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Timestamp: 2020-03-29 01:07:29+00:00

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Siguen los problemas, pero resolvemos algunos :: Números: revista de Didáctica de las Matemáticas
Home Números: revista de Didáctica de las Matemáticas Siguen los problemas, pero resolvemos algunos
Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 103-117
Siguen los problemas, pero resolvemos algunos.
(Problemas Comentados XLVII)
Resolución de problemas. Fases en la resolución de problemas. Métodos de resolución de problemas. Torneos (Olimpiadas) para Primaria y Secundaria.
Statements and solutions to problems proposed in the Primary and Secondary Tournaments organized by the Canary Island Society "Isaac Newton" of Mathematics Teachers, following the phases of understanding, thinking, executing and responding (analyzing, checking and responding) and using different methods of resolution: organizing the information in double entry tables, by modeling, using trial and error, algebraically or geometrically. We propose new exercises in the same line.
Problem resolution. Phases in problem solving. Methods of solving problems. Tournaments (Olympics) for Primary and Secondary.
Como siempre, comenzamos nuestro artículo resolviendo los problemas propuestos en el anterior. Recordarán que los primeros procedían de los Torneos de Resolución de Problemas que organiza la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas. El primero se corresponde con el Torneo de Primaria y los dos siguientes con el Torneo de Secundaria.
Estos son nuestros comentarios sobre los mismos.
Aldo y Bruno organizan un viaje por Italia en bicicleta. Bruno ha planeado recorrer 50 kilómetros por día. Aldo está planeando viajar 50 km en el primer día y aumentar la distancia recorrida 1 km cada día. En otras palabras, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero, y así sucesivamente. Bruno parte el 1 de abril, Aldo parte el 3 de abril. ¿En qué día Aldo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día)
Problemas Comentados XLVII
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Datos: A y B organizan un viaje; B recorre 50 km por día; A recorre 50 km en el primer día y aumenta 1 km cada día (es decir, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero, y así sucesivamente); Bruno parte el 1 de abril, Alfredo parte el 3 de abril.
Objetivo: ¿En qué día Alfredo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día)
Relación: A viaja más rápido que Bruno y lo alcanzará.
Diagrama: Una tabla o dos diagramas rectilíneos paralelos.
Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN
Podemos hacer una búsqueda exhaustiva. Para ello diseñamos la tabla.
Y la completamos.
Sociedad Canaria Isaac Newton 105
En este momento la distancia recorrida por Alfredo, que al principio del día era inferior, resulta mayor que la de Bruno. Lo habrá alcanzado en algún momento del día 17 de abril.
Otra manera es la de representar los valores de los kilómetros recorridos por cada uno, día a día, y comprobar cuando se cruzan los caminos.
También podemos realizar un cálculo aritmético y usar la prueba y error.
Cuando parte A, B ha recorrido ya 100 km, el equivalente a dos días. A partir de este momento A va avanzando cada vez más rápido, sumando kilómetros de la manera indicada en el problema. O sea:
1 + 2 + 3 + 4 +… = 100
Faltará por determinar cuántos sumando son necesarios para igualar o superar esos 100 km de diferencia. Para averiguar ese número podemos proceder mediante un cálculo exhaustivo o por Ensayo y Error.
Supongamos que elegimos 10 para ese número.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 +10) x 5 = 11 x 5 = 55
Nos quedamos cortos. Podemos hacer una segunda prueba para 16.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = (1 +16) x 8 = 17 x 8 = 136
Nos pasamos. Haremos un tercer ensayo para 15.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = (1 +15) x 7 + 8 = 16 x 7 + 8 = 112 + 8 = 120
1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril
2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril
3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril
4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril
5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril
6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril
7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril
8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril
9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril
10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril
11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril
12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril
13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril
14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril
15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril
16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril
17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril
18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril
19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril
kilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetros
Viaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por Italia Viaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por Italia
Total de A Total de A Total de ATotal de ATotal de ATotal de ATotal de ATotal de A
Total de BTotal de BTotal de B Total de BTotal de BTotal de BTotal de BTotal de B
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Seguimos pasando. Ensayamos para el 14.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = (1 +14) x 7 = 15 x 7 = 105
En este momento lo acaba de pasar. Si probáramos con 13 la distancia recorrida no sería suficiente.
(1 + 13) x 6 + 7 = 14 x 6 + 7 = 84 + 7 = 91.
Así que después de 14 días de salir Alfredo habrá alcanzado a Bruno. Es decir, el día 17 de abril.
O podemos realizar un cálculo algebraico. Para ello habremos de basarnos en una pequeña investigación sobre la suma de los términos de la sucesión 1 + 2 + 3 + 4 + …
Para un número par de términos: 1 + 2 + 3 + 4 +… + n = (n + 1) n / 2
Como ese resultado ha de ser igual o superior a 100, y el primer valor de n es 0, planteamos la desigualdad:
(n - 1) n / 2 ≥ 100 n2 – n ≥ 200 n ≥ 14.65,
que al sumar los dos primeros días ya recorridos por Bruno, nos conduce al 17 de abril, en un momento de ese día que equivale a 0.65 de las 24 horas, o sea, sobre las tres y diez de la tarde del 17 de abril.
También podemos plantear un sistema de ecuaciones:
Llamamos Ka a los kilómetros recorridos por Aldo en n días desde el 1 de abril y Kb a los recorridos por Bruno. Entonces:
Ka = 50n + (n-1)n/2, y Kb = 100 + 50n, e igualando:
50n + n2/2 – n/2 = 100 + 50 n n2 – n = 200, y resolviendo la ecuación de 2º grado, obtenemos n = 14.65.
Evidentemente, estamos en unas maneras de resolver el problema adecuadas a los alumnos de 3º o 4º de E.S.O. para diferentes momentos del currículo. Así que es un problema con posibilidades.
Solución: Lo alcanzará el 17 de abril.
Comprobación: El trabajo cuidadoso con la tabla o la gráfica, nos permite comprobar la corrección de la respuesta.
Análisis: Solución única. Es interesante hacer observar a los alumnos que, en la mayoría de los problemas de este tipo en la vida real, el alcance no se realiza de manera exacta sino que se produce en algún momento de un intervalo determinado.
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Respuesta: Alfredo alcanzará a Bruno el 17 de abril.
En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a construir en la entrada de la Casa Museo de las Matemáticas.
La zona coloreada, que está encerrada en uno de los cuatro cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide 5 m2 y es la zona que está plantada ya de rosales.
Calcula la superficie del jardín completo y también la superficie de la zona donde irán los rosales.
Los datos no son solamente las medidas (5 m2 del triángulo coloreado) sino también los elementos de las figuras mencionadas. Cuadrado dividido en cuatro cuadrados más pequeños mediante las líneas paralelas a los lados que unen sus puntos medios. Triángulo isósceles ABC formado por un vértice y los dos puntos medios de los lados no incidentes en ese vértice. El triángulo coloreado de rojo, parte del ABC, con vértices en el superior de ese triángulo, vértice opuesto del cuadrado pequeño y punto medio del lado opuesto.
Para que los alumnos trabajen adecuadamente y sean capaces de apreciar todas las propiedades que tienen cada figura y cada uno de sus elementos, se deberá trabajar mediante una modelización adecuada: representación sobre un geoplano y construcción en papel (para poder recortar los triángulos más pequeños) de las figuras.
Están claros los dos objetivos: superficie del cuadrado original y del triángulo ABC.
Las relaciones vendrán dadas en función del cálculo de esas áreas, es decir, figuras que están en el diagrama y las medidas de sus superficies en función de las relaciones entre sus lados.
La estrategia serán la MODELIZACIÓN y ORGANIZAR LA INFORMACIÓN de manera conjunta.
El alumno deberá darse cuenta que los cuatro triángulos que se forman en el cuadrado pequeño de la parte superior izquierda tienen un vértice común, el A, y sus bases son la mitad de la medida de los lados de ese cuadrado; además puede apreciar que las alturas de los cuatro triángulos son los lados del mismo cuadrado pequeño. Eso nos indica que los cuatro triángulos tienen la misma área, 5 m2 cada uno de ellos. También se puede hacer un cálculo directo del área del triángulo coloreado en función de los lados del cuadrado pequeño; se puede ver así que, como es un triángulo que tiene la altura total del cuadrado y de base la mitad del lado, su área es
S = 1/2 (lado) x (1/2 lado) = 1/4 (lado)2, o sea, una cuarta parte del área del cuadrado pequeño.
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El área del cuadrado pequeño es cuatro veces 5 m2, es decir, 20 m2. Y el área del cuadrado grande es cuatro veces la del cuadrado pequeño, es decir, 4 x 20 = 80 m2.
Para trabajar con el triángulo ABC, convendría ahora prolongar el lado del triángulo rojo situado sobre la diagonal. Así, cuando llegue al lado desigual del isósceles ABC, tendremos abajo dos triángulos iguales, siendo seis los triángulos pequeños en que está dividido el ABC.
Esos seis triángulos tienen la misma área que el rojo, aunque tengan formas diferentes. Se puede llegar a esa conclusión de diversas formas, basadas siempre en la manera de calcular sus áreas en función de la base y la altura de cada uno, o bien, de su relación con respecto al área de un cuadrado pequeño.
En conclusión, a partir de esa constatación de que los seis triángulos tienen la misma área, siendo uno de ellos el rojo, podremos concluir que el área que ocuparán al final los rosales (triángulo ABC) es de 5 x 6 = 30 m2.
Otra manera posible de ver el valor de la superficie del triángulo ABC consiste en apreciar en la figura que si quitamos dicho triángulo del cuadrado grande, nos quedan tres triángulos, dos de ellos (situados a los lados) iguales entre sí y con área igual (cada uno de ellos) a la de un cuadrado pequeño. Mientras que el tercer triángulo, situado bajo la base del triángulo, mide la mitad del área de un cuadrado pequeño. Es decir, su superficie es 2,5 x 20 = 50 m2. Y restando del valor total del cuadrado grande: 80 – 50 = 30 m2, que coincide con lo calculado anteriormente.
Cuando paseaban por la ciudad tres amigos, observaron que el conductor de un automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número (de cuatro cifras) de la matrícula, pero como al menos uno de los tres era matemático, cada uno de ellos advirtió alguna particularidad de dicho número.
Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales.
Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras.
Y, por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto.
¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de estos datos?
Explica detalladamente tu razonamiento.
Los alumnos llegan rápidamente a la conclusión de que el número ha de ser del tipo aabb.
A partir de ahí, la tercera condición o relación la utilizan para encontrar por ENSAYO Y ERROR el valor de la matrícula. No es un método eficaz ni rápido pero, si se dispone de tiempo y comienzan de mayor a menor, son capaces de encontrar la solución. Algunos utilizan un ENSAYO Y ERROR DIRIGIDO, mediante el uso de propiedades de las potencias que recuerdan o deducen. Eso les da la solución con más rapidez que en el caso anterior.
Pocos son los que razonan utilizando la divisibilidad.
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Si expresamos como descomposición decimal el número aabb, tendremos:
1000 a + 100 a + 10 b + b = 1100 a + 11 b = 11 (100 a + b)
Como consecuencia observamos que este número es divisible por 11.
Aplicando criterios de divisibilidad por 11, ya tenemos más datos del número aabb. El más importante consiste en darse cuenta de que al ser un cuadrado exacto y contener el factor 11, deberá contener también el factor 112. Es decir, si el número es 11 (100 a + b), también el factor (100 a + b) es divisible por 11.
Como a y b son valores de una cifra (inferiores a 10), deducimos que a + b = 11, para que se cumpla el criterio de divisibilidad por 11.
Buscamos cifras que sumadas den 11. Con el 0 y el 1 no podemos encontrar un valor menor que 10 para la segunda. Obtenemos pues,
2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 11
Los números cuadrados sólo pueden tener como última cifra los valores 0, 1, 4, 5, 6, 9, únicos posibles al elevar al cuadrado la última cifra del número de partida:
(02 = 0; 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; 82 = 64; 92 = 81).
Como ya hemos descartado los valores de 0 y 1, quedan estos posibles valores:
a = 7 b = 4  7744 │a = 6 b = 5  6655 │a = 5 b = 6  5566 a = 2 b = 9  2299
Hemos reducido las posibilidades a sólo cuatro. Cuatro multiplicaciones que nos darán rápidamente la solución del problema.
O razonar, a partir de sus descomposiciones en factores primos, si contienen los mismos elevados al cuadrado en su totalidad.
El número 6655 es divisible por 5, pero no por segunda vez (6655 : 5 = 1331).
El número 5566 es divisible por 2, pero no por segunda vez (5566 : 2 = 2783).
El número 2299 = 12 x 19 = 22 x 3 x 19 no se puede dividir de nuevo ni por 3 ni por 19.
Solamente nos queda 7744 = 26 x 112 = 82 x 112 = 882 , que es la solución del problema.
Habíamos propuesto también dos problemas del Rally Matemático Transalpino (ya saben lo que nos gustan sus problemas) y les pedíamos que pensaran, de manera especial, en una forma de resolverlos por MODELIZACIÓN.
Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha hecho 23 jorobas y 68 patas. Cleopatra sabe que los camellos © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018
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tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una. Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello.
¿Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total?
Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha hecho 23 jorobas y 68 patas.
Un hombre en la grupa de cada camello.
Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total.
Camellos y dromedarios son animales de cuatro patas.
Cleopatra sabe que los camellos tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una.
Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello.
Modelo. Tabla. Partes/Todo.
MODELIZACIÓN; ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA INFORMACIÓN
Por modelización:
Utilizaremos un modelo consistente en representar los animales con tarjetas de visita (más de 30) o cartas de baraja, las patas con pinzas de tender (68) y las jorobas con peones de juego (23).
Colocaremos las trabas de 4 en 4 sujetas a las tarjetas hasta agotar las trabas. Esos son los animales que hay: 17.
Tomaremos las 23 jorobas y colocaremos 1 en cada animal (todos tienen, al menos, una joroba). Nos sobran 6 jorobas que corresponderán a los 6 camellos existentes. El resto se queda con una sola, son los 11 dromedarios que hay.
Por ensayo y error:
¿Dromedary o Camel?
Viñeta de Alberto Montt, que une puzles con camelus
Sociedad Canaria Isaac Newton 111
Daremos como dato oculto el que al saber el número de patas podremos saber la cantidad de animales. 68/4 = 17 animales.
Utilizaremos la siguiente tabla:
Haremos un ensayo para los camellos:
10 x 2 + 7 x 1 = 27
27 > 23 error
Y continuaremos haciendo ensayos, disminuyendo el número de camellos:
8 x 2 + 9 x 1 = 25
25 > 23 error
6 x 2 + 11 x 1 = 23
23 = 23 acierto
La solución es, pues, 6 camellos y 11 dromedarios.
Mediante organización de la información:
Representaremos mediante álgebra la situación. Llamamos x al número de camellos e y al número de dromedarios.
Planteamos las ecuaciones siguientes:
2 x + y = 23
4 x + 4 y = 68
Y resolvemos el sistema que es equivalente al siguiente:
De donde: x = 23 – 17 = 6; y = 17 – 6 = 11.
6 camellos y 11 dromedarios
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6 + 11 = 17; 17 x 4 = 68; 6 x 2 = 12; 11 x 1 = 11; 12 + 11 = 23
Solución única. Los hombres se dibujan sobre los camellos. Por tanto, hay tantos hombres como camellos.
Cleopatra ha dibujado 6 hombres
Alfredo, Carlos y Blas participan en un concurso de pesca. Al terminar el concurso descubren que: Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo; Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas por Blas y que es también el triple de las pescadas por Alfredo.
¿Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos?
Explica tu razonamiento.
Tres pescadores: Alfredo, Carlos y Blas.
Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos.
Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo.
Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas por Blas.
Carlos ha pescado el triple de las pescadas por Alfredo.
Modelo. Tabla Partes/Todo
MODELIZACIÓN. ENSAYO Y ERROR. ORGANIZAR LA INFORMACIÓN (mediante aritmética o mediante álgebra)
Mediante modelización
Tomamos como modelo tres cartulinas que representarán a cada uno de los tres pescadores. Para Carlos necesitaremos una más. Varias tarjetas iguales que representarán cada una de ellas la cantidad
Sociedad Canaria Isaac Newton 113
(desconocida) de peces pescados por Alfredo. Fichas en cantidad indeterminada para representar con cada una de ellas una trucha.
En la primera cartulina (Alfredo) colocaremos una tarjeta que representa la cantidad de truchas que pesca.
En la segunda cartulina (Blas) colocaremos una tarjeta igual y siete fichas.
A Carlos lo representaremos dos veces, con dos cartulinas, ya que tenemos dos relaciones diferentes que lo conectan con Blas y con Alfredo.
En la tercera cartulina colocaremos el doble de lo que tiene Blas, es decir, dos tarjetas y 14 fichas.
En la cuarta cartulina colocaremos el triple de lo que tiene Alfredo, es decir, tres tarjetas.
Como ambas representaciones deben ser equivalentes, cancelaremos lo que tienen de igual (dos tarjetas) y compararemos lo que nos queda: una tarjeta y 14 fichas. Esto quiere decir que esa tarjeta vale 14 fichas. O sea, Alfredo pescó 14 truchas.
A partir de esa solución averiguamos las truchas pescadas por Blas (21) y por Carlos (42).
Mediante ensayo y error
Elaboramos una tabla simple que represente la situación de los tres pescadores:
Blas (A + 7)
Carlos (2 x B)
Carlos (3 x A)
Hacemos un ensayo a partir de los peces pescados por Alfredo. Por ejemplo:
34 > 30
Continuamos haciendo ensayos hasta encontrar la solución, el momento en que ambas expresiones para Carlos sean iguales.
17 + 7 = 17
54 < 60
Tendremos así que la solución es: 14, 21 y 42 truchas, respectivamente.
Mediante organizar la información
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Utilizando razonamiento aritmético Observamos que las relaciones de Carlos con Blas y con Alfredo indican la existencia de dobles y triples. Solución de un alumno Lo que hice fue coger múltiplos (comunes) de 3 y de 2. 6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36 – 42 – 48 – 54 – 60 – 66 – 72 - … A continuación, los dividí entre 2 y 3 hasta ver si la diferencia de ambos números es 7. 30/2 = 15; 30/3 = 10; 15 – 10 = 5. Hasta este valor, la diferencia entre los cocientes es inferior a 7. Sigo probando: 36/2 = 18; 36/3 = 12; 18 – 12 = 6; 42/2 = 21; 42/3 = 14; 21 – 14 = 7. 42 es la solución y corresponde a lo pescado por Carlos; 21 y 14 son la pesca de Blas y Alfredo, respectivamente.
Utilizando codificación algebraica
Representaremos con x la cantidad de truchas pescadas por Alfredo.
Entonces la cantidad pescada por Blas es x + 7.
Y la cantidad de truchas pescadas por Carlos será, según cada una de las dos relaciones que tenemos:
2 (x +7) y 3 x
Como ambas expresiones han de representar la misma cantidad, igualamos: 2 (x + 7) = 3 x
Obtenemos así la ecuación, que resuelta nos da: 2 x + 14 = 3x x = 14
A partir de este resultado podemos obtener los tres valores de la solución:
14; 14 + 7 = 21; 3 x 14 = 42
14, 21 y 42 truchas, respectivamente
14 + 7 = 21; 14 x 3 = 42; 21 x 2 = 42
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Alfredo ha pescado 14 truchas, Blas ha pescado 21 truchas y Carlos ha pescado 42 truchas.
Finalmente añadíamos un par de problemas más, uno geométrico (tomado de García Ardura, M.; Problemas gráficos y numéricos de Geometría; Madrid 1964) y el otro basado en un problema publicado por Adrián Paeza en su obra Matemagia.
La diagonal mayor de un rombo mide 20 cm y el radio de la circunferencia inscrita 6 cm. Calcular la superficie del rombo.
Consideraremos dos maneras de abordar el problema: algebraico y geométrico, aunque en ambos casos necesitamos conocimientos geométricos básicos.
Extraemos de la figura del enunciado el triángulo ABC de la imagen, en azul. El área total del rombo es:
At = 20·2𝑦2 = 20 y usando la fórmula de A = D·d2 , siendo D la diagonal mayor y d la diagonal menor.
En el triangulo azul de la figura, la longitud del segmento AC, aplicando Pitágoras es de 8 cm.
Siendo el área del triángulo ABD AABD= 14 At
El área del triángulo ABC es: AABC= 8·62 = 24 cm2
Mientras que el área de ABD la podemos calcular como:
AABD= (8+X)·62 = 3(8 + x)
En el triángulo BCD: y2 = 62 + x2, luego x = √𝑦2−62= √𝑦2− 36
Sustituyendo en AABD = 3(8 + x) = 3(8+ √𝑦2+ 36 ) y como At = 4 AABD, entonces: 4·3(8+ √𝑦2+ 36 )=12·8+12√𝑦2+36=20𝑦
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Operando y simplificando: 3√𝑦2+ 36=5𝑦− 24 y elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación: (3√𝑦2+ 36)2=(5𝑦− 24)2 y tras algunas operaciones nos queda la ecuación de segundo grado 4y2 – 60y + 225 = 0, que una vez resuelta nos da un único valor: y = 7.5 cm, con lo que la diagonal d es de 15 cm. Así pues el área del rombo es At = 10·15 = 150 cm2.
Veamos cómo resolverlo usando la semejanza de triángulos.
Podemos ve en la figura que los ángulos y son complementarios, luego el ángulo CDB es igual a 
Al ser los triángulos ABC y BCD semejantes por tener sus tres ángulos iguales y el lado BC común, establecemos las relaciones: 6y= 86=10x
De donde obtenemos x = 7.5 cm e y = 4.5 cm.
Podemos aplicar la misma fórmula de antes para hallar el área del rombo o utilizar la expresión At = 2lr, donde l es el lado del rombo (8 + y), y r el radio de la circunferencia inscrita. At = 2· (8 + 4.5)·6 = 150 cm2.
Es este un tipo de problema que puede plantearse para ser resuelto en dos momentos del currículo para unos mismos alumnos, haciéndoles ver -recordando cómo se resolvió la vez anterior-, que las matemáticas son un instrumento que permite resolver situaciones problemáticas de distintas maneras. De ahí que hablemos de belleza de la solución de un problema, de economía en los medios usados, de visualización del planteamiento y de las soluciones, etc.
Afrontemos ahora el otro ejercicio planteado en el artículo anterior.
En una bolsa opaca se introducen 15 bolas numeradas con los números pares 2, 4, 6, …, 28 y 30. Se extraen n bolas. ¿Qué valor mínimo debe tener n para asegurarnos de que al menos hay un par de bolas que suman 36? ¿Y para que sumen 28?
Podemos dividir el conjunto de 15 bolas en tres subgrupos: A = {2, 4,… 16}, B = {20, 22,… 30} y C = {18}.
De las C15,2 = 15·14/2 = 105 parejas posibles, las que suman 36 son (6, 30), (8, 28), (10, 26), (12, 24), (14, 22) y (16, 20). Como podemos comprobar, el primero número de cada pareja pertenece a A y el segundo pertenece a B. Por ello, la extracción debe garantizar que se extraigan todos los elementos de uno de los subconjunto y al menos uno del otro. Puesto que card (A) = 8, mientras que card (B) = 6, debemos extraer de la bolsa al menos 9 bolas… ¡craso error! Nos olvidamos de la bola con el 18, la que forma el conjunto C. Tendríamos que extraer al menos 10 © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018
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bolas, pues en el peor de los casos serían las 8 de A más la de C, y como la décima ya ha de ser de B tendremos dos bolas que sumen 36.
Para que dos de las bolas extraídas sumen 28, el razonamiento es parecido. Dejamos que nuestros lectores encuentren la solución y nos comenten, al llevar el ejercicio al aula, los resultados.
Terminada la labor de resolver y comentar queremos ofrecerles un tiempo entretenido hasta nuestro próximo artículo, así que aquí van dos nuevas propuestas.
El primero es una variante de un problema clásico, “El cubo de las caras pintadas”. Aquí hemos añadido algunas dificultades: un ortoedro en lugar de un cubo, en lugar de dimensiones el número de cortes, una cara sin pintar.
El padre de Ramiro, que es carpintero, hizo un ortoedro de madera y lo pintó totalmente de verde con un spray sobre la mesa en la que estaba apoyado, sin levantarlo en ningún momento.
Al cabo de unos días, como le parecía que era muy grande para utilizarlo, decidió cortarlo en cubitos pequeños mediante cortes paralelos a las caras del ortoedro. Hizo 6 cortes a lo largo, 5 a lo alto y 4 a lo ancho.
¿Cuántos cubitos salieron? Clasifícalos según el número de caras pintadas de verde que tengan.
El segundo, aparecido en un antiguo ejemplar de la revista QUIZ.
De una placa circular de un material homogéneo de 18 cm de radio y 360 g de peso, se cortan dos discos (en verde) como indica la figura.
El material sobrante (en amarillo) pesa seis veces más que el disco pequeño. Calcular los radios y los pesos de los discos cortados.
Se nos ocurre que para próximos artículos vamos a deslizar alguna errata y desafiaremos a nuestros lectores a encontrarla; igual hasta tenemos un premio para ellos. Por ahora las erratas que aparecen son involuntarias, al menos por nuestra parte, pero todos conocemos la existencia de ciertos duendes digitales y analógicos que les da por intervenir…
Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense… ¡Si es divertido!
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista .
Título y subtítulo Siguen los problemas, pero resolvemos algunos
Autoría principal García Déniz, Manuel
Páginas pp. 103-117
Tamaño de archivo 1569999 Bytes
Texto Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas http://www.sinewton.org/numeros ISSN: 1887-1984 Volumen 96, noviembre de 2017, páginas 103-117 P R O B L E M A S Siguen los problemas, pero resolvemos algunos. (Problemas Comentados XLVII) José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1) Resumen Enunciados y soluciones de problemas propuestos en los Torneos para Primaria y Secundaria organizados por la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas, siguiendo las fases de comprender, pensar, ejecutar y responder (analizando, comprobando y respondiendo) y usando distintos métodos de resolución: organizando la información en tablas de doble entrada, por modelización, usando ensayo y error, algebraicamente o geométricamente. Planteamos nuevos ejercicios en la misma línea. Palabras clave Resolución de problemas. Fases en la resolución de problemas. Métodos de resolución de problemas. Torneos (Olimpiadas) para Primaria y Secundaria. Abstract Statements and solutions to problems proposed in the Primary and Secondary Tournaments organized by the Canary Island Society "Isaac Newton" of Mathematics Teachers, following the phases of understanding, thinking, executing and responding (analyzing, checking and responding) and using different methods of resolution: organizing the information in double entry tables, by modeling, using trial and error, algebraically or geometrically. We propose new exercises in the same line. Keywords Problem resolution. Phases in problem solving. Methods of solving problems. Tournaments (Olympics) for Primary and Secondary. Como siempre, comenzamos nuestro artículo resolviendo los problemas propuestos en el anterior. Recordarán que los primeros procedían de los Torneos de Resolución de Problemas que organiza la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas. El primero se corresponde con el Torneo de Primaria y los dos siguientes con el Torneo de Secundaria. Estos son nuestros comentarios sobre los mismos. VIAJE POR ITALIA Aldo y Bruno organizan un viaje por Italia en bicicleta. Bruno ha planeado recorrer 50 kilómetros por día. Aldo está planeando viajar 50 km en el primer día y aumentar la distancia recorrida 1 km cada día. En otras palabras, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero, y así sucesivamente. Bruno parte el 1 de abril, Aldo parte el 3 de abril. ¿En qué día Aldo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día) 1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 104 Vol. 96 noviembre de 2017 NÚMEROS P R O B L E M A S RESOLUCIÓN. Fase I. Comprender Datos: A y B organizan un viaje; B recorre 50 km por día; A recorre 50 km en el primer día y aumenta 1 km cada día (es decir, recorrerá 50 km en el primer día, 51 el segundo, 52 el tercero, y así sucesivamente); Bruno parte el 1 de abril, Alfredo parte el 3 de abril. Objetivo: ¿En qué día Alfredo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del día) Relación: A viaja más rápido que Bruno y lo alcanzará. Diagrama: Una tabla o dos diagramas rectilíneos paralelos. Fase II. Pensar Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN Fase III. Ejecutar Podemos hacer una búsqueda exhaustiva. Para ello diseñamos la tabla. kilómetros A Total de A B Total de B Día 0 0 50 50 1 de abril 0 0 50 100 2 de abril 50 50 50 150 3 de abril 51 101 50 200 4 de abril 52 152 … … … Y la completamos. kilómetros A Total de A B Total de B Día 0 0 50 50 1 de abril 0 0 50 100 2 de abril 50 50 50 150 3 de abril 51 101 50 200 4 de abril 52 152 50 250 5 de abril 53 205 50 300 6 de abril 54 259 50 350 7 de abril 55 314 50 400 8 de abril 56 370 50 450 9 de abril 57 427 50 500 10 de abril 58 485 50 550 11 de abril 59 544 50 600 12 de abril 60 604 50 650 13 de abril 61 665 50 700 14 de abril 62 727 50 750 15 de abril © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz Sociedad Canaria Isaac Newton 105 de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017 P R O B L E M A S 63 790 50 800 16 de abril 64 854 50 850 17 de abril En este momento la distancia recorrida por Alfredo, que al principio del día era inferior, resulta mayor que la de Bruno. Lo habrá alcanzado en algún momento del día 17 de abril. Otra manera es la de representar los valores de los kilómetros recorridos por cada uno, día a día, y comprobar cuando se cruzan los caminos. También podemos realizar un cálculo aritmético y usar la prueba y error. Cuando parte A, B ha recorrido ya 100 km, el equivalente a dos días. A partir de este momento A va avanzando cada vez más rápido, sumando kilómetros de la manera indicada en el problema. O sea: 1 + 2 + 3 + 4 +… = 100 Faltará por determinar cuántos sumando son necesarios para igualar o superar esos 100 km de diferencia. Para averiguar ese número podemos proceder mediante un cálculo exhaustivo o por Ensayo y Error. Supongamos que elegimos 10 para ese número. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 +10) x 5 = 11 x 5 = 55 Nos quedamos cortos. Podemos hacer una segunda prueba para 16. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = (1 +16) x 8 = 17 x 8 = 136 Nos pasamos. Haremos un tercer ensayo para 15. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = (1 +15) x 7 + 8 = 16 x 7 + 8 = 112 + 8 = 120 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril1 de abril 2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril2 de abril 3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril3 de abril 4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril4 de abril 5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril5 de abril 6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril6 de abril 7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril7 de abril 8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril8 de abril 9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril9 de abril 10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril10 de abril 11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril11 de abril 12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril12 de abril 13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril13 de abril 14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril14 de abril 15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril15 de abril 16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril16 de abril 17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril17 de abril 18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril18 de abril 19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril19 de abril kilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetroskilómetros Viaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por Italia Viaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por ItaliaViaje por Italia A Total de A Total de A Total de ATotal de ATotal de ATotal de ATotal de ATotal de A B Total de BTotal de BTotal de B Total de BTotal de BTotal de BTotal de BTotal de B © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 106 Vol. 96 noviembre de 2017 NÚMEROS P R O B L E M A S Seguimos pasando. Ensayamos para el 14. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = (1 +14) x 7 = 15 x 7 = 105 En este momento lo acaba de pasar. Si probáramos con 13 la distancia recorrida no sería suficiente. (1 + 13) x 6 + 7 = 14 x 6 + 7 = 84 + 7 = 91. Así que después de 14 días de salir Alfredo habrá alcanzado a Bruno. Es decir, el día 17 de abril. O podemos realizar un cálculo algebraico. Para ello habremos de basarnos en una pequeña investigación sobre la suma de los términos de la sucesión 1 + 2 + 3 + 4 + … Para un número par de términos: 1 + 2 + 3 + 4 +… + n = (n + 1) n / 2 Como ese resultado ha de ser igual o superior a 100, y el primer valor de n es 0, planteamos la desigualdad: (n - 1) n / 2 ≥ 100 n2 – n ≥ 200 n ≥ 14.65, que al sumar los dos primeros días ya recorridos por Bruno, nos conduce al 17 de abril, en un momento de ese día que equivale a 0.65 de las 24 horas, o sea, sobre las tres y diez de la tarde del 17 de abril. También podemos plantear un sistema de ecuaciones: Llamamos Ka a los kilómetros recorridos por Aldo en n días desde el 1 de abril y Kb a los recorridos por Bruno. Entonces: Ka = 50n + (n-1)n/2, y Kb = 100 + 50n, e igualando: 50n + n2/2 – n/2 = 100 + 50 n n2 – n = 200, y resolviendo la ecuación de 2º grado, obtenemos n = 14.65. Evidentemente, estamos en unas maneras de resolver el problema adecuadas a los alumnos de 3º o 4º de E.S.O. para diferentes momentos del currículo. Así que es un problema con posibilidades. Solución: Lo alcanzará el 17 de abril. Fase IV. Responder Comprobación: El trabajo cuidadoso con la tabla o la gráfica, nos permite comprobar la corrección de la respuesta. Análisis: Solución única. Es interesante hacer observar a los alumnos que, en la mayoría de los problemas de este tipo en la vida real, el alcance no se realiza de manera exacta sino que se produce en algún momento de un intervalo determinado. © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz Sociedad Canaria Isaac Newton 107 de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017 P R O B L E M A S Respuesta: Alfredo alcanzará a Bruno el 17 de abril. JARDÍN MATEMÁTICO En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a construir en la entrada de la Casa Museo de las Matemáticas. La zona coloreada, que está encerrada en uno de los cuatro cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide 5 m2 y es la zona que está plantada ya de rosales. El triángulo ABC, limitado por el vértice superior izquierdo, y la mitad de los dos lados opuestos del jardín, será la superficie que ocuparán todos los rosales cuando esté acabado el jardín. Calcula la superficie del jardín completo y también la superficie de la zona donde irán los rosales. Razona tu respuesta. COMENTARIO: Los datos no son solamente las medidas (5 m2 del triángulo coloreado) sino también los elementos de las figuras mencionadas. Cuadrado dividido en cuatro cuadrados más pequeños mediante las líneas paralelas a los lados que unen sus puntos medios. Triángulo isósceles ABC formado por un vértice y los dos puntos medios de los lados no incidentes en ese vértice. El triángulo coloreado de rojo, parte del ABC, con vértices en el superior de ese triángulo, vértice opuesto del cuadrado pequeño y punto medio del lado opuesto. Para que los alumnos trabajen adecuadamente y sean capaces de apreciar todas las propiedades que tienen cada figura y cada uno de sus elementos, se deberá trabajar mediante una modelización adecuada: representación sobre un geoplano y construcción en papel (para poder recortar los triángulos más pequeños) de las figuras. Están claros los dos objetivos: superficie del cuadrado original y del triángulo ABC. Las relaciones vendrán dadas en función del cálculo de esas áreas, es decir, figuras que están en el diagrama y las medidas de sus superficies en función de las relaciones entre sus lados. La estrategia serán la MODELIZACIÓN y ORGANIZAR LA INFORMACIÓN de manera conjunta. El alumno deberá darse cuenta que los cuatro triángulos que se forman en el cuadrado pequeño de la parte superior izquierda tienen un vértice común, el A, y sus bases son la mitad de la medida de los lados de ese cuadrado; además puede apreciar que las alturas de los cuatro triángulos son los lados del mismo cuadrado pequeño. Eso nos indica que los cuatro triángulos tienen la misma área, 5 m2 cada uno de ellos. También se puede hacer un cálculo directo del área del triángulo coloreado en función de los lados del cuadrado pequeño; se puede ver así que, como es un triángulo que tiene la altura total del cuadrado y de base la mitad del lado, su área es S = 1/2 (lado) x (1/2 lado) = 1/4 (lado)2, o sea, una cuarta parte del área del cuadrado pequeño. © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 108 Vol. 96 noviembre de 2017 NÚMEROS P R O B L E M A S El área del cuadrado pequeño es cuatro veces 5 m2, es decir, 20 m2. Y el área del cuadrado grande es cuatro veces la del cuadrado pequeño, es decir, 4 x 20 = 80 m2. Para trabajar con el triángulo ABC, convendría ahora prolongar el lado del triángulo rojo situado sobre la diagonal. Así, cuando llegue al lado desigual del isósceles ABC, tendremos abajo dos triángulos iguales, siendo seis los triángulos pequeños en que está dividido el ABC. Esos seis triángulos tienen la misma área que el rojo, aunque tengan formas diferentes. Se puede llegar a esa conclusión de diversas formas, basadas siempre en la manera de calcular sus áreas en función de la base y la altura de cada uno, o bien, de su relación con respecto al área de un cuadrado pequeño. En conclusión, a partir de esa constatación de que los seis triángulos tienen la misma área, siendo uno de ellos el rojo, podremos concluir que el área que ocuparán al final los rosales (triángulo ABC) es de 5 x 6 = 30 m2. Otra manera posible de ver el valor de la superficie del triángulo ABC consiste en apreciar en la figura que si quitamos dicho triángulo del cuadrado grande, nos quedan tres triángulos, dos de ellos (situados a los lados) iguales entre sí y con área igual (cada uno de ellos) a la de un cuadrado pequeño. Mientras que el tercer triángulo, situado bajo la base del triángulo, mide la mitad del área de un cuadrado pequeño. Es decir, su superficie es 2,5 x 20 = 50 m2. Y restando del valor total del cuadrado grande: 80 – 50 = 30 m2, que coincide con lo calculado anteriormente. NUMB3RS Cuando paseaban por la ciudad tres amigos, observaron que el conductor de un automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número (de cuatro cifras) de la matrícula, pero como al menos uno de los tres era matemático, cada uno de ellos advirtió alguna particularidad de dicho número. Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales. Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras. Y, por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto. ¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de estos datos? Explica detalladamente tu razonamiento. COMENTARIO: Los alumnos llegan rápidamente a la conclusión de que el número ha de ser del tipo aabb. A partir de ahí, la tercera condición o relación la utilizan para encontrar por ENSAYO Y ERROR el valor de la matrícula. No es un método eficaz ni rápido pero, si se dispone de tiempo y comienzan de mayor a menor, son capaces de encontrar la solución. Algunos utilizan un ENSAYO Y ERROR DIRIGIDO, mediante el uso de propiedades de las potencias que recuerdan o deducen. Eso les da la solución con más rapidez que en el caso anterior. Pocos son los que razonan utilizando la divisibilidad. © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz Sociedad Canaria Isaac Newton 109 de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017 P R O B L E M A S Si expresamos como descomposición decimal el número aabb, tendremos: 1000 a + 100 a + 10 b + b = 1100 a + 11 b = 11 (100 a + b) Como consecuencia observamos que este número es divisible por 11. Aplicando criterios de divisibilidad por 11, ya tenemos más datos del número aabb. El más importante consiste en darse cuenta de que al ser un cuadrado exacto y contener el factor 11, deberá contener también el factor 112. Es decir, si el número es 11 (100 a + b), también el factor (100 a + b) es divisible por 11. Como a y b son valores de una cifra (inferiores a 10), deducimos que a + b = 11, para que se cumpla el criterio de divisibilidad por 11. Buscamos cifras que sumadas den 11. Con el 0 y el 1 no podemos encontrar un valor menor que 10 para la segunda. Obtenemos pues, 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 11 Los números cuadrados sólo pueden tener como última cifra los valores 0, 1, 4, 5, 6, 9, únicos posibles al elevar al cuadrado la última cifra del número de partida: (02 = 0; 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; 82 = 64; 92 = 81). Como ya hemos descartado los valores de 0 y 1, quedan estos posibles valores: a = 7 b = 4  7744 │a = 6 b = 5  6655 │a = 5 b = 6  5566 a = 2 b = 9  2299 Hemos reducido las posibilidades a sólo cuatro. Cuatro multiplicaciones que nos darán rápidamente la solución del problema. O razonar, a partir de sus descomposiciones en factores primos, si contienen los mismos elevados al cuadrado en su totalidad. El número 6655 es divisible por 5, pero no por segunda vez (6655 : 5 = 1331). El número 5566 es divisible por 2, pero no por segunda vez (5566 : 2 = 2783). El número 2299 = 12 x 19 = 22 x 3 x 19 no se puede dividir de nuevo ni por 3 ni por 19. Solamente nos queda 7744 = 26 x 112 = 82 x 112 = 882 , que es la solución del problema. Habíamos propuesto también dos problemas del Rally Matemático Transalpino (ya saben lo que nos gustan sus problemas) y les pedíamos que pensaran, de manera especial, en una forma de resolverlos por MODELIZACIÓN. CAMELLOS Y DROMEDARIOS Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha hecho 23 jorobas y 68 patas. Cleopatra sabe que los camellos © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 110 Vol. 96 noviembre de 2017 NÚMEROS P R O B L E M A S tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una. Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello. ¿Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total? Explica cómo encontraste tu respuesta. Datos Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha hecho 23 jorobas y 68 patas. Un hombre en la grupa de cada camello. Objetivo Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total. Relación Camellos y dromedarios son animales de cuatro patas. Cleopatra sabe que los camellos tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una. Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello. Diagrama Modelo. Tabla. Partes/Todo. Estrategia MODELIZACIÓN; ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA INFORMACIÓN Por modelización: Utilizaremos un modelo consistente en representar los animales con tarjetas de visita (más de 30) o cartas de baraja, las patas con pinzas de tender (68) y las jorobas con peones de juego (23). Colocaremos las trabas de 4 en 4 sujetas a las tarjetas hasta agotar las trabas. Esos son los animales que hay: 17. Tomaremos las 23 jorobas y colocaremos 1 en cada animal (todos tienen, al menos, una joroba). Nos sobran 6 jorobas que corresponderán a los 6 camellos existentes. El resto se queda con una sola, son los 11 dromedarios que hay. Por ensayo y error: ¿Dromedary o Camel? Viñeta de Alberto Montt, que une puzles con camelus © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz Sociedad Canaria Isaac Newton 111 de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017 P R O B L E M A S Daremos como dato oculto el que al saber el número de patas podremos saber la cantidad de animales. 68/4 = 17 animales. Utilizaremos la siguiente tabla: Camellos Animales Dromedarios Jorobas Conclusión Haremos un ensayo para los camellos: Camellos Animales Dromedarios Jorobas Conclusión 10 17 17 – 10 = 7 10 x 2 + 7 x 1 = 27 27 > 23 error Y continuaremos haciendo ensayos, disminuyendo el número de camellos: Camellos Animales Dromedarios Jorobas Conclusión 10 17 17 – 10 = 7 10 x 2 + 7 x 1 = 27 27 > 23 error 8 17 17 – 8 = 9 8 x 2 + 9 x 1 = 25 25 > 23 error 6 17 17 – 6 = 11 6 x 2 + 11 x 1 = 23 23 = 23 acierto La solución es, pues, 6 camellos y 11 dromedarios. Mediante organización de la información: Representaremos mediante álgebra la situación. Llamamos x al número de camellos e y al número de dromedarios. Planteamos las ecuaciones siguientes: 2 x + y = 23 4 x + 4 y = 68 Y resolvemos el sistema que es equivalente al siguiente: 2 x + y = 23 x + y = 17 De donde: x = 23 – 17 = 6; y = 17 – 6 = 11. Solución 6 camellos y 11 dromedarios Comprobación © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 112 Vol. 96 noviembre de 2017 NÚMEROS P R O B L E M A S 6 + 11 = 17; 17 x 4 = 68; 6 x 2 = 12; 11 x 1 = 11; 12 + 11 = 23 Análisis Solución única. Los hombres se dibujan sobre los camellos. Por tanto, hay tantos hombres como camellos. Respuesta Cleopatra ha dibujado 6 hombres CONCURSO DE PESCA Alfredo, Carlos y Blas participan en un concurso de pesca. Al terminar el concurso descubren que: Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo; Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas por Blas y que es también el triple de las pescadas por Alfredo. ¿Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos? Explica tu razonamiento. Datos Tres pescadores: Alfredo, Carlos y Blas. Objetivo Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos. Relación Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo. Carlos ha pescado el doble de las truchas pescadas por Blas. Carlos ha pescado el triple de las pescadas por Alfredo. Diagrama Modelo. Tabla Partes/Todo Estrategia MODELIZACIÓN. ENSAYO Y ERROR. ORGANIZAR LA INFORMACIÓN (mediante aritmética o mediante álgebra) Mediante modelización Tomamos como modelo tres cartulinas que representarán a cada uno de los tres pescadores. Para Carlos necesitaremos una más. Varias tarjetas iguales que representarán cada una de ellas la cantidad © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz Sociedad Canaria Isaac Newton 113 de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017 P R O B L E M A S (desconocida) de peces pescados por Alfredo. Fichas en cantidad indeterminada para representar con cada una de ellas una trucha. En la primera cartulina (Alfredo) colocaremos una tarjeta que representa la cantidad de truchas que pesca. En la segunda cartulina (Blas) colocaremos una tarjeta igual y siete fichas. A Carlos lo representaremos dos veces, con dos cartulinas, ya que tenemos dos relaciones diferentes que lo conectan con Blas y con Alfredo. En la tercera cartulina colocaremos el doble de lo que tiene Blas, es decir, dos tarjetas y 14 fichas. En la cuarta cartulina colocaremos el triple de lo que tiene Alfredo, es decir, tres tarjetas. Como ambas representaciones deben ser equivalentes, cancelaremos lo que tienen de igual (dos tarjetas) y compararemos lo que nos queda: una tarjeta y 14 fichas. Esto quiere decir que esa tarjeta vale 14 fichas. O sea, Alfredo pescó 14 truchas. A partir de esa solución averiguamos las truchas pescadas por Blas (21) y por Carlos (42). Mediante ensayo y error Elaboramos una tabla simple que represente la situación de los tres pescadores: Alfredo Blas (A + 7) Carlos (2 x B) Carlos (3 x A) comparación Conclusión Hacemos un ensayo a partir de los peces pescados por Alfredo. Por ejemplo: Alfredo Blas (A + 7) Carlos (2 x B) Carlos (3 x A) comparación Conclusión 10 10+ 7 = 17 2 x 17 = 34 3 x 10 = 30 34 > 30 error Continuamos haciendo ensayos hasta encontrar la solución, el momento en que ambas expresiones para Carlos sean iguales. Alfredo Blas (A + 7) Carlos (2 x B) Carlos (3 x A) comparación Conclusión 10 17 + 7 = 17 2 x 17 = 34 3 x 10 = 30 34 > 30 error 20 20 + 7 = 27 2 x 27 = 54 3 x 20 = 60 54 < 60 error 15 15 + 7 = 22 2 x 22 = 44 3 x 15 = 45 44 < 45 error 14 14 + 7 = 21 2 x 21 = 42 3 x 14 = 42 42 = 42 acierto Tendremos así que la solución es: 14, 21 y 42 truchas, respectivamente. Mediante organizar la información © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 114 Vol. 96 noviembre de 2017 NÚMEROS P R O B L E M A S Utilizando razonamiento aritmético Observamos que las relaciones de Carlos con Blas y con Alfredo indican la existencia de dobles y triples. Solución de un alumno Lo que hice fue coger múltiplos (comunes) de 3 y de 2. 6 – 12 – 18 – 24 – 30 – 36 – 42 – 48 – 54 – 60 – 66 – 72 - … A continuación, los dividí entre 2 y 3 hasta ver si la diferencia de ambos números es 7. 30/2 = 15; 30/3 = 10; 15 – 10 = 5. Hasta este valor, la diferencia entre los cocientes es inferior a 7. Sigo probando: 36/2 = 18; 36/3 = 12; 18 – 12 = 6; 42/2 = 21; 42/3 = 14; 21 – 14 = 7. 42 es la solución y corresponde a lo pescado por Carlos; 21 y 14 son la pesca de Blas y Alfredo, respectivamente. Utilizando codificación algebraica Representaremos con x la cantidad de truchas pescadas por Alfredo. Entonces la cantidad pescada por Blas es x + 7. Y la cantidad de truchas pescadas por Carlos será, según cada una de las dos relaciones que tenemos: 2 (x +7) y 3 x Como ambas expresiones han de representar la misma cantidad, igualamos: 2 (x + 7) = 3 x Obtenemos así la ecuación, que resuelta nos da: 2 x + 14 = 3x x = 14 A partir de este resultado podemos obtener los tres valores de la solución: 14; 14 + 7 = 21; 3 x 14 = 42 Solución 14, 21 y 42 truchas, respectivamente Comprobación 14 + 7 = 21; 14 x 3 = 42; 21 x 2 = 42 © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz Sociedad Canaria Isaac Newton 115 de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017 P R O B L E M A S Análisis Solución única. Respuesta Alfredo ha pescado 14 truchas, Blas ha pescado 21 truchas y Carlos ha pescado 42 truchas. Finalmente añadíamos un par de problemas más, uno geométrico (tomado de García Ardura, M.; Problemas gráficos y numéricos de Geometría; Madrid 1964) y el otro basado en un problema publicado por Adrián Paeza en su obra Matemagia. ÁREA DE UN ROMBO La diagonal mayor de un rombo mide 20 cm y el radio de la circunferencia inscrita 6 cm. Calcular la superficie del rombo. Consideraremos dos maneras de abordar el problema: algebraico y geométrico, aunque en ambos casos necesitamos conocimientos geométricos básicos. Extraemos de la figura del enunciado el triángulo ABC de la imagen, en azul. El área total del rombo es: At = 20·2𝑦2 = 20 y usando la fórmula de A = D·d2 , siendo D la diagonal mayor y d la diagonal menor. En el triangulo azul de la figura, la longitud del segmento AC, aplicando Pitágoras es de 8 cm. Siendo el área del triángulo ABD AABD= 14 At El área del triángulo ABC es: AABC= 8·62 = 24 cm2 Mientras que el área de ABD la podemos calcular como: AABD= (8+X)·62 = 3(8 + x) En el triángulo BCD: y2 = 62 + x2, luego x = √𝑦2−62= √𝑦2− 36 Sustituyendo en AABD = 3(8 + x) = 3(8+ √𝑦2+ 36 ) y como At = 4 AABD, entonces: 4·3(8+ √𝑦2+ 36 )=12·8+12√𝑦2+36=20𝑦 © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz 116 Vol. 96 noviembre de 2017 NÚMEROS P R O B L E M A S Operando y simplificando: 3√𝑦2+ 36=5𝑦− 24 y elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación: (3√𝑦2+ 36)2=(5𝑦− 24)2 y tras algunas operaciones nos queda la ecuación de segundo grado 4y2 – 60y + 225 = 0, que una vez resuelta nos da un único valor: y = 7.5 cm, con lo que la diagonal d es de 15 cm. Así pues el área del rombo es At = 10·15 = 150 cm2. Veamos cómo resolverlo usando la semejanza de triángulos. Podemos ve en la figura que los ángulos y son complementarios, luego el ángulo CDB es igual a  Al ser los triángulos ABC y BCD semejantes por tener sus tres ángulos iguales y el lado BC común, establecemos las relaciones: 6y= 86=10x De donde obtenemos x = 7.5 cm e y = 4.5 cm. Podemos aplicar la misma fórmula de antes para hallar el área del rombo o utilizar la expresión At = 2lr, donde l es el lado del rombo (8 + y), y r el radio de la circunferencia inscrita. At = 2· (8 + 4.5)·6 = 150 cm2. Es este un tipo de problema que puede plantearse para ser resuelto en dos momentos del currículo para unos mismos alumnos, haciéndoles ver -recordando cómo se resolvió la vez anterior-, que las matemáticas son un instrumento que permite resolver situaciones problemáticas de distintas maneras. De ahí que hablemos de belleza de la solución de un problema, de economía en los medios usados, de visualización del planteamiento y de las soluciones, etc. Afrontemos ahora el otro ejercicio planteado en el artículo anterior. SUMA DE PAREJAS En una bolsa opaca se introducen 15 bolas numeradas con los números pares 2, 4, 6, …, 28 y 30. Se extraen n bolas. ¿Qué valor mínimo debe tener n para asegurarnos de que al menos hay un par de bolas que suman 36? ¿Y para que sumen 28? Podemos dividir el conjunto de 15 bolas en tres subgrupos: A = {2, 4,… 16}, B = {20, 22,… 30} y C = {18}. ¿Por qué de esta manera? De las C15,2 = 15·14/2 = 105 parejas posibles, las que suman 36 son (6, 30), (8, 28), (10, 26), (12, 24), (14, 22) y (16, 20). Como podemos comprobar, el primero número de cada pareja pertenece a A y el segundo pertenece a B. Por ello, la extracción debe garantizar que se extraigan todos los elementos de uno de los subconjunto y al menos uno del otro. Puesto que card (A) = 8, mientras que card (B) = 6, debemos extraer de la bolsa al menos 9 bolas… ¡craso error! Nos olvidamos de la bola con el 18, la que forma el conjunto C. Tendríamos que extraer al menos 10 © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018 Problemas Comentados XLVII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz Sociedad Canaria Isaac Newton 117 de Profesores de Matemáticas Vol. 96 noviembre de 2017 P R O B L E M A S bolas, pues en el peor de los casos serían las 8 de A más la de C, y como la décima ya ha de ser de B tendremos dos bolas que sumen 36. Para que dos de las bolas extraídas sumen 28, el razonamiento es parecido. Dejamos que nuestros lectores encuentren la solución y nos comenten, al llevar el ejercicio al aula, los resultados. Terminada la labor de resolver y comentar queremos ofrecerles un tiempo entretenido hasta nuestro próximo artículo, así que aquí van dos nuevas propuestas. El primero es una variante de un problema clásico, “El cubo de las caras pintadas”. Aquí hemos añadido algunas dificultades: un ortoedro en lugar de un cubo, en lugar de dimensiones el número de cortes, una cara sin pintar. EL CARPINTERO El padre de Ramiro, que es carpintero, hizo un ortoedro de madera y lo pintó totalmente de verde con un spray sobre la mesa en la que estaba apoyado, sin levantarlo en ningún momento. Al cabo de unos días, como le parecía que era muy grande para utilizarlo, decidió cortarlo en cubitos pequeños mediante cortes paralelos a las caras del ortoedro. Hizo 6 cortes a lo largo, 5 a lo alto y 4 a lo ancho. ¿Cuántos cubitos salieron? Clasifícalos según el número de caras pintadas de verde que tengan. Justifica tus respuestas. El segundo, aparecido en un antiguo ejemplar de la revista QUIZ. De una placa circular de un material homogéneo de 18 cm de radio y 360 g de peso, se cortan dos discos (en verde) como indica la figura. El material sobrante (en amarillo) pesa seis veces más que el disco pequeño. Calcular los radios y los pesos de los discos cortados. Se nos ocurre que para próximos artículos vamos a deslizar alguna errata y desafiaremos a nuestros lectores a encontrarla; igual hasta tenemos un premio para ellos. Por ahora las erratas que aparecen son involuntarias, al menos por nuestra parte, pero todos conocemos la existencia de ciertos duendes digitales y analógicos que les da por intervenir… Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas, singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense… ¡Si es divertido! Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista . Un saludo afectuoso del Club Matemático. N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas © Del documento, los autores. Digitalización realizada por ULPGC. Biblioteca Universitaria, 2018
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