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Timestamp: 2019-01-24 13:01:25+00:00

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AMSOLUCIONES1SEMANAFEBRERO2007
Act2 Equipo 10
Simulink I
HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES
Introducción Como se observó en el capitulo anterior, los modelos matemáticos están constituidos por ecuaciones, tanto simples como diferenciales, de modo que si se quiere conocer la respuesta de un sistema a ciertos estímulos, ello forzosamente implica la resolución de del sistema de ecuaciones planteado para describir su dinámica. También, como ya se discutió largamente con anterioridad, para los efectos de este curso los sistemas se considerarán lineales e invariantes, de modo que la atención se centrará en las herramientas matemáticas asociadas a sistemas de este tipo. Básicamente existen dos estrategias gruesas, en lo que a herramientas matemáticas se refiere, para enfrentar el problema del análisis: (i) Herramientas en el Dominio del Tiempo: En este caso se aplican herramientas para resolver directamente el sistema en su forma original, esto es, un conjunto de ecuaciones dependientes del tiempo. Las herramientas disponibles en este caso son esencialmente las siguientes dos: • Resolución directa de las ecuaciones utilizando técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. • Utilización del Método de la Convolución. (ii) Herramientas en el Dominio de la Frecuencia: En este caso, mediante el uso de transformadas (por lo general las de Fourier y de Laplace) se convierten las ecuaciones del modelo matemáticos cambiándolas del Plano del Tiempo al plano de la transformada que se esta utilizando (Plano de Frecuencia en el caso de Fourier y Laplace). La idea es en este caso es simplificar la resolución matemática transformando las ecuaciones diferenciales en ecuaciones lineales simples, hecho que facilita enormemente su resolución (de hecho se trata de resolver un sistema de ecuaciones lineales). Una vez resuelto el problema en el nuevo plano, habiéndose despejado la respuesta deseada, se obtiene la respuesta equivalente en el plano del tiempo aplicando al resultado la Transformada Inversa. Las transformadas más utilizadas para el análisis de sistemas son las de Fourier y la de Laplace. • La Transformada de Fourier: Transforma el conjunto de ecuaciones en el tiempo representativas del modelo matemático en otras equivalentes en el Plano de la Frecuencia. Su utilidad en el análisis de la respuesta de sistemas se ve limitada por el hecho de que presenta ciertos problemas de convergencia, y dado que en algunos casos su transformada inversa no es única. Constituye, eso si, una excelente herramienta para el análisis de señales, siendo éste su principal uso. • Transformada de Laplace: Es una variante de la Transformada de Fourier, que en su versión del tipo Unilateral resulta ser una excelente herramienta para el
análisis de la respuesta de sistemas lineales. Su utilización en el análisis de señales, si bien es posible, es más bien limitada, prefiriéndose en estos casos el uso de la Transformada de Fourier. Cabe destacar que todas las herramientas a plantear, tanto en el Dominio de Tiempo como en el Dominio de la Frecuencia, resuelven el problema del análisis planteado como objetivo en este curso, de modo que en principio da lo mismo utilizar cualquiera de ellas, dependiendo el uso de una u de otra del gusto y las habilidades de cada una de las personas. A pesar de lo anterior, en la práctica, la mayoría de los analistas suelen utilizar en forma preferente la Transformada de Laplace, ello no solo dado a la simplicidad en su uso, sino que también, como se verá más adelante, por la información adicional respecto al comportamiento del sistema en el Plano de la Frecuencia que es posible extraer con su ayuda. 3.1. Herramientas Matemáticas en el Dominio del Tiempo Se trata de herramientas para el análisis de sistemas lineales (o linealizados) e invariantes, de los cuales, por su mayor familiaridad de los usuarios y simplicidad en el uso, se considerarán en esta sección solo las siguientes: (i) Métodos de solución de ecuaciones diferenciales, y, (ii) Método de la Convolución Continua. 3.1.1. Método basado en la resolución de ecuaciones diferenciales La idea es aplicar los métodos tradicionales, en el dominio del tiempo, de resolución de ecuaciones diferenciales. Para ello es necesario transformar el modelo matemático del sistema bajo estudio en una sola ecuación representativa del mismo, ecuación la cual, mediante su resolución, entregará la respuesta deseada (salida del sistema en este caso) frente a una entrada predeterminada. Puesto que se trata de sistemas lineales e invariantes las ecuaciones resultantes serán del tipo lineal con coeficientes constantes. Para lo que sigue, para y(t) como la salida deseada y x(t) como la entrada, se considerará la siguiente ecuación diferencial generalizada como base para plantear las metodologías de solución:
An dn y dt
+ A n−1
dn−1y dt
+ ..... + A 1
dy + A 0 y = B0 x dt
en donde B0, A0, A1, ...., An son constantes. La metódica tradicional utilizada en la resolución de ecuaciones diferenciales de este tipo se basa en el calculo de y(t) a partir de la suma de la componentes Transiente, yts(t), (Homogénea en lenguaje matemático) y la Estacionaria, yss(t), (Particular, como la definen los matemáticos) de la respuesta (ver Fig. 3.1), en otras palabras:
y(t) = yts(t) +yss(t)
Fig. 3.1. Esquema de la respuesta de un sistema como la suma de una componente Transiente y otra Estacionaria. (i) La Respuesta Transiente: Como su nombre lo indica es una parte de la respuesta que tiene una duración finita, después de la cual deja de existir, quedando solo la componente Estacionaria de la respuesta. El cálculo de esta componente se consigue suponiendo que no existe entrada, x(t) = 0, esto se, se obtiene mediante la resolución de la ecuación:
An dn y ts dt n + A n−1 dn−1y ts dt n−1 + ..... + A 1 dy ts + A 0 y ts = 0 dt
o, con la utilización del Operador Dn = dn/dtn :
+ A n−1D n−1 + ..... + A 1D + A 0 y ts ( t ) = 0
En donde el polinomio entre paréntesis se denomina Polinomio Característico. La expresión para yts(t) depende de las raíces del Polinomio Característico. Cada raíz aporta un término a la solución, siendo la solución final la suma de todos los aportes individuales. Respecto a los aportes de las raíces se pueden dar tres tipos de situaciones: • Raíces Reales diferentes entre sí: Cada solución de este tipo aporta a yts(t) un término como el siguiente:
y tsi ( t ) = K i e Rit
En donde: Ri = Valor de la raíz del Polinomio Característico Ki = Constante, a determinarse con las Condiciones Iniciales Nota: Obsérvese que sí Ri>0, entonces ytsi(t) (y consecuentemente también yts(t) e y(t)) tienden a infinito a medida que el tiempo crece, es decir, para un sistema real
ello implicaría que la salida crece constantemente, hecho que obviamente tarde o temprano terminará por dañar el sistema (imagínese que pasaría si la temperatura de un horno creciera indefinidamente). • Raíces Reales de multiplicidad P: Las raíces de este tipo aportan a yts(t) términos como el que sigue: y tsi ( t ) = eRit K p t n−1 + K p−1t n−2 + ..... + K 2 t + K 1
En donde: Ri = Valor de la raíz del Polinomio Característico de multiplicidad P Kp,..,K1 = Constantes a ser determinadas con las Condiciones Iniciales • Raíces Imaginarias: Las raíces complejas siempre vienen de a pares, teniendo estas la siguiente forma: Di1,Di2 = A ± j B (3.6)
Cada una de este par de soluciones a portan los siguientes términos a yts(t):
y tsi ( t ) = e At (K 1Cos(Bt ) + K 2 Sen(Bt ))
En donde: A = Parte real de la raíz del Polinomio Característico B = Parte imaginaria de la raíz del Polinomio Característico K1, K2= Constantes a ser determinadas de las Condiciones Iniciales Ejemplo: Calcule una expresión para yts(t) para la siguiente ecuación homogénea:
d5 y dt
d 4 y ts dt
d3 y ts dt
d 2 y ts dt
dy ts + 16 y ts = 0 dt
Solución: El Polinomio Característico esta dado en este caso por:
D 5 + 8D 4 + 29D 3 + 54D 2 + 48D + 16 = 0
cuyas raíces son las siguientes: D1 = -2 D2 = -1 de multiplicidad 2 D3, D4 = -2 ± 2j Bajo este contexto, el aporte de cada una de las raíces a la solución yts(t) será el siguiente:
⇒ y ts1( t ) = K 1e −2t ⇒ ⇒
D2 = -1 de multiplicidad 2 D3, D4 = -2 ± 2j
y ts3 ( t ) = e −2 t (K 4 Cos(2t ) + K 5 Sen(2t ))
y ts2 ( t ) = e − t (K 2 t + K 3 )
De lo que se deduce la siguiente expresión para yts(t): yts(t) = yts1(t) + yts2(t) +yts3(t) = K 1e −2t + e − t (K 2 t + K 3 ) + e −2t (K 4 Cos(2t ) + K 5 Sen(2t ))
Las constantes K1, K2,....,K5 deberán ser calculadas con la ayuda de las Condiciones Iniciales. Nota: En la mayoría de los casos en la práctica los sistemas reales son del tipo causal, razón por la cual las condiciones iniciales son por lo general iguales a cero. (ii) La Respuesta Estacionaria: No existe una metodología sistemática para el cálculo de esta componente de la respuesta. La solución debe encontrarse en estos casos en forma intuitiva, esto es, tratar de “imaginarse” una solución, para proceder posteriormente a la validación de la asumpción. En realidad puede ser complicado “imaginarse” una solución cuando la entrada corresponde a alguna función complicada, sin embargo, afortunadamente, en la práctica, desde el punto de vista operacional, no son muchos los tipos de entrada a las cuales están sometidos los procesos, siendo las entradas más usuales aquellas asociadas a la forma de un escalón (poner en marcha o apagar un sistema o proceso) y las del tipo sinusoidal. En estos casos las mejores aproximaciones de respuesta estacionaria se consiguen con: • X(t) = A U(t) ⇒ yss(t) = C U(t) • X(t) = A Sen(wt+φ) ⇒ yss(t) = C1 Sen(wt) + C2 Cos(wt) En donde C, C1, C2 son constantes que se pueden calcular por el método de las Constantes Indeterminadas. Ejemplo: Para el siguiente sistema calcule la respuesta estacionaria a las siguientes entradas: (a) x(t) = U(t) (b) x(t) = 20 Sen(2t)
dy + 2 y = x( t ) dt
Solución: (a) Sea yss(t) = C U(t) = C , para t ≥ 0
dy ss = 0 , de modo que, dt dt haciendo los reemplazos en la ecuación diferencial se obtiene que:
En este caso, puesto que C es una constante
d2 y ss
2 C U(t) = U(t)
De lo que se concluye que; Yss(t)= 0.5 U(t) (b) Sea yss(t)= C1 Cos(2t) + C2 Sen(2t), en consecuencia: dy ss = −2C1Sen(2t ) + 2C 2 Sen(2t ) dt d 2 y ss = −4C1Cos(2t ) − 4C 2 Sen(2t ) dt 2 Reemplazando las tres expresiones en la ecuación diferencial, y ordenando los términos, se tiene que: [6C2 – 2 C1] Cos(2t) + [-6C1 – 2 C2] Sen(2t) = 20 Sen(2t) Comparando los coeficientes en ambos lados de la igualdad se concluye que, si la igualdad ha de cumplirse, entonces necesariamente: 6 C2 – 2 C1 = 0 - 6 C1 – 2 C2 = 20 Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene que C1=-3, y C2=-1, entonces: Yss(t) = -3 Cos(2t) – Sen(2t) Ejemplo de Integración de conocimientos: Considere el siguiente sistema utilizado para calentar una sustancia a baño maría, cuyo modelo matemático se adjunta:
dT1 = Q − Q12 dt 1 (T1 − T2 ) (2) Q12 = R1 dT (3) C 2 2 = Q12 − Q 2a dt 1 (T2 − Ta ) (4) Q 2a = R2
En donde: C1 = Capacitancia Térmica del agua = 2 [Watts-Minutos/°C] C2 = Capacitancia Térmica de la sustancia = 1 [Watts-Minutos/°C] R1 = Resistencia Térmica entre el agua y la sustancia = 0.2 [°C / Watts] R2 = Resistencia Térmica entre la sustancia y el ambiente = 0.1 [°C / Watts] T1 = Temperatura del agua T2 = Temperatura de la sustancia Ta = temperatura del ambiente = 10 [°C] Considerando que la temperatura ambiente tiene un efecto despreciables sobre el sistema, determine la temperatura T2 de la sustancia para Q =1000 (Watts). Solución: Para poder aplicar el método enseñado en la resolución de este problema se tiene que encontrar una ecuación diferencial para T2 como función de la entrada Q. Bajo esta premisa, reemplazando sucesivamente las ecuaciones (4), (3), y (2) en la ecuación (1), y después de algún trabajo algebraico se obtiene la siguiente expresión: d2 T2 dt 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎡ R1 C 2 ⎤ ⎞ dT2 ⎛ 1 1 ⎟T ⎟T2 = ⎜ 1 ⎟Q + ⎜ +⎜ + +⎜ ⎢1 + ⎥⎟ ⎜R C ⎜R R C 2 ⎟ a ⎜R C 2 ⎟ R 2 C1 ⎦ ⎟ dt ⎜ R1R 2 C12 ⎟ 1 1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ 1 2 1 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎠ ⎝
Nota: Observe que la ecuación diferencial resultante es de 2° Orden, lo cual es lógico si se recuerda que ella se genera a partir de dos ecuaciones diferenciales de 1° Orden independientes. Despreciando el efecto de la temperatura ambiental, condición dada para el problema, y reemplazando los valores de los parámetros se obtiene la siguiente ecuación diferencial que permite calcular T2 a partir del conocimiento de Q:
d 2 T2 dt 2 + 10 35 dT2 50 + Q T2 = 4 4 dt 4
En cuanto a la solución transiente, el Polinomio Característico de la ecuación esta dado por la siguiente expresión:
⎛ 50 ⎞ ⎛ 35 ⎞ D 2 + ⎜ ⎟D + ⎜ ⎟ = 0 , Cuyas raíces son: D1 = -1.80 y D2 = -6.96 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ Puesto que las raíces son reales y distintas, la solución transiente estará dada por:
T2ts ( t ) = K 1e −1.80 t + K 2 e −6.96 t
K1 y K2 son constantes a determinarse de las condiciones iniciales.
En cuanto a la componente estacionaria, la entrada Q opera como un escalón del tipo Q=1000 U(t), ello puesto que el calefactor empieza a funcionar en el momento que es conectado a la energía eléctrica (tiempo t=o para efecto de la definición del eje tiempo). Recordando lo recomendado para este tipo de entradas, la componente estacionaria de T2 estaría dada por: T2ss = C U(t) De modo que, puesto que C es una constante, las derivadas son cero, de los cual se deduce que: 10 ⎛ 50 ⎞ ⎜ ⎟C = 1000 4 ⎝ 4 ⎠ Finalmente: T2(t)= T2ts(t) + T2ss(t) = K 1e −1.80 t + K 2 e −6.96 t +200 dT2 = −1.80K 1e −1.80 t − 6.96K 2 e −6.96 t dt ⇒ C = 200 ⇒ T2ss(t)= 200 U(t)
Las condiciones iniciales para T2 y su derivada son 10 °C (la temperatura ambiental) y cero respectivamente, de modo que aplicándolas se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: K1 + K2 + 200 = 10 -1.80 K1 – 6.96 K2 = 0 La resolución del sistema de ecuaciones arroja K1=-256.2 y K2=66.2, esto es: T2(t) = 66.2e −6.96 t − 256.2e −1.80 t +200 Nota: Observe que haciendo que t→∞ en la expresión anterior (sistema en estado estacionario) la temperatura T2 alcanza los 200 °C. Este mismo valor se obtiene si se calcula la temperatura en estado estacionario por medio del Modelo Estático, como se hizo en el Capitulo anterior. COMENTARIOS FINALES: El método propuesto en este caso tiene algunos inconvenientes que conviene tener presente. En primer lugar, en lo que se refiere a las raíces del Polinomio Característico, estas no son siempre fáciles de determinar, es más, para polinomios de grado mayor que 4 ni si siquiera hay soluciones analíticas (formulas) para obtenerlas, siendo solo posible calcularlas con métodos iterativos computacionales. Si bien ello no constituye un problema grave, hay muchos métodos iterativos que se pueden implementar, se presenta si el inconveniente de poder implementarlos en la realidad laboral en la práctica. El hacer cálculos computacionales no resulta fácil de hacer en la faena productiva (imagínese que
ud., como ingeniero a cargo, estuviese en terreno a punto de poner en marcha un estanque, y le gustaría saber en forma previa, con el fin de evitar posibles derrames de ácido, si el sistema tiene Sobreimpulso. El cálculo de este parámetro requiere conocer las raíces del Polinomio Característico, y por lo tanto el de disponer e un computador con el software adecuado, cosa que no siempre es posible de disponer en la faena). La metodología intuitiva para calcular la componente estacionaria si bien, como se vio en los párrafos anteriores, en muchos casos es posible visualizar la solución estacionaria, especialmente cuando ud. ya tiene cierta experiencia con el sistema, no es menos cierto que en muchos otros casos, cuando las entradas son complejas, no siempre resulta fácil “imaginarse” cual podría ser la componente estacionaria de una respuesta. En ocasiones las entradas en los sistemas reales pueden ser aleatorias, pseudoaleatorias, combinaciones de escalones o de impulsos, suma de muchas sinusoidales de diferentes frecuencias, etc., situaciones en las cuales no resulta nada de fácil obtener la componente estacionaria de la respuesta (se imagina que ud. no pueda poner en marcha el estanque de ácido del comentario anterior puesto que este día ud. no anda “inspirado” y no se le ocurre cual podría ser la respuesta estacionaria, y por lo tanto no sabe en que nivel se establecerá el nivel del ácido en el estanque). A las claras, un método más sistemático, menos intuitivo, sería más deseable. 3.1.2. Método de la Convolución Continua Este método, a diferencia del anterior, entrega un procedimiento más sistemático, no intuitivo, para determinar la respuesta de un sistema. Se busca aquí lo que se llama la Función Característica, h(t), con cuya ayuda, mediante la resolución de una integral, se obtiene la respuesta deseada. Teorema 1: Si un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLI) es excitado con un impulso unitario, δ(t), entonces la respuesta y(t) a esta excitación será igual a la Función Característica h(t) del sistema, correspondiente al par entrada-salida en estudio. Teorema 2: Toda señal x(t) puede aproximarse por medio de una suma ponderada de impulsos (ver Fig. 3.2), esto es:
∑ x(nT)δ(t − nT)T
En donde: T = Intervalo de Muestreo X(nT) = Valor de X(t) en el instante de muestreo nT δ(t-nT) = Impulso aplicado en el instante de muestreo nT
Fig. 3.2. Aproximación de señales por medio de (a) Pulsos, (b) Impulsos. Demostración: Sea la función Pulso P(t) = U(t)-U(t-T), entonces, en referencia a al Fig. 3.2, x(t) podría aproximarse como: x( t ) =
x(nT )P( t − nT ) =
∑ x(nT)⎜ T P(t − nT) ⎟T ⎠ ⎝
Ahora, si T es suficientemente pequeño, entonces:
1 P(t − nT ) ≈ δ( t − nT ) T Reemplazando esta última expresión en la primera ecuación, se obtiene que: x( t ) =
con lo cual el Teorema queda demostrado. Nota: Observe que la aproximación de x(t) es exacta cuando T→0, esto es: ⎡ ∞ ⎤ x( t ) = ⎢ x(nT )δ( t − nT )T ⎥ ⎥ T → 0 ⎢n = 0 ⎣ ⎦
Teorema 3: Si h(t) es la Función Característica de un sistema causal, lineal e invariante (SLI), entonces es posible determinar del sistema para una entrada x(t) cualquiera, resolviendo la siguiente integral, llamada Convolución Continua: y( t ) =
∫0 x(τ)h(t − τ)dτ
Notación: Se acostumbra utilizar la siguiente notación para la función Convolución: y(t) = x(t)∗h(t) (3.10)
Demostración: Sea la entrada x(t) aproximada por la ecuación (3.8), entonces, la aplicación sucesiva del Teorema 1 y del Principio de Homogeneidad a cada uno de los términos de x(t) arroja como resultado: x(0) δ(t) T x(T) δ(t-T) T
. . x(jT) δ(t-jT) T . . x(nT) δ(t-nT) T . . . .
x(0) h(t) T x(T) h(t-T) T
. . x(jT) h(t-jT) T . . x(nT) h(t-nT) T
Etc. Aplicando el principio de Superposición es posible concluir que la suma de todas las respuestas individuales corresponde a y(t), esto es: Y(t) = x(0)h(t)T+x(t)h(t-T)T+....+x(jT)h(t-jT)T+....+x(nT)h(t-nT)T+.... =
∑ x(nT )h(t − nT)T
Ahora, si T tiende a cero (T→dτ), entonces la Sumatoria tiende a una Integral y nT→τ. Introduciendo estos cambios se logra establecer finalmente que: y( t ) =
Finalmente, puesto que el sistema es causal, h(t-τ) tiene sentido solo para tiempos mayores que cero, esto es: t-τ≥0⇒ τ≤t Introduciendo esta restricción en la expresión anterior, se obtiene finalmente la expresión para la Convolución Continua como fue definida en el Teorema. y( t ) =
Nota: Para sistemas no causales la función Convolución queda definida por: y( t ) =
∫− ∞ x(τ)h(t − τ)dτ
3.1.2.1. Propiedades de la Función Convolución Continua 1. Para todo x(t) y h(t) de cumple que: x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t) (3.12)
Demostración: Se hará un cambio de variables en la función Convolución. Sea U =t-τ → τ = t- U y además dU = -dt. De igual forma, respecto a los limites de la integral: • Para τ = 0 → U = t • Para τ = t → U = 0 Introduciendo el cambio de variables se obtiene que: y( t ) =
∫0 x(τ)h(t − τ)dτ = −∫t x(t − U)h(U)dU =∫0 x(t − U)h(U)dU
con lo cual la propiedad queda demostrada. 2. Si g(t) es la respuesta a x(t)= U(t) (escalón unitario) de un sistema lineal e invariante, entonces:
h( t ) = dg( t ) dt (3.12)
Demostración: Aplicando la Convolución para x(t)=U(t), se tiene que: g( t ) =
U( t )h( t − τ)dτ = h( t − τ)dτ
Derivando esta última expresión respecto al tiempo, se obtiene la ecuación (3.12). 3. Si g(t) es la respuesta a un escalón unitario de un sistema causal, lineal e invariante en el tiempo, entonces la respuesta del mismo sistema a cualquier otra entrada x(t) puede determinarse a partir de: y( t ) =
∫0 ⎜ ⎝
t ⎛ dx( τ) ⎞
⎟g( t − τ)dτ dτ ⎠
Demostración: Para demostrar esta propiedad se resolverá la integral de Convolución utilizando la metodología de resolución por partes. Así, si se elige: U = x(τ) dV = h(t-τ) dτ En consecuencia:
t y( t ) = [− x( τ)g( t − τ)]0 +
⎛ dx( τ) ⎞ → dU = ⎜ ⎟d τ ⎝ dτ ⎠ → V = g(t-τ) (por Propiedad 2)
= − x( t )g(0) + x(0)g( t ) +
Ahora, puesto que el sistema es causal, entonces x(0)=g(0)=0, quedando con ello demostrada la propiedad. Ejemplo de Aplicación de la Convolución: Si se sabe que la Función Característica de un sistema es h(t) = Ae-Bt, entonces calcule la respuesta del sistema a las siguientes entradas: (a) x(t) = U(t) (b) x(t) = e-at U(t) Solución: (a) Puesto que U(t)=1 para t ≥0, entonces, para el h(t) dado: t t A A y( t ) = Ae − B( t − τ ) dτ = e − Bt − eBτ o = 1 − e − Bt 0 B B (b) En este caso, para el mismo h(t) la integral de Convolución queda como:
Ae − B( t − τ) dτ = Ae − Bt
− ( a − B )τ
A e − Bt − e (a − B )τ a −B
A e − Bt − e − at a −B
Para completar la metodología propuesta solo resta discutir las formas en que es posible determinar la Función Característica h(t). Antes de proceder al calculo de las funciones h(t) es importante recordar los siguientes aspectos: • La función h(t) es una característica del sistema bajo estudio, no depende de la forma que adopta o tiene la entrada x(t). • Un sistema puede tener más de una salida o entrada, de modo que, puesto que h(t) es una relación entre una salida y una entrada específicas, ello implica que en un sistema multivariable puede haber más de un Función Característica (en teoría un h(t) para cada par entrada-salida). Es decir, antes de calcular h(t)
es necesario definir previamente cual es la entrada que se quiere estudiar, y cual será la entrada cuyo efecto sobre la salida elegida se quiere averiguar. Así, por ejemplo, para un estanque que acumula líquidos habrá un h(t) cuando se quiere conocer el Nivel (salida) en función del Caudal del fluido de alimentación (entrada), obteniéndose un h(t) distinto si se considera la Presión Ambiental como entrada y el flujo de salida del estanque como salida. Una vez calculada para un para entrada-salida específica, h(t) es única, siendo su forma independiente de los posibles cambios que se puedan producir en la entrada.
Teniendo en cuenta los antecedentes anteriores, a continuación se repasarán los principales métodos para calcular la Función Característica h(t). (i) Método 1: Aplicar la definición de h(t), esto es, excitar el sistema con x(t)=δ(t) y calcular la salida del sistema a esta excitación. De acuerdo a la teoría, bajo estas condiciones y(t)=h(t). Ejemplo: Calcular h(t) para el siguiente sistema. dy = x( t ) − x( t − T ) dt Solución: Sea x(t)=δ(t), de lo que se deduce: dy = δ( t ) − δ( t − T ) dt → dy = (δ( t ) − δ( t − T ))dt
Integrando ambos miembros de la ecuación se obtiene que: Y(t)=h(t)=U(t)-U(t-T) (ii) Método 2: Utilizar la Propiedad N° 2, esto es, calcular la respuesta, g(t), del sistema para una entrada escalón unitario, para después aplicar la ecuación (3.12) Ejemplo: Encontrar h(t) para el siguiente sistema causal dy( t ) + y( t ) = x( t ) , y(0)=0 dt Solución: Sea x(t)=U(t) → • • dg( t ) + g( t ) = U( t ) dt
Parte Transiente: D + 1=0 → D = -1 → gts(t) = Ke-t Parte Estacionaria gss(t)=C U(t) → aplicando en la ecuación C U(t) = U(t) → C = 1
De lo que se concluye que: g(t) = Ke-t + 1 Aplicando las condiciones iniciales: y(0)=0 → K + 1=0 → K = -1 Esto es, g(t) = 1-e-t, de lo que se concluye que: h( t ) = dg( t ) = e−t dt
Nota: A pesar de lo sencilla que es la ecuación diferencial, observe lo difícil que sería en este caso obtener h(t) con la ayuda del Método 1. (iii) Método 3: resolver la ecuación diferencial para x(t)=0 sujeta a las siguientes condiciones iniciales:
y(n-2)(0) =y(n-3)(0) =...........= y(0) =0 y(n-1)(0) = 1
En este caso se puede demostrar que en este caso y(t)=g(t) Ejemplo: Encuentre h(t) para el siguiente sistema d2 y( t ) dy( t ) +3 + 2y( t ) = x( t ) 2 dt dt Solución: La ecuación a resolver es:
d2h(t) dh(t) +3 + 2h(t) = 0 , en consecuencia: 2 dt dt
D2 + 3 D + 2 = 0 → D1= -1, D2= -2 En consecuencia: h(t) = K1e-t + K2e-2t dh( t ) = −K 1e − t − 2K 2 e − 2t dt Aplicando las condiciones iniciales: h(0) = 0 → K1 + K2 = 0 dh(0) = 1 → -K1 –2 K2 = 1 dt Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene K1=1 y K2=-1, lo cual implica:
h(t) = e-t – e-2t COMENTARIOS FINALES: En comparación con el método tradicional de ecuaciones diferenciales, el método de la Convolución es totalmente sistemático, eliminando el rasgo de subjetividad que tenía el método anterior. Ello ciertamente constituye una ventaja. Respecto a lo métodos de cálculo de h(t), el primero es muy difícil de utilizar, no es nada fácil resolver una ecuación diferencial para una entrada impulso (para hacerse la idea, solo basta tratar de imaginarse la componente estacionaria, a una entrada impulso, en el ejemplo anterior). Es por lo anterior es que siempre resulta más fácil utilizar los métodos 2 o 3. Sin embargo la utilización de estos métodos, puesto que ambos lo requieren, nos retrotrae al problema de tener que calcular las raíces del Polinomio Característico, y por lo tanto a los ya discutidos requerimientos que ello podría significar. Por último, el uso el método de la Convolución Continua exige buen conocimiento de los procedimientos de integración, y cierta destreza en su aplicación, ello dado que en la mayoría de los casos la resolución de las integrales no solo resulta trabajosa, sino que muchas veces nada fácil de lograr (para comprender mejor este comentario, trate de resolver el ejemplo anterior para una entrada no tan complicada como pudiera ser x(t)=20 Sen(2t)).
3.2. Herramientas Matemáticas en el Dominio de la Frecuencia Las dificultades encontradas en la aplicación de las herramientas del dominio del tiempo sugiere la necesidad de explorar otras alternativas más sencillas para el análisis de los sistemas. En el contexto de lo anterior, se explorará en esta sección el mundo de las Transformadas como base de análisis de la respuesta de los sistemas. La idea es aplicar al modelo matemático obtenido del proceso alguna transformada que traslade las ecuaciones a otro Plano o espacio matemático en donde el análisis del sistema sea más sencillo, de modo que, una vez resuelto el problema en este nuevo Plano, para luego, y puesto que los que queremos saber esta en este plano, trasladar la respuesta obtenida nuevamente al plano del tiempo, mediante la aplicación de la Transformada Inversa (ver Fig. 3.3).
Fig. 3.3. Diagrama esquemático de la aplicación de una Transformada para el análisis de sistemas.
Por razones obvias se considerarán en este caso solo transformadas lineales, en particular las Transformadas de Fourier y de Laplace, que han demostrado ser las más útiles no solo para los propósitos del análisis, sino que también por la información adicional que es posible obtener sobre los sistemas en estudio. Puesto que ambas transformadas son una generalización de las Series de Fourier, conviene, en forma previa al desarrollo de las mismas, repasar los conceptos básicos respecto a la aproximación de funciones mediante series. Definición: si [g1(t), g2(t),....., gn(t)] constituyen una Base de funciones Ortogonales en un Espacio matemático de funciones en el tiempo determinado, entonces cualquier función f(t) del mismo Espacio puede aproximarse, en una intervalo [t1,t2], como una combinación lineal de las funciones de la Base. Esto es: f (t) =
∑ C i gi ( t )
, t ∈ [t1,t2]
En donde C1, C2, ..., Cn son constantes de ajuste de la aproximación cuyo valor se calcula mediante métodos de optimización matemática. Hecha esta labor se obtiene la siguiente expresión para estas constantes:
f ( t )gi ( t )dt gi ( t )dt
f ( t )gi ( t )dt
La calidad de la aproximación se puede determinar calculando un Error de Desviación, ε, entre la señal real y la señal aproximada. Usando el método de los Mínimos Cuadrados es posible determinar la siguiente expresión para el error: ε= 1 ⎡ ⎢ t 2 − t1 ⎢ ⎣
t2 2 f ( t )dt t1
⎤ C i 2K i ⎥ ⎥ i =1 ⎦
Como se observa en la última ecuación, cuando mayor sea “n”, esto es, considerar series con mayor cantidad de términos, menor será ε y mejor será la aproximación. Nota: Recuerde que dos funciones gi(t) y gk(t) son Ortogonales en un intervalo [t1.t2] si se cumplen las siguientes condiciones: (a) (b)
gk ( t )gi ( t )dt = 0 gi 2 ( t )dt =
si i ≠ k
gk 2 ( t )dt = K i = Constante si i = k
3.2.1. Las Series de Fourier 3.2.1.1. La Serie Geométrica y Exponencial de Fourier El conjunto [Sen(wot), Sen(2wot),..., Sen(nwot), Cos(wot), Cos(2wot),...., Cos(nwot)], con wo=2π/(t2-t1), constituye una Base de funciones ortogonales para el Espacio de las Funciones Reales en el intervalo [t1,t2]. Bajo este contexto, cualquier función f(t) en este Espacio se puede representar como una combinación leal de las funciones de la Base: f (t) = A o +
= Ao + Con:
∑ [A nCos(nw o t) + BnSen(nw o t)]
∑ CnSen(nw o t + φn )
t ∈ [t1,t2]
Cn = A 2 n + B 2n En donde: 1 t 2 − t1 1 An = t 2 − t1 1 Bn = t 2 − t1 Ao =
⎛B ⎞ φn = tg −1⎜ n ⎟ ⎜A ⎟ ⎝ n⎠
f ( t )dt f ( t )Cos(nw o t )dt f ( t )Sen(nw o t )dt
(3.18 a) (3.18 b) (3.18 c)
Nota: Puesto que Sen(0 wot)=0, entonces Bo=0. La serie dada en la ecuación (3.17) es denominada Serie Trigonométrica de Fourier. Esta serie puede constituirse en una interesante herramienta para el análisis de los sistemas. En efecto, si se recuerda que un sistema lineal e invariante a una entrada x(t)=E Sen(wt) responde con y(t)=KE Sen(wt+φ), en donde K es la ganancia y φ el ángulo de fase del sistema. Entonces, puesto que, como se ha visto, cualquier entrada x(t) puede representarse por una serie Trigonométrica de Fourier, esto es, como una suma se sinusoidales, la respuesta puede obtenerse usando el Principio de Superposición como la suma de las respuestas individuales a cada una de la componentes de la serie que representa a la entrada x(t). Esto es, si la entrada del sistema esta representada por su serie Trigonométrica de Fourier: x( t ) =
Entonces, puesto que el sistema es lineal, la respuesta del sistema estará dada por la siguiente serie: y( t ) =
∑ K snCnSen(nw o t + φn + φsn )
En donde Ksn y φsn son la ganancia y fase para cada una de las componentes individuales de la serie. La serie de Trigonométrica de Fourier puede representarse gráficamente como se muestra en la figura Fig. 3.4, en donde los coeficientes Cn y φn se presentan como funciones de la frecuencia. El primer gráfico se denomina Espectro Discreto de Frecuencia de Amplitud mientras que el segundo se llama Espectro Discreto de Frecuencia de Fase. Las frecuencias wo, 2wo, 3wo, ..., etc. Se denominan Frecuencias armónicas, llamándose la primera 1° Armónica (o también Frecuencia Fundamental), la segunda 2° Armónica, y la enésima n° Armónica. Las Armónicas son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
Fig. 3.4. Representación en el Plano de la Frecuencia de una función f(t), (a) Espectro Discreto de Frecuencia de Amplitud, (b) Espectro de Frecuencia Discreto de Fase. Es interesante observar que los gráficos de la figura Fig. 3.4 son en la práctica una representación en el Plano de la Frecuencia de f(t) y que es perfectamente posible reconstruir la función f(t) a partir del conocimiento de los parámetros Cn, φn, y las frecuencias de la Armónicas. Se cumple de ese modo una de los conceptos planteados para este tipo de herramientas, el poder trasladar ecuaciones en el tiempo al plano de la frecuencia y viceversa. Puesto que ejnwt= Cos(nwt)+jSen(nwt), es posible pensar en simplificar la notación de la serie Trigonométrica de Fourier replanteándola de la siguiente manera:
∑ Fn e jnw t
En donde: Fn = 1 t 2 − t1
f ( t )e − jnw ot
En este caso “n” podría tomar también valores negativos, hecho que de hacerse podría generalizar la ecuación (3.22) bajo la utilización de la siguiente Base matemática {e± jnwt}, en cuyo caso la representación de la serie quedaría como: f (t) =
Ambas expresiones, ecuaciones (3.22) y (3.24), se conocen con el nombre de Series Exponencial de Fourier. COMENTARIO Si bien, como se mostró en las ecuaciones (3.20) y (3.21), es posible usar esta herramienta para el cálculo de la respuesta de un sistema, su uso tiene la limitación de que solo se podría conocer la respuesta en un intervalo específico de tiempo, [t2, t1], de modo que la utilidad de esta herramienta es solo relativa. Bajo este contexto, sería deseable encontrar una herramienta que pudiera extender el análisis para todo el eje del tiempo. Por lo demás, la aplicación sucesiva del Principio de Superposición no solo resulta un método trabajoso, sino que la expresión que se determina finalmente para y(t) en muy poco manipulable, siendo bastante difícil sacar conclusiones sobre el comportamiento de un sistema con su ayuda. Un aspecto que no puede pasar desapercibido en este caso son las Armónicas, en particular por el efecto que pueden tener sobre los sistemas eléctricos. El hecho de que por un circuito o equipo eléctrico circulen corrientes, o existan tensiones, de diferentes frecuencias constituye generalmente un problema. La distorsión de las señale que distribuyen las centrales generadoras de energía eléctrica, la producción de frenos al giro de los motores eléctricos, hecho que hace que los motores se calienten, bajando con ello su rendimiento y disminuyendo su vida útil, también, las Armónicas producen interferencias en los sistemas de telecomunicaciones, introducen corrientes parásitas en los neutros de los circuitos eléctricos trifásicos, entre otros efectos, son algunos ejemplos de sus efectos negativos. Lamentablemente existen muchos equipos que generan armónicas, en particular aquellos asociados a la electrónica de potencia (Rectificadores Polifásicos, Variadores de Frecuencia, etc., todos ellos ampliamente usados en la industria), es más, cualquier señal que no sea sinusoidal pura contiene armónicas,
de modo que, en consecuencia, el conocer a priori el tipo de armónicas presentes en una señal, saber su magnitud y su frecuencia, puede ser importante al momento de programar los resguardos para atenuar sus efectos negativos en los sistemas. Desde este punto de vista, la herramienta de la Serie de Fourier resulta extremadamente útil. 3.2.1.2. Serie Trigonométrica y Exponencial de Fourier de funciones periódicas Cuando las señales que se quieren analizar son periódicas, si se considera el periodo de análisis al periodo de la función, puesto que la función se repite cíclicamente, es posible extender la validez del análisis a todo instante de tiempo. En este caso las series de Fourier definidas en las ecuaciones (3.17), (3.22) y (3.24) serían las mismas, solo cambia en estos el hecho de que su validez es para todo instante de tiempo, t ∈ [-∞,∞]. Respecto a los coeficientes, si T es el periodo de la función, estos quedan definidos como sigue: • Serie Trigonométrica 2 T/2 2 An = f ( t )Cos(nw o t )dt = T T −T / 2
∫0 f (t)Cos(nw o t)dt ∫0 f (t )Sen(nw o t)dt
− jnw o t
Bn = •
∫− T / 2 ∫
f ( t )Sen(nw o t )dt =
Serie Exponencial 1 T/2 1 Fn = f ( t )e − jnw ot dt = T T −T / 2
∫0 f (t)e
Las señales periódicas son muy frecuentes en los sistemas eléctricos, ello es consecuencia natural de la naturaleza sinusoidal de la energía eléctrica. Con el objeto de observar el efecto que podrían tener sobre estos sistemas, se desarrollarán a continuación dos ejemplos de cálculo de presencia de armónicas en dos equipos típicos de mucho uso en la industria: Los Variadores de Frecuencia (VDF) y los Rectificadores. Ejemplo: Los Variadores de Frecuencia son equipos eléctricos que entregan energía eléctrica de alta potencia de frecuencia variable. Con su ayuda se logra regular la velocidad de giro de los motores de corriente alterna, que constituyen parte de muchos de los sistemas industriales (Camiones, trenes, grúas, palas, correas transportadoras, bombas, etc.). En la figura se muestra una forma de onda típica que arrojan en su salida este tipo de equipos, en donde E es usualmente 220 Volts, y la frecuencia varía entre los 0 y 150 Hz (periodo T de 0 a 6.7 mseg). La idea es hacer un estudio sobre las armónicas presentes en la señal e(t) con el objeto de conocer las su magnitud y frecuencia. De esta manera, en caso de que estas presenten algún inconveniente, se podrás programar alguna atenuación de su efecto sobre los dispositivos que se conectan a la señal entregada por el VDF.
Solución: Como se observa la señal e(t) es impar de valor medio cero. De lo anterior se puede colegir que conviene usar la Serien Trigonométrica de Fourier para calcular las armónicas, ello puesto que Ao=0 (e(t) tiene valor medio cero) y An=0 (e(t) es impar), de lo que se concluye que e(t) estaría aproximada por: e( t ) =
∑ BnSen(nw o t)
En Donde, para wo=2π/T : 2⎡ T⎢ ⎣
2π 1 π ESen(nw o t )dt ⎤ = ⎡ ESen(nx )dx − ESen(nx )dx ⎤ ⎥ ⎥ π⎢ 0 −T / 2 π ⎦ ⎦ ⎣ T
ESen(nw o t )dt −
Para independizar el resultado se ha realizado un cambio de variables, definiendo x=wot. Resueltas la integrales se obtiene que: Bn = 2E (1 − Cos(nπ)) nπ
Un análisis más fino indica que: • Si n = par, entonces Cos(nπ)=1 → Bn = 0 • Si n = Impar, entonces Cos(nπ)=-1 → B n = 4E nπ
Armónica 1° 3° 5° 7° 9° 11° Amplitud 1.27E 0.42E 0.25E 0.18E 0.14E 0.12E % de Fundamental 100.0 33.3 20.0 14.3 11.1 09.1
Frecuencia, Hz wo = 2π / T 3 wo 5 wo 7 wo 9 wo 11 wo
De acuerdo a los resultados las armónicas presentes son todos los múltiplos impares de la Fundamental, así, si se quiere que el VDF entregue una frecuencia de 50 Hz, las armónicas presentes serían las de 150 Hz, 250 Hz, 350 Hz, etc. , de modo que si se quiere dejar solo la Frecuencia Fundamental, bastará con poner a la salida del VDF un filtro pasabajos con una Frecuencia de Corte wc algo mayor que los 50 Hz. Es importante observar en este caso que la magnitud de la armónicas es bastante grande en comparación con la de la Fundamental, siendo a demás su valor independiente de la frecuencia de trabajo. Por último, se puede calcular el valor de E a partir de la amplitud que se quiere que tenga la Fundamental. Por lo general se quiere que la fundamental sea de 220 Volts, de lo que se deduce que en este caso E tendría ser igual a 173.2. Ejemplo: Un Rectificador Polifásico es un dispositivo electrónico utilizado en la industria para convertir energía eléctrica de corriente alterna de alta potencia en otra del tipo de corriente continua. Ejemplos de este tipo de equipos es posible encontrar en los accionamientos de motores de corriente continua, en lo sistemas de refinación electrolítica de minerales (en los sistemas de Electroobtención de cobre se utilizan rectificadores de 100.000 amperes), etc. Existen en la practica tres tipos de este tipo de equipos los Rectificadores de 3, 6, y 12 Pulsos, cuyo nombre obedece al numero de pulsos (designado normalmente con la letra M) que tiene la señal de salida del Rectificador en un ciclo de trabajo (periodo de la señal alterna de alimentación del Rectificador. La figura siguiente muestra la forma típica del voltaje de un dispositivo de estas características, la idea es, mediante el calculo de la Serie de Fourier, determinar las armónicas presentes en esa señal.
Solución: Como se observa, la señal eDC es periódica (de periodo 2π/M), siendo además una función el tipo par, esto es, el término Bn en la serie Trigonométrica de Fourier es igual a cero (no se puede representar una función par como una suma de funciones impares, y las señales tipo Seno son impares). Para facilitar la integración se considerará el eje eDC*, quedando de esta manera los siguientes coeficientes para la serie de Fourier:
M π/3 ME ⎛π⎞ ECos( x )dx = Sen⎜ ⎟ π 2π − π / 3 ⎝M⎠ π/3 M 2E ⎛ n ⎞ ⎛π⎞ An = ECos( x )Cos(nx )dx = ⎜ 2 ⎟Sen⎜ ⎟ , n = M, 2M, 3M,... π −π / 3 π ⎝ n − 1⎠ ⎝M⎠
La serie de Fourier esta dada en consecuencia por: e DC
∞ ME ⎛π⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ π ⎞ 2E = Sen⎜ ⎟ + Sen⎜ ⎟ ⎜ ⎟Sen(nx ) π ⎝M⎠ π ⎝ M ⎠n=M,2M,.. ⎝ n 2 − 1⎠
Observe que el tipo de armónicas presentes en la señal depende del numero de pulsos M. Así, para un Rectificador de 3 Pulsos, las armónicas presentes son la 3°, 6°, 9°, etc., mientras que para un Rectificador de 6 Pulsos las armónicas son menos, estando presentes solo la 6°, 12°, 18°, etc. Observe también que a medida que aumenta el numero de la armónica, disminuye también su amplitud, de lo que es posible de concluir que cuando mayor sea el numero de pulsos M que arroja el Rectificador, de menor magnitud serán las armónicas, y por lo tanto el rectificador será de mejor calidad (ver figura adjunta).
Rectificador de 3 Pulsos Espectro Discreto de Amplitud
30 25 % de E 20 15 10 5 0 3° 6° 9° 12° 15° 18° 21° 24° 27° 30° 33° 36° 39° 42° 45° N° Armónica
Rectificador de 6 Pulsos Espectro Discreto de Amplitud
25 % de E 20 15 10 5 0 6° 12° 18° 24° 30° 36° 42° 48° N° Armónica
Rectificador de 12 Pulsos Espectro Discreto de Amplitud
30 25 % de E 20 15 10 5 0 12° 24° 36° N° Armónica 48°
El primer término de eDC corresponde al valor medio de la señal, esto es la componente continua, siendo por lo tanto correspondiente a la tensión de corriente continua que entrega el Rectificador. 3.2.1.3. Generalización del concepto de serie de Fourier Para que la serie de Fourier sea realmente útil para el análisis de sistemas y señales sería deseable que su validez sea para todo instante de tiempo, es decir, lo ideal sería poder obtener una aproximación por serie de Fourier de cualquier función f(t) y que esta representación sea valida para todo instante de tiempo. Para explorar esta posibilidad, sea f(t) una señal cualquiera y fT(t) una función periodizada de f(t) (ver Fig. 3.5), tal que: f (t) =
∑ fT ( t )
Fig. 3.5. (a) Función f(t) cualquiera, (b) fT(t), función periodizada de f(t). De acuerdo a lo expuesto en la sección anterior, una serie exponencial de Fourier para fT(t) estaría dada por: fT ( t ) = 1 Fn = T
n = −∞ T/2
∑ Fne jnw t
, w o = 2π dt
(3.28 a) (3.28 b)
∫− T / 2 fT (t)e
Sean wn=nwo y F(wn)=TFn, entonces, reemplazando estas variables en las ecuaciones anteriores se obtiene que: fT ( t ) = 1 ∞ 1 ∞ F( w n )e jw nt = F( w n )e jw nt w o T n = −∞ 2π n = −∞
(3.29 a) (3.29 b)
F( w n ) = TFn =
− jw nt
Ahora, para lograr la representación en serie para f(t), hecho que constituye el objetivo final de este análisis, como lo indica la ecuación (3.27), habrá que hacer tender el periodo T hacia infinito. Bajo este contexto, si T→∞, entonces:
fT(t) wn wo
→ f(t) → w → dw →
con lo cual las ecuaciones (3.29 a) y (3.29 b) quedarían como: f (t) = 1 2π
∫− ∞ F( w )e
(3.30 a) (3.30 b)
F( w ) =
∫− ∞ f (t )e
Las ecuaciones (3.30 a) y (3.30 b), que serían la representación en serie de Fourier para f(t), se conocen con el nombre de Transformada Inversa de Fourier y la Transformada de Fourier, respectivamente, y representan la transformación, de ida y de vuelta, entre los planos del tiempo y el de la frecuencia de una f(t) cualquiera, es decir, F(w) es la representación de f(t) en el plano de la frecuencia, y viceversa. Notación:
F[f(t)]= F( w ) =
Transformada de Fourier dw Transformada Inversa de Fourier
F--1[F(w)]= f ( t ) =
Nota: Debe recordarse que una integral corresponde en el fondo a una suma infinita, de modo que conceptualmente el concepto de “serie” esta implícitamente presente en la definición de la Transformada de Fourier.
En términos conceptuales la idea sigue siendo la misma que antes, solo que ahora, en vez de una suma discreta de términos se trata de una suma infinita, en donde para cada frecuencia existe tanto un modulo como un ángulo o fase que la caracteriza (recuerde que Fn era un numero complejo, por lo tanto F(w) también lo es). En otras palabras, en vez de un Espectro Discreto de Amplitud y de Fase, existe un Espectro Continuo de Amplitud y de Fase, ello dado que existe un valor de amplitud y de fase para cada frecuencia (ver Fig. 3.6). Para efecto de notación el primero se denotará como Espectro de amplitud, ⎮F(w)⎮, y el segundo Espectro de Fase, φ.
Fig. 3.6. Ejemplos de Espectros de Frecuencia de una función f(t), (a) Espectro de Amplitud, (b) Espectro de Fase. Ejemplo: Determine la Transformada de Fourier de la función f(t)=e-atu(t). Solución: Por definición: F( w ) =
e − at u( t )e − jwt dt =
∫o e
− ( a + jw )t
1 a + jw
El Modulo y la Fase están dados en este caso por: F( w ) = 1 a +w
⎛w⎞ φ = −tg −1⎜ ⎟ ⎝a⎠
Lo cual, para a = 0.5, arroja los siguientes espectros de frecuencia para f(t).
Fase (°)
1.1 0.6 0.1 -10 -5 -0.4 0 5 10
20 -100 -80 -60 -40 0 -20 -20 0 -40 -60 -80 -100 20 40 60 80 100
Nota: F(w)=1/(a+jw) es el equivalente de f(t)=e-atu(t) en el plano de la frecuencia, y viceversa.
Ejemplo: Determine la Transformada de Fourier para la función Pulso, llamada también Función Gate, de la figura:
Solución: Por definición de la Transformada de Fourier: P( w ) =
∫− ∞ P(t)e
∫− T / 2Ae
A jwT / 2 e − e − jwT / 2 jw
Pero, puesto que e± jwt = Cos(wt) ± j Sen(wt), entonces: P( w ) = 2A ⎛ T⎞ ⎡ Sen( wT / 2) ⎤ Sen⎜ w ⎟ = AT ⎢ ⎥ w ⎝ 2⎠ ⎣ wT / 2 ⎦
Transform ada de Fourier de Función Gate A=1, T=2 2 1.5 Amplitud 1 0.5 0 -0.4 -0.2 -0.5 Frecuencia (Rad) 0 0.2 0.4
3.3.1. Propiedades de la Transformada de Fourier (i) Linealidad: Para a1, a2,...,an constantes, entonces:
F [a1f1(t)+a2f2(t)+...+anfn(t)] = a1F1(w)+a2F2(w)+....+anFn(w)
Demostración: La demostración de esta propiedad es obvia, del Cálculo se sabe que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales, esto es:
F [a1f1 + a 2 f2 + ... + a n fn ] =
∫− ∞ [a1f1 + a 2 f2 + ... + an fn ]e
− jwt − jwt − jwt ∫− ∞ [a1f1]e dt + ∫− ∞ [a 2 f2 ]e dt + ... + ∫− ∞ [an fn ]e dt
=a1F1(w) + a2F2(w) + ....+ anFn(w) (ii) Corrimiento en el Tiempo: Esta propiedad representa los retardos que usualmente tienen los sistemas. Así, si F[f(t)]=F(w), entonces:
F[f(t -T)] = e-jwT F(w)
, T = Constante
Demostración: Por definición:
F [ f ( t − T )] =
∫− ∞ f (t − T)e
Sea u = t -T, → t = u + T, y dt = du. Además, sí t →±∞, entonces u →±∞. Introduciendo este cambio de variables en la ecuación anterior:
F [ f (u)] =
∫− ∞ f (u)e
− jw (u + T )
du = e − jwT
− jwu
du = e − jwT F( w )
Nota: En teoría es posible obtener también la Transformada de Fourier de f(t+T) usando el mismo procedimiento anterior. Sin embargo f(t+T), por ahora, no tiene significado físico, pues implica un adelanto en el tiempo, esto es, “adivinar el futuro”. Es por lo anterior que este tipo de situación no será considerado en este curso. En todo caso, si llegase a ser necesario F[f(t+T)]= ejwT F(w). (iii) Corrimiento en Frecuencia: Sí F[f(t)]=F(w), entonces:
F[ejwot f(t)] = F(w-wo)
Demostración: Usando la definición de la Transformada de Fourier:
F[ejwot f(t)] =
e jw 0 t f ( t )e − jwt dt =
∫− ∞ f (t)e
− j( w − w 0 )t
Entonces por definición F[ejwot f(t)] = F(w-wo). Nota: De igual forma es posible demostrar que F[e-jwot f(t)] = F(w+wo) (iv) Escalamiento en el Tiempo: Herramienta muy útil para la simulación computacional que permite la compresión, o la extensión, de los ejes de
tiempo. De esta manera se puede simular en segundos lo que en la práctica puede demorar horas. En este caso, sí F[f(t)]=F(w), entonces:
F[f(at)] =
1 ⎛w⎞ F⎜ ⎟ a ⎝a⎠
Demostración Aplicando la definición:
∫− ∞ f (at)e
Entonces, sí x=at → t =(x/a), dt= (1/a)dx. Además, t→±∞ ⇒ x→±∞, lo cual transforma la ecuación anterior en:
⎛x⎞ − jw ⎜ ⎟ f ( x )e ⎝ a ⎠
dx 1 = a a
⎛w⎞ − j⎜ ⎟ x f ( x )e ⎝ a ⎠ dx
En consecuencia, por definición:
(v) Diferenciación: Sí F[f(t)]=F(w), entonces: ⎡ dn f ( t ) ⎤ F ⎢ n ⎥ = ( jw )n F( w ) ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ Demostración: Por definición: 1 ∞ f (t) = F( w )e jwt dw −∞ 2π Derivando esta expresión respecto al tiempo se obtiene que: (3.35)
df ( t ) 1 = dt 2π
∫− ∞ ( jw )F( w )e
Derivando nuevamente: d2 f ( t ) dt
∫− ∞ ( jw )
F( w )e jwt dw
En consecuencia, generalizando:
dn f ( t ) dt
⎡ dn f ( t ) ⎤ Entonces, por definición F ⎢ n ⎥ = ( jw )n F( w ) . ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ (vi) Integración: Sí F[f(t)]=F(w), entonces: ⎡ t ⎤ 1 F⎢ f ( t )dt ⎥ = F( w ) ⎣ −∞ ⎦ jw
Demostración: Por definición: 1 ∞ f (t) = F( w )e jwt dw 2π − ∞ Integrando esta expresión, se obtiene:
1 f ( τ)dτ = −∞ 2π
1 ⎤ ⎡ t F( w )⎢ e jwτ dτ⎥ dw = −∞ 2π ⎣ −∞ ⎦
⎡1 ⎤ 1 F( w )⎢ e jwτ ⎥ dw = −∞ 2π ⎣ jw ⎦ −∞
⎜ ⎟ ∫− ∞ ⎜ jw ⎟F( w )e ⎝ ⎠
⎡ Entonces, por definición F ⎢ ⎣
∫− ∞ f (t)dt ⎥ = jw F( w ) . ⎦
(vii) Diferenciación en el Plano de la Frecuencia: Sí F[f(t)]=F(w), entonces:
F (− jt )n f ( t ) =
dnF( w ) dw n
Demostración: Por definición: F( w ) =
∫− ∞ f (t )e ∫
Derivando esta expresión respecto a la frecuencia w se obtiene: ∞ dF( w ) (− jt )f ( t )e − jwt dt = −∞ dw Derivando nuevamente: ∞ d2F( w ) (− jt )2 f ( t )e − jwt dt = 2 −∞ dw En consecuencia, generalizando: ∞ dnF( w ) (− jt )n f ( t )e − jwt dt = n −∞ dw
Es decir, por definición F (− jt ) f ( t ) =
Simetría: Sí F[f(t)]=F(w), entonces: F[F(t)]=2πf(-w)
Demostración: Por definición: 1 ∞ f (t) = F( w )e jwt dw 2π − ∞
Multiplicando por 2π y cambiando t por –t, se obtiene: 2πf ( −t ) =
∫− ∞ F( w )e ∫− ∞ F( x)e
Sea x=w, entonces: 2πf ( −t ) =
− jxt
sea t=w, entonces: 2πf ( − w ) = 2πf ( − w ) =
∫− ∞ F( x)e ∫− ∞ F(t)e
− jxw
Por último, sea x=t, entonces:
Con lo cual la propiedad queda demostrada. Ejemplo de Aplicación de Propiedades (1) Calcular la Transformada de Fourier de g(t)=f(t) Cos(wot) Solución: En este caso Cos(wot) se puede aproximar como 0.5(ejwot + e-jwot). En consecuencia g(t) puede rescribirse como; g(t)= f(t)[0.5(ejwot + e-jwot)] = 0.5ejwotf(t) + 0.5 e-jwotf(t) En consecuencia, aplicando las propiedades de Linealidad y Corrimiento en Frecuencia, se obtiene que:
F [g(t)] =0.5 F(w-wo)+0.5F(w+wo) = 0.5 [ F(w-wo) + F(w+wo)]
Nota: Usando el mismo procedimiento es posible demostrar que F [f(t)Sen(wot)] es igual a 0.5j [ F(w+wo) - F(w-wo)].
(2) Determinar la Transformada de Fourier de la siguiente función:
Solución: Diferenciando dos veces f(t) se obtiene:
De las graficas es posible observar que: d2 f ( t ) = 2δ( t ) − 4δ( t − 1) + 2δ( t − 2) dt 2 Ahora, puesto que F [δ(t)] =1, entonces, aplicando las Propiedades de Linealidad y Corrimiento en el Tiempo: ⎡ d2 f ( t ) ⎤ F ⎢ 2 ⎥ = F [ 2δ( t ) − 4δ( t − 1) + 2δ( t − 2) ] = 2 – 4e-jw +2e-2jw = 2(1-e-jw)2 ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ Pero también, por la Propiedad de la Diferenciación: ⎡ d2 f ( t ) ⎤ F ⎢ 2 ⎥ = (jw)2 F(w) ⎢ dt ⎥ ⎦ ⎣ Esto es:
(jw)2 F(w) = 2(1-e-jw)2 De lo que se deduce que:
⎛ 1 − e − jw F(w) = 2⎜ ⎜ jw ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(3) Calcular la Transformada de Fourier de la función f(t) = t e-(a+jb)t Solución: Es posible rescribir f(t) como sigue: f(t) = j (-jt) e-jbt e-at
⎡ 1 ⎤ Ahora, como se calculo en un ejercicio anterior, se sabe que F [e-at] = ⎢ ⎥ ⎣ a + jw ⎦ Aplicando la Propiedad de Corrimiento en la Frecuencia: ⎡ ⎤ 1 F [e-jbt (e-at)] = ⎢ ⎥ ⎣ a + j( w + b) ⎦ Aplicando la Propiedad de la Derivación en el Plano de la Frecuencia: ⎞ d ⎛ 1 −j ⎜ F [-jt(e-jbt e-at)] = ⎟ ⎜ a + j( w + b) ⎟ = 2 dw ⎝ ⎠ [a + j( w + b)] Finalmente, por Homogeneidad: ⎛ ⎞ −j 1 ⎟= F [ j (-jt e-jbt e-at] = j⎜ 2⎟ 2 ⎜ [a + j( w + b)] ⎝ ⎠ [a + j( w + b)]
Nota: Como se observa en los ejercicios anteriores, el uso de las Propiedades para la determinación de las Transformadas simplifica en forma importante su cálculo. El tratar de calcular la Transformada de Fourier en estos casos mediante la aplicación directa de la definición por lo general redunda en un largo y engorroso proceso de integración matemática. 3.3.2. La Existencia de la Transformada de Fourier La definición hecha para la Transformada de Fourier sugiere firmemente la necesidad de investigar su existencia, ello dado que las integrales tienen límites infinitos. En términos simples, la Transformada de Fourier existe si se cumple que:
Puesto que el Modulo de e-jwt es siempre igual a la unidad (recuerde que e-jwt=Cos(wt)-jSen(wt)), entonces, si la integral ha de existir debe cumplirse que:
∫− ∞ f (t ) dt < ∞
Siendo esta la Condición Necesaria, pero no Suficiente, de existencia para la Transformada de Fourier. Esta condición de existencia plantea un problema importante, pues muchas de las señales de interés para el análisis, y que es común encontrarlas en los sistemas físicos reales, no cumplen esta condición (ejemplos: Sen(wt), Cos(wt), K= Constante, U(t), r(t), etc.) Afortunadamente la condición es solo del tipo Necesario pero no Suficiente, razón por la cual, bajo ciertas circunstancias,
aplicando algún arreglo matemático si es posible encontrar la transformada de alguna de las funciones antes planteadas que no cumplen con la condición dada en la ecuación (3.40). A continuación se plantean algunos ejemplos. • Casos Especiales de Transformada de Fourier
Caso 1: Sea f(t)=A, A= Constante, que evidentemente no cumple con la condición de existencia de la transformada. Para su calculo considérese la función Gate planteada en un ejercicio anterior, tal que:
Como se calculó anteriormente: ⎛ Sen( wT / 2) ⎞ P( w ) = AT⎜ ⎟ ⎝ wT / 2 ⎠ En consecuencia: F( w ) = Lim P( w ) = 2πA Lim
T ⎛ Sen( wT / 2) ⎞ ⎜ ⎟ = 2πAδ( w ) T → ∞ 2π ⎝ wT / 2 ⎠ Nota: Observe que la Transformada de Fourier tiene sentido en este caso solo para w = 0
Caso 2: Considere la Transformada de Fourier de la función signo, sgn(t), de la figura, que evidentemente no cumple con la condición de existencia:
En este caso es posible aproximar sgn(t) como: Sgn(t) = Lim e −at U( t ) − e at U( −t )
⎛ Sgn(w)= Lim ⎜ a → 0⎝
e − at e − jwt dt −
0 at − jwt ⎞ e e dt ⎟ −∞ ⎠
⎛ − 2 jw ⎞ 2 = Lim ⎜ 2 ⎟= a → 0⎝ a + w 2 ⎠ jw
Caso 3: Caso en donde f(t) es un escalón, señal ésta última de aplicación muy común en la práctica. En este caso f(t)=A U(t) se puede determinar a partir de la siguiente aproximación: f(t) = A U(t) = 0.5A[1 +sgn(t)] En consecuencia, puesto que la Transformada de Fourier es lineal, entonces: F(w) = A⎡ 2⎤ ⎢πδ( w ) + jw ⎥ 2⎣ ⎦
Caso 4: Otras señales de uso muy frecuente son las señales sinusoidales del tipo Sen(wot) o Cos(w0t), las cuales tampoco cumplen con la condición de existencia. Así, para el caso del Coseno, es posible utilizar la siguiente aproximación: f(t) = Cos(wot) = 0.5[1.ejwot + 1.e-jwot] Puesto que F[1]=2πδ(w), entonces, por la propiedad de Corrimiento de Frecuencia: F(w)= π[δ(w-wo) + δ(w+wo)] Por el mismo procedimiento es posible demostrar que:
F[Sen(wot)]= -jπ [δ(w-wo) − δ(w+wo)]
3.3.3. Aplicaciones de la Transformada de Fourier Más allá de la utilización de la Transformada de Fourier para el análisis de la respuesta de un sistema, esta herramienta ha demostrado ser útil para muchas otras aplicaciones, en particular en lo que se refiere a la caracterización de los sistemas y las señales. A continuación se discutirán brevemente estas aplicaciones, partiendo, naturalmente, por la utilización de la Transformada de Fourier para el cálculo de la respuesta temporal de un sistema, pues ello constituye el objetivo primordial de esta asignatura.
3.3.3.1. Cálculo de la Respuesta Temporal de un Sistema En el caso más general un sistema lineal e invariante esta representado por el siguiente modelo matemático, en donde Ak y Bk son constantes, y(t) la salida e x(t) la entrada del sistema respectivamente:
k ⎛ ⎞ m ⎛ dk x( t ) ⎞ ⎜ A k d y( t ) ⎟ = ⎜Bk ⎟ ⎜ dt k ⎟ k = 0⎜ dt k ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ k = 0⎝
En primer lugar, siendo consecuentes con la metodología en estudio, debe trasladarse la ecuación (3.41) al Plano de la Frecuencia, hecho que se consigue pasando la Transformada de Fourier al Modelo. En consecuencia, aplicando las propiedades de Linealidad y la Diferenciación asociadas a la Transformada, se obtiene: y( w )
A k ( jw )k = x( w )
∑ Bk (jw )k
De lo que se deduce que y(w), la respuesta buscada, esta dada por:
⎡ m ⎤ B k ( jw )k ⎥ ⎢ ⎢ = ⎥ y( w ) = ⎢ k n 0 ⎥ x( w ) k⎥ ⎢ A ( jw ) ⎥ ⎢k =0 k ⎦ ⎣
(3.43 a)
y(w) = H(w) x(w)
El término entre paréntesis cuadrados, representado por H(w), se conoce con el nombre de Función de Transferencia del sistema. Nótese que puesto que Ak y Bk son constantes, entonces la Función de Transferencia H(w) es fija, esto es, constituye una característica del sistema, independiente del tipo de sistema con el que se le esta excitando. Bajo el supuesto que x(w), la Transformada de Fourier de la entrada x(t), existe, entonces la respuesta del sistema a una entrada x(t) cualquiera, se obtiene a partir de: y(t) =F –1[y(w)] = F –1[ H(w) x(w) ] Esto es, devolviendo el sistema al Plano del Tiempo. Ejemplo: Considere un sistema representado por el siguiente modelo: dy( t ) + 2y( t ) = x( t ) dt
Calcular la respuesta y(t) del sistema a las siguientes entradas: (a) x(t) = sgn(t) (b) x(t) = e-4t U(t) Solución: El primer paso es calcular la Función de Transferencia del sistema. Aplicando al modelo la Transformada de Fourier, se tiene: (jw + 2) y(w) = x(w) De lo que se deduce que: H( w ) = y( w ) 1 = x( w ) jw + 2
(a) De lo visto en los ejercicios anteriores: 2 X(w) = jw Con lo cual y(w) en el Plano de la Frecuencia queda como: ⎛ 1 ⎞ 2 y(w) = H(w) x(w) = ⎜ ⎜ jw + 2 ⎟ jw ⎟ ⎝ ⎠ Ecuación que, mediante la aplicación del método de Separación de fracciones parciales, puede rescribirse como: ⎛ 2 ⎞ 1 1 1 ⎜ ⎟ − = 2⎜ ⎟ − y(w) = jw jw + 2 ⎝ jw ⎠ jw + 2 En consecuencia: y(t) =F –1[y(w)] = ⎡ 1 ⎤ 1 –1 ⎡ 2 ⎤ F ⎢ ⎥ - F –1 ⎢ ⎥ 2 ⎣ jw ⎦ ⎣ jw + 2 ⎦
De lo que se deduce que la respuesta temporal del sistema es: y(t) = 1 sgn(t) – e-2t 2
(b) En este caso: X(w) = F[e-4t] = 1 jw + 4
De lo que se obtiene que: ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 0 .5 0 .5 y(w) = H(w) x(w) = ⎜ ⎜ jw + 2 ⎟⎜ jw + 4 ⎟ = jw + 2 − jw + 4 ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
De lo cual se obtiene que: ⎡ 0 .5 ⎤ –1 ⎡ 0.5 ⎤ y(t) =F –1[y(w)] = F –1 ⎢ ⎥ - F ⎢ jw + 4 ⎥ ⎣ jw + 2 ⎦ ⎣ ⎦ -2t -4t -2t -4t = 0.5 e – 0.5 e = 0.5 [e – e ] Puesto que tanto el Numerador como el Denominador de la Función de Transferencia son polinomios, es posible rescribir H(w) como sigue:
H( w ) = K( jwz 1 + 1)( jwz 2 + 1).........( jwz n + 1) ( jwp 1 + 1)( jwp 2 + 1)...........( jwp n + 1)
en donde los zk y pk son las raíces de los respectivos polinomios, y K es la Ganancia Estacionaria del sistema. Se acostumbra utilizar la siguiente notación respecto a estos parámetros: Definición: • (jwzk + 1) se denomina Cero del sistema • (jwpk + 1) se denomina Polo del sistema De acuerdo a esta notación la Función de Transferencia representada en la ecuación (3.45) tiene n Polos y m Ceros. En los sistemas físicamente realizables m ≤ n, esto es, por lo general los sistemas tiene más polos que ceros (un sistema con más ceros que polos tendría que tener características anticipativas, esto es, “adivinar el futuro”, hecho que con la tecnología de hoy aun no es posible de conseguir). Definición: Un sistema se dice de Grado n si su función de Transferencia H(w) tiene n polos. Nota: Observe que el Grado del sistema así definido coincide con el Grado de la ecuación diferencial. Teorema: La Función de Transferencia H(w) de un sistema es idéntica a la Transformada de Fourier de la Función Característica h(t) del mismo sistema, usada en el Método de la Convolución Continua. Demostración: Por definición del Método de la Convolución Continua: y( t ) =
∫− ∞ x(τ)h(t − τ)dτ ∫ ∫
Pasando a la expresión anterior la Transformada de Fourier: ∞ ⎡ ∞ ⎤ y( w ) = x( τ)h( t − τ)dτ⎥ e − jwt dt −∞ ⎢ −∞ ⎣ ⎦
⎡ x( τ)⎢ −∞ ⎣
∫− ∞ h(t − τ)e
⎤ dt ⎥ e − jwτ dτ ⎦
En consecuencia, aplicando para el paréntesis cuadrado la propiedad de Corrimiento en el Tiempo de la Transformada de Fourier: y( w ) =
x( τ)h( w )e − jwτ dτ = h( w )
∫− ∞ x(τ)e
− jwτ
dτ = h( w )x( w )
Una comparación directa de este resultado con la ecuación (3.43 b) indica que si ha de cumplirse esta igualdad, entonces necesariamente H(w)=h(w), con lo cual el Teorema queda demostrado. Nota: Lo anterior permite confirmar la definición hecha para h(t), en el sentido de que esta función corresponde a la respuesta del sistema a un impulso. En efecto, puesto que F[δ(t)]=1, entonces la ecuación (3.43 b) quedaría en este caso como y(w)=H(w)=h(w), esto es, para x(t)=δ(t) corresponde y(t)=h(t). 3.3.3.2. Filtros y características de Filtraje de Sistemas Puesto que tanto H(w) como x(w) en la ecuación (3.43 b) tienen asociado un espectro de frecuencias, entonces, matemáticamente, el espectro de frecuencias de la salida y(w) es en la práctica la multiplicación de los espectros de frecuencia de H(w) y x(w). Esta propiedad anterior sugiere la posibilidad de manejar el espectro de frecuencias de y(w) por medio de una adecuada selección de H(w). Así, en el caso de que así sea necesario, una adecuada selección de H(w) permitiría eliminar, o dejar pasar solo algunas, de las frecuencias que componen la entrada x(w). Los sistemas de sistemas de este tipo, ideados para procesar señales mediante la regulación de las frecuencias presentes en la salida, se denominen Filtros, existiendo en la práctica cuatro tipos de estos sistemas (ver Fig. 3.8). (i) Filtros Pasa Bajos: Ver Fig. 3.8 a. Corresponde a un sistema que deja pasar solo las frecuencias menores a una cierta frecuencia wc, denominada Frecuencia de Corte, eliminando todas las frecuencias cuya frecuencias sea mayor que wc (como se observa en la figura, la eliminación se consigue multiplicando estas componentes por cero). (ii) Filtro Pasa Altos: Ver Fig. 3.8 b. Corresponde a un sistema que deja pasar todas las frecuencias mayores a una cierta frecuencia de corte wc, eliminando todas las componentes cuya frecuencia sea menor a wc.
Fig. 3.8. Características de Filtros, (a) Filtro Pasa Bajos, (b) Filtro Pasa Altos, (c) Filtro Pasa Banda, (d) Filtro Elimina Banda. (iii) Filtro Pasa Banda: Ver Fig. 3.8 c. Corresponde a un sistema que deja pasar solo las frecuencias que están dentro de un intervalo [w1,w2], llamado Banda, eliminando cualquier frecuencia de x(w) que este fuera de ese intervalo. Nota: Los Filtros que tienen una Banda muy angosta suelen llamarse Filtros Sintonizados, siendo su uso importante cuando se quiere que pase una sola frecuencia, o un rango muy estrecha de ellas. Este tipo se filtros se utilizan para la selección de una estación de radio o televisión, para la recepción de señales de radar, sonar, de instrumentos de medición sónicos, y en general en cualquier aplicación que se quiere detectar una frecuencia específica, con muy poca dispersión. (iv) Filtro Elimina Banda: Ver Fig. 3.8 d. Corresponde a un sistema que elimina todas las frecuencias que se encuentran dentro de la Banda [w1,w2], dejando pasar cualquier frecuencia de x(w) que este fuera de ese rango. Ejemplo: Considere el siguiente filtro Pasa Bajos en cuya entrada existe una señal cuyo espectro de frecuencias es el que se muestra:
Determinar el espectro de frecuencias que habría en la salida del Filtro para la entrada cuyo espectro de frecuencias se adjunta:
Solución: Puesto que y(w) = H(w) x(w), entonces, multiplicando los espectros de frecuencia de h(w) y x(w) se obtiene:
Ejemplo: Considerando el Filtro Pasa Banda de la figura, determine una expresión matemática para y(t) si la entrada x(t) tiene la siguiente forma:
X(t)=30Sen(30t)+5Sen(28t)+-20Sen(33t)+15Sen(40t)-15Sen(60t)
Solución: De acuerdo al x(t) dado, su Espectro de Frecuencia de Amplitud es Discreto (recuerde las Series de Fourier), teniendo este la siguiente forma:
Nota: En este caso, puesto que no existe la parte cosenoidal en la entrada x(t), la fase en cada caso es igual a cero por lo que Espectro Discreto es siempre igual a cero. El Espectro de y(w), al igual que en el ejercicio anterior, se obtiene multiplicando |H(w)| por |x(w)|, operación la cual arroja el siguiente resultado:
80 60 40 20 0 -20 0 -40 -60 Tiempo x(t) y(t) 2 4 6 8 10
y(t)=5Sen(28t)-20Sen(33t)
Desafortunadamente no es posible construir filtros con las características del tipo mostrado en la figura Fig. 3.8, los sistemas de este tipo no son realizables físicamente. En la práctica los filtros reales adoptan formas que solo aproximan la la característica ideal. En la siguiente tabla se muestran las formas que adoptan los filtros pasa bajos reales. Ejemplos de Filtros Reales tipo Pasa Bajos 2° Orden 3° Orden 1 1 H( w ) = H( w ) = (1 + jwc 1 )(1 + jwc 2 ) (1 + jwc 1 )(1 + jwc 2 )(1 + jwc 3 ) H( w ) =
1° Orden 1 H( w ) = 1 + jwc
1−w 2
)+ jwc
H( w ) =
1 (c 1 − c 3 w ) + j( wc 2 − w 3 )
Filtros Pasa Bajos Reales
Modulo Amplitud
0.8 1º Orden 0.6 0.4 0.2 0 0 100 200 300 400 500 2º Orden 3º Orden
Fig. 3.9. Características de Filtros Pasa Bajos Reales. Notas: 1. Como se observa en la figura Fig. 3.9 la calidad del filtrado aumenta con el orden del sistema (el filtro se parece más al ideal), hecho que era de esperar dada la mayor complejidad que tienen los filtros de orden superior. Debe tenerse presente, eso si, que un filtro de mayor complejidad significa un mayor costo, no solo desde punto de vista de la mayor inversión que habrá que hacer para su construcción, sino que también, por tener más componentes, por el mayor consumo de energía que su uso significa. 2. A pesar de lo que se suele pensar, los filtros no se utilizan solo en los sistemas eléctricos, existen también aplicaciones de este principio en otros ámbitos de la ingeniería. De hecho, en la práctica, los sistemas de amortiguación que usan los sistemas mecánicos constituyen un filtro, también los materiales de aislamiento térmico y acústico son filtros (dejan pasar solo algunas frecuencias de las señales de sonidos o de calor que
inciden sobre ellos), como de igual manera los vidrios, con sus distintos colores, son filtros para las señales de luz, entre muchos otros ejemplos. 3. Puesto que los sistemas reales por lo general tienen más polos que ceros, ello implica que en la práctica presentan un comportamiento similar al de los filtros pasa bajos (a medida que aumenta la frecuencia disminuye la amplitud de la Función de Transferencia H(w)), de modo que de alguna manera se ve atenuado el efecto sobre algunas frecuencias sobre ellos. Lo anterior es una propiedad interesante de los sistemas reales, en particular cuando se piensa en las señales de perturbación cuyo efecto se ve atenuado por este hecho. 3.3.3.3. Transmisión sin Distorsión y Ancho de Banda Un efecto contrario al de los filtros son los sistemas que tratan de transmitir las señales que les llegan, amplificándolas, sin que estas sufran distorsión. Un ejemplo clásico de este tipo de sistemas lo constituyen los equipos musicales los cuales, para mantener una alta fidelidad de la música reproducida deberían tener una característica de este tipo. Así, si un equipo ha de tener una característica de transmisión sin distorsión, su función de transferencia debería tener la forma que se observa en la figura Fig. 3.10, esto es, que todas las frecuencias sean amplificadas por el mismo factor.
Fig. 3.10. Característica de un Sistema Sin Distorsión. Un sistema como el de la figura tendría una función de transferencia igual a H(w)=K, lo cual indica que su Función Característica tendría que ser h(t)=Kδ(t), característica que lamentablemente no es posible encontrar en un sistema o equipo real. En la Práctica, eso si, es posible concebir equipos, de música por ejemplo, que pueden mantener una característica de transmisión sin distorsión en un rango finito de frecuencias. Este rango es denominado Ancho de Banda (BW), y se define como el rango de frecuencias entre las cuales la amplitud de la función de transferencia baja en un factor raíz de dos (ver Fig. 3.11). Por comodidad se suele transformar el eje de amplitud ⎢H(w) ⎢por otra definida en decibeles (con ello se logra comprimir el eje). Los decibeles se definen de la siguiente forma: ⎢H(w) ⎢dB = 20 log(⎢H(w) ⎢) (3.46)
Así, si se aplica esta definición a los parámetros de la figura Fig. 3.11 (a), es posible establecer que:
KdB = 20 log (K) Y ⎛ K ⎞ 20 log⎜ ⎟ = 20 log(K ) − 20 log( 2 ) = K dB − 3 ⎝ 2⎠
Bajo esta perspectiva el Ancho de Banda BW puede redefinirse como el rango de frecuencias en el cual la amplitud de H(w) baja en 3 decibeles.
Fig. 3.11. Definición gráfica de Ancho de Banda, (a) Por Amplitud normal, (b) Por Decibeles. 3.3.3.4. Sistemas de Transmisión en Amplitud Modulada Una de las aplicaciones importante de la transformada de Fourier es posible encontrarla en la transmisión en Amplitud Modulada, llamada comúnmente transmisión AM. En la figura Fig.3.12 se muestra un diagrama esquemático de este tipo de sistemas.
Fig. 3.12 Esquema de Transmisión de Amplitud Modulada El sistema esta compuesto por dos partes: Un sistema Transmisor, que consta de una etapa de Modulación y otra de Potencia, que sirve para transmitir la información a una cierta distancia con la ayuda de una antena, y de un sistema Receptor, llamado también de Demodulación, en donde se rescata la información enviada. En la etapa de Modulación consiste básicamente en multiplicar la información f(t) que se quiere transmitir por una señal cosenoidal del tipo Cos(wot), que hace las veces de señal transportadora de la información. La multiplicación de ambas señales produce en la salida una señal cosenoidal cuya amplitud varía de acuerdo
a los valores que adopta la señal f(t), formando f(t) una especie de envolvente para la señal cosenoidal (ver Fig. 3.13).
Inform ación f(t) 4 Amplitud 3 2 1 0 0 1 2 Tiempo 3 4
2 Amplitud 1 0 -1 0 -2 Tiempo Cose(Wot) 1 2 3 4
Tiempo f(t) Modulada
Fig. 3.13. Ejemplo de señales en sistema de transmisión de Amplitud Modulada. Con el objeto de comprender el funcionamiento del sistema resulta útil determinar la Transformada de Fourier de la señal f1(t). Así, si F[f(t)]=F(w), entonces:
F[f1(t)]= F[f(t)Cos(wot)]=
1 [F(w-wo)+F(w+wo)] 2
Siendo esta la señal que se transmite por la antena. La señal f1(t) transmitida es recepcionada en el lugar deseado y es rescatada por un medio llamado denominado Demodulación, el cual consiste en una separación de la señal f(t) de la transportadora cosenoidal. La primera etapa consiste en multiplicar la señal f1(t) por otra señal cosenoidal idéntica al Cos(wot) que se usó para el transporte, lográndose con ello que la señal f2(t) adopte la siguiente expresión:
1 1 1 f2(t)=f1(t)Cos(wot)=f(t)Cos2(wot)=f(t)[ (1+Cos(wot))]= f(t)+ f(t)Cos(wot) 2 2 2 El espectro de frecuencia en este caso esta dado por: F2(w)= 1 1 F(w)+ [F(w-wo)+F(w+wo)] 2 4
Así, en referencia la figura Fig. 3.14, si F(w) corresponde al espectro de frecuencias de f(t), entonces el espectro de f2(t) es el que se muestra en la parte (b) de la misma figura.
Fig. 3.14. (a) Espectro de Frecuencias de f(t), (b) Espectro de frecuencias de f2(t). De la figura anterior es fácil deducir que si f2(t) se hace pasar por un filtro pasa bajos con una frecuencia de corte wc=w1, a la salida de ese filtro se rescatará solo el espectro de F(w), y en consecuencia a la señal de información f(t) que fue enviada (ver Fig. 3.15).
Fig. 3.15. Rescate de señal demodulada con la ayuda de un filtro pasa bajos. Nota: El sistema de transmisión en amplitud modulada fue la primera técnica inalámbrica de transmisión de señales a distancia. Tiene la virtud de poder transmitir la información a grandes distancias (las antiguas radios AM llegaban prácticamente a todo el país), sin embargo tiene el inconveniente de ser vulnerable a las interferencias. Ello hace que la señal recepcionada no sea de la
mejor calidad, hecho que redunda en que sea difícil rescatar en forma fidedigna la señal enviada. Lo anterior contribuye, por ejemplo, a que la calidad de la transmisión de las radios AM sea solo regular, o en la introducción de errores cuando se trata de transmitir código digitales o información numérica. Con el tiempo se desarrollaron algunas técnicas de mayor inmunidad a las distorsiones, como lo son la transmisión en Frecuencia Modulada (FM) y las Microondas, que sin embargo pecan ser de tener alcance bastante menor. COMENTARIOS FINALES 1. Si se centra el enfoque solo en lo que se refiere al análisis de la respuesta de los sistemas, el uso de la transformada de Fourier tiene solo utilidad limitada. La limitación viene esencialmente por el hecho de que no esta garantizada la existencia de la transformada, en particular de algunas señales de uso muy común en la práctica. Una segunda fuente de dificultad lo constituye la obtención de la transformada inversa para determinar la expresión temporal de la respuesta del sistema, la forma algo compleja que puede tomar el producto H(w)x(w) hace que muchas de las veces no sea nada fácil obtener la transformada inversa. En el contexto de todo lo anterior, si bien se ha conseguido alguna mejora en referencia a los métodos anteriormente estudiados, deben explorarse aun otras alternativas que faciliten aun más la obtención de la respuesta deseada de los sistemas. 2. En donde si la transformada de Fourier ha demostrado ser de gran utilidad en el campo del procesamiento de las señales, hecho que hace que sea ampliamente utilizada por todos aquellos que se dedican a la especialidad de las comunicaciones electrónicas. La posibilidad de conocer los espectros de frecuencia de las señales y sistemas, los esquemas de transmisión AM, y el uso de los filtros o la transmisión sin distorsión, son todas herramientas muy útiles para estos propósitos. Esta utilidad se hace aun más manifiesto cuando se trata de sistemas y señales del tipo discreto. 3.4. La Transformada de Laplace Dado el problema de existencia que presenta la Transformada de Fourier, se explorará mejorar este aspecto limitando el tipo de funciones a considerar, tratando que estas sean decrecientes en el tiempo, hecho que se logra considerando que funciones como las que se muestran en la ecuación (3.53). Se pretende así, puesto que el exponencial negativo es una función decreciente, dar mayor seguridad que la integral entre limites infinitos pueda converger a un valor finito. φ(t) = f(t) e-σt , σ=Constante ∈R (3.53)
Para este tipo de función la Transformada de Fourier queda definida como:
F [φ( t )] =
− σt − jwt
− ( σ + jw )t
En consecuencia, si F(w) es la transformada de Fourier de f(t), entonces, por definición: φ(w) = F(σ+jw) (3.55)
La relación anterior indica que la Transformada Inversa de Fourier de φ(w) estará dada por: φ( t ) = 1 2π
∫− ∞ φ( w )e
∫− ∞ F(σ + jw )e
Ahora bien, puesto que φ(t)=f(t)e-σt, entonces: f ( t )e − σt =
De lo que se deduce que: f (t) = Además de: F(σ + jw ) = 1 2π
∫− ∞ F(σ + jw )e ∫− ∞ f (t)e
( σ + jw )t
(3.56 a)
(3.56 b)
Siendo éstas la transformada directa e inversa de Fourier para el caso planteado. Ahora, si se hace en las ecuaciones anteriores el siguiente cambio de variables: s= σ+jw, entonces: ds = j dw Y w → ∞ ⇒ s → σ ± j∞ Con lo cual las ecuaciones (3.56 a) y (3,56 b) quedan definidas como: F(s) = f (t) =
(3.57 a) ds (3.57 b)
∫σ − j∞ F(s)e
Ecuaciones que se conocen con el nombre de Transformadas, directa e inversa, Bilateral de Laplace.
Notación: LB[f(t)] = F(s)
L-1B[F(s)]
Transformada Bilateral de Laplace Transformada Inversa Bilateral de Laplace
Nota: Es interesante observar que en la práctica la Transformada Bilateral de Laplace es solo una variante de la Transformada de Fourier. Es más, si σ=0, entonces, las transformadas definidas en las ecuaciones (3.57 a) y (3.57 b) son idénticas a la de la Transformada de Fourier. Ejemplo: Con el objeto de probar las bondades de esta nueva herramienta, determinar la Transformada de f(t)=AU(t). Solución: F(s) =
AU( t )e − st dt = A
Nota: Es interesante comparar este resultado con lo complejo que fue obtener la Transformada de Fourier para la misma función, y observar lo mucho más sencilla y manejable que es la transformada obtenida en este caso. 3.4.1. La Existencia de la Transformada Bilateral de Laplace La Transformada Bilateral de Laplace existe si:
Puesto que s=σ+jw, y que se sabe que el modulo de un exponencial complejo es igual a la unidad, entonces la condición de existencia anterior puede redefinirse como sigue:
∫− ∞ f (t) e
En otras palabras, puesto que e-σt es una función decreciente en el tiempo, la existencia de la Transformada Bilateral de Laplace depende de la forma que adopta ⏐f(t)⏐y como una posible forma no finita de ella es anulada por la característica decreciente del exponencial. Así, si existe un numero M finito, pertenecientes a lo Reales, tal que existe un par α y β cualesquiera, también pertenecientes a los Reales, entonces la Transformada Bilateral de Laplace de f(t) existirá si:
f (t) ≤
Meαt , t > 0
Meβt , t < 0
Si se cambia la expresión anterior en la definición de existencia anterior, entonces:
F(s) ≤
Me ∫− ∞
βt − st
∫0 Me
αt − st
⎡ M (β − s )t ⎤ ⎡ M ( α − s )t ⎤ F(s) ≤ ⎢ e ⎥ + ⎢α − s e ⎥ ⎦0 ⎣β − s ⎦ −∞ ⎣
De lo anterior se deduce que la relación anterior se cumple, y por lo tanto la transformada existe, solo si: β-s>0 α-s<0 (3.61 a) (3.61 b)
Si se descarta de S la parte imaginaria jw (el modulo de un exponencial complejo es igual a la unidad), entonces la condición de existencia se reduce a: β−σ>0 ⇒ σ<β α−σ<0 ⇒ σ>α (3.62 a) (3.62 b)
Es decir, la Transformada LB[f(t)] existe, o si se quiere poner en otros términos, converge, si se cumple que: α<σ<β (3.63)
Laplace definió también un plano, llamado Plano de Laplace, en donde se representa gráficamente los valores que van tomando la parte de real e imaginaria de S en distintas situaciones. Así, si Re[s]=σ e Im[s]=jw, entonces la condición de existencia, llevada al Plano de Laplace, indica que existe en cada caso un área predeterminada, llamada Zona de Convergencia, dentro de la cual la Transformada Bilateral de Laplace existe.
Fig. 3.16 Zona de Convergencia en el Plano de Laplace.
Nota: Naturalmente si f(t) es una función finita, la ecuación (3.59) también lo será, y en consecuencia la existencia de la Transformada esta garantizada para todo S, esto es, la Zona de Convergencia es todo el Plano de Laplace.
Ejemplos: 1. Determinar la Zona de Convergencia de (a) f1(t) = e-atU(t), (b) f2(t)=ebtU(-t) Solución: ⎡ − 1 − ( a + s )t ⎤ e − ( s + a )t dt = ⎢ e ⎥ 0 −∞ ⎣a + s ⎦0 En conclusión, para que la transformada exista debe cumplirse que: S + a> 0 ⇒ σ + a > o ⇒ σ >-a Lo cual arroja la siguiente Zona de Convergencia: (a) LB[f1(t)]=
e − at U( t )e − st dt =
(b) LB[f2(t)]=
e bt U( t )e − st dt =
0 − ( s − b )t ⎡ − 1 − ( s + −b ) t ⎤ e dt = ⎢ e ⎥ −∞ ⎣s − b ⎦
Lo que arroja que la transformada existe si se cumple que: S–b<0 ⇒ σ-b<o ⇒ σ<b
Obteniéndose la siguiente Zona de Convergencia:
Ejemplo: Determine la convergencia de la transformada de la siguiente función
⎧ ebtU( − t ), t < 0 ⎪ f (t) = ⎨ ⎪ e−atU( t ) , t > 0 ⎩
Solución: Este caso es una combinación de los ejercicios (a) y (b) del ejemplo anterior. El resultado es en este caso la intersección de las Areas de Convergencia obtenida en cada uno de los casos, esto es:
Nota: Si el primer exponencial estuviese elevado a at en vez de –at, entonces, si a>b la Zona de Convergencia sería inexistente, es decir, no existiría una Transformada Bilateral de Laplace para esa función. 3.4.2. No Unicidad de la Transformada Inversa Bilateral de Laplace Una de las dificultades en el uso de la Transformada Bilateral de Laplace para el análisis de la respuesta de la respuesta de sistemas es que la Transformada Inversa no cumple con el principio de Unicidad, esto es, la transformada inversa de una función F(s), a veces, no es única. Ello, a la luz del hecho de que la última etapa del análisis de la respuesta justamente esta relacionada al plano del tiempo mediante la aplicación de la transformada inversa, ciertamente, al no saber que expresión temporal utilizar, constituye un problema. Esto es, si la transformada inversa de una salida y(s) de un sistema no es única, entonces ¿cuál será la respuesta y(t) a analizar?. Una metodología sencilla para demostrar la no unicidad de la transformada Inversa Bilateral de Laplace es utilizar lo que los matemáticos denominan demostración por el Contraejemplo, es decir, encontrar un ejemplo que contradiga una posible hipótesis de unicidad para la transformada. Para efecto de lo anterior se considerará la Transformada Bilateral de Laplace de la siguientes dos funciones: f1(t)=eat U(t) y f2(t) = -eat U(-t), que evidentemente son funciones diferentes (ver figura).
Fig. 3.16 Formas gráficas de f1(t) y f2(t)
LB[f1(t)]=
e at U( t )e − st dt =
1 ⎡ − 1 − ( s − a )t ⎤ e − ( s − a )t dt = ⎢ e ⎥ = s−a ⎣s − a ⎦0
, con σ>a
LB[f2(t)]=
∫− ∞ − e
U( −t )e
∫− ∞− e
1 ⎡ 1 − ( s − a )t ⎤ dt = ⎢ e = ⎥ ⎣s − a ⎦ −∞ s − a
, con σ<a
Como se observa F1(s)=F2(s) a pesar de que evidentemente f1(t) es diferente de f2(t), hecho el cual indica que la transformada inversa de F(s)=1/(s-a) no es única. COMENTARIO Si bien la Transformada Bilateral de Laplace ha mejorado enormemente la condición de existencia, hecho que resuelve el problema presentado en la Transformada de Fourier. Sin embargo, la no unicidad de la transformada de inversa significa un problema grave, pues atenta contra la esencia misma del análisis propuesto para estudiar la respuesta de los sistemas, que es, retrotraer los resultados obtenidos en el plano de la frecuencia al plano del tiempo, de modo que allí se puedan sacar las conclusiones sobre el comportamiento del sistema que se encuentra en observación. Esta restricción hace poco recomendable la utilización de la Transformada Bilateral de Laplace como herramienta de análisis de sistemas, siendo entonces recomendable seguir explorando en pos de una herramienta con menos restricciones. El paso siguiente será considerar la Transformada Unilateral de Laplace como una posible solución al problema planteado. 3.4.3. La Transformada Unilateral de Laplace La mayoría de los sistemas físicos son causales, esto es, su comportamiento es valido desde el momento de que estos se ponen en marcha, tiempo que se supone que es t=0. Lo anterior sugiere que más que la Transformada Bilateral de Laplace, que es válida para todo tiempo, habría que utilizar en este caso la Transformada Unilateral de Laplace, herramienta que justamente se define para operar en el intervalo de tiempo [0,∞].
La Transformada Unilateral de Laplace, y su Inversa, se define como: F(s) = f (t) =
(3.64 a)
(3.64 b)
Notación: L [f(t)] = F(s)
Transformada Unilateral de Laplace Transformada Unilateral Inversa de Laplace
Esta Transformada tiene algunas ventajas importantes respecto a su equivalente Bilateral. En efecto, en primer lugar, se mantiene, y se mejora la condición de Existencia de las transformadas. Existe Transformada Unilateral de Laplace para prácticamente toda señal utilizada en la práctica, eliminándose con ello la incertidumbre de no poder realizar el análisis de la respuesta de un sistema por no existir la transformada correspondiente. En segundo lugar, se elimina también en este caso la dificultad de la no unicidad de la transformada inversa, la Transformada Unilateral de Laplace tiene inversa única, recuperándose de esta manera la posibilidad de volver al plano del tiempo para obtener la respuesta e información necesaria para operar los procesos. Por todas las razones anteriores es que la Transformada Unilateral de Laplace es la herramienta matemática preferida para el análisis de la respuesta de un sistema, y será también la herramienta que se usará en este texto. Nota: En lo que sigue se llamará a la Transformada Unilateral de Laplace, simplemente como Transformada de Laplace. Ejemplo: Calcule la Transformada de Laplace de (a) f1(t)=e-at U(t), (b) f2(t) =A U(t). Solución: (a) F1(s) = (b) F2 (s) =
∞ at − st e e dt 0 ∞ − st
e ∫− ∞
− ( s + a )t
1 ⎡ − 1 − ( s + a )t ⎤ dt = ⎢ e ⎥ = s+a ⎣s + a ⎦0
∫0 Ae
A ⎡ − A − st ⎤ dt = ⎢ e ⎥ = s ⎣ s ⎦0
Propiedades de la Transformada de Laplace Estando la Transformada de Laplace fuertemente correlacionada con la Transformada de Fourier (una es un caso especial de la otra), entonces las propiedades en este caso son exactamente las mismas que las discutidas en las secciones anteriores para la Transformada de Fourier. Puesto que las propiedades son iguales, también lo son sus demostraciones, salvo el cambio de las variables, razón por la cual no es necesario volver a demostrarlas. A continuación se enumeran las principales propiedades: (i) Linealidad: L [αf1(t)+βf2(t)] = αF1(s) +βF2(s) (ii) Escalamiento en el Tiempo: 1 ⎛s⎞ L [f(at)] = F⎜ ⎟ a ⎝a⎠ (iii) Corrimiento en el Tiempo L [f(t-T)] = e-sT F(s) (iv) Corrimiento en Frecuencia L [e-T tf(t)] = F(s + T) (v) Derivación en el Tiempo ⎡ dn f ( t ) ⎤ L ⎢ n ⎥ = snF(s) ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ (vi) Integración ⎡ t ⎤ 1 L ⎢ f ( τ)dτ⎥ = F(s) ⎣0 ⎦ s (vii) Derivación en Frecuencia dnF(s) L ( − t )n f ( t ) = ds n
(3.65 a)
(3.65 b)
(3.65 c) (3.65 d)
(3.65 e)
(3.65 f)
(3.65 g)
(viii) Teorema del Valor Final: Si L[f(t)]= F(s), entonces: f (∞ ) = Lim sF(s)
(3.65 h)
(ix) Teorema del Valor Inicial: Si L[f(t)]= F(s), entonces: f (0) = Lim sF(s)
(3.65 i)
Ejemplo de uso de Propiedades (1) Determine la Transformada de Laplace de f(t) = Sen(wot) Solución: 1 Se sabe que Sen(w0t)= 1.e jw ot − 1.e − jw o t 2j
Por lo tanto, por linealidad se tiene que: 1 L[Sen(wot]= ( L[1.ejWot] – L[1.e-jWot]) 2j Ahora, puesto que L[1]=1/s, entonces, aplicando la propiedad de Corrimiento en Frecuencia, se obtiene: F(s)= wo 1⎡ 1 1 ⎤ − ⎢ ⎥= 2 2 j ⎣ s − jw o s + jw o ⎦ s + w o 2 s s2 + w o 2
Nota: De la misma forma es posible demostrar que L[Cos(wot)]= (2) Determine la Transformada de Laplace de f(t)=At2.
Solución: Sea f1(t)=A tal que f(t)=t2f1(t). Como se cálculo en ejercicios anteriores, se sabe que L[A]=A/s, en consecuencia, utilizando la propiedad de Derivación en Frecuencia, se obtiene:
L[f(t)]= L[t2f1(t)]=
d2F(s) ds
2A s3
(3) Determine la Transformada de Laplace de f(t)=e-at Cos(wot). Solución: Se sabe que L[Cos(wot)]= s
s + w o2 Entonces, por aplicación de la propiedad de Corrimiento en Frecuencia:
L[e-at Cos(wot)]=
(s + a) (s + a) 2 + w o 2
(4) Determine la Transformada de Laplace de la siguiente función:
Solución: Siendo f(t) una señal Singular, su expresión matemática corresponde a: f(t) = AU(t) – 2 AU(t -T) + AU(t – 2T)
Ahora, se sabe que: L[U(t)]=1/s, entonces por Propiedad de Linealidad y Corrimiento en el tiempo: F(s) = A 2A − Ts A − 2Ts A − e + e = (1 − e − Ts ) 2 s s s s
Comentario: Como era de esperarse, al igual que lo que ocurrió en el caso de la Transformada de Fourier, el uso de la s propiedades simplifica enormemente en el calculo de las Transformadas de Laplace, razón por la cual su uso es altamente recomendable en reemplazo del método directo, que puede derivar en largas y engorrosas integraciones matemáticas.
3.4.4. Aplicación de la Transformada de Laplace al Análisis de Sistemas El tratamiento a dar en este caso es esencialmente igual al usado en el caso de la Transformada de Fourier. Así, para un sistema generalizado representado por el siguiente modelo:
dk y( t ) dt k
dk x( t ) dt k
se obtiene la siguiente expresión al trasladar al modelo al plano de la frecuencia, con la ayuda de la Transformada de Laplace: y(s)
A k sk = x(s)
∑ Bk sk
de lo que se deduce que la Función de Transferencia esta dada por:
⎤ ⎡ m Bk sk ⎥ ⎢ y( s ) ⎢ k = 0 ⎥ =⎢ m H(s) = ⎥ x( s ) ⎢ A k sk ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣k =0
O, en función de los Polos y los Ceros:
H(s) = K(s + z1 )(s + z 2 )......( s + z m ) (s + p1 )(s + p 2 )...........( s + p n )
Con el objeto de hacer análisis de Estabilidad (que se estudiará en el próximo Capitulo), los polos y los ceros de H(s) se acostumbra a representar en el Plano de Laplace utilizando la siguiente metodología: (s+zi) = 0 ⇒ s= -zi (zi = ziR + j ziC ) (s+pi) = 0 ⇒ s= -pi (pi = piR + j piC ) Para distinguir los polos de los ceros en el Plano de Laplace, los Polos se grafican con el símbolo X, mientras que los Ceros con O (ver Fig. 3.17).
Fig. 3.17. Representación de Polos y Ceros en Plano de Laplace. Ejemplo: Representar en el Plano de Laplace la ubicación de los Polos y Ceros de la siguiente Función de Transferencia: 2(s 2 − 2s + 2) H(s) = (s − 3)(s 2 + 4s + 8) Solución: Por medio del álgebra es posible rescribir H(s) en función de sus Polos y Ceros, esto es, en función de las raíces de los polinomios. Hecho este trabajo, se obtiene como resultado: H(s) = 2(s − 1 − j)(s − 1 + j) (s − 3)(s + 2 − 2 j)(s + 2 + 2 j)
cuya representación en el Plano de Laplace es la siguiente:
Al igual que en el caso de la Transformada de Fourier, la expresión temporal, y(t), de la respuesta del sistema se obtiene mediante el uso de la Transformada Inversa de Laplace, esto es: y(t) = L –1[y(w)] = L –1[H(w)x(w)] (3.70)
Ejemplo: En el siguiente circuito, determine la corriente i(t). Considere R = L = C =1 y e(t)=EU(t).
Solución: El primer paso consiste en plantear el modelo matemático del sistema. En consecuencia, aplicando la Ley de Kirchoff de Voltaje se obtiene la siguiente expresión representativa del circuito: di( t ) 1 + i( t )dt dt C El paso siguiente esta relacionado con la obtención de la Función de Transferencia del sistema. Ello implica trasladar la ecuación anterior al plano de la frecuencia con la ayuda de la transformada de Laplace. Así, utilizando las propiedades de la Transformada, la ecuación equivalente en el plano de la frecuencia por: e( t ) = Ri( t ) + L
e(s) = Ri(s) + sLi(s) + De lo que se deduce que:
H(s) = i(s) = e(s) 1
1 i(s) sC
sC CLs 2 + RCs + 1
s s2 + s + 1
Por otra parte se sabe que: X(s) = L[EU(t)]=E/s En consecuencia: s E ⎛ ⎞⎛ E ⎞ Y(s) = H(s) x(s) = ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ = 2 ⎝ s + s + 1⎠⎝ s ⎠ s + s + 1 Ecuación que puede rescribirse de la siguiente forma: y(s) = ⎛ ⎞ 2E ⎜ 3 /2 ⎟ 3 ⎜ ( s + 1/ 2) 2 + 3 / 4 ⎟ ⎝ ⎠
Finalmente, al retrotraer y(s) al plano del tiempo se obtiene que: ⎡ 2E ⎛ ⎞⎤ 3 /2 ⎟⎥ ⎜ y(t)= L –1[y(s)]= L –1 ⎢ 3 ⎜ ( s + 1/ 2) 2 + 3 / 4 ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎦ ⎣
⎛ 3 ⎞ 2E − t / 2 ⎟ e Sen⎜ ⎜ 2 t ⎟U( t ) 3 ⎝ ⎠
300 200 100 Amperes 0 0 -100 -200 -300 Tiempo 5 10 15 20 25 30
Nota: Se agrega el escalón U(t) la respuesta y(t) obtenida solo para recordar que el sistema es causal. Ejemplo: Determine una expresión para Fo(t) en el siguiente estanque. Considere flujos laminares y que Fi(t)=EU(t), Pa(t)=PU(t). En donde: C = Capacitancia Hidráulica del Estanque R = Resistencia Hidráulica de la Válvula Pa = Presión Ambiental P = Presión Hidrostática en fondo de estanque Fi = Flujo de entrada Fo = Flujo de salida Solución: De acuerdo a lo aprendido para los sistemas de fluidos, el modelo matemático en este caso esta dado por:
dP = Fi − Fo dt (ii) F0 R = P - Pa (iii) P = γ L + Pa
Traspasando el sistema al plano de la frecuencia, este queda como sigue: (i) sC P(s) = Fi(s) – F0(s) (ii) F0(s) R = P(s) - Pa(s) (iii) P(s) = γ L(s) + Pa(s) Conviene, previo al análisis del sistema, esquematizar el proceso en función de sus entradas, salida, perturbaciones, y variables y parámetros internos. Un análisis del funcionamiento permite establecer las siguientes premisas:
Es decir, en la practícale sistema tiene dos variables exógenas que condicionan su funcionamiento: El caudal del Fluido Fi, y el valor de la presión ambiental Pa son entradas del sistema, en consecuencia el sistema tendría dos funciones de transferencia, una que relaciona F0 con Fi, y otra que relaciona F0 con Pa, que tendrían que calcularse por separado. Usando el principio de superposición para estos propósitos (el sistema lineal), es posible plantear que: (i) Pa(s)=0 ⇒ H1(s)=Fo(s)/Fi(s) Para el cálculo de H1(s) se procede como sigue: • De la ecuación (2) → P(s)=R Fo(s) • Reemplazando este resultado en la ecuación (1) se obtiene: sCR Fo(s)=Fi(s) – Fo(s) de lo que se concluye que:
H1(s) = Fo (s) 1 = Fi (s) 1 + sCR
(ii) Fi(s)=0 ⇒ H2(s)=Fo(s)/Pa(s) Para el cálculo de H2(s) se procede como sigue: • De la ecuación (2) → P(s)=R Fo(s)+Pa(s) • Reemplazando este resultado en la ecuación (1) se obtiene: SC(R Fo(s)+Pa(s))=– Fo(s) de lo que se concluye que:
Fo (s) − sC = Pa (s) 1 + sCR En consecuencia, el flujo Fo(s) esta dado por la siguiente expresión en el plano de la frecuencia: H2 ( s) =
1 ⎞ ⎛ ⎛ sC ⎞ Fo(s) = H1(s)Fi(s)+H2(s)Pa(s)= ⎜ ⎟Fi (s) − ⎜ ⎟Pa (s) ⎝ 1 + sCR ⎠ ⎝ 1 + sCR ⎠ Finalmente, para obtener Fo(t), solo resta encontrar la Transformada de la Laplace de Fi y Pa y determinar la Transformada de Laplace Inversa de Fo(s). De los datos dados se tiene que: Fi(s)=E/s , Pa(s)=P/s De lo que se deduce que: 1 ⎞ E ⎛ PC ⎞ E ECR PC ⎛ Fo (s) = ⎜ − ⎟ −⎜ ⎟= − ⎝ 1 + sCR ⎠ s ⎝ 1 + sCR ⎠ s 1 + sCR 1 + sCR En consecuencia: Fo(t)=E – ECR e-t/RC – PC e-t/RC = E – (ERC + PC) e-t/RC
Nota: Observe que en estado estacionario, cuando t→∞, Fo(t)=E. El mismo resultado se habría obtenido si se hubiese usado el Teorema del Valor Final. En efecto:
sERC ⎞ ⎛ E Foss = Lim sFo (s) = Lim ⎜ − ⎟=E s→0 s → 0⎝ 1 + sCR 1 + sCR ⎠ 3.5. Representación de Sistemas en Diagramas en Bloques El poder tener una imagen visual gráfica de un sistema, que muestre las componentes de éste, la interconexión que existe entre las distintas partes, y las funciones que cumple cada parte, ciertamente sería de gran ayuda. La herramienta de los Diagramas en Bloques ha sido concebida justamente para estos propósitos, dar una imagen visual de una ecuación, de un conjunto de ecuaciones, o de un modelo de un sistema. Para el caso de este texto las ecuaciones y los modelos se considerarán que están en el plano de la frecuencia, y los sistemas se representarán en base a los siguientes bloques:
Equivalente a F2(s) = G(s) F1(s)
Equivalente a E(s) = F1(s) – F2(s)
(iii) Equivalente a E(s) = F1(s) + F2(s)
Ejemplo de Motivación: Con el objeto de visualizar las bondades de esta herramienta, se trazará a continuación un Diagrama en Bloques para el conjunto estanque más visto en los ejemplos anteriores:
Modelo en el Plano de la Frecuencia (i) sC P(s) = Fi(s) – F0(s) (ii) F0(s) R = P(s) - Pa(s) (iii) P(s) = γ L(s) + Pa(s)
De igual forma que en el ejercicio desarrollado anteriormente, se considerará Fi como entrada y Fo como salida.
De acuerdo a la ecuación (i), es posible plantear el siguiente diagrama:
de igual forma, de la ecuación (ii):
la ecuación (iii) se puede representar como sigue:
Si se juntan los tres diagramas hechos para cada una de las ecuaciones, se obtiene el siguiente Diagrama en Bloques representativo del conjunto EstanqueVálvula.
Si se adopta para el sistema el diagrama esquematizado visto en el primer capitulo (diagrama entre líneas segmentadas en la figura anterior), es posible observar lo siguiente: • El sistema tiene dos entradas Fi(s) y Pa(s), de ellas Pa(s) claramente corresponde a una perturbación, ello puesto que el valor que esta variable adopta es independiente de toda manipulación, pues es una condición atmosférica.
P(s) y L(s) son variables internas del sistema, mientras que R, C, y γ son los parámetros que caracterizan el sistema, de los cuales dependerán los valores y la forma que adopta la salida Fo(t) del sistema. El sistema tiene una realimentación negativa, hecho el cual indica que el sistema es autorregulado (o estable, en otras palabras), indicando con ello que Fo(t), L(t) y P(t) tienden a establecerse en valores finitos, dando con ello una condición de operación más segura por el sistema (en el próximo capitulo se discutirán los conceptos asociados a esta materia).
Nota: Es interesante observar la cantidad de información que es posible extraer de un diagrama en bloques, información que sería más difícil visualizar si solo se analizan las ecuaciones matemáticas del modelo sistema. Los diagramas en bloques, una vez establecidos, son posibles de manipular, modificar, o reducir, utilizando algunas reglas sencillas. Ello resulta especialmente útil para poder observar los sistemas desde sus distintas perspectivas, y por lo tanto poder extraer mayor información del modelo del sistema. Para lo anterior, las reglas a considerar son las siguientes: Reglas de Diagramas en Bloques (i) Bloques en Cascada Equivalente a O, generalizando.
Equivalente a Demostración: Por la definición de Diagramas en Bloques: x1(s)= G1(s) x(s) e y(s)= x1(s) G2(s)
reemplazando la primera ecuación e la segunda: y(s) =[G1(s) x(s)] G2(s) = [G1(s) G2(s)] x(s) con lo cual queda demostrada la primera parte. Extendiendo esta metodología es posible demostrar la segunda parte de esta propiedad. (ii) Realimentación negativa
Demostración Aplicando la definición, es posible plantear las siguientes ecuaciones: (i) E(s)= x(s) – y1(s) (ii) y1(s)= G2(s) y(s) (iii) y(s)= E(s) G1(s) Reemplazando la ecuación (ii) en la ecuación (i), y posteriormente ésta última en la ecuación (iii), se obtiene:
⎡ ⎡ G1(s)G 2 (s) + 1⎤ 1 ⎤ y(s) = ⎢G 2 (s) + ⎥ x( s ) ⎥ x( s ) = ⎢ G1(s) ⎦ G1(s) ⎣ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ G1(s) y( s ) = ⎢ ⎥ x( s ) ⎣1 + G1(s)G 2 (s) ⎦
(iii) Realimentación Positiva Equivalente a
Demostración Respetando el cambio de signo en la ecuación (i) en la demostración de la Regla de Realimentación Negativa, la demostración de esta propiedad es idéntica a la anterior. (iv) Suma Equivalente a
Demostración: Por definición: y(s)= y1(s) + y2(s) Pero:
y1(s)= G1(s) x(s) y2(s)= G2(s) x(s) Por lo tanto: Y(s)= G1(s) x(s) + G2(s) x(s) = [G1(s)+G2(s)] x(s) Nota: De igual manera es posible demostrar que:
(v)Traslado Hacia Atrás Equivalente a
Demostración: En el primer caso: (i) y(s) = G(s) y1(s) (ii) y1(s) = x1(s) ± x2(s) De los que se deduce que: y(s) = G(s) [x1(s) ± x2(s)] En el segundo caso: (i) y(s) = y1(s) ± y2(s) (ii) y1(s) = G(s) x1(s) (iii) y2(s) = G(s) x2(s) De lo que se deduce: y(s)=G(s) x1(s) ± G(s) x2(s)= G(s) [x1(s) ± x2(s)] Finalmente, puesto que ambos resultados son idénticos, entonces ambos diagramas son equivalentes. (vi) Traslado Hacia delante Equivalente a
Demostración: En el primer caso: (i) y(s) = y1(s) ± x2(s) (ii) y1(s) = G(s) x1(s) De lo que se deduce que: y(s) = G(s) x1(s) ± x2(s) En el segundo caso: (i) y(s) = G(s) y1(s) (ii) y2(s) = [1/G(s)] x2(s) (iii) y1(s) = x1(s) ± y2(s) Reemplazando la ecuación (ii) en la ecuación (iii), y el resultado en la ecuación (i), se obtiene: y(s) = G(s) [x1(s) ± (1/G(s))x2(s)] = G(s) x1(s) ± x2(s) Con lo cual, puesto que ambos resultados son idénticos, queda demostrada la propiedad. (vii) Intercambio de Sumadores Equivalente a
La demostración de esta propiedad es trivial. Es posible utilizar las reglas anteriores para el cálculo de las funciones de transferencia de los sistemas, ello mediante la reducción paulatina de los diagramas hasta lograr reducirlos a un solo bloque. En ese caso la expresión que queda en el bloque, por definición, corresponde a la función de transferencia. Ejemplo: Usando las reglas definidas para los diagramas en bloques, determine la función de transferencia del siguiente sistema.
Solución: Utilizando la Regla (vi) se traslada G1(s) hacia adentro:
Por la Regla (vii) se pueden intercambiar los sumadores 2 y 3, además, por la Regla (i) los bloques G1(s) y G2(s) se pueden reducir a un solo bloque, esto es:
Ahora, usando sucesivamente la Propiedad (ii) se obtiene que:
Es decir, la expresión del último bloque corresponde a la función de transferencia del sistema. Nota: Observe que la función de transferencia obtenida resulto ser igual al Lazo Directo (camino directo entre la entrada x(s) y la salida y(s)), dividido por uno más
la suma de la multiplicación de los bloques existentes en cada uno de los lazos individuales. Para ejemplificar este concepto se desarrollará el siguiente ejercicio. Ejemplo: Usando la nota anterior, determine la función de transferencia del siguiente sistema:
Solución: Aplicando la metodología propuesta por la nota se tiene que: • • El Lazo Directo esta dado por: G1(s) G2(s) El sistema tiene dos lazos independientes: Lazo 1: G2(s) H2(s) Lazo 2: G1(s) G2(s) H1(s)
En consecuencia, la función de transferencia esta dada por:
Ejemplo: En el siguiente sistema, determine una expresión para y(s).
Solución Para facilitar el establecimiento de lo pedido, se redibujará el diagrama de loa siguiente manera:
En consecuencia: (i) y1(s) = x(s) – P(s) GC(s) (ii) y(s) = y1(s) G1(s) + P(s) G2(s) Reemplazando la ecuación (i) en la ecuación (ii), se tiene que: y(s)=[x(s) – GC(s) P(s)] G1(s) + P(s) G2(s) Reordenando, se obtiene finalmente: y(s) = G1(s) x(s) + P(s) [G2(s) – GC(s) G1(s)] Nota: Observe que si P(s) fuese una perturbación y GC(s) un Controlador agregado para regular los efectos de la perturbación, entonces, si el Controlador adopta la expresión GC(s)=G2(s)/G1(s) el efecto de P(s) sobre el sistema sería nulo (el paréntesis cuadrado es igual a cero).
1. Si se sabe que la función Convolución Continua de un sistema es h(t)=e-t, entonces, calcule la respuesta del sistema a las siguientes entradas: (a) x(t)= 2U(t-1) (b) x(t)= 3e-2t (c) x(t)= Sen(t)
2. Para cada uno de los casos calcule la función Convolución Continua h(t) y la respuesta del sistema a x(t)=2U(t-2) 2 dy d2 y dy = x(t ) − x(t − 2) − x(t − 3) (b) d y = x(t ) (a) (c) +3 + 2y = x 2 2 dt dt dt dt (d)
d2 y dy +2 +y=x 2 dt dt
dy d2 y +2 + 2y = x dt dt 2
3. Para el siguiente sistema, plantee un modelo matemático que permita determinar el nivel L(t) teniendo como entrada al caudal F(t).
Considere despreciable la presión ambiental Pa, que la capacitancia hidráulica es Ch=4, la resistencia hidráulica es R=0.5, y que la densidad especifica es γ=10. Para el sistema dado, calcule la función Convolución Continua h(t) y determine con su ayuda L(t) para F= 10 (m3/Min). 4. Para el sistema plantee un modelo matemático para el sistema que permita determinar X(t) en función de la diferencia de presión (P1-P2). Considere que los coeficientes de elasticidad son K1=2, K2=1, que el coeficiente de roce viscoso es D=4, y que la superficie del embolo es A=3. Para el sistema planteado determine la función Convolución Continua h(t) y x(t) para P1=10 (PSI) y P2=8 (PSI)
5. Para la señal f(t) se ha obtenido la siguiente serie de Fourier que la representa:
n=1,3 ,5 ,..
3Cos(100nπt ) + Sen(100nπt )
Para el caso planteado: (a) Indique las armónicas presentes, su frecuencia en Hz, su amplitud, y su fase. (b) Dibuje los espectros Discretos de Amplitud y de Fase de f(t). 6. Para cada una de las siguientes funciones:
(a) Calcule las armónicas presentes, su frecuencia en Hz, su Amplitud, y su Fase. ¿De que frecuencia y amplitud es la Fundamental?. (b) Dibuje los espectros Discretos de Amplitud y de Fase de la señal f(t). 7. Para cada uno de los dos casos escriba un expresión para f(t), e indique la frecuencia en Hz de cada una de ellas.
8. Su empresa ha comprado un Variador de Frecuencia de Onda Cuadrada (ver figura). Si se quiere utilizar un Filtro para obtener a la salida una señal sinusoidal pura de 75 (Hz) y 220 (Volts), dimensione el Filtro que se necesitará para este propósito.
9. Para cada uno de los casos: (a) Indique las armónicas presentes, su frecuencia, su amplitud, y su fase. (b) Dibuje los Espectros Discretos de Amplitud y de Fase. • • • F(t)=3Cos(t)+4Sen(t)+8Cos(2t)+6Sen(2t)+3Sen(5t) F(t)=2Cos(2t)+3Cos(4t)+2Sen(4t)+2Cos(8t)+5Sen(8t)+3Cos(10t) F(t)=20Cos(20t)+30Cos(40t)+20Sen(40t)+50Sen(60t)+30Cos(60t)
10. Considere el siguiente Filtro cuyos espectros de frecuencia de Amplitud y de Fase se adjuntan. Si la entrada del Filtro x(t) es tal que: X(t)=2Sen(2t)+4Sen(6t+30)+2Sen(8t+10)+12Sen(12t+10)
Para el sistema dado. (a) Determine una expresión para y(t). (b) Dibuje los espectros Discretos de Amplitud y Fase de x(t) e y(t). 11. Considere el siguiente Filtro cuyos espectros de frecuencia de Amplitud y de Fase se adjuntan. Si la entrada del Filtro x(t) es tal que:
X(t)=2Sen(t)+8Sen(8t+30)-12Sen(12t+30)+16Sen(16t-20)+20Sen(25t-10)+30Sen(30t)
Para el Filtro dado. (a) Determine el Ancho de Banda del Filtro (b) Para el x(t) dado, determine una expresión para y(t). (c) Para el x(t) y el y(t) dados, dibuje los espectros Discretos de Amplitud y Fase para cada una de ellas.
12. Considere el siguiente filtro Pasa Banda cuyos diagramas de Amplitud y de Fase se adjuntan. Si se sabe que x(t) tiene la forma: x(t ) = 3Sen(t ) + 3Sen(3t ) + Cos(3t ) + 2Sen(9t ) + 2Cos(9t ) + 3Sen(13t )
(a) Determine una expresión para y(t). (b) Determine los espectros de Amplitud y de Fase de x(t) e y(t). 13. Considere la siguiente señal que se obtiene a la salida de un Variador de Frecuencia VDF, en donde D se usa como un parámetro que sirve para atenuar la amplitud de las armónicas. Considere w=100π (Rad/Seg).
(a) Mediante el desarrollo de una Serie de Fourier, determine las armónicas presentes en ec(t), su frecuencia, su amplitud, y su fase. Comente el efecto que tiene el parámetro D sobre la amplitud de las armónicas. (b) Si se quiere que la amplitud de la Fundamental sea 50 Volts, determine el valor que debiera tener el parámetro D. (c) Con el objeto de obtener una sinusoidal pura de 250 Hz, 220 Volts, se pasa ec(t) por un conjunto Filtro (de ganancia unitaria) más un transformador.
Para el caso. (i) Determine el tipo de Filtro que habrá que usar, la banda de frecuencias que deberá dejar pasar. (ii) Determine la relación de vueltas n1:n2 que debiera tener el transformador para que la señal de salida eo(t) tenga una amplitud de 220 Volts. 14. Si se sabe que la Transformada de Fourier de F(t) es la que muestra la figura:
Entonces, a partir de ella, en cada uno de los casos escriba una expresión matemática para g(t) como función fr F(t).
15. Si el espectro de Amplitud de f(t) es el de la figura, determine:
(a) El Ancho de Banda de F(w). (b) El espectro de Amplitud de f1(t)=f(t) Cos(10t) Sen(10t). (c) El espectro de Amplitud de f2(t)=0.5 f(t) Sen(20t). Comente el resultado. 16. Para una señal x(t) se ha obtenido el siguiente desarrollo en Serie de Fourier: 4 12 x(t ) = ∑ Cos((2n + 1)πt + 10n) n=1 n Para la señal dada: (a) Indique las armónicas presentes, su frecuencia, su amplitud, y su fase. (b) Dibuje los espectros de Amplitud y de Fase de x(t).
17. Considere el siguiente sistema G(s), cuyos espectros de Amplitud y de Fase se adjuntan, determine para cada caso la forma que tendrá s(w)
Calcule además un expresión matemática para s(t)
18. Considere el siguiente sistema en donde se transmiten simultáneamente dos señales f1(t) y f2(t), cuyos espectros de Amplitud se adjuntan:
Para el sistema dado: (a) Determine los espectros de Amplitud de f3(t), f4(t), f5(t), y f6(t). (b) Si se quiere que por f7(t) salga la señal f1(t) y por f8(t) la señal f2(t), determine el tipo de filtro y la característica espectral que debieran tener los Filtros 1 y 2.
19. Para el siguiente sistema:
Determine los espectros de Amplitud de g2(w) y s(w). 20. Considere el siguiente sistema de tres etapas de Transmisión de información vía la técnica de Transmisión AM
Si los espectros de Amplitud de f(w) y H(w) son los que se adjuntan:
(a) Determine los espectros de Amplitud de f1(w), f2(w), f3(w), y s(w). (b) Determine, en función de f(t), una expresión matemática para s(t). 21. Usando las Propiedades, determine la Transformada Unilateral de Laplace de las siguientes funciones: (b) f(t)= Sen(t) Cos(2t) (a) f(t)=t2 e-t U(t) (c) f(t)= (t2 + 2t + 1) U(t) (e) f(t)= e-2t (e-t +1) (g) f(t)= (t-1)2 + (t-1) (i) f(t)= (t-1)e-(t-1) Sen(3(t-1)) (d) f(t)= (t-1) Sen(2t-2) (f) f(t)= t e-t Sen(t) + e-2t U(t-1) (h) f(t)= t3 (j) f(t)=[Sen(2(t-2))+cos(2(t-2))]e-(t-3)
22. Para el siguiente sistema:
dx d3 y d2 y dy + 6 2 + 11 + 6y = + 4x 3 dt dt dt dt
(a) Determine la Función de Transferencia del sistema. (b) Calcule la Ganancia Estacionaria, y dibuje el diagrama de ubicación de polos y ceros en el plano de Laplace. Indique cuales son el polo de respuesta más lento, y el polo de respuesta más rápida del sistema. 23. Calcule la Ganancia Estacionaria del sistema, y dibuje la ubicación de los polos y ceros en el Plano de Laplace para el sistema dado por la siguiente Función de Transferencia:
H(s) = 2(s + 20) (s + 0.1)(s + 1)(s + 10)
Indique además el polo más rápido y el polo más lento. 24. Usando técnicas de reducción de Diagramas de Bloques, calcule la Función de Transferencia, y el Orden de ella, en cada uno de los casos. Considere que los Gi(s) son todos de 1º Orden.
Calcule H(s)=C(s)/R(s)
Calcule H1(s)=C(s)/R(s) y H2(s)=C(s)/P(s)
Calcule H1(s)=C(s)/R(s) y H2(s)=C(s)/P(s) 25. Considere el siguiente esquema de Control automático (llamado Control Prealimentado). Si P(s) es una perturbación, y si se supone que G1(s) y G2(s) son conocidas, que R(s) es la entrada, y C(s) la salida, entonces, calcule la expresión que debiera tener Gc(s) (Controlador Prealiementado) si se quiere que la Perturbación P(s) no tenga ningún efecto sobre C(s).
26. Para el sistema dado, en donde R(s) es la Entrada, P(s) una Perturbación, y C(s) la salida:
(a) Determine las Funciones de Transferencias C(s)/R(s) y C(s)/P(s), indique además la Ganancia Estacionaria y el Orden de cada una de ellas. (b) Si R(t)=U(t), y P(t)=e-2tU(t), determine una expresión para C(s) y para C(t). ¿Cuanto vale C(t) en estado estacionario?, ¿Qué efecto tiene P(t) en ese caso?. 27. Para cada uno de los Modelos Matemáticos planteados,: (a) Dibuje un Diagrama en Bloques representativo del sistema. (b) Calcule las Funciones de Transferencia, indique la Estacionaria, y el Orden de cada una de ellas dy 1 dP = Q1 + Q 2 − Q o 2 = K 1x 1 + y 2 dt dt dQ o dy 2 = K 2 y2 + y3 (ii) (i) 4 = 3P − Pa dt dt dy 3 Q 2 = 2P = K 3 y3 + y2 Calcule P(s)/Q(s) y Qo/Q(s) dt Calcule y2(s)/x1(s)
dT = Qi + Q e − Qp − Qo dt Q e = K 1w C Q p = K 2 (T − Ta ) Qo = K3T Calcule T(s)/Qi(s)
dy 1 = A 2 x1 − A 3 y2 dt (iv) dy 2 A4 = A 4 y 2 − A 6 y1 dt A1
Calcule y1(s)/x1(s) e y2(s)/x1(s)
dT1 = 4Q 1 − 3T2 dt (vi) dT 3 2 = 2Q 2 − 2T1 + 4T2 dt 2
dy 1 = x1 − x2 dt dy 2 = x 2 − y1 (v) dt 2x 1 = y 1 − 2 y 2 Calcule y1(s)/x2(s) e y2(s)/x1(s)
Calcule T2(s)/Q1(s) y T2(s)/Q2(s)
28. El sistema es un acuario que recalienta con la ayuda de un flujo calórico Q. Para saber como se distribuye la temperatura dentro del acuario éste se divide en tres partes iguales en donde la temperatura se considera como un parámetro concentrado. Ta es la temperatura ambiental y T1, T2, y T3 son bastante menores a 100 ºC (para proteger a los peces), de modo que se puede considerar que las perdidas de calor por radiación son despreciables.
Para el sistema planteado: (a) Plantee un modelo matemático representativo del acuario. (b) Dibuje un Diagrama en Bloque representativo del acuario. (c) Calcule la Función de Transferencia T3(s)/Q(s), indique su Orden, y calcule su Ganancia Estacionaria. 29. Considere el siguiente sistema tipo Ward Leonard, utilizado para entregar voltaje continuo variable de alta potencia a una carga R.
Para el sistema planteado: (a) Plantee un modelo matemático representativo del sistema. (b) Dibuje un Diagrama en Bloques representativo del sistema, considere Ea como entrada y Eg como salida. (c) Calcule la Función de Transferencia Eg(s)/Ea(s), indique su Orden, y determine la Ganancia Estacionaria. 30. Considere el siguiente sistema, en donde todos los flujos son laminares, y Pa es la Presión Ambiental.
Para el sistema planteado: (a) Plantee un modelo matemático para el sistema. (b) Dibuje un Diagrama en Bloques representativo del sistema. (c) Calcule la Función de Transferencia Fo(s)/Fi(s) y L2(s)/Fi(s), indique el Orden y calcule la Ganancia Estacionaria de cada una de ellas. 31. Considere el siguiente sistema utilizado para calentar una sustancia a Baño María. Si se sabe que:
Ta= Temperatura ambiental=20 ºC R= Resistencia Eléctrica Calefactor=10 (Ω) R12=Resistencia Térmica Agua Sustancia= 0.01 (ºC/Watt) R2a= Resistencia Térmica Solución Ambiente= 0.02 (ºC/Watt) C1=C2= Capacitancias Térmicas= 1
Para el sistema planteado: (a) Plantee un modelo matemático para el sistema. (b) Linealice el modelo obtenido en torno al punto de trabajo que se genera cuando T2 se establece en 40 ºC. (c) Dibuje un diagrama en Bloques representativo del modelo matemático linealizado. (d) Determine la función de transferencia ΔT2(s)/Δe(s). Indique el número de polos y ceros que tiene, y dibújelos en el Plano de Laplace. Calcule la Ganancia Estacionaria del sistema.
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