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numerosos reales | Física y matemáticas | Matemáticas
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Grulla Catalogo
Problema 1 4
Sophie Germain nació en 1776 y murió en 1831 en la ciudad de París.
Hija de un burgués cultivado y liberal, en su juventud comenzó
leer las obras de la biblioteca de su padre. Ahí se fraguó su
interés por las matemáticas; en particular, le impresionó la leyenda
de la muerte de Arquímedes, a manos de un soldado romano, mientras estaba absorto en un problema de geometría.
de Lagrange de la Escuela Politécnica de París y al término del curso le presentó un trabajo firmado como Antoine-Auguste Le Blanc que impresionó a Lagrange, animándola este a que siguiera trabajando e investigando.
los 18 años, consiguió hacerse con los apuntes de Análisis
Al principio se dedicó al estudio de la Teoría de Números y escribió
bajo el seudónimo «Le Blanc». Poco tiempo después, con motivo de la invasión de Prusia por Napoleón, y recordando la historia de Arquímedes, temió por la vida de Gauss, por lo que se puso en contacto con un amigo militar, para pedirle que le protegiera. Al término de la campaña, el militar le dijo que había cumplido el encargo, pero que Gauss decía no conocerla. Así que en la siguiente carta que Sophie le escribió a Gauss le reveló que ella era M. Le Blanc. A pesar de su extensa correspondencia, Gauss y Germain nunca se conocieron personalmente.
Gauss algunas cartas mostrándole sus investigaciones, siempre
Obtuvo el premio extraordinario de la Academia de Ciencias de París en 1815 por un trabajo sobre teoría de la elasticidad
se le permitió asistir a las conferencias en la Academia, lo
que no estaba permitido a ninguna mujer que no fuera familiar
directo de alguno de los miembros de la Academia.
MATEMÁTICAS 4.° B ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
Pitagóricos e irracionales
Los números irracionales aparecen en la historia de las Matemáticas vinculados a la Geometría. Se supone que fueron descubiertos por la
Escuela Pitagórica en el siglo VI a.C., al tratar de resolver problemas tales como la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado
o un pentágono regular.
La Matemática pitagórica estaba basada en los números naturales
y en sus operaciones. Se cree que el hecho de encontrar números irracionales se mantuvo como un secreto por los pitagóricos, pues afectaba a las bases mismas de su filosofía de vida.
estos números, que no eran enteros ni fracciones, los llamaron alogos
irracionales. Observa, a continuación, una demostración
de la irracionalidad de
, que ya conocían los griegos.
Supongamos que esta raíz es racional, es decir,
números naturales y dicha fracción irreducible. En esa fracción, a o b son impares, ya que, si ambos no lo fueran, la fracción no sería irreducible.
Así, se cumple que:
, siendo a y b
⎝ b ⎠ ⎟
→ a 2 = 2b 2
Como a 2 es un número par y, por tanto, a es también par, a = 2a' (siendo a' un número natural).
como 4a' 2 = 2b 2 , tenemos que b 2 = 2a' 2 , siendo b un número par,
que contradice la suposición inicial. Por tanto,
El símbolo de los pitagóricos era la estrella pentagonal o estrella de Italia, la cual utilizaban para reconocerse entre sí. La estrella pentagonal resulta al trazar las diagonales de un pentágono regular.
Invierte y resta, invierte y suma: el resultado es 1.089
Sergio y Ana están jugando con números. Ana hace lo
que dice Sergio y Sergio adivina el resultado sin mirar
lo que escribe Ana. Fíjate en las órdenes de Sergio:
– Escribe un número de 3 cifras diferentes.
– Cambia el orden de las cifras y resta los números.
– Suma el resultado con el mismo número,
cambiando de orden las cifras.
Realiza el juego con un compañero, haciendo
los papeles de Sergio y Ana alternativamente.
Comprueba que siempre se obtiene el mismo
CONVIENE QUE…
Repases los tipos de números que ya conoces.
Te ayudará a comprender lo que es el conjunto de los números reales.
Recuerdes cómo se representa una fracción en la recta numérica.
Lo necesitarás para establecer relaciones de orden entre los números reales.
Sepas llevar a cabo el redondeo y truncamiento de números decimales.
El redondeo y el truncamiento de números reales siguen las mismas reglas.
Exactos: −0,2; 1,34; 6,243
→⊇⊇ Periódicos: −1,3 ) ; 0,62 ) ; 56,345 ; 5,3287
• Si la fracción es PROPIA, se divide el segmento de extremos 0 y 1 en tantas partes como indique el denominador, y se toman las partes que señale el numerador.
• Si la fracción es IMPROPIA, se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia, y se aplica el mismo proceso del caso anterior al segmento cuyos extremos son dicho número entero y su consecutivo.
Para REDONDEAR o TRUNCAR un número decimal a un orden, eliminamos las cifras de órdenes inferiores a este. En el caso del redondeo, si la cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad esta última, y si es menor la dejamos igual.
Redondeo a las milésimas
Truncamiento a las milésimas
1,7 ) = 1,7777…
Indica el conjunto de los números naturales.
Los conjuntos de números los denotamos con letras mayúsculas, generalmente huecas.
Indica el conjunto de los números enteros.
N, Z y Q representan los conjuntos de los números naturales, enteros y racionales, respectivamente.
Indica el conjunto de los números racionales.
El conjunto de los números reales se denota con la letra R y se compone de los números racionales (conjunto Q) y los números irracionales (conjunto I).
Indica el conjunto de los números irracionales.
Indica el conjunto de los números reales.
Indica un número decimal exacto.
Para escribir un número decimal separamos las cifras enteras de las decimales con una coma.
Indica un número decimal periódico puro.
El símbolo ) sobre una cifra o grupo de cifras indica que estas se repiten indefinidamente. A ese grupo se le llama período.
Indica un número decimal periódico mixto.
Indica un número decimal no exacto.
Los puntos suspensivos detrás de una cifra significan que detrás de ella hay más cifras decimales.
Indica un punto de la recta real.
Indica un segmento de la recta real cuyos extremos son los puntos A y B.
Los puntos se expresan con letras mayúsculas,
los segmentos, con las letras que denotan sus extremos.
Indica un intervalo cerrado.
Un intervalo es el conjunto de todos los puntos
Indican un intervalo semiabierto por la derecha y otro por la izquierda.
de un segmento de la recta real. Si aparecen los símbolos [ o ], el extremo pertenece al intervalo,
Indica un intervalo abierto.
si aparecen los símbolos ( o ), el extremo no pertenece al intervalo.
En este proyecto pretendemos que aprendas a:
• Conocer los cinco corredores más relevantes en la historia del Tour.
• Utilizar el redondeo y el truncamiento en problemas reales.
Los cinco mejores del Tour
Los ciclistas que alcanzan la mayor fama son los que tienen éxito en las carreras que anualmente se reali- zan en algunos países europeos: Tour de Francia, Giro de Italia, Vuelta a España…, o bien los que triunfan en la prueba llamada récord de la hora.
El Tour es una de las carreras ciclistas más importan- tes del mundo. Por ello, la calidad de un gran ciclista se suele medir por el número de Tours que ha ganado.
Entre los ciclistas que han ganado el Tour, hay cinco que destacan porque lograron ganar cinco Tours al menos. Estos cinco ases del ciclismo mundial son los franceses Jacques Anquetil y Bernard Hinault, el bel- ga Eddy Merckx, el español Miguel Induráin y el ciclis- ta norteamericano Lance Armstrong, que con sus siete Tours ganados ha superado al selecto club de los ga- nadores de cinco ediciones de esta prueba.
Vamos a estudiar las características físicas de estos grandes corredores. Dos de las más destacables, la altura (en m) y el peso (en kg), son las siguientes.
Para cada uno de ellos, la distancia recorrida (en km) en el primer Tour y su velocidad media (en km/h) fueron:
3.870,1
a) Haz una estimación de la diferencia de las alturas de Anquetil, Merckx y Armstrong, redondeándolas
a los centímetros.
b) ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido en la estimación realizada en la actividad anterior?
c) Haz una estimación de la diferencia de las alturas de Anquetil, Merckx y Armstrong, truncándolas a los centímetros.
d) ¿Cuál es el error en la estimación de la actividad
e) ¿En cuál de las estimaciones realizadas de las acti- vidades a) y c) se ha cometido mayor error?
f) Haz una estimación de la diferencia de las alturas de Hinault e Induráin, redondeándolas a los decíme- tros. ¿Cuál es el error absoluto y relativo cometido?
g) Redondea a las décimas los pesos de Anquetil, Induráin y Armstrong, y haz una estimación de la suma de sus pesos. ¿Cuál es el error absoluto y re- lativo cometido en la estimación?
h) Redondea a las unidades (kg) los pesos de Merckx
e Hinault, y haz una estimación de la diferencia de
sus pesos. ¿Cuál es el error absoluto y relativo co-
metido en la estimación?
El récord de la hora es una competición ciclista que empezó el año 1942 y que se desarrolla en un veló- dromo.
Por su duración, el Tour (unos 21 o 22 días) y el récord de la hora (1 hora) son competiciones muy distintas, y los grandes plusmarquistas del récord de la hora no coinciden con los ganadores del Tour. Sin embar- go, los grandes ciclistas del Tour establecieron marcas importantes en el récord de la hora, aunque Lance Armstrong nunca lo ha intentado.
En ambas pruebas, cada ciclista utiliza un «desarrollo» (proporción entre los diámetros del plato y el piñón de su bicicleta), adaptado a sus peculiaridades físicas y su forma de pedalear. Este desarrollo hace que varíen los metros recorridos con cada pedalada.
En la tabla tienes algunos ciclistas que marcaron récords en esta prueba, el año en que lo consiguieron y la dis- tancia que fueron capaces de recorrer en una hora.
a) Haz una estimación de la suma y la diferencia de los récords de la hora de Coppi y Anquetil, redon- deando a las centésimas.
b) Calcula el error absoluto y relativo cometido en la estimación realizada en la actividad anterior.
c) Haz una estimación de la diferencia entre las dos marcas alcanzadas por Anquetil, haciendo el re- dondeo a las décimas.
d) Calcula el error absoluto y relativo cometido en la estimación realizada en la actividad anterior.
e) Eddy Merckx estuvo a punto de superar la barrera de los 50 km/h. ¿Cuánto le faltó?
f) Francesco Moser fue el primer ciclista que pasó
la barrera de los 50 km/h. ¿Qué ventaja sacó Moser
a Eddy Merckx?
g) Redondeando a las décimas, haz una estimación de la diferencia entre los récords de la hora de Eddy Merckx y Francesco Moser.
h) Calcula el error relativo cometido en la estimación de la actividad anterior.
i) El récord de la hora en 1993 fue de 52,713 km, y en 1994, Miguel Induráin lo elevó a 53,040 km. ¿Cuál fue el aumento conseguido por Induráin?
j) ¿Cuál es la estimación de la diferencia entre los ré- cords de la hora de los años 1993 y 1994 haciendo
el redondeo a las décimas?
k) Calcula el error cometido en la estimación de la ac- tividad anterior.
El método de resolución de problemas conocido como «método de ensayo y error» consiste en ensayar o experimentar con los datos del problema, eligiendo previamente una operación que proporcione resultados cada vez más aproximados al resultado exacto del problema, que es el objetivo que se pretende conseguir.
El número 97.656 es el producto de dos números enteros consecutivos. Halla dichos números.
Sin recurrir a planteamientos algebraicos, piensa en que esos dos números enteros, al ser consecutivos, son prácticamente iguales, y 97.656 es casi un cuadrado perfecto. Por tanto, la raíz cuadrada de 97.656 será un número que estará cerca de los dos números que buscamos.
Calcula esa raíz cuadrada y halla los dos números enteros consecutivos cuyo producto es 97.656.
Observarás que, con la calculadora, puedes hacer este problema y otros análogos con mayor rapidez que utilizando el planteamiento algebraico.
Los lados de un rectángulo son dos números enteros consecutivos. El área del rectángulo más el área del cuadrado, cuyo lado es igual al lado menor del rectángulo, es 14.196. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
al primero, 2x 2 . Por ello, se puede suponer que «dos veces el cuadrado de un número es aproximadamente 14.196».
Halla lo que vale «una vez el cuadrado del número» y, después, calcula las dimensiones del rectángulo.
Si al producto de dos números enteros
consecutivos le sumas el número menor se obtiene 7.224. ¿Cuáles son los números?
Aparentemente, este problema es diferente al anterior. Sin embargo, puedes hacer razonamientos similares.
De estas figuras se obtiene el planteamiento algebraico:
x ⋅ (x + 1) + x 2 = 14.196
En efecto, consideramos los números consecutivos 7 y 8, y su producto más la suma del número menor es:
7 ⋅ 8 + 7 = 63
Así, obtenemos una ecuación de segundo grado: 2x 2 + x = 14.196, que estudiaremos posteriormente.
Ahora veremos cómo se resuelve el problema mediante el método de ensayo y error. En la ecuación de segundo grado se observa que, de los dos sumandos del primer miembro, el segundo, x, es insignificante frente
63 = 7,937253933
es un número decimal comprendido entre los números enteros 7 y 8.
Teniendo esto en cuenta, calcula los números pedidos.
MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR
PRÁCTICA DERIVE
El programa DERIVE es de fácil manejo y, por tanto, nos limitaremos a dar unas breves instrucciones iniciales. Además, pulsando F1 se accede, en cualquier momento, a una guía básica de funcionamiento.
Al abrir el programa aparece la ventana de álgebra, en la que se introducen las expresiones numéricas y simbólicas. En la parte superior se muestra una barra azul con el nombre del programa y el documento de trabajo correspondiente, el menú con opciones desplegables y los botones de ac- ciones de la pantalla.
En la parte inferior está la línea de edición, donde se escriben las órdenes, y los botones de símbolos del alfabeto griego y de diferentes operadores.
Una vez introducida una expresión, esta aparece en la pantalla. Las distin- tas expresiones se van numerando con los símbolos #1, #2…
Si introducimos en la línea de edición la suma de dos números racionales:
2 y, después, pulsamos el botón de Introducir y Simplificar
rece en la ventana el resultado de la operación.
Escribe en la línea de edición
Halla su suma y su diferencia.
Con las mismas fracciones, calcula su producto
, guarda el archivo
de los trabajos realizados en tu directorio
y nómbralo unidad_00_1.dfw.
Si la expresión introducida tiene una representación gráfica, se pasa a la Ventana gráfica 2D pulsando este botón.
En este caso aparece un nuevo menú con opciones desplegables y distintos botones referidos a la representación gráfica.
En la parte inferior de la pantalla se visualizan los ejes de coordenadas y aparece información relativa a la situación del cursor, el centro de coorde- nadas y la escala.
Para obtener la representación gráfica de la expresión seleccionada en la ventana de álgebra se debe pulsar:
Representar expresión
Y para volver a la ventana de álgebra:
de álgebra (Ctrl 1)
Existe también la posibilidad de visua- lizar simultáneamente ambas panta- llas. Una manera de hacerlo es dividir la pantalla en dos mediante la opción Mosaico vertical.
Introduce en la línea de la ventana de álgebra la expresión y = x 2 (y = x ^2).
Selecciona la pantalla gráfica y, con el icono , obtendrás una gráfica.
de los trabajos realizados en tu directorio y nómbralo unidad_00_2.dfw.
Introducción de la expresión
Ventana con el resultado
PRÁCTICA 1 (ejercicio 15 a), pág. 20)
1. Introduce la expresión
sión se introduce en la ventana de entrada de expresiones, tal como aparece en el margen. Observa cómo aparece en la ventana de álgebra en #1.
2. Pulsa la tecla y obtendrás el valor de la expresión. Si este valor es po- sitivo, el primer número es mayor que el segundo, y si es negativo, es menor. Observa el resultado en la expresión #2 en la ventana de álge- bra.
mediante el icono . Esta expre-
3. Como el resultado es negativo, podemos concluir que
4. Haz el resto de apartados del ejercicio. Ten en cuenta que, para intro- ducir un número decimal periódico, primero lo tendrás que convertir en fracción, y para introducir una raíz cuadrada, puedes utilizar el sig- no de la barra de símbolos.
PRÁCTICA 2 (ejercicio 60 a), pág. 29)
DERIVE es un programa que trabaja de forma exacta, es decir, cuando intro- ducimos un número o una operación con números, podemos seleccionar la forma de entrada de las expresiones, así como también la forma en la que se presentarán: tipo de notación, número de dígitos en las aproximaciones, etc. Para verlo podemos realizar los siguientes cálculos:
entrada de expresiones, tal como se ve en el margen.
2. Si pulsas la tecla , saldrá el resultado exacto. Si se puede hacer la operación, saldrá su «resultado»; si no, se indicará. Observa que apare- ce en la expresión #2 y responde a la cuestión.
3. Realiza el resto de apartados del ejercicio.
De manera análoga a la PRÁCTICA 1, compara las parejas de números del ejercicio 68 de la página 30.
Haciendo las transformaciones necesarias en el caso de los números decimales periódicos, realiza el ejercicio 70 de la página 30.
Haciendo las operaciones necesarias entre pares de números, realiza el ejercicio 64 de la página 29.
De forma análoga, realiza el ejercicio 75 de la página 30.
De manera análoga a la PRÁCTICA 2, realiza
, guarda el trabajo
los cálculos de los diferentes apartados del ejercicio 59 de la página 29.
con este nombre: unidad_01_1.dfw
Niccolo Fontana, más conocido como Tartaglia, nació en 1499
escuela, pero esta situación cambió de modo radical cuando contaba seis años y su padre fue asesinado: su familia quedó sumida en la más absoluta pobreza y el muchacho tuvo que abandonar la escuela; su educación, a partir de entonces, fue autodidacta.
1500 en Brescia, Italia. Desde los cuatro años asistió a la
El apodo de Tartaglia se debió a que era tartamudo
a consecuencia de la herida que la espada de un soldado
francés le infligió le causó en el cuello durante la toma de Brescia en 1512. Esta herida fue la causa de que Niccolo siempre llevara barba para camuflar su cicatriz.
Su reconocimiento matemático recibió el espaldarazo definitivo en Venecia en 1535, cuando resolvió todas las cuestiones que le plantearon sobre resolución de ecuaciones de grado 3, para lo cual había desarrollado una formula general.
Cuando Cardano, otro matemático contemporáneo suyo, tuvo noticias de dicha fórmula, le rogó que se la enseñara, a lo que Tartaglia accedió, no sin antes hacerle prometer que no la publicaría sin su consentimiento. Tiempo después, Cardano publicó la fórmula en una de sus obras, si bien dejó constancia de que el descubridor era Tartaglia. Pese a esto, Tartaglia se sintió traicionado y ofendido, hasta el punto de insultar públicamente a Cardano.
Tartaglia realizó también estudios sobre trayectorias
de proyectiles. Desarrolló, además, la fórmula para calcular
de sus aristas, una generalización de la fórmula de Herón.
volumen de un tetraedro en función de la medida
Tal y como vivió toda su vida, murió en Venecia en el año 1557 sumido en la más absoluta pobreza.
Los números grandes poseen un atractivo especial, ya que se encuentran en las fronteras de nuestra imaginación y, para manejarlos, se utiliza la notación científica. Así, Arquímedes calculó el número de granos de arena necesarios para llenar el universo en 10 51 , un número enorme.
Existen muchos ejemplos de números grandes que se utilizan en las Ciencias Naturales y Sociales, por ejemplo:
• El número que expresa la población mundial, que es mayor de seis mil millones de personas, es decir, 6 ⋅ 10 9 personas.
• El número de neuronas que constituyen el cerebro de una persona, que es de unos diez mil millones de neuronas, es decir, 10 10 neuronas.
Uno de los números grandes más importantes en la ciencia lo estableció Amadeo Avogadro, químico italiano del siglo XIX, y recibe, en su honor, el nombre de número de Avogadro. Se puede decir que representa el número de átomos de carbono que hay en 12 gramos de esa sustancia. Su valor es 6,023 ⋅ 10 23 .
Como no es fácil imaginar un número tan grande como este número de 24 cifras, vamos a realizar dos comparaciones que muestren el tamaño del número de Avogadro.
1. a El número de Avogadro expresa aproximadamente la distancia en micras de la Tierra a la estrella Aldebarán, cuya luz tarda 64 años en llegar a la Tierra.
2. a Si una bolita de 12 gramos de carbono puro se ampliara hasta tomar el tamaño de la Tierra, cada átomo de carbono sería como un balón de fútbol.
La petición del inventor del ajedrez
Una leyenda cuenta que el inventor del ajedrez presentó su invento
a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que
quiso premiarlo generosamente, y le dijo: «Pídeme lo que quieras,
que yo te lo daré».
El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente.
«Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del
tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta,
dieciséis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64».
Cuando el príncipe calculó la cantidad de trigo que representaba
la petición del inventor, vio que toda la Tierra sembrada de trigo
era insuficiente para obtener lo que este pedía.
Utiliza la calculadora para hallar el total de granos de trigo:
1+2+2 2 +2 3 +…+2 62 +2 63
Sepas calcular potencias de exponente entero.
Te servirá para estudiar las potencias de exponente fraccionario.
• Si el exponente es un número entero positivo:
– La potencia es positiva si la base es positiva.
5 5 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3.125
⎟ ⎟ =⋅⋅=
– Si la base es negativa, la potencia es positiva si el exponente es un número par, y es negativa si el exponente es impar.
(−3) 4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81
⎟ ⎟ = −
• Si el exponente es un número entero negativo, la potencia es igual a otra potencia cuya base es el inverso de la base y exponente positivo.
7 ⎠⎠
Recuerdes las propiedades de las potencias.
Las potencias con exponente fraccionario tienen las mismas propiedades.
• Producto de potencias de la misma base.
2 4 ⋅ 2 3 = 2 4+3 = 2 7
• Cociente de potencias de la misma base.
a n : a m = a n−m
• Potencia de un producto. (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
• Potencia de una potencia.
(a n ) m = a n⋅m
7 5 : 7 4 = 7 5−4 = 7
(4 ⋅ 5) 6 = 4 6 ⋅ 5 6
(6 5 ) 3 = 6 5⋅3 = 6 15
23 0 = 1
Repases el concepto de raíz enésima de un número.
Lo necesitarás para operar con raíces.
Si se cumple que r n = a, decimos que
Y, de la misma forma, si
cumple que r n = a.
a = r, entonces se
a n = a⋅a ⋅ … ⋅ a
Indican la expresión de una potencia
en forma de producto.
Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significa que a se multiplica n veces.
Indica una potencia de exponente negativo.
Cuando a una letra se le pone el signo menos delante estamos indicando que representa un número negativo.
Indica una potencia de base negativa.
Si no tiene signo delante, el número puede ser negativo o positivo.
Indica una potencia de exponente negativo y base negativa.
Indica una potencia de exponente fraccionario.
Indica la potencia
⎟ ⎟ =⋅⋅⋅=
Indica la potencia negativa
La potencia negativa de una fracción es igual a su inversa elevada al mismo exponente pero positivo.
Indica la raíz cuadrada de un número.
Bajo el símbolo de la raíz se puede expresar cualquier operación entre números.
Indica la raíz de una suma de números.
Indica la raíz de un producto.
Indica la raíz enésima de un número.
Indica la raíz m-ésima de la raíz enésima de un número.
Para realizar esta operación se calcula primero la raíz enésima del número y, después, se halla la raíz m-ésima del resultado anterior.
d La fracción
es la raíz enésima
La raíz cuadrada exacta de una fracción es la fracción
a formada por la raíz exacta de su numerador
exacta de la fracción
b y de su denominador.
• Conocer la energía liberada por los terremotos y su magnitud correspondiente en la escala de Richter.
• Utilizar las potencias en la resolución de problemas.
Los terremotos son movimientos de la corteza terrestre que aparecen con cierta frecuencia en las llamadas zo- nas sísmicas de la Tierra. Según la teoría de las placas, los terremotos se producen con el desplazamiento de estas, debido a la fricción y la presión que produce el rozamiento.
Hay zonas de la Tierra, como la falla de San Andrés (California), en las que las huellas de este desplazamien- to continuo son evidentes.
Los movimientos sísmicos, cuya aparición es actualmen- te imposible de predecir, son de diversa magnitud o in- tensidad. Esta intensidad se suele medir en la escala de Richter.
La escala de Richter está graduada del 1 al 9. Estos números y los decimales intermedios dan una idea aproximada de la energía liberada, que viene expresa- da en ergios (1 ergio se puede definir como la energía que se necesita para mover una masa de 1 g la dis- tancia de 1 cm). Los terremotos superiores a 6 grados suelen tener efectos devastadores.
Observa, a continuación, la equivalencia aproximada en ergios de cada valor entero de la escala de Richter.
Energía (en ergios)
600.000.000.000.000.000
20.000.000.000.000.000.000
a) La energía correspondiente a la magnitud 1 de la escala de Richter puede expresarse usando las po- tencias de 10 como 2 ⋅ 10 7 . Expresa de esta forma las magnitudes 2 y 3 de la escala.
b) ¿Por qué potencia de 10 tenemos que multiplicar la energía equivalente a la magnitud 1 para obte- ner la de la magnitud 3? ¿Y la de 3 para obtener la de la magnitud de 5?
c) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto de mag- nitud 4 que uno de magnitud 2? ¿Y otro de magni- tud 6 que uno de 2?
Energía de un terremoto y equivalencia en toneladas de TNT
Una forma de poder hacernos una idea aproximada de la magnitud o intensidad de un terremoto, y de la energía liberada, en la escala de Richter es comparar- la, por ejemplo, con la energía liberada por la detona- ción de un explosivo, como el TNT.
La relación entre estas es la que se indica en la si- guiente tabla.
Equivalencia en toneladas de TNT
Si observas la relación entre las cantidades de TNT, comprobarás que cada salto en la escala de Richter supone multiplicar la cantidad anterior de TNT aproxi- madamente por 32. Esa relación se cumple también para la energía liberada en ergios.
En la resolución de las siguientes actividades usare- mos, para simplificar los cálculos, las energías (en er- gios) de la tabla de la página anterior.
a) Expresa, como potencia de base 10, la energía en ergios de un terremoto de energía equivalente a 1.000 toneladas de TNT.
b) La energía liberada por un terremoto es de 6 ⋅ 10 17 ergios. ¿Cuál es la cantidad equivalente de TNT? Exprésala usando las potencias de 10.
c) Uno de los terremotos más graves fue el que suce- dió en Chile en el año 1960, de magnitud 9. Expre- sa la energía equivalente en toneladas de TNT, uti- lizando las potencias de 10.
d) ¿Entre qué dos potencias de 10 está comprendida la energía de un terremoto cuya magnitud en la es- cala de Richter es de 6,6?
e) Aunque España no es una zona sísmica destaca- ble, a veces tienen lugar terremotos. Uno de ellos ocurrió en agosto de 2002 y su intensidad fue de magnitud 4 en la escala de Richter. Expresa la energía (en ergios) de ese terremoto utilizando las potencias de 10.
f) Expresa las toneladas de TNT equivalentes al terre- moto de 1906 que tuvo lugar en San Francisco (magnitud 8), utilizando las potencias de 10.
Múltiples problemas de Matemáticas aplicadas requieren realizar operaciones con números escritos en notación científica. La simplificación que supone el uso de la calculadora científica en dichas operaciones es una de las razones para la difusión de esta notación.
En el manual de instrucciones de una calculadora se lee:
«Admite la entrada y visualización de un máximo de 10 dígitos».
a) ¿Cuál es el mayor número que puede aparecer con todas sus cifras en la pantalla? ¿Y el menor?
b) ¿Puede aparecer en forma desarrollada el número 10 10 ? ¿Y el número 10 −10 ?
c) ¿Cuál es el menor número positivo que puedes escribir en tu calculadora? ¿Y el mayor?
La masa del Sol es de 2 ⋅ 10 33 g aproximadamente, y una galaxia tiene por término medio 10 11 veces la masa del Sol.
a) ¿Cuál será la masa en kilogramos de una galaxia?
b) Si en el universo hay aproximadamente 100.000.000.000 galaxias, ¿cuál es la masa en gramos del universo?
Aproximadamente, un 3,25 % del mar es materia sólida disuelta, y en total, entre materia sólida y agua hay 330.000.000 millas cúbicas (1 milla = 1.852 m).
a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua marina hay en total?
b) Si separamos del agua del mar todas las materias sólidas, ¿cuál sería el peso en toneladas de estas materias sólidas?
c) En el agua del mar hay un total de 1,9 ⋅ 10 15 toneladas de magnesio y 10 14 toneladas de bromo. ¿Qué porcentaje de magnesio hay en este líquido? ¿Y de bromo?
La superficie de tierra firme de nuestro planeta soporta una carga de 38 millones de km 3 de hielo, de los cuales un 85 % está en la Antártida. ¿Cuántos metros cúbicos de hielo hay en la Antártida?
Como el agua es más densa que el hielo, los 38 millones de km 3 de hielo, al derretirse, se transformarían en unos 33 millones de km 3 de agua. ¿Cuántos kilómetros cúbicos de agua resultarían al derretirse 20 millones de km 3 de hielo?
Si se derritiese el hielo del planeta (38 millones de km 3 ), casi toda el agua iría a parar al océano, el cual tiene una superficie total de 360 millones de km 2 . Si dicha superficie permaneciera constante, y el agua del hielo fundido se distribuyera uniformemente por todo el océano, ¿qué altura alcanzaría el agua?
Salida de expresión racionalizada
PRÁCTICA 1 (ejercicio 29 a), pág. 44)
1. Ejecuta el programa DERIVE.
2. Introduce la expresión
. Esta expresión se
introduce en la ventana de entrada de expresiones, tal como aparece en
el margen, teniendo en cuenta el paréntesis. Observa cómo aparece en la ventana de álgebra (#1).
, obtendrás una aproximación de esta expresión con
resulta la expre-
sión racionalizada de la anterior. Compruébalo y observa la expresión de
10 cifras decimales; mientras que si pulsas la tecla
3. Si pulsas la tecla
salida en la ventana de álgebra (#2).
4. Haz el resto de apartados del ejercicio. Recuerda que, para introducir la
Expresión racionalizada
raíz, puedes utilizar el signo
de la barra de símbolos.
PRÁCTICA 2 (ejercicio 33 a), pág. 45) − 3
, y observa al
margen cómo se debe introducir.
2. Pulsa la tecla y obtendrás la expresión racionalizada de la anterior. Compruébalo y observa la expresión de salida.
34 )(
− 12 −− 3
Hemos multiplicado la fracción por el conjugado del denominador y, de esta manera, hemos extraído la raíz del denominador.
3. Haz el apartado b) del ejercicio 33.
Resuelve el ejercicio 82 de la página 52 de forma análoga a como lo has hecho en la PRÁCTICA 1.
En la misma ventana de álgebra, racionaliza las fracciones del ejercicio 85 de la manera que lo has hecho en la PRÁCTICA 2.
De forma análoga a como se procede en el ejercicio 86, haz la operación del ejercicio 87:
introduce la expresión entera y, con la tecla obtendrás directamente el resultado.
Racionaliza las expresiones de los ejercicios 88 y 89 de la página 52.
con este nombre: unidad_02_1.dfw
COMPETENCIA LECTORA LECTORACOMPETENCIA
Paolo Ruffini nació en 1765 en Valentano, donde su padre ejercía la medicina. Años más tarde, toda la familia se trasladó cerca de Módena, en cuya universidad Paolo estudió matemáticas, medicina, filosofía y literatura.
Poco tiempo después, en 1791, alcanzó el puesto de profesor de matemáticas en esa misma universidad
la vez que obtenía el permiso para ejercer la profesión de médico en Módena.
Tras la invasión napoleónica de la región, que pasó
llamarse República Cisalpina. Paolo Ruffini formó parte del recién creado Consejo de la República Cisalpina, cargo que abandonó tras dos años para reincorporarse
su actividad académica, para no perder su cargo, tenía que jurar fidelidad a la bandera francesa. Ruffini se niega
universidad, motivo por el cual se vuelca en la práctica
sus quehaceres en la universidad. Al retomar
jurar y pierde la cátedra de matemáticas en la
de la medicina aunque sin abandonar las matemáticas.
Años más tarde, volvería a la universidad como rector de la misma. En el campo de las matemáticas investigó sobre la resolución de ecuaciones y la forma de operar con ellas; sin embargo, por lo que es universalmente conocido es por la Regla de Ruffini: un método para dividir polinomios a partir de sus coeficientes.
Murió en Módena en 1822, probablemente a causa del tifus, enfermedad que había estudiado durante una epidemia que asoló la zona en ese tiempo.
LECTORACOMPETENCIA
Un problema de Diofanto
Solución de Diofanto
Parte menor: x Parte mayor: x + 40 x + (x + 40) = 2x + 40
2x + 40 2x + 40 40
= 100 = 100 40
x = 30: parte menor 30 + 40 = 70: parte mayor
Diofanto fue un matemático cuya única obra conocida es Aritmética. Se trata de una colección de problemas que se resuelven siempre reduciendo a una incógnita, que él llamó aritmo (número). Con el aritmo, Diofanto consigue resolver ecuaciones de distintos grados.
Vamos a resolver un problema de Diofanto, poniendo a la izquierda la solución que él mismo propone, y a la derecha, la solución actual.
Descomponer un número (por ejemplo, 100) en dos partes, cuya diferencia sea dada (por ejemplo, 40).
Suponemos que la parte menor es un aritmo. La parte mayor es 1 aritmo más 40 unidades. La suma de ambas es 2 aritmos más 40 unidades. La suma anterior debe ser 100. Restamos 40 de 2 aritmos y 40, y también de 100. Los dos aritmos que quedan valdrán 60 unidades. Y cada aritmo vale 30 unidades, que será la parte menor.
El rey que liberaba a un prisionero en su cumpleaños
Se dice que existió un rey que tenía por costumbre dar libertad a uno de sus prisioneros en el día de su
cumpleaños. Para ello sometía a varios prisioneros a una prueba y el primero que la superaba quedaba
En cierta ocasión propuso una prueba de razonamiento lógico a tres condenados, con la promesa de que
daría la libertad al primero que diera la respuesta correcta y haría morir inmediatamente al que diera
El rey llevó a los tres condenados, A, B y C, a una habitación oscura, en la que había tres sombreros
blancos y dos sombreros negros. Le puso a cada uno un sombrero y, después, los sacó a la luz, donde
cada uno podía ver el sombrero de los demás, pero no el suyo. A continuación, preguntó al prisionero A
si sabía el color de su sombrero. El prisionero contestó que no podía saberlo. Luego hizo la misma
pregunta al condenado B. Después de mirar los sombreros de sus compañeros y reflexionar, contestó
que no lo sabía. Finalmente formuló la pregunta al prisionero C, el cual respondió: «No me hace falta ver
para saber que mi sombrero es blanco». Comprobado por todos su acierto, el rey lo dejó en libertad.
¿Cómo pudo llegar a esa conclusión?
Para ayudarte a encontrar la solución, fíjate en la siguiente
tabla, en la que aparecen todas las posibilidades.
Explica por qué no se puede dar la posibilidad 7, ni las
posibilidades 6 y 2, y habrás resuelto el problema.
(x 2 − 3x + 2) + (x + 3) = x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x 2 − 2x + 5
Estés habituado a operar
(x 2 − 3x + 2) − (x + 3) = x 2 − 3x + 2 − x − 3 = x 2 − 4x − 1
para el estudio del Álgebra.
(x 2 − 3x + 2) ⋅ (x + 3) = x 2 ⋅ x + x 2 ⋅ 3 − 3x ⋅ x − 3x ⋅ 3 + 2 ⋅ x + 2 ⋅ 3 =
= x 3 + 3x 2 − 3x 2 − 9x + 2x + 6 = x 3 − 7x + 6
−x 3 − 3x 2 +
−x 3 − 3x 2
x 2 − 6x + 20
−x 2 − 6x 2 +
−x 2 + 6x 2 + 18x
−x 2 + 6x +
−x 2 + 6x+− 20x − 60
−x 2 + 6x+− 20x − 55
Sacar factor común es una aplicación de la propiedad distributiva.
a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c)
Sepas cómo sacar factor común.
x 2 − 3x = x ⋅ x − 3 ⋅ x = x ⋅ (x − 3)
Te será útil para encontrar
los divisores de un polinomio
y factorizarlo.
SIMPLIFICAR una fracción consiste en hallar otra fracción equivalente
que no tenga factores comunes en el numerador y el denominador.
Recuerdes cómo se simplifican
⋅ 223 ⋅⋅
⋅ 233 ⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ abbc
aacd ⋅⋅⋅
Lo usarás para simplificar
Indica un monomio de grado 3
y coeficiente 5.
En la expresión general de un monomio
se distinguen diferentes partes.
Indica un monomio de grado n
y coeficiente a.
Exponente = Grado
En la parte literal se suele utilizar la letra x,
pero también se usan las letras y, z, t, u, v…
Indican polinomios que solo tienen
una variable, x.
Un polinomio cualquiera con una variable
se denota por P (x ), Q (x ), R (x )…
P(x) = x 4 + 3x 3 − 2x − 7
Indica el valor del polinomio P (x )
para x = 3.
P (3) = 3 4 + 3 ⋅ 3 3 − 2 ⋅ 3 − 7 = 149
Indica un polinomio con dos
P(x, y) = 2x 2 y − x 2 + 2xy − 34
Indica el valor del polinomio P (x, y )
para x = 2, y = 1.
P (2, 1) = 2 ⋅ 2 2 ⋅ 1 − 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 1 − 34 = −26
Indica el polinomio cociente
de una división de polinomios.
Cuando efectuamos una división de polinomios,
P (x ) : Q (x ), se obtiene un polinomio cociente, C (x ),
y un polinomio resto, R(x ).
Indica el polinomio resto
P(x) n
Indica la potencia de un polinomio.
El exponente de un polinomio es siempre
Expresa una fracción algebraica.
Para expresar una fracción algebraica nunca
se utiliza el formato P (x) : Q(x), ya que esta forma
indica simplemente división de polinomios.
• Conocer algunos conceptos básicos que aparecen en la declaración de la renta.
• Trabajar la proporcionalidad y los porcentajes en distintos contextos de la declaración de la renta.
Existen dos grandes tipos de impuestos: los impuestos indirectos, que gravan el consumo y no tienen en cuen- ta las circunstancias personales, como, por ejemplo, el IVA; y los impuestos directos o personales, que gravan la renta y tienen en consideración el capital personal.
El impuesto directo más conocido es el Impuesto sobre la Renta de las Personas Físicas (IRPF), un impuesto directo que grava la totalidad de los ingresos netos de una persona física o una unidad familiar, sumando las rentas de los distintos miembros que la integran.
Cada año, miles de españoles, en los meses de mayo
junio, tienen que realizar la declaración de la renta.
En ella, y con los datos del año anterior, calculan la can-
tidad que han de pagar a Hacienda por ese impuesto,
o la que Hacienda debe devolverle a ellos.
Vamos a comentar a continuación los conceptos más importantes en la declaración de la renta. Trabajaremos con un caso sencillo, ya que existen múltiples posibili- dades. Además, la reglamentación y la forma de cálcu- lo del impuesto varían a menudo.
El primer paso en la declaración es calcular la llamada base imponible (o renta disponible), es decir, la renta que puede utilizar el contribuyente tras atender sus ne- cesidades y las de las personas que de él dependen.
Para hallar esa base imponible se tienen en cuenta los rendimientos (o ingresos) del contribuyente o unidad familiar, que pueden provenir de múltiples fuentes.
• Rentas del trabajo (asalariados, desempleados…).
• Rentas del capital mobiliario (cuentas, acciones…).
• Rentas del capital inmobiliario (viviendas, locales…).
• Rendimientos de actividades económicas (profesio- nales autónomos…).
Tras calcular la base imponible se aplica el mínimo per- sonal y familiar, una cantidad que mide las necesida- des vitales tanto del contribuyente como de las perso- nas que dependen de él, y en la que se tienen en cuenta circunstancias como la edad, ingresos, número de as- cendientes y descendientes, etc.
Una vez obtenida la base liquidable se determina la cuo- ta íntegra (dividida en dos partes, general y autonómi- ca), a la que posteriormente se aplica una serie de deducciones o descuentos, obteniéndose al final del pro- ceso la cuota diferencial, que determina la cantidad que se tendrá que ingresar en las arcas del Estado o la can- tidad que Hacienda devolverá (si dicha cuota es nega- tiva). El proceso se resume en el siguiente esquema.
Proporcionalidad y porcentajes en la declaración de la renta
A la hora de realizar los distintos cálculos de la de-
claración de la renta aparece la proporcionalidad numérica y, concretamente, un aspecto de ella, los porcentajes. Esto ocurre en la fase de cálculo de la
cuota íntegra total del impuesto a partir del valor de
Judith está haciendo su declaración de la renta. El valor de su base liquidable es de 15.000 €. ¿Cuánto valdrá su cuota íntegra total? ¿Y su gravamen medio?
La cuota íntegra está formada por dos partes que se suman: la cuota estatal y la cuota autonómica o com- plementaria. El cálculo de ambas se hace a partir de la base liquidable mediante las siguientes tablas.
aplicable %
25.134,44
5.296,30
10.120,86
1.919,11
3.788,37
Calculemos la cuota estatal de Judith. Vemos que su base liquidable es menor que 25.134,44 € (cuarta fila de la tabla) y mayor que 12.873,68 € (tercera fila). Le corresponde una cuota íntegra de 2.406,46 €, a la que debe añadir el 23,57 % de la diferencia entre su base liquidable y 12.873,68.
15.000 − 12.873,68 = 2.126,32 23,57% de 2.126,32 = 501,17 €
Cuota estatal: 2.406,46 + 501,17 = 2.907,63 €
El cálculo de la cuota autonómica se hace de forma similar usando la segunda tabla. A la cantidad de 462,54 € se debe añadir el 4,73 % de la diferencia entre 15.000 y 12.873,68:
15.000 − 12.873,68 = 2.126,32 4,73 % de 2.126,32 = 100,57 €
Cuota autonómica: 462,54 + 100,57 = 563,11 €
La cuota íntegra de Judith será un total de 2.907,63 + + 563,11 = 3.470,74 €.
El gravamen medio de Judith es el cociente de la cuo- ta estatal entre su base imponible:
Su gravamen medio fue del 19,38 %.
a) Calcula la cuota íntegra y el gravamen medio para las siguientes bases liquidables.
• 20.000 €
b) Con los resultados de la actividad anterior, ¿la cuota íntegra es directamente proporcional a la base liqui- dable?
c) Imagina un nuevo sistema de cálculo de la cuota ín- tegra total en el que dicha cuota fuera el 30 % de la base liquidable, sea cual fuere el valor de la base. Calcula el valor de la cuota total para las cantidades de la actividad a) con este sistema. ¿Son propor- cionales ahora la cuota total y la base liquidable?
Las cuatro fases de la resolución de un problema
La resolución de problemas es un proceso complejo. Por ello conviene que te habitúes a proceder de un modo ordenado ante cualquier problema, siguiendo estas cuatro fases o pasos: comprender el problema, plantearlo, resolverlo y comprobar la solución.
Fíjate en lo que debes hacer en cada uno de los pasos de un problema de Álgebra.
Leer detenidamente el enunciado.
Resolver las operaciones en el orden establecido.
Hacer un gráfico o un esquema que refleje las condiciones del problema.
En el caso de problemas algebraicos, resolver las ecuaciones o sistemas resultantes de la fase 2.
Identificar los datos conocidos y las incógnitas.
Asegurarse de realizar correctamente las operaciones
las ecuaciones y sistemas.
Plantear el problema, es decir, concebir un plan
Pensar en las condiciones del problema y concebir un plan de acción.
Comprobar si hay más de una solución.
En el caso de problemas algebraicos, comprobar que la solución obtenida verifica la ecuación
Elegir las operaciones y anotar el orden en el que debes realizarlas.
En el caso de problemas algebraicos, expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones.
Comprobar que se cumplen las condiciones del enunciado.
En una cafetería hay 120 personas entre mujeres y hombres. Si se van 40 hombres, el número
de mujeres y el de hombres es igual. ¿Cuántas mujeres y hombres hay en la cafetería?
Llamamos: x = número de hombres e y = número de mujeres
1.ª condición: Hay en total 120 personas → x + y = 120
2.ª condición: Si se van 40
→ x − 40 = y
Resolver el problema. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones. En este caso sustituimos el valor
de y de la 2.ª ecuación en la 1.ª ecuación:
x + y = x + (x − 40) = 120 → 2x = 120 + 40 = 160
y = x − 40 = 80 − 40 = 40 mujeres
Comprobar la solución. Hay que comprobar que la solución cumple las condiciones del problema:
1.ª ecuación, 80 + 40 = 120; 2.ª ecuación, 80 − 40 = 40.
El número de animales de una granja es 9.000,
entre conejos y gallinas.
Tienen sobrepeso 4.000 animales,
que son el 35 % de los conejos y el 60 %
de las gallinas. Calcula el número de conejos
y gallinas de la granja.
Introducción del binomio
PRÁCTICA 1 (ejercicio 17 b), pág. 61)

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución