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Timestamp: 2016-08-27 10:19:24+00:00

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Matemática I° a IV° (1)
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Matemática Introducción
l propósito formativo de este sector es enriquecer la comprensión de la realidad, facilitar la selección de estrategias para resolver problemas y contribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo en todos los estudiantes, sean cuales sean sus opciones de vida y de estudios al final de la experiencia escolar. Aprender matemática proporciona herramientas conceptuales para analizar la información cuantitativa presente en las noticias, opiniones, publicidad y diversos textos, aportando al desarrollo de las capacidades de comunicación, razonamiento y abstracción e impulsando el desarrollo del pensamiento intuitivo y la reflexión sistemática. Aprender matemática contribuye a que alumnos y alumnas valoren su capacidad para analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas, incorporando formas habituales de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la aplicación y el ajuste de modelos, la flexibilidad para modificar puntos de vista ante evidencias, la precisión en el lenguaje y la perseverancia en la búsqueda de caminos y soluciones. La matemática ofrece un conjunto amplio de procedimientos de análisis, modelación, cálculo, medición y estimación del mundo natural y social, que permite establecer relaciones entre los más diversos aspectos de la realidad. Estas relaciones son de orden cuantitativo, espaciales, cualitativas y predictivas. El conocimiento matemático forma parte del acervo cultural de la sociedad; es una disciplina cuya construcción empírica e inductiva surge de la necesidad y el deseo de responder y resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos, tanto de la matemática misma como del mundo de las ciencias naturales, sociales, del arte y la tecnología; su construcción y desarrollo es una creación del ser humano, ligada a la historia y a la cultura.
Este currículum enfatiza los aspectos formativos y funcionales de la matemática. Consecuentemente, considera que el aprendizaje de la matemática debe buscar consolidar, sistematizar y ampliar las nociones y prácticas matemáticas que alumnos y alumnas poseen, como resultado de su interacción con el medio y lo realizado en los niveles que lo precedan. Se busca promover el desarrollo de formas de pensamiento y de acción que posibiliten a los estudiantes procesar información proveniente de la realidad y así profundizar su comprensión acerca de ella; el desarrollo de la confianza en las capacidades propias para aprender; la generación de actitudes positivas hacia el aprendizaje de la matemática; apropiarse de formas de razonar matemáticamente; adquirir herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas y desarrollar la confianza y seguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones y creatividad1. Los aprendizajes y el conocimiento matemático que conforman los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del sector fueron organizados, de acuerdo con una progresión ordenada, en cuatro ejes que articulan la experiencia formativa de alumnas y alumnos a lo largo de los años escolares: •	Números: este eje constituye el centro del currículo matemático para la enseñanza básica y media. Incluye los aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos, sus propiedades y los problemas provenientes de la vida cotidiana, de otras disciplinas
1	Una explicación más detallada del enfoque del sector se puede consultar en el artículo Mineduc, UCE (2009) “Fundamentos del Ajuste Curricular en el sector de Matemática”, www.curriculummineduc.cl.
motiva los irracionales y los reales y los números complejos. Provee de modelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variados contextos. a partir de la medición y la representación. de puntos y figuras. De este modo se dan diferentes enfoques para el tratamiento de problemas en los que interviene la forma. inicialmente. Este eje introduce también el concepto de función y el estudio de algunas de ellas en particular. Simultáneamente. Se organiza en torno a los diferentes ámbitos y sistemas numéricos. el tamaño y la posición. en el plano cartesiano. organizar. Geometría: este eje se orienta. y se nutre del desarrollo de los ejes de números. pasando por enteros. así como cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables. Avanza en completitud. organizar. El álgebra provee de un lenguaje a la matemática. Incluye los conocimientos y las capacidades para recolectar. extraer conclusiones y presentar información. representar y analizar datos. los racionales. •	Datos y Azar: este eje introduce el tratamiento de datos y modelos para el razonamiento en situaciones de incerteza. en el razonamiento matemático y precisar la forma en que la matemática contribuye a la descripción y comprensión de la realidad. “El orden de los factores no altera el producto”. Por ello el razonamiento matemático se aborda transversalmente en los cuatro ejes. verificar la validez de procedimientos y relaciones. que son parte de los aprendizajes de este nivel y anteriores. racionales y reales. El tratamiento de datos estadísticos se inicia en primero básico y el azar a partir de quinto. En Educación Media.146
Ministerio de Educación Actualización Curricular 2009
y de la matemática misma. al desarrollo de la imaginación espacial. el cuociente y la medición. mediante las trasformaciones rígidas en el plano. Se inicia en quinto grado. permitiendo avanzar en el sentido de la cantidad. se promueve la habilidad para recolectar. “qué número sumado con 3 tiene como resultado 9”. •	Álgebra: este eje introduce el uso de símbolos para representar y operar con cantidades. para casos particulares o en forma general –en cuyo caso se usará el verbo demostrar–
. formular conjeturas. abstracción y complejidad desde los números naturales hasta los números complejos.
•	La matemática se aprende haciendo matemática. con el de álgebra y datos y azar. en el desarrollo de las operaciones y el de los otros ejes. Así. El eje se relaciona con el de números. el desarrollo de los números acompaña –y encuentra sus motivaciones–. además del estudio e interpretación de situaciones en las que interviene el azar. al conocimiento de objetos geométricos básicos y algunas de sus propiedades. los vectores y la geometría cartesiana. contribuye a. operaciones y campos de aplicación de la matemática. Por otra parte. la construcción de figuras y de transformaciones de figuras. la operación inversa a la suma motiva el cero y los negativos. la extracción de raíz. la relación se establece mediante el uso de fórmulas y luego la representación gráfica de funciones y de distribución de datos. Progresivamente se introduce el concepto de de-
mostración y se amplía la base epistemológica de la geometría. se relacionan números. En particular propone relacionar formas geométricas en dos y tres dimensiones. Se introduce la noción de medición en figuras planas. Son también temas de estudio algunos conceptos básicos que permiten analizar y describir procesos aleatorios. Desde la Educación Básica se propone desarrollar habilidades de lectura. el estudio de Datos y Azar se propone desarrollar conceptos y técnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades que permitan realizar inferencias a partir de información de naturaleza estadística y distinguir entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. reflexionando acerca de lo hecho y confrontando la actuación propia con el conocimiento acumulado y sistematizado. son situaciones que permiten poner en contacto con el lenguaje algebraico a cada estudiante desde los primeros niveles del currículo escolar. Se busca que los alumnos y las alumnas comprendan que cada uno de estos sistemas permite abordar problemas que los precedentes dejaron sin resolver. mediante la expresión de relaciones generales y abstractas de la aritmética y la medición. análisis crítico e interpretación de información presentada en tablas y gráficos. Consecuentemente. resolver problemas. por ende. De este modo. geometría y datos y azar.
búsqueda de regularidades y patrones. Respecto al lenguaje matemático. cuando sea de utilidad para el logro de algún Objetivo Fundamental. formulación de argumentos y diversas formas de verificar la validez de una conjetura o un procedimiento.
El aprendizaje de la matemática es una oportunidad para el desarrollo de capacidades cognitivas y el desarrollo personal. Los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios incluyen el uso de tecnologías digitales. elimina algunas de las restricciones consideradas en el tratamiento de funciones y amplía la cantidad de situaciones. para nombrar competencias centrales del razonamiento matemático. cabe señalar que no se promueve la incorporación de teoría de conjuntos. la matemática puede ser tratada con una perspectiva más amplia y realista. En particular. procesadores simbólicos y geométricos. modelamiento de situaciones o proposición y exploración de relaciones. problemas y desafíos de modo que se favorezca la integración de las diferentes dimensiones de la matemática. sino tan solo de aquellos símbolos y conceptos pertenecientes al lenguaje conjuntista que permiten ampliar el vocabulario matemático de alumnos y alumnas. la disposición para cuestionar sus procedimientos. álgebra. En este contexto. para aceptar que se pueden equivocar y que es necesario detectar y corregir los errores. el modelamiento de situaciones o fenómenos. específicamente al lenguaje de conjuntos. las capacidades de comunicación y de argumentación y el cultivo de una mirada curiosa frente al mundo que los rodea. en una modalidad cercana a las habilidades que se alcanzan con el uso de las tecnologías de la información. a lo largo de todo el currículum. favoreciendo la comprensión por sobre el
. En este sentido. exploración de caminos alternativos de solución y discusión de la validez de las conclusiones. de parte de los alumnos y las alumnas. definir objetivos y proponer contenidos que apelen a las bases del razonamiento matemático. de Internet y de software especializados –preferentemente de código abierto y uso libre– en números. niñas y jóvenes y de facilitar las tareas de exploración por parte de los estudiantes aumenta el rango de trabajo posible con números muy grandes o muy pequeños. simuladores y software estadísticos. incluidos procesos recursivos. anticipación y estimación de resultados. La organización en ejes obedece a una necesidad de diseño y de organización de los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios. formulación de conjeturas. Estas tecnologías. graficadores. el aprendizaje de la matemática es una oportunidad privilegiada para el logro. desafíos. una actitud positiva hacia la matemática y la autonomía de pensamiento. Se propone seleccionar situaciones. de una variedad de Objetivos Fundamentales Transversales. La formación matemática debe enfatizar el desarrollo del pensamiento creativo y crítico para la formulación de conjeturas. Para ello es importante promover la disposición para enfrentar desafíos y situaciones nuevas. además de contribuir a presentar la Matemática en una mayor diversidad de medios y modos. en la actual propuesta se ha explicitado su utilización sólo en aquellos casos en que su aporte es pertinente o necesario.Formación General
está en el núcleo de las experiencias de aprendizaje deseables. de apelar al interés de niños. modelos matemáticos y procesos que son accesibles para los alumnos y las alumnas en los niveles elementales y medios. De este modo. incluyendo el desarrollo de habilidades tales como la búsqueda y comparación de caminos de solución. Los conocimientos de cada uno de los ejes concurren a esas experiencias de modo que su tratamiento debe ser integrado. análisis de los datos y de las soluciones. Es necesario que el proceso de aprendizaje tenga una base en contextos significativos y accesibles para los niños. la apertura al análisis de sus propias estrategias de reflexión y a la diversidad de procedimientos y de nuevas ideas. en particular a la resolución de problemas. en tanto las oportunidades de aprendizaje se deberían organizar en torno a problemas. facilita el estudio de procesos que requieren operaciones repetidas. De este modo. establecer relaciones y argumentar acerca de su validez. es importante favorecer la confianza de cada estudiante en sus propios procedimientos y conclusiones. niñas y jóvenes. No obstante se sugiere su uso desde los primeros años de escolaridad como una eficaz y precisa herramienta para comunicar tanto ideas como conceptos matemáticos. geometría y análisis de datos. Se buscará. para que alumnas y alumnos adquieran una visión integrada del conocimiento matemático y estén en condiciones de resolver problemas.
La vida cotidiana. como una parte inherente al proceso de búsqueda y de experimentación. accesible y apropiable por parte del que aprende. Por ende. una organización propia y significativa de los conocimientos matemáticos adquiridos. ¿qué lugar ocupa el concepto. de modo de ofrecer a todos ellos desafíos relevantes y apropiados. entregando a alumnos y alumnas iguales oportunidades de aprendizaje. Comprender los problemas o preguntas que dieron origen a un concepto. los fundamentos de opiniones y argumentos. así. función y ámbito de acción de la matemática. que serán el punto de partida para la planificación de clases.
. Se fomenta. Nota:	En los Objetivos Fundamentales se destacan los OFT directamente relacionados con ellos. el examen de sus conexiones lógicas y el apoyo en elementos tecnológicos. La historia del conocimiento matemático es una fuente importante de contexto y sentido. los que no excluyen la posibilidad que docentes y establecimientos consideren otros OFT en su trabajo. la experimentación y la investigación. descripción y clasificación de situaciones concretas y la abstracción de propiedades comunes a un conjunto de objetos reales o simbólicos. permitiendo que alumnos y alumnas expresen sus ideas. son modalidades que favorecen y complementan esa comprensión. la evaluación debería considerar tanto el proceso como el resultado del mismo. el contexto en que el conocimiento matemático tuvo su origen o en el que tiene aplicación es un vehículo preferente para dotar al proceso de aprendizaje de sentido y de significado. en el que aprende. incentivar la observación. las situaciones en que el alumno o la alumna participa. Esto supone dar espacio a la exploración. Cobra relevancia. modelo o procedimiento completa el aprendizaje de esos conocimientos. relación o modelo en el edificio de la matemática?. En su implementación debe resguardarse un equilibrio de género. que tiene potencial para aumentar la capacidad del ser humano para comprender e intervenir en el medio que lo rodea. entonces. Asimismo deben considerarse las diferencias individuales. apela al conocimiento como una creación culturalmente situada. El enfoque acerca de la matemática que orienta este currículum. dispuestos
a tolerar cierto nivel de incerteza en el trabajo que realizan. La interacción con el medio. Consecuentemente. la exploración de regularidades y patrones en situaciones familiares. ¿Qué problema resuelve?. en alumnas y alumnos una apreciación equilibrada del valor. orientan la elaboración de programas de estudio. Supone conceptualizar y tratar el error. aborden desafíos y perseveren en la búsqueda de soluciones. ¿qué circunstancias o motivaciones le dieron origen? son cuestiones que contribuyen a formar. Es importante que el aprendizaje se desarrolle en climas de trabajo propicios para la participación. las otras áreas del desarrollo sistemático del conocimiento sirven de contexto para que el aprendizaje sea significativo.148
aprendizaje de reglas y mecanismos sin sentido. Los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos que se presentan a continuación. los fenómenos naturales. económicos y sociales. el trabajo en equipo. la comunicación y la confrontación de ideas.
el rigor y el cumplimiento. sustracciones.
3. la flexibilidad y la originalidad
8.	Comprender el significado de potencias que tienen como base un número racional y exponente entero y utilizar sus propiedades.	Interpretar y producir información. aproximar números racionales.	Identificar regularidades en la realización de transformaciones isométricas en el plano cartesiano. en contextos diversos. 2. usar la representación decimal y de fracción de un racional justificando la transformación de una en otra.
• Comprender y valorar la perseverancia.	Representar números racionales en la recta numérica.	Transformar expresiones algebraicas no fraccionarias utilizando diversas estrategias y utilizar las funciones lineales y afines como modelos de situaciones o fenómenos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnológicas.
matemática Educación media
Objetivos Fundamentales Los alumnos y las alumnas serán capaces de:
• Utilizar aplicaciones para representar.
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento
. la flexibilidad y la originalidad
7. analizar y modelar información y situaciones para comprender y/o resolver problemas
5.	Comprender los conceptos y propiedades de la composición de funciones y utilizarlos para resolver problemas relacionados con las transformaciones isométricas. el rigor y el cumplimiento. mediante gráficos que se obtienen desde tablas de frecuencia. formular y verificar conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de estas transformaciones sobre figuras geométricas.	Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas. aplicar adiciones. cuyos datos están agrupados en intervalos.	Comprender que los números racionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números enteros y caracterizarlos como aquellos que pueden expresarse como un cuociente de dos números enteros con divisor distinto de cero.
• Comprender y valorar la perseverancia. para resolver problemas y demostrar propiedades. multiplicaciones y divisiones con números racionales en situaciones diversas y demostrar algunas de sus propiedades.
13. la flexibilidad y la originalidad
• Habilidades de análisis. 8.	Interpretar y producir información. mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central. 10 y 12 • Habilidades de resolución de problemas En los OF 4. ya sea en forma teórica o experimentalmente.	Aplicar modelos lineales que representan la relación entre variables. 2. el rigor y el cumplimiento. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. el rigor y el cumplimiento. usando más de una estrategia y aplicarlo al cálculo de probabilidades en diversas situaciones. *
• Comprender y valorar la perseverancia. en experimentos aleatorios finitos.	Comprender la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población.Formación General
9.	Obtener la cardinalidad de espacios muestrales y eventos.	Seleccionar la forma de obtener la probabilidad de un evento. en contextos diversos. para fundamentar opiniones y tomar decisiones. diferenciar entre verificación y demostración de propiedades y analizar estrategias de resolución de problemas de acuerdo con criterios definidos. la flexibilidad y la originalidad
12. interpretación y síntesis En los OF 9.
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento • Comprender y valorar la perseverancia. dependiendo de las características del experimento aleatorio.
10. 11 y 13
. 6 y 13 • Habilidades de investigación En los OF 1. 8 y 11 • Habilidades comunicativas En los OF 7.
9.	Aproximación de racionales a través del redondeo y truncamiento.	Representación de números racionales en la recta numérica.	Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes. tablas y gráficos. 11. multiplicaciones y divisiones con números racionales. 7.	Resolución de problemas en contextos diversos que involucran números racionales o potencias de base racional y exponente entero.	Resolución de problemas cuyo modelamiento involucre ecuaciones literales de primer grado.182
Números: Álgebra:
1. análisis de sus propiedades y aplicación a las transformaciones isométricas.	Extensión de las propiedades de potencias al caso de base racional y exponente entero. y reconocimiento de las limitaciones de la calculadora para aproximar decimales.
. sustracciones. sustracción. y su aplicación en la resolución de problemas. multiplicación y división en los racionales y verificación de la propiedad: “entre dos números racionales siempre existe otro número racional”.	Análisis de las distintas representaciones de la función lineal7. 3. enfatizando el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. y aplicación de ellas en diferentes contextos. 10. 2.
8.	Sistematización de procedimientos de cálculo escrito y con ayuda de herramientas tecnológicas de adiciones. 4. mediante el uso de productos notables y factorizaciones. 6.
7	8	Mediante expresiones algebraicas. 5. su aplicación en la resolución de diversas situaciones problema y su relación con la proporcionalidad directa. 12. Pendiente e intercepto con el eje Y.	Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos a fracción. verificación de la cerradura de la adición. análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros8.	Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros al conjunto de los números racionales y caracterización de estos últimos.	Uso de un software gráfico en la interpretación de la función afín.	Estudio de la composición de funciones.
considerando la interpretación de medidas de tendencia central y posición.
Datos y Azar:
19.	Notación y representación gráfica de vectores en el plano cartesiano y aplicación de la suma de vectores para describir traslaciones de figuras geométricas. y.
.	Relación del concepto de congruencia de figuras planas con las transformaciones isométricas.Formación General
13.	Uso de técnicas combinatorias para resolver diversos problemas que involucren el cálculo de probabilidades. dependiendo de las condiciones del problema.	Obtención de información a partir del análisis de los datos presentados en histogramas.	Identificación del plano cartesiano y su uso para representar puntos y figuras geométricas manualmente. que se pueden extraer desde una población de tamaño finito.	Utilización y establecimiento de estrategias para determinar el número de muestras de un tamaño dado. mediante el cálculo de medidas de tendencia central (media. extraídos desde diversas fuentes. utilización de estos criterios en la resolución de problemas y en la demostración de propiedades en polígonos. de dichas conjeturas mediante el uso de un procesador geométrico o manualmente.	Organización y representación de datos. 21. 23. 15. en casos particulares. 20. con y sin reemplazo.	Formulación y verificación de conjeturas. en casos particulares. reflexiones y rotaciones sobre figuras geométricas en el plano cartesiano y verificación.	Resolución de problemas en contextos de incerteza. con y sin reemplazo. 22.
17. polígonos de frecuencia y de frecuencias acumuladas. acerca de la relación que existe entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño extraídas de dicha población. acerca de criterios de congruencia en triángulos. polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas.	Análisis de una muestra de datos agrupados en intervalos. haciendo uso de un procesador geométrico. aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas. usando histogramas.	Formulación de conjeturas respecto de los efectos de la aplicación de traslaciones. formulación y verificación de conjeturas. en diversos contextos y situaciones. 16. 18. moda y mediana) y medidas de posición (percentiles y cuartiles). construidos manualmente y con herramientas tecnológicas. 14. en casos particulares.
Interpretar la operatoria con expresiones algebraicas fraccionarias como una generalización de la operatoria con fracciones numéricas. identificar invariantes y criterios asociados al estudio de la semejanza de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala. 5. logarítmica y raíz cuadrada como modelos de situaciones o fenómenos en contextos significativos y representarlas gráficamente en forma manual o usando herramientas tecnológicas.	Comprender conceptos.	Utilizar las funciones exponencial. y los números reales como aquellos que corresponden a la unión de los números racionales e irracionales. ubicarlos en la recta numérica. el rigor y el cumplimiento.
• Comprender y valorar la perseverancia. propiedades.
.. la flexibilidad y la originalidad
6.	Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
2. demostrar algunas de sus propiedades y aplicarlas a la resolución de problemas. logaritmos y raíces en el contexto de los números reales. y relacionar las medidas de dichos ángulos. establecer estrategias para operar con este tipo de expresiones y comprender que estas operaciones tienen sentido solo en aquellos casos en que estas están definidas.184
1.	Comprender que los números irracionales constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números racionales.
4. demostrar algunas de sus propiedades y realizar aproximaciones.
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento • Utilizar aplicaciones para representar.	Establecer relaciones entre potencias.	Utilizar los números reales en la resolución de problemas.	Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.
Comprender el concepto de variable aleatoria y aplicarlo en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios. *
• Habilidades de análisis. 3 y 4
. utilizando indicadores de tendencia central.Formación General
9. 4. 6 y 12 • Habilidades de investigación En los OF 1.
12. interpretación y síntesis En los OF 10. en diversos contextos. a partir de la resolución de problemas que involucren el cálculo de probabilidades.	Aplicar propiedades de la suma y producto de probabilidades. 11 y 12 • Habilidades de resolución de problemas En los OF 3. de posición y de dispersión.	Comprender el concepto de dispersión y comparar características de dos o más conjuntos de datos. 3 y 9 • Habilidades comunicativas En los OF 2.	Comprender que la media muestral de pruebas independientes de un experimento aleatorio se aproxima a la media de la población a medida que el número de pruebas crece.
Establecimiento de estrategias para simplificar. y. su relación con potencias y raíces. por exceso y por redondeo. 9. análisis de la demostración de la irracionalidad de algunas raíces cuadradas.	Uso de un software gráfico en la interpretación de funciones exponenciales. restar. 2.186
1.	Aproximación del valor de un número irracional por defecto. con binomios tanto en el numerador como en el denominador y determinación de aquellos valores que indefinen una expresión algebraica fraccionaria. deducción de sus propiedades y aplicaciones del cálculo de logaritmos a la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento. representación en el plano cartesiano usando un software gráfico y discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones. 5. su relación con las potencias de exponente racional y demostración de algunas de sus propiedades. en contextos variados.
. logarítmicas y raíz cuadrada.	Análisis de la existencia de la raíz enésima en el conjunto de los números reales.	Reconocimiento de sistemas de ecuaciones lineales como modelos que surgen de diversas situaciones o fenómenos. 8. análisis de las situaciones que modela y estudio de las variaciones que se producen por la modificación de sus parámetros.	Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números racionales a los números reales. reconocimiento de algunas de las propiedades de los números y de las operaciones y su uso para resolver diversos problemas.	Resolución de problemas asociados a sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. multiplicar y dividir fracciones algebraicas simples.	Interpretación de logaritmos. 7.
6. 3. sumar. 4. exploración de situaciones geométricas en que ellas están presentes.	Ubicación de algunas raíces en la recta numérica.
varianza y desviación estándar. diferencia y complemento de conjuntos.	Determinación del rango.	Aplicación de la noción de semejanza a la demostración de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.	Exploración de diversas situaciones que involucran el concepto de semejanza y su relación con formas presentes en el entorno. con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades. lenguaje conjuntista. 19. diagramas de árbol. 21. 15.
16.	Demostración de los teoremas de Euclides relativos a la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo. a partir de la repetición de experimentos aleatorios.	Análisis de las características de dos o más muestras de datos. operatoria básica9 con conjuntos. en forma manual y mediante el uso de herramientas tecnológicas. demostración del teorema de Pitágoras y del teorema recíproco de Pitágoras. posición y dispersión. para inferir sobre la media de una población finita a partir de muestras extraídas. 17. 13. 14.
9	Unión.	Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de esta como una función. 20.	Exploración de la Ley de los Grandes Números. demostración del teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito.	Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio. División interior de un trazo en una razón dada y uso de un procesador geométrico para verificar relaciones en casos particulares. en diversos experimentos. 12.	Identificación y utilización de criterios de semejanza de triángulos para el análisis de la semejanza en diferentes figuras planas. 11.	Identificación de ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia.Formación General
10.	Empleo de elementos básicos del muestreo aleatorio simple.
. aplicando criterios referidos al tipo de datos que se están utilizando. propiedades de la suma y producto de probabilidades. haciendo uso de indicadores de tendencia central.	Aplicación del teorema de Thales sobre trazos proporcionales. 18.
en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios. multiplicaciones y divisiones de números complejos.	Comprender que toda ecuación de segundo grado con coeficientes reales tiene raíces en el conjunto de los números complejos.	Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones.
5.	Establecer la relación entre la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de ecuaciones a que dan origen.
8.	Comparar el comportamiento de una variable aleatoria en forma teórica y experimental. números enteros. función de probabilidad y distribución de probabilidad.
4. considerando diversas situaciones o fenómenos.
3.	Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean funciones cuadráticas.
7.	Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discreta.	Comprender la geometría cartesiana como un modelo para el tratamiento algebraico de los elementos y relaciones entre figuras geométricas.
. sustracciones.	Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales. y reconocer su relación con los números naturales. números racionales y números reales.188
1. formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades.
6. fomentando la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas. 5.Formación General
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento • Comprender y valorar la perseverancia. y utilizar heurísticas para resolver problemas combinando. la flexibilidad y la originalidad
• Habilidades de análisis.	Comprender el concepto de probabilidad condicional y aplicarlo en diversas situaciones que involucren el cálculo de probabilidades.	Aplicar el concepto de modelo probabilístico para describir resultados de experimentos binomiales. 6.
10. verificar para casos particulares y demostrar proposiciones utilizando conceptos. la flexibilidad y la originalidad
11. propiedades o relaciones de los diversos temas tratados en el nivel. el rigor y el cumplimiento. el rigor y el cumplimiento.	Formular conjeturas. 8 y 9 • Habilidades comunicativas En los OF 2 y 11
. 7. 8 y 9 • Habilidades de resolución de problemas En los OF 3 y 11 • Habilidades de investigación En los OF 1. 5. *
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento • Comprender y valorar la perseverancia. modificando o generalizando estrategias conocidas. interpretación y síntesis En los OF 1.
operaciones de adición. Discusión de las condiciones que debe cumplir la función cuadrática para que su gráfica intersecte el eje X (ceros de la función). multiplicación. Interpretación de las soluciones y determinación de su pertenencia al conjunto de los números reales o complejos.	Extensión de las nociones de adición.	Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completación de cuadrados.
.	Identificación de la unidad imaginaria como solución de la ecuación x2 + 1 = 0 y su utilización para expresar raíces cuadradas de números reales negativos. caracterización de estos últimos y de los problemas que permiten resolver.	Deducción de la fórmula de la ecuación general de segundo grado y discusión de sus raíces y su relación con la función cuadrática. en situaciones tales como: producto entre un número complejo y su conjugado. Uso de software para el análisis de las variaciones de la gráfica de la función cuadrática a partir de la modificación de los parámetros. 9.	Identificación de situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números reales a los números complejos. división y potencia de los números reales a los números complejos y de procedimientos de cálculo de estas operaciones. 3.	Formulación de conjeturas y demostración de propiedades relativas a los números complejos. sustracción.	Modelamiento de situaciones o fenómenos asociados a funciones cuadráticas. 2. 6. sustracción.190
1. por factorización o por inspección. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto en que se plantea el problema. 4. 8. con raíces reales o complejas.	Representación y análisis gráf ico de la función f (x) = ax 2 + bx + c. multiplicación.	Resolución de problemas asociados a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. división y elevación a potencia con exponente racional de números complejos.
5. para distintos valores de a . b y c. 7.
cuyos resultados son dicotómicos: cara o sello. varianza y desviación típica a partir de esas distribuciones. que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.	Explorar la relación entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias.
15.	Resolución de problemas. en experimentos aleatorios discretos. 17. en diversos contextos.	Determinación de la distribución de una variable aleatoria discreta en contextos diversos y de la media. éxito o fracaso o bien cero o uno.	Descripción de la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar. 16. 13. varianza y desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta.	Uso del modelo binomial para analizar situaciones o experimentos. coincidencia y de la intersección entre rectas. 14.	Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.	Análisis gráfico de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y su interpretación a partir de las posiciones relativas de rectas en el plano: condiciones analíticas del paralelismo. haciendo uso de simulaciones digitales.	Deducción e interpretación de la pendiente y del intercepto de una recta con el eje de las ordenadas y la relación de estos valores con las distintas formas de la ecuación de la recta.	Aplicación e interpretación gráfica de los conceptos de valor esperado. 12. 18.Formación General
10.	Utilización de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y establecimiento de la relación con la función de distribución. uso de un procesador geométrico para visualizar las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano. 20. 19. 11.	Deducción de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y su aplicación al cálculo de magnitudes lineales en figuras planas.
Argumentar acerca de la confiabilidad de la estimación de la media de una población con distribución normal.
4.	Resolver problemas utilizando inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones.	Determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados por rotación o traslación de figuras planas en el espacio.192
1. rectas y planos pueden ser representados en el sistema coordenado tridimensional y determinar la representación cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta en el espacio. tales como periódicos.
6.	Evaluar críticamente información estadística extraída desde medios de comunicación. para el caso de una variable aleatoria continua.
5.	Relacionar y aplicar los conceptos de función de densidad y distribución de probabilidad. artículos de revistas o desde Internet.
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento • Buscar y acceder a información de diversas fuentes virtuales
7. inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones.	Analizar las condiciones para la existencia de la función inversa. a partir de datos muestrales.	Comprender que puntos.	Modelar situaciones o fenómenos cuyo modelo resultante sea la función potencia.
2. fomentando la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas.Formación General
9. 9. utilizar heurísticas modificando o generalizando estrategias conocidas y modelos matemáticos en la resolución de problemas referidos a situaciones o fenómenos que puedan ser descritos en forma simbólica. la flexibilidad y la originalidad
• Habilidades de análisis.	Comprender que la distribución de medias muestrales de muestras aleatorias de igual tamaño extraídas de una población tiende a una distribución normal a medida que el tamaño de las muestras aumenta.
10.	Utilizar modelos probabilísticos para representar y estudiar diversas situaciones y fenómenos en condiciones de incerteza. 10 y 11 • Habilidades de investigación En los OF 4 y 6 • Habilidades comunicativas En los OF 6.
11. en condiciones de incerteza y espaciales. 8. el rigor y el cumplimiento. interpretación y síntesis En los OF 7. 8 y 11
.	Formular conjeturas. *
• El interés por conocer la realidad y utilizar el conocimiento • Comprender y valorar la perseverancia. 10 y 11 • Habilidades de resolución de problemas En los OF 1.
a partir de una muestra y un nivel de confianza dado. Representación de las situaciones usando un procesador simbólico y gráfico de expresiones algebraicas y funciones.
. 7. Relación entre la distribución normal y la distribución normal estándar. a partir de diversas situaciones en contexto tales como: mediciones de peso y estatura en adolescentes. discusión de la existencia y pertinencia de las soluciones de acuerdo con el contexto. 6. puntajes de pruebas nacionales e internacionales.	Análisis de la función potencia f (x)=ax n con a y x en los reales y n entero. 10.	Interpretación del concepto de variable aleatoria continua y de la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal. mediante el uso de un software gráfico.	Identificación y descripción de puntos. en casos particulares. 8. 4.	Resolución de problemas que implican el planteamiento de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. de conjeturas respecto de los cuerpos geométricos generados a partir de traslaciones o rotaciones de figuras planas en el espacio.	Representación de intervalos mediante lenguaje conjuntista y uso de las operaciones con conjuntos para resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.	Formulación y verificación.	Identificación de funciones inyectivas.	Descripción de los resultados de repeticiones de un experimento aleatorio.	Análisis crítico de las inferencias realizadas a partir de encuestas. para la media de una población con distribución normal y varianza conocida. 2. 12.194
Álgebra: Datos y Azar:
1.	Resolución de problemas sobre áreas y volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas. 11. mediante el uso de herramientas tecnológicas. 13. verificación mediante experimentos donde se extraen muestras aleatorias de igual tamaño de una población. en situaciones que representen comparación de tasas de crecimiento aritmético y geométrico y cálculo de interés compuesto.	Realización de conjeturas sobre el tipo de distribución al que tienden las medias muestrales. deducción de la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana. 3. sobreyectivas y biyectivas y determinación de la función inversa cuando proceda. 15. representación de las soluciones usando intervalos en los reales.	Estimación de intervalos de confianza. 14.	Deducción de la distancia entre dos puntos ubicados en un sistema de coordenadas en tres dimensiones y su aplicación al cálculo del módulo de un vector. usando criterios de representatividad de la muestra. estudios estadísticos o experimentos. aplicando las distribuciones de probabilidad normal y binomial mediante el uso de herramientas tecnológicas.
9. aplicación al cálculo de experimentos binomiales.	Estudio y aplicación de elementos básicos de la distribución normal. datos meteorológicos de temperatura o precipitaciones.	Aproximación de la probabilidad binomial por la probabilidad de la normal. rectas y planos en el espacio.
velocidad solucion cruci.docxCorreccion Test de Benderel_leon_y_el_ratonGuía+Nº5_Reducción+de+Términos+Semejantes_1º+Medio+A,+B+y+C_Clase+3 (1)3 Compr TextoResume nCaras de EmocionesGraf 1Correccion Test de Bender7109079 Manual TEDE1. Tratamiento y Evaluacion FoneticofonologicoDecreto 1300 Planes y Programas TEL201210161055470.CLectora1MedioLenguaje y Comunicación I y IV (2)Decreto 1300 Planes y Programas TELOrg Ani Gram AEl Ciclo Del Agua CuentoTemario PS Nº 1 Intervenciòn Escritura 2012Estos son los pasos para hacer un zig zag en macramérepaso_contenidos_1Aquí les presentamos algunas definiciones sobre el PEd Basica Lenguaje y Comunicacion Decreto 40 Mod 230recetario panaderia 1
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