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Estado del arte del problema de flujo general flexible con costes en la función objetivo * - PDF
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Veronica Cordero Botella
1 Estado del arte del problema de fluo general flexible con costes en la función obetivo * Albert Corominas, Néstor Andrés González, Rafael Pastor Institut d'organització i Control de Sistemes Industrials Universitat Politècnica de Catalunya Av. Diagonal 647 planta 11, Barcelona {albert.corominas, nestor.andres.gonzalez, Resumen: En el ámbito de la programación de operaciones en taller un importante número de investigaciones se han destinado, en las últimas dos décadas, al estudio del problema de fluo general flexible o fjsp. En el fjsp existen m máquinas y n obs. Cada ob está compuesto por una secuencia de operaciones y la eecución de la operación h del ob requiere una máquina de un conunto de máquinas. Desde un punto de vista combinatorio, el fjsp es compleo ya que se deben tratar dos subproblemas: el de asignación de las operaciones a las máquinas y el de secuenciación de las operaciones en cada una de las máquinas. Aunque en el fjsp es común que se seleccione como criterio de optimización el makespan, en los talleres existe otro tipo de criterios que reflean las necesidades de la industria moderna, como por eemplo, el coste de producción y los costes asociados a los adelantos y retrasos que se generan con respecto a la fecha de entrega comprometida d. En este documento se presenta una descripción del fjsp, así como una exposición del estado del arte haciendo énfasis en la literatura del problema que considera costes en la función obetivo. Por último se realiza un análisis del estado del arte. Palabras cable: Problema del taller mecánico de fluo general flexible 1. Introducción En la mayoría de sistemas productivos es importante realizar una buena planificación y programación de operaciones y es necesario establecer un programa, es decir, establecer la secuencia de operaciones en cada máquina y el instante de inicio de las operaciones, con el obetivo de optimizar una función obetivo determinada. En la programación de operaciones en taller (problema del taller mecánico) n obs (órdenes de trabao) deben realizarse en m máquinas (recursos, secciones, puestos de trabao). La realización de cada ob implica la eecución de una serie de operaciones prefiadas, y cada operación debe ser asignada a una de las m máquinas y tiene una duración (tiempo de proceso) determinada y conocida. * Con el apoyo del Programa Alβan, Programa de Becas de Alto Nivel de la Unión Europea para América Latina, beca nº E06D100344CO 12 Estado del arte del problema de fluo general flexible con costes en la función obetivo En un taller es muy común el problema de programación de operaciones de fluo general (Job Shop), que se caracteriza porque los obs tienen diferentes rutas de proceso. Lo que significa, por eemplo, que existen obs en los que dos operaciones sucesivas se eecutan la primera en la máquina m 1 y la siguiente en la máquina m 2, y obs en los que dos operaciones sucesivas se eecutan la primera en la máquina m 2 y la siguiente en la máquina m 1. En Borne et al. (2002a) se asume que en el modelo de fluo general más simple un ob debe ser procesado en una máquina en particular al menos una vez, en su ruta a través del taller. Sin embargo, en otro tipo de modelos de fluo general, el ob puede estar obligado a visitar una máquina muchas veces a lo largo de la ruta que realiza a través del taller, por lo que en un taller de este tipo los obs pueden recircular, lo que aumenta considerablemente la compleidad del problema a resolver (Pinedo, 2005). Una generalización del problema de fluo general, es el problema de fluo general flexible (flexible Job Shop Scheduling Problem) o fjsp como se le conoce por sus siglas en inglés. En este problema existen m máquinas y n obs. Cada ob está compuesto por una secuencia de operaciones y la eecución de la operación h del ob requiere una máquina de un conunto de máquinas M h y un tiempo de proceso determinado para cada una de las máquinas. Desde un punto de vista combinatorio, el fjsp es muy compleo ya que se deben tratar dos subproblemas: el de asignación de las operaciones a las máquinas que pueden eecutarlas y el de secuenciación de las operaciones en cada una de las máquinas (Armentano et al., 2004). En el primer subproblema se realiza la asignación de operaciones a las máquinas teniendo en cuenta que una operación de un ob puede ser eecutada por varias máquinas. En el subproblema de secuenciación, se secuencian las operaciones de los obs que se realizan en una máquina. Aunque en el problema de fluo general flexible es muy común que se seleccione como criterio de optimización el C max (makespan), en Corominas et al. (2008) se propone minimizar la suma de los costes asociados a los adelantos y retrasos que se generan con respecto a la fecha de entrega comprometida y unos costes dependientes del intervalo de realización de las operaciones. Un eemplo de estos últimos es el coste de la energía, dado que existen talleres en los que se producen obs durante diferentes intervalos temporales, como por eemplo el día o la noche, y la energía que consumen las máquinas está sueta a la tarifa (coste) de la empresa eléctrica. Habitualmente dicho coste es elevado durante el día y disminuye durante la noche. Este documento está organizado de la siguiente forma. En la sección 2 se presenta una descripción del fjsp y se realiza una exposición del estado del arte, haciendo especial énfasis en la literatura del problema que considera costes en la función obetivo. En la sección 3 se realiza un análisis del estado del arte. Por último, en la sección 4, se presentan las conclusiones. 2. Estado del arte En este apartado se describe el estado del arte del fjsp, cuyos orígenes se remontan a la década de los noventa, Bruker y Schlie (1990) y Brandimarte (1993). Pero ante todo es importante describir con precisión el fjsp; así, a continuación es formulado tomando 23 Albert Corominas, Néstor Andrés González, Rafael Pastor como base la nomenclatura que fue empleada en Fattahi et al. (2007). La terminología completa se relaciona en el anexo 1 de este documento. 2.1 Descripción del problema de fluo general flexible En el fjsp existen m máquinas y n obs. Cada ob está compuesto por una secuencia de operaciones O h, h = 1,, h, donde O h y h denotan la h-ésima operación del ob y el número total de operaciones requerido para el ob, respectivamente. El conunto de todas las máquinas se denota como M. El índice i denota la máquina, el índice denota el ob y el índice h denota la operación. La eecución de cada operación h del ob (O h ) requiere una máquina del subconunto de máquinas M h M (es decir, para realizar cada operación h de cada ob existe un conunto de máquinas M h donde ésta puede ser realizada y se debe seleccionar una de ellas) y un tiempo de proceso determinado p ih para cada una de las máquinas. Un eemplo de un problema de fluo general flexible de dos obs y tres máquinas se presenta en la figura 1. La secuencia de operaciones, las máquinas que pueden procesarlas, y los tiempos de proceso se pueden apreciar en dicha figura. Operaciones: ob =1 p 111 = 10 o p 211 = 15 p 212 = 12 o p 312 = 18 ob =2 p 121 = 20 o p 321 = 25 p 122 = 25 p 123 = 30 o p 223 = 15 o p 323 = 25 Figura 1. Eemplo de un fjsp de dos obs y tres máquinas. Tras realizar la anterior descripción es importante recordar que en el fjsp se deben resolver dos subproblemas, el de asignación de cada operación a una de las máquinas que la puede realizar y el de secuenciación de las operaciones en cada una de éstas. Por otro lado es muy común que para el fjsp se seleccione, como criterio de optimización, el C max (makespan), véase por eemplo Fattahi y Saidi-Mehrabad (2007). A modo de resumen a continuación se enumeran las hipótesis que se consideran comúnmente en la mayoría de variantes del problema Hipótesis 1. El horizonte de producción H del taller se considera que está compuesto por un número finito de períodos (Mati et al., 2011). 2. La secuencia de operaciones para cada ob es fia y no puede ser modificada. Se considera que los obs tienen unas precedencias lineales (establecidas) entre sus operaciones, lo que significa que hay una única operación que precede y una única 34 Estado del arte del problema de fluo general flexible con costes en la función obetivo operación que es sucesora inmediata. Téngase en cuenta que la primera y la última operación de cada ob son las únicas que no tienen una operación que precede y una que es sucesora inmediata, respectivamente (Gao et al., 2006 ). 3. Cada máquina sólo puede procesar un ob a la vez (Rakumar et al., 2011). 4. Las operaciones no pueden ser interrumpidas (Abraham et al., 2006). 5. Cada ob debe ser completado idealmente en su fecha de entrega comprometida d (Benreeb et al., 2008). 6. Los tiempos de preparación (setup times) son independientes de la secuencia y están incluidos en los tiempos de proceso de los obs. En el siguiente apartado se describen los dos principales enfoques de resolución del fjsp Enfoques de resolución y compleidad del problema de fluo general flexible Una detallada revisión de procedimientos del resolución del fjsp puede encontrarse en Fattahi et al. (2007) y Correa et al. (2008). Bruker y Schlie (1990) fueron los primeros autores que abordaron este problema. Ellos desarrollaron un algoritmo polinomial para resolver el fjsp con dos obs. Para resolver el caso con más de dos obs se han utilizado principalmente dos enfoques: el erárquico y el integrado. En el enfoque erárquico los dos subproblemas, el de asignación de operaciones a las máquinas y la secuenciación de operaciones en las máquinas, se tratan separadamente, lo que significa que la asignación y secuenciación son consideradas independientemente. Por su parte, en los enfoques integrados la asignación y secuenciación se consideran simultáneamente. Los enfoques erárquicos se basan en la idea de descomponer el problema original con el fin de reducir su compleidad. Brandimarte (1993) fue el primero que utilizó esta descomposición para el fjsp. En Brandimarte (1993) se resolvió el subproblema de asignación de las operaciones a las máquinas empleando reglas de dispatching y luego el subproblema de secuenciación empleando una búsqueda tabú. En Fattahi y Saidi- Mehrabad (2007) se presentó un modelo matemático y un algoritmo de búsqueda tabú para resolver el fjsp con tiempos de preparación dependientes de la secuencia (sequence-dependent setup times). En este trabao los autores usaron un enfoque erárquico con dos heurísticas para resolver el problema. La primera heurística se empleó para la asignación de cada operación a una máquina del conunto de máquinas disponibles y la segunda para secuenciar las operaciones asignadas en todas las máquinas, con el fin de obtener una secuencia factible que minimizara el C max (makespan). En Gao et al. (2009) se resolvió el subproblema de asignación de las operaciones a las máquinas empleando el método de optimización por enambre de partículas (particle swarm optimization) y luego se resolvió el subproblema de secuenciación empleando una búsqueda tabú. En Arkat et al. (2009) se utilizó un algoritmo de recocido simulado para, por separado, resolver el subproblema de asignación de las operaciones a las máquinas y el subproblema de secuenciación. Para 45 Albert Corominas, Néstor Andrés González, Rafael Pastor validar el algoritmo de recocido simulado se compararon los resultados con la solución óptima obtenida mediante Branch and Bound. En De Giovanni y Pezzella (2010) se utilizó un procedimiento de optimización erárquico que combina un algoritmo genético con procedimientos de búsqueda local, para resolver el subproblema de asignación de las operaciones a las máquinas y el subproblema de secuenciación. Literatura adicional sobre este enfoque fue presentada en Borne et al. (2002b), Wu y Xia (2005) y Low et al. (2006). Con referencia al enfoque integrado, en Hurink et al. (1994) se propuso una búsqueda tabú. El enfoque integrado que presentaron Dauzère-Pérès y Paulli (1997) fue definido como una estructura de optimización local basada en vecindarios. Gambardella y Mastrololli (2002) presentaron dos procedimientos de optimización local basados en vecindarios y meoraron la técnica de optimización de Dauzère-Pérès y Paulli (1997). La compleidad del problema de fluo general, en el que sólo se trata el problema de secuenciación, se ha determinado como NP-hard (Garey et al., 1976). Como el fjsp es una extensión del problema de fluo general en el que se deben tratar dos subproblemas, el de asignación de las operaciones a las máquinas y el de secuenciación de las operaciones en cada una de las máquinas, se ha establecido que el fjsp es fuertemente NP-hard, lo que ustifica por algunos autores el uso de heurísticas o algoritmos de aproximación para obtener una solución satisfactoria y en el meor de los casos una solución óptima, Jain y Meeran (1999) y Blazewicz et al. (1996). 2.4 Estado del arte del fjsp con costes en la función obetivo La literatura sobre el fjsp con costes en la función obetivo es considerablemente escasa. Aunque en los problemas de fluo general flexible es muy común que se seleccione como criterio de optimización el C max (makespan), Ham et al., (2011), en los talleres existe otro tipo de criterios que son de gran utilidad y que reflean las necesidades de la industria moderna. Por eemplo, en Fatemi Ghomi et al., (2005) se minimiza la suma del coste de setup (setup cost), del trabao en proceso (work-in-process) y del coste de inventario por unidad de tiempo del producto terminado (end product inventory holding cost per time unit). Los autores seleccionaron dicha función obetivo, porque es común encontrarla en entornos de cadena de suministro, en donde el proveedor que genera múltiples productos desde su taller se enfrenta al problema de fluo general flexible y al problema de minimizar costes, como los de inventario. En el caso estudiado, la tasa de demanda de los productos es determinista y constante, y se basa en la relación existente entre el proveedor y su capacidad de producción. Los autores desarrollaron un programa linear entero mixto (MILP) para resolver el problema. En Alvarez-Valdes et al., (2005) se minimiza la suma de los costes asociados a los adelantos y retrasos que se generan con respecto a la fecha de entrega comprometida d. Además se minimiza otro obetivo, considerado como secundario, que es el trabao en proceso (work-in-process). Los autores diseñaron e implementaron un sistema de programación de operaciones para una fábrica de vidrio, en el que resultar particular el hecho de que los trabaadores que poseen ciertas habilidades y realizan trabaos manuales, fueron modelados como máquinas especiales. Para resolver el 56 Estado del arte del problema de fluo general flexible con costes en la función obetivo problema desarrollaron un procedimiento heurístico en el que primero se obtiene una solución inicial factible, que luego se intenta meorar, teniendo en cuenta los criterios de la función obetivo. En el trabao de Ho y Tay (2008) se minimiza el C max (makespan), el coste de los retrasos que se generan con respecto a la fecha de entrega comprometida d y el tiempo de fluo (flow time). Los autores asignaron la misma prioridad a los criterios de la función obetivo y resolvieron el problema con reglas de dispatching compuestas que obtuvieron a través de un enfoque de programación genética (genetic programming). Por su parte en Benreeb et al. (2008) se minimizan cinco criterios que son: el C max (makespan), la carga de trabao de la máquina crítica (workload of the critical machine), la carga de trabao total de las máquinas (total workload of machines), los adelantos/retrasos (penalties of earliness/tardiness) y el coste de producción (production cost). Con referencia al criterio de minimizar los adelantos/retrasos, en Benreeb et al. (2008) se define como la suma, para todos los obs, de los adelantos e y los retrasos g, como se muestra a continuación: n = 1 ( X e + Y g ) con: e = max (0, d g = max (0, t ) t d ) y donde X y Y son las penalizaciones por adelanto y retraso, respectivamente, para el ob, d es la fecha de entrega comprometida y t es el instante en que se finalizan todas las operaciones del ob. En el trabao de Benreeb et al. (2008) se desarrolló un algoritmo genético para resolver el problema con los cinco criterios de optimización expuestos. En Berkoune y Mesghouni (2008) se resuelve un fjsp multicriterio en el que la lista de demandas del taller esta dividida en obs confirmados (o seguros) y una predicción de nuevos obs a realizar. El problema consiste en programar la eecución de n obs (S1 obs confirmados y S2 obs que se predice que se van a realizar) en m máquinas. Se minimizan cinco criterios que son: el C max (makespan), el coste de manufactura del ob (manufacturing cost), el coste de las penalizaciones del ob (cost of the penalties), el coste de almacenamiento del ob confirmado (storage cost of the firm ob) y el coste de almacenamiento de los obs predecidos (storage cost of the predicted obs). El coste de las penalizaciones se define como el producto del coste de penalización del ob por unidad de tiempo Y y la duración del retraso g, como se muestra a continuación: 67 Albert Corominas, Néstor Andrés González, Rafael Pastor con: n = 1 Y g g = max (0, t d ) y donde d es la fecha de entrega comprometida y finalizan todas las operaciones del ob. t es el instante en que se Los autores desarrollaron un algoritmo genético para resolver el problema. En Corominas et al. (2008) se planteó una variante del fjsp en la que se considera una función obetivo que minimiza la suma de los costes asociados a los adelantos E y retrasos T que se generan con respecto a la fecha de entrega comprometida d, y unos costes dependientes del intervalo de realización de las operaciones. De entre estos últimos se hace énfasis en el coste energético, dado que existen talleres que producen obs durante intervalos temporales como el día y la noche (periodos), y la energía que consumen las máquinas está sueta a la tarifa (coste) de la empresa eléctrica. Por lo general dicho coste es elevado durante el día y disminuye durante la noche; así, en un taller de este tipo puede llegar a ser conveniente, por eemplo, producir la mayor cantidad de obs durante la noche. Con referencia al criterio en el que se minimiza la suma de los costes asociados a los adelantos E y retrasos T, en Corominas et al. (2008) se definen como una función lineal para los adelantos y como una función no lineal para los retrasos (que corresponde a un polinomio de segundo grado): E = { δ (d t ) si el ob se adelanta. 0 si no. donde δ es un coeficiente que penaliza la función lineal de adelanto del ob. T = { β ( t d ) 2 + γ ( t d ) si hay retraso. 0 si no. donde β y γ son coeficientes que intervienen en la función cuadrática de retraso del ob (β > 0, γ > 0). Se considera que γ δ. 3. Análisis del estado del arte Como se mencionó anteriormente, la literatura sobre el fjsp es escasa y más aún la literatura sobre problemas en los que se consideran costes en la función obetivo. Aunque en los trabaos de Fatemi Ghomi et al. (2005), Alvarez-Valdes et al. (2005), Ho 78 Estado del arte del problema de fluo general flexible con costes en la función obetivo y Tay (2008), Benreeb et al. (2008) y Berkoune y Mesghouni (2008), se tienen en cuenta algunos costes, en ninguno de ellos se considera la función obetivo de Corominas et al. (2008), en donde se minimiza la suma de los costes asociados a los adelantos E y retrasos T que se generan con respecto a la fecha de entrega comprometida d, y unos costes dependientes del intervalo de realización de las operaciones. La función obetivo expuesta en Corominas et al. (2008) puede ser el punto de partida de futuras investigaciones con una aplicación en las empresas dedicadas a la manufactura de productos. Además, esta variante del fjsp puede conducir a casos de estudio muy interesantes dado que se encuentra en ámbitos que poco o nada tienen que ver con los talleres mecánicos. Este es el caso de las empresas dedicadas a la prestación de servicios en las que prima otra clase de costes, como el de la mano de obra. 4. Conclusiones Se ha realizado una revisión y análisis de los artículos del fjsp hasta el año 2011, logrando ofrecer una idea sobre el panorama actual de las funciones obetivo que consideran costes. En el trabao se ha resaltado la propuesta de función obetivo de Corominas et al. (2008), porque constituye un campo de investigación abierto e inexplorado. Después de revisar los trabaos publicados, se concluye que la mayoría considera funciones obetivo que optimizan el C max (makespan). Sin embargo al analizar las aportaciones recientes en revistas, se observa una tendencia a resolver problemas con funciones obetivo multicriterio, ya que éstas se austan de forma adecuada a las necesidades reales de las empresas dedicadas a la manufactura de productos y a la prestación de servicios. Anexo 1. Terminología A continuación se expone la nomenclatura utilizada en el documento. d fecha de entrega comprometida del ob. e adelanto del ob. E coste por adelanto del ob respecto a su fecha de entrega comprometida d. g retraso del ob. h número de operaciones del ob (h = 1 h ) H horizonte de producción del taller (t = 1 H) m número de máquinas (i = 1 m) M conunto de todas las máquinas. 89 Albert Corominas, Néstor Andrés González, Rafael Pastor M h subconunto de máquinas en que se puede realizar la operación O h ; M h M. n número de obs ( = 1 n) O h operación h del ob. p ih tiempo de proceso de la operación O h, si ésta es eecutada en la máquina i (i M h ) t instante en que se finalizan todas las operaciones del ob. T coste por retraso del ob respecto a su fecha de entrega comprometida d. X penalización por adelanto del ob. Y penalización por retraso del ob. β γ coeficiente que penaliza el termino no lineal de la función cuadrática de retraso del ob (β > 0) coeficiente que penaliza el termino lineal de la función cuadrática de retraso del ob (γ δ ) δ coeficiente de penalización del adelanto del ob (δ 0) Referencias Abraham, A., Choi, O., Liu, H., and Moon, S.H., (2006), Variable neighborhood particle swarm optimization for multi-obective flexible ob-shop scheduling problems, Lecture Notes in Computer Science, 4247, Alvarez-Valdes, R., Fuertes, A., Giménez, G., Ramos, R., and Tamarit, J.M., (2005), A heuristic to schedule flexible ob-shop in a glass factory, European Journal of Operational Research, 165, Arkat, J., Fattahi, P., and Jolai, F., (2009), Flexible ob shop scheduling with overlapping in operations, Applied Mathematical Modelling, 33, Armentano, V.A., Laguna, M., and Scrich, C.R., (2004), Tardiness minimization in a flexible ob shop: a tabu search approach, Journal of Intelligent Manufacturing, 15 (1), Benreeb, M., Borne, P., Hammadi, S., and Saad, I., (2008), Choquet integral for criteria aggregation in the flexible ob-shop scheduling problems, Mathematics and Computers in Simulation, 76,10 Estado del arte del problema de fluo general flexible con costes en la función obetivo Berkoune, D., and Mesghouni, K., (2008), Resolution approach for multi-obective problems with uncertain demands, European Journal of Operational Research, 187 (2), Blazewicz, J., Domschke, W., and Pesch, E., (1996), The ob shop scheduling problem: Conventional and new solution techniques, European Journal of Operational Research, 93, Borne, P., Hammadi, S., and Kacem, I., (2002a), Approach by localization and multiobective evolutionary optimization for flexible ob-shop scheduling problems, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics - part c: applications and reviews, 32 (1), Borne, P., Hammadi, S., and Kacem, I., (2002b), Pareto-optimality approach for flexible ob-shop scheduling problems: Hybridization of evolutionary algorithms and fuzzy logic. 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