Source: http://www.slideshare.net/michimichu/tesis-23214753
Timestamp: 2015-11-30 10:43:33+00:00

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Carmen Falcon Colqui
instituto superior pedagogico gamaniel blanco murillo - pasco
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enrique18377
Clínica Dental Dra. Florentino
IMPORTANCIA DE LOSCONOCIMIENTOS MATEMÁTICOSPREVIOS DE LOS ESTUDIANTESPARA EL APRENDIZAJE DE LADIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA ENLAS TITULACIONES DE MAESTROEN LA UNIVERSITAT JAUME ITESIS DOCTORALPresentada por: Manuel Alcalde EstebanDirigida por: Dra. María Reina Ferrández BerruecoÀREA DE DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICADEPARTAMENT D’EDUCACIÓ, UNIVERSITAT JAUME ICastelló de la Plana, 2.010
iiiAGRADECIMIENTOSQuisiera desde estas líneas dejar constancia de mi agradecimiento atodas las personas que han contribuido, de alguna manera, a que pudierarealizar el trabajo que aquí se expone.A mi directora, la Doctora D.ª María Reina Ferrández Berrueco, portodo lo que ha hecho, sin cuya ayuda esta tesis doctoral no habría sidoposible.A mis compañeros de Área en la Universitat Jaume I (UJI),particularmente a Inmaculada Pérez Serrano y Gil Lorenzo Valentín.A mis compañeros del Departament d’Educació, y a los dos equiposdirectivos del mismo en el periodo de realización de la tesis, así como a lascompañeras de administración del Departament, por la ayuda y lasfacilidades ofrecidas para que pudiera llevarla a término.A los estudiantes de la Diplomatura de Maestro de la UJI de lapromoción 2.001 a 2.004, muy especialmente a los asistentes al Curs Zero:Matemàtica Prèvia impartido en septiembre de 2.002, sin cuyos datos«matemáticos» no habría sido posible esta tesis.A la UJI por las posibilidades otorgadas para poder desarrollar estetrabajo.Al departamento de Mètodes d’Investigació i Diagnòstic en Educacióde la Universitat de València-Estudi General, en particular a quienesocuparon su dirección en el año sabático que allí realicé, Dr. D. José
ivGonzález Such y Dra. D.ª Natividad Orellana Alonso, y muy especialmente alDr. D. Jesús M. Jornet Meliá investigador principal del Proyecto AVACO.A mi familia y a los amigos que me han animado en este camino.A todos, y que me disculpen los que no he citado, a todos, muchasgracias.
vA mis padres Germán y Rufi,a mi hermana Gloria,a mis hijos María y David,y a Tere.
viiÍNDICEINTRODUCCIÓN………………………………………………………………... 1PRIMERA PARTE: FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA………………………. 5Capítulo 1: PRINCIPIOS PARA LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA………. 71.1. Principios para las matemáticas escolares……………………………... 81.1.1. El Principio de igualdad 91.1.2. El Principio curricular 131.1.3. El Principio de enseñanza 151.1.4. El Principio de aprendizaje 191.1.5. El Principio de evaluación 231.1.6. El Principio tecnológico 281.2. Acciones y responsabilidades para la realización de los Principios…. 341.2.1. Los profesores de matemáticas 351.2.2. Los estudiantes de matemáticas 361.2.3. Los formadores del profesorado de matemáticas 371.2.4. La administración escolar 381.2.5. Los profesores de educación superior 391.2.6. Las familias, otros educadores y los miembros de lacomunidad 411.2.7. Organizaciones profesionales y políticos. 41Capítulo 2: APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS……………………. 452.1. ¿Qué matemáticas pueden aprender los niños?.................................. 462.2. ¿Teoría o práctica educativa?.............................................................. 48
viii2.3. ¿Necesitan los profesores conocer teorías?........................................ 492.4. Actividades mentales en el aprendizaje de las matemáticas…………. 502.4.1. Memorización simple 512.4.2. Aprendizaje de algoritmos 532.4.3. Aprendizaje de conceptos 612.4.4. Resolución de problemas 712.5. Teorías generales que fundamentan el aprendizaje de lasmatemáticas…………………………………………………………………....... 882.5.1. El conductismo 892.5.1.1. Thorndike: leyes y transferencia del conocimiento 902.5.1.2. Skiner: aprendizaje programado 922.5.1.3. Gagné: jerarquías de aprendizaje 952.5.2. El cognitivismo 992.5.2.1. Procesamiento de la información 1022.5.2.2. Gestalt 1072.5.2.3. Piaget: equilibración y etapas de desarrollo 1112.5.2.4. Bruner: el currículo en espiral 1232.5.2.5. Aprendizaje por descubrimiento. Resolución deproblemas 1282.5.2.6. Ausubel: aprendizaje significativo 1422.5.2.7. Vygotsky: aprendizaje sociohistórico 1502.6. Teorías específicas del aprendizaje de las matemáticas……………… 1562.6.1. Dienes: principios de aprendizaje, etapas y materialesmanipulativos 1562.6.2. El modelo de Van Hiele 1652.7. Síntesis del capítulo……………………………………………………….. 177Capítulo 3: CONTENIDOS CURRICULARES DE MATEMÁTICAS DEEDUCACIÓN PRIMARIA Y CÓMO SE APRENDEN………………………. 1813.1. Contenidos curriculares del bloque 1, Números y operaciones………. 1843.1.1. Contenidos del bloque 1 en el Primer ciclo de Primaria 1843.1.2. Contenidos del bloque 1 en el Segundo ciclo de Primaria 1863.1.3. Contenidos del bloque 1 en el Tercer ciclo de Primaria 188
ix3.1.4. Síntesis de la comparación de los contenidos de Números yoperaciones 1893.2. Contenidos curriculares del bloque 2, La medida: estimación ycálculo de magnitudes………………………………………………………….. 1903.2.1. Contenidos del bloque 2 en el Primer ciclo de Primaria 1903.2.2. Contenidos del bloque 2 en el Segundo ciclo de Primaria 1923.2.3. Contenidos del bloque 2 en el Tercer ciclo de Primaria 1943.2.4. Síntesis de la comparación de los contenidos de La medida:estimación y cálculo de magnitudes 1963.3. Contenidos curriculares del bloque 3, Geometría……………………… 1973.3.1. Contenidos del bloque 3 en el Primer ciclo de Primaria 1983.3.2. Contenidos del bloque 3 en el Segundo ciclo de Primaria 1993.3.3. Contenidos del bloque 3 en el Tercer ciclo de Primaria 2003.3.4. Síntesis de la comparación de los contenidos de Geometría 2023.4. Contenidos curriculares del bloque 4, Tratamiento de la información,azar y probabilidad……………………………………………………………… 2023.4.1. Contenidos del bloque 4 en el Primer ciclo de Primaria 2033.4.2. Contenidos del bloque 4 en el Segundo ciclo de Primaria 2043.4.3. Contenidos del bloque 4 en el Tercer ciclo de Primaria 2063.4.4. Síntesis de la comparación de los contenidos de Tratamientode la información, azar y probabilidad 2083.5. Cómo se aprenden los contenidos curriculares de matemáticas deEducación Primaria……………………………………………………………... 2093.5.1. Cómo se aprenden los contenidos de matemáticas dePrimaria según el Decreto 20/1.992 2093.5.2. Cómo se aprenden los contenidos de matemáticas dePrimaria según el Decreto 111/2.007 2143.6. Síntesis del capítulo……………………………………………………….. 216
xSEGUNDA PARTE: ESTUDIO EMPÍRICO………………………………….. 219Capítulo 4: ASIGNATURAS DEL ÁREA DIDÁCTICA DE LAMATEMÁTICA EN LA UNIVERSITAT JAUME I, CURSOS 2.001 A2.004…………………………………………………………………………….... 2214.1. Descripción de las asignaturas del área en los Planes de Estudio deMaestro en la UJI……………………………………………………………….. 2214.1.1. Asignaturas de Maestro-Especialidad de Educación Física yde Educación Musical 2224.1.2. Asignaturas de Maestro-Especialidad de Educación Infantil 2234.1.3. Asignaturas de Maestro-Especialidad de Educación Primaria 2244.1.4. Asignatura optativa «O43 Taller de Matemáticas» 2254.2. Contenidos de las asignaturas…………………………………………… 2264.2.1. Contenidos correspondientes al bloque 1, Números 2284.2.2. Contenidos correspondientes al bloque 2, La medida 2314.2.3. Contenidos correspondientes al bloque 3, Geometría 2334.2.4. Contenidos correspondientes al bloque 4, Estadística. Azar.Probabilidad 2344.2.5. Contenidos correspondientes al bloque 5, Resolución deproblemas 2364.2.6. Contenidos correspondientes al bloque 6, Actitudes ante lasmatemáticas 2374.3. Metodología………………………………………………………………… 239Capítulo 5: PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO EMPÍRICO………………. 2455.1. Planteamiento del problema……………………………………………… 2455.2. Objetivos e hipótesis………………………………………………………. 2525.3. Diseño……………………………………………………………………….. 2535.4. Instrumentos………………………………………………………………... 2545.4.1. Prueba de conocimientos matemáticos 2545.4.1.1. Presentación de la prueba TIMSS 2555.4.1.2. Adaptación de TIMSS al estudio 2585.4.2. Prueba de conocimientos de didáctica de la matemática 262
xi5.5. Metodología………………………………………………………………… 2635.5.1. Muestra 2645.5.1.1. Grupo de Control 2645.5.1.2. Grupo Experimental 2645.5.2. Temporalización 2655.5.3. Análisis realizados 267Capítulo 6: ESTUDIO DESCRIPTIVO……………………………………….. 2716.1. Conocimientos matemáticos……………………………………………… 2716.1.1. El Pretest (O1) 2716.1.1.1. Globales (O1) 2726.1.1.2. Grupo de Control (O1A) 2806.1.1.3. Grupo Experimental (O1B) 2876.1.1.4. Síntesis 2936.1.2. Postest 1 (O2) 2946.1.2.1. Resultados globales por Subcategoría de Contenidoen «Fracciones y sentido numérico» 2966.1.2.2. Resultados globales por Subcategoría de Contenidoen «Geometría» 2986.1.2.3. Resultados globales por Subcategoría de Contenidoen «Álgebra» 2996.1.2.4. Resultados globales por Subcategoría de Contenidoen «Representación y análisis de datos. Probabilidad» 3006.1.2.5. Síntesis 3006.1.3. Postest 2 (O3) 3016.1.3.1. Globales (O3) 3026.1.3.2. Grupo de Control (O3A) 3086.1.3.3. Grupo Experimental (O3B) 3156.1.3.4. Síntesis 3216.1.4. Postest 4 (O5) 3226.1.4.1. Resultados globales por Subcategoría de Contenidoen «Fracciones y sentido numérico» 3246.1.4.2. Resultados globales por Subcategoría de Contenido 325
xiien «Geometría»6.1.4.3. Resultados globales por Subcategoría de Contenidoen «Álgebra» 3266.1.4.4. Resultados globales por Subcategoría de Contenidoen «Representación y análisis de datos. Probabilidad» 3276.1.4.5. Síntesis 3286.2. Conocimientos en didáctica de la matemática, Postest 3 (O4)……….. 3296.2.1. Globales 3316.2.2. Grupo de Control 3316.2.3. Grupo Experimental 3316.2.4. Síntesis 3326.3. Síntesis del capítulo……………………………………………………….. 333Capítulo 7: ESTUDIO INFERENCIAL……………………………………….. 3397.1. Equivalencia de los grupos de Control y Experimental………………... 3397.2. Eficacia del Curs Zero: Matemàtica Prèvia sobre los conocimientosmatemáticos……………………………………………………………………... 3407.2.1. Diferencias entre el Grupo de Control y el Grupo Experimental 3417.2.1.1. Contraste Pretest-Postest 2 en el Grupo de Control(O1A - O3A) 3417.2.1.2. Contraste Pretest-Postest 1 en el Grupo Experimental(O1B – O2) 3427.2.1.3. Contraste en Postest 2 (O3) 3577.2.2. Contrastes en el Grupo Experimental 3677.2.2.1. Contraste en las observaciones O1B y O3B 3687.2.2.2. Contraste en las observaciones O1B y O5 3767.2.2.3. Contraste en las observaciones O2 y O3B 3847.2.2.4. Contraste en las observaciones O2 y O5 3947.2.2.5. Contraste en las observaciones O3B y O5 3957.2.2.6. Síntesis 3967.2.3. Síntesis 3977.3. Importancia de los conocimientos matemáticos en el rendimiento endidáctica de la matemática (O4)……………………………………………….. 398
xiii7.3.1. Análisis del rendimiento en didáctica de la matemática (O4) 3997.3.1.1. Análisis del rendimiento en didáctica de la matemáticageneral en el Postest 3 (O4) 4017.3.1.2. Análisis del rendimiento en didáctica de la matemáticaconcreta en el Postest 3 (O4) 4027.3.1.3. Análisis entre rendimiento en didáctica de lamatemática general y didáctica de la matemática concreta enel Postest 3 en el Grupo de Control (O4A) 4037.3.1.4. Análisis entre rendimiento en didáctica de lamatemática general y didáctica de la matemática concreta enel Postest 3 en el Grupo Experimental (O4B) 4047.3.2. Aproximación a un estudio longitudinal 4057.3.2.1. Correlación entre las medidas O4B NOTA y O5 enMaestro Especialidades de Educación Física y de EducaciónMusical 4077.3.2.2. Correlación entre las medidas O4B NOTA y O5 enMaestro Especialidades de Educación Infantil y de EducaciónPrimaria 4077.3.3. Síntesis 4087.4. Síntesis del capítulo……………………………………………………….. 410TERCERA PARTE: CONCLUSIONES………………………………………. 413Capítulo 8: SÍNTESIS GLOBAL Y LÍNEAS FUTURAS DEINVESTIGACIÓN………………………………………………………………... 4158.1. Recapitulación……………………………………………………………… 4158.2. Principales resultados……………………………………………………... 4188.3. Repercusiones educativas………………………………………………… 4358.4. Discusión de la investigación, líneas de mejora………………………... 4388.5. Líneas a seguir, nuevos problemas de investigación………………….. 441CUARTA PARTE: REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS…………………… 443
xivANEXOS (en CD adjunto)Anexos Capítulo 5Anexo 5.1. Prueba de conocimientos matemáticos: instrumento delPretest (O1)Anexo 5.2. Prueba de conocimientos matemáticos: instrumento delPostest 2 (O3)Anexo 5.3. Prueba de conocimientos de didáctica de la matemática:instrumento del Postest 3 (O4)Anexos Capítulo 7Anexo 7.1. Resultados Prueba U de Mann-Whitney en O1Anexo 7.2. Resultados Prueba U de Mann-Whitney en O1A - O3AAnexo 7.3. Resultados Prueba de los rangos con signo de Wilcoxonen O1B- O2Anexo 7.4. Resultados Prueba U de Mann-Whitney en O3Anexo 7.5. Resultados Prueba de los rangos con signo de Wilcoxonen O1B - O3BAnexo 7.6. Resultados Prueba de los rangos con signo de Wilcoxonen O1B - O5Anexo 7.7. Resultados Prueba de los rangos con signo de Wilcoxonen O2 – O3BAnexo 7.8. Resultados Prueba de los rangos con signo de Wilcoxonen O2 – O5Anexo 7.9. Resultados Prueba de los rangos con signo de Wilcoxonen O3B – O5Anexo 7.10. Resultados Prueba T de muestras independientes enO4Resultados Prueba T de muestras independientes dedidáctica matemática general en O4Resultados Prueba T de muestras independientes dedidáctica matemática concreta en O4Resultados Prueba de los rangos con signo deWilcoxon de didáctica matemática genera-didáctica
xvmatemática concreta en Grupo de Control (O4A)Resultados Prueba de los rangos con signo deWilcoxon de didáctica matemática genera-didácticamatemática concreta en Grupo Experimental (O4B)Anexo 7.11. Resultados Correlaciones Grupo ExperimentalResultados Correlaciones O4B NOTA-05 en Maestro-Especialidad de Educación Física - Maestro-Especialidad de Educación MusicalResultados Correlaciones O4B NOTA-05 en Maestro-Especialidad de Educación Infantil - Maestro-Especialidad de Educación Primaria
INTRODUCCIÓNQuien presenta esta tesis doctoral es profesor del Área de Didácticade la Matemática en la Universitat Jaume I desde la creación de la UJI,desarrollando su labor docente en la Diplomatura de Maestro, comprobandopersonalmente en los últimos años la insatisfactoria preparación matemáticacon que llegan a la universidad los futuros maestros y conociendo sus malosresultados en las asignaturas de didáctica de la matemática, razones por lasque presentó un proyecto a la convocatoria de Projectes de millora educativadel curso 2.001-2.002, dentro del programa de Formació Permanent delProfessorat de la Unitat de Suport Educatiu (USE) de la UJI, para conocer elnivel de conocimientos matemáticos de los estudiantes de Primer curso de laDiplomatura de Maestro de la UJI.Este proyecto se reformó bajo la dirección de la Dra. María ReinaFerrández Berrueco y se presentó en el año 2.003 como Trabajo deInvestigación del Programa de Doctorado al que pertenece esta tesisdoctoral, siendo entonces cuando con la Dra. Ferrández procedimos alplanteamiento y diseño de la investigación que nos permita conocer la«Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantespara el aprendizaje de la Didáctica de la Matemática en las titulaciones deMaestro en la UJI».
2 IntroducciónTesis DoctoralLa redacción de la tesis doctoral se ha estructurado en cuatro partes yocho capítulos que resumimos a continuación.En la Primera Parte (capítulos 1, 2 y 3) hacemos una fundamentaciónteórica sobre el aprendizaje de las matemáticas.Presentaremos en el Capítulo 1 los Principios para una educaciónmatemática de calidad y las acciones y responsabilidades para surealización por las diferentes partes del sistema educativo.En el Capítulo 2 nos interesaremos por el alumno como sujetocognitivo que ha de aprender matemáticas, veremos qué es aprendercontenidos matemáticos y nos aproximaremos a teorías generales delaprendizaje aplicables al de las matemáticas y a teorías específicamenteinteresadas por el aprendizaje de las matemáticas.Mostraremos en el Capítulo 3 los contenidos curriculares dematemáticas de Educación Primaria en el momento de iniciar estainvestigación (Decreto 20/1.992, DOGV, Núm. 1.728 de 20/2/1.992, pp.1.428-1.502), que orientaban los programas y los contenidos de lasasignaturas de didáctica de la matemática, y en el momento actual (Decreto111/2.007, DOCV, Núm. 5.562 de 24/7/2.007, pp. 30.110-30.401). Tambiénanalizaremos las concepciones psicológicas, las teorías de aprendizajevistas en el capítulo anterior, que sugieren ambos decretos sobre elaprendizaje de las matemáticas.Con la Segunda Parte (capítulos 4, 5, 6 y 7) presentaremos el EstudioEmpírico.El Capítulo 4 contextualizará la tesis doctoral en la UJI, veremoscuáles son las asignaturas de didáctica de la matemática de las titulacionesde Maestro en la UJI, durante los cursos 2.001 a 2.004, qué contenidos setrabajaban en ellas y cómo, consecuencia de los contenidos matemáticos deEducación Primaria del Capítulo 3 y las teorías de aprendizaje del Capítulo2.El planteamiento teórico del Estudio Empírico lo haremos en elCapítulo 5. Presentaremos el problema del bajo nivel de conocimientosmatemáticos de los estudiantes de Maestro, los objetivos que perseguimos y
Importancia de los Conocimientos Matemáticos Previos de los Estudiantes… 3Manuel Alcalde Estebanlas hipótesis que formulamos, así como el diseño, los instrumentos aplicados(las pruebas de conocimientos) y la metodología utilizada.En el Capítulo 6 ofreceremos los resultados del Estudio Empírico pormedio del Estudio Descriptivo de las medidas realizadas a los estudiantes deMaestro de la UJI en conocimientos matemáticos y también en rendimientoen las asignaturas de didáctica de la matemática con los instrumentosexplicados en el Capítulo 5.Con el Capítulo 7 completaremos la presentación de los resultadosdel Estudio Empírico a través del Estudio Inferencial practicado a los datosobtenidos en el Capítulo 6, para cada uno de los objetivos e hipótesisformulados en el Capítulo 5.La Tercera Parte la constituye el Capítulo 8. Haremos larecapitulación del trabajo presentado, revisaremos los objetivos marcados ylas hipótesis planteadas mediante los principales resultados obtenidos,describiremos cuáles son las principales aportaciones y repercusiones deesta tesis doctoral, enunciaremos posibles líneas de mejora y plantearemosfuturos temas de investigación.La Cuarta Parte son las referencias bibliográficas necesarias para lassecciones o partes teóricas.Por último pedir disculpas por las limitaciones, de fondo y de forma,ajenas a la voluntad de los responsables de esta tesis doctoral, y por laextensión, hemos intentado hacer buena la frase «el tiempo es oro»,procurando ser concisos y breves al tiempo que claros, principalmenteclaros.Queriendo armonizar concisión, brevedad y claridad, hemos hechosíntesis parciales en los apartados o en los capítulos con la finalidad dereducir los resultados a las ideas principales y en el último capítulosintetizamos de forma global todos los resultados de manera que facilite lalectura de las conclusiones.
PRIMERA PARTE: FUNDAMENTACIÓNTEÓRICA
Capítulo 1: PRINCIPIOS PARA LA EDUCACIÓNMATEMÁTICAEl National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), organizaciónprofesional de los Estados Unidos de América, publicó en el año 2.000Principles and standards for school mathematics1con la intención de quefuera un recurso y una guía para la educación matemática, desde EducaciónInfantil de 4 años hasta Segundo de Bachillerato inclusive, de los ciudadanosdel siglo XXI.Dicen sus autores que:Las decisiones que toman los profesores, los administradoresescolares y otros profesionales de la educación, respecto a los contenidos y elcarácter de las matemáticas escolares, tienen consecuencias importantes paralos estudiantes y para la sociedad. Estas decisiones deberían basarse en unaguía profesional sólida. Principios y Estándares pretende proporcionar estaguía. Los Principios describen las características particulares de una educaciónmatemática de gran calidad. Los Estándares describen los contenidos yprocesos matemáticos que deberían aprender los estudiantes. Juntos,constituyen una propuesta para guiar a los educadores en sus esfuerzos por lacontinua mejora de la enseñanza de las matemáticas en las clases, en lasescuelas y en los sistemas educativos.NCTM, 2.000, p. 111La versión española Principios y Estándares para la Educación Matemática -en adelantePrincipios y Estándares-, fue publicada en el año 2.003.
8 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis DoctoralDicho libro presenta un dictamen colectivo alcanzando la mejorcomprensión actual de los procesos de enseñanza y aprendizaje de lasmatemáticas y también de los factores contextuales que los configuran. Suelaboración refleja un compromiso para continuar la discusión y la reflexión,por lo que este documento debe verse como parte de un trabajo progresivoque puede ayudar a tomar decisiones en cuanto a desarrollar programasexcelentes de matemáticas, y no como una prescripción para ser impuesta(NCTM, 2.000).A continuación vamos a presentar los Principios y en el apartado 1.2.las acciones y las responsabilidades de cada una de las partes del sistemaeducativo para su realización, pero la confección de esta obra “basada endécadas de investigación y práctica, y perfeccionado en un amplio procesode colaboraciones, críticas y revisiones” (NCTM, 2.000, p. 374) complicaenormemente la intención de presentar una breve síntesis, por lo que novamos a hacer constantes referencias al texto, indicando solamente las citasliterales.1.1. PRINCIPIOS PARA LAS MATEMÁTICASESCOLARESLos Principios son enunciados que reflejan disposiciones básicasfundamentales para una educación matemática de calidad, aunque no sonexclusivos de las matemáticas escolares están profundamente entrelazadosen sus programas. No se refieren a contenidos o procesos matemáticosespecíficos y, por tanto, son completamente diferentes de los Estándares.Los seis Principios plantean los temas siguientes:- Igualdad, altas expectativas y fuerte apoyo para todos los estudiantes.
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 9Manuel Alcalde Esteban- Currículo, centrado en matemáticas importantes y bien articulado en losdiferentes niveles.- Enseñanza, efectiva para que los alumnos aprendan bien.- Aprendizaje, de las matemáticas comprendiéndolas y construyéndolasactivamente.- Evaluación, para apoyar el aprendizaje y proporcionar información útil.- Tecnología, esencial, influye en las matemáticas que se enseñan ypotencia el aprendizaje.Los Principios pueden inspirar los desarrollos curriculares, laselección de materiales, la programación de lecciones o unidades didácticas,las evaluaciones, la adscripción de alumnos y profesores a las clases, lasdecisiones para la enseñanza en las aulas y los planes de perfeccionamientoy desarrollo profesional del profesorado, pero su poder como guías yherramientas para tomar decisiones deriva de su interacción y utilizaciónconjunta por los responsables educativos para desarrollar programas dematemáticas de gran calidad:Todos los estudiantes deben acceder cada año a un currículo coherente yestimulante, enseñado por profesores de matemáticas competentes y bienconsiderados. Además, el aprendizaje y aprovechamiento de los alumnosdeberían ser evaluados e informados de manera que se señalen las áreas querequieran una inmediata atención adicional. La tecnología puede ayudar aalcanzar la igualdad y debe ser asequible para todos los estudiantes. [Lacursiva es nuestra]NCTM, 2.000, p. 121.1.1. EL PRINCIPIO DE IGUALDAD«La excelencia en la educación matemática requiere igualdad:grandes expectativas y sólido apoyo para todos los estudiantes» (NCTM,2.000, p. 12).
10 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis DoctoralLa Constitución española de 1.978 (BOE de 29 de diciembre de1.978) en sus artículos 14 y 27, y el Estatuto de Autonomía de la ComunidadValenciana (BOE de 10 de julio de 1.982) en sus artículos 2 y 35, establecenel derecho de igualdad ante la ley y el derecho de educación,respectivamente. Este principio desarrolla ambos derechos fundamentalespues establece como objetivo que todos los alumnos deben teneroportunidades para estudiar matemáticas y apoyo para aprenderlas,independientemente de sus características y circunstancias personales.Existe una creencia extendida en la sociedad, y también en parte delprofesorado, de que sólo algunos estudiantes son capaces de aprendermatemáticas. La generalización del aprendizaje matemático conducealgunas veces a bajas expectativas para demasiados estudiantes. Lasgrandes expectativas pueden alcanzarse en parte con programas cuyoscontenidos interesen a los alumnos y les convenzan de la importancia y lautilidad del estudio de las matemáticas para su porvenir.Los sistemas educativos están obligados a asegurar que todos losestudiantes participen en un programa de matemáticas excelente yequitativo, que proporcione un fuerte apoyo para su aprendizaje, y quedebería considerar los conocimientos previos, las capacidades intelectualesy los intereses personales. Por consiguiente tienen que atender lasnecesidades matemáticas individuales de todos los alumnos sin entorpecerel aprendizaje de otros: aquellos que prometen mucho en matemáticas ymuestran un profundo interés en el estudio de matemáticas avanzadas,necesitan las oportunidades adecuadas para alcanzar sus propósitos y,aquellos que tienen dificultades especiales de aprendizaje en matemáticas,deben tener el apoyo de los profesores y del personal de educaciónespecial.Así lo establecen en el caso de la Educación Primaria el Real Decreto1.513/2.006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzasmínimas de la Educación Primaria (BOE núm. 293, de 8 de diciembre de2.006, pp. 43.053-43.102), en sus artículos 13.2, 13.6 y 14.2, y el Decreto111/2.007, de 20 de julio, del Consell, por el que se establece el currículo dela Educación Primaria en la Comunitat Valenciana (Diari Oficial de la
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 11Manuel Alcalde EstebanComunitat Valenciana, Núm. 5.562 de 24 de julio de 2.007, pp. 30.110-30.401), en su artículo 12.2, y en el caso de la Enseñanza SecundariaObligatoria el Real Decreto 1.631/2.006, de 29 de diciembre, por el que seestablecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la EducaciónSecundaria Obligatoria (BOE núm. 5, de 5 de enero de 2.007, pp. 677-773),en sus artículos 12.3, 12.7 y 17, y el Decreto 112/2.007, de 20 de julio, delConsell, por el que se establece el currículo de la Educación SecundariaObligatoria en la Comunitat Valenciana (Diari Oficial de la ComunitatValenciana, Núm. 5.562 de 24 de julio de 2.007, pp. 30.402-30.587), en susartículos 12.2 y 15.2.Todos los alumnos deberían tener una base común de matemáticas,tanto los que entren en el mundo laboral al terminar la Educación SecundariaObligatoria (ESO), como los que prosigan estudios de matemáticas ociencias.Los equipos directivos educativos se enfrentan a decisiones difícilesrespecto al agrupamiento del alumnado, sobre si se le debe ofrecer unaenseñanza de las matemáticas en grupos homogéneos o heterogéneos. Losalumnos pueden aprender eficazmente la asignatura en gruposheterogéneos, si se desarrollan las estructuras para proporcionar un apoyoapropiado y diferenciado a la diversidad. Las formas de organización queexcluyen a ciertos grupos de alumnos de un programa de matemáticasestimulante y de tipo comprensivo, deberían descartarse. Se deberíanpotenciar y aunar todos los esfuerzos en el sentido de asegurar que todoslos alumnos sean bien atendidos.En el sistema educativo español, en 4.º de ESO, curso de finalizaciónde la escolarización obligatoria, los alumnos pueden elegir entre dos nivelesde contenidos matemáticos con un mismo tronco común. Las Matemáticas Atienen un carácter terminal, pensadas para estudiantes que van a ingresar alfinalizar la ESO en el mundo laboral o para aquellos que van a seguir enCiclos Formativos de Grado Medio, mientras que las Matemáticas B tienenun carácter de continuidad, pensadas para estudiantes que van a cursarBachillerato Científico-técnico o Sanitario.
12 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis DoctoralLas Tecnologías de la Información y Comunicación (TIC) puedencontribuir a alcanzar la igualdad en la clase. Por ejemplo, las herramientas yentornos tecnológicos pueden proporcionar oportunidades a todos losalumnos para explorar contenidos matemáticos complejos; pueden aportarprogramas tutoriales estructurados para aquellos alumnos que necesitenenseñanza complementaria y ejercitación en las tareas, o a través de la redpueden conectar a alumnos de comunidades rurales a oportunidadeseducativas o recursos intelectuales a los que no tienen fácil acceso.Además, dada la atracción de los niños y adolescentes por los juegoscon aplicaciones de la informática (juegos digitales, videojuegos), latecnología puede ser eficaz para atraer a los estudiantes que sedesentienden de las matemáticas cuando el enfoque no es tecnológico.Es importante que todos los estudiantes tengan oportunidades de usar latecnología en forma adecuada para acceder a ideas matemáticas interesantese importantes. El acceso a la tecnología no debe convertirse en otrocomponente de la desigualdad educativa.NCTM, 2.000, p. 14Para lograr la igualdad es necesario un justo reparto de los recursoshumanos y materiales en los centros y en las aulas. Los materialescurriculares, los programas complementarios especiales y la eficaz gestiónde los medios públicos juegan, sin duda, un importante papel, peroprobablemente más necesario e importante es el desarrollo profesional delprofesorado. Los docentes necesitan ayuda para conocer las necesidadesde los alumnos que proceden de comunidades o culturales distintas, de losque tienen discapacidades o de los que poseen un especial talento para ygran interés por las matemáticas. “Para acomodar, de forma efectiva ysensible, las diferencias entre los estudiantes, los profesores necesitancomprender y afrontar las creencias e inclinaciones de aquéllos” (NCTM,2.000, p.15)
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 13Manuel Alcalde Esteban1.1.2. EL PRINCIPIO CURRICULAR«Un currículo es algo más que una colección de actividades: tiene queser coherente, estar centrado en matemáticas importantes y bien articuladoa través de los diferentes niveles» (NCTM, 2.000, p.15).El currículo de matemáticas escolares determina lo que losestudiantes pueden aprender y, en gran parte, lo que realmente aprenden. Sies coherente organiza e integra ideas matemáticas importantes para que losalumnos puedan ver cómo se conectan entre sí y se construyen unas sobreotras, lo que facilitará y aumentará la comprensión de los contenidos y suaplicación. Las conexiones entre los distintos bloques temáticos deberíandestacarse, tanto en el currículo como en las lecciones y en los materialesde enseñanza.Debería centrarse en contenidos merecedores de la atención y eltiempo que le dedican los estudiantes. Las ideas matemáticas se consideranimportantes porque:- son útiles para desarrollar otros contenidos matemáticos, como porejemplo las nociones de valor posicional, de equivalencia- permiten relacionar diferentes áreas matemáticas, como las nociones deproporcionalidad, función- posibilitan que los estudiantes aumenten el aprecio por las matemáticascomo disciplina y como creación humana, sería el caso de la simetría y lageneralización, que ayudan a profundizar en la naturaleza y belleza de lasmatemáticas- o porque se utilizan en la resolución de problemas en matemáticas y enotros campos, como las ecuaciones y sistemas.La vigencia del currículo es limitada por la posibilidad de estarconfigurado por diferentes ideas matemáticas importantes o, también, porcambiar con el tiempo la consideración de importantes de algunoscontenidos debido a su utilidad y a nuevas demandas. Por ejemplo, “la
14 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralrecursión, la iteración y la comparación de algoritmos están recibiendomayor atención en las matemáticas escolares debido a su crecienterelevancia y utilidad en el mundo de la tecnología” (NCTM, 2.000, p.16).El aprendizaje matemático consiste en acumular ideas, parareconocer la ocasión en que utilizarlas y aplicarlas, y construir nuevosconocimientos cada vez más profundos y perfeccionados. El currículodebería estar bien articulado para que los profesores sepan quématemáticas han estudiado sus alumnos en los niveles anteriores, con quéprofundidad de tratamiento y, qué debe realzarse en los cursos siguientes yhasta qué grado de rigor. Así se evitará la duplicación de esfuerzos y larevisión constante y los profesores podrán conducir a sus alumnos a nivelessuperiores en complejidad y profundidad de conocimiento. Por ejemplo, enEducación Infantil los niños aprenden las cifras. En el Primer Ciclo deEducación Primaria se les enseña las decenas y centenas, en el SegundoCiclo las unidades y decenas de millar y, fracciones y decimales sencillos, yya en el Tercer Ciclo de Primaria llegan a saber leer y escribir cualquiernúmero natural, en fracciones y decimales progresan hasta las milésimas yse introducen en los números enteros. En el Primer Ciclo de ESOprofundizan en los números enteros, conocen los decimales exactos yperiódicos y el concepto de nombre racional, para en el Segundo Cicloaprender los números reales. Finalmente en Bachillerato trabajan losnúmeros complejos.La confección y selección del currículo y de los materiales requiere unproceso de colaboración a largo plazo de profesores y administradores. Losdocentes necesitan un tiempo para familiarizarse con él y descubrir susvirtudes y defectos, deben prepararse para trabajar con nuevos documentoseducativos y sólo entonces, pueden desarrollar los conocimientos necesariospara trabajar bien con los materiales.Los profesores y los administradores deberían informar y consultar alos miembros de la comunidad sobre las decisiones que se refieran acurrículos y materiales pedagógicos, deberían también ayudar a las familiasa comprender los objetivos y contenidos de los mimos, y las elecciones
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 15Manuel Alcalde Estebanrelativas a los recursos didácticos deberían basarse en un acuerdo comúnsobre los objetivos de la educación matemática.Los autores de diseños curriculares y de materiales educativosdeberían utilizar la investigación en el trabajo por poner en práctica sus ideasy... a través de las evaluaciones y el estudio de las dificultades curriculares, y delas discusiones de las ideas de dichos documentos, la comunidad de educaciónmatemática puede continuar desarrollando una base de conocimiento que sirvade guía a la educación matemática escolar.NCTM, 2.000, p. 3761.1.3. EL PRINCIPIO DE ENSEÑANZA«Una enseñanza eficaz requiere conocer lo que los alumnos saben ylo que necesitan aprender; y luego estimularlos y ayudarlos para que loaprendan bien» (NCTM, 2.000, p. 17).Gran parte de los conocimientos matemáticos que aprenden losestudiantes son debidos a experiencias que les proporcionan los profesoresy su actitud hacia la asignatura está determinada por la intervención de losdocentes, por tanto la enseñanza que reciben es de capital importancia y,para mejorar la educación matemática de todos los estudiantes es necesariauna enseñanza eficaz.Enseñar bien matemáticas no es fácil y casi nadie nacemossabiéndolo, pero sí hay datos que dicen como conseguir ser profesoreseficaces.Para ser eficaces, los profesores deben conocer y entender profundamente lasmatemáticas que enseñan y ser capaces de hacer uso de ese conocimientocon flexibilidad. Necesitan comprender a sus alumnos; confiar en ellos, comoaprendices de matemáticas y como seres humanos, y ser cuidadosos al elegir
16 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoraly utilizar las estrategias pedagógicas y de evaluación2. Además, la eficaciadocente requiere reflexión y esfuerzos continuos para conseguir mejorarla.NCTM, 2.000, p.17El conocimiento matemático que necesitan los profesores estáintegrado por:- un conocimiento profundo de las matemáticas fundamentales (Ma, 1.999),como por ejemplo saber que la sustracción de números naturales puedeser la cuantificación, de quitar algunos elementos en un conjunto, de lacomparación de dos conjuntos distintos o de cuánto le falta a un conjuntopara constituir otro mayor;- conocer las diferentes representaciones de un concepto, la potencialidady debilidad de cada una y cómo se relacionan entre sí;- conocimiento profundo y flexible respecto a los objetivos curriculares y lasideas fundamentales en cada nivel de enseñanza;- conocer también, qué ideas crean dificultad frecuentemente a losalumnos;- conocimiento sobre cómo pueden presentarse eficazmente estas ideas ylas formas en que pueden ayudar a superar las concepciones erróneasmás comunes y, por último,- conocimiento en cuanto a la forma de evaluar el aprendizaje.Esta cualificación matemática ayudará al profesorado: a valorarcorrectamente el currículo; a hacer preguntas para saber lo que conocen yalos alumnos, pues estos aprenden conectando ideas nuevas aconocimientos anteriores; a planificar lecciones que pongan de manifiestoeste conocimiento previo, así podrán luego diseñar experiencias y leccionesque respondan a este conocimiento y se basen en él, y además, a respondera las preguntas de los alumnos.Los profesores también necesitan conocimientos pedagógicos que lesayudarán a comprender de qué manera aprenden matemáticas los alumnos,a seleccionar y usar materiales curriculares apropiados y les instruirán en eluso de técnicas de enseñanza oportunas y en la organización y dirección de2National Commision on Teaching and Americas Future (1.996), citado por NCTM (2.000)
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 17Manuel Alcalde Estebanla clase. Asimismo deberán aprender a conjugar clases planificadas ypreparadas, y la toma continua de decisiones que tiene lugar cuando,inevitablemente, profesores y alumnos se encuentran ante contenidos ydificultades imprevistos, lo que pone de manifiesto la importancia de lapráctica docente para la adquisición de muchos de estos conocimientos.Para una educación matemática eficaz se deberían realizar tareasútiles para introducir conceptos matemáticos importantes, pero además lasdecisiones que tomen los profesores, las actitudes que muestren, debenpropiciar un ambiente de clase que motive y atraiga los alumnos hacia laasignatura, de esta manera los estudiantes se animarán a pensar, preguntar,formular conjeturas, resolver problemas, argumentar y con ello podránconstruir el conocimiento matemático.Si se eligen y plantean bien las tareas pueden picar la curiosidad delos alumnos y conseguir que se impliquen en el trabajo, correspondiendoentonces al profesor decidir cómo ayudarles sin sustituirles en su proceso depensamiento, es decir, sin eliminar el reto. Estos trabajos pueden estarconectados a la vida cotidiana de los alumnos o surgir de contextospuramente matemáticos.La eficacia docente requiere de los profesores esfuerzos continuadospara aprender y mejorar. Tienen que seguir adquiriendo conocimientosnuevos o complementarios sobre matemáticas y pedagogía, beneficiarse delas relaciones con estudiantes (observarles, escuchar con atención sus ideasy explicaciones) y colegas y comprometerse en un continuo desarrolloprofesional y en la reflexión constante.Para mejorar su labor, los profesores tienen que ser capaces deanalizar lo que ellos y sus alumnos hacen y cómo afectan estas actuacionesal aprendizaje. La mayoría del profesorado trabaja en un relativo aislamiento,con poco apoyo para la innovación y reducidos o nulos incentivos paramejorar su práctica. Colaborar regularmente con compañeros de profesiónpara observar, analizar y discutir sobre la docencia y sobre el pensamientode los alumnos, es una manera poderosa, y poco aprovechada, dedesarrollo profesional.
18 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis DoctoralLa investigación indica que los profesores son más capaces de ayudar a susalumnos a aprender matemáticas cuando tienen oportunidades de trabajarjuntos para mejorar su práctica, tiempo para reflexionar y un fuerte apoyo desus colegas y otros profesionales cualificados.NCTM, 2.000, p. 377Por tanto, las jornadas laborales de los docentes y su distribuciónhoraria deberían reorganizarse de manera que permitan y apoyen superfeccionamiento, como ya se viene haciendo en algunos paísesEn Japón y China, las jornadas de trabajo de los profesores incluyen tiempopara reunirse con sus alumnos, con el fin de analizar las últimas lecciones yprogramar las próximas (Ma, 1.999; Stigler y Hiebert, 1.999). Durante este«estudio de la lección», los profesores la programan, la enseñan ante lapresencia de colegas, la revisan con la colaboración de éstos, enseñan lalección revisada, evalúan y reflexionan de nuevo, e intercambian los resultadospor escrito. Parte de la planificación incluye predecir lo que harán los grupos deestudiantes cuando se les presenten determinados problemas y tareas. Elprogresivo análisis de la práctica se elabora, por tanto, dentro de la institucióneducativa, no se trata de una tarea añadida que los profesores tienen queorganizar por sí mismos.NCTM, 2.000, p. 377El profesorado necesita confianza, respeto y paciencia por parte delos padres y de la administración en el desempeño de su labor, pero sobretodo cuando trabajan para desarrollar, analizar y perfeccionar su práctica.La formación inicial es la base de la enseñanza de las matemáticas,pero sólo proporciona una pequeña parte de lo que el profesorado necesitaconocer y comprender en el ejercicio de su carrera, pero debe “preparar alos profesores para aprender de su propia práctica, de sus alumnos, de losmateriales curriculares, de sus colegas y de otros expertos” (NCTM, 2.000,p. 377).
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 19Manuel Alcalde Esteban1.1.4. EL PRINCIPIO DE APRENDIZAJE«Los estudiantes deben aprender matemáticas comprendiéndolas, yconstruir activamente nuevos conocimientos a partir de la experiencia y delos conocimientos previos» (NCTM, 2.000, p. 20).Aprender matemáticas es para Principios y Estándares un aprendizajeen el que se comprende lo aprendido. Aprender sin comprender ha sido unresultado frecuente de la enseñanza de las matemáticas, desde por lomenos, los años treinta del siglo pasado, y fue objeto de una gran cantidadde discusiones e investigaciones por parte de psicólogos y educadoresdurante años3.“Ser competente en un campo complejo como el matemático suponetener habilidad para usar los conocimientos con flexibilidad, y aplicar conpropiedad lo aprendido en un contexto, a otro contexto” (NCTM, 2.000, p.21). Las investigaciones de finales del siglo XX realizadas por psicólogos yeducadores sobre el aprendizaje de disciplinas complejas como lasmatemáticas, han demostrado que la comprensión conceptual es uncomponente fundamental en el conocimiento y la actividad de las personascompetentes, junto con el conocimiento factual y la destreza con losprocedimientos (Bransford, Brown y Cocking, 1.999).La asociación de estos tres elementos los hace poderosamente útiles.Los estudiantes que memorizan hechos o procedimientos sincomprenderlos, frecuentemente no están seguros de cuándo o cómo utilizarlo que saben, y tal aprendizaje es muchas veces bastante frágil (Bransford,Brown y Cocking, op. cit.). Aprender con comprensión hace también másfácil el aprendizaje posterior. Cuando los estudiantes conectan de formasignificativa y bien fundamentada los nuevos conocimientos a los yaexistentes: las matemáticas cobran más sentido y se recuerdan y aplican3P.e. Brownell (1.947), Skemp (1.976), Hiebert y Carpenter (1.992) citados por NCTM(2.000)
20 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralmás fácilmente (Schoenfeld, 1.988a) y, son más fácilmente asequibles parasu empleo en situaciones nuevas (Skemp, 1.976).Vivimos en un mundo cada día más tecnológico que hace que loscambios se sucedan con mayor rapidez. Hechos o procedimientosmatemáticos que se consideraban fundamentales dejan de serlo, como porejemplo la mayoría de los procedimientos aritméticos y algebraicos queconstituían el núcleo del currículo de matemáticas pueden ser ahoraefectuados con la calculadora de bolsillo, por lo que la comprensión deconceptos y la flexibilidad para razonar son requisitos imprescindibles paraenfrentarse con nuevos problemas y contextos y alcanzar una vidasatisfactoria, sana y exitosa tanto en lo profesional, en lo público, como en loprivado.Aprender comprendiendo facilita la consecución de objetivosmatemáticos como propiciar la autonomía de aprendizaje. Cuando seplantean a los alumnos tareas bien elegidas, llegan a confiar en su habilidad,trabajan con ahínco para resolver un problema complicado o para entenderun concepto complejo, son flexibles al explorar ideas matemáticas y ensayarsoluciones alternativas, experimentan un especial sentimiento de Iogro, Ioque conduce a una buena disposición para continuar y ampliar sucompromiso con las matemáticas. El aprendizaje efectivo supone reconocerla importancia de reflexionar sobre las ideas propias y aprender de loserrores.Desde temprana edad, los niños se interesan por las ideasmatemáticas y a través de las experiencias diarias van formandogradualmente ideas informales sobre cantidades, números, patrones,formas, tamaños y datos, y muchas de estas ideas son correctas y estables.Así, de manera totalmente natural, aprenden muchos conceptosmatemáticos, incluso antes de entrar a la escuela4. Por tanto los programasde matemáticas deberían potenciar su natural deseo de entender aquelloque se les pide que aprendan. Los estudiantes de todas Ias edades poseenun considerable talento básico a partir del cual construyen nuevos4Gelman y Gallistel (1.978), Resnick (1.987) citados por NCTM (2.000)
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 21Manuel Alcalde Estebanconocimientos, incluyendo las ideas desarrolladas en clase y las adquiridasen la experiencia diaria (Bransford, Brown y Cocking, 1.999), utilizando unatécnica que se establece pronto y se repite, aunque frecuentemente deforma menos obvia, durante todos los años de escolaridad (Steffe, 1.994).Los tipos de experiencias proporcionados por los profesoresdesempeñan, evidentemente, un papel principal para determinar la amplitudy calidad del aprendizaje de los alumnos. La comprensión de ideasmatemáticas puede alcanzarse, a lo Iargo de los años de escolarización, sise les compromete activamente en tareas y experiencias diseñadas paraprofundizar y relacionar sus conocimientos. Y puede mejorarse medianteinteracciones en el aula, cuando los estudiantes proponen ideas y conjeturasmatemáticas, aprenden a evaluar su propio pensamiento y el de los demás,y desarrollan destrezas de razonamiento (Yackel y Hanna, 2.003). El diálogoen clase y la interacción social pueden usarse para el reconocimiento deconexiones entre ideas y para la reorganización del conocimiento (Lampert,1.986). Cuando los alumnos hablan de sus estrategias informales, losprofesores pueden ayudarles a ser conscientes de sus conocimientosinformales implícitos y a construir sobre ellos (Lampert, 1.989; Mack, 1.990).Además, en tales contextos, la fluidez en los procedimientos y lacomprensión conceptual pueden desarrollarse a través de la resolución deproblemas, el razonamiento y el debate.Para aprender matemáticas comprendiéndolas se necesita teneracceso constante a una enseñanza de gran calidad. “En los niveleselementales [3.º a 5.º de Educación Primaria], los alumnos deberían estudiarmatemáticas al menos durante una hora diaria” (NCTM, 2.000, p. 378), conprofesores especialistas en matemáticas, lo que debería ser sinónimo deque les gustan y están preparados para enseñarlas bien.Todo alumno de los niveles medios y de secundaria [de 6.º de Primariaa Bachillerato] debe estudiar el equivalente a un año completo de matemáticasen cada nivel [...] y debería emplear cada día una cantidad sustancial de tiempotrabajando en matemáticas fuera de la clase, en actividades que vayan desde
22 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctorallas típicas tareas para casa y los proyectos a la resolución de problemas en elámbito laboral.NCTM, 2.000, p. 378La desconexión del aprendizaje matemático es un gran inconvenientepara hacer realidad la visión descrita en Principios y Estándares.Demasiados estudiantes se alejan de las matemáticas escolares, lo que creaun serio problema no sólo para sus profesores y para sus padres, sinotambién para una sociedad que depende cada día más de ciudadanospreparados en destrezas matemáticas. Los alumnos no llegan a involucrarsepor diversas razones. A muchos, por ejemplo, les resulta difícil mantener lamotivación y el esfuerzo necesarios para aprender lo que puede ser unaasignatura retadora, consideran que se enseña de una manera que le quitainterés y relevancia al aprendizaje.Por desgracia la desconexión se refuerza con mucha frecuencia, deforma declarada o sutil, por las acciones y actitudes de los adultos queinfluyen en los estudiantes. Algunos padres y otras personas con autoridad,y también las influencias sociales como las de los medios de comunicación,transmiten el mensaje de que no se espera que todos tengan éxito enmatemáticas y, por tanto, se acepta la separación de las matemáticasescolares. Esta tolerancia social hace menos probable que todos losestudiantes estén motivados para mantener el esfuerzo necesario paraaprender matemáticas, lo que hace más difícil, si cabe, el trabajo delprofesorado. También algunos profesores creen que muchos alumnos nopueden aprender matemáticas, lo cual refuerza la creencia de éstos de queno pueden aprenderlas, y los conduce a desconectarse más.Este círculo vicioso que afecta profundamente a las matemáticasescolares, siendo especialmente frecuente en los niveles medios y en laescuela secundaria, se tiene que romperMuchos profesores han llegado a la conclusión de que si enseñan la asignaturade forma semejante a las que se presentan en Principios y Estándares –porejemplo, abordando los temas tradicionales de manera que se enfatice la
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 23Manuel Alcalde Estebancomprensión conceptual y la resolución de problemas- muchos de los alumnosaparentemente desinteresados pueden llegar a sentirse atraídos.NCTM, 2.000, p. 3791.1.5. EL PRINCIPIO DE EVALUACIÓN«La evaluación debería apoyar el aprendizaje de matemáticasimportantes y proporcionar información útil tanto a profesores como aalumnos» (NCTM, 2.000, p. 23).Si la evaluación consiste en un examen al final del período deenseñanza para certificar las adquisiciones de los alumnos se estádesaprovechando otros propósitos importantes que tiene; debería constituiruna parte integral de la enseñanza, una parte habitual, que informe alprofesorado y le sirva de guía para la mejor toma de decisiones, y queinforme al alumnado de su proceso educativo, es decir, no sólo deberíahacerse a los alumnos, sino también para los alumnos.Cuando la evaluación es una parte integral de la práctica de la clase,utilizada continuamente por los profesores para recabar información sobre elprogreso de sus alumnos y para diagnosticar la enseñanza y el aprendizaje,produce una mejora del aprendizaje de todos los estudiantes, tanto en los dealto rendimiento como en los de bajo rendimiento, como comprobaron BIacky Wiliam (1.998) al revisar alrededor de 250 estudios de investigación.Una buena evaluación puede enriquecer el aprendizaje de diversasformas: las actividades propuestas en la evaluación deberían ser coherentescon las realizadas en clase e incluso, a veces, alguna ya vista en el aula,deberían ser justificación de la atención prestada y del tiempo empleado porlos alumnos, con todo ello se transmite un mensaje a los estudiantesrespecto a qué clase de conocimiento matemático y qué capacidades seevalúan, que podría influir en las decisiones que tomen los alumnos sobrecómo estudiar y dónde conviene esforzarse; la utilización de técnicas de
24 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralevaluación como las observaciones, las conversaciones y las entrevistas, olos diarios interactivos, probablemente consiguen que los alumnos aprendanal expresar sus ideas y al contestar las preguntas que se les formulan.El análisis de la valoración asignada a las tareas de evaluación y delos resultados puede ayudar también a los alumnos a fijar objetivos, asumirla responsabilidad del propio aprendizaje y llegar a ser aprendices másindependientes. Por ejemplo, las puntuaciones asignadas a cada cuestión ylas instrucciones para realizar la prueba evaluatoria, que sirven de ayuda alos profesores para analizar y describir las respuestas de sus alumnos atareas complejas y determinar sus niveles de conocimiento, pueden ayudartambién a los estudiantes a comprender las características de una respuestacompleta y correcta. Análogamente, los debates en el aula en los que losalumnos presentan y evalúan diferentes enfoques en la resolución deproblemas, pueden aclarar su idea de la diferencia entre una respuestaexcelente y una mediocre. Por medio de la propuesta de buenas tareas y ladiscusión pública de los criterios para la corrección de las respuestas, losprofesores pueden cultivar tanto la disposición como la capacidad delalumnado para implicarse en la autoevaluación de sus trabajos y reflexionarsobre las ideas propuestas por otros, hecho importante pues Wilson yKenney (2.003) observaron que la autoevaluación y la evaluación entreiguales tiene un impacto positivo en el aprendizaje.Los profesores deberían tener una idea clara de lo que se debeenseñar y aprender, y la evaluación debería estar en consonancia con dichaidea, reflejando las matemáticas que todos los estudiantes necesitanconocer y son capaces de hacer, centrándose en su comprensión y en lasdestrezas procedimentales.Decisiones relativas a cuándo y cómo repasar los conocimientosprevios, cómo analizar un concepto difícil o cómo adaptar las tareas para losalumnos con problemas de aprendizaje o para los que necesitan ampliar, sebasan en inferencias sobre lo que los alumnos saben y lo que necesitanaprender. La evaluación es una primera fuente de datos sobre los que se
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 25Manuel Alcalde Estebanbasan estas inferencias, y las decisiones que tomen los profesores serán tanbuenas como lo sean aquéllos.NCTM, 2.000, p. 23La utilización casi exclusiva del examen tradicional como medio deevaluación puede dar una idea incompleta y tal vez distorsionada delrendimiento de los alumnos, pues proporciona un único punto de vista sobrelo que los alumnos hacen en una situación muy particular (con frecuenciatrabajar individualmente en tareas con un tiempo limitado para realizarlas).Reuniendo datos de una variedad de fuentes, es más probable que elprofesor obtenga una imagen más exacta de lo que cada alumno sabe y escapaz de hacer, (aunque ello sea menos directo que promediarcalificaciones de exámenes) y tome decisiones acertadas al respecto.Entre las técnicas de evaluación que pueden utilizar los profesorestenemos: las cuestiones de respuesta simple o donde hay que elegir unarespuesta entre varias, que sirven para averiguar si los alumnos sabenaplicar procedimientos; las tareas donde hay que elaborar la respuesta o lastareas prácticas, donde pueden mostrar mejor su capacidad para aplicar lasmatemáticas en situaciones complejas o nuevas; las observaciones yconversaciones en clase, que pueden proporcionar puntos de vista sobre elpensamiento de los estudiantes; los diarios de clase y los cuadernos detrabajo, por medio de los cuales los profesores pueden seguir los cambiosen el pensamiento y el razonamiento de los estudiantes a través del tiempo.Al seleccionar los métodos de evaluación, los profesores deberíanconsiderar la edad, la experiencia y las necesidades especiales de losalumnos, deberían asegurarse de que todos tengan oportunidad parademostrar clara y totalmente lo que saben y pueden hacer. Por ejemplo, antela cantidad de inmigrantes que están llegando a las aulas deberían usar unlenguaje enriquecido y técnicas bilingües para ayudar a los que estánaprendiendo el idioma. Sin embargo, a pesar de todas estas precaucioneslos alumnos y los padres podrían encontrar algunos de estos métodos pocohabituales en la clase de matemáticas, por lo que los profesores necesitan elapoyo de la administración educativa para que alumnos y padres
26 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralcomprendan la utilidad y propósito de estos planteamientos para la mejorade la enseñanza de las matemáticas.Para obtener el máximo rendimiento de la evaluación, los profesoresnecesitan superar la consideración simplista de tarea «correcta oincorrecta», y centrarse en cómo piensan los alumnos al hacer las tareas,deberían hacer esfuerzos para identificar las ideas válidas de los estudiantes-sobre las que puede basarse un posterior progreso- más que centrarseúnicamente en los errores o conceptos falsos. Cuando está bien hecha, laevaluación que ayuda al profesorado en la toma de decisiones sobrecontenidos o formas de enseñanza (frecuentemente llamada «evaluaciónformativa»), puede usarse también para juzgar los logros de los alumnos(«evaluación sumativa»). En ambos casos el conocimiento de los profesoreses determinante para reunir información útil y extraer inferencias válidas: losprofesores tienen que tener muy claros sus objetivos matemáticos, entenderlo que sus alumnos piensan acerca de las matemáticas, tener un buencontrol de los posibles significados de la evaluación de conocimientos y serhábiles al interpretar la información proveniente de múltiples fuentes. “Paraque los profesores alcancen la necesaria formación al respecto, laevaluación debe convertirse en el foco principal de su preparación ydesarrollo profesional” (NCTM, 2.000, p. 25).El informe Programme for International Student Assessment (PISA)2.0035, dio a conocer los malos resultados en matemáticas de los escolaresespañoles, consecuencia de ello algunas administraciones educativas comola Conselleria d’Educació de la Comunidad Valenciana, han iniciado larealización de tests para ir revisando el estado de la enseñanza. Así al iniciodel curso 2.005/2.006, el 19 de enero de 2.006, a los niños valencianos deTercer curso de Primaria se les aplicaron pruebas para saber los nivelesalcanzados en el Primer ciclo de Educación Primaria, también al inicio delcurso 2.006/2.007 en Quinto curso de Primaria, el 20 de octubre de 2.006, sepasaron cuestionarios para saber los niveles logrados en el Segundo ciclode Primaria, y en Tercer curso de Educación Secundaria Obligatoria el 25 de5OECD (2.004)
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 27Manuel Alcalde Estebanoctubre de 2.006 se aplicaron tests a los chicos valencianos para saber losniveles alcanzados en el Primer ciclo de ESO.El Decreto 111/2.007, de 20 de julio, del Consell, por el que seestablece el currículo de la Educación Primaria en la Comunitat Valenciana,en su artículo 13. Evaluación de la etapa, en el punto 1, dice que al finalizarel Segundo ciclo Primaria se realizará una evaluación diagnóstica a todos losalumnos, y el Decreto 112/2.007, de 20 de julio, del Consell, por el que seestablece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en laComunitat Valenciana, en su artículo 16. Evaluación de la etapa, en el punto1, dice que al finalizar el Segundo curso de ESO se realizará una evaluacióndiagnóstica a todos los alumnos sobre las competencias básicasalcanzadas. Además, excepcionalmente la Conselleria d’Educació de laComunidad Valenciana tiene previsto realizar en octubre de 2.009cuestionarios diagnósticos a todo el alumnado de los cursos Segundo yCuarto de Educación Primaria y Segundo de Educación SecundariaObligatoria.Este tipo de pruebas pueden convertirse en una preocupaciónespecial para los docentes, ante lo cual se puede caer en la tentación de«enseñar para el test», decisión que puede debilitar la integridad de lainstrucción. Poner al profesorado en la alternativa de decidir entre lo queconsidera mejor para el aprendizaje de sus alumnos y lo que se requierepara «sobrevivir» en el sistema educativo, lo sitúa en una posicióninsostenible. Las evaluaciones de alta relevancia, tanto real como pública,tienen que estar estrechamente relacionadas con los objetivos que se pide alos profesores que alcancen.Pero no se están realizando sólo diagnósticos de los conocimientosmatemáticos de los escolares. El proyecto internacional de investigaciónTeacher Education Study in Mathematics (TEDS-M), impulsado por laInternational Association for the Evaluation of Educational Achievement(IEA), es un estudio comparativo internacional sobre la formación inicial delprofesorado de matemáticas en Educación Primaria y en SecundariaObligatoria y que España participa a través del Ministerio de Educación y
28 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis DoctoralCiencia, del Instituto Nacional de Estadística, de la Secretaria deCoordinación Universitaria y del Instituto Superior de Formación delProfesorado y del grupo de investigación (FQM-193) de Didáctica de laMatemática de la Universidad de Granada. La muestra para el trabajo decampo definitivo en España, que tuvo lugar en abril de 2.008, la compusieron50 instituciones de formación inicial del profesorado de Matemáticas deEducación Primaria, entre las cuales estuvo la Universitat Jaume I (UJI); encada una se seleccionó aleatoriamente una muestra de estudiantes deúltimo año de carrera (futuros maestros de Primaria), y formadores(formadores de Matemáticas, Didáctica de la Matemática y PedagogíaGeneral, y Supervisores de Practicum). Los resultados estaba previsto quese publicasen en octubre de 2.009, pero consultada la organización enEspaña, sita en el Departamento de Didáctica de la Matemática de laUniversidad de Granada, nos informan que por problemas a nivelinternacional no se espera publicar los resultados antes del verano de 2.010.1.1.6. EL PRINCIPIO TECNOLÓGICO«La tecnología es fundamental en la enseñanza y el aprendizaje delas matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y enriquece suaprendizaje» (NCTM, 2.000, p. 26).Mediante calculadoras y ordenadores los alumnos pueden examinarmás representaciones o ejemplos que los que son posibles usualmente, yasí, pueden formular y explorar conjeturas fácilmente. La potencia gráfica delos instrumentos tecnológicos permite el acceso a modelos visuales quemuchos estudiantes son incapaces de generar o no están dispuestos ahacerlo. La capacidad de cálculo de los recursos tecnológicos amplía la seriede problemas asequibles a los alumnos, y los capacita para ejecutarprocedimientos rutinarios con rapidez y seguridad.Cuando los estudiantes usan estas herramientas tecnológicas,disponen de más tiempo para desarrollar conceptos y para modelizar,
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 29Manuel Alcalde Estebanpueden centrar su atención en tomar decisiones, reflexionar, razonar yresolver problemas. La tecnología puede potenciar la implicación de losalumnos en las ideas matemáticas abstractas, y en su dominio, enriquecer lagama y calidad de las investigaciones. Por tanto, mediante un uso adecuadode las calculadoras y ordenadores, los estudiantes pueden aprender másmatemáticas y con mayor profundidad.La tecnología ofrece posibilidades de adaptación de la enseñanza alas necesidades especiales de los alumnos: los que se distraen con facilidadpueden centrarse más intensamente en las tareas con ordenadores; los quetienen dificultades de organización pueden beneficiarse de las restriccionesimpuestas por el entorno de los mismos y, los alumnos con discapacidadesfísicas aumentan radicalmente sus posibilidades matemáticas con lastecnologías especiales.Para que la tecnología constituya una parte esencial de las clases, lasherramientas tecnológicas tienen que seleccionarse y usarse de manerasque sean compatibles con los objetivos educativos, no deberían utilizarsecomo sustituto de los conocimientos e intuiciones básicos, sino que puedeny deberían usarse para potenciarlos.“En los programas de enseñanza de las matemáticas, la tecnologíadebería utilizarse amplia y responsablemente, con el objetivo de enriquecerel aprendizaje” (NCTM, 2.000, p. 26).Cuando estos instrumentos se consideran materiales esenciales deenseñanza para todos los alumnos, las dotaciones económicascorrespondientes deben reflejar este punto de vista, teniendo en cuenta loscostes de adquisición y mantenimiento, y también los costes de preparacióny apoyo al profesorado para utilizarlos al servicio de los objetivos educativos.El uso eficaz de la tecnología en las clases de matemáticas dependedel profesor, por lo que éste debería experimentar por sí mismo cómo latecnología puede mejorar el aprendizaje de matemáticas significativas yexplorar modelos para incorporarla a su práctica docente. Además, debeintegrarse en el programa de matemáticas, no tratarse como un añadido
30 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralllamativo. Para que la incorporación de nueva tecnología llegue a resultarsuficiente y adecuada para la mejora de la enseñanza y el aprendizaje de laasignatura serían necesarios unos planes coherentes y comprensivos depuesta en práctica.Cuando los alumnos utilizan calculadoras u ordenadores, confrecuencia emplean tiempo trabajando de forma que parece que lo hacenindependientemente del profesor, pero esta impresión es falsa. La tecnologíano sustituye al profesor. En un aula bien equipada tecnológicamente elprofesor desempeña varios papeles importantes, toma decisiones queafectan notablemente al aprendizaje de sus alumnos. En principio, puededecidir si emplea tecnología, cuándo y cómo hacerlo. Por ejemplo utilizandola tecnología para enriquecer las oportunidades de aprendizaje de susalumnos, seleccionando o creando tareas matemáticas que se beneficien delo que ella puede hacer bien y eficientemente: hacer gráficas, visualizar,calcular y proporcionar datos y recursos de Internet y de la World Wide Web.Además, al trabajar con herramientas tecnológicas en clase, los estudiantespueden mostrar con mayor facilidad sus formas de pensar sobre lasmatemáticas, por lo que el profesor tiene oportunidad de observarlos ycentrarse en su razonamiento. De este modo, la tecnología ayuda en laevaluación permitiendo a los profesores examinar los procesos seguidos enlas investigaciones de los alumnos, así como los resultados, yenriqueciendo, por tanto, la información disponible para tomar decisionesrelativas a la enseñanza.Los instrumentos tecnológicos no sólo influyen en cómo se enseñan yaprenden las matemáticas, sino que también afectan a qué se enseña y acuándo aparece un tema en el currículo. Gracias a la tecnología, los niñospueden explorar y resolver problemas que incluyan números grandes, opueden investigar las características de figuras por medio de programas deGeometría dinámica. Los alumnos de Educación Primaria pueden organizary analizar grandes conjuntos de datos. Los de Primer Ciclo de ESO, puedenestudiar relaciones lineales y las nociones de pendiente y variación uniformemediante representaciones en el ordenador, y realizar experiencias físicas
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 31Manuel Alcalde Estebancon laboratorios controlados por ordenador. Los alumnos de Segundo Ciclode ESO y del Bachillerato pueden usar simulaciones para estudiardistribuciones muestrales, y pueden trabajar con sistemas algebraicos porordenador que realizan eficientemente la mayoría de las manipulacionessimbólicas que constituían el centro de los programas tradicionales de estaetapa educativa.La tecnología puede ayudar a los profesores a relacionar el desarrollode las destrezas y los procedimientos con el desarrollo más general delconocimiento matemático. Cuando algunas destrezas, antes esenciales, sonmenos necesarias debido al uso de los instrumentos tecnológicos, se puedepedir a los alumnos que trabajen a más altos niveles de generalización yabstracción. El trabajo con simulaciones virtuales de experiencias físicas o conLogo, puede permitir a los niños ampliar su experiencia física y desarrollar sucomprensión inicial de ideas complejas como las implícitas en el diseño dealgoritmos. Los programas de geometría dinámica, permiten la experimentacióncon objetos geométricos con un enfoque explícito en las transformacionesgeométricas. De modo semejante, las utilidades gráficas facilitan la exploraciónde las características de los tipos de funciones. A causa de la tecnología,muchos tópicos de la Matemática Discreta adquieren nueva importancia en lasactuales clases de matemáticas; las fronteras del paisaje matemático estántransformándose.NCTM, 2.000, p. 28Hasta aquí el resumen de El principio tecnológico, que precisamenteacabamos con los dos párrafos anteriores porque en ellos podemos leer casitodas las aplicaciones de la tecnología a la enseñanza y el aprendizaje delas matemáticas escolares.Pero ahora quisiéramos dar y justificar otro significado de«tecnología» que engloba el que acabamos de ver aun siendo anterior y quenos parece más ajustado a su uso en el proceso educativo.
32 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis DoctoralBishop (1.991) menciona el trabajo de White (1.959) el cual agrupa loscomponentes de la cultura en cuatro categorías:- Ideológica: se compone de creencias, depende de símbolos, filosofías.- Sociológica: costumbres, instituciones, normas y pautas decomportamiento interpersonal.- Sentimental: actitudes, sentimientos relacionados con personas,comportamiento.- Tecnológica: fabricación y empleo de instrumentos y utensilios.De acuerdo con White (1.959), calificaríamos como tecnológicos,además de los ordenadores y las calculadoras, los instrumentos, utensilios,herramientas, genéricamente los denominados materiales didácticosmanipulativos, al menos los estructurados (que han sido fabricados para suuso en la enseñanza y el aprendizaje), que, como a continuación vamos adejar constancia, se utilizan también en las aulas, y más cuanto máspequeños son los alumnos. Nos estamos refiriendo a los bloques lógicos, losbloques aritméticos multibase, los ábacos, las regletas, las teselas, losgeoplanos, los cuerpos geométricos, los equipos completos de metrología,los juegos de probabilidad, etc.En primer lugar quisiéramos puntualizar el concepto «manipulación»:“cuando hablamos de manipulación en matemáticas se está haciendoreferencia a una serie de actividades específicas con materiales concretos,que faciliten la adquisición de determinados conceptos matemáticos”(Cascallana, 1.988, p. 29). No se trata por tanto de coger algo con lasmanos, de jugar, es algo más, la manipulación es un procedimiento deaprendizaje.El desarrollo intelectual de los niños desde los niveles de EducaciónInfantil hasta el nivel 6 de Primaria, según la teoría psicogenética de Piaget,se corresponde con las etapas preoperatoria (Infantil y Primer Ciclo dePrimaria) o de las operaciones concretas (Segundo y Tercer Ciclo dePrimaria), siendo una de las características de la última la realización deoperaciones reversibles con materiales concretos. En las citas quetranscribimos seguidamente vamos a ver como NCTM (2.000) sugiere,
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 33Manuel Alcalde Estebanaconseja, la utilización de materiales didácticos manipulativos en estosniveles.“Para entender y utilizar las ideas matemáticas es fundamental laforma en que se representen”, dice en la p. 71.Un poco más adelante aclara:El término «modelo» tiene muchos significados; por eso no essorprendente que se use de maneras muy diferentes en las discusiones sobreeducación matemática. Por ejemplo, se emplea para referirse a los materialesfísicos con los que trabajan los alumnos: modelos manipulativos.NCTM, 2.000, p. 74En los Estándares para el período Educación Infantil-Primer Ciclo dePrimaria encontramos:Los modelos concretos pueden ayudar en la representación denúmeros y en el desarrollo del sentido numérico; pueden también ser deutilidad para dar sentido al uso de símbolos escritos y en la construcción de losconceptos referentes al valor posicional.NCTM, 2.000, p. 84Las representaciones hacen las matemáticas más concretas yasequibles a la reflexión. Los alumnos pueden representar ideas con objetosque pueden moverse y disponerse de otro modo. En estas representacionesconcretas descansa el fundamento del empleo posterior de símbolos.NCTM, 2.000, p. 141Y en los Estándares para el período 3.º a 5.º de Primaria, podemosleer:En los niveles 3-5, los alumnos necesitan desarrollar y usar unavariedad de representaciones de ideas matemáticas para modelizar problemas,investigar relaciones matemáticas y justificar o refutar conjeturas. Deberíanutilizar representaciones informales, tales como dibujos, para destacar diversas
34 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralcaracterísticas de los problemas; emplear modelos físicos para representar ycomprender ideas como la de la multiplicación y la del valor posicional.NCTM, 2.000, p. 210Como conclusión, ante la variedad de instrumentos, utensilios,materiales a utilizar en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas,que a pesar de sus diferencias comparten muchas de sus cualidades(motivar, enriquecer el aprendizaje, modelizar, permitir examinar losprocesos seguidos por los estudiantes en las investigaciones, etc.),estableceríamos por tanto, dos clases de tecnologías:- Tecnología electrónica: materiales didácticos que contienen circuitosimpresos integrados y chips. Tendríamos aquí, entre otros, a losordenadores y las calculadoras.- Tecnología no electrónica: los materiales didácticos manipulativos.1.2. ACCIONES Y RESPONSABILIDADES PARA LAREALIZACIÓN DE LOS PRINCIPIOSLos profesores y los alumnos son los protagonistas de la enseñanza yel aprendizaje de las matemáticas, las decisiones que toman los primeroscada día determinan la calidad y efectividad de la educación matemática quereciben los segundos, y la respuesta de éstos colaborará o no en laconsecución de los logros deseados, pero ambos son sólo dos de las partesdel complejo sistema educativo. Los formadores del profesorado en ejercicio,los administradores educativos, los profesores universitarios encargados dela formación inicial del profesorado, las familias, los tutores, los miembros dela comunidad, las sociedades, colegios, organizaciones profesionales y losencargados de establecer la política educativa, poseen recursos, influencia yresponsabilidades que pueden facilitar a los profesores y sus alumnos eléxito en su tarea.
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 35Manuel Alcalde EstebanA continuación vamos a ver las acciones y las responsabilidades decada una de las partes del sistema educativo para la realización de losPrincipios.1.2.1. LOS PROFESORES DE MATEMÁTICAS“Los profesores de matemáticas tienen que desarrollar y mantener losconocimientos matemáticos y pedagógicos necesarios para enseñarlas bien”(NCTM, op. cit., p. 380) aprovechando las oportunidades que laAdministración educativa da, las que organizan los colegios o sociedadesprofesionales y formando grupos de compañeros que intercambian ycomparten información, experiencias y motivación, para conseguir undesarrollo profesional de calidad como se merecen ellos y la sociedad de laque forman parte. Pero los profesores españoles todavía no pueden hacerlodentro de su horario laboral.Aunque muchas cuestiones que afectan a sus clases trascienden elcontrol exclusivo de los profesores, son generalmente responsables de loque ocurre en ellas y adoptando decisiones respecto a cómo ofrecerexperiencias con matemáticas importantes, y cómo satisfacer la ampliagama de intereses, aptitudes y vivencias, pueden tratar de asegurar elacceso de todos los estudiantes a las matemáticas. Acceso que sería másfácil utilizando con eficacia libros de texto, materiales de apoyo, modelosmanipulativos, tecnología electrónica, etc., y adaptando estos recursos a sussituaciones particulares, para satisfacer así sus objetivos educativos y lasnecesidades del alumnado, a la vez que usando una variedad de tipos depruebas para evaluar a los estudiantes e integrando la evaluación en elproceso de enseñanza.En los últimos cursos de Primaria es cuando se empiezan a configurarlas actitudes de atracción o de rechazo de las matemáticas y en la ESO escuando se consolidan y afloran con total nitidez (Gairín, 1.987), por tantofomentar y desarrollar actitudes positivas hacia las matemáticas es unobjetivo prioritario (Generalitat Valenciana, 1.992a, 1.992b), que junto con
36 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctorallas decisiones acertadas del párrafo anterior podrían convencer a losalumnos de que pueden hacer matemáticas y disfrutarlas y podrían tambiénevitar la desconexión de estudiantes de Secundaria, llegando incluso a seraprendices de matemáticas seguros y comprometidos.Dice Gairín (1.987, p. 124): “resulta de capital importancia fomentar lacolaboración de los padres con la escuela a través de una exigencia deayuda y de un proceso de información constante”. Comunicarse acerca delos objetivos matemáticos, los programas, la enseñanza y el aprendizaje,ayuda a las familias y otros educadores a entender la clase de educaciónmatemática en la que están involucrados los alumnos, con lo que losprofesores pueden conseguir reforzar sus esfuerzos.Para hacer bien todo lo anterior, los profesores necesitan comprenderlos objetivos matemáticos que se marcan y sus puntos de vista sobre laeducación matemática, y ser capaces de articular unos y otros de manerasatisfactoria. Comprensión y articulación que debe comenzar en la formacióninicial de los profesores, continuando durante su ejercicio profesional con laevaluación de los materiales curriculares y la transmisión de sus sugerenciasa los formadores de profesores y a los administradores y, además, contandocon ellos en las reformas del sistema educativo, analizando conjuntamentelas finalidades perseguidas y convenciéndoles de los resultados esperados.1.2.2. LOS ESTUDIANTES DE MATEMÁTICAS“Aprender matemáticas es estimulante, gratificante y a veces difícil”(NCTM, 2.000, p. 382) pero para disfrutar las primeras cualidades y superarla última, lo más importante no es, precisamente, tener aptitudes e interesesmatemáticos, sino más bien no responder emocionalmente con actitudesque son francamente negativas para toda comprensión ante la simplepresencia de los símbolos matemáticos (Gairín, 1.987).Un buen clima de clase es absolutamente necesario para potenciarpositivamente el autoconcepto de los alumnos, que se ha observadofavorece el aprendizaje matemático (Gairín, op. cit.), y para la existencia de
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 37Manuel Alcalde Estebanuna comunicación fluida que informe de lo que saben y no saben losalumnos, que hará que los profesores estén más capacitados para planificarla enseñanza y responder a las dificultades.Como ya hemos dicho en el punto 1.1.4., además de las clases, losalumnos necesitan dedicar diariamente un tiempo para trabajar enmatemáticas, que podría comenzar con un rato corto en el Segundo Ciclo dePrimaria e incrementarse lenta pero gradualmente en los siguientes ciclos dePrimaria y Secundaria, hasta llegar al Bachillerato.1.2.3. LOS FORMADORES DEL PROFESORADO DEMATEMÁTICASHay una necesidad urgente y cada vez mayor de formadores delprofesorado de matemáticas, esto es, de especialistas situados entre losprofesores de aula y la administración, que puedan ayudar a la mejora de laeducación matemática.NCTM, 2.000, p. 382En la Comunidad Valenciana, la Conselleria d’Educació, a través deun concurso selecciona profesores en ejercicio, que son liberados de lasclases por un periodo de cuatro años, pasando a los Centre de Formació,Innovació i Recursos Educatius (CEFIRE) como formadores potenciales.Pero mientras que en Educación Secundaria hay formadores centrados enmatemáticas, en Educación Primaria los formadores del profesorado dematemáticas, en algunas ocasiones, tienen que hacer también deformadores en otras materias.Los formadores deberían ser profesores con los conocimientos y lacompetencia necesarios para ayudar al profesorado a actualizar yperfeccionar sus conocimientos matemáticos y pedagógicos, por lo que ellostambién deberían estar en un proceso de reciclaje continuo. Los profesorespueden beneficiarse mucho de los conocimientos y asesoramiento de los
38 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralformadores, desde el apoyo cotidiano hasta la planificación y desarrollo deinvestigaciones metodológicas o de materiales curriculares.También deberían asesorar a los encargados de la elaboración,planificación y desarrollo de la política educativa en lo concerniente a lamejora de la educación matemática, lo que podría posibilitar que profesoresy administradores educativos trabajasen conjuntamente para alcanzarpuntos de vista comunes sobre los objetivos de la enseñanza y elaprendizaje de las matemáticas. De esta manera los profesorescomprenderían sus objetivos matemáticos y sus perspectivas sobre laeducación matemática y serían capaces de articular unos y otras de maneracoherente y convincente, como apuntábamos más arriba.1.2.4. LA ADMINISTRACIÓN ESCOLARLa administración escolar es la responsable del diseño y aplicación depolíticas educativas, de la asignación de recursos y de la potenciación deldesarrollo profesional del profesorado.En las estructuras y normas del sistema educativo es donde mayorcapacidad de influencia tienen los administradores y, por tanto, donde quizásmás se puede ver afectada la educación matemática.Una de las facetas de esa influencia, y por tanto una de susresponsabilidades, es la aplicación de evaluaciones periódicas cuyosresultados sirvan para la aplicación de políticas que apoyen una enseñanzade las matemáticas de gran calidad.Otra faceta es la relativa a los materiales de curricularesLos administradores pueden apoyar la mejora de la educaciónmatemática estableciendo procesos eficaces para el análisis y selección demateriales de enseñanza. Estos procesos -sean en la clase, en la escuela o enotro ámbito- deberían implicar una amplia consulta con profesores yformadores del profesorado, y un profundo y cuidadoso análisis de losmateriales.
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 39Manuel Alcalde Esteban[...] Además, la adopción de nuevos materiales de enseñanza es sóloun comienzo. Independientemente de lo bien que hayan sido diseñados losmateriales curriculares, es improbable que conduzcan a la continua mejora dela enseñanza a menos que los planes para la aplicación y el desarrolloprofesional se formulen junto con el plan para la adopción de estos materiales.NCTM, 2.000, p. 384Para el desarrollo profesional del profesorado los administradoresdeberían crear instituciones en las que los profesores tengan acceso arecursos humanos y materiales que les ayuden a alcanzar los objetivos deuna educación matemática de calidad, parecidos a los anteriores Centros deProfesores (CEPs) (Rico y Sierra, 1.994) o los actuales CEFIRE de laComunidad Valenciana, y pueden también disponer los horarios laboralespara considerar dicho desarrollo como parte del trabajo del profesorado,pero desgraciadamente en la Comunidad Valenciana aún no es así y en elresto de España creemos que tampoco.Cuando los administradores son profesores comprenden mejor yhacen juicios probablemente más acertados sobre las necesidades de laeducación. Si además son especialistas en una disciplina, la situación puedeser la mejor que se podría dar para esa materia.1.2.5. LOS PROFESORES DE EDUCACIÓN SUPERIORLos profesores de matemáticas escolares en España pertenecen auno de los dos colectivos siguientes:- profesores de matemáticas de Educación Infantil o Educación Primaria,son maestros, diplomados universitarios- profesores de matemáticas de Educación Secundaria, Obligatoria (ESO) oPost-obligatoria, Bachillerato, son licenciados universitarios.En ambos casos su formación inicial es competencia y responsabilidad de launiversidad.Los maestros estudian en las Escuelas Universitarias de Profesorado,en las Facultades de Ciencias de la Educación (Rico y Sierra, 1.994) o en los
40 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralcentros que son sedes de las áreas de conocimiento de pedagogía, depsicología y de Didácticas Especiales, como la Facultat de CiènciesHumanes i Socials en la UJI, donde reciben la formación en contenidosmatemáticos teóricos, de la que se encarga el Área de conocimientoDidáctica de la Matemática o alguna de las otras áreas de Matemáticas, laformación relativa al aprendizaje y enseñanza en general, de la que seencargan áreas de conocimiento de pedagogía y de psicología, y laformación específica del aprendizaje y enseñanza de la matemática, queestá al cargo del Área de Didáctica de la Matemática.Los licenciados reciben la formación en contenidos matemáticosteóricos en las Facultades de Matemáticas, quedando la formación relativa alaprendizaje y enseñanza en general y la formación relativa al aprendizaje yenseñanza de la matemática para después de acabada la carrera,anteriormente en el Curso de Adaptación Pedagógica (CAP), actualmente enel Master universitario en Profesor/a de Educación Secundaria Obligatoria yBachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas, que en la UJIdedica 20 créditos ECTS a la formación psico-pedagógica, 8 créditos ECTSa complementos de formación matemática, 8 créditos ECTS a la formaciónen Didáctica de la Matemática y 8 créditos ECTS a la investigación enDidáctica de la Matemática, además de 10 créditos ECTS a practicum y 6créditos ECTS para el trabajo final de Master.La colaboración entre los investigadores en educación matemática,los educadores matemáticos y los profesores en ejercicio, enriquecedorapara las partes por la aportación de cada una de ellas como por lo quepueden aprender los unos de los otros, constituye un aspecto muyimportante de la mejora de la enseñanza y el aprendizaje de lasmatemáticas.
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 41Manuel Alcalde Esteban1.2.6. LAS FAMILIAS, OTROS EDUCADORES Y LOSMIEMBROS DE LA COMUNIDADLa sociedad actual evoluciona con mayor rapidez que la de lasdécadas anteriores, evolución que afecta a todos los ámbitos, por lo quetodos sus miembros necesitan comprender el cambio de objetivos yprioridades de las matemáticas escolares de comienzos del siglo XXI. Esresponsabilidad de los profesores y los administradores escolares dar lasexplicaciones pertinentes para que las familias, otros educadores y losmiembros de la comunidad comprendan dicho cambio, comprensión queademás puede conseguir su participación en la mejora de la educaciónmatemática o, cuando menos, no dificultar las iniciativas planteadas. “Lasfamilias necesitan saber de qué opciones disponen sus hijos y por qué esimportante que reciban una educación matemática amplia y rigurosa”(NCTM, 2.000, p. 385).“La familia es el primer núcleo de experiencias de la persona y es apartir de las experiencias como se conforman las actitudes” (Gairín, 1.987,p.123). La información estereotipada acerca de las matemáticas se transmitepor los padres en la enseñanza primaria y por los compañeros en lasecundaria (Boswell y Katz, 1.980) por lo que el apoyo de los padres puedeser de mucho valor para convencer a sus hijos de la necesidad de aprendermatemáticas y de tomar en serio la escolarización.1.2.7. ORGANIZACIONES PROFESIONALES Y POLÍTICOSLas sociedades, colegios, organizaciones profesionales son entescolectivos muy cualificados para proporcionar directrices y experiencia queapoyen una educación matemática de gran calidad.Pueden elaborar informes sobre: los requisitos que debería satisfacerla preparación del profesorado de matemáticas desde Educación Infantilhasta Bachillerato; la enseñanza y sobre la formación de los estudiantes,para que sea de público conocimiento lo que opinan los expertos y como
42 Capítulo 1: Principios para la Educación matemáticaTesis Doctoralconsecuencia de ello, la sociedad pueda manifestarse respecto a apoyar lainvestigación, el desarrollo y la financiación de la enseñanza de lasmatemáticas y de otros campos relacionados con ellas.Informes que podrían servir también de asesoramiento a los políticosencargados de la educación para que legislen lo mejor posible, para quetomen decisiones que potencien la mejora de la educación matemática, paraque asignen los fondos y recursos necesarios para continuar el estudio y lapuesta en práctica de las mejoras.Las organizaciones profesionales a través de sus miembros,publicaciones y reuniones, pueden centrar la atención en los temasimportantes de la educación matemática.Para finalizar daremos cuenta de actividades que llevan a caboalgunas organizaciones:- La Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana (SEMCV)«AL KHWARITZMI»: edita trimestralmente un boletín de problemas dematemáticas escolares Problemes Olímpics; publica un CalendarioMatemático escolar, que en cada día lleva una actividad, un hecho o unacuriosidad matemática, y en el curso 2.005/2.006, sumándose a laconmemoración de los 500 años de El Quijote, cada mes reseñaba unlibro de literatura matemática; organiza cada curso la OlimpiadaMatemática de la Comunidad y, cada dos años tienen lugar las Jornadesd’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana.- La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas(FESPM): edita la revista cuatrimestral «SUMA. Revista sobre laenseñanza y el aprendizaje de las matemáticas»; organiza cada dos añoslas Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (JAEM),que son las más importantes a nivel estatal y, en 1.996 consiguió que secelebrara en Sevilla, del 14 a 21 de julio, el 8.º Congreso Internacional deEducación Matemática (ICME-8), el más importante a nivel europeo.- La Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática(SEIEM): como actividades realiza Simposios anuales y, el Foro Indimat,en formato electrónico, para todos aquellos dedicados a la investigación
Importancia de los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes… 43Manuel Alcalde Estebanen Didáctica de la Matemática y, publica un Boletín con 2-3 númerosanuales, así como también las actas de los Simposios.- Por último, la Real Sociedad Matemática Española (RSEM): convocaanualmente el premio «José Luis Rubio de Francia» para doctores enmatemáticas españoles menores de 32 años; organiza la OlimpiadaMatemática Española, cuyos finalistas van después a la Internacional y ala Iberoamericana; publica digitalmente un Boletín semanal durante elcurso académico y La Gaceta Digital cuatrimestralmente; además deotras reuniones de carácter autonómico, estatal o internacional en las quecolabora u organiza; en el año 2.006 ha conseguido que se celebre enMadrid, del 22 al 30 de agosto, el XXV Congreso Internacional deMatemática (ICM2006) de la Unión Matemática Internacional (IMU),reunión matemática de máximo nivel mundial, que se celebra cada cuatroaños y que entrega, a matemáticos menores de 40 años, las MedallasFields, consideradas como los premios «Nobel» de matemática.
Capítulo 2: APRENDIZAJE DE LASMATEMÁTICASEn este capítulo nos interesaremos por el alumno como sujetocognitivo que ha de aprender el saber matemático en un centro escolar,institución que introduce dos restricciones, una temporal: el aprendizaje debellevarse a cabo en un tiempo determinado fijado por la Administracióneducativa, y otra epistemológica: el conocimiento adquirido por medio delaprendizaje escolar debe ajustarse a un saber de referencia, el sabermatemático (Balacheff, 1.996).«Saber matemáticas» no es solamente saber definiciones, teoremas,identificar propiedades de números, magnitudes, polígonos u otros objetosmatemáticos, para reconocer la ocasión de utilizarlos y aplicarlos, la personaque sabe matemáticas ha de ser capaz de usar los contenidos matemáticospara resolver problemas (Brousseau, 1.998).Por tanto veremos en el cuarto apartado del capítulo en qué consisteaprender contenidos y, después, nos aproximaremos a modelos teóricos quenos facilitarán su comprensión.Al buscar los fundamentos teóricos apropiados, encontramos dostipos de teorías: unas específicamente interesadas por el aprendizaje de lasmatemáticas, que abordaremos en el sexto apartado del capítulo y, otrasteorías del aprendizaje en general que son aplicables al aprendizaje de lasmatemáticas, que trataremos en el quinto apartado.

References: Resolución 
 Resolución 
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 artículo 12
 Real Decreto 
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 artículo 13
 artículo 16