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Timestamp: 2019-10-23 09:08:12+00:00

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Hallar el número de vértices de un poliedro a partir de su desarrollo plano. Imaginar el resultado de girar un cuerpo geométrico. Imaginar el cuerpo geométrico ...
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La Geometría en el aula
Es correcto, pregunto, es incluso prudente, aburrirse a sí mismo y aburrir a los estudiantes. Goethe
1. El enfoque de resolución de problemas en la enseñanza de la Geometría Las tendencias actuales sobre enseñanza de la matemática promueven su aprendizaje mediante la resolución de problemas: resolver problemas constituye no sólo la finalidad de enseñar Matemáticas sino también un medio a través del cual los alumnos construyen conocimientos matemáticos. Acorde con este enfoque, se sugiere que la enseñanza de la Geometría gire en torno a la resolución de problemas que impliquen el uso de relaciones y conceptos geométricos. Los problemas deben ser lo suficientemente difíciles para que realmente constituyan un reto para los alumnos y lo suficientemente fáciles para que cuenten con algunos elementos para su resolución. Una situación problemática es aquélla en la que se desea obtener un resultado pero no se conoce un camino inmediato para obtenerlo, en este sentido la concepción de problema es relativa: lo que para unos alumnos puede resultar un problema para otros ya no lo es si cuentan con un camino para su resolución. La concepción de un problema como una situación de aprendizaje es muy amplia, los siguientes son ejemplos de problemas en Geometría: • • • • • • •
Se sugiere que la enseñanza de la Geometría gire en torno a la resolución de problemas de relaciones y conceptos geométricos.
Armar un rompecabezas Hacer el croquis del camino de la casa a la escuela Calcular el número de diagonales de un polígono cualquiera Calcular la altura de un poste (sin medirlo) Hallar el número de vértices de un poliedro a partir de su desarrollo plano Imaginar el resultado de girar un cuerpo geométrico Imaginar el cuerpo geométrico que se forma con cierto desarrollo plano.
Este enfoque supone un modelo de clase muy diferente a aquel en el que se acostumbra mostrar un concepto geométrico o dar una explicación de los contenidos para después aplicarlos a problemas. Se trata ahora de realizar tareas que lleven a los estudiantes a experiencias más significativas: visualizar, explorar y analizar, abstraer propiedades, clasificar, elaborar conjeturas y tratar de validarlas. Por ejemplo, considérese la siguiente actividad. Se le da al alumno la siguiente información: 1. Es una diagonal
En esta parte de la actividad los alumnos visualizan las figuras e identifican cuál es o no una diagonal.
II. La Geometría en el aula
Después se le plantea el siguiente problema: A partir de la información anterior, anota si el segmento rojo es o no es una de las diagonales de la figura.
¿Qué procesos pone en juego el alumno al tratar de decidir si el segmento rojo es o no es una diagonal de la figura? Ya no sólo se trata de visualizar, ahora tendrá que explorar y analizar cuál es la característica principal de una diagonal. Empieza entonces un proceso de abstracción en donde el alumno debe fijarse en qué es lo que se mantiene invariante en las diagonales, qué es lo que determina que el segmento indicado sea diagonal. Empezarán a elaborar conjeturas de lo que es una diagonal, algunas serán falsas o sólo se cumplirán en ciertos casos; por ejemplo, las siguientes son definiciones erróneas: • • • • •
Un segmento inclinado Un segmento que pasa por el centro de la figura Un segmento que une dos ángulos de la figura Un segmento que une dos vértices de la figura Un segmento que atraviesa la figura 79
El docente dista mucho de ser un simple transmisor de contenidos geométricos.
Con base en la idea que hayan construido sobre lo que es una diagonal, podrán clasificar en el segundo grupo de figuras aquellas que tienen señalada la diagonal de las que no lo tienen. Es importante que cuando los alumnos enuncien sus conjeturas acerca de lo que es una diagonal o cuando determinen si un segmento es o no diagonal de una figura se les invite a argumentar ¿por qué lo crees así? La argumentación es una de las competencias básicas que se pretende que los alumnos desarrollen durante su Educación Básica. Una manera de trabajar los problemas consiste, grosso modo, en organizar al grupo en pequeños equipos o parejas y plantear el problema; se da el tiempo necesario para que los alumnos interactúen y traten de hallar la solución, después del cual se puede hacer una puesta en común o confrontación de resultados de manera grupal en donde algunos equipos, previamente seleccionados por el maestro, podrán exponer al frente sus procedimientos y resultados.
2. Propuesta para la enseñanza: el aula-taller de Geometría Todo lo expuesto anteriormente implica una enseñanza de la Geometría en la que el docente dista mucho de ser un simple transmisor de contenidos geométricos. Sin descuidar éstos, la propuesta es llevar a cabo los diferentes tipos de tareas (conceptualizar, investigar, demostrar) en las que se trabaje el desarrollo de las habilidades mencionadas (visualización, de dibujo, comunicación, razonamiento lógico y transferencia), considerando los diferentes niveles de razonamiento geométrico propuestos por Van Hiele (reconocimiento, análisis, clasificación y deducción); todo ello bajo el enfoque de resolución de problemas. También se dijo que el punto de partida para el aprendizaje de la Geometría es el entorno físico: en esta disciplina el uso de material concreto (sobre todo en los primeros grados de escolaridad) cobra particular importancia al constituirse en un primer acercamiento hacia los diferentes grados de abstracción que se espera que los alumnos alcancen; sin embargo, es necesario mencionar que se debe ser muy cauteloso en la utilización de este material, pues debe estar supeditada a actividades que realmente con80
duzcan a un aprendizaje adecuado de los contenidos geométricos y al desarrollo de las habilidades geométricas mencionadas. El uso de material concreto, por sí mismo, no garantiza un aprendizaje significativo, se requiere que el profesor tenga un propósito específico para que la actividad que realice el alumno lo conduzca al desarrollo de una habilidad y al aprendizaje de contenidos geométricos. Al utilizar material concreto se debe estar alerta de que realmente se use bajo el enfoque de resolución de problemas. El aula-taller de Geometría o aula-laboratorio se concibe como un espacio en el donde el alumno se hace responsable de su propio aprendizaje y el maestro es quien: • • • •
Elige, adapta o diseña las actividades a trabajar. Organiza al grupo. Indica las consignas de las actividades a trabajar o problemas a resolver. Observa a los alumnos mientras trabajan, auxiliando a los que no hayan entendido lo que se tiene que hacer, dando pistas a los que hayan entendido pero requieren algo de ayuda; claro está, siempre sin solucionarles los problemas • Dirige la confrontación grupal o puesta en común de resultados y procedimientos. • Cierra la actividad institucionalizando o formalizando los contenidos geométricos trabajados durante la clase.
2.1. Materiales para construir la Geometría Existen diferentes materiales que el maestro puede emplear para realizar actividades que favorezcan el desarrollo de habilidades geométricas y la adquisición de conocimiento geométrico. A continuación se presentan algunos ejemplos:
a) Tangram. El uso de estos rompecabezas geométricos desarrolla la visualización, las habilidades de reproducción, construcción y comunicación. Los siguientes son dos ejemplos de ellos:
Algunas actividades que se pueden desarrollar con los tangram son: • Recortar las diferentes piezas del rompecabezas y con ellas armar cuadrados, rectángulos, romboides, trapecios, utilizando una, dos, tres, cuatro o más piezas. • Reproducir con regla y compás los rompecabezas. El trabajo con tangram, entre otras cosas, permite enriquecer la imagen conceptual de las figuras, ya que van apareciendo en diferente posición y están formados por distintas piezas. También prepara a los alumnos para la deducción de las fórmulas de las áreas, pues construyen la idea de unas figuras que pueden descomponerse o ser formadas por otras. b) Geoplano. Consiste en un cuadrado de madera al que previamente se le traza una cuadrícula (del tamaño deseado) y en cada punto de intersección de dos líneas de la cuadrícula se clava un clavo dejando una parte de él
fuera para que pueda sujetar ligas. Un buen número de clavos es 5 x 5 = 25. Con las ligas de colores pueden formarse diferentes figuras geométricas.
Los usos del geoplano son múltiples, algunos ejemplos de actividades de investigación son: • Formar en el geoplano un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un trapecio, etcétera. • Reproducir en el geoplano una figura dibujada en el pizarrón o construida en el geoplano del maestro. • Formar en el geoplano todos los segmentos diferentes que puedan construirse (cuando se haya estudiado el teorema de Pitágoras puede pedirse la longitud de cada uno). • Formar en el geoplano todos los cuadrados de diferentes tamaños que puedan formarse (lo mismo para rectángulos, triángulos rectángulos, etcétera). • Hallar la figura simétrica con respecto al eje indicado.
• Formar un polígono irregular y dar las instrucciones oralmente para que otro u otros compañeros formen un polígono idéntico y en la misma posición. c) Doblado de papel. El origami o papiroflexia constituye un excelente recurso para trabajar la Geometría, desde elaborar figuras siguiendo las instrucciones dadas por el profesor o por un manual hasta resolver problemas con el doblado de papel. Un problema de investigación podría ser: por medio de dobleces construir, a partir de un cuadrado, el mayor número de figuras geométricas que tengan diferente nombre (dos triángulos se cuentan por uno solo).
Seguir las instrucciones para hacer una figura de papel también desarrolla habilidades de visualización y comunicación.
Además, al hacer los dobleces implícitamente los alumnos están en contacto con diversos conceptos geométricos: cuadrado, diagonal, triángulo, triángulo rectángulo, etcétera.
Si lo que se desea es que los estudiantes se apropien del vocabulario geométrico, la papiroflexia puede trabajarse dando las indicaciones oralmente o por escrito usando términos geométricos y cuestionando a los alumnos sobre las figuras que van obteniendo y sus características. Por ejemplo: • Tomen un cuadrado:
• Dóblenlo por una de sus diagonales:
• Según sus lados, ¿qué tipo de triángulo obtienen? Según sus ángulos, ¿qué tipo de triángulo obtienen?
d) Espejos. Ideales para validar o construir figuras simétricas. Si se hace un libro de espejos (dos espejos pegados por uno de sus lados a manera de bisagra que se abre y se cierra) se puede explorar la generación de polígonos regulares: ¿cuánto debe medir el ángulo entre los espejos para que, al ponerse sobre un papel con una recta dibujada, forme determinado polígono semejante?
e) Cubos de madera. Con ellos se pueden formar diferentes cuerpos geométricos y dibujar las vistas frontal, de arriba, izquierda, etcétera; o bien, dadas las vistas, que el alumno reconstruya el cuerpo geométrico. Por ejemplo, dibuja la vista frontal y de arriba de este cuerpo geométrico.
• Arma con tus cubos un cuerpo geométrico que tenga las siguientes vistas: frontal, de arriba y de cada lado, respectivamente.
Otra actividad para desarrollar la habilidad de comunicación es que un alumno construya un cuerpo formado por varios cubos sin que su compañero lo vea y oralmente dé las instrucciones para que su pareja arme un cuerpo idéntico; después se comparan. f) Software de Geometría. El uso de algunos paquetes de Geometría dinámica, así como el lenguaje de programación LOGO han tenido fuerte impacto en la enseñanza y el aprendizaje de la Geometría. En caso de contar con una computadora y con estos programas se pueden trabajar algunos problemas interesantes. En LOGO, el apuntador es una tortuga que se desplaza por la pantalla dejando huella del trayecto que sigue; la tortuga entiende palabras como: avanza 100, giraderecha 60, retrocede 50,
giraizquierda 30, etcétera. Un problema podría ser: dar las indicaciones a la tortuga para que dibuje un pentágono regular:
O realizar diseños como el siguiente, en el que se trabajan diversos aspectos geométricos:
Cabe hacer algunas reflexiones sobre el uso de materiales en la enseñanza de la Geometría:
El material concreto no es la panacea para la enseñanza de las Matemáticas.
• Se debe ser muy cauteloso en el empleo de materiales concretos, las actividades que se propongan con ellos deben ser acordes con el enfoque de resolución de problemas. • Con el uso de material concreto no se pretende, de ninguna manera, proponer una enseñanza de las Matemáticas sensual-empirista basada en la idea de que nada hay en la mente que no haya pasado por los sentidos. Se sabe que los sentidos engañan y que las verdades matemáticas están por encima de las demostraciones empíricas y son producto de operaciones mentales. • Con el uso de material concreto tampoco se pretende hacer pasar a los alumnos por las conocidas etapas concreta, gráfica y simbólica que suponen que el estudiante copia pasivamente del exterior en una secuencia lineal de abstracciones sucesivas. La matemática no se aprende de esta manera, esas etapas nada tienen que ver con un aprendizaje significativo. El alumno construye conocimiento cuando interactúa de manera activa con el objeto de estudio, de ahí la importancia de que los ejercicios con el material concreto realmente promuevan la actividad mental de los estudiantes. • El material concreto no es la panacea para la enseñanza de las Matemáticas, tiene sus bondades pero también sus limitaciones. Por ejemplo, si se desea explorar los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular, etcétera) el geoplano cuadriculado resulta totalmente inadecuado, pues en él sólo se puede construir el cuadrado y no el triángulo equilátero ni ninguno de los otros polígonos regulares. Esto constituye un buen ejemplo para mostrar que los sentidos engañan; por ejemplo, algunos alumnos consideran que el siguiente triángulo es equilátero:
Sin embargo, no lo es y esto puede probarse aplicando el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de los lados, dos de los lados miden √17 y el otro, √18; nótese que la diferencia es mínima y para algunos alumnos es imperceptible a la vista. • Existen actividades interesantes y significativas que no emplean material concreto, es decir, éste es importante pero no indispensable en la enseñanza de las Matemáticas.
2.2. Actividades para el aula-taller de Geometría En general, si la actividad la va a realizar todo el grupo, el profesor puede dar las instrucciones de las tareas de forma oral. Se recomienda el uso de tarjetas u hojas de trabajo en las que estén escritas las consignas de las tareas a realizar, de tal manera que los alumnos tomen la tarjeta y hagan lo que se indica; las tarjetas pueden estar numeradas y los alumnos pueden llevar el control de las actividades que ya realizaron. Esta organización permite, en caso de ser necesario, que cada equipo o alumno lleve su propio ritmo al tomar la tarjeta que le corresponde trabajar, aunque no sea la misma que están viendo los demás compañeros. Algunas tarjetas de trabajo pueden corresponder a tareas en las que se requiera utilizar algún material, que deberá estar disponible en el momento en que los alumnos lo necesiten usar; otras tarjetas podrán contener actividades en las que no se requiera material específico. Al realizar los ejercicios, el juego de Geometría debe estar presente en todo momento. Ejemplos de tarjetas: Toma las piezas del tangram de corazón y arma un trapecio utilizando:
a) Una pieza b) Dos piezas c) Tres piezas d) Cuatro piezas Dibuja tus trapecios armados en tu cuaderno
Reproduce en tu cuaderno la siguiente figura: 2EPRODUCEENTUCUADERNOLASIGUIENTEFIGURA
Es deseable que las actividades que se propongan presenten diferentes grados de dificultad de una misma tarea. Por ejemplo, la siguiente es una secuencia que aumenta cada vez en grado de dificultad; es probable que para algunos alumnos la primera tarea no sea un reto, en este caso se les pide la segunda, mientras que habrá quienes tengan que pasar por cada una de ellas para ir adquiriendo confianza y construyendo herramientas que les permitirán pasar a la siguiente. Tarea 1. Reproduce en papel cuadriculado la figura.
2.3. Organización del aula-taller de Geometría En el aula-taller los alumnos pueden estar organizados en equipos, parejas, grupos o trabajar de manera individual, dependiendo de la actividad. La tarea a realizar puede ser la misma para todos los equipos y, en ese caso, se puede hacer una puesta en común en algún momento para confrontar resultados y procedimientos. En otros casos puede ser que no todos estén trabajando en la misma actividad; por ejemplo, cuando no se cuenta con material para todo el grupo se puede organizar de tal manera que cada mesa de trabajo cuente con ciertas tarjetas y materiales y que los alumnos vayan cambiándose de mesa hasta pasar por todas. En este caso si se desea hacer una puesta en común tendría que realizarse cuando todos los equipos hayan trabajado en todas las mesas.
3. En conclusión… Se trata de que la enseñanza de la Geometría… • Esté basada en la resolución de problemas. • Sea dinámica más que estática, propiciando que las actividades tiendan a enriquecer los conceptos y las imágenes conceptuales de los objetos geométricos que estudian. • No se limite al modelo de enseñanza en el que el maestro explica y los 93
alumnos atienden a las explicaciones; se trata de que continuamente se enfrente a los alumnos a tareas que les brinden la oportunidad de construir conceptos, investigar relaciones y explicarlas, probarlas y, de ser posible, demostrarlas. Considere los diferentes tipos de tareas que pueden trabajarse con los alumnos: de conceptualización, investigación y demostración. Tienda a desarrollar en los alumnos diferentes habilidades: visualización, de dibujo, de comunicación, de razonamiento y de aplicación. Atienda a los niveles de razonamiento geométrico en los que se encuentran los alumnos y tenga como propósito hacerlos avanzar por estos niveles. Tenga presente que lo más importante son los alumnos y fomentar en ellos una actitud positiva hacia la Geometría en particular y hacia el conocimiento en general.
La Geometría y sus resultados en los Excale
III. La Geometría y sus resultados en los Excale
Nunca deberíamos pensar en las Matemáticas que puede aprender un niño, sino en aquéllas con cuyo aprendizaje se contribuya al desarrollo de su dignidad humana: en educación lo importante no son las asignaturas –en nuestro caso, las Matemáticas− sino los alumnos y las alumnas, y el sistema escolar debe procurar que crezcan ganando día a día en autoconfianza y autoestima. Freundenthal
1. El aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Básica en Excale 2005 El Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE) tiene como misión evaluar de forma válida y confiable el logro escolar de los estudiantes mexicanos, a fin de retroalimentar al Sistema Educativo Nacional y a las políticas que lo sustentan, así como informar a la ciudadanía sobre la calidad educativa del país. Una forma que el INEE utiliza para evaluar al Sistema Educativo Mexicano es a través de los aprendizajes que logran los estudiantes en determinadas asignaturas y grados escolares. Dentro del Plan General de Evaluación del Aprendizaje (PGEA), y como parte del mismo, se ha desarrollado y aplicado una nueva generación de pruebas nacionales con las cuales se evalúan las habilidades y los conocimientos de los estudiantes de Educación Básica y que se conocen con el nombre de Exámenes para la Calidad y el Logro Educativos (Excale). Para el desarrollo de esta propuesta se tomaron como referentes los resultados de los exámenes diseñados por el INEE con el propósito de conocer los aprendizajes que alcanzan los alumnos en la asignatura de Matemáticas. Estas pruebas fueron aplicadas en mayo y junio de 2005 y los resultados se publicaron en el documento El aprendizaje del Español y las Matemáticas en la Educación Básica en México. Sexto de primaria y tercero de secundaria. Según se señala en el documento, el objetivo de los Excale de Matemáticas de sexto de primaria y tercero de secundaria es evaluar los conocimientos y las habilidades que los alumnos adquieren de los planes y programas de estudio 99
de 1993 para ambos grados y de acuerdo con cada nivel educativo. En estas pruebas se utiliza el currículo como el principal documento organizador de los contenidos que un alumno debe aprender, y además considera el conjunto de oportunidades de aprendizaje ofrecido a los alumnos a través de los materiales curriculares y las prácticas pedagógicas del aula. Además, el INEE (como otras instancias evaluadoras) consideró deseable introducir en la interpretación de los resultados de los Excale el uso de niveles de logro (o estándares de ejecución). Señala que la determinación de éstos se ha convertido en una práctica común cuando se reportan los resultados de las evaluaciones educativas, cuyo propósito es rendir cuentas a la sociedad. De este modo se reporta la proporción de estudiantes que se ubican en distintas categorías de desempeño, especialmente en aquellas que se consideran aceptables, remarcando el porcentaje de los que no llegan a esos niveles, con lo cual se pretende ofrecer resultados más significativos y creíbles para administradores, docentes y padres de familia. De manera general, todos los Excale tienen cuatro niveles de logro, que se presentan a continuación: Para cada prueba se definieron niveles de logro educativo en términos de las habilidades y los conocimientos que debe poseer un alumno en la asignatura respectiva según el currículo. Dichos niveles fueron establecidos por dos grupos de especialistas; por ejemplo, en el caso de la prueba de Matemáticas, el primero se conformó por expertos en el currículo (de acuerdo con el grado y nivel educativos) que determinó las categorías en que se clasificarían los conocimientos y las habilidades de los estudiantes. El segundo, formado por docentes de los distintos estados y modalidades educativas, determinó la puntuación que separa a un nivel de otro.
A manera de ejemplo, se presentan los niveles de logro y los puntos de corte que corresponden a la prueba de sexto grado de primaria.
Descripción genérica de las competencias académicas que logran los (Español y Matemáticas)
Niveles de logro y puntos de corte
Los alumnos de este nivel resuelven problemas con una operación que implique sumas o restas con números Por debajo del báde hasta cuatro cifras; además comparan decimales con el mismo número de cifras. Asimismo, calculan el prosico (hasta 466.59) medio de números naturales en contextos conocidos. Básico (466.6 - 568.84)
Los alumnos de este nivel leen, ordenan y comparan números naturales; además resuelven problemas sencillos con números naturales, decimales y fraccionarios que impliquen una operación en contextos conocidos. Adicionalmente, calculan perímetros y áreas de triángulos y cuadriláteros dentro de una retícula. Asimismo, interpretan información contenida en gráficas y tablas sencillas.
Medio (568.85 - 663.63)
Los alumnos de este nivel leen, comparan y ordenan números decimales y fraccionarios, y resuelven con ellos problemas sencillos de suma y resta; además resuelven problemas con números naturales que impliquen dos o tres operaciones. Igualmente, clasifican figuras con base en sus propiedades geométricas; también calculan áreas mediante el uso de fórmulas y calculan volúmenes de figuras mediante el conteo de unidades cúbicas; identifican puntos en croquis, planos y mapas, así como puntos en el primer cuadrante de un plano cartesiano. Asimismo, interpretan información contenida en gráficas y tablas que contienen datos; resuelven problemas sencillos de probabilidad que no impliquen realizar un análisis combinatorio, y resuelven problemas de proporcionalidad.
Avanzado (663.64 o más)
Los alumnos de este nivel resuelven problemas que impliquen varias operaciones con números naturales, fraccionarios y decimales. También tienen nociones depuradas de conceptos tales como perímetro, área y volumen; además, interpretan la representación plana de un cuerpo geométrico y el desarrollo plano de una figura. Asimismo, describen trayectos en planos y mapas; pueden además realizar conversiones de unidades de medida. También interpretan información contenida en gráficas y tablas y resuelven problemas de probabilidad que impliquen un análisis combinatorio; aplican las propiedades de la proporcionalidad.
La validez de los Excale se debe centrar especialmente en la premisa de que las puntuaciones de la prueba muestran qué tanto los estudiantes saben y pueden hacer respecto al currículuo nacional. Particularmente, en este apartado se utilizan los resultados que presenta el documento del INEE relacionados con el estudio y aprendizaje de la Geometría, debido a que su importancia radica no sólo en que los contenidos geométricos 101
ocupan un lugar en los programas de Educación Primaria y secundaria sino porque, a través de su estudio, los alumnos están en contacto con procesos que desarrollan su razonamiento matemático y su habilidad para resolver problemas. No obstante su importancia, algunas investigaciones realizadas sobre el proceso de enseñanza y aprendizaje de la Geometría han detectado ciertas características en las clases de Geometría que analizaron;18 entre ellas: • Predominio de una Geometría intrafigural (relaciones al interior de una figura) olvidando la Geometría interfigural (relaciones entre diversas figuras). • Predominio de la enseñanza de la Geometría métrica (cálculo de perímetros, áreas y volúmenes) formando en los alumnos una falsa concepción de lo que es la Geometría. • Limitaciones en cuanto al uso del vocabulario geométrico lo que provoca un mal uso de las palabras o expresiones para describir, designar y simbolizar formas o relaciones geométricas. • No trabajar con los alumnos algunos procesos y formas de razonamiento propios de la Geometría, por ejemplo, el método deductivo o el inductivo. En los siguientes dos apartados se presentan algunos ejemplos de resultados y reactivos19 que corresponden a Geometría en las pruebas Excale de sexto grado de primaria y tercer grado de secundaria, respectivamente, con la finalidad de conocer y analizar cómo fueron evaluados y cuál fue el desempeño de los alumnos en los temas de Geometría.
1.1. El aprendizaje de la Geometría en la Educación Primaria. Resultados Excale 2005 De acuerdo con el plan y los programas de estudio de Educación Primaria de 1993, los contenidos del eje temático de Geometría favorecen el desarrollo de la ubicación espacial del alumno en relación con su entorno, la formalización de las relaciones que se establecen en el plano, así como el manejo y la interpre Vecino, F. (2003), Didáctica de la Geometría en la Escuela Primaria.
Obtenidos en la página de internet del INEE: http://www.inee.edu.mx/explorador/muestraEspecificacion.php
tación de las propiedades y las relaciones de las formas geométricas. Se pretende que los alumnos, al concluir la Educación Primaria, puedan ubicar seres y objetos en representaciones planas (planos, croquis, mapas); leer y describir trayectos en planos y mapas; clasificar figuras planas a partir de distintos criterios, así como reconocer semejanzas y diferencias entre ellas; identificar los elementos, desarrollos y representaciones de cuerpos geométricos como el cubo y el prisma y utilizar instrumentos como la escuadra, la regla, el transportador y el compás.20 La prueba de sexto grado, Excale 06 de Matemáticas, evaluó los tres aspectos que conforman el eje de Geometría: ubicación espacial, cuerpos geométricos y figuras geométricas, en 12 de un total de 130 reactivos que conformaron la prueba, lo que corresponde a 9.2% del total. En la siguiente tabla se muestra el número de reactivos y los contenidos específicos que se evaluaron en cada uno de los temas del eje de Geometría. Eje
Contenidos específicos Ubicar puntos en un mapa.
Ubicar puntos en un croquis. 4
Ubicar puntos en un plano cartesiano sin la nomenclatura convencional. Identificar posibles desarrollos de un cubo. Cuerpos geométricos
Identificar, imaginar y contar aristas en cuerpos geométricos. 4
Identificar e imaginar caras laterales de figuras no convencionales. Identificar un cuerpo geométrico a partir del número de caras, vértices y aristas. Clasificar figuras a partir de sus ejes de simetría.
Clasificar polígonos a partir del paralelismo de sus lados. Reconocer semejanzas de figuras a escala. Identificar lados paralelos en polígonos.
Educación Básica. Primaria. Plan y programas de estudio 1993.
La siguiente tabla muestra la proporción de aciertos en los reactivos que corresponden a Geometría en la prueba de sexto grado de primaria, Excale 06.21
Proporción de aciertos en Geometría de la prueba Excale sexto de primaria   Nacional ReacCompetencias curriculares  de Matemáticas tivo  P E.E. Geometría  99 Ubicar puntos en un croquis 0.64 (0.01)  100 Ubicar puntos en un mapa 0.55 (0.01)  101 0.54 (0.01)  102 Reconocer semejanzas de Figuras a escala 0.54 (0.01)  Ubicar puntos en un plano cartesiano sin nomenclatura conven103 0.48 (0.01)  cional 104 0.40 (0.01)   105 0.36 (0.01) vértices y aristas  106 0.33 (0.01)  107 0.32 (0.01)  108 0.26 (0.01)  109 0.21 (0.01) les  110 0.14 (0.01) 
Urbanas Públicas P
0.66 0.58 0.57 0.54
Cursos Rurales Educación ComunitaPúblicas Indígena rios P E.E. P E.E. P E.E. 0.60 0.45 0.48 0.51
0.46 0.31 0.36 0.41
(0.03) (0.02) (0.02) (0.03)
0.50 0.47 0.42 0.44
(0.06) (0.05) (0.05) (0.06)
Escuelas Privadas P
0.75 0.74 0.61 0.70
0.34 (0.01) 0.29 (0.02) 0.22 (0.02) 0.25 (0.05) 0.31 (0.01) 0.29 (0.02) 0.26 (0.02) 0.27 (0.04) 0.26 (0.01) 0.21 (0.01) 0.22 (0.02) 0.29 (0.04)
0.42 (0.02) 0.49 (0.02) 0.38 (0.02)
P = Proporción de acierto EE = Error Estándar
De manera general, al comparar los resultados que se muestran en la tabla anterior con los de toda la prueba, se encontró lo siguiente: • La mayor proporción de aciertos en los reactivos de Geometría es 0.64 (contra 0.83, que fue la mayor proporción de aciertos de un reactivo en la prueba y que corresponde al eje Los números, sus relaciones y sus operaciones). • Los dos reactivos con menor proporción de aciertos en la prueba corresponden al tema de cuerpos geométricos. 21 Estos datos se obtuvieron del anexo F del documento El aprendizaje del Español y las Matemáticas en la Educación Básica en México. Sexto de primaria y tercero de secundaria.
• Dos de los reactivos más difíciles se refieren a la relación de paralelismo entre los lados de las figuras, caso interesante si se considera que es a partir de tercer grado de Educación Primaria cuando se inicia el estudio de las rectas paralelas. A continuación se presenta un conjunto de reactivos que se aplicaron en la prueba y que corresponden a Geometría, con el propósito de tener una idea de cómo fueron evaluados los alumnos, desde el punto de vista de las tareas y las habilidades que están implicadas en los reactivos y que se requieren trabajar y desarrollar en el salón de clase de acuerdo con el marco teórico que se presentó en la primera parte. Al siguiente reactivo sólo 14% de los alumnos contestó correctamente, siendo el reactivo que presentó mayor dificultad. ¿Cuántos vértices tiene? A) 8 vértices B) 7 vértices C) 9 vértices D) 12 vértices
Algunas de las dificultades que pudieron haber tenido los alumnos al contestar el reactivo fueron: no identificar los vértices del cuerpo geométrico, es probable que algunos alumnos hayan confundido vértices con aristas; no considerar los vértices que no son visibles en la representación plana del prisma presentado, tal es el caso de los alumnos que seleccionaron la opción B (obsérvese que son 7 los vértices visibles y 9 las aristas visibles). Para contestar correctamente este reactivo es importante trabajar las habilidades de visualización y de comunicación por medio de actividades de conceptualización y de investigación, por ejemplo, proponer ejercicios en los que los estudiantes identifiquen, desarrollen y construyan la representación plana de este y otros cuerpos; así como actividades en las que caractericen e identifiquen un cuerpo a partir de alguna de sus propiedades o elementos, siendo necesario que 105
utilicen un vocabulario preciso para poder indicar aquella propiedad o elemento a la que se quiere hacer referencia. El siguiente reactivo, que también corresponde al tema de cuerpos geométricos, fue respondido correctamente por 21% de los alumnos. Observa el siguiente cuerpo geométrico
¿Cuál es la base con la cual se puede hacer este cuerpo?
En este reactivo se requiere que los alumnos pongan en juego su habilidad de visualización para imaginar la forma de la cara que sirve de base al cuerpo geométrico y su habilidad de dibujo. Para desarrollarlas se requiere plantear actividades en las que se trabajen diferentes vistas de un cuerpo y en las que se identifiquen y construyan desarrollos planos de cuerpos.
Otro de los reactivos que evaluó el tema de cuerpos geométricos es el siguiente: Observa los siguientes cuerpos. ¿Cuál de ellos tiene las siguientes características? • 5 caras • 5 vértices • 9 aristas
Treinta y seis por ciento de los alumnos lo contestó correctamente. Nuevamente, la habilidad de visualización se pone en juego en este reactivo. Incluso, se podría convertir en una tarea de investigación en la que se realice un trabajo de exploración y análisis de los cuerpos.
Actividad 1 • Conteste los reactivos. • ¿Por qué cree que para los alumnos fue más difícil resolver el primer reactivo que el último? • Investigue en los libros de texto de quinto y sexto grados la manera en que se propone el estudio de los cuerpos geométricos, ¿considera que los conocimientos que adquieren los alumnos al resolver las lecciones son suficientes para contestar correctamente estos reactivos? Justifique su respuesta.
El siguiente par de reactivos que se presenta corresponde al tema de figuras geométricas; en ambos el porcentaje de respuesta correcta fue de 54%, siendo uno de los porcentajes más altos en los reactivos de Geometría. El objetivo de mostrar estos reactivos es analizar, a partir de las tareas y habilidades presentadas en el marco conceptual, qué es lo que mejor saben los alumnos de sexto grado y tomarlo como referencia para contrastar con los reactivos de mayor dificultad que se presentaron anteriormente. En el siguiente reactivo se deben clasificar figuras a partir de sus ejes de simetría; se realizan tareas de conceptualización e investigación, ya que los alumnos deben tener el concepto de eje de simetría para indagar acerca del número de ejes de simetría que tienen las figuras que se les presentan. Observa las siguientes figuras:
¿Cuáles tienen solamente un eje de simetría? A) 1 y 5 B) 3 y 4 C) 2 y 6 D) 7 y 8
En el siguiente reactivo, la habilidad de visualización es muy importante y se relaciona con la habilidad de dibujo y las tareas de indagación y conceptualización. La figura Z es una reproducción de la figura Y.
figura Z Figura Y
figuraZY Figura
¿En qué se parecen? A) En la medida de los ángulos* B) En la medida de sus lados C) En la medida de sus diagonales D) En la medida de su área * Respuesta correcta
Actividad 2 • Analice el segundo reactivo, ¿qué conocimientos o razonamientos incorrectos pudieron tener los alumnos para elegir una opción de respuesta incorrecta? • Compare ambos reactivos, ¿cuál tiene mayor grado de dificultad?, ¿por qué? • ¿En qué grado(s) se inicia el estudio de esos conocimientos? Consulte el plan y programas de estudio. • Anote un ejemplo del tipo de problemas o situaciones que pudiera trabajarse en clase que desarrolle las habilidades que se ponen en juego en alguno de los reactivos anteriores. 109
1.2. El aprendizaje de la Geometría en la Educación Secundaria. Resultados Excale 2005 La enseñanza de la Geometría en la escuela secundaria tiene como propósitos principales:
Los programas de estudio de secundaria de 1993 están organizados en Aritmética, Álgebra, Geometría, Presentación y Tratamiento de la información y Probabilidad.
• Proporcionar a los alumnos una experiencia geométrica que les ayude a comprender, describir y representar el entorno y el mundo donde viven. • Proporcionarles, también, una serie de conocimientos que les serán útiles para resolver problemas de la vida cotidiana y acceder al estudio de otras materias y disciplinas. • Iniciarlos gradualmente en el razonamiento deductivo.22 Los programas de estudio de secundaria de 1993 (con base en los cuales se diseñó la prueba Excale) están organizados en cinco áreas de estudio: Aritmética, Álgebra, Geometría, Presentación y Tratamiento de la información y Probabilidad. En el área de Geometría se incluyen también los contenidos de Medición. Algunos aspectos en la enseñanza de la Geometría que se señalan en los materiales oficiales23 son: • Los trazos y las construcciones geométricos como una forma de explorar y conocer las propiedades y características de las figuras geométricas. • El conocimiento y uso efectivo de los diferentes instrumentos de medida, así como el diseño de situaciones y problemas que favorezcan la estimación de magnitudes físicas y geométricas, como actividades que deberán acompañar el uso de fórmulas para calcular perímetros, áreas, volúmenes y capacidades. • La exploración de las simetrías de las figuras mediante actividades y problemas que favorezcan las manipulaciones, el dibujo y la medida. • El conocimiento, la manipulación y la representación plana de sólidos comunes, con el objeto de que los alumnos desarrollen su imaginación espacial y se acostumbren al lenguaje utilizado para describirlos. SEP (1993), Planes y programas de estudio de Matemáticas. Educación Secundaria.
SEP (2000), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria.
• La aplicación de las fórmulas para el cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, así como de los teoremas de Pitágoras y de semejanza en la solución de numerosos ejercicios y problemas de cálculo geométrico. • La iniciación gradual al razonamiento deductivo, en situaciones escogidas por el profesor y teniendo en cuenta que el acceso a la demostración en Matemáticas es un objetivo que requiere tiempo y una preparación cuidadosa. La prueba Excale 09 de Matemáticas para tercero de secundaria se conformó de 128 reactivos, de los cuales 42 evaluaron los conocimientos y las habilidades del área de Geometría, organizados en tres temas: estudio de la forma, sólidos y medición y cálculo geométrico. La siguiente tabla muestra el número de reactivos y contenidos específicos para cada tema evaluado en el examen. Eje
Contenidos específicos Identificar instrucciones para trazar paralelas, perpendiculares, figuras básicas (triángulo, cuadrado y polígonos regulares) y tangentes a un círculo. Reconocer las condiciones para mantener la invarianza del área de triángulos y rectángulos. Identificar escalas entre figuras o las medidas de una figura que fue sujeta a una escala y reconoce el efecto de una ampliación a escala sobre el área total y el volumen de un sólido. Usar los principios y las propiedades de simetría axial y central. Imaginar resultados de giros de sólidos e identificar las vistas laterales y frontales de sólidos. Identificar la pirámide o el poliedro que corresponde con un desarrollo plano. Determinar las secciones planas que se forman al cortar un cubo, una pirámide, un cono o un poliedro. Modificar las alturas de sólidos distintos para que tengan la misma área total. Calcular razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Aplicar el teorema de Pitágoras.
Si se excluyen los reactivos que corresponden a medición, nos quedan 31, que equivalen a 24.2% de la prueba. Del mismo modo que en el caso de primaria, en secundaria se consideró la proporción de aciertos de los alumnos que corresponden a contenidos de Geometría en la prueba Excale-09, 2005.24
Proporción de aciertos en Geometría de la prueba Excale 2005 de tercero de secundaria Reactivo
Contenidos curriculares de Matemáticas
P Geometría Imaginar el resultado de girar sólidos formados por conos 78 y cilindros 79 80 Imaginar giros de sólidos 81 82
83 84 85 87 88 90 91 92 94 95 97
Secunda- SecundaSecunTelesecunrias rias darias darias Generales Técnicas Privadas E.E. P E.E. P E.E. P E.E. P E.E.
0.85 (0.01) 0.85 (0.01) 0.86 (0.01) 0.84 (0.01) 0.91 (0.01) 0.78 (0.01) 0.80 (0.01) 0.78 (0.01) 0.72 (0.02) 0.85 (0.01) 0.65 (0.01) 0.66 (0.01) 0.65 (0.01) 0.63 (0.02) 0.69 (0.02) 0.61 (0.01) 0.60 (0.01) 0.59 (0.01) 0.66 (0.02) 0.67 (0.02) 0.61 (0.01) 0.62 (0.02) 0.62 (0.01) 0.49 (0.02) 0.76 (0.01) 0.58 (0.01) 0.59 (0.01) 0.59 (0.01) 0.49 (0.02) 0.73 (0.02)
0.55 (0.01) 0.53 plano Determinar las secciones planas que se forman al cortar 0.54 (0.01) 0.55 un cono Reconocer que la suma de los ángulos interiores de un 0.54 (0.01) 0.54 triángulo es 180° 0.44 (0.01) 0.41 gonos regulares cuadrilátero un corte con un plano
(0.02) 0.55 (0.01) 0.56 (0.02) 0.62 (0.02) (0.02) 0.56 (0.01) 0.50 (0.02) 0.61 (0.02) (0.01) 0.51 (0.01) 0.55 (0.02) 0.64 (0.02) (0.01) 0.42 (0.01) 0.46 (0.02) 0.63 (0.02)
0.42 (0.01) 0.39 (0.01) 0.43 (0.01) 0.42 (0.02) 0.51 (0.02) 0.41 (0.01) 0.39 (0.01) 0.43 (0.01) 0.39 (0.02) 0.53 (0.02)
Aplicar propiedades de los ángulos inscritos en una semi0.40 (0.01) 0.40 (0.01) 0.37 (0.01) 0.43 (0.02) 0.41 (0.02) circunferencia 0.37 (0.01) 0.37 (0.01) 0.37 (0.01) 0.33 (0.02) 0.44 (0.02) Reconocer instrucciones para la construcción de un círcu0.37 (0.01) 0.32 (0.01) 0.34 (0.01) 0.47 (0.02) 0.47 (0.02) lo 24 Estos datos se obtuvieron del anexo J del documento: El aprendizaje del Español y las Matemáticas en Educación Básica en se México. Sexto de primaria y tercero de secundaria. Determinar laslasecciones planas que forman al cortar 0.37 (0.01) 0.39 (0.01) 0.35 (0.01) 0.34 (0.02) 0.42 (0.02) un cubo a un segmento por uno de sus extremos
0.34 (0.01) 0.34 (0.01) 0.35 (0.01) 0.35 (0.02) 0.34 (0.02) Materiales para apoyar la práctica educativa 0.34 (0.01) 0.33 (0.01) 0.34 (0.01) 0.30 (0.02) 0.47 (0.02)
88 90 91 92 94 95 97 99
gonos regulares cuadrilátero un corte con un plano
103 104 105 108 110 112 118 119
0.44 (0.01) 0.41 (0.01) 0.42 (0.01) 0.46 (0.02) 0.63 (0.02) 0.42 (0.01) 0.39 (0.01) 0.43 (0.01) 0.42 (0.02) 0.51 (0.02)
Aplicar propiedades de los ángulos inscritos en una semi0.40 circunferencia 0.37 Reconocer instrucciones para la construcción de un círcu0.37 lo Determinar las secciones planas que se forman al cortar 0.37 un cubo a un segmento por uno de sus extremos
(0.01) 0.40 (0.01) 0.37 (0.01) 0.43 (0.02) 0.41 (0.02) (0.01) 0.37 (0.01) 0.37 (0.01) 0.33 (0.02) 0.44 (0.02) (0.01) 0.32 (0.01) 0.34 (0.01) 0.47 (0.02) 0.47 (0.02) (0.01) 0.39 (0.01) 0.35 (0.01) 0.34 (0.02) 0.42 (0.02)
0.34 (0.01) 0.34 (0.01) 0.35 (0.01) 0.35 (0.02) 0.34 (0.02) 0.34 (0.01) 0.33 (0.01) 0.34 (0.01) 0.30 (0.02) 0.47 (0.02)
Aplicar el teorema de Tales 0.32 Aplicar propiedades de ángulo central e inscrito en una 0.33 circunferencia 0.32 gente a una circunferencia por un punto exterior a ella 0.33 gulos equiláteros 0.27 gente a una circunferencia por un punto sobre ella 0.27 secutivas respecto a dos rectas
(0.01) 0.32 (0.01) 0.31 (0.01) 0.29 (0.02) 0.44 (0.02) (0.01) 0.35 (0.01) 0.30 (0.01) 0.29 (0.01) 0.38 (0.02) (0.01) 0.32 (0.01) 0.33 (0.01) 0.30 (0.02) 0.33 (0.02) (0.01) 0.34 (0.01) 0.32 (0.01) 0.28 (0.01) 0.42 (0.02) (0.01) 0.28 (0.01) 0.26 (0.01) 0.27 (0.01) 0.27 (0.02) (0.01) 0.26 (0.01) 0.24 (0.01) 0.35 (0.02) 0.23 (0.01)
Determinar las secciones planas que se forman al cortar 0.24 (0.01) 0.25 (0.01) 0.24 (0.01) 0.18 (0.01) 0.33 (0.02) una pirámide plano recta por un punto dado
0.12 (0.01) 0.13 (0.01) 0.13 (0.01) 0.09 (0.01) 0.17 (0.01) 0.13 (0.01) 0.13 (0.01) 0.12 (0.01) 0.12 (0.01) 0.13 (0.01)
P = Proporción de aciertos EE = Error Estándar
En el informe se señala que los alumnos tienen buen desempeño en situaciones de imaginación espacial donde realizan giros, así como en problemas de simetría; en cambio, tienen bajo desempeño en los reactivos en los que deben utilizar los conocimientos sobre las propiedades de las figuras y los sólidos. Como una muestra de los reactivos que se aplicaron en el examen, a continuación se presentan dos en los que el porcentaje de respuesta correcta fue el mismo: 27%. De acuerdo con la organización de la prueba, ambos corresponden al tema de estudio de la forma. En el siguiente reactivo los alumnos deben identificar la construcción de una recta tangente a una circunferencia por un punto sobre ella o exterior.
Los alumnos tienen buen desempeño en imaginación espacial, así como en problemas de simetría.
Indica qué figura se construye al seguir las instrucciones que se enlistan a continuación. a) b) c) d) e) f)
Traza una circunferencia C1 con centro en O. Ubica el punto P exterior a C1. Traza el segmento PO. Determina el punto medio A de PO. Traza una circunferencia C2 con centro en A que pase por P y O Llamemos T y T1 a los puntos donde C2 corta a C1, traza la recta que pase por P y T.
A) Se construye una recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto localizado sobre la circunferencia. B) Se construye una bisectriz de un ángulo inscrito a la circunferencia C) Se construye una recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto exterior a la circunferencia. D) Se localizan los puntos T y T1 donde se intersectan dos circunferencias.
En este reactivo los alumnos ponen en juego: • La habilidad de comunicación, ya que tienen que interpretar una serie de pasos geométricos dados por escrito y para ello tienen que saber a qué se refieren los términos como: circunferencia, centro, punto medio, etcétera. • La habilidad de dibujo, porque podrían hacer un bosquejo de los trazos que se enuncian para saber qué es lo que se construye. • La habilidad de visualización, al imaginar los trazos así como al hacer su bosquejo. • Para desarrollar estas habilidades es importante trabajar con los alumnos en tareas de: • Conceptualización, en las que construyan los conceptos de los términos geométricos usados en la secuencia de pasos. • Investigación, en las que exploren y analicen las figuras y sus relaciones, así como la manera de construirlas. 114
Si se realizan estas actividades en clase, también se les podría pedir que argumenten por qué la secuencia de pasos es correcta. Además, cuando se realicen trazos geométricos con los alumnos será importante analizar qué es lo que garantiza que el trazo sea realmente lo que se pide; los alumnos podrán dar argumentos y con ello también se están trabajando tareas de demostración. En este otro reactivo los estudiantes tienen que reconocer los resultados de efectuar dos reflexiones consecutivas respecto a dos rectas. El triángulo A” B” C” se obtuvo al hacer dos reflexiones del triángulo ABC respecto a las rectas perpendiculares M y N respectivamente, como se muestra a continuación. A
B´ B´´
¿Qué transformación tuvo el triángulo ABC al hacer estas dos reflexiones? A) B) C) D)
Se obtuvo una traslación del triángulo. Se obtuvo una rotación de 180º del triángulo. Se obtuvo un triángulo A”B”C” simétrico con respecto a la recta M. Se obtuvo una rotación del triángulo menor de 180º.
Actividad 3 • ¿Qué habilidades (visuales, de comunicación, de dibujo, de razonamiento o de aplicación) se requieren para contestar correctamente este reactivo? • ¿Qué tareas (de conceptualización, investigación o demostración) están involucradas aquí? • Si se realiza en clase la situación que presenta este reactivo, ¿cómo trabajaría la argumentación? • Compare sus respuestas con las habilidades y tareas señaladas para el primer ítem. • ¿Cuál es la importancia del uso de los instrumentos geométricos en el estudio de los contenidos que se tratan en ambos ejemplos? A continuación se presentan dos reactivos que corresponden al tema de cuerpos geométricos. Se le pide que los analice y realice la actividad que se señala. En el primero los alumnos tienen que identificar las secciones planas que se forman al cortar un sólido, y el porcentaje de respuesta correcta fue de 37%. Determina a qué tipo de triángulo corresponde la forma de la sección sombreada (corte) vista de frente.
Triángulo isósceles rectángulo. Triángulo equilátero Triángulo isósceles obtuso Triángulo isósceles acutángulo no equilátero
En este otro reactivo los alumnos tienen que encontrar el número de caras, aristas o vértices que resultan después del corte. El porcentaje de respuesta correcta fue de 41%. Observa la representación del siguiente poliedro. Determina el número de vértices (V) y el número de aristas (A) que tendrá el poliedro que se obtiene al hacer un corte con un plano a través de la zona punteada.
A= 15; V= 11 A= 12; V= 7 A= 15; V= 10 A= 12; V= 8
Actividad 4 • Identifique la respuesta correcta para cada reactivo. • ¿Qué habilidades (visuales, de comunicación, de dibujo, de razonamiento o de aplicación) se ponen en juego al contestar cada uno de los reactivos? • ¿Qué tareas (de conceptualización, investigación o demostración) están involucradas en cada uno? • Si se intercambian las imágenes de los cuerpos entre un reactivo y otro, ¿continuarían siendo correctas las mismas respuestas? Justifique su contestación. • Investigue en los libros de texto de secundaria la manera en que se propone el estudio de los cuerpos geométricos. Compare sus respuestas.
• Investigue cuáles son algunas de las recomendaciones didácticas para enseñar estos contenidos. Puede consultar en el Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, editado por la SEP en 2000. • Describa cómo aborda el tema de cuerpos geométricos en su clase. Mencione algunas de las actividades que plantea a sus alumnos, ¿qué tipo de tareas y habilidades se desarrollan en ellas?, ¿cómo evalúa el aprendizaje de sus alumnos?
La enseñanza constructiva, como ya hemos señalado, no es nada fácil. Pero no hay caminos fáciles. Para disfrutar la vista desde lo alto de una montaña es preciso escalarla. En Matemáticas no hay teleféricos. Los cables se rompen en la mente de los jóvenes. Morris Kline
1. Acerca de las actividades En esta última sección se presentan, a manera de ejemplo, nueve actividades y en cada una se incluye un análisis y recomendaciones didácticas. Lo interesante aquí reside en la posibilidad de poner en práctica estas actividades para que el docente experimente esta manera de enseñar Geometría. En la presentación de cada actividad se incluyen los siguientes apartados: ¿Qué sé de este tema?
Su propósito es que el docente tome conciencia de los conocimientos previos que posee acerca del tema que trata la actividad.
Dividido en dos partes: Primero lo hago yo. Se recomienda que siempre que el maestro elija una actividad para trabajar con los alumnos, primero la resuelva él mismo. Esto le permite analizar los conocimientos y las habilidades que se ponen en juego, el material que se requiere, las posibles dificultades que enfrentarán los alumnos, los errores, etcétera. Después lo pongo en práctica. Donde se invita al docente a llevar a la práctica la actividad sugerida.
Es importante que al término de la actividad el docente reflexione acerca de ella: ¿se lograron los propósitos?, ¿fue adecuada?, ¿no fue adecuada?, ¿cómo fue mi proceder frente al grupo?, ¿cuál fue el papel de los alumnos?, ¿qué cambiaría?, ¿qué dejaría igual?, etcétera.
No está de más aclarar que este material no agota todo lo que podría analizarse de una actividad y es también necesariamente incompleto porque se aspira a que aliente al docente a reflexionar y formular nuevas preguntas, encontrar otros problemas y estimular la construcción colectiva de algunas certezas en el proceso de enseñar y aprender. La reflexión sobre la propia práctica docente es el camino más adecuado para mejorar como maestro y aumentar las probabilidades de éxito en el aprendizaje de los alumnos. Este material no agota todo lo que podría analizarse de una actividad.
Le sugerimos tener un cuaderno para hacer anotaciones, será su diario del profesor.
1.1. Rompecabezas25 En esta actividad los alumnos de segundo, tercero y cuarto grados desarrollan las habilidades de visualización y comunicación al describir las piezas que forman el rompecabezas en el que tienen que analizar las características de las figuras que lo componen.
¿Qué sé de este tema? Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas. 1. ¿En alguna ocasión ha realizado actividades didácticas en las que utilice como recurso un rompecabezas? ¿Qué ventajas considera que ofrece el uso del rompecabezas en las clases de Geometría? 2. ¿Qué tipo de rompecabezas conoce? ¿Qué habilidades se desarrollan al usar rompecabezas? 3. ¿Ha pensado en la idea de trabajar la Geometría como un lenguaje?
25 Tomada de: C. Broitman y H. Itzcovich (2002), El estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos. Actividades para los primeros años de la escolaridad.
Manos a la obra Primero lo hago yo Observe el rompecabezas (véase hoja de trabajo en el anexo). Anote una descripción de las piezas que se requieren para poder formarlo. Luego, pruebe su descripción. • ¿Cuáles son los posibles errores que pueden cometer los alumnos al describir las piezas que se requieren para formar el rompecabezas?
Después lo pongo en práctica Organice a sus alumnos en equipos. Cada equipo debe tener una copia del rompecabezas armado (véase hoja de trabajo).
Además, por cada equipo debe haber un juego de piezas sueltas recortadas encima de su escritorio (véase hoja de trabajo). Obsérvese que en este con-
junto de piezas están las que arman el rompecabezas y algunas más que no pertenecen a él.
El siguiente es un ejemplo del tipo de indicaciones que podrían darse a los alumnos: • Van a describir en una hoja las piezas que necesitan para armar su rompecabezas. No pueden hacer dibujos. • Cuando hayan terminado de escribir, van a enviar a mi escritorio a un secretario con esa hoja para que él tome las piezas necesarias. • El secretario tomará las piezas y regresará al equipo. • Gana el equipo que logra armar su rompecabezas exactamente con las mismas piezas y sin que le sobren figuras. Cuando los equipos terminen, realice una confrontación grupal, pida a los equipos que lean sus descripciones. Se trata de que analicen las descripciones que fueron adecuadas para elegir las figuras.
Reflexión sobre la práctica Responda en su diario del profesor:
1. ¿Qué le pareció la actividad? 2. 3. 4. 5.
¿En qué grado la aplicó? ¿Resultó apropiada para los alumnos? ¿Qué dificultades tuvo usted para llevar a cabo la actividad? ¿Qué dificultades tuvieron los alumnos?
6. ¿Cómo se sintió usted durante el desarrollo de la clase? 7. Si volviera a aplicarla, ¿qué le cambiaría a la actividad para mejorarla?, ¿qué cambiaría de su propio actuar? 8. Si la quisiera aplicar a alumnos más pequeños, ¿qué ajustes le haría?, ¿y si quisiera hacerla con alumnos mayores?
1.2. Copiando figuras26 Esta actividad es una tarea de investigación en la que los alumnos de tercero y cuarto grados desarrollan las habilidades de visualización, comunicación y de dibujo al reproducir una figura.
¿Qué sé de este tema? Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. ¿Ha trabajado alguna vez actividades de investigación con los alumnos? ¿Cuáles? 2. ¿Cuál cree que es la importancia que tienen las actividades de copia o reproducción de figuras en el estudio de la Geometría? 3. ¿Cuáles son las figuras geométricas que deben conocer y manipular los alumnos de los primeros grados de primaria? ¿Y cuáles características o relaciones de esas figuras geométricas se pueden trabajar con ellos?
Manos a la obra Primero lo hago yo Realice las tres actividades que se presentan en la hoja de trabajo Copiando figuras (véase anexo). • ¿Qué diferencia hay entre utilizar papel liso o cuadriculado para realizar la copia de la figura? Adaptada de H. Ponce (2003), Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo.
Una vez que los alumnos hayan terminado, realice una confrontación grupal.
• ¿Qué variantes hay entre las figuras que se pide copiar? • ¿Qué posibles procedimientos podrían utilizar los alumnos? ¿Cuáles de ellos convendría destacar? • ¿Qué sería necesario identificar como recomendaciones para copiar mejor una figura o un dibujo?
Después lo pongo en práctica Dé a cada alumno una copia de la primera figura que aparece, en papel cuadriculado, en la actividad 1 de la hoja de trabajo (véase anexo) y una hoja de papel cuadriculado (una opción es recortar la hoja como se señala).
Pídales que de manera individual copien el dibujo en la hoja cuadriculada. Una vez que los alumnos hayan terminado, realice una confrontación grupal; para ello seleccione algunos trabajos, por ejemplo, los que representan una dificultad generalizada o los que presentan algunos errores, así como los que han sido resueltos correctamente. La confrontación deberá girar en torno a las características que deben tomarse en cuenta para realizar correctamente la tarea y establecer ciertos acuerdos que pueden considerarse como recomendaciones para copiar mejor. Ahora entregue a cada alumno la segunda figura (véase actividad 2 de la hoja de trabajo) para que la copien y recuérdeles las conclusiones o los acuerdos alcanzados anteriormente para ponerlos a prueba. Este nuevo dibujo puede implicar un mayor nivel de complejidad.
En la tercera figura la copia ya está realizada ( véase actividad 3 de la hoja de trabajo); pida a los alumnos que señalen cuáles son los errores y que los corrijan. Al final realice una confrontación grupal.
Reflexión sobre la práctica Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4. 5.
¿Qué le pareció la actividad? ¿En qué grado la aplicó? ¿Resultó apropiada para los alumnos? ¿Cuáles fueron las recomendaciones que dieron los alumnos después de realizar la copia de la primera figura? Compare los procedimientos seguidos por sus alumnos y los procedimientos que consideró en el apartado Primero lo hago yo, ¿qué aspectos nuevos surgieron? ¿De qué manera vincularon las recomendaciones que obtuvieron los alumnos al finalizar de copiar la primera figura e iniciar la copia de la segunda y tercera figuras? Si volviera a aplicarla, ¿qué le cambiaría a la actividad para mejorarla?, ¿qué cambiaría de su propio actuar? Si la quisiera aplicar a alumnos de grados superiores, ¿qué ajustes le haría?
1.3. Identificando cuerpos27 En esta actividad los alumnos de cuarto, quinto y sexto de primaria desarrollan las habilidades de visualización, comunicación y razonamiento al realizar las tareas de conceptualización e investigación relacionadas con cuerpos geométricos.
Adaptada de H. Ponce (2003), Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo.
¿Qué sé de este tema? Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. ¿Ha trabajado alguna vez actividades de conceptualización con los alumnos? ¿Cuáles? 2. ¿Cuál cree que es la importancia que tienen las actividades de visualización y comunicación en la clasificación de cuerpos geométricos?
Manos a la obra Primero lo hago yo Forme un conjunto de cuerpos como el que aparece en la actividad 1 de la hoja de trabajo Identificando cuerpos (véase anexo); puede utilizar objetos como envases, cajas de cartón y otros. Si se pretende realizar una clasificación de los cuerpos que juntaron (y que aparecen en la actividad 1): ¿qué tipo de clasificaciones podrían ser?, ¿qué relaciones se espera que los alumnos encuentren para poderlos clasificar?
Después lo pongo en práctica Organice a los alumnos en equipos de cuatro o cinco integrantes y entregue a cada equipo un conjunto de cuerpos como el que aparece en la actividad 1 de la hoja de trabajo (véase anexo). Se sugiere dar instrucciones del siguiente tipo: • Voy a elegir uno de los cuerpos que ustedes tienen en cada conjunto, pero no les voy a decir cuál elegí. • Ustedes me van a hacer preguntas sobre las características del cuerpo geométrico, a las que voy a responder con sí o no. • Cuando crean estar seguros de qué cuerpo se trata, pueden intentar decir cuál es.
• Si aciertan, ganan un punto; pero si se equivocan, pierden y dejan de jugar durante esa ronda. • Escriba en el pizarrón las preguntas que le formulen los alumnos y las respuestas que usted da. Una vez que se haya identificado el cuerpo que eligió, realice una confrontación grupal; las preguntas que los alumnos realizaron hasta lograr determinar qué cuerpo era el elegido y las respuestas que usted ofreció serán el principal material a analizar y discutir. Para ello será conveniente investigar cuáles fueron las preguntas que ofrecieron buenas pistas para acercarse al cuerpo seleccionado, qué cuerpos se descartan y cuáles comparten las características propuestas a partir de la información que se va obteniendo. En el caso de preguntas que no se apoyan en características geométricas, por ejemplo, ¿es alargado?, se debe destacar que elegir ese rasgo no es conveniente porque para algunos puede ser alargado y para otros no, por lo que se requiere que se formulen preguntas en las que sea posible estar de acuerdo con la respuesta. Otros aspectos a destacar y establecer como acuerdos son el uso de un vocabulario común, así como identificar que las preguntas que formularon anteriormente otros equipos ofrecen información que puede ser utilizada para plantear nuevas preguntas. Realice otras rondas del juego para que los alumnos puedan utilizar aquello que han aprendido; para ello puede pedirles que el grupo se divida en un número par de equipos y que cada uno de ellos juegue contra otro y viceversa. En la siguiente sesión de Matemáticas utilice el mismo conjunto de cuerpos que en la sesión anterior y pida a sus alumnos que ahora supongan que ha ocurrido un juego en el que ha sido elegido el prisma recto de base cuadrada (el cual se señala en la actividad 2 de la hoja de trabajo); ellos deberán escribir la menor cantidad de preguntas y respuestas con las que sea posible identificarlo. Finalmente, para realizar la tercera actividad de la hoja de trabajo, entregue el tercer conjunto de cuerpos; en este caso deberá conocerse el cuerpo que ha sido elegido y una lista incompleta de preguntas y respuestas. Los alumnos deberán escribir las preguntas y respuestas que faltan para que se pueda identificar el cuerpo.
Deberá conocerse el cuerpo que ha sido elegido y una lista incompleta de preguntas y respuestas.
Reflexión sobre la práctica Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles fueron algunas de las diferencias y similitudes entre los cuerpos que encontraron los alumnos al realizar la primera situación? 2. ¿Cuál es el nuevo vocabulario que manejan los alumnos? 3. Compare las preguntas que formularon los alumnos en la primera ronda con las de la última ronda de la primera parte de la actividad, ¿evolucionaron en la manera en que plantean sus preguntas?, ¿en qué tipo de aspectos se centraron? 4. Mencione algunas de las intervenciones que realizó durante el desarrollo de la actividad. Anote sobre todo aquéllas en las que ayudaba a los alumnos a utilizar nuevo vocabulario o a reflexionar sobre el tipo de peguntas que ellos estaban planteando. 5. Si utiliza esta actividad para clasificar poliedros, ¿qué aspectos tendría que considerar para cambiar o agregar nuevos cuerpos geométricos?
1.4. Pentaminós Esta actividad representa una buena oportunidad para que los alumnos de quinto grado en adelante exploren, en diferentes niveles, ideas tales como la búsqueda sistemática y las transformaciones. Las habilidades de visualización, comunicación y dibujo se desarrollan ampliamente en esta actividad.
¿Qué sé de este tema? Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. ¿Ha trabajado alguna vez actividades de búsqueda sistemática con los alumnos? 2. ¿Ha trabajado actividades de imaginación espacial?, ¿cuáles? 3. ¿Conoce los desarrollos planos para armar un cubo?, ¿cuántos? Dibújelos.
Manos a la obra Primero lo hago yo Realice las cinco consignas que se presentan en la hoja de trabajo Pentaminós (véase anexo 2). • ¿Fue fácil encontrar los 12 pentaminós? ¿Cuál fue la estrategia que siguió para encontrarlos? • ¿Cómo identifica a los pentaminós que también son desarrollos planos de una caja sin tapa?
Después lo pongo en práctica Organice a los alumnos en equipos de dos o tres integrantes para resolver la hoja de trabajo Pentaminós. Se recomienda que cada alumno use hojas cuadriculadas para buscar y dibujar diferentes pentaminós. Indique que cuando un pentaminó se puede obtener a partir de otro por medio de una transformación: girarlo o voltearlo, se trata del mismo y sólo cuenta por uno, por ejemplo:
Reflexión sobre la práctica Responda en su diario a las preguntas de la página 126, ahora para la actividad de los pentaminós.
1.5. Definiendo trianpen28 En esta actividad se realizan tareas de conceptualización a partir de la expresión de las características de un objeto que lo distinguen de otros, con lo cual los alumnos desarrollan principalmente las habilidades de visualización y comunicación.
¿Qué sé de este tema? Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. Cuando le piden dar el concepto de triángulo, usted dice… 2. Cuando escucha o lee la palabra triángulo, usted piensa en triángulo… (dibuje la primera imagen que le llega a la mente) 3. Si alguien traza un triángulo equilátero, ¿cómo le muestra que no todo triángulo es equilátero? 4. Anote una situación en la que muestre cómo ha trabajado con sus alumnos una tarea de conceptualización geométrica.
Manos a la obra Primero lo hago yo Realice la actividad de la hoja de trabajo Definiendo trianpen (véase anexo). • ¿Qué es un trianpen? • ¿Cuántos trianpen encontró?
Después lo pongo en práctica Organice a los alumnos en parejas y entrégueles una hoja de trabajo Definiendo trianpen. Deles tiempo suficiente para responder y mientras tanto escuche las Adaptada de C. Alsina et al. (1998), Enseñar Matemáticas.
discusiones que tiene cada pareja para decidir qué imágenes son o no son un trianpen. Cuando termine el trabajo en parejas realice una puesta en común en donde los alumnos argumenten cuáles son trianpen. Pídales que traten de expresar ¿qué es un trianpen?, ¿cuáles son sus características? Finalmente, pídales que traten de encontrar un ejemplo de trianpen que sea diferente a los 18 que aparecen en la hoja de trabajo.
Reflexión sobre la práctica Responda en su diario del profesor a las preguntas de la página 126 para esta actividad. Agregue: ¿Cómo suele trabajar con sus alumnos actividades de conceptualización?, ¿obtiene buenos resultados?
1.6. Explorando cuadriláteros29 En esta actividad el docente tendrá la oportunidad de estudiar y reflexionar acerca de sus conocimientos sobre cuadriláteros y cómo enseñar este tema a los alumnos.
¿Qué sé de este tema? Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. ¿Qué entiende por cuadrilátero y qué cuadriláteros conoce? 2. ¿Conoce alguna clasificación de los cuadriláteros? Si su respuesta es afirmativa, ¿en qué criterio se basa esa clasificación? 3. Anote brevemente cuándo, dónde y cómo aprendió lo que sabe sobre los cuadriláteros. 4. ¿Alguna vez ha trabajado con sus alumnos el tema de los cuadriláteros o lo ha estudiado?  29 Tomado de G. Burton, G. et al. (1993), Sixth-Grade Book. Standards for School Mathematic. Addenda Series. Grades K-6.
5. Anote brevemente lo que recuerda sobre la manera en que trabajó este tema y por qué lo trabajó así.
Manos a la obra Primero lo hago yo Responda la hoja de trabajo Explorando cuadriláteros; de ser posible trabájela en parejas o en equipo con otros compañeros. Cuando haya encontrado los 16 cuadriláteros haga lo siguiente: • Anote el nombre de los cuadriláteros que reconoce. • Elija cinco cuadriláteros diferentes y en su diario del profesor anote todo lo que sepa de ellos (si tiene lados paralelos, perpendiculares, tipo de ángulos, etcétera). • Clasifique los cuadriláteros de acuerdo con los siguientes criterios: • Los que tienen al menos un eje de simetría y los que no tienen eje de simetría. • Los que tienen todos sus ángulos menores que 180° y los que tienen al menos uno mayor que 180°. • Los que tienen dos pares de lados paralelos, un par o ningún par. • Los que tienen diagonales iguales y los que tienen diagonales que no son iguales. • Los que tienen diagonales perpendiculares y los que tienen diagonales que no son perpendiculares. • Proponga una clasificación diferente a las anteriores y preséntela al grupo.
Después lo pongo en práctica Se invita a los alumnos a trabajar en parejas; a cada alumno se le entrega una hoja de trabajo de Explorando cuadriláteros. Se les da tiempo suficiente para que encuentren todos o la mayor parte de los cuadriláteros que se piden. Mientras tanto, el maestro puede reproducir los puntos en el pizarrón o llevar preparado un pliego de papel con los 16 cuadrados de puntos dibujados (si se
cuenta con un retropoyector se puede reproducir en acetato la hoja de trabajo y proyectarla). Cuando termine el trabajo en parejas se realiza una puesta en común en donde los alumnos pasen al pizarrón a dibujar los cuadriláteros que encontraron. Quienes no hayan encontrado los 16 cuadriláteros copian del pizarrón los faltantes. Una vez que se haya realizado la actividad base, y dependiendo del grado escolar y nivel de los alumnos, se puede seguir trabajando algunos de los ejercicios que usted ya realizó (nombrar los cuadriláteros, identificar las propiedades de algunos, clasificarlos, si el grupo es de secundaria puede demostrar algunas propiedades de los paralelogramos, entre otras).
Reflexión sobre la práctica Una vez que haya aplicado la actividad responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
¿La actividad fue del agrado de los alumnos? ¿Qué nivel o niveles de Van Hiele trabajó? ¿Qué procesos pusieron en marcha los alumnos? ¿Qué dificultades y errores tuvieron? ¿Qué tipo de actividad es? Si volviera a trabajarla: ¿qué cambiaría?, ¿qué dejaría igual?, ¿qué cambiaría de su propio actuar?
Al resolver estos problemas los alumnos deben elaborar y seguir una serie de argumentos lógicos que después tendrán que explicar y probar al comunicar a otros la veracidad de sus respuestas.    
1.7. Construyendo y probando30 En esta actividad los alumnos de secundaria realizarán tareas de investigación y demostración en las que desarrollarán las habilidades de comunicación, de dibujo y razonamiento al analizar las propiedades de las figuras que se les pide construir a partir de los datos y de los instrumentos que se les indican.
¿Qué sé de este tema? Anote en su diario del profesor sus comentarios o respuestas a las siguientes cuestiones: 1. ¿Ha trabajado alguna vez actividades de demostración con los alumnos? ¿Cuáles? 2. Escriba una actividad de dibujo que conozca en la que les pide a sus alumnos que utilicen regla no graduada y compás, ¿cuáles son las propiedades o relaciones que se enfatizan en esa actividad? 3. ¿Cuál cree que es el papel de los instrumentos geométricos (regla no graduada, compás, escuadras) en las construcciones? Por ejemplo: Situación A: El siguiente segmento es la diagonal de un rectángulo.
Utilizando compás, regla y escuadra no graduada dibuje dos rectángulos distintos que tengan por diagonal al segmento dado. ¿Es posible dibujar más rectángulos?, ¿cuántos? Explique por qué. Situación B: El siguiente segmento es la diagonal de un rectángulo.
Utilice compás y regla no graduada para construirlo. ¿Es posible dibujar más rectángulos?, ¿cuántos? Explique por qué. Compare de qué manera las situaciones A y B son diferentes debido a que los instrumentos que se pueden utilizar en ellas son distintos, a pesar de que ofrecen el mismo dato: la diagonal.31
Manos a la obra Primero lo hago yo Realice las cinco construcciones que se presentan en la hoja de trabajo Construyendo y probando (véase anexo). ¿Cuáles son algunas de las propiedades o relaciones de las figuras que se proponen construir? ¿Qué diferencias encuentra entre cada una de las construcciones que se plantean? ¿En cuáles construcciones hay más de una solución? ¿Por qué? ¿Y en qué casos no existe una solución? ¿Qué diferencia hay entre utilizar papel liso o cuadriculado para realizar la construcción? ¿Qué conceptos matemáticos se trabajan en la actividad? ¿Qué posibles procedimientos podrían utilizar los alumnos? ¿Cuáles de ellos convendría destacar? ¿Por qué?
Después lo pongo en práctica Organice a los alumnos en parejas y entrégueles un dibujo como el que aparece en la actividad 1 de la hoja de trabajo Construyendo y probando (véase anexo). Pídales que traten de realizar las construcciones y de justificar sus procedimientos. Una vez que los alumnos hayan terminado sus construcciones, realice una confrontación grupal en la que ellos mismos argumenten por qué es o no posible cada construcción y de qué manera se puede estar seguro de la respuesta. Un aspecto a destacar es el hecho de que la medición no puede ser un argumento en el cual se apoye una justificación para determinada construcción debido a que en ocasiones se pueden lograr figuras geométricas aun con erro-
Tomada de H. Ponce (2003), Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo.
res de medición, pero desde las propiedades y relaciones de las figuras dicha construcción no es posible (por ejemplo, construir un triángulo cuyos lados midan 9 cm, 5 cm y 4 cm).
Reflexión sobre la práctica Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles fueron algunos de los argumentos que dieron los alumnos al realizar cada una de las construcciones? 2. Compare los procedimientos seguidos por sus alumnos y los que usted consideró en el apartado Primero lo hago yo, ¿qué aspectos nuevos surgieron? 3. ¿Cuáles fueron algunos de los errores más comunes que cometieron los alumnos durante el desarrollo de la actividad? 4. ¿Cuáles podrían ser algunas variantes de la actividad?
1.8. Geometría y azulejos32 En esta actividad los alumnos de secundaria realizarán tareas de investigación y demostración en las que desarrollarán las habilidades de comunicación, dibujo, razonamiento y transferencia al analizar con qué polígonos regulares e irregulares es posible recubrir un plano y por qué.
¿Qué sé de este tema? Anote en su diario del profesor sus comentarios o respuestas a las siguientes cuestiones: 1. Investigue qué es un teselado. 2. ¿Con qué polígonos regulares es posible cubrir un plano? ¿Por qué?  32 Tomada de H. Espinosa, Silvia García, Marco Antonio García (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria.
3. ¿Existirán otras figuras que no sean polígonos regulares con las cuales sea posible cubrir el plano? ¿Por qué?
Manos a la obra Primero lo hago yo Realice las tres actividades que se presentan en la hoja de trabajo Geometría y azulejos (véase anexo). Para concluir y analizar las actividades puede utilizar una tabla como la siguiente:
¿Los polígonos embonaban perfectamente?
¿Cubren todo el plano?
Medida de los ángulos interiores
Número de ángulos alrededor del punto
Suma de las medidas de los ángulos alrededor del punto.
• ¿Cuánto vale la suma de las medidas de los ángulos alrededor del punto indicado? • Si se mezclan distintos polígonos regulares para cubrir el plano, ¿cuál es la suma de las medidas de los ángulos alrededor del punto indicado?
Después lo pongo en práctica Invite a los alumnos a trabajar en parejas; a cada uno se le entrega una copia de la actividad 1 de la hoja de trabajo de Geometría y azulejos. Deje abierta la pregunta para que, en una lluvia de ideas, los alumnos digan los posibles motivos por los que los azulejos en forma de pentágono regular no sirvieron. Se espera que lleguen a la conclusión de que los pentágonos regulares, puestos uno al lado de otro, no permiten cubrir totalmente un plano. Recomiéndeles que hagan un pentágono regular en una cartulina y que lo utilicen como plantilla para calcar varios y traten de cubrir totalmente un plano y vean lo que sucede. Los alumnos notarán que se requiere construir rombos o alguna otra figura para cubrir los huecos que dejan los pentágonos. Para la realización de la actividad 2 se recomienda que los alumnos utilicen su juego de Geometría para trazar polígonos regulares en cartulina y los usen como plantillas. Después de un tiempo suficiente, pida que un representante de cada equipo muestre las figuras que dan respuesta a los incisos a) y b). Invite a los alumnos a descubrir la característica común entre los hexágonos regulares, los cuadrados y los triángulos equiláteros. Es probable que al menos un equipo se dé cuenta de que la medida de un ángulo interno en cualquiera de estos tres polígonos regulares es un divisor de 360°.
Reflexión sobre la práctica Responder en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles fueron algunos de los argumentos que dieron los alumnos al realizar cada una de las construcciones? 2. Compare los procedimientos seguidos por sus alumnos y los que usted consideró en el apartado Primero lo hago yo, ¿qué aspectos nuevos surgieron? 3. ¿Cuáles fueron algunos de los errores más comunes que cometieron los alumnos durante el desarrollo de la actividad? 4. ¿Cuáles podrían ser algunas variantes de la actividad?
1.9. El círculo33 En esta actividad los alumnos de secundaria realizarán tareas de investigación y demostración en las que desarrollarán las habilidades de comunicación, dibujo, razonamiento y aplicación al resolver un problema que corresponde a un contexto no matemático en el que se aplican los conceptos de ángulo inscrito en una circunferencia y lugar geométrico.
¿Qué sé de este tema? Anote en su diario del profesor sus comentarios o respuestas a las siguientes cuestiones: 1. ¿Qué es un ángulo inscrito? 2. ¿Qué es un ángulo inscrito en una circunferencia? 3. ¿Qué sucede cuando dos ángulos inscritos en el mismo círculo abarcan el mismo arco de circunferencia? 4. Anote una situación en la que muestre cómo ha trabajado con sus alumnos la habilidad de aplicación o transmisión geométrica.
Manos a la obra Primero lo hago yo Realice las tres actividades que se presentan en la hoja de trabajo El círculo (véase anexo). • ¿Cómo serán los ángulos de visión si un espectador X observa dos escenarios en los que la medida de los arcos que abarcan son iguales?
33 Tomada de H. Espinosa, Silvia García, Marco Antonio García (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria.
Después lo pongo en práctica Organice a los alumnos en parejas; a cada alumno se le entrega un dibujo de la actividad 1 de la hoja de trabajo El círculo y se les plantea la situación. Deles tiempo suficiente para contestar. Tal vez algunos alumnos tracen los ángulos de visión de los espectadores y algunos los midan con el transportador; quizá otros utilicen una hoja como auxiliar y copien en ella uno de los ángulos para superponerlo y compararlo con los otros. En cualquier caso concluirán que los ángulos de visión de cada uno de los espectadores son iguales (es decir, son congruentes). Pídales que escriban una conjetura de lo que sucede con estos ángulos inscritos en el mismo círculo. En cuanto a la segunda actividad, es posible que los alumnos elijan puntos al azar y midan cada ángulo para ver si cumple con la condición que se ha solicitado. Observarán que si los puntos elegidos se encuentran cerca de la circunferencia la medida del ángulo se va acercando a la mitad de la medida del ángulo central, y que si el punto elegido se encuentra sobre cualquier parte de la circunferencia, entonces la medida del ángulo cumple con la condición señalada. Finalmente, para realizar la tercera actividad organice a los alumnos en parejas y observe cómo trabajan; sin duda esta tarea es una oportunidad para que aprendan a utilizar adecuadamente los instrumentos geométricos. Cuando la mayoría de los estudiantes haya terminado, realice una discusión grupal en la que contesten las siguientes preguntas: • ¿Cómo trazaron los rectángulos? • ¿Qué figura geométrica se forma con los vértices de los rectángulos? • ¿Qué relación tiene el segmento original con la circunferencia que se forma? • ¿Cuánto mide un ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y abarca su diámetro?
Reflexión sobre la práctica Responda en su diario del profesor las siguientes preguntas: 1. Compare los procedimientos seguidos por sus alumnos y los procedimientos que consideró en el apartado Primero lo hago yo, ¿qué aspectos nuevos surgieron? 2. ¿Cuáles fueron algunos de los argumentos que dieron los alumnos al realizar la construcción de la actividad 3? 3. ¿Cuáles fueron algunos de los errores más comunes que cometieron durante el desarrollo de la actividad? 4. ¿Cuáles podrían ser algunas variantes de la actividad?
Anexo Hojas de trabajo
1.1. Rompecabezas34                            
34 Tomada de: C. Broitman y H. Itzcovich (2002), El estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos. Actividades para los primeros años de la escolaridad.
1.2. Copiando figuras 35 Actividad 1. Copia la figura siguiente en la hoja cuadriculada que se te entregó.           
" Actividad 2. Ahora copia esta otra figura en una hoja cuadriculada. Para realizar esta nueva copia toma en cuenta las recomendaciones que escribiste en la actividad anterior.
" Adaptada de H. Ponce (2003), Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo.
" Actividad 3. Observa la figura original y una copia que se elaboró de ella, señala cuáles son los errores y corrígelos.            Original
1.3. Identificando cuerpos 36 Actividad 1. Forma un conjunto de cuerpos como los que aparecen en la siguiente figura.              Se pueden utilizar cajas de cartón, envases u otros objetos. El profesor selecciona un cuerpo sin decir a los alumnos cuál fue. Éstos deberán hacer preguntas a las que sólo se puede responder con sí o no. Cuando creen estar seguros de qué cuerpo se trata pueden intentar decir cuál es. Si aciertan, ganan un punto; pero si se equivocan, pierden y dejan de jugar durante esa ronda.        
Actividad 2. Supón que ha sido seleccionado el cuerpo que se indica en la siguiente figura.  Cuerpo Elegido        
Debes escribir la menor cantidad de preguntas y respuestas para que sea posible identificarlo.
" Actividad 3. Forma un conjunto de cuerpos, como los que aparecen en la figura de abajo, en el que conozcas el cuerpo que ha sido elegido y una lista de preguntas y respuestas que está incompleta. Los alumnos deben escribir la pregunta que falta para que puedan identificar al cuerpo. Cuerpo Elegido
Actividad: Identificando cuerpos ¿El cuerpo tiene caras cuadradas? Respuesta: Sí ¿El cuerpo tiene 6 caras? Respuesta: No
1. 4 Pentaminós Si tomamos cinco cuadrados y los unimos de modo que tengan al menos un lado común, obtenemos lo que se llama pentaminó. Por ejemplo:
No se pueden unir sólo por un vértice y tampoco por la mitad de un lado.
1. En total hay 12 pentaminós.
Cuando ya tengaa los 12, identifica los pentaminós con los que puedes armar una cajita sin tapa.
3. Con este pentaminó sí se puede armar una
cajita sin tapa. Señala con una flecha los lados que tienen que unirse para formar la tapita. Como en el ejemplo:
drado, para que se puede armar con el un cubo.
5. Elige dos pentaminós, diferentes al del ejemplo, con los que también se pueda armar una cajita sin tapa y en su cuaderno repitan con ellos las actividades 3 y 4.
1.5 Definiendo trianpen37 Anota en las figuras 13 a 18: Es un trianpen o No es un trianpen, según lo consideres.
2 No es un trianpen
3 No es un trianpen
4 Es un trianpen
6 Es un trianpen
Adaptada de C. Alsina et al. (1998), Enseñar Matemáticas.
1.6. Explorando cuadriláteros 38 En cada conjunto de puntos traza una figura de cuatro lados de tal manera que sus vértices sean cuatro de los puntos. Dos figuras con igual forma y medida se cuentan por una sola. En total hay 16 figuras, ¡encuéntralas todas!
38 Tomado de G. Burton et al. (1993), Sixth-Grade Book. Standards for School Mathematics. Addenda Series. Grades K-6. NCTM.
1.7 Construyendo y probando Actividad 1. Se sabe que el siguiente segmento es la diagonal de un paralelogramo.
Utiliza regla y escuadra no graduadas para realizar la construcción. ¿Es posible? Si lo fuera, ¿hay una única respuesta? ¿Por qué? Actividad 2. Usa regla graduada y compás para construir, si es posible, un paralelogramo que tenga: • Un lado de 3 cm • Una diagonal de 4 cm Justifiquen su respuesta. Actividad 3. Utiliza regla graduada y compás para construir, si es posible, un paralelogramo que tenga: • Un lado de 3 cm • Una diagonal de 4 cm • Una diagonal de 6 cm ¿Hay un solo paralelogramo que cumple estas condiciones? ¿Por qué? Actividad 4. Usa regla graduada y compás para construir, si es posible, un paralelogramo que tenga: • Un lado de 5 cm • Una diagonal de 7 cm que forma una ángulo de 60° con el lado de 5 cm ¿Cuántos paralelogramos cumplen estas condiciones? Justifiquen su respuesta.
1.8 Geometría y azulejos 39 Actividad 1. Lee la siguiente situación y contesta la pregunta. A un fabricante se le ocurrió producir azulejos en forma de pentágonos regulares.
   Una persona que visitó su establecimiento vio esos azulejos y le gustaron mucho. Compró los suficientes para cubrir las paredes de su baño, sin embargo, a pesar de que los azulejos eran de excelente calidad, regresó con el fabricante sumamente molesto y le dijo que sus azulejos no servían. El fabricante, sorprendido, le preguntó por qué.
¿Qué tiene que hacer el fabricante para que su producción de azulejos pentagonales pueda utilizarse para cubrir las paredes?
" Actividad 2. Organizados en equipos de cuatro integrantes, lean y resuelvan la siguiente situación: Busquen polígonos regulares que puedan servir como moldes para fabricar azulejos que cubran totalmente una superficie, bajo las siguientes condiciones: a) Sólo se permiten figuras del mismo tipo b) Se permiten figuras de varios tipos 39 Tomada de H. Espinosa, S. García, M.A. García (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria.
En cada caso hagan dibujos que muestren cómo cubrieron la superficie. Contesten las preguntas. • ¿Qué característica común tienen los polígonos que dan solución al inciso a)? • ¿Qué característica común tienen los polígonos que no dan solución al inciso a)? Comparen sus respuestas.
" Actividad 3. Encuentra diferentes figuras que no sean polígonos regulares y que cubran totalmente el plano. Haz un teselado40 con algunas de las figuras encontradas para este problema y coloréalo a tu gusto.                  40 Teselado: del latín tessellatus, nombre que daban los antiguos romanos a los azulejos que utilizaban para cubrir sus pavimentos y muros. Un teselado se hace repitiendo la misma forma una y otra vez.
1.9. El círculo41 Actividad 1. Lee la siguiente situación y contesta las preguntas. El dibujo que observas es el croquis de un teatro.
 Las letras señalan algunos de los asientos y las líneas punteadas, el ángulo de visión de los espectadores que ocupan esos asientos.
• ¿Cuál de los espectadores (a, b, c, d, e, f ) tiene mayor a ángulo de visión? Justifiquen sus respuestas. • ¿Qué sucede si el teatro es más grande o más chico? • ¿Qué tiene que hacer el fabricante para que su producción de azulejos pentagonales pueda utilizarse para cubrir las paredes?
e G f esenario
" Actividad 2. Resuelve la siguiente situación: Una persona se encuentra situada en el centro del teatro (que tiene la misma forma que en la actividad 1). • Localiza algún lugar del teatro en el que otro espectador tenga la mitad del ángulo de visión que el que se encuentra en el centro.
Tomada de H. Espinosa, S. García, M.A. García (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria.
Actividad 3. Utiliza tus escuadras para resolver la siguiente situación: Traza un segmento de 8 cm de longitud.
Después, traza al menos 8 rectángulos diferentes en los cuales una de sus diagonales sea el segmento que trazaste. a) ¿Qué figura geométrica forman los vértices de todos los rectángulos que trazaste? b) ¿Por qué se forma la figura geométrica que encontraste?
Libros y artículos: Alsina, C., C. Burgués, J. Fortuny (1991), Materiales para construir la Geometría, Madrid: Síntesis. Alsina, C., J. Fortuny, R. Pérez (1997), ¿Por qué Geometría? Propuestas didácticas para la ESO, Madrid: Síntesis. Alsina, C., C. Burgués, J. Fortuny, J. Giménez, M. Torra (1998), Enseñar Matemáticas, Barcelona: Editorial Graó. Backhoff, E. et al. (2006), El aprendizaje del Español y las Matemáticas en la Educación Básica en México: sexto de primaria y tercero de secundaria, México: INEE. Bressan, A., B. Bogisic, K. Crego (2000), Razones para enseñar Geometría en la Educación Básica. Mirar, construir, decir y pensar… Buenos Aires: Ediciones Novedades Educativas. Broitman, C. y H. Itzcovich (2002), El estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos. Actividades para los primeros años de la escolaridad, Buenos Aires: Ediciones Novedades Educativas. Burton, G. et al. (1993), Sixth-Grade Book. Standards for School Mathematics. Addenda Series. Grades K-6, EUA: NCTM. Espinosa, H., S. García y M.A. García (1999), Fichero de actividades didácticas. Educación Secundaria, México: SEP. Fortuny, J. (1994), “La educación geométrica 12-16. Sistemática para su implementación”, en La Geometría: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula, Barcelona: Editorial Graó. Guillén, G. (2005), “Análisis de la clasificación. Una propuesta para abordar la clasificación en el mundo de los sólidos”, Educación Matemática, vol. 17, núm. 2, agosto 2005, México: Santillana XXI. 167
Gutiérrez, A. y A. Jaime (1991), “El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: los giros”, Educación Matemática (2), vol. 3, México: Santillana XXI, pp. 49-65. Llinares, S. (2003), “Matemáticas escolares y competencia matemática”, en Carmen Chamorro (coord.), Didáctica de las Matemáticas para primaria, Madrid: Pearson Prentice Hall. Ponce, H. (2003), Enseñar Geometría en el primer y segundo ciclo. Diálogos de la capacitación, Buenos Aires: CePA (serie Materiales para la Capacitación. Escuela de Capacitación). Samper, C., L. Camargo, C. Leguizamón (2003), Cómo promover el razonamiento en el aula por medio de la Geometría, Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. SEP Vecino, F. (2003), “Didáctica de la Geometría en Educación Primaria”, en Carmen Chamorro (coord.), Didáctica de las Matemáticas para primaria, Madrid: Pearson Prentice Hall. Velázquez, F. (2006), “La Geometría, una enseñanza imprescindible”, UNO. Revista de didáctica de las Matemáticas, núm. 42, año XII, Barcelona: Editorial Graó.
Páginas de internet consultadas: Explorador Excale del INEE: http://www.inee.edu.mx/explorador/muestraDificultad.php http://www.inee.edu.mx/explorador/muestraEspecificacion.php
Lecturas recomendadas Alsina, C., Josep Fortuny, Rafael Pérez (1997), ¿Por qué Geometría? Propuestas didácticas para la ESO, Madrid: Síntesis. A pesar de tratarse de un texto dirigido a maestros de secundaria, también puede ser de utilidad para los profesores de primaria. Consta de los siguientes capítulos: Unas reflexiones sobre Geometría y educación; Pensar geométricamente; Resolver problemas estratégicamente, y Geometría en clase: implementar y evaluar. El texto es eminentemente didáctico y, entre otros aspectos, incluye una historia breve de la Geometría, un análisis muy interesante del papel de la definición en la clase de Geometría e ideas sobre la implementación de un laboratorio de Geometría.
Bressan, A., Beatriz Bogisic, Karina Crego (2000), Razones para enseñar Geometría en la Educación Básica. Mirar, construir, decir y pensar… Buenos Aires: Ediciones Novedades Educativas. El libro es básicamente una extensa colección de diversas actividades para la enseñanza de la Geometría, la gran mayoría para primaria pero también para secundaria. Las actividades se presentan clasificadas de acuerdo con la habilidad que trabajan principalmente. Tiene los siguientes capítulos: La Geometría en la educación general básica; Habilidades visuales; Habilidades de dibujo y construcción; Habilidades de comunicación; Habilidades de pensamiento; Habilidades de aplicación y transferencia; Conclusiones.
Broitman, C. y H. Itzcovich (2002), El estudio de las figuras y de los cuerpos geométricos. Actividades para los primeros años de la escolaridad. Buenos Aires: Ediciones Novedades Educativas. Este libro presenta una serie de actividades de Geometría diseñadas de acuerdo con la didáctica francesa, en particular con la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau. Después de una introducción donde se habla someramente de esta teoría, se presenta una serie de secuencias didácticas que dan nombre
a los diferentes capítulos que conforman el libro: Pistas y figuras; Plegados y formas; Mensajes con figuras; Cubrir diseños con figuras; Adivinar cuerpos; Mensajes de construcciones con cuerpos; Desarrollos planos de cuerpos.
Calvo, Xelo et al. (2002), La Geometría: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula, vol. 17, Barcelona: Editorial Graó (Col. Claves para la Innovación Educativa). En este libro se presenta una colección de pequeños ensayos relacionados con la enseñanza de la Geometría; está dirigido a maestros de preescolar, primaria y secundaria. Sobre los aspectos generales se incluyen dos capítulos: Construir la Geometría y Los recursos didácticos en el aprendizaje de la Geometría. Para Educación Preescolar: El aprendizaje de la Geometría; Aprender jugando con la Geometría en la escuela infantil. Para Educación Primaria: El qué, cuándo, para qué de las Matemáticas; El polydrón, un material que engancha. Para secundaria: La educación geométrica. Sistemática para su implementación; El espacio en forma.
Guillén, G. (2005), “Análisis de la clasificación. Una propuesta para abordar la clasificación en el mundo de los sólidos”, Educación Matemática, vol. 17, núm. 2, agosto 2005, México: Santillana XXI. Es una propuesta para futuros maestros de alumnos de primaria que presenta un marco teórico sobre el mundo de los poliedros y formas de clasificarlos. Hace un interesante análisis de la clasificación vista desde diferentes puntos de vista y de los obstáculos y las dificultades de clasificar bajo criterios diferentes.
Moriena, S. y S. Scaglia (2003), “Efectos de las representaciones gráficas estereotipadas en la enseñanza de la Geometría”, Educación Matemática, vol. 15, núm. 1, abril 2003, México: Santillana XXI. En palabras de las autoras: En este artículo se describe un estudio realizado para detectar la influencia de las representaciones gráficas estereotipadas en la
enseñanza y el aprendizaje de los conceptos geométricos. Se trata de estudiar la dificultad para identificar una figura geométrica cuando su representación gráfica difiera (por ejemplo, en su posición) de la que se presenta comúnmente en los libros de texto.
_______2005), “Prototipos y estereotipos en Geometría”, Educación Matemática, vol. 17, núm. 3, diciembre 2005, México: Santillana XXI. En este artículo se introduce la expresión representación gráfica estereotipada para referirse al dibujo que normalmente se hace de una figura geométrica; por ejemplo, el cuadrado se dibuja por lo general apoyado sobre un lado, mientras que el rombo nunca se dibuja así. Estas representaciones estereotipadas dan lugar a lo que las autoras llaman ejemplo prototípico, que es el esquema mental que los alumnos se forman de un concepto geométrico.
Vecino, F. (2003), “Didáctica de la Geometría en Educación Primaria”, en Carmen Chamorro (coord.), Didáctica de las Matemáticas para primaria, Madrid: Pearson Prentice Hall. Se trata de un ensayo en el que se hacen reflexiones sobre la enseñanza de la Geometría, los problemas actuales y sus posibles causas; la parte medular del ensayo corresponde a proposiciones didácticas que el autor hace sobre el tema, por ejemplo, que sea más dinámica, que se trabaje la inducción y la deducción, que atienda a procesos de construcción, reproducción, representación y designación, entre otros aspectos.
Colaboradores El siguiente listado incluye académicos del INEE, asesores, miembros de comités, expertos y docentes que contribuyeron en la elaboración de este material. Nuestro reconocimiento a todos ellos. Especialistas Mónica Inés Schulmaister Miguel Ángel León Hernández Comité didáctico de docentes Ariadna Berenice García Cruz, Estado de México Emilia Aldama Casias, Morelos Hugo Ramírez Valencia, Morelos Luis Gerardo Luna Soto, Guanajuato Luz María Pérez Arredondo, Guanajuato María del Rocío Ruiz Talavera, Jalisco Mario Reyna González, Querétaro Mateo Segundo Moreno, Estado de México Pascual Flores Alberto, Estado de México Rosa Isela Arciga Tapia, Querétaro Coordinación INEE Annette Santos del Real Alejandra Delgado Santoveña Hidalia Sánchez Pérez María Minerva Nava Amaya Rosa Mónica García Orozco A los alumnos y alumnas del ciclo escolar 2007-2008 y a la directora profesora Remedios Soriano Pardo de la Escuela Secundaria Oficial Número 633, Profesor Manuel Hinojosa Giles, en Nezahualcóyotl, Estado de México, y al profesor Ángel Villaraus
Villegas por las facilidades brindadas en el piloteo de algunas de las actividades de este material. Al profesor Fortino Escareño Soberanes por su lectura crítica y sus valiosos comentarios.

References: resolución 
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