Source: https://es.scribd.com/doc/32956716/Logica-Proposicional-Semantica
Timestamp: 2017-05-25 08:47:01+00:00

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a b 1ª 2ª 3ª 4ª I0 I1 I2 I3 0 0 1 1 0 1 0 1
C b 1 1 0 0
d b 1 0 1 0
e . 0 0 0 1
f  0 1 1 1
g  1 1 0 1
h | 1 0 0 1
Ambos cuadros expresan la misma idea, en el primer caso enunciando una regla; en el segundo consignando los valores en forma tabular. Ahora estamos en condiciones de analizar la fórmula expresada más arriba. ((pq).(qr))(pr) 1 0 0 0 1 0 La subfórmula ³pq´ tiene antecedente verdadero y consecuente falso. El resultado de esta combinación de valores para el condicional es 0, como puede verse en la tercera fila de la tabla (más exactamente 3ª fila, columna g). Para la subfórmula ³qr´, los valores son 0 y 0, y el resultado es 1 (1ª, g). Y, por último, para ³pr´ el resultado será el mismo que para ³pq´, dado que los valores para las letras son los mismos. Siguiendo esquemáticamente lo razonado: 1) ((pq).(qr))(pr) 2) 1 0 0 0 1 0 3) ( 0 . 1 )  0 4) 0  0 5) 1 En el paso (3) hemos introducido los valores que calculamos en el párrafo anterior. En el paso (4) calculamos los valores para la conjunción que figura como antecedente del condicional. En (5), por último, obtenemos el valor para la conectiva de mayor alcance; en este caso, un condicional. Hemos mostrado que, para los valores que la función de interpretación dada asigna a cada una de las fórmulas atómicas, la fórmula en cuestión es verdadera. Podemos representar estas ideas de forma un poco más sistemática. VECTOR DE INTERPRETACIÓN Considerando a las letras de enunciado en orden alfabético podemos usar vectores de interpretación. Por ejemplo, si queremos especificar la interpretación que dimos, para la fórmula analizada, deberíamos proceder así: p q r I(1, 0, 0) En la parte superior del vector mostramos el orden en que deben interpretarse los valores que figuran dentro. Dado que hemos establecido convencionalmente el orden alfabético prescindiremos en lo sucesivo de especificaciones de ese tipo. Así, para nuestra fórmula del ejemplo, el vector de interpretación ³I(0, 1, 1)´, dice abreviadamente que interpretemos las fórmulas atómicas como sigue: I(p)=0; I(q)=1; I(r)=1. Y cuando utilizamos la notación: ³I(x1, x2,«,xn)=[0, 1]´, establecemos que para
los valores xn (que puede ser 0 o 1) de las fórmulas atómicas, el valor de la fórmula molecular es el que se especifica a continuación del signo ³=´. En el ejemplo que hemos dado tenemos que: ³I(1, 0, 0)=1´. Una ventaja de la notación que hemos asumido es la posibilidad de utilizar la numeración binaria (con ceros y unos) y su aritmética para introducir orden en las distintas interpretaciones posibles. Veamos como hacerlo. Para comenzar debemos asignar un valor numérico a cada posición dentro de un vector de interpretación. Como es sabido, en el sistema de numeración binario a cada posición dentro de una expresión numérica le corresponde una potencia de la base 2 (dado que el sistema tiene dos caracteres). Nos servimos de este principio de la siguiente manera: Es decir: I(2n,«, 22, 21, 20) I(2n,«, 4, 2, 1) (para una cantidad n de fórmulas atómicas)
La primera posición de la derecha vale 1, la que le sigue hacia la izquierda vale el doble, es decir 2, la que le sigue 4, y sucesivamente. Dado cualquier vector de interpretación, podremos asignarle un número entero que será el resultado de sumar los valores de aquellas posiciones en los que aparezca un 1. Por ejemplo, dadas n fórmulas atómicas, podremos asignarles a algunos de sus vectores de interpretación ciertos números enteros de acuerdo con la pauta que se detalla en la siguiente tabla: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª Vector I(0,«, 0, 0, 0) I(0,«, 0, 0, 1) I(0,«, 0, 1, 0) « I(0,«, 1, 1, 1) « I(1,«, 1, 1, 1) Suma 0+«+0+0+0 0+«+0+0+1 0+«+0+2+0 « 0+«+4+2+1 « 2n+2n-1+«+4+2+1 Nº 0 1 2 « 7 « ?
La tabla que hemos dado depende de los siguientes supuestos: que todos los valores del vector en la primera fila son ceros, y que los correspondientes de la última son unos; además, que todos los valores desconocidos (indicados por los puntos suspensivos) son ceros en las filas segunda, tercera y quinta. Más adelante veremos cómo obtener sistemáticamente todos los valores para una determinada cantidad de fórmulas atómicas. TABLAS DE VERDAD Podemos querer calcular el valor que una fórmula tiene para cada una de sus posibles interpretaciones. Existe un procedimiento mecánico consistente en: a) agotar todos los casos posibles, b) disponerlos en forma tabular y, c) resolver la fórmula. Se construye para ello una tabla de verdad. Cada una de sus filas es una posible combinación de valores de verdad o interpretación. Sabemos por el principio de bivalencia que cada enunciado puede ser verdadero o falso. Si tenemos, por ejemplo, una fórmula compuesta por dos fórmulas atómicas ( , ) existen sólo las siguientes posibilidades: a) ambas verdaderas, b) verdadera una y falsa la otra, c) falsa aquella y verdadera ésta, d) ambas falsas. Expresado en forma tabular:
I0 0 I1 0 I2 1 I3 1 Si tenemos tres fórmulas atómicas ( , ,
0 1 0 1 ) la cuestión se complica un poco más:
I0 0 0 0 I1 0 0 1 I2 0 1 0 I3 0 1 1 I4 1 0 0 I5 1 0 1 I6 1 1 0 I7 1 1 1 Sabiendo que los valores de verdad posibles son dos, y que el número de fórmulas atómicas de una fórmula molecular es n, podemos utilizar el teorema fundamental del conteo 1 para determinar el número de combinaciones posibles que será igual a 2n. El número resultante corresponde a la cantidad de filas que tendrá la tabla de verdad de la fórmula. Como se ha visto en los ejemplos, para dos oraciones el número es 22=4, y para tres 23=8. Una vez que disponemos de todos los posibles valores de verdad, entonces podemos comenzar a resolver la fórmula del caso. Comenzamos con las conectivas de menor alcance, progresando hacia aquellas más abarcadoras, teniendo en cuenta, claro está, la semántica de conectivas. Veamos a continuación un ejemplo. Tomemos la siguiente fórmula y su árbol: (((pq).(brs))((r.s) | (ps)))  ((bq.p)  (r.s)) ((pq).(brs))((r.s) | (ps)) (pq).(brs) (pq) p q (brs)
(bq.p)  (r.s) (bq.p)
(r.s) | (ps) (r.s) r s p (pvs) s
(r.s) p r s
r Y la tabla de verdad correspondiente es:
El teorema fundamental de conteo dice lo siguiente: Sean E 1, E 2,..., E k, una sucesión de k hechos. Si para cada i, puede ocurrir el hecho Ei de mi maneras, la cantidad total de formas en que todos los hechos pueden tener lugar es el producto m1 m2 ... mk . En nuestro caso, cada Ei es una oración, que sólo puede ocurrir de dos maneras, como verdadera o como falsa, y por lo tanto m=2 para cada Ei. De ahí que la cantidad de formas en que pueden combinarse los valore de verdad de las oraciones de una fórmula sea 2k.
I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 I11 I12 I13 I14 I15
q 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
r 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
s (((pq) . (brs))((r . s) | (ps))) 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 ((bq . p)  (r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
. s)) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Como vemos en la tabla, partimos del extremo de las ramas del árbol constructivo, que son las oraciones atómicas, y les asignamos todos los valores de verdad posibles. A las que se encuentran bajo los símbolos de las oraciones atómicas les llamamos columnas de referencia, pues en ellas estipulamos los valores que tomamos en cuenta para resolver la fórmula (en el ejemplo son aquellas que van desde la segunda a la quinta, encabezadas con las letras p, q, r y s, respectivamente). Establecemos primero los valores para las conectivas de menor alcance, y luego para las que les siguen en orden creciente. Cuando finalizamos estas operaciones hemos encontrado el valor de la fórmula completa para cada posible combinación de valores de sus componentes. El resultado quedará expresado en la columna que se encuentra bajo la conectiva de mayor alcance, que por ello se llamará: columna de resultado. Es un procedimiento efectivo: puede utilizarse para resolver cualquier fórmula bien formada mediante un número finito de operaciones. Sin embargo, el método presenta un inconveniente. A medida que crece el número de fórmulas atómicas componentes la cantidad de filas requeridas se hace cada vez más grande y las tablas correspondientes se vuelven engorrosas. De acuerdo a la ecuación que dimos antes necesitamos una tabla de 32 filas para 5 fórmulas atómicas. Si aumentamos una, necesitamos una tabla de 64 filas, y 128 con solo añadir otra. Para muchas fórmulas atómicas puede ser más efectivo el uso de otros métodos. Observación. Procedimiento para armar las columnas de referencia: En la primera columna: asignamos ceros a la primera mitad de filas y unos a la segunda. En la segunda dividiremos en cuatro. La primera mitad de filas tendrá, a su vez, una mitad de ceros y otra de unos; otro tanto haremos para las filas restantes. Siguie ndo la misma pauta progresaremos, teniendo en cuenta que la última columna de referencia debe alternar unos y ceros para cada par de filas adyacentes. Véanse los ejemplos dados arriba. TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS.
En la columna de resultado de una tabla de verdad podemos obtener tres cosas distintas: a) todas las filas tienen el valor 0; b) todas las filas tienen el valor 1; c) algunas filas tienen el valor 0 y otras el valor 1. Si la fórmula es falsa en todos los casos, entonces es insatisfacible y decimos, también, que es una contradicción. Cuando es siempre verdadera se denomina tautología. Si, por otra parte, es verdadera al menos para una interpretación (osea, para alguna fila de su tabla de verdad) la fórmula es satisfacible. Una fórmula que es verdadera al menos de una interpretación, y falsa de también de alguna otra podemos denominarle contingencia. Las tautologías y las contradicciones son de especial importancia para la lógica. Siempre es posible determinar si una fórmula es tautológica, contradictoria o contingente, usando para ello tablas de verdad. A continuación damos una serie de tautologías importantes (más adelante agregaremos otras): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
 (Idempotencia para p, o ley de identidad). b (Ley del tercero excluido). b ( .b ) (Principio de no contradicción). (b  )  (Ley de Clavius). b (  ) (Ley de Duns Scoto). ((  ) ) (Ley de Peirce). ((  ). ) (Modus ponens). ((  ).b )b (Modus tollens).
EQUIVALENCIA LÓGICA Decimos que dos fórmulas son lógicamente equivalentes si sus valores de verdad son iguales para cada interpretación posible. Sean dos fórmulas , , y representemos la relación de equivalencia utilizando el símbolo ³´:
 sii para toda interpretación I ocurre que I( )=I( ).
La equivalencia suele confundirse con el bicondicional. Pero el bicondicional es una conectiva para construir fórmulas en el lenguaje objeto, mientras que la equivalencia es una relación entre fórmulas del lenguaje y que se enuncia en el metalenguaje. La confusión viene alimentada por la existencia de una relación estrecha entre ambas: dos fórmulas son equivalentes si y solo si componen un enunciado tautológico cuando se las liga mediante un bicondicional. De acuerdo con esto podemos enunciar la definición anterior en los siguientes términos.
 sii para toda interpretación I ocurre que I( | )=1.
Sabemos que un bicondicional sólo es verdadero cuando los valores de verdad de las fórmulas que lo componen tienen el mismo valor de verdad (ambas verdaderas o ambas falsas). Cuando una fórmula tautológica tiene al bicondicional como conectiva principal está claro que las subfórmulas que lo flanquean tienen los mismos valores de verdad para cada interpretación.
Podemos extraer de lo dicho un procedimiento para probar equivalencia: dadas dos fórmulas , , para saber si son equivalentes podemos construir la fórmula ³ | ´ y desarrollar la tabla de verdad correspondiente para ver si obtenemos una tautología. Podemos dar un ejemplo de lo que hemos dicho. Consideremos las equivalencias conocidas como leyes de DeMorgan: a) la negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones; b) la negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.
b ( . ) | (b 1 1 1 1 1 1 0 1
b ) 1 1 1 0
b(  ) | (b 1 1 0 1 0 1 0 1
.b ) 1 0 0 0
Propiedades de la relación de equivalencia: La equivalencia entre fórmulas es una relación de equivalencia, como tal cumple con las tres propiedades que definen a este tipo de relaciones: Para cualesquiera fórmulas , , : 1. Reflexividad:  . 2. Simetría: si  entonces  . 3. Transitividad: si  y  , entonces  . El principio de sustitución: Entre fórmulas equivalentes se cumple el principio de sustitución salva veritate: si reemplazamos, dentro de una fórmula dada, una subfórmula cualquiera por otra subfórmula equivalente a ésta, obtenemos una fórmula equivalente a la primera. Sean las fórmulas , , : Si: 1. es una subfórmula de . Representamos este hecho como . 2.  . Entonces: 3. Donde
. es el resultado de sustituir por en .
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS CONECTIVAS A continuación damos algunas equivalencias que nos resultarán útiles. Ley de la doble negación: - bb  Idempotencia: .    Conmutatividad: .  .
   |  | Advertencia: el condicional NO es conmutativo. Asociatividad: - ( . ).  .( . ) - (  )  (  ) Distributividad: .(  )  ( . )( . ) ( . )  (  ).(  ) Leyes de DeMorgan: - b( . )  (b b ) - b(  )  (b .b ) Omisión de paréntesis: - ( . ).  .( . )  ( . . ) - (  )  (  )  (   ) Observación: - Obsérvese que sólo vale para las expresiones en donde las conectivas son de un mismo tipo. - Convengamos en llamar a las expresiones del tipo ³( 1. 2«. n)´ cláusulas conjuntivas; y a las de tipo ³( 1 2« n)´ cláusulas disyuntivas. Elementos distinguidos: absorbentes y neutros. - Absorbentes: .0  0 1  1 - Neutros: .1  0  Observación: - Basta con que uno de los componentes de una cláusula conjuntiva sea falso para hacer falsa a toda la cláusula. - Una cláusula disyuntiva es toda ella verdadera si al menos uno de sus componentes es verdadero. - La presencia de componentes verdaderos no afecta a las cláusulas conjuntivas, ni la de componentes falsos a las cláusulas disyuntivas (los componentes pueden desaparecer sin modificar los valores de verdad de la fórmula). Verdad para el condicional: 1  1 - 0  1 Definiciones: Es posible expresar la misma función que expresa una conectiva en términos de otras conectivas. En la siguiente tabla exploramos algunas de estas posibilidades2:
Pueden probarse construyendo tablas para cada equivalencia postulada. Pruebas analíticas se dan en el Cap. 8 de Badesa, Jané y Jansana (1998).
Expresión  | .  b(  ) b( | )
Def1 b  (  ).(  ) b( b )   .b ( .b )(b . )
Def2 b( .b ) ( . ) ( b .b ) b(b b ) b ( b .b ) b(b  ) b(  )b(  )
SATISFACIBILIDAD Dado un conjunto de n fórmulas { 1, 2,«, n} es satisfacible si, y solo si, existe al menos una interpretación I de las fórmulas atómicas que las componen que hace verdadera a cada una de las n. En otras palabras: todas y cada una de las fórmulas del conjunto deben ser verdaderas bajo dicha interpretación. Obsérvese que el conjunto { 1, 2,«, n} será satisfacible cuando la fórmula compuesta ³ 1. 2« n´ sea satisfacible. Una forma de probar satisfacibilidad es, entonces, componer una fórmula que contenga la conjunción de todas las fórmulas del conjunto y desarrollar la tabla de verdad correspondiente. Por ejemplo, dado el conjunto {pq, brs, bsp} podemos probar que es satisfacible dando la tabla de verdad de ³(pq).(brs).(bsp)´. Pero un poco de reflexión nos ahorrará trabajo: cuando I(p)=0 y I(s)=1 las tres fórmulas del conjunto serán verdaderas, sin que importen los valores asignados a ³q´ y ³r´. Un vector de interpretación puede consignar este resultado de la siguiente manera: ³I(0, q, r, 1)=1´. (Compruébese mediante una tabla de verdad que, para cada interpretación donde ³p´ es falso y ³s´ es verdadero, el resultado es uno) Tomemos un segundo ejemplo: evaluar {pq, qr, p.br}. Un sondeo previo mostrará dificultades para encontrar una interpretación que haga verdadera a todas las fórmulas. Veamos la tabla correspondiente a la conjunción: p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 pq 1 1 1 1 0 0 1 1 qr 1 1 0 1 1 1 0 1 p.br 0 0 0 0 1 0 1 0 Conjunción 0 0 0 0 0 0 0 0
Para cada fila, es decir, para cada interpretación, al menos una de las fórmulas es falsa. Y, por ello, la conjunción de ellas también lo es. El conjunto es insatisfacible.
ANALISIS VERITATIVO-FUNCIONAL Vamos a estudiar una técnica de análisis de fórmulas que, si bien incorpora la pauta de pensamiento propia de las tablas de verdad, no presenta los problemas propios de éstas (concretamente, que tienden a hacerse excesivamente voluminosas a medida que incorporan mayor cantidad de letras enunciativas). Puede decirse que es una manera estratégica de recorrer una tabla de verdad, de forma que nos permite reconocer ciertas propiedades lógicas de las fórmulas sin necesidad de desarrollar la tabla completa. La idea se debe al eminente lógico y filósofo norteamericano Willard v. O. Quine. Lo que nos interesará, en casi todos los casos, es saber si un determinado conjunto de fórmulas son tautológicas o no. Este método puede aplicarse luego para determinar la validez de razonamientos dados. Aunque es particularmente útil para mostrar que un razonamiento no es válido. Para ello basta con encontrar un contraejemplo: es decir, una interpretación bajo la cual las premisas de un razonamiento son todas verdaderas, pero su conclusión no. La técnica consiste en interpretar las letras proposicionales sustituyéndolas, en cada aparición, por los signos 1 (por verdadero) y 0 (por falso). Luego calculamos el valor de verdad de la fórmula completa. Se denomina resolución al proceso de establecer los valores de verdad de la totalidad de una fórmula. Además de la obviedad de la sustitución de b1 por 0, y de b0 por 1, se deben seguir las siguientes: REGLAS DE RESOLUCION: (i) si '1' aparece como componente de una conjunción, suprímasela. En una conjunción si uno de sus componentes es verdadero, el valor de verdad de la conjunción dependerá de sus otros elementos. Por lo tanto, a los fines del análisis veritativo puede prescindirse del componente en cuestión. (ii) si '0' aparece como componente de una disyunción, suprímasela. La razón es análoga a la anterior: la verdad de la disyunción dependerá de la verdad de los otros componentes. (iii) Redúzcase toda conjunción que tenga un '0' como componente a '0'. El cero es elemento absorbente para la conjunción. (iv) Redúzcase toda disyunción que tenga el '1' como componente a '1'. El uno es elemento absorbente para la disyunción. (v) Elimínese el '1' como antecedente de cualquier condicional en que aparezca. Cuando el antecedente es verdadero, el valor de verdad del condicional dependerá del valor de verdad de su consecuente. (vi) Redúzcase todo condicional que tenga un '0' como antecedente, o un '1' como consecuente, a '1'. Por definición del condicional, es verdadero si tiene antecedente falso o bien consecuente verdadero. (vii) Si un condicional tiene un '0' como consecuente, redúzcase todo el compuesto a la negación del antecedente. Un condicional con consecuente falso será también falso si su antecedente es verdadero: su valor de verdad será el mismo que el de negar el antecedente. Pero si el antecedente es falso toda la expresión es verdadera y, una vez más, equivalente a negar el antecedente.
Elimínese el '1' como componente de cualquier bicondicional. Si el otro componente es verdadero se mantendrá el valor del bicondicional; si es falso también; por lo tanto, no perdemos nada eliminando el componente verdadero. Si un bicondicional tiene un '0' como componente, suprímaselo y niéguese el otro lado. El bicondicional será falso cuando el componente restante sea verdadero: negándolo mantenemos el valor de verdad. Lo mismo ocurre cuando el bicondicional es verdadero.
La expresión de estas reglas puede resumirse de forma más gráfica, cosa que hacemos en el siguiente esquema: REGLAS DE ANÁLISIS VERITATIVO FUNCIONAL: (i) .1 = 1. = (vi) a. 1 = 1 (ii) 0 = 0 = b. 0 = 1 (iii) .0 = 0. = 0 (vii) 0 = b (iv) 1 = 1 = 1 (viii) |1 = 1| = (v) 1 = (ix) |0 = 0| =  RESOLUCIÓN Dada la fórmula: : ((p.q)r)((rp).(rq)) Queremos averiguar sus valores cuando p y r sean verdaderos, pero q sea falso. Dado el orden alfabético p, q, r, el vector que representa lo que deseamos saber será: I(1, 0, 1). Reemplazamos estos valores en la fórmula y resolvemos:
1) ((1.0)1)((11) (10)) 2) ( 0 1)( 1  0 ) 3) 1 ( 0 ) 4) 10 5) 0 (iii), (v) (iv), (iii) (vii)
En consecuencia, para la fórmula dada, I(1,0,1)=0. Por un procedimiento similar podemos conocer los valores que se obtienen de una fórmula para cualquier interpretación de las variables que la componen. Veamos a continuación algunos ejemplos. En todos los casos queremos saber si la fórmula dada es tautológica o no. Si encontramos una combinación de valores para los cuales la fórmula completa es falsa, entonces habremos encontrado un contraejemplo. Con ello queda probado que la fórmula no es tautológica. Si todos los caminos de resolución nos conducen a la verdad de la fórmula (el resultado es 1 en todos los casos) entonces demostramos que es una tautología. Ejemplo 1: : pp(pq) Si p=0
1) 0(0q) 2) 0( ) 3) 1 (vi)
[Nota: dejamos en blanco el espacio entre paréntesis para demostrar que lo importante es, en este caso, la consideración que hacemos del antecedente del condicional, sin importar mucho lo que hay en el consecuente. Esto es sólo a título didáctico]
Hemos establecido que cuando I(0, q), es decir cuando interpretamos ³p´ como falso y ³q´ verdadero o falso indistintamente, el resultado de la fórmula completa es 1. Es decir: I(0, q)=1, o bien, con más precisión: I(0, 0)=1 y I(0, 1)=1. Si lleváramos el control de lo que hemos probado hasta aquí en una tabla, obtendríamos lo siguiente:
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1
Todavía no sabemos cuales son los valores para la fila 2 y 3 de la tabla. Para averiguarlo hacemos: Si p=1:
1) 1(1q) 2) 11 3) 1 (iv) (vi)
Lo cual prueba que los casos de la tabla que restaban considerar también resultan verdaderos: I(1, q)=1. La fórmula es una tautología. Es conveniente utilizar las tablas de posibilidades veritativas mientras nos familiarizamos con la mecánica de la resolución. Allí podemos llevar el control de las posibilidades que vamos descartando. Ejemplo 2: : p(p.q) Si p=0:
1) 0(0.q) 2) 1 (vi).
Por lo tanto: I(0, q)=1. Si p=1:
1) 1(1.q) 2) 1.q 3) q (v) (i)
La ventaja del análisis veritativo funcional es que mientras progresamos obtenemos fórmulas más simples, cuyas propiedades lógicas son más patentes. En el caso que nos ocupa sólo nos ha quedado una variable. Ello significa que podemos interpretar a q´ como falsa, encontrando nuestro contraejemplo. Sabemos entonces que I(1, q) tendrá el valor que tenga ³q´, y por lo tanto nuestro contraejemplo será I(1, 0). Podemos comprobarlo reemplazando dichos valores en la fórmula y resolviendo:
Si p=1 y q=0:
1) 1(1.0) 2) 1( 0 ) 3) 0 (iii) (v)
Compruebe, haciendo la tabla de verdad correspondiente, que la interpretación I2 (tercera fila) hace falsa a la fórmula. Para probar que una fórmula no es una tautología basta con que obtengamos cero para cualquier interpretación. Allí podemos detenernos, enunciando el vector que especifica los valores para los cuales la fórmula es falsa (el vector contraejemplo). Veamos un ejemplo un poco más complejo: Ejemplo 3: : ((pq).p)q Si p=0:
1) ((0q).0) q 2) 0 q 3) 1 (iii) (vi)
I(0, q)=1; y por lo tanto I0 y I1 de la tabla correspondiente son verdaderas. Si p=1:
1) ((1q).1)q 2) (( q ).1)q 3) qq 4) 1 (v) (i) (por tautología).
En el último caso hemos llegado a una fórmula que es verdadera sin importar como interpretemos a sus componentes. Toda fórmula de la forma p , es decir que el condicional tiene como antecedente y como consecuente la misma subfórmula, es una tautología (siempre da 1). Podríamos haber continuado desde el paso (3) de la siguiente forma, para comprobar lo que hemos dicho:
3¶) qq
Si q=0:
4¶) 0q 5¶) 1 (vi)
Pero si q=1:
4¶¶) q1 5¶¶) 1 (vi)
De cualquier modo el resultado es 1 (También para I2 y I3). Hemos probado que es una tautología. CASOS NOTABLES En la resolución podemos ahorrarnos mucho trabajo si tenemos en cuenta ciertos casos especiales. Podemos dividirlos en tres clases fundamentales: Contradicciones notables:
a) Conjunciones en las cuales alguno de sus componentes aparece afirmado y negado. Una fórmula del tipo .b es siempre falsa. Y las conjunciones como: ³bq p qr´, o también ³(p q).b(p q)´, etc. b) Bicondicionales del tipo |b . Por ejemplo: ³p|bp´, o también ³(pr)|b (pr)´. Tautologías notables: a) Disyunciones en las que aparece un mismo componente afirmado y negado. Las fórmulas del tipo  siempre son verdaderas. Por ejemplo: ³p qrp s´. b) Condicionales o bicondicionales en los que ambos lados sean idénticos. Es decir, fórmulas del tipo: | , o  (caso del que nos aprovechamos en el último ejemplo). Casos de idempotencia a) Disyunciones en las que se repite una subfórmula (atómica o molecular):  es equivalente a . Esta equivalencia nos permite eliminar repeticiones de una misma subfórmula en la disyunción. Por ejemplo: ³p p´ y ³pp « p´ son equivalentes a ³p´ solo; ³p qr p´ es equivalente a ³p qr´; ³(p. q) (p.q)´ es equivalente a ³(p.q)´. b) Conjunciones en las que se repite una subfórmula (atómica o molecular):  es equivalente a . La justificación, y ejemplos análogos a los de la disyución, valen también para la conjunción. Advertencia: sólo podemos simplificar de esta manera en conjunciones y disyunciones. Cuando en el proceso de resolución llegamos a una fórmula que ya sabemos que es tautológica, podemos reemplazarla directamente por 1 (como hemos hecho en el ejemplo 3). Si, por el contrario, llegamos a una contradicción notable, podemos reemplazarla por 0. Resumen: ANÁLISIS V-F: CASOS NOTABLES. CONTRADICCIONES TAUTOLOGÍAS  = 1 .b = 0  =1 |b = 0 | =1 Ejemplo 4: : ((pq).(qr))(pr) Como ya sabemos por la metodología de resolución mediante tablas de verdad, para tres variables las valuaciones posibles serán ocho (I0-I7) Si p=0
1) ((0q).(qr))(0r) 2) ( 1 .(qr)) 1 3) 1 (vi) (vi)
IDEMPOTENCIA  =  =
Luego: I0-3(0, q, r)=1.
Si p=1
1) ((1q).(qr))(1r) 2) (q.(qr))r (v)
No nos queda más por resolver, y necesitamos seguir asignando valores: Si q=0:
3) (0.(0r))  r 4) ( 0 )r 5) 1
I4,5(0, 0, r)=1. Pero si q=1:
3¶) (1.(1r))  r 4¶) rr 5¶) 1 (i), (v) (Por tautología)
Por lo tanto, I6,7(0, 1, r)=1: es tautología. Podemos visualizar los recorridos del ejemplo 4 de la siguiente manera: ((pq).(qr))(pr) ((0q).(qr))(0r) ((0q).(qr)) 1
((1q).(qr))(1r)
(0.(0r))r 0r 1 (q.(qr))r (1 .(1r))r r r 1
Obtenemos en todos los casos 1.
Ejemplo 5: Del esquema dado al final del ejemplo anterior podemos extraer la idea de un algoritmo de resolución.3 Queremos saber si el conjunto de premisas {E1...En} permiten deducir la conclusión F: Premisas: E1 : pp q
E2: rpq
E3: spq
Conclusión: F: (prs)pq
[(pq).(rq).(sq)][(prs)q] [(0q).(rq).(sq)][(0r s)q] [1.(rq).(sq)][(r s)q] [(rq).(sq)][(rs)q] [(r0).(s0)][(rs)0] [(r 1).(sq)][(rs)1] (b r.bs)b (rs) [1.(sq)]1 (b 0.bs)b (0s) (b 1.bs)b (1 s) 1 b sbs 0b1 1 1 [(1q).(rq).(sq)][(1r s)q] p=1 [q.(rq).(s q)][1q] [q.(rq).(sq)]q [0.(r 0).(s0)]0 [1.(r1).(s1)]1
0p0 1 1
Y como todos los caminos llevan al 1 probamos que la forma de razonamiento es válida. RESUMEN: ANÁLISIS V-F: ALGORITMO DE QUINE
Es un procedimiento efectivo para determinar si una formula es tautológica. Consta de los siguientes PASOS: Dada la fórmula base: b) Si ya asignó el valor 1 a la última variable 1. Reemplace la primera variable en orden interpretada: alfabético por el valor 0. ) Si no hay nodos abiertos, fin del algoritmo: es tautología. 2. Resuelva utilizando las reglas de análisis V-F. ) Si hay nodos abiertos: retroceda a la Obtendrá alguno de los siguientes resultados: fórmula que contiene la penúltima variable a) Un 0 (Fin del algoritmo: no es tautología. interpretada y vuelva al paso (4.a) Enuncie el vector contraejemplo). b) Un 1. (Salte al paso 3). NOTA: decimos que queda un NODO ABIERTO c) Una fórmula más breve (sin ceros, unos, ni la cuando no hemos probado el valor 1 para alguna última variable interpretada). Aplique al variable a la que previamente le asignamos 0. resultado las acciones desde el paso (1). REGLAS DE ANÁLISIS V-F: 3. Si obtuvo un 1: (i) .1 = 1. = (vi) a. 1 = 1 a) Si NO ha asignado el valor 1 a la variable (ii) 0 = 0 = b. 0 = 1 que está considerando, hágalo y vuelva al (iii) .0 = 0. = 0 (vii) 0 = b paso (2). (iv) 1 = 1 = 1 (viii) |1 = 1| = (v) 1 = (ix) |0 = 0| = b
Un algoritmo es una sucesión ordenada de acciones elementales que permiten obtener, de manera mecánica, una solución para un tipo específico de problemas. Un ejemplo es el algoritmo de la adición que se enseña en aritmética elemental.
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