Source: https://es.scribd.com/doc/36954929/909003-Ipn-Algebra-Maestro-guia-Del-Profesor
Timestamp: 2016-10-28 20:14:16+00:00

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G U Í A PA R A E L P R O F E S O R
ACADEMIA INSTITUCIONAL DE MATEMÁTICAS DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Leonor Delgado Hernández y Juan Manuel Cisneros Márquez CECyT 1 “Gonzalo Vázquez Vela” Marcelo Briones Palacios Fernando Arroyo García Javier Montes de Oca Olvera y Ramón Jordán Rocha Francisco Bañuelos Tepallo Pascual Pérez Caldelas y José Calvillo Velázquez Jose Luis Torres Guerrero Enrique Téllez López Arnulfo Ulloa Hernández Javier Patiño Monroy y Florencio Beltrán Navarrete Salvador Romano Reyes y Pedro Ortega Cuenca Joaquín Rafael Buendía Santos Norberto Matus Ruiz y Claudio Héctor Galván Aguirre Carlos J. Quintero Martínez y María Aurora Maldonado Cruz Wilfrido Apolonio Flores Medina Ludwing Javier Salazar Guerrero Y Susana Ivonne Nieto Almaraz Y la colaboración especial de: Blanca Ruiz Hernández Liliana Suárez Téllez (ITESM Campus Monterrey) (CICATA-IPN) CET 1 “Walter Cross Buchanan” CECyT 13 “Ricardo Flores Magón” CECyT 14 “Luis Enrique Erro Soler” CECyT 15 “Diódoro Antunez Echegaray” CECyT 10 “Carlos Vallejo Marquez” CECyT 11 “Wilfrido Massieu” CECyT 12 “José María Morelos y Pavón” CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizabal” CECyT 7 “Cuauhtémoc” CECyT 8 “Narciso Bassols” CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz” CECyT 4 “Lázaro Cárdenas” CECyT 5 “Benito Juárez” CECyT 2 “Miguel Bernard Perales” CECyT 3 “Estanislao Ramírez Ruiz”
Instituto Mexicano de Investigaciones Educativas S.C.
María Trigueros Sonia Ursini Editora Ana María Sánchez
José Fco. Gómez de León
La edición e impresión de esta guía no tiene carácter lucrativo. Los juicios y opiniones para mejorar el contenido de este material pueden ser enviados a las siguientes direcciones electrónicas: Academia Institucional de Matemáticas aimnms@redipn.ipn.mx Dirección de Tecnología Educativa dte@redipn.ipn.mx
El Instituto Politécnico Nacional, a través de la Secretaría Académica, la Secretaría de Apoyo Académico, la Dirección de Tecnología Educativa y la Academia Institucional de Matemáticas como parte de las acciones de fortalecimiento del Nivel Medio Superior, ha desarrollado la Guía para el Profesor de la asignatura de Álgebra, con la finalidad de brindar a los profesores un elemento más que apoye los procesos de enseñanza-aprendizaje y que contribuya a elevar la calidad y el rendimiento académico de nuestra institución. El contenido de la guía se desarrolla acorde con el programa institucional de la asignatura, haciendo énfasis en aquellos temas esenciales que, por su complejidad, presentan cierta dificultad para su comprensión. El enfoque metodológico que se presenta está basado en la resolución de problemas, lo que facultará al estudiante para hacer un uso activo de sus matemáticas, un saber hacer en el contexto en que se desenvuelve y en general en la dimensión matemática de sus quehaceres presentes y futuros. El documento central de la guía es el de las secuencias de aprendizaje, donde se presentan el conjunto de actividades didácticas (problemas, problemas guiados, proyectos, ejercicios, lecturas y autoevaluaciones) para desarrollar cada una de las unidades del curso de Álgebra. Además se incluyen algunos materiales auxiliares para la organización del aprendizaje. La guía del estudiante va acompañada de un disco compacto que contiene software especializado en Matemáticas. Estos apoyos tecnológicos se conciben como una herramienta más para la comprensión de la asignatura. Se reconoce el trabajo de la Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior y del Club de Matemáticas del CECyT “Wilfrido Massieu” quienes, para el desarrollo de esta guía, aportaron experiencias valiosas para el logro de los aprendizajes en el salón de clases adquiridas en el desarrollo de investigaciones sobre la educación matemática.
Introducción Justificación de la Secuencia de Aprendizaje Sobre los MAPOA Problemas Lecturas Ejercicios Autoevaluaciones Bibliografía 9
23 39 41 73 133 151 153
en las situaciones cambiantes y de incertidumbre. en general. como las que enÁlgebra
. acordes con una sociedad que se sustenta en el desarrollo tecnológico y que se pretende democrática.Introducción de la Guía Didáctica de Álgebra para el profesor
EL MARCO INSTITUCIONAL Hay un hecho que difícilmente podemos ignorar: pocos. profesores de matemáticas están satisfechos con su trabajo. hay muchas explicaciones que al limitar nuestra responsabilidad nos permiten tolerar una situación tan difícilmente tolerable. la autonomía y la toma de decisiones responsable. no hemos logrado que los aprendizajes de los estudiantes sean sólidos y duraderos. Tampoco hemos logrado que los alumnos desarrollen una actitud activa y responsable hacia su aprendizaje en la escuela. muy pocos. el énfasis se ha desplazado del conjunto de conocimientos rígidos centrados en el dominio de técnicas y en el desarrollo de habilidades mecánicas hacia el desarrollo de las llamadas habilidades intelectuales de orden superior y la formación de actitudes que favorezcan la independencia. A medida que los objetivos de la educación han evolucionado hacia un aprendizaje multidimensional para todos. La cuestión es muy compleja y hay excusas y razones. Por supuesto.
ha florecido durante las últimas décadas aportando una gran diversidad de nuevos conocimientos acerca de las múltiples dimensiones del desarrollo de la cultura matemática. Es ahí donde. El salón de clases es el sitio de concurrencia de los principales actores de la experiencia de la matemática educativa. disciplina que trata del aprendizaje de las matemáticas. interactúan las costumbres. El profesor ya no es el que tiene un conocimiento acabado y lo transmite fielmente.. El papel que se le reconoce al profesor actualmente en los documentos de la SEP como el organizador de las secuencias de aprendizaje para lograr los propósitos de sus cursos presupone una amplia solvencia. en ingenieros en didáctica que estemos al tanto de los resultados de la investigación en educación matemática y que tengamos claro. La educación matemática. 1994. ciudadano y profesional. cuáles son los principios en que fundamentamos nuestra práctica. de manera explícita o implícita. y logre definir varias opciones con sus respectivos costos y beneficios. sino el administrador de las interacciones entre un medio enseñante y el alumno.frenta el individuo actualmente en los ámbitos personal. tanto familiares como inéditas. de manera explícita. La institución escolar y la escuela se hacen presentes con sus planes y programas de estudio y sus propias normas. 7). tanto matemática como didáctica. se recomienda al maestro modificar el orden de los contenidos y entrelazar temas de distintos ejes en la forma que considere más adecuada para el aprendizaje de sus alumnos. que pre10
. es necesario convertirnos en profesionales de la docencia. La profesión docente se ha vuelto terriblemente difícil a causa de los ambiciosos objetivos de la educación y. se sabe que no basta que nosotros profesores “sepamos” de la materia. de la gran complejidad de los fenómenos que enfrenta. Ahora tenemos un papel mucho más complejo e interesante. pues «…los programas no están concebidos como una progresión de temas que deban estudiarse uno a continuación del otro. Por el contrario. que le permita enfrentar situaciones. p. Así. los sistemas de ideas y creencias de profesores y alumnos.» (Alarcón et al. que dé lugar a una valoración global fundamentada de estas situaciones. en los temas que debe enseñar. en consecuencia. Podemos decir que el propósito general de la educación matemática es lograr que el estudiante desarrolle una cultura matemática dinámica. en las que se requiera la producción o utilización de ideas matemáticas. sin más limitación que cumplir con los propósitos del programa.
habilidades. se apoyan en ideas de lo que son el saber matemático y las matemáticas mismas. actitudes. Para organizar aprendizajes complejos a partir de supuestos cualitativamente distintos de aquellos en los que se basa nuestra formación. Pero no se cambian las creencias ni se modifican los hábitos de un día a otro. hagan uso de polinomios. planteamiento y resolución de ecuaciones. Cada cual se tiene que convencer de que vale la pena emprender esta revisión a fondo de su trabajo. que. retoma como propósitos fundamentales que los estudiantes generen modelos algebraicos de situaciones problemáticas que se les presenten. que nos conducen a la formulación de juicios matizados y a una toma de decisiones siempre consciente de los riesgos. es decir. así como la necesidad de instrumentar propuestas que apunten a soluciones factibles. porque implica un grado muy alto de cuestionamiento.
El curso de Álgebra El desarrollo de las Guías se basa fundamentalmente en el programa de Álgebra. No nos queda más remedio que reconocer la complejidad de la problemática que enfrentamos. sus representaciones gráficas y una primera aproxiÁlgebra
. flexibles y duraderas. para sus soluciones. “dar clase”. No hay aquí un dictamen definitivo acerca de una costumbre entrañable. así como los valores subyacentes. a su vez.suponen visiones de lo que es enseñar y aprender matemáticas. sino una serie de evidencias que nos invitan a reflexionar sobre nuestra responsabilidad como profesores. necesitamos identificar los conocimientos. No hay recetas de aplicación mecánica para la enseñanza de las matemáticas. El modelo de cátedra expositiva en el que fuimos educados ha mostrado sus limitaciones cuando se trata de lograr aprendizajes complejos. Pero también nos puede conducir a adoptar una perspectiva nueva llena de retos sorprendentes. además de que fomenta actitudes en los estudiantes que son incompatibles con las competencias básicas del nivel medio superior actual. Afortunadamente en nuestra profesión se requiere del análisis de situaciones complejas según criterios múltiples. en donde. transformaciones elementales de expresiones algebraicas. que tomen en cuenta los tiempos reales que se requieren para que den frutos. que debemos revisar.
lecturas y autoevaluaciones) constituye una secuencia de actividades que se organiza. sin embargo. Es importante que. que la resolución de problemas es la actividad que permite generar e integrar conocimiento. proporciona información y crea códigos de instrucción. con la idea de que el maestro tenga más herramientas a su alcance y pueda tener una visión de la integración de los métodos matemáticos. en el transcurso de las actividades. al mismo tiempo que organiza el trabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos. así como tener el fundamento para el desarrollo posterior de conceptos y métodos matemáticos. como lo establece el Programa de Álgebra. de acuerdo a las características del ambiente de aprendizaje integral que se necesita fomentar en nuestros salones de clase.mación a las funciones lineales y cuadráticas. ecuaciones y funciones. por un lado. En este proceso el docente es un facilitador del aprendizaje que problematiza. En el diseño de las Guías se consideró. así como al uso de tablas y diagramas. Es posible asimismo que algún profesor desee utilizar este tipo de métodos con algún alumno que considere más avanzado. lo que les permitirá analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno. Uno de los supuestos metodológicos para la elaboración de las Guías es que las ideas o procedimientos matemáticos se comprenden si se articulan adecuadamente en una red de conocimientos y experiencias. favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural. alrededor de las cuatro líneas de desarrollo del curso de Álgebra: lenguaje algebraico. por otro lado. proyectos. Esta parte de las matemáticas es ajena al programa de este curso y no podemos pedir al alumno que las utilice. simbólico y gráfico. ejercicios. y. Es importante señalar en este momento que en algunas de las soluciones popuestas en esta Guía para algnos problemas o ejercicios se hace uso de herraientas del Cálculo. el conjunto de actividades de aprendizaje que se presenta en las Guías (problemas. problemas con guía. se incluyeron. modelación. En este sentido.
se espera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a un aprendizaje verdaderamente significativo para el estudiante. en el rubro de ‘Referencias curriculares’ se consideraron. si el profesor dispone de más información. Estrategias 10. además de los contenidos que marca el programa. Experiencia de aprendizaje 2. y de otros factores importantes como el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes. para atender los de tipo procedimental y actitudinal necesarios para una formación cultural básica y equilibrada de todos los estudiantes. Modalidad de trabajo 3. algunos contenidos procedimentales y actitudinales. se puede establecer explícitamente la vinculación que hay entre ellas desde perspectivas diferentes que se deben articular para organizar una sesión de clase.Evaluación Con esta caracterización de las actividades de aprendizaje. una diversificación de los contenidos. sus ideas previas. que suelen variar para cada grupo de estudiantes en particular. en particular. las competencias básicas del estudiante de bachillerato y los estándares 9-12 del NCTM (Consejo Nacional de profesores de Matemáticas de los Estados Unidos). Por el contrario.
. Representaciones 9. Lugar de realización 4. sus expectativas y la pertinencia de los contenidos. hasta ahora principalmente conceptuales. se definieron diez características: 1. Así. Herramientas tecnológicas 5.La caracterización de las actividades Para conformar y caracterizar la red de actividades que el estudiante realizará en el curso. Referencias curriculares 8. que debe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizar realmente las actividades. La complejidad del diseño y de la instrumentación de las actividades no está reñido con una consideración del tiempo disponible. Hay que destacar que el tránsito hacia una educación integradora implica. Producto 7. Tiempo 6.
en cada capítulo. el profesor actuará sobre la creencia de que hay vías distintas para una comprensión matemática similar. Se presenta el desarrollo de la solución que podemos esperar que produzcan los estudiantes del nivel y que llamamos ‘de referencia’. En cuanto al ambiente. También se incluye un comentario de la actividad que se detiene en las distintas vías que puede seguir un estudiante. algunos ejemplos de los documentos que se consideran útiles para el trabajo del profesor.El ambiente Nuestra perspectiva es la del profesor que quiere enseñar para que todos sus alumnos logren los aprendizajes que los faculten para un uso activo de sus matemáticas. Los ejemplos En esta guía se incluyen. Los ambientes de resolución de problemas son complejos e incluyen planes en varios niveles y decisiones frecuentes que conducen a escenarios distintos. Desde esta perspectiva los ambientes de resolución de problemas son potencialmente fecundos y pueden constituir uno más de los muchos recursos que el profesor necesita para organizar los aprendizajes multidimensionales de sus alumnos. • Al crear un ambiente o proporcionar oportunidades a los alumnos de modificar su comprensión matemática. con la aplicación
. • El profesor sabrá que para cualquier tema hay diferentes niveles de comprensión y que éstos nunca se alcanzan ‘de una vez por todas’. • El profesor estará consciente de que las distintas personas tendrán modos de comprensión distintos. La posibilidad de organizar los aprendizajes curriculares en estos ambientes depende de la habilidad que tengamos los profesores para administrarlos en función de ciertos objetivos. estará consciente de que tal progreso puede no ser logrado por algunos estudiantes y puede no ser logrado como se esperaba por otros. sin dejar de lado las variantes posibles. Para lograrlo necesitamos incorporar una perspectiva de trabajo que nos permita convertirnos en productores de nuestros propios saberes y prácticas. es importante poner en acción un conjunto de creencias que Pirie y Kieren (1992) resumen en cuatro principios: • Aunque un profesor puede tener la intención de impulsar a los estudiantes hacia objetivos de aprendizaje matemático.
Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que se describen en la sección siguiente. la clase. durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. etc. la unidad. como es el caso de algunas de las líneas que apuntan al desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior. Así mismo identificamos. Cada profesor tiene su estilo de docencia. En nuestras academias y en la red de interacción en Internet podremos ventilar nuestras inquietudes y dificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugerencias de nuestros colegas. se puede modificar o adaptar aprovechando la información que aporta. instrumentarlo y evaluarlo. El trabajo del profesor En esta Guía te presentamos una propuesta de trabajo que toma en cuenta las características del quehacer docente mencionadas antes y. por tanto. Para utilizar las actividades en una sesión de clase. el tema. Esta terna se repite en distintos niveles: la actividad. Necesitamos desarrollar la habilidad de usar una especie de “zoom” que nos permita destacar los aspectos importantes que corresponden a cada nivel. en forma individual o en equipo. Por ejemplo. El comentario concluye con una ficha que resume los aspectos más importantes. el ciclo. el curso. el área. si se trata de una experiencia necesaria pero que no genera un aprendizaje inmediato exigible. Así se irán conformando historias de problemas que se robustecerán cada vez que las trabajemos en clase. consideramos los objetivos de niveles distintos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. Esta labor la podremos emprender aprovechando la red de interacción académica en internet. establecemos los lineamientos de interacción con los alumnos y los criterios de evaluación correspondientes. desde una persÁlgebra
. vinculándolos con otras experiencias de aprendizaje posteriores y haciendo inferencias explícitas sobre el desarrollo de la comprensión de los conceptos y procesos que se ponen en juego. así como de las discusiones que se realicen alrededor de nuestras preocupaciones comunes. Apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes. para avanzar en la solución de la actividad y describe la articulación de las representaciones. que se puede beneficiar de una práctica y una reflexión más sistemáticas. hay que hacer un plan.de las estrategias correspondientes. En cada acto de enseñanza.
La planeación de un problema. La planeación de una sesión de trabajo
Marco para el análisis de los problemas
La planeación del problema
Documentos que concretan la planeación de un problema
Enunciado del problema Propósitos del problema Precepto de evaluación
Situación problemática embrionaria
Descripción de la situación problematica embrionaria según las categorías del Marco para el análisis de los problemas
Solución de referencia Cuadro de soluciones Lineamientos para la interacción con los equipos Guión de la discusión Variables del problema
Figura 1. aun cuando la posibilidad de actuar sobre algunos factores sea muy escasa. es importante que nos veamos como parte de diferentes subsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestro campo de competencia y responsabilidad.pectiva sistémica. superar algunos callejones sin salida que parecen tales cuando sólo se atiende a la perspectiva del salón de clases. instrumentar y evaluar una sesión de resolución de problemas. En este sentido. A modo de ilustración te presentamos cómo puedes planear. los factores que influyen en su práctica para establecer estrategias de acción.
1. El «zoom del profesor» se constituye así en una herramienta para. desde perspectivas distintas pero pertinentes.
los aprendizajes que prepara. Esto le permitirá al profesor definir previamente no sólo la actividad que trabajará. aritmética. entonces.
. Dentro del salón de clases el profesor toma decisiones constantemente con base en el marco de referencia que le brindan los documentos de la planeación y la información que va registrando durante la sesión. textual. son una guía que nos permite dirigir la sesión hacia el objetivo establecido. El propósito de la actividad debe considerar que no todos los aprendizajes pueden ser inmediatos y que hay cuestiones que sólo se logran a largo plazo.).Aquí describimos una manera de organizar una sesión a partir de una actividad que permite generar información sobre estos aspectos en cada instrumentación conformando una ‘historia del problema’ o. las categorías de resolución de problemas y los objetivos institucionales. cuál es el objetivo de la sesión y los tiempos disponibles. en el sentido de no invalidar el trabajo de los alumnos ni privarlos de la satisfacción de encontrar la solución por sí mismos. a) Lineamientos para la interacción con los equipos: darán las pautas a seguir en la interacción del profesor con los alumnos mientras realizan la actividad. hasta dónde debe llegar la sesión y en caso de no lograrlo. de la actividad de aprendizaje. icónica. cuáles van a ser sus actitudes ante los obstáculos. sin desvirtuar la actividad. Los documentos que concretarán nuestra planeación son: Propósito de la actividad: que se manejará no únicamente desde la perspectiva de un contenido programático sino considerando las representaciones que articula (gráfica. La fase de planeación requiere un análisis de la actividad desde un marco de referencia y el registro por escrito de ese análisis. debe ser flexible. La planeación. qué hará para cumplir sus objetivos. etc. Uno de los objetivos de la planeación es hacer explícitas nuestras expectativas. en general. Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estos documentos está enfocado a los momentos que constituyen la sesión de trabajo. La intervención de un profesor debe estar guiada por el ambiente. Por supuesto que lo que ocurrirá en la sesión de trabajo no puede estar completamente definido. sino también cuáles son los obstáculos con los que se puede topar el alumno.
Las interacciones durante la discusión del trabajo de un equipo.
Recomendaciones para la evaluación de la actividad: la evaluación de la actividad debe considerar por lo menos: a) Solución de referencia: esta solución se elabora considerando los conocimientos que se ponen en juego durante la resolución del problema o la realización de la actividad.
A1 A2 A3 Equipo A4
Figura 3. Se consideran los posibles desarrollos de las soluciones y se establecen los lineamientos para la participación del profesor.Lineamientos
A4 M A1
b) Guión de la discusión: brinda un marco para la conducción de la discusión. b) Precepto de evaluación: este documento contiene la descripción de los estándares de evaluación de un problema en par18
. La interacción del profesor con un equipo.
Además de la evaluación en los alumnos. las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos. Hay que dar oportunidad a que surja la participación espontánea de los alumnos. hay algunas intervenciones en las que se pueden solicitar aclaraciones. La disyuntiva fundamental del profesor es decidir cuándo conviene detenerse para profundizar algún aspecto matemático. La idea es contrastar los análisis previo y posterior a la instrumentación para hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles. ya sea para avanzar o profundizar en los contenidos que se pusieron en juego en el problema o para corregir las ideas erróneas que se hayan identificado. habilidades. el profesor debe evaluar la efectividad y los resultados que se obtuvieron. precisiones. El precepto debe reflejar los principales aspectos del problema y aportar información útil para orientar el curso de las acciones del profesor y del estudiante. No se trata sólo de la evaluación de los conocimientos. actitudes y transferencia del alumno. Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por los lineamientos para la interacción con los equipos y por el guión de la discusión. que no logran formularse. La evaluación de la actividad Después de realizada la actividad. 3. se tiene la evaluación de la actividad y parte importante de ella es ‘historiar el problema’. explicaciones o justificaciones cuando el profesor advierte indicios de perplejidad o incomodidad en el equipo o en el grupo. La evaluación de la actividad debe aportar información útil y confiable para mejorar el diseño de la actividad. 2. se puede comÁlgebra
. Hay un principio básico para que la planeación resulte útil: antes de hablar. de tal manera que no se vaya a desvirtuar la experiencia de aprendizaje que le corresponde disfrutar a los estudiantes con comentarios impacientes o irreflexivos.ticular. La instrumentación La planeación debe tomar en cuenta los cursos diversos que puede seguir la acción durante la instrumentación. hay que escuchar. Sin embargo. No es conveniente prodigar los comentarios ni las reformulaciones. y sus posibles consecuencias en función de los propósitos de la sesión.
Pero. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se pueden usar y comentar constantemente durante
. además. y lo que necesariamente hace el profesor es trabajar con los alumnos. La historia de un problema. de tal manera que esta historia del problema se constituya en un saber propio del profesor generado en su práctica.
registros del profesor organizadores
documentos que concretan la planeación del problema
producciones de los estudiantes viñetas
Figura 4.plementar muy provechosamente con la investigación de los problemas y las condiciones en que se originaron los conceptos que se ponen en juego. se vaya robusteciendo en las sucesivas puestas en escena. una propuesta para la organización del aprendizaje de los alumnos que se plantea en una serie de materiales. hemos optado por basarnos en nuestra experiencia y en la disposición de hacer explícitas nuestras expectativas para que. aun cuando nuestro primer análisis sea muy rudimentario. puesto que nuestra perspectiva es la del profesor. Los registros audiovisuales brindan la oportunidad de aprovechar las ventajas de un análisis más detenido para incorporar sus resultados en las historias de los problemas.
Materiales Auxiliares Para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) Se tiene.
La mejor manera de familiarizarnos con los MAPOA es usarlos para organizar nuestro aprendizaje. Hay una necesidad de plantear una reconceptualización del quehacer del profesor desde los ejes constitutivos de su trabajo. Para que estos cambios tengan lugar se requiere de un compromiso muy fuerte y del tiempo necesario para fortalecer nuestras organizaciones y para darnos las condiciones indispensables que nos permitan convertir nuestro trabajo docente en el trabajo de un profesional reflexivo. Puesto que somos profesores. La Guía del Estudiante va acompañada de un disco compacto que incluye tanto actividades interactivas como paquetes con herramientas de graficación y con sistemas de cálculo algebraico. tenemos una idea clara de las condiciones reales en que se realiza nuestro trabajo. Estos recursos. las oportunidades de aprender. ya sea en el ámbito escolar o en forma de tareas. un tránsito hacia un ejercicio profesional de la docencia implica tanto una revisión de la forma en que concebimos nuestro trabajo como una redefinición de las relaciones que tenemos con las instituciones educativas.las actividades de aprendizaje con los estudiantes y de planeación con los profesores. que estarán a disposición de los estudiantes. En la medida en que nos familiaricemos con ellos. Entre estos ejes se destacan:
. También hay algunas animaciones y ejercicios de práctica y autoevaluación. En el proceso de profesionalización de nuestro quehacer abundan. afortunadamente. en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. se deben integrar como parte de sus experiencias de aprendizaje con una planeación adecuada. Desafíos docentes Es importante que hagamos un esfuerzo sistemático por hacer explícitos los sistemas de creencias que sustentan nuestra práctica docente. Así tendremos una experiencia de primera mano que compartir con los estudiantes. pueden llegar a constituir un lenguaje común. pero hay que evitar la autocomplacencia y el victimismo. El uso cotidiano y responsable de las herramientas tecnológicas para la comprensión de las matemáticas puede contribuir a crear un ambiente propicio para el desarrollo de los aprendizajes complejos e integradores que promete nuestra institución a todos sus estudiantes.
los profesores tenemos un papel de intervención directa en el proyecto cultural de la institución. En este sentido. podremos dejar de ser entes aislados para convertirnos en sujetos participativos. es necesario que. instrumentación y evaluación para el logro de los ambiciosos. se abran y consoliden otros espacios de reflexión. cuyas acciones no sólo repercutan en el estudiante sino en todo lo que implica la institución educativa. un proyecto que se concibe como un proyecto dinámico en construcción permanente. en donde los profesores podamos avanzar en nuestra profesionalización como docentes.
. Para que podamos asumir nuestro papel como sujeto del cambio que plantea una reforma académica integral. objetivos del nivel. Al insertarnos en estos espacios. un elemento fundamental de la instrumentación de estas guías. Dada la complejidad del quehacer docente en los niveles que incluyen las fases de planeación. pero pertinentes. es necesario consolidar los espacios de reflexión en los que se define la orientación del ejercicio de la docencia. discusión y producción. es una red de interacción académica de profesores de matemáticas del NMS del IPN en Internet. en el que participan todos los agentes educativos. además del espacio privilegiado que representa la academia.• Las relaciones que enmarcan y posibilitan su labor académica • Los modelos educativos que orientan su práctica • La axiología social y educativa que lo identifica con los fines y valores de una institución En este sentido.
por lo que se considera que son -o deben ser. De todo esto lo que más se asemeja a lo que todavía muchos alumnos esperan del profesor corresponde a ejercicios.Justificación de la Secuencia de Aprendizaje
(comentarios acerca de las secuencias de aprendizaje)
En la Guía se tienen señaladas distintas actividades de aprendizaje: problemas. así como interpretar los mensajes en ambas formas. Expresarse correcta y eficientemente en español. valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias.
. tanto en forma oral como escrita. Se considera que. Esta variedad de actividades es necesaria para el cumplimiento de los objetivos del programa y de la dimensión matemática de las Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato. ejercicios. Las competencias básicas se refieren al dominio. problemas con guía. en términos generales. tareas y autoevaluaciones. las competencias básicas que deben estar presentes en el perfil del educando son: C1. laboral o cotidiana. por parte del estudiante. habilidades.comunes a todos los bachilleratos del país. como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar. las humanidades y la tecnología. proyectos. de los conocimientos. lecturas.
Aprender por sí mismo. podrá responder lo que se le pide. incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo. El profesor orienta el trabajo del alumno. su autoestima y autocrítica. salud física y formación cultural y estética. Utilizar los instrumentos culturales. Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos. La idea es que el alumno se vaya acostumbrando a tomar decisiones y a justificarlas. encontrarle un sentido a la situación planteada. a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social. en los problemas ecológicos. en una visión global del medio natural y social. científicos. Comprender. Problemas: Aquí se presenta un enunciado en el que se pide la respuesta a una o más preguntas y aa alumno le corresponde responder. Las actividades propuestas en las Guías lo permiten. criticar y participar racional y científicamente. matemáticos. socioeconómicos y políticos de su comunidad. de cómputo. Como es una actividad de apren24
. pero no es él quien debe resolver y responder lo que se pide. establecer una forma de representar la situación mediante una tabla.). se impone el uso integral de varios tipos para ello. Pero no termina aquí su trabajo. Para ello debe comenzar por una lectura cuidadosa del texto. a partir de los conocimientos asimilados. C8. como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad. con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos. metodológicos y técnicos. región y país. C4. Integrar los conocimientos de los diferentes campos. poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual.C2. C3. gráfica o expresión algebraica (mejor si utiliza las tres) y al trabajar con ellas. simbólicos. etc. Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana. es decir si es aceptable a partir de la situación presentada en el enunciado. No se pueden fomentar estas competencias con un solo tipo de actividad de aprendizaje. A continuación te proporcionamos comentarios sobre la importancia de cada una de estas actividades. C6. C7. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo. C5. básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social. Debe darse cuenta cuando su respuesta tiene sentido.
Cuando se trabaja un problema. no responda con un “sí” o un “no”. se les pide que preparen una presentación ante el resto de sus compañeros. Si manifiestan que están de acuerdo. y no faltarán alumnos que digan que prefieren trabajar solos. cuando un alumno pregunte si está bien. Desde luego que no es suficiente. Al trabajar en equipo con otros de sus compañeros reduce esta parálisis. y provoca la sensación de que se está perdiendo el tiempo. Así. es el grupo en pleno quien decide qué soluciones están bien. encontrar una respuesta a la situación planteada no concluye el problema. Ante esto el profesor no debe simplemente imponerles la decisión de trabajar en equipo. Mientras los alumnos están trabajando. a pesar de juzgar interesante e importante el tema tratado. A partir de preguntas y comentarios breves orienta el trabajo de los equipos. El profesor debe decidir si desde el primer momento les presenta objeciones a su solución. Pero si se va a fomentar su independencia. el profesor debe estar al pendiente de lo que está ocurriendo en cada equipo. se les replica con otra pregunta: “¿Por qué no estás seguro?” y se invita a otros alumnos del equipo a que externen sus ideas. ante todo esto. No están acostumbrados a que sean ellos mismos quienes lo determinen. que ante la pregunta: “¿estamos bien profesor?”. que facilite el tratamiento de otras situaciones similares y el planteamiento de otras preguntas. El alumno.
. Incluye discusiones para llegar a acuerdos o para una comprensión mutua de los desacuerdos y la fortaleza o debilidad de la posición de cada uno de los integrantes. sino tratar de convencerlos de la conveniencia de ello. más de lo que alumnos y profesores estamos acostumbramos dedicarle a un tema. Es cierto. fácilmente se puede paralizar y decir “no entiendo”. Los alumnos están acostumbrados a que sea el profesor quien establezca quiénes están bien y quiénes no. Debe cuidarse de no calificar el trabajo de los equipos. Estas discusiones requieren tiempo. se corre el riesgo de que se acepte una solución con errores y el profesor debe evitar la tentación de decirles que se equivocaron. deben acostumbrarse a hacerlo. Trabajar en equipo no se reduce a separar temas y repartirlos entre los integrantes. es decir. o deja que pasen algunos días antes de volver a tratar el mismo problema. Es más fácil que un alumno se anime a comentar con sus iguales lo que entiende y qué puede hacer.dizaje. éste continúa y se amplía al buscar otras formas de resolverlo o el establecimiento de un método de solución. Todo esto no es sencillo ni para el alumno ni para el profesor.
No es así. De esta forma estará en condiciones de anticipar dificultades y preparar comentarios que permitan avances en los alumnos. hacerle sentir que mucho de lo tratado en la sesión se pierde y. Cuando se tienen las primeras sesiones de resolución de problemas es usual que tanto alumnos como y profesores perciban que aunque interesante. el profesor debe haberlo estudiado y establecer un plan para su puesta en escena. sino de hacerle ver que hay inconsistencias o contradicciones en su argumentación. la importancia de saber escuchar y ser escuchado. Así. se requiere de más tiempo y más cuidado en el argumento que el propio profesor construya para convencer a su alumno. eso no es una clase de matemáticas. pues ucuando todo el grupo esté discutiendo el problema propuesto. Pero no es sencillo lo que tiene que hacer el profesor. la argumentación que sustenta las opiniones o conclusiones de una persona o de un equipo.
. pero si el profesor tiene claro cuáles son los objetivos a lograr en el problema. es que así es”). la presentación ante otros de las ideas propias. el desarrollo de estrategias para enfrentar un problema. Pero no es seguro que lo anticipado ocurra exactamente.Para un alumno. no a partir de una posición de autoridad (“soy el profesor y si te digo que estás mal. que. la actividad del profesor en una sesión de resolución de problemas puede parecer bastante menor: pasearse por los equipos. le resultará más fácil decidir el sentido de sus intervenciones. la importancia de lo que se aprende mientras se busca resolver un problema. y sentir que no tiene control en la sesión. en consecuencia. la discusión matemática. si acaso. el ruido que se provoca y la variedad de ideas que se manejen pueden aturdir al profesor y al encontrar que no es posible tratar todo lo que surge en el tiempo deque se dispone. observar lo que están haciendo. que el profesor puede ser rebasado. hacerles algunos comentarios y no decir quiénes están bien y quiénes no. es una actividad para quitar la tensión de lo que es la materia y las dificultades que se tienen para aprenderla. en ella se ponen en juego varios aspectos importantes: fomenta la lectura reflexiva. es tiempo perdido en el curso. la improvisación en sus intervenciones con los alumnos es inevitable. Hay algo más que se encuentra el profesor en una sesión de problemas: cuando se busca convencer a un alumno de que su idea sobre cierta situación está equivocada. Es tanto todo esto. Antes de proponer a los alumnos un problema.
Para el curso no es necesario que se trabajen todos los proyectos que contiene. Para que esto se logre. La diferencia consiste en que. La intención es disminuir las sensaciones de parálisis. el enunciado incluye preguntas o actividades que se pide a los alumnos realizar para responder la pregunta (o preguntas) principales del problema. El alumno debe desarrollar su habilidad de leer. Fomentar
. cuando se tenga la discusión general. En todo caso.Habitualmente los enunciados de los problemas son cortos y esto permite que los alumnos puedan pensar y seguir distintos caminos de solución. una comparación entre los distintos métodos de solución. se requiere que se interesen en él. el profesor tendrá la oportunidad de destacar la que más le interese y proponer. Para que un equipo pueda entregar un buen reporte de un proyecto. De esta manera se dirige más al alumno hacia un camino o forma de resolver el problema. de todos los equipos. Pero no es así. Si está bien fundamentado el camino que sigue un equipo. sino que sean puntos de partida para discutir los temas que tratan. que no lo vean como una tarea más que se deja en una materia para la cual basta entregar un reporte donde se anote lo que el alumno sabe que quiere el profesor. si es necesario. pueden ser sólo algunos de ellos. el profesor debe respetar su trabajo. En los problemas con guía se tienen sesiones similares a las de los problemas. Los proyectos son problemas que requieren de mayor tiempo para trabajarlos y fuera del salón de clases. una introducción de temas que predispongan al alumno para el trabajo en serio de la materia. se requiere la elaboración previa de un cuestionario que el profesor debe tener y el cual sirva de guía para la discusión de la lectura. El profesor no debe prohibirles alguno sólo por no haberlo él previsto antes en la planeación del problema. La intención es fomentar la importancia de la perseverancia en el trabajo y de enfrentar compromisos que se hacen. Delas lecturas propuestas no se espera que el alumno haga un resumen. Queda en el profesor decidir cuáles son los proyectos que se destacan. tensión y angustia que algunos alumnos pueden tener con los problemas que dejan abierta la vía de solución. Las lecturas pueden verse como simple complemento al curso. en los primeros. de manera que pueda aprender de ella. del problema y se presenten varias vías de solución.
Los ejercicios en la guía tienen un significado diferente al de los problemas. Contiene todas las actividades que al alumno le permitirán tener una buena comprensión de la misma. Vale la pena destacarlo de nuevo: esta Guía no es un texto de matemáticas en donde se encuentra todo lo que el alumno necesita para aprender Álgebra. Particularmente es importante esto porque ahora estamos inundados de información de todo tipo. y se requieren habilidades para hacer a un lado la información que no sea importante y.en el alumno una lectura crítica y reflexiva (cuidadosa) contribuye a la elaboración de argumentos mejor estructurados. Lo que se busca es que se utilice ese procedimiento y que. y una comunicación más eficaz de sus ideas. En un ejercicio ya se conoce el tipo de situación planteada y que existe un procedimiento para resolverlo. Al disponer de un texto. pero esta Guía va acompañada de un texto. el profesor podrá sugerirle revisar otros temas correspondientes al que se esté trabajando. Lo ideal es que cada alumno tenga su Guía y su texto. es posible que la academia de matemáticas de cada escuela decida utilizar otro equivalente en contenido y calidad. signos de igualdad y líneas de fracción donde sea necesario. El profesor
. analizar cuidadosamente la que sí lo es. Aunque se señala como texto el libro Álgebra con aplicaciones de Elizabeth D. se desarrolle cierta soltura en el manejo de estas situaciones de manera que se adquiera rapidez y precisión en lo que se hace. Phillips y otros. de manera que no confunda la importancia de escribir signos. el alumno deberá recurrir a su texto para leer las explicaciones correspondientes y revisar los ejercicios resueltos en él (aquí se destaca la importancia de la lectura). Esta actividad algunos alumnos la identificarán como lo que es una clase de matemáticas. permitiendo que en el salón de clases se discutan problemas (con guía y sin ella). paréntesis. más fácilmente el alumno trabajará buena parte de los ejercicios fuera del salón de clases. Si el profesor logra sensibilizar al alumno de la importancia de aprovechar el poco tiempo de que se dispone en el salón de clases. que al menos el texto esté disponible para él en la biblioteca de su escuela. pero si no es posible. lecturas y autoevaluaciones. en cambio. Ante las primeras dudas que surjan de un ejercicio. el apoyo importante lo tendrá el alumno en su libro de texto. Para lograrlo se requiere de un trabajo cuidadoso en el alumno. Sin embargo. en lo posible.
Las tareas se refieren a las actividades que los alumnos deberán realizar fuera del horario de clase. se tiene que trabajar más. El profesor conoce las soluciones de las mismas.
. Las autoevaluaciones le permiten al alumno conocer su comprensión y dominio de los temas tratados. en consecuencia. Si decides excluir alguna actividad. Cuando lo juzgue necesario discutirá en clase algunos ejercicios. Debes revisar todas estas actividades de cada unidad y planear la secuencia que vas a llevar a cabo con tus alumnos. Estas actividades están presentadas por bloques. instrumentar y evaluar cada actividad de aprendizaje de nuestros alumnos. asegúrate de incluir las que permiten cubrir los objetivos de aprendizaje requeridos en la unidad. No olvides que es enriquecedor compartir con los colegas tus inquietudes y los resultados de las actividades de aprendizaje instrumentadas por ti. suponiendo 12 horas para cada unidad. pero siempre después de que ya los trabajaron sus alumnos. y más todavía si planeas y evalúas actividades en equipo con tus compañeros de trabajo.debe conocer en detalle el texto que esté utilizando para orientar más fácilmente a sus alumnos sobre la mejor manera de utilizarlo. Buena parte de ellas consiste en el trabajo que deberán realizar con su libro de texto. En cada unidad se presentan actividades de aprendizaje para los alumnos. A continuación presentamos las actividades propuestas para cada unidad. y su actividad principal es señalar al alumno el momento adecuado de utilizarlas y destacar un aspecto que usualmente se olvida en las evaluaciones: identificar dónde se tienen deficiencias y. pero también están las lecturas y la conclusión de alguna actividad que no se terminó en clase. Recuerda que podemos identificar tres momentos importantes en nuestro trabajo como profesores: planear.
Esto le permitirá desarrollar habilidades para abordar el estudio de los polinomios. lo que le permitirá reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados.. las ecuaciones y las
expresiones racionales.. Las ballenas
el más hermoso . así como el uso de exponentes y
su aplicación en la notación científica. De la Aritmética al Álgebra
Al término de la unidad el alumno resolverá diferentes problemas incorporando de manera paulatina la notación literal y las reglas de escritura
algebraica. 79-82
. Sucesiones proporcionalidad La función de Calendario del siglo XXI Ética y matemáticas Una introducción Ejercicios Lecturas Proyectos
de don Cubo
3-4 de Alaska
Y el hermoso Nireo. 71-79 Resuelve los ejercicios de la forma 5n de las pp.30
UNIDAD 1.23-25 de ‘Álgebra con aplicaciones’ de Phillips et al. Problemas con guía Actividades Internet La zorra y el perro a las representaciones gráficas Lee haciendo pp. 10-22 Resuelve los ejercicios pares del 48-60 de las pp.
La tribu y
8-9 porcentajes Los peluqueros atribulados
Lee haciendo pp.
109-113 Polinomios para describir Resuelve los ejercicios Lee haciendo pp. 103-109 Resuelve los ejercicios de la forma 5n+4 de las pp. desarrollando además sus habilidades para traducir el lenguaje coloquial
al lenguaje simbólico-abstracto y para la elaboración de modelos con polinomios.típico?
. 88-93 La cajita perenne Hamfast Polinomios Lee haciendo pp. 99-102 Que diferencias. 82-88 Variables y pronombres Potencias Internet Actividades Ejercicios Lecturas Proyectos
Al término de la unidad el alumno manejará la notación algebraica y realizará las operaciones de adición y multiplicación de polinomios. 93-99 Resuelve los ejercicios de la forma 6n+5 de las pp.
¿Yo.Álgebra
Problemas con guía Identidades Algebraicas Cursos de actualización de la forma 7n+1 de las pp. ¡ay! tan finitas Lee haciendo pp. a partir del
planteamiento de problemas matemáticos aplicados a situaciones cotidianas.
. que conduzcan a una ecuación lineal y para lo cual hará uso del método tabular como medio para explorar y establecer la expresión
analítica de la función. Problemas con guía Rectas y sus ecuaciones Internet Actividades Ejercicios Lecturas Proyectos
4-6 primer grado Resolución de problemas Viajes y viajeros Telmex y AT&T de las funciones El lenguaje de la forma 5n+3
Moira y Eris
Lee haciendo pp. Ecuaciones y funciones lineales
Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del
conocimiento-. la resolverá por el método algebraico y/o gráfico e interpretará el resultado. 161-165
Renta de automóviles Lee haciendo pp. 213-225 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp.32
UNIDAD 3.146-160 Resuelve los ejercicios de las pp. obtendrá la ecuación.
362-367 Resuelve los ejercicios de la forma 3n del 2-20 de las pp. 275-289 Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp.e interpretará los resultados. 368 Dos conjuntos de puntos Teorema de Pitágoras Lee haciendo pp. 371-388 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp.Álgebra
Problemas con guía Los peluqueros atribulados Lee haciendo pp. 357-358 y los de la forma 5n+1 de la p.4
La gris acera
La gris acera*
.349-357 Cómo resolverlo y pp.
3. 388-395 El dulce chupado segundo grado Ecuación de Un pato Internet Actividades Ejercicios Lecturas Proyectos
UNIDAD 4. que conduzcan a la formulación de ecuaciones de segundo grado. las resolverá por el método algebraico y/o gráfico -asociado con
funciones cuadráticas. 289-293 Identidades algebraicas La razón áurea Lee haciendo pp. Ecuaciones y funciones cuadráticas
Al término de la unidad el alumno planteará y resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del
269-273 Galletitas Programación lineal Programación lineal Ifigenia cruel Lee haciendo pp.34
UNIDAD 5. además resolverá correctamente los sistemas de
ecuaciones lineales y cuadráticas utilizando los métodos tabular. 444-449 Un problema de programación lineal Lee haciendo pp. Problemas con guía Moira y Eris* ecuaciones lineales Las velas Resuelve los ejercicios de la forma 5n+2 de las pp. 263-268 La zorra y el perro* Mejor muerto que siervo Lee el resumen pp. Figaro su. Figaro
lá. interpretará
y vinculará las representaciones tabular. algebraica y gráfica mediante el uso de calculadoras con poder de graficación y software matemático.4
Figaro qua. algebraico y gráfico y comprobará su solución. 268-269 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+7 de las pp.
Figaro giú
Dédalo y Calipso
El asta reincidente
. Así mismo construirá. Sistemas de ecuaciones
Al término de la unidad el alumno construirá modelos matemáticos que incluyan sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas provenientes de
contextos matemáticos y extramatemáticos de lo cotidiano y de otros campos del conocimiento.245-262 Ecuaciones simultáneas Sistemas de Internet Actividades Ejercicios Lecturas Proyectos
La madre Gea
3. 433-444 Resuelve los ejercicios de la forma 7n+4 de las pp.
Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de variación proporcional inversa entre dos variables y aquellos que den lugar a
ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales o cuadráticas para que se familiarice con las propiedades básicas de fracciones algebraicas
racionales y con algunas funciones racionales simples. analizará cualitativamente el comportamiento de la gráfica de funciones
polinomiales simples.UNIDAD 6. ¡ay! tan finitas Dos conjuntos de puntos proporcionalidad inversa Midiendo belleza Mis propios datos Función de Ejercicios Lecturas Proyectos Operaciones con funciones Lee haciendo pp. Funciones polinomiales y racionales
Problemas con guía Actividades Internet La cajita perenne Qué diferencias.
Los tinacos:
el negrito que no
Tiestes y Atreo en
festines horrendos
. 409-426 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 580-584 Lee haciendo pp. Así mismo. 566-579 Resuelve los ejercicios de la forma 6n+2 de las pp.
Lo que se tiene que aprender.
.Sobre los MAPOA
No basta decirle a los alumnos que se pongan a estudiar. Nuestros alumnos requieren de ciertos lineamientos. De esta manera podrás referirte a ellos en el momento oportuno. comentarios. Desde las primeras clases solicita a tus alumnos que recorten y enmiquen las fichas para que las tengan a la mano para una consulta rápida. Parte de tu trabajo es dosificar la lectura e incorporar en forma paulatina lo contenido en estos materiales. pues el ejemplo que refuerza o contradice el discurso tiene una influencia a veces definitiva. referencias y sugerencias para que organicen su trabajo y esto les permita cumplir con los requerimientos que se les hace. Los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) se elaboraron con este fin. por ello es necesario que los conozcas en detalle antes de que los alumnos los tengan en sus manos. el alumno debe incorporarlos poco a poco en su trabajo cotidiano en las diversas actividades de aprendizaje que realice. Recuerda que tú también debes utilizar estos materiales cuando sea oportuno. las habilidades a desarrollar y las actitudes requeridas no se logran simplemente al escuchar o leer acerca de ellas.
Para lograr los objetivos del bachillerato. Son acciones y realizaciones a veces más complejas que las que se aprenden en la escuela. A continuación te presentamos dos documentos de los MAPOA acompañados de comentarios acerca de su uso o aspectos relevantes para su discusión con los alumnos. agrégalo y coméntalo con tus compañeros de la escuela donde laboras (mejor aún si te comunicas con el resto a través de Internet). que además nos resulten provechosos en el futuro. reflexionar y comunicar». Cuando el estudiante se acerca a la escuela y no hay convicción.y al mismo tiempo evitar que se vuelvan inservibles al romperse o al borrarse su contenido. Para la mayoría de las personas. es que nos brinde algunos aprendizajes verdaderamente significativos en el presente. un estudiante ya sabe hacer. en la adquisición de conocimientos. ver y reproducir». «hacer. fácilmente cae en la farsa típica de complicidades compartidas: el profesor hace como que enseña y el
. a estas alturas de la vida. Los MAPOA contienen el modelo PER. Desde luego puedes agregar otros documentos que juzgues necesarios. Esta capacidad ya probada debe generarte confianza en tu capacidad de aprender también en la escuela. el estudiante invierte tiempo. el portafolios. y exigirle a la escuela. además de documentos de introducción. ¿de qué manera?
Hay algunas actividades que. pasamos tanto tiempo en la escuela (haz la cuenta) que lo menos que podemos exigirnos. en estos tiempos. y las hace muy bien. La escuela es el ámbito de los saberes sistemáticos. o interés genuino.
PARA ENTRAR EN MATERIA En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel y se propone un modelo de aprendizaje esquemático. que contrasta con el tradicional «oír.
Este párrafo tiene como propósito mostrar la principal característica de los aprendizajes que se dan en la escuela. Sin embargo. los aprendizajes más importantes de la vida se dan fuera de los muros y las rejas escolares. en el desarrollo de habilidades y en la formación de actitudes. Si encuentras que falta algo en estos materiales. la Heurística. ¿Identificas esta característica en tu vida escolar?. dinero y esfuerzo. las fichas y formatos de evaluación.
Pero si quieres aprender a resolver problemas. (Así decían los griegos)
Recuerda estas tres palabras antes de emprender cualquier actividad. resuelves problemas. Estas habilidades. Papert) No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo eficazmente. debemos desprendernos de ellos para aprender en otro nivel.Comunicar
. hago y comprendo.
• Saber algo significa responder lo que el profesor considera correcto. Nuestro modelo de aprendizaje se puede resumir en los siguientes tres pensamientos:
Oigo y olvido. y vas a seguir haciendo cada vez más. de nombre tan elegante. tienes que tomarlas y asumir las consecuencias… Todo esto es más difícil. (S. fuera de la escuela. • Los exámenes se resuelven aplicando un sistema de claves de baja complejidad. Estas creencias son incompatibles con los aprendizajes que pretendes lograr en este bachillerato.Reflexionar .estudiante hace como que estudia y aprende. Aquí se trata de que desarrolles tus habilidades intelectuales de alto nivel. (Un viejo proverbio chino) Hacer… y reflexionar acerca de lo que se hace. • Se realizan actividades siguiendo procedimientos que se enseñan explícitamente. si quieres aprender a tomar decisiones. El estudiante acude a la escuela con una idea muy definida de lo que debe encontrar en la escuela:
Estas características de lo que se aprende en la escuela sólo funcionan para aquellos aprendizajes memorísticos. veo y recuerdo. organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. tienes que enfrentarte a verdaderos problemas.
Así nuestro modelo se puede sintetizar en la tríada:
Hacer . son las que aplicas cuando tomas decisiones. que si bien son importantes. pero es lo que haces.
Debido a esta complejidad. los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema y comprender algo de la interacción con el problema son muchos y de distintos niveles. La desatención de uno. se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. o varios. Te damos algunos ejemplos y queremos que pienses en otros. que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje.¿De qué manera puedes contribuir a adquirir tus propios aprendizajes? ¿Recuerdas haber resuelto problemas?.
. sus ventajas. con sus razones. los comentes con tus compañeros y propongas formas de evitarlos o favorecerlos. Juntos podrán definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje. lograrlos es una tarea más difícil pero también. creemos. ¿ha sido fácil su resolución?
El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor. sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante. ¿qué características tienen?. sus desventajas y sus riesgos. grupo chico y grupo completo) se han identificado algunas formas de actuación que obstaculizan y otras que contribuyen a la solución y a la comprensión. de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. más atractiva e interesante. los factores que intervienen en los procesos se administran. La resolución de problemas es un proceso muy complejo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Piensa en un laboratorio en el que se estudian algunos procesos. Los nuevos objetivos son más complejos. En cada una de las modalidades de participación durante la resolución de los problemas (individual.
En una sesión resolución de problemas se integran varios procesos. Un problema es una situación matemática o extramatemática que no tiene una solución inmediata. quizás varias clases. tal vez. la actividad se puede retomar posteriormente en clase o extraclase. el tipo más importante de actividades debido a la riqueza tan grande que ofrece al estudiante. En la resolución de problemas los alumnos trabajan por equipo. pero dependiendo del grado de avance y el objetivo de aprendizaje. imaginación y creatividad.
. que requiere más tiempo y presenta mayor dificultad para los estudiantes. sin embargo. Recordemos el contenido de una de las fichas de los MAPOA acerca de las características de un problema. exponen y reportan. Es. puede consumir mucho tiempo. admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones. En todo momento está presente la discusión y argumentación matemática. y es pertinente el uso de casi todos los Materiales Auxiliares Para la Organización del Aprendizaje (MAPOA). Una actividad de resolución de problemas difícilmente queda concluida en una primera aproximación al problema. y validan su solución. o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental. también es una de las más difíciles de implementar.
generalice sus soluciones y reformule. Necesitan apoyo. el problema en otros campos. que ya no fue tal. que genere criterios para validar interpretaciones y los modelos matemáticos. o no. Así. se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos. en la que se requiere de las matemáticas. surjan y evolucionen los conceptos matemáticos como respuesta a sus propias preguntas. la actividad perdió toda su riqueza como medio y fin de aprendizaje. Es posible que nuestros alumnos no estén acostumbrados a resolver problemas. Desde luego tampoco hay que dejar a nuestros alumnos solos esperando simplemente a que terminen el problema. es decir. terminar por ser nosotros quienes resolvamos el problema.Además. un problema ofrece una oportunidad para que el alumno logre adquirir varios aprendizajes importantes. pero para ello es necesario que cuando se le proponga un problema. especialmente el profesor. y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos. sino a ver que otros lo hagan. es potencialmente soluble. que busque conexiones entre diferentes registros de representación. Se pretende que el alumno haga uso de las matemáticas con las que cuenta para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situación. un buen problema no es paralizante. logre diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques. podemos desesperarnos y en nuestro afán de ayudarles. el alumno puede generar criterios para decidir cuando está resuelto el problema. En sesiones de resolución de problemas se busca la vinculación de las herramientas matemáticas con una dimensión de uso. se interactúa con una situación familiar. es decir que se olvide de que el problema se lo propuso el profesor y que se concentre en la búsqueda de su solución. pero mediante preguntas y comentarios que hagamos de su trabajo. Cuando esto sucede. es controlable por parte del alumno. es generador de conjeturas y preguntas. ampliándolo.
. lo acepte como propio. genera un conflicto emocional y contribuye a que el alumno produzca conocimientos nuevos o reorganice los que ha adquirido. él se involucre. Cuando varios alumnos sólo leen el enunciado del problema y de inmediato dicen “no entiendo”. no es inmediato. lo haga suyo. mientras los alumnos sólo toman anotaciones de lo hecho en el pizarrón. y desarrolle actitudes que le permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre.
instrumentar y evaluar las actividades llevadas a cabo en el curso. Al trabajar en equipo es más fácil que los alumnos comenten sus dudas. La importancia de esto en una sesión de resolución de problemas se manifiesta cuando nos enfrentamos a la necesidad de improvisar durante la instrumentación. Conviene que tengamos este escrito a la mano para no perder oportunidad de comentarlo cuando se resuelven problemas e identificar y destacar estrategias heurísticas que se utilizan. Si tenemos claro cuáles son los objetivos de la sesión y la manera de lograrlo. “están mal en su resultado. propongan procedimientos para resolver la situación propuesta. Empiecen de nuevo”. Y es que más adelante. sin que perdamos el control de la sesión. que las enmiquen y que siempre las tengan a la mano. es decir. lo lleven a cabo y lleguen a resultados. para poder consultarlas con facilidad. la presentación y discusión de las soluciones. además de anticipar dificultades en los alumnos. Nosotros hacemos recomendaciones para la organización del trabajo de los equipos. Hay que solicitarles que recorten copias de las fichas.
.Los MAPOA son importantes para cuando los alumnos resuelven problemas. es más fácil improvisar sin que se pierdan los objetivos de la actividad. En él se describe una estrategia sistemática que facilita resolver un problema. ese es el resultado”. en la presentación y discusión de las soluciones es todo el grupo el que debe validar las soluciones discutidas. y los anexos y la retroalimentación. En la resolución de la actividad los alumnos trabajan en equipo y escriben al mismo tiempo el reporte de su trabajo. Una sesión de resolución de problemas Para aprovechar de la mejor manera las posibilidades de aprendizaje y desarrollo de habilidades en los alumnos es necesario preparar cuidadosamente las sesiones de resolución de problemas. planteamos preguntas y damos sugerencias a los equipos de acuerdo al trabajo desarrollado por cada uno. Para crear las condiciones propicias para el logro de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos necesitamos planear. También se describen estrategias heurísticas que llegan a ser muy útiles al resolver problemas. Una sesión completa de resolución de problemas consta de tres momentos: la resolución de la actividad. Debemos evitar expresiones como “están bien. y no nosotros. Un documento especialmente importante para resolver problemas es La Heurística de Schoenfeld.
El trabajo en equipo no deja de tener riesgos. En cada momento el equipo que se encuentra al frente es quien dirige la discusión. es decir. lo dificulte. En la presentación y discusiones de las soluciones elegimos a dos o tres equipos para que presenten y discutan ante los demás sus soluciones. Hay que pedirles a los equipos que las utilicen cuando sea pertinente. LOS MOMENTOS DE UNA SESIÓN DE TRABAJO Primer momento La resolución de la actividad
Los estudiantes • Trabajan por equipo o individualmente sobre la actividad propuesta por el profesor • Elaboran un reporte por escrito en el que registran el proceso de solución • Presentan sus soluciones a todo el grupo de manera oral El profesor • Selecciona la actividad de aprendizaje a desarrollarse en esa sesión • Propone y organiza la actividad • Hace preguntas y sugerencias a los estudiantes de acuerdo a lineamientos preestablecidos • Atiende el trabajo de todos los equipos • Decide el orden de presentación de las soluciones
Segundo momento La presentación y discución de soluciones
Los estudiantes • Presentan la solución al resto del grupo • Intervienen en la presentación de las soluciones de los otros estudiantes con el propósito de validarlas en grupo presentación • Dirige la discusión de las soluciones según el objetivo de la actividad El profesor • Selecciona a los equipos y el orden de
. Unos minutos antes de que pase un equipo les avisamos a sus integrantes para que se organicen. Nuestra participación es como la de los alumnos. Debemos estar al pendiente de que la discusión que se tenga corresponda a los objetivos de aprendizaje identificados en la planeación. debemos solicitar la palabra al equipo que dirige la discusión. como que en lugar de impulsar el aprendizaje. Hay fichas sobre esto en los MAPOA.
Tercer momento Los anexos y la retroalimentación
Los estudiantes • Retoman individualmente el trabajo realizado en el primer momento y lo vinculan con la discusión general • Evalúan su trabajo y el de otros equipos sesiones anteriores • Define. En la introducción de esta Guía del Profesor se ofrecen comentarios más amplios sobre la planeación. que nos permitirá hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles. la solución de referencia y el precepto de evaluación) y el análisis posterior de la situación. el guión de discusión. el manejo sucesivo de la actividad dentro del salón de clases hará que esta historia del problema se constituya en un saber propio de nosotros los profesores. entregue un anexo del problema tratado y discutido. Aquí sólo destacamos la importancia del contraste entre el análisis previo que se concreta en los documentos de la planeación (los lineamientos para la interacción con los equipos. de manera individual. de acuerdo a los resultados obtenidos. Esta comparación entre lo esperado y lo obtenido proporciona los elementos para la elaboración de la historia del problema. la actividad siguiente El profesor • Comenta con los estudiantes sus reportes de
En los anexos y la retroalimentación los alumnos evalúan su trabajo y el de otros equipos. Aun cuando un primer análisis puede ser muy rudimentario.
. instrumentación y evaluación. las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos. Además se les solicita que cada quien.
Es posible que el estudiante tenga que generar él mismo los datos. Todos ellas comparten la misma idea de problema que mencionamos en los párrafos anteriores. Debemos vigilar el progreso de los equipos durante su tiempo de trabajo y destacar la importancia de los pasos que se sugieren dentro del contexto del problema. problemas con guía y proyectos. Problema con guía: además del enunciado contiene un cuestionario o una secuencia de pasos que le permiten al estudiante seguir avanzando en el problema usualmente desde situaciones sencillas a otras más complejas. que requiere más de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. III. Hay que recordar que la experiencia de aprendizaje puntualiza cuestiones en las que el estudiante debe profundizar. Mencionamos algo más sobre los problemas con guía.
. Proyecto: es un problema. aun cuando el problema y las instrucciones requieran una interpretación. En realidad las tres actividades son problemas. II. Problema: consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que se quiere que haga y responda el alumno. estas actividades se trabajan en equipo y son recomendable al introducir de manera deliberada alguna herramienta matemática en particular. Como en los problemas y proyectos. hay que evitar que los estudiantes trivialicen la actividad resumiéndola en una serie de procedimientos matemáticos o contestando exclusivamente los puntos que el cuestionario establece. El momento estimado para discutirlo provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado. I. La resolución problemas con guía permite que se pueda llegar a resolver el problema planteado siguiendo una serie de pasos establecidos. o un problema con guía.Problemas. debido a que preparan al estudiante en herramientas heurísticas importantes y generan confianza al trabajar en equipo. problemas con guía y proyectos En las actividades de aprendizaje se habla de problemas. También el momento estimado para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo trabajado. y que una parte importante del trabajo la tenga que hacer fuera del salón de clases. Pero expliquemos la diferencia que hay entre ellas.
000. Encuentra el número de álbumes que dará a la compañía la ganancia máxima. y hay varias comerciales que pueden utilizar. A continuación te presentamos dos ejemplos. A la compañía cada álbum le cuesta $95 y sus costos fijos son de $100. Por cada reducción de $5 en el precio por álbum. SOLUCIÓN Sean n el número de reducciones de $5 que se hace al precio de venta de cada álbum.
Por las condiciones del problema contenidas en el enunciado.. un problema y un problema con guía.5n)( 7000 + 300 n)
G( n) = V ( n) . se tiene:
C( n) = 95( 7000 + 300 n) + 100000
V ( n) = (290 .Una buena herramienta para la comprensión es la hoja de cálculo. V lo que se obtiene por la venta de todos esos discos y G la ganancia obtenida. a partir de un análisis cuidadoso del mismo. La intención es mostrarte cómo podemos explotar la riqueza que tiene un problema como medio de aprendizaje.”
ENUNCIADO: Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión de “Le nozze di Figaro” de Mozart-Da Ponte a $290 cada álbum.. Encuentra el número de álbumes que dará a la compañía la ganancia máxima por cada peso invertido. calcula que venderá 300 álbumes más. C el costo total para producir 7.000 + 300n discos.C( n) = -1500 n 2 + 23500 n + 1265000
. Vale la pena que busquemos incorporarla en nuestro trabajo con los alumnos. Ejemplo de problema: “Voi che sapete.
252. sino simplemente se hagan cálculos a partir de la comprensión de las condiciones del problema. al efectuar una división algebraica se obtiene la siguiente expresión:
.000 2. cuando se venden 7.500
V(n) 2. Esto corresponde a la última columna de la tabla anterior.335.6536 1.500 2.265.030.500 8.000 2.500 2.4444 1. Otra forma de resolver el problema es a partir de la construcción de una tabla similar a la anterior.300 7. al expresar las ganancias de la forma
G( n) = -1500( n -
47 2 4071125 ) + 6 3
se sigue que la máxima ganancia se tiene cuando
es decir cuando se producen 9.021.5888 1.500
G(n) 1.5188 1.288.500 2.000 álbumes al precio de $ 290 cada uno. En cambio. En ella se observa que los valores siempre están decreciendo.5544 1.000 2.352.400 álbumes.000 1.357.322.A partir de estas expresiones se puede construir la siguiente tabla. pero en donde no se establezcan relaciones algebraicas.000 1. costos. pues con esta cantidad se obtiene la mayor ganancia registrada en la tabla.000 1.400 9.000+300n 7.000 793. ingresos.500 936. de manera que el más alto es el primero.345. En este caso el encabezado de cada columna de la tabla sería: número de discos producidos.3265
De aquí se desprende que la máxima ganancia se tiene cuando se venden 9.287.356. si se sigue un trabajo algebraico.000 850.306.350 álbumes.4059 1. para calcular la ganancia máxima por cada peso invertido se divide G(n) entre C(n).500 2.000 1.000
G(n)/C(n) 1. ganancias y ganancias por peso invertido.000 2. En cuanto a la ganancia máxima por peso invertido.900 8.3666 1. es decir.000 7.600 7.4821 1.000 1.000 1.
7.376.000 1.500 822.6219 1.000 1.200 8.355.100 9. Ahora.800 9.320.000 964.000 1.000 907.214.500 993.700
C(n) 765.000 2.172.000 1.080.350.500 879.128.
C( n) 1083 19 1083(19n + 510 )
El análisis de esta expresión involucra un tratamiento algebraico más complejo (al hacerlo resulta que se tiene un mínimo en –44. mientras que al tomar valores de n grandes y positivos. sin embargo.84211). Para esto es necesario llegar a las expresiones algebraicas de la ganancia G(n) y de la ganancia por peso invertido . Al aprovechar opciones de la calculadora. Una tercera forma de resolver el problema es mediante el uso de una calculadora con poder de graficación. como “zoom”. el cociente
G( n ) C( n)
resulta ser muy grande y negativo. se tiene que al tomar valores de n cercanos a
510 = -26.
. al observar el denominador de la última fracción.09585 y un máximo en –9.G( n) 2423 n 322400 = . con una discontinuidad en –26.000 álbumes. para luego introducirlas en la calculadora y obtener sus gráficas.84211 19
aunque mayores a este valor. el cociente
resulta ser muy grande y negativo. es posible obtener la ganancia máxima y la ganancia por peso invertido máxima.58836. Esta observación permite justificar que para valores mayores de el cociente es decreciente y por ello el valor máximo del cociente es cuando se venden 7.
4.1. 2. Lugar de realización 4. e2. Modalidad de trabajo 3. p3.5 e4.2.4 Algebraica 8. p10 1.2.4 e3. a7. Referencias curriculares
8.3. a3.8.2.2 Tabular .
Título 1.2.2 Equipo. cb2.1. 2. cb3.3.1. Herramientas tecnológicas ‘Voi che sapete’ 1. Tiempo
6.CLASIFICACIÓN En el siguiente cuadro se tiene la clasificación del problema.2. Procedimentales p1. p5.2.1. a6.1 Textual .1.2. Conceptuales (2. cb7 1. p4. a13 1. e.8. Experiencia de aprendizaje 2.1. e2.3 Grupo 3. el profesor puede seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea y ampliar la discusión en otra sesión) 6. 2.3. en la primera se puede centrar la atención en el uso de las representaciones tabular y algebraica. Representaciones
9. e2.3 Gráfica ‘Construye una tabla’ ‘Indica sin efectuar’ ‘Trata casos particulares’ ‘Usa una notación adecuada’ ‘Reformula el problema’ ‘Cambia el registro de representación’ Evaluación del reporte Evaluación de la presentación Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones.5. Evaluación
.3.1. Contenidos 1.4 Calculadora con poder de graficación 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo. p8. p6.1 Resolución de problemas 2. p2. Estándares 2000 del NCTM e1.4.4. Estrategias
10. e2. Actitudinales a2.1 e6 e8 e9 e10 8.3). e2. Producto 7. e2. (6. en las posteriores se puede destacar la representación geométrica y sus relaciones con las otras formas de representación
5.2.2. 6.1.3. e1. 4.3 e2.3) 1.1. Competencias básicas del estudiante de bachillerato cb1.1 Salón de clases 4.3 Calculadora científica.1 Reporte de RP 1.1. cb5.1.
Es posible que entre los integrantes de un equipo se suscite la discusión acerca de lo que significa. hasta que dejen de crecer y empiecen a disminuir.300).000 álbumes se venden 2.000 a 7300). pues no es un objetivo de este problema que los alumnos discutan ampliamente el significado del mismo.000 y luego va cambiando de 300 en 300 (el segundo valor es de 7.COMENTARIO: En este problema se empieza por darle sentido al texto del mismo. Para algunos se refiere a que cada vez que se reduce el precio de venta de los álbumes en $5 (pasando la primera vez de $290 a $285) por cada uno de los álbumes que se venda más baratos. Aquí la intervención del profesor sí puede llegar hasta ser una explicación del término. el fragmento: “Por cada reducción de $5 en el precio por álbum.100. el profesor puede provocar una discusión en el equipo acerca de la interpretación del texto. Otros lo interpretan como que cada vez que se reduce el precio de venta de los álbumes en $5. De éste. costos. Si hace esto. En este caso el número de álbumes empieza en 7. Es importante que el profesor no les explique a los alumnos el significado del texto si se presenta la primera interpretación en un equipo. Si es necesario. ¿qué gastos tendrán que hacer al principio. El profesor puede preguntarle al equipo: “Imagínense que van a iniciar un negocio. Uno de los propósitos de este problema es que el alumno pase del registro textual al algebraico o aritmético. ventas. se tienen distintas formas de resolverlo. se venderán 300 más a ese precio menor (de manera que con el primer descuento en lugar de venderse 7. Para responder la primera pregunta se observan los valores que se van obteniendo para la ganancia. es clave. ganancia y ganancia por peso invertido. En el caso de que en algún equipo se dé una interpretación equivocada del texto.000). los cuales van creciendo. el profesor no debe decirles que lo interpretaron mal. antes de empezar a vender?” Una vez que se ha comprendido la situación. buena parte del sentido del problema se pierde. sino pedirles que traten de aplicar esa interpretación para dos o más casos. es decir que cuiden ajustarse a lo señalado en el texto. En
. se venden sólo 300 álbumes más en total (pasando la primera vez de 7. Otra dificultad que pueden tener los alumnos en la interpretación del enunciado es el tecnicismo “costos fijos”. remitiéndolos al enunciado del problema. a partir de la construcción de una tabla que contenga número de álbumes. Tal vez la más accesible sea la aritmética. calcula que venderá 300 álbumes más”.
de las características de las gráficas de ambas expresiones. hay que solicitarle al equipo que llegue a expresiones algebraicas al utilizar la estrategia de ‘indicar sin efectuar’. En cuanto a la ganancia por peso invertido. un punto a discutir es cuál de los dos criterios es mejor para estimar los beneficios de un negocio. de manera que el máximo se tiene en el primer renglón. De esta manera. o a partir de un tratamiento algebraico al expresar la ganancia de la forma . El análisis de las expresiones algebraicas plantea otro punto de discusión: sólo se consideran incrementos de 300 en 300 álbumes o se acepta hacer interpolaciones. Puede ser conveniente en un primer tratamiento pasar al registro gráfico y señalar lo que allí se observa. se observa que siempre va decreciendo. que puede surgir en la discusión grupal.cuanto a la ganancia por peso invertido.
G( n) -1500 n 2 + 23500 n + 1265000 = C( n) 28500 n + 765000
A partir de estas expresiones se abre la discusión. Si en un equipo se presenta la anterior vía aritmética para resolver el problema. por ejemplo.
En cuanto a la ganancia por peso invertido. De esta forma se tiene que la ganancia se expresa mediante el polinomio de segundo grado
G( n) = -1500 n 2 + 23500 n + 1265000
(n es el número de veces en que se reduce el precio de venta y la reducción total llega a ser de 5n pesos). La primera es más fácil de analizar e identificar: se trata de una parábola. la expresión es más complicada de analizar. pues el máximo de la
. El punto máximo se puede obtener a partir de la simetría de la parábola y de los puntos de cruce de la parábola con el eje X. la expresión es . En este problema se presentan dos formas de comparar la ganancia: mediante una diferencia simple (ventas menos costos) y mediante el cociente de la diferencia anterior y los costos.
costos. Dado que los valores de la ganancia y de la ganancia por peso invertido son muy diferentes. la ganancia máxima se obtiene con 9400 ejemplares y estrictamente la gráfica corresponde no a la parábola. ventas y ganancias
Propiedades de las funciones cuadrática y racional
Si se acepta que la situación es discreta. se discute si este es un problema de una situación discreta o continua. no se requiere ver a un mismo tiempo las dos gráficas.
Darle sentido a la situación planteada en el texto
Tabla con valores de ejemplares costos. Se pueden analizar por separado. La decisión de lo discreto o continuo de la situación recae en el grupo. ventas. Es decir. que es continua.350 álbumes. sino sólo a ciertos puntos. no es posible ver al mismo tiempo las dos gráficas en la pantalla de la calculadora.parábola que corresponde a la ganancia no se tiene para uno de estos valores.
. Sin embargo. no en el profesor. sino para 9. ganancia y ganancia por peso invertido
Ganancia máxima Ganancia por peso invertido máxima
Relaciones entre ejemplares. También es posible que una vez establecidas las expresiones algebraicas de la ganancia y de la ganancia máxima por peso invertido se utilice una calculadora con poder de graficación para obtener las gráficas. pues las escalas que se requieren son del orden de cien mil para la ganancia y de uno para la ganancia por peso invertido.
En cuanto a la gráfica de la ganancia máxima por peso invertido. De acuerdo a las características de la calculadora graficadora se puede obtener el máximo al usar la opción de ‘zoom’ o una opción específica de máximo de una función que tienen algunas calculadoras. aunque para la situación planteada sólo tiene sentido trabajar con valores no negativos de n. es decir. En este caso se observa una curva decreciente. En ambas gráficas se aprecia que las curvas no se interrumpen para valores negativos de n. con poca variación en los valores de la ganancia. se observa una parábola “muy abierta”.1360000 1350000 1340000 1330000 1320000 1310000 1300000 1290000 1280000 1270000 1260000 1250000 1240000 1230000 1220000 1210000 1200000
ganancia ganancia por peso invertido
En la gráfica de la ganancia. Las gráficas de la ganancia y de la ganancia por peso invertido permiten discutir la diferencia entre lo que es la situación de un problema y el modelo matemático que se utiliza para su solución. si se elige una escala y valores de la “ventana de la pantalla” que permitan ver los ejes de coordenadas. Al cambiar de escala y “ventana de la pantalla” puede verse una gráfica más familiar de la parábola y en la cual más fácilmente se observe el máximo de la ganancia.
. se pueden tomar para n valores de –2 a 10.
1. sino cuando se aumenta el precio de venta en $50. que es lo que ocurre con la gráfica de ganancia por
. es decir no sólo para descuentos sino también para aumentos. Varios modelos de calculadora trazan una recta vertical cuando la curva tiene una asíntota vertical. el máximo de la ganancia por peso invertido no se obtiene cuando no se ha hecho ningún descuento.5
Si se acepta que la situación sigue siendo válida para valores negativos de n. pero este máximo se tiene para un valor de n cercano a –10.5
ganancia por peso invertido
1. La gráfica de la ganancia por peso invertido puede analizarse más. Pero la gráfica tiene algo más.5
-28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -1 4-12 -10 -8 -6 -4 -2
-0. De esta forma el máximo de la ganancia (para 9. Si se admite que los descuentos al precio de venta sólo pueden ir de cinco en cinco pesos.400 álbumes) no coincide con el máximo de la parábola que la representa.También a partir de las gráficas se puede discutir la diferencia entre lo discreto y lo continuo. los valores de n sólo pueden ser números enteros y en consecuencia la gráfica que representa eso corresponde sólo a algunos de los puntos que se observan en las gráficas. Si se amplía la “ventana de la pantalla” se puede observar que la curva sí tiene un máximo.0
De aquí se sigue que cuando se toman valores muy grandes de n. el último cociente toma valores cercanos a cero. cuando n toma valores cercanos a
(que es aproximadamente -26.peso invertido. De hecho. se les tiene que pedir a los alumnos que argumenten sus señalamientos. De esta forma se obtiene:
G( n) 2423 n 322400 = . Al observar las gráficas de la ganancia y de la ganancia por peso invertido.
. la ecuación de la ganancia por peso invertido es la de una hipérbola. En cambio. lo que se observa en la calculadora graficadora lleva a un análisis de la ecuación
Para facilitar tal análisis conviene hacer la división algebraica del numerador del lado derecho de la expresión entre el denominador del mismo lado. se está acercando a un punto máximo. Si la diferencia va disminuyendo. positivos o negativos. comportándose la gráfica como si fuera la recta de ecuación
2423 n 1083 19
De hecho esta recta resulta ser una asíntota de la curva.84211). es posible que algún alumno señale que un indicio de que se está acercando a un máximo es el comportamiento de la diferencia de los valores de la ganancia (o la ganancia por peso invertido) para distintos valores de n igualmente espaciados (de unidad en unidad. Desde luego que no basta con el señalamiento. por ejemplo). o al trazar curvas que tengan algún máximo. Así pues. los valores del último cociente llegan ser muy grandes en valor absoluto. al tratar otros casos.
este problema suscita varios aspectos a discutir y tratar en el grupo. El que sea así dependerá del grupo. pues si estos asuntos no aparecen de manera natural en la discusión. ajustada al contexto.Como puede apreciarse de lo señalado. En todo caso el profesor podrá retomar el problema en otro momento para destacar alguno de los temas aquí señalados. algunos aspectos del problema que conviene atender durante el trabajo de los equipos y retomar en la discusión con todo el grupo son:
Darle sentido a la situación Interpretar la situación presentada en forma textual (recomendar la validación explícita de los resultados obtenidos) Función cuadrática Representaciones Tabular a algebraica Tabular a geométrica Algebraica a geométrica Características de la forma geométrica Función racional Representaciones Tabular a Algebraica Tabular a Geométrica Algebraica a Geométrica Características de la forma geométrica Modelación Discontinuidad Asíntotas Vértice Eje de simetría Textual a algebraica Representaciones Textual a tabular
Transcripción de situaciones problemáticas a un lenguaje algebraico. de las soluciones obtenidas
. En resumen. utilización de las técnicas matemáticas apropiadas para resolverlas y dar una interpretación. poco recordarán y aprenderán los alumnos.
550 y 600 ejemplares? 2. 100. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias? 3. los ingresos y la ganancia por producir y vender 0. 200.
-100 100 200 300 400 500 600 700
CUESTIONARIO 1. “Ifigenia Cruel”. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos?
. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción? 5.Darle sentido a la situación Interpretar la situación presentada en forma textual (recomendar la validación explícita de los resultados obtenidos) Representaciones Textual a tabular Ejemplo de problema: “Ifigenia Cruel” de Alfonso Reyes ENUNCIADO: En la gráfica se muestran los costos de edición y los ingresos por la venta de una edición facsimilar del poema dramático de Alfonso Reyes. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso? 4. 350. ¿Cuáles son los costos.
De la recta que representa los costos se precisan dos puntos (0. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes.000) y (200. respectivamente.000 $23. Los costos y los ingresos se obtienen de la gráfica.$27.–$8.$41. 7.000 .000 $10.$64.000 GANANCIAS – $10.000 – $27.000 . a) Si se resuelve por tanteo se espera que las respuestas en cada caso se encuentren en cierto intervalo.000).000 . a $120 y $8. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta.$27.6.000 . es el resultado de la resta de los ingresos menos los costos. 200.000 $39.$94.000 $ 99. 100.000 . ¿cuál es la ganancia máxima? SOLUCIÓN: 1.000 .000 $87.
EJEMPLARES 0 100 200 350 550 600 COSTOS $ 10. Para dar respuesta a la pregunta se pueden hacer estimaciones obtenidas de la gráfica “al tanteo”. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas.000 $ 92.$66.000 $74.000 .$26.000 .$89. o encontrar las ecuaciones de costos e ingresos. los ingresos y la ganancia por producir y vender 0.000 .$84. tanto el de producción de cada libro como los fijos. 550 y 600 ejemplares? Se parte de la gráfica. Si se reducen los costos.000 INGRESOS $ 0 $36. 12. la ecuación es
C = 150 n + 10000
.000 $64.$14.000 $ 24.000 $23. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos? 9. ¿Cuál es la ecuación de la ganancia? 10. 10.000 $82. 350.–$23.000 .$38.000 .000 . ¿Cuál es la ecuación de los costos? 8.$101. En cuanto a las ganancias.000 . 40.$76.5000. b) Obtención de las ecuaciones.000 $ 62.000 . Si hay una ganancia máxima calcúlala. 11.000 . A partir de ellos se pueden encontrar los valores del costo para cada número de ejemplares señalados en la pregunta.000 – $12. ¿Cuáles son los costos.
000 – $10. en una curva que es la gráfica de una expresión cuadrática. es decir.000 $12.n 2 + 425n 2
Como G = I . Tal vez también (400.n + 275n . De los primeros dos puntos señalados se obtiene el sistema
20000 = 2500 a + 50b 90000 = 160000 a + 400b
Al resolverlo se obtiene
1 I = . se obtiene
2 G = .C .000
Desde luego que los valores negativos de las ganancias indican pérdidas. se tiene:
EJEMPLARES 0 100 200 350 550 600
COSTOS $10.000 – $25.500 $100. 90.000 $40.000). desde luego. la expresión es de la forma
I = an2 + bn
(donde I es el ingreso.000
GANANCIAS – $10.
. n el número de ejemplares vendidos.500 $65. De esta manera.000 $87.10000
Al usar estas expresiones y lo que se mencionó de costos.500 $82.000
INGRESOS $0 $37.500 $25.000 $25.000 $25.000) y.500 $75.En cuanto a la curva que representa los ingresos. 20. a y b constantes a determinar).500 $92. el punto (0. En la gráfica se distingue un punto: (50. donde Ges la ganancia.000 $62. 0)es un punto de la curva. lo primero es pensar en una parábola.
Los límites corresponden a los puntos de intersección de la curva y la recta.312.n 2 + 425n . Desde entre 35 y 45 ejemplares hasta entre 505 y 515 ejemplares. corresponde a aquella región donde la curva de los ingresos está arriba de la recta de costos.000.000). b) Al usar las expresiones algebraicas calculadas y la simetría de la curva.5 4. De aquí se sigue que el costo promedio por libro es de $150. ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso? a) Al usar la gráfica. ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos? a) De la gráfica se observa que para 200 ejemplares los costos ascienden a $40. Si se observa la simetría. La respuesta se puede dar por tanteo o al encontrar algebraicamente los puntos de intersección. se obtienen valores irracionales.000 y $91. se tiene 150 n + 10000 = .275n + 10000 = 0 2
Al resolver la ecuación.000 producir 200 libros. Así pues.000. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producción? Ascienden a $10. Se obtiene que.000 y esto corresponde al punto de intersección de la recta que representa los costos con el eje vertical. este costo promedio no cambia.000. el punto máximo es cuando se producen 425 ejemplares. Si se redondean. El ingreso está entre $90. pero esta cantidad incluye los costos fijos de producción ($10. se observa que el punto más alto de la curva de ingresos está entre 400 y 450. Como la gráfica de costos es una recta. Mediante un razonamiento similar se obtiene el mismo costo promedio a partir de que para 400 ejemplares los costos ascienden a $70. Al tomar C = I .2. a) Por tanteo en la gráfica. ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias? De la gráfica. b) Al utilizar las ecuaciones. al eliminar los costos fijos. El ingreso es de $90.
1 2 n . se tiene que deben producirse y venderse entre 40 y 510. sin considerar los costos fiÁlgebra
. cuesta $30. se obtiene el máximo ingreso para 425 ejemplares. 3. 5.
5 . 7. Al utilizar escuadras graduadas se encuentra que la máxima ganancia se obtiene entre 250 y 300 ejemplares y está entre $27. ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta.812.000.n + 275n . De aquí se sigue que la ganancia máxima se obtiene cuando el número de ejemplares producidos y vendidos es 275 y la ganancia es $27. ¿Cuál es la ecuación de los costos? Ya lo señalamos antes: C = 150 n + 10000 8. ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?
2 Como ya ha se había discutido I= . b) Al utilizar las ecuaciones. C = 150 n + 10000 . Si se quisiera usar la tabla construida para responder la primera pregunta. la ganancia corresponde a la separación entre la recta y la parábola. producir cada libro cuesta $150. es decir. hay que revisar lo que sucede entre 200 y 350 ejemplares. a la longitud del segmento vertical que tiene sus extremos en la recta de costos y la curva de ingresos. 150. b) De la ecuación de la recta de costos. 6.10000
La gráfica de esta ecuación también es una parábola.10000
.000 y $29. se sigue que el coeficiente de n. En la gráfica. La ganancia se obtiene de la resta de los ingresos menos los costos. corresponde al costo por libro en pesos.n + 275n . se espera que la ganancia máxima esté en 275 ejemplares. Por simetría.n + 425n
9. 1 2 La ecuación de las ganancias es G = . ¿Cuál es la ecuación de la ganancia?
2 Es G = . pues en ambos casos la ganancia es la misma. Si hay una ganancia máxima calcúlala. a) Por tanteo.jos. para cada número de ejemplares dado.
tanto el de producción de cada libro como los fijos. algunas sin modificar las condiciones iniciales. a $120 y $8. respectivamente. Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas. se obtienen puntos que luego se grafican. A partir de la ecuación de la ganancia y mediante una tabla de valores de n y G. (También se pude usar una calculadora con poder de graficación). por ejemplo: ¿Cuál es la ganancia para 50 ejemplares? ¿Cuántos ejemplares producidos cuestan $50. Se pueden plantear varias preguntas.10. Si se reducen los costos.
Ganancia s ejemplares
11. ¿cuál es la ganancia máxima?
.000 ¿entre qué límites de número de ejemplares se obtienen ganancias? ¿Cuál debe ser el valor de los costos fijos para que no haya ganancias? ¿Es posible cambiar los coeficientes de las ecuaciones de costos y de ingresos de manera que la máxima ganancia coincida con el máximo ingreso? 12. pero se venden 200? Otras involucran cambios en las condiciones iniciales.000? ¿Cuál es la ganancia cuando se producen 300 ejemplares. Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes.500. Por ejemplo: Si los costos fijos son de $20.
e2. e2.2 Resolución de problemas guiada con exploración 2.2. Referencias curriculares
8. el profesor puede seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea y ampliar la discusión en otra sesión) 6. Modalidad de trabajo 3. a6. Evaluación
.4 e3.1 Salón de clases 4. Representaciones 9.3.1.5 CLASIFICACIÓN
Título 1.4.5 e4. p6.3 Grupo 3.3 Gráfica Localiza los puntos en la gráfica que te permiten responder las preguntas Haz una estimación razonable de los valores representados por estos puntos Haz una tabla Obtén la ecuación Evaluación del reporte Evaluación de la presentación Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones. 3.1 e6 e8 e9 e10 8. Conceptuales (3. 4.8500 .n + 305n . en las posteriores se puede destacar la representación algebraica y sus relaciones con las otras formas de representación
6. (4.2 Tabular .8.2). a13 1.4 Algebraica .3 Calculadora científica 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo. 4.2. cb3. Contenidos 1.3. Actitudinales a2.4.8. La ganancia
máxima se obtiene cuando el número de ejemplares es 305. Experiencia de aprendizaje 2.2) 1. Procedimentales p1.2 Equipo. cb7 1.1.3 Gráfica. p4.5 Competencias básicas del estudiante de bachillerato cb1.1. p5. p8. p2. p10 1.1 Reporte de RP 1. p3. e2. cb2.3.1 Juego de geometría.3. en la primera se puede centrar la atención en el uso de las representaciones gráfica y tabular.2.4. a7. e2.012.8. Herramientas tecnológicas 5. a3. e2. Estándares 2000 del NCTM e1.1. y es de $38.1. Lugar de realización 4.2.1.6.4.4. Estrategias
10.2).En este caso la expresión del costo es C = 120 n + 8500 y la
2 de la ganancia es G( x ) = . Producto 7. e4. cb5. 2. Tiempo ‘Ifigenia Cruel’ de Alfonso Reyes 1. (5.1.
A partir únicamente de la lectura de la gráfica se puede responder la mayoría de las preguntas. los ingresos y la ganancia correspondientes a la producción y venta de un cierto
y 9 0 0 00
8 0 0 00 cos tos 7 0 0 00 ing resos
Las ecuaciones que se utilizaron para hacer las gráficas son: Costos. y=150x+10. • La lectura de la gráfica.000 Ingresos. Se puede suponer que se trata de una recta para los costos y de una parábola para los ingresos. si se han comprendido las relaciones entre las cantidades que intervienen en la situación: la ganancia se obtiene de la diferencia de los ingresos y los costos. y=-0. la aplicación de algún algoritmo para la obtención de las representaciones algebraicas y el cálculo de los valores necesarios para responder las preguntas. en las preguntas sobre los costos. Así.5x2+425x
En esta actividad se parte de la representación gráfica de dos funciones: los costos de edición y los ingresos por las ventas. En la gráfica se especifican las variables representadas en cada eje y las escalas con sus unidades correspondientes. Las estrategias básicas de solución son: • La lectura de la gráfica y la organización de los valores obtenidos en una tabla.
Lectura de puntos sobre las gráficas
Tabla con valores de ingresos. de donde resulta que la ganancia es una parábola cuyos puntos de intersección con el eje horizontal coinciden con las intersecciones de la curva de ingresos y la recta de costos. Para obtener el ingreso máximo se puede tratar de ubicar visualmente el vértice. El intervalo que corresponde a una ganancia positiva se puede ubicar visualmente donde la parábola está encima de la recta. La ganancia máxima es la ordenada del vértice de esta parábola y se puede obtener trazando una vertical por el punto medio del segmento determinado por las intersecciones. Ganancia máxima. aprovechando nuevamente la propiedad de simetría de la parábola con respecto a su eje. (Cuestiones del contexto de la situación)
Propiedades de las funciones lineal y cuadrática
. costos y ganancia
Ingreso máximo. y del cálculo de la diferencia entre ambas para la ganancia. en donde la ganancia es nula.número de ejemplares. y está limitado por las intersecciones. basta con la lectura sobre las gráficas de las ordenadas de los ingresos y los costos. considerando que la diferencia de una función cuadrática y una lineal es también una función cuadrática. que se pueden leer sobre la gráfica. costos y ganancia. o usar la propiedad de simetría de la parábola. Gráfica de ganancia
Relaciones entre ingresos. trazando una recta horizontal y obteniendo la mediatriz del segmento determinado por los puntos de intersección de la recta y la parábola. esta mediatriz corta a la parábola en su vértice y puede ayudar a hacer una mejor lectura de las coordenadas del vértice. Para la obtención de la ganancia máxima se puede usar un recurso similar.
Para obtener la ecuación de la recta se puede utilizar algún algoritmo. suponiendo que se trata de una función cuadrática. 10.000) y (600.000.0
de donde resulta y=150x+10000. por ejemplo: • Leer dos puntos para calcular la pendiente y con la intersección de la recta con el eje vertical (0.10000 = x-0 500 . de donde m=150 y b=10. Así que la ecuación de la recta de costos es y=150x+10.850 00)
Para obtener la curva de los ingresos.Para responder las preguntas se pueden obtener las ecuaciones de la recta de costos y la parábola de ingresos. En este caso se pueden escoger los puntos (0.
y 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 (0.000.b) usar la forma y=mx+b. se puede aplicar alguno de los algoritmos siguientes: • Leer tres puntos de la curva y sustituir sus coordenadas en y=ax 2 +bx+c. • Otro procedimiento se basa en la semejanza de los triángulos señalados:
y .000).10000 85000 . 100.10000) 100 200 300
(500. Al resolver el sistema de tres ecuaciones (en reaÁlgebra
20. de donde la ecuación de los ingresos es y=-0. resulta 20.lidad dos. 90.000).20 000 ) 3 00 00 2 00 00 1 00 00 10 0 2 00 30 0 4 00 50 0 ( 20 0. cuya ecuación es x=425.
y 9 00 00 8 00 00 7 00 00 6 00 00 5 00 00 4 00 00 ( 50. resulta c=0 De (50.0) con respecto a este eje.
.5. se identifica el eje de la parábola.0).000). de esta manera implícitamente se estaría eligiendo el vértice. se aprovecha nuevamente la propiedad de simetría de la parábola con respecto a su eje.000=a(50) 2+b(50) De (400.65 00 0) ( 40 0.000=a(400)2+b(400) Al resolver este sistema se obtiene: a=-0.90 00 0)
Por ejemplo. Como en este caso no aparecen los dos puntos de intersección de la curva con el eje horizontal.5x2+425x • Otra forma de obtener la ecuación de los ingresos es a partir de la forma y= K(x-x1)(x-x2). al reflejar el punto de intersección visible (0. b=425. algo que con la elección de dos puntos no simétricos no puede garantizarse. es conveniente que los puntos elegidos sean simétricos con respecto al eje de la parábola. si consideramos que uno de los puntos es el origen) se obtienen los coeficientes de la función cuadrática. que es esta mediatriz. De ser posible. Al trazar la mediatriz del segmento horizontal determinado por los puntos de intersección de una recta horizontal con la parábola. en donde x1 y x2 son las intersecciones de la parábola con el eje horizontal y K una constante. resulta 90. algunos de los que se señalan en la gráfica: De (0.
Asimismo. x1=0. de donde K=-0. x2=850. y x 1x 2 = y puesto que h = a 2 a
la ganancia máxima se obtiene cuando se producen y venden 275 ejemplares. con (200. En este problema es particularmente importante el manejo de las representaciones. pero la suma de las raíces está relacionada con los coeficientes de la función cuadrática mediante:
c b x1 + x2 . se tiene 65.se obtiene el otro punto de intersección (850. de donde resulta y=K(x-0)(x-850).000=K(200)(200850). por ejemplo (200.0).000). 65.000) se calcula la constante K. la abscisa será el punto medio de los puntos de corte de una horizontal con la parábola. Puesto que el planteamiento es básicaÁlgebra
. Así. 65.000) y= -0. particularmente se pueden utilizar los ceros.5x2+425x)-(150x+10.5x2+275x-10. Y con otro punto.5
La gráfica de la ganancia se obtiene graficando la parábola que representa la función cuadrática que se obtiene restando de los ingresos los costos: y= (-0.000 Para encontrar la ganancia máxima se utiliza nuevamente la simetría.
mente gráfico. Cada uno de estos aspectos se pueden tratar provechosamente en la discusión profundizando particularmente en las estrategias que utilizaron para pasar de la representación gráfica a la algebraica. como los máximos o los ceros. hacen intervenir aspectos geométricos de las curvas y consideraciones sobre el significado de las intersecciones.
. considerando la imprecisión naturalmente asociada con la representación gráfica. que van desde la comprobación de que algunos valores obtenidos de la ecuación están en la gráfica hasta algunas características como el valor y signo de la pendiente de la recta y los coeficientes de la función cuadrática. Aún en este caso es necesario tomar en cuenta las escalas de los ejes para dar respuestas adecuadas. tanto en el caso de la función lineal como en el de la cuadrática. hay algunos aspectos visuales de las curvas que sirven de control para que se evalúe la correspondencia entre la ecuación y la gráfica. si se mantienen relacionadas básicamente con las tablas. Una cuestión que se puede discutir en los equipos y. con todo el grupo es: ¿qué es una lectura aceptable de las coordenadas de un punto en una gráfica? Las respuestas relativas a otras características. En caso de que se avance hacia el establecimiento de las representaciones algebraicas. conviene hacer algunas observaciones sobre las características de esta representación. posteriormente. En un primer nivel se da una lectura local de los puntos que sólo permitiría responder algunas de las preguntas sobre los ingresos y los costos correspondientes a un número dado de ejemplares.
extremos Concavidad Gráfica a tabular Gráfica a algebraica Gráfica a tabular Gráfica a algebraica Características de la Vértice forma geométrica Sistemas de ecuaciones Modelación resultados Transcripción de situaciones problemáticas a un lenguaje algebraico. ajustada al contexto. coordenadas Escalas. de las soluciones obtenidas Eje de simetría Representación. vértice y eje de simetría de la parábola) Función lineal Función cuadrática Representaciones Representaciones Lectura global Intervalos de crecimiento y decrecimiento. unidades
.En resumen. algunos aspectos del problema que conviene atender durante el trabajo de los equipos y retomar en la discusión con todo el grupo son:
Lectura de las gráficas Representación gráfica e interpretación de las funciones lineales y cuadráticas a través de sus elementos característicos (pendiente de la recta. puntos de corte con los ejes. algoritmo e interpretación de los Lectura local Puntos. utilización de las técnicas matemáticas apropiadas para resolverlas y dar una interpretación.
Sin embargo. suponer que cada materia que estudian es independiente de las demás y que en matemáticas no se lee. revistas e Internet. las lecturas juegan un papel importantes para el aprendizaje de los alumnos. Esto también se aplica en la escuela. que comprendan conceptos y sean capaces de fundamentar sus opiniones o conclusiones a partir de la elaboración de argumentos claros. Como las demás actividades. coherentes y lógicamente estructurados..Lecturas
La lectura. No es as. nuestros alumnos requieren desarrollar habilidades más complejas que lo anterior. seguida de la discusión de un artículo (o el ver y escuchar una película) no tiene como finalidad solamente presentarles a los alumnos un lado amable de las matemáticas y combatir con ello la llamada matematifobia de los alumnos. especialmente de nuestros alumnos. sino que se aprenden y aplican procedimientos.
. periódicos. Ahora se tiene información por todas partes: en la radio. Para nuestros alumnos es natural. porque así los hemos acostumbrado. para que resulte útil esta información disponible es necesario desarrollar una actitud crítica y reflexiva de quien recibe la información. Y una de ellas es que sean lectores críticos y reflexivos. televisión.
Mediante estas preguntas destacas los objetivos de aprendizaje que buscas lograr con la actividad. Es necesario que en las discusiones durante o posteriores a ellas se les señale la importancia de una revisión cuidadosa de su contenido y de los nuevos temas que surgen para una investigación posterior y que depende de cada uno de nosotros si la hacemos o no. Elabora preguntas que puedes entregarles a los alumnos antes de la lectura para que las respondan en su reporte o para que te sirvan como guía de la discusión. debes planear cada lectura antes de solicitársela a los alumnos. Nuestros alumnos deben aprender a ser buenos lectores y para ello resulta especialmente útil la ficha o guía que se tiene en los MAPOA sobre la lectura. Como en las demás actividades de aprendizaje.También. te presentamos un control de lectura del artículo “Ética y matemáticas”. Ante las palabras cuyos significados desconozcan. pues se pretende que los alumnos identifiquen la dimensión matemática que contienen y que buena parte de análisis se centre en ella. Como un ejemplo.
. se deba a la argumentación que la acompañe. que donde aparezca una relación matemática la identifiquen y hagan uso de las matemáticas para comprender la lectura. Los artículos y películas que se señalan en la guía deliberadamente no están muy cercanos a los temas del programa de Álgebra. Estas habilidades no se desarrollan simplemente solicitándole a nuestros alumnos que lean o vean ciertos artículos o películas. hay que acostumbrarlos a consultar diccionarios. Debes ser cuidadoso de exigirles a los alumnos que cuando acepten una cierta conclusión. También puedes anticipar las inquietudes y preguntas de los alumnos.
La ética se refiere al comportamiento del individuo y a criterios que orienten ese comportamiento. esta decisión no fue mala para nadie. Al analizar el comportamiento a partir de sus consecuencias. Estructura
Ética y matemáticas. pero después causa la muerte de 50 millones de personas. se canalizaran para prevenir estas muertes. El autor señala una situación discutible. Esta situación cambiaría radicalmente si los recursos que se utilizan para continuar con hábitos o costumbres dañinas a la salud individual y social. pues aun los muertos gozaron de sus beneficios mientras vivieron. Resumen
El artículo trata del uso de las matemáticas en la ética. y luego durante siglos produce beneficios en la situación económica de las personas. entre otros). Afirma que si se toma una decisión riesgos. o cómo la matemática ayuda a comprender la ética.
Al calcular para comprender la situación que se analiza Por la necesidad de una “aritmética cantoriana” para lo que tiene valor infinito
La matemática ayuda a la ética
Mediante argumentos cuasimatemáticos Al contrastar la pequeña aportación al bien colectivo y una gran aportación al bien individual
2. a que al adoptarla provoca un cambio de vida radical de un grupo de personas (cambiar de lugar de residencia y actividades productivas. Generalmente lo que se usa de matemáticas para comprender razonamientos éticos es la aritmética. Como ejemplo el autor nos habla de la cantidad de niños que mueren por causas (enfermedades) que no deberían tener efectos tan severos. importa reflexionar sobre la cantidad de personas que se benefician o perjudican con ese comportamiento.1. Un pequeño cálculo aritmético puede ser muy ilustrativo. Es aquí donde interviene la aritmética.
¿Qué relación hay entre la ética y la matemática? La matemática permite comprender razonamientos éticos. La toma de una decisión riesgosa es un buen tema de discusión. tener una actitud de cooperación y no una individualista. dedujo principios a partir de otros que justificó por ser evidentemente aceptables (conocidos como axiomas en matemáticas). Comentarios y opiniones Es cierto. la ética se refiere a los principios de la moral. es relativo decir que una decisión fue buena o mala. 3. no entenderá bien a bien el sentido de lo que se dice en el texto. pues la matemática no tiene como parte esencial la actividad libre del hombre. la ética le da sentido a las reglas de la moral. publicada por la UNAM. Si las consecuencias de esa decisión fuese en lo inmediato un mayor empobrecimiento general. Si nos fijáramos más en el bien común que en el propio. socialmente. tendríamos una sociedad más equilibrada. Preguntas y respuestas (parciales) ¿La moral y la ética son lo mismo? No. sería una mala decisión a corto plazo. con el llamado dilema del preso ilustra que el bien individual puede significar un mayor daño colectivo y que. ¿Hay que obligar a las compañías tabaqueras a que en lugar de pagar para publicitar sus productos destinen ese dinero para
. 4. menos cruel e injusta. Escribió su libro manteniendo una estructura similar a lo que hizo Euclides con sus Elementos. ¿Spinoza utilizó figuras geométricas en su obra Ética? No exactamente. ¿La ética es parte de la matemática? No. De esta forma. sería una decisión que no podría calificarse como buena. Quien no sepa de Cantor y su aportación a la teoría de la cardinalidad. es decir. Se les puede sugerir a los alumnos que lean el artículo “¡Al infinito y más allá!” en el número 15 de la revista ¿Cómo ves?. la matemática nos permite comprender principios éticos y “fallas” de nuestra sociedad. es mejor. Si antes de que esa decisión tuviese los efectos benéficos que se esperan ocurre una catástrofe no atribuible a ella.Por último. la moral es la parte de la filosofía que enseña las reglas que deben gobernar la actividad libre del hombre. por lo general.
Rawls John: filósofo contemporáneo. Glosario
Moral: parte de la filosofía que enseña las reglas que deben gobernar la actividad libre del hombre. Idealismo: sistema filosófico que considera la idea como principio del ser y del conocer. Spinoza (Baruch de): filósofo holandés (1632-1677). Si levanto los papeles que están alrededor de mi mesabanco. pues otros lanzarán papeles en mi mesabanco. sólo especialistas o las personas afectadas. ¿Puedes dar un ejemplo de una decisión riesgosa? ¿Puedes dar un ejemplo de una situación de tu vida cotidiana que tenga la estructura del dilema del preso? La basura. Panteísmo: sistema filosófico según el cual Dios se identifica con el mundo.programas de asistencia a la niñez y control de la natalidad? No. tendremos limpio el salón.
. aunque no entiendan la situación? Deben opinar especialistas y la toma de decisión debe ser a partir de los argumentos de los especialistas. pero que colectivamente tienen un gran impacto si todos las llevamos a cabo. sino sensibilizar a la comunidad mundial para apoyar programas de bienestar social. Trascendental: que se extiende a otras cosas. el salón estará sucio y a mí se me cargará el trabajo. Kant (Emmanuel): filósofo alemán (1724-1804). los afectados deben ser informados de la decisión y del por qué. autor de Crítica de la razón pura. otras hasta después de conocer sus consecuencias. ¿Quiénes deben opinar sobre una decisión riesgosa. cuyo racionalismo le dio una visión panteísta del universo. ¿Es posible calificar cada una de nuestras decisiones como buenas o malas? No siempre. así como actitudes que pueden causarnos pequeñas molestias. Hay decisiones que sí pueden calificarse de inmediato. Si sólo yo lo hago y nadie más.
5. y para otras nunca sabremos las consecuencias. Ética: relativo a los principios de la moral. Formuló un idealismo trascendental. como todos mis demás compañeros lo hacen. Crítica de la razón práctica y Crítica del juicio. ¿Los responsables de tomar una decisión riesgosa deben informar de ella a las personas involucradas o simplemente tomarla? Deben informarles.
A continuación te presentamos tres artículos de mediana extensión. Aspectos de la lectura que se relacionan con el curso 1. Uso de la matemática en otras áreas.). llamada también doctrina del Pórtico. Conocer de manera superficial otros aspectos de las matemáticas y de la filosofía. 2.
Complejidad del currículo de matemáticas como herramienta profesional
Luis Rico1
En este trabajo se presenta el concepto de currículo como un plan de formación. Uso de la aritmética para comprender argumentos. 23-40. Estoicismo: doctrina filosófica de Zenón de Citio. Con tus compañeros elige otros que juzgues pertinentes para su discusión. 6. marzo 1998.
LECTURAS PARA LOS PROFESORES
Desde luego no sólo a los alumnos les son provechosas las lecturas de diversos artículos. Aprovechemos la guía para el control de la lectura que viene en los MAPOA. 1.
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa Vol. 3. C. Su lectura y discusión entre colegas enriquece la vida académica. de J. que se propone responder a: ¿Qué es y en qué consiste el conocimiento matemático? ¿Qué es el aprendizaje? ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de las matemáticas? ¿Qué es la enseñanza? ¿En qué consiste la educación matemática? ¿Qué es y en qué consiste el conocimiento útil? ¿Cómo se evalúa el conocimiento matemático? Estas cuatro cuestiones permiten establecer cuatro di78
.Euclides: matemático griego que enseñaba en Alejandría (s. 1. También a nosotros los profesores. Fundador de la geometría plana. según la cual el bien supremo reside en el esfuerzo que obedece a la razón y queda indiferente ante las circunstancias exteriores. tan necesitada de consolidarse en nuestras escuelas. III a. Núm.
(. Weyl. Esta idea se contextualiza con las siguientes reflexiones:
Departamento de Didáctica de la Matemática. pero con los que se siente comprometido. y que se le haga comprender claramente el papel que desempeña en ella. que sean complemento del saber convencional sobre estructuras formales y algoritmos. estableciendo componentes por cada nivel y relaciones entre las componentes de diferentes niveles. que se le haga percibir su valor. El conocimiento didáctico sobre cada uno de los contenidos del currículo de matemáticas ha de quedar estructurado mediante la aportación que hace cada uno de los organizadores a dicho contenido. así como contrastar pautas de actuación para poner en práctica tales esquemas. Por último. que afectan a intereses que no son los suyos propios. La funcionalidad del concepto de currículo se ha desarrollado mediante la búsqueda sistemática de niveles de reflexión. Universidad de Granada. su grandeza. su utilidad y. Las limitaciones y dificultades que los profesores encuentran para desarrollar su trabajo profesional en el sistema educativo muestran la necesidad de trabajar con esquemas fundamentados mediante los cuales organizar el conocimiento pedagógico de los contenidos. S..) La satisfacción de la necesidad de responsabilidad exige que un hombre tome con frecuencia decisiones en los problemas.. grandes o pequeños.mensiones en torno a las que se pueden organizar los niveles de reflexión curricular. 1996
Conocimiento profesional en educación matemática En fechas recientes se ha desarrollado con fuerza la idea de que para trabajar en la enseñanza de las matemáticas son necesarios conocimientos y destrezas específicos. Para ello es indispensable que se le dé a conocer esa obra. e incluso indispensable. que se le exija tomar interés. También es necesario que tenga que aportar su esfuerzo continuamente. La iniciativa y la responsabilidad. son necesidades vitales del alma humana. llegado el caso. la sensación de ser útil. incluidos los ámbitos en que nunca tiene decisión que tomar o consejo que dar. España Álgebra
. debe poder abarcar intelectualmente la obra entera de la colectividad de la que es miembro. También se presentan los organizadores del currículo.
Hay una fuerte valoración sobre algunos componentes científicos y técnicos que coincide con una ignorancia cultivada sobre los componentes didácticos y técnicos necesarios para el ejercicio de la profesión. * Con carácter general. * Los profesores de matemáticas de secundaria del sistema educativo constituyen parte importante y diferenciada del colectivo de los educadores matemáticos. están mal diseñados. las sucesivas reformas institucionales no terminan de incorporar en la universidad los planes de formación del profesorado. estructural y económico adecuado y no contemplan la necesaria especialización profesional (Rico. En España. y su ejecución conlleva una mala gestión de recursos públicos. 1992). este interés decrece cuando los temas se presentan con cierto nivel de profundidad (Rico y Coriat. La mala organización en la formación de los profesores de matemáticas tiene carácter estructural. los planes de formación inicial y permanente del profesorado tienen una estructura administrativa inadecuada. repercute en la calidad de la enseñanza que reciben los escolares y afecta el nivel cultural. carecen de calidad en su realización.
. en el que trabajan los profesores de los sistemas educativos de nuestros países y los investigadores comprometidos en la solución de los problemas de la enseñanza de las matemáticas. ejercicios y problemas. es ejercido por decenas de miles de profesionales y afecta a millones de escolares (Rico y Sierra. se encuentran rasgos compartidos que indican necesidades formativas comunes a todos ellos. en general. no encuentran el apoyo académico. 1994). * Al ejercicio como profesor de matemáticas de secundaria se llega con una formación inicial descompensada. 1991). pruebas de evaluación y.* Existe un campo profesional denominado matemática educativa. El campo profesional del educador matemático tiene entidad propia. Manifiestan curiosidad por la historia y la filosofía de la matemática cuando se presentan en términos divulgativos. * Aunque el perfil del profesor de matemáticas en ejercicio no es uniforme. unidades didácticas elaboradas. Los profesores de matemáticas tienen interés genérico por actividades para el aula. en particular. Se presentan algunas características de este colectivo. o educación matemática. por los nuevos materiales de orientación práctica. científico y técnico de los ciudadanos.
a veces se encuentra desorientado por la falta de un marco conceptual preciso con propuestas claras. Aceptan con muchas reservas los cambios y modificaciones con profundidad sobre el diseño y desarrollo del currículo de matemáticas. * Los profesores de matemáticas son razonablemente críticos ante los planteamientos innovadores.* Los profesores de matemáticas presentan acusadas carencias formativas en psicología. lo cual implica una desconexión entre su trabajo profesional y las bases y desarrollos teóricos correspondientes. que ha logrado un nivel de competencia y capacitación con escasa ayuda institucional. * Por encima de todo el profesor de matemáticas de secundaria es un profesional honesto. El profesor ha de tener formación y conocimientos adecuados para controlar y gestionar la diversidad de relaciones que se presentan en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Necesidades formativas del profesor de matemáticas El profesor es un profesional que. sociología de la educación. pedagogía. Su trabajo es una actividad social que lleva a cabo mediante el desarrollo y puesta en práctica del currículo de matemáticas. historia y didáctica de la matemática. Cuando los profesores no tienen una
. y por la pérdida creciente de legitimidad del plan inicial de formación con el que inició su trabajo. que quiere realizar su trabajo lo mejor posible. Esta desconexión produce una falta de criterios claros sobre cuáles deben ser los conocimientos necesarios y el marco teórico adecuado para ejercer satisfactoriamente como profesor de matemáticas. tampoco se dispone de criterios para valorar la excelencia profesional (Rico y Gutiérrez. El desempeño adecuado de esta actividad profesional. desarrollo y evaluación de unidades didácticas de matemáticas. exige el desarrollo y puesta en práctica de un complejo plan de formación. Es tarea del profesor ayudar a sus alumnos a introducirse en una comunidad de conocimientos y capacidades que otros ya poseen. epistemología. que consiste en la educación de niños y jóvenes mediante las matemáticas. 1994). El profesor de matemáticas necesita conocimientos sólidos sobre los fundamentos teóricos del currículo y sobre los principios para el diseño. por lo general. se ha iniciado en la práctica de la enseñanza mediante ensayo y error.
A los profesores no les basta con dominar los contenidos técnicos de su materia. del desarrollo de la educación matemática y de la profesionalización creciente de los educadores matemáticos. responsable de sus actuaciones. Campo de trabajo: matemáticas escolares El aula de matemáticas es el campo de trabajo del profesor y su argumento son las matemáticas escolares. propia de los intereses y de la afectividad del niño y del joven.
. 1995-a). que tiene otras bases disciplinares. La reflexión y la valoración sobre las matemáticas escolares han experimentado en los últimos años cambios profundos y consistentes derivados de los nuevos avances en el campo de la educación. Keitel y Kilpatrick. con capacidad para racionalizar sus acuerdos y sus desacuerdos con sus colegas de profesión en el ejercicio de sus tareas. El educador matemático que se concibe es un profesional intelectualmente autónomo y crítico. Para ello el educador matemático debe contar con bases teóricas e instrumentos conceptuales que le permitan planificar su trabajo. 1981).formación teórica adecuada ven limitadas sus funciones a las de meros ejecutores de un campo de decisiones cuya coherencia y lógica no dominan y no entienden (Howson. El campo de actuación en el que el profesor de matemáticas tiene que desempeñar su tarea como educador necesita del conocimiento didáctico del contenido. de los estudios sobre sociología del conocimiento. 1997). cuyo valor principal está en que organiza y da sentido a una serie de prácticas útiles. a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo individual y colectivo. que implica a multitud de personas y organismos y trata de satisfacer una diversidad de objetivos no siempre bien delimitados y coordinados. La dimensión educativa lleva a considerar el conocimiento matemático como una actividad social. En las modernas sociedades el sistema escolar es una institución compleja. tomar decisiones fundadas y encauzar sus actuaciones en el logro de las finalidades establecidas por un plan de formación socialmente determinado (Contreras. esta institución debe promover las condiciones para que los más jóvenes lleven a cabo su construcción de los conceptos matemáticos mediante la elaboración de significados simbólicos compartidos (Rico. Dentro del sistema escolar tiene lugar gran parte de la formación matemática de las generaciones jóvenes.
el teórico. En su acepción educativa. De esta manera. 1995-b). la discusión de los últimos años sobre la noción de currículo. Para contribuir eficazmente.El educador se ocupa de iniciar a los niños y adolescentes en la cultura de la comunidad a la que pertenecen y de transmitirles sus valores sociales. que lo dote de capacidad para controlar y gestionar la complejidad de las relaciones entre teoría y práctica. apoya y sostiene el desarrollo de la capacidad de reflexión del profesor y ejerce su capacidad crítica sobre propuestas ya elaboradas o en proceso de serlo. al profesor de matemáticas no le basta con dominar los contenidos de su materia. elabora y estructura nuevas ideas y conceptos que dan cuenta de la riqueza y profundidad de esta noción. propone organizaciones técnicas simples y precisas para llevar adelante las tareas de la enseñanza (Rico. El campo de actuación en que el profesor de matemáticas tiene que desempeñar su tarea como educador necesita del conocimiento de otros campos disciplinares. en su interés por mejorar el funcionamiento del sistema educativo real. lo que algunos especialistas llaman conocimiento de contenido pedagógico (Rico. * la necesidad de disponer de medios técnicos adecuados para actuar eficazmente en el sistema educativo. 1997). al menos en España. defiende la eficacia como valor prioritario y. Noción de currículo La tensión entre organización teórica y realización técnica polariza. sin renunciar a la reflexión. a la puesta en práctica de un plan educativo. Este conocimiento tiene dos fuentes de reflexión encontradas: * la complejidad conceptual e ideológica con la que se presenta la educación en las sociedades modernas. en defensa de un planteamiento humanista o crítico de la educación. Castro y Coriat. que debe comunicarse en toda plenitud a cada generación.
. 1990). Por este motivo es necesario que tenga una formación diversificada y profunda. desde las matemáticas. El profesor es el agente principal de la puesta en práctica del currículo de las matemáticas escolares. de esta cultura también forma parte el conocimiento matemático. el concepto de currículo se ha convertido en un término genérico con el que se denomina toda actividad que planifique una formación (Rico. El tecnólogo.
La primera cuestión. que se propone dar respuesta a las siguientes cuestiones: * ¿Qué es. en qué consiste el conocimiento matemático? * ¿Qué características relevantes diferencian este conocimiento de otros? * ¿Por qué es importante este conocimiento? * ¿Qué relaciones sostiene el conocimiento matemático con las determinaciones culturales de nuestra sociedad? La discusión sobre ¿qué es el conocimiento matemático? no es trivial y afecta profundamente al diseño y desarrollo del currículo de matemáticas.El currículo de la educación obligatoria es un plan de formación. La segunda cuestión. pero no señalan su contenido explícito. ¿qué es el aprendizaje? interviene en el diseño y desarrollo del currículo. en qué consiste el conocimiento útil? La intención del currículo es ofrecer propuestas concretas sobre: * modos de entender el conocimiento. También esta cuestión genérica encierra un núcleo amplio de preguntas importantes: * ¿En qué consiste el aprendizaje? * ¿Cómo se produce? ¿Cómo aprenden niños y jóvenes? * ¿Es resultado el aprendizaje de una evolución o efecto de la instrucción? * ¿Qué función tiene una teoría del aprendizaje? Por lo que se refiere a nuestra disciplina. ¿qué es el conocimiento?. tales como: * ¿Qué es. la pregunta básica se enuncia así: * ¿Cómo se caracteriza el aprendizaje de las matemáticas? Todo currículo de matemáticas necesita estar basado en alguna teoría o esquema conceptual que permita dar respuesta fundada a cuestiones generales como las siguientes: * ¿Cómo son las personas en el trabajo con matemáticas? * ¿Cómo se desarrolla la comprensión de los conceptos matemáticos?
. en qué consiste el conocimiento? * ¿Qué es el aprendizaje? * ¿Qué es la enseñanza? * ¿Qué es. Estas cuestiones marcan dimensiones prioritarias para organizar la reflexión curricular. sirve de referencia para otras preguntas más precisas. * poner en práctica la enseñanza. * valorar la utilidad y dominio de los aprendizajes realizados. * interpretar el aprendizaje.
admite una serie de cuestiones más precisas: * ¿Cómo se establece la utilidad del conocimiento matemático? * ¿Cuándo un individuo dispone de conocimiento útil? * ¿Qué criterios determinan la capacidad matemática de una persona? * ¿Mediante qué instrumentos se valora esa capacidad matemática? * ¿Cuáles son los mecanismos sociales que sostienen esa valoración? * ¿Mediante qué criterios se valora la eficacia de un currículo? * ¿Cómo y con cuáles criterios se valora la capacidad de un profesor o de unos materiales curriculares? * ¿Qué mecanismos modifican un currículo. cómo se ponen en práctica? * ¿Quiénes tienen la responsabilidad de la valoración y de los cambios? Dimensiones del currículo Las cuatro cuestiones consideradas tienen carácter ontológico y permiten establecer cuatro dimensiones en torno de las cuales se pueden organizar los niveles de reflexión curricular.* ¿En qué consiste la capacidad matemática? La tercera cuestión. la cuarta cuestión. da también lugar a una diversificación de interrogantes específicas y precisas. Estas cuatro dimensiones son: * Dimensión cultural/conceptual * Dimensión cognitiva o de desarrollo * Dimensión ética * Dimensión social Se visualizan estas dimensiones mediante la siguiente representación gráfica:
. Entre estas cuestiones se encuentran las siguientes: * ¿En qué consiste educar? * ¿En qué consiste la educación matemática? * ¿Cómo puede llevarse a cabo la formación de niños y jóvenes en un campo específico del conocimiento? * ¿En qué consiste la instrucción? Finalmente. ¿qué es la enseñanza?. ¿para qué sirve el conocimiento?.
Atendiendo a las cuatro dimensiones mencionadas. 1997-a).Cultural / conceptual
Social Cognitiva Etica / formativa
Estas cuatro dimensiones admiten diversos niveles de análisis (Rico. Cuando se toman como nivel de análisis las finalidades. se tiene un sistema que organiza la extensa lista de finalidades para el currículo de las matemáticas escolares. se organizan las finalidades como un sistema interconectado de cuatro tipos:
Finalidades del currículo
así como las relaciones entre ellos. al caracterizar cada una de las disciplinas escolares y al especificar la organización y estructura de la escuela. 1987):
Pedagogía Sociología
Fuentes disciplinares del currículo
En el diseño de un plan concreto de formación es necesario considerar su ubicación y conexión con los diferentes agentes e instituciones del sistema educativo. Los agentes son los responsables de la administración educativa y su ámbito de reflexión son los diversos centros del sistema educativo. Otro nivel de reflexión sobre el currículo de matemáticas considera las disciplinas que fundamentan el currículo (Coll. conectadas con la formación matemática de los escolares (Rico. En este nivel los componentes del currículo son el profesor. se pueden considerar otros niveles de reflexión sobre el currículo que se pueden analizar en términos de estas cuatro dimensiones. el alumno. el conocimiento y la escuela (Romberg. El currículo se presenta como un plan que se organiza y estructura al especificar las competencias profesionales de los profesores y las funciones de los alumnos. 1997-b). socialmente construido y determinado: en él han de intervenir las necesidades formativas de las matemáticas y tenerse en cuenta las connotaciones políticas y morales. Igualmente. 1992-b):
. generales y específicas.El conocimiento matemático que transmite el sistema educativo se ha de considerar parte integrante de la cultura.
mediante documentos y propuestas curriculares. la mayor parte de las veces. El plan de formación se concreta al determinar: * objetivos * contenidos * metodología * criterios e instrumentos de evaluación Estos cuatro componentes caracterizan el currículo como plan operativo de actuación para el profesor (Steiner. En este nivel el agente encargado de llevar a cabo el plan de formación es el profesor y el ámbito de actuación es el aula. 1980).Alumn os
Currículo como plan para la administración
El currículo se presenta.
Contenidos Evaluación Metodología
Currículo como esquema de trabajo para los profesores
Componentes por nivel =========== Niveles Planificación para los profesores Sistema Educativo Disciplinas Académicas Teleológico o de finalidades
1ª dimensión: Cultural / conceptual
2ª dimensión: Cognitiva o de desarrollo
3ª dimensión: Ética o formativa
4ª dimensión: Social
Epistemología e Historia de la Matemática Fines culturales
Teorías del Aprendizaje Fines formativos
Niveles y dimensiones en el estudio del currículo
.Niveles que organizan el estudio del currículo Los diferentes niveles de reflexión han surgido al poner el énfasis sobre el currículo desde un planteamiento teórico determinado. el nivel de actuación es el sistema educativo. el nivel es la actuación en el aula. cuando se ha asumido el currículo como un plan de acción para el profesor. Cuando se acepta el currículo como objeto de estudio se está en un nivel de reflexión académico y cuando se atiende a los fines generales de la educación se está situado en una perspectiva teleológica. En cada uno de estos niveles de reflexión el currículo se ha podido caracterizar mediante cuatro componentes. Cuando se considera el currículo como planificación para la administración educativa. Así. que proporcionan un núcleo de conceptos adecuados para organizar ese nivel.
Si se considera cada uno de los tópicos o unidades de contenidos de matemáticas para la educación secundaria obligatoria y se propone establecer objetivos generales para cada una de ellas se encuentra que. Pero la estructura de los documentos curriculares sólo aporta un marco de referencia. prioridades en el proceso de construcción del conocimiento y en la asignación de significados por parte de los alumnos. Estos criterios se ajustan a las cuatro componentes generales del currículo: contenidos. objetivos y evaluación. finalmente. hay cuatro órdenes de ideas o dimensiones permanentes. Los puntos de vista posibles sobre el currículo admiten una mayor riqueza de interpretaciones que dan razón de otros estudios y reflexiones sobre el concepto (Rico. secuenciación y organización de los contenidos. Estas cuatro dimensiones se encuentran a lo largo de los niveles de reflexión. necesita tomar una serie de decisiones de carácter general que se concretan mediante criterios para la selección. Por ello los documentos curriculares que elabora la administración educativa vienen estructurados mediante estas cuatro componentes. pero no objetivos distintos para cada
. desarrollo y control del trabajo en el aula. que no es exhaustivo. El problema de las unidades didácticas Cuando el profesor inicia la puesta en práctica de las directrices curriculares con un grupo concreto de alumnos. criterios para valorar los logros en el aprendizaje y para el tratamiento adecuado de los errores.El análisis que se resume en la tabla pone de manifiesto que. criterios para la organización. Estos cuatro componentes determinan el esquema usual en el diálogo que mantiene la administración educativa con el profesorado. con base en las cuales se estructura la noción de currículo. los objetivos para las unidades de números no son muy distintos de los objetivos para las de álgebra o para las de funciones. y. en las diferentes aproximaciones al estudio del currículo. con pequeñas diferencias. Se trata de componentes que surgen cuando se considera el aula como espacio de trabajo y al profesor como agente principal del proceso educativo. más bien lo que surge son concreciones o puntualizaciones de los objetivos generales para cada una de las unidades. metodología. También se puede señalar que los niveles de reflexión sobre el currículo no se agotan en las cuatro dimensiones consideradas anteriormente. Estas consideraciones ofrecen sólo un balance parcial. 1997a).
es difícil establecer diferencias para los distintos bloques de contenidos. criterios para la organización. contenidos. Podría derivarse de esta argumentación que el concepto de currículo no es útil para la planificación y diseño de unidades didácticas. Por ello. metodología y evaluación. Los diferentes bloques de contenidos y unidades no se distinguen por sus objetivos. Esto es así puesto que no ofrecen criterios para la selección. Igualmente. si se consideran las orientaciones sobre metodología. metodología y evaluación y contenidos distintos para cada una. se encuentran enunciados generales comunes sobre objetivos. Cuando se diseñan unidades didácticas en matemáticas mediante los cuatro componentes del currículo (objetivos. ya que de sus cuatro componentes sólo uno de ellos tiene peso específico propio en cada unidad. Los documentos para el currículo de matemáticas no proporcionan información suficiente para utilizar de manera efectiva los cuatro componentes mencionados en la planificación de temas y unidades. considerado como un conjunto de objetivos. Se constata así un hecho: los bloques de contenidos y las unidades didácticas se distinguen unos de otros por sus contenidos específicos. Esta consideración es válida también cuando se trata de establecer criterios de evaluación para cada tópico. metodología y evaluación) hay algo que no encaja. contenidos.una de ellas. y criterios para valorar los logros en el aprendizaje y para el tratamiento adecuado de los errores. Estas deficiencias provocan las dificultades señaladas en el uso del concepto de currículo. ya que el análisis de los cuatro componentes se reduce al análisis de los contenidos y a consideraciones genéricas sobre los otros tres componentes. Cuando hay que mencionar la componente metodológica de cada unidad didáctica se encuentran los criterios generales como única referencia. desarrollo y control del trabajo en el aula. La tesis es que el profesor de matemáticas de secundaria de hoy no dispone de herramientas conceptuales adecuadas y suficientemente desarrolladas. a partir de las cuales pueda realizar una buena planificación. criterios sobre prioridades en el proceso de construcción del conocimiento y en la asignación de significados por parte de los alumnos. No es esa la tesis que se sostiene en este trabajo. secuenciación y organización de los contenidos. para cada una de
. cuando se tiene el propósito de planificar cada una de las unidades a partir del currículo para el área de matemáticas.
Empeñarse en ese esquema produce una simplificación y trivialización de las actividades de programación que. Por ello carece de sentido que. desarrollo y evaluación de unidades didácticas en el área de matemáticas. como ya se ha visto. casi en exclusiva. metodología y evaluación no es inadecuada. contenidos. Se verá más adelante que es posible expresar las unidades didácticas mediante estos cuatro componentes: objetivos. nunca va dirigida a los alumnos. no se debe olvidar que se trata de un medio dialéctico que elabora la administración educativa. cuyo hilo conductor tiene elementos conceptuales y bases disciplinares diferentes a los componentes mencionados. traten de reiterar el esquema anterior y comportarse como si cada profesor fuese el legislador o la administración para sus alumnos. a profesores y educadores. contenidos. sin criterios de referencia. sólo lo es su empleo en tareas de trabajo para el aula. Cuando se encuentra un discurso sobre objetivos. para dirigirse a los profesores en ejercicio. La caracterización operacional del currículo mediante objetivos. contenidos.las unidades del currículo de matemáticas. puesto que la relación del profesor con sus alumnos es distinta de la que tiene la administración educativa con los profesores.
. metodología y evaluación. Una de tales limitaciones se produce por olvidar la funcionalidad de ese concepto y el contexto en el que se presenta. metodología y evaluación. Este discurso se encuentra en los documentos oficiales o en los libros elaborados para la orientación profesional. Se necesitan nuevas herramientas conceptuales con las cuales abordar las tareas de diseño. no resulta saludable para su puesta en práctica. Mediante tal discurso se organiza el diálogo que la administración establece con los profesionales de la educación. con carácter general. Se tratará de poner de manifiesto algunas limitaciones que surgen al considerar el concepto general de currículo anteriormente descrito. cuando los profesores reflexionan sobre su trabajo en relación con los alumnos. contenidos. La reflexión sobre objetivos. No tiene sentido que el profesor organice inicialmente su reflexión y planificación sobre unidades didácticas en términos de objetivos. metodología y evaluación va dirigida. Tales referencias conceptuales proporcionan criterios adecuados para organizar el currículo de matemáticas. o los expertos en educación. pero como resultado de un proceso de reflexión más elaborado. contenidos. metodología y evaluación.
cada profesor. puede parecer que éstos nunca están en discusión. se puede disentir sin que ello suponga problemas especiales de planificación y ejecución. Pero no hay una cultura objetivamente compartida equivalente para los objetivos. aun cuando no la compartan plenamente. La búsqueda de nuevos elementos Como los profesores disponen de información suficiente sobre los contenidos. lo cual es aún más importante. Los profesores de matemáticas suelen sostener planteamientos diversos sobre el modo de organizar cada uno de los bloques de contenidos. hasta el momento. no es el ministro o consejero de Educación de sus alumnos. pero no un marco teórico que permita tratar con objetividad tales prácticas.El profesor. por ello la línea de reflexión que cada profesor elabora para desarrollar el trabajo con los alumnos tiene una base argumental diferente de la línea de reflexión que la administración educativa elabora para organizar el trabajo de los profesores. sobre todo. El único elemento coincidente que se ha admitido. Los profesores encuentran muy difícil exponer con precisión sus propios puntos de vista sobre estos tres componentes. la metodología y la evaluación por cada uno de los bloques de temas. Esta información básica común se encuentra en libros y documentos sobre matemáticas que están a disposición de los profesores en las bibliotecas. Dicho en otros términos. Hay prácticas compartidas con multitud de variantes. pero encuentran mucho más difícil aún dar validez objetiva a los puntos de vista de los
. que se va a tomar como referencia para la búsqueda de nuevos elementos que permitan caracterizar la elaboración de unidades didácticas. son capaces de entender opciones alternativas y apreciar sus ventajas o señalar sus inconvenientes. los profesores pueden articular de maneras diversas sus conocimientos sobre cada uno de los temas y. los profesores de matemáticas tienen formación suficiente y fuentes documentales adecuadas para dar forma y expresión coherente a sus coincidencias sobre los contenidos pero también a sus discrepancias. Al compartir una cultura matemática con cierto nivel de profundidad. Lo interesante de los contenidos en las unidades didácticas es que expresan una información común para todos los profesores sobre la cual se pueden establecer coincidencias pero. Nada más lejos de la realidad. para ambas líneas de reflexión es el que se denomina contenidos.
distintos de los contenidos. es casi imposible caracterizar las discrepancias y encontrar referencias comunes que permitan asumir provisionalmente el punto de vista alternativo como opción propia. 1997c). cualquier grupo motivado de profesores puede encontrar una lista de organizadores aceptable sobre la cual continuar la discusión. desarrollo y evaluación de unidades didácticas. que expresen un conocimiento objetivo y útil para la elaboración de unidades didácticas? * ¿Existen fuentes objetivas de conocimientos. Si ya resulta complicado expresar las coincidencias. Cuando los profesores de matemáticas hablan de objetivos. emplean un discurso muy personal. Se llamará organizadores a aquellos conocimientos que se adoptan como componentes fundamentales para articular el diseño. genérico e impreciso. tras alguna sesión de debate sobre las características de un organizador. salvo excepciones. metodología y evaluación.
. Cuando los profesores indagan en su propia práctica. es decir en los libros de texto. pero. sobre la base de las reflexiones anteriores. En nuestra más extendida tradición de organización de unidades didácticas. Se habla así de organizadores del currículo (Rico. se encuentran otros elementos. distintos de los contenidos. Caracterización de los organizadores del currículo
Como consecuencia de las reflexiones anteriores se plantean las siguientes preguntas:
* ¿Es posible encontrar otros elementos. comienzan a encontrar respuestas adecuadas. Hay algunas opciones más obvias y otras más difíciles de localizar. distintos de los contenidos. adecuadas para organizar unidades didácticas en matemáticas? * ¿Qué otros conocimientos. además de los contenidos? Está claro que la respuesta ha de ser afirmativa ya que no es cierto que la planificación de un tema se reduzca a una simple organización secuenciada de conceptos y procedimientos.compañeros. mediante los cuales se organiza cada una de las lecciones. con pocas referencias externas y datos objetivos con soporte físico concreto. son útiles y necesarios para una adecuada programación? * ¿Sobre qué tópicos pueden discutir los profesores cuando están planificando cada uno de los temas? * ¿Es posible encontrar organizadores para este nivel de reflexión sobre el currículo de matemáticas.
proporcionar información contrastada sobre la validez y utilidad de estas aportaciones. obviamente. De esta manera. que permita su tratamiento objetivo. tienen. Geometría. Los organizadores han de ubicar las distintas opciones de los profesores para la planificación. cada organizador proporciona una base sólida y unos criterios para estructurar todas y cada una de las unidades didácticas y para la delimitación del conocimiento didáctico de sus contenidos. También ha de resultar posible encontrar documentos y fuentes de información sobre cada uno de los organizadores. Aritmética. además. Los organizadores deben tener una base disciplinar adecuada. Probabilidad) satisfacen todas las condiciones que se acaban de mencionar: tienen carácter objetivo. libros y publicaciones mediante los que sea posible profundizar en la aportación que cada uno de ellos hace a cada tópico y. Análisis.Dos condiciones exigidas para aceptar un tipo de conocimientos como organizador del currículo de matemáticas son: su carácter objetivo y que genere una diversidad de opciones. Estadística. Los organizadores deben mostrar su capacidad para establecer distintos marcos de estructuración de las unidades didácticas. El conocimiento didáctico sobre cada uno de los contenidos del currículo de matemáticas ha de quedar estructurado mediante la aportación que hace cada uno de los organizadores a dicho contenido. Un organizador debe ofrecer un marco conceptual para la enseñanza de las matemáticas. Organizadores para el currículo de matemáticas Las diferentes disciplinas matemáticas (Álgebra. permiten reconocer coincidencias y discrepancias entre distintas estructuraciones así como discutir sobre ellas. gestión y evaluación de unidades didácticas y han de situar estas opciones en referencias comunes. cada profesor debe tener acceso a diversos documentos. ya que éstos no deben ser producto de la inspiración de un grupo de personas o de una moda. una fundamentación disciplinar
. con una base objetiva de interpretación y discusión. ofrecen una diversidad de opciones para estructurar unidades didácticas. un espacio de reflexión que muestre la complejidad de los procesos de transmisión y construcción del conocimiento matemático y criterios para abordar y controlar esa complejidad. que permitan precisar las coincidencias y las discrepancias.
la diversidad de representaciones utilizadas para cada sistema conceptual. sin que de ello se haga mención explícita. y es por ello que son necesarios los organizadores mencionados u otros alternativos. junto con los propios contenidos. junto con algunas de las modelizaciones usuales de los correspondientes conceptos. pero son éstos los que constituyen nuestra opción. ofrecen la posibilidad de realizar un análisis didáctico de cada uno de los temas del currículo de matemáticas. la información sobre los organizadores se presenta incorporada en las tareas y actividades que se encuentran en los libros de texto. que se presentan sobre cada tópico. así como los problemas u obstáculos de aprendizaje que se detectan o plantean para cada concepto.
. Resulta imprescindible tener en cuenta otros criterios. Y. de ahí que. la evolución histórica de cada campo. e incluso. es decir. de los que en seguida se hace una selección. así como las aplicaciones prácticas de cada bloque de contenidos. sea necesario proceder a la búsqueda de nuevos organizadores. la fenomenología de los conocimientos implicados. Pero las disciplinas matemáticas no agotan las necesidades organizativas del currículo de matemáticas. y se dispone de fuentes documentales diversificadas que proporcionan información suficiente para cada tópico. En primer lugar.y académica. como se ha argumentado. En tercer lugar. se consideran los errores y dificultades usualmente detectados en el aprendizaje de las matemáticas. la diversidad de los materiales de tipo manipulativo y de los recursos que pueden emplearse en la enseñanza de cada tópico. Todos ellos. Posiblemente hay otras alternativas u otros modos de considerar los organizadores. Usualmente. En cuarto lugar. en quinto término. conjuntamente. Este análisis forma parte ineludible del trabajo que los profesores de matemáticas deben realizar en sus tareas de planificación de unidades didácticas. un análisis de los contenidos de las matemáticas al servicio de la organización de su enseñanza en el sistema educativo. no agotan las posibilidades de reflexionar sobre cada una de las unidades del currículo de matemáticas desde un planteamiento didáctico. Por ello no es usual que el profesor perciba su interés para la estructuración de las unidades didácticas. En segundo término. de cada concepto. Estas cinco perspectivas.
Para comparar números decimales hay que tener en cuenta algunas ideas importantes. y conducir al alumno extraviado hasta el conocimiento que se ha estipulado como correcto. por ello su detección se organiza mediante un escalonamiento de ejercicios. Marín y Palomino. así como las conexiones entre ellas. con un proceso de construcción explícito y conocido. Álgebra
. un punto de la recta. la comparación no puede hacerse por el número de cifras decimales. problemas y actividades.Ejemplos de organizadores A continuación se verán algunos ejemplos de cómo aparece información sobre diferentes organizadores en los libros de texto. Así.115 es menor que 0. Los errores se ponen de manifiesto como conocimientos inadecuados. una operación para calcular números de un orden decimal determinado. Segundo. la expresión n (raíz cuadrada de n) representa: Primero. 39
Las diferentes representaciones para los conceptos y procedimientos matemáticos se presentan explícitamente. Coriat. Un ejemplo de uso explícito de diferentes representaciones se encuentra en el libro de Matemáticas para cuarto curso (Rico. 0. Marín y Palomino. se toma como referencia los textos de la editorial Algaida.115. Coriat. pero raras veces se insiste en que expresan diversas facetas y propiedades de un mismo concepto. observamos que: Mayor número de cifras en un decimal no significa que sea mayor.23.23 y 0. Entre dos números decimales el mayor no tiene por qué ser el de más cifras: 0. Durante la realización de los ejercicios es necesario un observador externo para evaluar la distancia entre la afirmación errónea y el conocimiento correcto. 1994b):
Cuando n no es un cuadrado perfecto.1. cuyo cuadrado es el valor más próximo a n (por defecto o por exceso) para ese orden decimal. también se trata de controlarlos en las recomendaciones que los autores van haciendo al lector para que ponga atención sobre determinados aspectos o para que no confunda nociones similares. Se encuentra un ejemplo de aproximación a los errores en el libro de Matemáticas para tercer curso (Rico. p. si se quiere ordenar 0.
Cuarto. Con frecuencia se establecen ordenaciones. inconmensurable con el segmento unidad. se tiene una propuesta para considerar un tipo de modelo matemático:
La proporcionalidad es un modo de asociar cantidades de dos magnitudes. p. como modelos de estructuras y como modelos que rellenan una región del espacio. Debes aprender a distinguir las situaciones en las que éste no es apropiado. no es usual que los libros de texto hagan un barrido explícito de las principales opciones fenomenológicas para un determinado concepto. pero en muchas situaciones no resulta adecuado. si se quiere presentar un tópico matemático con toda su riqueza y pluralidad de significados. un segmento de longitud n . una notación decimal con infinitas cifras no periódicas. p. las posiciones de los muebles en una habitación o las formas de alojarse cuatro personas en un vehículo implican posibles ordenaciones. La elección de un almuerzo de un menú de un restaurante es un ejemplo de selección. En cada uno de los siguientes ejemplos. Las personas usamos el razonamiento proporcional en una gran variedad de situaciones. pero está claro que. tomados del texto del tercer curso. 50 Los poliedros. se usan como herramientas para resolver problemas de muy diversas clases. El razonamiento proporcional es muy útil y frecuente. como las modernas teorías cristalográficas y las teorías de la estructura molecular de los sólidos. debe considerarse en conexión con diferentes fenómenos y debe aplicarse a otros campos diferentes del conocimiento.Tercero. En el texto ya mencionado.
La consideración del conocimiento matemático como modelo también se puede encontrar con frecuencia. Nuestro lenguaje y el sistema de numeración decimal se componen
La fenomenología de cada uno de los conceptos debiera estar en la base de los diferentes ejercicios y actividades que se proponen o de las actividades de motivación y ampliación. igualmente las modelizaciones surgen en los problemas de aplicación. se encuentra: Hay situaciones cotidianas en las que se escogen o seleccionan grupos de objetos.
Queremos calcular la fracción del volumen del cilindro ocupado por las esferas p. y es usual encontrar referencias explícitas en los libros de texto:
Si dispones de un balón. p. o más bien. se trata de un ejemplo de apilamiento de esferas congruentes. 116 Álgebra
. Se reconocen porque existe un conjunto sobre cuyos objetos aplicamos algún criterio de colocación. p. marca con rotulador sobre él una red de paralelos y meridianos. 200
La caracterización histórica de cada tópico se viene incorporando recientemente a nuestros libros de texto. de nuevo se tiene un ejemplo:
El Álgebra se caracteriza por sus métodos para determinar valores o cantidades desconocidos mediante las relaciones que guardan con otras cantidades conocidas. selección u ordenación. Descartes (1596-1650). 149
Todavía resulta necesario profundizar más y mejor en los usos didácticos de la evolución histórica del concepto o conceptos que se estén considerando para cada unidad didáctica. algunos de ellos conocidos y algunos de ellos desconocidos.” p. en su Geometría publicada en 1637. comprueba que la distancia entre esos dos puntos medida sobre el círculo máximo es inferior a la distancia medida sobre el paralelo.
Las situaciones comentadas y muchas otras similares se denominan situaciones combinatorias. 100 Tres pelotas de tenis se venden en contenedores cilíndricos.de agrupaciones ordenadas -palabras o números. generándose varias soluciones acordes con el criterio. traza el círculo máximo que pasa por esos dos puntos. estimando. se expresaba así: “Una ecuación está integrada por varios términos. Elige dos puntos que estén en el mismo paralelo y. estos métodos conllevan el uso de letras y expresiones literales con las que se realizan operaciones.tomadas del alfabeto o de los 10 dígitos. Materiales y recursos son tópicos más familiares al profesor de matemáticas. considerados todos conjuntamente son iguales a cero. siendo unos iguales a otros.
Tomando como referencia los organizadores. metodología y evaluación) para la elaboración de unidades didácticas. con mayor o menor extensión. Se trata de una consideración obviamente deficiente que tiene su repercusión en las tareas de elaboración. conceptos. profundidad y sistematicidad. en relación con los diferentes organizadores. El diseño general debe tener en cuenta diferentes alternativas. puesta en práctica y valoración de unidades didácticas. y es sobre estos datos sobre los que únicamente se producen discusiones en las tareas de planificación y diseño. De este modo se obtienen informaciones con100
. los únicos datos que parecen compartir son las informaciones exclusivamente matemáticas. El trabajo de los profesores de matemáticas tampoco puede reducirse a planificar los estrictos conocimientos formales de matemáticas. a partir de las cuales los profesores llevan adelante sus tareas de planificación. los tipos de información que se acaban de revisar. Sin embargo. También tiene implicaciones para el trabajo dentro del seminario o departamento de matemáticas en cada centro. Las deficiencias detectadas para el análisis y construcción de unidades didácticas con el esquema que proporcionan estos componentes nos llevaron a elaborar la noción de organizador y a profundizar en ella. estructuras y teoremas matemáticos. es posible establecer criterios precisos mediante los cuales estructurar la información disponible y organizar un diseño de las unidades didácticas según el esquema general de los cuatro componentes del currículo. y en la consideración de la dimensión social de ese trabajo. por la cultura en la que han sido formados los profesores. Los organizadores se han escogido para satisfacer esta demanda. operaciones. En cada caso es necesario establecer prioridades y seleccionar la información aportada por los diferentes organizadores. propiedades. Organizadores y componentes del currículo Se ha cuestionado la utilidad de la información que ofrecen los documentos oficiales sobre los cuatro componentes del currículo (objetivos.Es evidente que en la realización de un libro de texto intervienen. contenidos. Obtenida la información más relevante sobre cada tópico. Un libro de texto moderno no queda nunca reducido a la simple presentación secuenciada de definiciones. se sostiene que es posible un análisis didáctico con profundidad de los distintos temas del currículo de matemáticas.
7. 2. Preconceptos y errores previsibles. búsqueda de la verdad y apreciación de la belleza en las realizaciones matemáticas 2. Fomento de actitudes positivas respecto a las matemáticas tales como: satisfacción por la tarea bien hecha. relativos a: 2.4. comprensión de los principales significados de cada campo conceptual. Objetivos. de sus relaciones y limitaciones.1.6.4. así como su conexión con la estructura del campo conceptual.3. con especial énfasis en las tareas de modelización. 1.5.2.3. Conexión de cada campo conceptual con algunos de los
. se tendrá en cuenta el siguiente marco: 1. Criterios para organizar y estructurar cada campo conceptual. Niveles convenientes de dominio en cada caso. 2.1. Prioridades en los medios tecnológicos. Delimitación de los campos de aplicaciones y de los fenómenos en cuya modelización se va a trabajar. por la construcción coherente de argumentos. 2. 1. Selección de los sistemas de representación adecuados. en la selección de recursos específicos y en el dominio de tales medios y recursos. y de los procedimientos relacionados. Contenidos. 1. Competencias en la ejecución de procedimientos. metodología y evaluación de cada tema. 2. Conocimiento de los sistemas de representación y dominio de las tareas de conversión en los diferentes sistemas. 2.cretas para establecer los objetivos. Prioridades en el dominio conceptual y procedimental de cada tema. contenidos. Prioridades en los materiales y recursos mediante los que se va a tratar cada uno de los temas. Familiaridad con los contextos y situaciones en los que los conceptos y procedimientos tienen un uso y aplicación convenidos.2.5. 1. la resolución de problemas. 1. referentes a: 1. 2.7. En el paso que se da de obtener la información con respecto los organizadores a las decisiones sobre cada una de las cuatro dimensiones del currículo. Organización y secuenciación de dificultades que se prevén en cada caso. 1. Control de los errores usuales y superación de las dificultades conceptuales de cada tópico.6.
que sirvan para profundizar y mejorar la actividad profesional. Diseño y selección de tareas encauzados a valorar la comprensión y dominio alcanzados en conocimientos concretos. igualmente.3. Metodología prevista. con respecto a: 4.momentos relevantes de su evolución histórica. 4. Se ha argumentado que. Se pretende que esta reflexión no sea arbitraria y carente de criterios. Métodos adecuados para la valoración del aprendizaje alcanzado y de las actitudes desarrolladas por los alumnos. Objetivo principal de este artículo ha sido reflexionar sobre la necesidad de poner a disposición de los profesores de matemáticas conceptos sólidos y útiles de currículo y de sus organizadores. conjuntamente. detección de carencias en el uso de las representaciones y en las tareas de traducción. para conseguirlas es imprescindible conocer las herramientas conceptuales de su profesión. seleccionarla y registrarla. Sistemas para obtener información sobre el conocimiento adquirido por los alumnos. antes de comenzar la planificación de las unidades didácticas sobre las cuatro dimensiones convencionales del currículo. 4. 4. Se cierra así la propuesta que se presenta en este trabajo. Conclusiones El profesor de matemáticas necesita autonomía intelectual y capacidad crítica para el ejercicio de su profesión.2. 3.5.
. enmarcan el conocimiento didáctico de los contenidos del área de matemáticas.4. los cuales. Tareas abiertas enfocadas a valorar la comprensión global y las estrategias de alto nivel.1. Para ello se ha tomado como base fuentes disciplinares a las que se ha llamado organizadores del currículo. De ahí la necesidad de entender y controlar el concepto de currículo y su complejidad. Diagnóstico y corrección de errores conceptuales y procedimentales.6. 4. destaca la conveniencia de utilizar este concepto en los diversos contextos en los que se presenta y de analizar los posibles criterios para su organización. 4. es necesario hacer una reflexión amplia sobre el conocimiento didáctico de cada uno de los temas. Evaluación. 4. Cuestiones relevantes que controlar.
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