Source: https://es.scribd.com/document/52981330/Seminario-RPTE-2011
Timestamp: 2017-08-23 01:00:55+00:00

Document:
Jornadas Escuela-Universidad Trayectorias educativas en tiempos tecnoinformacionales
Forma de Trabajo: Título: Participantes: Individual. Aprendiendo Trigonometría. José Luis Gallardo.
Presentación: “Es un hecho conocido que la matemática constituye una parte esencial en casi todas las construcciones del pensamiento humano. En consecuencia, su estudio resulta de fundamental importancia, no solo en sus múltiples aplicaciones sino por su indiscutible poder para abrir nuevas formas de entendimiento” Dr. Pablo Amster (UBA) Herramientas matemáticas para la resolución de problemas. Pag. 2 Año 2010. Resumen: Propuesta que pretende enseñar, desde un punto de vista simple y didáctico, los elementos básicos de la trigonometría hasta el análisis de los gráficos. Se parte desde una analogía sencilla con una relación real con los elementos de la vida diaria. Fundamentación: Es bien conocida la actual disfuncionalidad que existe entre la currícula pretendida y la currícula real. La misma es causada por distintas situaciones que acortan los tiempos planificados para cumplir con la misma, lo cual nos lleva a recortar los contenidos, e incluso no cumplir con los mismos. Como en una secuencia de efecto dominó, los temas de la currícula de matemáticas no tratados en el correspondiente año se trasladan al año siguiente afectando la profundización y complejización de los contenidos disciplinares futuros. Todo esto es motivo de reajustes en la planificación de nuestras clases y, más grave aún, caer en la tentación de decir el contenido (por ejemplo, dar el algoritmo) exigiendo, por parte de los estudiantes, la aplicación de los mismos, por medio de la repetición, sin producirse la aprehensión. En este caso particular, la repetición de procedimientos y de casos de Trigonometría. Trigonometría es el tema central para la resolución y el análisis de situaciones problemáticas básicas del ciclo universitario (por ejemplo, sirve para la comprensión de la geometría analítica y otros temas fundamentales de la matemática) y, por lo mismo, es incluido en los programas de 4° y 5° año del nivel escolar secundario. Destinatarios: Alumnos de los 3°, 4° y 5° años de escuelas de Nivel Medio (Modalidad Media y Técnica). Como es de esperarse, los estudiantes necesitan conocimientos básicos de las seis operaciones en el conjunto numérico Q (Racionales), tanto en aplicaciones algebraicas como en ecuaciones de primer y segundo grado, en proporcionalidad y en la Propiedad Pitagórica
José Luis Gallardo – RPTE Abril 2011
Descripción de la propuesta: Se propone desarrollar en forma gráfica, también en power point, situaciones geométricas y cotidianas de resolución trigonométrica. El fin de la propuesta es que logren “ver” que tanto situaciones analíticas y cotidianas (como por ejemplo, el largo de un techo según su ángulo de caída, la longitud del alambre tensor de un poste o puente, etc.) tienen una respuesta operacional y lógica. Secuencia de Actividades: (Mapa Conceptual)
Trabajos a realizar por el Alumno: Para la Primera Parte: Objetivo: Que el/la alumno/a logre identificar y calcular situaciones en hechos reales aplicando procedimientos y algoritmos aprendidos en el aula. Se presenta una webquest creado por www.aula21.net “Aprendiendo trigonometría” ANEXO 1 – WebQuest: Aprendiendo Trigonometría Bibliografía sugerida: Matemática 9. Autores Varios. Edit. Puerto de Palos. Matemática EGB 9. Autores varios. Edit. Kapeluz. www.buenas tareas.com (2011) http://www.buenastareas.com/ensayos/Matematicas-Teorema-De-Pitagoras-FuncionesTrigonometricas/1106977.html
Para la Segunda Parte: Objetivo: 1. Que el alumno trabaje con las funciones trigonométricas en la construcción de ángulos en los cuatro cuadrantes de la circunferencia trigonométrica. (De 0° a 360°) y deduzca los signos de las tres funciones trigonométricas, según el cuadrante en donde se halla construido el ángulo. 2. Que convierta las amplitudes angulares en sexagesimal a los otros tres sistemas angulares, circular, centesimal y horario. Que trabajen junto con la bibliografía sugerida en la construcción de los gráficos de las funciones seno, coseno y tangente.
Anexo 2 – Power Point: Trigonometría Trabajo extra sugerido: Búsqueda de información en la Red sobre qué carreras y profesiones se requieren de conocimientos trigonométricos.
Bibliografía sugerida: Para el punto 1 www.junta de Andalucía (2011) http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/t rigonometria/trigonometria.htm bc.inter.edu (2011) http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/trig5.htm Para el punto 2 Conversión de Ángulos. Profesor John (2011) – Para convertir Sexagesimal a Circular) http://profesorjohn.jimdo.com/talleres-de-trigonometr%C3%ADa/conversión-de-ángulos/ Física Virtual (2011) – Para convertir a Circular y Centesimal http://fisicavirtual.comlu.com/Decimo/Angulos.htm Aula Matemática (2011) – Para convertir a Circular y Centesimal http://www.aulamatematica.com/ESO2/05_sex/2ESO_index05.htm Para el punto 3 www.emagister.com (2010) http://www.emagister.com/universidades/carreras-universitarias-trigonometria-kwes32644.htm
Para la Tercera Parte: Esta parte estará destinada, o caracterizada, por el abordaje analítico y abstracto. La resolución de enunciados problemáticos y consignas elaboradas como producto final del tema. Creo que la secuencia de actividades propuestas en este plan de trabajo ayudará al mejoramiento del proceso de comprensión del/los alumno/s sobre el tema puesto que propician la producción lógica y deductiva del tema por parte de los mismos al exigir de ellos la toma de predicciones y decisiones más apropiadas en la resolución de situaciones problemáticas. Bibliografía Sugerida para su Investigación y Práctica: Identidades Trigonométricas Fundamentales. Matemática La guía. (2011) http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas Vitutor. (2011) http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html Ejercicios: Aritor (2011) http://www.aritor.com/trigonometria/ejercicios_identidades.html Ecuaciones Trigonométricas Vitutor (2011) http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_4.html Vadenúmeros. (2011) http://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm Ejercitación: (2011) Vadenúmeros. (2011) http://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm Vitutor (2011) http://www.vitutor.com/al/trigo/e_e.html Gráficos de Funciones Trigonométricas: Docstoc (2011) http://www.docstoc.com/docs/7980616/GRFICAS-DE-LAS-FUNCIONESTRIGONOMTRICAS-apuntes A Ciencias Galilei http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/graf-trigono1.htm Trabajo Teórico-Práctico Impreso Sugerido para los alumnos: Anexo 3 – Trabajo Práctico: Aprendiendo Trigonometría.
José Luis Gallardo DNI 16.413.072 ANEXO 1 – WEB QUEST
José Luis Gallardo – RPTE Abril 2011 Página 4
Anexo 1 – Web Quest Introducción | Tarea | Proceso | Recursos | Evaluación | Conclusión | Créditos Aprendiendo Trigonometría Autor: José Luis Gallardo E-mail: gallardo.joseluis@gmail.com Área: Matemáticas Nivel: 3° AÑO EDUC. SECUNDARIA
¿Alguna vez se han preguntado cómo hace un constructor para calcular la longitud de un techo y su caída? ¿cómo sabe un técnico el largo de un alambre (tensor) que sostiene un poste, por ejemplo, un poste de líneas telefónicas? En este trabajo vamos a aprender cómo podemos calcular estos ángulos y longitudes. Nuestra Tarea será el descubrir por medio de las funciones trigonométricas, las relaciones que existen en todos aquellas construcciones que nosotros vemos a diario y que nunca pensamos cómo se realizaron. Pero para poder comprender estos cálculos comenzaremos con algo muy simple, como por ejemplo una hoja de papel. También vamos a necesitar una calculadora, una regla y un transportador. Realizaremos los pasos que están descritos en la imagen. Luego medimos sus lados con la regla y con el transportador sus ángulo. Ahora, ya con las fórmulas trigonométricas, vamos a verificar con la ayuda de la calculadora, las medidas tomadas y los ángulos hallados. Recuerden que: Medida Vertical = Cateto Opuesto / Medida Horizontal= Cateto Adyacente y / Medida Diagonal = Hipotenusa Pueden revisar en sus carpetas y en los libros de la Biblioteca de la escuela. Recuerden investigar en la red, acá van algunas direcciones para que puedan realizar bien esta tarea: FISICANET (2010) http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m1_trigonometria.php SOKO.COM.AR (2010) http://soko.com.ar/matem/matematica/func_trig.htm SECTOR MATEMÁTICA(2010) http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm
GALEON (2011) http://trigonometria.galeon.com/ VIDEO: SISTEMA DE TUTORÍAS (2011) http://www.sistemadetutorias.com.ar/index.php?option=com_community&view=vi deos&task=video&videoid=166&groupid=5&Itemid=302 EVALUAC IÓN Ya llegamos al final de nuestro primer trabajo práctico, espero hayan descubierto el mundo que se muestra antes nuestros ojos. La evaluación de este trabajo consistirá en completar un cuadro en donde podrán verificar cómo cambia la amplitud angular al variar las medidas de los catetos, y podrán responder a la siguiente pregunta: al cambiar la amplitud del ángulo base, ¿también cambia la longitud de la hipotenusa? ¿Pueden hallar la longitud de la diagonal del pizarrón del aula y hallar la amplitud del ángulo base? Ahora que han comprobado como la trigonometría está aplicada a la vida diaria: ¿Qué descubrieron en su casa y en el aula? ¿Lograron calcular algunos de los ángulos y algunas de las longitudes que se encuentran en su entorno? ¿Qué conclusiones pueden dar, con respecto a los datos tratados y hallados por ustedes? ¿Varía mucho lo descubierto, con lo estudiado en el aula? ¿Pueden crear una consigna con todo lo visto en este primer trabajo? MATEMATICA 9. Autores Varios. Editorial Puerto de Palos. Año 2001 ENLACES WEB: FISICANET SOKO.COM.AR SECTOR MATEMÁTICA. GALEON Imprimir - Arriba (Página creada con 1,2,3 Tu WebQuest - http://www.aula21.net/)
CONCLU SIÓN
ANEXO 2 – POWER POINT
ELEMENTOS GRÁFICO DE ÁNGULOS
Trabajo Realizado por José Luis Gallardo. 2011
90 Eje Y+
II CUADRANTE. 90 A 180 I CUADRANTE. 0 A 90
180 Eje X-
0 Eje X+ 360 Eje X+
III CUADRANTE. 180 A 270
270 Eje Y-
IV CUADRANTE. 270 A 360
Elementos de un gráfico trigonométrico
Hipotenusa = Radio Trigonométrico = 1 unidad de medida
Eje X-
Medida en el Eje Y
Medida en el Eje X
Ángulo a construir : 20
SEN 20 = 0,34 (Y)
COS 20 = 0,93 (X)
0 Eje X+
Ahora Construyamos un ángulo AGUDO solo con las funciones Sen y Cos
0,93 SEN 70 = 0,93 (Y)
Ángulo a construir : 70
COS 70 = 0,34 (X)
Ahora Construyamos otro ángulo AGUDO solo con las funciones Sen y Cos
Ángulo a construir : 140
SEN 140 = 0,64 (Y)
COS 140 = - 0,76 (X)
180 Eje XAhora Construyamos un ángulo OBTUSO solo con las funciones Sen y Cos
Ángulo a construir : 220
SEN 220 = - 0,64 (Y)
COS 220 = - 0,76 (X)
180 Eje X- 0,76
Ahora Construyamos un ángulo MAYOR A 180 solo con las funciones Sen y Cos
Ángulo a construir : 300
SEN 300 = - 0,86 (Y)
COS 300 = 0,5 (X)
Ahora Construyamos un ángulo MAYOR A 270 solo con las funciones Sen y Cos
ANEXO 3: TRABAJO PRÁCTICO Prof. José Luis Gallardo TRIGONOMETRÍA Aprendiendo Trigonometría Para 3°, 4° y 5° Años
Introducción: Para estudiar trigonometría, tomemos como base de estudio los triángulos rectángulos para hallar las relaciones entre los lados y uno de sus ángulos. ¿Cómo se define un Triángulo Rectángulo? Un triángulo es rectángulo cuando tiene un ángulo recto (de 90°). El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa es el lado de mayor longitud y los otros dos lados se llaman catetos. Con referencia a la figura debajo detallada, para realizar nuestro estudio, tengamos en cuenta que, a cada uno de sus otros dos lados se lo llaman catetos, al lado vertical lo llamaremos cateto 1 y al lado horizontal cateto 2
Trigonometría es una rama muy utilizada de la matemática como por ejemplo, en geometría y en Ingeniería. Ahora definamos: Razones Trigonométricas: Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo con los ángulos agudos del mismo. Las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Sitio web de esta imagen eleducador.com (2010) Sitio web de esta imagen esacademic.com (2010) José Luis Gallardo – RPTE Abril 2011 Página 12
Razones Trigonométricas de un Triángulo Rectángulo: Si observamos a nuestro alrededor existen muchas construcciones creadas o realizadas por nosotros (los seres humanos), que presentan figuras geométricas y por tanto tienen ángulos. Nuestro Primer Trabajo: Material Necesario: 1 hoja de papel, regla y transportador: 1. Tomamos una hoja de papel y la doblamos por una de sus diagonales, como se muestra en la imagen de abajo. 2. Con la regla, realizamos las mediciones correspondientes de los lados de los dos triángulos formados. Observamos que los lados de cada uno de los triángulos formados, se corresponden por tener igual longitud. Ahora, con el transportador, medimos los ángulos de los dos triángulos rectángulos formados…..se puede luego concluir que son congruentes, o sea, que los ángulos de ambos triángulos se corresponden con igual amplitud.
Doblo por una de sus diagonales
Triángulos Formados
Responde: ¿Pudieron comprobar que la suma de sus tres ángulos interiores es igual a 180°? Ahora trabajaremos con la calculadora, para responder a la siguiente pregunta: ¿Podemos saber el ángulo que se forma en su base, si en vez de usar un transportador para medir sus ángulos, solo contamos con una calculadora científica y teniendo como únicos datos la medida de los dos catetos? El procedimiento es muy simple, (tomando como referencia uno de los triángulos rectángulos detallados en la figura anterior), medimos sus catetos (llamaremos al cateto horizontal X y al cateto vertical Y, como referencia a este triángulo rectángulo) y realizamos en nuestra calculadora la siguiente operación: Arc Tan del cociente entre la medida del cateto Y y la medida del cateto X. En lenguaje simbólico: arc tan (Y/X). El valor dado por la calculadora nos suministra un resultado de la operación realizada en el sistema decimal. Para convertir el valor decimal obtenido al valor angular (en el sistema sexagesimal) debemos presionar la tecla ° min seg (° „ „‟)
Ejemplo: Si la medida X = 22 cm y la medida Y = 12 cm, entonces, el valor obtenido del ángulo será = 28.61045967 . Ahora observa una de las paredes de tu aula o tu cuarto, tienen longitudes demasiado grandes como para dibujar una diagonal que la divida en dos triángulos rectángulos iguales, entonces, cómo calcularías la longitud de esta diagonal? Para poder calcularlo, debemos estudiar las RAZONES TRIGONOMÉTRICAS que relacionan los lados y ángulos de todo triángulo rectángulo. Por lo tanto, comencemos recordando lo siguiente:  Todo ángulo está directamente relacionado con su lado opuesto: a menor ángulo menor lado y a mayor ángulo mayor lado. cómo se demuestra en la figura del ejemplo anterior. Ahora definamos las Razones Trigonométricas tomando como referencia el ángulo ALPHA del triángulo debajo detallado.
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Angulo de referencia: Alpha
Lado a c b
Nombre Cateto Opuesto Cateto Adyacente Hipotenusa
Símbolo CO CA Hip.
Ejercitación: Teniendo en cuenta las relaciones seno, coseno y tangente, vistas anteriormente: A) Completen el siguiente cuadro utilizando las relaciones trigonométricas correspondientes: Cateto Cateto Ejercicio N° Función Ángulo Hipotenusa Opuesto Adyac. 1 Sen 30° 10 2 Sen 80° 20 3 Cos 45° 15 4 Cos 75° 25 5 Tan 10° 5 6 Tan 35° 8 7 Tan 4 7 8 Tan 10 10 B) Realicen los correspondientes gráficos detallados para cada ejercicio y resuelvan. 1. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un mástil de 24 metros proyecta una sombra de 16 metros? 2. El perímetro de un triángulo isósceles es de 26 cm y su base mide 10 cm. es el valor de sus ángulos interiores? ¿Cuál
3. ¿Cuál es la altura de una antena si una persona que se encuentra a 250 de su base, observa su punta bajo un ángulo de 22°? 2° Parte: La Circunferencia Trigonométrica Se llama Circunferencia Trigonométrica a la circunferencia de radio 1, con centro en el origen de las coordenadas.
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mediateca.educa.madrid.org Sitio web de esta imagen kalipedia.com
La rotación de la semirecta (que llamamos radio trigonométrico o hipotenusa) con el centro en el punto O y el ángulo de giro (ALPHA), corta a la circunferencia en un punto (a,b) y esto determina un triángulo rectángulo. Como se muestra en las figuras de arriba. Signo de las relaciones trigonométricas. Para determinar el signo de las relaciones trigonométricas se debe conocer a qué cuadrante pertenece el ángulo y los signos de las coordenadas del punto (a,b) Con referencia al cuadro, relacionándolo con la siguiente tabla, podemos ver la relación que existe. Ángulos De 0° a 90° 90° a 180° 180° a 270° 270° a 360° Cuadrante I II III IV Signo Eje X + + Signo Eje Y + + -
¿Cómo serán los signos de las funciones Sen, Cos y Tan en cada cuadrante? Cuadrante I - 0° a 90° II - 90° a 180° III - 180° a 270° IV - 270° a 360° Sen (Y) + + Cos (X) + + Tan (Y/X) + + -
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Tarea: Realicen las siguientes operaciones, para verificar esta relación entre las funciones trigonométricas y los ejes X e Y: Ángulo 10° 45° 80° 120° 210° 265° 300° 355° Cuadrante Valor Sen a Valor Cos a Valor Tan a
3° PARTE: GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE: Cómo las funciones trigonométricas se basan en las relaciones trigonométricas, éstas se pueden graficar. Función Seno: Sen a
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Tarea: Verifiquen, señalando el valor de la medida (en el Eje Y) de los siguientes ángulos (en el Eje X), en el gráfico de la función Seno. Ángulo 0° Valor Cuadrante 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°
Función Coseno: Cos a
Sitio web de esta imagen oceanologia.ens.uabc.mx Tarea: Verifiquen, señalando el valor de la medida (en el Eje Y) de los siguientes ángulos (en el Eje X), en el gráfico de la función Coseno. Ángulo 0° Valor Cuadrante 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°
Función Tangente: Tan a
Sitio web de esta imagen oceanologia.ens.uabc.mx Tarea: Verifiquen, señalando el valor de la medida (en el EjeY) de los siguientes ángulos (en el Eje X), en el gráfico de la función Tangente. Ángulo 0° Valor Cuadrante 30° 45° 60° 90° 120° 200° 275° 350°
Criterios de Evaluación: Para La Primera Parte: 1. Se debe tener presente el desarrollo logrado por el alumno/a en la construcción de un grafico dada una consigna y la relación con las formulas trigonométricas necesarias para la resolución de ésta. 2. El despeje de las correspondientes fórmulas y su relación con las unidades de medición tratadas en la consigna. (Ejemplo: metro, cm, pulgada, etc.) Para la Segunda Parte: 1. Se debe tener presente la relación espacial existente en el gráfico respecto a los ángulos y los valores de dichos ángulos. (Relación ejes X e Y). 2. En la construcción de una función trigonométrica determinada, dado valores específicos de los ángulos a representar en el gráfico.
Nota: Los siguientes temas se desarrollarán en el aula: -Sistemas de medición de ángulos. -Identidades y Ecuaciones trigonométricas. -Gráficos y desarrollo del estudio de Amplitud, Período y Fase. Luego teniendo como referencia este Trabajo Práctico, se cerrará el tema junto con la tarea de investigación detallada en el cuerpo principal del Trabajo Final, del cual este trabajo es adjunto.
Bibliografía Consultada: Autores Varios. Matemática 9. Buenos Aires. Editorial Puerto de Palos. 2001 Autores Varios. Matemática Activa 1. Buenos Aires. Editorial Puerto de Palos. 2001 + Sitios de Internet Consultados:
www.fisicanet.com.ar . Septiembre 2010. http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m1_trigonometria.php http://soko.com.ar . Septiembre 2010. http://soko.com.ar/matem/matematica/func_trig.htm www.sectormatematica.cl . Septiembre 2010. http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm + Gráficos:
Debajo de cada gráfico se detalla la dirección web del recurso utilizado.
José Luis Gallardo DNI 16.413.072 Seminario: Resoluciones Problemáticas y Tecnologías Educativas
Datos Personales: Blog preparado para el seminario: Blog preparado para comunicación escolar: Página social para el seminario:
http://escuelasiglo21.blogspot.com http://2010joseluis.blogspot.com Facebook: José Luis Udelcomahue
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