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Timestamp: 2018-11-21 16:15:38+00:00

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CAPITULO III Interferencia y Difracción 1. Término de Interferencia Si en una región del espacio coexisten dos ondas armónicas de la misma naturaleza e igual frecuencia ω , entonces, de acuerdo con el principio de superposición, la onda resultante es la suma de ambas. Supóngase dos ondas armónicas esféricas:
A1 sen(k r1 − ω t + ϕ1 ) r1
A2 sen(k r2 − ω t + ϕ 2 ) r2
Ψ = Ψ1 + Ψ2 =
A1 (senθ1 cos ω t − cosθ1 senω t ) + A2 (senθ 2 cos ω t − cosθ 2 senω t ) r2 r1
⎞ ⎛A ⎞ ⎛A A A Ψ = ⎜ 1 senθ1 + 2 senθ 2 ⎟ cos ω t − ⎜ 1 cos θ1 + 2 cos θ 2 ⎟ senω t ⎟ ⎜r ⎟ ⎜r r2 r2 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1
θ 1 = k r1 − ϕ1 y θ 2 = k r2 − ϕ 2
haremos: θ = k r − ϕ
Si se supone además que el resultado es una onda armónica esférica, de la forma:
Ψ= A A A sen(θ − ω t ) = senθ cos ω t − cos θ senω t r r r
Esta suposición es válida cuando ambos resultados son idénticos. Luego:
A A A senθ = 1 senθ1 + 2 senθ 2 r r1 r2 A A A cos θ = 1 cos θ1 + 2 cos θ 2 r r1 r2
Elevando al cuadrado ambas expresiones y sumando miembro a miembro, se tiene:
⎛A ⎞ ⎛A ⎛ A⎞ ⎜ ⎟ =⎜ 1 ⎟ +⎜ 2 ⎜r ⎟ ⎜r ⎝r⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2
⎞ A A ⎟ + 2 1 2 (senθ1 senθ 2 + cos θ1 cos θ 2 ) ⎟ r1 r2 ⎠
⎛A ⎞ ⎛A ⎞ A A ⎛ A⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + 2 1 2 cos(θ1 − θ 2 ) ⎜r ⎟ ⎜r ⎟ r1 r2 ⎝r⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Salvo una constante, la expresión anterior está relacionada con las intensidades de las ondas componentes y la intensidad de la resultante, o sea:
Ι = Ι1 + Ι 2 + Ι12
donde el término Ι12 se denomina termino de interferencia.
Ι12 = 2
A1 A2 cos[k (r1 − r2 ) + (ϕ1 − ϕ 2 )] r1 r2
En el caso de ondas planas el resultado es parecido:
r r r Ι12 = 2 Ψ01 Ψ02 cos k1 − k 2 ⋅ r + (ϕ1 − ϕ 2 )
A distancias grandes Ι 1 ≅ Ι 2 ≡ Ι 0 , y en este caso: Ι = 2 Ι 0 (1 + cos k [r1 − r2 ])
de lado el término (ϕ1 − ϕ 2 ) que se relaciona con el concepto de coherencia y cuando es cero se dice que las fuentes son completamente coherentes, si es constante se dice que son coherentes y cuando es variable se dice que son incoherentes. 2. Interferencia producida por dos fuentes puntuales La figura siguiente representa dos fuentes puntuales completamente coherentes ubicadas sobre el eje y de un sistema de coordenadas cartesianas y la recta x = L , en donde se desea conocer para que valores de x existen máximos o mínimos de intensidad.
De acuerdo con esto los valores extremos que puede tomar la intensidad es 0 como mínimo y 4Ι 0 como máximo. En la última expresión se ha dejado
La intensidad en el punto P viene dada por la relación: Ι = 2 Ι 0 (1 + cos k [r1 − r2 ]) Donde k [r1 − r2 ] representa la diferencia óptica entre los recorridos de los dos haces de luz. La diferencia r1 − r2 es aproximadamente:
r1 − r2 ≅ h tgθ = hy L
Reemplazando estos valores en la expresión de la intensidad, la condición de máximo de intensidad se obtiene haciendo cos(khy L ) = 1 y la condición de mínimo se encuentra haciendo cos(khy L ) = −1 . Por lo tanto: Condición de máximo: Condición de mínimo:
y=±m
m = 0, 1, 2, 3, ... m = 0, 1, 2, 3, ...
1⎞λL ⎛ y = ± ⎜m + ⎟ 2⎠ h ⎝
En la figura anterior se muestra un gráfico de la intensidad en función de la posición para puntos sobre una pantalla ubicada en x = L . Los valores señalados corresponden a los máximos más cercanos al máximo central. El máximo central se encuentra en y = 0 .
3. Películas dieléctricas Los efectos de interferencia se observan en materiales transparentes con espesores menores que la longitud de onda de la luz hasta placas con varios centímetros de espesor. Se dice que una capa de material es una película delgada cuando el espesor es del orden de la longitud de onda. La figura siguiente muestra una placa transparente, de superficies planas paralelas, de espesor d y que es no absorbente. En cada reflexión la intensidad decrece apreciablemente de manera que se pueden considerar sólo los dos primeros haces de luz reflejados. La lente que aparece tiene por objeto unir en un punto los rayos reflejados que son paralelos.
De la figura se puede calcular la diferencia de camino óptico para estos dos primeros rayos:
[r1 − r2 ] = (AB + BC )n f
− AD n1
d cosθ f
AC = 2 d tgθ f AD = AC senθ 1 = 2 d tgθ f nf n1 senθ f
[r1 − r2 ] = 2 d n f cos θ f
Los rayos reflejados internamente sufrirán un cambio de ± π con respecto a los rayos reflejados externamente. Si en la figura n1 = n 2 < n f entonces se debe considerar esta diferencia de fase, por lo tanto la intensidad viene dada por:
I = 2 I 0 { + cos (2 k 0 d n f cos θ f ± π )} 1
El signo + o – de π no es relevante y escogeremos el signo – para que la expresión final sea más simple. Luego, para el caso por reflexión: Condición de máximo: Condición de mínimo: Película en forma de cuña Las franjas de interferencia en películas delgadas pueden ser útiles para determinar diferentes aspectos de la superficie de elementos ópticos, por ejemplo, para ver si una superficie es opticamente plana o no. Si se coloca la superficie a examinar en contacto con un plano óptico (desviaciones menores que λ 4 ), el aire entre ambas superficies genera un patrón de interferencia de películas delgadas. Si la superficie es plana y la figura de interferencia presenta una serie de bandas rectas e igualmente espaciadas, entonces la película de aire tiene forma de cuña. En la figura siguiente se muestra una cuña de material de índice de refracción n f inmerso en medios de índices de refracción n1 y n 2
1⎞ ⎛ 2 d cos θ t = ⎜ m + ⎟ λ f 2⎠ ⎝
2 d cos θ t = m λ f m = 0, 1, 2, 3, ...
m = 0, 1, 2, 3, ...
Si el ángulo α es pequeño, las condiciones de máximos y de mínimos de interferencia están dadas por las relaciones calculadas para láminas delgadas. Sí en la figura n1 = n 2 < n f : Condición de máximos: Condición de mínimos:
1⎞ ⎛ 2d = ⎜m + ⎟λf 2⎠ ⎝
2d = mλf m = 0, 1, 2, 3, ...
donde d es el espesor para un punto particular. Si d = x α , las relaciones quedan: Condición de máximos: 1⎞ λf ⎛ x = ⎜m + ⎟ 2 ⎠ 2α ⎝ x=m
Condición de mínimos: 4. Anillos de Newton
λf 2α
Una lente convexa de distancia focal grande que yace con la superficie curva sobre una placa plana de vidrio, deja un espacio de aire entre la lente y la placa de vidrio de espesor variable y se producen franjas de interferencia circulares (debido a la simetría). Si la luz proveniente de una fuente extensa cae sobre este dispositivo, prácticamente normal a él, las franjas circulares que se observan tienen un centro común y se conocen como anillos de Newton.
Un cálculo aproximado para encontrar las relaciones de máximos y mínimos en función de x (distancia radial a partir del centro de los anillos), se puede hacer utilizando el teorema de Pitágoras:
R 2 = (R − d ) + x 2
Suponiendo d << R queda:
x2 2R
La condición de máximo es entonces (para el caso por reflexión):
1⎞ ⎛ x2 = ⎜m + ⎟ R λ 2⎠ ⎝
La condición de mínimo correspondiente es:
x2 = m R λ 5. Interferómetro de Michelson
Básicamente este tipo de instrumento está constituido por dos espejos y una placa con una de sus superficies funcionando como semi espejo. También puede tener una placa compensadora que elimina la diferencia de recorrido en el interior de las placas.
La luz proveniente de una fuente puntual S incide sobre la placa A y es parcialmente reflejada en la segunda superficie dirigiéndose hacia el espejo E1 (trayectoria azul) en donde se refleja nuevamente y sigue la trayectoria indicada de azul hasta la parte inferior del dibujo. En la segunda superficie de la placa A el rayo parcialmente se refracta siguiendo la trayectoria roja hasta que finalmente llega al mismo lugar que el anterior. La diferencia de recorrido óptico resulta ser igual al doble de la diferencia de las distancias de los espejos E1 y E2 del punto en donde los dos haces se dividen (o sea la segunda superficie de la placa A ). Además existe una diferencia de fase adicional porque el rayo rojo realiza una reflexión
externa más que el otro. Luego, la intensidad en el lugar donde se dirigen los rayos una vez que se encuentran nuevamente es: I = 2 I 0 { + cos(2 k 0 [d1 − d 2 ] ± π )} 1 La condición de máxima intensidad es: La condición de intensidad mínima es: 6. Difracción de Fraunhofer La propagación rectilínea de los rayos luminosos es una aproximación adecuada para la mayoría de los fenómenos ópticos. Sin embargo, en alguna medida, la luz se curva en las cercanías de los obstáculos opacos, de manera que las sombras siempre tienen límites algo borrosos. Estas excepciones a la propagación rectilínea de la luz se conocen como fenómenos de difracción. Cuando las fuentes de luz, los obstáculos y la pantalla donde se observa el fenómeno se encuentran a distancias efectivas infinitas, la difracción recibe el nombre de “difracción de Fraunhofer”. En el caso más general, en el cual no se cumplen las condiciones anteriores, la difracción se llama “difracción de Fresnel”.
1⎞ ⎛ 2 (d1 − d 2 ) = ⎜ m + ⎟ λ 2⎠ ⎝
2 (d1 − d 2 ) = m λ
Las figuras anteriores muestran cómo se comportan las ondas luminosas en el caso de una difracción de Fraunhofer y una difracción de Fresnel. Para determinar cuál método se debe aplicar en el cálculo de una difracción, existe un criterio basado en la geometría. La figura a continuación sirve para este propósito.
La diferencia entre las longitudes de las trayectorias SFP y SGP es:
ΔL = d 2 + (b + h ) + d `2 +(b`+ h ) − d 2 + b 2 − d `2 +b`2
2 ⎡ ⎛b+h⎞ ⎤ 2 d 2 + (b + h ) ≅ d ⎢1 + 1 ⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎝ d ⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 2 ⎡ ⎛b⎞ ⎤ d 2 + b 2 ≅ d ⎢1 + 1 ⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎝d ⎠ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
1⎛1 1 ⎞ ⎛ b b` ⎞ ΔL ≅ ⎜ + ⎟ h + ⎜ + ⎟ h 2 2 ⎝ d d `⎠ ⎝ d d `⎠
Si las ondas incidentes fueran ondas planas, solamente existiría el primer término, lo que indica que el segundo es una medida del efecto de la curvatura de las ondas. Si el segundo término es muy pequeño y comparado con la longitud de onda, podemos despreciarlo. Luego la condición de validez para la difracción de Fraunhofer es:
1⎛1 1 ⎞ 2 ⎜ + ⎟h < λ 2 ⎝ d d `⎠
Difracción de Fraunhofer por una rendija: Para analizar la difracción de Fraunhofer se utiliza el principio de Huygens, que dice “cada punto de un frente de ondas actúa como una fuente de ondas secundarias, cuya superposición produce un nuevo frente de ondas”. Entonces, se puede suponer que la rendija es equivalente a una fuente lineal (recta) de fuentes puntuales, cuya superposición producen la interferencia (en este caso denominada difracción). En la figura siguiente, una rendija de ancho h es iluminada con una onda plana de longitud de ondas λ La rendija se divide en infinitas partes de manera que cada una de ellas tiene un ancho infinitesimal dy . Un
elemento de rendija es elegido en forma arbitraria a una distancia y del centro de coordenadas.
La contribución del elemento infinitesimal al campo eléctrico en P es:
dE = dA i (k r −ω t ) C i (k r −ω t ) e = e r r
r ≅ r0 + h senθ ≅ r0 En el denominador escogemos r ≅ r0 y en la exponencial, r ≅ r0 + h senθ . Luego:
dE ≅ C i (k r0 −ω t ) i k y senθ e e dy r0
Integrando con respecto a la variable y entre los límites − h 2 queda:
y +h 2 ,
C h i (k r0 −ω t ) sen( 1 k h senθ ) 2 e 1 r0 k h senθ 2
C h i (k r0 −ω t ) senβ e r0 β
1 k h senθ 2
El término exponencial es el que le asigna propiedades ondulatorias a la función y por lo tanto lo que lo acompaña representa la amplitud de la onda. Como la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado, entonces:
⎛Ch⎞ Ι = cte ⋅ ⎜ ⎜ r ⎟ ⎟ ⎝ 0 ⎠
⎛ senβ ⎜ ⎜ β ⎝
Si Ι 0 representa la intensidad en θ = 0 , entonces:
⎛Ch⎞ Ι 0 = cte ⋅ ⎜ ⎜ r ⎟ ⎟ ⎝ 0 ⎠
Luego, podemos escribir la intensidad en términos de la intensidad para θ = 0 como: Ι ⎛ senβ ⎞ ⎟ =⎜ Ι0 ⎜ β ⎟ ⎝ ⎠
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 6
La intensidad es máxima para θ = 0 y otros ceros se presentan para θ = ± m π (siendo m un entero incluyendo el cero). Los mínimos se presentan para β = ± m π (donde m es un entero pero no cero). En función de θ los mínimos se presentan para:
h senθ = m λ
Esta relación indica que el ancho del máximo central es inversamente proporcional al ancho de la rendija y que es directamente proporcional a la longitud de onda. La expresión para la intensidad del máximo central indica que su amplitud es proporcional al ancho de la rendija. Difracción de Fraunhofer por una doble rendija: El problema es similar al caso anterior pero cuando se realiza la integral, esta se separa en dos integrales cuyos límites son, para la primera integral: (− b − h ) → (− b + h ) , 2 2 2 2 b h b h para la segunda integral: ( 2 − 2 ) → ( 2 + 2 ) . En donde b representa la distancia entre ambas rendijas (medidas desde sus centros). Luego:
E= C 2 h i (k r0 −ω t ) senβ e cos γ r0 β
β = 1 k h senθ 2
γ = 1 k b senθ 2
Ι ⎛ senβ ⎞ 2 =⎜ ⎜ β ⎟ cos γ ⎟ Ι0 ⎝ ⎠
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2
Difracción de Fraunhofer por una triple rendija: En este caso se procede de la misma manera. La integral resultante se descompone en tres y cada una de ellas tiene como límites lo siguiente: • • • 1ª integral: 2ª integral: 3ª integral:
(− b − h ) → (− b + h ) 2 2 (+ b − h ) → (+ b + h ) 2 2
−b →+b 2 2
El resultado de la integración se reduce a:
E= C 3 h i (k r0 −ω t ) senβ sen3γ e r0 β 3 senγ Ι ⎛ senβ ⎞ ⎟ =⎜ Ι0 ⎜ β ⎟ ⎝ ⎠
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 6
⎛ sen3γ ⎜ ⎜ 3 senγ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠
Red de difracción: Es posible generalizar las expresiones anteriores para un número N cualquiera de rendijas o distribuciones lineales de fuentes puntuales. El resultado que se obtiene es: C N h i (k r0 −ω t ) senβ sen Nγ β = 1 k h senθ γ = 1 k b senθ E= e 2 2 r0 β N senγ
Ι ⎛ senβ ⎞ ⎟ =⎜ Ι0 ⎜ β ⎟ ⎝ ⎠
⎛ sen N γ ⎜ ⎜ N senγ ⎝
Poder resolutivo de una red de difracción Para una franja principal se cumple: (Δγ )semi ancho =
Una variación finita en la expresión de γ resulta:
πb 1 k b senθ = senθ 2 λ
Δγ =
πb cos θ Δθ λ
Si esto se iguala al valor que toma el semi-ancho angular de una franja principal se obtiene:
(Δθ )semi ancho
N b cos θ
Por otro lado, la posición de los máximos principales se presenta para: b senθ = m λ , entonces la variación finita de esta expresión para m = cte es:
b senθ = m λ
b cos θ Δθ = m Δλ
m = cte
(Δθ )dist .máx. = m
Δλ b cos θ
De acuerdo al criterio de Rayleigh la posición límite para la cual existe resolución se obtiene igualando los dos valores de Δθ . Se define el poder de resolución de una red de difracción:
λ = mN Δλ
donde λ = (λ1 + λ 2 ) 2 y Δλ = λ1 − λ 2 . El patrón de difracción es la superposición de dos patrones uno cuando la red se ilumina con luz de longitud de onda λ1 y el otro cuando se ilumina con luz de longitud de onda λ 2 . Difracción de Fraunhofer por una abertura circular: Como una forma de simplificar el cálculo, se supone una división de la abertura en infinitas
rendijas de longitud variable y ancho dy . La geometría del problema se muestra en la figura siguiente.
De manera similar a los casos anteriores la contribución del campo eléctrico de una de estas rendijas infinitesimales en un punto P es:
dE = dA i (k r −ω t ) C dS i (k r −ω t ) e = e r r
Haciendo las mismas aproximaciones, se obtiene:
2 C i (k r0 −ω t ) i k y senθ C i (k r0 −ω t ) i k y senθ e e dS = e e r0 r0
R 2 − y 2 dy
El campo eléctrico resultante es la integral de esta expresión, siendo los límites de la integral entre los valores − R y + R . Para resolver la integral se puede realizar el siguiente cambio de variable:
y = R senφ − R ≤ y ≤ +R dy = R cos φ dφ
≤φ ≤ +
Con la siguiente definición:
1 k D senθ 2
se llega a la siguiente expresión:
2 C R 2 i (k r0 −ω t ) i ρ senφ e e cos 2 φ dφ r0
2 C R 2 i (k r0 −ω t ) 2 2 E= e ∫π cos(ρ senφ )cos φ dφ r0 −
La función de la integral es la misma entre − π 2 → 0 que entre 0 → π 2 , entonces se puede escribir:
4 C R 2 i (k r0 −ω t ) e r0
∫ cos(ρ senφ )cos
φ dφ
J (ρ ) 4 C R 2 i (k r0 −ω t ) e π Γ(3 2) 1 r0 ρ E= C π R 2 i (k r0 −ω t ) 2 J 1 (ρ ) e r0 ρ
Γ(3 2 ) =
1 π 2
Donde J 1 ( ρ ) es la función de Bessel de primera clase de orden 1 . Ι ⎡ 2 J 1 (ρ ) ⎤ = Ι0 ⎢ ρ ⎥ ⎣ ⎦
La función de Bessel como una serie de potencias tiene la forma: J 1 (ρ ) =
2 ⋅4
2 ⋅4 ⋅6
− ⋅⋅⋅⋅
lím ρ →0
2 J 1 (ρ )
Tamaño del disco de Airy El patrón de difracción que se forma cuando la abertura es circular es un disco central rodeado de anillos oscuros y brillantes, pero la intensidad de los anillos brillantes es muy reducida en comparación con el disco central de manera que en muchos casos no se toman en cuenta. El disco central es brillante y su extensión se define como el área encerrada en un círculo limitado por los puntos que corresponden al primer mínimo, es decir, a ρ = 3,832 . Si se hace un gráfico de la intensidad versus, para el disco de Airy se obtiene lo siguiente:
Esto significa que el tamaño del disco de Airy (radio del disco de Airy) expresado como un valor de la variable ρ es 3,832 . O sea:
(Δρ ) Airy
1 k D (Δsenθ ) Airy = 3,832 2
(Δ senθ ) Airy
donde D es el diámetro de la abertura. Resolución óptica
El tamaño del disco de Airy determina la resolución de los instrumentos ópticos que tienen aberturas circulares como entrada de las ondas luminosas. Por ejemplo, la imagen de un objeto en un microscopio, telescopio o cámara fotográfica cuyas aberturas son lentes corresponde a una superposición de figuras de Airy. Si consideramos dos fuentes puntuales, las correspondientes figuras de Airy aparecerán enfocadas en los puntos imágenes pero no serán puntuales sino que presentarán una dimensión dada por el tamaño del disco de Airy. En el caso en que estos discos se traslapen existe una posición crítica a partir de la cual la imagen parece ser sólo una. El criterio denominado criterio de Rayleigh define esta posición como aquella en que los discos de Airy se encuentran a una distancia igual a su radio, es decir, existe resolución cuando se cumple lo siguiente:
(Δ senα )entre dis cos = (Δ senθ )radio angular Airy
La figura siguiente muestra tres posiciones diferentes en las cuales existe y no existe resolución.
La figura siguiente muestra la relación entre la posición de dos objetos S1 y S 2 y la posición de los discos de Airy.
En la figura anterior:
senα =
Además d es la distancia entre S1 y S 2 y L la distancia de las fuentes a la lente. De acuerdo al criterio de Rayleigh, se pueden igualar estas expresiones y escribir:
d = 1,22
valor de d mín = 2 ⋅ 10 −5 [cm ] , lo cual es el límite de resolución para los microscopios ópticos.
En los microscopios, debido a la dificultad de acercar demasiado los objetos a la lente, (D L )máx ≅ 3,5 , Luego: d mín = 0,3λ . Si λ = 5,6 ⋅ 10 −5 [cm] , el
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