Source: https://issuu.com/giovannagomezg/docs/5_matematica__tomo_ii
Timestamp: 2019-11-20 13:30:12+00:00

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5 matematica tomo ii by Giovanna Andrea - Issuu
° 5 básico
Jefatura de área Mg. Cristian Gúmera Valenzuela Edición Mg. Patricio Loyola Martínez Autoría
Prof. Jaime Ávila Hidalgo Prof. Cristina Fuenzalida Guzmán Prof. María José Jiménez Robledo Prof. Paola Ramírez González Asesoría pedagógica y de contenidos Dra. Elizabeth Montoya Delgadillo Dr. Raimundo Olfos Ayarza Prof. Paula Vigar Robles Prof. Pedro Marchant Olea
El Tomo II del material didáctico Matemática 5º básico, proyecto Casa del Saber, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana.
El área de un rectángulo es 36 cm2. Si el largo del rectángulo mide 9 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?
Comprensión de la situación y la pregunta
Pregunta: Se necesita conocer el ancho del rectángulo.
Explica con tus palabras la situación y la interrogante que debes responder.
Datos: El área del rectángulo es 36 cm2.
Estrategia: Representación gráfica.
El largo del rectángulo mide 9 cm.
Subdirección de arte: María Verónica Román Soto Jefatura de arte: Raúl Urbano Cornejo Diseño y diagramación: Ximena Moncada Lomeña, Daniel Monetta Moscoso Ilustraciones: Alejandro Rojas Contreras, Sergio Lantadilla Munizaga, Sergio Quijada Valdés, Carlos Herrera Portilla Fotografías: Archivo Santillana Cubierta: Alfredo Galdames Cid Ilustración de cubierta: Sandra Caloguerea Alarcón Producción: Germán Urrutia Garín
Utilización de una estrategia En esta etapa, busca una estrategia para resolver la situación problema.
(9 • x) cm2 = 36 cm2 x=4
Analiza la solución encontrada y responde en forma completa la pregunta del problema.
El ancho del rectángulo mide 4 cm.
Hacer una representación gráfica utilizando cuadrículas
Se tienen 36
Dirección editorial: Rodolfo Hidalgo Caprile Subdirección de contenidos: Ana María Anwandter Rodríguez Asistente de edición: Eder Pinto Marín Solucionario: Daniela Castro Salazar, Catalina Sepúlveda Pavez, Aldo Ramírez Marchant Corrección de estilo: Patricio Varetto Cabré Documentación: Paulina Novoa Venturino, Cristian Bustos Chavarría Gestión autorizaciones: María Cecilia Mery Zúñiga
Plataforma en línea disponible 24 horas al día con recursos digitales innovadores para docentes, estudiantes y familias.
Más de 600 seminarios y capacitaciones anuales para docentes a lo largo de todo el país.
Hacer una lista con las posibles medidas
© 2013, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quad/Graphics ISBN: 978-956-15-2138-4 – Inscripción N° 218.133 www.santillana.cl info@santillana.cl SANTILL ANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.
Presentación Este libro forma parte del proyecto la Casa del Saber, que es un espacio educativo donde podrás desarrollar las capacidades necesarias para tu formación personal y social. ¿Qué encontrarás en la Casa del Saber? • Es una casa donde todos tenemos cabida. Aquí encontrarás contenidos, textos, imágenes y actividades escritas de una manera sencilla y amigable, para que descubras que aprender es entretenido. • Es un espacio donde todos aprendemos a compartir y a convivir, por medio de actividades que nos invitan a reflexionar sobre los valores y a relacionarnos mejor con los demás. • Es una casa abierta al mundo, donde podrás aprender más y de manera interactiva gracias a la tecnología. • Es una casa llena de desafíos que te pondrán a prueba y que junto con tus compañeras y compañeros, deberán enfrentar para encontrar soluciones, desarrollando habilidades matemáticas y aplicando diferentes estrategias de cálculo y de resolución de problemas. Nosotros avanzaremos con ustedes en todo momento, solo necesitan curiosidad y ganas de aprender.
¿Cómo se organiza tu texto? El texto Matemática 5º básico Casa del Saber se organiza en 7 unidades y en cada unidad encontrarás: Páginas de inicio de unidad Unidad
A partir de la información entregada por la profesora, los estudiantes decidieron adoptar algunas medidas. Primero, registrarán la cantidad de residuos que se desechan durante una semana en el establecimiento.
Considerando la situación anterior, responde.
1.	¿Cuál es el título del gráfico que mostró la profesora? Generación de residuos peligrosos en el período 2006–2009 en Chile
2.	¿Qué representa cada barra en el gráfico? Explica.
252.750 239.254
si la afirmación es correcta y con una
, si no lo es.
El eje horizontal del gráfico representa los años del estudio.
Del gráfico se puede concluir que la cantidad de residuos entre un año y otro aumentó.
Todas las barras del gráfico deben tener el mismo ancho.
Todas las barras del gráfico deben tener la misma altura.
Fuente: www.conama.cl
4.	Analiza la siguiente tabla que representa la información obtenida por los estudiantes de 5° básico. Luego, completa el gráfico de barras correspondiente. Cantidad de residuos desechados en una semana Cantidad de residuos (kg)
Cantidad de residuos desechados en una semana Día
Cantidad de residuos (kg)
• Resolver situaciones problema mediante el análisis de tablas, gráficos de barras y de líneas, comunicando tus conclusiones.
• Representar datos mediante diagramas de tallo y hojas.
• Resolver distintas situaciones mediante el cálculo del promedio de datos, e interpretar su resultado.
• Describir la posibilidad de ocurrencia de un evento respecto de un experimento aleatorio. • Comparar probabilidades de distintos eventos.
• Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de soluciones a problemas.
Módulo 1 / Unidades de longitud y superficie
Conocer las unidades de superficie
Unidades	de	superficie
1.	Remarca la unidad más apropiada para medir las siguientes superficies. Justifica tu respuesta. Identificar
Observa	y	responde
• Analiza y responde
El cerro Santa Lucía tiene una superficie de 65.300 metros cuadrados (m2).
Fuente: http://www.municipalidaddesantiago.cl
• Marca con un
dam Justificación:
2.	Encierra con color rojo la medida que representa una superficie mayor y con color verde la que representa una superficie menor. Analizar
El cerro Santa Lucía tiene una superficie menor que el Parque Forestal.
El Parque Forestal de Santiago tiene una superficie de 171.910 metros cuadrados (m2).
El Parque Forestal tiene una superficie mayor que 180.000 m2. 51.000 cm2
5.200 dm2 2
• El metro cuadrado (m ) es la unidad básica de las medidas de superficie utilizado en el Sistema Internacional de Unidades. • Su nombre se obtiene de un cuadrado cuyos lados miden un metro cada uno.
dm2 : 100
9 km2 2
650 mm2 2
Ponte	a	prueba
Para pasar de una unidad a otra menor, se multiplica. •
9 dam2
4,9 hm
Juan necesita cubrir una pared de 18 m2 con papel mural y recibe ofertas de dos casas comerciales, tal como se presenta.
Dimensiones: 50 cm x 150 cm
Para pasar de una unidad a otra mayor, se divide.
Dimensiones: 1 m x 3 m
Ejemplos: 2
• 1 kilómetro cuadrado (km ) equivale a 1.000.000 m . • 1 hectómetro cuadrado (hm2) equivale a 10.000 m2. • 1 decámetro cuadrado (dam2) equivale a 100 m2.
• 1 decímetro cuadrado (dm2) equivale a 0,01 m2. • 1 centímetro cuadrado (cm2) equivale a 0,0001 m2. • 1 milímetro cuadrado (mm2) equivale a 0,000001 m2.
¿Cuál de las dos ofertas es más económica, según las necesidades de Juan? Explica.
Unidad 6 / Medición
Secciones de cada unidad Clasificar diferentes tipos de rectas
Calcular el área de rombos y de romboides
1.	Calcula el área de los siguientes cuadriláteros. Aplicar a.
12 cm B
cada	condición.	Identificar
Segmentos	paralelos
Educando en valores El trabajo en equipo nos permite comprender el punto de vista de otros y desarrollar estrategias en común para resolver un problema.
m(AB) = 20 cm
1.	En	esta	cancha	de	fútbol,	remarca	tres	pares	de	segmentos	que	cumplan
m(EG) = 15 m y m(FH) = 10 m
Segmentos	perpendiculares
2.	Observa	cada	par	de	rectas.	Luego,	escribe	las	palabras	oblicuas,	paralelas	o	perpendiculares,	según	corresponda. Comprender U G
2.	Resuelve el siguiente problema. Analizar 2
Si la base de un romboide mide 20 cm y la medida de su superficie es 100 cm , ¿cuál es la medida de su altura?
a.	GK	es
a	OU.
b.	PL	es
a	AM.
c.	ZR	es
a	FT.
Una recta corresponde a un conjunto infinito de puntos que se extiende en ambas direcciones. Un segmento es una “parte” de una recta que se encuentra limitada en sus extremos.
• Conectad@s • Recuerda que...
3.	Encierra	la	opción	que	representa	la	relación	entre	las	rectas. Comprender a.
3.	Analiza el siguiente problema y luego responde. Analizar
• Ojo con...
¿Cuál es la medida de la superficie que se puede cubrir con 8 de estos paralelógramos?
L1	//	L2	L1	=	L2
AB	//	CD	AB	=	CD
GH	//	EF	GH	=	JK
4.	Observa	el	dibujo,	y	completa	con	//	o	=	en	cada	caso.	Luego,	responde	Analizar
a.	Antes de responder la pregunta, ¿qué es lo primero que debes calcular?
b.	Responde la pregunta y comparte tu respuesta con las de tus compañeras y compañeros.
a.	L1
e.	L2
d.	L1
f.	L4
•	Escribe	2	pares	de	rectas	secantes.
Páginas de evaluación Evaluación integradora tipo Simce
4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el
plano cartesiano?
¿Cómo	vas?
Observa las siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2. M
A. Trapecio.
1.	¿Qué pares de rectas son secantes y no perpendiculares? A.	PQ y RP
L1. L3.
D.	MP y PQ
2.	Observa	la	señal	de	tránsito	y	luego	responde. B. Si el punto P se traslada 3 unidades a la derecha, se
Caras basales
Cuerpos geométricos: paralelepípedos
5.	MA partir del poliedro que se muestra, realiza un dibujo en el que resulten 2 paralelepípedos.
obtiene el punto M. a.	Escribe	la	cantidad	de	vértices	y	lados	que	tiene	la	figura. C. Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se Vértices	Lados	obtiene el punto A.
A.	Triángulo.
A. Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.
C.	MR y QR
2.	¿Cómo se clasifica el polígono PQRM?
b.	Escribe el número de caras del poliedro.
d.	L2a	es	L4. 6. Respecto la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?
B.	RQ y MP
a.	Escribe la cantidad de vértices y de aristas.
C. Trapezoide. b.	L3	es	D. Paralelógramo. c.	L4	es
4.	Observa el siguiente poliedro y luego responde.
B. Triángulo. a.	L1	es
5. Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría? 1.	Observa	las	siguientes	rectas	y	luego	escribe	oblicua,	paralela	o	perpendicular,	según	puntos
D. Al	trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el b.	Escribe	la	cantidad	de	diagonales	que	tiene.	punto P, se obtiene el punto M. c.	Escribe	el	nombre	de	la	figura	geométrica	con	la	que	se	relaciona	esta	señal.
B.	Trapecio. C.	Trapezoide. D.	Paralelógramo.
7. ¿Qué transformación isométrica se relaciona con el eje
A. Rotación. 3.	Observa	la	figura	y	clasifica	cada	cuadrilátero	en	paralelógramo,	trapecio	o	trapezoide. D.	B. Reflexión.
de simetría en el plano cartesiano?
3.	¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular? Cuadriláteros A.
• ¿Qué sabes?
Quinto básico Simce es marca registrada del Ministerio de Educación.
b.	CADH	es	un
c.	CEDB	es	un
d.	HBJW	es	un
Z J D
b.	Escribe 4 caras que, al intersectarse, no formen un ángulo recto.
a.	Escribe 4 caras que sean paralelas.
a.	EADH	es	un	D. Simetría central.
C. Traslación. B
Intersección en figuras y cuerpos geométricos F’ 6.	El poliedroG’representado a continuación se obtuvo al realizar cortes a un paralelepípedo
c.	Escribe 4 caras que sean perpendiculares. M
Estrategias	para	preparar	el	Simce
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple
1.	Respecto	de	la	siguiente	figura,	¿cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	es	verdadera? verdadera? C C
A.	El	triángulo	EDG	es	congruente	con	el	triángulo	FGA	por	la	rotación en	el	centro	G	y	el	ángulo	de	90°	en	sentido	horario.
A A B.	Uno	de	los	ejes	de	simetría	que	se	identifican	en	la	figura	corresponde	a	EF.
1.	Dada	la	figura,	completa	con	los	símbolos	=	y	//. Prepara la prueba 5 • Síntesis
B Módulo 1
C.	La	diagonal	del	cuadrilátero	AFEC	corresponde	al	segmento	AG. D.	El	triángulo	CDB	es	congruente	con	el	triángulo	BAC	por	una	reflexión	con	eje	de	simetría	CB.
• Estrategias para preparar el Simce
a.	DB
b.	EA
c.	CG	d.	FB
h.	IB
Cuadriláteros Todos sus lados son de igual medida
Rectángulo B A mil estructuras Nuestro país tiene aproximadamenteA 12 de B conexión viales ubicadas en diferentes rutas del país. De B F Rombo este total, 7.250 corresponden a puentes y el resto, a pasarelas. Paralelismo en figuras geométricas Romboide
y en cuerpos geométricos
B.	Si	se	considera	EF	como	eje	de	simetría,	al	aplicar	la	transformación	isométrica	correspondiente	a	la	reflexión,	el	punto	C	tiene	como	imagen	D,	y	el	punto	A	tiene	como	imagen	B.
El cuerpo corresponde a una pirámide cuya base es un hexágono.
Todos sus ángulos interiores son rectos
Perpendicularidad de figuras y cuerpos
3.	Observa	el	siguiente	prisma	recto.	Luego,	responde. Perpendicularidad en figuras geométricas F
Por	lo	tanto,	la	alternativa	B	es	la	correcta. Por	lo	tanto,	la	alternativa	B Por	lo	tanto,	la	alternativa	B	es	la	correcta.
Cantidad	de	aristas
Nombre: Viaducto Malleco c.	Escribe	todas	las	caras	paralelas	del	poliedro. Módulo 4Ubicación: Congruencia de Región de La Araucanía
d.	Escribe	todas	las	caras	perpendiculares	del	poliedro.
• A(1, 1) • B(7, 1)
• C(8, 4) • D(2, 4)
Nombre: Puente Presidente Ibáñez Ubicación: Región de Aysén del General En el triángulo Carlos EFG se realiza una traslación de Ibáñez del Campo Longitud: metros. y 2 unidades hacia abajo 3 unidades a 200 la izquierda
El área de un rectángulo es 36 cm2. Si el largo del rectángulo mide 9 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo? Pregunta: Se necesita conocer el ancho del rectángulo.
Prof. Jaime Ávila Hidalgo Prof. Cristina Fuenzalida Guzmán Prof. María José Jiménez Robledo Prof. Paola Ramírez González Asesoría pedagógica y de contenidos
5°básico Dra. Elizabeth Montoya Delgadillo Dr. Raimundo Olfos Ayarza Prof. Paula Vigar Robles Prof. Pedro Marchant Olea
El triángulo EFGFuente: es congruente con Públicas, el triángulo E’F’G’. Ministerio de Obras Gobierno de Chile.
F’ 4
Puente Presidente Ibáñez:
Reflexiona y comenta. • ¿Cuál de los puentes mostrados en las fotografías se encuentra más al norte? • Comenta con tus compañeras y compañeros los distintos puentes que conocen. Nombra tres. • Nombra 3 aspectos que se debería tomar en cuenta para diseñar un puente del modo más aproximado a la realidad.
Páginas de apoyo Problema
Al representarlo en el plano cartesiano, se obtiene un romboide.
• ¿Cuál es la longitud de cada puente expresada en centímetros?
Cantidad	de	vértices
A partir de la información anterior, responde.
Puente Llacolén:
b.	¿Cuántas	aristas	y	vértices	tiene	el	prisma	recto?
Viaducto Malleco:
Los vértices del cuadrilátero son:
Caras	laterales
a.	¿Con	qué	polígono	relacionas	las	caras	laterales	y	basales?
• ¿Cuántas pasarelas hay en nuestro país?
En la intersección de las caras se destaca con blanco la arista. Además sus caras, forman un ángulo diedro recto.
Longitud: 345 metros
La imagen se relaciona conpuntos el paralelepípedo. 4
La pirámide tiene: • 7 vértices • 12 aristas • 1 cara basal • 6 caras laterales
Nombre: Puente Llacolén
Caras	basales
D.	La	transformación	que	implica	la	congruencia	de	los	triángulos	CDB	y	BAC corresponde	a	una	rotación	de	centro	G	y	ángulo	180°,	no	a	la	reflexión	con el	eje	de	simetría	CB.
Ubicación: Región del Biobío Intersección en figuras geométricas Longitud: 2.157 metros y en cuerpos geométricos
y en E cuerpos geométricos C.	La	diagonal	del	cuadrilátero	AFEC	corresponde	al	segmento	AE, representado	con	color	azul	en	la	figura.
Solo sus lados opuestos son de igual medida
La longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexión G G Módulo 2 Cuadrado 180º180º Paralelismo e intersección vial de nuestro país
2.	Lee	y	marca	con	un	el	casillero	correspondiente.
Competencias	para	la	vida
A.	Los	triángulos	son	congruentes	por	una	rotación	de	centro	G	y ángulo de 180°,	no	de	90°. ,	no	de	90°.
e.	EJ
f.	JI KL Rectas, figuras y cuerpos geométricos EA g.	HC	CG
Análisis de las aternativas
• Desarrollo de la autonomía (Agenda) • Desplegable de habilidades
Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Paralelismo e intersección
Intersección de rectas pág. 178 Polígonos pág. 180 Cuadriláteros pág. 182 Cuerpos geométricos: poliedros pág. 184 Cuerpos geométricos: paralelepípedos pág. 186
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos pág. 188
Educando en valores: optimización de los recursos pág. 187 Ponte a prueba pág. 187 págs. 176 - 221
Puntos en el plano cartesiano pág. 196 Figuras en el plano cartesiano pág. 198
Intersección en figuras geométricas y en cuerpos geométricos pág. 190 Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos pág. 192
pág. 208 Utilización de software geométrico pág. 211 Ponte a prueba pág. 199
Área de triángulos ocupando cuadrículas pág. 238
Conversión entre unidades de longitud pág. 226
Área de un rectángulo pág. 232
Unidades de superficie pág. 228
Representación de rectángulos
Área de un rombo y de un romboide en cuadrículas pág. 242
Área de rombos y de romboides pág. 244 Área de trapecios ocupando cuadrículas pág. 246 Área de trapecios pág. 248 Área de figuras compuestas utilizando cuadrículas pág. 250 Educando en valores: trabajo en equipo pág. 245 págs. 222 - 261
Ponte a prueba pág. 229
Ponte a prueba pág. 235
Transformaciones isométricas pág. 200 Traslación pág. 202 Reflexión pág. 204 Rotación pág. 206 Congruencia
Ponte a prueba pág. 211
Matemática 5º básico - Tomo II
Ubicar puntos en el plano cartesiano
Competencias La geometría me ayuda a comprender la arquitectura antigua
Análisis de una pregunta de selección múltiple
Evaluación inicial pág. 177
Síntesis y repaso Prepara la prueba 5
Competencias: matemática, cultural y artística
Evaluación intermedia pág. 194
Evaluación final pág. 212 Estrategia
Representar gráficamente el área de una figura
pág. 214 La longitud de los puentes chilenos me ayuda a comprender la conexión vial de nuestro país
pág. 216 Análisis de una pregunta de selección múltiple
Evaluación inicial pág. 223
Evaluación intermedia pág. 236
Evaluación final pág. 252
Prepara a prueba 6
รndice Unidad
7 Datos y probabilildades
Tratamiento de la informaciรณn
Conceptos bรกsicos pรกg. 264 Lectura e interpretaciรณn de tablas de frecuencias pรกg. 266 Lectura e interpretaciรณn de grรกficos de barras pรกg. 268
Mรณdulo 3
Cรกlculo de promedio de datos pรกg. 278 Cรกlculo de promedio en grรกficos pรกg. 280
Introducciรณn a la probabilidad
Experimentos aleatorios pรกg. 284 Espacio muestral pรกg. 286
Ventajas y desventajas del promedio de datos pรกg. 282
Comparaciรณn de posibilidades pรกg. 288
Probabilidad y comparaciรณn pรกg. 290
Lectura e interpretaciรณn de grรกficos de lรญneas pรกg. 270 Construcciรณn de grรกficos de barras y de lรญneas pรกg. 272 Representaciรณn en un diagrama de tallo y hojas pรกg. 274 Educando en valores: vida saludable pรกg. 269 Ponte a prueba pรกgs. 262 โ 301
Evaluaciรณn integradora
pรกg. 275
pรกg. 283
pรกg. 291
Extraer información de un gráfico de barras
Competencias La información estadística me ayuda a comprender situaciones sociales
Evaluación inicial pág. 263
Síntesis y repaso Prepara la prueba 7
Competencias: matemática, social y ciudadana
Evaluación intermedia pág. 276
Evaluación final pág. 292
pág. 297 págs. 302 - 307
Tarea para la casa Marzo
Tarea para la casa Agosto
Traer materiales Noviembre
En esta unidad aprenderás a: • Clasificar	distintos	tipos	de	rectas,	polígonos	y	poliedros. • Reconocer	posiciones	relativas	de	lados	en	figuras	geométricas. • Reconocer	posiciones	relativas	de	aristas	y	caras	en	cuerpos	geométricos. • Ubicar	puntos	y	figuras	en	el	plano	cartesiano. • Aplicar	transformaciones	isométricas	a	distintas	figuras	en	el	plano	cartesiano. • Comprender	el	concepto	de	congruencia. • Manifestar	un	estilo	de	trabajo	ordenado	y	metódico.
1.	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta. Los	muros	de	la	casa	tienen	forma	de	cuadrado. Los	muros	de	la	casa	tienen	forma	rectangular. Los	muros	de	la	casa	tienen	forma	triangular.
2.	Completa	cada	afirmación	con	las	siguientes	palabras.
a.	El	auto	se
desde	la	calle	hacia	el	garaje.
b.	La	niña	se
en	el	agua	de	la	piscina.
c.	La	mascota
alrededor	del	niño.
3.	Encierra	la	imagen	que	relaciones	con	la	vista	desde	arriba	de	la	casa.
4.	De	las	siguientes	figuras,	¿en	cuál	se	representó	un	eje	de	simetría?	Enciérrala	y	justifica	tu	elección. Figura	1
1 Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Intersección de rectas Observa y responde L1
•	Las	rectas	de	color	azul	y	rojo	se	simbolizan	como:	CD	y	AB. •	Las	rectas	también	se	pueden	representar	como	L1,	que	se	lee	“ele	uno”.
•	Los	segmentos	EF	y	GH	se	simbolizan	por:	EF	y	GH.
•	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta	y	con	una	,	si	la	afirmación	es	incorrecta. La	recta	CD,	al	intersectar	a	la	recta	AB,	forma	4	ángulos	rectos. La	recta	CD,	al	intersectar	a	la	recta	L1,	forma	4	ángulos	rectos. La	recta	L1	corta	en	un	punto	a	la	recta	L2.
Aprende Si	dos	rectas	se intersectan	o	se	cortan	en	un	punto,	estas	son	secantes.	Además,	se	dan	los	siguientes	casos: •	si	forman	4	ángulos	rectos	(90º),	estas	rectas	son	perpendiculares,	lo	que	se	representa	como	“=”.
Si	la	distancia	que	separa	dos	o	más	rectas	es	siempre	la	misma,	o	si	se	prolongan	indefinidamente,	nunca se intersectan.	Estas	rectas	son	paralelas,	lo	que	se	representa	como	“//”. Ejemplo:	la	recta	EF	es	paralela	a	la	recta	GH.
Ejemplo:	la	recta	L1	es	perpendicular	a	la	recta	L2. L2
EF	//	GH
L1	=	L2	o	L2	=	L1
•	si	forman	2	ángulos	agudos	(mayor	que	0º	y	menor	que	90º)	se	llaman	rectas	oblicuas.
Si	todos	los	puntos	de	una	recta	son	comunes	con	otra	recta,	se	dice	que	son	coincidentes. Ejemplo: PA	es	coincidente	con	LM.
Ejemplo:	las	rectas	L3	y	L4	son	oblicuas. L4
Unidad 5 / Geometría
Clasificar diferentes tipos de rectas
1.	En	esta	cancha	de	fútbol,	remarca	tres	pares	de	segmentos	que	cumplan	cada	condición.	Identificar Segmentos	paralelos Segmentos	perpendiculares
4.	Observa	el	dibujo,	y	completa	con	//	o	=	en	cada	caso.	Luego,	responde	Analizar a.	L1
Módulo 1 / Rectas, figuras y cuerpos geométricos
Polígonos Lee y responde La	arquitectura	de	esta	vivienda	se	destaca	por	las	formas	innovadoras	que	tienen	sus	muros.	Estos	se	asemejan	a	diferentes	figuras	geométricas. •	Relaciona	cada	figura	que	se	muestra	con	los	lados	pintados	de	la	casa	representados	con	las	letras	A,	B	y	C.	Para	ello,	escribe	en	el	recuadro	delante	de	cada	figura	la	letra	correspondiente.
•	Completa	con	la	cantidad	de	lados,	vértices	y	ángulos	de	las	figuras	descritas. Figura
Cantidad de ángulos interiores
Aprende Los	polígonos	son	figuras	geométricas	planas	limitadas	solo	por	segmentos	de	recta.	Generalmente,	se	usan	las	letras	mayúsculas	de	sus	vértices	para	nombrarlos.	Ejemplo: el	pentágono	ABCDE	tiene	5	vértices,	5	lados,	5	ángulos	interiores	y	5	diagonales. D E
Vértice Lado
Los	polígonos	se	pueden	clasificar	según	la	cantidad	de	lados.
Identificar los elementos de un polígono
1.	Encierra	las	figuras	geométricas	que	son	polígonos. Clasificar a.
2.	Escribe	el	nombre	de	cada	polígono	según	la	cantidad	de	lados.	Clasificar a.
El matemático griego Euclides (330 a. C. - 275 a. C.), en su obra Los elementos define varios postulados que hasta el día de hoy sustentan la base del conocimiento geométrico.
3.	Observa	los	siguientes	polígonos.	Luego,	responde.	Analizar D
I F K J
a.	¿Cuántos	vértices	tiene	el	polígono	JKLI?	b.	¿Cuántos	ángulos	interiores	tiene	el	polígono	ABCDE?	c.	¿Cuántas	diagonales	tiene	el	polígono	ABCDE?	¿Y	el	polígono	GHF?	d.	De	acuerdo	con	la	cantidad	de	lados,	¿cómo	se	clasifica	cada	polígono? ABCDE
Cuadriláteros Observa y responde En	una	construcción,	se	distribuyeron	unas	vigas	metálicas	como	se	muestra	en	la	imagen. A
•	Considerando	las	figuras	que	están	representadas	por	los	polígonos	ABCD	y	EGIL,	encierra	la	afirmación	correcta. El	lado	DA	es	perpendicular	al	lado	EG.	El	lado	BC	es	paralelo	al	lado	LE. •	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta. ✔ El	polígono	ABCD	tiene	4	lados.
En	el	polígono	PZJY,	todos	los	lados	tienen	igual	medida.
Aprende Los	cuadriláteros	son	polígonos	de	cuatro	lados	que	se	clasifican	en: •	Paralelógramo:	sus	lados	opuestos	son	paralelos.
•	Trapecio:	tiene	dos	lados	paralelos.
•	Trapezoide:	no	tiene	lados	paralelos.
Reconocer los diferentes tipos de cuadriláteros
1.	Pinta	los	cuadriláteros	con	el	color	correspondiente.	Clasificar Paralelógramo
2.	Sigue	las	pistas	y	descubre	el	nombre	de	la	persona	que	arreglará	el	vidrio	roto.	Analizar Pista 1 Hay	un	cuadrilátero	que	aparece	6	veces.
zo id e tra pe
•	Escribe	su	nombre.
•	Escribe	la	segunda	y	tercera	letra	de	su	nombre.
lóg ale
Hay	un	cuadrilátero	que	aparece	4	veces	menos	que	el	cuadrilátero	anterior.
•	Escribe	la	primera	consonante	de	su	última	sílaba.
Pista 3 Hay	un	cuadrilátero	que	aparece	4	veces. •	Escribe	las	vocales	de	su	última	sílaba.
Escribe	en	orden	las	letras	que	obtuviste	y	descubre	quién	arreglará	el	vidrio.
arreglará	el	vidrio.
Cuerpos geométricos: poliedros Observa y responde Los	edificios	de	la	imagen	se	pueden	relacionar	con	un	cuerpo	geométrico	cuyas	bases	tienen	forma	hexagonal. •	Encierra	el	nombre	de	la	figura	con	la	que	se	relacionan	las	caras	laterales	de	estos	edificios. Rectángulo	Rombo	Cuadrado •	Marca	con	un	el	cuerpo	geométrico	con	el	cual	representarías	la	estructura	del	edificio.
Ojo con... Por convención, las caras de un cuerpo geométrico pueden clasificarse en basales o laterales, dependiendo del punto de vista del observador.
•	En	total,	¿cuántas	caras	tiene	el	cuerpo	representado?
Aprende Los	poliedros	son	cuerpos	geométricos	limitados	solo	por	caras	planas	poligonales	que	pueden	ser	basales	o	laterales.	Los	lados	de	las	caras	corresponden	a	las	aristas	y	la	intersección	de	las	aristas	corresponde	a	los	vértices.	Además,	los	poliedros	se	pueden	clasificar	en	prismas	o	pirámides. Prismas:	tienen	dos	caras	basales	iguales	y	sus	caras	laterales	son	paralelógramos.
Pirámides:	tienen	una	cara	basal	y	sus	caras	laterales	son	triángulos.
Ejemplo: prisma	de	base	triangular.
Ejemplo: pirámide	de	base	rectangular.
Vértice Cara basal
Arista Cara lateral
Vértice Cara lateral
Tiene	2	caras	basales,	3	caras	laterales,	6	vértices	y	9	aristas.
Tiene	4	caras	laterales,	1	cara	basal,	5	vértices	y	8	aristas.
Reconocer los diferentes tipos de poliedros
1.	Relaciona	cada	figura	con	un	poliedro.	Luego,	pinta	si	corresponde	a	un	prisma	o	una	pirámide.	Clasificar a.
2.	Observa	cada	poliedro	y	luego	responde. Analizar a.
•	¿Cuántos	vértices	tiene?
•	¿Cuántas	aristas	tiene?
•	¿Cuántas	caras	basales	tiene?
•	¿Cuántas	caras	laterales	tiene?
•	¿Qué	polígono	se	relaciona	con	la	cara	LEHJ?
•	¿Cuántas	caras	laterales	tiene?	•	¿Qué	polígono	se	relaciona	con	la	cara	EDCBF?
3.	Escribe	V	si	la	afirmación	es	verdadera	o	F,	si	es	falsa.	Justifica	en	cada	caso. Evaluar a.
Un	poliedro	tiene	5	caras	como	mínimo. Justificación:
Todas	las	caras	laterales	en	una	pirámide	son	triángulos. Justificación:
Cuerpos geométricos: paralelepípedos Observa y responde Muchos	objetos	de	nuestro	entorno	se	asemejan	a	un	cuerpo	geométrico,	como	la	carcasa	del	PC	que	se	muestra.	Por	la	forma	que	tiene,	se	puede	relacionar	con	un	cuerpo	geométrico. •	Encierra	la	opción	que	representa	la	forma	de	la	carcasa	del	PC.
Opción	1	Opción	2
•	En	total,	¿cuántas	caras	tiene	el	cuerpo	geométrico	que	se	asemeja	a	la	carcasa	del	PC?	•	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta	y	con	una	,	si	la	afirmación	es	incorrecta. Las	caras	de	la	carcasa	del	PC	se	asemejan	a	un	trapecio. Las	caras	de	la	carcasa	del	PC	se	asemejan	a	un	rectángulo. •	¿Qué	otros	elementos	de	tu	entorno	se	asemejan	a	este	cuerpo	geométrico?	Nombra	2.
Aprende Los	paralelepípedos	son	poliedros	que	tienen	seis	caras	y	cada	una	de	ellas	es	un	paralelógramo.	Si	sus	caras	son	rectángulos	o	cuadrados,	corresponden	a	paralelepípedos rectos;	mientras	que	si	sus	caras	son	rombos	o	romboides,	se	conocen	como	paralelepípedos oblicuos. Paralelepípedos rectos
Paralelepípedos oblicuos
Analizar distintos paralelepípedos
1.	Marca	con	un	los	objetos	que	se	asemejen	a	un	paralelepípedo,	y	con	una	,	los	que	no.	Luego,	justifica	tu	elección.	Reconocer
2.	Dibuja	cada	cuerpo	geométrico,	según	las	características	dadas.	Analizar a.	Paralelepípedo	recto	de	6	caras	y	8	vértices.
b.	Paralelepípedo	oblicuo	de	8	vértices	y	6	caras.
Educando en valores Una vez que el computador pierde su vida útil, sus piezas se pueden reciclar; de esta forma se les da una nueva utilidad y se evita que dañen el entorno.
Ponte a prueba Escribe	V	si	la	afirmación	es	verdadera	o	F,	si	es	falsa.	Justifica	tu	respuesta.
Las	caras	de	un	paralelepípedo	no	son	solo	cuadriláteros.
Las	caras	de	los	paralelepípedos	oblicuos	son	solo	rombos	y	romboides.
2 Paralelismo e intersección
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos Observa y responde Cubo Cuadrado
El objeto se representa por medio de un cubo.
Las caras pintadas corresponden a un cuadrado.
•	Encierra	la	opción	correcta. Opción	1	Los	lados	del	cuadrado	no	son	paralelos.	Opción	2	Las	caras	pintadas	en	el	cubo	son	paralelas. •	Completa	con	las	palabras paralelas,	perpendiculares	y	paralelógramos,	según	corresponda. Todas	las	caras	del	cubo	son
Las	caras	del	cubo	que	no	tienen	una	arista	en	común	del	cubo	son
Aprende En	un	prisma,	la	distancia	entre	las	caras opuestas	es	siempre	la	misma,	o	si	se	prolongan	indefinidamente	en	cualquier	dirección,	estas	no	se	intersectan.	Estas	caras	se	dice	que	son	paralelas. Ejemplo:	en	el	siguiente	paralelepípedo	recto,	se	observa	que: •	ADHE	es	un	paralelógramo,	luego	AD // EH. •	ABFE	es	un	paralelógramo,	luego	AB // EF. •	Las	caras	basales	son	paralelas.
Ejemplo:	en	el	siguiente	poliedro	recto,	se	observa	que	sus	caras	basales	no	son	paralelas,	ya	que	la	distancia	de	la	medida	de	AP	es	distinta	de	la	distancia	de	la	medida	de	ML. H
2 cm I L
Reconocer el paralelismo en figuras y cuerpos geométricos
1.	Observa	el	siguiente	paralelepípedo	oblicuo	y	realiza	las	actividades	propuestas.	Analizar G
a.	Completa	con	las	aristas	que	son	paralelas.
•	GH	//
•	BC	//
•	HE	//
//	CD
•	GF	//
//	DA
b.	Escribe	todas	las	caras	paralelas.	Observa	el	ejemplo. El	paralelógramo	BCFE	es	paralelo	al	paralelógramo	ADGH.
2.	Lee	la	siguiente	situación	y	responde.	Analizar En	el	lado	izquierdo	hay	una	pirámide	cuya	base	es	un	rectángulo.	El	cuadrilátero	HEFG	corta	a	esta	pirámide,	resultando	la	figura	que	se	muestra. K
G H D A Pirámide
Un	estudiante	afirma	que	las	caras	pintadas	en	el	cuerpo	geométrico	son	paralelas,	ya	que	no	se	intersectan.	¿Es	correcta	esta	afirmación?	Justifica	tu	respuesta.
Módulo 2 / Paralelismo e intersección
Intersección en figuras geométricas y en cuerpos geométricos Observa y responde
El objeto se puede representar como un paralelepípedo recto.
Las caras pintadas se relacionan con rectángulos.
•	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta	y	con	una	,	si	la	afirmación	es	incorrecta. El	paralelepípedo	tiene	8	aristas. Las	aristas	de	un	paralelepípedo	que	se	intersectan	forman	una	arista. Cuando	se	intersectan	los	lados	de	un	rectángulo	forman	un	vértice. •	Completa	con	las	palabras	una arista	o	un vértice,	según	corresponda. Al	intersectarse	dos	lados	en	un	rectángulo	se	forma	Al	intersectarse	dos	caras	en	un	paralelepípedo	se	forma
Si	en	un	cuerpo	geométrico	se	intersectan dos caras,	estas	forman	una	arista,	mientras	que	si	se	intersectan dos lados	en	una	figura,	estos	forman	un	vértice. Ejemplo:	en	el	cubo	se	observa	que: H
•	Los	lados	DA	y	AB	se	intersectan	en	el	vértice	A.
•	Las	caras	pintadas	se	intersectan	y	forman	la	arista	HC. B
Reconocer la intersección en figuras y cuerpos geométricos
1.	En	las	siguientes	imágenes,	marca	con	color	rojo	todas	las	aristas	que	tienen	en	común	el	punto	indicado. Identificar
2.	Remarca	con	color	rojo	las	aristas	que	se	intersectan	en	el	punto	dado	y	con	color	azul	las	caras	que	se	intersectan	en	el	segmento	dado.	Observa	el	ejemplo.	Identificar D
D Punto D y arista AC.
b.	Punto	Q	y	arista	LS.
a.	Punto	J	y	arista	EG. H
N J G P I
3.	Escribe	V	si	la	afirmación	es	verdadera	o	F,	si	es	falsa.	Justifica	tu	respuesta.	Evaluar a.
En	todo	poliedro	se	necesitan	cuatro	aristas	como	mínimo	para	formar	un	vértice. Justificación:
En	un	poliedro,	la	intersección	de	dos	caras	forma	una	arista. Justificación:
Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos Observa y responde
La forma de una parte de la casa se asemeja a un paralelepípedo recto.
•	Considerando	la	representación	de	la	casa,	encierra	la	opción	correcta. Opción	1	La	intersección	de	las	caras	pintadas	tiene	dos	vértices	en	común. Opción	2	La	intersección	de	las	caras	pintadas	tiene	dos	aristas	en	común. Observa	la	siguiente	figura. Ángulo diedro.
•	¿Qué	medida	tiene	el	“ángulo	diedro”	de	las	caras	pintadas	en	la	imagen	inicial?
Aprende Si	al	intersectarse	dos	caras	de	un	poliedro	forman	un	ángulo	diedro	recto	(90º), se	dice	que	sus	caras	son	perpendiculares. Ejemplo:	en	el	paralelepípedo	recto	se	observa	que: •	EFBA	es	rectángulo,	luego	AE	=	EF. •	AEHD	es	rectángulo,	luego	AE	=	EH.
G F’
F Como	la	cara	AEHD	contiene	el	segmento	A’E’	perpendicular	al	segmento	E’F’, se	puede	afirmar	que	en	el	paralelepípedo	recto	las	caras	AEHD	y	EFGH	son	perpendiculares.
Reconocer la perpendicularidad en figuras y cuerpos geométricos
1.	Marca	con	un	las	imágenes	en	que	las	caras	A	y	B	representan	la	perpendicularidad,	y	con	una	,	aquellas	que	no	la	representan.	Reconocer
2.	Lee	y	luego	responde.	Analizar El	siguiente	cubo	se	divide,	de	manera	que	se	forman	dos	paralelepípedos	rectos. E
a.	¿Qué	polígono	representa	la	cara	de	color	celeste?
b.	La	cara	de	color	celeste,	¿a	cuántas	caras	es	perpendicular?	Remárcalas.
c.	Escribe	todas	las	aristas	perpendiculares	a: •	KL
•	IJ
Ponte a prueba Observa	el	siguiente	poliedro,	luego	responde: E
•	¿Con	qué	cuadriláteros	se	relacionan	las	caras	laterales	y	basales?
•	Pinta	con	color	verde	un	par	de	caras	que	sean	paralelas	y	con	color	azul	un	par	de	caras	que	se	intersecten.
¿Cómo	vas? Intersección de rectas
1.	Observa	las	siguientes	rectas	y	luego	escribe	oblicua,	paralela	o	perpendicular,	según
a.	L1	es
b.	L3	es
c.	L4	es
d.	L2	es
2.	Observa	la	señal	de	tránsito	y	luego	responde.
a.	Escribe	la	cantidad	de	vértices	y	lados	que	tiene	la	figura. Vértices
b.	Escribe	la	cantidad	de	diagonales	que	tiene.	c.	Escribe	el	nombre	de	la	figura	geométrica	con	la	que	se	relaciona	esta	señal. Cuadriláteros
3.	Observa	la	figura	y	clasifica	cada	cuadrilátero	en	paralelógramo,	trapecio	o	trapezoide.
a.	EADH	es	un
4.	Observa	el	siguiente	poliedro	y	luego	responde.
a.	Escribe	la	cantidad	de	vértices	y	de	aristas. Aristas
b.	Escribe	el	número	de	caras	del	poliedro. Caras	laterales
5.	A	partir	del	poliedro	que	se	muestra,	realiza	un	dibujo	en	el	que	resulten	2	paralelepípedos.	Observa	el	ejemplo.
Intersección en figuras y cuerpos geométricos
6.	El	poliedro	representado	a	continuación	se	obtuvo	al	realizar	cortes	a	un	paralelepípedo	recto.
a.	Escribe	4	caras	que	sean	paralelas.
C Z J D
b.	Escribe	4	caras	que,	al	intersectarse,	no	formen	un	ángulo	recto.
c.	Escribe	4	caras	que	sean	perpendiculares. B
3 Plano cartesiano Y
Esteban	es	una	persona	responsable	y	solo	cruza	la	calle	por	los	pasos	de	cebra	(	).	Él	está	en	su	casa	(A)	y	quiere	ir	al	parque	(B)	siguiendo	la	ruta	que	indican	las	flechas.
•	De	acuerdo	con	la	graduación	de	los	ejes	(X	e	Y),	el	parque	se	ubica	en	el	punto	(7,	6).	Encierra	la	opción	que	representa	la	ubicación	de	la	casa.
Opción	1	(3,	3)	Opción	2	(2,	3)	Opción	3	(3,	2) •	Marca	con	una	el	o	los	puntos	que	no	pertenecen	al	trayecto	hecho	por	Esteban. (3,	4)
(3,	2)
(6,	5)
(7,	6)
Aprende El	plano cartesiano	está	determinado	por	dos	rectas	perpendiculares,	llamadas	ejes de coordenadas,	y	por	cuatro	cuadrantes.	El	eje horizontal	se	llama	eje X	o	de	las	abscisas,	mientras	que	el	eje vertical	recibe	el	nombre	de	eje Y	o	de	las	ordenadas.	Cada	punto	se	representa	por	el	par ordenado	(a,	b),	donde	a	(primera	coordenada)	corresponde	a	los	valores	de	las	abscisas	y	b	(segunda	coordenada),	al	de	las	ordenadas.	Ejemplo:	en	el	plano	cartesiano	se	ubicarán	los	siguientes	puntos:	A(3,	4),	B(0,	2)	y	C(4,	3).
Coordenadas (a, b)
Identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano
1.	Traza	el	recorrido	que	sigue	Alejandra.	Luego,	escribe	el	lugar	al	que	llega.	Aplicar (1,	1)
(3,	1)
(4,	1)
(5,	2)
(6,	2)
(6,	3)
(6,	4)
(7,	4)
Llegó	a:
2.	Escribe	sobre	cada	par	ordenado	de	la	tabla	la	letra	que	le	corresponda.	Luego,	descubre	qué	palabra	se	forma.	Analizar Y 6
(2,	3)
(1,	4)
(3,	3)
(1,	1)
(5,	4)
(8,	2)
La	palabra	secreta	es:
3.	Resuelve	los	siguientes	problemas.	Aplicar a.	Un	punto	P	se	ubica	en	las	coordenadas	(3,	5).	Si	se	desplaza	en	3	unidades	a	la	derecha	y	2	unidades	hacia	abajo,	¿cuáles	son	sus	nuevas	coordenadas?
b.	Un	punto	Q	se	traslada	3	unidades	hacia	abajo	y	7	unidades	a	la	derecha,	quedando	en	el	punto	(10,	5).	¿Cuáles	son	las	coordenadas	del	punto	inicial?
Módulo 3 / Plano cartesiano
En	el	plano	cartesiano	se	marcan	los	puntos	A	y	B.
•	Escribe	las	coordenadas	de	cada	punto. A(
•	¿Cuántos	vértices	tiene	un	cuadrilátero?
•	Si	se	ubican	en	el	plano	cartesiano	los	puntos	D(3,	5)	y	C(7,	5),	encierra	la	opción	que	representa	la	figura	de	vértices	A,	B,	C	y	D. D
Opción	1	Opción	2	Opción	3	A
Aprende Para	ubicar	e	identificar	figuras geométricas	en	el	plano	cartesiano,	es	necesario	tener	en	cuenta	sus	características. Ejemplo:	dos	vértices	consecutivos	de	un	cuadrado	tienen	coordenadas	(2,	2)	y	(2,	4),	respectivamente.	¿Cuáles	son	las	coordenadas	de	los	otros	dos	vértices	si	el	punto	(3,	3)	es	exterior	al	cuadrado? Primero	se	ubican	los	vértices	y	se	dibuja	el	lado. Y
(0, 4) (2, 4) (3, 3)
Considerando	que	(3,	3)	es	un	punto	exterior,	la	solución	es	(0,	2)	y	(0,	4). Y
Luego,	se	dibujan	los	cuadrados	con	ese	lado	en	común.
(0, 2) (2, 2)
Representar	figuras	en	el	plano	cartesiano
1.	Dados	los	vértices,	dibuja	el	polígono	que	se	forma	y	escribe	su	nombre.	Representar a.	Los	vértices	son	(1,	2);	(4,	2);	(3,	4)	y	(2,	4).
b.	Los	vértices	son	(3,	5);	(4,	7);	(6,	5)	y	(7,	7).
El	cuadrilátero	es	un
2.	Analiza	cada	situación	y	responde.	Analizar a.	Dos	de	los	vértices	de	un	rectángulo	tienen	coordenadas	A(1,	1)	y	C(3,	5).	Escribe	las	coordenadas	B	y	D. B(
)	y	D(
b.	Escribe	las	coordenadas	de	todos	los	vértices	de	cuadrados	que	se	pueden	formar	con	los	puntos	(5,	5)	y	(5,	8).
Ponte a prueba •	Dibuja	los	ejes	coordenados. A(2,	5)
•	Ubica	el	punto	B(2,	2). •	Con	los	puntos	anteriores,	dibuja	un	cuadrado	ABCD	y	escribe	las	coordenadas	de	todos	sus	vértices. A(
4 Congruencia de figuras geométricas
Transformaciones isométricas Observa y responde
•	Encierra	la	opción	incorrecta. La	montaña	se	refleja	en	el	lago. Al	rotar	sobre	su	eje	imaginario,	el	planeta	Tierra	cambia	de	forma. Al	desplazarse,	el	insecto	solamente	cambia	de	lugar. •	Marca	con	un	la	afirmación	que	se	relaciona	con	las	imágenes	presentadas. La	montaña,	el	insecto	y	la	Tierra	cambian	de	forma. La	montaña,	el	insecto	y	la	Tierra	no	cambian	de	forma.
Aprende Una	transformación isométrica	es	un	movimiento	que	se	realiza	a	una	figura	plana,	de	manera	que	esta	mantiene	su	forma	y	su	tamaño.	A	la	figura	resultante	de	la	transformación	isométrica	se	le	llama	figura	imagen. Ejemplos:
Figura imagen E’
Figura imagen
Reconocer	una	transformación	isométrica
1.	Marca	con	un	las	imágenes	que	se	relacionan	con	una	transformación	isométrica,	y	con	una	,	las	que	no.	Justifica	en	cada	caso.	Reconocer
c.	ática Matem
básicoI TOMO
básico TO MO I
2.	A	cada	figura	se	le	aplicó	una	transformación	isométrica.	Completa	sobre	la	figura	imagen	los	puntos	señalados	en	cada	caso.	Analizar
B Figura original
Z’ U
Z Figura original
G Figura imagen
B’ Figura imagen
Módulo 4 / Congruencia de figuras geométricas
Observa y responde En	el	punto	A	de	la	cuadrícula	se	representa	un	pajarito	comiendo	maíz.
Luego	de	comer	en	A,	el	pajarito	se	trasladará	a	comer	el	maíz	ubicado	en	B.
B Maíz
•	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta. ✔ El	pajarito	se	desplaza	2	unidades	hacia	abajo	y	luego	7	unidades	a	la	izquierda.
El	pajarito	se	desplaza	2	unidades	hacia	abajo	y	luego	7	unidades	a	la	derecha. •	Encierra	la	opción	que	representa	la	traslación	del	pajarito.
Opción	1
Opción	2
Aprende La	traslación	es	una	transformación	isométrica	de	una	figura	plana	que	describe	mediante	segmentos	orientados.	Cada	segmento	corresponde	a	un	movimiento	en	línea	recta	que	tiene	una	distancia	y	una dirección. Ejemplo:	el	polígono	ABCD	se	traslada	3	unidades	hacia	arriba	( )	y	9	unidades	hacia	la	derecha	( ). D’
A B Figura original
Aplicar una traslación a figuras planas
1.	Traslada	cada	figura	según	cada	indicación.	Aplicar a.	10	unidades	hacia	la	derecha	y	3	unidades	hacia	arriba.
b.	2	unidades	hacia	arriba	y	9	unidades	hacia	la	izquierda.
2.	Completa	según	corresponda.	Analizar a.
G’ Figura imagen
El	polígono	ABCDE	se	desplazó	1	unidad	hacia	y
unidades	a	la
El	polígono	FGH	se	desplazó
izquierda,	resultando	el	polígono	A’B’C’D’E’.
hacia	la	derecha,	resultando	el	polígono	F’G’H’.
3.	Traslada	la	figura	según	la	indicación	presentada.	Aplicar Y 5
a.	¿Cuáles	son	las	coordenadas	del	punto	L’?
L’(6,	M
b.	¿Cuáles	son	las	coordenadas	del	punto	N’?
N’(
c.	Marca	en	el	plano	todas	las	coordenadas	de	la	figura	imagen	y	dibújala.
Reflexión Observa y responde A
Luis	ha	doblado	una	hoja	de	papel	y	en	uno	de	sus	lados	ha	dibujado	un	triángulo	ABC.
Con	un	alfiler	perforó	los	vértices	del	triángulo.	De	este	modo,	en	el	otro	lado	del	papel	quedaron	las	tres	perforaciones	y,	al	unirlas,	formó	el	triángulo	A’B’C’.
Al	representar	esta	situación,	se	tiene	que: A’
•	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta. La	distancia	mínima	entre	la	recta	L	y	el	vértice	B	es	distinta	a	la	distancia	mínima	entre	el	vértice	B’	y	esta	recta. La	distancia	de	la	recta	L	al	vértice	C	es	igual	a	la	distancia	entre	el	eje	y	el	vértice	C’.
Aprende La	reflexión	respecto	de	una	recta	llamada	eje de simetría	es	una	transformación	isométrica	tal	que	a	cada	punto	A	de	la	figura	original,	le	corresponde	un	punto	A’	de	la	figura	imagen.	La	distancia	de	cada	uno	de	estos	puntos	al	eje	de	simetría	es	la	misma.	Esta	transformación	isométrica	también	se	conoce	como	simetría axial. Ejemplo 1: Reflexión	de	un	punto.
Ejemplo 2: Reflexión	de	un	segmento. Eje de simetría
Ejemplo 3: Reflexión	de	una	figura. E’ C’ G’
D’ G
Eje de simetría D
Aplicar una reflexión a figuras planas
1.	Dibuja	la	figura	imagen	al	aplicar	una	reflexión	según	el	eje	de	simetría	(L)	representado	con	color	rojo.	Luego,	completa.	Aplicar
a.	Y
9 10 11 12 13 14 15 X
A’(
C’(
E’(
B’(
D’(
F’(
G’(
2.	Analiza	la	siguiente	información.	Analizar Una	simetría central	es	una	transformación	en	la	cual,	a	cada	punto	de	una	figura	se	le	asocia	otro	punto,	llamado	imagen,	que	cumple	las	siguientes	condiciones: •	El	punto	y	su	imagen	están	a	igual	distancia	de	un	punto	dado,	llamado	centro de simetría (O). •	El	segmento	que	une	un	punto	con	su	imagen	contiene	al	centro	de	simetría. Ejemplo: B’
En	la	imagen,	el	triángulo	A’B’C’	es	la	imagen	del	triángulo	ABC	con	respecto	al	centro	de	simetría	O.
Realiza	en	cada	figura	una	simetría	central	respecto	al	centro	(O)	indicado.
Rotación Observa y responde Cuando	la	rueda	gira: El	único	punto	fijo	está	en	el	centro	de	la	rueda.	Ese	es	el	centro	de	rotación	(O). Todos	los	otros	puntos	de	la	rueda	cambian	de	posición.	Además:
–	Los	segmentos	que	unen	el	punto	con	el	centro	de	rotación	(O)	no	cambian	su	longitud. –	Entre	estos	segmentos	se	forma	un	ángulo. •	Para	denotar	una	rotación,	se	escribe	el	punto	fijo	de	rotación	(O)	y	el	ángulo	de	rotación.	En	la	ilustración,	la	rotación	del	punto	A	se	indica	mediante	(O,	45º).
•	Encierra	la	opción	correcta.
Opción	1	Al	rotar	cualquier	figura,	su	forma	y	medidas	siempre	cambia.
Opción	2	Al	rotar	cualquier	figura,	su	forma	y	medidas	no	cambia.
Aprende Una	rotación	es	la	transformación	de	cualquier	punto	o	figura	en	el	plano	en	otro	punto	o	figura	según	un	centro de rotación	y	un ángulo. Ejemplo 1: al	realizar	una	rotación	de	centro	O y	ángulo	90°	en	sentido	antihorario,	la	imagen	de	B	es	B’.	C’
Ejemplo 2: al	realizar	una	rotación	de	centro	O y	ángulo	90°	en	sentido	horario,	la	imagen	de C	es	C’.
sentido antihorario D’
B sentido horario
Aplicar una rotación a figuras planas
1.	Rota	cada	una	de	las	siguientes	figuras	según	el	centro,	el	ángulo	y	el	sentido	de	rotación	dados.	Aplicar a.	Realiza	una	rotación	a	la	figura	de	centro	J	y	ángulo	90°	en	sentido	antihorario.
b.	Rota	el	cuadrado	de	centro	P	en	180°	y	en	sentido	horario. C
2.	Rota	cada	figura	según	la	indicación	presentada.	Luego,	escribe	las	coordenadas	de	su	imagen.	Aplicar a.	(O,	90°)	en	sentido	antihorario.
b.	(P,	180°)	en	sentido	horario.
Z’(
Y’(
W’(
3.	Escribe	el	centro	y	el	ángulo	con	los	que	se	rotó	la	figura	1	para	obtener	la	figura	2.	Analizar a.
b.	C’
F’ E’
I F’
Congruencia Observa y responde
Observa	las	imágenes	y	luego	responde. Imagen 1 A
•	Mide	los	segmentos	AC	y	CE.	Luego,	encierra	la	opción	correcta. Opción	1	Ambos	segmentos	tienen	igual	medida.	Opción	2	Ambos	segmentos	tienen	distinta	medida. •	En	la	imagen	copia	una	de	las	figuras	de	color	verde	y	luego	dibújala	encima	del	otro	cuadrado.	Marca	con	un	la	afirmación	correcta. Tienen	distinta	forma	y	tamaño.
Tienen	igual	forma	y	tamaño.
•	Remarca	la	transformación	isométrica	que	se	relaciona	con	ambos	cuadrados. Traslación
Aprende Dos	figuras	son	congruentes	(,)	si	y	solo	si	una	figura	es	la	imagen	de	la	otra	mediante	una	transformación isométrica,	es	decir,	las	figuras	tienen	la	misma forma	y	tamaño. Ejemplo:	sobre	el	cuadrilátero	ABCD	se	ha	aplicado	una	rotación	(O,	180º),	resultando	el	cuadrilátero	EFGH.	Se	puede	afirmar	entonces	que	el	cuadrilátero	ABCD	es	congruente	con	el	cuadrilátero	EFGH. Además,	se	tiene	lo	siguiente: D G
•	AB	,	GH •	BC	,	HE
•	CD	,	EF •	DA	,	FG Todos	sus	ángulos	interiores tienen igual medida.
Comprender el concepto de congruencia
1.	Marca	con	un	si	la	figura	anaranjada	es	congruente	con	la	figura	de	color	rojo.	Reconocer a.
2.	Dibuja	un	triángulo	A’B’C’	congruente	con	el	triángulo	ABC.	Luego,	responde.	Analizar a.	¿Qué	transformación	isométrica	aplicaste?
b.	¿Qué	ocurre	con	las	medidas	de	sus	lados?
c.	¿Qué	ocurre	con	las	medidas	de	los	ángulos	interiores?
3.	ABCD	es	un	cuadrado.	Traza	las	diagonales	y	llama	O	a	la	intersección	de	ellas;	luego,	responde.	Analizar a.	¿Cuál	es	la	medida	del	ángulo	se	forma	con	la	intersección	de	ambas	diagonales?	A
b.	¿Qué	puedes	decir	de	los	triángulos	AOD,	OCD,	COB	y	BOA?	¿Son	congruentes?	Justifica.
4.	En	el	plano	cartesiano	se	ha	ubicado	el	trapecio	ABCD.	Refléjalo	con	respecto	al	eje	de	simetría	que	se	muestra	con	color	rojo,	y	luego	responde.	Analizar Y 10
Ingresa a www.casadelsaber.cl/mat/505 y encontrarás una actividad para complementar este contenido.
a.	Escribe	las	nuevas	coordenadas	que	se	forman.
)	B’(
)	C’(
)	D’(
b.	Utiliza	una	regla	y	mide	los	lados	del	trapecio	ABCD	y	de	la	imagen	A’B’C’D’.	Para	ello,	completa	según	corresponda. •	La	medida	del	lado	AB	es
y	la	del	lado	A’B’	es
•	La	medida	del	lado	BC	es
y	la	del	lado	B’C’	es
•	La	medida	del	lado	CD	es
y	la	del	lado	C’D’	es
•	La	medida	del	lado	DA	es
y	la	del	lado	D’A’	es
c.	Utiliza	un	transportador	y	mide	los	ángulos	interiores	del	trapecio	ABCD	y	de	la	imagen	A’B’C’D’.	Luego,	completa	según	corresponda. •	La	medida	del	ángulo	DAB	es
y	la	del	ángulo	D’A’B’	es
•	La	medida	del	ángulo	ABC	es
y	la	del	ángulo	A’B’C’	es
•	La	medida	del	ángulo	BCD	es
y	la	del	ángulo	B’C’D’	es
•	La	medida	del	ángulo	CDA	es
y	la	del	ángulo	C’D’A’	es
d.	Justifica	la	afirmación	“El	trapecio	ABCD	es	congruente	con	el	trapecio	A’B’C’D’”.
5. Utiliza	el	software	geométrico	GeoGebra	para	realizar	la	siguiente	actividad.	Luego,	responde.	Analiza
1°	Haz	clic	en	y	marca	en	el	plano	cartesiano	los	puntos	A(2,	1),	B(4,	1)	y	C(2,	3),	que	son	los	vértices	del	triángulo.
3°	Haz	clic	en	y	marca	en	el	plano	los	puntos D(2,	4)	y	E(5,	4),	que	corresponden	a	la	traslación	de	las	3	unidades	que	se	moverá	el	triángulo.
2° Luego,	utilizando	el	botón	,	marca	en	el	triángulo	cada	uno	de	los	vértices.
4°	Haz	clic	en	y	marca	un	vértice.	Luego	marca	los	puntos	D	y	E.	El	vértice	que	has	marcado	se	“trasladará”;	repite	esto	con	cada	vértice.	Luego,	presiona	y	dibuja	el	triángulo	A’B’C’.
¿Puedes	concluir	que	el	triángulo	ABC	es	congruente	con	el	triángulo	A’B’C’?	Justifica	tu	respuesta.
Ponte a prueba Utiliza	el	software	GeoGebra	para	realizar	lo	siguiente.	Luego,	responde.
a. ¿Qué	transformación	isométrica	se	aplicó? b. ¿Ambas	figuras	son	congruentes?	Justifica.
Nota:	la	aplicación	GeoGebra	(www.geogebra.org)	creada	por	Markus	Hohenwarter, fue	incluida	en	este	texto	con	fines	de	enseñanza	y	a	título	meramente	ejemplar.
Resolución	de	problemas Observa la resolución del siguiente problema
Eduardo	y	Angélica	están	jugando	a	lanzar	dardos	en	un	tablero	que	dibujan	sobre	un	plano	cartesiano.	Cada	uno	ha	lanzado	tres	dardos	y	sus	lanzamientos	se	han	representado	en	las	siguientes	coordenadas:
(6,	7)
(5,	3)
(4,	2)
¿Quién	obtuvo	mayor	puntaje?
Explica con tu palabras la pregunta del problema. Se	quiere	saber	quién	de	ellos	obtuvo	mayor	puntaje.
Identifica los datos importantes. Los	pares	ordenados	que	representan	la	ubicación	de	los	dardos	lanzados	por	Angélica	y	Eduardo.
Calcula y escribe la solución. Angélica
Angélica	obtuvo	39	+	23	+	23	=	85	puntos.
Revisa la solución. Dardos	lanzados	por	Angélica:	•	(5,	4)	corresponde	a	39	puntos.	•	(7,	6)	corresponde	a	23	puntos.	•	(6,	7)	corresponde	a	23	puntos.	Total:	85	puntos.
Eduardo	obtuvo	23	+	24	+	23	=	70	puntos.
Por	lo	tanto,	Angélica	obtuvo	mayor	puntuación.
Dardos	lanzados	por	Eduardo: •	(5,	3)	corresponde	a	24	puntos. •	(4,	2)	corresponde	a	23	puntos. •	(6,	2)	corresponde	a	23	puntos. Total:	70	puntos.
Ahora hazlo tú ¿Cuáles	son	las	coordenadas	de	las	imágenes	de	los	puntos	A,	B,	C,	D,	E	y	F,	luego	de	aplicar	una	reflexión	respecto	del	eje	de	simetría	de	color	rojo?
Explica con tu palabras la pregunta del problema.
9 10 11 X
Competencias para la vida La	geometría	me	ayuda	a	comprender	la	arquitectura	antigua Muchas	ciudades	tienen	formas	poligonales,	como	la	fortaleza	Neuf-Brisach,	que	es	un	pueblo	francés	de	la	región	de	Alsacia,	ubicado	a	menos	de	2,5	km	de	la	frontera	con	Alemania.
Competencia	matemática Responde, según la información entregada. •	¿Cuál	es	el	nombre	del	polígono	ocupado	en	el	“baluarte”?	Justifica.
•	Si	en	la	imagen	que	representa	la	ciudad	de	Neuf-Brisach	se	traza	el	segmento	CI,	¿con	qué	transformación	isométrica	se	podría	relacionar?	¿Cuáles	serían	las	imágenes	de	los	puntos	A,	B	y	H?
El	“baluarte”	es	una	construcción	geométrica,	generalmente	pentagonal,	unida	a	la	línea	de	las	murallas,	pero	saliente	con	respecto	a	ella,	cuya	principal	finalidad	fue	defender	las	puertas	de	los	castillos	medievales,	que	era	el	punto	más	débil	de	estas	construcciones. A
Competencia	cultural	y	artística Reflexiona y comenta. •	¿En	qué	región	de	Francia	se	encuentra	la	ciudad	de	Neuf-Brisach? •	¿Con	qué	figura	geométrica	relacionas	el	“baluarte”? •	¿Qué	relación	crees	que	existe	entre	la	geometría	y	la	arquitectura	actual? •	Nombra	diferentes	construcciones	con	forma	poligonal	que	conozcas.
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple 1. Respecto	de	la	siguiente	figura,	¿cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	es	verdadera? C C A.	El	triángulo	EDG	es	congruente	con	el	triángulo	FGA	por	la	rotación	en	el	centro	G	y	el	ángulo	de	90°	en	sentido	horario.
Análisis de las aternativas A.	Los	triángulos	son	congruentes	por	una	rotación	de	centro	G	y	ángulo de 180°,	no	de	90°.
D D 180º180º
C.	La	diagonal	del	cuadrilátero	AFEC	corresponde	al	segmento	AE,	representado	con	color	azul	en	la	figura.
D.	La	transformación	que	implica	la	congruencia	de	los	triángulos	CDB	y	BAC	corresponde	a	una	rotación	de	centro	G	y	ángulo	180°,	no	a	la	reflexión	con	el	eje	de	simetría	CB.
Por	lo	tanto,	la	alternativa	B	es	la	correcta.
1.	Dada	la	figura,	completa	con	los	símbolos	=	y	//. a.	DB
f.	JI
c.	CG
g.	HC
d.	FB
2.	Lee	y	marca	con	un	el	casillero	correspondiente. Todos sus lados son de igual medida
3.	Observa	el	siguiente	prisma	recto.	Luego,	responde.
a.	¿Con	qué	polígono	relacionas	las	caras	laterales	y	basales? Caras	basales
b.	¿Cuántas	aristas	y	vértices	tiene	el	prisma	recto? Cantidad	de	aristas
c.	Escribe	todas	las	caras	paralelas	del	poliedro.
4.	Realiza	en	el	plano	las	transformaciones	pedidas. a.	Dibuja	la	figura	imagen	de	la	figura	1	luego	de	aplicar	una	reflexión	respecto	del	eje	de	simetría	dado.
b.	Dibuja	la	figura	imagen	de	la	figura	2	luego	de	aplicar	una	rotación	de	centro	B	y	ángulo	de	90º	en	sentido	horario.
8 Figura 1
9 10 11 12 13 X
5.	Utilizando	las	siguientes	piezas	de
rompecabezas,	arma	un	rectángulo	y	dibújalo	en	la	cuadrícula.	Luego,	transforma	el	rectángulo	en	un	romboide	y	el	romboide	en	un	trapecio	moviendo	un	solo	triángulo. Rectángulo
6.	¿Qué	figura	es	congruente	con	el	trapecio	ABCD?	Justifica	tu	respuesta	con	una	transformación	isométrica.
Y 10 9
Marca con una X la alternativa correcta. Observa	la	siguiente	figura	y	luego	responde	las	preguntas	7	y	8. Z
7.	¿Qué	afirmación	es	verdadera? A.	WZ	//	ZY B.	ZW	//	XY C.	YZ	=	ZW D.	ZY	=	XY
8.	¿Cómo	se	clasifica	el	cuadrilátero	WXYZ? A.	Cuadrado. B.	Rectángulo. C.	Trapecio. D.	Trapezoide.
9.	Respecto	del	paralelepípedo	recto	KLMNOPQR,	¿cuál	de	las	siguientes	caras	no	es	perpendicular	a	PLMQ?
A.	ORNK B.	OPLK
C.	MNKL D.	QPOR
10.	En	la	imagen	se	marcaron	dos	planos	de	color	rojo.	¿Cuál	es	la	posición	relativa	entre	ellos? A.	Son	paralelos. B.	Son	perpendiculares. C.	Solo	se	intersectan. D.	No	se	intersectan.
11.	¿Cuáles	son	las	coordenadas	del	punto	X?
A.	(4,	2)
B.	(2,	4)
C.	(1,	4)
D.	(4,	1)
12.	Si	sobre	el	plano	cartesiano	se	dibujó	un	cuadrilátero	cuyos	vértices	son	(3,	0);	(5,	2);	(1,	2)	y	(3,	4),	¿qué	tipo	de	cuadrilátero	es?
A.	Rombo. B.	Romboide. C.	Cuadrado. D.	Rectángulo.
13.	¿Cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	es	verdadera,	según	los	segmentos	mostrados	en	el	plano	cartesiano?
A.	Al	rotar	en	90º	el	segmento	EF,	con	respecto	al	punto	E,	se	obtiene	el	segmento	IH. B.	Al	trasladar	el	punto	E	dos	unidades	a	la	derecha	y	dos	unidades	hacia	arriba	se	obtiene	el	punto	I. C.	Al	trasladar	el	punto	F	tres	unidades	a	la	derecha	y	una	unidad	hacia	arriba	se	obtiene	el	punto	H. D.	Al	rotar	en	180º	el	segmento	HI,	con	respecto	al	punto	H,	se	obtiene	el	segmento	EF.
14.	Sofía	utilizó	solo	una	transformación	isométrica	para	mostrar	que	la	figura	1	es	congruente	con	la	figura	2.	¿Qué	transformación	isométrica	aplicó?
A.	Rotación. B.	Traslación. C.	Reflexión. D.	No	aplicó	una	transformación	isométrica.
15. Si	ABCD	es	un	rectángulo,	¿qué	pares	de	triángulos	no	son	congruentes? A.	Los	triángulos	DOA	y	OCB.
B.	Los	triángulos	ABC	y	ADC.
C.	Los	triángulos	BCO	y	AOB. A
D.	Los	triángulos	COD	y	BOA.
16. Si	las	figuras	de	color	azul	y	rojo	son	congruentes,	¿qué	afirmación	es	falsa? A.	La	imagen	del	punto	U	es	el	punto	E.
B.	La	imagen	del	punto	T	es	el	punto	F.
C.	La	imagen	del	lado	TU	corresponde	al	lado	FG.
D.	La	imagen	del	lado	WV	corresponde	al	lado	GH.
17. Al	aplicar	una	traslación,	S’	y	R’	son	las	imágenes	de	los	puntos	S	y	R	respectivamente. Si	el	triángulo	QRS	es	congruente	con	Q’R’S’,	¿cuáles	son	las	coordenadas	de	Q’?
A.	(9,	2)
B.	(9,	3)
C.	(5,	2)
D.	(5,	3)
18. Respecto	de	la	figura,	¿cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	es	falsa? D
A.	El	cuadrado	ABCD	es	congruente	con	el	cuadrado	EFGH	por	la	reflexión	de	eje	IJ. B.	El	triángulo	CBK	es	congruente	con	el	triángulo	EKH	por	la	rotación	de	centro	K	y	ángulo	90°	en	sentido	horario. C.	El	segmento	DC	es	congruente	con	el	segmento	EF	por	la	rotación	de	centro	J	y	ángulo	180°.
Busca Prepar a	l prueb a a	5
D.	El	segmento	EF	es	congruente	con	el	segmento	HG.
Chile sudamericano tiene una forma única: es el país más largo del mundo, con 4.337 kilómetros de longitud y una superficie de 755.776 km2. El océano Pacífico baña sus costas en una extensión de más de 83.850 kilómetros. Información importante de nuestro país Ancho mínimo
El	ancho	mínimo	es	de	90	km,	y	se	ubica	frente	a	Illapel.
El	ancho	máximo	es	de	360	km,	y	se	ubica	frente	a	Mejillones.
A	3.700	km	del	continente	se	ubica	Isla	de	Pascua.	Fuente:	IGM,	2010.
En esta unidad aprenderás a: • Medir	la	longitud	con	unidades	estandarizadas. • Realizar	transformaciones	entre	unidades	de	medidas	de	longitud. • Calcular	el	perímetro	de	figuras	geométricas. • Calcular	el	área	de	rectángulos. • Representar	y	diseñar	diferentes	rectángulos,	a	partir	de	la	superficie y/o	perímetro. • Calcular	el	área	de	triángulos,	paralelógramos	y	trapecios,	ocupando conteo	de	cuadrículas,	la	comparación	con	el	área	de	rectángulos y	la	completación	de	figuras	por	traslación. • Manifestar	interés	y	curiosidad	por	el	aprendizaje	de	la	Matemática.
Considerando la información anterior, responde.
1.	El	tiempo	aproximado	que	demora	un	avión	en	recorrer	la	distancia	entre	Arica	y	Punta	Arenas	es	de	5	horas	y	30	minutos.	¿Cuántos	minutos	demora	en	recorrer	dicha	distancia?	(Recuerda	que	1	hora	corresponde	a	60	minutos)
2.	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta.	En	caso	contrario,	marca	con	una	. a.
La	distancia	desde	Isla	de	Pascua	al	continente	se	encuentra	expresada	en	kilómetros.
La	distancia	entre	la	Isla	de	Pascua	y	Chile	es	menor	a	la	longitud	de	Chile.
El	ancho	máximo	puede	ser	expresado	en	metros.
El	océano	Pacífico	baña	las	costas	de	Chile	en	una	extensión	de	más	de	83.850	m.
3.	Considerando	que	1.000.000	m2	equivalen	a	1	km2,	¿qué	procedimiento	podrías	utilizar	para	expresar	la	superficie	de	Chile	en	m2?	Explica.
4.	¿Por	qué	la	unidad	de	medida	en	la	que	se	expresó	el	“ancho	mínimo”	fue	el	kilómetro	y	no	el	metro?	Justifica	tu	respuesta.
1 Unidades de longitud y superficie
Medidas de longitud Observa y responde Mide	los	segmentos	que	se	muestran	y	luego	responde. c b a
•	Completa	con	la	medida	que	corresponde	a	cada	uno	de	los	segmentos. Segmento	a
cm	Segmento	b
cm	Segmento	c
•	Encierra	el	segmento	cuya	medida	en	centímetros	corresponde	a	un	número	decimal. Segmento	a.	Segmento	b.	Segmento	c. •	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta.	En	caso	contrario,	marca	con	una	. El	segmento	b	mide	la	cuarta	parte	del	segmento	a. El	segmento	c	mide	la	cuarta	parte	del	segmento	b.
Aprende •	El	metro	(m)	es	la	unidad	básica	de	medida	de	longitud	utilizada	en	el	Sistema	Internacional	de	Unidades.
Ejemplo: un	estudiante	mide	1	m	y	50	cm,	que	también	se	puede	representar	como	1,5	m. puede representar 1,5
•	Algunas	equivalencias	en	las	unidades	de	longitud	son: Kilómetro	(km)	=	1.000	m Hectómetro	(hm)	=	100	m Decámetro	(dam)	=	10	m Decímetro	(dm)	=	0,1	m Centímetro	(cm)	=	0,01	m Milímetro	(mm)	=	0,001	m
Conocer diferentes unidades de medida de longitud
1.	Mide	con	una	regla	el	largo	y	el	ancho	de	las	siguientes	figuras.	Luego,	responde.	una regla el largo y Analizar Ancho
c.	Ancho
Largo:	Largo: Ancho:
Largo:	Ancho:
•	Si	mides	estos	mismos	objetos	reales,	¿se	asemejan	estas	medidas	a	las	obtenidas	en	la	actividad?	Justifica.
¿Sabías que...? Un metro es la medida aproximada de un cuarto de meridiano terrestre dividido en 10 millones de partes iguales.
2.	Resuelve	los	siguientes	problemas.	Analizar a.	Para	calcular	la	distancia	entre	diferentes	ciudades,	¿qué	unidad	de	medida	ocuparías?	Justifica.
b.	Si	mides	el	ancho	y	el	alto	del	cuaderno	de	Matemática,	¿qué	unidad	de	medida	es	la	más	apropiada:	el	metro,	el	centímetro	o	el	milímetro?	Justifica	tu	respuesta.
c.	Tu	texto	escolar	de	Matemática,	¿tiene	solo	largo	y	ancho?,	¿o	falta	alguna	medida?	Coméntalo	con	tus	compañeras	y	compañeros.
Conversión entre unidades de longitud Lee y responde Antofagasta	se	encuentra	aproximadamente	a	700	kilómetros	de	Arica.	Si	Sandra	está	en	Arica	y	recorre	1.000	metros	para	llegar	al	aeropuerto	y	tomar	el	vuelo	que	la	llevará	a	Antofagasta,	¿cuántos	metros	recorre	entre	este	trayecto	y	su	vuelo	a	Arica? •	Hay	unidades	de	longitud	cuyo	valor	es:	10,	100	o	1.000	veces	más	que	el	metro.	La	relación	que	corresponde	a	este	caso	es: 1	kilómetro	(km)	=	1.000	metros	(m) •	Considerando	lo	anterior,	encierra	la	relación	correcta. 700	km	=	7.000	m	700	km	=	70.000	m	700	km	=	700.000	m •	Marca	con	un	la	afirmación	que	responde	la	pregunta	planteada. ✔ Sandra	recorre	710.000	m.
Sandra	recorre	701.000	m.
Sandra	recorre	700.001	m.
Aprende Para	convertir unidades de longitud	se	toma	como	referencia	el	metro (m).	Las	unidades	más	pequeñas	que	el	metro	se	obtienen	al	dividirlo	en	10	partes	iguales	(o	múltiplos	de	10);	y	las	unidades	mayores	que	el	metro	se	obtienen	al	multiplicarlo	por	múltiplos	de	10.	Esto	se	resume	en	el	siguiente	esquema: Para	pasar	de	una	unidad	a	otra	menor,	se	multiplica. •	10
hm :	10
dam :	10
m :	10
dm :	10
cm :	10
mm :	10
Para	pasar	de	una	unidad	a	otra	mayor,	se	divide.
Ejemplos: •	8	km	=	8.000	m,	ya	que	8	•	1.000	m	=	8.000	m. •	25	dam	=	250	m,	ya	que	25	•	10	m	=	250	m.
•	9.300	m	=	9,3	km,	ya	que	9.300	m	:	1.000	=	9,3	km. •	250	m	=	25	dam,	ya	que	250	m	:	10	=	25	dam.
Relacionar las unidades de longitud
1. Completa	con	la	operación	que	se	debe	realizar	y	el	valor	por	el	que	se	multiplica	o	divide	para	realizar	las conversiones	entre	unidades	de	longitud.	Observa	el	ejemplo.	Analizar De	dam	a	cm	multiplico	por	1.000.
a. De	cm	a	m
b. De	km	a	dm
c. De	km	a	m
d. De	mm	a	hm
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2. Expresa	en	metros	la	longitud	de	cada	tramo.	Luego,	encierra	la	menor	distancia	obtenida.	Aplicar Casa
PARTIDA Restorán
4	km	y	2	dam
2	km	y	4	dam
6	dam	y	7	km
a. De	la	partida	a	la	tienda.
c. Del	restorán	a	la	casa.
b. De	la	tienda	al	restorán.
d. Da	la	casa	al	edificio.
4	hm	y	6	dam
3. Lee	las	siguientes	situaciones	y	responde.	Analizar a. La	longitud	de	una	pista	de	atletismo	es	de 400	m.	¿Cuántas	vueltas	completas	se	dan	a	la pista	en	una	carrera	de	10	km?
b. El	año	pasado	Lorena	medía	1,58	m	y	este	año mide	1,65	m.	¿Cuántos	centímetros	ha	crecido Lorena	en	el	último	año?
4. Explica	qué	estrategia	ocuparías	para	expresar	7,52	m	en	milímetros	y	en	kilómetros.	Coméntalo	con	tus compañeros.	Analizar
Unidades de superficie Observa y responde
El	cerro	Santa	Lucía	tiene	una	superficie	de 65.300	metros	cuadrados	(m2).
El	Parque	Forestal	de	Santiago	tiene	una	superficie	de	171.910	metros	cuadrados	(m2). Fuente:	http://www.municipalidaddesantiago.cl
•	Marca	con	un	la	afirmación	correcta. El	cerro	Santa	Lucía	tiene	una	superficie	menor	que	el	Parque	Forestal. El	Parque	Forestal	tiene	una	superficie	mayor	que	180.000	m2.
Aprende •	El	metro cuadrado	(m2)	es	la	unidad	básica	de	las	medidas	de	superficie	utilizado	en	el	Sistema	Internacional	de	Unidades. •	Su	nombre	se	obtiene	de	un	cuadrado	cuyos	lados	miden	un	metro	cada	uno. Para	pasar	de	una	unidad	a	otra	menor,	se	multiplica. •	100
hm2 :	100
dam2 :	100
m2 :	100
dm2 :	100
cm2 :	100
mm2 :	100
•	1	kilómetro	cuadrado	(km )	equivale	a	1.000.000	m . 2 2 •	1	hectómetro	cuadrado	(hm )	equivale	a	10.000	m . 2 2 •	1	decámetro	cuadrado	(dam )	equivale	a	100	m .
•	1	decímetro	cuadrado	(dm2)	equivale	a	0,01	m2. •	1	centímetro	cuadrado	(cm2)	equivale	a	0,0001	m2. •	1	milímetro	cuadrado	(mm2)	equivale	a	0,000001	m2.
1.	Remarca	la	unidad	más	apropiada	para	medir	las	siguientes	superficies.	Justifica	tu	respuesta.	Identificar a.
2.	Encierra	con	color	rojo	la	medida	que	representa	una	superficie	mayor	y	con	color	verde	la	que	representa	una	superficie	menor. Analizar
b.	51.000	cm2
4,9	hm2
5.200	dm
0,5	km2
c.	9	dam2
9	m2 2
800	km2
3.000	hm2 2
650	mm 9	hm2
Ponte a prueba Juan	necesita	cubrir	una	pared	de	18	m2	con	papel	mural	y	recibe	ofertas	de	dos	casas	comerciales,	tal	como	se	presenta.
¿Cuál	de	las	dos	ofertas	es	más	económica,	según	las	necesidades	de	Juan?	Explica.
2 Perímetro y área de rectángulos
Perímetro de figuras geométricas Observa y responde Daniel,	Andrés,	Carla	y	Verónica	forman	con	cuatro	cuerdas	un	un gran	cuadrado	de	10	m	de	lado.	¿Cuántos	metros	de	cuerda	necesitaron	para	formar	el	cuadrado? •	Encierra	la	opción	correcta. Opción	1	Los	lados	del	cuadrado	tienen	distinta	longitud. longitud. Opción	2	Los	lados	del	cuadrado	tienen	igual	longitud. cuadrado o sumar según corresponda: •	Completa	la	siguiente	afirmación	con	las	palabras:	cuadrado	o	sumar,	según	corresponda: Para	calcular	los	metros	de	cuerda	que	forman	el	longitudes	de	la	cuerda	que	lo	conforman.
se	deben
todas	las
•	Marca	con	un	la	afirmación	que	muestre	la	respuesta	al	problema. Se	necesitan	20	m	de	cuerda.
Se	necesitan	40	m	de	cuerda.
Aprende El	perímetro	(P)	de	una	figura	geométrica	corresponde	a	la	medida	de	la	longitud	de	su	contorno. Ejemplo 1:
•	Calcular	el	perímetro	del	rectángulo.
•	Si	el	perímetro	de	un	rectángulo	es	20	cm	y	uno	de	sus	lados	es	3	cm,	¿cuál	es	la	medida	del	otro	lado? Al	representar	lo	anterior	se	tiene:
Los	lados	“opuestos”	tienen	igual	longitud.	Por	lo	tanto,	se	tiene	que: 3 cm 2 cm
P	=	(3	+	3	+	2	+	2)	cm	=	10	cm
Los	otros	lados	deben	sumar	14	cm	y	deben	tener	igual	longitud,	es	decir,	cada	lado	mide	7	cm. 7 cm
3 cm 7 cm
Calcular el perímetro de figuras geométricas
1.	Calcula	el	perímetro	(P)	de	los	siguientes	cuadriláteros.	Aplicar a.
2.	Calcula	la	medida	del	lado	que	falta,	según	cada	condición.	Analizar a.
3 cm E
Perímetro:	56	m Medida	de	AB
Perímetro:	20	cm m
Medida	de	HE
G 5 dm J
Perímetro:	30	dm cm
Medida	de	KL
3.	Resuelve	los	siguientes	problemas.	Analizar a.	Un	granjero	pone	una	reja	alrededor	de	un	terreno	que	tiene	forma	rectangular.	Si	el	largo	del	terreno	es	de	350	m	y	su	ancho	mide	la	mitad	del	largo,	¿cuántos	metros	de	reja	ocupará	el	granjero?
b.	Con	la	condición	de	que	la	medida	de	los	lados	de	un	rectángulo	solo	se	puedan	representar	con	números	naturales,	¿cuántos	rectángulos	de	perímetro	igual	a	16	cm	existen?	Escribe	sus	medidas.
Módulo 2 / Perímetro y área de rectángulos
Área de un rectángulo Observa y responde El	piso	de	las	habitaciones	de	Camila	y	Sebastián	tiene	forma	rectangular.	Ambos	quieren	remodelar	el	piso	y	para	ello	realizaron	diferentes	trazados	en	el	suelo,	considerando	como	medida	de	separación	1	metro. 1m
Habitación	de	Camila
Habitación	de	Sebastián
•	¿Quién	realiza	una	cantidad	mayor	de	trazados?
•	Escribe	las	medidas	del	largo	y	del	ancho	de	las	habitaciones	de	cada	uno. Camila
•	¿Cuántos	cuadrados	de	lado	1	m	se	forman	en	ambas	habitaciones?
Aprende El	área	(A)	de	una	figura	corresponde	a	la	medida	de	la	superficie	que	ocupa.	Para	medir	las	superficies	de	figuras	planas	se	pueden	utilizar	unidades	de	medida	como:	el	centímetro	cuadrado	(cm2),	el	decímetro	cuadrado	(dm2),	el	metro	cuadrado	(m2),	entre	otras. El	área de un rectángulo	corresponde	al	producto	entre	las	medidas	de	dos	lados	consecutivos.
Ejemplo: al	calcular	el	área	del	rectángulo	EFGH	se	tiene	que: H
A	=	7	cm	•	4	cm	=	28	cm2
Calcular el área en diferentes rectángulos
1.	Calcula	el	área	de	cada	figura,	considerando	que	1	a.
Área	=
tiene	una	superficie	igual	a	1	cm .	Aplicar
2.	Completa	según	corresponda.	Aplicar Rectángulo
Expresión numérica de cáculo de área
a.	3 cm 7 cm
b.	4m 15 m
3.	Resuelve	los	siguientes	problemas.	Analizar a.	El	largo	de	un	rectángulo	es	igual	a	10	cm.	Si	su	superficie	mide	50	cm2,	¿cuál	es	la	medida	de	longitud	del	ancho?
b.	Considerando	que	los	lados	de	un	rectángulo	son	solo	números	naturales,	¿cuántos	rectángulos	de	superficie	que	miden	15	cm2	se	pueden	formar? Escribe	las	medidas.
Representación de rectángulos Observa y responde Carlos	compró	un	alambre	de	300	m	para	cercar	un	terreno	rectangular	cuya	área	es	de	5.000	m2.	A	continuación,	se	muestran	3	opciones	que	pueden	representar	el	terreno	de	Carlos. Opción 1
Opción 3 20 m
•	Marca	con	un	la	afirmación	correcta.
El	área	de	todas	las	opciones	es	distinta	de	5.000	m2.
El	área	de	todas	las	opciones	es	igual	a	5.000	m2.
•	Calcula	el	perímetro	en	cada	caso. Opción	1
m	Opción	2
m	Opción	3
•	¿Cuál	opción	representa	el	terreno	de	Carlos?	Justifica	tu	respuesta.
Aprende Para	representar diferentes rectángulos	se	debe	tener	presente	lo	siguiente: •	En	el	caso	de	rectángulos	cuyas	medidas	de	los	lados	se	representan	con	números	naturales	y	se	conozca	el	área. Ejemplo: si	el	área	es	igual	a	10	cm2,	se	buscan	todos	los	divisores	de	10,	es	decir,	1	y	10,	2	y	5.	En	total	se	tienen	2	rectángulos. 1 cm 2 cm
•	En	el	caso	de	rectángulos	distintos	y	de	igual	perímetro,	se	deben	encontrar	2	números	de	manera	que	la	suma	sea	la	mitad	del	perímetro. Ejemplo: si	el	perímetro	es	10	cm,	los	rectángulos	cuyas	medidas	de	los	lados	sean	números	naturales	son: 1 cm
Representar las medidas de diferentes rectángulos
1.	Representa	las	situaciones	en	las	cuadrículas.	Considera	que	cada	cuadrado	tiene	una	superficie	igual	a	1	cm2.	Aplicar
a.	2	rectángulos	diferentes	que	tengan	área	igual	a	8	cm2.
b.	1	rectángulo	cuyo	perímetro	sea	de	18	cm	y	cuyo	largo	sea	el	doble	del	ancho.
2.	Resuelve	el	siguiente	problema.	Analizar Si	el	perímetro	de	un	rectángulo	es	igual	a	14	cm	y	su	área	es	10	cm2,	¿cuáles	son	las	medidas	de	su	largo	y	su	ancho? Largo
cm	Ancho
Ponte a prueba Lee la siguiente situación. Luego, responde. Se	quiere	remodelar	la	cancha	de	un	estadio	y	para	ello	se	deben	comprar	pastelones	de	pasto	de	ello se deben comprar pastelones de pasto de 300	cm	de	largo	y	200	cm	de	ancho. •	¿Cuántos	pastelones	de	pasto	se	utilizarán	para	cubrir	la	cancha? cubrir la cancha? •	¿En	qué	disposición	se	deben	poner	los	pastelones	de	modo	de modo de	no	cortar	ninguno?	Explica.
¿Cómo	vas? Medidas de longitud
1.	Lee	la	siguiente	información	y	luego	responde.
•	La	granja	de	Anita	mide	35	hm	de	largo. •	El	largo	de	la	granja	de	Natalia	mide	5	hm	más	que	la	granja	de	Anita. •	El	largo	de	la	granja	de	Norma	mide	2	hm	menos	que	el	largo	de	la	granja	de	Natalia. •	La	granja	que	tiene	40	hm	se	ocupa	principalmente	para	la	ganadería.
a.	¿Cuántos	hectómetros	mide	el	largo	de	la	granja	de	Natalia?	b.	¿Cuánto	mide	el	largo	de	la	granja	de	Norma?
c.	¿Para	qué	se	ocupa	la	granja	de	Natalia?
Conversión entre unidades de longitud
2.	Resuelve	el	siguiente	problema.
En	una	competencia	Juan	recorrió	1.500	m,	Ana	15.000	dam	y	Rodolfo	1.500.000	cm.	Escribe	de	menor	a	mayor	las	distancias	recorridas	por	cada	uno.
3.	Remarca	la	unidad	más	apropiada	para	medir	las	siguientes	superficies.	Justifica	tu	respuesta.
b.	Piso	del	museo
4.	Resuelve	los	siguientes	problemas.
a.	El	perímetro	de	un	rectángulo	mide	100	cm	y	su	ancho	es	de	23	cm.	¿Cuál	es	la	medida	del	largo	del	rectángulo?
b.	Si	el	ancho	de	un	rectángulo	es	20	m	y	su	largo	es	tres	veces	su	ancho,	¿cuál	es	la	medida	del	perímetro?
5.	Escribe	V	si	la	afirmación	es	verdadera	o	F,	si	es	falsa.	Justifica	en	cada	caso. a.	F
Si	el	ancho	de	un	rectángulo	mide	5	cm	y	su	área	es	15	cm2,	el	largo	mide	10	cm.
El	área	de	un	rectángulo	cuyos	lados	miden	8	m	y	3	m	es	24	m2. Justificación:
6.	Lee	lo	siguiente	y	luego	responde.
tiene	una	superficie	que	mide	1	cm2.	El	área	del
En	el	siguiente	cuadriculado,	cada	rectángulo	ABCD	es	6	cm2. A
¿Qué	se	puede	deducir	con	respecto	al	área	y	el	perímetro	de	los	rectángulos	dibujados?	Explica.
3 Área de figuras geométricas
Área de triángulos ocupando cuadrículas Observa y responde
En	la	cuadrícula	se	ha	dibujado	el	triángulo	CDE. •	Completa	según	corresponda. C
Medida	del	lado	CD	=
Medida	del	lado	EC	=	•	En	la	cuadrícula	se	han	remarcado	con	color	rojo	los	segmentos	que	forman	el	cuadrilátero	CDHE.	¿Con	qué	figura	geométrica	se	relaciona?,	¿cuál	es	su	área? E
Figura	geométrica	Área	=	C
•	A	partir	de	lo	anterior,	¿cómo	calcularías	el	área	del	triángulo	CDE?
Aprende Para	calcular	el	área	(A)	de	cualquier triángulo,	esta	se	puede	relacionar	con	la	mitad	del	área	del	rectángulo	que	lo	contiene	o	enmarca	usando	cualquier	lado	como	base. Ejemplo: en	la	cuadrícula	se	dibuja	el	triángulo	ABC,	donde	cada	C
tiene	1	cm	de	lado. C
En	este	caso,	el	área	del	rectángulo	ABDE	es	12	cm2;	luego,	el	área	del	triángulo	ABC	corresponde	a	la	mitad	de	esta	medida,	es	decir,	6	cm2.
Calcular el área de triángulos ocupando cuadrículas
1.	Considerando	que	cada	lado	del	a.
mide	10	cm,	calcula	el	área	de	cada	triángulo.	Aplicar
2.	Observa	el	siguiente	rectángulo.	Luego,	calcula	el	área	de	cada	triángulo.	Analizar D
3.	Analiza	lo	siguiente	y	luego	responde.	Considera	que	cada	lado	del	8 7 5
es	1	cm. Analizar
a.	Calcula	el	área,	según	corresponda.
b.	Si	la	figura	B	se	traslada	3	unidades	hacia	abajo	y	la	figura	C	se	traslada	4	unidades	hacia	abajo	y	5	unidades	hacia	la	izquierda,	¿cuál	es	el	área	de	cada	figura	imagen?
Módulo 3 / Área de figuras geométricas
Área de triángulos Lee y responde Considerando	la	representación	en	la	cuadrícula	del	triángulo	ABC,	dibuja	con	color	rojo	el	rectángulo	ABDE	que	se	puede	formar,	de	manera	que	el	punto	C	pertenezca	a	DE. Utilizando	una	regla,	completa	lo	siguiente: C
•	¿Cuál	es	el	área	del	rectángulo	ABDE?	•	¿Cuál	es	el	área	del	triángulo	ABC?
•	Designa	como	h	la	imagen	que	resulta	al	trasladar	el	lado	BD	del	rectángulo,	con	la	condición	de	que	h	intersecte	el	vértice	C	y	el	lado	AB	de	forma	perpendicular.	¿Cuál	es	la	medida	de	h?
•	Si	se	representa	por	m(AB) la medida del segmento AB	y	por	m(h) la medida del segmento h,	marca	con	un	la	expresión	que	permite	calcular	el	área	del	triángulo	ABC.
m (AB) : m (h) 2
m (AB) + m (h) 2
Aprende Para	calcular	el	área de un triángulo	debes	tener	presente	lo	siguiente: F
Altura:	h	corresponde	al	segmento	perpendicular	que	va	desde	el	vértice	superior	hasta	la	base.
h	=	5	cm 5 cm A
b	=	4	cm C
El	área	del	triángulo	ACB	se	calcula	como:
El	área	del	triángulo	se	puede	calcular	mediante	la	expresión: b:h Área	del	triángulo	DEF	=	2
Base:	b h
Ejemplo: en	el	triángulo	ACB	se	tiene:
20 4:5 cm2	=	cm2	=	10	cm2 2 2
Calcular el área de triángulos
1.	Mide	con	una	regla	la	base	y	la	altura	de	cada	triángulo.	Luego,	calcula	su	área	(A).	Aplicar a.
2.	Calcula	el	área	(A)	de	los	siguientes	triángulos.	Aplicar a.
3.	A	partir	de	las	siguientes	figuras,	completa	con	la	medida	que	falta.	Analizar C
A	=	16	cm2
A	=	14	mm2
A	=	40	m2
m(DE)	=
4.	Observa	las	siguientes	figuras	y	responde.	Analizar E
¿Qué	triángulo	dibujado	tiene	un	área	mayor?	Justifica	tu	respuesta.
Área de un rombo y de un romboide en cuadrículas Observa y responde Para	hermosear	un	jardín,	se	sembrarán	diferentes	semillas	de	flores	de	manera	que	la	superficie	sembrada	tenga	una	forma	que	se	asemeje	a	un	rombo.	Si	se	representa	en	una	cuadrícula	donde	cada	cuadrado	tiene	un	lado	de	10	cm,	se	tiene	que: tiene que: 10 cm
10 cm Orquídeas
puede observar, se forman 4 triángulos rectángulos. •	Como	se	puede	observar,	se	forman	4	triángulos	rectángulos.	Encierra	la	opción	que	corresponde	al	área	de	cada	uno	de	estos	triángulos. 15	cm2	1.500	cm2	15.000	cm2 •	Marca	con	un	la	afirmación	que	corresponda	al	área	que	el	jardinero	sembrará.	Sembrará	6.000	cm2.
Sembrará	60.000	cm2	.
Aprende Para	calcular	el	área	(A)	de	rombos	o	de	romboides,	estos	se	pueden	descomponer	en	distintos	triángulos	o	rectángulos.	Luego,	se	calcula	el	área	de	cada	figura	geométrica	que	compone	el	rombo	y	el	romboide	y	se	suman	dichas	medidas.	También	se	pueden	calcular	sus	áreas	aplicando	alguna	transformación isométrica. Ejemplo: El triángulo se traslada. 3 cm
Utilizando el conteo de cuadrículas.
El área del romboide es 18 cm2.
Calcular el área de rombos y de romboides utilizando diferentes estrategias
1.	Calcula	el	área	de	las	siguientes	figuras	geométricas.	Considera	cada	a.
con	una	área	de	1	cm .	Aplicar
2.	Observa	la	siguiente	figura.	Luego,	responde.	Analizar a.	¿Cuál	es	el	área	del	cuadrilátero	D?
b.	Si	los	triángulos	A	y	B	se	trasladan	3	unidades	a	la	derecha,	¿cuál	es	la	medida	de	la	superficie	del	cuadrilátero	que	forman?
Área de rombos y de romboides Observa y responde En	clases	de	Matemática,	la	profesora	proyecta	las	siguientes	imágenes,	donde	cada
Imagen	2
tiene	1	cm	de	lado.
Imagen	3
•	Completa	la	afirmación	con	las	palabras.	traslada	triángulo En	la	imagen	2	se	destaca	un
,	que	se
6	unidades	a	la	derecha,
lo	que	se	representa	en	la	imagen	3. •	Marca	con	un	el	nombre	de	la	figura	geométrica	representada	en	la	imagen	3. Rombo	•	El	área	de	la	figura	en	la	imagen	3	es
Aprende Para	calcular	el	área de un rombo o	de un	romboide	debes	considerar	lo	siguiente: Área de rombo:	corresponde	al	producto	entre	las	medidas	de	sus	diagonales.
Área del romboide:	corresponde	al	producto	entre	la	medida	de	su	altura	h	y	la	medida	de	su	base	b.
Romboide d:	diagonal	menor
h:	altura
D:	diagonal	mayor
b:	base b
D:d 2 7 cm : 4 cm A	=	2
A	=	d = 4 cm
Ejemplo: h = 5 cm b = 6 cm
A	=	b	•	h A	=	6	cm	•	5	cm A	=	30	cm2
A	=	14	cm2
1.	Calcula	el	área	de	los	siguientes	cuadriláteros.	Aplicar a.
m(AB)	=	20	cm
m(EG)	=	15	m	y	m(FH)	=	10	m
2.	Resuelve	el	siguiente	problema.	Analizar Si	la	base	de	un	romboide	mide	20	cm	y	la	medida	de	su	superficie	es	100	cm2,	¿cuál	es	la	medida	de	su	altura?
3.	Analiza	el	siguiente	problema	y	luego	responde.	Analizar D
C 11 cm
¿Cuál	es	la	medida	de	la	superficie	que	se	puede	cubrir	con	8	de	estos	paralelógramos?
a.	Antes	de	responder	la	pregunta,	¿qué	es	lo	primero	que	debes	calcular?
b.	Responde	la	pregunta	y	comparte	tu	respuesta	con	las	de	tus	compañeras	y	compañeros.
Área de trapecios ocupando cuadrículas Observa y responde
En	la	cuadrícula,	se	dibujó	el	triángulo	ABC,	el	rectángulo	DEFG	y	el	trapecio	HIJK. El	área	del	trapecio	corresponde	a	la	suma	de	las	áreas	del	rectángulo rectángulo y	el	triángulo.
Si	se	aplican	transformaciones	isométricas	se	obtiene	el	obtiene el trapecio	HIJK.
•	Completa	la	afirmación	con	las	siguientes	palabras.
Para	obtener	una	figura
con	el	trapecio,	el	triángulo	debe
9	unidades	a	la
•	Calcula	el	área,	según	los	datos	ya	entregados. Triángulo	ABC
Rectángulo	DEFG
•	Marca	con	un	la	afirmación	correcta. El	área	del	trapecio	es	20	cm2.
El	área	del	trapecio	es	21	cm2.
Aprende Para	calcular	el	área de un	trapecio,	puedes	descomponer	la	figura	en	rectángulos	y	triángulos,	para	luego	calcular	el	área	de	estas	y	sumarlas.
Ejemplo:	para	calcular	el	área	del	trapecio	ABCD,	se	puede	descomponer	en	un	rectángulo	y	2	triángulos,	como	se	muestra	en	la	imagen. D
Luego,	al	contar	las	cuadrículas	el	área	del	trapecio	ABCD	es	28	cm2.
Calcular el área de trapecios utilizando diferentes estrategias
1.	Calcula	el	área	de	cada	trapecio.	Considera	que	los	cuadrados	en	cada	cuadrícula	tienen	1	cm2	de	superficie.	Aplicar a.
2.	Analiza	la	siguiente	figura	y	luego	responde.	Considera	que	cada	cuadrícula	tiene	1	cm2	de	superficie.	Analizar Plano	1
a.	Para	obtener	la	figura	en	el	plano	2,	¿qué	transformación	isométrica	se	le	puede	aplicar	a	una	parte	de	la	figura	del	plano	1?	Justifica	tu	respuesta.
b.	Calcula	el	área	de	las	figuras	representadas	en	ambos	planos.	Explica	por	qué	se	obtienen	esos	resultados.
Área de trapecios Lee y responde
En	una	fábrica,	se	necesita	confeccionar	una	mesa,	para que	su	cubierta	tenga	forma	de	trapecio.
60 cm 90 cm 68 cm
Para	determinar	la	superficie	de	la	cubierta	de	la	mesa,	se	puede	descomponer	la	figura	que	representa	la	cubierta,	de	la	siguiente	forma.
•	Calcula	el	área	de	cada	una	de	las	figuras	que	componen	el	trapecio.
Aprende Si	se	tiene	un	trapecio,	se	puede	representar	otro	idéntico	a	él,	para	formar	un	romboide,	tal	como	muestra	la	figura: b
El	área	del	romboide	se	calcula	como:	(B	+	b)	•	h. Luego,	el	área	de	cada	uno	de	los	trapecios	es	igual	a	la	mitad	del	área	del	romboide,	es	decir: Área del trapecio	=
(B + b) : h 2
Ejemplo:	al	calcular	el	área	del	trapecio,	se	tiene	que: D
Área	del	trapecio	=
(15 + 7) : 3 22 : 3 66 cm2	=	cm2	=	cm2	=	33	cm2 2 2 2
Calcular el área de trapecios
1.	Calcula	el	área	de	los	siguientes	trapecios.	Aplicar a.
2.	Resuelve	los	siguientes	problemas	.	Analizar a.	Las	bases	de	un	trapecio	miden	10	m	y	5	m	cada	una.	Si	la	altura	mide	4	m,	¿cuál	es	la	medida	de	su	superficie?
b.	La	mitad	de	la	superficie	de	un	trapecio	mide	270	m2.	¿Cuál	es	el	área	del	trapecio?
c.	Si	la	suma	de	las	medidas	de	las	bases	de	un	trapecio	es	120	cm	y	el	área	es	de	480	cm2,	¿cuál	es	la	medida	de	su	altura?
Área de figuras compuestas utilizando cuadrículas Lee y responde 30 m
Los	abuelos	de	Alejandro	tienen	un	terreno	irregular	y	quieren	saber	la	medida	de	su	superficie. Alejandro	hace	un	esquema	del	terreno	en	papel	cuadriculado,	lo	divide	en	diferentes	triángulos	rectángulos	y	anota	las	medidas	que	tomó	su	abuelo.
60 m 70 m 20 m
•	Marca	con	un	la	expresión	que	permite	calcular	el	área	del	terreno. d
70 : 20 60 : 30 60 : 70 n	m2	+ + 2 2 2
70 + 20 60 + 30 60 + 70 p	m2 + + 2 2 2
•	Escribe	el	área	del	terreno	de	los	abuelos	de	Alejandro.
Aprende El	área	de	una	figura compuesta	por	polígonos	se	puede	obtener	dividiendo	el	polígono	en	figuras	conocidas,	tales	como	triángulos, trapecios o paralelógramos.	Luego,	se	determina	cada	una	de	sus	respectivas	áreas	y	estas	se	suman	para	obtener	el	área	pedida. Ejemplo:	para	calcular	el	área	del	siguiente	polígono: 3 cm 2 cm 4 cm
Al	contar	las	cuadrículas	en	el	polígono	se	tiene	que	su	área	es	29	cm2.
Si	se	calcula	el	área	de	cada	figura	se	obtienen: 3 cm 2 cm 4 cm
2 2 Área	del	rectángulo:	(4	•	3)	cm =	12	cm
Área	del	trapecio:
(10 + 7) : 2 2 2 cm =	17	cm 2
Área	del	polígono:	(12	+	17)	cm2	=	29	cm2
Calcular el área de figuras compuestas
1.	Calcula	el	área	de	las	siguientes	figuras.	Considera	que	cada	cuadrado	que	compone	la	cuadrícula	tiene	un	área	de	1	cm2.	Aplicar
Ponte a prueba Se	necesita	estimar	el	área	que	se	muestra	y	para	ello	se	presentan	2	opciones,	en	las	cuales	se	limita	la	figura	por	dentro	y	por	fuera. Opción	1
•	Estima	el	área	de	la	figura	representada	en	cada	opción. Opción	1
•	¿Cuál	de	las	dos	estimaciones	es	más	cercana	al	área	real	de	la	figura?	Explica.
Resolución	de	problemas Observa la resolución del siguiente problema Patricio	necesita	cubrir	un	muro	como	el	de	la	imagen	con	cerámicas	de	forma	cuadrada	de	lado	20	cm.	¿Cuál	es	el	área	de	la	pared	que	se	necesita	cubrir?
Se	pregunta	por	el	área	de	la	pared	que	necesita	cubrir	Patricio.
Identifica los datos importantes. •	Hay	8	cerámicas	a	lo	ancho	de	la	pared	y	13	cerámicas	a	lo	largo. •	Del	dibujo	se	puede	deducir	que	la	pared	mide	2,6	m	de	largo	y	1,6	m	de	ancho.
Calcula y escribe la solución. •	El	ancho	de	la	pared	mide
8	•	20	cm	=	160	cm
Cerámicas	puestas,	a	lo	ancho. •	El	largo	de	la	pared	mide
Lado	de	la	cerámica.
13	•	20	cm	=	260	cm
Cerámicas	puestas,	a	lo	largo.
•	A	partir	de	lo	anterior,	para	calcular	el	área	de	la	pared	se	multiplica	el	largo	por	el	ancho,	y	se	obtiene	lo	siguiente: Área	de	la	pared	(160	•	260)	cm2	=	41.600	cm2
Revisa la solución. •	Cantidad	de	cerámicas	8	•	13	=	104	•	Área	de	una	cerámica	(20	•	20)	cm2	=	400	cm2 •	Área	total	de	las	cerámicas	en	la	pared	(400	•	104)	cm2	=	41.600	cm2 •	Finalmente,	el	área	total	de	la	pared	es	41.600	cm2.
Ahora hazlo tú Si	el	área	de	un	cuadrado	corresponde	a	la	tercera	parte	del	área	de	un	romboide	de	base	9	cm	y	altura	3	cm,	¿cuál	es	el	perímetro	del	cuadrado?
Competencias para la vida La	longitud	de	los	puentes	chilenos	me	ayuda	a	comprender	la	conexión vial	de	nuestro	país Nuestro	país	tiene	aproximadamente	12	mil	estructuras	de	conexión	viales	ubicadas	en	diferentes	rutas	del	país.	De	este	total,	7.250	corresponden	a	puentes	y	el	resto,	a	pasarelas.
Nombre:	Viaducto	Malleco Ubicación:	Región	de	La	Araucanía Longitud:	345	metros
Competencia	matemática A partir de la información anterior, responde. •	¿Cuál	es	la	longitud	de	cada	puente	expresada	en	centímetros? Viaducto	Malleco:	Puente	Llacolén:
•	¿Cuántas	pasarelas	hay	en	nuestro	país?
Puente	Presidente	Ibáñez:
Nombre:	Puente	Llacolén Ubicación:	Región	del	Biobío	Longitud: 2.157	metros
Nombre:	Puente	Presidente	Ibáñez Ubicación:	Región	de	Aysén	del	General	Carlos	Ibáñez	del	Campo Longitud:	200	metros.
Fuente:	Ministerio	de	Obras	Públicas,	Gobierno	de	Chile.
Competencia	cultural	y	artística Reflexiona y comenta. •	¿Cuál	de	los	puentes	mostrados	en	las	fotografías	se	encuentra	más	al	norte? •	Comenta	con	tus	compañeras	y	compañeros	los	distintos	puentes	que	conocen.	Nombra	tres. •	Nombra	3	aspectos	que	se	debería	tomar	en	cuenta	para	diseñar	un	puente	del	modo	más	aproximado	a	la	realidad.
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple 1. Sara	pintará	las	paredes	externas	de	su	casa	y	para	ello	necesita	conocer	cuál	es	la	medida	de	la	superficie
de	las	paredes.	Si	cada	ventana	tiene	un	área	de	1	m2,	¿cuál	es	el	área	que	pintará	de	las	dos	paredes que	se	muestran	en	la	imagen? 5m
A.	90	m2 B.	142	m2 C.	154	m2 D.	159	m2
11 m 1 m 3m
Análisis de las alternativas A.	En	esta	alternativa,	se	calculó	el	área	del	piso	de	la	casa,	pero	se	pregunta	por	el	área	de	sus	paredes. B.	En	este	caso,	se	calcula	el	área	de	la	pared	lateral	(103	m2)	y	del	rectángulo	que	se	puede	formar	en	la	pared frontal	(39	m2).	Falta	obtener	el	área	del	triángulo	que	se	forma	bajo	el	techo.
C.	En	este	caso,	se	obtiene	el	área	de	las	paredes	de	la	siguiente	manera: Área de la puerta 2
Pared A	((6	•	7)	–	3) m =	39	m
Área total de la pared
6:4 p	m2	=	12	m2 Pared B	f 2
11 m 1 m A
Pared C	((15	•	7)	–	2	•	1)	m2	=	103 m2
Área total	(39	+	12	+	103)	m2	= 154	m2
D.	Se	calcula	el	área	total	de	las	paredes	sin	restar	el	área	de	las	ventanas	(2	m2)	y	el área	de	las	puertas	(3	m2). Por	lo	tanto,	la	alternativa	C	es	la	correcta.
1.	Mide	los	siguientes	segmentos	y	responde. a.
Medida	en	cm
Medida	en	mm
Medida	en	mm	puntos
2.	Completa	los	recuadros	con	las	equivalencias	que	faltan. km
7.000 30 400.000 80.000 20 3.540
3.	Calcula	el	perímetro	y	el	área	de	los	siguientes	paralelógramos. a.
4.	Determina	el	área	de	las	siguientes	figuras,	utilizando	la	cuadrícula.
a.	Área	de	la	figura	A
b.	Área	de	la	figura	B
c.	Área	de	la	figura	C
d.	Área	de	la	figura	D
5.	Calcula	el	área	de	la	figura.
4 cm 6 cm 3 cm
6.	Observa	el	plano	de	una	casa	y	calcula	el	área	de	cada	elemento	según	corresponde.	Considera	cada	área	de
igual	a	40	cm .
Área	estimada	del	sofá	grande.
Área	estimada	de	la	mesa	de	centro.
7.	¿A	qué	medida	equivalen	15	km? A.
150	hm
B.	1.500	dm C.	15.000	dam D.	150.000	cm
8.	¿A	qué	medida	no	equivalen	34	dam? A.
340	m
3.400	dm
34.000	cm
D.	3.400.000	mm
9.	Si	un	lado	de	un	cuadrado	mide	1	m,	¿cuál	es	su	superficie? A.
B.	10.000	cm2 C.	10.000	dm2 D.	100.000	mm2
10.	Si	a	=	7	cm,	¿cuál	es	el	perímetro	de	la	siguiente	figura? 4a
A.	32	cm B.	34	cm C.	222 cm D.	22 4	cm
11.	Si	el	área	de	un	rectángulo	es	24	cm2,	¿cuáles	de	las	siguientes	medidas	corresponden	a	su	largo	y	su	ancho,	respectivamente?
A.	6	cm	y	4	cm. B.	4	cm	y	3	cm. C.	20	cm	y	4	cm. D.	12	cm	y	12	cm.
12.	Un	rectángulo	tiene	un	área	de	117	cm2	y	su	largo	mide	13	cm.	¿Cuál	es	la	medida	de	su	ancho?
A.	3	cm B.	6	cm C.	9	cm D.	13	cm
13.	En	la	siguiente	cuadrícula,	¿cuántos	cuadrados	de	1	cm2	tiene	la	superficie	del	triángulo? A.	20	B.	21
C.	22	D.	42
14.	¿Cuál	es	la	medida	de	la	altura	de	un	triángulo,	si	la	base	es	42	cm	y	el	área	es	de	756	cm2? A.	18	cm B.	30	cm C.	36	cm D.	40	cm
15.	¿Cuál	es	el	área	del	rombo? A.
57	cm2 17 cm
B.	340	cm2 C.	680	cm2
D.	1.360	cm2
16.	Si	el	siguiente	trapecio	tiene	un	área	de	384	cm2,	¿cuál	es	la	suma	de	las	medidas	de	sus	bases?
A.	12	cm B.	24	cm C.	36	cm D.	48	cm
17. Respecto	de	la	figura	representada	en	la	cuadrícula,	¿qué	afirmación	es	falsa?
A.	Uno	de	sus	lados	mide	11	cm. B.	Tiene	una	superficie	de	50	cm2. C.	La	altura	del	paralelógramo	es	5	cm. D.	La	figura	que	se	muestra	es	un	paralelógramo.
18. Si	el	área	de	un	romboide	es	320	km2	y	su	base	mide	32	km,	¿cuál	es	la	medida	de	su	altura? A.	5	km B.	10	km C.	100	km D.	288	km
19. ¿Cuál	es	el	área	del	trapecio? A.	10	cm2 B.	35	cm2 C.	45	cm2 D.	55	cm2
A.	16	cm2 B.	24	cm2
20. La	siguiente	figura	está	compuesta	solo	por	paralelógramos.	¿Cuál	es	el	área	total	de	la	figura?
D.	68	cm2
C.	72	cm
Busca Prepar a	l prueb a a	6
Datos y probabilidades A partir de la información entregada por la profesora, los estudiantes decidieron adoptar algunas medidas. Primero, registrarán la cantidad de residuos que se desechan durante una semana en el establecimiento.
Generación de residuos peligrosos en el período 2006–2009 en Chile 300.000
252.750 237.574
Fuente:	www.conama.cl
En esta unidad aprenderás a: • Resolver	situaciones	problema	mediante	el	análisis	de	tablas,	gráficos	de	barras y	de	líneas,	comunicando	tus	conclusiones. • Representar	datos	mediante	diagramas	de	tallo	y	hojas. • Resolver	distintas	situaciones	mediante	el	cálculo	del	promedio	de	datos,	e	interpretar su	resultado. • Describir	la	posibilidad	de	ocurrencia	de	un	evento	respecto	de	un	experimento	aleatorio. • Comparar	probabilidades	de	distintos	eventos. • Abordar	de	manera	flexible	y	creativa	la	búsqueda	de	soluciones	a	problemas.
1.	¿Cuál	es	el	título	del	gráfico	que	mostró	la	profesora?	2.	¿Qué	representa	cada	barra	en	el	gráfico?	Explica.
3.	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta	y	con	una	,	si	no	lo	es. a.
El	eje	horizontal	del	gráfico	representa	los	años	del	estudio.
Del	gráfico	se	puede	concluir	que	la	cantidad	de	residuos	entre	un	año	y	otro	aumentó.
Todas	las	barras	del	gráfico	deben	tener	el	mismo	ancho.
Todas	las	barras	del	gráfico	deben	tener	la	misma	altura.
4.	Analiza	la	siguiente	tabla	que	representa	la	información	obtenida	por	los	estudiantes	de	5°	básico.	Luego,	completa	el	gráfico	de	barras	correspondiente. Cantidad de residuos desechados en una semana Cantidad de residuos (kg)
748 Día
1 Tratamiento de la información
Conceptos básicos Lee y responde En	una	fábrica	de	fósforos	se	producen	1.000	cajas	con	40	unidades	cada	una,	durante	un	día	de	trabajo.	Con	el	fin	de	analizar	la	producción	diaria,	el	departamento	de	control	de	calidad	selecciona	diariamente	una	muestra al azar	de	30	cajas	para	verificar	la	cantidad	de	fósforos	que	estas	contienen. Los	datos	que	obtuvieron	en	un	día	fueron	los	siguientes: 39 40
•	¿Por	qué	crees	que	la	muestra	de	cajas	de	fósforos	se	seleccionó	al	azar?
•	¿Qué	se	analizó	en	las	cajas	seleccionadas?	•	Marca	con	un	la	afirmación	correcta	respecto	del	objetivo	del	análisis. ✔ El	objetivo	es	saber	qué	tan	seguros	son	los	fósforos	que	se	fabrican	a	diario.
El	objetivo	es	saber	la	cantidad	de	fósforos	de	cada	caja	es	siempre	la	misma.
Aprende La	estadística	es	una	ciencia	relacionada	con	recolección,	organización,	análisis	e	interpretación	de	datos.	Su	objetivo	es	tomar	decisiones	a	partir	de	un	estudio	que	puede	realizarse	respecto	a	una	población	o	respecto	de	un	subconjunto	de	esta	que	se	denomina	muestra,	la	que	debe	ser	representativa	en	relación	con	una	variable	observable	y	medible. Ejemplo:	con	el	fin	de	proponer	un	mejoramiento	de	la	alimentación	de	los	estudiantes,	en	un	colegio	deciden	realizar	una	encuesta	a	50	de	ellos	seleccionados	al	azar,	para	saber	cuántas	veces	a	la	semana	consumen	comida	“chatarra”. En	este	caso: •	La	población	corresponde	a	la	cantidad	total	de	los	estudiantes	del	colegio. •	La	muestra	está	compuesta	por	50	estudiantes	seleccionados	al	azar. •	La	cantidad	de	veces	que	se	consume	comida	"chatarra"	a	la	semana	corresponde	a	la	variable	del	estudio. •	Los	datos	son	los	valores	que	representan	la	cantidad	de	veces	que	consumen	comida	de	este	tipo. •	El	objetivo	del	estudio	es	proponer	estrategias	de	mejoramiento	alimenticio	en	el	establecimiento.
Reconocer elementos básicos de un estudio estadístico
1.	Completa	con	la	información	que	corresponda.	Interpretar a.	En	cierta	comuna	se	necesitan	conocer	los	distintos	deportes	que	practican	las	niñas	y	los	niños,	para	poder	financiar	una	campaña	a	favor	de	la	actividad	física.	Con	este	fin	se	encuestará	al	azar	a	70	niñas	y	70	niños	de	la	comuna. Población
¿Sabías que...? Una muestra aleatoria es aquella que tiene la misma posibilidad de ser escogida que cualquier otra y cuyos elementos deben ser elegidos independientemente uno de otros, con la misma posibilidad.
b.	Con	la	finalidad	de	mejorar	los	tiempos	de	atención	a	los	clientes	de	una	tienda,	sus	ejecutivos	proponen	realizar	una	encuesta	a	60	de	las	personas	que	un	día	determinado	compran	en	ella. Población
2.	Analiza	la	siguiente	información.	Luego,	responde.	Analizar Una	variable	es	cualitativa	(atributos)	cuando	corresponde	a	una	descripción	o	característica	de	un	elemento	de	la	población	o	de	una	muestra.	Por	ejemplo,	el	color	de	pelo	o	el	deporte	preferido.	Por	otra	parte,	una	variable	es	cuantitativa	(numérica)	cuando	entrega	una	característica	cuantificable	de	un	elemento	de	la	población	o	una	muestra.	Por	ejemplo,	la	edad	o	la	altura.
a.	¿Cómo	clasificarías	la	variable	“masa	corporal”	en	un	estudio	que	se	realiza	a	un	grupo	de	personas?	Justifica.
b.	¿Cómo	clasificarías	la	variable	“fruta”	en	un	estudio	relacionado	con	frutas	favoritas?	Justifica.
Módulo 1 / Tratamiento de la información
Lectura e interpretación de tablas de frecuencias Lee y responde En	la	siguiente	tabla	se	muestran	los	datos	obtenidos	al	encuestar	a	60	personas,	respecto	de	la	cantidad	de	computadores	que	hay	en	sus	hogares.	¿Cuántos computadores hay en tu hogar? Cantidad de computadores
•	¿Qué	se	representó	en	esta	tabla?	Explica.
•	En	este	caso,	¿qué	valores	toma	la	variable	“Cantidad	de	computadores”?
•	¿Cuál	es	el	dato	que	más	se	repitió	en	la	encuesta?	Explica.
Aprende Una	tabla de frecuencias	tiene	la	finalidad	de	mostrar	los	datos	recopilados	en	forma	ordenada.	Mediante	esta	representación,	es	posible	extraer	información	de	manera	más	simple.	Los	elementos	básicos	que	se	pueden	reconocer	en	las	tablas	estadísticas	son:	la	población,	la	muestra,	la	variable,	las	categorías	de	esta	y	la	frecuencia	con	que	ellas	aparecen. Ejemplo:	en	la	siguiente	tabla	se	muestran	los	colores	preferidos	por	los	estudiantes	de	un	curso	para	confeccionar	un	polerón. Colores preferidos
Población y muestra:	en	este	caso,	por	ser	pocos	estudiantes	se	estudió	a	la	población	completa,	que	corresponde	al	total	de	estudiantes	del	curso. Variable:	color. Categorías de la variable:	verde,	azul,	amarillo	y	rojo. Frecuencia:	cantidad	de	veces	que	se	repitió	cada	una	de	las	variables.	La	frecuencia	del	color	verde	fue	3,	del	azul	12,	del	amarillo	14	y	del	rojo	8. Objetivo:	confeccionar	un	polerón	del	color	preferido	por	la	mayoría	de	los	estudiantes.
Leer e interpretar información representada en tablas
1.	Identifica	y	describe	los	elementos	estadísticos	en	la	siguiente	tabla.	Luego,	responde.	Interpretar La	profesora	de	Matemática	muestra	a	sus	estudiantes	una	tabla	donde	organiza	las	calificaciones	que	ellos	obtuvieron	en	una	prueba.
Distribución de las calificaciones en la prueba de Matemática Calificación
Población	Muestra
Variable	y	tipo	de	variable	Datos
a.	¿Cuántos	estudiantes	rindieron	la	prueba?
Hay estudios que se aplican a toda la población. En estos casos no se considera una muestra. estudiantes	rindieron	la	prueba.
b.	¿Cuántos	estudiantes	obtuvieron	menos	de	un	6	como	calificación?	de	un	6.
estudiantes	obtuvieron	menos
2.	Construye	una	tabla	de	frecuencias	para	organizar	los	datos	mostrados.	Luego,	responde.	Aplicar Los	siguientes	datos	representan	la	cantidad	de	habitantes	que	viven	en	cada	departamento	de	un	condominio. 3	4	1	2	1	4	3	3	2	3	4	5	1	2	3	3	3	4	5	2	4	3	1	1	3	4	0	1	2	2	3	5	5	3	2	5	3	4	5	2	1	0 Título Frecuencia Variable
a.	¿Cuántos	departamentos	no	están	habitados?
b.	¿Cuántos	departamentos	hay	en	el	condominio?
c.	¿Cuántas	personas	viven	en	el	condominio?
Lectura e interpretación de gráficos de barras Lee y responde En	un	establecimiento	educacional,	a	todos	los	estudiantes	se	les	da	una	fruta	en	cada	recreo	para	promover	una	alimentación	saludable.	Con	el	fin	de	evaluar	la	campaña,	registraron	en	un	gráfico	de	barras	la	información	de	los	5	primeros	meses	del	año	escolar. Kilógramos de frutas consumidas Cantidad de kg de frutas
•	¿Qué	representa	la	altura	de	cada	barra	rectangular?
•	¿En	qué	mes	se	consumió	una	cantidad	mayor	de	frutas?
•	¿En	qué	mes	se	consumió	una	cantidad	menor	de	frutas?
•	A	partir	del	gráfico,	¿se	puede	concluir	que	la	campaña	ha	sido	exitosa?,	¿por	qué?
Ejemplo:	en	un	colegio	elegirán	el	centro	de	alumnos	por	medio	de	una	elección	a	la	que	se	presentaron	5	listas	con	candidatos	para	los	diferentes	cargos.	Para	sondear	lo	que	podría	pasar	el	día	de	la	elección,	se	organizó	una	encuesta	basada	en	una	muestra	de	50	estudiantes	del	colegio	elegida	al	azar. A	partir	del	gráfico,	la	lista	4	aparece	con	una	mayor preferencia	en	esta	encuesta,	ya	que	tiene	17	preferencias.
Preferencia de 50 estudiantes para la elección del centro de alumnos Cantidad de preferecias
Los	gráficos de barras	son	representaciones	que	entregan	información,	mediante	rectángulos	cuyos	tamaños	son	proporcionales	a	las	cantidades	que	cada	uno	representa.	Estos	rectángulos	pueden	disponerse	en	forma	vertical	u	horizontal	respecto	de	dos	ejes	perpendiculares	a	los	que	se	les	asignan	las	variables	del	estudio	que	se	realiza.
20 17 15 10 5 3 0
Leer e interpretar información representada en gráficos de barras
1.	Analiza	el	gráfico	de	barras.	Luego,	responde.	Analizar a.	¿Cuántos	estudiantes	prefieren	el	taller	de	teatro?
Talleres preferidos por los estudiantes de 5o básico
Talleres Fútbol Vóleibol
b.	¿Qué	taller	fue	preferido	por	30	estudiantes?
c.	¿Cuántos	estudiantes	menos	prefirieron	danza	que
d.	¿Cuál	puede	ser	el	objetivo	de	realizar	esta	consulta	a	los	estudiantes	de	este	nivel?	Explica.
2.	Analiza	el	siguiente	gráfico	de	barras	con	los	resultados	de	una	encuesta	realizada	para	conocer	la	eficacia	de	un	programa	de	alimentación	saludable	implementado	en	el	casino	de	una	empresa.	Luego,	responde.	Analizar Preferencias alimenticias
Cantidad de personas 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Educando en valores Recuerda alimentarte de manera saludable. Así crecerás fuerte y sano. Ensaladas
a.	¿Cuántas	personas	respondieron	la	encuesta?	b.	¿Qué	plato	fue	el	menos	preferido?	c.	¿Cuántas	personas	más	escogieron	“ensalada	con	pescado”	que	“pollo	con	arroz”?	d.	¿Crees	que	el	plan	de	alimentación	saludable	dio	buenos	resultados?	Explica.
Lectura e interpretación de gráficos de líneas Observa y responde
•	¿Qué	temperatura	se	registró	el	5	de	enero	del	2012	en	una	ciudad?
•	¿Qué	día	se	registró	una	temperatura	de	22	ºC?
El	gráfico	de	líneas	representa	las	temperaturas	máximas	registradas	en	una	ciudad	durante	los	primeros	días	de	enero	del	año	2012,	que	variaron	entre	18	ºC	y	28	ºC.
Temperatura máxima de los ocho primeros días de enero del 2012 en una ciudad
•	¿Cuál	fue	la	mayor	variación	de	temperatura	entre	dos	días	seguidos?	Justifica.
Aprende Los	gráficos de líneas	son	representaciones	que	entregan	información	utilizando	puntos	que	se	unen	por	líneas.	Las	alturas	de	los	puntos	son	proporcionales	a	las	magnitudes	que	representan.	Son	muy	utilizados	para	comunicar	información	referida	a	valores	numéricos	que	varían	en	el	tiempo. Ejemplo:	en	el	siguiente	gráfico	se	puede	obtener	información	respecto	de	la	cantidad	de	libros	vendidos	y	también	sobre	el	comportamiento	de	la	venta	en	el	tiempo. •	¿Cuántos	libros	se	vendieron	en	abril?
Cantidad de libros vendidos
Libros vendidos en 6 meses
La	altura	en	que	se	ubica	el	punto	del	mes	de	abril	corresponde	a	4.000	libros.
•	¿En	qué	mes	se	produce	la	mayor	alza	en	la	venta	de	libros?
En	julio,	ya	que	la	venta	aumentó	en 5.000	unidades.
•	¿Cuántos	libros	se	vendieron	en	total?
2.000 1.000 0 Ene
Se	suman	las	cantidades	de	libros	que	se	vendieron	en	cada	mes,	es	decir:	5.000	+	3.000	+	7.000	+	4.000	+	2.000	+	1.000	+	6.000	=	28.000	libros.
Leer e interpretar información representada en gráficos de líneas
1.	Observa	el	siguiente	gráfico	de	líneas.	Luego,	responde.	Interpretar Precipitaciones caídas al 2 de febrero del 2012
a.	¿En	qué	ciudad	cayeron	21	milímetros	de	agua?
b.	¿Qué	ciudad	ha	tenido	la	menor	precipitación	hasta	la	fecha	indicada?
Milímetros de agua caída
c.	¿En	qué	ciudades	precipitó	más	de	30	milímetros?
d.	¿En	qué	ciudades	el	agua	caída	fue	menor	o	igual	a	21	milímetros?
e.	¿Cuántos	milímetros	de	agua	caída	suman	las	precipitaciones	en	las	ciudades	de	Osorno,	Coyhaique	y	Balmaceda?
Fuente:	http://www.meteochile.cl/precipitacion.html
2.	Analiza	el	siguiente	gráfico	de	líneas	y	luego	responde.	Analizar Vehículos controlados en una planta de revisión técnica Cantidad 60
Automóvil	clase	A
Automóvil	clase	B
a.	En	el	período	octubre–febrero,	¿cuál	es	la	clase	de	automóvil	más	controlado?	b.	¿En	qué	mes	se	controlaron	más	automóviles?	c.	¿En	qué	meses	se	controlan	más	automóviles	de	clase	A	que	autos	de	clase	B
Construcción de gráficos de barras y de líneas Lee y responde Para	celebrar	el	aniversario	de	un	colegio,	el	director	pide	a	dos	grupos	de	estudiantes	que	realicen,	una	encuesta	sobre	las	preferencias	que	tienen	70	estudiantes	de	5º	básico	respecto	de	las	siguientes	actividades	propuestas:	convivencia,	salida	al	cine,	fiesta	de	disfraces,	concurso	de	canto	y	deportivas. Ambos	grupos	representaron	la	información	obtenida	en	dos	registros	distintos. Grupo 1: gráfico de barras
Fiesta	de	disfraces
5 Concurso de canto
Concurso	de	canto
Salida	al	cine
Preferencia de los estudiantes como actividades de aniversario
Grupo 2: gráfico de líneas
Grupo 1 y 2: Resultados	registrados	en	una	tabla	de	frecuencias.
•	En	este	caso,	¿qué	gráfico	es	más	conveniente	utilizar?,	¿por	qué?
Aprende Para	construir gráficos de barras o de líneas	se	debe:
Utilidades de cada tipo de gráfico
1.	Decidir	el	tipo	de	gráfico	más	adecuado	al	estudio.
El	gráfico de barras	es	una	representación	útil	para	visualizar	variables	cuyos	valores	pueden	corresponder	a	números	naturales,	y	por	lo	general	se	muestra	información	comparativa	de	una	variable.
2.	Poner	un	título	al	gráfico. 3.	Establecer	las	variables	de	cada	eje	y	graduarlo. 4. Dibujar las barras	o	los puntos	cuyas	alturas	son	proporcionales	a	los	valores	numéricos	de	las	frecuencias;	y,	en	el	caso	del	gráfico	de	líneas,	unir los puntos	consecutivos.
El	gráfico de líneas	es	una	representación	útil	para	estudiar	la	tendencia	de	una	variable	en	un	estudio.
Construir gráficos de barras y de líneas
1.	Construye	un	gráfico	de	barras	a	partir	de	los	datos	entregados	en	la	siguiente	tabla.	Luego,	responde.	Representar ¿Qué género de películas prefieres? Género
Ciencia	ficción
a.	¿Qué	género	de	película	tiene	mayor	preferencia?	¿Y	cuál	tiene	menor	preferencia?
b.	¿Qué	conclusión	se	puede	hacer	a	partir	de	la	representación	gráfica?
2.	Analiza	la	siguiente	tabla	y	construye	un	gráfico	de	líneas	que	represente	la	información.	Luego,	responde.	Analizar Los	datos	muestran	los	tiempos,	en	segundos,	alcanzados	por	un	joven	en	los	100	metros	planos. Tiempos obtenidos por el joven Carrera
Tiempo logrado (s)
a.	¿En	qué	carrera	obtuvo	su	mejor	rendimiento?	b.	¿Cuáles	fueron	sus	dos	peores	tiempos?	c.	¿A	qué	conclusión	puedes	llegar	respecto	de	la	mejora	de	sus	tiempos?
Representación en un diagrama de tallo y hojas Observa y responde A	un	torneo	de	karate	asisten	46	participantes.	Para	formar	las	categorías	de	la	competencia,	se	considera	la	edad	de	los	participantes	como	una	de	las	variables.	Estas	edades	son	las	siguientes: 8	12	40	25	18	6	17	15	7	11	15	8	16	12	15	12	7	23	18	23	30	41	14	22	34	26	34	31	23	25	27	23	17	21	34	19	41	34	36	17	21	27	34	12	11	18 Un	organizador	del	torneo	dispone	los	datos	en	5	categorías,	de	la	siguiente	manera: Edades de los participantes 0
1	1	2	2	2	2	4	5	5	5	6	7	7	7	8	8	8	9
1	1	2	5	3	3	3	3	5	6	7	7
0	1	4	4	4	4	4	6
•	¿Qué	relación	tienen	las	edades	de	los	participantes	mayores	de	30	años	y	menores	de	40	años	con	los	datos	encerrados	con	color	rojo	en	la	representación	anterior?	Justifica.
Aprende Los	diagramas de tallo y hojas	son	representaciones	gráficas	en	las	que	puede	observarse	la	distribución	de	frecuencias	de	una	variable	cuantitativa	(numérica). En	estos	diagramas,	los	números	se	dividen	en	una	“hoja”	que	corresponde,	por	lo	general,	a	la	cifra	de	las	unidades,	y	un	“tallo”	que	corresponde	a	las	cifras	restantes. Ejemplo:	en	la	situación	planteada	anteriormente,	el	número	26	corresponde	a	una	de	las	edades	de	los	participantes	del	torneo;	esta	se	representa	en	el	diagrama	considerando	como	tallo	la	cifra	2	y	como	hoja	la	cifra 6.
Tallo 0	1	2	3	4
Hojas 6	7	7	8	8 1	1	2	2	2	2	4	5	5	5	6	7	7	7	8	8	8	9 1	1	2	5	3	3	3	3	5	6	7	7 0	1	4	4	4	4	4	6 0	1	1
Conclusión:	entre	los	11	y	los	27	años	se	concentra	la	mayor	cantidad	de	participantes	y	desde	los	40	años	hacia	arriba	solo	hay	3	participantes.
Analizar información representada en diagramas de tallo y hojas
1.	Observa	el	siguiente	diagrama	de	tallo	y	hojas.	Luego,	responde.	Analizar Masas	corporales	aproximadas,	en	kilógramos,	de	los	pacientes	menores	de	15	años	atendidos	en	un	servicio	de	salud. Masas corporales (kg) Tallo Hojas 4	5	5	7	8 0	0	1	3	3	4	6 1	2
1	2	5	5	6	6	7	8
0	2	2	4	8	9	9	9	9
3	4	5	6	6	7	8	8
2	3	3	3	4	5	6	7
0	0	1	3	7	8
a.	¿Cuántos	pacientes	tienen	una	masa	corporal	igual	a	39	kilógramos?	b.	¿Cuántas	personas	menores	de	15	años	fueron	atendidas	en	el	servicio	de	salud?	c.	¿Cuántos	de	estos	pacientes	tienen	una	masa	corporal	menor	a	17	kilógramos?	d.	¿Cuántos	pacientes	menores	de	15	años	registraron	una	masa	menor	o	igual	a	53	kilógramos?	e.	¿Cuál	crees	que	es	el	objetivo	de	este	estudio?
Ponte a prueba Analiza el siguiente gráfico de líneas y luego responde.
a.	¿Cuál	de	las	dos	empresas	vendió	más	en	el	año?
Ventas anuales de dos concesionarios de vehículos Empresa	1	Empresa	2
c.	¿Entre	qué	meses	la	empresa	1	tuvo	menores	ventas	que	la	empresa	2? d.	¿A	qué	conclusiones	puedes	llegar	a	partir	de	la	información	del	gráfico?	Escribe	al	menos	dos.
b.	¿En	qué	mes	lograron	las	mismas	ventas? 140 120
40 20 0 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
¿Cómo	vas? Conceptos básicos
1.	Analiza la siguiente situación. Luego, responde.
En una campaña cultural, los directores de museos de una ciudad encuestan a 80 personas seleccionadas al azar entre las que asisten durante un fin de semana a una galería de arte. Se les consulta por la cantidad de museos que han visitado durante el último año.
a.	¿Cuál	es	la	muestra	considerada?
b.	¿Cuál	es	la	variable	del	estudio?
Leer e interpretar tablas de frecuencias
2.	Analiza la siguiente tabla y luego responde.
Deportes preferidos Deporte
a.	¿Cuál	es	el	deporte	más	preferido	y	el	menos	preferido?
b.	¿Cuántas	personas	respondieron	esta	encuesta?
3.	Analiza el siguiente gráfico de líneas y luego responde.
Producción de cemento durante el año 2010 350
300 250 200 150 100 50 0 Ene
a.	¿En	qué	meses	del	año	se	registró	menor	producción	de	cemento?	b.	¿Entre	qué	meses	hubo	una	mayor	variación	de	la	producción?
4.	Ordena los datos y construye un gráfico que los represente. Luego, responde. El guardaparques de un bosque realiza un catastro anual de los árboles que hay. Este año obtuvo los siguientes datos:
P A A P E R C P E C P A A C P A C R E E A A P C E P P E P P E A P R R E P R C E P C C A A A A C E E A A C E P P P E C A R R R R A R P P R R C R C A A A A P C R R C P C A A C E E E A P R
A: Araucaria C: Ciprés E: Espino P: Peumo R: Raulí
a.	¿Cuántos	árboles,	en	total,	hay	en	el	bosque?	b.	¿Qué	árbol	predomina	en	este	bosque?	Diagramas de tallo y hojas
5.	Representa los siguientes datos en un diagrama de tallo y hojas. Luego, responde. Cantidad de prendas vendidas diariamente
a.	¿Qué	ventaja	tiene	en	este	caso	utilizar	un	diagrama	de	tallo	y	hojas	en	vez	de	un	gráfico de	barras?
b.	En	este	caso,	¿se	podría	haber	representado	la	información	en	un	gráfico	de	líneas?	Explica.
2 Promedio de datos
Cálculo de promedio de datos Lee y responde Las	calificaciones	obtenidas	por	los	dos	quintos	básicos	en	el	examen	semestral	de	Matemática	son:	5° A:	2	2	2	5	3	7	3	4	7	3	4	4	5	3	4	3	4	5	4	5	4	3	4	7	5	4	7	3	2	2 5° B:	2	6	4	5	5	5	6	7	6	3	5	6	6	5	6	5	4	3	2	6	4	5	7	7 Juan	afirma	que	el	5°	A	tiene	un	mejor	rendimiento	que	el	5°	B,	ya	que	hay	4	calificaciones	siete	y,	en	cambio,	el	5°	B	tiene	solo	3. Pedro	dice	que	si	suman	las	calificaciones	del	5°	A	y	las	dividen	por	la	cantidad	total	de	calificaciones,	obtendrían	un	número	que	representaría	el	rendimiento	del	curso.	Y	que	al	hacer	lo	mismo	con	las	notas	del	5°	B,	podrían	comparar	estos	resultados. •	Calcula	la	suma	de	todas	las	calificaciones	de	cada	curso. Suma	de	las	calificaciones	del	5°	A
Suma	de	las	calificaciones	del	5°	B
•	Este	número	se	divide	por	la	cantidad	de	calificaciones	de	cada	curso. (Suma	de	las	calificaciones	del	5°	A)	:	30	=	Por	lo	tanto,	el	5°	A	tuvo
(Suma	de	las	calificaciones	del	5°	B)	:	24	=
rendimiento	que	el	5°	B	en	este	examen.
Aprende El	promedio	o	media aritmética	( x )	corresponde	al	cociente	entre	la	suma	de	los	valores	numéricos	de	la	variable	y	el	número	total	de	datos. Ejemplo:	los	datos	corresponden	a	las	estaturas,	en	centímetros,	de	los	jugadores	de	un	equipo	de	fútbol. 174	169	179	184	175	168	177	182	176	181	178	174	179	182	186 Si	se	suman	las	estaturas	y	se	divide	el	resultado	por	el	total	de	jugadores	resulta: 174 + 169 + 179 + 184 + 175 + 168 + 177 + 182 + 176 + 181 + 178 + 174 + 179 + 182 + 186 15 2.664 x= = 177, 6 15
Por	lo	tanto,	el	promedio	de	las	estaturas	de	los	jugadores	es	177,6	cm.
Calcular el promedio de datos e interpretar su resultado
1.	Calcula	el	promedio	de	los	siguientes	conjuntos	de	datos.	Aplicar a.	4,	5,	7,	10	y	12
c.	45,	54,	63,	103	y	110
b.	4,	6,	8,	13,	16,	40,	35	y	54
d.	500,	400,	200,	350	y	450
2.	Determina	el	valor	que	falta	en	cada	caso	para	que	resulte	el	promedio	dado.	Analizar a.	8,	8,	8,	8,	8,	8,	8,	b.	12,	3,	4,	5,	7,
x =	8 ,	9,	8	x =	6
c.	7,	6,	12,	d.
,	8,	17,	3
,	100,	110,	240
x =	8	x =	125
3.	Resuelve	los	siguientes	problemas.	Aplicar a.	Las	edades	de	5	amigos	son	13,	15,	13,	12	y	12	años.	¿Cuál	es	el	promedio	de	sus	edades?
b.	La	tabla	muestra	las	ventas	de	verduras	hechas	en	un	negocio.	¿Cuántas	verduras	se	vendieron	en	promedio?
Verduras vendidas Verdura
c.	Javiera	obtuvo	las	siguientes	calificaciones	en	la	asignatura	de	Matemática:	6;	4;	4	y	5.	¿Qué	nota	debe	obtener	en	la	última	prueba	para	terminar	el	año	con	un	5	como	promedio?
Módulo 2 / Promedio de datos
Cálculo de promedio en gráficos Extracción de cobre diaria
En	el	siguiente	gráfico	se	muestra	la	cantidad	de	cobre	(en	kilógramos)	extraída	diariamente	por	un	grupo	de	pirquineros	en	la	Zona	Norte	del	país.
•	Para	calcular	el	promedio,	se	realiza	lo	siguiente:	x =
125 + 150 + 100 + 140 + 115 + 90 =	6
Por	lo	tanto,	durante	la	semana	se	extrajo	un	promedio	de
kilógramos	de	cobre.
Para	calcular	el	promedio de datos en un gráfico,	se	deben	sumar	los	valores	de	la	variable	que	representan	las	barras	o	las	líneas,	y	luego	dividir	este	valor	por	la	cantidad	total	de	datos. Ejemplo:	en	el	siguiente	gráfico,	el	promedio	de	los	datos	es: Venta mensual de un minimarket durante el primer semestre Millones de pesos 7 6 5 4 3 2 1 0
Jun Mes
4.000.000 + 5.000.000 + 4.000.000 + 5.000.000 + 6.000.000 + 6.000.000 30.000.000 =	=	5.000.000 6 6 Por	lo	tanto,	$	5.000.000	es	el	promedio mensual	de	venta	en	el	minimarket	durante	el	primer	semestre. x=
Calcular el promedio de datos entregados gráficamente
1.	Calcula	el	promedio	pedido	en	cada	caso.	Aplicar a.	¿Cuántas	monedas	de	$	100,	en	promedio,	recolectó	cada	amigo? Monedas de $ 100 recolectadas Cantidad de monedas por un grupo de amigos 55
b.	En	promedio,	¿cuántas	herramientas	se	produjeron	diariamente? Producción en miles de herramientas fabricadas en una semana Cantidad de herramientas (en miles) 6 5 4 3 2 1 0
Dom Día
c.	En	promedio,	¿cuántas	empanadas	de	todos	los	tipos	se	fabrican	en	un	día? Empanadas fabricadas en un día Cantidad de empanadas 30 25 20 15 10 5 0
Ventajas y desventajas del promedio de datos Lee y responde Un	turista	extranjero	quiso	recorrer	nuestro	país.	Para	ello,	se	informó	de	que	la	temperatura	promedio	en	un	día	del	mes	de	mayo,	en	Chile,	es	de	17	°C,	por	lo	que	decidió	tomar	ciertas	precauciones.	Cuando	llegó	a	Punta	Arenas,	en	el	mes	de	mayo,	se	llevó	una	gran	sorpresa:	la	temperatura	era	de	0	°C.	•	Comprueba	que	el	promedio	de	las	temperaturas	representadas	en	la	tabla	es	de	17	°C. •	En	este	caso,	¿el	promedio	de	las	temperaturas	fue	un	buen	indicador	de	la	que	se	registró	en	Punta	Arenas?	Remarca	tu	respuesta. Sí
La	Serena
Puerto	Montt
Quinta	Normal
Juan	Fernández
Punta	Arenas
Aprende El	promedio	o	media aritmética	de	un	conjunto	de	datos	numéricos	presenta	ventajas	y	desventajas: Ventajas •	Es	el	valor	numérico	más	utilizado	para	representar	un	conjunto	de	datos	numéricos. •	Se	expresa	en	las	mismas	unidades	que	la	variable. •	Es	un	valor	numérico	único. •	Cambia	respecto	a	cualquier	variación	de	los	datos. Desventajas •	No	se	puede	calcular	con	datos	cualitativos	(no	numéricos). •	Se	ve	afectado	por	valores	numéricos	muy	altos	o	muy	pequeños	de	la	distribución	de	datos,	pudiendo	no	ser	representativo.
Respecto	de	la	situación	anterior,	se	tiene	lo	siguiente: Ventajas •	El	promedio	es	17	°C	y	tiene	la	misma	unidad	de	medida	que	cada	una	de	las	temperaturas	registradas. •	No	existe	otro	número	que	represente	el	promedio	de	las	temperaturas.	•	Si	se	agrega	una	nueva	estación	de	monitoreo	y	el	promedio	sube	a	20	°C,	se	sabe	inmediatamente	que	la	estación	de	monitoreo	ha	registrado	una	temperatura	más	alta. Desventajas •	Si	el	dato	registrado	hubiese	sido	el	tipo	de	clima	del	país	(mediterráneo,	desértico,	etc.)	no	se	habría	podido	obtener	el	promedio,	ya	que	no	es	un	dato	numérico. •	El	promedio	de	las	temperaturas	no	le	sirvió	al	turista	extranjero	para	tomar	las	precauciones	necesarias	en	su	visita	a	Chile;	esto	se	debe	a	que	ese	promedio	no	fue	representativo	de	los	datos.
Identificar las ventajas y desventajas respecto del promedio de datos
1.	Marca	con	un	si	la	afirmación	es	correcta	y	con	una	,	si	es	incorrecta.	Justifica	en	cada	caso.	Evaluar a.
Si	el	promedio	de	las	edades	de	10	personas	es	27	años,	entonces	todas	las	personas	tienen	más	de	10	años. Justificación:
Rodrigo	tiene	15	años	y	mide	1	m	y	65	cm,	y	se	reunirá	con	un	grupo	de	8	personas	cuyo	promedio	de	estatura	es	1	m	58	cm,	de	modo	que	será	el	más	alto	del	grupo.	Justificación:
Para	una	campaña	solidaria,	un	grupo	de	amigos	recolecta	todos	los	años	un	promedio	de	$	50.000.	Si	lo	recaudado	este	año	promedia	los	$	51.000,	entonces	mejoró	el	aporte	del	grupo	de	amigos. Justificación:
2.	Analiza	la	situación	y	responde.	Analizar Los	puntos	obtenidos	por	un	equipo	de	básquetbol,	en	los	primeros	5	partidos	de	la	temporada,	fueron:	65,	48,	63,	59	y	80.
a.	¿Cuál	es	el	promedio	de	puntos	obtenido	por	partido?
b.	Si	con	los	puntos	obtenidos	en	el	último	partido	el	promedio	varía	a	54	puntos,	¿qué	puedes	afirmar	respecto	de	los	puntos	obtenidos	en	este	último	partido?
Ponte a prueba El	promedio	de	las	superficies	de	999	terrenos	es	2.000	m2;	si	se	le	agrega	un	nuevo	terreno	de	200.000	m2,	el	nuevo	promedio	sería	de	2.198	m2.	Por	otro	lado,	si	el	promedio	de	las	superficies	de	otros	9	terrenos	es	2.000	m2	y	se	les	agrega	otro	terreno	de	200.000	m2,	el	nuevo	promedio	sería	de	21.800	m2. •	¿Por	qué	crees	que	en	cada	grupo	de	datos	influyó	de	distinta	forma	el	hecho	de	agregar	el	terreno	de	200.000	m2?
3 Introducción a la probabilidad
Experimentos aleatorios Observa y responde Si	lanzas	un	dado	de	6	caras	puedes	asegurar	que	caerá,	ya	que	tu	observación	se	fija	en	lo	que	ocurrirá	con	su	posición,	pero	no	podrías	determinar	el	puntaje	que	tendrá	la	cara	superior	cuando	caiga	sobre	una	superficie	horizontal.	Esta	imposibilidad	se	relaciona	con	los	seis	posibles	valores	que	se	podría	obtener	al	lanzar	un	dado.
•	Si	te	reúnes	con	una	amiga	o	un	amigo	y	juegas	a	adivinar	el	puntaje	que	resultará	al	lanzar	un	dado,	¿qué	número	elegirías?,	¿y	por	qué?
Aprende Un	experimento	es determinístico,	si	al	ejecutarlo	varias	veces	bajo	las	mismas	condiciones,	se	tiene	certeza de lo que ocurrirá.
Un	experimento es aleatorio,	es	quel	que	depende	del	azar,	es	decir,	no	se	tiene	certeza	de	lo	que	ocurrirá.	Por	lo	tanto,	no se puede predecir su resultado.
Ejemplo:	si	se	pone	un	vaso	con	agua	en	un	congelador,	luego	de	un	tiempo	determinado	el	agua	se	congelará.	Por	lo	tanto,	hay	cierta	certeza	de	que	esto	ocurrirá.
Ejemplo: si	se	extrae	sin	mirar	una	bolita	de	una	bolsa	que	contiene	3	bolitas,	dos	de	color	verde	y	una	de	color	rojo,	no	se	puede	tener	certeza	del	color	de	la	bolita	extraída.
Identificar experimentos aleatorios y sus posibles resultados
1.	Clasifica	cada	experimento	en	aleatorio	o	determinístico.	Observa	el	ejemplo.	Clasificar
Lanzar	una	pelota	desde	una	altura.
a.	Lanzar	una	moneda	al	aire.
b.	Observar	el	género	(masculino	o	femenino)	de	la	siguiente	persona	que	entrará	a	una	tienda.
c.	Exponer	un	papel	al	fuego.
d.	Sacar	un	hielo	del	refrigerador	y	ponerlo	al	sol.
e.	Elegir	el	número	ganador	de	una	lotería.
2.	Analiza	cada	uno	de	los	siguientes	experimentos	aleatorios	y	escribe	sus	posibles	resultados.	Analizar a.	Lanzar	una	moneda.
b.	Sacar	una	bolita	de	una	caja	con	bolitas	numeradas	del	1	al	10.
c.	Sacar	al	azar	una	de	las	9	tarjetas,	cada	una	de	las	cuales	tiene	impresa	una	letra	de	la	palabra	ALEATORIO.
3.	Realiza	el	siguiente	experimento	aleatorio	y	responde.	Aplicar Lanza	una	moneda	40	veces.
a.	¿Cuántas	veces	obtuviste	cara?	b.	¿Cuántas	veces	obtuviste	sello?
Módulo 3 / Introducción a la probabilidad
Espacio muestral Analiza y responde La	profesora	de	5°	año	básico	propone	a	sus	estudiantes	realizar	la	siguiente	actividad:
pa ro Eu
1.	Formen	grupos	de	5	integrantes. 2.	Dibujen	lo	siguiente	en	sus	cuadernos. cuadernos.
t ár
í an ce
3.	Recórtenlo	y	construyan	un	dado,	en	cuyas	caras	aparezcan	los	nombres	de	los	continentes. 4.	Lancen	10	veces	cada	dado	y	registren	los	continentes	que	aparecen	en	la	cara	superior.
•	¿Cuáles	son	los	posibles	resultados	que	se	pueden	obtener	al	lanzar	este	dado?	Justifica.
•	¿Crees	que	hay	algún	resultado	que	tiene	más	posibilidades	de	aparecer?
Aprende Cuando	se	realiza	un	experimento	aleatorio,	el	conjunto	formado	por	todos	los	posibles	resultados	corresponde	al	espacio muestral	y	se	simboliza	por	la	letra	griega	X	(omega). Un	subconjunto	del	espacio	muestral	se	relaciona	con	los	sucesos	o	eventos	del	experimento	aleatorio. Ejemplo:	Luis	y	su	padre	están	jugando	a	lanzar	una	moneda	de	$	500.	Entonces	llegan	a	un	acuerdo:	lanzarán	Entonces llegan la	moneda,	y	si	sale	cara	la	moneda	será	del	padre	y,	si	sale	sello,	será	de	Luis.	Luis. Por	lo	tanto,	el	espacio muestral	será:	X	= {cara, sello} En	este	caso,	dos	posibles	eventos	o	sucesos,	serían: •	que	salga	cara,	el	que	se	representa	como:	S1	=	{cara}. •	que	salga	sello,	el	que	se	representa	como:	S =	{sello}. 2
Identificar el espacio muestral asociado a un experimento
1.	Escribe	el	espacio	muestral	que	corresponde	a	cada	experimento	aleatorio.	Interpretar a.	Extraer	una	tarjeta	de	un	grupo	de	10	tarjetas	numeradas	(del	1	al	10).
b.	Lanzar	dos	monedas	a	la	vez.
c.	Lanzar	dos	dados.
2.	Analiza	la	siguiente	situación.	Luego,	responde.	Analizar En	un	grupo	de	10	estudiantes	de	un	curso	se	registró	el	color	de	pelo	de	cada	uno	de	ellos: C:	Café	N:	Negro	R:	Rubio Los	resultados	fueron	los	siguientes: C
Experimento	aleatorio:	“elegir	al	azar	tres	estudiantes	y	registrar	su	color	de	pelo”.
a.	¿Cuál	es	el	espacio	muestral?	X	=	b.	Escribe	tres	posibles	eventos.
3.	Observa	la	imagen.	Luego,	responde.	Analizar a.	Define	un	posible	experimento	aleatorio.
b.	¿Cuál	es	el	espacio	muestral?	c.	Identifica	qué	evento	es	el	que	tiene	mayor	posibilidad	de	ocurrir.
Comparación de posibilidades Observa y responde Dentro	de	la	caja	hay	8	bolitas,	todas	de	igual	tamaño.
Si	se	extrae	una	bolita	al	azar	de	la	caja,	¿cuál	sería	el	espacio	muestral	(X)	asociado	a	este	experimento	aleatorio?	Escríbelo. }
X	=	{
•	Al	extraer	una	bolita,	¿es	posible	que	sea	de	color	verde?	Explica.
•	¿Es	igualmente	posible	extraer	una	bolita	de	color	azul,	y	una	de	color	amarillo?	Justifica.
•	¿Es	cierto	que	todas	las	bolitas	tienen	la	misma	posibilidad	de	ser	escogidas?	Justifica.
Aprende En	un	experimento aleatorio,	los	resultados	pueden	tener	mayor	o	menor	posibilidad	de	ocurrencia.	Los	distintos	eventos	o	sucesos	correspondientes	a	estos	resultados,	se	pueden	clasificar	como: •	Seguros •	Posibles •	Imposibles
Ejemplo:	en	la	tómbola	hay	12	pelotitas.	Al	extraer	al	azar	una	de	ellas,	se	tiene	que: Evento seguro •	Obtener	una	de	color	azul, una	amarilla,	una	verde	o	una	roja. roja. Eventos posibles •	Obtener	una	de	color	azul. •	Obtener	una	de	color	rojo. •	Obtener	una	de	color	verde. Evento imposible •	Obtener	una	de	color	café.
Determinar la posibilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio
1.	Observa	la	siguiente	situación.	Luego,	responde.	Comprender Bolsa 1
a.	Si	se	extrae	al	azar	una	bolita	de	la	bolsa	2,	¿de	qué	color	será?
b.	Obtener	una	bolita	de	color	rojo	de	la	bolsa	2,	¿es	un	suceso	seguro?
c.	Si	se	extrae	al	azar	una	bolita	de	la	bolsa	1,	¿de	qué	color	será?
d.	Obtener	una	bolita	de	color	verde	de	la	bolsa	1,	¿es	un	suceso	posible	o	seguro?	e.	¿Es	un	suceso	posible	obtener	una	bolita	de	color	amarillo	de	la	bolsa	1?
2.	Clasifica	los	siguientes	eventos	en	seguro,	posible	o	imposible,	en	cada	caso.	Clasificar a.	Obtener	cara	en	el	lanzamiento	de	una	moneda	es	un	evento
b.	Obtener	10	puntos	en	el	lanzamiento	de	un	dado	de	seis	caras	es	un	evento
c.	Elegir	un	jugador	hombre	en	un	equipo	de	básquetbol	masculino	es	un	evento
3.	Analiza	cada	situación.	Luego,	pinta	cada	representación	para	que	se	cumpla	la	condición.	Analizar a.	Extraer	una	bolita	de	color	azul	es	un	suceso	imposible.
b.	Extraer	una	bolita	de	color	rojo	es	un	suceso	posible.
c.	Extraer	una	bolita	de	color	verde	es	un	suceso	seguro.
Probabilidad y comparación Analiza y responde En	una	tienda,	por	cada	$	10.000	de	compra,	cada	cliente	tiene	la	posibilidad	de	girar	la	ruleta	una	vez	y	ganar	un	premio. •	Al	girar	la	ruleta,	¿qué	resultados	se	pueden	obtener?
•	Completa	los	casilleros	con	la	cantidad	de	sectores	de	la	ruleta	correspondiente	a	cada	color.	Rojo
Conectad@s Ingresa a www.casadelsaber.cl/mat/507 y encontrarás una actividad para complementar este contenido.
•	¿Qué	color	es	más	probable	que	resulte	al	girar	la	ruleta?	¿Y	cuál	menos?
Aprende Los	eventos	de	uno	o	varios	experimentos aleatorios	se	pueden	comparar	respecto	de	su	ocurrencia: •	Si	un	evento	tiene	más	posibilidades	de	ocurrir	que	otro,	se	dice	que	tiene	mayor probabilidad	de	ocurrencia. •	Al	contrario,	si	tiene	menos	posibilidades,	se	dice	que	tiene	menor probabilidad	de	ocurrencia. Ejemplo:	en	una	caja	hay	12	pelotas:	tres	verdes,	tres	amarillas,	cinco	rosadas	y	una	azul,	como	se	muestra	en	la	ilustración.	Si	se	extrae	al	azar	una	pelota	sin	ver,	¿qué	resultados	se	pueden	obtener? Resultados probables:	verde,	azul,	amarillo	y	rosado. Al	predecir	los	resultados,	se	tiene	que: Más probable:	pelota	rosada. Menos probable:	pelota	azul. Igualmente probable:	pelota	amarilla	y	pelota	verde.
Comparar probabilidades de eventos mediante la posibilidad de ocurrencia
1.	Compara	la	probabilidad	de	ocurrencia	de	los	siguientes	eventos	y	determina	cuál	tiene	mayor	probabilidad.	Interpretar a.	En	el	lanzamiento	de	un	dado. A:	obtener	un	número	par	de	puntos.
B:	obtener	un	número	de	puntos	menor	que	5.
b.	Sacar	al	azar	una	de	las	seis	tarjetas,	tal	que	cada	una	tiene	impresa	una	letra	de	la	palabra	SUCESO. A:	obtener	una	vocal.
B:	obtener	una	consonante.
Ponte a prueba Analiza la situación y luego responde. Al	girar	la	tómbola	y	extraer	una	bolita,	¿cuál	es	la	probabilidad	de	que	salga	una	de	color	rojo? Como	en	la	tómbola	hay	10	bolitas	y	5	de	ellas	son	de	color	rojo,	la	probabilidad	de	obtener	una	bolita	una bolita 5 de	color	rojo	es	. 10 5 Cantidad	de	bolitas	de	color	rojo Cantidad	total	de	bolitas 10
a.	¿Cuál	sería	la	probabilidad	de	obtener	una	bolita	de color	azul?
b.	¿Cuál	sería	la	probabilidad	de	obtener	una	bolita	de color	amarillo?
c.	A	partir	de	lo	anterior,	¿qué	bolita	es	más	probable	obtener?
Resolución	de	problemas Observa la resolución del siguiente problema En	este	gráfico	se	muestra	la	cantidad	de	niños	que	participa	en	las	Olimpíadas	de	Matemática.	Si	se	elige	a	uno	de	los	competidores	al	azar,	¿cuál	de	los	siguientes	eventos	tiene	mayor	probabilidad	de	ocurrir? A:	que	tenga	15	años. B:	que	tenga	10	o	12	años.
Participantes de las Olimpíadas de Matemática Edades 15 14 13 12 11 10 0
Explica con tus palabras la pregunta del problema. •	En	el	problema	se	pregunta	qué	evento,	entre	A	y	B,	tiene	mayor	probabilidad	de	ocurrencia.
Identifica los datos importantes. •	30	de	los	niños	tienen	15	años. •	10	de	los	niños	tienen	10	años. •	25	de	los	niños	tienen	12	años.
Calcula y escribe la solución. •	Como	los	eventos	se	definen	respecto	de	un	mismo	experimento	aleatorio,	es	posible	comparar	las	cantidades	de	casos	favorables	a	cada	evento. Los	casos	favorables	para	cada	evento	son: Para	el	evento	A	son	30	casos	favorables. Para	el	evento	B	son	10	casos	favorables	en	relación	a	la	edad	de	10	años	más	los	25	casos	relacionados	a	la	edad	de	12	años.	Por	lo	tanto,	en	total	son	35	casos	los	favorables. Finalmente,	el	evento	B	tiene	mayor	probabilidad	de	ocurrir	que	el	evento	A.
Revisa la solución. Casos	favorables	para	el	evento	A:	30	casos. Casos	favorables	para	el	evento	B:	10	+	25	=	35	casos. Como	35	>	30,	es	correcto	decir	que	el	evento	B	tiene	mayor	probabilidad	de	ocurrencia	que	el	evento	A.
Latas recolectadas en los últimos 6 meses del 2012
A:	que	la	lata	se	haya	recolectado	en	uno	de	los	dos	últimos	meses. B:	que	se	haya	recolectado	en	julio	o	septiembre.
Cantidad de latas
El	siguiente	gráfico	muestra	la	cantidad	de	latas	recolectadas	por	un	curso	en	los	últimos	seis	meses	del	año.	Luego,	estas	se	marcan	para	saber	cuántas	se	recolectaron	por	mes.	Si	se	eligiera	una	de	ellas	al	azar	para	revisar	su	estado,	¿cuál	de	los	siguientes	eventos	tiene	menor	probabilidad	de	ocurrir?
Competencias para la vida La	información	estadística	me	ayuda	a	comprender	situaciones	sociales Los	Juegos	Paraolímpicos	son	la	competencia	olímpica	oficial	de	los	atletas	discapacitados.	Participan	personas	con	discapacidades	motoras,	amputaciones,	ceguera	y	parálisis	cerebral.	A	continuación,	se	presenta	una	tabla	que	registra	la	cantidad	de	medallas	de	oro,	plata	y	bronce	que	obtuvo	cada	país	en	los	Juegos	Paraolímpicos	de	Pekín	2008. Medallero Paraolímpico Pekín 2008 Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Oro 89 42 36 24 23 21 19 18 16 15 14 12 10 10
China Gran	Bretaña Estados	Unidos Ucrania Australia Sudáfrica Canadá Rusia Brasil España Alemania Francia República	de	Corea México
Plata 70 29 35 18 29 3 10 23 14 21 25 21 8 3
Bronce 52 31 28 32 27 6 21 22 17 22 20 19 13 7
Total 211 102 99 74 79 30 50 63 47 58 59 52 31 20
Competencia	matemática
Responde, según la información entregada. •	¿Qué	país	obtuvo	más	medallas	de	oro	en	Pekín	2008?
•	¿Qué	país	obtuvo	en	total	más	medallas	en	Pekín	2008?	•	Si	Sudáfrica	ganó	menos	medallas	que	otros	países	como	Canadá	y	España,	¿por	qué	razón	crees	que	se	encuentra	más	arriba	en	la	tabla?
•	Si	tuvieras	que	representar	en	un	gráfico	la	cantidad	total	de	medallas	obtenidas	por	los	países	participantes	en	Pekín	2008,	¿qué	tipo	de	gráfico	utilizarías:	de	barra	o	de	puntos?	Justifica.
Según	el	censo	realizado	el	año	2002	en	Chile,	el	2,2%	de	la	población	tiene	algún	grado	de	discapacidad.	La	siguiente	tabla	lo	resume: Personas con discapacidades
334.377
Ceguera	total
Sordera	total
Personas	con	discapacidades
Parálisis/lisiado Deficiencia	mental Total	discapacidades Personas	con	más	de	una	discapacidad
Fuente:	http://www.ine.cl/cd2002/sintesiscensal.pdf
udadana Competencia	social	y	ci
Responde, según la información entregada. •	¿Qué	enseñanza	te	deja	esta	información?
•	¿En	Chile	existe	alguna	campaña	para	ayudar	a	la	gente	que	tiene	algún	grado	de	discapacidad?
•	¿De	qué	manera	colaboras	tú?
Analiza cómo responder una pregunta de selección múltiple 1. La	siguiente	tabla	muestra	la	cantidad	de	personas	por	curso	y	por	género	que	asistieron	a	un	concierto en	un	colegio.	Si	se	elige	al	azar	a	una	persona,	¿cuántos	casos	favorables	tiene	el	evento	en	el	cual	la persona	seleccionada	sea	de	sexo	femenino	y	de	4°	medio?
Asistentes a un concierto en un colegio Nivel 2o medio 3o medio 4o medio
A.	75	casos	favorables. B.	90	casos	favorables. C.	165	casos	favorables. D.	175	casos	favorables.
Análisis de las alternativas A.	Se	considera	que	los	casos	favorables	corresponden	a	la	cantidad	de	personas	que	cumplen	con	la	condición de	ser	mujer	y	estar	en	4°	medio.	Por	lo	tanto,	el	número	de	casos	favorables	al	evento	en	cuestión	es	75.
B.	Se	confunde	el	género,	por	lo	que	se	considera	a	los	hombres	de	4°	medio,	que	son	90,	y	se	relaciona	este	número	con	el	de	los	casos	favorables	al	evento	por	el	que	se	pregunta.
C.	En	este	caso,	se	considera	erróneamente	que	los	casos	favorables	corresponden	solo	al	evento	que	la	persona	sea	de	4°	medio,	sin	considerar	el	género.
D.	En	esta	alternativa,	los	casos	favorables	corresponden	solo	al	evento	de	que	la	persona	sea	de	sexo	femenino,	sin	considerar	que	además	debe	ser	de	4°	medio.
Por	lo	tanto,	la	alternativa	A	es	la	correcta.
1.	Analiza	la	siguiente	tabla	y	luego	responde. luego responde.
puntos Trompa
Integrantes de una orquesta de vientos por instrumento Instrumento
Flauta	traversa
Flauta traversa Trompeta
a.	¿Cuántos	integrantes	en	total	tiene	esta	orquesta	de	vientos?	total tiene esta orquesta de vientos?	b.	¿Cuántos	integrantes	tiene	la	orquesta	entre	los	que	tocan	tuba	y	clarinete?	la orquesta entre los que tocan tuba y clarinete?	c.	¿En	cuántos	integrantes	superan	los	que	tocan	flauta	traversa	con	respecto	a	los	que tocan	trompeta?
2.	Analiza	el	siguiente	gráfico	de	barras	y	luego	responde.
Cantidad de galones
Tipos de galones de pintura vendidos en un día 100
b.	¿Cuánto	suman	los	galones	de	barniz	y	esmalte	sintético	vendidos	en	un	día?
a.	¿Cuál	es	el	tipo	de	pintura	más	vendido?
Esmalte Esmalte sintético al agua
c.	¿Cuántos	galones	más	de	látex	se	deben	vender	para	alcanzar	la	venta	de	esmalte	al	agua?
d.	Plantea	una	situación	para	la	cual	fue	necesario	construir	el	gráfico.
3.	Analiza	el	siguiente	gráfico	de	líneas	y	luego	responde. Estatura en centímetros
Variación de la estatura de Roberto entre los 10 y los 20 años
a.	¿Cuántos	centímetros	medía	Roberto	a	los	17	años?	b.	¿En	cuántos	centímetros	aumentó	su	estatura	entre	los	14	años	y	los	20	años?	Justifica.
c.	¿Entre	qué	edades	seguidas	Roberto	tuvo	un	aumento	mayor	de	su	estatura?	Justifica.
4.	Calcula	el	promedio	de	cada	uno	de	los	siguientes	conjuntos	de	datos. a.	Edades,	en	años,	de	unos	amigos:	15,	14,	12,	16,	15	y	12.
b.	Cantidad	de	productos	vendidos	por	una	persona:	23,	54,	31,	19,	26,	42	y	29.
c.	Temperaturas	máximas,	en	grados,	Celsius	de	los	días	de	una	semana:	5,	7,	3,	5,	3,	1	y	4.
Los	directivos	de	un	colegio	encuestarán	a	40	padres	y	apoderados,	a	quienes	se	les	consultará	sobre	la	cantidad	de	horas	semanales	que	dedican	a	estudiar	con	sus	hijos.	La	finalidad	de	esta	encuesta	es	detectar	necesidades	y	proponer	talleres	de	métodos	de	estudio	en	las	reuniones	con	los	padres	y	apoderados.
Considerando	lo	anterior,	responde	las	preguntas	5	y	6.
5.	¿Cuál	es	la	población	considerada	en	el	estudio	descrito	anteriormente? A.	Los	padres	de	los	estudiantes	del	colegio. B.	Los	métodos	de	estudio	de	los	padres	con	sus	hijos. C.	Los	40	padres	encuestados. D.	Las	horas	que	los	padres	estudian	semanalmente	con	sus	hijos.
6.	¿Cuál	es	el	objetivo	de	la	encuesta? A.	Recopilar	datos. B.	Proponer	estrategias	de	estudio. C.	Encuestar	a	40	padres	del	colegio. D.	Aumentar	las	horas	de	estudio	de	los	estudiantes.
7.	Respecto	de	la	siguiente	tabla,	¿cuántos	grupos	de	personas	asistieron	con	más	de	2	niños	a	ver	una	película?
A.	8 B.	12 C.	16 D.	28
Grupos de personas que asistieron con niños a ver una película Número de niños Grupos de personas 1 20 2 12 3 8 4 5 5 3
8.	Según	los	datos	expuestos	en	la	tabla	de	la	pregunta	anterior,	¿cuál	de	las	siguientes	expresiones	es	verdadera?
A.	Cinco	grupos	de	personas	fueron	con	tres	niños. B.	Quince	fueron	los	niños	que	vieron	la	película. C.	Cuarenta	y	ocho	grupos	de	personas	fueron	considerados	en	la	tabla. D.	La	variable	considerada	en	el	estudio	es	grupo	de	personas.
9.	Según	el	gráfico,	¿cuántos	gatos	se	deberían	atender	para	igualar	el	total	de	caballos	y	perros	atendidos?
Animales atendidos en una clínica veterinaria 20 15 10 8
A.	8 B.	17 C.	25 D.	33 Analiza	el	siguiente	gráfico	y	luego	responde	las	preguntas	10,	11	y	12. Ventas de bicicletas realizadas en los primeros días de un mes Número de bicicletas
10.	¿En	cuánto	sobrepasan	las	ventas	del	tercer	día	a	las	ventas	del	quinto	día? A.	6 B.	11 C.	16 D.	22
11. ¿Cuál	de	las	siguientes	afirmaciones	es	falsa? A.	El	tercer	día	se	vendieron	más	bicicletas.
B.	En	los	8	primeros	días	del	mes	se	vendieron	114	bicicletas. C.	La	mayor	diferencia	de	ventas	entre	días	seguidos	se	observa	entre	los	días	5	y	6. D.	La	cantidad	de	bicicletas	vendidas	tiende	a	la	baja	a	medida	que	transcurren	los	días.
12. Para	que	el	promedio	de	ventas	diarias	durante	los	ocho	primeros	días	fuese	de	15	bicicletas, ¿cuántas	más	deberían	haberse	vendido?
A.	1	diaria. B.	6	más. C.	6	diarias. D.	120	diarias. Respecto	del	experimento	de	girar	la	ruleta,	responde	las	preguntas	13	y	14.
13. ¿Cuál	es	el	espacio	muestral? A.	{1,	2,	3,	9} B.	{números	menores	que	9} C.	{1,	1,	2,	2,	3,	3,	3,	8} D.	No	se	puede	determinar.
14. ¿Qué	número	es	más	probable	obtener? A.	1 B.	2 C.	3
Busca Prepar a	l prueb a a	7
Completa tus datos. Nombre: Curso: Marca con una
Fecha: la alternativa correcta.
1.	¿Qué pares de rectas son secantes y no perpendiculares? A.	PQ y RP B.	RQ y MP C.	MR y QR D.	MP y PQ
2.	¿Cómo se clasifica el polígono PQRM? A.	Triángulo. B.	Trapecio. C.	Trapezoide. D.	Paralelógramo.
3.	¿En qué alternativa se destacan las caras que se intersectan de forma perpendicular? A.
4.	¿Cuáles son las coordenadas del punto W representado en el
A.	(4, 2)
B.	(2, 4)
C.	(3, 4)
D.	(4, 3)
5.	Si (1, 1); (2, 4); (4, 3) y (3, 2) son vértices de un polígono, ¿cómo se clasificaría? A.	Trapecio. B.	Triángulo. C.	Trapezoide. D.	Paralelógramo.
6.	Respecto a la siguiente figura, ¿qué afirmación es verdadera?
A.	Al trasladar 2 unidades hacia arriba el punto A, se obtiene el punto M.
B.	Si el punto P se traslada 3 unidades a la derecha, se obtiene el punto M.
C.	Al trasladar 4 unidades hacia la derecha el punto W, se obtiene el punto A.
D.	Al trasladar 1 unidad hacia abajo y 3 hacia la derecha el punto P, se obtiene el punto M.
7.	¿Qué transformación isométrica se relaciona con el eje
A.	Rotación.
B.	Reflexión. C.	Traslación. D.	Simetría central.
E’ X
8.	¿En qué alternativa se muestran dos figuras congruentes? A.
9.	¿A cuántos milímetros equivalen 4 metros? A.
C.	4.000 D.	40.000
10.	¿Cuál es el perímetro del siguiente polígono?
A.	15 cm B.	32 cm
C.	24 cm D.	60 cm
11.	Si el área de un rectángulo es 72 m2 y uno de sus lados mide 8 m, ¿cuál es la medida de su perímetro? A.	9 m B.	17 m C.	22 m D.	34 m
12.	¿Cuál es el área del cuadrilátero que se muestra en la
cuadrícula?
B.	30 m2 C.	54 m2 D.	60 m2
13.	En el plano cartesiano se asume que la medida de la
superficie de cada es 1 cm , y se representan diferentes figuras geométricas. ¿Qué afirmación es verdadera?
A.	La medida de la superficie del triángulo B es 4 cm2.
B.	La medida de la superficie del rectángulo C es 8 cm .
C.	Al sumar las áreas de ambos triángulos se obtiene la superficie del rectángulo.
D.	La medida de la superficie del triángulo A corresponde a la mitad de la superficie del rectángulo C.
8 9 10 11 X
14.	¿Cuál es el área de la siguiente figura? A.	7 cm2 B.	10 cm2 C.	14 cm2 D.	48 cm2
15.	De las siguientes alternativas, ¿cuál no corresponde a una variable cuantitativa? A.	La estatura de un grupo de estudiantes. B.	Las frutas que consumen en el recreo. C.	La masa corporal de diferentes estudiantes. D.	La cantidad de hermanos de diferentes personas.
En un colegio se encuestó a 150 apoderados, preguntándoles cuántos libros habían leído en los últimos tres meses. La información se ordenó en la siguiente tabla. Libros leídos por apoderados en 3 meses Cantidad de libros leídos
Lee la siguiente situación y responde las preguntas 16 y 17.
16.	¿Cuántos apoderados han leído más de 1 libro? A.	110 padres. B.	70 padres. C.	40 padres. D.	30 padres.
17.	¿Qué gráfico representa la información de la tabla? A.
Cantidad de libros leídos 70 60 50 40 30 20 10 0
18.	Con el fin de tener un mejor control de los aviones que aterrizan
diariamente en un aeropuerto, la información recopilada durante una semana se registró en un gráfico de líneas. Respecto de este, ¿qué afirmación es falsa?
14 Cantidad de aviones
A.	El día viernes aterrizaron 10 aviones. B.	El día jueves aterrizó una mayor cantidad de aviones. C.	El día lunes aterrizaron más aviones que el día miércoles.
Cantidad de aviones que aterrizan diariamente en un aeropuerto
D.	El día domingo aterrizaron menos aviones que el día sábado.
Lun Mar Miér Jue Vier Sab Dom X
Día Asistencia de estudiantes
19.	En el gráfico se muestra la cantidad de estudiantes que asisten a Cantidad de estudiantes
un taller. ¿Cuántos estudiantes asistieron en promedio?
A.	85 B.	100 C.	185 D.	425
20.	De un portalápices, como el de la imagen, se extrae un lápiz al azar. ¿Qué alternativa corresponde a un evento imposible?
A.	Obtener un lápiz rojo. B.	Obtener un lápiz verde. C.	Obtener un lápiz azul. D.	Obtener un lápiz negro.
21.	En el siguiente diagrama de tallo y hojas se registran las edades de un grupo de personas que asisten al cine. ¿Qué alternativa es falsa?
A.	Asistió 1 persona de 39 años. B.	Asistieron 5 personas de 29 años. C.	La edad mínima de la persona que asistió es 8 años. D.	La edad máxima de la persona que asistió es 55 años.
Tallo 0 1 2 3 4 5
Hojas 8 1 2 1 1 1
9 1 3 1 1 2
9 1 3 1 2 3
5 9 4 5 9 9 9 9 9 5 6 7 8 6
Prepara la prueba 5 • Síntesis Módulo 1
Poliedros El cuerpo corresponde a una pirámide cuya base es un hexágono.
La pirámide tiene: • 7 vértices • 12 aristas Cara lateral • 1 cara basal Cara basal • 6 caras laterales
Paralelismo en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
Intersección en figuras geométricas y en cuerpos geométricos Perpendicularidad en figuras geométricas y en cuerpos geométricos
La imagen se relaciona con el paralelepípedo.
• A(1, 1) • B(7, 1) Puntos en el plano cartesiano
En el triángulo EFG se realiza una traslación de 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo y se obtiene que:
El triángulo EFG es congruente con el triángulo E’F’G’.
Prepara la prueba 5 • Repaso Módulo 1: Rectas, figuras y cuerpos geométricos
5.	Si el punto Z(3, 4) se desplaza 5 unidades a la derecha
Observa la siguientes rectas y luego responde las preguntas 1 y 2. L6
1.	Escribe: oblicua, perpendicular o paralela,
y 3 unidades hacia abajo, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto?
6.	Representa en el plano cartesiano todos los cuadrados de lado 5 unidades que se pueden formar teniendo como uno de sus vértices el punto B(6, 5). Luego, escribe los vértices.
a.	L1 es
a L2.
b.	L4 es
a L1.
c.	L5 es
a L6.
d.	L5 es
2.	Considerando la figura geométrica que forman las rectas L1, L2, L3 y L4, ¿a qué cuadrilátero corresponde? Explica.
Coordenadas de cada cuadrado.
Módulo 3: Plano cartesiano
Despr end respon e, d y	pega e en	tu	cua derno
8 6 5 4 3 2 1 0
Caras basales:
Módulo 4: Congruencia de figuras geométricas 7.	Realiza la transformación isométrica. Luego, responde.
Módulo 2: Paralelismo e intersección
Con centro en A, rota en 180º el polígono y nombra a la imagen por B’C’D’E’.
4.	Colorea según sea el caso. a.	Poliedro ZWVUQTSR
3.	¿Cuántas caras laterales y basales tiene un paralelepípedo?
b.	Paralelepípedo BCGFIADH
4 caras perpendiculares
¿Qué concluyes acerca de los lados y ángulos interiores de la imagen del polígono BCDE?
En la tabla se presentan las siguientes equivalencias.
El área de un rectángulo es 32 km2 y las medidas de sus lados solo se pueden representar con números naturales. ¿Cuáles son los posibles medidas de los lados del rectángulo? Área de un rectángulo
Debido a que el área del rectángulo se calcula multiplicando la medida de su base por la medida de su altura, las posibles medidas son los números naturales que, al multiplicarse, resultan 32. Es decir: (1 • 32) km2 = 32 km2
Área de figuras geométricas El área de la figura mostrada en la cuadrícula, en la que cada cuadrado tiene una superficie 2 de 1 cm , se puede descomponer en un rectángulo y un triángulo. Área de triángulos Área de paralelógramos
(4 • 8) km2 = 32 km2
Luego, los lados del rectángulo pueden ser: 1 km y 32 km, 2 km y 16 km, 4 km y 8 km.
Utilizando cuadrículas
(2 • 16) km2 = 32 km2
Trapecios Área de trapecios
El área del triángulo es 4 cm2 y la del rectángulo, 20 cm2. Luego, el área total de la figura es 24 cm2.
Prepara la prueba 6 • Repaso Módulo 1: Unidades de longitud y superficie
4.	Resuelve los siguientes problemas. a.	Si el perímetro de un rectángulo es 20 cm y uno de sus lados tiene una longitud de 3 cm,
1.	Utilizando una regla, mide el triángulo rectángulo. Luego, completa:
a.	m (AB) =
b.	m (BC) =
c.	m (CA) =
b.	Si el área de un rectángulo es 15 m2 y uno de sus lados mide 5 m, ¿cuál es su perímetro?
Módulo 3: Área de figuras geométricas
2.	Completa con las equivalencias que correspondan. a.	20 m =
5.	Analiza las siguientes representaciones y luego responde.
d.	4 dam =
c.	7 hm =
e.	5 mm =
f.	4 dm =
Z Q A
a.	Calcula el área de cada polígono:
3.	Calcula el perímetro (P) de las siguientes figuras geométricas. a.
Módulo 2: Perímetro y área de rectángulos
b.	35 km =
b.	Explica qué relación existe entre la medida del área de cada polígono en el plano 1 y en el plano 2.
Lectura e interpretación de gráficos de barras
Lectura e interpretación de: • tablas de frecuencias • gráfico de barras • gráfico de líneas
Construcción de gráficos de barras y de líneas
Representación en un diagrama de tallo y hojas
En un curso se realizó una encuesta sobre el deporte favorito de los estudiantes. Los resultados se representan en el gráfico de barras. Del gráfico se deduce que:
• Se encuestó a 15 estudiantes. • El deporte que más practican los estudiantes es la natación.
Cálculo de promedios de datos
Pablo es meteorólogo y anotó la temperatura máxima y la temperatura mínima que se registró durante una semana.
Cálculo de promedio de datos
Cálculo de promedio en gráficos
La temperatura máxima promedio fue: Ventajas y desventajas del promedio de datos
21 + 24 + 21+ 18 + 18 + 21 + 24 147 = = 21 7 7
La temperatura mínima promedio fue:
15 + 17 + 12+ 10 + 12+ 15 + 17 98 = = 14 7 7
Comparación de posibilidades
Introducción a la probabilidad De acuerdo con la ruleta que se muestra: Experimentos aleatorios
• Es más posible que salga el color rojo en lugar del color celeste. • Es imposible que salga el color negro.
Probabilidad y comparación
• Es seguro que salga el color rojo, celeste o blanco.
Prepara la prueba 7 • Repaso Módulo 1: Tratamiento de la información
Módulo 2: Promedio de datos
1.	Observa el siguiente gráfico y luego responde.
3.	Observa la información y luego responde. 140 120
Camarones exportados
0 1° 2°
100 40 35
c.	En total, ¿cuántas personas visitaron la exposición?
b.	¿Cuántas personas visitaron la exposición el cuarto día?
El gráfico muestra la cantidad de camarones exportados en una empresa durante los primeros 6 meses del año. Calcula el promedio de camarones exportados durante los seis meses.
a.	¿Qué día visitaron la exposición más personas?
2.	Construye el gráfico de barras con los datos entregados en la tabla.
Módulo 3: Introducción a la probabilidad
4.	Remarca, en cada caso, aleatorio o determinístico, según sea el experimento. Aleatorio
b.	Exponer un papel al fuego.
c.	Extraer una bolita de un caja.
5.	Completa con: seguro, posible o imposible, según el experimento aleatorio mencionado. a.	Seleccionar un día de la semana al azar.
a.	Lanzar una moneda.
b.	Obtener 7 puntos al lanzar un dado de 6 caras. c.	Lanzar un dado dos veces y que la suma de sus. puntos sea menor que 13. Pega aquí
5 matematica tomo ii

References: resolución 

Resolución	
 resolución 

Resolución	
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Resolución	
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