Source: https://es.scribd.com/doc/207993049/Solucionario-UNI-2014-I-Matematica
Timestamp: 2017-03-28 14:19:26+00:00

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NavegarInteresesStay InformedCareerPersonal GrowthFiction & BiographiesHealth & FitnessLifestyleCultureNavegar porLibrosAudio librosNoticias & RevistasPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseSOLUCIONARIOExamen UNI 2014 – I
MATEMÁTICA PARTE I
Pregunta 01	Las notas obtenidas por tres postulantes hacen un promedio de 15. La relación entre las notas del primero y el segundo es 4/5 y la relación entre el segundo y tercero es 5/6. Calcule la diferencia entre la mayor y menor nota. A)	6 B)	8 C)	9 D)	10 E)	12
Pregunta 02	Si se cumple que abc= ab+bc+ca, calcule el valor de a+b–c, sabiendo que a, b, c son positivos. A)	2 B)	3 C)	4 D)	5 E)	6 Resolución 02	Cuatro operaciones abc= ab + bc + ca a00= ab + ca Por criptoaritmética ab + ca a00 ⇒ a = 1
Resolución 01	Promedios Las notas están en relación de: A= 4k B= 5k C= 6k Como el promedio de las 3 notas es 15, entonces la suma de estas es 45: 4k+5k+6k= 45 → k= 3 ∴ A= 4(3)= 12; B= 5(3)= 15; C= 6(3)= 18 Piden: C – A= 6 Rpta.: 6
b = 94 a + b − c = 2 c=8
Rpta.: 2
Pregunta 03	Una persona dispone de cierto capital, el cual es dividido en dos partes. La mayor parte la impone al 14% anual y la otra parte al 8% semestral. Si al cabo de un año los montos obtenidos son iguales, determine el capital inicial, sabiendo que las partes se diferencian en 1200. Todas las cantidades están en nuevos soles.
SOLUCIONARIO – Matemática
Examen UNI 2014 – I
A)	128 000 B)	132 000 C)	136 000 D)	138 000 E)	140 000
Resolución 04	Mezcla Primera aleación Liga
Resolución 03	Interés simple C: Capital
Ley = 16 = 2 & 1 w = 32g de metal ordinario 24 3 3 w = 96g
Segunda aleación Ley= 0,65 y w= 104 gr La ley de la unión de estas aleaciones
C1 14% anual
C2 16% anual
3 (96) + 0, 65 (104)
96 + 104
Al cabo de un año se obtienen montos iguales. 114% C1 = 116%C2 La ley en kilates sería:
131, 6 200 Lm = 0, 658 =
(0,658)24=15,792 kilates Rpta.: 15,792
C1 58 = C2 57
C1 = 58 k C2 = 57 k
Pregunta 05	C1 – C2= 1200 → k= 1200 ∴ C1+C2= 115k= 138 000 Rpta.: 138 000
Pregunta 04	Si una cadena de 16 kilates cuyo peso de metal ordinario es 32 gramos se funde con un lingote de oro de 104 gramos con ley 0,65. De cuántos kilates es la aleación obtenida. A)	0,651 B)	0,658 C)	15,600 D)	15,792 E)	34,442
Un comerciante tiene que formar paquetes diferentes de 8 unidades de frutas, para ello debe escoger entre plátanos y peras. Cada plátano cuesta S/. 0,20 y cada pera S/. 0,50. ¿Cuál es el promedio de la venta de los paquetes? Asúmase que hay suficientes plátanos y peras. A)	2,77 B)	2,79 C)	2,80 D)	3,00 E)	3,10
Resolución 05	Promedios Total de frutas: 8 N. Plátanos (x) Precio de c/u •	Para x= 0; 1; 2; ...; 8 ⇒ x= 4 Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x) Pv= 0,20(x) + 0,50(8–x) Pv= 0,20(4) + 0,50(8–4) Pv= 2,80 Pv: precio de venta promedio x: promedio de los x (x= 0, 1, 2, ..., 8) Rpta.: 2,80 Pregunta 06	Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado; donde P indica la probabilidad. I.	Si los conjuntos no vacíos A y B son disjuntos, entonces P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A)P(B) II.	Sean A= {(x,y)/x∈{1,2,3,4,5,6}; y∈{1,2,3,4,5,6}} B= {(x,y)∈A / 4<x+y≤6} entonces P(B)= S/. 0,20 N. Peras (8–x) S/. 0,50
A)	VVV B)	VFV C)	FVF D)	FFV E)	FFF Resolución 06	Probabilidades I.	II.	Como: n(A)= 6×6= 36 B= {(1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,5); (5,1); (3,3); (2,4); (4,2)} n(B)= 9 Además B⊂A P(B/A)= Si A y B son disjuntos ⇒ A∩B= ∅ ⇒ P(A∩B)= 0 Como: P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B) ∴P(A∪B)= P(A)+P(B)
9 1 = 36 4
III.	Recordar •	•	•	E∆D= (E∩Dc)∪(Ec∩D) (E∩Dc)∩(Ec∩D)= ∅ P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)
Entonces P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)– P(Q)
P(E∆D)= Luego: I= F
P(E∩Dc)+P(Ec∩D)
III.	P(E∆D)= P(E∩Dc)+P(Ec∩D)
II= F
III= V Rpta.: F F V
Pregunta 07	Dados abcd= 5 +2, dabc= 9 +2= 11 +7, donde dabc es el menor número con las propiedades indicadas con d≠ 0 y a≠ 0. Determine el valor de E= (a)(b)+(c)(d) A)	10 B)	12 C)	14 D)	16 E)	18 F)	Resolución 07	Teoría de números abcd= 5 +2 ....(1) dabc= 9 +2 ....(2) dabc= 11 +7 ...(3) de (1): d= 2 o 7 elegiremos d= 2 de (2) y (3): dabc= 99 +29 ⇒ da+bc= 29 como dabc es el menor posible: 2a+bc= 29 ⇒ b= 0 ⇒ b= 0 ∧ a+c=9 ↓ ↓ 1 8 Recuerde que a≠ 0 pero b si puede ser cero dabc= 2108 ∴E= (a)(b)+(c)(d)= 16 1×0+8×2 Rpta.: 16
Pregunta 08	Indique la alternativa correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), según el orden dado: I.	2 – 2 + 2 – 2 + 2 – 2 +...= 0
II.	Cada número irracional se puede aproximar por un número racional. III.	Si A= 〈0,1〉∩Qc, entonces donde Qc indica el complemento del conjunto de los números racionales. A)	VVV B)	VVF C)	FVV D)	FVF E)	FFF
1 ∈A, 2
Resolución 08	Conjuntos numéricos I.	2 – 2 + 2 – 2 + ... Sea fn = 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 "n"tér min os Luego: f1= 2 ; f2= 0; f3= 2 ; f4=0; ... La sucesión de las sumas parciales es oscilante, por tanto, cuando “n” tiende a infinito Lim fn = No está definida n"3 II.	Para todo “x” irracional, existe un “n” entero tal que n<x<n+1 Dividiendo entre un m∈Q+ n x n+1 < < m m m
x es un irracional y su aproximación m n por defecto es el racional m Donde III.	Si
c 1 1 1 ∈A → ! 0; 1 / ! Q 2 2 2 14 424 43 S F V 1 4444 4 2 4444 43 F
x + 2 128
Se cumple que: x= 64 + 2= 66
x + 34 = 10
Rpta.: 10
Rpta.: F V V Pregunta 09	Si x0 es la solución de la ecuación
Pregunta 10	Determine la intersección de los conjuntos de las inecuaciones siguientes:
17 + 2 72 = x + 2 128 –7 3+ 8
Calcular el valor de A)	5 B)	10 C)	15 D)	20 E)	25 Resolución 09	Racionalización
(x + 3) 5 (x + 1) 8 # 0, (x–1) 7 (x–2) 4
x0 + 34
x+2 .4 x+1 # 0. x–5 6 6–x
A)	[–3,1〉 B)	[–1,6〉 C)	[–1,5〉 D)	[–1,1〉 E)	[–3,5〉
17 + 2 72 = x + 2 128 − 7 3+ 8 9+ 8 = x + 2 128 − 7 3+ 8 3+ 8 = x + 2 128 − 7 3+ 8 3 + 8 = x + 2 128 − 7 3+2 2 +7 = 8+ 2 = x + 2 128
Resolución 10	Inecuaciones I.	(x + 3) 5 (x + 1) 8 (x–1) 7 (x–2) 4
CS(I)= [–3,1〉
–3≤x<1 ∧ {x≠ 2; x= –1}
II.	7 3
x+2 .4 x+1 #0 x–5 . 6 6–x x+2 #0 x–5
–1≤x<6 ∧
–1≤x<6 ∧ –2≤x<5 CS(II)= [–1,5〉 ∴ CS(I) ∩ CS(II)= [–1,1〉 Rpta: [–1,1〉
Pregunta 12	Considere: Sn= i+i2+i3+... in, donde i2= −1, con n∈ N . Dadas las siguientes proposiciones. I.	Sn+Sn+1= i, si n es impar. II.	Sn= Sn−1+Sn+1, si n es par. III.	Sn= −1, si n tiene la forma n= 4k+3, con k entero no negativo. Son correctas: A)	Solo I B)	Solo II C)	Solo III D)	I y II E)	I y III
Pregunta 11	Sea f una función definida por f(x)= (1−x3)1/3+1, x∈ R . Determine la inversa f * de f. A)	f * (x)=1−(x2−1)1/3, x∈ R B)	f * (x)=1−(x−1)3/2, x∈[0, +∞> C)	f * (x)=(1−x3)1/3, x∈ R D)	f * (x)=(1−(x−1)3)1/3, x∈ R E)	f * (x)=(1−(x−1)1/3)3, x∈[0, +∞>
Resolución 12	Números complejos Sn = i + i2+i3+ ... + in
Resolución 11	Funciones I.	f(x)= 3 1 − x3 + 1 ; x∈R II.	Nótese que f es inyectiva con dominio R y rango R. Obtención de la inversa:
( Sn =
y = 3 1 − x3 + 1 y − 1 = 3 1 − x3
(y–1)3= 1–x3 x3= 1–(y–1)3
i (in − 1) − i $ i (in − 1) = − i (i − 1) i−1 n− i 1 Sn = i+1 I.	Sn + Sn + 1 = i S S + in − 1 + in 1 − 1 = i i+1 i+1
in + in+1 - 2 = i(i+1)
x = 3 1 − (y − 1) 3
Rpta.: f * (x)=(1−(x−1)3)1/3, xd R
in(1+i) = -1 + i + 2 in (1+i) = (1+i) in = 1 n = 4k	(F)
II.	Sn = Sn − 1 + Sn + 1 S SS − + in − 1 = in 1 − 1 + in 1 i+1 i+1 i+1 in − 1 = in − 1 + in + 1 − 2 1 44 2 44 3
in - 1 = 0-2 in = -1
A)	Solo I B)	Solo II C)	I y II D)	I y III E)	II y III
( n d 4k + 2 III.	Sn = − 1 S in − 1 = − 1 i+1
in - 1 = -i - 1 in = -1 ⇒ n ∈ 4k + 3	(F)
Resolución 13	Funciones f(x)=cax; g(x)=dbx ⇒ Por teoría: a>0; b>0 ∴ I) V II) F
(V) Rpta.: Solo III
III) F Observamos en la gráfica: g(x)
Pregunta 13	Sean las funciones: f(x)= c(ax) y g(x)= d(bx) cuyas gráficas se muestran a continuación. g(x) y 0 f(x)
i) f(x)>0 6x d R ⇒ c>0 f(x) g(x)>0 6x d R ⇒ d>0 ii) f(0)=g(0) ⇒ c=d 0 x iii)f(x)>g(x) 6 x>0 cax>cbx; 6 x>0 a x a ` b j > 1; 6x > 0 ⇒ b >1 ⇒ a>b ⇒ 0<b<a<1 Rpta.: Solo I
Indique cuál(es) de las siguientes proposiciones son correctas. I.	c= d II.	0<a<b<1 III.	a+b>1
Pregunta 14	Sea la matriz A = e A)	e 1 1 o . Si AX=AT; halle 2 XT. 3 2 3
Pregunta 15	Sea X una matriz de orden 2×2 que cumple con: (AX A−1)t=3(A−I), donde A = = a b G c d
4/ 3 - 2/ 3 o 2 - 2/3
4/ 3 4/ 3 B)	e o - 2 - 2/3 C)	e D)	e E)	e 4/ 3 - 2/ 3 o 1 -1 1 1/3 o 2/3 - 1/3 2/3 - 2/3 o 1 -1
a, b, c, d d R , I matriz identidad. Si la traza de X es −6. Calcule (a+d)(b+c). A)	−2 B)	−1 C)	0 D)	1 E)	2
Resolución 14	Matrices
Resolución 15	Matrices Se tiene: Ax A-1 = (3(A - I))T traz ((Ax)A-1) = 3 traz (A - I)T Propiedad: traz (AB) = traz (BA) traz(A-1.(Ax))=traz(x) = 3traz(A - I)T -6 = 3traz(AT - I) -2 = a+d - 2  a+d=0 ∴ (a+d) (b+c)=0 Rpta.: 0
1 1 3 −1 o $ A −1 = e o A=e −2 1 2 3
AX = A T X = A −1 . A T 3 −1 1 2 o oe X=e −2 1 1 3 X=e 2 3 o −1 −1 2 −1 o 3 −1
Pregunta 16	y =34 ...(1) x x−y=12 ...(2) Rpta.: e
XT = e `
Al resolver el sistema: x x +y y
2 T = e4/3 − 2/3 o X 3 2 − 2/3
4/3 - 2/3 o 2 - 2/3
se puede obtener soluciones enteras para x y para y; luego y es igual a:
A)	16 B)	8 C)	4 D)	2 E)	1
Pregunta 17	Dada la región admisible R del problema de programación lineal. 1R −5 0 Q
Resolución 16	Sistemas de Ecuaciones y x x +y = 34 ... (1) x y * x − y = 12 ... (2) de (1) x2+y2=34 xy ...(3) de(2) (x–y)2=122 x2+y2–2xy=144...(4) Reemp (3) en (4) 34 xy –2xy=144 xy 2–17 xy +72=0 ( xy –9)( xy –8)=0 → xy =9 xy =8 ∧ xy=81 xy=64
Determine la función objetivo del problema, de modo que, tanto el punto R como el punto Q sean soluciones mínimas. A)	x+4y B)	−x+7y C)	x+10y D)	−x−3y E)	x−5y
Resolución 17	Programación lineal Se observa que la función objetivo pertenece a la familia de las rectas que pasa por los puntos (-5;0) y (0;1), cuya ecuación es:
x − y = 12 xy = 81 x − y = 12 xy = 64
no hay soluciones enteras x=16 ∧ y=4
1 = y−1 5 x x = 5y − 5 x − 5y = − 5
∴ f(x;y)=x–5y
Rpta.: x−5y
Pregunta 18	Dada la sucesión (an) definida por: an=sen c nr + ( − 1 ) 8 m ,n ! N 4n Entonces podemos afirmar que: A)	(an) converge a B)	(an) converge a 1 C)	(an) converge a 0 D)	(an) converge a p/4 E)	(an) no converge Resolución 18	Sucesiones Z 2 nr + 8 nr + 8 ] ] sen ` 4n j; "n" par " Lim sen ` 4n j = 2 n→∞ an = [ 2 nr − 8 nr + 8 = sen ` ] j ] sen ` 4n j; "n" impar " nLim 4n 2 →∞ \ Notamos que el límite de cada subsucesión es igual a 2 /2 ⇒Lim an= 2 2 ∴an Converge a 2 2 Rpta.: (an) converge a Pregunta 19	3x , x $ 1. Sea la función f(x)= x 3 +1 Determine el rango de f. A)	[0, ∞> B)	[1/2, ∞> C)	[1, ∞> D)	[3/4, 1> E)	[2, ∞> 2 /2 2 /2
Resolución 19	Funciones
f^ x h = 1 −
1 ;x$1 3x + 1
3x $ 3 3x + 1 $ 4 0< 1 1 # 4 3x + 1 − 1 # − x1 < 0 → 3 # 1 − x1 < 1 4 4 3 +1 3 +1 3 3 # f^ x h < 1 → Ranf = 8 ; 1 4 4
Rpta.: [3/4,1>
Pregunta 20	En el siguiente proceso de construcción tenemos inicialmente un triángulo equilátero de área 1, del cual vamos retirando paulatinamente los triángulos equiláteros como se muestra en la figura. Determine el área total de los triángulos retirados.
A)	4/8 C)	6/8 D)	7/8 E)	1
B)	5/8
Resolución 20	Sumatorias Sea: Sn el área de los triángulos retirados en la n-ésima figura. ⇒ S0 = O
Pregunta 21	Dado un cuadrado ABCD de lado a > 6, exterior a un plano P . Si las distancias de A, B y C al plano P son 3 u, 6 u y 7 u respectivamente, halle la distancia de D al plano P (en u). A)	3 B)	3,5 C)	4 D)	4,5
1 4 1 1 2 ⇒ S2 = + 3 ` j 4 4
⇒ S1 = ⇒ S3 = ⇒ S4 =
1 + 1 2+ 1 3 3` j 9` j 4 4 4
1+ 1 + 1 + 1 3 ` j 9 ` j 27 ` j 4 4 4 4 1 + 1 2+ 1 3+ 1 3+ ` Sn = 3 ` j 9 ` j 27 ` j ... 4 4 4 4 1 + 3 c1 + 1 + 1 + m 3 ` j 9 ` j ... 4 4 4 4 4 1 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3
Sn 2 3
E)	5 Resolución 21	Geometría del espacio Piden: distancia. del punto D al plano B 6 A 3 D x 7 C
Rpta: 1
P * Propiedad en las regiones paralelográmicas 3+7=6+x Rpta.: 4
Pregunta 22	El gráfico muestra una pirámide regular. A
Resolución 22	Geometría del espacio A 3 M
P C D B B E AP = 2, m∠BAE = 60° PB y la distancia de A al plano que contiene los Si ED = 6 u, PM // BC, puntos P , M y D es 3 u, calcule el volumen en u3 de la pirámide A-PMDE. A)	2 27 B)	3 27 C)	4 27 D)	5 27 E)	6 27 2 A 1 P 6 2 P
M C D 6 E
* En D equilátero ABE: B 3
PE = 2 7
* Trapecio isósceles EPMD:
Resolución 23	2 7 27
Áreas Piden: A4 MONL B C 10 O M 5 3S 8 5 3S L 2S 6 n 8 D 4S N 2n
6 F 6 A
∴ VA − PMDE =
1 8` 4 + 6 j 27 B .3 = 5 27 3 2
Rpta.: 5 27
Pregunta 23	En la figura BC = 16, AB = 12, E y F puntos medios. Determine el área del cuadrilátero sombreado.
& OL = AD; L = 6
 “N” Baricentro  ACD  En el  AOL S=4
6S = 6 . 8 2
∴ 5S = 20 Rpta.: 20
Pregunta 24	Sea ABCD un rectángulo, M punto medio de BC, PM perpendicular al plano ABC, O centro del rectángulo, si BC = 2AB = 8 y PM = AB, entonces el área de la región triangular APO es A)	2 6 C)	4 6 D)	7 6 E)	8 6
A)	10 B)	15 C)	20 D)	21 E)	25
B)	3 6
Resolución 24	Geometría del espacio Piden : A
Pregunta 25	En un rectángulo ABCD (AB < BC), se dibuja una semicircunferencia con diámetro AD tangente a BC en P . Se ubica el punto Q en PC y se traza QE perpendicular a PC donde el punto E está sobre la semicircunferencia. Si PQ = 1 cm y el perímetro del rectángulo ABCD es 48 cm, entonces la longitud de AE (en cm) es: A)	6 B)	8 C)	9 D)	10 E)	12
ABC= Notable
53°/2 & CA= 4 5
OA= 2 5 Luego: TEOREMA 3 CM P' : Notable 53°/2
& MP' =
MPP : PITÁGORAS
5m = ^PP'h2 & PP' = 4 30 42 + c 4 5 3
Resolución 25	4 30 2 5 =4 6 . 5 2
Relaciones rectángulo •	•	Piden: AE Dato: 2P B
` ATAPO = 4 6
= 48 = 6R 8 x 1 R=8 P 1Q 7 E C R D
4 4 M 4 B 4
R A R=8
Rpta.: 4 6
Luego: Relaciones métricas x
D)	3π 4
E)	p2 Resolución 26	n m x2 = m.n ⇒ x2 = 16.9 Rpta.: 12 Pregunta 26	En la figura mostrada, se tiene que el perímetro del cuadrado ABCD es igual al producto de las longitudes de las circunferencias de centro O y 1 1 O'. Calcule + . R r C B r O' ∴ x = 12
Circunferencia B r r L2 C
A Piden: 1 + 1
L1 2(R+r)
Dato: 2pABCD = L1 . L2 8(R+r) = (2pR)(2pr)
2 ` 1+ 1 = r r R 2
A)	B)	C)	π 3 π 2
Pregunta 27	Calcule el perímetro de un heptágono regular 1 + 1 =1 ABCDEFG, si: AE AC 5 A)	34 B)	35 C)	36 D)	37 E)	38 Resolución 27	Polígonos regulares B A x G x F Piden: 2pheptágono Dato: x E m x n m n x x C x D
Pregunta 28	La generatriz de un cilindro oblicuo de base circular mide igual que el diámetro del cilindro disminuido en 10 dm. Sean M y N los centros de las bases y AB un diámetro de la base inferior que contiene a N. Si AM = 19 dm y MB = 13 dm entonces el volumen del cilindro (en dm3) es: A)	130 p 103 B)	131 p 104 C)	132 p 105 D)	133 p 106 E)	134 p 107 Resolución 28	Cilindro O
19 2a-10 a 22 a
1 +1 =1 m n 5
T. Ptolomeo * X ACDE: inscriptible mn=nx+mx •	Cálculo de la mediana: 192+132 = 2(2a-10)2+ a=11
1 = 1 +1 x m n 1 1 → = →x=5 x 5
∴2pheptágono=35 Rpta.: 35
(2a) 2 2
•	T. Herón: DAOB.
2 27.5.14.8 22 12 h= 105 11
•	•	Vcilindro = r 112 .
12 105 11
Pregunta 30	La altura de un cono circular recto mide 15 cm y el radio de su base 8 cm. Se taladró un agujero cilíndrico de diámetro 4 cm en el cono, a lo largo de su eje, resultando un sólido como el que se muestra en la figura. Calcule el volumen de ese sólido.
Vcilindro = 132p 105 Rpta: 132p 105
Pregunta 29	Sea ABCD un cuadrilátero donde el ángulo exterior D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Si BC = 25 u y BD = 20 u, determine AB (en u). A)	12 B)	14 C)	16 D)	18 E)	20 Resolución 29	Semejanza Piden: AB=x C 25 B a a x q A DABD ∼DDBC 20 q D a H
A)	240 p cm3 C)	260 p cm3 E)	270 p cm3 Resolución 30	Sólidos Piden el volumen del sólido.
B)	254 p cm3 D)	264 p cm3
x = 20 20 25
∴x=16 Rpta.: 16
Pregunta 31	En la figura, O centro de la circunferencia. Si NH=11, AM×AE=900 y m∠ANM=45º, entonces la longitud del diámetro de la circunferencia es: A H O 2 M 6 B H N B A)	5 2 B)	10 2 C)	15 2 D)	20 2 E)	25 2 Resolución 31	Rpta.: 270π cm3 R. Métricas en la circunferencia Piden el diámetro=2R 90º
Semejanza: ∆VOB∼∆AMB 15 = 8 ⇒H 6 45 = H 4 Luego: Vx=Vtronco–Vcili Vx= 45 . r (4+64+16)–π.4. 45 4 3 4 Vx=315π–45π ∴Vx=270π
A 45º R O
* 6 NHME inscriptible * Teorema de las secantes
Resolución 32	Congruencia C D
(R 2 + 11) R 2 = (AM) (AE) = 900 R 2 = 25 ` 2R = 25 2 Rpta.: 25 2 Pregunta 32	En la figura, BF=3u y ED=4u. Calcule el valor del segmento CF(en u). C D A q q
4 x E F 3 B Se prolonga CE → CE=EF CDE ≅ → EM = 4 •	x+3 = 8 ∴x=5 B Pregunta 33	Calcule el valor aproximado de: E = ctg(4º) – 7 A)	7,07 B)	8,07 C)	9,07 D)	10,1 E)	11,2
Piden: x E F •	•	EMF
q A A)	4,5 B)	5 C)	5,5 D)	6 E)	6,5
Resolución 33	I.T. para el ángulo mitad E = ctg4º – 7 α = csca + ctga 2 E = csc8° + ctg8°–7 Como: ctg E=5 2 +7–7 E = 7,07 Rpta.: 7,07
Pregunta 35	Un águila se encuentra a una altura H y ve a una liebre de altura h. Se lanza sobre la presa a lo largo del tramo de la trayectoria descrita 1 por la gráfica de la función f (x) = , x>1, x– 1 llegando a su presa. Determina la tangente del ángulo de depresión con el cual el águila vio al inicio a su presa. 1 A)	h halle el valor de B)	h H C)	D)	E)	H h H–h h H–h H+h
Pregunta 34	Si tan2a=2tan2x+1, y=cos2a + sen2x. A)	sen2a B)	cos2a C)	1+sen2a D)	tan2a E)	1+cos2a
Resolución 35	Resolución 34	Identidades trigonométricas tg2 a = 2 tg2 x+1 sec2 a–1= 2(sec2 sec2x x – 1)+1 sec2 a=2 y H θ θ x Ángulos verticales
cos2 x = 2 cos2 a 1 – sen2 x = 2 cos2a 1 – cos2 a = cos2 a+sen2x ∴ y = sen2a Rpta.: sen2a 0 1 h
Como: 6 f
H−h tgi = x2 − x1
1 x−1 1 x−1 = y y= 1 h 1 x1 − 1 = H H−h x2 − x1 = Hh x2 − 1 =
Rpta.: hH
y(t) = 6Sen(2t+f) Amplitud = 6 Periodo =
2r = r 2
Rpta.: 6 y π
Pregunta 37	Si x∈ –3,0 , entonces el rango de la función 5π f (x) = arctan x + 2 arc cot x , es: A)	0, 1 1, 2 0, 2 2, 5 5, + 3 B)	C)	D)	E)	tgθ=hH
Pregunta 36	En la función: y(t) = 2cos2t + 4 2 sen2t; la amplitud y el periodo son respectivamente: A)	4 2 y π B)	4 2 y 2π C)	6 y π D)	6 y 2π E)	2 + 4 2 y π Resolución 36	Funciones trigonométricas y(t) = 2 cos2t+4 2 sen2t
Resolución 37	Funciones trigonométricas inversas
Como –∞<x<0 –
5r arcTgx + 2 arcCtgx
4 2 2 y (t) = 6 ( cos 2t + sen2t) 6 6
π <arcTg(x)<0 2 π <arcCtg(x)<π 2 Entonces: f(x)=
5r –arcTgx + 2arcCtgx
f(x)= f (x) =
5r –arcTgx + 2 ` r –arcTgxj 2
5r r–3arcTgx
A=–29 =–12
− 210 − 210 1 = A 220
Pide: A+500=–29+500 Rpta.: –12
3π 2 5π π< π–3arcTgx< 2 0<–3arcTgx<
Pregunta 39	De un disco de cartulina de radio 6 cm, se corta un sector circular de ángulo central θ=120º. Con la parte restante, uniendo los bordes se forma un cono. Determine el coseno del ángulo en el vértice del cono construido. A)	0
5r 2< <5 r–3arcTgx
2<f(x)<5 Ranf(x) = 2; 5 Rpta.: <2; 5>
Pregunta 38	(1 + i) + (1–i) 40 (1 + i) (A + 500) es igual a: Si i = –1 y A)	–12 B)	–10 C)	–8 D)	10 E)	12
= 1 , entonces A
2 2 C)	1 2 1 D)	5 1 E)	9 B)	Resolución 39	Resolución de triángulos oblicuángulos
Resolución 38	Números complejos En su forma exponencial:
θ=120°
a 6 cm 6 cm
1 + i = 2 .eir/A ; 1 − i = 2 .e
−ir/4
4π RAD 3
210 .ei^5rh + 210 .e 220 .ei^10rh
−i^5rh
Perímetro de la base 4π l=c RAD m (6cm) = 8πcm 3 Además: La base es un círculo 8πcm = 2πR	En el ∆ VPQ Por ley de cosenos 6 + 6 – (2R) cos α = 2.6.6 1 ∴ cos α = 9
Resolución 40	Reducción al primer cuadrante •	tan(840º) = tan(720º+120º) = tan120º = –tan60º=– 3 •	sen(750º) = sen(720º+30º) = sen(30)= Reemplazando en E:
→	R = 4cm
Rpta.: 1 9
− 3 (− 3 ) − 2 3 3 = 1+ 2 1, 5 2
Pregunta 40	Halle el valor de E = A)	B)	C)	D)	E)	2 1 2 2 2 3 2 3 –3 tan 840°–2 3 sen (750°) + 1, 5
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