Source: https://www.scribd.com/doc/57780253/CUESTIONARIO-DE-MATEMATICAS
Timestamp: 2018-10-22 23:08:18+00:00

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Uploaded by Henry Barahona Campuzano
Programación Mensual Mayo
Universidad técnica estatal de Quevedo Unidad de admisión y nivelación Facultad de ciencias empresariales Programa analítico Matemáticas Números reales
En matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal. El conjunto de números reales Clasificación de los números reales.- un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica
Propiedades de los números reales.Si a, b y c son números reales entonces: Propiedad Operación Suma Conmutativa Multiplicación Ab = ba Definición A+b = b+a Que dice El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1. El factor se distribuye a cada sumando. Ejemplo 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Suma Asociativa Multiplicación Suma Identidad Multiplicación
A+(b+c)=(a+b)+c A(bc) = (ab)c A+0=a
7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7 -11 + 0 = -11
A x 1= a A + ( -a) = 0
17 x 1 = 17 15+ (-15) = 0
Suma Inversos Multiplicación
Representación de los reales en la recta numérica Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera. Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4,. (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero. Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.
Valor absoluto.[1] En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos. Números primos.En matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. euclides demostró alrededor del año 300 a. C. Que existen infinitos números primos. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, [1] 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. La propiedad de ser primo se denomina primalidad, y el término primo se puede emplear como adjetivo. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por . Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.En matemáticas el máximo común divisor (abreviado mcd o m.c.d.) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto, , y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4). El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos. Notación científica.Los números reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se su representan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247 ), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia. Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad. Leyes de los signos.Suma (resultado con el signo del número mayor) (+)+ (+)= + (suma) (+)+ (-) = - (resta) (-)+ (+) = - (resta) (-)+ (-) = + (suma) Resta (+)-(+)= - (resta) (+)-(-) =+ (suma) (-)-(+) =+ (suma) (-)-(-) = - (resta) Multiplicación y división
Exponentes y radicales Notación exponencial Es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n. n Se escribe a , y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente Exponente cero y negativo
Cualquier número elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1. Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.
Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):
Ejemplos: División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la resta de los exponentes respectivos.
Ejemplo: Potencia de un producto La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"
Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:
Pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Potencia de base 10 En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente negativo se desplaza hacia la derecha. Simplificación de expresiones con exponentes Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero. Teorema sobre exponente negativo
El cuarto dígito es el lugar de los diezmilésimos. Operaciones Números decimales en los que una o varias cifras de la parte decimal se repiten indefinidamente.Cuando el exponente es un número entero negativo.6495. La raíz cuadrada de x se expresa: Leyes de los radicales Leyes de las radicales ================= (xª) = xª/ ab = a b a a/b = ------b ª b=ª b la radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta (a² + b²) a² + b² la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división (a² * b²) = a² * b² Racionalización notación exponencial Simplificación de potencias simplificación de expresiones con exponentes negativos. los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %. Simplifica: Los decimales Los números decimales tales como 0. hay seis décimos. El primer dígito después del punto decimal se llama décimo. Cada dígito tiene un valor posicional diferente. se llama raíz cuadrada ( ) de un número a aquel otro que siendo mayor o igual que cero. Decimales periódicos. elevado al cuadrado. que significa de cada 100 ). que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere. El número 0.6495. El tercer dígito es el lugar del milésimo. placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos. Por lo tanto. Radicales: definición propiedades En las ciencias matemáticas. sin dejar espacio de [1] separación. por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32% y significa 'treinta y dos de cada cien'. equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo. que en el ejemplo es cinco. y cinco diezmilésimos en el número 0.6495. El porcentaje es un tanto por ciento (cien unidades). Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades Combinaciones . Los números decimales periódicos pueden ser de dos tipos: decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtos Porcentaje Es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento. cuatro centésimos. Análisis combinatorio Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado. tienen cuatro dígitos después del punto decimal. nueve milésimo.6495 tiene cuatro centésimos. por lo que se concluye que es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien. Hay seis décimos en el número 0. es igual al primero. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos. El segundo dígito indica cuantos centésimos hay en el número.
Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con "n" objetos distintos de un conjunto. 4. También podemos calcular las variaciones mediante factoriales: Las variaciones se denotan por Ejemplos 1. 231. Ejemplos 1. Sí se repiten los elementos.Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación El número de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" . con k£ n . Sí se repiten los elementos. Sí pueden entrar todos los elementos si m n Sí importa el orden. 3. los n 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. Variaciones con repetición Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: No entran todos los elementos si m > n. cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos. No se repiten los elementos. 2. cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Sí importa el orden. ¿cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1. Son números distintos el 123. por hallarse todos en una línea cerrada. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden.está dada por: Permutaciones Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación. 5 ? M=5 n=3 No entran todos los elementos. 321. El número de permutaciones circulares será: Ejemplo1: ¿de cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos? Solución: Se trata de una permutación circular: Variaciones Variaciones ordinarias Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m  n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: No entran todos los elementos. hay que considerar fija la posición de un elemento. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes. . Permutación circular Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento.
c. (3x-1)/(9x-2). por parte del estudiante.s. Clasificación expresiones algebraicas enteras Las expresiones algebraicas enteras las clasificamos en monomios y polinomios Monomio: expresión algebraica constituída por un sólo término. el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. números y signos de operaciones. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.s.) Así como las propiedades de las potencias y de los radicales.s)} Operaciones En matemática una operación o ley de composición es la acción de un operador sobre una selección de elementos de un conjunto.Probabilidad Se llama espacio muestra (e) asociado a un experimento aleatorio.c). distributividad. (c.c). (s. Al lanzar un dado de seis caras. (s. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas.c. sale 5.c).c). conmutatividad. 4. sale 2. 2.c). Definiciones básicas y ejemplos Expresión Realizar operaciones con expresiones algebraicas. Ejemplo 3 2 -3 a b c 3 2 . Todo monomio consta. etc.c. (c.c.s).s.s)}. primero nos abocaremos a realizar operaciones con monomios. (c. el espacio muestral es e = {(c.s. sale 4. sale 3.s). (c. sale sello} ó e = {c. (s. Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras. Al lanzar una moneda. de dos partes: Coeficiente: el número del monomio.es el signo 3 es el "coeficiente" a b c es la "parte literal monomios semejantes: Son los que tienen igual parte literal (las mismas letras elevadas a los mismos exponentes) Ejemplo: 3 2 3 2 2 a b c es semejante a 5 a b c Polinomio Definición es una expresión algebraica entera compuesta por la suma o resta de monomios Ejemplo 3 2 3ax + 2bx .c). las letras solamente están afectadas por operaciones de producto y de potencia de exponente natural. el espacio muestral es e = {sale 1. 6} al lanzar dos monedas. Con el fin de lograr una mejor comprensión del tema. Son expresiones algebraicas. el espacio muestral es e = {(c. consiste básicamente en aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales (asociatividad. s}.s). El conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial). son expresiones algebraicas 8x-78z . para posteriormente efectuar operaciones con expresiones algebraicas en general. (s. esto se conoce técnicamente como ley de composición. Al lanzar tres monedas. (s.5x + 8 Llamamos . 3. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no. pero no enteras (3x-1)/(9x-2) y 8x/9y No son expresiones algebraicas log(2x+1) ni cos (9x-5). Parte literal : las letras con sus exponentes En un monomio. Ninguna letra está en el denominador ni afectada por una raíz o por un exponente negativo. (s. el espacio muestra es e = {sale cara. Por ejemplo. sale 6} ó e = {1.s). Expresiones algebraicas enteras Definición Se llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que no contienen denominadores algebraicos. 3 naranjas + 4 papas. 5.
35.4bx + 3 x y + 4 a x Polinomio homogéneo: todos sus términos son del mismo grado. entonces p(a o b) se calcula con la siguiente fórmula: p(a o b) = p(a) + p(b) ..Binomio: a la suma o resta de 2 monomios Trinomio: a la suma o resta de 3 monomios Cuadrinomio: a la suma o resta de 4 monomios.64 +. Polinomio completo: un polinomio es completo cuando figuran en él todas las potencias de la letra respecto De la cual está ordenado.3 x y + 4a x (6º grado) (5º grado) (6º grado) polinomio de sexto grado : Valor numérico de una expresión algebraica: Es el que resulta de reemplazar cada letra por un valor particular asignado y efectuar luego las operaciones indicadas. El álgebra de conjuntos define las operaciones.4bz + 7 polinomio completo con respecto a su letra "b" y en este caso.64. además está ordenado.5b .p(s y t) = .2ab + 3a b .5 ax . El resto de los polinomios se los denomina según el número de monomios que tengan de la siguiente manera. si un estudiante es seleccionado aleatoriamente. reglas y propiedades que podemos aplicar con los conjuntos. Conjuntos Conjunto: conjunto cualesquiera la nombraremos con una letra mayúscula: conjunto universal: que contiene a todos los conjuntos de los que estemos tratando. Ejemplo: 3 2 Ab . por ejemplo si el polinomio tuviera 6 monomios. ejemplos Regla de adición algebraica Establece que si dos eventos a y b son mutuamente excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de sus probabilidades. a partir de la potencia de mayor grado. ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo. lo llamaríamos polinomio de seis términos. P(t) = 175 /500 = . A esto se le llama la regla del complemento.p(a y b) el diagrama de venn ilustra esta regla Ejemplo: en una muestra de 500 estudiantes.5x + 8 2 2 3 5 Polinomio de cinco términos 2bx . Ejemplo: 5 2 7 3 . sólo una tv y uno de cada uno? P(s) = 320 /500 = . 320 dijeron tener un estéreo.b 4 ordenado en forma decreciente respecto de la letra bla letra con respecto a la cual el polinomio está ordenado se denomina ordenatriz. Grado de una expresión algebraica entera Grado de un monomio: Es la suma de los exponentes de su parte literal 3 2 3 a b c es un monomio de 6º grado (3+2+1) -2 es un monomio de grado cero Grado de un polinomio Es el grado del término de mayor grado. Ejemplos 3 2 2 3 Binomio 3a b c-3x y 3 2 2 3 5 Trinomio 3a b c-3x y +4ax 3 2 Cuatrinomio 3ax + 2bx .20 = .p(a y b) si a y b son no excluyentes siendo: p(a) = probabilidad de ocurrencia del evento a p(b) = probabilidad de ocurrencia del evento b p(a y b) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos ayb Ejemplo: si a y b son dos eventos que no son mutuamente excluyentes. De lo anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra a más la probabilidad de que no ocurra a debe sumar 1.35 . lo nombraremos con la letra u mayúscula: conjunto vacío: que es el conjunto que no tiene ningún elemento. La regla de la adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos a y b es igual a: p(a o b) = p(a) u p(b) = p(a) + p(b) si a y b son mutuamente excluyente p(a o b) = p(a) + p(b) . P(s y t) = 100 /500 = . 2 3 4 3 3x b + 3ax + 3 b cz todos los términos son de 5º grado Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el anterior y está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente menor o igual que en el anterior.79. b = 1 y c= 3 será: 2 x 1 x 3 = 8 x 1 x 3 = 24 Reglas y propiedades. ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una tv en su habitación? P(s o t) = p(s) + p(t) . 3 2 2 3 5 3 a b c .5a ordenado en forma creciente respecto de la letra a 3 2 4ab . Esta regla establece que para determinar la probabilidad de que ocurra un evento se puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra. lo nombraremos con: 3 2 .20. 175 dijeron tener una tv y 100 dijeron tener ambos si un estudiante es seleccionado aleatoriamente. Ejemplo: 3 2 El valor numérico de a b c si a= 2.
Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética. unión de conjuntos ambos. Propiedades de la resta algebraica Propiedad de cerradura: la resta o diferencia de dos polinomios dará como resultado otro polinomio. la operación se dice finalizada o completa si todos los términos semejantes entre minuendo y sustraendo. han sido simplificados totalmente. o por las potencias descendentes de una letra llamada letra principal. es el conjunto de todos los elementos de a que no Diferencia de conjuntoso complemento relativo pertenecen a su vez a b. Caracteristica de la sustraccion o diferencia final En una resta algebraica. No hay propiedad conmutativa: el orden de minuendo y sustraendo si altera el resultado de la resta. Caracteristicas del minuendo El minuendo es el polinomio que va a disminuir. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles. en la que se establece la diferencia entre dos polinomios. a b o a : la diferencia de a y b. . o bien lo que le falta a un polinomio para llegar a ser igual al otro. : la intersección de 2 conjuntos a y b es el conjunto de todos los elementos que pertenecen : la unión de 2 conjuntos a y b es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a a. Caracteristicas del sustraendo El sustraendo es el polinomio que representa cuanto va a disminuir el minuendo. pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial. Operaciones intersección de conjuntos tanto a a como a b.elemento de un conjunto: que es un objeto individual que forma parte de ese conjunto. complemento de un conjunto Propiedades Idempotencia o igual potencia: : es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a a. Asociativa: Conmutativa: Distributiva: Identidad: Complementariedad: Involutiva: Ley de de morgan: Para cualquier conjunto a y b Regla de la sustracción algebraica Sustraccion es una operacion de comparacion.
lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro.(a + b) = a + b . llaves.y + y . El siguiente ejemplo establece los pasos usuales para efectuar la resta: 2 2 2 2 restar 2x -3xy+5y al polinomio 10x -2xy-3y 2 2 10x -2xy-3y es el minuendo.[.a + x )]} en este ejemplo unos signos de agrupación están incluidos dentro de otros. lo cual es resultado de cancelar el signo de agrupación que tiene un signo negativo o de resta delante: la realización de la operación final sigue las mismas reglas aplicadas en el algoritmo de la suma.y + 4x ] + {x . el minuendo será el resultado de sumar la diferencia con el sustraendo. dejando las cantidades que están dentro con su propio signo.6} = 5x .Sean a y b dos polinomios. Algoritmo de la resta algebraica Los libros de texto usualmente expresan la resta planteándola de varias formas. lo suprimimos dejando las cantidades que contiene con su propio signo. o bien que la diferencia es lo que le falta al sustraendo para ser igual al minuendo.c + 2a .5x .d. .c) + 2a . suponiendo que m y s son dos polinomios: Restar la expresión s a la expresión m. respetando el orden de los términos semejantes. el algoritmo usual lleva los siguientes pasos: Escribir el minuendo. para separar el sustraendo: luego se procederá a escribir el minuendo y debajo de éste al sustraendo. con lo que tendremos: a + (b . la diferencia es el resultado de restar el sustraendo al minuendo. Supresión de signos de agrupación regla general 1) para suprimir signos de agrupación precedidos de + se deja el mismo signo que tenga cada cantidad dentro de él. esta operación puede plantearse de la siguiente manera intermedia.c ) + 2a .6} suprimimos el paréntesis y las llaves precedidas del signo +. y como el segundo paréntesis va precedido del signo -.6 = x 6 3) cómo simplificar la expresión 3a + {.a . empezando por el más interior. Sea cualquiera la forma de plantear un problema de resta.y + 4x ] + {x .y ) .[. ejemplos 1) cómo suprimir los signos de agrupación en la expresión a + (b . o bien que el sustraendo es lo que le falta a la diferencia para ser igual al minuendo.x . resta o sustraccion será: 8x +1xy-8y Reglas para eliminar signo de agrupamiento: paréntesis ordinario.[.x . el sustraendo será el resultado de restar la diferencia al minuendo. s = m . y como el corchete va precedido de -. con lo que tendremos: 5x + (. m = d+s. lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro. corchetes. Hallar la diferencia entre m y s. A la expresión m restarle la expresión s. entonces se cumple que a-b¹b-a No hay propiedad asociativa: la resta solo puede hacerse entre dos polinomios.y) . 2) para quitar signos de agrupación precedidos de . diferencia. al simplificar los términos semejantes de los polinomios: 2 2 la respuesta final.b = 2a c 2) cómo suprimir los signos de agrupación en 5x + (. con signos cambiados. s (sustraendo) y d (la resta o diferencia).se cambia el signo a cada cantidad dentro de él. por lo que se suprime uno en cada paso. 2 2 2x -3xy+5y es el sustraendo. usando signos de agrupación y signo de resta.a + (9x .(a + b ) que equivale a + a (+ b . Cambiar signo a los terminos del sustraendo y colocar éstos debajo de los terminos del minuendo. Consecuencias de la propiedad de cerradura en la resta algebraica Sean tres polinomios m (minuendo).x .(+ a + b ) como el primer paréntesis va precedido del signo +.c ) + 2a . Efectuar la operación siguiendo las reglas usuales y aplicables para la suma algebraica corriente. vínculo o barra.4x + x . es posible verificar las siguientes situaciones: m-s = d.
5x + a . los términos son: 4 3x5 6:2 si resolvemos cada término la operación sería: 4 + 15 3 = 16 si bien este es un caso muy simple puedo asociar para obtener el resultado. Recordemos que la propiedad asociativa decía: a la suma de los positivos le resto la suma de los negativos .en este caso primero suprimimos el vínculo. Aplicando esta propiedad.9x + a + x } al suprimir las llaves tenemos: 3a .a + 9x .5x .13x Propuestas de problemas Los términos de una operación los debemos separar en las operaciones suma y resta.[.5x + a . 8+6x 5 4x 3= separamos los términos 8 6x 5 4x 3 . la operación sería: (4 + 15) 3 = 19 3 = 16 vamos a un ejemplo un poquito más complicado: -8 + 6 x 4 18 : 2 + 20 : 2 5 = tenemos los siguientes términos: -8 6x4 18 : 2 20 : 2 5 la operación quedaría: -8 + 24 9 + 10 5 = asociamos: (24 + 10) (8 + 9 + 5) = 34 22 = 12 hagamos otro ejemplo.a .x ]} al suprimir el corchete tenemos: 3a + {.9x + a + x al reducir los términos semejantes queda: 5a . Veamos el siguiente ejemplo: 4+3x5 6:2= en este ejemplo. con lo que tendremos: al suprimir el paréntesis tenemos: 3a + {.
8 . Otra cosa a tener en cuenta es que. generalmente.30) (. vamos a nuestro caso: 8 + (. si el signo que antecede al paréntesis es negativo (-) los signos que están dentro del paréntesis cambian. si es un signo positivo (+) los signos que están dentro del paréntesis no cambian. para separarlos se utilizan paréntesis. entonces tendríamos 8 . nos quedó una sucesión de sumas y restas.12 = en este caso vemos que se nos junta el signo de la operación con el signo de los números. si hace falta..12) = como el (. Quedaría así: 8 + (.12) = para resolver la operación anterior tenemos que suprimir parentesis.tendríamos 8 + .12) = ahora veamos el (. como está antecedido por un signo (-) el 12 pasa a ser + 12. en el siguiente paso vamos a aplicar propiedad cancelativa. es decir. lo vamos a ir haciendo paso a paso y voy a pintar de rojo los números que voy a ir cancelando. Vamos al ejercicio. 6+8 (-6 +8+6 (-8+6+8 (-6+8) 6)+8)= primero suprimo los paréntesis más chicos.30 (. se colocan corchetes y.30 = 20 . Para suprimir paréntesis tenemos que fijarnos en el signo que antecede al paréntesis a suprimir. veamos: 6+8+6-8-6-8+6+8+6-8-6-8= quedaría: 8+6-8-8+6+8+6-8-6-8= quedaría: .12). es decir. nuevamente el signo que antecede a los paréntesis a suprimir es (-): 6+8 (-6 +8+6+8-6-8-6+8+6+8)= última supresión. me fijo en el signo que los antecede. es decir. como es (-) los signos interiores cambian.30 +12 = asocio: (8 + 12) .30 = -10 ahora vamos a hacer un ejercicio de supresión de paréntesis un poco mas largo. vamos a buscar números con el mismo valor absoluto pero con signos distintos y los ³cancelamos´ de la operación. llaves. es la manera de realizar esta operación con menos riesgo de equivocarnos. nosotros solo vamos a colocar paréntesis solo por una cuestión grafica. entonces: 6+8 (-6 +8+6 (-8+6+8+6-8 6) +8)= seguimos suprimiendo. esto se puede hacer porque la suma o resta de estos daría como resultado cero. a pesar de que sea mas larga y mas tediosa que otras. nuevamente signo (-): 6+8+6-8-6-8+6+8+6-8-6-8= como vemos. tengamos en cuenta que la forma en que lo vamos a realizar no es la única pero.30) (.30 . cuando tenemos mas de un par de paréntesis y para poder diferenciarlos.30) está antecedido por un signo (+) queda como 30. no variaría el resultado final.
se le resta el número que queda. 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6. ahora vamos a resolver algunos ejercicios. El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. 2. euclides demostró alrededor del año 300 a.ej.4 + 3 + 4) 3 ) = e) 7 ( . aunque habitualmente nos referimos solo a los positivos. para la resolución de los mismos tomemos como consigna resolverlos de la manera anterior. A) 7 + 5 x -6 7 x 4 = b) 9 28 : . Factor En matemáticas. Véase [1] para una discusión sobre el tema. Los factores propios positivos de 42 son {1. es la manera en la que menos posibilidad de error vamos a tener. un factor o divisor propio de un número enteron. es un número también entero menor que n que lo divide exactamente.3 4 + 3 ( . 6. y éste es múltiplo de 7.2 + 4 x 3 = c) 5 + 3 ( . bien.4 5 + 6 + 3 4) + 10 = d) 3 4 ( . y cada entero es divisor de 0.6 4 x -6 5 6) = Multiplicación La multiplicación es una operación nada de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo calor la cantidad de veces indicada por un segundo calor. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes. Los factores propios pueden ser positivos o negativos. Así. que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. 7. en los conjuntos numéricos). También decimos que 42 es divisible por 7. Un número es divisible por 8 si y solo si el número compuesto por los tres últimos dígitos es divisible por 8 Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 9 Un número es divisible por 10 si y solo si su último dígito es 0 Un número es divisible por 11 si y solo si la suma alternada (uno positivo y otro negativo) de sus dígitos es divisible por 11 (p. simplemente. se multiplica por 2. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares. Que existen infinitos números primos. «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 7 por sí mismo (5+4+4). C. es decir. no se considera ni primo ni compuesto. 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o. como dijimos antes. por convenio. tal vez. Se contraponen así a los números compuestos.4 esta forma de resolver los ejercicios es mas larga y. Casos especiales: 1 y -1 son factores propios de todos los enteros. Reglas para factores propios pequeños Hay algunas reglas que permiten reconocer factores propios pequeños de un número un partir de sus dígitos decimales: Un número es divisible por 2si y solo si su último dígito es divisible por 2 Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3 Un número es divisible por 4 si y solo si el número compuesto por sus dos últimos dígitos es divisible por 4 Un número es divisible por 5 si y solo si su último dígito es 0 o 5 Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y por 3 Un número es divisible por 7 si y solo si se separa el último dígito de la derecha. 182919 es divisible por 11 porque 1-8+2-9+1-9 = -22 es divisible por 11) Numero primo En matemáticas. e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). El número 1. mas tediosa pero. se vuelve a aplicar. 14 y 21}. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica. Si aún no se reconoce. . un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Por ejemplo.6-8+6+8+6-8-6-8= quedaría: -8+6+8+6-8-8= quedaría: 6+6-8-8= finalmente asocio: (6 + 6) (8 + 8) = 12 16 = . 3. Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo. que el resto de la división de n por su factor propio es exactamente 0.
17. lo que se conoce como propiedad conmutativa. 23. 37. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales. Suma y resta de números con un mismo y con diferente signo. 67. que consiste en que. 47. y el término primo se puede emplear como adjetivo. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de riemann y la conjetura de goldbach.Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2. pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas. y. Dos binomios El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes. base y exponente. 19. Propiedad conmutativa Utilizando esta definición.. El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número. Cuando dos números negativos se suman el resultado es negativo. es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. 2 En este ejemplo: 8 = 8 × 8 = 64 2 En palabras: 8 se puede leer "8 a la segunda potencia".± El doble del primero por el segundo termino: 2ab 3. Por ejemplo: (8·3)·2 = 8·(3·2) 24·2 = 8·6 48 = 48 Ley de los signos. 5. 41. los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.. 1) (x + 2)(x + 7 ) = x 2 + (2 + 7) x + (2)(7 Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es igual a un trinomio cuadrado perfecto: 1. A veces se denota el conjunto de todos los números primos por . Ejemplo: 3+4 = 5 -3+(-5) = -8 -6 + 20 = 14 5+7= 12 -9+(-3) = -6 5 + (-20) = -15 Ley de los exponentes. Como indican los dos primeros ejemplos. ya que éste es el único número primo par. se cumple: (x·y)z = x(y·z) En la notación algebraica. 29. z. potencia numérica. [1] 43. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2. 7. 89 y 97. 79.El cuadrado del segundo termino: b² . 71. "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" Productos Monomio Un monomio es una expr esión algebr aica en la que las únicas operaciones que a parec en entre las variables son el product o y la pot encia de exponent e natur al. 83. para tres números cualesquiera x. y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y: X·y = y·x Propiedad asociativa La multiplicación también cumple la propiedad asociativa. 73. Cuando se suma un numero positivo y un numero negativo se toma el signo del número de mayor valor absoluto. Cuando dos números positivos se suman el resultado es positivo. los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente. 53. el orden en que se multiplican dos números es irrelevante.El cuadrado del primer termino: a² 2.. 11. 59. 61. 13. El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números. 31. la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números naturales. La propiedad de ser primo se denomina primalidad. 3.
divisor y cociente Ley de signos En la de la suma (+) + (+) = + (-) + (-) = (+) + (-) = según sea el valor del mayor (-) + (+) = lo mismo que arriba En la de la resta es = solo cambias el signo que esta entre medio de los paréntesis. (-) . La tabla siguiente nos ilustran cu les son . El cociente de dos monomios es otro monomio que tiene: Por coeficiente. Multiplicación y División (+) por (+) da (+) (+) entre (+) da (+) (+) por (-) da (-) (+) entre (-) da (-) (-) por (+) da (-) (-) entre (+) da (-) (-) por (-) da (+) (-) entre (-) da (+) Ley de los exponentes Las leyes de exponentes nos permiten evaluar y simplificar expresiones matem ticas. Una fracción con letras en el denominador (fracción algebraica). el cociente de las partes literales. Por parte literal.( a + b ) ² = a² + 2ab + b² Multinomios Ejemplos y propuestas de problemas División Al igual que en el producto. Un número. no es necesario que dos monomios sean semejantes para poder realizar la división. Imagen: División de monomios La división de monomios puede dar como resultado: Un monomio de coeficiente fraccionario o entero.(+) = según sea el valor del mayor (+) .(-) = + (+) .(+) = según sea el valor del mayor Ósea que si es un -3+1=-2 La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo.(+) = + (-) . el cociente de los coeficientes. Dividendo.
Ejemplo y propuestas de problemas Operaciones donde se utiliza el cero .Descripci 1) n Expresi n Ilustraci n de la ley Producto de dos factores con igual base 2) Producto de dos factores elevado a un exponente 3) El cociente elevado a un exponente 4) Expresi un exponente n exponencial elevado a su vez a 5) El cociente de dos expresiones exponenciales 6) Cero comoexponente donde 7) Exponentesenteros negativos Multinomio y monomio Multinomios Los multinomios son expresiones algebraicas formadas por tres o más términos algebraicos.
(en el caso de números debemos utilizar los números primos) que.. .b)(a + b). aunque se usa de forma más fácil para indicar cualquier expresión que consta de una suma o resta de dos términos. Diferencia de cuadrados para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta. 2 P(x) = 2x + 3x + 5 Binomio en álgebra. Factores comunes Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros.. es posible encontrar en un libro de álgebra un ejercicio en la sección 2 de "binomios al cuadrado" que diga «Calcula el resultado de (cos(x)+sen(x)) ».. miembros) Numerador. son binomios las expresiones: mientras que no lo son expresiones tales como: puesto que alguno de sus términos no es un monomio. Agrupación Fracciones Es el cociente de dividir dos números enteros (a+b) donde b es diferente a 0 Definiciones (numerador. un número compuesto. 3. . aunque en un contexto más informal podría llamarse binomio a cualquier expresión que involucre una suma o resta de dos expresiones. resulta el objeto original. Por ejemplo. Es deci r . despu és pasamos al y así sucesi vamente. pr obamos a div idir numerador y denominador entr e 2 mi entr as se pueda.representa las partes que tomamos del entero y se encuentra arriba de la barra de fracción Denominador.Multiplicación División Ejemplos y propuestas de problemas Factorización En álgebra. un binomio es una expresión algebraica con dos términos. se factoriza asi: Trinomio Un trinomio es un polinomio que co nsta de tres mono mio s. Bajo la definición estricta. primos entre si. Se r epi te el pr oceso hasta que no haya más di visor es comunes.-representa las partes en el que está dividido el entero y se encuentra debajo de la barra de fraccion Principio fundamental Simplificación Simplificar una fracción es tr ansfor mar la en una fracción equiv alente más si mpl e. la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo. Empezar emos a simplificar pr obando por l os pr i mer os números primos: 2. em pezar emos qui tando l os ceros comune s fi nal es del numerador y denominador. al multiplicarlos todos. Así. y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a . denominador. Estrictamente hablando se refiere a un polinomio formado por la suma de dos monomios. 5. Si l os tér mi nos de l a fracción ter mi nan en ceros. el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5. . 7. una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores). Par a simplificar una fracción div idimos numerador y denominador por un mi smo núm ero.
Sólo se aplica con números naturales. no se usan decimales ninúmeros negativos. es decir. Una forma común de ecuaciones lineales es: Donde representa la pendiente y el valor de Las ecuaciones en las que aparece el término Algunos ejemplos de ecuaciones lineales: determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y). el mcd de 42 y 56 es 14. Dos filas s on iguales. la vez al 3 y al 4). esto es.c. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador. Por ejemplo. En efecto. entonces x = 3 ó x = -3. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.d. que no contiene productos entre las variables. Una fila es proporcional a otra. Mcd En matemáticas el máximo común divisor (abreviado mcd o m. Una fila es combina ción lineal de otras. y y son primos entre sí (no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a Fracciones complejas Es la que está formada por numeradores racionales sobre numeradores racionales Ejemplos y propuestas de problemas Ecuaciones e inecuaciones l inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica.d. la solución de la ecuación x = 3 es -3 y 3. (llamado rectangular) no son consideradas lineales.) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo. Sistema de ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad. Por lo tanto.c. a = -a . Si: T odos los coeficientes son c eros. aunqu e teng an di sti nto núm er o de ecuaci ones.Si el númer o por el que di vi di mos es el máximo común deno minador del numerador y denominador l l eg amos a una fracción irreducible. involucrando una o más variables a la primera potencia. el proceso es diferente. Obtenemos si stemas equi val entes por eliminación de ecu ac iones dependi entes. una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. 36) = 4 Multiplicación y división Racionalización Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. si x = 3. Adición y sustracción Mcm El mínimo común múltiplo (m.m.c.(8. Ecuaciones simultaneas o consistente Ecuaciones equivalentes o dependientes Son l os que ti ene n l a misma solu ción. En el sistema cartesiano representan rectas. es decir. m. Usamos este argumento para resolverecuaciones con valor absoluto.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Ecuaciones incompatibles o inconsistentes Incompatible significa que no tiene solución (claro!) Determinado significa que la solución es única Indeterminado significa que la solución no es única .
debemos eliminar una de las incognitas. ¡ ¢ 1 Des pejamo s una de l as i ncóg ni tas en una de l as dos ecuaciones. por el val or anter i or: Resolv emos la ecu ación obt eni da: 4 Sustituimos el v alor obteni do e n l a vari abl e despejada. 4 El val or obteni do se susti tuye en l a ecuaci ón en l a que apar ecí a l a i ncóg ni ta despejada. esto se logra multiplicando a una de las ecuaciones por un numero cualquiera. como su nombre lo dice. Es incompatible. 2 Se susti tuye l a expr esi ón de esta i ncóg ni ta en l a otr a ecuaci ón.4) (0. --------------------------------------« 2x + y= 6 4x +2y=7 No tiene solución . si la de arriba da 6. en realidad estoy dando una sola recta y la solución es cualquier punto de esa recta. Sistema de dos ecuaciones simultaneas de 1er grado con 2 incógnitas Método por eliminación En El Metodo por Eliminación (Suma y Resta). la de abajo da 12 seguro. por ejemplo: x. y.Mejor con ejemplos : ------------------------2x + y =6 x+y=5 tiene por solucion x=1 e y=4 es compatible determinado Graficamente son dos rectas que se cortan. y ya realizando la suma con la otra ecuacion sobrante la incognita elegida debera ser eliminada (=0) Método por sustitución 1 Se desp eja una i ncóg ni ta en una de l as ecuaci ones. obteni end o un ecuaci ón con u na sol a i ncóg ni ta. Gráficamente son dos rectas paralelas. El eg i mos l a i ncóg ni ta que teng a el coefi ci ente más bajo. Se r esuel ve l a ecuaci ón. sean estas.6) (3. 5 Los dos val or es obteni dos consti tuyen l a sol uci ón del si stema. positivo o negativo (todos los componentes de la ecuacion deberan ser afectados por este numero).0) etc es compatible indeterminado Observá que la segunda ecuación es un multiplo de la primera. 5 Solución Método por igualación Método grafico . -------------------------2x + y= 6 4x +2y=12 tiene infinitas soluciones (1. z. 2 Sustituimos en l a otr a ecuaci ón l a vari abl e x.
evidentemente. el mismo resultado. recordemos de nuevo el enunciado: Entre Ana y Sergio tienen 600 euros. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases: Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones. es decir. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. En este último paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan. Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. una recta. el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste. Sistema compatible determinado. Por tanto. la misma solución. la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros. dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto. que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez. luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. por última vez. tendremos que y = 2x. Se construye. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros. el sistema no tiene solución. las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana. el mismo es compatible determinado. Sistema compatible indeterminado. o sea sin solución. y) que conforman la única solución del sistema. por tanto. Veamos. Si ambas rectas son paralelas. que. luego éste será compatible indeterminado. para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas. Si las dos rectas se cortan en un punto. Si las dos rectas son paralelas. si es así. dónde. por lo que éste será incompatible. vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200. esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. ambas rectas y comprobar si se cortan y. ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema. Hay que tener en cuenta. si ambas rectas son coincidentes. en el plano. el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene. no tienen ningún punto en común. o sistema de coordenadas. para poder representar ambas rectas. Por último. es decir. 400).y = 0 Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos: y = -x + 600 y = 2x Vamos ahora. por lo tanto. Sistemas de ecuaciones de la forma Sistema de tres ecuaciones lineales. Sistema incompatible. con tres incógnitas . es decir. en representar en unos ejes cartesianos. la tabla de valores correspondientes. que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos. por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas. lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas). a calcular sus tablas de valores: y = -x + 600 x 200 600 y 400 0 y = 2x x 100 200 y 200 400 Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY. hay infinitos puntos que pertenecen a ambas. pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si ambas rectas son coincidentes. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: x + y = 600 2x . se use el método que se use. podemos ya representar gráficamente: Si observamos la gráfica. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico.Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado. las coordenadas de éste son el par (x.
Depsjamos la z de ambas ecuaciones: Sustituimos los dos valores obtenidos en Método de eliminación por suma y resta Multiplica por MENOS " (-2) todo lo de arriba: (-2) 2X+4Y= 6 equivale a: -4X -8Y= -12 el sistema queda entonces: -4X .8Y= -12 4X -2Y= -8 _______________ -10Y= -20 (este es el resultado de sumar X con X y Y con Y despejas a Y pasando el -10 dividiendo al -20 Y= -20/-10. Despejamos la x de la primera ecuación. donde está la Y colocas 2: 4x-2(2)=-8 multiplicas: 4x-4= -8 .Se despaja una varible de una de las ecuaciones. pasas el -4 SUMANDO al -8 (SUMANDO porque antes estaba restando) 4x = -8 + 4 4x = -4 (negativo porque el numero mayor que es el 8 tiene un negativo) el 4 que está multiplicandola X lo pasas DIVIDIENDO al del otro lado de la igualdad y de esta manera se despeja la X: . Y= 2 (positivo porque "menos" entre "menos" resulta "mas) Ahora ese Y igual a dos (Y=2) lo sustiuyes en cualquiera de las ecuaciones del sistema.8Y= -12 4X -2Y= -8 Suma entonces las EQUIS CON LAS EQUIS y las YES CON LAS YES: -4X . si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema. agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas: Lo resolvemos por igualación. por ejemplo en la segunda: 4x-2y=8 es decir.
eliminando las incomodidades de la escritura dialectal/ Propiedades de la desigualdades 1. Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. respectivamente. el signo de la desigualdad varia. 2.si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa. el signo de la desigualdad varia porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por 1.Se invierten los miembros de la desigualdad cambia de signo. 5. X = -1 Problemas de aplicación en sistema de ecuaciones simultaneas desigualdad e inecuación Desigualdad En matemáticas una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y. el signo de la desigualdad no cambia Ejemplo: . En la desigualdad. o sea multiplicando por 1 / c. También existen otros derivados de estos dos. la desigualdad cambia de signo Ejemplo a > b es evidente que b es < a. los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo. el signo de la desigualdad no varia. podemos escribir: Ac > bc y a / c > b / c Consecuencia Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad 3. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Asi en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por c.si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva. significa "mayor o igual que" o "menor o igual que". Ejemplo: .ac < -bc Y dividiéndolos por c. Ejs: 4^x-2 (4 equivale a x-2) /esto nos llevaria ya a un prefijo ecuacional puro. Así dada la desigualdad a > b siendo c una cantidad positiva.. tendremos: .. tendremos a / c < -b / c Consecuencia Si se cambia el signo a todos los términos o sea a los dos miembros de una desigualdad..si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva . Es decir. lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.. el sino de la desigualdad no varia. Asi dada la desigualdad a > b podemos escribir: a+c>b+c y a c>b c Consecuencia Un termino cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.-Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad.X = -4/4. 4. que nos indica que tienen diferente 1 valor..a > b se tiene que 1 / a < 1 / b 6.si cambia el nombre de los miembros.
El símbolo ~ indica negación. (Véase también Transposición (matemáticas)) Inecuaciones Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad.5 > 3. el signo de la desigualdad no cambia. una inecuación es una expresión referida a lo que se quieren referir al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). Este artículo se refiere a su uso filosófico. entonces para todo z tal que x z y. El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número real. Ejemplo: -3 > -5. se invierte si a ambos miembros se les multiplica o divide por un número negativo. refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. porque 25 > 9 7. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas. La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. x y. o si se les multiplica o divide por un número positivo.. A este conjunto se le conoce como Intervalo. habiendo diferencias sólo a partir del apartado ** Reducimos todos los términos a común denominador Eliminamos los denominadores al multiplicar todos los términos por 20 . El significado de esto puede variar. entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad). Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado. Reglas de transposición En los métodos de razonamiento deductivo en lógica clásica. Operaciones con intervalos Resolución de inecuaciones El proceso inicial es el mismo que para las ecuaciones de primer grado.. elevando al cuadrado: 5 al cuadrado es > 3 al cuadrado. son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad: si x e y pertenecen a I. z pertenece a I. se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. donde en un asunto hipotético estará la primera declaración antecedente y la declaración pasada será consiguiente. Intervalos En análisis. "transposición es regla de la inferencia que los permisos uno de [1] deducir de la verdad de A implican B la verdad de Not-B implica el not-A . Si por el contrario.2. Más precisamente.si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva. en cambio. contrastando con a b (a es menor o igual a b) y a b (a es mayor o igual que b). Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad.. La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. será una inecuación "condicional". En matemáticas. llamadas inecuaciones no estrictas. P y Q son componentes que representan las declaraciones que forman a verdad funcional compuesto asunto. e inversamente . Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida. elevando al cubo: ( -3 ) al cubo > (-5 ) al cubo porque -27 > -125 2 > . pero se invierte o cambia para otros valores. Su expresión simbólica es: [2] ( Q DE P) (~P DEL DEL ~Q) El es el símbolo para implicación material y doubleheaded la flecha indica a bicondicional relación. La expresión función de la verdad tiene usos distintivos adentro lógica filosófica y lógica matemática. el signo comparativo es el mismo y que sólo para ciertos valores de las variables.
) o mejor: Inecuación poli nómica Son aquellas equivalentes a una inecuación cuyo primer termino es un polinomio y el segundo es cero Inecuación fraccionaria tienen la incog nita en el denomina dor se resuelven de un modo si milar a las de s egundo grado. (fíjate que el a cambiado por ).-)/(-. pero cambiamos el sentido de la inecuación al ser negativo el número que pasa dividiendo. Este símbolo no cambiaría si el número que hemos pasado dividiendo fuera positivo y sucedría lo mismo si el número pasara multiplicando. En este caso la solución serán todos los infinitos números que son mayores o iguales que 3. Inecuación de doble desigualdad Tenes que resolver por seoarado los dos modulos 1<|3x-2| 1<3x-2 ó 3x-2<-1 3<3x ó 3x<1 1<x ó x<1/3 S1(-inf. Simplificamos la fracción (en este caso dividimos) ÉSTA ES LA SIMPLIFICACIÓN FINAL DE LA INECUACIÓN. (+.2| Y la solución al problema es la intersección de S1 con S2 S|-2/3.-)>0 (-. lo que se expresa como [3 .+)/(+. De aquí se deduce el intervalo de valores de x que cumplen esta inecuación.1/3)U(1. pero hay que tener presente que el denominador no puede s er c ero.-)>0 (-.+)>o (+.Imaginamos que cada línea de fracción es un paréntesis que envuelve al polinomio o monomio y quitamos paréntesis teniendo cuidado con el signo de delante Sumamos o restamos los monomios semejantes Pasamos 45x al lado izquierdo de la ecuación (en realidad restamos 45x a ambos miembros de la inecuación) Pasamos el 20 al lado derecho de la inecuación Sumamos y restamos monomios ** Pasamos el "-13" al otro lado dividiendo (en realidad dividimos ambos miembros de la inecuación entre 13).inf) Luego |3x-2|<=4 3x-2<=4 y 3x-2>=-4 x<=2 y x>=-2/3 S2 |-2/3.-)/(+.+)>0 Problemas de inecuaciones .+)/(-.1/3)U(1.2| En el ejercicio 2 tenes que analizar todas las posibilidades de que la división sea mayor que cero usando la regla de los signos.
10x .dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Notación matricial Fila y comuna de una matriz Dimensión u orden de una matriz Tipos de matrices Matriz cuadrada Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas. a22 .2 Sumamos y nos queda 5x < 5 Despejamos x y nos queda x < 1 Resolv er las siguientes inecuaciones 1 2 3 Matrices y determinantes Conceptos básicos Definición Se llaman matrices de orden mxn a todo conjunto rectangular de elementos a .3x -2x < 7 .Resuelve la siguiente inecuación: 10x .. . Diagonal principal : Diagonal secundaria : Matriz cuadrada .. Diagonal principal : son los elementos a11 .3x + 2 < 2x + 7 Solución: Pasamos a la izquierda todos los términos con x y a la derecha los términos sin x. diciendose que la matriz es de orden n. ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A. m = n..
se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Matriz simétrica Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. Tambien se denomina matriz unidad. Matriz transpuesta Dada una matriz A. t T Se representa por A ó A Operaciones con matrices Adición y sustracción de matrices La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij) .Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas. aij = aji Matriz diagonal Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal Matriz identidad Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. siendo su orden m×n . t A = A .
Es una ley de composición interna con las siguientes PROPIEDADES : · Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C · Conmutativa : A+B = B+A · Elem. ( M. tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. Mm x n x Mn x p = M m x p El elemento cij de la matriz producto s e obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada el emento de la c olumna j de la matriz B y s umá ndolos. Multiplicación de matrices Dos matrices A y B s on multiplicables si el número de c olumnas de A c oincide c on el número de filas de B. simétrico : ( matriz opuesta -A ) . que se denota A·B. 0+A = A+0 = A · Elem. Multiplicación de una matriz fila y una matriz columna Multiplicación de dos matrices Dadas dos matrices A y B. neutro : ( matriz cero 0m×n ) .j está definido por: . está definida como: donde cada elemento ci. + ) es un grupo abeliano. por cumplir las propiedades anteriores. A×B o simplemente AB. A + (-A) = (-A) + A = 0 Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por Mm×n y como hemos visto. es decir: y la multiplicación de A por B.
con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original. . 4. se elige una de las dos líneas: la fila o la columna. menos uno: el elemento base o pivote. que valdrá 1 ó -1. si y entonces Determinantes En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Seguiremos los siguientes pasos: 1. donde se encuentre.Tomando como referencia el elemento base. 2.Si algún elemento del determinante vale la unidad. 3. por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. sean ceros. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ). operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna. el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones.En caso negativo: 1. 2.Gráficamente.Dividiendo la línea por uno de sus elementos. Notación de la determinante Calculo de una determinante Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos.Tomamos el adjunto del elemento base. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos). Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos. Sin embargo.
2. Directamente pasamos a multiplicar manteniendo el criterio de seguir las diagonales para lo cual se debe observar el camino que estas siguen.. Cofactor. Ejemplo de resolución A= 124 530 61 2 3 1 2 61 2 53 4 0 2 = 4(5-18)+0+2(3-10) = -52-14=66 Propiedades de una determinante t 1.vamos a llamar menor al determinante que se forma de los elementos que no se encuentran ni en la fila o columna del cofactor. pero aquí no se aumenta ni filas ni columnas... Se multiplican los elementos de las diagonales principales y los de las diagonales secundarias pero el resultado de estos va con el signo cambiado.|A |= |A| t El deter minante de una matriz A y el de s u traspuesta A son iguales.Regla de Sarrus Para aplicar este método se deben aumentar dos filas o dos columnas a continuación del determinante.. se suman los resultados de las multiplicaciones y ese es el valor del determinante.son los elementos que pertenecen a la fila o columna que escogimos el signo de este se define por su posición (ij) si i+j es par será positivo y si i+j es impar seránegativo. A = =6+20+0-72-0-20= -66 124 530 61 2 124 530 61 2 124 530 En este método es muy parecido a Sarrus. |A|= =6+0+20-72-0-20= -66 2. preferentemente la fila o columna que mayor cantidad de ceros tenga.= 2(-58) Método generalizado para calcular la determinante de una matriz 1. Entonces se prosigue a la multiplicación de los cofactores por su respectivo menor y se suman los resultados para llegar al valor del determinante. Menor. |A|=0 Si: Posee dos líneas iguales .Método de Estrella 124 530 61 2 Desarrollo por Menores y Cofactores Para este método debemos escoger una fila o una columna.
Si s e multiplica un determina nte por un número real . Si en un deter minante se cambian entre sí dos líneas paralelas s u determina nte ca mbia de signo. 8. dic ho determina nte s e desc ompone en la s uma de dos determinantes . 6.. queda multiplicado por dic ho número cualquier línea. pero sólo una. Si a los elementos de una línea se le s uman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el val or del determina nte no varía. Los elementos de una línea s on combi nación lineal de l as otras. . |A·B| =|A|·|B| El deter minante de un produc to es igual al pr oducto de los determi nantes. 5. F3 = F1 + F2 3. 7. Un determina nte triangular es igual al producto de l os elementos de la diagonal principal.Todos l os elementos de una línea s on nulos. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos s uma ndos. 4.
.Inversa de una matriz -1 La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A y que verifica: Resolución de sistemas de ecuaciones aplicando matrices y determinantes.
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