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Timestamp: 2020-07-03 14:22:37+00:00

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Circunferencia goniométrica wikipedia, lookup
Resolución de triángulos wikipedia, lookup
Geometría Triángulos Semejantes y Trigonometría
2016­12­02
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• Resolución de Problemas con Triángulos Similares
• Triángulos Semejantes y Trigonometría
• Razones Trigonométricas Inversas
• Revisión del Teorema Pitagórico
• Conversión del Teorema Pitagórico
• Preguntas de Muestra PARCC 3
MP1: Interpretar problemas y perseverar en resolverlos.
MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.
MP3: Construcción de argumentos viables y crítica del razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.
MP5: Uso estratégico de las herramientas apropiadas.
MP6: Ser preciso.
MP7: Búsqueda y uso de la estructura.
MP8: Búsqueda y expresión de la regularidad en razonamientos repetidos. Práctica de matemática
A lo largo de esta unidad, se usaron los Estándares de Práctica de Matemática.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
Resolución de Problemas con Triángulos Semejantes y Triángulos Rectángulos
Tres enfoques básicos para la resolución de problemas de la vida cotidiana incluyen:
• Triángulos Semejantes
• Teorema Pitagórico
Resolución de Problemas con Triángulos Semejantes
Uno de los problemas matemáticos más antiguos fue resuleto usando triángulos rectángulos semejantes .
Sombras y Triángulos Semejantes
Hace alrededor de 2600 años, Thales of Miletus, quizá el primer matemático griego, estuvo visitando Egipto y se preguntó cual era la altura de la Gran Pirámide de Gaza
Debido a la forma de la pirámide, no podía medir directamente su altura . 7
http://www.metrolic.com/travel­guides­the­great­pyramid­of­giza­147358/
Cuando Thales visitó la Gran Pirámide de Gaza, hace 2600 años, tenía cerca de 2000 años de antigüedad. El quería saber su altura.
El observó que la gran pirámide proyectaba una sombra que podía ser medida sobre el piso usando una regla. Y se dio cuenta de que la regla ubicada verticalmente también proyectaba una sombra. .
En base a aquellas dos observaciones, ¿puedes pensar en una manera que el pudo medir la altura de la pirámide? Discute en tu mesa por un minuto o dos. 9
¿Que 2 factores pueden recordar sobre triángulos semejantes. Completa en los espacios vacíos de abajo. Sus ángulos son todos congruentes.
Sus lados correspondientes están en proporción entre sí.
Sombras y Triángulos Rectángulos Semejantes
Dibuja un esquema de una pirámide que está siendo medida y su sombra...y la varilla para medir y su sombra. Representa la pirámide y la varilla como rectas verticales, la varilla mucho más corta que la pirámide. No podrás dibujarlas a escala, ya que la varilla es muy pequeña comparada a la pirámide, pero esto no afectará nuestro razonamiento. 11
Sacando los objetos y sólo dejando los triángulos formados por la altura del objeto, la luz del sol y la sombra sobre el piso, podemos ver que hay triángulos semejantes. Todos los ángulos son iguales, de modo que los lados deben estar en proporción. y
Colocando un triángulo encima de otro, es fácil de ver que son semejantes. Usando las 2 ideas que se nos ocurrieron antes sabemos que los ángulos son los mismos y los lados están en proporción. 15
Lo cual significa que la longitud de cada sombra está en proporción a la altura de cada objeto. ray
os altura de la pirámide
sombra de la pirámide
altura de la varilla
sombra de la varilla
Si la sombra de la varilla era de 2 metros de largo
Y la sombra de la pirámide era de 120 metros de largo
Y la altura de la varilla era de 1 metro.
¿Qué altura tiene la pirámide?
altura pirámide altura varilla
sombra pirámide = sombra varilla
altura varilla
altura pirámide =
x sombra pirámide
sombra varilla
Esta idea puede usarse para medir la altura de un montón de objetos que proyectan una sombra. y, un conveniente recurso de medición es entonces, tu altura y la longitud de la sombra que proyectas. Práctica de matemática
Intenta hacer esto en el próximo día soleado cuando puedas salir afuera. Se puede medir la altura de cualquier objeto que está proyectando una sombra por medio de comparar la longitud de su sombra con la longitud de sí mismo. Laboratorio de Medición Indirecta
Recuerda­ a partir de un espejo también se puede tomar una medición indirecta si estás haciendo este laboratorio en un día nublado.
A 6 pies
B 2.7 pies
C 13.5 pies
1 Un poste de luz proyecta una sombra de 9 pies al mismo tiempo que una persona de 6 pies de altura proyecta una sombra de 4 pies. Calcula la altura del poste de luz. D 15 pies
¿Qué altura tiene el edificio? Respuesta
2 Tienes una altura de 6 pies y observas que tu sombra a una hora es de 3 pies de longitud. La sombra de un edificio próximo en ese mismo momento tiene 20 pies de longitud. 21
¿Qué altura tiene el árbol?
3 Tienes 1.5 m de altura y observas que tu sombra a una hora tiene 4.8 m de longitud. La sombra de un árbol cercano en ese mismo momento es de 35 m de longitud. 22
¿Qué longitud tendrá la sombra del edificio de 8 m de alto en ese mismo momento? Respuesta
4 Dos edificios están lado a lado. El de 35 m de alto proyecta una sombra de 21 m.
Instrumentos de Medición de Triángulos Semejantes
También podemos construir un dispositivo para establecer triángulos semejantes a fin de hacer mediciones.
Toma una tarjeta de 3" x 5" y cortála como se muestra abajo:
Ahora desliza una regla a través de la hendija en la parte inferior de la tarjeta. De esa manera, puedes mover la tarjeta a una distancia específica desde un extremo de la regla. 4 cm
Mirando a lo largo de la regla, puedes mover luego la tarjeta de modo que un objeto distante entre a los 0.5 cm, 2 cm o 4 cm de la ranura.
Puedes medir entonces la distancia que hay entre la tarjeta y tu ojo a lo largo de la regla. Esto forma un triángulo semejante que te permite calcular cuán alejado está un objeto de tamaño conocido, o el tamaño de un objeto situado a una distancia conocida. 27
Esto muestra como por medio de alinear un objeto distante para que entre en una ranura de un dispositivo se forman dos triángulos, el triángulo rojo pequeño y el triángulo más grande en azul.
Todos los ánguos son iguales y los lados están en proporción. También, la base y la altura de cada triángulo isósceles estarán en proporción. 28
La altitud y la base de un pequeño triángulo isósceles pueden ser medidas directamente, lo cual significa que la razón de esas dos medidas en el triángulo más grande resulta conocida. Dados el tamaño o la distancia al objeto, se puede determinar la otra. 29
Imagina que estás visitando París y tienes tu instrumento para medir triángulos similares. Sabes que la Torre Eiffel tiene una altura de 324 metros.
Ajustas tu instrumento de modo que la altura lateral de la Torre complete la ranura de 2 cm cuando la tarjeta está a 20 cm de tu ojo. Práctica de matemática
¿A qué distancia estás de la torre?
distancia a la torre distancia a la tarjeta
altura de la torre = ancho de la ranura
distancia a la tarjeta x altura de la torre
distancia a la torre =
d = 3240 m
5 Mueves a la otra ubicación y la Torre Eiffel (324 m de altura) ahora completa los 4 cm de ranura cuando la tarjeta está a 48 cm de tu ojo. ¿A qué distancia estás de la torre ahora? 32
6 El edificio más alto del mundo, el Burj Kalifah in Dubai, tiene una altura de 830 m. Colocas tu dispositivo de modo tal que complete los 4 cm de ranura cuando está a 29.4 cm de tu ojo. ¿A qué distancia estás del edificio? 33
7 El ancho de un tanque de almacenamiento cabe en 2 cm de ranura cuando la tarjeta está a 48 cm de tu ojo. Sabes que el tanque está a 680 m de distancia. ¿Cuál es su ancho? 34
8 La Luna tiene un diámetro de 3480 km. La mides una noche para que complete la ranura de 0.5 cm cuando la tarjeta está a 54 cm de tu ojo. 35
Triángulos Semejantes y Trigonometría
Recuerda que Tales calculó la altura de la pirámide usando triángulos semejantes formados por la sombra de la pirámide y una varilla de longitud conocida.
Pero qué pasaba si él estuviera intentanto resolver este problema y no había una sombra para usar. O si estás intentando resolver otros tipos de problemas que no te permiten establecer fácilmente triángulos semejantes. La Trigonometría provee los triángulos semejantes necesarios para cualquier circunstancia, y esto es porque es una herramienta poderosa. 38
Resolución de Problemas con Trigonometría
De modo que si Tales usó trigonometría para resolver su problema, el habría considerado este triángulo rectángulo. Primero, el había medido a Tita, el ángulo entre el piso y la parte superior de la pirámide, cuando una cierta distancia lo separa del suelo. Luego él había imaginado un triángulo semejante con el mismo ángulo.
El tenía un triángulo rectángulo ya listo, gracias a los matemáticos que calcularon todos los posibles triángulos rectángulos que podrían formarse con una hipotenusa de 1 y colocando sus medidas en una tabla, una tabla trigonométrica. El lado opuesto del ángulo se llama seno de θ, o senoθ para abreviar y el lado adyacente al ángulo se llama coseno de θ, ó cosθ en la forma abreviada. altura
Sabemos que todos los ángulos son iguales ya que ambos triángulos tienen un ángulo recto y el ángulo tita, de manera que aquellos dos ángulos son iguales. Y, ya que todos los ángulos del un triángulo suman 180, los tres ángulos deben ser iguales. Ya que todos los ángulos son iguales, esos triángulos son semejantes. altura
Ya que todos los ángulos son iguales, los lados están en proporción, de modo que, ¿a qué sería igual la razón del triángulo al triángulo rectángulo? Práctica de matemática
distancia cosθ
Cuando resolvimos anteriormente el problema, usamos la altura de la varilla de 1 m y la longitud de su sombra de 2m. Eso signigicaría que el ángulo entre los rayos de sol y el piso hubiera sido de 26.6º.
Y la longitud de la sombra de la pirámide era de 120 m.
Vamos a usar el ángulo y la distancia para ver si obtenemos la misma respuesta.
Si la distancia era 120 m, y el ángulo 26.6º, se puede calcular la altura resolviéndola y luego usando la calculadora para buscar los valores para el seno y el coseno. altura
sen(26.6º)
= cos(26.6º)
= cos(26.6º) (120 m)
(0.448) (120 m)
Tangente θ
Anteriormente, en el último problema
calculamos que altura
La razón del seno al coseno se usa muy frecuentemente, y tiene su propio nombre: Tangente θ, ó tanθ para abreviar. La tangente de θ se define como seno de θ dividida por el coseno de θ.
Usando la Calculadora en Trigonometría
El último paso de este problema fue calcular los valores del seno y coseno del ángulo de 26.6º.
Cuando trabajamos con trigonometría, necesitamos calcular los valores de seno, coseno y otras funciones trigonométricas cuando tenemos un ángulo dado. Eso solía involucrar el uso de tablas, pero ahora es mucho más simple usar una calculadora científica básica. 46
Las calculadoras científicas básicas están disponibles en computadoras, tablets y smartphones. También pueden ser un dispositivo separado, similar a las calculadora mostrada aquí. Esta calculadora puede hacer todo lo que necesitas para este curso. 47
Las funciones trigonométricas que vamos a usar ahora mismo son seno, coseno y tangente. Están marcadas en el recuadro en la figura.
En la mayoría de las calculadoras, hay botones que dicen
Esta tecla se usa para calcular el seno de un ángulo .
Esta se usa para calcular el coseno de un ángulo.
Esta se usa para calcular la tangente de un ángulo. 51
En la práctica, tenemos que medir ángulos de elevación o depresión a fin de resolver problemas. Existen maneras muy precisas de hacer lo que suelen usar peritos, navegadores y otros. Pero se puedes hacer un dispositivo simple, llamado clinómetro, para hacer lo mismo y luego resolver problemas por tí mismo. 180
Sólo pega un transportador a una regla y cuelga un pequeño peso en el agujero del transportador. Configúralo de modo que cuando la regla esté horizontal la cuerda vaya derecha hacia abajo. 180
Entonces, si miras a lo largo de la regla, puedes sostener la cuerda donde toca con el transportador y leer el ángulo. Tendrás que restar 90 grados para obtener el ángulo de horizonte o ángulo de elevación. 180
Estás parado sobre el suelo y miras a lo largo de tu inclinómetro para ver la parte de arriba de un edificio para estar en un ángulo de de 30º. Luego mide la distancia a la base del edificio que es 30 m. Calcula la altura de un edificio recordando sumar la altura de tus ojos. 180
Estas parado a una distancia de 200 m desde la base de un edificio. Práctica de matemática
Mides la parte de arriba de un edificio para estar en un ángulo de elevación (el ángulo entre el piso y una recta dibujada hasta la parte superior) de 60º. altura
Haz un bosquejo rápido mostrando el triángulo rectángulo original y uno mostrando las funciones trigonométricas apropiadas. altura
sin(60º)
cos(60º)
Luego escribe las razones, sustituye los valores y resuelve. Respuesta
sen(60º)
9 Estás parado a 30 m de distancia de la base de un edificio. La parte superior del edificio está en un ángulo de elevación (el ángulo entre el piso y la hipotenusa) de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?
10 Estás parado a 50 m de distancia de la base de un edificio. El edificio forma un ángulo de elevación con el piso de 80º. ¿Cuál es la altura del edificio?
11 Usa la función tanθ de tu calculadora para determinar la altura de un mástil de bandera si está a 30 m de distancia y su ángulo de elevación con el piso mide 70º.
12 Use la función tanθ de tu calculadora para determinar la altura de un edificio si su base está a 50 m de distancia y su ángulo de elevación con el piso mide 20º.
13 Estás en la parte superior de un edificio y miras hacia abajo para ver a alguien parado sobre el piso. El ángulo de depresión (el ángulo debajo de la horizontal de un objeto) es 30º y la persona está a 90 m de la base del edificio. ¿Qué altura tiene el edificio? (No tengas en cuenta tu altura y la de la otra persona) ¡Asegúrate de hacer un bosquejo!
14 Determina la distancia a la que un objeto está desde la base de un edificio de 45 m de alto si el ángulo de depresión es 40º.
Cuando resolvemos problemas con trigonometría calculamos un ángulo rectángulo similar al que está abajo. Luego, calculas la solución estableciendo las relaciones de proporción. Pero ya que la hipotenusa es 1, frecuentemente se olvida que esas son relaciones. senθ
Completa con las relaciones trigonométricas fundamentales de abajo:
Seno llamado "sen" para abreviar
Coseno llamado "cos" para abreviar
Tangente llamado "tan" para abreviar
El nombre del ángulo generalmente sigue la función trigonométrica. Si el ángulo se llama θ (tita) los nombres de las funciones son:
• senθ • cosθ • tanθ Si el ángulo se llama α (alfa) las funciones son
• senα • cosα • tanα
Si tienes los lados, las relaciones trigonométricas le permiten calcular los ángulos. Pero si tienes un lado y un ángulo, las relaciones trigonométricas también le permiten calcular los otros lados. 70
Esas relaciones dependen de cuál ángulo estas llamando θ; nunca del ángulo recto.
Sabemos que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. θ
El lado opuesto a θ se llama lado opuesto.
El lado que toca a θ se llama lado adyacente.
Hay dos ángulos que pueden ser llamados θ.
Una vez que eliges cuál es el ángulo θ, quedan definidos los nombres de los lados.
Puedes cambiarlo después, pero entonces los nombres de los lados también cambian.
Con este tita, los lados quedan así.
Si usas el otro ángulo, llamado α aquí, los nombres cambian de acuerdo a él.
Vamos a decir que estoy resolviendo un problema que involucra el triángulo rectángulo.
Para usar trigonometría, calcularía un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 y lados de senθ y cosθ los cuales tienen el mismo ángulo θ, de modo que son semejantes. 75
Luego establece las razones.
Hay razones básicas
relacionando esos dos triángulos. en
Ya que son triángulos semejantes, la razón de cualesquiera dos de sus lados en un triángulo es igual a la razón de los lados en el otro. 1
senθ lado opuesto op
1 hipotenusa hip
cosθ lado adyacente ady =
cosθ lado adyacente ady
senθ lado opuesto op =
Pero, éstas pueden simplificarse ya que:
cosθ lado adyacente adj =
= hip
tanθ = lado adyacente= adj
Para memorizar estas relaciones trigonométricas frecuentemente suele usarse la expresión "SOH CAH TOA." op
lado adyacente ady
lado opuesto op
= ady
tanθ = lado adyacente
Si te confundes con los sonidos vocales en SOH CAH TOA, podrías también intentar con la sentencia mnemotécnica de abajo.
Some Old Horse
Caught Another Horse
Taking Oats Away.
15 Calcula el senθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.5
16 Calcula el cosθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.5
17 Calcula la tanθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 8.0
18 Calcula la tanθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 14
19 Calcula el senθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 16
20 Calcula el cosθ . Redondea tu respuesta a la centésima más cercana. 16
Por ejemplo, vamos a calcular la longitud del lado x.
El lado que estamos buscando está opuesto al ángulo dado. 30º
y la longitud dada es la hipotenusa;
de modo que usaremos esa función trigonométrica que relaciona a esos tres: : lado opuesto = op
senθ = hip
senθ = lado opuesto
op = (hip) (senθ)
x = (7.0)(sen(30º))
x = (7.0)(0.50)
Ahora, vamos a calcular la longitud del lado x en este caso. 9.0
El lado que estamos buscando es adyacente al ángulo dado. 25º
de modo que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos tres: ady
cosθ = lado adyacente=
cosθ = lado adyacente = ady
cosθ = hip
adj = (hip)(cosθ)
x = (9.0)(cos(25º))
x = (9.0)(0.91)
Ahora vamos a calcular la longitud del lado x en este caso.
El lado que estamos buscando es adyacente al ángulo dado;
y la longitud dada es la opuesta al ángulo dado;
de modo que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos tres: op
tanθ = lado adyacente= ady
tanθ = op
op = (ady)(tanθ)
x = (9.0)(tan(50º))
x = (9.0)(1.2)
21 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. 35
22 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana. x
23 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.
24 Calcula el valor de x. Redondea tu respuesta a la décima más cercana.. 7.4
La mayor parte de las veces, se usan razones trigonométricas para resolver problemas cotidianos, como se vió al comienzo de esta unidad. Ahora que las derivaciones de las tres razones trigonométricas te son familiares (seno, coseno y tangente), tu eres capaz de aplicar lo que sabes y resolver esos problemas. Práctica de matemática
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas
Antes de comenzar, vamos a repasar algún vocabulario clave que verás en estos problemas. 100
El ángulo de elevación es el ángulo sobre la horizontal a un objeto. objeto
El ángulo de depresión es el ángulo debajo a la horizontal a un objeto. .
Tanto el ángulo de elevación como el de depresión están medidos en relación a las líneas horizontales paralelas, de modo que ambos miden lo mismo. e
gu sió
á pre
20º ángulo de elevación
Amy está remontando un barrilete en un ángulo de 58º. 15
La cuerda del barrilete tiene 158 pies de x
largo y el brazo de Amy está a 3 pies desde el piso. 58 o
¿A qué altura está el barrilete del piso?
senθ = x 158
sen58 = x 158
.8480 = x 158
Ahora, debemos sumar la altura a la que está el brazo de Amy.
134 + 3 = 137
Esta barrilete está a unos 137 pies del piso.
Estas parado sobre una montaña de 5306 pies de alto. Miras hacia abajo tu compamento en un ángulo de 30º. Si tu altura es de 6 pies, ¿a qué distancia está la base de la montaña al campamento?
5306 pies
5312 pies
tan30 = 5312
.5774 = 5312
.5774x = 5312
x ≈ 9,200 pies
El campamento está a unos 9,200 pies de la base de la montaña.
Vernon está en la parte superior de un crucero y observa a 2 delfines uno detrás del otro en línea recta al barco. La posición de Vernon es 154 m sobre el nivel del mar, y los ángulos de depresión de los 2 delfines al barco son 35º y 36º respectivamente.
Encuentra la distancia entre los 2 delfines y exprésala a la centésima más cercana del metro. 154 m
El primer paso es dividir el diagrama en dos diagramas individuales. Luego, calcula la distancia horizontal en ambos. Vamos a llamarlas x e y. 154 m
Luego usa las relaciones trigonométricas para calcular esos valores.
tan 35 = 154
0.7002 = 154
0.7002x = 154
x = 219.94 m 109
tan 36 = 154
0.7265 = 154
0.7265y = 154
y = 211.98 m 110
219.94 m 211.98 m Ahora, si restamos estas medidas, entonces calcularemos la distancia entre los 2 delfines. 219.94 ­ 211.98 = 7.96 m
25 Estás observado la parte superior de un árbol. El ángulo de elevación es 55º. La distancia desde la cima del árbol a tu posición (línea de mirada) es 84 piesSi tienes una altura de 5.5 pies, ¿a qué distancia estás de la base del árbol?
26 Una rampa para silla de ruedas tiene 3 metros de longitud y una inclinación de 6º. Calcula la altura de la rampa a la centésima más cercana del centímetro. La altur
27 John quiere calcular la altura de un edificio que está proyectando una sombra de 175 pies en un ángulo de 73.75º. Calcula la altura del edificio al pie más cercano.
La altu
28 Un operador de radar de un barco detecta un submarino localizado a 800 metros del barco en un ángulo de depresión de 38º. ¿Qué profundidad tiene el submarino?
29 Un operador de radar de un barco detecta a un submarino localizado a 800 metros del barco con un ángulo de depresión de 38º. ´Si el submarino permanece en la misma posición, entonces ¿qué distancia tendría que recorrer el barco para estar directamente sobre el submarino?
30 El barco anda a una velocidad de 32 metros por segundo, en dirección hacia el submarino. Desde su posición actual, ¿cuántos minutos, a la décima más cercana a un minuto, le tomará al barco para estar directamente sobre el submarino? La dist
Hasta aquí, hemos usado las razones seno, coseno y tangente cuando dada la medida de un ángulo agudo θ en un triángulo rectángulo queremos calcular las medidas de los lados que faltan. ¿Qué podemos usar cuando necesitamos calcular las medidas de los ángulos agudos?
Tenemos las razones inversa del seno, inversa del coseno e inversa de la tangente que nos ayudarán a responder la pregunta de arriba. Si conocemos las medidas de 2 lados de un triángulo, entonces podemos calcular la medida el ángulo con esas razones. 119
A continuación se dan las razones trigonométricas inversas. A
Si senθ = hip
, θ = sin­1 hip
ady ady ­1
Si cosθ = hip
, θ = cos hip
Si tanθ = ady
, θ = tan­1 ady
o a o S C T
Usando la Calculadora con Trigonometría Inversa
Las funciones trigonométricas inversas están localizadas justo arriba de las teclas del seno,coseno y la tangente. Están marcadas en el recuadro sobre la calculadora. En la mayoría de las calculadoras, esas teclas tienen un texto que dice:
COS­1
TAN­1
Generalmente se pueden usar presionando la 2da tecla o la tecla de shift, button (la flecha apunta a la tecla) y la tecla de seno, coseno o tangente.
31 Calcula sin­1(0.8) Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana. 122
32 Calcula tan­1(2.3). Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana. 123
33 Calcula cos­1(0.45). Redondea la medida del ángulo a la centésima más cercana.
Para calcular la medida de un ángulo desconocido en un triángulo rectángulo, necesitas identificar la función trigonométrica correcta que encontrará el valor faltante. Use "SOH CAH TOA" para ayudarte.
∠A es tu ángulo de referencia. A
Coloca nombre a los dos lados dados
de tu triángulo, opuesto, adyacente o hipotenusa.
Identifica la función trigonométrica que relaciona a ∠A, y los dos lados. 15
Usando "SOH CAH TOA", tengo "a" y "h", de modo que la razón es a/h, es decir el coseno. 9 ad
cos A = 9 15
m A = cos­1 9 15
m A = 53.13º
ahora puedes resolver para for m∠A, el ángulo que falta usando la función trigonométrica inversa.
Una vez que calculaste m∠A, puedes calcular fácilmente m∠C, usando el Teorema de la Suma de Triángulos.
Ahora, vamos a calcular la medida del ángulo θ en este caso.
Los lados que nos han dado son el lado opuesto y la hipotenusa
de manera que usaremos la función trigonométrica que relaciona a esos dos ladosç con nuestro ángulo:
senθ = lado opuesto= hip
sen θ = 12
θ = sen­1 12
θ = 67.38º 128
34 Calcula m∠D en la figura de abajo.
35 Calcula m∠F en la figura de abajo.
36 Calcula m∠G en la figura de abajo.
Como hemos dicho anteriormente en esta unidad, las razones trigonométricas y las razones trigonométricas inversas se usan para resolver problemas de la vida cotidiana. Ahora que estás familiarizado con las tres razones trigonométricas inversas (inversa seno, inversa coseno e inversa tangente) estás listo para aplicar lo que sabes y resolver esos problemas.
Aplicaciones de las Razones Trigonométricas Inversas
Un jugador de hockey está a 24 pies de la portería del equipo contrario. Tira el disco directamente a la portería. La altura de la portería es 4 pies. ¿Cuál es el máximo ángulo de elevación al cual el jugador tiene que tirar el disco para anotar un gol? 4 pies
tan θ = 4 24
θ = tan­1 4 24
θ = 9.46º El ángulo de elevación al cual el jugador puede tirar el disco tiene como máximo 9.46º.
Inclinas una escalera de 20 pies contra una pared. La base de la escalera está a 5 pies de la pared. ¿Cuál es el ángulo de elevación formado por la escalera y el piso?
cos θ = 5 20
θ = cos­1 5 20
θ = 75.52º 5 pies
37 Katherine mira hacia abajo de la corona de la estatua de la libertad desde un transbordador situado a 345 pies. La distancia de la corona al piso es alrededor de 250 pies. ¿Cuál es el ángulo de la depresión?
38 La Torre Sear en Chicago, Illinois tiene una altura de 1451 pies. El sol está proyectando una sombra de 50 pies sobre el piso. ¿Cuál es el ángulo de elevación formado por la punta de la sombra sobre el piso?
1451 pies
39 Apoyas una escalera de 30 pies contra un lado de tu casa para entrar en una habitación del segundo piso. La altura de la ventana es 25 pies. ¿En qué ángulo de elevación debes colocar la escalera a fin de alcanzar la ventana? 30 pies
40 Estás mirando por la ventana de tu habitación la punta de la sombra formada por tu casa. Tu amigo mide la longitud de la sombra y es de 10 pies de largo. Si estás a 20 pies de distancia del piso, ¿cuál es el ángulo de depresión necesario para ver la punta de la sombra de tu casa? 140
41 Vuelves a mirar la sombra de tu casa 3 horas más tarde. Tu amigo mide la longitud de la sombra y es de 25 pies de largo. Si estás a 20 m de distancia del piso, ¿cuál es el ángulo de depresión necesario para ver la punta de la sombra de tu casa?
Revisión del Teorema de Pitágoras Volver a la Tabla de Contenidos
Revisión del Teorema de Pitágoras
"c" es la hipotenusa
"a" y "b" son los dos lados; cual es "a" y cual es "b" no importa.
42 Los lados de un triángulo rectángulo tienen 7.0 m y 3.0 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?
43 Los lados de un triángulo rectángulo tienen 2.0 m y 12 m, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?
44 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4.0 m y uno de sus lados tiene una longitud de 2.5 m. ¿Cuál es la longitud del otro lado? 146
45 La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 9.0 m y uno de sus lados tiene una longitud de 4.5 m. ¿Cuál es la longitud del otro lado?
46 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
47 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
48 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
49 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
50 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
Las ternas son soluciones de enteros del Teorema de Pitágoras.
3­4­5 es la más famosa de las ternas. No necesitas una calculadora si te das cuenta de que los lados están en esta relación. 153
51 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
52 ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
2 53 (senθ) + (cosθ) = ?
54 Katherine mira hacia abajo de la corona de la estatua de la libertad a un ferry entrante a 345 pies. La distancia desde la corona al piso es de 250 pies. ¿Cuál es la distancia desde el ferry a la base de la estatua?
Inversa del Teorema de Pitágoras Volver a la Tabla de Contenidos
Inversa del Teorema de Pitágoras
Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo
Si c2 = a2 + b2, entonces
ΔABC es un triángulo rectángulo.
Dí si el triángulo es un triángulo rectángulo. Explica tu razonamiento.
Recuerda c es el lado más largo
625 = 57
625 = 62
Este eje
¿Qué in
¿Cómo triángulo
Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es obtuso. B
Si c2 > a2 + b2, entonces
ΔABC es obtuso.
Si el cuadrado del lado más largo de un triángulo es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es agudo. B
Si c2 < a2 + b2, entonces
ΔABC es agudo.
Clasifica el triángulo como agudo, recto u obtuso. Explica tu razonamiento.
recto C
no es un triángulo
55 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo.
56 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 6
57 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo. 6
58 Clasifica el triángulo como agudo, recto, obtuso o no es un triángulo.
59 Dí si las longitudes 35, 65, y 56 representan los lados de un triángulo agudo, recto y obtuso.
60 Di si las longitudes representan los lados de un triángulo agudo, recto u obtuso.
Si c2 = a2 + b2, entonces el triángulo es rectángulo.
Si c2 > a2 + b2, entonces el triángulo es obtuso.
Si c2 < a2 + b2, entonces el triángulo es agudo.
En esta sección aprenderemos sobre las propiedades de los dos triángulos rectángulos especiales 45­45­90 30­60­90 45o
Investigación: Teorema del Triángulo 45­45­90 Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
Deja la respuesta en la forma simplificada radical/fraccionaria...NO DECIMALES!
Investigación: Teorema del Triángulo 45­45­90 C
Investigación: Teorema del Triángulo 45­45­90 Calcula la longitud del lado faltante en los triángulos.
Usando la longitudes de lado que calculaste, ¿puedes descifrar la regla o fórmula para el Teorema del Triángulo 45­45­90?
Teorema del Triángulo 45­45­90 Un trián
triángul
recto, d
Teorema del Triángulo 45­45­90 Este teorema puede ser demostrado algebraicamente usando el Teorema de Pitágoras.
x2 + x2 = c2
2x2 = c2 x√2 = c
Calcula la longitud de los lados que faltan. Escribe la respuesta en la forma radical más simple.
45­45­90 Ejemplo
triángulo is
ángulo rec
ST=TV
Hay 2 form
61 Calcula el valor de x.
5√ 2 C
62 ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa de un triángulo isósceles recto si la longitud de los lados es 8√ 2 pulgadas.
63 ¿Cuál es la longitud de cada lado en un isósceles, si la longitud de la hipotenusa es 20 cm.
Investigación: Teorema del Triángulo 30­60­90 30º
Investigación: Teorema del Triángulo 30­60­90 4
Teorema del Triángulo 30­60­90 Respuesta
En un tr
30­60­9
Teorema del Triángulo 30­60­90 Este teorema puede ser demostrado usando un triángulo equilátero y el Teorema de Pitágoras.
x√ 3
Para el triángulo rectángulo ABD, BD es una bisectriz perpendicular.
Llamemos a = x, c = 2x y b = BD
b = x√3
30­60­90 Ejemplo
Ejemplo: Calcula la longitud de los lados que faltan del triángulo rectángulo.
Recuerda la desigualdad en triángulos, el lado más corto es el opuesto al ángulo más pequeño y el lado más largo es el opuesto al ángulo más 30º
HF es el lado más corto
GF es el lado más largo (hipotenusa)
GH es el 2do lado más largo
HF < GH < GF
lado más
Ejemplo: Calcula la longitud de los lados faltantes en el triángulo rectángulo.
lado más y
Ejemplo: Calcula el área del triángulo.
Estos sig
209) dire
¿Qué inf
¿Qué lon
¿Qué ten
La altitud (o altura) divide al triángulo en dos triángulos 30o­60o­90o.
La longitud del lado más corto es 7 pies.
La longitud del lado más largo es 7√3 pies
A = 1/2 b(h) = 1/2 14(7√3)
A = 49√3 pies cuadrados ≈ 84.87 pies cuadrados
Calcula el área del triángulo.
64 Calcula el valor de x.
7 60º
7√ 3 C
7√ 2
65 Calcula el valor de x.
66 Calcula el valor de x. A
7√ 3 7√
67 La hipotenusa de un triángulo 30º­60º­90º es 13 cm. ¿Cuál es la longitud del lado más corto? 199
68 La longitud del lado más largo de un triángulo 30º­60º­90º es 7 cm. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? Lado m
Este ejem
¿Qué info
Arma una
La rampa para sillas de ruedas en tu escuela tiene una altura de 2.5 pies y alcanza un ángulo de 30º. ¿Cuál es la longitud de la rampa?
El triángulo formado por la rampa es un triángulo rectángulo 30º­60º­90º. La longitud de la rampa es la hipotenusa. hipotenusa = 2(lados más cortos)
hipotenusa = 2(2.5)
La rampa tiene 5 pies de largo.
69 Un skater construye una rampa usando madera terciada. La longitud de la madera terciada es de 3 pies y cae en un ángulo de 45º. ¿Cuál es la altura de la rampa? Redondea a la centésima más cercana.
70 ¿Cuál es la longitud de la base de la rampa? Redondea a la centésima más cercana.
71 Este cartel tiene la forma de un triángulo equilátero. Calcula la altitud.
72 Este cartel tiene la forma de un triángulo equilátero. Calcula el área del cartel. 206
Preguntas PARCC
Las restantes diapositivas en esta presentación contienen preguntas de la Prueba de Muestra PARCC. Después de terminar esta unidad deberías ser capaz de responder estas preguntas.
Pregunta 10/25
Un equipo de arqueólogos está excavando artefactos de un barco mercante hundido en el suelo marino. Para ayudarse con la exploración el equipo usa una sonda robótica. La sonda viaja aproximadamente a 3,900 metros en un ángulo de depresión de 67.4 grados desde el barco del equipo sobre la superficie del océano debajo del barco hundido en el suelo oceánico. La figura muestra una representación del equipo y de la sonda PARCC Released Question (EOY)
A 1,247
73 Cuando la sonda alcanza el suelo oceánico, aproximadamente estará a __________ metros debajo de la superficie del océano. C 1,623
D 3,377
PARCC Released Question (EOY)
74 Cuando la sonda alcanza el suelo oceánico, la distancia horizontal de la sonda detrás del barco del equipo sobre la superficie del océano será aproximadamente ___________ metros.
AF 1,247
CH 1,623
DI 3,377
BG 1,500
EJ 3,600
75 En el triángulo rectángulo ABC, m∠B ≠ m∠C. Vamos a llamar al sen B = r y al cos B = s. ¿Cuánto es el sen C ­ cos C?
A r + s
Pregunta 3/25
B r ­ s
C s ­ r
Pregunta 16/25
Un vehículo aéreo no tripulado (UAV) está equipado con cámaras usadas para monitorear los incendios en lso bosques. La figura representa un momento en el tiempo en el cual un UAV, en el punto B, volando a una altitud de 1,000 metros (m) está directamente arriba del punto D sobre el piso del bosque. El punto A representa la localización de un pequeño fuego sobre el suelo del bosque. PARCC Released Question (EOY)
Pregunta 16/25 Parte A
76 En el momento representado por la figura, el ángulo de depresión desde el UAV al fuego mide 30º. En ese momento, ¿cuál es la distancia desde el UAV al fuego?
Pregunta 16/25 Parte B
77 ¿Cuál es la distancia, al metro más cercano, del fuego al punto D? PARCC Released Question (EOY)
Pregunta 16/25 Parte C
78 Los puntos C y E representan el rango lineal de visión de la cámara cuando está apuntando directamente hacia abajo al punto D. El campo de visión de la cámara es 20º y está representado en la figura por ∠CBE. La cámara toma una imagen directamente sobre el punto D, ¿cuál es el ancho aproximado del suelo del bosque que será capturado en la imagen?
B 353 metros C 364 metros D 728 metros PARCC Released Question (EOY)
Pregunta 16/25 Parte D
79 El UAV está volando a una velocidad de 13 metros por segundo directo hacia el fuego. Supón que la altitud del UAV es 800 metros, ahora. La nueva posición está representada por F en la figura. Desde su posición en el punto F, ¿cuántos minutos, a la décima más cercana de un minuto, le tomará al UAV estar directamente sobre el fuego?
Pregunta 20/25 Parte A
Un resorte está unido a un extremo a un soporte B y en el otro extremo a una argolla A, como se representa en la figura. La argolla A se desliza a lo largo de una barra vertical entre los puntos C y D. En la figura, el ángulo θ es el ángulo formado a medida que la argolla se mueve entre los puntos C y D.
80 Cuando θ = 28°, ¿cuál es la distancia desde el punto A hasta el punto B, expresada a la décima más cercana de un pie?
Pregunta 20/25 Parte B
81 Cuando el resolrte está estirado y la distancia desde A a B es 5.2 pies, ¿cuál es el valor de θ a la décima más cercana de un grado? A 35.2° C 54.8° B 45.1° D 60.0° PARCC Released Question (EOY)
m∠F = 90º
DE = √113
Escribe una expresión que represente cos W.
82 El triángulo rectángulo WXY es semejante al triángulo DEF. Las siguientes son medidas en el triángulo rectángulo DEF. ¿Qué número representa al numerador de la fracción?
B √113
PARCC Released Question (PBA)
Escribe una ecuación que represente al cos W.
83 El triángulo rectángulo WXY es semejante al triángulo DEF. Las siguientes son medidas del triángulo rectángulo DEF. ¿Qué número representa al denominador de la fracción?
PARCC Released Question (PBA) 220
84 La medida el grados de un ángulo en un triángulo rectángulo es x, y el sen de x = 1/3. ¿Cuáles de esas expresiones son iguales a 1/3? Selecciona todas las que aplican.
A cos(x)
B cos(x ­ 45°)
C cos(45° ­ x)
D cos(60° ­ x)
E cos(90° ­ x)
85 En esta figura, el triángulo GHJ es semejante al triángulo PQR. En base a esta información, ¿qué relación representa a tan H?
tan(42) =
86 Mariela está parada en un edificio y mira por la ventana un árbol. El árbol está a 20 pies desde Mariela. La línea de visión de Mariela a la cima del árbol forma un ángulo de elevación de 42, y su línea de visión a la base del árbol forma un ángulo de depresión de 31°.
x = 20tan
x = 18 o tan(31) =
y = 20tan
y = 12 o ¿Cuál es la altura en pies, del árbol? Escribe tu respuesta.
Preguntas de la Prueba PARCC Las siguientes preguntas que están en la prueba PARCC ­ PBA usan lo que hemos aprendido y lo combina con lo que aprendimos anteriormente para formar una buena pregunta. Por favor, intenta ésto por tí mismo.
Luego, iremos a lo largo del proceso que usamos para resolverlo.
Pregunta 1/11
La figura muestra el diseño de un galpón a construir. usa la figura para responder todas las partes de la tarea. 9 pies
La base del galpón será un cuadrado que mide 18 pies por 18 pies. La altura de los lados rectangulares será 9 pies. La medida del ángulo formado por el techo con el lado del galpón puede variar y está nombrado como x°. Diferentes ángulos en el techo forman diferentes áreas de techo. El área del techo determinará el número de tejas para techos necesarias para construir el galpón. Para cumplir con las necesidades de drenaje, los ángulos del techo deben ser al menos 117°.
El constructor del galpón está considerando usar un ángulo que mide 125°. Determina el área del techo si se usa el ángulo de125. Explica o muestra tu proceso.
Sin cambiar las medidas de la base del galón, el constructor también esta considerando usar un ángulo de techo que creará un área de techo que es 10% menor que el área del techo para la Parte A. Menos superficie requerirá menos tejas. ¿Cumplirá el ángulo con las necesidades específicas de drenaje? Explica como obtuviste tu conclusión.
Un paquete de tejas cuesta $27.75. Cada paquete puede cubrir aproximadamente 35 pies cuadrados. Se puede comprar las tejas en paquetes completos. El constructor tiene un presupuesto de $325 para tejas. ¿Cuál es el mayor ángulo que el constructor puede usar para estar dentro de su presupuesto? Explica o muestra tu proceso. 226
Pregunta 1/11 Parte A
87 ¿Qué conceptos se usarán para el problema?
A Área de un rectángulo
B Trigonometría de Triángulos Rectángulos
C Postulado de la Adición de Ángulos
D Todos los de arriba
88 Si el valor de x es 125°, ¿cuál sería la m∠1?
D 160°
Vista frontal del galpón 228
89 ¿Cuál sería el valor de y en la figura a la derecha?
B 9 pies
C 12 pies
D 18 pies
Vista frontal del galpón 229
90 ¿Qué razón usaríamos para calcular el valor de z en la figura de abajo?
A sen(35) = z 18
B tan(35) = 9 z
C cos(35) = 9 z
D tan(35) = z 9
18 x°
Vista frontal del galpón 230
A 7.37 pies
B 10.32 pies
C 10.99 pies
D 12.85 pies
18 9 pies
91 ¿Cuál es el valor de z en la figura de abajo?
Vista frontal del galpón 231
A 98.91 pies
B 197.82 pies
C 296.73 pies D 395.64 pies2
92 ¿Cuál es el área del techo?
Vista frontal del galpón 232
Pregunta 1/11 Parte B
93 Después de calcular la respuesta que el área del techo es 395.64 pies2, ¿cuál sería el área del techo que es menor en un 10%?
A 356.08 pies2
B 316.52 pies
C 197.8 pies2 A
D 39.56 pies2
Vista frontal del galpón 234
94 Usando el área que calculamos en las diapositiva previa, ¿cuál es el nuevo valor de z?
A 10.99 pies
B 17.58 pies
C 19.78 pies
D 9.89 pies
Vista frontal del galpón 235
95 Usando el nuevo valor de z, ¿cuál es la nueva m∠1?
B 24.49°
C 42.30°
D 47.70°
A 65.51°
Vista frontal del galpón 236
Sí No Respuesta
96 ¿Satisfacen las medidas del nuevo ángulo x los requerimientos de construcción?
Vista frontal del galpón 237
Pregunta 1/11 Parte C
Un paquete de tejas cuesta $27.75. Cada paquete puede cubrir aproximadamente 35 pies cuadrados. Se puede comprar las tejas en paquetes completos. El constructor tiene un presupuesto de $325 para tejas. ¿Cuál es el mayor ángulo que el constructor puede usar para estar dentro de su presupuesto? Explica o muestra tu proceso. 238
Pregunta 1/11 Parte C Tema: Razones Trigonométricas
97 Si un paquete de tejas cuesta $27.75 y su presupuesto es $325, ¿cuántos paquetes de tejas puede comprar? 2
C 11.71
Vista frontal del galpón 239
A 420 pies 2
B 409.85 pies 9 pies
C 385 pies2 z
Question 1/11 Part C
98 Si cada paquete de tejas cubre un área de 35 pies cuadrados, entonces, ¿cuál es el área cubierta por la cantidad de paquetes que el constructor compró? 1
D 350 pies2 18 pies
Vista frontal del galpón 240
A 10.69 pies
B 14.26 pies
C 16.04 pies D 21.39 pies
99 Usando la nueva área calculada en la última pregunta, ¿cuál es el valor de z en las figuras de abajo? 9 pies
Vista frontal del galpón 241
100 Usando el nuevo valor de z calculado en la última pregunta, ¿cuál es el nuevo valor de x en las figuras de abajo? A 32.66°
B 57.34°
C 122.66°
D 147.34°
Vista frontal del galpón 242
Tema: Resolución Problemas con Triángulos Semejantes
Pregunta 3/11
Una cartelera a nivel del piso tiene un soporte de 26 pies de longitud que se extiende desde la parte superior del cartel al piso. Se le une un poste de 5 pies de alto al soporte y está a 4 pies desde donde la base del soporte está metida en el piso. En la figura la distancia, en pies, desde la base de la cartelera a la base del soporte está nombrada como x. Arma una ecuación que pueda ser usada para determinar x. Discute cualquier supuesto que podría hacerse en relación a esta ecuación. Usa la ecuación para calcular el valor de x. Muestra tu trabajo o explica tu respuesta. 244
Tema: Resolución de Problemas c/ Triángulos Semejantes
101 ¿Se puede resolver este problema?
A Teorema de Pitágoras
B Trigonometría de Triángulo Rectángulo
102 Si asumimos que tanto la cartelera como el poste están perpendiculares al piso, ¿qué conceptos podríamos usar para resolver este problema?
C Triángulos Semejantes
Primero, vamos a usar la combinación del A Teorema de Pitágoras y C Triángulos Semejantes
103 ¿Cuál sería el valor de y?
C √41
5 = √41
B 4 = √41
C 5 = √41
D 4 = 26 x √41
104 ¿Qué proporción usaríamos para calcular el valor de x?
105 ¿Cuál es el valor de x?
Ahora, vamos a usar la combinación de B Trigonometría de Triángulos Rectángulos y C Triángulos Semejantes.
106 ¿Cuál sería la razón que usaríamos para calcular la medida del ángulo G?
A tan G = 5 4
B sen G = 5 26
C cos G = 4 26
D tan G = 4 5
107 ¿Cuál es la medida del ángulo G?
Ya que los dos triángulos son semejantes, la medida del ángulo G es igual en ambos triángulos. 108 Usando la medida del ángulo G, ¿cuál es el valor de x?
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La lección de hoy es sobre como buscar las Medidas
¿Qué es PARCC? - Montgomery County Public Schools
Trigonometria del Triángulo Rectángulo
Unidad 5 - Matematicas con Blas
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE JALISCO ACADEMIA DE
Ponerse estupendo con los triángulos
Folleto de Trigonometría
C AC BC AC BC AB ˆ cos. . .2 - + = B AB BC AB BC AC ˆ cos. . .2
memo 10 mat.
TALLERES 10 Parte 2.
Start Here - Northeast High School
t5. trigonometría - Mauricio Contreras
La Atención Primaria de la Salud en el currículo de Medicina de la
5 de marzo de 2015 Estimados padres de familia: Como todas las
CÁLCULO DEL ÁNGULO DE LA ÓPTICA DE UNA CÁMARA DE
Información para padres: evaluaciones del estado de New Jersey
Midiendo la altura de los árboles 1 2 3 4 5

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 Resolución 

Resolución 
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Resolución 

Resolución 
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