Source: http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=13&ordering=3&limitstart=150&Itemid=400001
Timestamp: 2015-01-25 18:14:41+00:00

Document:
﻿	Home » Recursos	Recursos Categorías: Sólo títuloSólo introducciónTítulo e introducciónContenidoEtiquetas Ordenar por...Titulo A - ZTitulo Z - AFecha creación ASCFecha creación DESCFecha modificación ASCFecha modificación DESC	Resultados 151 - 160 de 180	151. Fórmula de Euler para poliedros (Conceptos intermedios) Recursos/Herramienta Zome
Autor:-	Conceptos de Matemáticas Objetivo: Los alumnos descubrirán la fórmula de Euler para poliedros y verán que es válida para cualquier poliedro convexo. Requisitos previos Habilidad para construir e identificar distintos poliedros incluyendo los cinco sólidos platónicos (“Poniendo nombre a las figuras bidimensionales y tridimensionales”, “Sólidos platónicos I” y “Sólidos platónicos II”) Tiempo necesario Una o dos clases de 45-60 minutos. Materiales Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos. Una patata o un trozo de espuma o corcho blanco. Procedimiento Comienza la clase con un breve repaso de lo que saben tus alumnos de los poliedros. ¿Qué es un poliedro o un sólido? ¿Cómo se llaman? ¿Quién sabe cuáles son los sólidos platónicos? ¿Cuántos son?¿Alguien conoce otros sólidos? Haz en la lista una pizarra con los sólidos de la tabla de abajo. Explica a los alumnos que hay una relación numérica entre las caras, aristas y vértices de cualquier poliedro. ¿Cómo podemos encontrar esta relación? Divide la clase en grupos de cinco alumnos. Su tarea es encontrar la fórmula que relacione esos elementos. Deben comenzar construyendo cada una de las figuras de la lista. Deben copiar en sus cuadernos los nombres de todos los sólidos y hacer una tabla para anotar el número de caras, aristas y vértices ayudándose para hacerlo de las figuras que han construido. Cuando terminen, sus tablas deben quedar así: Caras Artistas Vértices Tetraedro 4 6 4 Octaedro 8 12 6 Hexaedro (cubo) 6 12 8 Icosaedro 20 30 12 Dodecaedro 12 30 20 Prisma triangular 5 9 6 Prisma pentagonal 7 15 10 Pirámide pentagonal 6 10 6 Los alumnos deben seguir trabajando hasta que encuentren la relación que une las caras, las aristas y los vértices de cada figura. Probad sumando y restando los números en distintas combinaciones hasta encontrar una fórmula que proporcione siempre la misma respuesta. Una vez deducida la fórmula correcta, escríbela en la pizarra: Caras + Vértices = Aristas + 2 C + V = A + 2 o C + V – A = 2 Esta fórmula se llama “Fórmula de Euler” a raíz de que el matemático suizo Leonhard Euler la descubriera en 1752. Euler demostró que la fórmula es válida para cualquier poliedro convexo, sea o no regular. Si queda tiempo, prepara una demostración de la fórmula utilizando una patata (o un trozo de corcho blanco) y un cuchillo. Ve cortando la patata hasta que salga un poliedro cualquiera. Cuenta las caras, las aristas y los vértices ayudándote de un rotulador para marcar los elementos ya contados. Muestra en la pizarra que los números coinciden con la fórmula de Euler. Otra opción es dejar que los alumnos construyan distintos poliedros irregulares y que comprueben ellos mismos que la fórmula funciona. ¿Alguien sabe para qué puede servir esta fórmula? Por ejemplo, si un constructor sabe el número de varillas y conectores de una cúpula geodésica, puede calcular el número de paneles necesarios para construirla. Evaluación Revisa las tablas y las fórmulas de los cuadernos de los alumnos. Para superar los contenidos mínimos los alumnos deben construir y conocer el nombre de os poliedros de la lista, contar sus elementos e intentar deducir una fórmula general. Superan ampliamente esos contenidos mínimos si son capaces de explicar la fórmula de Euler. Estándares del NCTM Resolución de problemas matemáticos como método de investigación y aplicación (Estándar NCTM 1) Las matemáticas como medio de comunicación (Estándar NCTM 2). Las matemáticas como razonamiento (Estándar NCTM 3) Estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12) Posibilidades de ampliación Más trabajo con la geometría de los poliedros (“Sólidos arquimedianos”, y construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Comentar las demostraciones de las fórmulas matemáticas. Martes, 19 de Abril de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	152. Diviértete con Fibonacci (Conceptos intermedios) Recursos/Herramienta Zome
Autor:-	Conceptos de Matemáticas y Biología Objetivo: Los alumnos descubrirán los números de Fibonacci en la simetría de las plantas. Los alumnos aprenderán la serie de Fibonacci descubriéndola en la simetría de las plantas. Requisitos previos Trabajo previo con líneas de simetría en geometría y en objetos de la naturaleza (“¿Qué es la simetría?”, “Simetría múltiple” y “Simetría rotacional”). Tiempo necesario Una clase de 45-60 minutos. Materiales Un Kit Creador del Sistema Zome. Varias piñas de pino. Una piña. Una coliflor. Una alcachofa. Girasoles de distintos tipos y tamaños Póster de los números de Fibonacci en la naturaleza (ver la sección de Materiales) Procedimiento Divide la clase en grupos de 3-4 alumnos y reparte entre ellos las piezas del Sistema Zome. Repasa los conceptos de simetría, la geometría del Sistema Zome y los números en la naturaleza. ¿Qué figuras son las que aparecen en los nodos del Sistema Zome? ¿Qué números representan estas figuras? ¿Dónde encontramos los números 2, 3 y 5 en la naturaleza? ¿Qué simetrías encontramos en las plantas? Si la clase no lo dice, algunos ejemplos son: simetría de orden 3 en pimientos verdes, tréboles, plátanos; simetría de orden 5 en manzanas, campanillas y otros muchos tipos de flores, y simetría de orden 2 en las almendras y nueces. Pide a los alumnos que construyan algunos polígonos simples y señalen sus líneas de simetría. La pregunta que hay que contestar en esta lección es si hay otros números presentes en los objetos de la naturaleza. Reparte las frutas y verduras entre los alumnos y dales un par de minutos para intentar averiguar dónde pueden encontrarse los números. Si buscamos espirales en las plantas, ¿qué encontramos? ¿Las espirales están en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario? ¿Cuántas espirales con el sentido de las agujas del reloj hay en tu objeto? Haz que los alumnos preparen una tabla donde figure el tipo de objeto, el número de espirales en el sentido de las agujas del reloj y el número de espirales en el sentido contrario. ¿Cuántas espirales hay en el sentido de las agujas del reloj? Hay que tener cuidado de no contar dos veces la primera espiral. Utiliza un alfiler o un rotulador para señalar el punto de partida. ¿Son iguales las espirales en distintas direcciones? ¿Es alguna espiral más estrecha que otra? Pide a los alumnos que digan el número de espirales que han encontrado. ¿Qué patrón aparece? Deja tiempo a los alumnos para que descubran la naturaleza aditiva de las series. Escribe los números 2, 3, 5 en la pizarra. ¿Cómo están relacionados estos números? ¿Cómo pueden formar otro de ellos? (2+3=5) ¿Cuál es el siguiente número de la serie? (3+5=8). Sigue preguntando hasta que la clase deduzca la serie entera: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Comparad estos números de la serie con los números encontrados en las espirales de los objetos de la naturaleza, ¿hay alguna semejanza? Esta serie, conocida como la Serie de Fibonacci, la descubrió a finales del siglo XII el matemático italiano Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci. Aunque fue el primero en escribir esta serie numérica, no sabía que estos números estaban presentes en la naturaleza. Si nos fijamos en las tres longitudes del mismo color en el Sistema Zome, podemos ver cómo la serie también está presente aquí. ¿En qué se parecen los tres tamaños de un mismo color y la serie Fibonacci? Hay dos relaciones. Primero, la varilla pequeña y la mediana juntas miden lo mismo que la varilla larga. Segundo, cada varilla es más larga que la anterior en la misma proporción. Termina la lección mostrando más ejemplos de la presencia de la serie de Fibonacci en la naturaleza. Puedes utilizar posters o libros. Evaluación Revisa las tablas de los alumnos y las notas que hayan tomado en sus cuadernos. Para alcanzar los objetivos mínimos de la lección, los alumnos deben saber mostrar números de la serie de Fibonacci en objetos de la naturaleza. Superar ampliamente estos contenidos mínimos si señalan la relación entre los números de sus tablas y la serie de Fibonacci. Estándares del NCTM Desarrollo del número y sus relaciones (NCTM 5). Sentido numérico y numeración (Estándar NCTM 6) Estudio de series y funciones (Estándar NCTM 8) Estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12) Posibilidades de ampliación Ampliación del trabajo con la serie de Fibonacci y el estudio de Sección áurea (pág. 10 del Manual del Sistema Zome, “Encontrando a Phi”, página 20 del manual del Sistema Zome, y “Los números de Fibonacci y la Sección áurea”, pags. 21-23 del Manual del Sistema Zome, y “Semejanza y la Sección áurea”. Martes, 19 de Abril de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	153. Números de Fibonacci y la Sección áurea (Conceptos intermedios) Recursos/Herramienta Zome
Autor:-	Conceptos de Matemáticas Objetivo: Los alumnos estudiarán las relaciones entre las propiedades aditivas de los números de Fibonacci y las propiedades aditivas de la Sección Áurea, y estudiarán las relaciones entre ambos. Requisitos previos Haber trabajado con series de Fibonacci (“Simetría múltiple”, “Diviértete con Fibonacci” y la página 10 del Manual del Sistema Zome). Conocimientos básicos de las propiedades de la Sección Áurea (“Encontrando a Phi”, página 20 del Sistema Zome). Tiempo necesario Una o dos clases de 45-60 minutos. Materiales Dos Kits Creador del Sistema Zome. Papel cuadriculado. Calculadora (una para cada 5 alumnos). Procedimiento Divide la clase en grupos de 5 alumnos y reparte a cada grupo varios nodos del Sistema Zome y varillas de un color en los tres tamaños del Sistema Zome. Revisa los conceptos de progresión geométrica de la clase “Buscando a Phi”. En esta progresión de la sección áurea, dos elementos de la serie se suman para formar el siguiente elemento de la serie. ¿Cómo se puede demostrar con las varillas que tenéis? Deja que los grupos trabajen durante un rato con las varillas para que establezcan la progresión. Comparando los tamaños de la varilla más larga con la pequeña y la mediana añadidas juntas se puede mostrar el inicio de la serie (varilla pequeña + varilla mediana = varilla larga). ¿Cuál serie el siguiente elemento de la serie? En la lección “Encontrando a Phi”, aprendimos que X + 1 = X2 para la sección áurea, y que t2 = t + 1. Deja que los alumnos continúen la serie utilizando la regla de adición. ¿Cuál es el patrón de esta serie? El nombre de esta serie es Serie de Fibonacci. ¿Cómo se relacionan estos números con la Sección de Oro? ¿Se parecen en cómo se construyen? ¿En qué se diferencia de la Sección de Oro? ¿Cuál contiene todos los números? ¿Qué tipo de números contiene la Sección de Oro? Si las dos series se relacionan en que dos valores previos se suman para obtener un tercero, habrá una relación entre los cocientes de dos números consecutivos. Pide a los alumnos que intenten descubrir qué ocurre al valor del cociente entre números consecutivos a medida que crece la serie, utilizando el papel cuadriculado y la calculadora. Da más tiempo a los alumnos para que los grupos estudien las relaciones en los gráficos. La forma más fácil de estudiar la relación es dibujando un gráfico en la pizarra y marcando el valor de t (1,6180339…) como una línea horizontal sobre el eje x. Pide a los alumnos que dibujen los sucesivos cocientes entre números consecutivos de la serie de Fibonacci y que los dibujen en el mismo gráfico. El primer cociente es 1/1=1, el segundo 2/1=2, el tercero 3/2=1,5, el cuarto 5/3=1,666…, 8/5=1,6; 13/8=1,625, etc. Los alumnos verán que los valores van alternándose por encima y por debajo de la Sección de Oro. Estos cocientes convergen rápidamente al valor exacto de t, y la relación entre los números se ve claramente. Los grupos deben comentar las implicaciones matemáticas y filosóficas de lo estudiado, y anotar sus conclusiones en los cuadernos. Evaluación Revisa los gráficos de los grupos así como las notas individuales en los cuadernos de los alumnos. Para superar los objetivos mínimos los alumnos deben saber mostrar con las varillas del Sistema Zome las propiedades aditivas de la proporción áurea y de la serie de Fibonacci. También deben saber que la Serie de Fibonacci y la Proporción áurea se diferencian en que la primera consta de todos los números, mientras que la segunda está formada por números irracionales. Para superar ampliamente los contenidos mínimos los gráficos deben mostrar cómo los cocientes entre números consecutivos de la serie de Fibonacci convergen a la Sección Áurea. Estándares del NCTM Desarrollo del número y sus relaciones (NCTM 5). Sentido numérico y numeración (Estándar NCTM 6) Estudio de series y funciones (Estándar NCTM 8) Posibilidades de ampliación Más trabajo con el número áureo (paginas 21-23 del Manual del Sistema Zome, y “Semejanza y la Sección áurea”). Martes, 19 de Abril de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	154. Sólidos arquimedianos (Conceptos avanzados) Recursos/Herramienta Zome
Autor:-	Conceptos de Matemáticas y Filosofía Objetivo: Los alumnos estudiarán los sólidos semiregulares o arquimedianos. Averiguarán cuántos sólidos existen, cuáles de ellos pueden construirse con el Sistema Zome y se encargarán de construir uno de ellos. Requisitos previos Conocimiento de polígonos básicos (“Figuras geométricas”) y saber definir figuras bidimensionales y tridimensionales (“Figuras bidimensionales y tridimensionales”). Experiencia previa en la construcción de sólidos geométricos (“Sólidos platónicos I”, “Sólidos platónicos II” y “Estrellas bidimensionales y tridimensionales”). Tiempo necesario Dos clases de 45-60 minutos. Materiales Dos o tres Kits Creador para 25-30 alumnos o dos kits Creador más un paquete extra de varillas azules. 4 o 6 paquetes de varillas verdes del Sistema Zome si es posible. Polígonos de cartulina de la sección de “Materiales” Unas tijeras por equipo Un rollo de cinta adhesiva por equipo Procedimiento Prepara la clase construyendo unos cuantos polígonos regulares de papel. Una forma fácil de hacerlo es ampliando las figuras de la sección de “Materiales” al 200% o 300% y recortándolas. Para poder trabajar con ellas es mejor si se copian o se pegan sobre una cartulina. Comienza la clase con un breve repaso de los poliedros. ¿Los poliedros están siempre formados por polígonos? ¿Cómo se llaman los poliedros? ¿Qué es un poliedro regular o un sólido platónico? (Figuras convexas con todas las caras, las aristas y los ángulos iguales) ¿Cuántos existen? (5) ¿Qué polígonos los forman? ¿Cómo se llaman? En esta lección los alumnos trabajarán con otro tipo de poliedros llamados semirregulares, o sólidos arquimedianos. ¿Por qué les llamamos semirregulares? (Se componen de más de un polígono regular y tienen vértices iguales) Divide la clase en grupos de 3-4 alumnos y reparte entre ellos las piezas del Sistema Zome, las tijeras, la cinta y los polígonos de cartulina. Su tarea es averiguar cuántos poliedros semirregulares existen utilizando los polígonos de cartulina y el Sistema Zome. ¿Cómo podemos averiguar cuántos sólidos de ese tipo existen? ¿Es un número finito o infinito? Pide a los alumnos que anoten en sus cuadernos las respuestas. Comentad las distintas estrategias que propongan los alumnos. Vértices posibles con varillas azules 1 pentágono, 2 hexágonos 2 pentágonos, 2 triángulos 2 decágonos, 1 triángulo 2 pentágonos, 2 triángulos 1 pentágono, 2 cuadrados, 1 triángulo Vértices posibles con varillas verdes 2 hexágonos, 1 triángulo 2 cuadrados, 2 triángulos 3 cuadrados, 1 triángulo 2 hexágonos, 1 cuadrado 1 octógono, 1 cuadrado, 1 hexágono 1 pentágono, 4 triángulos Vértices imposibles de construir con el Sistema Zome 1 cuadrado, 4 triángulos 1 pentágono, 4 triángulos Una posible estrategia es decidir primero de cuántas formas pueden encajarse los polígonos para crear un vértice del poliedro. Los alumnos deben tener en cuenta que los vértices/sólidos formados por polígonos iguales constituyen los 5 sólidos platónicos o sólidos regulares. Para ser un vértice “válido” la suma de los ángulos formados por las caras debe ser menor que 360º. Los equipos deben construir tantos vértices como puedan utilizando el Sistema Zome. Pueden utilizar también los polígonos de cartulina pegándolos. Deja 25-30 minutos para que construyan las figuras. Los alumnos deben tomar notas en sus cuadernos. Estudiad entre todos los vértices. ¿Cuántos de los 13 posibles sólidos han encontrado los alumnos? ¿Cuántos se han podido construir con las varillas azules? ¿Cuántos han necesitado las varillas verdes? Los 13 sólidos se muestran en la tabla de la derecha. Seis de los vértices, y sus correspondientes sólidos, necesitan varillas verdes. Dos de los sólidos no pueden construirse con el Sistema Zome y deben construirse con los polígonos de cartulina. La siguiente tarea de los equipos es elegir uno de los vértices que pueden construirse con el Sistema Zome y formar el sólido entero. Pueden aprenderse el nombre y la composición del sólido y enseñárselo al resto de la clase. La tabla de más abajo puede escribirse en la pizarra o dársela en papel a los alumnos. ¿Qué podemos decir sobre el número de los distintos polígonos de los sólidos? ¿Qué números se repiten? ¿Cómo se relacionan los números de los distintos polígonos con los sólidos platónicos? Los sólidos de la lista fueron descritos por el matemático y filósofo griego Arquímedes (287-212 a.C.). Los sólidos arquimedianos no son habituales en la naturaleza, aunque la molécula del carbono 60 tiene forma del icosaedro truncado. Robert Curl y Richard Smalleyde la Universidad Rice de Texas, junto a Harold Kroto de la Universidad de Sussex de Inglaterra, fueron galardonados con el premio Nobel de Química en 1996 por el descubrimiento de esta molécula Como ejercicio de ampliación puede comprobarse la fórmula de Euler en todas las figuras construidas por los alumnos. Nombre del sólido Caras Cuboctaedro 6 cuadrados y 8 triángulos Gran Rombicosidodecaedro o Icosidodecaedro truncado 12 decágonos, 20 hexágonos y 30 cuadrados Gran Rombicuboctaedro o Cuboctaedro truncado 6 octógonos, 8 hexágonos y 12 cuadrados Icosidodecaedro 12 pentágonos y 20 triángulos Pequeño Rombicosidodecaedro o Rombicosidodecaedro 12 pentágonos, 20 triángulos y 30 cuadrados Pequeño Rombicuboctaedro o Rombicuboctaedro 18 cuadrados y 8 triángulos Cubo romo 6 cuadrados, 32 triángulos Dodecaedro romo 12 pentágonos y 80 triángulos Cubo truncado 6 octógonos y 8 triángulos Dodecaedro truncado 12 decágonos, 20 triángulos Icosaedro truncado 12 pentágonos y 20 hexágonos Octaedro truncado 6 cuadrados y 8 hexágonos Tetraedro truncado 4 hexágonos y 4 triángulos Evaluación Observa a los alumnos mientras construyen las figuras y toman nota de sus descubrimientos. Revisa sus cuadernos. Para alcanzar los objetivos de la lección, los alumnos deben construir al menos 5 de los vértices utilizando el Sistema Zome o los polígonos de cartulina. Superan ampliamente el objetivo si identifican las 13 posibilidades y averiguan cuántas pueden construirse con el Sistema Zome. Estándares del NCTM Estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12) Posibilidades de ampliación Seguir trabajando en las figuras de los poliedros (construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Más trabajo con mosaicos tridimensionales (“Teselas tridimensionales” y “La ciudad colmena”). Martes, 19 de Abril de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	155. La ciudad colmena (Conceptos avanzados) Recursos/Herramienta Zome
Autor:-	Conceptos de Matemáticas Objetivo: Los alumnos descubrirán por qué la forma de una colmena de abejas se basa en la geometría del almacenaje más denso de esferas en tres dimensiones. Requisitos previos Conocimiento de polígonos básicos (“Figuras geométricas”) y saber definir figuras bidimensionales y tridimensionales (“Figuras bidimensionales y tridimensionales”). Saber construir sólidos geométricos y conocer sus nombres (“Sólidos platónicos I”, “Sólidos platónicos II” y “Estrellas bidimensionales y tridimensionales”). Tiempo necesario Dos clases de 45-60 minutos. Materiales Tres Kits Creador o Dos Kits Creador junto a dos bolsas de varillas amarillas Monedas, unos 50 céntimos por equipo Pelotas de ping pong, unas 10 por equipo Cartulinas con rombos para recortar (ver la sección de Materiales) Tijeras y cinta adhesiva para cada equipo Pegamento Un panal de abejas real (una por equipo si es posible) Procedimiento Comenzad hablando de las colmenas de las abejas. ¿Con qué forma hacen las abejas sus colmenas? ¿Sabe alguien por qué todas las abejas hacen las colmenas con la misma forma? Inicia un debate sobre la eficiencia de la naturaleza y sus estructuras. ¿Hay algún ejemplo en que la naturaleza malgaste energía complicando una estructura, camino o tarea? Deja que los estudiantes den todos los ejemplos que se les ocurra donde la naturaleza conserve la energía y maximice su eficiencia. Si no se les ocurre ninguno, puedes sugerir: las superficies de las burbujas, la formación de semillas, los animales que hibernan en invierno, el flujo de un río, la formación de cristales en rocas y minerales y las largas orejas de los conejos como controladores de la temperatura. ¿Cuál es el propósito de la colmena? El propósito es doble: la colmena sirve como sala incubadora de las abejas obreras, además de cómo almacén de miel, que es su comida durante el invierno. Así que tiene sentido que las abejas quieran el mayor número de depósitos en un determinado espacio. ¿Qué espacio cumplirá estos dos propósitos? ¿Cuántas otras celdas deben tocar cada celda? ¿Cómo se podría averiguar? Reparte los céntimos entre los grupos y déjales probar con diferentes combinaciones. ¿Cuál es el mayor número que pueden tocarse sin superponerse? ¿Cuál es el menor? ¿Cuál es la mejor forma para que encajen el mayor número de céntimos, sin que se superpongan? ¿Cómo podemos dibujar líneas para quitar los huecos entre los céntimos? Cuando los grupos hayan encontrado la mejor estructura, deben hacer una copia con varillas azules del Sistema Zome. Se llama estructura hexagonal compacta. Las abejas viven en tres dimensiones. Utiliza las pelotas de ping-pong y el pegamento para repetir los ejercicios. ¿De qué forma se puede conseguir que cada pelota toque el menor número posible del resto de pelotas? ¿Y qué toquen el máximo número de pelotas?Moviéndote en tres dimensiones, cuenta las pelotas que se tocan (vecinos más próximos). Una manera de lograrlo es empezando con una pelota y ver cuántas esferas pueden pegarse a la pelota central. Otra forma es pegar juntas el conjunto con más pelotas en dos dimensiones, apilar encima otro grupo de pelotas y pegarlo, y cuando se seque el pegamento, pegar otra capa por debajo. Cada grupo debe crear el conjunto con más pelotas pegadas. ¿Cómo podemos aplicar la estructura hexagonal del modelo con céntimos a la versión tridimensional? En lugar de líneas de paso a través de los puntos de contacto entre los céntimos, pasa un plano a través de los puntos de contacto entre las pelotas de ping-pong. ¿A qué se parecerá? ¿Podéis describir la figura que se formará? ¿Cómo podemos verlo? Si la clase no puede visualizar las figuras, déjales que utilicen las cartulinas con los rombos encima. Recorta las figuras y encájalas. Esta figura tendrá 12 caras que son rombos idénticos. Se llama rhombic dodecahedron/ rombododecaedro. Esta figura puede rellenar espacios con copias de ella misma. Pide a cada grupo que construya un rombododecaedro con el Sistema Zome. ¿Qué relación tiene con la colmena? Divide la colmena en trozos, uno para cada grupo y repártelos. ¿A qué se parece la parte de abajo? ¿Qué hay al otro lado? ¿Una colmena está formada sólo por hexágonos? Comentad cómo la base de la colmena está dividida en 3 rombos iguales, que se juntan en ángulo. Compáralo con el rombododecaedro. ¿En qué se parecen? El rombo tiene las diagonales en proporción 1:2 ¿Cómo podemos hacer una figura de un panal de abejas con el Sistema Zome? ¿Cómo podemos cambiar el rombododecaedro para que parezca una colmena? Deja tiempo a los grupos para que averigüen que deben utilizar las varillas amarillas cortas y las largas para construir rombododecaedros alargados para formar una columna hexagonal con grupos de tres de rombos. Deben quitar uno de los grupos en una de las terminaciones. Algunas de estas columnas pueden juntarse para construir un panal. ¿Cómo podemos construir el otro lado? Mirad la colmena real para ver cómo dos columnas, cada una a un lado, encajan juntas en la base. ¿Cómo podemos encajarlas en el otro lado? ¿Cómo se compara la posición de las columnas de un lado con la posición al otro lado? ¿Cómo se relacionan? ¿Cuántas cámaras de abejas encajan en un cubo dentro de una colmena real? Termina la lección con un breve repaso de la efectividad de la colmena como sistema de almacenaje en tres dimensiones. Evaluación Haz preguntas a los alumnos mientras trabajan y revisa sus cuadernos. Para alcanzar los objetivos mínimos de la lección, los alumnos deben averiguar qué figuras serán las mejores como almacén en dos y tres dimensiones. Superan ampliamente los contenidos mínimos si saben construir un panal con el Sistema Zome y explicar por qué esta estructura responde a las necesidades de las abejas. Estándares del NCTM Estándares de Ciencias: Estructuras biológicas, el uso de la energía en la naturaleza y comportamiento animal. Ampliación de resolución de problemas (Estándar NCTM 1). Estudio de la geometría de dos y tres dimensiones (Estándar NCTM 7) Posibilidades de ampliación Más trabajo con figuras de poliedros (“Sólidos arquimedianos” y construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Martes, 19 de Abril de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	156. Semejanza y la Sección áurea (Conceptos avanzados) Recursos/Herramienta Zome
Autor:-	Conceptos de Matemáticas Objetivo: Los alumnos aprenderán que las relaciones algebraicas de la sección áurea pueden deducirse directamente de la propiedad geométrica semejanza. Requisitos previos Conocimiento de ecuaciones cuadráticas. Estudio previo de la Sección áurea (“Encontrando a Phi”, y “El hilo de oro – Una historia de Phi”) Tiempo necesario Una o dos clases de 45-60 minutos. Materiales Un Kit Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos Procedimiento Prepara la clase dibujando en la pizarra las dos figuras del gráfico. Indica sólo el ángulo 108º del triángulo. Comienza la clase comentando a los alumnos que van a deducir algebraicamente la Sección áurea utilizando el concepto de semejanza. Señálales las figuras de la pizarra. ¿Qué figuras son? ¿Cómo se dividen? ¿Hay alguna relación entre cada figura y su división? Trabajando en parejas, los alumnos deben construir las dos figuras con el Sistema Zome, utilizando las varillas azules. También deben dibujar el triángulo en su cuaderno y señalar sus lados y sus ángulos. Dado que la longitud del segmento largo del lado dividido es x y el segmento corto es 1, pueden deducir la longitud del resto de lados. Deja unos minutos a los alumnos para que lo hagan antes de, entre todos, seguir el siguiente razonamiento. Primero, por la información dada, la longitud total del segmento dividido es X+1. Por lo tanto, la longitud del otro segmento largo es X+1 porque hay dos lados semejantes en un triángulo isósceles. Segundo, la línea interior tiene la misma longitud que el segmento más largo del lado dividido ya que el triángulo de arriba también es isósceles, por lo que la longitud es X. Finalmente, la base de la figura total debe ser igual que la línea interior ya que el triángulo de abajo es también isósceles, así que su longitud es X. Asegúrate de que todos los alumnos entienden el razonamiento y han señalado correctamente las longitudes, tal como se ha demostrado. A continuación, haz que los alumnos construyan de nuevo los triángulos, ahora los dos separados para que lo vean más claro. Y ahora repetid el proceso completo utilizando el rectángulo dividido. Comprueba con la clase que podemos relacionar los lados de ambas figuras de la siguiente manera: Multiplicando en cruz, tenemos: Deja 10 minutos a los alumnos para que intenten deducir la Sección áurea a través de la ecuación cuadrática: Por último, ve paso a paso con la clase. Como ampliación, comentad la importancia de la Sección áurea en las matemáticas y el arte. Evaluación Pregunta a los alumnos por el proceso deductivo y revisa sus anotaciones en los cuadernos. Alcanzan los objetivos mínimos si señalan correctamente las longitudes de los lados de los triángulos y rectángulos, y siguen la deducción de la sección áurea. Superan ampliamente esos mínimos si son capaces ellos mismos de deducirla. Estándares del NCTM Desarrollo del número y sus relaciones (NCTM 5). Estudio de la geometría de dos y tres dimensiones (Estándar NCTM 7) Posibilidades de ampliación Trabajo con trigonometría y simplificación algebraica con la Sección áurea (páginas 21-24 del Manual del Sistema Zome) Martes, 19 de Abril de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	157. Glosario Recursos/Herramienta Zome
Autor:-	Ángulo agudo: Un ángulo cuya media es menor de 90º. Ángulo: Un par de varillas del Sistema Zome compartiendo un nodo. Arquímedes: Filosofo y matemático y griego (287-212 AC). Fue el primero en describir los sólidos semirregulares. Sólidos arquimedianos: También conocidos como sólidos semirregulares. Un grupo de 13 poliedros definidos por el filosofo griego Arquímedes. Las caras de los sólidos arquimedianos son polígonos regulares de dos o más tipo y todos vértices iguales. Área: Una medida, en unidades cuadradas, de cómo un espacio bidimensional es ocupado por una figura bidimensional dada. Ejes: Las líneas formadas por cualquier varilla del Sistema Zome y la varilla situada en la cara opuesta del nodo. Simetría bilateral: La repetición de partes por un espejo a través de una línea central de un objeto dado. Varillas azules: Se ajustan en los agujeros rectangulares en los nodos. Las varillas azules son “varillas unidades” que son usadas para construir los polígonos y poliedros regulares. Líneas azules: Líneas creadas por varillas azules. Estructuras construidas en planos perpendiculares a una línea azul frecuentemente con simetrías de orden dos y cuatro. Buckyball: Nombre popular de la molécula de carbono 60 (C60). The buckyball fue descubierta en la década de los 80 y es la primera nueva forma de carbono más allá de las formas naturales del grafito y diamante. El modelo del Sistema Zome de Buckyball se construye con un esfera de 12 pentágonos regulares y 10 hexágonos El nombre geométrico de esta construcción es icosaedro truncado. Contrafuerte: Estructura de refuerzo vertical de una pared. Los contrafuertes soportan el pared por la parte exterior. Las catedrales góticas utilizan contrafuertes para reforzar las paredes debilitadas por las enormes vidrieras. Codificación de color: La forma de las varillas del Sistema Zome también son codificadas según su color. Varillas rectangulares son azules. Varillas triangulares son amarillas. Varillas pentagonales son rojas. Los nodos son de color blanco neutral. Polígonos cóncavos: Polígono que tiene algún vértice con ángulo interior de 180º o más. Poliedro Cóncavo: Poliedro que tiene un ángulo diédrico de 180º o más. Congruente, congruencia: Dos o más figuras geométricas son congruentes si todos sus ángulos, aristas y caras son exactamente iguales. Polígono convexo: Polígono que tiene todos sus ángulos interiores menores de 180º. Poliedro convexo: Poliedro que que tiene todos sus ángulos diédrico menores de 180º. Sección transversal: Sección real o imaginaria a través de cualquier objeto para ver su interior. Cristal: Estado sólido de la materia donde los átomos están en una configuración periódico o semi periódica. Es posible construir una estructura de cristal con el Sistema Zome. Ejemplos de cristales incluye el cloruro sódico (sal), cuarzo (sílice), grafito (una forma de carbón). Red de cristales: Disposición de los átomos en un cristal. Si la estructura es periódica exiten 230 disposiciones. Cubo: Poliedro de seis caras cuadradas. El cubo regular puede ser construido con el Sistema Zome usando las varillas azules. El cubo, que también es conocido como hexaedro es uno de los cinco poliedros regulares. Cuboctaedro: Uno de los 13 sólidos arquimedianos (semi-regular). Tiene 6 caras cuadradas y 8 triangulares. Cada vértice tiene 2 cuadrados y 3 triángulos. Requiere varillas verdes suplementarias para su construcción. Deca: Prefijo griego que significa 0 veces. Decágono: Polígono de diez lados. El decágono equilátero se construye con las varillas azules. Dodeca: Prefijo griego que significa 12 veces. Dodecágono: Polígono de doce lados. Dodecaedro: Uno de los cinco sólidos platónicos. Tiene 12 caras pentagonales, cada vértice tiene 3 pentágonos. Ángulo diédrico: Ángulo entre dos caras adyacentes de un poliedro. Divina proporción: Nombre alternativo de la sección de oro. Cadena de ADN: Parte de la espiral de la molécula de ADN. El ADN lleva toda la información genética de los seres vivos de la tierra. Arista: Línea (varilla) que forma el borde de un polígono, poliedro ó polítopo. Enneacontaedro: Poliedro formado por 90 rombos de dos tipos diferentes. 60 rombos anchos y 20 rombos estrechos. El eneneacontaedro puede ser construido con el sistema Zome usando una medida de varillas amarillas. Equilátero: Que todos los lados son iguales. Euler, Leonard: Matemático suizo (1707-1783). Fórmula de Euler: Fórmula general que se aplica a los poliedros convexos: C+V-A=2 o C+V=A+2. Donde C= número de caras, V=número de vértices y A= número de aristas. La relación fue documentada por primera vez por Leonhard Euler en 1752. Los estudiantes pueden ver que la fórmula siempre se verifica experimentado con el Sistema Zome. Cara: Polígono que forma parte de un poliedro. Serie de Fibonacci: Serie de números donde cada número es la suma de los dos números anteriores. La serie es: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... (0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 3+2=5, 3+5=8, 8+5=13, ...). Las varillas del Sistema Zome también permite trabajar con esta serie (varilla corta + varilla mediana=varilla larga, varilla mediana + varilla larga= siguiente longitud de varilla, ...) Los números de Fibonacci se encuentran en plantas con espirales, por ejemplo, las piñas de un pino tiene 8 espirales en un sentido y 13 espirales en sentido contrario. Las hojas de strawberry también crece en espiral, 13 en un sentido y 21 en el otro. La coliflor combina 5 y 8 espirales, y los girasoles tienen 34 y 55 espirales La serie de Fibonacci fue documentada por primera vez en el siglo XIII por el matemático italiano Leonardo de Pisa, quién era conocido como Fibonacci (hijo de Bonacci). Simetría de orden 5. Repetición de un motivo por 5 reflexiones o 5 rotaciones alrededor de un punto central. Simetrías de orden 5 son comunes en la naturaleza. Las manzanas tienen una estrella de cinco puntas en centro de su interior, muchas de las flores tienen agrupaciones de cinco pétalos o puntos. Progresión fractal: Patrón que se repite a diferentes niveles y tamaños. Por ejemplo, una coliflor muestra una geometría fractal en espiral. Las espirales están hechas de pequeñas espirales, la cuáles están hechas de espirales más pequeñas. El famoso conjunto de Mandelbrot es otro ejemplo de progresión fractal. Con el Sistema Zome pueden construirse estrellas fractales en proporción áurea. Fuller, R. Buckminster: Famoso arquitecto americano del siglo XX e inventor de la cúpula geodésica . Fuller también diseño muchas estructuras espaciales triangulares. Fullereno: Familia de moléculas creadas en laboratorios que incluye el C60 y C240. El nombre de Fullerene fue dado porque la estructura de estas moléculas recordaban a los investigadores a las cúpulas geodésicas creadas por R. Buckminster Fuller. El Sistema Zome puede ser usado para modelar a un amplio rango de estructuras de Fuller. Cúpulas geodésicas: Un recubrimiento triangular de la esfera. Estas estructuras son extremadamente duras y ligeras, dando el máximo longitud para el mínimo cantidad de material. Progresión geométrica: Secuencia de números en la cual cada término se calcula por multiplicación de un mismo número cada vez. Rectángulo de oro: Rectángulo construido con varillas azules pequeñas y medianas o medianas y largas. Los lados de este rectángulo están en proporción áurea. Rejilla de rectángulos de oro: Esta estructura muestra la infinita espiral de cuadrados contenidos en el rectángulo de oro. Sección de Oro: También conocida como Divina Proporción, y como la medida de oro. Es un número irracional indicado por la letra Griega Φ (Phi)=1,61802... El valor exacto puede ser calculado con cualquier exactitud de la fórmula Φ =. La sección y la proporción de oro son muy importantes en el arte clásico y la arquitectura. Todas las varillas del Sistema Zome están en proporción áurea unas respecto de las otras. Gran rombicuboctaedro: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 6 caras octogonales, 8 hexagonales y 12 caras cuadradas. Cada vértice tiene 1 octógono, 1 hexágono y un cuadrado. Requiere varillas azules y verdes para su construcción Gran rombicosidodecaedro: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 12 caras decagonales, 20 hexagonales y 30 caras cuadradas. Cada vértice tiene 1 decágono, 1 hexágono y un cuadrado. Puede ser construido con las varillas azules. Gran dodecaedro estrellado: Una estrella poliédrica construida con 20 pirámides triangulares en las 20 caras triangulares de un icosaedro regular. Varillas verdes: Estas varillas suplementarias del Sistema Zome añaden 30 ángulos construibles siendo totalmente compatibles con los componentes. ¡Ahora disponibles! Para más información visitar www.zomesystem.com. Heptágono: Polígono con siete lados. Hexa: Prefijo griego que significa 6 veces. Hexágono: Polígono de seis lados. Hexaedro: Nombre correcto para el cubo, poliedro con seis caras cuadradas. Triángulo isósceles: Triángulo con dos lados iguales. Icosa: Prefijo griego que significa 20 veces. Icosidodecaedro: Uno de los 13 sólido arquimedianos. Tiene 12 caras pentagonales y 20 caras triangulares. Cada vértice tiene 2 pentágonos y 2 triángulos. Puede ser construido con varillas azules. Irracional: Cualquier número con infinitas cifras decimales sin ningún patrón. Kepler, Johannes (1571-1639): Matemático y astrónomo alemán. Descubrió las constelaciones del dodecaedro regular, triacontaedro rómbico, dodecaedro rómbico y mosáicos no periódicos. Kepler también desarrolló un modelo de sistema solar basado en la relación entre los 5 sólidos regulares para explicar las distancias de los planetas al sol. Mosáicos Keplerianos Periódico y no periódico mosaico de pentagramas, pentágonos y decágonos. Sólidos Keplerianos: Dodecaedro e icosaedro estrellados. Se obtienen prolongando las aristas del icosaedro y del dodecaedro. Cometa: Cuadrilátero que tiene 2 pares de aristas iguales. Las aristas opuestas no son iguales. Longitud: Una medida, en unidades de segmentos de línea de cómo un espacio uno dimensional es ocupado por un objeto uno dimensional dado. Línea: Conjunto continuo de puntos que están alineados y se extienden sin fin en ambas direcciones. Modularidad: Pequeño conjunto de componentes que combinados pueden construir muchas configuraciones. Nodo: Bola conector del Sistema Zome. En el Sistema Zome original los nodos son blanco. Sistema Zome también manufactura nodos de colores cuyo uso principal viene dado por investigadores en química y ciencia de los materiales. Nomenclatura: Sistema estandarizado de nombre de objetos y procesos. No periódico: Que tiene un motivo que no se repite por traslaciones. Ángulo obtuso: Ángulo que mide más de 90º. Octa: Prefijo griego que significa 8 veces. Octógono: Polígono con 8 lados. Octaedro: Poliedro con 8 caras. El octaedro regular consiste en 8 triángulo equiláteros, es uno de los sólidos platónicos. Es posible construir un octaedro con el Sistema Zome, requiere de las varillas verdes suplementarias. Estructura reticuladas: Red periódica e infinita de octaedros y tetraedros regulares. Cuando se construye una estructura de barras de metal resulta una estructura extremadamente resistente. La primera persona en usar este tipo de estructura fue Alexander Graham Bell. Bell construyó cometas con Octa-Tetra estructura lo suficientemente grande como para llevar a un hombre (antes que los hermanos Wright realizaran el primer vuelo) Líneas paralelas: 2 líneas se dicen que son paralelas si pertenecen al mismo plano y no se intersecan. Proyección paralela: Proyectar una sombra con una luz que esta infinitamente lejos del objeto. Paralelogramo: Cuadrilátero con los lados opuestos iguales y paralelos. Penta: Prefijo griego que significa 5 veces. Pentágono: Polígono de cinco lados. Pentagrama: Estrella creada por la prolongación de los lados de un pentágono. Periódico: Que tiene una repetición infinita del mismo motivo en una una dirección. Línea perpendicular: Línea que forma 90º con otra. Proyección perpendicular: Proyectar una sombra con una luz cerca del objeto. Phi, Φ: Uno de dos símbolos griegos de la sección de oro (divina proporción). Es usado por muchos artistas y gente interesada en los más esotéricos aspectos de la sección de oro. Plano: Superficie plana infinita sin bordes. Sólidos Platónicos: Poliedros regulares convexos con todas las caras del mismo tipo de polígono regular y todos los vértices iguales. Son llamados después del filósofo y matemático griego Platón, que vivió alrededor del año 500 a.C. Platón probó que sólo hay 5 poliedros: tetraedro, octaedro, hexaedro, dodecaedro e icosaedro. Polígono: Cadena cerrada de segmentos rectos. Las líneas intersecan únicamente en los puntos finales y dos líneas no pertenecen a la misma línea. Poliedro: Figura tridimensional en la que cada cara es un polígono. Factor primo: Cual que número que sólo es divisible por uno y por el mismo. Prisma: Poliedro cuya cara superior e inferior son iguales y paralelas y el resto de las caras son paralelogramos. Proyección: Emitir una sombra de modo que cada punto en una determinada forma tiene un punto correspondiente a la sombra. Proporción: Una igualdad entre dos razones (por ejemplo 2/3=4/6) Pirámide: Poliedro formado por la unión de los vértices de un polígono con un punto exterior al polígono. El resto de caras son triángulos Cuadrilátero: Cualquier polígono con cuatro lados. Todas las cometas, paralelogramos, rectángulos, rombos, cuadrados, trapezoides como cualquier otro polígono de cuatro lados convexo ó no. Cuasicristal: Un tipo de cristal con una estructura tridimensional no periódica. Razón: Número obtenido por división de un número entre otro. Esta relación es llamada razón entro dos números (por ejemplo, la razón entre 2 y 3 es 2/3) Rectángulo: Un cuadrilátero cuyo lados opuestos son iguales y cuyos ángulos interiores son todos de 90º. Polígono regular: Polígono con todos los lados iguales. Poliedro regular: Poliedro con todas las caras iguales y el mismo número de caras en todos los vértices. Richert / Penrose mosaico: Mosaico que consiste en dos tipos de mosaico, uno de rombos de 72º y otro de rombos de 36º.. Estos mosaicos pueden ser no periódicos. Fueron descubierto de forma independiente por el artista Clark Richert en 1971 y por el famoso matemático y físico Roger Penrose en 1975. Ángulo recto: Ángulo de 90º. Rombo: Cuadrilátero cuyo lados son iguales. La forma de diamante el más comúnmente asociada rombo, la definición también incluye cuadrados. Simetría rotacional: Un repetición de un patrón por rotación alrededor de un punto fijo de cualquier divisor de 360º. Escala: Tamaño relativo. Sólido semiregular: Ver sólidos arquimedianos. Sombra: Imagen sobre una superficie creada por un objeto situado entre la superficie y la luz. Similar: Que tiene la misma forma pero diferente tamaño. Pequeño rombicosidodecaedro. Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 12 caras pentagonales, 20 triangulares y 30 cuadradas. Cada vértice tiene 1 pentágono, 1 triángulo y 2 cuadrados. Puede ser construido con varillas azules. Pequeño Rombicosidodecaedro: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 6 caras cuadradas, 8 triangulares y otras 12 caras cuadradas. Cada vértice tiene 3 cuadrados y 1 triángulo. Requiere de las varillas verdes suplementarias. Pequeño dodecaedro estrellado: Poliedro estrellado generado por 12 pirámides pentagonales añadidas sobre las caras de un dodecaedro regular. Cubo snub: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 12 caras pentagonales y 80 triangulares. Cada vértice tiene un pentágono y 4 triángulos. No puede ser construido con el Sistema Zome. Dodecaedro snub: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 12 caras pentagonales y 80 triangulares Cada vértice tiene 1 pentágono y 4 triángulos. No puede ser construido con el Sistema Zome. Sólido: Nombre alternativo para un poliedro. Cierta familias de sólidos son llamados por nombre de matemáticos ó filósofos como son los sólidos platónicos y los arquimedianos. Espacio modular: En general, es un espacio de trabajo triangular hecho de varillas de madera o acero, ya que la triangulación de estas estructuras las hace extremadamente fuertes y ligeras. Cuadrado: Cuadrilátero cuya lados son iguales y cuyos ángulos miden todos 90º. El nombre correcto para los cuadrados sería tetrágono regular. Poliedro estrellado: Poliedro no convexo producido por generación de pirámides en todas las caras de poliedro. Estrellamiento, estrellado: Proceso de extensión de caras o líneas planas de un polígono o poliedro hasta que se intersequen formando una forma estrellada. Teselación: Viene del latín “tessera” que significa tesela. Una teselación es simplemente un mosaico de polígonos. Tetra: Prefijo griego que significa 4. Tetraedro: Poliedro con cuatro caras triangulares Un total de 64 tetraedros diferentes pueden ser construidos con el Sistema Zome. El tetraedro regular, donde todas sus caras son triángulos equiláteros, puede ser construido únicamente con las varillas verdes suplementarias. Tridimensional: Un objeto que tiene ancho, largo y alto. Simetría de orden 3. Repetición de un motivo por rotación de 1/3 de 360º (120º) alrededor de un punto fijo. Ejemplos: panal de las abejas, nieve, trébol, la sección transversal de un pimiento verde, pepino, plátano, etc Simetría traslacional: Repetición de un motivo por movimiento con una dirección y una longitud fijas. Trapezoide: Cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos y el otro no. Tria: Prefijo griego que significa 3 veces. Triaconta: Prefijo griego que significa 30 veces. Triacontaedro: Poliedro consistente en 30 rombos. Puede ser construido con el Sistema Zome usando las varillas rojas. Triángulo: Polígono de tres lados. Triangulación: Proceso de reformar una estructura añadiendo triángulos. Truncar: Cortar los vértices de un poliedro. Cubo truncado: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 6 caras octogonales y 8 triangulares. Cada vértice tiene 2 octógonos y 1 triángulo. Requiere de las varillas verdes suplementarias. Dodecaedro truncado: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. tiene 12 caras decagonales y 20 triangulares. Cada vértice tiene 2 decágonos y 1 triángulo. Icosaedro truncado: Uno de los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 12 caras pentagonales y 20 hexagonales. Cada vértice tiene 1 pentágono y 2 hexágonos. Ésta es la forma del carbono C60. Tetraedro truncado: Uno los 13 sólidos arquimedianos. Tiene 4 caras hexagonales y 4 triangulares. Cada vértice tiene 2 hexágonos y 1 triángulo. Requiere de varillas verdes suplementarias. Truss: Caso especial de un espacio de barras. Bidimensional: Cualquier figura que tiene largo y ancho pero no alto Vértice: El punto o esquina de cualquier polígono o poliedro. En el Sistema Zome los vértices están representados por nodos blancos. Volumen: Una medida, en unidades cúbicas de cómo un espacio tridimensional es ocupado por un objeto tridimensional dado. Varillas amarillas: Encajan en los huecos triangulares de los nodos. Estructuras construidas en el plano perpendicular a las varillas amarillas tienen simetría de orden 3. Zonogon: Tipo especial de polígono que tiene un número par de lados. Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud. Un ejemplo de Zonogon es un paralelgramo. Zonoedro: Tipo especial de poliedro en el cual todas sus caras son zonogon. Un ejemplo de zonoedro es un Triacontaedro rómbico que tiene 20 rombos por caras. Esta forma puede ser construida con el Sistema Zome. Martes, 19 de Abril de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	158. Julio 2011: Las cifras del calendario (publicado en la revista SUMA, nº 57, 2008) Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque	Hay muchas personas a las que les gusta jugar con los números. Unas coleccionan números capicúas, otras sienten fascinación por los que cumplen alguna propiedad en concreto, como por ejemplo ser múltiplos de nueve o que las cifras sumen lo mismo que su edad, otras rellenan sus bonolotos con números de características especiales para ellos. También existe una gran atracción ante pasatiempos donde aparecen números y quizás la prueba más palpable de esto sea el gran boom que ha significado la aparición de los sudokus como entretenimiento estrella de periodos vacacionales y que ha hecho aflorar otros tipos de pasatiempos supuestamente orientales, como por ejemplo el kakuro, que durante la década de los ochenta aparecía regularmente en las separatas dominicales del periódico El País (aunque con el nombre de Crucinumerograma). Y además están las curiosidades numéricas que suponen para todos un atractivo rato de esparcimiento. Dentro de las curiosidades numéricas podríamos incluir los trucos de magia que se basan en operaciones numéricas simples pero con un resultado final muy efectista. Seguramente a todos nos habrán adivinado, en algún momento de nuestra vida, un número que habíamos pensado después de haberlo mareado sobradamente sumándole tres, multiplicándolo por siete, restándole 15 y toda una serie de perrerías que va proponiendo quien nos hace el truco. Ya en una anterior entrega de nuestra sección vimos trucos de magia basados en la propiedad de la divisibilidad entre nueve. Hoy queremos presentar una serie de trucos que se realizan con un calendario aprovechando la especial disposición de los números que aparecen en él y su justificación se realiza utilizando álgebra elemental. Como hemos dicho en otras ocasiones, no debemos quedarnos sólo en el truco de magia, sino que éste nos debe servir primero para captar el interés de nuestros alumnos y después como motivación para investigar la parte matemática del truco, que muchas veces queda oculta por la parafernalia de la puesta en escena. 1) La suma de nueve números Se le pide a un espectador que, a espaldas del mago, elija un mes cualquiera del calendario, y dentro de él rodee un cuadro de tamaño 3x3 que englobe nueve números. Como por ejemplo el de la figura. El espectador le dice al mago cuál es el primer número de su cuadro (en nuestro ejemplo el 8) y éste le indica al espectador cuánto vale la suma de las cifras seleccionadas. Explicación La distribución de números en un calendario tiene propiedades numéricas muy útiles para muchos trucos. Si consideramos un cuadro cualquiera en el que el primer número es a, los restantes números serán los que aparecen en el cuadro siguiente. Si sumamos esos nueve números se obtiene 9 × a + 72 = 9 × (a + 8). Es decir, la suma total es siempre nueve veces la suma del primer número más 8. Luego el mago puede saber la suma a partir del primer número. En nuestro ejemplo 8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 + 22 + 23 + 24 = 144 = 9 ×16 = 9 × (8 + 8) Este truco tiene la ventaja de que se puede hacer con un grupo amplio de personas, por ejemplo una clase completa, y preguntarle a alumnos distintos para adivinar su suma. Hay que tener cuidado porque no es extraño que alguna persona se confunda al sumar (el resultado de la suma ha de ser múltiplo de nueve, es decir, la suma de sus cifras ha de serlo también), y para eso está el mago: para pedirle a cualquiera que repita las operaciones. Sorprende mucho que el mago pueda saber, sin más que oír el número, que la suma está mal realizada. Como puede observarse la suma es también nueve veces el número central por lo que podría preguntarse también por ese número y simplemente multiplicar por nueve. Aunque de esta forma si se realiza el truco varias veces es más fácil averiguarlo. 2) El cuadro de nueve números El truco anterior admite la versión inversa, es decir, el mago le pregunta a un espectador que haya realizado la operación que cuál ha sido el resultado de la suma e inmediatamente le indica cuál es el cuadro de números que ha rodeado. Para ello basta dividir la suma entre nueve (si el número que se nos dice no es divisible entre nueve ha habido una equivocación) y el número que obtenemos lo colocamos en el centro del recuadro y rellenamos los demás de forma que hacia la izquierda restamos uno, hacia la derecha aumentamos uno, hacia arriba restamos siete y hacia abajo sumamos siete. También podemos indicar únicamente la primera cifra, que se conseguirá restando 8 a la central que habíamos obtenido de dividir. Por ejemplo, si nos dicen que la suma de las nueve cifras del cuadro es 126, dividimos entre nueve y obtenemos 126 : 9 = 14, y a partir de él rellenamos el resto de casillas. 3) La suma de cuatro números Se le pide a un espectador que elija un mes del calendario, y dentro de él rodee con un cuadrado de cuatro números de lado una extensión que comprenda 16 números. Una vez rodeado, el mago (que se habrá fijado en el cuadro de números) escribe en un papel una cantidad y entrega el papel a otro espectador. A continuación le pide al primero que realice las siguientes operaciones: a) Elija un número de los 16 que hay y lo rodee con un círculo. Después tache todos los números que están en la misma fila o misma columna que el rodeado. b) Debe después elegir otro número no tachado y repetir el proceso, rodearlo con un círculo y tachar los de su misma fila y columna. c) Ya sólo deben quedar cuatro números sin tachar, de todos modos debe elegir uno de los cuatro y tachar los de su propia fila y columna. d) Al final, queda sin tachar un solo número que se rodea con el círculo. e) Por último, se suman los cuatro números que han quedado sin tachar, y se comprueba que esa suma corresponde con la cantidad escrita en el papel por el mago. Por ejemplo, si el espectador elige un recuadro que comience en el número 6 el mago sabe que la suma que quedará al final es 72, independientemente de cómo siga a continuación el proceso. Si por ejemplo el espectador selecciona los números que aparecen en la imagen, vemos que al final los números que quedan suman la cantidad prevista por el mago. Explicación El resultado de la suma es independiente de los valores que se tachen o se elijan; siempre dará lo mismo. Lo podemos comprobar con esta otra imagen donde tenemos una elección distinta en el mismo recuadro. El proceso que se sigue al seleccionar los números permite que al final quede un número de cada una de las filas, y uno de cada una de las columnas. Para hacer un estudio genérico, como en el primer punto, partimos de un cuadro formado por 16 números cualesquiera incluidos en el calendario. Si sumáramos los cuatro números de la primera columna tendríamos la suma a + a + 7 + a + 14 + a + 21 = 4 · a + 42. Con eso tenemos un número de cada fila. Pero si debemos tener uno de cada columna, uno de los cuatro valores estará en la segunda columna, lo que significa que tiene una unidad más (+1), otro estará en la tercera columna (+2) y otro en la cuarta (+3). Por lo que la suma de cuatro números de ese cuadro, siempre que haya uno de cada fila y uno de cada columna, será 4 · a + 42 + 1 + 2 + 3 = 4 · a + 48 = 4·(a + 12). Igual que en el primer truco basta que nos fijemos en el primer número para saber automáticamente cuál será la suma que saldrá después del proceso de selección, sean cuales sean los números que queden al final. Es decir, la suma total es siempre cuatro veces la suma del primer número más 12. 4) Un día de cada semana El espectador elegido selecciona (a espaldas del mago) un mes cualquiera del calendario y un día de la semana en cada una de las cinco semanas que componen el mes. A veces hay meses que tienen seis semanas (esto ocurre en todo mes -distinto de febrero- en que el día 1 cae en domingo, o cuando cae en sábado y tiene 31 días), en ese caso la sexta semana no se tiene en cuenta. A continuación suma las cinco cifras elegidas y responde a las siguientes preguntas del mago: En qué día de la semana ha caído el día 1 del mes elegido. Cuántos lunes, martes, miércoles, y así hasta domingos ha elegido el espectador y con esa información el mago dice cuál es la suma que ha obtenido de los cinco números. Explicación La justificación se basa en algo parecido al caso anterior. Si nos fijamos en cualquier mes, la columna que corresponde al día 1 tiene los siguientes números: 1, 8, 15, 22 y 29 que si los sumamos serían 1 + 8 + 15 + 22 + 29 = 75. Quiere decir que si el día 1 ha caído por ejemplo en miércoles y el espectador hubiese elegido los cinco miércoles, le hubiese dado la suma 75. Si en lugar de los cinco miércoles ha elegido un martes en la semana que sea, la suma tendrá una unidad menos; si ha elegido un lunes, dos unidades menos; si por casualidad ha elegido un jueves en lugar de un miércoles habría que sumar uno; si es viernes, sumar dos y así sucesivamente. Veamos un ejemplo concreto. El espectador ha elegido los números que figuran en la imagen. El día 1 ha caído en viernes, entonces a los demás días de la semana le corresponden los siguientes valores: martes (-3), miércoles (-2), viernes (0) y sábado (+1). Luego a 75 le debemos añadir esos valores multiplicados por el número de días de la semana elegidos. Así tendríamos 75 - 3 - 2 · 2 + 1 = 69, que efectivamente es la suma de los números 1 + 6 + 16 + 19 + 27 = 69. Miércoles, 27 de Julio de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	159. Septiembre 2011: Juegos de intercambio (publicado en la revista SUMA, nº 58, 2008) Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque	Ya en otras ocasiones hemos defendido la utilidad didáctica de los juegos de estrategia. Aunque al no aparecer conceptos matemáticos lleva muchas veces a crear rechazo a su utilización en clase, lo cierto es que promueven la utilización de variados heurísticos de la resolución de problemas, que pueden después, utilizarse en los problemas que planteemos en clase. Por ejemplo, cuando los juegos (problemas) son parecidos la estrategia suele ser la misma, por lo que pueden buscar juegos similares para intentar aplicar la misma estrategia. También empezar resolviendo casos más simples, para buscar regularidades y después generalizar, es una técnica frecuente en la resolución de problemas. Además son interesantes porque desarrollan actitudes imprescindibles para el quehacer matemático, por ejemplo la constancia. No es raro que ante un problema desconocido el alumno, tras un primer intento infructuoso, abandone y si tiene interés en la solución (un truco de magia, un solitario, un pasatiempo, etc.) nos la demande inmediatamente sin tomarse el esfuerzo de insistir en su resolución. Pensamos que los juegos de estrategia pueden fortalecer la constancia en el trabajo. Y sin olvidar que al implicarles en el juego, y por tanto en la resolución de problemas, se favorece la autoestima de muchos de ellos. Si los juegos de estrategia son como en esta ocasión solitarios, los alumnos deben ser aún más precisos en el estudio del juego. Deben poner mucha atención en el proceso que siguen para no repetir movimientos. Hoy vamos a presentar juegos con una misma estructura: una serie de fichas de dos colores distintos, colocadas en un tablero han de intercambiarse de posición en el menor número posible de movimientos. Hay dos aspectos del estudio muy interesantes que siempre planteamos a los alumnos y que van a ser comunes a todas las presentaciones: Encontrar la estrategia para cambiar las fichas en el menor número posible de veces. Elegir una notación adecuada para representar la solución. El interés del primer aspecto es obvio; el segundo merece una pequeña reflexión. Para evaluar el nivel de competencia matemática de los alumnos, el estudio OCDE / PISA se basa en las competencias matemáticas específicas identificadas por M. Niss en 1999: Pensar y razonar. Argumentar. Comunicar. Involucra la capacidad de expresarse, tanto en forma oral como escrita, sobre temas con contenido matemático y de entender enunciados de otras personas sobre estas materias en forma oral y escrita. Modelar. Plantear y resolver problemas. Representar. Incluye codificar y decodificar, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes tipos de representaciones de objetos y situaciones matemáticas, y las interrelaciones entre distintas representaciones; escoger entre diferentes formas de representación, de acuerdo con la situación y el propósito particulares. Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones. Normalmente los aspectos de notación se trabajan poco en clase, salvo el lenguaje simbólico y formal, y cuando se tocan se presentan ya acabados. Al pedir al alumno una forma de escribir los pasos seguidos para resolver el problema planteado, que pueda ser entendida y seguida por otro compañero, estamos activando las destrezas de Comunicar y Representar. Ya sabemos la dificultad que muchas veces tienen nuestros alumnos para explicar cómo han hecho un problema y sobretodo ponerlo por escrito, por lo que pensamos que esta parte de la actividad es bastante importante. Vamos ya con los juegos que os proponemos hoy. Se basan en intercambiar bloques de fichas entre sí y los hemos agrupado en dos tipos: aquellos en que las fichas pueden saltar por encima de una del otro color (Juegos de intercambio con salto) y los que sólo pueden deslizarse a una casilla vacía (Juegos de intercambio sin salto). JUEGOS DE INTERCAMBIO CON SALTO El primero de estos juegos es quizás el más conocido, al menos es el que ha sido más estudiado y ha producido mayor bibliografía. Es nombrado de formas distintas aunque el que más nos gusta a nosotros es: EL SALTO DE LA RANA Tenemos un tablero con siete casillas y tres fichas de un color y tres de otro. La distribución inicial del juego es la que aparece en la figura 1. Figura 1 El objetivo del juego es permutar las posiciones de las fichas azules y rojas. Para ello son válidos los siguientes movimientos: Una ficha puede moverse a un lugar contiguo, si éste está vacío. Una ficha no puede retroceder, es decir las fichas rojas solo pueden moverse hacia la derecha y las azules hacia la izquierda. Una ficha junto a otra de distinto color puede saltar por encima de ella si el salto (por encima de una sola ficha) le lleva a una casilla vacía. Si en algún momento no puede hacerse ningún movimiento, el juego termina y hay que comenzar de nuevo. Como siempre el primer paso que se ha de seguir es familiarizarse con el juego y sus reglas. Una vez conseguido esto hay muchos aspectos que podemos investigar en este juego además de los dos generales que hemos comentado antes: 1. Investiga otras disposiciones, por ejemplo, una, dos, cuatro, cinco fichas de cada color… 2. Si jugamos con n fichas de cada color, dejando una casilla vacía, ¿cuál será ahora ese número mínimo de movimientos? 3. ¿Y si jugamos con n fichas de cada color, pero dejando m casillas vacías en el centro? 4. ¿Cómo se modifica la estrategia si el número de fichas de cada color no es el mismo, por ejemplo tenemos 3 fichas rojas y 1 azul? ¿Y si tenemos tres fichas de un color y dos de otro?... ¿Y si tenemos n rojas y m azules? EL SALTO DE TRES Siguiendo la misma filosofía, los tres siguientes juegos lo que modifican es el tablero y el número de fichas con que se juega. Un ejemplo sería el salto de tres que se juega sobre el tablero de la figura 2. Figura 2 Las reglas del juego son las usuales: En cada movimiento sólo se puede mover una ficha. Las fichas rojas se desplazan hacia la posición de las negras y las negras hacia la posición de las rojas. Las fichas no pueden retroceder. Los movimientos posibles son mover una ficha a una casilla vacía o saltar sobre una ficha de distinto color a una casilla vacía. EL SALTO DE OCHO Este es una generalización el caso anterior. Ahora hay que intercambiar ocho fichas de cada color con las mismas restricciones que en el juego de tres. Se ve que la distribución sobre el tablero (tal como tenemos en la figura 3) sigue la misma estructura que el salto de tres. Figura 3 EL SOLITARIO DEL ALQUERQUE Por último un solitario planteado sobre el tablero del juego Alquerque (juego al que en una próxima entrega tendremos que dedicarle más tiempo). Ahora tenemos que intercambiar doce fichas de cada color sobre el tablero que aparece en la figura 4. Figura 4 La intención en la misma que en los juegos anteriores, pero la cosa se complica al aumentar el número de fichas. En cada caso, con este aumento, se ve más importante el seguir una estrategia clara, pues sino se pierde uno y se eterniza el intercambiar las fichas. CUATRO CABALLOS En un tablero 3x3 de ajedrez (figura 5) el único movimiento permitido es el movimiento de un caballo a otra casilla según las reglas del ajedrez. Por supuesto, dos caballos no pueden ocupar la misma casilla. El objetivo del rompecabezas es intercambiar los caballos rojos y azules en el menor número de movimientos. Figura 5 Con un tablero algo más extraño, pero con el mismo objetivo de intercambio entre los caballos, está el siguiente problema. Está prohibido salirse del tablero de la figura 6. Figura 6 TRANSFORMACIÓN NUMÉRICA Cuatro fichas con números forman 1423. En ocho movimientos forma 1234 en el mismo espacio. Un movimiento consiste en hacer saltar un número sobre uno, dos o tres números contiguos (a la izquierda o derecha), para ir a la casilla vacía inmediata siguiente. No se puede mover sin saltar. 1 4 2 3 1 2 3 4 JUEGOS DE INTERCAMBIO SIN SALTO Veamos ahora los juegos en los que no se puede saltar. Suelen ser conocidos como juegos de “moviendo peones”. En este tipo de juegos el tablero suele disponer de alguna casilla que sirve para colocar en ella una ficha y permitir el paso de las restantes. Es importante la restricción en este caso de que los movimientos pueden ser en horizontal o vertical, nunca en diagonal, y como es de suponer las fichas no pueden saltar una sobre otra. Quizás el tablero más simple sería el que aparece en la figura 7. Figura 7 Una línea de investigación, una vez encontrada la solución, es plantear si es posible resolver el mismo juego si el tablero tuviese alguna casilla blanca menos. Es interesante ver la argumentación que se sigue para afrontar este problema. Otra investigación sería cómo cambiaría la resolución del solitario si se añaden fichas de colores en casillas adyacentes. Por ejemplo si en el tablero de la figura 7 hubiese una casilla más en cada extremo y tres fichas rojas y tres azules, ¿seguiría teniendo solución? Otra distribución distinta aparece en la figura 8. Figura 8 Aquí hay varias investigaciones que podríamos hacer: ¿Alguna de las dos casillas vacías podría desaparecer del tablero y seguir teniendo solución? ¿Qué pasaría si en la figura 8 tuviésemos cuatro fichas rojas y cuatro azules? ¿Importaría si las casillas blancas de la figura 8 no estuviesen una enfrente de la otra? La ampliación de número de fichas en el puzzle hay veces que provoca que no se pueda resolver y en otros casos no. A continuación tenemos otro modelo en el que vemos que trabajar con tres fichas o con cuatro no importa para poder encontrar la solución. Figura 9 Figura 10 La pregunta lógica sería, si tenemos cinco fichas en cada extremo, ¿sigue siendo resoluble el juego? Y ya que hemos visto un tablero parecido a una E bien está que veamos otra letra, la H de la figura 11. Figura 11 LAS CINCO LETRAS Se toman cinco discos de colores con las letras A (naranja), B (rojo), C (azul), D (verde) y E (amarillo) y se colocan en el tablero en su letra correspondiente (figura 12). Hay que mover los discos a los círculos de su color, sin levantarlos, sin pasar unos por encima de otros y sin atravesar las líneas marrones. Un movimiento puede recorrer varios círculos. Figura 12 AGRUPAMIENTO Tenemos ahora cinco monedas, tres de 10 céntimos y dos de 1 euro, colocadas alternadas. Usando dos dedos (índice y medio) de una mano se han de coger a la vez dos monedas de distinto valor y que estén contiguas, para en el menor número de movimientos alcanzar la posición final donde las monedas de igual valor estén juntas ya sea a la izquierda o a la derecha. PARA TERMINAR, MÁS PARA JUGAR Este último tipo de juego de intercambio es en cierta forma la presentación esquematizada de una inmensa colección de puzzles o juegos que tienen como objetivo intercambiar piezas entre sí dentro de una zona limitada y siempre moviendo las fichas en horizontal o vertical, pero nunca en diagonal. Dentro de ellos está el conocido Juego del 15 creado por Sam Loyd en la década de 1870 o en tres dimensiones el Cubo de Rubik. A continuación tenemos dos puzzles de este tipo (algunos son bastante antiguos como por ejemplo el de la figura 14). El objetivo del primero es intercambiar ON con OFF y el del segundo meter la cabra dentro del redil. Aunque pueden parecer de estructura simple, el primero necesita 44 movimientos para resolverlo mientras que el segundo requiere solo 28. Figura 13 Figura 14 Por si les apetece probar con ellos, existe una página donde hay una gran cantidad de estos juegos en formato Java que se pueden jugar on-line. Pueden encontrarlos en http://www.johnrausch.com/SlidingBlockPuzzles/. Ánimo y mucha suerte. Jueves, 08 de Septiembre de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	160. Noviembre 2011: Doblar y cortar - Kirigami geométrico (publicado en la revista SUMA, nº 59, 2008) Recursos/Juegos matemáticos
Autor:Grupo Alquerque	1. Kirigami Rara es la persona que en algún momento de su vida no se ha entretenido jugando con papel. A casi todos nos han enseñado de pequeños a hacer pajaritas o aviones de papel para que estuviésemos un rato sin dar la lata. La papiroflexia o arte de crear figuras doblando papel, también conocida por su palabra japonesa de origami que proviene de las palabras oru (doblar) y kami (papel), es un pasatiempo atrayente y relajante que nos permite pasar el tiempo entretenidos, bien en la espera sin límite en la consulta médica, en los repetitivos claustros, en la vigilancia de soporíferos exámenes o en algunas kafkianas sesiones de evaluación. Ya en esta sección hemos hablado anteriormente de este arte y de las posibilidades didácticas que tiene dentro de la asignatura de matemáticas, y aunque más adelante volveremos sobre el tema vamos a cambiar de registro. Hoy queremos hablar del kirigami que es el arte de crear figuras recortando papel con tijeras. Para practicar este arte debemos partir de un papel que no tenga ninguna marca (es decir no vale dibujar previamente los cortes) y, cortando, dejar la silueta o el esquema a desplegar de la figura que queramos crear. Ejemplos básicos de este arte hemos hecho seguramente casi todos. Muchos recordaremos haber tomado una hoja varias veces dobladas, recortar un monigote y al abrir el papel encontrarnos con un friso de monigotes unidos unos a otros. En otras ocasiones habremos hecho o visto hacer cortes en un papel doblado y al desplegar encontrarnos con un bello calado para adornar cualquier mesa. La palabra kirigami procede de la composición de las palabras japonesas kiru (cortar) y kami (papel). Existen muchas personas que han trabajado el kirigami desde el punto de vista educativo. En concreto podemos destacar al profesor peruano José Luis Castillo Córdova, que tiene varios vídeos colgados en YouTube donde muestra su maestría creando figuras muy diversas. Este profesor utiliza además otro término llamado maquigami (mezcla del término quechua maki que significa mano y de kami) que sería el arte de crear figuras rasgando el papel con las manos. En la dirección http://mx.geocities.com/directores2004/kirigami.doc hay un archivo de texto donde este profesor explica el uso educativo del kirigami y del maquigami. 2. Posibilidades educativas del kirigami geométrico Vamos a tratar un caso particular que mezclaría papiroflexia y kirigami. La idea es doblar un papel en las partes que necesitemos (no necesariamente iguales) y tras dar un corte recto abrir el papel y encontrarnos con algún patrón geométrico que hayamos propuesto previamente. Por ejemplo, podemos plantear partir de un cuadrado y doblarlo convenientemente para que al dar un corte al papel doblado y desplegar el resultado nos encontremos con la figura 1. Figura 1 Con este tipo de actividad se pueden desarrollar y potenciar los siguientes aspectos educativos: Atención y observación Discriminación Percepción visual Imaginación y creatividad Paciencia y constancia Y permite el trabajo en diferentes niveles de dificultad. Para realizar una tarea de kirigami geométrico es imprescindible utilizar la percepción visual y realizar mentalmente el proceso a seguir para llegar al resultado, el corte en sí se utiliza al final para ver si el resultado del reto que se nos ha planteado es correcto. El desafío es fácil y rápido de comprender, la ejecución y la comprobación también; no así la fase de planificación que presenta algo más de dificultad. Pero es cómodo de repetir en busca de la solución correcta. Además se usa el heurístico típico de resolución de problemas de considerar el problema resuelto y recorrer el proceso al revés. Uno de los aspectos que se trabaja en todo momento es la simetría del dibujo, ya que los ejes de simetría van a coincidir con los lugares donde deberemos hacer los dobleces. En algunos casos hay que tener en cuenta que la línea por la que se dobla el papel no divide a la pieza en dos partes iguales, lo que complica la resolución del problema. 3. Metodología En primer lugar debemos proveernos de gran cantidad de cuadrados. Nosotros solemos reciclar el papel, en concreto cortamos toda la publicidad que llega a los buzones, periódicos atrasados y folletos de todo tipo pues no se requiere de un papel especial. Entregamos a los alumnos, junto con el papel y las tijeras, unas tarjetas-enunciado en las que se encuentran las figuras que deben conseguir. El alumno elige una figura e intenta conseguir el doblez para que al cortar aparezca el patrón geométrico elegido. Si lo consigue se anota un punto y pasa a otro, si no, tiene la posibilidad de intentarlo nuevamente. Hay que tener en cuenta que en los más casos complicados es posible que se tengan que probar varios cortes antes de dar con el resultado. Las siluetas-problemas las tenemos agrupadas en tres niveles de dificultad, según la cantidad de dobleces que haya que realizar antes del dar el corte. En cada tarjeta aparecen tres o cuatro figuras de idéntico nivel de dificultad. 4. Kirigami geométrico A continuación vamos a presentar las imágenes que hay que conseguir. Recuerden que el juego consiste en tomar una hoja cuadrada de papel (podría ser rectangular pues el objetivo es que queden los cortes que se ven al desdoblar) doblarla y dar un solo corte recto de forma que se obtenga una de las siguientes imágenes. 4.1. Figuras de nivel fácil 4.2. Figuras de nivel medio 4.3. Figuras de nivel difícil 5. Estudio y construcción de las piezas Esta actividad la conocíamos desde hace tiempo pues algunos amigos ya la habían utilizado en concursos de resolución de problemas, como el Open Matemático que se organiza desde Requena (Valencia), y hay incluso pasatiempos de revistas en los que había aparecido. Pero como nos parecía que daba bastante juego para trabajar la geometría hicimos un estudio sistemático con nuestros alumnos en los talleres de matemáticas. Partiendo de una hoja cuadrada realizamos el estudio de todos los dobleces que era posible realizar y de todas las figuras que podíamos obtener. En las imágenes siguientes aparecen algunos de esos patrones con las imágenes que quedan. 5.1. Utilizando solo dos dobleces 5.2. Utilizando tres dobleces El resto de las figuras necesitan realizar, al menos, cuatro dobleces antes de llegar a la solución. Para acabar mostramos uno de los estudios y así dejamos los demás para que nuestros lectores se entretengan. Martes, 01 de Noviembre de 2011	| Imprimir	| PDF	| Correo electrónico	<< Inicio < Anterior 11 12 13 14 15 16 17 18 Siguiente > Fin >>Página 16 de 18

References: Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución