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Timestamp: 2016-10-26 06:40:03+00:00

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sesión mediada: programación lineal
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Álgebra Programación Lineal
Prof.: José A. Sulca Minchán 2
PLAN DE SESIÓN DE CLASE
Área / Asignatura : Matemática / Álgebra
Grado / Nivel : Quinto de secundaria
Nombre de la unidad : Programación Lineal
Tema : Introducción a la Programación Lineal
Tiempo de aplicación : Cinco semanas (15 horas pedagógicas)
II. OBJETIVOS E INDICADORES DE LOGRO
OBJETIVOS INDICADORES DE LOGRO
o Analizar el conjunto solución de
un sistema de inecuaciones
o Calcular los vértices de una
región poligonal.
o Definir y fundamentar el
modelo matemático de la
o Utilizar el método de los
o Orientar las actividades
personales de los estudiantes en
función a intereses colectivos.
o Analiza el conjunto solución de un
graficando la región relacionada al
o Calcula los vértices de una región
poligonal resolviendo el sistema
asociado de ecuaciones lineales.
o Define y fundamenta el modelo
matemático de la programación
lineal mediante un cuadro
sinóptico.
o Utiliza el método de los vértices
o Realiza actividades priorizando el
desarrollo del colectivo.
I. DESARROLLO DE LA SESIÓN (SISTEMA DE SESIONES)
3.1 SESION1
 Analizar el conjunto solución de una inecuación lineal
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A. SINTIENDO Y PENSANDO – PENSANDO Y SINTIENDO (con ayuda del mediador)
a.1. Situación problémica:
Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de
propaganda publicitaria. La empresa A le paga 50 céntimos por
cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más
grandes, le paga 70 céntimos por impreso. El estudiante lleva
dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra
para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada
día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se
pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de
cada clase para que su beneficio diario sea máximo? ¿Qué
necesitamos conocer?
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli
y, sobre todo, Lagrange, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados
de determinadas funciones. Posteriormente el matemático Fourier (1768-1830) fue el
primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente
llamamos programación lineal.
Sin embargo, debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos estudios
relacionados a la programación lineal. En este año, el matemático ruso Leonodas
Kantarovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de
organización y planificación de la producción, en la que por primera vez se hace
corresponder a una extensa gama de problemas sobre la teoría matemática de la
En 1941-1942 se formula por primera vez el problema del transporte, estudiado por
Koopmans. Tres años más tarde, Stigler plantea otro problema particular conocido
con el nombre de régimen alimenticio.
En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se
asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era
un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba
necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.
En 1947, Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado
estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Una de las
primeras aplicaciones fue el puente aéreo de Berlín. Se continuó con infinidad de
aplicaciones de tipo preferentemente militar.
Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos de
estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal.
Prof.: José A. Sulca Minchán 4
Respecto al método del simplex, que estudiaremos después, señalaremos que su
estudio comenzó en el año 1951 y fue desarrollado por Dantzig, ayudándose de
varios modelos de ordenador de la firma IBM.
Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático
norteamericano de origen húngaro Von Neuman (1903-1957). En 1947 conjetura la
equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices
desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, discípulo de
Hilbert en Gotinga y, desde 1930, hace que otros investigadores se interesaran
paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.
En 1858 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto:
el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de
edificación de la ciudad de Moscú. El plan óptimo de transporte, calculado con el
ordenador Strena en 10 días del mes de junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los
costos previstos.
Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase los
métodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre
un 10 y un 15% en tan sólo un año.
En este sentido podemos decir que; la programación lineal es una técnica
matemática relativamente reciente, que consiste en una serie de métodos y
procedimientos que permiten resolver problemas de optimización. Nos centramos en
aquellos problemas de programación lineal, donde solo intervienen 2 variables.
B. BUSCANDO Y HALLANDO (con ayuda del mediador)
b.1. Analiza el conjunto solución de una inecuación lineal graficando la región
relacionada al sistema:
Estamos interesados en encontrar el C.S. de una inecuación lineal con 2
incógnitas, es decir; queremos hallar todos los pares ordenados que satisface la
inecuación. Para ello la gráfica permitirá visualizar que región del plano
representa el C.S. Esta región recibirá el nombre de semiplano, cuyo borde será
ACTIVIDAD (para el docente)
Esboce la región determinada por las siguientes inecuaciones lineales:
1. 6 3 2 s + y x
Para fines de graficar una inecuación es necesario reemplazar el símbolo
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de la desigualdad ( ≤ ) por el símbolo igual ( = ), para graficar la ecuación
con dos variables. Luego se ve la inecuación.
(i) Graficamos 6 3 2 = + y x
Esto es una ecuación lineal con 2 variables; por lo tanto representa una recta.
Por tratarse de una recta solo necesitamos 2 puntos pertenecientes a la recta.
Conviene buscar los puntos de intersección con los ejes por ser los más
sencillos, para ello tabulamos con x = 0 y con y = 0.
2 6 3 ) 0 ( 2 = ÷ = + y y
3 6 ) 0 ( 3 2 = ÷ = + x x
La tabla nos dice que la recta pasa por los puntos (0,2) y (3,0).
Realicemos la gráfica:
La línea continua indica que los puntos de esta recta son soluciones de la
inecuación original debido al símbolo s . Por otro lado, se observa que el
plano ha quedado dividido en 2 regiones, una región que está debajo de la
recta y la otra que está por encima.
(ii)Sombreamos 6 3 2 < + y x
Para ver en qué región están los pares ordenados que satisface la inecuación
elegimos un punto cualquiera que no esté en la recta 6 3 2 = + y x , se aconseja
un punto bastante simple, por ejemplo el punto (0,0) y lo sustituimos en la
Prof.: José A. Sulca Minchán 6
6 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2
  
Hemos obtenido una desigualdad verdadera, esto significa que el par
ordenado (0,0) satisface la desigualdad por lo que debemos sombrear la
región donde se encuentra este par (0,0). Aquí se encontraran todos los pares
que cumplen la inecuación.
Esta región sombreada (la región que está por debajo de la recta 6 3 2 = + y x )
nos indica la grafica de 6 3 2 s + y x ; es decir el C.S. de la inecuación. Nótese
que la región incluye a la recta. Si la desigualdad nos hubiera salido falsa
sombrearíamos la región opuesta.
2. 2 3 4 > ÷ x y
(i) Graficar 2 3 4 = ÷ x y
Tabulemos con x = 0 y con y = 0.
2 / 1 2 ) 0 ( 3 4 = ÷ = ÷ y y
3 / 2 2 3 ) 0 ( 4 ÷ = ÷ = ÷ x x
Como la inecuación original tiene el símbolo > trazaremos la recta con una
línea punteada.
(ii)Sombrear 2 3 4 > ÷ x y
Escojamos el punto (0,0). Veamos si satisface la inecuación al reemplazarlo:
-2/3 0
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) ...( 2 ) 0 ( 3 ) 0 ( 4
F > ÷
Esto nos dice que debemos sombrear la región opuesta, es decir la región que
no contiene al punto (0,0). La gráfica es:
Nótese que la región no incluye a la recta; en otras palabras el borde
no pertenece a la región.
ACTIVIDAD (para el estudiante)
1. Esboce la región determinada por las siguientes inecuaciones lineales:
a. 5 2 4 x y + <
b. 2 3 y x ÷ >
c. 3 > + y x
d. 6 2 3 > + y x
e. 5 < y
f. 4 s ÷ y x
g. 5 3 2 > ÷ x y
h. 2 > x
i. 3 y > ÷
j. 1 x < ÷
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2. Determine la inecuación que corresponde a cada región sombreada:
b.2. Internalizando la estrategia para analizar el conjunto solución de una inecuación
lineal socialmente construidos:
1) ¿Qué entiendes por analizar el conjunto solución de una inecuación lineal?
…………………………………………..……………..…………………………..
2) ¿En qué consiste la estrategia?
…………………………………………..…………..……………………………..
C. TRANSFORMANDO NUESTRA PRÁCTICA (intentando sin ayuda del mediador)
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c.1. Usa estrategias para analizar el conjunto solución de una inecuación lineal:
Se indica a los estudiantes desarrollar las actividades que se encuentran en el compendio
escolar. El docente absuelve las dudas que se presentaran. Finalmente se procede a
colocar un visto bueno a los estudiantes que desarrollaron de manera adecuada la
3.2 SESION2
 Analizar el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales
a.1. Recojo de saberes previos:
Para el recojo de los saberes previos emplearemos las siguientes interrogantes:
- ¿Qué entendemos por esbozar la región determinada por inecuaciones
lineales?
- ¿Puedes indicar los pasos a seguir?
En esta oportunidad queremos en encontrar el C.S. de un sistema de inecuaciones
lineales con 2 incógnitas. Para ello debemos seguir los siguientes pasos:
(1) Esboce la región determina por cada inecuación del sistema.
(2) Intercepte las regiones obtenidas.
(3) La intersección de todas las regiones representa la grafica del sistema.
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Esboce la región determinada por el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
) 3 ...( 0
) 2 ...( 3 0
) 1 ...( 6
(1) 6 s + y x
· Graficamos 6 = + y x y sombreamos 6 < + y x
Con (0,0) tenemos 0 < 6 (V); luego
sombrearemos la región donde se
encuentra el punto (0,0).
(2) 3 0 3 0 s . > · s s x x x
· Graficamos 3 0 = . = x x y sombreamos 3 0 < . > x x
La grafica correspondiente a la
ecuación x = 0 coincide con el eje Y
y la grafica de x = 3 corresponde
a una recta vertical que pasa por x = 3.
Luego sombremos la región a la derecha
de x = 0 y la región a la izquierda de
x = 3. Observamos que la región es una
franja desde x = 0 hasta x = 3.
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(3) 0 > y
· Graficamos 0 = y (eje X) y sombreamos 0 > y
ecuación y = 0 coincide con el eje X.
Luego sombrearemos la región que
esta encima del eje X.
Interceptemos las gráficas, esto es debemos seleccionar la región común para
cada inecuación. Así tenemos la grafica:
Esta región sombreada nos indica la grafica del sistema; es decir el C.S.
Nótese que la región incluye las rectas que conforman su frontera, en otras
palabras el borde pertenece a la región.
1. Esboce la región determinada por los siguientes sistemas de inecuaciones
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¦÷ < s
÷ s +
s ÷ ÷
s ÷ +
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b.2. Internalizando la estrategia para analizar el conjunto solución de un sistema de
inecuaciones lineales socialmente construidos:
1) ¿Qué entiendes por analizar el conjunto solución de un sistema de inecuaciones
………………………………………………………….…………………………..
c.1. Usa estrategias para analizar el conjunto solución de un sistema de inecuaciónes
Profesor: José A. Sulca M. 14
Se indica a los estudiantes desarrollar las actividades que se encuentran en el
compendio escolar. El docente absuelve las dudas que se presentaran. Finalmente
se procede a colocar un visto bueno a los estudiantes que desarrollaron de manera
adecuada la actividad.
3.3 SESION3
 Calcular los vértices de una región poligonal
Un terreno está limitado por:
- Grafique el terreno.
- Halle las coordenadas de sus esquinas.
- Halle el perímetro del terreno.
- Halle el área del terreno.
b.1. Calcula los vértices de una región poligonal resolviendo el sistema asociado de
1. Calcule el vértice de la región poligonal definida por el siguiente sistema de
inecuaciones lineales:
¦ + s
÷ > ÷
¦ ÷ > ÷
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Para encontrar las coordenadas de los vértices de la región graficamos las rectas:
4x - 3y = -6, 2x + y = 3, x = 3, y = 1
Luego para saber donde se ubica la región poligonal tomamos un punto aleatorio y
verificamos en las restricciones. De esto obtenemos la grafica de abajo.
Se observa que la región tiene 4 vértices; encontremos cada uno de ellos a partir de
los sistemas de ecuaciones lineales que se forman.
Vértice A:
Se forma el sistema (con las rectas que se cortan en el vértice)
Se obtiene A = (3, 1).
Vértice B:
Se forma el sistema
Se obtiene B = (3, 6).
Vértice C:
Se obtiene C = (3/10, 12/5).
4 - 3 = -6
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Vértice D:
Se obtiene D = (1, 1).
1. Calcule el vértice de la región poligonal definida por los siguientes sistemas de
¦ ÷ s
2. Determine el sistema de inecuaciones lineales que corresponde a la región interior
a. Triangulo de coordenadas (2, 1); (-3, 4) y (1, -2)
b. Rectángulo de coordenadas (3, -1); (7, -1); (3, 6) y (7, 6)
c. Cuadrilátero de coordenadas (4, 2); (2, 8); (-3, 6) y (0, 0)
b.2. Internalizando las estrategias para calcular los vértices de una región poligonal
socialmente construidas:
Profesor: José A. Sulca M. 17
1) ¿En qué consiste hallar el vértice de una región?
2) ¿Podrías mencionar los métodos que existen para resolver un sistema de
ecuaciones?
c.1. Calcula los vértices de una región poligonal:
Se propone una actividad en el aula para lo cual los estudiantes desarrollaran los
problemas que se encuentran en el compendio. La resolución se dará en una hoja. En
los problemas de mayor dificultad el maestro intervendrá y ayudará a los
estudiantes. Finalmente la hoja se recepciona para ser evaluada.
3.4 SESION4
 Definir y fundamentar el modelo matemático de la programación lineal.
- ¿Conozco procedimientos para esbozar y determinar los vértices de una
región determinada por un sistema de inecuaciones lineales?
- ¿Puedo resolver este tipo de problemas sin ayuda?
Un día de 1939, George Dantzig (1914 – 2005) llego tarde a su
clase de post grado en Berkeley. El profesor había escrito en la
pizarra dos ejemplos famosos de problemas estadísticos no
resueltos. Dantzig copio los problemas pensando que eran tarea
para la casa y unos días después obtuvo soluciones completas.
Profesor: José A. Sulca M. 18
Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, los estudios de Dantzig en Berkeley
fueron suspendidos y él se convirtió en la cabeza de la rama de Análisis de Combate
de la Central Estadística de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos, donde lidio con la
logística de la cadena de abastecimiento y gestión de miles de artículos y personas.
Dantzig, el “padre de la programación lineal”, formulo el enunciado general al que se
reducen los problemas de programación lineal. Recibió el premio Von Neumann
Theory en 1974 y la Medalla Nacional de Ciencias en 1975.
b.1. Define y fundamenta el modelo matemático de la programación lineal mediante un
Es una técnica que se utiliza en la resolución de problemas donde se busca optimizar
(maximizar y/o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo,
sujeta a un conjunto de restricciones que están expresadas por un sistema
Un problema de programación lineal presenta el siguiente formato estándar:
El problema consiste en hallar los valores de las variables x e y que optimicen la
función (I) sujeto a las restricciones (II).
En esta parte se expone la parte teórica de la programación lineal. Para
ello se les entregara a los estudiantes una ficha con un cuadro sinóptico
para que lo completen a medida que se va explicando.
Profesor: José A. Sulca M. 19
R Re eg gi ió ón n f fa ac ct ti ib bl le e. .- - Es la representación grafica del conjunto de restricciones. Puede
ser acotada o no acotada.
O OB BS SE ER RV VA AC CI IÓ ÓN N:
Si la región factible es acotada, su representación gráfica es un
polígono convexo cuyo número de lados no supera al número de
P Po ol lí íg go on no o c co on nv ve ex xo o P Po ol lí íg go on no o n no o c co on nv ve ex xo o
S So ol lu uc ci ió ón n o op pt ti im ma a. .- - Es el par ordenado situado en la región factible que optimiza la
Todo problema de programación lineal se sustenta en el siguiente teorema:
La función objetivo se optimiza en un vértice de la región factible acotada, nunca
en el interior de dicha región. Si la función objetivo se optimiza en dos vértices,
también tomará idéntico valor en todos los puntos del segmento de recta que
determinan estos dos vértices. En el caso de que la región factible no es acotada, la
función objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto; sin embargo,
Profesor: José A. Sulca M. 20
si lo hace, la solución óptima se encuentra en el vértice de la región.
Del teorema concluimos que solo es necesario investigar la solucion optima en los
vertices de la region factible.
1. MAXIMIZAR la función
f ( x, y ) = 2x + 3y
RESOLUCION.-
PASO 1.- Graficar lar restricciones y marcar claramente la región factible
Para graficar las restricciones primero debemos graficar las rectas
4x + 5y = 200, 6x + 3y = 210, x = 0, y = 0
Para saber donde se ubica la región factible tomamos un punto aleatorio y
verificamos en las restricciones, por ejemplo tomemos el punto (0, 0). Se
observa que la región factible está limitada por la parte baja de las rectas
4x + 5y = 200, 6x + 3y = 210 y las coordenadas del primer cuadrante.
4 5 200
Profesor: José A. Sulca M. 21
PASO 2.- Hallar las coordenadas de los vértices de la región factible
La región tiene 4 vértices y son el (0, 0); (0, 40); (35, 0) y E. Para
hallar el vértice E resolvemos el sistema
Se obtiene E = (25, 20) que viene hacer la intersección de las rectas.
PASO 3.- Sustituir las coordenadas de estos vértices en la función objetivo y
hallar el vértice que proporcione el máximo valor de la función
Se observa que la solución óptima que maximiza la función objetivo ocurre en
el vértice (0, 40).
b.2. Internalizando las definiciones del modelo matemático de la programación
lineal socialmente construidas:
1) ¿Qué es programación lineal?
2) ¿Qué elementos intervienen?
3) ¿Podrías decir que es una región factible?
4) Y ¿Qué es una solución optima?
VERTICE FUNCION OBJETIVO
x y f( x , y) = 2x + 3y
120 ←Solución optima
210 3 6
Profesor: José A. Sulca M. 22
Se propone dos actividades para los estudiantes. La resolución se dará en el cuaderno una
vez concluida se procede a dar el V.B. de la actividad.
Utilizando el método de los vértices resuelva los siguientes problemas de
f ( x, y ) = 4x + 3y
RPTA.- La solución óptima que maximiza la función objetivo ocurre en el
vértice (20, 60).
2. MINIMIZAR la función
f ( x, y ) = 30x + 40y
RPTA.- La solución óptima que minimiza la función objetivo ocurre en el
vértice (20, 30).
3.5 SESION5
 Utilizar el método de los vértices.
¦ + >
Profesor: José A. Sulca M. 23
- ¿Conozco algún método para resolver problemas sobre programación lineal?
- ¿Puedo resolver problemas de programación lineal sin ayuda?
METODOLOGIA (sugerencia)
o Existe un programa llamado ProLin (Programación Lineal) que representa las
soluciones de un sistema de inecuaciones lineales de manera gráfica. Este lo
podemos utilizar en la clase de diferentes formas:
 Como software educativo se puede instalar en todos los ordenadores de la sala
de cómputo para desarrollar una clase dirigida en este ambiente.
 Por otro lado, se puede solicitar un proyector multimedia y utilizar el programa
en el aula para desarrollar la clase.
o También podemos invitar a los alumnos que visiten la dirección en internet:
www.phpsimplex.com/pages/simplex.htm
donde se pueden validar los resultados de los problemas de programación lineal
desarrollados en clase.
b.1. Utiliza el método de los vértices resolviendo problemas de programación lineal:
Profesor: José A. Sulca M. 24
f ( x, y ) = 3x + y
RPTA.- La función objetivo alcanza su máximo valor en el vértice (6, 1).
2. MAXIMIZAR la función
f ( x, y ) = x + y
RPTA.- La función objetivo alcanza su máximo valor en los vértices (0, 5) y
(4, 1) y también en cualquiera de los puntos del segmento que generan estos
3. MAXIMIZAR la función
RPTA.- En este caso no existe solución óptima que maximice la función
objetivo, por lo que puede decirse que el problema carece de solución.
¦ ÷ >
Profesor: José A. Sulca M. 25
b.2. Internalizando el método de los vértices socialmente construidos:
o Secuencia para utilizar el método de los vértices un problema de
Para resolver un problema de programación lineal se sugiere seguir la
siguiente secuencia:
• Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la región
• Hallar las coordenadas de todos los vértices de la región factible.
• Evaluar la función objetivo en cada vértice.
• Identificar el vértice que optimiza la función objetivo.
c.1. Metacognición:
Se plantea las siguientes preguntas:
1) Sigo correctamente los pasos que me ayudara a resolver problemas sobre
programación lineal. ¿Necesito observar con mayor atención?
2) ¿Lo hago con rapidez?
3) ¿Crees que la técnica trabajada te servirá en el contexto actual en el que te
c.2. Evaluación Escrita:
Se da algunas indicaciones sobre la evaluación que se tomara.
IV. REFERENCIAS PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE
o Matemática 5. Alfonso Rojas.
Profesor: José A. Sulca M. 26
o Matemática 5. Manuel Coveñas.
o Compendio académico de matemática. Academia ADUNI. Lumbreras editores, 2003.
o Álgebra y principios del análisis. Academia César Vallejo. Lumbreras editores, 2002.
Profesor: José A. Sulca M. 27
Tema : Aplicaciones de la Programación Lineal
Tiempo de aplicación : Tres semanas (9 horas pedagógicas)
o Formular la función objetivo y
el conjunto de restricciones
correspondiente a un problema
de programación lineal.
o Aplicar el método de
personales de los estudiantes
en función a intereses
o Formula la función objetivo así
como el conjunto de restricciones
asociadas a un problema de
programación lineal a través de
o Aplica el método de optimización
lineal resolviendo situaciones
concretas propias de la
III. DESARROLLO DE LA SESIÓN (SISTEMA DE SESIONES)
 Formular la función objetivo y el conjunto de restricciones correspondiente a un
Profesor: José A. Sulca M. 28
La programación lineal hace historia
En 1946 comienza el largo período de la guerra fría
entre la Unión Soviética (URSS) y las potencias aliadas
(principalmente, Inglaterra y EEUU). Uno de los
episodios más llamativos de esa guerra se produjo a
mediados de 1948, cuando la URSS bloqueó las
comunicaciones terrestres con la ciudad de Berlín desde
las zonas alemanas en poder de los aliados, iniciando el
bloqueo a Berlín. A los aliados se les plantearon dos
posibilidades: o rompían el bloqueo terrestre por la
fuerza, o llegaban a Berlín por aire. Se optó la decisión de demostrar el poder aéreo
norteamericano; a tal efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer la ciudad.
En diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias de víveres; en marzo de
1949, se llegó a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba por vía terrestre antes del corte
de las comunicaciones. En la planificación de los suministros se utilizó la programación lineal.
El 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el bloqueo.
- ¿Qué suministros habrán considerado para abastecer la ciudad?
- ¿Para optimizar la ayuda que variables tendrían que tener en cuenta?
- ¿Crees que la programación lineal jugó un papel importante en la solución del problema?
b.1. Formula la función objetivo así como el conjunto de restricciones asociadas a un
problema de programación lineal a través de tablas de doble entrada
3. Formule la función objetivo y el conjunto de restricciones en cada uno de los
siguientes problemas de programación lineal:
Profesor: José A. Sulca M. 29
1) 10 chicos y 20 chicas están organizando un evento. Para financiarlo
deciden solicitar trabajo por las tardes, a una compañía encuestadora que
contrata a grupos de jóvenes de dos tipos:
• Tipo A: 1 chico y 1 chica.
• Tipo B: 1 chico y 3 chicas.
La empresa abona por una tarde de trabajo S/. 30 al equipo del tipo A y S/. 50
al equipo del tipo B. ¿Cómo les conviene distribuirse para obtener la
mayor cantidad posible de dinero?
PASO 1: Determinar el objetivo
Queremos encontrar cuántos equipos de cada tipo hay que considerar para
obtener el mayor ingreso posible.
PASO 2: Definir las variables y escribir la función objetivo
de equipos del tipo A
y: N
de equipos del tipo B
Como cada equipo del tipo A percibe un ingreso de S/. 30; el ingreso obtenido al
haber x equipos del tipo A será 30x, similarmente como cada equipo del tipo B
percibe un ingreso de S/. 50; el ingreso obtenido al haber y equipos del tipo B
será 50y, luego el ingreso total será 30x + 50y.
Así la función objetivo es:
U( x , y) = 30x + 50y
El problema consiste en hallar x e y tal que la función objetivo alcance su
mayor valor posible; claro está teniendo en cuenta que las variables están sujetas
a restricciones.
PASO 3: Escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones a
partir de las variables
Hagamos una tabla donde escribamos toda la información de modo que nos
ayude a obtener las restricciones.
Profesor: José A. Sulca M. 30
· En un equipo del tipo A hay 1 chico y 1 chica; por lo tanto para x equipos
habrá x chicos y x chicas.
Similarmente para el equipo del tipo B.
· La cantidad de chicos que trabajan del tipo A y del tipo B es x + y pero por
condición no debe de exceder de 10 chicos; esto se traduce en la inecuación
x + y ≤ 10
· Con igual razonamiento para el equipo del tipo B, se tiene la siguiente
x + 3y ≤ 20
· Además como se trata de equipos, queda implícito el no considerar
cantidades negativas; por tanto se debe escribir
PASO 4: Pasamos el problema a su formato estándar
En resumen el problema consiste en MAXIMIZAR la función
U ( x, y ) = 30x + 50y
Equipos Cantidad
Tipo A x x x
Tipo B y y 3 y
TOTAL x + y x + 3y
x 3y 20
Profesor: José A. Sulca M. 31
2. Una editorial planea producir dos libros de consulta. La utilidad por unidad es de
S/.20 por el libro 1 y S/.30 para el libro 2. El libro 1 requiere de 4 horas para su
impresión y 6 horas para su encuadernación. El libro 2 requiere 5 horas para
imprimirse y 3 horas para encuadernarse. Se dispone de 200 horas para imprimir
y de 210 horas para encuadernar. Determine la máxima utilidad.
Queremos hallar cuántos libros de cada tipo hay que producir para obtener la
utilidad máxima.
de libros del tipo 1 producidos
de libros del tipo 2 producidos
Como cada libro del tipo 1 produce una utilidad de S/.20; la utilidad obtenida al
producir x libros del tipo 1 será 20x, similarmente como cada libro del tipo 2
produce una utilidad de S/.30; la utilidad obtenida al producir y libros del tipo 2
será 30y, luego la utilidad total será 20x + 30y.
U( x , y) = 20x + 30y
El problema consiste en hallar x e y tal que la función objetivo sea máximo;
teniendo en cuenta que las variables están sujetas a restricciones.
Tipo 1 x 4 x 6 x
Tipo 2 y 5 y 3 y
TOTAL 4x+5y 6x + 3y
Profesor: José A. Sulca M. 32
· Para imprimir un libro del tipo 1, se necesitan 4 horas; por lo tanto para x
libros se necesitaran 4x horas. Para encuadernar un libro del tipo 1, se necesita 6
horas; por lo tanto para x libros se necesitan 6x horas.
· Similarmente para imprimir un libro del tipo 2.
· El tiempo necesario para imprimir libros del tipo 1 y libros del tipo 2 es
4x + 5y pero por requisito no debe de exceder de las 200 horas; esto se traduce
en la inecuación
4x + 5y ≤ 200
· Con igual razonamiento para el encuadernamiento, teniendo la
siguiente inecuación
6x + 3y ≤ 210
· Además como se trata de libros, queda implícito el no considerar cantidades
negativas; por tanto se debe escribir
U ( x, y ) = 20x + 30y
3. Un taller de armado de computadoras produce dos modelos de las mismas que
llamaremos modelo I y modelo II. El modelo I requiere 1 horas de mano de obra
especializada y 2 horas de mano de obra no especializada. El modelo II requiere
1 hora de mano de obra especializada y 1 hora de no especializada. Se disponen
de 120 horas de mano de obra especializada y 200 horas de mano de obra no
especializada por semana. El modelo I produce una utilidad de $60 por unidad y
el modelo II de $30 por unidad. ¿Cuántas posibilidades de obtener máximas
utilidades existen?
2 3y x
Profesor: José A. Sulca M. 33
x: número de computadoras del modelo I fabricadas por semana
y: número de computadoras del modelo II fabricadas por semana
Como las utilidades de cada modelo son $60 y $30 respectivamente, la función
ganancia será:
G(x,y) = 60x + 30y (función objetivo)
x + y ≤ 120
x + y ≤ 200
4. Una persona debe cumplir una dieta que le exige consumir por semana al menos
1 Kg. de carbohidratos y ½ Kg. de proteínas. Para ello cuenta con dos alimentos
que llamaremos A y B que están constituidos exclusivamente por carbohidratos
y proteínas. El alimento A contiene 90% (en peso) de carbohidratos y el resto de
proteínas, mientras que el alimento B contiene 60% de carbohidratos y el resto
de proteínas. El alimento A cuesta $20 por Kg. y el alimento B, $40 por Kg.
¿Qué cantidad de cada alimento deberá consumir la persona para que el costo de
su dieta sea mínimo?
x: cantidad de Kg. por semana del alimento A
y: cantidad de Kg. por semana del alimento B
Como el alimento A cuesta $20 por Kg y el alimento B $40 por Kg. tendremos
que el costo de la dieta por semana es:
C(x,y) = 20x + 40y
0,9x + 0,6y ≥ 1
0,1x + 0,4y ≥ 0,5
Profesor: José A. Sulca M. 34
b.2. Internalizando las estrategias para formular la función objetivo y el conjunto de
restricciones en un problema de programación lineal socialmente construidos:
o Estrategia para plantear la función objetivo y el conjunto de restricciones en un
problema de programación lineal.
Para plantear un problema de programación lineal en dos variables, se
sugiere seguir los siguientes pasos:
• P PA AS SO O 1 1. .- - Leer detenidamente el enunciado del problema.
• P PA AS SO O 2 2. .- - Determinar que se pide en el problema.
• • P PA AS SO O 3 3. .- - Definir las variables y escribir la función objetivo.
• • P PA AS SO O 4 4. .- - Escribir el sistema de inecuaciones que determinan las
restricciones a partir de las variables por medio de un cuadro de doble
entrada. .
• P PA AS SO O 5 5. .- - Expresar el problema en su formato estándar.
c.1. Usa estrategias para formular la función objetivo y el conjunto de restricciones en un
problema de programación lineal:
Se propone una actividad grupal para lo cual los estudiantes desarrollaran 4
problemas del compendio escolar. La resolución de los problemas se dará en el
cuaderno y se realizara de la siguiente manera:
o Se formara grupos de 5 integrantes y se asignara como responsable a 2
estudiantes (de mayor nivel) para que apoyen y guíen a sus compañeros en
el desarrollo de la actividad. En los problemas de mayor dificultad el docente
intervendrá y ayudará a los estudiantes.
o Paulatinamente se indicara los problemas a desarrollar. Luego se procederá a
colocar el V.B. a los estudiantes que completaron la actividad
o Finalmente 4 estudiantes plantean la resolución de los problemas en la pizarra
y exponen ante sus compañeros.
Profesor: José A. Sulca M. 35
c.2. Integrando áreas:
Investiga el contexto histórico social que vivió George B. Dantzig.
 Aplicar el método de optimización lineal
- ¿Recuerdas las estrategias utilizadas en la resolución de problemas que
involucran la programación lineal?
- ¿Puedes indicar algunas de estas?
- ¿En que medida se podrán aplicar estas en la resolución de situaciones reales?
b.1. Aplica el método de optimización lineal resolviendo situaciones concretas propias de
la programación lineal:
4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de programación lineal:
1. Un comerciante acude al mercado de frutas a comprar
naranjas con S/. 1 300. Le ofrecen dos tipos de naranjas:
las de jugo a S/. 1,8 el kilogramo y las de mesa a S/.
2,6 el kilogramo. Sabiendo que en su camioneta sólo
dispone con espacio para transportar 700 kg de naranjas
como máximo y que piensa vender el kilogramo de
naranjas de jugo a S/. 2,5 y el kilogramo de las de mesa a
S/. 3,5 ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo
deberá comprar para obtener la máxima ganancia? ¿Cuál
será esa máxima ganancia?
Profesor: José A. Sulca M. 36
x: kilogramos de naranjas de jugo
y: kilogramos de naranjas de mesa
Maximizar F(x, y) = 0,7x + 0,9y
1 ,8x + 2,6y ≤ 1 300
F(650; 50) = 0,7·650 + 0,9·50 = 500 soles
Luego se debe comprar 650 kg de naranjas de jugo y 50 kg de naranjas de mesa.
2. Un granjero debe suministrar al día a sus animales un mínimo de
30 mg de vitamina B12, 20 mg de vitamina A y 30 mg de vitamina
C a través de los alimentos concentrados Vitatone y Creceplus. El
cuadro de abajo indica la cantidad de vitaminas, en miligramos,
que contiene cada kilogramo de alimento concentrado. Si el
kilogramo del concentrado Vitatone cuesta S/. 10 y del Creceplus
S/. 12 ¿Cuántos kilogramos de cada alimento debe mezclar para
que el costo sea mínimo? ¿Cuál será el costo, por kilogramo, de
esta mezcla?
Profesor: José A. Sulca M. 37
Vitatone Creceplus
B12 3 4
x: número de kilogramos de alimento concentrado Vitatone
y: número de kilogramos de alimento concentrado Creceplus
Tipo de alimento Dieta mínima
B12 3 4 30
A 4 2 20
C 5 6 30
S/. 10 S/. 12
Planteamiento de la función objetivo y de las restricciones, a partir de los datos de
1 12 , 0 F x y x y = +
Determinando los vértices de la región factible
Grafiquemos el sistema
Profesor: José A. Sulca M. 38
Determinando la solución óptima
En A: F(10; 0) = 10(10) + 12(0) = 100
En B: F( 2; 6) = 10(2) + 12(6) = 92 ÷Costo mínimo
En C: F( 0; 10) = 10(0) + 12(10) = 120
Luego para minimizar los costos, el granjero debe mezclar 2 kg de alimento
concentrado Vitatone y 6 kg de Creceplus. El costo será de 92/8 = S/. 11,5 por
kilogramo de mezcla.
b.2. Internalizando las estrategias para aplicar el método de optimización lineal
socialmente construidos:
1) ¿En qué consiste el método de optimización lineal?
………………………………………………………..........……………………….
2) Mencione qué tópicos del álgebra se han utilizado para resolver problemas de
……………………………………………..………………..………………………..
Profesor: José A. Sulca M. 39
c.1. Usa estrategias para aplicar el método de optimización lineal:
c.2. Propone situaciones problémicas que implican utilizar el método de optimización:
1) De 2 ejemplos en las que se puede aplicar las estrategias estudiadas.
……………………………………………………………………..………………..
2) Formula 1 problema de una situación concreta en la empleas estas estrategias de
- ¿Conozco estrategias para resolver problemas sobre programación lineal?
- ¿En qué campos se puede aplicar la programación lineal?
Como sabemos, en un comienzo la aplicación de la programación lineal estuvo
concentrada en las operaciones de planificación militar, sin embargo estos
modelos emigraron rápidamente hacia la industria. Hoy día con el aumento de las
capacidades computacionales más y más empresas tienen acceso a las ventajas de
los modelos de programación lineal. Modelos en los bancos, en la planificación,
en el diseño de computadores y redes, en modelos médicos son algunos ejemplos
importantes de las aplicaciones posibles de la programación lineal. A
continuación, se muestra brevemente algunos de los múltiples campos de acción
en los que se aplica los conocimientos de la programación lineal.
Profesor: José A. Sulca M. 40
Asignación de la Flota de Aviones: Normalmente el departamento de
marketing de las aerolíneas entrega una planificación
para la conexión entre diferentes ciudades, considerando
la demanda, costos de operación, para cada tipo de
aeronave. Los modelos lineales se han usado para
planificar para cada aeronave una secuencia de tiempo,
aeropuertos buscando maximizar las ganancias y la satisfacción de los
Planificación de la expansión de redes de telecomunicaciones: Las
compañías de telecomunicaciones están obligadas a
modernizarse y a expandir continuamente sus redes a
una tasa rápida para poder satisfacer la demanda
siempre creciente de clientes. Ellos deben decidir
entre usar cables dedicados para cada circuito
requerido o usar multiplexores, switches remotos o terminales de fibra óptica.
Los modelos lineales se han usado para minimizar el costo total de la
expansión e instalación de la red.
Agricultura: Los agricultores deben localizar áreas de plantación sujetas a
varias restricciones como subsidios del gobierno, disponibilidad de capital y
de mano de obra, riego, transporte y uso de equipamiento. Basado en un
conjunto razonable de expectativas de precios se usó
la programación lineal para desarrollar un plan de uso
de la tierra y control de stock buscando la
maximización de ganancias anuales. El resultado de
los análisis de sensibilidad le da ciertas herramientas
al agricultor para responder al "qué hacer si.." y asi
planificar en mejor forma.
La industria diaria: En las plantas procesadoras de leche, muchos productos
se producen directamente de la leche procesada incluyendo varios tipos de
leche, quesos, mantequilla y leche en polvo. Y otros
productos como la crema y la lactosa se producen
usando un segundo proceso. Cada día los
administradores de esas plantas deben tomar
decisiones de planificación para el flujo de producto,
equipo, asignación de personal, y transporte. Los
modelos lineales se han usado para determinar la
planificación de la producción óptima que toma en cuenta las limitaciones de
la capacidad de los equipos, demanda, flujo de producto.
Distribución de materia prima: A causa de las condiciones económicas, el
Profesor: José A. Sulca M. 41
corte de los árboles y su transporte a las fábricas es de
gran complejidad. Por ello, se crearon modelos de
programación lineal para lograr la asignación de
choferes a camiones de modo que cumplieran visitas a
las fábricas buscando que el modelo global
minimizara los costos. Todo ello bajo restricciones de
horas de trabajo por chofer, de horarios de atención de
las fábricas y de condiciones de la ruta.
5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de programación lineal:
1. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceite utilizando
una marca conocida C, así:
"Pague sólo S/. 2,50 por el litro de aceite C y S/.
1,25 por el litro de aceite D siempre y cuando
compre en total 6 litros o más y la cantidad
comprada de aceite C esté comprendida entre la
mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite
Si disponemos de S/. 31,25 y nos acogemos a la oferta ¿Cuál es la mínima cantidad
de aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?
x: litros comprados de aceite C
y: litros comprados de aceite D
Maximizar F(x, y) = 2,50x + 1,25y
Profesor: José A. Sulca M. 42
x + y > 6
x ≤ 2y
2,50x + 1 ,25y ≤ 31,25
Mínima y máxima ganancia
La mínima cantidad de aceite D que debemos comprar acogiéndonos a la oferta es el
punto (4; 2) y la máxima cantidad de aceite C es (l0; 5).
Conclusión, la mínima cantidad de D es 2 litros y la máxima de C es 10 litros.
2. Dos talleres T1 y T2 producen 40 y 50 unidades,
respectivamente, de un determinado producto. Ellos deben
abastecer a tres supermercados: S1, S2 y S3, que necesitan
20; 45 y 25 unidades, respectivamente. El costo del
transporte de cada taller a cada supermercado, en nuevos
soles por unidad, viene dado en el cuadro de abajo. ¿Cómo
debe organizarse el transporte para que el costo sea el
Talleres S1 S2 S3
T1 5 4 3
T2 3 1 4
Profesor: José A. Sulca M. 43
x: número de unidades que se transportan de T1 a S1
y: número de unidades que se transportan de T1 a S2
S1 S2 S3 Total
Taller 1 x y 40 – (x + y) = 40 – x – y 40
Taller 2 20 - x 45 - y 25 – [40 – (x + y)] = x + y – 15 50
Total 20 45 25 90
El costo del transporte lo obtenemos sumando los productos de cada cantidad de
unidades transportadas con sus respectivos precios unitarios (usamos la tabla de
costo de transporte por unidad). Así:
F(x, y) = 5x + 4y + 3[40 - x - y] + 3(20 - x) + 1(45 - y) + 4(x + y - 15) = 3x + 4y + 165
Por tanto, el problema se reduce a minimizar F(x, y) = 3x + 4y + 165
+ ÷ >
Profesor: José A. Sulca M. 44
En A: F(15; 0) =3(15) + 4(0) + 165 =210 ÷Costo mínimo
En B: F(0; 15) = 3(0) + 4(15) + 165 = 225
En C: F(0; 40) =3(0) + 4(40) + 165 =325
En D: F(20; 20) =3(20 + 4(20) + 165 =305
En E: F(20; 0) =3(20) + 4(0) + 165 =225
La función objetivo se minimiza en (l5; 0), cuando x = 15 e y = 0. Luego las
cantidades que se deben transportar se muestran en el cuadro de abajo.
T1 15 0 25
T2 5 45 0
Se propone una actividad grupal para lo cual los estudiantes desarrollaran los
Profesor: José A. Sulca M. 45
intervendrá y ayudará a los estudiantes. Luego se procederá a colocar el
V.B. a los estudiantes que completaron la actividad. Finalmente un
representante de cada grupo plantean la resolución de los problemas en la
pizarra y exponen ante sus compañeros.
c.2. Metacognición:
1) Selecciono correctamente la estrategia que me ayudara a resolver problemas de
2) Aplico con cuidado las estrategias.
3) Efectuo con precisión los procedimientos.
c.3. Evaluación Escrita:
o Reto. mate 5. Editorial Norma.
o Símbolos 5. Editorial Santillana.
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