Source: http://lamprechts.de/gerd/Kreiszahl.htm
Timestamp: 2017-02-28 14:25:35+00:00

Document:
Pi = π (Archimedes-Konstante oder Ludolphsche Zahl A000796=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211…
BildUnicode 03C0 mit Schrift Times New Roman Windows Zeichentabelle LaTeX-SyntaxHTML-Syntax Unicode-HTML
π U+03C0\pi&Pi;&#928;
Neben den allgemein
bekannten Definitionen und geschichtlichen Hintergründen wie z.B. in:
gibt es noch viele andere Berechnungsmethoden für
die berühmteste aller mathematischen Konstanten.
Hinweise: - Einige Formeln sind im
WMZ-Format gespeichert, um auch beim Ausdruck oder starken Vergrößerungen beste
Anzeigequalität beizubehalten.
(nennt man die Datei in ZIP
um, kann man eine WMF-Vektordatei entkomprimieren)
- Mein Geburtstag ist in Pi
z.B. ab Dezimal-Nachkommastelle 99999e99e7234 (erste Vorkommen
bereits bei Nachkommaziffern abcdecec, hfcfafhdddg) enthalten.
Ausgehend von der bekannten Integral Formel für den viertel Kreis: {Leibniz-Reihe (1646-1716)}
lassen sich viele besser
konvergierende Formeln herleiten (je kleiner der arctan-Parameter je schneller
die Konvergenz siehe http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html
http://www.machination.eclipse.co.uk/index.html
Dazu beginnt man z.B. im Intervall von 3 bis 4.
Hier online per Iterationsrechner!
§2b: (Ramanujan; 8 Stellen pro
§2c: (Chudnovsky;
14 Stellen pro Term; Weltrekord 10 Bio Stellen!)
§2f: Dazu ist auch das kürzeste c Programm bekannt: 138 Byte für 15000 Stellen:
Fraud; correct to over 42 billion digits)
Unendliche Produkte §3a: Wallissches Produkt (Wallis-Produkt)
§3c: §3d: §3e1: aus Primzahlen Unterpunkt 5 oder online per Iterationsrechner!
§4a Iteration mit normaler Konvergenzgeschwindigkeit
und Näherung von Archimedes von Syrakus über ein n-Eck per Iterationsrechner Beispiel 78
§4b (d.h. etwa N»1,9*2n Nachkommastellen; bei n=10 sind das
N»1995 Nachkommastellen)
als Gauss-Legendre Algorithmus
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Super_PI):
§4c bei n=19 Iterationen sind
das etwa 1 Million Nachkommastellen.
§4d Noch besser
konvergiert die Iterationsformel von Borwein & Bailey (Konvergenz 5. Ordnung):
d.h. bei n=10 ergibt das
mindestens 13 Mio. Nachkommastellen!!!
siehe Iterationsrechner Beispiel 66 §4e Extreme Konvergenz mit Iterationsformel von Borwein & Bailey (Konvergenz 16. Ordnung):
per Iterationsrechner einfache Genauigkeit 1 Iteration 8 richtige Dezimalstellen; 2 I. 171 r. D.; 3 I. 2788 r. D.; 4 Iterationen ergeben über 10000 richtige Dezimalstellen! ...
von Pi mit speziellen Funktionen
Mit meinem PHP Rechner
für spezielle Umkehrfunktionen kann Pi auf vielfältige Weise berechnet
werden (z.B. wenn ein Taschenrechner keine Taste für Pi hat):
Pi = atan(1/sqrt(3))*6 = Pi = acot(1)*4
(Gamma(1/6)(1/hyg2F1(1/3,2/3,1,1/2))/Gamma(2/3)/2)² = (Gamma(1/6)*agm3(1,
2^(-1/3))/Gamma(2/3)/2)²
Pi = sqrt((1/hyg2F1(1/3,2/3,1,1/2))/(2^(1/3)/(Gamma(1/3)³*3/4)))=sqrt(agm3(1,
2^(-1/3))*3/4*Gamma(1/3)³/2^(1/3))
Pi = PolyLog(1,2)*i=sqrt(PolyLog(2,1))*sqrt(6)=sqrt(6*PolyLog(2,1))=sqrt(-12*Polylog(2,-1))=sqrt(12PolyLog(2,½)+6log(2)²)=
Pi = 2*Si(∞)= Ci(-∞)/i = 2*Shi(i*∞)/i = 2*Chi(i*∞)/i Pi = sqrt(sqrt(3)*sqrt(256*[A-1711732]+203)-15) mit [A-1711732]=(pi^4+30pi²-384)/768 = Pi = sqrt(sqrt(15)*sqrt(2783-4096*x)-105)/sqrt(10) mit x=(1536-5pi²(21+pi²))/3072 =
§5.1.a: Pi = sqrt(80)*Sum[(-1)^n*Fibonacci(2n+1)/(2n+1)/[A01622]^(4n+2),{n,0,Infinity}] (bei n=74 stimmen 32 Stellen)
Pi= mit xs= 1/(2-sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))) und w=sqrt(2+sqrt(2)) wird Pi = Iterationsrechner 6. Bruch-Funktionen, die gegen Pi konvergieren
So stimmt x/y=226517876251716162692149071050771828410490449602080890536575346 / 72102879408277751642507260419334203501590758230297414247167791
mit Pi auf 86 Stellen überein!
§6b per Iterationsrechner
§6d §6e: lim ((2n)!!)²/(n((2n-1)!!)²),n-> inf = 2(Pi/2)^cos(2Pi*n) = Pi
Per selbstkonvergierende Iteration (online)
kann man solche Brüche (Näherungswerte) sehr schnell Pi annähern!
Bailey, P.B. Borwein and S. Plouffe, On the Rapid Computation of Various
Polylogarithmic Constants, Mathematics of Computation, (1997), vol. 66,
pp. 903-913 siehe http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piSeries.html#CITEPlouffe
siehe http://bellard.org/pi/
2.7e12 Stellen! siehe numberworld 1e13 Stellen!!! Selbe Formel mit 5 verschiedenen html-Codes (6. WMZ wird von keinem neuen Browser mehr angezeigt):
p = ¥
k = 0 æ
è 4 8k + 1
2 8k + 4
1 8k + 5
1 8k + 6
ø 1 16k
html5 + MathML:
8k+4 −
§7b: §7g: §7h: Iterationsrechner
§7j: §7k: §7l: 2006 fand Simon Plouffe PSLQ Integer Algorithmen für Pi
Das mag umstänlich aussehen, Pi zu berechnen, wo Pi doch schon in der Formel enthalten ist, aber es geht um die Gelfond-Konstante exp(Pi)=A039661=
siehe http://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html
§7m: §7n: Nilakantha-Reihe 15. Jh.
8. andere Basis §8_2...36...64:
pi(23)=3.35KH9K813JK9G9D60JJ1570LIA3CMBM3L2JKM49097G1GGI869M5724CK6H50JK0MGBB021C0F5576EF95ABC5MGD334CKAF4HMLHF3FJ2A6L06MA8CEC7CC2KAK94MGAHK3A8F93CL6FB1324F503C4A2 pi(24)=3.39D911BCLK44AC77AL474H7NMLKB0EE48NAI8232M878E7ECL49G4JLDJ9H1931IEI127B3IKI93D9H34669A05856E5LECLKLKBHD0531I0EC91ICBBF0L3KA8643AFBG3G41FN2L8605FHK14K69A3 pi(25)=3.3DC9FINE6E7E492GM69FAG0C0JO8C6143H8O0NEO1O5MILI18D7JB4A68B26M13H4EGAB7986C5C0F2443HE5N41JINHOOBN255D7EN2NCKE0F9JHG73J580I17IAFHGNLM6DLDC135C559FAO27H1 pi(26)=3.3HIGBEBOHJHE3DB7DGJ6AK3G6JK8HND4G12A1IP8LGGL63C4BCK4NHE8G8O0BLKPL41C89FGGNBAFBHD25M9F1OC66E79CCG8ICII284A7L3KJ2NJ9FI1M7K5ECG90EIO6FEMKFOCB85I588PHDP anderer Zeichensatz (20000 Stellen aus 1 Mio.) hier: PiBasis26_ZeichensatzA_Z.txt oder Suche Wort in Pi Basis 26 und 30 (auch Umlaute) pi(27)=3.3M5Q3M2DCPQODJNGIG99AQ8N55DLG4IOFL0A836DF2P8J9ACGAJ310Q7OC8HLEQNB846G8KJKQFGIJEL0E81NJACHLM2EHGMQHCNNC9PKG41LL44BQ67DG3L06ENJ1MBKNIF66359AHI8KCMLFQ pi(28)=3.3R06LIOJPLRA7747BCODKOI0Q488G1IFCPQRO1BKJNR2QPF3L66Q15H358DDLGE07483I4RQC09CQEKD29J968GFGAIJKIP4FB60CH0O6COAANF7L6NLF34HDBH5G3NGCD92P00P327OHGC4B pi(29)=3.4328N0CJQMJQCB9I47BEQAEH9N7RQ0PBCO4482CPIKDAJICKASD18R92QN6PDQA08E8L3RH869BO3FFHHS0FNAIAJ33B31A8KI9S12COO24BAI4COEA3E9NS383F5RIH9LOE813AFD5CB9B pi(30)=3.47D01EE07R08D7J8NHNEEF457GLGCR9HFRHSHJ92ASEDI3HJE8A0LJQE94EMH39H7HDK3807O4P7DSRCEMBM7G6KPIK34EA2L3OQICEAP6H21CG1BH207RIP330R1N414725SIKF9DF3HR pi(31)=3.4C25OE856S61N7CUKNR8G3N4HOT1SIIUN64OE9RSOT55JD8LB3BE41328LARIQ622F94JSSB1BDR86PR91UEQTCLAJ0J2LDRF343O16UMHLGPBGOJOMJPLGI9U662GEUTK6OJLHBO0GTO pi(32)=3.4GVML245KC4D64OPH8N06S3J8II0IE1256FJ3K085RT9HR2EDI4KAA11SOSD04RNNPA6DJPKT466PG5C56RSIV2GRKVO9LDLML3GI5SI2RATJ2BPVCDT2C8BKQCDVDDC5VUN5MUG3BD pi(33)=3.4M6DN4OW9R5KAHGGCSMCEV63K47RM05LJ726IB3MV14U57VBW975QLURELV4IJBEMFQIDAE3VMH18UDC10L7IS1G2O8QI4MKMS27TIBNIHFAE1374TBURNOAWMGWDCLUVIHTDBAVLT pi(34)=3.4RN5C8IANV8BNANX8QK2OVNGFC96HNC8FKW1VXWK4WMGV6CMJ30LOSKBJ77NCV2BEPCES0SCL2L2HXOVLJBRGMDRDQHFN42TRT348NWQPT42KHN6PHT62VN1V4TAISW7921PM0M10 pi(35)=3.4XFRGMTM53RWA23OKL93476D73DCUY1SDOEFOFDJ9SGIS4H3KYMY54PI86IJI5W8PF1EK54G1TB4WNC43XSF0G3R3T8K5HBYBXJJS0GTKDVUVFOQBJY7SI33AHK1M9CR4TTRA016 pi(36)=3.53I5AB8P5FSA5JHK72I8ASC47WWZLACLJJ9ZN98LTXM61VYMS1FRYTCI4U2QFRA2VJAW70CH6J153P3Z9ZL55UKZL0KAPWJYGJOU067IY9WNZDZ9N4JLTEDTIW2B65ACRPIL9KZ ...
Pi in der Mandelbrot Menge

References: §2

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 §3

§3
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 §3

§4

§4

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§7
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