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Timestamp: 2016-05-01 19:26:59+00:00

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+ bx + c = 0, con a = 0 Ecuaciones completas: Cuando b = 0 y c = 0. Y se resuelve aplicando la fórmula: x = a 2
Ecuaciones incompletas: Si b = 0 ó c = 0. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar la fórmula anterior. Si b = 0 ¬ ax
+ c = 0 ¬ x = a
÷ ± Si c = 0 ¬ ax
+ bx = 0 ¬ x(ax + b) = 0 ¬ ¦
Matemáticas B – 4º E.S.O.- Tema 3 : Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 3 3º 3.4.2 NÚMERO DE SOLUCIONES 3º La expresión A = b
– 4ac, se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo de A: - Si A > 0 ¬ Dos soluciones ¬ Se factoriza a.(x – x
) - Si A = 0 ¬ Una solución doble ¬ Se factoriza a.(x – x
- Si A < 0 ¬ No tiene solución ¬ No se puede factorizar 3º 3.4.3 REGLAS PARA RESOLVER ECUACIONES DE 2º GRADO 3º 1. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplicar la fórmula. 2. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resolverla sin la fórmula, sacando factor común o despejando. 3. Si tiene una fisonomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos al primer miembro,...Sólo cuando esté simplificada, aplica uno de los métodos anteriores. 4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real. 3º 3.4.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 3º Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene proceder de forma organizada, por lo que es útil dar estos pasos: 1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita. 2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo desconocido. 3. Resolver la ecuación 4. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado. 3.5 OTROS TIPOS DE ECUACIONES REDUCIBLES A SEGUNDO GRADO. 4º Hay ecuaciones que, sin ser de primero ni de segundo grado, se pueden resolver utilizando inteligentemente los recursos que ya tenemos. 4º 3.5.1 ECUACIONES BICUADRADAS: ax
+ c = 0 4º Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar. Para resolverlas hacemos x
. Se obtiene así una ecuación de segundo grado cuya incógnita es z: az
+ bz + c = 0. Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de x. Por cada valor positivo de z habrá dos valores de x, pues x
= z ¬ x = z ± Matemáticas B – 4º E.S.O.- Tema 3 : Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 4 4º 3.5.2 ECUACIONES CON LA x EN EL DENOMINADOR 4º Los denominadores algebraicos, al igual que los numéricos, se suprimen multiplicando por el producto de todos ellos o, mejor, por su mínimo común múltiplo. La ecuación a la que así se llega puede ser de las que sabemos resolver. En el proceso de multiplicar por expresiones polinómicas pueden aparecer soluciones falsas. Por lo tanto, siempre que lo hagamos, debemos comprobar todas las soluciones obtenidas en la ecuación inicial. 4º 3.5.3 ECUACIONES CON RADICALES 4º Ocasionalmente, nos encontramos con ecuaciones en las que la x se halla bajo una raíz cuadrada. Para resolver este tipo de ecuaciones, suele convenir eliminar la raíz aislándola primero en un miembro y, después elevando ambos miembros al cuadrado. Pero, en este proceso de elevar al cuadrado, aunque se conservan todas las soluciones, pueden introducirse soluciones nuevas que, naturalmente, hay que rechazar. Por eso, en este tipo de ecuaciones es fundamental comprobar todas las soluciones en la ecuación inicial. 4º 3.5.4 ECUACIONES DEL TIPO (...).(....).(....) = 0 4º Para que un producto sea igual a cero, es suficiente que lo sea alguno de sus factores. Por tanto, una ecuación de este tipo se puede resolver fácilmente siempre que cada paréntesis de lugar a una ecuación que sepamos resolver. 3.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3º 3.6.1 DEFINICIÓN 3º Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. ¹
3º 3.6.2 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA 3º Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común a ambas, es decir, los valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones a la vez. 3º 3.6.3 SISTEMAS EQUIVALENTES 3º Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. Matemáticas B – 4º E.S.O.- Tema 3 : Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 5 3º 3.6.4 NÚMERO DE SOLUCIÓNES DE UN SISTEMA LINEAL 3º En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una única solución. Es el punto donde se cortan las dos rectas y se dice que es un sistema compatible determinado. Pero, hay otros sistemas que no tienen solución y se llaman incompatibles. Gráficamente, son dos rectas paralelas, no tienen ningún punto en común. Los sistemas que tienen infinitas soluciones se llaman compatibles indeterminados. Gráficamente, son dos rectas coincidentes, todos los puntos en común. 3º 3.6.5 MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES 3º - Método de sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. En la práctica, al aplicar este método solo se escribe en cada paso la ecuación que se transforma, en lugar de escribir el sistema completo cada vez. Pasos: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita. 3. Se resuelve esta ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5. Se ha obtenido, así, la solución. 3º - Método de igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. El sistema completo sería esta ecuación y una cualquiera de las anteriores en las que aparecía despejada la otra incógnita. Pasos: 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita 5. Se ha obtenido, así, la solución. 3º - Método de reducción : Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga coeficiente opuesto en ambas y se suman para que desaparezca esa incógnita. El sistema completo sería esta ecuación y una cualquiera de las anteriores. Pasos: 1. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga coeficiente opuesto en ambas. 2. Se suman las ecuaciones para que desaparezca una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve. 5. Se tiene, así, la solución. 3º Nota: Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen una fisonomía complicada, conviene “arreglarlas” hasta llegar a la expresión: ax + by = c. Matemáticas B – 4º E.S.O.- Tema 3 : Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 6 3º 3.6.6 TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS A SISTEMAS DE ECUACIONES 3º Suele ser más sencillo plantear un problema algebraico complejo mediante una sistema de ecuaciones que mediante una única ecuación con una incógnita. Veamos los pasos que conviene dar: 1. Identificar los elementos que intervienen y nombrar las incógnitas. 2. Expresar mediante ecuaciones las relaciones existentes. 3. Resolver el sistema de ecuaciones resultante. 4. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado. 3.7 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 4º Los métodos conocidos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, junto con lo que sabemos de resolución de ecuaciones no lineales nos permiten resolver sistemas de ecuaciones de muy diversos tipos. 3.8 INECUACIONES 4º 3.8.1 DEFINICIÓN 4º A veces los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es igual”, sino “es mayor que” ó “es menor que” ó “es mayor o igual que” ó “es menor o igual que”. Esta expresión se llama inecuación. Una inecuación es una propuesta de desigualdad. ¿Para que valores de x es cierto que .... < ( > ó s ó >) ..... Las respuestas a esta pregunta son las soluciones de la inecuación. Una inecuación suele tener infinitas soluciones. 4º 3.8.2 SISTEMA DE INECUACIONES 4º Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones. Resolver un sistema consiste en encontrar las soluciones que verifiquen todas las inecuaciones a la vez o en decir que no hay solución. 3.9 INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA 4º 3.9.1 DEFINICIÓN 4º Una inecuación es una desigualdad algebraica. Tiene dos miembros entre los cuales aparece uno de estos signos: <, s, >, > Se llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que haga cierta la desigualdad. Matemáticas B – 4º E.S.O.- Tema 3 : Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 7 4º 3.9.2 RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN 4º Para resolver gráficamente una inecuación con una sola incógnita f(x) s g(x): 1. Se representan las gráficas y = f(x) e y = g(x), obteniendo con toda claridad sus puntos de corte. 2. Se observa en qué intervalos se cumple la desigualdad deseada. 4º 3.9.3 RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE UNA INECUACIÓN Para resolver una inecuación de primer grado, se procede como si fuera una ecuación con la salvedad de que si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de signo. Primer grado: Se resuelve directamente 4º Grado mayor o igual que dos: Se calculan sus raíces y se dibujan sobre una recta real. Se toman valores intermedios y si cumplen la inecuación vale todo el trozo. Si las desigualdades son estrictas no se cogen los extremos. Cocientes: Se calculan las raíces del numerador y del denominador por separado y se representan todas sobre la misma recta real. Se toman valores intermedios y si cumplen la inecuación vale todo el trozo. Las raíces del denominador no se cogen nunca y las del numerador depende de si la inecuación es estricta (No se cogen) ó si no es estricta (Se cogen) 4º 3.9.4 SISTEMAS DE INECUACIONES 4º Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que forman el sistema. Pasos: - Se resuelve cada inecuación por separado y se representa su solución en una recta real diferente. - Se toma como solución la intersección de las soluciones es decir las zonas que estén cogidas en todas las rectas. O. Se pueden resolver de forma sencilla sin utilizar la fórmula anterior. Se obtiene. con a  0 Ecuaciones completas: Cuando b  0 y c  0.S. hemos de despejar la x mediante una serie de pasos.m) Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro.4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
3º 3º 3.1 DEFINICIÓN Una ecuación de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0.c. 4. Multiplicar o dividir los dos miembros Lo que está multiplicando a todo lo por el mismo número distinto de cero.4.4 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1. 2.Matemáticas B – 4º E. pasa restando al otro miembro. Inecuaciones y Sistemas. 6. 3. Y se resuelve aplicando la fórmula: x =
Ecuaciones incompletas: Si b = 0 ó c = 0.
3. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que la x esté más próxima a ser despejada: Transformación Regla práctica
Sumar o restar la misma expresión en Lo que está sumando en un miembro los dos miembros de la igualdad. si los hay.Tema 3 : Ecuaciones. la solución.3 TRANSFORMACIONES QUE MANTIENEN LA EQUIVALENCIA DE ECUACIONES. Quitar denominadores.3. Y viceversa. Quitar paréntesis. Para resolver una ecuación. Despejar la x. demás de un miembro pasa dividiendo a todo lo demás del otro. 5. c Si b = 0  ax2 + c = 0  x =   a x  0  2 Si c = 0  ax + bx = 0  x(ax + b) = 0   b ax  b  0  x   a 
3. (Hacer m. Y viceversa.3. así. Simplificar cada miembro. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados.. si los hay. 3º 3º 3.
4º Hay ecuaciones que.4.4. 3. 3.. 2. se llama discriminante de la ecuación.. haz la comprobación sobre el enunciado. Inecuaciones y Sistemas. 4. x4 = z2.O. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo desconocido. Si la ecuación de segundo grado es completa.3 REGLAS PARA RESOLVER ECUACIONES DE 2º GRADO 1. Para resolverlas hacemos x2 = z y.(x – x0)2  Si  < 0  No tiene solución  No se puede factorizar 3.Matemáticas B – 4º E. 3. por lo que es útil dar estos pasos: 1. lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita. Por cada valor positivo de z habrá dos valores de x.Tema 3 : Ecuaciones.5 OTROS TIPOS DE ECUACIONES REDUCIBLES A SEGUNDO GRADO. agrupa términos y pásalos todos al primer miembro. pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real. Si la ecuación de segundo grado es incompleta.Sólo cuando esté simplificada. Si tiene una fisonomía complicada. Identificar los datos conocidos. 3. arréglala: quita denominadores. sacando factor común o despejando. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado..4. aplica uno de los métodos anteriores. Comprueba las soluciones. El número de soluciones depende del signo de :  Si  > 0  Dos soluciones  Se factoriza a. 3º 3º 3.1 ECUACIONES BICUADRADAS: ax4 + bx2 + c = 0 Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar.2 NÚMERO DE SOLUCIONES
La expresión  = b2 – 4ac. se pueden resolver utilizando inteligentemente los recursos que ya tenemos.S. sin ser de primero ni de segundo grado. Una vez resuelta. por tanto. se obtienen los correspondientes valores de x.(x – x0). resolverla sin la fórmula. suprime paréntesis.. Conviene proceder de forma organizada.(x – x1)  Si  = 0  Una solución doble  Se factoriza a. pues x2 = z  x =  z
.5. Resolver la ecuación 4. 2. aplicar la fórmula.
3.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado. Se obtiene así una ecuación de segundo grado cuya incógnita es z: az2 + bz + c = 0.
6. los valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones a la vez..5. En el proceso de multiplicar por expresiones polinómicas pueden aparecer soluciones falsas.3 SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. naturalmente.. Por tanto.
.. mejor.. después elevando ambos miembros al cuadrado.(.2 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común a ambas. Para resolver este tipo de ecuaciones.2 ECUACIONES CON LA x EN EL DENOMINADOR
Los denominadores algebraicos.) = 0 Para que un producto sea igual a cero. siempre que lo hagamos. 3. una ecuación de este tipo se puede resolver fácilmente siempre que cada paréntesis de lugar a una ecuación que sepamos resolver. Por eso.  a ' x  b' y  c' 3...3 ECUACIONES CON RADICALES Ocasionalmente.6. nos encontramos con ecuaciones en las que la x se halla bajo una raíz cuadrada.
3. por su mínimo común múltiplo. al igual que los numéricos. Inecuaciones y Sistemas.(. es suficiente que lo sea alguno de sus factores.). 3.. pueden introducirse soluciones nuevas que.6. es decir. 4º 4º 3. suele convenir eliminar la raíz aislándola primero en un miembro y.5.
3. aunque se conservan todas las soluciones.1 DEFINICIÓN Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones ax  by  c lineales.Matemáticas B – 4º E.4 ECUACIONES DEL TIPO (.). en este proceso de elevar al cuadrado. La ecuación a la que así se llega puede ser de las que sabemos resolver.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3º 3º 3. en este tipo de ecuaciones es fundamental comprobar todas las soluciones en la ecuación inicial.. debemos comprobar todas las soluciones obtenidas en la ecuación inicial. Pero.5.Tema 3 : Ecuaciones.S. Por lo tanto. se suprimen multiplicando por el producto de todos ellos o.. hay que rechazar.O.
Pero. son dos rectas coincidentes. 2. hay otros sistemas que no tienen solución y se llaman incompatibles. 3. 4. El sistema completo sería esta ecuación y una cualquiera de las anteriores. 5. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. Se igualan las expresiones. 2. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga coeficiente opuesto en ambas.6.  Método de reducción : Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga coeficiente opuesto en ambas y se suman para que desaparezca esa incógnita. la solución. Gráficamente. obteniéndose una ecuación con una sola incógnita. Se ha obtenido. Se ha obtenido. 2. En la práctica. todos los puntos en común. Se tiene. Los sistemas que tienen infinitas soluciones se llaman compatibles indeterminados. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación. Se suman las ecuaciones para que desaparezca una de las incógnitas. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve. no tienen ningún punto en común. así. 3. al aplicar este método solo se escribe en cada paso la ecuación que se transforma. un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una única solución. Es el punto donde se cortan las dos rectas y se dice que es un sistema compatible determinado. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 4.
.5 MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES  Método de sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita 5. 5. lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita. 3. así. la solución. 3º 3º 3. Pasos: 1. El sistema completo sería esta ecuación y una cualquiera de las anteriores en las que aparecía despejada la otra incógnita.O.S. Nota: Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen una fisonomía complicada.6. Pasos: 1. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. Inecuaciones y Sistemas.Matemáticas B – 4º E. Se resuelve la ecuación resultante. Se resuelve la ecuación. 3. la solución. 4.  Método de igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. Gráficamente. así. conviene “arreglarlas” hasta llegar a la expresión: ax + by = c. Se resuelve esta ecuación.4 NÚMERO DE SOLUCIÓNES DE UN SISTEMA LINEAL
En general.Tema 3 : Ecuaciones. son dos rectas paralelas. Pasos: 1. en lugar de escribir el sistema completo cada vez..
6. Identificar los elementos que intervienen y nombrar las incógnitas. Resolver un sistema consiste en encontrar las soluciones que verifiquen todas las inecuaciones a la vez o en decir que no hay solución..7 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
4º Los métodos conocidos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.6 TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS A SISTEMAS DE ECUACIONES Suele ser más sencillo plantear un problema algebraico complejo mediante una sistema de ecuaciones que mediante una única ecuación con una incógnita. 3.. 3º 3º
3.Matemáticas B – 4º E. sino “es mayor que” ó “es menor que” ó “es mayor o igual que” ó “es menor o igual que”. 4º 4º 3.2 SISTEMA DE INECUACIONES Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones. .Tema 3 : Ecuaciones.O.. Veamos los pasos que conviene dar: 1.. junto con lo que sabemos de resolución de ecuaciones no lineales nos permiten resolver sistemas de ecuaciones de muy diversos tipos. Una inecuación suele tener infinitas soluciones.8.. Una inecuación es una propuesta de desigualdad.  Se llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que haga cierta la desigualdad. Esta expresión se llama inecuación. 2. Tiene dos miembros entre los cuales aparece uno de estos signos: <. 4..1 DEFINICIÓN Una inecuación es una desigualdad algebraica.8.
4º 4º 3.
3.1 DEFINICIÓN A veces los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es igual”.. Resolver el sistema de ecuaciones resultante.
. >. Expresar mediante ecuaciones las relaciones existentes. Las respuestas a esta pregunta son las soluciones de la inecuación. Inecuaciones y Sistemas. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado.
3.9. < ( > ó  ó ) .S. ¿Para que valores de x es cierto que ..
. Si las desigualdades son estrictas no se cogen los extremos.
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN Para resolver gráficamente una inecuación con una sola incógnita f(x)  g(x): 1. Primer grado: Se resuelve directamente Grado mayor o igual que dos: Se calculan sus raíces y se dibujan sobre una recta real.9. Se representan las gráficas y = f(x) e y = g(x). Se toman valores intermedios y si cumplen la inecuación vale todo el trozo. Pasos: .9.
3.O.9. Se observa en qué intervalos se cumple la desigualdad deseada. Cocientes: Se calculan las raíces del numerador y del denominador por separado y se representan todas sobre la misma recta real.Matemáticas B – 4º E.S.
. Las raíces del denominador no se cogen nunca y las del numerador depende de si la inecuación es estricta (No se cogen) ó si no es estricta (Se cogen)
3. se procede como si fuera una ecuación con la salvedad de que si multiplicamos o dividimos por un número negativo.Tema 3 : Ecuaciones. Se toman valores intermedios y si cumplen la inecuación vale todo el trozo. 2. la desigualdad cambia de signo.Se toma como solución la intersección de las soluciones es decir las zonas que estén cogidas en todas las rectas. . Inecuaciones y Sistemas.3
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE UNA INECUACIÓN Para resolver una inecuación de primer grado.4
SISTEMAS DE INECUACIONES Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que forman el sistema. obteniendo con toda claridad sus puntos de corte.Se resuelve cada inecuación por separado y se representa su solución en una recta real diferente.
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