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Timestamp: 2019-07-16 06:31:01+00:00

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Modulazione angolare
Prec Sezione 10.2: Demodulazione di ampiezza Su Capitolo 10: Modulazione per segnali analogici Sezione 10.4: Appendici Segue
10.3 Modulazione angolare↓
In questo tipo di modulazione l’informazione contenuta nel messaggio x(t) è impressa sulla portante modificandone la fase: x(t) = acos(ω0t + α(t)), ed il suo inviluppo complesso (vedi eq. (11.2↑)) risulta
x(t) = aejα(t) = a[cosα(t) + jsinα(t)] = xc(t) + jxs(t)
Notiamo subito che, a differenza della am, il modulo di x(t) è rigorosamente costante e pari ad a, mentre la fase α(t) varia continuamente. Si è già mostrato al § 9.2.2↑ come sia possibile definire 2 diversi tipi di legame tra messaggio m(t) e fase dell’inviluppo complesso α(t), indicati con pm (modulazione di fase) ed fm (modulazione di frequenza), riassunti nella tabella seguente:
α(t) fi(t)
PM kφm(t) f0 + (kφ)/(2π)(d)/(dt)m(t)
FM 2πkf∫t − ∞m(τ)dτ f0 + kfm(t)
In particolare, i due tipi di modulazione sono esprimibili anche nei termini della frequenza istantanea↓, definita come la derivata della fase istantanea ψ(t) = 2πf0t + α(t):
(11.27) fi(t) = (1)/(2π)(d)/(dt)ψ(t) = f0 + (1)/(2π)(d)/(dt)α(t)
Le due alternative (pm e fm) sono analizzate assieme, in quanto reciprocamente intercambiabili qualora si effettui
una pm con m(t) pari all’integrale del messaggio informativo oppure
una fm con m(t) pari alla derivata del messaggio informativo.
Illustriamo subito alcune particolarità della modulazione angolare, prima di applicarci al problema della ricezione, ed alla determinazione della densità di potenza del segnale modulato.
La caratteristica fondamentale della modulazione angolare è che il segnale modulato dipende da m(t) in modo fortemente non lineare, e pertanto lo spettro di densità di potenza Px(f) del segnale modulato non può essere calcolato con le tecniche tradizionali. Infatti, l’inviluppo complesso di un segnale modulato angolarmente può essere espresso [418] [418] Si fa qui uso della espansione in serie di potenze dell’esponenziale: ex = 1 + x + (x2)/(2) + (x3)/(3!) + .... come:
(11.28) x(t) = aejα(t) = a⎡⎣1 + jα(t) − (α2(t))/(2) − j(α3(t))/(3!) + ...⎤⎦
da cui risulta evidente che, anche se Pα(f) è esprimibile a partire da Pm(f), nulla può essere detto in generale per Px(f) (e dunque per Px(f) = (1)/(4) Px(f − f0) + (1)/(4) Px(f + f0)). Infatti, la presenza delle potenze della fase modulante α(t) impedisce l’applicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti, ovvero, anche se sono noti i risultati della modulazione per due diversi messaggi x1(t) = FM{m1(t)} e x2(t) = FM{m2(t)}, il risultato ottenibile modulando la loro somma, non è quello della somma dei risultati individuali: FM {m1(t) + m2(t)} ≠ FM{m1(t)} + FM{m2(t)}.
Ampiezza costante
La circostanza che x(t) = aejα(t) presenti un modulo costante pari ad a, indipendentemente dalle ampiezze del segnale modulante, è particolarmente utile qualora per m(t) siano da aspettarsi forti variazioni di dinamica, come ad es. nel caso del segnale fdm (pag. 1↑) utilizzato per trasmettere più canali telefonici [419] [419] Un altro caso di multiplex fdm è quello del downlink di un trasponder dvb-s, introdotto al § 20.3↓. Infatti in questo caso, non essendo noto a priori il numero di canali effettivamente impegnati, la potenza del segnale y(t) = ∑Nn = 1BLU{mn(t), fn} ottenuto sommando i diversi canali (ognuno a modulazione blu su di una diversa portante) può variare di molto: allora, il segnale complessivo y(t) viene applicato all’ingresso di un modulatore fm e trasmesso come tale, in modo da trasmettere a piena potenza senza subire distorsioni di non linearità (vedi § 7.3↑).
Generazione di un segnale a modulazione angolare
Come anticipato, per effettuare una modulazione pm x(t) = kφm(t) si può usare un modulatore fm, in cui α(t) = 2πkf∫t − ∞m’(τ)dτ, ponendo m’(t) = (1)/(2π)(kφ)/(kf)(d)/(dt)m(t). Pertanto, consideriamo nel seguito solo le operazioni di modulazione/demodulazione fm.
Un metodo diretto di generare un segnale fm è quello di utilizzare un vco↓ (introdotto al § 10.2.2.2↑), ossia un oscillatore controllato in tensione, che produce il segnale
x(t) = asin(ω0t + 2πkf∫t − ∞m(τ)dτ)
e dunque realizza proprio la funzione desiderata. Un secondo metodo verrà illustrato per un caso particolare in appendice § 10.4.4↓. Infine, è sempre valido il modulatore in fase e quadratura (pag. 1↑), in cui si pone xc(t) = cosα(t) e xs(t) = sinα(t).
10.3.1 Ricezione di un segnale a modulazione angolare↓
In linea di principio, una volta ottenute xc(t) ed xs(t) del segnale modulato (ad esempio mediante un demodulatore coerente in fase e quadratura) è sempre valida la relazione α(t) = arctan(xs(t))/(xc(t)). D’altra parte, tale soluzione si presta esclusivamente a realizzazioni digitali, in quanto è difficile realizzare un dispositivo che presenti esattamente la relazione non lineare di tipo arcotangente. Illustriamo allora i due metodi più comunemente usati:
10.3.1.1 Ricevitore a PLL↓
Al § 10.2.2.2↑ si è già mostrato l’uso del circuito pll per l’aggancio della fase della portante di modulazione. Lo stesso schema può essere usato per inseguire l’andamento temporale della fase di una portante modulata angolarmente, ottenendo in tal modo l’informazione desiderata.
La figura a lato riporta lo schema generale di un pll, in cui il vco↓ genera un segnale pari a sin(ω0t + θo(t)), con θo(t) = kv∫t − ∞vo(τ)dτ, mentre il segnale ricevuto ha la forma x(t) = cos(ω0t + θi(t)). Lo schema può essere analizzato con i metodi dei controlli automatici, in quanto rappresenta un sistema che tenta di mantenere nullo l’errore sinΔθ, con Δθ(t) = θi(t) − θo(t); l’analisi si basa quindi sulla linearizzazione sinΔθ≃Δθ, valida per Δθ piccolo.
L’analisi di Laplace [420] [420] La (11.29↓) è un caso particolare detto del primo ordine, vedi
https://it.wikipedia.org/wiki/Phase-locked_loop#PLL_del_primo_ordine.
fornisce allora il risultato
(11.29) Θo(s) = (kckvH(s))/(s + kckvH(s))Θi(s)
che, antitrasformato, permette di esprimere θo(t) (fase del vco) come una versione filtrata della fase della portante modulata θi(t), da parte della funzione di trasferimento ad anello chiuso
H(f) = (kckvH(s))/(s + kckvH(s))||s = j2πf
Inoltre, dato che il vco produce θo(t) = kv∫t − ∞vo(τ)dτ, si riconosce subito che l’uscita vo(t) del filtro di loop H(s) corrisponde alla ricostruzione del messaggio modulante m(t) nel caso di modulazione fm. Pertanto, l’uscita del filtro di loop del pll realizza la demodulazione di frequenza.
10.3.1.2 Ricevitore a discriminatore↓
E’ realizzato mediante il circuito alla figura riportata a fianco, in
cui il derivatore effettua una conversione fm-am, e quindi viene demodulato l’inviluppo di ampiezza di y(t). Infatti quest’ultimo segnale risulta pari a
y(t) = (1)/(2πkf)(d)/(dt)acos(ω0t + 2πkft⌠⌡ − ∞m(τ)dτ) = = (1)/(2πkf)(2πf0 + 2πkfm(t))asin(ω0t + 2πkft⌠⌡ − ∞m(τ)dτ)
e corrisponde dunque ad un segnale modulato sia angolarmente che in ampiezza, in cui a(t) = a⎛⎝(f0)/(kf) + m(t)⎞⎠. Siamo dunque in presenza di una modulazione di ampiezza bld-pi (§ 10.1.1.2↑) e quindi, con una scelta opportuna [421] [421] Per utilizzare il demodulatore inviluppo, deve risultare sempre (f0)/(kf) + m(t) > 0, e dunque occorre scegliere (f0)/(kf) > maxt{|m(t)|}. di (f0)/(kf), il messaggio m(t) può essere estratto mediante un demodulatore d’inviluppo (§ 10.2.5↑).
Il risultato ottenuto è valido purché x(t) sia privo esso stesso di variazioni di ampiezza: per questo, spesso il derivatore è preceduto da un blocco squadratore, che produce una versione, appunto, "squadrata" del segnale ricevuto e quindi priva di modulazioni di ampiezza. Essendo lo squadratore fortemente non lineare, in uscita saranno presenti, oltre al segnale originario, anche componenti centrate a frequenze multiple di quella della portante, che vengono rimosse dal filtro passa basso a valle dello squadratore.
10.3.2 Densità spettrale di segnali a modulazione angolare↓
Riprendiamo la relazione (11.28↑) che esprime l’inviluppo complesso di un segnale modulato angolarmente nei termini di una serie di potenze:
(11.30) x(t) = aejα(t) = a∞⎲⎳n = 0([jα(t)]n)/(n!)
Innanzitutto osserviamo che la potenza totale di x(t) vale sempre Px = a2, indipendentemente da α(t), e dunque Px = (a2)/(2). Per ciò che riguarda Px(f), in linea di principio non si potrebbe neanche affermare che x(t) sia limitato in banda, vista la presenza delle potenze di qualunque ordine di α(t). D’altro canto, la presenza dei fattoriali a denominatore fa sì che la serie possa essere troncata ad un certo ordine ν < ∞. Se poniamo ora α(t) = kφm(t), osserviamo che quanto più |kφm(t)| è piccolo, tanto prima può essere troncata, con errori trascurabili. In particolare, se α(t) si mantiene sempre molto piccolo, la (11.30↑) può essere troncata al primo termine (n = 1), dando luogo ad un comportamento praticamente lineare.
Se invece α(t) assume valori molto elevati, e quindi (11.30↑) comprende parecchi termini, subentra un secondo aspetto peculiare dell’fm, indicato come conversione ampiezza → frequenza, che può essere descritto tenendo conto che in base alla relazione fi(t) = f0 + kfm(t), la frequenza istantanea presenta scostamenti rispetto ad f0 completamente dipendenti dalle ampiezze di m(t), e quindi l’andamento della densità di potenza Px(f) risulta strettamente dipendente da quello della densità di probabilità di pM(m) che descrive le ampiezze di m(t).
Per valori intermedi della dinamica di α(t), invece, la Px(f) risultante sarà una via di mezzo tra i due casi estremi discussi, che pertanto possono essere pensati come casi limite tra cui porre la densità di potenza effettiva.
Come anticipato, la natura non lineare della modulazione angolare rende necessario studiare ogni caso individualmente; pertanto la determinazione di Px(f) viene svolta per due casi particolari, considerando per questi le due possibilità estreme di α(t) molto piccolo o molto grande, ed i risultati estrapolati per approssimare altre situazioni; i due casi esaminati sono:
m(t) sinusoidale e
m(t) membro di un processo stazionario ergodico.
10.3.2.1 Segnale modulante sinusoidale
Ponendo m(t) = cos(2πwt), si ottiene che la fase modulante α(t) e la frequenza istantanea fi(t) per i due casi pm ed fm, relativi al segnale x(t) = acos(2πf0t + α(t)), risultano:
α(t) fi(t) Δα Δf
PM kφcos(2πwt) f0 + wkφsin(2πwt) kφ wkφ
FM 2πkf∫t − ∞m(τ)dτ = (kf)/(w)sin(2πwt) f0 + kfcos(2πwt) (kf)/(w) kf
in cui si è anche indicata la massima deviazione di fase Δα = max{|α(t)|} e di frequenza Δf = max{|fi(t) − f0|}. Notiamo subito che, in entrambi i casi, sia la fase α(t) che la frequenza istantanea fi(t) variano sinusoidalmente con periodo (1)/(w); nel caso pm l’entità di Δf aumenta con w, mentre nell’fm la Δα diminuisce con w. Nel seguito si farà riferimento all’indice di modulazione angolare↓ β, corrispondente alla massima escursione della fase Δα, che risulta:
β = ⎧⎨⎩ kφ (PM) (kf)/(w) (FM)
Con questa convenzione, possiamo trattare congiuntamente entrambi i casi pm ed fm riscrivendo l’inviluppo complesso come [422] [422] Si è sostituito cos con sin nel caso PM per omogeneità di formulazione, senza alterare la sostanza delle cose.
x(t) = aejβsin(2πwt)
Notiamo ora che x(t) è periodico di periodo (1)/(w), e dunque per esso vale lo sviluppo in serie di Fourier x(t) = a∑∞n = − ∞Xnej2πnwt, i cui coefficienti risultano
Xn = w(1)/(2w)⌠⌡ − (1)/(2w)ejβsin(2πwt)e − j2πnwtdt = Jn(β)
ovvero sono pari [423] [423] Le funzioni di Bessel del primo tipo, ordine n ed argomento β sono definite come Jn(β) = (1)/(2π)∫π − πej(βsinx − nx)dx. alle funzioni di Bessel↓ del primo tipo, ordine n ed argomento β. Queste hanno l’andamento mostrato alla figura 10.22↓,
Jn(β) è reale con ∀n, β
⎧⎨⎩ Jn(β) = J − n(β) n pari Jn(β) = − J − n(β) n dispari
∑ + ∞n = − ∞J2n(β) = 1
Jn(β)≃0 con n > β se β≫1
Figura 10.22 Andamento delle funzioni di Bessel del primo tipo e relative proprietà
in cui sono riportate anche le le proprietà che le caratterizzano: quindi, e quindi i valori di Xn si ottengono tracciando una linea verticale nel diagramma di figura in corrispondenza del valore adottato per β, e individuando il valore di ciascuna Jn per quel β.
Osserviamo ora che l’ultima proprietà mostra come, in presenza di un valore di β elevato, le funzioni di Bessel di ordine n > β siano praticamente nulle: è quindi lecito in tal caso limitare lo sviluppo in serie di Fourier di x(t) ai primi β termini (positivi e negativi), ovvero: xFM(t)≃a∑βn = − βJn(β)ej2πnwt. Pertanto, il segnale modulato x(t) = ℜ{x(t)ejω0t} risulta:
x(t)≃aβ⎲⎳n = − βJn(β)cos2π(f0 + nw)t
e quindi lo spettro di densità di potenza di x(t) ha espressione
Px(f)≃(a2)/(4)β⎲⎳n = − β|Jn(β)|2[δ(f − f0 − nw) + δ(f + f0 + nw)]
ed è formato da impulsi centrati a frequenze f = ±f0±nw ( [424] [424] Integrando l’espressione di Px(f), e ricordando che ∑ + ∞n = − ∞J2n(β) = 1, si ottiene ancora un risultato già noto, e cioè che la potenza totale del segnale modulato risulta pari a quella della portante non modulata, e pari a Px = (a2)/(2), indipendentemente da β.).
La fig. 10.23↑ mette a confronto |X(f)| per f vicino ad f0, ovvero mostra |X + (f)| = (a)/(2)∑βn = − β|Jn(β)|δ(f − f0 − nw), calcolato per diversi valori di β, mantenendo fisso w oppure kf (a sinistra e destra rispettivamente), e ci aiuta a comprendere i ragionamenti che seguono.
Figura 10.23 Spettro di ampiezza per segnale FM a modulazione sinusoidale
Modulazione a basso indice
In questo caso β≪1, e tale da rendere trascurabili le funzioni di Bessel Jn(β) con n > 1. Allora, x(t) occupa una banda pari a 2w, in modo del tutto simile all’AM-BLD.
Modulazione ad alto indice
In tal caso sono presenti più funzioni di Bessel, ed il comportamento non lineare tende a legare Px(f) ai valori assunti da fi(t) = kfm(t), realizzando una conversione ampiezza → frequenza.
In Fig. 10.23↑ sono evidenziati gli effetti dell’aumento di β = (kf)/(w) nelle due circostanze:
Si mantiene w fisso, aumentando kf. Il numero di righe spettrali a frequenza f0±nw aumenta, occupando una banda crescente, e per β molto grande si verifica che Jn(β)≃0 per n > β. Pertanto, la banda occupata tende a B = 2βw = 2(kf)/(w)⋅w = 2kf;
Si mantiene kf fisso, diminuendo w. La banda occupata tende a ridursi, mentre le nuove righe spettrali a frequenza f0±nw si infittiscono. Per β → ∞, la spaziatura w tra le righe spettrali tende ad annullarsi, producendo una Px(f) praticamente continua, e con una banda B = 2kf, ossia pari alla massima deviazione di frequenza istantanea Δf.
Notiamo che in entrambi i casi, all’aumentare di β la Px(f) tende ad assumere la densità di ampiezza tipica del processo armonico, descritta dalla (10.10↑) a pag. 1↑.
Regola di Carson↓
Come mostrato, nei due casi a basso ed alto indice la banda occupata da x(t) varia tra 2w e 2kf rispettivamente. Nei casi intermedi, è pratica comune ricorrere all’espressione
(11.31) BC≃2(kf + w) = 2w(β + 1)
nota come regola di Carson [425] [425] J. R. Carson fu uno dei primi ad investigare la modulazione negli anni ’20, vedi ad es. http://en.wikipedia.org/wiki/John_Renshaw_Carson, che tiene conto di entrambi i fattori che concorrono alla determinazione della banda, e che fornisce i valori esatti sia per β≪1, che per β → ∞, in entrambi i casi in cui kf → ∞ o w → 0.
Sebbene la determinazione approssimata della banda mediante la regola di Carson sia stata ottenuta nel caso di m(t) = cos(2πwt), la stessa espressione è spesso adottata come una buona approssimazione anche per segnali non sinusoidali, ma limitati in banda tra − W e W, e contraddistinti da una Δf = kf⋅max{|m(t)|}. In tal caso, la regola di Carson si applica ponendo ora BC≃2W(β + 1) con β = (Δf)/(W). Per un approfondimento della questione, si vedano i §§ 20.2↓ e 10.3.3.1↓.
A prima vista, l’estensione del risultato per m(t) = cos(2πwt) al caso qualunque appare più che ragionevole; il comportamento non lineare della modulazione angolare impedisce però una sua verifica analitica. D’altra parte, i risultati sperimentali mostrano che l’approssimazione fornita dalla banda di Carson può effettivamente costituire una stima plausibile della banda occupata per segnali modulanti qualsiasi.
In base alla regola di Carson, notiamo ora che la banda occupata dal segnale modulato può risultare β + 1 volte più estesa di quella ottenibile mediante modulazione AM. Nonostante questo aumento di banda possa apparire un fatto negativo, vedremo nel capitolo 13↓ che ciò può produrre un snr dopo la demodulazione migliore di quanto ottenibile nel caso am. Al contrario, se β≪1, il comportamento si avvicina molto a quello lineare (vedi appendice 10.4.4↓).
10.3.3 Densità spettrale FM↓ con processo aleatorio modulante
Riprendiamo il ragionamento iniziato al § 10.3.2↑, relativo all’influenza di pM(m) su Px(f). Considerando che la frequenza istantanea ha espressione fi = f0 + kfm(t), la frazione di potenza tra f1 ed f2 sarà pari alla frazione di tempo che il segnale m(t) si trova tra m1 = (f1 − f0)/(kf) ≤ m(t) ≤ m2 = (f2 − f0)/(kf). Nel caso in cui m(t) sia sinusoidale, con fase iniziale aleatoria a distribuzione uniforme, m(t) è una realizzazione di un processo armonico (pag. 1↑), e la frazione di tempo su indicata equivale alla Prob{m1 ≤ m(t) ≤ m2}. Pertanto le righe spettrali, addensandosi, tendono a disporsi in accordo all’andamento della densità pM(m) [426] [426] In particolare, per β → ∞ risulterà Px(f) = (a2)/(1 − (f ⁄ kf)2), che è il quadrato dell’andamento a cui tendono (per β → ∞) i grafici in basso di fig. 10.23↑, a sua volta rappresentato dalla fig. 5.13↑ a pag. 1↑ come d.d.p. di un processo armonico..
Il risultato a cui siamo pervenuti nel caso di modulante sinusoidale è generale, e pertanto si può affermare che qualora si generi un segnale fm ad alto indice, a partire da un processo con densità di probabilità nota, lo spettro di densità di potenza del segnale modulato acquisisce l’andamento proprio della densità di probabilità del processo modulante, indipendentemente dal suo spettro di densità di potenza.
La conclusione riportata si mantiene valida purché β≫1; nel caso contrario, sono validi i ragionamenti sviluppati al § 10.3.3.2↓.
Esempio un processo uniforme m(t) limitato in banda ±W, con densità di probabilità pM(m) = (1)/(ΔM)rectΔM(m), modula ad alto indice la frequenza di una portante, con frequenza f0 ed ampiezza a, con un coefficiente di modulazione kf. Determinare Px(f) del segnale modulato.
Svolgimento Notiamo subito che la frequenza istantanea fi rimane limitata tra f0 − (ΔM)/(2)kf e f0 + (ΔM)/(2)kf. Inoltre, la potenza totale deve risultare ancora pari a (a2)/(2). Pertanto si ottiene [427] [427] Volendo applicare la regola di Carson per calcolare la banda, si avrebbe (considerando β≫1) BC = 2W(β + 1)≃2(Δf)/(W)W = 2Δf, in cui Δf = kf(ΔM)/(2). Pertanto risulta BC = 2kf(ΔM)/(2) = kfΔM, in accordo al risultato previsto nel caso di modulazione ad alto indice.
Qualora si fosse invece posto β = (σf)/(W) (vedi 10.3.3.1↓) si sarebbe ottenuto BC = 2W(β + 1)≃2(σf)/(W)W = 2σf = 2kf√(PM) = 2kf√((Δ2M)/(12)) = 2kf(ΔM)/(2√(3)) = (ΔMkf)/(√(3)), un risultato che è circa pari a 0.58 volte quello precedente. Data le particolarità di pM(m) uniforme, in questo caso è da preferire il primo risultato.
Px(f) = (a2)/(4ΔMkf)[rectΔMkf(f − f0) + rectΔMkf(f + f0)]
10.3.3.1 Indice di modulazione per processi↓
Ai fini dell’applicazione della regola di Carson, si è posto l’indice di modulazione β = (Δf)/(W), con Δf = kfmax{|m(t)|}. Nel caso di processi, può accadere che m(t) non sia limitata in ampiezza, come ad esempio nel caso gaussiano, rendendo problematica la quantificazione di β. Per risolvere la questione, l’indice di modulazione β è ridefinito ancora una volta, e nel caso in cui m(t) sia un generico processo si pone
β’ = ⎧⎨⎩ σα (PM) (σf)/(W) (FM)
in cui W è la banda a frequenze positive del segnale modulante, σf = kf√(Pm) rappresenta la deviazione standard della frequenza istantanea [428] [428] Infatti, dalla definizione fi(t) = f0 + kfm(t) si ottiene che σ2f = k2fσ2M, in cui σ2M = PM se m(t) è un processo stazionario ergodico a media nulla., e σα = kφ√(Pm) è la deviazione standard della fase modulante [429] [429] Come sopra, partendo dalla relazione α(t) = kφm(t).. L’applicazione della regola di Carson con il nuovo valore di β’, fornisce per la banda un risultato che non indica più la banda totale occupata, ma individua una banda efficace entro cui Px(f) è in larga parte (ma non completamente) contenuta (vedi anche 20.2↓).
Nel caso in cui non risulti β≫1, lo spettro di potenza del segnale modulato FM torna a dipendere da quello del segnale modulante, e si ricade nella trattazione che segue.
10.3.3.2 Modulazione a basso indice↓
In questo caso si suppone l’indice di modulazione β piccolo a sufficienza, in modo che lo sviluppo in serie dell’inviluppo complesso del segnale modulato possa essere arrestato ai primi termini.
Sotto opportune ipotesi, si può mostrare che vale il risultato
Px(f)≃a2 e − σ2α⎡⎣δ(f) + Pα(f) + (1)/(2) Pα(f)*Pα(f) + (1)/(3!) Pα(f)*Pα(f)*Pα(f) + ⋯⎤⎦
avendo indicando con σ2α la varianza della fase modulata e con Pα(f) il relativo spettro di densità di potenza, pari rispettivamente a
Pα(f)
σ2α
k2φPm(f)
k2φPm
k2f(Pm(f))/(f2)
k2f∫w − w(Pm(f))/(f2)df
Osserviamo che se kφ (o kf) tende a zero, Px(f) si riduce ad un impulso, corrispondente alla portante non modulata. All’aumentare di kφ (o kf), aumenta anche σ2α e dunque il termine e − σ2α diminuisce, riducendo la concentrazione di potenza a frequenza portante. Dato che risulta comunque Px = a2, la potenza residua si distribuisce sugli altri termini, rappresentati da Pα(f) e delle sue autoconvoluzioni. E’ immediato notare come, al crescere di kφ (o kf), cresca la banda.
In appendice 10.4.4↓ è illustrata una tecnica di modulazione per segnali FM modulati a basso indice.

References: § 9
 § 20
 § 7
 § 10
 § 10
 § 10
 § 10
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