Source: https://www.fundaciongarciasineriz.es/2019/11/06/accurate-simulation-shallow-flows/
Timestamp: 2020-07-13 22:57:19+00:00

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Accurate simulation of shallow flows – Fundación J. García-Siñeriz
Accurate simulation of shallow flows
En la actualidad, gracias al desarrollo de algoritmos de simulación avanzados y de tecnologías computacionales eficientes que ha tenido lugar durante las últimas décadas, es posible simular problemas de elevada complejidad que hace unos años eran inalcanzables. Parte de estos problemas se modelan mediente ecuaciones en derivadas parciales de tipo hiperbólico. Este tipo de ecuaciones reproducen con fidelidad aquellos fenómenos que involucran la propagación de ondas. En situaciones realistas, es necesario tener en cuenta efectos dinámicos adicionales más allá de los fenómenos puramente convectivos. Dichos efectos se modelan matemáticamente mediante los llamados términos fuente, que dan lugar a sistemas de ecuaciones no homogéneos y suponen un desafío computacional importante en numerosas ocasiones. Sólo unas determinadas discretizaciones del término fuente garantizan la convergencia de la solución a una solución físicamente realista; cuando se utilizan métodos numéricos sofisticados, la complejidad en el tratamiento de los términos fuentes aumenta de forma notable.
Esta tesis se centra en el desarrollo de esquemas numéricos de orden arbitrario para la resolución de sistemas hiperbólicos siguiendo la metodología ADER, que permite la extensión del esquema tradicional de Godunov a orden arbitrario. Los métodos que aquí se presentan están enfocados a la resolución de las ecuaciones de aguas poco profundas, pero se formulan de forma general para su posible aplicación a otros modelos matemáticos. La particularidad fundamental de los esquemas numéricos propuestos en esta tesis reside en la manera en la que se introducen los términos fuente en la formulación discreta. A diferencia de la mayoría de métodos comunmente utilizados, aquí se propone introducir los términos fuente en la formulación de los flujos numéricos, siguiendo una metodología de discretización \textit{upwind}. Esto implica considerar los términos fuente en la formulación del problema de Riemann derivativo. De este modo, es posible garantizar un equilibrio perfecto entre flujos y términos fuente a nivel discreto y reproducir con precisión aquellas situaciones de equilibrio relevantes para los problemas estudiados. Para las ecuaciones de aguas poco profundas, aquellos esquemas que satisfacen esta propiedad se denominaron tradicionalmente \textit{well-balanced}, aunque dicha atribución sólo hacía referencia a la preservación de estados de reposo estático.
Se muestra que sólo aquellos términos fuentes de tipo geométrico (por ejemplo, término de variación de fondo en las ecuaciones de aguas poco profundas) se deben incluir en la resolución del problema de Riemann derivativo. Otros términos fuente de distinta naturaleza se pueden integrar de forma tradicional utilizando reglas de cuadratura, o bien, se pueden reescribir como términos geométricos y pueden ser tratados del mismo modo. Siguiendo esta última aproximación, es posible garantizar la propiedad \textit{well-balanced} sin perder el orden de convergencia arbitrario. Aquí se detalla la construcción de esquemas numéricos de orden arbitrario para las ecuaciones de aguas poco profundas con términos fuente de fondo, fricción y Coriolis, que satisfacen la propiedad \textit{well-balanced}. Además, mediante consideraciones de conservación de energía a nivel discreto, dicha propiedad se extiende para situaciones de equilibrio unidimensionales que involucran velocidades no nulas, desde una perspectiva de un esquema ADER.
The combination of modern supercomputers with cutting-edge simulation tools has brought the society the capacity to solve complex evolution problems of technological and scientific interest. Some of those problems are modelled by hyperbolic systems of conservation laws, which arise in a broad variety of fields where wave propagation phenomena are dominant. When considering realistic scenarios, we usually have to account for additional physical processes, apart from the convective transport, by means of adding extra terms in the equations. Such terms are called source terms and their presence supposes a big challenge when considering the numerical resolution of the equations. The discretization of source terms is not a trivial task when seeking convergence to the physical solution and extra difficulties appear when designing sophisticated numerical methods.
This thesis focuses on the study and development of arbitrary order finite volume (FV) schemes for the resolution of hyperbolic conservation laws in 1 and 2 spatial dimensions, following the ADER approach. The numerical developments presented in this work are fundamentally devised for the application to the shallow water equations (SWE), but are presented in a general form for a further extension to other systems of equations. The proposed methods are designed to account for the contribution of source terms in the resolution of the Derivative Riemann problem (DRP) at cell interfaces, following the so-called augmented solver approach. This allows to ensure an exact discrete balance between sources and fluxes and eventually preserve the steady states of relevance for the problems of interest. In the framework of the SWE, the numerical schemes satisfying such property are called well-balanced schemes, concept introduced for those schemes which preserve the still water at rest.
It is shown that only those sources of geometric nature must be included in the resolution of the DRP. Other source terms of different nature can be either rewritten in geometric form and treated similarly or integrated conventionally using traditional quadrature rules. The latter approach is simpler in terms of implementation and computational cost but does not allow to construct a well-balanced scheme. In this work, arbitrary order well-balanced schemes are constructed for the SWE with bed elevation, friction and Coriolis. Furthermore, the well-balanced property is extended to satisfy the conservation of energy and preserve moving water equilibria in 1D.
The study of numerical shockwave anomalies in the framework of the SWE is also considered in this thesis. Such anomalies are intrinsic to FV schemes and may ruin the solution. Following previous developments for the Euler equations, the slowly-moving shock problem for the SWE is studied and circumvented.
2. Hyperbolic conservation laws in fluid mechanics
3. Finite volume numerical schemes for hyperbolic conservation laws
4. First order approximate Riemann solvers
5. Introduction to ADER Finite Volume schemes
6. DRP solvers for nonlinear conservation laws
7. 2D ADER schemes for systems of conservation laws
8. Application to linear problems
9. The Shallow Water Equations
10. Energy balanced schemes for the 1D SWE
11. Well-balanced schemes for the 2D SWE
12. Numerical shockwave anomalies
En esta tesis se presenta una nueva estrategia para la construcción de esquemas numéricos de orden arbitrario utilizando volúmenes finitos. Los métodos propuestos se construyen utilizando la metodología WENO-ADER y poniendo un énfasis especial en el tratamiento numérico de los términos fuente. Se considera la aplicación de los mismos a problemas de transporte lineal con y sin reacción, al problema acústico lineal y a las ecuaciones de aguas poco profundas. Para estas últimas, se realiza un estudio detallado de las anomalías numéricas inherentes a los métodos de volúmenes finitos y se proponen soluciones.
A diferencia de la mayoría de métodos propuestos hasta la fecha, los esquemas WENO-ADER que se proponen en este trabajo se basan en Riemann solvers aumentados, que consideran la contribución del término fuente en la resolución del problema de Riemnann derivativo. Esta aproximación garantiza un equilibrio perfecto entre flujos y términos fuente en situaciones estacionarias y una convergencia con orden arbitrario en casos transitorios. Además, proporciona excelentes resultados en la resolución de problemas de Riemann con grandes discontinuidades. Se propone una nueva familia de algoritmos para la resolución del problema de Riemnann derivativo, denominados (L)FS solvers. Se observa que sólo aquellos términos fuente de naturaleza geométrica deben ser considerados en el problema de Riemnann derivativo.
La resolución de las ecuaciones de aguas poco profundas con términos fuente es el enfoque principal de este trabajo. Paralelamente al desarrollo de esquemas numéricos aumentados para la resolución de dichas ecuaciones, es necesario encontrar una correcta discretización de los términos fuente que aproxime la física del problema con fidelidad. Por su naturaleza geométrica, este trabajo profundiza en el tratamiento numérico del término fuente de variación de fondo \cite{valiani2017,LeFlochThanh2,rosatti, especialmente cuando existen discontinuidades en el mismo. Se comprueba que la hipótesis más razonable para su discretización es la conservación de la energía mecánica específica, $1/2u^2+g(h+z)$, lo cual no contradice la conservación del momento lineal \cite{valiani2017 y además es fiel al modelo matemático no disipativo que se resuelve. Bajo esta hipótesis, se comprueba que en una discontinuidad del fondo se debe cumplir la condición de Rankine-Hugoniot generalizada así como conservar los invariantes de Riemann. Siguiendo estas restricciones, se deriva una formulación para el término fuente de fondo, denominada SEBF, que conserva la energía. Además, se muestra que la elección de una formulación única para el término fuente de fondo no es un asunto trivial en presencia de resaltos hidráulicos. Se concluye que formulaciones de tipo IF no son capaces de reproducir la posición de resalto hidráulico en casos estacionarios mientras que las de tipo DF, no lo hacen en casos transitorios, aunque sí que proporcionan una convergencia con el refinamiento de malla.
Utilizando una discretización del término fuente que garantice la conservación de la energía, se construyen esquemas numéricos de tipo EB basados en los métodos ARoe y HLLS y siguiendo la metodología WENO-ADER. Siguiendo el trabajo de \cite{Noelle2007, se propone una extensión de la formulación SEBF del término fuente a orden arbitrario usando el método de integración de Romberg. Los esquemas numéricos resultantes proporcionan resultados claramente superiores a esquemas puramente well-balanced y a otros esquemas EB de primer orden. La característica fundamental es que son capaces de reproducir con precisión de máquina situaciones estacionarias que involucren velocidades no nulas mientras proporcionan convergencia con orden arbitrario en casos transitorios. Además, se ha estudiado la dependencia de las propiedades de conservación del esquema en función de las variables reconstruidas con el método WENO. Se concluye que para construir un método well-balanced, es necesario reconstruir $h+z$ mientras que para un método EB, hay que reconstruir $1/2u^2+g(h+z)$.
Los métodos aquí propuestos son esquemas de un único paso de actualización, en los que la integración numérica se realiza mediante una integración exacta de una expansión polinómica en el tiempo de las variables. Para construir dicha expansión, se requiere el cálculo de derivadas temporales utilizando el procedimiento de Cauchy-Kovalevskaya que permite expresar las mismas en función de derivadas espaciales previamente reconstruidas. La derivación de este procedimiento no es trivial cuando se busca un esquema de tipo well-balanced o EB. Para la mayoría de las aplicaciones consideradas en esta tesis este método proporciona buenos resultados, pero en el caso de términos fuente de mayor intensidad es necesario explorar otras alternativas \cite{Goetz2016,Dumbser.
Los métodos se proponen inicialmente en 1 dimensión espacial y luego se extienden a 2 dimensiones en mallas Cartesianas. Algunos algoritmos en 2D se construyen como combinación de sus versiones 1D en $x$ e $y$. La principal desventaja del uso de mallas Cartesianas es la potencial dependencia de la solución con la malla, debido a la existencia de dos direcciones preferenciales de propagación de la información. Para los esquemas propuestos en esta tesis, esta dependencia sólo se observa cuando se trabaja con primer orden de convergencia, mientras que con mayores órdenes se consigue la eliminación de las direcciones preferenciales. También cabe destacar que el uso de mallas Cartesianas no permite obtener una buena resolución del flujo en fronteras sólidas con geometrías complicadas. Esto se puede solventar fácilmente utilizando una aproximación de tipo Cartesian cut-cell, que será objeto de trabajo futuro. Por otro lado, el uso de este tipo de mallas proporciona unas características muy ventajosas en términos de uso de memoria, homogeneidad entre celdas y coste de implementación de los métodos. También permiten una implementación sencilla de algoritmos de refinamiento adaptativo de malla.
Para la construcción de métodos WENO-ADER en 2 dimensiones espaciales que garanticen la propiedad well-balanced es necesario utilizar procedimientos particulares de integración de los términos fuente que proporcionen un equilibrio exacto entre flujos y los mismos. Para ello, se propone un método de integración 2D basado en una combinación de fórmulas de cuadratura Gausiana e integración de Romberg, que se aplican recursivamente para obtener una integral bidimensional. Con este método se construyen métodos well-balanced para las ecuaciones de aguas poco profundas con variación de fondo y Coriolis. La extensión de métodos EB a 2D será objeto de estudio en el futuro.
En trabajos anteriores se menciona que la utilización de algoritmos aumentados para la resolución de problemas de Riemann con términos fuente de distinta naturaleza es adecuada para la construcción de esquemas de primer orden. Sin embargo, cuando se construyen esquemas de mayor orden, sólo aquellos términos fuente de tipo geométrico deberán incluirse en la definición del problema de Riemann derivativo. La razón es que la integral del término fuente se realiza en el dominio $[-\Delta x/2, \Delta x/2]$ cuando se trata de un esquema de orden 1 mientras que para un esquema de mayor orden, el dominio se reduce a $[0^-,0^+]$. Por lo tanto, en este último caso sólo es necesario contabilizar el salto de la variable geométrica en $x=0$, ya que el resto de términos fuente no pueden ser integrados en la discontinuidad. Sin embargo, aquellos términos fuente de naturaleza no geométrica pueden ser escritos de manera geométrica con la finalidad de satisfacer determinadas condiciones de equilibrio y la propiedad well-balanced. En este trabajo, el término fuente de Coriolis se reescribe en forma geométrica, lo que da lugar a la definición de una topografía aparente que permite satisfacer el equilibrio geostrófico con precisión de máquina.
En términos generales, los métodos propuestos son mucho más precisos eficientes que sus versiones de primer orden, aunque todavía queda mucho por mejorar. Como trabajo futuro se propone la implementación de algoritmos adaptativos $hp$ con la finalidad de incrementar notablemente la eficiencia computacional. Además, se debería considerar la sustitución del procedimiento de Cauchy-Kovalevskaya por técnicas más novedosas, para evitar tasas de convergencia subóptimas. En lo que respecta a la discretización de términos fuente, elas hipótesis de variaciones puramente unidimensionales que se asume en (\ref{s02int43) se debería reconsiderar. En un sentido más amplio, sería interesante explorar el uso de Riemann solvers multidimiensionales \cite{roe2017.
Respecto a la utilización del modelo de aguas poco profundas, cabe destacar que dicho modelo es de utilidad para la representación de fenómenos de propagación de onda no lineales. Sin embargo, muestra importantes deficiencias en presencia de flujos muy turbulentos producidos por esfuerzos cortantes elevados entre capas. Para mejorar el comportamiento predictivo del modelo en estos casos, es necesario añadir modelos de turbulencia que añadan disipación viscosa a las ecuaciones. En el futuro se explorará el uso de modelos complejos de turbulencia en combinación con esquemas numéricos de muy alto orden. Otros aspectos a mejorar del modelo involucran una mejor representación de las fuerzas gravitacionales para poder resolver flujos en sobre grandes pendientes \cite{juez2013. Por otro lado, también sería interesante introducir otros fenómenos físicos relevantes como transporte de sedimento y fondo \cite{Siviglia2013,juez2014,Valerio2007.
La parte final de la tesis centra en el estudio de anomalías numéricas inherentes a los métodos de volúmenes finitos en la resolución de las ecuaciones de aguas poco profundas. En particular, el estudio se reduce al problema del pico de caudal que aparece en presencia de resaltos hidráulicos. Esta anomalía ha sido considerada durante años una particularidad de la solución en vez de un problema real, sin embargo, aquí se muestra que en determinadas circunstancias puede destruir la convergencia de la solución por completo. Siguiendo estudios previos sobre anomalías numéricas en las ecuaciones de Euler \cite{zaidethesis, se formula un marco teórico para el estudio de dichas anomalías en las ecuaciones de aguas poco profundas. Por otro lado, se proponen algoritmos que solventan este problema para las ecuaciones de aguas poco profundas con término fuente de fondo basándose en métodos formulados para sistemas hiperbólicos homogéneos \cite{zaidethesis. Los esquemas resultantes proporcionan resultados notablemente superiores al esquema ARoe tradicional. Además, se consigue por primera vez garantizar la convergencia de la solución a la solución exacta en presencia de resaltos hidráulicos. El autor subraya la importancia de la reducción de las anomalías numéricas, especialmente si se trabaja con esquemas numéricos de muy alto orden, ya que capturan y transportan con precisión cualquier oscilación, sea física o numérica.

References: resolución 
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