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Timestamp: 2017-06-28 14:18:38+00:00

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problemas_mef
problemas_mefUploaded by Frank J. TamarizRelated InterestsFinite Element MethodElasticity (Physics)StiffnessStress (Mechanics)Euclidean VectorRating and Stats0.0 (0)Document ActionsDownloadShare or Embed DocumentEmbedView MoreCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentPROBLEMAS RESUELTOS:
Profesor Contratado Doctor. Departamento de Mecánica de Estructuras. Uni-
versidad de Granada.
Profesor Ayudante. Departamento de Mecánica de Estructuras. Universidad
c copyright 2007: Guillermo Rus Carlborg, Esther Puertas García
Editor: Departamento de Mecánica de Estructuras, Universidad de Granada
G. Rus, E. Puertas
Se considera la viga empotrada en un extremo y sometida a axil p(x) repre-
sentada en la ﬁgura. Empleando una discretización de dos elementos lineales
y una discretización de un elemento cuadrático y suponiendo que la carga es
constante p(x) = p
y variable p(x) =
5. Obtener el desplazamiento en el centro y extremo de la viga, compara-
ndo los resultados obtenidos para
L = 10m, E = 0.1MPa, A = 0.01m
= 0.1N/m.
1. Planteamiento teórico del Problema
Para obtener el problema a resolver basta con aplicar las ecuaciones de equi-
librio en una rebanada de la viga:
N + dN + p(x)dx −N = 0
+ p(x) = 0
b(z) dz = EA
+ p(x) = EA
Hallar u(x); x ∈ [0, L] tal que
(x) +p(x) = 0; x ∈ (0, L)
La formulación débil del problema consiste en aplicar un desplaza-
miento virtual v deﬁnido en [0, L] con las mismas condiciones de contorno e
integrar en el dominio:
(x)v(x)dx =
p(x)v(x)dx
(x)v(x)dx = u
Para las condiciones de contorno del problemam el producto u
(x)dx = EAu
En consecuencia, la formulación débil del problema, equivalente el Prin-
cipio de los Trabajos Virtuales
Hallar u ∈ H
(0, L) tal que
(x)v(x)dx = EAu
p(x)v(x)dx ∀v(x) ∈ H
Dada una partición uniforme de [0, L] en n intervalos de igual longitud, el
problema discreto asociado sobre el espacio de elementos ﬁnitos construido
sobre esta partición a partir de las funciones de forma H
Hallar u(x) ≃ H
(x)v(x)
Este planteamiento es análogo a resolver el sistema de ecuaciones:
p(x) H
dx siendo
K la matriz de rigidez, u el vector de desplazamientos de los nodos y f el
vector de fuerzas externas, F
Hallar u
2. Discretización y funciones de forma
La discretización empleada mediante dos elementos lineales se recoge en la
ﬁgura 1. Al deﬁnirse 3 nodos, existen 3 grados de libertad, de éstos los nodos
2 y 3 están deﬁnidos en desplazamientos, el único grado de libertad en fuerzas
se deﬁne para el nodo 1.
En esta expresión el primer término representa el trabajo virtual interno que realizan
las tensiones reales en la viga sobre las deformaciones virtuales. Y el segundo término es
el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales
Figure 1: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales, (b) Nodos
Las funciones de forma lineales se caracterizan porque toman el valor
unidad en el nodo y cero en el resto de nodos. Para un elemento lineal,
deﬁnido en coordenadas locales, se tiene:
Las derivadas en coordenadas locales de las funciones de forma son:
El jacobiano de la transformación entre coordenadas locales y globales
para cada uno de los elementos es:
Al tratarse de un elemento de tres nodos, las funciones de forma serán de
tipo cuadrático. H
(x) se tomará de forma que toma el valor 1 en el punto
1 y se anula en el resto; H
(x) es la función que toma el valor unidad en el
nodo 2 y H
(x) la que tiene valor unidad en el nodo 3.
Figure 2: Funciones de forma lineales para L = 10 (a) H
+ 1) (1 −x
Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas locales
El jacobiano de la transformación entre coordenadas locales y globales para
el elementos considerado es:
Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas glob-
ales se obtendrán al realizar el producto entre las derivadas en coordenadas
Figure 3: Funciones de forma cuadráticas para L = 10 (a) H
locales por el jacobiano de la transformación:
3. Matriz de Rigidez
Para el cálculo de la matriz de rigidez hay que obtener, en primer lugar, las
matrices de rigidez elementales teniendo en cuenta que los miembros de la
matriz se obtienen a partir de la integral K
Al ser los intervalos de igual longitud, con igual rigidez y área, las matrices
de rigidez elementales son iguales para ambos elementos.
= E;A
Una vez calculadas las matrices de rigidez elementales, se obtiene la ma-
triz de rigidez global mediante el proceso de ensamblaje.
El procedimiento a seguir es análogo. En este caso, al tener un único ele-
mento, la matriz de rigidez de dimensión 3 × 3 se obtiene directamente, es
decir, no es necesario el proceso de ensamblaje.
|J| Adx
4. Vector de fuerzas
El vector de fuerzas elemental es equivalente para ambos elementos, se calcula
mediante las ingrales f
. Se distinguen los dos
casos de carga planteados en el enunciado.
Carga constante (p(x) = p
Mediante el proceso de ensamblaje se obtiene el vector de fuerzas global.
El vector de fuerzas global es
En este caso se obtiene directamente el vector de fuerzas global.
|J| dx
5. Desplazamiento de los nodos
El desplazamiento de los nodos se obtiene directamente de la resolución del
sistema de ecuaciones Ku = f . En primer lugar se simpliﬁca el sistema ya
que sabemos que el desplazamiento en el nodo inicial es nulo.
Se sabe que el desplazamiento de nodo del empotramiento u
es nulo, por lo
que se reduce el sistema eliminando la primera ﬁla y columna:
Sustituyendo por los datos dados para las variables:
40 −20
= 0.0375; u
Para la carga variable, el sistema sólo cambia en su término independiente.
Eliminando la primera ﬁla y colmuna se tiene
Sustituyendo por los valores de las variables
= 0.0229167; u
Para el caso en el que se emplee un elemento cuadrático, la resolución se
realiza de forma análoga.
53.3333 −26.6667
−26.6667 23.3333
La solución análitica para el problema dado por su formulación fuerte puede
obtenerse fácilmente. Las expresiones para los dos casos de carga considera-
Solución MEF mediante dos elementos lineales.
si 0 ≤ x ≤
≤ x ≤ L
Figure 4: Solución para carga constante
Solución MEF mediante un elemento cuadrático.
Sustituyendo los valores dados para las variables y comparando con los
resultados obtenidos para los problemas planteados mediante el método de
los elementos ﬁnitos podemos observar que se obtiene la solución real para los
nodos. Si bien la solución es la real en el caso de carga constante empleando
elementos cuadráticos pero no es válido para el caso de carga variable, ya
que la solución real es un polinomio de tercer grado. Bastaría con emplear
un elemento cúbico para comprobar que se obtiene la solución real.
Figure 5: Solución para carga variable
Resuelva por el método de los elementos ﬁnitos el problema de una viga a
axil de longitud L = 3m empotrada por el extremo izquierdo y con una carga
R = 100kN en el extremo derecho, sin cargas distribuidas f
, cuyo módulo
elástico es E = 210GPa y su área es de A = 0.01m
en su mitad izquierda
(0 < x < L/s) y de A = 0.02m
en su mitad derecha (L/2 < x < L).
Utilícese para resolverlo una discretización de dos (2) elementos de igual
longitud, y funciones de forma lineales.
1. Deﬁnir los grados de libertad.
2. Obtener la matriz de rigidez de toda la barra.
3. Obtener el alargamiento total de la barra.
4. Obtener la ley completa de desplazamientos y de tensiones para 0 <
x < L. Dibujar ambas leyes.
(Ejercicio evaluado de diciembre de 2005. 1 hora.)
1. Discretización y grados de libertad
Se deﬁne un elemento sólido 2D de tensión plana. El módulo elástico es
E = 210GPa y el de Poisson ν = 0.3. Se utiliza una discretización de un (1)
elemento rectangular de un nodo en cada esquina, cuyas funciones de forma
son lineales. La geometría es un rectángulo de 0.4 × 0.3m (horizontal ×
vertical), con un origen de coordenadas globales en el lado inferior izquierdo
y un espesor unitario. Las condiciones de contorno son de empotramiento del
lado izquierdo y de una tracción uniforme de t = 2GPa en el lado derecho.
1. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura.
2. Obtener la matriz de rigidez del elemento.
3. Obtener el vector de cargas.
4. Obtener los desplazamientos de los nodos.
Nota: Considérese que el tensor B que relaciona tensiones con deforma-
ciones según ε
2n,2
2n,1
(Examen ﬁnal del 9-II-2006. 1 hora.)
Se deﬁne un elemento sólido 2D en tensión plana. El módulo elástico es
E = 210GPa y el de Poisson ν = 0.3. Se utiliza una discretización de dos
(2) elementos rectangulares de un nodo en cada esquina, cuyas funciones de
forma son lineales. La geometría es un rectángulo de 0.4 × 0.2m (horizon-
tal × vertical), con un origen de coordenadas globales en la esquina inferior
izquierda y un espesor unitario. Las condiciones de contorno son de empo-
tramiento del lado izquierdo, deslizaderas horizontales en los lados superior
e inferior, y una tracción normal uniforme de t = 2GPa en el lado derecho.
1. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura, distin-
guiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas.
2. Obtener la matriz de rigidez de un elemento.
Nota: Defínanse las funciones de forma, y hágase la integración en coor-
denadas naturales. Considérese que el tensor B que relaciona tensiones con
deformaciones según ε
Se deﬁne un muro de contención de hormigón (E=20 GPa, ν=0.3) de 20
metros de altura, 8 de base y 4 de coronación, cuya geometría y condiciones
de contorno se describen en el dibujo. El muro se carga con una presión
uniforme en el lado izquierdo de valor p=0.098 MPa.
Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario, y una
discretización de un elemento cuadrado lineal, y un origen de coordenadas
globales en la esquina inferior izquierda, se pide:
2. Obtener las derivadas de las funciones de forma.
3. Obtener la matriz de rigidez de un elemento.
4. Obtener el vector de cargas.
5. Obtener los desplazamientos de los nodos, y esbozar gráﬁcamente la
hidrostática procedente del peso del agua que baña la cara izquierda, de modo
que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor 2p=0.196 MPa.
discretización de dos elementos cuadrados lineales, tal y como se describe en
el dibujo, y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda,
de contorno se describen en el dibujo. El muro tiene como única carga la
gravitatoria, debida al peso propio originado por la densidad del hormigón
ρ=2700 kg/m
Se aisla un bloque cuadrado de un estrato de terreno (E=2 GPa, ν=0.4) de
20 metros de lado, cuya geometría y condiciones de contorno se describen en
el dibujo. El terreno tiene como única carga la gravitatoria, debida al peso
propio originado por su densidad ρ=2300 kg/m
globales en la esquina inferior derecha, se pide:
Se deﬁne un sistema compuesto por la interacción de un bloque cuadrado de
un estrato de terreno (E=2 GPa, ν=0.4) de 20 metros de lado (izquierda),
contenido por un muro de hormigón (E=20 GPa, ν=0.3) de 20 metros de
altura, 8 de base y 4 de coronación (derecha), cuya geometría y condiciones
de contorno se describen en el dibujo. El sistema tiene como única carga la
y del terreno ρ=2300 kg/m
discretización de un elemento cuadrado lineal, se pide:
Resuelva por el Método de los Elementos Finitos la estructura de la ﬁgura,
cuyo módulo elástico es E = 2 10
Pa y el coeﬁciente de Poisson ν = 0.3.
La estructura está empotrada en tres de sus cuatro lados, estando el cuarto
(el derecho) sometido a una tracción uniforme p = 1GPa. Utilícese para su
resolución elementos de dos nodos y cuadrados de cuatro nodos con funciones
de forma lineales y tenga en cuenta que se considera en tensión plana.
1. Discretizar la estructura y deﬁnir los grados de libertad.
2. Obtener las funciones de forma.
3. Deﬁnir la matriz de rigidez global y calcular las matrices de rigidez
elementales necesarias para el cálculo de los desplazamientos de los
4. Deﬁnir el vector de cargas global y calcular los miembros necesarios
para la obtención de los desplazamientos de los nodos.
5. Obtener el desplazamiento de los nodos.
1. Discretización
La estructura se discretiza siguiendo el siguiente esquema:
Figure 6: Discretización de la estructura: nodos globales
Existen dos grados de libertad por nodo. En total serán 12 grados de
libertad, de los cuales sólo los dos correspondientes al nodo 4 corresponden
a desplazamientos.
2. Funciones de forma
Para un elemento lineal, las funciones de forma en coordenadas locales son
(dibujar las funciones de forma):
Para un elemento cuadrado de cuatro nodos, las funciones de forma en
coordenadas locales son (dibujar las funciones de forma):
Figure 7: Discretización de la estructura: nodos locales
3. Matriz de rigidez global
Los elementos de las matrices de rigidez para un elemento plano 2D se ob-
tienen a partir de la integración:
La matriz de rigidez global se obtiene mediante el proceso de ensamblaje:
En consecuencia, el sistema a resolver será
4. Desplazamientos de los nodos
Como todos los nodos están ﬁjos a excepción del nodo 4, eliminamos las
ﬁlas y columnas correspondientes a estos nodos (1, 2, 3, 5, 6) y nos queda un
La simetría de la estructura nos permite concluir que u
= 0. Teniendo en
cuenta esta condición eliminamos las ﬁla y columna segunda y nos quedamos
con una única ecuación con una incógnita:
siendo la matriz C la deﬁnida para tensión plana σ
0 0 2 (1 −ν)
El jacobiano de la tansformación es:
cuyo determinante es: |J| = 3.
El tensor B que relaciona tensiones con deformaciones según ε
= 63.8991 10
El elemento 2 es simétrico con el 1, por lo que el valor será el mismo al
Para el elemento lineal tenemos la integración:
= 500 10
Se tiene entonces el sistema:
2 · 63.8991 10
+ 500 10
= 47.786 mm
Se deﬁne la sección de un azud de hormigón (E=20 GPa, ν=0.3) de 4 × 1
metros sometida a una presión constante de valor p = 44.145 10
N/m tal y
como se indica en la ﬁgura.
2. Hallar las funciones de forma y sus derivadas.
3. Describir la matriz de rigidez.
5. Obtener los desplazamientos de los nodos.
La discretización de la sección se realiza mediante dos elementos cuadrados
lineales, tal y como se reﬂeja en la ﬁgura 8
Figure 8: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales; (b) Nodos
Las funciones de forma para un elemento cuadrado lineal en coordenadas
El jacobiano de la transformación se obtiene teniendo en cuenta la relación
entre las coordenadas locales y globales:
Cada término de la matriz se obtiene:
Para el primer elemento se tiene:
El jacobiano para ambos elementos es igual debido a que son de la misma
y su determinante |J| =
La inversa del jacobiano es inmediata:
Las derivadas de las funciones de forma en coordenadas globales se ob-
tienen al multiplicar la derivada en coordenadas locales por la inversa del
jacobiano de la transformación. Éstas serán las mismas para ambos elemen-
El montaje de la matriz de rigidez:
1•3•
1•4•
2•1•
2•2•
2•3•
2•4•
4•4•
3•1•
3•2•
3•3•
3•4•
4•1•
4•2•
4•3•
Por tanto, el sistema a resolver será:
Las condiciones de contorno del problema indican que los desplazamientos
en ambas direcciones son nulos para los nodos 1, 3, 4 y 6. De ahí que el
sistema se reduzca:
El sistema completo será:
Por simetría u
son cero. Con lo que el sistema se reduce a dos
Cada una de las componentes a calcular de la matriz de rigidez se ob-
Y el tensor B que relaciona tensiones con deformaciones según ε
Por tanto, para la segunda dirección coordenada se tendrá:
A continuación describimos el cálculo de uno de los ocho términos nece-
sarios de la matriz de rigidez.
(1 −ν) H
Únicamente hay que calcular el vector de cargas en el nodo 2, ya que en el
nodo 5 no hay ninguna carga actuando.
Para el cálculo hay que tener en cuenta la carga correspondiente a cada
Detallamos el cálculo para el primer elemento:
Desplazamiento de los nodos
El sistema de ecuaciones resultante es:
3.18681 10
0 −2.8022 10
−2.8022 10
0 3.18681 10
Resolviendo se obtiene que el desplazamiento en los nodos 2 y 5 es:
1.22148 10
1.07406 10
Se deﬁne un pequeño azud de hormigón (E=20 GPa, ν=0.3) de 3 metros
de altura y sección 1 × 4m , cuya geometría y condiciones de contorno se
describen en el dibujo. El azud está sometido a una presión hidrostática
procedente del peso del agua, de modo que en la coronación tiene valor 0 y
en la base valor p=29.43 kPa.
Considerando una discretización de dos elementos hexaédricos lineales de
ocho nodos, tal y como se describe en el dibujo, se pide:
3. Deﬁnir la matriz de rigidez.
La discretización de la estructura se toma tal y como indica la siguiente ﬁgura
(ﬁgura 9)
Figure 9: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales; (b) Nodos
La estructura es tridimensional, por lo que hay que considerar tres grados
de libertad por nodo, que en total serán 36 grados de libertad. Teniendo en
cuenta las condiciones de contorno y la simetría de la estructura, únicamente
se deﬁnen dos grados de libertad en desplazamientos, correspondientes con
los nodos globales 9 y 12.
El elemento hexaédrico recto más sencillo de clase C
es el de ocho nodos
que se muestra en la ﬁgura siguiente (ﬁgura 10).
Las coordenadas locales de cada uno de los nodos se deﬁnen en la siguiente
8 -1 1 1
Figure 10: Elemento hexaédrico de 8 nodos
Las funciones de forma de un nodo se obtienen, como producto de las
tres funciones de una sola variable correspondientes a cada una de las tres
direcciones x
en ese nodo.
La expresión general de la función de forma de un nodo cualquiera i, se
obtiene mediante la siguiente expresión:
) (1 +x
la coordenada j-ésima del nodo n.
Para el nodo 5, la función de forma se puede obtener fácilmente tal y
como se indica en la ﬁgura 11.
Así, las funciones de forma para un elemento hexaédrico lineal de ocho
nodos son:
Figure 11: Obtención de la función de forma para el nodo 5
Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas locales:
El jacobiano de la transformación se halla teniendo en cuenta la relación
entre las coordenadas globales y locales:
A modo de ejemplo calculamos un elemento de la matriz:
Obteniendo que el jacobiano es igual para ambos elementos:
y su determinante es |J| =
. La inversa se obtiene:
Una vez calculado el jacobiano de la transformación, las derivadas en
coordenadas globales de las funciones de forma se obtienen multiplicando
éste por las derivadas en coordenadas locales.
La matriz de rigidez, teniendo en cuenta que es simétrica y sólo se representan
los términos de la diagonal y por encima de ésta:
1•5•
1•6•
1•7•
2•5•
2•6•
2•7•
3•5•
3•6•
3•7•
2•8•
3•8•
4•7•
4•8•
4•5•
1•8•
5•5•
5•6•
6•6•
6•7•
7•7•
6•8•
7•8•
8•8•
Como el desplazamiento en los nodos 1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 10 y 11 es nulo.
El sistema se simpliﬁca:
6•5•
El sistema completo será entonces, teniendo en cuenta que la matriz de
rigidez es simétrica:
Observando la simetría del problema respecto al plano x
concluir que los desplazamientos en ambos nudos en la dirección x
De ahí que el sistema se reduzca a cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:
Cada componente de la matriz de rigidez se calcula:
siendo la matriz C la relación entre tensión y deformación σ = Cǫ:
λ + 2 µ λ λ 0 0 0
λ λ + 2 µ λ 0 0 0
λ λ λ + 2 µ 0 0 0
0 0 0 2 µ 0 0
0 0 0 0 2 µ 0
0 0 0 0 0 2 µ
(1+ν)(1−2 ν)
2 (1+ν)
son las constantes de Lamé.
La matriz B de interpolación del campo de deformaciones ǫ = Bu
Presentamos el cálculo de uno de los elementos de la matriz de rigidez:
(λ + 2 µ) H
Únicamente existe fuerza aplicada sobre el nodo 12 y en la primera dirección
coordenada, por lo que será necesario el cálculo de la carga en este nodo:
El primero de estos sumandos se obtiene:
Se deﬁne un muro de contención de hormigón (E=20 GPa, ν=0.3) de 30
metros de altura, 12 de base y 4 de coronación, cuya geometría y condiciones
que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor 2p=0.3 MPa.
Considerando sección en tensión plana de espesor unitario, y una dis-
cretización de un elemento cuadrado lineal, y un origen de coordenadas glob-
ales en la esquina inferior izquierda, se pide:
3. Obtener la componente k
de la matriz de rigidez del elemento que
lo compone, donde el nodo 1 es el superior derecho, y la dirección 1 es
(Examen Final de febrero de 2007. 1h 30min.)
La discretización de la estructura se toma tal y como indica en el enunciado
del problema (ﬁgura 9)
Figure 12: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales; (b) Nodos
La estructura es bidimensional, por lo que hay que considerar dos grados
de libertad por nodo, que en total serán 8 grados de libertad. Teniendo en
se deﬁnen grados de libertad en desplazamientos en los nodos superiores,
correspondientes con los nodos globales 1 y 2. Para los nodos 3 y 4 los
grados de libertad vienen deﬁnidos en tensiones.
Derivadas de las funciones de forma
El elemento más sencillo de clase C
es el de cuatro nodos que se muestra en
la ﬁgura 12.
dos funciones de una sola variable correspondientes a cada una de las dos
El jacobano de la transformación se halla teniendo en cuenta la relación
= 2(2 −x
Obteniendo que el jacobiano es:
2(2 −x
−2(1 −x
2(2−x
15(2−x
y su determinante es |J| = 30(2 −x
Una vez calculado la inversa del jacobiano de la transformación, las
derivadas en coordenadas globles de las funciones de forma se obtienen mul-
tiplicando éste por las derivadas en coordenadas locales.
1−3 x
de la matriz de rigidez
= 3.93136 10
Se considera un muro de hormigón (E = 20GPa, ν = 0.3) sometido a una
carga p = d7 10
Pa , con las dimensiones representas en la ﬁgura. Empleando
una discretización de dos elementos de forma cúbica y con funciones de forma
1. Obtener el desplazamiento en los nodos centrales del muro, A y B ex-
plicando y estructurando cada paso seguido en la resolución.
2. Resolver el problema anterior empleando el programa de elementos ﬁni-
tos FEAP.
3. Resolver el problema doblando el número de elementos en cada una de
las direcciones x, y, z utilizando FEAP.
4. Comparar los resultados obtenidos.
Nota: Los parámetros d
coinciden con las cifras de su DNI.
Resuelva por el Método de los Elementos Finitos la presa de la ﬁgura (cotas en
metros), cuyo módulo elástico es E = 3.10d3d4 10
Pa, el coeﬁciente de Pois-
son ν = 0.5 y la densidad ρ = 26d5d6 kg/m
. La estructura está empotrada
en su base, estando el lado izquierdo sometido a una presión hidrostática,
tal y como indica la ﬁgura. Utilícese para su resolución elementos cuadrados
de cuatro nodos con funciones de forma lineales y tenga en cuenta que se
considera en tensión plana.
1. Calcular los desplazamientos de los nodos considerando que la presa
está únicamente sometida a presión hidrostática. Explique y estructure
cada paso seguido en la resolución.
2. Resolver el problema anterior utilizando FEAP.
3. Resolver el problema considerando también el peso propio de la presa
mediante FEAP.
4. Analizar los resultados obtenidos.
Se considera una placa cuadrada (E = 206GPa, ν = 0.3) sometida a una
carga puntual p = d7 10
N, con las dimensiones representadas en la ﬁgura.
La placa se discretiza mediante cuatro elementos de cuatro nodos con fun-
ciones de forma lineal.
1. Calcular el desplazamiento en el centro de la placa considerando la
simetría del problema, explicando y estructurando cada paso seguido en
3. Resolver el problema aumentando el número de elementos en cada una
de las direcciones x, y utilizando FEAP, para los casos siguientes:
(a) Doble número de elementos en la dirección x
(b) Doble número de elementos en la dirección y
(c) Doble número de elementos en ambas direcciones x, y
Preguntas de teoría. Se evaluará la capacidad de seleccionar y sintetizar la
1. Describir y expresar matemáticamente la diferencia entre un problema
de tensión plana y uno de deformación plana. Poner un ejemplo de
2. Dada una barra de un elemento lineal (dos nudos) de 3 unidades de
longitud, calcular el vector de cargas f debido a una carga distribuida
triangularmente, con valor nulo a la izquierda y valor 5 unidades a la
3. Coméntense ventajas y limitaciones de la idea de hacer los elementos
isoparamétricos.
4. Calcular el número de nudos que tendrá un elemento sólido 2D de forma
cuadrangular tal que en la dirección x
sea cuadrático y en la dirección
sea lineal. Escribir las funciones de forma asociadas a cada nodo.
5. Describir el sentido geométrico del jacobiano, y dónde se usa.
6. Describir en qué ocasiones es mejor elegir una discretización 3D con
elementos cúbicos y en qué ocasiones con elementos tetraédricos.
7. Calcular el número de nodos que tiene un elemento cúbico 3D tal que
tenga todas las funciones de forma polinómicas de hasta orden cúbico.
8. Sea un elemento cuadrado 2D cuadrático de 9 nodos, cuyas funciones
de forma incluyen los términos (1, x, x
, y, xy, x
), al que
se le elimina un nodo de modo que de sus funciones de forma el término
(x), quedando 8. Explíquese si es posible, y el motivo, representar una
deformación ε constante según la dirección x.
9. Enumerar las ventajas e inconvenientes de elementos triangulares frente
a cuadrados en 2D.
10. Calcular el área de un elemento cuadrado cuyos nodos tienen coorde-
nadas (4,3) (2,3) (1,1) (5,2) mediante integración numérica, usando
un total de cuatro puntos de Gauss.
11. Calcular el momento de inercia respecto al eje y=0 y respecto al eje
y=centro de gravedad del elemento, de un elemento cuadrado cuyos
nodos tienen coordenadas (4,3) (2,3) (1,1) (5,2) mediante integración
numérica, usando un total de cuatro puntos de Gauss.
12. Calcular el área de un elemento cúbico cuyos nodos tienen coordenadas
(4,3,1) (2,3,1) (1,1,1) (5,2,1) (4,3,4) (2,3,4) (1,1,5) (5,2,5) mediante
integración numérica, usando un total de ocho puntos de Gauss.
13. Explíquese porqué en el problema 7, aunque todas las fuerzas aplicadas
verticales son nulas, existen desplazamientos verticales.
14. Relacionese el resultado del problema 12 con el fenómeno de los baches
que se producen al entrar en un puente al poco tiempo de construirlos.
15. Indique qué tipología de elementos utilizaría para calcular una presa de
contrafuertes y describa sucintamente éstos.
16. Describir cómo se calculan las tensiones mediante el método de los
c copyright 2007: Guillermo Rus Carlborg, Esther Puertas García Editor: Departamento de Mecánica de Estructuras, Universidad de Granada
Se considera la viga empotrada en un extremo y sometida a axil p(x) representada en la ﬁgura. Empleando una discretización de dos elementos lineales y una discretización de un elemento cuadrático y suponiendo que la carga es constante p(x) = p0 y variable p(x) = p0 x. L
Se pide: 1. Plantear el problema teórico. 2. Discretizar y hallar las funciones de forma. 3. Obtener la matriz de rigidez. 4. Obtener el el vector de fuerzas externas. 5. Obtener el desplazamiento en el centro y extremo de la viga, comparando los resultados obtenidos para L = 10m, E = 0.1M P a, A = 0.01m2 , p0 = 0.1N/m.
G. Puertas
1. x ∈ [0.xx (x) + p(x) = 0. la formulación fuerte del problema se puede escribir: Hallar u(x).x (x)v(x)|L − 0
u. u.x (0) = 0 La formulación débil del problema consiste en aplicar un desplazamiento virtual v deﬁnido en [0. E. Planteamiento teórico del Problema
N + dN + p(x)dx − N = 0 dN + p(x) = 0 dx Sabemos N =
σxx b(z) dz = EA
sustituyendo en la expresión anterior: d2 u dN + p(x) = EA 2 p(x) = 0 dx dx En consecuencia.xx (x)v(x)dx =
u.x (x)v(x)|0 se anula.x (x)v. L] con las mismas condiciones de contorno e integrar en el dominio:
EA u.x (x)dx
Para las condiciones de contorno del problemam el producto u.xx (x)v(x)dx = u. L) u(0) = 0. L] tal que EA u. Rus. x ∈ (0.
x (x)v.x (x)v(x)|L + 0
En consecuencia. x3 )un i e e Cijkl Bijnc Bklmd dV un = c e V e fd Hdm dV + e (e) 1 (e) (e) L(e)
S e fd Hdm dS
2.x (x)v(x)dx = EAu. Para el caso general. equivalente el Principio de los Trabajos Virtuales2 es: Hallar
L 0 1 u ∈ H0 (0. Discretización y funciones de forma
Dos elementos lineales La discretización empleada mediante dos elementos lineales se recoge en la ﬁgura 1.
2 En esta expresión el primer término representa el trabajo virtual interno que realizan las tensiones reales en la viga sobre las deformaciones virtuales. Fj = EAHj. el único grado de libertad en fuerzas se deﬁne para el nodo 1. de éstos los nodos 2 y 3 están deﬁnidos en desplazamientos.x (x)dx = EAu(e) (x)v(x) .x
(e) xj
Este planteamiento es análogo a resolver el sistema de ecuaciones: Ku = f donde Kij = 0 Bi C (e) Bj J (e) A(e) dx′ . el problema discreto consiste en
e Hallar ui (x1 . la formulación débil del problema. fj = Fj + 0 p(x) Hj dx siendo K la matriz de rigidez. u el vector de desplazamientos de los nodos y f el L (e) vector de fuerzas externas. x3 ) = Hin (x1 .G. el problema discreto asociado sobre el espacio de elementos ﬁnitos construido sobre esta partición a partir de las funciones de forma Hi se deﬁne: Hallar u(x) ≃ H1 (x)u1 + H2 (x)u2 + · · · + HN (x)uN
EA u(e) (x)v. existen 3 grados de libertad.x (x)v(x)|L + 0
Dada una partición uniforme de [0.x u(e) Hj 0 . Al deﬁnirse 3 nodos. x2 . E. Y el segundo término es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales
. Puertas Se deduce
EA u. L)
EA u. L] en n intervalos de igual longitud. Rus.x (x)dx = EAu. x2 .x . L) L 0 1 p(x)v(x)dx ∀v(x) ∈ H0 (0.
H1 (x) se tomará de forma que toma el valor 1 en el punto 1 y se anula en el resto. dx′ dH2 =1 dx′
El jacobiano de la transformación entre coordenadas locales y globales para cada uno de los elementos es: J (e) = dx = L(e) dx′
Las derivadas de las funciones de forma en coordenadas globales: dH1 dx′ 1 dH1 = = − (e) B1 = ′ dx dx dx L dH2 dH2 dx′ 1 B2 = = = (e) ′ dx dx dx L
Un elemento cuadrático Al tratarse de un elemento de tres nodos. Puertas
Figure 1: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales. E. H2 (x) = x′
Las derivadas en coordenadas locales de las funciones de forma son: dH1 = −1. deﬁnido en coordenadas locales.G. se tiene: H1 (x) = 1 − x′ . (b) Nodos locales Las funciones de forma lineales se caracterizan porque toman el valor unidad en el nodo y cero en el resto de nodos. Para un elemento lineal. 4
. Rus. H2 (x) es la función que toma el valor unidad en el nodo 2 y H3 (x) la que tiene valor unidad en el nodo 3. las funciones de forma serán de tipo cuadrático.
6 0.6 0.G.8 0.4 0.2
Figure 2: Funciones de forma lineales para L = 10 (a) H1 . E.2 1 0.4 0. (b) H2
1 H1 (x) = x′ (x′ − 1) 2 H2 (x) = (x′ + 1) (1 − x′ ) 1 H3 (x) = x′ (x′ + 1) 2 Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas locales son: 1 dH1 = x′ − dx′ 2 dH2 = −2x′ ′ dx dH3 1 = x′ + ′ dx 2 El jacobiano de la transformación entre coordenadas locales y globales para el elementos considerado es: J= dx =L dx′
Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas globales se obtendrán al realizar el producto entre las derivadas en coordenadas 5
. Rus.8 0. Puertas
1 0. con igual rigidez y área. locales por el jacobiano de la transformación: B1 = dH1 dH1 dx′ 1 1 = = x′ − ′ dx dx dx 2 L ′ dH2 dx 1 dH2 = = −2x′ B2 = ′ dx dx dx L dH3 dH3 dx′ 1 1 B3 = = = x′ + dx dx′ dx 2 L
Figure 3: Funciones de forma cuadráticas para L = 10 (a) H1 . las matrices de rigidez elementales teniendo en cuenta que los miembros de la 1 (e) matriz se obtienen a partir de la integral Kij = 0 Bi C (e) Bj J (e) A(e) dx′ . K (e) = 6
B1 C (e) B1 J (e) A(e) dx′ B2 C (e) B1 J (e) A(e) dx′
B1 C (e) B2 J (e) A(e) dx′ B2 C (e) B2 J (e) A(e) dx′
.8 0.2 0.2 1 0. (b) H2 . en primer lugar.4 0.6 0. las matrices de rigidez elementales son iguales para ambos elementos.6 0. Al ser los intervalos de igual longitud.G.6 0.8 0. Rus. E. Matriz de Rigidez
Dos elementos lineales Para el cálculo de la matriz de rigidez hay que obtener. (c) H3 . Puertas
Puertas donde C (e) = E.A(e) = A. Se distinguen los dos casos de carga planteados en el enunciado. f
f v (x′ ) H1 J (e) dx′ f v (x′ ) H2 J (e) dx′
Carga constante (p(x) = p0 ) f (1) = f (2) = p0 L 4 1 1 7
.   1 1 1 B1 C B1 |J| A dx′ 0 B1 C B2 |J| A dx′ 0 B1 C B3 |J| A dx′   0 K =  01 B2 C B1 |J| A dx′ 01 B2 C B2 |J| A dx′ 01 B2 C B3 |J| A dx′  1 1 1 B3 C B1 |J| A dx′ 0 B3 C B2 |J| A dx′ 0 B3 C B3 |J| A dx′ 0 K= EA  L 
7 3 −8 3 1 3 −8 3 16 3 −8 3 1 3 −8 3 7 3
4. se obtiene la matriz de rigidez global mediante el proceso de ensamblaje.   (1)   (1) K11 K12 0 1 −1 0 2EA   (1) (1) (2) (2)  −1 2 −1  K =  K12 K22 + K11 K12  = L (2) (2) 0 −1 1 0 K12 K22 Un elemento cuadrático El procedimiento a seguir es análogo. 2 K (1) = K (2) = 2EA L 1 −1 −1 1
Una vez calculadas las matrices de rigidez elementales. la matriz de rigidez de dimensión 3 × 3 se obtiene directamente. al tener un único elemento. J (e) = L . es decir. E. Vector de fuerzas
Dos elementos lineales El vector de fuerzas elemental es equivalente para ambos elementos. se calcula 1 (e) mediante las ingrales fj = 0 f v (x′ ) Hj J (e) dx′ . no es necesario el proceso de ensamblaje. En este caso. Rus.G.
Puertas Mediante el proceso de ensamblaje se obtiene el vector de fuerzas global. Rus. Desplazamiento de los nodos
El desplazamiento de los nodos se obtiene directamente de la resolución del sistema de ecuaciones Ku = f .G. 8
.  1  f v (x′ ) H1 |J| dx′  0  f =  01 f v (x′ ) H2 |J| dx′  1 v f (x′ ) H3 |J| dx′ 0 Carga constante (p(x) = p0 )  1 p0 L   4 f= 6 1  
Carga variable p(x) =
p0 x L
 0 p0 L   2 f= 6 1
5.     (1) f1 1 p0 L    (1) (2)  2 f =  f2 + f1  = 4 (2) 1 f2 Carga variable p(x) = f (1) =
p0 L 24
. En primer lugar se simpliﬁca el sistema ya que sabemos que el desplazamiento en el nodo inicial es nulo. E.
El vector de fuerzas global es 
   (1) f1 1 p0 L    (1) (2)  6 f =  f2 + f1  = 24 (2) 5 f2
Un elemento cuadrático En este caso se obtiene directamente el vector de fuerzas global.
. por lo que se reduce el sistema eliminando la primera ﬁla y columna: 2EA L 2 −1 −1 1 u2 u3 = p0 L 4 2 1
Sustituyendo por los datos dados para las variables: 40 −20 −20 20 Resolviendo el sistema se obtiene: u2 = 0. u3 = 0.25 0. Rus.  1     u 1 −1 0 1 p0 L   2EA  −1 2 −1   u2  = 6 L 24 3 u 0 −1 1 5 p0 L 24 6 5
Sustituyendo por los valores de las variables 40 −20 −20 20 Resolviendo: u2 = 0.05 u2 u3 = 0. E.0333333 9 u2 u3 = 0.G. u3 = 0.25
Eliminando la primera ﬁla y colmuna se tiene 2EA L 2 −1 −1 1 u2 u3
Carga variable Para la carga variable. Puertas Dos elementos lineales Carga constante El sistema resultante es:  1     u 1 −1 0 1 p0 L   2EA  −1 2 −1   u2  = 2 L 4 3 u 0 −1 1 1
Se sabe que el desplazamiento de nodo del empotramiento u1 es nulo.0229167. el sistema sólo cambia en su término independiente.0375.50 0.
G.3333 −26.333333 0.6667 23. Carga variable EA  L 
7 3 −8 3 1 3 −8 3 16 3 −8 3 16 3 −8 3 1 3 −8 3 7 3 −8 3 7 3
0.6667 −26.3333 u2 = 0.0229167. Puertas Un elemento cuadrático Para el caso en el que se emplee un elemento cuadrático.3333 u2 = 0.05
   0 u1   u2  = p 0 L  2  6 1 u3  u2 u3 = u2 u3 p0 L 6 = 2 1
53.6667 −26.
0.6667 23. la resolución se realiza de forma análoga.166667
u3 = 0.0333333
6.666667 0.3333 −26. p 0 x2 Lp0 u(x) = − + x. Carga constante  7 −8 1   1    u 1 3 3 3 EA  −8 16 −8   2  p0 L   u 4 = 3 3 3 L 6 1 −8 7 1 u3 3 3 3 EA L
16 3 −8 3 −8 3 7 3
= u2 u3
p0 L 6 =
53. Las expresiones para los dos casos de carga considerados son: Carga constante Solución analítica. 2EA EA Solución MEF mediante dos elementos lineales. E. Rus. Conclusiones
La solución análitica para el problema dado por su formulación fuerte puede obtenerse fácilmente.0375. u(x) = 10 u2 H 2 (2) (2) u2 H 1 + u3 H 2
si 0 ≤ x ≤ L 2 si L ≤ x ≤ L 2
G.04 0.03 0. ya que la solución real es un polinomio de tercer grado. Bastaría con emplear un elemento cúbico para comprobar que se obtiene la solución real. Si bien la solución es la real en el caso de carga constante empleando elementos cuadráticos pero no es válido para el caso de carga variable. u(x) = u2 H2 + u3 H3 Sustituyendo los valores dados para las variables y comparando con los resultados obtenidos para los problemas planteados mediante el método de los elementos ﬁnitos podemos observar que se obtiene la solución real para los nodos.
Figure 4: Solución para carga constante Solución MEF mediante un elemento cuadrático. Rus. 6EAL 2EA Solución MEF mediante dos elementos lineales.05 0. E.02 0. u(x) = u2 H2 + u3 H3 Carga variable Lp0 p 0 x3 + x. u(x) = − u(x) = u2 H 2 (2) (2) u2 H 1 + u3 H 2
Solución MEF mediante un elemento cuadrático. Puertas
015 0.025 0.01 0. E. Rus.02 0.005 2 4 6 8 10
.G.03 0. Puertas
cuyo módulo elástico es E = 210GP a y su área es de A = 0. y funciones de forma lineales. Se pide: 1. 2. Obtener la ley completa de desplazamientos y de tensiones para 0 < x < L. (Ejercicio evaluado de diciembre de 2005. 4.)
. Dibujar ambas leyes. 1 hora. 3. Obtener la matriz de rigidez de toda la barra. sin cargas distribuidas f v . E. Utilícese para resolverlo una discretización de dos (2) elementos de igual longitud.02m2 en su mitad derecha (L/2 < x < L). Obtener el alargamiento total de la barra. Rus. Puertas
Resuelva por el método de los elementos ﬁnitos el problema de una viga a axil de longitud L = 3m empotrada por el extremo izquierdo y con una carga R = 100kN en el extremo derecho. Deﬁnir los grados de libertad.01m2 en su mitad izquierda (0 < x < L/s) y de A = 0.G.
E.G. Puertas
G. Rus. E. Puertas
. E.G. Rus.
G. con un origen de coordenadas globales en el lado inferior izquierdo y un espesor unitario.2 un H2n. 1 hora. Se utiliza una discretización de un (1) elemento rectangular de un nodo en cada esquina. 4. La geometría es un rectángulo de 0.2  1 un 1 2 H2n.3.4 × 0. Se pide: 1. cuyas funciones de forma son lineales. 2.)
. Rus. El módulo elástico es E = 210GP a y el de Poisson ν = 0. Obtener los desplazamientos de los nodos.1 2 0 
Bijnc
(Examen ﬁnal del 9-II-2006.3m (horizontal × vertical). Obtener el vector de cargas. 3. Puertas
Se deﬁne un elemento sólido 2D de tensión plana.
Nota: Considérese que el tensor B que relaciona tensiones con deformaciones según εij = Bijnc un es. Las condiciones de contorno son de empotramiento del lado izquierdo y de una tracción uniforme de t = 2GP a en el lado derecho. E. c   B11n1 B11n2 = B22n1 B22n2  B12n1 B12n2    H1n.1 ε11 ε22  =  0 1 ε12 H 2 1n. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. Obtener la matriz de rigidez del elemento.
Rus. Puertas
G. E. Puertas
.G. Rus. E.
Se deﬁne un elemento sólido 2D en tensión plana. El módulo elástico es E = 210GP a y el de Poisson ν = 0.3. Se utiliza una discretización de dos (2) elementos rectangulares de un nodo en cada esquina, cuyas funciones de forma son lineales. La geometría es un rectángulo de 0.4 × 0.2m (horizontal × vertical), con un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda y un espesor unitario. Las condiciones de contorno son de empotramiento del lado izquierdo, deslizaderas horizontales en los lados superior e inferior, y una tracción normal uniforme de t = 2GP a en el lado derecho. Se pide: 1. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura, distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. 2. Obtener la matriz de rigidez de un elemento. 3. Obtener el vector de cargas. 4. Obtener los desplazamientos de los nodos. Nota: Defínanse las funciones de forma, y hágase la integración en coordenadas naturales. Considérese que el tensor B que relaciona tensiones con deformaciones según εij = Bijnc un es, c   B11n1 B11n2 = B22n1 B22n2  B12n1 B12n2    H1n,1 ε11 ε22  =  0 1 ε12 H 2 1n,2 un H2n,2  1 un 1 2 H 2 2n,1 0 
Rus. E.G. Puertas
se pide: 1. Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. 5.
. Obtener el vector de cargas. Puertas
Se deﬁne un muro de contención de hormigón (E=20 GPa. Obtener las derivadas de las funciones de forma. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda. ν=0. E.G. Obtener la matriz de rigidez de un elemento. y una discretización de un elemento cuadrado lineal.3) de 20 metros de altura. y esbozar gráﬁcamente la deformada. Obtener los desplazamientos de los nodos. 4.098 MPa. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. 2. 8 de base y 4 de coronación. Rus. El muro se carga con una presión uniforme en el lado izquierdo de valor p=0. 3.
E.G. Rus. Puertas
.G. E. Rus.
E. Rus. Puertas
3. y una discretización de un elemento cuadrado lineal.G. Rus. Obtener la matriz de rigidez de un elemento.196 MPa. E. 5. Obtener las derivadas de las funciones de forma. El muro se carga con una presión hidrostática procedente del peso del agua que baña la cara izquierda. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda. ν=0. Obtener los desplazamientos de los nodos. y esbozar gráﬁcamente la deformada. Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario. se pide: 1. de modo que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor 2p=0. Obtener el vector de cargas.3) de 20 metros de altura. 4. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura.
. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. 8 de base y 4 de coronación. Puertas
Se deﬁne un muro de contención de hormigón (E=20 GPa. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. 2.
3) de 20 metros de altura.G. Rus.196 MPa. E. 2. se pide: 1. tal y como se describe en el dibujo.
e=2 2P
. y esbozar gráﬁcamente la deformada. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. 4. 5. 8 de base y 4 de coronación. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. 3. Obtener el vector de cargas. Puertas
Se deﬁne un muro de contención de hormigón (E=20 GPa. Obtener las derivadas de las funciones de forma. ν=0. El muro se carga con una presión hidrostática procedente del peso del agua que baña la cara izquierda. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda. de modo que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor 2p=0. y una discretización de dos elementos cuadrados lineales. Obtener la matriz de rigidez de un elemento. Obtener los desplazamientos de los nodos. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario.
. Rus.G. E.
E. Rus.G. Puertas
. Rus. E.
Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas.G. y una discretización de un elemento cuadrado lineal. y esbozar gráﬁcamente la deformada. 3. se pide: 1.
. E. El muro tiene como única carga la gravitatoria. Obtener los desplazamientos de los nodos. ν=0. Obtener las derivadas de las funciones de forma. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda. 2. 4. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. debida al peso propio originado por la densidad del hormigón ρ=2700 kg/m3 .3) de 20 metros de altura. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. Obtener el vector de cargas. Rus. Puertas
Se deﬁne un muro de contención de hormigón (E=20 GPa. 5. 8 de base y 4 de coronación. Obtener la matriz de rigidez de un elemento.
.G. Rus.
5. Obtener la matriz de rigidez de un elemento. E. Obtener las derivadas de las funciones de forma. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. Obtener los desplazamientos de los nodos. Rus.G. debida al peso propio originado por su densidad ρ=2300 kg/m3 .
. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. El terreno tiene como única carga la gravitatoria. Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior derecha. 2. 4. y esbozar gráﬁcamente la deformada. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas.4) de 20 metros de lado. y una discretización de un elemento cuadrado lineal. ν=0. se pide: 1. 3. Obtener el vector de cargas. Puertas
Se aisla un bloque cuadrado de un estrato de terreno (E=2 GPa.
. E. Rus.G.
. Rus.G.
Obtener las derivadas de las funciones de forma. 2.
.4) de 20 metros de lado (izquierda). Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. Rus. ν=0. debida al peso propio originado por la densidad del hormigón ρ=2700 kg/m3 y del terreno ρ=2300 kg/m3 . Obtener los desplazamientos de los nodos. Obtener el vector de cargas. Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario. contenido por un muro de hormigón (E=20 GPa. E. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. y una discretización de un elemento cuadrado lineal. ν=0. 3. 8 de base y 4 de coronación (derecha).3) de 20 metros de altura. Obtener la matriz de rigidez de un elemento. El sistema tiene como única carga la gravitatoria. y esbozar gráﬁcamente la deformada. 4. Puertas
Se deﬁne un sistema compuesto por la interacción de un bloque cuadrado de un estrato de terreno (E=2 GPa.G. se pide: 1. 5. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo.
Rus.G. Puertas
Rus. E. Puertas
Rus. estando el cuarto (el derecho) sometido a una tracción uniforme p = 1GP a. Deﬁnir la matriz de rigidez global y calcular las matrices de rigidez elementales necesarias para el cálculo de los desplazamientos de los nodos.G.
Se pide: 1. Obtener las funciones de forma. La estructura está empotrada en tres de sus cuatro lados. Deﬁnir el vector de cargas global y calcular los miembros necesarios para la obtención de los desplazamientos de los nodos. E. 3. Puertas
Resuelva por el Método de los Elementos Finitos la estructura de la ﬁgura. 4. 5. cuyo módulo elástico es E = 2 1011 P a y el coeﬁciente de Poisson ν = 0.
. Utilícese para su resolución elementos de dos nodos y cuadrados de cuatro nodos con funciones de forma lineales y tenga en cuenta que se considera en tensión plana. 2. Discretizar la estructura y deﬁnir los grados de libertad.3. Obtener el desplazamiento de los nodos.
Figure 6: Discretización de la estructura: nodos globales Existen dos grados de libertad por nodo. Funciones de forma
Para un elemento lineal.G. Puertas
2. E. En total serán 12 grados de libertad. las funciones de forma en coordenadas locales son (dibujar las funciones de forma): H1 H2 H3 H4 46 = = = =
1 (1 4 1 (1 4 1 (1 4 1 (1 4
+ x′1 )(1 + x′2 ) − x′1 )(1 + x′2 ) − x′1 )(1 − x′2 ) + x′1 )(1 − x′2 )
. Rus. de los cuales sólo los dos correspondientes al nodo 4 corresponden a desplazamientos. las funciones de forma en coordenadas locales son (dibujar las funciones de forma): H 1 = 1 − x′ H 2 = x′ Para un elemento cuadrado de cuatro nodos.
Los elementos de las matrices de rigidez para un elemento plano 2D se obtienen a partir de la integración:
kncmd =
Cijkl Bijnc Bklmd dV
    K=    
k11 (1) k21 (1) k31 (1) k41 0 0
k12 k13 k14 (1) (1) (1) k23 k24 k22 (1) (2) (3) (3) (1) (1) (2) k32 k33 + k22 + k11 k34 + k21 + k12 (1) (1) (2) (3) (1) (2) (3) k42 k43 + k12 + k21 k44 + k11 + k22 (2) (2) 0 k42 k41 (2) (2) 0 k32 k31
0 0 (2) k24 (2) k14 (2) k44 (2) k34
0 0 (2) k23 (2) k13 (2) k43 (2) k33
3.G. E. Rus.
3. 5. eliminamos las ﬁlas y columnas correspondientes a estos nodos (1. 2. 6) y nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Rus. Teniendo en 2 cuenta esta condición eliminamos las ﬁla y columna segunda y nos quedamos con una única ecuación con una incógnita: k4141 + k1111 + k22 Elemento 1 k4141 =
(1) (1) (2) (3) 4 u1 = f41 + f11 + f21 (1) (2) (3)
Cijkl Bij41 Bkl41 dV
siendo la matriz C la deﬁnida para tensión plana σ3 = 0:   0 1 ν Ez   ν 1 0 C= 1 − ν2 0 0 2 (1 − ν) El jacobiano de la tansformación es: J= 48
dx1 dx′ 1 dx1 dx′ 2 dx2 dx′ 1 dx2 dx′ 2
2 0 0 1.G.5
. Desplazamientos de los nodos
Como todos los nodos están ﬁjos a excepción del nodo 4. E. k44 + k11 + k22 k4141 + k1111 + k22 (1) (2) k4241 + k1211
(1) (2) (3) (1) (1) (2) (3)
U 4 = f4 + f1 + f2
k4142 + k1112 (1) (2) k4242 + k1212
u4 1 u4 2
f41 + f11 + f21 (1) (2) (3) f42 + f12 + f22
La simetría de la estructura nos permite concluir que u4 = 0. el sistema a resolver será  (1) (1) (1) (1) k11 k12 k13 k14  (1) (1) (1) (1)  k21 k22 k23 k24  (1) (1) (1) (2) (3) (1) (2) (3)  k31 k32 k33 + k22 + k11 k34 + k21 + k12  (1) (1) (1) (2) (3) (1) (2) (3)  k  41 k42 k43 + k12 + k21 k44 + k11 + k22  (2) (2) k41 0 k42  0 (2) (2) 0 0 k32 k31
         
4. Puertas En consecuencia.
2  1 Bijnc = B22n1 B22n2  según ε22  =  0 un 1 1 2 H1n. E.     H14. El tensor B que relaciona tensiones con deformaciones según εij = Bijnc un c es:       H1n. Elemento 3 Para el elemento lineal tenemos la integración: k2121 = Vector de cargas f41 = f11 =
(2) (1) S f1 H14 dS = S f1 H11 dS = (2) (1) 1 −1 1 −1 (3) L 0
EAH2.1 dx1 =
EA = 500 106 N/m L
p H4 |x′ =1
dx2 dx′2 dx′ 2 H1 |x′ =1 dx2 dx′2 dx′ 1 2
= 15 106 N = 15 106 N
4 f1 = 30. 106 N
.1 ε12 B12n1 B12n2 2 Por tanto.1 0 ε11 B11n1 B11n2 un H2n.2 2 H2n. por lo que el valor será el mismo al anteriormente indicado.1 H2.1 B1141 = 0 =  B2241  =  1 B1241 H 2 14.8991 106 N/m
Elemento 2 El elemento 2 es simétrico con el 1. Rus.G. Puertas cuyo determinante es: |J| = 3.2 
1 (1 16
Bij41 = Bkl41 Se tiene k4141 =
−1 −1 (1) 1 1
 − x′2 )  0 1 ′ (1 − x2 ) 16
1 (1 8
− x′2 ) 0
− x′2 )
 − x′2 )  3 dx′1 dx′2  0 1 ′ (1 − x2 ) 16 
 1 ν 0 zE   ν 1 0 1 − ν2 0 0 2 (1 − ν) 
k4141 = 63.
106 1 u4 = 47. E.8991 106 + 500 106 u4 = 30.786 mm 1
.G. Rus. Puertas Sistema de ecuaciones Se tiene entonces el sistema: 2 · 63.
se pide: 1. Rus. 5. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda. Hallar las funciones de forma y sus derivadas. 2.
Grados de libertad La discretización de la sección se realiza mediante dos elementos cuadrados lineales. Puertas
Se deﬁne la sección de un azud de hormigón (E=20 GPa. Obtener el vector de cargas. ν=0. 3. Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario. Describir la matriz de rigidez.G. 4. y una discretización de dos elementos cuadrados lineales. tal y como se reﬂeja en la ﬁgura 8 51
. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas.3) de 4 × 1 metros sometida a una presión constante de valor p = 44. tal y como se describe en el dibujo. E. Obtener los desplazamientos de los nodos.145 103 N/m tal y como se indica en la ﬁgura.
(b) Nodos locales Funciones de forma Las funciones de forma para un elemento cuadrado lineal en coordenadas locales son: H1 = 1 (1 + x′1 )(1 + x′2 ) 4 H2 = 1 (1 − x′1 )(1 + x′2 ) 4 H3 = 1 (1 − x′1 )(1 − x′2 ) 4 H4 = 1 (1 + x′1 )(1 − x′2 ) 4
Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas locales son: ∂H1 1 (1 + x′2 ) ∂x′ 4 1 = 1 ∂H1 (1 + x′1 ) 4 ∂x′
∂H2 ∂x′ 1 ∂H2 ∂x′ 2 ∂H3 ∂x′ 1 ∂H3 ∂x′ 2 ∂H4 ∂x′ 1 ∂H4 ∂x′ 2
1 − 4 (1 + x′2 ) 1 (1 − x′1 ) 4 1 − 4 (1 − x′2 ) − 1 (1 − x′1 ) 4
(1 − x′2 ) − 1 (1 + x′1 ) 4
El jacobiano de la transformación se obtiene teniendo en cuenta la relación entre las coordenadas locales y globales: xi = H n xn i 52
Figure 8: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales.G. Rus. E.
Puertas ∂Hn n ∂xi = x = ′ ∂xj ∂x′j i
∂x1 ∂x′ 1 ∂x1 ∂x′ 2 ∂x2 ∂x′ 1 ∂x2 ∂x′ 2
∂H1 ∂x′ 1 ∂H1 ∂x′ 2 ∂H1 ∂x′ 1 ∂H1 ∂x′ 2
x1 + 1 x1 + 1 x1 + 2 x1 + 2
∂H2 ∂x′ 1 ∂H2 ∂x′ 2 ∂H2 ∂x′ 1 ∂H2 ∂x′ 2
x2 + 1 x2 + 1 x2 + 2 x2 + 2
∂H3 ∂x′ 1 ∂H3 ∂x′ 2 ∂H3 ∂x′ 1 ∂H3 ∂x′ 2
x3 + 1 x3 + 1 x3 + 2 x3 + 2
∂H4 ∂x′ 1 ∂H4 ∂x′ 2 ∂H4 ∂x′ 1 ∂H4 ∂x′ 2
x4 1 x4 1 x4 2 x4 2
Para el primer elemento se tiene: 1 1 1 1 ∂x1 = 4 (1 + x′2 ) − 2 (1 + x′2 ) − 2 (1 − x′2 ) + 4 (1 − x′2 ) = 1 ′ ∂x1 4 4 4 4 El jacobiano para ambos elementos es igual debido a que son de la misma forma: 1 0 J (1) = J (2) = 1 0 2 y su determinante |J| =
= J (2)
Las derivadas de las funciones de forma en coordenadas globales se obtienen al multiplicar la derivada en coordenadas locales por la inversa del jacobiano de la transformación.2 =
∂x′ 1 ∂x1 ′ ∂x1 ∂x2 ∂x′ 1 ∂x1 ∂x′ 1 ∂x2 ∂x′ 1 ∂x1 ′ ∂x1 ∂x2 ∂x′ 1 ∂x1 ∂x′ 1 ∂x2 ∂x′ 2 ∂x1 ∂x′ 2 ∂x2 ∂x′ 2 ∂x1 ∂x′ 2 ∂x2 ∂x′ 2 ∂x1 ∂x′ 2 ∂x2 ∂x′ 2 ∂x1 ∂x′ 2 ∂x2 ∂H1 ∂x′ 1 ∂H1 ∂x′ 2 ∂H2 ∂x′ 1 ∂H2 ∂x′ 2 ∂H3 ∂x′ 1 ∂H3 ∂x′ 2 ∂H4 ∂x′ 1 ∂H4 ∂x′ 2
(1 + x′2 ) (1 + x′1 )
H2.G.1 H3.i =
(1 − x′2 ) (1 + x′1 ) 53
. H1. E.i = H1. Éstas serán las mismas para ambos elementos.2 H3.1 H4. Rus.1 H2.i =
H4.2 H2.i =
− 1 (1 + x′2 ) 4 1 (1 − x′1 ) 2
1 − 4 (1 − x′2 ) − 1 (1 − x′1 ) 2 1 4
H3.1 H1.2 H4.
Puertas Matriz de rigidez global El montaje de la matriz de rigidez:  (1) (1) k k 0  1•1• (1) 1•2• (2) (1) (2)  k2•1• k2•2• + k1•1• k1•2•  (2) (2)  0 k2•1• k2•2• K= (2) (2)  0 k3•1• k3•2•   (1) (1) (2) (2)  k3•1• k3•2• + k4•1• k4•2• (1) (1) k4•2• 0 k4•1• 
(1) k1•1• (1) k2•1• (1) k1•2•
0 k1•3• (2) k2•3• (2) k3•3• (2) k4•3• 0
k1•3• k1•4• (1) (2) (1) k2•3• + k1•4• k2•4• (2) k4•4• 0 (2) k3•4• 0 (1) (2) k3•3• + k4•4• 0 (1) 0 k4•4•
Por tanto. Rus. 3. E.G. Con lo que el sistema se reduce a dos 1 ecuaciones con dos incógnitas.
k2222 + k1212 k2232 + k1242 (1) (2) (1) (2) k3222 + k4212 k3232 + k4242 54
u2 2 u5 2
2 f2 5 f2
. 4 y 6. De ahí que el sistema se reduzca: k2•2• + k1•1• k2•3• + k1•4• (1) (2) (1) (2) k3•2• + k4•1• k3•3• + k4•4• El sistema completo será:      k2121 + k1111 (1) (2) k2221 + k1211 (1) (2) k3121 + k4111 (1) (2) k3221 + k4211
 (1) (2)  k2•2• + k1•1•  (2)  0 k2•1•  (2)  0 k3•1•   (1) (1) (2)  k3•1• k3•2• + k4•1• (1) (1) k4•2• k4•1•
(1) k1•3•
k1•3• k2•3• + k1•4• (2) (2) k2•3• k4•4• 0 (2) (2) k3•3• k3•4• 0 (2) (1) (2) k4•3• k3•3• + k4•4• 0 (1) 0 0 k4•4•
(1) k1•4• (1) k2•4•
        
k2122 + k1112 (1) (2) k2222 + k1212 (1) (2) k3122 + k4112 (1) (2) k3222 + k4212
k2131 + k1141 (1) (2) k2231 + k1241 (1) (2) k3131 + k4141 (1) (2) k3231 + k4241
k2132 + k1142 (1) (2) k2232 + k1242 (1) (2) k3132 + k4142 (1) (2) k3232 + k4242
  2 u2 f 1  2   1 2 u2   f2   5  =  5 f1  u1 5 5 u2 f2
5 Por simetría u2 y u1 son cero. el sistema a resolver será: 0 k1•2• (2) k2•2• (2) k3•2• (2) k4•2• 0
Las condiciones de contorno del problema indican que los desplazamientos en ambas direcciones son nulos para los nodos 1.
ya que en el nodo 5 no hay ninguna carga actuando. E. k2222 =
(1) 1 −1 (1) V(1) 1
Por tanto.1 2
A continuación describimos el cálculo de uno de los ocho términos necesarios de la matriz de rigidez. Puertas Cada una de las componentes a calcular de la matriz de rigidez se obtienen: (e) (e) (e) kncmd = Cijkl Bijnc Bklmd dV
siendo la matriz C la deﬁnida para tensión plana σ3 = 0:   1 ν 0 Ez   ν 1 0 C= 1 − ν2 0 0 2 (1 − ν)
n Y el tensor B que relaciona tensiones con deformaciones según εij = Bijnc uc es:       H1n.1
k2222 = Vector de cargas
Ez 1 − ν2
H2.2  1 dx′1 dx′2 ν 1 0 1 − ν2 2 1 H2.2 H2.2 +
  0 1 ν 0 Ez    H2.1 0 0 2 (1 − ν) 2 1 (1 − ν) H2.1 2 1 ′ ′ dx dx 2 1 2
Únicamente hay que calcular el vector de cargas en el nodo 2. para la segunda dirección coordenada se tendrá:       0 B11n2 0 B =  B22n2  =  H2n.2 2 H2n.2  =  1 (1 − x′1 )  2 1 B12n2 − 1 (1 + x′2 ) H2n.2  1 Bijnc = B22n1 B22n2  según ε22  =  0 un 1 1 2 ε12 B12n1 B12n2 H1n.G.1 H2. Rus. Para el cálculo hay que tener en cuenta la carga correspondiente a cada elemento: (1) (2) 2 f2 = f22 + f12 Detallamos el cálculo para el primer elemento: f22 =
(1) S (1) S f2 H22 dS = −1 (1) 1
p H2 |x′ =1
dx1 ′ dx dx′1 1 55
H2.1 2 8
Cijkl Bij22 Bkl22 dV =
Cijkl Bij22 Bkl22 |J| dx′1 dx′2 
k2222 =
0 H2.1 0 ε11 B11n1 B11n2 un H2n.
Rus. E.22148 10−5 1.8022 101 0 −2.07406 10−5
.8022 101 0 3. 0
Resolviendo se obtiene que el desplazamiento en los nodos 2 y 5 es: u2 2 u5 2 = 1.18681 101 0 −2.G.18681 101 0 u2 2 u5 2 = 88290. Puertas Desplazamiento de los nodos El sistema de ecuaciones resultante es: K= 3.
Rus.43 kPa. 2. El azud está sometido a una presión hidrostática procedente del peso del agua. Obtener las funciones de forma. ν=0. Deﬁnir la matriz de rigidez. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. Obtener los desplazamientos de los nodos. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. tal y como se describe en el dibujo. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. 5. E.3) de 3 metros de altura y sección 1 × 4m . de modo que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor p=29.G. 4. se pide: 1. 3. Puertas
Se deﬁne un pequeño azud de hormigón (E=20 GPa.
Considerando una discretización de dos elementos hexaédricos lineales de ocho nodos.
Grados de libertad La discretización de la estructura se toma tal y como indica la siguiente ﬁgura (ﬁgura 9) 57
. Obtener el vector de cargas.
correspondientes con los nodos globales 9 y 12. únicamente se deﬁnen dos grados de libertad en desplazamientos. por lo que hay que considerar tres grados de libertad por nodo. Teniendo en cuenta las condiciones de contorno y la simetría de la estructura. Puertas
Figure 9: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales. E.G. Las coordenadas locales de cada uno de los nodos se deﬁnen en la siguiente tabla: Nodo 1 2 3 4 5 6 7 8 58 x′1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 x′2 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 x′3 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
. (b) Nodos locales La estructura es tridimensional. que en total serán 36 grados de libertad. Funciones de forma El elemento hexaédrico recto más sencillo de clase C 0 es el de ocho nodos que se muestra en la ﬁgura siguiente (ﬁgura 10). Rus.
La expresión general de la función de forma de un nodo cualquiera i. x′2 . las funciones de forma para un elemento hexaédrico lineal de ocho nodos son: ′ H1 = 1 (1 − x′1 ) (1 − x′2 ) (1 − x3 ) 8 1 H2 = 8 (1 + x′1 ) (1 − x′2 ) (1 − x′3 ) 1 H3 = 8 (1 + x′1 ) (1 + x′2 ) (1 − x′3 ) 1 H4 = 8 (1 − x′1 ) (1 + x′2 ) (1 − x′3 ) 1 H5 = 8 (1 − x′1 ) (1 − x′2 ) (1 + x′3 ) 1 H6 = 8 (1 + x′1 ) (1 − x′2 ) (1 + x′3 ) 1 H7 = 8 (1 + x′1 ) (1 + x′2 ) (1 + x′3 ) 1 H8 = 8 (1 − x′1 ) (1 + x′2 ) (1 + x′3 ) 59
. la función de forma se puede obtener fácilmente tal y como se indica en la ﬁgura 11. j Para el nodo 5. como producto de las tres funciones de una sola variable correspondientes a cada una de las tres direcciones x′1 .G. H5 =
1 1 1 (1 − x′1 ) (1 − x′2 ) (1 + x′3 ) 2 2 2
Así. E. x′3 en ese nodo. Rus. se obtiene mediante la siguiente expresión:
(e) Hn =
1 ′ (1 + x′n x′1 ) (1 + x′n x2 ) (1 + x′n x′3 ) 1 2 3 8
siendo x′n la coordenada j-ésima del nodo n. Puertas
Figure 10: Elemento hexaédrico de 8 nodos Las funciones de forma de un nodo se obtienen.
Figure 11: Obtención de la función de forma para el nodo 5 Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas locales:  dH1     dH5   1  − 1 (1 − x′2 ) (1 − x′3 ) − 8 (1 − x′2 ) (1 + x′3 ) dx′ dx′ 1 1 8  5   dH1   1 − 8 (1 − x′1 ) (1 − x′3 )   dH′2  =  − 1 (1 − x′1 ) (1 + x′3 )   dx′2  = dx 8 1 dH1 dH5 − 1 (1 − x′1 ) (1 − x′2 ) (1 − x′1 ) (1 − x′2 ) ′ ′ 8 8 dx dx  dH3    dH3     6 2 1 1 (1 − x′2 ) (1 − x′3 ) (1 − x′2 ) (1 + x′3 ) dx′ dx′ 1 1 8  6   dH2   8 ′ − 1 (1 + x′1 ) (1 − x3 )   dH′2  =  − 1 (1 + x′1 ) (1 + x′3 )   dx′2  = dx 8 8 1 ′ dH2 dH6 − 1 (1 + x′1 ) (1 − x2 ) (1 + x′1 ) (1 − x′2 ) dx′ dx′  dH3   8  dH3   8   7 3 1 1 ′ (1 + x′2 ) (1 − x3 ) (1 + x′2 ) (1 + x′3 ) dx′ dx′ 1 1 8  7   dH3   8 1 1 ′ (1 + x′1 ) (1 − x3 )   dH′2  =  8 (1 + x′1 ) (1 + x′3 )   dx′2  = dx 8 1 ′ dH3 dH7 − 1 (1 + x′1 ) (1 + x2 ) (1 + x′1 ) (1 + x′2 ) dx′ dx′  dH3   8  dH3   8   8 4 ′ − 1 (1 + x′2 ) (1 − x3 ) − 1 (1 + x′2 ) (1 + x′3 ) dx′ dx′ 1 1 8 8  8   dH4   1 (1 − x′1 ) (1 − x′3 )   dH′2  =  1 (1 − x′1 ) (1 + x′3 )   dx′2  = dx 8 8 1 ′ dH4 dH8 (1 − x′1 ) (1 + x′2 ) − 1 (1 − x′1 ) (1 + x2 ) ′ ′ 8 8 dx dx
El jacobiano de la transformación se halla teniendo en cuenta la relación entre las coordenadas globales y locales:  ∂x1 ∂x2 ∂x3  A modo de ejemplo calculamos un elemento de la matriz:  J =
∂x′ 1 ∂x1 ∂x′ 2 ∂x1 ∂x′ 3 ∂x′ 1 ∂x2 ∂x′ 2 ∂x2 ∂x′ 3 ∂x′ 1 ∂x3 ∂x′ 2 ∂x3 ∂x′ 3
∂H1 1 ∂H2 2 ∂H3 3 ∂H4 4 ∂H5 5 ∂H6 6 ∂H7 7 ∂H8 8 1 ∂x1 = x+ x+ x+ x+ x+ x+ x+ x = ′ ∂x1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 2 60
E. las derivadas en coordenadas globales de las funciones de forma se obtienen multiplicando éste por las derivadas en coordenadas locales.i =  Hn.1 2 Hn. teniendo en cuenta que es simétrica y sólo se representan los términos de la diagonal y por encima de ésta:  (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) k1•1• k1•2• k1•3• 0 0 k1•4• k1•5• k1•6• k1•7• 0 (1) (1) (1) (1) (1) (1)  k2•2• k2•3• 0 0 k2•4• k2•5• k2•6• k2•7• 0   (1) (1) (1) k3•7• k3•4• k3•3•  (2) (1) (1) (2) (2) k2•7• k3•5• k3•6• k2•3• k2•4•  (2) (2) (2)  +k2•6• +k2•1• +k2•2•  (2) (2) (2) (2) (2)  k3•3• k3•4• k3•1• 0 0 k3•6• k3•7•  (2) (2) (2) (2)  k4•4• k4•1• 0 0 k4•6• k4•7•   (1) (1)  k4•7• k4•4• (2) (1) (1)  k1•7• k4•5• k4•6• (2) (2)  +k1•6• +k1•1•  (1) (1) (1)  k5•5• k5•6• k5•7• 0   (1) (1) k6•6• k6•7• 0   (1)  k7•7• (2)  k6•7• (2)  +k6•6•  (2)  k7•7•      61
0 0 k2•8• k3•8• (2) k4•8• k1•8• 0 0 k6•8• k7•8• (2) k8•8•
k1 ( k2 ( k3 +k ( k3 ( k4 ( k4 +k ( k5 ( k6 ( k7 +k ( k7 ( k8 ( k8 +k
.3 1 2 3 3 ∂x′
∂x3 ∂x3 ∂x3
Matriz de rigidez global La matriz de rigidez.3 Hn.2  ∂x ∂x2 ∂x2 2 ∂Hn ∂x′ ∂x′ ∂x′ Hn.1 ∂x′ ∂x1 ∂x1 ∂x1 1 ′  ′ ∂x′   n  3 Hn. La inversa se obtiene: 4   2 0 0 −1 −1 J (1) = J (2) = 0 1 0  2 0 0 3
Una vez calculado el jacobiano de la transformación.G.   ∂x′1 ∂x′2 ∂x′3   ∂Hn     Hn.2  =  ∂x1 ∂x2 ∂x2   ∂H′2  =  Hn. Rus. Puertas Obteniendo que el jacobiano es igual para ambos elementos:   1 0 0 2 J (1) = J (2) =  0 1 0  0 0 3 2
y su determinante es |J| = 3 .
E. 3. 5. El sistema se simpliﬁca: k7•7• + k6•6• k7•8• + k6•5• (1) (2) k8•8• + k5•5•
U9 U 12
f9 f 12
Observando la simetría del problema respecto al plano x1 x3 podemos concluir que los desplazamientos en ambos nudos en la dirección x2 son nulos. Rus.
. 8. 2.4. De ahí que el sistema se reduzca a cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:  k7171 + k6161 k7173 + k6163 k7181 + k6151 k7183 + k6153  (1) (2) (2) (1) (2) (1) k7373 + k6363 k7381 + k6351 k7383 + k6353   (1) (2) (1) (2)  k8181 + k5151 k8183 + k5153 (1) (2) k8383 + k5353 Cada componente de la matriz de rigidez se calcula: kncmd =
(e) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
El sistema completo será entonces.7. 6. teniendo en cuenta que la matriz de rigidez es simétrica:  (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) k7171 + k6161 k7172 + k6162 k7173 + k6163 k7181 + k6151 k7182 + k6152 k7183 + k6153  (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)  k7272 + k6262 k7273 + k6263 k7182 + k6152 k7282 + k6252 k7283 + k6253  (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)  k7373 + k6363 k7381 + k6351 k7382 + k6352 k7383 + k6353  (1) (2) (1) (2) (1) (2)  k8181 + k5151 k8182 + k5152 k8183 + k5153   (1) (2) (1) (2) k8282 + k5252 k8283 + k5253  (2) (1) k8383 + k5353
  9 u9 f 1  9   1 9   u3   f3   12  =  12 f1  u1 12 12 u3 f3
Cijkl Bijnc Bklmd dV = Cǫ:        
siendo la matriz C la relación entre tensión y deformación σ  λ + 2µ λ λ 0 0 0  λ λ + 2µ λ 0 0 0   λ λ λ + 2µ 0 0 0 C=  0 0 0 2µ 0 0   0 0 0 0 2µ 0 0 0 0 0 0 2µ donde λ = 62
νE (1+ν)(1−2 ν)
yµ=
E 2 (1+ν)
son las constantes de Lamé.G. Puertas Como el desplazamiento en los nodos 1. 10 y 11 es nulo.
      
H7.2 + µ H7.2 H7.1 H7.1 0  2 2   1 1  Hn.1 0 0 1 H7.3 0
    |J| dx′1 dx′2 dx′3   
′ |J| dx′1 dx′2 dx3
Vector de cargas Únicamente existe fuerza aplicada sobre el nodo 12 y en la primera dirección coordenada. por lo que será necesario el cálculo de la carga en este nodo:
12 f1 = f81 + f51 (1) (2)
(1) f81 1 1
H8 dV =
x′3 3
H8 |x′ =0
dx2 dx3 ′ ′ dx dx dx′2 dx′3 2 3
.2 1 H 2 7.1  2 2 1 1 Hn.2 0     0 0 Hn. Puertas La matriz B de interpolación del campo de deformaciones ǫ = B un es:   Hn.3 0 Hn. Rus.3   B= 1  Hn.3  (1) (1)
Presentamos el cálculo de uno de los elementos de la matriz de rigidez: k7171 =
′ Cijkl Bij71 Bkl71 |J| dx′1 dx′2 dx3
(1) k7171
k7171 = −1 −1 −1 H7.2 0 2
(1) 1 −1 (1) 1 1 1 1 −1 1 −1 1 H 0 2 7. E.3 H7.2 1 Hn.3 2 Hn.G.1 0 0 1 H 2 7.2 2  λ + 2µ λ λ 0 0  λ λ + 2µ λ 0 0   λ λ λ + 2µ 0 0   0 0 0 2µ 0   0 0 0 0 2µ 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2µ
1 1 (λ + 2 µ) H7.1 0 0  0 Hn.1 + µ H7.
Se deﬁne un muro de contención de hormigón (E=20 GPa. 3. 12 de base y 4 de coronación. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. se pide: 1. de modo que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor 2p=0.G. 1h 30min.3 MPa. 2.
Considerando sección en tensión plana de espesor unitario. Rus. Obtener las derivadas de las funciones de forma. Obtener la componente k1111 de la matriz de rigidez del elemento que lo compone.) 64
. donde el nodo 1 es el superior derecho. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. (Examen Final de febrero de 2007. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda. ν=0. y una discretización de un elemento cuadrado lineal. El muro se carga con una presión hidrostática procedente del peso del agua que baña la cara izquierda. Indicar gráﬁcamente los grados de libertad de la estructura. E. y la dirección 1 es la horizontal.3) de 30 metros de altura.
Derivadas de las funciones de forma El elemento más sencillo de clase C 0 es el de cuatro nodos que se muestra en la ﬁgura 12. por lo que hay que considerar dos grados de libertad por nodo. Teniendo en cuenta las condiciones de contorno y la simetría de la estructura.G. E. que en total serán 8 grados de libertad. correspondientes con los nodos globales 1 y 2. Para los nodos 3 y 4 los grados de libertad vienen deﬁnidos en tensiones. (b) Nodos locales La estructura es bidimensional. únicamente se deﬁnen grados de libertad en desplazamientos en los nodos superiores. Rus. Puertas
Grados de libertad La discretización de la estructura se toma tal y como indica en el enunciado del problema (ﬁgura 9)
Figure 12: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales. Las coordenadas locales de cada uno de los nodos se deﬁnen en la siguiente tabla: 65
E. x′2 en ese nodo. Rus. Puertas Nodo 1 2 3 4 x′1 1 -1 -1 1 x′2 1 1 -1 -1
Las funciones de forma de un nodo se obtienen. como producto de las dos funciones de una sola variable correspondientes a cada una de las dos direcciones x′1 .G. H1 H2 H3 H4 = = = =
1 − 4 (1 + x′2 ) 1 (1 − x′1 ) 4 1 − 4 (1 − x′2 ) 1 − 4 (1 − x′1 )
(1 − x′2 ) (1 + x′1 )
El jacobano de la transformación se halla teniendo en cuenta la relación entre las coordenadas globales y locales: J=
A modo de ejemplo calculamos un elemento de la matriz: ∂x1 ∂H1 1 ∂H2 2 ∂H3 3 ∂H4 4 = x + x + x + x = 2(2 − x′2 ) ′ ∂x1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 ∂x′1 1 Obteniendo que el jacobiano es: J= 66 2(2 − x′2 ) 0 −2(1 − x′1 ) 15
 1+x′ − 8 2−x2′ ) =  1−3 ( ′ −22x′  x 
60(2−x′ ) 2
1+x′ 2 8(2−x′ ) 2 1+x′ 1 20(2−x′ ) 2
H3. Hn.1 2
1 ν Ez  ν 1 C= 1 − ν2 0 0
.1 Hn. las derivadas en coordenadas globles de las funciones de forma se obtienen multiplicando éste por las derivadas en coordenadas locales. Puertas Su inverso: J −1 =
1 2(2−x′ ) 2 1+x′ 1 15(2−x′ ) 2
y su determinante es |J| = 30(2 − x′2 ) Una vez calculado la inversa del jacobiano de la transformación.2 H3. Rus.i = Hn.i =
H4.2 2 H2n.1 0 ε11 B11n1 B11n2 un H2n.G.1 H3.2 H1.2 H2.i =
 1−x′ − 8 2−x2′ ( 2) =  3−x′1 −2 x′2  60(2−x′ ) 2   ′ 1−x 
8(2−x′ ) 2 1+x′ 1 − 60 2−x′ ( 2)
Elemento k1111 de la matriz de rigidez Cada componente de la matriz de rigidez se calcula: kncmd =
Cijkl Bijnc Bklmd dV   0 0 
Y el tensor B que relaciona tensiones con deformaciones según εij = Bijnc un c es:       H1n.i =
H2.1 H1.2 =J
−1 ∂Hn ∂x′ 1 ∂Hn ∂x′ 2
H1.2 H4. E.2  1 Bijnc = B22n1 B22n2  según ε22  =  0 un 1 1 2 ε12 B12n1 B12n2 H1n.1 H4.1 H2.
2 H1. E.1 0
1 H 2 1.93136 1010 N/m
= 3. Rus.1 H1.1 0   0  |J| dx′1 dx′2 = 1−ν 1 H 2 2 1. Puertas Presentamos el cálculo de uno de los elementos de la matriz de rigidez:
k1111 =
Bij11 Cijkl Bkl11 |J| dx′1 dx′2 =  1 ν  ν 1 0 0   0 H1.2 |J| dx′1 dx′2 =
H1.G.1 +
1 (1 − ν) H1.2
Ez 1−ν 2
3) sometido a una carga p = d7 104 P a .G. Obtener el desplazamiento en los nodos centrales del muro. Puertas
Se considera un muro de hormigón (E = 20GP a. E. 2. z utilizando FEAP.
Nota: Los parámetros di coinciden con las cifras de su DNI. ν = 0. A y B explicando y estructurando cada paso seguido en la resolución. Rus. 3. Comparar los resultados obtenidos. Resolver el problema anterior empleando el programa de elementos ﬁnitos FEAP. 4.
Se pide: 1. Resolver el problema doblando el número de elementos en cada una de las direcciones x. y. Empleando una discretización de dos elementos de forma cúbica y con funciones de forma lineales.
. con las dimensiones representas en la ﬁgura.
. Analizar los resultados obtenidos. cuyo módulo elástico es E = 3.5 y la densidad ρ = 26d5d6 kg/m3 . E. 4. tal y como indica la ﬁgura.10d3d4 1010 P a. Puertas
Resuelva por el Método de los Elementos Finitos la presa de la ﬁgura (cotas en metros).
Nota: Los parámetros di coinciden con las cifras de su DNI. estando el lado izquierdo sometido a una presión hidrostática. el coeﬁciente de Poisson ν = 0. 3. Calcular los desplazamientos de los nodos considerando que la presa está únicamente sometida a presión hidrostática.
Se pide: 1. La estructura está empotrada en su base. Utilícese para su resolución elementos cuadrados de cuatro nodos con funciones de forma lineales y tenga en cuenta que se considera en tensión plana. Explique y estructure cada paso seguido en la resolución. Resolver el problema anterior utilizando FEAP. Rus. Resolver el problema considerando también el peso propio de la presa mediante FEAP. 2.G.
2. y 4. E. La placa se discretiza mediante cuatro elementos de cuatro nodos con funciones de forma lineal.
Se pide: 1.3) sometida a una carga puntual p = d7 106 N . Rus. Comparar los resultados obtenidos. Resolver el problema aumentando el número de elementos en cada una de las direcciones x. explicando y estructurando cada paso seguido en la resolución. Puertas
Se considera una placa cuadrada (E = 206GP a. Calcular el desplazamiento en el centro de la placa considerando la simetría del problema.
. para los casos siguientes: (a) Doble número de elementos en la dirección x (b) Doble número de elementos en la dirección y (c) Doble número de elementos en ambas direcciones x. Resolver el problema anterior empleando el programa de elementos ﬁnitos FEAP. y utilizando FEAP. ν = 0. 3.G. con las dimensiones representadas en la ﬁgura.
Nota: Los parámetros di coinciden con las cifras de su DNI.
6. y dónde se usa. al que se le elimina un nodo de modo que de sus funciones de forma el término (x). 1. representar una deformación ε constante según la dirección x. y el motivo. Explíquese si es posible. Calcular el número de nudos que tendrá un elemento sólido 2D de forma cuadrangular tal que en la dirección x1 sea cuadrático y en la dirección x2 sea lineal. x2 y2 ). y. Se evaluará la capacidad de seleccionar y sintetizar la información relevante. 5. Rus. 72
. Poner un ejemplo de cada problema. Describir y expresar matemáticamente la diferencia entre un problema de tensión plana y uno de deformación plana. 4. x2 y. 7. 3.3) (1. 9. 8. Dada una barra de un elemento lineal (dos nudos) de 3 unidades de longitud. Puertas
Preguntas de teoría. usando un total de cuatro puntos de Gauss.1) (5. Calcular el número de nodos que tiene un elemento cúbico 3D tal que tenga todas las funciones de forma polinómicas de hasta orden cúbico. calcular el vector de cargas f debido a una carga distribuida triangularmente. Coméntense ventajas y limitaciones de la idea de hacer los elementos isoparamétricos. y2 . x.G. E. Sea un elemento cuadrado 2D cuadrático de 9 nodos. quedando 8. x2 . Describir en qué ocasiones es mejor elegir una discretización 3D con elementos cúbicos y en qué ocasiones con elementos tetraédricos.2) mediante integración numérica. Calcular el área de un elemento cuadrado cuyos nodos tienen coordenadas (4. 2. xy. xy2 .3) (2. cuyas funciones de forma incluyen los términos (1. con valor nulo a la izquierda y valor 5 unidades a la derecha. Escribir las funciones de forma asociadas a cada nodo. Enumerar las ventajas e inconvenientes de elementos triangulares frente a cuadrados en 2D. Describir el sentido geométrico del jacobiano. 10.
13.1) (1.5) mediante integración numérica. Explíquese porqué en el problema 7. Indique qué tipología de elementos utilizaría para calcular una presa de contrafuertes y describa sucintamente éstos. aunque todas las fuerzas aplicadas verticales son nulas.1) (5. 15. Rus. Relacionese el resultado del problema 12 con el fenómeno de los baches que se producen al entrar en un puente al poco tiempo de construirlos. 14.4) (2.2.4) (1. usando un total de cuatro puntos de Gauss.5) (5.3.1) (5.1) (2.2.2) mediante integración numérica.3. usando un total de ocho puntos de Gauss.G.1.
. Puertas 11. existen desplazamientos verticales. de un elemento cuadrado cuyos nodos tienen coordenadas (4. E. 12. Describir cómo se calculan las tensiones mediante el método de los elementos ﬁnitos. 16.1) (4. Calcular el momento de inercia respecto al eje y=0 y respecto al eje y=centro de gravedad del elemento.3) (2.1.3.3) (1.3. Calcular el área de un elemento cúbico cuyos nodos tienen coordenadas (4.
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