Source: https://es.scribd.com/document/163500880/14-Sangaku
Timestamp: 2019-04-21 14:50:54+00:00

Document:
PARED PREFABRICADA.docx
Examenes3ESO
CIRNCUNFERENCIA
Fernando Fouz (*) INTRODUCCIÓN
Buscando problemas interesantes para un trabajo, me encontré en la página 8 del libro More Mathematical Morsels, (MAA, 1991) del autor Ross Honsberger, el siguiente problema: Supongamos un cuadrado de papel de vértices ABCD que doblamos según la línea discontinua de puntos entre G y E, de tal manera que el vértice D se convierte en el punto F sobre el lado BC y el vértice A pasa a ser H. Si ahora inscribimos una circunferencia en el triángulo rectángulo superior JBF, que no es tapado por el plegamiento, como se muestra en la figura, se pide demostrar que la longitud del radio de esa circunferencia inscrita en JBF es igual a la del segmento HJ que “asoma” fuera del cuadrado. Después de estudiarlo y obtener una solución para el problema, me fijé en el enigmático título que el problema tenía: Sangaku y presté más atención al párrafo de introducción que el problema traía y en el que, someramente, se citaba su origen. Picado por la curiosidad traté de profundizar más en el tema y, en estos casos, el camino más sencillo es Internet de donde, investigando diversas páginas web, he recapitulado una serie de problemas geométricos que se engloban dentro del término Sangaku. ¿Qué significa el término Sangaku? Es una palabra japonesa que literalmente significa “tablilla de madera” y, en particular, se refiere a las tablas de madera que se colgaban en los templos budistas y santuarios sintoístas, y que, generalmente, contenían relevantes descubrimientos matemáticos de contenidos geométricos. Al parecer este hecho de colgar las tablillas en los templos tenía un doble significado, por un lado, agradecer a los dioses de esos templos los descubrimientos y, por otro lado, dar honor a sus autores. Los problemas en su mayoría son geométricos pero también los hay aritméticos y algebraicos. Para estos cálculos recurrían a un conjunto de símbolos que representaban a los números enteros y que recibían el nombre de SANGI. Estos símbolos estaban construidos con pequeñas líneas agrupadas vertical y horizontalmente, lo que sencillamente llamaríamos palotes, que escritos en rojo eran números positivos y en negro, negativos, pues utilizaban la misma escritura para el número positivo y negativo variando sólo el color.
(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Donostia.
Y pide establecer la relación entre sus radios. En Japón se le conoce por Tercer Teorema de Mikami y Kobayashi. pues se han perdido o quemado un gran número de ellas. se descubrió en 1994. en especial. . fueron también realizados independientemente por japoneses. Respecto al contenido concreto de los problemas geométricos.). les remito a la revista Investigación y Ciencia. En algunos casos se descubrieron muchos años más tarde de su creación. Cabe también citar que sólo se escribía el problema y no su solución. había desde samurais hasta comerciantes. algunos de ellos. Como en este artículo me interesa centrarme en los problemas. se incluye todo el Sangaku.. documentada e interesante la historia de la matemática japonesa (wasan) de todas las épocas y. Problema nº 1 Este problema está datado en 1824 en la prefectura de Gunma y dice: Las tres circunferencias de la figura son tangentes entre sí y a la recta horizontal “t”. Uno de los problemas que veremos posteriormente (perteneciente a la muy activa prefectura de Gumma de 1824) es por ejemplo una variante del “Teorema de los círculos tangentes de Descartes”. una tablilla realizada en 1814. lo que provocó que no se conociese en ese país el gran desarrollo que en esos siglos tuvo la Matemática en Europa.Fernando Fouz Es interesante señalar que estas tablillas estaban hechas por personas de diversa procedencia. aparece a la intersección de un cilindro y una esfera.c. no sólo por lo que hoy en día llamaríamos un matemático profesional. 174 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.) hasta el actual. Estas tablillas se construyeron durante el periodo EDO que duró desde 1603 hasta 1867. en el que se publica un artículo de Tony Rothsman. el decimocuarto. muchas de ellas obtenidas a partir del teorema de Pitágoras. Actualmente se conservan algo más de 800 tablillas pero se sabe que su número ha sido muy superior. Este hecho hace que en los libros de Geometría japoneses figuren los nombres de matemáticos japoneses desconocidos en teoremas que en Occidente tienen nombres de reconocidos matemáticos. en la mayoría de ellos. que llamaríamos europeos. que recibe el nombre de Heisei (1989-. Para los amigos de la Historia cabe señalar que la historia de Japón está dividida en periodos que van desde el primer periodo. Los problemas en su mayoría son de geometría plana aunque. llamado Jomón (8000-300 a. son problemas tridimensionales en los que intervienen esferas o agrupaciones de ellas. número de julio de 1998. La aparición de las tablillas en este periodo EDO. en el que los valores de los catetos e hipotenusa se calculan a partir de propiedades de la tangencia entre circunferencias y rectas. así por ejemplo. En este artículo se desarrolla de una forma amplia. dejo aquí esta breve introducción. e incluso en alguno de ellos. hasta la de Kinshouzan en 1865. va desde la más antigua conservada de 1683 en la prefectura de Tochigi. Un periodo caracterizado por el aislamiento de Japón del mundo occidental. dejando su resolución para el final del artículo. pasando por granjeros e incluso niños. de tal manera que algunos teoremas. intervienen circunferencias tangentes entre ellas o a rectas. Hay que señalar que algunos de estos descubrimientos tienen fecha anterior a su “descubrimiento occidental”. lo cual podía tener una cierta postura de desafío para los que estuviesen interesados en el tema. Para aquellos lectores interesados en conocer más este tema. A continuación vamos a ver una colección de enunciados de problemas Sangaku. y no tanto en la historia del Sangaku. Los cálculos para su resolución necesitan ecuaciones lineales o de segundo grado..
es decir. Se trata del problema de calcular la relación de los radios de cuatro circunferencias cada una tangente a las otras tres. Problema nº3 Calcular los radios de las circunferencias inscritas en función del lado del cuadrado. Sustituyendo q = ϱ. Problema nº 2 Calcular el lado del cuadrado inscrito así como los radios de las circunferencias inscritas en función del lado del cuadrado exterior. Problema nº4 Calcular los radios de las circunferencias inscritas en función del lado del cuadrado. Abril 2003 • 2003ko Apirila 175 . tenemos el problema nº 1 arriba propuesto. Se trata de sustituir la recta “t” por una cuarta circunferencia como se muestra en la figura: Si los radios de las circunferencias son los señalados en la figura se puede demostrar que su relación es: Aunque en la formulación de Descartes cada una de esas fracciones es sustituida por su inversa. por la curvatura de cada circunferencia.Sangaku: Geometría en los templos japoneses Este problema es un caso particular del problema de las circunferencias tangentes de Descartes. En él Descartes plantea la solución en términos no del valor de los radios de las circunferencias sino de su curvatura (recíproco de su radio).
Fernando Fouz Problema nº 5 Calcular el radio de la circunferencia inscrita en función del lado del cuadrado. Problema nº 8 Calcular los radios de las circunferencias inscritas en términos del lado del cuadrado. Problema nº 6 Calcular el radio de la circunferencia interna en función del lado del cuadrado. . 176 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Problema nº 7 Calcular los radios de las circunferencias inscritas y la relación entre ellos.
es decir. la suma de los radios de todas las circunferencias inscritas en los triángulos formados. inscribimos un polígono convexo de n-lados y desde un vértice cualquiera trazamos todas las diagonales que parten de ese punto. es independiente de la triangulación elegida. del vértice que elijamos para realizar la triangulación”. Abril 2003 • 2003ko Apirila 177 . Para el caso del polígono de la figura con sus triangulaciones distintas el teorema expresaría la siguiente igualdad: r1 + r2 + r3 + r4 = r’1 + r’2 + r’3 + r’4.Sangaku: Geometría en los templos japoneses Problema nº 9 Calcular los radios de las circunferencias inscritas en función del lado del cuadrado. El teorema establece que “si en una circunferencia de radio R. Problema nº 10 Calcular el radio de cualquier circunferencia inscrita (todas son iguales) Problema nº 11 Este problema se conoce con el nombre de “Primer Teorema Japonés” o “Primer Teorema de Mikami y Kobayashi”.
el cuadrilátero que une los incentros de esas cuatro circunferencias es un rectángulo”. es media geométrica de los dos radios de las otras dos circunferencias. en la figura que se muestra. . Problema nº 13. Solución al problema planteado en la introducción y referido al plegamiento de un cuadrado de papel. Además la razón de proporcionalidad entre sus lados será la misma que entre los respectivos radios de las circunferencias inscritas. Problema nº 12 Este problema es el llamado “Segundo Teorema Japonés”.Fernando Fouz IDEA: Para su realización es interesante estudiar previamente el “Teorema de Carnot”. De esta manera: de donde deducimos las igualdades: { rc= ps=s(x–a–b) ra=ms=s(x–c) al restar una de otra se obtiene que: 178 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Como se ve en la figura los dos triángulos GHJ y JBF son semejantes. o “Segundo Teorema de Mikami y Kobayashi”. SOLUCIONES. con la suma de las longitudes de los segmentos perpendiculares a cada lado del triángulo desde el circuncentro. Como se observa en la figura del problema propuesto. El teorema establece que “si en un cuadrilátero cualquiera inscrito en una circunferencia trazamos primero las dos diagonales y luego las cuatro circunferencias inscritas en los cuatro triángulos formados por una diagonal y dos lados del cuadrilátero. ya que son rectángulos y tienen un ángulo opuesto por el vértice. que liga los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo. todos los triángulos tienen la misma circunferencia circunscrita. Demostrar que el radio de la circunferencia de tamaño intermedio.
b y c” obtenemos que: r(a–c) =c(a–c) Por tanto r=c que era lo que se quería demostrar El problema admite más soluciones que la de aquí propuesta Problema nº 1 Trazamos los segmentos perpendiculares a la recta desde el centro de cada circunferencia y los segmentos paralelos a esa recta por el centro de la circunferencia pequeña y la mediana. Como vemos en la figura el centro pertenece a las tres bisetrices y los radios son perpendiculares a los lados por tanto tenemos: p – r + n – r = m de donde r ( a – c) = 1/2 p+n–m=2r ) ( b + c – a) ( a + b . como se muestra en la figura: En el triángulo rectángulo PFO tenemos que: Del mismo modo obtendríamos que: y que Como la suma de estos dos últimos es el segmento anterior tendremos que: Bastaría dividir por dos veces la raíz del producto de los tres radios( la relación buscada: ) (para obtener Abril 2003 • 2003ko Apirila 179 . tendremos para el triángulo GHJ lo siguiente: 2s = b + c – a por lo que sustituyendo [ 1 ] tendremos: ( NOTA: Si este resultado no se conoce basta observar el triángulo rectángulo JBF de la figura.c) después de operar y teniendo en cuenta la relación pitagórica que liga a “a.Sangaku: Geometría en los templos japoneses r(a–c)= s(a+b–c) [1] Como en un triángulo rectángulo el diámetro de la circunferencia inscrita es la suma de los catetos menos la hipotenusa.
La ecuación a resolver es: Cuya solución es: r = m/16 Problema nº 3 Para el primer cálculo de “R” nos fijamos en el triángulo rectángulo CFO.Fernando Fouz Si en el teorema de Descartes hacemos infinito el cuarto radio y operamos llegaríamos al mismo resultado que acabamos de obtener. respectivamente. de hipotenusa “m+r” y catetos. Aplicando el teorema de Pitágoras: Resolviendo la ecuación obtenemos que R = m/6 El cálculo de “r” no es necesario hacerlo pues es. donde los valores de la hipotenusa y de los catetos son. Problema nº 2 En primer lugar vamos a hacer el cálculo de la proporción entre lados de los dos cuadrados. su valor es: r = m/16 180 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. “m-r” y “m/2”. es decir. “m-R”. “m/2” y “R+m/2”. Nos fijamos en el triángulo rectángulo DGF. el caso del problema anterior. nos fijamos en el triángulo rectángulo CJQ. . exactamente. de hipotenusa “m” y catetos “n” y “(m+n)/2”: Donde operando y reduciendo términos obtenemos: Resolviendo obtenemos como respuesta que: n = 3/5 m Para calcular “R” nos fijamos en el triángulo rectángulo CJO: Operando y reduciendo términos llegamos a la expresión: de donde se obtiene el siguiente valor de “R”: Para obtener el valor “r”.
Problema nº 4 Para el cálculo de “R” nis fijamos en el triángulo rectángulo CEO. que establece que los centros y el punto de tangencia son colineales. es el que tiene su hipotenusa sobre la recta que une los centros de las circunferencias que son tangentes y que pasa el punto de tangencia. Se debe a que tenemos que introducir el segmento FQ que es desconocido. Utilizando una vez cada triángulo señalado tenemos: Sustituyendo y operando obtenemos: De donde se obtiene que: r = m/6 Problema nº 5 El segmento DE es el valor de media diagonal más el radio “R” pero. Es decir. la hipotenusa (DE) valdrá ese valor por la raíz cuadrada de 2. CFQ y. utilizamos la propiedad geométrica de las circunferencias tangentes. De cuya resolución obtenemos: R = 3m/8 Para calcular “r”. DFQ. por otro lado. cuya hipotenusa es “m-R” y los catetos son “R” y “m/2”. por lo que debemos establecer una ecuación adicional. por una lado.Sangaku: Geometría en los templos japoneses NOTA: Realizados ya dos problemas es fácil ver que la estrategia de resolución de este tipo de problemas consiste en encontrar el triángulo rectángulo adecuado que. tenemos que recurrir a dos triángulos rectángulos. Por tanto: Resolviendo obtenemos: Abril 2003 • 2003ko Apirila 181 . como DHE es un triángulo rectángulo isósceles de catetos “m-R”. por otro lado. en general.
Para ello nos fijamos en el segmento EB..Calculamos el radio de la circunferencia de centro “P”. De esta forma tenemos: 182 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. En efecto. por tanto.Cálculo del radio de la circunferencia de centro “Q”: Sumamos los segmentos CQ + QO +OE = m.Cálculo del primer radio “r”. se cumple la relación siguiente: Sustituyendo los valores correspondientes obtenemos: Resolviendo la ecuación se obtiene el valor siguiente de “R”: Problema nº 7 7-1º. .Fernando Fouz Problema nº 6 En el triángulo rectángulo GHO tenemos la relación necesaria para la resolución del problema.. por tanto: De donde: 7-2º. que es suma de EP + PB. Para resolverlo nos fijamos en que el segmento CE. es suma de CO + OE.. teniendo además en cuenta la relación del apartado anterior: De donde obtenemos: 7-3º.
pues son la mitad del ángulo de la diagonal del cuadrado que es la mitad de un recto. En concreto nos será útil el valor de su tangente a la que daremos el valor de “t”.Para la circunferencia de centro “Z” y radio “u”: O lo que es lo mismo: Si ahora sustituimos el valor de “s” por el antes calculado tenemos: Problema nº 8 Es fácil comprobar que los ángulos WBO y XDP valen cada uno de ellos la cuarta parte de un recto.. tendremos que: WB = R / t Calculamos primero el valor del radio grande “R”: Sustituyendo sus valores: Donde ya está sustituido WB = R / t. Al ser conocido el valor del ángulo también lo serán las relaciones trigonométricas de él.Sangaku: Geometría en los templos japoneses Resolviendo se obtiene: 7-4º. Resolviendo la ecuación se obtiene que: R = m t (1 – t) Abril 2003 • 2003ko Apirila 183 . es decir. a partir de ahora damos por conocido que: tg p/8 = t En particular para el triángulo rectángulo OWB.
sustituyendo se obtiene que Operando obtenemos: Si reducimos términos y nos fijamos que 1 + t = √2 (es importante este cambio pues. utilizando el valor de la tangente de “␲/8” usado en el problema anterior. se complica la resolución) obtenemos la ecuación de segundo grado siguiente: Cuya resolución nos lleva al valor siguiente para “r”: Problema nº9 Empezamos calculando el radio más pequeño. En la figura al segmento PJ le llamamos “p”. de donde obtenemos que si: al sustituir en términos de “r”.Fernando Fouz Para el cálculo del radio de la circunferencia pequeña nos fijamos en el triángulo PYE. tendremos: Como r = DX t . Nos fijamos en los triángulos rectángulos QSC y QEF y. Podemos expresar las siguientes dos ecuaciones: De donde se obtienen las dos ecuaciones siguientes: O lo que es lo mismo: obtiene que: De donde se o bien que . por comodidad. de lo contrario. En los triángulos rectángulos PHE y PJC. podemos plantear las siguientes ecuaciones: 184 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. . escribimos BG = a = EF. Por tanto el valor del radio será: Calculamos ahora el radio de la circunferencia intermedia. “m” y “t”.
Para ello nos fijamos en los triángulos rectángulos ONC y OME y. a su vez. hacemos que NC = b. Resolviendo este sistema se llega a la ecuación siguiente: b = 2 m – 5 r. que. n=m/2 y p= r= Sustituyendo nos queda el resultado: Abril 2003 • 2003ko Apirila 185 . Es decir tenemos que: 2r=p–n . los ángulos de ese triángulo serán 30º y 60º. por tanto. después de sustituir nos permite obtener el valor siguiente para “r”: Problema nº 10 Como se observa en la figura los dos catetos están relacionados a través del diámetro. Entre este resultado y el que hemos utilizado en el problema de introducción tendremos: 2r+n=p 2r=n+p–m Combinando ambas ecuaciones obtenemos que: m = 2n Resultado que nos dice que cada triángulo rectángulo es la mitad de un triángulo equilátero.Sangaku: Geometría en los templos japoneses De estas ecuaciones se obtiene que: p = 5s y que el radio buscado es: Por último calculamos el radio de la circunferencia mayor.
como los triángulos contiguos tienen un lado común. Su demostración es sencilla y se encuentra en muchos libros y páginas de Internet. una de esas perpendiculares será la misma a ambos y.Fernando Fouz Problema nº 11 Para su resolución hay que aplicar el teorema de Carnot que establece que “en un triángulo cualquiera la suma de las longitudes de los tres segmentos perpendiculares desde el circuncentro a los tres lados. Es claro. Se comprende fácilmente que. Son siempre positivas salvo que la perpendicular sea “toda ella” exterior al triángulo. es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita”. solamente. además si es externa a uno de ellos será interna al contiguo. Esto tiene importancia porque. En nuestro caso: m1 + m2 + m3 = r + R Donde. que lo que tendremos que hacer es aplicar el teorema de Carnot a cada uno de los triángulos en los que hemos dividido el polígono. como ya hemos citado anteriormente. Aplicando el teorema de Carnot consecutivamente a los cuatro triángulos tenemos: s11 + s12 – s13 = s21 + s22 + s13 = s31 + s32 – s21 = s41 + s42 – s31 = R + r1 R + r2 R + r3 R + r4 Si sumamos todas obtenemos que: s11 + s12 + s22 + s32 + s41 + s42 = 4R + r1 + r2 + r3 + r4 Es decir que sólo nos queda la suma de las perpendiculares a los lados. por tanto tienen todos el mismo circuncentro. las distancias m1. m2 y m3 alguna de ellas puede ser positiva o negativa. y esto es muy importante señalarlo. una de ellas podrá ser negativa pues es imposible trazar dos perpendiculares desde el circuncentro que sean totalmente externas. entonces. En nuestro problema todos los triángulos están circunscritos a la misma circunferencia.de Carnot estas perpendiculares tienen signo “+ ó – “ según sean internas o externas al triángulo. por lo que la damos por válida sin demostrarla. en el T. por tanto si ahora sobre el mismo polígono elegimos otra 186 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk. Se observa que. De esta forma. . desapareciendo las perpendiculares a las diagonales. desde el circuncentro común trazamos todas las perpendiculares a cada uno de los lados de todos los triángulos en los que hemos dividido al polígono.
Esto se hace viendo que: < AED + <D/2 + <A/2= 180 = <A + <B + <D donde con a <A.. Por tanto: <AED = 90º + <B/2 De igual forma obtendríamos que: <AHD = 90º + <C/2 Pero al abarcar ambos ángulos el mismo arco sobre la misma circunferencia serán iguales.<EHD Abril 2003 • 2003ko Apirila 187 . que son lados del polígono inscrito. Es decir tendremos que: s11 + s12 + s22 + s32 + s41 + s42 = 4R + r´1 + r’2 + r’3 + r’4 De donde se deduce que: r1 + r2 + r3 + r4 = r´1 + r’2 + r’3 + r’4 Eligiendo otra nueva triangulación obtendríamos que: r1 + r2 + r3 + r4 = r´1 + r’2 + r’3 + r’4 = r´’1 + r’’2 + r’’3 + r’’4 Es decir la suma de los radios es independiente de la triangulación elegida. En efecto: <EHD + <EHJ = 180º y por otro lado <EAD = (360º -2 <EHD ) / 2 . Problema nº 12. obtendremos el mismo resultado con los nuevos radios pues el circuncentro y los lados de los triángulos.Sangaku: Geometría en los templos japoneses triangulación.Como consecuencia de este resultado el cuadrilátero AEHD se puede inscribir en una circunferencia y se demuestra que: <EHJ = <EAD. La demostración es bastante compleja.. es decir. <C y <D nos referimos a los ángulos sólo del los triángulos. no varían.Se demuestra que los ángulos <AED y <AHD son iguales. obtenemos que: <AED = <AHD 2º. siendo los pasos los siguientes: 1º. Combinando las dos obtenemos: <EHJ = <EAD = 180º . <B.
luego. CDF ó AED ó ABC. Problema nº 13. podemos relacionar el lado de cada cuadrado con el anterior.Fernando Fouz 3º. es decir. las dos segundas tenemos: r/s = v s/t = v Lo que nos lleva al resultado que: s s = r t o lo que es lo mismo s = √rt Es decir el radio intermedio es media geométrica de los otros dos. Para encontrar la respuesta nos fijamos en que todos los triángulos rectángulos son semejantes.1 / cos ␣ ) = n u 2 t = p + p tag ␣ . ... Es claro que si seguimos dibujando. para el primer ángulo hemos demostrado que es recto.n / cos ␣ = n (1 + tag ␣ . Haciendo lo mismo con los demás se comprueba que los demás ángulos también son rectos por lo cual el cuadrilátero es rectángulo.m / cos ␣ = m (1 + tag ␣ .De forma análoga se obtiene que: <JHG = <DCG Por tanto: <EHG = <EHJ + <JHG = <EAD + <DCG = 180º /2 = 90º Es decir.1 / cos ␣ ) = m u 2 s = n + n tag ␣ . Nota: Todas las figuras están hechas con el programa CABRI 188 SIGMA Nº 22 • SIGMA 22 zk.. Vamos a llamar “␣” al ángulo más pequeño. en el triángulo rectángulo más pequeño. Por tanto: 2r=pvvu 2s= puv 2t=pu Dividiendo las dos primeras entre sí y. etc. según el esquema de estos tres cuadrados inscritos. En el triángulo rectángulo DFC aplicamos ya relación ya usada en el problema de introducción (relación del radio de la circunferencia inscrita con los catetos y la hipotenusa). se seguirá cumpliendo la misma relación entre tres circunferencias consecutivas. de esta manera: n= p / cos ␣ + p sen ␣ = p ( 1 / cos ␣ + sen ␣ ) = p v m= n / cos ␣ + n sen ␣ = n ( 1 / cos ␣ + sen ␣ ) = n v = p v v. ya que todos son iguales. De esta manera para cada circunferencia tendremos 2 r = m + m tag ␣ .p / cos ␣ = p (1 + tag ␣ .1 / cos ␣ ) = p u Por otro lado.
es/~mcj/sangaku02.html Abril 2003 • 2003ko Apirila 189 .ph. “Geometría en los templos del Japón”.paginar.html www.nhl. “More Mathematical Morsels”. Mathematical Association Of America. Ross.tem.mfdabbs.utexas.Sangaku: Geometría en los templos japoneses BIBLIOGRAFÍA: Rothman. Honsberger.blueyonder.jp/english/ www..u-szeged. Julio de 1998.hu/~pszabo/Sangaku.edu/~tonyr/sangaku.gol.co.uk/Maths_Pag.arrakis.nl/~bloemh/download/sangakuoplossingen./Japanese_Temple_Geometry.com/users/coynerhm/0598rothman_ans1. Tony. Revista Investigación y Ciencia.pdf www2.inf.htm godel.htm www.pwp.wasan.net/matias/articles/sangaku/sangaku.html www.html www.. 1991 Páginas web consultadas: www.
Vemos lo mismo. Bizkaia) .MI NIETO Y YO MIRAMOS LAS ESTRELLAS Mi nieto y yo miramos las estrellas juntos. Mi nieto tiene seis meses. Mi nieto ve más estrellas que yo. Nos igualamos. Fede Bilbao (Algorta. Yo tengo sesenta años. Yo sueño más estrellas que mi nieto.
Documentos similares a 14_Sangaku
GUÍA DE ESTUDIO MATEMÁTICAS II.pdf
64892029-5to-secundaria.pdf

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución