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ISSN: 1887-1984 Volumen 79, marzo de 2012, páginas 101-126
Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria1
Ana Teresa Antequera Guerra (Centro de Enseñanza Obligatoria Juan XXIII, Tazacorte. España)
Fecha de recepción: 28 de noviembre de 2011 Fecha de aceptación: 7 de enero de 2012
Esta investigación desarrolla material curricular para la implementación de algunas cuestiones de Teoría de Juegos en la Educación Secundaria en el ámbito de la Matemática Discreta. Para ello se diseñan actividades de carácter formativo que potencien valores de justicia, cooperación, negociación y convivencia democrática. Se trata de dar a conocer algunos modelos estratégicos que se pueden convertir en herramientas útiles para la resolución de conflictos en la vida cotidiana y, así, desarrollar las amplias posibilidades que aporta esta rama de las Matemáticas. Teoría de Juegos, Resolución de Problemas, Modelización, Competencia Matemática, Educación Secundaria.
We provide an overview of the research conducted in the doctoral thesis “Society, Justice and Democracy: Mathematical Educational Proposal”, directed by Dr. M. Espinel Candelaria Febles. This research aims to develop, in the field of Discrete Mathematics, curriculum material for the implementation of several Game Theory problems in Secondary School Education. To this aim, we have designed formative activities in such a way that students empower values of justice, cooperation, negotiation and democratic coexistence. Our intention is to show several strategic models which can become useful tools for the resolution of conflicts in everyday life and thus, develop the wide range of possibilities offered by this branch of Mathematics. Game Theory, Problem Solving, Modeling, Mathematic Literacy, Secondary Education.
El principal objetivo de la investigación es diseñar y validar material que sirva para desarrollar contenidos de carácter formativo, utilizando para ello conceptos propios de la Teoría de Juegos en el ámbito de la Matemática Discreta. La implementación de este tipo de contenidos permite, entre otros logros, que las matemáticas curriculares participen de una manera más activa en la consecución de las Competencias Básicas que un alumno ha de adquirir antes de que abandone el sistema educativo (MEC, 2006; Consejería de Educación, Cultura y Deporte de Canarias, 2007). Además de la competencia matemática, se promueven contenidos que permiten el desarrollo de las competencias de tratamiento de la información y competencia digital, de aprender a aprender y la de autonomía e
Síntesis de la investigación realizada en la Tesis Doctoral Sociedad, Justicia y Democracia. Propuesta Educativa desde las Matemáticas, realizada por Ana teresa Antequera Guerra, dirigida por la Dra. M. Candelaria Espinel Febles, en la Universidad de La Laguna.
Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
iniciativa personal, y también de otras que no suelen estar tan relacionadas con la materia, como es la competencia social y ciudadana. La Teoría de Juegos como campo científico se ocupa de examinar el comportamiento estratégico de jugadores que interactúan motivados por el interés de maximizar sus beneficios sabiendo que todos son jugadores racionales y actúan de manera similar. El término juego puede llevar a confusión, pues se asocia normalmente al entretenimiento o a juegos de salón. Sin embargo, esta teoría, como rama de las matemáticas, estudia algo muy difícil de formalizar matemáticamente, como es el comportamiento racional en situaciones de conflicto (Binmore, 1996). En otras palabras, la Teoría de Juegos da expresión matemática a las estrategias de contrincantes y ofrece técnicas para escoger la mejor estrategia posible para resolver conflictos de la vida cotidiana, siendo su principal éxito que sirve de modelo en distintas y variadas ciencias, con consecuencias en el campo social, jurídico, político, económico y militar, entre otros. Dentro de la Teoría de Juegos se distingue entre juegos no cooperativos y cooperativos. El enfoque no cooperativo trata de estudiar el comportamiento estratégico de los individuos, es decir, se centra en los detalles del proceso y las reglas que definen la situación; los compromisos acordados no se pueden hacer cumplir. El segundo enfoque, el de los juegos cooperativos, estudia y analiza las opciones que son accesibles a los grupos, es decir, se centra en los aspectos más generales que especifican qué puede conseguir una coalición pero sin especificar cómo lo consigue; es un tipo de situación donde los compromisos son totalmente vinculantes y se pueden hacer cumplir. De los temas de Teoría de Juegos no cooperativos, tienen especial interés la idea del Teorema del Maximin de Von Neumann y el concepto de equilibrio de Nash, en la resolución de situaciones de conflicto. Estos dos resultados son especialmente significativos puesto que marcan, en cierto sentido, el punto de partida para el desarrollo de esta teoría. La publicación en 1944 del libro Theory of game and economical behaviour (Teoría de juegos y comportamiento económico) por parte de John von Neumann y Oscar Morgenstern, se toma como fecha de inicio de esta nueva rama de las matemáticas. La idea de Von Neumann va más allá de la teoría del equilibrio económico, y pretende un proceso de formalización de la toma de decisiones con aplicación en el contexto industrial, militar y político, y en las técnicas de gestión y administración, con lo que las implicaciones de esta teoría abarcan un amplio marco socio-económico. El concepto de equilibrio desarrollado por John Nash, supuso que se le concediera el premio Nobel de Economía en 1999, compartido con otros investigadores en Teoría de Juegos, John C. Harsonayi y Reinhart Selten. Uno de los paradigmas más conocidos en juegos no cooperativos es el Dilema del Prisionero. En este dilema, si los jugadores optan por sus mejores estrategias individuales, el resultado los lleva a una solución en equilibrio que es peor que la que hubiesen conseguido al colaborar entre ellos. Este dilema ha sido extensamente tratado por numerosos investigadores desde la época de la Guerra Fría, con el enfrentamiento de las dos superpotencias, hasta la actualidad, en la que su aplicación a las redes sociales ha permitido constatar que los jugadores defraudadores tienden a quedarse aislados. (Poundstone, 1995). Entre los temas que se abordan desde los juegos cooperativos destaca la idea de índices de poder para el estudio y diseño de sistemas de representación justos. La importancia de la distribución del poder de decisión a través de estos índices se puede constatar al estudiar la composición de distintos foros internacionales. Es el caso del Fondo Monetario Internacional o el Consejo de Seguridad de la ONU y la relevancia que tienen los países miembros con derecho a veto en este último organismo (Espinel, 1999), o el Consejo Europeo de Ministros, con la redistribución del poder a consecuencia de las sucesivas ampliaciones de la Unión Europea. Una descripción asequible de los índices de poder se puede encontrar en Taylor (1995), mientras que con carácter divulgativo se puede encontrar en Bilbao (2004).
se detalla una de ellas. cuyo estudio implica el uso de diversos y variados conceptos matemáticos presentes en el currículo de Secundaria. Los principales contenidos matemáticos que se necesitan.
2. 2007). se potencie en los estudiantes valores de justicia. de aprender a negociar y de saber ponerse en el lugar del otro. que surgen cuando hay escasez de recursos en el reparto de bienes. 2007). Desde principios de los noventa. En la descripción de cada una de las experiencias se recoge una pequeña presentación y además. premio que comparte con el economista Thomas Schelling. El acento en los algoritmos discretos utilizados en los ordenadores ha dado lugar a un traslado de énfasis de la Matemática actual hacia la Matemática Discreta. Al tiempo que se incorporan contenidos que fomentan el desarrollo de la capacidad crítica. que corresponde al concepto de índices de poder. se recurre al marco conceptual como marco de investigación. En particular. Este tipo de problemas han tomado especial vigencia a causa de la actual crisis económica y sus inevitables consecuencias. por haber ampliado la comprensión de conflicto y cooperación en esta teoría. del razonamiento. presentes en el currículo de secundaria. al que le siguen los objetivos y un esbozo de la metodología empleada que incluye una descripción somera de las diez actividades llevadas al aula y que dan lugar a las distintas experiencias. la resolución de problemas y la búsqueda de estrategias óptimas. fracciones. y se trata de indagar su implementación en la etapa educativa de Secundaria. el uso de tablas y matrices. Se intenta dar respuestas a diferentes maneras de realizar el reparto proporcional (Espinel. a través del material diseñado. reparto proporcional. Esta traslación del foco de investigación en las Matemáticas. por ello. 79
. Se realiza una transposición didáctica en la que. 1985) fue galardonado con el Nobel de Economía en 2005. así como el hecho de que algunas cuestiones de la Matemática Discreta y. partiendo de conceptos teóricos de Teoría de Juegos. En este artículo. se viene haciendo notar que los contenidos relacionados con la Matemática Discreta pueden ofrecer una oportunidad de revitalizar la matemática escolar (RiveraMarrero. Justicia y Democracia. han traído como consecuencias diferentes intentos por introducir elementos de esta rama en la enseñanza no universitaria. matrices. de la Teoría de Juegos. Aumann (Aumann y Maschler. algunos contenidos de Teoría de Juegos proporcionan un marco apropiado para llevar al aula situaciones reales y de actualidad. especialmente para alumnos de Ciencias Sociales. El propósito a largo plazo es que. La investigación recogida en la tesis doctoral muestra la descripción y resultados de la experiencia para la implementación de algunos conceptos de Teoría de Juegos en el currículo de Matemáticas de Secundaria. Se finaliza con algunas conclusiones del trabajo realizado. en concreto. se realiza una modificación del conocimiento para hacer más fácil la enseñanza de los mismos a alumnos de educación secundaria. Propuesta Educativa desde las Matemáticas. Marco Conceptual
El estudio plantea una adaptación curricular de algunos contenidos propios de la Teoría de Juegos. la resolución de conflictos mediante la cooperación. T. a modo de ejemplo. predisposición a la cooperación y convivencia democrática.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. Dentro de este campo de estudio de la Teoría de Juegos. se presenta primero un esquema del marco teórico utilizado en la investigación. Antequera Guerra
Otros temas propios de juegos cooperativos son los problemas de Bancarrota. la capacidad de argumentar. Se siguen pautas de la Matemática Realista puesto que se parte de problemas Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Vol. Para esta investigación se tiene en cuenta varias componentes procedentes de distintos marcos teóricos y. el matemático Robert J. media aritmética y representaciones en árbol. combinatoria. resumen de la tesis Sociedad. sean suficientemente elementales como para poder formar parte con éxito de un programa inicial de Matemáticas. rama de las matemáticas que por sus aplicaciones se encuentra más cerca de las ciencias económicas y de las ciencias sociales. como son el diagrama de árbol. son: tablas.
Modelización Matemática. trasmitir de una manera sistemática los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas. 2004). Las siete competencias matemáticas específicas de PISA no son ajenas a las actividades y los seis niveles de evaluación sirven de orientación para evaluar muchas de las preguntas de las actividades diseñadas en esta investigación. también. Antequera Guerra
contextualizados en el entorno y. T.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. lo que conecta con las investigaciones realizadas principalmente desde el Instituto Freudhental (Gravemeijer.
Figura 1. Competencia Matemática. porque se tienen presentes en el diseño de las fases o trayectorias seguidas al planificar y mejorar la propuesta curricular. En resumen en esta memoria se utilizan cinco componentes. no rutinarias y nuevas para
Vol. resaltando siempre la parte aplicada del contenido que se introduce. La resolución de problemas se puede entender como un desafío. 79
. La idea de ser competente en matemáticas que propone PISA (Programme for International Student Assessment) se adapta a esta investigación en muchos sentidos. que se describen brevemente a continuación. Matemática Realista y Matemática Discreta (Figura 1). el diseño de buenas tareas. ya que este bloque de los currículos actuales de matemáticas es el que mejor admite el desarrollo de las mismas y que. Resolución de Problemas La enseñanza a través de la resolución de problemas ha sido uno de los métodos más utilizados para poner en práctica el principio general del aprendizaje activo. además. en lo posible. tanto en el diseño como en el análisis de la investigación: Resolución de Problemas. es aceptado y acogido por el profesorado de secundaria. siendo uno de los principales objetivos. Para la experimentación en el aula de estos contenidos propios de Teoría de Juegos. Con ello se persigue. Para la enseñanza se sigue un proceso de modelización orientado en el diseño de la mayoría de las actividades. En esta adaptación curricular intervienen conceptos de Matemática Discreta. en el sentido de que sean originales.1. se plantean actividades de resolución de problemas. Marco conceptual
• Proporcionar sentido a la solución. 79
. • Resolver el problema. Siguiendo la pauta que distingue varias fases en la resolución de problemas (Polya. 1992). 2007). Además. lo que implica que las matemáticas escolares deben priorizar las tareas de encontrar.
Vol. considerada como un medio para conectar la resolución de problemas al mundo real. Se apuesta por entender las matemáticas como un conjunto de procesos que proporcionan respuesta a problemas. También se entiende la resolución de problemas como una herramienta para pensar matemáticamente. Las adaptaciones de estas fases se pueden convertir en estrategias de aprendizaje de conceptos matemáticos.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. el interés de la matemática de cara a su aplicabilidad.2. 1945). • Organizarlo de acuerdo con conceptos matemáticos. De Lange y Wijers. La importancia de la resolución de problemas se ve reflejada en su inclusión en los currículos oficiales desde la década de los noventa y. sobre las de probar. Antequera Guerra
los estudiantes. Modelización Matemática Íntimamente relacionada con la resolución de problemas está la modelización matemática. Dekker. T. Drijvers. De esta forma. 2007) (Figura 2). Trabajar en clase situaciones de la vida real es la tendencia u objetivo de los modelos y la modelización para aprender tanto matemáticas como resolución de problemas. Brown. aplicar su conocimiento matemático y tecnológico en la resolución exitosa de problemas. La evaluación en PISA se centra en cómo los estudiantes pueden utilizar lo que han aprendido en situaciones usuales de la vida cotidiana y no sólo en conocer qué contenidos del currículo han aprendido. Ello supone formar individuos con capacidad autónoma para pensar. • Despegarse progresivamente de la realidad mediante procesos tales como hacer suposiciones sobre los datos del problema. así. el profesor puede identificar y prever posibles bloqueos e incorporar esta información a su práctica de la enseñanza. el conocimiento del esquema de la Figura 2 por parte del profesorado cuando trabaja con modelos. más recientemente. en términos de la situación inicial. la creatividad en la formulación y resolución de problemas. La idea subyacente es la de usar la modelización para resolver problemas reales. le permite identificar las actividades específicas en las que el alumno necesita ser competente y. generalizar y formalizar. Van den Heuvel-Panhuizen. Las fases del proceso de modelización son un factor que se ha tenido en cuenta para la redacción de las actividades de esta investigación y a la hora de realizar las experiencias de aula. siendo críticos y reflexivos con las soluciones (Schoenfeld. propiciando la integración de la matemática con otras áreas de conocimiento. Los alumnos deben comprender e interpretar la información disponible y reconocer los elementos importantes que representan y conectan con las situaciones del mundo real (Doorman. Galbraith y Edwards. en la serie de actividades que conforman las pruebas de PISA de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE). los responsables del estudio PISA en matemáticas también caracterizan la actividad de hacer matemáticas mediante cinco fases: • Comenzar con un problema situado en la realidad. 2. El estudiante debe conocer el mundo que le rodea y para ello se puede aprovechar el potencial que tienen los problemas del entorno para construir conocimientos matemáticos y modelizar situaciones. implicando a los estudiantes en sólo algunas de las fases de las tareas de modelización (Stillman.
Desde distintos estamentos internacionales se ha venido promoviendo esta nueva visión en la educación y que se ha visto reflejada en los estudios que realiza la OCDE sobre el aprovechamiento de los estudiantes en matemáticas. Situación del mundo real problemática
B. criticar y validar. hacer uso de herramientas y recursos (Niss. emitir juicios bien fundados. por último.
Entender. Revisar el proceso de modelización (si el modelo no es satisfactorio). sean competentes matemáticamente. simplificar e interpretar el contexto. se desea que los alumnos. 4. con y sobre matemáticas. Suponer. lo que ha hecho necesario concentrarse en introducir una forma de enseñar matemáticas que vaya más allá de la aplicación de los procedimientos para responder a ejercicios estándar (Niss. Interpretar los resultados matemáticos. Se hace necesario utilizar estrategias flexibles y desarrollar habilidades de resolución de problemas para hacer frente a la ingente cantidad de información que llega a través de medios cada vez más variados (OCDE. 2. formular y resolver problemas matemáticos. desde el trabajo con tareas abiertas a diferentes interpretaciones y soluciones. Informe
C. Significado de la solución en el mundo real
1. Comunicar y justificar (si el modelo es satisfactorio). formular. En definitiva. Comparar. Si se desea formar individuos capaces de resolver los problemas y retos de su vida privada o profesional. Competencia Matemática Durante los últimos años. Antequera Guerra
A. estructurar. Modelo matemático
D. utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas. y satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo. matematizar. 2004). sean capaces de pensar matemáticamente. Revisar el modelo o aceptar la solución
E. T. Fases del proceso de modelización
2. 5. 2004). razonar matemáticamente.
Vol. Solución matemática 4
. comunicarse en.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. y. el desarrollo de competencias.
Figura 2. construir y utilizar modelos matemáticos. Enunciado del problema del mundo real 7 6 G. representar entes matemáticos. 2006). 6. comprometido y reflexivo. se ha introducido en la enseñanza en general y en las matemáticas en particular. la educación que se les imparta desde las escuelas debe seguir una metodología flexible que permita la introducción del pensamiento crítico.3. En los estudios PISA se entiende por competencia matemática la capacidad individual para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo. 7. cuando terminen la etapa de educación obligatoria. caso de los proyectos o estudios de PISA 2003 y PISA 2007. manejar símbolos y fórmulas matemáticas. Trabajar matemáticamente. 3. es decir.
1999). y distintas estrategias de optimización (Malaespina. son de especial interés actualmente. permitiendo a los estudiantes plantear un amplio rango de oportunidades para situaciones de investigación y descubrimiento en matemáticas. La perciben como una posibilidad para la innovación y una oportunidad para descubrir problemas no rutinarios. esta rama puede proporcionar un nuevo punto de partida en la relación alumno – profesor. reflexionar. De acuerdo con esto. La integración de la Matemática Discreta en los currículos de secundaria podría traer consigo el alcanzar metas muy importantes. Matemática Discreta Distintos investigadores en Educación Matemática consideran la Matemática Discreta como una oportunidad para revitalizar la matemática en la escuela.…. La matemática desde un enfoque realista es un “proceso-reinventado”. que es un proyecto que muestra las conexiones de la matemática con la sociedad. 2007). 2007). los temas de toma de decisiones. 2. fomentando que los
Vol. • La matemática debe estar conectada con el mundo real. 2004). 79
. porque permitiría a los profesores el desarrollar estrategias innovadoras y a los alumnos el tomar contacto con contenidos matemáticos no estandarizados. reparto y asignación. Distintos investigadores reconocen la necesidad de diseñar material curricular a partir de contenidos propios de la Matemática Discreta (Rosenstein Franzblau y Robert. los contenidos han de estar organizados de forma que su estructura manifieste los principios de la educación realista. Este punto de vista sobre el proceso de aprendizaje indica que se debe ayudar a los alumnos a dar significado a las matemáticas. Antequera Guerra
2. en Holanda. repartos justos y elección social. 2004. La implementación de actividades de Matemática Discreta en ambientes cotidianos da la oportunidad al alumno para ser constructivo y reflexivo. primero porque se daría una imagen de las matemáticas como un área dinámica e interesante pero. Esto remite a los dos principios básicos de la Educación Matemática Realista (Doorman et al. En el caso de la Teoría de Juegos. en el que las actividades principales son construir. 2007): • La matemática debe ser vista como una actividad humana.5. pudiendo así resolver problemas del mundo real (Rivera-Marrero. negociación.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. cooperación.4. como los que aparecen en el libro Las matemáticas en la vida cotidiana (COMAP. anticipar e integrar. y cuya publicación y contenido se renueva de forma periódica. fuera de cualquier actividad rutinaria (DeBellis y Rosenstein. Objetivos
El propósito fundamental de esta investigación consiste en desarrollar contenidos de carácter formativo que potencien valores de justicia.. Los problemas de Matemática Discreta recogen un amplio rango de aplicaciones. Se alude a cómo la Matemática Discreta se utiliza para resolver problemas prácticos y proporcionar amplias oportunidades para que los estudiantes investiguen problemas de la vida cotidiana. 1997). Matemática Realista Las situaciones tomadas del mundo real han sido el origen y el punto de partida para el desarrollo de los conceptos matemáticos que se han promovido desde el Instituto Freudhental de la Universidad de Utrecht. siendo de especial interés los problemas de votación. y que igualmente interesan en esta investigación. El punto de partida para la educación matemática es que los contenidos matemáticos puedan conectarse con el mundo real. Goldin.
3. también. T. Por otro lado.
4. 3. Antequera Guerra
alumnos perciban la cooperación como solución al conflicto. d. de Bachillerato y del grupo de alumnos de Secundaria del programa ESTALMAT (programa de detección y estimulación precoz del talento matemático) que denominaremos Grupo de Talentosos de Tenerife. c. al tiempo que se favorece el desarrollo curricular por competencias. se intenta dar preferencia a los alumnos pertenecientes al segundo ciclo de la ESO (3º y 4º) y al primer año del bachillerato. los objetivos generales que se persiguen son los siguientes: 1. f. Incentivar el carácter utilitario de las matemáticas.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
Esta investigación centra su interés en las aportaciones que pudieran hacer los alumnos de la educación secundaria. Las edades de los alumnos están comprendidas entre los 13 y los 18 años. la resolución de problemas y la búsqueda de estrategias. Evaluar el material curricular a través de los éxitos y dificultades que se observen en las producciones de los alumnos. útiles en ciencias sociales. de manera que se tengan referencias de todos los puntos de vista. puesto que en niveles los alumnos presentan
Vol. Aportar un sistema de herramientas propias de la Teoría de Juegos. 2009). e. como herramienta para la resolución de problemas sociales. Reforzar contenidos característicos de las matemáticas. como son el uso de representaciones en árbol. No se realiza ninguna selección previa de los alumnos que toman parte en las distintas experiencias y tampoco se les da ningún tipo de instrucción previa sobre los contenidos que se iban a desarrollar en las actividades. tanto obligatoria como postobligatoria. Fomentar la interdisciplinariedad. para adaptar y mejorar dicho material. Para la elección de los niveles que participan en estas experiencias. Adquirir la capacidad de ponerse en el lugar del otro en situaciones de conflicto. pero sobre la base de una herramienta conocida y presente en el currículo actual. Participan en la experiencia ocho profesores y 457 alumnos procedentes de siete centros de educación secundaria de la Comunidad Autónoma de Canarias. Los alumnos talentosos son estudiantes con aptitudes especiales para las matemáticas que reciben refuerzo en formación matemática fuera del horario escolar (Hernández y Sánchez. sobre nuevos contenidos relacionados con la Teoría de Juegos en el ámbito de la Matemática Discreta. T. 79
. Participan alumnos de Educación Secundaria Obligatoria. Observar el comportamiento y rendimiento de los alumnos en la resolución de las actividades propuestas en el material diseñado y el grado de comprensión de los nuevos contenidos. distintos de los tradicionales. las tablas y las matrices. que permita desarrollar el pensamiento estratégico y la toma decisiones. 2. salvo la que ya tuvieran del desarrollo normalizado de las clases en secundaria. 2008. Diseñar un material curricular empleando conceptos propios de la Teoría de Juegos y que tiene como fines: a. de manera que los alumnos adquieran valores y principios propios de las sociedades democráticas. Reyes-Santande y Karg. b. Establecer habilidades basadas en el diálogo y la cooperación para la resolución de conflictos. observando cómo el lenguaje matemático resulta necesario para aclarar la dependencia existente entre distintas áreas. En este sentido.
El primero es un cuestionario previo sobre el uso y aplicación de tablas de doble entrada y diagramas de árbol como herramientas de la Matemática Discreta. Con estas tareas se pretende evaluar la capacidad de los alumnos para trabajar con dos de las herramientas de más utilidad en Matemática Discreta como son las tablas de doble entrada y los diagramas de árbol.1. consta de diez actividades a las que se puede acceder. tal como se les presentó a los alumnos.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. Instrumentos para la recogida de información La base sobre la que se desarrolla esta investigación es la elaboración de un dossier de actividades sobre contenidos propios de la Matemática Discreta y la Teoría de Juegos. T. con alguna ampliación y modificación de acuerdo al interés de la investigación. 79
. Este dossier. El dossier comienza con el cuestionario previo ya señalado. que se recoge como Actividad 1. Aún así. denominado Matemáticas para el desarrollo del pensamiento estratégico y de cooperación en alumnos de Secundaria.
Figura 3. como apoyo para los profesores de los distintos centros que participan en la experiencia. El dossier de actividades. Antequera Guerra
la madurez en el desarrollo de las capacidades matemáticas necesaria para afrontar con éxito la resolución de las actividades presentadas. Esta actividad está formada por cinco tareas que han sido adaptadas de las empleadas en la evaluación de PISA 2003. 4. lleva una introducción a modo de justificación y las soluciones a las cuestiones de las actividades. a través de enlaces web en la Figura 3. Estructura del dossier de actividades con enlaces web
El árbol que constituye la Figura 3 consta de tres nodos principales que representan los tres bloques en los que se divide el dossier de actividades. mientras que en los otros dos se muestran los bloques de actividades sobre juegos no cooperativos y juegos cooperativos. se han obtenido resultados interesantes cuando se ha podido comparar niveles.
2006) se observa la resistencia o dificultad de cada uno de los ítems en comparación con los niveles de estos mismos en PISA. conforman la herramienta fundamental para la recogida de datos necesaria en esta investigación.3. 4. no sólo en el cuánto. se presentan distintos contextos en los que se adaptan preguntas de la teoría de juegos no cooperativos. Estas diez actividades. constituyen la fuente de información principal de la que se ha obtenido los informes necesarios para el análisis posterior de cada una de ellas. se piensa en una situación didáctica basada en un experimento que pase por distintas fases: diseño preliminar. los alumnos sólo tienen una sesión de clase para acometer y resolver los problemas que se les presenta. con objeto de medir el grado de éxito alcanzado. Análisis de Datos Para estudiar las producciones de los alumnos. 2011b). presenta un número de participantes más elevado que el resto de las actividades. Esta actividad. y luego mediante el modelo de Rasch (Callingham y Bond. lo que permite un análisis de los muchos ítems respuesta más exhaustivo. 9 y 10) introducen situaciones en las que se desarrollan conceptos como los sistemas de votación ponderada. En ella se clasifica y ordena los ítems relacionados con el uso de tablas según la dificultad. agrupadas como se observa en la Figura 3. El análisis de las respuestas escritas y justificaciones de los alumnos permite la detección de errores en la comprensión de los enunciados.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. Esta cuantificación no se hace siempre de manera dicotómica (bien o mal). Si bien es cierto que no siempre se pueden utilizar los mismos criterios de graduación en todas las actividades. constituido por las actividades 2. Para ello. Y es por eso que. 6 y 7 del dossier. como son las representaciones de juegos en forma de matriz de pago y árbol de decisión. se destaca por significativamente distinto. Las producciones escritas de los alumnos cuando resuelven las distintas actividades. en la ejecución de procedimientos y en los razonamientos de las respuestas dadas. Se presentaron a los alumnos como parte complementaria a su formación académica.2. Antequera Guerra
En el siguiente nodo del árbol de la Figura 3. se realiza un análisis cuantitativo de las respuestas de los mismos dadas en cada una de las cuestiones de las distintas tareas. Muchos de estos errores tienen su origen en la adquisición deficiente de conceptos y procedimientos básicos en matemáticas. o los métodos de resolución. al ser un cuestionario previo a las otras experiencias. primero se estudia la analogía o semejanza que presentan mediante un análisis de conglomerados. Este análisis cualitativo realizado sobre las respuestas escritas dadas por los alumnos ha permitido hacer hincapié. 5. sino en cómo han contestado los alumnos a las cuestiones. 3. Esta últimas tres actividades (actividades 8. principalmente. 4. Por último. como el estudio de estrategias y el cálculo de valores maximin y minimax. Trayectoria de la experiencia Cuando se decide la elaboración del dossier de actividades con objeto de diseñar un material novedoso sobre contenidos propios de Teoría de Juegos que utilice herramientas propias de la Matemática Discreta. sino que se trata de graduar la evaluación las aportaciones de los alumnos matizando los distintos grados de consecución del objeto propuesto. El último nodo del árbol de la Figura 3 está formado por las actividades dedicadas a presentar ideas propias de la teoría de juegos cooperativos. los índices de poder y los problemas de bancarrota.
Vol. T. el análisis utilizado en la primera actividad del dossier y cuya metodología y resultados se encuentran publicados en Antequera y Espinel (2009b. 79
. en la mayoría de las experiencias. 4. experimento de enseñanza y análisis retrospectivo (Gravemeijer.
en sus primeras versiones. y luego hace referencia al contexto utilizado en el enunciado de la actividad. El Mejor Coche. 5. aparece la necesidad de adecuar la ejecución de la experiencia con el horario escolar de cualquier centro. reduciendo los conceptos teóricos abstractos a los estrictamente necesarios y planteando los problemas descritos dentro de un proceso guiado de resolución. Antequera Guerra
2004). Actividad 1. Como consecuencia de este proceso. Se realizan dos análisis basados en la experiencia con esta Actividad 1. Por eso. por tanto. El segundo estudio. se les da la oportunidad a los alumnos de seguir trabajando en sus casas y recoger las actividades en la siguiente sesión. así como observar que los alumnos superan al menos la puntuación media y. y por otra parte. Razonamiento estratégico La Actividad 1 está constituida por cuatro tareas adaptadas del programa PISA 2003 y se considera como una prueba previa al resto de experiencias de aula para conocer el dominio que poseen los estudiantes sobre el uso y aplicación de las tablas. Para detallar la experiencia realizada con cada actividad. los cuales resuelven las cuatro tareas durante cuatro sesiones de clase ordinaria en el curso escolar 2008-09. Experiencias
A continuación se resumen las experiencias realizadas con las actividades que conforman el dossier que se describe en la Figura 3. T. se diseña y revisa el material didáctico elaborado y se llevan a cabo varios cambios en la mayoría de las actividades. El objetivo de esta situación es doble: por una parte la intervención razonada en las situaciones didácticas. La primera experimentación muestra. como una de las consecuencias más significativas.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. que primero alude al objetivo de la actividad. Participaron en la experiencia de esta actividad 72 alumnos de de tercero y cuarto de secundaria obligatoria que tienen entre 15 y 16 años. se refina. Y por otro lado. se recoge la metodología seguida y los resultados obtenidos en ella. así como las referencias donde han sido publicados. se reducen las actividades hasta adecuarlas a un periodo de una hora y. son demasiado extensas para que los alumnos puedan resolverlas en un periodo de tiempo que no les resulte especialmente largo. Por un lado. en algunos casos. El primero análisis se dedica a la capacidad que los alumnos poseen en el uso y manejo de tablas. donde figura con este mismo título. están capacitados para realizar las nuevas actividades en las que se utilicen tablas de doble entrada. que conforman la Actividad 1 y que se toma de las actividades de PISA 2003. publicado en Espinel y Antequera (2008) y en Antequera y Espinel (2011b). Se desea observar la diferencia y dificultad entre los ítems que conforman la actividad. Una de las primeras razones por la que se introducen cambios fue la necesidad de simplificar los enunciados.1. publicados en Antequera y Espinel (2009b). árboles y otros conocimientos de propios de la Matemática Discreta. las propias actividades. Cada una de ellas tiene un título doble. destacando como ítem más difícil el que consistente en asignar pesos a una función lineal para alcanzar un objetivo
Vol. La otra razón que lleva a la modificación de las actividades está en la escasez de tiempo para realizarlas de manera efectiva. basándose en la información recibida de los estudiantes y se evalúa su comprensión en ese momento. Los resultados obtenidos con el modelo de Rasch como instrumento evaluador. Se ha de tener en cuenta que la trayectoria hipotética para el aprendizaje se adapta gradualmente y de manera cíclica: se corrige. se centra en una de las tareas. con cada una de las actividades.
5. permiten aceptar la idoneidad de las tareas en relación a los objetivos generales de la investigación. que los alumnos no son capaces de afrontar tareas excesivamente abiertas. producir un conocimiento sobre la forma en la que se construyen y comunican estos nuevos conceptos de matemáticas en los alumnos de secundaria. 79
la idea de estrategia mixta y se trata. de manera general. de ahí el título de la misma. de ganar engañando al contrario. Partiendo del enunciado de las tareas. Para luego. Parece que no tienen problemas en leer las estrategias de las situaciones que se les presenta. La actividad trabaja con la información recogida en tablas de doble entrada. En esta actividad se trata la construcción de las matrices de pago de cuatro juegos. como son: Pares y nones. Buscar el equilibrio. 5. el intentar ocultar la propia estrategia al contrincante. los mismos resultados y dificultades. Se representan conflictos puros entre dos jugadores. Actividad 4. El estudio de las estrategias que tienen los dos empresarios en esta situación. Cooperar siempre. Piedra. Juegos cotidianos La Actividad 3. No todas las tareas presentan un mismo grado de concreción. 5. Antequera Guerra
concreto. Se plantea. Los resultados alcanzados con esta experiencia aparecen en Antequera y Espinel (2003a) y en la Tesina defendida en 2003 (Antequera. Algunos resultados se muestran al mismo tiempo que se analiza la Actividad 7. observándose. 2003). a una solución en equilibrio. Actividad 2. T.2. Esta actividad se experimenta con un total de 40 alumnos en la investigación realizada para la Tesis. Jugar a engañar. está constituida por cuatro tareas cortas y presenta situaciones basadas en Juegos cotidianos. posiblemente por ser matrices 2x2. Cooperar siempre. puesto que se trabaja con los mismos cuatro juegos de mesa. Actividad 3. En resumen. aunque también se trabaja en la Tesina (Antequera. Jugar a engañar. partiendo de las matrices de pago de algunos juegos conocidos. el Dilema del Prisionero. 2003). es decir. se comparan los resultados obtenidos con los de PISA. como es normal en los juegos de mesa. la relación entre los juegos de mesa y los juegos matemáticos es la idea de esta Actividad 3.3. 79
. Una guerra de comidas La Actividad 2. Se utiliza como principal herramienta para representar los juegos. presentan como principal estrategia para ganar. les lleva siempre a unas elecciones de las que no les conviene desviarse. es una de las situaciones más paradigmáticas dentro de la Teoría de Juegos. Un juego de contienda y Hacer parejas con monedas. y encontrar la solución en equilibrio del juego. Busca el equilibrio. La sencillez de enunciado de
Vol. Además. trabaja un contexto de competencia entre dos restaurantes que plantean diferentes ofertas en sus menús para atraer a la clientela.4. En resumen. 5. la actividad muestra una situación de conflicto puro en la que se aplica el Teorema del Maximin con el objeto de buscar la solución en equilibrio de juego. juegos bipersonales de suma nula. y así intentar sorprenderle. tanto para España como para la media de la OCDE. Estos cuatro juegos. Se observa que muchos alumnos tienen dificultades para leer en una matriz o tabla de doble entrada. en la que los beneficios de uno se corresponden con las pérdidas del otro. papel y tijera. matrices de pago. los empresarios. los alumnos han de construir las correspondientes matrices de pago e intentar encontrar la mejor estrategia para cada jugador. se trabajan construyendo el árbol de estrategia de cada uno de los juegos. donde los alumnos tienen que seguir primero un pensamiento secuencial en busca de la mejor respuesta para ambos jugadores. las tablas de doble entrada o matrices de pago. es decir.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. buscar sobre la matriz de las diferencias de pagos las estrategias maximin y minimax. y que no tienen necesariamente por qué tener solución en equilibrio. El dilema del prisionero El eje conductor de la Actividad 4. En Una guerra de comidas se presenta una situación de conflicto puro entre dos jugadores. mientras que en la Actividad 7. y los resultados muestran que los alumnos no presentan grandes dificultades para trabajar con las matrices. un juego bipersonal de suma nula con solución en equilibrio.
el cual ha de elegir para obtener los mejores beneficios posibles. que lo utilizan para tomar una decisión. disponible en http://www. describe en Teoría de Juegos una situación de conflicto puro entre dos jugadores. y de emplear la inducción hacia atrás para encontrar la mejor respuesta para ambos jugadores. 2003) y se ha mantenido igual a lo largo de la trayectoria de la experiencia. 79
. a través del uso de los árboles de decisión. Esta actividad que comienza con una situación de toma de decisiones individual. aun cuando no construyen explícitamente el otro árbol que se les pide. dos empresarios deben decir dónde colocar una máquina de refrescos y otra de dulces en un centro educativo. La idea que se pretende fomentar es la de conseguir un modo de pensamiento estratégico. En la actividad. presentan la característica de que la elección de las mejores estrategias de una manera estrictamente racional y egoísta.iescarrus.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
Vol. sustentada en el diagrama de árbol como herramienta para presentar la información necesaria. Actividad 5. en este caso. ya que recientemente se ha colocado en la red para su libre uso. llevan a una situación en equilibrio que es insatisfactoria si se compara con otras posibles.5.com/mates. Máquina de refrescos. La idea que se pretende trasmitir es la de que en las decisiones que se toman en la vida se obtienen mejores resultados si se coopera. juego bipersonal con solución en equilibrio. Cooperar siempre. que están disponibles para el decisor. T. Esta actividad se desarrolló y experimentó en la Tesina (Antequera. 2010. responden como si lo tuvieran en mente. Los resultados que aparecen publicados en Antequera y Espinel (2003b). Antequera Guerra
este dilema permite realizar adaptaciones de carácter divulgativo e intentar adaptarlo a niveles de educación secundaria. Se quiere que los alumnos construyan las matrices de pago asociadas a dos tareas y analicen las mejores opciones para los jugadores. lleva a un mejor resultado. Parece que la mayoría de los alumnos son capaces de leer un árbol.ceojuan23. Únicamente se han eliminado algunos árboles de las tareas adicionales para acortar la actividad y que se pueda trabajar en una hora de clase. a la vez que se mejora la redacción. pero en un equilibrio inestable. 5. en los que se muestran todas las posibilidades de una situación.htm. Si bien el tiempo transcurrido ha permitido observar que hay suficiente material en la red para experimentar con el paradigma del Dilema del Prisionero. Sólo a muy largo plazo se podrá saber si los árboles de decisión se convierten en una herramienta a la que los estudiantes acudan cuando tengan que tomar decisiones en su vida cotidiana. 2003) y a partir de estos resultados se realizan algunos cambios. como es el caso de la propuesta recogida en http://www. Se desea comprobar que los alumnos son capaces de leer el árbol. de moverse por él. Decidir con árboles. incluso con el enemigo. emplea un diagrama de árbol para representar todas las acciones posibles de dos empresarios. Decidir con árboles. y se encuentra en fase de experimentación. La actividad se experimentó y desarrolló en la Tesina (Antequera. de forma que los beneficios para ambos sean los mejores posibles teniendo en cuenta las elecciones del otro.com/edumat/taller/dilema/dilema.html). muestran que muchos alumnos confunden los árboles de decisión con los árboles como medio de conteo de la combinatoria. Mientras que optar por una actuación altruista (cooperativa) por parte de ambos jugadores. los dos empresarios. Las situaciones descritas en la actividad. como actualizar su enunciado o reducir su tamaño. incluso hay alumnos que. y por ello se ha preparado una WebQuest (Antequera. que es el principal objetivo de esta actividad. Máquinas de refrescos La Actividad 5.
7. Son estudiantes que tienen edades entre 13 y 16 años. Participan en la experiencia 16 alumnos que cursan la materia Matemáticas A de 4º ESO que está orientada hacia las Ciencias Sociales. La idea que se quiere trasmitir es que el pacto entre grupos supone una interacción
Vol. en la que dos deportistas se enfrentan intentando ser el primero en golpear a su contrincante. Las principales deficiencias se observan cuando los alumnos intentan asignar pagos a las distintas estrategias de los jugadores. Optimizar con árboles. Además. resultados que sólo son observables a largo plazo. Árbol para decidir. En esta variante de la actividad se muestran todas las posibilidades que tienen los jugadores a través del diagrama de árbol. 79
. llegan a la solución del juego. papel y tijera. Sumando números. Asociarse para ganar. Jugar con árboles. y se añade uno nuevo. Dicha representación permite el estudio de todas las contingencias posibles y es también una técnica para escoger la mejor estrategia posible. de ahí el título. En esta actividad se presentan dos métodos para la búsqueda de la solución óptima de este ejemplo de juego bipersonal de suma nula. En esta actividad se retoman los juegos planteados en la Actividad 3. para la resolución de problemas que se pueden presentar en la sociedad. Actividad 7. El juego del palo Se presenta en la Actividad 6. Piedra. Antequera Guerra
5. El estudio recogido en Antequera y Espinel (2011c). T. Además. es mostrar que la vida puede ser considerada como un juego en la que también hay que tomar decisiones. que son conocidos y populares. punto de partida y base del desarrollo de la Teoría de Juegos. 5. Actividad 6. se trata de un juego cooperativo. se utilizan para incentivar el desarrollo del pensamiento estratégico en alumnos de secundaria obligatoria. Varios alumnos calculan el valor del juego usando el maximin y minimax y la mayoría son capaces de trasladar información de un árbol a una matriz. que en parte se pueden entender como un intento de ahorro en el uso de ostensivos en sus producciones. se hace uso de herramientas como tablas y árboles. Asociarse para ganar. El primer método se basa en el estudio de la existencia de estrategias dominadas y dominantes para los distintos jugadores. indica que los alumnos de secundaria han sido capaces de dibujar el árbol de decisión de un juego y que sus construcciones son más correctas y precisas según aumenta el nivel o la edad de los estudiantes. El consejo escolar En la Actividad 8. Árbol para decidir La idea de la Actividad 7. Es decir. En el segundo método se presenta una versión simplificada del Teorema del Maximin de John von Neumann. Un juego de contienda y Hacer parejas con monedas. en sus producciones se observa una fuerte influencia de sus conocimientos previos de los diagramas de árbol en combinatoria y probabilidad. para luego reorganizarla en una tabla de doble entrada o matriz. Jugar con árboles. En los resultados presentados en Antequera y Espinel (2007). Optimizar con árboles. que distinguen estrategias dominantes y dominadas. Actividad 8. 5. Pares y nones. centrando la atención en las estrategias generales de los individuos implicados. La información se recoge primero en un árbol de decisión con las distintas opciones y resultados del juego.6.8. Con este tipo de actividad. Algunos juegos de estrategia.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. En la experiencia participan un total de 52 alumnos de dos institutos de secundaria. se presenta una situación en la que un colectivo debe buscar alianzas y llegar a un acuerdo para ejercer el control en un consejo. se muestra que la mayoría de los alumnos comprende la situación planteada. se promueve el carácter utilitario de las matemáticas y con ello se ayuda a conseguir actuaciones racionales y de pensamiento estratégico. La idea a transmitir es cómo la representación en árbol supone una ayuda en la vida diaria para analizar el comportamiento humano en situaciones de conflicto de intereses. una situación de enfrentamiento basada en el juego tradicional del Juego del Palo canario.
Antequera Guerra
social que ayuda a que todos salgan ganando. Poder contra porcentajes. y que. alumnos y personal no docente. presenta una situación de elección social poniendo el acento en marcar la diferencia entre el porcentaje de votos y el poder real que posee cualquier individuo o colectivo dentro de un consejo.9. empresarial o social. El análisis y los resultados de la experiencia realizada con esta actividad se presentan ampliamente en el apartado 6 de este artículo. Los resultados obtenidos con las otras dos actividades.com/edumat/ taller/poder/poder_02. Distribución del Consejo Escolar en la Actividad 8
A través de esta experiencia se desea indagar el grado de comprensión de la actividad por parte de los alumnos y observar su capacidad para apreciar que los sistemas de justicia están asociados a la capacidad para negociar más que a la cantidad de votos. Además que esta diferencia entre votos e índice se debe a que hay que tener en cuenta las coaliciones.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. no aporta más consecuencias de las ya observadas por otros estudios. 5. Los cuatro grupos que lo forman. además. situación que es cercana a los alumnos. Actividad 9.iescarrus. que también tratan de juegos cooperativos. Además. Poder contra porcentajes. profesores. T. En esta actividad guiada de aplicación de los juegos cooperativos y del índice de poder se utiliza el contexto de la composición de El consejo escolar de un centro educativo. El ánimo de esta experiencia está en valorar la importancia de asociarse para lograr mayorías. ya sea político. padres. 79
. fueron tan productivos. con alumnos de primero de bachillerato y de cuarto ESO de Ciencias Sociales. Se muestran varios escenarios posibles que revelan cómo la influencia de los accionistas puede variar de manera significativa.htm. por el beneficio que se adquiere. La idea expuesta es la de observar cómo el poder no respeta la proporcionalidad de los votos. 8 y 10. ya que ésta depende del reparto de acciones. permiten soslayarla ya que se tiene suficiente información sobre la cuestión para la investigación general. El poder de los accionistas La Actividad 9. La experimentación que se realiza de esta Actividad 9.
Vol. Se trabaja con el índice de poder de Shapley-Shubik. sólo se consigue si se dispone de votos suficientes para poder negociar. basado en el poder decisorio de un jugador (pivote) cuando se consideran todas las permutaciones posibles de los miembros del consejo. que al compararlos con los resultados preliminares de esta actividad. tienen el número de representantes que se muestran en la Tabla 1. la asignación justa de beneficios obtenidos por la cooperación. con un total de 31 alumnos. Como ejemplo de sitio web en el que encontrar descripciones con carácter divulgativo de los índices de poder utilizados en las actividades 8 y 9. se propone www. En esta actividad se trabaja el concepto de índice de poder. El contexto empleado en esta actividad es el reparto de El poder de los accionistas en una empresa. igual que en la Actividad 8 que se analiza en el siguiente apartado. existe material análogo sobre porcentajes e índices de poder.
Conceptos teóricos sobre el Índice de Poder Considere una mesa de negociación formada por tres grupos políticos distintos. Este tipo de situaciones. Esta circunstancia. por otro. tras ver fracasar su empresa.10. resultando preocupante que alumnos de los últimos años de la educación secundaria cometan errores en un cálculo básico de situaciones de la vida cotidiana. que tienen entre 16 y 17 años. o incluso asignan a los acreedores más de lo que solicitan. aún así. tres empresarias. La mesa está constituida de forma que el grupo A tiene 4 representantes o votos. Los tres grupos tienen que negociar para formar coaliciones que les den mayorías. El consejo escolar En este apartado se describe la experiencia con la Actividad 8. En la web http://www. de entre 15 y 16 años. 6. A. Bancarrota. “no hay suficiente pastel para todos los que quieren una parte”. muestran que existen alumnos que presentan dificultades con el reparto proporcional. Análisis de la experiencia con la Actividad 8. sino a que algunos alumnos no terminan de leer los enunciados donde se les aclaran los casos particulares. pueden considerarse más justas que otras. no se debe a la ejecución incorrecta de la regla propuesta. además. estos bienes se deben repartir aunque no se cubran las demandas de los acreedores. ya que. La quiebra de una empresa lleva emparejado una situación de bancarrota en la que no hay suficientes bienes para pagar a los acreedores y. dicho de forma coloquial. Bancarrota. La representación formal de los mismos es [q. B y C. Asociarse para ganar. Las situaciones de bancarrota son siempre difíciles. así como varios ejemplos que ilustran este tipo de situaciones. w2. existen formas de reparto. Hay alumnos que tienden a repartir más cantidad de la disponible. wn]. Sin embargo. T. Antequera Guerra
5. w1. Aceptan las distintas reglas de reparto.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A.1. El consejo escolar. En esta actividad se realiza una adaptación de algunas de estas reglas de reparto propias de los problemas de bancarrota.net/ce/2006/fjss. el grupo B tiene 3 representantes o votos. 79
. siguen considerando el reparto proporcional como el más adecuado para realizar repartos. siendo 8 el número total de votos que se pueden emitir. …. El reparto de la miseria En la Actividad 10. cometiendo errores en el procedimiento de cálculo.htm se puede encontrar un resumen teórico de los principales conceptos sobre los juegos de bancarrota. que llegado el caso. deben repartirse el capital que les queda. y el grupo C tiene un solo representante o voto. Los antecedentes didácticos que llevan a formular este estudio. se tiene un juego de votación 2
Vol.eumed. donde los wi son los votos que posee cada grupo. justifican adecuadamente. Los resultados publicados en Antequera y Espinel (2011a). como ejemplo y síntesis de la investigación realizada con el resto de actividades. Asociarse para ganar. llegándolas a considerar como justas. 6. Hay que señalar que en esta actividad los alumnos de altas capacidades o talentosos captan mejor la naturaleza del problema y llegan a aportar soluciones novedosas que. en el excesivo uso que se hace de la “regla de tres” para el reparto proporcional en los currículos actuales y. El reparto de la miseria. En el ejemplo. que de manera usual se considera como la mitad más wi uno de la suma de todos los votos (q = + 1 ). y primero de bachillerato. Esta dificultad se ha detectado en otros momentos de esta investigación. En el estudio participan en total 74 alumnos que cursan tercero y cuarto de secundaria obligatoria. en Teoría de Juegos. Sin embargo. se denominan juegos de votación ponderada. Actividad 10. para observar la actuación de los estudiantes ante distintas formas de reparto. y q es la cuota para alcanzar la mayoría. surgen por un lado. que es insuficiente para cubrir la inversión hecha en un principio.
A. de entre ellas. En este caso. respectivamente. T. 3. al igualar o superar la cuota de mayoría. considerados como jugadores. B y C. y al grupo B y al C 1/4 a cada uno. las coaliciones minimales son las formadas por el grupo A aliado con el grupo B o con el grupo C. Se resaltan en negrita las coaliciones ganadoras y. B-C 3 grupos A-B-C
Tabla 2. Coaliciones posibles en el juego de votación ponderada
Luego. el valor que se obtiene para cada jugador es el valor del índice de poder. El índice de Deegan-Packel toma en consideración las coaliciones ganadoras minimales. el 25%. aunque los grupos B y C poseen un número de votos diferente.
CGM A-B A-C Suma Índice A 1/2 1/2 2/2 1/2 B 1/2 1/2 1/4 1/2 1/2 1/4 Σ = 4/2 C
Tabla 3. Si se suma las aportaciones de cada coalición para cada jugador y este resultado se divide por la suma total de estas sumas parciales (Σ = 4/2).5% 25%
Tabla 4. 1995). el de Banzhaf-Coleman y el de Deegan-Packel (Taylor. Antequera Guerra
ponderada formado por tres grupos. se define el concepto de índice de poder como los valores que se asignan a los jugadores y que proporcionan una medida de su poder o influencia. A. siendo la representación formal del juego [5. a los grupos le corresponden el 50%. Partiendo de juegos de votación ponderada.5% 25% C 12. es decir. sin embargo poseen el mismo poder o influencia real. Comparación del porcentaje de votos y el del índice de poder
Vol. Cálculo del índice de poder
Si se compara el porcentaje de votos con los valores para cada índice (Tabla 4).
A Votos Índice 50% 50% B 37. se colorean las coaliciones ganadoras minimales. como se observa en la Tabla 3. A-C. es decir.
1 grupo A B C 2 grupos A-B. aquellas coaliciones que son ganadoras. En la Tabla 2 se recogen todas las coaliciones posibles en este juego. al grupo o jugador A le corresponde 1/2. En estas coaliciones el poder que le corresponde a cada grupo o jugador se reparte equitativamente. cuyo cálculo se muestra a continuación a través del ejemplo anterior. 1]. 79
. y el 25%. En el desarrollo de esta experiencia se emplea sólo este último índice. 4. con una cuota de mayoría de 5. Existen varios índices de poder. pero de entre ellos los más conocidos son el índice de Shapley-Shubik. trasladando estos valores a porcentajes. y que además en ellas todos los miembros son imprescindibles. la observación más significativa es que. Se pretende medir la capacidad negociadora de cada jugador a la hora de formar coaliciones.
Esta circunstancia se debe. Resultados de la experiencia El estudio se desarrolla con un total de 52 alumnos que tienen entre 15 a 17 años y que cursan el último año de secundaria obligatoria (4º ESO) o el bachillerato de Ciencias Sociales. 2005).
Nivel Alumnos Secundaria Total = 52 4º ESO 15 1º BACH 30 2º BACH 7
Tabla 5. 79
. perdedoras y ganadoras minimales.
A Votos Índice 46.
Coaliciones Correctas Ganadoras 80.2. para luego identificar y separar las coaliciones ganadoras. 3. un estudio comparativo por nivel educativo. En una primera parte de la actividad se les muestra a los alumnos. 7.8% Perdedora 59. En estas preguntas. T. Porcentajes de respuestas correctas dadas por los alumnos
La mayor dificultad se presenta en la detección de las coaliciones perdedoras. a aquéllas formadas por un solo individuo. el procedimiento de cálculo del índice de Deegan-Packel.3% 20.6% Ganadoras Minimales 77%
Tabla 7.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. hasta llegar al resultado final recogido en la Tabla 6 que compara el porcentaje de votos y el del índice de poder. lo que les lleva a dar una respuesta parcial a esta cuestión.5% B 20% 20. La situación del consejo escolar que plantea la actividad (Tabla 1) se puede resumir de manera formal en el siguiente juego de votación [8. Esta actividad está diseñada especialmente como un proceso de modelización guiada y por ello se tiene en cuenta para su análisis. El porcentaje de respuestas correctas de los alumnos.8% C 20% 20. al comparar los resultados por
Vol. distribuidos como se recoge en la Tabla 5. Comparación del porcentaje de votos y el del índice de poder
En esta primera parte de la actividad. principalmente. además de un análisis cualitativo de sus respuestas. y en este caso como coalición perdedora. como se observa en el porcentaje de acierto mostrado en la Tabla 7. 2]. en especial con respecto al conocimiento y comprensión del modelo. y a la ejecución de una modelización independiente por parte de los alumnos. término nuevo en matemáticas. se plantean cuestiones relativas al procedimiento necesario para este cálculo. 3.8% D 13.7% 37.8%
Tabla 6. en cuanto a completar las distintas clases de coaliciones pedidas se recogen en la Tabla 7. utilizando el conocimiento que ya tienen sobre combinatoria para introducir la idea de coalición. Antequera Guerra
6. En el marco de análisis se ha tenido presente los niveles de modelización (Henning y Keune. Se pide a los alumnos que identifique los distintos tipos de coaliciones. de manera similar a la descrita en el ejemplo anterior. Número de alumnos distribuidos por niveles
El hecho de que los alumnos sean de dos etapas educativas distintas permite hacer. a que los alumnos sólo consideran las coaliciones formadas por dos jugadores o no consideran como coalición. además de mostrar a los alumnos el proceso de cálculo del índice.
Si bien se observa cierta diferencia según los niveles de alumnos. ilustra como jugadores de distinto peso tienen el mismo poder. Por un lado. Tarea 1. los estudiantes captan el concepto de coalición y saben extraer del modelo la idea de perdedora y ganadora. sin encontrarse diferencias entre los alumnos de ESO y los de Bachillerato.
A 45. salvo tres. Las producciones escritas por los alumnos muestran como la primera parte de esta tarea la completan prácticamente todos los alumnos. como la Tabla 8. En este sentido. muestran que el éxito es prácticamente total. Se plantea una nueva situación de votación ponderada. 5. la diferencia en votos de tres grupos (Padres. 2]. 18. Alumnos y No Docentes) desaparece al considerar el índice y se observa como los Profesores no tienen tanto poder como podría indicar su número de votos. que
Vol. Los resultados muestran que los alumnos cometen los mismos errores que en la primera parte de la actividad. o bien consideran sólo las coaliciones formadas por dos jugadores. se pide a los alumnos que calculen el porcentaje de votos y que busquen los distintos tipos de coaliciones: ganadoras. 36.36% 33. utiliza un contexto político distinto a la primera relativo a la constitución de un ayuntamiento. o bien no consideran como coalición las formadas por un solo jugador. donde se observan mejores resultados en los estudiantes de bachillerato que en los de cuarto de ESO.46% 33. Sin embargo. 36. en las que se da al alumno la oportunidad para que reproduzca el proceso de modelización anterior y trabaje de forma análoga pero más autónoma. Efectivamente. cuando se pide a los alumnos que comparen el porcentaje de votos y el índice. se pretende observar si ante un modelo totalmente análogo. T. los alumnos de bachillerato. lo hacen bien y de manera razonada.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. ya que los de bachillerato justifican mejor y de una forma más amplia sus respuestas. 4. en el mismo contexto del consejo escolar de la etapa guiada.45%. tanto en ESO como en bachillerato. La comparación entre porcentajes de los votos y del índice de poder. El fin último es que los alumnos completen una tabla con el porcentaje de votos y el del índice. Mientras los alumnos de ESO en su mayoría no contestan y dejan en blanco esta cuestión. el cálculo de los porcentajes de los votos lo completan correctamente casi todos los alumnos. Hay algunos alumnos que redondean su respuesta a: 45. los resultados de las cuestiones de esta Tarea 1.1.4.36%. en la que los alumnos tienen que realizar el procedimiento de cálculo del índice de Deegan-Packel. ahora sí se detectan diferencias en las respuestas dadas por los alumnos según el nivel educativo. es decir. Así.33% C 18.18%.33%
Votos Índice
Tabla 8. 79
. no ocurre lo mismo con los últimos apartados relativos al cálculo del índice de poder. tal como se recoge en la Tabla 6.18% 33. En esta Tarea 2 destacan dos resultados principalmente. Tarea 2. contestando cuestiones que los orientan en el proceso. Comparación del porcentaje de votos y el del índice en la Tarea 2
En los primeros apartados de esta tarea y de manera guiada. La segunda parte de la actividad consta de dos tareas semejantes a la que se presenta como modelo. Con la primera de las tareas. La segunda tarea. Antequera Guerra
niveles educativos se observa que éstos son similares con independencia del nivel al que pertenezca el alumno.33% B 36. y se continúa con el proceso análogo. 18. anotando como respuesta: 45. [6.5. perdedoras y ganadoras minimales.
4% de los alumnos y lo dejan en blanco un 30. 0. Otros alumnos dan: 0. por lo que colocan en la tabla: 83.45 45% 83. Entre los alumnos de bachillerato los resultados son significativamente mejores.3% 2.5% 0. 33. principalmente al utilizar en el proceso más coaliciones de las minimales. Comparación del porcentaje de acierto total y el de Bachillerato
Vol.18. 18%. captan la idea que se les pretende trasmitir.3% 41. Algunos apuntan: 45%. 0. respondiendo correctamente el 55. donde se espera que los alumnos realicen el proceso que se recoge en la Tabla 10.45% 45. estos casos son los resultados más preocupantes.
Bien 36. “El más favorecido es el partido C. pero posteriormente cuando lo vuelve a utilizar en el último apartado de esta actividad lo pasan a porcentaje. mientras que el más perjudicado es el A. 79
. De estos sólo un alumno deja la pregunta en blanco y el resto comete distintos errores.8% Blanco 30.3% Blanco B 36.3% Blanco Respuestas 76% 3% 3% 3% 9% 6%
Tabla 9.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. sin observar que así no suma 100.18%.6% Blanco C 18. Respuestas de los estudiantes en el cálculo de porcentaje
El otro resultado remarcable se encuentra en el cálculo del índice. Cálculo del índice de poder en la Tarea 2
Los resultados recogidos en la Tabla 11 muestran que sólo realizan el proceso correctamente un 36.45. En las preguntas sobre aportar alguna opinión sobre la comparación de porcentajes.36.3%.6. aparecen frases como: “Que A y B salen perdiendo y C sale ganando”. Antequera Guerra
se puede aceptar como correcta.3.3. en lugar del total 11.7%
CGM A-B A-C B-C Suma Índice A 1/2 1/2 2/2 1/3 B 1/2 1/2 2/2 1/3 1/2 1/2 2/2 1/3 C
Σ = 6/2
Tabla 10. ya que suma 100. 66.5% Mal 33. El alto porcentaje de alumnos que no responden se debe al alto fracaso observado en los alumnos de ESO.33% todos son iguales”.4% 55.18 18% 33. es decir. “Que todos van a dar lo mismo” y “33. T. Evidentemente. Hay alumnos de Bachillerato que calculan el porcentaje utilizando como cuota 6.1% 0. En la Tabla 9 se resumen las distintas respuestas.4% 0. 36%.36 36% 66.5%. completan de forma correcta el cálculo del índice de poder. Si se consideran como respuestas aceptables las cuatro primeras filas de la Tabla 9.36% 36. 18. seguido del B”. ya que son alumnos que no se dan cuenta de que obtienen porcentajes disparatados y que no suman 100. se tiene que un 85% de los alumnos responde correctamente. lo que sugiere que los alumnos que han llegado hasta el final de la tarea.
Conclusiones de la experiencia sobre Índice de Poder En síntesis.
7. se consiguen algunos de los objetivos de esta experiencia. Con el diseño de material curricular empleando conceptos propios de la Teoría de Juegos. accionista. • Por sus respuestas se puede interpretar que los alumnos captan las ventajas de la cooperación y de formar alianzas entre los jugadores y. colega. los índices de poder y el reparto justo. para la resolución de problemas en la vida diaria. que constituye el primer objetivo de esta investigación. convivencia democrática. asociado. y se consigue divulgar conceptos propios de esta teoría. desde el ámbito de las matemáticas. Se trata de fomentar una cultura integral en los alumnos. El propósito fundamental que ha motivado este trabajo es emplear conceptos propios de la Teoría de Juegos. sólo lo alcanzan los alumnos de bachillerato.3. • También se encuentra un aceptable conocimiento semántico. uno de los objetivos principales de la enseñanza en Secundaria. como se puede observar a partir de que: • Todos los alumnos comienzan trabajando la actividad y ninguno la deja totalmente en blanco. afiliado. negociación. En cuanto al nivel 3. T.… cuando justifican sus respuestas. puesto que entienden la notación utilizada. cooperación. especialmente en la segunda tarea y parece que comprenden la modelización y su utilidad en la sociedad. todos los alumnos alcanzan el nivel 1. como son los árboles de decisión. pues se observa como los alumnos aplican mejor la combinatoria en esta actividad que cuando se formulan problemas matemáticos en abstracto. Este propósito se desglosa en tres objetivos. se retoman aportando las reflexiones que sobre ellos se han obtenido. aunque también uno de los que se hace más difícil de alcanzar. que es. en el sentido de que reconocen y comprenden la modelización. al menos parcialmente. con respecto a la competencia en modelización según los tres niveles propuestos por Henning y Keune (2005). las votaciones ponderadas. Al tiempo se hace uso de herramientas como tablas y árboles. se promueve el carácter utilitario de las matemáticas y con ello se ayuda a conseguir actuaciones racionales. El nivel 2. Conclusiones generales de la investigación
Esta investigación ha mostrado resultados de una vinculación de los contenidos propios de la Matemática Discreta con algunos de los objetivos que se promueven desde la Educación Secundaria. si bien los alumnos más jóvenes tienen dificultades para transponer el proceso a otro contexto. fracciones y porcentajes especialmente en el proceso guiado. por tanto. ocurre que en la actividad no se puede apreciar una meta – reflexión. • Hacen uso de contenidos básicos de matemática como combinatoria. observar la compresión del mismo por parte de los alumnos y por último evaluarlo. Antequera Guerra
6. las matrices de pago. se puede afirmar que los resultados de esta experiencia muestran una comprensión aceptable de la actividad por parte de los estudiantes de secundaria. cuyos resultados sólo son observables a largo plazo. y así como en seis fines que.
.. al mismo tiempo. para desarrollar contenidos de carácter formativo que potencien valores de justicia. diseñar material curricular. • En las respuestas de algunas preguntas hay una clara influencia del contexto. se considera que. aunque hay alumnos que llegan a criticar el resultado. Además.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. etc. ya que se observa que dominan el vocabulario del área relevante para el problema. se puede considerar que. utilizando términos como consorcio. a continuación. ya que son los que trabajan con el modelo.
En cuanto al segundo objetivo. así como en la aplicación de contenidos curriculares que ya conocen en situaciones novedosas. sin embargo.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. así como la adquisición de valores y principios propios de las sociedades democráticas. se detecta en los alumnos capacidad para afrontar con éxito las tareas basadas en procedimientos rutinarios. para adaptar y mejorar dicho material. la cooperación social se presenta como actividad escolar en las clases de matemáticas y ligada a comportamientos estratégicos y racionales. en su mayoría. los alumnos tienen propensión a aportar soluciones que les parecen justas dentro de un contexto real. dificultades en la comprensión de los enunciados y de parte de la nueva terminología. Además. De manera general. se encuentra que muchos alumnos no han alcanzado. tercer objetivo de la investigación. Al evaluar el material curricular. Los alumnos que alcanzan este nivel pertenecen. que cuando se les presentan en forma de ejercicios teóricos. a través de los éxitos y dificultades que se observen en las producciones de los alumnos. Se detecta en la introducción de nuevos contenidos de utilidad directa para el alumnado. Sin embargo. sus aportaciones tienden a ser mejores en situaciones contextualizadas. éstos tienen un carácter más general y su consecución va más allá de los resultados obtenidos en estas experiencias. siendo capaces de reconocer y comprender el modelo que se les plantea en cada actividad y aplicarlo directamente. Se cree que este tipo de material curricular puede dar una visión de las matemáticas en conexión con diferentes ámbitos disciplinarios. • Para fomentar la interdisciplinariedad. se espera que con actividades de este tipo se puedan alcanzar a más largo plazo. Se detectan. • Las habilidades basadas en el diálogo y la cooperación para la resolución de conflictos. T. los juegos cotidianos… • El carácter utilitario de las matemáticas. Esta circunstancia es significativa por tratarse de un concepto básico que se debe tener completamente interiorizado al finalizar la etapa de educación obligatoria y que. así. Se favorece la adquisición de las competencias básicas planteadas en el currículo oficial a través de actividades en contextos de interés para los alumnos. como en la calidad de las aportaciones hechas por ellos. como son las competiciones deportivas. son pocos los alumnos que se desenvuelven de manera satisfactoria en aquellas tareas que requieren de perspicacia y originalidad. a los grupos de Bachillerato o a los de Talentosos. se han detectado en toda las experiencias. Se muestra. 79
. errores en el cálculo e interpretación de porcentajes por parte de alumnos de distintos niveles educativos.
Vol. consistente en observar el comportamiento y rendimiento de los alumnos en la resolución del material diseñado y el grado de comprensión de los contenidos. obtienen una justificación desde las matemáticas. Y por otro lado. Se presentan a continuación unas reflexiones sobre los fines que se pretenden con esta experiencia. Por un lado. en aquellas en las que deben trabajar con el modelo planteado dando respuestas originales. Esta nueva estructura produjo una mejora significativa de las respuestas de los alumnos. provoca resultados poco satisfactorios en las mismas. En cuanto a los fines que se plantean en esta investigación. como herramienta para la resolución de problemas sociales. tanto en la compresión de los conceptos descritos en las actividades. la gran importancia que está adquiriendo las matemáticas en profesiones no científicas en el ámbito de las Ciencias Sociales. también. las respuestas de los alumnos están influenciadas por el contexto. se observa principalmente que para el tipo de actividades y el tiempo de ejecución. pero que en muchas ocasiones carecen de justificación matemática. seguida de tareas análogas. un proceso con tareas abiertas y de interpretación más libre. Esta circunstancia trajo consigo la necesidad de modificar la redacción de las actividades hacia una modelización guiada. es decir. Ello motivó las mejoras hechas en la redacción de las actividades a lo largo de la investigación. Además. considerando el lenguaje matemático como hilo conductor entre distintas áreas.
• La adquisición de la capacidad de ponerse en el lugar del otro en situaciones de conflicto.Propuesta Educativa para enseñar nociones de Teoría de Juegos en Educación Secundaria
A. experimentado y analizado material educativo adaptado a Educación Secundaria sobre conceptos como la Matemática Discreta y. como son el uso de representaciones en árbol. Tesina de Licenciatura. Con esta investigación se ha querido plantear la factibilidad de introducción de nociones propias de la Teoría de Juegos en el currículo de secundaria. 2011b. Antequera. 2009b) e internacional (Antequera y Espinel.html. Nuestra investigación tiene un carácter novedoso en Educación Matemática en España. 2003c. (2003). 2008). se refuerzan a lo largo de todas las actividades que conforman este material curricular en su aplicación en contextos no estandarizados que favorecen su compresión y asimilación por parte del alumnado. puesto que se ha preparado. Y además se han publicado resultados de la investigación en revistas de ámbito nacional (Antequera y Espinel.ceojuan23. y Recursos para el estímulo del talento precoz en Matemáticas (2006) de Acosta. Antequera Guerra
• Los contenidos característicos de las matemáticas. de http://www. 79
.com/mates. la Teoría de Juegos. Dilema del prisionero. 2003a) e internacional (Antequera y Espinel. El tipo de actividades que se plantean son totalmente asimilables por parte del alumnado al que están dirigidas. en concreto. Cooperar siempre. • Se aporta un sistema de herramientas propias de la Teoría de Juegos. Recuperado el 12 de agosto de 2011. y se ha participado en congresos de carácter científico en Educación Matemática. que permite desarrollar el pensamiento estratégico y la toma decisiones. Se sigue la línea abierta por otros investigadores en este sentido. este material ha evolucionado durante todo el proceso y seguirá evolucionando como respuesta a las nuevas demandas que plantea la sociedad actual. 2008b. no tienen dificultades a la hora de enfrentar los nuevos contenidos que se les presentan. con los conocimientos adquiridos en la escuela. 2009a). 2010. WebQuest. como de los resultados obtenidos en las distintas experiencias. se ha hecho un esfuerzo divulgativo tanto del material curricular. A. de una manera que hasta ahora no se había realizado. Espinel y Antequera. T. Falcón y Freaza sobre el Programa Estalmat realizado con los alumnos talentosos en Canarias. Se han realizado comunicaciones en jornadas de profesores. a nivel autonómico en las jornadas de la Sociedad Isaac Newton (Antequera y Espinel. T. A. de manera que se tengan referencias de todos los puntos de vista. Además. Se ha demostrado que este tipo de material resulta de gran utilidad para el desarrollo integral de los alumnos como medio para la adquisición de las Competencias Básicas necesarias para la vida adulta. 2007). 2011c). sino que aparece de manera continua en todas las relaciones se establecen entre los miembros de la sociedad. 2008a. (2010). Esto facilita la presentación de modelos para la toma de decisiones y el pensamiento racional y el dominio de la parte emocional del problema en la búsqueda de soluciones mejores o más justas. la resolución de problemas y la búsqueda de estrategias.
Antequera. a nivel nacional (Antequera y Espinel. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Vol. muy útiles en ciencias sociales. las tablas y las matrices. El proceso de la investigación. que comenzó con la defensa de la tesina de licenciatura Matemáticas para el desarrollo del pensamiento estratégico y de cooperación en alumnos de Secundaría. de los que destacamos las investigaciones recogidas en los libros Insighs into Game Theory. Cutillas. y nacional en las JAEM (Antequera y Espinel. 2003b. puesto que. 2011a. permite que los alumnos alcancen una visión global de las situaciones de conflicto y asimilen que estas no tiene porqué encontrarse necesariamente en un contexto bélico. Matemáticas para el desarrollo del pensamiento estratégico y de cooperación en alumnos de Secundaría. An Alternative Mathematical Esperience (2008) de Gura y Maschler en el plano internacional. Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna.
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