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Timestamp: 2017-04-23 12:56:11+00:00

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10 Dinámica de Lagrange (versión completa)
Este cuadernillo de Dinámica de Lagrange, se editó originalmente en 2006. En la edición del texto “Teoremas de la Dinámica” de 2008”, por razones de brevedad de tiempo de clases, sólo se incluyeron los tramos necesarios para la resolución de problemas con la Función Lagrangiana: no se incluyó el tratamiento del Principio de los Trabajos Virtuales, de las Fuerzas generalizadas, ni las demostraciones (ver cuadernillo 8). El presente “cuadernillo 10” es la “versión completa” en la que se incorporan los temas no comprendidos en la “versión recortada” anterior.
Prof. Diego Edgardo García Córdoba, marzo de 2010
Contenido de este cuadernillo Vínculos, reacción de vínculo Determinación de la posición de un sistema de partículas, parámetros de configuración con vínculos fijos Configuración de un sistema de partículas en el caso de vínculos móviles Desplazamiento real y desplazamiento virtual de las partículas de un sistema, variación isocrónica de coordenadas Grados de libertad Sistemas holónomos y anholónomos Coordenadas generalizadas Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas Trabajo virtual y fuerza generalizada de orden k Ejemplos de cálculo de fuerzas generalizadas Principio de los trabajos virtuales, ecuación simbólica de la estática Ecuación simbólica de la dinámica Desplazamiento y trabajo virtual. Principio de los trabajos virtuales y ecuación simbólica de la dinámica. Resumen de los conceptos mas importantes Ecuaciones de Lagrange Función Lagrangiana Resolución del péndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange Algunas aplicaciones 1 – Péndulo con punto de suspensión oscilante 2- Cadena deslizante 3- Partícula en tubo rotante en pano horizontal 4- Máquina de Atwood en medio viscoso 5- Cilindro en plano inclinado 6- Partícula en un plano vertical rotante Bibliografía 3 5 6 7 11 11 13 13 16 19 21 21 22 24 25 26
29 34 36 38 43 48 52
Derechos reservados. Ley 11723 ISBN 978-987-05-4041-0 Impreso en la ciudad de Córdoba, Argentina Cuadernillo editado en 2006 y re-editado en 2010
Teoremas de la Dinámica.
Si una partícula no tiene ninguna limitación en su movimiento, decimos que se trata de un partícula libre en cuyo caso, para fijar o determinar su posición, será necesario fijar tres coordenadas, por ejemplo, x, y , z . Decimos entonces que la partícula libre tiene 3 grados de libertad en el espacio y 2 si se mueve en un plano. En cambio, si la partícula esta sujeta a algún tipo de restricción o de limitación en su movimiento, decimos que la partícula está vinculada. El medio mediante el cual se provoca la limitación o restricción, se llama vínculo o ligadura. Se llama vínculo bilateral (o reversible) a aquel en que el punto está permanentemente en contacto con el vínculo, por ejemplo, una partícula que se mueve dentro de un tubo. En el presente texto, sólo haremos referencia a este tipo de vínculo. Por extensión, decimos que un sistema de partículas o en general, un cuerpo, están vinculados, cuando no se pueden mover libremente, en el plano o en el espacio, si no que están sujetos a ligaduras. Podemos citar los siguientes ejemplos: a) Una partícula obligada a moverse sobre una determinada curva, por caso, un anillo impulsado con cierta velocidad inicial en una guía, recta o curvada o una esfera dentro de un tubo. El vínculo es la guía, figura 1-a. b) Una partícula de masa m en el extremo de una cuerda inextensible, que rota con velocidad uniforme, en un plano horizontal liso. La cuerda obliga a la partícula a describir una trayectoria circular, figura 1-b. c) Una varilla uno de cuyos extremos está obligado a moverse sobre el eje y y el otro sobre el eje x , figura 1-c. d) Un disco que rueda sobre una recta en un plano inclinado. El vínculo es el plano inclinado, figura 2-a. e) Una semiesfera a la que se apoye sobre un plano horizontal y se la deja caer. El vínculo se supone que es una línea recta. Ver en la figura 2-b, casos de plano liso y de plano rugoso. f) Una barra, articulada en su extremo izquierdo y con su otro extremo libre, que se la suelta desde la posición horizontal, figura 3-a. g) En la figura 3-b, en A, la varilla apoya sobre un rodillo, lo que le permite deslizar sin rozamiento. En este caso, la fuerza que el vínculo ejerce sobre la varilla, es perpendicular a ésta. Dicha fuerza no puede tener componente en la dirección de la varilla: esto es así, porque la ausencia de rozamiento impide que el rodillo transmita a la varilla una fuerza que no sea en la dirección normal a esta última La curva sobre la cual se obliga a moverse a una partícula, o en general, la forma del vínculo, puede, o no, cambiar a medida que progresa el movimiento. Aquellos sistemas en los que la forma del vínculo cambia con el tiempo, se llaman reonómicos. Si la forma del, o los vínculos del sistema, no depende del tiempo el sistema se llama escleronómico. Se llaman vínculos lisos a aquellos en los que no hay fuerza de rozamiento.
Reacción de vínculo
Cuando una partícula se mueve sobre un vínculo, éste ejerce sobre aquella una fuerza que se llama fuerza o reacción de vínculo. De la misma forma, en el movimiento de un cuerpo vinculado, la fuerza de vínculo aparece en el punto, o en la superficie de contacto del cuerpo con el vínculo. Está aplicada en el cuerpo. El término “reacción” se usa por costumbre. También podría usarse el término “acción” para designar la fuerza que el vínculo ejerce sobre el cuerpo. Adoptaremos: “reacción de vínculo”, para designar la fuerza aplicada en el cuerpo, que le es ejercida por el vínculo.
, n, b
(b (c) Figura 1
En algunos casos, resulta cómodo decir que la dirección en que ocurre esa fuerza es la dirección en la que el vínculo impide o restringe el desplazamiento del cuerpo. En la figura 1-a se muestran las componentes de la reacción de vínculo en un anillo que se mueve (impulsado con una velocidad inicial) sobre una guía curva, en un plano horizontal. Hay componentes de la reacción de vínculo en las 3 direcciones del triedro intrínseco: En la dirección de la tangente, está la fuerza de rozamiento. En la dirección de la normal, está la fuerza centrípeta que el anillo ejerce sobre la partícula y en la dirección de la binormal, se tiene la reacción del peso del anillo. En la figura 1-b se tiene una partícula que describe un movimiento circular uniforme en un plano horizontal liso, obligada a ello por un segmento rígido (supuesto sin masa) rotante, o por una cuerda inextensible. La fuerza de vínculo que ejerce la cuerda, pasa por el centro de rotación (también se tiene la reacción del plano, que no está dibujada). En la figura 1-c se tiene una varilla uno de cuyos extremos está obligado a moverse sobre el eje y y el otro sobre el eje x , sin rozamiento. Las reacciones son perpendiculares a cada dirección.
(b) vínculo liso
(a) Figura 2 (b) vínculo rugoso
En la figura 2-a se tiene un disco que rueda sin resbalar sobre una recta en un plano inclinado. En el punto de contacto del disco sobre el plano, se tienen 2 componentes de la fuerza de vínculo: una componente normal, que corresponde a la componente del peso del disco en esa dirección. La otra componente se indica con f y corresponde a la fuerza de rozamiento estático, debida a la rugosidad de las superficies que impide que el disco deslice sobre el plano. Los sucesivos puntos de contacto discoplano, considerados como puntos del disco, tienen, en cada instante, velocidad cero. En la figura 2-b se muestra una semiesfera, la que se apoya inicialmente sobre un plano horizontal rugoso y luego se la suelta y donde se supone que el vínculo es una recta del plano. El peso de la esfera produce un momento con respecto al punto de contacto, lo que lleva a situaciones diferentes, según que el vínculo sea, o no, liso, como veremos seguidamente. Si el vínculo es perfectamente liso, ese momento hace girar la semiesfera, la cual desliza sobre el punto de apoyo. No hay fuerza externa en la dirección horizontal y entonces: el centro de masas desciende con trayectoria vertical hasta alcanzar su punto más bajo, de energía potencial mínima y luego sube nuevamente hasta que la semiesfera quede en una posición simétrica a la inicial. A partir de allí se reinicia el ciclo, y se tiene un movimiento oscilatorio. En cambio, si la rugosidad del vínculo impide el deslizamiento de la esfera sobre la recta del plano, los sucesivos puntos de contacto esfera - recta del plano, tienen, en cada instante, velocidad cero. En este caso, aparece una componente horizontal de la fuerza de vínculo, la que provoca que el vector aceleración del centro de masas tenga una componente hacia la derecha. Finalmente, la semiesfera también adquirirá un movimiento oscilatorio pero, a diferencia del caso anterior, el vector aceleración del centro de masas, tendrá componente en la dirección horizontal, debida a la componente en esa dirección de la fuerza de vínculo (teorema del movimiento del centro de masas). En la figura 3-a se tiene una barra articulada en un extremo, que inicialmente se la sostiene en la posición horizontal y luego se la suelta. La dirección de la reacción va cambiando a medida que la barra cae. Sólo en el instante inicial y cuando la barra pasa por la posición vertical la reacción es vertical. En las posiciones intermedias la reacción tendrá una componente RH y una componente RV . En la figura 3 -b, en A, la varilla apoya sobre un rodillo, lo que le permite deslizar sin rozamiento. En este caso, la fuerza que el vínculo ejerce sobre la varilla, es perpendicular a ésta. Dicha fuerza no puede tener componente en la dirección de la varilla: esto es así, porque la ausencia de rozamiento impide que el rodillo transmita a la varilla una fuerza que no sea en la dirección normal a esta última.
(a) Figura 3 (b)
Determinación de la posición de un sistema de partículas, parámetros de configuración con vínculos fijos (sistema esclerónomo)
Imaginemos una partícula que se puede mover libremente en el espacio, en ese caso, su posición queda determinada cuando se conocen, en cada instante, sus 3 coordenadas. Si se tienen N partículas, habrá que fijar 3N coordenadas para determinar la posición del sistema. El término configuración del sistema se refiere a las posiciones que ocupan las partículas en un determinado instante: cuando se conocen las ubicaciones de las mismas, decimos que el sistema está configurado. Ahora bien: puede ocurrir que algunos puntos del sistema estén vinculados entre sí, por ejemplo: 2 masas puntuales libres en el plano, suman 4 grados de libertad y hacen falta 4 coordenadas para configurar el sistema. Pero supongamos que las dos partículas estén vinculadas entre sí por un segmento inextensible de longitud l : en este caso bastará fijar las 2 coordenadas de una de ellas más el ángulo que forma el segmento con la horizontal, en total 3 coordenadas independientes entre sí, para tener determinado el sistema. Ciertamente, esta restricción de vínculo, se podrá establecer mediante una determinada ecuación que deberán satisfacer las coordenadas. Esa ecuación es:
Se llaman parámetros de configuración, o coordenadas de Lagrange, a las coordenadas que se usan, o que se pueden usar, para configurar un sistema. Decimos, que se pueden usar, porque, en realidad, la posición de las dos masas acopladas por una barra, queda definida también usando los 4 parámetros x1 x2 x3 x4 , aunque si la definimos así, estaríamos usando un parámetro superabundante: Llamaremos por lo tanto parámetros de Lagrange a todas las coordenadas de configuración, ya sean estas superabundantes o ya sean independientes. Designaremos con qk a estos parámetros, con
k 1, 2,3,...n .
De acuerdo con el ejemplo que se ha mostrado, resulta entonces, que, si los parámetros de configuración deben satisfacer una ecuación de vínculo, eso hace que el sistema se configure con 3, en vez de con 4 parámetros. Hablando en general, si llamamos n a la cantidad de parámetros de Lagrange y m a la cantidad de ecuaciones que representan las restricciones de vínculo, podemos expresar:
Cantidad de parametros independientes n m Si llamamos P O al vector posición de una partícula i del sistema, podemos expresar i
finalmente la configuración de un sistema de partículas mediante la siguiente función vectorial:
Pi qk
k 1, 2,3,... n m
en donde los qk son parámetros independientes entre sí. Cada uno de estos parámetros es función del También podemos expresar, en forma escalar, las coordenadas de posición xi , yi , zi de una partícula i del sistema, en función de los n
m parámetros independientes:
También podemos tomar como parámetro independiente al ángulo pasan a ser superabundantes. o posición del vínculo. q2
porque podemos obtenerlo con la ecuación de ligadura. aparecerá explícitamente el tiempo. García
xi qk yi qk
zi qk
(1’) con
k 1. se debe a que hemos considerado que los vínculos permanecen fijos en el tiempo. zi dependen del tiempo. que da el vector posición de la partícula. a las coordenadas de posición de las partículas. figura 2
Figura 2 Los parámetros de Lagrange son q1
2 y y la ecuación de ligadura es q12 q2 l 2 0 . Veamos el siguiente ejemplo.3.Diego E. figura 2: Una partícula P se mueve en un plano sujeto a un vínculo tal que su distancia al punto “O ” es constante e igual a l . entonces. Para que ello ocurra. ecuaciones de transformación. en cuyo caso q2 es superabundante. Si consideramos los 3 parámetros q1 . el tiempo no aparece explícitamente en la expresiones que dan las coordenadas
Configuración de un sistema de partículas en el caso de vínculos móviles (sistema reónomo)
Cuando los vínculos cambian su forma. Podemos tomar como parámetro independiente a q1 . lo hacen a través a través de las qk . n
en cuyo caso q1 y q2
3 podremos establecer
entre ellos 2 ecuaciones de ligadura ( m 2 ). si dejamos constante un valor del parámetro (por ejemplo ese parámetro podría ser el arco ó recorrido de la partícula sobre la curva). o en las ecuaciones de transformación (1’). Veamos un ejemplo en la figura 3:
. También podríamos designarlas como ecuaciones de configuración. yi . es una cierta función del tiempo. esa curva no cambia su forma con el tiempo. de manera que la cantidad de parámetros independientes siempre será 3 2 1 . Como vemos. q2. ...
x . no aparece el tiempo en forma explícita: ello significa que si bien las coordenadas xi .. Entonces podemos llamar a las (1) o (1’). es necesario que la ley que da la variación de la forma. Esta no dependencia en forma explícita del tiempo. Las ecuaciones de transformación que dan las coordenadas de la partícula en función del parámetro son:
x l cos y lsen
donde de P . n m
Si N es la cantidad de partículas del sistema tendremos 3 N ecuaciones como las (1’) que nos permitirán conocer las coordenadas de cada una de las N partículas en función de los parámetros qk independientes. si un punto se mueve sobre una curva en el espacio. por ejemplo. o su posición en función del tiempo (sistema reónomo). 2. porque nos permiten pasar de los parámetros de configuración. Debemos observar que en las (1) y (1’). sea un dato. la posición de la partícula no cambia porque la curva no se mueve. en la función (1).
El punto de suspensión del péndulo se mueve de acuerdo con:
La posición de la partícula
sen t i (2)
. alrededor de la articulación O1. ya
P considerada queda determinada con una única coordenada
que la posición de O1 está predeterminada por la (2). lo que permite presentar los conceptos con la mayor generalidad posible.
a) Introducción Para expresar las definiciones referentes a esta cuestión. discos u otros cuerpos rígidos. los elementos del sistema son el tubo liso y la partícula i . como:
Pi qk . aparece explícitamente el tiempo. Pero en lo sucesivo. podemos considerar al tubo como un conjunto rígido de partículas. formado por una partícula i que se mueve dentro de un tubo liso. En realidad. se mueve con una ley conocida en función del tiempo.. con q1
x y q2
q1 sen t
2 q2 l 2
Otro ejemplo que podemos citar es el siguiente: supongamos una partícula que se mueve dentro de un tubo (vínculo móvil). como se muestra en la figura 1. a la que llamaremos x . que es la ligadura que vincula al sistema con el exterior. podemos expresar finalmente la configuración de un sistema de partículas en dónde los vínculos dependen del tiempo. se trata de un sistema reónomo y en la (3) y (3’) aparece explícitamente el tiempo. El único parámetro independiente es . El tubo puede girar en un plano vertical. suponemos
. Cabe observar al respecto lo siguiente: hasta aquí hemos hablado de un sistema como un conjunto de N partículas i . Las coordenadas de la partícula en un sistema fijo X . el cual gira en un plano horizontal con velocidad angular constante y cuyo valor es un dato del problema. n m
Desplazamiento real y desplazamiento virtual de las partículas de un sistema. Las ecuaciones de transformación. La posición de la partícula) se configura con un único parámetro.. entonces. haremos extensiva la definición de sistema a lo que llamaremos un conjunto de elementos. A su vez la articulación O1 . t
k 1. También podríamos haber expresado la posición de P con vínculos superabundantes:
con la siguiente ecuación de ligadura:
q1 i q2 j . Variación isocrónica de las coordenadas. Si O que dicha ley es:
O1 es el módulo del vector posición O1 .. t
yi qk . que es la distancia de la partícula al eje de rotación..3. cosa que no ocurre cuando los vínculos no se mueven.3. tomarán finalmente la forma mas general:
xi qk .Teoremas de la Dinámica. En forma general.. los cuales pueden ser partículas propiamente dichas. Y serán:
X x cos t Y xsen t
En la (6). cuyo movimiento podemos referirlo a su centro de masa G.. 2. n m
en donde los qk son parámetros independientes entre sí. 2. además del parámetro x . t
zi qk . lo haremos a través de un ejemplo. La coordenada vectorial de posición de la partícula P será:
sen t l cos
x l cos y lsen sen t
i l sen j (3)
Como vemos. o también barras. t
k 1. Consideremos el sistema. En el ejemplo que consideraremos.
resulta que dicho vector es una función de las coordenadas
Pi Pi q1 . De acuerdo con las consideraciones precedentes. corriente y nomos. q2 . sería esclerónomo (del griego sklerós. el sistema tubo-partícula. para indicar los parámetros independientes. que dan las coordenadas de la partícula i en el sistema X . (2 ecuaciones por cada partícula) Vínculo: la articulación “ O1 ”. A su vez la partícula i se mueve igual que las partículas del tubo (movimiento de arrastre) y además tiene un movimiento relativo de deslizamiento sobre el mismo. en el artículo siguiente. q2 y de t son:
sen t q1 cos q2 (a) Y q1senq2
X i I Yi J . para explicar los conceptos de variación isocrónica de coordenadas. mi
O O1 sen t
Indicaremos ahora con Pi al vector posición de la partícula i (es decir.
. G. el vector que va desde O hasta Pi ) referido a un sistema inercial (o “fijo”) X Y Los parámetros de configuración son: la distancia de la partícula al punto O1. Usaremos el ejemplo de esta introducción. duro rígido y de nomos. Sistema reónomo: lo es porque el vínculo “ O1 ”. dadas por (a) y (c). que la indicamos con q1 y el ángulo que forma el tubo con el eje X . sino que se trasladan a derecha e izquierda con un movimiento alternativo. que son la partícula “i” y la “partícula” (por así llamarla). Cantidad de ecuaciones de transformación: 4 ecuaciones.Diego E. desplazamiento virtual y su diferencia con desplazamiento real. Las ecuaciones de transformación. que haremos en los párrafos siguientes centraremos nuestra atención en la partícula i ya que las definiciones serán igualmente válidas para el tubo G. tal como se definirá mas adelante. Por su parte las ecuaciones de transformación que dan las coordenadas del centro de masas G del tubo son:
O bien en forma vectorial
sen t l senq2 2
l cos q2 2
Para definir el significado de desplazamiento virtual y establecer su diferencia con desplazamiento real (cuando la hay). Cantidad de parámetros independientes: 2 (hemos tomado q1 y q2 ). se mueve con una ley conocida. Vincula al conjunto tubo-partícula con el exterior. que lo indicamos con q2. ley) Si O1 permaneciese fijo. se trata de un sistema reónomo (del griego rhéos. Hacemos el siguiente resumen de este caso: Cantidad de partículas: 2. en función de los parámetros independientes q1 . Y . t
generalizadas y del tiempo: Hemos usado el término coordenadas generalizadas. García
La condición de vínculo establece que las partículas del tubo se mueven en trayectorias circulares alrededor de O1 y que las mismas no están fijas. ley). El tiempo aparece en forma explícita.
y si tenemos en cuenta la (7) (de parámetros de configuración) podemos escribir. será necesario suponer. mientras el vínculo permanece “inmovilizado” en la posición que ocupaba en un determinado instante t equivale a imaginar que en t
t1 ó t
t2 . durante el teimpo que dura la variación de la coordenada q2 . mientras que si transcurre mientras cambia q2 . entonces.. Supongamos. mientras dura la variación de las qk . en cambio. i dado por la expresión “b”. Se ha usado en lugar del símbolo “ d ” de diferencial para indicar que no se trata del desplazamiento real. que la coordenada q2 experimenta una variación. el vínculo (en este caso la articulación O1 ) “se detiene”. sin que cambien los otros q1. Dicho desplazamiento. qk . la partícula Pi sufrirá un desplazamiento que se indica con el vector ( Pi )
en la figura 2 (a). arbitrariamente.
b) Desplazamiento real. t)
Pi dqk qk
Pi dt t
Imaginaremos ahora que es posible que pueda variar una sola coordenada. que el vínculo queda transitoriamente inmovilizado en la posición que ocupaba en un determinado instante t t1 . El término isocrónico se refiere a la suposición ya expresada.. en general:
Pi = Pi ( qk . en este caso q2 . lo se obtiene como la suma de los 3 diferenciales parciales con respecto a cada variable:
Pi dq1 q1
Pi dq2 q2
dPi es el vector desplazamiento “real” de la partícula i
Si llamamos qk a una coordenada genérica.. Al ocurrir la variación isocrónica q 2 . en un sistema de partículas con h coordenadas generalizadas. que varíe q2 sin que se mueva el vínculo (articulación) O1 .Teoremas de la Dinámica. Dicho diferencial. Ello
t1 . variación isocrónica de coordenadas y desplazamiento virtual Calcularemos a continuación el desplazamiento que experimenta la partícula i cuando transcurre un tiempo dt . sin que cambie q1 y sin que varíe la distancia X 1
O1 O . lo podemos expresar como el diferencial de la función vectorial P . Pero no es posible..
No hay inconveniente en imaginar que pueda variar un solo parámetro . Llamaremos al mismo desplazamiento virtual parcial debido a q 2 . Para imaginar que cambia q2 sin que se mueva el vínculo.
q1 cte O1
. por ejemplo el ángulo q2 . sino de un desplazamiento virtual o “imaginado”. i también se usa el símbolo . porque dichos parámetros pueden variar en forma independiente entre sí. que el tiempo se “inmoviliza” o “no transcurre” solamente para el vínculo. Llamaremos “isocrónica” a esa variación y la indicaremos con q 2 .
Para indicar el desplazamiento de P producido por la variación isocrónica de una coordenada.
Si los vínculos son móviles . Entonces. se consideran inmovilizados los vínculos mientras dura la variación de las qk . El desplazamiento virtual no necesariamente debe ser un valor diferencial: puede ser un valor finito. Podemos establecer el siguiente resumen con respecto a las características desplazamiento virtual de una partícula i del sistema: salientes del
Suponiendo el vínculo fijo. sistema esclerónomo). Tal sería el caso que el vínculo fuese realmente fijo en la figura 3. debido a la variación isocrónica q k del
parámetro qk . Finalmente si queremos obtener el desplazamiento virtual
Pi . Por lo tanto. podemos expresar los desplazamientos virtuales parciales de la partícula i . no se establece diferencias entre el vector desplazamiento real dPi y el vector desplazamiento virtual Pi de cada partícula. Debe observarse que si los
vínculos son fijos (no dependen del tiempo. correspondiente a una
variación isocrónica simultánea de los h parámetros independientes. podemos escribir:
Pi qk (5) qk
En la figura 3 se muestra el vector desplazamiento virtual
Pi . de la siguiente forma:
( Pi )q1 ( Pi )q 2 Pi q1 q1 Pi q2 q2
Si extendemos las consideraciones de este ejemplo a un sistema de N partículas i con h parámetros independientes de configuración y llamamos qk a un parámetro de orden k . En el caso que los vínculos sean fijos.Diego E. siempre cuando los desplazamientos de las partículas del sistema.
. el último término de la (1) desaparece y el vector desplazamiento real de las partículas del sistema es coincidente con el vector desplazamiento virtual. podemos escribir:
( Pi ) qk
Pi qk qk
( Pi ) k es el desplazamiento virtual parcial de la partícula i . dicho desplazamiento debe ser compatible con la condición de vínculo. debemos sumar los desplazamientos virtuales parciales correspondientes a cada una de ellas. García
Si imaginamos ahora que ocurre una variación isocrónica
q1 de la coordenada q1 la partícula
i experimentará un vector desplazamiento virtual ( Pi )q1 que se muestra en la figura 2(b). es decir moverse según la tangente a la trayectoria que le impone dicha condición. sean compatibles con los vínculos.
3. cuando éste es una magnitud diferencial. El ángulo no es una coordenada generalizada porque varía con una ley dada. ésta queda dada por:
Sistemas holónomos y anholónomos
Decimos que un sistema es holónomo. si el sistema es anholónomo. que pueden tener las partículas de un sistema. q j con j 1. En cambio en el desplazamiento real dPi el trabajo de la fuerza de ligadura es 0. En 4(b) se indica el desplazamiento real dPi que tiene en cuenta el movimiento del vínculo. En un sistema holónomo.n . o también puede no tener vínculos. articulado en un punto “ O ” fijo. pero que.
dPi Pi Pi
(a) Desplazamiento virtual supuesto vínculo (tubo) inmovilizado Figura 4
(b) Desplazamiento real
El sistema tiene un solo grado de libertad.
El símbolo usado para indicar un desplazamiento virtual. Entonces. podemos obtener m parámetros del sistema en función de los otros n m
parámetros que hemos tomado como independientes. El sistema está sometido a m ecuaciones de restricción de vínculo. siempre será posible considerar el sistema como si fuese un sistema libre. En ese caso. tuviese h 3 N m grados de libertad. sin vínculos. ya sean estas ecuaciones finitas o diferenciales.la reacción de vínculo N no realiza trabajo. si llamamos h a la cantidad de grados de libertad de un sistema..
. si los tiene. correspondiente a la coordenada r . En la figura 4 se muestra otro ejemplo: se trata de un tubo que gira en un plano horizontal liso. en vez de tener 3N grados de libertad. Supongamos un sistema de N partículas materiales. o más. no es posible encontrar los m parámetros de configuración en función de los restantes. como tal. está expresada como una ecuación diferencial no integrable. pero también puede corresponder a la variación de un ángulo. Mediante estas
m ecuaciones finitas. integrables o no. la cantidad de parámetros o coordenadas necesarios para configurar el sistema. coincide con la cantidad de grados del libertad del mismo. En la figura 4(a) se muestra el vector desplazamiento virtual de la partícula Pi. participa de las mismas propiedades usuales del símbolo d usado como diferencial.Teoremas de la Dinámica. o bien . tal que su configuración está dada por n parámetros de Lagrange. éstos son expresables mediante m ecuaciones finitas en los parámetros de Lagrange. es decir. de las m relaciones de vínculo. si no tiene vínculos.. independientes entre sí. Esta definición de grados de libertad es válida independientemente de la forma que tengan las ecuaciones de vinculo. t. Decimos que un sistema es no holónomo o anholónomo si una. Al vector desplazamiento Pi debe agregarse un vector desplazamiento transversal producido por el movimiento del vínculo ( en este caso el tubo) y cuyo módulo vale
r dt .. Un desplazamiento virtual puede ser un desplazamiento de un punto. 2.
Se llaman grados de libertad a cada uno de los desplazamientos virtuales.. Es importante hacer notar que. O sea que puede medirse en metros o en radianes. dicha expresión se transformaría en finita y el sistema pasaría a ser holónomo..
Es de interés observar que en el desplazamiento virtual Pi . Si la ecuación diferencial que expresa el vínculo fuese integrable.
que está inicialmente en reposo y a la que se le aplica en su centro de masas. el centro de masa tiene un movimiento rectilíneo uniforme y los sucesivos puntos de contacto de la esfera con el plano están sobre una recta del mismo. Cátedra de Mecánica. que puede ser por ejemplo. por ser F 0 . es a G 0 .
aGX R
FY IG R2
IG R2
FX m IG R2
. en el que una figura plana circular.
FY m IG R2
aGY R
. De acuerdo con las (c). el capítulo XIII del texto Mecánica Analítica del Ing. la distancia recorrida por los sucesivos puntos de contacto a lo largo de la recta de rodadura. El estado instantáneo de movimiento de la esfera se describe mediante una rotación . sino que para ello son necesarios
h r parámetros. de módulo dirección y sentido constantes. En estas condiciones la esfera rueda sobre una recta del plano.
Es posible demostrar asimismo. por ejemplo). En la rodadura de una esfera sobre una recta del plano. 0 . es posible demostrar que las ecuaciones cardinales de la dinámica conducen a (Puede consultarse la bibliografía citada en nota 2):
aGX m
FX IG R2
. rueda sin resbalar sobre una recta del plano. En cambio. La trayectoria de los puntos de la esfera que están en el plano formado por la dirección de F y el punto de contacto. (ver nota 2). de una esfera apoyada sobre un plano. la cantidad de grados de libertad sigue siendo h . García
En este tipo de sistemas. de la Facultad de Ingeniería de la UNC.
el vector se mantiene constante. Cátedra de Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la UBA. Fénix Marsicano. En cada instante el campo de velocidades se describe mediante
. 1985. Con estas condiciones. no su módulo). Otro caso particular se tiene cuando F = 0 y el estado inicial de movimiento de la esfera se describe mediante un vector 0 que pasa por el punto de contacto y tiene cualquier dirección. en donde r es la cantidad de ecuaciones de vínculo que no son
fX y fY corresponden a la fuerza de interacción en el punto de contacto. como es el caso de una esfera que rueda sin deslizamiento sobre un plano. el sistema es holónomo. que se mantiene constante en el plano XY. Cuando éste es el planteo del problema. porque 0 tiene componente normal al plano. Este problema se reduce a un movimiento plano. Una esfera que parte del reposo en un plano inclinado puede asimilarse a este caso. Este caso especial. son cicloides acortadas. Nilo Penazzi.
Nota 2: La demostración de la esfera rodante anholónoma. Ingeniería Aeronáutica. son cicloides normales.
No obstante las consideraciones formuladas precedentemente sobre el carácter anholónomo de la rodadura sin resbalamiento de una esfera sobre un plano. de acuerdo con las (a) y (c). en el texto Mecánica del Ing. una fuerza F paralela al plano. cuando la rodadura se hace sobre una línea y no sobre un plano. que este tipo de sistema se tiene cuando existen líneas o superficies que ruedan sin resbalar sobre superficies. las coordenadas de un punto cualquiera de la esfera pueden obtenerse a partir de un único parámetro de configuración. entre otros. pero es posible demostrar que ya no resultan suficientes h parámetros para configurar el sistema. puede hallarse. existen situaciones particulares (usuales en el planteo de problemas de dinámica) cuya resolución se simplifica notablemente.Diego E. con en el punto de contacto esfera-plano y con la dirección de (su dirección. pero el movimiento ya no es un movimiento plano. corresponde a un sistema holónomo. de una esfera rodando sin resbalamiento sobre una recta del plano. Éste es el caso. Los vectores velocidad de cada punto de la esfera permanecen paralelos al plano formado por la dirección de F y los sucesivos puntos de contacto. Las trayectorias de los puntos que están en planos paralelos a aquel. (ver nota 1)
Nota 1: puede consultarse al respecto. 1998.
xi xi q1 . ley.. N
k 1..3. la rodadura ya no ocurre sobre una recta... mientras la esfera avanza.
pasa por el punto de contacto.. qh . En consecuencia podemos expresar las ecuaciones de transformación que dan las coordenadas cartesianas de las N partículas. es usual y resulta cómodo. q2 .
alrededor del eje vertical que pasa por el punto de contacto....
Figura 1 La partícula tiene un solo grado de libertad. La resolución de los sistemas anholónomos es un capítulo especial de la dinámica de Lagrange y no abordaremos en el presente texto este tipo de sistemas y solo nos ocuparemos. mientras que
en el plano. t
i 1.... de los sistemas holónomos.. darles el nombre de coordenadas generalizadas. como ya se dijo.. en lo sucesivo. Tal sería el caso de una fuerza aplicada F cualquiera (constante o no) y una rotación inicial 0 .. q2 . 2. En los sistemas holónomos. t
En las ecuaciones (1) aparece el tiempo en forma explícita.h
zi zi q1 . qh .Teoremas de la Dinámica. t yi yi q1 .. porque se considera el caso general de vínculos móviles. resultan las siguientes:
bsen a cos
Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas
a) Partícula que se mueve sobre vínculo con forma de elipse.. sino sobre el plano y como ya se dijo el sistema es anholónomo. (figura 1).3. El término holónomo viene del griego holos. o que se puede llevar a esa forma. Las ecuaciones de transformación. que determinan la configuración instantánea de un sistema y ya mencionados al hablar de la configuración de un sistema.. qh . La componente de recta del plano. “Ley entera” se refiere a que la condición de vínculo es expresable en forma finita. la cantidad de coordenadas generalizadas coincide con la cantidad de grados de libertad h del sistema. en función de las h coordenadas generalizadas qk . hace avanzar la esfera sobre una
cte hace que la esfera rote con velocidad angular constante. Tomamos como coordenada generalizada el ángulo ..... q2 . entero y nomos.
A los parámetros qk independientes entre sí. 2. Cuando no se trata de situaciones particulares relativamente sencillas como las que acabamos de describir.
O1 . sujeto a un resorte deslizante sobre él (figura 3). El ángulo
Si la rodadura se hace sin deslizamiento se tiene una sola coordenada generalizada. t ) X P X P (x . x
sen t y
Y P (x . )
O1 Fijo. que puede se relaciona con x mediante la relación:
En cambio si hay deslizamiento en el punto de contacto. O Y P (x .
Vínculo Esclerónomo
X P (x . García
b) Cilindro que rueda sobre un plano inclinado
R Figura 2
x (figura 2). t )
Y P Y P (x . el sistema tiene 2 grados de libertad y las coordenadas generalizadas son x y . se analizan diversas alternativas que pueden presentarse
Situación O1 Fijo
Coordenadas generalizadas . “ a ” es una determinada longitud del resorte. O1
La barra puede girar en plano vertical alrededor de la articulación O1 . a partir de la cual medimos las elongaciones x del cuerpo. t )
Reónomo
. En la tabla siguiente. ) X P X P (x .Diego E. t )
una ley conocida:
t O O1 . conocida: Distancia O
varía con una ley
t O1 y
Y P Y P (x . t ) O1 . t )
O1 se puede mover sobre una colisa deslizante y sigue una ley conocida:
X P (x . c) Barra articulada con cuerpo.
. Las coordenadas generalizadas pueden ser: x 1 y x 2 . O
O1 ) O1 )
Esclerónomo
Y P (x .
puede variar independientemente de
Situación Sólo la distancia O una ley conocida Ninguno de los parámetros obedece a una ley predeterminada
Vínculo Reónomo
O1 sigue
. se va desenrollando. .
x. (y
tal como se puede observar en el dibujo. (figura 4) Las coordenadas generalizadas son además
1 ). t ) X P X P (x . que al caer. o también x 1 y
d) Péndulo doble. .Teoremas de la Dinámica.
X P (x . En el otro extremo se encuentra enrollada sobre una polea.
Figura 4 e) En la figura 5 un extremo de la cuerda está atado a un bloque que desliza sobre un plano horizontal.
Y P Y P (x .
cuando las mismas experimentan un desplazamiento virtual parcial de orden k . incluimos a las fuerzas activa y (al menos en teoría) a las fuerzas de vínculos o ligaduras. suponiendo que q1 permanece constante En el análisis que haremos seguidamente será indistinto que el vínculo O1 se mueva. para luego darle validez general. excluyendo el trabajo de las fuerzas de ligadura.
N (en el tubo)
Figura 1: variación de q2 .
En la figura 1 se ven las coordenadas generalizadas. Llamaremos trabajo virtual de orden k (o trabajo virtual asociado a la coordenada qk ) al trabajo de las fuerzas que actúan en todas las partículas del sistema. se indica el sistema formado por el tubo liso de largo l articulado en O1 y la partícula
i . Suponemos que q1 permanece constante al variar q2 . el trabajo de estas últimas siempre resulta nulo y en consecuencia. es decir. Referido al ejemplo de la figura 1. García
Trabajo virtual y fuerza generalizada de orden k
Para establecer las definiciones de trabajo virtual y fuerza generalizada de orden k .Diego E. el trabajo virtual puede calcularse como sólo el trabajo de las fuerzas activas del sistema. lo haremos a partir de un ejemplo en particular. En la mencionada figura. porque consideraremos variaciones isócrónicas de las coordenadas y desplazamientos virtuales de las partículas. de masa mi . se mueve sobre un arco de radio
la partícula i se mueve sobre un arco de radio q1 sistema son:
cte . que son q1 (distancia) y q2 (ángulo). La partícula puede deslizar a lo largo del tubo. Pero como comprobaremos en este artículo. o no. que la llamaremos FO (no se la dibujó en la figura 1)
El peso del tubo Mg El peso de la partícula
Al referirnos a las fuerzas que actúan en todas las partículas del sistema. el centro de masas G del tubo. Las fuerzas actuantes en los elementos del
La reacción de vínculo en la articulación O1 . un desplazamiento debido a la variación isócrona (o virtual) de una coordenada qk . que se muestra en la figura 1. Indicaremos con
Wk o con
a este trabajo virtual de orden k . comenzaremos calculando el trabajo correspondiente a una variación Al ocurrir una variación
porque las fuerzas reactivas no realizan trabajo. Podemos expresar entonces la (1) en forma más general como:
( W )q2
Fiact ( Pi )q2
Fi act es la fuerza activa que actúa en cada partícula del sistema.
Tienen dirección normal a este último. el trabajo virtual escalares:
Wq2 . Calculemos ahora el trabajo virtual asociado a la variación de q1 . por ser N perpendicular a (vínculo liso). Podemos expresar entonces. que es
q2 O1
Figura 2: Variación de q1 . suponiendo que q2 permanece constante
El trabajo que hace la fuerza de ligadura interna N vale cero.
entonces.Teoremas de la Dinámica.
El par acción-reacción N y
N que son las fuerzas de ligadura internas entre la partícula y el tubo. como la suma de los siguientes productos
m i g ( Pi )q2
mg ( PG )q2
Observamos ahora algo que tendrá mucha importancia mas adelante y sobre lo cual volveremos: si damos un desplazamiento isocrónico q2 . para el caso de N partículas:
q1 i 1
. el trabajo virtual de las fuerza actuantes en el sistema se calcula usando sólo las fuerzas activas (en este caso M g y m i g ).
y en forma más general.
. La no aparición de las fuerzas de vínculo en la expresión del trabajo virtual de un sistema.qk . q2 . En el segundo miembro. tampoco intervienen las fuerzas de vínculo liso.
k . dado
1.Diego E. h
h es la cantidad de coordenadas generalizadas. el trabajo virtual de la totalidad de las fuerzas activas cuando una sola coordenada varía en qk (con vínculos quietos).. García
Como vemos al variar sólo q1 . que se expresa como:
Pi q1. de acuerdo con la (6). 2. qk
es la resultante de las fuerzas activas que obran sobre cada partículas. podemos escribir el trabajo virtual de orden por la (5). Como surge de la (6).. como el vector P es una función de las coordenadas generalizadas.. tiene validez general. podemos escribir:
Si llamamos ahora
pero..qh . al que llamaremos fuerza generalizada de qk
k y lo indicaremos con Qk . Debe observarse que.. que coincide con la cantidad de grados de libertad (sistema holónomo). que se puso de manifiesto en este ejemplo. 2.. h
donde la fuerza generalizada Q k viene dada por la (6).. Es importante tener presente que las unidades de qk y de qk pueden corresponder a un ángulo o a un desplazamiento y por lo tanto se pueden medir en radianes o metros. las fuerzas de ligadura no intervienen en el cálculo de la fuerza generalizada.. de la siguiente forma.
porque cada término de la sumatoria es un producto escalar del vector F i
Pi . Por lo tanto. las unidades de Qk podrán ser tanto N m (si qk está en radianes) o N (si qk está en metros).. cuando una sola coordenada qk experimenta un desplazamiento isócrono q . la fuerza generalizada es una magnitud escalar. aparece la variación orden
qk que multiplica al factor F i
Pi . dicha fuerza puede incluirse dentro de las fuerzas activas y considerar la reacción de vínculo normal al tubo. como se dijo.
1. En caso de haber fuerzas de rozamiento con el tubo.
W k al trabajo virtual que se realiza en un sistema de N partículas Pi .. En base a las consideraciones precedentes.. resulta: Pi
reemplazamos (4) en (3):
El primer miembro de la (5) es.
Procedimiento para calcular la fuerza generalizada de orden k.
m 1g h
m 2g h m 2gl1 sen m 2 gl1 sen
m 1gl1 sen Q1 Q1
m 2 gl1 sen
. Si hubiese vínculos móviles.
Por último. éstas deben incluirse junto con las fuerzas activas. como el producto de dos factores: uno de ellos. de acuerdo con la (5) (de desplazamiento virtual). se expresa como: h Pi Pi qk k 1 qk
y. Expresamos la suma de trabajos de las fuerzas activas en cada partícula o elemento del sistema. por lo tanto. el trabajo virtual por variación simultánea de todas las coordenadas es:
Ejemplos de cálculo de las fuerzas generalizadas
a) Cálculo de las fuerzas generalizadas en el péndulo doble: (figura 3) l1
h2= h1 (b) Figura 3
l2 sen
Variación de 1 ( 2 permanece constante. resumen
A continuación se reseña el procedimiento para calcular la fuerza generalizada de orden k en un sistema: Hacemos variar una sola coordenada y calculamos el trabajo que hacen las fuerzas activas del sistema. para que el desplazamiento sea virtual. deberá ser qk y entonces. Si en las ligaduras hubiese fuerzas por deslizamiento. el otro factor será la fuerza generalizada de orden
k Q k que buscamos.Teoremas de la Dinámica. si quisiéramos expresar el trabajo virtual que hacen las fuerzas del sistema cuando ocurre una variación isócrona simultánea de las h coordenadas generalizadas deberemos escribir:
donde el vector
Pi . figura 3a): para una mejor comprensión ampliamos parte del dibujo en la figura 4. de manera que los vínculos pueden asimilarse a vínculos lisos. éstos deben considerarse inmovilizados. como se indica en la (7).
La expresión que multiplica a
l mg sen 2
. articulada a un resorte se desliza sobre una varilla de masa varilla puede girar en el plano vertical barriendo el ángulo . nos permite expresar una definición práctica del concepto de fuerza generalizada.Diego E. de la siguiente manera: Observamos que al dar un desplazamiento qk a una de las coordenadas generalizadas. Entonces decimos que. (figura 5) Llamaremos: a : longitud del resorte en equilibrio para un cierto valor de inicial. es la fuerza generalizada correspondiente a
Figura 5 Calculo de la fuerza generalizada para la coordenada permanece constante): . es el factor que multiplica al desplazamiento de dicha coordenada generalizada. las fuerzas obrantes sobre el sistema realizan un trabajo que es
y que ese trabajo elemental queda
expresado mediante dos factores : Qk y qk . b) Calculo de las fuerzas generalizadas en el siguiente sistema: Una masa M . en la expresión del trabajo del sistema correspondiente. la fuerza generalizada asociada a una coordenada generalizada. x : desplazamiento longitudinal. García
Figura 4 Variación de
m y longitud l . medido desde a . a una variación elemental de esa coordenada. (para este cálculo. figura 3b):
m 2g l2 sen
m 2gl2 sen
La expresión precedente.
a la que se conoce como fuerza
perdida. correspondiente a una variación simultánea de todas las coordenadas (siempre supuestas inmovilizados los vínculos del sistema). podemos escribir: W 0 (sistema en equilibrio) o bien.
Calculo de la fuerza generalizada para la coordenada x . De acuerdo con la enunciación de este principio.
Ecuación simbólica de la Dinámica
Recordemos lo que establece el principio de D’Alembert para una partícula i:
F i es la fuerza de vínculo que actúa sobre la partícula de masa m i .Teoremas de la Dinámica.
De acuerdo con el principio de D’Alembert podemos imaginar que la partícula se encuentra en equilibrio bajo la acción de la fuerza entre paréntesis. queda “perdida” a los efectos del movimiento. La (1) se conoce como ecuación simbólica de la estática. el vector Pi es el desplazamiento de una partícula. ecuación simbólica de la estática. F i
m i a i . Es posible decir que
en la (2) es equivalente a la F i
en la (1).
. de acuerdo con la (8) (de trabajo virtual):
(Ecuación simbólica de la estática. a i es la aceleración de la misma.
El principio de los trabajos virtuales se enuncia de la siguiente forma: En un sistema de partículas con vínculos bilaterales (aquellos en que el punto está permanentemente en contacto con el vínculo). La designación de fuerza perdida se usa con el sentido que es una fuerza imaginada para equilibrar a la reacción de vínculo y desde este punto de vista. planteando el principio de D’Alembert queda entonces
(Ecuación simbólica de la dinámica)
Como ya se dijo. sistema en equilibrio)
donde Pi es el desplazamiento de cada partícula cuando ocurre una variación simultánea de todas las coordenadas generalizadas. suponemos que permanece constante):
Principio de los trabajos Virtuales. el trabajo virtual de mismas es cero. Entonces
podemos hacer extensivo el principio de los trabajos virtuales a un sistema dinámico (no en equilibrio) de partículas. y la fuerza de vínculo F i . si las fuerzas actuantes están en equilibrio.(para este cálculo.
de (5).
Antes de ingresar al planteo de Lagrange. que permite considerar una partícula acelerada. hay que suponer que están inmovilizados mientras dura la variación de las qk .. de acuerdo con la (4) (de desplazamiento virtual). como si estuviera en equilibrio. más adelante. h
qk es la variación de una coordenada independiente y no puede ser cero.. es conveniente hacer un resumen de los conceptos y definiciones desarrollados hasta aquí. Entonces. podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones:
1. Principio de los trabajos virtuales y ecuación simbólica de la dinámica.
. 2.. la fuerza generalizada Qk . En efecto. Resumen de los conceptos más importantes.. resulta:
N i 1 act
La expresión (3) es la ecuación simbólica de la dinámica que reúne dos importantes principios: El de los trabajos virtuales que se aplica a los sistemas en equilibrio. de lo cual surge que
Este resultado es muy importante porque cuando desarrollemos. El vector desplazamiento virtual virtuales parciales:
Pi se obtiene sumando los desplazamientos
El desplazamiento virtual es compatible con los vínculos (supuestos éstos inmóviles). en la (4). Por otra parte. cada una de ellas correspondiente a desplazamientos virtuales parciales Pi k de las partículas. el corchete debe ser cero. y el de D’Alembert.
Desplazamiento y Trabajo Virtual.Diego E. haciendo variar una sola coordenada qk y si hay vínculos móviles. las ecuaciones de Lagrange. h (4)
La (4) permite plantear las ecuaciones de movimiento sin hacer intervenir las reacciones de vínculo..... Se obtiene un desplazamiento virtual parcial de una partícula de un sistema. 2. si en la (3) consideramos desplazamientos virtuales parciales. permitirá introducir en ellas... h
1. La ecuación simbólica de la dinámica conduce a un sistema de h ecuaciones.. 2.
Pi q1
Pi q2
k h k 1
. El trabajo virtual parcial correspondiente a la variación qk de una sola coordenada.
El trabajo virtual correspondiente a la variación simultánea de todas las coordenadas (con vínculos inmóviles). que cada partícula del sistema está en equilibrio. formado por la fuerza perdida
fuerza de vínculo F i .. El valor de Qk se encuentra en cada problema particular. el trabajo de las fuerzas activas vale cero y se expresa mediante la ecuación simbólica de la estática
(sistema en equilibrio)
La ecuación simbólica de la dinámica extiende el principio de los trabajos virtuales a los sistemas de partículas dinámicos (no en equilibrio). Es una magnitud escalar cuyas unidades pueden corresponder al módulo de una fuerza N o al módulo de un momento Nm . se expresa como:
Qk qk
Qk es la fuerza generalizada de orden k ..Teoremas de la Dinámica.. (si qk es un ángulo).. tal como veremos en el artículo siguiente. A partir de esta consideración. consiste en que nos que permitirá introducir las fuerzas generalizadas en las ecuaciones de Lagrange.. planteando la expresión de las fuerzas activas con la variación qk de una sola coordenada.
El Trabajo virtual es el realizado por las fuerzas activas. el principio de los trabajos virtuales se transforma en la ecuación simbólica de la dinámica:
Para un desplazamiento virtual parcial. 2.... Las fuerzas de vínculo liso no realizan trabajo en un desplazamiento virtual.. surgida de la ecuación simbólica de la dinámica.
Pi qh
El principio de los trabajos virtuales es válido para sistemas de partículas en equilibrio y establece que al ocurrir un desplazamiento virtual (con vínculos bilaterales). 2. h
La ecuación simbólica de la dinámica conduce a la (6) (de ecuación simbólica de la dinámica)
La importancia de esta última conclusión. se cumple igualmente la ecuación simbólica de la dinámica que se transforma en el siguiente sistema de h ecuaciones
0 con k
1. considera de acuerdo con el principio de D’Alembert.. Para ello.
La energía cinética de un sistema de partículas puede expresarse como una función de las coordenadas generalizadas qk del sistema.
qk :
mi P i
Derivemos ahora respecto a qk
(ley de “cancelación de puntos”)
Derivando la expresión (2) con respecto al tiempo:
Por otra parte se puede demostrar que:
(Se han intercambiado los signos
dPi qk dt
Reemplazando en (3) según (4). Además. t
1 m Pi 2 i
N : cantidad de partículas del sistema. sabemos que:
por lo que el segundo miembro de la (6) es:
. de sus derivadas y del tiempo:
f qk . resulta:
Restemos (1) de (5):
El binomio del primer miembro se llama “Binomio de Lagrange”. García
Ecuaciones de Lagrange. q k .Diego E.
Se obtiene.. 1788). que admite función potencial. cuya resolución permite encontrar cada una de las qk en función del tiempo. de lo que resulta:
Reemplazamos ahora el segundo miembro de la (6) de este artículo.. se tiene:
Pero. y
Por analogía... t
V qk
0 por depender V de q k y t solamente. por otra parte.
En aquellos sistemas conservativos que admiten energía potencial V . Paris.. planteamos que la fuerza generalizada de orden
k resulta:
V qk T qk
Derivando.. queda finalmente:
Qk (8) k
1. el segundo miembro de la (7) es la fuerza generalizada de orden k . h (7)
donde F i es la fuerza resultante de todas las fuerzas activas y reactivas que actúan sobre una partícula. podemos escribir lo siguiente:
Llevando las igualdades (9) y (10) a la igualdad (8) resulta:
. un sistema de h ( h : cantidad de coordenadas generalizadas) ecuaciones diferenciales. 2. Por lo tanto. podemos decir que
f qk .. se cumple que: función
V . es decir que V
puesto que V depende de la posición instantánea de las partículas del sistema pero no de su velocidad. x
V . entonces. Hecha esta aclaración. Dichas ecuaciones reciben el nombre de “Ecuaciones de Lagrange” (Louis de Lagrange. 2. por su valor de (6’).. vamos a definir una cierta (que llamaremos lagrangiana) de la siguiente manera: T V Función Lagrangiana Recordemos que en un campo de fuerzas conservativo. el Lagrangiano con respecto a q k . Por ejemplo: en un péndulo la energía potencial instantánea depende del ángulo pero no d ela velocidad. Mécanique Analytique. Pero.
Función Lagrangiana.Teoremas de la Dinámica. de acuerdo con la (6) (de ecuación simbólica de la dinámica).
. 3.. Determinar el numero de grados de libertad del sistema y elegir las coordenadas generalizadas... La posición de la masa m queda determinada mediante una única coordenada generalizada :
1. Calcular las correspondientes derivadas para ser introducidas en las ecuaciones..... expresado en función del Lagrangiano........... 2..
d T T Q2 dt q2 q2 . d dt
O bien en las ecuaciones
qk V
1... h
(Lagrangiano). resolución del péndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange
Encontraremos la ecuación diferencial que define el comportamiento del péndulo simple. 2.... García
1... Fuerzas Activas: se les llama a aquellas que no son reacciones de vínculo. En caso que todas las fuerzas
sean conservativas y se trabaje con la función lagrangiana. h
Este es el sistema de ecuaciones de Lagrange.. mediante la aplicación de las ecuaciones de Lagrange. h 1.. deberá calcularse también la expresión de la energía potencial V en función de
qk y plantear el Lagrangiano
V . Representar el sistema en una posición arbitraria e indicar en la figura todas las fuerzas activas (si las ligaduras son ideales). 2.. 2. 2.. este calculo no es necesario..
5... Calcular la energía cinética T del sistema en su movimiento absoluto y expresar esta energía en función de qk y q k ... podmos usar la función lagrangiana..
Ejemplo... Resumen Pasos a seguir para plantear las ecuaciones de Lagrange en un sistema mecánico dado: 1. En caso de trabajarse con la función Lagrangiana..Diego E.. 4. Como se trata de un sistema conservativo...... Calcular las fuerzas generalizadas
Qk con la expresión:
Qk qk .
La variación de energía potencial de la masa en en desplazamiento elemental es:
Integramos y suponemos V Pero:
dV mg dx mgdx cos180º dV
m .Teoremas de la Dinámica. en donde se cumple:
0 en la posición más baja de la masa. la energía cinética de la partícula resulta:
En este caso qk es:
1 m l 2
Expresamos ahora la función lagrangiana:
1 2 ml 2
Derivamos (1) con respecto a qk
Derivamos ahora (1) con respecto a qk
mgl sen
Derivamos (3) con respecto al tiempo:
Reemplazamos (4) y (5) en la ecuación de Lagrange (2):
Para oscilaciones pequeñas sen Entonces:
La anterior es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple.g. vale:
Entonces. de lo cual resulta: V mgx
mgl 1 cos
La energía cinética de este sistema es:
El módulo del vector velocidad de la partícula.
al dar un desplazamiento . con fuerza generalizada se expresa.
En la figura. el desplazamiento virtual coincide con el desplazamiento real.Diego E. calcularemos el trabajo de las fuerzas activas. l
2 g l
Luego el periodo
Resolveremos seguidamente el mismo problema. finalmente la ecuación diferencial del péndulo simple:
. al ocurrir la variación
Ya vimos que la energía cinética es:
l d sen
d dt T qk
La única ecuación de Lagrange. pero usaremos las fuerzas generalizadas Para ello.
La fuerza generalizada es el factor que multiplica a
g . Como el vínculo (la articulación) es fijo. en este caso:
d ml 2 dt
m g l sen
resulta. se muestra el desplazamiento de la masa. o sea d .
y (aparte de las constantes m y l ) Energía Potencial Tomamos el potencial cero de referencia en el eje x. por el método de Lagrange.
Péndulo simple con punto de suspensión oscilante
Hallar. Tomaremos el ángulo Energía cinética Las coordenadas de posición x1 o1 x como coordenada generalizada. resulta:
l cos l2 l2
l sen 2x 1l cos
m x 12 m x 12
2x 1l cos
De la expresión precedente surge que la energía cinética es
función de x1 . tenemos sólo un grado de libertad. podemos expresar:
Teniendo en cuenta que la energía cinética es: T
mv 2 . suponiendo que la amplitud de las oscilaciones es pequeña.Teoremas de la Dinámica. la ecuación diferencial del movimiento de un péndulo cuyo punto de suspensión oscila según la ley x1 a sen t . si la posición de la articulación O1 no estuviese determinada. x1 . Pero como la posición del punto o1 está definida por la función x1 (t ) que es un dato.
de la masa son: (ver en figura 1)
x1 l cos
Derivamos con respecto al tiempo para obtener las componentes del vector velocidad: (ver en figura 2)
Entonces. y teniendo en cuenta la definición de potencial resulta: (ver en figura 3)
Resolución: Grados de libertad El sistema tendría dos grados de libertad.
Teniendo en cuenta las condiciones impuestas en el enunciado de pequeños valores de . podemos considerar que:
cos sen 1 0
En el supuesto anterior se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea la cual permitirá encontrar = f(t) para oscilaciones pequeñas:
g sen l 0
f (t ) . García
Función Lagrangiana Recordemos que L T
mgl cos
V por lo tanto la función lagrangiana resulta: 2 L 1 m x1 l 2 2 2 x1l cos mgl cos 2
2 x1l cos
a continuación efectuaremos las derivadas que corresponden para poder escribir el binomio de Lagrange:
m 2l 2
2 x1l cos x1l cos
x1l sen
derivamos ahora con respecto al tiempo para tener el 1º término del binomio:
x1l cos
d cos dt
Para hallar el segundo término del binomio de Lagrange. en el Esta ecuación diferencial permitiría encontrar la función solución de la misma caso más general en que la amplitud de las oscilaciones no sea pequeña. para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a :
mlx1 sen
reemplazaremos 1) y 2) en la única ecuación de Lagrange para este problema:
x1l cos l2
x1l sen x1l sen l
mlx1 sen lx1 sen
mgl sen gl sen gl sen
dividiendo miembro a miembro por l :
x1 cos l
a sen t a cos t a
a sen t .Diego E. Se trata de una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que no es lineal. será:
reemplazando (4) en (3).
En forma cualitativa. tendrá la forma que se muestra en la figura (4)
Figura 4 La función f t es análoga a la función x t caso a). aparece el ángulo . donde en vez de la elongación x . ver la expresión (10) y la figura (5) de ese tema. y la solución de esta ecuación diferencial constará de dos partes: Una parte. a. La ecuación homogénea asociada es:
La (6) es la ecuación diferencial del péndulo simple.Teoremas de la Dinámica. del oscilador forzado sin amortiguamiento. supuesto que la articulación l
O1 fuese fija. para valores pequeños de . Entonces es:
C 1cos
C 2sen
g t (7) l
g es la frecuencia angular del péndulo ideal de longitud l .
sen t (5)
Los valores de g. C2
Mcos t
La solución particular es de la forma:
N sen t
Si reemplazamos la función
en la ecuación diferencial (5). no es igual a la que le sigue. La solución de esta ecuación es la misma del oscilador armónico simple (ver la (4) de ese tema). resulta:
0. el valor de un determinada elongación máxima. la curva f t . la función solución para el caso de
será la suma de (7’) y (8):
Nsen t
La (9) corresponde a la suma de dos funciones armónicas de diferentes frecuencias. l.
. La (7) también se puede expresar
A cos C2 . lo que ya no es una función armónica simple. y son constantes y datos del problema. 0 y . será la solución particular. Los valores de las constantes son C 1
como (ver la (5) de movimiento armónico simple):
. será la solución de la homogénea asociada La otra parte.
Además. en el caso de resonancia. En este caso. en donde análogo al forzado y
cos sen t . son válidas para pequeñas amplitudes de oscilación.
1y No obstante. será de la forma
Nota 2 Podemos plantear cierta analogía entre la ecuación diferencial (8) de oscilador forzado sin amortiguamiento. García
Si fuese 0 . m
de este problema sería equivalente al del resorte. debe recordarse que este problema ha sido resuelto con la aproximación de cos sen 0 y que tanto la ecuación diferencial (5). capítulo oscilador lineal. artículo “ecuaciones diferenciales de las oscilaciones mecánicas”. Entonces la figura (5) será representativa mientras que las amplitudes de la oscilación se ajusten a esta hipótesis. cuando
a 0 t cos 0t 2l
se tiene una situación de resonancia y la amplitud de las
oscilaciones comenzará a crecer indefinidamente. la escribimos finalmente como:
Como vemos. figura 4 de ese tema. si la frecuencia de la articulación oscilante coincidiera con la frecuencia natural del péndulo. capítulo Ecuaciones Diferenciales. es decir. obtendremos M
0 o bien. Cálculo diferencial e Integral. la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema. como sus soluciones (9) y (13).
del péndulo sería equivalente a la frecuencia natural
a 0 2l
Entonces. la función
término de la (13). Cuando las amplitudes sean mayores. ver el tema oscilador forzado sin amortiguamiento caso a).
sen t sería
del oscilador
Q0 cos t de la (8). Si reemplazamos la función (10) en la ecuación diferencial (5). Debe buscarse una solución de la forma (ver ):
M cos t
Nsen t t
Puede consultarse el texto clásico de Análisis Matemático N. y la ecuación diferencial (5). es análoga a la función x part del oscilador forzado sin amortiguamiento. la función (8) ya no es solución de la ecuación diferencial (5). Ver nota 2 La gráfica de la función representada por la solución particular. tema oscilador forzado sin amortiguamiento caso a).Diego E. se muestra en la figura 5 siguiente y es análoga a la del oscilador forzado sin amortiguamiento en resonancia. segundo término de la expresión (9). Piskunov. la solución particular resulta:
en la dirección de 1 sen : Como a cos
oscilaciones pequeñas aceptamos que: cos
x resulta que a
Con las hipótesis simplificativas. cualquier masa de ese sistema está sometida a fuerzas de inercia que
Fin T : fuerza del vínculo sobre la masa mg : peso
Las fuerzas que actúan sobre la masa en este sistema no inercial se muestran en la figura 6 y son:
Fin : fuerza de inercia
Escribimos ahora la ley de Newton en la dirección de la tangente
a la trayectoria de m: .
Es interesante destacar que mediante la formulación de Lagrange hemos hallado la ecuación diferencial que permite resolver el sistema. x1 l y x1 l (16)
d y x1 dt 2
dadas por (14) y (16):
g a 2 sen t l o bien dividiendo ambos miembros por l . dado por = a sen t. se trata de un sistema llamado “no inercial” por que todos los puntos del mismo están sometidos a una aceleración de arrastre que vale:
En estas condiciones. Resolución usando la ley de Newton en un sistema no inercial Elegimos un sistema de referencia x1 e y1 que tiene movimiento armónico simple de traslación.Teoremas de la Dinámica. habríamos llegado a la misma ecuación diferencial. si hubiéremos usado estas ecuaciones. la ecuación diferencial de Newton queda entonces:
Reemplazamos en (15)
l sen l . por un camino prescindente de las ecuaciones cardinales de la dinámica. llegamos finalmente a la misma ecuación diferencia (5) que
habíamos obtenido por el método de lagrange:
. Como se trata de
T cos90º mg sen
Fin cos
es la componente de la aceleración de la masa m.
en este caso la masa de la cadena y la misma para todos los puntos de la cadena. García
Una cadena cuya densidad lineal es k y apoyada sobre un plano horizontal liso como se muestra en la figura. o sea. entonces la energía potencial de la cadena coincide con la energía potencial del tramo y:
k g y 2 (5)
y es la distancia al centro de masa 2
Función lagrangiana y ecuación diferencial La función lagrangiana es:
Reemplazamos los valores de T y V de (4) y (5):
k l y2
k g y 2 (6)
A continuación efectuaremos las derivadas correspondientes para plantear la ecuación de Lagrange:
Ahora. Es:
v es la velocidad. Energía cinética La energía cinética del sistema se expresa como
donde m es la masa del sistema.Diego E. la coordenada del extremo inferior de la cadena es y y 0 . En el instante inicial. que es
Reemplazamos (2) y (3) en (1):
Energía potencial Tomamos como referencia el plano horizontal. para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a y
Reemplazamos (7) y (8) en las ecuaciones de Lagrange:
. se suelta.
Se pide encontrar la coordenada y en función del tiempo Resolución Se trata de un sistema con un solo grado de libertad y adoptamos la coordenada coordenada generalizada. desde una posición inicial en reposo. buscamos el segundo término del binomio de Lagrange.
derivamos la (10):
0 . porque la cadena parte del reposo. es la de velocidad cero.
d L dt kly k gy
Resulta la ecuación diferencial:
A cos h ( t )
B sen h ( t ) (10)
Calcularemos las constantes A y B: Para t =0 es y = y0 entonces. y 0 Para encontrar la constante B .Teoremas de la Dinámica. si valuamos la (10) en t
0 resulta: A cosh(0) B senh(0) . resulta finalmente:
y 0 cosh
Valuamos la (12) en t
A senh( t ) B cosh( t ) (12)
0 . A y 0 (11)
La segunda condición inicial. lo que conduce a: A senh(0) B cosh(0) de donde surge que:
Si reemplazamos (12) y (13) en la (10).
Plantear la ecuación de lagrange y encontrar la posición x de la pertícula en función del tiempo. porque no hay
x son perpendiculares. en el plano horizontal X . ver en la figura 1:
La energía cinética es: Entonces:
inmovilidado. Como xu x2
1 2 mv donde: v 2 x 2 2 1 T m x2 x2 2
Planteo de la ecuación de lagrange
Problema Nº 3 Partícula en tubo rotante en plano horizontal Una partícula de masa m desliza en el interior de un tubo liso. el cual se mantiene girando con velocidad angular constante. como se muestra en la figura. Y . En el instante inicial la partícula se encuentra a una distancia x0 del origen y en reposo con respecto al tubo. Qx
Figura 1 La velocidad de l partícula es. entonces el trabajo virtual es: Wx F x cos90 Wx 0
Qx x .
Coordenada generalizada El ángulo que determina la posición del vínculo móvil (el tubo) obedece a una ley conocida. en la suposición que el vínculo (el tubo). La fuerza N que el tubo ejerce sobre la masa deslizante es transversal. queda definida por su distancia x al origen. expresamos:
ur y u son versores radial y transversal respectivamente. La misma tiene un grado de libertad y la coordenada generalizada que adoptamos es x . Fuerza generalizada Damos un desplazamiento virtual rozamiento (tubo liso).Diego E. resulta que la fuerza generalizada es cero. t . La posición de la partícula m en cualquier instante. N y Como es Energía cinética
Como la partícula se mueve en el plano horizontal X . L T V . la expresión anterior: x A senh ( t ) B cosh ( t )
0 . resulta:
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria. homogénea. En consecuencia L
d L dt x
T . la ecuación diferencial que permite encontrar la función x :
0 . también podemos plantear la ecuación usando la función lagrangiana.Teoremas de la Dinámica. finalmente. El planteo con la función lagrangiana es: d T T 0 que resulta coincidente con 0 dt x x
La ecuación correspondiente a la coordenada x es:
d T dt x
Por ser Qx
0 resulta:
Efectuamos las derivadas:
0 T x T x
1 m x2 x2 2 x 2 d T mx y dt x Reemplazamos en la ecuación de Lagrange: mx mx
de donde resulta. Valuamos la derivada en t 0 : A senh 0 B cosh 0 0 B cosh 0
x x0 cosh t
La función posición de la partícula. cuya solución es de la forma:
Acosh ( t ) B senh
x0 . resulta finalmente: Como el sistema es conservativo. lineal. entonces si valuamos la xpresión anterior en t
x0 Acosh 0 B senh 0 x0 A Para encontrar la constante B derivamos con respecto al tiempo. Y . podemos asignar potencial cero a dicho plano.
se trata de un sistema con un solo grado de libertad. en la Física Experimental. como Máquina de Atwood. Entonces.Diego E. para determinar la configuración del sistema. en este caso la correspondiente a x1 .
En consecuencia. para poder plantear la ecuación de Lagrange. Adoptamos como coordenada generalizada a x1 . En el instante inicial. García
Máquina de Atwood en medio viscoso
En la figura 1 se muestran dos masas m1 y m2 . deberemos encontrar previamente la fuerza generalizada asociada a la variación de x1 Cálculo de la Fuerza Generalizada:
x2 x1 (a) Figura 2
. unidas por una cuerda inextensible y suspendidas de una polea. la posición de la masa m1 es x1 velocidad es x1
0 y su
0 .Ambas coordenadas están relacionadas por la siguiente condición de vínculo: x 2
decir. La coordenada x2 de la masa m2 no es independiente de x1 . es decir de sentido contrario a la velocidad y proporcional a ésta. El problema se resuelve planteando una única ecuación de Lagrange. Este dispositivo es conocido. Por tratarse de un sistema no conservativo no podemos usar la función lagrangiana. Usaremos el planteo de Lagrange. las posiciones de las masas en función del tiempo. cuya masa es no considerable. Se supone que los sentidos de las velocidades son los que se muestran en la figura 1 y que el medio ejerce sobre cada una de las masas una fuerza de rozamiento viscoso.
m1 v2 v1
El sistema es no conservativo.
El trabajo que realizan las fuerzas activas del sistema cuando ocurre este desplazamiento
g x1 (m1 m2 ) 2cx1 x1
m1 m2 g 2cx1
El factor que multiplica a
x1 es la fuerza generalizada. porque x1
Para calcular la fuerza generalizada.Teoremas de la Dinámica.
cx1 x1 es el trabajo que hace la fuerza viscosa c x1 . En cuanto al trabajo que hace la fuerza viscosa
c x 2 también vale cx1 x1 . damos un desplazamiento
m1 g x1 cx1 x1 m2 g x1 cx1 x1
m1 g x1 y
m2 g x1 son los trabajos de m1 g y de m2 g . debe tenerse en cuenta que los
desplazamientos de ambas masas son iguales en valor absoluto. figura 2 (a). que en este caso se mide en Newton y vale:
1 2 m1 x1 2
Derivamos la energía cinética con respecto a la velocidad generalizada
ahora con respecto al tiempo:
m 2 x1
Derivamos la energía cinética con respecto a la coordenada generalizada x1 :
La ecuación de Lagrange correspondiente x1 es:
. ver en la figura 2 (b). Se cumple que
Diego E. planteamos una función de la forma :
constante. Derivamos:
x1 part x1 part
m1 m2 x1 2cx1 2c
m1 m2 g
m1 m2 g 2c
Reemplazamos los correspondientes valores correspondientes de lo cual resulta la ecuación diferencial que permitirá encontrar x1 en función del tiempo:
m1 m2 x1
2cx1 m1 m2 g
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria. lineal no homogénea:
Resolución de la ecuación diferencial La solución de esta ecuación diferencial consta de dos partes: Una parte es la solución de la homogénea asociada La otra parte es la solución particular Planteamos la ecuación característica:
Las raíces de la ecuación característica son reales y distintas:
0 2c m1 m 2
C2 e r2t
La solución de la homogénea asociada es de la forma:
x C1e r1t
x1( homogen )
2c m1 m2
C1 C2e
x1 part t
Para encontrar la solución particular.
t m1 m2 gt 2c
xhomogen
2c m1 m2 t
x1 C1 C2e
m1 m2 gt 2c
2c C2 e m1 m2
por las condiciones iniciales sabemos que en un tiempo t = 0:
x1 (0) x1 (0)
reemplazando estas condiciones en la (1):
0 C1 C2 C1
y en la (2):
2c m1 m2 m1 m2 g 2c
0 2cC2 m1 m2 C2 C2
Reemplazamos C1
m1 m2 g 2c m1 m2
2 m12 m2
m1 m2 g 4c 2 g
C2 en la solución (1):
2 m12 m2 g 2 m12 m2 g
2 2c m1 m2
m1 m2 gt 2c (3)
2 m12 m2 g
El 1º término de la (3) es una función que para t = 0 vale cero (por que el corchete se anula) y para
2 m12 m2 g por que el corchete se hace igual a 4c 2
Llamaremos velocidad
límite a la velocidad de m1 para tiempos suficientemente grandes. Entonces. la suma de las fuerzas exteriores debe ser cero. Esa velocidad es:
v1 limite
m2 g (para valores de t grandes) (4) 2c
Cálculo de la velocidad límite. Como el segundo término corresponde a una recta. Escribimos entonces:
m1 g m2 g 2cvlim
m1 m2 2c
Como vemos. sin necesidad de usar x1
En la figura 3 se muestra un sistema equivalente al de la figura 1: allí se ha rotado 180° el tramo derecho de la cuerda y se ha conservado el sentido de m2 g opuesto al de m1 g . es decir. 2c
Para valores del tiempo suficientemente grandes. por el teorema del movimiento del centro de
masas.Diego E. resulta 2 4c 2c
que. Quiere decir que la aceleración del centro de masas es a G
0 . es una recta.
. el primer término de la (3) tiende
2 m12 m2 m m2 a g .
cvlim m2 g
vlim cvlim
Figura 3 En estas condiciones. Igual criterio se ha seguido para dibujar las fuerzas viscosas. la función que representa x1
f t . resulta el mismo valor ya obtenido en (4). se supone que las masas ya han alcanzado. la velocidad límite. García
El 2º término de la (3) es una función de 1er grado que pasa por el origen y cuya pendiente es
m2 g. El dibujo corresponde a un tiempo suficientemente grande. las masas se mueven con velocidad constante. de pendiente 1 g . para tiempos grandes.
El cilindro parte del reposo. En consecuencia.xsen
Figura 1 El sistema tiene un solo grado de libertad. a la coordenada x . Elegimos como coordenada generalizada. Como no hay resbalamiento no son independiente una del otro. debido a que. Encontraremos. como se muestra en la figura siguiente. I G es el momento de inercia del cilindro con respecto al eje que pasa por “G”. En lo que sigue suprimiremos
. porque las fuerzas actuantes son gravitatorias y porque no hay disipación de energía. el cilindro no desliza sobre el plano. sino que están relacionadas con la siguiente condición de vínculo (ver en la figura 1)
x0 x G
h. desde su posición inicial hastala posición x .
Problema Nº 5 Cilindro en plano inclinado Se tiene un cilindro de radio R y masa m que rueda sobre un plano inclinado de ángulo altura h . en los siguientes casos: a) cuando el cilindro rueda sin resbalar b) cuando el cilindro rueda y resbala a) El cilindro rueda sin deslizar Parámetros de configuración. usamos el teorema de König. mediante el método de Lagrange. son parámetros de configuración. coordenada generalizada La coordenada de posición x del centro de la esfera y el ángulo . en primer término. Función Lagrangiana Se trata de un sistema conservativo. y
Se pide encontrar la ecuación diferencial del movimiento. que ha girado el cilindro.Teoremas de la Dinámica. con polo en el centro “G”
El 1º término es la energía cinética de traslación y el 2º es la energía cinética de rotación. podemos usar la función lagrangiana para plantear la ecuación de Lagrange correspondiente a la coordenada x . la energía cinética del cilindro rodante. por hipótesis.
La velocidad del centro de masas G es x
R . García
por simplicidad el subíndice “G”. queda: R
1 2 mx 2 1 x I 2 R
I x2 R2 2
Para determinar la energía potencial del cilindro rodante. tomamos como referencia el plano horizontal. R
x en la expresión anterior. reemplazando (1) y (2) en (3). habrá que sumarle Rcos :
h x sen
por lo tanto. vale: h x sen . de donde surge que
x . resulta:
Efectuamos las derivadas parciales correspondientes para formar las ecuaciones de Lagrange:
derivando ahora con respecto al tiempo:
I x R2 (4)
I x R2 d L dt x L x
Reemplazamos (4) y (5) en la ecuación de Lagrange correspondiente a x :
x mg sen I m R2
I x R2
considerando que el momento de inercia de masas es: I
mR 2 . Para encontrar la altura del centro G . entonces 2
mg sen mR 2 m 2R2
x 2 g sen 3
g sen 1 1 2
.Diego E. ver en la figura 1. La altura del punto de contacto sobre la base.
A este mismo resultado hubiéramos llegado con las
ecuaciones cardinales de la dinámica. su trayectoria corresponde a un movimiento rectilíneo
2 g sen 3
. los parámetros de configuración x y independientes. Para ello. además:
Calcularemos seguidamente la fuerza generalizada Q . Hay 2 grados de libertad.
Cálculo de las fuerzas generalizadas: Para calcular Qx damos un desplazamiento correspondiente cilindro una traslación
x a la coordenada x y calculamos el trabajo
permanece constante). manteniendo constante la
.El sistema es no
conservativo y no podemos usar la función lagrangiana.
b) El cilindro rueda y resbala En este caso.Teoremas de la Dinámica. debido a que hay deslizamiento. Las fuerzas que realizan trabajo cuando damos al son el peso mg y la fuerza de rozamiento por el deslizamiento del cilindro
sobre el plano. son 2. ver en la figura 2 : El trabajo de la fuerza de rozamiento vale: Es negativo porque fr tiene sentido opuesto a Entonces podemos escribir:
mg xsen
fr x mg cos x
mg sen mg sen
mg cos cos x
Como. damos una variación a la coordenada . Las ecuaciones de Lagrange. Deberemos plantear con las fuerzas generalizadas. correspondiente a una variacidón de la coordenada . el módulo de dicha fuerza vale:
N y como N
mg cos .
Como la aceleración de con aceleración constante: x
G es constante. resulta:
El trabajo de mg vale. Las coordenadas generalizadas son x y son
. en este caso. una para x y la otra para .
ver en la figura 3.El sentido de
lLa fuerza de rozamiento es hacia la derecha.
Figura 3 El punto de contacto del cilindro con el plano.Diego E. Para la coordenada x :
Para la coordenada :
. se desliza hacia la izquierda un valor
. la única fuerza que realiza trabajo al ocurrir este desplazamiento es la fuerza de rozamiento entre el plano y el cilindro. Como G queda inmóvil. García
coordenada x . entonces el trabajo de dicha fuerza es negativo y vale:
mg cos R
Planteo de las ecuaciones de Lagrange Por el teorema de König es:
mgR cos
Hacemos ahora las correspondientes derivadas para el planteo de las ecuaciones.
. de los cual resulta:
O bien.Teoremas de la Dinámica. finalmente:
g sen mgR cos I
significa que el vector
es entrante.
Reemplazamos las derivadas correspondientes y los valores de las fuerzas generalizadas de (6) y (7).
por lo tanto la ecuación diferencial de Newton en esta dirección es:
. y . y . z
z0 . x 0
0.Y . a una fuerza de inercia de arrastre de sentido contrario a la aceleración centrípeta ac y que vale (ver en la figura 1):
Esta es la única fuerza actuante en la dirección del eje x. z b) La función lagrangiana y las ecuaciones de lagrange c) Encontrar la fuerza de reacción N que el plano ejerce sobre la partícula Z
a) Planteo de las Leyes de Newton en el sistema no inercial x y z Un punto cualquiera del plano x . x . Z son los ejes “fijos”. referidas al sistema del cuerpo. tiene una aceleración centrípeta que vale:
x Figura 1 En consecuencia. la masa m estará sometida en ese plano rotante. García
Partícula en un plano vertical rotante Una partícula de masa m se mantiene sobre una placa sin masa que rota con velocidad angular constante alrededor del eje Z y no hay rozamiento entre la placa y la partícula. planteando: a) Las leyes de newton. z . Las condiciones iniciales son. z son los ejes del cuerpo que rotan con la placa y X .Diego E. z
Se pide encontrar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. para t= 0
x0 . en el sistema no inercial x .
z y . y vy
. de manera que la ecuación de Newton en esta dirección es:
La partícula. que es dato del problema. t . como no podía ser de otro modo al no haber rozamiento. para las condiciones iniciales establecidas. resulta entonces:
x 0 (3)
Se trata de una ecuación de 2º orden lineal. da una de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. la ecuación diferencial del movimiento. pero expresado en función de sus proyecciones sobre los ejes en rotación es:
En la figura (3) se ha dibujado el plano rotante x .
b) Planteo por el Método de Lagrange
1 2 g t (4) 2
Coordenadas generalizadas En principio. Entonces:
d 2x (2) dt 2 x
De acuerdo con (1) y (2). Con respecto a la ecuación paramétrica correspondiente a la coordenada z : La única fuerza actuante en la dirección de z es mg . en la dirección una aceleración g . que corresponderían a las coordenadas x . homogénea y cuya solución. tiene. el sistema tiene tres grados de libertad. correspondiente a la coordenada x : (ver en la figura 2) x
x 0 cos h( t )
La pendiente de esta curva es la velocidad en x de la partícula. Pero el valor de ya está determinado previamente por la función Entonces. y y allí se han indicado las componentes v x y
v y del vector velocidad expresado por la (5). tenemos 2 grados de libertad y adoptaremos como coordenadas generalizadas a las coordenadas cartesianas x . z de la partícula en el plano rotante.Teoremas de la Dinámica. inicialmente es cero y es mayor a medida que se aleja del eje de rotación. referido o “visto” desde el sistema “fijo” . Energía cinética El vector velocidad de la partícula.
referidas a cada una de las coordenadas generalizada x . función lagrangiana. z son:
d L dt x d L dt z
L x L z
Reemplazando (9) (10) (11) y (12) en las ecuaciones de Lagrange resultan las siguientes ecuaciones diferenciales. García
El cuadrado del módulo del vector velocidad resulta entonces:
La energía cinética de la partícula es:
z 2 (6)
1 mv 2 2 1 2 mz 2 1 m ( x )2 (7) 2
Si reemplazamos el valor de v dado por (6). para cada una de las coordenadas x .Diego E. ecuaciones Planteamos V = mgz (8) L=T–V Reemplazamos en la función lagrangiana los valores de (7) y (8):
1 mx 2 2 d dt L x d dt L z
1 2 mz 2
L x m L z mx
1 m ( x )2 2
mz mg
Las ecuaciones de Lagrange . es inmediata:
z z vz
g z0 gt 1 2 gt 2
. para las condiciones iniciales dadas. se tendrá:
1 mx 2 2
Energía potencial. z :
La solución de la segunda de las (13).
ma rel
interesa la proyección. z . finalmente:
x 0 cos h( t ) (17)
x 0 sen h ( t ) (18)
x de la partícula es:
c) Reacción N del plano sobre la partícula
Para calcular el valor de la fuerza N que el plano ejerce sobre la partícula usaremos la expresión correspondiente a la fuerza sobre la partícula que “ve” un observador del sistema no inercial x . y . (5). de lo que resulta:
m2 x j
Si expresamos en forma escalar y reemplazamos el valor de x de la (7) por su igual. podemos decir que:
porque el movimiento de la partícula ocurre en el plano x . dado por la (18) del tramo (b). la (15):
A cos h( t )
B sen h( t ) (16)
0 . es la fuerza de inercia centrífuga. (4). ver también en la figura 1. expresiones (8) y (9). que es perpendicular al plano x . resulta la siguiente expresión para el módulo de la reacción N
x0 sen h( t )
En la figura 4 se observan la fuerza de Coriolis y la reacción normal que actúan sobre la partícula. en la dirección del eje
F i ma arr
ma cor (1)
Como lo que buscamos es conocer la reacción N . fuerzas de inercia. es
N (ver en la figura 4). de lo cual resulta que: 0 A cos h 0 B sen h 0
Entonces. con respecto al tiempo. de la ecuación (1):
Fi ma arr
ma cor (2)
Con respecto a las fuerzas que intervienen en la (2). a partir del teorema de Coriolis en el capítulo Leyes de Newton. dada por la (1) de la parte (a) de este problema. Ver el artículo: Análisis de las fuerzas de inercia. entonces:
senh 0
B cos h 0
Derivamos ahora. nos
y . es x
0 . z .
ma arr
porque la única fuerza de inercia de arrastre que actúa en la partícula. F
x i . la (15) queda. de acuerdo con las condiciones iniciales.
la solución de la primera de las (13) es:
A sen h ( t )
B cos h ( t ) (15)
Determinaremos seguidamente las constantes.
. y (6) en la (2). 0 es x x 0 .
La única fuerza de interacción que actúa sobre la partícula en la dirección normal al plano. entonces:
N j (5)
La fuerza de inercia de Coriolis vale (ver en la figura 4):
ma coriol
2 x j (6)
Reemplazamos (3). z .Teoremas de la Dinámica.
con el de la fuerza de Coriolis. 1979 y siguientes Yavorski Detlaff. editorial Mir. Manual de Física. 1967 y siguientes S. Moscú. 1967 y siguientes Murray S. Targ. contra el plano rotante y a su vez. 1985 y siguientes Synge-Griffith. Re-editado en 2010. 1975 y siguientes
La digitalización y edición de los originales se efectuó durante 2004. “empuje”. Esto significa que si pretendemos que la velocidad angular se mantenga constante. Mc Graw Hill. Wells. 1965 y siguientes Keith Symon. García
Plano rotante
F iner cor
Figura 4 La (8) nos permite expresar las siguientes observaciones: La reacción normal es creciente a medida que la partícula se aleja del eje de rotación El valor de la reacción normal coincide. editorial Mir 1971 Fénix R. éste ejerce una reacción N sobre la partícula.N : esta fuerza produce un momento con respecto al eje de rotación en sentido contrario al sentido de giro del plano rotante. a su vez. Principios de Mecánica. en una energía cinética creciente de la masa. En cambio. Mc Graw Hill Book. El sentido de la fuerza de Coriolis es tal. Dinámica de Lagrange. Mecánica. Esta potencia suministrada se traducirá.Diego E.
. Curso Breve de Mecánica teórica. en valor absoluto. Argentina. Marsicano. mecánica. tal como indica el enunciado del problema será necesario aplicar un momento exterior al sistema plano rotante masa. Mc Graw Hill Book.
Referencias Bibliográficas Dare A. para que el plano no pierda velocidad angular. Facultad e Ingeniería. la fuerza resultante sobre la partícula es nula y corresponde a la suma de los vectores de igual módulo y sentido opuesto F iner cor y N . Theoretical Mechanics. UBA. 2005 y 2006. Editorial Aguilar. Spiegel. En la dirección normal al plano. que hace que la partícula presione. Córdoba. Significa también que debe entregarse una potencia al sistema para que la velocidad rotación se mantenga constante. sobre el plano y en su dirección normal sólo actúa una fuerza . Schaum’series.
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