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Timestamp: 2017-05-25 15:07:45+00:00

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Asesoría a la Escuela para la Implementación Curricular en Lenguaje y Matemática, LEM Nivel de Educación Básica División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile Autores: Universidad de Santiago Lorena Espinoza S. Enrique González L. Joaquim Barbé F. Ministerio de Educación: Dinko Mitrovich G. Colaboradores: María Teresa García Asesores internacionales: Josep Gascón. Universidad Autónoma de Barcelona, España. Guy Brousseau. Profesor Emérito de la Universidad de Bordeaux, Francia. Revisión y Corrección Didáctica Ministerio de Educación 2007: Patricia Ponce Juan Vergara Carolina Brieba Revisión y Corrección de Estilo Jose na Muñoz V. Coordinación Editorial Claudio Muñoz P. Ilustraciones y Diseño: Miguel Angel Marfán Elba Peña Impresión: xxxxx. Marzo 2006 Registro de Propiedad Intelectual Nº 154.024 Teléfono: 3904754 – Fax 3810009
Matemática Tercer Año Básico
Anticipando el resultado de un reparto equitativo: de la multiplicación a la división
I Presentación II Esquema III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica IV Planes de clases V Prueba y Pauta VI Espacio para la reflexión personal VII Glosario VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 6 12 14 29 35 38 39 41
• Asocian la operación de multiplicación a una relación de proporcionalidad y la operación de división a un reparto equitativo, en situaciones simples que permiten determinar información no conocida a partir de información disponible. (Aprendizaje esperado 7, primer semestre) • Manejan el cálculo mental de productos de un número del 1 al 10 por 2, 5 y 10 las divisiones respectivas y las reglas asociadas al producto de un número por una potencia de 10. (Aprendizaje esperado 8, primer semestre) • En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, profundizan aspectos relacionados con la comprensión del problema, identificación de preguntas a responder y la relación entre la información disponible (datos) y la información que se desea conocer (incógnita). (Aprendizaje esperado 11, primer semestre)
• Asocian la operación de multiplicación a una relación de proporcionalidad en la que hay iteración de una medida y la operación de división a una relación de proporcionalidad en la que hay un reparto equitativo, en situaciones simples que permiten determinar información no conocida a partir de información disponible y reconocen la operación de división como la inversa de la multiplicación. • Manejan el cálculo mental de productos de un número de una cifra por 2, 5 y 10, y las divisiones respectivas. • En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, profundizan aspectos relacionados con la comprensión del problema, identificación de preguntas a responder y la relación entre la información disponible (datos) y la información que se desea conocer (incógnita).
• Dicen la secuencia ordenada de números de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10. • Calculan sumas de números de una y de dos cifras. • Multiplican números de hasta dos cifras por números de una cifra, por medio de sumas reiteradas. • Multiplican números de hasta dos cifras por 10, por medio de sumas reiteradas.
sta Unidad gira en torno a la resolución de problemas de reparto equitativo. Estos problemas se resuelven con una división. El estudio de esta nueva operación se realiza a partir de los conocimientos que niñas y niños ya tienen sobre la multiplicación. Avanzan en la apropiación de una estrategia de resolución de problemas multiplicativos identificando qué operación hay que realizar para resolver un problema de este campo; aprenden procedimientos para dividir, explican sus procedimientos y elaboran problemas. A partir de la relación inversa que existe entre ambas operaciones, los niños construyen una noción amplia y significativa de la división y profundizan la de multiplicación.
Las tareas matemáticas que los niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta Unidad son:  Resuelven problemas de proporcionalidad directa en que la multiplicación es la operación que permite calcular la solución.  Resuelven problemas de reparto equitativo.  Calculan multiplicaciones de un número de hasta dos cifras por 2, 5 y 10.  Calculan divisiones, con y sin resto, de un número de dos cifras por un número de una cifra, de tal forma que el cuociente sea 2, 5 ó 10.  Explican procedimientos para calcular multiplicaciones y divisiones.  Establecen semejanzas y diferencias entre problemas que se resuelven con una multiplicación y con una división.  Elaboran problemas.
2. Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las tareas matemáticas que los niños realizan son:  Tipo de números que aparecen en los problemas: • • En los que se multiplica: un número de una cifra multiplicado por 2, 5 ó 10. En los que se divide: un número de dos cifras entre un número de una cifra, de tal forma que el cuociente sea 2, 5 ó 10.
 Forma en que se realiza el reparto: • Se reparten en una sola vez los objetos que le corresponden a cada parte del reparto en varias rondas, hasta agotar la totalidad de objetos que se deben repartir. Disponibilidad de los objetos que se reparten: disponibles y no disponibles (en el reparto de fichas en vasos, no se puede ver lo que va quedando en cada vaso, porque están tapados).
 Relación numérica entre la cantidad de objetos que se reparten y la cantidad de partes.
Los procedimientos que los niños construyen y se apropian para realizar las tareas son:  En la multiplicación: • • • Suman repetidas veces un mismo sumando: 4 • 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20. Usan las tablas de multiplicar de 2, 5 y 10. Evocan las combinaciones multiplicativas básicas de 2, 5 y 10.
 En la división: • Buscan la cantidad de objetos que, multiplicada por la cantidad de partes en que hay que realizar el reparto, da como resultado, o se aproxima lo más cerca posible, al total de objetos que deben repartir. Por ejemplo, 20 : 5 = 4, ya que 4 • 5 = 20. En este caso la división es exacta, no hay resto. En caso contrario, se anota el resultado que más se acerca sin pasarse y el resto de la división. Por ejemplo, 22 : 5 = 4 2⁄⁄ En este caso la igualdad se anota 22 = 4 • 5 + 2
 Es posible determinar, sin contar, la cantidad de objetos que se reparten en total, cuando a cada parte del reparto se le da la misma cantidad de objetos.  La multiplicación es la operación matemática que permite anticipar la cantidad total de objetos que se repartirán equitativamente, a partir de la cantidad de objetos que le corresponden a cada una de las partes, y de la cantidad de partes.  Un procedimiento útil para calcular una multiplicación consiste en efectuar una suma reiterada. También resulta conveniente utilizar las combinaciones multiplicativas básicas.  Para calcular la cantidad de objetos que le toca a cada parte del reparto equitativo, la técnica de ir colocando uno a uno los objetos en cada parte es muy lenta, mientras que colocarlos de a varios permite resolver el problema de forma más rápida. Pero la primera técnica es más segura que la segunda.  Es posible anticipar la cantidad de objetos que le tocará a cada parte que participa en un reparto equitativo, antes de realizarlo.  La división es la operación matemática que permite anticipar la cantidad de objetos que le tocará a cada participante en un reparto equitativo de objetos.  Dividir consiste en obtener el número (cuociente) por el cual hay que multiplicar al “divisor” (cantidad de participantes del reparto) para obtener el “dividendo” (cantidad de objetos que se deben repartir). Por ejemplo, para calcular 20 : 4 = , que se lee “20 dividido entre 4 es igual a...”, se calcula 4 • = 20.  Por ello, la división y la multiplicación son operaciones inversas entre sí.  Para comprobar el resultado de una división, se realiza la multiplicación del divisor por el cuociente y se verifica si coincide con el dividendo.  En los problemas de reparto equitativo, no siempre es posible repartir todos los objetos, dado que la cantidad de objetos a repartir no es múltiplo de la cantidad de partes en que hay que realizar el reparto. En estos casos se trata de repartir todos los objetos que sea posible. La cantidad de objetos que queda sin repartir se asocia con el resto de la división. Dicha cantidad debe ser menor que el divisor, pues de lo contrario se podría seguir repartiendo.
 La multiplicación y la división se parecen en que, para realizar los cálculos, en ambos casos hay que hacer multiplicaciones. Se diferencian en que, cuando multiplicamos dos números, sumamos repetidas veces un mismo número, y el resultado es mayor que cualquiera de los dos sumandos. En cambio, cuando dividimos un número entre otro (dividendo entre divisor), restamos reiteradas veces el divisor al dividendo, o bien restamos un múltiplo del divisor, y el resultado es menor que el número que se está dividiendo.
5. descripción del proceso por clases
El proceso parte en la primera clase proponiendo a niñas y niños actividades que involucran problemas de proporcionalidad directa que se resuelven con una multiplicación utilizando el lenguaje típico de situaciones de reparto equitativo como, por ejemplo, “Diego coloca 5 fichas en cada uno de 4 vasos, ¿cuántas fichas reparte en total?” Interesa que los niños se familiaricen con este tipo de actividad puesto que, al variar los datos y la pregunta del problema, permitirá que en las clases posteriores surja la división. De esta forma, facilita la comprensión de la división como operación inversa a la multiplicación. Luego, los niños trabajan en una ficha en que aparecen diversos problemas de proporcionalidad directa que se resuelven con una multiplicación, explican sus procedimientos y elaboran problemas a partir de información dada. En la segunda clase el proceso avanza hacia la división, proponiendo una nueva actividad que está en el mismo contexto de la clase anterior. Esta actividad es una situación de reparto equitativo y, por tanto, se resuelve con una división. Por ejemplo, “Diego repartió 20 fichas en estos 4 vasos, poniendo en todos ellos igual cantidad de fichas. ¿Cuántas fichas puso en cada vaso?” Las condiciones para realizar el problema en esta clase permiten que sea resuelto haciendo físicamente el reparto y luego contando los objetos que le corresponden a cada vaso, es decir, sin dividir. Por ello, probablemente la división no aparecerá aquí como un procedimiento de resolución. Los niños pueden usar sus conocimientos de suma, resta y multiplicación para producir un resultado. La multiplicación es un método de comprobación de la respuesta. Posteriormente, trabajan en una ficha resolviendo problemas del mismo tipo. En la tercera clase se sigue trabajando con problemas de reparto equitativo. Sin embargo, las nuevas condiciones del problema hacen que el procedimiento de la clase anterior fracase; primero, porque al aumentar el ámbito, la técnica de conteo se hace ineficaz; luego, porque los vasos están tapados y no se puede saber cuántos quedan en cada vaso después de hacer el reparto y, finalmente, porque hay que realizar el reparto en una sola vez, es decir, ya no se puede ir ensayando cantidades hasta agotar las fichas. Aparece aquí la necesidad de recurrir a la división. Luego que el procedimiento de división surge como respuesta a la nueva situación, se propone un trabajo de cálculo de divisiones en situaciones problemáticas similares.
En la cuarta clase los niños profundizan su conocimiento elaborando problemas que se resuelven con una multiplicación o una división, estableciendo semejanzas y diferencias entre estos tipos de problemas y explicando sus procedimientos para calcular multiplicaciones y divisiones. Posteriormente, se les plantea el mismo tipo de problema de reparto equitativo de fichas en cierta cantidad de vasos. Las condiciones del problema hacen que el reparto equitativo tenga ciertas dificultades, ya que al repartir equitativamente los objetos, queda una cantidad de fichas que no se puede repartir, esto es, el resto. Se propone que esta situación se resuelva haciendo el reparto equitativo con la cantidad de objetos que lo permitan, determinando la cantidad de objetos que quedan sin repartir. Finalmente, se proponen diversos problemas que se resuelven con divisiones y multiplicaciones. El proceso se completa en la quinta clase trabajando y profundizando los aspectos sobre la multiplicación y división estudiados en las clases anteriores, sistematizando y articulando los nuevos conocimientos adquiridos con los ya conocidos. En la sexta clase se aplica una prueba de la Unidad que permite verificar los aprendizajes matemáticos logrados por cada niño y los que habrá que retomar.
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella. El profesor debe asegurarse de que todos los niños: Dicen la secuencia ordenada de números de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10, en forma ascendente y descendente. Este conocimiento es necesario para que más adelante los niños puedan evocar con rapidez y precisión las combinaciones multiplicativas básicas por 2, 5 y 10. Es conveniente comenzar por proponer a los niños actividades en las que tengan que decir estas tres secuencias a partir de 2, 5 y 10, respectivamente. Después, proponer una tarea más compleja que consista en decirlas a partir de cualquier número. Calculan sumas de números de una y de dos cifras. Ya que la multiplicación se obtiene por medio del cálculo de sumas reiteradas de un número, es importante que los niños manejen procedimientos eficaces para calcular sumas. Se puede proponer a los niños que, en forma ordenada, presenten a sus compañeros el cálculo de alguna suma inventada por ellos, y que luego discutan la respuesta y la forma en que la calcularon.
Multiplican números de hasta dos cifras por números de una cifra, por medio de sumas reiteradas. El procedimiento que los niños manejan hasta el momento es el de suma reiterada. Puede proponerles que realicen en su cuaderno los cálculos para obtener las multiplicaciones que usted anota en la pizarra. Es importante, además, que expliquen cómo obtuvieron sus cálculos y que discutan, con su apoyo, sobre la validez de los procedimientos usados. Multiplican números de hasta dos cifras por 10, por medio de sumas reiteradas. Los niños ya saben que multiplicar 10 • 7 y 7 • 10 es 70. Pídales en ambos casos, que justifiquen ambos resultados. En 10 • 7 se suma 10 veces el 7, en cambio en 7 • 10, se suma 7 veces el 10.
• Aplicación de la Prueba y Evaluación de los aprendizajes esperados de la Unidad.
• Problemas presentados a través de enunciados apoyados con dibujos.
• Se divide la cantidad de fichas entre la cantidad de vasos, aproximándose lo más posible a la cantidad de fichas. En algunos casos el resto es cero; en otros es distinto de cero, pero menor que el divisor. • Para encontrar el cuociente de la división se apoyan en las tablas de multiplicar.
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• La multiplicación y la división se parecen en que, para realizar los cálculos, en ambos casos hay que hacer multiplicaciones. Se diferencian en que, cuando multiplicamos dos números, sumamos repetidas veces un mismo número, y el resultado es mayor que cualquiera de los dos sumandos. En cambio, cuando dividimos un número entre otro (dividendo entre divisor), restamos reiteradas veces el divisor al dividendo, o bien restamos un múltiplo del divisor, y el resultado es menor que el número que se está dividiendo.
• Resuelven problemas de proporcionalidad directa y de reparto equitativo. • Calculan multiplicaciones y divisiones. • Elaboran problemas.
• La cantidad de fichas a repartir es y no es divisible por la cantidad de vasos. Por ejemplo, 22 fichas en 4 vasos. • Los problemas son de iteración de una medida y de reparto equitativo.
• Se divide la cantidad de fichas entre la cantidad de vasos, aproximándose lo más posible a la cantidad de fichas. En algunos casos el resto es cero; en otros es distinto de cero, pero menor que el divisor.
• En los problemas de reparto equitativo, no siempre es posible repartir todos los objetos. En estos casos se trata de repartir tantos objetos como sea posible. La cantidad de objetos que queda sin repartir se asocia con el resto de la división. Dicha cantidad debe ser menor que el divisor, pues de lo contrario se podría seguir repartiendo. • La división y la multiplicación son operaciones inversas entre sí.
• Resuelven problemas de reparto equitativo, con y sin resto. • Establecen semejanzas y diferencias entre problemas que se resuelven con una multiplicación y con una división. • Elaboran problemas.
• Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. • Se reparte una cantidad de fichas que sea múltiplo de 2, 5 ó 10, y una cantidad de vasos tal que el cuociente entre ambas sea 2, 5 ó 10, respectivamente. • Vasos tapados y no tapados. • El reparto se hace de una vez. Se debe anticipar la cantidad de fichas que quedan en cada vaso. • Colocar de una vez la cantidad de fichas en cada vaso a través del cálculo de una división, entre la cantidad de fichas que se reparten y la cantidad de vasos. Se recurre a la multiplicación. • Para dividir dos números hay que preguntarse: ¿Cuántas veces el divisor da el dividendo?
• Es posible anticipar la cantidad de objetos que le tocará a cada parte que participa en un reparto equitativo, antes de realizarlo. La división es la operación matemática que permite anticipar la cantidad de objetos que le tocará a cada participante en un reparto equitativo de objetos. • Dividir consiste en obtener el número (cuociente) por el cual hay que multiplicar al “divisor” (cantidad de participantes del reparto) para obtener el “dividendo” (cantidad de objetos que se deben repartir). Por ejemplo, para calcular 20 : 4 = , que se lee “20 dividido entre 4 es igual a...”, se calcula 4 × = 20.
• Resuelven problemas de reparto equitativo. • Calculan divisiones sin resto de un número de dos cifras por un número de una cifra. • Explican los procedimientos usados.
• Resuelven problemas de reparto equitativo. • Explican los procedimientos usados para realizar los cálculos.
• Problemas presentados a través de situaciones concretas y a través de enunciados. • Se reparte una cantidad de fichas que sea múltiplo de 2, 5 ó 10, y una cantidad de vasos tal que el cuociente entre ambas sea 2, 5 ó 10, respectivamente. • Vasos sin tapa.
• Distribuir de una en una las fichas en los vasos haciendo tantas rondas como sea necesario hasta quedarse sin fichas. Finalmente, se cuentan las fichas que quedan en cada vaso para responder a la pregunta. • Distribuir varias fichas de una sola vez en cada vaso, haciendo las rondas necesarias para agotarlas.
• La técnica de ir colocando uno a uno los objetos es muy lenta, mientras que colocarlos de a varios permite resolver el problema de forma más rápida. Pero la primera es más segura que la segunda. • Después de cada ronda que se efectúe para hacer el reparto equitativo, es importante calcular cuántas fichas se distribuyeron en esa ronda, y cuántas fichas quedan por repartir.
• Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. • En la actividad 1 se reparten 2, 5 ó 10 fichas en una cierta cantidad de vasos. • Los vasos están destapados (se puede ver qué contienen). • En los problemas con enunciado, el producto es un múltiplo de 2, 5 ó 10.
• Conteo de las fichas que quedan en todos los vasos. • Para calcular, por ejemplo, 3 por 5 sumar tres veces cinco: 5 + 5 + 5. • Evocación de combinaciones multiplicativas básicas de 2, 5 y 10 y uso de tablas de multiplicar de 2, 5, 10.
• Es posible determinar, sin contar, la cantidad de objetos que se reparten en total, cuando a cada parte del reparto se le da la misma cantidad de objetos. La multiplicación es la operación matemática que permite determinar la cantidad total de objetos que se repartirán equitativamente, a partir de la cantidad de objetos que le corresponden a cada una de las partes, y de la cantidad de partes.
• Resuelven problemas de proporcionalidad directa en que la multiplicación es la operación que permite calcular la solución. • Calculan multiplicaciones de un número de una cifra por 2, 5 y 10. • Explican los procedimientos usados. • Elaboran problemas de proporcionalidad directa que se resuelven con una multiplicación.
La estrategia didáctica para esta unidad consiste en construir la división a partir de los conocimientos que los niños ya tienen sobre la multiplicación. Interesa que niños y niñas experimenten la necesidad real de dividir en situaciones problemáticas que lo requieran, ya sea porque los procedimientos de conteo que manejan se hacen ineficaces, o porque deben determinar el resultado de un reparto antes de realizarlo. Para ello, en esta unidad se estudia la división en situaciones de reparto equitativo. El lenguaje habitual de problemas de reparto equitativo puede ser utilizado en diversas situaciones problemáticas que no necesariamente son de reparto equitativo. En estas situaciones se plantean tres tipos de problemas, en función de los datos que se presenten. Veamos un ejemplo:
Problemas simples de proporcionalidad directa Cantidad Cantidad de Cantidad Cálculo para total de partes entre de objetos contestar la objetos las que se que le toca pregunta que se realiza el a cada reparten reparto parte 5 amigas ? 15 : 5 Respuesta: 3 chocolates a cada amiga Tipo de Problema
(1) Rocío quiere repartir los 15 15 chocolates que le regalaron chocolates en su fiesta de cumpleaños entre sus 5 amigas. Para que ninguna de ellas se enoje, Rocío se propone dar a cada amiga la misma cantidad de chocolates. ¿Cuántos chocolates tendrá que dar a cada amiga? (2) Rocío repartió entre sus 5 amigas los chocolates que le regalaron en su fiesta de cumpleaños. A cada amiga le dio 3 chocolates. ¿Cuántos chocolates repartió en total? ?
3 5•3 chocolates Respuesta: a cada 15 amiga chocolates en total
Iteración de una cantidad de medida
(3) Rocío repartió equitativamente 15 entre sus amigas 15 chocolates. chocolates A cada amiga le tocaron 3 chocolates y no sobró ninguno. ¿A cuántas amigas les repartió chocolates?
3 15 : 3 Agrupamiento chocolates Respuesta: 5 en base a una a cada amigas medida amiga
El problema (1) es un problema de reparto equitativo, y por tanto se resuelve con una división. En estos problemas hay que determinar la cantidad de objetos que le toca a cada parte del reparto para que sea equitativo. En este ejemplo concreto, en que aparecen números pequeños, los niños pueden “evitar” la división distribuyendo a cada niña 1 chocolate y hacer tantas rondas como sea necesario hasta repartirlos todos. Luego, cuentan los chocolates que le tocaron a cada niña. En este caso los niños han utilizado un procedimiento basado en el conteo, que sirve como una valiosa experiencia previa, pero que todavía no consiste en dividir. Para avanzar hacia la división, en esta unidad se van variando las condiciones bajo las cuales se realiza este tipo de reparto, ya sea aumentando el ámbito o pidiendo a los niños que anticipen el resultado del reparto antes de realizarlo, y de esta forma provocar que surja la división. El problema (2), pese a utilizar el lenguaje típico de problemas de reparto equitativo, es un problema de iteración de una cantidad de medida y, por tanto, se resuelve con una multiplicación. Generalmente, los niños se equivocan en la resolución de este tipo de problema, puesto que al leer la palabra “repartir”, automáticamente deciden que hay que dividir. Aquí se pone de manifiesto la necesidad de que los niños dispongan de una estrategia de resolución frente a los problemas, que incluya la lectura y comprensión global del problema antes de decidir, de forma apresurada y poco reflexionada, la operación que deben realizar. El hecho de que el lenguaje típico de reparto equitativo pueda ser utilizado en otros tipos de problemas, cuestiona aquellas estrategias de enseñanza basadas en la determinación de la operación que se debe realizar a partir exclusivamente de palabras claves que aparecen en el enunciado del problema. En esta unidad se propone una estrategia de enseñanza basada en la construcción, por parte de los niños, de argumentos que les permitan diferenciar los tipos de problemas anteriormente descritos. El problema (3) también se resuelve con una división. Corresponde a un tipo de problema llamado de agrupamiento en base a una medida. En este caso se conoce la cantidad de objetos que se deben repartir y la cantidad de objetos que le toca a cada parte del reparto (medida); se debe averiguar para cuántas personas o partes alcanzan los objetos, o bien la cantidad de grupos que se pueden formar. En el caso del ejemplo, pese a estar enunciado utilizando el lenguaje típico de reparto equitativo, hay que determinar la cantidad de paquetes de a 3 chocolates que Rocío podrá formar. Este tipo de problemas se estudia en la cuarta Unidad Didáctica de este curso y, como ya veremos, puede ser enunciado en otros contextos. A continuación aparecen descritas cada una de las clases de la unidad, detallando las tareas matemáticas que se realizan en cada clase y las actividades que se efectúan para ello; los conocimientos matemáticos que se ponen en juego al realizarlas; la intención didáctica que se persigue en cada caso; y algunas orientaciones para la gestión del
docente. La descripción de cada clase está organizada en función de sus tres momentos: de inicio, desarrollo y cierre. Algunos aspectos importantes para una buena gestión del proceso de enseñanza aprendizaje, y que son comunes a cualquier clase, son: • • • • • • Iniciar cada clase poniendo en juego los conocimientos de la(s) clase(s) anterior(es); Dejar espacio para que los niños propongan y experimenten sus propios procedimientos; Mantener un diálogo permanente con los niños y propiciarlo entre ellos, sobre el trabajo que se está realizando sin imponer formas de resolución; Permitir que los niños se apropien íntegramente de los procedimientos destacados en la unidad; Promover una permanente evaluación del trabajo que se realiza; Finalizar cada clase con una sistematización y justificación de lo trabajado, anotando los conocimientos esenciales en el cuaderno.
La clase parte proponiendo una actividad que involucra problemas de proporcionalidad directa que se resuelven con una multiplicación, es decir, problemas de iteración de una medida, utilizando el lenguaje típico de situaciones de reparto equitativo. El propósito es activar los conocimientos que los estudiantes manejan sobre esta operación y que serán necesarios para construir la noción de división. La actividad es colectiva y se llama ¿cuántas fichas se repartieron? El profesor pone en su mesa 4 vasos, llama a dos niños adelante y les pide que coloquen 5 fichas en cada vaso. Después les pregunta si es posible saber cuántas fichas repartieron en total sin contarlas, y que lo calculen. Luego de unos momentos les pide que expliquen a sus compañeros qué hicieron para encontrar la respuesta, y estimula la discusión entre ellos. Se espera que los niños utilicen un procedimiento basado en sumas reiteradas, o bien que evoquen directamente la combinación multiplicativa correspondiente. En el caso del ejemplo se espera que digan que se han repartido en total 4 veces 5 fichas, es decir, 4 • 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20. O bien que digan directamente 4 • 5 = 20. El profesor repite la actividad, que esta vez será realizada por toda la clase. Los niños trabajan en sus asientos en parejas, disponiendo para ello de fichas, vasos y de la Ficha 1, ¿cuántas fichas se repartieron? para anotar sus respuestas. El profesor va variando
la cantidad de fichas que se distribuyen en cada vaso, la cantidad de vasos o ambas. Sugerimos que trabajen con una cantidad bien acotada de combinaciones multiplicativas, específicamente las multiplicaciones por 2, 5 y 10. El campo de experiencias multiplicativas que se puede proponer a los niños en este curso es muy amplio. Sin embargo, es conveniente circunscribir la actividad al uso de algunas tablas de multiplicar, para concentrar el trabajo y evitar que el estudio de la división se dificulte porque los niños no manejan las tablas de multiplicar correspondientes. Con esta actividad se refuerzan las multiplicaciones ya aprendidas. Para gestionarla se pueden usar las fichas del material del CRA,1 Pattern Blocks, tapas de bebidas, etc.
Los niños trabajan en la Ficha 2 en que se les proponen variados problemas de proporcionalidad directa que se resuelven con una multiplicación. Por ejemplo: A cada niño que va a los juegos se le reparten 5 aviones:
¿Cuántos aviones se reparten en total a estos 3 niños?
3 veces 5 =
En la última actividad de esta ficha se proponen dos situaciones en que aparecen distintos datos, y se pregunta qué información pueden obtener a partir de ellos; luego, se les pide que formulen problemas. Dichas situaciones están formuladas de tal manera que solo permiten elaborar problemas que se resuelven mediante una multiplicación. De esta forma, los niños abordan la tarea matemática de formular problemas de proporcionalidad directa que se resuelven con una multiplicación, a partir de información dada.
Centro de Recurso Aprendizaje (CRA).
Se sistematizan los conocimientos que aparecieron en la clase preguntando al curso qué operación han utilizado para resolver los problemas. Se les pregunta cómo son los problemas que se resuelven con una multiplicación, y se les pide que den un ejemplo.  Se espera que los niños digan, en sus palabras, que son problemas en que una misma cantidad se repite un número determinado de veces.  Un procedimiento útil para calcular una multiplicación consiste en efectuar una suma reiterada.  Resulta conveniente utilizar las combinaciones multiplicativas básicas. Se estimula que digan cómo calcularon las multiplicaciones, qué dificultades tuvieron para hacerlo, y que discutan sobre la rapidez y eficacia de los procedimientos que usaron. Es importante identificar qué niños se equivocaron al multiplicar, ya sea porque sumaron mal, o porque no supieron la combinación multiplicativa en juego. También es importante identificar a quienes todavía necesitan dibujar los objetos o hacer rayitas para hacer sus cuentas.
Se espera que en esta clase los niños recuerden que la multiplicación es la operación que permite anticipar, sin necesidad de contar, la cantidad total de objetos que se repartirán equitativamente, a partir de la cantidad de objetos que le corresponden a cada una de las partes, y de la cantidad de partes. De forma más general, la multiplicación permite calcular, sin necesidad de contar, la cantidad total de objetos que hay en una cantidad de grupos, donde cada grupo tiene una misma cantidad de objetos.
La multiplicación es la operación matemática que permite anticipar la cantidad total de objetos que se repartirán equitativamente, a partir de la cantidad de objetos que le corresponden a cada una de las partes, y de la cantidad de partes. Se sistematizan, también, las tablas del 2, 5 y 10, anotándolas en la pizarra. Usted puede traerlas escritas en una cartulina y pegarlas en la pared. Se termina reconociendo, por medio de preguntas y cálculos, que la tabla del 10 se puede obtener agregando un cero a cada número, o bien calculando el doble de la tabla del 5.
Se comienza proponiendo una nueva actividad que está en el mismo contexto de fichas y vasos de la clase anterior. Pero esta actividad plantea un problema de reparto equitativo y, por tanto, se resuelve con una división. Se llama ¿cuántas le tocan a cada uno? Esta actividad se realiza en parejas; se conoce la cantidad total de objetos que se deben repartir y la cantidad de partes entre las cuales se realizará el reparto; con estos datos deben obtener la cantidad que corresponderá a cada parte del reparto de tal forma que sea equitativo. Los niños disponen de los vasos y las fichas, con lo cual podrán realizar manipulaciones concretas para realizar el reparto. Anotan sus respuestas en la Ficha 3, ¿cuántas fichas le tocan a cada uno? Luego verifican el resultado del reparto mediante multiplicaciones. Por ejemplo: “Se tienen 20 fichas y se deben repartir en 4 vasos en forma equitativa. ¿Cuántas fichas corresponden a cada vaso?”. Al repartir equitativamente estas 20 fichas en los 4 vasos:
¿Cuántas fichas quedan en cada vaso? Los niños pueden realizar el reparto equitativo en forma concreta, usando distintos procedimientos como los siguientes:  Distribuir de una en una las fichas en los 4 vasos haciendo tantas rondas como sea necesario hasta quedarse sin fichas. Finalmente, se cuentan las fichas que quedan en cada vaso para responder a la pregunta. En cada ronda el profesor puede animar a los niños a que calculen cuántas fichas distribuyeron en esa ronda, y cuántas fichas les quedan por repartir. Este tipo de razonamiento permite a los niños asociar la división con una resta reiterada.
 Distribuir varias fichas de una sola vez en cada vaso, haciendo tantas rondas como sea necesario para agotar las 20 fichas. Pueden ser combinaciones de fichas, por ejemplo, poniendo en la primera ronda tres fichas en cada vaso y luego una, o bien primero cuatro fichas en cada vaso y luego una, etc. Si en una determinada ronda faltan fichas para completar el reparto (por ejemplo, en la primera ronda empiezan a repartir 6 fichas en cada vaso), deben retirar las fichas y comenzar de nuevo con otra distribución, o bien retirar las necesarias para compensar. Luego, cuentan las fichas para responder a la pregunta. Del mismo modo, el profesor puede estimular a los niños para que calculen las fichas que reparten en cada ronda y las fichas que les quedan por repartir. Así, en el caso del ejemplo que estamos viendo, si los niños reparten primero 3 fichas por vaso, en esa ronda habrán repartido 12 fichas en total, y les quedarán 8 fichas por repartir. Es poco probable que surja la división como un procedimiento para resolver este problema ya que, al estar los objetos disponibles y siendo el ámbito numérico pequeño, las técnicas basadas en el conteo no enfrentan ninguna dificultad, y lo más natural entonces es que las utilicen. No obstante, si apareciese un procedimiento basado en multiplicaciones, conviene recogerlo para compartirlo, y anunciar que en la clase siguiente será estudiado con mayor profundidad. El profesor estimula una discusión sobre la eficacia de los procedimientos que usaron. Repartir de una en una las fichas es una estrategia más lenta que repartirlas de a varias, pero es menos riesgosa. Claro está que cuando se trate de repartir 80 fichas en 10 vasos, evidentemente el reparto de a una se hace casi impracticable. El profesor propone a los niños más problemas de este tipo, aumentando la cantidad de vasos y/o la cantidad de fichas. Hay que controlar que las multiplicaciones que aparezcan en la situación formen parte del repertorio que los niños manejan, o que estudiaron en la primera clase. Las siguientes combinaciones son apropiadas para el trabajo de los niños: una cantidad de fichas que sea múltiplo de 2, 5 ó 10, y una cantidad de vasos tal que el cuociente entre ambas sea 2, 5 ó 10 respectivamente. Por ejemplo, 25 fichas para repartirlas en 5 vasos; 20 fichas y 2 vasos; 60 fichas y 6 vasos, etc.
Los niños trabajan en la Ficha 4, que propone problemas del mismo tipo, es decir problemas de reparto equitativo que se pueden resolver contando. Al final de esta ficha se presenta un problema en que dos niños, Laura está haciendo un reparto. Los niños deben explicar qué han hecho en cada paso que se muestra en la ficha. Por ejemplo, si Laura reparte una ficha en cada vaso por ronda, ¿cuántas fichas reparte en cada ronda de vasos si debe repartir 60 fichas en 6 vasos?, ¿en todas las rondas reparte la misma cantidad de fichas? Después de la primera ronda, ¿cuántas fichas le quedan por repartir?, ¿cómo se puede calcular las fichas que quedan?
Se organiza una discusión en torno a los procedimientos que usaron niñas y niños para resolver los problemas de esta clase. Interesa que expliquen cómo los resolvieron y también que analicen los distintos procedimientos que aparecieron. El profesor puede formular preguntas del tipo: “si estos procedimientos son distintos, ¿cómo es que llegaron al mismo resultado?”. Luego, la discusión se orienta hacia valorar qué procedimiento resultó más eficiente para calcular la cantidad de objetos que le tocan a cada parte del reparto equitativo.
La técnica de ir colocando uno a uno los objetos es muy lenta, mientras que colocarlos de a varios permite resolver el problema de forma más rápida. Pero la primera es más segura que la segunda.
Enseguida, el profesor explica que:
Después de cada ronda que se efectúe para hacer el reparto equitativo, es importante calcular cuántas fichas se distribuyeron y cuántas fichas quedan por repartir.
No se explica aquí en qué consiste la división, puesto que las condiciones que se piden para realizar los problemas permiten que se resuelvan sin dividir. En la siguiente clase surgirá la división como un procedimiento para resolver problemas de reparto equitativo.
Se propone la misma actividad sobre reparto equitativo de la clase anterior, pero realizada con condiciones distintas. Los alumnos trabajan en pareja y anotan las respuestas en la Ficha 5, calculando cuántas fichas para cada persona, sin contar.
La actividad se llama “calculando cuántas fichas para cada persona sin contar”. La actividad es modificada con la intención de que los niños tengan que variar sus procedimientos de reparto para construir uno nuevo basado en la división. Esta necesidad surge ya sea porque los procedimientos basados en el conteo se hacen engorrosos, o porque simplemente la actividad no los admite. La pregunta de los problemas de esta clase sigue siendo la misma, esto es, ¿cuántas fichas hay que poner en cada vaso para que el reparto sea equitativo? Sin embargo, las condiciones para realizar la actividad son distintas.  La primera actividad exige que los vasos estén tapados con una tapa con ranura para poder echar las fichas. Con ello los niños no pueden saber cuántas fichas hay en cada vaso después de realizar el reparto. El profesor plantea la pregunta: ¿es posible saber cuántas fichas quedaron en cada vaso sin contarlas? La idea es que reflexionen sobre la posibilidad de conocer el resultado del reparto. Puede que no encuentren ningún procedimiento, pero imaginen que algo se puede hacer. Por ejemplo, anticipar el resultado o dividir. También, puede surgir el procedimiento de ir anotando las rondas o las veces en que hacen los repartos. Este procedimiento es engorroso y requiere de orden y coordinación, sobre todo si hay un número elevado de fichas y de vasos. En ambos casos, sus ideas pueden evolucionar al proponerles la siguiente actividad.  La segunda actividad exige que el reparto se realice en una sola ronda, poniendo de una vez las fichas que corresponden a cada vaso. Puede que niñas y niños vayan realizando sucesivos intentos hasta encontrar la cantidad de fichas que se necesitan por vaso, para hacer el reparto en una sola ronda. Por ejemplo, para saber cuántas fichas le tocan a cada uno de los 4 vasos al repartir equitativamente 20 fichas antes de realizar el reparto, pueden surgir procedimientos tales como: • Los niños plantean que la cantidad que permite hacer el reparto equitativo en una sola ronda es 2 fichas por vaso. Para verificar si su planteamiento es correcto, depositan 2 fichas en cada vaso, distribuyendo en total solo 8 fichas de las 20, y quedan 12 sin repartir. Los niños se dan cuenta que podrían haber sido colocadas muchas más fichas en cada vaso. Esta propuesta fracasa. Proponen 4 fichas por vaso. Distribuyen 4 fichas por vaso, repartiendo 16 fichas en total, y quedan 4. Podrían haber sido colocadas algunas más en cada vaso. Nuevamente, la propuesta fracasa. Proponen 6 fichas por vaso. Colocan 6 fichas en los tres primeros y, al llegar al cuarto vaso, solo quedan 2 fichas, con lo que el reparto no será equitativo. Esta estrategia llevaría a distribuir un total de 24 fichas, pero solo hay 20. “¡Me pasé!”, fracasa la propuesta; deben ser colocadas menos fichas que 6 en cada vaso.
Proponen 5 fichas por vaso. Distribuyen las fichas, dando el reparto exacto. ¡Lo han logrado!
Esta última estrategia corresponde al procedimiento matemático que sirve para realizar la división entre dos números: Dividir dos números en este contexto consiste en buscar (por aproximaciones sucesivas) la cantidad de objetos que debe tener cada parte del reparto para que, multiplicada por la cantidad de partes, dé como resultado la cantidad total de objetos a repartir. En el caso del ejemplo, 20 : 4, se debe determinar la cantidad de fichas por vaso que, multiplicado por la cantidad de vasos (4), da como resultado 20; esto es, 4 • = 20. Matemáticamente se puede describir como:
Por ejemplo, para calcular 20 : 4 =
, que se lee “20 dividido entre 4 es igual a...”,
dividendo se calcula 4 •
divisor = 20.
Dividir consiste en obtener el número (cuociente) por el cual hay que multiplicar al “divisor” (cantidad de participantes del reparto) para obtener el “dividendo” (cantidad de objetos que se deben repartir).
En esta situación de aprendizaje los niños anticipan el resultado del reparto y verifican si este es correcto o no, haciendo el reparto en forma concreta. Para que la técnica funcione eficientemente es conveniente pedir a los niños que determinen, en cada una de sus apuestas, la cantidad de fichas que les quedarán por repartir antes de hacer el reparto. De esta forma irán acercándose cada vez más rápido a la respuesta. De lo contrario, podrían caer en una cadena de sucesivos intentos hechos al azar y por ello infructuosos. En el ejemplo, cuando postulan que son 3 fichas por vaso, al hacer la multiplicación 4 • 3 obtienen 12, y todavía quedan 8 fichas por repartir. Esto significa que debo decir un número mayor que 3, etc. Cuanto menos falte por repartir, estarán más cerca del resultado. El profesor puede identificar a quienes hayan necesitado menos intentos para resolver el problema, para que expliquen a sus compañeros sus procedimientos. El profesor puede repetir por lo menos 4 veces esta actividad, variando la cantidad de fichas y/o de vasos, considerando las precauciones señaladas en las clases anteriores,
es decir, que aparezcan números cuyo cociente sea 2, 5 ó10. En cada una de estas experiencias los niños pueden anotar sus resultados, y el profesor los registra en la pizarra. En el caso del ejemplo, escribe en la pizarra 20 : 4 = 5.
Los niños trabajan en la Ficha 6, Preparando la fiesta de fin de año en que se les proponen problemas del mismo tipo. Los problemas giran en torno a un mismo contexto: preparando la fiesta de fin de año.
El profesor conduce una discusión entre los niños, haciendo preguntas que permitan sistematizar los conocimientos matemáticos surgidos y trabajados en la clase, especialmente, el procedimiento para dividir. El profesor se asegura que queden claros para todos los argumentos que fueron usados en el momento de inicio de la clase para anticipar el resultado de un reparto equitativo. Una idea central de esta clase es que la división se calcula por medio de multiplicaciones; por ello, una operación es la inversa de la otra:
20 fichas repartidas equitativamente entre 4 vasos da como resultado 5 fichas en cada vaso, ya que 4 veces 5 es 20. Esto es, 20 : 4 = 5, porque 4 • 5 = 20. Asimismo, como 4 • 5 = 20 entonces 20 : 4 = 5. De aquí que multiplicación y división son operaciones inversas entre sí.
La clase comienza proponiendo al curso que trabajen en la Ficha 7 en que aparece una lista de problemas de iteración de una medida y de reparto equitativo que se resuelven con una multiplicación o con una división. Niñas y niños deben determinar con qué operación se puede resolver cada problema y luego realizar sus cálculos para obtener la respuesta. En la penúltima pregunta de esta ficha se solicita a los niños que digan en qué se parecen estos problemas y en qué se diferencian. Se trata de que vayan constru24
yendo las diferencias que existen entre ambas operaciones, y también sus semejanzas. Finalmente, se les pide que inventen un problema que se resuelva con una multiplicación y otro, con una división. Cuando formulen los problemas solicitados, pueden aparecer problemas de agrupamiento en base a una medida, a pesar de que es un tipo de problema que no se ha estudiado en esta unidad. Es importante que el profesor los reconozca como tales y que evalúe la pertinencia de estudiarlos en este momento o bien dejarlos para la cuarta unidad donde se estudiarán en profundidad. Aunque se espera que formulen un problema de iteración de una medida y otro de reparto equitativo, no se pretende que los niños aprendan qué es un problema de iteración de una medida y de reparto equitativo; más bien se trata de que, frente a problemas de estos tipos, sepan que en el primer caso hay que multiplicar y en el segundo dividir.
El profesor retoma la misma actividad de repartos equitativos de fichas y vasos de clases anteriores, y plantea problemas nuevos que los niños resolverán en parejas y anotarán sus respuestas en la Ficha 8, repartos que no se pueden hacer. La actividad se llama “repartos que no se pueden hacer”. Esta vez los problemas tendrán ciertas dificultades para ser resueltos, ya que no se podrán repartir equitativamente todas las fichas. Pero sí se podrá repartir equitativamente una cantidad menor de fichas que las solicitadas, quedando una cantidad de fichas sin repartir. La cantidad de fichas que quedan, porque no alcanzan a completar la última ronda del reparto, constituye el resto. La respuesta correcta es aquella en la que queda la mínima cantidad de objetos posibles sin repartir. La idea es que los niños se inicien en el trabajo de división con resto, que irán profundizando en unidades posteriores. En esta actividad el número de fichas no es divisible por el número de vasos, por ejemplo, repartir equitativamente 22 fichas en 4 vasos. En principio, los niños plantean calcular 22 : 4 para resolver el problema. Pero, al realizar el cálculo, se dan cuenta que esta división no se puede hacer, puesto que no hay ningún número (natural) que multiplicado por 4 dé como resultado 22 (es decir, 22 no es divisible por 4). De esta forma, la primera respuesta correcta al problema es que no es posible repartir equitativamente las 22 fichas en los 4 vasos. Sin embargo, el problema tiene una pregunta que sí es posible responder: vamos a repartir la mayor cantidad de fichas de las 22 que tenemos, que sí se puedan repartir equitativamente. En este caso son 20 fichas ya que 4 • 5 = 20 (cantidad menor a la que hay que repartir) y 4 • 6 = 24 (cantidad mayor). La respuesta al problema es que se deben distribuir 5 fichas en cada vaso, y quedan 2 fichas sin repartir. Este cálculo se suele anotar como:
22 : 4 = 5 , y se lee “22 dividido entre 4 es 5 y queda resto 2”. 2// La igualdad que corresponde a este cálculo es: 22 = 4 · 5 + 2.
Continúa la clase con la aplicación de la Ficha 9, en que se realiza un trabajo sistemático del procedimiento de división que ha surgido de las situaciones anteriores.
Los alumnos y alumnas reflexionan sobre las diferencias que hay entre los problemas que se resuelven con un multiplicación y los que se resuelven con una división. También reflexionan sobre sus semejanzas:  Se parecen en que en ambos casos hay que hacer multiplicaciones.  Se diferencian en que cuando multiplicamos dos números, sumamos repetidas veces un mismo número, y el resultado es mayor que cualquiera de los dos números.  En cambio, cuando dividimos un número (dividendo) entre otro (divisor), restamos un múltiplo del divisor al dividendo, y el resultado es menor que el número que se está dividiendo (dividendo). También sistematizan los conocimientos que surgieron al estudiar problemas que se resuelven con divisiones que tienen resto y los relacionan con los problemas anteriores que no tenían resto.
En los problemas de reparto equitativo, no siempre es posible repartir todos los objetos, ya que puede suceder que la cantidad de objetos a repartir no es múltiplo de la cantidad de partes en que hay que realizar el reparto. En estos casos se trata de repartir tantos objetos como sea posible. La cantidad de objetos que queda sin repartir se asocia con el resto de la división. Dicha cantidad debe ser menor que el divisor, pues de lo contrario se podría seguir repartiendo.
El profesor propone a la clase que realicen la actividad de la Ficha 10, que se trabaja en parejas. En ella los niños utilizan los conocimientos que han aprendido acerca de la división para evaluar si otras estrategias, distintas a la estudiada hasta el momento en la unidad, son igualmente válidas para realizar divisiones. La idea no es que aprendan otro procedimiento distinto al estudiado. Lo que interesa es que, apoyándose en el procedimiento que conocen, establezcan relaciones entre distintos procedimientos de división, argumentando sus afirmaciones, ya sea porque encuentran que son igualmente eficientes o porque no lo son. En esta ficha aparece otro procedimiento: al dividendo se resta reiteradamente el divisor, hasta que no se pueda seguir. El resultado de la división es la cantidad de veces que restaron el divisor hasta llegar a 0, o a no poder seguir restando. Por ejemplo, para calcular 20 : 5 se procede de la siguiente manera: 20 15 10 15 – – – – 5 5 5 5 = = = = 15 10 15 10
El resultado de la división es 4, porque se restó 4 veces el 5 hasta llegar a 0. Este procedimiento se relaciona con el estudiado en las clases anteriores y que se quiere que los niños se lo apropien. Este consiste en determinar el número que, al multiplicarlo por 5, se acerca lo máximo posible, sin pasarse, a 20 (20 : 5 = 4, quedando resto 0, ya que 4 • 5 = 20). Este procedimiento es una versión más rápida que el de restas reiteradas, ya que busca inmediatamente cuántas veces repetido el 5 nos da 20. Luego que contestan en sus fichas, el profesor conduce una discusión entre los niños, que concluye en que hay otros procedimientos para calcular la división, pero que todos ellos están relacionados entre sí. Además, que al estudiar procedimientos distintos se puede entender mejor el que se ha aprendido.
Los niños profundizan el dominio de los procedimientos aprendidos en las clases anteriores para resolver las tareas matemáticas de la unidad. Realizan la Ficha 11 en la que hay actividades que ponen en juego los aprendizajes esperados de esta unidad.
A través de preguntas a los niños, el profesor va destacando los fundamentos matemáticos centrales de esta unidad, que ya han sido sistematizados en las clases anteriores. En el momento de inicio de esta clase se utilizó el conocimiento sobre el procedimiento de la división basado en multiplicaciones ya estudiado, para explicar otro procedimiento para dividir basado en restas reiteradas.
Estos procedimientos son equivalentes, ya que en ambos casos se realizan restas hasta llegar a cero, o a un resto menor que el divisor. Se diferencian en la cantidad de operaciones que se efectúan. En el procedimiento basado en multiplicaciones se busca hacer el mínimo de restas posibles para no tener que realizar todas las restas sucesivas del divisor hasta llegar a cero, o a un resto distinto de cero.
En la primera parte de la clase se aplica la prueba de la unidad. Posteriormente, se abre una discusión sobre las dificultades que los niños encontraron en su desarrollo. El profesor realiza comentarios sobre las respuestas correctas y pregunta a los niños sobre los procedimientos que utilizaron. Finalmente, anuncia que más adelante continuarán con el estudio de la división, incorporando a los problemas de reparto equitativo otro tipo de problemas en que, conocida la cantidad de objetos con la que se quieren formar grupos y la cantidad de objetos que tiene cada grupo, hay que determinar para cuántos grupos alcanza.
Plan de la Primera clase Materiales: vasos y fichas. Ficha 1 y 2. Opcional.
Identifique a quienes tienen dificultades para reconocer la operación matemática y aquellos que tienen dificultades para multiplicar. Hágales preguntas que les permita reconocer que, como es una misma cantidad que se repite, se puede sumar reiteradas veces. Observe si utilizan correctamente las tablas de multiplicar para buscar productos de dos números. Observe si verifican sus respuestas contando el total de objetos. En caso contrario, anímelos a que lo hagan.
resuelven problemas de proporcionalidad directa en que la multiplicación es la operación que permite calcular la solución. calculan multiplicaciones de un número de una cifra por 2, 5 y 10. explican los procedimientos usados. elaboran problemas de proporcionalidad directa que se resuelven con una multiplicación.
MoMenTo de InIcIo: El profesor presenta a la clase una actividad que provoca que niños y niñas se encuentren con la necesidad de multiplicar y, de esta forma, recordar el significado de esta operación. Actividad: En un lugar visible de la sala, el profesor presenta a los niños una cantidad determinada de vasos. Llama a dos niños y les pide que pongan dentro de cada uno de los vasos una misma cantidad de fichas. Luego, pregúnteles si pueden saber cuántas fichas repartieron en total sin contarlas, y que lo calculen. Posteriormente, pídales que expliquen a sus compañeros qué hicieron para encontrar el resultado. El profesor repite esta actividad dos o tres veces, variando la cantidad de fichas y/o la cantidad de vasos. Las cantidades de fichas por vaso pueden ser 2, 5 ó 10, y la cantidad de vasos puede ser cualquiera menor o igual a 10. Ejemplos de actividad concreta son: presentar 5 vasos, y en cada uno de ellos pedir que depositen 2 fichas y preguntar ¿cuántas fichas hay en todos los vasos?; 4 vasos y en cada uno de ellos depositar 5 fichas; 3 vasos y en cada uno de ellos depositar 10 fichas, etc. Posteriormente, el profesor organiza al curso en parejas; dé a cada pareja una cantidad de vasos y de fichas como las del ejemplo. Pídales que calculen cuántas fichas repartieron en total sin contarlas y que anoten sus cálculos en la Ficha 1, ¿cuántas fichas se repartieron? Estimula una conversación entre los niños para que compartan los procedimientos que utilizaron y los comparen. Repite la actividad tantas veces como usted estime necesario.
n	Averigüe si distinguen entre: “3 veces 5” y “5 veces 3”, en las situaciones que abordan. Identifique a quienes no han podido resolver correctamente algún problema y el porqué de su dificultad. Hágales preguntas que les permita orientar su trabajo, pero no les dé la solución.
n	MoMenTo de desArrollo: El profesor reparte la Ficha 2 en que se proponen problemas que se resuelven con una multiplicación. Después que terminen la ficha, los anima a que discutan entre ellos sobre los resultados que obtuvieron, los procedimientos que usaron para encontrarlos y que expliquen los problemas que inventaron. Orienta la discusión de tal forma que niñas y niños establezcan relaciones entre los distintos procedimientos usados.
MoMenTo de cIerre: El profesor conduce una discusión entre los niños sobre la manera en que efectuaron los cálculos para resolver los problemas de multiplicación: 7 veces 5 = 7 · 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
Estimule a aquellos niños que no participan en la discusión para que manifiesten su opinión.
n	7 veces Con la participación de los niños, establece que la multiplicación es la operación que permite anticipar cuántos objetos se repartirán, a una cantidad determinada de personas a las que se les entrega la misma cantidad de objetos, sin necesidad de contar. Pide a distintos niños que pasen a la pizarra para que, con la ayuda de todos, construyan las tablas de multiplicar de 2, 5 y 10. Las deja anotadas en un papelógrafo para que, más tarde, sirvan como apoyo para el trabajo con divisiones.
Aproveche este momento para destacar el valor que tienen las discusiones ordenadas y productivas entre sus compañeros.
Plan de la segunda clase Materiales: vasos y fichas. Fichas 3 y 4. Actividades
Observe si distribuyen las misma cantidad de fichas en los vasos. Si no fuera así ayúdelos mediante preguntas a reconocer la importancia de que se haga así. Esta condición es básica para construir el correcto sentido de la división. Fíjese si calculan en cada intento la cantidad de fichas que distribuyeron y la cantidad de fichas que les quedan por repartir.
resolver problemas de división en situaciones de reparto equitativo.
MoMenTo de InIcIo: El profesor anuncia que en esta clase van a trabajar en parejas, en una actividad similar a la que realizaron en la clase pasada. Les advierte que deben estar atentos, porque tiene algunas diferencias. Distribuye a cada pareja de niños la cantidad de vasos y fichas necesarias para realizar la actividad, y la Ficha 3, ¿cuántas fichas le tocan a cada uno? en que deben anotar sus respuestas. Actividad: El profesor dice a los niños que pongan en la mesa una determinada cantidad de vasos y de fichas. Luego les plantea el siguiente problema: Deben repartir todas las fichas en estos vasos, de tal forma que en los vasos quede la misma cantidad de fichas. La pregunta es: “¿cuántas fichas quedan en cada vaso una vez realizado el reparto?” Recuerde que la cantidad de fichas a repartir debe ser múltiplo de la cantidad de vasos. El profesor puede proponer las siguientes cantidades: repartir equitativamente 12 fichas en 6 vasos; 15 fichas en 3 vasos; 25 fichas en 5 vasos; 20 fichas y 2 vasos; 60 fichas y 6 vasos, etc. Les propone distintos problemas de este tipo, variando la cantidad de vasos y/o la cantidad de fichas. Además, la cantidad de fichas debe ser múltiplo de 2, 5 ó 10 y la cantidad de vasos debe ser tal que el cuociente entre ambas sea 2, 5 ó 10 respectivamente. Pide a los niños que, en cada ronda que hagan repartiendo la misma cantidad de fichas, calculen las fichas que distribuyeron en esa ronda, y las fichas que les quedan por repartir. Pide a algunos alumnos(as) que expliquen cómo resolvieron dos de los problemas. Se realiza una discusión sobre la manera en que efectuaron el reparto equitativo y sobre la eficacia del procedimiento usado. El profesor estimula una discusión sobre la eficacia de los procedimientos que usaron. Se espera que se identifique que repartir de una en una las fichas es una estrategia más lenta que repartirlas de a varias, pero es menos riesgosa. Sin embargo, que al repartir 70 fichas en 10 vasos, el reparto de a una se hace casi impracticable.
n	MoMenTo de desArrollo: El profesor distribuye la Ficha 4, que propone problemas de reparto equitativo que se pueden resolver contando. Al final de la ficha hay un problema que presenta a dos niños realizando un reparto equitativo; pide a los alumnos que expliquen qué hacen los niños de la ficha y que valoren si el procedimiento que usan es correcto. Luego que terminan la ficha, el profesor estimula una discusión entre ellos, procurando que al menos tres niños expliquen sus respuestas y resultados.
Guíe a los niños para que valoren la importancia de efectuar cálculos durante la realización del reparto. Esto les permitirá obtener información que les ayudará a decidir la cantidad de fichas que deben poner en la siguiente ronda.
n	MoMenTo de cIerre: El profesor concluye la clase sistematizando con los niños los procedimientos usados para resolver los problemas, sus respectivas escrituras matemáticas y la manera de comprobarlos. Para ello formula preguntas del tipo: “si usaron procedimientos distintos, ¿cómo es que llegaron al mismo resultado?” observa que los niños manejan el reparto equitativo siguiendo el siguiente razonamiento: si se reparten 20 fichas, en igual cantidad, en 4 vasos, quedan cinco fichas por vaso, ya que 4 veces 5 fichas, esto es 4·5 = 5 + 5 + 5 + 5, son 20 fichas. La técnica de ir colocando uno a uno los objetos es muy lenta; mientras que colocarlas de a varias permite resolver el problema de forma más rápida. Pero la primera es más segura que la segunda. Es importante, además, que en cada ronda que se haga para realizar el reparto, se calcule cuántas fichas se repartieron en esa ronda y cuántas fichas quedan por repartir.
Observe si los niños reconocen que, independientemente de la forma en que se realiza el reparto, queda la misma cantidad de fichas en cada vaso.
Plan de la Tercera clase Materiales: vasos y fichas. Ficha 5 y 6. Opcional. Actividades
Identifique a quienes tienen dificultades para reconocer que hay que dividir. Hágales preguntas que les permitan distinguir que deben calcular, además de sumas, algunas restas. Identifique a quienes necesitan menos intentos para llegar a determinar la cantidad de fichas por vaso, y pídales que expliquen a sus compañeros cómo realizan los cálculos.
resuelven problemas de reparto equitativo. calculan divisiones sin resto de un número de dos cifras por un número de una cifra. explican los procedimientos usados.
MoMenTo de InIcIo: Anuncie a los niños que en esta clase partirán trabajando en parejas realizando una actividad similar a la que desarrollaron en la clase pasada, pero que habrá condiciones distintas para realizar los repartos. Distribuya a cada pareja de niños la cantidad de vasos y fichas necesarias para realizar la actividad, y la Ficha 5, calculando cuántas fichas para cada persona, sin contar en que deben anotar sus respuestas. En esta actividad, los vasos deben tener tapa y una ranura para poder echar las fichas. Esta situación requiere, para ser resuelta, que los niños elaboren una estrategia de división. Actividad: El profesor dice que pongan en la mesa una determinada cantidad de vasos tapados y de fichas. Luego plantea el problema sobre repartir todas las fichas en los vasos de tal forma que en los vasos quede la misma cantidad de fichas. Pregunta a los niños: ¿es posible saber cuántas fichas quedan en cada vaso? y luego les pide que calculen cuántas fichas quedan en cada vaso una vez realizado el reparto. La cantidad de fichas a repartir debe ser múltiplo de la cantidad de vasos. El profesor puede proponer las siguientes cantidades: repartir equitativamente 30 fichas en 6 vasos; 45 fichas en 9 vasos; 25 fichas en 5 vasos; 20 fichas y 2 vasos; 60 fichas y 6 vasos, etc. Posteriormente, les pide a los niños que determinen cuántas fichas deben poner en cada vaso antes de realizar el reparto, y de una sola vez, para que todas las fichas queden repartidas, poniendo la misma cantidad de fichas por vaso. Formula problemas del mismo tipo variando la cantidad de fichas y/o la cantidad de vasos, por ejemplo: repartir equitativamente 20 fichas en 4 vasos; 30 fichas en 6 vasos, etc. Los niños postulan una cierta cantidad de fichas por vaso y proceden a repartir esa cantidad en cada vaso y así verifican si la anticipación fue acertada o no.
MoMenTo de desArrollo: El profesor distribuye la Ficha 6, Preparando la fiesta de fin de año, relativa a problemas de reparto equitativo.
Observe si tienen dificultades para escribir la división. Guíelos hacia esta escritura haciéndoles razonar sobre la pregunta del problema y sobre los datos que entrega.
MoMenTo de cIerre: El profesor concluye con la participación de niñas y niños, estableciendo y destacando que para poder anticipar el resultado de un reparto equitativo es necesario dividir. Para ello, se busca la cantidad de fichas que, multiplicadas por la cantidad de vasos (partes del reparto), dan como resultado el total de fichas. Por ejemplo, para saber cómo hay que repartir 20 fichas en 4 vasos antes de realizar el reparto equitativo se debe dividir la cantidad de fichas entre la cantidad de vasos. Esto se anota 20 : 4. El resultado es 5 puesto que, 4 veces 5 fichas, esto es, 4 · 5 = 5 + 5 + 5 + 5, da como resultado las 20 fichas. Esto es, 20 : 4 = 5, porque 4 · 5 = 20. Asimismo, como 4 · 5 = 20 entonces 20 : 4 = 5.
Observe si todos reconocen que para anticipar el resultado de un reparto hay que dividir. Para reafirmar esta idea, hágales razonar que cuando se multiplica se obtiene una cantidad mayor que cualquiera de las dos cantidades, mientras que cuando se divide se obtiene una cantidad menor que la que se reparte.
Plan de la cuarta clase Materiales: vasos y fichas. Ficha 7, 8 y 9. Actividades
MoMenTo de InIcIo: El profesor dice a los niños que hoy comenzarán trabajando con los problemas de la Ficha 7. Frente a cada problema deben determinar qué operación permite resolverlo y, posteriormente, realizar los cálculos. Al final de la ficha hay una pregunta que les pide que inventen problemas, uno que se resuelva con una multiplicación y otro con una división. Cuando hayan terminado, el profesor estimula la discusión de los niños en relación a sus respuestas y destaca la necesidad de llegar a acuerdos justificados.
Identifique a quienes tienen dificultades para distinguir cuándo hay que multiplicar y cuándo hay que dividir. A través de preguntas y apoyándose en el material concreto usado, hágalos razonar que son procedimientos inversos. Observe si reconocen que en estos problemas aparece una nueva dificultad. Estimúlelos a que expliquen, en sus palabras, cómo es esta nueva dificultad y qué se puede hacer para resolverla.
resuelven problemas de reparto equitativo, con y sin resto. establecen semejanzas y diferencias entre problemas que se resuelven con una multiplicación y con una división. elaboran problemas.
MoMenTo de desArrollo: El profesor presenta a la clase el mismo tipo de actividad de fichas y vasos de la clase anterior, pero que tendrá ciertas dificultades para ser resuelta. Esta actividad permitirá a niños y niñas enfrentar problemas de reparto en que no se pueden repartir todos los objetos; por tanto, las divisiones asociadas a estas situaciones tendrán un resto. El profesor organiza al curso en parejas y distribuye a cada pareja una cantidad de fichas, vasos, y la Ficha 8, repartos que no se pueden hacer para anotar sus respuestas. Actividad: El profesor propone a los niños una cantidad determinada de vasos y de fichas, de tal modo que la cantidad de fichas no sea divisible por la cantidad de vasos. Pide a los niños que determinen, antes de realizar el reparto, cuántas fichas hay que poner en cada vaso, y de una sola vez, para que el reparto sea equitativo. Ejemplos de este tipo de problemas son: n Si se repartieran en forma equitativa 21 fichas en 4 vasos, ¿es posible anticipar cuántas fichas quedarán en cada vaso?, ¿cuántas fichas quedan? n Si se repartieran en forma equitativa 33 fichas en 6 vasos, ¿es posible anticipar cuántas fichas quedarán en cada vaso?, ¿cuántas fichas quedan? Los niños postulan una cierta cantidad de fichas por vaso y también la cantidad de fichas que no se podrán repartir. Proceden a repartir esa cantidad y se verifica si la anticipación fue acertada o no. Repita la actividad tantas veces como sea necesario, variando la cantidad de fichas y/o la cantidad de vasos. Luego distribuya la Ficha 9 en que niñas y niños resuelven problemas de reparto equitativo con y sin resto.
Asegúrese que hacen el reparto físicamente, después de haber anticipado el resultado, para verificar si su resultado es correcto.
Identifique si usan una estrategia efectiva para poder calcular las divisiones con resto.
MoMenTo de cIerre: Se concluye destacando que, para poder anticipar el resultado de un reparto equitativo en el que la relación entre la cantidad de fichas a repartir y la cantidad de vasos en los que hay que repartirlas no lo permite, también es necesario dividir. Para ello, se usa la misma técnica anterior y se calcula el resto. Por ejemplo, para saber cómo hay que repartir 22 fichas en 4 vasos antes de realizar el reparto equitativo se debe dividir la cantidad de fichas entre la cantidad de vasos. Esto se anota 22 : 4. El resultado es 5 puesto que, 4 veces 5 fichas, esto es, 4 · 5 = 5 + 5 + 5 + 5, dan como resultado las 20 fichas y quedan 2 fichas. La igualdad que corresponde se anota: 22 = 4 · 5 + 2.
Guíelos para que reconozcan que, en principio, estos problemas no tienen una so-lución, pero que sí se puede repartir una cantidad menor a la solicitada.
Plan de la Quinta clase Materiales: Fichas 10 y 11. Opcional. Actividades
MoMenTo de InIcIo: El profesor explica que hoy comenzarán trabajando con los problemas de la Ficha 10. En ella van a evaluar si las estrategias de multiplicación y división usadas para resolver distintos problemas son correctas o no, y por qué.
Observe si usan lo que han aprendido de la división para explicar lo que hacen los niños de la ficha. Destaque la importancia de usar el conocimiento para entender lo que hacen otras personas. Identifique a quienes siguen teniendo dificultades para distinguir la operación que deben realizar frente a cada problema. Ayúdelos con apoyo de material concreto.
MoMenTo de desArrollo: Distribuya la Ficha 11 en que trabajan todos los conocimientos matemáticos estudiados en la unidad.
n	resuelven problemas de proporcionalidad directa y de reparto equitativo. calculan multiplicaciones y divisiones. elaboran problemas.
MoMenTo de cIerre: Se cierra la clase y la unidad, sintetizando el procedimiento aprendido para dividir, destacando que la división es la operación inversa de la multiplicación, y los aspectos más relevantes de las situaciones de reparto equitativo estudiadas.
n	Asegúrese de que les queda claro que el procedimiento que van a seguir utilizando para dividir es el basado en multiplicaciones. El otro procedimiento basado en restas reiteradas, apareció con el propósito de utilizar el procedimiento conocido para explicar otro distinto, pero equivalente.
APlIcAcIón de lA PrueBA. Tiempo: 45 a 60 minutos.
correccIón de lA PrueBA. El profesor analiza una a una las respuestas que dieron niños y niñas, confrontando las diferentes respuestas en el caso de haberlas.
Pregúnteles cómo contestaron. ¿En qué se equivocaron?
Si al corregir la prueba con la pauta sugerida, encuentra algunas respuestas ambiguas de los niños, se sugiere que los entreviste solicitando que, frente a la pregunta en cuestión, puedan explicar sus respuestas.
cIerre de lA unIdAd dIdácTIcA Converse con niñas y niños sobre cómo les fue en la prueba, y las dificultades que encontraron. Destaque los fundamentos centrales de la unidad y señale que estos se relacionan con aprendizajes que se trabajarán en unidades posteriores. Anúncieles que una vez que han estudiado la multiplicación y división, en la cuarta unidad estudiarán nuevos problemas multiplicativos y aprenderán nuevas técnicas para multiplicar.
Prueba de la SeGuNda uNidad didáctica matemática • tercer año báSico
Indicaciones para el profesor (a): Lea la prueba y responda sólo preguntas relativas a las instrucciones. Pase a la pregunta 2 y prosiga de la misma forma hasta llegar a la última pregunta. Una vez que respondan esta pregunta, retire la prueba a todos. 1.	Resuelve: a)	3	veces	5	=	5	+	=	b)	4	veces	10	=	2.
•	=	Hay	que	repartir	todos	los	limones.	¿Cuántos	limones	hay	que	poner	en	cada	canasta	para	que	en	todas	las	canastas	haya	la	misma	cantidad	de	limones? :	4	=	Hay	que	poner	limones.
3.	Completa	la	división	en	cada	recuadro,	de	acuerdo	al	reparto	equitativo	realizado: a) b)
14	:	Hay:	=	cerezas. platos. cerezas	en	cada	plato.
:	=	Y	quedan	Hay:	Quedan	piñas. canastos. piñas	en	cada	canasto. piñas	sin	canasto.
4.	En	7	vasos	se	repartieron	2	fichas	en	cada	uno.	¿Cuántas	fichas	se	repartieron	en	total?	5.	Hay	43	dulces	que	se	quiere	repartir	a	8	niños.	todos	los	niños	deben	tener	la	misma	cantidad	de	dulces.	¿Cuántos	dulces	tendrá	cada	niño?	¿Quedan	dulces	sin	repartir?	¿Cuántos? 36
1 2 3a 3 3b 4 5 1a 1b
Escribe	5	+	5	+	5 Escribe	15 Escribe	4	•	10 Escribe	40 Escribe	20 Escribe	5	y	completa	la	respuesta	Escribe	7	y	2 Escribe	14	cerezas,	7	platos,	2	cerezas	en	cada	plato	Escribe	17,	3,	5	y	2 Escribe	17	piñas,	3	canastas,	5	piñas	en	cada	canasta,	quedan	2	piñas	sin	canasta	Escribe	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=	14	fichas Escribe	7	•	2	=	14	fichas Escribe	43	:	8	=	5,	5	dulces	le	toca	a	cada	niño 3	dulces	no	se	reparten 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 1	punto 2	puntos 1	punto 1	punto
Pregunta Tareas matemáticas Cantidad de % de alumnos que alumnos que respondieron respondieron correctamente correctamente
Calculan	una	multiplicación	de	un	número	de	una	cifra	por	5. Resuelven	un	problema	de	reparto	equitativo. Calculan	una	división	de	un	número	de	dos	cifras	por	uno	de	una	cifra,	en	que	el	cuociente	es	5. Resuelven	un	problema	de	reparto	equitativo. Calculan	una	división	de	un	número	de	dos	cifras	por	uno	de	una	cifra,	en	que	el	cuociente	es	2. Resuelven	un	problema	de	reparto	equitativo. Calculan	una	división	de	un	número	de	dos	cifras	por	uno	de	una	cifra,	en	que	el	cuociente	es	5	con	resto. Resuelven	un	problema	multiplicativo.	Calculan	una	multiplicación	de	un	número	por	2. Resuelven	un	problema	de	reparto	equitativo.	Calculan	una	división	con	resto	de	un	número	de	dos	cifras	por	8. % total de logro del curso
Combinaciones multiplicativas básicas : Multiplicaciones	de	números	de	una	cifra	por	números	de	una	cifra.	(De	la	tabla	del	1	a	la	del	9). La	división	es	la	operación	matemática	que	permite	anticipar	la	cantidad	de	objetos	que	le	tocará	a	cada participante	en	un	reparto	equitativo	de	objetos.	Dividir	consiste	en	obtener	el	número	(cuociente)	por	el	cual	hay	que	multiplicar	al	“divisor”	(cantidad	de	participantes	del	reparto)	para	obtener	el	“dividendo”	(cantidad	de	objetos	que	se	deben	repartir).	Por	ejemplo,	para	calcular	30	:	6	=	,	que	se	lee	“30	dividido	entre	6	es	igual	a...”,	se	calcula	6	•	=	30. tipo	de	problema en	que	se	conoce	una	cantidad	determinada	de	objetos	y	una	cantidad	determinada	de	personas	(o	partes	del	reparto)	en	que	se	debe	realizar	un	reparto,	de	tal	forma	que	a	cada	persona	le	toque	la	misma	cantidad	de	objetos	(equitativo).	Se	debe	determinar	la	cantidad	de	objetos	que	le	tocan	a	cada parte	del	reparto	para	que	sea	equitativo.	Por	tanto,	se	resuelve	con	una	división. tipo	de	problemas en	que	se	conoce	la	cantidad	de	objetos	que	se	deben	repartir	(o	agrupar)	y	la	cantidad	de	objetos	que	le	toca	a	cada	parte	o	grupo	del	reparto	(medida);	se	debe	averiguar	para	cuántas	personas	o	partes	alcanzan	los	objetos,	o	bien	la	cantidad	de	grupos	que	se	pueden	formar. tipo	de	problemas	en	que	una	misma	cantidad	se	repite	un	número	determinado	de	veces.	Un	procedimiento	útil	para	calcular	una	multiplicación	consiste	en	efectuar	una	suma	reiterada.	también	resulta	conveniente	utilizar	las	combinaciones	multiplicativas	básicas.
División de dos números :
Problema de reparto equitativo :
Problema de agrupamiento en base a una medida :
Problema de iteración de una medida :
Segunda Unidad Clase 1
¿Cuántas fichas se repartieron? 1. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas	por	vaso
¿Cuántas	fichas	hay	en	total?
2. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas	por	vaso
3. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas	por	vaso
4. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas	por	vaso
a	cada	niño	(a)	se	le	reparten	5	aviones.
¿Cuántos	aviones	se	repartirán	en	total	a	estos	3	niños? 3 veces 5 es
a	cada	vaso	de	bebida	le	corresponden	dos	bombillas.
¿Cuántas	bombillas	se	repartirán	en	total	en	estos	8	vasos	de	bebida? 8 veces 2 es 3.
a	cada	niño	(a)	se	le	dan	$20.
¿Cuánto	dinero	se	repartirá	en	total	a	estos	5	niños? 5 veces 20 es
Lista	de	precios	del	quiosco	Doña	Lola:
Escribe	en	los	cuadros	cuánto	cuesta	cada	compra.
4	•	5	=
3 veces 5 es
5.	Calcula	las	siguientes	multiplicaciones:
6	•	2	=	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=
4	•	5	=	5	•	10	=
8	•	5	=	7	•	2	=	45
6.	Lee	las	situaciones.	Escribe	una	pregunta	que	se	pueda	responder	con	los	datos	de	cada	situación.	Resuelve	el	problema	que	te	queda	en	cada	caso. a)	Los	niños	de	Kinder	de	la	Escuela	Las	Luciérnagas	hacen	9	flores.	a	cada	flor	le	ponen	5	pétalos.
b)	La	abuelita	de	Carlos	hace	7	pizzas.	a	cada	una	le	pone	10	aceitunas.
1. ¿Cuántas	patas	hay	en	una	bandada	de	5	aves? veces es
¿Cuántas	patas	hay	en	total	en	un	grupo	de	5	perros? veces es
Cada	pata	de	un	elefante	tiene	3	uñas.	¿Cuántas	uñas	tiene	un	elefante? veces es
¿Cuántas	uñas	tienen	en	total	5	elefantes? veces es
¿Cuántas	uñas	tienen	en	total	10	elefantes?
Segunda Unidad Clase 2
¿Cuántas fichas le tocan a cada uno? 1. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas
¿Cuántas	fichas	hay	en	cada	vaso?
2. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas
3. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas
4. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas
5. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas
Hay	que	repartir	todos	los	peces	en	las	3	peceras.
¿Cuántos	peces	hay	que	poner	en	cada	pecera	para	que	en	todas	las	peceras	haya	la	misma	cantidad	de	peces?
30	:	3	=
Hay	que	repartir	todos	los	peces	en	las	10	peceras.
¿Cuántos	peces	hay	que	poner	en	cada	pecera	para	que	en	todas	las	peceras	haya	la	misma	cantidad	de	peces? Se	reparten	peces	en	peceras. Se	anota	:	50
Hay	que	repartir	todo	el	dinero	entre	los	6	niños	(as).
¿Cuánto	dinero	hay	que	darle	a	cada	uno	para	que	todos	reciban	la	misma	cantidad	de	dinero?
60	:	6	=
4.	Calcula	las	siguientes	divisiones	y	comprueba	tus	resultados:
12	: 6	=
20	: 4	=
50	: 5	=
40	: 8	=
14	: 7	=
5. En una tienda de juguetes se venden bolitas en cajas. Para ello distribuyen 60 bolitas en 6 cajas. • ¿Cuántas bolitas hay que poner en cada caja, de tal forma que en cada caja quede la misma cantidad? • Compara tu procedimiento con el de Laura: Para saber cuántas bolitas hay que poner en cada caja, Laura está realizando el siguiente procedimiento:
Observa lo que está haciendo Laura y contesta: ¿Qué está haciendo Laura para responder el problema?
Después de la primera ronda, ¿cuántas bolitas le quedan por repartir? ¿cómo lo calculaste? Después de la tercera ronda, ¿cuántas bolitas le quedan por repartir? ¿cómo lo calculaste? ¿Llegará Laura a encontrar la solución? ¿por qué?
Segunda Unidad Clase 3
Calculando cuántas fichas para cada persona, sin contar. 1. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas
Preparando la fiesta de fin de año. El	3º	Básico	de	una	escuela	está	preparando	una	fiesta	de	fin	de	año.	En	el	curso	hay	40	niños	y	niñas. 1.	La	profesora	les	pide	que	dispongan	en	la	sala	8	mesas	para	ubicar	a	los	40	niños	y	niñas.	¿Cuántas	sillas	se	deben	poner	en	cada	mesa,	para	que	alrededor	de	cada	mesa	se	siente	la	misma	cantidad	de	niños	y	niñas?
40	:	8	=
2.	ana	y	Miguel,	dos	niños	del	curso,	están	encargados	de	inflar	48	globos	para	decorar	la	sala.	Para	que	sea	justo,	la	profesora	les	pide	a	cada	uno	que	infle	la	misma	cantidad	de	globos.	¿Cuántos	globos	debe	inflar	cada	uno?
48	:	2	=
3.	a	Jaime	le	encargaron	repartir	80	barras	de	chocolate.	tuvo	que	repartir	la	misma	cantidad	de	barras	en	todas	las	mesas.	¿Cuántas	barras	de	chocolate	puso	en	cada	mesa?
80	:	8	=
4.	todos	los	niños	deben	recibir	la	misma	cantidad	de	barras	de	chocolate.	¿Cuántas	barras	recibirá	cada	niño	y	niña?
:	5	=
5.	Camila	repartió	40	servilletas.	tuvo	que	poner	la	misma	cantidad	de	servilletas	en	las	mesas.	¿Cuántas	servilletas	puso	en	cada	mesa?
6.	Resuelve	las	siguientes	divisiones: 24	: 8	=	20	: 10	=	45	: 9	= 12	: 6	=
1.	Se	reparten	equitativamente	30	peces	en	6	peceras.	¿Cuántos	peces	quedan	en	cada	pecera?
¿Y	si	se	reparten	en	5	peceras?
¿Y	si	se	reparten	en	3	peceras?
¿Y	si	se	reparten	en	2	peceras?
2.	Se	reparten	equitativamente	18	manzanas	en	2	platos,	poniendo	la	misma	cantidad	de	manzanas	en	los	platos. Escribe	la	división	correspondiente.
¿Y	si	se	reparten	equitativamente	32	manzanas	en	8	platos? ¿Y	si	se	reparten	equitativamente	40	manzanas	en	5	platos?
Segunda Unidad Clase 4
1.	Lee	los	problemas	y	señala	en	cada	caso	con	qué	operación	se	puede	resolver.	Luego	realiza	los	cálculos	necesarios	para	responderlos	en	el	cuaderno. •	Los	40	niños	del	3º	Básico	de	la	escuela	Los	Pimientos	van	de	campamento.	Hay	5	carpas	para	dormir.	En	cada	carpa	debe	dormir	la	misma	cantidad	de	niños.	¿Cuántos	niños	duermen	en	cada	carpa? •	Pamela	pone	10	chocolates	en	cada	bolsa.	Hay	5	bolsas.	¿Cuántos	chocolates	pone	en	total? •	La	Sra.	Mercedes	debe	hacer	5	máscaras	para	una	fiesta	de	disfraces.	tiene	15	plumas	para	colocarle	a	las	máscaras.	Debe	poner	la	misma	cantidad	de	plumas	en	cada	máscara.	¿Cuántas	plumas	debe	pegar	en	cada	máscara? •	Cada	cotona	tiene	5	botones.	¿Cuántos	botones	hay	en	10	cotonas? 2.	observa	los	cálculos	que	realizaste	para	resolver	los	problemas. ¿En	qué	se	parecen	los	problemas	que	se	resuelven	con	una	multiplicación? ¿En	que	se	parecen	los	problemas	que	se	resuelven	con	una	división? Inventa	un	problema	que	se	resuelva	con	una	multiplicación.
Inventa	un	problema	que	se	resuelva	con	una	división.
Repartos que no se pueden hacer. 1. Cantidad	de	vasos Cantidad	de	fichas
¿Cuántas	fichas	sobraron?
1.	Hay	que	repartir	20	bombones	en	4	cajas.	¿Cuántos	bombones	hay	que	poner	en	cada	caja	para	que	todas	tengan	la	misma	cantidad	de	bombones?
¿Cuántos	bombones	sobraron? 2.	Hay	que	repartir	estos	conejos	de	peluche	en	las	canastas.	¿Cuántos	conejos	hay	que	poner	en	cada	canasta	para	que	en	todas	las	canastas	haya	la	misma	cantidad	de	peluches?
¿Cuántos	conejos	de	peluche	sobraron? 3.	Hay	que	colocar	17	galletas	en	3	bolsas.	¿Cuántas	galletas	hay	que	poner	en	cada	bolsa	para	que	todas	tengan	la	misma	cantidad	de	galletas?
¿Cuántas	galletas	sobraron?
4.	Martín	reparte	18	tortugas	en	3	acuarios.	Pone	4	tortugas	en	cada	acuario. ¿Cuántas	tortugas	quedan	fuera	de	los	acuarios?
Camila	le	dice	a	Martín	que	el	reparto	que	hizo	no	es	correcto,	pues	le	sobran	demasiadas	tortugas. ¿Quién	de	los	dos	tiene	la	razón? ¿Cuántas	tortugas	hay	que	poner	en	cada	acuario?	¿Cuántas	quedan	sin	acuario?
5.	Hay	que	repartir	32	sandías	en	10	canastas.	¿Cuántas	sandías	hay	que	poner	en	cada	canasta	para	que	en	todas	las	canastas	haya	la	misma	cantidad	de	sandías? ¿Cuántas	sandías	sobraron?
Segunda Unidad Clase 5
1.	En	la	floristería	Doña	María	se	hacen	arreglos	florales.	Para	armarlos	se	tienen	que	repartir	20	rosas	en	5	maceteros.	¿Cuántas	rosas	hay	que	poner	en	cada	macetero	para	que	tengan	la	misma	cantidad	de	rosas? Para	saber	cuántas	rosas	hay	que	colocar	en	cada	macetero,	Sergio	y	ana	realizaron	los	siguientes	cálculos: 20	–	5	=	15
15	–	5	=	10 10	–	5	=	15 5	–	5	=	10
ana	realizó	los	cálculos	de	otra	manera:
20	:	5	=	4 Porque	5	•	4	=	20
tanto	Sergio	como	ana	respondieron	que	había	que	poner	4	flores	en	cada	macetero.	Comparen	los	cálculos	que	realizaron	Sergio	y	ana. ¿Qué	hicieron	Sergio	y	ana	para	obtener	su	respuesta?
¿Qué	diferencia	hay	entre	los	cálculos	que	realizaron	Sergio	y	ana?
1.	En	la	juguetería	hay	7	cajas	iguales	a	la	siguiente:
¿Cuántas	muñecas	hay	en	total?
2.	¿Cuántas	zanahorias	hay	que	poner	en	cada	plato	para	que	tengan	la	misma	cantidad	de	zanahorias? ¿Cuántas	zanahorias	sobran?
3. a	7	niños	se	le	dan	5	dulces	a	cada	uno.	¿Cuántos	dulces	se	repartieron	en	total? 4.	Hay	que	repartir	35	lápices	a	7	niños	para	que	todos	tengan	la	misma	cantidad. ¿Cuántos	lápices	le	tocan	a	cada	niño? ¿Y	si	se	reparten	a	5	niños? ¿Y	si	se	reparten	a	10	niños?	¿Cuántos	lápices	sobraron? ¿Y	si	se	reparten	a	2	niños?	¿Cuántos	lápices	sobraron?
5.	Completa	el	número	que	falta	en	cada	operación.
18	:	9	=
24	:	2	=
:	5	=	5
:	8	=	5
70	:	7	=
:	6	=	10
:	2	=	7
35	:	7	=
1.	Hay	que	repartir	43	sandías	en	10	canastas. ¿Cuántas	sandías	hay	que	poner	en	cada	canasta	para	que	en	todas	las	canastas	haya	la	misma	cantidad	de	sandías?
¿Cuántas	sandías	quedan	fuera	de	las	canastas?
¿Cómo	podrías	comprobar	tu	respuesta?	Completa.
•	+	=	43
2.	Martín	reparte	28	tortugas	en	5	acuarios.	Pone	4	tortugas	en	cada	acuario. ¿Cuántas	tortugas	quedan	fuera	de	los	acuarios?
¿Se	pueden	poner	más	tortugas	en	cada	acuario?	¿Cuántas	tortugas	sobraron?
Tabla del 2 1	vez	2	=	2 2	veces	2	=	2	+	2	=	4 3	veces	2	=	2	+	2	+	2	=	6 4	veces	2	=	2	+	2	+	2	+	2	=	8 5	veces	2	=	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=	10 6	veces	2	=	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=	12 7	veces	2	=	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=	14 8	veces	2	=	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=	16 9	veces	2	=	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=	18 10	veces	2 =	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	+	2	=	20 Tabla del 5 1	vez	5	=	5 5	veces	5	=	5	+	5	=	10 3	veces	5	=	5	+	5	+	5	=	15 4	veces	5	=	5	+	5	+	5	+	5	=	20 5	veces	5	=	5	+	5	+	5	+	5	+	5	=	25 6	veces	5	=	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	=	30 7	veces	5	=	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	=	35 8	veces	5	=	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	=	40 9	veces	5	=	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	=	45 10	veces	5	=	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	+	5	=	50 Tabla del 10 1	vez	10	=	10 2	veces	10	=	10	+	10	=	20 3	veces	10	=	10	+	10	+	10	=	30 4	veces	10	=	10	+	10	+	10	+	10	=	40 5	veces	10	=	10	+	10	+	10	+	10	+	10	=	50 6	veces	10	=	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	=	60 7	veces	10	=	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	=	70 8	veces	10	=	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	=	80 9	veces	10	=	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	=	90 10	veces	10	=	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	+	10	=	100
Tabla Abreviada 1	· 2 = 2 2	· 2 = 4 3	· 2 = 6 4	· 2 = 8 5	· 2 = 10 6	· 2 = 12 7	· 2 = 14 8	· 2 = 16 9	· 2 = 18 10	· 2 = 20 Tabla Abreviada 1	· 5 = 5 2	· 5 = 10 3	· 5 = 15 4	· 5 = 20 5	· 5 = 25 6	· 5 = 30 7	· 5 = 35 8	· 5 = 40 9	· 5 = 45 10	· 5 = 50 Tabla Abreviada 1	· 10 = 10 2	· 10 = 20 3	· 10 = 30 4	· 10 = 40 5	· 10 = 50 6	· 10 = 60 7	· 10 = 70 8	· 10 = 80 9	· 10 = 90 10	· 10 = 100
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