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Timestamp: 2018-11-20 23:45:46+00:00

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Tema 69 – La resolución de problemas en Matemáticas. Estrategias. Importancia histórica. | Oposinet
2. La Resolución de Problemas. Estrategias.
2.1. ¿Qué es un Problema?
2.2. El Proceso de Resolución de un Problema.
2.3. La Resolución de Problemas como Propuesta Didáctica.
3. Importancia Histórica. Algunos Problemas Clásicos.
3.1. Problemas Famosos.
3.2. Problemas sin Solución.
3.3. Problemas sin Resolver.
3.4. Problemas del Milenio. Bibliografía Recomendada.
Una de las actividades fundamentales en Matemáticas es la resolución de problemas. Conviene que distingamos entre ejercicio y problema. Cuando se plantea un ejercicio, se identifica de inmediato la técnica que se precisa para resolverlo y, en todo caso, la dificultad estriba en aplicarla correctamente. En cambio, un problema es una tarea cuyos términos y propósitos son globalmente comprensibles por la persona, pero no se sabe de momento como abordar.
Así tenemos que, para un alumno de secundaria, calcular el área de un triángulo conociendo la base y la altura es un ejercicio, pero determinar cuantos triángulos tienen 1 dm2 de superficie y representarlos todos, es un problema.
Cuando un problema o una tarea incita a una persona a plantearse nuevas preguntas sobre el mismo, por ejemplo, si es posible generalizar el resultado, o que pasaría si se modifican las condiciones iniciales del problema, puede decirse que se ha embarcado en una auténtica investigación.
La resolución de problemas ayuda a la construcción de conceptos y a establecer relaciones entre ellos. Pero no se aprende a resolver problemas por el hecho de haber aprendido determinados conceptos y algunos algoritmos de cálculo. Hemos de disponer de herramientas, técnicas específicas y pautas generales de resolución de problemas, que nos permitan enfrentarnos a ellos sin miedo y con una cierta garantía de éxito. La mejor manera de aprender a resolver problemas eficazmente es resolver una cantidad suficiente. Este aprendizaje, como cualquier otro, lleva mucho tiempo.
Es importante la reflexión sobre la forma de resolver cada problema; de ser conscientes de qué estrategia estamos utilizando, sin que esta reflexión se convierta en un tratamiento sistemático de las diferentes estrategias.
Polya no definió lo que entendía por problema cuando escribió su libro en 1945. Sin embargo, en su libro Mathematical Discovery (Polya, 1961), se vio obligado a
proporcionar una definición. Pero no para empezar su disertación, sino en el capítulo 5, y después de una amplia exposición práctica sobre algunos procesos que intervienen en la resolución de problemas: Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata.
También ha existido cierta polémica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio o un auténtico problema.
· El contexto del problema, la situación en la cuál se enmarca el problema mismo.
· La formulación del problema, definición explícita de la tarea a realizar.
· El conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema.
· El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución.
Muchas posibles, de forma
Varias. Puede
Inexistente, ni siquiera
· Buscar un problema relacionado.
· Resolver un problema similar más sencillo.
· Dividir el problema en partes.
· Considerar un caso particular.
· Hacer una tabla.
· Buscar regularidades.
· Empezar el problema desde atrás.
· Variar las condiciones del problema.
· Hacer un plan.
· Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos.
· Buscar los recursos conceptuales y heurísticos que parecen adecuados para el problema.
· Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona.
· Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.
· Inflexibilidad para considerar alternativas.
· Rigidez en la ejecución de procedimientos.
· Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción.
Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya ejecutado lo que pienso ¿ qué consecuencias tendrá para la resolución del problema ?
· El efecto “túnel”.
· Trata de entender a fondo la situación
· Con paz, con tranquilidad a tu ritmo
· Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo
· Empieza por lo fácil
· Hazte un esquema, una figura, un diagrama
· Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada
· Busca un problema semejante
· Supongamos el problema resuelto
· Supongamos que no
· Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te han ocurrido en la fase anterior
· Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una idea.
Si las cosas se complican demasiado hay otra vía.
· ¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.
Revisa el proceso y saca consecuencias de él.
· Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?
· Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.
· Mira si encuentras un camino más simple
· Mira hasta dónde llega el método
· Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro
¿Qué significa poner el enfoque en la resolución de problemas? Cabe al menos tres interpretaciones:
· Proponer a los alumnos más problemas.
· Emplear aplicaciones de los problemas a la vida diaria y a las ciencias.
· No proponer sólo ejercicios sino también problemas genuinos que promuevan la búsqueda, la investigación por los alumnos.
· Desarrollo de la capacidad de razonamiento
· Aplicación de la teoría previamente expuesta.
· Resolución de cuestiones que la vida diaria plantea.
La resolución de problemas ha sido, es y será, el auténtico motor de las matemáticas. Una vez que un problema era resuelto, surgían otros nuevos, los cuales constituían nuevos retos para las hornadas de matemáticos. Sin embargo, podemos encontrar en la historia de las matemáticas unos cuantos problemas, de enunciado y propósito sencillo, que se pueden considerar universales. Muchos de ellos fascinaron en su infancia a muchos grandes matemáticos, según han confesado después ellos mismos. El problema de los matemáticos no es inventar nuevas ramas de forma gratuita. Se inventan para resolver problemas a veces propuestos siglos antes.
3.1.1. Los puentes de Köninsberg.
En la ciudad de Köninsberg (ahora se llama Kaliningrado) (donde nació Kant y Hilbert) hay una isla, Kneihof, rodeada por dos brazos del río Pregel. Hay siete puentes que lo cruzan. ¿Puede una persona realizar un paseo de modo que cruce cada uno de los puentes una sola vez?
Solución: Euler demostró que no se puede hacer.
3.1.2. Problema de Teofrasto
Teofrasto fue a ver a Aristoteles, para hablar sobre la clasificación de las plantas. Llevaba a su perro, un mastín, atado con una cuerda de longitud L. Cuando llegó, ató la cuerda con un nudo corredizo, alrededor de una columna de radio R.
El perro, al que no le gustaba estar atado, tensionó la cuerda, y la cuerda se rompió.
Hallar a que distancia del perro estaba el nudo corredizo cuando se rompió la cuerda. Solución:
Sea y la distancia entre el perro y el nudo corredizo, x, la distancia entre el nudo corredizo y el punto en que la cuerda toca a la columna y a el ángulo que forma la cuerda con el eje de abscisas en C (el nudo).
La longitud de la cuerda es L = y + AC + AB + BC
La cuerda es tangente a la circunferencia en A y en B, por lo tanto el ángulo que forma la cuerda con el radio será de 90º.
Como se puede ver en el dibujo el ángulo en O correspondiente al arco de circunferencia en contacto con la cuerda es p + 2a, luego la longitud de la cuerda en contacto con la columna es (p + 2a)R.
Entonces L = y + 2x + (p + 2a)R
y = L – 2x – (p> + 2a)R
tg a = R/x
a = arctg R/x
y = L – 2x – p R – 2R arctg R/x
Obteniendo el máximo de esta función se resolvería el problema.
3.1.3. Coloreando los mapas.
Demostrar que para colorear un mapa, de forma que países con frontera común se pinten con colores distintos, sólo se necesitan cuatro colores.
Este problema fue propuesto a Augustus de Morgan por un antiguo alumno suyo, Francis Guthrie. El profesor no fue capaz de resolverlo y se lo envió a Hamilton en una carta de fecha 23 de octubre de 1852.
El problema ha resistido los embates de muchos matemáticos. En 1976 Kenneth Apel y Wolfgang Haken, de la Universidad de Urbana (Illinois) dieron una demostración con ordenador pero no existe ninguna demostración matemática.
3.2.1. Problema Délico o Duplicación del Cubo.
Dado un cubo cuya arista tiene longitud 1 se pide construir un cubo de volumen doble, utilizando regla (una regla sin marcas) y compás.
El nombre del problema se debe a que en Delfos (una isla griega) había un templo que era famoso por sus oráculos. Un rey acudió al templo para que le hiciesen un oráculo (adivinar el porvenir) y después de hacérselo le dijo a la sacerdotisa que le pidiese lo que quisiera. La sacerdotisa le pidió que construyese un altar del doble de volumen que el que tenía.
Se trata de calcular, con regla y compás un número que sea igual a la raíz cúbica de
2. La solución es un número irracional y con regla y compás sólo se pueden obtener números fraccionarios, por lo tanto es imposible.
Tendríamos que resolver la ecuación x3 = 2. No existe ningún número fraccionario que elevado al cubo dé 2.
3.2.2. Trisección de un ángulo.
Dado un ángulo alfa, se trata de dividirlo en tres partes iguales, utilizando regla y compás.
La trisección de un ángulo es equivalente a la resolución de la ecuación de tercer grado cos 3x = 4 (cos x)3 – 3 cos x.
Descartes resolvió este problema utilizando un compás como el de la figura
Las barras de colores rojo y azul están fijas en su extremo más cercano al vértice en un punto situado a la misma distancia en los cuatro brazos del compás. El otro extremo de las barras de colores se puede deslizar solidariamente con la barra compañera.
3.2.3. Rectificación de una circunferencia.
Dada una circunferencia de radio R, se trata de construir, con regla y compás, un segmento de longitud igual a la circunferencia.
3.2.4. Cuadratura del círculo.
Dado un círculo de radio R, se trata de construir, utilizando regla y compás, un cuadrado de igual superficie.
Sea L el lado del cuadrado. Tendríamos L2 = p R2
Resulta que Lindemann demostró que p no es solución de ningún polinomio.
El primero que intentó resolver este problema fue Anaxágoras, mientras estaba en la cárcel como prisionero político (fue liberado gracias a la intervención de Pericles, de quien había sido profesor). Dicen que llenó las paredes de la celda con los cálculos.
3.2.5. Construcción de n-ágonos regulares.
Dado un círculo de radio R, se pide construir un n-ágono (un polígono de n lados) regular inscrito en él.
Este problema sólo tiene solución si n tiene la forma 2k +1.
3.3. Problemas de Números.
a) ¿Existe una cantidad infinita de números perfectos?
Números perfectos son números cuya suma de divisores suman el número (p.e 6)
b) ¿Existe una cantidad infinita de números primos gemelos?
Los primos gemelos son parejas de números primos que están separados por un solo número (p.e 5,7, 17 y 19)
c) Demostrar que todos los números pares > 4 se pueden obtener como suma de dos primos.
Este problema se llama la conjetura de Goldbach. Goldbach era un matemático, que fue tutor del zar Pedro II. Goldabach planteó este problema a Euler y no fue capaz de resolverlo.
d) Demostrar que todos los números impares > 9 se pueden obtener como suma de tres primos.
3.4. Problemas del Milenio.
3.4.1. P contra NP.
Stephen Cook y Leonid Levin formularon este problema independientemente en 1971.
Stephen Cook lo explicó con un ejemplo semejante a éste. Usted llega a una fiesta, el salón está lleno de gente y se pregunta si conoce a alguna persona de la fiesta. Se lo pregunta al anfitrión y este le dice que usted conoce a la persona que está en la ventana. Inmediatamente usted ratifica lo dicho por el anfitrión (es fácil comprobarlo). Sin embargo, si no tuviese esta ayuda , tendría que examinar una a una a toda la gente y determinar si la conoce. Tardaría mucho tiempo en hacer esta operación.
La explicación de las siglas P y NP se refieren a los tiempos “polinómico” y “polinómico no determinista”.
3.4.2. La conjetura de Hodge.
Durante el siglo XX, los matemáticos descubrieron formas de investigar las formas de objetos complicados. La idea básica es preguntar en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado uniendo formas geométricas simples.
La conjetura de Hodge dice que para un tipo particular de formas, llamadas variedades algebraicas proyectivas, las formas llamadas ciclos de Hodge son combinaciones de formas geométricas llamadas ciclos algebraicos.
3.4.3. La conjetura de Poincaré.
Henri Poincaré era el rival francés del alemán Hilbert.
Poincaré llegó a unas conclusiones sobre las esferas en el espacio de tres dimensiones que, posteriormente, han resultado imposible trasladar al espacio de cuatro dimensiones. Esta incógnita resultó ser extraordinariamente difícil en el momento de su planteamiento y los matemáticos siguen hoy luchando por darle una solución.
3.4.4. La hipótesis de Riemann.
Los números primos han traído de cabeza a los matemáticos desde los inicios de las matemáticas.
Uno de los temas que se resiste es la distribución de los números primos (no parece seguir ningún patrón regular). El matemático alemán Georg Riemann propuso en el siglo XIX, que su frecuencia está íntimamente relacionada con el comportamiento de una función matemática llamada función Zeta. La hipótesis de Riemann se ha confirmado en muchos casos, pero todavía no existe una demostración general.
Éste es el único de los siete problemas que estaba en la lista de 1900 de Hilbert.
3.4.5. La teoría de Yang-Mills.
Hace casi una centuria, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la geometría y las ecuaciones de la física de partículas que, más tarde, resultaron de gran utilidad para unificar tres interacciones fundamentales de la materia en una sola teoría. A pesar de ello, no se conocen soluciones compatibles con la mecánica cuántica de las soluciones de Yang y Mills. El progreso de este problema requerirá la introducción de nuevas ideas fundamentales en la física y en matemáticas.
3.4.6. Las ecuaciones de Navier-Stokes.
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el comportamiento de los fluidos, cuando se mueven en movimiento turbulento.
A pesar que las ecuaciones se escribieron en el siglo XIX nadie ha sabido resolverlas hasta el momento.
3.4.7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
El décimo problema planteado por Hilbert en 1900 en París, planteaba si existía algún método para saber si las ecuaciones xn + yn = zn tienen soluciones que sean números enteros. El matemático Yu Matiyasevich demostró, en 1970, que no había ningún método general, pero Birch y Swinnerton-Dyer propusieron algunos métodos parciales que, todavía hoy, no se han demostrado.
Pensar Matemáticamente. Aut. Mason, Burton y Stacey. edit. MEC Labor Cómo plantear y resolver problemas. Aut.: Polya. Edit.:Trillas, Mexico Elementos de Resolución de Problemas. Aut.: L. Puig. Edit.: Comares
Etiquetas: tema 69 matemáticas

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