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Timestamp: 2018-10-17 20:16:08+00:00

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Trabajo Calculo Continuidad
TEORIA 01 Límite y Continuidad
Integración Teoria y Tecnicas Miguel de Guzman Baldomero Rubio
CD_U2_EA_MAAM
Calculo de límites
ejercicios continuidad
Solución a guia derivadas3.pdf
09_Limites,continuidad_y_asintotas.pdf
otoro sanin siya
Resumen de Las Topologias de Redes Hibridas
A mi familia, profesores y compañeros que me han ayudado durante mi etapa
“Tended a ser un poco aprendices de todo, para vuestro
bien, y maestros en algo, para bien de los demás”.
(Pedro Puig Adam)
“La buena didáctica es aquella que deja que el
pensamiento del otro no se interrumpa y que le permite,
sin notarlo, ir tomando buena dirección.”
0. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA………....…………. 4
1. ANÁLISIS DE CONTENIDO………………...……………………………………………... 6
1.1. DESARROLLO HISTÓRICO DEL TEMA…………………………………………….. 6
1.2. ESTRUCTURA CONCEPTUAL………………….…………………………………… 12
1.3. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN………………….…………………………... 15
1.4. FENOMENOLOGÍA DEL TEMA Y MODELIZACIÓN………………………….. 20
2. ANÁLISIS COGNITIVO………………………………………………..………………. 24
2.1. EXPECTATIVAS…………………………………………………………………… 24
2.2. EJEMPLIFICACIÓN DE TAREAS DESDE LOS OBJETIVOS
Y LAS COMPETENCIAS…………………………………………………………... 28
2.3. ERRORES Y DIFICULTADES PREVISIBLES EN EL DESARROLLO
DE LA UNIDAD DIDÁCTICA…………………………………………………..... 29
3. ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN……………………….................................................. 33
3.1. GRADOS DE COMPLEJIDAD DE LAS TAREAS………………………………. 33
3.2. RECURSOS Y MATERIALES DIDÁCTICOS………………………………….... 34
4. DESARROLLO DE LA U.D: LÍMITES Y CONTINUIDAD…………………………. 35
4.1. CONTENIDOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA……………….. 35
4.2. SECUENCIACIÓN Y ORGANIZACIÓN DE LAS TAREAS
DE LA U.D. GESTIÓN DEL AULA…………………………………………….. 39
4.3. DESARROLLO DE LA SECUENCIA DE TAREAS DE LA U.D……………... 41
5. EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES DE LA U.D…………………………………. 59
6. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD…………………..………………………………. 60
.63 ANEXO II: ANÁLISIS DE ALGUNAS TAREAS QUE INTERVIENEN EN LA U.……………………………...D SEGÚN LOS INDICADORES USUALES…………………………………….D…….7. 65 3 ....61 ANEXO I: MODELO DE EVALUACIÓN DE LA U. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………..
Corresponde a los poderes legislativos y de gobierno del estado. 4. el primero a nivel político y administrativo. Objetivos y competencias básicas. Artículo 6) La planificación del currículo escolar se realiza desde dos niveles de responsabilidad.0. (LOE. Metas de progresiva dificultad que se marca a los alumnos en función de su nivel de competencia y en función de los resultados del aprendizaje que se debe esperar de ellos. contenidos. procedimientos y actitudes. competencias básicas en su caso. que le corresponde al Estado y a la comunidad autónoma. contenidos. secuencia. métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada una de las enseñanzas reguladas”. (LOE. Título V. En otras palabras. en este caso. Metodología. metodología y evaluación-:  Aspectos básicos del currículo y enseñanzas mínimas. corresponde 4 . 3. Proceso. Artículo 120) Los elementos básicos que integran el currículo sobre los que hay que tomar decisiones previas en una programación de la enseñanza son los siguientes: 1. en relación con la consecución de los objetivos y de la adquisición de las competencias básicas. 2. competencias básicas. Capítulo III. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA. Contenidos. Modelos de enseñanza. Título preliminar. Evaluación. Es el primer nivel de concreción. el Estado y el Parlamento andaluz deciden en la redacción de leyes qué elementos conceptuales y culturales deben ser objeto de trabajo escolar y los docentes debemos decidir de qué manera vamos a trabajar en nuestros centros y aulas dichos elementos. Andalucía. enfoques prácticos. Capítulo II. Se define el Currículo como “el conjunto de objetivos. y el segundo a nivel profesional que le corresponde a la administración educativa y a mí como futuro docente. Dado que las comunidades autónomas tienen competencias plenas en materia educativa. actividades y tareas concretas que se van a realizar. Elementos conceptuales y culturales que se van a enseñar: conceptos. Existen tres niveles de concreción curricular caracterizados por las tomas de decisiones sobre los elementos básicos del currículo –objetivos. criterios e instrumentos previstos para la valoración de los resultados obtenidos.
4.  Proyecto educativo. Análisis de contenido (Estructura conceptual. Es el segundo nivel de concreción. Es el tercer nivel de concreción. Por tanto. Oportunidades de aprendizaje). Análisis de la evaluación (Instrumentos y criterios de evaluación). materiales y recursos). 5 . Análisis cognitivo (Objetivos y competencias. sistemas de representación y fenomenología). desarrollo histórico. errores y dificultades. Corresponde al docente elaborar la programación de aula y las unidades didácticas que la integran. esta unidad didáctica se ubica en el nivel de planificación para los profesores. Disciplinas académicas y teleológico) (L. 2. que consta de: 1. que elabora las leyes educativas básicas y a la administración educativa andaluza que las desarrolla mediante decretos y normas. objetivos y competencias (dimensión cognitiva). tomando decisiones sobre contenido (dimensión cultural). 3. Análisis de Instrucción (Diseño y secuenciación de tareas. y al alumnado y las familias que tienen representación en los órganos colegiados de control y gobierno del centro. Rico). Cognitiva. Sistema educativo. por tanto. a su profesorado organizado en equipos educativos y departamentos didácticos. metodología (dimensión formativa) y evaluación (dimensión social) La estructura de esta unidad didáctica se basa en la teoría del análisis didáctico. Formativa y Social) que a su vez se descomponen en cuatro niveles (Planificación para los profesores. en Andalucía.  Programación de aula. Corresponde al centro escolar. al parlamento andaluz. El estudio del currículo se puede abordar desde cuatro dimensiones (Cultural.
Se basa en la noción de infinito potencial.1 DESARROLLO HISTÓRICO DEL TEMA. la falta de un sistema de numeración adecuado y la discretización). ANÁLISIS DE CONTENIDO. En la larga evolución del concepto (desde la matemática griega hasta el siglo XIX) se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción. Se atribuye a Eudoxo. PERIODO CLÁSICO (EUDOXO DE CNIDO Y ARQUÍMEDES (S. de manera que ésta vaya aproximándose a la magnitud buscada. que se diferencian básicamente por la concepción de límite que subyace en ellas aunque la separación no siempre sea nítida. Consiste en aproximar la figura por otras en las que se pueda medir la correspondiente magnitud. longitudes de curvas.C) Aparece en esta etapa una idea muy intuitiva del proceso del paso al límite. El método se aplicaba al cálculo de áreas de figuras. que se utiliza de forma implícita desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo pasado. Otros autores que no he mencionado pero tienen importancia en esta etapa son: Zenón (Paradojas que ponen de manifiesto la diferencia entre continuo y discreto). en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para demostrar otros más generales. aunque su utilización más conocida la hizo Arquímedes en la cuadratura de la parábola. V A. Dentro de los métodos que se usaron se destaca: Método de exhaución.1. tangentes a las curvas. etc. La evolución histórica del concepto de límite se puede dividir en tres grandes etapas. volúmenes de cuerpos. 1. Por ejemplo para estimar la superficie del círculo se inscriben y circunscriben polígonos regulares de n lados cuya superficie se conoce (en definitiva es la de n triángulos isósceles) luego se duplica el número de lados de los polígonos inscritos y circunscritos hasta que la diferencia queda bastante pequeña. Aristóteles (Que trabaja con la noción de infinito actual en su metafísica) y Herón (Dio métodos de cuadraturas) 6 . Arquímedes halló la superficie del círculo con este método llegando a polígonos de noventa y seis lados.
Algunos de los problemas físicos que se trataron fueron:  Dada la fórmula del espacio en función del tiempo. relacionado con el movimiento de los planetas.  Estudio de centros de gravedad y atracción gravitatoria. Fue utilizado para determinar áreas de figuras planas y volúmenes de cuerpos. Método de los infinitésimos de Kepler (1571-1630).REVOLUCIÓN CIENTÍFICA (DESDE KEPLER (S. que facilitó el estudio de las curvas. El álgebra aportó las herramientas necesarias para que algunos de estos métodos se desarrollaran. etc. de áreas o volúmenes conocidos. infinitamente pequeñas. En óptica es necesario conocer la normal a una curva y en el estudio del movimiento la dirección de la tangente. Sin embargo.  Estudio de máximos y mínimos de una función. destacando el método de las coordenadas. Aparecen problemas de definición de tangentes en general (cuando surgen nuevas curvas) pues la definición de tangente como recta que toca en un sólo punto o deja a un lado la curva sólo sirve para algunas cónicas. obtener la velocidad y aceleración en cualquier instante o recíprocamente. estos métodos funcionaban de forma separada y no se tenía conciencia de su generalidad. aunque se detectó falta de cuidado en la formalización rigurosa de los conceptos matemáticos y procedimientos involucrados. Galileo utilizará un método semejante para mostrar que el área encerrada bajo la curva tiempo- velocidad es el espacio. de la astronomía y de la física. Los métodos que aparecen a continuación fueron el germen del análisis infinitesimal y surgieron motivados por las exigencias de la mecánica. faltaba algo que les armonizara y además les diera ese carácter de universalidad. XVI) HASTA NEWTON Y LEIBNITZ (S. Cavalieri representaba estos objetos mediante una 7 . dada la aceleración o velocidad obtener la fórmula del espacio  Obtención de la tangente a una curva.La base del método consiste en pensar que todos los cuerpos se descomponen en infinitas partes. el movimiento de proyectiles. Método de los indivisibles de Cavalieri (1598-1647). Era utilizado para resolver problemas de medidas de volúmenes o áreas como los que aparecen en Nova stereometria doliolum vinatorum (1615). XVIII)) Esta etapa se caracteriza por la utilización de métodos matemáticos para dar respuesta a problemas físicos.
cuando ε es pequeño. Método de Fermat para buscar extremos de curvas. Todas las fluentes son variables dependientes y tienen un argumento común. está bastante cerca. Método de Barrow (1630-1677). Si bien no habla de límite. que se denominan fluxiones. 8 . El método consiste en hacer f(x+ε)=f(x). Fermat envía a Mersenne en 1637 una memoria que se titula Sobre las tangentes a las líneas curvas donde parece plantear un método para calcular tangentes en un punto de cualquier curva. los valores de la función f(x) y f(x+ε) están tan próximos que se pueden tomar iguales. conocidas la relación entre fluentes y el recíproco. donde se estudian las magnitudes variables. para obtener los segmentos necesarios se consideraba f(x+ε)-f(x). NEWTON Y LEIBNITZ. lo que equivale a hallar el límite funcional en la abscisa del punto P. así. dividirlo por ε y tomar ε=0. Lo hace en su libro Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635). el tiempo. dada la relación entre fluxiones. f(x)) y. encontrar las fluentes. pero en él aparecen dos incrementos e y a.superposición de elementos cuya dimensión era una unidad menor que aquella a evaluar. En 1704 en su obra Tractatus quadratura curvarum. Propone el método de las fluxiones. un método de naturaleza geométrico-mecánica para tratar de forma general los problemas del análisis infinitesimal. Su método es muy semejante al de Fermat. Newton (1648-1727) es el creador de la teoría de las fluxiones. sólo la subtangente. Pero Fermat no usa el concepto de límite ni el de derivada debido a que no calcula la pendiente de la recta tangente. En un intento de clarificar dicho método. introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo denominadas fluentes. si bien sólo lo utiliza con la parábola. para ello. Después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes. Lo aplicó a las “parábolas e hipérbolas de Fermat” y consiste en considerar que en una “cumbre” o en un “valle” de la curva. calcula la subtangente utilizando un criterio de semejanza de triángulos. En la práctica. Método de las tangentes. considera que la curva y su tangente en un punto coinciden en un entorno pequeño de dicho punto. que equivalen a los Δx y Δy actuales. Descartes crea el suyo propio según reza en la carta que envía a Mersenne en Mayo de 1638 y. se dividía por ε y se tomaba ε=0. expuesto en la obra Methodus fluxionum et serierum infinitorum (publicada en 1736). Lo que pretende es dibujar la recta tangente en el punto P=(x. Para resolver estos problemas aplicó sendos métodos basados en el uso de cantidades infinitamente pequeñas. La teoría de fluxiones resuelve dos problemas: la determinación de la relación entre fluxiones.
pero hasta Newton esta posibilidad no se plasma claramente en el hecho de que los objetos se han de aproximar “más que cualquier diferencia dada”. para ello. Usa una notación que perdura actualmente. 9 . por su parte preocupado por la claridad de los conceptos y el aspecto formal de la matemática. La dificultad más importante para el desarrollo del análisis infinitesimal era la necesidad de extender las operaciones del análisis a un mayor número de funciones. PASO A LA FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS INFINITESIMAL (SEGUNDA MITAD DEL S. Se dio cuenta de que la pendiente de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abscisas. La noción de límite en realidad se encuentra implícita. para él significa “infinitamente pequeño”. lo cual implica que el límite debe ser la mejor de todas las aproximaciones posibles. cosa que se consigue en todos los métodos revisados. Leibnitz (1646-1716). la aproximación tiene que ser indefinida. Los matemáticos del siglo XVIII. esta idea de límite como aproximación sin más no basta. a veces habla de "infinitamente. contribuye al nacimiento del análisis infinitesimal con su teoría sobre las diferenciales. es decir. y se ve una evolución de su estatus. no se dieron cuenta de la necesidad del concepto de límite. Por una parte. lo cual despertó bastantes críticas de rigor en la comunidad matemática.XVIII) Utilizando infinitésimos pequeños y grandes. los matemáticos de la época obtienen solución para muchos de sus problemas. infinitamente pequeño". buscaban eliminar lagunas y clarificar los matices místicos. que se preocuparon de la fundamentación del análisis. Ahora bien. en la que el incremento de la variable se "desvanece". fue necesario investigar el significado del concepto de función y sus manipulaciones algebraicas. Para peor. La concepción que subyace en esta etapa es una concepción geométrica de límite puesto que se trabaja en problemas de índole geométrica. para lo que se requería una idea clara de dependencia funcional y. pasando de ser una noción que ni siquiera se explicita como útil al ser una herramienta para resolver problemas. pero no aclara lo que. tiene que existir la posibilidad de tomar aproximaciones cada vez mejores. que surgen de la teoría de las razones primeras y últimas de Newton.explicita el método de las "razones primeras y últimas". cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias.
cuando la segunda puede aproximarse a la primera más que cualquier cantidad dada por pequeña que se la pueda suponer. Retoma el concepto de límite de D'Alembert. De estos matemáticos destaco a: Cauchy (1789-1857). SIGLO XIX Y PRINCIPIOS DEL SIGLO XX. dándole un carácter más aritmético. D´Alembert escribe la siguiente definición de límite: “Se dice que una cantidad es límite de otra cantidad. rechazando el planteamiento de Lagrange. desde entonces. prescinde de la geometría.Euler (1707-1743) toma como punto de partida el cálculo diferencial de Leibnitz y el método de fluxiones de Newton y los integra en una rama más general de las matemáticas. A finales del siglo XVIII y comienzos del XIX las obras de un gran número de matemáticos ya reflejaban la necesidad objetiva de construcción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último. introduciendo la función continua como sumas. D'Alembert (1717-1783) crea la teoría de los límites al modificar el método de las primeras y últimas razones de Newton. Lagrange (1736-1813) trabajó con desarrollos de funciones en series de potencias Los resultados conseguidos le hicieron creer que se podían evitar los límites y continuó haciendo desarrollos en series de potencias. es decir. en la que fueron determinantes la clarificación del concepto de función. que. En el tomo IX de la Encyclopédie. y así. sin que. Se plantea la regularidad de las funciones. se llama Análisis y se ocupa del estudio de los procesos infinitos. de los infinitésimos y de las velocidades de cambio. más riguroso pero aún impreciso. no obstante la cantidad que se aproxima pueda jamás sobrepasar a la cantidad a la que se aproxima. sin darse cuenta de que la convergencia de las mismas necesitaba del concepto de límite. La definición de límite que propone Cauchy (1821) es la siguiente: 10 . ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS. aunque la aproximación es objetiva no se puede tener un control completo de la misma.” En esta definición las variables son monótonas y el límite unilateral. de manera que la diferencia entre una tal cantidad y su límite sea absolutamente inasignable. la magnitud que se aproxima no le puede superar. la aparición de nuevos problemas matemáticos y físicos. productos y composiciones de funciones elementales.
no es el final de un largo proceso evolutivo. entonces se dice que L es el límite de f(x) para x=x0". una noción matemática que sirve como soporte a otras como la continuidad. definición bastante cercana a la que se utiliza hoy en día. la diferencia f (x0± n)-L es menor en valor absoluto que ε. ya que en el siglo XX surgen concepciones de tipo topológico. tal que para 0<n<n0. este último valor se llama el límite de todos los demás” La noción de límite dada por D’alembert es más objetiva que la de Cauchy. Weierstrass criticó la expresión "la variable se acerca a un límite" puesto que. es la siguiente: "Si. cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo. basada en la misma idea de límite. la derivada y la integral. según él. Sin embargo. Bolzano (1781-1848) da una definición de continuidad basada en la de límite. “…. en esta etapa. existe un n0. esta definición. puramente estática. Define además infinitésimos como una cantidad variable que converge a cero. dando una definición satisfactoria del concepto de límite. Esta definición. ligadas a la generalización de los conceptos del cálculo a conjuntos no necesariamente numéricos. de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos. que aparece en la obra de su discípulo Heine Elemente. ya que en ésta aparece el término "tanto como queramos" que la subjetiviza. y dio una formulación métrica. lo que constituye una cuarta etapa en el desarrollo del concepto. hecho que ha contribuido a un uso universalizado de la misma. esto sugiere tiempo y movimiento. que evoluciona desde la concepción dinámica de Cauchy a una concepción estática. De hecho la obra de Bolzano se desarrolla de forma paralela a la de Cauchy. La noción de límite es ya. Weierstrass (1815-1897) contribuyó con notoriedad a la aritmetización del análisis. 11 . dado cualquier ε.
 El límite de una función constante en un punto es la misma constante. Resultados:  El límite de una función.  Tender a infinito. La revisión histórica anterior me ayuda a diseñar y analizar la estructura conceptual del tema.  Indeterminación. divergente. 12 . Notaciones:  Sucesiones:  Límite de sucesiones:  Límite de una función en un punto:  Límite de una función en más o menos infinito:  Límite lateral por la derecha:  Límite lateral por la izquierda:  Tipos de indeterminaciones Convenios:  El estudio de la continuidad se realiza en puntos del dominio mientras que en los puntos fuera del mismo sólo estudiaremos los límites laterales pero no será ni continua ni discontinua.2 ESTRUCTURA CONCEPTUAL.  Convergente. si existe.  Tender a un número.  Asíntota. discontinuidad.  Límite. es único.  El límite de la función identidad en un punto es el valor de ese punto.  Continuidad. donde expongo un resumen de los conceptos y procedimientos relacionados: CONOCIMIENTO CONCEPTUAL: Hechos: Términos:  Sucesión.  Función.1.
racionales.  Función continua.  Discontinuidad en un punto.  Cálculo de límites laterales en un punto con ayuda de una tabla de valores.  Discontinuidad de salto.  Límite de una función en un punto y en infinito. circulares y radicales. 13 .  Calcular límites de funciones mediante las propiedades del límite respecto las operaciones con funciones a saber suma. producto y composición.  Reconocimiento de la continuidad de una función polinómica. .  Asíntota horizontal.  Función: Dominio y recorrido.  Límite de una sucesión. CONOCIMIENTO PROCEDIMENTAL: Destrezas:  Cálculo de límites de una sucesión tanto finito como infinito por medio de una tabla de valores.  Funciones polinómicas.  Discontinuidad esencial.  Asíntota oblicua. es continua en .  Continuidad en un punto.  Límites laterales.  Sucesión nula (Caso particular de la 1/n).  La función identidad.  Cálculo de límite de una función en un punto por sustitución directa o mediante representación gráfica. Representación gráfica.  Discontinuidad evitable.  Reconocimiento de la discontinuidad de una función en un punto por medio de la comparación de los límites laterales siempre que estos existan.  Toda función constante es continua en . Conceptos:  Sucesión de números reales.  Asíntota vertical.
 Técnicas de resolución de problemas donde estén involucrados los conceptos de límite y continuidad.  Operaciones con funciones continuas.  -Álgebra real de las funciones continuas en un intervalo . Estructuras:  -Álgebra de las funciones continuas reales .  Figurativo: Uso de tablas y representaciones gráficas.  Reconocimiento de una discontinuidad esencial de una función en un punto.  Aplicación de técnicas de resolución de indeterminaciones tanto para funciones como para sucesiones.  Inductivo: regularidades en el cálculo de límites. Razonamientos:  Deductivo: propiedades de las operaciones con límites y funciones continuas. Estrategias:  Reconocimiento de indeterminaciones en el cálculo del límite de una función o sucesión. horizontales y oblicuas y esbozo de las mismas. 14 .  Analógico: Establecer relaciones para resolución de indeterminaciones.  Cálculo de asíntotas verticales.
en los cuales destacaré las características más importantes. En la siguiente sección procedo a describir los distintos sistemas que utilizaré en el tema para representar los conceptos de límite y continuidad. Abordaré cinco tipos de representaciones. gráfica. sistemas de representación (cuyo estudio detallaré en el apartado correspondiente de la unidad didáctica) y algunos procedimientos entre sí: 1. verbal y figurativa. numérica.MAPA CONCEPTUAL: Presento a continuación un mapa conceptual que relaciona los conceptos. 15 . Estos tipos de representaciones son los siguientes: representación simbólica. así como su modo de uso y el fin de cada uno.3 SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN. gráfico-dinámica.
lo cual se muestra en los siguientes ejemplos: (1) (2) (3) (4) (5) (6) En el caso (1) consideramos la función f(x) en su notación simbólica. Los casos (5) y (6) son conceptos generales de límite y continuidad que involucran las topologías de conjuntos. lo cual de momento no se exigirá al alumnado. 16 .REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA: La representación simbólica del concepto de límite y de continuidad está directamente relacionada con la representación simbólica de función. En el caso (4) es la definición formal de función continua y es la que se debe usar para comprobar con más rigor que f(x) es continua en x=2. En el caso (2) queremos expresar que el límite de esa función en x=2 es 7. Estamos en un caso indeterminado (donde la representación simbólica se manifiesta de manera importante) para lo cual es necesario calcular los límites laterales en x=2 que serán ±∞ según el signo que tenga la función en las cercanías de x=2. Para el alumnado del nivel al que va dirigida esta unidad didáctica es conveniente no salir de los casos (1) y (2). para los cuales los casos (3) y (4) no tendrían sentido. Consideremos el siguiente ejemplo: Esta función no está definida en x=2. no necesariamente numéricos.En el caso (3) se escribe la definición formal de límite y es el que se debe usar para comprobar con rigor que 7 es límite de f(x) en x=2.
x-2 se acerca a 0 pero con valores negativos por lo que es fácil ver si es +∞ o -∞ respectivamente. Puede implementar cualquier función y estudiar asíntotas tanto verticales. horizontales y oblicuas a partir de su representación gráfica. REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Este sistema de representación se manifiesta cuando el alumno reconoce a partir de la gráfica de la función la existencia de límite. en este caso.aulademate.Al alumnado. la continuidad o el tipo de discontinuidad en un cierto punto así como las asíntotas que tenga la función. les hacemos notar que por la derecha de 2.html La función es f(x)= x2 . Incluso se le brinda la oportunidad de trabajar con la definición épsilon- delta. Ejemplo: http://www. Ejemplos: De esta manera se representa gráficamente la definición métrica de límite y de continuidad. 17 .Con este recurso el alumno al ir variando los parámetros con deslizadores puede aproximarse a la idea de límite y continuidad. x-2 se acerca a 0 pero con valores positivos y por la izquierda de 2. REPRESENTACIÓN GRÁFICO-DINÁMICA: Este sistema de representación se manifiesta principalmente cuando el alumno interactúa con un recurso (en este caso por el grado de abstracción es tecnológico) para estudiar el límite y continuidad de la función en un punto.com/contentid-26.
De esta manera se representa gráficamente una discontinuidad esencial donde no existe el límite ni por la izquierda ni por la derecha. De esta manera se representa gráficamente una asíntota horizontal (expresa que el límite en infinito es 2) De esta manera se representa gráficamente una discontinuidad de salto finito. De esta manera se representa gráficamente una asíntota vertical (relacionada con una discontinuidad de salto infinito en x=1) y una asíntota oblicua. 18 .
0001 2. de salto infinito.999 1.99980001 0.01 2. como por ejemplo: “El límite de la función f(x) en x=a es L” “La función f(x) tiende a L cuando x tiende a x=a” “La función f(x) tiene una asíntota vertical en x=a” “La recta y= b es una asíntota horizontal de f(x) en ±∞” “La recta y= mx + n es una asíntota oblicua de f(x) en ±∞” “La función f(x) es continua en el punto x=a” “La función f(x) tiene una discontinuidad (de salto.001 2.REPRESENTACIÓN NUMÉRICA: La representación numérica de los conceptos de límite y continuidad se manifiesta en el cálculo de tablas de valores de la función dada tomando valores tan próximos al punto cómo se quiera y estudiando la tendencia de las imágenes correspondientes.002001 1.99 1.998001 0.9999 1.5000 3. evitable) en el punto x=a” 19 .0201 1. Ejemplo: x f(x)=x^2+1 2 5 1.9801 0 1 REPRESENTACIÓN VERBAL: La representación verbal del concepto de límite y continuidad se manifiesta en la comunicación oral de resultados.00020001 1 2 0.25 1.
ANÁLISIS DE CONTEXTOS: En este tema se responde siempre a los siguientes problemas: (1) Dada una lista de k números reales a1.REPRESENTACIÓN FIGURATIVA: En ocasiones es conveniente utilizar dibujos como por ejemplo: Con estos diagramas de Venn se representa la definición topológica de continuidad.….f(x2)). ¿Existe un valor tal que a partir de un término la distancia a ese valor fijo es menor que un valor positivo cualquiera dado? ¿Qué se entiende por “tender hacia”? (2) Dada una función f y una lista de k pares de valores (x1.  Rectas tangentes.…(xk. 20 . ¿tienden los respectivos valores por f a otro valor fijo L o se hacen cada vez más grandes? Dado cualquier entorno de L.f(x2)).4 FENOMENOLOGÍA DEL TEMA Y MODELIZACIÓN. ¿Existe un entorno reducido de a que se aplique por f en él? ¿Son iguales L y f(a)? (3) Dada una función f y una lista de k pares de valores (x1. a2. (x2.…. 1.  Asíntotas.f(x1)). Comienzo esta sección planteando las situaciones y contextos en los que se desarrolla el tema.(xk.(x2. f(xk)) si los primeros se hacen cada vez más grandes.f(x1)). f(xk)) si las primeras componentes tienden a un valor fijo a. ak. ¿hacia qué valor fijo L tienden los respectivos valores por f? Dado cualquier entorno de L. ¿existe una semirrecta que se aplique por f en dicho entorno? Algunas de las subestructuras matemáticas que subyacen son:  Interpolación.
Situación personal: Luis y María tienen una piscina en su jardín y al llegar el verano necesitan cambiar el agua de la piscina. 21 .  Fenómenos como la mecánica relativista y la física cuántica se modelan por funciones que presentan singularidades como elemento esencial de discontinuidad. b) Dibuja aproximadamente la gráfica de la función. en millones de habitantes.  Velocidad instantánea de un móvil.  Problemas de interés compuesto. Averigua hacia donde se aproxima el volumen de la piscina cuando el tiempo se aproxima a 1h.  Distribuciones continuas de magnitudes como por ejemplo la temperatura  Tendencia de la frecuencia relativa del suceso “salir cara” en el lanzamiento de una moneda indefinidamente. donde t es el tiempo en años. por la función: . donde t es el tiempo de vaciado en horas y v (t) es el volumen de agua expresado en m3.ANÁLISIS DE FENÓMENOS Algunos de los fenómenos donde adquieren significado los conceptos de este tema pueden ser:  Dinámica de poblaciones. a) Calcula la población máxima de manera aproximada y el límite cuando t tiende a infinito. el electromagnetismo. Abren el desagüe y la piscina se comienza a vaciar según la función: . ANÁLISIS DE SITUACIONES: Situación pública: La población de un estado viene dada.  Fenómenos físicos como el movimiento. tendencia a lo largo del tiempo. la termodinámica se modelan por funciones continuas.
b) Si ascendemos en globo. a) Escribe una función que dé la presión en función de la altura.000 m de altura? c) Si subimos indefinidamente. Para ello llama al proveedor para hacer el pedido de las camisetas y éste se las suministra según la función: Donde n es el número de camisetas vendidas y f(n) el precio en euros por camiseta: Sabiendo que el comerciante a su vez se las vende a los estudiantes por 8 euros la unidad. Experimentalmente se ha comprobado que por cada kilómetro de altura respecto el nivel del mar. ¿Qué presión soportaremos cuando nos acercamos a los 5. la presión es de 0’9 veces la presión del kilómetro anterior. ¿a qué tiende la presión que iremos soportando al bajar? RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA VÍA MODELIZACIÓN. La modelización de este tema está determinada básicamente pues sólo debemos hallar la función que “modela el fenómeno o problema” ya que si la función ya nos viene dada con la fórmula el alumno sólo tiene que calcular límites e interpretar resultados y no estará ejercitando su competencia de modelizar. ¿Cuál es el beneficio por camiseta según las camisetas vendidas? ¿Cuántas camisetas ha de vender para obtener un beneficio superior a 3’20 euros la unidad? ¿Cuánto cobra el proveedor si el comerciante pide 10.000 unidades? Situación científica: La presión atmosférica a nivel del mar es de 1’033 kg/cm2.Situación laboral: Un comerciante vende camisetas a un grupo de estudiantes que están organizando un viaje de estudios. ¿hacia qué valor tiende la presión? d) Queremos ahora descender a una sima que está a 2. Realicemos a modo de ejemplo el último ejercicio que he planteado: 22 .000 m de profundidad bajo el nivel del mar. A ese valor se le llama atmósfera.
b) Si ascendemos en globo.000 m de profundidad bajo el nivel del mar. ¿hacia qué valor tiende la presión? d) Queremos ahora descender a una sima que está a 2. ¿Qué presión soportaremos cuando nos acercamos a los 5. por tanto se trata de una sucesión de números reales. Podemos ya responder a las preguntas. logarítmica. Ahora puede preguntarse ¿Se puede extender a todo ℝ? Pues sí y en este caso necesitamos extenderla. ¿a qué tiende la presión que iremos soportando al bajar? Resolución: La función con la que el alumnado debe trabajar no está dada de manera explícita sino verbal y el alumnado debe obtener la fórmula. Son importantes las unidades en este tipo de problemas. A ese valor se le llama atmósfera. radical. 23 . Llamaremos an a la presión en kg/cm2 que existe a n kilómetros sobre el nivel del mar. ¿qué significa anterior?. pues si no lo es.000 m de altura? c) Si subimos indefinidamente. racional. Según la descripción dada en el problema an =0’9* an-1 pero sólo conozco a0=1’033kg/cm2 ¿cómo obtengo an en función de a0 y n? Cómo ya conoce las progresiones geométricas pues la expresión recursiva le resultará familiar puede deducir el término general de la sucesión que es an=0’9 n*1’033 kg/cm2 Pues tenemos entonces la función donde n es la altura en kilómetros. exponencial. trigonométrica. la presión es de 0’9 veces la presión del kilómetro anterior. polinómica. Las preguntas que el alumnado frente a este problema debería hacerse son: ¿Para qué valores definiré mi función? ¿Es lineal. La presión atmosférica a nivel del mar es de 1’033 kg/cm2. a) Escribe una función que dé la presión en función de la altura.…? ¿La función que he obtenido se corresponde con la descripción verbal? Como se menciona “kilómetro anterior” necesariamente la variable debe ser entera. Experimentalmente se ha comprobado que por cada kilómetro de altura respecto el nivel del mar.
esto se modela con que la variable n toma valores negativos “por debajo de 0”. Entonces con la calculadora toma valores cercanos a 5 y observa que las imágenes se aproximan a f(5) luego equivale a sustituir n=5 obteniendo 0’610 kg/cm2 c) Subir indefinidamente se modela como tomar valores cada vez más grandes de n por lo que se pide hallar el límite cuando n+∞ de la función y con ayuda de una tabla de valores se comprueba que tiende al valor 0. Se puede ver ahora si el modelo responde a lo que se pide. es decir. ANÁLISIS COGNITIVO.  Cálculo e interpretación gráfica de límites.D:  Introducción al concepto de límite de una función. 2. 2.1 EXPECTATIVAS. tomamos límite cuando n tiende a -2 obteniendo 1’275 kg/cm2. Distinguir los dos tipos de límites laterales e intuirlos dada una tabla de valores o una gráfica. sobre los cuales voy a clasificar los objetivos específicos que espero que alcance el alumnado al que va dirigido esta U. Así los objetivos específicos a desarrollar serían: INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. si estamos por debajo del nivel del mar.b) Como dice “acercarse” consiste en tomar límite y no en sustituir por 5 en la fórmula. Explicar y expresar fenómenos en los que intervenga el concepto de límite. esto es. 3. 2. Así nos pide que ocurrirá en las cercanías de los 2 km de profundidad. Comprender la idea de límite en un punto y en infinito intuyendo el mismo dada una tabla de valores o una gráfica.  Relación del concepto de límite con el de continuidad. pues la razón de la progresión geométrica es menor que 1 en valor absoluto. 24 . Establezco en primer lugar los siguientes focos de interés para el aprendizaje. d) Ahora si descendemos. 1.
LS= Lenguaje Simbólico.CÁLCULO E INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LÍMITES. 10. C= Comunicar. En las tablas se puede observar también la vinculación de estos objetivos con las competencias PISA. Reconocer y resolver indeterminaciones. etc. M= Modelizar. Relacionar tipos de discontinuidades de una función con los límites laterales en un punto e identificar los tipos de discontinuidades gráficamente. R= Representar. 5. 9. Estudiar de manera analítica y gráfica la continuidad de funciones que modelizan diversos fenómenos. 11. RP= Resolver Problemas. encontrando sus ecuaciones. Argumentar la existencia o no del límite de una función y determinarlo cuando sea posible a partir de sus límites laterales o por sustitución directa. Relacionar analíticamente y expresar gráficamente límites y asíntotas. 6. Justificar la continuidad o discontinuidad de una función en un punto mediante los límites laterales. 8. Reconocer y expresar de manera intuitiva los conceptos de función continua y discontinua en un punto después de argumentar que tiene sentido el estudio de la continuidad en dicho punto. 25 . RELACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE CON EL DE CONTINUIDAD. mínimos. En las siguientes tablas se muestran los objetivos anteriormente especificados agrupados en los distintos focos nombrados al comienzo de esta sección. 7. 4. AJ= Argumentar y Justificar. ayudándose de herramientas tecnológicas. donde: PR= Pensar y Razonar. máximos. ayudándose de herramientas tecnológicas. HT=Herramientas tecnológicas. Determinar el dominio de continuidad de una función y esbozar su gráfica conociendo alguna de sus propiedades como asíntotas.
3 Explicar y expresar fenómenos en los que X X X X intervenga el concepto de límite. PR AJ C M RP R LS HT CÁLCULO E INTERPRETACIÓN 2 1 2 0 2 1 2 0 GRÁFICA DE LÍMITES Argumentar la existencia o no del límite de una función y determinarlo cuando sea 4 X X X posible a partir de sus límites laterales o por sustitución directa. X X X X encontrando sus ecuaciones. PR AJ C M RP R LS HT INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE 2 1 1 1 1 2 0 2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Comprender la idea de límite en un punto 1 y en infinito intuyendo el mismo dada una X X X tabla de valores o una gráfica. X X X Relacionar analíticamente y expresar 6 gráficamente límites y asíntotas. 26 . 5 Reconocer y resolver indeterminaciones. Distinguir los dos tipos de límites laterales 2 e intuirlos dada una tabla de valores o una X X X gráfica.
Justificar la continuidad y discontinuidad 8 en un punto mediante los límites laterales. 2 1 2 0 2 1 2 0 Relación del concepto de límite con el de 3 2 2 1 2 3 1 2 continuidad. R. Estudiar de manera analítica y gráfica la 11 continuidad de funciones que modelizan X X X X diversos fenómenos. máximos. mínimos. La siguiente tabla muestra el balance total de contribución al desarrollo de las competencias PISA: BALANCE TOTAL PR AJ C M RP R LS HT Introducción al concepto de límite de una 2 1 1 1 1 2 0 2 función. TOTAL 7 4 5 2 5 6 3 4 Se puede observar en esta última tabla que a las competencias a las que más se contribuye son PR. X X X ayudándose de herramientas tecnológicas. C y RP mientras que al resto se contribuye en menor medida. etc. Esto puede resultar 27 . PR AJ C M RP R LS HT RELACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE 3 2 2 1 2 3 1 2 CON EL DE CONTINUIDAD Reconocer y expresar de manera intuitiva los conceptos de función continua y 7 discontinua en un punto después de X X X argumentar que tiene sentido el estudio de la continuidad en dicho punto. Cálculo e interpretación gráfica de límites. Relacionar tipos de discontinuidades con los límites laterales en un punto e identificar 9 X X X los tipos de discontinuidades gráficamente. ayudándose de herramientas tecnológicas. Determinar el dominio de continuidad de una función y esbozar su gráfica 10 X X X conociendo alguna de sus propiedades como asíntotas.
Objetivo 11: Estudiar de manera analítica y gráfica la continuidad de funciones que modelizan diversos fenómenos. por la función: . en millones de habitantes. encontrando sus ecuaciones. Para alcanzar este objetivo y contribuir al desarrollo de las competencias de “Lenguaje Simbólico” y “Argumentar y justificar” propondría la siguiente tarea: A la vista de la siguiente gráfica responde a las siguientes cuestiones: a) ¿En qué puntos la función es continua sin necesidad de hacer un estudio particular en los mismos? Justifica la respuesta. c) Dibuja aproximadamente la gráfica de la función. c) Calcula las expresiones algebraicas de las asíntotas verticales. 28 . pero esto no quiere decir que en el desarrollo de las sesiones de clase no se dedique el suficiente tiempo para desarrollar todas las competencias de la manera más uniforme posible. Selecciono a continuación dos objetivos que son significativos de esta unidad didáctica: Objetivo 6: Relacionar y expresar gráficamente límites y asíntotas. b) Estudia la continuidad de la función. 2. b) Decide y justifica en qué puntos es necesario hacer un estudio particular de la continuidad y realízalo de manera justificada. donde t es el tiempo en años. horizontales y oblicuas que existan a partir de la gráfica.engañoso: no es que se le dé poca importancia a estas competencias.2 EJEMPLIFICACIÓN DE TAREAS DESDE LOS OBJETIVOS Y LAS COMPETENCIAS. a) Calcula la población máxima de manera aproximada y el límite cuando t tiende a infinito. sino que cada foco puede estar más relacionado con unas competencias que con otras. Para alcanzar este objetivo y contribuir al desarrollo de las competencias de “Lenguaje Simbólico” y “Representar” propondría la siguiente tarea: La población de un estado viene dada.
D4. Dificultad para concebir la idea de límite en el infinito. D5. D6. Dificultades para comprender que la indeterminación no quiere decir que no se puede obtener el límite. Conflicto con la creencia de que las funciones discontinuas en general no tienen límite.3 ERRORES Y DIFICULTADES PREVISIBLES EN EL DESARROLLO DE LA U. con otro método. será señal para el profesor de qué parte del contenido necesita más esfuerzos a la hora de ser transmitido al alumnado. Problemas con el uso de diferentes representaciones de las funciones. • Segundo: Es posible también que el profesor en su tarea docente haya transmitido por equivocación un resultado falso. Dificultades para comprender que el límite es lo que ocurre cerca del punto y no en el punto. y se podrá enmendar ese error. o que arrastre algún error de cursos o temas anteriores. lo que. D10. Errores de tipo algebraico y numérico en el manejo de las funciones cuyo límite se quiere determinar. 29 . D8. D2. se potenciará su actitud crítica. Dificultades para relacionar expresiones de límites con su traducción gráfica o el proceso contrario. Dificultad para distinguir diferentes tipos de discontinuidades. Creo que es importante tener en cuenta los errores en el aprendizaje de las matemáticas. Pero en ambos casos si se ayuda a que el alumnado tome conciencia de su error. o bien. ya que: • Primero: Puede ser que un alumno tenga problemas a la hora de asimilar un concepto.puntos diferentes. Dificultades para reconocer e interpretar límites laterales. proponer como límite el valor de la función en un punto "cercano". • Tercero: La propia dificultad de un contenido puede originar errores. D9. el error será un indicativo para el profesor de que debe intentar enseñar este resultado o concepto de otra manera. En este caso. Paso a enumerar las dificultades y errores más significativos de esta unidad didáctica: D1. como antes. otros ejemplos… Esto hace que se depure el proceso de enseñanza. D3. Dificultades para comprender que el cálculo del límite no es siempre por sustitución.2. D7. Considerar a+ y a. algún concepto de forma que éste no es significativo para el alumnado.D. En particular.
Para sacar conclusiones representaré en un diagrama de barras el recuento de errores que están ligados a objetivos de los 3 focos fundamentales. 6 laterales. 4. Presento la siguiente tabla de asociación entre dificultades y objetivos: Objetivos asociados Dificultades para comprender que el límite es lo que ocurre cerca del punto y no en el punto. Conflicto con la creencia de que las funciones D6 7. 4. 4 proponer como límite el valor de la función en un punto "cercano". 9. Dificultad para encontrar situaciones en las que se apliquen los conceptos de límite y continuidad. Problemas con el uso de diferentes representaciones de D5 6. 1. En particular. Considerar a+ y a. D7 Dificultad para concebir la idea de límite en el infinito.11 que se apliquen los conceptos de límite y continuidad. 10. 5 no es siempre por sustitución. Dificultades para reconocer e interpretar límites D2 2. Dificultades para relacionar expresiones de límites con 6. 10 las funciones. 30 . 9. 8.D11. 7. D1 1. 5 las funciones cuyo límite se quiere determinar.puntos diferentes. 2. 8. 9 discontinuas en general no tienen límite. 9 discontinuidades Dificultad para encontrar y analizar situaciones en las D11 3. Errores de tipo algebraico y numérico en el manejo de D3 4. 2. 6 Dificultades para comprender que la indeterminación D8 5 no quiere decir que no se puede obtener el límite. Dificultades para comprender que el cálculo del límite D4 1. 2. D9 su traducción gráfica o el proceso contrario. 11 Dificultad para distinguir diferentes tipos de D10 6.
Es fundamental por tanto poner cuidado en que los alumnos manejen las técnicas de cálculo de límites que están en su mayoría ligadas a técnicas algebraicas (la factorización de polinomios y simplificación de fracciones algebraicas) por tanto.4. b) Escribe valores que se aproximen a x=3 tanto mayores como menores. convendría repasar nociones de lenguaje algebraico para abordar con eficacia el cálculo de límites. por lo que primero se pide realizar la tabla de la 31 . c) ¿Cuál crees que puede ser el límite de f(x) en x=3?Da un valor de x tal que el valor por f diste menos de 0’001 del candidato a límite. Errores y dificultades asociados: D1. es por eso.Responde a las siguientes cuestiones: a) Realiza la tabla de la función f(x). d) Explica a tus compañeros cuál es la forma de calcular límites de polinomios sin necesidad de usar la tabla. Esta tarea también se caracteriza por descomponerse en subtareas de progresiva dificultad y secuenciadas. Escribe sus correspondientes transformados en forma de tabla. Presento a continuación ejemplos de tareas para conseguir subsanar algunas de las dificultades: TAREA 1: Sea la función f(x)=x2. Para superar una dificultad es necesario hacer el concepto o procedimiento significativo para el alumnado. En particular. proponer como límite el valor de la función en un punto "cercano". Dificultades para comprender que el límite es lo que ocurre cerca del punto y no en el punto.
b) Simplifica la fracción algebraica q(x)/p(x). Dificultades para comprender que el cálculo del límite no es siempre por sustitución. si existe. La principal característica de esta tarea es que también está subdividida en pasos para que el alumnado pueda realizar el último apartado a partir de los otros dos y por tanto permite superar las dificultades progresivamente. Dificultades para relacionar expresiones de límites con su traducción gráfica o el proceso contrario. D4. después se piden valores tan próximos a un punto como se quiera y sus respectivas imágenes para posteriormente deducir un posible candidato a límite. en dichos puntos. Errores de tipo algebraico y numérico en el manejo de las funciones cuyo límite se quiere determinar.función. ¿En qué puntos no está definida y por qué? Calcula el límite. Dificultades para comprender que la indeterminación no quiere decir que no se puede obtener el límite. D9. c) Si consideramos la función f(x)=q(x)/p(x) (Sin simplificar). p(x)=x2+2x-3 y q(x)=x3+7x2+14x+9. Compara la gráfica de f(x) con la de su simplificación asociada. Errores y dificultades asociados: D3. D8. TAREA 2: a) Factorizar los dos siguientes polinomios de la manera que consideres adecuada. por último se le demanda inducir un resultado de manera general para calcular límites de polinomios sin necesidad de depender de la tabla. 32 . y controlar la distancia al mismo.
Reflexión: La población de un estado viene dada. o mediante aplicación directa de un concepto o procedimiento obtiene el resultado. Compara la gráfica de f(x) con la de su simplificación asociada. el criterio es que el alumnado tiene que decidir ante una variedad de técnicas de cálculo de límites y para ello tiene que analizar el tipo de función. d) Explica a tus compañeros cuál es la forma de calcular límites de polinomios sin necesidad de usar la tabla. Para conexión.4. Conexión: Sean p(x)=x2+2x-3 y q(x)=x3+7x2+14x+9: Si consideramos la función f(x)=q(x)/p(x) ¿En qué puntos no está definida y por qué? Calcula el límite.1 GRADOS DE COMPLEJIDAD DE LAS TAREAS. ANÁLISIS DE INSTRUCCIÓN. si existe. a) Calcula la población máxima de manera aproximada y el límite cuando t tiende a infinito. 3. b) Dibuja aproximadamente la gráfica de la función. por la función: . en millones de habitantes.Responde a las siguientes cuestiones: a) Realiza la tabla de la función f(x). Criterio utilizado en la clasificación: Para reproducción en este tema el criterio utilizado es que el alumnado. donde t es el tiempo en años. b) Escribe valores que se aproximen a x=3 tanto mayores como menores. en dichos puntos. c) ¿Cuál crees que puede ser el límite de f(x) en x=3?Da un valor de x tal que el valor por f diste menos de 0’001 del candidato a límite. Presento para cada grado de complejidad un ejemplo de tarea: Reproducción: Sea la función f(x)=x2.3. Escribe sus correspondientes transformados en forma de tabla. bien con su conocimiento previo. 33 .
2. 3.com/contentid-26. CARACTERIZACIÓN ÉPSILON-DELTA (http://www. Los materiales y recursos didácticos específicos que utilizaría en esta unidad didáctica serían: 1.aulademate.2 RECURSOS Y MATERIALES DIDÁCTICOS.com/) Este recurso permite representar varias funciones y está provisto de zoom por lo que es perfecto para mostrar a los alumnos cuándo dos funciones son equivalentes en un punto. Me puede útil para plantear actividades de ampliación para el alumnado que quiera y pueda. El programa GEOGEBRA se puede utilizar con la misma función que éste.html) Este recurso permite a parte de representar funciones analizar la caracterización épsilon-delta que tantas dificultades supone al alumnado. GRAFICADOR DE FUNCIONES (http://fooplot. exige aproximarse de manera sucesiva a la abscisa que da el extremo).Y para reflexión he considerado problemas relacionados con fenómenos donde a veces la función no está descrita mediante una fórmula y si lo está es necesaria interpretar lo que se pide. 34 . e incluso se puede pedir algo que el alumnado no relacionaría con límites de manera automática (Calcular el máximo o mínimo de una función sin tener la noción de derivada.
Tendencia y continuidad. 35 . calculadora gráfica o convencional. Otros recursos: También se usarán recursos convencionales como pizarra. Esta unidad didáctica está dirigida para el nivel de 1º de Bachillerato de la rama de ciencias de la naturaleza y de la salud. DESARROLLO DE LA UD: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 4. CONTENIDOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA. HOJA DE CÁLCULO (Excel) Este recurso permite tabular valores de la función dada y es muy útil para estudiar de manera intuitiva el concepto de límite y continuidad en un punto. CONTENIDOS ESPECÍFICOS DENTRO DEL MARCO DEL BACHILLERATO. procedimientos y actitudes. de 11 de junio. Estudio de discontinuidades”. Según la ORDEN ESD/1729/2008. Puede ser un apoyo importante para el alumnado para entender la idea de aproximación.1. apuntes propios y relaciones de ejercicios. por la que se regula la ordenación y se establece el currículo del bachillerato en el ámbito español los contenidos de mi tema se engloban en el bloque de Análisis bajo el título “Aproximación al concepto de límite de una función en un punto.3. 4. no haciéndose mención explícita de conceptos. libro de texto. Como ampliación se puede utilizar para trabajar numéricamente con la caracterización épsilon- delta.
 Cálculo de límites laterales en un punto con ayuda de una tabla de valores. 36 .  Función continua.  Límite de una función en infinito.  Reconocimiento de la continuidad de una función polinómica. discontinuidad. De entre los términos que aparecen en el tema que estoy tratando.D.  Límite lateral.  Asíntota vertical.  Límites laterales. Representación gráfica.  Tender a un número.  Continuidad en un punto. Ahora describo los conceptos que trataré:  Límite de una función en un punto. producto y composición.  Asíntota oblicua.  Calcular límites mediante las propiedades del límite respecto las operaciones con funciones a saber suma. procedimientos y actitudes y da sólo 4 grandes bloques temáticos para el bachillerato. les doy especial importancia a los siguientes:  Límite.  Asíntota. en esta U. no se hace mención expresa de los conceptos.  Indeterminación.  Asíntota horizontal. Éstas son las destrezas a desarrollar:  Cálculo de límite de una función en un punto por sustitución directa o mediante representación gráfica.  Discontinuidad en un punto. por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en Andalucía. DESCRIPCIÓN DE LOS CONTENIDOS ESPECÍFICOS DE LA U.  Tender a infinito.  Continuidad.D.  Tipos de discontinuidad.Según la ORDEN de 5 de agosto de 2008.
D.  Figurativo: Uso de tablas y representaciones gráficas.  Técnicas de resolución de problemas donde estén involucrados los conceptos del límite y continuidad.  Reconocimiento de la discontinuidad de una función en un punto por medio de la comparación de los límites laterales siempre que estos existan.  Analógico: Establecer relaciones para resolución de indeterminaciones. 37 . que se verán involucrados en esta U. Por último las estrategias que se deben trabajar serían:  Reconocimiento de indeterminaciones en el cálculo del límite de una función. Esbozo de asíntotas horizontales.  Inductivo: regularidades en el cálculo de límites.  Operaciones con funciones continuas.  Cálculo del límite de una función en y . se pueden considerar:  Deductivo: propiedades de las operaciones con límites y funciones continuas.  Cálculo de asíntotas verticales. horizontales y oblicuas y esbozo de las mismas. En cuanto a los tipos de razonamiento.  Reconocimiento de una discontinuidad esencial de una función en un punto.  Aplicación de técnicas de resolución de indeterminaciones para funciones.
pues serán casos particulares de límites en infinito. dado que han tenido un acercamiento intuitivo al concepto de límite de una sucesión y continuidad de una función en 4º ESO por lo que en este curso se hará más hincapié en las técnicas de cálculo de límites y asíntotas. así como en el estudio de la continuidad a partir del límite.3. Los límites de sucesiones no los consideraré de manera explícita. 38 . He seleccionado estos contenidos de acuerdo al nivel de competencia curricular del alumnado de 1º de Bachillerato y a su nivel de abstracción. En el siguiente gráfico muestro la relación entre contenidos y los sistemas de representación que se desarrollaron en la sección 1.RELACIÓN ENTRE CONTENIDOS Y SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN.
También se utilizarán tareas de construcción de significados. veo necesaria la propuesta de problemas para que el alumno contextualice todos los conocimientos que va aprendiendo a lo largo de esta unidad. donde se incluyan tablas numéricas para enseñar la noción intuitiva de límite o de aplicación directa de técnicas algebraicas de cálculo de límites.2. intervalos de monotonía. destaco las de suministrar una gran variedad de funciones para que se reconozca el algoritmo a seguir para calcular límites. tales como determinar el dominio y recorrido. 5. Estudio de la continuidad de una función (de manera intuitiva y rigurosa) 8. Límites determinados e indeterminados. horizontales y oblicuas. Límites infinitos (tanto en un punto como en infinito). Tipos de tareas: Se incluirán tareas de revisión de conocimientos previos sobre funciones que deberían tener los alumnos para abordar este tema. presentar al alumno una función definida a trozos para que realice el estudio de continuidad. Entre las tareas de ejercitación. Técnicas de cálculo de límites. Descripción de la organización de las tareas de la U. 4. SECUENCIACIÓN Y ORGANIZACIÓN DE LAS TAREAS DE LA U. Asíntotas verticales. 7. 2.D: Las tareas se realizarán en 8 sesiones de clase que en orden de ejecución serían: 1. 3. Funciones. 6. Límite de una función en un punto (de manera intuitiva). Sesión de evaluación.D. así como de representación gráfica de las funciones que se han visto en el curso anterior. 39 . Por último. detecte y calcule las asíntotas y finalmente represente gráficamente la función. Límites en infinito (de manera intuitiva).4. GESTIÓN DEL AULA. Entre las tareas de síntesis destaco por ejemplo. como por ejemplo. extremos relativos y absolutos sobre las gráficas.
pues engloba gran parte de los conocimientos que ha aprendido durante la unidad y la información que suministra la tarea obliga al alumno a recordar todo los aprendizajes que se han visto durante las sesiones. Calcula sus valores por f.: EJEMPLO 1: Dada la siguiente función definida a trozos responde a las siguientes cuestiones: a) Determina los puntos donde es necesario hacer un estudio particular de la continuidad. qué tipo de discontinuidad existe. hay ausencia de “ayudas” y es él alumno el que debe decidir cómo abordar el ejercicio. en caso de discontinuidad.D. es decir. EJEMPLO 2: Dada la función .Ejemplos de tareas significativas y su función en el desarrollo de la U. ¿Cómo es la función en los demás puntos? b) Para cada uno de esos puntos estudia la continuidad y determina.  Función de la tarea en el desarrollo de la U.Enumera varios puntos cercanos a 0 por debajo y por arriba. c) Calcula todos los tipos de asíntotas que conozcas de la función. d) Esboza la función gráficamente. ¿Qué observas? ¿Es el mismo comportamiento por la izquierda que por la derecha? 40 . estudia su comportamiento en x=0 respondiendo a las siguientes cuestiones: a) ¿Recuerdas qué tipo de función es y cómo se representa? b) Construye la tabla de valores de esa función para valores distintos de x=0.D. Como tarea de evaluación.
D.) ( 15 min. desde la primera hasta la séptima. Contenidos y objetivos de la sesión: Conceptos básicos: Concepto de función. Desarrollaré ahora 7 sesiones de trabajo en clase sobre el tema. pues la definición de asíntota vertical se ajusta perfectamente a esta función y le permite al alumno generalizar.3. (15 min. de contenidos (15 min. Resolución de Realización Explicación de Realización de Selección de dudas (menos de la tarea 1. Hallar el dominio y recorrido de la misma. Como tarea de construcción de significados. simbólico. tareas para en la primera) contenidos y/o casa y de ejercicios. ésta será la dinámica de todas las sesiones. gráfico y numérico.  Distinguir si una correspondencia dada entre dos conjuntos es una función o no. Representación gráfica de funciones. Contextos y situaciones: Científico y laboral. Sistemas de representación utilizados: Verbal. Operaciones con funciones.D.  Calcular la función inversa. pues esta tarea me permite introducir el concepto de asíntota vertical en un punto a partir de un caso particular. 41 .  Función de la tarea en el desarrollo de la U.) realización de (15 min) y/o explicación más ejemplos.) SESIÓN 1: FUNCIONES 1. pero para fijar criterios. más la tarea 2.  Reconocer el dominio y recorrido de una función y de las distintas operaciones que se pueden realizar con ellas. Distribución temporal general de cada sesión: Esta distribución de tiempos será flexible según las necesidades del alumnado. DESARROLLO DE LA SECUENCIA DE TAREAS DE LA U. Dominio y recorrido. Función inversa. Capacidades a desarrollar y relación con las competencias generales:  Reconocer las distintas formas de definir una función. 4.
3. c) A cada número real positivo se le asocia sus raíces cuadradas. Esta sesión es la primera. en cuyo caso halla su dominio: a) A cada alumno de a clase se le asocia su edad. le asociamos su doble más 5. por lo que los objetivos y contenidos que se impartan no los he considerado específicos de esta sesión. d) A cada número real. Esta sesión se destinará a recordar a los alumnos los conceptos básicos para abordar las siguientes sesiones. en caso de que ésta exista. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: Al realizar esta actividad el profesor comprueba si los alumnos distinguen entre lo que es una función y lo que no es y además si reconocen el dominio de las mismas. Secuencia de tareas: Tarea 1 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor después de recordar el concepto de función y sus elementos. b) A cada profesor se le asocia los alumnos de su tutoría. propondrá al alumno tareas del tipo siguiente: Decide justificadamente cuáles de las siguientes relaciones son funciones. aunque después se pueden discutir los diferentes puntos de vista que surjan entre los alumnos. 2. Los alumnos han tenido contacto con las funciones en cursos anteriores por lo que esta sesión será de revisión de conocimientos previos y servirá de introducción para la siguiente sesión “Límite de una función en un punto”. Intenciones y expectativas que orientan la planificación de la sesión: Esta sesión es de repaso de contenidos del curso anterior. e) Material o recurso necesario: Ninguno específico. Enmarque de la sesión en relación con las anteriores y posteriores. así como las formas que existen de definir una función y la representación gráfica. Descripción sobre la gestión del aula: El trabajo es individual. Manejar el procedimiento de representación gráfica de una función y de su inversa. 42 .
g(x). Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende que los alumnos apliquen todos los aprendizajes a la vida cotidiana. De entre las formas estudiadas. Tarea 2 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Después de recordar las operaciones que se pueden realizar con funciones. sea el siguiente un ejemplo: Un aparcamiento público tiene una tarifa de 3 euros la primera hora y 2 euros por cada hora o fracción adicional. explicará el concepto de función recíproca de una función y cómo se representa gráficamente. Tarea 3 (Tarea para realizar en casa) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Esta tarea se realizará en casa y será un problema para que el alumno aplique todo lo que ha aprendido durante la clase. elige la más conveniente para representar la función que da el precio del estacionamiento durante las seis posibles horas que puede estar aparcado un coche. ¿Cuál sería la de f -1(x) sin calcularla previamente? Calcula la fórmula de f -1(x) a continuación así como su dominio y recorrido. b) Representa la gráfica de f(x). f(x). Material o recurso necesario: Ninguno específico Descripción sobre la gestión del aula: El trabajo será individual aunque se podrán discutir los diferentes puntos de vista del alumnado. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende comprobar que al menos los procedimientos básicos de trabajo con funciones han sido asimilados por el alumnado. 43 . g(x). 2f(x). f(x)/g(x). Para asimilar el contenido el alumno realizará tareas del tipo: Dadas las funciones f(x)= 5x+3 y g(x)= responde a las siguientes cuestiones: a) Calcula los dominios de f(x). El profesor intentará en la medida de lo posible no intervenir en la realización de los mismos para comprobar si el alumnado maneja el contenido o no. Material o recurso necesario: Ninguno específico Descripción sobre la gestión del aula: Se entregará en la siguiente sesión.
Secuencia de tareas: Tarea 1 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor planteará ejemplos en pizarra para que los alumnos realicen las respectivas tablas de valores y calculen de manera intuitiva límites en puntos dados. g(x)=sen (1/x). Enmarque de la sesión en relación con las anteriores y posteriores.AJ.HT)  Distinguir los dos tipos de límites laterales e intuirlos dada una tabla de valores o una gráfica. los alumnos estarán preparados para abordar el comportamiento en el infinito. El profesor atenderá cualquier dificultad que surja a los alumnos.SESIÓN 2: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1. Contenidos y objetivos de la sesión: Conceptos básicos: Límite de una función en un punto. indaga una razón. 3. Se realizará una tarea de este tipo: Dadas las funciones f(x)=x2+3. Cálculo del límite de una función en un punto con ayuda de una tabla de valores o de la gráfica. Capacidades a desarrollar y relación con las competencias generales:  Comprender la idea de límite en un punto intuyendo el mismo dada una tabla de valores o una gráfica. Calcular las respectivas tabla de valores y estimar el límite y en caso de que éste no exista. Descripción sobre la gestión del aula: El trabajo es en parejas de dos alumnos. 44 . Contextos y situaciones: Científico Sistemas de representación utilizados: gráfico y numérico. (PR. Material o recurso necesario: Si se dispusiera del aula de ordenadores. R) Intenciones y expectativas que orientan la planificación de la sesión: Una vez recordados los conocimientos previos del tema. de manera intuitiva siempre. la actividad se podría realizar con una hoja de cálculo. Los alumnos han recordado las nociones básicas sobre funciones que le permitirán abordar esta sesión y. esta sesión consistirá en acercar de manera intuitiva a los alumnos al concepto de límite y de límite lateral mediante realización de ejemplos concretos de funciones y análisis de gráficas. R. con relación a la siguiente. 2. Esta sesión es la segunda. ( PR. Límites laterales.
Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: Esta actividad permite al profesor promover en el alumnado el sentido intuitivo de aproximación y crítico para justificar la no existencia de límite. Una actividad tipo sería la siguiente: A la vista de la siguiente gráfica responde a las siguientes cuestiones: a) Calcula f (-1). Tarea 2 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor presentará al alumnado una gráfica de una función no necesariamente desconocida y planteará cuestiones al alumnado sobre la misma. b) Calcula si existe c) Calcula Material o recurso necesario: Ninguno específico. el profesor se limitará a resolver las dudas que surjan al alumnado. b) ¿Cuál es la imagen de x=2? Calcula el límite en x=2. 45 . en caso de no existir. f (1) y f (0). Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: Las intenciones del profesor con esta actividad es que los alumnos interpreten gráficamente los límites laterales de manera intuitiva al principio pues después se hará más en profundidad. Tarea 3 (Tarea para realizar en casa) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Una tarea de ejercitación para casa relacionada con el contenido de esta sesión será: Responde a las siguientes preguntas: a) Construye una tabla de valores adecuada para calcular los siguientes límites: . expresa los límites laterales en x=2. Descripción sobre la gestión del aula: Trabajo de manera individual.
el procedimiento intuitivo a seguir es análogo. Descripción sobre la gestión del aula: Se entregará en la siguiente sesión. Enmarque de la sesión en relación con las anteriores y posteriores. Contextos y situaciones: Científico y laboral. Cálculo del límite de una función en infinito mediante una tabla de valores o de la gráfica. 2. No he querido introducir el concepto de límite en infinito en la sesión anterior dado que los comportamientos en un punto y en infinito se enfocan de manera diferente. 3.Material o recurso necesario: Ninguno específico. 1.AJ.HT) Intenciones y expectativas que orientan la planificación de la sesión: En esta sesión se pretende que el alumno se familiarice con la tendencia de la función cuando la variable independiente toma valores cada vez más grandes y cada vez más pequeños. uso de una hoja de cálculo si es preciso. SESIÓN 3: LÍMITES EN INFINITO. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende que los alumnos consoliden los aprendizajes mínimos de esta sesión. sin embargo. R. Capacidades a desarrollar y relación con las competencias generales:  Comprender la idea de límite en infinito intuyendo el mismo dada una tabla de valores o una gráfica. siguiendo la misma metodología que en la sesión anterior. Contenidos y objetivos de la sesión: Conceptos básicos: Límite de una función en infinito. Esta sesión es la tercera. Secuencia de tareas: Tarea 1 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Después de explicar lo que significa tender a infinito. Esto me permitirá en la siguiente sesión estudiar los límites infinitos haciendo hincapié en el caso de límite en un punto. Sistemas de representación utilizados: numérico y gráfico. (PR. los alumnos pueden analizar varias funciones construyendo las respectivas tablas de valores. Se propondrían tareas del tipo: 46 .
Tarea 2 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Se mostrarán al alumno varias gráficas de funciones no necesariamente conocidas para que intuyan gráficamente los límites en infinito. Tarea 3 (Tarea para realizar en casa) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Esta tarea se realizará en casa y será un problema para que el alumno aplique todo lo que ha aprendido durante la clase. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende comprobar que los alumnos son capaces de interpretar la gráfica y a su vez de observar las ideas intuitivas sobre asíntota horizontal. El profesor atenderá las dificultades que surjan. sea el siguiente un ejemplo: 47 . Material o recurso necesario: Ninguno específico (La calculadora o una hoja de cálculo). ¿Son iguales? c) ¿Crees que f se acercará al límite con valores mayores que él o menores? Material o recurso necesario: Ninguno específico Descripción sobre la gestión del aula: El trabajo será en parejas de dos sobre todo para el apartado c). Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: Al realizar esta actividad el profesor comprueba si los alumnos distinguen entre lo que es una función y lo que no es y además si reconocen el dominio de las mismas. Calcula mediante una tabla de valores los siguientes límites: Nota: Realiza los mismos ejemplos para -∞. Descripción sobre la gestión del aula: El trabajo es individual. aunque no se vea expresamente el concepto de asíntota. como muestra la tarea siguiente: A la vista de la gráfica siguiente responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Te resulta conocida esta función? b) Calcula los límites en +∞ y -∞.
Contextos y situaciones: Científico Sistemas de representación utilizados: numérico.000 unidades? Material o recurso necesario: Ninguno específico Descripción sobre la gestión del aula: Se entregará en la siguiente sesión. 2. PR). Límites infinitos en un punto y en infinito. en esta sesión se verán ejemplos donde la función se hace muy grande o muy pequeña en las cercanías de un punto. (R. 1. simbólico y gráfico. Para ello llama al proveedor para hacer el pedido de las camisetas y éste se las suministra según la función: Donde n es el número de camisetas vendidas y f(n) el precio en euros por camiseta. SESIÓN 4: LÍMITES INFINITOS. Reconocimiento de límites infinitos numérica y gráficamente. No he introducido los límites infinitos en las sesiones anteriores porque son casos particulares que requieren un estudio detenido. pues es necesario analizar cada uno 48 . Capacidades a desarrollar y relación con las competencias generales:  Comprender la idea de límite infinito en un punto y en infinito intuyéndolo mediante una tabla de valores o una gráfica. Sabiendo que el comerciante a su vez se las vende a los estudiantes por 8 euros la unidad. Esta sesión es la cuarta.  Intuir de manera aproximada la noción de asíntota vertical gráficamente (PR. ¿Cuál es el beneficio por camiseta según las camisetas vendidas? ¿Cuántas camisetas ha de vender para obtener un beneficio superior a 3’20 euros la unidad? ¿Cuánto cobra el proveedor si el comerciante pide 10. Contenidos y objetivos de la sesión: Conceptos básicos: Límites laterales. Enmarque de la sesión en relación con las anteriores y posteriores. Noción intuitiva de asíntota vertical.Un comerciante vende camisetas a un grupo de estudiantes que están organizando un viaje de estudios. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende que los alumnos apliquen todos los aprendizajes a situaciones de la vida cotidiana.R) Intenciones y expectativas que orientan la planificación de la sesión: Como se ha hecho referencia en la sesión anterior. No se pretende introducir formalmente el concepto de asíntota vertical sólo mostrárselo de manera intuitiva.
o bien uno de ellos sea finito y el otro no. 49 . 3. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor tiene la intención de que observen los alumnos que los límites laterales no son siempre iguales. Sea ésta una posible tarea: Calcula los siguientes límites: ¿Son iguales o diferentes? ¿Y en este caso? ¿Existe límite en x=0? Material o recurso necesario: Hoja de cálculo (si se dispone de ordenadores) o calculadora. Descripción sobre la gestión del aula: Trabajo individual y dirigido por el profesor. Dada la siguiente gráfica. realizando la tabla de valores correspondiente. haciendo hincapié en que estudien los límites laterales por separado. Secuencia de tareas: Tarea 1 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor planteará ejemplos variados de límites infinitos. pues es necesario hacer un estudio particular. Sea el siguiente un posible enunciado. Tarea 2 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor mostrará varias gráficas de funciones no necesariamente conocidas y les pedirá a los alumnos que reconozcan los puntos donde existe límite infinito. ya que habrá ocasiones en los que los límites laterales no sean iguales.de los límites laterales por separado. Señala los puntos donde existe límite infinito y calcula sus límites laterales.
1. Funciones equivalentes en un punto. represéntalas gráficamente con el graficador de funciones. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: Que los alumnos practiquen los contenidos impartidos en estas 4 primeras sesiones. Sistemas de representación utilizados: Simbólico y gráfico. Reconocimiento y resolución de indeterminaciones.LÍMITES DETERMINADOS E INDETERMINADOS. así como la hoja de cálculo. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende que los alumnos observen de manera gráfica cómo se aproxima la gráfica a una recta vertical y que asocien ese hecho a la existencia de límite infinito en un punto. LS) 50 . Descripción sobre la gestión del aula: Los alumnos trabajarán de manera individual.Material o recurso necesario: Ninguno específico. Realiza un estudio de las mismas cómo se ha realizado en las sesiones anteriores. pues en las siguientes se trabajarán con técnicas de cálculo que sustituirán al procedimiento de la tabla de valores. Tarea 3 (Tarea para realizar en casa) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor planteará una tarea que vaya recopilando todo lo visto hasta el momento: Dadas las funciones f(x)=x2+5 y g(x)=(x4+1)/(x-1). Tipos de indeterminaciones. si existen. Descripción sobre la gestión del aula: Se entregará al día siguiente al profesor.(PR. SESIÓN 5: TÉCNICA DE CÁLCULO DE LÍMITES. R. Contextos y situaciones: Científico. para x=1 y x=-1 construye las respectivas tablas de valores y calcula. Material o recurso necesario: Un graficador de funciones o Geogebra. Contenidos y objetivos de la sesión: Conceptos básicos: Concepto de indeterminación. los límites en esos puntos. el profesor moderará sus discusiones. es decir. Capacidades a desarrollar y relación con las competencias generales:  Reconocer y resolver indeterminaciones. Si existieran diferentes opiniones entre ellos.
c) ¿Cuál crees que puede ser el límite de f(x) en x=3? Da un valor de x tal que el valor por f diste menos de 0’001 del candidato a límite. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: Al realizar esta actividad el profesor comprueba si los alumnos llevan al día la asignatura revisando los contenidos anteriores y además. Todas las anteriores han sido de aproximación intuitiva al concepto de límite. aunque el profesor podrá pedir voluntarios para que expongan sus conclusiones del apartado d). por ejemplo. (LS) Intenciones y expectativas que orientan la planificación de la sesión: En esta sesión se enseñarán técnica de cálculo de límites generalizando el procedimiento de aproximación intuitiva numérica. Escribe sus correspondientes transformados en forma de tabla. 3. Sea la función f(x)=x2.Responde a las siguientes cuestiones: a) Realiza la tabla de la función f(x). el procedimiento de cálculo de límite de un polinomio en un punto mediante sustitución directa. Enmarque de la sesión en relación con las anteriores y posteriores.  Resolver límites mediante sustitución directa. Material o recurso necesario: Ninguno específico. b) Escribe valores que se aproximen a x=3 tanto mayores como menores. le sirve para valorar su capacidad de generalizar procedimientos. sin embargo. 51 .4. d) Explica a tus compañeros cuál es la forma de calcular límites de polinomios sin necesidad de usar la tabla. debe hacer hincapié en que la imagen de una función en un punto no es necesariamente igual al límite en dicho punto. Para las siguientes los alumnos usarán las “herramientas” que aprendan en esta sesión. Descripción sobre la gestión del aula: El trabajo es individual. Esta sesión es la quinta. 2. al resolver los límites de manera más rápida utilizando para ello las propiedades de los límites respecto las operaciones usuales de funciones. Secuencia de tareas: Tarea 1 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor enlazará los aprendizajes anteriores con los nuevos mediante tareas en las que el alumnos intuya.
sin embargo. luego en la tarea anterior. ¿Qué tipo de indeterminación tendría una supuesta función racional en x=-1? Material o recurso necesario: Un graficador de funciones o Geogebra en su caso. Tarea 3 (Tarea para realizar en casa) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Una tarea de ejercitación para casa sería la siguiente: 52 . racionales y radicales. dando la interpretación gráfica cuando convenga. Calcula los límites en infinito. Una tarea que podría plantear podría ser: Sean p(x)=x2+2x-3 y q(x)=x3+7x2+14x+9: Si consideramos la función f(x)=q(x)/p(x) ¿En qué puntos no está definida y por qué? Calcula el límite. Descripción sobre la gestión del aula: Trabajo individual del alumno aunque el profesor podrá sacar voluntarios para que expliquen la relación que observan entre la gráfica de una función y un tipo de indeterminación de los estudiados. ∞/∞ son equivalentes a (0/0). debería advertir que una indeterminación (0/0) puede dar lugar a una del tipo (k/0). en dichos puntos.Tarea 2 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor explicará los procedimientos de resolución de las indeterminaciones que aparecen en funciones polinómicas. tanto en un punto como en infinito. Compara la gráfica de f(x) con la de su simplificación asociada. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: Que los alumnos puedan a partir de la gráfica también intuir qué tipo de indeterminación da lugar a dicha gráfica. si existe. Podría también informar a los alumnos de que 0*∞. no podría decidir para x=1.
a) Calcula los siguientes límites con las técnicas que creas convenientes:
b) Representa con Geogebra las siguientes funciones f(x)=sen(5x) y g(x)=x. ¿Qué crees que
vale entonces el ?
Material o recurso necesario: Geogebra o el graficador de funciones en su defecto.
Descripción sobre la gestión del aula: Trabajo individual para entregar al día siguiente.
Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende
que los alumnos adquieran soltura con los procedimientos algebraicos de resolución de
indeterminaciones y que usen la tabla de valores a modo de orientación sobre cuál es el
candidato a límite.
SESIÓN 6: ASÍNTOTAS VERTICALES, HORIZONTALES Y OBLICUAS.
1. Contenidos y objetivos de la sesión:
Conceptos básicos: Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Cálculo y representación
gráfica de asíntotas.
Contextos y situaciones: Científico.
Sistemas de representación utilizados: Simbólico y gráfico.
Capacidades a desarrollar y relación con las competencias generales:
 Relacionar analíticamente y expresar gráficamente límites y asíntotas, encontrando sus
ecuaciones. ( PR, R, LS)
Intenciones y expectativas que orientan la planificación de la sesión:
En esta sesión se pretende formalizar la noción de asíntotas como rectas a las que se aproxima
la función en “puntos del infinito”, para lo cual se espera que el alumno se familiarice con las
ecuaciones de las mismas así como su representación gráfica. Se realizarán ejemplos variados.
2. Enmarque de la sesión en relación con las anteriores y posteriores.
Esta sesión es la sexta. En sesiones anteriores el alumno ha tenido contacto, al menos, gráfica y
numéricamente con las asíntotas verticales y horizontales, pero sin formalizar dicho contacto.
Esta sesión se considerará como “cierre de bloque” y preparará al alumno para abordar de
manera algorítmica el estudio de la continuidad y discontinuidad de una función, que se
impartirá en la última sesión.
3. Secuencia de tareas:
Tarea 1 (Duración aproximada: 15’)
Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor:
Tras presentar formalmente los conceptos de asíntota vertical y horizontal se realizarán tareas
tanto de manera simbólica (dada la fórmula hallar las asíntotas) como de manera gráfica
(identificar las asíntotas a partir de la gráfica de una función no necesariamente conocida). Sea
ésta una posible tarea:
Calcula las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones y esboza la posición
relativa de la curva respecto de las asíntotas:
Material o recurso necesario: Ninguno específico.
Descripción sobre la gestión del aula: Realización de la tarea de manera individual. El profesor
intervendrá a la hora de esbozar la posición relativa de la curva respecto de la asíntota, que les
cuesta más dificultad a los alumnos.
Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: La intención de realizar
esta actividad aparte de servir como repaso de las técnicas de cálculo de límites, sirve para que
los alumnos representen gráficamente la posición relativa de la función y la asíntota que a
priori pueden hallar dando valores a la función.
Tarea 2 (Duración aproximada: 15’)
Dado que las asíntotas oblicuas son casos especiales de aproximación de orden 1, el profesor
las explicará a continuación de las anteriores dando las expresiones de m y n correspondientes a
la asíntota oblicua y=mx+n. También les dará un criterio para la existencia de asíntota oblicua.
Sea la siguiente una tarea que el profesor podría plantear:
Calcula la asíntota oblicua de la función . Representa la posición relativa de la
curva y la asíntota.
¿Existen asíntotas horizontales? ¿Y asíntotas verticales? ¿Existe asíntota oblicua de una
racional donde la diferencia de grados sea mayor que 1?
Nota: Realiza la división entre los polinomios. ¿Qué significado tiene el cociente?
Material o recurso necesario: Ninguno específico
Descripción sobre la gestión del aula: Trabajo individual. El profesor resolverá las dudas que
Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: La intención del
profesor es que los alumnos se den cuenta de que existen aproximaciones a la curva que no son
constantes sino rectas, e incluso se puede generalizar a orden 2 (ramas parabólicas), pero esto
último se propondría como tarea de ampliación.
Tarea 3 (Tarea para realizar en casa)
Para que el alumno no sólo realice cálculos sino que ejercite su capacidad de interpretar
gráficamente se les dará varias gráficas, de funciones desconocidas, que presenten asíntotas de
los 3 tipos y se les pide que las reconozca.
Identifica para la siguiente gráfica los tipos de asíntotas que encuentres:
Descripción sobre la gestión del aula: Trabajo individual. La tarea se entregará al profesor en
Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor procurará
que el alumno no esté la mayor parte del tiempo calculando, sino que de vez en cuando,
(R)  Estudiar de manera analítica y gráfica la continuidad de funciones que modelizan diversos fenómenos. Relación entre límite y continuidad. Sistemas de representación utilizados: Simbólico y gráfico. ya que la continuidad está relacionada con el concepto de límite. máximos. LS. ayudándose de herramientas tecnológicas. SESIÓN 7: ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 1. mínimos. Capacidades a desarrollar y relación con las competencias generales:  Reconocer y expresar de manera intuitiva los conceptos de función continua y discontinua en un punto después de argumentar que tiene sentido el estudio de la continuidad en dicho punto. LS. ayudándose de herramientas tecnológicas. HT)  Relacionar tipos de discontinuidades con los límites laterales en un punto e identificar los tipos de discontinuidades gráficamente. R)  Justificar la continuidad y discontinuidad en un punto mediante los límites laterales. 56 .(R.interprete las gráficas para obtener información relevante que no puede obtener a priori de la fórmula. HT) Intenciones y expectativas que orientan la planificación de la sesión: Esta sesión debe englobar todos los contenidos vistos en las sesiones anteriores. Contenidos y objetivos de la sesión: Conceptos básicos: Concepto de continuidad de una función en un punto. ( M. Contextos y situaciones: Científico. Análisis global de la continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.(PR.HT)  Determinar el dominio de continuidad de una función y esbozar su gráfica conociendo alguna de sus propiedades como asíntotas. Por tanto todas las tareas planteadas en las sesiones anteriores (salvo modificación oportuna) le pueden servir al profesor para ilustrar su actuación durante la sesión. Relación entre asíntotas y discontinuidad.(PR. etc.
Descripción sobre la gestión del aula: Se dividirá a la clase en grupos y a cada grupo le asignaremos un apartado y después rotarán. en caso de que no sea posible estudia el límite. Material o recurso necesario: Geogebra o graficador de funciones para mostrarlas gráficamente. Determina el dominio de continuidad de las mismas y el tipo de discontinuidad en los puntos correspondientes: Nota: Comprueba que tiene sentido estudiar la continuidad. Es la sesión séptima. los dominios de continuidad de las funciones polinómicas. Enmarque de la sesión en relación con las anteriores y posteriores. Secuencia de tareas: Tarea 1 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: Después de presentar las tres condiciones que debe verificar una función en un punto para ser continua en él. antes de la sesión de evaluación. Una posible tarea tiene el enunciado siguiente: Dadas las siguientes funciones. 57 . 3. racionales y radicales .2.y los posibles tipos de discontinuidad el profesor expondrá ejemplos de aplicación para que los alumnos analicen si es continua en un punto o no. En las sesiones anteriores se han visto todas las herramientas que en esta sesión jugarán un enorme papel y además puede servir de repaso de todos los contenidos con vistas a la prueba escrita que se realizará en la sesión 8. Después se discutirán las posibles respuestas. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: La intención es que los alumnos observen y analicen las distintas variedades de discontinuidad que pueden existir y cómo se caracterizan en función de las condiciones que se incumplen.
¿Cómo es la función en los demás puntos? b) Determina a y b para que la función sea continua en x=-1. qué tipo de discontinuidad existe. c) Para cada uno de esos puntos estudia la continuidad y determina. el profesor aclarará las dudas. d) Esboza la función gráficamente Material o recurso necesario: Un graficador de funciones para orientarse. Tarea 2 (Duración aproximada: 15’) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: El profesor pintará en pizarra distintas gráficas y pedirá a los alumnos que reconozcan el dominio de continuidad y los tipos de discontinuidad en los puntos que correspondan. Tarea 3 (Tarea para realizar en casa) Descripción de la actuación del alumno y/o de la intervención del profesor: La tarea para casa debe recoger casi todo lo visto durante las 7 sesiones de clase. Descripción sobre la gestión del aula: Trabajo individual. Sea la siguiente tarea un ejemplo. 58 . c) Calcula todos los tipos de asíntotas que conozcas de la función. Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: La intención del profesor es que los alumnos interpreten la continuidad y discontinuidad en las gráficas para después al proporcionarles las fórmulas. sepan lo que tiene que salir. en caso de discontinuidad. El profesor propondría una del estilo siguiente: Dada la siguiente función definida a trozos responde a las siguientes cuestiones: a) Determina los puntos donde es necesario hacer un estudio particular de la continuidad. Determina el dominio de continuidad y los tipos de discontinuidad que observes a la vista de la siguiente gráfica: Material o recurso necesario: Ninguno específico.
relacionados con algunas de las nociones que se han enseñado en clase. 59 . 5. etc. Determina y clasifica las discontinuidades de una función definida a trozos o no y esboza su gráfica.Descripción sobre la gestión del aula: La tarea deberá entregarse para la siguiente sesión Comentarios sobre las intenciones del profesor al realizar la actividad: El profesor pretende que los alumnos hagan un repaso de todo lo que han visto en esta unidad didáctica. 6. Criterios de evaluación: 1. así como su posición relativa respecto de la curva. Abarcará el contenido visto en las siete sesiones anteriores. así como determina la función inversa de una función dada. ya sea trabajando con los compañeros o con preguntas y sugerencias sobre el tema. con explicaciones razonadas. Cuaderno de trabajo: se observará que esté completo. Calcula límites de funciones tanto en un punto como en infinito resolviendo indeterminaciones. Obtiene el dominio y el recorrido de funciones.D. 2. aseado. Tareas para casa. Obtiene los límites laterales de una función en un punto y determina la existencia o no existencia del límite. 5. Halla las funciones que resultan al efectuar operaciones con otras funciones más elementales.  Datos y trabajos aportados por el alumno. Busca y determina las asíntotas de una función. EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES DE LA U. como: Pruebas escrita. 4. Instrumentos de evaluación:  Anotación de las actuaciones que vaya teniendo el alumno tales como: participación en clase. 3. Nota final: En cualquiera de las sesiones se puede dar como ampliación lecturas de textos de matemáticos o de historia de la matemática.
 Plantilla de valoración. Serán de dificultad graduada. Propongo a continuación dos ejemplos de tareas. la función alcance un máximo o mínimo relativo. una de refuerzo y otra de ampliación para esta unidad didáctica. Esto me permite deducir en qué aprendizajes deberé hacer más hincapié.  Comportamiento: se valorará positivamente la ayuda a sus compañeros y a la buena marcha de la clase. o bien. así como a sus intereses. atenderán a los diferentes ritmos de aprendizaje del alumnado. el procedimiento sólo es válido para funciones monótonas en un entorno cercano del punto. Se dispondrá de una batería de tareas de refuerzo y de ampliación (que no se penalizarán al ser de un nivel de dificultad superior al exigido) para que. Las tareas que propongo a mis alumnos en las diferentes sesiones de la misma. Esta plantilla consiste en ponderar los problemas planteados en la prueba escrita. cómo plantear los ejercicios de la prueba de recuperación. Ponderación de los instrumentos de evaluación: Cuaderno de trabajo y tareas para casa (5%) Comportamiento y participación (5%) Prueba escrita (90%) En el ANEXO I del presente trabajo hay un modelo de evaluación de aprendizajes para esta unidad didáctica. Tarea de refuerzo: Calcula los siguientes límites con las técnicas que creas convenientes: Tarea de ampliación: Hay que advertir que tal como está enfocada esta actividad. o bien. 6. 60 . ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD. así como la corrección en el trato con todos. tanto los alumnos con dificultades de aprendizaje. según el número de alumnos que hayan tenido errores en esos problemas. como los que tienen capacidad para profundizar en los contenidos puedan superar la evaluación de la unidad didáctica y/o ampliar sus conocimientos sobre la misma. que donde se quiere estudiar el límite.
Editorial SM. S. L. de 11 de junio.aulademate. MATEMÁTICAS 1º BACH. ORDEN ESD/1729/2008. ISIDORO SEGOVIA. JUAN L.html para realizar de manera más precisa este ejercicio y prueba con otras funciones. por la que se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en Andalucía. . Páginas web: http://www. Jorge J. T.com/contentid-26. a=5.aulademate. Grupo Editorial Iberoamérica. de C. Ediciones LA Ñ. En El futuro del cálculo infinitesimal.00001 a) ¿Cuál crees que es el límite cuando x tiende a a=2? b) ¿Para qué valor de δ los valores de f tanto por la derecha como por la izquierda distan de L menos de ε=1? c) Realiza la misma tabla para otro punto distinto por ejemplo. BLÁZQUEZ.ROMERO ROMERO Y OTROS. Unidades didácticas. ISBN: 970-625-246-0. y ORTEGA. http://fooplot. CCNN. La definición formal de límite es la siguiente: Completa la siguiente tabla para la función f(x)=x 2 y a=2 responde a las siguientes cuestiones: ε=1 δ a-δ a+δ f(a-δ) f(a+δ) |L-f(a-δ)| |L-f(a+δ)| 1 0.0001 0. BIBLIOGRAFÍA.html.001 0.V. Artículos: Una introducción al concepto de limite. ESTEBAN SERRANO MARUGÁN. LUIS RICO.01 0.com/ 61 .(dos mil años en un renglón) Ing. FRANCISCO BENÍTEZ TRUJILLO. Organizadores del currículo.A. PROYECTO AJIMEZ. d) Utiliza el recurso interactivo http://www.com/contentid-26. JOAQUÍN HERNÁNDEZ GÓMEZ. FERNANDO ALCAIDE GUINDO. Libros: JOSÉ RAMÓN VIZMANOS BUELTA. Prueba con otros valores de ε.México. 7. MARÍA MORENO WARLETA. Ferrante. MATEMÁTICAS I. (2000): El concepto de límite en la educación secundaria. ¿Para ε=1 depende δ del punto a? ¿o es el mismo que el anterior?.1 0. por la que se regula la ordenación y se establece el currículo del bachillerato y ORDEN de 5 de agosto de 2008. S.
ANEXO I. Determina el dominio de continuidad de las mismas y el tipo de discontinuidad en los puntos correspondientes: Nota: Comprueba que tiene sentido estudiar la continuidad. en caso de que no sea posible estudia el límite.D Evaluación inicial: Al principio de la unidad didáctica se imparte una sesión que revisará los conocimientos previos de los alumnos sobre funciones y se actualizarán con contenidos nuevos. c) A cada número real positivo se le asocia sus raíces cuadradas. b) A cada profesor se le asocia los alumnos de su tutoría. lo cual les permitirá desenvolverse eficazmente en el resto de las sesiones. Un ejemplo de tarea útil para una evaluación formativa sería ésta de la sesión 7 (tarea 1): Dadas las siguientes funciones. le asociamos su doble más 5. Con esta tarea puede valorar el uso de aprendizajes y herramientas que los alumnos han tenido en sesiones anteriores. Una tarea de evaluación inicial sería la siguiente: Decide justificadamente cuáles de las siguientes relaciones son funciones. en cuyo caso halla su dominio: a) A cada alumno de a clase se le asocia su edad. 63 . d) A cada número real. Modelo de evaluación de la U. e) Evaluación formativa: A lo largo de las sesiones siguientes el profesor puede valorar la medida en los que se van alcanzando los objetivos y desarrollando las competencias mediante las tareas para casa y las realizadas durante la clase.
Evaluación sumativa: Consistirá en una prueba escrita que se realizará en la octava sesión y junto a las valoraciones de los demás instrumentos de evaluación se dará una nota final al proceso de enseñanza- aprendizaje.5 puntos]1. Abren el desagüe y la piscina se comienza a vaciar según la función: . [2.5 puntos] 3. Averigua hacia dónde se aproxima el volumen de la piscina cuando el tiempo se aproxima a 1h. Determina el dominio de continuidad de las mismas y el tipo de discontinuidad en los puntos correspondientes: Nota: Comprueba que tiene sentido estudiar la continuidad. c) Para cada uno de esos puntos estudia la continuidad y determina. Sea ésta una prueba escrita final de unidad con sus respectivas ponderaciones. d) Esboza la función gráficamente [2 puntos]2. ¿Cómo es la función en los demás puntos? b) Determina a y b para que la función sea continua en x=-1. en caso de discontinuidad. en caso de que no sea posible estudia el límite. Dada la siguiente función definida a trozos responde a las siguientes cuestiones: a) Determina los puntos donde es necesario hacer un estudio particular de la continuidad. Luis y María tienen una piscina en su jardín y al llegar el verano necesitan cambiar el agua de la piscina. Dadas las siguientes funciones. c) Calcula todos los tipos de asíntotas que conozcas de la función. [2 puntos] 4. Calcula los siguientes límites con las técnicas que creas convenientes: 64 . [2. donde t es el tiempo de vaciado en horas y v (t) es el volumen de agua expresado en m3. qué tipo de discontinuidad existe.
c) Para cada uno de esos puntos estudia la continuidad y determina.[1 punto] 5. qué tipo de discontinuidad existe. Enunciado de la tarea 1: Calcula la asíntota oblicua de la función . Representa la posición relativa de la curva y la asíntota. d) Esboza la función gráficamente 65 . Algunas tareas que intervienen en la U. ¿Qué significado tiene el cociente? Enunciado de la tarea 2: Dada la siguiente función definida a trozos responde a las siguientes cuestiones: a) Determina los puntos donde es necesario hacer un estudio particular de la continuidad. en caso de discontinuidad. ¿Cómo es la función en los demás puntos? b) Determina a y b para que la función sea continua en x=-1. analizadas según los indicadores usuales. Identifica en la siguiente gráfica los tipos de asíntotas que encuentres: ANEXO II. c) Calcula todos los tipos de asíntotas que conozcas de la función.D. ¿Existen asíntotas horizontales? ¿Y asíntotas verticales? ¿Existe asíntota oblicua de una racional donde la diferencia de grados sea mayor que 1? Nota: Realiza la división entre los polinomios.
C. (C) Operaciones con funciones.Análisis de la tarea 1: Objetivos 6. 66 . Tipos de contenidos Función real de variable real: dominio y recorrido.D Competencias R (Conexión) LS (Conexión) AJ (Conexión) (complejidad) Formas de Realizar cálculos Seguir argumentos representación más mediante matemáticos de o menos familiares procedimientos diferentes tipos de objetos familiares.(C) Cálculo de límites. (C) Límite en el infinito. (C) Límite de una función en un punto. matemáticos. Relacionar y expresar gráficamente límites y asíntotas. representación Situación/Contexto Científico. (encontrando sus ecuaciones). Cálculo de asíntotas de funciones racionales (P). Sistemas de Simbólico y gráfico. aprendizaje. Tipo de secuencia de De desarrollo y aprendizaje de nuevas ideas o conocimientos. (P) Asíntotas (C). Límites laterales.
Tipos de contenidos Límite de una función en un punto.(C) Cálculo de límites. Tipos de discontinuidad. (C) Límite en el infinito. Cálculo de asíntotas de funciones racionales (P).D Competencias R (Conexión) LS (Conexión) AJ (Reproducción) (complejidad) Formas de Resolver ecuaciones Seguir argumentos representación más y realizar cálculos matemáticos o menos familiares mediante estándar. Tipo de secuencia de De síntesis y evaluación. máximos. de objetos procedimientos matemáticos. representación Situación/Contexto Científico C. etc. Límites laterales. Determinar el dominio de continuidad de una función y esbozar su gráfica conociendo algunas de sus propiedades como sus asíntotas. 67 . aprendizaje. 10. Relacionar y expresar gráficamente límites y asíntotas. Representación gráfica (P) Sistemas de Simbólico y gráfico. familiares. mínimos. (P) Continuidad.Análisis de la tarea 2: Objetivos 6. (encontrando sus ecuaciones). (C) Asíntotas (C).
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