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Timestamp: 2017-02-22 05:29:03+00:00

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logaritmo exponencial funciones
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En la escuela secundaria, estudiaste estas funciones y es conveniente reveer los conceptos fundamentales como también es necesario recurrir a la bibliografía para afianzar dichos conocimientos.
8*1 FUNCION EXPONENCIAL
En particular si el coeficiente k = 1, obtenemos la función exponencial de la forma:
a x f y · ·
Ejemplos: 1) Si a = 2 en f(x) =a
, resulta : y = 2
2) Si a = 2
en f(x) = a
, resulta: y =
Construye una tabla de valores para cada uno de los ejemplos y representa a ambas funciones exponenciales en el mismo sistema cartesiano, a fin de obtener:
La función ( )
x f y f 2 / : · · ℜ → ℜ es inyectiva, pero no es suryectiva. ¿Por qué?.
No obstante si se restringe el codominio obtenemos una función biyectiva.
Una función exponencial es una ( ) { ¦ 0 , 1 , 0 , . : − ℜ ∈ ≠ 〉 · ℜ → ℜ k a a donde a k x f que tal f
El mismo análisis se puede hacer para la ( )
x f y f ,
· · ℜ → ℜ
¿Cuál es el codominio adecuado para que ambas funciones resulten biyectivas?
En general: !!!
Características de la función exponencial de la forma F(X)=a
• f(0) =1, entonces P(0,1) pertenece a todas estas curvas
• Si a >1, f(x) aumenta al aumentar el valor de x la función exponencial es creciente
• Si 0 < a <1, f(x) disminuye al aumentar el valor de x, la función exponencial es decreciente
• y = a
es simétrica de x
con respecto al eje x=0 (eje coordenadas)
• Si ¹
→ 〈
x para a a
El eje de abscisas es recta asíntota.
I) Conviene que te resulte clara la diferencia que existe entre una función potencial y una función exponencial
( ) BIYECTIVA FUNCION una es a a a x f f
, 1 , 0 , / : ≠ 〉 ℜ
II) Existe una función exponencial de notable importancia y es aquella cuya base es el número irracional e=2,71828......... :
Se la llama FUNCION EXPONENCIAL NATURAL.
En Biología, Química, Economía, etc.,existen muchos problemas de crecimiento y de disminuciones cuyo modelo matemático es la función exponencial. Antes de llegar a esa instancia la propuesta consiste en graficar e interpretar características de las funciones que estudiamos:
1.1) Representa gráficamente la función exponencial y = 4
1.2) Escribe V(verdadero) o F(falso) según corresponda y justifica tu respuesta, teniendo en cuenta la función graficada en 1-1)
1.2.1) El punto (1,0) pertenece a la gráfica
1.2.2) El valor de y, para que (-2,y) pertenezca a la gráfica, es 16
1.2.3) El punto (-1,-4) pertenece a la gráfica
1.2.4) El valor de x, para que (x,2) pertenezca a la gráfica es 16
[2] Representa gráficamente la función exponencial x
y en el mismo sistema cartesiano representa la función exponencial cuya grafica es simétrica de la anterior con respecto al eje x = 0
Determina la fórmula correspondiente a la función obtenida.
[3] Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y justifica tu
3.1) Si ( ) { ¦ ( ) ( ) ( )
ℜ · ℜ · − ℜ ∈ · f e f Dom entonces a a x f
3.2) Si ( ) ( ) creciente función una es f entonces a a x f
, 1 0 〈 〈 ·
3.3) ( ) ( ) { ¦ ( ) 1 0 / − ℜ ∈ · · ℜ ∈ ∃
a a x f para x f x
3.4) Las curvas exponenciales pasan por (1,0)
3.5) Las gráficas de y = a
e y = (a
) son simétricas entre sí respecto del eje de ordenadas
3.6) Las funciones de ecuaciones y = 3
e y = 3
son inversas
[4] 4.1) Representa gráficamente f(x)=e
, (utiliza la calculadora para determinar imágenes)
4.2) En el mismo sistemas de coordenadas cartesianas anterior, representa a mano alzada (sin hacer cálculos), las funciones de ecuaciones:
4.2. l) y = 4
4.2.2) y = 5
[5] Representa gráficamente en un mismo sistema cartesiano y determina dominio e imagen para cada una de las siguientes funciones:
5.1) f(x) = 2(2x) 5.3) f(x)=(-2)2
5.2) f(x) = 2
5.4) f(x)=2e
[6] Completa las siguientes expresiones para que resulten. verdaderas, teniendo
en cuenta los gráficos del ejercicio anterior.
6.l) Si k > 0, la gráfica correspondiente a y = k.2
esta incluida en el
semiplano......................... respecto del eje x.
6.2) Si k < 0, la gráfica correspondiente a y = k.2
está incluida en el semiplano.......................... respecto del eje x.
6.3) Todas las curvas cortan al eje y en el punto de coordenadas (..............................)
6.4) ( ) { ¦ ( ) 0 , 1 , 0 . / : − ℜ ∈ ≠ 〉 · ℜ → ℜ
k a a a k x f f
es invectiva porque
6.5) ( ) { ¦ ( ) 0 , 1 , 0 . / : − ℜ ∈ ≠ 〉 · ℜ → ℜ
no es biyectiva porque
6.6) f:.......... →
......... ( ) { ¦ ( ) 0 , 1 , 0 . / − ℜ ∈ ≠ 〉 ·
k a a a k x f
[7] Dados dos puntos pertenecientes a una curva exponencial de la forma y = k.a
, determina la expresión funcional en cada caso:
7.1) P1 (2,9) y P2(0,1)
7.2) M1(0,1) y M2
7.3) Q1(0,-4) y Q2(1,-2)
7.4) S1(2,1) y S2(3,2)
8*2 FUNCION LOGARITMICA
La función exponencial ( ) ( ) 1 , 0 / : ≠ 〉 · ℜ → ℜ
a a a x f f
es una función BIYECTIVA y por lo tanto existe su función inversa:
Ejemplo: Siendo y = log2x la función inversa de y = 2
Como el Dom (loga x) = +
ni los logaritmos de los números reales negativos, ni el logaritmo del cero están definidos.
l) Si en particular la base es a =10, expresamos el log10x =logx (llamado logaritmo decimal)
II) Si a = e, se expresa logex=ln x ( llamado logaritmo natural o nepperiano)
donde a base de A LOGARITMIC FUNCION la es a a x x f f
· ↔ ·
≠ 〉 → ℜ
: , 1 , 0 log / :
Dados a y b números reales positivos y distintos de 1, ∀x y z perteneciente a +
Demostraremos la primera propiedad: ( ) z x xz
consideramos: x a t x
· ↔ · log (¿por qué?)
z a u z
· ↔ · log
( ) xz a v xz
a a a ·
por producto de potencia de igual base
por lo tanto V = t+u, es decir:
loga(x.z) = logax + logaz
A modo de ejemplo te brindamos los siguientes ejercicios:
1) Aplicando la definición de logaritmo, resuelve:
1-1) 2 log
· x 1.2) 27
1.1) 9 , 3 2 log
· · ↔ · x entonces x x
1.2) 27
− · · ↔ ·
y entonces y
2) Utiliza tu calculadora para obtener el logaritmo (log) de un número:
(x.z) = log
(x:z) =log
= n.log
x (n ℜ ∈ )
(cambio de base)
2. l) log 100 = 2 (secuencia: 1 0 0 log)
2.2) log 5,82 = 0,764923...... ( “ “ :5 . 8 2 log)
2.3) log e
3 = In 3 = 1,0986123 ( “ “ :3 In)
2-4) En el caso de que la base sea distinta de 10 o de e, se aplica la
propiedad de cambio de base. Ejemplo:
(secuencia : 3 2 log : 2 log =)
Después de haber analizado la función logarítmica, su gráfico y sus propiedades, te proponemos resolver los siguientes ejercicios para que puedas evaluar lo aprendido.
[8] 8.1) Representa en un mismo sistema de coordenadas cartesianas las funciones logarítmicas :
a) ( ) x x f
b) ( ) x x f
8.2) Completa las siguientes expresiones para que resulten verdaderas, teniendo en cuenta los gráficos del ejercicio anterior.
8.2.1) Las curvas cortan al eje x en el punto (............,............)
8.2.2) Si a >l, entonces f es una función....................................
8.2.3) Si 0 < a < 1, entonces f es una función............................
8.2.4) Las gráficas de x y
son simétricas con respecto.............................
[9] Utiliza los datos del ejercicio 4.1) para representar ( )
e x g · , luego representa gráficamente por simetría: g
(x) y escribe su expresión funcional:
[10] Calcula mentalmente , luego de aplicar propiedades y/o definición de logaritmo .
10.1) · + 8 log 8 log
10.4) · 125 log
10.2) ( ) · 16 . 4 log
10.5) · 2 log
10.3) ( ) · 4 : 64 log
10.6) · −
e In e In
[11] Indica V (verdadero) ó F (falso) según corresponda:
11.1) .. .......... 31 , 2 log 4 .
log 314 , 2 . 8
· ↔ · x x
11.2) ( )......... 92 , 0 1 , 3 log
5 log log
92 , 0 . 1 , 3 4
+ − · ↔ · x x
11.3) . .......... log . 6 82 , 3 log
log . 72 , 3 1 , 0
n x n x + · ↔ + ·
[12] Utiliza tu calculadora para determinar:
log3 278 con
001 , 0 〈 ∈
8*3 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
8*3*1 ECUACIONES EXPONENCIALES
Para resolver una ecuación exponencial, debemos hallar una de las componentes de un par ordenado perteneciente a la gráfica de la función exponencial asociada, conocida la otra componente
EJEMPLO : Dada. y = f(x)=5
, determina x para el cual ( )
· x f
El problema está definido, por lo tanto seleccionamos la estrategia, aunque
previamente conviene experimentar una solución mental
(planteamos la ecuación exponencial)
Búsqueda y selección de estrategias 125 log 1 log 5 log − · x
(Aplicamos logaritmos en una base
conveniente, en ambos miembros)
(Resolvemos la ecuación planteada)
125 log 1 log −
5 log 0
3 − · → − · x x
La solución: { ¦ 3 − · S
(verificamos la solución): 125
Ensaya con la ecuación 0 1 3 . 2 3
los mismos pasos.
(pista: sustituir: x
t 3 · ) { ¦ 0 · s
8*3*2 ECUACIONES LOGARITMICAS.
Resolver una ecuación logarítmica significa hallar una de las componentes de un par ordenado perteneciente a la gráfica de dicha función, conocida la otra componente
EJEMPLO: Resolver: ( ) ( ) 2 3 4 log 3 4 log · − + + x x
Usamos la propiedad del
producto para expresar el
primer miembro como el
logaritmo de un producto: ( ) ( ) [ ] 2 3 . 3 log
Teniendo un único logaritmo, por
definición podemos transformar la
ecuación obtenida en la forma
exponencial: ( ) ( )
4 3 . 3 · − + x x
Resolvemos dicha ecuación
x=5 ó x=-5
Verificamos los resultados en la ecuación dada:
x-5 x = -5
2 2 log 8 4 log
2 3 5 4 log 3 5 4 log
· − + + ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 2 8 log 2 log
2 3 5 4 log 3 5 log
· − − + + −
No es posible, porque los logaritmos para números negativos no han sido definidos.
Por lo tanto, la solución es : { ¦ 5 · S
En numerosos problemas de distintas especialidades se hacen necesarias las resoluciones de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Por ello te proponemos la imprescindible resolución y verificación de las mismas.
[13] Determina el valor x (con 01 , 0 〈 ∈ )
13.1) x
3 2 ·
13.4) 1 4
13.2) 5 2
13.5) x x x x 2 1 4
13.3) 64 2 : 2
13.6) x 1 , 0
3 . 7 , 0 4 , 1 ·
[14] Aplica la definición y/o propiedades para hallar el valor de x
14.1) 2 5 log · x
14.7) ( ) 2 4 2 log
14.2) ( ) 1 3 8 log
14.8) ( ) 0 7 log 6 log log · − − + x x
14.3) ( ) ( ) 2 log 2 log 5 log · − − + − x x 14.9) ( ) ( ) ( ) 2 log log 1 2 log 4 2 log + + · − + + x x x x
14.4) 125 log log 1 log log 2
x x 14.10) ( ) ( ) 5 2 log 2 log
· − − + − x x
14.5) ( ) 40 log 3 log log · + + x x
14.6) 5 , 0
· − + x In x In x In
[15] Calcula el valor de t para cada caso: 15.1) 3
3 log 9 log
15.2) ( ) 2 2 log · + t
[16] Dada f(x) =log3 (x-2t), calcula el valor de t si f(-1) =1
[17] a) Completa las siguientes igualdades
17.1) ..... .......... 5
17.2) .... .......... 16
17.3) ..... ..........
b) Demuestra 17.3)
[18] Resuelve analíticamente los siguientes sistemas:
18.1) ( )
5 2 log
4 6 2 log
[19] Resuelve aplicando la definición y/o propiedades:
19.1) ¹
1 . log
0 log log 2
[20] Aplica logaritmos en la base más conveniente para resolver el sistema:
20.1) ¹
20.2) ¹
[21] Plantea, resuelve y verifica:
Halla un número natural, tal que el duplo de su logaritmo decimal excede en una
unidad al logaritmo decimal de su quinta parte.
COMEDIA LOGARÍTMICA
La “comedia” empieza con una desigualdad:
〉 luego siguen las transformaciones
como a un número mayor le corresponde un logaritmo también mayor, es
log . 3
y dividiendo ambos miembros de la desigualdad por ,
! ! ! 3 2〉
¿Dónde está el error de la demostración?
“Álgebra recreativa” Y.PERELAM
CURVA MITSCHERLICH
Para fenómenos donde hay un nivel máximo, por encima del cual no es razonable obtener valores, es necesario disponer de funciones que representen adecuadamente tal característica de límite máximo. Una de ellas es la CURVA MITSCHERLICH, de la forma:
La tasa de crecimiento plantea una estrategia de crecimiento rápido para valores pequeños de f, pero se hace paulatinamente mas lenta a medida que crece la función.
Dicha tasa tiene a cero cuando los valores de la función se aproximan al valor máximo M (asíntota de la función).
Si x representa los niveles de fósforo agregado y f(x) los rendimientos por ha. correspondientes (en determinada pastura), este modelo representa adecuadamente la respuesta del cultivo al agregado del fósforo.
F(0): es el rendimiento sin agregado de fósforo, depende del fósforo disponible en el suelo.
En el gráfico puede observarse que los rendimientos crecen rápidamente con el agregado de las primeras dosis de fósforo, la respuesta es alta, para luego hacerse paulatinamente mas lenta hasta estabilizarse (no hay respuesta adicional )
[22] El número de bacterias N en un cultivo, en el tiempo t (dado en horas) está dado por la expresión
N = N0 e5t
(siendo N0 el número inicial de bacterias). 22.1) Calcula el número de bacterias para t=0. ¿Qué interpretación puedes darle al resultado obtenido?
Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo según la curva exponencial, pero, si no hay catástrofes (incendios, epidemias, etc.) llegan a invadir su espacio vital y su crecimiento se va amortizando.
Dicha curva es de la forma: ( )
M: valor máximo al cual tiende asintóticamente la curva.
: valor correspondiente a X=0
• Si M y B son números grandes para valores de X no my próxima a : ( )
EJEMPLO: Para una imaginaria población de insectos en la que:
M= 2.000.0000
B=1999
C= 0,04
X= tiempo en días
f(x) = número de insectos en x días
La función logística: ( )
22.2) ¿Al cabo de cuánto tiempo se duplica la cantidad inicial de bacterias?
22.3) ¿En aproximadamente cuánto tiempo habrá 2.10
bacterias, si en el momento inicial hay 1 0 bacterias?.
[23] Una Población de 15 000 bacterias en el instante inicial, crece de acuerdo a una ley exponencial alcanzando el número 3,5.10
al cabo de 1 hora. Determina cuantas bacterias habrá al cabo de:
23.1) 5 horas.
23.2) 1 día.
[24] Teniendo en cuenta que:
"La ley que describe el intercambio de temperatura entre un cuerpo y el medio circundante está expresada por la fórmula T=T0+C e
(T0 es la temperatura del medio C y k son constantes)"
24.1) Una torta se saca del horno a 90°C cuando la temperatura ambiente es de 0°C, si demoró 3min. en alcanzar 70°C, ¿cuánto tardará en alcanzar 50°C?.
24.2) Un pastel es sacado del horno a 300°F, tres minutos más tarde se encuentra a 200°F.¿Cuánto demorará en llegar a 100°F si la temperatura ambiente es de 70°F?
[25] El proceso de desintegración radiactiva responde a la ley exponencial A(t)= A0e
donde A0 es la masa inicial y A(t) la masa remanente y k una constante que depende de la sustancia.
Se denomina semivida al valor de t para el cual la masa remanente es la mitad de la masa inicial.
25.1) la expresión de la semivida de una sustancia en función de k.
25.2) el valor de k para una sustancia cuya semivida es de 1 0 horas.
Todos estos conceptos se utilizan en la determinación de las edades por el Carbono 14:
El cociente entre la cantidad de Carbono 14 y carbono ordinario en la atmósfera es constante, y se espera que la proporción de isótopos en los organismos vivos sea la misma. Cuando un organismo muere, la absorción de carbono 14 cesa. Así, comparando la proporción de carbono 14 que hay en un fósil con la atmosférica, es posible estimar su edad. El método se basa en que la semivida del carbono 14 radiactivo es de 5600 años. Por este trabajo el químico Willard Libby recibió en 1960 el Premio Nobel.
25.3) "Determina la edad de un hueso fosilizado que contiene 11100 de la cantidad original de carbono 14"
[26] Considerando que:
Las soluciones de diferentes compuestos pueden clasificarse, según el valor del PH en: ácidas, básicas o neutras. El PH de una sustancia se calcula mediante la expresión PH= -log (H
), donde (H
) es la concentración de protones.
Si PH < 7 la solución es ácida
Si PH > 7 la solución es básica
Si PH 7 la solución es neutra
26.1) Sabiendo que la concentración de protones del café es 10 –5 calcula su PH.
26.2) ¿Cuál es la concentración de protones de una sustancia cuyo PH es 3?
26.3) Si la concentración normal de protones en la bilis hepática está comprendida entre los valores 1,99.10
-6 y 2,51.10
, ¿qué tipo de solución es la bilis hepática?.
26.4) La orina normal en el hombre tiene PH comprendido entre 5,53 y 6,97es la concentración de protones en este intervalo?.
MATEMÁTICA INGRESO
Las nociones elementales de la Trigonometría ya eran utilizadas por Hiparco, nacido en Grecia quien viviera entre los años 161 y 127 A.C y considerado el astrónomo más grande de la antigüedad.
Con el paso de los siglos se ha hecho costumbre relacionar la Trigonometría con problemas relativos a la medida de los lados y ángulos de un triángulo, aunque su origen aparece en las cuerdas subtendidas por los ángulos centrales de un círculo.
En los últimos 100 años (aproximadamente) una de las aplicaciones más importantes de la trigonometría a la Matemática es el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, relacionado estrechamente con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas.
9*1 ANGULOS Y ARCOS ORIENTADOS
Si bien, conviene recurrir a la bibliografía para revisar los conceptos de ángulos y relación de congruencia; te ofrecemos una síntesis, acompañada de actividades en referencia a los temas mencionados.
Sea un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de origen o, al considerar las rotaciones del semieje ox
con centro o; surgen dos posibilidades:
• SENTIDO POSITIVO
(contrario al de las agujas del reloj); llamado también sentido antihorario
• SENTIDO NEGATIVO
(opuesto al anterior); llamado sentido horario
Obsérvese que en ambos casos coinciden el lado inicial y terminal del ángulo de amplitud + 30° con el de –330°.
Al igual que con los ángulos, el sentidos de rotación orienta a los arcos (generados por cada punto de ox
excepto el origen)
Si P es un punto cualquiera de ox
(distinto de o) la razón entre la longitud del arco '
y la del segmento OP
es siempre la misma, para toda posición de P. Así se origina el sistema circular o radial de medición de ángulos, en el que se adjudica a cada ángulo la medida del correspondiente arco de circunferencia con respecto al radio de la misma.
• El arco de un radian (unidad del sistema circular), es el arco cuya longitud coincide con el radio de la circunferencia. Para el caso particular en que el arco es una circunferencia, la razón entre su longitud y la de su radio (medidas con respecto a la misma unidad), es el número irracional: π 2 , ó sea: radio
encia circunsfer de long .. 2 . π
con lo que la longitud de la circunferencia, expresada en radianes es: π 2
• Como el ángulo de 1 giro en sistema sexagesimal mide 360° y en sistema radial mide π 2 ; es evidente la relación existente entre ambos sistemas que permitirá el pasaje de uno a otro y viceversa.
1) Expresa en sistema circular ' 15 103 ˆ ° · α
360° π 2
103°15’ x 103°,25’
| 80 , 1
25 , 103 .. 2
La medida de un ángulo es el número real que se obtiene de la razón entre la longitud del arco correspondiente y la longitud del radio.
2) Expresa en sistema sexagesimal
π 2 360°
° · → ° · ° 135
. 360 β
3) Expresa en sistema sexagesimal π 2 360°
5,3 ° ·
66 , 303
3 , 5 . 360
1° 60’
0,66° ' 02 , 40
66 , 0 '. 60
Y 1’ 60”
0,02’ " 2 . 1
' 02 , 0 ". 60
Finalmente : " 2 . 1 ' 40 303° · δ
USANDO CALCULADORA:
l) Dado el ángulo " 30 ' 15 42° · α en sistema sexagesimal, obtener su expresión en grados sexagesimales.
secuencia: 42 15 " ' 0
y en pantalla se observa : 3 258 , 42
2) Dada la expresión decimal en grados sexagesimales del ángulo anterior, obtener la expresión en grados, minutos y segundos sexagesimales
secuencia: 42° “ 3 258
INV " ' 0
:42° 15’ 30”
Existen calculadoras científicas que te permiten pasar de un sistema a otro, mediante unas simples secuencias.
3) Pasar α
=104° 18’ a radianes:
secuencia: MODE RAD EXE 104 " ' 0
SHIFT MODE DEG EXE
y se obtiene : 1,82037841
4) Pasar 1,82037841 radianes a sistema sexagesimal.
secuencia: MODE DEG EXE 1 “ 82037841
y se obtiene: 104.3 y mediante lo visto en 2), llegamos al ángulo ' 18 104 ˆ ° · α
9*2 RELACION DE CONGRUENCIA
En el conjunto de los ángulos orientados y medidos en sistema sexagesimal, si se define la relación
Z k con k R a R ∈ ° · − ↔ , 360 .
ˆ : β α β , que resulta ser reflexiva, simétrica y transitiva, es decir de equivalencia, se la denomina congruencia.
Simbólicamente β α
ˆ ≡ (se lee αˆ es congruente con β
). Toda relación de equivalencia, en este caso la congruencia, lleva asociada una partición del conjunto en el cual está definida. Es decir:
C :contiene todos los ángulos del conjunto considerado congruente con α
EJEMPLO: { ¦ Z K K C ∈ ° + ° · , 360 . 30
y es evidente que tiene infinitos elementos.
Además αˆ = 30° es el representante de la clase de congruencia.
Análogamente en el conjunto de los ángulos medidos en sistema circular, dos ángulos son congruentes si su diferencia es un múltiplo entero de 2
Z K con K R ∈ · − ↔ , 2
ˆ π β α β α
Ha llegado el momento de que observes si todos los conceptos revisados han sido fijados convenientemente
Si ° 〈 ≤ ° 360 0 α , la clase de equivalencia que él representa, se lo simboliza: α
, o sea: { ¦ Z K K C ∈ ° + · , 360 . ˆ α α
[1] Expresa en sistema circular cada uno de los siguientes ángulos:
1.1) ° · 60 ˆ α 1.4)
' 45 300
° · δ
1.2) ° · 240
β 1.5) " 10 ' 52 45 ˆ ° · σ
1.3) ' 15 150 ˆ ° · χ 1.6) " 10 ' 15 120 ˆ ° · τ
[2] Expresa en sistema sexagesimal:
2.1) ° · 60 ˆ α 2.4) 5 , 1
· β 2.5) 4 ˆ · ε
χ · 2.6) 10
[3] Califica de verdadero o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica:
∈ °
3.4) °
∈ ° −
3.2) °
∉ ° −
2610 C
3.5) ' 15 48
' 15 48
∈ ° C
3.3) °
3.6) ' 15 130
' 55 1309
∈ ° − C
[4] Califica de verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica:
4.1) 2
y son congruentes
4.2) ¹
∈ + · Z k k C , .
4.3) N k k ∈ + ≡ , 2
108 π π −
y pertenecen a 2
[5] Calcula la longitud de un arco de circunferencia correspondiente a un ángulo central de 72° y cuyo radio mide 8cm.
[6] Calcula con 0001 , 0 〈 ∈
la longitud del radio de una circunferencia tal que un arco de 60° tiene una longitud de 6cm. 132
[7] Si la suma de 2 ángulos es 1,932952147 radianes y su diferencia es 10°45’.
¿Cuál es la medida de cada uno de ellos?
[8] Calcula los ángulos interiores del triángulo de la figura, según los datos:
' 20 15
° + · x b
9*3 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Es importante que recurras a la bibliografía para recordar lo que ya aprendiste sobre este tema, puesto que utilizaremos los conceptos básicos de funciones trigonométricas de números reales.
9*3*1 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMETRICA:
Sea el número real m la longitud del arco considerado a partir del punto (1,0) tomado como.
Al extremo de dicho arco notaremos punto P de coordenadas (x,y),centro (0;0) radio : 1
Si P recorre la circunferencia en sentido antihorario (positivo) el arco descripto será positivo, en caso contrario será negativo.
A cada arco m le corresponde un único punto P(x,y), pero a cada punto P(x,y) le corresponde infinitos, arcos de la forma Z k k m ∈ + , 2 π
Ejemplo : Al número 2
· m le corresponde Q (0,l). Pero a Q (0,l) le corresponden 2
− · m e infinitos valores que difieren en . , 2 Z k k ∈ π
9*3*2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
• P es un punto cualquiera, tal que P(x,y) ≠ (0,0)
= med OP (radio vector). ( ) 0 〉 ρ
• x = abscisa
• y = ordenada
Para un ángulo αˆ las definiciones de las funciones trigonométricas referidas a un sistema de coordenadas, son:
Sen ρ
Cosec y
α · 0 ≠ y
cos ρ
α · 0 ≠ x
tag 0 ≠ · x
α cotg y
0 ≠ y
Atención Los signos de x e y dependen de la ubicación de P(x,y). En particular las coordenadas del P(x,y) en la circunferencia trigonométrica son ( ) α α α α sen y x sea o sen · · ; cos : , cos
Sabemos que 1 · ρ
y según las definiciones:
· → · · ·
Tanto la abscisa como la ordenada pueden tomar valores reales en el [ ] 1 , 1 − en consecuencia podernos afirmar que:
1 cos 1 cos 1
≤ ∀ ≤ ≤ − ∀
I I es bien ó es
I Isen es bien ó sen es
9*3*3 SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMERICAS
Los signos de las funciones trigonométricas dependen de la ubicación del P(x,y), que pertenece al lado terminal del ángulo cuyo lado inicial es el semieje ox
y su centro (0,0)
• Si ° 〈 °〈 90 0 α
todas las funciones trigonométricas de dicho ángulo son positivas. ( ) 0 , 0 , 0 〉 〉 〉 ρ y x
• Si ° 〈 °〈 180 90 α
son positivas el seno y la cosecante y negativas todas las demás funciones ( ) 0 , 0 , 0 〉 〉 〈 ρ y x
• Si ° 〈 °〈 270 180 α
son positivas la tangente y cotangente y negativas las demás funciones ( ) 0 , 0 , 0 〈 〈 〈 ρ y x
• Si ° 〈 °〈 360 270 α
son positivas el coseno y la secante y negativas las demás funciones ( ) 0 , 0 , 0 〉 〈 〉 ρ y x
9*3*4 GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
A) Función SENO: Todo número real α
determina un punto P sobre la circunferencia trigonométrica. Definirnos la función seno asignando al número real la ordenada del punto P.
Sobre una circunferencia de radio unitario ubicarnos los números reales: 2
etc. y construimos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales (ver el gráfico).
Sobre el eje de abscisas se trasladan los valores de los arcos x considerados en la circunferencia, luego se trasladan los segmentos y, correspondientes a las ordenadas de cada punto P, al sistema de coordenadas, paralelamente a si mismos.
La gráfica anterior nos muestra una onda de sinusoide, que se repite para valores de π 2 〉 x ,como también para los valores de x < 0.
Por lo tanto, para todo ℜ ∈ x está definido y es único el número real: sen x, luego el dominio es: ( ) [ ] 1 , 1 ) ( Im : − ℜ · senx imágen la y x sen Dom
• Ceros o raíces de la función seno
Ceros Sen = { ¦ , . / π k x x · ℜ ∈
Una función f es periódica si existe un número real T >O tal que para x Dom f se cumple que f(x) = f(x+T) ; el mínimo valor de T para el cual se cumple la igualdad se llama período T.
En el caso de la función seno, π 2 · T pues: ( ) ( ) . ; 4 ; 2 etc x sen x sen x sen x sen π π + · + ·
En general : ( ) Z k k x sen x sen ∈ + · ; 2 π
B) FUNCION COSENO: El análisis de esa función se hace en forma análoga a la descripta para la
anterior, pero, teniendo en cuenta que definimos la función coseno asignando al número real, que determina un punto P sobre la circunferencia trigonométrica, la abscisa del punto P.
Si extendemos la gráfica, para valores de π 2 〉 x y para valores de 0 〉 x , es:
Vemos: Dom (cos) = ℜ
Im (cos) = [ ] 1 , 1 −
• Ceros o raíces de la función coseno Ceros cos = ¹
∈ + · ℜ ∈ Z k k x x ,
• Periodicidad: Análogamente a la de la función seno.
C) FUNCION TANGENTE:
Si consideramos el punto a, de intersección entre la recta vertical
de ecuación x = 1, con el lado terminal del ángulo central α
, por semejanza de triángulos entre los triángulos rectángulos
es oba y oxp ,
ab med x tag la decir es
Gráficamente, para valores de π α 2 0 ≤ ≤
Si extendemos la curva a todo el dominio de definición, es:
• Ceros o raíces de la función tangente
Ceros { ¦ Z k k x x tg ∈ · ℜ ∈ · , . / π
• Periodicidad: T = ( ) π π + · x tg x tg pues :
El análisis de las gráficas de las funciones trigonométricas recíprocas, quedan para tu ejercitación.
9*3*5 RELACIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
A la relación inversa de f / f(x) = sen x se la llama arco seno de x y se la simboliza x sen x sen arc
(ESTA NOTACION NO ES NOTACION EXPONENCIAL)
sen arc sen Si · → ·
no es el único número real al que le corresponde por seno el valor 2
≤ ≤ · ℜ ∈ ·
x sen arc x x
Es este el concepto que necesitas por ahora, pues en la asignatura Matemática l, analizarás las res-
tricciones de dominio y/o codominio para definir las funciones trigonométricas inversas.
Ya estás en condiciones de observar los resultados de tu estudio en esta parte de Trigonometría.
[9] Aplica la definiciones de funciones trigonométricas, para determinar el valor de las mismas, con los siguiente ángulos:
[10] El lado terminal de un ángulo
, referido a un sistema de coordenadas, contiene al punto Q(-
2,3), calcula según las definiciones:
10.1) sen α
10.2) cos α
10.3) tg α
[11] Califica de verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones y justifica tu respuesta
11.1) { ¦ ( ) π π π 2 , 0 2 0 / · 〈 〈 ≤ ℜ ∈ x sen y x x
11.2) Existe −
∈ x sen que tal x
11.3) ( ) m x sen entonces m x sen Si · + · π 2 ,
· − · 〈 ≤ ℜ ∈
1 2 0 /
π x sen y x x
11.5) { ¦ 0 cos /
〈 ℜ ∈ ·
11.6) ¹
ℜ ∈ ·
0 cos .
11.7) La función coseno, definida enℜ tiene período π
11.8) { ¦ { ¦ Z k k x x x tg x ∈ · · · ℜ ∈ , / 0 / π
11.9) { ¦ 0 , 2 0 /
, 0 〉 ≤ ≤ ℜ ∈ ·
x tg x x π
11.10) Dom( ) { ¦ Z k k x x tg ∈ · ℜ ·
, / π
11.11) Si [ ] 0 1 cos 2 ; 0 · ·〉 · ∈ x x y x π
[12] Coloca el signo que corresponda ( > ó < ) en el espacio en blanco:
12.1) sen 1° ........... sen 1
12.2) cos 1° ........… cos 1
12.3) tg 1° ........... tg 1
[13] Analiza la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta
es un cero de la función seno
es una raíz de la función tangente
13.3) π 5 es un cero de la función seno
13.4) 2
3π −
es una raíz de la función coseno
[14] Analiza inyectividad , suryectividad y biyectividad de la función f para el dominio y codominio señalado en cada caso, colocando la cruz en el casillero correspondiente cuando se cumpla la definición.
14.1) x sen y f · ℜ → ℜ / : INYECTIVA SURYECTIVA BIYECTIVIDAD
I) ℜ → ℜ : f
II) [ ] 1 , 1 : − → ℜ f
III) [ ] 1 , 1
, 0 : − →
IV) [ ] [ ] 1 , 1 0 , 2 : − → − π f
V) [ ] 1 , 1
: − →
14.2) 141
x y f cos / : · ℜ → ℜ INYECTIVA SURYECTIVA BIYECTIVIDAD
II) [ ] [ ] 1 , 1 2 , 0 : − → π f
III) [ ] 1 , 1 ,
IV) [ ] [ ] 1 , 1 , 0 : − → π f
[15] Expresa x en relación con y en los siguientes casos:
15.1) y = sen 4x 15.4) y = cos 4
15.2) y = 2 cos x 15.5) y = 2 sen 5x
15.3) y = 5 arc tg x 15.6) y = arc sen 2
9*3*6 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN MISMO ANGULO
A) Relación Pitagórica : 1 cos
· + α α sen
B) 0 cos
≠ · α
D) 0 cot
E) 0 cos
sec ≠ · α
cos ≠ · α
Conocida la función de un ángulo y el cuadrante al que pertenece, es posible calcular los valores de las restantes funciones trigonométricas, utilizando adecuadamente las relaciones anteriores .
l) Si ,
· 〈 〈 α
π π y
calcula las funciones trigonométricas restantes.
• Selección de estrategias: la relación pitagórica.
• Ejecución del plan: 1 cos
+ α sen
· + α sen
− · α sen
· α sen
· I Isenα
• Análisis para la elección de la solución
El ángulo está ubicado en el tercer cuadrante y el seno es negativo: 2
Utilizando la relación: B) :
· → · α
Con la aplicación de las relaciones C), E) y F), hallamos:
2 cos ,
sec , 3 ·
· · α α α ec ctga
II) Calcula la 2
, · 〈 〈 α α
α sen y si tg
• Problema definido: ? · α tg
• Búsqueda y selección de estrategias:
Para calcular la α tg
necesitamos conocer el α cos
y haciendo uso de la relación pitagórica podemos llevar a cabo la:
• Ejecución del Plan:
to lo por cuadrante segundo al pertenece ángulo el I I
3) Entonces: α
• Revisión: La tangente resultó negativa, y verificamos que dicho signo correcto de acuerdo con lo estudiado previamente.
Recurre a Bibliografía para recordar las relaciones entre los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos: complementarios, suplementarios, que difieren en π
y opuestos.
[16] Determina las demás funciones trigonométricas de α
16.1) 2
α α 〈 − · y sen
16.2) 0
cos 〈 · α α sen y
16.3) 0 cos
〉 · α α y tg
16.4) 0
cos 〈
α tg y
[17] Contesta verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta.
17.1) ( ) α α α cos 2 90 cos · − ° + sen
17.2) ( )
17.3) ( ) 2 45 45 · ° − + ° tg tg
17.4) ° · ° 210 cos 30 cos ec ec
17.5) ( ) 0 60 sec 60 sec · ° − + °
17.6) ° · ° 75 cot 105 cot g g
9*4 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Una identidad trigonométrica es una igualdad que se verifica para cualquier valor de los ángulos que intervengan en ella.
A partir de las definiciones de la razones trigonométricas, de las relaciones fundamentales y de las operaciones elementales, debemos lograr una identidad algebraica evidente.
I) Verifica que para todo ℜ ∈ x se satisface:
( ) x x sen x x sen
x x x sen x sen x sen x x sen x
x x sen senx x
cos 2 1 2 cos 2 1
cos cos 2 2 cos 2 cos
+ + − · + −
x x sen x x sen cos 2 1 2 cos 2 1 − − · −
II) No siempre las identidades se verifican para todo ℜ ∈ x y es necesario analizar su dominio para hacer la restricción correspondiente.
x tg x tg
Z k k x con
∈ + − ℜ ∈
[18] Verifica las siguientes identidades y determina su dominio de validez.
18.1) ( ) x x sen x cos 1 . sec
18.2) x
x sen x tg
18.3) x tg
18.4) x
senx senx
18.5) senx
18.6) x ec
9*5 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Ya conoces la forma de resolver ecuaciones ; trabajo que consiste en encontrar valores de la o las variables que satisfacen la igualdad propuesta.
Una solución particular representa cualquier valor que satisface la ecuación.
La solución general de la ecuación es el conjunto de todas las soluciones particulares.
En tu búsqueda y selección de estrategias para ejecutar el plan trazado, conviene tener en cuenta las relaciones inversas de las funciones trigonométricas, la circunferencia trigonométrica y todo lo estudiado hasta el momento.
No olvides tu calculadoras!!!
Resuelve la ecuación: 2 sen x -1 = 0
• La ecuación es equivalente a : 2
• Si graficamos en la circunferencia trigonométrica: sen 2
· x , se visualizan dos valores que corresponden a la solución particular de la ecuación dada. 146
° · ° · · · 150 30 , ,
x y x bien ó x y x
• El lado terminal de cualquier ángulo congruente con 30° coincide con el lado terminal de
° · 30
x y las funciones trigonométricas de ángulos congruentes son iguales. Análogamente sucede con ° ·150
Entonces la solución general de la ecuación es:
C C S bien ó C C S ∪ · ∪ ·
Otra forma de expresar la solución:
∈ + · ∪
∈ + · · Z k k x x Z k k x x S , 2
• Con la calculadora se pueden verificar resultados; para
a) x = 30° ; b) x = -330° ; c) x = 510°
Lo hacemos a partir a 2
· x sen
a) 30 °
SIN y se obtiene: 0,5
(COMPRUEBA QUE EL MODO ESTE EN DEG)
b) y c) se verifican en forma similar.
Observación: Si bien el análisis de una ecuación es indispensable para dar la solución correcta, puedes facilitar este proceso con tu calculadora.
En la ecuación anterior, la solución particular la hubieras obtenido, siguiendo esta secuencia:
INV SIN y se obtiene 30° (el modo en DEG)
INV SIN y se obtiene 0,52359877 (el modo en RAD)
[19] Elegir la alternativa correcta.
Justificar: 0
945 cos ° − ec
[20] Determina la solución general de las siguientes ecuaciones:
20.1) 2sen x = 2
20.3) 0 1 cot . 2 · − x x x sen
20.2) 2cos x + 3 = 0 20.4) cos x = senx . 3
[21] Determina todos los ℜ ∈ x tal que ° 〈 ≤ 360 0 x
21.1) x x sec
cos · 21.3) x sen x sen ·
21.2) x g x tg cot 3 · 21.4)
[22] Determina analíticamente la tg x, si
cos 〈 ·
− x g y x
[23] Determina el valor de x, en:
2 x si x sen
23.2) ( ) ( ) ( )
10 2 0 4 5 10 2 cos
≤ ° − ≤
≤ ° + ≤ ° − · ° +
x si x sen x
[24] Dado un número real x, tal que 0 < x < se sabe que: "el doble del seno de x por la cotangente de x es igual a 2
24.1) Plantea una ecuación que te permita hallar el cos x.
24.2) Calcula el sen x y la tg x.
24.3) Determina x.
[25] Resuelve los siguiente sistemas en los que x e y son ángulos positivos y menores que un giro.
25.1) ¹
25.2) ¹
la función sinusoidal está presente en radios AM y FM.
La función sinusoide, de la forma:
( ) C Bt sen A y + · determina con los valores A, B y C positivos), una influencia
especial en la mencionada función.
• El efecto de A es modificar la 'altura' de la onda y se llama AMPLITUD
• La variación de B produce un 'plegamiento' o estiramiento longitudinal de la onda,
es decir, modifica el periodo de la función según la fórmula B
· y también modifica la posición de los ceros.
Asociada al período se encuentra la frecuencia, dada por T
· ω que indica
las oscilaciones completas o ciclos por unidad de tiempo. • El valor C (para B=1), indica el inicio de una onda completa en el punto de abscisa C, es decir, desplaza el inicio de la onda. Se lo denomina ángulo de fase.
El proceso de amplitud modulada o am, modifica la amplitud de onda para transmitir la señal.
La ecuación ( ) t sen t a sen m A y . . 2 . . . 2 1
ω π π + ·
representa la onda trasmitida en el sistema de amplitud modulada o AM, cuya gráfica aparece en la siguiente figura:
El proceso de frecuencia modulada o fm, modifica la frecuencia de onda portadora para transmitir la señal.
+ · t sen
t sen A y . . 2 . . 2 .
ω π representa la onda transmitida en frecuencia modulada o FM, y la gráfica es la siguiente:
9*6 RESOLUCION DE TRIANGULOS
En Geometría has estudiado los criterios para asegurar la congruencia de dos triángulos (Es suficiente que tengan: los tres lados, dos lados y el ángulo comprendido dos ángulos y el lado comprendido respectivamente congruentes). Esto implica que teniendo por datos las medidas de tres elementos de un triángulo (convenientemente elegidos), es factible determinar las medidas de los tres elementos restantes. El proceso por el cual se calcula estas medidas desconocidas se denomina :"resolución de triángulos”.
9*6*1 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
La medida de uno de los ángulos de un triángulo rectángulo es siempre conocida: 90°. Para poder resolver un triángulo rectángulo es suficiente entonces dar como datos las medidas de dos elementos entre los que figure al menos un lado. (Dos catetos, hipotenusa y un cateto, un cateto y un ángulo agudo, hipotenusa y un ángulo agudo).
*En un triángulo rectángulo, sus ángulos son complementarios.
*Teorema de Pitágoras
*Definiciones de seno coseno y tangente de un ángulo agudo.
Para determinar una incógnita es necesario analizar cuál es la relación que la vincula con los datos.
Como ejemplo, trabajaremos con el siguiente problema:
Desde el extremo superior de un poste, un tensor lo sujeta al suelo, formando un ángulo de 50° con el mismo. Sabiendo que el tensor está fijado a tierra a 12 metros de la base del poste , determina la altura del poste y la longitud del tensor.
• ¿Qué es lo que sabemos?, ¿qué es lo que tenemos que determinar ?
Recurrimos a una figura , para orientarnos:
= ángulo tpl = 50°
- L = cateto adyacente a α
Incógnitas: - P = cateto opuesto a α
La palabra Trigonometría es de origen griego, siglo (XVI), y significa medida de triángulos, TRÍGONO (triángulo) y METRON (medida).
La historia de esta rama de la Matemática, que surge con la resolución de problemas de índole práctica, comienza en tiempos remotos. En el siglo XVII a. de C., los signos egipcios ya conocían la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo que hoy denominamos tangente. Los Hindúes introdujeron seno y coseno. En el siglo II, los griegos investigaron ampliamente. La trigonometría del triángulo mantiene su rol preponderante dentro de la tecnología moderna, en navegación, agrimensura, aplicación de vectores a la mecánica, etc.
- T = hipotenusa
• ¿Qué relación podemos utilizar?
1) Nos tenemos que preguntar: ¿Qué función trigonométrica del ángulo α
vincula al cateto opuesto P con el cateto adyacente L, es decir cuál es la función trig. que relaciona los dos datos con la incógnita P?.
adyacente cateto
tg · → · α α
P = L . tg α
P = 12m . tg 50°
P = 12m . 1,1 9175
P = 14,30 m
2) Análogamente, la función trigonométrica que relaciona los dos datos con la incógnita T es:
· → · α α cos cos
T = α cos
67 , 18
64279 , 0
Rta: La altura del poste es aprox. de 14,30m y la longitud del tensor es aprox. de 18,67m.
En la figura, el ángulo acb se denomina: ángulo de elevación del punto b, y el ángulo cbm se denomina: ángulo de depresión del punto c. (Ambos ángulos son congruentes por ser alternos internos entre paralelas.
HACER MATEMÁTICA = RESOLVER PROBLEMAS
Saber Matemática, no es solamente aprender definiciones y propiedades para reconocer la ocasión de utilizarlos y aplicarlos, sabemos que hacer Matemática implica ocuparse de problemas; encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrar sus soluciones...
Seguidamente presentamos una serie de situaciones diversas que te ayudarán a avanzar en la resolución de problemas.
[26] Si convenimos en designar con a, el vértice de¡ ángulo recto, con b y c los vértices de los ángulos agudos y los lados con la letra mayúscula que corresponde al ángulo opuesto, determina:
26.1) cm A y b si C 10 ' 41 78
· ° ·
cm B y c si A 47 , 5 ' 56 54 ˆ · ° ·
cm C y cm B si A 13 12 · ·
26.4) cm B y cm A si C 2 5 · ·
cm C y cm A si c 40 54 · ·
[27] En un triángulo rectángulo , un ángulo agudo es el duplo del otro y la hipotenusa mide 4cm.
[28] Calcula la amplitud de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que un cateto es el 35% del otro. ¿Con estos datos se puede calcular la medida de la hipotenusa?.
[29] Calcula la hipotenusa de un triángulo sabiendo que un cateto mide 3cm y que la secante del ángulo agudo adyacente es 2,2.
[30] Hallar las amplitudes de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que: 7x= 10y, sabiendo x e y las medidas de los catetos.
[31] Determina el perímetro de un cuadrado, si su diagonal mide 5cm.
[32] Desde un mismo vértice de un cubo se trazan la diagonal de una cara del cubo y la diagonal del cubo. ¿Qué ángulo forman ?.
[33] Sabiendo que la diagonal de un rectángulo mide 10cm, y que dicha divide diagonal al ángulo recto en 2 ángulos agudos, tales que uno de ellos es el 20% del otro, calcula el perímetro del rectángulo.
Adaptado de "Fundamentos y métodos de la matemática" Guy Brousseau”
Universidad de Bordeux I.M.A.F.N.C
[34] Calcula el perímetro de un octógono regular, inscripto en una circunferencia de 10cm de diámetro.
[35] ¿Cuál es la superficie de un cantero, que tiene forma de pentágono regular y que se desea construir inscripto en una circunferencia que tiene 12,56cm de longitud?
[36] La superficie de un triángulo isóceles es de 15,32cm
y el ángulo desigual mide 63°. Determina las longitudes de los lados con < 0,01.
[37] En el triángulo bac, rectángulo en a, b satisface la ecuación 2.sen(2x) = 1 y C = 7. Calcula la medida de la hipotenusa A.
[38] La longitud de la diagonal mayor de un paralelogramo es de 12cm. E de sus extremos la diagonal forma un ángulo de 28° y 35° con los lados del paralelogramo. Calcula la superficie del paralelogramo.
[39] Durante un aterrizaje, el piloto de una avioneta desea pasar 10m arriba de una pared de 25m de altura y tocar tierra 200m más allá de la pared. Hallar el ángulo de descenso.
[40] Un buque navega 32km hacia el sur, y después un cierto kilometraje hacia el oeste. Para regresar al punto de partida debe tomar un rumbo de 64°. Halla la distancia en km que recorrió en dirección noreste.
[41] Desde un avión que vuela a 300m de altura, se observa en dirección este, las cabeceras de una pista de aterrizaje recta. Los ángulos de depresión de dichas cabeceras son de 32° y 7°. Calcula la longitud de la pista.
[42] Horacio desea construir una escalera de cemento interior al garage que apoye a 2,70m de altura. La huella de cada escalón será de 25cm y la contra-huella de l8cm. Calcula el número de escalones y el ángulo de elevación.
[43] Investiga sobre el procedimiento que utiliza un topógrafo para determinar el ancho de un río, si todas las mediciones las realiza desde una sola orilla. Propone datos y resuelve aplicando resolución de un triángulo rectángulo.
[44] Para forestar, los árboles se plantan de modo que la distancia entre dos consecutivos es constante (aunque depende de la variedad) , llamamos k a dicha constante. Justifica la siguiente fórmula aproximada, que da el número de árboles:
15 , 1 . .
árboles de número ·
[45] Justifica la fórmula de distancia entre dos puntos. Grafica.
[46] Indica V (verdadero) o F(falso), si es falso corrige la distancia:
Dados dos puntos del plano: ( ) ( )
; ; y x q y y x p se denomina distancia de p a q a la medida de pq, se puede simbolizar: d(p,q). La distancia es un número real positivo o nulo, que se calcula por la fórmula
, y y x x q p d − + − ·
a) Si ( ) ( ) ( ) 5 , 2 ; 4 5 ; 0 t · ↔ q p d q y p
b) Si ( ) ( ) ( ) 13 , 1 ; 2 3 ; 1 · ↔ − − − q p d q y p
c) ( ) ( ) ( ) 89 , 0 , 5 , 1 ; 1 2 ; 2 , 0 · ↔ − − q p d q y p
[47] Demostrar analíticamente, que el triángulo de vértices a (4;1), b (6;5) y c (3;2) es rectángulo.
y (x,y)
[48] Justifica la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (a;b) y de radio r dada arriba.
[49] Sea ( ) ( ) ( ) { ¦ 4 2 3 / ;
· − + − · y x y x C determina analíticamente cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la circunferencia, dada por C.
(1 ; 2) (3 ; -1) (2 ; ) 3 2 + ) (2,5 ; 1,5)
9*6*2 RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS
/ ; r b y a x y x C Sea · − + − ·
Hemos dado un tratamiento particular a la resolución de triángulos rectángulos. Consideramos, si bien no efectuamos resolución de problemas, que es conveniente que conozcas la existencia de dos leyes básicas, que vinculan ángulos y longitudes, de un triángulo en general.
Cuando los datos son dos ángulos y un lado, en general se aplica el teorema del seno. Cuando los datos son los tres lados o dos lados y un ángulo, se puede aplicar el teorema del coseno.
γ β α ˆ
ˆ sen
En todo triángulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que determinan.
Por ejemplo: αˆ cos . . 2
C B C B A − + ·
[50] Deduce el teorema de Pitágoras, como particular del teorema del coseno. ( ). 90 ˆ ° · α
LAS ULTIMAS ACTIVIDADES DE INTEGRACION
[1] Ordena en forma decreciente:
9066 , 1 In 3,5 g51°33’45” log17,378 5
[2] Calcula el área de un trapecio rectangular, sabiendo que sus bases tienen 30 cm y 40 cm y que el lado oblicuo forma con la base mayor un ángulo de ( )
· ° h
. sup 60
[3] La presión del agua bajo la superficie del nivel del mar es directamente proporcional a la profundidad. Sabiendo que a 98m de profundidad la presión es de 10,21. Halla la fórmula de la presión del agua.
[4] En un platillo de una balanza se ha puesto un trozo de queso y en el otro 3/4 trozo igual al anterior y una pesa de 3/4kg, quedando la balanza en equilibrio.¿Cuánto pesa el trozo entero de queso?.
[5] Expresa la variable indicada, en función de las restantes:
" " 5 , 0
" " 3 : . . 4
" " ! 1 .
t t a t v e e
[6] Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) ℜ ∈ 〈 − a a a
b) ℜ ∈ + > + b a b a b a ,
c) ( ) ( ) ( ) 3 log 2 log 5 log 1
+ + − · − + x x x ecuación la de solución es
[7] a) Calcula el perímetro de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de 15 cm de radio.
b) Encuentra la expresión que te permita calcular el perímetro de un polígono regular de n lados, inscripto en una circunferencia de radio r
[8] Vuelve sobre las tablas de tarifas de taxis y de la empresa de remises, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:
• En los taxis cada ficha del reloj cambia a los l50 m y cuando subes ya marca 10 fichas
• El cuentakilómetros del remis marca una cantidad que no figura en la tabla, se considera el importe correspondiente al menor valor del intervalo al que pertenece dicho kilometraje.
y suponiendo que en ningún caso hay tiempo de espera , te pedimos que:
a)Confecciona en un mismo sistema de ejes cartesianos la relación que hay entre la distancia recorrida y el importe abonado .
b)¿Qué servicio te conviene usar?
[9] Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
5 , 0 1 log 3 5
8 log 3
∈ · −
cuadrante primer al b y a b sen a sen
b sen a sen
c) ( ) ( ) [ ]
∈ − · −
∈ + · +
2 / ; 0 5 , 0 cos
2 / ; 0 1 cos
log log 2 log
y b x b y x b
[10] Determina analíticamente la ecuación de la recta que tiene en común con la grafica correspondiente a y = 4
los puntos de abscisas x = 1 y x = -1
[11] Coordenadas polares
Además de las coordenadas cartesianas, existen otros sistemas de referencia para determinar la posición de los puntos en el plano, es el llamado sistema de coordenadas polares.
Se toma un punto fijo o, llamado origen, una semirrecta ox de origen o, y un sentido de rotación con centro en o . Todo punto p del plano queda determinado por la distancia op ( Ilamado módulo o radio vector) y por el ángulo ϕ
que determina semieje ox con el radio vector (llamado argumento de p).
El módulo se indica normalmente con la letra griega
y el argumento con ϕ
Los números (
y p se llaman coordenadas polares de P . P ( p, ϕ
). Teniendo en cuenta este nuevo concepto:
a) Expresa en coordenadas polares el punto P cuyas coordenadas son (3,-4)
b) Halla las coordenadas cartesianas del punto P (4,45°)
[12] Expresa en grados minutos y segundos el ángulo que la recta que pasa por los puntos (1;3) (0,2;-1) forma con el semieje positivo de las x.
[13] Halla y expresa en radianes el ángulo agudo que la rectas y = 3x+ 2 e y = -x+5 forman al cortarse .
[14] Encuentra la ecuación de la recta que forman un ángulo de 35° con el semieje positivo de las x y tienen a -4 por ordenada al origen.
[15] Teniendo en cuenta la figura, calcula a y b
[16] ¿Bajo que ángulo un hombre observa un faro de 80 m de altura, si está a l30 m del centro de la base del mismo? 160
[17] Halla un número natural, tal que el logaritmo decimal de su mitad es menor en una unidad al duplo de su logaritmo decimal.
[18] Halla ℜ ∈ x de modo que el x y x sen 5 , 0 cos 1 2 · − · α α
[19] Halla x :
; 0 si
a) 0 cos 2 log
b) ( ) ( ) 1 cos 1 log cos 1 log
· + + − x x
[20] Halla el valor de x:
a) x ·
cos log
1 cos e In x
[21] Se desea conocer el radio de una circunferencia, sabiendo que un pentágono regular inscripto en ella tiene por superficie 20 cm
[22] Dado un número real x, tal que 2 : 0 π x 〈
se sabe que: el seno d e x más el cuadrado de su coseno es igual a 1,25.
Se pide: Plantear una ecuación que permita hallar el sen x y resolverla.
a) Representa gráficamente las funciones f y g.
b) Indica dominio e imagen para f y g.
c) Analiza biyectividad para f y g siendo:
〉 −
x si e
〈 − −
[24]El área de un rectángulo es ( ) 25 10 . 3
+ − x x ,uno de los lados es: x- 5, 'determina analíticamente (sin especializar para ningún x): el otro lado y las amplitudes de los ángulos agudos comprendidos entre la diagonal y los lados.
[25]Completa (con 0001 , 0 〈 ∈ ) y justifica cada respuesta:
a) Si cos x = 6 , 0
y cot x>0 entonces: senx =........ y sen (3 x) =..........
b) La ecuación senx = 4 - 2k tiene solución si sólo si k pertenece al intervalo............
[26] Determina analíticamente la distancia entre dos puntos p y q, sabiendo que p(-2,-1), y que q(4,k)
pertenece a la gráfica de la función de ecuación f (x) log0,5 x
(NO GRAFICAR)
* Método de resolución de problemas.
1* NUMEROS REALES
Conjunto R. Representación de los números reales en la recta. Operaciones en R. Propiedades. Desigualdades. Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Intervalos en R (clasificaciones y operaciones). Valor absoluto o módulo de un número real: concepto y propiedades. Inecuaciones con módulo.
Concepto de función. Dominio e imagen de una función. Clasificaciones de funciones: inyectivas, suryectivas y biyectivas. Funciones de variable real. Función inversa Actividades de integración de temas de unidad uno.
2* ECUACIONES
El lenguaje del Algebra. Ecuaciones lineales de primer grado. Ecuaciones compatibles e Incompatibles. Problemas que se resuelven mediante ecuaciones lineales. Ecuaciones equivalentes. Sistemas de ecuaciones lineales. Siete mas equivalentes. Clasificación de sistemas. Métodos de resolución de sistemas: sustitución, igualación, reducción por sumas o restas. Problemas que se resuelven mediante sistemas de ecuaciones lineales.
3* FUNCION LINEAL
Función lineal y ecuación explícita de la recta. Ordenada al origen y pendiente. Raíz de una función lineal. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de rectas. Rectas que pasan por uno o dos puntos dados. Casos particulares de rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones lineales. Problemas.
4* FUNCION CUADRATICA
Concepto de función cuadrática. Representaciones gráficas de parábolas (distintos casos), intersecciones con los ejes, coordenadas del vértice, eje de simetría. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Raíces de una función cuadrática. Sistemas de ecuaciones mixtos (lineal y cuadrática) Resoluciones de problemas rutinarios y no rutinarios. Actividades de integración de unidad 1 a 4.
5* FUNCION POLINOMICA
Función polinómica: concepto y ejemplificaciones. Raíces de una función polinómica. Funciones potenciales de la forma f(x)=x
. Funciones polinómicas más usuales de grados 3,4 y 5. Operaciones entre polinomios. Algoritmo de la división. Regla de Ruffini. Teorema del resto y sus consecuencias. Factorización de polinomios. Divisor común máximo y múltiplo común mínimo de polinomios.
6* FUNCION RACIONAL-FUNCION IRRACIONAL
Función racional y ecuación fraccionaria de una variable asociada a f. Dominio de una función racional. Raíces de una función racional. Análisis de los puntos donde la función racional no está definida. Simplificación de fracciones racionales. Operaciones. Problemas. Función irracional: concepto y ejemplificaciones. Ecuaciones irracionales. Raíces de una función irracional (casos sencillos)
7* MAGNITUDES
Magnitudes directa e inversamente proporcionales: concepto y ejemplificaciones. Problemas aplicando magnitudes. Actividades de integración de unidad 1 a 7.
8* FUNCION EXPONENCIAL-FUNCION LOGARITMICA
Función exponencial. Variación de a para f(x)=a
. Variación de k para f(x)= k.a
. Análisis de curvas exponenciales. Revisión de la definición y propiedades de logaritmos. Función logarítmica. Análisis para f(x)= loga x . Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Sistemas de ecuaciones. Problemas.
9* TRIGONOMETRIA
Ángulos y arcos orientados. Relación de congruencia. Funciones trigonométricas. Circunferencia trigonométrica. Signos de las funciones trigonométricas. Relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo. Gráficas de las funciones trigonométricas. Relaciones trigonométricas inversas. Identidades trigonométricas. Ecuaciones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos. Problemas. Integración de conceptos (distancia entre dos puntos, ecuación de la circunferencia). Resolución de triángulos oblicuángulos. Actividades de integración de todos los contenidos.
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