Source: https://www.scribd.com/doc/48720837/Tercer-Coloquio-Matematica-Educativa
Timestamp: 2017-03-26 10:59:37+00:00

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BrowseInterestsStay InformedCareerPersonal GrowthFiction & BiographiesHealth & FitnessLifestyleCultureBrowse byBooksAudiobooksNews & MagazinesSheet MusicBrowse allUploadSign inJoinLa educación científica es una ardua tarea, en la que no es suficiente pensar qué es lo que el alumno debe aprender sino, también, qué y cómo debe desaprender lo que ya sabía. El obstáculo epistemológico es lo que se sabe, y como ya se sabe, genera una inercia que dificulta el proceso de construcción de un nuevo saber, que es, precisamente, lo que constituye el acto de conocer. Lo fácil no enseña, cuanto más difícil es una tarea, tanto más educadora es. Es necesario romper con el sentido común. El enemigo del conocimiento científico es la opinión. GASTÓN BACHELLARD
III COLOQUIO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA PARA PROFESORES DR. CARLOS RONDERO DR. OLEKSANDR KARELIN DRA. ANNA TARASENKO M. EN C. JUAN ALBERTO ACOSTA
INTRODUCCIÓN Durante la década de los 70’s en el siglo pasado era todavía común que las empresas contrataran a su personal con base en test de inteligencia y exámenes de conocimiento, pues se consideraba que a mayor calificación en este tipo de pruebas, su desempeño sería mejor, sin embargo estudios realizados en Harvard mostraron que la correlación entre el éxito profesional y los conocimientos no era alta, que existen otros factores tales como atributos personales, aptitudes y motivaciones, sin embargo no fue sino hasta la década de los 90’s que UNESCO tomó cartas en el asunto, presentando en 1993 un informe sobre la educación, destacando que la educación era el centro de atención mundial y motivo de críticas, poniendo en tela de juicio la eficacia de los sistemas educativos vigentes. De ahí se inició un trabajo que en 1996 rindió frutos, cuando se presentó el informe “La Educación Encierra un Tesoro” escrito por Jacques Delors que entre otras cosas menciona: “La educación a lo largo de la vida se basa en cuatro pilares: Aprender a conocer, Aprender a hacer, Aprender a vivir juntos y Aprender a ser” A partir de ese momento se desbordó una serie de acciones que buscaron cubrir la brecha entre lo que se enseñaba en la escuela y lo que se requiere para la vida, naciendo así los modelos de Educación Basada en Competencias, dejando claro que los conocimientos se deben complementar con habilidades, destrezas y actitudes entre otros atributos. Primero se inició en el ámbito laboral con las llamadas Competencias laborales, modelo que permite a una persona, demostrar que es competente para desarrollar cierta actividad laboral que no necesariamente aprendió en la escuela, las empresas empezaron a exigir un certificado de competencia laboral a su personal para ser contratados; en México un subsistema de Educación Media Superior como conalep fue pionero en el ámbito de la competencia laboral. Como era de esperarse este modelo trascendió al ámbito educativo, por ejemplo a nivel Universitario la implementación del Proyecto Tuning en Europa y después su incorporación a América Latina; actualmente en México se vive una Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) cuyo objetivo es integrar la Educación Basada en Competencias en este nivel educativo. Hoy en día una persona debe ser competente en diferentes ámbitos, no solamente en el laboral o académico, en este sentido, es pertinente preguntarnos ¿Cuáles son las competencias profesionales que un docente de matemáticas debe tener para desarrollar a su vez las competencias matemáticas en sus estudiantes? No hay que olvidar que pruebas de carácter internacional como PISA para los países miembros de la OCDE evalúa entre otras cosas la competencia matemática de estudiantes de educación secundaria.
¿Qué podemos entender por competencia matemática?
El dominio que se evalúa en el proyecto OCDE/PISA se denomina alfabetización matemática (Mathematical Literacy). Dicha alfabetización o competencia matemática general se refiere a las capacidades de los estudiantes para analizar, razonar y comunicar eficazmente cuando enuncian, formulan y resuelven problemas matemáticos en una variedad de dominios y situaciones. Los ciudadanos de todos los países están implicados en multitud de tareas que incluyen conceptos cuantitativos, espaciales, funcionales, relacionales u otros. La competencia matemática del OCDE/PISA se ocupa del modo en que los estudiantes de 15 años actúan como ciudadanos informados, reflexivos y consumidores inteligentes. Se concentra en su capacidad para leer formularios, pagar facturas, no ser engañados en tratos que impliquen dinero, determinar la mejor compra en el mercado, y muchos otros. Para el estudio OCDE/PISA alfabetización matemática es: La capacidad individual para identificar y entender el papel que las matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e implicarse con las matemáticas en aquellos momentos en que se presenten necesidades en la vida de cada individuo como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo (OCDE, 2003). El proyecto PISA explicita 8 tipos de competencias matemáticas: Pensar y Razonar Argumentar Comunicar Construir modelos Plantear y resolver problemas Representar Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico Utilizar herramientas de apoyo (por ejemplo, TIC) Cada una de las competencias contiene un conjunto extenso de elementos de competencia y admite diferentes niveles de profundidad. Los expertos del proyecto PISA consideran tres niveles de complejidad en los problemas matemáticos y en las competencias demandadas por los mismos: Primer nivel: Reproducción y procedimientos rutinarios. En este nivel se engloban aquellos ejercicios que son relativamente familiares y que exigen básicamente la reiteración de los conocimientos practicados, como son las representaciones de hechos y problemas comunes, recuerdo de objetos y propiedades matemáticas familiares, reconocimiento de equivalencias, utilización de procesos rutinarios, aplicación
de algoritmos, manejo de expresiones con símbolos y fórmulas familiares, o la realización de operaciones sencillas. Un ejemplo de ejercicio propio de este nivel es la resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita. Segundo nivel: Conexiones e integración para resolver problemas estándar. El nivel de conexiones permite resolver problemas que no son simplemente rutinarios, pero que están situados en contextos familiares o cercanos. Plantean mayores exigencias para su interpretación y requieren establecer relaciones entre distintas representaciones de una misma situación, o bien enlazar diferentes aspectos con el fin de alcanzar una solución. Un ejemplo de problema ajustado a este nivel es el siguiente: "Una pizzería sirve dos pizzas redondas, del mismo grosor en diferentes tamaños. La menor tiene un diámetro de 30 centímetros y cuesta 3 euros. La mayor tiene un diámetro de 40 centímetros y cuesta 4 euros. ¿Qué pizza tiene mejor precio?". Tercer nivel: Razonamiento, argumentación, intuición y generalización para resolver problemas originales. Este nivel moviliza competencias que requieren cierta comprensión y reflexión por parte del alumno, creatividad para identificar conceptos o enlazar conocimientos de distintas procedencias. Las tareas de este nivel requieren competencias más complejas, implican un mayor número de elementos, exigen análisis de diferentes estrategias posibles, invención de sistemas de representación no usuales, generalización y explicación o justificación de los resultados.
Ángel Martínez Recio (Universidad de Córdoba)
Luis Rico Romero (Universidad de Granada)
Qué y para qué son las transformaciones lineales Dr. Orlando Ávila Pozos CIMA de la UAEH Resumen: En este curso se revisarán las principales propiedades de las transformaciones lineales y algunas de sus aplicaciones.
Modelado matemático y simulación digital de robots manipuladores Dr. Omar Arturo Domínguez Ramírez CITIS de la UAEH Resumen: En este curso se da a conocer un procedimiento sistemático para obtener el modelo cinemático y dinámico de un robot manipulador, el análisis de sus propiedades, condiciones de operación óptima, y la simulación de sus movimientos con la aplicación de una técnica clásica de control y regiones de equilibrio natural. Esta metodología puede extenderse a otros sistemas dinámicos, mismos que se describirán como casos adicionales de estudio.
Desigualdades clásicas. Dr. Oleksandr Karelin. CIMA de la UAEH Resumen: En éste curso se tratarán algunas desigualdades clásicas, que juegan un papel fundamental en las matemáticas. Por ejemplo la desigualdad triangular que expresa: “La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo debe de ser mayor que la longitud del tercer lado”. Otro ejemplo es la desigualdad entre medios, que por definición nos dice que para dos números positivos arbitrarios “a” y “b”: La expresión (a+b) representa la media aritmética de “a” y “b”; La expresión representa la media proporcional. La conexión entre la media aritmética y la media proporcional se da mediante la expresión: . También discutiremos sobre desigualdades de Minkovski, de Hölder y de otras conocidas, y sus generalizaciones.
Ecuaciones y desigualdades trigonométricas Dra. Anna Tarasenko CIMA de la UAEH Resumen: Basándose en experiencia acumulada, tanto en la preparación de alumnos como en la formación de profesores de matemáticas, se propone el estudio de las desigualdades trigonométricas, dado que es un tema que tiene el carácter de eje articulador de saberes matemáticos, lo cual permite preparar el camino de acceso a otros niveles de complejidad, y en consecuencia poder resolver problemas matemáticos con enfoques diferentes.
El pensamiento proporcional en la trigonometría M. en C. Juan Alberto Acosta, Ing. Germán Reséndiz
CIMA de la UAEH Resumen:
Introducción a modelos matemáticos en biociencias Dr. Roberto Ávila Pozos CIMA de la UAEH Resumen:
Dr. Carlos Rondero Guerrero CIMA de la UAEH Resumen:
Competencias del alumno y matemática escolar: el caso del primer curso de Cálculo Dr. Ismael Arcos Quesada Resumen: Para empezar se abordará el asunto de las competencias matemáticas del alumno y su influencia en la determinación de los contenidos de la matemática escolar, en lo relacionado con los conceptos y problemas tradicionalmente incluidos en un primer curso de Cálculo, tanto en las escuelas de ingeniería como en el Nivel Medio Superior. Enseguida se hará una comparación cualitativa, desde el punto de vista de la enseñanza, de los dos principales enfoques del Cálculo, por una parte de aquel heredado de los trabajos de Cauchy-Weierstrass, basado en el concepto del límite, y que es el que aparece en los textos de Cálculo y, por lo tanto, es el que tradicionalmente se enseña; y por el otro, del Cálculo infinitesimalista, que acepta y utiliza las cantidades infinitamente pequeñas como tales, que es más bien próximo a las ideas de Leibniz, Newton y Euler, y que sigue siendo utilizado en los textos (y por lo tanto en los cursos) de ciencias básicas y de la ingeniería. Finalmente se describirá una propuesta para la enseñanza en el primer curso de Cálculo, en el que los infinitesimales sean aceptados y utilizados, recuperando con ello las cualidades didácticas de ese Cálculo infinitesimal de los siglos XVII y XVIII.
La Génesis de la Trigonometría Dr. Ismael Muñoz Maya CIMA de la UAEH Resumen: La trigonometría que se enseña en la educación media superior ¿ha sido siempre como la enseñamos actualmente? Si no es así, entonces ¿cómo surgió? La trigonometría puede decirse que es tan antigua como las culturas de Mesopotamia y Egipto, al menos. En este curso se planea dar una perspectiva histórica de ella desde los albores de la humanidad hasta tomar gradualmente la forma con que la conocemos hoy en día. Para la mayor parte de este curso utilizaremos la magnífica referencia de Eli Maor titulada “Trigonometric Delights”, de Princeton University Press, Princeton, New Jersey,1998. Creo que un conocimiento de la historia del desarrollo de cualquier rama de la ciencia nos deja mejor capacitados para presentarla a nuestros estudiantes y
hacerla más amena, además de mostrarnos las dificultades que hubo que remontar para llevarla a su forma actual.
Desarrollo de competencias geométricas en actividades con teselaciones Dr. Aarón Reyes Rodríguez CIMA de la UAEH Resumen:
Diseño de actividades de enseñanza, aprendizaje y evaluación con Cabri-Géomètre. Eugenio Díaz Barriga Arceo Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de México e-mail: eugeniux@hotmail.com Resumen: Planteamos un taller que incorpora a la práctica educativa diversas actividades derivadas de ambientes virtuales de aprendizaje; tomamos como referencia aquellos ambientes de geometría interactiva que se generan con Cabri, cuyo enfoque está directamente relacionado con el espíritu de la enseñanza y aprendizaje por competencias, haciendo uso directamente de las Tecnologías de Información y Comunicación(TIC’s). Las actividades comprenden ambientes virtuales de aprendizaje y de evaluación, el cual es un aspecto poco explorado. Todas ellas guardan relación con la teoría de representación semiótica y la manipulación de objetos abstractos, cuya aplicación natural es el aprendizaje de las Matemáticas y las Ciencias Experimentales.
Movimiento en una trayectoria rectilínea Dra. Victoria Elizabeth Cerón Ángeles CIMA de la UAEH Resumen: Se describirá el movimiento en línea recta de cuerpos mediante un análisis detallado de sus gráficas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo, de donde se obtendrán las fórmulas asociadas al movimiento rectilíneo uniforme y con aceleración constante. Dichos temas se abordaran a través de cuatro secciones: movimiento uniforme, deducción de gráficos velocidad-tiempo, aceleración y ejercicios prácticos. En esta última se realizan ejercicios para casos particulares como movimientos de objetos en línea recta en la superficie terrestre y caída libre.
Construcción de modelos físicos Dr. Fernando Donado Pérez CIMA de la UAEH Resumen:
Taller de Física aplicada M. en C. Ignacio Urquijo Resumen: Se abordaran algunos temas de Física que involucren algunos aspectos cotidianos. Se analizara matemáticamente ideas que llevaron a la generación de algunos dispositivos basados en la Física y se realizara un experimento relacionado con estos.
Aritmética Modular M. en C. José de Jesús Martínez Espinoza
La utilización de software dinámico en el incremento de la demanda cognitiva en estudiantes de educación media superior Ing. Marcos Campos Nava / Ing. Agustín Torres Rodríguez Resumen: La actividad propuesta pretende partir de una situación problémica sencilla y transitar, con ayuda de un software interactivo, hacia otro tipo de registros semióticos en los ámbitos aritmético, geométrico y algebraico. La finalidad es contribuir al desarrollo de competencias matemáticas en el estudiante de niveles medio y medio superior, además de explorar situaciones didácticas que involucren el incremento de la demanda cognitiva del estudiante, con el objetivo de despertar un mayor grado de interés de su parte y lograr un mayor involucramiento, lo que redunda en su propio aprendizaje.
Soluciones extrañas y Soluciones perdidas de ecuaciones irracionales y fraccionarias
costiglia@yahoo.com Resumen: Una de las competencias matemáticas fundamentales es la del pensamiento lógico, sin embargo, la presentación de algunos temas haciendo un excesivo énfasis en la
parte algorítmica deja en los alumnos la sensación de que los procedimientos lo guiarán automáticamente al resultado correcto sin necesidad de ningún análisis lógico. Uno de los temas paradigmáticos en este aspecto es el de la resolución de ecuaciones, que suele ser mecanizado hasta tal punto que se suspende todo razonamiento o análisis, y tanto el alumno como el maestro quedan plenamente satisfechos si los algoritmos de cálculo se han aplicado correctamente. Resulta entonces interesante analizar el caso de las ecuaciones irracionales y fraccionarias donde los procedimientos para resolverlas pueden tanto hacer aparecer una solución (solución extraña) como hacer desaparecer otra (solución faltante), obligando entonces a un análisis sobre el propio algoritmo de cálculo. Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical (puede haber más de una expresión radical). El procedimiento de solución estándar consiste en aislar un radical en uno de los dos miembros, de modo que en el otro estén los demás términos, aunque también incluyan radicales. Luego se elevan ambos miembros al cuadrado y se resuelve la ecuación obtenida. Si hay más de una expresión con radicales se repiten los primeros pasos hasta eliminarlos a todos. Finalmente se comprueban los resultados obtenidos en la ecuación original, descartando aquellas que no son solución de la ecuación original y que se denominan soluciones extrañas. Analizaremos el por qué de esta comprobación y el motivo de que aparezcan soluciones que no son solución de la ecuación original, considerando también el aspecto de la lógica implicada en esta operación. Una situación inversa puede ocurrir al resolver ecuaciones fraccionarias, dando lugar a soluciones faltantes, o sea soluciones que son válidas para el problema original pero que desaparecieron durante el proceso de solución. En ambos casos la interpretación geométrica de los procedimientos involucrados ayuda a comprender qué está ocurriendo.
SOLUCIONES EXTRAÑAS Y SOLUCIONES PERDIDAS DE ECUACIONES IRRACIONALES Y FRACCIONARIAS Rubén Oscar Costiglia Garino costiglia@yahoo.com Introducción “Las competencias disciplinares de matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad, el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos.” [1]
Si un objetivo general de las competencias matemáticas fundamentales es propiciar el pensamiento lógico, esto debe hacernos revisar aquellas actividades que no lo hacen.
La presentación de algunos temas haciendo un excesivo énfasis en la parte algorítmica deja en los alumnos la sensación de que los procedimientos lo guiarán automáticamente al resultado correcto sin necesidad de ningún análisis lógico. Un caso paradigmático en este aspecto es el de la resolución de ecuaciones, que suele ser mecanizada hasta tal punto que se suspende todo razonamiento o análisis, y tanto el alumno como el maestro suelen quedar plenamente satisfechos si los algoritmos de cálculo se han aplicado correctamente. ¿Dónde quedaron la creatividad y el pensamiento lógico y crítico? Si todo el procedimiento lo hace rápidamente y sin errores una calculadora científica o un software especializado ¿cuál es el sentido del aprendizaje repetitivo sobre estos temas?.
Resulta entonces interesante analizar el caso de las ecuaciones irracionales y fraccionarias donde los procedimientos para resolverlas pueden tanto hacer aparecer una solución (solución extraña) como hacer desaparecer otra (solución perdida), obligando entonces a un análisis sobre el propio algoritmo de cálculo.
Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical pudiendo haber más de una expresión radical. El procedimiento de solución estándar consiste en aislar un radical en uno de los dos miembros, de modo que en el otro estén los demás términos, que también pueden incluir radicales.
Luego se elevan ambos miembros al cuadrado y se resuelve la ecuación obtenida. Si hay más de una expresión con radicales se repiten los primeros pasos hasta eliminarlos a todos. Finalmente se comprueban los resultados obtenidos en la ecuación original, descartando aquellas que no son solución de la ecuación original y que se denominan soluciones extrañas.
Analizaremos el por qué de esta comprobación y el motivo de que aparezcan soluciones que no son solución de la ecuación original no sólo en el caso de ecuaciones irracionales sino también en el de ecuaciones fraccionarias, considerando también el aspecto de la lógica implicada en esta operación.
Una situación inversa puede ocurrir también, dando lugar a soluciones perdidas, o sea soluciones que son válidas para el problema original pero que desaparecieron durante el proceso de solución.
En ambos casos la interpretación geométrica de los procedimientos involucrados ayuda a comprender qué está ocurriendo, remarcando la importancia de la representación gráfica.
También es interesante la presentación de algunos casos donde el software falla en dar la solución correcta, lo que acentúa la importancia de una comprensión más amplia de lo que aparece como un serie de pasos fijos para llegar a una solución.
Soluciones extrañas y soluciones perdidas
Una solución extraña es una solución que aparece a partir del proceso mediante el cual se resuelve una ecuación, pero que no es una solución válida para ella.
Una solución perdida es una solución de la ecuación original pero que desaparece durante el proceso de resolver la ecuación. Tanto una como la otra suelen ser consecuencia de realizar operaciones que no se pueden invertir para algunos valores de las variables, lo que altera la cadena de razonamientos lógicos en la resolución.
Número finito de soluciones
Una expresión tal como 3 x + 1 puede ser igual a cualquier número, dependiendo del valor de x. Por ejemplo si x = 4, el valor de la expresión es 13.
Cuando escribimos una ecuación hacemos una afirmación acerca del valor de x, por ejemplo: 3 x + 1 = 19
la ecuación puede ser verdadera o falsa según sean los valores de x.
Para x = 2, la ecuación 3 x + 1 = 19 es falsa, ya que 7 ≠ 19. También lo es para x = 0, x = -1 o x = 3, sólo es verdadera para x =6 y cualquier otro valor produce una ecuación falsa.
El único valor de x que nos da una ecuación verdadera (x=6) es la solución de esta ecuación.
Si consideramos la ecuación x + 7 = x + 2 no hay ningún valor de x que haga verdadera a la ecuación. Se suele decir que es una contradicción, ya que nunca puede ser verdadera.
Si al intentar resolver una ecuación llegamos a una contradicción, esto indica que la ecuación original también lo era y no tiene solución.
Una de las ecuaciones más simples que ilustran esto es x = x, que obviamente se cumple para cualquier valor de x. Cuando esto ocurre decimos que es una identidad. Otros ejemplos son: 7x=5x+2x 7=7
En el segundo ejemplo no aparece la x, así que la ecuación es verdadera para cualquier valor de x.
Muchas veces comenzamos a realizar transformaciones en una ecuación de primer grado sin analizarla previamente y a veces llegamos a una identidad tal como 7 = 7. Cuando esto ocurre ¿la ecuación original no puede ser otra cosa que una identidad, y tiene por lo tanto un número infinito de soluciones?.
Si planteamos una ecuación falsa:
y si elevamos ambos miembros al cuadrado obtenemos
que es cierta. Sin embargo, como se ve, esto no garantiza que el primer paso - 3 = 3 sea cierto.
Algo de Lógica [2]
Analizaremos las ecuaciones a partir de la Lógica, ejemplificando con un caso cotidiano. Pedro dice le dice a su hijo: "Si gano el Melate entonces te compro un carro", pueden darse muchas situaciones. ¿en qué casos podríamos decir que Pedro miente?, o sea ¿en qué casos la afirmación de Pedro es falsa? En la frase entrecomillada hay dos partes: "gano el Melate" y luego la conclusión "te compro un carro". Vamos a llamar A a la primera parte y B a la segunda. En total hay cuatro situaciones que pueden ocurrir:
A gano el Melate...
B te compro un carro. ¿Dijo la verdad o mintió?
Gana el Melate (V) Gana el Melate (V)
Le compra un carro (V)
Dijo la verdad (V)
No le compra un carro (F) Mintió (F) Dijo la verdad (V)
No gana el Melate (F) Le compra un carro (V)
No gana el Melate (F) No le compra un carro (F) Dijo la verdad (V)
En los dos primeros casos la situación es clara, Pedro ganó el Melate y en el primer caso cumplió su promesa y compró el carro. En la segunda no cumplió su promesa ya que no le compró el carro a su hijo. La tercera y cuarta situaciones son las que presentan alguna dificultad, ya que no se ha dado la condición previa de ganar el Melate, y si no lo gana las dos opciones: comprar o no comprar el carro son posibles sin que mienta. La verdad o falsedad de la afirmación se asienta sobre el cumplimiento de la primera condición. Cada una de las dos afirmaciones A y B, puede ser cierta o falsa y las indicamos con (V) o (F). En nuestro caso cuando Pedro gana el Melate decimos que A es verdadera y cuando no lo gana que A es falsa. En matemáticas habitualmente cuando se intenta probar algo se está en la situación "si se da A entonces se cumple B" o más brevemente “A implica B”, que sería el caso de la primera fila en la tabla anterior, donde se parte de una afirmación A que se considera cierta y se intenta llegar mediante una cadena de razonamientos lógicos a deducir la verdad de B.
Si A 3 = 3 (V) 3 = 3 (V) -3 = 3 (F) -3 = 3 (F)
Entonces B 9 = 9 (V) 9 ≠ 9 (F) 9 = 9 (V) -6= 6 (F)
A implica B Verdadero Falso Verdadero Verdadero
Es imposible, en una implicación verdadera partir de una afirmación verdadera y obtener un resultado falso. En la segunda fila de la tabla anterior tenemos el ejemplo de que partiendo de una afirmación verdadera (3=3) si llegamos a un resultado falso (9≠9), es falso que A implique B, lo que es equivalente a la mentira
en el caso del padre que gana el Melate y no le compra el carro al hijo. Esto sustenta la afirmación de la página 3, de que si al intentar resolver una ecuación llegamos a una contradicción, esto indica que la ecuación original también lo era y no tiene solución. Sin embargo en el caso que la primera afirmación sea falsa (-3=3), un procedimiento correcto puede darnos resultados verdaderos (9=9 en la tercera fila) si elevamos ambos miembros al cuadrado, o un resultado falso (-6 = 6 en la cuarta fila, si multiplicamos ambos miembros por 2). Si 2x–1=3 Entonces La deducción es x=2 Correcta Ecuación verdadera para x=2 2x–1=3 -3 = 3 x≠2 9=9 Incorrecta Correcta La ecuación es una contradicción -3 = 3 -6= 6 Correcta La ecuación es una contradicción En los casos de las filas 1 y 3 nos encontramos con resultados correctos obtenidos mediante razonamientos correctos, sin embargo en el primer caso la ecuación es verdadera para x= 2 y en el segundo es una contradicción o sea falsa. Ejemplo 1. Una solución extraña en una ecuación irracional.
Un caso como el de la fila 3 se obtiene si consideramos una falsa igualdad como
y elevamos ambos miembros al cuadrado
obtenemos una relación que es cierta.
Igualmente si nos planteamos resolver la siguiente ecuación:
Esta ecuación de segundo grado tiene raíces 16 y 9. Sin embargo sustituyendo se comprueba que 16 es solución de la ecuación original pero 9 no. El proceso de elevar al cuadrado ha introducido aquí una solución extraña.
Si consideramos a cada lado de la ecuación como una función, tenemos:
cuyas gráficas se muestran más abajo junto con la de
La intersección de g(x) con f1 (x) nos da la única solución de la ecuación original (x = 16). La otra intersección es con f2(x) y por lo tanto x = 9 es solución de la ecuación
Ejemplo 2. Dos soluciones extrañas en una ecuación irracional.
Esta ecuación tiene dos raíces: 2 y 3 y ninguna es solución de la ecuación original, que por lo tanto es una contradicción.
Ejemplo 3. Solución extraña en una ecuación fraccionaria.
Esta ecuación tiene raíces 1 y 2/3, sin embargo 2/3 es solución pero 1 es una solución extraña. En el proceso de solución hemos ampliado el dominio de las funciones que representan ambos miembros de la ecuación original. Este dominio excluye los números x = 1 y x = 0. En cambio el dominio de f(x) = x2 – 5 x + 2 son todos los números reales. Ejemplo 4. Solución perdida.
Si al resolver la ecuación 3 x2 + 9 x = 0 efectuamos las siguientes operaciones:
3x2=-9x 3x=-9 x=-3
hemos obtenido una de las soluciones de la ecuación original, la otra, x = 0 se ha perdido al dividir ambos miembros entre x, que es una operación no definida para x = 0. Ejemplo 4. Solución perdida en una ecuación fraccionaria. Si a la ecuación 2 x = 6 cuya raíz es x = 3 le sumamos en ambos miembros una misma expresión fraccionaria que no está definida para x = 3, la ecuación resultante no es equivalente a la anterior, esa solución se ha perdido.
Ejemplo 5. Cuando el software falla [3]. No se puede cancelar una expresión fraccionaria si ésta no se puede evaluar para algún valor que es raíz de la expresión simplificada.
ya que 0 es solución de esta ecuación pero no lo es de la primera.
Aquí el software Matemática 4.0, da la solución errónea x = 0 ya que presumiblemente realiza la simplificación de los términos fraccionarios y luego resuelve la ecuación de segundo grado resultante.
f (x) y g (x)
x = 0 es asíntota vertical para f ( x ) y g ( x )
Si se grafican las dos funciones h 1(x) = ( x - 1)2 y h2 (x) = x2 + 1 que constituyen ambos miembros de la ecuación resultante ( x - 1)2 = x2 + 1 al cancelar erróneamente los términos fraccionarios, constatamos que tienen una intersección en x = 0.
Conclusión Las soluciones extrañas y las soluciones perdidas en las ecuaciones irracionales o fraccionarias brindan una excelente oportunidad de mejorar las competencias del pensamiento lógico y las competencias en el uso de nuevas tecnologías al emplear un software especializado para realizar las gráficas, así como al analizar críticamente los resultados producidos por el mismo al resolver algunas ecuaciones. La implementación de ejercicios y ejemplos sobre este tema en el salón de clase abre un abanico de posibilidades de exploración e investigación por parte de los alumnos y del maestro, al incorporar temas que habitualmente no son tratados a nivel bachillerato, como lo son el de las ecuaciones irracionales y el de las ecuaciones fraccionarias. Bibliografía [1] S.E.P. Competencias disciplinares básicas del Sistema Nacional de Bachillerato. Documento de Trabajo. (México D.F., 21/04/08). [2] Solow, Daniel. How to make and do proofs, an introduction to mathematical thought processes. John Wiley & Sons (U.S.A.,1990) Second edition. Pags. 4, 5, 6, y 7.
[3] Rey Pastor, J. Elementos de Análisis Algebraico. Madrid, 1956, Pág. 294.
Todas las gráficas fueron generadas con el software Mathematica 4.0.
Taller de Física aplicada M. en C. Ignacio Urquijo
Imagen obtenida por resonancia magnética. Física aplicada es un término genérico que indica la parte de la física que se interesa particularmente por el uso de tecnologías. "Aplicada" se distingue de "pura" mediante una sutil combinación de factores como la motivación de investigación, y la relación entre tecnología y ciencia que influencia este trabajo. Usualmente difiere de la ingeniería en que la física aplicada no se interesa en el progreso de algo en particular, pero apunta a utilizar la física o la conducta investigadora física para el desarrollo de nuevas tecnologías o para resolver un problema de la ingeniería, este método es similar al utilizado por la matemática aplicada. En otras palabras, física aplicada se basa en las leyes fundamentales y los conceptos básicos de las ciencias físicas pero se enfoca a utilizar estos principios científicos a sistemas prácticos. Los físicos aplicados también pueden estar interesados en el uso de la física para investigaciones científicas, por ejemplo, las personas que trabajan en aceleradores de partículas buscan construir mejores aceleradores para la investigación de la física teórica.
Fibra óptica y otras aplicaciones ópticas.
Entre las áreas que tocaremos en nuestro taller están las siguientes: Ecuación de Bernoulli 1 Formulación de la ecuación La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:
2 Parámetros En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: : Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean : Densidad del fluido. : Velocidad de flujo del fluido. : Valor de la aceleración de la gravedad (9.78 m/seg2 en la superficie de Pachuca). : Altura sobre un nivel de referencia. 3 Aplicabilidad Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo. Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna). Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente. 4 Efecto Bernoulli El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido fluya en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá. Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por
debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta. 5 Tubo de Venturi El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por la que fluye el fluido y la velocidad a la que fluye. En dinámica de fluidos existe una ecuación de continuidad que nos garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi. Un tubo de Venturi es una cavidad de sección conserva entonces tenemos que por la que fluye un fluido y que en . Como el caudal se
una parte se estrecha, teniendo ahora una sección . Por tanto:
Si el tubo es horizontal entonces , y con la condición anterior de las velocidades vemos que, necesariamente, . Es decir, un estrechamiento en un tubo horizontal implica que la presión estática del líquido disminuye en el estrechamiento. 6 Breve historia de la ecuación Los efectos que se derivan a partir de la ecuación de Bernoulli eran conocidos por los experimentales antes de que Daniel Bernoulli formulase su ecuación, de hecho, el reto estaba en encontrar la ley que diese cuenta de todos esto acontecimientos. En su obra Hydrodynamica encontró la ley que explicaba los fenómenos a partir de la conservación de la energía (hay que hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservación de la energía). Posteriormente Euler dedujo la ecuación para un líquido sin viscosidad con toda generalidad (con la única suposición de que la viscosidad era despreciable), de la que surge naturalmente la ecuación de Bernoulli cuando se considera el caso estacionario sometido al campo gravitatorio.
Infrasonido y Ultrasonido La principal aplicación de los infrasonidos es la detección de objetos. Esto se hace debido a la escasa absorción de estas ondas en el medio, a diferencia de los ultrasonidos, como veremos. Por ejemplo una onda plana de 10 Hz se absorbe cuatro veces menos que una onda de 1000 Hz en el agua. El inconveniente es que los objetos a detectar deben ser bastante grandes ya que, a tales frecuencias, la longitud de la onda es muy grande lo cual limita el mínimo diámetro del objeto. Como ejemplo diremos que un infrasonido de 10 Hz tiene una longitud de onda de 34 m en el aire, luego los objetos a detectar deben tener un tamaño del orden de 20 m en el aire y 100 m en el agua. La comunicación de los elefantes Ejemplo de aplicaciones de las ondas ultrasónicas se encuentran en el mundo animal y la comunicación entre individuos de una misma especie. El ejemplo más representativo y más importante lo tenemos en los elefantes. La evolución ha hecho que estos animales emitan infrasonidos, dado que estos no se ven afectados cuando atraviesan gigantescas selvas y llanuras y les permite comunicarse a grandes distancias. Así, las hembras pueden avisar a los machos de que se encuentren lejos de ellas, que ya están listas para aparearse, o un grupo puede avisar a otro donde pueden encontrar alimentos. Se ha comprobado que la comunicaciones acústicas de este tipo permiten localizar con gran precisión la fuente de la señal, tanto en tiempo como espacio. �Cómo es posible que los elefantes aprecien los infrasonidos? La clave está en la distancia entre sus oídos: Los animales con cabezas pequeñas, que por tanto tienen los oídos más cercanos, pueden oír sonidos de frecuencias más altas que aquellos con oídos más separados; esto se debe esencialmente a las longitudes de onda ya que percibimos sonidos con longitudes de onda del tamaño de nuestro cuerpo aproximadamente. A partir de esto, dado que los infrasonidos tienen longitudes de onda grandes, podemos concluir que los elefantes pueden oír y producir este tipo de ondas sonoras debido a que poseen una cavidad bucal y craneal bastante grande. Los elefantes se agrupan en familias que son coordinadas a través de infrasonidos en varios kilómetros a la redonda. Algunas de estas llamadas, las más fuertes (116 dB y una frecuencia entre 12 y 35 Hz), comunican la necesidad de reproducirse tanto de machos como de hembras, las cuales pueden ser contestadas por individuos alejados hasta cuatro kilómetros. Pero no sólo lo utilizan para la reproducción sino también para acordar la hora de amamantar a las crías o el recorrido de un paseo.
Futuras aplicaciones del infrasonido Los investigadores del infrasonido están interesados en sonidos de 10 Hz y más bajos (hasta 0,001 Hz). De hecho, este rango de frecuencias es el mismo que utilizan los sismógrafos para monitorear terremotos o los sensores infrasónicos para descubrir las señales acústicas provenientes de las explosiones. Debido a que tanto volcanes, tornados, turbulencias como meteoros, producen infrasonido, se podría detectar dichas ondas y prevenir algún desastre natural. En un futuro no muy lejano se construirán estaciones de infrasonidos con el fin de resolver, por ejemplo, los problemas de falsas alarmas. Otras técnicas acústicas se pueden utilizar en el campo de la medicina, por ejemplo en relación con la enfermedad de los huesos u osteoporosis. Esto último se está desarrollando en la actualidad y todavía no presenta una interpretación clara. Veremos que los ultrasonidos tienen más aplicación en este campo. APLICACIONES DEL LÁSER Debido a las propiedades particulares del haz de radiación luminosa con su gran potencia concentrada (el láser), hacen de él una herramienta ideal en muchas aplicaciones donde se precise de una fuente controlada y localizada de energía. Si a este factor diferenciador inicial se le suma la facilidad para su control automático y regulación, se observa cómo se amplía el campo de utilización a otros usos en los que la precisión, la minimización de daños colaterales y la menor modificación de la características del material circundante y de sus dimensiones son importantes. De ahí el amplísimo rango de aplicaciones. APLICACIONES A LA MEDICINA El láser en la medicina es cada vez más usado al actuar muy selectivamente sobre la lesión, dañando mínimamente los tejidos adyacentes. Por eso produce muy pocos efectos secundarios en cuanto a destrucción de otro tejido sano de su entorno e inflamación, así como presentar una esterilización completa al no ser necesario instrumental quirúrgico. En la dermatología, éstos pueden eliminar casi todos los defectos de la piel bajo anestesia local. En oftalmología son utilizados los láseres de excímero, que eliminan capas submicrométricas de la córnea, modificando su curvatura. El ojo es transparente a la luz entre aproximadamente 0.38 y 1.4 .A menores longitudes de onda el cristalino y la córnea absorben la radiación y a mayores longitudes de onda son las moléculas de agua presentes en el ojo las que absorben la luz. Por medio de radiación láser (en este caso con láser de argón ionizado) es posible en la actualidad tratar casos de desprendimiento de retina. Como se muestra en la figura , el haz láser es focalizado en la retina por el propio cristalino del paciente. Los láseres de He-Ne han sido utilizados con éxito en dermatología para el tratamiento de manchas en la piel, o como auxiliares para estimular la regeneración de tejido en cicatrices.
Tratamiento dermatológico con láser. APLICACIONES A LA COMPUTACIÓN Aplicaciones más cotidianas de los sistemas láser son, por ejemplo, el lector del código de barras, el almacenamiento óptico y la lectura de información digital en discos compactos (CD) o en discos versátiles digitales (DVD), que se diferencia en que éstos últimos utilizan una longitud de onda más corta (emplean láser azul en vez de rojo). Otra de las aplicaciones son las fotocopiadoras e impresoras láser, o las comunicaciones mediante fibra óptica. Las aplicaciones para un fututo próximo son los ordenadores cuánticos u ópticos que serán capaces de procesar la información a la velocidad de la luz al ir los impulsos eléctricos por pulsos de luz proporcionados por sistemas láser; muchos de los componentes electrónicos que tienen en su estructura las computadoras, como por ejemplo resistencias, en las cuales es necesario volatilizar muy pequeñas cantidades de material para fabricar resistencias de muy alta precisión.
* Impresoras a láser, CD y DVD APLICACIONES A LA HOLOGRAFÍA En la holografía, las ondas se solapan en el espacio o se combinan para anularse (interferencia destructiva) o para sumarse (interferencia constructiva) según la relación entre sus fases. Debido a la relación especial entre los fotones del haz del láser, los láseres son considerados el mejor ejemplo conocido de efectos de interferencia representados en los interferómetros y hologramas. La holografía es utilizada para proporcionar imágenes en tres dimensiones. También es utilizada como sistema de seguridad en las tarjetas de crédito. APLICACIONES A LA INGENIERIA MECANICA En el mundo industrial se han producido avances sustanciales en el desarrollo e implantación de tecnologías láser en todo tipo de materiales, como puede verse en la Tabla 1. Por su parte, en la Tabla 2 pueden verse las ocho familias de aplicaciones industriales, en las que pueden hacerse en algunos casos divisiones importantes, como en el marcado, en el que también se engloban las utilizaciones de baja potencia destinadas al marcaje de material de embalaje con los datos de fecha de consumo preferente y lotes de fabricación, campo en el que se han multiplicado las instalaciones en los últimos años. Dentro del procesado de materiales, el láser es utilizado como se había dicho en todas las ramas (corte, soldadura, marcado microscópico, etc.) al poder ser empleados en casi todos los materiales y tener una muy buena respuesta en el mecanizado. Se utiliza para: Realizar Soldaduras. Tratamientos superficiales como: Endurecimiento o temple. Aleación superficial.
Recubrimiento superficial. Fusión superficial. Corte mediante el láser. Taladrado y punzonado. Marcado mediante láser.
Tabla 1 Materiales susceptibles de ser tratados mediante láser Metálicos Aceros al carbono Aceros inoxidables Aceros de herramientas Fundiciones Aleaciones ligeras Aleaciones de cobre Aleaciones de titanio SOLDADURA CON LÁSER Un láser focalizado se puede emplear en una amplia variedad de procesos de soldadura, entre los que la más tradicional es la de materiales metálicos. La soldadura por láser puede realizarse de dos formas diferentes: - Por conducción: la profundidad de la zona fundida, inicialmente superficial, aumenta en función de la conductividad térmica y de la distribución de la intensidad de la radiación. Este tipo de soldadura se emplea en la unión de láminas delgadas. - Por penetración profunda: en este tipo de soldadura se consigue desplazar la zona de mayor temperatura por debajo de la superficie del material, alcanzándose un mayor rendimiento. El material fundido se desplaza hasta la superficie por acción del vapor recalentado y se mantiene allí por efectos combinados de gravedad, viscosidad y tensión superficial, lo que favorece la formación de un cordón de soldadura que aporta excelentes características mecánicas a la pieza. La afectación térmica reducida, la falta de necesidad de utilizar material de aportación en algunas utilizaciones, la flexibilidad y facilidad del control de proceso hacen del láser una herramienta de gran potencia para aplicaciones de soldadura en materiales difíciles de tratar por otras técnicas. Las soldaduras obtenidas son de alta calidad metalográficas y sin deformaciones dimensionales apreciables, están exentas de poros, grietas y mordeduras, y tienen características similares a la No Metálicos Polímeros Cerámicos Madera Vidrio Caucho Cuero Corcho
soldadura convencional, en muchos casos sin aporte de material y con una velocidad de proceso seis veces superior. La fuente láser utilizada depende del tipo de materiales a soldar. Se pueden realizar aplicaciones en piezas de espesores de 1 mm (se habla de "cierto espesor" por encima de 3 mm), con penetraciones máximas de hasta 10 mm. Existe un ahorro de fases en la operación de soldadura, ya que no afecta a los arteriales existentes; por lo tanto, no requiere tratamientos posteriores para eliminación de tensiones. Las aplicaciones de soldadura con y sin aporte, así como la soldadura de bimetales están ampliamente establecidas dentro de la industria. Las novedades en este campo vienen representadas por la soldadura de materiales disimilares, soldadura de aleaciones ligeras, soldadura de oro y las aplicaciones de soldadura de materiales plásticos, que se encuentran en un avanzado estado de desarrollo. TRATAMIENTOS SUPERFICIALES CON LÁSER Los tratamientos superficiales están encaminados a modificar las características superficiales de un material, tanto desde el punto de vista de sus propiedades mecánicas como de la resistencia a la corrosión. Son aplicables a materiales metálicos con alta absorción térmica y suficiente capacidad de disipación de calor por conducción. Los tratamientos superficiales se llevan a cabo con fuentes láser de alta potencia en dos y tres dimensiones. Las aplicaciones más difundidas en esta técnica de tratamientos son las siguientes: - Endurecimiento o Temple En este tipo de tratamiento superficial, el láser de potencia se convierte en una herramienta que, dadas sus características, permite actuar sobre zonas puntuales minimizando la interacción con el material base, y creando zonas con características mejoradas sobre las piezas, tales como un aumento en la tenacidad de la zona tratada, y en la resistencia a golpes y vibraciones, lo que redunda en la vida útil. La pieza tratada no debe sufrir posteriores transformaciones ni manipulaciones, quedando lista para su uso; el proceso es rápido y la dureza conseguida es superior a la de un tratamiento convencional. Puede limitarse a áreas concretas de una misma pieza consiguiéndose de esta forma endurecimientos localizados. - Aleación superficial (Alloying) La aleación superficial permite la generación de aleaciones sobre la superficie de las piezas para mejorar sus propiedades térmicas y mecánicas frente al desgaste o la corrosión. Las aleaciones realizadas son específicas y puntuales, por lo que tiene la ventaja de que realmente necesita ver mejoradas sus características. - Recubrimiento superficial (Cladding)
El recubrimiento superficial supone la incorporación de material sobre una superficie para mejorar las propiedades de ésta. Mediante la interacción de un láser de alta potencia con un polvo metálico o no metálico pueden crearse capas de espesor controlado sobre las superficies metálicas. Los recubrimientos superficiales se pueden realizar con materiales antidesgaste, anticorrosión, de características especiales, etc. Confiriendo las características superficiales requeridas a la superficie tratada. - Fusión superficial (Melting) Otra posibilidad reside en la reconstrucción de piezas dañadas o desgastadas mediante la adición del mismo material en el que esté construida la pieza. Asimismo, puede procederse al sellado de capas de deposición realizadas mediante la aplicación de plasma, confiriéndoles mayor adherencia al substrato y un grado de compacidad superior al obtenido mediante la técnica original. Otras aplicaciones son la ablación o eliminación de materiales adheridos a substratos y la realización de vitrificados estructurales, donde se consiguen profundidades máximas de 50 mm. Otro tipo de actuaciones a destacar por su componente innovador son los recubrimientos y los tratamientos superficiales de diferentes componentes metálicos. Un ejemplo es la fusión superficial de titanio en atmósfera de N2 para conseguir capas de nitruro de titanio.
Tratamiento superficial de la pared de una pieza. CORTE MEDIANTE LÁSER En el corte mediante láser se utiliza la radiación procedente de la fuente láser para calentar la pieza hasta alcanzar la temperatura de fusión, al tiempo que una corriente de gas a presión arrastra el material fundido. La utilización del láser en este campo ofrece muchos aspectos positivos. El haz láser focalizado sobre la pieza tiene unas dimensiones mínimas, de modo que actúa como una herramienta puntual. Por tanto, la zona afectada térmicamente es muy limitada, lo que evita la aparición de distorsiones en piezas que pueden tener contornos muy complejos. El corte por láser se puede realizar sobre chapas finas de metal, madera, plástico, tela o cerámica en fin sobre diversos materiales, desde acero a corcho, pasando por materiales plásticos, etc., para formas en dos y tres dimensiones. Las fuentes láser utilizadas son de media y baja potencia (de 0,4 a 1,2 kW), consiguiéndose realizar cortes en piezas de espesores que van desde los 0,5 a los 8mm, con tolerancias entre +/- 0,05 y +/- 0,1 mm.
Â Las ventajas que ofrece el láser sobre las técnicas convencionales en este tipo de utilizaciones son las siguientes: - Mejor aprovechamiento del material, debido a que la anchura del surco generado es mínima. - Las paredes de corte son perpendiculares a la pieza y paralelas entre sí. - La pieza cortada no precisa ningún tratamiento ni limpieza posteriores. - Se pueden realizar cortes en cualquier dirección. - El proceso es altamente flexible y automatizado. - No se precisan cambios de herramienta, lo que aumenta la flexibilidad y eficiencia de los equipos. -Es un proceso rápido y silencioso. Dentro de este campo, podemos destacar las siguientes aplicaciones innovadoras: - Corte de materiales innovadores (Titanio y plásticos). - Corte de vidrio. Si bien el corte por láser constituye una inversión que -bien aplicada- brinda excelentes resultados, puede conducir a graves errores si usted no está convenientemente asesorado.
Al mismo tiempo, corta con un altísimo nivel de precisión, permitiéndole realizar tareas sumamente avanzadas y delicadas. El cuadro 1 Ilustra la aplicación de este tipo de láseres en el corte de diversos materiales. En la mayoría de estas aplicaciones el uso del láser está sincronizado con elementos automáticos o computarizados tales como robots. De esta forma el corte de complicados diseños en diversos materiales puede realizarse en forma rápida y precisa. Hoy en día son ya: innumerables las industrias que utilizan robots-láser en sus líneas de producción, como la industria electrónica y la automotriz.
TALADRADO Y PUNZONADO Las técnicas utilizadas para el taladrado y el punzonado son las mismas que las utilizadas en el corte mediante láser (para efectuar un corte hay que realizar un taladro inicial). Con estas técnicas se consiguen penetraciones máximas en piezas de espesores considerables (de hasta 13 mm), y diámetros desde 0,075 mm. Para asegurar un taladro correcto en piezas de cierto espesor (por encima de los 3 mm) es importante controlar los niveles de potencia media empleados y los tiempos de interacción, ya que si se sobrepasan ciertos niveles se puede provocar el "reventón" del agujero. Las investigaciones en este campo están centradas en la realización de taladrados con la máxima energía posible disminuyendo los tiempos de interacción, sin llegar a explosionar el agujero taladrado, ya que, en la práctica, por motivos obvios de aseguramiento de la calidad de la pieza, son excesivamente bajos y los tiempos de interacción demasiado altos. MARCADO MEDIANTE LÁSER La técnica utilizada normalmente para realizar el marcado mediante láser es por desplazamiento del haz. Con esta técnica se focaliza un haz láser de media potencia sobre la superficie a marcar. El haz se orienta mediante una combinación de espejos galvanométricos de manera que sigue el recorrido del diseño a marcar. En función del tipo de material que se va a grabar, se utilizan distintos tipos de fuentes láser: CO2, Nd:YAG o excímeros. Actualmente pueden marcarse una gran variedad de materiales: materiales metálicos, plásticos, vidrio, etc. La profundidad de la zona marcada va desde algunas micras (marcado superficial) a décimas de milímetros (marcado profundo). La superficie máxima de marcado es un cuadrado de 100x100 mm. Mediante la utilización de quipos de baja potencia se puede realizar el marcado de elementos de envasado sobre ventanas preimpresas, sobre todo papel, con los datos sobre lotes de fabricación y fechas de consumo preferente, muy importantes en la industria del envasado de bienes de consumo.
Ilustraciones de algunos procesos efectuados por láser Maquina láser utilizada para varios procesos industriales en la ingeniería: como la soldadura, el corte de planchas, Mecanizado superficial y perforación.
Soldadura en interiores usando tecnología láser. MICRO: REPARACIÓN DE MOLDES Y MATRICES POR LASER. Ventajas: Mínima zona afectada térmicamente. No se producen deformaciones.
Posibilidad de soldaduras extremadamente finas con varillas desde 0,25 mm de diámetro. No precisa precalentamiento de la pieza. No genera rechupes. Posprocesado mínimo. Durezas resultantes de 45 a 60 HRC sin fisuras ni poros. Posibilidad de soldar Aluminio y Cobre. Tabla 2 Resumen de aplicaciones industriales del láser Aplicación Aleación Fuente 5 kW 0,4, 0,8 y 1,2 kW 0,4 KW Técnica Características obtenibles Profundidad máxima: 0,5mm. Buenas CO2 características en capa. Dilución típica 20% Nd-Yag CO2 Nd-Yag CO2 CO2 Nd-Yag Soldadura Taladrado Temple Todas CO2 0,4 KW 5kW Nd-Yag CO2 Espesor: de 0,5 a 0,8 mm. Tolerancia +/-0,05 mm a +/-0,1 mm Capacidad: 325 mm2/min. Profundidad máxima: 0,04 mm Alta densidad de capas y mínima dilución en sustrato. Espesores de capas hasta 2 mm. Penetración máxima: 0,5 mm. Baja deformación. Alto rango de dureza Penetración máxima: 10 mm. Baja deformación Diámetros desde 0,075 mm. Penetración máxima: 13 mm Penetración máxima: 2 mm. Baja deformación. Alto rango de dureza.
Recubrimiento 5kW Refusión 5kW
OTRAS APLICACIONES DEL LASER La fusión por confinamiento inercial es la aplicación más deseada ya que permitiría el desarrollo de la fusión nuclear del hidrógeno de una forma controlada, permitiendo la obtención de una elevadísima cantidad de energía. Dicho proceso se produce en el Sol y se obtuvo, aunque no de una forma controlada, en 1952, con la bomba atómica de hidrógeno. Un rayo láser puede viajar grandes distancias con una pequeña reducción de la intensidad de la señal y debido a su alta frecuencia puede transportar 1.000 veces más información que las microondas, por lo que son idóneos para ser utilizados como medio de comunicación en el espacio.
Más aún, el láser podría suponer la revolución definitiva en los sistemas de propulsión aérea. En 2003 la NASA consiguió hacer volar indefinidamente un pequeño avión de 300 gramos cuya energía era proporcionada desde tierra mediante láser. Científicos japoneses hicieron lo propio con un avión de papel, si bien utilizaron el láser para evaporar agua que servía de propelente. Estos aviones ligeros podrían ser utilizados como alternativa a los satélites artificiales para establecer telecomunicaciones en zonas de difícil acceso. Pero de desarrollarse más esta tecnología, podría suponer una tremenda reducción del lastre de los vuelos convencionales, al eliminar el combustible, tal y como ya se planea hacer en los viajes espaciales. Últimamente, como no podía ser de otra forma, se realizan esfuerzos para incluirlo en el uso militar como sustitutivo de los proyectiles convencionales y los mísiles. Existe ya un prototipo de láser aerotransportado, montado en un Boeing 747 y las Fuerzas Aéreas de Estados Unidos proyectan cazas armados con láser de alta potencia para los próximos años. El primer prototipo, de apenas un kilovatio, pesaba 750 kilogramos, algo perfectamente adaptable a los modernos aviones de combate. Mientras que el gran láser a bordo de aviones como el Boeing serviría como arma de precisión durante un bombardeo, los menos potentes pero más ligeros montados en cazas podrían ser una contraarma muy efectiva contra mísiles. En definitiva, su uso está extremadamente extendido y continuamente se le descubren nuevas aplicaciones siempre sorprendentes, como su participación en los complejos procesos de enfriamiento a muy bajas temperaturas. La medición de distancias con alta velocidad y precisión es otra de las aplicaciones del láser a la rama militar inmediatamente después de que se inventara el láser, para el lanzamiento de artillería o para el cálculo de la distancia entre la Luna y la Tierra (384.403 Km.), con una exactitud de tan sólo 1 milímetro. También es utilizado en el seguimiento de un blanco en movimiento al viajar el haz a la velocidad de la luz. Los láseres de argón ionizado han sido extensamente utilizados en el estudio de la cinética de reacciones químicas y en la excitación selectiva de éstas. Hay algunas reacciones químicas que sólo se producen en presencia de radiación láser o cuya rapidez puede incrementarse notablemente cuando los reactantes son irradiados con luz láser de longitud de onda apropiada. En el primer caso podemos obtener sustancias que de otro modo sería difícil obtener y en el segundo caso se tiene la posibilidad de incrementar la productividad de algunas industrias químicas. ALGUNAS NOTICIAS INTERESANTES ACERCA DEL LASER En la Universidad de Michigan han creado el rayo láser más potente jamás creado, con una potencia de 300 terawatios. Este tipo de "chispas cósmicas" ayudará a los científicos en muchos campos de la ciencia. Se le llamo Hércules. Es decir este
potente rayo tiene una capacidad de aproximadamente 300 veces la red de electricidad de los Estados Unidos.
Conclusiones Las aplicaciones científicas del láser son muy variadas. Difícilmente un solo libro dedicado tan sólo a este tema sería suficiente para mencionarlas, las mismas se pueden encontrar como hemos visto ya, en cualquier sector de la sociedad actual. Estas incluyen campos tan dispares como la electrónica de consumo, las tecnologías de la información (informática), análisis en ciencia, métodos de diagnóstico en medicina, así como el mecanizado, soldadura o sistemas de corte en sectores industriales y militares. Por tanto las tareas desempeñadas por los láseres van de lo mundano a lo esotérico si bien comparten un elemento común: son difíciles o totalmente imposibles con cualquier otro instrumento. Aunque por lo general los láseres son aparatos relativamente caros existe un incremento elevado de su utilización a nivel mundial, debido a su propiedad de suministrar la forma y la cantidad de energía requerida en el lugar deseado.
La utilización de software dinámico en el incremento de la demanda cognitiva en estudiantes de educación media superior.
Ing. Marcos Campos Nava. , Ing. Agustín Torres Rodríguez.
Introducción. Se tienen variados antecedentes acerca de la importancia de partir de situaciones problémicas, así como también del empleo de herramientas tecnológicas, para el diseño de actividades de aprendizaje en el campo de las matemáticas. En el empleo de ambas estrategias se han identificado varias ventajas, quizá la más importante es que partiendo de un problema inicial, podemos lograr el desarrollo de la comprensión conceptual, lo que significa conseguir un aumento progresivo del significado de los conceptos. La clave para conseguirlo es realizar actividades que involucren lo que se denomina incremento de la demanda cognitiva, lo que finalmente puede llevar al estudiante a ser capaz de: determinar los conceptos necesarios para resolver un problema, definir e identificar las relaciones existentes entre diversas nociones o variables, e incluso transferir estos conceptos para explicar y predecir otros fenómenos, llegando finalmente a integrar tales conceptos en estructuras más complejas, lo que de hecho significa la construcción de nuevos conceptos o conocimientos. Otros beneficios que conlleva el planteamiento de problemas y la utilización de tecnologías son el desarrollo de una independencia cognitiva, así como de la autonomía y capacidad argumentativa.
Justificación. Como puede apreciarse entonces, implementar este tipo de actividades en el aula nos permitiría estar en concordancia con los modelos de aprendizaje por competencias recomendados por PISA a nivel internacional, y los que actualmente se están introduciendo en el nivel medio superior, con motivo de la última reforma de este nivel educativo. PISA define entre las competencias el pensar y razonar, el argumentar, el plantear y resolver problemas y el poder utilizar diferentes lenguajes y representaciones. Con la utilización de un software interactivo, y dentro del contexto de solución de un problema, pretendemos apoyar al estudiante para que pueda desarrollar dichas competencias.
Enunciado de la actividad: La suma de dos números es mayor que su producto ¿puede encontrar números que satisfagan las condiciones? Objetivos de la actividad: Identificar algunas propiedades de los números enteros, racionales y sus operaciones. Identificar algunas propiedades de las igualdades y desigualdades. Transitar del pensamiento aritmético al algebraico y geométrico. Utilizar distintos registros de representación. Conocimientos previos: Operaciones aritméticas básicas. Utilización de lenguaje algebraico. Representaciones gráficas en el plano cartesiano. Conocimientos informáticos: Utilización de comandos de Cabri Geometri como “mostrar ejes, mostrar coordenadas, punto sobre objeto, transferencia de medidas, lugar geométrico”, manipulación de la calculadora del software. Introducción de expresiones algebraicas para que el software las grafique. Requerimientos del lugar de instrucción: Salón con pizarrón, pantalla de proyección, equipos de cómputo con software dinámico para cada estudiante y para el profesor, cañón proyector.
Tiempo destinado a la actividad: 2 sesiones de 2 horas cada una
Al plantear la actividad, se espera que algunos estudiantes encuentren rápidamente algunas soluciones numéricas, incluso sin representar algebraicamente las condiciones solicitadas para los dos números. Se espera que encuentren casos particulares como elegir que uno de los números sea igual a cero y cualquier otro número mayor que cero como segunda opción; se observa con facilidad que la suma es mayor que el producto en cualquier caso. También se espera que algunos estudiantes noten el caso particular en el que si uno de los números es la unidad, no importa qué otro número escojan, las condiciones de que la suma sea mayor que el producto se cumplirán (incluido el caso particular de que el otro número también sea la unidad o que sea cero o incluso números negativos). Es posible que durante esta etapa, los estudiantes estén pensando sólo en soluciones de números enteros, se les debe animar a intentar encontrar soluciones cuando los números son racionales, no necesariamente enteros. También es recomendable en algún momento, incitarlos a que utilice lenguaje algebraico adecuado para representar la información, se espera que sin grandes problemas puedan llegar a la expresión:
Es posible, que el interés por la actividad empiece a decaer cuando los estudiantes han descubierto que existe una gran cantidad de pares de números reales que satisfacen esta condición; una forma de evitar que el interés decaiga es preguntarles ¿existen otras soluciones en las que uno de los números no sea cero o la unidad? Es posible que encuentren soluciones no enteras, y que descubran que si uno de los números está entre cero y uno; con cualquier otro número que se escoja, las condiciones se cumplen.
Para que el nivel de demanda cognitiva de la actividad no decaiga, se les solicita a los estudiantes que ahora piense en los siguientes casos: La suma de dos números es igual que su producto La suma de dos números es menor que su producto Se espera que animados por el trabajo anterior, los estudiantes aborden estas preguntas, y de un modo similar, dentro del terreno aritmético. Posiblemente sin
mucho problema puedan plantear las condiciones en lenguaje algebraico, obtengan varias soluciones:
En el caso particular de la igualdad, es probable que lleguen a la conclusión de que hay una respuesta correcta, el caso en que los dos números sean iguales e igual a dos. Se espera que también consideren el caso en que sean iguales e igual a cero. Hasta esta fase de la actividad, no se ha introducido el uso del software dinámico y aparentemente las exigencias de la tarea no han sido grandes (bajo nivel de demanda cognitiva). Se utilizará ahora el software para propiciar un mayor nivel de demanda cognitiva y transitar del registro de representación numérico al gráfico. Para lo anterior, se sugiere a los estudiantes, que muestren los ejes, y que coloquen un punto sobre cada eje, ambos puntos se podrán mover libremente sobre el eje en que fueron colocados. La abscisa de del punto sobre el eje x, representa uno de los números buscados, la ordenada del punto sobre el eje y, representa el otro valor. Con la calculadora de Cabri, se pueden operar los valores para que muestren la suma y el producto de ambos; posiblemente el estudiante notará que las posibles soluciones en que la suma es mayor, menor o igual al producto, son más que las que pudo encontrar anteriormente.
Figura 1: Representación de la suma y el producto de dos números usando Cabri y operando con la calculadora del software.
Es posible que aún no quede claro que para el caso de la igualdad, existen también muchas soluciones; se puede sugerir a los estudiantes, que soliciten al software les muestre como varía la suma respecto a uno de los números, al igual que el producto; se espera que con el comando de transferencia de medidas y de lugar geométrico, los estudiantes pudieran representar ambas gráficas, como se muestra a continuación:
Figura 2: La variación de la suma y el producto, en función de uno de los números (x) es representada por Cabri por medio de dos rectas.
Se espera, que el estudiante se capaz de arrastrar los valores de “x” e “y” sobre ambos ejes y observar que cuando coinciden los puntos que representan “x + y” en una de las rectas y “xy” en la otra, se tiene una solución para el caso de que la suma y el producto sean iguales; también se espera que el estudiante note que para casi cualquier posición sobre el eje x; moviendo el punto y, puede hacer que la suma y el producto coincidan ¿para qué valor de x no es esto posible? El estudiante puede conjeturar algunas propiedades de la relación , al interactuar con el software dinámico, por ejemplo, que si mueve el punto sobre el eje “x”, es posible encontrar “casi siempre” la posición del punto sobre el eje “y” de tal forma que la suma y el producto de los dos números se iguale.
Se puede sugerir al estudiante, que para estar seguro de sus observaciones, trabaje con casos particulares, asignando valores a “x” y calculando el valor correspondiente para “y” por ejemplo: Si x=1, entonces 1 + y = y; incongruencia en el resultado? Si x=2, entonces 2 + y = 2y; ocurrió) Si x=3, Si x=4, Si x=5, entonces 3 + y = 3y; entonces 4 + y = 4y; entonces 5 + y = 5y; 1=0 ¿puede justificar por qué la
y = 2 (la primera solución que se les
(fácil de verificar) (fácil de verificar) (fácil de verificar)
¿Se puede con cero y con negativos? Si x=0, entonces 0 + y = 0; encontrado) Si x=-1, Si x=-2, Si x=-3, entonces -1 + y = -y; entonces -2 + y = -2y; entonces -3 + y = -3y; (otra solución que tal vez habían
¿Los resultados obtenidos siguen algún patrón? x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 No se puede 2 Y
Una sugerencia natural en esta etapa, es que el estudiante grafique en el plano cartesiano los valores obtenidos, esto lo puede hacer con ayuda de software como Excel, cabe mencionar que la gráfica será discreta.
Figura 3: Gráfica en forma discreta realizada en Microsoft Excel con los datos obtenidos de casos particulares ¿se pueden conjeturar si los puntos describen un lugar geométrico conocido?
¿Puede explicar por qué obtiene esa gráfica? ¿Por qué el valor para “y” parece ser siempre positivo? ¿Por qué no funciona con x=1? ¿Esto puede ayudar a entender los casos en los que?
Se espera que los estudiantes, tengan la intención de encontrar una expresión algebraica explícita (por ejemplo para la variable “y”) que represente la gráfica obtenida. Sin muchos problemas los estudiantes pueden manipular la expresión original , para llegar a la siguiente expresión:
Se puede introducir directamente la expresión en un software dinámico como Geogebra o Cabri, para tener una idea clara del lugar geométrico que representa:
Figura 5: Se espera que los estudiantes obtengan una expresión algebraica de forma explícita para “y” que al graficar en el software dinámico, les ayude a explicar los casos observados al inicio de la actividad, por ejemplo ¿por qué si x=1 no hay solución?
Luego que el estudiante identifica que el lugar geométrico es una hipérbola con asíntotas x=1 e y=1 puede justificar el hecho de que si uno de los números en
cuestión es la unidad, no es posible encontrar otro que haga que la suma y el producto sean iguales, también se espera que identifique que todos los puntos que forman en lugar geométrico, cumplen con la condición , o en su caso
También se espera que el estudiante logre justificar por qué si se toma un punto sobre cualquiera de las asíntotas se cumple que ; algo que seguramente había notado al inicio de la actividad; también se espera que sea capaz de explicar que si la hipérbola determinada por la expresión , representa todos los puntos en plano cartesiano que satisfacen ; entonces explique qué representa la región del plano entre las ramas de la hipérbola y las regiones del plano sobre y por debajo de las ramas de la hipérbola, y la relación que guardan con las expresiones: Con
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