Source: https://www.scribd.com/document/66576679/29508765-Maths-3-6-Trigonometria
Timestamp: 2016-07-28 12:29:48+00:00

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Su contenido está sujeto a cambios sin rpevio aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad. Se ha pedido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Solo se pide que con cada copia del mismo se referencia WikiEdu como fuente. INDICE AUTORES Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009 | INTRODUCCIÓN 4 + | INTRODUCCIÓN 1 T ABLA DE CONT ENI DO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3 Historia.............................................................................................................................. 3 Notas ................................................................................................................................. 9 Aplicaciones .................................................................................................................... 10 CONCEPTOS BASICOS .................................................................................................... 11 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo ......................................................... 11 Medida de los ángulos. El radián ..................................................................................... 13 Radián ......................................................................................................................... 14 LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. FORMULAS FUNDAMENTALES ............... 16 REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS ........... 18 CALCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE UNA DADA ................................................................................................................................ 20 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º, 30º, 45º, 60º Y 90º.......... 21 RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE ................................................... 24 Ángulos complementarios ............................................................................................... 24 Ángulos suplementarios ................................................................................................... 24 Ángulos que se diferencian en 180º ................................................................................. 25 Ángulos que suman 360º ................................................................................................. 25 Reducción de un ángulo al primer cuadrante .................................................................... 26 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES ....................... 28 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS ...................... 30 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos ......................................................... 30 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos ................................................. 33 Razones trigonométricas del ángulo doble ....................................................................... 35 Razones trigonométricas del ángulo mitad ....................................................................... 36 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS.......................... 37 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS ......................... 38 LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS .................................................... 41 arcseno, arcocoseno y arcotangente ................................................................................. 41 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ................................................................................... 43 TEOREMA DEL SENO .................................................................................................. 44 TEOREMA DEL COSENO............................................................................................. 44 CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA............ 46 FORMULA DE HERON ................................................................................................. 51 + | INTRODUCCIÓN 2 Otras formas de calcular el área de un triángulo ............................................................... 53 PROBLEMAS PROPUESTOS .......................................................................................... 54 + | INTRODUCCIÓN 3 I NT RODUCCI ÓN La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medida de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida".
......................................................................................................................................................................................................................... 33 Razones trigonométricas del ángulo doble ................................................................. 3 Notas ......................................... FORMULAS FUNDAMENTALES........ 28 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE OPERACIONES CON ÁNGULOS .................. 51 | INTRODUCCIÓN 1
............................................................................................................... 9 Aplicaciones ............. 13 Radián ................................................. 41 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS .................. 46 FORMULA DE HERON .................................. 60º Y 90º............................. El radián ...................................................................................... 3 Historia.................................................................................................................. 11 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo .......................................................... 26 REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES................................... 37 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMAS EN PRODUCTOS........ 45º.................................. 11 Medida de los ángulos............... 10 CONCEPTOS BASICOS ..................... 24 Ángulos que se diferencian en 180º ......................... 18 CALCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS A PARTIR DE UNA DADA .................................................................................................... 25 Reducción de un ángulo al primer cuadrante ................................................................................................................. 36 FORMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTOS EN SUMAS....................................................................... 38 LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS .......................................... 44 TEOREMA DEL COSENO.. 44 CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA............................ 30 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos................................................................................................................................ 24 Ángulos suplementarios.................................................................................................................. 30º.. 21 RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE........ 24 Ángulos complementarios .................................................................... 25 Ángulos que suman 360º ............. 20 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................+
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 14 LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. 30 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos ....................................................................... 43 TEOREMA DEL SENO .......................................................... 16 REPRESENTACIÓNES LINEALES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS ... 35 Razones trigonométricas del ángulo mitad .................................................................................................. 41 arcseno....... arcocoseno y arcotangente .............................
................................................................................ 53 PROBLEMAS PROPUESTOS .................+
Otras formas de calcular el área de un triángulo .................................................... 54
C. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos.
La trigonometría aparece como auxiliar de la Geometría. una tabla de cuerdas con incrementos °. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados. Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .+
La trigonometría es una rama de la matemática. desde 0° a 180°. de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. que se ocupa de figuras contenidas en un plano. y la trigonometría esférica.600 de unidad.1angulares de También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas. que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo. autor del primer catálogo de estrellas. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas. duración del año determinada por las estaciones. Para esto se vale de las razones trigonométricas. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.Sus cálculos del año tropical. En el siglo II a.
http://es. en Egipto y Babilonia. el Almagesto. pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.1 La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. | INTRODUCCIÓN 3
. cuyo significado etimológico es "la medida de los triángulos". 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60. por Tolomeo. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos. la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Los egipcios y los babilonios utilizan en sus cálculos unos conceptos que podrían considerarse precursores de las razones trigonométricas …
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas. en los primeros albores de la Matemática. con un error menor que 1/3. tal cual. minutos y segundos. Hiparco de Nicea Fundador de la trigonometría. Se deriva del vocablo griego τριγωνο <trigōno> "triángulo" + μετρον <metron> "medida". Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía. las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
Trigonometría. rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos.wikipedia.
“Tratado del cuadrilátero” de Nasir al . Durante el siguiente siglo.. proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h. Por otra parte. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos.Tusi (1201 .5 minutos con respecto a las mediciones modernas. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60. En esta obra. entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al .168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. El tratado de la esféricas de Meneláo. es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L.997) por las divisiones en cuarto de grado. Posiblemente nació en Grecia. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 . se resuelve gracias al triángulo suplementario”. con otro nombre. Claudio Tolomeo. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. el también astrónomo alemán Georges Joachim. que comenzaron a aparecer en el siglo XII. pero su verdadero nombre.h. lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era. el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao.+
tenían un margen de error de 6. tolomeo (c. llamado Regiomontano. Claudius Ptolemaeusél Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol. este matemático. prefirieron trabajar con la función seno. MC A NC MB La trigonometría desarrollada por árabes A finales del siglo VIII los astrónomos árabes. .Buzadjami (940 . Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas | INTRODUCCIÓN 4
. Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal. introdujo. que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India. con cuatro posiciones sexagesimales.Din al . plano o esférico.1603) se referían a la trigonometría. De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. La trigonometría en Occidente El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue.90 . la tangente y la secante al lado del seno.1274). M. fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. conocido como Rético. 100-c. 170). N se tiene: en el plano L = NA . “Si un triángulo ABC. introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. Según Leibnitz "Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. Isaac newton El más grande de los matemáticos ingleses. Lo que él realizó fue la mejor mitad". Euler continuó su profuso trabajo durante doce años. como estudio de las líneas circulares. c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A. Además. descubrió a Euler. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos. un compatriota de Basilea. y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo. hasta el día de su muerte. Leonhard Euler fue un matemático suizo. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. se arrojó a las llamas. C para los ángulos opuestos. Desde entonces. llegando hasta la casa de Euler. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis.000. el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Su libro "Principia Mathemáthica" basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. | INTRODUCCIÓN 5
. cuando estalló un gran fuego en la ciudad.1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. la trigonometría. se salvaron sus preciosos escritos. campo de estudio que ayudó a fundar. cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras.+
calculadas de minuto en minuto para el radio 100. .. Descubrió simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. El paralaje trigonométrico El paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición. También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a. b. En 1771. y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. licenciándose a los 16 años. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. Peter Grimm. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli. B. en el siglo XVIII. Por último. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. XVII. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario. La trigonometría en los tiempos modernos En el s. Isaac Newton (1642 . a los setenta y seis años de edad.
en julio.y que esto pudo aplicarse en varias áreas como la astronomía .+
Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje.-HISTORIA La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas. desde egipcios (árabes) hasta europeos . y la otra. una. La altura D de este triángulo es la distancia estelar que buscamos. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos.840 Km) y ángulos también conocidos. Como estas observaciones están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol). Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia. El paralaje es el responsable del movimiento aparente del dedo pulgar respecto de la pared. minutos y segundos. Fuente: http://html. hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas.597. por ejemplo en enero. En el siglo II a.com/trigonometria_15. Con estas dos observaciones se puede construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149. seis meses más tarde. Todos ellos hicieron grandes aportes y le debemos todos lo referente a la trigonometria. pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios. la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados. El paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a las estrellas. Leonhard Euler. Sin embargo. también que por la trigonometría pasaron variados matemáticos . la navegación entre otras cosas . conclusión A través de nuestro informe podemos concluir que la historia de la trigonometría fue evolucionando desde la antigüedad asta nuestro tiempos .html
1. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°. mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de paralaje sea apreciable. la estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que se ve desde otro punto. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco. en Egipto y Babilonia.rincondelvago.C. Colocando el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de distancia de la pared. Este movimiento aparente depende de la longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se encuentre el dedo de nosotros. pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60. El método consiste en trazar sendas visuales.
.entre los que caben destacar Isaac newton . Cuanto más alejado esté el objeto que miramos. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. Tolomeo y Hiparco de Nicea.
las tablas del seno y de la tangente. quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. Esta función seno. el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes. el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca. que comenzaron a aparecer en el siglo XII. Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas. al contrario que el seno utilizado en la actualidad. introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. Además. desde 0° hasta 180°. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. Por ejemplo. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. con un error menor que 1/3. y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron | INTRODUCCIÓN 7
. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. sen nè y cos nè. llamado Regiomontano. sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. en función de potencias de sen è y cos è. y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.+
Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto. Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60. lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos. construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier. no era una proporción. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples. Durante el siguiente siglo. conocido como Rético. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India. y prefirieron trabajar con la función seno. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos. el también astrónomo alemán Georges Joachim. y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos.600 de unidad. lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
C. Sin embargo. el estudio sistematico de las relaciones entre los arcos de una circunferencia y las longitudes de las cuerdas que subtienden se lleva a cabo por primera vez entre los griegos. en los primeros albores de Ia Matemática. | INTRODUCCIÓN 8
.-TEOREMA DE TALES Relación básica para obtener las propiedades fundamentales de la semejanza de triángulos. el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. 2.rincondelvago.html
La Trigonometría aparece de forma incipiente. las explicaciones del universo eran mitológicas. r3. 3. r1. de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. 625-c. Por último. Antes de Tales. Los egipcios y los babilonios utilizan en sus cálculos unos conceptos que pueden considerarse precursores de las razones trigonométricas.…. Tales no dejó escritos.+
incorporadas al análisis. una familia de rectas paralelas. r2. determinan en ellas segmentos proporcionales:
Fuente http://html. además. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a. Se dice también que introdujo la geometría en Grecia. Según este teorema.com/trigonometria_10. el conocimiento que se tiene de él procede de lo que se cuenta en la Metafísica de Aristóteles. en el siglo XVIII. y su interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento científico. 546 a.C. s y t. como auxiliar de la Geometrfa.-TALES DE MILETO (c.). donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. el principio original de todas las cosas es el agua. Fue el fundador de la filosofía griega. filósofo griego nacido en Mileto (Asia Menor). y está considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia. Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. que cortan a dos rectas concurrentes. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos. Según Tales.
C. Ptolomeo y el Almagesto [-]  Con el fin de afrontar problemas astronómicos construyó una minuciosa tabla trigonométrica desde 0º a 180º y explicó cómo utilizarla para construir triángulos. suele considerarse como el padre de la Trigonometria. los cálculos trigonométricos aparecen orientados de forma casi exclusiva a las aplicaciones astrondmicas o náuticas.
La cultura babilónica. (Ptolomeo. orientación de templos de modo que un cierto día del año el Sol iluminara el santuario consagrado al dios Eratóstenes [-]  Calculó el radio de la Tierra con notable precisión por métodos trigonométricos. que transmiten las contribuciones griegas e indias en esta materia. al publicar un primer tratado sobre trigonometria plana y esférica independiente de la Astronomia. que realize una exposición sisternática de los distintos métodos de resolucidn de triángulos pianos y esféricos. Pero el gran maestro en cuestiones trigonométricas fue sin duda Claudio Tolomeo (85-165 d.. (Edad Media.ppt) (El Almagesto.puede considerarse el tratado de Astronomía por excelencia hasta Ia época de Copérnico y Kepler.. como el túnel de Samos. Paraletamente a los trabajos de Regiomontano y de su maestro Peurbach. En todas ellas. al que se le atribuye un tratado sobre et cálculo de las cuerdas en un circulo. así como sus inversas... cosecante y secante y describieron la tangente y la cotangente.ppt) Occidente latino [-]  A través de los árabes españoles.C.). y desarrollo en él un gran numero de teoremas de Ia trigonometría esférica basados en el célebre teorema de Menelao. Medidas de ángulos en grados sexagesimales.C. egipcia y griega antigua [-]  Manejaron aspectos prácticos relacionados con la trigonometría. Es en pleno siglo XV que se produce un decisivo avance en la trigonometric debido a las obras de Johan Muller (1436-1476}. pero el matemático árabe Nasir AI-Din (1201-1274) ya preconiza Ia consideracibn de Ia Trigonometric como una rams particular de las Matemáticas dotada de entidad propia. Menelao de Alejandr(a (140 d. También Ia Trigonometria esférica tiene sus inicios en Ia antiguedad clásica.) fue el primero en definir un triángulo esférico en su tratado Sphoerica. la trigonometría se introdujo en el occidente latino a partir del siglo XIII. realización de algunas construcciones. Los árabes tomaron de la cultura india estas funciones. (india_arabe.) cuya tangente obra de trece libros -Almagesto. A partir del siglo XIl Ilega Ia trigonometria a los paises occidentales de manos de los matemáticos árabes. mks conocido como Regiomontano. otros .ppt) François Viète [-] | INTRODUCCIÓN 9
. Hiparco de Nicea (180-125 a.ppt) Cultura india y árabe [-]  En los tratados de astronomía indios se exponen las funciones seno y coseno.+
uno de los cuales.
como la distancia entre la Tierra y la Luna. Su extensión natural. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física.es/anunezca/experiencias/experiencias_AN_0405/1_Bachillerato/trigonometria/trabajos_t rigonometria/trabajos_trigonometria.ppt)
Hay ppts en http://platea. que es la trigonometría esférica.
. Su uso es extensivo en Ingeniería.mec. distancias y ángulos de elevación y depresión. resulta imprescindible para navegación y astronomía.pntic. La trigonometría proporciona herramientas matemáticas imprescindibles para el cálculo de áreas. la geodesia y la astronomía.htm
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación. cartografíay en ámbitos militares para calculod e disparo de proyectiles. (Viete. en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible. longitudes.+
Sistematizó y amplió los conocimientos trigonométricos con importantes teoremas que aplicó a la resolución de problemas aritméticos y geométricos. arquitectura. Pero al margen de sus aplicaciones prácticas. las propias matemáticas necesitan de estas funciones en todo el cálculo infinitesimal y las funciones seno. sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos. o una distancia que no podía ser medida de forma directa. como el sonido o el flujo de corriente alterna. coseno y tangente son funciones elementales básicas. química y en casi todas las ramas de la ingeniería.
Consideremos el triángulo rectángulo de vértices A. como:
Ejemplo 1 Dado un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4. b y c de forma que cada lado con la misma letra sea opuesto al vértice de esa letra
Definimos las razones trigonométricas seno (sen sine sin) . Denotaremos por A el ángulo recto y denotaremos también los lados mediante las letras minúsculas a. calcular todas las razones trigonométricas de sus ángulos agudos Ejemplo 2 En un triángulo rectángulo uno de los catetos vale ½ y la hipotenusa 1. coseno (cos cosine cos) y tangente (tg tangente tan) de la siguiente manera
A partir de ellas definimos las tres razones inversas: secante (sec secant sec). cosecante (csc cosecant scsn ) y cotangente (ctg cotangente cot). B y C. Calcula las razones trigonométricas Del ángulo comprendido entre esos dos lados | CONCEPTOS BASICOS 11
Si el cateto opuesto a dicho ángulo vale 1/5. Calcula el cateto contiguo sabiendo que la hipotenusa vale 5. calcula la hipotenusa.. 2.El seno de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale 1/3.Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen ambos 1.La cotangente de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale 100.. 3.+
Problemas propuestos 1.
Tuvo su origen en la antigua Babilonia. podemos representar estas cantidades sobre la recta real y sus operaciones aritméticas son menos engorrosas que con los º ‘ “ . hermano de Lord Kelvin. 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. en el Queen's College de Belfast. radial y radián. en una forma más moderna. Si un grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales. El radián
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. como variante de rad. Además.org/wiki/Radi%C3%A1n Definición Si la longitud de una circunferencia se divide en 360 partes iguales. puesto que simplifica los cálculos.wikipedia. ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π. cada parte se llama minuto sexagesimal Si un minuto sexagesimal se divide en 60 partes iguales. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas. el ángulo definido por cada una de esas partes se llama grado sexagesimal. James Thomson usó el término ya en 1871. También fue empleado.
Aunque hoy en día esta forma de medir los ángulos sigue vigente.wikipedia. En dicho sistema. minutos y segundos) y ángulos (grados. Este método es el de medir los ángulos mediante radianes | CONCEPTOS BASICOS 13
. por los árabes durante el califato omeya.org/wiki/Sexagesimal
El término radián surge en unas preguntas de examen propuestas por James Thomson.+
Medida de los ángulos. minutos y segundos).
http://es. se ha desarrollado un método más como desde el punto de vista de operativa matemática. http://es. El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos. cada parte se llama segundo sexagesimal.
Como la longitud de una circunferencia es L = 2πr. 26º  2.
El paso de un tipo de medida a otro se realiza mediante simple proporción directa o regla de 3.1688 180 180 180
. Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene 2π radianes. y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales. luego tenemos:
Ejemplo 2 Pasar a radianes 124º 15’ 45” Pasar a grados sexagesimales 1 y 2 radianes    radianes  grados  124º15' 45"  124. se deduce que la circunferencia completa tiene 2π radianes.+
592  114º 35'32"   
. 296  57º17 '46"    180 180 360 radianes  2  114.+
180 180 180 radianes  1  57.
LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA. luego
. Del punto P trazamos una perpendicular al eje OX y llamamos P’ al punto de corte con dicho eje. FORMULAS FUNDAMENTALES
Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas: a) sec   sec   sen 2 2 2 b)  se n  cos     se n  cos   c) 1  tan 2   sec 2  d) se n 2 1  cot 2   e) sen 4  cos 4  f) se n  cos   tg  cot   2.. fórmula que constituye la llamada 2ª Fórmula Fundamental contiguo OP ' cos  de la trigonometría tan 
1.¿Qué signo tendrá la secante de 2 radianes? Y la cotangente de 330º?
| LA CIRCUNFERENCIA GNIOMETRICA... FORMULAS FUNDAMENTALES 17
opuesto PP ' sin    .Decir en qué cuadrante se encuentra un ángulo en cada una de las siguientes condiciones: a) Su seno es negativo y su coseno es positivo b) Su coseno es negativo y su tangente positiva c) Su seno es positivo y su tangente negativa d) Su secante es negativo y su cosecante positiva e) Su cosecante y su cotangente son ambas positivas 3.
Usaremos el signo  para representar la semejanza de triángulos. Desde el punto M trazamos una perpendicular al eje OX y llamamos M’ al punto de corte con la recta que contiene al segmento OP Los dos triangulos OPP’ y OMM’ son semejantes por tener los 3 ángulos iguales . acabamos de ver que
Vamos ahora aver que líneas representan a las demás razones trigonométricas directas e inversas. por lo que podemos escribir la relación:
Tomando la circunferencia gniométrica en su primera cuadrante.
91  cos   0.3 0.3.9539   0.3 tan    0.91  0. Tendríamos
 sin 2  cos 2   1 1 2 2 2  0 ' 4472    2 cos    cos   1  5 cos   1  cos   5   sin  2   sin   0. supongamos que ahora sabemos el valor de ctg α = 2. tendríamos el sistema
0.3 tan  0. cs c     3.8944 sin   2 cos  cos   
Y calcularíamos las inversas como hicimos en el caso 1 Caso 3: Conocida alguna razón inversa Si conocemos cualesqueira de la sec α .32  cos2   1 cos 2   1  0.9539 cos  
 1 1 1 1 1 1   1. 0483. Por ejemplo. csc α ó ctg α bastaría con calcular inicalmente la correcpondiente directa y ya estaríamos en el caso anterior.9539 sin  0.1798 cos  0. basta para obtener las otras 5. 09  0.3145 tan    0. Entonces tan α = ½ .3.+
Con conocer una razón. con lo que ahora aplicaríamos el proceso descrito en el caso 2 Problemas Sabiendo que la csc α = 2. ctg    3. Esto se logra usando las dos fórmulas fundamentales y resolviendo el sistema de ecuaciones que se presente:
Caso 1: Conocido el seno o el coseno Supongamos que conocemos el seno de un ángulo α y que es igual a 0. calcula las demás razones
Caso 2: Conocida la tangente Supongamos que ahora sabemos que la tan α = 2.
45º. los siguientes valores. 30º. 45º.+
Vamos a calcular sin necesidad de calculadora ni ningún medio m´s que nuestro razonamiento. 60º Y 21 90º
. que sabemos vale 1 De la misma forma los senos crecen hasta 1 al irse acercando el ángulo a 90º y los cosenos tienden a hacerse cada vez menores hasta tender a 0 cuando el angulo se acerca a 90º Por tanto. rellenando la siguiente tabla Seno Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 0º 30º 45º 60º 90º Caso 0º Y 90º Observando la circunferencia gniométrica vemos que los senos decrecen al acercarse el valor a 0º y los cosenos crecen tendiendo a completar el radio completo de dicha circunferencia. podemos rellenar los primeros valores de nuestro cuadro
necesariamente valen 45º La hipotenusa la calculamos
Caso se 30º y 60º Consideremos un triángulo equilátero de lado 1. podemos calcuilar ahora las razones de los ángulos agudos de este triángulo que hemos construido. Sus ángulos agudos. 45º. 60º Y 22 90º
. al ser iguales. con estos datos rellenamos la tabla con los valores restantes que queríamos obtener:
Construímos un triángulo rectángulo con sus dos catetos iguales y de valor 1. ésta divide al ángulo en dos partes iguales de 30º y a la base en dos mitades de ½ cada una. Los tres ángulos valen 60º pero si trazamos la altura desde el vértice superior. dibujando un triángulo rectángulo del que calculamos la altura por pitágoras
Con este dato.
| RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 0º. 45º. 30º. 60º Y 23 90º
Los representamos en la siguiente figura. En consecuencia. los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’ Podemos entonces afirmar que sin   PP ' OQ '  cos   2 cos   OP '  QQ '  sin    2  PP ' OQ ' cos 2   tan      ctg    2 OP ' QQ ' sin    2
Dos ángulos α y β son suplementarios si sumados valen un ángulo llano (180º o π rad). en la cual podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales.+
Dos ángulos α y β son complementarios si sumados valen un ángulo recto (90º o π/2 rad). al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. Sean α y β complementarios. luego les llamamos α y (π/2 – α). entonces β = (π/2 – α). Los representamos en la siguiente figura. En consecuencia. entonces β = (π – α). en la cual podemos observar que los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales. Sean α y β complementarios. al tener los 3 ángulos iguales y la hipotenusa igual. los catetos son también iguales PP’ = OQ’ y OP’=QQ’ Podemos entonces afirmar que
. luego llamásmosles α y (π – α).
es decir. Como se ve en la figura los triángulos OPP’ y OQQ’ son iguales. por tanto
sin   PP '  QQ '   sin     cos   OP '  OQ '  cos      sin   sin         tan      cos  cos      O. si lo expresamos en función de ángulos opuestos serían tan  
.α ) también le podemos llamar el opuesto a α .+
Dado un ángulo α al ángulo (2π. lo podemos representar también por – α.
Para saberlos dividimos 1690º entre 360º y obtenemos 5 de cociente y 250º de resto. Imaginémonos el ángulo de 1690º. 250º es un ángulo del tercer cuadrante. solo se disponía de unas tablas tabuladas para conocer las razones trigonométricas de los ángulos con una cierta exactitud. por tanto este ángulo da 5 giros completos y se detiene en 250º durante el sexto giro. calculaba su suplementario y tendríamos sin175º12 '  sin 180º 175º12 '  sin 4º 48' cos175º12'  cos  360º 175º12 '   cos 4º 48' tan175º12 '  sin175º12 ' sin 4º 48'    tan 4º 48' cos175º12'  cos 4º 48'
Y el mismo proceso se utilizaría con ángulos en el tercer o cuarto cuadrante o ángulos opuestos. por todo lo estudiado en la pregunta previa. Había también libros que incluían seis decimales y estaban tabulados cada segundo sexagesimal. que solo nos ofrecían las razones del seno y coseno en el primer cuadrante
Ejemplo 1 Imaginémonos que deseamos saber el seno de 175º 12’.+
Antiguamente. luego aplicamos lo visto en el | RELACION ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMATRICAS DE DISTINTOS 26 ÁNGULOS: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
. Ejemplo 2 Si el ángulo dado era myor de 360º entonces es que daba más de una vuelta completa a la circunferencia gniométrica. Este ángulo da varios giros completos a la circunferencia. Las había de una sola hoja donde nos ofrecían las razones trigonométricas del seno y del coseno con cuatro decimales y tabuladas desde el 0º hasta el 90º cada 5” sexagesimales. Por aquel entonces era vital entender bien las relaciones de la pregunta previa para poder calcular cualquier razón trigonométrica a partir de aquellas tablas. Entonces. Ahora bien. Este ángulo está en el 2º cuadrante.
.3420 tan 250º  Ejemplo 3 Calcular las razones trigonometricas del ángulo de 11 radianes Cada vuelta completa son 2π radianes o 360º luego resolvemos la proporción 360º x 4320  x  687.5366 cos12r  cos 327º 32 '57"  cos  360º 327º 32'57"  cos 32º 27 '3"  0. 4. 3. 2.7475  cos 70º
Como consecuencia tendremos sin12r  sin 327º 32 '57"   sin  360º 327º 32 '57"   sin 32º 27 '3"  0.8439 tan12r  sin12r  sin 32º 27 '3"    tan 32º 27 '3"  0.9397 cos 250º   cos  250º 180º    cos 70º  0. Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 3 radianes Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 5715º Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 2295º Calcular las razones trigonométricas del ángulo de 4180.+
apartado previo de ángulos que se diferencian en 180º y tendríamos sin 250º   sin  250º 180º    sin 70º  0.5494º  687º 32 '57" 2 12 2  sin 70º   tan 70º  2.6359 cos12r cos 32º 27 '3"
Grados 0 15 Radianes 0  12 Sin x 0 Cos x Tan x 1 0 30  6 1 2
Los cuales resultan suficientes para deducir que su gráfica para estos valores y. es decir. la gráfica en todo R será
. como las funciones trigonométricas son periodicas.+
Sin necesidad de utilizar tablas conocemos los siguientes valores. se repiten sus valores a partir de los 360º y antes del cero.
Se trata ahora de conocidas las razones de los ángulos α y β. Por ejemplo. podríamos conocer las de (45º + 30º) = 75º. a partir de ellas conocer las razones del ángulo (α + β ). Tendremos que probar las siguientes fórmulas
Demostración Para demostrar estas fórmulas nos vamos a basar en el siguiente gráfico. como conocemos las razones de 30º y 45º. En él sobreponemos los ángulos α y β resultando que los triángulos de manera que la recta MN sea perpendicular a la recta OM
De esta manera tenemos el que los triángulos NQM ∼ OQN’ y de ahí que el vértice N del primero coincida con el ángulo α.
... ON ON ON ON ON ON ... ON ON ON ON ON ON .+
Seno (α + β ) Se cumplen..  sin   cos   cos   sin  sin     
ON ' OM ' N ' M ' cos   OM  PM cos   OM  sin   NM OM NM     cos   sin   ..  cos   cos   sin   sin  cos     
sin   cos   cos   sin  sin   cos  cos   sin   sin   cos   cos   sin  cos   cos  cos   cos  cos   cos  tan          cos     cos   cos   sin   sin  cos   cos   sin   sin  cos   cos   sin   sin  cos   cos  cos   cos  cos   cos  sin  sin  1  1 tan   tan  cos  cos  .   sin   sin  1  tan   tan  1 cos   cos 
... entonces. las siguientes relaciones En el triángulo OMM’ sin   En el triángulo MPN cos   En el triángulo OMN sin  
NN ' PN ' NP MM ' NP OM sin   NM cos  OM NM     sin   cos   .
..  cos   cos   sin   sin 
sin      sin         sin   cos      cos   sin     sin   cos   cos     sin    .. podríamos conocer las de (45º-30º) = 15º.+
Se trata ahora de conocidas las razones de los ángulos α y β. a partir de ellas conocer las razones del ángulo (α .β ). que son:
Basándonos en ellas. como conocemos las razones de 45º y 30º...  sin   cos   cos   sin  cos      cos         cos   cos      sin   sin      cos   cos   sin     sin    .. Por ejemplo. Tendremos que probar las siguientes fórmulas
Demostraciones Tendremos que recordar las relaciones trigonométricas entre ángulos opuestos.   .   ...
. a partir de ellas conocer las razones del ángulo 2α Por ejemplo.
estas dos fórmulas las podríamos expresar también en la forma
. a partir de ellas conocer las razones del ángulo α/2 Por ejemplo. como conocemos las razones de 45º. dado que α es la mitad que 2 α . la primera fórmula fundamental y la del coseno del ángulo doble
En las que hacemos un cambio de notación. podríamos conocer las de 22º30’ Tendremos que probar las siguientes fórmulas
Demostraciones Basándonos en dos fórmulas conocidas.+
Se trata ahora de conocidas las razones del ángulo α.
pero que este es el momento de explicar y tener constancia de su existencia.
Demostración Para demostrarlas basta operar con fórmulas ya conocidas. dadas
. La primera de ellas.+
β ) le llamamos δ. (3) y (4) en sumas vistas en el apartado anterior obteníamos que:
Si en ellas hacemos un cambio de notación y a (α + β ) le llamamos γ y a (α .+
donde f ( 3)  arctan
. aunque también podría ser f(0. Es decir. a este tipo de función inversa se le suele llamar en matemáticas la función arcoseno.5)= 300º f ( x)  arc csc x . donde f(0. que también se puede llamar inversa como función que puede escribir sin 1 x . el arc sin 0. Por ejemplo. pero también valdría f(1) = 225º f ( x)  arc sec x . hallar el ángulo csc   sin  cuyo seno es ese. la función f ( x)  arc sin x viene dada por el ángulo α cuyo seno es x. De la misma manera se puede definir
f ( x )  arc cos x . donde f(0.5.5 f ( x )  arc tan x .5) = 330º.5) = 60º ó f(0. que es la cosecante de ese ángulo 1 con la funcion inversa de la seno en el aspecto de dado el seno.+
arcseno. donde f(1) = 45º pues la tan 45º = 1. arcocoseno y arcotangente
No confundamos el inverso del seno de un ángulo.5) = 60º pues la cos 60º = 0. Quizás para evitar esta confusión.5 es igual a 30º porque el sin 30º = 0. donde f(0) = 0º y f(0) = 360º f ( x)  arc cot x .
.. por ejemplo..  x 2 1  sin 2 y   sin 2 y  x 2  x 2 sin 2 y  sin 2 y   x 2  1 sin 2 y  sin 2 y  x2 1 Para el arco secante .  x 2 sin 2 y  1  sin 2 y   x 2 sin 2 y  sin 2 y  1  sin 2 y  x 2  1  1  .. 2 cos y 1  sin y x2  1  sin y  x2 x2 1  y  arcsin x2 x2  1 x2
. Para el arco coseno:
y  arccos x  x  cos y  x  1  sin 2 y  x 2  1  sin 2 y  sin y  1  x 2  ..  sin 2 y  1  sin y  x 1
... f ( x )  arctan x . sin y sin y
.... .+
Ejercicio Expresar las funciones f ( x)  arccos x ..  y  arc sin 1  x 2 Para el arco tangente:
y  arctan x  x  tan y  x  sin y sin y   x 1  sin 2 y  sin y  .. tendremos que. pues Geogebra solo trae definida la función asin (x) Sea pues y  arc sin x .... x2 1
.  sin y  x  y  arcsin x x2 1
1 1   x 1  sin 2 y  1  x 2 1  sin 2 y   1  .  x 2  x 2 sin 2 y  1  0  sin 2 y 
Y finalmente.. . para el arco cotangente
y  arctgx  x  cot y  x  1  sin 2 y cos y   x sin y  1  sin 2 y  ..... f ( x)  arc csc x y f ( x)  arc cot x en función de la función f ( x)  arc sin x Este ejercicio es necesario. 2 cos y 1  sin y x2  .. para poder representar con Geogebra todas las funciones arco.... f ( x)  arc sec x .
Resolver un triángulo es llegar a conocer el valor de sus tres lados y de sus tres ángulos. conocidas algunas de las medidas o relaciones entre ellos. se verifica el Teorema de Pitágoras a 2  b 2  c 2 | LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 43
. Hasta ahora en enseñanza secundaria de triángulos se saben unos datos básicos
si es rectángulo. Lo mismo ocurre con los triángulos ACH’ y CBH’. que les llamamos hA y hB y llamamos H y H’ a los puntos de intersección de estas alturas con los lados opuestos.
Demostración Dado el triángulo ABC de la figura. trazamos dos alturas. la correspondiente a los vértices A y B. Es ahora el momento de generalizar estos conceptos a un triángulo cualquiera y estudiar más relaciones entre los lados. los ángulos y el área. hemos definido las razones trigonométricas de cualquiera de los ángulos. En los triángulos ABH y ACH
Aparte. Por todo ello se verifican las siguientes relaciones. Los triángulos ABH y ACH así obtenidos son rectángulos pues estamos hablando de trazar alturas que son perpendiculares a los lados.
por lo tanto b 2  c 2  n 2  m2  b 2  c 2  n 2  m 2  b 2  c 2  n 2   a  n    a  mn m  a  n  Del triángulo ABH se obtienes que cos B 
c  c  n  cos B . Para cualquier otro lado la demostración sería análoga Como ya comentamos en la demostración del teorema dels eno. Por tanto:
Pero m y n juntos son iguales al lado a: m + n = a.d. nos queda precisamente el enunciado de dicho teorema por ser cos 90º = 0:
. pues si A = 90º. luego en ellos se verifica el teorema de Pitágoras. y sustituyendo n
c-q.+
Observa que a es cualquier lado y A es el ángulo opuesto al lado a. los triángulos AHC y AHB son rectángulos. Observa también que esto es una generalización del teorema de Pitágoras. Vamos a demostrar el teorema para el lado b de la figura adjunta.
tenemos que calcular B. tenemos una simplificacion del teorema del coseno que es el teorema de Pitágoras a 2  b 2  c 2 Veamos entonces una descripción de los casos que se nos pueden ir presentando Caso 1 Conocidos 3 lados Caso 2 Conocidos 2 lados y 1 ángulo Caso 3 Conocidos 1 lado y 2 ángulos Caso 4 Conocidos los 3 ángulos
Caso 0.53  sin 70   a  a a sin 70 0. b y c. a y c.132  22  0. tenemos que La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º: A + B + C = 180º El teorema del seno
El teorema del coseno a 2  b 2  c 2  2bc  cos A Y si el triángulo es rectángulo y el lado a su hipotenusa. consideraremos resuelto un triángulo de vértices ABC y lados a. Para ello: A  B  C  180  B  180  90  20  70º     b 2 2 2    2 sin B    2.9397    2 2 2 2 2 2  a  2  c  a b c  
Como ya hemos dicho anteriormente. cuando conozcamos el valor de sus tres lados y sus tres ángulos Como armas. que podemos llamar Caso 0. Veamos un Resuelve un triángulo rectángulo donde un cateto b = 2 y su ángulo C = 20º Como es rectángulo A = 90º luego sabemos 2 ángulos y un lado. lo cual implica una mayor sencillez de resolución. que es que el triángulo sea rectángulo. en cuyo caso A = 90º y se verifica Pitágoras.13 a  22  c 2  c 2  a 2  22  2. Triángulos rectángulos Hay un caso aún más básico.
b = 2 y c = 1.7813  7  5.5
Vamos aplicar tres veces el teorema del coseno para calcular los tres ángulos Aunque sería más cómodo a efectos de cálculo aplicarlo dos veces y el tercer ángulo calcularlo mediante A + B + C = 180.5 6 a 2  c 2  b 2 12  1.52 2. por ejemplo.469  c 7   2 2 2   a b c   Luego el cateto b de 5.75 b 2  a 2  c 2  2ac  cos B  cos B     0.5 3 a 2  b 2  c 2 12  22  1.25    0. o incluso una vez calculado A.75 c 2  a 2  b 2  2ab  cos C  cos C     0.52  12 5.52  2 2 0.875  28º 57 ' 2bc 2  2 1.875  A  cos 1 0.6875  46º 35' 2ab 2 1  2 4 a 2  b 2  c 2  2bc  cos A  cos A 
.25  B  cos 1 0.25  104º 28 ' 2ac 2 11. Tenemos
b 2  c 2  a 2 2 2  1.+
Ejemplo práctico Calcular la altura de un edificio pudiéndonos aproximar a la base. calcular la altura de la torre de la figura.469 m es la altura de la torre Caso 1 Conocidos 3 lados Resolver un triángulo conociendo los tres lados a = 1. Se sobreentiende que la vertical de la altura forma 90º con el suelo Tenemos A  B  C  180  C  180  90  38  52º    b b   tan C   tan 38   b  0. calcular B por el teorema del seno. donde el ángulo es 38º y la distancia 7m.6875  C  cos 1 0.
 A  sin 1 0.
Y solo nos queda calcular el ángulo que falta. dado que hay dos ángulos que tienen por seno 0. sin embargo.5 28º 57 ' .1 Conocidos 2 lados y 1 ángulo comprendido entre ellos Resolver un triángulo conociendo dos lados a = 1..9681  B  sin 1 0.25  c  2. que también por variar lo calculamos de la forma más directa. b = 2 y un ángulo C = 46º35’ El gráfico es el mismo del ejercicio anterior. Como conocemos dos lados y el ángulo comprendido..1 Conocidos 2 lados y 1 ángulo opuesto a uno de ellos Resolver un triángulo conociendo dos lados a = 1.4842  151º 3'  Solucion falsa pues seria A+B+C>180 Por ello.5 Ahora ya sabemos los 3 lados. pero los datos conocidos son inicialmente distintos. es decir B = 180º .. b = 2 y un ángulo A = 28º57’ En este caso no nos valdría aplicar el teorema del coseno. podemos calcular el tercer lado por el teorema del coseno
c2  a 2  b2  2ab  cos C  c 2  12  22  2 1 2  cos 46º 35'  5  4  0..7264       sin A    0.4842  . aconsejo usar siempre que se pueda. pero hagámoslo de otra forma por abrir más el abanico de métodos.+
Caso 2. el teorema del coseno.9681.4840 .que son A = 75º29’ ó A = 104º31’ Nuestra pregunta ahora es ¿valen las dos? y en caso contrario ¿cuál será la buena? | CASOS PRÁCTICOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 48 CUALESQUIERA
.. apliquemos ahora el teorema del seno:
a b c 1 2 1..5 1.9681  104º 31' sin 28º 57 ' sin B sin C 1 1 Nota: Los minutos de diferencia con la solución conocida de partida se deben a los errores de los cálculos producidos por truncamientos de decimales
Luego hay dos posibles soluciones. dado que el ángulo obtenido es único mientras que con el teorema del seno siempre hay dos posibles soluciones y una de ellas es falsa.28º57’ – 46º35’ = 104º 28’ Caso 2. pero lo intentamos por el del seno:
a b c    . sin A sin B sin C sin A sin B sin 46º 35 ' 1.6873  2.25  1. luego podríamos calcular los ángulos restantes por el teorema del coseno igual que en el caso anterior.5 1 sin 46º 35 ' 0.. sin A sin B sin C 75º 29 ' 1 2 c 2  sin 28º 57 ' 2  0..A – C = 180º .     sin B    0.
Caso 3 Conocidos 1 lado y 2 ángulos Este es un caso sencillo que se resuelve directamente por el teorema del seno. B = 104º28’ y C = 46º35’ Si sabemos dos ángulos.B .5 sin A sin C sin 28º 57 ' sin 46º 32 ' sin 28º 57 ' 0. de partida.7263    c   1.C = 180 – 104º28’ – 46º35’ = 28º57’ Y ahora aplicamos el teorema del seno para obtener b y c:
. Veamos de nuevo nuestro ejemplo inicial en el que ahora.9679    c  2 sin A sin C sin 28º 57 ' sin 75º 26 ' sin 28º 57 ' 0. sabemos también el tercero: A = 10 .4840
Y ambas soluciones son válidas.+
Veamos ambas soluciones por separado: Si B =75º29’ entonces C = 180 – A – B = 180 – 28’57’ – 75º29’= 75º26’ y en este caso el lado c que falta. sería
a c 1 c 1 sin 75º 26 ' 0. y en este caso llegamos a la solución conocida:
a c 1 c 1  sin 46º 32 ' 0. conocemos a = 1.4840
Si B =104º31’ entonces C = 180 – A – B = 180 – 28’57’ – 104º31’ = 46º32’.
La fórmula de Herón S  p  p  a  p  b  p  c  Pero también podemos probar ahora que 3.….+
Tenemos hasta ahora probadas dos base  altura 1. pero obtenida por otro camino. que nos dice que un triángulo de vértices ABC tiene como área    1   1   1   S   AC  BC   AC  BC   AC  BC  sin C 2 2 2 4.S  2 2.S 
a b  c ..En un triángulo de vértices dicho triángulo viene dada por x1 1 S  x2 2 x3 Demostración
de coordenadas A  x1 . y3  el área de
3... B  x2 .Por el teorema de la altura en triángulos rectángulos
4...S 
La cual coincide.. siendo R el radio de la circunferencia circunscrita 4R
5. y2  y C  x3 . y1  .. con la que veremos cuando estudiemos álgebra vectorial. (Ver SM Matematicas I)
.. b = 2 y A = 60º Solución Aplicamos el teorema del seno.
2.7320 2
Pero es que los senos y los cosenos se mueven en el intervalo de la recta real [1.Resolver un triángulo en el que a = 1..
. b = 2 y B = 30º
a b c 2 1 c       .. luego la solución a este problema es imposible. sin A sin B sin C sin 60º sin B sin C 3 . En el gráfico adjunto marcamos el ángulo A = 60 y dibujado en rojo la dirección obligatoria que tiene que tomar el lado c. luego nunca podrá valer 1. sin A sin B sin C sin A sin 30 sin C 1 ...7320...  sin A  2   1  A  90º 2
Por lo que estamos hablando de un triángulo rectángulo en A.Resolver un triángulo en el que a = 1.+
1... 1]. resultando que
a b c 1 2 c       .  sin B  2   3  1. Se observa que el lado a de longitud 1. nunca puede llegar a tocar este lado.
4.17 metros sin B sin C sin 70 sin 25 sin 25 0.Medición de la longitud de un lago Supongamos que queremos medir el ancho de un lago.
Sabiendo que el ángulo en el punto A BAC = 25º. para lo cual.En el dibujo siguiente se quiera calcular la distancia desde el observador en el punto A hasta la puerta del castillo en el punto C
Solución El ángulo C lo obtenemos directamente C = 180 – A – B = 180 – 85º . ... resultado ser AB = 75 m y AC = 125 m.70º = 25º Y aplicando ahora el teorema del seno.... desde un punto fijo A medimos la distancia desde dicho punto A hasta los extremos del lago B y C. calcular el ancho del lago
c2  a 2  b2  2ab  cos C  c 2  752  1252  2  75 152  cos 25º  5625  15625  16993  4257  .+
3.  c  4257  65..4226
.9397    b   111. tenemos
b c b 50 50  sin 70 50  0.
56 sin100 0.+
5..Calcular la altura de la montaña siendo A=30º.
Solución Problema clásico donde hay que calcular una altura sin poder acercarse a la perpendicular de caida. Si R1 = 32º.9848
6.7431 c   3. B=35. en este caso porque atraviesa el interior de la montaña Primero calculamos todos los ángulos posibles | PROBLEMAS PROPUESTOS 56
.2º y la distancia de A a B 200 metros. orientan sus antenas en la dirección de recepción óptima.. dos unidades receptoras R1 y R2. distantes entre si 8 kilómetros.9848 8  sin 48 8  0. R2=48º.84 sin100 0.5299   2. ¿A qué distancia de R1. y R2 se encuentra la emisora?
b 8  sin 32 8  0.Para localizar una emisora clandestina E.
36  0.2 sin 30 sin 5.2 0.36  tan 35.2  h  h  1103.5   BC    1103.+
200 BC 200  sin 30 200  0.0906
Como el triángulo BCD es rectángulo.7054  778.36
.36 sin 5.2  1103. entonces directamente
tan 35.33 1103.
1º BOLETÍN DE PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA.. 2.Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas a) b)
  sen x  sen y  3 / 4 sen x  cos y  3 / 4 c)  cos x  sen y  1 / 4  5..Simplifica la siguiente expresión trigonométrica: a) (sen  cos ) 2  (sen  cos ) 2 cos  1  sen  b)  1  sen  cos  2 cot g  c) 1  cot g 2 d) 1  tg 2  sec 2 3. calcular su secante...2º y la distancia de A a B 200 metros.
..Sabiendo que la tangente de un ángulo a vale 0’25. B=35.Calcular la altura de la montaña siendo A=30º.Resuelve siguientes ecuaciones trigonométricas a) sin x  cos x b) sec x  2  c tg x c) 3cot x  4  tan x d) cos 2 x  6 cos 2 x  1 e) sin 2 x  sin x  0 4. NIVEL BACH 1.
situado al borde de un acantilado. ¿A qué distancia de R1.
. así como la altura del acantilado.+
6. y obtiene los datos que indica la figura (AC = 600 metros).Para conocer la altura de una montaña B. Si R1 = 32º. R2=48º. Calcular la distancia entre el barco y el punto A de la costa. gracias a un niveld e burbuja que le indica el horizonte. distantes entre si 8 kilómetros. orientan sus antenas en la dirección de recepción óptima. dos unidades receptoras R1 y R2. Se desplaza después hasta el punto C.. desde el plano horizontal que pasa por A. un observador mide el ángulo  =69º...Desde un barco se miden las visuales a la base y extremo superior de un faro de 30 metros de altura. Calcula h. y R2 se encuentra la emisora?
8 .Para localizar una emisora clandestina E.
Desde el valle se obtienen por medición directa los datos que aparecen en la figura. Calcula..Se desea conocer la distancia entre dos cumbres de dos montañas con objeto de construir un teleférico. la distancia entre cumbres.
. pues.+
2º BOLETÍN DE PROBLEMAS DE TRIGONOMETRIA.
2....Simplifica la siguiente expresión trigonométrica: a) (tg   c tg  ) 2  sec 2   csc 2  b)
d) cos 4 x  sen 4 x 3. NIVEL BACH 1..Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas a) sen x  tg x b) sen 2 x  1  2 cos 2 x c) tg 2 x  c tg x d) sen 2 x  cos x  6 sen 3 x x e) cos x  sen 2 2  1 4.Sabiendo que la cotangente de un ángulo a vale 3.Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas
5.. calcular su cosecante.Calcular la altura de la torre de la figura
=40º y =35º. calculamos los ángulos A y B de la figura.. supuesto que nos encontramos en el lado accesible donde están los puntos C y D. resultando: A = 42º.Se desea calcular la distancia entre los puntos inaccesibles A y B de la figura. Si la distancia entre A y B es de 4000 metros y los ángulos complementarios a A y B son.
8..Dos personas A y B están observando un globo cautivo que está estacionado en el plano vertical que pasa por los observadores. Calcular h. una montaña.
6. los cuales distan 500 metros entre sí.. calcular la distancia entre A y B. así como la distancia de A a B. por ejemplo. B=59º y la distancia AB es de 100 metros. Calcula la altura a la que está el globo y su distancia a cada uno de los observadores.Para calcular una altura inaccesible.
. Si los ángulos conocidos son C=60º. D=75º. de 44º y 50º respectivamente.
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