Source: http://www.slideshare.net/sisicha3/rutas-del-aprendizajefasciculo-secundaria-matematica-vii
Timestamp: 2016-07-02 10:29:56+00:00

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Wilfredo ARAOZ
¿Qué y cómo aprenden nuestros adolescentes? Fascículo 1 Número y operaciones Cambio y relaciones VII CICLO Tercero, cuarto y quinto grados de Educación Secundaria Hoy el Perú tiene un compromiso: mejorar los aprendizajes Todos podemos aprender, nadie se queda atrás Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes 1TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 51 800 ejemplares Emma Patricia Salas O’Brien Ministra de Educación José Martín Vegas Torres Viceministro de Gestión Pedagógica Equipo coordinador de las Rutas del Aprendizaje: Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educación Básica Regular Neky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educación Inicial Flor Aidee Pablo Medina, Directora de Educación Primaria Darío Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educación Secundaria Asesor general de las Rutas del Aprendizaje: Luis Alfredo Guerrero Ortiz Equipo pedagógico: Róger Saavedra Salas Pedro David Collanqui Díaz Daniel José Arroyo Guzmán Holger Saavedra Salas, asesor Antonieta de Ferro, asesora Agradecimientos: Agradecemos la colaboración del equipo de especialistas de IPEBA y UMC por su participación en la revisión del documento. Corrección de estilo: Jorge Coaguila Quispe Diseño gráfico y diagramación: Haydé Pumacayo Condori Ilustraciones: Haydé Pumacayo Condori Equipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeño, Carmen Rosa León Ezcurra, Luis Fernando Ortiz Zevallos Impreso por: Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita – Lima 43 RUC 20347258611 Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educación. Prohibida su venta. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.º 2013-01775 Impreso en el Perú / Printed in Peru2 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
Estimada (o) docente: Queremos saludarte y reiterar el aprecio que tenemos por tu labor. Es por ello que en el Ministerio de Educación estamos haciendo esfuerzos para comenzar a mejorar tus condiciones laborales y de ejercicio profesional. Esta publicación es una muestra de ello. Te presentamos las «Rutas del Aprendizaje», un material que proporciona orientaciones para apoyar tu trabajo pedagógico en el aula. Esperamos que sean útiles para que puedas seguir desarrollando tu creatividad pedagógica. Somos conscientes que tú eres uno de los principales actores para que todos los estudiantes puedan aprender y que nuestra responsabilidad es respaldarte en esa importante misión. Esta es una primera versión, a través del estudio y uso que hagas de ellas, así como de tus aportes y sugerencias, podremos mejorarlas para contribuir cada vez mejor en tu trabajo pedagógico. Te animamos entonces a caminar por las rutas del aprendizaje. Nosotros ponemos a tu disposición el portal de Perú Educa para que nos envíes tus comentarios, aportes y creaciones; nos comprometemos a reconocer tus aportes, realizar seguimiento y sistematizarlos. A partir de ello, mejorar el apoyo del Ministerio de Educación a la labor de los maestros y maestras del Perú. Sabemos de tu compromiso para hacer posible que cambiemos la educación y cambiemos todos en el país. Tú eres parte del equipo de la transformación, junto al director y con los padres y madres de familia, eres parte de la gran Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes. Te invitamos, a ser protagonista en este movimiento ciudadano y a compartir el compromiso de lograr que todos los niños, niñas y adolescentes puedan aprender y nadie se quede atrás. Patricia Salas O’Brien Ministra de EducaciónTODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 3
Índice Introducción	7 I.	¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? 9 II.	¿Qué aprenden nuestros adolescentes? 15 III.	¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes?	21 3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje	21 3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII ciclo de la EBR	22 3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos	25 3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas	27 3.5 Promoviendo tareas matemáticas articuladas 33 3.6 Resolviendo problemas	34 3.7 Fases de la resolución de problemas	35 3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 36 IV.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al número real?	37 4.1 Algunas situaciones de aprendizaje	38 4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a números reales	50 V.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a las funciones cuadráticas?	61 5.1 Algunas situaciones de aprendizaje	62 5.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a las funciones cuadráticas	77 VI.	¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a sucesiones con números reales y programación lineal?	89 6.1 Algunas situaciones de aprendizaje	90 Bibliografía	99TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 55
IntroducciónEl Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la necesidad detransformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educaciónpertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y adolescentes puedan realizarsus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que elMinisterio de Educación, como una de sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos ytodas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía,ciencia, tecnología y productividad.En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias ycapacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es decir, como un mediopara comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuestaa situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientasmatemáticas.Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a tus manos,como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestrosestudiantes puedan aprender. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permitenhacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral.Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir deuna situación problemática, se desarrollan las seis capacidades matemáticas, en formasimultánea, configurando el desarrollo de la competencia.En este fascículo encontrarás:•	Algunas creencias que aún tenemos los docentes en nuestras prácticas educativas y que, con espíritu innovador, tenemos que corregir.•	Los estándares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término de los ciclos VI y VII de la Educación Básica Regular, en dos dominios: número y operaciones, cambio y relaciones.TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 77
•	Las competencias y capacidades cuyo desarrollo permitirá alcanzar esos estándares de aprendizaje, con mayor énfasis en el primer dominio. •	Orientaciones respecto de cómo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidades matemáticas vinculadas a los dominios de número y operaciones, cambio y relaciones. Esperamos que este fascículo contribuya en tu labor cotidiana. Por nuestra parte estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolo en las próximas ediciones, de manera que sea lo más pertinente y útil para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.8 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
I. ¿Qué entendemos por enseñar y	aprender en Matemática?Nuestras creencias, es decir, nuestra visión particular de las matemáticas, influyen sobre loque hacemos en clase y sobre cómo aprenden nuestros estudiantes.A continuación, presentamos dos situaciones de enseñanza que te permitirán reflexionar ymejorar tu práctica pedagógica.Creencia: Las ecuaciones se aprenden resolviendo muchos ejercicios ysolo después se emplean para resolver problemas. Roberto y Luisa son profesores de Matemática del mismo grado en una institución educativa. Veamos cuáles son sus experiencias de enseñanza de las ecuaciones cuadráticas: Profesor Roberto, quiero comentarle algo. Tengo serias dificultades con ¿Podría ser por su forma los estudiantes del tercer grado de enseñar? ¿Cómo está D, pues no tienen interés desarrollando la sesión? en aprender ecuaciones cuadráticas. Tal como he aprendido cuando estaba en el colegio: muestro la forma general de la ecuación cuadrática y resuelvo un ejercicio como ejemplo. Yo parto de una situación problemática Luego dejo cinco ejercicios para que se puede resolver con una ecuación resolver en clase en forma individual cuadrática. Durante la resolución del y al final les planteo un problema de problema, los estudiantes obtienen una aplicación. ¿Y usted cómo enseña? ecuación cuadrática y desconocen su solución. Justo hoy tengo clases con la otra sección; le invito a que observe mi sesión.TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 9
Jóvenes, hoy resolveremos un problema aplicando Los veo lo que han aprendido de ecuaciones. Escribiré el preocupados. ¿Qué enunciado del problema en la pizarra. Mientras dificultades tienen? Profe, este problema no lo tanto, formen grupos de tres, elijan con quiénes podremos resolver. Sale desean trabajar. una ecuación cuadrática El alcalde del distrito de San Pablo dona y usted enseñó solo El alcalde del distrito de San Pablo dona 10 800 m2 de gras natural para cubrir el 10 800 m de gras natural para cubrir el 2 campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m ecuaciones lineales. campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del campo deportivo para que dimensiones del campo deportivo para que pueda usarse todo el gras donado? pueda usarse todo el gras donado? Bien, muchacho, justo esperaba Salen dos soluciones, escuchar eso. Es cierto lo profe. Una es positiva y que dices, pero todos saben otra negativa: 90 y -120. factorizar polinomios. ¿La medida puede ser El alcalde del distrito de San Pablo dona un número negativo? 10 800 m2 de gras natural para cubrir el campo de fútbol, cuyo largo mide 30 m más que el ancho. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del campo deportivo para que pueda usarse todo el gras donado? No, profe, entonces la Ahora, ¿qué valores solución de la ecuación han obtenido? es 90; es decir, el ancho mediría 90 metros y el largo 120 metros. Entonces los 10 800 m2 de césped donado Profesor, yo tengo otra por el alcalde alcanzarán para cubrir el pregunta: ¿hay otras campo deportivo con las dimensiones que aplicaciones de las ecuaciones han calculado. de segundo grado? Profesor, tengo una pregunta: ¿es la única forma Jóvenes, hay otras formas de resolver las ecuaciones de segundo grado, como también existen muchas de resolver la ecuación aplicaciones, pero el tiempo nos ha ganado. La próxima cuadrática? clase desarrollaremos otras aplicaciones y otras formas de resolver estas ecuaciones.10 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
Lo felicito por su clase, profesor Roberto. Hasta Gracias, profesora Luisa, ahora pensaba que solo se formular un problema de podía enseñar a resolver aplicación de ecuaciones problemas de aplicación cuadráticas lleva tiempo. de ecuaciones cuadráticas Por ello, al igual que muchos después de haber enseñado docentes, elegimos lo más todos los algoritmos de sencillo y rápido: resolver su resolución. Además, ejercicios mecánicamente sin usted me ha demostrado que estos aporten a la solución que pueden aprender de un problema; pero así los estos algoritmos en el estudiantes pierden interés por contexto de la resolución de la matemática. problemas.¿Cuáles son las creencias que tienen los docentes respecto a la enseñanzade ecuaciones?El informe pedagógico de los resultados de la evaluación nacional de estudiantes de EducaciónSecundaria evidencia deficiencias en el desarrollo de aprendizajes en Matemática. Losestudiantes tienen serias dificultades para hacer tareas tan elementales como la aplicaciónde algoritmos algebraicos, como el cálculo del conjunto solución de ecuaciones (EN 2004-UMC). Solo el 2,9 % de los estudiantes evaluados está en capacidad de describir en términosmatemáticos una situación de la vida real; por ejemplo, en situaciones como las descritasanteriormente, se observa que para lograr desarrollar esta capacidad es necesario promoversituaciones de aprendizaje como Roberto.Estos resultados se explican en parte porque los profesores resuelven ejercicios algorítmicossin relacionarlos con el contexto de la vida diaria de sus estudiantes, tal como muestra laexperiencia de Luisa. Tales prácticas pedagógicas reducen el interés de los estudiantes y sonpocos los docentes que consiguen motivarlos mediante actividades más significativas comolas planteadas por Roberto.¿Por qué es importante contextualizar los contenidos matemáticos a partirde la resolución de problemas?La competencia no encierra en sí misma los conocimientos, la capacidad o la actitud paraaprender; requiere de la movilización de estos contenidos y de su contextualización (Perrenoud,1999). Necesitamos, pues, promover el uso de los conocimientos, más que memorizarlos oaplicarlos mecánicamente. Y esto se logra centrando la actividad de la clase en la resoluciónde problemas contextualizados. Además, los datos del contexto del problema que se quiereresolver demandan que se empleen operaciones mentales complejas.El desarrollo de conceptos matemáticos necesita partir de las situaciones relacionadas conla vida de los estudiantes, en los contextos donde se desenvuelven. En el relato anterior, elrecubrimiento del campo de fútbol con gras natural responde a los intereses de los estudiantes. “MATEMÁTICA ES MÁS QUE RESOLVER ECUACIONES”TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 11
Creencia: Se usan materiales concretos para enseñar matemática solo en primaria o inicial; en secundaria no es necesario. Enseñaré primero recordando la definición En esta unidad de la potenciación y enseñaremos la notación luego las propiedades científica y empezaré Muy bien, recuerden que tenemos a n =a × ... × a recordando la potenciación que pensar en actividades o tareas n con exponente negativo que permitan a los estudiantes 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 en Q. desarrollar sus capacidades para resolver problemas. Ese tema es fácil, voy a refrescar a mis Yo voy a iniciar estudiantes con la Los estudiantes al usar hojas A4 con la técnica siguiente operación: para la técnica del doblado de papel del doblado de 3(−2)4 + 5(4 − 9)4 = reconocen también la utilidad de la papel. “notación científica”. Muchachos, hoy les tengo un desafío. ¿Doblando una hoja Saquen una hoja y procedan a de papel A4 podemos llegar a doblar en partes iguales tantas veces la Luna? como sea necesario hasta alcanzar la distancia a la Luna. Me parece interesante trabajar con hojas. Pero creo difícil conseguirlo. Profesora, ¿cuánto mide el grosor de una hoja de papel A4? Claro, tendríamos Creo que podemos averiguarlo a que dividirlo entre partir de la medida del grosor de 100. A ver, ¿cuánto un paquete de 100 hojas de papel sale? tamaño A4.12 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
Profesora, sale 0,01 cm, que sería igual a 0,1 mm, y esto sería 10-4 metros. El segundo doblez Ah, entonces el primer generaría cuatro partes; el doblez generaría dos grosor sería 4•10-4 metros. partes: el grosor sería 2•10-4 metros. El tercer doblez generaría ocho partes, el grosor sería 8•10-4 metros. Entonces el cuarto doblez generaría un grosor de 16•10-4 metros. Si llamamos ‘n’ al número de veces que doblamos un papel, ¿cómo podemos ¿Cuál sería el grosor después de conocer el tamaño que obtenemos al 14 dobleces? y ¿después de 19 doblar ‘n’ veces un papel? dobleces? Mediante: Grosor = 2n•10-4 metros Profesora, la distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente 384 400 km, Tras 14 dobleces, el espesor equivalentes a sería 214 •10-4 = 16 384 •10-4 384 400 000 metros. = 1,6384 metros, algo más de Entonces ¿cuántos dobleces metro y medio. podemos hacer? Tras 19 dobleces, el grosor o la altura sería 219 •10-4 Necesitamos más de 43 dobleces, = 524 288 •10-4 = 52,4288 es decir, 243 •10-4, que es metros, algo más de equivalente a 380 000 kilómetros cincuenta y dos metros. o 380 000 000 metros.TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 13
¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes respecto a los materiales concretos en esta historieta? La situación muestra las creencias que tienen algunos docentes respecto a las palabras ‘material concreto’ y ‘problema’; se piensa que no pueden estar planteadas juntas en la actividad de aprendizaje. Cuando se alude al uso de ‘materiales concretos’ en las sesiones de matemática en secundaria, existe el prejuicio de considerarla una actividad infantil y carente de seriedad para los estudiantes, hasta a veces se considera una pérdida de tiempo. Si observamos a los estudiantes, reconocemos en ellos reacciones diferentes cuando se les propone un problema mediante el uso de ‘material concreto’. Para algunos estudiantes hablar de un problema matemático trae consigo una serie de creencias; por ejemplo, creen que los problemas tienen que resolverse únicamente mediante el uso del lápiz y papel. Por otro lado, hay docentes que no consideran el uso del ‘material concreto’ en secundaria, y más bien creen que es pertinente solo para construir nociones básicas en niveles anteriores. El empleo de materiales educativos concretos diversos en matemática no solo despierta la curiosidad del estudiante, sino que también provee de significados conceptuales para el aprendizaje. Pero son solo un medio para conseguir algo y no un fin en sí mismos, por lo que debemos darles el justo valor y el tiempo apropiado. Por ello, sugerimos propiciar el aprendizaje de las matemáticas mediante el uso de materiales concretos. ¿Por qué es importante usar material educativo concreto en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en el nivel secundario? Siempre que se piense en desarrollar las capacidades matemáticas para resolver problemas, el proceso óptimo de enseñanza y aprendizaje debería incluir la manipulación de distintos materiales, ya que solo mediante una enseñanza diversificada, rica en recursos y estrategias para abordar un mismo aprendizaje, conseguiremos que se construyan significados y atribuyan sentido al aprendizaje escolar. Después de este trabajo manipulativo con materiales concretos se puede pasar a utilizar, progresivamente, recursos más elaborados de ‘representación matemática’, por ejemplo: calculadoras gráficas, hojas de cálculo, instrumentos de medición e inclusive simuladores virtuales. Entre las ventajas que aportan los materiales didácticos concretos en la formación matemática de los estudiantes se pueden mencionar las siguientes: Proporcionan información y guían el aprendizaje, es decir, aportan una base concreta para el pensamiento conceptual y contribuyen a construir significados (Ogalde, C. y Bardavid, N., 2007). Desarrollan la continuidad de pensamiento, hacen que el aprendizaje sea más duradero y brindan una experiencia real que estimula la creatividad de los estudiantes. Despiertan el interés de los estudiantes, facilitan la evaluación de los aprendizajes mediante la técnica de observación sistemática y promueven la comunicación entre los estudiantes. “MATEMÁTICA ES MÁS QUE REALIZAR CÁLCULOS NUMÉRICOS”14 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
II.	¿Qué aprenden nuestros adolescentes?El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias, las cualesson definidas como un saber actuar en un contexto particular, en función de un objetivo ola solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de lasituación y a la finalidad de nuestra acción. Para tal fin, se selecciona o se ponen en acción lasdiversas capacidades y recursos del entorno.En este fascículo se trabajan dos competencias matemáticas relacionadas con: Resolución de situaciones problemáticas en número y operaciones Resolución de situaciones problemáticas en cambio y relacionesCompetencia, capacidades e indicadores en número y operacionesEn número y operaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los números y sus operaciones, empleando diversas estrategias de solución, justificando y valorando sus procedimientos y resultados.El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es: Interpreta el número irracional como un decimal infinito y sin periodo. Argumenta por qué los números racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y representa cantidades y magnitudes mediante la notación científica. Registra medidas en magnitudes de masa, tiempo y temperatura según distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cuando es apropiado realizar una medición estimada o una exacta. Resuelve y formula situaciones problemáticas de diversos contextos referidas a determinar tasa de interés, relacionar hasta tres magnitudes proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qué las usó. Relaciona diferentes fuentes de información. Interpreta las relaciones entre las distintas operaciones (Mapa de Progreso de Matemática: Número y operaciones).En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para darcuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjuntode indicadores.TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 15
16 NÚMERO Y OPERACIONES - VII CICLO CAPACIDADES INDICADORES GENERALES TERCER GRADO DE SECUNDARIA CUARTO GRADO DE SECUNDARIA QUINTO GRADO DE SECUNDARIA Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso Construcción del significado y uso los números racionales e irracionales en de números reales en situaciones de números reales en situaciones Matematiza situaciones problemáticas con cantidades, problemáticas con cantidades continuas, problemáticas con cantidades, situaciones grandes y pequeñas grandes y pequeñas continuas grandes y pequeñas que involucran •	Describe situaciones de medidas en diversos •	Propone situaciones de medida con •	Modela información de cantidades cantidades y contextos para expresar números racionales múltiplos y submúltiplos de unidades de continuas y discretas de su entorno, magnitudes en su notación decimal, científica e magnitudes para expresar números reales usando intervalos de números reales. en diversos intervalos. mediante notación científica. •	Plantea situaciones de productos y contextos. •	Describe las estrategias utilizadas con las •	Ordena datos en esquemas de organización cocientes de magnitudes que dan operaciones en intervalos para resolver que expresan números reales. otras magnitudes para expresar situaciones problemáticas. •	Utiliza las formas gráficas y simbólicas de números reales mediante notación •	Expresa los números racionales mediante intervalos para representar información. científica. notación científica. •	Expresa situaciones de medida de •	Explica procedimientos deductivos al Representa resolver situaciones comerciales de •	Ordena datos en esquemas de organización temperaturas, índices financieros, tallas, situaciones aumentos y descuentos sucesivos y que representan los números racionales y etc., que implican el uso de los números que involucran financieras de interés compuesto. sus operaciones con intervalos. reales mediante intervalos en su forma cantidades y •	Formula estrategias de estimación de gráfica y simbólica. •	Describe las estrategias de magnitudes estimación de medidas o cantidades en diversos medidas o cantidades para ordenar números •	Aplica variadas estrategias con números racionales en la recta real. reales, intervalos y proporciones de hasta para ordenar números reales en la contextos. recta real. •	Aplica variadas estrategias con números dos magnitudes e interés compuesto. racionales, intervalos y proporciones de •	Utiliza intervalos y expresiones de notación •	Formula estrategias de estimación de hasta dos magnitudes e interés compuesto. científica con números reales. medidas o cantidades para ordenar números racionales e irracionales en •	Usa los símbolos de =, >, <, ≤, ≥, corchetes, •	Explica la utilidad de la notación científica la recta real. Comunica unión, intersección, para comparar y y los intervalos. ordenar dos o más cantidades. •	Explica las condiciones de densidad y situaciones •	Explica las condiciones de densidad de completitud de los números reales en que involucran •	Utiliza construcciones con regla o los números reales expresados en la recta la recta numérica. cantidades y compás para ubicar números racionales e numérica. magnitudes irracionales en la recta real. •	Explica las distinciones entre los números en diversos •	Explica la existencia de los números racionales e irracionales. contextos. irracionales como decimales no periódicos a partir de situaciones de medidas de longitudes y áreas de algunas figuras.Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes geométricas planas
Construcción del significado y uso de las Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso operaciones con números racionales e las operaciones con números reales en de las operaciones con números irracionales en situaciones problemáticas situaciones problemáticas con cantidades reales en situaciones problemáticas con cantidades continuas, grandes y continuas, grandes y pequeñas con cantidades continuas, grandes y pequeñas •	Describe procedimientos deductivos al pequeñas •	Formula estrategias de estimación de resolver situaciones de interés compuesto •	Relaciona los números reales y sus Elabora estrategias medidas o cantidades para ordenar números hasta con tres magnitudes en procesos de operaciones como un medio para haciendo uso de irracionales en la recta real. situaciones comerciales, financieras y otras. resolver situaciones financieras y los números y •	Aplica operaciones con números, intervalos •	Describe situaciones científicas con comerciales sobre tasas, intereses y sus operaciones y proporciones con racionales para resolver cantidades muy grandes y muy pequeñas aumentos o descuentos sucesivos. para resolver situaciones financieras y comerciales. (por ejemplo, en la nanotecnología o las •	Relaciona las propiedades de problemas. •	Describe las estrategias utilizadas con las distancias estelares). las operaciones en los números operaciones y proporciones con racionales •	Usa las diferentes representaciones gráficas reales para resolver problemas de para resolver situaciones de porcentajes, o simbólicas para representar y operar con enunciado verbal y simbólico con interés y de ganancias y pérdidas. intervalos. números reales. •	Usa los porcentajes e interés simple en la •	Explica estrategias de resolución de •	Propone estrategias para resolver resolución problemas de textos discontinuos. problemas simulados y reales de varias operaciones de varias etapasTODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS etapas aplicando las propiedades de las respetando la jerarquía de Utiliza expresiones •	Justifica el uso de las operaciones con las operaciones, aplicando las racionales expresados en notaciones operaciones aditivas multiplicativas y simbólicas, potencias con números reales. propiedades de las operaciones con fraccionarias, decimales y científicas para números reales. técnicas y resolver situaciones de contextos variados. •	Elabora estrategias para encontrar números formales de los reales entre dos números dados. •	Formula variadas estrategias números y las •	Explica la imposibilidad de representar los heurísticas (ensayo y error, hacer irracionales en decimales periódicos puros, •	Formula estrategias de estimación de una lista sistemática, empezar por el operaciones en mixtos y no periódicos para extender los medidas para ordenar números reales en la final, establecer subtemas, suponer la resolución de números racionales a los irracionales. recta real. problemas. el problema resuelto) para resolver •	Elabora estrategias heurísticas (ensayo •	Aplica variadas estrategias heurísticas problemas con los números reales. error, hacer una lista sistemática, empezar (ensayo y error, hacer una lista sistemática, •	Usa los números reales y sus por el final, establecer subtemas, suponer empezar por el final, establecer subtemas, operaciones para resolver situaciones el problema resuelto) . suponer el problema resuelto) para financieras y comerciales sobre tasas •	Usa los símbolos de intervalos, como resolver situaciones laborales, financieras, e interés compuesto, aumentos o corchetes, desigualdades o gráficas sobre la etc, sobre proporciones de hasta tres descuentos simples y sucesivos. Argumenta el uso recta, para resolver operaciones de unión, magnitudes e interés compuesto. •	Demuestra conjeturas planteadas a de los números y intersección, diferencia y complemento de •	Aplica operaciones y proporciones con partir de la resolución del problema sus operaciones en conjuntos de números reales. números reales para resolver situaciones para situaciones financieras y la resolución de •	Aplica las propiedades de las operaciones financieras, comerciales y otras sobre comerciales sobre tasas e interés problemas. aditivas, multiplicativas y potencias con porcentajes e interés compuesto. compuesto, aumentos o descuentos racionales e irracionales. •	Usa los símbolos de la representación de simples y sucesivos. •	Explica estrategias de resolución de intervalos sobre la recta para resolver problemas. operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento de números •	Utiliza la potenciación y la radicación como reales. operaciones inversas para calcular las raíces de números naturales que expresan números irracionales. 17
Competencia, capacidades e indicadores en cambio y relaciones En cambio y relaciones se desarrolla la siguiente competencia: Resolver situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican la construcción del significado y el uso de los patrones, igualdades, desigualdades, relaciones y funciones, utilizando diversas estrategias de solución y justificando sus procedimientos y resultados. En la figura adjunta se esquematiza la competencia matemática en cambio y relaciones. En ella confluyen las seis capacidades matemáticas generales que se movilizan MATEMÁTICA de manera sistémica con los conocimientos de patrones, ecuaciones e inecuaciones, relaciones y funciones para resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana. Adaptación: Modelo de competencia matemática de Mogens Niss, 2011. El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es: Generaliza y verifica la regla de formación de progresiones geométricas, sucesiones crecientes y decrecientes con números racionales e irracionales, las utiliza para representar el cambio en los términos de la sucesión. Representa las condiciones planteadas en una situación mediante ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones lineales con una variable; usa identidades algebraicas y técnicas de simplificación, comprueba equivalencias y argumenta los procedimientos seguidos. Modela situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas, las describe y representa con expresiones algebraicas, en tablas o en el plano cartesiano. Conjetura cuándo una relación entre dos magnitudes puede tener un comportamiento lineal o cuadrático; formula, comprueba y argumenta sus conclusiones (Mapa de Progreso de Matemática: Cambio y relaciones). En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para dar cuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjunto de indicadores.18 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
CAMBIO Y RELACIONES - VII CICLO CAPACIDADES INDICADORES GENERALES TERCERO GRADO DE SECUNDARIA CUARTO GRADO DE SECUNDARIA QUINTO GRADO DE SECUNDARIA Construcción del significado y uso de sucesiones Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso de crecientes y decrecientes en situaciones sucesiones crecientes y decrecientes en sucesiones crecientes y decrecientes en problemáticas de regularidad situaciones problemáticas de regularidad situaciones problemáticas de regularidad Matematiza •	Elabora modelos usando la progresión geométrica •	Elabora modelos usando la progresión •	Plantea modelos de una sucesión creciente o situaciones a partir de regularidades reales o simuladas. geométrica a partir de regularidades reales decreciente a partir de regularidades reales o que involucran •	Ordena datos en esquemas para organizar o simuladas. simuladas. regularidades, regularidades mediante progresiones •	Ordena datos en esquemas para organizar •	Ordena datos en esquemas para organizar equivalencias geométricas. regularidades mediante progresiones regularidades mediante sucesiones crecientes y y cambios •	Manifiesta acuerdos consensuados para resolución geométricas. decrecientes. en diversos de problemas que implican progresiones •	Interviene y opina presentando ejemplos y •	Interviene y opina presentando ejemplos y contextos. geométricas con números racionales. contraejemplos sobre los resultados de un contraejemplos sobre los resultados de un •	Utiliza expresiones algebraicas para determinar modelo de progresión geométrica. modelo de sucesión creciente y decreciente.TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS la suma de los términos de la progresión •	Elabora estrategias heurísticas para •	Elabora estrategias heurísticas para resolver geométrica. resolver problemas que involucran problemas que involucran sucesiones •	Elabora estrategias heurísticas para resolver progresiones geométricas. crecientes y decrecientes. problemas que involucran progresiones •	Utiliza expresiones algebraicas para •	Utiliza expresiones algebraicas para generalizar geométricas. generalizar progresiones geométricas. sucesiones crecientes y decrecientes. Representa •	Verifica la regla de formación y la suma de •	Verifica la regla de formación y la suma de •	Justifica procedimientos y posibles resultados situaciones de los términos de progresiones geométricas con los términos de progresiones geométricas a partir de una regla que genera sucesiones regularidades, números racionales. con números reales. crecientes y decrecientes con números reales. equivalencias Construcción del significado y uso de ecuaciones Construcción del significado y uso de Construcción del significado y uso de sistema y cambios cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales con inecuaciones cuadráticas y sistema de de inecuaciones lineales con dos variables en en diversos dos variables en situaciones problemáticas de ecuaciones lineales con tres variables en situaciones problemáticas y de optimización contextos. equivalencia situaciones problemáticas de equivalencia •	Diseña modelos de situaciones reales o •	Elabora modelos de situaciones reales o •	Plantea modelos de situaciones reales simuladas mediante sistemas de inecuaciones simuladas mediante ecuaciones cuadráticas, o simuladas mediante inecuaciones lineales de dos variables con coeficientes sistemas de ecuaciones lineales con dos cuadráticas con coeficientes racionales. reales. variables. •	Modela situaciones de contextos reales •	Elabora modelos de situaciones que requieren •	Ordena datos en esquemas para establecer o simulados mediante desigualdades de optimización mediante el uso de la equivalencias mediante ecuaciones cuadráticas cuadráticas con coeficientes reales. programación lineal. Comunica y sistemas de ecuaciones lineales con dos •	Ordena datos en esquemas para establecer •	Ordena datos en esquemas para establecer situaciones de variables. equivalencias mediante inecuaciones equivalencias mediante sistemas de regularidades, •	Ubica en el plano cartesiano el conjunto solución cuadráticas. inecuaciones lineales. equivalencias de ecuaciones cuadráticas. •	Ubica en la recta real el conjunto solución •	Grafica en el plano cartesiano las regiones y cambios •	Interviene y opina respecto al proceso de de inecuaciones cuadráticas. que expresan todos los posibles valores que resolución de problemas que implican usar •	Describe en forma oral o escrita las pueden asumir las variables de un sistema de en diversos ecuaciones cuadráticas y sistema de ecuaciones estrategias empleadas en la resolución de inecuaciones. contextos. lineales con dos variables. problemas que involucran inecuaciones •	Resume intervenciones respecto al proceso •	Elabora estrategias heurísticas para resolver cuadráticas y sistema de ecuaciones de resolución de problemas que implican usar problemas que involucran ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. métodos de optimización lineal. cuadráticas y sistema de ecuaciones lineales con dos variables. 19
20 •	Emplea métodos de resolución (reducción, •	Elabora estrategias heurísticas para resolver •	Elabora estrategias heurísticas para sustitución, gráfico, igualación) para resolver problemas que involucran inecuaciones resolver problemas que involucran problemas que involucran sistema de ecuaciones cuadráticas y sistema de ecuaciones lineales con sistemas de inecuaciones lineales con lineales con dos variables. tres variables. dos variables. •	Utiliza operaciones aditivas y multiplicativas de •	Emplea métodos de resolución (reducción, •	Emplea métodos de resolución para Elabora estrategias expresiones algebraicas para resolver situaciones sustitución, gráfico, igualación) para resolver resolver problemas que involucran haciendo uso problemáticas que implican sistemas de problemas que involucran sistema de ecuaciones sistemas de inecuaciones lineales con ecuaciones lineales con dos variables. lineales con tres variables. dos variables. de patrones, •	Utiliza el sistema de coordenadas cartesianas •	Usa el método de intervalos y de puntos críticos •	Utiliza el sistema de coordenadas relaciones para resolver problemas que implican sistemas de para encontrar las soluciones de inecuaciones cartesianas para resolver problemas y funciones cuadráticas. que implican sistema de inecuaciones ecuaciones lineales de dos variables. para resolver •	Utiliza gráficos de rectas en el sistema de lineales de tres variables. •	Utiliza factorización, productos y cocientes problemas. notables para simplificar expresiones algebraicas coordenadas cartesianas para resolver problemas •	Justifica mediante procedimientos y comprobar equivalencias. que implican sistema de ecuaciones lineales de gráficos o algebraicos el uso de •	Justifica mediante procedimientos algebraicos o tres variables. métodos de optimización lineal de dos gráficos que la ecuación cuadrática de la forma •	Justifica mediante procedimientos gráficos o variables para resolver problemas. ax² + bx + c = 0, o sus expresiones equivalentes, algebraicos que la inecuación cuadrática de Construcción del significado y uso de modela una situación problemática dada. la forma ax² + bx + c < 0, o sus expresiones función exponencial en situaciones equivalentes, modela la situación problemática problemáticas de cambio Utiliza expresiones Construcción del significado y uso de funciones dada. cuadráticas en situaciones problemáticas de •	Diseña situaciones de cambio reales simbólicas, Construcción del significado y uso de funciones o simuladas mediante funciones cambio técnicas y cuadráticas en situaciones problemáticas de exponenciales. •	Elabora modelos a partir de situaciones de cambio formales de cambio usando las funciones cuadráticas con •	Grafica en el plano cartesiano diversos patrones, coeficientes naturales y enteros. •	Diseña modelos de situaciones de cambio valores a partir de la organización relaciones y mediante funciones cuadráticas con coeficientes de datos para resolver problemas •	Ordena datos en esquemas para organizar naturales y enteros. funciones en la situaciones de cambio mediante funciones de cambio que impliquen funciones resolución de cuadráticas. •	Ordena datos en esquemas para organizar exponenciales. situaciones de cambio mediante funciones •	Ordena datos en esquemas para problemas. •	Grafica en el plano cartesiano diversos valores a cuadráticas. partir de la organización de datos para resolver organizar situaciones de cambio problemas de cambio que impliquen funciones •	Describe procedimientos deductivos en la mediante funciones exponenciales. cuadráticas. resolución de problemas que implican usar •	Resume intervenciones respecto al funciones cuadráticas proceso de resolución de problemas •	Interviene y opina respecto al proceso de resolución de problemas que implican usar •	Grafica en el plano cartesiano diversos valores a que involucran modelos exponenciales. funciones cuadráticas. partir de la organización de datos para resolver •	Elabora estrategias heurísticas para Argumenta el problemas de cambio que impliquen funciones resolver problemas que involucran •	Elabora estrategias heurísticas para resolver cuadráticas. uso de patrones, problemas que involucran funciones cuadráticas. funciones exponenciales. relaciones •	Elabora estrategias heurísticas para resolver •	Utiliza la gráfica de la función •	Utiliza la gráfica de la función cuadrática para problemas que involucran funciones cuadráticas y funciones determinar los valores máximos y mínimos y los exponencial en el plano cartesiano puntos de intersección con los ejes coordenados •	Utiliza la gráfica de la función cuadrática para para determinar las relaciones entre para resolver para determinar la solución de la ecuación determinar los valores máximos y mínimos y los valores de variables de situaciones problemas. puntos de intersección con los ejes coordenados modeladas por esta función. cuadrática implicada en el problema. para determinar la solución de la ecuación •	Justifica mediante procedimientos •	Justifica mediante procedimientos gráficos o cuadrática implicada en el problema. algebraicos que la función cuadrática de la gráficos o algebraicos que la función forma f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones •	Justifica mediante procedimientos gráficos o exponencial de la forma y = ax, o sus equivalentes, modela la situación problemática algebraicos que la función cuadrática de la forma expresiones equivalentes, modelan laMovilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes dada. f(x) = ax² + bx + c, o sus expresiones equivalentes, situación problemática dada. modela la situación problemática dada.
III.	¿Cómo podemos facilitar estos	aprendizajes?En esta sección desarrollaremos algunas actividades que nos Sesión laboratorioayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para que matemáticonuestros estudiantes logren sus aprendizajes.3.1	Desarrollando escenarios de aprendizajeLa competencia matemática de resolución de problemas sedesarrolla mediante la movilización sistémica de capacidades, Proyecto Sesión tallerconocimientos y actitudes. Esta movilización es apropiada solo matemático matemáticocuando está contextualizada. Por ello, se han seleccionado trescontextos o escenarios en los que comúnmente se organizan ydesarrollan las actividades de aprendizaje. A estos escenarioslos llamaremos: Sesión laboratorio matemático, Sesión taller matemático y Proyectomatemático.Además de ser complementarios entre sí, una característica fundamental de estos escenarioses que deben recrear situaciones en las que la competencia matemática tenga sentido.A continuación, describimos cada uno de estos escenarios de aprendizaje:a)	Sesión laboratorio matemáticoEscenario donde el estudiante, a partir de actividades vivenciales, lúdicas y de experimentación,llega a construir conceptos y propiedades matemáticas. En este escenario el estudiantebusca regularidades para generalizar el conocimiento matemático, profundiza o moviliza losconocimientos aprendidos o construye nuevos aprendizajes para resolver problemas.b)	Sesión taller matemáticoEscenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en unperiodo de sesiones de aprendizaje. El estudiante despliega diversos recursos (técnicos,procedimentales y cognitivos) con la intención de resolver situaciones problemáticas usandodiversas estrategias de solución.c)	Proyecto matemáticoEscenario que tiene por finalidad contribuir con la solución de un problema social, económico,productivo o científico de interés de los estudiantes, de la institución educativa o de sucomunidad. Para esto, requieren usar sus capacidades y conocimientos matemáticos. Elproducto es la contribución de la clase con la solución del problema.TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 21
3.2	Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII ciclo de la EBR La competencia de resolución de desarrollo de los conocimientos en torno a número y problemas promueve el desarrollo operaciones de las capacidades y conocimientos VI VII CICLOS Y matemáticos de número y sus GRADOS CICLO CICLO CONSTRUCCIÓN operaciones. Los estudiantes DEL SIGNIFICADO Y 2.º 3.º 4.º 5.º USO DE CONOCIMIENTOS adquieren y construyen estos conocimientos en forma progresiva. Porcentajes como la expresión de parte-todo En primaria y en el primer grado de secundaria se enfatiza en los Número racional como expresión fraccionaria, decimal números naturales. En secundaria se y porcentual para expresar cantidades continuas y discretas inicia con el estudio de los números enteros y racionales, y se culmina con Propiedades de los números racionales la construcción de los números reales. Por ello, en los espacios pedagógicos Potenciación con base fraccionaria y exponente entero se establecen conexiones entre estos conocimientos. Potenciación y radicación como operaciones inversas Hoy estos conocimientos adquieren Operaciones con los números importancia debido a la gran racionales cantidad de información que Representación, comparación y orden en los números racionales recibimos en tablas, expresiones a partir de cantidades continuas porcentuales, infografías con Irracionales en situaciones datos numéricos, etc. Por ello, es geométricas significativo usar adecuadamente Irracionales en la recta numérica estos conocimientos matemáticos (recta real) en diversos contextos. Por ejemplo, Notación científica en situaciones usar la notación científica de los de medición de longitud, masa y números se realiza en mediciones de tiempo magnitudes grandes, como la menor Notación científica en situaciones distancia entre la Tierra y Marte de medición de superficie y volumen (102 × 109 m) o magnitudes muy pequeñas, como las que se realizan Notación científica en situaciones que involucran en la nanotecnología cuando estudia magnitudes físicas y químicas partículas tan pequeñas como los Interés simple en contextos átomos y moléculas (100 × 10-9 m). financieros Interés simple y compuesto en De la misma manera los conoci- contextos financieros mientos de patrones, ecuaciones Densidad de los números reales y funciones están mutuamente Operaciones con números reales relacionados y son adquiridos en forma progresiva desde la infancia, Relaciones entre los sistemas donde se desarrollan las nociones numéricos básicas, y a través de los diferentes Completitud de los números reales niveles de la Educación Básica.22 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
En el último grado de primaria y en desarrollo de los conocimientos en torno a CAMBIO Ylos primeros años de secundaria, RELACIONESse enfatiza en el estudio de los VI VII CICLOS Y CICLO CICLOpatrones, y al finalizar la secundaria, CONSTRUCCIÓN GRADOSse estudian sucesiones en los DEL SIGNIFICADO Y 2.º 3.º 4.º 5.º USO DE CONOCIMIENTOSnúmeros reales. Las ecuaciones Patrones geométricos dese estudian prioritariamente en los traslación, rotación y reflexióngrados intermedios, mientras que las La regla de formación defunciones se formalizan al finalizar el progresiones aritméticas y de lasexto ciclo y se profundizan en los suma de los términos a partir de regularidadesúltimos grados. La regla de formación de progresiones geométricas y de laTodos estos conocimientos se suma de los términos a partir deaprenden usándose en la solución de regularidadessituaciones problemáticas cercanas Modelos de una progresióna la vida de los estudiantes, ya sean geométricareales o simuladas. Sucesiones crecientes y decrecientesA continuación, daremos una Ecuaciones lineales en situacionesexplicación de cómo progresan de equivalenciaestos conocimientos en la Educación Inecuaciones lineales enBásica Regular con la intención de situaciones de desigualdadmostrar el progreso que tienen los Sistemas de ecuaciones linealesestudiantes en el desarrollo de su con dos variables en situacionescompetencia matemática. de igualdad Ecuaciones cuadráticas enUno de los temas centrales del situaciones de igualdad y determinación de máximos yestudio de la matemática se refiere mínimosa los patrones. Los estudiantes Sistemas de ecuaciones linealesnecesitan reconocer, describir y con tres variables en situacionesgeneralizar patrones. También de igualdadrequieren desarrollar capacidades Inecuaciones cuadráticas enpara construir modelos matemáticos situaciones de desigualdadque simulen el comportamiento de Sistema de inecuaciones con doslos fenómenos del mundo real que variables (programación lineal) en situaciones de optimizaciónmuestren patrones observables.En los primeros años de su vida, Situaciones de proporcionalidad directa e inversalos niños identifican patrones enmovimientos, sonidos y formas. Modelación de situaciones de cambio mediante la funciónEn sus primeras experiencias con lineal y lineal afínsu entorno, identifican patrones Modelación de situaciones deen objetos concretos y situaciones cambio mediante funcionesmediante la observación y la cuadráticasmanipulación. Luego, al finalizar Modelación de situaciones delos estudios de la primaria y en la cambio mediante funciones exponencialessecundaria, usan la abstracción yTODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 23
comprenden regularidades en los conjuntos numéricos. Al iniciar sus estudios escolares, los estudiantes emplean tablas, gráficos y descripciones verbales para representar patrones. Los estudiantes comprueban cómo cambian los patrones en las actividades vivenciales y en las tareas propuestas. Esto facilita la comprensión del concepto de variable como una cantidad que cambia y que asume diferentes valores. Esta experiencia continúa hasta la educación secundaria; sin embargo, en este nivel los estudiantes llegan a generalizar y usar expresiones algebraicas de forma fluida. Las igualdades y desigualdades es otro de los aprendizajes más importantes que necesitan construir los estudiantes en la Educación Básica. Los estudiantes buscan diferentes maneras de usar los números para expresar cantidades iguales o equivalentes y las relaciones entre estas. Las variables se introducen como cantidades desconocidas en las ecuaciones y se desarrollan técnicas para resolverlas. Desde los inicios de la escolaridad, los niños construyen nociones de equivalencia de expresiones aditivas. Al finalizar la educación primaria son capaces de representar las condiciones de una situación problemática mediante ecuaciones lineales. En los primeros grados de secundaria experimentan situaciones reales o simuladas para profundizar la comprensión de las igualdades y desigualdades. En los últimos grados formulan modelos mediante ecuaciones e inecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales para resolver situaciones problemáticas. En cuanto a las relaciones y funciones, los estudiantes deben comprender, establecer y usar relaciones entre: a) cantidades y magnitudes, b) las formas de representación de estas relaciones y c) el análisis de las situaciones de cambio. Estos tres aprendizajes están relacionados con los aprendizajes descritos anteriormente, los cuales les sirven de fundamento. Por ejemplo, tener experiencias sistemáticas con patrones ayuda a entender la idea de función. Y para resolver situaciones que implican funciones se necesita del manejo de ecuaciones para comprender las relaciones y hallar la solución. Cuando los estudiantes entienden que pueden representar situaciones usando la matemática –ya sea en la educación inicial, primaria o los primeros grados de secundaria–, adquieren nociones elementales de la modelización matemática que llegan a formalizarse hacia los últimos grados de la secundaria.24 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
3.3	Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestosA continuación, presentamos un modelo para la organización de una unidad de aprendizajey una sesión de aprendizaje, tomando como recurso la matriz de indicadores, correspondien-te al cuarto grado de Secundaria. Unidad de aprendizaje Capacidades Escenarios y Indicadores Tiempo generales actividades Matematiza Diseña modelos de situaciones Proyecto matemático: Sesión de 2 situaciones de cambio usando funciones Funciones cuadráticas que semanas de cambio cuadráticas. abaratan costos de viaje en diversos de promoción. contextos. Ordena datos en esquemas para resolver problemas Constituir ocho equipos Representa de situaciones de cambio de trabajo de cinco situaciones que implican funciones estudiantes para de cambio cuadráticas. desarrollar las tareas por en diversos comisiones. contextos. Interviene y opina respecto al proceso de resolución de Realizar el estudio Comunica problemas que implican usar de costos de pasajes situaciones funciones cuadráticas. para transportar a los de cambio estudiantes a la ciudad en diversos Elabora estrategias heurísticas de Cusco, ida y vuelta. contextos. para resolver problemas que involucran funciones Evaluar todas las ofertas Elabora cuadráticas. propuestas por las diversas empresas de transporte estrategias Establece relaciones de con la finalidad de para resolver dependencia entre magnitudes abaratar costos. problemas. para resolver problemas que involucran funciones Si amerita, proponer a Utiliza cuadráticas. la junta directiva de la expresiones otra promoción incluirlos simbólicas y Justifica mediante ejemplos en la excursión. formales de que la función cuadrática de y = ax 2 + bx + c la forma , o En caso de aceptar la relaciones oferta de la empresa y funciones sus expresiones equivalentes, modela una situación de transportes Cruz para resolver Azul, calcular el problemas. problemática. número de estudiantes Argumenta Justifica mediante adicionales que viajen el uso de procedimientos gráficos que la con la promoción, relaciones función cuadrática de la forma de manera que no se y funciones y = ax 2 + bx + c , o sus supere el monto máximo para resolver expresiones equivalentes, asignado para solventar problemas modela la situación el costo de pasajes de diversos problemática dada. con el presupuesto a contextos. recaudarse. Sesión taller matemático Funciones cuadráticas Sesión de que previenen el 90 minutos envenenamiento. Sesión laboratorio Dos matemático sesiones de Haciendo cohetes 90 minutos interespaciales.TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 25

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