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Timestamp: 2019-05-24 09:43:43+00:00

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Matemáticas I y II - Bachillerato LOE - Comunidad de Madrid
MATEMÁTICAS I y II (B.O.C.M. núm. 152, págs. 64-66)
MATEMÁTICAS I y II (Bachillerato LOE en la Comunidad de Madrid)
MATEMÁTICAS I Y II - BACHILLERATO LOE - COMUNIDAD DE MADRID (B.O.C.M. núm. 152, págs. 64-66)
Las Matemáticas del Bachillerato, en la modalidad de Ciencias y Tecnología, están estrechamente relacionadas con las disciplinas científicas. De una parte, son la herramienta imprescindible para su estudio y comprensión y, de otra parte, muchos de los conceptos matemáticos tienen su origen en problemas relativos a fenómenos físicos y naturales. Se debe potenciar esta relación y evitar que las Matemáticas aparezcan, a los ojos del alumno, como un conjunto de destrezas de cálculo sin motivación ni conexión con el mundo real.
Los contenidos de Matemáticas I y II, como materias del Bachillerato en la modalidad de Ciencias y Tecnología, giran sobre tres ejes fundamentales: El álgebra, la geometría y el análisis, que cuentan con el necesario apoyo instrumental de la Aritmética y las estrategias propias de la resolución de problemas. En Matemáticas I, los contenidos relacionados con las propiedades generales de los números y su relación con las operaciones deben ser trabajados en función de las necesidades que surjan en cada momento concreto. A su vez, estos contenidos se complementan con nuevas herramientas para el estudio de la estadística y la probabilidad, con lo que se culminan todos los campos introducidos en la Educación Secundaria Obligatoria, independientemente de que se curse la materia de Matemáticas II, dotando al currículo de Matemáticas I de un carácter también terminal. La introducción de matrices y determinantes e integrales en Matemáticas II aportará nuevas y potentes herramientas para la resolución de problemas algebraicos, geométricos y funcionales.
En esta etapa aparecen nuevas funciones de una variable. Se pretende que los alumnos sean capaces de distinguir los diferentes tipos de funciones a partir de su representación gráfica, así como las variaciones que sufre la gráfica de una función como resultado de traslaciones o dilataciones, tanto horizontales como verticales, de inversión o de valor absoluto. Con la introducción desde un punto de vista intuitivo e incluso geométrico de las nociones de límite y de derivada, se establecen las bases del cálculo infinitesimal en Matemáticas I, lo que dotará de precisión el análisis del comportamiento de las funciones.
Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y aplicaciones informáticas como sistemas de álgebra computacional o de geometría dinámica, pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de conceptos y la resolución de problemas complejos como para el procesamiento de cálculos pesados, sin dejar de trabajar la fluidez y la precisión en el cálculo manual simple, donde los estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les pueden llevar a falsos resultados o inducir a confusión en sus conclusiones.
La resolución de problemas tiene carácter transversal y será objeto de estudio relacionado e integrado en el resto de los contenidos. Las estrategias que se desarrollan constituyen una parte esencial de la educación matemática y activan las competencias necesarias para aplicar los conocimientos y habilidades adquiridas en contextos reales. La resolución de problemas debe servir para que el alumnado desarrolle una visión amplia y científica de la realidad, para estimular la creatividad y la valoración de las ideas ajenas, la habilidad para expresar las ideas propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errores cometidos.
Las definiciones formales, las demostraciones (reducción al absurdo, contraejemplos) y los encadenamientos lógicos (implicación, equivalencia) dan validez a las intuiciones y confieren solidez a las técnicas aplicadas. Sin embargo, este es el primer momento en que el alumno se enfrenta con cierta seriedad al lenguaje formal, por lo que el aprendizaje debe ser equilibrado y gradual. El rigor característico de la disciplina en cuanto a las demostraciones debería tener carácter local, en determinadas parcelas, y no extenderse al conjunto de la materia, algo que, por otro lado, sería imposible. Así, los teoremas de Rolle, del valor medio o la regla de L´Hôpital podrían ser justificados suficientemente de modo geométrico. El simbolismo no debe desfigurar la esencia de las ideas fundamentales, el proceso de investigación necesario para alcanzarlas, o el rigor de los razonamientos que las sustentan. Deberá valorarse la capacidad para comunicar con eficacia esas ideas aunque sea de manera no formal. Lo importante es que el alumno encuentre en algunos ejemplos la necesidad de la existencia de este lenguaje para dotar a las definiciones y demostraciones matemáticas de universalidad, independizándolas del lenguaje natural.
El objetivo final es conseguir que los alumnos manejen con cierta soltura el lenguaje formal (que en estudios posteriores van a encontrar prácticamente en todas las disciplinas), comprendan los métodos propios de las matemáticas y adquieran algunos conceptos matemáticos fundamentales. Para ello, como en todo proceso educativo, hay que partir de lo conocido y volver a formularlo si es preciso para dar más claridad y mayor alcance a lo que el alumno ya sabe; graduar el orden de dificultad en los razonamientos y aumentar su complejidad paulatinamente; insistir en las ideas básicas, enfocarlas desde puntos de vista y desde niveles diferentes; practicar con ellas a través de ejercicios y problemas, que, a la vez que contribuyen a asentarlas, proporcionan soltura en los métodos de trabajo.
La enseñanza de las Matemáticas en el Bachillerato tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades:
1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del saber.
2. Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de demostraciones rigurosas sobre las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología, mostrando una actitud flexible, abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos.
4. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propias de las matemáticas (planteamiento de problemas, planificación y ensayo, experimentación, aplicación de la inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de las conjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y en general explorar situaciones y fenómenos nuevos.
5. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con el de otras áreas del saber.
6. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y servir como herramienta en la resolución de problemas.
7. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor científico.
8. Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el interés por el trabajo cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamiento de las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas.
9. Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente, comprendiendo y manejando términos, notaciones y representaciones matemáticas.
— Números racionales e irracionales. Números reales. La recta real. Valor absoluto. Distancias en la recta real. Intervalos y entornos.
— El número e. Logaritmos decimales y neperianos. Propiedades. Cálculo logarítmico. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas.
— Utilización de la calculadora.
— Descomposición factorial de un polinomio. Fracciones algebraicas: Simplificación y operaciones.
— Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones de grados primero y segundo.
— Números combinatorios. Binomio de Newton.
— Aplicación del método de Gauss a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
— Utilización de herramientas algebraicas en la resolución de problemas.
— El número i. Números complejos. Operaciones con números complejos en forma binómica.
— Ampliación del concepto de ángulo. El radián. Medida de un ángulo en radianes.
— Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
— Teorema del seno y del coseno. Resolución de triángulos: Rectángulos y no rectángulos.
— Razones trigonométricas de la suma o diferencia de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.
— Resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas.
— Forma trigonométrica de los números complejos. Operaciones.
— Vectores libres en el plano. Operaciones geométricas: Adición, sustracción y multiplicación por un escalar.
— Componentes de un vector en un sistema de referencia ortonormal. Módulo de un vector. Operaciones con vectores mediante sus componentes. Aplicaciones a la resolución de problemas.
— Ángulo entre vectores. Producto escalar de dos vectores.
— Ecuaciones de la recta. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Cálculo de distancias entre puntos y rectas. Cálculo de ángulos entre rectas. Resolución de problemas.
— Lugares geométricos del plano: Mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo y cónicas. Ecuaciones de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
— Características de las funciones y de sus gráficas: Dominio, signo, cortes con los ejes, simetrías, periodicidad, tendencias, crecimiento, decrecimiento y extremos. Descripción de funciones dadas mediante sus gráficas.
— La función raíz.
— La función exponencial y la función logarítmica.
— Las funciones trigonométricas: Sen, cos y tg, y sus inversas. Utilización de la calculadora.
— Operaciones con funciones. Composición de funciones.
— Concepto intuitivo de límite, finito o infinito, de una función en un punto y en el infinito, con apoyo gráfico y de la calculadora. Límites laterales. Asíntotas verticales y horizontales de una función. Cálculo elemental de límites de funciones.
— Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. Continuidad de las funciones elementales (resultado de operaciones combinadas de adición, multiplicación, división y composición de las funciones: Constante, identidad, raíz, ln y exp, sen, cos, tg, arcsen, arccos y arctg). Discontinuidades.
— Características básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto (raíz cuadrada del cuadrado), parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, obtenidas a partir de la expresión analítica que las define.
— Aproximación intuitiva a la derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física.
— Iniciación al cálculo de derivadas.
— Signo de la derivada: Crecimiento y decrecimiento.
— Puntos críticos o singulares de una función. Máximos y mínimos relativos.
— Análisis y representación gráfica de funciones sencillas dadas por su expresión analítica.
— Resolución en un contexto real de problemas relacionados con las funciones. Interpretación de funciones de las que se conoce su gráfica.
— Estadística descriptiva bidimensional. Relaciones entre dos variables estadísticas. Representación gráfica: Nube de puntos y correlación.
— Probabilidad en experimentos simples o compuestos. Probabilidad condicionada, probabilidad total y probabilidad a posteriori.
— La distribución normal. Normal típica y uso de tablas. Tipificación de una variable normal. Asignación de probabilidades. Aproximación de la binomial por la normal.
3. Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos (particularmente ecuaciones e inecuaciones) y dar una interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones obtenidas.
5. Manejar el concepto de lugar geométrico en el plano, aplicándolo a la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo y las cónicas. Obtener las ecuaciones reducidas de las cónicas.
6. Utilizar el lenguaje vectorial para interpretar analíticamente distintas situaciones de la geometría plana elemental, obtener las ecuaciones de rectas y utilizarlas, junto con el concepto de producto escalar de vectores dados en bases ortonormales, para resolver problemas de incidencia y cálculo de distancias.
7. Identificar las funciones habituales (lineales, afines, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y racionales sencillas) que pueden venir dadas a través de enunciados, tablas o expresiones algebraicas y representarlas gráficamente para analizar sus propiedades características y relacionarlas con fenómenos económicos, sociales y científicos que se ajusten a ellas, valorando la importancia de la selección de los ejes, unidades, dominio y escalas.
8. Analizar, cualitativa y cuantitativamente, las propiedades globales y locales (dominio, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento) de una función elemental sencilla, que describa una situación real, para representarla gráficamente y extraer información práctica que ayude a interpretar el fenómeno del que se derive.
9. Manejar el cálculo elemental de derivadas como herramienta para determinar el crecimiento, el decrecimiento, y los puntos críticos de funciones elementales sencillas.
10. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos y utilizar técnicas estadísticas elementales para tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal.
11. Interpretar el grado de correlación existente entre las variables de una distribución estadística bidimensional sencilla y obtener las rectas de regresión para hacer predicciones estadísticas.
12. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herra­mientas matemáticas adecuadas en cada caso.
Bloque 1. Álgebra lineal
— Matrices de números reales. Operaciones con matrices.
— Dependencia lineal entre filas (columnas) de una matriz. Rango de una matriz.
— Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial de un sistema.
— Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Cálculo de determinantes. Regla de Cramer.
— Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
— Aplicación de los sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas.
— Utilización de los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etcétera) como apoyo en los procedimientos que involucran el manejo de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.
— Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y mixto. Significado geométrico.
— Obtención e interpretación de las ecuaciones de rectas y planos en sistemas de referencia ortonormales.
— Resolución de problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos.
— Resolución de problemas métricos relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.
— Ecuación de la superficie esférica. Resolución de problemas.
— Concepto de límite de una función. Cálculo de límites.
— Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.
— Concepto de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física.
— Función derivada. Derivadas de suma, producto, cociente y composición de funciones. Los teoremas de Rolle y del valor medio: Justificación e interpretación geométrica. La regla de L’Hôpital.
— Aplicaciones de las derivadas primera y segunda al estudio de las propiedades locales y globales de las funciones. Representación gráfica de una función. Problemas de optimización.
— El problema del área. Introducción al concepto de integral definida de una función a partir del cálculo de áreas encerradas bajo una curva. La integral definida como suma de elementos diferenciales: Aplicaciones al cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución y a la física.
— El concepto de primitiva. La regla de Barrow.
— Cálculo de primitivas: Propiedades básicas. Primitivas inmediatas y de funciones que son derivadas de una función compuesta (salvo, quizá, un factor constante). Técnicas elementales del cálculo: Por descomposición, por cambio de variable y por partes.
— Utilización de los distintos recursos tecnológicos (calculadoras científicas y gráficas, programas informáticos, etcétera) como apoyo en el análisis gráfico y algebraico de las propiedades, globales y puntuales, de la funciones y en los procedimientos de integración.
1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones, y, en general, para resolver problemas diversos.
2. Utilizar el método de Gauss o los determinantes para obtener matrices inversas de órdenes dos o tres y para discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas.
3. Transcribir problemas reales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, a las soluciones obtenidas.
4. Utilizar el lenguaje vectorial y las operaciones con vectores para transcribir situaciones derivadas de la geometría, la física y demás ciencias del ámbito científico tecnológico, resolver los correspondientes problemas e interpretar las soluciones de acuerdo con los enunciados.
5. Identificar, hallar e interpretar las distintas ecuaciones de la recta y del plano en el espacio para resolver problemas de incidencia, paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos, y utilizarlas, junto con los distintos productos entre vectores dados en bases ortonormales, para calcular ángulos, distancias, áreas y volúmenes.
6. Resolver problemas métricos y de incidencia con esferas, rectas y planos.
7. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico, utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones obtenidas ajustada al contexto.
8. Utilizar la información proporcionada por la función dada en forma explícita (dominio, recorrido, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, asíntotas), por la derivada primera (crecimiento, decrecimiento y extremos relativos) y por la derivada segunda (concavidad, convexidad y puntos de inflexión) para representarla gráficamente y extraer información práctica cuando se trate de resolución de problemas relacionados con fenómenos naturales.
9. Aplicar el cálculo de límites y derivadas al estudio de fenómenos geométricos, naturales y tecnológicos, así como a la resolución de problemas de optimización.
10. Aplicar el cálculo integral a la medida de áreas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables, así como al cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución y, en general, a la resolución de problemas del campo de la física en los que se haga necesario el cálculo de una suma de elementos diferenciales.
11. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso.
"Tampoco la geometría, cuando se la toma como auxiliar de la filosofía natural, es capaz de remediar este defecto o de conducirnos al conocimiento de las causas últimas mediante aquella precisión en el razonamiento por la que, con justicia, se la celebra. Todas las ramas de la matemática aplicada operan sobre el supuesto de que determinadas leyes son establecidas por la naturaleza en sus operaciones, y se emplean razonamientos abstractos, bien para asistir a la experiencia en el descubrimiento de estas leyes, bien para determinar su influjo en aquellos casos particulares en que depende de un grado determinado de distancia y cantidad. Así, es una ley del movimiento, descubierta por la experiencia, que el ímpetu o fuerza de un móvil es la razón compuesta o proporción de su masa y velocidad; y, por consiguiente, que una fuerza pequeña puede desplazar el mayor obstáculo o levantar el mayor peso si, por cualquier invención o instrumento, podemos aumentar la velocidad de aquella fuerza de modo que supere la contraria. La Geometría nos asiste en la aplicación de esta ley, al darnos las medidas precisas de todas las partes y figuras que pueden componer cualquier clase de máquina, pero, de todas formas, el descubrimiento de la ley misma se debe solamente a la experiencia; y todos los pensamientos abstractos del mundo jamás nos podrán acercar un paso más a su conocimiento. Cuando razonamos a priori y consideramos meramente un objeto o causa, tal como aparece a la mente, independientemente de cualquier observación, nunca puede sugerirnos la noción de un objeto distinto, como lo es su efecto, ni mucho menos mostrarnos una conexión inseparable e inviolable entre ellos. Un hombre ha de ser muy sagaz para descubrir mediante razonamiento, que el cristal es el efecto del calor, y el hielo del frío, sin conocer previamente la conexión entre estos estados."

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