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Clase5 Ecuaciones Lineales(2015)
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actividad #2 calendario
Ecuaciones Lineales con una Incógnita Ecuaciones Cuadráticas con una Incógnita Ecuaciones Lineales de dos Incógnitas Sistema de Ecuaciones Lineales 2X2
Entender los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales, resolverlos y solucionar problemas simulados.
1.1. Ecuaciones Lineales
Es toda expresión que tenga o se pueda reducir a la forma general (1.1) donde Ejemplos (E 1.1) (E 1.2) y es la incógnita.
(E 1.3) Para el ejemplo (E 1.1) . En los ejemplos (E 1.2) y (E 1.3) se puede notar que
no tienen la forma (1.1) sin embargo mediante procesos algebraicos se pueden transformar los mismos a dicha forma.
Solución de la Ecuación Lineal con una incógnita Es el valor que al ser reemplazado por la incógnita da como resultado una identidad. Ejemplos (E 1.4) La solución de es 4, pues al reemplazar se tiene:
(E 1.5) La solución de
es 3 pues se tiene que:
Resolución de una Ecuación Lineal con una Incógnita La resolución de una ecuación lineal con una incógnita se basa en la aplicación de las propiedades de las igualdades que se puede resumir como sigue: “Si al lado izquierdo de una igualdad se suma, resta, multiplica o divide un número distinto de cero, entonces al otro lado también se debe efectuar la operación correspondiente para que la igualdad no se altere”. Ejemplos (E 1.6) Resolver
Note que se ha restado 3 a los dos lados de la igualdad por lo que se obtiene:
Ahora se ha dividido para 2 que es un número distinto de 0, a los dos lados de la desigualdad, obteniéndose: que representa la solución de la ecuación.
(E 1.7) Resolver
Observe que se ha multiplicado a los dos lados de la desigualdad por 6.
Se ha aplicado la propiedad distributiva y simplificado en el lado derecho
Se ha simplificado los dos productos de la izquierda
Note que se ha distribuido
Se suma a los dos lados
Resolviendo los términos semejantes Multiplicando a los lados por
multiplicando en el lado derecho
Nota.- Es común resolver estos ejercicios aplicando la transposición de términos que se basa en las propiedades de las desigualdades: “lo que está sumando pasa al otro lado restando” y “lo que está multiplicando pasa al otro lado a dividir”.
Es toda expresión que tenga o se pueda reducir a la forma (1.2) Donde Ejemplos (E 1.8) (E 1.9) Solución de una Ecuación Cuadrática Las ecuaciones cuadráticas tienen dos soluciones; estas pueden ser reales diferentes, reales coincidentes o complejas conjugadas. Esto depende del discriminante (1.3) Así, Dos soluciones reales diferentes Dos soluciones reales coincidentes Dos soluciones complejas conjugadas cuya fórmula es: y
Para resolver una ecuación cuadrática existen varios métodos, aquí se verá solo una de ellos. El Método de la Fórmula General Las soluciones de una ecuación cuadrática están dadas mediante la fórmula: (1.4) Ejemplos Resolver las siguientes ecuaciones (E 1.10) Los valores de
Reemplazamos en la fórmula general los valores de
Resolviendo operaciones Las dos soluciones reales diferentes
(E 1.11) Los valores de
Las dos soluciones complejas conjugadas
Es toda expresión que tenga o se pueda reducir a la forma (1.5) Donde Ejemplos (E 1.12) (E 1.13) Solución de una Ecuación Lineal con dos Incógnitas La solución de una ecuación lineal con dos incógnitas está dada por el conjunto de todos los pares ordenados Ejemplos (E 1.14) Una solución de es el par . En efecto al remplazar estos que satisfacen la ecuación (1.2). .
valores respectivamente en x e y obtenemos una identidad. (E 1.15) Algunas soluciones de la ecuación son ; etc.
Lo podemos verificar remplazando. Esto nos puede hacer pensar que una ecuación lineal con dos incógnitas posee infinitas soluciones; en efecto, si reemplazamos una de las incógnitas por cualquier valor nos resulta una ecuación lineal en la otra incógnita, misma que se puede resolver. De esta forma se generan todas las soluciones de dicha ecuación. Resolución de una Ecuación Lineal con dos Incógnitas
El método de resolución consiste en dar valores a cualquiera de las dos incógnitas y despejar la otra obteniendo de este modo pares ordenados, que se los puede expresar en una tabla de valores. Ejemplo (E 1.16) Determine 4 soluciones de la siguiente ecuación:
Decidimos a qué incógnita le vamos a asignar valores: Puede ser a Elaboramos una tabla de valores como sigue:
Gráfica de las soluciones de una Ecuación Lineal con dos Incógnitas Hemos visto que una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Estas se pueden graficar en el plano cartesiano y verificar que todas pertenecen a una misma recta. Ejemplo (E 1.17) Grafique las soluciones de la ecuación del ejemplo (E 1.16) Como vimos algunas de las soluciones son:
Su representación en el plano cartesiano es:
Como se puede apreciar, las soluciones pertenecen a una misma recta del plano, y viceversa todos los puntos del plano son soluciones de la ecuación. Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 Un sistema de ecuaciones lineales 2x2 tiene o se puede reducir a la forma: (1.6) Donde Ejemplos (E 1.18) .
(E 1.19)
Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales 2x2 Como se indicó anteriormente las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas es infinita y representan todos los puntos sobre una recta. Un par ordenado representa una solución del sistema de ecuaciones lineales 2x2 si satisface las dos ecuaciones al mismo tiempo; es decir será el o los puntos comunes entre las dos rectas. De esta forma según la posición de las rectas en el plano se tienen los siguientes casos:
-5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5
Una sola solución Rectas Intersecantes
Ninguna solución Rectas Paralelas Diferentes
Infinitas Soluciones Rectas Paralelas Coincidentes
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2x2 Todos los métodos de resolución se basan en un hecho: eliminar una incógnita y ecuación de forma que se obtenga una ecuación lineal con una sola incógnita, el resto consiste en resolver la última por métodos ya vistos. Método de Adición y Sustracción Con el fin de eliminar una incógnita sumando o restando las dos ecuaciones se procede a multiplicar una o las dos ecuaciones por valores que permitan obtener términos semejantes opuestos. Ejemplo (E 1.20) Resolver el sistema:
Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por dos, la finalidad es eliminar x
Sumando las dos ecuaciones obtenemos una ecuación lineal en la incógnita y.
Despejamos y Reemplazamos el valor de y encontrado Despejamos x
Método de Sustitución Este método consiste en eliminar una de las incógnitas despejando esta de una de las ecuaciones y reemplazando en la otra; obteniéndose de esta manera una ecuación con una sola incógnita. Ejemplo (E 1.21) Resolver el siguiente sistema
De la segunda ecuación despejamos x Reemplazo x en la primera ecuación Destruyo paréntesis por medio de la propiedad conmutativa Despejo y Reemplazo el valor de y en (3) El valor de x
Método de Igualación Consiste en eliminar una incógnita mediante la igualación de dos expresiones que resultan del despeje de una misma incógnita de las dos ecuaciones. Dándonos como resultado una ecuación en una sola incógnita. Ejemplo
(E 1.22) Resolver el siguiente sistema
De la primera despejo y De la segunda también despejo y Igualo las anteriores; obteniendo de esta forma una ecuación en la incógnita x Multiplicando por 3 los dos miembros de la ecuación Distribuyendo Despejo x Reemplazo en la (3) el valor de x Resuelvo operaciones
Sistema de Ecuaciones Lineales 3X3 Matrices: Operaciones entre matrices Matrices Equivalentes: Operaciones Elementales entre filas de una matriz
Comprender la naturaleza del algebra matricial para resolver problemas simulados de economía y administración.
2.1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 3X3
Es toda expresión que tenga o se pueda reducir a la forma general
Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales 3x3 Llamamos solución de un sistema de ecuaciones lineales 3x3 a la terna de valores que satisfacen a las tres ecuaciones. (E 2.1) La terna es solución del sistema
Reemplazamos los valores en las tres ecuaciones
Resolvemos los productos
Resolvemos sumas y restas y obtenemos tres identidades Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 3x3 Un sistema de ecuaciones lineales 3x3 se resuelve transformándolo en un sistema 2x2 y este en un sistema “1x1”. Las formas en las que se consigue este objetivo son varias, he aquí algunas. Método de Suma y Resta Se forman dos parejas de ecuaciones para sumarlas o restarlas, una de ellas necesariamente se considera en las dos parejas, el objetivo es eliminar una de las incógnitas. Con esto se consigue formar un sistema 2x2 y se aplica los métodos conocidos anteriormente. La tercera incógnita se calcula en cualquiera de las tres ecuaciones originales. (E 2.2) Resolver el sistema
Multiplico la segunda ecuación por -2 y sumo con la primera
Multiplico la segunda ecuación por -5 y suma con la tercera
Las ecuaciones 4 y 5 forman un sistema 2x2
Son las soluciones del sistema anterior Reemplazo los valores anteriores en la ecuación 2
Método de Sustitución Se despeja una de las incógnitas de cualquiera de las tres ecuaciones y se reemplaza en las otras dos, resultando de este modo un sistema 2x2 que se lo puede resolver con los métodos aprendidos. La tercera incógnita se calcula a partir del la ecuación que sirvió para despejar. (E 2.3) Resolver el sistema
De 1 despejo x En la 2 reemplazo la 4
Reduzco términos semejantes
En la 3 reemplazo la 4
La 5 y 6 representan un sistema 2x2 en las incógnitas y y z
Son las soluciones del sistema anterior
Reemplazo los valores anteriores en la ecuación 4
Método de Igualación Se despeja una misma incógnita de las tres ecuaciones y se igualan considerando dos parejas, de esta forma se genera un sistema 2x2 que se lo puede resolver por los métodos aprendidos. La tercera incógnita se determinará remplazando los dos valores hallados en cualquiera de las ecuaciones despejadas. (E 2.4) Resolver el siguiente sistema
De 1 despejo x
De 2 despejo x
De 3 despejo x Igualo 4 con 5
Igualo 5 con 6 Reduzco Términos semejantes
La 7 y 8 constituyen un sistema 2x2 Son las soluciones del sistema anterior
Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números reales u otros elementos, dispuestos en filas y columnas. Para representar las matrices se emplea generalmente paréntesis o corchetes. Ejemplos (E 2.5)
Orden de una Matriz Se denomina orden de una matriz al número de filas y columnas el número de filas y n el número de columnas. (E 2.6) , donde m representa
La matrices anteriores son de orden 3x2 y 2x3 respectivamente. Este orden generalmente se lo escribe como subíndice de la matriz así:
Notación General La matriz A de orden mxn es la siguiente:
Diagonal de una Matriz Está conformada por todos los elementos de la matriz de la forma Ejemplo (E 2.7) .
Algunas Matrices Especiales Matriz Cuadrada.- Es aquella en la que el número de filas es igual al número de columnas Ejemplos (E 2.8)
Matriz Nula.- Es aquella en la que todos sus elementos son iguales a 0
Ejemplo (E 2.9)
Matriz Identidad (Unidad).- Es aquella matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal son iguales a 1 y los demás son iguales a cero. Ejemplo (E 2.10)
Matriz Triangular Superior.- Es aquella en la que Ejemplo (E 2.11)
Matriz triangular Inferior.- Es aquella en la que Ejemplo (E 2.12)
Adición.- Sean A y B dos matrices de orden mxn la adición de estas matrices se representa mediante y está dada por la matriz:
Ejemplo (E 2.13) Sean y entonces
Diferencia.- Sean A y B dos matrices de orden mxn la diferencia de estas matrices se representa mediante y está dada por la matriz:
(E 2.14) Sean y entonces
Producto por Escalar.- Sea por A está definido como sigue:
y A una matriz de orden mxn, el producto por escalar de
Ejemplo (E 2.15) Sea determine
Producto entre Matrices.- Sean
una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp, El y está dado por la matriz:
producto de A por B se lo representa mediante
Ejemplo (E 2.16)
Operaciones Elementales entre Filas de una Matriz Se define como operaciones elementales a las siguientes: 1. Intercambio de filas de una matriz 2. Multiplicar una fila de una matriz por un número real diferente de 0 3. Remplazar una fila por la suma de dicha fila con un múltiplo de otra, misma que se conserva. Ejemplos (E 2.17) Sea la matriz
Se puede transformar en: Intercambio de filas 1 y 2:
Multiplico la fila 1 por -2 y le sumo con la fila 2:
Multiplico la fila 2 por
Matriz Reducida o Escalonada Se dice que una matriz es reducida si cumple con las siguientes condiciones 1. Si existen filas de ceros en la matriz, estas se encuentran en las últimas filas. 2. En una fila el primer número desde la izquierda diferente de cero es igual a uno, además en su columna los otros elementos son iguales a cero. 3. El primer uno de una fila se encuentra a la derecha del primer uno de la fila anterior. Ejemplos (E 2.18) Analicemos las siguientes matrices Es escalonada
No es escalonada
Ecuaciones Matriciales Una ecuación matricial es una igualdad entre el producto de una matriz denominada matriz de escalares con un vector columna formado por incógnitas y un vector columna de términos independientes. Ejemplo (E 2.19)
Si resolvemos el producto del lado izquierdo de la igualdad, obtenemos un vector columna de cuatro filas así:
De la igualdad entre matrices se puede concluir que:
Se forma un sistema de ecuaciones lineales 4x4.
Y viceversa, dado un sistema lineal, este se puede transformar en una ecuación matricial. Matriz Ampliada Este concepto tiene sentido en el campo de los sistemas de ecuaciones lineales. La matriz ampliada está formada por los coeficientes de las incógnitas del sistema y por los términos independientes. Ejemplo (E 2.19)
La matriz ampliada asociada al sistema anterior es:
Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Gauss. Método de Gauss-Jordan Determinante de una Matriz Método de Cramer Matriz Inversa Método de la Matriz Inversa
Distinguir las características de los determinantes, para resolver problemas simulados en la economía y administración
3.1 Método de Gauss.
Este método consiste en reducir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales dado. Ejemplo (E 3.1) Resolver el siguiente sistema
La matriz ampliada, asociada al sistema original
La matriz ampliada anterior representa este sistema, donde se puede visualizar que la solución para z es -1
Es el valor que se obtiene reemplazando -1 en z de la segunda ecuación
Es el valor de x cuando se reemplaza -1 en z y -3 en y
3.2 Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en obtener la matriz identidad en lugar de los coeficientes de las incógnitas. Ejemplo (E 3.2) Resolver el siguiente sistema
La matriz ampliada anterior representa este sistema, donde se puede visualizar que la solución para
3.2 Determinante de una Matriz
Sea una matriz de orden o , el determinante de dicha matriz es un número que se lo y se lo calcula de la siguiente manera:
Ejemplo (E 3.3) Calcule el determinante de la matriz
Ejemplo (E 3.4) Calcule el determinante de la matriz
4)(-1)(-2)=12+8+6-4-18-8=-4
Entonces el determinante de la matriz cuadrada dada Si se determina con la ayuda de los determinantes de las matrices adjuntas que son de orden menor en una unidad. menores. Ejemplo Dichos determinantes se denominan
(E 3.5) Calcule el determinante de la matriz
Se elije cualquier fila o columna de la matriz, los elementos de la fila o columna elegida, se multiplicará por el cofactor, que no es otra cosa que el producto entre y el determinante
de la matriz que se obtiene al eliminar la fila y columna a las que pertenecen dichos elementos, de uno a la vez.
-744 es el determinante de la matriz dada.
3.3 Método de Crammer
El método de Crammer para resolver sistemas de ecuaciones lineales se basa en el cálculo de determinantes, como en el siguiente ejemplo:
(E 3.6) Determine las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
Se extrae la matriz de los coeficientes
Se calcula su determinante
Se reemplaza toda la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes y se divide para el determinante de los coeficientes de las incógnitas.
Se reemplaza toda la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes y se divide para el determinante de los coeficientes de las incógnitas.
Se reemplaza toda la columna de los coeficientes de z por la columna de los términos independientes y se divide para el determinante de los coeficientes de las incógnitas.
3.4 Matriz Inversa
Si una matriz cuadrada tiene determinante diferente de cero entonces se dice que posee . Además cumple que =I. Donde es
inversa, se la representa mediante la matriz identidad.
La matriz inversa se calcula como en el siguiente ejemplo: (E 3.7) Determine la matriz inversa de
Se trabaja con la matriz ampliada de A con la matriz identidad. Mediante operaciones elementales sobre dicha matriz, procedemos a transformar el lado izquierdo en una matriz identidad. Al final la matriz que resulte al lado derecho es la inversa de A.
Por lo tanto la matriz inversa de A es:
3.5 Método de la Matriz Inversa.
El método de la matriz inversa para la resolución de un sistema se basa en la siguiente relación:
El sistema se convierte en:
Luego multiplicando a los dos lados por la matriz inversa de
Por tanto la solución del sistema está dado por:
Ejemplo (E 3.8) Resolver el siguiente sistema aplicando el método de la inversa
Es la matriz de los coeficientes de la incógnita
Aplicaciones de la Teoría de las Matrices: Aplicaciones de las Operaciones entre Matrices Aplicaciones: Análisis Insumo-Producto Teoría de Juegos
Analizar modelos matemáticos aplicados a problemas administrativos.
4.1 Aplicaciones de las Operaciones entre Matrices
Mediante el uso de las matrices y sus operaciones se puede representar de manera ordinada la información que le interese a una persona o empresa. Veamos los siguientes ejemplos: (E 4.1) Producción. Adición Una compañía de artículos electrónicos fabrica televisores VCR y reproductores de CD, en dos plantas A y B. La matriz minorista , y la matriz representa la producción de las dos plantas para el
representa la producción de las dos plantas para el minorista .
Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices y son como sigue:
Este problema se resuelve gracias a la adición de matrices
Interpretación: La compañía produce en total 35 TV en la planta 75 VCR en la planta 25 CD en la planta y555 VCR en la planta ; y 15 CD en la planta . y 65 TV en la planta
(E 4.2) Materia prima. Un contratista ha aceptado pedidos para cinco casas con estilo rústico, siete con estilo moderno y doce con estilo colonial. Las materias primas que se utilizan en cada tipo de casa son acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra. Los elementos de la matriz R siguiente, dan el número de unidades de cada materia prima que se utilizará en cada tipo de casa. Calcular empleando el producto entre matrices la cantidad de materia prima para satisfacer todos sus perdidos.
Este problema se resuelve mediante el producto de las matrices: Q y R. Donde
Interpretación: El contratista debe ordenar 146 unidades de acero, 526 de madera, 260 de vidrio, 158 de pintura y 388 de mano de obra.
4.2 Análisis Insumo-Producto
Las matrices se utilizan para crear modelos en los que se incorporan las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran una economía. El objetivo es predecir los niveles de producción futuros de cada industria a fin de satisfacer demandas futuras para diversos productos. (E 4.3) La tabla 1 muestra solo dos industrias P y Q, las dos primeras columnas contiene los insumos de las dos industrias, medidos en unidades adecuadas, (por ejemplo en millones de dólares al año) De la primera columna advertimos que en su producción anual, la industria P usa 60 unidades de su propio producto y 100 unidades del producto de la industria Q. De manera similar, Q emplea 64 unidades del producto de P y 48 unidades de su propio producto. Además en la última
fila observamos que P usa 40 unidades de insumos primarios, los cuales incluyen insumos tales como mano de obra, sueldos o materias primas, mientras que Q utiliza 48 unidades de insumos primarios. TABLA 1 Insumos de la Insumos de la Demandas industria P Producción de la industria P Producción de la industria Q Insumos Primarios Insumos Totales 60 100 40 200 industria Q 64 48 48 160 finales 76 12 Producción total 200 160
Totalizando las columnas, advertimos que los insumos torales son de 200 unidades en el caso de P y de 160 unidades para Q. En el modelo se supone que todo lo que se produce se consume, o en otras palabras, la producción de cada industria debe ser igual a la suma de todos los insumos (medidos en las mismas unidades). Así, la producción toral de P debe ser de 200 unidades y de 160 unidades en el caso de Q. Las dos primeras filas de la tabla 1 indican como se destina la producción de las industrias P y Q. De las 200 unidades que produce P 60 se destina para sí misma, 64 para la industria Q y 76 para satisfacer la demanda final; mientras que de las 160 unidades que produce Q 100 se destina para la industria A, 64 para ella misma y 12 para satisfacer la demanda final. Suponga que la investigación de mercado predice que en cinco años, la demanda final para P decrecerá de 76 unidades a 70 unidades, mientras que en el caso de, se incrementará de 12 a 60 unidades. ¿Qué tanto debería cada industria ajustar su nivel de producción a fin de satisfacer estas demandas finales proyectadas? Solución Las dos industrias no operan independientemente una de la otra (por ejemplo, la producción total de P depende de la demanda final del producto de Q y viceversa). Por tanto, la producción de una industria está ligada a la producción de la otra industria (u otras industrias). Supongamos que a fin de satisfacer las demandas finales proyectadas en cinco años, P debe producir producir . unidades y Q debe
En la tabla 1 notamos que con objeto de producir 200 unidades, la industria P emplea 60 unidades de su propio producto y 100 unidades del producto Q. Así, la elaboración por parte de la industria P de unidades requiera la utilización de unidades de su propio producto y unidades
del producto de Q. En forma análoga, a fin de producir unidades del producto P y ecuación siguiente:
unidades, la industria Q debería usar
unidades de su propio producto. Además tenemos la
Es decir, Análogamente
Es decir, Estas últimas ecuaciones se pueden escribir en la forma matricial de la siguiente manera
se denomina matriz de producción, D matriz de demanda y A la matriz insumo-producto. Ahora la ecuación matricial que nos permite resolver el problema es: tiene que: Para nuestro ejemplo , luego despejando se
La industria P debe producir 251.7 unidades y Q 265.5 unidades con objeto de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5 años.
4.3 Teoría de Juegos.
La teoría de juegos es una rama grande que todavía está en crecimiento, es un medio para analizar situaciones competitivas en medios empresariales, bélicos y sociales. Las características y métodos de solución de los juegos. Número de Participantes: El desarrollo efectuado hasta ahora de la teoría de juegos sólo trata de los encuentros entre dos entidades, mismas que pueden estar formadas por varios individuos. Premio o Pago: La mayoría de los estudios realizados en la teoría de juego se refieren a juegos de suma cero; es decir, en los que la ganancia de uno de los jugadores es igual a la pérdida del otro. Estrategias: El al teoría de juego se llama estrategia de un jugador particular, un plan que especifica su acción a tomar correspondientemente a toda posible acción de su oponente; es decir, una estrategia es un plan completo para llevar a cabo el juego, sin implicar alguna especial habilidad por parte del jugador. Los juegos se clasifican de acuerdo con el número de estrategias disponibles a cada jugador: si el jugador 1 tiene m posibles estrategias y el jugador 2 posee n, y ambos son los únicos contendientes, entonces se dice que el juego es de m por n. Matriz del juego o matriz de premios: Una matriz de juego o matriz de premios (o pagos) es una disposición rectangular de los pagos o premios, en la que las filas representan las estrategias de un jugador, y las columnas, las estrategias del otro; por lo tanto, un jugo m por n quedará representado por una matriz de orden . Se conviene en expresar los pagos desde el punto de vista del jugador
cuyas estrategias se asocian a las filas de la matriz; los pagos para su oponente, en un juego de suma cero, estarán dados por el negativo de esta matriz. Por consiguiente, la teoría de jugo supone que se pueden enumerar las estrategias disponibles a cada jugador, y queo los correspondientes pagos o premios pueden expresarse en cosas significativas, aunque no necesariamente unidades monetarias. Esta información es suficiente para la solución del juego, es decir, para determinar qué elección de estrategias debería hacer cada jugador, suponiendo que cada uno desea maximizar su ganancia mínima esperada, o bien minimizar su pérdida máxima esperada. El teorema minimax, que es clave de la teoría de juefos, establece que tal solución existe para todo juego de las características que estamos estudiando. .
El valor de juego es el pago promedio o esperado por partida jugada, en una larga serie de éstas, considerando que ambos jugadores aplican sus estrategias óptimas consistentemente. Se conviene considerar el valor desde el punto de vista del competidor cuyas estrategias corresponden a las filas de la matriz de pagos. Se dice que un juego es justo si su valor es cero; en un juego justo, un jugador ganará al otro a la larga si ambos emplean sus estrategias óptimas; si el valor del juego es positivo, el jugador de las filas tiene ventaja; si es negativo, el jugador de las columnas tiene ventaja entonces. Puntos minimax (o de silla): Si en una matriz de juego figura un elemento que es simultáneamente un máximo de los mínimos valores en las filas, y un mínimo de los máximos valores en las columnas, tal elemento minimax se denomina punto minimax del juego, y se dice entonces que éste es estrictamente determinado. En tal caso, según el criterio de la teoría de los juegos, las estrategias óptimas para los jugadores respectivos están representados por la fila y la columna cuya intersección es el punto minimax (o de silla). El valor de un juego estrictamente determinado es el valor de su punto minimax. El primer paso en la resolución de una matriz de juego es probar la existencia de un punto minimax; si se encuentra alguno, el juego queda resuelto; si no se halla, entonces se necesitará un mayor análisis. Para comprobar qsi existe un punto minimax usualmente se escribe el mínimo de las filas al lado de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna. Luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos, y si fueran iguales, se habría encontrado un punto minimax. Un punto de esta clase también puede determinarse examinando un elemento que sea simultáneamente el mínimo de la fila en la cual ocurre, y el máximo de la lolumna en la cual aparece. Ejemplos (E 4.4) Investigar si en los siguientes juegos existen puntos minimax.
a) Jugador Y Jugador X 12 16 -2 14 16 min max =3 De modo que hay un punto minimax en la intersección de la segunda fila (estrategia óptima del jugador X) y la segunda columna (estrategia óptima del jugador Y); el valor del juego es 3. b) Jugador Y mJugador X -15 -3 -2 -2 22 4 3 22 10 -6 4 10 8 0 10 10 6 -4 -1 6 -14 22 0 22 -8 -10 -6 -6 -15 -22 -6 max min= -6 2 3 -1 -4 3 25 4 26 8 26 -10 10 0 6 10 -10 3 -2 -4 max min =3
min max = -6 Por lo tanto, hay un punto minimax en la intersección de la tercera fila (estrategia óptima del jugador X) y la séptima columna (estrategia óptima del jugador Y); el valor del juego es -6.
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