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Timestamp: 2019-01-23 00:12:31+00:00

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Ángela Páez Olivera
1 Unidad 01: Números Reales En esta unidad se profundiza en el estudio de los números reales, conocidos ya por los alumnos en la Educación Secundaria Obligatoria. Se opera con ellos, empleando aproximaciones y acotando siempre el error cometido, y se profundiza en las propiedades de la suma, del producto, del orden y del valor absoluto. Se identifican los números reales con puntos de la recta real y se emplean intervalos para representar subconjuntos de dicha recta. Utilizar los números enteros, racionales e irracionales para cuantificar situaciones de la vida cotidiana. Comprender los conceptos y procedimientos referentes a los números enteros, racionales y sus operaciones. Obtener la expresión decimal de una fracción y viceversa. Resolver actividades que impliquen la realización de operaciones con potencias y radicales. Aplicar adecuadamente la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en las operaciones combinadas de números reales. Ordenar y representar los números reales sobre la recta real. Conocer y utilizar las distintas clases de intervalos. Aplicar la definición del valor absoluto al cálculo de la distancia entre dos números. Operar utilizando la notación científica y las aproximaciones. Manejar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número, obtener su valor mediante aproximaciones y de forma exacta y determinar su característica y su mantisa. Aplicar las propiedades de los logaritmos a la solución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Números racionales, irracionales y reales. Potencias y radicales. Ordenación en R, intervalos Valor absoluto. Distancia. Notación científica. Aproximaciones. Error absoluto y relativo. El número e. Logaritmo de un número. Característica y mantisa de un logaritmo. Propiedades. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Sistemas de ecuaciones. Sucesiones de números reales Operar correctamente con números enteros, racionales y reales aplicando la jerarquía de las operaciones. Reconocer el conjunto numérico mínimo al que pertenece un número dado. Resolver situaciones de la vida cotidiana para las que se precise la utilización de las operaciones de números decimales, fraccionarios y reales. Resolver problemas utilizando operaciones con potencias y radicales. Expresar resultados utilizando la representación de números reales y los
2 distintos tipos de intervalos, de manera adecuada a cada caso. Calcular la distancia entre dos números reales. Manejar con soltura la notación científica. Utilizar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número, calcular su valor mediante aproximaciones y de forma exacta mediante la calculadora y hallar su característica y su mantisa. Emplear las propiedades de los logaritmos a la solución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Distinguir y resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Saber distinguir entre las diferentes sucesiones de números reales. (Aritméticas, geométricas, recurrentes, ) Unidad 02: Álgebra Esta unidad profundiza en el estudio de algunas expresiones algebraicas; en particular, en el estudio de polinomios, fracciones algebraicas y expresiones algebraicas con radicales. Operaciones con polinomios, división mediante la regla de Ruffini, factorización de polinomios o simplificación de fracciones algebraicas son algunos de los temas tratados. Analizar y resolver ecuaciones de primer grado. Adquirir técnicas algebraicas y gráficas necesarias para resolver ecuaciones de segundo grado. Interpretar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado. Conocer los métodos algebraicos y gráficos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicarlos. Estudiar y resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas aplicando el método de Gauss. Plantear y resolver sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando las técnicas algebraicas y gráficas necesarias para resolverlos. Resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas, aplicando las técnicas algebraicas y gráficas adecuadas.
3 Determinar el grado, coeficiente principal y término independiente de un polinomio, y distinguir si dos polinomios son iguales. Realizar operaciones básicas con los polinomios: suma, resta, multiplicación y división, teniendo en cuenta la jerarquía y las propiedades de las operaciones y las reglas de uso de los paréntesis. Dividir un polinomio por x a, aplicando la regla de Ruffini. Utilizar el teorema del resto, relacionando el resto de la división por x a con el valor numérico de un polinomio P(a). Factorizar y simplificar polinomios. Simplificar fracciones algebraicas. Reducir fracciones algebraicas a común denominador. Ecuaciones de primer grado, segundo grado y bicuadradas. Sistemas de dos y tres ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas. Desigualdades. Inecuaciones. Sistemas con inecuaciones lineales con dos incógnitas. Polinomios. Operaciones. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Fracciones algebraicas. Operaciones con fracciones algebraicas. Clasificar ecuaciones según su grado, número de soluciones y tipo de las variables. Resolver ecuaciones de primer grado y aplicarlas a la resolución de problemas reales. Utilizar la fórmula general, el discriminante y las relaciones entre raíces y coeficientes para resolver ecuaciones de segundo grado. Transcribir situaciones reales como ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales. Resolver analítica y gráficamente sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas y determinar la compatibilidad o incompatibilidad. Aplicar el método de Gauss para estudiar y resolver sistemas. Resolver problemas reales utilizando sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas y determinar la compatibilidad o incompatibilidad de dichos sistemas. Hallar el conjunto solución de una inecuación con una incógnita y representarlo de manera adecuada sobre la recta numérica. Resolver inecuaciones con dos incógnitas y sistemas con inecuaciones y representar el conjunto solución de forma gráfica. Reconocer los distintos elementos de un polinomio: variable, grado, coeficientes, término independiente... Realizar operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación, división) empleando los algoritmos más adecuados a cada situación. Calcular correctamente el valor numérico de un polinomio. Utilizar adecuadamente la regla de Ruffini. Resolver distintos problemas utilizando el teorema del resto.
4 Aplicar el teorema del resto para descomponer un polinomio en producto de factores y señalar la multiplicidad de cada raíz. Determinar si un polinomio es irreducible o no. Obtener fracciones algebraicas equivalentes a una dada hasta simplificarla. Distinguir si una fracción algebraica es irreducible o no lo es. Reducir un conjunto de fracciones algebraicas a común denominador. Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones algebraicas. Unidad 03: Trigonometría En esta unidad se amplía el concepto de ángulo y se profundiza en el estudio de las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Con ayuda de la circunferencia de radio unidad se establecen las relaciones existentes entre las razones trigonométricas, tanto de un mismo ángulo como de diferentes ángulos, y fórmulas para el cálculo de las razones trigonométricas de ángulos suma o diferencia de otros dos, o bien ángulo doble o mitad de otro conocido. Estas expresiones, así como las relaciones entre las distintas razones trigonométricas, permiten resolver con facilidad diferentes tipos de ecuaciones trigonométricas. Reconocer los distintos tipos de ángulos y manejar las unidades de medida de ángulos, pasando de unas a otras. Reconocer las gráficas de las funciones trigonométricas. Usar la circunferencia goniométrica o trigonométrica Obtener las razones trigonométricas de un ángulo agudo. Reconocer las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, obtenerlas y utilizarlas para resolver problemas. Aplicar las relaciones trigonométricas fundamentales en distintos contextos. Deducir y utilizar las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos y las razones del ángulo doble y del ángulo mitad. Reconocer y resolver ecuaciones trigonométricas.
5 Ángulos, radián Unidades para la medida de ángulos. Sistema sexagesimal y radián. Razones trigonométricas de ángulos agudos. Ángulos negativos y mayores que 360º. Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. Razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, opuestos y de ángulos que se diferencian en 180º. Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos. Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad. Ecuaciones trigonométricas. Hallar las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo, conocidos sus lados. Dibujar un triángulo, conocido un lado y una razón. Calcular las restantes razones trigonométricas de un ángulo agudo, conociendo una de ellas y el cuadrante en el que se encuentra. Determinar las razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, opuestos, que se diferencian en 180º y mayores que 360º. Obtener las razones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos, así como del ángulo doble y del ángulo mitad. Resolver ecuaciones trigonométricas. Utilizar la trigonometría para resolver problemas relacionados con las matemáticas o con otras ciencias. Unidad 04: Triángulos En esta unidad se estudian los teoremas del coseno y de los senos, con el objetivo de resolver cualquier tipo de triángulo, y se deduce la fórmula de Herón, que permite calcular el área de un triángulo cualquiera conocidas las dimensiones de sus lados. Asimismo, se utilizan los nuevos conocimientos trigonométricos para profundizar en la operativa con números complejos, pudiendo calcular, al finalizar la unidad, productos, cocientes, potencias y raíces de cualquier número complejo. Resolver triángulos rectángulos. Resolver triángulos cualesquiera. Calcular el área de un triángulo conocidos los lados. Expresar un número complejo en forma polar y trigonométrica.
6 Resolución de triángulos rectángulos. Teorema de los senos. Teorema del coseno. Resolución de triángulos no rectángulos. Resolver triángulos rectángulos, aplicando las definiciones trigonométricas, así como las relaciones entre ellas. Resolver triángulos no rectángulos, empleando los teoremas de los senos y del coseno. Calcular el área de un triángulo, conocidos sus lados. Resolver problemas relacionados con la medición de distancias, con ayuda de la trigonometría. Unidad 05: Vectores en el plano En esta unidad se estudian, por primera vez, los vectores en el plano. Vectores fijos y libres, operaciones con ellos, dependencia e independencia lineal, bases de vectores del plano, coordenadas, producto escalar, etc., son algunos de los conceptos relacionados con la geometría del plano con los que los alumnos se encontrarán por primera vez. Reconocer el conjunto R x R y sus elementos, trabajar los vectores mediante coordenadas y utilizar su relación con los puntos del plano, y sumar y multiplicar por un número elementos de dicho conjunto. Utilizar los conceptos de vector fijo, módulo, dirección y sentido, distinguir si dos vectores son equipolentes y calcular los componentes de un vector dados sus extremos. Reconocer y utilizar el concepto de vector libre, y realizar operaciones de suma de vectores y producto por un número real, así como combinaciones lineales de vectores. Distinguir si dos vectores en el plano son linealmente dependientes o independientes y si forman base, y obtener las coordenadas de un vector cualquiera en una base dada. Calcular el producto escalar de dos vectores, y utilizar su interpretación geométrica y sus propiedades para resolver problemas. Aplicar el producto escalar al cálculo del módulo de un vector, del ángulo de dos vectores y a demostrar el teorema del coseno. Dividir un segmento en partes iguales..
7 El conjunto R x R. Operaciones. Vectores fijos. Módulo, dirección y sentido. Vectores libres. Operaciones. Dependencia lineal de vectores. Bases. Coordenadas. Producto escalar. Propiedades. Aplicaciones del producto escalar. División de un segmento en partes iguales. Representar puntos y vectores en el plano. Identificar vectores equipolentes. Obtener gráficamente la suma de dos vectores libres y el producto de un vector libre por un escalar. Expresar un vector como combinación lineal de otros. Determinar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores. Determinar las coordenadas de un vector con respecto a una base. Calcular el producto escalar de dos vectores. Determinar el módulo de un vector, el ángulo formado por dos vectores y la proyección de un vector sobre otro con ayuda del producto escalar. Unidad 06: Geometría Analítica. Problemas afines y métricos En esta unidad se estudian las distintas formas de la ecuación de una recta, las condiciones de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, y algunas nociones métricas: ángulo entre dos rectas, distancia entre puntos y distancia de un punto a una recta. Por otro lado, se estudia por primera vez la circunferencia desde un punto de vista algebraico, y se emplea su ecuación para establecer la posición relativa de una circunferencia y una recta, y de una circunferencia y un punto. Representar puntos en un sistema de coordenadas utilizando el vector de posición. Hallar la ecuación de la recta en el plano en sus distintas formas: vectorial, paramétrica, continua, general, punto pendiente, explícita y segmentaria. Obtener la ecuación de una recta conocidos un punto y un vector, un punto y la pendiente o dos puntos. Determinar las posiciones relativas de dos rectas en el plano. Analizar el ángulo de dos rectas que se cortan y utilizar las condiciones de paralelismo y perpendicularidad. Determinar distintas distancias en el plano. Obtener el vector normal a una recta y calcular la recta normal a una dada.
8 Resolver distintos problemas geométricos en el plano de forma analítica. Puntos, rectas Sistemas de referencia. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de dos rectas. Distancias en el plano. Problemas geométricos. Determinar las ecuaciones de una recta. Determinar la posición relativa de dos rectas del plano. Calcular el ángulo formado por dos rectas. Determinar la recta perpendicular a una dada. Calcular la distancia entre dos puntos y la distancia de un punto a una recta. Determinar la ecuación de una circunferencia, conocidos su centro y su radio, y viceversa. Determinar la posición relativa de una recta y una circunferencia. Calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia, y averiguar su posición relativa. Hallar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto de ella. Unidad 07: Funciones elementales Con esta unidad se comienzan a desarrollar los contenidos correspondientes al estudio de las funciones y su representación gráfica, contenidos que por otra parte pueden ser conocidos por la mayoría de los alumnos. Se pretende conseguir un conocimiento ágil de las funciones elementales, herramienta que será de gran utilidad para resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas, las otras ciencias o la tecnología. Reconocer una función de expresiones que no lo son. Reconocer las funciones reales de variable real y determinar su variable dependiente e independiente, su dominio y recorrido. Distinguir las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, radicales y circulares, utilizar sus propiedades y representarlas gráficamente. Transformar funciones a partir de las originales. Usar y reconocer funciones de proporcionalidad inversa y representarlas. Representar las funciones definidas a trozos y obtener los puntos comunes a dos gráficas. Calcular el valor absoluto de todo tipo de función.
9 Función real de variable real. Dominio y recorrido. Función suma, diferencia, producto y cociente. Función compuesta e inversa. Funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas y circulares. Valor absoluto. Funciones definidas a trozos. Puntos comunes a dos gráficas. Escribir expresiones algebraicas adecuadas que representen a funciones determinadas por una descripción verbal. Obtener algunos valores que interesen de la imagen de una función determinada por una expresión algebraica. Calcular el dominio y el recorrido de funciones elementales. Trazar la gráfica de las funciones más elementales. Trazar la gráfica de una función a partir de las gráficas de otras más simples aplicando previamente las traslaciones o dilataciones adecuadas. Trazar la gráfica de funciones definidas a trozos y de funciones escalonadas. Estudiar si una función dada es par, impar o no tiene ninguna de las dos propiedades. Resolver situaciones relacionadas con las propias matemáticas, la tecnología, las otras ciencias o la vida cotidiana con la ayuda de funciones elementales. Unidad 08: Límites de Funciones. Continuidad y ramas Infinitas Las funciones y sus tendencias pueden utilizarse para analizar diversos fenómenos relacionados con las ciencias o la tecnología. La presente unidad introduce, en una primera aproximación no formal, las ideas de límite y continuidad de las funciones de variable real. Estos contenidos son, por otra parte, básicos para poder afrontar el estudio de los conceptos que se desarrollarán en las siguientes unidades. Entender el concepto de continuidad y discontinuidad. Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y obtener sus límites laterales. Estudiar el comportamiento de las funciones cuando x, así como la existencia de las asíntotas y ramas infinitas. Obtener los límites infinitos y en el infinito de una función. Calcular los límites de las operaciones con funciones. Resolver las indeterminaciones del tipo L/0, 0/0, / y en el cálculo de límites.
10 Determinar la continuidad de una función en un punto y estudiar sus discontinuidades, distinguiendo de qué tipo son. Límite de una función. Límites laterales. Indeterminaciones. Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad. Límite infinito de una función en el infinito. Límite finito de una función en el infinito. Límite de una función en un punto. Límite infinito de una función en un punto. Límites laterales. Propiedades de los límites. Expresiones determinadas y expresiones indeterminadas. Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo. Propiedades de las funciones continuas. Continuidad de la composición de dos funciones. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función. Formular conjeturas sobre la tendencia de las funciones reales en un punto dado o en el infinito con la ayuda de su gráfica o de una tabla de valores. Calcular el valor de los límites de funciones en un punto dado o en el infinito mediante la aplicación de las propiedades de éstos y la resolución de las posibles indeterminaciones. Estudiar la continuidad de una función, estableciendo sus posibles puntos de discontinuidad. Calcular las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de funciones reales. Resolver límites en los que aparecen expresiones indeterminadas del tipo 1ý con la ayuda de la definición del número e y utilizar estos límites para resolver situaciones relacionadas con el interés continuo. Unidad 09: Iniciación al cálculo de derivadas En la presente unidad se desarrollan los contenidos correspondientes al estudio de la derivada de una función obtenida como límite de las tasas de variación media. Asimismo, se expone su aplicación a situaciones tales como el cálculo de la recta tangente a una curva en un punto dado y la obtención de los intervalos de crecimiento y decrecimiento y de los extremos relativos de una función dada por su expresión algebraica. Por último, el cálculo de derivadas puede aplicarse a la resolución de problemas de optimización. Utilizar la variación media e instantánea de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana. Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una función dada, así como sus derivadas laterales.
11 Utilizar la relación entre derivabilidad y continuidad para resolver distintos problemas. Calcular derivadas usando la regla de los cuatro pasos. Obtener derivadas de operaciones con funciones. Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta. Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera. Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto dado. Obtener el dominio, simetrías y puntos de corte con los ejes de una función dada. Calcular las asíntotas horizontales y verticales de una función. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función a partir del signo de su derivada primera. Obtener los puntos críticos de una función y sus máximos y mínimos a partir de sus derivadas primera y segunda. Determinar las regiones del plano donde la función existe. Representar gráficamente funciones utilizando todos los elementos anteriores. Resolver problemas reales de optimización de funciones Variación media y variación instantánea de una función. Derivada en un punto. Función derivada. Interpretación geométrica. Derivadas laterales. Derivabilidad y continuidad. Regla de los cuatro pasos. Tabla de derivadas. Derivada de operaciones con funciones. Regla de la cadena. Recta tangente y normal a una función. Dominio de una función. Simetrías de una función. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas horizontales y verticales. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Regiones del plano donde existe la gráfica. Representación gráfica. Optimización. Calcular la tasa de variación media de funciones. Obtener e interpretar el valor de la derivada de una función en un punto de funciones sencillas. Obtener la recta tangente a una función en un punto cuando se conocen suficientes condiciones que la determinan. Interpretar la representación gráfica de la derivada de una función. Calcular la expresión algebraica de la derivada de funciones elementales. Estudiar el crecimiento y obtener los extremos relativos de funciones. Aplicar el cálculo diferencial para resolver problemas de optimización.
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