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Timestamp: 2016-09-25 19:02:37+00:00

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NEWTON Y LEÍBNIZ (Unidad II) | Cálculo Integral
NEWTON Y LEÍBNIZ (Unidad II)
Este espacio esta determinado para subir el ensayo elaborado de forma individual por cada uno de Ustedes. Disculpen la tardanza, pero no había tenido tiempo. Comienzan las vacaciones y es el último trabajo solicitado antes de ellas. Deseo que se diviertan mucho; que se cansen de realizar otras actividades, que carguen pilas para cuando regresen, entren con muchas ganas de aprender y comprender cosas nuevas.
De tarea para las vacaciones, queda que analicen en que actividades estan utilizando el cáculo integral y por qué.
Byanka Melissa Franco said,
abril 15, 2011 a 12:53 am
Como comenzar todo este enredó comencemos por explicar quien es newton s el que tuvo el mayor logro en matemáticas también supo generalizar los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curva y para calcular el área bajo la curva ya que hemos hablado un poco de newton pues a hora corresponde hablar de Leibniz el contribuye con nuevo conocimiento en el campo de estudio de la matemática ambos se relacionan con este campo pero es que cada quien lo ve de diferente punto de vista o no lo es de esta manera
A hora me pregunto como es que lo considera Leibniz la curva? Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infinitesimal de dos ordenadas consecutivas,
dx la diferencia de dos abscisas consecutivas e ydx representa la suma de los pequeños rectángulos infinitesimales ydx. Y de esta manera se le facilitaba su teorema fundamental para poder ayar el área bajo la curva .
Y esto es sólo el comienzo de una mucho más sublime Geometría de problemas incluso mucho más difíciles y de los más bonitos de matemáticas aplicadas, los cuales sin nuestro cálculo diferencial o algo similar nadie podría atacar con tanta facilidad Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral que contribuiría a una profunda renovación de las Matemáticas también formuló el teorema del binomio entre otros pequeños detalles que llego a formular para poder facilitar el contacto a las matemáticas También trabajó en otras áreas termodinámica y la acústica pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica
Podemos analizar una parte de todo esto se dice que ambos son ayudadores de la rama de las matemáticas ya que no nda mas se basaban en una sola rama sino a demás cada quien aporto lo adecuado para poder entender el área bajo la curva y demás
En particular, el nacimiento del cálculo -consignado en el siglo XVII- atribuido a Newton y Leibniz nos permite ilustrar claramente lo dicho Estos dos hombres han sido considerados como los inventores del cálculo en el sentido de que dieron a los procedimientos infinitesimales de sus predecesores inmediatos
Tiene la finalidad de que cada uno de nosotros encuentre más interés en dar apoyo y mejores significaciones a cada uno de los conceptos que hasta ahora conforman nuestro conocimiento de esta disciplina.
Cabe también considerar que las distintas formas de definir la integral que tuvieron Newton y Leibniz han heredado al Cálculo actual la Integral Indefinida y la Integral Definida
Mientras que Newton define el fluente como la cantidad generada por una fluxión dada como lo vimos antes es decir, como la cantidad que tiene una magnitud dada como su fluxión, o como la inversa de la fluxión
Leibniz define la Integral como la suma de todos los valores de una magnitud o como la suma de un número infinito de rectángulos
Tanto Newton como Leibniz consideraron el cálculo como un nuevo campo matemático independiente tanto de la geometría como del álgebra en sus conceptos y métodos y ofrecieron un fundamento algebraico a éstos.
Como lo hemos analizado los métodos infinitesimales antes de Newton y Leibniz, tenían una influencia de la geometría.
Como hemos visto, fue también relevante la diferencia en el uso de la notación.
Mientras que para Leibniz era muy importante, Newton no le prestó mucho cuidado.
Tampoco Newton dio mucha atención a la formulación precisa de los algoritmos y reglas usuales del cálculo.
En esto nos repetimos es probable que la vocación por una búsqueda de reglas generales en Leibniz fuera un factor para su desarrollo de la forma y la notación.
Y solo es de esta manera como podemos comprender algo de calculo integral como en el diferencial
Responder	Jjanethp37 3IV said,
junio 6, 2011 a 1:40 am
Me parecio que la informacion esta muy completa y que mi compañera se enfoco en los aspectos mas importantes y genero una buena introduccion y asi nos permitio ilar la informacion que antes ya se conocia y aplicarla al entorno.
Responder	Dianis!!! said,
junio 17, 2011 a 2:07 am
Diana Diaz Arellano 3ºIV
Considero que toda la informacion de todos mis compañeros es la misma, cabe mencionar que los comentarios y el modo en que lo ve y entiende cada compañero es distinta.
Estos dos personajes fueron muy importantes en la historia del calculo, sabemos que Newton ademas de aportar al calculo, lo hizo en la fisica, en geografia universal etc.
No solo debemos escribir la importancia que representaron estos dos señores, si no mas bien debemos entender y comprender lo que realizaron y relacionar el calculo con nuestras vidas.
Todos lo ensayos me parecen buenos e interesantes aunque son muy repetitivos…
Responder	Byanka Melissa Franco said,
abril 15, 2011 a 12:54 am
Disculpeme maestra soy:
Byanka Melissa Franco
Responder	Alfredo Alarcón Castillo said,
abril 15, 2011 a 1:09 am
NEWTON Y LEIBNIZ DENTRO DEL CÁLCULO INFINITESIMAL¬¬¬
Podemos notar que Leibniz era muy simbólico ya que fue quien utilizo e innovo el símbolo de la integral que actualmente seguimos ocupando, incluso la “d” de diferencial también la innovo el.
Me resulta gratificante conocer esta información y saber de dónde proviene lo que aprendo, también diferenciar desde mi punto de vista que matemático es más eficiente en el cálculo y que de ellos podemos disfrutar incluso de escribir este ensayo d forma mas cómoda, en todo utilizamos las matemáticas, así que no me cabe duda que este ensayo me dejara bastos conocimientos.
Responder	Samantha Ibarra Ramirez said,
junio 6, 2011 a 10:09 pm
Hola Alfredo :; pues ami parecer es un ensayo bien desarollado con todo lo esencial de estos dos grandes personas descubridoras tambien menciona desglozadamente bien las aportaciones que isieron & sobre como poco a poco llegaron a hacer sus mas grandes descubrimientos me gusto el ensayo fue bien regactado acomodado bien los terminos & sin tanta informacion que no semlogtra entender ; este si esta organizado ; desarollado e entendible Samantha Ibarra Ramirez 3°IV NL:20
Responder	MARIO RENE MARTINEZ CRUZ said,
junio 9, 2011 a 9:48 pm
Bueno el ensayo me pareció muy interesante ya que nos da una crítica de lo que hace Newtón y Leibniz y de cómo se fue desarrollan do el cálculo con el paso del tiempo así como también las aportaciones que hicieron para que llegaran a una mejor critica del cálculo aun que tenían gran similitud ambos sus idea son relevantes y ambos generaron un descubrimiento muy notable.
MARIO RENE MARTINEZ CRUZ 3 IV NL. 24
Responder	Irene Guadalupe Torres Arenas said,
abril 21, 2011 a 2:13 am
IRENE GUADALUPE TORRES ARENAS 3° III No. L: 36
***Aportaciones de Newton y Leibniz***
Para comenzar a hablar sobre las aportaciones Newton y Leibniz es necesario indagar sobre el teorema fundamental de cálculo, ya que desde ahí surgen dichas aportaciones, pero realmente ellos no son los que originaron el cálculo, ya que para llegar al cálculo de la actualidad pasaron miles de años.
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
Pero Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior.
Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras.
Sin la contribución de éstos el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad.
La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV, dicha ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante.
Durante los comienzos del cálculo se fue desarrollada una estrategia para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:
•	Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como “cantidades que fluyen”) mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx).
Se puede decir que el cálculo de fluxiones de Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan como incrementos.
Responder	LEIDY MADAI RODRIGUEZ BAUTISTA 3 IV N. L. 38 said,
junio 17, 2011 a 1:01 pm
Para mi este ensayo tiene todo la informacion necesaria el unico detalle se podria decri es tan solo sacar las ideas principal y no solo descargar la informacion; pues a demas de que todos los ensayos estan muy completos pero se hacen tediosos por uqe la inforcion es la misma
Responder	GLORIA ISETT PIENDA HERNANDEZ 3°III N.L:31 said,
abril 27, 2011 a 12:41 am
En la historia del cálculo se encuentra la controversia de quién fue el inventor del cálculo, si Newton o Leibniz, algunos le dan la primicia a Newton y otros a Leibniz, pero se generaliza que Newton tuvo primero las ideas y que Leibniz las descubrió igualmente algunos años más tarde. Pero sin duda Leibniz merece igual crédito que Newton, por lo tanto sus aportaciones al cálculo fueron sobresalientes. Leibniz estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya sub tangente es constante. Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales.
No cabe duda que su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral, así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual), así como su notación para las derivadas dx/dy, y su notación para las integrales. DESARROLLO
Con estos dos genios la historia de la ciencia hace que una de las herramientas matemáticas más potentes, el cálculo diferencial y el cálculo integral dan un giro transcendental. Con ellos nacerá un nuevo paradigma científico: la Naturaleza puede ser explicada a base de ecuaciones diferenciales.
Primeo empezare por mencionar a newton: Newton realiza una aportación que por sí sola le habría hecho pasar a la historia del Universo Matemático, lo que más tarde se llamará el binomio de Newton.
Un serio problema por resolver, el de las cuadraturas. Es decir, cómo calcular el área de una figura limitada por curvas. Hacía falta un método general para encontrar el área encerrada por cualquier curva. Y este método general lo van a encontrar Newton y Leibniz a través de la idea de integral.
Ahora toca el turno de Leibniz:
Nace en París, 1672. Un joven abogado, diplomático al servicio del Elector de Mainz, en Alemania. Se trata de Gottfried Wilhelm Leibniz.
Leibniz tampoco utilizaba el concepto de función como lo entendemos en la actualidad. Para él una curva estaba formada por un número infinito de tramos rectos infinitamente pequeños. En cada uno de ellos la diferencial de y es la derivada m por la diferencial de x. CONCLUSIÓN
Tanto newton como para Leibniz se interesaban por calcular las áreas bajo una curva, aunque los 2 tenían diferentes conceptos, pero lo que tenían claro que para resolver y calcular el área bajo una curva se necesitaba de una función.
Los 2 sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.
Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra *Principia* en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo.
Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el • para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.
Responder	irazema said,
junio 6, 2011 a 12:01 am
Hola gloria me gusto tu desarrollo porque explica de forma breve como ambos matemáticos encontraron y desarrollaron por su lado lo que hoy conocemos como calculo integral, por otro lado me gustaría hacerte una observación repites algunas veces mucho los nombres de Leibniz y Newton sé que el ensayo lo requería pero podrías haber usado algunos artículos o pronombres personales, de ahí en fuera estuvo todo bien aunque en la conclusión te hubieras enfocado un poco más a cómo es que todas las aportaciones de ambos son empleadas en la actualidad y lo que mencionas sobre lo que Newton hizo a Leibniz después de que murió, lo hubieras incluido en el desarrollo.
Este es mi comentario espero y te sirva como una humilde critica ya que elaborar un ensayo sobre el cálculo no es muy simple nos vemos.
Responder	Alfonso Gamero Martinez 3IV said,
junio 16, 2011 a 9:18 pm
yo creo que esta muy bien su ensayo pero necesitas explicar un poco mas el tema habla muy en general de todo y pues conforme al tema pienso que yanto newton como leibniz tubieron una gran participacion para el desarrollo de calculo y aun que newton halla tenido las ideas leibniz hizo un buen papel al expandir el tema bueno eso es lo que yo pienso
Responder	ARELY SARAHI SOLANO LOPEZ said,
mayo 3, 2011 a 4:48 am
En cuanto a la historia del cálculo se puede apreciar como hay autores y grandes personajes, los cuales dieron grandes aportaciones en lo que se refiere las matemáticas.
Uno de los principales autores que dieron un sin número de aportaciones al cálculo es Newton; uno de los más grandes e importantes científicos, este personaje descubrió los principios del cálculo integral y diferencial alrededor de los años 1665-1666 haciendo un gran a análisis del mismo.
Otro gran personaje que representa y que da aportaciones de gran importancia al cálculo es Leibniz, Gottfried Wilhelm un genio de su tiempo el cual tenía un conocimiento perfecto de las ciencias, el se apego al estudio de la geometría y de la física.
Entre Newton y Leibniz existía gran rivalidad, por el hecho de no compartir las mismas ideas filosóficas, además que cada uno decía ser el inventor del cálculo diferencial y de la gravitación universal, se dice que Newton fue el primero en generar las ideas y que Leibniz las descubrió algunos años mas tarde.
Resulta de gran importancia todos estos sucesos de ambos autores ya que los dos dieron grandes aportaciones al cálculo tanto diferencial como integral.
Vamos mencionar a Newton:
Este personaje dio aportaciones a muchas ciencias como a la física, química, matemáticas es ahí donde nos interesa saber cuáles fueron sus principales aportaciones en dicha ciencia enfocándonos al cálculo. Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Principales aportaciones al calculo:
•	Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones.
•	Desarrollo el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
•	Descubrió los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666, y durante el decenio siguiente elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.
En cuanto a Leibniz cabe mencionar que era un genio, adentrado en muchos campos de las ciencias principalmente de las matematicas y al cual le debemos el descubrimiento y las aportaciones al calculo que sin duda han servido de gran ayuda a la resolución de la misma.
	Estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial
	Dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante. 	Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales. 	Su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral.
	Invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual).
	Invención de su notación para las derivadas dx/dy, y su notación para las integrales. CONCLUSION:
En cuanto a sus aportaciones de ambos autores cabe destacar que sus aportaciones al cálculo fueron sobresalientes ya que gracias a ello puede ser comprensible.
Sin embargo nosotros no estamos para decir si Newton o Leibniz o más bien quien de los dos fue el inventor del cálculo sin embargo solo queda destacar que ambos son parte importante y que cada uno dio aportaciones diferentes que ayudaron de diferente manera así que los dos son merecedores y acreditadores del nombre descubridores del cálculo.
Por otro lado no olvidemos que ambos autores se dieron tuvieron como objetivo el area bajo la curva y por consiguiente las derivadas asi que no olvidemos que ambos desarrollaron el cálculo independientemente de muchos factores como la ideología, procedimientos etc. pero cabe mencionar que la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplica mejor en los problemas prácticos
ARELY SARAHI SOLANO LOPEZ 3°III
Responder	Deyanira Ascención Barrón Mancilla said,
junio 4, 2011 a 11:39 pm
Aunque estuvo muy cortito tu ensayo esta muy completo estos autores aportaron buenas ideas al calculo y fue buena idea crear un ensayo cada alumno con su punto de vista sobre como ellos enfocaron su habilidad en la materia, u estoy de acuerdo contigo cada aportacion que dieron fue muy sobresaliente porque podemos llegar a un entendimiento rapido.
Hay que aprovechar sus aportaciones para desarrollar nuestro aprendizaje en la materia y asi compartir al igual que ellos el como entender con facilidad cada tema encontrado.
Responder	Orlando Javier Estrada Aguirre said,
junio 17, 2011 a 12:41 am
Hola para comenzar creo que tine buenos argumentos y la informacion esta bien organizada , creo que si le falto dar aconocer mas hacerca de estos dos gigantes del calculo , pero si es un buen trabajo el que ha presentado .
las aportaciones de newton y leibniz han sido de gran ayuda para realizar calculos mas exactos y concretos y que alo largo de la historia se han mejorado.ha sido todo y bien por ti que logreste sintetizar las ideas de estos dos maestros.
Responder	Ismael Azarael Barrera Tlapan 3ro III said,
junio 3, 2011 a 2:16 am
Newton Sir Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 JU – 20 de marzo de 1727 JU (4 de enero de 1643 GR – 31 de marzo de 1727 GR) fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.
Responder	naily naranjo dominguez said,
junio 9, 2011 a 12:25 am
para mi aqui mi compañero se enfoco en la tematica principal de ambos y sus aportaciones me parecio genial que no mezclara la informacion pues luego se hace confuso, su informacion fue muy acertada pero parece tan solo una sinteseis del internet pero aun asi relevo la informacion
SOY GISELA NAILY NARANJO DOMINGUEZ 3ª IV N.L 27
Responder	adriana huautla hernandez said,
junio 5, 2011 a 4:31 am
En este trabajo se pretende dar a conocer las aportaciones que dos grandes matemáticos apasionados por descubrir las maneras de simplificar esta ciencia tan importante en la vida cotidiana; de los cuales mencionare un poco de sus vidas. Del primero que hablare será de Leibniz nacido en Leipzig, el 1 de julio de 1646. A la edad de 6 años perdió a su padre y fue educado por su madre sobre valores morales y religiosos que influyeron en su filosofía. Al año siguiente ingresó a la Escuela Nicolai en Leipzig. Allí estudió, la lógica aristotélica, teoría de la categorización del conocimiento, latín y griego a los 12 años. Se intereso por incrementar su conocimiento leyendo libros de metafísica y teología de autores católicos y protestantes. En 1673 al ser miembro de Académie Royale des Sciences, Huygens le pidió hallar la suma de los inversos de los números triangulares, con este acercamiento en 1675 descubrió el cálculo con las reglas de manipulación de f(x).dx∫ para calculo integral y la regla de la diferenciación de un producto. En 1676 descubre el diferencial de la potencial: d (xn)=nx-1dx, para entero n y fraccionario. Newton le escribe una carta en la que le da a conocer algunos resultados pero sin métodos a lo cual Leibniz decide apurarse a publicar sus métodos a lo que Newton le acusa de plagio. Fallece en Hannover, el 14 de noviembre de 1716.
El siguiente será Newton nació el 4 de enero de 1643. Su padre fallece antes de su nacimiento y es educado por su abuela. Desde niño mostro interés por la química. En 1665 a 1666 se recluye en su casa y es donde descubre el teorema del binomio, el cálculo integral y diferencial, la ley de la gravitación universal, la teoría de los colores, la clasificación de las curvas de tercer grado y la teoría de las ecuaciones. Su aportación más importante al cálculo es el teorema del binomio en la cual explica la extracción de las cuadráticas donde A, B, C son los términos que le preceden en el desarrollo. Generalizo los métodos para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área bajo la curva y descubrió que las dos operaciones eran inversas y las llamo fluxiones. Falleció el 20 de marzo de 1727.
Como pudimos ver estos dos personajes hicieron grandes aportaciones al cálculo. Describiré las diferentes técnicas de aplicación de los métodos mencionados anteriormente. El primero es la suma y diferencia que planteo Leibniz al sumar los inversos de los números triangulares
________________________________________1	+	1
________________________________________3	+	1
________________________________________6	+	1
________________________________________10	+	1
________________________________________15	+ +	2
________________________________________n(n+1)	+ Leibniz observó que cada término se puede descomponer como
________________________________________n(n+1)	=2	(	1
________________________________________n	–	1
________________________________________n+1	)	Donde
________________________________________15	+ = 2	(	1-	1
________________________________________2	)	+2	(	1
________________________________________2	–	1
________________________________________3	)	+2	(	1
________________________________________3	–	1
________________________________________4	)	+ = 2 Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los números triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de
números. Observó por ejemplo que dada la sucesión a0, a1, a2,…, an, si consideramos la sucesión de diferencias d1, d2,…, dn, donde
di=ai-ai-1. Entonces
d1+d2+ +dn=(a1-a0)+(a2-a1)+ +(an-an-1)=an-a0
Es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el último y el primer término de la sucesión original.
Además de considerar una curva como una poligonal de lados infinitos, donde la diferencia de las abscisas consecutivas representa la suma de pequeños rectángulos infinitesimales ∫ydx=z.
Para esta ciencia joven Newton pudo realizar un teorema sobre el binomio que actualmente lleva su nombre y se expresa de la siguiente manera:
(P+PQ)m/n=Pm/n+	m
________________________________________n	AQ+	m-n
________________________________________2n	BQ+	m-2n
________________________________________3n	CQ+	m-3n
________________________________________4n	DQ+
Pero este evoluciono para la suma de números negativos y fraccionarios a lo que conocemos hoy como una suma infinita.
(1+Q)a=	∞
n=1	(	a
n	)	xn
Pero en caso de que no ser entero aparecen series infinitas la formula quedaría de la siguiente manera:
________________________________________1+x	=(1+x)-1=1-x+x2-x3+ …
“Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza una curva. Cada una de estas cantidades
que aparecen (variable) x es un “fluente” y su velocidad, designada por , esto es una x. con un puntito encima, es una “fluxión”. Es decir:
Y=f(x)+0ᵢ-f(x)
Como podemos ver ambos matemáticos descubrieron diferentes métodos para llegar a un mismo resultado; Newton considera a la derivada como de y=f(x) como el cociente entre fluxiones, es decir y/x. Cuando Leibniz considera el cociente anterior como dy/dx como cocientes entre diferencia. Para Newton la integral es una integral definida. Para Leibniz la integral es la suma infinita de diferenciales. Pero a pesar de las diferencias que existen entre los conceptos que cada uno tiene se dan cuenta de que el cálculo es un proceso inverso de derivadas. Antes solo era posible calcular áreas y volúmenes de figuras solidas y cerradas por una línea continua, pero con la invención del cálculo se descubrió un nuevo razonamiento en el que se deben aplicar los inversos de las áreas en modo de funciones para poder calcular áreas debajo de una curva, problemas de máximos y mínimos, geométricos, entre otras aplicaciones.
La importancia que representa hoy en día en construcciones de puentes, carreteras, trayectorias de aviones, automóviles, domos, pérdidas y ganancias en una empresa, calculo de áreas de terrenos con una función dada en uno de sus lados, el cálculo del crecimiento de una población determinada, etc. El cálculo se ha convertido en una gran herramienta que nos facilita el conocimiento de diversos datos.
Responder	Stephanie Perez Robles said,
junio 8, 2011 a 11:40 pm
Britzel Staphanie Peres Robles 3ºIV NL*33
hola adriana bueno a mi me parece que el ensayo que elaboraste esta muy bien estructurado pues comprende todo lo relacionada con newton y de leibniz, abarcas la gran mayoria de sus formulas de como ellos entendian al calculo y de sus aportaciones. como vimos desde muy jovenes ellos se dedicaron a l estudio de las matematicas para dejarnos una gran herencia de conocimientos y mas que eso para obtener los resultados mas exactos aun que la verdad si son laboriosos pero lo importante es que sus teorias como fueron haceptadas aun permanecesn en la vidad de todos y seguira.
Responder	gerardo espejel casasola said,
junio 9, 2011 a 9:36 pm
La verdad la compañera habla sobre de sus grandes descubrimientos científicos, Como el binomio de Newton y los elementos del cálculo diferencial, que llamaba fluxiones. También habla de que había encontrado el método inverso de las fluxiones, es decir, el cálculo integral y e método para calcular las superficies encerradas en curvas como la hipérbole, los volúmenes y de los sólidos. En donde menciona también Leibniz era considerado el creador del cálculo diferencial y Al parecer ambos, independiente y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.
Gerardo Espejel Casasola
3IV N/L: 12
Responder	NANCY VARGAS GARCIA said,
junio 8, 2011 a 8:55 pm
A mi criterio pienso que tu ensayo esta muy bien esplicado ya que nos menciona todas aquellas aportaciones que realizan los dos personajes ya mencionados y creo que te desempeñaste bastante para obtener este proyecto ademas de que esta bastantemente dsarrollado como ya lo habia mencionado
Responder	Diego Abad Cortés Serrano said,
junio 8, 2011 a 11:59 pm
Diego Abad Cortés Serrano 3-IV
Bueno a mi me gusto el ensayo de este Alfredo porque el expresa mucho su punto de vista sobre estos dos autores basandose en lo investigado, además de que explica algunos acontecimientos y echos que realizaron a partir del calculo; tambien expresa sobre los rectángulos inscritos y circunscritos y por eso me parece que el enseyo de este Alfredo es bueno porque entendi un poco más los conceptos y cosas que a lo mejor y no tenia tan claros y ahora me doy una idea más general.
Responder	Alondra Jimena Monroy Basurto 3ºIII said,
junio 14, 2011 a 3:58 am
Desde vastos años atrás las matemáticas han sido indispensables en la vida diaria de todo ser humano, desarrollándose así día con día nuevas formulas leyes y conceptos por pioneros de cada materia, para un entendimiento de estas y una manera de desarrollar los problemas más fácilmente
Por ello es importante conocer los percusores y como se fueron desarrollando las temáticas; así que en el presente ensayo desarrollaremos las mas importantes aportaciones al calculo de Sir Isaac Newton y Leibniz pioneros de esta.
Empezaremos por conocer las aportaciones de Newton que desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis, y desarrolló un método propio denominado cálculo de fluxiones.
“De 1667 a 1669 emprendió investigaciones sobre óptica y fue elegido fellow del Trinity College. En 1669 su mentor, Isaac Barrow, renunció a su Cátedra Lucasiana de matemática, puesto en el que Newton le sucedería hasta 1696. El mismo año envió a Luis Zeus, por medio de Barrow, su Analysis per aequationes número terminorum infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.”
Así mismo abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones, también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
“En los primeros días de marzo de 1727 el alojamiento de otro cálculo en la vejiga marcó el comienzo de su agonía: Newton murió en la madrugada del 20 de marzo, tras haberse negado a recibir los auxilios finales de la Iglesia, consecuente con su aborrecimiento del dogma de la Trinidad.”
De igual manera y sin dejar atrás Leibniz realiza grandes aportaciones; en agosto de 1675 Tschirnhaus llega a París y entabla amistad con Leibniz. Es en esta etapa en París cuando empieza a trabajar sobre el desarrollo de su versión del Cálculo. En 1673 todavía estaba tratando de encontrar una buena flotación ya que sus primeros cálculos eran desprolijos. El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la anotación f(x).dx con el signo integral y da la regla de la diferenciación de un producto. En el otoño de 1676 descubre el diferencial de la potencia: d(xn) = nx-1dx , para n entero y fraccionario.
“Newton le envía una carta a Leibniz a través de Oldenburg que tarda en llegarle. En ella le comenta algunos resultados a los que había llegado pero sin explicar Los métodos. Leibniz responde inmediatamente. Newton, sin saber que su carta había demorado en llegar, pensó que Leibniz había tenido 6 semanas para contestar. Una de las consecuencias la carta de Newton fue que Leibniz se dio cuenta de que debía apurarse en publicar sus métodos.” Es por esto que Newton al no enterarse del retraso de la carta supone que Leibniz robo sus leyes.
Otros trabajos de Leibniz fueron el desarrollo del sistema binario y su trabajo sobre determinantes, que permitió avanzar sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
En 1684 publica detalles de su Cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, item que Tangentibus en Acta Eruditorum, una revista de Leipzig. En este artículo aparece la conocida flotación d para las derivadas, las reglas de las derivadas de las potencias, productos y cocientes. Pero no habla demostraciones. En 1686 publica en la misma revista un trabajo sobre Cálculo integral donde aparece impreso por primera vez el símbolo. Al año siguiente aparece Principios de Newton, aunque habla sido escrito en 1671 esta demora en aparecer la obra de Newton generó la polémica con Leibniz. En esta obra muestra también como con el signo integral pueden expresarse mediante expresiones algebraicas curvas que no lo son, como la cicloide. El vocablo trascendente, para las ecuaciones en las que la incógnita figura en el exponente
“En los últimos años Leibniz estuvo involucrado en la disputa sobre el invento del Cálculo. En 1711 leyó el trabajo de Keill en Transactions of the Royal Society of London en el cual acusó a Leibniz de plagio. Leibniz demandó una retractación diciendo que él nunca había escuchado hablar del cálculo de fluxiones. Keill le replicó que existían las dos cartas de Newton enviadas a través de Oldenburg donde se habla del tema. Leibniz escribió nuevamente a la Royal Society pidiéndoles que corrigieran los errores de Keill. Como respuesta a esta carta la Royal Society designó un comité para pronunciarse sobre la disputa.”
A pesar de la disputa parece indicar que Newton y Leibniz descubrieron el Cálculo infinitesimal en el período comprendido entre 1666 y 1680 y parece demostrado que ambos descubrieron esta poderosa técnica con independencia uno del otro. Sin embargo, el método de Newton no se publicó hasta 1711, mientras que Leibniz en 1673 empezó a pensar en un sistema de Análisis matemático, la línea metodológica, la terminología y la forma del Cálculo que Leibniz desarrolló fueron superiores y hoy son preferidas a las de Newton.
Y así aunque las fuentes nos indican que los inventores del cálculo fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Pero sabemos por el ensayo antes escrito que las ideas básicas detrás de la integración fueron investigadas hace 2500 años por los antiguos griegos, como Eudoxo y Arquímedes, y que Pierre Fermat (1601-1665), Isaac Barrow (1630-1677) y otros autores fueron los pioneros en hallar tangentes. Barrow, el profesor de Newton en Cambridge fue el primero en comprender la relación inversa entre la derivación y la integración. Lo que Newton y Leibniz hicieron fue usar esta relación, en la forma del teorema fundamental del cálculo, para convertir este último en una disciplina matemática sistemática. En este sentido es que se da a Newton y Leibniz el crédito por la invención del cálculo
BIBLIOGRAFIA Calculo Diferencial e Integral
junio 14, 2011 a 4:10 am
Buenas noches profesora disculpe por el retraso espero tome en cuenta mi ensayo pues solo me faltaba subirlo ya que se lo entregue en la fecha indicada. Gracias
ALONDRA JIMENA MONROY BASURTO 3º III N.L 28
Responder	Luis Angel Garcia said,
junio 16, 2011 a 12:54 am
LUIS ANGEL GARCIA REYES APORTACIONES AL CÁLCULO
Leibniz estableció la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes dentro del cálculo diferencial, dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante. Expuso los principios del cálculo infinitesimal, resolviendo el problema de la isócrona y de algunas otras aplicaciones mecánicas, utilizando ecuaciones diferenciales.
Al hablar Newton en la matemática no podemos dejar atras su solución a los problemas propuestos por Juan Bernoulli y Leibnitz . Participo también con la solución del problema de la longitud del mar.
Realizó aportaciones fundamentales al estudio de la luz, el movimiento de fluidos, la precisión de los equinoccios y teoría de los mares. Formuló la teoría de la gravitación universal después de cuidadosos estudios de la luna.
Aunque sabemos ahora que Newton descubrió el cálculo años antes que Leibniz,publicó su trabajo mucho después.Sobrevino un gran escándalo sobre quién había sido el primero, con científicos que defendían vigorosamente a cada uno de sus contendientes. Hay que señalar, no obstante, que la mayoría de los artículos que aparecieron en defensa de Newton estaban escritos originalmente por su propia mano, ¡y publicados bajo el nombre de amigos! Cuando el escándalo creció, Leibniz cometió el error de recurrir a la Royal Society para
Newton, como presidente, nombró un comité ‘imparcial’ para que investigara,
¡casualmente compuesto en su totalidad por amigos suyos!
Newton escribió entonces él mismo los informes del comité e hizo que la Royal Society los publicara, acusando oficialmente a Leibniz de plagio.
No satisfecho todavía, escribió además un análisis anónimo del informe en la propia revista de la Royal Society.”
Newton escribió en el año 1669 sus ideas
sobre series y el cálculo en el libro De
infinitas que, sin embargo, fue publicado
También, esta relación entre series y cálculo
se manifiesta en Methodus fluxionum et
serierum infinitorum (escrito en 1671), y
publicado en inglés en 1736 y en latín en
El único libro en que Newton mostró su
cálculo y publicó rápidamente fue
Newton usó el cálculo en su estudio de la
astronomía y mecánica en esta obra,
Una gran parte del libro fue expresada en
forma geométrica tradicional
para que sus contenidos fueran mejor
aceptados por la comunidad científica de
Grandes cualidades intelectuales que
además de matemático, fue filósofo,
abogado, filólogo, historiador e incluso hizo aportes a la geología.
No llegan al nivel de las de Newton, hizo
contribuciones en mecánica, óptica,
hidrostática, neumática, ciencia náutica, en la lógica y hasta en la construcción de
Se ganó la vida como diplomático y
abogado, pero sus trabajos en las
matemáticas y la filosofía fueron muy
En 1666, escribió su tesis doctoral De Arte Combinatoria (“Sobre el arte de las
combinaciones”), en la que formuló un
método universal para razonar.
Su cálculo era una aproximación geométrica y no cinemática como en Newton.
Se percibe la influencia de Pascal y de
Barrow (especialmente Geometrical
Lectures, 1670), así como de Huygens y
Responder	SALVADOR ROJAS RUIZ said,
junio 16, 2011 a 1:56 pm
Bueno el esnayo de mi compañera alondra jimena monroy esta completo porque abarca todas las formulas que estamos viendo acerca de estos autores puso todo lo que nos pidio las diferencias que existen entre estos dos autores en lo que difieren y en lo que estan de acuerdo su informacion esta muy completa bueno ese es mi punto de vista profesora
Responder	ARTURO JUSTO SAN AGUSTIN 3IV said,
junio 16, 2011 a 2:03 pm
Creo que la informacion de mis compañeros es muy importante ya que habla de dos pilares del calculo integral por todas sus aportaciones como los temas que tratamos en las clases impartidas por la profesora que son las integrales las diferentes maneras de ver los temas esa es mi opinoin
Responder	Adolfo Flores Castillo 3IV said,
Bueno pues en este ensayo se menciono lo mas importante de los autores como fue que se introdujo a las matemáticas y la gran importancia que se tiene hoy en día para la educación, en concreto estuvo muy bien realizado el trabajo pues es lo mas sobresaliente.
Responder	Giovanni Enrique Mendoza Rosas 3IV said,
junio 16, 2011 a 3:06 pm
Como vimos hace ya algun tiempo, Newton y Leibniz son los creadores, si asi podemos decirlo, del calculo que conocemos hoy en dia; gracias a ellos se ha podido desarrollar nuestra materia.
Aunque estuvieron en conflicto, por el hecho de que no se sabe en si quien fue el primero en desarrollar sus temas, y la controversia de si uno le copio a otro, lo que si sabemos es que cada uno tiene sus conceptos y sus aplicaciones para cada tema del calculo.
Me gusto la estructura del ensayo, esta bien elaborado, creo que por eso lo eligio.
Responder	Osvaldo Luna Hernández3IV said,
junio 16, 2011 a 3:16 pm
A mi parecer y también como mis compañeros lo an mencionado Newton y leibniz fueron los creadores del calculo ya que para Leibniz la integral es la suma infinita de diferenciales. Pero a pesar de las diferencias que existen entre los conceptos que cada uno tiene se dan cuenta de que el cálculo es un proceso inverso de derivadas bueno pues considero que todo esto del blog estuvo muy bien manejado por todos mis compañeros y en particular por la profesora.
junio 19, 2011 a 10:15 pm
ana laura rivera avelino 3 IV
bueno creo que las ideas que dieron a conocer newton y lebniz fueron muy importantes para el calculo ya que son de gran utilidad para la vida cotidiana a si como para resolver problemas
junio 19, 2011 a 10:22 pm
bueno pues a mi me gusto el ensayo de la compañera Alondra por ques es veradad que el hombre siempre haido utilizando las matematicas para todo ya que hoy en dia son muy importantes. y lo de Newton que el fue el que descubrio los binomios y que con Leibnoz descubrieron el calculo infinostesimal.
Esta interesante tu en sayo por que nos vas explicando cada autor que es lo que fue aportando asia las matematicas y el calculo.
RAUL APARICIO ROSALINO N.L 2 3 IV
Responder	yesua mondragon lopez said,
junio 20, 2011 a 1:50 am
En el presente ensayo hablaremos acerca de las aportaciones de dos grandes hombres que hicieron determinadas aportaciones al Cálculo, y que estas son indispensables para el buen funcionamiento de la misma.
Es importante tener conocimiento de dichas aportaciones ya que muchas veces las utilizamos y nos facilitan el funcionamiento de dicha materia, pero aun con ello no sabemos de donde provienen, por ello es que considero importante el conocer quienes aportaron grandes cosas al calculo y el por que de estas, su mismo funcionamiento entre otras cosas mas.
También nos daremos cuenta de la gran relación que existe entre estos dos personajes Newton y Leibniz, ya que al estudiar todas sus aportaciones nos damos cuenta que estos dos hombres desarrollaron el calculo diferencial y el calculo integral.
Empecemos por hablar acerca de Gottfried Leibniz, Fue uno de los grandes pensadores del siglo XVII y XVIII y se le reconoce como “El último genio universal”. Realizó profundas e importantes contribuciones en las áreas de metafísica, epistemología, lógica, filosofía de la religión, así como a la matemática, física, geología, jurisprudencia e historia. Como nos podemos dar cuenta este gran pensador realizo diferentes aportaciones de suma importancia a varias áreas del conocimiento pero principalmente trataremos las aportaciones que realizo al área matemática (Calculo). Una de sus principales aportaciones fue que Aunque la noción matemática de función estaba implícita en la trigonometría y las tablas logarítmicas, las cuales ya existían en sus tiempos, Leibniz fue el primero en 1692 y 1694 en emplearlas explícitamente para denotar alguno de los varios conceptos geométricos derivados de una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular. Esta fue una aportación de suma importancia para el área matemática ya que nos hace mención que Leibniz fue el primer hombre en hacer uso de ellas, tendiendo solo con el objetivo de denotar determinados conceptos de suma importancia en el Calculo. Otra de las aportaciones de Leibniz fue ser el primero en ver que los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales podían ser organizados en un arreglo, ahora conocido como matriz, el cual podía ser manipulado para encontrar la solución del sistema. Este método fue conocido más tarde como “Eliminación Gaussiana”. Nos hemos dado cuenta que las aportaciones de Leibniz al área matemática fueron de gran importancia para la misma ya que son bases fundamentales para muchas cosas que empleamos hoy en día en dicha área del conocimiento. Pero no solo Leibniz aporto grandes conocimientos a esta ciencia si no también Newton, ya que la invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto a Leibniz como a Newton.
Sir Isaac describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos principalmente esta el desarrollo del cálculo matemático. Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes “Analysis per aequationes número terminorum infinitos”. Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.
Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis. s historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos.
De igual forma Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes. Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. CONCLUSION
Concluimos este pequeño ensayo una ves ya habiendo adquirido nuevos conocimientos y como pudimos ver las aportaciones que realizaron estos dos personajes fueron sumamente importantes ya que son de suma utilidad e importancia en la actualidad, y como nos dimos cuenta estas dos personas lograron el desarrollo del cálculo integral y el cálculo diferencial.
Y así como pudimos notar que Newton y Leibniz dieron grandes aportaciones a determinadas áreas del conocimiento así muchos otros científicos más han hecho grandes aportaciones que gracias a ellas hemos obtenido los conocimientos que tenemos.
yesua abisael mondrawon lopez
Responder	Eduardo 3_IV said,
junio 21, 2011 a 3:05 am
JOSÉ EDUARDO BARRERA CALVA 3 IV N.L:3
Bueno a mi parecer el ensayo de la compañera Alondra Jimena Monroy Basurto estuvo muy completo ya que abarco lo esencial .
No solo debemos escribir la importancia que representaron estos dos señores, si no mas bien debemos entender y comprender lo que realizaron y relacionar el calculo con nuestras vidas
Responder	fifi said,
diciembre 21, 2012 a 11:27 pm
pero en que ideas se basaron
PáginasCONÓCEME
CRUCIGRAMA (Unidad III)
HISTORIETA – UNIDAD II
Páginas de internet para el escenario didáctico I
POSTRE – APLICANDO LA INTEGRAL (UNIDAD IV)
PROGRAMA TEMÁTICO DE CÁLCULO INTEGRAL

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