Source: https://es.scribd.com/doc/38027468/geogebra
Timestamp: 2017-12-14 06:36:59+00:00

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José Antonio Mora Sánchez (Adaptación)
Los programas de Geometría Dinámica han abierto nuevas posibilidades para la geometría escolar. La principal ventaja consiste en que las figuras dejan de ser estáticas: del papel pasan a la pantalla del ordenador. Ahora se nos presentan en forma de animaciones que nos permiten observarlas desde distintos puntos de vista e incluso nos permiten interactuar con ellas al modificar ciertas condiciones en el diseño y analizar qué es lo que ocurre. Veremos distintas formas de utilizar este software en clase para acercar los contenidos matemáticos a los estudiantes y mejorar su comprensión: resolución de problemas, realización de investigaciones, introducción y consolidación de conceptos, trabajo de exploración de situaciones o apoyo en trabajos interdisciplinares. La geometría y las nuevas tecnologías en el sistema educativo La geometría, junto con la estadística ha quedado relegada al final de los libros de texto. Esa es la forma de dejarla de lado cuando no hay nada interesante que hacer con ella y además carece del valor propedéutico que tradicionalmente se le otorga a los campos numérico y algebraico. La introducción de las nuevas tecnologías sigue un camino paralelo al de la geometría. Para el currículo eran algo que tenía que llegar pero aún no se adivinaba cómo. La geometría dinámica (GD) en otros sistemas La situación más favorable al empleo de la GD se da en Francia y en Alemania: En Francia se recomienda la utilización en los cuatro cursos de secundaria, más cuanto más alto es el curso. En Alemania juega un papel importante en los planes de estudios de la mayor parte de los estados federales. En algunos de ellos, el empleo de GD es obligatoria, mientras en el resto completan la educación matemática. En países como Austria, Holanda, Luxemburgo o Suecia se recomienda en algunos casos vivamente, el uso de los programas de GD aunque no es obligatorio su uso. En Finlandia no aparece en el plan de estudios. Sin embargo, disponen de un proyecto donde apoyan a los profesores que lo usen (particularmente, Geometers' sketchpad). En Gran Bretaña la referencia a las NNTT es global sin hacer énfasis particular en la geometría dinámica. 2 Inter geo (Interoperable Interactive Geometry for Europe) 2 Inter geo es un proyecto de la Unión Europea para los próximos tres años incluido en el programa eContentplus en el que participan algunas empresas que comercializan software de geometría dinámica (Cabri, Geogebra, Wiris, Cinderella, Tracenpoche) y universidades de seis países: Alemania, Francia, Luxemburgo, Holanda, la República Checa y España. El equipo español está formado por profesores de Didáctica de las matemáticas y de Secundaria de varias comunidades asociados a la Universidad de Cantabria y está dirigido por Tomás Recio. Los objetivos que persigue el proyecto son: Obtención de un formato universal para la geometría dinámica al que todos los programas podrán exportar favoreciendo el intercambio de experiencias entre alumnos y profesores. Construcción de una biblioteca de contenidos con materiales prácticos comentados (construcciones geométricas, unidades didácticas, experiencias de aula, documentos teóricos, etc.), que puedan servir de guía para facilitar que el profesorado pueda implementar la GD en su clases de matemáticas. Experimentar materiales y asesorar sobre la calidad de los contenidos incluidos en esa base de datos. Organizar y poner en contacto a distintas comunidades de práctica. La Geometría Dinámica en las aulas. La utilización más frecuente de la Geometría Dinámica en la clase de matemáticas se hace por dos vías: Por los alumnos que hacen las matemáticas utilizando el ordenador como si fuera una herramienta de dibujo para resolver problemas, desarrollar proyectos de investigación o seguir lecciones diseñadas previamente. Por el profesor para realizar presentaciones de conceptos o procedimientos con el apoyo de un cañón de proyección conectado a un ordenador.
Coord. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura
Coord. Técnico: Paul Sáenz Fajardo
Actualmente ya vamos encontrando bastantes ejemplos en Internet de la utilización de la GD que pueden sernos de gran utilidad para preparar nuestras clases. Veremos algunos de ellos: Desarrollo de capacidades: la predicción. Los programas de GD son útiles para que el alumno descubra por sí mismo conceptos y procedimientos mediante la exploración de situaciones prácticas. El problema es que en muchos casos, basta con una acción de ratón para que se desvelen todas las propiedades de la figura y ya no haya que pensar más: la imagen es muy poderosa y nos convence. Desde ese punto de vista el trabajo del profesor consiste en convencer a los estudiantes de que deben pensar antes de actuar. Veremos un ejemplo con la utilización del lugar geométrico Con frecuencia, la secuencia de trabajo en una clase de matemáticas es: Haz, discute, descubre. D. Fielker en su libro Rompiendo las cadenas de Euclides, propone hacer permutaciones de estos términos según la tarea que queramos proponer a los estudiantes. Cuando el alumno piensa de antemano en la situación, planifica y analiza las distintas posibilidades, puede imaginar lo que va a ocurrir, entonces la secuencia correcta podría se Discute, haz, descubre si lo que necesita es realizar un trabajo práctico antes de emitir hipótesis. Aún más interesante sería: Discute, descubre, haz cuando lo que se quiere es que emita su hipótesis y después confirme o refute sus conjeturas. En el trabajo con GD lo podemos ver con la siguiente tarea: 1. Sitúa dos puntos A y B y dibuja la circunferencia con centro en A y radio en B. 2. Sitúa ahora dos puntos C y D sobre la circunferencia anterior y dibuja la circunferencia con centro en C y radio en D. ¿Cómo será el lugar geométrico de la segunda circunferencia (posiciones de la circunferencia cuando el punto se coloca en 50 puntos equidistantes sobre la primera circunferencia) respecto de D? ¿Y si lo hacemos respecto de C?
El trabajo más difícil para el profesor es impedir que el alumno deje la traza activada y se ponga a mover los círculos o que marque el botón lugar geométrico para hacer aparecer la figura. Los programas de GD nos pueden echar una mano en esta tarea ya que permiten ocultar algunas de las herramientas para que no estén a disposición del alumno en este archivo (en este caso eliminaríamos lugar geométrico y activación de la traza). Y es que en el momento que aparezca la imagen de la cardioide el problema habrá acabado sin pena ni gloria. Si, por el contrario, el alumno se dedica a pensar en la figura que se obtendría, analiza distintas posibilidades, explica por qué cree que será esa y no otra, intenta convencer (demostrar) a sus compañeros de por qué va a ser así y sólo después construye el lugar con el ordenador, estará desarrollando una capacidad matemática muy importante: la de predecir lo que ocurrirá en determinadas condiciones, y además estará potenciando una actitud investigadora fundamental en su desarrollo matemático. Acercarnos a los conceptos. La simetría axial Con la GD es muy fácil realizar un primer acercamiento de los alumnos a algunos conceptos de la geometría plana, éste es el caso de los movimientos. La secuencia de trabajo podría partir de un archivo como el de la figura con un triángulo y su simétrico respecto de una recta. La propuesta de trabajo inicial es muy distinta a la anterior: Mueve el triángulo por la pantalla y observa la figura simétrica, ¿qué conclusiones puedes extraer?. Más adelante podemos pedir que modifique la recta cambiándola por otra paralela o alterar su inclinación.
El trabajo propuesto normalmente es sorprendente y divertido al principio, sobre todo cuando el triángulo traspasa la raya y se sitúa del otro lado. Si no intervenimos, los alumnos pueden estar un buen rato adquiriendo experiencia pero se cansarán. El problema viene cuando les pedimos que relaten lo que están viendo, que lo pongan por escrito, que expliquen (con sus palabras) qué es la simetría axial. Si no les preguntamos nosotros por los puntos invariantes, no hablarán de ellos. En esta fase las matemáticas -y el profesor-, exigirán precisión, concisión y rigor, todos ellos adaptados al nivel de los estudiantes, teniendo claro que cuanto más, mejor . Como estrategia didáctica, el profesor puede tomar las ideas erróneas de los estudiantes, seguirlas y obtener con sus explicaciones figuras no deseadas por ellos. Si se consigue un ambiente en el que los errores se utilizan para que la clase avance, los alumnos no tendrán miedo a equivocarse y se verán implicados en la mejora de sus ideas y las de los demás. Más adelante podemos proponer a los alumnos la composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos, que experimenten e intenten comparar el efecto de estas dos simetrías con una traslación. Es interesante que lleguen a darse cuenta de que la magnitud del vector traslación no depende de la posición del objeto. Más adelante podemos entrar a la composición de simetrías de ejes que se cortan en un punto. Investigaciones. La mitad del cuadrado. La geometría es una de las partes de las matemáticas que se prestan mejor a un aprendizaje mediante investigaciones entendiendo por tal una tarea en la que el objetivo no está completamente clarificado y en la que los estudiantes han de tomar decisiones que delimiten el trabajo a realizar. Un trabajo de este tipo se expuso en Mora (1991). El problema inicial es el siguiente: Dado un cuadrado, una forma de construir, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento. Investiga otros procedimientos. Para cada una de las soluciones que encuentran se les pide que describan el procedimiento seguido, que den el nombre de la figura obtenida y que expliquen por qué creen que la figura obtenida es la mitad del cuadrado. Algunas de las soluciones:
Esta investigación se realizaba en un principio con lápiz y papel, más adelante se rehízo con la ayuda de la GD. A lo largo del trabajo en clase tratamos ideas de geometría sintética: Utilizan la terminología geométrica y enriquecen su vocabulario en la descripción de formas y figuras. Profundizan en conceptos como los de polígono, área o los movimientos en el plano (traslaciones, simetrías, giros) y los relacionan con otros. Estiman, miden y calculan longitudes, y superficies. Consolidan destrezas como la utilización de fórmulas y la manipulación algebraica.
Toman decisiones en el curso de su trabajo y examinan las consecuencias de su elección.cnice.mec. La formulación de conjeturas y la búsqueda de contraejemplos para refutarlas. Utilizar los diseños construidos para la mitad del cuadrado para utilizarlos como baldosas con los que construir mosaicos.Realizan construcciones geométricas con regla y compás y con ordenador. Por otra parte. El curso Interactivo de Geometría para la Educación Secundaria de José Manuel Arranz en http://concurso. Intenta reproducir las imágenes de los cuatro cursos de geometría de Secundaria. Coord. imprimirles movimiento y conseguir que sean interactivos de forma que el estudiante tenga la posibilidad de modificar distintos elementos de la composición y comprobar el efecto que producen sus cambios. Utilizan propiedades y resultados geométricos como el teorema de Pitágoras o la semejanza. Defienden sus soluciones ante sus compañeros. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.es/cnice2006/material098/geometria/index. La generalización desde caso particulares y la particularización al darse cuenta de que una solución engloba a otras encontradas anteriormente. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 4 .htm recibió el segundo premio de materiales curriculares del CNICE en 2005. La demostración utilizando argumentos geométricos y algebraicos. el mejor logro consiste en la actitud típicamente matemática con que el estudiante interpreta esta experiencia: Describen y definen las figuras obtenidas con sus propias palabras. Más aplicaciones de la Geometría Dinámica en la clase de matemáticas El libro interactivo. Esto nos puede llevar a estudiar los mosaicos de la Alhambra. Esta propuesta permite la diversificación del alumnado admitiendo distintos niveles de profundización en las propuestas de trabajo realizadas y además sugiere nuevas líneas de trabajo para que los alumnos más interesados puedan profundizar: Obtener la mitad de un círculo o de otro polígono e incluso pasar al espacio y plantearse la mitad de un cubo. La búsqueda sistemática a la vez que imaginativa de soluciones a un problema. también son conocimientos los procedimientos y estrategias que se utilizan para hacer matemáticas. Tras esta forma de proceder en el aula.
Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. sólo aparecerá en el extremo derecho de la Barra. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores. Atención: Si el nombre de la herramienta y/o la explicación de su empleo fueran demasiado extensos.1 Vistas Múltiples de los Objetos Matemáticos GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemático: una Vista Gráfica. para la enseñanza de matemática escolar.GeoGebra 1. pueden realizarse construcciones geométricas en la Vista Gráfica. empleando las herramientas de construcción disponibles en la Barra de Herramientas. Basta con elegir alguna herramienta de construcción de la Barra de Herramientas y seguir las indicaciones de la Ayuda de la Barra de Herramientas (a continuación de la barra de herramientas) para averiguar cómo usarla. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 5 . Cada representación del mismo objeto se vincula dinámicamente a las demás en una adaptación automática y recíproca que asimila los cambios producidos en cualquiera de ellas. más allá de cuál haya sido aquella desde la que se lo creara originalmente.1.1 Vista Gráfica Con el ratón o mouse. el nombre en cuestión. Esta multiplicidad permite apreciar los objetos matemáticos en tres representaciones diferentes: gráficamente (como en el caso de puntos. Coord. una. gráficos de funciones). una Vista de Hoja de Cálculo. ¿Qué es GeoGebra? GeoGebra es un software de matemática que reúne dinámicamente geometría. algebraicamente (como coordenadas de puntos. Vista Algebraica y además. y en celdas de una hoja de cálculo. se podrá leer en el cuadrito emergente al pasar con el ratón o mouse por encima de la herramienta activa. numérica. ecuaciones). 1. álgebra y cálculo. La explicación de su empleo. 1.
Simultáneamente. Atención: Se pueden desplazar objetos en la Vista Gráfica. el que derivara de alguno previo. En la Vista Algebraica. tiene también su correspondiente representación en la Vista Algebraica. que se despliegan con un clic sobre la flechita del vértice inferior derecho del recuadro del ícono. Un doble clic sobre un objeto dependiente de la Vista Algebraica. se despliega con un clic sobre la flechita en el vértice inferior derecho del botón Comando . automáticamente. despliega una caja de diálogo en la que se lo redefine. Después de seleccionar el comando de la lista (o de anotar su nombre directamente en el Campo de Entrada). Es posible. las representaciones algebraicas se actualizan dinámicamente en la Vista Algebraica.Todo objeto creado en la Vista Gráfica. Caja de Herramienta de Transformación (su ícono por omisión es 1. representa una caja de herramientas que contiene una selección de útiles similares. al pulsar la tecla F1. la representación gráfica del objeto se ajustará automáticamente a los cambios efectuados. La lista de Comandos. modificar los objetos en la Vista Algebraica: hay que controlar que la herramienta que Elige y Mueve esté activada antes de hacer doble clic sobre un objeto libre en la Vista Algebraica. disponible en la esquina derecha de la Barra de Entrada. será dependiente. Es libre todo nuevo objeto creado sin emplear ninguno de los ya existentes y. su representación gráfica en la Vista Gráfica. al ingresar f(x) = x^2 aparece la función cuadrática en la Vista Algebraica y el gráfico de la parábola en la Vista Gráfica.1. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 6 . Por ejemplo. además. Después de pulsar la tecla Enter. En la caja de texto emergente. se puede editar directamente la representación algebraica del objeto. Después de pulsar la tecla Enter. los objetos matemáticos se organizan. Coord. distinguiendo los libres de los dependientes. aparece información sobre su sintaxis y ayuda sobre los datos necesarios para aplicarlo.2 Vista Algebraica Desde la Barra de Entrada de GeoGebra pueden ingresarse directamente expresiones algebraicas. GeoGebra ofrece también una amplia gama de comandos que se pueden ingresar en la Barra de Entrada. arrastrándolos con el ratón o mouse. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. lo ingresado aparece en la Vista Algebraica y. viceversa. Cada ícono de la barra. Ojo: Las herramientas se organizan según la índole de objeto resultante. A la Caja de Herramientas de Puntos (el ícono por omisión es ) se recurre para diversas creaciones de diferentes puntos y las que aplican transformaciones geométricas se agrupan en la ).
3. cambiar la Unidad Angular de Grados a Radianes . Al seleccionar Barra de Navegación por Pasos de Construcción en el Menú Vista la Barra de Navegación aparece al pie de la Vista Gráfica.1. Además.1 Usando la Barra de Navegación GeoGebra ofrece una Barra de Navegación que permite recorrer los pasos de construcción del boceto elaborado.2 GeoGebra como Herramienta de Presentación 1. La Barra de Navegación presenta una botonera y expone el número de Pasos de Construcción (por ejemplo. 2 / 7 significa que estamos frente al segundo de un total de siete Pasos de Construcción): es el botón para: retroceder al paso inicial es el botón para: retroceder paso a paso es el botón para: avanzar paso a paso es el botón para: avanzar hasta el ultimo paso Reproduce : automáticamente ejecuta la construcción paso a paso. Coord. Tamaño de Casilla de Control . Técnico: Paul Sáenz Fajardo 7 .. Por ejemplo. Este botón sólo aparece durante una ejecución iniciada con Reproduce . Pausa : establece una pausa en la ejecución automática . y Estilo del Angulo Recto .2. con el ítem Guardar Configuración del Menú de Opciones para que GeoGebra establezca tales ajustes de uso en cada nuevo boceto creado y archivado. Se pueden guardar las opciones definidas. es el botón para abrir el Protocolo de Construcción. La caja de texto a la derecha del botón Reproduce permite establecer la velocidad de ejecución automática. puede cambiarse el estilo de la notación de las coordenadas ( Coordenadas ) y decidir qué objetos se van a rotular ( Rotulado ).3 Cambiando las Opciones de GeoGebra GeoGebra permite cambiar y guardar los ajustes preferidos que se hubieran establecido en el menú de Opciones. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 1. o el Estilo del Punto .
Seleccionando. Desplaza Vista Gráfica. hasta ubicar la construcción en la zona superior izquierda de la Vista Gráfica y entonces.2 Creando Imágenes de la Vista Gráfica Guardando la Vista Gráfica como Imagen Puede archivarse como imagen. reducir la ventana de GeoGebra arrastrando sus extremos y/o bordes con el ratón o mouse. 1. Se guarda la imagen completa de la Vista Gráfica. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 8 . Zoom de Alejamiento . clic mediante: Coord. la Vista Gráfica de cualquier construcción. Atención: Cuando se emplea GeoGebra como una herramienta de presentación. Escala (en cm) y Resolución (en dpi) de la imagen guardada en el archivo gráfico al que se la exporta La medida efectiva de la imagen aparece en la ventana de exportación. Copiando la Vista Gráfica al Portapapeles Hay diferentes maneras de copiar la Vista Gráfica al llamado portapapeles. En el Menú Archivo. que determinarán sendos vértices opuestos del Rectángulo de Exportación Atención: Los puntos Exporta1 y Exporta2 deben marcarse en el área visible de la Vista Gráfica.4 GeoGebra como Herramienta de Autor 1.Atención: Se pueden recuperar las opciones por omisión originales. seleccionando el ítem Restablecer la Configuración Original del menú Opciones.4. debajo de los botones mencionados. crear un par de puntos denominados Exporta_1 y Exporta_2. expresada tanto en centímetros como en pixels. la opción Vista Gráfica como Imagen del ítem Exporta despliega una ventana de diálogo en que se puede especificar el Formato . conviene aumentar la medida de tipografía (ítem Tamaño de la Letra del menú de Opciones) para que se aprecien con facilidad los textos y los rótulos de los objetos. al Zoom de Selección Rectangular para especificar qué parte quedará enfocada en la Vista Gráfica antes de guardarla como imagen. Zoom de Acercamiento. apelar a las herramientas pertinentes. cuando sólo interesa una zona de la construcción conviene. previamente. Por eso.
2. permite obtener su punto medio. Coord. su punto medio. segmentos. una de la opciones del ítem Exporta del Menú Archivo El botón Portapapeles de la ventana de diálogo de Exporta Vista Gráfica como Imagen de la opción Copia Vista Gráfica como Imagen (png. vectores.2 Herramientas de construcción 2. fijar la intersección entre objetos (ver herramienta Intersección de Dos Objetos) o trazar una circunferencia (ver herramientas correspondientes a la Circunferencia). como imagen con formato PNG. se crean todos los puntos de intersección (si los hubiese / fuesen posibles). se crea un punto sobre el objeto en cuestión. funciones.2 Puntos Nuevo Punto Con un clic sobre la Vista Gráfica se crea un nuevo punto. función o curva.3 Vectores Vector entre Dos Puntos Basta con seleccionar el punto de inicio y el de aplicación del vector Vector desde un Punto Al seleccionar un punto A y un vector v. crea este punto de intersección (ver también el comando Interseca). Atención: Para exportar una construcción fijando determinada escala (en cm).El ítem Copia la Vista Gráfica al Portapapeles del Menú Edita Copia Vista Gráfica el Portapapeles . Cuando el ratón (o mouse) se desplaza sobre un objeto. Sus coordenadas quedan establecidas al soltar el botón de ratón o mouse nuevamente Con un clic sobre un segmento. se crea un nuevo punto B = A + v así como el vector de a B. Intersección de Dos Objetos Los puntos de intersección de los dos objetos pueden producirse de dos maneras: Seleccionando dos objetos. recta. Un segmento. 2. Atención: Un doble clic sobre un objeto en la Vista Algebraica abre su campo de edición que permite se modifique su valor si fuera un objeto libre y que se lo redefina. si fuera dependiente. eps) ) del ítem Exporta del Menú Archivo Cualquiera de estas maniobras. GeoGebra reacciona de distinta manera frente a cada entrada de mouse o ratón según la herramienta y el modo en que se estuviera operando en la Vista Gráfica (ver. Con un clic directo sobre la intersección de los dos objetos: sólo se crea este único punto de intersección. 2. Vista 2. Un clic sobre la intersección de dos objetos. Punto Medio o Centro Un clic sobre: Dos puntos.1 Anotaciones Generales La Vista Gráfica (a la derecha) expone gráficamente la representación de objetos matemáticos (como puntos. lleva al portapapeles del sistema una copia de captura de pantalla de la Vista Gráfica. al respecto. la sección Herramientas de Construcción). Entrada Geométrica 2. Esta imagen puede pegarse en otros documentos (por ejemplo. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Por ejemplo. polígonos. Una circunferencia o sección cónica. un clic en Vista Gráfica puede crear un punto nuevo (ver herramienta Punto Nuevo). sección cónica. basta con seleccionar la opción Gráfica como Imagen del ítem Exporta del Menú Archivo. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 9 . rectas y secciones cónicas). éste se ilumina y se despliega un letrero rodante con su descripción.2. su punto centro. polígono. curvas. Los elaborados con Word).
Borra también el punto E. Ubica el punto E en el polígono ABCD. 5. para que quede trazado el segmento. 7. Desplaza el punto A en el plano. 3. Establece las propiedades de tal manera que los vértices del nuevo triángulo muestren sus coordenadas. se establece un segmento entre A y B. 4. 2. 3. B(3. 7. 2. En la Vista Algebraica se expone la ecuación correspondiente a la recta.4. 2. Dibuja el triángulo ABC. 4.2.6 Polígonos Polígono Para trazarlo y que quede expuesta el área del polígono en la Vista Algebraica. El extremo B puede rotarse con la herramienta Elige y Mueve en torno al extremo inicial A. con un clic reiterado sobre el primero de ellos. Dibuja los puntos A(2. D(10. se traza un polígono regular con n vértices (incluyendo los puntos A y B). Técnico: Paul Sáenz Fajardo 10 . Desplaza el punto E a lo largo del polígono. 2.2. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 5. C(8. Desplázalo a lo largo del polígono. A y B y anotar un número n en el campo de texto la caja de diálogo emergente.4 Segmentos Segmento entre Dos Puntos Al seleccionar dos puntos A y B. Atención: Esta herramienta crea un segmento con la longitud a determinada entre el punto A y el B que será su otro extremo. Observa lo que ocurre.5 Semirrecta Semirrecta que pasa por Dos Puntos Al seleccionar dos puntos A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B. ¿Qué ocurre con el triángulo? ¿Qué ocurre con los puntos medios? Dibuja un nuevo triángulo tomando como vértices los puntos medios antes dibujados. Graba el documento con el nombre de práctica2.4). 6. Coord. En la Vista Algebraica podrá verse la longitud de dicho segmento Segmento dados Punto Extremo y Longitud Basta con un clic sobre un punto A que desea fijarse como uno de los extremos del segmento y anotar la longitud a deseada al aparecer la ventana que se despliega a continuación.2. Dibuja los puntos medios de los lados del triángulo. PRÁCTICA N° 02 1. Dibuja el segmento AE. Obtener el punto de intersección de las diagonales. Traza las diagonales del polígono. 8. cerrarlo.2.15). Abre un nuevo documento.5) Dibuja el polígono ABCD.12). basta con marcar al menos tres puntos que constituirán sus vértices y. Borra el segmento AE. Polígono Regular Al marcar dos puntos. GEOMETRÍA DINÁMICA CON GEOGEBRA PRÁCTICA N° 01 1. 6. ¿Cuáles son sus coordenadas? Guarda el documento con el nombre de practica1.
4. Sobre cada lado dibuja un triángulo equilátero. Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular a g. 2. 2. Obtener el punto de intersección. establecido de uno de estos modos: Trazar la Selección Rectangular que enmarca a todos los puntos. Atención: La dirección de esta recta es equivalente a la del vector perpendicular al segmento s. 7. Dibuja un triángulo ABC. Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de sendos ángulos.PRÁCTICA N° 3 1. Recta que pasa por Dos Puntos Al marcar dos puntos A y B se traza la recta que cruza A y B. Une los baricentros obtenidos en el paso anterior para obtener un triángulo. B. Recta Paralela Al seleccionar una recta g y un punto A.A). Traza dos rectas paralelas a y b. 2. Dibuja un triángulo DEF. o AB. Modificar su mínimo valor en -6 y su máximo valor en 6. Observa como varía la recta al variar el valor de m. En un nuevo documento realiza la siguiente actividad: Dibuja un triángulo cualquiera. Ahora dibuja los triángulos DEF y DEG. 5. La dirección de esta recta es la de g. Sobre la recta a dibuja el segmento DE y sobre la recta b. El vector que fija la dirección de la recta es (B . Ubica el baricentro de cada triángulo. Ajuste Lineal Esta herramienta traza la recta que mejor se ajusta a un conjunto de puntos. 3. Calcula el área de ambos triángulos y compara. ¿Qué tipo de cuadrilátero es? Guarda tu práctica con el nombre de practica5. 4. PRÁCTICA N° 4 1. Recta Perpendicular Al seleccionar una recta g y un punto A. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. queda definida la recta que pasa por A y es perpendicular a g. 3. Introducir un número m=4 Dibujar la recta y=m*x+2 Mostrar el número m en pantalla. los puntos F y G. Guarda como práctica4 PRÁCTICA N° 5 EL TRIÁNGULO DE NAPOLEÓN 1. queda definida la recta que pasa por A y es paralela a g.2. Dibuja un cuadrilátero PQRS. B y C. Dibuja un cuadrilátero uniendo los puntos medios antes obtenidos. Seleccionar la lista de puntos cuyo mejor ajuste lineal se desea.7 Rectas Bisectriz La bisectriz de un ángulo puede definirse de dos maneras: Al marcar los tres puntos A. 3. 3. Coord. Traza las alturas. con B como vértice. Comprueba la veracidad de esta afirmación. 2. Dice Napoleón que este triángulo es equilátero. Atención: Los vectores directrices de todas las bisectrices tienen longitud 1. Ubica los puntos medios de los lados del cuadrilátero. Mediatriz La recta mediatriz de un segmento se traza al seleccionar un segmento s o dos puntos A y B. Guarda como practica6. 8. C se produce la bisectriz del ángulo determinado por A. PRÁCTICA N° 6 1. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 11 . Traza las medianas y obtener el punto de intersección. 4. 6. 2. 5.
lo marca como centro de la circunferencia a trazar. uno de sus puntos.2. Cónica dados Cinco de sus Puntos Al seleccionar cinco puntos. Para limitar la amplitud del ángulo a 180° como máximo.10 Números y Ángulos Angulo Esta herramienta crea: el ángulo entre tres puntos cuyo vértice es el segundo de ellos el ángulo entre dos segmentos el ángulo entre dos rectas el ángulo entre dos vectores todos los ángulos de un polígono Atención: En tanto los ángulos se crean en sentido antihorario. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. queda definida una sección cónica que pasa por ellos. Circunferencia dados Tres de sus Puntos Al seleccionar tres puntos A. queda especificado el radio y un clic posterior sobre un punto. no debe estar tildada la casilla de Admite Ángulos Cóncavos que en la pestaña Básico ofrece la Caja de Diálogo de Propiedades. seleccionando: Un punto y una sección cónica para establecer la recta polar. Una recta o vector y una sección cónica para fijar su diámetro. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 12 . Elipse La elipse se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego.2. uno de sus puntos. se despliega la ventana para ingresar el valor del radio. 2. Parábola La parábola se trazará al seleccionar un punto que será su foco y su directriz (recta.8 Secciones Cónicas Circunferencia dados su Centro y Radio Tras seleccionar un punto M como centro. Compás Al seleccionar un segmento o dos puntos. es relevante el orden de selección de los objetos al emplear esta herramienta. Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos Al seleccionar un punto M y un punto P queda definida una circunferencia con centro en M que pasa por P. Al seleccionar el punto A y la función f se traza la recta tangente a f por x=x(A). Coord. 2. Al seleccionar una recta g y una cónica c se producen todas las tangentes a c que son paralelas a g. Tangentes Las tangentes a una cónica pueden determinarse de dos maneras: Al seleccionar un punto A y una cónica c se producen todas las tangentes a c que pasan por A. Hipérbola La hipérbola se trazará al seleccionar sus dos focos en primer lugar y luego. B y C queda definida una circunferencia que los cruza.Recta Polar o Diametral Esta herramienta crea la recta polar o diametral de una sección cónica de dos posibles maneras. semirrecta o segmento).
Introducir las variables cat1 y cat2 (Cuadro de entrada) con valores iniciales de 4. Guarda la práctica como práctica8. 4. 2.Angulo dada su Amplitud Al marcar dos puntos A y B puede pasar a anotarse la amplitud del ángulo en el campo de texto de la ventana emergente. Traza cuatro rectas y ubica los puntos de intersección. 1. ver herramienta Expone / Oculta Objeto). ¿Cuántos puntos cómo máximo logras ubicar? 3. Puede crearse desde cualquier número libre o ángulo existente. Dibuja la recta 'c' paralela a 'b' y que pasa por el punto A. la de una circunferencia o la del perímetro de un polígono. Al dar clic sobre cualquier lugar libre de la Vista Gráfica. máx] e Incremento del número o ángulo. Intervalo [mín. Distancia o Longitud Esta herramienta mide la distancia entre dos puntos. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. La ventana que se despliega permite especificar el Nombre . PRÁCTICA 2 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1. exponiendo tal objeto (ver Menú Contextual. Área Esta herramienta establece el área de un polígono. dos rectas o un punto y una recta y la expone como texto dinámico en la Vista Gráfica. También opera con la longitud de un segmento. Deslizador Atención: En GeoGebra un deslizador no es sino la representación gráfica de un número o ángulo libres. se crea un "dial o deslizador para ajustar el valor de un número o un ángulo. Guarda la práctica como práctica7. 3. círculo o elipse como número que se expone como texto dinámico en la Vista Gráfica. Vamos a construir un triángulo rectángulo de tal manera que la medida de sus catetos puedan establecerse a través de dos deslizadores. Atención: En la ventana de diálogo del Deslizador puede ingresarse el símbolo de grados ° o pi incremento. 2. Dibuja la recta 'b' perpendicular a la recta 'a' y que pasa por el punto B. sencillamente. La posición de un deslizador puede ser absoluta en la Vista Gráfica o relativa al sistema de coordenadas (ver Caja de Diálogo de Propiedades del número o ángulo correspondiente). ilustrada en un triángulo rectángulo adecuado. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 13 . así como su alineación (Horizontal o Vertical) y Ancho (longitud expresada en pixels). usando las siguientes teclas de atajo: para intervalo e Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para el símbolo de grados ° Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para el símbolo Pendiente Esta herramienta mide la pendiente de una recta y la expone dinámicamente. en la Vista Gráfica GEOMETRÍA DINÁMICA CON GEOGEBRA PRÁCTICA N° 1 TRAZADO DE RECTAS 1. PRÁCTICA 6 CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Recordemos que un triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo interior recto. Dibuja la recta 'a' que pasa por los puntos A y B. Esta herramienta produce un punto C y un ángulo correspondiente a ABC. (En el Coord.
q y r. Configurarlos para que tomen como valor mínimo y máximo. c1=2. Introducir los números a1=2. 4. Modificar las propiedades del triángula para que tengan una buena apariencia11. respectivamente. Modifica las propiedades para darle una buena apariencia al triángulo dibujado. c2=4.cuadro de entrada escribir cat1=4. Dibujar un segmento AB cuya medida sea igual a la variable cat1. 2. 3. Ubicamos el punto de intersección C de la circunferencia y la recta perpendicular. 6. Para ello usar la herramienta Segmento dados punto extremo y longitud. Dibujar la recta a2*x+b2*y=c2 5. 3. PRÁCTICA 7 CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIENDO LAS MEDIDAS DE SUS TRES LADOS 1. Las medidas de los lados podemos modificarlos desde tres deslizadores. 7. b1=6. 3. 6. Ubica el punto de intersección C de las dos circunferencias. Coord. Para confirmar presionar la tecla Enter. Proceder de igual manera para la variable cat2). 5. Con centro en A y con radio igual al valor de la variable cat2 dibujamos una circunferencia. Para confirmar presionar la tecla Enter. Hallar el punto de intersección de las dos rectas y mostrar sus coordenadas. Dibujar la recta a1*x+b1*y=c1 4. 7. Mostrar los números en pantalla y configurar los deslizadores. b2=2. Estas medidas deben modificarse utilizando deslizadores. Para dibujar el segundo cateto trazamos primero una recta perpendicular al segmento AB y que pase por el punto A. 1 y 8 respectivamente. 1. 7. Mostrar los deslizadores en el plano. Ahora construiremos un triángulo a partir de las medidas de sus tres lados. Dibujamos el triángulo cuyos vértices son A. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 14 . 8. 3. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 9. PRÁCTICA 8 CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIENDO LAS MEDIDAS DE DOS SUS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO ENTRE ELLOS 1. 4. Ahora ya tenemos el triángulo cuyos lados miden p. B y C. Este segmento será el primer cateto. 7. 9. Las coordenadas del punto de intersección es el conjunto solución del sistema. Dibujar un segmento AB cuya medida sea igual a p. Guarda la práctica como práctica10. PRÁCTICA 9 RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS VARIABLES Resolver el sistema: 2x+6y=2 4x+2y=4 1. 10. ¿Qué valor tiene x e y? 5. a2=4. 6. 6. Guarda la práctica conel nombre de practica9. q y r respectivamente. 5. Oculta los elementos que creas conveniente. Redacta el procedimiento que has seguido para construir este triángulo. Dibuja el polígono ABC. Ahora tenemos un triángulo rectángulo. Construye un triángulo a partir de la medida de dos de sus lados. Para ello utilizar la herramienta Circunferencia dados su centro y su radio. Proceder de igual manera para la variable q y r). Oculta los elementos que creas conveniente. 2. Agregar tres variables: p. 4. 8. 2. Este segmento será la base del triángulo. 2. 8. 10. 2. (En el cuadro de entrada escribir p=6. Dibuja dos circunferencia con centro en A y B cuyos radios midan q y r.
Luego. seleccionando el punto a invertir y luego la circunferencia en cuestión. Luego. bastará para que se produzca la translación. Luego. polígonos e imágenes. Texto Mixto es una combinación de texto estático y dinámico. Coord. Atención: Puede especificarse la posición absoluta de un texto en pantalla (tildando la casilla de Posición absoluta en pantalla de la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades) para que no resulte relativa al sistema de coordenadas. Luego. en el caso de este ejemplo). Texto Dinámico Es el que contiene valores de objetos y se modifica y adapta automáticamente frente a sus cambios. es necesario especificar el texto de una de las siguientes maneras: Con un clic sobre la Vista Gráfica para crear un nuevo texto en esa posición.2. aparece una caja de diálogo en la que se puede anotar el texto. Refleja Punto en Circunferencia Esta herramienta permite reflejar un punto por una circunferencia. Texto Estático no depende de ningún objeto matemático y no suele afectarlo ningún cambio de la construcción. Luego. pueden crearse fórmulas de LaTeX o textos. Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser escalado.14 Texto Inserta Texto Con esta herramienta. Para crear un texto mixto. Traslada Objeto por un Vector Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser trasladado.2. estáticos o dinámicos. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Rota Objeto en torno a Punto.2. en la Vista Gráfica. debe anotarse el sector estático usando el teclado (por ejemplo: Punto A =) y añadiendo la sección dinámica con un clic sobre el objeto cuyo valor se desea exponer (el punto A. 35 Reflejo de Puntos Refleja Objeto por Punto Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. rectas. 2. Con un clic sobre un punto para crear un nuevo campo de texto cuya ubicación se vincula y asocia a dicho punto. Refleja Objeto en Recta Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser reflejado. basta un clic sobre la recta (semirrecta o segmento) para que quede establecido el eje de simetría a través del que se operará la reflexión. basta un clic sobre el punto que obrará como centro de rotación para que aparezca una ventana donde puede especificarse la amplitud del ángulo de rotación. A continuación. el Ánguloindicado Lo primero que debe seleccionarse es el objeto a ser rotado. basta un clic sobre el punto a través del cual se operará la reflexión.13 Transformaciones Geométricas Las siguientes transformaciones geométricas operan sobre puntos. un clic se sobre un vector. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 15 . basta un clic sobre el punto que obrará como centro de la homotecia para que aparezca una ventana en donde anotar el factor deseado. En primer lugar. secciones cónicas. 36 Atención: GeoGebra automáticamente incorpora y añade la sintaxis necesaria ("Punto A = " + A) para crear los textos mixtos: comillas en torno a la parte estática del texto y el signo más (+) para conectar las diferentes partes del texto.
estáticos y dinámicos. GeoGebra automáticamente crearía un texto dinámico. basta un clic sobre un objeto para que GeoGebra inserte su nombre así como la sintaxis para el texto mixto.. Sin embargo. Se pueden seleccionar los símbolos más usuales en la sintaxis de las formulas más habituales. Revisando cualquier documento sobre LaTeX se obtiene más información sobre el tema. Si se quiere crear un texto dinámico con la formula. sería preciso anotarlo entre comillas. puede anotarse cualquier texto que coincida con el nombre de algún objeto existente. Fórmulas LaTeX En GeoGebra también se pueden escribir fórmulas. Para hacerlo. LaTeX Entrada Resultado a \cdot b a b \frac{a}{b} b a \sqrt{x} x \sqrt[n]{x} n x \vec{v} vr \overline{AB} AB x^{2} x2 37 LaTeX Entrada Resultado a_{1} 1 a \sin\alpha + \cos\beta sin + cos \int_{a}^{b} x dx b a xdx \sum_{i=1}^{n} i^2 = n ii1 2 Imágenes 2. así. sin necesidad de hacer la distinción implicada en las comillas. se ingresa la parte estática del texto y luego se añade la fórmula LaTeX entre un juego de símbolos de pesos ($). hay que tildar la casilla correspondiente.2. Atención: Para crear un texto que contenga una formula LaTeX así como texto estático. Atención: Dentro de un texto mixto. Algunos comandos importantes de LaTeX aparecen en la siguiente tabla. Ejemplo: La longitud de la diagonal es $\sqrt{ 2 }$. que aparece en la ventana de diálogo de la herramienta Inserta Texto y anotar la fórmula según la sintaxis de LaTeX. usando el valor del número a Atención: Si ya existiera un objeto denominado xx y se deseara crear un texto estático usando ese nombre. Fórmula LaTeX . el del valor del objeto xx.15 Imágenes Coord.Entrada Descripción Este es un texto estático texto estático A texto dinámico (si el punto A existe) "Punto A = " + A texto mixto en dos partes. "xx". Esto intercala los códigos de LaTeX correspondientes en el campo de texto y deja ubicado el cursor entre un juego de llaves { }. concatenarse usando el signo más ( + ). usando el valor del punto A "a = " + a + "cm" texto misto en tres partes. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 16 . De lo contrario. desde el menú desplegable que aparece a la derecha de la casilla de LaTeX. en lugar de mostrar ese nombre. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. cualquier sección estática precisa entrecomillarse y los diferentes tramos.
Ofrece la flexibilidad de escalar. se puede seleccionar una imagen de entro los archivos de formato gráfico que aparecen listados.en pantalla . porque de este modo se controla el ancho de la imagen. Esquina 2 a A + (3. 38 Podemos fijar. Luego. Finalmente. Con un clic sobre un punto se lo establece como su esquina inferior izquierda. 0) Fijar. a continuación. pueden usarse las teclas de atajo Alt-clic para pegar una imagen directamente desde el portapapeles del sistema en la Vista Gráfica. la medida de la imagen se conserva. Fijemos A como la primera y B como la segunda esquina de la imagen. Esquina 4 a A + (0. se debe especificar el lugar donde ubicarla. Tras observar cómo influir sobre la posición y tamaño de una imagen. A como la primera y C como la cuarta esquina. Atención: Después de seleccionar la herramienta Inserta Imagen. puede explorarse su influencia muy fácilmente. Esquina 4 : posición superior izquierda de la imagen Atención: Sólo puede fijarse cuando ya se estableció la primera esquina. Propiedades de las Imágenes Posición La posición de una imagen puede ser absoluta . Al adjuntar una imagen a un punto A. conviene crear tres puntos A. Esto se lleva adelante especificando los tres puntos vértices pestaña Posición de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen. Atención: Para modificar la condición de "telón de fondo" de una imagen. Al arrastrar A y B con la herramienta Elige y Mueve. B y C. Atención: Ver también el comando Esquina Ejemplo: Para explorar los efectos de los puntos esquina. rotar y hasta distorsionar las imágenes Esquina 1 : posición de la esquina izquierda inferior de la imagen Esquina 2 : posición inferior derecha de la imagen Atención: Sólo puede fijarse esta esquina cuando ya se estableció la previa. se distorsiona la imagen. Esquina 1 a A Fijar.Inserta imagen Esta herramienta permite intercalar una imagen en la Vista Gráfica. se fija a 3 unidades su ancho y a 4. En primer lugar. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. llevando adelante lo siguiente: Fijar. de una de las siguientes maneras: Con un clic en Vista Gráfica se fija la esquina inferior izquierda de la imagen. 4) Atención: Al arrastrar el punto A con la herramienta Elige y Mueve. yace tras los ejes de coordenadas y ya no vuelve a resultar accesible a la selección vía ratón o mouse. almacenados en los directorios o carpetas que se examinan a tal efecto. Imagen de Fondo Puede establecerse una imagen de fondo tildando la casilla correspondiente a Imagen de Fondo de la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen (ver Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen). dado que de este modo se controla la altura de la imagen. Una imagen de fondo. se debe abrir la Caja de Diálogo de Propiedades seleccionado el ítem Propiedades del Coord. en la caja de diálogo que se abre.o relativa al sistema de coordenadas Esto puede establecerse en la casilla correspondiente de la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen. vale la pena experimentar otras alternativas. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 17 . pueden establecerse los tres puntos de esquina para observar cómo al arrastrarlos. su altura. para explorar cómo el desplazamiento de estos puntos influye en la imagen.
Basta. GeoGebra reserva la letra minúscula para los vectores. Ejemplos: v = (1. P) y un signo igual antes de las coordenadas. q (x) = x^2.Menú Edita y quitar el tilde de la casilla correspondiente a Imagen de Fondo de la pestaña Básico . GeoGebra lo hace automáticamente. secciones cónicas: Estos objetos pueden definirse por su nombre seguido de dos puntos antes de su ecuación. 39 Perspectiva Algebraica 3. Atención: Los nombres de los objetos pueden estar indexados. se especifica para el Sombreado un valor entre 0% y 100% (ver Caja de Diálogo de Propiedades de la imagen). Técnico: Paul Sáenz Fajardo 18 . circunferencias. Atención: Al pulsarse la tecla Enter en cualquier momento. Complejo = 2 + i Vectores: Para distinguirlos de los puntos. Se le puede asignar un nombre a un objeto cuando se lo ha creado usando la Barra de Entrada: Puntos: En GeoGebra los nombres de los puntos. Ejemplos: g: y = x + 3. se anota a = 5 en la Barra de Entrada y se pulsa la tecla Enter. Entrada Algebraica 3. por ejemplo: f(x) = o g(x)= previo a la ecuación de tal función. con anotar el nombre (por ejemplo: A. u = (3. 40 Cambio de Valores Hay dos modos de manejar los valores de los objetos libres: Cambiar el valor del objeto ingresando su nombre y el Nuevo valor en la Barra de Entrada (ver Entrada Directa). Esto permite ingresar expresiones y comandos en la Barra de Entrada sin clic previo del mouse o ratón. entonces. basta con emplear el sub-guión o guión bajo. 4). trig(x) = sin(x) Atención: Si no se le asigna un nombre a un objeto manualmente. Atención: Siempre se debe pulsar la tecla Enter tras ingresar la definición de un objeto en la Barra de Entrada.1 Anotaciones Generales Las representaciones algebraicas de los objetos matemáticos (como valores. Por ejemplo A1 se anota como A_1 y SAB como s_{AB}. GeoGebra le otorga a cada uno de los recién creados el que le sucede al previo en orden alfabético. 3). coordenadas y ecuaciones) se exponen en la Vista Algebraica Se pueden crear y modificar objetos usando la Barra de Entrada al pie de la pantalla de GeoGebra (ver secciones Entrada Directa y Comandos). por orden alfabético. Editar la representación algebraica: Se activa la herramienta Elige y Mueve para apuntarlo la Vista Algebraica y hacer sobre el objeto en cuestión. Ejemplo: Si se desea cambiarle el valor a un número existente. Ejemplos: C = (2. complejo = 1 2i Rectas. Coord.. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. se alterna el foco entre la Barra de Entrada y la Vista Gráfica. se distinguen por ser siempre letras mayúsculas. hyp: x^2 y^2 = 2 Funciones: Se pueden ingresar con un nombre que las caracterice como tales. c: (x-1)^2 + (y 2)^2 = 4. Nuevamente. P = (1. Transparencia Una imagen puede pasar a ser transparente para que puedan verse tanto los objetos como los ejes que queden tras ella. Ejemplos: h(x) = 2 x + 4. Para fijar esta condición de transparencia de una imagen. Para establecer un índice en el nombre de un objeto. se debe anotar el nombre (sea. v. a = 3. u) y un signo igual frente a las coordenadas del vector. Nombrando Objetos Atención: De no asignarle manualmente el nombre a un objeto. 180°). 90°). El guión bajo precede al o a los subíndices.
usando la herramienta Elige y Mueve. se debe borrar cualquier entrada que pudiera estar previamente en la Barra de Entrada. Para concretar los cambios. Luego. vectores. Al abrirse la caja de texto correspondiente. Se puede exponer la definición de un objeto. 3). sobre el objeto en cuestión. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. funciones y curvas paramétricas. empleando la herramienta Elige y Mueve. A = (4. 2). con un doble clic usando la herramienta Elige y Mueve en la Vista Algebraica. Es posible ingresar estos objetos en la Barra de Entrada a través de coordenadas o ecuaciones y pulsando la tecla Enter Coord. con un clic sobre el objeto en cuestión. paso a paso. 3x 5y = 12) en la Barra de Entrada. los de los dependientes sólo cambian cuando se los Redefine o expensas de alguna variación en los valores de los objetos de los que dependen (objetos padres en tanto les dan origen). puntos. B]) en la Barra de Entrada. De este modo se abre la caja de diálogo de Redefine. 3. Atención: El nombre del objeto se agrega a la expresión anotada en la Barra de Entrada antes de pulsar la tecla F5. c = Circunferencia[A. Atención: También puede exponerse el valor de los objetos libres en la Barra de Entrada. Atención: Mientras los valores de los objetos libres pueden modificarse directamente. rectas. Exponer la Historia de la Barra de Entrada Al ubicar el cursor en la Barra de Entrada pueden usarse las teclas-flecha ascendente y descendente para navegar a través de lo que se ingresara previamente. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 19 . segmentos. Atención: La definición del objeto reemplaza cualquier expresión ingresada en la Barra de Entrada antes de pulsar la tecla F3. 41 Indicaciones sobre cómo se Inserta el valor de un objeto: Hay dos maneras de insertar un valor de un objeto (por ejemplo. Inserta Nombre. con un doble clic en cualquiera de las vistas. Tras un Alt clic sobre el objeto para insertar su definición. debe pulsarse la tecla Enter. Indicaciones sobre cómo se Inserta la definición de un objeto: Hay dos maneras de insertar una definición de un objeto (por ejemplo. Activar la herramienta Elige y Mueve y seleccionar el objeto cuya definición se desea insertar en la Barra de Entrada. Atención: También se puede exponer la definición de los objetos dependientes en la Barra de Entrada. seleccionar el ítem Copia a la Barra de Entrada del Menú Contextual emergente. ángulos. en la Vista Algebraica. Activar la herramienta Elige y Mueve y seleccionar el objeto cuyo valor se desea insertar en la Barra de Entrada.un doble clic. Tras un clic derecho (MacOS: Ctrl-clic) sobre el objeto. (1. Atención: Un clic sobre la marquita del signo de interrogación a la izquierda de la Barra de Entrada. debe pulsarse la tecla F3. se puede editar el valor del objeto. Luego. aparecen información de ayuda que le corresponde. Valor o Definición de un Objeto en la Barra de Entrada Indicaciones sobre cómo se Inserta el nombre de un objeto: Con la herramienta Elige y Mueve se selecciona el objeto cuyo nombre se desea ingresar en la Barra de Entrada y se pulsa la tecla F5. secciones cónicas.2 Entrada Directa GeoGebra puede operar con números. Expone el Valor o la Definición de un Objeto Puede exponerse el valor de un objeto en la Barra de Entrada con un clic derecho (MacOS: Ctrl-clic) sobre tal objeto para seleccionar el ítem Copia en campo de Entrada que ofrece el Menú Contextual. la que expone su definición. Atención: El valor del objeto se añada a la expresión ingresada en la Barra de Entrada antes de pulsar la tecla F4. se pulsa la tecla F4.
0) o v = (0.2. Si se anota un número (por ejemplo.2. 5). Atención: En GeoGebra. usando las siguientes teclas de atajo: Alt-O (MacOS: Ctrl-O) para el símbolo de grados ° Alt-P (MacOS: Ctrl-P) para el símbolo Ejemplo: Un ángulo puede ingresarse en grados ( = 60) o radianes ( = pi/3). Si no se anota el símbolo de grados.1 Números y Ángulos Números Se pueden crear números usando la Barra de Entrada. GeoGebra le asigna una le asigna como nombre una letra minúscula. La constante es útil para los valores en radianes y puede también anotarse como pi Atención: Se puede ingresar el símbolo de grados ° o el de pi. para crear un decimal r se anota r = 5. Atención: El punto y coma separa sendas coordenadas. Al anotar b = / °. seleccionándolas en los menúes que se despliegan próximos a la Barra de Entrada o usando las teclas de atajo. Si se prefiere asignarle un nombre determinado. El símbolo ° no es sino una constante para convertir /180 de grados a radianes. 43 Coord.32). 90°). Ejemplos: Para ingresar un punto P o un vector v en coordenadas cartesianas se anota P = (1. el ángulo vuelve a convertirse en el número b = 30. Deslizadores y Teclas-Flecha Tanto los números como los ángulos libres pueden exponerse como deslizadores ajustables en la Vista Gráfica (ver herramienta Deslizador). también en la en la Vista Algebraica (ver Animación Manual). máx] usando la pestaña Deslizador de la Caja de Diálogo de Propiedades (ver también herramienta Deslizador). tildando o no la correspondiente casilla de la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades. GeoGebra tratará el ángulo asumiendo que si valor está expresado en radianes. Ejemplo: Si a = 30 es un número. vectores. como separador decimal. También puede emplearse la constante y la de Euler e para expresiones y cálculos. sin cambiar su valor. Atención: Para los ángulos se puede especificar si pueden o no resultar cóncavos. 0°) o v = (5. los número y ángulos usan el punto . Atención:: Si la variable e no está aún usándose como nombre de un objeto ya existente. Para usar coordenadas polares se anota P = (1. GeoGebra la reconocerá como la constante de Euler cuando se la incluya en una expresión.Valores y Representaciones de Números y Ángulos 3. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 20 . 42 Ángulos Los ángulos se ingresan en grados (°) o en radianes (rad). es preciso anotarlo seguido del signo igual que antecederá al valor numérico (por ejemplo. sin cambiar su valor. Atención: GeoGebra realiza todos los cálculos internos en radianes. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Con las teclas-flecha se puede cambiar el valor de números y ángulos.2 Puntos y Vectores Los puntos y vectores pueden ingresarse en coordenadas cartesianas o polares (ver Números y Ángulos). Valor Limitado a un Intervalo Los números y los ángulos pueden quedar limitados a un intervalo [mín. 3). 3. Atención: Las mayúsculas rotulan puntos y las minúsculas. entonces = a° convierte el número a a un ángulo = 30°..
En primer lugar.sin. a partir de ellos se puede ingresar una elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2. vectores) y otras funciones. En GeoGebra existen comandos para obtener la Integral y Derivada de una función. vectores).2. seguido de los dos puntos. Función Limitada a un Intervalo Para limitar una función a un intervalo [a. variables previamente definidas (números. variables previamente definidas (números. puntos. Ejemplos: Función f: f(x) = 3 x^3 x^2 Función g: g(x) = tan(f(x)) 44 Función sin nombre: sin(3 x) + tan(x) Todas las funciones internas (como seno. tangente . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. coseno. vectores) Atención: El nombre de la recta debe ser anotado encabezando la entrada. cos. seguido de los dos puntos. deben definirse los parámetros m = 2 y b = -1 antes de ingresar la ecuación g: y = m x + b para obtener una recta g en el formato interceptado y.etc. Se pueden emplear en la ecuación.3. las funciones pueden ser trasladadas por un vector (ver comando Traslada y una función libre puede desplazarse con el mouse o ratón (ver herramienta Elige y Mueve). debe emplearse el comando Función (ver comando Función). Debe definirse un parámetro t (t = 3) antes de ingresar la recta g en formato paramétrico como g: X = (-5. se pueden emplear en tal ecuación.4 Sección Cónica Una sección cónica se ingresa como una ecuación cuadrática en x e y. -3).2. 5) + t (4. puntos. Atención: También se pueden emplear los comandos l f (x) o f (x). tan . Ejemplos: Elipse eli: eli: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 Hipérbola hip: hip: 9 x^2 16 y^2 = 144 Parábola par: par: y^2 = 4 x Circunferencia k1: k1: x^2 + y^2 = 25 Circunferencia k2: k2: (x 5)^2 + (y + 2)^2 = 25 Atención: Si se definen dos parámetros a = 4 y b = 3. para las derivadas de una función f(x) previamente definida: Ejemplo: Tras definir la función f como f(x) = 3 x^3 x^2 se puede ingresar en g(x) = cos(f (x + 2)) para obtener la función g. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 21 . ]. 3. 3. Coord. En ambos casos. El nombre de la sección cónica debe ser anotado encabezando la entrada.2. b]. puntos.3 Rectas y Ejes Rectas Una recta se ingresa como una ecuación lineal en x e y o en forma paramétrica. Ejes A sendos ejes de coordenadas se accede con los comandos correspondientes a través de ejeX y ejeY respectivamente Ejemplo: El comando Perpendicular[A. y otras trigonométricas) se describen en la sección dedicada a operaciones aritméticas (ver sección Funciones Pre-Definidas y Operaciones). ejeX] construye la recta perpendicular al eje x que pasa por el punto A. Ejemplos: Podemos definir una recta g ingresando la ecuación g : 3x + 4y = 2 como ecuación lineal. Además.5 Función de x Para ingresar una función podemos emplear variables previamente definidas (números.
por ejemplo.2. Casilla a Tildar y Teclas Flecha Las variables Booleanas libres pueden exponerse como casillas a tildar en la Vista Coord.6 Funciones Pre-Definidas y Operaciones Para ingresar números. Se puede calcular la longitud de un vector v usando l = sqrt(v * v) 3. a = true o b = false en la Barra de Entrada y pulsar la tecla Enter. de e) ln( ) o log( ) 45 Operación Entrada logaritmo de2 ld( ) logaritmo de10 lg( ) coseno cos( ) seno sin( ) tangente tan( ) arco coseno acos( ) arco seno asin( ) arco tangente atan( ) coseno hiperbólico cosh( ) seno hiperbólico sinh( ) tangente hiperbólica tanh( ) coseno antihiperbólico acosh( ) seno antihiperbólico asinh( ) tangente antihiperbólica atanh( ) mayor entero menor o igual que floor( ) menor entero mayor o igual que ceil( ) redondeo round( ) Ejemplos: En GeoGebra. Las siguientes operaciones están disponibles en GeoGebra: Operación Entrada suma + resta producto * o barra espaciadora producto escalar * o tecla espaciadora división / exponenciación ^ o 2 factorial ! función Gamma gamma( ) paréntesis ( ) coordenada-x x( ) coordenada-y y( ) valor absoluto abs( ) signo sgn( ) raíz cuadrada sqrt( ) raíz cúbica cbrt( ) número aleatorio entre 0 y 1 random( ) función exponencial exp( ) o _x logaritmo (natural. Atención: Las funciones pre-definidas deben ingresarse usando paréntesis y sin dejar espacio alguno entre el nombre de la función y el paréntesis. se pueden realizar cálculos con puntos y vectores: Se puede crear el punto medio M de dos punto A y B anotando M = (A + B) / 2 en la Barra de Entrada. coordenadas o ecuaciones (ver Entrada Directa) se pueden emplear las siguientes funciones pre-definidas y operaciones. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Basta ingresar.3. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 22 .2.7 Variables Booleanas y Operaciones Pueden emplearse las variables Booleanas cierto y falso en GeoGebra.
Es este caso. cónicas a. se obtiene como resultado. b desigual != a b o a != b números. y C. B.Y. b . cónicas a.8 Lista de Objetos y de Operaciones Usando paréntesis se puede crear una lista de varios objetos (como puntos. Atención: Las dos listas deben tener la misma longitud. b mayor que > > a > b números a. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 23 . Lista + Número: Suma el número a cada uno de los elementos de la lista. Esto permite usar un casillero como la velocidad dinámica de un deslizador animado como para que controle el inicio y detención de la animación. Ejemplos: L = {A.2. los elementos de esta lista no se exponen en la Vista Gráfica. cada par de elementos correspondientes de una y otra lista. b No ¬ ! ¬a o !a Booleanas a paralela a b rectas a. b menor que < < a < b números a.Gráfica (ver herramienta Casilla de Control para Ocultar Objetos). segmentos. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. sea ingresándolas usando el teclado. b 47 Listas como Objetos y Listas de Objetos 3. Atención: Por omisión. 0). b . (2. && a b Booleanas a. el botón de animación solo aparecerá en la Vista Gráfica cuando hubiera también un deslizador animado con velocidad estática (es decir. Sumas y Restas . || a || b Booleanas a. (1. rectas. Coord. Apelando a las teclas flecha se pueden cambiar las variables Booleanas también en la Vista Algebraica (ver Animación Manual). b menor o igual a <= a b o a <= b números a. L = {(0. lista1 != lista2: Controla si las dos listas son desiguales y brinda como resultado de salida verdadero (trae) o falso (false). Comparar Listas de Objetos Pueden compararse dos listas de objetos: lista1 == lista2: Controla si las dos listas son iguales y brinda como resultado de salida verdadero (trae) o falso (false). rectas. circunferencias). b mayor o igual a >= a b o a >= b números a. C} establece una lista de tres puntos definidos previamente A. 46 Lista Teclado Ejemplo Tipos Igual == a b o a == b números.O. 1). en tanto puntos sin nominar. 2)} produce una lista de los puntos ingresados.Ejemplos: Lista1 + Lista2: Suma uno a uno. Operaciones Booleanas Se pueden usar las siguientes operaciones booleanas en GeoGebra sea seleccionándolas de la lista desplegable próxima a la Barra de Entrada. b perpendicular a b rectas a. puntos. Aplicar Operaciones y Funciones a las Listas Atención: Cada vez que se aplican operaciones y funciones pre-definidas a listas. Atención: También pueden usarse variables Booleanas como números (valor 0 ó 1). puntos. B. no-dinámica). una nueva lista. Lista1 Lista2: Resta los elementos de la segunda lista a cada uno de os correspondientes de la primera.
0) por un vector. 4}. 4}} * (3. 1}. cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz. 6}} dan por resultado la matriz {{9. 20). Otros ejemplos: (ver la sección Comandos de Matriz): Determinante[Matriz]: Calcula el determinante de la matriz dada. y. 3}. Ejemplo: {{1. 15}. {3. Matriz * Matriz: Usa la multiplicación de matrices para calcular la matriz resultante. Ejemplo: En GeoGebra. 5. {0. {0. que contiene las filas de la matriz. cada uno de los elementos de la lista. cada uno de los elementos de la lista. 2x2 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto. 5. {4. {4. Atención: Si las dos listas son matrices compatibles. 2) da por resultado el punto A = (8. 6}. 6}. {29. 5. 2. 6}. 1}} * (1. Atención: Las listas deben tener la misma longitud. Atención: Este es un caso especial de transformaciones afines donde las coordenadas homogéneas se usan (x. 3. 2.2. Ejemplo: {{1. cada par de elementos correspondientes de una y otra lista. 8. {7. 0. por el número. Lista1 / Lista2: Divide uno a uno. 9}} representa la matriz . es por lo tanto. representadas como una lista de listas. 26.Ejemplos: Matrix * Número: Multiplica por el número. 4) da por resultado el punto A = (11. 51}}. {3. 3x3 Matriz * Punto (o Vector): Multiplica la matriz por el punto o vector y da por resultado un punto. Lista Número: Resta el número a cada uno de los elementos de la lista. equivalente a: {{1.Ejemplos: Lista1 * Lista2: Multiplica uno a uno. Matriz Matriz: Resta uno a uno. 33}. cada uno de los elementos de la primera lista por los correspondientes de la segunda. 1) para un punto y (x. 2.9 Matrices como Objetos y Operaciones con Matrices GeoGebra también opera con matrices. 3}. 5. 0. 2}. {19. {5. se emplea la multiplicación de matrices. Multiplicación y División . 12. Lista * Número: Multiplica por el número. 2}. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 2. Lista / Número: Divide cada elemento de la lista. sin(Lista): Aplica la función seno a cada elemento de la lista. {{1. 48 Otros Ejemplos: Lista^2: Eleva al cuadrado cada elemento de la lista. Atención: Las listas deben tener la misma longitud.Ejemplos: Matriz + Matriz: Suma uno a uno. Atención: Las filas de la primera y las columnas de la segunda matriz deben tener el mismo número de elementos. 25). 1}} * {1. matriz. cada par de elementos correspondientes de una y otra matriz. {4. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 24 . y. Operaciones con Matrices Sumas y Restas . Multiplicación . Inversa[Matriz]: Invierte la matriz dada Traspuesta[Matriz]: Traspone la matriz dada 49 Coord. 2. Número / Lista: Divide el número por cada elemento de la lista. Este ejemplo.Atención: Las listas deben tener la misma longitud. Ejemplo: {{1. 40. 3}. 3}. {4. 6}} * {{1. entre dos compatibles entre sí.
se puede seleccionar Número Complejo en la lista de formatos de Coordinadas de la pestaña Algebra . 3 / (0 + 1i) da por resultado el número complejo 0 -3i. Basta con seguir ingresando las letras sucesivas del nombre para que GeoGebra adapte la sugerencia al siguiente comando que se adecue a lo que se va anotando.(4 + 5i) da por resultado el número complejo -1 . GeoGebra las completará con el nombre del primer comando del listado alfabético que las tenga como primeras dos iniciales. será reconocida como el par ordenado i = (0.Ejemplos: (2 + 1i) + (1 2i) da por resultado el número complejo 3 1i.3.(1 2i) da por resultado el número complejo 1 + 3i.5i. Si la variable i no hubiera sido definida. Esto implica que después de ingresadas las dos primeras letras en la Barra de Entrada. Multiplicación y División . Ejemplo: La intersección de dos rectas g y h produce un nuevo punto. Atención: La multiplicación habitual (2. 4) en la Vista Gráfica. Otros ejemplos: GeoGebra también reconoce expresiones con números reales y complejos. Esto implica que la variable i también puede usarse para anotar números complejos en la Barra de Entrada (como q = 3 + 4i). Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.3 Comandos Con la ayuda de los comandos podemos crear nuevos objetos o modificar los existentes. 50 Nombres de Comandos Completados Automáticamente Al ir anotando el nombre de un comando en la Barra de Entrada. GeoGebra intenta completarlo automáticamente para facilitarnos la tarea. (2 + 1i) . 1) o el número complejo 0 + 1i.3. 3. Las coordenadas de este punto aparecen como 3 + 4i en la Vista Algebraica. queda aceptado el comando sugerido. Sumas y Restas . 1)*(1.h] (ver comando Interseca). -2) da por resultado el producto escalar de los dos puntos. que puede ingresarse como S = Interseca[g. 3 + (4 + 5i) da por resultado el número complejo 7 + 5i.2. En el ejemplo que aparece más adelante un nuevo punto se llamará S. Al abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del punto. 3 .1 Comandos Generales PasoConstrucción PasoConstrucción[]: Da por resultado el número del paso de construcción actual del Protocolo de Construcción PasoConstrucción[Objeto]: Da por resultado el número del paso de construcción del Protocolo de Construcción para el objeto en cuestión Coord. Colocando el cursor entre los corchetes y pulsando allí la tecla Enter. 3. Atención: Se pueden usar índices también con los nombres de los objetos: A1 o sAB se anotan como A_1 y s_{AB} respectivamente. Ejemplo: Si se ingresa el número complejo 3 + 4i en la Barra de Entrada. Atención: El resultado de un comando puede nominarse ingresando un rótulo sucedido por = . (2 + 1i) / (1 2i) da por resultado el número complejo 0 + 1i. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 25 . Atención: Se puede exponer cualquier punto como un número complejo en la Vista Algebraica.Ejemplos: (2 + 1i) * (1 2i) da por resultado el número complejo 4 3i. aparece el punto (3. pero se pueden emplear puntos para simular operaciones con números complejos. 3 * (1 + 2i) da por resultado el número complejo 3 -6i.10 Números Complejos y Operaciones GeoGebra no trata directamente con números complejos.
Relación Relación[Objeto a.. si un punto pertenece a una recta o a una cónica. . Función]: Da por resultado la curvatura de la función en el punto. según el objeto estuviera definido o no. Objeto a. Punto Alineado] Area Area[Punto A. Si[Condición. según el número resultante fuera o no entero. 3. Punto B.3. Si[condición. EsEntero EsEntero[Número(o valor numérico)] Establece cierto o falso. ..3.Borra Borra[Objeto]: Borra tanto el objeto como los que de él derivan y/o dependen.]: Área del polígono definido por los puntos vértices A. y una del objeto b si se la evalúa falsa. Vértice Final (punto)] Area[Cónica] PasoEje PasoEjeX[]Da por resultado el ancho de la graduación actual del eje-x PasoEjeY[]Da por resultado el largo de la graduación actual del eje-y Atención: Junto a Esquina y Secuencia. B. donde C = A + ____________* AB RazónSimple[ Origen (punto). y C. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Si no ] Definido Definido[Objeto]: Da por resultado cierto o falso. donde = RazónSimple[B. D] RazónDoble[Origen 1 (punto).. Atención: Este comando nos permite averiguar si dos objetos son iguales. Entonces] Si[ Condición. B. Número r]: Da por resultado el coeficiente binomial: cantidad de combinaciones de n elementos tomados de r en r PerímetroCónica PerímetroCónica[ónica c]: Da por resultado el perímetro de una sección cónica. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 26 .2 Comando Booleano Si Si[condición. Origen 2 (punto). Coord. estos comandos permiten crear ejes según las preferencias y condiciones de uso adecuadas (ver también las sección Personalizar Ejes de Coordenadas y Cuadrícula).. Final (punto). RazónDoble RazónDoble[punto A. Final (punto). se precisa el comando Integral Area[Vértice Inicial (punto). punto B. Punto C.. punto C. B. Objeto b]: expone un cuadro de mensaje que informa la relación entre el objeto a y el b.. C. D] / RazónSimple[A. Punto Alineado] Curvatura Curvatura[Punto. Punto B. o si una recta es tangente o secante a otra o a una cónica. c Atención: Sólo tiene sentido aplicado a una circunferencia o elipse. Punto C]: Da por resultado la razón simple entre tres puntos alineados A. punto D]: Da por resultado la razón doble de cuatro puntos alineados A. Objeto b]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resulta cierta. Entonces. y un objeto indefinido si se la evalúa falsa.3 Números RazónSimple RazónSimple[Punto A. Objeto a]: Proporciona una copia del objeto a si la condición resulta cierta. NúmeroCombinatorio NúmeroCombinatorio[Número n. 51 3. C. C Area[Cónica c]: Área de una sección cónica c (circunferencia o elipse) Atención: Para calcular el área entre dos funciones gráficas. C y D.
Valor Final] Integral[Función. Número a. MCD[Número (o valor numérico) . b]. 2] brinda el resultado (32)2 = 27 Iteración[Función. Distancia[Punto. Número b]: Da por resultado el máximo común divisor de los números a y b MCD[Lista de números]: Da por resultado el máximo común divisor de la lists de números. Punto B]: Da por resultado la longitud del gráfico de la función entre dos puntos A y B Coord. x2] Longitud[Función. b]. Integral[Función f. Número b]: Da por resultado la Integral definida de una función f(x) en el intervalo [a . Número a.Curvatura[Punto. Número (o valor numérico)] MCD[Lista de Números] Cociente Entero Cociente[Número a. Recta h]: Calcula la distancia entre las rectas g y h. Valor Inicial. Semirrecta o Segmento] LongitudSemiejePrincipal LongitudSemiejePrincipal[Cónica] Da por resultado la longitud del semi-eje principal de la sección cónica. Longitud[Función f. LongitudSemiejeSecundario LongitudSemiejeSecundario[Cónica] Calcula la longitud del semi-eje secundario de la sección cónica. Número x1. Distancia Distancia[Punto A. Ejemplo: Tras definir f(x) = x^2 el comando Iteración[f. Valor Inicial. Número de Iteraciones] MCM MCM[Número a. Valor Final] Iteración Iteración[Función. Función g. Punto A.g(x) en el intervalo [a. Recta. Este comando sólo presenta interés para rectas paralelas. Valor Inicial. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 27 . Número b]:Calcula el mínimo común múltiplo de dos números a y b 53 MCM[Lista de Números]:Calcula el mínimo común múltiplo de los elementos de la lista. Recta]: Da por resultado la distancia entre el punto y la recta 52 Distancia[Recta g. 3. Número b]:Calcula el cociente entero resultante de la división de un número a por un número b Cociente[Dividendo (número o valor numérico). Atención: Ver Integral Indefinida Integral[Función. Número b]: Da por resultado la integral definida de la diferencia f(x) . Punto] Distancia[Punto. Curva]: Da por resultado la curvatura de la curva en el punto. MCD mcd MCD[Número a. Número x2]: Da por resultado la longitud del gráfico de la función f en el intervalo [x1. Número n]: Itera la función n veces usando el valor inicial dado x0. Punto B]: Determina la distancia entre dos puntos A y B Distancia[Punto. Divisor (número o valor numérico)] Integral Integral[Función f. Atención: La distancia entre rectas secantes (que se intersecan) es 0. Longitud Longitud[Vector (o punto con tal vector de posición)]: Da por resultado la longitud del vector o el módulo del vector posición del punto dado. Función. Atención: Este comando también traza el área entre los gráficos de la función de f y g. Atención: Este comando también traza el área entre el gráfico de la función f y el eje x. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Número x0.
Técnico: Paul Sáenz Fajardo 28 . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Probabilidad p] Genera un número aleatorio desde una distribución binomial con n intentos y probabilidad p. SumaInferior SumaInferior[Función. Número b]: Da por resultado el máximo de los números a y b. Punto A. Comandos Aleatorios AleatorioEntre[Mínimo(número o valor numérico). AleatorioBinomial[Número de Intentos n. semirrecta o segmento] Determina la pendiente de la recta involucrada. Divisor (número o valor numérico)] Parámetro Parámetro[Parábola]: Da por resultado el parámetro de la parábola (distancia entre directriz y foco) Perímetro Perímetro[Polígono]: Da por resultado el perímetro del polígono 54 Radio Radio[Circunferencia]: Da por resultado el radio de la circunferencia. Mínimo y Máximo Mín[número a. Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma inferior. Atención: Este comando también traza el triángulo rectángulo de cateto base unitario que ilustra la pendiente calculada y cuyas dimensiones pueden modificarse desde el ítem Tamaño de la pestaña Estilo de su Caja de Diálogo de Propiedades. Máximo (número o valor numérico)] Genera un entero aleatorio entre Mínimo y Máximo (inclusive). Atención: Recordemos que la excentricidad lineal es la razón entre la semifocal y la longitud del semi-eje mayor (o principal). b] con n rectángulos.Desviación Estándar] Genera un número aleatorio desde una distribución normal con la media y distribución estándar dadas. AleatorioNormal[Media. Función Módulo o Resto Resto[número a. Número n de trapezoides]: Calcula la suma trapezoidal de la función en el intervalo [a. número b]: Determina el resto correspondiente cuando la parte entera de un número a se divide por la parte entera de un número b Resto[Dividendo (número o valor numérico). Número b. Número n]: Establece la suma inferior de la función en el intervalo [a. b] con n trapezoides. Punto B]: Da por resultado la longitud de la curva c entre dos puntos A y B de tal curva Longitud[lista]: Da por resultado la longitud de la lista que no es sino el número de elementos que contiene. se tomarán sus correspondientes coordenadas x para determina el intervalo. Número b. Número a. AleatorioPoisson[Media]: Genera un número aleatorio desde una distribución Poisson con la media dada. SumaTrapezoidal SumaTrapezoidal[Función. SemiFocal SemiFocal[Cónica]: Da por resultado la distancia semifocal de la sección cónica. Pendiente Pendiente[Recta. Coord.Atención: Si los puntos dados no pertenecieran al gráficos de la función. semi-distancia entre ambos focos o distancia entre uno de sus focos y el centro . Número t1. número b]: Da por resultado el mínimo de los números a y b dados Max[Número a. que puede abrirse desde la Vista Algebraica. Número a. Número t2]: Da por resultado la longitud de la curva entre los valores paramétricos t1 y t2 Longitud[Curva c. Longitud[Curva.
b] con n rectángulos. Extremo Extremo[Polinomio]: Determina todos los extremos locales de la función polinómica como puntos sobre el gráfico de la función. 3. se obtienen los valores del los ángulos interiores y los exteriores. Atención: Este comando también traza los rectángulos de la suma superior SumaSuperior[ Función.Atención: Este comando también traza los trapezoides de la suma trapezoidal. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 29 . Ángulo alpha]: Da por resultado el ángulo de amplitud trazado desde A con vértice en B. Interseca Interseca[Recta g. Vector v2]: Da por resultado el ángulo entre dos vectores v1 y v2 (entre 0 y 360°) Ángulo[Recta g. 4) que nunca se hará visible en pantalla. Número n]: Calcula la suma superior de la función en el intervalo [a. 2. 2. Ángulo[Punto]: Da por resultado el ángulo entre el eje-x y el vector de posición del punto A Ángulo[Número]: Convierte el número en un ángulo (resultando entre 0 y 2pi) Ángulo[Polígono]: Crea todos los ángulos interiores de un polígono con orientación matemáticamente positiva (sentido anti-horario). . Valor Final. Atención: El punto Rota[B. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 55 Ángulo[Cónica]: Da por resultado el ángulo de revolución del eje principal de una sección cónica c (ver comando Ejes) Ángulo[Vector]: Da por resultado el ángulo entre eje-x y vector dado. Foco Foco[Cónica]: Establece (todos) los focos de la sección cónica c PuntoInflexión PuntoInflexión[Polinomio]:Establece todo punto de inflexión del polinomio como puntos de la función gráfica. Punto B. Centroide Centroide[Polígono]: Marca el centroide del polígono Esquina Esquina[Imagen. Atención: El orden de numeración de las esquinas sigue el sentido anti-horario y da inicio en la inferior izquierda.4 Ángulo Ángulo Ángulo[Vector v1. 3. Recta h]: Establece el punto de intersección de las rectas Coord. Ángulo[Punto A. Número de Rectángulos ] 3. SumaSuperior SumaSuperior[Función. ] también se crea. Número b. 2.3. Recta h]: Da por resultado el ángulo entre los vectores director de dos rectas g y h (entre 0 y 360°) Ángulo[Punto A. Número a. 4 dado que son 4 los vértices) Esquina[Texto. El punto B es el vértice. A. 4) Esquina[Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina de la Vista Gráfica (n = 1.5 Puntos Centro Centro[Cónica]: Marca el centro de una sección cónica. 3. en caso contrario (polígono creado con orientación horaria). Número n de Esquina]: Crea un punto en la esquina enésima de la imagen (número n = 1. Valor Inicial. 3. Atención: Si el polígono fue creado con orientación anti-horaria. Atención: Aplicación que sólo tiene sentido en el caso de una circunferencia.3. Punto C]: Da por resultado el ángulo tendido entre BA y BC (entre 0 y 360°). Número de Esquina]: Crea un punto en la esquina del texto (n = 1. Punto B. elipse o hipérbola.
Cónica]: Establece todos los puntos de Intersección de la recta y la sección cónica (como máximo. Número n]: Establece el punto número n de intersección de las secciones cónicas c1 y c2 Interseca[Polinomio f1. Número b]: Establece una raíz de la función en el intervalo [a.a). Vector]: Crea un nuevo punto originado al operar sumando al dado. . Polinomio f2]: Establece todos los puntoa de intersección de los polinomios f1 y f2 Interseca[Polinomio f1. Punto Punto[Recta]: Marca un punto en la recta Punto[Cónica]: Marca un punto en la sección cónica Punto[Función]: Marca un punto en la función Punto[Polígono]: Marca un punto en el polígono. Polinomio f2. Recta.. Recta. Cónica.6 Vectores Vector Curvatura VectorCurvatura[Punto. Función]:Establece el vector curvatura de la función en el punto dado. VectorCurvatura[Punto. Número a]: Establece una raíz de la función usando el método de Newton. Punto B]: Marca el punto medio entre los puntos A y B PuntoMedio[Segmento]: Marca el punto medio del segmento.g yh Interseca[Recta. Punto A]: Calcula el punto de intersección de las funciones f y g usando el método de Newton. el vector. Raíz[Función. Recta]: Establece todos ñps puntos de intersección del polinomio f y la recta. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 30 . Atención: Una recta cuya ecuación es ax + by = c tiene vector director (b. Interseca[Función. b] (con el método regula falsi) Vértice Vértice[Cónica]: Da por resultado (todos) los vértices de la sección cónica 57 3.. Número n]: Establece el punto número n de intersección de los polinomios f1 y f2 Interseca[Polinomio f.3. Coord. Número n]: Establece el punto número n de intersección de la recta y la sección cónica. 2) 56 Interseca[Recta. Cónica c2]: Establece todos los puntos de intersección de las secciones cónicas c1 y c2 (como máximo. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Cónica c2. Atención: Ver también la herramienta Intersección de Dos Objetos PuntoMedio PuntoMedio[Punto A. Curva]: Establece el vector curvatura de la curva en el punto dado Dirección Dirección[Recta]: Establece el vector director de la recta. estableciendo como punto inicial a A. Punto[Vector]: Marca un punto en el vector Punto[Punto. tomando a como valor inicial Raíz[Función. Número n]: Marca el punto número n de intersección del polinomio y la recta Interseca[Función f. Interseca[Cónica c1. Número a. Función g. Punto A]: Calcula el punto de intersección de la función y la recta usando el método de Newton. estableciendo como punto inicial a A. 4) Interseca[Cónica c1. Raíz Raíz[Polinomio]:Establece todas las raíces del polinomio como puntos de la función gráfica. Interseca[Polinomio.
Atención: El punto B es el vértice de este ángulo. VectorUnitarioPerpendicular VectorUnitarioPerpendicular[Recta]: Establece el vector unitario perpendicular a la recta dada VectorUnitarioPerpendicular[Vector]: Establece el vector unitario perpendicular a vector dado VectorUnitario VectorUnitario[Recta]: Establece el vector director de longitud unitaria de la recta dada. Atención: El punto final del segmento también se crea. 58 3. VectorUnitario[Vector]: Establece el vector director de longitud unitaria con la misma dirección y orientación del dado Vector Vector[Punto A.7 Segmentos Segmento Segmento[Punto A. Punto C. B.3. B y C. Recta h]: Establece las bisectrices de los ángulos formados por las rectas. Punto C]: Establece la bisectriz del ángulo definido por los puntos A..9 Polígonos Polígono Polígono[Punto A. relativo a la sección cónica Directriz Directriz[Parábola]: Establece la directriz de la parábola EjePrincipal Coord.3.8 Semirrectas Semirrecta Semirrecta[Pnto A.b.3. Número a]: Crea el segmento de longitud a y punto inicial A.VectorPerpendicular VectorPerpendicular[Recta]: Establece el vector perpendicular de una recta Atención: Una recta con ecuación ax + by = c tiene vector perpendicular (a. Bisectriz[Recta g.10 Rectas Bisectriz Bisectriz[Punto A. b) tiene uno perpendicular de (. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 31 . Punto B. Cónica]: Establece el diámetro conjugado a la recta relativo a la sección cónica Diámetro[Vector.3. Número n]: Establece un polígono regular con n vértices (incluyendo los puntos A y B) 3. Atención: El vector de coordenadas (a.. Asíntota Asíntota[Hipérbola]: Establece ambas asíntotas de una hipérbola Ejes Ejes[Cónica]: Traza los ejes principal y secundario de la sección cónica Diámetro Diámetro[Recta. Punto B]: Crea el vector desde el punto A al punto B Vector[Punto]: Establece el vector posición del punto 3. Punto B. Pnto B]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto A y pasa por el punto B Semirrecta[Punto. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. a). dados Polígono[Punto A. b).]: Establece un polígono definido por los puntos A. Cónica]: Establece el diámetro conjugado al vector dado. Vector v]: Crea una semirrecta que se inicia en el punto dado y tiene la dirección del vector v 3. C.. Punto B]: Crea el segmento entre dos puntos A y B Segmento[Punto A. VectorPerpendicular[Vector]: Vector perpendicular del vector dado. Punto B.
Punto C. Punto D. Elipse Elipse[Punto F. Punto A]: Establece la circunferencia con centro M y que pasa por el punto A Circunferencia[Punto A. Punto C]: Establece la circunferencia que pasa por los puntos dados A. Punto B. Punto B. Cónica]: Crea la recta polar de un punto dado. Tangente[Punto. Punto B]: Traza la mediatriz del segmento de extremos AB Mediatriz[Segmento]: Traza la mediatriz del segmento Polar Polar[Punto. Vector v]: Crea una recta que pasa por el punto dado y tiene la dirección del vector v Perpendicular Perpendicular[Punto.EjePrincipal[Cónica]: Traza el eje principal de la sección cónica Recta Recta[Punto A. Punto G. Elipse[Punto A. la sección cónica resultta indefinida. Punto E]: Produce la sección cónica que pasa por los cinco puntos dados A. Punto B]: Crea una recta que pasa por los puntos A y B 59 Recta[Punto.3. Función]: Crea la tangente a la función en x = a Tangente[Punto A. C. Vector]: Crea la recta que pasa por el punto y es perpendicular al vector dado Mediatriz Mediatriz[Punto A.11 Secciones Cónicas Circunferencia Circunferencia[Punto M. Segmento]: Establece la circunferencia con centro M y radio de longitud dada por el segmento Circunferencia[Punto M. B y C Cónica Cónica[Punto A. 60 Atención: Si cuatro de estos puntos estuvieran alineados. D y C. G] Elipse[Punto F. Número r]: Establece la circunferencia con centro M y radio r Circunferencia[Punto M. Atención: Condición: 2a > Distancia[F. relativo a la sección cónica EjeSecundario EjeSecundario[Cónica]: Establece el eje secundario de la sección cónica Tangente Tangente[Punto. B. Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica que pasan por el punto dado Tangente[Tecta. Recta]: Crea una recta que pasa por el punto dado y es paralela a la recta Recta[Punto. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Punto B. Función]: Crea la tangente a la función en x = x(A) Atención: x(A) es la coordenada x del punto A. Número a]: Crea la elipse con puntos focales F y G y eje principal de longitud a. Punto C]: Crea una elipse con puntos focales A y B que pasa a través del punto C Coord. Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado 3. paralelas a la recta Tangente[Número a. Cónica]: Crea (todas) las tangentes a la sección cónica. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 32 . Recta]: Crea la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada Perpendicular[Punto. Punto G. Segmento]: Crea la elipse con puntos focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento dado.
Curva]: Establece el círculo osculador de la curva en el punto dado Parábola Parábola[Punto F. Desarrolla Desarrolla[Función]: Multiplica distributivamente las expresiones entre paréntesis. Número b]: Establece una función gráfica igual a la dada en el intervalo [a. 1] traza el gráfico de la función x2 en el intervalo [-1. . Ejemplo: Desarrolla[(x + 3)(x . -1. x^2] ofrece una función igual a: o sin(x) para x < 3 y o x2 para x 3.12 Factoriza Factoriza[Polinomio]: Factoriza el polinomio dado Ejemplo: Factoriza[x^2 + x . Atención: Puede usarse f (x) en lugar de Derivada[f]así como f (x) en lugar de Derivada[f. Segmento s]: Cea la hipérbola con puntos focales F y G siendo la longitud del eje principal igual a la del segmento s (a = Longitud[s]) Hipérbola[Punto A. Atención: Condición: 0 < 2a < Distancia[F. Integral Integral[Función]: Establece la integral indefinida para la función Atención: Ver Integral Definida Polinomio Coord. 2]. a 3 b 0 evalúa si a es igual a 3 y b is mayor o igual que 0 Atención: Los símbolos para las expresiones condicionales (como . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.3.6] da por resultado f(x) = (x-2)(x+3) Función Función[Función. pero no estará restringida al intervalo [-1.4)] da por resultado f(x) = x2 . Punto C]: Crea la hipérbola con puntos focales A y B que pasa por el punto C CírculoOsculador CírculoOsculador[Punto. Ejemplo: f(x) = Función[x^2. b] Atención: Este comando debiera usarse únicamente para exponer fuinciones en cierto intervalo. G] Hipérbola[Punto F. Punto G. Ejemplos:: f(x) = Si[x < 3. Derivada Derivada[Función]: Da por resultado la derivada de la función 61 Derivada[Función.12 Funciones Funciones Condicionales Puede usarse el comando Booleano si para crear una función condicional. Función]: Establece el círculo osculador de la función en el punto dado CírculoOsculador[Punto. Número a. Número n]: Da por resultado la derivada de orden n de la función. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 33 . Recta g]: Establece la parábola con punto focal F y directriz g 3. 1]. Número a]: Crea la hipérbola con puntos focales F y G y eje principal de longitud a. Atención: Pueden usarse Derivadas e integrales de tales funciones e intersecarlas como funciones normales . b] y no definida fuera de [a. Al anotar g(x) = 2 f(x) se obtendrá la función g(x) = 2 x2.Hipérbola Hipérbola[Punto F. sin(x). 1].x . Punto G. ) se encuentran en el menú desplegable del extremo izquierdo de la Barra de Entrada. Punto B.
Polinomio[Función]: Establece el polinomio desarrollado de la función Ejemplo: Polinomio[(x - 3)^2] se desarrolla como x2 - 6x + 9 Polinomio[Lista de n puntos]: Crea el polinomio de interpolación de grado n-1 a través de los puntos dados. Simplifica Simplifica[Función]: Simplifica los términos de la función dada si fuera posible. Ejemplos: Simplifica[x + x + x] da por resultado una función f(x) = 3x Simplifica[sin(x) / cos(x)] da por resultado una función f(x) = tan(x) Simplifica[-2 sin(x)cos(x)] da por resultado una función f(x) = sin(-2 x) PolinomioTaylor PolinomioTaylor[Función, Número a, Número n]: Crea el desarrollo de las serie de potencias de orden n para la función en torno al punto x = a 62 3.3.13 Curvas Paramétricas Curva Curva[Expresión e1, Expresión e2, Parámetro t, Número a, Número b]: Establece la curva paramétrica cartesiana dados la expresión en x e1 y la expresión en y e2 (usando el parámetro t) en el intervalo establecido [a, b] Ejemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi] Atención: Las curvas paramétricas pueden usarse como funciones en expresiones aritméticas. Ejemplo: La entrada c(3) brinda el punto en la posición paramétrica 3 en la curva c. Atención: Usando el ratón o mouse puede ubicarse un punto en una curva apelando a la herramienta Nuevo Punto o al comando Punto. Como los parámetros a y b son dinámicos, pueden emplearse deslizadores variables allí (ver herramienta Deslizador). Comandos para curvas paramétricas Curvatura[Punto, Curva]: Calcula la curvatura de la curva en el punto dado VectorCurvatura[Punto, Curva]: Establece el vector curvatura de la curva en el punto dado. Derivada[Curva]: Da por resultado la derivada de la función Derivada[Curva, Número n]: Da por resultado la derivada de orden n de la curva paramétrica Longitud[Curva, Número t1, Número t2]: Establece la longitud de la curva entre los valores paramétricos t1 y t2 Longitud[Curva c, Punto A, Punto B]: Establece la longitud de la curva c entre dos puntos A y B que pertenecen a c CírculoOsculador [Punto, Curva]: Establece el círculo oscilador de la curva en el punto dado Tangente[Punto, Curva]: Crea la tangente a la curva en el punto dado 3.3.14 Arcos y Sectores Atención: El valor algebraico de un arco es su longitud y el de un sector, su área. Arco Arco[Cónica, Punto A, Punto B]: Sobre la sección cónica dada, establece el arco que se extiende entre dos de sus puntos, A y B. Atención: Esto sólo opera para circunferencias o elipses. Arco[Cónica, Número t1, Número t2]: Establece el arco de sección cónica entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica dada, para los siguientes formatos paramétricos: Atención: Internamente se usan las siguientes formas paramétricas: o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del eje principal y del secundario, respectivamente
63 ArcoCircunferencia ArcoCircunferencia[Punto M, Punto A, Punto B]: Crea un arco de circunferencia con Punto Medio M entre los puntos A y B. Atención: El punto B no necesariamente estará sobre el arco. ArcoCircunferencia[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario] SectorCircular SectorCircular[Punto M, Punto A, Punto B]: Crea el sector circular con Punto Medio M entre dos puntos A y B. Atención: El punto B no debe necesariamente que pertenecer al arco del sector. SectorCircular[ Centro, Punto Extremo, Punto Extremo Antihorario] ArcoCircuncircular ArcoCircuncircular[Punto Extremo A, Punto B, Punto Extremo C]: Crea el arco de circunferencia que pasa por los tres puntos A, B, C, siendo A y C sus extremos. SectorCircumcircular SectorCircumcircular[Punto A, Punto B, Punto C]: Crea un sector circular cuyo arco pasa por los tres puntos A, B y C Sector Sector[Cónica, Punto A, Punto B]: Determina el sector de la sección cónica entre dos puntos A y B sobre la cónica dada. Atención Opera únicamente para una circunferencia o elipse. Sector[Cónica, Número t1, Número t2]: Determina el sector de la sección cónica entre dos valores paramétricos t1 y t2 sobre la sección cónica. Opera con los siguientes formatos paramétricos: o Circunferencia: (r cos(t), r sin(t)) donde r es el radio de la circunferencia o Elipse: (a cos(t), b sin(t)) donde a y b son las longitudes del primer eje y del segundo, respectivamente Semicircunferencia Semicircunferencia[Punto A, Punto B]: Crea una semicircunferencia por encima del segmento AB 3.3.15 Texto TextoFracción TextoFracción[Número]: Convierte el número o valor numérico en una fracción, que se expone como un objeto de texto (LaTeX) en la Vista Gráfica.. Ejemplo: Siendo y = 1.5 x + 2 una recta, TextoFracción [Pendiente[a]] da por resultado, como texto expuesto en la Vista Gráfica, 3/2. LaTeX LaTeX[Objeto]: Da por resultado la fórmula correspondiente al objeto, como texto LaTeX 64 Ejemplo: Si a = 2 y f(x) = a x2, entonces LaTeX[f] da por resultado 2 x2 (como un texto LaTeX) LaTeX[Objeto, Booleana]: Da por resultado la fórmula para el objeto, como texto LaTeX. La variable Booleana determina si los valores son sustituidos por variables (verdadero) o si los nombres de las variables se exponen en el textro (falso). Ejemplos: Si a = 2 y f(x) = a x2, entonces LaTeX[f, cierto] da por resultado 2 x2 (como un texto LaTeX) LaTeX[f, falso] da por resultado a x2 (como un texto LaTeX) LaTeX[ <Objeto> ] LaTeX[ <Objeto>, <Booleana para Sustitución de Variables> ] CódigoDeLetra CódigoDeLetra["Letra"]: Da por resultado el número correspondiente al código Unicode de la letra dada. Atención: La letra debe estar entrecomillada.
Ejemplo: CódigoDeLetra["a"] da por resultado el número 97 CódigoDeLetra[ <Letra (entrecomillada)> ] Nombre Nombre[Objeto]: Da por resultado el nombre de un objeto como texto en la Vista Gráfica. Atención: Este comando resulta especialmente útil para texto dinçamico de objetos que pueden ser renombrados. El comando Nombre es opuesto a su recíproco, Objeto. Objeto Objeto[Nombre del objeto como texto]: Da por resultado el objeto correspondiente al nombre dado, expresado como texto (estático y/o dinámico). El resultado es siempre un objeto dependiente. Atención: El comando Objeto es el opuesto a su recíproco, Nombre. Ejemplo: Si existen los puntos A1, A2, ... , A20 y el deslizados n = 2, entonces, Objeto["A" + n] da por resultado una copia del punto A2. TablaTexto TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,...]: Crea una tabla de texto que contiene las listas de objetos dadas. Atención: Por omisión, cada lista se expone como nueva columna de la tabla. Ejemplos: TablaTexto[{x^2, x^3, x^4}] crea una tabla como objeto de texto con tres filas y tres columnas. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda. TablaTexto[Secuencia[i^2, i, 1, 10]] crea una tabla como objeto de texto con una fila. Todos los ítems de la tabla se alinean a izquierda. TablaTexto[Lista 1, Lista 2, Lista 3,.., Alineación del Texto ]: Crea un texto que contiene una tabla de las listas de objetos. El texto adicional optativo, Alineación del texto controla la orientación y alineación de la tabla de texto. Atención: Los posibles valores son "vl", "vc", "vr", "v", "h", "hl", "hc", "hr". El valor por omisión es "hl". 65 "v" = vertical, de modo que las listas se organizan como columnas "h" = horizontal, de modo que las listas se organizan como filas "l" = alineación a izquierda "r" = alineación a derecha "c" = alineación centrada Ejemplos: TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"v"] crea una tabla de texto con dos columnas y cuatro filas cuyos elementos se alinean a izquierda. TablaTexto[{1,2,3,4},{1,4,9,16},"h"] crea una tabla de texto con dos filas y cuatro columnas cuyos elementos se alinean a izquierda. TablaTexto[{11.2,123.1,32423.9,"234.0"},"r"] crea una tabla de texto con ima fila cuyos elementos se alinean a derecha. Texto Texto[Objeto]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula. Atención: Por omisión, cada variable es sustituida por su correspondiente valor. Ejemplo: Si a = 2 y c = a2, entonces, Texto[c] da por resultado el texto "4". Texto[Objeto, Booleana para Sustitución de Variables]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula. La condición Booleana determina si las variables son sustituidas por sus valores (cierto) o por sus nombres (falso), y expuestas del correspondiente modo. Ejemplo: Si a = 2 y c = a2, entonces Texto[c, cierto] Da por resultado el texto "4". Texto[c, falso] Da por resultado el texto "a2" Texto[Objeto, Punto]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al
120. 3. 3}] da por resultado {(5. 108. expuesto en la posición señalada por el puntos. Ejemplos: CódigoDeTexto[ ex texto ] TextToUnicode["Some text"] da por resultado la lista de cada uno de los números Unicode siguientes {101. 5)} Anexa[Objeto. 97}] da por resultado el texto "hola". {1. A1:A10] donde A1:A10 es un rango de celdas de la hoja de cálculo. (5.3. 111. 3). 2. 120. 1. 3. 5}] da por resultado el número 2 CuentaSi[x<3. Booleana para Sustitución de Variables]: Da por resultado el objeto de texto correspondiente al dado por su fórmula. Ejemplo: LetraDeCódigo[97] expone como texto a la letra "a".Número n]: Determina el elemento número n (enésimo) de la lista Atención: La lista puede contener únicamente objetos del mismo tipo (por ejemplo. 111. (2. 5)] da por resultado {1. Lista]: Anexa la lista al objeto Ejemplo: Anexa[(5. sólo números o sólo puntos). 3}. Texto[Objeto. exponiéndolo como objeto en la Vista Gráfica.dado por su fórmula. Objeto]: Anexa el objeto a la lista Ejemplo: Anexa[{1. Punto P]: Da por resultado el lugar geométrico del punto Q que depende del punto P. 5). segmento. <Lista> ] CuentaSi CuentaSi[Condición. 5). <Objeto>] Anexa[ <Objeto>. 4. LetraDeCódigo LetraDeCódigo[Unicode (número]: Da por resultado la letra cuyo código Unicode se corresponde con la parte entera del número dado. 66 TextoDeCódigo TextoDeCódigo[Lista de Unicodes (números)]: Da por resultado el texto cuyo código Unicode se corresponde con la parte entera de cada uno de los sucesivos números que componen la lista dada.3. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 37 . 2. Atención: El punto P debe ser un punto sobre un objeto (recta. 111}. cuenta todas las celdas cuyos valores son menores que 3. Lista]: Cuenta el número de elementos de la lista que cumplen con la condición dada Ejemplos: CuentaSi[x < 3. Ejemplo: Texto["hola". (5. 3. expuesto en la posición señalada por el punto. 116. 2. {1. circunferencia). 116. CódigoDeTexto CódigoDeTexto[ Texto ]: Da por resultado una lista de los números correspondientes al código Unicode de cada uno de los caracteres del texto. 101. 2.17 Listas y Secuencias Anexa Anexa[Lista. Elemento Elemento[Lista.16 Lugar Geométrico Locus. Si el texto fuese "hola hello". entonces CódigoDeTexto[ Hola ]: daría por resultado esta lista {104. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. La condición Booleana determina si el texto a exponer será el de los valores de las variables (cierto) o al de sus nombres (falso). 3. Ejemplo: TextoDeCódigo[{104. 3)] expone ese texto en la posición (2. 108. Punto. 3} Anexa[ <Lista>.LugarGeométrico LugarGeométrico[Punto Q. exponiéndola como un objeto de texto en la Vista Gráfica. Primero Primero[Lista]: Da por resultado el primer elemento de la lista Coord. 2. 111}. 32.
2. {1. 11. se cuenta desde el final de la lista y en adelante hacia la derecha. -1] ubica el punto al final y da por resultado la lista {1. 2} Encadena[{{1. {1. 3. 7}}] crea la lista {1. 2. Lista. Ejemplo: Tras definir la función f(x) = x^2 el comando L = ListaIteración[f. 2. {1. 67 Intercala Intercala[Objeto. 6}] Da por resultado Coord. 4. 2. {1. Ejemplo: ConservaSi[x<3. Ejemplo: Intercala[(1. Ejemplo: Intercala[x^2. Número n de elementos]: Da por resultado una nueva lista. 32. 4. 2). 2. 3. 12. 5. 4. 3. 2. 2. 1.Primero[Lista. 5}. 3. Valor Inicial x0. 4. que contiene los primeros n elementos de la dada. pese a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno. 5. 9. dando por resultado una nueva en la que se organiza la sucesión de elementos de cada una de las dadas. 5}. Intersección Intersección[Lista 1. 3}. 3. (1. 2] da por resultado la lista L = {3. 8. por orden. 2. 3. 5}. x2. Lista 2. 5} Atención: Si la posición fuera un número negativo. 81} Encadena Encadena[Lista 1. 3. 3. Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 38 . Lista 2]: Da por resultado una nueva lista que contiene todos los elementos comunes a ambas. {1.. 5}. 3} Encadena[Lista de listas]: Encadenas las sub-listas en una de longitud mayor en que se concatenan sus correspondientes elementos. 4. 4. 3. 5} Atención: Si la posición fuera un número negativo. 3. 3}. 5}. se cuenta desde el final de la lista y en adelante hacia la derecha. 3. 4. (32)2} = {3. 2. 4}. Ejemplo: Intercala[{11. 2. 3. 2}}] crea la lista {1. {1. -2] ubica los elementos de la primera lista desde la penúltima posición de la segunda (antes del último elemento) y da por resultado {1. 4. ListaIteración ListaIteración[Función. {8. 11. 4. Número de Iteraciones n]: Da por resultado una lista de n+1 elementos que resultan de las iteraciones de la función a partir del valor inicial x0. pese a posibles repeticiones y sin reordenamiento alguno. . Ejemplos: Encadena[{5. 2. 3}] crea la lista {5. Ejemplos: Encadena[{{1. 3. 3] ubica a x2 en la tercera posición y da por resultado la lista {1. {3. 4. Ejemplo: Intercala[{11. 2. 12}. 2. 4.Lista n]: Encadena dos o más listas. Posición] Da por resultado una nueva lista en la que se intercalara el objeto dado en la posición especificada. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Lista 2. Lista]: Crea una nueva lista que únicamente contiene aquellos elementos de la dada que cumplan con la condición especificada. Atención: La nueva lista contiene todos los elementos de cada una de las dadas. 12. Posición] Intercala todos los elementos de lista 1 en lista 2 en la posición indicada. 2)} Intercala[Lista 1. 4. 3] ubica los elementos de la primera lista a partir de la tercera posición de la segunda y da por resultado la nueva lista the list {1.. 1. 7} 68 ConservaSi ConservaSi[Condición. 12}.
Longitud Longitud[Lista] Establece la longitud de la lista. (4. -1. como las establecidas por un deslizador. Mínimo Mínimo[Lista]: Da por resultado el mínimo elemento de la lista Mínimo[Número (o valor numérico). Producto Producto[Lista de números]: Calcula el producto de todos los números de la lista EliminaIndefinidos EliminaIndefinidos[Lista]: Establece una lista de la que se ha eliminados los objetos indefinidos de la dada. objetos de texto o puntos) de la dado. Ejemplo: L = Secuencia[(2.5. con un incremento de a 0. 1}] da por resultado la lista {1. Atención: Las listas de puntos se organizan según el orden creciente de sus abscisas (coordenadas x). quedan indefinidos. al estar elevados a exponentes no enteros. Variable i. determinada por el número de elementos que la compone. Los n últimos elementos (número)]: Da por resultado una lista que contiene los últimos n últimos elementos de la dada. i. Ejemplos: Ordena[{3. Atención: Como los parámetros a y b son dinámicos. 5. Número b. 2). i).la nueva lista {1. i). i. 5] crea una lista de puntos cuyas ordenadas (coordenadas y) varían dentro del rango de 1 a 5 69 Secuencia[Expresión. "pera"}] Ordena[{(3. Máximo Máximo[Lista]: Da por resultado el máximo elemento de la lista Máximo[Número (o valor numérico). 5). 5). Ultimo[Lista. Número a. Ordena Ordena[Lista]: Crea una lista compuesta por los elementos ordenados (números. Ejemplo: EliminaIndefinidos[Secuencia[(-1)^i. 2. Número a. Ejemplo: L = Secuencia[(2. 3}. Incremento]: Establece una lista de objetos creados desde la expresión dada y el índice i que varía en el rango que va del número a al b con el incremento dado. 0. 2. ListaInversa ListaInversa[Lista]: Crea una lista cuyos elementos aparecen en orden inverso respecto de la dada. (2. Ordena[{"pera". también se pueden emplear en este caso variables.5] crea una lista de puntos cuyas ordenadas (coordenadas y) varían en el rango de 1 a 5. 1. 1. "ananá". Variable i. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 39 . 2). (3. Número (o valor numérico)]: Da por resultado el menor de entre los dos números dados. i. 1)}. Secuencia Secuencia[Expresión. (4. "fresa"}] da por resultado la lista de tales elementos ordenados alfabéticamente [{"ananá"."fresa . Número (o valor numérico)] Da por resultado el mayor de los dos números dados. Número b]: Establece una lista de objetos creados desde la expresión dada y el índice i que varía en el rango que va del número a al b. Coord. 2. 0. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.5]] da por resultado una lista de la que se ha eliminado el segundo y el cuarto elementos de la secuencia dado que. -3. 1)}] resulta {(2. 1} Ultimo Ultimo[Lista]: Da por resultado el último elemento de la lista.
3. Suma[{"a". Número. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 40 ."c"}] da por resultado el texto "abc". vectores. Atención: Este comando opera con números. Refleja Punto en Circunferencia Rota Coord. los nuevos vértices y lados correspondientes. 5). Centro (punto)] Refleja Refleja[Punto A. Punto S]: Establece la homotecia de la imagen desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Atención: Ver también la herramienta Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala Homotecia[Objeto. 5. Punto]: Refleja la recta por el punto Refleja[Cónica. Punto S]: Establece la homotecia del punto A desde el punto S según el factor correspondiente al número dado. Posición Inicial m. también. Punto S]: Establece la homotecia de la sección cónica desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Homotecia[Polígono. Lista 2]: Encadena las dos listas. Recta]: Refleja el polígono en la recta dada. 4. Recta]: Refleja la sección cónica en la recta dada. texto y funciones. texto y funciones. 2). Unión Unión[Lista 1. Número. Homotecia[Imagen. 3}] da por resultado el punto B = (4. Punto S]: Establece la homotecia del polígono desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Atención: Se crean. Atención: Este comando opera con números. Recta]: Refleja el punto en la recta dada Refleja[Recta g. Número. Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados. Recta h]: Refleja la recta g en la recta h Refleja[Cónica. 2). Punto B]: Refleja el punto A por punto B Refleja[Recta. Ejemplo: Suma[{1. 3)}] da por resultado el punto A = (3.i. Posición Final n]: Da por resultado una lista que contiene los elementos. Homotecia[Recta. Punto]: Refleja el polígono por el punto dado. Punto]: Refleja la sección cónica c por el punto dado Refleja[Polígono.100]] da por resultado el número a = 5050. Refleja[Imagen. Suma[{x^2. Factor de Escala (número o valor numérico). x^3}] da por resultado f(x)=x2 + x3. eliminando los elementos que aparecen más de una vez. vectores. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Extrae Extrae[Lista. Atención: Se crean también los nuevos vértices y segmentos de los lados. desde el que ocipa la posición m a la n en la dada. (2.1. 4] da por resultado el número a = 10."b".3. 6}. 70 3. Punto S]: Establece la homotecia de la recta desde el punto S según el factor correspondiente al número dado Homotecia[Cónica. Suma[Lista. Suma[{(1. puntos. Punto]: Refleja la imagen por el punto dado Refleja[Punto. 2).Suma Suma[Lista]: Calcula la suma de todos los elementos de la lista. Recta]: Refleja la imagen por la recta dada Refleja[Punto. Número. Refleja[Polígono. 2. 3}] da por resultado el número a = 6. Suma[{(1. puntos. 2.18 Transformaciones Geométricas Homotecia Homotecia[Punto A. Refleja[Imagen. Ejemplos: Suma[{1. Suma[Secuencia[i. Número. Refleja Objeto en Recta. Número n de elementos]: Calcula la suma de los primeros n elementos de la lista. Circunferencia]: Invierte el punto en la circunferencia Atención: Ver también las herramientas Refleja Objeto por Punto.
Ángulo. Punto]: Rota la imagen por el ángulo en torno al punto Atención: Ver también las herramientas Rota Objeto en torno Punto. Ancho de Paso s]: Crea un diagrama en el intervalo [a.9. Ángulo. Ángulo]: Rota el punto por el ángulo en torno al origen de coordenadas Rota[Vector.2.4. Variable k. k.5]. Ángulo. Ángulo.3. en el que la altura de cada una de las barras Coord. Valor Final. Ángulo. Lista de Alturas]Crea un diagrama en un intervalo.Rota[Punto.k]*p^k*q^(nk). Barras[Valor Inicial a. cada una de las cuales tendría una altura especificadas por el valor de cada elemento{1. La altura de cada barra depende de las probabilidades calculadas empleando la expresión dada:. Ángulo]: Rota la recta por el ángulo en torno al origen de coordenadas Rota[Cónica. Desde número c. A número d. Vector]: Traslada la función por el vector Traslada[Polígono. Valor Final b. Expresión. 20]. Vector]: Traslada la cónica c por el vector Traslada[Función.2.5. NúmeroCombinatorio[n. el ángulo dado en torno al punto B Rota[Recta. Barras[Valor Inicial a. cuya altura depende del correspondiente valor. q = 0. Expresión.19 Comandos Estadísticos Barras Barras[Valor Inicial. Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de los lados. Ángulo]: Rota la sección cónica por el ángulo en torno al origen de coordenadas Rota[Polígono. Traslada[Imagen. en el que la altura de cada una de las barras se calcula según la expresión cuya variable k se evalúa entre el número c y el número d Ejemplo: Si p = 0. Variable k. Rota[Imagen. 71 Rota[Imagen. Atención: Se crean también los nuevos puntos vértices y segmentos de los lados. Vector]: Traslada la recta por el vector Traslada[Cónica. Punto]: Rota el polígono por el ángulo en torno al punto. Ángulo. Ángulo]: Rota el polígono por el ángulo en torno al origen de coordenadas.5.5. Punto]: Rota la sección cónica por el ángulo en torno al punto. Punto]: Rota la recta por el ángulo en torno al punto. b]. A número d]: Crea un diagrama en el intervalo [a. n ] da por resultado un diagrama en el intervalo [-0. Rota[Recta. Atención: Se crean también los nuevos puntos vertices y segmentos de los lados.1. Rota[Polígono. Vector]: Traslada el punto por el vector Traslada[Recta.5} .5} ] da por resultado un diagrama de cinco barras en el intervalo [10..3. 0. con una barra por cada elemento de la lista.3. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 41 . el Ángulo indicado Traslada Traslada[Punto. {1. Punto B]: Rota el punto A. Ángulo]: Rota el vector por el ángulo dado. 20. Rota[Cónica. Rota[Vector. Vector]: Traslada el polígono por el vector. Ángulo]: Rota la imagen el ángulo dado en torno al origen de coordenadas Rota[Punto A. Desde número c. n + 0. Punto]: Rota el vector por el ángulo en torno al punto. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Punto]: Traslada el vector al punto P Atención: Ver también la herramienta Traslada Objeto por un Vector 3. Vector]: Traslada la imagen por el vector Traslada[Vector. b]. entonces Barras[ -0.4. y n = 10 son números. Valor Final b. Ejemplo: Barra[10. n+0.
33. 0.11.3. 43. {5.2.5}. 0. CPearson[Lista de Puntos]: Calcula el coeficiente de correlación de Pearson de los puntos dados en la lista. Valor Inicial.13. cuyas barras tienen el ancho dado.14}.5] deja brechas entre las barras.11.14}.2.12. Ancho de barras]: Crea un diagrama usando los datos. 0.4.1}.12.5.8.12. 12.7. yEscala.4. Q3>. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 42 .11. cuyas barras tienen un ancho fijado por w Atención: En la lista de datos los números deben ascender según una cantidad constante Ejemplos: Barras[{10. 73 Otros Comandos de Ajuste AjusteExp[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión exponencial de los puntos listados. AjusteLog[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión logarítmica de los puntos listados. depende del factor yEscala Ejemplo: DiagramaCaja[0. 0. Lista de Ordenadas]: Calcula el coeficiente de correlación de Pearson de los puntos dados por las listas de sus coordenadas.1}.0.13. 9}. 8.5. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Covarianza Covarianza[Lista de Números.5.12.0. {5.8.7. Lista de frecuencias]: Crea un diagrama usando la lista de datos.12. 1] Barras[Lista de datos. yEscala. Lista de Datos]: Crea un diagrama usando los datos dados.72 se calcula según la expresión cuya variable k se evalúa entre el número c y el número d con un ancho de paso determinado por s Barras[Lista de datos enumerados.13.5. 0. 4}] Barras[Lista de datos. Valor Final]: Crea un diagrama para los datos estadísticos dados en el intervalo [Valor Inicial.5. {2.3.12. {12. la de las abscisas y la de las ordenadas.2.8.6.1}] Barras[{5. Ejemplos: Barras[{10. 1. AjusteLineal AjusteLineal[Lista de Puntos]: Calcula la recta de regresión y sobre x de los puntos listados.0. Lista de Números]: Calcula la covarianza usando los elementos de ambas listas Covarianza[Lista de Puntos]: Calcula la covarianza usando las coordenadas x e y de cada uno de los puntos listados.14}.5. 13.8.9}] DiagramaCaja[yRadio. los números ascienden según una cantidad constante. Atención: El primer punto así como el último de la lista deberían estar bastante cerca de la curva. Ejemplo: Barra[ {1. 3}] Barras [{0.3. Ancho de las barras w]: Crea un diagrama usando la lista de datos y las correspondientes frecuencias.8. Valor Final] CPearson CPearson[[Lista de Abscisas.2. 0] produce un gráfico recto DiagramaCaja DiagramaCaja[yRadio.2.8. acorde a las correspondientes frecuencias Atención: En la lista. AjusteLogístico[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión de la forma a/(1+b x^(-kx)) de los puntos listados. Q1. cuya posición vertical en el sistema de coordenadas lo controla la variable yRadio y su altura.3.6}.1. {5. 7. 6. La lista debería tener al menos 3 puntos.1. {1. Barras[{10. Mediana. Lista de frecuencias.3.2. Coord. más preferiblemente.
2. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 43 . 2 y 1 respectivamente.3.7. Ejemplo: Histograma[{1. 1. Comandos Cuatril Q1[Lista de números]: Determina el primer cuartil de los elementos de la lista Q1[Lista de números]: Determina el cuartil superior de los elementos de la lista Coord.. 1. y así sucesivamente. más preferiblemente. Desviación Estándar. 1].4}] Da por resultado una lista vacía {} Moda[{1.1. 3} Normal Normal[Media. cubriendo al menos dos extremos. 2. 2. Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución normal a la izquierda. cada una de las cuales tendrá las siguientes alturas 5. Ejemplo: Histograma[{0.2.1. NormalInversa NormalInversa[Media. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 5}. de la lista de datos La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra así como cuántos elementos de los datos corresponderán a cada clase.2.0}] crea un histograma de 3 barras. Lista de Datos]: Crea un histograma sobre la lista de intervalos. 2. Histograma Histograma[Lista de Extremos de Intervalos. Desviación Estándar. en [1.2. Comandos de Media Media[Lista de Números]: Calcula la media de los elementos listados MediaX[Lista de Puntos]: Calcula la media de las abscisas (coordenadas x) de los puntos listados 74 MediaY[Lista de Puntos]: Calcula la media de las ordenadas (coordenadas y) de los puntos listados Mediana Mediana[Lista de números]: Determina la mediana de los elementos listados Moda Moda[Lista de números]: Determina la moda de los elementos listados. 4. 4. La primera barra está ubicada en el intervalo [0. Ejemplos: Moda[{1..1) . 2.{1. AjusteSen[Lista de Puntos]: Calcula la curva sinusoidal de regresión de la forma a + b sin(cx+d). Atención: Todos los puntos empleados deben estar en el primer cuadrante del sistema de coordenadas. de la abscisa dada (coordenada x). la segunda.de los puntos listados (sin corresponde a sen. 3. 2. 3. 6.3.3. Probabilidad]: Calcula la función -1(probabilidad) ** (desviación estándar) + (media) donde (x) -1 es la inversa de la función de densidad de probabilidad (x) para N(0. {2. 1. de la abscisa dada (coordenada x).4}] Da por resultado la lista {1. 3. con barras acorde a la lista de alturas.1.AjustePolinómico[Lista de Puntos.1. 1. Histograma[Lista de Extremos de Intervalos. Atención: La lista debería tener un mínimo de 4 puntos.1) Atención: Da por resultado la probabilidad para el área bajo la curva de distribución normal a la izquierda. 1. La clase de extremos determina el ancho y la posición de cada barra. Lista de Alturas]: Crea un histograma sobre la lista de intervalos.1.3. 8.2. 1}] crea un histograma de 5 barras de las alturas especificadas. 4}.5. seno). Los primeros dos puntos extremos relativos no deberían diferir demasiado de los absolutos de la curva.2.4}] Da por resultado la lista {1} Moda[{1. Valor de Variable]: Calcula la función ( (x media) / desviación estándar) donde (x) es la función de densidad de probabilidad para N(0. Grado Polinomio]: Calcula la regresión polinómica de grado n de los puntos listados AjustePotencia[Lista de Puntos]: Calcula la curva de regresión de la forma a xb de los puntos listados.0. 2].
3. Lista de coordenadas y]: Calcula la suma de los productos de las coordenadas x e y SigmaXY[Lista de puntos]: Calcula la suma de los productos de de las coordenadas x e y de los puntos listados. Atención: Estas cantidades son simplemente formas no normalizadas de las varianzas y covarianza de X e Y dadas por Sxx = N var(X). Técnico: Paul Sáenz Fajardo 44 .20 Comandos de Hoja de Cálculo RangoCelda RangoCelda[Celda Inicial. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.Y) Ejemplo: Se puede calcular el coeficiente de correlación de Pearson de una lista de puntos usando Sxy[lista] / sqrt(Sxx[lista] Syy[lista]). Comandos para Cantidades Estadísticas Sxx[Lista de números]: Calcula el estadístico (x2) . SigmaXX[Lista de puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las abscisas de los puntos listados. Syy = N var(Y).Media[lista]^2. 75 Sxy[Lista de números. Ejemplo: Para establecer la varianza de una lista puede usarse SigmaXX[lista]/Longitud[lista] . SigmaXY[Lista de coordenadas x. Syy[Lista de números]: Calcula el estadístico (y2) . NombreColumna NombreColumna[Celda de Hoja de Cálculo]: Da por resultado el nombre de la columna de la celda como un texto Ejemplo: NombreColumna[A1] da por resultado el texto A en la Vista Gráfica. Ejemplo: Para establecer la varianza de una lista de puntos puede usarse SigmaXY[lista]/Longitud[lista]-MediaX[lista] * MediaY[lista]. A2.(x) × (y)/n Sxy[Lista de puntos]: Calcula el estadístico (xy) .DE DE[Lista de Números]: Calcula la desviación estándar de los números listados Comandos Sigma SigmaXX[Lista de números]: Calcula la suma de los cuadrados de los números listados . SigmaYY[Lista de Puntos]: Calcula la suma de los cuadrados de las coordenadas y de los puntos listados. y Sxy = N cov(X. Lista de números]: Calcula el estadístico (xy) . Celda Final]: Crea una lista conteniendo los valores de las celdas dentro del rango establecido.(y) × (y)/n Syy[Lista de puntos]: Calcula el estadístico (y2) . A3} Columna Columna[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado la columna de la celda como un número (empezando por 1) Ejemplo: Columna[B3] da por resultado el número a = 2 dado que la columna B es la segunda de la hoja de cálculo. Fila Fila[Celda Hoja de Cálculo]: Da por resultado el número de la fila de la Coord.(x) * (x)/n Sxx[Lista de puntos]: Calcula el estadístico (x2) . A3] da por resultado la lista {A1.(x) × (x)/n usando las coordenadas x de los puntos dados.(x) × (y)/n. usando las coordenadas y de los puntos dados. Ejemplo: RangoCelda[A1.(y) × (y)/n. Varianza Varianza[Lista de números]: Calcula la varianza de los elementos listtados 76 Hoja de Cálculo como Objeto y Objetos en Hoja de Cálculo 3.
Técnico: Paul Sáenz Fajardo 45 . 77 Los Menúes 4. Atención: Si se eligiera un nombre para guardar el boceto ya existente en el directorio de destino. Atención: También se puede abrir un archivo de GeoGebra arrastrándolo con el ratón o mouse a su ventana y depositándolo allí. 2}. anotándolo en la caja de texto que se despliega a tal efecto. {3.5}}.3. Se puede especificar Título . Abre Teclas de Atajo: Ctrl-O (MacOS: Cmd-O) Este ítem del menú permite abrir un archivo de GeoGebra (de extensión .ggb o ggt) guardado previamente en el directorio o carpeta que despliega la correspondiente caja de diálogo.1 Menú Archivo Nueva Ventana Teclas de Atajo: Ctrl-N (MacOS: Cmd-N) Este ítem del menú abre una ventana de GeoGebra con los ajustes por omisión de su interfaz. {1.5. consultando antes si se desea guardar la construcción en marcha. 3}. Coord. 4}}] da por resultado el número c. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. {3. para la que no se hubiera seleccionado aún un nombre. Autoría . si los ejes de coordenadas hubieran estado ocultos antes de seleccionar el ítem del menú Nuevo . {2. 4}}] da por resultado la matriz {{1. 4}}. Guarda Teclas de Atajo: Ctrl-S (MacOS: Cmd-S) Este ítem del menú permite guardar la construcción en marcha como archivo GeoGebra (de extensión . Nuevo Este ítem del menú abre una interfaz de uso nueva y vacía en la misma ventana. MatrizInversa MatrizInversa[Matriz]: Da por resultado la matriz inversa respecto de la dada Ejemplo: MatrizInversa[{{1. Traspone Traspone[Matriz]: Da por resultado la matriz traspuesta respecto de la dada. 1}.21 Comandos de Matrices Determinante Determinante[Matriz]: Da por resultado el determinante de la matriz Ejemplo: Determinante[{{1.ggb) en la carpeta o directorio que se seleccione en la caja de diálogo que se despliega a tal efecto. permanecerán así en la nueva interfaz. Atención: La nueva interfaz de uso adopta los ajustes empleados en la construcción previa. {3. 78 Previsualiza Impresión Teclas de Atajo: Ctrl-P (MacOS: Cmd-P) Este ítem del menú abre la ventana correspondiente a Previsualiza Impresión de la Vista Gráfica. -0. 4}}] da por resultado la matriz inversa {{-2. entonces Fila[B3] da por resultado el número a = 3. Cada Menú: Ítem por Ítem 4. Por ejemplo. 2}. Ejemplo: Traspone[{{1. Guarda Como Este ítem del menú permite guardar la construcción en marcha como archivo GeoGebra. Fecha y Escala de la impresión (en cm).celda de la hoja de cálculo (empezando por 1) Ejemplo: Si la celda B3 no está vacía. Atención: De hacer cambios en los ajustes y guardar algunos. 3. la nueva ventana se abrirá empleando los ajustes establecidos. 2}. se reemplazará el viejo archivo con esta maniobra.
eps) Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-P (MacOS: Cmd-Shift-P) Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica de GeoGebra como archivo gráfico. PDF Portable Document Format (ver Formato EPS en sección previa) Atención: Al exportar en SVG y PDF. debe pulsarse la tecla Enter.Vista Gráfica al Portapapeles Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C) Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema. la escala dada (en cm) cambiaría. se puede seleccionar cualquiera de los siguientes formatos: PNG Portable Network Graphics: Este es un formato gráfico pixelado. aún cuando no se cuente en el equipo de destino con las fuentes originales instaladas).Formato Meta Enriquecido (ver la sección previa Formato EPS) Exporta . Atención: Cuando se exporta la Vista Gráfica como imagen.Vista Gráfica como PSTricks Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-T (MacOS: Cmd-Shift-T) Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico PSTricks. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.Atención: Para poder actualizar la previsualización de la impresión después de cada cambio. Para profundizar la información. Atención: El efecto de transparencia en el sombreado de polígonos o de secciones cónicas no es posible con EPS. Cuanto mayor la resolución (dpi). Mathlet . Las imágenes EPS pueden escalarse sin perder calidad y son adecuadas para emplearse en relación con programas gráficos vectoriales (como Corel Draw) y procesadores de textos profesionales (como LaTeX).Hoja Dinámica como Página Web (html) Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-W (MacOS: Cmd-Shift-W) Este ítem del menú permite exportar la construcción en marcha como página web para poder crear lo que se denomina Hoja Dinámica . se puede seleccionar el Formato del archivo y cambiar la Escala (en cm) y la Resolución (en dpi) de la imagen. mayor la calidad (300dpi suele bastar). se puede optar por tratar el texto como editable o como imagen. EPS Encapsulated Postscript:: Este es un formato gráfico vectorial. La resolución de un gráfico EPS es siempre de 72dpi. Este valor se usa sólo para calcular la medida verdadera de una imagen en centímetros y no tiene efecto sobre la calidad de la imagen.Gráfico de Vector Escalable (ver la sección previa Formato EPS) EMF Enhanced Meta Format . Applet . Exporta . Esto almacena el texto de modo de poder editarlo (como en InkScape) o como curvas de Bezier (lo que garantiza que el aspecto del texto resulte exactamente el mismo que el previsto. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 46 . Los gráficos PNG no debieran ser escalados subsecuentemente para evitar merma en la calidad. 79 SVG Scaleable Vector Graphic . que es un formato correspondiente a LaTeX. se puede pegar fácilmente esta imagen en otros documentos (como los creados con un procesador de textos). Exporta . Imagen Desde Archivo) hay que verificar que la medida esté fijada al 100 %. Exporta . Los archivos gráficos PNG son adecuados par alas páginas web (html) y eln los documentos de los procesadores de texto. Después de esta operación. De otro modo. (menú Insertar. puede consultarse la sección Creando Páginas Web Interactivas Exporta .Vista Gráfica como PGF/TikZ Este ítem del menú permite guardar la Vista Gráfica como un archivo gráfico Coord.Vista Gráfica como Imagen (png. En la ventana de diálogo emergente. Atención: Cuando se inserta un gráfico PNG en un documento.
Después de esta operación. que es un formato correspondiente a LaTeX. es preciso seleccionar algún objeto que ocupe la capa deseada. Atención: Antes de emplear este ítem. Selecciona Descendientes Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-Q (MacOS: Cmd-Shift-Q) Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos dependientes del que ya se hubiera elegido. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 47 . Cierra Teclas de Atajo: Alt-F4 (MacOS: Cmd-W) Este ítem del menú cierra la ventana de GeoGebra. paso a paso. Si no se ha guardado la construcción en marcha antes de seleccionar Cierra . se desplegará una caja de diálogo consultando si se prefiere hacerlo. Propiedades Teclas de Atajo: Ctrl-E (MacOS: Cmd-E) Este ítem del menú abre la Caja de Diálogo de Propiedades que permite modificar las propiedades de todos los objetos que componen un archivo de GeoGebra. Atención: Antes de emplear este ítem. Atención: Antes de emplear este ítem. Rehace Teclas de Atajo: Ctrl-Y (MacOS: Cmd-Shift-Z) Este ítem del menú permite rehacer acciones previamente descartadas por Deshace . Borra Teclas de Atajo: Tecla Borra Este ítem del menú permite borrar los objetos seleccionados y los derivados o dependientes. Atención: También puede emplearse el botón correspondiente que aparece en el extremo derecho de la barra de herramientas: Rehace . es preciso seleccionar algún objeto dependiente . paso a paso. Coord.2 Menú Edita Deshace Teclas de Atajo: Ctrl-Z (MacOS: Cmd-Z) Este ítem del menú permite deshacer acciones previas. se puede pegar fácilmente esta imagen en otros documentos (como los creados con un procesador de textos). 4. Selecciona Todo Teclas de Atajo: Ctrl-A (MacOS: Cmd-A) Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de la construcción. Atención: También puede emplearse el botón correspondiente que aparece en el extremo derecho de la barra de herramientas: Deshace .PGF/TikZ. es preciso seleccionar algún objeto del que dependan los subsiguientes. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. por ejemplo). Selecciona la Capa Activa Teclas de Atajo: Ctrl-L (MacOS: Cmd-L) Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos que ocuparan la misma capa que el que ya se hubiera elegido. Atención: Se puede seleccionar previamente los objetos que se desean borrar (con el rectángulo de selección. Selecciona Ascendientes Teclas de Atajo: Ctrl-Q Este ítem del menú permite seleccionar todos los objetos de los que dependa el que ya se hubiera elegido. un objeto padre . Copia Vista Gráfica al Portapapeles Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-C (MacOS: Cmd-Shift-C) 80 Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al llamado portapapeles del sistema.
Barra de Entrada Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Entrada en la zona inferior de la ventana de GeoGebra. Objetos Auxiliares Este ítem del menú permite ocultar o exponer los Objetos Auxiliares en la Vista Algebraica. Vista de Hoja de Cálculos Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-S (MacOS: Cmd-Shift-S) Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista de Hoja de Cálculos. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.81 Decisiones de Entorno 4. Atención: Se puede emplear la Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica para personalizar la cuadrícula de coordenadas. División Horizontal Este ítem del menú permite dividir la ventana de GeoGebra de modo vertical u horizontal en las diversas vistas. Atención: Se puede emplear este ítem del menú para eliminar cualquier rastro de puntos o rectas de la Vista Gráfica. Atracción de Punto a Cuadrícula Este ítem del menú determina si la captura del punto está Activa o Desactiva o si Coord. Atención: Para cambiar los ajustes de los objetos.3 Menú Vista Ejes Este ítem del menú permite ocultar o exponer los ejes de coordenadas en la Vista Gráfica. 82 Barra de Navegación por Pasos de Construcción Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Barra de Navegación en la zona inferior de la Vista Gráfica. Recálculo de Todos los Objetos Teclas de Atajo: F9 Este ítem del menú recalcula todos los objetos empleados en un archivo de GeoGebra. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 48 . Actualiza Vistas Teclas de Atajo: Ctrl-F (MacOS: Cmd-F) Este ítem del menú permite el retrazado de todas las vistas en pantalla. 4. Cuadrícula Este ítem del menú permite ocultar o exponer la cuadrícula de coordenadas en la Vista Gráfica. Vista Algebraica Teclas de Atajo: Ctrl-Shift-A (MacOS: Cmd-Shift-A) Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Vista Algebraica. Atención: Puede usarse este ítem del menú para crear nuevos números aleatorios si es que se está empleando alguno en el archivo.4 Menú Opciones Las opciones globales pueden modificarse desde el menú Opciones. Lista de Comandos Este ítem del menú permite ocultar o exponer la Lista de Comandos en la Barra de Entrada en la zona inferior de la ventana de GeoGebra. Protocolo de Construcción Este ítem del menú permite abrir el Protocolo de Construcción en una nueva ventana. Atención: Se puede emplear la Caja de Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica para personalizar los ejes de coordenadas. conviene emplear el Menú Contextual y la Caja de Diálogo de Propiedades.
cuadrícula de coordenadas o color de fondo. GeoGebra apela a la heurística de proximidad para mantener móviles a los puntos de las intersecciones (recta-cónica. Coordenadas Este ítem del menú determina si la notación de los puntos de coordenadas será A = (x. Se puede elegir entre el rotulado a Todos los Nuevos Objetos . Coord. Redondeo Este ítem del menú permite establecer el número de lugares decimales o cifras significativas expuestas en pantalla. Atención: Al usar GeoGebra como herramienta de presentación o trabajando con un tablero interactivo.los puntos serán capturados por la cuadrícula Activa (Cuadrícula) . Atención: Independientemente del idioma seleccionado. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 49 . Continuidad GeoGebra permite decidir la activación o inhabilitación de la heurística de continuidad. Tamaño de Casilla de Control Este ítem del menú permite establecer la medida de la casilla de control a Normal o Grande . incluso nombres de comandos. como ejes. Idioma GeoGebra es multilingüe. Sólo los Nuevos Puntos y Automático . Rotulado Especifica si se expone o no el rótulo de un objeto recientemente creado. y) o A(x | y) . rótulos y entradas algebraicas empleadas. Todos los nombres de los diversos idiomas se expresan en inglés. Atención: La alternativa para ir rotulando en Automático lleva a que a medida que se creen nuevos objetos. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Tamaño de Letra Este ítem del menú determina la medida. en puntos (pt). Estilo de Punto Este ítem del menú determina si los puntos se exponen como puntos . como círculos o cruces x. el ícono del globo terráqueo sirve de guía al menú de idioma. Atención: Siempre pueden ingresarse de cualquiera de ambos modos (grados y radianes). un punto o tal como los restantes ángulos (en caso de inhabilitación de esta opción). Atención: La opción Automático activa la captura cuando la cuadrícula o el sistema de coordenadas están expuestos y la desactiva cuando si están ocultos. conviene aumentar la medida de la tipografía para facilitar la lectura de textos. vayan apareciendo sus rótulos en la Vista Algebraica. de la tipografía para los rótulos y texto. cónica-cónica) cerca de sus posiciones previas y evitar el salto en los puntos de intersecciones. Vista Gráfica Este ítem del menú abre una ventana de diálogo donde pueden ajustarse las Propiedades de la Vista Gráfica. Ningún Nuevo Objeto . Aquí puede definirse o modificarse el idioma en uso. 83 Atención: Por omisión esta heurística está inhabilitada. Esto afecta a lo que se ingresa. y a todas las salidas. Estilo de Angulo Recto Determina si los ángulos rectos se identifican con la marca de un rectángulo . Así como lo está para las herramientas que se definen (ver herramientas definidas para diversos Usos). Unidad Angular Este ítem del menú determina si los ángulos se expresan en grados (°) o radianes (rad). Atención: Si GeoGebra se emplea como herramienta de presentación. es conveniente fijar el tamaño Grande para facilitar su empleo.
Atención: Si se cambian y se guardan algunos de estos ajustes la nueva ventana se abre usándolos.7 Menú Ayuda Ayuda Este ítem del menú da acceso a la versión html del documento de Ayuda de Coord.6 Menú Ventana Nueva Ventana Teclas de Atajo: Ctrl-N (MacOS: Cmd-N) Este ítem del menú abre una nueva ventana de GeoGebra que emplea los ajustes de La interfaz de GeoGebra. Abre) para abrir las herramientas en otra construcción. Atención: La barra de herramientas activa queda guardada en el archivo ggb de construcción que la tuvo como recurso accesible. en cada ventana.84 Atención: También puede abrirse la ventana de diálogo con un clic derecho (MacOS: Ctrl-clic) sobre el fondo de la Vista Gráfica. cualquier herramienta se Borra o bien se le modifica su nombre o su ícono. 4. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Atención: Las herramientas creadas se guardan automáticamente dentro del archivo ggb de la construcción y quedan accesibles para emplearse con el mouse o ratón y como comando en la Barra de Entrada Gestión de Herramientas Usando la caja de diálogo que despliega la opción Gestión de Herramientas del menú de Herramientas. Esto es particularmente útil para operar con las Hojas de Cálculo Dinámicas en las que se prefiere restringir los útiles disponibles. Restablecer la Configuración Original Se puede reestablecer la configuración original y sus correspondientes ajustes. Tras preparar la construcción de una herramienta. Este archivo puede emplearse posteriormente (menú Archivo. 85 4. Se despliega una ventana de diálogo donde se pueden especificar los objetos de salida y entrada de la herramienta en marcha y elegírseles nombres al ícono y comando con que aparecerá en la barra de herramientas. Lista de Ventanas Abiertas de GeoGebra Si hay más de una ventana abierta. este ítem del menú permite alternar y pasar de una a otra.5 Menú Herramientas Creación de Herramienta Nueva Desde una construcción existente. para ir pasando de uno a otro. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 50 . barra de herramientas activa y los de la Vista Gráfica) si se selecciona Guardar Configuración en el menú de Opciones. Atención: Es importante tener en cuenta que la apertura de un archivo ggt no modifica la construcción en curso como sí lo hace abrir un archivo ggb . Guardar Configuración GeoGebra recuerda los ajustes realizados (como los del menú de Opciones. Atención: Esto es particularmente útil. 4. se selecciona Creación de Herramienta Nueva en el menú de Herramientas. cuando GeoGebra se emplea como herramienta de presentación y se desea tener varios bocetos abiertos simultáneamente. También se puede guardar las herramientas seleccionadas en un Archivo de Herramientas de GeoGebra ( GGT ). se pueden crear herramientas propias. Personalizar la Barra de Herramientas Se puede personalizar la barra de herramientas de GeoGebra seleccionando Personalizar la Barra de Herramientas del menú Herramientas. desde este ítem .
<=> Oscilante: El ciclo de la animación alterna entre Decremento e Incremento . En la Caja de Diálogo de Propiedades en la pestaña Deslizador se puede cambiar el comportamiento de la animación: Por un lado. se puede controlar la Velocidad de la Animación. Atención: Una velocidad de 1 significa que la animación lleva cerca de10 segundos para ejecutarse una vez a lo largo de todo el intervalo del deslizador. será necesario el acceso a Internet para usar esta ayuda.1 Animación Animación Automática GeoGebra permite animar uno o varios números y/o ángulos simultáneamente. Después de llegar al máximo. 86 Atención: Se puede despachar y responder preguntas relacionadas con GeoGebra-y problemas.geogebra. Si se ha usado GeoGebra-Webstart para instalar GeoGebra. Acerca de GeoGebra / Licencia Este ítem del menú abre una ventana de diálogo con información sobre la licencia de GeoGebra y establece los créditos a quienes respaldan el proyecto GeoGebra con contribuciones de distinto orden..org). Animación Automática para animarlos y viceversa. Atención: Después de animar un número o ángulo. Dependiendo de la instalación de GeoGebra en el equipo. Foro GeoGebra . el Foro de Usuarios de GeoGebra en el navegador del equipo (http://www.geogebra. este ítem del menú abre.GeoGebra Forum Si se cuenta con acceso a Internet. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 51 .geogebra. este ítem del menú abre la página web de GeoGebra en el navegador del sistema (http://www. Características Especiales de GeoGebra 5. 87 5. desde programación a traducción.org/forum). el deslizador salta y regresa al valor mínimo y así continúa la Coord.org Si se cuenta con acceso a Internet. destildar este ítem para detener tal animación. en línea. si se exponen como deslizadores en la Vista Gráfica.org/ayuda. De no contar con este acceso. www. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. este ítem del menú abre. sea establecer una pausa o continuar la animación. Por otra parte. etc. será o no necesario el acceso a Internet para contar con este documento. Atención: GeoGebra Wiki contiene un juego de materiales instructivos creados con GeoGebra por usuarios de todo el mundo. Atención: La versión html de este documento de Ayuda de GeoGebra está disponible en línea en http://www. => Incremento: El valor del deslizador está siempre aumentando. aparecerá un mensaje de error.GeoGebra. en este foro. se puede modificar el régimen de ciclado de la animación y sus repeticiones. no se precisa acceso a Internet.geogebra. la página web GeoGebraWiki de GeoGebra en el navegador del equipo (http://www. GeogebraWiki Si se cuenta con acceso a Internet.org/wiki). Basta con un clic derecho (MacOS: Ctrl-clic) sobre un número o ángulo y seleccionar del emergente Menú Contextual. aparece un botón en la esquina inferior izquierda de la Vista Gráfica que permite.geogebra. Si se ha descargado e instalado GeoGebra usando el archive de instalación desde la página web. La versión html del documento de Ayuda de GeoGebra fue guardado localmente en el equipo. atención a foros.
Ejemplo: Si las coordenadas de un punto dependen de un número k como en P = (2 k. Con las teclas-flecha puede desplazarse cualquier objeto libre empleando la herramienta Elige y Mueve Atención: El incremento del deslizador es ajustable desde la pestaña Deslizador de la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Por ejemplo. un efecto de animación al mantener permanentemente. <= Decremento: El valor del deslizador está siempre disminuyendo. cuando sea falso. pulsada. Atención: Se pueden seleccionar los operadores lógicos (como. se puede también establecer el régimen de visibilidad en función de ciertas condiciones de las que dependerá la exposición. Animación Manual Para modificar manualmente. puede usarse b como la sentencia de una condición. .. GeoGebra permanece completamente funcional. 88 Se produce así.o las teclas flechas -.2 Visibilidad Condicional Además de decidir. Esto permite hacer cambios en la construcción mientras se corre la animación. sencillamente si se exponen o ocultan ciertos objetos. Si b es una variable Booleana. Si g y h son dos rectas y se quisiera que se expusiera un texto cuando fuesen Coord. Teclas de atajos Shift + tecla flecha establece cambios de a 0. Atención: Mientras la animación automática está active. Para usar la variable Booleana como una condición para la visibilidad de ciertos objetos. manualmente.animación. Expone u Oculta Condicionalmente Objetos Existentes Puede emplearse la herramienta Casilla de Control para Ocultar / Exponer Objetos para crear una casilla que controle la visibilidad de uno o más objetos existentes en pantalla. . k). empleando la tecla + o la tecla 5. puede ser necesario seguir las etapas descriptas a continuación. Cambiando la Visibilidad de Objetos Recién Creados En la Caja de Diálogo de Propiedades. El correspondiente objeto va a exponerse cuando el valor de b sea verdadero y ocultarse. ) del menú desplegable para crear la formulación de las condiciones.. . Ejemplo: Si a es un deslizador. el deslizador salta y regresa al valor máximo y así continúa la animación. también puede crearse una Variable Booleana (como b = cierto) usando la Barra de Entrada y haciéndola visible como casillero en la Vista Gráfica al cambiar su estado de visibilidad (por ejemplo. basta seleccionar la herramienta Elige y Mueve y dar clic sobre el número o ángulo y pulsar o la tecla + o la tecla . puede anotarse una condición que establezca la visibilidad de un objeto en la pestaña Avanzado . entonces el planteo condicional a < 2 significa que el correspondiente objeto sólo va a exponerse en la Vista Gráfica si el valor del deslizador es menor que 2. el punto se desplazará a lo largo de una recta si k se modifica continuamente. se podría hacer depender la aparición de un objeto en pantalla según estuviera o no tildada cierta casilla en la Vista Gráfica o si un deslizador cambia a cierto valor. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 52 . Después de llegar al mínimo. de forma continua un número o ángulo. una de estas teclas.1 unidades Ctrl + tecla flecha establece cambios de a 10 unidades Alt + tecla flecha establece cambios de ancho de 100 unidades Atención: También se puede mover cualquier punto a lo largo de una recta. usando la herramienta Expone / Oculta Objeto o el Menú Contextual). Alternativamente.
Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.ggt para distinguirlos de los archivos usuales de GeoGebra files ( . Especificar los Objetos de Salida y con un clic sobre el cuadrado. En el menú Herramienta. Guardando la Herramienta Definida Se pueden guardar las herramientas creadas para poder reutilizarlas en otras construcciones de GeoGebra. Especificar los Objetos de Entrada : GeoGebra automáticamente especifica los Objetos de Entrada (en este caso. Objetos de Entrada . 89 5. Sin embargo. si se abre una nueva ventana de GeoGebra (ítem Nueva Ventana del menú Archivo). Basta un clic sobre el botón Guarda como para guardar la herramienta en el equipo.ggb ). GeoGebra se ocupa de escalarla para que se ajuste como ícono del correspondiente nuevo botón de la barra. Atención: El nombre de la herramienta aparecerá en la barra de herramientas de GeoGebra y el del comando podrá emplearse en la Barra de Entrada como uno más de los propios de GeoGebra. Una vez creada. tal herramienta puede usarse tanto con el mouse o ratón como desde la Barra de Entrada. al seleccionar Gestión de Herramientas se puede elegir cuáles se quiere que aparezcan. o se abre GeoGebra otro día. Receta para crear una Herramienta Cuadrada que trazará un cuadrado donde fuese que se marquen dos clic sucesivos en dos posiciones vacías de la Vista Gráfica. los puntos A y B). la herramientas creada no será parte ya de la barra de herramientas.paralelas. También puede elegirse una imagen para que represente el ícono de la barra de herramientas. Hay diferentes modos de asegurarse que herramientas creadas queden incluidas en la barra de herramientas de una nueva ventana de GeoGebra: Después de definir una nueva herramienta se puede guardar la configuración Coord. basta un clic sobre Creación de Herramienta Nueva para abrir la correspondiente caja de diálogo. Además. como comando. se puede anotar el texto que orienta y se expone en la Ayuda de la Barra de Herramientas. Construir un cuadrado empezando por dos puntos A y B que den lugar a los otros dos vértices de modo que al conectarlos. Ahora se precisa completar los datos en las tres pestañas: Objetos de salida . podría usarse g h como cláusula condicional para el texto. Todas las herramientas se guardan automáticamente en el archivo de GeoGebra. Atención: Las herramientas definidas se guardan como archivos con extensión . Anotar el Nombre de la Herramienta y el Nombre del Comando para esta nueva herramienta. y Nombre e Icono para crear efectivamente la herramienta. también deben especificarse sus lados como Objetos de Salida. Seleccionar Creación de Herramienta Nueva en el menú Herramientas.3 Herramientas Definidas para Diversos Usos GeoGebra permite crear herramientas de construcción basadas en una preexistente. seleccionarlo. 90 Acceso a la Herramienta Definida Al abrir una nueva interfaz de GeoGebra usando el ítem Nuevo del menú Archivo. después de haber creado una herramienta. Además del clic sobre el cuadrado o de su selección del menú decolgable. Creando Herramientas En primer lugar. También puede modificarse la selección de los objetos de entrada usando el menú desplegado o eligiéndolos con un clic que los señale en la construcción. de una lista. con la herramienta. será parte aún de la barra de GeoGebra. es preciso elaborar la construcción que la herramienta debe poder trazar a posteriori. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 53 . o hacerlo desde el menú que se descuelga a partir de la flechita derecha del campo de entrada correspondiente. En el menú Herramientas. Polígono para llegar al poly1.
Por ejemplo. Simplemente seleccionando Abre del menú Archivo y eligiendo el que corresponda a la herramienta. Atención: También se puede animar los deslizadores con diferentes velocidades para ver cómo el color del polígono cambia automáticamente. Crear un polígono cuyo color estaría influenciado por los valores del deslizador. se puede cambiar el color de los objetos desde la pestaña Color de la Caja de Diálogo de Propiedades.ggt ). Sólo hace que tal herramienta pase a formar parte de la barra de GeoGebra. 91 5. Ejemplo: Crear tres deslizadores a. puede ingresarse una función con un rango [0.5 Interfaz de JavaScript Atención: La interfaz JavaScript de GeoGebra es de particular interés para quienes tienen cierta experiencia en la edición en HTML. Se pueden consultar los documentos Applets de GeoGebra Applets y JavaScript (http://www. Sin embargo.6 Teclas de Atajo Tecla [simple] Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) A Selecciona Todo Coord. Verde y Azul . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 54 .geogebra. Atención: Abrir un archive GeoGebra de herramienta no afecta la construcción en marcha. Basta con seleccionar la herramienta de la Lista de Herramientas del lado izquierdo de la ventana de diálogo emergente y hacer clic en el botón Borra > . se puede crear un botón para generar aleatoriamente nuevas configuraciones de una construcción dinámica. la herramienta creada será parte de la barra de las de GeoGebra. 5. Después de guardar la herramienta creada (como archivo .4 Colores Dinámicos En GeoGebra. A partir de entonces. b. Atención: En cada uno de estos casilleros. Para ampliar una Hoja de Cálculo Dinámica y aumentar su interactividad. Atención: Se puede quitar una herramienta de la barra después de abrir el ítem Guardar Configuración del menú Herramientas. y c con un intervalo de 0 a 1. se encontrará una sección llamada Colores Dinámicos con casilleros para los componentes del color Rojo .usando el ítem Guardar Configuración del menú Opciones. los applets de GeoGebra ofrecen una interfaz JavaScript. 1].org en Ayuda ) para explorar los ejemplos y encontrar información con relación al uso de uso de JavaScript con applets de GeoGebra. No debe olvidarse que hay que guardar la configuración después de borrar la herramienta. es posible importarla a una nueva ventana de GeoGebra en cualquier momento. Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades para el polígono poly1 y anotar los nombres de estos tres deslizadores en los casilleros de componentes del color. también se puede establecer que el color de un objeto cambie dinámicamente: Al abrir la Caja de Diálogo de Propiedades de cierto objeto cuyo color se quisiera cambiar y dar clic sobre la pestaña Avanzado . 5. Cerrar la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar los valores de los deslizadores para descubrir cómo cada componente de color influye sobre el color resultante del polígono.
eps) pi Q Selecciona Descendientes Selecciona Ascendientes R S Guarda Expone / Oculta Vista de Hoja de Cálculos sigma 92 Tecla [simple] Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Coord.Expone / Oculta Vista Algebraica alpha B beta C Copia (Hoja de Cálculos solamente) Exporta Vista Gráfica al Portapapeles D delta E Caja de Diálogo de Propiedades Euler F Actualiza vistas phi G gamma H I J K L Selecciona capa activa lambda M mu N Nueva Ventana O Abre Símbolo de grados ° P Previsualiza Impresión Exporta Vista Gráfica como Imagen (png. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 55 . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.
Técnico: Paul Sáenz Fajardo 56 . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) T Exporta como PSTricks theta U V Pega (Hoja de Cálculos) W Cierra (sólo MacOS) Exporta Hoja Dinámica como Página Web (html) X Y Rehace Z Deshace 0 Exponente 0 1 Exponente 1 2 Exponente 2 3 Exponente 3 4 Exponente 4 5 Exponente 5 6 Exponente 6 7 Exponente 7 8 Exponente 8 9 Exponente 9 . (coma) menor o igual > mayor o igual . (dos puntos) mayor o igual * F1 Ayuda F2 Inicia edición de objeto seleccionado Coord.Disminuye número / ángulo Zoom de Alejamiento menos o más + Aumenta número / ángulo seleccionados Zoom de Acercamiento más o menos ± = Aumenta número / ángulo seleccionados Zoom de Acercamiento Desigual < menor o igual .
Zoom + / (Applet) Borra Borra selección activa Backspace Borra selección activa Flecha Ascendente Aumenta número / ángulo seleccionado Sube el punto seleccionado Pasa a entrada previa en historia de la Barra de Entrada Asciende en Coord.(Vista Algebraica) F3 Fijar foco en Barra de Entrada F4 F9 Actualizar números aleatorios Enter Alterna foco entre Vista Gráfica y Barra de Entrada Clic izquierdo 93 Tecla [simple] Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Clic derecho (MacOS: Ctrl-clic) en Vista Gráfica Clic: Abre Menú Contextual (sobre objeto) Caja de Diálogo de Propiedades of Vista Gráfica (sobre fondo) Clic y arraastre: Modo de Arrastre Rápido (sobre objeto) Zoom rectangular (sobre fondo) Rueda mouse o ratón Zoom + / . Técnico: Paul Sáenz Fajardo 57 . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.
1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad Flecha Izquierda Disminuye número/ángulo seleccionado Lleva a la izquierda el punto seleccionado Descender en el Protocolo de Construcción x10 multiplicador de velocidad x0.Protocolo de Construcción x10 multiplicador de velocidad x0.1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad Flecha Derecha Aumenta número / ángulo seleccionado Lleva a la derecha el punto seleccionado Asciende en el Protocolo de Construcción x10 multiplicador de velocidad x0.1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad Coord. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 58 .
7 Rótulos y Subtítulo Expone y Oculta Rótulos Se puede mostrar u ocultar los rótulos de los objetos en la Vista Gráfica de diferentes maneras: Seleccionar la herramienta Expone / Oculta Rótulo y con un clic sobre el objeto cuyo rótulo se desea afectar. máximo) y del incremento. Abrir el Menú Contextual para el objeto en cuestión y seleccionar Expone Coord.1 multiplicador de velocidad (pulsando Shift solamente) x100 multiplicador de velocidad Home/PgUp Ir al primer ítem en el Protocolo de Construcción End/PgDn Ir al último ítem en el Protocolo de Construcción Comandos de Teclado Adicionales: Alt-Shift (MacOS: Ctrl-Shift): Letras Griegas Mayúsculas Hoja de Cálculo: Ctrl-Alt-C copia valores (no las fórmulas) Atención: El símbolo de grados ° (Alt-O. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 59 . MacOS: Ctrl-O) y el símbolo para pi (AltP.. 5. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord.94 Tecla [simple] Ctrl (MacOS: Cmd) Ctrl-Shift (MacOS: Cmd-Shift) Alt (MacOS: Ctrl) Flecha Descendente Disminuye número/ángulo seleccionado Desciende el punto seleccionado Pasar a la entrada más reciente en la historia de la Barra de Entrada Descender en el Protocolo de Construcción x10 multiplicador de velocidad x0. MacOS: Ctrl-P) también pueden usarse en la ventana de diálogo de los deslizadores en el establecimiento de intervalos (mínimo. establecer su visibilidad.
Valor . Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Nombre y Valor En GeoGebra. Una vez modificado el número de capa para al menos un objeto (con un valor diferente de 0 que es el del fondo). o Para los objetos dependientes. Seleccionando la herramienta Elige y Mueve y sobre cualquier objeto de la Vista Algebraica hacer doble clic.8 Capas En GeoGebra. Hay un total de 10 capas disponibles (numeradas del 0 al 9) y las de mayor numeración se superponen a las de valor más bajo. Esto puede realizarse. Usando la pestaña Avanzado de la Caja de Diálogo de Propiedades. los objetos se colocan en la capa 0. 96 Resulta muy útil introducir cambios tras la construcción de cualquier objeto. se abre la caja de diálogo de Redefine Coord. a . Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades del objeto deseado y tildar o destildar la casilla Expone Rótulo de la pestaña Básico . todos los nuevos objetos quedarán en la capa de valor más alto (por ejemplo. por su nombre y valor.Rótulo . mientras que el de una función es su ecuación. Se puede establecer el subtítulo de un objeto en la pestaña Básico de la Caja de Diálogo de Propiedades anotando el subtítulo deseado en el campo de texto correspondiente a Subtítulo .. dentro de la selección correspondiente a la opción. Por omisión. Además. por ejemplo. capa 3). Subtítulo Sin embargo. modificación que se aplica al pulsar la tecla Enter. Luego. simultáneamente. 95 Atención: el valor de un punto son sus coordenadas. GeoGebra ofrece subtítulos para todos los objetos además de las tres opciones ya mencionadas. Este ítem solo está disponible si todos los objetos seleccionados son de la misma capa. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 60 .. Se puede cambiar la exposición de este rótulo fijando en la Caja de Diálogo de Propiedades en la pestaña Básico . para rotular los cuatro lados de un cuadrado. algunas veces se le da a varios objetos el mismo rótulo. Algo más sobre el uso de capas: Para exportar objetos SVG se los agrupa por capa. se puede elegir todos los demás en la misma capa con el ítem Selecciona la Capa Activa (teclas de atajo: Ctrl-L) del menú Edita. Conviene tomar en cuenta que de este modo también es posible cambiar el orden de las etapas o pasos de construcción en el Protocolo de Construcción. se puede cambiar la capa de cierto objeto (capas disponibles de la 0 a la 9). que es básicamente la del fondo de la Vista Gráfica. 5. Nombre . 5. o Nombre & Valor en el menú desplegable cercano a la casilla Expone Rótulo . ocupada por algún objeto. se usan capas para determinar qué objeto seleccionar o arrastrar cuando se hace clic en varios. cada objeto tiene un único nombre que puede usarse para rotularlo en la Vista Gráfica. se abre un campo de edición que permite cambiarle directamente su representación algebraica.9 Redefine La herramienta que permite la redefinición de objetos es sumamente versátil para una modificación retrospectiva de lo construido. Atención: Después de seleccionar cualquier objeto. o Para los objetos libres. Las capas pueden controlarse usando la interfaz JavaScript para applets de GeoGebra. un objeto también puede distinguirse por su valor o. se puede seleccionar la opción de rotulado Subtítulo en el menú descolgable inmediato a la casilla Muestra Rótulo . en este caso.
aparece su recorrido trazado . x(C)^2)). 97 Ubicar un punto C en el segmento. Abrir la Caja de Diálogo de Propiedades y cambiar la definición de un objeto en la pestaña Básico . Atención: El punto cuyo lugar geométrico se desea crear depende del movimiento de otros puntos. restringido a desplazarse a lo largo del segmento a. 18 Coord. Para eliminar el punto A de esta recta de modo que vuelva a ser libre.10 Rastro y Lugar Geométrico Puede hacerse que los objetos geométricos dejen un trazo como huella a medida que se los desplazan por la Vista Gráfica. se elimina todo trazo. destildando Activa Rastro en el Menú Contextual. 5.para obrar en tal sentido. 1]. anotando. Atención: El lugar geométrico creado en este ejemplo es el gráfico de una parábola en el intervalo [-1. Menú. el objeto con rastro activado. Se apela al Menú Contextual to para activar o desactivarlo con Activa Rastro . es preciso redefinirlo ubicándolo en cualquier posición de coordenadas. se puede anotar el comando Punto[h] en el campo de texto emergente y pulsar la tecla Enter. Atención: Se puede desactivar el rastro de un objeto. 84 Activa Rastro. Otro ejemplo es la conversión de una recta h que pasa por dos puntos A y B en un segmento. o Comando Lugar Geométrico: Anotar LugarGeométrico [P. 2). o anotando tal comando en el campo de entrada. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Crear un punto P que depende del punto C (por ejemplo. (1. un doble clic sobre el punto A que abre la ventana de diálogo de Redefine. Seleccionando la herramienta Elige y Mueve y sobre cualquier objeto de la Vista Gráfica hacer doble clic para abrir la caja de diálogo de Redefine y obrar en tal sentido. circunferencia). -1). Menú. También se puede crear automáticamente el lugar geométrico de un punto después de emplear la herramienta Lugar Geométrico con el mouse o ratón. Cuando se modifica la construcción o se desplaza directamente. 75 Acceso a Herramienta Definida. Ejemplo: Crear un segmento a entre los puntos A = (-1. por ejemplo. Cambiar cualquier objeto anotando su nombre y la nueva definición en la Barra de Entrada. Basta abrir la caja de diálogo de Redefine para h y anotar el comando Segmento[A. 98 Índice Alfabético A Abre. Con Actualiza Vistas del menú Vista. -1) y B = (1. Atención: Los objetos fijos no pueden ser redefinidos. C] en la Barra de Entrada y luego pulsar la tecla Enter. segmento. Usar o la herramienta o el comando Lugar Geométrico para crear el lugar geométrico del punto P que depende de C: o Herramienta Lugar Geométrico : Clic sobre el punto P en primer lugar y luego en el punto C. 88 Acerca de GeoGebra. B] en el campo de texto emergente. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 61 . cuyo desplazamiento está restringido a recorridos a lo largo de un objeto (sea una recta. Para redefinir un objeto fijo. se precisa liberarlo usando la Caja de Diálogo de Propiedades Ejemplos: Para ubicar un punto libre A sobre una recta h. Entonces. P = (x(C).
Barra de Herramientas. 64 ángulo herramienta. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 85 Animación Automática. 52 Angulos. Menú. 85 Animación . 15 Ayuda en la Barra de Entrada. comando. 85 Animación. 15 Ayuda en Línea. 80 Coord. Personalizar. Menú. comando. Integral Definida. 49 área. 85 Animación.Actualiza Vistas. 61 Arcos. Herramienta. 61 ArcoCircunferencia. integral definida. 30 ángulo dada su amplitud. Repeticiones. 38 Ayuda. 31 ángulo. comando. 31 área. Show input. Herramienta. 15 Ayuda. polígono. 61 ArcoCircuncircular. 40 Ángulos. Herramienta. 39. 83 Ayuda en Sintaxis del Comando. 80 Ajuste Lineal. 28 AjusteLineal. 38 Barra de Entrada. Velocidad . 83 Ayuda. 15 B Barra de Entrada. Sintaxis del Comando. 85 Animación . Barra de Entrada. 80 Ayuda de la Barra de Herramientas. entre dos funciones. Teclas Flecha. 56 Atracción de Punto a Cuadrícula. 85 Animación . Teclas Más / Menos. 30 ángulos. Manual. Menú. 53 Animación. 30 Arco. Menú. Ciclo. 14 Ayuda. Comando. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 62 . comando. 17. 49 Area. herramienta. Menú. 30 Arco de Circunferencia dados Tres de sus Puntos. 39 Barra de Entrada History. 85 Animación. 71 aleatorio. comando. 14 Ayuda del Comando. Opciones. 18. 79 Barra de Entrada. Menú. 38 Barra de Herramientas. 18 Barra de Navegación. comando. 43 Anexa. 60 Archivo. 82 Barra de Navegación. 49 asíntota. 85 Arco de Circunferencia dados su Centro y Dos Extremos. 49 área. comando. 30 Arcos. Comandos. 75 área herramienta. 15.
73 Capas. comando. 56 Booleanas. 29 Circunferencia dados Tres de sus Puntos. Comando. 74 Comandos de Media. Herramienta. 72 Compás. comando. 29 circunferencia. 71 Comandos de Matrices. 58 CírculoOsculador. 27 bisectriz. 18 Color. 20 Cantidades Estadísticas. Menú. comando. 72 Comandos Generales. comando.Barras. 60 Circunferencia dados su Centro y Radio. Operaciones. Comando. 88 Columna. Menú. Opciones. comando. 50 CódigoDeLetra. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Herramienta. 29 Coord. Automáticamente Completados. comando. 77 Cifras Significativas. 32 Booleano. 17 Colores Dinámicos. comando. 16 Caja de Diálogo de Propiedades. 24 Borra. 44 Booleanas. Herramienta. 48 comandos. 53 Centroide. 48 Borra. Comando. 69 Bisectriz Herramienta. comando. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 63 . comando. 78 C Caja de Diálogo de Propiedades. 48 Comandos Sigma. 80 CírculoOsculador. 78 Cambio de Opciones. 43 Booleano. 57 Cociente Entero. 48 Borra. 93 Características Especiales. 18 Borra Objeto. Menú. 63 Coeficiente de Correlación. Comando. 29 Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos. 85 Casilla de Control para Exponer / Ocultar Objetos. Dinámicos. Herramienta. 88 Colores. 43. 53 Cierra. Comandos. 32 Centro. 74 Comando. 70 Color. 52 Comandos de Ajuste. 17 Caja de Diálogo de Propiedades de Vista Gráfica. 47 Comandos Alreatorios. 52 Comandos. 62 CódigoDeTexto. Propiedades. Variables. Comando. Herramienta. Herramienta.
Comandos. 60 Curvatura. 39 Definido. Herramienta. 56 Dirección. Comando. 40 Herramienta. 60 Curvas Paramétricas. 59 Deshace. Menú. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 64 . 56 Distancia. 72 CuentaSi. comando. Personalizar. 59 Desarrolla. 70 Diametral. 72 Determinante. 42 Copia en Campo de Entrada. comando. comando. comando. Objeto. Menú. Comando. 87 Definición en la Barra de Entrada. 80 99 coordenadas. 42 coordenada-y. 49 Curvatura. 74 DiagramaCaja. 16 Cuadrícula de Coordenadas. 55 directriz. 66 Continuidad. 72 Definición de Herramientas. 28 diámetro. comando. 48 Derivada. 18 Copia Estilo Visual. 79 Cuadrícula de Coordenadas. 82. comando. 50 Coord. 59 Derivada. 60 D DE. Polinomio. Opciones. comando. 40 coordenada-x. Herramienta. Muestra / Oculta. 77 Deslizador. 39 Definición. comando. 24 Desviación Estándar. comando. comando. 82 Cuadrícula de Coordenadas.Cónica dados Cinco de sus Puntos. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 16 Cuatril. 60 Curvas. comando. Muestra / Oculta. 42 coordenada-y. comandos. Comando. Herramienta. 16 Cuadrícula. Comando. 64 Curva. 79 Cuadrícula. 60 Desarrolla. Personalizar. Herramienta. comando. 40 coordenadas-x. 31 Desplaza Área Gráfica. 71 CPearson. 29 cónica. 24 coseno. Sección. 43 Covarianza. 42 Coordenadas Cartesianas. Comando. 40 Coordenadas Polares. Comandos. comando. 58 Cónica. 41 ConservaSi. comando. Menú. Opciones. 38. 70 Creación de Nueva Herramienta. Comando. 16 Cuadrícula.
77 Exporta Vista Gráfica al Portapapeles. 66 elipse. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 65 Entrada Directa. 41 Eje. 77 Exporta Vista Gráfica como PSTricks. Opciones. 42 División Horizontal. 16 Ejes. Hoja Dinámica. Página Web Interactiva. 31 división. Vista Gráfica a Portapapeles. comando.Distancia. 64 Elige y Mueve. 57 Elemento. Herramienta. 76 Exporta PGF/TikZ. Menú. comando. comando. 49 Esquina. Propiedades. Opciones. 79 Ejes. comando. comando. 79 Ejes de Coordenadas. Herramienta. 21 Exporta. 24 Expone / Oculta Objeto. comando. Muestra / Oculta. comando. 56 Ejes coordenados. 22 Exporta. Comando. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 65 . 81 Estilo de Trazo. 42 Exporta Hoja Dinámica como Página-Web. Menú. 76 Exporta Hoja Dinámica. 15 Expone / Oculta Objeto. Comandos. 25 Expone / Oculta Rótulo. 17 Estilo Visual. 68 Coord. 21 Extrae. 81 Estilo de Coordenadas. 76 Exporta. Menú. 22 Exporta. 22 Exporta. Menú. 76 Exporta Vista Gráfica como PGF/TikZ. Herramienta. 79 E Edita. Menú. 77 Exporta Vista Gráfica como Imagen. Menú. Copia. Menú. Menú. Opciones. 77 Exporta. 33 Estilo de Angulo Recto. 76 Exporta Imagen. 25 exponenciación. 58 Elipse. Muestra / Oculta. Personalizar. comando. 77 Eje. Protocolo de Construcción como Página-Web. 56 Ejes. Vista Gráfica. comando. 29 Encadena. 19 Exporta. Texto. 77 Exporta PSTricks. Menú. 53 Estadísticas. Herramienta. Ejex y Ejey. Personalizar. 39 EsEntero. 69 Estático. Hoja Interactiva. Menú. 16 Ejes de Coordenadas. Menú. Herramienta. Menú. 24 EliminaIndefinidos. 16 ejes. 41 EjePrincipal. Menú. 16 EjeSecundario. Menú. 81 Estilo de Punto.
Copia Estilo Visual. limitada a intervalo. 43 tangente hiperbólica. 26 Herramientas. 26 Herramientas Propias. 40 trigonométrica hiperbólica coseno. Definidas para Diversos Usos. comando. 42 Función. Comandos. Herramientas Generales. Opciones. 43 límitada a intervalo. Comando. 42 Factoriza. comando. 42 Funciones. 82 H Herramientas de Construcción. Opciones. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. comando. 58 FuncionesCondicionales. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 66 . 83 función exponencial. 34 Foro de GeoGebra. 24.Extremo. 58 G General herramientas. 74 Foco. 59 función. 43 Función. 75 Guardando Herramienta Definida. 26 Coord. 82 Guarda Como . Herramienta. 75 Guarda. 26 GeogebraWiki. Nombre. 43 arco seno. 23 Herramientas Generales. 82 Herramientas. comando. 43 Función Gamma. 41 función exponencial. 82 Guardar Configuración. 53 Formato. General herramientas. comando. 43 seno antihiperbólico. 42 funciones trigonométricas. 87 guardar ajustes. Menú. 84 Gestión de Herramientas. Definidas. 42 Función Módulo. 37 Funciones Predefinidas. 43 100 seno hiperbólico. comando. Menú. 53 F factorial. 43 coseino antihiperbólico. 43 seno. 43 Función. Herramienta. 24. 24 Fórmula LaTeX. 51 función trigonometrica tangente antihiperbólica. opciones. 43 arco tangente. 43 función trigonométrica arco coseno. 59 Fila. Menú. 43 tangente. 43 coseno. Herramienta. 87 Herramientas Propias.
Menú. 42 Lista de Comandos. 35 Transparencia. comando. Comandos. 36 Imagen de Fondo. 89 interseca. comando. 35 Imagen. Texto. 50 Integral. comando. 64 límite. 36 Imagen. 50 indefinida. 40. comando. Herramienta. 75 iteración. 65 Items. comando. Funciones de Aplicación. 20 Imprime. 33 integral definida. Propiedades. 64 Listas. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 67 . 74 Hoja Dinámica. 33 Inserta. Animación Manual. 22 Hoja Interactiva. 26 Intersección. 36 Imagen. 45 Listas. comando. Exporta. Definite.Herramientas. 54 Intersección de Dos Objetos. 68 I Idioma. 29 Histograma. Herramienta. Aplicar Operaciones Aritméticas. comando. Comando. 65 Listas. 45 Lista de Ventanas Abiertas. 81 Imagen. Cada Menú. 71 Hoja de Cálculo. 59 Integral. 35 Inserta Texto. 32 Homotecia. Fondo. Protocolo de Construcción. 45 Coord. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Opciones. 58 Hipérbola. 48 Inserta Imagen. comando. función en intervalo. 15 Lista de Comandos. 59 Integral. Herramienta. 20 Imprime. 67 ListaIteración. Herramienta. 79 Lista de Operaciones. Herramienta. 65 Interfaz de JavaScript. 45 Listas. 20 Incremento. comando. 22 Homotecia desde un Punto por un Factor de Escala. Vista Gráfica. 83 ListaInversa. Exporta. 82 Hipérbola. Comparar. comando. comando. 62 LetraDeCódigo. 45 Listas. Menú. 86 índice. 35 Imprime. Comando. Inserta Herramienta. 50 Intercala. 50 L LaTeX. Comandos.
comando. Aplicación de Operaciones Aritméticas. 50 Lugar Geométrico. comando. 94 Lugar Geométrico. 38 Nombre. comando. 62 101 Nombre. 37 Nombre. Comando. 50 MCM. 38 Nombre. 28 MediaX. comando. 50 Máximo de Lista. 46 Matrices. 51 Longitud. Herramienta. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 68 . 51 MCD. 66 mínimo. 85 Matrices. 32 logaritmo. 50 LongitudSemiejeSecundario. Función. Vector. comando. 33 Moda. 80 LugarGeométrico. 74 Normal. comando. 74 Máximo Común Divisor. 72 MediaY. comando. Comando. Comando. Menú. Texto. comando. 72 Mediatriz. comando. comando. 60 Longitud. 72 Mediana. 51 Mixto. 66 máximo. 18 Menú Exporta Hoja Dinámica. Comando. 51 Media. 46 MatrizInversa. 72 NormalInversa. 64 Lugar Geométrico. Sección Cónica.Locus. Recta. 82 Menú Contextual. 66 Longitud. 43 Longitud de Lista. comando. Comandos. 72 Movimientos. Comando. comando. 72 medida de tipografía. comando. comando. 15 Nombre en Barra de Entrada. 32 Lugares Decimales. 37 Nombre. Herramienta. comando. 76 Mínimo de Lista. Comando. comando. 32. 37 Nombre. Herramienta. 75 Coord. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. opciones. 64 Locus. 57 Mediatriz. Animación. 37 Nombre. Opciones. Punto. 64 M Más / Menos teclas. comando. 37 Nombre de Celda. 37 NombreColumna. 71 Nueva Ventana. comando. 68 N Nombrando Objetos. comando. 32 Locus. Objeto. Herramienta. 31 LongitudSemiejePrincipal.
62 Objeto. 15 Objetos Auxiliares. Estilo de Punto. 82 Opciones. 38. 52 paréntesis. 42 PasoConstrucción. 37. Tamaño de Letra. 29 Parâmetro. 22 Parábola. 80 Opciones. Rotulado. Menú. 15 Objeto. 81 Opciones. 38 Opciones. 83 Nuevo Punto. Captura de Punto. 80 Opciones. Menú. 67 P Página Web Interactiva.Nueva Ventana. Cifras Significativas. comando. Lugares Decimales. comando. Cambio. 39 Objeto. 39 Números Aleatorios. 39 NúmeroCombinatorio.. 82 Opciones. 58 Parábola. Menú. Tamaño de Casilla de Control. Estilo de Angulo Recto. Comandos. Nombre. Valor. Exporta. Restablecer la Configuración Original. Vista Gráfica. 14 Objeto Libre. comando. 47 Ordena. Personalizar Barra de Herramientas. 38 Objeto. 46 Operaciones con Números Complejos. 14 Objeto Dependiente. 82 Opciones. 75 Número. Nuevos. 79 Objetos. 81 Opciones. 26 Nuevo. 80 Opciones. 49 Números. 30. Gestión de Herramientas. Herramienta. Continuidad. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Guardar Configuración. 81 Opciones. 80 Opciones. 47 Números. Creación de Nueva Herramienta. Redondeo. 14 Objeto. Comando. Definición. Comando. 52 Coord. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 69 . Comando. Estilo de Coordenadas. 49 O Objeto Auxiliar. 81 Operaciones. 81 Opciones. 39 Objetos Auxiliares. 81 Opciones. 20 Opciones. Unidad Angular. Menú. 80 Opciones. 80 Opciones. 49 Pendiente. Expone / Oculta. Comando. Idioma. 80 Números Complejos. 48 PasoEje. Cambio. 42 Operaciones con Matrices. 82 Opciones. comando. 82 Opciones. 81 Opciones. Herramienta. 81 Opciones. 80 Opciones.
Exporta. 40 Punto de Ruptura. 79 Protocolo de Construcción. 54 Punto. comando. 27 Polígono. 16 piso. 57 Personalizar Barra de Herramientas. Comando. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 39 Punto Medio Herramienta. Imprime.Pendiente. 19 Protocolo de Construcción. 20 Protocolo de Construcción. comando. comando. Punto de Ruptura. 19 Protocolo. comando. 56 Polígonos. Exporta. 59 PolinomioTaylor. comando. 19 Protocolo de Construcción. Menú. 37 PuntoInflexión. 27 polígono regular herramienta. 31 Perímetro comando. Comandos. 27 Polígono Regular Herramienta. Herramienta. Cambio de Orden de los Pasos. Nombre. Cambio. Comando. 15 Personalizar Vista Gráfica. Opciones. 19 Protocolo de Construcción. 52 PerímetroCónica. Columnas. 54 Puntos. comando. Comandos. 17 Personalizar Barra de Herramientas. 54 PuntoMedio. Comando. 18 Protocolo de Construcción como Página-Web. 82 Personalizar Interfaz de Uso. 49 Perpendicular. 60 Previsualiza Impresión. 57 Polígono Herramienta. Ángulos. 19 Protocolo de Construcción. 19 Punto Decimal. 26 Punto. Menú. Comando. comando. 19 Punto. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 70 . 18 Protocolo de Construcción. 21 Protocolo de Construcción. 72 Coord. 66 Propiedades. Exporta. 42 Producto. 35 Protocolo. 75 Primero. 65 producto. 17 Propiedades de magen. Inserta nuevo. 42 producto escalar. 43 Polar. 53 Polígono. 53 Q Q1. comando. Posición. 56 Polinomio. 19.
comando. 42 raíz. Comando. Herramienta. 92 Rótulos. Herramienta. 33 Refleja. 25 Rota Objeto en torno a Punto. Herramienta. Herramienta. Herramienta. Herramienta. Herramienta. comando. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 71 . comando. 28 Recta Perpendicular Herramienta. 72 R Radio. Menú. 32 Refleja Objeto por Punto. 18 Rehace. 25 Recta. 49 Recálculo de Todos los Objetos. Opciones. 42 Restablecer la Configuración Original. Opción Rápida. Herramienta. Herramienta. 74 Rastro. el Ángulo. Subtítulo. 25 Registra en Hoja de Cálculo. 93 Redefine objeto fijo. 92 Rótulos. 92 S Coord. 69 Rotulado. 28 Recta que pasa por Dos Puntos. Expone y Oculta. 56 Redefine. Menú. 41 Recta Paralela . 25 Renombra. Nombre. Comandos. 21 Rectángulo de Selección. Opciones. modo. comando. 52 raíz cuadrada. 77 Relación. 48 Relación. 94 redondeo. 94 102 RazónDoble. Opción. comando. 68 Registra en Hoja de Cálculo. 80 Refleja Objeto en Recta. 80 Record to Spreadsheet. Nombre y Valor. 23 Rectas. Opciones. 24 resta. 69 rotación un objeto en torno a un punto. 28 recta. Herramienta. 33 Rota. Comando. 18 Renombra. 27 Rectas. 37 Rectángulo de Exportación. 57 Recta. 51 Rota en torno a un Punto. 93 Rótulos. 33 Refleja Punto en Circunferencia.Q3. comando. comando. 28 Recta Polar. 82 Resto. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 43 Redondeo. 49 RazónSimple. 81 Rótulo. Herramienta. 54 RangoCelda. comando. 42 raíz cúbica.
comando. 72 signo. 30 Sector Circular dados Tres Puntos de su Arco. Comandos. Menú. 67 SumaInferior. 59 Sombreado. 18 Subtítulo. Herramienta. comando. 30 Sectores. Comando. 18 Coord. 42 Suma. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 72 . 56 seno. 62 Tamaño. comando. comando. 27 Segmentos. 57 sector. 56 Semirrectas. 61 Sectores. Herramienta. 27 Semirrecta. 52 T TablaTexto. 72 Sigma YY. Menú. 60 Simplifica.Sección Cónica. comando. 60 Sector Circular dados su Centro y Dos Puntos. 72 SigmaXX. 43 Si. 58 Si. 64 Segmento dados Punto Extremo y Longitud. comando. 60 Secuencia. Comandos. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 27 segmento. comando. Rótulo. 51 SumaSuperior. comando. Polinomio. Comando. 61 Semicircunferencia. 78 Selecciona la Capa Activa. Comando. 78 Selecciona Todo. Comandos. 30 SemiFocal. 37 Secciones Cónicas. comando. 93 suma. 42 Símbolo de Grados. Menú. 78 Selecciona Descendientes. Comandos. comando. 51 Semirrecta que pasa por Dos Puntos. 55 Segmentos. 55 Selecciona Ascendientes. comando. 27 Segmento entre Dos Puntos. 48 Sigma XY. Comandos. 31 Simplifica. Herramienta. Herramienta. comando. Herramienta. 92 Subtítulo. Nombre. comando. Menú. Herramienta. 30 Sector. 67 Secuencias. 30 Semicircunferencia. comando. comando. 78 semicircunferencia herramienta. 61 SectorCircumcircular. 61 SectorCircular. 31 Símbolo PI. comando. 52 SumaTrapezoidal.
42 Valor en la Barra de Entrada. Estilo. Herramienta. comando. comando. comando. Opciones. comando. Cambio. imagen. Comandos. 39 Valores. 66 Unidad Angular. 55 VectorUnitarioPerpendicular.Tamaño de Casilla de Control. Comandos. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 73 . 33 Texto Dinámico. 85 Teclas-Flecha. 68 Transparente. 81 Tamaño de Letra. 40 techo. comando. 73 Vector. Nombre. Comando. comando. 18 U Ultimo. 38 Varianza. 81 tangente. 86 Visibilidad. Grosor. Herramienta. 14 Coord. comando. 37 VectorCurvatura. 86 Visibilidad. 55 VectorPerpendicular. 40 Vector desde un Punto. Animación. 55 Ventana. 68 V valor absoluto. 57. Comando. comando. 26 Vector. Herramienta. 60 Vectores. Condicional. 33 Texto Mixto. Comando. Comando. 62 Transformaciones. 55 VectorCurvatura. 32. comando. Menú. 55 VectorUnitario. 43 Texto. 26 Vector entre Dos Puntos. 33 Texto Estático. 33 Texto. 36 Traslada Objeto por un Vector. comando. 64 TextoFracción. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. Propiedades. Comando. 60 Teclas de Atajo. 18 Trazo. 55 Visibilidad Condicional. 39 Valor. 63 Texto. 33 Traslada. 83 vértice. 74 Trazo. 32. 69 Traspone. 89 Teclas Flecha. 17 Vista Algebraica. Opciones. 62 TextoDeCódigo. 26 Vectores. 28 Tangente. 80 103 Unión. Objeto. 68 Transformaciones Geométricas. Opciones. 55 Vector. comando. 43 Tangente Herramienta.
23 Vista Gráfica a Portapapeles. ¿Qué ocurre con el triángulo? ¿Qué ocurre con los puntos medios? Dibuja un nuevo triángulo tomando como vértices los puntos medios antes dibujados. Opciones. 79 Vista de Hoja de Cálculo. 7.15). ¿Cuáles son sus coordenadas? Guarda el documento con el nombre de practica1. Imprime. 16__ GEOMETRÍA DINÁMICA CON GEOGEBRA PRÁCTICA N° 01 6. 12. Coord. 15 Vista de Hoja de Cálculos. PRÁCTICA N° 02 8. C(8. Observa lo que ocurre. 81 Vista. Borra el segmento AE. 25 Zoom Rectangular. Técnico: Paul Sáenz Fajardo 74 . Desplaza el punto A en el plano.4. Borra también el punto E. Ubica el punto E en el polígono ABCD. Dibuja los puntos medios de los lados del triángulo. 14. Establece las propiedades de tal manera que los vértices del nuevo triángulo muestren sus coordenadas. 11. Dibuja el triángulo ABC. 10.4). Desplázalo a lo largo del polígono. 9. Traza las diagonales del polígono. D(10. 11. Abre un nuevo documento. 20 Vista Gráfica. B(3.5) Dibuja el polígono ABCD.12). Menú. 77 Vista Gráfica. Menú. Desplaza el punto E a lo largo del polígono. Menú. Pedagógico: Santiago Mansilla Nunura Coord. 9. 13. 79 Vista Gráfica. Dibuja el segmento AE. Graba el documento con el nombre de práctica2. 25 Alejamiento. 13. 13. 21 Vista Gráfica to Portapapeles. 8. Exporta. Obtener el punto de intersección de las diagonales. 79 Z Zoom Acercamiento. 12. 10. Menú.Vista Algebraica. Exporta. 21 Vista Gráfica. Dibuja los puntos A(2.
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