económica y funcional para solucionar el cálculo en este tipo de problemas. rayitas) y luego. sino. Sin embargo. resulta fuera de lugar para resolver el problema de cálculo del problema.	¿Cuántos	carritos	tiene	Eric?
El problema lleva a los niños a contar una colección de 4 fichas (o cualquier otro objeto disponible).
como veremos con más precisión. a encontrarse con los números en diversos contextos y a utilizarlos con sentido. se	trata de que en el proceso de aprendizaje los niños encuentren el significado	de	los	datos	numéricos	en	el	contexto	del	problema	y	reconozcan	las	relaciones	que	se	pueden	establecer	entre	ellos	para	encontrar	la	solución. irán reconociendo para qué sirve contar y en qué tipo de problemas es conveniente hacerlo. Además. unirlas.No obstante. radica en que para resolverlos se necesita que los niños tengan oportunidad de tener experiencias que les permitan dos cosas:
• La	primera	es	establecer la	relación	semántica	entre	los	datos. como separarlas. deben referir a cantidades pequeñas (preferentemente menores a 10). La importancia de recurrir al planteamiento de problemas para posibilitar el aprendizaje del significado de los números y el uso del conteo. compararlas. Entonces los datos numéricos de los problemas que se espera los niños de preescolar puedan resolver. los niños se ven en la necesidad de construir colecciones con determinada cantidad de objetos (datos del problema) y realizar con esas colecciones diversas acciones. cabe aclarar que proponer a los niños resolver problemas con cantidades pequeñas los lleva.	transformaciones	o	relaciones.	Los	datos	en	los	problemas	aditivos	pueden	aparecer	como	medidas	–de	colecciones–.
. y los resultados estarán alrededor del 20. a fin de que la estrategia de conteo tenga sentido y resulte útil para los niños. distribuirlas. es decir. porque para comprender dicha operación se requiere del conocimiento del sistema de numeración decimal (con el que habitualmente escribimos los números) y este contenido temático se aborda al inicio del primer año de primaria y se formaliza hacia el final del mismo. multiplicación o división) no está planteada para la educación preescolar. Las acciones que los niños realizan (por decisión propia) son sugeridas por la relación semántica entre los datos del problema que pretenden resolver. En el proceso de resolución de problemas. agregar una a otra. igualarlas –como se proponen el PEP. la operación de suma (resta.
2. multiplicación y división. ¿Cuántos coches tiene Santiago? Santiago tenía 2 coches y su mamá le regaló 5 coches. es que los niños de preescolar tengan recursos de cálculo para encontrar la resolución demandada en el problema (percepción de la cantidad. aquí pueden aparecer registros personales de la cardinalidad de la colección resultante o bien. conteo de 1 en 1. relaciones aditivas de los primeros números. etcétera). ¿Cuántos coches tiene Santiago? Santiago tiene 2 coches y su mamá tiene 5 coches más que Santiago. cálculo mental de colecciones pequeñas. resta. a veces basta con que digan oralmente el resultado y en otras ocasiones la educadora puede solicitarles que lo escriban. y les encuentran sentido cuando se trabaja con números mayores. etcétera). por mencionar algunos– son recursos de cálculo que los niños aprenderán en la primaria. el uso de los signos numéricos convencionales (1. sobreconteo. ¿Cuántos coches tiene la mamá de Santiago?
10 El manejo del cálculo en el nivel de lo simbólico –algoritmos de suma.
Con la ﬁnalidad de que las educadoras reﬂexionen sobre qué les permite a los niños realizar con los problemas diferentes acciones y comprendan la importancia de que éstas aparezcan en el proceso de aprendizaje de los números en particular y la matemática en general. 3.10
Dependiendo del momento en que se encuentren los niños. analicemos los siguientes problemas:
Santiago tiene 2 coches rojos y 5 coches blancos.• La segunda (igualmente importante).
Si en su proceso de aprendizaje se da a los niños la oportunidad de resolver situaciones numéricas con base en su propia experiencia y conocimientos (como se sugiere en el PEP 2004). a la vez que se van reconociendo las relaciones (aditivas) de los primeros números: el 7 puede verse como un 2 y 5. e involucran a los números 2 y 5. 2.	le	regaló	2	a	Mario	y	a	su	mamá	le	regaló	5. 2. si todos se resuelven con la suma 2 + 5. son propósitos de preescolar.	A	santiago	ya	no	le	quedaron	coches. los problemas son diferentes.santiago	tenía	algunos	coches. utilizarán el conteo. sin que deje de aparecer el 7 como el resultado de un conteo que se realiza de 1 en 1.	¿Cuántos	coches	tenía	santiago?
Todos los problemas refieren a los coches de Santiago. ¿será necesario que la educadora enseñe la operación de suma para que los niños puedan resolver esos problemas? ¡No! Entonces. entonces. pero el antecedente a la operatoria se sustenta en la posibilidad de reflexionar sobre las distintas acciones que se pueden realizar con las colecciones. etcétera. ¿cómo podrán los niños resolverlos si no se les enseñan las operaciones? Comprender que “la suma” es la operación que resuelve los problemas citados (y muchos otros) es un proceso de abstracción al que los niños pueden acceder en la escuela primaria. Por esto es importante que sean ellos quienes decidan qué les conviene hacer con los datos numéricos de un problema para resolver la pregunta respectiva. como un 10 al que se le quitan 3. 2 y 1. Son estas actividades –interactuar con los datos. 4 y 3.
. podrán hacerlo sin conocer las operaciones. además se resuelven con la misma operación: 2 + 5 = 7. tomar decisiones sobre ellos y llevarlas a cabo– las que darán sentido a los números y al conteo y en general al desarrollo del pensamiento matemático. Sin embargo. tienen razonamientos distintos y acciones diferentes sobre el 2 y el 5. Las operaciones son un contenido de la primaria. un 9 disminuido en 2. realizar acciones sobre diversas colecciones y contar.
tampoco el 5 modifica la cantidad de coches de Santiago. si bien el 2 sigue siendo una medida (los coches que tiene Santiago) el 5 ya no lo es. En cambio. y en el proceso se quedó sin coches. sin embargo. En el tercer problema. es necesario que la educadora comprenda qué hace diferente los problemas de Santiago y sus coches. aunque todos se resuelvan con la suma 2 + 5. Para ello. porque modifica la cantidad de coches que tenía Santiago (de 2 que tenía pasó a tener 7 coches). El 5 en ese problema no es una medida.Los números en el contexto de un problema
En el apartado precedente se establece que los niños desarrollan su pensamiento matemático cuando la educadora les permita decidir qué hacer frente a un problema. es decir. cabe aclarar que los dos primeros problemas son menos complejos que el tercero y el cuarto. A fin de ahondar sobre la importancia de establecer la relación semántica entre los datos. en el segundo problema. porque ni Santiago ni su mamá tienen 5 coches. en cada uno se modificó la cantidad de coches de Santiago. Los distintos contextos (problemas) en los que aparecen el 2 y el 5 llevan a los niños a realizar diferentes acciones. El 5 en este problema establece una relación entre la cantidad de coches que tienen ambos sujetos. el 2 nuevamente es una medida. se afirma que es fundamental poner a los alumnos en situación de razonar con los distintos significados que tienen los números en el contexto de un problema. ahora está funcionando como una transformación. razonar sobre las acciones (y dejar para la escuela primaria el recurso de la operatoria).
. “recuperar” la cantidad de coches que tenía antes de regalarlos hace que se pierda lo aprendido. En el primer problema el 2 y el 5 son la medida: la cantidad de coches rojos y blancos que respectivamente tiene Santiago. aunque que todos se resuelvan con la resta 7 – 2. entonces el 5 no es una transformación. como tampoco los que tiene su mamá. sin embargo. asimismo. tanto el 2 como el 5 son transformaciones. En el cuarto problema. el 5 es una relación. convendría que las educadoras reflexionen también sobre lo que hace a los siguientes problemas diferentes.
¿Cuántos	dulces	le	faltan	a	santiago	para	tener	7? Mario	tenía	7	dulces.	¿Cuántos	dulces	le	dio	Mario	a	santiago?	Mario	tenía	7	dulces	y	se	comió	2. además.	le	dio	2	a	Genny	y	los	otros	se	los	dio	a	santiago.santiago	tiene	2	dulces	pero	quiere	tener	7. que las educadoras imaginaran las acciones que sus alumnos podrían realizar para resolver los problemas anteriores.
.	¿Cuántos	dulces	le	quedaron	a	Mario? Mario	tiene	7	dulces	y	Genny	tiene	2	dulces	menos	que	Mario. para planteárselos y observar si lo que hacen coincide o no con lo que imaginaron y encontraran explicaciones al respecto.	¿Cuántos	dulces	tiene	Genny?
Resultaría interesante.
Supongamos que queremos resolver el siguiente problema:
En una fábrica se hacen archiveros de cuatro y seis cajones. Si hay 28 cajones para hacer 6 archiveros. si hubiera multiplicado por otro número no me hubieran salido los archivero de seis cajones”. como mencionamos. etcétera).
. Ante la pregunta.1. ¿cómo le hizo para saberlo?. ecuaciones. ¿cuántos archiveros de cada tipo se pueden hacer? En la experiencia de una investigación realizada con educadoras. La relación semántica entre los datos
Una idea generalizada (incluso en niveles educativos posteriores al preescolar) es que para resolver un problema se necesita conocer primero el recurso convencional de cálculo (operaciones. lo que sucede. De hecho. Revisemos a través de un ejemplo lo dicho. es que hay una confusión entre los dos elementos participantes en la solución de un problema: los docentes se preocupan sobre todo por la estrategia de cálculo que permite la solución y minimizan o ignoran la relación semántica que debe establecerse entre los datos del problema. una maestra dijo: “Salen cuatro (archiveros) de cuatro (cajones) y dos (archiveros) de seis (cajones)”. la respuesta fue: “Multipliqué 4 x 4 = 16 y me sobraron 12 cajones. Esta relación semántica se realiza en apego al razonamiento matemático y en función de la experiencia y el conocimiento del sujeto que resuelve el problema.
y hacer esta elección entre los distintos productos y sumas posibles entre el
. operaciones. en lugar de contestar a esa pregunta querían responder: ¿qué es necesario para resolver un problema? Fue así que dijeron: “(es necesario) pensar”. no se puede (es­ perar que resuelvan problemas)”. nadie recurrió a la estrategia convencional (sistema de ecuacio­ nes).En esa ocasión la mayoría de los participantes logró resolver el proble­ ma de los archiveros con algunas variantes en el procedimiento. no sólo se trataba de multiplicar o saber las tablas de multiplicación del 4 o del 2. el total de archiveros (6) y el número de cajones (6 y 4) que deberían tener los archiveros. distributiva. “con lógica”. “poner atención” (¿a qué?. 2 x 6 =12. conteo. este conocimiento es importante pero no suficiente. o saber sumar (recursos de cálculo). 2 x 6 = 12 y 16 + 12 = 28. porque en este caso la operatoria para resolver es 4 x 4 = 16. 28 –16 = 12. Es decir. 12 + 16 = 28) y desde luego re­ currieron al cálculo mental con el apoyo de algunos datos. porque cuentan con conocimiento sobre los números y sus relaciones (4 x 4 = 16. También hubo quienes se aventuraron a sancionar las prácticas de enseñanza dominantes: “Si los niños están mecanizados. ¿a las explicaciones del maes­ tro?). Cuando se les preguntó si sabían lo que debían hacer para resolver ese problema de acuerdo con las matemáticas (solución convencional). regla de tres. que más adelante revisaremos. Otras educadoras.
Es por esto que la maestra citada dice: “Si hubiera multiplicado por otro número no me hubieran salido los archiveros de seis cajones”. “(hace falta) leer bien el problema”. controlaron la relación entre el total de cajones (28). ya que la posibilidad de encontrar la respuesta realmente estuvo en que pudieron establecer la relación correcta entre los datos. Ciertamente. Conviene precisar que el recurso de solución de las educadoras fue aritmético. Sin em­ bargo. algunas respuestas fueron: múltiplos.
Efectivamente. no se mencionó la estrategia convencional: los sistemas de ecuaciones lineales. No obstante la diversidad de respuestas.
éstos los distribuyen de 2 en 2 para hacer archiveros de 6 cajones y así encuentran que con los 28 cajones se pueden hacer 2 archiveros de 6 cajones y 4 archiveros de 4 cajones.4. se traslada su estrategia al mismo problema planteado a las educadoras. que para los niños de ese grado son el dibujo y el conteo. aunque cabe aclarar que para efectos de este texto. de 2 y 4 cajones. Si hay 14 cajones y con ellos se hacen cinco archiveros.
Cuentan los cajones “utilizados” (24) y encuentran que faltan 4 cajones por repartir. Ellos dibujan los archiveros (6) y a todos les ponen 4 cajones. el 6 y el 28 proviene de lograr establecer la relación entre estos números en el contexto del problema. recurren –como es de esperarse– a lo que todo sujeto cognoscente puede acceder: sus conocimientos y experiencias. El razonamiento de los niños se describe a continuación.
11 En una fábrica se hacen archiveros. pero como no tienen el conocimiento aritmético desplegado por las educadoras. ¿cuántos archiveros de cada tipo se pueden hacer?
. Un problema equivalente11 es resuelto por los niños de primer grado.
Retomemos el análisis de las soluciones al problema de los seis archiveros. 16 + 12). ¿se empeñaron en no aprender? Finalmente. pero no utilizan la estrategia convencional para ello. nadie está dispuesto a hacerlo con los 210 archiveros. o bien será que sus maestros se empeñaron en enseñarles y ellas. ese conocimiento les resultó poco “signiﬁcativo”.Quizá se podría caer en la tentación de pensar: ¿para qué sirve el conocimiento aritmético si el problema se puede resolver con dibujos y el conteo? Porque si en lugar de que el problema tenga como datos 6 archiveros y 28 cajones. planteara que son 1 020 cajones y con éstos se hacen 210 archiveros de 6 o 4 cajones. de un nuevo conocimiento. otra posibilidad es que ese “conocimiento” sólo les sirvió para acreditar.
. Realmente se necesita de otro recurso. Determinamos que:
X representa a los archiveros de 4 cajones Y representa a los archiveros de 6 cajones
Escribimos el sistema de ecuaciones que establece la relación semántica entre los datos del problema:
X+Y=6 la suma de los archiveros del tipo X y los del tipo Y es 6
12 Cabría preguntarse si todas las educadoras pasaron por la secundaria y con seguridad sus maestros de matemáticas se esforzaron en “enseñarles” los sistemas de ecuaciones lineales y los diversos métodos de solución. porque aunque se puedan dibujar. y los dibujos también. que tan útiles resultaron para resolver el problema de los 28 cajones. que viene a ser un mayor dominio de lo aritmético. el cálculo mental y las relaciones aditivas y multiplicativas de los primeros números (4 x 4. Está claro que tanto los niños como las educadoras pueden resolverlo. es el sistema de ecuaciones lineales que sin grandes explicaciones se reseña a continuación. ¿por qué no evocan ese conocimiento para resolver el problema? Una respuesta posible es que los sistemas de ecuaciones en este caso resultan excesivos.12 Ésta. como se anticipó. usando la jerga actual. 2 x 6. se revelan insuﬁcientes para esta situación.
. Se sustituye el valor de y en la primera ecuación para encontrar el valor de x: x+2=6 x=6–2 se resta en ambos miembros de la igualdad -2 para “despejar” la variable x: x=4 Con este resultado hay 4 archiveros de 4 cajones. entre los distintos disponibles se aplica el de “suma y resta”. la suma de cajones es 28
Ahora es necesario conocer alguna manera de resolver el sistema de ecuaciones.4 x + 6 y = 28 cada archivero x representa 4 cajones y cada archivero y representa 6 cajones. sino resal­ tar que existen tres formas de resolver el problema. la variable que se elimina en este caso es x:
-4x . para eliminar una de las variables al sumar algebraicamente las dos ecuaciones. la intención no es que las educadoras enmienden su conocimiento algebraico. que consiste en multiplicar por un número alguna de las ecuaciones –en este caso se tomó al número negativo ­ 4 y se utilizó en la primera ecua­ ción–.
Si bien hemos llegado a la resolución convencional.4y = -24 4x + 6y = 28 2y = 4 se dividen ambos miembros de la igualdad entre 2 para “depejar” la variable y: y=2 Esto significa que hay 2 archiveros de 6 cajones.
Esto significa permitirles que razonen sobre los datos del problema y determinen qué hacer con las colecciones. Con todo. En el nivel de preescolar. recursos aritméticos. cada uno de estos cono­ cimientos es más complejo. la posibilidad de resolver está en si el sujeto puede o no establecer la relación entre los datos para encontrar la solución. separarlas. Sin pretender minimizar la importancia del conocimiento aritmético o algebraico. “de mayor nivel” o cualquier otro calificativo similar. el desarrollo del pensamiento matemático es susceptible de favorecerse si a los niños se les da ocasión de “recrearse” con el conteo. resolviendo problemas que involucren a los primeros 10 nú­ meros (el resultado puede rebasar el 10). transformación. compararlas. en este caso sus procedimien­ tos tendrán que ver con juntar colecciones. en el proceso de aprendizaje. distri­ buirlas. igualarlas. independientemente del conoci­ miento matemático que se tenga. pero a su vez cada uno permite una gama de resolución más amplia. relación). conviene precisar que sirve de poco tenerlos. recursos algebraicos). pero “darles” como recurso la operatoria (sumas y restas) no tiene sentido. porque les resulta ajeno y distante a lo que ellos espontáneamente hacen cuando su conocimiento se sitúa en los prime­ ros números y el conteo.
. • En su proceso de aprendizaje es importante que los niños vayan encontrando formas (acciones) de responder a las distintas maneras en el contexto en el que aparecen los números (medida. en el nivel de preescolar es conveniente realizar lo siguiente:
• Favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los niños de preescolar es darles la posibilidad de resolver problemas numéricos. si no tienen la oportunidad de instalarse como herramientas para resolver problemas.Las maneras de resolverlo son diferentes porque en cada una el “suje­ to que resuelve” cuenta con conocimientos matemáticos distintos (con­ teo. aunque para muchas educadoras y padres de familia la aparición de las cuentas resulte “más matemático”. En este punto el conocimiento matemático encuentra su sentido y utilidad para la educación básica. En síntesis.
a menos que su maestra insista. qué conocimientos matemáticos tienen y cómo los están utilizando y qué les falta aprender de los conte­ nidos de preescolar. Aun observando que los niños están resolviendo con alguna de las maneras previstas. por ejemplo. particularmente sobre estos últimos tendrán que preguntar a los niños para averiguar en qué están pensando. interpretan los números. dejar que los niños resuelvan los problemas echando mano de sus conocimientos y experiencias no significa. Sin embargo. pero sobre todo reconocerán para qué sirve “eso” que están aprendiendo (los números y el conteo). quieren resolver contan­ do con los dedos. Seguramente las educadoras verán en las resoluciones de sus alumnos algunos de los procedimientos anticipados y otros no. Los niños no recurren a las operaciones para resolver problemas. quienes deben plantear el problema y anticipar las diferentes maneras como pueden responder sus alumnos. pero ¡esto sería absurdo! Para propiciar el aprendizaje es necesaria la intervención didáctica de las educadoras. los niños ampliarán su conocimiento sobre los números e irán dominando el conteo. con ese re­ ferente deben observar a sus alumnos en el proceso de búsqueda de solución. si los deja utilizar sus propias posibilidades. a veces. Si esto fuera cierto. dejarlos a la “pata libre”. como lo han su­ puesto algunas educadoras. hacen dibujos. cuentan las nuevas co­ lecciones que salen al actuar sobre las anteriores y así hallan la respuesta a la pregunta del problema.
Observar lo que sus alumnos hacen al resolver problemas les da opor­ tunidad a las educadoras de ver cómo actúan y percatarse de sus ra­ zonamientos: que toman en cuenta. y no pueden porque les es difícil realizar 37
. bastaría con recomendar a los padres de familia que les pusieran pro­ blemas a sus hijos (hasta podríamos darles una lista) y las educadoras podrían recoger sus bártulos y buscarse otra ocupación.• En el proceso de búsqueda de solución. representan de alguna manera las cantidades. en lugar de ello.
es necesario que reflexionen sobre lo que les falta saber y trabajar con ello para retomar el asunto en otras clases. ¿los alumnos de esas educadoras sabrán resolver problemas con números menores a 10.). o bien. con algún problema equivalente y observar si más niños muestran posibilidades de resolverlo. En este caso. Pero si se observa que dos o tres niños van por buen camino es reco­ mendable que la educadora les proponga que expliquen a sus com­ pañeros lo que están haciendo. unir. sin que ellas los vayan “orientando” en la búsque­ da de la solución? Quizás esas educadoras avanzan sobre la serie numé­ 38
. una de dos: están acostumbrados a recibir ayuda y por tanto la están esperando. Recordemos que la socialización de conocimiento entre pares es un componente importante en el proceso de aprendizaje. ya saben muy bien los primeros (números) y se aburren […]. repartir. los niños de ahora ‘son más listos que los de antes’. entonces la educado­ ra podría acercarles fichas y proponerles que intenten resolver con este recurso. por eso dicen:
Es que mis niños son muy listos. etc. En ocasiones los niños saben qué quieren hacer con las colec­ ciones pero presentan algunos problemas con el conteo. agregar. No obstante hacer esto.
Pero. El rango numérico
Algunas educadoras piensan que los problemas con datos numéricos menores a 10 son fáciles de resolver. el problema rebasa las posibilidades cognitiva de sus alumnos.las acciones (separar. por eso ya vamos como en el 100 y ya saben sumar y restar. entonces se les puede ayudar. Más adelante retomaré algunas situaciones de este tipo. si frente al problema planteado la mayoría de los niños no sabe qué hacer. Ahora bien. las educadoras no pueden per­ mitirse pensar que el asunto ha quedado resuelto para todo el grupo. la educadora tendría que pre­ guntarse qué significa para ella posibilitar el desarrollo de competencias en sus alumnos.
hasta que las “mecanicen”. No está alejado de realidad decir que los problemas con números pe­ queños puedan ser difíciles de resolver. ¿no? ¿Cuál es el problema? Además. lo que usualmente se hace para “enseñarlas” es informar a los niños de unas reglas y hacer que las repitan el tiempo necesario. o al menos que los adultos no ten­ gamos una respuesta inmediata y sea necesario pensar un poco antes de encontrar la respuesta. Por esta razón. lo meritorio en todo caso es el tiempo dedicado a que sus niños repasen las series numéricas. Respecto a las operacio­ nes. pero esto no significa que sepan utilizarlas por propia iniciativa para resolver problemas. números pequeños. es mucho más difícil ocuparse de que los niños desarrollen su capacidad para resolver problemas con los pri­ meros números que atender a la memorización de la serie numérica.rica y la operatoria porque no saben qué hacer con los primeros números y el conteo para mantener el interés intelectual de sus alumnos. en su salón y en sus casas con ayuda de sus papás. intenten solucionar el siguiente problema. “rapidito y de buen modo” como se dice. Sin afán de desestimar los esfuerzos de las educadoras para que sus alumnos “lleguen hasta el 100 o aprendan a sumar y restar”. ¿no?. sólo tiene que ver con el 2 y el 3. la pregunta es familiar. y con el propósito de reflexionar sobre el particular.
Eric tiene 2 camarones más que las tortugas que tiene Mariana. ¡que los niños descubren! Esta particularidad de las series (oral y escrita) no es adjudicable a las competencias docen­ tes de las educadoras. se pretende 39
. ¿Se imaginan lo que sería “aprenderse” una cantidad infinita de nombres y signos (uno para cada número) si éstos no se sujetaran a cierta regularidad? No me cabe la menor duda. ¿Cuántos animalitos tiene cada niño?
Está fácil. pero Genny tiene 3 pulpos menos que los camarones de Eric. no obstante que se llegue hasta el 100 o más allá. cabe co­ mentar que los niños lo logran porque la serie numérica oral como la es­ crita tienen regularidades.
por ejemplo. “no tiene solución. falta (saber) lo que tiene Eric”. no es exacto. pero “no es cualquier número”. 3 camarones. circunscritas a una sola relación (y no a dos como en el problema que se analiza). En la experiencia con educadoras a la que he hecho alusión. porque entonces Genny no tendría pulpos y el problema dice que sí tiene pulpos. sean 5 o más camarones. ¡no son soluciones! Aunque desde el punto de vista de la matemática sí lo son.0 o 4 . Tener pulpos signiﬁca que tiene muchos. Para estas educadoras la terna: 3 camarones. 2 tortugas. la mayoría de las educadoras lo suponen. algunas de las respuestas fueron: “Es cualquier número”. Otras respuestas que reﬁeren las relaciones involucradas son dan siguientes: 5 camarones. 0 pulpos. 1 tortugas. y éste tiene sentido si hay dos o más elementos. al igual que los niños. 7 camarones. siempre y cuando –dicen–. Efectivamente. 5 tortugas. 6 camarones. es una terna de números que cumplen con las relaciones “2 más que” y “3 menos que” respecto a la cantidad de camarones de Eric. 3 pulpos. en ese caso Mariana tendría una tortuga. La respuesta no es inmediata porque la diﬁcultad está en la relación semántica entre los datos y no en la magnitud de éstos. Algunas maestras (incluso de primaria). En esa apreciación subyace uno de los muchos problemas que tuvo la incorporación de los conjuntos en la escuela primaria: la diﬁcultad de aceptar la existencia del conjunto vacío (el que no tiene elementos) y los de un elemento. Este no es el espacio para argumentar sobre la validez de las soluciones 3 -1 . así como 4 camarones. Como el problema no precisa cuántos camarones tiene Eric. 4 pulpos. porque ¡tenemos muchas otras para escoger!
13 En situaciones equivalentes. porque en el lenguaje coloquial “un conjunto” reﬁere un colectivo.2 . 3 tortugas y 2 pulpos. 4 tortugas. dos o más.1. este problema tiene varias soluciones.
. pero son tortugas. 1 pulpo.13 no aceptan que Erick tenga.averiguar cuántos animales tiene cada niño.
Eric tiene 4 camarones y Mariana tiene 2 pulpos menos que los camarones que tiene Eric. en el problema que suscitara entre las docentes tantos comen­ tarios. Es necesario aclarar que los niños de tercero de preescolar pueden resol­ ver problemas en los que aparece una medida y una relación. pero como podemos apreciar. como es el caso de este problema. el 3 y el 2 actúan como relaciones entre cantidades. Encontrar qué hacer con los datos en este caso es más complejo que en el que refiere a la medida de colecciones. Esta idea errónea es producto de su tránsito por el sistema educativo.Respecto a suponer que el problema “no tiene solución” o “no es exacto” porque es necesario precisar cuántos camarones tiene Eric. Finalmente. es claro que si en lugar del problema planteado se hubie­ ra propuesto:
Eric tiene 3 camarones y Mariana 2 tortugas. “los problemas matemáticos” que sus maestros les plantearon no fueron tales. ¿Cuántos animalitos tienen entre los dos niños?
La rapidez de la respuesta de las educadoras (no así para los niños de tres años) no proviene de que no se haga referencia a los pulpos de Genny. ¿Cuántos pulpos tiene Mariana?
Con un poco de más dificultad pueden resolver los que tienen una re­ lación: 41
. en el orden en que deberían usarse para aplicar una operación y de solución única. existen problemas que no se limitan a tan infortunado esquema. sino que el 3 y el 2 funcionan como medida de colecciones. se trató de un estereotipo de pro­ blemas que siempre tenía los datos necesarios y suficientes. en cambio. la dificultad para las educadoras que opinan así es que equivocadamente suponen que los problemas sólo pueden tener una solución y no varias.
si los niños resuelven problemas con números menores y realizan actividades de conteo de colecciones ma-
14 En la investigación de referencia Véase Irma Fuenlabrada. 7. pero la función de los problemas no es realizar esa práctica. 5. ¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del uno. México.
. ciertamente cuentan colecciones pequeñas.14 Resulta interesante observar que. los niños se involucren. DIE. Cinvestav. atendiendo a lo que dice el problema. no necesitan hacer el conteo. dos. pero están pensando. tres?. Si los niños tienen a la mano la relación aditiva de estos números. con la cual determinan cuántos camarones tiene Eric. La actividad intelectual de resolución de problemas es totalmente diferente a solicitarles a los niños que sólo cuenten colecciones. Cuando los niños resuelven un problema. en el conteo de 5 pulpos que puede tener Mariana. como la tienen las educadoras. en tanto el conteo tendrán que hacerlo sin perder la relación entre las cantidades sugerida en la situación. Es claro que resulta fuera de lugar poner a los niños de cinco años (casi seis) a contar colecciones de 7 camarones o 5 tortugas. los niños tienden a pensar primero en los pulpos de Mariana y por ello proponen una cantidad operable. por ejemplo. pero es hasta la discusión colectiva cuando se dan cuenta que hay varias respuestas posibles. están resolviendo una situación más compleja que la acción de contar. ¿Cuántos camarones tiene Eric y cuántos pulpos tiene Mariana?
En situaciones de este tipo. Solamente una niña encontró distintas soluciones para este problema antes de la discusión colectiva de los resultados encontrados. 2. cuenten la nueva colección y concluyan que Eric tiene 7 camarones y Mariana 5 pulpos.Eric tiene 2 camarones más que los pulpos que tiene Mariana. por esto algunas educadoras proponen conjuntos con mayor cantidad de elementos para que los niños practiquen el conteo. están interactuando con la relación entre varios números. y a esta cantidad le agreguen 2 (los camarones que tiene de más Eric). más aún.
perdió 7 en el primer juego y se quedó con 3.
15 Ana Laura Barriendos Rodríguez (2005). otras educadoras opinaron que el resultado era “5 canicas”. Eric había empezado a jugar con 10 canicas. Ante la precisión de la coordinadora del ejercicio de que no faltaban datos y el problema está bien planteado. “está incompleto”. la primera respuesta es: “El problema está mal planteado“. les sugiero que traten de resolver el siguiente problema. que también incluye números pequeños.yores (no más de 30). el 2 y el 7:
Eric jugó dos partidos de canicas. tesis de maestra en Ciencias. ¿Con cuántas canicas se quedó Eric al terminar de jugar?
. Para poder jugar el segundo juego (Eric) tenía que tener una (canica). entonces se quedó con 3 (canicas.
En cambio. al término de los dos partidos). por eso al principio (del juego) tenía 8. “le faltan datos”.
¿De dónde salieron las 3 (canicas). en la experiencia realizada con educadoras (y con docentes de escuelas primarias15). luego ganó 2. no estaría mal. Para entender mejor la diﬁcultad subyacente en los problemas que involucran a los primeros números. en el primero perdió 7 y en el segundo ganó 2. Para ellas. lo preocupante es dejar de plantear problemas por ocuparse del conteo de colecciones o llevar la serie oral hasta el 100 o más. una educadora se aventuró a dar una respuesta: “3 canicas”. así que cuando terminó de jugar tenía 5 canicas. Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav. ¿Es de suma o de resta? Experiencias con situaciones aditivas para maestros de primaria. perdió 7 (en el primer juego y se quedó con una canica) y luego ganó 2 (en el segundo juego).
el problema que tantas discusio­ nes ocasionara. que surge de haber empezado con 8. interpeló la coordinadora. el 7 y el 2. Recordemos que los números involu­ crados son pequeños. aunque claro. De eso se trata. conviene reflexionar sobre la cantidad de razonamientos y justifi­ caciones que originó el problema. ganó y se quedó con 4 canicas al terminar los dos partidos”. de poner a los sujetos en situación de razonar sobre las relaciones que guardan los datos en el contexto de un problema. sino a sus maestras. no se puede proponer a los niños de preescolar. porque “¿cómo es que Eric iba a jugarse 2 canicas (en el segundo partido). si nada más tenía una al empezarlo?” Así que ajustaron el dato “faltante”: “Eric empezó a jugar con 9 canicas. Antes de dar la respuesta. que era conveniente trabajar con los niños los problemas con números que no pasaran del 10. perdió 7 en el primer par­ tido y con las 2 que tenía ‘apostó’ 2. pero ¡no con menos de 8! porque en ese caso habría que aceptar que “Eric era un niño de esos que se juegan ‘lo que no tienen’”. estaba jugando con 10 canicas?”. radica en que ambos datos son transformaciones y el resultado es otra transformación que se puede expresar en términos de una relación. nada más que ahora lo habían solucionado del “faltante” al decir que Eric empezó a jugar con 8 o 10 canicas. “¿en qué parte del problema se da este dato?” Las educadoras seguían insistiendo en que al problema “le faltaban datos”.“¿Aaah. desde luego.
Hubo incluso quienes justificaron la elección de las 10 canicas aludien­ do a que la coordinadora había planteado. los hay. ¡las educadoras! La dificultad de establecer la relación semántica entre los datos del problema de Eric. de que los hay. sin suponer lo que Eric tenía al empezar a jugar. por eso aceptaban la argumentación externada por la educadora que dijo que Eric empezó con 8 canicas. Ya instaladas en que Eric no fuera un niño “tramposo” desecharon también el resultado “3 canicas”. 44
. en algún momento.
al terminar de jugar los dos partidos Eric se quedó con 5 canicas menos que las que tenía al empezar. es decir. Trillas.
Los datos 7 y 2 son transformaciones porque modiﬁcan la cantidad de canicas de Eric: perder 7 es una transformación negativa y ganar 2 es una transformación positiva. Ambas se expresan con números con signo (-7) y (+2). E2: estado intermedio (resultado al término del primer partido). 1985). O bien. México. E2 y E3 representan los estados de la situación:
E1: estado inicial (dato faltante. Perder 7 y ganar 2 es equivalente a perder 5 canicas. a decir de las educadoras).A ﬁn de explicar lo dicho respecto a los datos. En el esquema. la respuesta en términos de transformación modiﬁca la cantidad de canicas que tenía Eric al inicio del juego.
. según la clasiﬁcación de Vergnaud (El niño. E1. respuesta en términos de relación. se propone el esquema16 en el que se muestran gráﬁcamente las relaciones que subyacen en el problema. las matemáticas y la realidad. E3: estado ﬁnal (resultado al término del segundo partido). Eric perdió ﬁnalmente 5 canicas. respectivamente.
16 El problema pertenece a la cuarta categoría de problemas aditivos.
bam. no se sienten seguros de poder realizar el conteo para construir una colección que tenga la cantidad indicada porque no tienen una imagen mental de ésta. (.
Con esta información respondan el siguiente problema:
Samuel se comió bam chocolates de los cambambe que tenía.. porque no es nece­ sario conocerlo para resolver el problema. es decir. Ahora bien. bembi. el famoso “dato faltante” no es tal.Observemos que la respuesta es independiente de lo que tenía Eric al empezar a jugar. Supon­ gamos lo siguiente:
En Biabialianda.. Por esto. entonces empezó con 10 y perdió 5... es que empezó con 9.. los biabiatenses cuando cuentan van diciendo: ba. parten de que inició con 8: si empezó con 8 y se quedó con 3. si tomamos la respuesta “Eric se quedó con 4 cani­ cas”. ¿cuán­ 46
. La respuesta “Eric perdió 5 cani­ cas” de las que tenía al empezar es válida para cualquier valor que supon­ gamos sobre la cantidad de canicas con las que Eric empezó a jugar. De hecho.) cam.. perdió 5. be. las educadoras al suponer el dato inicial resolvieron casos particulares del problema planteado. perdió 5. ¿Cuántos chocolates le quedan a Samuel?
Una manera de proceder es poner cambambe objetos. quitarlos y contar la colección resultante. (. si empezó con 9 y se quedó con 4. pero saben. La numerosidad de las colecciones
A veces lo niños no pueden resolver un problema porque no tienen a mano la numerosidad de las colecciones.
3.) bembe. Lo mismo sucede si decimos que Eric se quedó con 5 canicas. Seguramente ustedes ya habrán averiguado que bam es lo mismo que decir 4. bi. cuando las educadoras dicen que Eric se quedó con “3 ca­ nicas”. camba. y de éstos con­ tar bam.
es muy importante que la educadora observe y comprenda los razonamientos de sus alumnos. 3. 30.. de su correspondencia con las colecciones (numerosidad) y el conteo. para otro niño eran “como un millón”. para algunos niños puede ser im­ posible (en el proceso de aprendizaje) resolver el problema de Samuel y en cambio sí resolver el problema de Sergio que se proponen a continuación:
Samuel se comió 3 chocolates de los 9 que tenía. Cuando están en el proceso de aprendizaje de los primeros números los números son muy sensibles a 47
. Para algunos niños el 9 puede ser todavía un misterio. ¿tienen alguna idea mental de cuánto se tardarían en hacer una colección de cambambe fichas. 4. 50. ¿saben contar (como lo harían los biabiatenses) hasta el cambambe?. Trabajar una colección “grande” puede ser problema cuando se tra­ baja con niños. 16. ¿cuál es la diferencia?… ¡son muchos! Ante esta situación. ¿Cuántos chocolates le quedan a Samuel? Sergio se comió 3 chocolates de los 5 que tenía. son como ¡80!” Realmente. 2. sólo se diferencian en las cantidades. 33. conocen el inicio de la serie y algunos números “salteados”: 1. 6.. a lo que un tercero dijo: “sí. ¿pueden construir una colección que tenga cambambe objetos?. por tanto.. 5. como cuáles son los co­ nocimientos que tienen y cuáles todavía no.to es cambambe?. es decir. entre un millón u 80. ¿Cuántos chocolates le quedan a Sergio?
Ambos problemas tienen la misma estructura. 500… En función del dominio de los números. pero en este caso es útil comentar sus respuestas: varios dijeron “son muchos”. Sin embargo. es necesario que amplíen su conocimiento sobre la serie y el con­ teo para tener herramientas que le permitan solucionarlo. 18. contando de ba en ba? Las dificultades que tienen con la serie numérica oral de los biabiatenses la tienen los niños cuando están aprendiendo los primeros números. el 5 puede ser ya de su dominio y entonces estarán en posibilidad de resolver el problema..
su magnitud en función del contexto en el que aparecen. DIE. Ésta es una. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7?”
17 Irma Fuenlabrada (2006). 3?”. ya enunciado en párrafos anteriores:
“Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 7. Ahora bien. Lo que la educadora debería hacer es proponerles el problema de Sergio y el de Samuel. Los contenidos no están repartidos y no deben disgregarse en años escolares. entre otras razones. 2. “¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del 1. Se espera que los niños trabajen cada año con todos los contenidos propuestos. si pueden solucionar el primero pero no el segundo sabrá que una posible diﬁcultad puede ser la magnitud de los números involucrados y no la estructura del problema. La construcción de un nuevo conocimiento
En una investigación de ingeniería didáctica realizada con niños de tercero de preescolar.
. O bien. por las que se establece que el Programa de Educación Preescolar 2004 es un programa para el ciclo de preescolar. Dicha complejidad puede provenir del rango numérico involucrado. como puede apreciarse en el siguiente apartado. España. realizado en Cádiz. o bien. no es del todo cierto. de la estructura de los problemas. esto no garantiza que puedan solucionar el problema de Samuel. Quizá los niños puedan contar una colección de nueve o más elementos y sin embargo no sentirse seguros manejando el 9 cuando aparece en problemas como el de Samuel. concluir que ese tipo de problemas es difícil. si resuelven el problema de Sergio. Cinvestav.17 se les planteó el siguiente problema. Presentación en el foro “Educación temprana”. México. lo que cambia en cada grado es la complejidad de las situaciones desde una perspectiva de profundización y enriquecimiento. supongamos que la educadora propone el problema de Samuel y algunos niños no pueden resolverlo.
dibujos o lo que ellos consideraran conveniente. en todo caso es conveniente que la educadora les sugiera todas las posibilidades simultáneamente. Efectivamente. etcétera. algunos al ir añadiéndolas empezaron a contar. por ejemplo. Nuevamente se les planteó la situación completa y su respuesta fue “2”. completaban ﬁchas hasta llegar al 7. Sánchez y G. La sobrevaloración conferida por la educadora (titular del grupo experimental) al recurso de los dedos para realizar cálculos en esta situación se manifestó como un obstáculo didáctico (propiciado por la enseñanza). 1-65. Si bien. México. “Fundamentos y métodos de la didáctica de las matemáticas”. 4 y 1. en E. Lecturas en didáctica de las matemáticas. A la pregunta. La actividad de resolver cuánto es 2 y 3.18 por ello. “¿cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7?” La respuesta fue “7”. Escuela francesa. ésta es una decisión que tomarán los niños con base en sus necesidades para resolver situaciones de cuantiﬁcación. Zubileta (comps. deditos. Es decir. realizar con los dedos las acciones sugeridas por la relación semántica entre los datos de un problema. quien dijo que sus alumnos realizaban sistemáticamente “cálculos con sus dedos”. 3 y 3. pp. no eran capaces de
18 Guy Brousseau (1986). utilizando los dedos. es diferente a intentar resolver una situación de cálculo cuando lo que se tiene en la cabeza son números que deben relacionarse en el contexto de un problema.). cabe destacar la información de la educadora que los atendía. no es recomendable que las educadoras den prioridad a recursos de cálculo como. en muchas ocasiones es imposible.
. sugerir que el cálculo se lleve a cabo siempre con palitos.Entre las condiciones en las que se encontraban los niños participantes. Todos los niños tomaron dos ﬁchas y agregaron otras. dibujitos. Departamento de Matemática Educativa. aunque se observaron serias diﬁcultades para coordinar los deditos que querían “contar”. u objetos. Cinvestav. frente al problema de Santiago los niños utilizaron sus dedos para intentar resolverlo. se mostró orgullosa de permitir que lo hicieran e incluso lo propiciaba. Ante la situación observada en el problema de Santiago se sugirió a los niños que utilizaran unas ﬁchas que había sobre la mesa.
sin embargo. con otras situaciones equivalentes:
“Santiago tiene 1 dulce pero quiere tener 4. Se siguió explorando su posibilidad de respuesta.anticipar que éstas no debían revolverlas con las dos que ya tenían. era un indicador de que ha­ bían descubierto y controlaban las relaciones aditivas de esos primeros números. de que ya eran capaces de “mirar” el 4 como 2 y 2. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 4?” “3” “Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 5.
. la respuesta fue inmediata (no precisaron de usar los dedos ni las fichas): “2”. Las relaciones aditivas de los primeros números
Se dejó por el momento el problema de Santiago de 2 y 7 dulces y se les plantearon actividades que propiciaran una ampliación de su conoci­ miento sobre las relaciones aditivas de los primeros números. 1 y 3. postulando que de contar con un mayor dominio de esas relaciones estarían en me­ jores condiciones para resolver el problema de Santiago con números mayores a 5. reduciendo el rango numérico:
Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 4. se les planteó un nuevo problema. desconocían que el 7 podía ser 2 y 5. para así poder contar las fichas agregadas y saber que a Santiago le faltan 5 dulces. y al 5 como 2 y 3. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 4?
En este caso.1. sin utilizar el conteo. por ejemplo. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 5?” “3”
Que los niños pudieran contestar correctamente en el rango numéri­ co menor o igual a 5. entonces.
3/4: 5/4 y 6/4. pero los niños no la consideraron. lo hicieron como se muestra en la imagen 7. Hubo quienes ignoraron la ﬁcha 4/4.19 se les pidió a los niños que tomaran todas las ﬁchas que tuvieran cuatro puntos. ahora la ﬁcha “fuera de orden” es la 4/0. 5 y 6. que son otras posibilidades de “tomar ﬁchas con cuatro puntos”. a ﬁn de averiguar si también eran capaces de reconocer las relaciones aditivas del 4 en este nuevo contexto. 3. en donde subyacen expresiones de las relaciones aditivas del 4. que aparece en la parte superior de las ﬁchas y les desconcertó la 4/0 cuando se ﬁjaron en la parte inferior de éstas. 1/4. 20 La ﬁcha 0/4 es una relación aditiva del 4. Notaron que les había sobrado la ﬁcha 4/4 y decidieron incorporarla a las que tenían ordenadas (imagen 8).20 Se les pidió entonces que ordenaran las ﬁchas del 4.El recurso fue trabajar con las ﬁchas del dominó.
. pero a nadie se le ocurrió tomar las ﬁchas 1/3 y 2/2. No. 2. 4. y al pedirles explicaran la manera como habían ordenado las ﬁchas repasaron la serie 1. no las reconocieron. Desordenadamente tomaron la ﬁchas: 0/4.
19 Se trabajó con el dominó clásico (hasta la “mula” del 6). 2/4. para que empezaran a reﬂexionar sobre el comportamiento de los números involucrados.
contaban los puntos. tomaron una que tuviera cinco puntos en una de sus partes (imagen 11) y hasta ese momento empezaron a mirar todos los puntos de la ﬁcha para encontrar cuáles tenían ocho puntos (imagen 12).
Como no habían seleccionado las ﬁchas 1/3 y 2/2 como representantes del 4. 6/1. ¡quizá pudiera haber ocho puntos en lugar de 6! Tomaron varias ﬁchas de este tipo. entonces. “¿en qué lugar va esa ﬁcha (se señala la 4/0)?”. supusieron que en las ﬁchas donde hay seis puntos en alguna parte de éstas. con la pretensión de que se ﬁjaran en las dos partes de las ﬁchas del dominó.Al preguntarles. “¿en dónde pueden colocarla?. En todas las ocasiones se pidió explicaran por qué la ﬁcha elegida tenía ocho puntos.
. y empezaron a dar explicaciones como: “es que 6 y 2 son 8”. ¡el 8 no existe en un solo lado! No obstante que en varias ocasiones habían trabajado con el dominó. decidieron acomodarla en el extremo derecho (imagen 9). 6/0. 5/3 y 4/4. porque. se les solicitó que de todas las ﬁchas del dominó buscaran ahora “los 8”. sólo para llegar a darse cuenta que se trataba del 6 y no del 8. Así aparecieron las relaciones aditivas posibles del 8 en las ﬁchas del dominó: el 6/2. “con los 5 de aquí y los 3 de acá son 8”. etcétera. 6/2. No les convenció y ﬁnalmente la colocaron en el extremo izquierdo (imagen 10).
22 Si los niños son muy pequeños y su dominio de los primeros números no llega al 10. También conviene precisar que el empleo de las ﬁchas de dominó como recurso no muestra totalmente las relaciones aditivas.22 Un niño pasa y saca algunos y le dice al resto del grupo cuántos sacó. y se regresó al 4 y al 5 para veriﬁcar si los niños consideraban las dos partes de las ﬁchas de dominó para “mirar” el número solicitado. Irma Fuenlabrada Editora. por ejemplo. seis u ocho objetos. (2008). Actividades como ¿cuántos objetos se quedaron en la bolsa?21 profundizan de manera importante el dominio de las relaciones aditivas. 10 objetos. Esta actividad consiste en meter en una bolsa de papel. no sólo está en que posibilita la resolución de problemas de cierto tipo. El conocimiento de las relaciones aditivas mostrará sus bondades cuando los niños se enfrenten en la escuela primaria al cálculo con números más grandes. y así fue. La importancia de que los niños dominen las relaciones aditivas de los primeros números.
21 Actividad tomada de Irma Fuenlabrada et al.
. sino también porque favorece la competencias de cálculo de los pequeños. México. el 9. recordemos.
Nuevamente se planteó el problema de Santiago que. el 10. para veriﬁcar si el nuevo conocimiento de las relaciones aditivas de los primeros 10 números empezaba a instalarse como un recurso de solución. así como otros equivalentes.Se continuó trabajando con otros números. en la bolsa se mete una cantidad menor. a la vista de todos los niños. ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático? Fichero de actividades para el preescolar. no habían podido resolver.
es una actividad útil e interesante cuando los niños no dominan bien el inicio de la serie numérica oral. De manera espontánea. Propicie que las vayan aprendiendo. los niños empiezan a contar utilizando sus dedos: 4. Este resultado debe verificar­ se sacando y contando los objetos que hay en la bolsa. Hay muchas maneras interesantes de trabajar con las relaciones adi­ tivas. por ejemplo. la educadora tiene que hacerse cargo de la memorización de la serie y de su uso en situaciones de conteo. 8. En función del núcleo social de origen. independientemente del conocimiento de los niños al ingresar a preescolar. algunos niños ingresan a preescolar sin ese conocimiento y muchos que lo tie­ nen no necesariamente saben contar. en su lugar hay que proponer actividades como las descritas (dominó. 10 (conteo ascen­ dente a partir de cualquier número distinto de 1). En un principio se trata de hacer corresponder el nombre de los números (según aparecen en la serie) con un solo objeto de la colección que se desea cuantificar. o “ejercitarlos sobre la escritura de expresiones sencillas de suma (2 + 3 = 5)”. miran los dedos que utilizaron y los vuelven a contar (sobreconteo) o reconocen cuántos son. por lo que.Los niños tienen que averiguar cuántos quedaron en la bolsa. Para poder empezar el proceso de conteo es ineludible conocer “de memoria” la serie oral de los pri­ meros números. objetos en la bolsa) para que de manera natural se vean en la necesidad de recapacitar sobre las re­ laciones aditivas y su interés por responder rápidamente.
. los niños van adquiriendo las relaciones aditivas de los números menores a 10. la única no recomendable es pedir a los niños que “se aprendan para mañana las tablas de sumar”. si por ejemplo se dice que se sacaron 3. para decir que son 7 los objetos en la bolsa. 7. 6. 9.
5. Al jugar varias veces. El dominio del conteo y su alternancia con los problemas
Pedir que los niños cuenten pequeñas colecciones. 5.
dice a los niños que cada quien va a meter seis objetos en su bote. Para empezar a resolver problemas. en primer lugar los niños necesitan tener una herramienta de solución (al menos el conteo de los primeros seis
23 Dependiendo del dominio de los niños. poner al centro de las mesas objetos pequeños y dar un bote a cada uno. el grupo puede o no acompañar el conteo. 2 (tac). según lo decida la educadora.
A veces la educadora intercala pausas (al ir mencionado la serie y realizando el conteo) para favorecer la atención de los niños. La educadora aprovecha estos momentos de veriﬁcación para pasar al frente a los niños que observe tienen todavía diﬁcultades con la serie o con el conteo. Se hace una tabla de doble entrada en el pizarrón con el nombre de los equipos para anotar los aciertos. Se tiene la seguridad de que las educadoras han desarrollado muchos recursos para que sus alumnos aprendan a contar. Si hay seis objetos en el bote. entre otras que favorecen este aprendizaje.23 y que se trata de un juego entre equipos.
. 3 (tac)… si el golpeteo de los objetos al caer en el bote o la mención del número correspondiente no se escucha al unísono. simultáneamente los niños hacen lo mismo. La educadora también tiene un bote y objetos. la razón por la que se ha descrito una actividad de conteo es para reﬂexionar acerca de la pertinencia de este tipo de actividades y comprender por qué es importante realizarlas con los niños pequeños. es organizar a los niños en equipos.Una actividad lúdica. Si logran llegar al 6 coordinadamente.
La actividad consiste en que la educadora suelta cada vez y de manera pausada un objeto en el bote y en voz alta lo cuenta. el equipo gana un punto. todos vacían su bote y se vuelve a empezar. el rango numérico se aumenta. la educadora elige un miembro de cada equipo para que pase al frente a contar los objetos de su bote. Todos deben ir a la par: 1 (tac).
En tercer lugar. pero tienen escasas posibilidades de reconocer las diversas situaciones en las que es útil usar los números y el conteo. puede ser que para resolver el problema sea necesario reco­ nocer al 4 no sólo como: 1. Problematizar una situación implica plantear una pregunta. para repasar. Ya hemos analizado que el 4. 2 y 2. siendo las actividades de conteo dominantes en las ideas que las educadoras tienen acerca de la enseñanza de los nú­ meros pueden creer que la resolución de problemas debe. por ello. esto es incorrecto. si la educadora insiste en proponerles el conteo de co­ lecciones para afianzar. no rebase las posibilidades cognitivas de los alumnos. sino también como 1 y 3. retar in­ telectualmente a los niños. como ya se ha mencionado. En segundo. pero no es cierto que empezar a plantear problemas deba pos­ tergarse hasta que los niños dominen el conteo de colecciones mayores a 6. la alternancia enriquece ambos procesos. y éstos aparecen en los problemas. los niños deben decidir lo que les conviene hacer. la educadora no puede perder de vista que las pretensiones del PEP 2004 van más allá de que los niños aprendan a contar y a representar la cardinalidad de las colecciones. como 6 disminuido en 2. 1. realizarse hasta el tercer grado de preescolar. en la que la actividad de los niños se vuelve ejecutiva: cuentan colecciones porque se les solicita que lo hagan. más allá de satisfacer la demanda de su maestra. 1. usos y sig­ nificados de los números. Veamos el siguiente problema: 56
. por ejemplo. como transformación (per­ dió 4 cochecitos) o como relación (tiene 4 cochecitos más que). Se trata de una alternancia entre actividades de conteo y resolución de problemas. entonces el conteo se transforma en una situación mecánica. Una condición que es importante considerar es que la pregunta que plantea la situación. cuando los niños dominan el conteo de los primeros 15 o 20 números.números). Lo que sistemáticamente se debe averiguar es cómo utilizan los niños su conocimiento y su experiencia para resolver situaciones. aunado a lo anterior. o bien. Los niños tienen que interactuar con las distintas funciones. Es decir. 1. puede aparecer en el contexto de un problema como medida (tiene 4 cochecitos).
lo que están diciendo es que el problema de María no retó su conocimiento: siendo éste el caso. mientras que el trabajo intelectual de los niños. no se involucran en la búsqueda de solución y por tanto no se comprometen con el aprendizaje. ¿verdad? A ver. ¿cuántas son? ¡Ciiiinco! ¿Todos estamos de acuerdo? Escriban el 5. poner 6 rayitas. ¿cuántas manzanas tiene María? ¡Treees! ¡Eso es. ¿cuántas peras tiene María? ¡Doooos! Pongan dos fichitas. no fue una acción producida por el razonamiento de los niños. como el problema se sale de su control. si los niños no dominan el con­ teo de los primeros seis números. entonces decide ayudarles un “poco”:
A ver. ¿Cuántas frutas tiene María?”
Aunque el problema nos parezca simple. en el mejor de los casos. dibujos). la educadora tendría que replantear el problema (María tiene 6 peras y 7 manzanas) y observar si para resolverlo echan a andar algún recurso de cálculo. como sería. ahora pongan tres fichitas! Si juntamos todas la fichitas. no tendrán a mano ninguna manera de resolverlo. vamos a ver quién las puede contar. las que deciden qué hacer con los datos y cómo resolver el cálculo (con los dedos. 57
. ¿ya todos las pusieron? ¡Síííí! ¡Muy bien! Ahora díganme. a ver si lo pueden escribir. porque pusimos las dos peras y las tres manzanas. tenemos todas las frutas de María. Establecer la relación semántica entre los datos fue realizada por la educadora. fichitas. cuéntenlas. No sobra hacer la siguiente observación: supongamos que los niños saben contar (al menos hasta el 6) y la educadora sabe bien que no es lo mismo contar que resolver un problema. Si los niños contestaran rápidamente. es contar hasta el 2. “5”. luego 7 para contar después el total y encontrar al 13 como respuesta.
Las educadoras que así proceden tienen que percatarse que son ellas las que resuelven los problemas. muy bien.“María tiene 2 peras y 3 manzanas. hasta el 3 y luego hasta el 5. por ejemplo.
¿ahora ya no es María sino Jazmín?. en esta manera de proceder en la enseñanza. ¿aparece Pedrito con cochecitos y camiones? Si son estos los problemas que los niños resuelven solos. Aceptemos la defensa.Quizá algunas educadoras se ubiquen “enseñando a solucionar pro­ blemas” como se ha relatado. La oportuni­ dad para los niños de pensar sobre la relación semántica entre los datos de un problema. ya no son peras y manzanas sino. y en descargo de su actuación digan: “Yo lo hago así pero después pongo otros problemas y los niños los resuelven solos”. porque sus alum­ nos están interactuando cada vez solamente con un tipo de problema: ponen los muñequitos y las muñequitas. ¿muñequitos y muñequitas?. después. la educadora está propiciando un proceso de resolución mecánica. juntan y cuentan la nueva colec­ ción. sin conceder. nunca está presente. ni cuando la educadora explica la manera de resolver ni cuando “ellos solos” resuelven problemas que la educadora “ha explica­ do” inmediatamente antes. juntan y cuentan. ponen los cochecitos y los camiones. ¿cuáles son los otros proble­ mas que resuelven los niños solitos?.
ebe tenerse presente que una enseñanza que plantea propiciar el razonamiento en los niños como parte de su proceso de aprendizaje. Para favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los niños de preescolar a través de la resolución de problemas y. planas–. esto signiﬁca que los problemas se plantean no sólo para “aplicar” un conocimiento al que los niños han accedido por otros medios –ejercicios de conteo y representación de los números. favorecer el desarrollo de las competencias. sino como un espacio de aprendizaje. su representación y el conteo”– es necesario que los alumnos enfrenten un problema que los lleve a juntar colecciones. 59
. considera a la resolución de problemas como recurso didáctico para adquirir conocimiento. igualación o distribución de colecciones para volver a encontrarse con un problema en el que deban juntar las colecciones. memorización de éstos. centrado en el desarrollo de competencias ni a las orientaciones para el trabajo docente planteadas en el programa de educación preescolar. no están actuando en apego al enfoque pedagógico. o de “los números. como se propone en el PEP 2004. consecuentemente. posteriormente interactúen con la comparación. en la siguiente oportunidad una situación en la que es conveniente separar una colección de otra. –y no sólo de la “resolución mecánica de problemas”. Las educadoras que suponen que primero los niños “deben” aprender los números para después plantearles problemas tipo para que vean “en dónde se utilizan” los números.
Si lo que pretendemos es desarrollar competencias. igualar. Plantear problemas que propicien la aparición de diversas acciones sobre las colecciones (juntar. la cantidad de cajones que tiene cada uno. lo que significa poder controlar el número de archiveros. pero siempre subyace el pensamiento lógico matemático en la resolución de problemas. Para entretejer de diferente manera lo dicho en el párrafo precedente. luego con base en ello. El PEP 2004 plantea la importancia de las estrategias espontáneas de resolución como un recurso didáctico para favorecer el trabajo sobre la relación semántica entre los datos de un problema. separar. distribuir.El asunto es que los niños cada vez se vean en la necesidad de razonar sobre los números en función del contexto en el que están apareciendo y tengan que actuar en consecuencia. Ante esto –ya lo he anticipado– hay dos repuestas posibles: el niño espera le digan qué hacer. la cantidad total de cajones disponibles.
. los números y sus operaciones (aritmética) y los sistemas de ecuaciones (álgebra). como transformación (perdió 3 canicas) o como relación (tiene 3 canicas menos que) y con base en este conocimiento diseñe diferentes problemas. intente encontrar explicaciones no sólo sobre cómo responden los niños. y b) haber accedido al menos a uno de los conocimientos matemáticos necesarios para solucionar el problema. etcétera) hace ineludible que la educadora comprenda cómo pueden aparecer los números en el contexto de un problema: como medida (tiene 3 canicas). Los conocimientos cambian. o se pone a pensar cómo resolverlo. es la actitud frente a lo desconocido. sino fundamentalmente sobre lo que ella hizo para que respondieran de esa manera. Que suceda una o la otra es consecuencia de lo que la educadora realice en el salón de clases. que en el caso que nos ocupa son los primeros números y el conteo. anticipando las posibles maneras como sus alumnos van a trabajar con los números involucrados para verificar después en las experiencias del aula la certeza o no de sus anticipaciones. la más importante. en mi opinión. completar. regresemos al problema de los archiveros. Para resolverlo es necesario: a) establecer la relación semántica entre los datos del problema (razonar sobre los datos).
. pero sobre todo si lo ha aprendido de manera significativa. comparar y repartir objetos. ¿Cuáles son estas situaciones? Las que les sean familiares y les impliquen agregar. o bien (y esto es más posible). consecuencia de la enseñanza) de comprender para qué sirven los números. lo que queremos de los niños de preescolar (y de todos los que cursan la educación básica) es que el conocimiento que adquieran les sea significativo. les sirvió para acreditar el curso de álgebra. lo cual quiere decir que en una situación donde tenga sentido usar ese conocimiento lo recuerden y lo empleen para resolver. Para la educación preescolar el conocimiento sobre lo numérico se circunscribe a que los niños utilicen los números en situaciones variadas que impliquen poner en juego los principios del conteo. reconocer y escribir números si frente a los problemas que implican aplicar como recurso los principios del conteo. En este sentido. reunir. Entonces. Desarrollar competencias sobre lo numérico es poder utilizar el conocimiento eficiente y eficazmente en situaciones diversas en las que ese conocimiento esté inmerso. como conocimiento susceptible de manifestarse en su desempeño en situaciones y contextos diversos.Los distintos conocimientos que aparecen cuando el sujeto resuelve son un indicador de lo que sabe. quitar. no deciden hacerlo porque sus maestras de preescolar no les dieron oportunidad (en el proceso de aprendizaje. que es equivalente a lograr el tan anhelado desarrollo de competencias. cabe advertir que las educadoras no resuelven el problema de los archiveros con recursos algebraicos (al menos en todas las ocasiones en que he explorado esta situación). De poco sirve que los niños sepan contar. Una explicación posible (aunque dudosa) es que hayan considerado que usar los sistemas de ecuaciones “es un recurso demasiado complejo cuando el problema se puede resolver con la aritmética”. esto es. pero no se instaló como una herramienta para resolver problemas. igualar. el conocimiento algebraico que debieron haber aprendido en su paso por la secundaria no les resultó significativo.
¿Hasta el 100?… ¡No! ¿Y las cuentas?… ¡Tampoco! Entonces… ¿Qué? se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos. El tiraje fue de 125 000 ejemplares más sobrantes de reposición
. en los talleres de con domicilio en el mes de agosto de 2009.
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