Source: https://www.scribd.com/document/271554167/3-Algebra-1ro-sec-I
Timestamp: 2018-12-13 21:04:49+00:00

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3 Algebra 1ro sec - I
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MAT3_UNIDAD1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
COLEGIO PARTICULAR
“CORAZON DE JESUS PIONERO DE LA
CIENCIA”
EL SATELITE SPUTNIK 1
Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera nave en órbita
alrededor de la Tierra. Llamado así por la frase rusa "compañero de viaje por el mundo"
(Sputnik Zemli), era un pequeño satélite que sólo medía 58 cm de ancho. Completaba una
órbita en torno a la Tierra una vez cada 96,2 minutos y transmitía información sobre la
atmósfera terrestre. Tras un vuelo de 57 días, volvió a entrar en la atmósfera y se
destruyó.
TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Son aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son sólo
las de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación
entre sus variables en un número limitado de veces.
P  x   x 2  4x  y
4x  y
Q x , y  
 2y  4 
log 2 
R  x , y , z   2  4x 
x .y .z 
R  x   Sen 2x  1
Son expresiones algebraicas
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se clasifican en Monomios y Polinomios.
Monomios: Es la expresión algebraica que consta de un solo término.
T x   x x  1
log x 
R ' x , y , z   3  2x 
x .y .z 
A  x   1  x  x  ......
Se llaman términos semejantes de una expresión algebraica a aquellos
que tienen la misma parte literal, esto es; la mismas letras con los mismos
exponentes. Difieren, entre sí en los coeficientes.
a) 3xyz2; - 3xzy2; –6xyz2 Son términos semejantes
b) 2a2b; –3a2b; 7a2b; –a2b
Son términos semejantes
c) np3; np3, –np3
d) –3a b; 6ab
No Son términos semejantes
. 3x; 7x2y; xy3; 0,7 ab; x2yz3 .
Es aquella expresión algebraica en la que no se enlaza a las variables
mediante la adición y la sustracción, presenta dos partes que con el
coeficiente y la parte literal (parte variable)
Polinomios: Es la expresión algebraica de dos o más términos.
. 4x – 3y ; 5x2 – 3y + xy; 3xy + 5y – 3x + 6 .
Binomio:
Es la expresión algebraica que consta de dos términos.
Son binomios:
. 3x2 – y; 8x2y + y; 2x + 3; 5x2 + 6 .
Trinomio:
Es la expresión algebraica que consta de tres términos
Son trinomios:
. 3x2 – 7x + z; 2a2 + 3ab + b2; 7x3 – 2x2 + 6 .
GRADO DE UNA VARIABLE
El grado de una variable es el exponente de dicha variable.
Ejemplo::
En el término: 7x2y3
 La variable “x” es de grado 2, o segundo grado.
 La variable “y” es de grado 3, o tercer grado.
El Grado Relativo o con respecto a una letra es igual al mayor
exponente de dicha letra o variable en el polinomio.
Dado el polinomio:
3x2y3 – 5x3y4 + 7x5y3
- Grado relativo con respecto a “x” es 5.
- Grado relativo con respecto a “y” es 4.
Dado el polinomio. 5xyz3 + 8x2y3z – 2x3y4z2
El grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.
 El Grado Relativo o con respecto a una letra o variable está dado por el
exponente de dicha letra.
9x3y2 ...... es de tercer grado con respecto a “x”; y de segundo grado con
respecto a “y”.
Grado Relativo con respecto a “x” es 3 y Grado Relativo con respecto a
“y” es 2.
 Grado Absoluto de un término algebraico está dado por la suma de los
exponentes de la parte literal.
El grado absoluto de:
9x3y2 es:
8 5 –6
5x y z es:
8+5–6=7
Grado relativo con respecto a “x” es: 3.
Grado relativo con respecto a “y” es: 4.
Grado relativo con respecto a “z” es: 3.
El Grado Absoluto de un polinomio es igual al grado de su término de
mayor grado absoluto.
El grado absoluto del monomio 3x2y3 es: 2 + 3 = 5
El grado absoluto del monomio 5x3y4 es: 3 + 4 = 7
El grado absoluto del monomio 7x5y3 es: 5 + 3 = 8
Luego; el grado absoluto del polinomio:
3x2y3 – 5x3y4 + 7x5y3 es de octavo grado o de grado 8.
6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5
El grado de un Polinomio puede ser relativo y absoluto.
G.A. del monomio 6xy2z = 1 + 2 + 1 = 4
G.A. del monomio 5x2y = 2 + 1 = 3
A.  15 5x 2 5ab = 5 x 3 x 4 = 60   . geométricas. Si en un ejercicio. c) 5xyz3 + 8xyz3 = (5x + 8)xyz3 = 13xyz3 abc axnym + bxnym – cxnym = (     )xnym 3. sólo se indica la suma o diferencia de ellos.A. del monomio 7xy5 = 1 + 5 = 6 Resolución: Reemplazando el valor de “x” en la expresión dada. si: a = 3. el orden de las operaciones que se ha de seguir es el siguiente: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Para sumar o restar dos o más monomios semejantes se suman o restan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de los monomios semejantes dados. 2. etc. b = 4? 2x 3  6 2 3  6 2 27   6 54  6 48 16      59 45 45 15 5x 2 5 3 2 3 Resolución: Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4. cuando x = –2. Se hacen las sumas o restas de los términos. G. Se efectúan las multiplicaciones o divisiones indicadas. el polinomio: 3x2 + 5x – 6 = 3(–2)2 + 5 (–2) – 6 6xy2z – 5x2y + 10xy4z2 – 7xy5 tiene por grado absoluto 7 ó el polinomio = 3(4) – 10 – 6 = 12 – 10 – 6 = –4 es de séptimo grado. Ejemplo 1: 2x 3  6 5x 2 Si: x11= Resolución: Reemplazamos el valor de “x” en la expresión dada y obtenemos: ¿Cuál es el valor numérico de 5ab. del monomio 10xy4z2 = 1 + 4 + 2 = 7 Hallar el valor numérico del polinomio 3x2 + 5x – 6. físicas químicas. Ejemplos: Sumar: a) 3xy2 + 7xy2 – 2xy2 = (3 + 7 – 2)xy2 = 8xy2 b) 1. Álgebra .  . obtenemos: Luego. 2x 3  6 16 . La aplicación del valor numérico tiene un campo amplísimo en el desarrollo de toda clase de fórmulas aritméticas. para el desarrollo de los ejercicios o problemas. hay distintas operaciones.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO G. en la expresión:  . Ejemplo 2: Álgebra Para sumar o restar dos o más monomios no semejantes. 3x2 + 5x – 6 = –4 .  Orden de Operaciones Es de suma importancia el orden de las operaciones en el curso. Ejemplo 3: VALOR NUMÉRICO Hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio es reemplazar Hallar el valor numérico de la expresión: cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las 3 operaciones indicadas. 5ab = 60 . Se desarrollan las potencias o se extraen las raíces si las hay.
n m . (a2)3 . Ejemplos: a) (5a2b)3 = 53 . 2 . 5a2 = 5 . 8x4 . (2x)2 = (–3)3 . 2x3 = 2 . 2x2 = (6)(x3 + 2) = 6x5   3x3 . x6 . 243x5y10 c) (–4x2z)2 = (–4)2 = (x2)2z2 = 16x4z2 d) (–3x2)3 . (a ) = a n. 5a2 . . (x2)3 . 125a6 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplos: Sumar: a) 3xy + xz = 3xy + 3xz. 4 . Ejemplo 1: Halla el cociente de dividir: 16x4  8x2 an . NOTA: PARA HALLAR LA POTENCIA DE UN MONOMIO SE APLICAN PROPIEDADES SIGUIENTES: n n n . x5(y2)5 = 35x5y10 = . 4x6 . x2) (3 . 22 . b) = a . x2 = –33 . 2x2 = 6x5 Ejemplo 2: Hallar el producto de: 8x4 por –9x2y3 Resolución: 8x4 . 2) (x3 . (a . 12 Ejemplo 1: Hallar el producto de: 3x3 por 2x2 Resolución: 3x2 . A continuación de este producto se escriben en orden alfabético. a2 . = . x3 . Ejemplo 2: (5a2)3 = 5a2 . x2 = –7 .72x6y3  . MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Para hallar el producto de dos monomios se multiplican las coeficientes de ellos. todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. b3 b) (–3xy2)5 = (–3)5 . 4x8 = –108x8. b3 = 125a6z . 2)  Multiplicamos los coeficientes 3 2 (x . a2 . 2x2 = (3 . y3) 8x4 . 3x3 . (–9x2y3) = –72x4 + 2 . (–9x2y3) = 8(–9) (x4 . 5 . 5 . y3 = .m LAS 13 14 . x )  Multiplicamos las partes literales Ejemplo 1: (2x3)2 = 2x3 . b . b) 7ab2 + 8ab – 5b2a = 7ab2 + 8ab – 5b2a = 7ab2 – 5ab2 + 8ab = 2ab2 + 8ab POTENCIAS DE MONOMIOS La potencia de monomios en un caso particular de la multiplicación de monomios. am = an+m Resolución: 16x 4 16  x 4   2   2x 4 2  2 8 x  8x Álgebra .a2. Es una multiplicación de factores monomios iguales. (–9x2y3) = –72x6y3 . RECUERDA QUE: Álgebra DIVISIÓN DE MONOMIOS Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente del dividendo entre el divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético poniéndole a cada una un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene el dividendo y el que tiene en el divisor. x2 . x3 = .
8. Rpta.q – 4 3 p) + q 6 (3p + q) – p} Rpta. barras ___. éste se puede suprimir sin variar los signos de los términos que están dentro del signo de agrupación. Efectuar: 8x – (2x . Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo. llaves { }.2a) – (–3. Reducir: a – (2. 7.5a + 4.. lo podemos suprimir cambiando los signos de los términos que están dentro del signo de agrupación.05x2 + 0. Reducir: 15 y – {– y – [– y – {– y – (– y + x) – x} + x ]} – x Rpta. Álgebra .2x –[0. a + (–b) = a – b Ejemplo:  16x + (–8x + 9y) – 10y = 16x – 8x + 9y – 10y = 8x – y Se suprimen los paréntesis y no cambian los signos de los términos comprendidos entre ellos.. veamos: a – (+ b) = a + (–b) Álgebra =a+b a – (–b) = a + (+b) 1. –6x3 . Efectuar: – [ – 0.7b) + 4b 10 a  6a 7b  4b =     +     = 4a + 11b Se suprimen los paréntesis y se cambian los signos de todos los términos comprendidos entre ellos PROBLEMAS PARA LA CLASE 6 24x 24  x     6x 63  ... se usan para agrupar términos y separar operaciones.3b – 5. Rpta. corchetes [ ]. 2x2 .3) – (–x + 6) 6.4x2 + (0.2q) + (0.  3  4  x 3   4x USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN En álgebra los signos de agrupación: paréntesis ( ). Simplificar: (6x – 3y + 5z) – (–4y – 6z – 3x) +x–y+z Rpta. =a–b RECUERDA QUE: a m  an  am  a m n an Ejemplo 2: Halla el cociente de dividir: (–28x4y6)  (7x3y2) Resolución: 6 Ejemplo:  10a – (6a .2b) Rpta.7x)]] – x 3. Si un signo de agrupación es precedido por un signo positivo. 2.222. veamos: a + (+ b) = a + b .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO . Efectuar: 1 p – (p – 0. Efectuar: {[(2p – 3) – (3p + 4q)]} – {2q – 4.
Simplificar: 4 –{–q + [–p + q – (– 3p – 6q) + 3 1 p] – 0. 5.q} 2 Rpta. 14. Cuando: a 2  x  2   y 3  a  1  Es: A) B) C) 69 –46 –69 Álgebra . Hallar el grado absoluto del polinomio: P(x.z) = 5x2y3z4 + 7x4y7z9 + 9x5y2z7 3y 2  x 2 1 3 . es: A) 2 D) 5. Rpta. 10. 3  3  2 b  c + a–  4 7   4  Reducir: 12a – [– 9a –(–2a + 7) + 3a] – 26    Rpta. 12.(y) = 2 Entonces “a” vale: D) Álgebra C) Reducir: 2 4. 4 2 1  c  b  a 5 3 4  Rpta. 1.R. A) 14 B) 9 D) 18 E) 15 10x y + 12xy2 + 2x2y – 6xy2 – 0 8x2y Rpta. Reducir: 4 3 2 17x y z + 16x4y3z2 – 28x4y3z2 Rpta. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 9.R.. 15. y = –1.. a+b–5 A) B) C) 1 2 3 4 5 E) – B) 16 –7E) –3C) – 12 –4 Los 3/2 de: b–3 El monomio: 3x y Es de G. 11. 17 18 Si: x = 2. el valor de la expresión 2x2y – 3xy2 + xy.y. Reducir: 2 8x y + 16x2y – 10x2y PROBLEMAS PARA LA CASA Rpta. 2.(x) = 5 y G.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Rpta.. Efectuar Rpta. Simplificar: –(– 4x + y) + (5x + 3y) – (x – y) 16 Reducir: –b – {– c – [– d – {– c –(– d  b ) + a} – d] – a} 13.3333.
VETE HACIA LA VISIÓN. VETE HACIA LA VISIÓN. E 3. b = – 4. B 4. 7. EL RESTO ES SÓLO CARNE. D) E) 60 –63 3 3 y + x – 0. E) La expresión: Álgebra D) 10. calcular el valor de “b” A) 2 1 x y 5 4 C) 9 A) B) C) 12 11 13 D) E) 14 4 x–y 5 A) B) C) 3 6 2 5 8 D) 8.5y ES LA QUE Hallar m  N. d = 9.. C C C 10. entonces el valor de b d   2db es: a c 6.2[x5m+3]2 + 7 [xm+1]3 C) D) B) EL HOMBRE ES UNA MIRADA. D 9. PERO AL VERDADERA MIRADA 7.. P(x) = 0. 9.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 3. sabiendo que el polinomio P(x) es de grado 36. c = – 3. B TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES 19 Álgebra . x – 3y y–x C 2.5y AMIGO. A 8. A 5.6x – 0.8x – 0. Al resolver: x – [x – {y – (2x – y)} + x – (–y)] Se obtiene: B) –73 AL DYALAY–AL–DIN–RUMI 3x –y x+y –72 E) CLAVES FUNDE TU CUERPO ENTERO EN TU MIRADA. A) –71 0. E) –77 D) 4 x + 0.2x + Si los términos 6xyb–3.25 y 4 5 equivale a: 0.. –67 0. B) E) 10 VE A) C) x+y Si: a = 2. 2xy10 son semejantes. entonces el valor de “m” es: A) B) C) 6 7 4 D) E) 5 6.5y 5 1. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO En el polinomio P(x) = xm + 3 + xm + 1 + 7 El grado absoluto es 10.
2-4 . 4 veces 2. el resultado de esto se le denomina potencia. xb = xa+b . . . La operación que da origen al exponente es la potenciación. Ejemplos: 3 4  3 x 3 x 3 x 3  81        1. xa . Ejemplos: 1. Ejemplos: 1.  2  5. Producto de Potencias de Diferente Base n veces 5  1  1  1  x   x   x 2 2            2    5 veces 20 28 = 28–4 = 4 24 6  1   4. y)a . . 23 . 3. xa . 43 = (2 . x0  3 Álgebra 7   1  1   x   2 2         3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3                    7 veces . tantas veces como factor. An  A x A x A x . Ejemplos: 1. . mediante leyes. como lo indica otro número que es el exponente. 2 6 = 2–6–(–5) = 2–1 5 2 2  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  64           6 veces n n n x n x n x n . 4)3 2. x A              Base "n " veces . . Cociente de Potencias de Igual Base xa  x a b . 23 . 2. . .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO LEYES FUNDAMENTALES 1. . Producto de Potencias de Igual Base CONCEPTO Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que . existen entre ellos. x n              3. 2–5 . ya = (x . 6 = (3 . . . . 2. 5) Álgebra 21 . b x Representación: . 27 = 2–5–4+7 = 3–2 POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número denominado base. . 3 . . 24 = 23+4 = 27 2.
Exponente Negativo a . Potencia de un Radical 23 Álgebra . .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes  x  x     ya  y  a . 1. Producto de Radicales Homogéneos x . x 3  3 x 5 6. y0 Ejemplos: 1. Álgebra a      y    x   a . . Exponente Nulo o Cero 22  x   y  1. Exponente Fraccionario 5. 3 4 . 5 1 5 5 5 1 5 5 5 . x 3  3 x 2 B 5 2.c . x0 y0 9. Potencia de Potencia a .  2 3 2 3 6 3 5  3 4.y . 2   2   3 2. OBSERVACIÓN:  x   c a b .5  10. 23  3  3 83  8    23  2  3 2.b . a 3 20 a y  a x . a . b0 Ejemplos: 2 (XA)B = (XB)A = XA .  . x0 = 1 . 2.  2x      5    0 1 8.  2 1 xa 1 2 . Ejemplos:  3   2  2  2 3 22 7. x  Ejemplos: 1 1. Ejemplos: 43  4    1. x0 3xy  0 1   3y   2. . . xb b xa  x a .
4 3 10  3  1 1    2 3 0 = ________ x  24 x 4 10  12 10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 5 3 2 2 3 = ________ En cada caso completar: 1.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO . x3 . 2–3 = ________ LO QUE LES CAE LES DEJA UNA IMPRESIÓN INDELEBLE 24 Álgebra Álgebra .c x  2 9. 3 4 2. x2 . 3 2 . = ________ 24 11. 4 = ________ 12. 2 Ejemplos: 1.c . 53 = ________ 8. 23 . a b c x  a . x4 = ________ 2. Raíz de Raíz . x4 = ________ x2 3 4 2 3 = ________ LOS NIÑOS SON COMO EL CEMENTO FRESCO. 2   = ________ 11. 33 . x  a b c  a x b . 54 4.  6. OBSERVACIÓN: a b x bax 5.b .    3 4 = ________ . 2 7. TODO 3. 20 6 = ________ 10 6 10.
25 Reducir: 5 5 210 312   5 23 2 5 310 2 x x  3 9 . n Simplificar: N  Rpta. hallar x    3 1  2 1  2 2 3. 7–2 Se obtiene 6. Rpta. Reducir: 6 1 3 Si x = 8. b Simplificar: Reducir: 3 Rpta. Rpta. 27 . Rpta. 2. 12. STEKEL PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Rpta. 4. 2 4 4 25 1  16 4 2 3 8 Rpta. hallar x Rpta. Si x = 3 A que es igual x2n 7. 3 15. 14. 3 13. Si xx = 2. 11. 3–3 . Reducir: 2 8  4  Cual es el exponente final de b en: b . Álgebra . b0  3 24    4  Rpta. 5 x 1  5 x 5x Rpta. 2 Cual es el exponente de xx en x5x 9. Álgebra  3n 3n 4 x  2  4 x 1 4x Rpta. 3 Rpta. 72 . 5 10. 2–3 . 26 25 Rpta. Reducir  33 3 . 11 5. 24 .b 14 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO W. calcular x–x 2 P  n 1 Rpta. Rpta. Si  2 3 . Luego de operar 3 . Simplificar: 8.
C 7. D) A) B) C) 11 22 33 44 55 D) A) 15 7 3 5  10  13 21 7 3 5 –x E) Reducir Reducir  44  3 A)  .A. C 2. B 9. 9. B 4. B Álgebra . E 3. PROBLEMAS PARA LA CASA 1. C 6. hallar el valor de x2n A) D) 3. C 10. Reducir 23 1 2 1 5 D) B) E) 1 3 1 6 C) 1 4 7. 5. 11 3 D) A) D) 10 8 Álgebra B) E) 12 64 C) 16 27 16 B) 32 27 E) N. 14 28 Si xn = 7. Después de operar 45 . 8–2 6 27 Cual es el exponente final de “a” en: a 5 . 6 n 1 6 n 1 7 B) E) 3 9 C) 5 38 3 B) C) 1 –1 2 –2 3 E) Simplificar Q  6n 4 7 n 2  7 n 1 7n A) B) C) 32 42 49 21 7 D) E) CLAVES 8 1  4 1  2 1  2 2 4. D 8. 34 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 8. a  0 2 Se obtiene: Reducir 5 3 4 36 B) 24 E) 32 C) 48 A) B) C) 10 11 12 D) E) 13 2. 82 . B) 14 16 E) C) 21 1 x Si x = 5. 3–3 . Simplificar:  25 1 A) D) A) 16 D) 8 4  3 C) 16 27 1. a 1 . 4–3 . Calcular x 49 6. C 5.3 27 32 16 . a 3  . P  A) 12 10.
P(x) = 3x2 – 5x + 7 – 2x3 Es completo de grado 3 2. P(x. Ejemplo: P  x. GR(x) = 4 Propiedad: En todo polinomio completo Número de términos = G. SI TE IMPORTA TANTO QUE ESTÁS DISPUESTO A LUCHAR OBTENERLO. Polinomio Ordenado Cuando el exponente aumenta o disminuye de manera ordenada: ASEGURO QUE TU VIDA ESTARÁ LLENA DE ÉXITO. Ejemplos: 1. + 1 3. Polinomio Completo Si existen todos los grados incluyendo el término independiente.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO b) Para un Polinomio: se obtiene como el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman SI NUNCA ABANDONAS LO QUE ES POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que tienen ciertas características y de acuerdo a ello son: IMPORTANTE PARA TI. Polinomio Homogéneo Es homogéneo si cada uno de los términos tiene el mismo G. GRADO DE UN POLINOMIO 1. Álgebra 30 Es ordenado y creciente respecto a “b” Es ordenado y creciente respecto a “a” 2.y) = 5x + x2y + 4x5 Es ordenado creciente respecto a “x” R  a .A. 29 CONCEPTO Es aquella expresión algebraica con 2 o más términos. Q(x. Álgebra . Grado Absoluto (GA) a) Para un Monomio: se obtiene sumando los grados relativos. PARA TE 1.y   54x 4 y 5  2xy 2  x 10 y Luego: GR(x) = 10 GR(y) = 7 2. Grado Relativo (GR) Es el mayor exponente de la variable en referencia.A. PORQUE LA EXCELENCIA NO ES FÁCIL PERO VALDRÁ LA PENA. b   2a 5  2a 3b 6  8ab 12 R. SERÁ UNA VIDA DURA. hasta un grado determinado Ejemplos: 1.y) = 3x – 2y2 + 5x2y + x3y4 – 2x4y3 Es completo respecto a “x” e “y” y GR(y) = 4. BACH TEMA: POLINOMIOS 2.
b) Polinomio Mónico Un polinomio es un monomio cuando el coeficiente principal es 1. Ejemplo: Sea: P(x) = 3x2 + 6x + 1  coef  P  1  3 1 2  6 1  1  2  1 x7y4 4.y) = (x + y)2 – 4xy Q(x. P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1 P(x + 1) = 3x + 3 + 1 P(x + 1) = 3x + 4 2. Ejemplo: Sea: P(x) = (5X + 3)2 T.I.y) = (x – y)2 a) Polinomio Idénticamente Nulo Un polinomio es idénticamente nulo.y) = 32x3y4 + 20x6y – 10x2y5 Propiedad: Términos Semejantes: Dos o más términos no nulos son semejante si solo difieren en los coeficientes. 32  coef  P  1  3  6  1  10 3. Polinomio Idénticos Dos o más polinomios son idénticos cuando tienen los mismos valores 31 numéricos para cualquier valor de la variable  coef .y) = 21x7y4 T2(x. Ejemplo: A(x) = 1 + x2 + x3 B(x) = 9x4 + x3 + x5  P 1 . Suma de Coeficientes Ejemplo: T1(x.y) = 5 x7y4 T3(x.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplo Sea P(x)=3x + 1  P(x + 1) = Ejemplo: P(x. Término Independiente: . = P(0)= (0 + 3)2 = 32 = 9 Propiedad: 1.y) =  Ejemplo: P(x.  P  0  .I . Cambio de Variable Álgebra Álgebra . si para cualquier valor de su variable el polinomio se anula. T .
(x) = 8 2a + b = 8  b = 8 – 2a . tiene G.(y) = _ _ _ _ _ G.y) = ax2y3 + bx4y5 Hallar G. = 15 Álgebra .(x) = _ _ _ _ _ G. =_____ 33 EJERCICIOS TOMADOS EN LOS CONCURSOS DE MATEMÁTICA 34 1.R. P(x) = 1 + 2x3 + 3x2 + 5x + 6x4   Álgebra G.A.y) = 6x3 + 5x2y+ 4xy2 + -3x3 Con respecto a “x” _ _ _ _ _ Con respecto a “y” _ _ _ _ _ 4.. Ordenar el polinomio P(x) de manera decreciente. Calcular: (a – b) si el monomio: M(x. Si R(x. (I) G.R. ¿Cuál es el coeficiente principal de: Q(x) = 5x2 + 3x4 – 2x + 3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1.A..y) = 5x2a +b ya + 2b 2.(x) = 8 A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 3 Resolución M(x.R..y) = 5x2a + b ya + 2b. = 15 y G.R. ¿El siguiente polinomio es completo? P(x.A.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 3.
(y) = 6 m + n2 = 6  m = 6 – 2n .R.y) = x Por dato: Álgebra a a 2 y a 2 E) 20 35 A m . obtenemos: 2(6 – 2n) + 3n = 10 36 12 – 4n = 3n = 10  .. (II) Reemplazamos (I) en (II): 3a + 3(8 – 2a) = 15 3a + 24 – 6a =15  9 = 3a  .. Calcular el grado de Q(x.y). m+n=2+2=4 .B P  A n . es: 19 . ya + 5 Q(x. G. si se sabe que el monomio: P(x. = 10 (m + n) + (m + 2n) = 10 .. B  2 2  8x Determinar: F(98) G. 7=a . 2=n .. 3. (II)  Reemplazando (I) en (II). a–b=3–2=1 .B n En el:  3 p m n x y a C) 5  3 a 2 a + 3 = 2a – 4 .R.(Y) = 6 Álgebra . Reemplazamos el valor de a = 3.. G.A. D 4. reemplazamos el valor de a = 7 en el monomio: Q(x.y) = xa . en (I) m = 6 – 2(2)  m = 2  . (I)  G. siendo el grado de este monomio: 7 + 12 = 19  .A. A a 2 A) B) 16 17 Resolución Aplicando la propiedad: a a+5 es 2.A. = 10. A) 3 Si el grado de: F(x.y) = x y C) 18 D) 19 F(x. x a y 3 .y) = Rpta.y) = F(x..(Y) = 6  . obtenemos: a 3  2 a 2 a 2 a 3 2  a 2 B) 4 Rpta. Siendo F(x) = x Rpta.y) = 4nxm + nym + 2n es de: G. Luego. a + 3 = 2(a – 2) D) 6 Resolución  Por dato:  G. E) 8 Reemplazamos el valor de n = 2. y12.. b=2 . Calcular: “m + n”.. 2. El grado de: Q(x.y) = x7.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO (2a + b) + (a + 2b) = 15 3a + 3b = 15  .R.. a=3 . = 10. en (I) b = 8 – 2(3)  . y7 + 5 = x7 .
x  7. a=2 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO A) 108 COLEGIO PRE UNIVERSITARIO B) 102 Resolución  Aplicando: Obtenemos: F(x) = x F(x) = x  4x  4  2 C) 98 D) 100 E) 1000  Calculamos: 2 2 .R. 2 F(x) = x + 2 de esta expresión. B Si el grado de “A” es 8 y el grado de “B” es 4. Resolución Como f(x) es un polinomio de primer grado Será de la forma: f(x) = ax + b  .y) = 2yxm + 1 – 3xmyn + 5 . y en “y” a 9. Del polinomio: P(x. Luego el grado absoluto del polinomio es: . 5=b .B) = A – 2AB + B . x 6. n=7 . f(–1) = a(–1) + b 3 = –a + b 3 = –a + 5  Rpta. Tiene el grado relativo en “x” a 7. Calcular el grado de: 7 . E Si: P(x. calculamos: F(98) = 98 + 2 = 100  f(1) = 2(1) + 5 2  2x .y) = 2yxm + 1 – 3xmyn + 5 . F(98) = 100 . Luego:  f(0) = a(0) + b .(x) = 7 m+1=7  E) 7  37 38  Álgebra .  2 2 . m=6 . Rpta. yn + 2 . D Si f(x) es un polinomio de primer grado tal que verifique: i) f(0) = 5 ii) f(–1) = 3 Según ello determine f(1) A) B) C) D) 3 4 5 6 A) B) C) D) E) 7 13 9 16 14 Resolución  G.  G. B 3 A) B) C) D) E) 2 3 4 5 6 Resolución Álgebra .(y) = 9 n+2=9  . Rpta. (A .R. yn + 2 . 2  2  8x 2 De la expresión: f(x) = ax + b f(x) = 2x + 5 A2 . x.  5. hallar el grado absoluto del polinomio. m + n = 6 + 7 = 13 . f(1) = 7 .
n=1 . G.y) = 3xm + 1 . el grado de cada monomio debe ser 39 igual.y) = (9 – n + 3)x2y + (m – 2)xy2 P(x.y) es idénticamente nulo. yn + 2 A) B) C) D) E) 1 2 3 4 5 Rpta. yn + 3 + 2xa . hallar 2 2 2 m n4 2 40 P(x. m=0 .y) = 3xm + 1 . Rpta. Cuando las expresiones se multiplican los grados se suman: Grado (A2B3) = 16 + 12 = 28  Grado (A2B3) = 28    8. calculamos el grado relativo de “y” G.y   x n  4  2x n 1 y n 2  4y 5 m A) Luego.y) = (9 – n)x2y + mxy2 + 3x2y – 2xy2 P(x.(y) = 5 – m = 5 – 0 = 5  10.y) = (9 – n)x y + mxy + 3x y – 2xy A) B) C) D) E) 15 14 12 225 144 Resolución  En primer lugar agrupamos los términos semejantes de la manera siguiente: P(x. Rpta. Cuando la expresión está afectada por un radical el grado se divide por el índice radical  Grado  7 A2B3  . 2=m . yb + x2m .y) = (12 . 28 4 7  Determinar “m” si el siguiente polinomio es homogéneo P(x. yn + 2 Es homogéneo: m + 1 + n + 3 = a + b = 2m + n + 2 m + n + 4 = a+ b = 2 m + n + 2 Indicar el grado relativo de “y en el polinomio homogéneo: 2 P  x.R. D Resolución  Como el polinomio: P(x. B Si el polinomio P(x.n)x2y + (m – 2)xy2 Álgebra 41 42 . m + n + 4 = 2m + n + 2 . ii) Álgebra 2n + 3 = 5 – m 2(1) + 3 = 5 – m 5=5–m .R. 9. o sea: n2 + 4 = 2n + 3 = 5 – m i) n2 + 4 = 2n + 3 n2 – 2n + 1 = 0 (n – 1)2 = 0 . B3  4 . Grado  7 A2 . yb + x2m .(y) = 5 . yn + 3 + 2xa .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO  Grado de “A” = 8  Grado de (A2) = 2 x 8 = 16  Grado de “B” = 4  Grado de (B3) = 3 x 4 = 12   . C i) B) C) D) E) 1 3 4 5 7 Resolución  Como el polinomio es homogéneo.
.y) = 3xm + 1 . yn + 3 + 2xa . Luego: m Luego: A +B + C =  . debe cumplirse que: i) (12 – n) = 0  . a b c   n 4  2 12 4  12 4 / 2  12 2  144  .  . TIERRA. Álgebra .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO  COLEGIO PRE UNIVERSITARIO iii) .y) = 10xa + 1 y4 Términos semejantes. C) (Ax2 + Bx2) – Cx + B = ERES MI COMPAÑERO EN EL SENDERO DE LA VIDA Y MI AYUDA PARA COMPRENDER EL SIGNIFICADO PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. yn + 2 Sea idénticamente nulo. Para que este polinomio: P(x. B = –1 . 2 Rpta. a+b 5. C TU ERES MI HERMANO PORQUE ERES UN SER HUMANO Y AMBOS SOMOS HIJOS DE UN ÚNICO ESPÍRITU SANTO. Si P(x) = x2001 – 3x2000 + 1. A B  . ii) m–2=0 . 12 = n . yb + x2m . 1 + (–3) 2 5 . SOMOS Rpta.. D) –3/2 –1/2 –582 5/2 Resolución Agrupamos los témanos de manera la siguiente: (A + B)x2 – Cx + B =  i) ii) Álgebra –C = 3 KAHIL GIBRÁN E) 3/2 1 2 x + 3x – 1 2 1 2 x + 3x – 1 2 Identificando: 1 . Sean: R(x. Hallar A + B + C en la identidad: Ax2 + Bx2 – Cx + B = A) 1 2 x + 3x – 1 2 B) DE LA VERDAD OCULTA.m=2 . C = -3 . m n 4  144 . Hallar P(3) hallar Rpta. E IGUALES Y ESTAMOS HECHOS DE LA MISMA 11. 2 ERES HUMANO Y ESTO BASTA PARA QUE TE AME COMO HERMANO.y) = 3x3y6 H(x.
3. calcular su término independiente. Sea P(x) = 2x + 3. LO QUE SI Sea: P(x) = ax + b . Rpta. un polinomio de 3er grado. calcular el exponente “x” en Q 8. a  0 2 2 Sea P(x) = x + x – a . Sean: P(x) = ax2 Q(x) = 3xa + 2 Si P y Q tienen el mismo coeficiente. 2. un Si el coeficiente principal de: P(x) = x2 + (a + 3) x3 + 2x + a Es cinco. hallar 12. R(2n) = 4. c Sea P(x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x3. FRANCISCO JARAMILLO Si Q(x) = x + 3 y Q(a) = b Calcular b – a Si QUE SIEMPRE SERÁ MUCHO MÁS 13. ME PREGUNTAS ¿QUÉ ES DIOS? NO SÉ QUÉ DECIRTE. polinomio cúbico. Además P(2) = a. Rpta. P(x–2) Sea P(x) = (a + 3) xa + 3x + 5. Rpta. calcular: Álgebra f(x) DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANA PUEDE OFRECERTE.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Rpta. Rpta. c  0 Además P(1) = 0. Hallar PROBLEMAS PARA LA CASA 44 1. Rpta. x 1 hallar 14. calcular P(2) 7. Sea: P(x) = ax2 + bx + c.y) = 4x4 ym 4. PUEDO AFIRMAR ES a+b Rpta. a b . P(a) = 3. Si P(x + 1) = 5x + 2. Sea: P(x) = xa + x2 + x + 1. 4. Hallar P(x) Rpta. Hallar el término 43 independiente de P(x) Rpta. Rpta. calcular su coeficiente principal 11. f f 3   Si R(x) = x + 2. 9. Hallar P(0) + P(1) Rpta. Sean: P(x. 10. Hallar n2 15. Rpta. Sean: A(x) = Kx2 Álgebra . = 2x  2 . Rpta. Rpta. 6.
y) = 10xn+2y5. B) 3 E) 1 C) 7 A) 6 D) 16 Si el coeficiente principal de: Q(x) = x4 + (k + 2)x5 + 2x + k. hallar el coeficiente del término principal. C 6. A) 2 D) 8 B) 4 E) 9 8. un polinomio de 3er grado. Calcular a A) 5 D) 8 B) 6 E) –8 C) 3x+2 Si P(x+3) = 3x + 4. Hallar d A) 0 D) 5 Si Q(x)= x800 – 2x799 + 3.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Q(x. 7. D 2. x 3 + n. calcular el exponente de x en “B” B) 1 E) 4 A) 3x-2 D) 3x C) –1 10. calcular su término independiente: A) 8 D) 1 3. Hallar Q(2) A) 1 D) 4 6. Hallar m + n. a  0 y B) 2x+3 E) 2 B) 5x+3 E) 5 C) 3x–5 C) –7 C) 6 CLAVES 1. C 7. Si son términos semejantes A) 2 D) 8 2. hallar P(x+1) 45 Sea: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Además a b c P(1) = 0. B) 6 E) 5 n Álgebra C) 50 B) 7 E) 1 CUALQUIER COSA QUE VALGA LA PENA HACERSE BIEN. Hallar P(x) A) 3x+5 D) 3x Si P(x) = ax2 + b. VALE LA PENA HACERLA DESPACIO. Sea P(x) = 3x + 5. C Álgebra . GIPSY ROSE LEE 9. calcular P(3) B) 40 E) 70 5. es 5. b además P(3) = a. C) 8 B) 2 E) 6 C) 3 Sea: R(x) = (K + 2) xK–1 + 3x2 + 6 Un polinomio de 5to grado. C) 3 Sea: R(x) = xn + nx2 + A) 30 D) 60 B(x) = 5xk+3 Si A y B tienen el mismo coeficiente.
. 5 . 5 = 20a 4  a  b  3  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3  a  b  3  a 3  b 3  3ab  a  b  Ejemplo:  (2 + 3)3 = 23 + 3 . .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 3.P. C 9. 22 .) Ejemplos:  5  2  5 2  3 8. Binomio al Cubo 46 CONCEPTO Son los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa. . (a  b)2 = a2  2ab + b2 . D 8.  32 6 2  52 6 2 4 a  b  3 a  b  3 47 4. P  x 2  2xy  x 2 2. E 4. a2 – b2 = (a + b) (a – b) . 32 + 33 (2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27 (2 + 3)3 = 125 1. C 10. C . Producto de Binomios con Término Común (a + 5) – (a – 5) = 4a . Simplificar: N = (a + b) (a – b) + b2 2. Diferencia de Cuadrados Álgebra Álgebra 48 . 2  5 2   2    8 2 10 . 7  56 10 EJEMPLOS DE APLICACIÓN Simplificar: 1. 2 . Ejemplos:  (x + 2) (x – 2) = x2 – 4   TEMA: PRODUCTOS NOTABLES   2 1  5 2  2 1  21  1  3. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T. C 5. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab . 3 + 3 .  a 3  3a 2b  3ab 2  b 3  a 3  b 3  3ab  a  b  . Identidades de Legendre  (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab  (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)    3 2  2 2   3 2 2 3 2   2 2   5 2   5 2  .C. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES .
7. Rpta. Si: a + b = 2 hallar a2 + b2 Rpta.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 3. 3. 2. Simplificar N 3 a 3  b 3  3ab a  b  1. calcular (x + y)2 y ab = 1. Rpta. Álgebra Si (x + y + 1) (x + y – 1) = 1. Reducir:  a  b a  b  b P 49 Sabiendo que: (x + 1)2 =3. 6. x   a  b x 2 Rpta. Simplificar: N  x 2  2xy  y 2 Rpta. Si a + b = 16. Calcular x2 + 2x – 2 Si (a + 2b) ( a – 2b) = 0: b 2  a   b  0. Simplificar: N   x  a   x  b   ab 8. 4. Si a + b = 4 hallar a3 + b3 y ab = 3. calcular  2 Rpta. 9. Simplificar: Q  a 2  2ab  b 2 COLEGIO PRE UNIVERSITARIO PROBLEMAS PARA LA CLASE 4. Álgebra . Rpta. Rpta.
x COLEGIO PRE UNIVERSITARIO hallar 10. 12. x 51 Hallar 1 x  2 x – 4a + 1 = 0. SI 1 a3  3 a PROBLEMAS PARA LA CASA a 1  3. 2 A)  y  2  x  y  2 B) 2 xy  4. Simplificar: 50 N 14. C) 4 xy D) xy A) B) C) 12 13 14 15 16 D) E) Reducir: Q  x  y  x  y   y 2 A) B) C) x x2 xy y2 y D) Álgebra x Si: x  5. Rpta. Rpta. 1 x2 Si: a – b = 2 Hallar a 3 – b3 y ab = 15. 15. 11.  x  3 x  5  x 2  8x  15 Rpta. Sabiendo que: (x + 2)2 = 36. 13.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 5. Simplificar: E) 6. Rpta. a hallar 1. N  Si: 4ª calcular: 4a + 3 Rpta. Si x2  x 1  3. 2 Rpta. hallar x2 + 4x – 2 A) B) C) 10 20 30 D) E) Álgebra 36 . 4xy E) 5xt 2. Reducir (x + 1) (x – 1) + (x + 2)x + (x + 3) (x + 1) – x2 Reducir: P = (x + 4) (x + 2) – 6x – 8 Rpta.
C 3. CLAVES Simplificar: N  x  4  x  5  20  7. b  D) Hallar x2 + y2 9. A 7. B 4. se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor: Álgebra . hallar (a + b)2 D)  a 0. MAMIE MC CULLOUGH  y   4xy 2 A) B) C) 5 3 2 1/2 4 D) A PEQUEÑOS Si x – y = 4 Simplificar: N  1. y = 6. E 5. A) D) Si (a + 3b) (a – 3b) = 0. x 2  9x A) B) C) 0 1 4 8 14 D) 4. hallar a3 + b3 A) B) C) 36 72 144 216 108 D) Si (a + b + 1) (a + b – 1) = 3. E EL ÉXITO CONSISTE EN UNA SERIE DE ESFUERZOS DIARIOS. E) Si: x + y = 5 y 52 8. E) x 6. C 2.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 40 3. C 10. C 9. B) C) 11 12 13 14 15 E) A) B) C) 6 7 8 9 Álgebra E) 10 2 A) B) C) 3 6 9 12 15 E) Si (a + b) = 6 y ab = 8. 50 10. calcular    b x . E) TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA 53 DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO Para dividir polinomio entre un monomio. B 8.
Este segundo término se multiplica por todo el divisor y este producto se resta del residuo anterior. 4. 3. Se divide el primer término del segundo residuo. Ejemplo: Dividir 54 7x – 3 + 2x4 – x3 entre 2x + 3 Resolución: Ordenando en sentido decreciente y completando 2x4 – x3 + 0x2 + 7x – 3 ente 2x + 3 Álgebra El cociente es x3 – 2x2 + 3x – 1 y el residuo es cero Ejemplo: Dividir Cociente Q(x) = _ _ _ _ _ Cociente R(x) = _ _ _ _ _ MÉTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIÓN Coeficientes Separados 55 En la división de polinomios de una sola variable podemos prescindir de la parte literal.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Ejemplo: Sería: 42x y  21x y  35x y 7 xy 2 6 5 3 7 5 2  42x y 7 xy 2 6 5  21x y 35x y  2 7 xy 7 xy 2 3 7 5 2 = 6x5y3 – 3x2y5 + 5x4 DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS Para dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla práctica: 1. entre el primer término del divisor para obtener el tercer término del cociente. 2. Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto se resta del dividendo. Para ello se coloca cada término de este producto debajo de su semejante cambiando de signo. Se continúa análogamente a los pasos anteriores hasta que el residuo sea un polinomio de menor grado que el divisor. entre el primero término del divisor. para obtener el segundo término del cociente. Se ordenan el dividendo y el divisor según la misma letra. 6. 5. 7. Ejemplo: Dividir Álgebra . dejando espacios para los términos que faltasen. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. Se divide el primer término del residuo.
En el ejemplo: Cociente Q(x) = _ _ _ _ _ Cociente R(x) = _ _ _ _ _ Método de Horner 56 Primeramente se trazan dos rectas que se intersecten.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 20x3 – 2x2 + 16 x + 2 entre 4x – 2 Ejemplo: Dividir: 2x4 – x3 + 4x2 + 5x – 1 entre 2x2 + x – 1 Q(x) = 5x2 + 2x – 3 R(x) = 2 Ejemplo: Dividir: x5 + 2x4 – x2 + 3 entre x2 – 2x + 1 Para comenzar a dividir se traza otra raya vertical entre los coeficientes del dividendo. Álgebra Álgebra . colocando los productos debajo de los números que le siguen al primero. coeficientes del divisor con el signo cambiado. Encima de la vertical izquierda se coloca el primer coeficiente del divisor con su propio signo en ese mismo sitio y debajo de la horizontal se coloca el resto de Para empezar a dividir 1. Se divide el primer término del dividendo entre el número encerrado 57 en un círculo el resultado se coloca debajo de la segunda raya horizontal y se multiplica por cada uno de los número que estén a la izquierda. Además se traza otra recta horizontal para colocar debajo de ella la respuesta. ésta raya servirá para separar el cociente del residuo. Encima de la recta horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo. el número de columnas a contar de derecha a izquierda es igual al grado del divisor. de la raya vertical y debajo de la recta horizontal. una vertical y otra horizontal.
LACORDAIRE Ejemplo: Dividir 58 5 + 7x4 – 18x3 + 10x2 + 7x – 9 entre 3x3 + x2 + 2 6x Álgebra Para comenzar a dividir se procede de la siguiente manera: 59 Álgebra . Encima de la raya horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los coeficientes del dividendo con su propio signo y encima de la raya horizontal y a la izquierda de la vertical se coloca el valor de “x” que anula al divisor. Se suma la siguiente columna. 3.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 2. LA DESGRACIA ABRE EL ALMA A UNA LUZ QUE LA PROSPERIDAD Ejemplo: Dividir: x3 – 2x2 + x – 5 entre x – 2 NO VE. La operación se realiza hasta completar el resultado correspondiente a todas las columnas. se trazan dos rayas que se intersectan. 1. luego de esa raya la suma de las columnas ya no se divide entre el número encerrado en la circunferencia. Q(x ) = _ _ _ _ _ _ R(x) = _ _ _ _ _ _ Método de Ruffini Este método es aplicable a divisores de la forma: (x  a) y con ciertas restricciones a divisores de la forma (axn  b). Divisor de la forma (x  a) Para dividir por el Método de Ruffini. después de la 2da raya vertical. una vertical y otra horizontal. el resultado se divide entre el número encerrado en una circunferencia y se coloca como resultado debajo de la raya horizontal. se procede igual que en el paso anterior.
SPENCER Álgebra .x=3. DE SINO POR LA FRECUENCIA CON QUE UNO Y EL OTRO SE COMPRENDEN H.x=__. Procedimiento: 1. 2. 27 + 5 . 9 + 7 = 81 – 45 + 7 = 43 Ejemplo: Calcular el residuo de dividir: x3 + +2x2 – x + 2 entre 2x – 1 Igualamos el divisor a cero 2x – 1 = 0  . Se emplea cuando el divisor es de la forma ax  b o transformable a ella. sin necesidad de efectuar la división. Se iguala al el divisor a cero encontrándose un valor de la variable. Q(x) = x2 + 1 R(x) = –3 Ejemplo: Dividir x5 – 8x3 + 4x2 – 5 entre x – 2 Este valor de “x” se reemplaza en el dividendo 3x3 – 5x2 + 7 Residuo (R)= 3(3)3 – 5(3)2 + 7 = 3 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 3x3 – 5x2 + 7 entre x – 3 Igualamos el divisor a cero x–3=0 . Q(x) = _ _ _ _ _ R(x) = _ _ _ _ _ TEOREMA DEL RESTO Este método se emplea para calcular el residuo en forma directa. El valor encontrado se Reemplaza en el polinomio dividendo obteniéndose un resultado el cual será el residuo Ejemplo: Calcular el residuo del divisor: 60 Álgebra Reemplazando Residuo (R) = _ _ _ _ _ NO SE AMOR MIDE EL POR EL NÚMERO CARICIAS.
Hallar el cociente aplicando Horner 6x5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 + 12x – 3 entre 3x3 – 5x2 + 3 Rpta. 13. 14. Cual es el valor que deberá tener “K” para que al dividir 4x5 – 2x3 + K – 2 entre x – 2. Rpta.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Rpta. Al dividir x 4 – 2x 2 2x  5x 3  3x  6 x 2 – 6 x + 3. Rpta. 6. 2. Rpta. 3. El cociente de la siguiente división: 62 x3 + 3x2 – x – 3 entre x2 + 2x – 3 es: siguiente 10. Efectuar la división Indicar el residuo 6x 3  5x 2  4x  4 x 1 61 Calcular “n”. Indicar la suma de coeficientes del cociente luego de efectuar: cociente Rpta. el residuo sea cero Álgebra . 2x 4  x 3  3x 2  20x  10 2x 2  3x  1 Álgebra Hallar el cociente en: x  6x 4  2x 3  x  1 x 3  3x 2  1 Rpta. 12. Indicar el término independiente del resto de la siguiente división Hallar el residuo en 4 entre Rpta. si el resto de 9. Hallar el cociente aplicando Ruffini x4 – 3x3 + 5x – 8 entre x + 2 Rpta. Hallar el coeficiente del término cuadrático en: 2x 4  x 3  7 x  3 2x  3 Rpta. 8. PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Rpta. el residuo es: 7. Rpta. 15. Hallar el cociente en: 38x 4  65x 3  27 2x 2  5x  3 5 Rpta. 11. Hallar el aplicando Horner x 5  27x  x 4  7 x 2  10 x2 x 5 Rpta. 6x 3  x 2  2x  6 3x 2  2x  1 4. la división es – 15 2x 3  nx 2  4x  n 2x  n Rpta. Indicar el residuo de la siguiente división 2x 7  4x 6  2x  3 x 2 5.
4 e indicar el término independiente del cociente 3 A) 1 D) 9 Calcular “n” si el resto de la división es cero 6x 2  x  2 2x  1 El residuo es: A) 7. 3. C) 1 D) –1 E) 0 2 –2 Efectuar del la cociente.L. DE PUBLICACIONES “Manuel Scorza” siguiente división V. C) 1 D) 2 E) –2 3 0 Hallar el cociente en: 3 9.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO independiente del resto en la DPTO.B. 2 x  10x  14x  9 x 2  4x  3 A) x+1 D) x–6 8. 2x 3  11x 2  18x  n x 4 E indicar el cociente B) B) x–1 E) x+7 C) x+6 Al dividir: A) B) 3 3 x –4 D) X +4 E) x2–3 2x3+1 Dividir usando Horner 5y  9y 4  3y 6  10 y 3  3y  4  8y 2 10. la suma coeficientes 2x 3  x 2  3 x 1 después de efectuar. Indicar el residuo en la 4. A) B) C) A) B) C) x+1 D) 3x–2 E) 3x+2 12 D) 36 E) 42 2x+3 2x–3 6 24 Álgebra el término 6. siguiente división: Indicar 63 de x 2  15x  56 x 8 B) 2. 6x 2  9x  27 3x  9 PROBLEMAS PARA LA CASA 1.E. 3y 3  2 y 2  5 y  4 C) x2–5 Dividir usando Ruffini 2x – 11x2 + 18x – 24 entre x. Calcular siguiente división: A) x 6  7 x 3  12 x 3 3 B) 3 E) –3 C) 6 5 e indicar la suma coeficientes del cociente A) 0 D) 2 B) 1 E) 3 C) –1 de Dividir usando Horner 31x 2  x 6  8x  5x 5  21 x 3  7  2x e indicar el coeficiente del término cúbico A) 0 D) 2 B) 1 E) –2 C) –1 Álgebra . 64 A) B) C) 5 D) –5 E) 6 –6 7 5.
B TEMA: FACTORIZACIÓN (I) 65 CONCEPTO La Factorización es un procedimiento mediante el cual un polinomio se expresa como producto de sus factores.C. B 7. Ejemplo: 5a(x – y) + 10b2 (x – y) Se procede de igual forma que en el caos anterior Álgebra Álgebra . D 3. Factorizar: 2. 49 – 25x2 = (7 + 5x) (7 – 5x) 3. en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o reducible o no primo.15 3  M.15) = 3 2 5 66 El menor exponente de x es 2  el factor común es 3x2 Luego 3x2 (2x – 5) 3. (6.D.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO grado de P(x).D. C 6. m2 + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3) = (m + 3)2 POLINOMIO PRIMO O IRREDUCIBLE Un polinomio P(x) es primo o irreducible cuando no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo menor que el Factorizar 6x3 – 15x2 Hallamos el M.C. Factor Común Monomio Se determina el MCD de los coeficientes y se toma la variable común con el menor exponente. Ejemplo: 1. de 6 y 15 6 . Factor Común Polinomio El factor común es un polinomio. A 2. CLAVES 1. Ejemplos: 1. B 4. 5a + 5b = 5(a + b) 2. D 9. 5. D 8. E 10. Factorizar: 3x2y + 6xy2 – 3x2y2 2. C MÉTODO DEL FACTOR COMÚN 1.
BRIDA Al factorizar 3 16z + 20z2 + 4z4 + 12z5. 7x + 7y Rpta. Rpta. Rpta. 5. Rpta. 9. Rpta. 13. El factor común de x 2 – x2y 2. Factorizar: 1 – x + 2y(1 – x) Rpta. Si: x – y = 5 Hallar mx + my y m = 4. Rpta. Rpta. Rpta. PROBLEMAS PARA LA CLASE Factorizar (a + b)x – (a + b)y – a – b Factorizar: 12n m4 – 18n3m7 5 Álgebra .(5x10) = 5 24x3 – 16x2 + 8x Factorizando tenemos 5(x –y) (a + 2b2) Rpta. LAS PERSONAS RECONOCEN A SU VERDADERO AMOR. Factorizar: 1 1 x  5 5 75 11. 14. Factorizar: y3 + ny3 Rpta. Rpta.C.D. Factorizar: 3 18x + 6x2y + 4xy2 – 10xy POR EL BRILLO DE LOS OJOS. obtiene: 1. es: Rpta. Factorizar: (ax – bx + cx) + (ay – by . 4.COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO M. 3. DESDE 8.cy) – 76 a+b–c 12. Factorizar: 4 4x y – 2x5 + 6x3y2 – 2x2y3 15. 7. Factorizar: 6. se 10. Factorizar: –a – b + 2(a + b) Factorizar Álgebra Factorizar: –x2y – 4x2 Rpta. EL COMIENZO DE LOS TIEMPOS.
C) 7x2y2 En la siguiente expresión x2n3 + m3x2 + m5n4. hallar el valor de (p + q)x + (p + q)y A) 16 D) 16 C) y–9 Uno de los factores de: (a+2b) (2a+b) – (a–2b) (5b-3). n2 Rpta. 2 B) a + 3b + 3 a – 4b + 3 2 D) 2 8. B) m2n E) m3n2 B) 16 E) 5 C) 8 a–b Si: x2 + y2 = 5. es: Después de factorizar 77 (3x+1) (2a+3) + (2a+3) (4x+2) Uno de los factores es: B) 7x+3 E) 7x+5 C) mn2 Si factorizamos 9y2 – 81y el factor que no es monomio es: A) 9–y D) y+9 4. B) 7xy E) 7x3y3 5. 3. p + q = 3.n D) m2 .COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO A) m. a – b = 2. al factorizar. 78 hallar el valor de: (p + q)x2 + (p + q)y2 9. x + y = 16. el factor común es Álgebra 6. PROBLEMAS PARA LA CASA 1. A) A) 7x–3 D) 7x–1 E) C) C) 7x+1 Si a – b = 5 y m = 4. hallar el valor de ma – mb A) 10 D) 15 B) y2 – 9 E) 9y 7. En la expresión 7x2y3 + 14x3y2 El factor común es: A) x2y2 D) x3y3 2. 2 a+b+3 2 C) 30 B) 3 E) 12 C) 48 19 Si: m + n = 4. A) 10 B) 15 C) 17 10. Factorizar (a + b2) (x + y) + (a2 + b2) (x – 3y) + (a2 + b2) (y – 2x) Uno de los factores es: 2 A) B) Álgebra . hallar el valor de: (m + n)a – (m + n)b A) 10 D) 4 a +b B) 20 E) 16 Si p + q = 3.
............ 58 FACTORIZACIÓN (I)... 5................. 20 POLINOMIOS...... C 8......................................................................................................... EXPRESIONES ALGEBRAICAS............................................................................................. B 2............................................... C 9........................................ 47 DIVISIÓN ALGEBRAICA.......... 54 TEOREMA DEL RESTO.............COLEGIO PRE UNIVERSITARIO D) 9 COLEGIO PRE UNIVERSITARIO E) 5 x(a + b) C) x(a + b)2 E) x(a2 – b2) x2(a + b) D) –y(a2 + b2) ÍNDICE PÁG....................................................... B PRODUCTOS NOTABLES....................................... 66 80 79 Álgebra 80 Álgebra 80 ... 30 1....................................................... D 7............................................................................. C 6....................................... D 4...... B 10....... 7 CLAVES TEORÍA DE EXPONENTES...................................... C 3..................
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