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⭐Columnas en La Voz de Almería (Actualizado a 27 de septiembre de 2005)
Columnas en La Voz de Almería (Actualizado a 27 de septiembre de 2005)
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Magdalena Miranda Blázquez
1 Columnas en La Voz de Almería (Actualizado a 27 de septiembre de 2005) Observación: en azul el texto original que ha sido suprimido o modificado por razones de espacio. Blas Torrecillas Jover Catedrático de Álgebra de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 30 de enero de 2004 Seguridad Informática Es bien conocido que las matemáticas, como otras ciencias, tienen una aplicación muy importante a la tecnología. La utilización intensiva y masiva de los ordenadores en todas las actividades humanas supone una oportunidad muy importante para las matemáticas. Durante muchos siglos la información ha sido almacenada y transmitida utilizando el papel, actualmente el papel va siendo sustituido por los ordenadores para el tratamiento de la información. La seguridad de la transmisión de la información es un aspecto fundamental. Pensemos cómo nos afecta directa y continuamente en la privacidad de los correos electrónicos, las relaciones con las administraciones públicas incluida la presentación de la declaración a hacienda, la información y uso de nuestras cuentas bancarias, todas las compras por Internet. Las matemáticas en general y la teoría de los números en particular, permiten construir diversos métodos para proteger la información de los curiosos. La ciencia que se ocupa por métodos matemáticos de los problemas de seguridad de la información se conoce con el nombre de criptografía y tuvo su nacimiento en Egipto hace unos cuatro mil años. En esta ciencia tan antigua se encuentran diversas aplicaciones más o menos ingeniosas de las matemáticas, pero la situación moderna, descrita anteriormente, ha cambiado radicalmente la investigación de nuevas técnicas criptográficas. Uno de los algoritmos actuales más conocidos es el RSA, nombre que se deriva de la iniciales de sus creadores R.L. Rivest, A. Shamir y L.M. Adleman. De manera muy simplificada la eficacia del método se basa en la dificultad computacional de descomponer en factores números enteros muy grandes. El lector puede probar a descomponer el número Naturalmente con la ayuda de un ordenador el problema se resuelve de manera inmediata. El problema empieza a complicarse, incluso usando ordenadores, cuando tratamos de factorizar números de más de 200 dígitos. Para descomponer números tan grandes se necesitan técnicas matemáticas muy difíciles y profundas. De estas investigaciones dependerá algo tan importante como la seguridad de las comunicaciones informáticas.2 Juan José Moreno Balcázar Profesor Titular de Matemática Aplicada de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 12 de febrero de 2004 Matemáticas y medicina Todos, en mayor o menor medida, estamos familiarizados con los nombres de muchos de los tratamientos médicos avanzados que, llegado el caso, pueden salvarnos la vida o mejorar su calidad: Resonancia Magnética Nuclear (RMN), Tomografía Axial Computerizada (TAC), litotricia, quimioterapia aplicada a procesos tumorales, etc., Pero, somos conscientes de que en la base de estos grandes avances se hallan las Matemáticas? Así, la RMN permite diagnosticar patologías mediante imágenes de alta resolución basándose en el análisis de un fenómeno de resonancia que, a su vez, tiene su origen en la ecuación matemática de Larmor. De los diferentes métodos utilizados para la obtención de tales imágenes, el más común utiliza una herramienta matemática conocida como transformada bidimensional de Fourier. Esta herramienta está, además, muy ligada a la transformada de Radon, que es la base para la reconstrucción de imágenes en el TAC. Pero no sólo encontramos matemáticas en la reconstrucción de imágenes. Mediante sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo, se puede establecer un primer modelo básico de funcionamiento de la litotricia extracorpórea, lo que permite la eliminación de cálculos renales sin recurrir a la cirugía. Los modelos matemáticos basados en derivadas (como las que estudiamos en el bachillerato) son, por otra parte, los que han permitido a varios investigadores israelitas hacer una evaluación científica de la eficacia de los protocolos de quimioterapia en el cáncer de mama. La Teoría de Epidemias, que analiza matemáticamente la propagación de las enfermedades infectocontagiosas, es otro ejemplo clarificador. Los primeros estudios en este campo fueron desarrollados en 1760 por Daniel Bernoulli, en un estudio sobre la propagación de la viruela en la población francesa. Pero fue en 1911 cuando el Premio Nobel de Medicina de 1902, Sir Ronald Ross, estableció el primer modelo matemático para una epidemia. Las Matemáticas también estudian una de las epidemias del siglo XXI: el SIDA. El investigador Dr. Ho, hombre del año 1996 según la revista Time, fue el precursor de las investigaciones sobre las características del VIH y de los primeros fármacos para combatirlo. Sin embargo, no es tan conocido el hecho de que basó tales investigaciones en los modelos matemáticos elaborados por los miembros de su equipo. Como podemos comprobar, las matemáticas también contribuyen a nuestro bienestar.3 Juan Cuadra Díaz Profesor Titular de Álgebra de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 19 de febrero de 2004 El número áureo Podría una fórmula matemática revelar el tan buscado secreto de la belleza? Desde la cultura griega la belleza ha estado ligada a un misterioso número, el número áureo, cuyo valor aproximado es Dos longitudes están en proporción áurea si al dividir la mayor entre la menor resulta el número áureo. Fue el genial Leonardo da Vinci quien descubrió que el cuerpo humano se compone de bloques que se aproximan a esta proporción. Por ejemplo, la estatura y la longitud del suelo al ombligo. El cuerpo humano ideal, el más armonioso y estético, fue concebido como aquél cuyos bloques están en proporción áurea y fue plasmado por Leonardo en su famoso Hombre de Vitrubio. Curiosamente, la moneda de un euro italiana, en cuyo reverso aparece este dibujo, ha sido elegida como la más hermosa de todas las euromonedas. En los últimos años, las investigaciones del Dr. Stephen Marquardt, de la Universidad de California, han reforzado el vínculo entre la belleza corporal y la proporción áurea. Tras examinar muchos rostros humanos y realizar numerosas encuestas el Dr. Marquardt ha descubierto que los rostros considerados atractivos son aquéllos cuyas partes determinan longitudes que están en proporción áurea. Y esta relación no depende de las diferencias existentes en la concepción de la belleza por las distintas razas, culturas o épocas. El Dr. Marquardt ha construido una máscara facial utilizando la razón áurea para establecer la distancia ideal entre los diferentes elementos de un rostro. Al sobreponerla sobre rostros considerados atractivos el encaje resulta perfecto. La belleza de una cara puede ser determinada según la desviación que presentan sus diferentes partes respecto a las establecidas por la máscara. Esta investigación tiene aplicaciones directas a la cirugía plástica y reparadora. Desde una óptica matemática, el número áureo es muy interesante. Posee infinitos decimales, que no siguen ninguna pauta, y no es expresable mediante fracciones de números enteros. Sin embargo, usando raíces cuadradas y fracciones, si es posible escribir su valor exacto, éste es4 Juan Antonio López Ramos Profesor Titular de Álgebra de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 26 de febrero de 2004 Mundo matemático-digital Les propongo un pequeño juego que nos permitirá entender el mundo en el que nos movemos. Escriba los números del uno al quince dispuestos en cuatro columnas del siguiente modo: en la primera, los impares; en la segunda, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14 y 15; en la tercera, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 y 15 y finalmente, en la cuarta, del 8 al 15. Pida ahora a alguien que elija uno y, sin decirle de qué número se trata, le indique todas las columnas en las que se encuentra. Si ahora suma cada uno de los números que aparecen en la parte superior de las columnas indicadas, obtendrá el número elegido por el otro. Magia? No, Matemáticas, o más precisamente un simple cambio de base. La otra persona le ha indicado el número mediante sus dígitos en base dos: uno para las columnas en las que se encontraba el número y cero para las que no. Así, para recuperar el número pensado basta multiplicar por cero o uno los números de la parte superior de las columnas y sumar los resultados. Esta es la forma en la que todos los aparatos de la era digital, ordenadores, teléfonos móviles, televisión, etc. representan la información. Sonidos o imágenes, números o palabras son representados, transmitidos y recibidos como largas cadenas de ceros y unos. El término digital deriva precisamente del uso de los dígitos cero y uno. La gran ventaja al hacerlo así es que se han desarrollado métodos matemáticos que permiten detectar y corregir fallos en la transmisión la información, cuando se cambian ceros por unos o viceversa; es decir, se detectan y corrigen las interferencias. Cuando vemos televisión digital, escuchamos un CD, visionamos un DVD, utilizamos un ordenador, un móvil o un cajero automático hacemos uso, sin darnos cuenta, de las Matemáticas y obtenemos una mejor calidad de vida a través de la tecnología digital. Desgraciadamente el cero y el uno tienen también su aplicación militar. En este punto y en estos términos, es ahora tarea de todos decidir para qué fines queremos utilizarlos.5 Enrique de Amo Profesor Titular de Análisis Matemático de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 4 de marzo de 2004 Otra matemática es posible La comprensión del mundo en que vivimos es lo que realmente ha motivado al Ser Humano, siempre. Qué hacemos aquí? De dónde venimos y a dónde vamos? No sólo se avanza, a través de la especialización, sino que se acepta que unos modelos (de comprensión de la realidad) vayan siendo superados y sustituidos por otros en la medida en la que se manifiestan sus ventajas. Es clásico que nuestro acercamiento a las matemáticas haya sido el de las nociones de punto, recta o plano... si bien nadie ha visto a ninguno de estos tres ejemplares por la calle! Sin embargo, aunque ni las nubes son elipsoides, ni las montañas conoides, tal concepción (motivada en muchos casos por la belleza) nos pareció suficientemente justificada. Hoy, sobre todo con la introducción de potentes herramientas de cálculo (como son los modernos ordenadores), comenzamos a ver las insuficiencias de modelos matemáticos que creíamos asentados en la certidumbre. La moderna Teoría del Caos (que concluirá que bajo el aparente desorden hay leyes que lo justifican) ha irrumpido en las matemáticas, creando un nuevo cuerpo teórico donde antes sólo aparecían ejemplos patológicos inconexos entre sí. (Resultará familiar el llamado efecto mariposa ). Un ejemplo, doméstico, lo encontramos cuando queramos realizar la elemental tarea de medición del perímetro provincial de Almería: Cómo lo haríamos? No es lo mismo medir desde un avión que hacer el encargo a un virus que estuviese dispuesto a tal tarea...; sería cada vez más largo el perímetro... infinito, en último término, para abarcar un área finita! Es decir, paradojas clásicas (como la de Zenón, de Aquiles que nunca alcanzará a la Tortuga) se tornan ahora en el sin sentido de que una superficie de área finita está rodeada por un perímetro infinito. Ciertamente, esta paradoja sólo representa un problema para quien optara por poner puertas al campo.6 Manuel Gámez Profesor Titular de Matemática Aplicada de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 11 de marzo de 2004 Modelos matemáticos en cultivos hortícolas El importante desarrollo de los cultivos hortícolas experimentado en las últimas décadas, en particular en la provincia de Almería, ha provocado la necesidad de búsqueda de soluciones para combatir las plagas, dada la incidencia económica que éstas tienen. Así en el estudio de la dinámica de las poblaciones de especies plagas, es fundamental considerar modelos matemáticos de los sistemas plaga y sus enemigos naturales. En todos ellos, teniendo en cuenta el concepto matemático de derivada, aparece un sistema de ecuaciones diferenciales. Estos modelos matemáticos tienen su origen en el modelo propuesto por un famoso matemático italiano, V. Volterra, en 1925 para dar solución a un problema planteado por el biólogo italiano U. D Ancona sobre la variaciones de las poblaciones de diversas especies de peces. Actualmente hay una gran teoría alrededor de estos problemas, ya que la lucha biológica está siendo una realidad como alternativa al control químico en el control de plagas. Mediante las ecuaciones en derivadas parciales, o las ecuaciones integrales, se están desarrollando importantes modelos matemáticos que nos permiten conocer ciertas características sobre el comportamiento de estas especies, según la temperatura, la densidad del cultivo, la densidad de la plaga, etc. Es necesario conocer estas variables para aquilatar las sueltas de los depredadores o de los parásitos y para conseguir mantener la plaga por debajo de unos umbrales que no sean nocivos para el cultivo, dado lo costoso de estos procedimientos. Por esta razón son muchos los grupos de investigación compuestos por biólogos, matemáticos, ingenieros, etc. que están trabajando en este tema, complementando las diferentes especialidades para conseguir un mejor desarrollo de las investigaciones. Como podemos comprobar, muchos problemas planteados en Biología crean la necesidad de descubrir nuevas teorías matemáticas, o potenciar y desarrollar las ya existentes. Recíprocamente, el tremendo desarrollo de las investigaciones básicas en Matemáticas hace posible el estudio de problemas cada vez más complejos de la Biología.7 Fernando Reche Profesor Titular de Escuela de Estadística de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 18 de marzo de 2004 Política y Matemáticas En un sistema político democrático es indispensable el uso del razonamiento matemático para abordar algunas cuestiones fundamentales, tales como el reparto de escaños en un Parlamento, la traducción de los votos obtenidos a escaños o la forma más justa de votación. En 1951, el Premio Nobel K.J. Arrow probó que es imposible encontrar un sistema de votación decisivo y justo, lo que nos puede hacer una idea de la dificultad que entraña la elección de una metodología de reparto o de votación. Una de las negociaciones actuales más duras en el seno de la Unión Europea es la relativa al sistema de votación a utilizar para la toma de decisiones. La traducción del porcentaje de votos obtenidos a número de escaños es otra cuestión no exenta de polémica, puesto que no es posible encontrar un método que satisfaga todos los intereses. En nuestro país, el reparto de votos se realiza de acuerdo con la Ley D Hondt, cuyo funcionamiento ilustramos a continuación: supongamos que queremos asignar los 5 escaños que corresponden a Almería, para ello contamos los sufragios obtenidos por cada partido que ha superado el 3% de los votos y se dividen entre 1, 2, 3, 4 y 5. Finalmente, atribuimos los escaños a los 5 cocientes mayores de todas las divisiones realizadas. En las Elecciones al Parlamento de Cataluña del año 1999 ocurrió la siguiente paradoja: CiU obtuvo el 37,68% de los votos y 56 diputados, mientras que el PSOE consiguió el 37,88% de los votos y 52 diputados. Este hecho parece invalidar el uso de la Ley D Hondt, ya que un partido con más votos obtuvo menos escaños que uno con menos votos. Sin embargo, esta paradoja no se debe a la Ley D Hondt en sí misma sino a que el reparto de diputados se hace por circunscripciones, que cuentan de salida con una cantidad mínima de representantes. Este sistema ha sido criticado puesto que generalmente prima a los partidos mayoritarios, pero realmente no es peor que otros repartos proporcionales. Se trata de una decisión política encaminada a dificultar la formación de un Parlamento excesivamente atomizado.8 Andrei Martínez Finkelshtein Profesor Titular de Matemática Aplicada de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 26 de marzo de 2004 A qué juegan los matemáticos? Imagínese la situación: dos aventureros de Sacramento en la época de la fiebre de oro se disponen a dividir un montículo de pepitas de oro, fruto de meses de esfuerzo. Ambos están armados, y si tras el reparto uno de ellos considera que ha sido timado por el otro, correrá sangre. Cuál debe ser el procedimiento de reparto para evitar una muerte innecesaria? La respuesta es sencilla: uno divide el montículo en dos mitades que considera iguales, y el otro escoge qué mitad prefiere. Problemas de este tipo son de interés de una rama de las matemáticas con un nombre tan poco serio como teoría de juegos, y que los psicólogos prefieren llamar teoría de las situaciones sociales. El objetivo es elaborar y utilizar herramientas matemáticas para responder a la siguiente pregunta genérica: cómo asignar o distribuir de la mejor forma un recurso limitado para maximizar sus efectos positivos y minimizar los negativos. Para un matemático, un juego es cualquier situación real que implica la interacción de dos o más jugadores (personas, grupos, fuerzas sociales o naturales, etcétera). La teoría de juegos suele estudiar dos tipos de juegos: cooperativos (dominó, alianzas políticas, caza de un ciervo por una manada de lobos) y no cooperativos (inversiones en bolsa, así como el reparto de nuestros aventureros de Sacramento). Entre los problemas estudiados se encuentran los que implican la toma de una decisión cuando las reglas están dadas (digamos, la formación de una cartera de valores), la búsqueda de equilibrio (de gran importancia en la macroeconomía) y el diseño de mecanismos (que intenta predecir las consecuencias de las diferentes reglas de juego o comportamiento). Las elecciones son también estudiadas por esta ciencia; por cierto, se demuestra que ningún esquema de votación garantiza los resultados 100% justos en todas las situaciones (definiendo de forma razonable lo que esto quiere decir). Y a todo esto, imagine que los aventureros de Sacramento no son dos sino tres, se le ocurre algún método de división del oro que evite mutuas acusaciones y el correspondiente peligro?9 Bernardo Lafuerza Profesor Titular de Matemática Aplicada de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 1 de abril de 2004 Fármacos y Matemáticas Desde las drogas sintéticas hasta los populares antihistamínicos y descongestionantes, todos los medicamentos que ingerimos se disuelven en el intestino y pasan a la sangre, que los hace llegar donde hacen falta. En los laboratorios farmacéuticos se experimenta para estudiar el flujo de un fármaco de una parte a otra del cuerpo humano. Los riñones y el hígado eliminan de la sangre tales medicamentos y por ello repetimos la dosis mientras es necesario para nuestra curación. Las sustancias químicas abandonan una zona para llegar a otra, y esto sucede a una tasa proporcional a la cantidad presente del medicamento en la primera zona o compartimento. Esta proporción depende del medicamento, la región del cuerpo (compartimento) y las características personales del individuo. La industria farmacéutica ha iniciado recientemente investigaciones sobre la llamada personalización de tratamientos: es decir, no todos los individuos con una misma dolencia reciben igual tratamiento con idénticos medicamentos. Desde 1970 se ha consolidado la colaboración entre las Matemáticas y la farmacocinética (estudio matemático de los medicamentos a través del cuerpo) o entre las Matemáticas y la bioequivalencia (estudio matemático de la eficacia de las medicinas). Un pionero de todo esto es el matemático Edward Spitznagel, profesor en la Universidad de Washington, San Luis, Missouri. Spitznagel asesora a la industria farmacéutica y escuelas de medicina. Aplica la siguiente ley de equilibrio: Tasa de cambio neto= tasa de entrada tasa de salida Aquí, la expresión tasa de cambio hace referencia inequívoca a las familiares derivadas de la enseñanza secundaria. De este análisis, una vez desarrollado técnicamente, resultan varias ecuaciones conocidas con el adjetivo de diferenciales. Sus soluciones matemáticas nos muestran el efecto de un fármaco y cómo va siendo eliminado de la sangre. Dichas ecuaciones nos informan también de los efectos que se producen al repetir la dosis durante una enfermedad. Así han surgido los llamados modelos compartamentales en matemáticas-farmacología que consisten en cascadas lineales de ecuaciones diferenciales y algunos datos numéricos iniciales medidos en los laboratorios farmacéuticos.10 Enrique Lamarca Profesor del Instituto Provincial de Formación de Adultos de Almería La Voz de Almería, 15 de abril de 2004 Teoría de Grafos Se puede dibujar cualquier figura que pase por n puntos (vértices) sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo trazo (arista)?. Inténtelo. Si la figura que se ha propuesto dibujar tiene exactamente dos vértices con un número impar de aristas lo podrá conseguir independientemente del número de vértices (al menos dos lógicamente) y aristas. Puede hacerlo pero ahora terminando en el vértice de partida? Sólo lo conseguirá de esta forma si todos los vértices tienen un número par de aristas (a estos grafos cuyo dibujo es cerrado se les llama eulerianos). La teoría matemática que sustenta la resolución de versiones más generales de estos problemas se llama Teoría de Grafos. Su origen se remonta a 1736 cuando Leonhard Euler se planteó, se dice que a petición de los habitantes de Königsberg (actualmente Kaliningrado), el problema de pasear por los siete puentes sobre el río Preguel (Pregolya) volviendo al punto de partida sin pasar dos veces por el mismo puente. La respuesta es que no es posible, por qué? Desde entonces hasta nuestros días esta teoría se ha desarrollado enormemente con aplicaciones a campos tan diversos como la sociología, lingüística, electricidad, telecomunicaciones, deportes, genética, química, etc. En la economía, por ejemplo, se utiliza los grafos signados (+, -) para el análisis económico. Wold y Simon emplearon esquemas de flechados para relaciones de casualidad entre variables económicas y Rosenblatt, entre otros, los utilizó para formular condiciones de equilibrio en modelos lineales. En electrónica se utilizan para el diseño de redes, multiprocesadores y circuitos integrados. Actualmente en cualquier ciudad, las líneas de autobús están diseñadas para optimizar pasajeros y minimizar costes y tiempos. Los grafos dirigidos (las aristas tienen un solo sentido) y los grafos etiquetados resuelven problemas de tráfico en las grandes ciudades. Y para finalizar, para los amantes del ajedrez les propongo el juego del salto del caballo : situando el caballo en cualquier casilla del tablero, consiga pasar por las 63 restantes sin repetir dos veces en la misma casilla.11 José Cáceres Profesor Titular de Matemática Aplicada de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 22 de abril de 2004 El mundo en cuatro colores Coja usted un mapa (real o inventado) que esté dividido en diferentes países e intente colorear cada uno de ellos de manera que dos países con frontera común no compartan color. Intente hacerlo además con el menor número de colores. Cuántos ha necesitado?, cinco, seis,...? Pues existe una manera de hacerlo con cuatro colores, según afirma el Teorema de los Cuatro Colores, posiblemente uno de los resultados más importantes de las matemáticas del siglo XX, y que tiene una curiosa historia. En 1852, Francis Guthrie, un estudiante de leyes, le preguntó a su antiguo profesor Augustus de Morgan si existía algún resultado matemático que explicara por qué el mapa de los condados de Inglaterra puede colorearse con cuatro colores y si ocurre lo mismo con todos los mapas. Intrigado, de Morgan le planteó el problema a la mente más preclara de la época, William Hamilton pero la altiva respuesta de éste fue: no tengo tiempo para dedicarme a tonterías. En 1878, esta cuestión se expuso ante la London Mathematical Society y a partir de ese momento se inició una carrera contrarreloj para demostrar el resultado. Muchos dedicaron toda su vida a intentarlo, otros sólo le dedicaron algunos años. Trabajar en el problema de los cuatro colores tomó tintes de infección. Desde 1879 hasta 1976 aparecieron más de 90 intentos de demostración, todas fallidas. Sin embargo, este periodo no fue totalmente estéril ya que se hicieron avances parciales importantes. Por ejemplo se comprobó que cualquier mapa se puede colorear con cinco colores y que un mapa dibujado sobre un donut, sólo necesita siete colores. Finalmente en 1976, dos matemáticos americanos, Appel y Haken, construyeron la demostración mediante ordenador. El cálculo duró 50 días y generó 135 páginas de texto con 2500 diagramas y 400 microfichas. Tras la publicación del trabajo, los matemáticos se dividieron entre los que cuestionaban la demostración y los que cuestionaban los métodos tradicionales de las matemáticas. Actualmente la demostración es considerada correcta e incluso ha sido simplificada.12 Miguel A. Herrero Catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid y Miembro de la Comisión Científica de la Real Sociedad Matemática Española La Voz de Almería, 29 de abril de 2004 Las Matemáticas y las Ciencias de la Vida Qué pueden tener en común las Matemáticas y las Ciencias de la Vida? Las primeras, modelo de precisión y rigor, aparecen ante muchos como la antítesis de las segundas, absortas en el estudio de la materia viva, palpitante y variable. Acaso no son los seres vivos demasiado complejos para ser descritos en términos matemáticos? Sobre esta cuestión, que ya fascinó a Aristóteles, han reflexionado a lo largo de los siglos algunos de los pensadores más distinguidos de Occidente. Poco a poco se han ido juntando las piezas de un mosaico singular, que presenta desafíos extremos a la inteligencia de sus artífices, y a la vez ofrece la promesa de beneficios extraordinarios para la humanidad. En una época en que nuestra capacidad de cálculo supera lo que las generaciones precedentes pudieron soñar, la complejidad de los seres vivos constituye un obstáculo formidable, pero no insalvable, para los métodos matemáticos. Por ejemplo, los datos registrados durante las pruebas finales de ciertos aviones comerciales equivalen a un genoma humano por minuto. Vislumbramos un bosquejo, preliminar aún, pero ya reconocible, en el que el ser vivo aparece como un vasto sistema modular, formado por piezas conectadas entre si, y cuyo equilibrio se mantiene mediante delicados sistemas de control, fielmente descritos por modelos matemáticos. Simplificando mucho, el esquema recuerda al de los juguetes Lego, analogía utilizada por distinguidos expertos en el campo. El lector debe notar que aquí se habla más de Ciencia que de Ficción. De hecho, la tecnología en que se basan los aparatos que realizan radiografías y tomografías en nuestros hospitales es en gran parte matemática. Un reto actual lo constituye el desarrollo de métodos de diagnóstico no invasivos. Como ejemplo, citaremos la realización de colonoscopias virtuales, basadas en navegadores que reconstruyen la realidad tridimensional a partir de imágenes bidimensionales por procedimientos matemáticos. De otros ejemplos importantes hablaremos quizás en otra ocasión.13 Antonio Salmerón Profesor Titular de Estadística de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 6 de mayo de 2004 Modelos estadísticos para la detección de correo basura Cada vez es más frecuente que los buzones de correo electrónico se llenen con envíos no deseados, que no se limitan solamente a mensajes publicitarios, sino que se han convertido en una de las principales vías de transmisión de virus informáticos. Como en otros muchos problemas reales, las Matemáticas han aportado soluciones al respecto en forma de modelos estadísticos para la clasificación automática de mensajes. Por ejemplo, el lector de correo Mozilla incorpora un filtro que opera mediante el llamado clasificador bayesiano simple. Éste se basa en el conocido teorema de Bayes, que permite determinar la probabilidad de un determinado suceso a partir de la información de que se dispone. El suceso a analizar es si el mensaje recibido es basura, y la información disponible se refiere a las palabras que aparecen en el cuerpo y título, la dirección del remitente, los ficheros asociados, etc. Una cualidad importante de este clasificador es que puede adaptarse al perfil de cada usuario. Es posible corregir las decisiones del filtro y marcar como basura un mensaje clasificado a priori como válido y viceversa. Estas correcciones forman una muestra a partir de la cual se estiman las probabilidades condicionadas que intervienen en la regla de Bayes. De esta manera se pretende discriminar entre mensajes que para un usuario son basura y para otro no. Desde un punto de vista estadístico, el éxito de este clasificador se debe a la suposición de independencia condicional de todas las informaciones aportadas por el mensaje si se conociera la clase del mismo (basura o válido). Esta suposición reduce enormemente el número de parámetros o valores de probabilidad a estimar a partir de la muestra, aumentando de esta forma la precisión de los cálculos. Estos modelos estadísticos no sólo se aplican al filtro de mensajes, sino a otros muchos problemas de clasificación de vital importancia hoy en día, entre los que podemos destacar la detección de intrusos en sistemas informáticos.14 Juan F. Guirado. Profesor del I.E.S. Manuel de Góngora, Tabernas La Voz de Almería, 21 de mayo de 2004 El azar en la vida cotidiana Los juegos de azar existen desde hace miles de años, pero la base teórica que los estudia solo tiene unos cientos. A partir del siglo XVII grandes pensadores como Pascal comenzaron a sentar las bases de lo que hoy conocemos como la Teoría de la Probabilidad. Dicha teoría está presente en nuestra vida cotidiana en mayor o menor medida con aplicación en múltiples campos, como el económico o el militar. En siglos pasados, grandes matemáticos como Gauss, Bernouilli, Laplace o el reverendo Thomas Bayes fueron obteniendo resultados que ponían de manifiesto la importancia de esta nueva teoría. Kolmogorov consiguió axiomatizar el estudio de la Probabilidad y relacionarla con la Teoría de Conjuntos. John von Neumann y Oscar Morgenstern son considerados como los padres de la moderna Teoría de Juegos. En teoría, la probabilidad asigna, en igualdad de condiciones, las mismas posibilidades a cualquier suceso, número de casos a favor sobre todos los posibles casos (Regla de Laplace), sin embargo, en la práctica puede ser diferente. Un ejemplo: la familia García-Pelayo se planteó a mediados de los noventa que el azar en determinados juegos como la ruleta, no era tan influyente. Es decir, si un reloj se atrasa o un satélite se desvía de su órbita, por qué no va a ver un pequeño defecto en una ruleta que influya en el resultado? Por qué no va a existir, de todos los posibles resultados, unos cuantos que salgan más veces? En efecto con unas anotaciones seguidas de una ruleta y un análisis matemático de los datos detectaron cuales serían los siguientes números en salir. Así consiguieron ganar en casinos de todo el mundo a lo largo de algunos años. Otro ejemplo, en la lotería primitiva todas las combinaciones tienen la misma probabilidad de salir ganadoras, pero los números del 1 al 31 son los que más repetimos en nuestras apuestas. Por tanto, si queremos ser extremadamente ricos lo mejor es escoger combinaciones del 32 al 49. El azar adjudicaría éxito y suerte tan pronto a un general como a otro. Pero sólo César ganó cincuenta batallas André Maurois.15 Inmaculada López García Profesora Asociada de Estadística de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 28 de mayo de 2004 Matemáticas y Genética La genética de poblaciones es un tema en auge que con el paso del tiempo ha ido adquiriendo mayor interés dentro del campo de la biología, al cual la teoría de sistemas matemáticos viene proporcionando diversas aportaciones. Para el estudio del fondo genético de la evolución de la apariencia exterior o de las estrategias de comportamiento de los individuos de una especie, se están construyendo modelos dinámicos (sistemas que cambian con el tiempo), basados en ciertos conceptos genéticos y de teoría de evolución. Se puede considerar que tienen su punto de referencia en el modelo de Fisher de la selección natural (1930). En una población, la observación directa del estado de la composición de alelos (formas posibles de las unidades de herencia que determinan los caracteres de un individuo), resulta más complicada o costosa que la observación de las características fenotípicas o externas de sus individuos. Luego es interesante conocer cuándo las posibilidades de frecuencias alélicas, cuya determinación resulta siempre más compleja, quedan reducidas a una única que corresponda a la observación de fenotipos realizada, la cual suele ser relativamente más fácil de llevar a cabo. Este concepto matemático se conoce con el nombre de observabilidad. Dentro del estudio de la evolución de una especie y de cuáles pueden ser sus tendencias según el tiempo, surge en ocasiones el problema de que ésta no es la deseada para la población y por tanto la necesidad de intervenir en el modelo dinámico para, si es posible, cambiar su evolución. Por tanto, es conveniente saber si una intervención humana o algún cambio en el ambiente, puede conducir a la población de un estado a otro que sea más adecuado bajo determinadas circunstancias y que pueda evitar, por ejemplo, la posible extinción de un fenotipo. De esta manera podemos decir que la teoría de sistemas matemáticos es una herramienta útil para el desarrollo de técnicas que contribuyen al avance de la investigación de un importante campo como es el de la Genética.16 Frode Rønning Professor of Sør-Trøndelag University College, Trondheim, Norway La Voz de Almería, 4 de junio de 2004 The Beauty of Mathematics There is an ideal of beauty in mathematics, going back to ancient Greece, in the sense that mathematical reasoning should be clear and logical. Here I want to address another aspect of mathematical beauty, by drawing attention to the strong connection between mathematics and art and architecture. Artists have used mathematical principles in many different ways. We can think about how Piet Mondrian uses basic geometrical shapes, along with colours, to compose his pictures, or how M.C. Escher and Victor Vasarely use perspective and three dimensional illusions in various ways in their pictures. Artists from earlier periods also applied mathematical principles, e.g. when da Vinci used symmetry and perspective to create special effects in his famous picture The Last Supper, or when Michelangelo used the Golden Ratio to create the perfect proportions of the human body in his statue of David. Architecture is equally rich in mathematics, and sometimes it is hard to distinguish between art and architecture. What better place could there be to experience this connection that in the Alhambra in Granada. The Moors left a legacy of beautiful patterns which are very rich in mathematical content, especially for investigating symmetry. It is fascinating to think of that the patterns of Alhambra can produce mathematical challenges for everybody, from small children exploring the concept of symmetry to research mathematicians. Bringing up these well known names from art history I want to encourage the principle of looking at art through mathematical spectacles. By this I mean that when we visit an art museum we could, in addition to all the other impressions that we get, think a little about mathematical principles in the works that we look at. Maybe this will even bring out some new perspectives of the art work, perspectives that we did not see in the first place. I encourage you to try! Another effect of this approach to mathematics and art could be that it evokes the interest for mathematics in larger groups of people, especially in children and students, by introducing to them aspects of mathematics that traditionally have not been much addressed.17 (Versión traducida por Juan J. Moreno Balcázar que apareció en el periódico) La belleza de las Matemáticas Existe un ideal de la belleza en las Matemáticas, que se remonta a la antigua Grecia, según el cual el razonamiento matemático debería ser claro y lógico. Aquí deseo resaltar otro aspecto de la belleza matemática, prestando atención a la profunda relación de las matemáticas con el arte y la arquitectura. Los artistas han usado principios matemáticos de muy diversas maneras. Pensemos en cómo Piet Mondrian usa formas geométricas básicas, junto con los colores, para realizar sus cuadros o cómo M.C. Escher y Víctor Vasarely usan la perspectiva y las ilusiones tridimensionales en sus obras pictóricas. También los artistas de épocas pasadas aplicaron principios matemáticos. Da Vinci usó la simetría y la perspectiva para crear los efectos pictóricos en su Última Cena. Miguel Ángel usó la divina proporción o proporción áurea para crear las proporciones perfectas del cuerpo humano en su David. La arquitectura es igualmente rica en aspectos matemáticos y a veces es difícil distinguir entre ésta y el arte. Qué mejor lugar para entender esta conexión que en La Alhambra de Granada? Los árabes dejaron un legado de bellos diseños repletos de contenido matemático, especialmente desde el punto de vista de la investigación de simetrías. Es fascinante pensar que esos diseños geométricos de La Alhambra son capaces de producir desafíos matemáticos en todos, desde los niños que exploran el concepto de simetría hasta los investigadores matemáticos. Al evocar grandes nombres de la historia del arte pretendo proponer la idea de mirar al arte a través de una óptica matemática. Con esto quiero decir que cuando visitemos un museo, además de todas las impresiones que nos suscite, deberíamos pensar un momento en los principios matemáticos de las obras que observamos. Tal vez incluso podríamos obtener nuevas perspectivas de la obra de arte, perspectivas que no captábamos al principio. Les animo a intentarlo! Otro efecto de este acercamiento a las matemáticas y al arte podría hacer surgir el interés por las matemáticas en grupos más amplios de población, sobre todo en niños y estudiantes, al introducirles aspectos matemáticos que tradicionalmente no han sido objeto de mucha atención.18 Juan Soler Catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad de Granada La Voz de Almería, 18 de junio de 2004 La nueva ingeniería matemática Hubo un tiempo en el que las matemáticas se cimentaban en la resolución de problemas. La medición de la altura de las pirámides condujo a Pitágoras a su famoso teorema; la mecánica, la astrofísica y la mecánica de fluidos (relacionada con problemas de canalizaciones) en los siglos XVII y XVIII fomentaron las ecuaciones diferenciales. Hubo un tiempo, más cercano, en el que la conexión con otras ciencias provocó un desarrollo espectacular en sus fundamentos como ocurrió en los años 20 y 30 del pasado siglo con el gran avance en mecánica cuántica (impulsada por la industria química) protagonizada por Einstein, Von Neumann, Dirac, Schrödinger o Heisenberg, entre otros matemáticos, físicos, químicos o ingenieros. Sin embargo, hay otra realidad: después de la primera revolución industrial parte de las matemáticas decidió separarse de las otras ciencias y aún sufrimos este efecto devastador, ya que los grandes desarrollos matemáticos suelen presentarse históricamente parejos a varias disciplinas. Comprender la realidad a través de su modelado es uno de los retos más fascinantes y motivadores de la actividad matemática. Diversos modelos corresponden a escalas distintas de descripción de un mismo fenómeno. Los anillos de Saturno son un ejemplo; según la escala vemos la evolución de grandes asteroides inmersos en una nube de polvo estelar, más distante puede modelarse mediante la cinética de gases o aún más lejos observarlo como un fluido. Lo que realmente parece mágico, aunque no lo sea, es la relación intrínseca entre modelos: la descripción microscópica, que planteó Schrödinger, de la evolución de los electrones en un medio cristalino explica ciertos fenómenos de radiación en astrofísica. Esta interdependencia enriquece a las otras ciencias, ya que la retroalimentación entre realidad y modelo matemático posibilitará la obtención de resultados de difícil observación o de elevado coste en la experimentación; baste mencionar la fusión nuclear, extracción de petróleo, modelos de corazón artificial o circulación sanguínea, de economía, formación de plásticos (polímeros) y materiales, nanociencia o el tratamiento de imágenes. Además, el contacto con el problema desde su origen puede sugerir diversos métodos o técnicas que desemboquen en nueva matemática relevante y de interés en sí misma. La nueva ingeniería matemática es una vuelta hacia la esencia de los orígenes de la matemática: el conocimiento de la realidad y la resolución de problemas que es la idea base del modelo Pitagórico (tremendamente moderno) de una ciencia integral, sin fronteras.19 Florencio Castaño Iglesias Profesor Titular de Matemática Aplicada de la Universidad de Almería La Voz de Almería, 30 de junio de 2004 Optimización de recursos Cualquier proceso que involucre una toma de decisiones lleva implícito la resolución de un problema de optimización: elección de las variables de decisión, modelización (descripción matemática) del objetivo u objetivos a alcanzar y cumplimiento de los recursos disponibles (restricciones). La gestión de un servicio hospitalario, la elección de rutas que minimicen el coste del transporte o la distribución de mercancías, la gestión de una cartera de valores financieros, donde los inversores intentan al mismo tiempo reducir el riesgo y aumentar los beneficios, son algunos de los ejemplos donde se utilizan técnicas de optimización. En Medicina, podríamos mencionar la terapia de radiación para pacientes con cáncer, dónde determinadas dosis de radiación pueden destruir células e impedir su crecimiento y división. Se trata de determinar la intensidad de radiación que hay que aplicar en cada microcampo de modo que la dosis aplicada a la zona del tumor sea como mínimo un determinado nivel objetivo. Muchos de estos problemas tienen una estructura lineal, donde tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. En 1947 George B. Dantzig, consejero matemático de la Fuerza Aérea Norteamericana durante la Segunda Guerra Mundial, logró crear un algoritmo*, conocido como algoritmo del Simplex, que le permitía resolver, después de un número finito de pasos, cualquier problema de optimización lineal. En palabras del propio Danzig en 1991: El tremendo poder del método Simplex me sorprende. En el 2002 el Simplex fue elegido como uno de los diez algoritmos de mayor influencia en el desarrollo de la ciencia y la ingeniería durante el siglo XX. Sin embargo, por ser un algoritmo de tipo exponencial la debilidad del método aparece a la hora de resolver problemas con gran número de variables. Por eso, en los últimos 20 años se ha intentado buscar algoritmos de tipo polinomial que permitieran rebajar el tiempo de resolución como, por ejemplo, los algoritmos de Punto-Interior, muy utilizados actualmente, cuyos orígenes son un trabajo de Karmarkar en Como decía George B. Dantzing: Los que mandan generalmente mueven las manos y dicen: He considerado todas las alternativas. Lo más probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. *Un algoritmo es un conjunto finito de instrucciones o pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema.20 Eufrasio Rigaud Licenciado en Matemáticas La Voz de Almería, 16 de julio de 2004 Estimación de la energía solar desde el espacio Para poder sacar el máximo partido en la ubicación de una central solar, es indispensable tener en cuenta diversos factores como nubosidad, ubicación, absorción atmosférica, etc, los cuales son difíciles de estimar. Una herramienta fundamental en la estimación de la energía solar y, en general, en el desarrollo de las ciencias de la Tierra, es la teledetección espacial. Esta se define como el conjunto de conocimientos y técnicas utilizados para determinar características físicas y biológicas de objetos mediante mediciones desde el espacio, sin el contacto material con los mismos. Las matemáticas son indispensables para que sea posible la teledetección ya que por ejemplo, satélites meteorológicos como el Meteosat necesitan estar fijos en el cielo, es decir, que desde la Tierra siempre parezca que están en el mismo sitio. Pero para eso es necesario buscar una órbita en la que el satélite tarde exactamente un día en dar una vuelta en torno a la Tierra, para determinar esta órbita es necesaria la resolución numérica de ecuaciones orbitales. Por otro lado, las imágenes que toman los satélites suelen contener bastantes errores creando puntos negros, para obtener la imagen correcta es necesario utilizar diversas técnicas matemáticas. Por tanto, para determinar mediante teledetección la energía solar que alberga un lugar concreto es necesario modelizar la radiación solar que llega en ese punto en todo tipo de condiciones de cielo ya que las nubes son la fuente de variabilidad más importante. Pero su caracterización resulta complicada, ya que no es lo mismo un cielo cubierto por cúmulos (nubes buen tiempo) que por nimboestratos. Es aquí donde el uso de satélites nos puede ayudar, ya que estos son muy eficientes en la detección y clasificación de nubes. El uso de imágenes de satélite nos permite estudiar amplias zonas de la superficie terrestre de una sola vez. Sin embargo no basta con el uso de satélites, también hay que tener en cuenta que de toda la radiación solar que alcanza la atmósfera terrestre, una fracción es reflejada de nuevo al medio interplanetario, otra es absorbida por la propia atmósfera y el resto se transmite hacia la superficie terrestre, la cual puede ser dispersa por aerosoles, pequeñas partículas sólidas o líquidas que se mantienen suspendidas en la atmósfera. Mostrar más
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