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Escenarios • Vol. 10, No. 1, Enero-Junio de 2012, págs.
Sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional
en 5° grado de educación básica primaria
Task system for variational development of thought
in 5 grade of basic education primary
Erwin_maury@hotmail.com, docente de la Universidad del Atlántico, Especialista en Pedagogía de las Ciencias de la Universidad Simón Bolívar,
Especialista en Pedagogía para el Desarrollo del Pensamiento Infantil de la Universidad del Tolima, Licenciada en Matemáticas y Física de la Universidad
del Atlántico y egresado de la Maestría en Educación de la Universidad Autónoma del Caribe.
Erwin Augusto Maury Mancilla
pibirico@gmail.com, Universidad Autónoma del Caribe, Directivo Docente IEDC Octavio Paz, Especialista en Pedagogía de las Ciencias de la Universidad
Simón Bolívar y egresado de la Maestría en Educación de la Universidad Autónoma del Caribe.
Economista de la Universidad del Atlántico,
Gregorio José Palmezano Sarmiento
sandrojo06@gmail.com, Universidad Autónomas del Caribe, docente Institución Educativa Francisco José de Caldas, Especialista en Pedagogía de las
Ciencias de la Universidad Simón Bolívar y egresado de la Maestría en Educación de la Universidad Autónoma del Caribe y Licenciado en Matemáticas y
Física de la Universidad del Atlántico
Sandro José Cárcamo Barriosnuevo
Artículo producto de Investigación, Maestría en Educación Universidad Autónoma del Caribe, con la tutoría del Directos PhD Félix Rodríguez Expósito,
Doctor en Ciencias Pedagógicas, Universidad de Holguín, Cuba
Recibido: Mayo 9 de 2012
Aceptado 31 Mayo de 20’12
Este articulo, surge del trabajo investigativo, acerca de la necesidad de aportar una metodología a los docentes en Educación
Básica Primaria, en principio, para la Institución Educativa Distrital Comunitaria IEDC Octavio Paz, que les propicie favore-
cer el desarrollo del pensamiento variacional a los estudiantes la misma: Se enmarca en un sistema de tareas, que fortalece
el trabajo independiente de los estudiantes en su proceso de aprendizaje. El paradigma es empírico analítico; realizándose
una indagación de primera fuente, acerca de los conocimientos que los docentes tienen sobre los lineamientos curriculares,
las estrategias que emplean para abordar los diferentes tipos de pensamientos, en especial el variacional, y enfocado en el
sistema de tareas. Se trabajó con 31 docentes y 48 estudiantes de la asignatura de matemática de los dos cursos del 5to gra-
do, de matemáticas de la Institución mencionada, en el Distrito de Barranquilla, donde el grupo control y el experimental
fueron escogidos al azar, para escoger a cuál se le aplicaría el tratamiento novedoso, constituyéndose en un diseño cuasi
experimental. El tratamiento consistió en las tareas elaboradas para el desarrollo del pensamiento variacional, las cuales
iban incrementándose en complejidad, y mediadas, por las fases de orientación, ejecución y control. Dando como resultado
comparativo, el mejoramiento del desempeño de los estudiantes en la resolución de problemas que impliquen variación y
cambio, referidos a deducciones de patrones de variación, interpretación de las variación a través de gráficas, identificación
de las variables, cálculo de la magnitud desconocida, y la elaboración de modelos.
Palabras Clave Pensamiento variacional, sistema de tareas.
desde 2. aquellas que provienen de la vida cotidiana. organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad El proceso para la preparación y desarrollo del cuasi experimento práctica del hombre. para interpretarlos. pensamiento variacional y con experiencia en el Diseño de Instru- mentos en la Universidad Autónoma del Caribe y la Universidad En las Instituciones de Básica Primaria. desarrollar el pensamiento Holguín de Cuba. es la siguiente: De acuerdo con las características descritas en los párrafos ante- riores. Los práctica exclusiva de los matemáticos. MEN. lo que contribuirá a desarrollar procesos de pensamiento matemático ligados al Hay perspectivas que plantean que el proceso de desarrollo del álgebra. el pensamiento matemático no está abarcó otro componente de interés para la investigación como enraizado ni en los fundamentos de la matemática ni en la son los docentes del área de matemáticas de 5to grado. on the knowledge that teachers have on the curriculum guidelines. incluidas cuasi experimento. una de ellas. which were increasing in complexity. Key Words: Variational thinking. una El universo son los estudiantes de 5to de Educación básica pri- tercera visión considera que el pensamiento matemático se maria de Barranquilla y la población de interés estuvo represen- desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento tada por estudiantes del 5to grado de matemáticas del colegio cotidiano a múltiples tareas. describirlos. related to deductions from patterns of variation. 2000 P. como de las ciencias y las propiamente constó de las siguientes fases: matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas” (Lineamientos Curriculares del área de Matemáticas. Su tamaño fue de 48 estudiantes y se Desde esta perspectiva. the improvement of student performance in solving problems involv- ing variation and change. The paradigm is empirical analytic inquiry carried out first-hand. is part a task that strengthens the independent work of students in their learning process. who favors them favor the development of variational thinking stu- dents.	Intervención. y cambio. plantean que el pensamiento Por un lado se le entiende como una reflexión espontánea variacional es la capacidad de identificar fenómenos de variación que los matemáticos realizan sobre la naturaleza de su cono. the same. e invención en matemáticas. and mediated by the phases of orientation. the strategies used to address different types of thoughts. se entiende al pensa- miento matemático como una parte de un ambiente científico Metodología en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas. y para el desarrollo de las mismas. sino que trata de todas docentes que desarrollaban matemáticas participaron todos del las formas posibles de construir ideas matemáticas. and modeling.	Diseño y aplicación de post-test. es necesario enfrentar a los estudiantes a diversas El instrumento de la encuesta fue validado por expertos del y múltiples tareas. 2008). las funciones y el cálculo. where the control and experimental group were chosen at random to be quasi-experimental design. Treatment consisted of the assessments made in developing the variational thinking. Aplicación de tareas. variacional le permite al estudiante “analizar. interpretation of the variation through graphic identification variables. 1. execution and control. cuantificarlos. transformarlos y predecir sus consecuencias. mode- cimiento y sobre la naturaleza del proceso de descubrimiento larlas. pensamiento matemático.19) Institución Educativa Distrital Comunitaria Octavio Paz en el Distrito de Barranquilla. (Cantoral. especially the variational. los autores de este proyecto. and the task system. una temprana edad. y que ellos 8 . system tasks Introducción sean capaces de modelarlos y transformarlos. finalmente. Por otra. Comparative resulting in applying the methodology to the experimental group. We worked with 31 teachers and 48 students in the course of the two courses math 5th grade math Community College District Educational Institution Octavio Paz in the District of Barranquilla. lo que se quiere es desarrollar en los niños. un tipo de pensamiento que identifique de 3.Sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional en 5° grado de educación básica primaria ABSTRACT The research arises from the need to provide a methodology to teachers in Basic Education Primary Education Institution in principle for Community District IEDC Octavio Paz. manera natural fenómenos de variación y cambio.	Diseño y desarrollo de tareas. calculation of unknown magnitude. se interpreta de distintas formas. Es decir. en total 31 docentes.
cita a varios autores relaciona- GE: Grupo experimental. Pre-test. el cual va a medir Matemática (García. el equipo de la investigación. Artigue. determinar los intervalos de variación de las variables. octubre 2008. L et al. (variable independiente). 1996.	Gestos de aprobación o rechazo ante la invitación al trabajo potenciar el pensamiento variacional. Otras investigaciones que merecen destacarse. en En donde: la educación superior. en clases.y www. 1996.com/doc/15935520/Pruebas. en su enseñanza. págs. manera: Esto ha restringido el desarrollo de un pensamiento y lenguaje variacional.scribd. generar datos que debían consignar en una tabla. 02E: Pos-test aplicado al grupo experimental. funciones entre otros que deben estar fuertemente estructurados al conocimiento del estudiante. tema de tarea. sin embargo. 7-16 El diseño del cuasi experimento. Esto Con base en la revisión bibliográfica realizada. en donde se identificaron “la En relación con las investigaciones sobre el desarrollo del pen. el diagnóstico a estudiantes. 02C: Pos-test aplicado al grupo control.	Actitud de los estudiantes frente a las tareas. 10. 4). 1. el grupo de investigadores de la Universidad de Antioquia expertos. octubre 2008. nación de las cantidades (variables y constantes) que intervienen 4. explicar tados por el diagnóstico y la instrumentación de la estrategia se los procedimientos utilizados para dar solución a las preguntas recurrió al uso de la Estadística Descriptiva.org/pdfdir /SABERMat05Abr2003. en su proyecto de investigación. estuvo constituida por los ítems En la segunda investigación. Enero-Junio de 2012. son las que realizaron el colectivo “Pensamiento Matemático”. cual le otorga validez. Esta investigación se realizó en dos comunidades académicas Antecedentes (Héctor Abad Gómez y el Colegio Mano Amiga). tífica. Cantoral.2) en enseñanza aprendizaje que se da en la educación matemática. GE	01E	X	02E Igualmente. de investigadores de la Universidad de Antioquia. derivada. ya que se privilegia el estudio de los conceptos plantea que: como: límite. mide la variable dependiente (nivel de desempeño de los estudiantes). para potenciar el encuentran en http://es. p. planteadas” (Revista Asocolme. desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes de Saber. Por otra parte. auspiciada por la Universidad de Sucre de Sincelejo. 3. a nivel nacional. Para determinar la significación de los datos cuantitativos apor.. en su proceso de aprendizaje de las matemáticas. el cual estudiantes tienen fuertes dificultades al enfrentarse a situaciones va a medir la variable dependiente (nivel de desempeño de los que exigen algún tipo de estrategia variacional. establecer relaciones de dependencia entre las variables. se esquematizó de la siguiente procedimientos que oscurecen el pensamiento de lo que cambia. 1992. los Profesores en Situación Escolar. clases desarrolladas en el aula aplicando el sis. una publicación de la Revista Asocolme. 9º Encuentro de Colom- ha sido objeto de estudio sistemático por la comunidad cien. elaboradas por Sucre. se concluye hace que se privilegie una actividad matemática de algoritmos y que la enseñanza de las situaciones de variación y cambio no 9 .eduteka. en la situación. estudiantes. Reséndiz (2005). el estudio de la variación en el discurso matemático escolar es casi nulo o podría decirse que no existe Dentro de los hallazgos relevantes.	Fluidez en la socialización. 1998. p. No. Escenarios • Vol. X: Tratamiento. La Variación y las Explicaciones Didácticas de GC: Grupo de control. 1991) quienes afirman que los 01E: Medición aplicada grupo experimental. se que utiliza situaciones de variación y cambio. En relación a la primera investigación . y un grupo diente (nivel de desempeño de los estudiantes). dos con investigaciones realizadas en el campo de la Educación 01C: Medición aplicada grupo control. biano de Matemática Educativa. Zubieta. 9º Encuentro de Colombiano de Matemática Educativa. Pre-test. ausencia de la enseñanza del Pensamiento Variacional desde los samiento variacional. realizado con la prueba de entrada de contenido.los investi- gadores proponen unas estrategias para potenciar el pensamiento El protocolo para la observación fue el siguiente: variacional en estudiantes de 8º y 9º grado a través de situaciones 1. Romero (2009) señala que el proceso de primeros grados de escolaridad” ( Amaya..la auspiciada por la Universidad de que fueron tomados de diferentes Pruebas Saber. y por lo tanto que muchos estudiantes no posean GC	01c	----	02C las estructuras y códigos variacionales para desarrollar dicho pensamiento. 1996. Hoyos.php lo 4º a 8º grado.	Expresiones verbales y no verbales al acertar o desacertar Las dificultades detectadas en los estudiantes fueron: “determi- en la ejecución de las tareas. Ávila.la de Reséndiz. y que son aplicadas por entidades oficiales (ICFES) a elaboraron y aplicaron una propuesta de intervención Didáctica estudiantes de 5º grado a nivel nacional en diferentes años. 2008. la variable dependiente (nivel de desempeño de los estudiantes). mide la variable depen. problemas de diversos contextos con el propósito de explorar y 2.
de los estudiantes. (2005) “lograr una posición activa del alumno requiere. p. que éste se implique en tareas de trabajo independiente para favorecer su independencia cognoscitiva”. tanto de la como medio para la construcción del sistema cognitivo–instru- educación Básica como de la Media. las tareas docentes son vistas por este autor Estas investigaciones muestran que los estudiantes. (2000). p. y Portela. constituye la característica ciones de variación y cambio). se observa que ha existido preocupación por diferentes especialistas en investigar la manera En este sentido. Zilberstein. se describen y analizan a continuación: Una forma de conseguir la independencia cognoscitiva del Con relación a los estudiantes estudiante es a través de la tarea escolar. E inclusive ñanza. con la tarea escolar. variacional en la resolución de problemas que tienen que ver con variación y cambio. M. el Los resultados de las encuestas aplicadas a los estudiantes del 5to docente debe proponerle al estudiante trabajo independiente grado de matemáticas del colegio Institución Educativa Distrital para que “adquieran y perfeccionen los conocimientos y formen Comunitaria Octavio Paz en el Distrito de Barranquilla y las interés hacia la asignatura” (Concepción y Rodríguez. y si el estudiante se motiva a llevarla a cabo. ya que de Educación Básica y Superior. cuyas mayorías están dirigidas a estudiantes tudiante adquieren protagonismo en el proceso educativo. p. consi- “durante la escuela media. orientarla y controlarla. que propendan debe resolverla para adquirir conocimiento. ya que según Concep- ción y Rodríguez. encontró que existen dificultades en la enseñanza y aprendizaje es decir. V. presentan dificultades para aplicar el pensamiento determinado contexto. se abordarlo. J. clase de tareas concretas particulares. 35). dentro de las que se encuentran: En este sentido. base para la comprensión orientan para que el alumno las realice en clases o fuera de esta. habilidades y valores. Comunitaria Octavio Paz del Distrito de Barranquilla así como zaje. en procura que el estudiante deje cuarto y quinto de primaria de la Institución Educativa Distrital de ser un agente pasivo en el proceso de enseñanza – aprendi. El profesor elabora la tarea. como las del sistema de tareas. e inclusive de la Educación mental necesario para la resolución de problemas. rrollo de habilidades y la formación integral de la personalidad” (Silvestre. debe apropiar el docente para llevar a cabo el proceso de ense- rrollar el pensamiento variacional respectivamente.. consecuencia.Sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional en 5° grado de educación básica primaria se tiene en cuenta desde los primeros años de escolaridad. El lenguaje matemático aplicado a diferentes res del procedimiento teórico generalizado de solución de cierta fenómenos (en especial aquellos que tienen que ver con situa. p. problemas relacionados con el pensamiento variacional a 10 . (2002). Referentes Teòricos las experiencias de los investigadores sobre el tema y los resul- tados del diagnóstico inicial mediante encuestas a docentes y Se considera que es necesario revisar las concepciones de enseñar prueba de entrada de contenido realizadas a los estudiantes de la resolución de problemas. por desarrollar el pensamiento variacional. O sea. que repercuten negativamente en la formación al estudiante la habilidad para trabajar independientemente. y el segundo carácter sistémico. 2000.) como aquellas actividades que se del pensamiento y lenguaje variacional. El alumno pesar que el currículo en matemáticas suministra elementos la resuelve como medio de aprendizaje”. no presentan estrategias con el primero debe elaborarla. (2000). como medio de enseñanza. destaca la funcionalidad de la tarea docente como medio para que rodea a los estudiantes y a visualizar objetivamente un aprender a resolver determinadas tareas concretas particulares. Al sistematizar los referentes teóricos señalados anteriormente. 15). para que cuando se enfrenta solo al problema sepa como la observación a clases de Matemática por los investigadores. R.. V. 1987. por ejemplo. la tarea escolar es una herramienta de la cual se en que los docentes y estudiantes enseñan y aprenden a desa. ella “constituye el núcleo del trabajo •	Se observan las limitaciones generales para solucionar independiente de los estudiantes. las pro. es un sustancial de la tarea docente” (Davídov. J. y aspectos de la realidad. En relación con la consulta realizada. es una herramienta se plantean algunas estrategias que los docentes pueden utilizar mediadora entre la tríada docente-contenido-estudiante. el desa- (Revista ALME. de los conceptos de la matemática de la variación y el cambio” implican la búsqueda y adquisición de conocimientos. y Silvestre.. no se favorece demasiado el desarrollo deran las tareas docentes “(.) el dominio por parte de los escola- matemáticos. como lo manifiesta Concepción y Rodríguez. problemas propios de determinado contexto. M. L et al.4) que podrían ser. Sin embargo. año 2010. 227). volumen 23.. V. como afirman un grupo de inves. es decir. Además. por su parte. y no esté “amarrado” a la explicación del docente. mundo en continua evolución ( Amaya. Con instrumento eficaz que ayuda a comprender mejor el entorno ello. propios de Superior. (2005).. Davídov señala que “(. tanto el docente como el es- puestas planteadas. y herramientas que posibilitan la enseñanza del Pensamiento Variacional como eje transversal en los demás pensamientos V. con una metodología donde el docente le desarrolle de esta disciplina. 2008. Zilberstein. aplicadas a los docentes. Autores como Silvestre. se convierte dentro de los lineamientos curriculares del área de Matemática en una herramienta de aprendizaje. en para estimular el pensamiento variacional. entre Diagnósticos otras. por lo tanto. tigadores de la Universidad Nacional del Litoral de Argentina. a la orienta y la controla. 2005).
teórica de los docentes sobre todo en lo relacionado con estra- tudiantes. jorar sus niveles de desempeño en la medida que los primeros •	Las insuficiencias que poseen en los problemas que impli. Escenarios • Vol. Además falta en- un solo problema del test aplicado y el 81. valores en relación con el pensamiento variacional. tareas que con enfoque sistémico desarrollen habilidades. Se considera que los docentes no están preparados para diseñar •	Principio de complejidad (Concepción y Rodríguez. 10. págs. está conformado por un conjunto de problemas que abar- cultades para identificar variación en las diferentes situaciones can los diversos tipos de pensamiento. el sistema de tareas El diagnóstico anterior muestra que los estudiantes tienen difi. pensamiento variacional aplicado a los estudiantes del •	Persisten prácticas de estrategias sin enfoque sistémico. Por último. se pueden emprender Con relación a los profesores caminos que derriben los mitos de la “dificultad de las matemáticas” y hacer más productivo el proceso de enseñanza aprendizaje de •	Escaso conocimiento efectivo de los lineamientos curricu. tanto docentes como estudiantes pueden me- 60% en escala de 1 a 10. contienen situaciones problémicas que involucran pen- samiento matemático general y variacional en particular.18% de los estudiantes aprueban el test aplicado y de estos el 50% con el denominado desempeño básico En consecuencia. •	Presentan mayor acierto cuando el análisis de la variación •	Principios de coherencia curricular: hace referencia se desprende de una gráfica. a que las tareas contempladas en el sistema han de estar •	Identifican las variaciones cuando la tarea presentada es en armonía con los propósitos de los lineamientos curri- por modelo. los procesos a que estos apuntan y la cualificación conceptual y •	Tareas elaboradas por ellos para que ejecuten sus es. 2005): las tareas del sistema se presentan aumentando cimientos. Cuando las tareas se organizan sobre la base de principios y re- quisitos encaminados a desarrollar el pensamiento variacional De acuerdo con los resultados del diagnóstico anterior se puede y las habilidades inherentes a él se obtiene el correspondiente concluir que: sistema de tareas. el bajo nivel de desempeño con los estándares. 1. Enero-Junio de 2012. No. 7-16 tal punto que el 9. de conformidad que se les presentan. •	No identifican las variaciones en situaciones que involu- cran fracciones. sucesivo de habilidades de los estudiantes. Es significativamente bajo el desempeño variaciones. su grado de complejidad de tal manera que contribuya a Los lineamientos y estándares así lo presentan pero faltan que el estudiante adquiera independencia cognoscitiva. Incluso cuando se trata de figuras. del pensamiento variacional. que transversaliza todos los tipos de pensamiento matemáticos. incluso cuando la situación presente investigación son: se presenta con figuras. en un alto porcentaje no contextualizan los tegias. Por otro lado.09% no acierta en la solución efectiva en herramientas didácticas para materializarlos. Construcción del sistema de tareas para el desarrollo del •	Los docentes no distinguen entre tarea y problema. analizando mejor el contexto can variación y cambio son profundas sobre todo cuando y adecuando procedimientos que posibiliten mayores grados de involucran fracciones. las mismas. efectividad de la enseñanza matemática y más específicamente •	Insuficiencia didáctica para la elaboración de tareas que para el desarrollo del pensamiento variacional. grupo experimental •	No se evidencian una estrategia concreta que favorezca el desarrollo del pensamiento variacional. •	Solo el 18. relacionar de los estudiantes en estos aspectos. cono. culares y de los estándares básicos de competencia. técnicas y métodos de que se vale la didáctica para mayor contenidos de Matemática. •	Los estudiantes no identifican patrones de variación con Los principios que orientan el sistema que se proponen en la operaciones de suma y división. •	Principio de transversalidad: Por la misma naturaleza •	Se les dificulta resolver problemas de covariación. replanteen su quehacer pedagógico. es menester el análisis permanente de los lares de matemáticas y específicamente en lo relacionado lineamientos curriculares para que se reorienten constantemente con el pensamiento variacional. de los estudiantes en la solución de ejercicios y problemas que implican variación y cambio requiere un tratamiento que apunte •	Principio de progresividad: las tareas están elaboradas no sólo a elevar este nivel de desempeño sino a forjarle como progresivamente de tal manera que posibiliten el desarrollo ser autónomo. hacer consciente el análisis de cambio.82% aciertan en trenamiento del pensamiento de los estudiantes para detectar menos del 50%. independencia cognoscitiva de los estudiantes y sobre todo que genere autoconfianza en ellos. los conceptos matemáticos con hechos de su realidad cotidiana. Por lo tanto. 11 .
son por modelos. 3. ejemplo las tareas •	Debe favorecerse el diálogo. 30 para ha incluido una columna que muestra la categoría de variación. Además de éstas hay 6 para la búsqueda. por diagnóstico permanente. cimientos y habilidades que se desarrollarán con el sistema de 12 . donde ellas se desarrollen. de las cuales 11 son por modelos. 2. TAREA TIPO HABILIDAD VARIACIÓN El cuarto principio se cumple porque además de integrar los co- nocimientos y habilidades las tareas exigen una mayor actividad e independencia cognoscitiva de los estudiantes para resolverlas. actividad. •	Para el desarrollo del pensamiento variacional con núme- ros naturales. nocimientos y las habilidades que el estudiante debe desarrollar en el momento de resolver la tarea. se cumple porque se La siguiente tabla representa la estructura anterior mencionada: incorpora en el sistema tareas relacionadas con el pensamiento numérico. 40. reproductivas. La cuarta columna indica el tipo de tarea de acuerdo ces que se plantean en los lineamientos curriculares del área de a la estructura cognoscitiva del estudiante y al tipo de clases en Matemáticas. tareas y tipo de tareas. conformado por 50 tareas.	Percepción de variación y cambio de la realidad: se puede tivas. la reflexión y el debate de los procedimientos realizados para hallar los resultados entre La matriz en donde se diseñó el sistema de tareas está formada los estudiantes y el docente a través de una socialización por cuatro columnas.Sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional en 5° grado de educación básica primaria El sistema de tareas elaborado debe cumplir los siguientes re. las tareas correspondientes a cada grupo de subsistemas se seleccionaron de forma tal que El sistema de tareas está compuesto por tres subsistemas: respondan al contenido de 5º grado. se Los principios fueron aplicados en el diseño de las tareas lo cual plasma la categoría de variación que se somete a estudio. pregunta en donde el estudiante debe dar razón de la va- riación percibida. de competencia del área de Matemáticas y el programa de 5º trata de crear una regla o un patrón que modele dicha grado de Educación Básica. Comparación de los resultados grado 5º obtenidos con los procesos modelados: por último se •	El nivel de complejidad debe aumentar en la medida en comparan los resultados obtenidos en la aplicación de los que aumentan los conocimientos del estudiante según modelos con los procesos que se están modelando. de las cuales 5 Este sistema de tareas se organiza teniendo en cuenta la estruc. realizando una explicación o descripción Metodología para la aplicación del sistema de tareas escrita de cómo varía la(s) variable(s) objeto(s) de estudio. para su diseño. los momentos •	Para el desarrollo del pensamiento variacional con frac- que propone Vasco para desarrollar el pensamiento variacional: cionarios. que consta de 50 tareas de tipo reproductivo para el que generen debate que conlleva a darle sentido y significado al desarrollo de habilidades. de donde se seleccionaron los cono- situación. Matriz guía inicial para el sistema de tareas El tercer principio se evidencia cuando una tarea contiene ele.	Aplicación de los modelos mentales: después de elaborar quisitos: los modelos que representan la situación problema. se plantea la tarea como tal. el de transversalidad. 29 para notar que en todas las tareas propuestas se inicia con una el desarrollo de habilidades y 19 para sistematización. En la segunda columna. habilidades. CONOCIMIENTO/ CATEGORIA DE mentos que son prerrequisitos para las siguientes. Por último las tareas se diseñan de tal forma ras. En la se evidencia así: tercera columna. Se incrementó la comple- jidad de las tareas en la misma medida en que aumentó el nivel •	Para el desarrollo del pensamiento variacional con figu- de conocimiento. después de haber percibido las variaciones variacional se diseñó teniendo en cuenta los estándares básicos y regularidades presentadas en la situación problema. 26 reproductivas. las cuales deben ser resueltas por el estudiante al momento de desarrollar la Para cumplir el primer principio se tuvo en cuenta las directri. 10 productivas y 3 crea- 1. concepto de variación y cambio.	Producción de modelos mentales: en este momento el La organización de las tareas para el desarrollo del pensamiento estudiante. y se le creativa. aplica dicho modelo para el cálculo del cualquier término desco- •	Debe adecuarse a los contenidos contemplados para el nocido que se le pida hallar. El segundo principio. Además de éstas hay 2 para la búsqueda. espacial y métrico. el desarrollo de habilidades y 14 para sistematización Además se ha tenido en cuenta. 4. En la primera columna se destacan los co- dinámica. Figura 1. productivas y una tura conocimientos. integrado por 50 tareas. Fuente: Elaborado por los autores Para el cumplimiento de los requisitos.
La primera clase realizada fue con el tema de variación y cambio correspondiente a la unidad Nº 5 del programa de Matemáticas de 5º grado. Escenarios • Vol. las cuales fueron 8 en total. •	Analizar y explicar relaciones de dependencia entre can. •	Interpretar variaciones representadas en tablas y en el Para el desarrollo de las clases. de situaciones que involucren variaciones directas. se presenta una de las tareas aplicadas. Elaborar una tabla con •	Construir igualdades y desigualdades numéricas como las magnitudes involucradas en el problema. •	Conocimientos y habilidades a desarrollar •	Resolver problemas que involucren variaciones directas. Esquema de modelaje conceptual para el Sistema de Tareas Uno de los momentos fundamentales del desarrollo del sistema de tareas lo constituyó las clases para iniciar la formación del concepto de cambio o variación. •	Representar y relacionar patrones numéricos con tablas TIEMPO: 2 horas clases. deben ser capaces de: OBJETIVO GENERAL: Describir las variaciones que experi- mentan las magnitudes involucradas en una situación problema •	Describir e interpretar variaciones representadas en y representarlas en una tabla de datos y en un plano cartesiano. Los sistemas numéricos usados para la resolución de los ejercicios Formular un procedimiento. utilizaron 13 horas clases. sugiere la siguiente metodología: •	Graficar variaciones en el plano cartesiano y en tablas. se plano cartesiano. de acuerdo a los Estándares Básicos de Competencia del área de Matemática. No. 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES DE LA CLASE: Identificar tidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en las variaciones presentadas en las magnitudes. sociales y de las ciencias naturales. Enero-Junio de 2012. algoritmo o fórmula que permita y problemas fueron los números naturales y las fracciones y se reproducir el mismo patrón dado en una situación problema. Se tuvo en consideración que los estudiantes al terminar de Matemática de 5º grado. Percibir e identificar las regularidades. Redactar una situaciones económicas. 10. págs. •	Sugerencias para el desarrollo de la clase •	Tareas para resolver en casa 13 . •	Objetivo general •	Determinar la ecuación que relaciona dos magnitudes •	Aspectos fundamentales de la clase directamente proporcionales. Construir tablas y representación de relaciones entre distintos datos gráficas en el plano cartesiano. problema. descripción de las variaciones percibidas. y reglas verbales. gráficos Resolver problemas que involucren variaciones directamente •	Predecir patrones de variación en una secuencia numérica. 7-16 Figura 2. Posteriormente se desarrollaron las clases siguientes hasta finalizar con la tarea de ejercitación Como ejemplo. pasando por las variaciones representadas en tablas y gráficas y terminando en el análisis de problemas que involucran variaciones de magnitudes directamente proporcio- nales incluyendo la elaboración de ecuaciones que relacionen las magnitudes involucradas en el problema. Habilidades a desarrollar: Además de utilizaron secuencias numéricas y de figuras para el desarrollo del pensamiento variacional en los estudiantes de 5º •	Identificar la magnitud(es) que varía(n) en una situación grado de Educación Básica Primaria. el 5º grado. el cual se inicia a partir de la observación y descripción de la variación de una secuencia de números y figuras. que conformaron parte del tratamiento para el grupo experimental: CLASE 5: Variación directa. geométrica o gráfica. Las clases 5 y 6 pertenecen al tema de magnitudes directamente proporcionales que corresponden a la unidad Nº 7del programa tareas. •	Reconocer cuando una variación es directamente propor- •	Titulo de la clase cional. proporcionales.
¿Qué magnitudes se están relacionando en este problema? procedió a aplicarles una clase de ejercitación que procurara 2. Además permite manejar mejor la Después de haber socializado las respuestas y aclarar las dudas información y facilita resolver las operaciones. gaseosas vendidas durante cada día de la semana y consignen ¿cuánto dinero ingresaría? Explique en su cuaderno el los datos obtenidos en una tabla como la siguiente: procedimiento utilizado para hallarlo.	¿Cuántas gaseosas se vendieron durante la semana? para el desarrollo del pensamiento variacional.	¿De cuánto fue la variación en ventas de gaseosas entre ñado en la presente investigación se puede apreciar lo siguiente: el jueves y el viernes? 8.	Si cada gaseosa cuesta $1. y estudiante perciba la variación en la cantidad de dinero ingresado las gráficas de barras. 15. como se el procedimiento que hizo para conseguir el resultado. desde la deducción de 10.	Si en una semana se venden n gaseosas.	¿Qué magnitudes se están relacionando en las dos pre. que es un Cabe que señalar que en este ejercicio lo que se quiere es que el conjunto de filas y columnas que contienen datos relacionados. presentadas. ¿De cuánto fue el ingreso en es significativo el aumento de los porcentajes en el post-test en la tienda escolar durante cada día de la semana? Explique comparación con los resultados obtenidos en el pre-test. 9. Lo que 11. se hizo notorio fue que los estudiantes utilizaban más el lenguaje guntas anteriores? del pensamiento variacional tratando de cuantificar mucho mejor 12.Sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional en 5° grado de educación básica primaria Recomendaciones para el desarrollo de la clase: 13. enfatiza en la importancia de usar las tablas.	¿Cuántas más con respecto al día en que se vendió menos Esto dio como resultado la siguiente tabla: gaseosas? 4. ¿más dinero o menos dinero Se observa como los estudiantes presentan un cierto avance en ingresará a la tienda? la resolución de las tareas presentadas. en la clase anterior y después de aclarar las dudas y corregida la tarea. 3.	Entre más gaseosas venda.	¿Se podría predecir la cantidad de dinero que ingresaría estudiantes que consulten en la tienda escolar el número de a la tienda si en dos días se vendieran 135 gaseosas?. sustentado y dise- 7. vendidas en los diferentes días de la semana. Resultados y analisis guntas: Después de desarrollada las siete clases con los estudiantes. una vez al martes? aplicadas las clases según la metodología del sistema de tareas 6. De acuerdo a la gráfica resultante.	¿Cuánto dinero más ingresó a la tienda el día viernes con la situación presentada. el docente les pide a los 14. Estas formas de organizar la información ponen en evidencia Tarea para desarrollo en casa: los aspectos que se desean mostrar y resaltan las comparaciones que quieren hacerse notar. se 1. responda las siguientes pre. Una semana antes de iniciar esta clase.	Entre menos gaseosa venda. ¿más dinero o menos dinero patrones de variación hasta la elaboración de modelos.	¿Cuántas gaseosas más se vendió el miércoles con respecto diantes y confrontarlos con el desempeño de los mismos.	¿Cuánto dinero ingresó a la tienda durante la semana? Explique el procedimiento utilizado para hallar la respuesta. colocando en la 1. puede observar en la tabla.	¿Qué día se vendió más gaseosa? desarrollar las habilidades propias del pensamiento variacional. respecto al martes? 14 . en relación a las categorías analizadas.	Realizar las tareas números 68 y 69 propuestas en el de gaseosas vendidas: sistema de tareas. las cuales son herramientas fundamentales a la tienda escolar a medida que varía la cantidad de gaseosas para organizar y analizar la información. ¿qué procedimiento Día de la semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes usaría para saber cuánto dinero ingresó a la tienda? ¿podrá utilizar una fórmula para saber la cantidad de dinero que Número de ingresó a la tienda? gaseosas vendidas Diagramado por los autores Es importante que el docente haga énfasis en que el estudiante identifique cuáles son las magnitudes que están relacionadas y El día de la clase el docente inicia revisando la tarea propuesta que experimentan la variación.	¿En qué días se vendieron la misma cantidad de gaseosas? Al considerar los resultados del diagnóstico aplicado a los estu- 5.	Defina magnitudes directamente proporcionales.000. se les propone a los estudiantes las siguientes tareas para realizar en casa: Posteriormente les pide a los estudiantes que los datos obteni- dos en la tabla lo lleven a una gráfica de barras. aunque ingresará a la tienda? en ésta última todavía presentan pequeñas dificultades. línea horizontal los días de la semana y en la vertical el número 2.
tecnología. ética y valores. 10. de cálculo que muchas veces ocurren por la tendencia a la ejecución. págs. planteada como también la aplicación crítica de los co- nocimientos que se están adquiriendo en conexidad con También en la tabla se observa el avance de los estudiantes del los adquiridos además. 1. Tabla comparativa porcentual de resultados entre grupo contril y experimental CATEGORIAS GRUPO CONTROL GRUPO EXPERIMENTAL PRE-TEST POS-TEST PRE-TEST POS-TEST Deducción de patrones de variación 40% 50% 40% 100% Identificación de las variables 30% 70% 30% 100% Interpretación de la variación a través de gráficas 60% 90% 60% 100% Cálculo de la magnitud desconocida 30% 80% 30% 100% Elaboración de modelos 40% 40% 40% 80% Fuente: Los autores Es importante resaltar que dentro de la fase de control. los estudiantes se mostraron tareas escolares es la de control porque en ella se puede más participativos y les permitió aclarar muchas dudas y avanzar evidenciar el desarrollo de la habilidad y la competencia en el proceso de aprendizaje. porque no es una metodología rígida y favorece el uso de diferentes técnicas. Éste es un valor muy significativo de con la minimización de la animadversión a las matemáticas la propuesta porque no requiere hacer profundos ajustes que generan las creencias populares por las declaratorias en la manera como esté estructurado el currículo de cada de que son muy difíciles. zaje de los estudiantes y los estilos de enseñanza de los entre otras. lo cual minimiza las resistencias.	El sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional en los estudiantes de 5° de Primaria es una Recomendaciones metodología útil para el desarrollo de todos los tipos de pensamiento matemático. Enero-Junio de 2012. No.	El sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento Después del proceso de documentación teórica.	Desarrollar sistemas de tarea para el mismo grado en sistemas numéricos. 7-16 Figura 4. Conclusiones 5. artística. el diseño y la variacional en los estudiantes de 5° de primaria eleva el aplicación del sistema de tareas para el desarrollo del pensa. en dos fases una primera que comprenda las áreas de lengua castellana. aplicarse independientemente de los estilos de aprendi. 4. que implica el empleo de las operaciones matemáticas consideradas tradicionalmente básicas y los diferentes 1. herramientas y procesos. 1. nivel de desempeño en las pruebas que presenten los miento variacional en estudiantes de 5° grado se destacan las estudiantes como lo demuestran los diferentes resulta- siguientes conclusiones: dos del tratamiento aplicado en los que demuestran los avances de los estudiantes. Escenarios • Vol. la corres. educación religiosa. 2. las demás áreas del saber. Teniendo como base los resultados de la presente investigación versalmente y requiere para su aplicación habilidades se presentan las siguientes recomendaciones.	La metodología propuesta armoniza con cualquier modelo solamente para que el sistema de tareas para el desarrollo pedagógico y enfoque que desarrollen las instituciones del pensamiento variacional tenga más rapidez y produc- educativas no solo por carácter sistémico sino también tividad en su aplicación sino para que el estudiante vaya porque los principios y requisitos no riñen en lo sustancial adquiriendo gradualmente las competencias necesarias con modelo alguno.	El sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento rales y sociales y una segunda fase que contemple idioma variacional en los estudiantes de 5° de primaria puede extranjero y las demás asignaturas como educación física. porque los articula trans.	La fase que debe reforzarse más en la resolución de las pondiente a la etapa de reflexión. esto permite reducir los errores grupo experimental con respecto al grupo control. 15 .	Desarrollar sistemas de tareas para la enseñanza aprendi- zaje de las operaciones básicas en los grados precedentes no 3. institución. ciencias natu- 2. docentes. desde una perspectiva transversal.
transformaciones en la caracterización sicológica de los diferentes grupos de edades y las recontextualizaciones MONTOYA.mx/indicadores/texto_comple- to/.uniandes. ASOCOLME. CHAUCANÉS. RESÉNDIZ. Academia La Habana. en:http://funes. 3º. Acta Latinoamericana De escolares es la de control porque en ella se puede evidenciar Matemática Educativa Volumen 21 2008. Febrero de 2012. Lauren B. LOMBIANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA. Febrero de 2012. Comunicación presentada en 9° Encuentro Colombiano que pueda subirse a una plataforma para trabajo on-line de Matemática Educativa (16 al 18 de Octubre de 2008).. el desarrollo de la habilidad y la competencia planteada DÍAZ BARRIGA Arceo. Memorias Noveno En. Amaya. didácticos: dos aliados en las instituciones educativas. 25. Primera edición. Pensamiento Hábil y creativo. Currículum y cog- del pensamiento matemático desde los primeros grados de nición. para los grados de la básica secundaria y la media. Gerardo. Edit. 2008). Una que se están adquiriendo en conexidad con los adquiridos interpretación constructivista. cuentro Colombiano de Matemática Educativa. 68. Diana. Comunicación presentada en 9° Encuentro Co- ROMERO I. como también la aplicación crítica de los conocimientos Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. DE FARIA Campos Edison. Editorial Trillas. Estrategias Antillas Barranquilla. Edit. Balderas Evelia. México. (Proyecto Educativo Institucional)./135997_1. Disponible 6./ CONCEPCIÓN García. tóricos en diversas pruebas externas. 6 didácticas para potenciar el desarrollo del pensamiento variacional. enseñanza aprendizaje. Acta Latinoamericana CANTORAL Ricardo y otros.co/746/. L y otros. modelo pedagógico sino también contextualizarlo con el uaemex.uniandes. Taller aplicó la propuesta desde tercer grado de educación básica realizado en 9° Encuentro Colombiano de Matemática Edu- primaria y una vez se hayan comparado los resultados his. pág. CASTAÑO Noreña Luz Faride y otros. 2002. Gallego. México 2005.pdf consultado en abril Félix. cativa (16 al 18 de Octubre de 2008)..	Se recomienda articular un sistema de tareas para el desa. 2003. Julio de 2011. Natalia (2008).mx/redalyc/pdf/335/33560203. co/818/ Febrero de 2012. Disponible en: funes. con predominancia sincrónica. Edit. escolaridad. Desarrollo del Pensamiento Mate. mente a medida que las instituciones se apropian más MARTÍNEZ Llantada. © ASOCIACIÓN CO- de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional. enfoque aplicado y las características del currículo aten- diendo a los principios y criterios que soportan el sistema Estándares curriculares área matemáticas.Grupo Editorial Gaia.mat.br/2009. 2004. Revista Asocolme.Febrero de 2012.co/831/.Sistema de tareas para el desarrollo del pensamiento variacional en 5° grado de educación básica primaria 3.edu. Frida y HERNÁNDEZ Rojas. E. se diseñe un sistema Disponible en: funes. Editorial lombiano de Matemática Educativa (16 al 18 de Octubre de Redipace. las gógica y creatividad.	El sistema de tareas debe reformularse permanente. Colombia. Alfonso.pdf. Año 2000 en: biblioteca.edu. Colombia. Disponible en: pibid. 35. Jairo. Pablo y otros.	La fase que debe reforzarse más en la resolución de las tareas de problemas en matemáticas. Escorcia. 1989 pág. y otros. 1998. Las situaciones de varia- ción y cambio como herramienta para potenciar el desarrollo RESNICK. María Rita y RODRIGUEZ Expósito.edu. pág.pdf. uniandes. Calidad Educacional.uniandes.E. y KLOPFER Leopold. esto permite reducir los errores de cálculo que 1998. Edit..I.ufrgs. Octubre 2008. Estrategias rrollo del pensamiento variacional en la institución que se didácticas para potenciar el pensamiento variacional. Noviembre de 2011 VASCO Carlos E. El del P. Valledupar. 4º y 9º de la educación bási- 7. Referencias ORTIZ Ocaña. pensamento_variacional_VASCO. Ediciones Holguín 2005 16 . Pág.cinvestav. Disponible en: http://funes.	Para la aplicación en diferentes instituciones se recomienda de variación. muchas veces ocurren por la tendencia a la ejecución. Revista latinoamericana de innovación en mate- ajustar el sistema de tareas diseñado con base no solo al mática educativa.Valledupar. además. DÍAZ Leonora Profundización en los entendimientos estudiantiles 5. Marta. Disponible en: http://redalyc. Alexander Luis. Aprendizaje creativo y juegos AMAYA. Colombia. La variación en las explicaciones de los profesores en situación escolar. Algunas reflexiones sobre resolución 4. Miranda. Aique. Actividad peda- de la enseñanza basada en los estilos de aprendizaje. McGraw Hill. De Matemática Educativa Volumen 19. desarrollo del pensamiento variacional Y la formulación de problemas en los grados 2º. Buenos Aires. El pensamiento variacional y la modelación matemática.. Valledupar.	Se recomienda diseñar in sistema de tareas interactivo ca. El rol del profesor y sus estudiantes en el proceso de de 2012.edu.co/944/. Disponible mático. 2005. Nidia.
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