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Timestamp: 2018-12-12 03:45:33+00:00

Document:
Ejercicios de Tuberías Y Redes
Etapa 2 - Fase 3 Diseño y Ejecución Plan de Acción Victor Palacio
Capitulo2 Analisis de Rta Transitoria
APORTE 1bgg
C04(Parte1) Analisis Dominio Tiempo
Ejercicios Apostol 10.8
chillitupa ramos.docx
Con lo que conocemos de Teoría de Circuitos, es posible abordar y resolver los siguientes problemas:
1) 2) 3) Circuitos resistivos: Leyes de Kirchoff ⇒ Sistemas de ecuaciones lineales Circuitos R, L, C + respuesta natural + respuesta al escalón: Ec. Diferenciales + Cond. Iniciales ⇒ Homogénea + Particular Régimen Permanente Sinusoidal: Dominio fasorial + Leyes de Kirchhoff ⇒ Sistemas de ecuaciones lineales 2) permite resolver cualquier circuito, pero el desarrollo analítico es complicado. 3) se basa en operaciones sencillas, pero sólo es aplicable cuando las fuentes presentes en el circuito son sinusoidales
Tema 1: La Transformada de Laplace T1.2
Buscamos un método que:
Sea sencillo desde el punto de vista analítico. Permita analizar circuitos alimentados con cualquier tipo de fuente
Esta herramienta es la Transformada de Laplace Ventajas de la Transformada de Laplace:
Transforma ecuaciones integro-diferenciales en ecuaciones polinómicas Introduce directamente los valores iniciales de las variables (V. I.)
Tema 1: La Transformada de Laplace
ω0 ) = s0 T1. −∞   ∞ s ∈C y En general: s = σ + jω X (s) ∠{X ( s )} En general.4 ω (σ 0 . La Transformada Bilateral de Laplace  La Transformada bilateral de Laplace se define como: L b {x(t )} = X b ( s ) = ˆ ∫ x(t ) ⋅ e − st dt . ω0 ) = s0 ω Tema 1: La Transformada de Laplace .2. X(s) es una función compleja: X ( s) ∠{X ( s )} ∠{X ( s0 )} σ X ( s0 ) σ (σ 0 .1.
5 . La Transformada Bilateral de Laplace     Algunas consideraciones: La integral es IMPROPIA ⇒ puede converger o no La convergencia depende de Re s = σ Región de Convergencia (ROC) ⇒ conjunto de valores de la variable compleja ‘s’ para los que la integral que representa la TL converge La ROC depende exclusivamente de σ = Re s : la ROC está constituida por franjas paralelas al eje ‘jω’ en el plano complejo. {}  {} Im {s} ROC −a Re {s} Tema 1: La Transformada de Laplace T1.2.1.
6 La Transformada de Fourier es un caso particular de la Transformada de Laplace.2. resulta de evaluar la Transformada de Laplace en los puntos Tema 1: La Transformada de Laplace . La Transformada Bilateral de Laplace  Relación con la Transformada de Fourier de señales continuas ∞ − st −∞ X b ( s ) = ∫ x(t ) ⋅ e dt = ∫ x(t ) ⋅ e −∞ ∞ − (σ + j ω ) t dt = ∫ x(t ) ⋅ e − jω t dt =F {x(t )} −∞ ∞ s = σ + jω Caso particular: σ =0 s = jω  Luego: X b ( s ) s = jω = F {x(t )}  De otra forma: X b ( s ) = F x(t ) ⋅ e −σ t { } s = jω T1. En concreto.1.
aparece en la transf. pues las señales de las fuentes serán siempre finitas Tema 1: La Transformada de Laplace T1. las que manejamos en Teoría de Circuitos. distinta TL bilateral Si una señal es nula para   ≥ 0 tendrán la misma TL unilateral y. que señales iguales para t ≥ 0 tendrán idéntica TL unilateral (pues lo que ocurra en t < 0 no influye) Dos señales idénticas para t general.7 . unilateral: es decir. en   t < 0. La Transformada Unilateral de Laplace  La Transformada unilateral de Laplace se define como: L {x(t )} = X ( s ) = ˆ ∫ − x(t ) ⋅ e − st dt 0   ∞ Consideraciones: La integral es IMPROPIA. puede converger o no (no todas las señales tienen Transformada de Laplace.3. esto es. sí van a tener) El límite 0. sus TL unilateral y bilateral son idénticas En análisis de circuitos nos interesa la TL unilateral.1.
La Transformada Unilateral de Laplace   Ejemplos: La función ‘escalón’: u (t ) L {u (t )} = ∫ − u (t ) ⋅ e 0 ∞ − st dt = ∫ e − st dt = 0 ∞ 1 = − 1 − st e s ∞ 0 1 1 = − (0 − 1) = s s t x(t ) = u (t ) J L X ( s) = 1 s  La función ‘impulso’: δ (t ) L {δ (t )} = ∫ − δ (t ) ⋅ e − st dt = ∫ δ (t ) dt = 1 0 0 ∞ ∞ t x(t ) = δ (t ) J L X ( s) = 1 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.8 .3.
La Transformada Unilateral de Laplace   Ejemplos (sigue): La función ‘exponencial decreciente’: x(t ) L {x(t )} = L e = t { }= ∫ −a t ∞ − 0 e −a t ⋅e ∞ 0 − st dt = ∫ e −( s + a ) t dt = 0 ∞ 1 e −( s + a ) t − ( s + a) = 1 1 (0 − 1) = − ( s + a) s+a x(t ) = e −at J L X (s) = 1 s+a Tema 1: La Transformada de Laplace T1.3.9 .1.
3. La Transformada Unilateral de Laplace Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.10 .
1.4.11 . = ⋅ − − − − ⎬ n dt dt dt n −1 ⎩ ⎭ Tema 1: La Transformada de Laplace T1. Propiedades de la transformada Unilateral  x(t )  Multiplicación por una constante L L J L X ( s) k ⋅ x(t ) J L k ⋅ X ( s) La TL es lineal Suma x1 (t ) x2 (t )  J L J J X 1 (s) X 2 ( s) x1 (t ) + x2 (t ) J X 1 ( s) + X 2 ( s) Una derivada se transforma en un producto x(t ) Diferenciación L X ( s) ⎧ dx(t ) ⎫ − = ⋅ ( ) − ( 0 ) L⎨ s X s x ⎬ ⎩ dt ⎭ − n −1) − ⎧ d n ) x(t ) ⎫ n d x d x ( 0 ) ( 0 ) n −1 − n−2 L⎨ s X s s x s ( ) ( 0 ) ...
a > 0 Desplazamiento en el dominio de la frecuencia L Multiplicar por una exponencial en el tiempo x(t ) J X ( s) equivale a un desplazamiento en frecuencia e −at ⋅ x(t ) J L X ( s + a) T1. Propiedades de la transformada Unilateral  x(t ) Integración L X ( s) L ∫ x(τ ) dτ = 0− s  { J Una integral se transforma en una división X ( s) ∞ } Desplazamiento en el tiempo L x(t ) J X ( s) Un desplazamiento en el tiempo equivale a multiplicar por una exponencial en frecuencia x(t − a) ⋅ u (t − a)  J L e − a s ⋅ X ( s ).12 Tema 1: La Transformada de Laplace .1.4.
1. Propiedades de la transformada Unilateral  x(t ) Escalado en el tiempo L J X ( s) ⎛s⎞ L 1 x(a t ) J ⋅ X ⎜ ⎟.4. a a ⎝ ⎠ x(t ) L a>0  Diferenciación en el dominio de la frecuencia J X ( s) L d X (s) t ⋅ x(t ) J − ds t ⋅ x(t ) n J L d n) X (s) (− 1) ⋅ ds n n Tema 1: La Transformada de Laplace T1.13 .
1.14 . Propiedades de la transformada Unilateral Tema 1: La Transformada de Laplace T1.4.
1. Propiedades de la transformada Unilateral  Ejemplo: Calcular la Transformada de Laplace de x(t ) = t 2 ⋅ e − a t ∞ 0 L {x(t )} = L t ⋅ e 2 { −a t }= ∫ ∞ 0 t ⋅e − 2 −a t ⋅e −s t dt = ∫ − t 2 ⋅ e −( s + a ) t dt . De forma alternativa...15 .4. aplicando las propiedades: x1 (t ) = e − a t 2 J L 1 X 1 (s) = s+a x(t ) = t ⋅ x1 (t ) J L d 2 X 1 (s) X ( s ) = (− 1) ⋅ = 2 ds d ⎡ − 1 ⎤ 2 ( s + a) 2 = ⎢ = = 4 3 ds ⎣ ( s + a ) 2 ⎥ ( s a ) ( s a ) + + ⎦ 2 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.
+ a1 ⋅ s + a0 X (s) = = Q( s ) bm ⋅ s m + bm −1 ⋅ s m −1 + . Transformadas Racionales  Una transformada de Laplace es RACIONAL cuando se puede expresar como el cociente de dos polinomios: P ( s ) an ⋅ s n + an −1 ⋅ s n −1 + .5..1.. + b1 ⋅ s + b0  Interés de las transformadas racionales: una clase de sistemas LTI particularmente útil son aquellos cuyas entradas y salidas se relacionan mediante ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes (filtros analógicos) ∑ k =0  N d k ) x(t ) = ak ⋅ dt ∑ k =0 M d k ) y (t ) bk ⋅ dt TL de la derivadas ⇒ polinomios ⇒ transformadas racionales Tema 1: La Transformada de Laplace T1...16 .
1. + a1 ⋅ s + a0 X (s) = bm ⋅ s m + bm −1 ⋅ s m −1 + . + 1 ⋅ s + 0 bm bm bm Tema 1: La Transformada de Laplace T1. + b1 ⋅ s + b0 y dividimos entre bm (coeficiente de s = 1 ) m an n an −1 n −1 a0 a1 ⋅s + ⋅ s + . Transformadas Racionales  1.5..17 .1. + ⋅ s + b bm bm bm P( s ) = X ( s) = m b b b Q( s) s m + m −1 ⋅ s m −1 + ...5.. La Transformada Inversa: x(t )  Este es el problema que queremos resolver ahora J L X ( s) X ( s) racional L J -1 x(t ) Partimos de una transformada racional: an ⋅ s n + an −1 ⋅ s n −1 + .....
Transformadas Racionales  Si grado{P(s)} ≥ grado{Q(s)} ⇒ Dividir.1.. . p2 .18 . pr ≡ {p } r k k =1 La raíz ‘pk’ tendrá multiplicidad ‘Mk’ Podemos escribir:  N (s) = Q( s) donde: ∑∑ k =1 m =1 r Mk Akm ( s − pk ) m • Akm: ‘residuos’ • pk: ‘polos’ ⎫ ⎧⎡ d M k − m ) ⎛ N ( s ) ⎤ ⎞ 1 ⎪ ⎪ Mk ⋅ ( s − pk ) ⎟ Akm = ⎨⎢ M k − m ⎜ ⎬ ⎜ ⎟⎥ ( M k − m)! ⎪⎣ ds ( ) Q s ⎝ ⎠ ⎦ s = pk ⎪ ⎩ ⎭ Tema 1: La Transformada de Laplace T1. de forma que: X ( s) = M ( s) +  N (s) Q( s) grado{N(s)} < grado{Q(s)} Encontrar las raíces de Q(s): • • ‘r’ raíces: p1 . ..5.
inversa de cada término es: Akm ( s − pk ) m  J L -1 Akm ⋅ t m −1 ⋅ e p k t ⋅ u (t ) ( m − 1)! En resumen: L -1 {X ( s)} = L {M ( s)}+ L -1 -1⎧ N ( s ) ⎫ ⎬ ⎨ ⎩ Q( s) ⎭ T1.1. Transformadas Racionales  La transformada inversa es: L ⎨ ⎬= ⎩ Q( s) ⎭ -1⎧ N ( S ) ⎫ ∑∑ k =1 m =1 r Mk Akm ⋅ t m −1 ⋅ e pk t ⋅ u (t ) (m − 1)! puesto que la transf.19 Tema 1: La Transformada de Laplace .5.
las siguientes: 1 1 L m −1 −a t x (t ) = ⋅ t ⋅ e ⋅ u (t ) J X ( s ) = (s + a)m ( m − 1)! δ (t ) d δ (t ) dt J J L L 1 s d 2 δ (t ) L 2 s J dt 2 d n ) δ (t ) L n s J dt n Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1. Transformadas Racionales  Y añadimos en nuestra tabla de transformadas.5.20 .
21 Tema 1: La Transformada de Laplace .5.1. Transformadas Racionales  Ejemplo: Calcular la transformada inversa de: 2s 2 + 2s − 4 P( s) X (s) = = 2s + 6 Q( s)  Simplificamos: 2s 2 + 2s − 4 s 2 + s − 2 X ( s) = = 2s + 6 s+3 s2 + s − 2 − s 2 − 3s  Grado{P(s)}=2 ≥ Grado{Q(s)}=1 ⇒ Dividir s+3 s−2 = M (s) − 2s − 2 + 2s + 6 4 = N (s) T1.
5. inversa (aplicando propiedades) es: d δ (t ) x(t ) = − 2δ (t ) + 4 e −3t u (t ) dt Tema 1: La Transformada de Laplace T1.22 .1. Transformadas Racionales  Con lo que queda: X ( s) = 4 P( s) N ( s) = M (s) + = ( s − 2) + Q( s) Q( s) s+3  Cuya transf.
5.23 . Transformadas Racionales  Ejemplo: Calcular la transformada inversa de: 2s + 12 P( s) X (s) = 3 = 2 s +6s + 11s + 6 Q( s )  Calculamos las raíces de Q(s): Q( s ) = s 3 +6 s 2 + 11s + 6 Las raíces deben ser divisores del término independiente −1 −2 −3 6 −1 1 5 −2 1 3 −3 1 0 1 11 6 −5 −6 6 0 −6 0 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.
5.24 ⎧ ⎤ 1 2 s + 12 ⎪⎡ ⋅ ⎨⎢ ⋅ ( s + 1)⎥ A11 = (1 − 1)! ⎪ ⎦ ⎩⎣ ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3) . Transformadas Racionales  Por consiguiente. tendremos: A31 A11 A21 X ( s) = + + s +1 s + 2 s + 3  multiplicidad Ak m raíz Siendo: ⎫ ⎪ − 2 + 12 =5 ⎬= 2 s = −1 ⎪ ⎭ ⎫ ⎧ ⎤ 1 2 s + 12 ⎪⎡ ⎪ − 4 + 12 ⋅ ⎨⎢ ⋅ ( s + 2)⎥ A21 = = −8 ⎬= (1 − 1)! ⎪ −1 ⎦ s = −2 ⎪ ⎩⎣ ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3) ⎭ ⎧ ⎫ ⎤ 1 2 s + 12 ⎪⎡ ⎪ − 6 + 12 A31 = ⋅ ⎨⎢ ⋅ ( s + 3)⎥ =3 ⎬= (1 − 1)! ⎩ 2 ⎪⎣ ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3) ⎪ ⎦ s = −3 ⎭ Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1. resulta: Q( s ) = s 3 +6 s 2 + 11s + 6 = ( s + 1) ⋅ ( s + 2) ⋅ ( s + 3)  De esta forma.
quedará: 5 8 3 X ( s) = − + s +1 s + 2 s + 3  Por lo que la transformada inversa resultará ser: x(t ) = 5 e − t u (t ) − 8 e −2 t u (t ) + 3 e −3t u (t ) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.25 .1. Transformadas Racionales  Así.5.
26 1 .5. Transformadas Racionales  Ejemplo: Calcular la transformada inversa de: 180 s + 5400 P( s) X (s) = 4 = 3 2 s + 11s +39 s + 45s Q( s )  En Q(s) podemos sacar ‘s’ factor común: Q( s ) = s ⋅ ( s 3 +11s 2 + 39s + 45)  Hallamos las raíces 11 39 45 −3 − 3 − 24 − 45 1 8 15 0 −3 − 3 − 15 1 5 0 −5 −5 1 0 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.
27 .1. las raíces son: ⎧r1 = 0 ⎪ ⎨r2 = −3 ⎪r = −5 ⎩3  : : : M1 = 1 M2 = 2 M3 =1 De forma que queda: Q( s ) = s ⋅ ( s 3 +11s 2 + 39 s + 45) = s ⋅ ( s + 3) 2 ⋅ ( s + 5)  Es decir. Transformadas Racionales  En este caso. que: A31 A11 A21 A22 X ( s) = + + + 2 s s + 3 ( s + 3) s+5 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.5.
28 Tema 1: La Transformada de Laplace .5.5 = 120 2 ⋅ + ⋅ + (1 − 1)! ⎪ s ( s 3 ) ( s 5 ) ⎦ s =0 ⎪ ⎩⎣ ⎭ ⎧ ⎫ ⎤ 1 ⎪⎡ d ⎛ 180s + 5400 ⎪ ⎡ d ⎛ 180 s + 5400 ⎞⎤ 2⎞ ⎟ ⋅ ⎨⎢ ⎜ ⋅ + ( 3 ) A21 = s ⎟⎥ ⎬=⎢ ⎜ ⎥ 2 2 ⎜ ⎟ (2 − 1)! ⎪⎣ ds ⎝ s ⋅ ( s + 3) ⋅ ( s + 5) ds s + 5s ⎠ ⎦ ⎠⎦ s = −3 ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎝  = s = −3 180( s 2 + 5s ) − (180 s + 5400) ⋅ (2s + 5) = ( s 2 + 5s ) 2 = = s =−3 180(9 − 15) − (−540 + 5400) ⋅ (−6 + 5) = 2 (9 − 15) 180 ⋅ (−6) + 4860 3780 = = 105 36 36 ⎧ 1 ⎪⎡ 180 s + 5400 2⎤ ⋅ ⎨⎢ ⋅ + A22 = ( s 3 ) ⎥ 2 ⋅ + ⋅ + (2 − 2)! ⎪ s ( s 3 ) ( s 5 ) ⎣ ⎦ ⎩ ⎧ ⎤ 1 ⎪⎡ 180 s + 5400 ⋅ ⎨⎢ ⋅ + A31 = ( s 5 ) ⎥ 2 ⋅ + ⋅ + (1 − 1)! ⎪ s ( s 3 ) ( s 5 ) ⎣ ⎦ ⎩ ⎫ ⎪ − 180 ⋅ 3 + 5400 = −810 ⎬= − 3 ⋅ (2) s = −3 ⎪ ⎭ ⎫ ⎪ − 180 ⋅ 5 + 5400 = −225 ⎬= − 5 ⋅ ( 4) s = −5 ⎪ ⎭ T1. Transformadas Racionales Siendo: ⎧ ⎤ ⎫ 1 ⎪⎡ 180 s + 5400 ⎪ 5400 ⋅ ⎨⎢ ⋅ A11 = s ⎥ ⎬ = 9.1.
5.29 .1. Transformadas Racionales  Con lo que resulta: 120 105 810 225 X (s) = + − − 2 s ( s + 3) ( s + 3) ( s + 5)  Y la transformada inversa será: x(t ) = 120 u (t ) + 105 e − 3t u (t ) − 810 t e −3t u (t ) − 225 e −5t u (t ) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.
5.1.30 . Transformadas Racionales  Ejemplo: Calcular la transformada inversa de: 40 P( s) X ( s) = 2 = 2 ( s + 4 s + 5) Q( s)  Las raíces serán: Q( s ) = ( s 2 + 4 s + 5) 2 s + 4s + 5 = 0 2  ⇒ s= − 4 ± 16 − 20 − 4 ± − 4 − 4 ± j 2 = = = −2 ± j 2 2 2 Por lo que tendremos que: ⎧r1 = −2 + j ⎨ ⎩r2 = −2 − j : : M1 = 2 M2 = 2 Q( s) = ( s + 2 − j ) 2 ⋅ ( s + 2 + j ) 2 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.
5.31 . Transformadas Racionales  Por lo que: A11 A12 A21 A22 X (s) = + + + 2 s + 2 − j (s + 2 − j) s + 2 + j (s + 2 + j)2 ⎧⎡ d 1 ⎪ A11 = ⋅ ⎨⎢ ( 2 − 1)! ⎪ ⎣ ds ⎩ ⎛ 40 2 ⎞⎤ ⎟ ⎜ ( s 2 j ) ⋅ + − ⎟⎥ ⎜ (s + 2 − j)2 ⋅ (s + 2 + j)2 ⎠⎦ ⎝ = s = −2+ j ⎫ d ⎛ 40 ⎪ ⎜ ⎬= ds ⎜ (s + 2 + j)2 ⎝ ⎪ s = −2 + j ⎭ ⎞ ⎟ = ⎟ ⎠ s= −2+ j 0 ⋅ ( s + 2 + j ) 2 − 40 ⋅ 2 ( s + 2 + j ) = (s + 2 + j)4 − 80 ⋅ ( − 2 + j + 2 + j ) − 160 j − 160 j = = = − 10 j 4 4 (−2 + j + 2 + j ) (2 j ) 16 ⎧ 1 40 ⎪⎡ 2⎤ A12 = s j ( 2 ) ⋅ ⎨⎢ ⋅ + − ⎥ (2 − 2)! ⎪⎣ ( s + 2 − j ) 2 ⋅ ( s + 2 + j ) 2 ⎦ ⎩ ⎫ 40 40 40 ⎪ = = = −10 ⎬= 2 2 −4 ( −2 + j + 2 + j ) (2 j ) s = −2 + j ⎪ ⎭ Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.
1.32 . Transformadas Racionales y: ⎧⎡ d 1 ⎪ A21 = ⋅ ⎨⎢ ( 2 − 1)! ⎪ ⎣ ds ⎩ = ⎤ ⎛ 40 2 ⎞ ⎜ ⎟ ( s 2 j ) ⋅ + + ⎜ (s + 2 − j)2 ⋅ (s + 2 + j)2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ = s = −2 − j ⎫ d ⎛ 40 ⎪ ⎜ = ⎬ ⎜ (s + 2 − j)2 ds ⎝ s = −2 − j ⎪ ⎭ ⎞ ⎟ = ⎟ ⎠ s= −2− j − 40 ⋅ 2 ⋅ ( s + 2 − j ) (s + 2 − j)4 − 80 − 80 − 10 − 80 ⋅ ( − 2 − j + 2 − j ) − 80 ⋅ ( − 2 j ) = = = = = 10 j (−2 − j + 2 − j ) 4 (−2 j ) 4 (−2 j )3 8j j ⎧ 1 40 ⎪⎡ 2⎤ ( 2 ) A22 = s j ⋅ ⎨⎢ ⋅ + + ⎥ (2 − 2)! ⎪⎣ ( s + 2 − j ) 2 ⋅ ( s + 2 + j ) 2 ⎦ ⎩  ⎫ 40 40 40 ⎪ = = = −10 ⎬= 2 2 ( −2 − j + 2 − j ) (−2 j ) −4 s = −2 − j ⎪ ⎭ Así: 10 10 j 10 − 10 j X ( s) = − + − 2 (s + 2 − j) (s + 2 − j) (s + 2 + j) (s + 2 + j)2 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.5.
Transformadas Racionales  De forma que la transformada inversa resulta ser: x(t ) = −10 j ⋅ e( −2+ j ) t ⋅ u(t ) − 10 t ⋅ e( −2+ j ) t u(t ) + 10 j ⋅ e( −2− j ) t ⋅ u(t ) − 10 t ⋅ e( −2− j ) t u(t ) = = − 10 j (e −2 t e j t − e −2 t e − j t ) ⋅ u(t ) − 10 ⋅ t ⋅ (e −2 t e j t + e −2 t e − j t ) ⋅ u(t ) = = −10 j ⋅ e −2 t ⋅ (e j t − e − j t ) ⋅ u(t ) − 10 ⋅ t ⋅ e −2 t ⋅ (e j t + e − j t ) ⋅ u(t ) = = −10 j ⋅ e −2 t ⋅ 2 j ⋅ sen(t ) ⋅ u(t ) − 10 ⋅ t ⋅ e −2 t ⋅ 2 ⋅ cos(t ) ⋅ u(t ) = = 20 ⋅ e −2 t ⋅ sen(t ) ⋅ u(t ) − 20 ⋅ t ⋅ e −2 t ⋅ cos(t ) ⋅ u(t ) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.5.33 .
5.5. Diagrama de Ceros y Polos: Una función racional se puede expresar como el cociente de dos polinomios factorizados: (s − z ) ∏ P(s) X (s) = =k⋅ Q( s) ∏ (s − p ) i i j j   “zi”: ceros. Transformadas Racionales   1.1.2. raíces del polinomio del denominador Se representan en el plano complejo: “Diagramas de polos y ceros” Tema 1: La Transformada de Laplace T1.34 . raíces del polinomio del numerador “pj”: polos.
s 3 + 8s 2 + 15s = 0 s = 0. Transformadas Racionales  Ejemplo: s 2 + 6 s + 25 10 s 2 + 60 s + 250 X ( s) = 3 = 10 ⋅ 3 2 s + 8s + 15s s + 8s 2 + 15s  Ceros: raíces del numerador. s + 6 s + 25 = 0 2 s= − 6 ± 36 − 100 − 6 ± − 64 − 6 ± 8 j = = = −3 ± 4 j 2 2 2 z 2 = −3 − 4 j Complejos conjugados (función real) z1 = −3 + 4 j  Polos: raíces del denominador.1.5. s 2 + 8 s + 15 = 0 − 8 ± 64 − 60 − 8 ± 4 − 8 ± 2 ⎧ − 3 s= = = =⎨ 2 2 2 ⎩− 5 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.35 .
5.1. Transformadas Racionales  Con lo que tenemos finalmente: z1 = −3 + 4 j z 2 = −3 − 4 j p1 = 0  p2 = −3 p3 = −5 El diagrama de polos y ceros quedará: Im{s} -4 -3 -2 -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 Los ceros indican los puntos en que X ( s ) = 0 Re{s} Los polos indican los puntos en que X ( s ) = ∞ Un sistema será estable si sus polos están a la izquierda del eje ‘jω’ -1 -2 -3 -4 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.36 .
6. a lo sumo. un polo de orden ‘1’ en el origen)  Teorema del Valor Inicial t →0 lim x(t ) = lim s ⋅ X ( s ) + s →∞  Teorema del Valor Final lim x(t ) = lim s ⋅ X ( s ) t →∞ s →0 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.37 . Teoremas del valor inicial y final  Bajo las suposiciones:  (i) Existen las TL de x (t ) y x′(t )    (ii) Existen los límites de s ⋅ X ( s ) (iii) x (t ) no contiene funciones impulso ni singularidades en el origen (iv) Los polos de X ( s ) están estrictamente en la mitad izquierda del plano ‘s’ complejo (salvo.1.
38 . Teoremas del valor inicial y final  Ejemplo: 96 s 2 + 1632 s + 5760 96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60) X ( s) = = 3 3 2 s + 14 s + 48s s + 14 s 2 + 48s  Ceros: s + 17 s + 60 = 0 ⇒ 2  − 17 ± 289 − 240 − 17 ± 7 ⎧ z1 = −5 = =⎨ s= 2 2 ⎩ z 2 = −12 Polos: s=0 ⇒ 2 p1 = 0 s + 14 s + 48 = 0 ⇒ − 14 ± 196 − 192 − 14 ± 2 ⎧ p 2 = −6 = =⎨ s= 2 2 ⎩ p3 = − 8 A31 A11 A21 X ( s) = + + s s+6 s +8 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.6.1.
1.6. Teoremas del valor inicial y final
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60) 96 ⋅ 60 = = 120 A11 = ( s + 6) ⋅ ( s + 8) s =0 48 96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60) 96 ⋅ (36 − 17 ⋅ 6 + 60) − 576 = = = 48 A21 = − 6 ⋅ (−6 + 8) − 12 s ⋅ ( s + 8) s = −6 96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60) 96 ⋅ (64 − 17 ⋅ 8 + 60) = = −72 A21 = − 8 ⋅ (−8 + 6) s ⋅ ( s + 6) s = −8
x(t ) = 120 u (t ) + 48 e − 6t u (t ) − 72 e −8t u (t )
De forma que podemos verificar que:
lim x(t ) = 120 + 48 − 72 = 96 +
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60) lim s ⋅ X ( s ) = lim = 96 2 s →∞ s →∞ s + 14 s + 48
lim x(t ) = 120
96 ⋅ ( s 2 + 17 s + 60) lim s ⋅ X ( s ) = lim = 120 2 s →0 s →0 s + 14 s + 48
Tema 1: La Transformada de Laplace T1.40
Ejemplo: X ( s) =
s s 2 + 25
s + 25 = 0
⎧ p1 = 5 j s = −25 ⇒ s = ± j 5 ⇒ ⎨ ⎩ p 2 = −5 j
A11 A21 X ( s) = + s −5 j s +5 j
Tema 1: La Transformada de Laplace T1.41
en consecuencia: 1 5 jt 1 −5 j t x(t ) = e u (t ) + e u (t ) = cos(5t ) ⋅ u (t ) 2 2 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1. Teoremas del valor inicial y final  Con lo que: s A11 = s+5j s A21 = s −5 j  s =5 j 5j 5j 1 = = = 5 j + 5 j 10 j 2 −5 j 1 −5 j = = = − 5 j − 5 j − 10 j 2 s = −5 j Y.6.42 .
6.43 . Teoremas del valor inicial y final  Resultando que: Valor inicial: t →0 x(t ) = 1 lim + s2 lim s ⋅ X ( s ) = lim 2 =1 s →∞ s →∞ s + 25 Valor final: lim x(t ) = indeterminado t →∞ s2 0 lim s ⋅ X ( s ) = lim 2 = =0 s →0 s → 0 s + 25 25 En este caso. no se puede aplicar el th.1. del valor final porque hay dos polos en el eje ‘jω’ Tema 1: La Transformada de Laplace T1.
44 .7.1. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos    7. Elementos pasivos en el dominio ‘s’ a) Resistencia: Dominio temporal: i(t) R v(t) v(t ) = R ⋅ i(t )  Dominio de Laplace: I(s) R V(s) V ( s) = R ⋅ I ( s) en el Z R = R ⇒ Impedancia dominio ‘s’ Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.
Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos    7.7.45 . Elementos pasivos en el dominio ‘s’ b) Bobina: Dominio temporal: i(t) I0 L v(t) LI0 V(s) Ls I(s) I0 /s V(s) Tema 1: La Transformada de Laplace v(t ) = L ⋅ i (t ) = d i (t ) dt  Dominio de Laplace: I(s) Ls 1 t ⋅ ∫ v(τ ) dτ + I 0 L 0 V ( s ) = L ⋅ (s I ( s ) − I 0 ) = = L s I ( s) − L I 0 1 V ( s) I 0 ⋅ + L s s Z L = L s ⇒ Impedancia en el I ( s) = dominio ‘s’ T1.1.1.
1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’ c) Condensador: Dominio temporal: i(t) C v(t) V0 /s i (t ) = C ⋅ d v(t ) dt  Dominio de Laplace: I(s) 1 t v(t ) = ⋅ ∫ i (τ ) dτ + V0 C 0 I ( s ) = C ⋅ (s V ( s ) − V0 ) = = C s V ( s ) − CV0 V (s) = 1 I ( s ) V0 ⋅ + C s s 1 ZC = ⇒ Impedancia en el Cs dominio ‘s’ T1.1. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos    7.46 1/Cs V(s) 1/Cs I(s) CV0 V(s) Tema 1: La Transformada de Laplace .7.
1.7. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos    7.1.47 . de modo que: V(s) = Z · I(s)  Tema 1: La Transformada de Laplace T1. Elementos pasivos en el dominio ‘s’ Corolario: Se utilizará una configuración u otra según las características del circuito global. La impedancia será aquel término que incluirá todo aquello que relacione V(s) con I(s) en el dominio de Laplace.
Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos   7.48  2ª Ley de Kirchhoff o Ley de las Tensiones: ⇒ malla malla Tema 1: La Transformada de Laplace .1.2. Leyes de Kirchhoff en el dominio ‘s’ Puesto que la Transformada de Laplace es lineal. podemos aplicar directamente las leyes de Kirchhoff:  1ª Ley de Kirchhoff o Ley de las Corrientes: nudo ∑ i(t ) = 0 ∑ v(t ) = 0 ⇒ nudo ∑ I (s) = 0 ∑ V ( s) = 0 T1.7.
I(s).7. iL(0-) (tensión en C y corriente 1) Representar el circuito equivalente en el dominio de Laplace. 2) Aplicar métodos de resolución de circuitos. 5) Comprobar las condiciones iniciales y los valores finales Tema 1: La Transformada de Laplace T1.49 .3. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos  7. 4) Calcular la transformada inversa. Resolución de circuitos mediante la transformada de Laplace   Procedimiento para usar la TL con circuitos: en L)      0) Calcular las condiciones iniciales: vC(0-). 3) Resolver: obtener V(s).1.
Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos  Ejemplo: C iL(t) L R1 R2 Vg(t) = 12·u(t) V C= 1 F. R1 = 1 Ω. iL(0)= 2 A 1/C·s = 1/s V0/s = 4/s Ia(s) 1 Ib(s) IL(s) L·s = s L·I0=2 1 vg(t) Vg(s) = 12/s Malla A ⇒ 4 1 12 + I a ( s) − + I a ( s) − I b ( s) = 0 s s s 8 ⎛ 1⎞ I a ( s ) ⋅ ⎜1 + ⎟ − I b ( s ) = s ⎝ s⎠ s +1 8 I a (s) ⋅ − I b ( s) = s s ⇒ I a ( s ) ⋅ ( s + 1) − I b ( s ) ⋅ s = 8 (1) A B Malla B ⇒ s ⋅ I b ( s ) − 2 + I b ( s ) + I b ( s ) − I a ( s ) = 0 − I a ( s ) + ( s + 2) ⋅ I b ( s ) = 2 ⇒ I a ( s ) = ( s + 2) ⋅ I b ( s ) − 2 T1.50 ( 2) Tema 1: La Transformada de Laplace .1.7. L = 1 H. R2 = 1 Ω Vc(0) = 4 V.
51 .7.1. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos  Sustituyendo (2) en (1). queda: [( s + 2) ⋅ I b (s) − 2]⋅ (s + 1) − s ⋅ I b ( s) = 8 (s ⋅ I b ( s) + 2 ⋅ I b ( s) − 2) ⋅ ( s + 1) − s ⋅ I b ( s) = 8 s 2 I b ( s) + 2s I b ( s) − 2s + s I b ( s) + 2 I b ( s) − 2 − s I b ( s) = 8 s 2 I b ( s ) + 2s I b ( s ) + 2 I b ( s ) = 2s + 10 2 s + 10 I b ( s) = 2 = I L (s) s + 2s + 2 s + 2s + 2 = 0 2 A11 A21 I L ( s) = + s +1− j s +1+ j ⎧ s1 = −1 + j − 2± 4−8 − 2± 2 j ⇒ s= = = −1 ± j = ⎨ 2 2 ⎩ s 2 = −1 − j Tema 1: La Transformada de Laplace T1.
1.7. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos  Con lo que: A11 = A21 =  2 s + 10 s +1+ j 2 s + 10 s +1− j = s = −1+ j − 2 + 2 j + 10 8 + 2 j 4 + j = = = 1− 4 j −1 + j +1 + j 2j j − 2 − 2 j + 10 8 − 2 j 4 − j = = = 1+ 4 j −1− j +1− j −2j j = s = −1− j De forma que queda: iL (t ) = (1 − 4 j ) ⋅ e −(1− j ) t ⋅ u(t ) + (1 + 4 j ) ⋅ e −(1+ j ) t ⋅ u(t ) = = (e − t e j t − 4 j e− t e j t + e − t e − j t + 4 j e − t e − j t ) ⋅ u(t ) = = e − t ⋅ 2 ⋅ cos(t ) − 4 j e − t ⋅ 2 j ⋅ sen(t ) ⋅ u(t ) = = 2 ⋅ e − t cos(t ) + 4 e − t sen(t ) ⋅ u(t ) = 2 ⋅ e − t [cos(t ) + 4 sen(t )]⋅ u(t ) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.52 [ [ ] ] .
1.53 .7. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos  Verificándose asimismo que: Valor inicial: t →0 + lim iL (t ) = 2 2s 2 + 10 s lim s ⋅ I L ( s ) = lim 2 =2 s →∞ s →∞ s + 2 s + 2 Valor final: lim iL (t ) = 0 t →∞ 2 s 2 + 10s lim s ⋅ I L ( s ) = lim 2 =0 s →0 s →0 s + 2 s + 2 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.
1. I0 = 0 A iL(t) L R1 0 I1(s) I2(s) IL(s) V1(s) 20 4s 100 0.15 s ) s s s Ig(s) En el nudo superior ⇒ − I g (s ) + V1(s ) V (s ) + 1 =0 4s + 20 100 ⎡ 120 + 4s ⎤ 100 ⋅ ( 4s + 20 ) V1(s ) ⋅ ⎢ = I ( s ) ⇒ V ( s ) = I ( s ) ⋅ g 1 g ⎥ 120 + 4s ⎣100 ⋅ ( 4s + 20 ) ⎦ Tema 1: La Transformada de Laplace T1.2 ⋅ 1 1 0 .15) I g ( s ) = 0 . Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos  ig(t) Ejemplo: R1 = 20 Ω.2 ⋅ ⋅ e −0.2 − 0.2 ig(t) i g (t ) = 0.15 t R2 0. R2 = 100 Ω.2 u(t − 0.2 u(t ) − 0.7.54 . L = 4 H.15 s = (1 − e −0.
t →0 + s →∞ lim i L (t ) = 0 lim s ⋅ X (s ) = 0 V.2 25 5 5 ⋅ (1 − e −0.15) 5 A A12 = 11 + s ⋅ (30 + s ) s s + 30 Polos : s = 0 s = −30 X 1( s ) = A11 = 5 1 = 30 + s s =0 6 V. I.15) 6 6 6 6 Tema 1: La Transformada de Laplace T1.15 s ) I L (s ) = 30 + s s ⋅ (30 + s ) s ⋅ (30 + s ) s I L (s ) = IL (s ) = X 1(s ) − X 1(s ) ⋅ e −0. Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos 100 25 V1(s ) = I g (s ) ⋅ = I g (s ) ⋅ ⇒ 4s + 20 120 + 4s 30 + s 0.15 s i L (t ) = x1(t ) − x 1(t − 0.15 ) + ⋅ e −30 ( t −0. lim i L (t ) = 0 t →∞ 5 1 A12 = =− 6 s s = −30 x1(t ) = lim s ⋅ X (s ) = s →0 5 5 − ⋅ e −0.7. F.1.15 s ) ⋅ = − ⋅ (1 − e −0.55 .15 s 30 + s 30 + s = s =0 1 1 − =0 6 6 1 1 1 1 ⋅ u(t ) − ⋅ e −30 t ⋅ u(t ) − ⋅ u(t − 0.15 ) ⋅ u(t − 0.
56 . LTI) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.8. es el cociente entre la TL de la señal de salida y la TL de la señal de entrada. es decir.1. entre la salida (respuesta) y la entrada (excitación).  Excitación: Respuesta: e(t ) → E (s ) r ( t ) → R (s ) L L  R (s ) H (s ) = ⇒ E (s ) Función de Transferencia  H(s): Se supone que las condiciones iniciales son NULAS (de forma que el circuito sea un sistema lineal e invariante. en el dominio ‘s’. La Función de Transferencia  La Función de Transferencia es el cociente.
La Función de Transferencia  1.8.8. Relación con la respuesta en frecuencia: La relación entre la función de transferencia y la respuesta en frecuencia resulta ser: H ( jω ) = H (s ) •R.57 . C.1. L. generadores s = jω •Condiciones iniciales nulas e(t ) E (s ) E ( jω ) Sistema LTI h(t ) ⇒ respuesta al impulso H ( s ) ⇒ función de transferencia H ( jω ) ⇒ respuesta en frecuencia r (t ) R (s ) R( jω ) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.
La Función de Transferencia  De forma que se cumple que: r (t ) = e(t ) ∗ h(t ) R (s ) = E ( s ) ⋅ H (s ) R( jω ) = E ( jω ) ⋅ H ( jω ) H ( jω ) = F {h(t )} H ( jω ) = H (s ) s = jω H (s ) = L {h(t )} • H ( jω ) sólo existe si el sistema es estable: polos a la izquierda del eje ‘jω’ • La localización de polos en ‘ω’ indica máximos en H ( jω ) • La localización de ceros sobre ‘ω’ indica mínimos en H ( jω ) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.58 .8.
los máximos y los mínimos en H ( jω ) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1. más acentuados serán. si tenemos una función de transferencia con: Ceros: z1=-3 (ω =0) Polos: p1=-2+j (ω =1) y Im{s} = jω H ( jω ) 1 p2=-2-j (ω =-1) Re{s} = σ -3 -2 -1 1 -1 1 ω • Simetría par indica h(t) real.8. en el caso de los circuitos -1 • Cuanto más cercanos estén los polos y los ceros al eje ‘jω’. respectivamente.59 . La Función de Transferencia  Así.
8.60 . La Función de Transferencia  1. Tipos de Filtros Paso Bajo H ( jω ) Paso Alto H ( jω ) − ωc ωc (Frecuencia de corte) ω − ωc ωc ω Banda de paso Paso Banda H ( jω ) Banda Eliminada H ( jω ) − ωc 2 − ωc1 ωc 1 ωc ω 2 − ωc 2 − ωc1 ωc 1 ωc ω 2 Banda eliminada Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1.2.8.
Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de circuitos  Suponiendo condiciones iniciales nulas.7.61 . del siguiente circuito: R1=1 kΩ Ejemplo: L=50 mH vg(t) R2=250 Ω C=1 μF v0(t) Tema 1: La Transformada de Laplace T1.1. y representar el diagrama de polos y ceros. encontrar la función de transferencia y la respuesta en frecuencia.
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