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Timestamp: 2017-03-27 05:26:37+00:00

Document:
Precálculo. 8a ed. Ron Larson by Cengage Learning Editores - issuu
Prec谩lculo
Octava edici贸n
Jorge Humberto Romo Muñoz
Precálculo, Octava edición
Ron Larson/David C. Falvo
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trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho
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Precalculus, Eighth edition
Publicado en inglés por
Brooks/Cole/Cengage Learning © 2011
ISBN 13: 978-1-4390-4577-0
Richard Edelman/Woodstock
Larson, Ron/David C. Falvo
ISBN 13: 978-607-481-613-6
Unas palabras del autor (Prefacio) vii
Coordenadas rectangulares 2
Gráficas de ecuaciones 13
Ecuaciones lineales con dos variables 24
Análisis de gráficas de funciones 54
Biblioteca de funciones principales 66
Transformaciones de funciones 73
Combinaciones de funciones: funciones compuestas 83
Funciones inversas 92
1.10 Modelado y variación matemáticos 102
Resumen del capítulo 114
Ejercicios de repaso 116
Examen del capítulo 121
Demostraciones en matemáticas 122
Resolución de problemas 123
Funciones racionales y polinomiales
Funciones y modelos cuadráticos 126
Funciones polinomiales de grado superior 136
División de polinomios y sintética 150
Números complejos 159
Ceros de funciones polinomiales 166
Funciones racionales 181
Desigualdades no lineales 194
Resumen del capítulo 204
Ejercicios de repaso 206
Examen del capítulo 210
Demostraciones en matemáticas 211
Resolución de problemas 213
Funciones exponenciales y sus gráficas 216
Funciones logarítmicas y sus gráficas 227
Propiedades de los logaritmos 237
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 244
Modelos exponenciales y logarítmicos 255
Resumen del capítulo 268
Ejercicios de repaso 270
Examen del capítulo 273
Examen acumulativo para los capítulos 1 a 3 274
Demostraciones en matemáticas 276
Resolución de problemas 277
Medidas en radianes y grados 280
Funciones trigonométricas: la circunferencia unitaria 292
Trigonometría del triángulo rectángulo 299
Funciones trigonométricas de cualquier ángulo 310
Gráficas de las funciones seno y coseno 319
Gráficas de otras funciones trigonométricas 330
Funciones trigonométricas inversas 341
Aplicaciones y modelos 351
Resumen del capítulo 362
Ejercicios de repaso 364
Examen del capítulo 367
Demostraciones en matemáticas 368
Resolución de problemas 369
Uso de identidades fundamentales 372
Comprobación de identidades trigonométricas 380
Solución de ecuaciones trigonométricas 387
Fórmulas de suma y diferencia 398
Fórmulas de ángulos múltiples y de producto a suma 405
Resumen del capítulo 416
Ejercicios de repaso 418
Examen del capítulo 421
Demostraciones en matemáticas 422
Resolución de problemas 425
Temas adicionales de trigonometría
Ley de los senos 428
Ley de los cosenos 437
Vectores en el plano 445
Vectores y producto punto 458
Forma trigonométrica de un número complejo 468
Resumen del capítulo 478
Ejercicios de repaso 480
Examen del capítulo 484
Examen acumulativo para los capítulos 4 a 6 485
Demostraciones en matemáticas 487
Resolución de problemas 491
Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 494
Sistemas lineales de dos variables 505
Sistemas lineales de varias variables 517
Fracciones parciales 530
Sistemas de desigualdades 538
Programación lineal 549
Resumen del capítulo 558
Ejercicios de repaso 560
Examen del capítulo 565
Demostraciones en matemáticas 566
Resolución de problemas 567
Matrices y sistemas de ecuaciones 570
Operaciones con matrices 584
Inversa de una matriz cuadrada 599
Determinante de una matriz cuadrada 608
Aplicaciones de matrices y determinantes 616
Resumen del capítulo 628
Ejercicios de repaso 630
Examen del capítulo 635
Demostraciones en matemáticas 636
Resolución de problemas 637
Sucesiones, series y probabilidad
Sucesiones y series 640
Sucesiones aritméticas y sumas parciales 651
Sucesiones geométricas y series 661
Inducción matemática 671
El teorema del binomio 681
Principios de conteo 689
Probabilidad 699
Resumen del capítulo 712
Ejercicios de repaso 714
Examen del capítulo 717
Examen acumulativo para los capítulos 7 a 9 718
Demostraciones en matemáticas 720
Resolución de problemas 723
10.1 Rectas 726
10.2 Introducción a las cónicas: parábolas 733
10.3 Elipses 742
10.4 Hipérbolas 751
10.5 Rotación de cónicas 761
10.6 Ecuaciones paramétricas 769
10.7 Coordenadas polares 777
10.8 Gráficas de ecuaciones polares 783
10.9 Ecuaciones polares de cónicas 791
Resumen del capítulo 798
Ejercicios de repaso 800
Examen del capítulo 803
Demostraciones en matemáticas 804
Resolución de problemas 807
Apéndice A Repaso de conceptos
fundamentales de álgebra
Números reales y sus propiedades A1
Exponentes y radicales A14
Polinomios y factorización A27
Expresiones racionales A39
Resolución de ecuaciones A49
Desigualdades lineales con una variable A63
Errores y el álgebra del cálculo A73
Respuestas a ejercicios impares y exámenes
Apéndice B Conceptos de estadística (web)
Medidas de tendencia central y dispersión centrales
Matrices y
La inversa de una matriz cuadrada
Se emplean matrices para modelar y
resolver una amplia variedad de problemas.
Por ejemplo, se pueden usar matrices para
Se usan matrices para modelar niveles
de inventario, redes eléctricas, carteras de
inversiones y otras situaciones reales. Por
ejemplo, se puede usar una matriz para
modelar el número de personas en Estados
Unidos que participan en patinaje sobre
nieve. (Vea Ejercicio 114, página 583.)
Graham Heywood/istockphoto.com
Hay numerosas carreras que usan matrices. A continuación veamos algunas de ellas.
• Cajera de banco
Ejercicio 110, página 582
• Propietario de pequeño negocio
Ejercicio 69-72, páginas 606 y 607
• Analista político
Ejercicio 70, página 597
Ejercicio 74, página 607
8.1 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
• Escribir matrices e identificar sus
• Realizar operaciones elementales
en renglones de matrices.
• Usar matrices y eliminación
gaussiana para resolver sistemas
• Usar matrices y eliminación de
Gauss-Jordan para resolver sistemas
En esta sección estudiaremos una técnica refinada para resolver sistemas de ecuaciones
lineales. Esta técnica comprende el uso de un arreglo rectangular de números reales llamado matriz.
Si m y n son enteros positivos, una matriz de m ⫻ n (léase “m por n”) es un
Columna 1 Columna 2 Columna 3 . . .Columna n
Por qué debe aprenderlo
Se pueden usar matrices para resolver
dos o más variables. Por ejemplo,
en el Ejercicio 113 de la página 582
usaremos una matriz para hallar un
modelo para la trayectoria de una
pelota lanzada por un jugador de
en el que cada elemento, a i j, de la matriz es un número. Una matriz de m ⫻ n
tiene m renglones y n columnas. Por lo general, las matrices se denotan con
El elemento en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna se denota con la notación de
doble subíndice a ij. Por ejemplo, a23 se refiera al elemento del segundo renglón, tercera columna. Se dice que una matriz que tiene m renglones y n columnas es de orden
m ⫻ n. Si m ⫽ n, la matriz es cuadrada de orden m ⫻ m 共o n ⫻ n兲. Para una matriz
cuadrada, los elementos a11, a22, a33, . . . son los de la diagonal principal.
Orden de matrices
Foto Agency/PhotoLibrary
Determine el orden de cada matriz.
b. 关1
a. 关2兴
Esta matriz tiene un renglón y una columna; su orden es 1 ⫻ 1.
Esta matriz tiene un renglón y cuatro columnas; su orden es 1 ⫻ 4.
Esta matriz tiene dos renglones y dos columnas; su orden es 2 ⫻ 2.
Esta matriz tiene tres renglones y dos columnas; su orden es 3 ⫻ 2.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 9.
Una matriz que tiene sólo un renglón se denomina matriz renglón; una matriz que
tiene sólo una columna recibe el nombre de matriz columna.
Una matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales (cada una escrita en
forma estándar con el término constante a la derecha) es la matriz aumentada del sistema. Además, la matriz derivada de los coeficientes del sistema (pero que no incluye
los términos constantes) es la matriz de coeficientes del sistema.
Los puntos verticales en una
matriz aumentada separan los
coeficientes del sistema lineal
de los términos constantes.
x ⫺ 4y ⫹ 3z ⫽ 5
⫺x ⫹ 3y ⫺ z ⫽ ⫺3
⫺ 4z ⫽ 6
1 ⫺4
3 ⫺1
. ⫺3
0 ⫺4
coeficientes: ⫺1
Observe el uso del 0 para el coeficiente faltante de la variable y en la tercera ecuación y también observe la cuarta columna de términos constantes en la matriz aumentada.
Cuando forme ya sea la matriz de coeficientes o la matriz aumentada de un sistema, debe empezar por alinear verticalmente las variables de las ecuaciones y usar ceros
para los coeficientes de las variables faltantes.
Escribir una matriz aumentada
Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones lineales.
x ⫹ 3y ⫺ w ⫽ 9
⫺y ⫹ 4z ⫹ 2w ⫽ ⫺2
x ⫺ 5z ⫺ 6w ⫽ 0
2x ⫹ 4y ⫺ 3z ⫽ 4
¿Cuál es el orden de la matriz aumentada?
Empiece por reescribir el sistema lineal y alinear las variables.
x ⫹ 3y
⫺ w⫽ 9
⫺ 5z ⫺ 6w ⫽ 0
2x ⫹ 4y ⫺ 3z
⫽ 4
A continuación, use los coeficientes y términos constantes como entradas de la matriz.
Incluya ceros para los coeficientes de las variables faltantes.
0 ⫺1
.. ⫺2
R2 0 ⫺1
0 ⫺5 ⫺6
4 ⫺3
La matriz aumentada tiene cuatro renglones y cinco columnas, de modo que es una
matriz de 4 ⫻ 5. La notación Rn se usa para designar cada renglón de la matriz. Por
ejemplo, el renglón 1 está representado por R1.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 17.
Operaciones elementales de renglones
En la sección 7.3 estudiamos tres operaciones que se pueden usar en un sistema de
ecuaciones lineales para producir un sistema equivalente.
3. Sumar un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.
En terminología de matrices, estas tres operaciones corresponden a operaciones elementales de renglones. Una operación elemental de renglón, en una matriz aumentada
de un sistema determinado de ecuaciones lineales, produce una nueva matriz aumentada correspondiente a un nuevo (pero equivalente) sistema de ecuaciones lineales. Dos
matrices son equivalentes por renglones si una se puede obtener de la otra por una
sucesión de operaciones elementales de renglón.
Operaciones elementales de renglón
1. Intercambiar dos renglones.
2. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.
3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
Aunque las operaciones elementales de renglón son fáciles de realizar, suponen
buena cantidad de aritmética. Como es fácil cometer un error, se debe tener el hábito de
observar las operaciones elementales de renglón realizadas en cada paso, de modo que
se pueda regresar y revisar el trabajo.
Casi todas las calculadoras
de gráficas pueden realizar
operaciones elementales de
renglón de matrices. Consulte las
secuencias de tecleo específicas
en la guía del usuario de su
Una vez realizada una
operación de renglón, la nueva
matriz equivalente aparece
en la pantalla de la calculadora
de gráficas en la variable
answer (respuesta). Usted debe
usar la variable answer y
no la matriz original para
subsiguientes operaciones
de renglón.
a. Intercambiar los renglones primero y segundo de la matriz original.
Nueva matriz por renglones equivalente
el primer renglón de la matriz original.
R2 ⫺1
2 R1 →
c. Sumar ⫺2 veces el primer renglón de la matriz original al tercer renglón.
⫺2R1 ⫹ R3 → 0
Observe que la operación elemental de renglón se escribe junto al renglón que está cambiado.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 37.
En el ejemplo 3 de la sección 7.3 usamos eliminación gaussiana con sustitución
hacia atrás para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El siguiente ejemplo demuestra la versión matricial de la eliminación gaussiana; los dos métodos son iguales en esencia y la diferencia básica es que con matrices no es necesario seguir escribiendo las variables.
Es frecuente cometer errores
aritméticos al hacer operaciones
elementales de renglón. Observe
la operación realizada en cada
paso para regresar y revisar el
Comparar sistemas lineales y operaciones con matrices
Sume la primera ecuación
x ⫺ 2y ⫹ 3z ⫽ 9
y ⫹ 3z ⫽ 5
2x ⫺ 5y ⫹ 5z ⫽ 17
Sume ⫺2 veces la primera
ecuación a la tercera.
⫺y ⫺ z ⫽ ⫺1
Sume la segunda ecuación
Recuerde que se debe verificar
una solución sustituyendo los
valores de x, y y z en cada una
de las ecuaciones del sistema
original. Por ejemplo, se puede
comprobar la solución del ejemplo 4 como sigue.
1 ⫺ 2共⫺1兲 ⫹ 3共2兲 ⫽ 9
⫺1 ⫹ 3共⫺1兲 ⫽ ⫺4
2z ⫽ 4
Sume el primer renglón
al segundo 共R1 ⫹ R 2 兲.
1 ⫺2
R1 ⫹ R2 → 0
2 ⫺5
Sume ⫺2 veces el primer
共⫺2R1 ⫹ R3兲.
⫺2R1 ⫹ R3 → 0 ⫺1 ⫺1
Sume el segundo renglón
al tercero 共R2 ⫹ R3兲.
R2 ⫹ R3 → 0
Multiplique la tercera
ecuación por 12.
z⫽2
y ⫹ 3共2兲 ⫽ 5
y ⫽ ⫺1
x ⫺ 2共⫺1兲 ⫹ 3共2兲 ⫽ 9
Multiplique el tercer renglón
por 12 共12R3兲.
2 R3 → 0
En este punto, se puede usar sustitución hacia atrás para hallar x y y.
2共1兲 ⫺ 5共⫺1兲 ⫹ 5共2兲 ⫽ 17
Matriz aumentada asociada
. ⫺4
⫺x ⫹ 3y
⫽ ⫺4
Sustituir 2 por z.
Sustituir ⫺1 por y y 2 por z.
La solución es x ⫽ 1, y ⫽ ⫺1 y z ⫽ 2.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 39.
Se dice que la última matriz del Ejemplo 4 está en forma escalonada por renglones.
El término escalonada se refiere al escalón formado por los elementos diferentes de cero
de la matriz. Para estar en esta forma, una matriz debe tener las siguientes propiedades.
Forma escalonada por renglones y
forma escalonada por renglones reducida
Una matriz en forma escalonada por renglones tiene las siguientes propiedades.
1. Cualesquier renglones formados enteramente de ceros se presentan en la parte
inferior de la matriz.
2. Por cada renglón que no esté formado enteramente de ceros, la primera
entrada diferente de cero es 1 (llamado 1 inicial).
3. Para dos renglones sucesivos (diferentes de cero), el 1 inicial del reglón más
alto está más a la izquierda que el 1 inicial del renglón más bajo.
Una matriz en forma escalonada por renglones está en forma escalonada por
renglones reducida si toda columna que tenga un 1 inicial tiene ceros en toda
posición arriba y abajo del 1 inicial.
Merece la pena observar que la forma escalonada por renglones de una matriz no es
única. Esto es, dos sucesiones diferentes de operaciones elementales de renglón pueden
dar diferentes formas escalonadas por renglones, pero la forma escalonada por renglones reducida de una matriz determinada es única.
Determine si cada matriz está en forma escalonada por renglones. Si lo está, determine
si la matriz está en forma escalonada por renglones reducida.
Las matrices en (a), (c), (d) y (f) están en forma escalonada por renglones. Las matrices
en (d) y (f) están en forma escalonada por renglones reducida porque toda columna que
tiene un 1 inicial tiene ceros en toda posición arriba y debajo de su 1 inicial. La matriz en
(b) no está en forma escalonada por renglones porque un renglón formado de ceros no se
presenta en la parte inferior. La matriz en (e) no está en forma escalonada por renglones
porque el primer elemento diferente de cero en el renglón 2 no es un 1 inicial.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 41.
Toda matriz es equivalente por renglones a una matriz en forma escalonada por renglones. Por citar un caso, en el Ejemplo 5 se puede cambiar la matriz del inciso (e) a la
forma escalonada por renglones multiplicado por 12 su segundo renglón.
Eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás
La eliminación gaussina con sustitución hacia atrás funciona bien para resolver sistemas de ecuaciones lineales manualmente o con computadora. Para este algoritmo, es
importante el orden en el que se ejecuten las operaciones elementales de renglón. Se
debe trabajar de izquierda a derecha por columnas, usando operaciones elementales de
renglón para obtener ceros en todas las entradas directamente debajo de los números 1
y ⫹ z ⫺ 2w ⫽ ⫺3
x ⫹ 2y ⫺ z
2x ⫹ 4y ⫹ z ⫺ 3w ⫽ ⫺2
x ⫺ 4y ⫺ 7z ⫺ w ⫽ ⫺19
⫺R1 ⫹ R4 → 0
6R2 ⫹ R4 → 0
3 ⫺3
0 ⫺13
⫺ 13R4 → 0
Escribir la matriz aumentada.
Intercambie R1 y R2 de modo que la
primera columna tenga un 1 inicial
Ejecute operaciones en R3 y R4 de
modo que la primera columna tenga
ceros debajo de su 1 inicial.
Ejecute operaciones en R4 de modo
que la segunda columna tenga
Realice operaciones en R3 y R4
de modo que la tercera y cuarta
columnas tengan números 1 iniciales.
La matriz está ahora en forma escalonada por renglones y el sistema correspondiente es
y ⫹ z ⫺ 2w
z⫺ w
⫽ ⫺3
Usando sustitución hacia atrás, se puede determinar que la solución es x ⫽ ⫺1, y ⫽ 2,
z ⫽ 1 y w ⫽ 3.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 63.
El procedimiento para usar eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás se
resume a continuación.
1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales.
2. Use operaciones elementales de renglón para reescribir la matriz aumentada
3. Escriba el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la matriz en forma
escalonada por renglones, y use sustitución hacia atrás para hallar la solución.
Cuando resuelva un sistema de ecuaciones lineales, recuerde que es posible que no
tenga solución. Si, en el proceso de eliminación, obtiene usted un renglón todo de ceros
excepto para el último elemento, no es necesario continuar. Simplemente se puede concluir
que el sistema no tiene solución, o que es inconsistente.
Un sistema sin solución
⫹ z⫽6
2x ⫺ 3y ⫹ 5z ⫽ 4
⫺R1 ⫹ R2 → 0
⫺3R1 ⫹ R4 → 0
. ⫺11
. ⫺2
Escribir la matriz aumentada
Realizar operaciones de renglón
Nótese que el tercer renglón de esta matriz está formado enteramente por ceros, excepto para la última entrada. Esto significa que el sistema original de ecuaciones lineales
es inconsistente. Se puede ver por qué esto es cierto al convertir de nuevo a un sistema
x ⫺ y ⫹ 2z ⫽
y⫺ z⫽
0 ⫽ ⫺2
5y ⫺ 7z ⫽ ⫺11
Como la tercera ecuación no es posible, el sistema no tiene solución.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 81.
Con la eliminación gaussiana se aplican operaciones elementales de renglón a una matriz para obtener una forma escalonada por renglones (equivalente de renglón) de la
matriz. Un segundo método de eliminación, llamado eliminación de Gauss-Jordan, en
honor a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan (1842-1899), continúa el proceso de
reducción hasta obtener una forma escalonada por renglones reducida. Este procedimiento se demuestra en el Ejemplo 8.
Para una demostración de un
planteamiento gráfico de la
en una matriz de 2 ⴛ 3, vea el
programa de visualización de
operaciones de renglones,
de calculadoras de gráficas, en
el sitio web para este texto en
La ventaja de usar eliminación
de Gauss-Jordan para resolver
lineales es que la solución del
sistema se encuentra fácilmente
sin usar sustitución hacia atrás,
como se ilustra en el Ejemplo 8.
Use eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema
⫽ ⫺4.
En el Ejemplo 4 se utilizó eliminación gaussiana para obtener la forma escalonada por
renglones del sistema lineal citado líneas antes.
Ahora, aplique operaciones elementales de renglón hasta obtener ceros arriba de cada
uno de los 1 iniciales, como sigue.
2R2 ⫹ R1 → 1
Realizar operaciones en R1 de modo
que la segunda columna tenga un
cero arriba de su 1 inicial.
⫺9R3 ⫹ R1 → 1
Realizar operaciones en R1 y R2 de
que la tercera columna tenga
⫺3R3 ⫹ R2 → 0
. ⫺1
ceros arriba de su 1 inicial.
Esta matriz está ahora reducida a forma escalonada por renglones. Convirtiendo de
nuevo a un sistema de ecuaciones lineales, tenemos
x ⫽ 1
y ⫽ ⫺1.
z ⫽ 2
Ahora se puede simplemente leer la solución, x ⫽ 1, y ⫽ ⫺1 y z ⫽ 2, que se puede
escribir como la terna ordenada 共1, ⫺1, 2兲.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 71.
Los procedimientos de eliminación descritos en esta sección a veces resultan en coeficientes fraccionarios. Por ejemplo, en el procedimiento de eliminación para el sistema
3x ⫺ 2y ⫹ 3z ⫽ 11
⫺3x ⫹ 3y
⫽ ⫺6
uno puede estar inclinado a multiplicar el primer renglón por 12 para producir un 1 inicial, lo cual resulta en trabajar con coeficientes fraccionarios. A veces se pueden evitar
fracciones si se selecciona juiciosamente el orden en el que se aplican operaciones elementales de renglones.
Recuerde del Capítulo 7 que cuando hay menos ecuaciones que variables en un sistema de ecuaciones, entonces éste no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones.
Un sistema con un número infinito de soluciones
Resuelva el sistema.
2x ⫹ 4y ⫺ 2z ⫽ 0
冦3x ⫹ 5y
冤3
⫹ R → 冤0
⫺R → 冤 0
⫺2R2 ⫹ R1 → 1
⫺3R1
El correspondiente sistema de ecuaciones es
x ⫹ 5z ⫽
冦 y ⫺ 3z ⫽ ⫺1.
Despejando x y y en términos de z, tenemos
x ⫽ ⫺5z ⫹ 2
y ⫽ 3z ⫺ 1.
Para escribir una solución del sistema que no use ninguna de las tres variables del sistema, con a represente cualquier número real y sea
En el Ejemplo 9, x y y se
despejan en términos de la
tercera variable, z. Para escribir
una solución del sistema que no
use ninguna de las tres variables
del sistema, con a represente
cualquier número real y sea
z ⫽ a. Entonces despeje x y y.
La solución se puede escribir
en términos de a, que no es una
de las variables del sistema.
z ⫽ a.
A continuación sustituya a por z en las ecuaciones para x y y.
x ⫽ ⫺5z ⫹ 2 ⫽ ⫺5a ⫹ 2
y ⫽ 3z ⫺ 1 ⫽ 3a ⫺ 1
Entonces, el conjunto solución se puede escribir como una terna ordenada con la forma
共⫺5a ⫹ 2, 3a ⫺ 1, a兲
donde a es cualquier número real. Recuerde que un conjunto solución de esta forma representa un número infinito de soluciones. Trate de sustituir valores para a para obtener algunas de ellas. A continuación verifique cada una de las soluciones en el sistema
original de ecuaciones.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 79.
En www.CalcChat.com vea las soluciones a los ejercicios impares.
VOCABULARIO: Llene los espacios en blanco.
1. Un arreglo rectangular de números reales que se puede usar para resolver un sistema de ecuaciones lineales
se denomina ________.
2. Una matriz es ________ si el número de renglones es igual al número de columnas.
3. Para una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33, . . . , ann son los ________ de la ________.
4. Una matriz con sólo un renglón se llama matriz ________ y una con sólo una columna se llama matriz ________.
5. La matriz derivada de un sistema de ecuaciones lineales se llama matriz ________ del sistema.
6. La matriz derivada de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales se llama matriz ________ del sistema.
7. Dos matrices se llaman ________ si una de ellas se puede obtener de la otra por una sucesión de operaciones
elementales de renglón.
8. Una matriz en forma escalonada por renglones está en ________ ________ ________ si toda columna que tenga
un 1 inicial tiene ceros en toda posición arriba y abajo de su 1 inicial.
HABILIDADES Y APLICACIONES
En los Ejercicios 9-14, determine el orden de la matriz.
9. 关 7
0兴
10. 关 5 ⫺3
⫺3 7 15
0 ⫺5
7兴
En los Ejercicios 15-20, escriba la matriz aumentada para el
4x ⫺ 3y ⫽ ⫺5
16. 7x ⫹ 4y ⫽ 22
5x ⫺ 9y ⫽ 15
x ⫹ 10y ⫺ 2z ⫽ 2 18. ⫺x ⫺ 8y ⫹ 5z ⫽ 8
⫺7x
⫺ 15z ⫽ ⫺38
5x ⫺ 3y ⫹ 4z ⫽ 0
⫹ 8z ⫽ 20
2x ⫹ y
19. 7x ⫺ 5y ⫹ z ⫽ 13 20. 9x ⫹ 2y ⫺ 3z ⫽ 20
⫺ 8z ⫽ 10
⫺25y ⫹ 11z ⫽ ⫺5
冦⫺x ⫹ 3y ⫽
En los Ejercicios 21-26, escriba el sistema de ecuaciones lineales representado por la matriz aumentada. (Use variables
x, y, z y w, si es aplicable.)
⯗ 7
⯗ 4
5 ⯗ ⫺12
23. 0 1 ⫺2 ⯗
0 ⯗
4 ⫺5 ⫺1 ⯗
6 ⯗
24. ⫺11
0 ⯗ ⫺29
冤12
⯗ 0
⯗ ⫺2冥
7 ⫺8
2 ⫺1 ⫺5
⫺1 ⫺10
1 ⫺11
⯗ 10
⯗ ⫺4
⯗ ⫺10
⯗ ⫺25
⯗ 23
⯗ ⫺21
En los Ejercicios 27-34, llene los espacios en blanco usando
operaciones elementales de renglón para formar una matriz
equivalente de renglones.
冤2
冤0
冤5
冤10
冤 18
冤181
冤4
冥 冤
32. 0 ⫺1
0 ⫺1 3
0 1 0 䊏
0 0 1 䊏
䊏 䊏冥
⫺1 ⫺3
䊏䊏䊏
En los Ejercicios 35-38, identifique la(s) operación(es) elementales de renglón que se realizan para obtener la nueva
matriz equivalente de renglón.
3 ⫺1 ⫺8
Nueva matriz equivalente
0 ⫺39
3 ⫺1 ⫺4
0 ⫺1 ⫺5
37. ⫺1
3 ⫺7
4 ⫺5
7 ⫺27 27
⫺1 ⫺2
3 ⫺2
0 ⫺9
7 ⫺11
0 ⫺6
8 ⫺4
1 ⫺7
4 ⫺7 6
39. Realice la secuencia de operaciones de renglón en la
matriz. ¿Qué llevaron a cabo las operaciones?
2 ⫺1 ⫺4
1 ⫺1
(a) Sume ⫺2 veces R1 a R2.
(b) Sume ⫺3 veces R1 a R3.
(c) Sume ⫺1 veces R2 a R3.
(d) Multiplique R2 por ⫺ 15.
(e) Sume ⫺2 veces R2 a R1.
40. Realice la secuencia de operaciones en la matriz. ¿Qué
llevaron a cabo las operaciones?
Sume R3 a R4.
Intercambie R1 y R4.
Sume 3 veces R1 a R3.
Sume ⫺7 veces R1 a R4.
Multiplique R2 por 12.
Sume los múltiplos apropiados de R2 a R1, R3 y R4.
En los Ejercicios 41-44, determine si la matriz está en forma
escalonada por renglones. Si así es, determine si también está
en forma escalonada por renglones reducida.
En los Ejercicios 45-48, escriba la matriz en forma escalonada
por renglones. (Recuerde que la forma escalonada por renglones de una matriz no es única.)
45. ⫺2
48. ⫺3
En los Ejercicios 49-54, use la capacidad matricial de una calculadora de gráficas para escribir la matriz en forma escalonada por renglones reducida.
49. ⫺1
⫺10 ⫺30
冤⫺1
10 ⫺32
En los Ejercicios 55-58, escriba el sistema de ecuaciones lineales representado por la matriz aumentada. A continuación, use sustitución hacia atrás para resolver. (Use variables
x, y y z, si es aplicable.)
En los Ejercicios 59-62, una matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones lineales (con variables x, y y z, si
es aplicable) ha sido reducido usando eliminación de GaussJordan. Escriba la solución representada por la matriz aumentada.
En los Ejercicios 63-84, use matrices para resolver el sistema
de ecuaciones (si es posible). Use eliminación gaussiana con
sustitución hacia atrás o eliminación de Gauss-Jordan.
x ⫹ 2y ⫽ 7
64. 2x ⫹ 6y ⫽ 16
2x ⫹ 3y ⫽ 7
66. ⫺x ⫹ y ⫽
2x ⫺ 4y ⫽ ⫺34
5x ⫺ 5y ⫽ ⫺5
⫺2x ⫺ 3y ⫽ 7
x ⫺ 3y ⫽
⫺2x ⫹ 6y ⫽ ⫺10
⫺ 3z ⫽ ⫺2
72. 2x ⫺ y ⫹ 3z ⫽ 24
3x ⫹ y ⫺ 2z ⫽ 5
2y ⫺ z ⫽ 14
2x ⫹ 2y ⫹ z ⫽ 4
7x ⫺ 5y
⫽ 6
⫺x ⫹ y ⫺ z ⫽ ⫺14 74. 2x ⫹ 2y ⫺ z ⫽
2x ⫺ y ⫹ z ⫽ 21
x ⫺ 3y ⫹ z ⫽ ⫺28
3x ⫹ 2y ⫹ z ⫽ 19
⫺x ⫹ y
⫽ 14
x ⫹ 2y ⫺ 3z ⫽ ⫺28 76. 3x ⫺ 2y ⫹ z ⫽ 15
4y ⫹ 2z ⫽
⫺x ⫹ y ⫹ 2z ⫽ ⫺10
⫺x ⫹ y ⫺ z ⫽ ⫺5
x ⫺ y ⫺ 4z ⫽ 14
78. x ⫹ 2y ⫽ 0
x ⫹ 2y ⫽ 0
⫺x ⫺ y ⫽ 0
2x ⫹ 4y ⫽ 0
冦2x ⫹ y ⫽ 8
65. 3x ⫺ 2y ⫽ ⫺27
冦 x ⫹ 3y ⫽ 13
67. ⫺2x ⫹ 6y ⫽ ⫺22
冦 x ⫹ 2y ⫽ ⫺9
69. 8x ⫺ 4y ⫽ 7
冦5x ⫹ 2y ⫽ 1
79. x ⫹ 2y ⫹ z ⫽ 8
冦3x ⫹ 7y ⫹ 6z ⫽ 26
⫺x ⫹ y ⫽ ⫺22
3x ⫹ 4y ⫽
4x ⫺ 8y ⫽ 32
3x ⫹ 2y ⫺ z ⫹ w
x ⫺ y ⫹ 4z ⫹ 2w
⫺2x ⫹ y ⫹ 2z ⫺ w
x⫹ y⫹ z⫹ w
80. x ⫹ y ⫹ 4z ⫽ 5
冦2x ⫹ y ⫺ z ⫽ 9
⫽ 0
⫽ 25
x⫹ y⫽6
3x ⫺ 2y ⫽ 8
x ⫺ 4y ⫹ 3z ⫺ 2w ⫽
3x ⫺ 2y ⫹ z ⫺ 4w ⫽ ⫺13
⫺4x ⫹ 3y ⫺ 2z ⫹ w ⫽ ⫺4
⫺2x ⫹ y ⫺ 4z ⫹ 3w ⫽ ⫺10
En los Ejercicios 85-90, use la capacidad matricial de una calculadora de gráficas para reducir la matriz aumentada correspondiente al sistema de ecuaciones, y resuelva el sistema.
3x ⫹ 3y ⫹ 12z ⫽ 6 86.
x ⫹ y ⫹ 4z ⫽ 2
2x ⫹ 5y ⫹ 20z ⫽ 10
⫺x ⫹ 2y ⫹ 8z ⫽ 4
2x ⫹ 10y ⫹ 2z ⫽ 6
x ⫹ 5y ⫹ 2z ⫽ 6
x ⫹ 5y ⫹ z ⫽ 3
⫺3x ⫺ 15y ⫺ 3z ⫽ ⫺9
2x ⫹ y ⫺ z ⫹ 2w ⫽ ⫺6
3x ⫹ 4y
⫹ w⫽ 1
x ⫹ 5y ⫹ 2z ⫹ 6w ⫽ ⫺3
5x ⫹ 2y ⫺ z ⫺ w ⫽ 3
x ⫹ 2y ⫹ 2z ⫹ 4w ⫽ 11
3x ⫹ 6y ⫹ 5z ⫹ 12w ⫽ 30
x ⫹ 3y ⫺ 3z ⫹ 2w ⫽ ⫺5
6x ⫺ y ⫺ z ⫹ w ⫽ ⫺9
x⫹ y⫹z⫹ w⫽0
2x ⫹ 3y ⫹ z ⫺ 2w ⫽ 0
3x ⫹ 5y ⫹ z
x ⫹ 2y ⫹ z ⫹ 3w ⫽ 0
x⫺ y
⫹ w⫽0
y ⫺ z ⫹ 2w ⫽ 0
En los Ejercicios 91-94, determine si los dos sistemas de ecuaciones lineales dan la misma solución. Si es así, encuéntrela
usando matrices.
x ⫺ 2y ⫹ z ⫽ ⫺6
y ⫺ 5z ⫽ 16
z ⫽ ⫺3
x ⫺ 3y ⫹ 4z ⫽ ⫺11 (b)
y ⫺ z ⫽ ⫺4
x ⫺ 4y ⫹ 5z ⫽ 27 (b)
y ⫺ 7z ⫽ ⫺54
x ⫹ 3y ⫺ z ⫽ 19 (b)
y ⫹ 6z ⫽ ⫺18
z ⫽ ⫺4
x ⫹ y ⫺ 2z ⫽ 6
y ⫹ 3z ⫽ ⫺8
x ⫹ 4y
⫽ ⫺11
y ⫹ 3z ⫽
x ⫺ 6y ⫹ z ⫽ 15
y ⫹ 5z ⫽ 42
z⫽ 8
x ⫺ y ⫹ 3z ⫽ ⫺15
y ⫺ 2z ⫽ 14
En los Ejercicios 95-98, use un sistema de ecuaciones para
hallar la función cuadrática f 冇x冈 ⴝ ax2 ⴙ bx ⴙ c que satisfaga las ecuaciones. Resuelva el sistema usando matrices.
95. f 共1兲 ⫽ 1, f 共2兲 ⫽ ⫺1, f 共3兲 ⫽ ⫺5
96. f 共1兲 ⫽ 2, f 共2兲 ⫽ 9, f 共3兲 ⫽ 20
97. f 共⫺2兲 ⫽ ⫺15, f 共⫺1兲 ⫽ 7, f 共1兲 ⫽ ⫺3
98. f 共⫺2兲 ⫽ ⫺3, f 共1兲 ⫽ ⫺3, f 共2兲 ⫽ ⫺11
En los Ejercicios 99-102, use un sistema de ecuaciones para
hallar la función f 冇x冈 ⴝ ax3 ⴙ bx2 ⴙ cx ⴙ d que satisfaga las
ecuaciones. Resuelva el sistema usando matrices.
99. f 共⫺1兲 ⫽ ⫺5
f 共1兲 ⫽ ⫺1
f 共2兲 ⫽ 1
f 共3兲 ⫽ 11
101. f 共⫺2兲 ⫽ ⫺7
f 共⫺1兲 ⫽ 2
f 共1兲 ⫽ ⫺4
f 共2兲 ⫽ ⫺7
100. f 共⫺1兲 ⫽ 4
f 共1兲 ⫽ 4
f 共2兲 ⫽ 16
f 共3兲 ⫽ 44
102. f 共⫺2兲 ⫽ ⫺17
f 共⫺1兲 ⫽ ⫺5
f 共1兲 ⫽ 1
f 共2兲 ⫽ 7
103. Use el sistema
x ⫹ 3y ⫹ z ⫽ 3
x ⫹ 5y ⫹ 5z ⫽ 1
2x ⫹ 6y ⫹ 3z ⫽ 8
para escribir dos matrices diferentes en forma escalonada por renglones que den la misma solución.
104. RED ELÉCTRICA Las corrientes en una red eléctrica
están dadas por la solución del sistema
I1 ⫺ I2 ⫹ I3 ⫽ 0
3I1 ⫹ 4I2
⫽ 18
I2 ⫹ 3I3 ⫽ 6
donde I1, I 2 e I3 se miden en amperes. Resuelva el sistema de ecuaciones usando matrices.
105. FRACCIONES PARCIALES Use un sistema de ecuaciones para escribir la descomposición en fracciones
parciales de la expresión racional. Resuelva el sistema
共x ⫹ 1兲 2共x ⫺ 1兲 x ⫺ 1 x ⫹ 1 共x ⫹ 1兲2
106. FRACCIONES PARCIALES Use un sistema de ecuaciones para escribir la descomposición en fracciones
共x ⫺ 1兲2共x ⫹ 1兲 x ⫹ 1 x ⫺ 1 共x ⫺ 1兲2
107. FINANZAS Una pequeña fábrica de calzado solicitó
en préstamo $1 500 000 para expandir su línea de calzado. Parte del dinero se pidió al 7%, parte al 8% y parte
al 10%. Use un sistema de ecuaciones para determinar
cuánto fue solicitado en préstamo a cada una de las
tasas, si el interés anual fue de $130 500 y la cantidad
obtenida en préstamo al 10% fue 4 veces la obtenida al
7%. Resuelva el sistema usando matrices.
108. FINANZAS Una pequeña corporación fabricante de
software solicitó en préstamo $500 000 para expandir su
línea de programas. Parte del dinero se pidió al 9%, parte
al 10% y parte al 12%. Use un sistema de ecuaciones para
determinar cuánto fue solicitado en préstamo a cada una
de las tasas, si el interés anual fue de $52 000 y la cantidad obtenida en préstamo al 10% fue 212 veces la cantidad
obtenida al 9%. Resuelva el sistema usando matrices.
109. PROPINAS Un empleado de restaurante examina la
cantidad de dinero ganada en propinas después de trabajar un turno de 8 horas. El empleado tiene un total de $95
en billetes de denominaciones de $1, $5, $10 y $20. El
número total de billetes es de 26. El número de billetes
de $5 es 4 veces el número de billetes de $10 y el número de billetes de $1 es 1 menos que el doble del número
de billetes de $5. Escriba un sistema de ecuaciones lineales para representar la situación. A continuación, use
matrices para hallar el número de cada denominación.
110. BANCA Una cajera de un banco está contando la cantidad total de dinero en cada cajón de dinero al final de
un turno. Hay un total de $2600 en billetes de denominaciones de $1, $5, $10 y $20. El número total de billetes
es 235. El número de billetes de $20 es el doble de los de
$1 y el número de billetes de $5 es 10 más que el número de billetes de $1. Escriba un sistema de ecuaciones
lineales que represente la situación. A continuación, use
En los Ejercicios 111 y 112, use un sistema de ecuaciones para
hallar la ecuación de la parábola y ⴝ ax 2 ⴙ bx ⴙ c que pase
por los puntos. Resuelva el sistema usando matrices. Use una
calculadora de gráficas para verificar sus resultados.
113. MODELAJE MATEMÁTICO Un vídeo de la trayectoria
de una pelota lanzada por un jugador de béisbol es analizado con una cuadrícula que cubre la pantalla del monitor. La cinta fue sometida a pausa tres veces y la posición
de la pelota se midió en cada una de ellas. Las coordenadas obtenidas se muestran en la tabla. (x y y se midieron
en pies.)
Distancia horizontal, x
Altura, y
(a) Use un sistema de ecuaciones para hallar la
ecuación de la parábola y ⫽ ax 2 ⫹ bx ⫹ c que
pasa por los tres puntos. Resuelva el sistema usando
(b) Use calculadora de gráficas para graficar la parábola.
(c) Gráficamente, aproxime la altura máxima de la
pelota y el punto en el que ésta toca el suelo.
(d) Analíticamente, encuentre la altura máxima de la
pelota y el punto en el que toca el suelo.
(e) Compare sus resultados de los incisos (c) y (d).
114. ANÁLISIS DE DATOS: PATINADORES EN NIEVE La
tabla siguiente muestra el número y de personas (en
millones), en Estados Unidos, que participaron en patinaje sobre nieve en años seleccionados de 2003 a 2007.
(Fuente: National Sporting Goods Association)
ANÁLISIS DE REDES En los Ejercicios 115 y 116, conteste
las preguntas acerca de la red especificada. (En una red se
supone que la corriente total que entra en cada unión es igual
a la corriente total que sale de ella.)
115. El agua que entra en una red de tubos (en miles de metros cúbicos por hora) se muestra en la figura.
(a) Resuelva este sistema usando matrices para el flujo
de tráfico representado por xi , i ⫽ 1, 2, . . . , 5.
(b) Encuentre el flujo de tráfico cuando x 2 ⫽ 200 y
x 3 ⫽ 50.
(c) Encuentre el flujo de tráfico cuando x 2 ⫽ 150 y
x 3 ⫽ 0.
¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 117 y 118,
determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su
0 ⫺2
es una matriz de 4 ⫻ 2.
118. El método de eliminación gaussiana reduce una matriz
hasta obtener una forma escalonada por renglones reducida.
119. PIÉNSELO La matriz aumentada siguiente representa
el sistema de ecuaciones lineales (con variables x, y y z)
que se ha reducido usando eliminación de GaussJordan. Escriba un sistema de ecuaciones con coeficientes diferentes de cero que esté representado por la
matriz reducida. (Hay numerosas respuestas correctas.)
120. PIÉNSELO
(a) Describa la forma escalonada por renglones de una
matriz aumentada que corresponda a un sistema de
ecuaciones lineales que sea inconsistente.
(b) Describa la forma escalonada por renglones de
una matriz aumentada que corresponda a un sistema de ecuaciones lineales que tenga un número
infinito de soluciones.
121. Describa las tres operaciones elementales de renglones
que puedan efectuarse en una matriz aumentada.
116. El flujo de tráfico (en vehículos por hora) que pasa por
una red de calles se muestra en la figura.
ecuación de la parábola y ⫽ at 2 ⫹ bt ⫹ c que
pasa por los tres puntos. Con t represente el año,
con t ⫽ 3 correspondiente a 2003. Resuelva el sistema usando matrices.
(b) Use una calculadora de gráficas para graficar la
(c) Use la ecuación del inciso (a) para estimar el
número de personas que participaron en pruebas de
patinaje sobre nieve en 2009. ¿La respuesta le
parece razonable? Explique.
(d) ¿Piensa usted que la ecuación se puede usar para
los años mucho después de 2007? Explique.
(a) Resuelva este sistema usando matrices para el caudal de agua representado por xi , i ⫽ 1, 2, . . . , 7.
(b) Encuentre el patrón de caudal de agua cuando
x6 ⫽ 0 y x 7 ⫽ 0.
(c) Encuentre el patrón de caudal de agua cuando
x 5 ⫽ 400 y x6 ⫽ 500.
122. TOQUE FINAL Verbalmente, describa la diferencia
entre una matriz en forma escalonada por renglones y
una matriz en forma escalonada por renglones reducida.
Incluya un ejemplo de cada una para apoyar su explicación.
123. ¿Cuál es la relación entre las tres operaciones elementales de renglones realizadas en una matriz aumentada,
y las operaciones que llevan a sistemas equivalentes de
8.2 OPERACIONES CON MATRICES
• Determinar si dos matrices son
• Sumar y restar matrices y
multiplicar matrices por escalares.
• Multiplicar dos matrices
• Usar operaciones matriciales para
modelar y resolver problemas de la
Se pueden usar operaciones con
matrices para modelar y resolver
problemas de la vida real. Por
ejemplo, en el Ejercicio 76 en la
página 598 se usan operaciones con
matrices para analizar costos anuales
En la sección 8.1 utilizamos matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Hay
una rica teoría matemática de matrices y sus aplicaciones son numerosas. Esta sección y
las dos siguientes introducen algunos fundamentos de teoría de matrices. Es una convención matemática estándar representar matrices en cualquiera de las tres formas siguientes.
1. Una matriz puede denotarse con una letra mayúscula como A, B o C.
2. Una matriz puede denotarse con un elemente representativo encerrado en
corchetes, por ejemplo, 关aij 兴, 关bij 兴 o 关cij 兴.
3. Una matriz puede denotarse con un arreglo rectangular de números, como
a23 . . . a2n
A ⫽ 关aij 兴 ⫽ a31
a33 . . . a3n .
am3 . . . amn
Dos matrices A ⫽ 关aij 兴 y B ⫽ 关bij 兴 son iguales si tienen el mismo orden 共m ⫻ n兲 y
aij ⫽ bij para 1 ⱕ i ⱕ m y 1 ⱕ j ⱕ n. En otras palabras, dos matrices son iguales si
Identifique a11, a12, a21 y a22 en la siguiente ecuación matricial.
冤a
Como dos matrices son iguales si sus correspondientes entradas son iguales, se puede
a11 ⫽ 2, a12 ⫽ ⫺1,
a21 ⫽ ⫺3
a22 ⫽ 0.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 7.
Cerciórese de reconocer que para que dos matrices sean iguales deben tener el
mismo orden, además de que sus entradas deben ser las mismas. Por ejemplo,
冪4
4 ⫽
REPASO DE CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
A.1 NÚMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES
• Representar y clasificar números
• Ordenar números reales y usar
• Hallar los valores absolutos de
números reales y hallar la distancia
entre dos números reales.
• Evaluar expresiones algebraicas.
• Usar las reglas básicas y
propiedades de álgebra.
Se usan números reales en la vida diaria para describir cantidades como edad, millas
por galón y población. Los números reales se representan con símbolos tales como
⫺5, 9, 0, , 0.666 . . . , 28.21, 冪2, ␲ y 冪
⫺32.
A continuación veamos algunos subconjuntos importantes (cada número del subconjunto B es también miembro del conjunto A) de los números reales. Los tres puntos, llamados puntos suspensivos, indican que el patrón continúa indefinidamente.
再1, 2, 3, 4, . . .冎
再0, 1, 2, 3, 4, . . .冎
Se usan números reales para
representar muchas cantidades
de la vida real. Por ejemplo, en los
Ejercicios 83-88 en la página A12
usaremos números reales para
representar el déficit federal.
再. . . , ⫺3, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, 3, . . .冎
Conjunto de los números enteros positivos
Un número real es racional si se puede escribir como la razón p兾q entre dos enteros,
donde q ⫽ 0. Por ejemplo, los números
⫽ 0.3333 . . . ⫽ 0.3, ⫽ 0.125 y
⫽ 1.126126 . . . ⫽ 1.126
son racionales. La representación decimal de un número racional o bien se repite
共como en 173
55 ⫽ 3.145 兲 o termina 共como en 2 ⫽ 0.5兲. Un número real que no se pueda
escribir como la razón entre dos enteros se llama irracional. Los números irracionales
tienen representaciones decimales no periódicas (no repetitivas). Por ejemplo, los
冪2 ⫽ 1.4142135 . . . ⬇ 1.41
␲ ⫽ 3.1415926 . . . ⬇ 3.14
son irracionales. (El símbolo ⬇ significa “aproximadamente igual a”.) La figura A.1
muestra subconjuntos de los números reales y sus relaciones mutuas.
Clasificar números reales
Determine cuáles números del conjunto
no enteras
(positivas
y negativas)
冦⫺13, ⫺
冪5, ⫺1, ⫺ , 0, , 冪2, ␲, 7
son (a) números naturales, (b) números enteros positivos, (c) números enteros, (d) números racionales y (e) números irracionales.
A.1 Subconjuntos de los números
a. Números naturales: {7}
b. Números enteros positivos: {0, 7}
c. Números enteros: {⫺13, ⫺1, 0, 7}
d. Números racionales: ⫺13, ⫺1, ⫺ , 0, , 7
e. Números irracionales: 再 ⫺ 冪5, 冪2, ␲冎
Ahora trate de hacer el Ejercicio 11.
Los números reales se representan gráficamente sobre la recta de números reales.
Al trazar un punto sobre la recta de números reales que corresponda a un número real,
estamos graficando el número real. El punto 0 sobre la recta de números reales es el
origen. Los números a la derecha del 0 son positivos y a la izquierda son negativos,
como se ve en la Figura A.2. El término no negativo describe un número que es positivo o cero.
A.2 La recta de númeos reales
Como se ilustra en la Figura A.3, hay una correspondencia biunívoca entre números
reales y puntos sobre la recta de números reales.
Todo número real corresponde exactamente
a un punto sobre la recta de números reales.
Todo punto sobre la recta de números reales
corresponde exactamente a un número real.
A.3 Correspondencia biunívoca
Graficar puntos sobre la recta de números reales
Grafique los números reales sobre la recta de números reales.
a. ⫺
d. ⫺1.8
Los cuatro puntos se muestran en la figura A.4.
− 1.8 − 74
a. El punto que representa al número real ⫺ 74 ⫽ ⫺1.75 se encuentra entre ⫺2 y ⫺1,
pero más cercano a ⫺2, en la recta de números reales.
b. El punto que representa al número real 2.3 se encuentra entre 2 y 3, pero más cercano a 2, en la recta de números reales.
c. El punto que representa al número real 23 ⫽ 0.666 . . . se encuentra entre 0 y 1,
pero más cercano a 1, en la recta de números reales.
d. El punto que representa al número real ⫺1.8 se encuentra entre ⫺2 y ⫺1, pero más
cercano a ⫺2, en la recta de números reales. Observe que el punto que representa a
⫺1.8 está ligeramente a la izquierda del punto que representa a ⫺ 74.
Una propiedad importante de los números reales es que tienen un orden.
Definición del orden de la recta de números reales
Si a y b son números reales, a es menor que b si b ⫺ a es positivo. El orden de
a y b se denota con la desigualdad a ⬍ b. Esta relación también se puede describir diciendo que b es mayor que a y escribiendo b ⬎ a. La desigualdad a ⱕ b
significa que a es menor o igual que b y la desigualdad b ⱖ a significa que b es
mayor o igual que a. Los símbolos ⬍, ⬎, ⱕ y ⱖ son símbolos de desigualdad.
Geométricamente, esta definición implica que a ⬍ b si y sólo si a está a la izquierda de b en la recta de números reales, como se ve en la Figura A.5
A.5 a < b si y sólo si a está a la
izquierda de b.
a. ⫺3, 0
d. ⫺ , ⫺
c. Como 14 está a la izquierda de 13 en la recta de números reales, como se ve en la Figura
A.8, se puede decir que 14 es menor a 13, y escribimos 14 < 13.
− 12 − 15
a. Como ⫺3 está a la izquierda de 0 en la recta de números reales, como se ve en la
Figura A.6, se puede decir que ⫺3 es menor que 0, y escribimos ⫺3 ⬍ 0.
b. Como ⫺2 está a la derecha de ⫺4 en la recta de números reales, como se ve en la
Figura A.7, se puede decir que ⫺2 es mayor que ⫺4, y escribimos ⫺2 ⬎ ⫺4.
b. ⫺2, ⫺4
Ponga el símbolo de desigualdad apropiado (⬍ o ⬎) entre el par de números reales.
d. Como ⫺ 15 está a la derecha de ⫺ 12 en la recta de números reales, como se ve en la
Figura A.9, se puede decir que ⫺ 15 es mayor que ⫺ 12, y escribimos ⫺ 15 > ⫺ 12.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 25.
Interpretar las desigualdades
a. x ⱕ 2
b. ⫺2 ⱕ x < 3
a. La desigualdad x ⱕ 2 denota todos los números reales menores o iguales a 2, como
se ve en la Figura A.10.
b. La desigualdad ⫺2 ⱕ x ⬍ 3 significa que x ⱖ ⫺2 y x ⬍ 3. Esta “doble desigualdad”
denota todos los números reales entre ⫺2 y 3, incluido ⫺2 pero no 3, como se muestra
en la Figura A.11.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 31.
Se pueden usar desigualdades para describir subconjuntos de números reales llamados intervalos. En los intervalos acotados a continuación, los números reales a y b
son los puntos extremos de cada intervalo. Los puntos extremos de un intervalo cerrado están incluidos en él, en tanto que los puntos extremos de un intervalo abierto no
están incluidos en el él.
Intervalos acotados en la recta de números reales
关a, b兴
La razón por la que los cuatro
tipos de intervalos de la derecha
se llaman acotados es que cada
uno tiene una longitud finita. Un
intervalo que no tiene longitud
finita es no acotado (vea abajo).
Siempre que escribamos un
intervalo que contenga ⬁ o
⫺ ⬁, usamos invariablemente
un paréntesis y nunca corchetes.
Esto es porque ⬁ y ⫺ ⬁ nunca
son puntos extremos de un
intervalo y, por tanto, no
están incluidos en él.
共a, b兲
关a, b兲
a ⱕ x ⱕ b
a ⱕ x < b
共a, b兴
a < x ⱕ b
Los símbolos ⬁, infinito positivo, y ⫺⬁, infinito negativo, no representan
números reales. Simplemente son símbolos prácticos que se utilizan para describir lo
ilimitado de un intervalo como 共1, ⬁兲 o 共⫺ ⬁, 3兴.
Intervalos no acotados en la recta de números reales
关a, ⬁兲
共a, ⬁兲
x ⱖ a
共⫺ ⬁, b兴
x ⱕ b
共⫺ ⬁, b兲
共⫺ ⬁, ⬁兲
⫺⬁ < x <
Use notación de desigualdades para describir cada uno de lo siguiente.
a. c es como máximo 2.
b. m es al menos ⫺3.
c. Toda x en el intervalo 共⫺3, 5兴
a. El enunciado “c es a lo más 2” puede representarse con c ⱕ 2.
b. El enunciado “m es al menos ⫺3” puede representarse con m ⱖ ⫺3.
c. “Toda x en el intervalo (⫺3, 5]” puede representarse con ⫺3 < x ⱕ 5.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 45.
Dé una descripción verbal de cada uno de los intervalos siguientes.
a. 共⫺1, 0兲
b. 关 2, ⬁兲
c. 共⫺ ⬁, 0兲
a. Este intervalo está formado por todos los números reales que sean mayores a ⫺1 y
menores que 0
b. Este intervalo está formado por todos los números reales que sean mayores o iguales a 2.
c. Este intervalo está formado por todos los números reales negativos.
Valor absoluto y distancia
El valor absoluto de un número real es su magnitud, o sea la distancia entre el origen
y el punto que represente al número real en la recta de números reales
Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es
ⱍaⱍ ⫽ 冦⫺a,
si a ⱖ 0
Observe en esta definición que el valor absoluto de un número real nunca es negativo. Por ejemplo, si a ⫽ ⫺5, entonces ⫺5 ⫽ ⫺ 共⫺5兲 ⫽ 5. El valor absoluto de un
número real es positivo o cero. Además, 0 es el único número real cuyo valor absoluto
es 0. Así, 0 ⫽ 0.
ⱍ⫺4.3ⱍ ⫽ 4.3
Hallar valores absolutos
a. ⫺15 ⫽ 15
d. ⫺ ⫺6 ⫽ ⫺ 共6兲 ⫽ ⫺6
Ahora trate de hacer el Ejercicio 51.
Evaluar el valor absoluto de un número
ⱍxⱍ para (a) x > 0 y (b) x < 0.
a. Si x > 0, entonces x ⫽ x y
ⱍxⱍ ⫽ x ⫽ 1.
b. Si x < 0, entonces x ⫽ ⫺x y
ⱍxⱍ ⫽ ⫺x ⫽ ⫺1.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 59.
La ley de tricotomía dice que para cualesquier dos números reales a y b, precisamente una de tres relaciones es posible:
a ⫽ b,
Comparar números reales
Ponga el símbolo apropiado (<, >, o ⫽) entre el par de números reales.
ⱍ ⱍ䊏ⱍ3ⱍ
a. ⫺4
ⱍ䊏ⱍ10ⱍ
ⱍ ⱍ䊏ⱍ⫺7ⱍ
b. ⫺10
c. ⫺ ⫺7
ⱍ ⱍ ⱍⱍ
ⱍ ⱍ ⱍ ⱍ
a. ⫺4 > 3 porque ⫺4 ⫽ 4 y 3 ⫽ 3, y 4 es mayor a 3.
b. ⫺10 ⫽ 10 porque ⫺10 ⫽ 10 y 10 ⫽ 10.
c. ⫺ ⫺7 < ⫺7 porque ⫺ ⫺7 ⫽ ⫺7 y ⫺7 ⫽ 7, y ⫺7 es menor a 7.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 61.
Propiedades de valores absolutos
2. ⫺a ⫽ a
ⱍ ⱍ ⱍ ⱍⱍ ⱍ
1. a ⱖ 0
3. ab ⫽ a b
Se puede usar el valor absoluto para definir la distancia entre dos puntos en la recta
de números reales. Por ejemplo, la distancia entre ⫺3 y 5 es
ⱍaⱍ, b ⫽ 0
ⱍbⱍ
ⱍ⫺3 ⫺ 4ⱍ ⫽ ⱍ⫺7ⱍ
La distancia entre ⫺3 y 4
como se ve en la Figura A.12.
Distancia entre dos puntos en la recta de números reales
Sean a y b números reales. La distancia entre a y b es
d共a, b兲 ⫽ b ⫺ a ⫽ a ⫺ b .
Hallar una distancia
Encuentre la distancia entre ⫺25 y 13.
La distancia entre ⫺25 y 13 está dada por
ⱍ⫺25 ⫺ 13ⱍ ⫽ ⱍ⫺38ⱍ ⫽ 38.
Distancia entre ⫺25 y 13
La distancia también se puede hallar como sigue.
ⱍ13 ⫺ 共⫺25兲ⱍ ⫽ ⱍ38ⱍ ⫽ 38
Ahora trate de hacer el Ejercicio 67.
Una característica del álgebra es el uso de letras para representar números. Las letras
son variables, y las combinaciones de letras y números son expresiones algebraicas.
A continuación veamos unos ejemplos de expresiones algebraicas
2x ⫺ 3,
7x ⫹ y
Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números
reales (constantes) combinados que usan operaciones de adición, sustracción,
multiplicación, división y exponenciación.
Los términos de una expresión algebraica son las partes que están separadas por adición. Por ejemplo,
x 2 ⫺ 5x ⫹ 8 ⫽ x 2 ⫹ 共⫺5x兲 ⫹ 8
tiene tres términos: x 2 y ⫺5x son los términos variables y 8 es el término constante.
El factor numérico de un término se llama coeficiente. Por ejemplo, el coeficiente de
⫺5x es ⫺5, y el de x 2 es 1.
Identificar términos y coeficientes
b. 2x2 ⫺ 6x ⫹ 9
c. ⫹ x4 ⫺ y
a. 5x ⫺
2x2, ⫺6x, 9
, x , ⫺y
2, ⫺6, 9
3, , ⫺1
5x, ⫺
5, ⫺
Ahora trate de hacer el Ejercicio 89.
Para evaluar una expresión algebraica, sustituya valores numéricos por cada una
de las variables de la expresión, como se muestra en el ejemplo siguiente.
a. ⫺3x ⫹ 5
b. 3x 2 ⫹ 2x ⫺ 1
x⫽3
x ⫽ ⫺3
⫺3共3兲 ⫹ 5
3共⫺1兲2 ⫹ 2共⫺1兲 ⫺ 1
2共⫺3兲
⫺3 ⫹ 1
⫺9 ⫹ 5 ⫽ ⫺4
3⫺2⫺1⫽0
Observe que se debe sustituir el valor cada vez que se presente la variable.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 95.
Al evaluar una expresión algebraica, se usa el principio de sustitución, que dice que
“si a ⫽ b, entonces a puede ser sustituida por b en cualquier expresión en donde aparezca
a”. En el Ejemplo 12(a), por ejemplo, 3 es sustituido por x en la expresión ⫺3x ⫹ 5.
Reglas básicas del álgebra
Hay cuatro operaciones aritméticas con números reales: adición, multiplicación, sustracción y división, denotadas por los símbolos ⫹, ⫻ o ⭈ , ⫺ y ⫼ o /. De éstos, la adición y multiplicación son las dos operaciones primarias. Sustracción y división son operaciones inversas de adición y multiplicación, respectivamente.
Definiciones de sustracción y división
Sustracción: Sume lo opuesto.
División: multiplique por el recíproco.
a ⫺ b ⫽ a ⫹ 共⫺b兲
Si b ⫽ 0, entonces a兾b ⫽ a
冢b冣 ⫽ b .
En estas definiciones, ⫺b es el inverso aditivo (u opuesto) de b, y 1兾b es
el inverso multiplicativo (o recíproco) de b. En la forma fraccionaria a兾b, a
es el numerador de la fracción y b es el denominador.
Como las propiedades de los números reales siguientes son verdaderas para variables y expresiones algebraicas, así como para números reales, con frecuencia reciben el
nombre de reglas básicas del álgebra. Trate de formular una descripción verbal de
cada una de ellas. Por ejemplo, la primera propiedad dice que el orden en el que se
suman dos números reales no afecta su suma.
Reglas básicas de álgebra
Sean a, b y c números reales, variables o expresiones algebraicas.
Propiedad conmutativa de la adición:
Propiedad conmutativa de la multiplicación:
Propiedad asociativa de la adición:
Propiedad asociativa de la multiplicación:
Propiedades distributivas:
Propiedad aditiva de identidad:
Propiedad multiplicativa de identidad:
Propiedad aditiva inversa:
Propiedad multiplicativa inversa:
ab ⫽ ba
共a ⫹ b兲 ⫹ c ⫽ a ⫹ 共b ⫹ c兲
共ab兲 c ⫽ a共bc兲
a共b ⫹ c兲 ⫽ ab ⫹ ac
共a ⫹ b兲c ⫽ ac ⫹ bc
a⫹0⫽a
a⭈1⫽a
a ⫹ 共⫺a兲 ⫽ 0
a ⭈ ⫽ 1, a ⫽ 0
4x ⫹ x ⫽ x 2 ⫹ 4x
共4 ⫺ x兲 x 2 ⫽ x 2共4 ⫺ x兲
共x ⫹ 5兲 ⫹ x 2 ⫽ x ⫹ 共5 ⫹ x 2兲
共2x ⭈ 3y兲共8兲 ⫽ 共2x兲共3y ⭈ 8兲
3x共5 ⫹ 2x兲 ⫽ 3x ⭈ 5 ⫹ 3x ⭈ 2x
共 y ⫹ 8兲 y ⫽ y ⭈ y ⫹ 8 ⭈ y
5y 2 ⫹ 0 ⫽ 5y 2
共4x 2兲共1兲 ⫽ 4x 2
5x 3 ⫹ 共⫺5x 3兲 ⫽ 0
共x 2 ⫹ 4兲 2
x ⫹4
Como la sustracción se define como “sumar lo opuesto”, las propiedades distributivas también son verdaderas para la sustracción. Por ejemplo, la “forma de sustracción” de a共b ⫹ c兲 ⫽ ab ⫹ ac es a共b ⫺ c兲 ⫽ ab ⫺ ac. Observe que las operaciones de
sustracción y división no son conmutativas ni asociativas. Los ejemplos
7⫺3⫽3⫺7 y
20 ⫼ 4 ⫽ 4 ⫼ 20
demuestran que la sustracción y división no son conmutativas. Del mismo modo
5 ⫺ 共3 ⫺ 2兲 ⫽ 共5 ⫺ 3兲 ⫺ 2 y
16 ⫼ 共4 ⫼ 2) ⫽ 共16 ⫼ 4) ⫼ 2
demuestran que la sustracción y la división no son asociativas.
Identificar reglas del álgebra
Identifique la regla del álgebra ilustrada por el enunciado.
a. 共5x3兲2 ⫽ 2共5x3兲
冢4x ⫹ 13冣 ⫺ 冢4x ⫹ 13冣 ⫽ 0
⫽ 1, x ⫽ 0
d. 共2 ⫹ 5x2兲 ⫹ x2 ⫽ 2 ⫹ 共5x2 ⫹ x2兲
c. 7x ⭈
a. Este enunciado ilustra la propiedad conmutativa de la multiplicación. En otras palabras, se obtiene el mismo resultado si se multiplica 5x3 por 2 o 2 por 5x3.
b. Este enunciado ilustra la propiedad aditiva inversa. En términos de sustracción, esta
propiedad simplemente dice que cuando cualquier expresión se resta de sí misma el
c. Este enunciado ilustra la propiedad del inverso multiplicativo. Observe que es importante que x sea un número diferente de cero. Si x fuera 0, el recíproco de x sería
d. Este enunciado ilustra la propiedad asociativa de la adición. En otras palabras, para
formar la suma
2 ⫹ 5x2 ⫹ x2
no importa si 2 y 5x2, o 5x2 y x2 se suman primero.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 101.
Propiedades de negación e igualdad
Nótese la diferencia entre el
opuesto de un número y un
número negativo. Si a ya es
negativo, entonces su opuesto,
⫺a, es positivo. Por ejemplo, si
a ⫽ ⫺5, entonces
⫺a ⫽ ⫺(⫺5) ⫽ 5.
1. 共⫺1兲 a ⫽ ⫺a
共⫺1兲7 ⫽ ⫺7
2. ⫺ 共⫺a兲 ⫽ a
⫺ 共⫺6兲 ⫽ 6
3. 共⫺a兲b ⫽ ⫺ 共ab兲 ⫽ a共⫺b兲
共⫺5兲3 ⫽ ⫺ 共5 ⭈ 3兲 ⫽ 5共⫺3兲
4. 共⫺a兲共⫺b兲 ⫽ ab
共⫺2兲共⫺x兲 ⫽ 2x
5. ⫺ 共a ⫹ b兲 ⫽ 共⫺a兲 ⫹ 共⫺b兲
⫺ 共x ⫹ 8兲 ⫽ 共⫺x兲 ⫹ 共⫺8兲
6. Si a ⫽ b, entonces a ± c ⫽ b ± c.
7. Si a ⫽ b, entonces ac ⫽ bc.
8. Si a ± c ⫽ b ± c, entonces a ⫽ b.
1.4 ⫺ 1 ⫽ 75 ⫺ 1 ⇒ 1.4 ⫽ 75
9. Si ac ⫽ bc y c ⫽ 0, entonces a ⫽ b.
3x ⫽ 3 ⭈ 4 ⇒ x ⫽ 4
⫽ ⫺x ⫺ 8
⫹ 3 ⫽ 0.5 ⫹ 3
⭈ 2 ⫽ 16 ⭈ 2
Propiedades de cero
La “o” en la propiedad del factor
cero incluye la posibilidad de
que cualquiera de los dos
factores, o ambos, sean cero.
Esto es una o inclusiva, y es la
forma en que la conjunción “o”
se usa por lo general en
Sean a y b números reales, variables o expresiones algebraicas.
1. a ⫹ 0 ⫽ a y a ⫺ 0 ⫽ a
a⫽0
⭈0⫽0
5. Propiedad del factor cero: si ab ⫽ 0, entonces a ⫽ 0 o b ⫽ 0.
Propiedades y operaciones de fracciones
Sean a, b, c y d números reales, variables o expresiones algebraicas tales que
b ⫽ 0 y d ⫽ 0.
1. Fracciones equivalentes:
2. Reglas de los signos: ⫺
⫽ si y sólo si ad ⫽ bc.
a ⫺a
⫺a a
⫺b ⫺b b
3. Generar fracciones equivalentes:
⫽ , c⫽0
4. Sumar o restar denominadores comunes:
± ⫽
5. Sumar o restar con denominadores diferentes:
En la propiedad 1 de fracciones,
la frase “si y sólo si” implica
dos enunciados. Un enunciado
es: si a兾b ⫽ c兾d, entonces
ad ⫽ bc. El otro enunciado es:
si ad ⫽ bc, donde b ⫽ 0 y
d ⫽ 0, entonces a兾b ⫽ c兾d.
6. Multiplicar fracciones:
7. Dividir fracciones:
⭈ d ⫽ bd
⫼ ⫽
⭈ c ⫽ bc ,
Propiedades y operaciones con fracciones
x 3 ⭈ x 3x
5 3 ⭈ 5 15
7 3 7 2 14
b. Dividir fracciones: ⫼ ⫽ ⭈ ⫽
x 2 x 3 3x
a. Fracciones equivalentes:
c. Sumar fracciones con denominadores diferentes:
⭈ x ⫹ 3 ⭈ 2x ⫽ 11x
3⭈5
Ahora trate de hacer el Ejercicio 119.
Si a, b y c son enteros tales que ab ⫽ c, entonces a y b son factores o divisores de c.
Un número primo es un entero que tiene exactamente dos factores positivos, el propio
número y 1, tales como 2, 3, 5, 7 y 11. Los números 4, 6, 8, 9 y 10 son compuestos porque cada uno de ellos se puede escribir como el producto de dos o más números primos.
El número 1 no es primo ni compuesto. El teorema fundamental de la aritmética dice
que todo entero positivo mayor a 1 puede escribirse como el producto de números primos
en precisamente una forma (sin tomar en cuenta el orden). Por ejemplo, la factorización
prima de 24 es 24 ⫽ 2 ⭈ 2 ⭈ 2 ⭈ 3.
entre dos enteros, donde q ⫽ 0.
2. Los números ________ tienen representaciones decimales no periódicas infinitas.
3. El punto 0 sobre la recta de números reales se llama ________.
4. La distancia entre el origen y un punto que represente un número real en la recta de números reales es el ________
________ de los números reales.
5. Un número real que se pueda escribir como el producto de dos o más números primos se llama número ________.
6. Un entero que tenga exactamente dos factores positivos, el entero mismo y 1, se llama número ________.
7. Una expresión algebraica es un conjunto de letras llamadas ________ y números reales llamados ________.
8. Los ________ de una expresión algebraica son aquellas partes separadas por adición.
9. El factor numérico de un término variable es el ________ del término variable.
10. La ________ ________ ________ ________ dice que si ab ⫽ 0, entonces a ⫽ 0 o b ⫽ 0.
En los Ejercicios 11-16, determine cuáles números del conjunto son (a) números naturales, (b) números enteros,
(c) enteros (neg. y pos.), (d) números racionales y (e) números irracionales.
再⫺9, ⫺ 72, 5, 23, 冪2, 0, 1, ⫺4, 2, ⫺11冎
再冪5, ⫺7, ⫺ 73, 0, 3.12, 54 , ⫺3, 12, 5冎
再2.01, 0.666 . . . , ⫺13, 0.010110111 . . . , 1, ⫺6冎
再2.3030030003 . . . , 0.7575, ⫺4.63, 冪10, ⫺75, 4冎
⫺ ␲, ⫺ 13, 63, 12冪2, ⫺7.5, ⫺1, 8, ⫺22
25, ⫺17, ⫺ 12
5 , 冪9, 3.12, 2 ␲, 7, ⫺11.1,
13冎
En los Ejercicios 17 y 18, grafique los números reales en la
recta de números reales.
17. (a) 3 (b) 27
18. (a) 8.5 (b)
(c) ⫺ 52 (d) ⫺5.2
3 (c) ⫺4.75 (d) ⫺ 3
En los Ejercicios 19-22, use una calculadora para hallar la
forma decimal del número racional. Si es un decimal no finito, escribe el patrón repetitivo o periódico.
En los Ejercicios 23 y 24, aproxime los números y ponga el
símbolo correcto (< o >) entre ellos.
En los Ejercicios 25-30, localice los dos números reales en la
recta de números reales. A continuación, ponga el símbolo
apropiado de desigualdad (< o >) entre ellos.
25. ⫺4, ⫺8
27. 23, 7
26. ⫺3.5, 1
28. 1, 16
29. 56, 23
30. ⫺ 87, ⫺ 37
En los Ejercicios 31-42, (a) haga una descripción verbal del subconjunto de los números reales representados por la desigualdad o el intervalo, (b) trace el subconjunto en la recta de números reales, y (c) diga si el intervalo es acotado o no acotado.
x ⱕ 5
关4, ⬁兲
⫺2 < x < 2
⫺1 ⱕ x < 0
关⫺2, 5兲
共⫺ ⬁, 2兲
0 ⱕ x ⱕ 5
0 < x ⱕ 6
共⫺1, 2兴
y es no negativo.
y es no mayor a 25.
x es mayor a ⫺2 y a lo más 4.
y es al menos ⫺6 y menor que 0.
t es al menos 10 y a lo más 22.
k es menor que 5 pero no menor que ⫺3.
El peso del perro, W, es más de 65 libras.
Se espera que la tasa anual de inflación, r, sea al menos
2.5% pero no mayor a 5%.
En los Ejercicios 51-60, evalúe la expresión.
ⱍ⫺10ⱍ
ⱍ0ⱍ
ⱍ3 ⫺ 8ⱍ
ⱍ4 ⫺ 1ⱍ
ⱍ⫺1ⱍ ⫺ ⱍ⫺2ⱍ
⫺3 ⫺ ⱍ⫺3ⱍ
58. ⫺3 ⫺3
ⱍ 2ⱍ,
x < ⫺2
En los Ejercicios 61-66, ponga el símbolo correcto (<, >, o ⫽兲
entre los dos números reales.
ⱍ⫺3ⱍ䊏⫺ ⱍ⫺3ⱍ
ⱍ⫺4ⱍ䊏ⱍ4ⱍ
⫺5䊏⫺ ⱍ5ⱍ
⫺ ⱍ⫺6ⱍ䊏ⱍ⫺6ⱍ
⫺ ⱍ⫺2ⱍ䊏⫺ ⱍ2ⱍ
VARIANZA EN PRESUPUESTO En los Ejercicios 79-82, el
departamento de contabilidad de una compañía embotelladora de bebidas para deporte está comprobando si los gastos
reales de un departamento difieren, en más de $500 o en más
de 5%, respecto de los gastos presupuestados. Llene las partes faltantes de la tabla y determine si cada gasto real pasa el
“examen de varianza de presupuesto”.
presupuestado, real, a
⫺(⫺2)䊏⫺2
a ⫽ 126, b ⫽ 75
a ⫽ ⫺126, b ⫽ ⫺75
a ⫽ ⫺ 52, b ⫽ 0
a ⫽ 14, b ⫽ 11
a ⫽ 16
5 , b ⫽ 75
a ⫽ 9.34, b ⫽ ⫺5.65
En los Ejercicios 73-78, use notación de valor absoluto para
La distancia entre x y 5 es no mayor a 3.
La distancia entre x y ⫺10 es al menos 6.
y está al menos a seis unidades de 0.
y está como máximo a dos unidades de a.
Cuando una persona viaja por la autopista de
Pennsylvania, pasa el señalamiento de distancia 57 (en
millas) cerca de Pittsburgh y luego el 236 cerca de
Gettysburg. ¿Cuántas millas ha recorrido durante ese
78. La temperatura en Bismarck, Dakota del Norte, era de
60 ⬚F al mediodía, luego 23 ⬚F a medianoche. ¿Cuál fue
el cambio en temperatura en el periodo de 12 horas?
$112 700
$37 640
$113 356
$37 335
ⱍa ⫺ bⱍ
DÉFICIT FEDERAL En los Ejercicios 83-88, use la gráfica de
barras, que muestra la recaudación del gobierno federal (en
miles de millones de dólares) para años seleccionados de 1996
a 2006. En cada ejercicio se indican los gastos del gobierno
federal. Encuentre la magnitud del excedente o déficit para el
año. (Fuente: U.S. Office of Management and Budget)
En los Ejercicios 67-72, encuentre la distancia entre a y b.
1853.4 1880.3
|Recaudación ⫺
$1560.6 miles de millones 䊏
$1652.7 miles de millones 䊏
$1789.2 miles de millones 䊏
$2011.2 miles de millones 䊏
$2293.0 miles de millones 䊏
$2655.4 miles de millones 䊏
En los Ejercicios 89-94, identifique los términos. A continuación, identifique los coeficientes de los términos variables de
89. 7x ⫹ 4
91. 冪3x 2 ⫺ 8x ⫺ 11
93. 4x 3 ⫹ ⫺ 5
90. 6x 3 ⫺ 5x
92. 3冪3x 2 ⫹ 1
94. 3x 4 ⫺
En los Ejercicios 95-100, evalúe la expresión para cada uno de
los valores de x. (Si no es posible, diga la razón.)
4x ⫺ 6
9 ⫺ 7x
x 2 ⫺ 3x ⫹ 4
⫺x 2 ⫹ 5x ⫺ 4
x ⫽ ⫺2
(a) x ⫽ 1
(b) x ⫽ ⫺1
(a) x ⫽ 2
(b) x ⫽ ⫺2
123. CONJETURA
(a) Use una calculadora para completar la tabla.
5兾n
(b) Use el resultado del inciso (a) para hacer una conjetura acerca del valor de 5兾n cuando n se aproxima a 0.
124. CONJETURA
En los Ejercicios 101-112, identifique la o las reglas del álgebra
ilustrada por el enunciado.
101. x ⫹ 9 ⫽ 9 ⫹ x
102. 2共 12 兲 ⫽ 1
共h ⫹ 6兲 ⫽ 1, h ⫽ ⫺6
h⫹6
104. 共x ⫹ 3兲 ⫺ 共x ⫹ 3兲 ⫽ 0
105. 2共x ⫹ 3兲 ⫽ 2 ⭈ x ⫹ 2 ⭈ 3
106. 共z ⫺ 2兲 ⫹ 0 ⫽ z ⫺ 2
107. 1 ⭈ 共1 ⫹ x兲 ⫽ 1 ⫹ x
108. 共z ⫹ 5兲x ⫽ z ⭈ x ⫹ 5 ⭈ x
109. x ⫹ 共 y ⫹ 10兲 ⫽ 共x ⫹ y兲 ⫹ 10
110. x共3y兲 ⫽ 共x ⭈ 3兲y ⫽ 共3x兲 y
111. 3共t ⫺ 4兲 ⫽ 3 ⭈ t ⫺ 3 ⭈ 4
112. 17共7 ⭈ 12兲 ⫽ 共 17 ⭈ 7兲12 ⫽ 1 ⭈ 12 ⫽ 12
(b) Use el resultado del inciso (a) para hacer una conjetura acerca del valor de 5兾n cuando n aumenta
¿VERDADERO O FALSO? En los Ejercicios 125-128, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.
125. Si a > 0 y b < 0, entonces a ⫺ b > 0.
126. Si a > 0 y b < 0, entonces ab > 0.
127. Si a < b, entonces
128. Como
114. 67 ⫺ 47
11 ⫹ 33 ⫺ 66
118. ⫺ 共6 ⭈ 8 兲
⭈9
En los Ejercicios 121 y 122, use los números reales A, B y C
mostrados en la recta numérica. Determine el signo de cada
121. (a) ⫺A
(b) B ⫺ A
122. (a) ⫺C
(b) A ⫺ C
a⫹b a b
⫽ ⫹ , entonces
⫽ ⫹ .
ⱍⱍ ⱍⱍ
129. PIÉNSELO Considere u ⫹ v y u ⫹ v , donde
u ⫽ 0 y v ⫽ 0.
En los Ejercicios 113-120, realice la(s) operación(es). (Escriba
respuestas fraccionarias en su forma más sencilla.)
113. 16
⫹ 16
115. 58 ⫺ 12
117. 12 ⫼ 4
< , donde a ⫽ 0 y b ⫽ 0.
(a) ¿Los valores de las expresiones son siempre iguales? Si no es así, ¿bajo qué condiciones son desiguales?
(b) Si las dos expresiones no son iguales para ciertos
valores de u y v, ¿una de las expresiones es siempre mayor que la otra? Explique.
PIÉNSELO ¿Hay diferencia entre decir que un número real es positivo y decir que un número real es no
negativo? Explique.
PIÉNSELO Debido a que todo número par es divisible entre 2, ¿es posible que existan algunos números
primos pares? Explique.
PIÉNSELO ¿Es posible que un número real sea
racional e irracional? Explique.
ESCRITURA ¿Puede alguna vez ser cierto que
a ⫽ ⫺a para un número real a? Explique.
134. TOQUE FINAL Describa las diferencias entre los
conjuntos de números naturales, números enteros
(sólo positivos), enteros (pos. y neg.), números
racionales y números irracionales.
A.2 EXPONENTES Y RADICALES
• Usar propiedades de los exponentes.
• Usar notación científica para
representar números reales.
• Usar propiedades de los radicales.
• Simplificar y combinar radicales.
• Racionalizar denominadores y
• Usar propiedades de exponentes
Es frecuente escribir números reales y
y radicales. Por ejemplo, en el Ejercicio
121 de la página A26 usaremos una
expresión que contiene exponentes
racionales para hallar los tiempos
necesarios para que un embudo se
vacíe para diferentes alturas de agua.
Exponentes enteros (neg. y pos.)
Una multiplicación repetida se puede escribir en forma exponencial.
Multiplicación repetida
a⭈a⭈a⭈a⭈a
共⫺4兲共⫺4兲共⫺4兲
共⫺4兲3
共2x兲共2x兲共2x兲共2x兲
共2x兲4
Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces
an ⫽ a ⭈ a
⭈a.
donde n es el exponente y a es la base. La expresión an se lee “a a la n-ésima
Un exponente también puede ser negativo. En la propiedad 3 que sigue, asegúrese de
ver cómo usar un exponente negativo.
Se puede usar calculadora para
evaluar expresiones exponenciales.
Al hacerlo, es importante saber
cuándo usar paréntesis porque la
calculadora sigue el orden de
operaciones. Por ejemplo, evalúe
共⫺2兲4 como sigue.
ⴙⲐⴚ
冇ⴚ冈
De gráficas:
Sean a y b números reales, o expresiones algebraicas, y sean m y n enteros.
(Todos los denominadores y bases son diferentes de cero.)
⫽ am⫺n
⫽ x7⫺ 4 ⫽ x 3
3. a⫺n ⫽
4. a0 ⫽ 1,
⫽ 32⫹4 ⫽ 36 ⫽ 729
y⫺4 ⫽
共x 2 ⫹ 1兲0 ⫽ 1
5. 共ab兲m ⫽ am bm
共5x兲3 ⫽ 53x3 ⫽ 125x3
6. 共am兲n ⫽ amn
共 y3兲⫺4 ⫽ y3(⫺4) ⫽ y⫺12 ⫽
La pantalla indica 16. Si se
omiten los paréntesis, la pantalla
indicará ⫺16.
⫽ a m⫹n
冢b冣
8. a2 ⫽ a 2 ⫽ a2
冢x冣
ⱍ共⫺2兲2ⱍ ⫽ ⱍ⫺2ⱍ2 ⫽ 共2兲2 ⫽ 4
Es importante reconocer la diferencia entre expresiones como 共⫺2兲4 y ⫺24. En
共⫺2兲4, el paréntesis indica que el exponente se aplica al signo negativo al igual que al
2, pero en ⫺24 ⫽ ⫺ 共24兲, el exponente se aplica sólo al 2. Por tanto, 共⫺2兲4 ⫽ 16 y
⫺24 ⫽ ⫺16.
Las propiedades de los exponentes citadas en la página precedente se aplican a
todos los enteros m y n, no sólo a enteros positivos, como se muestra en los ejemplos
Evaluar expresiones exponenciales
a. 共⫺5兲2 ⫽ 共⫺5兲共⫺5兲 ⫽ 25
El signo negativo es parte de la base
b. ⫺52 ⫽ ⫺ 共5兲共5兲 ⫽ ⫺25
El signo negativo no es parte de la base.
⭈ 2 4 ⫽ 21⫹4 ⫽ 25 ⫽ 32
⫽ 44⫺6 ⫽ 4⫺2 ⫽
Propiedades 2 y 3
Evalúe cada una de las expresiones algebraicas cuando x ⫽ 3.
a. 5x⫺2
共⫺x兲3
a. Cuando x ⫽ 3, la expresión 5x⫺2 tiene un valor de
5x⫺2 ⫽ 5共3兲⫺2 ⫽
b. Cuando x ⫽ 3, la expresión 共⫺x兲3 tiene un valor de
共⫺x兲3 ⫽ 共⫺3兲3 ⫽ 共⫺27兲 ⫽ ⫺9.
Ahora trate de hacer el Ejercicio 23.
Usar propiedades de exponentes
Use las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresión.
a. 共⫺3ab4兲共4ab⫺3兲
b. 共2xy2兲3
c. 3a共⫺4a2兲0
a. 共⫺3ab4兲共4ab⫺3兲 ⫽ 共⫺3兲共4兲共a兲共a兲共b4兲共b⫺3兲 ⫽ ⫺12a 2b
b. 共2xy 2兲3 ⫽ 23共x兲3共 y 2兲3 ⫽ 8x3y6
c. 3a共⫺4a 2兲0 ⫽ 3a共1兲 ⫽ 3a, a ⫽ 0
5x 3 2 52共x 3兲2 25x 6
冢y冣
冢5xy 冣
En esta nueva edición de Precálculo, el lector encontrará
ejemplos seleccionados con soluciones lado a lado que incluyen
múltiples enfoques (como algebraico, gráco y numérico) para
resolver problemas y así atraer a una variedad de estilos de
Puntos de control después de cada ejemplo o solución reeren a
los estudiantes a ejercicios similares en la Sección de Ejercicios,
permitiéndoles practicar y reforzar los conceptos que acaban de
aprender. Las respuestas a los puntos de control se incluyen en la
parte nal del libro.
Hay revisiones de vocabulario al inicio de todas las secciones de
ejercicios. Esta revisión de los términos matemáticos, fórmulas
y teoremas, proporciona una evaluación periódica y el refuerzo
de la comprensión de los estudiantes del lenguaje y conceptos
Los conjuntos de ejercicios han sido cuidadosamente analizados
y revisados para mejorar la clasicación de los problemas básicos
de desarrollo de habilidades a evaluar, mediante la vinculación
entre ejercicios similares pares e impares y actualizando todos los
datos reales, añadiendo aplicaciones a la vida real.
Precálculo. 8a ed. Ron Larson
En esta nueva edición de Precálculo, el lector encontrará ejemplos seleccionados con soluciones lado a lado que incluyen múltiples enfoques (como algebraico, gráfico y numérico) para resolver problemas y así atraer a una variedad de estilos de enseñanza y aprendizaje. El texto cubre temas que otros libros no, como por ejemplo técnicas de modelado geométrico, la construcción numérica y su relación con el planteamiento de problemas, actualidad de los problemas, revisión del aprendizaje, etc.

References: Artículo 27

Resolución 

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