Source: https://www.scribd.com/document/306556414/Factorizacion-LU
Timestamp: 2018-12-12 08:30:30+00:00

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Uploaded by Natalia Villalobos Castillo
matrices entregar1314 solución
Mate III-1
Ejercicios de Pau 2
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Ecuaciones Polinomiales, Racionales e Irracionales
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Escuela de Pedagogía en Educación Matemática
Dr. Luis Alberto Friz Roa
Marcos Alejandro Torres Solís
Natalia Angélica Villalobos Castillo
SEMINARIO PARA OPTAR AL TÍTULO DE PROFESOR EN
Chillán, 2015
´ LU
F ACT ORIZACI ON
Autores : M arcos T orres, N atalia V illalobos
P rof esor Gu´ıa : Dr. Luis F riz Roa
Al nalizar este arduo trabajo y no exento de dicultades, te das cuenta
que no hubiese sido posible sin la participación de personas e instituciones
que han facilitado las cosas para que este trabajo llegue a un feliz término. Es
por ello que en este espacio queremos expresarles nuestros agradecimientos.
Queremos agradecer a nuestro profesor Luis Friz Roa, por su esfuerzo,
dedicación y el apoyo constante brindado durante el desarrollo de nuestra
tesis. Gracias a sus conocimientos, orientación, paciencia y motivación que
nos brindó, valores que han sido fundamentales para culminar nuestra etapa de formación docente. Por último, gracias por habernos aceptado como
estudiantes tesistas y el apoyo a nuestro proyecto de tesis.
Finalmente, agradecemos al proyecto fondecyt 1130456 por el nanciamiento para la elaboración de esta tesis.
Quiero agradecer a mi familia, a mi mamá, papá, hermana y mi hermano,
también a mis tías y mi primo, gracias por la conanza y el apoyo incondicional que me dieron en mis años de estudio, por creer siempre en mí y
por tener la certeza de que terminaría esta etapa, debo agradecerles por estar
conmigo a pesar de los errores e incidentes durante este tiempo.
Le doy las gracias a Guido, por su apoyo, compañía en esta etapa de mi
vida. Le doy las gracias también a las personas que me brindaron su amistad
y apoyo durante esta etapa y a todos quienes que creyeron en mí, a quienes
están a mi lado y a quienes me apoyaron a la distancia.
Agradezco también Marcos, a mi compañero de tesis, por los gratos momentos mientras trabajábamos, por los conocimientos que adquirimos juntos,
la dedicación y el tiempo que dedicamos a este desafío y sobre todo, gracias
por la amistad durante estos 5 años.
Debo agradecer de manera especial al Profesor Luis Friz Roa, por aceptarme para realizar esta tesis de pregrado bajo su dirección. Su apoyo y conanza
en mi trabajo y su capacidad para guiarme ha sido un aporte invaluable, no
solamente en el desarrollo de esta tesis, sino también n mi formación como
docente. Le agradezco también el a verme facilitado siempre los medios y las
ideas sucientes para llevar a cabo todas las actividades de la tesis, por eso
y mucho más, muchas gracias profesor.
Quiero expresar también mis agradecimientos a mi compañera de tesis
Natalia Villalobos, con quien nos hemos brindado apoyo mutuo para llevar a
cabo nuestra tesis, agradecer la paciencia y la forma de superar las dicultades
que se nos fueron presentando durante el desarrollo de nuestro proyecto de
Agradezco de manera especial a mi familia y novia quienes han sido un
pilar fundamental a lo largo de toda la carrera. A mis padres Digna y Javier,
por su ejemplo de lucha y honestidad que me han ayudado sin duda en todo
lo propuesto, además de su cariño y su comprensión. A mi novia Carolina
Guzmán por su fuerza, generosidad y valentía, quien ha estado en aquellos
momentos de aqueza, encargándose de subir el ánimo, ayudándome en todo
con la mejor voluntad, por eso gracias.
Finalmente quiero agradecer a mis amigos y amigas quienes estuvieron en
los ires y venires en el plano personal durante todo este proceso importante,
. . . OBJETIVOS Descomposición LU . . . . . . . . . . Producto de dos matrices . Preliminares 6 1. . . . . .1. . . 1. . . . . Igualdad de matrices . . .1. . .2. . . . . . . . . . . . . . 10 1. . . . . 8 1. . . . .5. . . . . . . . . . .1. . . . . . . METODOLOGÍA . 12 2. . . .1. . . . . . . . 14 4 . . . FORMULACIÓN DEL PROBLEMA . .Índice general 1. . . . . .4. .2. . . 8 1. . . . .4. . . . . 13 2. . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . 1. . . . . . . . . . 10 1. . . . . MARCO TEÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . .6. . .5. .3. . . . . . . . . INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . Conocimientos previos 2. . . . . . . . 7 1. .3. . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . .1. . . . . . . . . .2. . Matriz identidad . . . . .1. . . . 9 1. . . . . . . . . . . . 9 Teorema . . Suma de matrices . . . . . Matriz . . . . . . . . 6 1. . . . . . . .1. . 12 2. . .1. . . . . . .2. . .1.3. . . . . . . . . . . . . 1. . . . .4. . . .3. . . . . Objetivos especícos 10 10 .6. . . . . Antecedentes . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1. . . . . . . . . . . Antecedentes conceptuales . . . . . 14 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . RECURSOS 11 . . . . . . 13 2. . Multiplicación de una matriz por un escalar . . . .1. Objetivo general .2. . . . 2. . .4. Deniciones 12 . 12 2. . . . .
. .2.3. . . . . . . . . . . 21 3.0. . . . . 39 5. . . . . . . . . . . . . . . . Matriz simétrica . . . . . . 15 2. . . . . . . . .2.2. . . . .1. . . . . . . . . . . . . 5. . 18 20 . . . . . . . . . . . .1. Denición 16 . Factorización LDU 5. . . . . .2. .1. . . .0. . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . 3. 19 Demostración: sumar una la a otra la multiplicada por un escalar 3. . . . . . . . 4. . . . 18 3. . . . . . . . . . . 16 2. . . . . . . . . . .1. . . . . Demostración: multiplicación de una la por un escalar . . . . . .10. .3.3. . . . . . . 41 . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . 17 Matriz elemental . . . . . . . .3. . . . .2. . . . . . . . .1. . . . . . . . .2. . . . . . . . . . .2.1. . . 18 Teorema 3.11. . 39 Ejemplo . . . . 31 4. . 28 4. . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . Operaciones y matrices elementales 3. . . . .9. . 3.1. . . . .8. . . . . . 30 Ejemplo: . . . . . 15 2. . . . . . .1. . . . . . . . . Demostración: intercambio de las . . . . . . . . 3. Matriz L . .3. . . . . . .1. . . . 38 Teorema .5 ÍNDICE GENERAL 2. . 22 EJEMPLO . . . .1. . . . Factorización o Descomposición LU 25 4. . . 21 Teorema: . . . . Matriz permutación . . . . . . . . . . . . . . . . La inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . Transpuesta de un matriz . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . . . Matriz inversa como el producto de matrices elementales 3. . . . P A = LU Ejemplo . . . . . . . . . .1.1. . 4. . . 17 . . . . . . . Factorización 4. . . . . . . . . . . 34 . . . . . . .7. . 16 2. . . . . .1. Matriz U . . . . . . .1.1. . Demostración : . . . . . . . . . .0. . .2. . . . . . . . .1. Operaciones elementales 3. . 36 5. . . . . . . . . . . . .1. . . . . .
así de da pie entre el 1700 a. de C. Su desarrollo se ha basado en base a necesidades especicas.Capítulo 1 Preliminares 1. Caley fue el primero en desarrollar de modo independiente el concepto de matriz en un artículo publicado en 1855. A memoir on the theory of matri- ces. Este matemático aseguró que el producto de dos matrices puede ser la matriz nula 6 . sin embargo no fue hasta el siglo III a. al desarrollo de las ecuaciones y sus soluciones. Esta palabra matriz fue usada por primera vez por Sylvester en 1980. mxn puede ser En este mismo artículo estable- ce que una matriz tiene inversa si y sólo si su determinante no es nulo. la suma de matrices y señala que esta operación es asociativa y conmutativa. INTRODUCCIÓN La matemática es un proceso de construcción y desarrollo a lo largo del tiempo.1. al 1700 d. lo que hoy conocemos como sistemas de ecuaciones. Caley toma directamente de la representación del efecto de dos transformaciones sucesivas la denición de multiplicación de dos matrices. En su libro ellos presentaron soluciones a estos sistemas mediante matrices. donde se plantearon ecuaciones simultaneas. de C. además señala que una matriz multiplicada solamente por una matriz nxp. Denió las matrices nula y unidad.de C en el libro el arte matemático de autor chino desconocido.
para luego mostrar un método de factorización de matrices el cual permite determinar soluciones de sistemas de ecuaciones de manera rápida y sencilla. A partir de este momento los trabajos sobre matrices comienzan a desarrollarse apoyados por Jordan (1838-1922).CAPÍTULO 1. el número de operaciones elementales para resolver el sistema de ecuaciones utilizando este método crece con el cubo de n. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA El desarrollo de la matemática ha implicado una serie de herramientas y métodos para la directa aplicación un problema o en ayuda del desarrollo de este. Los sistemas de ecuaciones se presentan en todas las ramas de las matemáticas aplicadas. Para valores grande de n resulta muy conveniente buscar algún nuevo método de resolución que reduzca el número de operaciones elementales. Rouché (1832-1910) y de Frobenius (1849-1917). de n incógnitas. Si analizamos el método de Gauss para resolver problema de ecuaciones lineales Ax = B . las cuales permiten operar estos sistemas de distintas maneras para determinar sus soluciones. En el siglo XX la teoría de matrices es muy usada por la rama de la matemática aplicada. Desarrollaremos el trabajo profundizando en el concepto de matriz y básicamente las operaciones elementales efectuadas a estas. Concentraremos la atención en el desarrollo de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. en algunos casos provienen directamente de la formulación inicial de un problema y en muchos otros la solución de un sistema de ecuaciones es parte del desarrollo de otro tipo de problemas. . PRELIMINARES 7 siendo las dos matrices invertibles. Este grandioso desarrollo en la teoría de matrices permitió comenzar un completo desarrollo en base a la resolución de ecuaciones simultáneas. para dar solución a estos sistemas se utilizan matrices. mediante métodos directos o iterativos. 1. y como inuyen en la reducción de operaciones en el trabajo con matrices.2.
método directo. la resolución de estas dos subecuaciones es trivial. La factorización LU . MARCO TEÓRICO 1.CAPÍTULO 1. . LU consiste en factorizar la matriz A en la forma como producto de dos matrices triangulares (U superior. El resultado obtenido será exacto siempre que se puedan conservar en forma exacta los valores calculados en las operaciones aritméticas. nos concentraremos en la descomposición o factorización LU y una variación de esta. Antecedentes Los métodos directos se utilizan para obtener resultados realizando una secuencia nita de operaciones aritméticas. se carac- teriza por factorizar una matriz en dos matrices triangulares. La factorización dos matrices triangulares inferior y U A = LU . la factorización o descomposición LDU . La cantidad de cálculos aritméticos depende del tamaño del problema. LU se basa en separar una matriz donde L A en (lower) es una matriz triangular (upper) es una matriz triangular superior. que permite resolver un sistema mediante dos procesos de sustitución. L A= inferior y con unos en la diagonal). La factorización LU .1.3.3. 8 PRELIMINARES Para reducir estas operaciones. La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de eliminación gausiana aplicado a la matriz y que es conveniente en términos del número total de operaciones de punto otante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coecientes. 1. así. uno hacia adelante y otro en reversa.
Descomposición LU A ∈ Mnxn (R) posee descomposición LU cuando L.  an−1.   0  0 0 1 0 0 ··· ··· ··· ··· ···         u1. .3.1 an−1. 9 PRELIMINARES 1.n 0 unn          1.2 an1 an2  1 l21 0 1 ··· ···     .3. . Antecedentes conceptuales 1. ···   l  n−1. . . . .  .n an. .. .  . .n−1 an−1.n−1 u1n u2n .2.   a  n−1. . Entonces si los menores . . =  . un−1. .n−1 ··· ··· ··· ··· ··· a1.3. . . . 1 ln.2. Teorema Descomposición LU Teorema: Sean los menores submatriz cuadrada de A.2 · · · ln1 ln2 · · · 0 0 .1 ln−1.n−1 u2.  . . . Tal descomposición Una matriz cuadrada existen matrices superior (upper) permite resolver de forma rápida cualquier sistema compatible determinado Ax = b a través de los dos algoritmos de bajada y de subida: LU x = b ←→ [Lz = b ∧ U x = z] La descomposición LU se dene de la siguiente manera:  a11 a12   a21 a22   .n−1 a1n a2n . .n−1 un−1. tales que A = LU .1. .  .n−1 a2. principales aquellos determinantes de una en el que los elementos de su diagonal principal pertenecen a la diagonal principal de la matriz A. . . . .3.CAPÍTULO 1. .n−1 ann  0 u11 u12   0    0 u22 . U ∈ Mnxn (R) triangular inferior (lower) y triangular respectivamente.
LDU . Esta descomposición es única si los elementos de la diagonal principal de L son todos unos. a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y a la resolución de problemas que involucren en su desarrollo un sistema de ecuaciones lineales 1. METODOLOGÍA La metodología empleada para el desarrollo de nuestra tesis es principalmente el estudio teórico y su aplicación. n j=1 . Objetivo general Analizar métodos de resolución de sistemas lineales para enfocándose en el método de factorización LU y n incógnitas.4.4. Se dice que A es una descomposición diagonalmente dominante en sentido estricto si: | aij |> n X aij para toda f ila i = 1. ... además de discusiones sobre los contenidos con el profesor especialista.5. 1.1. . OBJETIVOS 1. Objetivos especícos Estudiar las características de la factorización Aplicar el método de factorización LU LU .CAPÍTULO 1. 10 PRELIMINARES principales de una matriz A de dimensión n no son nulos entonces A admite LU .4.j6=i 1. Denición: Sea A = aij una matriz cuadrada de nxn..2.
Procesador de texto matemático especializado (LYX) 11 . PRELIMINARES 1. RECURSOS Recursos bibliográcos tales como libros y apuntes matemáticos.CAPÍTULO 1.6.
 .1.  A=  ai1 ai2  .1.1.  amn 2. Las componentes correspondientes son iguales 12  . . Igualdad de matrices Dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) son iguales si 1. . .  .Capítulo 2 Conocimientos previos 2. Deniciones 2. . . . 2. .  am1 am2 ··· ··· a1j a2j ··· ··· . . Matriz A de mxn es un arreglo rectangular de mxn números dispuesy n columnas.  a1n    ...1. ··· aij ··· . . . ··· amj · · · a1n  a2n    .  . Una matriz tos en m las  a11 a12   a21 a22   .2. .  . . Son del mismo tamaño.
 . αA. . . Suma de matrices Sean y B A = (aij ) y es la matriz de B = (bij ) dos matrices mxn.  .0 ∈ Mmxn (R) 2. 13 CONOCIMIENTOS PREVIOS 2. entonces la matriz mxn.0 ∈R  αa1n  αa2n   .  am1 + bm1 am2 + bm2 · · · A+B B. .CAPÍTULO 2.  amn + bmn que se obtiene al sumar los componentes 2.  .1.. (A + B) + C = A + (B + C) 5.4. . .B.C tres matrices de Entonces: 1.  . A + 0 = A .  αamn mxn y sen α y β dos escalares. . α(A + B) = αA + αB . Multiplicación de una matriz por un escalar A = (aij ) es una matriz de mxn y si α es un escalar.  Entonces la suma de a11 + b11 a12 + b12 · · ·   a21 + b21 a22 + b22 · · · A + B = (aij + bij ) =  . .3. 0A = 0 3. αam1 αam2 · · · Teorema: Sean A.  . . Es decir de A y es la matriz mxn A  a1n + b1n  a2n + b2n   . . A+B =B+A 4. esta dada por: Si  αa11 αa12 · · ·   αa21 αa22 · · · αA = (αaij ) =  . A + B dada por de mxn.1.
In = (bij ) donde  1 si i = j. 1A = A 7. Matriz identidad La matriz identidad In de nxn es una matriz de nxn cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y todos los demás son 0. 2. . Nota: Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de las de la segunda. 2. (α + β)A = αA + βA Estas propiedades hacen que el conjunto de las matrices Mnxn (R) formen un espacio vectorial real. bij = 0 si i = 6 j. de mxp.1.1. B = (bij ) una matriz nxp. se obtiene cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj n X = aiq bqj q=1 Si el número de columnas de dice que A y B A es igual al número de las de B. 14 CONOCIMIENTOS PREVIOS 6. Esto es.CAPÍTULO 2. entonces se son compatibles bajo la multiplicación. C = (cij ). el elemento columna j de B. Producto de dos matrices Sea A = (aij ) una matriz de Entonces el producto de A y B mxn.5. en donde: y sea es una matriz cij = (f ila i de A) · (columna j de B) Es decir. ij de AB es el producto punto entre la la i de A y la Si esto existe.6.
. entonces A = Si A =  . Entonces AIn = In A Es decir. 15 CONOCIMIENTOS PREVIOS Teorema: Sea A una matriz cuadrada de nxn.1. . Transpuesta de un matriz A = (aij ) una matriz de mxn. Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular y una matriz invertible se llama también no singular.   . In conmuta con toda matriz de nx n y la deja sin cambio después de la multiplicación por la derecha o por la izquierda pues Im es el neutro o unidad 2. que t se escribe A .  . . . se puede escribir A = (aji )    a11 a21 · · · an1 a11 a12 · · · a1n     a12 a22 · · · an2  a21 a22 · · · a2n  t  . a1m a2m · · · anm am1 am2 · · · amn Sea       . . La inversa de una matriz Sean A y B dos matrices de nxn. . . . De manera breve.  .7. es la matriz de nxm obtenida al intercambiar las las por las t columnas de A. Esta denición no establece que toda matriz cuadrada tiene inversa. Entonces la transpuesta de A.  . ..   .8.CAPÍTULO 2.1. . Suponga que AB = BA = I Entonces B se llama la inversa de A y se denota por A−1 . . 2. Entonces se tiene: AA−1 = A−1 A = I Si A tiene inversa entonces se dice que A es invertible.
Si A es invertible. A es diagonal si triangular si es triangular superior e inferior. entonces At y B son de nxm.1. las A. Matriz simétrica La matriz cuadrada columnas de A A de nxn se llama simétrica si son también las las de At = A.11. Matriz permutación Una matriz de permutación P es una matriz que tiene las mismas las de la matriz identidad. entonces una matriz de nxm y B= (A + B)t = At + B t es invertible y (At )−1 = (A−1 )t 2. El efecto de premultiplicar una matriz las de A por esta matriz es intercambiar las A. 2.10. (AB)t = B t At 3. A es triangular inferior si los elementos que están por ensima de la diagonal principal son nulos.  A = (aij ) es mxp. Es decir.9. Si A 4.1. (At )t = A 2.CAPÍTULO 2. . Entonces Teorema: Suponga que (bij ) 16 CONOCIMIENTOS PREVIOS es un matriz de 1.1. pero no necesariamente en el mismo orden. 2. Una matriz de permutación resulta del intercambio de las de una matriz identidad. Denición Sea A A ∈ Mmxn (R) es triangular superior si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.
(e1 =[i → j]) b) Multiplicar la la i por un escalar λ 6= 0. efectuamos una operación elemental sobre una la o columna de A cuando realizamos una de estas tres operaciones: a) Intercambiar entre sí la la i y j . Cuando la matriz B se obtiene a partir de A mediante un número nito de operaciones elementales de las. (e2 =[i → λi]) c) Sumar a la la i la la j multiplicada por un escalar λ 6= 0. Operaciones elementales A ∈ Mnxn (R). existe una sucesión de operaciones 17 .1.B ∈ Mnxn (R) son equivalentes por las y se escribe A ∼ B. denominado escalamiento o linea-homotecia. también se denomina transposición o permutación. Decimos que dos matrices A y B del mismo orden A.Capítulo 3 Operaciones y matrices elementales 3. es decir. (e3 =[i → i + λj]) Sea la matriz Las operaciones de la se pueden aplicar a cualquier matriz.
. a2n   A= ... . ... In mediante una sola operación elemental de las.1.CAPÍTULO 3. 3. a1n    a21 a22 .1.1. 3.. .2.. Teorema Sea A una matriz de m las.2.   . . Matriz elemental La matriz A ∈ Mnxn (R). donde B i es una matriz de . . .   . an1 an2 . . Demostración: intercambio de las Probando para con la nxn j. se denomina una matriz elemental si se pue- de obtener a partir de la matriz identidad. 3. e1 donde a la identidad se le han intercambiado la la Realizamos la multiplicación PA = B .. Sean las operaciones elementales e1 =[i → j] e2 =[i → λi] e3 =[i → i + λj] Consideremos la matriz Anxn   a11 a12 .. ann y supongamos que In es la matriz identidad de nxn..2. OPERACIONES Y MATRICES ELEMENTALES 18 elementales de la que transforme una matriz en otra. para realizar una operación elemental sobre A basta realizar dicha operación elemental sobre las las de la matriz identidad Im y multiplicar el resultado por A..
en este caso intercabiando la la i con la la plq = 0. análoga- j 3. las las distintas de En la caso de la la i i no sufren modicaciones tenemos que piq = 0 n X biq = piq aqi q=1 si i 6= q y pii = α. así : n X bik = piq aqk = ajk q=1 O sea. i . Sea l6=i y 19 OPERACIONES Y MATRICES ELEMENTALES l 6= j . P A = B . Luego.2. donde B también caso plq = 0 si l 6= q y pll = 1 Vamos a multiplicar Sea l 6= i. por En el caso de la la i. las las i y j quedan intercambiadas al multiplicar por mente se puede probar para la la P .CAPÍTULO 3. Luego P es I j.1. Demostración: multiplicación de una la por un escalar Probando para que P e2 . las las de A distintas de i o j no sufren modicación al multiplicar P. n X blk = plq aqk = alk q=1 O sea. n X blq = plq aqk = alq q=1 Es decir.2. si q 6= j y pij = 1. y supongamos en este es una matriz de nxn. se tiene que piq = 0. si l 6= q y pll = 1. consideremos una matriz es la matriz identidad de por un escalar nxn A ∈ Mnxn (R) a la cual se le ha multiplicado la la α.
3.CAPÍTULO 3.   k 6= i. si k 6= i n X entonces: pik akq = αaiq k=1 biq = αaiq 3. . k = i Entonces n X bik = piq aqk = αajk + aik q=1 Dicho teorema es aplicable de igual modo para matrices rectangulares de mxn y su demostración es semejante a lo explicitado anteriormente. e3 donde a la la Supongamos que P i se le suma la la j es la matriz identidad de multiplicada nxn a la cual j por un escalar α y se le suma a la la i. Como se le multiplica la la la multiplicación    0. Demostración: sumar una la a otra la multiplicada por un escalar Ahora probando para por un escalar α.2. Como 20 OPERACIONES Y MATRICES ELEMENTALES pii = α y pik = 0. k 6= j pik α.1. Si realizamos P A = B tenemos lo siguiente. k = j    1.
a) Si y quedando de este modo:  [A | I] · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · I Como para realizar una operación elemental sobre A .. suponga que AB = BA = I entonces B se llama la inversa de A y se denota por A−1 AA−1 = A−1 A = I Si  A tiene inversa.3. A . A también debe ser aplicada a la la correspondiente de Supongamos que se ha producido la matriz reducida por las. OPERACIONES Y MATRICES ELEMENTALES 21 3. que se obtiene al adjuntar la matriz identidad da In nx2n con la matriz da- A. Para  determinar la inversa de una matriz A. [C | D]en forma escalonada C = In entonces D = A−1 b) Si C 6= In entonces C tiene una la de ceros.A  basta realizar dicha operación elemental sobre las las de la matriz identidad Im y premultiplicar el resultado por A. −1 . En este caso. . se forma la matriz . Teorema: Sean A y B dos matrices de nxn.3. entonces se dice que A es invertible. entonces podemos establecer lo siguiente: . luego se transforma la matriz obtenida a su forma escalonada reducida por las mediante operaciones elementales por las (toda operación realizada a una la de I n ). In . Matriz inversa como el producto de matrices elementales 3.1.CAPÍTULO 3. A es singular A−1 no existe.
CAPÍTULO 3. . . 1 0 0   −1 1 0   0 0 1 .. .3. . . luego A−1 A = I 3. . . .. . . .1.. seguido de I en la forma de matriz aumen- tada  1 1 0   1 0 1  0 1 0 . . . . . EJEMPLO Cálculo de la inversa de una matriz de 3x3  Sea  1 1 0   A= 1 0 1  0 1 0 Calcule Solución: Primero se pone A A−1 si existe. . . . . . . OPERACIONES Y MATRICES ELEMENTALES 22 (En .En son matrices elementales y su producto corresponde a la inversa de la matriz A. . E3 E2 E1 )A = I donde E1 E2 E3 . En . . 1 0 0   0 1 0   0 0 1 Aplicando operaciones elementales: E1 = F2 →F2 -F1  1 1 0   0 −1 1  0 1 0 . . .1. .. E3 E2 E1 = A−1 .
. −1 1   1   1 23 . . . 1 0 0   −1 1 0   −1 1 1 E3 = F2 →F2 -F3  1 1 . . . . 0 . . . 1 0 −1   0 −1   −1 1 1 0 =F2 →(-1)F2  1 0 0   0 1 0  0 0 1 . . .   0 −1 0  0 0 1 E5 . . OPERACIONES Y MATRICES ELEMENTALES E2 = F3 →F3 +F2  1 1 . 1 0 0   0 −1   −1 1 1 0 E4 = F1 →F1 +F2 1 0 0 . 0   0 −1 0  0 0 1 . . 0 0 . . . . 1 0 −1 . .   0 −1 1  0 0 1 . . . . .CAPÍTULO 3. . . .  . . .
CAPÍTULO 3. OPERACIONES Y MATRICES ELEMENTALES La inversa de la matriz A 24 es:  A−1 Asi:  1 0 −1   = 0 0 1  −1 1 1 E5 E4 E3 E2 E1 = A−1     1 0 0 1 1 0 1 0 0      0 −1 0  0 1 0  0 1 −1 x 0 0 1 0 0 1 0 0 1    1 0 0 1 0 0     0 1 0   −1 1 0  = A−1 0 1 1 0 0 1 .
Entonces el sistema donde es una Ax = b puede resolverse utilizando A = LU .Capítulo 4 Factorización o Descomposición LU La factorización o descomposición LU . En términos generales. supongamos que se conoce como factorizar una matriz A. nxn en la forma: A = LU L es una matriz triangular inferior (del inglés lower) n x n y U matriz escalonada nxn (del inglés upper). está directamente relacionada con las operaciones elementales aplicadas a una matriz para llevarla a una forma triangular superior. El sistema Ax = b se puede escribir en la forma L(U x) = b donde podemos introducir una nueva variable sistema 25 y = U x obteniendo así el nuevo .
E2 . FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU 26 Ly = b Podemos resolver dicho sistema para la variable y ...CAPÍTULO 4. DEMOSTRACIÓN : Existen matrices elementales E1. Finalmente. La factorización LU es útil cuando se requiere resolver de manera simultánea varios sistemas de ecuaciones que dieren en la parte no homogénea. Teorema A una matriz cuadrada de nxn. entonces esta descomposición es única. pues se trata de matrices de coecientes triangulares inferiores y superiores respectivamente. tal que A = LU Si A es invertible. Supongamos que A se puede reducir por las a una matriz triangular superior.. usamos sustitución hacia atrás para resolver el sistema Ux = y Estos sistemas no tienen mayor dicultad de resolverse. U (triangular . Entonces existe un matriz triangular inferior L que es invertible y posee unos Sea en su diagonal principal. mediante sustitución hacia adelante. . U aplicando operaciones elementales. Ek y una matriz superior) tales que Ek Ek−1 · · · E2 E1 = U De aquí obtenemos A = E1−1 E2−1 · · · Ek−1 U.
· · · . E2 . U2 son matrices triangulares superiores... por consiguiente sus inversas E1−1 .. . De esta última igualdad obtenemos entonces −1 L−1 2 L1 = U2 U1 El lado izquierdo de esta igualdad es producto de matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal. Igualmente. Ek−1 y la matriz L= E1−1 E2−1 · · · Ek−1 también tienen las mismas características Lo que implica que hemos obtenido la factorización matriz A. pues es producto de matrices triangulares superiores. Supongamos que tenemos dos factorizaciones LU para A de la forma A = L1 U1 = L2 U2 .CAPÍTULO 4. cada matriz elemental LU 27 E1. el lado derecho es una matriz triangular superior. más aún sus inversas son igualmente triangulares superiores. Entonces L−1 2 L1 = I . de eso sigue que L1 = L2 y por ende. por lo tanto es triangular inferior y tiene unos en la diagonal principal. Ek es trian- gular inferior y tiene unos en su diagonal principal. Como U1 . por construcción. U1 = U2 . LU buscada para la es decir: A = LU Consideremos ahora una matriz invertible A y demostremos la unicidad de dicha factorización. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN Ahora bien. E2−1 .
CAPÍTULO 4.      2 1 1 u 1      U x =  0 −1 −2   v  =  −4  0 0 −4 w −4 . FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU 28 4. Matriz U Analicemos la eliminación Gaussiana de matrices y lo que signica en términos de matrices.1. Comenzamos de una matriz      2 1 1 u 1      A =  4 1 0   v  =  −2  −2 2 1 w 7 F2 → F2 − 2F1   2 1 1    0 −1 −2  −2 2 1 F3 → F3 + F1   2 1 1    0 −1 −2  0 3 2 F3 → F3 + 3F2   2 1 1    0 −1 −2  0 0 −4 La matriz que se obtiene es equivalente a denotaremos por A pero más simple. a la cual U.
Es importante analizar la relación que existe entre la matriz Anteriormente denimos una matriz E A y U.   1 0 0   E3 E2 E1 =  −2 1 0  −5 3 1 .CAPÍTULO 4. denominada matriz elemental. encontramos una sola matriz que convierte a A en U. Por lo tanto. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN La matriz obtenida es ”triangular superior” LU 29 donde son cero todos los valores por debajo de la diagonal principal. en- tonces el paso (i) cuando se multiplica la la uno por 2 y se sustrae a la segunda podemos denotarla por E1 donde a la matriz identidad se le aplicó el paso (i). las tres operaciones que convierten a A en U son: E3 E2 E1 A = U si sólo multiplicamos las matrices elementales.   1 0 0   E1 =  −2 1 0  0 0 1 análogamente podemos describir los pasos (ii) y (iii) de la eliminación en términos de matrices elementales.   1 0 0   E2 =  0 1 0  1 0 1 estas matrices E1 . E2 y E3  y  1 0 0   E3 =  0 1 0  0 3 1 denominadas matrices elementales que en gene- ral funcionan aplicando una sola operación elemental sobre las a la matriz identidad I. Nótese que todas estas matrices elementales son triangulares inferiores y con unos en la diagonal principal.
de esta manera se invierte la matriz elemental E1 . Como el paso debe ser el primero en aplicarse Entonces pera regresar a la matriz A se debe multiplicar las matrices elementales inversas por izquierda a la matriz U.2. de manera análoga se puede invertir E1−1 E1 = I. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU 30 4. A a U. es la identidad. U en A. ¾Se podrá de algún modo deshacer los pasos realizados anteriormente? Para deshacer el paso (i) en lugar de sustraer sumamos a la segunda la el doble de la primera.CAPÍTULO 4. El producto de términos de E1 E1−1 = I. pero una pregunta importante es ¾como podemos llegar de la matriz U a A?. lo que es bueno. E2 y E 3. Para deshacer simultáneamente todos los pasos se debe conocer que matriz transforma la matriz (iii) fue el ultimo aplicado para ir de si vamos de U a A.  E1−1  1 0 0   = 2 1 0  0 0 1 E1 y E1−1 tomado en cualquier −1 matrices E1 es la inversa de E1 . Matriz L Mediante los pasos aplicados anteriormente se logra llegar de una matriz A a U.  E2−1 orden. (ii) y (iii). A = E1−1 E2−1 E3−1 U si se realiza el producto de las tres matrices que invierten cada paso indivi- . en  1 0 0   =  0 1 0 . −1 0 1 resultando  E3−1  1 0 0   = 0 1 0  0 −3 1 De este modo se han encontrado matrices que deshacen por separado cada uno de los pasos (i).
se obtiene una matriz que denominaremos U de regreso a L. LU 31 la cual lleva a la matriz A.CAPÍTULO 4. A= ahora bien.1. E1−1 E2−1 E3−1 = L. con unos en la diagonal principal y ceros en los valores sobre la diagonal principal.2. Si efectuamos el producto de las matrices elementales utilizadas para obtener L U por tenemos:      1 0 0 1 0 0 1 0 0      E3 E2 E1 L =  −2 1 0   2 1 0 = 0 1 0  −5 3 1 −1 −3 1 0 0 1 entonces E3 E2 E1 = L−1 De este modo podemos factorizar una matriz cualquiera de la forma LU . Ejemplo: Sea el sistema: 60x1 + 30x2 + 20x3 = 180 30x1 + 20x2 + 15x3 = 115 20x1 + 15x2 + 12x3 = 86 . de este modo A = LU calculando el producto tenemos:       1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0       L =  2 1 0  0 1 0  0 1 0  =  2 1 0  0 0 1 −1 0 1 0 −3 1 −1 −3 1 Notamos que la matriz L obtenida es triangular inferior. para poder determinar las soluciones del sistema lineal se mostrará el siguiente ejemplo: 4. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN dual.
CAPÍTULO 4. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN Escribiendo el sistema de ecuaciones de la forma LU Ax = b      60 30 20 x1 180       30 20 15   x2  =  115  20 15 12 x3 86 Utilizando operaciones elementales encontramos la matriz E1 = F 2 →F2 − 1 F1 2   60 30 20    0 5 5  20 15 12 E2 = F 3 →F3 − 1 F 3 1   60 30 20    0 5 5  0 5 16 3 E3 = F 3 →F3 −F2   60 30 20    0 5 5  0 0 31 Asi. la matriz U es:  60 30 20   U = 0 5 5  0 0 13  U 32 .
FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU Y la matriz L:   1 0 0   L =  21 1 0  1 1 1 3 La matriz A se puede factorizar como:      60 30 20 60 30 20 1 0 0       30 20 15  =  21 1 0   0 5 5  1 1 1 0 0 13 20 15 12 3 El primer paso es resolver la ecuación Ly = b     180 y1 1 0 0      1  2 1 0   y2  =  115  1 86 1 1 y3 3  y1 1 y+ 2 1 1 y+ 3 1 y2 y2 + y3 = 180 = 115 = 86 Utilizando la sustitución hacia adelante se obtiene: y1 = 180 y2 = 25 y3= 1 Luego:   180   y =  25  1 El segundo paso es resolver el sistema Ux = y 33 .CAPÍTULO 4.
Análogamente a la factorización LU se obtiene la factorización . lo que se es una matriz de permutación. pero frecuentemente. no es posible escalonar una matriz sólo con operaciones de eliminación. Las matrices de permutación se obtienen de la matriz identidad intercambiando las. donde P LU . En estos casos se requiere realizar un intercambio de las. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU 34      60 30 20 x1 180       0 5 5   x2  =  25  0 0 13 x3 1 60x1 + 30x2 + 20x3 = 180 5x2 + 5x3 = 25 1 x = 1 3 3 Utilizando la sustitución hacia atrás se otiene: x3 = 3 x2 = 2 x1 = 1 y la solución del sistema es   1   x= 2  3 En estos casos es posible escalonar una matriz solo con operaciones de eliminación para poder llegar a la factorización LU .CAPÍTULO 4. Para este tipo de matrices no existe la factorización LU . Factorización P A = LU Cuando no es posible factorizar una matriz de la forma aplica es la factorización P A = LU . 4.3.
Para la factorización P A = LU .CAPÍTULO 4. tenemos: Entrada: Matriz A ∈ Mnxn (R) Salida: P matriz de permutación nxn L matriz triangular inferior U matriz triangualar superior nxn (lii = 1) nxn que cumplen: P A = LU . P A = LU FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU 35 . pero se lleva un registro de las las que se intercambian y se efectúan los intercambios en una matriz que registra los inversos de las operaciones de eliminación.
3 6 7 utilizando pivoteo parcial.CAPÍTULO 4. la matriz L es   1 0 0   L =  − 13 1 0  0 0 1 La matriz F1 ←→ F3 P se obtiene de realizar a la matriz identidad la operación (intercambiar la la 1 por la 3). 4.    0 0 2 3     −1 5 −2  F1 ←→ F3  −1 3 6 7 0  3 6   1  F1 + F2  0 7 F2 −→ 3 0 0  6 7  5 −2  0 2  7 1  3  2 Entonces   3 6 7   U =  0 7 13  0 0 3 luego. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU 36 Ejemplo Encontrar una factorización de la forma P A = LU   0 0 2   A =  −1 5 −2  .3.1. es decir:    0 0 1 1 0 0     I =  0 1 0  F1 ←→ F3  0 1 0  1 0 0 0 0 1  .
CAPÍTULO 4. FACTORIZACIÓN O DESCOMPOSICIÓN LU   0 0 1   P = 0 1 0  1 0 0 Se comprueba que:      0 0 2 1 0 0 3 6 7 0 0 1        0 1 0   −1 5 −2  =  − 31 1 0   0 7 13  1 0 0 3 6 7 0 0 1 0 0 2  de este modo queda la matriz P A = LU 37 .
.. d2 . dn . A como A = LDU .. donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal. U LU es asimétrica en un sentido: a lo largo de su diagonal contiene los pivotes mientras que de corregir. Esto es fácil una matriz diagonal D constituida por d1.) Tomando el ejemplo anterior donde se factorizó la matriz A = LU    1 0 0 2 1 1    A= 2 1 0   0 −1 −2  −1 −3 1 0 0 −4     1 0 0 2 0 0 1 12 21     = 2 1 0   0 −1 0   0 1 2  = LDU 0 0 1 −1 −3 1 0 0 −4 Notemos que las entradas de la matriz 38 D al multiplicarla por nuestra .Capítulo 5 Factorización LDU La forma principal. y donde D es una matriz diagonal de pivotes. . y U triangular superior con unos en la diagonal. ( puede ser confuso denotar con la letra U esta nueva matriz triangular Entonces podemos descomponer ahora la matriz superior. basta factorizar de pivotes U L siempre unos.
.. Sean U ´ la matriz que resulta de dividir la la i. D es la matriz diagonal que tiene por diagonal a la diagonal de U . Si la matriz Si A A no es invertible entonces no posee factorización LDU tiene factorización LDU. con lo cual resulta: P A = LU = LDU ´ NOTAS. 2. .ésima de U .. nos da la matriz 5.1. luego lo es LU . por di (que no es nulo). entonces L1 = L2 . A ∈ Mnxn (R)una matriz cuadrada y sea P A = LU factorización LU de A (donde:L ∈ Mnxn (R) es triangular superior.. Así la factorización LDU está determinada de manera única por A. 2.. 5.CAPÍTULO 5. para i = 1.0. U1 = U2 . donde: L es matriz trianguar inferior con su diagomal formada por unos (L es la misma matriz anterior).0. dn . Sea d1 .. . D son matrices diagonales sin ceros en la diagonal. entonces es única COROLARIO : si A = L1 D1 U1 A = L2 D2 U2 . Teorema U original. . . donde las L son triangulares las U son triangulares superiores con diago- y inferiores con diagonal unitaria. y U ´ es una matriz triangular Sea superior con su diagonal formada por unos. d2 .. d2 . dn la diagonal de U y llamemos D a la matriz diagonal cuya diagonal es d1 . Demostración Como A : es regular. D1 = D2 . es evidente que U = DU ´. y P ∈ Mnxn (R) es una matriz permutación).1. también lo es de permutación). n)...1. n. Entonces A admite factorización del tipo A = LDU ´. nueva U 39 FACTORIZACIÓN LDU triangular superior. PA (pues P es regular por ser matriz lo que lleva a que también U es regular. nal unitaria y las .. es decir a que todos los elementos de su diagonal son no nulos (di 6= 0 para i = 1...
Y evidentemente cada matriz diagonal como D1 tiene una inversa que tamde que bién es diagonal:  −1 d1           . Esto obliga a que ambos lados sean la matriz identidad. . triangular superior con diagonal unitaria. . 40 FACTORIZACIÓN LDU Demostración: Tenemos que L1 D1 U1 = L2 D2 U2 . 1 dn dn Por lo tanto. Debemos usar el hecho L−1 1 tiene las mismas propiedades (triangular inferior. y después de . Así multiplicar por U2 Análogamente tenemos L1 = L2 U1 U2−1 = I . nuestra ecuación se transforma en: U1 U2−1 = D1−1 L−1 1 L2 D2 donde el lado izquierdo es un producto de dos matrices triangulares superiores con diagonal unitaria. . . diagonal unitaria) que L1 . premultiplicando por L−1 1 y por D1−1 . y. ambas son productos de matrices elementales. Mientras que el lado derecho es una matriz triangular inferior. D1 = D2 .CAPÍTULO 5.           y postmultiplicando por U2−1 . Análogamente −1 −1 existe una U2 .  1 d1      =               d2  1 d2 . U1 = U2 . tal que U2 U2 = I . Dicho producto debe ser otra matriz del mismo tipo. nalmente.
5. 41 FACTORIZACIÓN LDU Ejemplo  Encuentre la descomposición LDU de  1 −1 −1   A= 2 0 −3  −1 7 −1 Solución.  0 −1 7 −1 Premultimplicamos por   1 −1 −1    0 2 −1  0 6 −2 E13 (1) Premultiplicamos por   1 −1 −1    0 2 −1  0 0 1 E23 (−3) NOTA: denotaremos A¯ a la matriz una vez escalonada la matriz A A escalonada podemos escribir L como: .2.0. Comenzamos escalonando la matriz   1 −1 −1   A  2 0 −3  −1 7 −1 Premultiplicamos por  E12 (−2)  1 −1 −1   2 −1  .CAPÍTULO 5.
Pero lo que nos interesa es conocer y calcular la descomposición LDU de A. 42 FACTORIZACIÓN LDU L = [E23 (−3)E13 (1)E12 (−2)]−1 = E12 (−2)−1 E13 (1)−1 E23 (−3)−1 = E12 (2)E13 (−1)E23 (3)   1 0 0   = 2 1 0  −1 3 1 Si sólo nos interesa calcular la descomposición LU de A. Encontrar D es relativamente sencillo. pues D es la matriz diagonal cuya diagonal es igual a la de la matriz A: sería la descomposición   1 0 0   D= 0 2 0  0 0 1 .CAPÍTULO 5. Como ya tenemos L. podríamos decir que:   1 −1 −1   U =  0 2 −1  0 0 1 Y así:    1 0 0 1 −1 −1    A =  2 1 0   0 2 −1  −1 3 1 0 0 1 LU de A. sólo falta encontrar U y D .
CAPÍTULO 5. 43 FACTORIZACIÓN LDU U que al multiplicar es la matriz triangular superior con unos en la diagonal. Con esto. tal DU obtengamos la matriz A. podemos escribir U:  1 −1 −1   U =  0 1 − 21  0 0 1  entonces la descomposición  LDU de A queda:    1 0 0 1 0 0 1 −1 −1     A =  2 1 0   0 2 0   0 1 − 12  −1 3 1 0 0 1 0 0 1 . Finalmente.
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