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Timestamp: 2017-07-22 05:44:34+00:00

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Barragués Fuentes, José Ignacio; Guisasola Aranzabal, Jenaro Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad basada en la investigación didáctica Educación Matemática, vol. 21, núm. 3, diciembre, 2009, pp. 127-162 Santillana Distrito Federal, México
Disponible en: http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=40516671006
Educación Matemática ISSN (Versión impresa): 1665-5826 revedumat@yahoo.com.mx Santillana México
Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad basada en la investigación didáctica
José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal Resumen: En este estudio describimos el diseño, la implementación y la evaluación de una secuencia de enseñanza destinada a introducir los conceptos y procedimientos probabilísticos elementales en la enseñanza técnica universitaria. La propuesta se basa en los resultados de las investigaciones sobre las dificultades de enseñanza-aprendizaje, la perspectiva social constructivista del aprendizaje de las matemáticas y el concepto de indicadores de aprendizaje. Proporcionamos pruebas de que esta secuencia de enseñanza, junto con su metodología de aplicación en el aula, puede lograr que los estudiantes adquieran una mayor capacidad de razonamiento probabilístico. Palabras clave: enseñanza universitaria, probabilidad, competencia matemática, constructivismo, indicadores de aprendizaje, concepciones alternativas, Paradigma de Heurísticos y Sesgos, simulación por computadora. A proposal for teaching probability at university level based on didactic research Abstract: This study will describe the design, implementation and evaluation of a teaching sequence aiming to introduce elementary probabilistic concepts and procedures into university level technical teaching. The proposal is based on results from research into teaching-learning difficulties in the constructivist social perspective of learning mathematics within the concept of learning indicators. We will provide evidence that this teaching sequence, along with its methodology to be applied in the classroom, can help students acquire great probabilistic reasoning skills. Keywords: university teaching, probability, mathematics competency, constructivism, learning indicators, misconceptions, Heuristics and Biases Paradigm, computer simulation.
Fe­ cha de re­ cep­ ción: 15 de agosto de 2008.
Educación Matemática, vol. 21, núm. 3, diciembre de 2009, pp. 127-162	127
Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Introducción Actualmente se acepta que la formación probabilística y estadística es importante para la formación de ciudadanos adultos capaces de orientarse en un entorno de fuertes interdependencias sociales, políticas y económicas, donde se precisa interpretar gráficos de datos y donde con frecuencia las decisiones se toman sobre la base de estudios estadísticos. La competencia estadística proporciona recursos para analizar datos críticamente y para formarse una opinión fundamentada acerca de las decisiones que toman las administraciones, las empresas y otros colectivos, así como acerca de la marcha general de la sociedad. Además, la probabilidad y la estadística contribuyen a aportar una imagen mucho más equilibrada de la ciencia, que tradicionalmente ha presentado ante el alumno un carácter marcadamente determinista en el que todo es explicable en términos de causas y efectos. Razones como las apuntadas indican la importancia de que los estudiantes fortalezcan sus competencias matemáticas generales mediante competencias específicas en probabilidad y estadística. Sin embargo, la investigación didáctica viene señalando que los estudiantes tienen dificultades para lograr un aprendizaje con comprensión de los conceptos y procedimientos formales relacionados con el azar (Batanero et al., 1997; Sáenz, 1998; Scholz, 1991; Serrano et al., 1996; Borovcnik et al., 1991; Borovcnick y Peard, 1996). En este trabajo presentamos una investigación destinada a diseñar y evaluar una innovación en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la probabilidad en estudios técnicos universitarios. Ensayamos la propuesta con estudiantes de segundo curso de Ingeniería (18-20 años) de la Universidad del País Vasco (España). Explicaremos las razones que, a nuestro entender, hacen necesario un cambio metodológico en la enseñanza y en sus objetivos; mostraremos el fundamento teórico de nuestra propuesta y el modo en el que la hemos desarrollado, aplicado en clase y evaluado. Principios que guían la propuesta de enseñanza Tres principios diferentes pero interrelacionados han guiado el diseño de la propuesta de enseñanza. El primero se relaciona con los resultados de las investigaciones sobre las dificultades de aprendizaje de los conceptos elementales de la teoría de la probabilidad. Hemos revisado la bibliografía sobre propuestas de enseñanza que promueven el aprendizaje con comprensión de los conceptos y
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1996. 1997. Roth. diciembre de 2009	129
. cuando define la competencia matemática como “la capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo. el profesorado tiene el importante papel de proponer a los estudiantes problemas interesantes e involucrarlos en tareas matemáticas significativas (nrc. Mostraremos cómo los resultados de investigaciones anteriores han guiado el diseño de nuestra propuesta. 2005). 1991. comprometidos y reflexivos”. Sáenz. para facilitar esa construcción. vol. Díaz. 1998. La propuesta que presentamos se basa en la puesta en práctica en el aula de todos estos aspectos.. Osuna et al. deben participar en actividades colectivas destinadas a que tomen conciencia de sus conocimientos y estrategias informales y desarrollen su capacidad de razonamiento y argumentación. El cuadro 1 (Romberg. 2002. 1993. 1992). 2008).José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
procedimientos probabilísticos (Godino et al. El segundo aspecto que ha contribuido a realizar el diseño de la enseñanza es la perspectiva social constructivista del aprendizaje de las matemáticas y las ciencias (Leitzel. 1993) muestra algunas de las características de este pensamiento de alto nivel y su comparación con el tipo de pensamiento que requieren muchas de las tareas matemáticas algorítmicas que los estudiantes realizan en la universidad. 2007). Solow. Sierpinska y Lerman. Guisasola et al.. 2000.. Borovcnik y Peard. 3. 1995. 1995. los estudiantes aprenden matemáticas construyendo activamente nuevos significados a partir de la experiencia y el conocimiento previos y. Bajo este enfoque del aprendizaje. Armella y Waldegg. junto con estudios sobre dificultades de aprendizaje de los conceptos relacionados con el azar. Esta concepción del aprendizaje de las matemáticas. Estas diferencias pueden
Educación Matemática. 1996. nctm. 1991. Guershon y Trgalová. núm. 21. a través de tareas que demanden a los estudiantes un pensamiento de alto nivel. 1998. emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de modo que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos. 1996. Kilpatrick. Las demandas de aprendizaje en un área concreta de contenidos surgen de la diferencia entre las ideas y formas de razonamiento de “sentido común” de los estudiantes y las de las matemáticas en un contexto escolar. que busca desarrollar en los estudiantes modos de pensar aplicables en múltiples contextos para analizar situaciones y tomar decisiones personales y colectivas basadas en la ciencia. Kapadia y Borovcnik. Desde esta perspectiva. 2006). también es adoptada en el modelo de evaluación del programa pisa (ocde. El tercer principio que guía el diseño de la propuesta se basa en el concepto de demanda de aprendizaje (Leach y Scott.
Significado dado. Requiere gran cantidad de trabajo mental de descubrimiento de estructuras en aparente desorden. 3. Ha sido suministrada toda la información que se requiere. No requiere esfuerzo. Requiere la autorregulación del proceso de pensamiento. Incertidumbre. El camino para la acción se encuentra completamente especificado con anterioridad.
130	Educación Matemática. Soluciones múltiples. Requiere esfuerzo. o deberse a concepciones alternativas en una determinada área (por ejemplo. No se conoce todo lo que se requiere para desarrollar la tarea. Involucra la aplicación de múltiples criterios que pueden entrar en conflicto entre sí. Solución única. en cada paso a dar. “el número de lotería 00 000 es menos probable que el 36 726”). El camino para la acción no se encuentra completamente especificado con anterioridad. Criterios sencillos. Caminos visibles. Certeza. cada una con costos y beneficios. El trabajo normalmente involucra ejercicios estándar tan simplificados que precisan poco esfuerzo mental. Hemos utilizado la noción de demanda de aprendizaje para concretar los objetivos específicos de la enseñanza de la teoría de la probabilidad en su interpretación frecuencial.
ser ontológicas (por ejemplo. Suele dar lugar a soluciones múltiples. entonces el suceso A es probabilísticamente independiente del suceso B”). El camino total no es mentalmente visible desde un único punto de vista. Criterios múltiples. Regulación externa. Se utilizan ejemplos estándar con caminos visibles. vol. Requiere la asignación de significado a una estructura que tiene aparente desorden. núm. Autorregulación. Juicios matizados e interpretación. “si el suceso A sólo puede ocurrir antes que el suceso B. diciembre de 2009
. o bien. 21. Se requiere la utilización de criterios sencillos que se encuentran bien definidos. El significado está dado o se supone. En muchas ocasiones es un tercero quien determina lo que debe hacerse en cada momento. No se espera ni juicio ni interpretación. Complejo. Existe una única solución posible. Asignación de significado. Pensamiento de bajo nivel Algorítmico.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Cuadro 1 Características de los pensamientos de alto y bajo nivel
Pensamiento de alto nivel No algorítmico. pueden deberse a asunciones epistemológicas (“la explicación es válida porque la gente entiende lo que estoy diciendo” frente a “las explicaciones matemáticas deben ser consistentes en lógica y consistentes entre sí”). El propósito es desarrollar las elaboraciones y los juicios involucrados.
Kahneman y Tversky. estos trabajos de investigación se refieren al Paradigma de Heurísticos y Sesgos como modelo teórico útil para estudiar en qué medida los estudiantes han adquirido competencia probabilística tras recibir su enseñanza. •	Insensibilidad al tamaño de la muestra: se considera que una pequeña muestra es suficiente para estimar el valor de la probabilidad de un suceso. 2001. Kahneman et al. encontramos en ellos ideas clave que pudimos utilizar en nuestro propio trabajo. Estrada et al. Díaz. 1997. 1999 y 2001. 1972. tras lanzar cuatro veces una moneda y obtener tres caras y una cruz. Hirsch y O’Donnell. Serrano et al. Así. Por ejemplo. nosotros
Educación Matemática. 1984. vol.. Godino et al.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
Investigaciones previas sobre dificultades de aprendizaje de la teoría de la probabilidad y su naturaleza Se consultaron algunos de los trabajos más relevantes acerca de las dificultades de aprendizaje de la teoría de la probabilidad (Batanero et al. Borovcnik et al.. Este paradigma describe diversos mecanismos y estrategias no probabilísticas. 1985 y 1992. diciembre de 2009	131
. 1988.. núm. Konold. 2005. Borovcnik y Bentz. Aunque la gran mayoría de estos estudios se refiere a niveles de enseñanza preuniversitaria.. 2007). 1996. 21. 1991. 3. Mostremos como ilustración tres ejemplos de interpretación incorrecta: •	Probabilidad como pronóstico: la probabilidad se suele interpretar como una expectativa hacia el resultado que se obtendrá en la próxima ejecución del experimento aleatorio. en vez de ser interpretada como una regularidad que sólo es visible en una gran muestra de observaciones. el número de lotería 22 222) que otra secuencia que no muestre simetría alguna (por ejemplo. 1998. Por esta razón. 1998. en consecuencia. Batanero y Díaz. El problema es que estas estrategias erróneas pueden resultar para los estudiantes más plausibles que las estrategias probabilísticas formales y. dificultar el aprendizaje de estas últimas. 1991. Borovcnik y Peard. el número 59 251). 1982. 2006.. que suelen ser utilizados por las personas cuando deben emitir algún juicio en situaciones de azar. Kapadia. interpretar erróneamente que p(CARA) = 3/4 y p(CRUZ) = 1/4. Lecoutre. Lecoutre y Durand. la mayoría de ellas ingenuas y de inspiración cotidiana. •	Heurística de representatividad: se considera menos probable una secuencia que presente cierta simetría fácilmente reconocible (por ejemplo. 1996.. 1991.
132	Educación Matemática. presentación de ejemplos de aplicación y realización de ejercicios. pero que usualmente estará definida de un modo no formal o estará insuficientemente definida. en vez de la comprensión relacional necesaria para aplicar el conocimiento probabilístico en la práctica. núm. epistemológicas y didácticas que.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
creemos que uno de los criterios más importantes que se deben utilizar para analizar el aprendizaje probabilístico consiste en investigar la persistencia de este tipo de razonamientos tras la enseñanza. 21. encontramos pruebas de que el modelo habitual de enseñanza de la probabilidad en la universidad tiene deficiencias estructurales. realizamos nuestro propio estudio en el nivel universitario (Guisasola y Barragués. Analizamos el aprendizaje logrado por los estudiantes tras recibir su enseñanza siguiendo el formato habitual en la universidad. 3. ¿Qué significa aprender la teoría de la probabilidad? Caracterizar qué es aprender la teoría de la probabilidad consiste en definir las capacidades (competencias) que los estudiantes deben adquirir para su aplicación en cierto contexto. 2006. cuáles soluciones se aportan y qué metodologías se utilizan. 2007a y 2007b). 2007a y 2007b. vol. 2006. Un problema es una situación de alta demanda cognitiva que se planteará de modo habitual en el entorno de trabajo de nuestros titulados. De este modo. el término problema alude a una situación que exige una solución satisfactoria. tras su formación universitaria. no resultan visibles los conceptos matemáticos relacionados con ella. estudiamos el significado actual del marco teórico de la probabilidad: en qué tipo de problemas se hace necesario el enfoque probabilístico. diciembre de 2009
. Así. en buena medida. Tras analizar la citada bibliografía. 2002a y 2002b. etc. Barragués y Guisasola. las citadas ideas erróneas acerca del modo de entender y estimar la probabilidad y adquiere un conocimiento meramente instrumental del cuerpo teórico. para definir en qué consiste la competencia probabilística.. Aquí. Barragués et al. exposición formal del marco teórico. 2005. se plantea en contextos multidisciplinares. Los resultados que obtuvimos sugieren que la mayoría de los estudiantes presenta. pueden explicar la pobreza del aprendizaje obtenido. Para ello nos basamos en la epistemología de las matemáticas y en las aplicaciones de la teoría de la probabilidad para la resolución de problemas de Ingeniería. Este análisis nos permitió definir la colección de indicadores de aprendizaje para describir si se ha logrado un aprendizaje con comprensión (véase el cuadro 2). esto es.
3. 4. Problemas mal o insuficientemente definidos.2. cuya interacción es demasiado compleja para que pueda ser determinada por unas pocas variables y por relaciones de causa/efecto. 4. Reconocer los conceptos probabilísticos elementales y proponer soluciones probabilísticas.
Educación Matemática. 4. 3.2. vol. 21. Interpretación de la solución probabilística. comprender las carencias de los modelos deterministas a la hora de estudiar fenómenos reales. deben reconocerse estos conceptos en: 3. Determinación del espacio muestral. si bien el enfoque probabilístico formal no niega necesariamente la existencia de mecanismos causales subyacentes. 3. 3. Cálculo combinatorio. Es decir: 3. Formulación de la hipótesis de equiprobabilidad. Saber por qué son necesarios los modelos probabilísticos.6.2.3. Definición formal del suceso.1. En particular. 4. 3. se adopta una posición según la cual se ignoran tales posibles mecanismos.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
Cuadro 2 Indicadores para valorar un aprendizaje con comprensión de la probabilidad
1. centrándose en las regularidades que ocurren en una serie de ensayos realizados en las mismas condiciones.3.7. Es decir. Formulación de la hipótesis de independencia. Es decir. 3.3. Entender las condiciones en las que existe una regularidad en la frecuencia relativa de un suceso. núm. diciembre de 2009	133
. 4.3. Entender la estrategia general que utiliza la teoría probabilística para la resolución de problemas.4.3. 4. 2. debe comprenderse que el modo en que se desarrolla un fenómeno real depende de una cantidad inconcreta de factores y contingencias. Realizar predicciones probabilísticas acerca de una población.1. Saber utilizar los aspectos procedimentales fundamentales relacionados con el cálculo de la probabilidad: 4.5. 3. En concreto. Situaciones alejadas del problema tipo. Situaciones en las que la intuición o el sentido común parezcan ser suficientes para proporcionar una solución.1. Cálculo de la probabilidad. 4. Conocer las estrategias particulares de resolución de problema y el alcance de las soluciones probabilísticas.
1997. 6. que claramente incide en la motivación del alumno. Boero y Parenti. diciembre de 2009
. Niss. 8. Las actividades de enseñanza fueron diseñadas con un doble objetivo. Ser capaz de reflexionar acerca del proceso de construcción de un marco teórico científico. 1996. proporcionarles una clara concepción de las tareas que se iban a realizar y dar sentido e interés al trabajo. el incentivo de los problemas propios de la especialidad es compatible con el planteamiento de una amplia variedad de situaciones adicionales. prácticamente nos obligó a incorporar en el programa de actividades situaciones problemáticas de Electricidad. No obstante. núm. 1996). vol. 1987. El diseño de las actividades incluye tanto las propias actividades como los objetivos didácticos y sugerencias para su implementación en el aula (Guisasola
134	Educación Matemática.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Cuadro 2 Indicadores para valorar un aprendizaje con comprensión de la probabilidad (continuación)
5. Por el otro. 7. al igual que la mayoría de los asuntos humanos. Schoenfeld. Grugnetti y Jaquet. Comprender el alcance y las limitaciones del marco teórico probabilístico para la resolución de problemas en el ámbito del azar. 3. capaces de hacer ver el carácter general de la teoría que se está desarrollando: juegos de azar.
Estrategias de enseñanza de la propuesta Hemos considerado las diferentes propuestas presentadas en la bibliografía para lograr un aprendizaje con comprensión. arranca de situaciones problemáticas y se desarrolla impulsada por la controversia y el debate. Basándonos en una perspectiva social constructivista del aprendizaje y en estrategias de enseñanza sobre resolución de problemas (De Guzmán. etc. Por un lado. también interesantes para el alumno. hemos diseñado una secuencia de enseñanza para apoyar la construcción de nuevos conceptos implicados en la teoría de la probabilidad en su interpretación frecuencial. captar una visión de la matemática que. Valorar positivamente la teoría de la probabilidad como marco útil para resolver pro-blemas. Este último aspecto. así como de búsqueda de soluciones a problemas. ayudar a los estudiantes a conocer sus carencias en el análisis de situaciones de azar. especialidad de Ingeniería de los grupos de alumnos con los que experimentamos nuestra propuesta. 21. de interés social. Emplear la simulación de modelos probabilísticos mediante computadora como medio de investigación acerca del significado de los conceptos y sus propiedades. situaciones cotidianas. 1996.
según la experiencia de los autores y la bibliografía. núm. no son tomados en consideración en los modelos analíticos usuales. Sólo se distingue un patrón claro en los histogramas inferiores de la figura 1. Las actividades se centran en la idea de que existen factores de naturaleza aleatoria que pueden influir en el modo como evoluciona un fenómeno real cualquiera (por ejemplo. vol. La unidad didáctica 3. La unidad didáctica 2. La frecuencia relativa de un intervalo [a. que hacen uso de una gran muestra de la variable (véanse indicadores de aprendizaje 2 y 6 en el cuadro 2). Para enfocar el trabajo. consta de 34 lecciones. puede llevar a lograr los objetivos fijados. 21. Esto no implica que el profesorado deba seguir estrictamente cada paso de la propuesta. consta de cuatro lecciones. Explicamos esta cuestión en la siguiente sección. Diseño de la secuencia de enseñanza y de las actividades Se organizó la secuencia de tareas en tres unidades didácticas. pero que puede comprometer el funcionamiento del circuito (véase indicador de aprendizaje 1 en el cuadro 2). La unidad didáctica 1. 2008). 3. Trabajando con histogramas.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
et al. consta de seis lecciones y contiene un acercamiento al concepto de frecuencia relativa de un suceso. diciembre de 2009	135
. cierta regularidad. que contiene actividades de introducción en las que se discute la problemática por abordar. el funcionamiento de un circuito eléctrico) y que. en ciertas condiciones. como resistencias.. “Buscando tendencias en variables aleatorias”. nos centramos en el hecho de que los valores reales de componentes de circuitos eléctricos. sino que cada actividad va acompañada de información acerca del tratamiento didáctico que. inductancias o condensadores. a lo largo de las cuales se construye el marco teórico de la probabilidad frecuencial y se muestra cómo pueden resolverse problemas simulando fenómenos aleatorios en
Educación Matemática. b] parece converger hacia un valor característico (probabilidad) a medida que el número de observaciones aumenta. Cada unidad didáctica se divide en lecciones que pueden completarse en una clase de 50 minutos. “La probabilidad”. sin embargo. “La complejidad del azar”. cada una de las cuales agrupa similitudes cualitativas a la hora de tratar la problemática estudiada. los estudiantes observan que los valores que toman las variables tienen un comportamiento que mantiene. tienen una oscilación imposible de predecir. En la figura 1 aparecen algunos histogramas que los alumnos elaboran y que les permiten observar la gran variabilidad de la frecuencia relativa de las pequeñas muestras.
la computadora.00
0.00 2.50 4.00 2.10 0. Algunas de estas dificultades se describen en el Paradigma de Heurísticos y Sesgos al que hicimos referencia en el apartado “Investigaciones previas…”.05 1.02 0.00 5.06 0.00 4.00 4. compatibilidad y equiprobabilidad. La figura 2 muestra el plan de trabajo seguido a lo largo de la unidad.00 6.10 0.50 4.00 2.50 5.50 6. vol. El resto de las dificultades de aprendizaje que aparecen en el cuadro 3 fueron identificadas durante la aplicación en el aula de versiones preliminares de la unidad didáctica. Un primer procedimiento de cálculo de la probabilidad de un suceso F en un espacio
136	Educación Matemática.50 5.00
0.50 3.50 3.00 5.00 3.50 3.04 0.50 6.00 2.50 5.00 6. mostrando que estamos obteniendo un marco teórico muy general para trabajar formalmente el azar (véase indicador de aprendizaje 8 en el cuadro 2).50 6. así como nuevas relaciones como la regla de Laplace (con la consiguiente necesidad del cálculo combinatorio) y las fórmulas de la probabilidad total y de Bayes.00 5.50 7.00 0.50 7.50 7.20 0.15 0.10 0.50 5. Se investigan las propiedades de la probabilidad y.00 3.00 0.50 7.50 2.50 2.50 2. Seguidamente nos centraremos en esta unidad.00 3. que cuenta con un mayor contenido teórico.15 0.00 5. Concretemos de qué manera aparecen los conceptos más importantes.25 0.08 0.12 0. mediante nuevas situaciones problemáticas. aparecen los conceptos de independencia.00 0. Se aplica todo ello a una gran variedad de situaciones de azar.00 1.50 6.00 4.14 0.05 0.00 6.05 1.20 0.00 4.50 4.20 0. 3.00 3. 21.00 1.50 3.50 2. núm.00 6.15 0.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Figura 1 Histogramas de la distribución de una variable continua a medida que aumenta el tamaño muestral
0. El cuadro 3 relaciona las demandas de aprendizaje con los indicadores de aprendizaje (véase el cuadro 2) y las previsibles dificultades de aprendizaje.50 4. diciembre de 2009
. Comenzamos adoptando la terminología de teoría de conjuntos para definir los diferentes resultados que pueden ocurrir al ejecutar un experimento aleatorio.
7. núm. nes a problemas (indicador 5). 3. Creencia irreflexiva en la equiprobabilidad de todos los sucesos elementales. No comprensión del significado de operaciones mediante sucesos. Emplear las simulaciones por computadora Dificultad para diferenciar el valor de la probabilidad y de experimentos aleatorios para estudiar el significado de los conceptos y buscar solucio. y en la que los significados tienen un carácter definitivo. Creencia de que un resultado que presenta una simetría es menos frecuente que otro en el que no se aprecia simetría alguna.
2.una estimación de éste obtenida mediante simulación. 21.
6. Estudiar los resultados que se obtienen bajo la hipótesis de equiprobabilidad. Comprender la conceptualización formal de independencia entre sucesos (indicadores 3 y 4). 4. Dificultades para asociar términos conjuntistas abstractos con términos que cuentan con fuerte referente intuitivo. Construcción de las expresiones generales de cálculo combinatorio (indicador 4). 3. Por ejemplo. vol. Aplicación de esquemas erróneos diferentes a los procedimientos formales para el recuento de casos.
Educación Matemática. Mostrar a los estudiantes una visión de la matemática en la que se arranca de situaciones problemáticas y se desarrolla impulsada por la controversia y el debate. Dificultades para relacionar las nociones intuitiva y formal de independencia entre sucesos y la expresión formal. —Frecuencia de aparición de sucesos que presentan simetrías o patrones. Visión de la matemática como una disciplina en la que fundamentalmente se trata de aprender procedimientos tipo. Comprender el concepto de probabilidad condicionada desde una interpretación frecuencial (indicadores 3 y 4). Comprender la conexión entre la probabilidad y la teoría combinatoria: regla de Laplace (indicadores 3 y 4). una interpretación causa-efecto de A/B se superpone a la interpretación frecuencial. No entender las condiciones de aplicación de cada una de las relaciones combinatorias. Dados los sucesos A y B. y que además es posibles participar en su construcción (indicadores 7 y 8). 8. “suceso contrario” y “complementario”. —Relación entre el número de sucesos elementales y la media de experimentos necesarios hasta obtener un suceso elemental determinado. 5.
Posibles dificultades de aprendizaje
Dificultades para operar con conjuntos.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
Cuadro 3 Demandas de aprendizaje para la unidad didáctica 3
Demandas de aprendizaje y su relación con los indicadores
1. (Indicador 4)
Dificultades para el manejo del software utilizado. diciembre de 2009	137
. Comprender la conceptualización formal del suceso como subconjunto de un espacio muestral (indicadores 3 y 4). codificados en un lenguaje simbólico.
de distribución de electricidad. etc. Se supone conocida la probabilidad individual de funcionamiento de cada uno de los siete nodos. p(1). Un ejemplo que utilizamos para ilustrar el nuevo problema es el de una red (de transporte terrestre. núm.Sk} (k £ n) ﬁ p(F) = p(S1) +…+ p(Sk)	(1)
Sin embargo.….Sn}.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Figura 2 Contenidos y secuenciación para la unidad 3: La probabilidad
Estudio de las secuencias aleatorias obtenidas bajo equiprobabilidad
Relación entre el número de resultados elementales y el número medio de pruebas hasta obtener un resultado determinado
Desarrollo de cuerpo teórico: Sucesos. Probabilidad de la unión de sucesos. p(7). de computadoras. vol. S2. el procedimiento 1 pronto se vuelve ineficaz si E tiene un gran número de elementos. Probabilidad condicionada Probabilidad total. diciembre de 2009
. S2. Sucesos incompatibles. 21.) como la que aparece en la figura 3. Fórmula de Bayes Hipótesis de equiprobabilidad: la regla de Laplace Aplicación a una gran variedad de situaciones Simulación por computadora
muestral E consiste en sumar las probabilidades de los sucesos elementales que lo forman. de información. pero ¿cuál es la probabilidad de que se pueda transferir información desde el punto a hasta el punto b? La solución pasa por expresar el suceso F = “existe un camino disponible entre a y b” mediante uniones e intersecciones de sucesos:
138	Educación Matemática.…. F = {S1. porque es muy trabajoso especificar los sucesos elementales que forman cada suceso F. Es decir: E = {S1. 3.….
valor hacia el que “converge” la frecuencia relativa de A. 21. no es fácil comprender estos significados a partir de la definición 3. lo cual lleva a la introducción de la probabilidad condicionada y del difícil concepto de independencia probabilística (Estrada et al. B2 = “blanca la segunda bola”. N1 = “negra la primera bola”. las soluciones son: i. Sin embargo. probabilidad de A en el subespacio muestral B. que aparece en la mayoría de los textos universitarios (Barragués y Guisasola. pero calculada sobre aquellas veces en las que ocurre B. Para ilustrar las dificultades de aprendizaje.. Si denotamos B1 = “blanca la primera bola”. tomemos uno de los enunciados que discutimos en clase (cuadro 4).José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
Figura 3 ¿Cuál es la probabilidad de que exista un camino disponible entre a y b?
2 6 (a) 1 3 4 5 7 (b)
F = 1«7«(((2»3)«6)»(4«5))	(2)
Sin embargo. 3. núm. vol. 2006). la idea 2 abre un nuevo problema.	p (B2/B1) =
ii. 2006): A y B son independientes ¤ p (A/B ) = p( A ) Û p (A/B ) = p(B ) Û p( A Ç B ) = p( A )p(B ) (3)
La definición formal 3.	p(B 2) = p (B 2ÇB1)È(B 2ÇN1) = p(B1)p (B2/B1) + p( N1)p (B2/N1) =
Educación Matemática. el de calcular la probabilidad de una intersección de sucesos. incluye los diferentes significados de p (A/B ) algunos de los cuales son: probabilidad de A recalculada a la luz de la nueva información B. diciembre de 2009	139
Al igual que Batanero y Díaz (2007. como medio capaz de ir más allá de las limitaciones de la mente. vol. Sin mirar el color y sin reemplazar la bola en la urna. esto es. 2). no existe conflicto. sabiendo que ha tenido lugar otro suceso (B2).Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Cuadro 4 Inofensiva situación probabilística que esconde importantes dificultades
Una urna contiene dos bolas blancas y dos negras. p. lo cual nos permite estimar la probabilidad del suceso F (véase la ecuación 2) mediante su frecuencia relativa y comprobar que el resultado obtenido coincide con el del modelo probabilístico teórico. porque B2 se sitúa después de B1 en el tiempo. Trabajamos con una simulación elaborada mediante Excel del funcionamiento de la red de la figura 3. Ahora se trata de calcular la probabilidad de un suceso (B1). Como indican Batanero y Díaz (2007. Borovcnik y Bentz. núm. 21. 2008. i. El suceso posterior no influye causalmente en el anterior. Por otra parte. En cambio. p. 2). sabiendo que la segunda ha sido blanca?
p ( B2/B1 ) =
p(B1ÇB 2) p(B 2)
p(B1)p ( B2/B1 ) p(B 2)
Al tratar de interpretar el significado de los valores calculados. 3. pero ambos sucesos son probabilísticamente dependientes. sabiendo que la primera ha sido blanca? ii. que ocurre más tarde. como en la cuestión i) se pide calcular la probabilidad del suceso B2 sabiendo que ha tenido lugar un suceso B1. nosotros empleamos tablas de doble entrada como recurso didáctico. diciembre de 2009
. p. lo cual se interpreta como absurdo si se confunde la independencia probabilística con la independencia causal. aprender y realizar actividades de resolución de problemas (Inzunsa. el apartado ii) es problemático y describe una situación conocida como fenómeno de Falk (Sáenz. 1998. también exploramos el uso de simulaciones por computadora como herramienta cognitiva (véase indicador de aprendizaje 5 en el cuadro 2). de ayudar a pensar. Sacamos al azar una bola. 1991). estimando las probabilidades a partir de las frecuencias absolutas de los sucesos involucrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola haya sido blanca. 6). sacamos una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea blanca. un conocimiento genuino de
140	Educación Matemática.
4. axiomático y frecuencial. vol.
Cuadro 5 Máquina bayesiana
Supongamos que participamos en un concurso en el que se trata de adivinar cuántas bolas blancas y negras hay en una bolsa. p ( Ci/S ) = p(CiÇS ) /p( S ) = p(Ci )p ( S/Ci) / p( S ) (6)
p( S ) = p (C 0)p ( S/C0) +p(C 1)p ( S/C1) + p(C 2) p ( S/C2) + p(C 3) p ( S/C3) +p(C 4)p ( S/C4)
Los estudiantes realizan las extracciones de bolas y los cálculos de (6) se automatizan con Excel. reintegra la bola a la bolsa y repite la misma operación varias veces. 1 N) y C4(4 B. 3 N). basada en la opinión personal acerca del fenómeno aleatorio que se está estudiando: la interpretación subjetiva. 4 N). 2001. 3. C1(1 B. Sólo sabemos que hay un total de cuatro bolas. Pero nótese que es necesaria una asignación inicial de p(Ci). quizá tengamos razones subjetivas para pensar que son menos probables los sucesos C0 y C4. núm. 2001. también hemos tenido en cuenta otras dificultades asociadas al uso de simulaciones por computadora (Countinho. lo cual puede lograrse combinando los enfoques clásico. que cobra una gran importancia
Educación Matemática. diciembre de 2009	141
. El presentador saca una bola de la bolsa.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
probabilidad sólo se alcanza con el estudio de la probabilidad formal. nos dice el color. i = 0. C3(3 B. Batanero. Considérese el enunciado del cuadro 5. Por ejemplo. a medida que se realiza una nueva extracción S (S  = “B” o S = “N”).…. C2(2 B. 9). ¿Optamos por equiprobabilidad. ¿cómo podríamos decidir cuántas bolas hay de cada color en la bolsa?
Denotando como C0(0 B. El concepto de probabilidad condicionada es todavía observado en el programa de actividades de esta unidad didáctica 3 desde una nueva óptica: la máquina bayesiana. 21. apoyado en la experiencia estocástica de los estudiantes. Además. p(Ci) = 0. p. 2 N). 0 N) los cinco posibles contenidos de la bolsa. Esto nos sugiere una novedosa interpretación de la probabilidad.2? No necesariamente. se trata de ir recalculando mediante la fórmula de Bayes (6) la probabilidad p(Ci) de cada posible contenido Ci de bolsa. Con estas informaciones.
2 0. p. la solución a que se llega consiste en simular valores de todas las variables aleatorias consideradas. p(C2) = 0. 2). no se debe renunciar a la enseñanza del teorema de Bayes y sus aplicaciones. La figura 4 muestra una posible evolución de p(Ci) obtenida en clase a lo largo de 30 extracciones. a pesar de su dificultad. núm. explorar el efecto que tiene sobre p(S) el modificar los diferentes parámetros del modelo (véase indicador de aprendizaje 5 en el cuadro 2). esto es. En concreto.4 0.1. 1).0 0. El marco teórico probabilístico que se ha construido en la unidad didáctica 3 permite abordar el problema que ha estructurado todo el trabajo. Dedicamos también diversas actividades para ayudar al alumno a superar ciertas ideas acerca del azar que son un obstáculo para el aprendizaje. p. puesto que es una herramienta fundamental para la formulación de inferencias (véanse indicadores de aprendizaje 3 y 4 en el cuadro 2). no se disponga de información frecuencial. simularlo un gran número de veces. Los alumnos observan la creciente verosimilitud del suceso C3/S y la “caída” del resto de las probabilidades. encontrar un modo de construir modelos matemáticos de fenómenos físicos complejos en los que estén involucradas diversas variables aleatorias. la creencia de que una secuencia de cierto tamaño obtenida al azar no
Figura 4 Una posible evolución de las probabilidades p (Ci/S )
p(c1) p(c2) p(c3) p(c4) p(c5) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 número de extracción
142	Educación Matemática. introducir estos valores en el modelo. diciembre de 2009
. Creemos que. 3. 2007. 21. estimar mediante la frecuencia relativa la probabilidad p(S) del suceso S en el que estemos interesados y. Ya que puede ser muy complicado o imposible obtener la función de densidad de probabilidad del modelo. p(C1) = p(C3) = 0.6 0. como también apunta Inzunsa (2008.7. vol.8 0.05.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
dada la incorporación de las aplicaciones de la estadística a todos los campos del conocimiento (Batanero y Díaz. por ejemplo. Este modo de entender la probabilidad es muy intuitivo y de gran interés en aquellas situaciones en las que. La composición real fue C3 y los valores iniciales p(C0) = p(C4) = 0.
El aprendizaje de los estudiantes fue evaluado desde la óptica de los indicadores mediante instrumentos muy diferentes. 1998. así ha sido (véase indicador de aprendizaje 3. 3. Sacadas de contexto. Así. 1998. Se discute en clase sobre una visión de la matemática en la que el inmovilismo cede terreno en favor del debate y la controversia. la simetría de la secuencia CXCXCXCX. sin embargo. Barragués y Guisasola.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
puede mostrar simetrías o patrones. un cuestionario de resolución de problemas en equipo. En concreto. Por ejemplo.. Leemos artículos sobre esta cuestión (Stewart. se utilizó un cuestionario individual escrito. 1998) acerca del auge. En esta unidad didáctica también realizamos actividades de lectura y comentario de artículos (Stewart. Las notas históricas que utilizamos muestran la naturaleza problemática de la manera como han evolucionado los conceptos relacionados con la probabilidad (véanse indicadores de aprendizaje 7 y 8 en el cuadro 2). aspecto inmerso en las relaciones entre la ciencia. en grandes masas de datos aleatorios simulados. diciembre de 2009	143
. a finales del siglo xviii. El primer cuestionario se aplicó también a un grupo de control para
Educación Matemática. y que el número de lotería 12 345 “debe aparecer con menor frecuencia que el 41 327”. 2007a). Gardner.3 en el cuadro 2). de la concepción determinista del universo y de los precursores de las ideas formales acerca del azar y la probabilidad. cualquier estructura que cuente con algún significado para ellos. 2006). buscando una convergencia en los resultados de todos ellos. la técnica y la sociedad que nos interesa resaltar (ocde. Metodología Muestra
y organización de la enseñanza
La secuencia de enseñanza que hemos descrito viene siendo implementada y evaluada desde el curso académico 2001-2002 con grupos de estudiantes (N = 35-50) de segundo curso de Ingeniería en la Universidad del País Vasco. 1990) y realizamos actividades de simulación con computadora (Barragués et al. se anima a los alumnos a descubrir. una entrevista en equipo sobre epistemología de la teoría de la probabilidad y un cuestionario individual sobre actitudes. puede conducir a pensar que “es mucho menos probable que la desordenada secuencia CCXXXCXC”. obtenida al lanzar ocho veces una moneda.3. 21. Paulos. 2007b. vol. puede parecer inverosímil que tales estructuras provengan del azar y. y se han obtenido resultados de aprendizaje similares en todos los cursos. núm.
. 21. quien cuidaba de tomar nota individualizada de las intervenciones. Todos los estudiantes tenían un perfil similar. porque el tipo de preguntas y el formato con el que se realizaron no era coherente con la dinámica de clase y los objetivos de enseñanza seguidos por los grupos de control. a fin de contar con criterios adicionales para reflejarlos en la evaluación del estudiante. el equipo defendía oralmente su trabajo ante el profesor. La implementación en el aula fue realizada por uno de los autores de este trabajo. 2005). etc. Después. Las restantes tres pruebas se aplicaron únicamente a los estudiantes del grupo experimental.
144	Educación Matemática.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
observar las diferencias obtenidas respecto al grupo experimental. como seguidamente se explicará.. el profesor recogía el informe que debía elaborar cada equipo y lo evaluaba desde la óptica de los indicadores de aprendizaje (cuadro 2). 3. Barragués et al. Los estudiantes del grupo de control recibieron su enseñanza a cargo de profesorado que contaba con amplia experiencia docente. b) superaron el mismo examen de matemáticas para ingresar en la universidad. y c) fueron sometidos al inicio del curso a un cuestionario de probabilidad que ya hemos validado mediante otras investigaciones sobre comprensión de la probabilidad (Guisasola y Barragues. vol. ejemplos. quedaban a cargo del equipo para ser investigadas y resueltas fuera del horario de clase (enseñanza no presencial). 2002a y b. En este artículo presentamos los resultados obtenidos con una muestra de 46 estudiantes experimentales y 60 de control. ejercicios de aplicación más o menos inmediata y uso de computadora para la automatización de cálculos. Una vez finalizada cada unidad didáctica. Cada estudiante trabajaba en el programa de actividades que se ha descrito en los apartados anteriores.. según la secuenciación habitual: presentación formal de conceptos y propiedades. lectura de artículos. problemas adicionales. Algunas de las actividades del programa. núm. porque: a) habían recibido en su enseñanza secundaria al menos un curso de matemáticas que incluía una introducción a la probabilidad y la estadística. Los estudiantes que siguieron la enseñanza experimental estaban organizados en clase en equipos de tres o cuatro personas que colaboraban entre sí y con otros equipos en las actividades propuestas. participaba en las discusiones y tomaba nota de la puesta en común que posteriormente dirigía el profesor.
Las respuestas de los estudiantes fueron analizadas por los autores y por otros dos profesores del Departamento de Matemática Aplicada. a partir de protocolos cuyos criterios de corrección fueron previamente discutidos. 3. cada equipo debía realizar un informe con los resultados obtenidos y las justificaciones para lograr dichos resultados. El objetivo del ítem 2 es detectar el sesgo de equiprobabilidad. que eran resueltas en equipo de trabajo. razonando que aparecen factores aleatorios que intervienen en la definición de una trayectoria específica de la bola que hacen imposible su predicción exacta. La segunda prueba (cuestionario 2 del anexo) se diseñó con la intención de profundizar en las explicaciones de los estudiantes experimentales y contrastar hasta qué punto se habían producido logros en los indicadores de aprendizaje. o bien. Se valoran positivamente las respuestas que propongan una solución en términos de los parámetros p(R). En cada tarea se realizaron grabaciones a 6 de los 13 equipos de
Educación Matemática. expliquen que no es posible calcular la probabilidad pedida porque la probabilidad de cada uno de los estados del semáforo es desconocida. También se considera correcta una respuesta que formule de manera explícita la hipótesis de equiprobabilidad de cada uno de los cuatro estados del semáforo y obtenga correctamente la solución numérica (0. El ítem 1 persigue detectar la preeminencia del pensamiento causal sobre el probabilístico. en situación de examen. p(AF). Al finalizar la tarea. tratar de estimar o calcular la probabilidad de cada orificio. y se opta por un enfoque probabilístico.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
La primera prueba para ambos grupos de estudiantes consistió en aplicar un cuestionario de preguntas de tipo abierto con énfasis en los niveles de comprensión de las ideas y de la complejidad de los razonamientos. esto es. núm. El cuestionario se aplicó a los estudiantes al finalizar el cuatrimestre. p(AI). diciembre de 2009	145
. Se valoran positivamente aquellas respuestas en las que se emplea correctamente el concepto de suceso intersección. El cuestionario 1 del anexo contiene parte de las preguntas. El objetivo del ítem 3 es detectar una concepción de la probabilidad según la cual la probabilidad de que un elemento A pertenezca a cierta población S se estima atendiendo solamente a la experiencia personal acerca de A y de S (heurístico de representatividad). Se valora positivamente si no se acepta la solución propuesta en el enunciado. Se presentaba a los estudiantes situaciones problemáticas de especial dificultad. vol. p(V). 21.5). Seguidamente se explican los objetivos de los ítems y los criterios de evaluación empleados.
Valoramos positivamente una respuesta que indique que una muestra de seis elementos no es significativa para tomar una decisión probabilística acerca de la afirmación p(regalo) = 0. valoramos positivamente que se reconozca la dependencia probabilística entre los sucesos AS1 y AS2. 198). vol. Se presentaban diversas afirmaciones y los estudiantes debían valorar de 0 a 10 su grado de acuerdo con cada una. es decir. elegidos al azar. núm. independientemente del tamaño muestral. 21. 3. para observar los comentarios de los estudiantes desde el inicio de la tarea hasta la realización del informe. Se calcula el número de respuestas consideradas como correctas e incorrectas en el grupo experimental (a y b) y en el de control (c y d). La cuarta prueba consistió en un cuestionario de opinión sobre los contenidos que se habían trabajado y la manera de trabajarlos. con el objetivo de observar la perspectiva general que habían adquirido acerca de la teoría de la probabilidad y de la construcción de un marco teórico científico. diciembre de 2009
. debe reconocerse
1 el concepto de probabilidad condicionada y calcularse el valor p ( AS1/AS2 ) = . p. se utiliza el test chi-cuadrado que se describe a continuación (Viedma. Análisis
El análisis de la primera prueba se basa en métodos convencionales de comparación del número de respuestas correctas entre los grupos experimental y de control. En el ítem 5. Luego debe obtenerse correctamente el valor de p(AS1) modificado a la luz del nuevo dato. se establece la hipótesis nula H0 = “El número de respuestas correctas es estadísticamente independiente del método de enseñanza empleado”. se calcula el valor E del estadígrafo de prueba chi-cuadrado:
146	Educación Matemática.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
trabajo. 3
La tercera prueba (cuestionario 3 del anexo) consistió en una entrevista a 6 de los 13 equipos. Para decidir en cada ítem si existen diferencias estadísticas significativas entre ambos grupos. elegidos al azar. 1990.5. El ítem 4 trata de detectar en las explicaciones de los alumnos la creencia de que la probabilidad de un suceso es siempre aproximadamente igual a la frecuencia relativa.
entonces el valor calculado E es una observación de una variable aleatoria chi-cuadrado con un grado de libertad. las expectativas y las actitudes positivas de los estudiantes hacia la enseñanza-aprendizaje de las ciencias disminuye a lo largo del curso académico. vol. 3.05 (nivel de significación de 95%). como señala la investigación.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
(ad . A lo largo del análisis.bc) (a + b + c + d) (a + b)(a + c)(b + d)(c + d)
Si la hipótesis nula H0 es cierta.. ya que. junto con su metodología de aplicación en el aula. En la cuarta prueba se utilizaron métodos convencionales de análisis de una prueba Likert (Sierra. 1984). si p < 0. logra que los estudiantes adquieran una mayor capacidad de razonamiento probabilístico que una enseñanza convencional.
Educación Matemática. 21. En la segunda y tercera pruebas se han analizado los informes y las conversaciones grabadas para valorar los razonamientos y argumentos empleados por los estudiantes. Resultados Los resultados parecen mostrar pruebas de que esta secuencia de enseñanza. las categorías previas fueron matizadas y reformuladas de acuerdo con los resultados obtenidos (Ericsson y Simon. Las discusiones han sido literalmente transcritas a un protocolo y el análisis de éste se ha realizado tomando como referentes las categorías de respuestas que se encontraron en trabajos de investigación anteriores sobre dificultades de aprendizaje de la probabilidad (Barragués et al. 2006 y 2007a). se considera que el número de respuestas correctas obtenidas en el ítem depende del método de enseñanza empleado. se calcula el valor p de probabilidad de que una variable aleatoria chi-cuadrado con un grado de libertad tome un valor mayor que E (nosotros empleamos la hoja de cálculo Excel). El análisis de los datos refleja el aprendizaje logrado por los estudiantes al utilizar la secuencia de enseñanza en la Escuela Universitaria Politécnica de la Universidad del País Vasco. poniéndolos en la situación más desfavorable para la evaluación de la enseñanza impartida. es decir. Este cuestionario fue contestado por los estudiantes al final del curso. diciembre de 2009	147
. entonces se rechaza la hipótesis nula H0. Pensamos que los instrumentos utilizados en esta investigación son válidos para la evaluación de la propuesta innovadora que presentamos y para su comparación con la enseñanza habitual. 1995). núm.
Respuesta clasificada como correcta (ítem 4) Seguramente. El ejemplo 2 muestra una respuesta correcta para este ítem.4 Grupo de control (N = 60) 16. 21. núm. premios/Núm.4 16. Cuanto mayor sea la muestra. 3.
Cuadro 6 Resultados obtenidos para los ítems del cuestionario 1
% de respuestas correctas Número de ítem y conceptos relacionados Grupo experimental (N = 46) 67. más se aproximará el valor de la frecuencia al estimado por la empresa. se concluye que existen diferencias significativas a favor del grupo experimental entre los porcentajes de respuestas correctas. 50% de los paks tendrán premio. Procedimientos probabilísticos. Concepción determinista del azar. p(premio) = Núm.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
El cuadro 6 muestra los porcentajes de respuestas correctas obtenidos por ambos grupos de alumnos en los ítems del cuestionario 1.016
Respecto al ítem 4 de la segunda prueba (cuestionario 2). paks. Sesgo de equiprobabilidad.0 P
Ítem 1. Como se desprende de este análisis. con una confianza mayor que 95%.
<<0. no necesariamente para una pequeña muestra. Ítem 3.4 58. El ejemplo 1 muestra una respuesta correcta para este ítem. 10 de los 13 equipos de alumnos del grupo experimental han propuesto soluciones correctas.0 E (valor del estadígrafo chi-cuadrado) 53.01 <<0. diciembre de 2009
.1 80. Respecto al ítem 5.7 60.4 36. 12 de los 13 equipos de alumnos del grupo experimental hacen referencia al pequeño tamaño de la muestra y/o a que el valor de 50% se verifica a largo plazo. vol.01 0.
148	Educación Matemática. Heurística de representatividad. Ítem 2. pero hemos tomado una muestra muy pequeña. También aparece el valor E del estadígrafo chi-cuadrado obtenido de los citados porcentajes y el valor p de la probabilidad de que una variable aleatoria chi-cuadrado con un grado de libertad tome un valor mayor que E. Ejemplo 1.7 10.
sí que afecta saber cuál es la segunda carta. Puesto que tenemos que pensar que el experimento no lo hacemos una vez sino muchas veces. puesto que la probabilidad varía. Nos piden la condicionada A1/A2
p (A1/A2 ) =
p (A1ÇA2 ) p (A2)
p (( A2ÇA1 ) È ( A2ÇR1))
p (A1ÇA2 )
[Indica mediante flechas que las intersecciones son de sucesos dependientes y que la unión del denominador es de sucesos incompatibles. Tres de los informes emplean razonamientos incorrectos que no relacionan el análisis del problema con la probabilidad condicionada. 3.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
Ejemplo 2. 21. a)	Falso. hemos comprobado el resultado. núm. c)	Verdadero. vol.]
= p( A1)p (A2/AS1 ) ö æ ÷ ç p( A1)p (A2/A1 ) + p( R1)p (A2/R1 ) ø è =
(1/3 )(1/2 ) = 1/3 < 1/2 ((1/3 )(1/2 ) + (2/3 )(1/2 ))
A largo plazo. El resultado de extraer la segunda carta varía. diciembre de 2009	149
. La probabilidad es 1/3. Cuando tomamos la primera carta tomamos como subíndice un 1 y cuando tomemos la segunda es un 2. b)	Falso. El ejemplo 3 muestra un fragmento de grabación en el que los alumnos se equivocan en la aplicación de las relaciones de cálculo de la probabilidad y no reconocen que el valor que
Educación Matemática. Respuesta clasificada como correcta (ítem 5).
vol. aunque estén muy alejadas de la tecnología de fabricación de circuitos eléctricos (ítems 2 y 4 del cuestionario 4) y distinguen entre “fenómeno real” y “modelo” (ítem 3). si sólo se va a producir uno. en la que se refieren a la necesidad de los modelos probabilísticos (cuestionario 3). porque tomas los componentes y tienes la seguridad de que. Equipo: Cuando un ingeniero va a trabajar en un sistema mecánico o eléctrico o en una composición de diferentes sistemas. Ejemplo 4.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
debe calcularse es el de p (AS1/AS2 ). todos los equipos de trabajo parecen haber adquirido una perspectiva global correcta de la problemática tratada por la teoría probabilística y del tipo de soluciones que aporta. han definido correctamente la problemática que los ha ocupado. no existe problema. La conclusión incorrecta obtenida termina siendo “el resultado de la segunda carta no afecta a la primera”. Por ejemplo. diciembre de 2009
p( As1) = p( As1)p (As2/As1) + p( As1)p (no As1/As1 ) = (1/2)(1/3) + (1/2) (2/3) =1/2
El resultado de la segunda carta no afecta a la primera. Hipótesis: “Equiprobabilidad” As1 = (As1«As2) »(As1«no As2) [Señalan con flechas que las intersecciones lo son de sucesos dependientes y la unión de incompatibles. han coincidido en señalar un problema como origen de un trabajo de investigación científica. Respecto a la tercera prueba (cuestionario 3). perciben problemas parecidos en otras situaciones reales. desde el punto de vista de factores aleatorios
150	Educación Matemática. 3. Respuesta clasificada como incorrecta (ítem 5). pero no parece ser como consecuencia de una interpretación causal del enunciado sino de un incorrecto cálculo de la probabilidad. núm. El ejemplo 4 muestra un fragmento de entrevista. Ejemplo 3. Fragmento de entrevista a uno de los equipos. 21.
cuando se van a producir en masa. ¿cuál es el comienzo de una investigación científica? Equipo: Dar solución a un problema. Entrevistador: ¿Qué clase de regularidad encontramos cuando analizamos masas de datos?
Educación Matemática. Respecto a las cuestiones relativas al concepto de frecuencia relativa. Pero los sistemas. Los alumnos parecen haber entendido que un aumento del tamaño muestral no conlleva necesariamente una mayor proximidad de la frecuencia relativa a la probabilidad. diciembre de 2009	151
.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
como tolerancias. Ejemplo 5. Existen otras variables muy difíciles de manejar. El ejemplo 5 muestra un fragmento de entrevista. Entrevistador: Pero tenemos unas ecuaciones que nos dicen cómo funciona el circuito. no produces un circuito. Ésa es una variable aleatoria que puede perjudicar el comportamiento que tú has deseado. Hay que cuantificar el efecto de cada una de esas variables. te puede funcionar. no tienes la seguridad de que cada componente vaya a estar en el intervalo que te hace falta. vol. Entrevistador: En otros problemas. Algunas variables serán más manejables que otras. sino muchos. están sometidos a muchos factores aleatorios. se refieren a la necesidad de repetir el experimento en las mismas condiciones y a la de tomar una muestra amplia para que sea visible la estabilidad en las frecuencias relativas (ítem 6). su estabilidad es señalada por todos los equipos de trabajo como el punto donde se observaron regularidades en las masas de datos con las que trabajaron. ¿no? Equipo: Es una forma de modelar el circuito sin tener en cuenta otras variables que pueden afectar el circuito. ¿creéis que existirán dificultades parecidas? Equipo: Pienso que se debe dar en todo tipo de problemas. Hemos visto que aparecen unas distribuciones que se pueden estudiar. Coinciden también en señalar que el significado del término “muestra amplia” es relativo al propio experimento y que experimentalmente obtuvieron un tamaño muestral que parecía ser suficiente en cada caso. en la que se refieren a la frecuencia relativa (cuestionario 3). Entrevistador: Y desde un punto de vista general. núm. Fragmento de entrevista a uno de los equipos. 3. 21. aunque no sean de circuitos eléctricos.
mediana = 7) y que se percibe un clima de cooperación en clase (media = 6. moda = 7. diciembre de 2009
. desviación típica = 1. los estudiantes tienen dificultades para valorar la importancia del tamaño de la muestra a la
152	Educación Matemática.3.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Equipo: Medimos muchos valores. los dados. mediana = 7). muchas resistencias o muchos condensadores. Por ejemplo. moda = 7. 21. Entrevistador: ¿Se os ocurre algún ejemplo en el que podemos esperar ya una estabilidad para muestras no muy grandes? Equipo: Por ejemplo. Entrevistador: ¿Qué se necesitaba para obtener esa estabilidad? Equipo: Muchos datos y las mismas condiciones. Entrevistador: ¿Cómo definimos la probabilidad a partir de la estabilidad de la frecuencia relativa? Equipo: Es el valor al que tienden las frecuencias relativas. desviación típica = 1. desviación típica = 1. Entrevistador: ¿Y cuál es la diferencia entre ambos experimentos que hace que el tamaño de la muestra deba ser tan diferente? Equipo: El espacio muestral de la lotería es mucho mayor que el de los dados.2. mediana = 6). Si se ve que tiende hacia un valor fijo… depende del experimento. Conclusiones El uso competente de los conceptos relacionados con la concepción frecuencial de la probabilidad es problemático para una proporción significativa de estudiantes universitarios. que el método utilizado proporciona buenas condiciones para aprender (media = 7. moda = 6. Entrevistador: ¿Y un experimento para el que sean necesarios muchos más datos para encontrar estabilidad en la frecuencia relativa? Equipo: La lotería. vol. no. vimos una estabilidad de la frecuencia relativa en cada intervalo. núm. el cuestionario de actitudes muestra que los alumnos experimentales creen que los objetivos perseguidos son interesantes (media = 7. Hicimos un histograma.3.4. incluso tras recibir la enseñanza. 3.3.1. Finalmente. Entrevistador: ¿Pero qué son muchos datos en general? ¿Qué número? ¿1 000? ¿5 000? Equipo: Igual para un experimento sí será y para otro.
Aunque el currículo señale cuáles teorías y conceptos se deben enseñar. pero también fueron capaces de enfrentarse y resolver nuevos problemas de mayor demanda. el profesor tiene una fuerte influencia en el modo como se enseñan. como investigadores en temas de currículo. asumen de manera irreflexiva la equiprobabilidad de todos los sucesos elementales asociados a un experimento aleatorio y confunden el concepto de independencia probabilística con el de independencia causal. de hecho. p.
Educación Matemática. donde está extendida la idea de que la enseñanza es una actividad simple para la que bastan conocimientos científicos. se han mostrado pruebas de que los estudiantes experimentales fueron capaces de resolver mejor los ejercicios estándar utilizados en la enseñanza tradicional. ante situaciones reales de azar. El primero trata sobre el contexto escolar universitario donde se ha implementado. 2002. Por ello. nos hemos preocupado de preparar una guía del profesor que acompaña a cada unidad didáctica y que detalla los objetivos y aspectos didácticos de cada actividad propuesta a los alumnos. El objetivo de esta guía del profesor no es recoger un “solucionario” de los problemas ni una “receta” de aplicación.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
hora de estimar la probabilidad de un suceso. la implementación y la evaluación de una secuencia de enseñanza para introducir los conceptos probabilísticos elementales. 3. En este estudio hemos descrito el diseño. mediante la nueva metodología de enseñanza. Ha sido necesario. queremos resaltar dos aspectos. no había pérdida en el conocimiento que se lograba con la enseñanza tradicional. Acerca de ella. núm. de acuerdo con las restricciones mencionadas. el cual ha sido un contexto rígido. Nos hemos visto restringidos por el programa marcado en el plan de estudios y el reto ha sido introducir cambios en la metodología de enseñanza en este contexto. sentido común. A estas dificultades se suma la tendencia a utilizar. realizar una distribución muy cuidadosa del tiempo disponible y mostrar que. diciembre de 2009	153
. en principio no muy favorable a la innovación educativa. sino proporcionar al profesor previsiones de las dificultades que encontrará en su aplicación y las posibles dificultades de los estudiantes. 3). experiencia y algunos complementos sobre educación (Campanario. Estas previsiones se basan en los resultados de la investigación didáctica y en nuestra experiencia en el aula como profesores. argumentos de inspiración cotidiana que pueden entrar en contradicción con los argumentos probabilísticos formales. vol. Los objetivos de aprendizaje de la enseñanza tradicional son una parte de nuestros indicadores de aprendizaje (véase indicador 4 en el cuadro 2) y. El segundo aspecto que queremos resaltar es el papel desempeñado por el profesor. 21.
cuando se trabaja con la metodología y las restricciones de contexto escolar mencionadas. expliquen la metodología de enseñanza. Por estas razones. como aparece en la siguiente figura:
154	Educación Matemática. La nueva metodología de enseñanza parece contribuir también a generar actitudes positivas hacia la probabilidad como marco útil para resolver problemas y proporcionar a los alumnos una visión más ajustada del proceso de construcción de un marco teórico científico. 3. los objetivos didácticos de cada actividad y las previsiones para su implementación en el aula.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
A pesar del limitado ámbito en el que hemos aplicado la secuencia de enseñanza. Tu amigo Borja es muy aficionado a los experimentos físicos. Anexo. en el razonamiento probabilístico y en la aplicación de todo ello para la resolución de problemas. No se dispone de ejemplos documentados de buena práctica docente que proporcionen datos para realizar cambios en el temario y en la metodología de enseñanza. en la universidad española. Te ha llamado para hablarte del último que tiene entre manos. vol. La mejora en la competencia matemática observada también se concreta en un retroceso en el uso de las concepciones alternativas acerca del azar y la probabilidad. Nuestra experiencia nos indica que. sostenemos que es “mejor” que la propuesta de enseñanza tradicional para alcanzar los indicadores de aprendizaje (véase el cuadro 2). 21. diciembre de 2009
. Sobre un panel vertical ha clavado algunos clavos. no existen muchos materiales curriculares que. Prueba individual escrita (grupos experimental y de control).
de razonamiento probabilístico
Ítem 1. Instrumentos de evaluación Cuestionario 1. núm. Se han proporcionado pruebas de una mejor comprensión de la probabilidad en su interpretación frecuencial. con sus correspondientes guías. creemos que el diseño y la evaluación de secuencias de enseñanza deberían constituir una de las líneas de investigación relevantes de la enseñanza de las matemáticas.
21. el peso y diámetro de la bola y las características del material con que está fabricada. diciembre de 2009	155
.5	c) La probabilidad es:	b) La probabilidad es 0. vol. Su idea es emplear todos estos datos y los principios y leyes de Física sobre choques y movimiento de objetos para calcular la trayectoria que seguirá la bola en su caída y así poder predecir en qué agujero entrará. núm. Se trata de que lo aconsejes de la siguiente manera: 1. Borja no ve claro cómo ponerse en marcha. ambar fijo o ambar intermitente.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
Cuando se deja caer desde la parte superior.	Explícale los pasos más importantes que piensas que habría que dar para resolver el problema. Item 2. Explícale qué te parece ese enfoque. Ha medido con mucho cuidado la posición de los clavos. la bola rebota por los clavos y termina en alguno de los agujeros de la parte inferior.75 d) No puedo calcular la probabilidad
Educación Matemática.	Te ha explicado su modo de enfocar el problema. Lo que intenta Borja es predecir cuál será el agujero en el que entrará la bola. cuáles leyes físicas emplear y cómo hacerlo. 3. verde. Por eso te ha pedido ayuda. El semáforo que regula el tráfico en cierto cruce puede encontrarse en uno de los cuatro estados siguientes: rojo. ¿Cual es la probabilidad de que en un instante determinado el estado del semáforo sea rojo o verde? a) La probabilidad es 0. 2. Sin embargo.
la organización asegura que la mitad de los packs de 12 botellas trae premio (peluches parlantes de miembros de la familia Simpson). vol.
156	Educación Matemática. c)	Ambas situaciones tienen la misma probabilidad.	R. Con la esperanza de colocar a Bart.5. igual o menor que 0. la probabilidad de que salga as es idéntica a la probabilidad de que salga rey (esto es. Prueba
para trabajo en equipo
Ítem 4. brillante. 1972). R. la probabilidad de que la primera carta haya sido un as sigue siendo 0. Por tanto. Pues bien. de entre las tres cartas restantes sacamos otra y esa sí la descubrimos y resulta que es un as. Naturalmente. Y resulta que sólo uno de ellos ha traído premio. Las colocamos boca abajo y las revolvemos.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la universidad
Item 3. abierta. M. Homero y Lisa sobre tu mesilla. Durante una promoción de Coca-Cola. (Adaptado de Kahneman y Tversky. a)	La situación 1 es la más probable. universitaria y muy interesada en las cuestiones sociales. si ahora sacamos una carta al azar. La pregunta es: ¿hay en realidad menos de 50% de packs con premio? Ítem 5. extraemos una carta al azar.5. núm. soltera. trabaja en un banco. b)	La probabilidad de que la primera carta haya sido un as es ahora mayor que 0. diciembre de 2009
.	R. Sobre la mesa tenemos cuatro cartas: dos ases y dos reyes. Luego. b)	La situación 2 es la más probable. 0.5). la probabilidad de que la primera carta haya sido un as ¿es ahora mayor. has comprado seis packs de Coca-Cola. pero la apartamos sin mirar qué carta es. M. 21.5? a)	A la primera carta no le afecta el resultado de extraer una segunda carta. ¿Cuál de las situaciones (1 o 2) te parece más probable? 1. M. d)	Otra respuesta:
Cuestionario 2. Según este segundo resultado. 2. es una persona joven. trabaja en un banco y es miembro de una Organización No Gubernamental (ong). 3.
Cuestionario 3.	¿En qué condiciones aparecían estas regularidades? 7. hay diEducación Matemática. desde ahí.	Encontramos que las frecuencias relativas son estables en ciertas condiciones.	¿En qué condiciones podemos emplear la regla de Laplace? 14.	¿Existe alguna diferencia en la frecuencia con la que aparecen. vol.	Si el tamaño de la muestra crece. ¿Qué obtuvimos? 11.	Pero.	¿Y cuál ha sido nuestro punto de partida? 3.	Entonces. Entrevista
en equipo para valorar la perspectiva general
de la teoría probabilística que se ha adquirido. Pero. sin embargo. los números 11 111 y 35 204? ¿Cada cuántas veces aparecen esos números en término medio? 12.5.	¿Qué relación existe entre la combinatoria y la teoría de la probabilidad? ¿Por qué nos interesa saber cómo efectuar recuentos? 13. aunque no sean de diseño de circuitos. por ejemplo. si es que las secuencias aleatorias tienen un “aspecto típico”. por ejemplo. ¿es seguro que la frecuencia relativa estará más próxima a la probabilidad? 10.	Nosotros empleamos la computadora para observar cuál era el “aspecto” de una secuencia aleatoria.José Ignacio Barragués Fuentes y Jenaro Guisasola Aranzabal
c)	La probabilidad de que la primera carta haya sido un as es ahora menor que 0.	Estáis acostumbrados a que los conceptos matemáticos tengan cierta interpretación establecida que uno debe entender.	Nos pusimos a estudiar colecciones de datos.	¿Es útil la interpretación frecuencial de la probabilidad en todas las situaciones donde exista el azar? ¿Qué otras interpretaciones pueden darse a la probabilidad? 15. ¿Qué clase de organización o regularidad descubrimos? ¿No os parece sorprendente que el azar pueda mostrar regularidades? 6.
1. ¿cómo llegamos al concepto de probabilidad? 9. 21. valores reales de resistencias. Y. 3.	Y en otros problemas. ¿a qué llamamos “muestra amplia”? ¿Quizá a 1 000 datos? ¿5 000? 8. ¿creéis que nos encontraremos con dificultades parecidas? 5. diciembre de 2009	157
. núm. ¿no tienen ninguna utilidad las ecuaciones diferenciales que predicen cómo se comportará el circuito si lo montamos? 4.	¿Cuál pensáis que es el punto de partida de una investigación científica? 2.
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