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Timestamp: 2016-12-11 02:10:18+00:00

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ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO , DIAGRAMAS DE TALLO Y HOJAS EJERCICIOS DE MATEMATICA 9–NOVENO AÑO PDF
Publicado en 4 abril, 2014 por admin	CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Igualdad y ecuación , Ecuaciones , Propiedades de las ecuaciones , Resolución de ecuaciones , Método general de resolución de ecuaciones , Ecuaciones con paréntesis , Ecuaciones con denominadores , Aplicación a la resolución de problemas , Desigualdades , Propiedades , Inecuaciones , Conjunto solución , Inecuaciones equivalentes , Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita , Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas , Sistemas de inecuaciones , Aplicación a la resolución de problemas , Diagrama de tallo y hojas ,
Aplicar y demostrar procesos algebraicos utilizando ecuaciones e inecuaciones para la resolución de
• Resolver ecuaciones de primer grado con procesos
• Resolver inecuaciones de primer grado con una
incógnita con procesos algebraicos.
• Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar propiedades
y simbolizar relaciones en contextos diversos
como la vida cotidiana y los ámbitos socioeconómico,
científico y social.
• Resolver problemas de la vida cotidiana utilizando
• Tener predisposición para comprobar los resultados
obtenidos en la resolución de problemas.
• Utilizar los símbolos propios de las desigualdades,
así como sus principales características.
• Representar datos estadísticos en diagramas de tallo
• Revise lo concerniente a las propiedades de las igualdades.
• Cuando se habla de igualdad matemática se establece una comparación de expresiones representada por
• En la igualdad se dan cinco propiedades.
Propiedad idéntica o reflexiva: toda expresión es igual a sí misma.
Propiedad simétrica: consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.
Propiedad transitiva: enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos
miembros también son iguales.
Propiedad uniforme: establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros,
• Pida a los estudiantes que presenten por escrito todo el proceso para resolver las ecuaciones de primer
grado. Así por ejemplo:
Agrupar la incógnita.
El primer paso será agrupar en un miembro todos los términos que tengan la incógnita y juntar en el otro
todos los términos en los que no aparece. Para hacer esta transposición los términos que suman se transponen
restando y viceversa; los términos que multiplican se transponen dividiendo y viceversa.
Ejemplo: 5x − 9 − 104 + 20x = 45 − 6 + 5x
Trasposición: 5x + 20x − 5x = 45 − 6 + 9 + 104
Despejar cada lado, una vez hecho esto se realiza las operaciones de cada lado.
(5 + 20 − 5)x = 45 − 6 + 9 + 104
• Debe lograrse que el estudiante en la resolución de problemas pueda:
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita (sencillas, con paréntesis y con denominadores).
Traducir enunciados al lenguaje algebraico.
Escribir frases que representen a expresiones algebraicas.
Resolver un problema mediante el planteamiento de una ecuación.
Resolver oralmente ecuaciones del tipo ax + b = 0.
Determinar si dos inecuaciones son equivalentes.
• Es importante que los/as estudiantes comprendan que el diagrama de tallo y hojas permite obtener simultáneamente
una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Este tipo de
representación es similar a un histograma debido a que los valores de los datos se presentan en intervalos
y desplegados en barras. Sin embargo, de un diagrama de tallo y hoja se puede recobrar más información
de los dígitos de cada uno de los números y también se puede ver si algún valor es identificado
como atípico.
• Se sugiere que el profesor/a trabaje este conocimiento con información propia de su entorno; por ejemplo,
las edades de un grupo humano, entre otros.
• Reconocer la estructura del diagrama de tallo y hojas.
• Construir diagramas de tallo y hojas con información real, en que se maneje la información en dos o tres
• Realizar el diagrama, colocando en la primera columna, el tallo, la cifra de las decenas (en caso de
números de dos cifras) y en la segunda columna, las hojas, la cifra de las unidades. Si los datos tienen
• Finalmente y lo que importa, es que se debe interpretar la información resumida en el diagrama
• Los estudiantes explicarán la información resumida en un diagrama de tallo y hojas, expresarán sus opiniones
sobre las ventajas de este tipo de presentación de datos.
Con una rápida observación, conocemos la información cuantitativa del fenómeno.
Es útil especialmente si el número de datos es pequeño, hasta 40 datos. Cuando las cantidades son
muy grandes, la observación de datos se dificulta.
• Pida a los estudiantes que describan información pertinente a su condición, a partir del diagrama de tallos
y hojas. La información incluirá su edad, estatura, peso, talla del calzado entre otros. Si su
Institución es mixta, para ciertos casos (estatura) debe tratarse por separado, pues la diferencia de género
refleja diferencia de datos.
Para resolver una inecuación
Resolver una inecuación es hallar los valores que satisfagan la inecuación.
hay, suprimir signos de agrupación, transponer términos, etc., con la diferencia ya anotada de que al multiplicar o dividir
los dos miembros por un número negativo, esta cambia de sentido (si el signo es >, se escribe < y viceversa).
formas: a) Mediante una inecuación sencilla, elemental. b) En forma gráfica, representada en una recta donde se
da énfasis al conjunto solución.
Resolvamos algunos ejemplos: 5x − 10 < 0
Despejando la incógnita y simplificando:
• Para elevar una fracción a una potencia, se
elevan el numerador y el denominador a esta potencia.
• La representación gráfica de los números reales
llena por completo la recta llamada recta real.
• Dados dos números reales a y b diremos que
b es mayor que a si al efectuar su representación
gráfica sobre la recta real, b queda situado
a la derecha de a.
• Dados dos números reales a y b, el conjunto
de números comprendidos entre ellos se denomina
intervalo de extremos a y b.
• Los intervalos pueden ser:
— Cerrados, si contienen los extremos.
— Abiertos, si no contienen los extremos.
— Semiabiertos, si contienen sólo uno de los extremos.
• Calcula el doble de 6, el triple de 12 y la quinta
parte de 25.
— ¿Cómo representarías el doble de un número
cualquiera a? ¿Y el triple? ¿Y su quinta
• Calcula el valor que se obtiene al sustituir a
por −3 y b por en la expresión siguiente:
2· a2 − 4 · a · b
• Ordena de mayor a menor estos números.
− 3, 5, 0, −2, −4, −1, −1,5
— Represéntalos sobre la recta real.
• Representa estos intervalos en la recta real.
a) (−5, 2) b) [−3, 3] c) [3, 7) d) (−5, 9]
• Escribe tres números reales que pertenezcan
simultáneamente a cada uno de los siguientes
a) (3, 4) b) (+ ∞, 4] c) (1, + ∞) d) (−1, 5)
Con tus conocimientos de álgebra: lograrás plantear y resolver ecuaciones e inecuaciones sencillas y solucionarás
problemas utilizando ecuaciones. También, aprenderás a elaborar diagramas en estadística.
1 Igualdad y ecuación
El signo igual, =, es muy importante en matemáticas y se utiliza en diversas
• Para conectar una operación con su resultado: 6 · (3 + 2) = 30
• Para conectar los diferentes pasos de un proceso: 6 · (3 + 2) = 6 · 5 = 30
• Para relacionar dos procesos que dan el mismo resultado: 3 + 2 = 9 − 4
En este último sentido, también podemos emplearlo para expresar una igualdad
entre dos expresiones algebraicas:
3 a + 2 a = 9 a − 4 a
La expresión situada a la izquierda del signo igual recibe el nombre de primer
miembro y la expresión situada a su derecha se denomina segundo
Si damos diferentes valores a las letras de las expresiones siguientes, podemos
Así, podemos definir identidad y ecuación.
La letra (o letras) que aparece en la ecuación se denomina incógnita.
La solución de la ecuación es el valor o valores numéricos de la incógnita
Dos ecuaciones que tengan las mismas soluciones se llaman ecuaciones
Identifica la incógnita, el primer miembro y el segundo miembro de la siguiente
5 (x + 2) = 3 x + 14
— ¿Cuál de los siguientes valores es solución de la ecuación?
x = −3 x = 0 x = 2
Averigua si cada uno de los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes.
a) 2 x = 4 ; 2 x − 3 = 1 b) 2 x = 9 − 3 ; 3 x − 3 = 2 − x
Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor
numérico de las letras que aparecen en ella.
Una ecuación es una igualdad que se verifica para algunos valores numéricos
de las letras que aparecen en ella.
Se verifica para cualquier
3 x + 2 x = 5 x 3 x + 4 = 10
Sólo se cumple para
No se verifica para
ningún valor de x.
3 x + 2 = 3 x − 1
En las operaciones con expresiones algebraicas hemos usado ya el signo
igual (=). También puede ser que al traducir al lenguaje algebraico un enunciado
obtengamos una igualdad.
El triple de un número más cuatro es igual a diez: 3 x + 4 = 10
Observa que esta igualdad no se cumple para todos los valores de x.
3  4 + 4 ≠ 10 3  ( 2) + 4 ≠ 10 3  2 + 4 = 10
Resolver una ecuación es determinar el valor de la incógnita que hace que
se cumpla la igualdad, es decir, hallar su solución.
Podemos resolver ecuaciones sencillas formulándonos una breve pregunta
sobre las condiciones que debe satisfacer la incógnita para que se cumpla
la igualdad. Observa el siguiente ejemplo.
La igualdad 2 x + 2 x = 4 x se cumple para cualquier valor de x. Se trata de
Las letras que aparecen en una ecuación
se denominan incógnitas.
El valor de la incógnita que hace que se
cumpla la igualdad en una ecuación es
una solución de dicha ecuación.
3 x + 4 = 10
La incógnita es la x.
La solución es x = 2.
a) x + 6 = 14 b) 3 x = 18 c) d)3 x + 5 = 11
a) ¿Qué número sumado a 6 da 14?
b) ¿Qué número multiplicado por 3
da 18? Solución: 6.
c) ¿Qué número dividido por 4 da 9?
Solución: 36.
d) ¿Qué número da 11 al multiplicarlo
por 3 y añadirle 5? Solución: 2.
Identifica la incógnita, el primer miembro y el segundo
miembro en la siguiente ecuación.
— ¿Cuál de los siguientes valores es solución de
la ecuación?
Resuelve estas ecuaciones planteándote una breve
a) 14 = x + 2 d) 35 = 5 x
b) 17 − x = 14 e)
c) x − 8 = −2 f) 2 x + 5 x = 21
Usos del signo igual (=)
Usamos el signo igual (=)
para relacionar dos expresiones
• Al conectar una operación
con su resultado.
• Al conectar los diferentes
2  (3 + 4) = 2  7 = 14
2  (3a + 4a) = 2  7a = 14a
• Para relacionar dos procesos
que dan el mismo
3 + 4 = 2 + 5
3a + 4a = 2 a + 5a
 FÍJATE
Una igualdad es una relación
entre dos expresiones matemáticas
Toda igualdad consta de dos
miembros separados por el
El valor x = −1 es solución de la ecuación 2 x = −2. La ecuación x + 2 = 1
tiene la misma solución. Diremos que las dos ecuaciones son equivalentes.
2.1. Propiedades de las ecuaciones
Estudiemos dos propiedades de las ecuaciones que nos permiten pasar
de una ecuación a otra equivalente.
Observa, en el siguiente ejemplo, cómo utilizamos estas propiedades para
Dos ecuaciones son equivalentes si, aún teniendo distintos términos,
tienen la misma solución.
Si sumamos un mismo
número o expresión
algebraica a los
dos miembros de una
ecuación, obtenemos
x + 2 = 1 (solución x = −1)
x + 2 3 = 1 3 x + 2 2 x = 1 2 x
x + 5 = 4 (sol. x =−1) 2 − x = 1 − 2 x (sol. x =−1)
un mismo número,
distinto de 0, los dos
(x + 2) 2 = 1 2 (x + 2) (−5) = 1 (−5)
2 x + 4 = 2 (sol. x =−1) −5 x − 10 = −5 (sol. x =−1)
3 ( 2 x)
Utiliza las propiedades de las ecuaciones para hallar las soluciones de las siguientes
a) x + 8 =5 b) 3 x = 12
Debemos conseguir que la incógnita quede sola en el primer miembro con coeficiente
a) Sumamos −8 a los dos miembros,
o lo que es lo mismo, restamos 8.
x + 8 − 8 = 5 − 8
b) Multiplicamos los dos miembros por
, que equivale a dividirlos por 3.
3 x⋅ =12 ⋅
Escribe dos ecuaciones equivalentes a cada una
a) −3 x = 15 b) y − 3 = 0 c) z + 8 = 0
a) x + 2 = 21 b) 35 = 5x c) 17 − x = 14
Construye una balanza de
dos brazos para que compuebes
Las igualdades se comportan
como una balanza. Observa.
Esta balanza está equilibrada
porque las dos botellas
pesan lo mismo que los tres
Si añadimos un mismo peso
a cada uno de los platillos, la
balanza continuará estando
Si ponemos el doble de lo
que hay en cada platillo, la
Dado que a = b es lo mismo
que b = a, al resolver una
ecuación escribiremos la forma
que nos resulte más cómoda.
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando el método de ensayo-error.
a) 6 + x = 8 b) 10 x + 3 = 83
Halla la solución de cada una de estas ecuaciones por el método del razonamiento
a) 3 x + 5 = 17 b) x
− 3 = 11
Resolver una ecuación es determinar los valores numéricos de la incógnita
que satisfacen la igualdad, esto es, hallar las soluciones.
Consiste en dar valores a x hasta encontrar uno que satisfaga la igualdad.
— Para x = 5 3 · 5 − 6 = 9 No se cumple, no llega a 15.
— Para x = 9 3 · 9 − 6 = 21 No se cumple, se pasa.
— La solución de la ecuación es un número entre 5 y 9, y podemos obtenerla
completando una tabla.
— La solución es x = 7 porque 3 · 7 − 6 = 15.
3 x − 6 9 12 15 18 21
Consiste en efectuar, a partir del resultado, las operaciones inversas hasta
llegar al valor inicial.
— En la ecuación 3 x − 6 = 15 se obtiene 15 al multipliar la incógnita por 3 y restarle
— Obtendremos la solución sumándole 6 a 15 y dividiendo el resultado por 3.
15 + 6 = 21 21 : 3 = 7
La solución es x = 7.
·3 −6
÷3 +6
3 Resolución de ecuaciones
Las ecuaciones en las que sólo aparece una incógnita y su mayor exponente es
1 se denominan ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Veamos ahora algunos métodos para hallar la solución de una ecuación de
primer grado con una incógnita; es decir, sepamos cómo resolverla.
Aunque el método más utilizado es el método algebraico o método general, conozcamos
antes otros dos procedimientos para resolver una ecuación.
Aplicaremos estos métodos para hallar la solución de 3 x − 6 = 15.
4 Método general de resolución
Hemos visto cómo se resuelven ecuaciones sencillas haciendo una pregunta
breve o aplicando las propiedades. Conozcamos, a continuación, el
procedimiento general para casos más complejos.
Ejemplo: 6 x − 3 = 2 x + 9
Pasamos a un miembro todos los
términos que contienen la incógnita
y al otro miembro, los términos que
Aplicamos la primera propiedad: sumamos a
los dos miembros 3 − 2 x.
6 x − 3 3 2 x = 2 x + 9 3 2 x
6 x − 2 x = 9 + 3
Efectuamos las operaciones en cada
Eliminamos el coeficiente de la incógnita.
Aplicamos la segunda propiedad: multiplicamos
los dos miembros por .
de términos semejantes
de la incógnita
Resuelve la siguiente ecuación: x + 4 + 6 x − 15 = 3 + 5 x
Aplicamos los pasos del procedimiento general.
— Transposición de términos: sumamos −4 + 15 − 5 x a cada miembro.
x + 4 + 6 x − 15 − 4 + 15 − 5 x = 3 + 5 x − 4 + 15 − 5 x
x + 6 x − 5 x = 3 − 4 + 15
— Reducción de términos semejantes: 2 x = 14
— Despeje de la incógnita: dividimos por 2 cada miembro.
La solución de la ecuación es x = 7.
a) 3 x + 30 = 80 + 2 x
b) 10 − 5 x = 18 − 3 x
c) 4 x + 3 = 48 + x
Escribe una ecuación cuyo coeficiente de la incógnita
sea 5 y cuya solución sea −3.
Escribe la expresión algebraica que corresponde
a la siguiente frase: «Si sumamos 8 al triple de la
edad de Marta, obtenemos 29».
—Resuelve la ecuación que has obtenido.
Basándote en la actividad anterior, invéntate un
problema en el que intervengan tu edad y el número
Una vez resuelta la ecuación,
debemos comprobar el resultado
obtenido. Para ello,
sustituimos el valor hallado
de la incógnita y observamos
que obtenemos una igualdad.
En el ejemplo 3, x = 7 es solución
7 + 4 + 6 · 7 − 15 = 3 + 5 · 7
7 + 4 + 42 − 15 = 3 + 35
Las propiedades de las ecuaciones nos permiten obtener ecuaciones
El método general de resolución consiste en aplicar las propiedades de las
ecuaciones para transformar la ecuación inicial en otra equivalente más sencilla.
Veamos su aplicación en ecuaciones sin paréntesis ni denominadores.
Una vez obtenida la solución
de la ecuación, debemos
efectuar la comprobación.
Para ello, sustituimos, en la
ecuación inicial, el valor de
la incógnita hallado y vemos
que se cumple la igualdad.
En el ejemplo de la izquierda,
x = 15 es solución, puesto
4 · 15 + 3 = 48 + 15
a) x + 3 = 7 c) 2 x + 3 = −x
b) 7 x + 4 = 10 − 3 x d) 45 − x = 4 x + 25
Explica cada uno de los pasos efectuados en la resolución
de la ecuación − x + 13 = 7 + 2 x.
− x + 13 = 7 + 2 x ⇒ 13 − 7 = 2 x + x ⇒
⇒ 6 = 3 x ⇒ 3 x = 6 ⇒ x = 2
(solución x = 3)
x + 2 ( 2) = 5 + ( 2)
dos miembros de
una ecuación, obtenemos
3 x + 1 = −x + 9
(solución x = 2)
3 x + 1 ( 1 x) =
−x + 9 ( 1 x)
(x + 2) · 2 = 5 · 2
(3 x + 1) · ( 3) =
(−x + 9) · ( 3)
−9 x − 3 = 3 x − 27
Procedimiento Ejemplo: 4 x + 3 = 48 + x
Aplicamos la primera propiedad restando
3 + x a los dos miembros.
4 x + 3 − 3 − x = 48 + x − 3 − x
4 x − x = 48 − 3
3 x = 45
Aplicamos la segunda propiedad dividiendo
por 3 los dos miembros.
Transposición de términos:
Agrupamos en un miembro los términos
que contienen la incógnita y, en
el otro miembro, los términos que no
Despeje de la incógnita:
x + 2 <
4.1. Ecuaciones con paréntesis
Si la ecuación que debemos resolver contiene paréntesis, lo primero que debemos
hacer es eliminarlos de la forma habitual, es decir, aplicando la propiedad
distributiva. Veamos algunos ejemplos.
Resuelve la siguiente ecuación: 2 (x − 2) + 3 (x − 3) = 2 − 2 (2 x − 1) + 13
— En primer lugar, suprimimos los paréntesis.
2 x − 4 + 3 x − 9 = 2 − 4 x + 2 + 13
Ahora ya podemos aplicar los pasos descritos en el método general.
— Transponemos términos de manera que los que llevan x queden en un miembro
de la igualdad y los que no llevan x queden en el otro.
2 x + 3 x + 4 x = 2 + 2 + 13 + 4 + 9
— Reducimos los términos semejantes.
— Despejamos la incógnita.
x= = 30
Resuelve la siguiente ecuación: 2 x − [6 − 2 (5 x − 4)] = 6x − 2
— Primero, eliminamos los paréntesis.
2 x − (6 − 10 x + 8) = 6 x − 2
2 x − 6 + 10 x − 8 = 6 x − 2
— Transponemos términos.
2 x + 10 x − 6 x = − 2 + 6 + 8
x= = 12
a) 2 x + 21 = 3 x −6 d) 3 x − 2 + 7 x = 7 − 1
b) 12 (x − 2) = 1 − x e) 4 (2x + 3) − 2 x = 4 x + 20
c) x + 5 x − 4 = 18 − 2 x f) 34 = 3 x − 6 + 2 x
a) 6 (7 − x) = 8 (6 − x) e) 4 (x − 6) = 12 − (x + 3)
b) −8 (10 − x) = −6 f) −2 (x + 3) − 4 = 18 + 4 x
c) (x + 2) · 3 = (13 − x) · 4 + 3 g) 2 (3 x + 1) − x + 6 = 2 (x − 1)
d) 3 (1 − 2 x) + 12 = 10 − 2 (x − 3) h) 6x − 2 (x − 3) = 12
4.2. Ecuaciones con denominadores
A menudo, encontraremos ecuaciones con denominadores. En estos casos,
debemos transformar la ecuación en otra sin denominadores para proceder,
a continuación, con el método general de resolución. Observa cómo
resolvemos las ecuaciones de los siguientes ejemplos.
— Primero, suprimimos los denominadores multiplicando
los dos miembros por el mínimo común múltiplo
de los denominadores, m.c.m. (3, 4) = 12.
3 x = 4 x −12
— Ahora, resolvemos esta ecuación tal y como hemos
visto anteriormente: transponemos términos, reducimos
términos semejantes y despejamos la incógnita.
3 x − 4 x = −12
− x = −12
x = x − 12
x x = −
— Suprimimos los denominadores multiplicando los
dos miembros por el mínimo común múltiplo de
los denominadores, m.c.m. (5, 3) = 15.
— A continuación, resolvemos esta ecuación de la forma
Fíjate en que, al suprimir los denominadores, han
aparecido paréntesis.
3 4 4 5 2 1 105
12 12 10 5 105
− − + =−
3( 4 x − 4 ) − 5( 2 x + 1) = −105
( x − ) − ( 2 x + 1) = −105
⋅ − − + 15 7 ⎛
= ⋅ − x x
— Para suprimir los denominadores, tenemos en cuenta
que esta ecuación es una igualdad entre dos fracciones.
Por este motivo, podemos transformarla en una
ecuación sin denominadores utilizando la propiedad
fundamental de las fracciones equivalentes.
Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones
en forma de proporción.
10 20 4 4
En el caso general en que una ecuación incluya paréntesis y denominadores,
los primeros pasos de la resolución deben ir encaminados a eliminarlos.
Observa, en el ejemplo siguiente, los pasos que han de seguirse.
1 Actividades enunciado.
Resuelve estas ecuaciones y comprueba que las soluciones halladas sean
Halla la solución en cada caso.
− − − = − +
— Suprimimos los paréntesis de la forma habitual; es decir, aplicando la propiedad
— Eliminamos los denominadores multiplicando los dos miembros por el m.c.m.
— Al suprimir los denominadores, suelen aparecer nuevos paréntesis. Debemos
— Aplicamos el método general: transponemos los términos, reducimos los términos
semejantes y despejamos la incógnita.
10 15 9 18 10 4 15
− − + = + + −
10 x − 10 − x − 4 + 15 = 15 x − 9 x + 18
− − + + x
= − − ⎛
( 2 x − 2 ) − ( x + 4 ) + 15 = 15 x − 3( 3 x − 6 )
− − + + = − x −
2 (x 1)
Si nos fijamos en las igualdades tratadas hasta ahora, vemos que siempre se
llega a una expresión de la forma:
Podemos encontrar diferentes casos, que dependen de los valores de a y b.
• Si a 0, la ecuación tiene una única solución:
• Si a 0, vemos que:
Y distinguimos dos casos, dependiendo del valor de b.
— Si b 0, no puede haber ningún valor de x que verifique la ecuación,
puesto que no existe ningún número que multiplicado por 0 dé diferente
de 0: la ecuación no tiene solución.
— Si b 0, se establece la igualdad: 0 · x = 0, que se verifica para cualquier
valor de x, puesto que cualquier número multiplicado por 0 da 0:
El siguiente cuadro resume las distintas posibilidades que podemos encontrar
en la resolución de una ecuación de la forma ax = b.
0· x = b → 0 = b
Indica el número de soluciones en cada caso.
Clasifica las siguientes igualdades en ecuaciones o identidades.
— ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de primer grado con una incógnita?
— Una ecuación de primer grado con una incógnita puede expresarse siempre
de la forma ax = b. ¿Puede la a , en este caso, valer 0?
5 1 3 1 2 2
2 3 2 6 3 2
2 5 7 2 2 2 1
( + 1) = 14 x
⎧⎨ ⎪
⎨ ⎪⎪
⎩ ⎪⎪
Tiene una única solución:
4.3. Aplicación a la resolución de problemas
Algunas veces, la resolución de problemas por métodos aritméticos resulta
difícil. En estos casos, solemos utilizar letras para designar el dato desconocido
y traducimos el enunciado al lenguaje algebraico, con lo que la resolución
del problema se reduce a encontrar la solución de una ecuación.
Veamos el procedimiento general para resolver un problema mediante
Halla un número sabiendo que su tercera parte disminuida en 125 es igual
Busca un número sabiendo que su séptima parte más sus dos terceras
partes da 51.
Al sumar 37 al doble de un
número, obtenemos 97. ¿De
• Lectura atenta del enunciado.
Es fundamental leer el problema las veces que
sea necesario hasta que comprendamos perfectamente
Representamos por x el número
• Elección de la incógnita.
Representamos con una x el valor que debemos
determinar, es decir, la incógnita.
El doble del número más 37
es igual a 97.
2 x + 37 = 97
• Planteamiento de la ecuación.
Escribimos las condiciones que establece el
enunciado y las traducimos al lenguaje algebraico.
Así, acabamos expresando por medio de una
ecuación las relaciones que el enunciado
establece entre los datos y la incógnita.
2 x = 97 − 37
x= = 60
• Resolución de la ecuación.
Determinamos los valores numéricos de la incógnita
(x) que cumplen la ecuación.
El número que nos piden
Respondemos a la pregunta o preguntas del
Veamos si al sumar 37 al doble
de 30 obtenemos 97.
2 · 30 + 37 = 60 + 37 = 97
Para comprobar si la solución del problema
es correcta, tenemos que determinar si cumple
todas y cada una de las condiciones del
ejemplo 10 ejemplo 11
Un padre tiene 33 años y su hijo, 8. ¿Dentro de cuántos
años la edad del padre será el doble que la del hijo?
—Lectura atenta del enunciado. Lee de nuevo el problema
— Elección de la incógnita. Llamamos x al número
de años que tienen que transcurrir.
Edad padre Edad hijo
Ahora: 33 8
Dentro de x años: 33 + x 8 + x
— Planteamiento de la ecuacion. Traducimos al lenguaje
33 + x = 2 (8 + x)
— Resolución de la ecuación.
— Respuesta. Dentro de 17 años.
— Comprobación. Veamos si la edad del padre dentro
de 17 años será el doble que la del hijo.
El padre tendrá: 33 + 17 = 50 años
El hijo tendrá: 8 + 17 = 25 años
Efectivamente, 50 es el doble de 25 y, por lo tanto,
la solución del problema es correcta.
Un ciclista recorre la distancia que separa dos ciudades
en tres etapas. En la primera recorre un tercio
del trayecto; en la segunda, un cuarto, y en la tercera,
los 35 km restantes. ¿Cuántos kilómetros separan
— Lectura atenta del enunciado. Vuelve a leer el problema
— Elección de la incógnita. Llamamos x a los kilómetros
entre las ciudades. En cada etapa recorre:
— Planteamiento y resolución de la ecuación.
— Respuesta y comprobación. La distancia es de
84 km. Comprobamos la respuesta.
+ 84 + 35 = 28 + 21+ 35 = 84
35 3 4 12
; m.c.m. ( , )
⎟= ⋅
4 3 420 12
x + − =−
3 12 420
etapa: 35 km
Una madre tiene 57 años y su hijo, 32. ¿Cuántos años hace que la edad de la madre era el doble que la del
El perímetro de un rectángulo mide 72 cm. Calcula sus medidas sabiendo que la base es cinco veces la altura.
Un depósito de agua vacía el segundo día 2 l menos que el primero y el tercer día, el doble que el primero y
el segundo juntos. Si el depósito en estos tres días ha vaciado 600 l, ¿cuántos litros vació el primer día?
Para celebrar una fiesta, Luis compra botellas de agua, de cola y de jugo. En total ha comprado
73 botellas. Si hay el triple de colas que de aguas y diez jugos más que colas, ¿cuántas botellas hay de
Mostremos algunos ejemplos en los que aplicamos el procedimiento anterior.
Con frecuencia, utilizamos las expresiones mayor que o menor que para comparar
diferentes medidas de una magnitud como, por ejemplo, la temperatura.
En esta tabla te mostramos las temperaturas recogidas durante una semana
Observamos que la temperatura del lunes, − 3 °C, es menor que la del martes,
5 °C. También observamos que la del martes, 5 °C, es mayor que la del miércoles,
En lenguaje matemático, ser menor que se indica mediante el signo <, y ser
mayor que, con el signo >. Observa:
− 3 < 5 − 3 es menor que 5.
5 > 0 5 es mayor que 0.
En la tabla anterior también observamos que la temperatura de cualquier día
de la semana es menor o igual que 5 °C. Es decir, la temperatura 5 °C es mayor
o igual que la de cualquier otro día. Para expresarlo utilizaremos los signos
≤ y ≥, respectivamente.
Dos números, a y b, siempre cumplen alguna de las relaciones si guientes:
a b, a b, a b o a b. Estas relaciones se llaman desigualdades.
Los números situados a la izquierda del signo de desigualdad constituyen el primer
miembro de ésta y los situados a la derecha constituyen el segundo miembro.
Día L M Mi J V S D
Temperatura (°C) − 3 5 0 − 2 − 4 1 5
Para expresar algebraicamente que un número a es menor que otro
número b, escribimos a b.
Para expresar algebraicamente que un número a es mayor que otro
Para expresar algebraicamente que un número a es menor o igual que
otro número b, escribimos a b.
Para expresar algebraicamente que un número a es mayor o igual que
Primer miembro Signo Segundo miembro
• a ≤ b significa que a < b,
o bien, que a = b.
• a ≥ b significa que a > b,
Ordena de mayor a menor los siguientes números utilizando
el signo de desigualdad correspondiente y represéntalos
sobre la recta real.
Ordena de menor a mayor estos números.
a) 0,1 ; 10 −2 ; 0,01−2 ; −103 ; 0,13
b) 2−3 ; 22 ; −22 ; (−2)3 ; (−2)−3
Indica si son ciertas o falsas las siguientes desigualdades.
Escribe en tu cuaderno el signo de la desigualdad correspondiente.
Indica, en cada caso, algún valor de a que haga
cierta la desigualdad correspondiente.
¿Qué signo debe tomar a para que se cumpla
a2 > a3? Justifica tu respuesta con tres ejemplos.
−3 0 −
a) 5 < −3
b) −8 < −3
f ) (3 + 4)2 > 32 + 42
g) (5 − 3)2 ≤ 52 − 32
i) 5 ⋅ (−1) < − 6
j) 14 ⋅ (−4) > − 28 ⋅ 2
c ≥ 4−1
a) a2 > a c
b) ⋅ >
Dados dos números, las desigualdades permiten establecer un criterio para
determinar cuál es el mayor.
Observa la tabla siguiente.
Fíjate en que la diferencia entre el primer miembro y el segundo miembro de
las desigualdades de la forma a < b es negativa mientras que dicha diferencia,
para las desigualdades de la forma a > b, es positiva. Así:
• Si a < b, entonces a − b < 0.
• Si a > b, entonces a − b > 0.
Puesto que, si a = b, evidentemente se tiene que a − b = 0. Podemos afirmar:
• Si a ≤ b, entonces a − b ≤ 0.
• Si a ≥ b, entonces a − b ≥ 0.
Desigualdades Primer miembro
menos segundo miembro
3 <8 3 − 8 = − 5 < 0
−4 < −2 −4 − (−2) = −2 < 0
9 >3 9 − 3 = 6 > 0
5 > −2 5 − (−2) = 7 > 0
Sabemos que si sumamos o restamos el mismo número a los dos miembros
de una igualdad, ésta se mantiene y también lo hace si multiplicamos o dividimos
ambos miembros por un mismo número diferente de 0. Veamos si estas propiedades
se cumplen en el caso de las desigualdades.
Esta propiedad puede visualizarse gráficamente.
Si a < b y c > 0 ⇒ a + c < b + c Si a < b y c < 0 ⇒ a + c < b + c
Escribe la desigualdad que resulta al efectuar en cada miembro de la desigualdad
8 > 5 las siguientes operaciones:
a) Sumarle 12. b) Restarle 6.
a) Sumamos 12 a cada miembro de la desigualdad dada y obtenemos 20 > 17.
— La desigualdad conserva el mismo sentido, cumpliendo así la propiedad 1.
b) Restamos el número 6 a cada miembro de la desigualdad dada y obtenemos 2 > −1.
— La desigualdad conserva el mismo sentido. Cumple la propiedad 1, ya que
restar 6 equivale a sumar −6.
Se dice que dos desigualdades
son del mismo sentido si ambas
llevan el signo < o el signo >.
Consideramos la desigualdad −3 < 7.
Observa qué ocurre cuando sumamos un mismo número a los dos miembros de
Si sumamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, obtenemos
otra desigualdad del mismo sentido.
−3 < 7
2 < 12 −8 < 2
Sumamos +5
a los dos miembros.
Sumamos −5
Escribe la desigualdad que resulta al efectuar en cada
miembro de la desigualdad −10 ≤ −8 las siguientes
a) Sumar el número 3.
b) Multiplicar por −2.
c) Cambiar el signo.
Explica los pasos que seguirías para ir de la desigualdad
a) a la desigualdad b).
a) 6 > 5 b)
Utiliza las propiedades de las desigualdades para eliminar
los denominadores en estas desigualdades.
Indica tres valores distintos de a, b y c que hagan cierta
la desigualdad a + b < c y que cumplan:
a) a < b ; b < c
b) a > c
— ¿Existe algún valor de a y b que verifique la desigualdad
y cumpla a > c y b > c?
< + < > −
−4 < −
Consideramos de nuevo la desigualdad −3 < 7.
Veamos qué sucede cuando multiplicamos los dos miembros por un mismo número
Si multiplicamos por un mismo número distinto de 0 los dos miembros de
• Si el número es positivo, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
• Si el número es negativo, se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.
Escribe la desigualdad que resulta al efectuar en cada miembro de la desigualdad 6 > − 4
a) Dividir entre − 2. b) Cambiar el signo.
a) Dividimos entre −2 cada miembro de la desigualdad dada y obtenemos −3 < 2.
— La desigualdad no conserva el sentido. Se cumple la propiedad 2, ya que dividir
entre −2 equivale a multiplicar por .
b) Cambiamos el signo a cada miembro de la desigualdad dada y obtenemos
−6 < 4.
— La desigualdad no conserva el sentido. Se cumple la propiedad 2, ya que cambiar
el signo en cada miembro equivale a multiplicar por −1.
−15 < 35 15 > −35
Multiplicamos por +5
Multiplicamos por −5
Considera las desigualdades siguientes:
x − 3 < 0 x − y ≥ 2 x2 − 3 ≤ 5 x
Observa que los miembros de estas desigualdades están formados por expresiones
algebraicas. Estas desigualdades se llaman inecuaciones.
La letra o letras que aparecen en una inecuación reciben el nombre de incógnitas.
Las dos expresiones separadas por el signo de desigualdad se denominan primer
miembro, la situada a la izquierda del signo, y segundo miembro, la situada
Observa en el esquema del margen cuáles son los miembros y las incógnitas
de la inecuación x − y ≥ 2.
6.1. Conjunto solución
Como ya sabes, la ecuación x − 3 = 5 sólo se cumple si x es igual a 8, por lo
que decimos que x = 8 es su solución.
Consideramos ahora la inecuación x − 3 < 5. Al sustituir la incógnita por cada
uno de los siguientes valores: x = 0, x = π y x = 10, obtenemos:
• x = 0 cumple la desigualdad, pues 0 − 3 < 5.
• x = π cumple la desigualdad, pues π − 3 < 5.
• x = 10 no cumple la desigualdad, pues 10 − 3 > 5.
Así, los valores x = 0 y x = π verifican la desigualdad; por este motivo, decimos
que ambos son soluciones de la inecuación.
Fíjate en que, de hecho, los números reales menores que 8 son las soluciones
de esta inecuación.
 Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas.
Los valores de la incógnita (o incógnitas) que cumplen la desigualdad son
las soluciones de la inecuación. El conjunto de todas las soluciones
recibe el nombre de conjunto solución y se representa por S.
Indica cuáles de estas expresiones son inecuaciones
y, en tal caso, señala el número de incógnitas que aparecen.
Comprueba si los números 4, 0, 1 y 2 son solución de
las siguientes inecuaciones.
a) 3 x − 7 ≥ x − 5
x − ≤
d) 4 x + 3 = 5 (x + 1)
e) 5 x y (x − 3) ≥ 3 x
f ) 3 x (y4 − 3) ≥ 1
Incógnitas: x, y
x − y ≥ 2
x − y 2
x − x ≤ −
Halla dos inecuaciones equivalentes a cada una de
a) 2 x + 5 < 6 x − 1
Transforma las siguientes inecuaciones en otras equivalentes
cuyo coeficiente de la incógnita sea positivo.
a) −3 x + 4 < 5
b) −x + 7 > −3 x
c) 4 (5 − x) ≥ 3 x − 2
d) −2 x ≥ 3 x − 12 (5 − x)
Escribe dos inecuaciones equivalentes a 2x ≥ − 27
cuyo segundo miembro sea un número positivo.
¿Qué expresión algebraica ha de sumarse a cada
miembro de la inecuación 3x + 5 ≤ 2x − 1 para obtener
la inecuación x ≤ −6?
Obtén la inecuación equivalente del tipo x < a,
x > a, x ≤ a o x ≥ a a cada una de estas inecuaciones.
a) 5x < −15
c) −7x ≤ −56
− > 3 −
> 3 − 1
− ≤ x
x + x < +
6.2. Inecuaciones equivalentes
Observa las siguientes inecuaciones.
x − 3 < 5 x < 8
Se cumple que el conjunto solución en ambos casos son los números reales menores
que 8. Decimos que ambas inecuaciones son equivalentes.
Observa que si sumamos 3 a los dos miembros de la primera inecuación resulta
la segunda inecuación.
x − 3 < 5 → x − 3 + 3 < 5 + 3 → x < 8
Las siguientes reglas, basadas en las propiedades de las desigualdades, permiten
pasar de una inecuación a otra equivalente.
Fíjate en que a partir de estas reglas se deduce que, al transponer términos o
al despejar la incógnita en una inecuación, obtenemos otra inecuación equivalente.
Así, las siguientes inecuaciones son equivalentes.
5 x − 14 < 2 x + 4 ⇔ 5 x − 2 x < 4 + 14 ⇔ 3 x < 18 ⇔ x < 6
Dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Obtenemos una inecuación equivalente a otra si:
• Sumamos o restamos un mismo número o una misma expresión
algebraica a los dos miembros de la inecuación.
• Multiplicamos o dividimos por un número positivo los dos miembros
de la inecuación.
• Multiplicamos o dividimos por un número negativo los dos miembros
de la inecuación y cambiamos el sentido de la desigualdad.
Observa los siguientes símbolos
⇒ símbolo de implicación
⇔ símbolo de doble implicación
Si entre dos expresiones aparece
el símbolo ⇒, indica que si la
primera es cierta, también lo es la
el símbolo ⇔, indica que la primera
se cumple si y sólo si se
cumple la segunda.
Así, para indicar que dos inecuaciones
utilizamos el símbolo de doble
implicación ⇔.
6.3. Resolución de inecuaciones de primer grado con una
Observa la siguiente inecuación: 5 x − 2 < 2 x − 3.
La x es la única incógnita de esta inecuación y, como el exponente mayor al
que está elevada es 1, se trata de una inecuación de primer grado con una
Veamos cómo podemos resolver este tipo de inecuaciones; es decir, cómo
podemos hallar su conjunto solución. El método de resolución que utilizamos
consiste en transformarlas en otras equivalentes más sencillas siguiendo estos
— Eliminar paréntesis.
— Suprimir denominadores.
— Transponer términos.
— Reducir términos semejantes.
— Despejar la incógnita.
Resuelve la siguiente inecuación .
— Eliminamos paréntesis.
— Suprimimos los denominadores multiplicando ambos miembros de la inecuación
por el m.c.m. (2, 3) = 6.
3 (x − 5) + 48 − 24x < −10x
— Eliminamos paréntesis: 3x − 15 + 48 − 24x < −10x
— Transponemos términos: 3x − 24x + 10x < −33
— Reducimos términos semejantes: −11x < −33
— Despejamos la incógnita: debemos tener en cuenta que al dividir por un número
negativo, debe cambiarse el sentido de la desigualdad.
Así, el conjunto solución son los números reales mayores que 3: S = (3, + ∞)
Para comprobar el resultado, consideramos un valor del conjunto solución S, por
ejemplo x = 15, y sustituimos en la inecuación.
47 25 − + − <− ⋅ ( ) ⇔ − < −
− x + − <−
Las semirrectas representan intervalos
de la recta real. Si contienen
el extremo, hablamos de semirrectas
cerradas y, si no lo contienen,
de semirrectas abiertas.
A continuación, te mostramos
un ejemplo de cada uno de los diferentes
tipos de semirrectas:
• Los números menores o iguales
que 9, x ≤ 9 ÷ (−∞, 9].
• Los números menores que
9, x < 9 ÷ (−∞, 9).
• Los números mayores o iguales
que −4, x ≥ −4 ÷ [−4, + ∞).
• Los números mayores que −4,
x > −4 ÷ (−4, + ∞).
En el ejemplo anterior, hemos resuelto una inecuación de primer grado, despejando
la incógnita. Así hemos obtenido una ecuación equivalente sencilla.
En la siguiente tabla, se muestra el conjunto solución de las inecuaciones más
Si no podemos despejar la incógnita, significa que la inecuación se cumple
para todos los números reales o que no se verifica para ningún número real.
En este último caso, diremos que el conjunto solución es el conjunto vacío,
que se indica con el símbolo ∅.
Resuelve las siguientes inecuaciones y representa los conjuntos solución sobre
a) 2 − 7 x < 5 − 21 x
b) 3 (2x + 5) < 4 (x + 5)
Escribe en cada caso dos inecuaciones
equivalentes cuyo conjunto solución sea
el representado en la figura.
Inecuación Conjunto solución Representación gráfica
x < a S = (− ∞, a)
x ≤ a S = (− ∞, a]
x > a S = (a, + ∞)
x ≥ a S = [a, + ∞)
Resuelve la inecuación 10 x − 4 x < 3 + 6 x.
— Transponemos términos: 10 x − 4 x − 6 x < 3
— Reducimos términos semejantes: 0 x < 3
No podemos despejar x, pues no es posible dividir por 0. No obstante, el producto
de 0 por cualquier número es 0 y, por lo tanto, es menor que 3; con lo que cualquier
número cumple la desigualdad. Así, el conjunto solución está formado por todos los
números reales: S = .
Si consideramos la inecuación del ejemplo, pero con el signo de la desigualdad
contrario, tenemos que:
10 x − 4 x − 6 x > 3 ⇔ 0 x > 3
Observa que la inecuación 0 x > 3 no tiene solución, ya que el producto de 0 por cualquier
número es 0 y, por lo tanto, no es mayor que 3. Así, en tal caso, el conjunto solución
es S = ∅.
d) 5 (x − 3) ≥ 2 x + 3 (x − 5)
x − ≥ x −
Al resolver una inecuación de
y después de efectuar distintas
transformaciones, se obtiene
siempre una inecuación
del tipo: ax < b, ax b, ax b,
o ax b.
Fíjate en que si a 0, podemos
despejar x y obtenemos que el
es una semirrecta.
Pero si a 0, no puede despejarse
la incógnita; la inecuación
tendrá como conjunto solución
o el conjunto vacío, según cuál
sea el valor de b.
Conjunto solución de una
Es posible obtener la solución
de una inecuación sencilla
de primer grado con una
incógnita mediante el cálculo
Consideramos inecuaciones
sencillas; esto es, las inecuaciones
en ax < b, a x ≤ b, a x > b o
ax ≥ b. Esto nos permite razonar
y calcular mentalmente
3x ≥ 3 x ≥ 1 S = [1, + ∞)
x < 8 S = (−∞, 8)
0 x < 3 S = 
(4 x 6 : 3)
0 por cualquier
número es 0.
Efectúa el cálculo mental
para las inecuaciones siguientes.
• 2 x − 3 ≥ 3 S = [....., ......)
• 0 x < 0 S = .................
6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Observa la desigualdad x + y ≤ 7.
En este caso tenemos dos incógnitas x e y cuyo exponente máximo es 1. Se
trata pues de una inecuación de primer grado con dos incógnitas.
Asignamos valores a x e y, y obtenemos la siguiente tabla.
Fíjate en que los pares de valores x = 1, y = 3 y x = 2, y = 4 verifican la desigualdad,
mientras que el par x = 5, y = 6 no la cumple.
Así, los pares de valores x = 1, y = 3 y x = 2, y = 4 son soluciones de la inecuación.
Consideramos la ecuación que resulta de sustituir el signo ≤ en la inecuación
x + y ≤ 7 por el signo =.
Se trata de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
La representación gráfica de las soluciones de esta ecuación es la recta de ecuación
x + y = 7 o, lo que es lo mismo, y = 7 − x.
Esta recta divide el plano en dos semiplanos A y B, y los puntos contenidos en
los semiplanos y la recta cumplirán las siguientes propiedades:
Por lo tanto, podemos afirmar que los puntos del semiplano A y los puntos de la
recta representan gráficamente las soluciones de la inecuación x + y ≤ 7. Así, las
coordenadas de estos puntos permiten obtener las soluciones de la inecuación.
• Las coordenadas (x, y) de los puntos del semiplano
A cumplen:
y < 7 − x ⇒ x + y < 7
• Las coordenadas (x, y) de los puntos de la
recta cumplen:
y = 7 − x ⇒ x + y = 7
B cumplen:
y > 7 − x ⇒ x + y > 7
y x = 7 –
x y ¿x + y ≤ 7?
1 3 1 + 3 ≤ 7
2 4 2 + 4 ≤ 7
5 6 5 + 6 ≥ 7
La representación gráfica de las soluciones de una inecuación de primer
grado con dos incógnitas es un semiplano.
Una inecuación de primer grado
con dos incógnitas es equivalente
a una inecuación de la
Es posible obtener soluciones
de una inecuación sencilla de primer
grado con dos incógnitas mediante
Consideramos inecuaciones sencillas;
esto es, las inecuaciones
del tipo y < a x, y ≤ a x, y > ax o
y ≥ ax.
En estas inecuaciones se establece
una relación directa entre
las variables que permite obtener
Por ejemplo, para la inecuación
y > 2x, se observa que para cualquier
valor de y que sea superior
al doble del valor de x se cumple
Así, x = 2 e y = 8 es solución de
la inecuación, ya que 8 es mayor
que el doble de 2.
ejemplo 16 ejemplo 17
Comprueba si los siguientes pares son soluciones de
la inecuación 5x − y > −3.
a) (5, −1) b) (3, 1) c) (−2, 4) d) (0, 5)
Obtén las coordenadas de dos puntos que sean solución
de cada una de estas inecuaciones.
a) −2 x + y <3 b) 3 x ≥ 2 y
Resuelve gráficamente estas inecuaciones.
a) y ≥ 2x + 3 c)
b) 5x − y < 3x + 2
Relaciona cada una de las inecuaciones con la representación
gráfica de sus soluciones.
a) x + y > 2 b) x + y ≥ 2 c) x + y < 2 d) x + y ≤ 2
y − > −
Para determinar el semiplano solución, tomamos un punto situado en uno de los
semiplanos y comprobamos si sus coordenadas verifican o no la inecuación propuesta.
— Si la verifican, las coordenadas de todos los puntos situados en el semiplano
elegido serán los valores x e y, solución de la inecuación.
— Si no la verifican, las soluciones serán los valores de x e y dados por las
coordenadas de los puntos del otro semiplano.
Resuelve gráficamente la inecuación 5 x − y < 4.
— Representamos la recta 5 x − y = 4, que equivale a
y = 5 x − 4.
— Consideramos un punto cualquiera de uno de los
semiplanos en que queda dividido el plano y sustituimos
sus co ordenadas en la inecuación. Tomamos, por
ejemplo, el punto (0, 0): 5 ⋅ 0 − 0 < 4.
Así pues, los valores de las coordenadas del punto
(0, 0) son solución de la inecuación, y también los
valores de las coordenadas de todos los puntos del
semiplano que lo contiene.
— Rayamos el semiplano solución y marcamos con un
trazo discontinuo la recta 5 x − y = 4.
Con este trazo discontinuo indicamos que los valores
de las coordenadas de los puntos de la recta no
son soluciones de la inecuación 5 x − y = 4.
Resuelve gráficamente la inecuación x − y ≥ 0.
— Representamos la recta x − y = 0, que equivale a
— Consideramos un punto cualquiera de uno de los semiplanos
en que queda dividido el plano y sustituimos
sus coordenadas en la inecuación. Tomamos, por ejemplo,
el punto (0, 1): 0 − 1 < 0.
(0, 1) no son solución de la inecuación, y tampoco lo
son los valores de las coordenadas de los otros puntos
del semiplano que lo contiene. Por lo tanto, las soluciones
serán los valores x e y dados por las coordenadas
de los puntos del otro semiplano.
trazo continuo la recta x − y = 0.
Con este trazo continuo indicamos que los valores
de las coordenadas de los puntos de la recta son
soluciones de la inecuación x − y ≥ 0.
y x = 5 — 4
7 Sistemas de inecuaciones
A veces, nos podemos encontrar con situaciones en que necesitamos obtener
los valores que cumplan más de una inecuación a la vez.
Consideramos, por ejemplo, un número tal que:
• Si a su doble le añadimos el propio número, obtenemos un número mayor
• Si a su doble le sustraemos el propio número, obtenemos un número menor
Al representar por x cualquier número que cumpla estas dos condiciones,
obtenemos dos inecuaciones que deben cumplirse a la vez:
Este conjunto está formado por dos inecuaciones, con una sola incógnita,
cuyo máximo exponente es 1. Es un sistema de inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones del ejemplo son, respectivamente, equivalentes a las siguientes:
Así, las soluciones del sistema son los números reales mayores que 2 y menores
que 6. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es S = (2, 6).
Indica cuáles de estos números, 3, 5, 9, 2 ó −10, son solución de cada uno de
los sistemas de inecuaciones siguientes.
Transforma estas inecuaciones en un sistema de inecuaciones.
a) − 4 ≤ 3x + 1 < 7
b) − 1 ≤ 2x + 1 ≤ 3
⎭⎭ ⎪
Llamamos sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita
a un conjunto de dos o más inecuaciones que deben verificarse
a la vez para los mismos valores de la incógnita. Estos valores son
las soluciones del sistema.
Para indicar que un valor x cumple
• x > 2
• x < 6
Resolver un sistema de dos o más inecuaciones consiste en encontrar los valores
de la incógnita que verifiquen a la vez todas las inecuaciones.
En la siguiente tabla mostramos el procedimiento para resolver sistemas de
Procedimiento Ejemplo:
Resolvemos cada inecuación por separado.
Primera inecuación
2x − 3 ≤ 5x + 9
2x − 5x ≤ 9 + 3
− 3x ≤ 12 ⇒ x ≥ − 4
S1 = [− 4, + ∞)
Segunda inecuación
3x + 1 < 2x + 7
3x − 2x < 7 − 1
S2 = (−∞, 6)
Representamos en la misma recta el conjunto
solución de cada inecuación.
Determinamos las soluciones comunes a las
Las soluciones comunes son los números reales mayores o iguales
que − 4 y menores que 6: − 4 ≤ x < 6
S = [− 4, 6)
— Resolvemos cada inecuación por separado. — Representamos en la misma recta el conjunto solución
de cada inecuación.
— Determinamos las soluciones comunes a las dos inecuaciones.
Como no existen números que a la vez sean solución de las
dos inecuaciones, el sistema no tiene solución. Así, el conjunto
solución es el conjunto vacío: S = ∅.
5x − 1 ≥ 8 + 2x
5x − 2x ≥ 8 + 1
S1 = [3, + ∞)
2x − 3 < 6 − 7x
2x + 7x < 6 + 3
9x < 9
S2 = (−∞, 1)
Resuelve estos sistemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
x ) ( ) ( )
− − + ≥
2 1≤ −
) 3 ≤ 5
Cuando no hay ningún valor que verifique a la vez todas las inecuaciones del sistema,
decimos que no tiene solución. Observa el siguiente ejemplo.
ejemplo 19 ejemplo 20
Como verás en los ejemplos que se resuelven a continuación, los pasos que han
de seguirse en la resolución de problemas mediante inecuaciones son prácticamente
los mismos que aplicamos al solucionar problemas mediante ecuaciones.
Averigua qué números son los que su triple supera a su
mitad en más de 10 unidades.
Elección de la incógnita. Representamos por x cualquiera
Planteamiento de la inecuación. Traducimos al lenguaje
algebraico las condiciones del enunciado:
• El triple de un número: 3x
• La mitad de un número:
• El triple de x es mayor que su mitad más 10:
— Suprimimos el denominador multiplicando ambos
miembros de la inecuación por 2.
6x > x + 20
— Transponemos y reducimos los términos semejantes.
Respuesta. Los números reales mayores que 4 cumplen
la condición del enunciado.
Comprobación. Consideramos un número mayor que 4,
por ejemplo, x = 6:
— Su triple es 18.
— Su mitad es 3.
— La diferencia entre ambos es 15, que es superior a 10.
Obtén los valores del radio de la circunferencia para los cuales
la longitud de ésta es mayor que el perímetro de un
rectángulo como el de la figura.
Elección de la incógnita. Representamos por x el radio
• Longitud de la circunferencia: 2π x
• Perímetro del rectángulo:
5 + 2x + 5 + 2x = 4x + 10
• La longitud de la circunferencia ha de ser mayor que
el perímetro del rectángulo:
2π x > 4x + 10
2πx − 4x > 10
(2π − 4) x > 10
2,28 x > 10
Respuesta. La longitud del radio ha de ser superior a
4,39 cm.
Comprobación. Consideramos una circunferencia cuyo
radio sea mayor que 4,39 cm, por ejemplo, 10 cm. Así, obtenemos
que la longitud de ésta es 62,8 cm, que es mayor
que el perímetro del rectángulo que mide 50 cm.
¿Entre qué valores puede estar la longitud de la
base de un rectángulo cuyo perímetro no supera los
24 cm si su altura mide la tercera parte de su base?
Un comerciante quiere obtener como mínimo un
30 % de beneficio en la venta de 300 calculadoras
que ha adquirido a $ 10 cada una. ¿A qué precio
deberá vender cada una de ellas?
La diferencia de edad entre dos hermanos es de
8 años. Si entre los dos suman más de 20 años,
¿qué edad puede tener como mínimo el menor?
Determina qué valores puede tener el perímetro de un
rectángulo si uno de sus lados mide 12 cm y su área
es menor que 360 cm2.
Al lanzar ordenadamente dos dados, la suma de las
puntuaciones obtenidas es 7 puntos, y la diferencia
entre la puntuación del primer dado y la del segundo
es menor que 3. ¿Qué puntuaciones podemos haber
sacado en cada uno de los dados?
En una sala de cine con capacidad para 350 personas
se obtuvo una recaudación superior a los $ 1 460 un
día en que se proyectó una película de estreno. Si
el precio de cada entrada era de $ 4,5, ¿cuántas
butacas quedaron vacías como máximo?
Escribe el enunciado de un problema que se resuelva
mediante la siguiente inecuación:
65x + 250 ≤ 625
— Halla su solución.
Debes prestar especial atención al análisis de las solu ciones, ya que algunas
de ellas, a pesar de ser solución d e la inecuación o de las inecuaciones planteadas,
no lo son del problema. Veamos un ejemplo.
Un representante de comercio tiene un contrato con su empresa
en el que figuran las siguientes cláusulas:
• Un sueldo fijo mensual de $ 750.
• Un incentivo de $ 8 por lote de productos vendido.
• Una dieta de $ 0,1 por kilómetro recorrido.
Calcula el número mínimo de lotes que vendió durante un
mes en que recorrió 1 500 km si, al final de éste, percibió
un sueldo superior a $ 1 200.
de lotes que consiguió vender.
Planteamiento de la inecuación. Analizamos los datos y
traducimos al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado:
• Dólares correspondientes al sueldo fijo: 750
• Dólares correspondientes a los incentivos: 8x
• Dólares correspondientes a las dietas:
1 500 ⋅ 0,1 = 150
• El sueldo, que es la suma del sueldo fijo, los incentivos
y las dietas, fue superior a $ 1 200:
750 + 8x + 150 > 1 200
8x > 1 200 − 750 − 150
8x > 300
La solución de la inecuación son los números reales mayores
que 37,5 pero, como x representa el número de lotes
vendidos, x ha de tomar valores enteros mayores que
37,5; es decir, 38, 39, 40…
Por lo tanto, el representante vendió un mínimo de
Consideramos un número entero mayor o igual que 38, por
ejemplo, x = 38.
750 + 8 ⋅ 38 + 150 = 1 204
Por lo tanto, en caso de que el representante vendiera
38 lotes percibiría un sueldo de $ 1 204, que supera los
$ 1 200.
9 Diagrama de tallo y hojas
Después de haber recolectado los datos de algún experimento o fenómeno
estadístico, es necesario analizarlos, para lo cual podemos utilizar una representación
gráfica de los valores obtenidos.
Una herramienta útil para interpretar algunos tipos de datos es el diagrama de
tallo y hojas. Agrupamos los datos según su valor numérico, para interpretar
• Alrededor de qué punto están agrupados los datos.
• Saber si los datos están distribuidos de forma simétrica.
Con el siguiente ejemplo, vamos a construir un diagrama de tallo y hojas.
Una empresa de seguros, entre sus servicios, ofrece el pago por arreglo mecánico
en caso de accidente. Juan, uno de los empleados de la compañía, tiene a su cargo
reunir información de los costos de un arreglo en caso de un daño leve. Ha visitado
23 talleres de reparaciones y consiguió la siguiente información, en dólares: 102,105,
97, 120, 138, 115, 111, 104, 107, 109, 113, 114, 114, 115, 118, 118, 124, 125, 124, 127,
129, 127, 118.
El jefe de Juan ha solicitado organizar la información en grupos de valores que difieran
máximo en cinco dólares. Para mayor facilidad de visualización, Juan usa un diagrama
de tallo y hojas, pero al entregar su esquema de organización su jefe no puede
entender lo presentado y le pide ayuda.
1; 3; 4; 4;
5; 5; 8; 8; 8;
0; 4; 4;
5; 7; 7; 9
Veamos su explicación:
He ubicado los costos de arreglos separando las decenas (tallo) de las unidades
(hojas), con esto no repito la información de las decenas; por ejemplo, en la quinta fila,
los valores que están a la derecha: 5; 5; 8; 8; 8, en realidad, representan los datos:
115, 115, 118, 118, 118.
Pero, ¿qué ventajas tiene esta organización de los datos, aparte de ahorrar la escritura
de unos cuantos números?
Esta disposición de los datos, en este esquema, me facilita tener claros los datos
originales y exactos; además que refleja, a primera vista, las mismas impresiones
que un histograma de frecuencias, sin necesidad de elaborar el dibujo. En cuanto a
medidas de tendencia central, a partir del diagrama de tallo y hojas, la mediana y la
moda se identifican con mucha facilidad (siempre que las hojas estén clasificadas, ordenadamente)
El diagrama de tallo y hojas
te permite una representación
visual de un conjunto de datos.
Selecciona en forma aleatoria (puedes usar una calculadora para elegir números) a grupos de compañeros/as:
a) Diez (incluido tú) para investigar las edades de hermanos y padres. (primera encuesta)
b) Once (incluido tú) para que investigues la talla del calzado que usan tus compañeros/as seleccionados y
sus padres. (segunda encuesta)
Con los datos obtenidos en cada una de las actividades, organiza en un diagrama de tallo y hojas, calcula
la media aritmética, determina la mediana y la moda en cada uno de los grupos de datos. Finalmente, reflexiona
sobre la siguiente pregunta: ¿por qué las personas que confeccionan calzado no usan el valor de
la media para realizar su producción?
Utilizando un diagrama de tallo y hojas, compara los tiempos obtenidos por un estudiante al nadar 100 metros, en dos
días diferentes de la misma semana.
a) Primero, formamos el diagrama para registrar los datos del primer día. Luego, copiamos a la izquierda el diagrama
para el segundo día, usando los mismos tallos del primero.
b) Podemos concluir que en el segundo día los datos obtenidos fueron menores, pues hay una mayor cantidad de
hojas junto al tallo de menor valor.
Primer día (segundos) Segundo día (segundos)
Hojas primer día
98; 98; 99;
05; ; 11; 11; 12; 13; 13; 13; 15; 15
Hojas segundo día
99; 99; 99; 98; 97; 97; 93; 91
13; 11; 03; 01
Encontremos entonces la media, la mediana y la moda para los datos de esta tabla.
Si se introduce los datos en una calculadora, se suma todas las cantidades (escribiéndolas del tallo a las hojas) y se divide
entre 23 para obtener la media, así:
media = ≈ 16,26 dólares.
En este caso n = 23 (n número impar), de manera que la mediana es igual al dato ubicado en el puesto decimosegundo,
en orden. Contando las hojas, se puede observar que este es el segundo elemento del tallo cinco. Entonces:
mediana = 115 dólares.
Si se examina la tabla, se observa que el valor 118 apareció tres veces y que ningún otro valor tuvo esa frecuencia, de
moda = 118 dólares.
c) Encontremos la media, la mediana y la moda para los datos de los tiempos obtenidos por el deportista.
— Lee de nuevo el enunciado.
— Averigua, en el caso de que no lo sepas, el significado
de la expresión números consecutivos.
— Recuerda la fórmula del área de un rectángulo
de base b y altura h:
Arectángulo = b · h
Se trata de encontrar dos números naturales consecutivos
cuyo producto sea 600.
— Tomaremos dos números naturales consecutivos
cualesquiera y calcularemos su producto.
— Si el producto calculado es mayor que 600, probaremos
con otro par de números consecutivos
más pequeños; si ahora el producto es menor que
600, tomaremos un par de números consecutivos
— Repetiremos el proceso hasta encontrar la solución.
— Tomamos dos números consecutivos, por ejemplo
21 y 22. Calculamos su producto:
21 · 22 = 462
— El producto es menor que 600. Probamos con
26 y 27:
26 · 27 = 702
— Ahora, el producto es mayor que 600. Tomamos
24 · 25 = 600
Así, las dimensiones son 24 m y 25 m.
Algunas veces, como en este caso, el análisis del enunciado
nos permite adelantar en torno a qué valores
puede estar la solución, lo cual nos da una pista
para empezar el ensayo. Al tratarse de dos números
consecutivos, su producto se encontrará próximo al
cuadrado de uno de ellos.
son naturales consecutivos y que su producto
es igual a 600.
Pon en práctica la estrategia anterior para resolver estos problemas.
Calcula un número diferente a la unidad cuyo quíntuplo excede en 4 unidades a su cuadrado.
62 Cuatro números enteros consecutivos suman − 2. Averigua qué números hemos sumado.
 Texto 10
Estrategia: Ensayo-error
Esta estrategia de resolución de problemas consiste en experimentar con posibles soluciones hasta
dar con la correcta. Seguimos los pasos siguientes:
— Elegimos un valor (resultado u operación posible).
Antes de iniciar el ensayo, conviene analizar el resultado y tantear, si es posible, entre qué valores estará
la solución. La calculadora y el computador resultan muy útiles como complementos de este método,
ya que permiten efectuar las operaciones con mayor rapidez.
El área de un rectángulo es 600 m2. Calcula su base y su altura sabiendo que son dos números naturales consecutivos.
 Una expresión algebraica es una serie de números
y letras unidos mediante los signos de
 El valor numérico de una expresión algebraica
es el número obtenido al sustituir las letras por
números y efectuar las operaciones indicadas.
 Cada uno de los sumandos de una expresión
algebraica se denomina término.
Cada término consta de dos partes: una numérica,
llamada coeficiente, y otra formada por
las letras con sus exponentes, que se denomina
Términos semejantes son aquellos que tienen
la misma parte literal.
 Con las expresiones algebraicas, igual que con
los distintos tipos de números, podemos efectuar
diversas operaciones: suma, resta y multiplicación.
También podemos aplicar la propiedad
distributiva y sacar factor común.
 Unas expresiones algebraicas utilizadas frecuentemente
son los productos notables como
el cuadrado de una suma, el cuadrado de una
diferencia y la suma por diferencia.
 Una identidad es una igualdad que se verifica
para cualquier valor numérico de las letras que
 Una ecuación es una igualdad que se verifica para
algunos valores numéricos de las letras que
aparecen en ella. La letra (o letras) que aparece
en la ecuación se denomina incógnita.
El valor o valores numéricos de la incógnita que
hacen cierta la igualdad es la solución de la ecuación.
Resolver una ecuación es hallar la solución.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma
 El método general de resolución de ecuaciones
consta de tres pasos: transposición de términos,
Conjunto solución equivalentes
algebraicas es
obtenemos otra
equivalente mediante
si dos inecuaciones
tienen el mismo, son
cumpla forman
se aplican para resolver
Un grupo de estudiantes de noveno año de EGB decide realizar una pequeña investigación para aplicar los conocimientos
de Estadística aprendidos en clases de Matemática.
Inician un lunes por la mañana. En la puerta de ingreso a su colegio, eligen en forma aleatoria a 40 estudiantes. A
cada uno se pide estimar un cálculo aproximado del número de horas dedicadas a preparar sus evaluaciones en
El siguiente listado contiene las respuestas obtenidas en esta investigación.
60, 45, 44, 36, 72, 25, 29, 23, 58, 32, 14, 33, 20, 24, 40, 44, 15, 22, 31, 17,
12, 55, 45, 24, 26, 30, 62, 16, 31, 29, 36, 55, 52, 26, 39, 47, 18, 41, 29, 38.
Con estos datos construyen una tabla de distribución de frecuencias, pero como la información tiene un rango
muy amplio, deciden formar grupos o clases. Para esto, es necesario que cada dato forme parte de uno de los
grupos y que estos tengan un mismo tamaño (extensión), uno de los investigadores recordó que había leído que
es conveniente usar de 5 a 12 clases.
El rango nos indica que los datos van desde un mínimo de 12 hasta un máximo de 72, es decir, Rango = 60,
pues 60 = 72 – 12.
Para incluir dentro de las clases a todos los datos, deciden formar siete intervalos como muestra la tabla:
Con la información así organizada es posible realizar los diagramas estadísticos que conoces, por ejemplo: el Histograma
de frecuencias, para ellos puedes ubicar en el eje horizontal los límites de las clases y obtener el siguiente
Es posible representar los datos de la tabla usando las marcas de clase. Recuerda que estos son los valores intermedios
de cada intervalo. El gráfico que se obtiene es el siguiente:
Tiempo dedicado a estudio para las evaluaciones
Tarjas o
[10 – 19] IIII I 6 6
[20 – 29] IIII IIII I 11 17
[30 – 39] IIII IIII 9 26
[40 – 49] IIII II 7 33
[50 – 59] IIII 4 37
[60 – 69] II 2 39
[70 – 79] I 1 40
Horas de preparación para evaluaciones
(10-19) (20- 29) (30-39) (40-49) (50-59) (60-69) (70-79)
14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5
En general, luego de determinar las frecuencias de los datos las tarjas o marcas se desechan. Esto impide reconocer
la forma de distribución, pues si te fijas en la tabla de datos, con una rotación de menos 90° en la columna de
las tarjas se puede observar un esquema de distribución semejante a los representados en los gráficos anteriores.
La tabla de datos se suele presentar en la siguiente forma:
Las frecuencias relativas permiten hacer análisis de porcentajes de diferentes datos, por ejemplo, podemos afirmar
que menos del 20 % de los estudiantes encuestados dicen dedicar más de 50 horas en preparar sus evaluaciones.
Pero esta tabla nos impide tener presentes los valores originales obtenidos en la encuesta, es entonces que el uso
del diagrama de tallo y hojas cobra importancia, pues este esquema te permite saber con precisión todo el tiempo,
cuáles fueron los datos obtenidos inicialmente.
Se observa con facilidad que los datos resumidos en este tipo de esquema son similares a los que se observaron
en el histograma de frecuencias. Una de las ventajas de este diagrama es que te permite establecer con cierta facilidad
el valor de la mediana, pues si cuentas, rápidamente ubicas los datos en la posición 20 y 21 de cuyo promedio
obtienes el valor de la mediana. Me = = 31,5 horas.
De la misma manera, el valor de la mediana es reconocido con facilidad, moda = 29
Forma un grupo con tres de tus compañeros y, usando como base el ejemplo anterior, realicen una pequeña
investigación, escojan el tema de la pregunta y realicen la tabulación de datos, las tablas de frecuencias, los
gráficos estadísticos que se han estudiado y calcula los valores de media, mediana y moda de los datos encontrados.
Las preguntas pueden relacionarse con las notas de alguna prueba de matemática, distancias recorridas para
llegar a la institución educativa, tiempo dedicado a ver televisión, número de mensajes de texto enviados por
celular diariamente, etc.
Horas dedicadas al estudio para las evaluaciones
acumulada F i
[10 – 19] 6 6 6/40=0,15 0,15
[20 – 29] 11 17 11/40=0,275 0,425
[30 – 39] 9 26 9/40=0,225 0,65
[40 – 49] 7 33 7/40=0,175 0,825
[50 – 59] 4 37 4/40=0,10 0,925
[60 – 69] 2 39 2/40=0,05 0,975
[70 – 79] 1 40 1/40=0,025 1
(Diagrama de tallo y hojas)
2 0 2 3 4 4 5 6 6 9 9 9
3 0 1 1 2 3 6 6 8 9
4 0 1 4 4 5 5 7
Copia la tabla en tu cuaderno y complétala.
En este cuadro mágico, la suma de las filas, de
las columnas y de las diagonales es 15. Formen grupos
de tres alumnos y hallen el valor de x y el valor
Observa estas balanzas en equilibrio.
¿Sabrías hallar el valor de x ? ¿Y el de y ?
Indica si estas afirmaciones sobre las igualdades
algebraicas son ciertas o falsas.
a) 5 x + 2 = 3 x + 2 x No tiene solución.
b) 3 x − 6 = −5 x + 2 Tiene una única solución que
es x = −1.
c) 3 (x − 2) = 3 x − 6 Tiene infinitas soluciones.
d) Tiene por solución x = 9.
Halla un número tal que el doble de su tercera
parte aumentado en 5 unidades es igual a 23. Utiliza
el método del razonamiento inverso para encontrarlo.
Emplea la calculadora para averiguar, por el método
de ensayo-error, la solución de la ecuación
2x = 256.
Escribe una ecuación equivalente a ésta:
2x + 5 = x + 3. Comprueba su equivalencia.
— Multiplicamos los dos miembros por el mismo
número; por ejemplo, 3.
3 · (2 x + 5) = 3 · (x + 3)
6 x + 15 = 3 x + 9
— Para comprobar que son equivalentes, resolvemos
2 x + 5 = x +3 6x + 15 = 3 x + 9
2 x − x = 3 −5 6x − 3 x = 9 − 15
x = −2 3x = −6
— Las dos ecuaciones tienen la misma solución;
por lo tanto, son equivalentes.
Escribe una ecuación equivalente a cada una de las
siguientes y demuestra la equivalencia.
Halla la solución de cada una de estas ecuaciones.
2 2 + = + x
x = − = − 6
3 1 20 7
5 8 2 6 24
2 5 3 7 42 3
2 3 3 3 1 3 2
+ − − =−
3 2 10 4 2 3 6
2 3 3 3 1 3 7 3 3
d ) ( ) ( ) ( )
e 8 3 3 x 12 9 5 x 12
7 a − 15 = 2 a
8 = 2 b + 3
2 x − 3 = 5 x + 2
8 y + 4 = 2 (3 y + 2)
x − 1 y + 7 2 x − 2
2 y + 3 5 3 (x − 2)
2 (y + 1) x − 2 8
    
 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos
a) 2 x − 3 = 15 c)
b) 9 = x +1 d) 3 x = 39
Clasifica las siguientes igualdades en identidades
y en ecuaciones, y resuelve estas últimas.
a) 4 a + 8 b = 4 (a + 2 b) c)2 x = 26
b) 5 (x + y) = 5 x + 5 y d) x + 8 = 12
Comprueba si cada uno de los siguientes pares
de ecuaciones son equivalentes.
a) 5 x = 15; 2 x − 6 = 0
b) x − 6 = 14 − x; x − 14 = 6 − x
Completa estas ecuaciones con un mismo número
para que sean equivalentes.
7 x − 8 = −2 x + …….; 5 x + ……. = 3 x + 3
Completa la siguiente ecuación para que tenga por
solución x = −7.
8 + x = ……. + 4
a) 3 x + 2 = x −6 d) 1 + x = 5 − x
b) −y − 1 = 5 + y e) z − 2 = − 3 z − 10
c) x + 8 + 3 x − 3 = 2 x −3 f)
Calcula la solución de cada una de estas ecuaciones.
Intercala el signo < o > entre los siguientes pares de
a) 5 y 3 c) 3 y −7
b) 2 y 8 d) y
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.
Si multiplicamos, miembro a miembro, desigualdades
del mismo sentido, ¿la desigualdad resultante conserva
— Escribe algún ejemplo.
Indica si las siguientes frases son ciertas o falsas.
a) Si a < b, entonces a − b < 0.
b) Si a < b, entonces − a > − b.
c) Si a < b y c < 0, entonces a ⋅ c < b ⋅ c.
d) Si a < b y b < c, entonces a > c.
Si a < b, ¿se cumple siempre que ? Escribe
Comprueba si x = 5 es solución de las siguientes
a) 3 x < 20 d) x2 − 3 x < 4 x
b) 3 x + 2 ≤ 17 e)
c) −7 < −x f)
Calcula mentalmente tres soluciones de cada una
de estas inecuaciones.
a) 3 x − 2 ≤ 5 b) 3 (5 − x) > 1 c) y ≥ −2 x
Determina los conjuntos solución de estas inecuaciones.
a) 3 x < 9 b) −2 x > 14 c) −x ≤ 9 d) −2 x ≥ 6
Representa gráficamente las soluciones de cada
una de las inecuaciones del ejercicio anterior.
Determina el conjunto solución de cada una de las
siguientes inecuaciones.
a) 0x ≤ 3 b) 0x < − 2 c) 0x > 0 d) 3x ≥ 0
Escribe dos inecuaciones cuyo conjunto solución sea
el representado en la recta.
— ¿Cómo son estas dos inecuaciones?
− = − − − + = −
+ = − = + +
x x + − = +
− + − + + + = −
; − ; ; ; −
(x − 1) > 5
2 ≤ x2 −
Contesta justificando la respuesta.
a) ¿Puede ser S = (− 2, 6) el conjunto solución de una inecuación
de primer grado con una incógnita?
b) ¿Puede ser el intervalo (−2, +∞) el conjunto solución
de un sistema de inecuaciones de primer grado?
Resuelve estas inecuaciones y representa gráficamente
a) 5 x − 3 ≤ 2 x + 9
b) 2 (x − 3) < 21
c) 4 (3 − x) < x + 12
d) 2 (7x − 1) − 8 x < 3 (2 x − 1)
e) 2 x − 3 (5 x − 1) < 3 − (13 x + 8)
f ) 3 (4 − x) − (2 x + 1) ≥ 5 x + 1
g) 1 − 5 x > 3 (7 − x) − 2 x
h) 5 (x − 3) + 6 < 5 x − 9
En la página http://www.quickmath.com/www02/
pages/modules/inequalities/index.shtml encontrarás
una herramienta para calcular inecuaciones. Utilízala
para resolver las inecuaciones f), g), h) e i) del ejercicio
Determina si el par (x, y) = (2, −1) es solución de cada
una de las siguientes inecuaciones.
a) 2 x − 3 y >5 b) 4 x + 3 y < 0
Determina en el plano dos puntos cuyas coordenadas
sean solución de estas inecuaciones.
a) 3 x − 2 y ≥7 b) 5 x − y > 1
¿Cuáles de estos valores son solución de este sistema:
x = −1, x = 3, x = −5, x = 4?
Escribe un sistema de inecuaciones cuyo conjunto solución
corresponda al representado en cada uno de
Halla gráficamente las soluciones de estos sistemas
Resuelve estos sistemas de inecuaciones.
En una campaña de recogida de alimentos se han
reunido 1 200 kg. La cantidad de arroz es el doble
que la de azúcar, que a su vez es el triple que la
de pasta. Calcula cuántos kilogramos de cada alimento
Un coche tiene un consumo medio de 7,6 litros
de gasolina cada 100 kilómetros.
a) Escribe una expresión algebraica que indique su
consumo al cabo de x kilómetros.
b) Aproximadamente, ¿cuántos litros consume al
recorrer 150 kilómetros? ¿Y al recorrer 180 kilómetros?
Una empresa de alquiler de vehículos cobra $ 18
diarios por el alquiler de un automóvil más $ 0,75
a) Escribe mediante una expresión algebraica el
precio que debe pagarse por alquilar el automóvil
durante x días y recorrer y kilómetros.
b) Halla el precio que debe pagarse por alquilar
un automóvil 3 días y recorrer 523 kilómetros.
− − + ≤ −
x ≤ +
− − + ≤ − −
—4 10
El número de libros de la biblioteca de un colegio
es igual al triple de alumnos del centro más 150.
El número de alumnos que asisten, entre los dos
turnos, es el doble de la capacidad de las aulas, que
es de 200 personas. ¿Cuántos libros hay en la biblioteca?
Entra en Internet en la página http://platea.pntic.
mec.es/~anunezca/Revista/Ingenioso2/Alkhwarizmi.
htm e indica a quién se conoce como padre
del álgebra, y su lugar y su fecha de nacimiento.
En la página http://aula.elmundo.es/aula/laminas/
lamina1079950514.pdf aparece otro significado de
la palabra álgebra. Comprueba si es cierto en el diccionario.
Formen grupos de trabajo y escriban ecuaciones
equivalentes que tengan por solución el día de
hoy y en las que los distintos coeficientes de la
incógnita sean los días de nacimiento de los componentes
Halla tres números consecutivos tales que, al sumar
el triple del segundo con el doble del tercero,
se obtenga 22.
Un pintor tarda 2 horas en pintar una pared y otro
tarda 3 horas en pintar la misma pared. ¿Cuánto
tiempo tardarían en pintar dicha pared los dos
pintores a la vez?
En una librería hemos comprado 12 esferográficos.
Si nos hubiesen hecho un descuento de $ 2 por cada
uno, hubiésemos podido comprar 3 más.
a) ¿Cuánto nos ha costado cada esferográfico?
b) ¿Cuánto dinero hemos gastado?
Un bus sale a las 8 de la mañana de Quito con dirección
a Guayaquil a una velocidad constante de
90 km/h. A las 10 de la mañana un auto parte en la misma
dirección a una velocidad de 120 km/h.
a) ¿A qué hora se encontrarán?
b) ¿Qué distancia habrán recorrido?
Durante su tiempo libre, Inti nada, lee y sale con sus
amigos. En la última semana ha dispuesto de 18
h de tiempo libre y ha dedicado a la lectura la mitad
del tiempo que ha destinado a la natación y a la
natación la tercera parte del tiempo establecido para
salir con sus amigos. ¿Cuánto tiempo ha dedicado
a cada una de las actividades?
Calcula las longitudes de los catetos de un triángulo
rectángulo cuya área es 10 cm2 si sabes que
son dos números consecutivos.
Resuelve la siguiente ecuación: 1 − 3 x = 2 x −9. A
continuación, entra en la página web http://des
cartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Resolucion_geo
metrica_ecuaciones y comprueba su resolución gráfica
Entra en la página http://suanzes.iespana.es/dio
fanto.htm y busca información sobre Diofanto de
Alejandría y sobre las ecuaciones diofánticas.
Obtén los números tales que si a su doble le sumamos
7 unidades resulta un número mayor que el obtenido
al restar a su triple 5 unidades.
Averigua para qué valores de x el
de la figura es menor que el del
La diferencia de edades entre un padre y un hijo es
24 años. ¿A partir de qué momento la edad del padre
será menor o igual que el triple de la edad del hijo?
Mónica y Víctor reúnen más de $ 18 para comprar un
regalo. Si Mónica aporta $ 4,8 más que Víctor, ¿cuál
habrá sido como mínimo la aportación de Mónica?
Las condiciones que dos empresas informáticas ofrecen
a sus comerciales son las siguientes:
Empresa A: $ 900 fijos al mes más $ 60 por cada computadora
Empresa B: $ 600 fijos al mes mas $ 100 por cada computadora
¿Cuántas computadoras debe vender como mínimo
un vendedor de la empresa B para que sus ingresos
mensuales superen a los de un vendedor de la empresa
En la preparación de una fiesta necesitamos comprar
vasos y nos fijamos
en la siguiente oferta.
Calcula el número mínimo
de vasos que deben
comprarse para que el
precio de cada vaso no
supere $ 0,6.
En un centro comercial todas
las camisas tienen
el mismo precio. Si con
A partir de la compra de 12 vasos
cada vaso de más……………$ 0,5
12 vasos ……$ 9
$ 60 puedo comprar dos camisas pero con $ 120 no
puedo comprar cinco, ¿cuál puede ser el precio de
una camisa?
Las notas obtenidas por un estudiante en dos pruebas
son 6 y 7. ¿Qué nota puede haber obtenido en
la tercera prueba si su nota media está comprendida
entre 6,5 y 7,5?
Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide
16 cm y su área está comprendida entre 80 y
96 cm2. ¿Cuánto puede medir el otro cateto?
Si el perímetro del rectángulo señalado en la figura
ha de ser mayor que la longitud de la circunferencia,
¿cuán to puede medir el lado desconocido de dicho
efectuar una mudanza, se nos ofrecen dos transportistas.
El primero cobra $ 50 para distancias inferiores
a 20 km y aumenta el precio en $ 0,6 por cada kilómetro
que exceda de los 20 km. El segundo transportista cobra
un fijo de $ 25 y $ 0,8 por kilómetro, sea cual sea la distancia
que ha de recorrer. ¿A partir de qué distancia es
preferible contratar al primer transportista?
Formen grupos de 3 o 4 miembros, elijan una característica
por la que puedan clasificar a sus compañeros
y compañeras (estatura, número de calzado, número de
hermanos...), y elaboren una tabla con ellas.
A partir de los resultados y utilizando las inecuaciones,
planteen un problema que los demás puedan resolver.
En un taller artesanal de Ibarra, se han vendido los
siguientes pares de zapatos en septiembre. Con estos
datos realiza un diagrama de tallo y hojas.
Recortamos alrededor de una lámina rectangular
de 20 cm de base unas tiras de 3 cm de ancho su área disminuye 174 cm2.
¿Cuál era la altura de la lámina antes de recortarla?
Halla alguna solución para las ecuaciones siguientes.
Silvia trabaja clasificando diversos minerales cajas. Si coloca 5 minerales en cada caja, queda
una vacía y si coloca 4, queda un mineral sin caja.
¿Cuántos minerales y cajas tiene Silvia?
Dados los números a, b, c y d, que verifican las relaciones
a  b y c  d.
a) Comprueba que: a  c  b  d
b) ¿Se cumple siempre que a  c  b  d? Pon un ejemplo.
Los números cuyo valor absoluto es menor o igual que
un número a  0 son, por definición, los valores de x que
cumplen el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Obtén los números cuyo triple disminuido en 2 unidades
tenga un valor absoluto menor o igual que 12.
Halla los valores de x para los que se cumplen estas
desigualdades, y represéntalos gráficamente.
Recuerda que la notación significa valor absoluto
Un fondista corre a una velocidad de 6 km/h. Averigua
cuánto deberá aumentarla para recorrer una distancia
de 4 km en menos de 30 min.
Ana dispone de 1 l de zumo de naranja y 45 cl de zumo
de durazno para elaborar un refresco. ¿De qué volumen
de zumo de naranja deberá prescindir para que
su contenido represente entre el 60 % y el 65 % del
total de litros del refresco?
  3(1 x )  7(1 x )2  0
	133
3 11 7 5 9 10
9 7 8 7 11 9
7 9 7 11 8 7
5 6 12 10 7 8
9 11 9 7 8 9
El trabajo y la seguridad social están contemplados
de manera expresa en la Constitución
actual, sin embargo, todavía existen
rezagos de desigualdad en estos ámbitos
Las leyes laborales exigen igualdad de género,
inclusión de los grupos vulnerables y
Por este motivo, las grandes empresas e instituciones
públicas están obligadas a contratar
personas con diversas capacidades, de
diferentes etnias, tanto hombres como mujeres,
entre otros aspectos. Así mismo, todos
los trabajadores deben recibir al menos el salario
mínimo vital, las compensaciones de ley,
el derecho a vacaciones y la seguridad social.
Estos significativos avances de inclusión tanto
en las instituciones privadas como públicas
permiten que otras entidades como las
bancarias, universidades y empresas trasnacionales,
están abriendo sus puertas a la fuerza
laboral tradicionalmente marginada. Estas
experiencias, aunque todavía insuficientes,
alientan a que las ecuatorianas y ecuatorianos
puedan profesionalizarse y aspirar a un
empleo, trato y salarios dignos.
Investiguen, con los datos del último censo
poblacional 2010, cifras acerca de la
inclusión de la mujer, de las personas con
capacidades especiales y de personas
de diversas etnias en el mercado laboral.
Comenten en clase: ¿por qué la generación
de fuentes de trabajo debe ser una
preocupación del estado y de las empresas
privadas?, ¿cómo influye el trabajo
¿Cómo pueden las instituciones educativas
fomentar el hábito del trabajo?,
¿cómo puede hacerlo cada uno desde
sus tareas y responsabilidades?
Vivir Trabajo y seguridad social
Con cuatro 4
¿Eres capaz de escribir los números desde el 1 hasta
el 12 con cuatro 4 (no puedes utilizar ni más ni
menos)? Como muestra te damos los tres primeros.
Te presentamos un código para enviar mensajes
En las teclas de un teléfono móvil, a cada número
del 2 al 9 le corresponde un grupo de letras.
Cada número del mensaje se asocia a la primera
letra de la tecla que contiene dicho número; pero si
está precedido de un signo negativo, se asocia a la
segunda letra, y precedido de un 0, a la tercera.
Además, el 6, el 7 y el 9 precedidos de un 1, indican,
respectivamente, la «ñ», la «s» y la «z».
Di a qué compositor de música clásica se refiere
1704−2−30504−817
¿Cómo se escribe tu nombre con este código?
Consigue un gran resultado
¿Cuál es el mayor valor posible, superior al millón,
que puede escribirse utilizando sólo tres números
del 0 al 9?
Averigua el valor de tres números distintos tales
que su producto es 16 y su suma es −7.
Historia Sección de historia
1. El perímetro del siguiente trapecio
es 28 cm. Halla la longitud
2. Escribe la ecuación correspondiente a este enunciado
y resuélvela por el método de ensayo-error.
El cuadrado de un número positivo más su doble
es igual a 288.
‘3. Si a ≤ b, indica cuál de las siguientes desigualdades
a) a + c ≤ b + c, para todos los valores de c.
b) a ⋅ c ≥ b ⋅ c, cuando c > 0.
c) a ⋅ c ≥ b ⋅ c, cuando c < 0.
4. Indica para cuál de las siguientes inecuaciones el
valor x = 3 es solución.
a) 5 (2x − 3) > 4x + 7
5. El producto del número anterior a otro natural por
su siguiente es 399. ¿De qué número se trata?
1. Resuelvan las ecuaciones siguientes.
2. ¿Cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente
a la inecuación 10x − 12 > 4x + 8?
a) 6x ≥ 10 b) 5x < 2x + 10 c) 3x > 10
3. Señalen cuál de estas
inecuaciones tiene
como solución la región
rayada en la figura
a) 3 − x ≤ y b) 3 + x > y c) 3 − x ≥ y
4. Realicen un diagrama de tallo y hojas con las edades
12 33 30 15
2 3 5 12 3
12 7 13 7 12 7 10
8 10 12 9 9 11 8
9 11 11 10 14 13 6
En el siglo XVII a. C., los matemáticos de
Mesopotamia y de Babilonia ya sabían
Alrededor del siglo II a. C., los matemáticos
chinos escribieron el libro Jiu
zhang suan shu, (Nueve capítulos del
arte matemático), en el que plantearon
métodos para resolver ecuaciones de
primero y segundo grado.
En el siglo VII, los hindúes habían
desarrollado ya las reglas
algebraicas fundamentales para
En el siglo IX, el matemático y astrónomo
musulmán Al-Jwarizmi escribió acerca
de los procedimientos algebraicos para resolver
La palabra álgebra deriva del título
de su obra Al-jabr wal muqabala.
En el siglo XVI, el matemático
francés François Viète desarrolló
una notación algebraica muy
cómoda; representaba las incógnitas
con vocales y las constantes
con consonantes.
En el siglo XVII, el matemático francés René
Descartes inventó la notación algebraica moderna,
en la cual las constantes están representadas
por las primeras letras del alfabeto,
a, b, c…, y las variables o incógnitas por las últimas,
La evolución de la notación
Las expresiones algebraicas que llamamos ecuaciones
se han expresado de distinta forma a lo
largo de los siglos. En el siguiente ejemplo se muestra
cómo distintos matemáticos escribirían una misma
Matemático actual: 3 x − 7 = 0
Descartes (s. XVII): 3 x − 7 = 0
Stevin (s. XVI): 3 1 − 7 = 0
Viete (s. XVI): 3 in A plano -7 aequator 0
Regiomontano (s. XV): Demptis 7 et 3 rebus
Chuquet (s. XV): 3’ m 7 aequalis 0
¿Cómo habrían escrito estos matemáticos la ecuación
−2 x + 5 = 0?
La ecuación, según Newton
Este fragmento corresponde a la obra In Algebram
Gerardi Kinchkhuysen Observationes, de Isaac Newton
(1642-1727), en la que aportaba sus investigaciones
en forma de comentarios al libro de álgebra
de Kinckuysen:
«Todo aquel que esté preparado para resolver algún
problema deberá siempre tener en mente que
se puede tener una ecuación a través de la cual
hallar la cantidad buscada. Una ecuación es un conjunto
de cantidades tal que una parte de las cuales
iguala la otra o que todas juntas se igualan a 0. Por
ejemplo, x + a = b, o x + a − b = 0; esto es, x + a es
igual a b o x + a − b es igual a 0. Con la marca = se
designa la igualdad de las cantidades entre las
cuales está colocada.»
Las ecuaciones se consideran de dos modos especiales:
o como últimas conclusiones alcanzadas
al resolver problemas, o como medios con cuya ayuda
se logran las ecuaciones finales. Una ecuación
del primer tipo no es sino la fusión de una única cantidad
desconocida mezclada con otras conocidas,
siempre que el problema esté definido y se esté buscando
algo cierto. Pero aquellas del último tipo involucran
varias cantidades desconocidas, y por esta
razón deben compararse una con otra de modo que
de la unión entre ellas emerja por fin una sola ecuación
nueva, en la que hay una única cantidad que
buscar, entremezclada con otras conocidas. A partir
de entonces, para obtener esa cantidad de la
forma más fácil, dicha ecuación generalmente debe
transformarse de varias maneras hasta que sea lo
más simple posible…
En enero de 2007, la NASA anunció que en todas sus
futuras operaciones y misiones a la Luna utilizará el
Sistema Métrico Decimal en sus ecuaciones.
Las ecuaciones y sus unidades
Al sustituir las variables de una ecuación por sus valores numéricos hay
que estar atento a las unidades utilizadas.
En 1999, la sonda robótica Mars Climate Observer, enviada por la NASA
para que se mantuviera en órbita alrededor de Marte y estudiara su
clima, se estrelló en la superficie de ese planeta. El fallo de la misión
se debió a que el proveedor había facilitado los datos para activar el
propulsor expresándolos en el sistema inglés de unidades pero sin
especificarlo. El laboratorio que calculaba las órbitas utilizaba el Sistema
Internacional en sus ecuaciones y tomó los valores del proveedor
sin realizar la conversión de unidades. ¡Se insertaron en las ecuaciones
valores erróneos!
■ Johann Müller Regiomontano
65. El valor de x es 1 kg y el valor de y es 2 kg.
67. El número buscado es x = 27.
71. a) x = −2; b) x = −2; c) x = 2; d) x = 2;
e) x = −1; f) x = −4; g) x = −3; h) x = 5
73. a) 9; b) 8; c) 12; d) 13.
75. a) x = 3. Sí; b) x = 10. Sí.
77. −3
83. a) Cierta. b) Cierta. c) Falsa. d) Falsa. Si a < b y b < c entonces a < c.
85. a) Es solución; b) Es solución; c) No es solución; d) No es solución;
e) No es solución; f) Es solución.
89. a) S = ; b) S = ∅; c) S = ∅;
91. a) No,
b) La solución del sistema de inecuaciones es:
97. Respuesta sugerida:
99. a) Primera inecuación:
x < −3 ⇒ S1 = (−∞, −3)
Segunda inecuación:
x − 1 ≤ 4 ⇔ x ≤ 5 ⇒S2= (−∞, 5]
b) Primera inecuación:
S1 = (2, +∞)
S2 = (−∞, 4)
101. a) La expresión algebraica del consumo es 0,076 x.
b) Al recorrer 150 km consume aproximadamente 11,4 l y al recorrer
180 km 13,68 l.
103. Alumnos: 400 Libros: 1 350 Hay 1 350 libros.
105. Restaurar, insertar. En el diccionario: arte de restituir a su lugar los
huesos dislocados.
107. Los tres números consecutivos son 3, 4 y 5.
109. a) El precio de un esferográfico es $ 10.
b) Hemos gastado $ 120.
111. Ha dedicado 12 horas a salir con sus amigos.
Ana ha dedicado 2 horas a la lectura, 4 horas a la natación y 12
horas a salir con sus amigos.
113. x = 2.
Los números menores de 12 cumplen la condición del enunciado.
117. La edad del padre será menor o igual al triple de la edad de su hijo
a partir del momento en que el hijo cumpla 12 años.
119. El vendedor debe vender como mínimo 8 computadoras.
121. La solución del sistema de inecuaciones es: S = (24, 30]. Es decir, el
precio de una camisa es mayor que $ 24 y menor o igual que $ 30.
123. Solución del sistema de inecuaciones: S = (10, 12). Es decir, el otro
cateto puede medir más de 10 cm y menos de 12 cm.
125. Es preferible contratar al primer transportista si la distancia a recorrer
es mayor de 65 km.
129. Todas las soluciones son:
a) x = 0; b) x = 1, x = −1; c) x = ;
d) x = 2; e) x = −1, x =
131. a) Dado que a < b y c < d, se tiene:
b) En este caso tenemos:
133. a) Conjunto solución: S = (−5, 5)
b) Conjunto solución:
c) Sistema de inecuaciones:
Conjunto solución: S = [−4, 2]
d) Sistema de inecuaciones:
135. Tendrá que prescindir de más de 0,164 l de zumo de naranja, pero
de menos de 0,325 l.
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