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Timestamp: 2019-04-25 21:46:00+00:00

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19089116 Unidad Uno Algebra Trigonometria y Geometria Analitica
Cargado por Pizaña Emmanuel
Semestral dinamica
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ECUACIONES 1-1
Ejercicios Resueltos Primera Unidad
Unidad 5_M3_CITE.pdf
2016 II Separata Semana 07
ADM_Semestre_I_Logica y Funciones.pdf
Guía de matemáticas propedéutico 2014
Proyecto Programacion.docx
Eval 1 Algebra Lineal _a _rta
Guia Sistemas Lineales 2x2.1
ALG 7ma Semana I - 1-2.
ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (Segunda Edición)
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD – ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C, 2007 2
PRESENTACIÓN DEL CURSO Estimados Estudiantes Bienvenidos al curso de Álgebra, Trigonometría y ometría Analítica. La matemática como ciencia a través de la historia ha buscado fundamentos dos que garanticen su validez y rigurosidad, así el espectro de ésta ciencia es muy amplio, ro muy interesante, basta con repasar un poco el camino que inicia con la Aritmética, la Geometría, el Álgebra, uiendo hasta áreas más avanzadas como la Teoría de conjuntos, Geometría Diferencial y otros. Todo el fin de dar a la sociedad una Herramienta Formal que permita demostrar principios y definiciones para el buen uso en las áreas del saber. Ge sóli pe sig con
En este orden de ideas, el curso que nos ocupa en este material, presenta diver sas temáticas que hacen parte de esa gran herramienta formal. Las temáticas que se exponen son muy útiles para cualquier estudiante de un programa universitario, están desarrolladas en un lenguaje sencil lo, pero con gran rigor matemático, ya que el propósito fundamental es que los estudiantes adquieran conocim ientos sólidos en las áreas de Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica, Sumatorias y Productori as, que les permita transitar de manera muy dinámica por áreas más avanzadas de matemáticas o afines
. El curso esta estructurado por unidades que a su vez esta conformadas por capítulos y éstos por secciones. La primera unidad es de Álgebra, cuyos capítulos son las Ecuaciones y la s Inecuaciones, dos temáticas muy interesantes y de gran uso en campos de la Ingeniería, Adm inistración y demás. La segunda unidad contempla lo referente a funciones, además del análisis de la trigon ometría analítica y la Hipernometría, cuyos capítulos son precisamente las Funciones, la trigonometría y l a Hipernometría; término que acuñamos para hacer referencia a las funciones hiperbólicas. Es pertinente resaltar que el núcleo de las Matemáticas son en análisis de las funciones, también la gran aplicación de la trigonometría en estudios de Ciencias Experimentales, Ingeniería, Ciencias Agrarias y otros. La tercera unidad contempla los capítulos de Geometría Analítica, Sumatorias y Productor ias, temáticas muy particulares y de gran importancia en diversas áreas, como la Astronomía, Física, Inge niería, Estadística, Cálculo y otras. El proceso de análisis, comprensión e interiorización de las temáticas propues tas, son fundamentales para poder transitar en posteriores áreas del conocimiento propias de un programa académico universitario. Pero también son una buena herramienta para resolver un gran nume ro de problemas que se pueden solucionar con modelos matemáticos, como las ecuaciones, las i necuaciones, las funciones, las sumatorias, las productorias y la trigonometría, entre otras. El curso requiere algunos conocimientos previos de Aritmética, Álgebra Elemental y G eometría Plana y Espacial, los cuales son fundamentales para poder avanzar adecuadamente a través del curso. Pero si por alguna circunstancia dichos conocimientos son requeridos, se pueden consultar en el curso de Matemáticas Básicas, el cual esta disponible para cuando sea requerido. Cada temática tiene unos principios, se presentan sus propiedades, sus teoremas, a xiomas, que soportan su fundamento. También se exponen ejemplos modelos con su respectivo desarrollo que ilustran la profundización de las mismas, finalizando con ejercicios propuestos, que presentan su respuesta, para que los estudiantes puedan confrontar lo realizado con lo requerido. ( ) ∑ = − | | ¹ | \
| = + n n b a
Al final de cada unidad se presenta una auto evaluación que es donde el estudiante demuestra hasta donde ha desarrollado sus competencias cognitivas, meta cognitivas, argu mentativas, propositivas y demás, dándole transito a la profundización y transferencia de los conocim ientos en el área que nos ocupa. No sobra hacer énfasis que para aprender matemáticas, es fundamental la motivación int rínseca, querer hacerlo, tener paciencia, algo de perspicacia, sentido lógico y muchas ganas de en frentarse a más y más retos. Es claro que aprender matemáticas no es fácil, pero desarrollando un buen trabajo ac adémico, utilizando los lineamientos que se han presentado, el grado de comprensión e interiorización d e los conocimientos en dicha área será muy alto.
n b a 0 3
Para buscar una buena comprensión de los conocimientos, es pertinente desarrollar la metodología que la UNAD propone en su modelo académico pedagógico, el cual describe diversos mome ntos desde el trabajo independiente, trabajo en pequeño grupo colaborativo, tutorías de pequeño grup o e individuales y los encuentros de gran grupo, cada uno son muy importantes y buscan que el est udiante desarrolle su proceso de formación de manera dinámica y participativa.
............... ................................................. 96 Objetivo General y Objetivos Específicos ........................................ 106 Inecuaciones con Dos Incógnitas ................................... ....................... 103 Inecuaciones Racionales .............. .............................................. 57 Ecuaciones de Grado n ( Para n par) ..... ............................. .............................................. 6 Objetivo General y Objetivos Específicos ................................................ ................. 41 Ecuaciones de Segundo Grado ................................ 76 Ecuaciones Racionales .................................... 14 Ecuaciones de Primer Grado con Tres Incógnitas .... 94 CAPÍTULO DOS: Las Inecuaciones Introducción ..... 114 Inecuaciones Cuadráticas ....................................................... 96 Desigualdades ....................................... .......... 8 Ecuaciones de Primer Grado con Una Incógnita ......................................................... .......................................................................... 83 Fracciones Parciales ............. ........................................................................................................................................................ . 8 Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnitas .......... . 67 Ecuaciones de Tercer Grado ........................................................... ........ .................................................. 98 Inecuaciones Lineales ...............¡ Animo y muchos éxitos en tan interesantes temáticas! 4 TABLA DE CONTENIDO UNIDAD UNO: ECUACIONES E INECUACIONES CAPITULO UNO: Las Ecuaciones .............................................. . 31 Ecuaciones de Primer Grado: Problemas de Aplicación ............... . ........................................................ 5 Introducción ................... ......................................... ........................................................ 7 Leyes de Uniformidad ......... 97 Intervalos ................. ...... 64 Problemas con Ecuaciones de Segundo Grado .................... 6 Ecuaciones de Primer Grado ..................... 72 Ecuaciones Polinómicas ............................ 122 ......................................................................................................................................... .... 87 Ecuaciones con Radicales .. 7 Ley de Producto Nulo ...................................... .....................................................
........... 134 Ecuaciones e Inecuaciones con valor Absoluto .. las ecuaciones han sido el pan de cada día para resolver problemas donde se requiere s aber el valor de una “incógnita”............ 126 Problemas de Inecuaciones con Una Variable ..................... 139 Inecuaciones con Valor Absoluto ....... hasta nuestra época.......................................... . desde los babilonios.................................................................... las ecuaciones han sido de gran importancia e n las Matemáticas y otras ciencias..... 141 5 UNIDAD UNO ECUACIONES E INECUACIONES 6 CAPÍTULO UNO: LAS ECUACIONES INTRODUCCIÓN A través de la historia........................ ................ ................ .......................... pasando por los egipcios y los griegos . 130 Problemas de Inecuaciones con Dos Variables .... 138 Ecuaciones con valor Absoluto . por ejemplo: Si .................................................... Las ecuaciones son igualdades que se hacen verdaderas para valores esp ecíficos.... 138 Valor Absoluto .....................................................Inecuaciones Mixtas ....................
resolver una ecuación es hallar el valor o valo res de la incógnita que hagan verdadera dicha igualdad. paciencia. de terc er grado con una incógnita. la solución no es real. De acuerdo al grado del polinomio. Entonces. De acuerdo al número de variables. según el caso. desarrollar diversos y un número adecuado de ejemplos modelos. Objetivo general: Que los estudiantes identifiquen claramente las ecuaciones. de coefic ientes reales. Existen diferentes clases de ecuaciones. luego la solución es imaginaría i 2 y i 2 . según el tipo de coeficientes. Resolver adecuadamente ecuaciones de primer grado. Resolver sistemas de ecuaciones de dos y tres incógnitas por los métodos grafi co. δ β λ ¡ ¡ . existen diversas técnicas matemáticas que depende del tip o de ecuación. eliminación y determinantes. se requiere mu cho ánimo. de coeficientes racionales. las soluciones pueden ser reales o imaginarias. Solucionar problemas modelos utilizando como modelo matemático las ecuaciones. ecuaciones de dos variables. se tienen ecuaciones de una variable. Objetivos Específicos: 1. se debe buscar el valor de x que al multip licarlo por 2 y sumado con 5 nos resulte nueve. según el número de variables. su clasificación. 2. potenciación – Logaritmación. de segundo grado. si lo reemplazamos en la igu aldad 2(2) + 5 = 9. pero siempre se debe tener presente el principio de operaciones opuestas: Suma – R esta. etc. las técnicas de resolución según el tipo de ecuación y la forma de plantearlas en situaciones descriptivas. Para resolver ecuaciones. Pero si se tiene x 2 + 4 = 0. A su vez. según el grado del polinomio qu e la describe. de segundo grado. ya que NO existen número real que al elevarlo al cuadrado y sumado con 4 resulte cero. Producto – Cociente. existen ecuaciones de primer grado.tenemos: 2x + 5 = 9. (Recordemos los números imaginarios del curso de Matemáticas Básicas). Es así que para x = 2. Potenciación – radicación. Para un el buen dominio en la resolución de ecuaciones. ésta será verdadera. 3. Por ejemplo si tenemos x 2 – 4 = 0. Según el tipo de coeficientes. se puede verificar que los valores que puede tomar la incógnita son x = 2 y x = 2. etc. se tienen ecuaciones de coeficientes enteros.
= x 7 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Entender las ecuaciones requiere conocer claramente algunos conceptos que son co munes a todo tipo de ecuación: Constante: Son términos que toman valores fijos, en álgebra se utilizan p or lo general las primeras letras del alfabeto: a, b, c, … Todos los números en esencia s on constantes, por ejemplo en la expresión c bx ax + + 2 los términos a, b, c son constantes. Variable: Se considera todo aquello que puede cambiar, en Matemáticas por lo general se utilizan las últimas letras del alfabeto x, y, z w,… para el caso de c bx ax + + 2 , la variable es x, otro caso por ejemplo, la expresión: 0 2 2 = + + cy bxy ax , las variables son x e y. A manera de ejercicio identifique las variables y constantes en las siguientes e cuaciones, será un ejercicio muy motivante. 0 7 5 4 2 3 = − + z y x 0 2 3 = + +
pw by ax
Las ecuaciones de primer grado se pueden clasificar de la siguiente manera: Ecuaciones de primer grado con una incógnita: 2 5 4 + = − x x Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: 0 3 4 = − y x Ecuaciones de primer grado con tres incógnitas: 1 2 6 7 = + − z y x Así sucesivamente. Por lo general, la solución de ecuaciones se enmarca dentro del conjunt o de los reales, exceptuando los casos donde la solución no es real, como el caso donde la solución p resenta raíces con índice par de cantidades negativas. Leyes de Uniformidad: Es pertinente recordar las leyes de uniformidad, que son muy útiles a la hora de resolver ecuaciones.
SUMA Y PRODUCTO: Sean a, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. entonces: 1. a 2. a 3. a 4. a ς β 8 RESTA + + x x c c c c = = = = = + b + d b + c b x d b x c x
Y COCIENTE:
Sean a, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. entonces:
POTENCIA Y RAIZ: Sean a, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. entonces: 9. a c = b d 10. c a = d a 11. c c b a = Para a ≥ 0 además c + y c ≥ 2 Ley del producto nulo: Sean a y b números reales, entonces: 12. a x b = 0 si, y solo si, a = 0 ó b = 0 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA: Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son de la forma c b ax = + , s iendo a, b y c las constantes y x la variable. El valor de a puede ser entero, racional o real , pero nunca cero. Ejemplos de este tipo de ecuaciones: 0 5 3 = − x que corresponde a un a ecuación de coeficiente entero y expresión entera. 0 5 2 3 1 = − x , ecuación de coeficiente racional y
a c a c a / c a / c
d c b / d b / c
Para c ≠ 0 Para c ≠ 0
expresión entera. 8 5 2 3 = − x , ecuación de coeficiente entero y expresión racional. Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque a incógnita (varia ble) tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto quiere deci r que éste tipo de ecuaciones tienen “Una Sola solución”. Resolución: Las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se puede n resolver por diversos métodos, se analizarán algunos, siendo el método axiomático el más recomendado. METODO EGIPCIO: Conocido también como la Regula Falsa. En algunos libros egipci os y chinos, se ha encontrado un método para resolver ecuaciones llamado Regula Falsa o Falsa Posición. El método consiste que a partir de la ecuación dada, se propon e una solución tentativa inicial, la cual se va ajustando hasta obtener la solución más aproximada. El principio es que dada la ecuación, ax = b suponemos una solución ten tativa x o , reemplazando en la ecuación así: ax o = b, como no se cumple esta solución, se hace un 9 ajuste de la siguiente manera: o o x b b x = 1 la cual es una solución de la ecuación original, ya que: b x b b a o o =
Siendo b o el valor obtenido para x o
reemplazamos: 8 11 8 5 5 ) 5 ( 2 = ⇉ = + . Como No es cierto se hace el ajuste: 11 8 1 = x . Ahora: 11 40 5 11 8 = x Esta es la solución. Solución tentativa inicial 5 = o x . Ejemplo 1: Resolver la ecuación: 12 4 = + x x Solución: Proponemos como 4 = o x . Se hace el ajuste así: 5 12 1 = x ahora: 5 48 4 5 12 = x Esta es la solución.Algunos ejemplos nos pueden aclarar este método. luego: 12 5 12 4 4 4 = ⇉ = + lo cual NO es cierto. Si se verifica: tenemos. Ejemplo 2: Dada la ecuación 8 5 2 = + x x Hallar el valor de x que haga verdadera la igualdad. 8 55 40 400 8 55 40 11 80 . Solución.
todo núm ero real tiene un recíproco). (Propiedad del recíproco. valores definidos. excepto el cero). METODO AXIOMATICO: Es el método más utilizado en la actualizad. Aclaremos que los axiomas epistemológicamente son “Verdades Evidentes” y a par tir de éstas. y + x = 0 (Propiedad del inverso. igual para y. el cu al utiliza las propiedades algebraicas y las leyes de uniformidad. y c son constantes y además a ≠ 0. Algunos axiomas que son i mportantes para comprender la solución de ecuaciones. Con los argumentos anteriores. b. dentro del conjunto de los Reales Primer Axioma: x + y = y + x (Propiedad conmutativa) (Propied Segundo Axioma: x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) ad Asociativa) Tercer Axioma: x (y + z) = x*y + x*z Cuarto Axioma: y producto) 10 x + 0 = x y (Propiedad Distributiva) x*1 = x (Propiedad Modulativa de la suma Quinto Axioma: x + y = 0. donde a. buscan ilustrar la resolución de ecuaciones de és ¡ . se puede comenzar el análisis del desarrollo de ecu aciones. Los siguientes ejemplos. es efectivo en casos donde se present e este tipo de ecuaciones. Sexto Axioma: x*y = 1. Este método a pesar de ser muy rudimentario. su inverso es puede escribir –x. Para x. igual para y. Para x. z. Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede escribir de la forma c b ax = + . Todo número real tiene un Inverso.8 5 11 40 ) 11 40 ( 2 = + ⇉ = + ⇉ = + Lo cual es verdadero. todo esto derivado de los axiomas de cuerpo. se desarrolla todo el conocimiento. su recíproco se puede escribir x 1 = 1/x. NOTA: El símbolo * indica multiplicación. Axiomas de Cuerpo: Sean x. y. y*x = 1 Para x ≠ 0.
+ = − x x hallar el valor de x que satisfaga la igualdad. ¡ ¡ . el valor adicionado se hizo a los do s lados de la ecuación. explicado anteriormente. b b b ax − = − + 0 . Entonces: b ax − = . Como se puede observar. 6 9 3 6 6 − = − − x . la incógnita se organiza al lado derecho y las constantes al lado izquierdo. utilizando las leyes de uniformidad y los axiomas de cuerpo. Por lo general. operamos para obtener. en este caso x. Ahora eliminemos el 6 de la parte derecha para que solo quede la incógnita. entonces se de be “eliminar Matemáticamente hablando” lo que rodea a dicha incógnita. ) 3 1 ( * 3 ) 3 1 ( * 3 − = − − x . Ahora se debe eliminar la a. operando se obtiene: 9 3 6 = − x . entonces dejemos la incógnita al lado derecho. Ejemplo 1: Sea la ecuación 0 = + b ax Solución: Como la idea es despejar la incógnita. Así lo primero es eliminar b.te tipo. esto con el fin de que ésta NO se altere. lo cual se puede hacer aplicando el inverso. ya que todo número sumado con su inverso resulta cero. 9 2 2 2 6 + − = − − x x x x . Operando se obtiene: a b x − = Ejemplo 2: Hallar la solución de la ecuación: 9 2 6 Solución: Como estamos utilizando el método axiomático. lo cual se hace adicionando 2 x a los dos lados de la ecuación. La solución de la ecuación propuesta. Veamos: a b ax a 1 1 − = . ya que todo número multiplicado con su recíproco resulta uno. esto se hace aplicando el recíproco. operando se obtiene: 11 1 − = x . Finalmente aplicamos el recíproco de 3 para q ue la incógnita quede completamente despajada. para esto eliminémosla del lado izquierdo. 3 3 = − x .
Es pertinente analizar los pasos realizados. Este último proceso es lo que se conoce comúnmente como la comprobación de la solución. para ir aprendiendo los principios que soportan la resolución de ecuaciones. en la ecuación original. ¿por qué? 2 2 2 = ⇉ + − = − x x x x x . ) 2 ( * ) ( Sumemos –x a los dos lados de la ecuación. Se aplica tenemos Esta es el camino Veamos: 2 2 ) 2 ( * ) 1 ( 2 1 2 + = ⇉ + = ⇉ = + x x x x x x .Si reemplazamos el valor de x = 1. 7 7 9 ) 1 ( 2 ) 1 ( 6 9 2 6 = ⇉ + − = − − ⇉ + = − x x Ejemplo 3: Resolver la ecuación: 2 1 2 = + x x Solución: Recordando las leyes de d c b a * * = ⇉ = . se debe obtener una igualdad. uniformidad: b c d a para el caso que para convertir una expresión racional en entera. Así la solución es x = 2. ¡ . Reemplazamos la solución en la ecuación original: 2 1 2 2 2 2 1 2 = + ⇉ = + x x Operando: 2 1 2 1 = Se observa que la igualdad se cumple.
Ejemplo 4: Hallar el valor de la incógnita que satisfaga la ecuación: 4 2 8 3 1 4 7 6 − + = − + t t t t Solución: Vamos a resolver la ecuación. id entifique qué principios fueron aplicados en cada paso. pero se recomienda que usted estimado estudiante. ) 4 8 1 7 − − + = − + t t t t t 1 4 )( 8 3 ( ) 4 2 )( 7 6 ( 2 3 4 6 + = − + ⇉ t t t ) 8 29 12 ( ) 28 10 12 ( ) 1 4 )( 8 3 ( ) 4 2 )( 7 6 ( 2 2 − + = − − ⇉ − + = − + t t t t t t t t A la última ecuación sumamos: 12t 2 8 29 28 10 8 29 12 12 28 10 12 12 2 2 2 2 − = − − ⇉ − + + = − − + t t t t t t t t 8 28 39 8 29 29 28 29 10 8 29 28 10 Adicionamos 28 a la ecuación: 12 20 39 28 8 28 28 39 = − ⇉ + − = + − − t t − = − − ⇉ − − = − − − ⇉ − = − − ¡ Sumamos 29t t t t t t t t .
simplificando: x = 3: En este ejemplo. Ya que la idea es que los estudiantes analicen y deduzcan todo el procedimiento. no se dieron mayores detalles de la solución. 3 ) 1 ( 2 3 ) 1 ( 1 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 3 = − + ⇉ − . Solución Aplicando los principios estudiados anteriormente. Estimado estudiante comprobar esta solución. Ejemplo 6: Muestre que la ecuación 1 3 2 1 3 − = + − x x x No tiene solución. − = − ⇉ − − = − − 36 12 48 12 48 48 12 12 48 12 12 36 36 ) 12 1 ( 12 ) 12 1 ( = ⇉ = = ⇉ + − = + − ⇉ − = − x x .Finalmente: 39 20 ) 39 1 ( 20 39 ) 39 1 ( − = ⇉ − = − − Ejemplo 5: Resolver: Solución: 12 4 48 16 ) 3 ( 4 ) 6 2 ( 8 12 48 12 12 4 4 48 4 16 − = − ⇉ − = − x x x x x x x x x x x x ) 3 ( 4 ) 6 2 ( 8 − = − x x t t .
Así queda demostrado que la ecuación NO tiene solución.− = − + − − x x x x x x x x 3 2 5 3 2 2 3 3 ) 1 ( 2 3 5 5 2 3 2 2 5 3 2 5 Finalmente x = 1. ya que se tiene un cociente con denominador cero. 1 4 3 6 2 1 − = − x x Rta: x = 7/5 = − ⇉ = − + ⇉ = − + x x x x x x x x = ⇉ + = + − ⇉ = − . propiedad o ley matemática utilizada. 1 1 3 2 1 1 ) 1 ( 3 1 3 2 1 3 − = + − ⇉ − = + − x x x Observamos que se presenta una indeterminación. EJERCICIOS En los ejercicios propuestos. Si comprobamos la solución. leyes y axiomas matemáticos. resolver la ecuación paso a paso identific ando el axioma. 13 REFLEXIÓN: En todos los ejemplos propuestos. 1 2 ) 2 ( 3 2. lo cual se hace utilizando los principios. 1. la resolución se centra en despajar la incógnita.
3. 0 6 3 6 8 4 + = − + x x x Rta: x = 4 Rta: x = 1 ¡ + = − x x Rta: x = 14 Rta: x = 2 ¡ . 2 1 4 6 = + x x Rta: x = 20 4. x x − = + − 7 3 2 5 7. x x x x 2 9 6 − = + 9. ) 2 )( 5 ( 10 5 3 2 2 − + + + = − x x x x Rta: x = 6 6. 2 2 ) 1 ( 7 6 5. 2 2 4 3 2 4 1 − = − + + y y y Rta: y = 6 8.
b. Cuanto debe valer φ en la expresión 3y d. El primero es donde se tiene una ecuación con dos incógnitas y el segundo es cuando se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. PRIMER CASO: Una Ecuación Con Dos Incógnitas: ECUACIONES DIOFÁNTICAS: Diofanto de Alejandría. además. y) que satisfagan la ecuación propuesta. Cuando a. E n este apartado se analizarán dos casos. del siglo III de nuestra era. ¡ 10. satisfacen la igualdad. solo si. Este tipo de ecuaciones puede tener soluciones infinitas o no puede tener solución. son FUENTE: http . En honor a su nombre se les conoce como Ecuaciones Diofánticas.8 = − = − y y Rta: y = 0 3 φ = 3y – 5. y) que satisfaga dicha ecuación? Solución: Por simple inspección se puede ver que x = 1 y y = 2. La forma general de estas ecuaciones es c by ax = + . desarrolló unas ecuaciones que trabajan sobre el conjunto de los enteros y son de primer grado con dos incógnitas. b y c enteros positivos.iespana. ://suanzes. divide a c. la ecuación tiene solución entera si y. 2(1) + 3(2) = 8.htm Ejemplo: Para la ecuación 2x + 3y = 8 ¿cual será el par (x. donde a. para que se cumpla la igualda 14 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS: Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son una herramienta muy importan te para resolver problemas que se presentan en todas las áreas del saber. c son constantes y pertenecen al conjunto de los enteros. a ≠ 0 ó b ≠ 0. el máximo común divisor de a y b.es/diofanto. Entonces la solución consiste en hallar ecuaciones generadoras (paramétrica) del par (x.
( 2. y). 0). Veamos algunos ejemplos que nos aclaren este método. 4). y) = (1. x = 8 + 3(4) = 4 y = 8 – 2(4) = 0 La solución para t = 4 es el par (4. Solución General de Ecuaciones diofánticas: Para resolver este tipo de ecuaciones. Solución: Por algoritmo se puede establecer que la solución general es de la forma: t x 3 8+ − = y t y 2 8 − = A partir de esta solución. se puede obtener soluciones particulares. que generalmente se designa con t. para un valo r t = El procedimiento para obtener la solución general no es tarea fácil. la intención es que se pueda a partir de la solución general. hallar soluciones particulares. vamos a analizar dos procedimientos. obtener soluciones particulares. ésta se denomina así porque satisface para cualquier par (x . dada la solu ción general. 6). 1. Los curi osos pueden investigar en libros de Matemáticas Discretas ó en fuentes donde se traba je las ecuaciones diofánticas. Ejemplo 1: A partir de la ecuación 2x + 3y = 8. 0) Así sucesivamente para cualquier t entero. A partir de esta se pueden obtener soluciones particulares. bt a x + = dt c y 15 Llamadas solución general. así se obtiene dos ecuaci ones. 4) Para t = 4.… como s e dijo al principio. es decir. Método paramétrico: El principio es buscar ecuaciones para x al igual que par a y.Entonces la solución (x. por medio de un parámetro. + = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . x = 8+3(2) = 2 y = 8 – 2(2) = 4 La solución particular para t = 2 es el par ( 2. 5. 2) Pero se puede encontrar más soluciones. pueden existir infinitas soluciones. Para t = 2. por ejemplo (4.
Ahora reemplazamos el valor de x = 2 para obtener el de y. si despejamos x. Ejemplo 1: Solución: Lo primero es despejar y. Hallar la solución para x = 2. despejando una de las incógnitas y dejando la otra como parámetro. dado que conocemos el valor de x. a by c x − = . Solución. b ax c y − = . 35) • t = 8: x = 50 + 4(8) = 18. Se pueden obtener dos ecuaciones particulares. entonces x sería el parámetro. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . se obtiene el valor de x. y = 50 – 3(5) = 35 Solución ( 30. • t = 5: x = 50 + 4(5) = 30. y = 50 – 3(8) = 26 Solución ( 18. 26) 2. es decir. 4 3 4 8 3 ) 2 ( 2 8 = + = − − = y Solución particular: ( 2. la cual es: t x 4 50 + − = y t y 3 50 − = Ahora hallamos la solución para los valores del parámetro dados. y sería el parám etro y si despejamos y. Dando valores a x.Ejemplo 2: Hallar la solución para t = 5 y t = 8. Método Despeje: El método consiste en hallar la solución general. dada la ecuación diofántica 3x + 4y = 50. 4) Ejemplo 2: ¡ Dada la ecuación 2x + 3y = 8. se obtiene le valor de y. 16 Para la ecuación: c by ax = + . Dando valores a y. 3 2 8 x y − = . Recordemos que se debe conocer la solución general.
a ) 3 14 x y − = . 5) Rta . 1. Dada la ecuación: 4x – 6y = 6. Cual será el valor de x para y = 1. Determinar el valor de x. Entonces: 17 EJERCICIOS Resolver los ejercicios por el método más adecuado. a ) x = 2 b ) y = 5 Solución. Rta: t = 1. 5) t = 2 (12. dado el valor de la otra. en la ecuación: 5 4 = − y x Rta: x = 13 4. según los datos dados. Cual de las siguientes soluciones generales es l a que corresponde a dicha ecuación. Realce todos los pasos necesarios para la respectiva solución. Hacemos el despeje correspondiente. 26) 3.Para la ecuación x + 3y = 14. La solución general es: t x 5 2 + = y t x 6 2 − − = Hallar el par (x. Para la ecuación: 6x + 5y = 2. 9) 2. y) para t = 4. 4) b ) y x 3 14 − = . para y = 2. Rta: x = 2 5. Dada la ecuación: 12 6 9 = + y x . a ) t x 6 6 + = y t y 4 3 + = b ) t x 6 6 − = y t y 4 3 − = c ) t x 6 4 − = y t y 3 4 − = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1 ) 5 ( 3 14 − = − = x Solución: ( 1. : (22. Hallar el valor de la incógnita. Dada la ecuación 4x – 5y = 3. Cuya solución general es: t x 5 2 + = y t y 4 1+ = Hallar las soluciones particulares para t = 1 y t = 2 (7. Entonces: 4 3 2 14 = − = y Solución: (2.
la igualdad se cumpla. do nde la solución obtenida para x e y. a 2 . Rta: a 18 SEGUNDO CASO: Dos Ecuación Con Dos Incógnitas. c 1 . es hallar un par (x. además a 1 ≠ 0 ó b 1 ≠ 0 Al igual que a 2 ≠ 0 ó b 2 ≠ 0 Se dice que estamos frente a un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando se tiene un sistema de la forma: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 c y b x a c y b x a = + = + Donde a 1 . debe satisfacer simultáneamente las dos ecuaciones. b 2 . y) tal que al reemplazarlo en cualquiera de las dos ecuaciones. Por con siguiente. resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. . c 2 son constantes.Debe hacer el procedimiento adecuado para justificar la respuesta. b 1 .
que corresponde a dos puntos en el plano (x 1 . ya que los puntos de corte so n bien definidos. lo que indica que la solución es única y será el punto de corte. y 1 ) y (x 2 . De esta manera se pueden tener tres situaciones: Primero. Como se tiene dos ecuaciones. Tercero. cuando tien e al menos una solución para cada incógnita.Sistema Consistente: Un sistema de ecuaciones es consistente. y 2 ). en este caso vamos a analizar tres. L 1 y L 2 . El método se basa en que en el plano de coordenadas rectangulares. entonces se deben tener graficadas dos rectas. Existen diversos métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con do s incógnitas. y). Segundo. donde la primera componente corresponde a x y la segunda component e a y. Sistema Inconsistente: ocurre cuando el sistema NO tiene solución alguna. luego hay infinitas soluciones. como se realizo en las ecuaciones dio fánticas. de tal manera que con dos parejas. q ue las dos rectas coincidan. una ecuación de la forma ax +by = c. darle valores a x para obtener parejas (x. que las rectas se c orten en un punto. El procedimiento básico consisten en despejar y en las dos ecuaciones y. corresponden a las ecuaciones uno y dos del sistema. Es obvio que el trabajo es analizar sistemas consistentes. que las rectas sean paralela s. esta representada por una recta cuyos puntos son parejas ordenadas de números reales. 19 El método es adecuado cuando hay soluciones enteras. 1. METODO GRAFICO. se puede graficar una recta (Axioma Euclidiano) Ejemplo 1: Resolver el sistema: 6 5 5 2 3 = − = − . lo que indica es que NO hay solución.
Le punto es (1. entonces y = 5(2) – 6 = 4. y = 1.y x y x Solución: Según el procedimiento. el punto es (2. entonces: y = [5 – 3(3)]/ 2 = 2. el punto de corte es (1. 2) Otro valor x = 5. x y y x 2 5 5 2 − = ⇉ = + Para x = 1. Para la segunda ecuación. por ejemplo x = 3. 4) Graficamos: Según la gráfica. entonces: y = 5(1) – 6 = 1. hallar la solución correspondiente. 6 5 6 5 − = ⇉ = − x y y x Los valores: x = 1. Para la primera ecuación: 2 3 5 5 2 3 − − = ⇉ = − x y y x Tomemos dos valores. 4) Los puntos para graficar la segunda recta son: (1. 1) y (2. 5). 1) Luego la solución son: x = 1. entonces: y = [5 – 3(5)]/ 2 = 5. 2) y (5. hacemos los despejes respectivos. el punto es (1. Ejemplo 2: Dado el sistema de ecuaciones. 3) ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . 20 8 2 4 5 2 = + = + y x y x Solución: Como en el caso anterior. 5) Los puntos para graficar la primera recta son: (3. El punto es (3. 1) El otro valo r x = 2. entonces y = 5 – 2(1) = 3. El punto es (5.
4 0 = + = − ¡ ¡ ¡ ¡ . 3) 2 4 8 8 2 4 x y y x − = ⇉ = + Para x = 2. el punto es (3. REDUCCIÓN: Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. entonces y = [8 – 4(3)]/2 = 2. la técnica consiste e n igualar coeficientes de una de las dos incógnitas y que presenten signo s contrarios. entonces y = 5 – 2(4) = 3 el punto es (4. Con el valor de la incógnita obtenida. el punto es ( 2. se busca el valor de la primera. así se puede eliminar dicha incógnita. por consiguiente el sistema NO tiene solución. a continuación analizamos cada una . entonces y = [8 – 4(2)]/2 = 0. 21 Ejemplo 1: Resolver el sistema. obteniendo una ecuación con una incógnita.Para x = 4. cuyo principio es eliminar una incógnita. c uya resolución ya hemos estudiado. posteriormente con el valor obtenido. siempre y cuando no se presenten inconsistencias. los valores dados a x han sido escogidos arbi trariamente. se reemplaza en cualqu iera de las dos ecuaciones. NOTA: En los ejemplos estudiados. 2. 0) Para x = 3. no hay puntos de corte. METODO POR ELIMINACIÓN. 2) Graficamos: Como las rectas son paralelas. Es un método algebraico. para obtener el v alor de la otra. luego al reemplazarlos en la ecuación se obtiene el valor de y. para obtener el valor de la otra incógnita. Este método se puede desarrollar por tres técnicas.
entones tomemos la primera ecuación y reemplacemos el valor de y. 4 0 = + = + − y x y x Como ya están organizadas. las ig ualdades se deben cumplir simultáneamente. luego se puede eliminar. Como ya se conoce el valor de y.y x x y Solución: Primer organizamos las incógnitas. se toma cualquiera de las dos ecuaciones originales y se reemplaza dicho valor. 2) Si reemplazamos dichos valores en las dos ecuaciones originales. para poder igualar coeficientes y eliminar la incógnita seleccionada para este fin . y) = (2. Para seleccionar la incógnita a eliminar. Ejemplo 2: Resolver el sistema 5 2 3 4 − = − = − y x y x Solución. se puede tomar como criterio la que tenga signo . para que queden las y en una columna y las x en la otra. pero se observa que la incógnita x tiene coeficientes iguales y signos contrario s. entonces: 4 2 / 4 0 = + = + = + − y y x y x Despejamos y. entonces: y = 4/2 = 2. 2 0 2 0 = ⇉ = + − ⇉ = + − x x y x La solución es: (x. para obt ener el valor de x. se debe igualar coeficientes con signos con trarios.
y) = ( 13. luego: 5 2 3 ) 3 ( 4 ) 3 ( 3 − = − − = − − − y x y x Operando se obtiene: 5 2 3 12 3 3 − = − − = + − y x y x 22 Ahora: La solución para y es 17. para esto lo que se hace es multiplicar la primera ecuación por 3 y la segunda p or 1. ya que tiene signo contrario . se puede eliminar y. 17) Ejemplo 3: Resolver el sistema 3 6 2 8 9 4 − = − = + y x y x Solución: Como se observa en le sistema.contrario. solo faltaría igualar los coeficientes. lo que se consigue multiplicando la primer a ecuación por 2 y la segunda por 3. escojamos x. reemplazamos en cualquier a de las dos ecuaciones originales. 13 3 34 5 5 34 3 5 ) 17 ( 2 3 5 2 3 − = − − = ⇉ − = + ⇉ − = − − ⇉ − = − x x x y x La solución es: (x. entonces debemos igualar coeficientes en x y con sig no contrario. Para este ejemplo se puede escoger cualquiera de las dos. escojamos la segunda. 3 ) 3 6 2 ( 2 ) 8 9 4 ( − = − ¡ ¡ ¡ ¡ . Para obtener la solución en x. pero no es una camisa de fuerza.
. y) = (1/2. tomemos la segunda: 3 2 6 4 6 1 3 3 6 1 3 6 ) 2 1 ( 2 3 6 2 = = − − − = ⇉ − = − ⇉ − = − ⇉ − = − y y y y x Así. 3 8 3 8 − = ⇉ − = 4 6 ) ) = + 1 2 3 / 2 ( 6 ) 2 / 1 ( 2 3 / 2 ( 9 ) 2 / 1 ( 4 − = − + Se observa que las igualdades son verdaderas. se hace sustitu yendo en las ecuaciones originales los valores obtenidos.= + y x y x Lo que equivale a: 9 18 6 16 18 8 − = − = + y x y x Operando: 7 / 14 9 18 6 16 18 8 = + − = − = + x y x y x Despejando la incógnita tenemos: x =7/14 = ½ reemplazando x En seguida debemos hallar el valor de la incógnita y. para comprobar que la igualdad en v erdadera. la solución es: (x. 2/3) Recordemos que la verificación ó comprobación de la solución. luego la solución es correcta. en una de las ecuaciones originales.
bueno esta expresión se ha repetido varias veces. Ejemplo 1: Resolver el sistema dado a continuación: 4 8 = − = + y x y x Solución: Se puede despajar la incógnita que se desee. a través de procesos matemáticos se busca el valor de la incógnita presente. 2y = 4. Para la primera: x 1 = 8 – y Para la segunda: x 2 = 4 + y Ahora. luego y = 4/2 = 2. igualamos las dos expresiones. Ahora reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones orig inales.17 / 5 2 3 12 3 3 − = + − = − − = + − y y x y x 23 IGUALACIÓN: Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Entonces: 8 – y = 4 + y. para este caso vamos a despejar x en las dos ecuaciones. En dichas expresi ones. la idea es que usted estimado . como en el caso de la reducción. el proc eso para despajar y será entendido. el cual. quedando el sistema en términos de la otra. se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones originales para halla r el valor de la otra incógnita. ya que x 1 = x 2 ¿Por qué? Analícelo con sus compañeros. la técnica consiste en despajar en las dos ecuaciones la misma incógnita. seguido se igualan las expresiones obtenidas. como ya sabemos trabajar este tipo de ecuaciones.
Tomemos la primera ecuación: 6 8 2 8 = ⇉ = + ⇉ = + x x y x La solución será: (x. llegará e l momento de NO repetir.estudiante la asimile para que a medida que sigamos en el estudio de este tipo de ecuaciones. y) = (6. Ejemplo 2: Hallar el valor de las incógnitas. es un trabajo motivante. 2) Por favor realicen la verificación de dicha solución. pero si saber que se esta haciendo. 2 57 8 9 37 5 12 = − = − y x y x 24 Solución: Despajamos x. Para la primera: 12 5 37 5 37 12 37 5 12 y x y x y x + = ⇉ + = ⇉ = − Para la segunda: 18 16 57 2 16 57 8 2 57 9 2 57 8 9 y x y y x y x + = ⇉ + = + = ⇉ = − Se igualan las dos expresiones obtenidas: . para el sistema dado a continuación.
igual si fuera la otra incógnita. Tenemos una ecuación con una incógnita.) 16 57 ( 12 ) 5 37 ( 18 18 16 57 12 5 37 y y y y + = + ⇉ + = + Operando y simplificando: 666 + 90y = 684 + 192y. Aquí tenemos una ecuación con una incógnita. se debe sustituir en la segunda ecuación ó viceversa. luego y = 18/102 = 3 / 17 Ahora sustituimos y = 3 / 17. elegimos y en la primera ecuación. Ejemplo 1: Resolver el sistema dado en seguida:. tomemos la primera ecuación. debemos despejar una de las incógnitas en una d e las ecuaciones. 4 4 4 + = ⇉ − − = − ⇉ − = − x y x y y x Ahora reemplazamos y en la segunda ecuación. si despejamos la incógnita x en la p rimera ecuación. 5 2 3 4 − = − − = − y x y x Solución: Según la teoría del método. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ x x x y x . 90y – 192y = 684 – 666 Operando: 102y = 18. no permiten ilustrar claramente el método de re solución. la sus titución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirl a en la otra ecuación. Dicho de otra manera. y) = (307 / 102. 5 ) 4 ( 2 3 5 2 3 − = + − ⇉ − = − x x y x . lo cual a estas alturas ya sabemos resol ver. 17 / 614 12 17 / 15 37 12 37 ) 17 / 3 ( 5 12 37 5 12 = ⇉ − = ⇉ = − − ⇉ = − Despejamos la incógnita: x = 614 / 204 = 307 / 102 La solución: (x. Como siempre los ejemplos modelos. 3 / 17) SUSTITUCIÓN: Para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Veamos.
y) = (3. 1 3 5 5 6 2 3 5 5 3 = − = + y x y x Solución: Para resolver este sistema. Veamos: 30 25 9 2 15 25 9 2 3 5 5 3 = + ⇉ = + ⇉ = + y x y x y x 15 25 18 1 15 25 18 1 3 5 5 6 = − ⇉ = − .3 5 8 2 3 5 ) 4 ( 2 3 = ⇉ − = − − ⇉ − = + − x x x x x 25 Reemplazamos el valor de x en la segunda ecuación: 7 2 14 9 5 2 5 2 ) 3 ( 3 5 2 3 = − − = ⇉ − − = − ⇉ − = − ⇉ − = − y y y y x La solución: (x. es aconsejable primero convertir las ecuaci ones a expresión enteras. 7) Ejemplo 2: Resolver el sistema.
así obtener el valor de x. luego NO hay solución. 15 30 9 30 15 9 30 ) 5 / 3 ( 25 9 30 25 9 − = ⇉ = + ⇉ = + ⇉ = + x x x y x Despejando. x = 15 / 9 = 5 / 3 Solución: (x. 3 2 4 1 2 = + = + y x y x Solución: Siguiendo la metodología para este método. por consiguien te el sistema no tiene solución. tomemos la primera ecuación para reemplazar y. es un sistema inconsistente. 3/5) Ejemplo 3: Hallar la solución del sistema dado. EJERCICIOS ¡ ¡ − ⇉ = − y y y y y y x Despajando: y = 45 / 75 = 3 / 5 = ⇉ = − + ⇉ = − + ⇉ = + x x x x y x . y) = (5/3. según el método. despajamos x en la primera ecuación y la reempl azamos en la segunda. tenemos: x y y x 2 1 1 2 − = ⇉ = + Reemplazando: 3 2 3 4 2 4 3 ) 2 1 ( 2 4 3 2 4 26 La última igualdad no es verdadera. 9 25 30 25 30 9 30 25 9 y x y x y x − = ⇉ − = ⇉ = + 60 15 75 15 25 50 60 15 25 9 25 30 18 15 25 18 − = − ⇉ = − − ⇉ = − Ahora. recordemos que también se puede hacer lo contrario.⇉ = − y x y x y x Entonces.
y = ¾ 5. 3 2 3 2 4 2 = + − = − y x y x Rta: x = ½.Resolver los siguientes sistemas por el método de reducción. 10 3 6 2 − = − = + y x y x 3. y = 4 . 8 19 3 2 4 3 10 7 6 1 5 ¡ ¡ Rta: x = 2. 4. 12 2 3 13 5 = + − = − y x y x Rta: x = 2. 1. y = 12 Resolver los siguientes sistemas por el método de Igualación. 18 2 1 3 5 7 3 2 4 3 = − = + y x y x Rta: x = 20. y = 3 2.
4x4. y = 3 Resolver los siguientes sistemas por el método de Sustitución 6. 6 2 1 2 1 − = − − = − y x y x Rta: NO hay solución 7. 3 4 3 6 1 1 1 = + = + − y x y x Rta: x = 3. etc. donde los elementos de éste son los coeficientes de las ecuaciones que conforman el sistema. ¡ . METODO POR DETERMINANTES Determinante: Un determinante es un arreglo rectangular de filas y col umnas. 3x3. Así pueden haber determinantes de 2x2. y = 2 27 3.2 = = y y − − x x Rta: x = ½. Las filas son: (a 1 b 1 ) y (a 2 b 2 ) Las columnas: (a 1 a 2 ) y (b 1 b 2 ) El tamaño del determinante lo da el número de filas y de columnas.
2 1 b b 1 2 1 * b b D 2 1 c c = = 2 1 2 1 a a 2 2 1 2 1 * b a a − = 2 2 2 1 1 1 y b x y b x + + 2 1 a b a = 1 a a . Donde D es el valor del determinante. La solución será el cociente de los dos determinantes. que es común para todas las incógnitas. Ecuaciones por Determinante: Para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas. KRAMER propuso una técnic a que podemos resumir así: Sea el sistema: Se despeja cada incógnita de la siguiente manera: El determinante del denominador. se requiere trabajar con determinantes de 2x2. para el caso de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.Resolver un determinante es hallar el valor del mismo. se le llama determinante de coeficient es. para cada incógnita.
Solución para la primera incógnita x = 1. 4 5 2 6 3 4 ¡ . Solución para la segunda incógnita y = 1 Ejemplo 2: Resolver el sistema siguiente.2 1 b b b b x 2 1 2 1 b b c c y 2 1 a a c c = 2 1 2 1 a a a a = 28 Solución: Ejemplo 1: Resolver el sistema 6 5 5 2 3 = − = − y x y x Solución: Se organizan los determinantes.
procedamos así.= = y y + − − x x Solución: Como ya se conoce le procedimiento general. 1 2 2 1 2 2 * * * * b a b b c b x − − = 1 2 2 1 2 2 * * * * b a b c a c y − − = 7 7 10 3 12 5 ) 2 ( ) 2 ( 1 5 2 3 1 6 2 5 = + − + − = − − − − − − = − − − − = x x 1 1 a c 1 1 a a 5 ) 1 ( 3 6 ) 1 ( 5 .
x x x 7 7 10 3 25 18 ) 2 ( 5 5 6 1 5 2 3 6 5 5 3 − = + − − = − − − − = − − = x x x x y 14 42 6 20 12 30 ) 3 ( ) 3 ( 5 2 3 4 5 4 3 6 = − + = − − − − − = − − − = x x x x x 29 Así x 5 ) 1 ( 3 3 ) 2 ( 5 4 4 5 6 = 3 Solución para y = 2 .
es inconsistente. Así. ya que la fracción tiene como denominador cero. el sistema NO tiene solución.Ejemplo 3: Hallar el valor de x e y en el sistema 6 4 7 8 4 7 = + = + y x y x Solución: El valor de x es indeterminado. 14 28 6 20 12 16 ) 3 ( 6 ) 2 5 2 3 4 4 2 6 4 = − + = − − − − − = − − − = x x x x y 0 8 28 28 24 32 4 7 4 4 6 4 4 7 4 7 4 6 4 8 = ) 2 ( 5 4 ( 4 4 7 8 .
utilizando determinantes. 12 3 2 13 5 = + = − y x y x Rta: x = 3. 3. 12 4 5 24 6 3 = + = − y x y x 5.− − = − − = = x x x x x 30 EJERCICIOS Identificar el valor de φ en cada determinante. 12 3 4 2 = Rta: φ = 12 2. y = ¡ Rta: φ = 5 2 . es decir. 1. de tal manera que la igualdad se cumpla. y = 2 4. y x x y ¡ Rta: x = 4. 13 4 5 3 = − Resolver los sistemas de ecuaciones propuestos por el método de Kramer.
Para los sistemas de éste tipo. q = 2 7. PRIMER MÉTODO: SOLUCIÓN POR ELIMINACIÓN. ya que los principios son similares. 52 4 12 13 3 − = + − = − q p q p Rta: p = 5. Cuando se 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b d z c y b d z c y b = + + = + + = + + tiene un sistema de la forma: x a x a x a ¡ ¡ Rta: x = 22 / 7. ¡ Rta: x = 2. se van a analizar dos métodos. Con los conocimientos adquiridos en el apartado anterior. solo que para este caso se trata de más ecuaciones y más incógnitas. será más sencil lo abordar el que sigue.2 3 1 + + = 8 3 2 = − 6. 1 5 4 2 3 2 = − − = + y x y x 31 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCÓGNITAS. y = 1 y = 11 / 5 .
Ejemplo 1: Resolver el sistema dado por Eliminación. d 2 . d 1 . a 2 . la igual dad se cumpla. y. y. es hallar valores espe cíficos para (x. 2 0 4 = + − = − + = + + z y x z y x z y x Tres ecuaciones con . d 3 son constantes. b 3 . Se dice que estamos frente a un sistema de ecuaciones simultáneas.Donde a 1 . c 1 . b 2 . z) tal que al reemplazarlo en cualquiera de las tres ecuaciones. a 3 . Primero: Segundo: La mejor forma de comprender el método es con ejemplos modelos. b 1 . resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Un esquema sencillo que nos ayuda a comprender el método. do nde la solución obtenida para x. c 2 . c 3 . Por consiguiente. z debe satisfacer simultáneamente las tres ecuaciones.
) 3 ( 2 ) 2 ( 0 ) 1 ( 4 = + − = − + = + + z y x z y x z y x Según el esquema debemos a partir de las tres ecuaciones.tres incógnitas Dos ecuaciones con dos incógnitas Una ecuación con una incógnita Con la primera solución Se reemplaza en una de las ecuaciones de dos incógnitas. es decir. 32 Solución: Primero enumeremos las ecuaciones para hacer más fácil su identificación. z. lo que se hace de la siguiente manera. Tomemos las ecuaciones (1) y (2) y eliminemos la incógnita z. obtener dos ecuaciones c on dos incógnitas. ) 4 ( 4 / 2 2 ) 2 ( 0 ) 1 ( 4 = + = − + = + + y x z y x z y x Observemos que se obtiene una nueva ecuación (4) que es de dos incógnitas. Ahora tomamos las ecuaciones (1) y (3). para obtener la tercera solución. Entonces: . se reemplaza en una de las ecuaciones con tres incógnitas. obteniendo la segunda solución Con las dos soluciones. [pero puede ser también (2) y (3)] y elim inamos la misma incógnita que se eliminó anteriormente. pero puede ser u na de las otras incógnitas. .
2) Ejemplo 2: Resolver por eliminación el sistema dado a continuación. Para la última solución. Tomemos la ecuación (1). la incógnita z. 1. z) = (1. Para la segunda solución. ) 3 ( 6 2 ) 2 ( 7 2 ) 1 ( 12 = − + = + − . ya que esta solo tiene dos incógnitas y se conoce el valor de una de ellas. (pero puede ser una de las otras. 2y =2. así queda resuelto el sistema. es decir.Las ecuaciones (4) y (5) tendrán a lo más dos incógnitas. no lo olvidemos) 2 2 4 4 2 4 ) 1 ( ) 1 ( 4 = − = ⇉ = + ⇉ = + + ⇉ = + + z z z z y x La tercera solución z = 2. entonces: y = 1. y. luego despejamos y se puede obtener su valor. Primera solución. En este caso la ecuación ( 5) solo tiene una incógnita. ) ) ) = − = y z z ) ) = = z z 5 3 1 + = + ( 2 / 2 / ( 2 ( 4 − + − + y x y x 3 ( 2 1 ( 4 + − + + y x y x 33 6 2 7 2 12 = − + = + − = + + z y x z y x z y x Solución: Recordemos que para facilitar el proceso debemos enumerarlas. reemplazamos y en la ecuación (4). La solución total: (x. se reemplaza en cualquiera de la ec uaciones originales el valor de x e y. Entonces: 1 2 2 2 2 4 2 4 ) 1 ( 2 2 4 2 2 = ⇉ = ⇉ = − = ⇉ = + ⇉ = + x x x x y x La segunda solución es x = 1.
10x – 3x = 40 – 19 entonces: 7x = 21. 5x + z = 20. pero como se ha venido comentando. luego: z = 20 – 15 = 5. lo que se hace multiplicando la ecuación (2) por 2 y la ecuación (3) se deja igual. Por consiguiente . pero no olvidemos que se puede eliminar cualquiera de las otras incógni tas. también despajamos z. Tomemos la ecuación (5). Entonces como tienen signos contrarios solo se debe igualar coeficientes. luego: x z 5 20 − = Ahora igualamos las expresiones y operamos: x x x x 10 40 3 19 5 20 2 3 19 − = − ⇉ − = − Como tenemos una ecuación con una incógnita. se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas (4) y (5). La so lución se puede hacer los cualquiera de los métodos estudiados. luego: 2 3 19 x z − = Para la ecuación (5): 5x + z = 20. despejamos z. se resuelve como se ha aprendido. así x = 3 Ahora reemplazamos el valor de x en una de las ecuaciones (4) ó (5). ya que tiene signos contrarios y es to facilita su eliminación. es decir. Entonces: Como se puede ver.= z z z + y y y + x x x Tomemos (1) y (2) y eliminemos la incógnita y. entonces: 5(3) + z = 20. así se puede ob tener el valor de la otra incógnita. puede ser (1) y (3). Usemos igualación: Para la ecuación (4): 3x + 2z = 19. y. Se debe eliminar la misma incógnita. ) 4 ( 19 2 / 3 ) 2 ( 7 2 ) 1 ( 12 = + = + − = + + z x z y x z y x Ahora se toma (2) y (3).
luego: 2y amos la incógnita: 4 2 2 6 = + = y . Tomemos la ecuación (3). 4. Esto nos induce a analizar dichos determinantes. despej x + 2y – z = 6. antes de su respectiva aplicación. reemplazando tenemos: (3) + 2y – (5) = 6. se Para resolver un determinante de tercer orden hay tres formas diferentes. ) 3 ( 6 2 ) 2 ( 7 2 = − + = + − z y x z y x ) 5 ( 20 / 5 ) 3 ( 6 2 ) 2 ( 14 2 2 4 = + = − + = + − z x z y x z y x 34 2 = 6. presentan determinantes de 3x3. Cuando se tiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Luego y = 4 solución: (x. conocidos como determinantes de tercer orden. y.z = 5 Finalmente. Determinantes de tercer orden: Son arreglos de 3 filas y 3 columnas. pero ustedes pueden tomar otra para que comp rendan mejor el procedimiento. Sea el determinante: Solución: ¡ . 5) SEGUNDO METODO: SOLUCIÓN POR DETERMINANTES. veamos : 1. z) = (3. reemplazamos el valor se x y z en cualquiera de las ecua ciones originales. Productos Cruzados: Se puede ver esquemáticamente el procedimiento.
propuesto por sarrus es: 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ' z y x z y x z y x z y x z y x A = Solución del determinante: [ ] [ ] β α − = ' A 3 2 1 z z z A 3 2 1 z z z A ( ( 3 2 z z + + β α 3 3 2 2 1 1 y x y x y x = 3 3 2 2 1 1 y x y x y x = 35 ) ) 1 2 1 3 y x y x + = + = 2 1 z z ( ( 3 3 y y 1 2 x x ) ) 1 3 z z 2 2 y y ( ( 3 1 x x ) ) 3. el nuevo determinante. Método de Cofactor: La siguiente ilustración explica el procedimiento. .[ ] [ ] b a A − = Donde: ( ) ( ) ( ) 1 3 2 3 2 1 3 2 1 z y x x z y z y x a ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 1 2 1 2 3 x z y z y x z y x b + + = + + = 2. Método de Sarrus: Consiste en aumentar las dos primeras filas a con tinuación del determinante original y hacer productos cruzados. Para el determinante A definido anteriormente.
D = [a] – [b] [a] = [( 2)( 1)(3) + (3)( 2)(1) + (3)(4)(2)] = 6 – 6 + 24 = 24 [b] = [(2)( 1)(1) + (3)(3)(3) + ( 2)(4)( 2)] = 2 + 27 +16 = 41 D = 24 – 41 = 27 b ) Por Sarrus.La última parte se resuelve como determinante de 2x2: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 y x z x z z x z x y z y z y x A − + − − − = Ejemplo 1: Resolver por productos cruzados y por Sarrus el siguiente determinante. [ ] [ ] β α − = ⇉ − − − − − = ' 4 1 3 1 3 2 3 2 2 4 1 3 1 3 2 ' D D [ ] [ ] 41 27 16 2 ) 3 )( 3 )( 3 ( ) 4 )( 2 )( 2 ( ) 1 )( 1 )( 2 ( 24 24 6 6 ) 4 )( 3 )( 2 ( ) 1 )( 2 )( 3 ( ) 3 )( 1 )( 2 ( = + + − = + − − + − = = + − = + − + − − = β α ¡ D’ = 24 – 41 = 27 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . 3 2 2 4 1 3 1 3 2 − − − = D Solución: a ) Por productos cruzados.
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 z y z z z y z z x z z z A 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 1 1 x x x x y y y x y x y x + − ⇉ = 36 Ejemplo 2: Desarrollar el siguiente determinante por Sarrus y por cofactor. [ − − − = 3 0 2 3 0 ' [ ] [ ] 34 18 − = + − = − β α ¡ ] [ ] β α − = ⇉ ' 2 3 4 2 3 1 4 2 1 4 P P 42 6 48 0 ) 0 16 ) 3 )( − = + − + − + − = − + + 2 )( 3 )( 1 ( ) 3 )( 4 )( 4 ( ) 0 )( 2 )( 2 ( 3 )( 2 ( ) 0 )( 4 )( 1 ( ) 2 )( 2 )( 4 ( = − = . 2 4 2 3 2 1 0 3 4 − − = P Solución: a ) Por Sarrus.
3. 0 1 4 4 3 2 3 2 1 − ¡ Rta. mientras que el método de cofactores se puede utilizar para determinantes de mayor tamaño. 2 / 1 2 5 3 − − = B 4 2 1 − − − 1 1 2 / 1 0 4 Rta: B = 9/2 Resolver por Sarrus los determinantes dados. A = ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 3(2 + 6) + 0 = 32 – 24 = 8 52 .P = 34 – ( 42) = 34 + 42 = 8 b ) Por Cofactor: [ 4 2 0 2 3 3 2 3 ) 2 3 0 + − + − − − − = P ] 2 1 2 1 4 2 4 4 2 3 − [ ] 0 3 ) 2 ( 2 1 3 3 ) 4 ( 2 2 ) 4 ( ( 2 1 4 − − − − ⇉ − ⇉ x x x x P = ( 4)(4 12) Los dos primeros métodos analizados solo sirven para determinantes de t ercer orden. 0 1 4 3 3 2 = A 2. 37 EJERCICIOS Resolver los determinantes dados a continuación por el método de productos cruzados . 1.
0 4 1 3 1 0 7 6 5 − − = F Cual será el valor de x para que el determinante sea verdadero. 1 2 / 1 2 0 2 / 1 1 1 2 / 1 2 / 1 − − = E Rta: E = 1/2 Resolver por Cofactor: 5. KRAMER. Sea el sistema: ¡ Rta: x = 4 ¡ Rta: x = ¡ Rta: F = ¡ 49 2 .− − − = C Rta: C = 58 4. 5 2 1 0 5 1 4 2 3 = − = x D 2 2 3 2 = − − x P 2 1 1 1 = x 38 Solución de Ecuaciones por Determinantes: Para resolver un sistema de tr es ecuaciones con tres incógnitas por determinantes. propuso una metodología que ilustramo s a continuación.
Finalmente la solución para cada incógnita. 14 3 3 2 8 2 3 5 = + + = + + = + + z y x z y x z y x Solución: Usando la técnica de Kramer tenemos: Determinante de coeficientes: 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a = + + = + + = + + 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a = ∆ 3 3 3 . Aclarando que ∆ ≠ 0 En seguida se calculan los determinantes para cada incógnita.Primero se calcula el determinante de coeficientes. Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema por determinantes.
2 1 c c c x 3 2 1 c c c y 3 2 1 d d d z ∆ ∆ = x ∆ ∆ = 2 1 d d d = ∆ 3 3 2 2 1 1 d a d a d a = ∆ 3 3 2 2 1 1 b a b a b a = ∆ 2 1 b b b x y y ∆ ∆ = z z 3 1 1 = 39 3 2 2 3 1 1 ∆ Lo resolvemos por cofactor. ( ) ( ) 1 67 68 15 24 28 14 24 30 3 3 14 1 2 8 1 1 5 = − = + + − + + = = ∆x 1 75 76 ) 3 5 3 1 14 1 1 8 2 ( ) 1 5 2 1 14 3 3 8 1 ( . ( ) ( ) ( ) 1 5 7 3 2 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 3 3 2 1 3 2 2 3 1 3 2 1 3 1 3 3 1 2 1 = + − = − + − − − = + − = ∆ x x x x x x Ahora los determinantes de las incógnitas.
z) = (1. Finalmente hallamos el valor de cada incógnita. . 1.1 1 3 1 1 3 1 1 = 8 3 5 1 14 2 8 3 5 1 14 2 8 3 5 1 − = + + − + + = = = ∆ x x x x x x x x x x x x y ( ) ( ) ( ) 3 25 26 4 2 2 3 3 5 8 2 14 3 1 8 3 14 2 1 3 2 2 3 5 14 2 8 3 1 14 3 8 2 1 14 3 2 8 2 3 5 1 1 = + − = − + − − − = + − = = ∆ x x x x x x z ¿Identificar por qué método se resolvió cada determinante? Trabajar en el grupo colabor ativo. y. 1 1 1 = = ∆ ∆ = x x 1 1 = = ∆ ∆ = y y 1 3 = = ∆ ∆ = z z 1 3 Solución: (x. 3) Ejemplo 2: Resolver.
0 0 0 = = = z y z 4 2 2 − + + y x y 2 2 3 + − − x x Solución: ( ) ( ) 0 0 12 8 0 12 8 4 2 2 0 2 3 2 1 1 = + + − − + + − = − − − = ∆ 40 Como el determinante de coeficientes es cero. ¡ Rta: x = 2. y = 2/3. z = 1 Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Kramer. EJERCICIOS Resolver por eliminación los siguientes sistemas de ecuaciones. y = 1. ya que éste tipo de sistema se le conoce como sistema homogéneo. r ecordemos que este determinante no puede ser cero. 10 2 2 3 4 2 7 3 2 − = − + − = + + = + − z y x z y x z y x 2. 3 / 1 2 3 / = + = + = − y x z y z y 8 2 4 2 3 − + x x Rta: x = 1/3. el sistema no se puede resolver. La única que puede ser cierta es: x = y = z = 0. z = 1 . 1.
3. Si es necesario.3. Describa explícitamente los métodos de Sarros y Kramer y explique para que se ut ilizan. z = 1 . ahora estamos en ca pacidad de resolver problemas diversos. los cuales permitirán obtener resultados claros y verdaderos. y = 31/21. z = 1/21 5. plantear las ecuaciones ¡ Rta: x = 2. Llevar el problema a un modelo matemático. Es importante tener en cuenta para resolver problemas con ecuaciones. se debe Plantear una Ecuación o Ecuaci ones para resolver el problema. Identificar las incógnitas y expresarlas por medio de un símbolo. 41 ECUACIONES DE PRIMER GRADO: PROBLEMAS DE APLICACIÓN Con el estudio de las ecuaciones de primer grado. utilizando ecuaciones de este tipo. 4 3 1 2 3 2 = − = + − = z y z y z y 4 3 3 2 + + − + − x x x Rta: x = 2/3. Lo nuevo aquí es que a partir del contexto y descripción del fenómeno. y = 1. Se debe leer muy bien el problema hasta que quede completamente e ntendido. 10 2 2 3 4 2 7 3 2 − = − + − = + + = + − z y x z y x z y x 4. los siguientes aspectos. leerlo las veces que sean requieran. 2. 1. es decir.
. 42 Solución: Los símbolos. más que el anterior. el modelo sería: S = R x θ Ejemplo 2: Escribir matemáticamente la siguiente situación: El volumen de un cono circular rect o es un tercio del producto de una constante. Solución: Se dan símbolos a los términos. como ayuda para la ilustración del problema. V = volumen Π = constante R = radio H = altura Según el contexto H R V 2 3 1 Π = Ejemplo 3 : Un carpintero debe cortar una tabla de 6 m. 4. de largo en tres tr amos. lo más pertinente es hacer ejemplos modelos y hacer su respectiva explicación. Realizar las operaciones necesarias para obtener el valor de las incógnitas. Ejemplo 1: Escribir la modelación matemática de la siguiente situación: La longitud de un arco ci rcular. el radio al cuadrado y la altura. es el producto del ángulo barrido y el radio del círculo. tablas y otros. si cada tramo debe tener 20 cm. Sacar las conclusiones del caso. ¿Cuál será la longitud de cada tramo? . 7. Si es necesario utilizar gráficos. 5. Identificar la respuesta y hacer la respectiva verificación. Problemas con Ecuaciones de Primer Grado con Una Incógnita Para resolver problema de este tipo. 6. Longitud del arco: S Angulo barrido: θ Radio del círculo: R Según el problema.
x = 540/3 = 180 Así: El tramo más corto x = 180 cm. 90 0 . En un triángulo rectángulo uno de los ángulos es él otro aumentado en 10 0 . x + 20 y el tercero será x + 40. entonces el segundo tramo será El modelamiento matemático es: (x) + (x + 20) + ( x + 40) = 600 Operando: 3x + 60 = 600 Entonces: 3x = 600 – 60 = 540 Despejando la incógnita. luego: (x) + (x + 10) + 90 = 180 2x + 100 = 180 2x = 180 – 100 = 80 x = 40 Ahora: x + 10 = (40) + 10 = 50 Los ángulos son: 40 0 . 50 0 . Recordemos que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. El segundo tramo: x + 20 = 180 + 20 = 200 cm. Ejemplo 5. . ¿Cuáles serán las medidas de los ángulos de dicho triángulo? 43 Solución: Si x es el ángulo más pequeño. El tercer tramo: x + 40 = 180 + 40 = 220 cm. el otro ángulo será x + 10.Solución: Sea x la longitud del tramo más corto. Ejemplo 4: Se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo mide 180 0 .
Si la molécula de azúcar tiene 45 átomos. 22 átomos de hidrógeno y 12 átomos de carbono. entonces: (x) + (2x) + (x + 1) = 45 Operando: 4x +1 = 45 4x = 44 x = 11 2x = 11x2 = 22 x + 1 = 11 + 1 = 12 Solución: La molécula de azúcar tiene 11 átomos de oxigeno.En una molécula de azúcar se encuentra el doble de átomos de hidrógeno que de oxigeno. también tiene un átomo más de carbono que de oxígeno. ubicada a x 1 distancia del punto de equilibrio. El primer cilindro está a 120 cm. ¿Cuántos átomos de cada elemento tiene dicha sustancia? Solución: x = Átomos de oxigeno. ubicada a x 2 distancia del punto de equilibrio. f ubicada a 90 cm. 44 F 1 = Fuerza uno. F 3 ¡ ¡ ¡ . f. F 2 = Fuerza dos. C 12 H 22 0 11 Ejemplo 6: Un Ingeniero desea desarrollar un equipo hidráulico compuesto por dos ci lindros. del punto de apoyo y ejerce una fuerza de 500 Kg. la suma de las fuerzas debe ser cero. ¿En donde se debe colocar el segundo cilindro para que ejerza una fuerza de 700 Kg f? Solución: Para que el sistema este en equilibrio. entonces: 2x = Átomos de hidrógeno x + 1 = Átomos de carbono Como todo suma 45. el s istema debe soportar una fuerza de 1. del punto de apoyo y al lad o opuesto de los cilindros.200 Kg.
¿Cuánto tardarán en hacer la entrega? Rta: 720 seg.000 + 700X = 108. Si lo hacen simultáneamente.000 X = 145. uno de ellos es el dobl e del otro. Un voceador reparte el periódico en 1800 seg.250π pie . La suma de dos números enteros positivos es igual a 12. 3. si la capacidad debe ser de 11. su compañero lo hac e en 120 seg. Según las condiciones del problema: F 1 X 1 + F 2 X 2 = F 3 X 3 Reemplazando: 500x120 + 700x X = 1.= Fuerza tres. Se desea construir un Silo para granos en forma de cilindro circu lar y semiesférico en la parte superior.71 cm. 1.000 700 X = 102. El diámetro del silo debe ser de 30 pies ¿Cuál será la a ltura del silo. del punto de equilibrio.200x90 Resolviendo: 6. ¿Cuáles son los números? Rta: 4 y 8 2.71 Cm. ubicada a 90 cm. Solución: El cilindro dos se debe colocar a 145. del punto de equilibrio 45 EJERCICIOS Hacer el planteamiento de los problemas propuestos y resolverlos adecuadamente.
En un triángulo. El largo de un campo de baloncesto es 12 metros más que su ancho. el ángulo más pequeño es la mitad del mayor y las dos terceras parte s del ángulo intermedio. la solución es más fácil ya que se co nocen los diversos métodos para solucionar dos ecuaciones con dos incógnitas. que se deben plantear dos ecu aciones con dos incógnitas. si el precio con el descuento es de $125. 60 0 y 80 0 6. los problemas son tal. Ejemplo 1: . se han adquirido destrezas en el planteamiento y resolución de problemas. una vez desarrollado el planteamiento. ¿Cuáles serán las medidas de los ángulos? Rta: 40 0 . entramos en le análisis y resolución de problemas donde se involucran ecuaciones con dos incógnitas. En este aparte.00 ¿Cuál será el precio original del modelo X? Rta: $147. Sin olvidar los cinco pasos que se recomiendan para este tipo de situaciones.3 ? Rta: 55 pies 4. ¿Cuáles son las dimensiones del campo? Rta: Largo 30 metros Ancho 18 metros 5. Un fabricante de grabadoras reduce el precio de un modelo X en el 15%.059 46 Problemas con Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnita En el desarrollo de ecuaciones de primer grado con una incógnita.000. Si el perímetro es de 96 metros.
¿Cuántos equipos de cada clase fueron vendidos? Solución: Como se tiene dos incógnitas: Costo y cantidad. Solución: Se vendieron 40 equipos de clase A y 32 equipos de clase B.000. nos da una aproximación.000. Luego la primera ecuación se multiplica por 67. grafico. NOTA: La solución gráfica. Solución grafica: 47 Solución analítica: Para este caso utilicemos la eliminación por reducción.000 ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ Despejando y = 32 Reemplacemos y en la primera ecuación: x + y = 72 x + (32) = 72 x = 40.000 67.000 y la segunda queda igual. 67.000 x + 100.000 y = 5’880.Una industria tiene dos clases de equipos para comunicación.000 Como se tiene dos ecuaciones con dos incógnitas. eliminación.000 x + 100.000 y la clase B cuesta $100. determinantes. Se elimina la i ncógnita x. se debe plantear dos ecuaciones. x = Equipos de clase A y = Equipos de clase B Ecuación para cantidad: x + y = 72 Ecuación para costo: 67.000 33.000 x – 67. si fueron vendidos 72 equipos con un costo total de $5’880.000 y = 5’880.000 y = 1’056. ya que el punto de corte se ubica ¡ ¡ ¡ . la clase A cuesta $ 67.000 y = 4’824. se puede utilizar para su solución.
05 x + 0.67 ml de solución N y 133.05 x + 0.20 y = 30 Las dos ecuaciones obtenidas son x + y = 200 0.15y = 20 y = 133.33 = 67. recordemos qu e puede ser también en la segunda. i nos ofrece los valores exactos de la solución.05(200 – y) + 0. La cantidad resultante debe ser de 200 ml.05y + 0. 0.20 y = 30 10 – 0.67 Solución: Se deben mezclar 66. x + y = 200. una para el volumen y otra para la concentración.20 y = 30 Despejemos x en la primera ecuación x = 200 – y Reemplazamos en la segunda.33 ml. reemplazamos el valor de y en la primera ecuación. entonces: x + (133. . Ejemplo 2: Mientras la solución analítica s Se debe obtener una solución a partir de dos soluciones componentes. ¿Cuántos mililitros de solución N y M se deben mezclar? Solución: x = Solución N al 5% y = Solución M al 20% Se tiene dos ecuaciones. La solución N tiene el 5% y M tiene el 20%.15) entonces: 0. Ecuación para el volumen: x + y = 200 (mililitros) Ecuación para la concentración.33) = 200 x = 200 – 133.33 Ahora.cerca de 50 en x y entre 20 y 40 en y. con una concentr ación del 15%. De solución M.05x + 0.20y = 200(0.20y = 30 0. 0.05 x + 0.20 y = 30 48 Solución Grafica: Solución Analítica: Vamos a resolverlo por sustitución: x + y = 200 0.
6) 4β = 3 Desarrollando: ¡ ¡ ¡ . reemplazamos en la segunda ecuación: (144. de tal manera que uno de ello s es 4 veces y 3 grados mayor que el otro. dada la condición del problema: α = 4β + 3 Organizando: α + β = 180 α 4β = 3 Solución Grafica: Solución Analítica: α + β = 180 α 4β = 3 Por reducción: 4α + 4β = 720 α 4β = 3 ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ 5 α = 723 α = 144. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos α y β? Solución: Sea α ángulo mayor Sea β ángulo menor. La ecuación de ángulos suplementarios: α + β = 180 La ecuación.49 Ejemplo 3: Los ángulos α y β son suplementarios.6 50 Para hallar el ángulo β.
4 Solución: El ángulo α mide 144.6 β = 35. la resistencia total es de 1.6 = 141. Solución Gráfica: 51 ¡ ¡ ¡ .375 Según las condiciones del problema: R 1 = R 2 + 125 Entonces: R 1 + R 2 = 1.6 0 y el ángulo β mide 35.375 R 1 R 2 = 125 Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. para suministrar el voltaje requerido.4 0 Ejemplo 4: En un circuito en serie la resistencia total es la suma de las resi stencias componentes. R 1 debe tener 125 ohmios más que R 2 . ¿Cuál es el valor de las resistencias? Solución: Se plantean las ecuaciones. R 1 + R 2 = 1. Ecuación de resistencia total.4β = 3 – 144.375 ohmios. Un circuito en serie es compuesto por dos resistencias R 1 y R 2 .
R 1 = R 2 + 125 Reemplazamos en la primera (R 2 + 125) + R 2 = 1. R 1 + R 2 = 1.375 – 125 = 1.375 Operando y simplificando: 2R 2 = 1. Un ángulo mide 46 ¡ ¡ . 1. 52 EJERCICIOS Leer cuidadosamente los problemas propuestos y resolverlos haciendo los pasos ne cesarios.375 R 1 R 2 = 125 Despejamos R 1 en la segunda. utilicemos la ecuación dos. entonces: R 1 = R 2 + 125 = (625) + 125 = 750 Por consiguiente: las resistencias tienen el valor de 625 y 750 ohmios. R 1 R 2 = 125.250 R 2 = 1250/2 = 625 Ahora se busca el valor de R 1 reemplazando el valor de R 2 en cualquiera de las ecuaciones.Solución por Sustitución: Tomando las dos ecuaciones.
dulces $1.900. la solución de este tipo de problemas son similares a los casos anteriores.0 más que su complementario. 53 Problemas con Ecuaciones de Primer Grado con Tres Incógnita Existen problemas donde están involucradas tres incógnitas. Dos paquetes de galletas cuestas $20 más que un paquete de dulces.000. el preferencial vale $4. ¿Cuánto cuestan un paquete de galletas y un paquete de dulces? Rta: Galletas: $665.360 3. Para asistir a una función de teatro. su área es de 15 m 2 ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Rta: Largo 5 metros. ¡ . ancho 3 metros 5. Veamos algunos ejemplos modelos. En el mismo tiempo que un avión viaja 180 Km. 4 paquetes de dulces y 4 paquetes de galletas valen $7.500 ¿Cuántas boletas de cada clase se vendieron? Rta: Preferencial 313 y popular 137 6. que nos permitirán comprender situaciones de este tipo. El perímetro de un rectángulo es de 16 metros. si se vendieron 450 boletas para un recaudo de $1’819. ¿Cual es la velocidad del automóvil? Rta: 55 Km/hr 4. se tiene dos tipos de entrad as. ¿Cuáles deben ser las cantidades de ácido a utilizar pa ra obtener la solución deseada? Rta: Del 28% 50 Lt y del 36% 150 Lt. Se desea preparar 200 Litros de ácido nítrico al 34% a partir de dos soluciones d el 28% y 36% de concentración. ¿Cuál será la medida de los ángulos? Rta: 22 0 y 68 0 2. La vel ocidad del avión es de 143 Km/hr más que el del automóvil. En un distribuidora de dulces. Un automóvil recorre 50 Km.500 y el popular vale $3.
x + 2y + z = 1 (1) 3x + y – z = 2 (2) 4x + 3y = 1 (4) Para hallar el valor de la tercera incógnita se reemplaza los valores de y y x en cualquiera de las ecuaciones originales (1). x + 2y + z = 1 (1) 3x + y – z = 2 (2) x + y + z = 4 (3) Tomamos (1) y (2) y eliminamos z. x + y + z = 4. 4x + 3y = 1 (4) 4x + 2y = 2 (5) Eliminemos x. Tomemos la ecuación tres. 3x + y – z = 2 (2) x + y + z = 4 (3) ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ 4x + 2y = 2 Se han obtenido dos ecuaciones con dos incógnitas. eliminando la misma incógnita z. entonces: 4x + 3( 3) = 1 Operando y simplificando: 4x = 1 + 9 = 8 x = 8/4 = 2 Segunda solución: x = 2. la forma de resolver las ya se han estudiado. (2). menos el tercero equivale a 2. 4x 3y = 1 4x + 2y = 2 Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (4) (5).Ejemplo 1: La suma de tres números es cuatro. dos veces el segundo y el tercero s uma uno. ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ y = 3 Primera solución: y = 54 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ (5) ¡ 3 o . el primero. (3). ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ Ahora tomamos (2) y (3). ¿Cuáles son los números? Solución El planteamiento. Tomemos la ecuación 4. Por otro lado tres veces el primero mas el segundo. x = Primer número y = Segundo número z = tercer número Según las condiciones. 4x + 3y = 1.
3x – y = 10 2x + y = 110 Eliminamos y. ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . entonces: x + y + z = 180 x – z = 70 2x + y = 110 (4) Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. tomaos la ecuación (1) x + y + z = 180. 55 3x – y = 10 2x + y = 110 5x = 100 x = 20 Calculemos ahora y: 3x – y = 10.Reemplazando: (2) + ( 3) + z = 4 z = 4 + 3 – 2 = 5 Así: z = 5 Ejemplo 2: El ángulo más 0 mayor que el restante es 0 más grande mediciones de Solución: x = Angulo más pequeño y = Angulo intermedio z = Angulo mas grande Por las condiciones del problema: x + y + z = 180 x – z = 70 3x – y = 10 (1) (2) (3) ¿porqué? grande de un triángulo es 70 ángulo más pequeño y el ángulo 10 que tres veces el ángulo más pequeño ¿Cuáles son las los ángulos? Se elimina la incógnita y. entonces: 3(20) – y = 10. operando: y = 10 + 60 = 70 y = 70 Finalmente para hallar z. reemplazando: (20) + (70) + z = 180 Por consiguiente z = 90. Así se tiene la solución al problema planteado.
000 millones de pesos. ¿Cuántos billetes de cada den ominación tiene el Banco? Rta: 8 billetes de $5. 1. ¿Cuanto requiere el Biólogo de cada tipo de fertilizante? Rta: F 1 = 380 Kg. si hay en total 44 billetes. Un Biólogo desea probar un fertilizante a partir de tres clases existentes refe renciados F 1 . La cantidad de billetes es $10 es el doble de la de $50. pero l a mezcla debe tener 100 Kg. cada científico del primer grupo recibió $20. Para tres grupos de investigación hay 1’360. F 2 = 60 Kg. F 2 . Determine la parábola y = ax .000 millones. F 3 .000 millones y del tercer grupo cada científico reci bió $10. 2. del segundo grupo cada científico recibió $8. cuyos contendido de nitrógeno son: 30%. más de F 3 que de F 2 . F 3 = 160 Kg. El Biólogo quiere trabajar con 600 Kg. $50.56 EJERCICIOS Resolver desarrollando paso por paso los siguientes problemas. Los científicos del primer grupo recibieron 5 veces más fondos que el segundo ¿Cuántos científicos hay en cada grupo de investigación? Rta: Primer grupo 40. segundo 20 y tercero 40 4.000 millones. $10. la cantidad de científicos es de 100. 20% y 15% respectivamente. En la caja de un Banco hay $880 en billetes de $5. 24 de $10 y 12 de $50 3. de mezcla con un contenido de nitrógeno de 25%.
Como los números negativos se formalizaron tarde en la historia de las Matemáticas. 2). el de Heron y el de Euclides. METODO DE HERON: Heron de Alejandría la raíz en el siglo I. x 2 = bx. condujer on a manipular ecuaciones de este tipo. como el de tanteo. para lo cual ex isten diversos métodos. La ecuación x 2 = c equivale a hallar la raíz cuadrada de un número. 3). 2 = c. ( 2. propuso una forma de hallar x x x x ¡ ¡ + bx + c.2 2 + x + 3 57 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado han sido motivadas desde tiempos inmem orables. Se reconocen 5 tipos de ecuaciones de segundo grado. tiene una única solución x = b. 2 + c = bx. la cual pasa por los puntos: (1. en sus inicios el manejo de las ecuaciones de segund o grado fue con números positivos. inicialmente la necesidad de resolver problemas de área y volumen. ya que no se acepta a cero como solución. Rta: y = 2x 7) y (2. 2 + bx = c La ecuación de tipo x 2 = bx. 2 = bx + c. ¡ ¡ .
MÉTODO EUCLIDES: El colapso de la Aritmética pitagórica provoco una crisis que motivo a los griegos para dar más esfuerzo a la Geometría. La gráfica representa la expresión muy conocida. 1 408 577 2 17 24 12 17 2 2 17 12 12 17 = + = + Este valor es una buena aproximación a 2 El método se repite tantas veces como se requiera una buena aproximación. para hallar una nueva aproximación se aplica la siguien te regla. Las cantidades fijas (constantes) las representaban con segmentos de recta con longitud relativa a una unidad fija. se parte de una solución supuesta. .cuadrada de n número positivo así: Si se tiene por ejemplo x 2 = 2. 12 17 2 3 4 2 3 2 2 3 2 2 3 = + = + La siguiente aproximación: .. por ejemplo 3/2.. 2 4142215686 . A manera de ejemplo. El producto de dos cantidades lo representaban como el área de un rectángulo y el p roducto de tres cantidades como el volumen de un prisma rectangular recto. De aquí el origen de la denominación de cuadrado y cubo para las potencias de dos y tres.
( ) 2 2 2 2 b ab a b a
0 2 = + + ε µ x x 58 La ecuación de tipo x 2 + c = bx, fue resuelta geométricamente por los griegos y aritméticamente por los babilonios. MÉTODO GRIEGO: Inicialmente los griegos y posteriormente los Árabes utilizaron un méto do geométrico para resolver éste tipo de ecuaciones. Por ejemplo. Se a la ecuación x 2 + 77 = 18x En la grafica se observa que la suma de las áreas es igual al área total del rectángulo. Para encontrar el valor de x, se debe completar un cuadrado de lado 9 que incluya el cuadrado de lado x.
El cuadrado lo componen dos rectángulos de igual área y por los cuadrados de área x 2 y (9 – x) 2
De la gráfica se infiere: ( ) 77 77 2 2 = + + ⇉ − = + a a x a a x También por medio de la gráfica: ( ) ( ) 2 2 9 77 9 = + − x Resolviendo: x = 7
El segundo caso es hacer un cuadrado de lado x. que incluya un cuadrado de lado 9, veamos. El cuadrado de lado x esta formado por dos rectángulos de igual área y por dos cuadrados, uno de área 9 2 y el otro de área (x – 9) 2 Entonces: a x a a x 2 77 77 2 2 + = ⇉ + = − Además en la grafica se puede observar: ( ) 77 9 9 2 2 = + − x Por lo tanto x = 11 El método griego se fundamento en la proposición 5 del libro II de los Elementos de Euclides, el cual establece: 59 “Si se divide una recta en partes iguales y desiguales, el rectángulo comprendido po r las partes desiguales de la recta entera, más el cuadrado de la diferencia entre una d e las dos partes iguales y una parte desigual, es equivalente al cuadrado de la mitad de l a recta dada” La ecuación tipo: x 2 = bx + c fue trabajada por los griegos utilizando la geometría, pero en el siglo XVII en su libro “La Geometra”, Renato Descartes describe un método geométrico par a construir una solución de la ecuación cuadrática x 2 = bx + c 2 La ecuación de tipo x 2 + bx = c, fue trabajada por los árabes ( Tabit Ben Qurra) y los griegos. MÉTODO ARABE: Para el tipo de ecuación propuesta, los árabes utilizaron áreas de cuadrados y de rectángulos. Por ejemplo x 2 + 5x = 36 Para resolver esta ecuación, Al Khowarizmi, dibujo un cuadrado de área x 2 y sobre cada lado dibujo 4 rectángulos de dimensiones x y 5/4, la figura tendrá de área 36 El lado del cuadrado es evidentemente x + 10/4
El área 36 + 25/4, luego el lado del cuadrado debe ser: x + 10/4 = 13/2 Por consiguiente x = 4. Es pertinente que se analice detenidamente esta metodología, es muy interesante. Hasta aquí se ha trabajado métodos con fundamentos geométricos para valores positivos de la incógnita, pero en muchos casos sabemos que las soluciones involucran valores n egativos en ecuaciones de segundo grado. La resolución de ecuaciones de segundo grado donde se presentan coeficie ntes negativos fueron trabajados inicialmente por Carlyle (1.775 1.881) y Von Staudt ( 1.798 1.867), Ambos se basaron en principios geométricos, utilizando círculos; dichos métodos son muy larg os, por lo cual no se detallan, pero se consideró pertinente hacer la referencia a estos i nquietos de las Matemáticas. En general se ha visto que los métodos utilizados por la s civilizaciones antiguas son eminentemente geométricos, en la edad media y posteriormente la mat emática ha desarrollado metodologías para el trabajo con ecuaciones que son más dinámicas y con principios matemáticos bien fundamentados. MÉTODO AXIOMÁTICO: Es el método más utilizado; por no decir que el único, en la actualidad, se soporta en los axiomas, propiedades y definiciones, esta blecidos a través de toda la historia de las matemáticas. Sea la ecuación ax 2 + bx + c = 0, con a, b y c constantes y a ≠ 0. Este tipo de ecuaciones se puede resolver de las siguientes maneras:
60 1. FACTORIZACIÓN: Se sabe que toda ecuación de segundo grado se puede expresar como prod ucto de dos factores. ( )( ) 0 2 = + + = + + β δ x x c bx ax A los factores obtenidos se les aplica la “Regla del Producto Nulo” la cual dice: Si ( )( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 = + = + ⇉⇉ = + + β δ β δ x v x x x De esta manera se puede despejar la incógnita y obtener las soluciones respectivas. Se debe aclarar que las ecuación de tipo ax 2 + bx + c = 0, tiene dos soluciones, las cuales
despenando x = 2 Se observa que se obtienen dos soluciones 2 y 3. Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación. a esta altura debemos conocer las técnicas de factorización.pueden ser: Reales iguales. Reales diferentes ó Imaginarias. 2 = − − x x Solución: Primero factorizamos el trinomio. así se comprueba que toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones. en caso de dudas por favor consultar el modulo de Matemáticas Básicas para aclarar dudas al respecto. (3x – 9) = 0. despejando x = 3 (x + 2) = 0. Ejemplo 2: Hallar la solución de la ecuación 0 25 10 2 = + − x x Solución: 0 18 3 3 . ( ) ( ) ( ) 0 3 54 3 3 3 0 3 18 3 3 3 2 2 = − − ⇉ = − − x x x x La última expresión se puede factorizar como un trinomio de la forma x 2 + bx + c = 0 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 2 9 3 3 6 3 9 3 3 54 3 3 3 2 = + − = + − = − − x x x x x x Tenemos dos términos a los cuales le podemos aplicar la regla del producto nulo.
luego x = 5 Se observa que la solución es la misma. en los ejemplos anteriores se pued e verificar que la solución puede ser real diferente. el tema esta explicitado en el modulo de matemáticas Básicas. cuya solución esta en el camp o de los números imaginarios. real igual ó imaginaria. 61 Ejemplo 3: Determinar el valor de x para la ecuación 2 = + x Solución: Despejamos la incógnita. ( )( ) 0 5 5 25 10 2 = − − = + − x x x x Por la regla del producto nulo: x – 5 = 0. Por otro lado. Así: x = +4i y x = 4i NOTA: recordemos los números imaginarios. 3 5 9 25 9 25 25 9 0 25 9 2 2 2 = = ⇉ = ⇉ = ⇉ = − x x x x 0 25 9 0 16 La solución es: x = 5/3 y x = 5/3 Ejemplo 5: ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ . en este caso la x. Ejemplo 4: Hallar la solución de la ecuación 2 = − x Solución: La idea es despajar la incógnita.Se factoriza como trinomio cuadrado de la forma x 2 + bx + c = 0. 16 16 0 16 2 2 − = ⇉ − = ⇉ = + x x x Se observa que se tiene una raíz par de número negativo. luego x = 5 x – 5 = 0.
FÓRMULA CUADRÁTICA: En muchas ocasiones el trinomio propuesto en la ecuación no se puede resolver directamente por factorización o extracción de raíz. reales y a ≠ 0. aplicamos el principio de completar cuadrados. Sea la ecuación: 0 2 = + + c bx ax con a. 2. b. e ntonces lo que se hace para resolver la ecuación propuesta es utilizar la fórmula cuadrática. c. es un cam ino más rápido para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita. NO es fácil identificar dos números que multiplicados sea 4 y suma dos sea 2. esto conlleva a buscar otras técnicas para resolver este tipo de ecuaciones.Resolver la ecuación 0 4 2 2 = − − x x Solución: Para este caso. Veamos: c bx ax c bx ax − = + ⇉ = + + 2 2 0 Se debe hacer que el coeficiente de la incógnita al cuadrado sea uno. a c x a b x a c x a b x a ¡ ¡ ¢ . para esto se divide todo por a. La solución para la incógnita es: a ac b b x 2 4 2 − − = 62 Demostración: Para demostrar la fórmula cuadrática.
entonces: 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2 a ac b a b x a c a b a b x − .a − = + ⇉ − = + 2 2 Se completa cuadrados en la parte izquierda de la ecuación a c a b a b x a b x − | ¹ | \ | = | ¹ | \ | + + 2 2 2 2 2 El primer término es un trinomio cuadrado perfecto.
2 2 2 2 4 4 2 4 4 2 a ac b a b x a ac b a b x − − = ⇉⇉ − = + Desarrollando la raíz del denominador y operando las dos fracciones: a ac b b a ac b a b a ac b a b x 2 4 2 4 2 4 4 ¢ ¢ .= | ¹ | \ | + ⇉⇉ − = | ¹ | \ | + Se le extrae raíz cuadrado al la última ecuación.
soluciones reales iguales soluciones imaginarias.2 2 2 2 2 − − = − − = − − = Las soluciones por medio de la fórmula cuadrática serán: a ac b b x 2 4 2 1 − + − = y a ac b b x 2 4 2 2 − − − = A la expresión ue su signo indica el tipo de solución Si 0 > ∆ : Hay dos Si 0 = ∆ : Hay dos Si 0 < ∆ : Hay dos se le conoce como el discriminarte. a = 1. soluciones reales diferentes. 2 2 6 2 4 6 2 32 36 6 Aplicando la fórmula. 0 8 6 ¡ ¢ ¢ ¢ . ac b 4 2 − = ∆ 63 Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación utilizando la fórmula cuadrática. 2 = + − x x Solución: Para el trinomio dado. b = 6 y c = 8. debido a q obtenida.
entonces: .) 1 ( 2 ) 8 )( 1 ( 4 ) 6 ( ) 6 ( 2 Las soluciones son: 4 2 2 6 1 = + = x y 2 2 2 6 2 = − = x Ejemplo 2: Resolver 0 2 4 3 2 = + − x x Solución: Simplificamos el radicar. 3 2 2 ¢ = − = − = − − = − − ¡ Identificamos las constantes. b = 6 8 4 6 8 4 6 24 16 4 ) 3 ( 2 ) 2 )( 3 ( 4 ) 4 ( ) 4 ( 2 i x ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ = = − = − − = x − − 4. a = 3. c = 2.
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ . 4 2 6 4 4 6 4 32 36 6 ) 2 ( 2 ) 4 )( 2 ( 4 ) 6 ( 6 2 − = − = − − = − − = x 64 Las soluciones: 2 ¢ Se aplica la fórmula.6 2 2 4 x = i i = Las soluciones: 2 2 2 1 i x + = y 2 2 2 2 i x − = Ejemplo 3: Resolver la ecuación: 4 6 2 2 − = + x x Solución: Lo primero que debemos hacer es igualar la ecuación a cero: 0 4 6 2 4 6 2 2 2 = + + ⇉ − = + x x x x Así a = 2. b = 6 y c = 4.
2 2 6 1 − = + − = x 2 2 6 2 − = − − = x y 4 En los ejemplos realizados. se utiliza la factorización. Ejemplo 1: Resolver: 0 4 5 2 4 = + − x x Solución: Se hace un “cambio de variable” 2 luego u 2 = x 4 Reemplazamos: 0 4 5 0 4 5 2 2 4 = + − ⇉⇉ = + − u u x x digamos u = x Ahora se puede resolver el último trinomio. lo s valores son enteros. ECUACIONES DE GRADO n (n par) A veces se pueden presentar ecuaciones de la forma 0 = + + c bx ax m n . ( )( ) 0 1 4 0 4 5 2 = − − ⇉⇉ = + − u u u u Por la regla del producto nulo: u – 4 = 0. donde las soluciones han sido reales. Algunos ejemplos nos aclaran el proceso. pero no siempre es así. en muchas ocasiones las soluciones son fraccionarias. u = 4 u – 1 = 0. para resol verlo como un trinomio cuadrado. donde m = n / 2. la idea es reducir el grado del trinomio hasta que n = 2. u = 1 Ahora se reemplaza el valor de u por x 2 .
luego w 2 = y 10 entonces: 0 16 6 0 16 6 2 5 10 = − + ⇉⇉ = − + w w y y 0 = + + ε µ m n n x x 65 La última expresión se puede resolver por factorización o por la cuadrática. x = +2 y 2 1 ¡ ¢ . x 2 = 1. resolvámosl a por los dos métodos. ya que la ecuación original es de grado c uarto. luego w = 2 Cuadrática: 2 10 6 2 100 6 2 64 36 6 ) 1 ( 2 ) 16 )( 1 ( 4 ) 6 ( 6 2 − 0 16 6 ¡ ¡ x = +1 y ¡ = 4.x 2 Se observa que se obtienen 4 soluciones. Ejemplo 2: Resolver la siguiente ecuación 5 10 = − + y y Solución: Hacemos el “cambio de variable” w = y 5 . luego: w = 8 w 2 = 0. Factorización: ( )( ) 0 2 8 0 16 6 2 = − + ⇉⇉ = − + w w w w Por la regla del producto nulo: w + 8 = 0.
luego hacer falta ocho soluciones.= − = + − = − − − = w Las soluciones: 2 2 10 6 1 = + − = w y 8 2 10 6 2 − = − − = w Se nota que por los dos métodos las soluciones son iguales. pero la ecuación es de grado 10. Pero la solución final se debe dar es en la incógnita y. Ejemplo 3 Resolver la ecuación: 3 1 3 2 = − + x x Solución: Como en los casos anteriores se hace “cambio de variable”. 5 Se hace el reemplazo: Para 1 : 5 5 2 2 Para 2 : 5 5 8 8 w Como w = y Podemos ver que sólo se obtuvieron dos soluciones. 3 2 2 3 0 15 2 ¢ ¢ ¢ = ⇉⇉ = w y y − = ⇉⇉ − = y y . las cuales se pueden obtener por métodos matemáticos más avanzados.
( ) 125 5 5 5 3 3 3 1 3 1 − = ⇉⇉ − = | ¹ | \ | ⇉⇉ − = ⇉⇉ − = x x x v ( ) 27 3 3 3 3 3 3 1 3 1 = ⇉⇉ = | ¹ | \ | ⇉⇉ = ⇉⇉ = EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones. realizando el procedimiento adecuadamente y justificando las respuestas. reemplazamos nuevamente para x. ( )( ) 0 ) 3 5 0 15 2 2 = − + ⇉⇉ = − + v v v v Por la regla del producto nulo. x x x v ¡ . v = 3 Finalmente. v = 5 66 v – 3 = 0. v + 5 = 0. 0 15 2 15 2 2 3 1 3 2 = − + = − + v v x x La última expresión al resolvemos por factorización.1 x v x v = ⇉⇉ = Procedemos a reemplazar.
( ) 16 4 2 = − x Rta: x = 0 y x = 8 3. 21 10 3 6 − = − 3 7 = y 3 3 = y y y Rta: y 6. 0 2 2 2 = − + 2 10 2 = z − z z Rta: 5. Demuestre que la suma de las raíces de una ecuación cuadrática es a b − ¡ x x Rta: x = 6 y X = 4 ¡ ¢ ¢ .1. 7. Demuestre que la solución de la ecuación 0 6 3 1 3 2 = − − x x es 27 y 8. 0 8 5 2 2 = + − y y Rta: 4 39 5 i y = 4. 0 24 2 2 = − − − 2.
s e debe seguir la metodología propuesta en la sección de problemas con ecuaciones de primer gr ado. luego (x + 2) será el entero par consecutivo. Para la ecuación 4 2 − = − y y β Encontrar el valor de β tal que la ecuación tenga dos soluciones reales repetidas. 67 PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Muchos fenómenos del mundo que nos rodea. La manera más pertinente de ilustrar problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado. desarrollémosla por la fórmula cuadrática. ciones del problema.8. se pueden expresar matemáticamen te por medio de ecuaciones cuadráticas. 56 ) 2 )( ( 4 1 = + x x . 2 30 2 2 900 2 ) 1 ( 2 − ) 224 )( 1 ( 4 4 2 = − = − − − = x Las soluciones: 14 2 30 2 ¢ ¢ ¢ . ¿Cuáles son los números? Solución: Sea x el entero par. es por medio de ejemplos modelos. Ejemplo 1: La cuarta parte del producto de dos números enteros pares consecutivos es 56. 0 224 2 56 ) 2 )( ( 4 1 2 = − + ⇉⇉ = + x x x x Según las condi Como e tiene una ecuación de segundo grado. Para resolver problemas de este tipo. es una buena orientación. Desarrollando.
¿Cuál será el número? Solución: Sea y = el número a buscar. ( ) ( ) 64 16 4 8 4 8 4 2 2 2 + − = + ⇉⇉ − = + ⇉⇉ − = + y y y y y y y Reorganizando la última ecuación: 0 60 17 64 16 4 2 2 = + − ⇉⇉ + − = + y y y y y Por la cuadrática: 2 49 17 2 240 289 17 ) 1 ( 2 ) 60 )( 1 ( 4 ) 17 ( ) 17 ( 2 ¢ ¢ ¢ ¢ = − . es lo mismo que el número menos ocho. 8 4 − = + y y 68 Teniendo el modelo matemático. Aplicando las condiciones dadas en el problema.2 30 2 1 = + − = − = x 16 2 30 2 2 30 2 2 − = − − = − = x Como se trata de enteros positivos. para obtener la solución al problema. se puede resolver la ecuación. entonces la solución será 14 y 16 Ejemplo 2: La raíz cuadrada de un número más cuatro. Lo que se puede hacer es eliminar la raíz y luego despejar la incógnita.
Solución: Una gráfica nos ilustra la situación. el largo es el doble del ancho menos cinco. Ejemplo 3: Calcular las dimensiones de un rectángulo.= − − − − = y Las soluciones: 12 2 7 17 2 49 17 1 = + = = y 5 2 1777 2 49 17 2 = = = y Se observa que la condición dada en el problema se cumple para los números 5 y 12. además. cuya área es de 375 m 2 . El planteamiento del modelo será: 375 ) 5 2 )( ( = − x x Multiplicando y resolviendo: 0 375 5 2 375 5 2 2 2 = − − ⇉⇉ = − x x x x Se resuelve la ecuación por la fórmula cuadrática: 4 55 5 4 3025 5 4 ¢ ¢ ¢ .
los valores negativos no son válidos. Largo: 2(15) 5 = 25 Ancho: x = 15 Ejemplo 4: Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 400 m/seg. A ) En que tiempo el objeto regresa al suelo b ) Cuanto tarda en alcanzar 2.500 metros de altura Solución: a ) Cuando el objeto regresa al suelo. la altura es cero (y = 0) 0 400 16 16 2 0 2 = + − ⇉⇉ + − = t t t v t y Recordemos que la velocidad inicial es de 400 m/seg. Por consiguiente.69 Las soluciones: 15 4 60 4 55 5 = = + = x 5 . la altura tiene como modelo matemático t v t y 0 2 16 + − = Siendo t el tiempo y v 0 la velocidad inicial. 12 4 50 4 55 5 − = − = − = x Como el problema es sobre longitudes. luego la solución es: x = 15. Factorizamos para despejar ¡ ¢ = + = − − = x − − ¢ 3000 25 5 ) 2 ( 2 ) 375 )( 2 ( 4 25 ) 5 ( = ¢ ¡ ¡ ¡ ¢ .
2 400 16 400 16 500 . 490 100 ) 10 ( 2 ) 000 .el tiempo.000? 70 Solución: Primero se identifica C = costo y x = unidades producidas. 2 2 2 = + − ⇉⇉ + − = t t t t Aplicamos la cuadrática a la última ecuación: 5 . ecuación de altura. luego t = 25 seg. 10 2000 100 10 ) ( 2 2 2 = − − ⇉⇉ − − = ⇉⇉ − − = x x x x x x x C Resolvemos por la cuadrática: 20 700 100 20 000 . 0 500 . Ejemplo 5: En una planta esta dada por ecuación 2000 2 − − = x x x C 10. b ) Para determinar el tiempo en que la altura es de 2. El objeto regresa al suelo a los 25 seg.500. 12 )( 10 ( 4 10000 ) 100 ( = manufacturera el costo mensual por producir x unidades la 100 10 ) ( ¿Cuántas unidades se pueden producir para un costo de ¢ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ . se despeja el tiempo.5 segundos. 0 ) 400 16 ( 0 400 16 2 = + − ⇉⇉ = + − t t t t Por la regla del producto nulo: t = 0 16t + 400 = 0. 0 000 . se debe despejar la incógnita x. 2 )( 16 ( 4 160000 ) 400 ( = = en la = − − − = t El tiempo que utiliza para alcanzar los 2. 12 100 10 2000 100 10 000 . Como se conoce el costo. 12 32 400 32 0 400 ) 16 ( 2 ) 500 . de haber sido lanzado.500 metros es de 12.
entonces n = 19 n – 18 = 0. más rápido que otra tubería. entonces n = 18 Se deben sumar los primeros 18 enteros pares consecutivos positivos para que l a suma de 342. Ejemplo 7: Una tubería puede llenar un tanque en 5 hr.Por obvias razones la solución es 40 unidades. l as dos tuberías pueden llenar el tanque en 5 hr. Ejemplo 6: La suma de los n enteros pares consecutivos esta dada por la ecuación ) 1 ( + = n n s . ¿Cuánto tiempo tomará llenar el tanque cada una? Solución: El llenado de la tubería más lenta es x 1 Para x tiempo en segundos. ¿Cuántos enteros pares consecutivos y positivos se deben sumar para que d icha suma sea de 342? Solución: A 0 2 = partir de la ecuación se reemplaza el valor de s y se opera: 342 342 ) 1 ( 2 − + ⇉⇉ = + ⇉⇉ + = n n n n n n s ( )( ) 0 18 19 342 2 = − + = − + n n n n Por el producto nulo: n + 19 = 0. El llenado de la tubería más rápida es 5 1 ¡ ¢ = = − − = x Las 40 20 700 1 = + = x 20 700 2 − − = x − − soluciones: 100 30 100 .
71 5 1 ) 5 ( 5 2 5 1 ) 5 ( 5 5 1 5 1 1 = + + ⇉⇉ = + + + ⇉⇉ = + + x x x x x x x x x Por el principio de fracciones equivalentes: 0 25 5 5 25 10 5 1 5 5 2 2 2 2 = − − ⇉⇉ + = + ⇉⇉ = + + x x x x x x x x Por la cuadrática: 2 125 5 2 ) 25 )( 1 ( 4 25 5 = − − = x ¢ ¢ .+ x El llenado las dos tuberías simultáneamente es 5 1 La suma de los llenados. permite obtener el tiempo de cada tubería.
La tubería más lenta tarda en llenar el tanque 8.12 y ancho 3. el capital aumenta a $12. ¿ Cuales serán las dimensiones del nuevo rectángulo? Rta: Largo 5. El largo de un rectángulo es de 4 metros y el ancho de 2 metros. 3 2 125 5 2 − − = − = x La solución será 8. Un triángulo rectángulo tiene su hipotenusa 7 metros más larga que un de sus lados.997. 1 ) ( t t t P − + = corresponde al crecimiento de una pobla ción de peces en t tiempo. La primera medida se hizo en el año 1.997 b ) A los cuantos años se mueren todos los peces. a ) Cuantos peces había en el año 1. 1. y la tubería más rápida tardará en llenar el tanque 8. La cantidad de dinero A que resulta al invertir un capital P a una tasa de interés r compuesta anualmente por dos años. el perímetro del rectángulo es de 392 metros ¿Cual es la longitud de los lados del triángul o? Rta: 168.Las soluciones: 09 . ¿Cuáles son dicho s números? Rta: 12 y 14 2. si las dos dim ensiones se aumentan en la misma cantidad. medido en años. el área del nuevo rectángulo será el doble del área origi nal.3 21 en dos ¡ ¡ ¡ ¡ . Dos números enteros pares consecutivos tienen como producto 168.09 EJERCICIOS Lea cuidadosamente cada problema y con los conocimientos adquiridos. La ecuación ( ) 2 17 30 000 .09 seg.000 se invierten a una tasa de interés compuesto anualmente. 8 2 125 5 1 = + = x 09 . Rta: a ) 30. esta dada por la ecuación 2 ) 1 r P A + = Si $10.12 3.00 y b ) 1 8. 175 y 49 5.09.09 + 5 = 13. re solverlos adecuadamente.61 años 4.
años. Para resol ver este tipo de ecuaciones. pero no se h a encontrado una solución general como la que tiene las de segundo grado. El matemático Girolamo Cardano (1. éste Cardano. se ¡ . Scipione del Ferro (1. tenían planteamientos como el siguiente: x z 12 = x y = xyz v = 3 12 x v = Para lo cual usaron tablas de potencias cúbicas y raíces cúbicas. se van a analizar dos caminos. en una competencia co n Fior.576) se a y al reunirse con el en marzo de 1. quienes resolvieron problemas que involucraban raíces cúbicas. Un profesor de Matemáticas de la Universidad de Bolognia. diferenciados por la época donde fue pr opuesto. después de muchos ires y venires. alumno de Scipione del Ferro revolvió 30 ecuaciones de este tipo. Posteriormente Nicolo Tartaglia.526) fue quien por primera vez resolvió algebraicamente una ecuación cúbica. de la forma x 3 + px = q. ¿De cuanto fue la tasa de interés? 72 ECUACIONES DE TERCER GRADO Rta: 11% Las ecuaciones de tercer grado han sido muy estudiadas.46 5 – 1. obtuvo una formula de la siguiente manera: Sea la ecuación: q px x = + 3 La solución es de la forma: inquietó por los avances de Tartagli último revela sus secretos a para ecuaciones de tercer del proceso que se realizó.501 – 1.539. METODO ANTIGUO: La resolución de ecuaciones de tercer grado se remonta a los babilonios. la formula obtenida grado se le llamo En resumen “Formula de Cardano Tartaglia”.
0 2 3 = + + + d cx bx ax 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 | ¹ | \ | + | ¹ | \ | + − + | ¹ | \ | + | ¹ | \ | + = p q q p q q x 73 han venido buscando formas más primer intento llevo a muy larga y complicada d algunos principios que a ¡ . El plantear una fórmula parecida a la de Cardano Tartaglia. obtuvo ecuaciones cuadráticas para resolv er ecuaciones cúbicas. la característica era que solo utilizaba raíces cúbicas positivas.Cardano. quien trabajo las ecuaciones cúbicas uti lizando transformaciones y sustituciones. Vale la pena comentar que Vietá. se prácticas para resolver ecuaciones de tercer grado. METODO MODERNO: A partir de los trabajos de Cardano y Tartaglia. Con el estudio de los polinomios se logró establecer yudaron a buscar un camino dinámico para resolver ecuaciones cúbicas. ni soluciones complejas para las ecuaciones de este tipo. no acepto ni coeficientes. pero era e manejar.
la c ual se mostrará simbolizará a continuación. o sea. en n factores de grado uno. recordemos que linealizar es expresar un polinomio de grado n. entonces: ( )( ) w qx px r x x P + + − = 2 ) ( Este proceso es una forma de linealizar la ecuación. De esta manea se puede despajar la incógnita y obtener las soluciones respectivas. La técnica de reducción es por medio la llamada División Sintética. Solución para una ecuación de tercer grado: El principio consiste en reducir la ecuación a un producto de dos fa ctores. buscando una de sus raíces. uno lineal y otro cuadrático. Si 0 = ∆ : La ecuación tiene tres soluciones reales y por lo menos dos de ellas iguales. ya que: d cx bx ax x P + + + = 2 3 ) ( Además si P( r ) = 0. se pued e reducir a grado dos. se puede inferir que una ecuación de grado tres. A partir de la ecuación 0 2 3 = + + + d cx bx ax . se identifica su discrimínate: 3 3 2 2 3 27 4 4 18 c b b a c a abc − − + − = ∆ Según el signo del discriminante se puede identificar el tipo de solución: Si 0 > ∆ : La ecuación tiene tres soluciones reales diferentes. r son los divisores de a y d positivos y negativos. Sea la ecuación: 0 2 3 = + + + d cx bx ax La división: Se organizan los coeficientes como se observa en la gráfica.Con la definición anterior. Es pertinente aclara que a debe ser diferente de cero . factores lineales. Si 0 < ∆ : La ecuación tiene una solución real y dos soluciones imaginarias. Los matemáticos se han preocupado por determinar el tipo de soluciones que puede tener una ecuación cúbica.
Como el polinomio. 0 + 1 = 1 1x1 = 1. Seguido se multiplica P por r para obtener B. 74 Si la última suma (d + D) no da cero. entonces se prueba con otro r hasta obtener aquel que permita que dicha suma sea cero (d + D = 0). Luego se multiplica Q por r para obtener D. lo que indica es que el r escogido no es raíz del polinomio. tal q ue P( r ) = 0. Para buscar la primera se iden tifican los r que para este caso son: 1.El proceso inicia bajando el valor a. En seguida se suma b + A para obtener P. sea r un número real o complejo. ( )( ) 2 1 2 3 2 3 − + − = + − x x x x x El trinomio cuadrado se puede resolver como ya se ha analizado: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . Por consiguiente r es una solución o raíz de la ecuación Polinómica. 3 + 1 = 2 2x1 = 2. 2. no ti ene término en x 2 se completa con cero. se suma d + D cuyo resultado debe ser cero (0). Ilustremos el proceso realizado: 1x1 = 1. luego este se multiplica por r para obtener el valor A. 1. entonces se dice que r es un cero del polinomio. 2. Ahora la ecuación inicial se expresa como producto de dos factores. 2 + ( 2) = 0 0 2 3 r = 1 es cero del polinomio. el primero será (x – r) y el segundo será un trinomio cuadrado cuyos coeficientes son los valores d el residuo de la división sintética. Se inicia con 1. Es pertinente aclarar que se debe probar con los valores positivos y negativos d e los divisores identificados. DEFINICIÓN: Sea P(x) un polinomio de grado n. se suma c + B y se obtiene Q. Ejemplo 1: Resolver la ecuación 3 = + − x x Solución: Es evidente que se deben tener tres soluciones.
1 x 1 = 1. luego 1 + ( 2) = 1 1 x 1 = 1. luego 1 + ( 1) = 0 r = 1 es cero del polinomio. enton ces se dice que el polinomio tiene una raíz doble. 1 Probamos con r = 1. x = 1. Entonces: ( )( ) 1 2 1 1 3 2 2 3 − − − = + + − x x x x x x El trinomio cuadrado se resuelve por la cuadrática: 2 1 2 2 2 2 2 8 2 2 ) 1 )( 1 ( 4 4 ) 2 ( = = = − − = x − − 2 1 − = x . 2 1 + = x .( ) ( 2 − + = − + )( ) 1 2 2 x x x x Las soluciones son: 2 y 1. recordemos por qué. a tres soluciones reales diferentes. Ejemplo 2: Hallar la solución de la siguiente ecuación: 1 3 ) ( 2 3 + + − = x x x x P 75 Solución: Los posibles r son: 1. x = 2 Como se observa en la solución hay dos factores lineales iguales. Corresponde La solución de la ecuación inicial es: 1 = x . ( )( )( ) 2 1 1 2 3 3 + − − = + − x x x x x Las soluciones de la ecuación inicial será entonces: x = 1. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ . luego 3 + 1 = 2 2 x 1 = 2. raíz con multiplicidad dos. es decir.
40. 4. 2. 10. luego 3 + ( 4) = 7 7 x ( 2) = 14. así para 1. El ejemplo 1 tiene multiplicidad dos. 8. 20. Ejemplo 3: Resolver 0 40 6 3 2 2 3 = + + − x x x Solución: 2 si se obtiene cero. 1. Entonces. expresamos la ecuación inicial como producto de dos factores: ( )( ) 20 7 2 2 40 6 3 2 2 2 3 + − + = + + − x x x x x x El trinomio cuadrado se resuelve pro la cuadrática: 76 4 111 7 4 111 7 4 160 49 7 ) 2 ( 2 ) 20 )( 2 ( 4 49 ) 7 ( i x = − = − = − = Las 4 111 1 i x + = − − soluciones: 7 y ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Los posibles ceros del 8. 40. pero para este caso la suma d + D ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ . 20.Multiplicidad: La multiplicidad de un polinomio es el número de factore s lineales que se repiten. 4. luego 40 + ( 40) = 0 r = 2 es cero ó raíz del polinomio. 10. luego 6 + 14 = 20 20 x ( 2) = 40. 2. 2. pero para polinomio: 1. El ejemplo 2 tiene multiplici dad uno. 5. Como siempre se prueba es diferente de cero. veamos: 2 x 2 = 4. 5. con uno.
por lo que se les llamaron ecuaciones bicuadradas. con a ≠ 0 y n entero positivo. segundo y tercer gra do. La metodología actual propone para resolver ecuaciones de cuarto grado. se les llama polinómic as. lo que fue publicado en Ars Magna de Carda no. se detecto que deseaban establecer un forma general para resolver ecuaciones de cuarto grado. donde la incógn ita era un cuadrado. Una ecuación de la forma 0 . 4 111 7 i x + = 4 111 7 i x − = 2 . En trabajos encontrados de Cardano.824 Para fortalecer es ¡ 4 111 7 2 i x − = La ecuación inicial tiene tres soluciones. buscar lo s factores lineales por división sintética.. como se hizo para las deterger grado. ahora se pretende hacer un análisis general a las ecuaciones polinómicas. 1 = + + + − bx ax n n . Ferrari desarrolló e l método de solución de ecuaciones de cuarto grado. el gran famoso matemático noruego Niels Henri Abel demostró que no es posible resolver ecuaciones de quinto grado por medio de un número finito de operaciones algebraicas.. Tartaglia y Ferrari. los Babilonio s formularon problemas que condujeron a ecuaciones de cuarto grado.ECUACIONES POLINÓMICAS Las ecuaciones que presenten un grado mayor o igual a tres. Respecto a las ecuaciones de quinto grado. se han estudiado por separado las ecuaciones de primero. Haciendo algo de historia. allá por los años 1. una solución real x = y dos imaginarias. se le conoce como ecuación Polinómica. en la resolución de ecuaciones.
Los avances en los inicios de la edad moderna dieron buenos resultados y a parti r de allí. entonces debe tener cinco soluciones ó cinco raíces. padre de la Geometría Analítica. Ejemplo 1: Determinar las posibles soluciones reales del polinomio: 6 3 2 ) ( 4 5 − + − = x x x x P Solución: Por ser un polinomio de grado cinco.. llegando a la demostración de que NO hay un método general para resolver ecuaciones de quinto grad o o mayor. con n Z + . 1 = + + + − d bx ax n n 77 polinomio de grado n. el teorema permite saber cuantas soluciones reales positivas y negat ivas tiene el polinomio. .. Galois desarrollo la teoría de grupos para analizar métodos generales de solución de ecuaciones. El teorema cuya prueba esta fuera del alcance de este curso dice: En resumen.636 propone una técnica para identificar el número de soluciones reales positiva y ne gativas para un 0 . en 1. Algunos ejemplos nos ilustran la ap licación del teorema. REGLA DE SIGNOS DE DESCARTES: El Matemático francés René Descartes. basado en la variación de signos.ta teoría un prestigioso matemático de tan solo 20 años de edad y de nacionalidad francesa Eva riste Galois. basado únicamente en las operaciones fundamentales y extracción de raíces. dedujo bajo que condiciones una ecuación se puede resolver por radicales. se establecieron ciertas consideraciones para el desarrollo de ecuaciones polinómica s.
igual al número de variaciones de signo en P(x) ó es m enor que el número de variaciones en cantidad par. ¡ ¡ ¡ ¡ . ya que si hay una solución imaginaria. TEOREMA: Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales cuyo término independiente es diferente de cero. Ya sabemos porque. su conjugada también es solución. los cuales según la grafica son tres. P( x) no presenta cambios de signo. entonces P(x) puede tener una ó tres raíces reales positivas. Raíces reales negativas. Ejemplo 2: Dado el polinomio 9 6 5 ) ( 3 4 − + − = x x x x Q identificar las posibles soluciones. ó es menor que el número de variaciones en cantidad par. Para Q( x) se observa que hay un cambio de signo. lo que nos indica que el polinomio tiene una raíz real negativa. Para identificar las soluciones reales negativas. tendrá un número de soluciones reales positiva s de P(x) = 0. luego P(x) no tiene raíces reales negativas. aplicamos P( x) y obs ervar los cambios de signo. Se observa que Q(x) presenta tres variaciones de signo. es igual al número de variaciones de signo en P( x) = 0. luego puede tener 1 ó 3 soluciones reales positivas. Raíces reales positivas. El polinomio tiene 5 raíces. 78 Solución: El polinomio debe tener 4 raíces. por consiguiente podrá tener 2 ó 4 raíces imaginarias. El número de variaciones negativas d e la ecuación P(x). como puede tener 1 ó 3 reales positivas y NO tiene reales negativas. Es pertinente recordar que las raíces imaginarias. SIEMPRE se dan en pares.Para identificar las soluciones reales positiva: Tomando P(x) e identificando los cambios de signo.
cero ó dos soluciones reales negativas. 79 Así el polinomio N(x) puede presentar las siguientes soluciones: ) Una solución real positiva. dos soluciones reales negativas y dos soluciones im aginarias ) Tres soluciones reales positivas y dos soluciones reales negativas. Ejemplo 3: Identificar los ceros del polinomio: 1 2 5 2 7 ) ( 2 3 5 − + − − = x x x x x N Solución: N(x) debe tener 5 ceros. . ) Una solución real positiva y cuatro soluciones imaginarias. Acotación de las Soluciones: El siguiente teorema permite identificar el intervalo en el que se en cuentran las soluciones reales. Solución: ) 0 1 2 1 2 1 ) ( = + − − = x x x x P Determi ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Ceros reales negativos: Para N( x) se observa que presenta dos cambios de signo. Ejemplo: Dado el polinomio: ( )( )( nar la acotación del mismo. si éstas existen.Según los resultados. una solución real negativa y dos soluciones imaginari as. luego el polinomio puede tener. el polinomio Q(x) puede tener: ) Una solución real positiva. ) Tres soluciones reales positivas y una solución real negativa. veamos cuales podrían ser: Ceros reales positivos: Para N(x) se observan tres cambios de signo. Luego dicho polinomio tendrá 1 ó 3 raíces reales positivas.
e ntonces K ales Raíces ≤ ≤ Re TEOREMA: Sea P(x) un polinomio. TEOREMA DE RAICES RACIONALES: Para determinar las soluciones de una ecuación Polinómica con coeficientes enteros. Análogamente. Cualquier número superior a 1 será cota superior de P(x). Las soluciones adicionales para P(x). no tiene raíz real menor que el numero real .Por la regla del producto nulo. luego x = 1 (2x – 1) = 0. además. entonces p es factor de a o y q es factor de a n .. K = 1. P(p/q) = 0. se obtiene resolv iendo Q(x). Cualquier número menor que 1/2 será cota inferior de P(x). entonces K se le llama cota superior de las raíces rea les. P(x) = (x – p/q) Q(x).. TEOREMA: Sea 0 . ¡ ¡ ¡ . es decir. si P(x) = 0. El teorema permite obtener los ceros del polinomio en forma directa. (x – 1) = 0. luego x = 1/2 Así = 1/2. 80 (x – p/q) es un factor de P(x). no tiene raíz real algun a mayor al numero real K. luego x = 1/2 (2x + 1) = 0. dando una l ista limitada de soluciones racionales posibles. tal que si P(x) = 0. Si p/q es un real irreducible tal que p/q es una raíz de P(x). luego se le llama cota inferior de las raíces reales. hay un teorema que simplifica la identificación de las raíces del polinomio. Veamos: Si se tiene un polinomio P(x) y suponemos que p/q es una raíz del mismo. Donde Q(x) es un po linomio de un grado menor que P(x). ) ( 1 1 = + + + + = − − o n n n n a ax x a x a x P Un polinomio con coeficientes enteros.
( )( 2 1 ) ( ) 4 2 ¡ Se observa que 1/2 es cero. luego el polinomio se puede escribir como: ¡ Al probar las diferentes posibilidades. 2. una negativa y dos imaginarias Probando las posibles soluciones. ) Una solución real positiva. Posibles soluciones racionales: 1. q = 1. 1. Por la Regla de Descartes se puede inferir las posibles soluciones: ) Tres soluciones reales positivas y una negativa. 1. Las posibles soluciones (p/q): 1. 1/2. 2. 4. p = 1. 1. 1.Ejemplo: Determinar los ceros del polinomio: 4 6 2 3 2 ) ( 2 3 4 − − + − = x x x x x P Solución: Inicialmente se identifica p y q. 4. 2. 1. 4. 2. 2. veamos: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ p ¡ ¡ 1/2 es cero del polin . 1. 4. 1/2. se identifico que omio. se detecta que x = 2 es solución. 2. 2. A cada uno de estas posibilidades se le aplica la división sintética ara identificar las soluciones. 2. q = 1. veamos: El polinomio inicial quedaría así: ( )( ) 2 4 2 2 ) ( 2 3 + + + − = x x x x x P Donde ( ) 2 4 2 ) ( 2 3 + + + = x x x x Q Ahora tomamos el polinomio Q(x) e identificamos los divisores de p y q: p = 1. 2. 1/2. 1/2. Siendo p los divisores del término independiente y q del coeficiente de x 4 . 2. 2. 2.
i 2 y i 2 − solución real positiva. ¡ ¡ ¡ ¡ . a través de la siguiente definición. identificar la cantidad y tipo de raíces más posible que se tiene en cada polinomio. 1/2. Ejemplo: Sea el polinomio: ( )( ) ( ) 3 2 1 3 2 4 ) ( − + − = x x x x P Identificar los ceros y su multiplicidad. MULTIPLICIDAD DE LAS SOLUCIONES: Una En un aparte anterior se hizo referencia a la multiplicidad. 1. una solución real negativa y dos soluciones imaginarias. evisa se puede determinar que los ceros son: i 2 y i 2 − 81 Volviendo al polinomio inicial 4 6 2 3 2 ) ( 2 3 4 − − + − = x x x x x P .2 + + = x x x Q Si se r El último polinomio se resuelve por factorización o cuadrática. 82 EJERCICIOS Para las ecuaciones dadas. 3. ( ) m r x − un factor de P(x). pero es pertinente darle un soporte formal. entonces r es llamado cero de P(x). además. se puede concluir que los ceros de dicho polinomio son: 2. con multiplicidad m. 1. Solución: Los ceros son: 2. La multiplicidad: Para 2: La multiplicidad es 1 Para 3: la multiplicidad es 2 Para 1: La multiplicidad es 3 DEFINICIÓN: Sea P(x) un polinomio de grado n.
2 ¡ ¡ 6. ¡ ¡ 8. 1 real negativa 3. 0 1 2 2 3 = + + − x x x Rta: 2 reales positivas. 0 9 3 2 3 = − − + x x x Rta: 1 real positiva. 0 2 2 2 3 = − − + x x x Rta: 1. 1. 2i. ¡ ¡ 7. En los siguientes ejercicios hallar las soluciones de los polinomios propuestos. 0 10 3 5 3 8 2 4 6 8 = + + + + x x x x Rta: 8 raíces imaginarias 5. 1. 0 1 6 = − x Rta: 1 real positiva. 2i i 2 ¡ ¡ .0 3 4 2 2 4 6 = − + − x x x Rta: 3 reales positivas y 3 reales negativas 2. 1 real negativa y 4 imag. 0 2 2 4 = − + x x Rta: 1. i 2 . 0 4 12 3 2 3 = + + + x x x Rta: 1/3. 0 2 3 2 3 4 = + − − + x x x x Rta: 1. La ecuación 0 3 16 8 2 3 = − + − x x x tiene entre sus raíces a x = 3. 1. Hallar la suma de las otras dos raíces. 2 10. 2 reales negativas 4. 9. 1.
sigue los principios matemáticos aplicados a lo s aplicados para fracciones. Ejemplo 1: Hallar la solución de la siguiente ecuación. se pueden presentar dos caso: ) El grado de P(x) ≤ Que el grado de Q(x) ) El grado de P(X) > Que el grado de Q(x) ¡ ¡ Resolver ecuaciones de este tipo. 2 1 2 4 2 = + − x x Solución: Por el principio de ecuaciones equivalentes. principalmente fracciones equivalentes. En los casos de ecuaciones racionales.Rta: x 2 + x 3 = 5 83 ECUACIONES RACIONALES Las ecuaciones racionales son de la forma: 0 ) ) = x x ( ( Q P Donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0. ( ) ( ) 2 8 4 2 1 4 2 2 2 1 2 4 2 + = − ⇉⇉ + = − ⇉⇉ = + − .
10 3 8 2 4 2 8 4 = ⇉⇉ + = − ⇉⇉ + = − x x x x x Así la solución será: x = 10/3 Ejemplo 2: Resolver: 0 2 4 3 5 8 6 = − − + x x Solución: Con lo aprendido ya podemos trabajar consecutivamente. agrupando las x a un lado y los términos independient es al otro lado. por favor analizar cada p aso. 16 20 15 12 20 15 16 12 2 4 3 5 8 6 − − = − ⇉⇉ − = + ⇉⇉ − = + x x x x x x Despejando: 12 3 36 36 3 16 20 15 12 0 ) ) = x x = = ⇉⇉ − = − ⇉⇉ − − = − x x x x ( ( q p 84 Ejemplo 3: Resolver: 0 1 2 2 = − .x x x x x x Se debe despajar la incógnita.
Ejemplo 4: Hallar los valores de la incógnita que hacen verdadero la expresión dada.− + x x x Solución: Aplicando los principios sobre fracciones se tiene: 0 ) 2 ( 2 ) 1 ( 0 ) 1 )( 2 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 0 1 2 2 = + − − ⇉⇉ = − + + − − ⇉⇉ = − − + x x x x x x x x x x x 0 4 3 0 4 2 0 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 2 = − − ⇉⇉ = − − − ⇉⇉ = + − − x x x x x x x x La última ecuación se resuelve por factorización: ( )( ) 0 1 4 0 4 3 2 = + − ⇉⇉ = − − x x x x Por x – x + Así el producto nulo: 4 = 0. entonces x = 1 la solución será x = 1 y x = 4. 2 3 2 1 y y = − Solución: Veamos el procedimiento. entonces x = 4 1 = 0. 0 3 2 0 3 2 1 3 2 ¡ ¡ .
0 = − + c x b ax 85 Ejemplo 5: Resolver la ecuación 2 3 = + x x Solución: Como indica la expresión. Es te tipo de ecuaciones se pueden llevar a ecuaciones lineales o cuadráticas. Dentro de los conocimientos previos requeridos se tiene la suma de fracci ones. 60 5 10 6 5 10 10 ¡ ¡ . entonces y = 1 Solución: y = 1 ó y = 3 ECUACIONES CON FRACCIONES En el mundo de las ecuaciones racionales.1 2 2 2 2 = − − ⇉⇉ = − − ⇉⇉ = − y y y y y y y ( 3 2 2 2 = − y y y )( 2 ) 0 1 3 0 3 2 0 + − ⇉⇉ = − − ⇉⇉ = − y y y y Por la regla del producto nulo: y – 3 = 0. no se puede dejar pasar por alto unas ecuaciones muy particulares. según el tipo de ex presión dada. entonces y = 3 y + 1 = 0. se debe sumar las fracciones. son aquellas que están expresadas como fracciones.
para hacer dicha suma . 0 ) 1 )( 2 ( 4 3 0 ) 1 )( 2 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 0 1 2 2 2 = donde se busca el común denominador . Solución: x = 12. 0 1 2 2 1 2 2 = − − + ⇉⇉ − = + y y y y y y Ahora se sumar las fracciones.6 3 2 10 2 3 = ⇉⇉ = ⇉⇉ = + ⇉⇉ = + x x x x x x Así se puede despajar la incógnita: x = 60 / 5 = 12. Ejemplo 6: Resolver 1 2 2 − = + y y y Solución: Primero se iguala la expresión acero.
verificar la respuesta.− + − − ⇉⇉ = − + + − − ⇉⇉ = − − + y y y y y y y y y y y y Operando ( )( ) 1 )( 2 4 3 2 2 = + − ⇉⇉ − + − − y y y y y y y y la fracción: ) 0 1 4 0 4 3 0 ( = − − ⇉⇉ = Por el producto nulo: y – 4 = 0. 86 EJERCICIOS Desarrollar los siguientes ejercicios. 4 3 1 4 2 13 = + + x x Rta: x = 49 / 4 ¡ . luego y = 4 y + 1 = 0. luego y = 1 En los ejemplos estudiados. 1. el primero nos llevó a una ecuación de prime r grado con una incógnita y el segundo a una ecuación cuadrática con una incógnita.
0 3 2 2 2 3 1 = − − − + + x x x x Rta: 2 13 2 3 = x ¢ ¢ 4. 1 9 5 2 − = + y y Rta: 2 11 5 y − = i .2. 16 8 3 4 3 4 1 2 − + = − + + x x x x Rta: x = 0 3.
en este aparte lo que se va a analizar es el caso contrario. q(x) se puede descomponer en factores primos. cualquier polinomio de coeficientes reales. se ob tenía una como resultado de la suma. se tiene la fracción ) ( ) ( ) ( x q x p x f = . el grado de p(x) debe ser menor que el grado de q(x). se puede escribir como producto de f actores lineales o cuadráticos. se pueden expresar como suma o resta de fracciones racionales más simples. En los principios de álgebra. Por teoría algebra ica. a partir de una fracción. esta se puede descomponer en la suma de fracciones tales como: n nx N bx B . buscar las fracciones que fueron sumadas para llegar a est a. Para que se pueda hacer este procedimiento. aprendimos que a partir de dos o más fracciones. 1. polinomios y q(x) ≠ 0.87 FRACCIONES PARCIALES Toda fracción racional de la forma ) ( ) ( ) ( x q x p x f = con p(x) y q(x). además. se pueden encontrar varios casos. q(x) es producto de factores lineales diferentes: Se puede generalizar este caso de la siguiente manera. De acuerdo al denominador.
6 5 5 4 2 + − − x x x β α = + d c b a 88 Solución: La idea es linealizar el denominador.. … . la fracción obtenida se puede escribir como suma de fracciones simple . B.ax A x q x p λ λ λ + + + + + = . Ejemplo 1: Dada la fracción siguiente. N constantes. ) ( ) ( 2 1 + Siendo A. expresarla como fracciones parciales. Primero factorizamos el trinomio cuadrado . ( )( ) 2 3 5 4 6 5 5 4 2 − − − = + − − x x x x x x Según la teoría..
luego se igualan: Esta es la parte principal del proceso. ya que se observa que los denominadores son iguales. 4x – 5 = x(A + B) – 2A – 3B ¡ . Para esto se operan las dos fracciones así: ) 2 )( 3 ( 3 2 ) ( ) 2 )( 3 ( 3 2 ) 2 )( 3 ( ) 3 ( ) 2 ( 2 3 − − − − + = − − − + − = − − − + − = − + − x x B A B A x x x B Bx A Ax x x x B x A x B x A La última fracción es equivalente a la primera. para este caso dos fracciones ya que hay dos factores lineales simples. Así se comparan numeradores. ( )( 5 4 − + − = − − − x B x A x x x ) 2 3 2 3 El trabajo consiste en encontrar el valor de A y B.s. por ende los numeradores también deben serlo.
Se tiene dos ecuaciones con dos incógnitas. Se reemplaza los valores de A y B en al ecuación propuesta: ( )( ) 2 3 3 7 2 3 2 3 5 4 − − − = − + − = − − − x x x B x A x x x Por consiguiente: 2 3 3 7 6 5 5 4 2 − − − = + − − x x x x x Ejemplo 2: Escribir como fracciones parciales la siguiente fracción: 4 9 2 5 2 + − x x ¡ Los coeficientes de x deben ser iguales: 4 = A + B Los términos independientes también son iguales: 5 = 2A – 3B ¡ ¡ . Aplicando eliminación se obtiene: A = 7 B = 3 que ya sabemos resolver.
Entonces: 5 = x(A + 2B) – 4A – B Comparando los coeficientes en x. se obtiene: A = 10/7 B = 5/7 Finalmente se reemplaza en la suma de fracciones propuesta: ¡ ¡ ¡ .) 3 6 5 2 − − = + − x B x x 2 )( 3 ( 2 ) ( 5 4 − − + − x A B A x x 89 Solución: Se linealiza el denominador. se observa que en el primer término de la igualdad el coeficiente de x es cero. Es seguida se propone descomponer la fracción como suma de fracciones parciales. ya que no hay término en dicha incógnita. como el denominador es igual. se hace la igualación: Ahora. A + 2B = 0 4A – B = 5 Utilizando cualquiera de los métodos de resolución. Por favor confirmar la factorización que se hizo en el denominador. luego: 0 = A + 2B Para el término independiente: 5 = 4A – B Se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas. los numeradores también lo son. Se operan las dos fracciones que se propusieron: Como la última fracción es equivalente a la primera.
Solución: ) 1 2 ( 7 10 ) 4 ( 7 5 4 9 2 5 2 − − − = + − x x x x ( 5 4 5 2 − = + ( 5 − + − = − B x A x ) 4 ) 2 ) ) 4 − = − − = − − = − + − B x B x x x B )( 9 2 − − )( ) 4 1 2 x x x x ) 4 1 2 4 1 2 − x x 4 ) 4 4 4 1 1 − )( 1 2 ( 2 ( )( 1 2 ( )( 1 2 ( 2 ( ) 4 ( 2 − − + − + − − + − x x A B A x x Bx A Ax x B x A .
q(x) es producto de factores lineales. cuando esto se presenta la descomposición es de la siguiente mane ra: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x N x C x B x A x x x x β β β + − + − + − = x p q p β λ λ + − .x A ) 1 2 ( 7 10 ) 4 ( 7 5 4 1 2 − − − = − + − x x x B x A ) 4 )( 1 2 ( 4 ) 2 ( 4 9 2 5 2 − − − − + = + − x x B A B A x x x 90 2. algunos repetidos: Hay casos donde el polinomio del denominador presenta factores lineal es simples que se repiten veces.
2 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 )( ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + + + + + + = + + + + + + .. solo que aquí se debe proponer tanta s fracciones simples como indique el exponente del factor que se repite. 2 ) 1 ( 1 2 + − x x x Solución: El procedimiento es similar al caso anterior.. ( ( ( Ejemplo 1: Descomponer en fracciones parciales.− = ) ) ) 2 − . 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 + + + + = + − x C x B x A x x x Se operan las fracciones y se organizan los términos.
+ + + x x Cx x x B x x A x x x C x x B x A x C x B x A 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( ) 1 2 ( + + + + + + = + + + + + + x x Cx Bx Bx A Ax Ax x x Cx x x B x x A Se organizan los términos según la incógnita: 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( 2 + + + + + + = + + + + + + x x A C B A x B A x x x Cx Bx Bx A Ax Ax Se iguala la última fracción con la inicial: 2 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ) ( .
) 1 + + = + − x A x x
1 ( 2 + + + +
x C B A x B A x x
Se igualan los numeradores, ya sabemos por que. A C B A x B A x x + + + + + = − ) 2 ( ) ( 1 2 2 Para el caso de la incógnita al cuadrado (x 2 ): 0 = A + B Para el caso de la incógnita (x): 2 = 2A + B + C Para el caso del término independiente: 1 = A 91 Así ya se tiene una solución: A = 1 De la ecuación 0 = A + B, se puede obtener el valor de B, es decir: B = 1 Para el caso de C, en la ecuación: 2 = 2A + B + C; se reemplaza A y B: 2 = 2( 1) + (1) + C, despejando C = 3 Volviendo a la expresión propuesta: 2 2 ) 1 ( 3 1 1 1 ) 1 ( ) 1 ( + + + + − = + + + + x x x x C x B x A Finalmente la fracción original queda expresada como suma de fracciones parciales así:
x x ) 3 1 1 ) 1 2 + + + = + −
x x x x 1 1 (
1 ( 2 2 −
3. q(x) Tiene factores Cuadráticos irreducibles: Cuando el polinomio del denominador tiene términos cuadráticos irreducibles, la forma de descomponer en fracciones parciales es como se muestra a continuación. ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 c bx ax C Bx n x A c bx ax n x x p x q x p + + + + + = + + + = Donde ) )( ( ) ( 2 c bx ax n x x q
Como siempre los ejemplos son la mejor forma de mostrar el método. Ejemplo 1: Expresar como suma de fracciones parciales: ) 2 ( 5 2
+ − x x x Solución: Se escribe la fracción como se presenta a continuación: 2 ) 2 ( 5 2 2 + + + = + − x C Bx x A x x x Operando y organizando: ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 + + + + = + + + + = + + + x x Cx Bx A Ax x x C Bx x x A x C Bx x A Agrupando términos semejantes: 92 ) 2 ( 2 ) ( ) (
) 2 ( 2 2 2 2 2 2 + + + + = + + + + x x A C x B A x x x Cx Bx A Ax Igualando las fracciones original y la última: ) 2 ( 2 ) ( ) ( ) 2 ( 5 2 2 2 + + + + = + − x x A C x B A x x x x Comparando términos: Para la incógnita al cuadrado: (x 2 ): 0 = A + B Para la incógnita (x): 1 = C Para los términos independientes: 5 = 2A Reemplazando estos valores en las fracciones propuestas: 2 1 2 5 2 5 2 ) 2 ( 5 2 2 2 + + ¡ Así: A = B = 5/2 C = 1 5/2 ¡ .
+ + + + + − x x x C x A x x − = = x Bx x Por consiguiente la fracción inicial queda expresada como suma de fracciones parci ales así: x x x x 2 5 4 2 ) 5 2 + + = + − x x 2 5 2 ( 2 − 93 EJERCICIOS Dadas las siguientes expresiones. 1. escribirlas como suma de fracciones parciales . ) 2 )( 1 ( 1 + − x x Rta: ) 2 ( 3 1 ) 1 ( 3 1 + − .
2 3 2 1 x x x + + Rta: 2 1 1 1 2 x x x + − + 5.− x x 2. x x x x . 8 2 14 2 − − + x x x Rta: 2 2 4 3 + − − x x 4. ) 4 )( 1 ( 5 + − x x Rta: 4 1 1 1 + − − x x 3.
el primer paso es buscar la forma de reducir el .+ + − 3 2 2 5 2 Rta: 1 5 2 2 + − x x 6. 1 1 3 2 3 3 − + − + x x x x Rta: 3 1 2 1 2 2 + − + + − x x x 94 ECUACIONES CON RADICALES Cuando se tiene ecuaciones con radicales.
( )( ) 0 5 4 20 9 2 = − − = + − x x x x Por la regla del producto nulo: x – 4 = 0.radical por medio de operaciones opuestas y obtener una ecuación cuadrátic a. ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 − + = + ⇉⇉ − + = + ⇉⇉ = − − + y y y y y y Desarrollando los cuadrados. ( ) ( ) 2 2 2 8 16 4 4 4 4 4 x x x x x x x + − = − ⇉⇉ − = − ⇉⇉ − = − Organizando la expresión: 0 20 9 8 16 4 2 2 = + − ⇉⇉ + − = − x x x x x La última ecuación se puede resolver por factorización o por la fórmula cuadrática. entonces x = 4 x – 5 = 0. pero se puede hacer extensivo a otros índices. Aquí se va a analizar fundamentalmen te las raíces cuadradas. x x x x − = − ⇉⇉ = − + 4 4 4 4 Ahora se elimina la raíz utilizando operación opuesta. ( ) ( ) ) 2 ( 2 4 4 3 2 2 2 3 2 2 2 − + − + = + ⇉⇉ − + = + y y y y y 0 2 x x . se busca que la parte radical quede a un lado de la igua ldad. 2 2 3 2 = − − + y y Solución: Lo primero es pasar uno de los radicales al otro lado de la ecuación. Ejemplo 1: Resolver la ecuación 4 4 = − + Solución: A partir de la expresión. Dada. recordemos las ecuaciones lineales con una incógn ita. ya se sabe q ue principios se tiene en cuenta para hacerlo. entonces x = 5 Ejemplo 2: Hallar los valores de y que hagan verdadera la igualdad. siempre y cuando el índice de la raíz sea par.
( )( ) 0 3 11 33 14 2 = − − = + − y y y y Por la regla del producto nulo. 0 33 14 ) 2 ( 16 1 2 2 2 = + − ⇉⇉ − = + + y y y y y La última expresión se puede resolver por factorización o por la formula c uadrática.= + + c bx ax 95 Reorganizando términos. 0 81 2 3 = − y 3 9 9 = y Rta: . luego y = 11 y – 3 = 0. 2 4 1 2 4 2 4 3 2 ) 2 ( 2 4 4 3 2 − = + ⇉⇉ − = + − − + ⇉⇉ − + − + = + y y y y y y y y Para eliminar el nuevo radical. 1. Apliquemos factorización. ( ) ( ) ) 2 ( 16 1 2 2 4 1 2 4 1 2 2 2 − = + + ⇉⇉ − = + ⇉⇉ − = + y y y y y y y Reorganizando de nuevo los términos. 0 64 1 3 = − y Rta: y = 4 4. luego y = 3 EJERCICIOS Desarrollar el procedimiento apropiado para resolver los ejercicios propuestos. 2 9 1 3 − = + − + x x Rta: x = 0 y x = 16 2. se vuelve a aplicar operación opuesta. 0 6 3 6 = − + x x Rta: x = 64 3. y – 11 = 0.
Un trabajo juicioso y sistemático para el desarrollo de las temáticas. principios. su significado se ira comprendiendo a me dida que se vayan estudiando las inecuaciones. ya que la s olución de una desigualdad esta dada por uno ó varios intervalos. Por esto a las inecuaciones también son conoci das como Desigualdades. <. pe rmitirá adquirir conocimientos sólidos que conlleven a resolver problemas del mundo real en donde se necesiten las desigualdades. además.96 CAPÍTULO DOS: INTRODUCCIÓN LAS INECUACIONES Las inecuaciones son expresiones donde dos términos son comparados utiliza ndo principios matemáticos bien definidos. se estudiarán las clases de inecuaciones. siendo las más impor tantes las inecuaciones lineales con una incógnita. inicialmente se analizarán los intervalos. Las desigualdades son muy importantes como herramientas para el análisis de temáticas como la Investigación de Operaciones. Para abordar con éxito esta temática es pertinente recordar los símbolos de comparación entre dos expresiones algebraicas tales como: >. economía y otros campos del saber. las inecuaciones lineales con do s incógnitas. Al igual que se hizo en las ecuaciones. Para desarrollar el tema. Que en su ord en indican mayor. Administración. sus prop iedades. las cuadráticas con una incógnita y las mixtas. También se analizarán las propiedades que gobiernan las desigualdades. menor. clasificación y las formas de resolverlas. Objetivo General Que los estudiantes identifiquen claramente las inecuaciones. plantear situaciones des . un área de las Matemáticas muy utiliz adas en Ingeniería. ≤. mayor o igual y menor o igual. demostrando algunas de ellas. ≥.
tenemos que a + ( c) < b + ( c). Propiedades de las Desigualdades: Sean a. pero inclusive cinco es también solución. 4. Las dos primeras se les llama desigualdades estrictas. entonces a + c < b + c Demostración: Con el mismo argumento del caso anterior. así a + c < b + c. Por ejemplo si se dice que x > 2. (b + c) – (a + c) = b – a. Conocer los principios sobre intervalos y desigualdades. en el tercero p(x) es menor o igual a q(x) y en el cuarto p(x) es mayor o igual a q(x). entonces a c < b – c . Plantear y resolver problemas que involucran inecuaciones. además. 3. sus propiedades y resolver inecuaciones d e este tipo. entonces a x c < b x c ¡ ¡ ¡ 2. 97 DESIGUALDADES Las desigualdades son expresiones matemáticas donde dos términos p(x) y q( x) se comparan. se esta indicando que cualquier v alor menor que cinco es solución. La s formas de comparación se pueden observar a continuación: En el primer caso p(x) es menor que q(x). Si a < Demostración: Como a < b. esta indicando que cualquier valor mayor que dos. satisface la desigualdad propuesta. 3. así a – c < b – c. por definición b – a es positivo. sus propiedades y resolver inecuaciones de este tipo. e ntonces (b + c) – (a + c) es positivo.criptivas con desigualdades. Identificar inecuaciones cuadráticas. Si a < b. c números reales: 1. b. para el segundo p(x) es mayor que q(x). 2. Si a < Demostración: b y c > 0. siendo éstos polinomios ó uno de ellos término independiente. Reconocer las inecuaciones lineales. Si de dice que x ≤ 5. b. Objetivos Específicos 1.
por lo tanto (a x c < b x c). además. entonces 1 < a Es pertinente que usted estimado estudiante. c b ax < − ) ( ) ( x q x p p ≥ 98 5. entonces a x c > b x c < ) ( ) ( x q x p > ) ( ) ( x q x p ≤ ) ( ) ( x q x Si a y b son números reales. luego (b – a) es positivo. c es positivo. entonces el produc to (b – a) x c es positivo. Las desigualdades pueden ser simples o compuestas. para cualquier duda consulta r con el tutor. así (b x c – a x c) es positivo. La NO Negatividad: Para cualquier número real a: 2 ≥ a 7. una de las siguientes expresiones se cumple. plantee al menos dos ejemplo donde se aplique cada propiedad. entonces 0 1 > a Si a < 0. 4.Como (a < b). Reflexión: ¿Qué pasa si b = 0? 6. Tricotomía: b y c < 0. Simples: q px ≥ b ax < < < 0 0 Compuestas: b x a b px a < ≤ . La Reciprocidad: Para cualquier número real a ≠ 0: Si a > 0. esto le permitirá comprender la esencia de as mismas. Si a < Demostración: Como ejercicio para hacer en el grupo colaborativo.
ha cen parte del intervalo. x > ntar cómo se grafican. se podría pregu ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . NO hacen parte del intervalo. Desigualdades: b x a Gráficamente: < < Intervalo Semiabierto: Son todos aquellos intervalos donde uno de los extremos NO hace parte del mismo. otros.INTERVALOS: Un intervalo es un segmento de recta con extremos inferior (a) y superior (b). Desigualdades: b x a ≤ ≤ Gráficamente: Intervalo Abierto: Son todos aquellos donde los extremos del mismo. 5. Intervalo Abierto a Derecha: Corresponde a los intervalos donde el ext remo derecho es abierto. la respuesta esta en los intervalos. La notación es la siguiente: Parejas ordenadas: ( ) b a. x > 2. e l cual contiene todos los valores que satisfacen la desigualdad. La notación es la siguiente: Parejas ordenadas: [ ] b a. Existen varias clases de intervalos. b a < b a > b a = 99 Intervalo Cerrado: Son todos aquellos donde los extremos del mismo. La notación es: parejas ordenadas: ¡ Cuando se tienen expresiones como x > 3. pueden ser abiertos a izquierda ó abiertos a derecha.
[ b a Desigualdades: b x a < ≤ 100 Gráficamente: Los intervalos semiabiertos a la izquierda. y R = (0. entonces S υ R = (a. intersección. 2] Hallar S u R. 10] . Sea S = (a. diferencia simétrica y complemento. OPERACIONES CON INTERVALOS: Las operaciones estudiadas en los conjuntos. d) Gráficamente: Ejemplo 1: Sea S = [ 4. La notación es: parejas ordenadas: ) . como unión. son aplicables también en intervalos. b) y R = (c. diferencia. UNION: Se sabe que la unión es la agrupación bajo un mismo conjunto de todos los elementos que hacen parte de la operación. ( b a b x a ≤ < Desigualdades: Gráficamente: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Intervalo Abierto a izquierda: Corresponde a los intervalos donde el e xtremo izquierdo es abierto. serán semicerrados a la derecha y vice versa. d). b) υ (c.] .
Q esta contenido en P. Las demás operaciones son similares a como se hace en las operaciones con conjuntos. 2 ( = ∩ = ∩ B A Gráficamente: La intersección involucra los elementos que están en los dos intervalos. para el fin de las desigualdades. 2] u (0. 18) y B = (10.Solución: Gráficamente S u R será: 101 Ejemplo 2: Solución: La solución nos hace ver que P Q ⊆ . ¡ La operación es: P u Q = ( 8. 8. las operaciones más importantes son al unión e intersección. 10 ( ) 18 . 20) . Ejemplo 1: Dados los intervalos A = (2. es decir. 30). INTERSECCIÓN: Se trata de identificar los elementos comunes de los conju ntos que participan en la operación. Solución: La intersección se expresa así: B A∩ [ ] 18 . Hallar la intersección de A y B . 10 ) 30 . 10) = ( Gráficamente: ¡ ¡ Dados P = ( 8. 10] Hallar P u Q. 20) y Q = (2. 20) u (2. 10) ¡ ¡ S u R = [ 4. 10] = [ 4.
para este caso se van a analizar dos tipos. aunque puede ser con cualquiera de los signos de comparación. 1] u [5. éstas últimas se analizaran posteriormente. < + x ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . Sean los intervalos P = [ 4. 5] ) Q P − : [ 4. Ejemplo 1: Resolver la siguiente inecuación: 11 4 3 Solución: El proceso consiste en espejar la incógnita. INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA: Las inecuaciones lineales con una incógnita son de la forma c b ax > + . Por la propiedad 1. Una inecuación lineal con una incógnita y dos inecuaciones lineales con dos incógnitas. dejándola al lado derecho de la desigua ldad. Hallar las siguientes operaci ones. 1] ) Q P∆ : [ 4. 5) y Q = (1. Q P − . Q P∆ 102 Solución: ) Q P ∪ : [ 4.A manera de ilustración veamos el siguiente ejercicio. por favor discutir los resu ltados con sus compañeros de grupo colaborativo y aclararlo con el Tutor. 10] ) Q P ∩ : [1. Q P ∩ . 10]. adicionamos – 4 a los dos lados de la expresión. 10] 103 INECUACIONES LINEALES Las inecuaciones lineales son aquellas donde la incógnita es un polinomi o de grado uno. Q P ∪ . Ejemplo 2. requiere el uso de las propiedades analizadas en desigualdades y los principios matemáticos básicos. La resolución de inecuaci ones de este tipo.
sobre la reciprocidad. Para el ejemplo analizado. si lo reemplazamos en la desigualdad. la solución NO incluye el extremo ya que es una desigualdad estricta. significa que en los demás valores del intervalo también se cumple.para ir despejando la incógnita. de esta manera se despeja completamente la incógnita. como es un valor pos itivo. 2 17 [ ∞ − ) ∞ < ≤ − de la inecuación: ( ) ( ) 1 3 5 4 + ≥ + + x x x x x x x x x x ¡ ¡ x . 3 7 ) 7 ( 3 1 ) 3 ( 3 1 7 3 < ⇉⇉ < ⇉⇉ < x x x Solución: x < 7/3. Esto significa que cualquier valor menor que 7/3 satisface la desigual dad. 7 3 4 11 4 4 3 < ⇉⇉ − < − + x x Por la propiedad 7. Veamos un caso particular x = 0. ) ) . el sentido de la desigualdad no cambia. ésta debe ser verdadera. 0 < + b ax 104 ( ) ( ) 3 3 20 5 3 3 20 4 1 3 5 4 + ≥ + ⇉⇉ + ≥ + + ⇉⇉ + ≥ + + Aplicando las propiedades básicas de desigualdades tenemos: 2 17 17 2 20 3 3 5 3 3 20 5 − ≥ ⇉⇉ − ≥ ⇉⇉ − ≥ − ⇉⇉ + ≥ + x x x x x x La solución indica que el extremo también hace parte del intervalo. se divide por 3. como desigualdad y gráficamente. Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución x Solución: Lo primero que se debe realizar es operar los paréntesis. Cuando en la solución se toma un solo valor y se cumple. 11 3 11 ) 0 ( 3 11 4 3 < ⇉⇉ < ⇉⇉ < + x Lo cual es verdadero. Expre semos dicha solución como pareja ordenada.
pero recor demos que si una desigualdad la dividimos por un valor negativo. 2 3 4 10 1 ) 2 ( 2 ) 2 )( 3 4 ( ) 2 ( 5 < − ≤ − ⇉⇉ < − ≤ − x x Ahora restamos – 4 a los términos para seguir despejando la incógnita 2 3 14 4 2 3 4 4 4 10 2 3 4 10 − < − ≤ − ⇉⇉ − < − − ≤ − − ⇉⇉ < − ≤ − x x x Dividimos todo por 3 para que la incógnita quede despajada. el procedimien to para despajar la incógnita lo podemos ver en seguida. Primero multiplicamos toda la expresión por 2 para eliminar el dos del denominador del la parte que contiene la incógnita.2 17 ) ¡ ¡ Ejemplo 3: Resolver 1 2 3 4 5 < − ≤ − x Solución: Se observa que se trata de una desigualdad compuesta. 3 2 3 14 3 2 3 3 3 14 2 3 14 > ≥ ⇉⇉ − − > − − . el sentido cambia.
despejando la incógnita: x – 2 + 2 > 0 + 2. ) ] 3 14 . El intervalo solución es semiabierto a derecha. se observa que el numerador siempre es positivo. 0 2 1 > − x Solución: Analizando la desigualdad. entonces: x > 2. el denominador debe ser mayor que cero. . Ejemplo 4: Hallar los valores de x que satisfagan la expresión.≥ − − ⇉⇉ − < − ≤ − x x x La solución indica que todo valor menor o igual que 14/3 y mayor que 2/3 satisface la desigualdad. Así: x – 2 > 0. 105 Expresemos la solución como se acostumbra. 3 2 ( ) 3 14 3 2 ≤ < x ) ¡ ¡ ¡ . ent onces para que la fracción sea mayor que cero.
2 ( ∞ ) ∞ < < x 2 ) ) ∞ < ≤ − ) y 1 INECUACIONES RACIONALES: ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ Ejemplo 5: Resolver 2 1 3 1 + ≤ + y y 106 Solución: Por el principio de facciones equivalentes. transformamos las fracciones a expr esiones enteras. entonces multiplicamos toda la expresión por 1. ( ) ( ) 1 2 3 3 2 3 3 2 2 1 3 1 2 ≤ − ⇉⇉ − ≤ − ⇉⇉ + ≤ + ⇉⇉ + ≤ + y y y y y y y Como la incógnita nos da negativa. 1 . ( ) ( ) 1 3 1 2 2 1 3 1 + ≤ + ⇉⇉ + ≤ + y y y y Ahora se hacen las multiplicaciones indicadas y se simplifica.) ) . 1 1 − ≥ ⇉⇉ ≤ − y y La solución: ) [ ) ∞ − .
se puede ver que hay involucrad os dos conectivos lógicos. ó negativo y negativo. siempre produce positivo. a) Sea Para que la fracción sea negativa (menor que cero) puede ocurrir dos situaciones: p(x) > 0 0 ) ) < x x ( ( y q(x) < 0 o p(x) < 0 y q(x) > 0 q p 107 Ya que positivo y negativo ó negativo y positivo. por cone ctivos lógicos o por el diagrama de signos. ) Conectivos Lógicos: ¡ ¡ Consiste en comparar la fracción frente al cero. Sea c x q x p < ) ( ) ( Siendo q(x) ≠ 0. ) Diagrama de Signos: . Si nos detenemos un poco a analizar este método. producen siempre negativo. b) Sea Para que la fracción sea positiva (mayor que cero) puede ocurrir dos situaciones: Ya que positivo y positivo. la Conjunción (Λ) y la Disyunción (V). La resolución de este tipo de inecuaciones se puede hacer por dos métodos.en este apartado se van a analizar las inecuaciones racionales cuyo numerador y denominador son polinomios lineales.
la solución serán los intervalos positivos. a ese valor se le llama valor crítico. Cada polinomio es representado por una recta real donde se ubica el valor crítico y se coloca signos positivos donde el polinomio es positivo y signos negativos d onde el polinomio sea negativo. Finalmente se aplica la ley de los signos para cociente y se obtiene intervalos positivos y negativos para la fracción. se toma el polinomio del numerador y del denominador y se identi fica cual valor hace que dichos polinomios sean cero. entonces: Para que 0 ) ( ) ( > x q x p Pueden ocurrir dos situaciones: p(x) > 0 0 ) ( ) ( y q(x) > 0 o p(x) < 0 y q(x) < 0 .Por este método. Por medio de los ejemplo modelos. la solución serán los intervalos negativos. per o si la fracción es menor que cero. La solución depende del tipo de comparación: Si la fracción es mayor que cero. se puede comprender mejor los métodos menciona dos. Ejemplo 1: Resolver la siguiente inecuación: 0 3 2 > + + x x Solución: Método de los Conectivos Lógicos: 0 3 2 > + + x x Llamemos p(x) = x + 2 y q(x) = x + 3.
x < 3 Igual que en el caso anterior: p(x) Λ q(x) Segunda Solución. la solución total es la unión (V) de la primera y segunda solución. x > 2 x + 3 > 0. ¡ ¡ ¡ ¡ . p(x) < 0 Λ q(x) < 0 (tiene lógica verdad) Dichos en palabras: Los dos positivos o los dos negativos Analicemos las dos posibilidades: Primera: P(x) > 0 Λ q(x) > 0 x + 2 > 0. x < 2 x + 3 < 0. P(x) Λ q(x) Primera solución Segunda: p(x) < 0 Λ q(x) < 0 x + 2 < o. V. x > 3 Como entre p(x) y q(x) hay una conjunción (Λ) se debe hacer intersección entre los int ervalos.> x q x p 108 P(x) > 0 Λ q(x) > 0 . Como ya se contemplaron las dos posibilidades.
el valor de x que s 3. Se recomienda aprender los dos. la solución será los intervalos positivos del producto. Se agrupan los dos resultados y se hace producto de signos. punto critico x = – 2. entonces: Para el numerador: x + 2 = 0. punto crítico x = 3. ¡ ¡ ¡ ¡ hace cero la expresión e . ( ∞ − ∪ − −∞ Los dos métodos son interesantes. 2 ( ) 3 .Solución Total : ) . Cualquier valor mayor de – 2 hace positiva la expresión (x + 2) y cualquier valor menor de 2 hace negativa dicha expresión. el valor de x que hace cero la expresión es 2. aunque el segundo es algo más corto. Para el denominador: x + 3 = 0. es decir: ) . 2 ( ) 3 . ( ∞ − ∪ − −∞ 109 Gráficamente : Método de Diagrama de Signos: 0 3 2 > + + x x Llamemos p(x) = x + 2 y q(x) = x + 3. Se hace la recta real con este análisis. Como la fracción debe ser mayor que cero.
luego la solución es vacía. { } φ Segunda posibilidad: p(x) < 0 y q(x) > 0 Reemplazando: 3x – 12 < 0. x < 4 ¡ 2x + 6 < 0. Método de Conectivos Lógicos: Como la fracción es menor que cero se pueden presentar dos posibilidades: p(x) > 0 y q(x) < 0 o p(x) < 0 y q(x) > 0 Primera posibilidad: p(x) > 0 y q(x) < 0 Reemplazamos 3x – 12 > 0.Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 0 6 2 12 3 < + − x x 110 Solución: Para que la fracción sea negativa. se requiere que uno término sea negativo y el otr os positivo y viceversa. x > 4 Como entre p(x) y q(x) hay una conjunción (Λ) se debe hacer intersección entre los int ervalos. x < 3 . Se observa que NO hay elementos comunes.
111 Hacemos la intersección de los intervalos: La solución total será: { } ( ) ) 4 . Recor demos que para este caso. para hacer la comparación. 3 − = − ∪ φ Cualquier valor del intervalo ( 3. 4) satisface la desigualdad propuesta. 3 ( 4 . Ejemplo 3: Resolver la inecuación: 2 1 2 4 < − + x x Solución: Antes de aplicar cualquiera de los métodos descritos. los extremos NO se incluyen en la solución. ( ) ( ) 0 1 2 1 2 2 4 0 2 1 2 4 2 1 2 4 < − − − + ⇉⇉ < − − + ⇉⇉ < − + x x x x ¡ ¡ 2x + 6 > 0. x > 3 . se debe transformar la expre sión de tal forma que el segundo término sea cero.
hacen la expresión negativa y todos los valores menores que x = 2 la hacen positiva. Punto crítico (2). 112 Al hacer el producto de los intervalos se obtiene la siguiente grafica: . Todos los valores mayores que x = 2. Todos los valores mayores que ½ hacen la expres ión positiva y los valores menores que ½ la hacen negativa. Método de Diagrama de Signos: 6 – 3x = 0. x = 2. 2x – 1 = 0.x x x Operando y simplificando: ( ) ( ) 0 1 2 3 6 0 1 2 1 2 2 4 < − − ⇉⇉ < − − − + x x x x x Ahora si tenemos la fracción comparada con cero. por lo que se puede aplicar cualq uiera de los métodos analizados para este tipo de inecuaciones. x = ½ Punto crítico (½).
a ) x > 4 b ) x ≥ 3 c ) 5 > x ≤ 2 d ) 0 ≤ x ≤ 8 3. 4] b ) ( ∞. Dada a ) b ) c ) la desigualdad – 2 > 4. (−∞ b ) 6 2 3 x x + ≥ 12 ≥ x ) . temor que cero. es decir. Expresar las siguientes desigualdades como intervalos y hacer la grafica. 6) – [ 5] c ) [ 2. 113 EJERCICIOS Desarrollar los ejercicios. 2 2 1 . Expresar los siguientes intervalos como desigualdades. cual será la desigualdad obtenida si: Se suma 4 Se resta 10 Se multiplica por – 3 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . 12 [ c ) 7 5 3 2 3 < − ≤ ∞ Rta: ¡ ¡ 1. entonc es la solución serán los intervalos negativos. 4] – (0) 4. explicando cada paso.Como la desigualdad inicial debe ser negativa. Solución: ( ) ( ) ∞ ∪ − ∞ − . Resolver las siguientes inecuaciones. a ) 7 5 2 ≤ + x Rta: 1 ≤ x ] 1 . a ) ( 3. 2.
1 1 . Rta: . 6 [ 5. Resolver las siguientes inecuaciones racionales. 9 [ d ) x x 2 1 4 3 1 9 − ≥ + Rta: ∞ < ≤ − x 6 ) . a ) 0 2 3 4 ≥ + x Rta: 3 2 − > x b ) 0 1 1 < − + x x ( 3 7 7 > + R R 4 21 > R ) c ) ¡ ¡ ¡ ¡ ∞ − ( Rta: ) ∞ ∪ − ∞ − .x 19 9 Rta: < ≤ x ) 19 .
generalmente se subraya o sombrea. 3. otras. La línea obtenida divide el plano en dos semiplanos. para determinar en cual de ellos la desigualdad se hace ve rdadera. etc. pero si la desigua ldad no es estricta (≥. que puede ser una recta. y) en cada semiplano. Esto nos indica que solo en uno de ellos. Si la desig ualdad es estricta (>. Resolver una inecuación con dos incógnitas. El punto que hace verdadera la desigualdad incluye el semiplano qu e lo contiene. ≤). <) la línea límite se hace interrumpida ( ). by ax > + 2 . ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . luego dicho semiplano será la solución. para graficar. Dada la desigualdad 0 < + by ax . Siendo un real. Ejemplo 1: Resolver la desigualdad: y > 2. la inecuación es válida. los cuales deben satisfacer la inecuación. Solución: Primero hacemos y = 2. se expresa temporalmente como ig ualdad 0 = + by ax . con líneas interrumpidas. 2. Inicialmente se estudiarán las técnicas de resolución d e este tipo de inecuaciones para luego analizar algunas aplicaciones. se observa de color rojo en la ilustración. la línea será continua ( ). se sabe que esto corresponde a una recta horizontal. 1. que llamaremos R. una parábola. ya que la desi gualdad es estricta. para hacer una gráfica. es hallar un conjunto de puntos en el pl ano. Se expondrá una metodología general para resolver una inecuación con dos incógnitas. se prueba un punto (x.114 INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Las inecuaciones con dos variables pueden ser de la forma by ax < + .
En seguida expresamos y – 2x = 0 para graficar. la gráfica es una recta. lo que se expresa subrayado. satisface la desigualdad. entonces y = 4 (2. el que inicia en la recta interrumpida de color rojo hacia arriba. y – 2(0) = 0. (0. 4) Como se tienen dos puntos. Solución: Primero ajustamos la desigualdad: y – 2x ≥ 0. por los axiomas euclidianos. y – 2(2) = 0. 1) r que P esta en el semiplano superior y Q en el semiplano inferior. como corresponde a una ecuación de primer grado. entre los que se tiene aquel famoso que dice: “Por dos puntos solo pasa una y solo una recta” Esta será continua. Ejemplo 2: Dada la expresión.0 > + + c by ax 115 Reemplazamos dos puntos. 0) Para x = 2. Según la desigualdad dada. es decir. 1). 116 . entonces se toman dos puntos: Para x = 0. hallar el conjunto de punto en el plano que satisfaga la inecuación dada. ya que la desigualdad no es estricta. y Q(1. Se puede ve El conjunto solución será el semiplano superior. digamos P(3. El punto Q no satisface la desigualdad. y ≥ 2x. y > 0. entonces y = 0. el semiplano superior.
Cualquier punto de la parte rayada. reemplazando: 0 + 2 y – 2 = 0. y = 1. es solución de la inecuación. x = 0. luego el semiplano que contiene a dicho pu nto es la solución de la inecuación planteada. ya que P esta por encima del plano plaza dicho puntos en la inecuación: Para P( 2. entonces: 4 ≥ 2( Para Q(2. con dos puntos es suficiente para graficar. Tomemos por ejemplo x = 0 y x = 2. 2). 0) 117 ¡ Para identificar el semiplano de solución : P( 2. luego el punto: (2. 4): Como y ≥ 2 x. digamos y Q esta por debajo. 2): para la misma desigualdad: 2 reemplacemos dos puntos. 0 2 2 < − + y x Luego planteamos la ecuación temporal: 0 2 2 = − + y x Por ser una ecuación lineal. ≥ 2(2) Falso. Ejemplo 3: Determinar el conjunto solución de la desigualdad: 2 2 < + y x Solución: Llevamos la expresión a una comparación con cero.El punto P es solución de la inecuación. y = 0. reemplazando: 2 + 2 y 2 = 0. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . Si se reem 2) Verdadero. 4) y Q(2. luego el punto: (0. 1) x = 2.
veamos: x = 0. 2) Para Q ( 1. el punto (0. 2) x + y = < − + < − + − x + y > 2 y 2 x – y ≤ 4 ¡ ¡ . Falso. 2) y Q( 1. para identificar el conjunto de puntos solución. Tomemos los puntos: P(2. Para P (2.1) El conjunto solución contiene el punto Q. entonces y = 2. Primer Caso: x + y > 2.Ahora buscamos un punto por encima y por debajo del plano que esta separado por la recta. solo se debe tener presente que estén en la parte del plano corresp ondiente. 1) Es de aclarar que los puntos que s e toman son arbitrarios. la solución será la intersección de los dos casos. damos valores a x. Verdadero Ejemplo 4: Resolver el sistema: 0 2 ) 2 ( 2 2 0 2 ) 1 ( 2 1 118 Solución: Para este caso se debe hacer dos procesos uno para cada inecuación. Planteamos la ecuación temporal 2.
4) x = 2. luego: (0) + (0) > 2. el punto (2. el punto (0. Los puntos: Tomemos x = 0. luego: 2(0) – (0) ≤ 4. entonces y = 0.x = 2. Falso El semiplano solución debe contener al punto R(0. 2) y el punto Q(0. Falso. 2). los reemplazamos en la inecuación. Para P(2. 2): 2 x – y ≤ 4. Tomemos el punto P(2. 0). el punto (2. luego: 2(2) – ( 2) ≤ 4. Segundo Caso: 2 x – y ≤ 4. Verdadero Para Q(0. 0). luego: (2) + (2) > 2. entonces y = 4. El semiplano solución será el que contiene el punto P(2. La ecuación temporal 2 x – y = 4. La gráfica: 119 Tomemos los puntos: R(0. 0): x + y > 2. 2): x + y > 2. 0) ¡ ¡ ¡ ¡ . 0): 2 x – y ≤ 4. entonces y = 0. Verdadero S(2. 0) La gráfica será.
Ejemplo 5: Identificar el conjunto solución para la inecuación: 2 4 y x > + Solución: Se observa que corresponde a una expresión cuadrática: Entonces: 2 4 y x = + Reorganizándolo: . dicho semiplano satisface simultáneamente las dos inecuaciones planteadas en el ejemplo. esta indicando la intersección. Para x + y > 2: (2) + (4) > 2. una para cada inecuación. Que también es verdadero. éste debe hacer v erdaderas las dos desigualdades simultáneamente. Para 2 x – y ≤ 4: 2(2) – (4) ≤ 4. 120 La solución es la parte que presenta cuadrículas. El cruce de líneas en la siguiente gráfica. Lo cual es verdadero. en seguida se debe hallar la solución total. Si tomamos un punto cualquiera en dicho semiplano digamos (2.Como ya se tienen las dos soluciones. la cual será la intersección de las soluciones obtenidas. 4).
tomemos dos puntos un dentro y otro fuera de la curva. Verdadero. Ejemplo 6: Hallar la solución total para el sistema: 0 ≥ x . 121 Para Q( 2.4 2 = − x y . 1). 1): 2 2 ) 1 ( 4 ) 2 ( 4 > + ⇉⇉ > + y x . que en este caso es l a parte interna de la curva. 3) Para P(2. La grafica: Para encontrar el semiplano solución. P(2. La solución será el semiplano que contenga a el punto P(2. 3): 2 2 ) 3 ( 4 ) 2 ( 4 > + − ⇉⇉ > + y x . Falso. 0 ≥ y ¡ ¡ . 1) y Q( 2.
se aplica uno de los métodos propuestos. es decir. Para 0 ≥ x las líneas son rojas. Si se tiene la inecuación: 0 2 < + + c bx ax . 4 < +y x . Conectivos Lógicos: Dada una inecuación cualquiera. Con a ≠ 0. 6 2 ≤ −y x Solución: A continuación se dará la solución total. pero puede ser >. Cuando la inecuación este de esta manera. ≥. Para 0 ≥ y las líneas son verdes Para 4 < + y x las líneas son azules Para 6 2 ≤ − y x las líneas son cafés. 0 2 > + + c bx ax ó 0 2 < + + c bx ax se puede presenta los siguientes casos. y a sea conectivos lógicos o diagrama de signos. hacer el procedimient 122 INECUACIONES CUADRATICAS Las inecuaciones cuadráticas son de la forma 0 2 < + + c bx ax . ≤. . Lo primero que se debe hacer para resolver una inecuación cuadrática es llevarla a la comparación con cero y luego linealizarla. se puede transformar en un producto: 0 < β α x . expresarla como producto de dos factores lineales. lo que se puede hacer por factorización o por la fórmula cuadrática.. La resolución para este tipo de inecuaciones es similar al caso de las inecuaciones racionales lineales. por favor o con el grupo colaborativo y aclarar las dudas con el Tutor.
La solución depende del tipo de comparación: Si la inecuación c uadrática es mayor que cero. la solución serán los intervalos positivos. hay dos posibilidades: α > 0 Λ β > 0 V Negativo por negativo produce positivo Positivo por positivo produce positivo. 2. 0 < β α x Para que el producto de los dos factores sea negativo. la solución serán los intervalos negativos. hay dos posibilidades: Positivo por negativo produce negati vo V Negativo por positivo produce negativo. pero si es m enor que cero. 123 Diagrama de Signos: Por este método se toman los polinomios de los dos factores y se iden tifica cual valor hace que dichos polinomios sean cero. Se puede observar ersecan y las dos soluciones de 0 2 > + + c bx ax ) α > 0 Λ β ) α < 0 Λ β ) α > 0 ) α < 0 Λ Λ que cada posibilidad origina dos intervalos los cuales se int las dos posibilidades se une para obtener la solución total. Finalmente se aplica la ley de los signos para producto y se obtiene intervalos positivos y ne gativos para la inecuación. ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ > 0 < 0 β < 0 β > 0 . A cada pol inomio se le hace una recta real donde se ubica el valor crítico y se coloca sig nos positivos donde el polinomio es positivo y signos negativos donde el polinomio sea ne gativo. 0 > β α x Para que el producto de los dos factores sea positivo. a ese valor se le llama valor crítico.1.
Conectivos Lógicos: Se linealiza el trinomio cuadrado. x > 2 La intersección para esta posibilidad es el intervalo ( Solución total: ( 2. 3) 124 Diagrama de Signos: A partir de la inecuación dada y linealizada. ( )( ) 0 2 3 6 2 < + − = − − x x x x Como los factores deben ser menor que cero. ( )( ) 0 2 3 6 2 < + − = − − x x x x x – 3 = 0. x < 3 x + 2 > 0. x < 2 La intersección entre estos intervalos es vacío: (Φ) b ) x – 3 < 0. valor critico x = 3. 3) 2. x > 3 x + 2 < 0. iniciamos el proceso. las posibilidades son: a ) x – 3 > 0. ¡ La solución total será la unión de las dos soluciones obtenidas. este ejemplo se va a resolver por los dos método s. Cualquier valor mayor que 3 hará positiva la expresión y cualquier valor menor que 3 la hará negativa. (Φ) υ ( ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 2. 3) .Ejemplo 1: Resolver la inecuación: 0 6 2 < − − x x Solución: Para ilustrar los procedimientos.
6 ( 2 ) 2 . Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de la inecuación: 0 12 4 2 > − − x x Solución: Se va a utilizar los conectivos lógicos. 2. ( − −∞ ¡ ¡ x + 2 = 0. Cualquier valor mayor que 2 h ¡ ¡ ∞ . x > 2 Primera solución: La intersección de los intervalos es: b ) x – 6 < 0. entonces las posibilidades son: a ) x – 6 > 0. x < 6 Λ Segunda solución: La intersección de los intervalos es: La solución total: ¡ x + 2 < 0. x > 6 125 Λ x + 2 > 0. valor crítico x = ará positiva la expresión y viceversa. la solución será la parte negativa del producto. x < ¡ ¡ Solución: ( 2. ( )( ) 0 2 6 12 4 2 > + − = − − x x x x Como el producto de los factores debe ser positivo. 3) ) .Producto de signos: Así como la inecuación debe ser menor que cero.
x: Valor crítico x = 0. 0 4 ≤ − x x Ahora la linealizamos: 0 ) 1 )( 1 ( 0 ) 1 ( 2 3 ≤ + + − ⇉⇉ ≤ − x x x x x x Para cada término identificamos el punto crítico y los intervalos positivos y negati vos. Solución: Como pareja ordenada: [0. la sol ución incluye los extremos y será la parte negativa del intervalo obtenido. (por qué) El producto: 126 Como la inecuación no es estricta y debe ser menor que cero. x – 1: Valor crítico x = 1 x 2 + x + 1: No hay valor crítico.( ) ( ) ∞ ∪ − ∞ − . Ejemplo 3: Resolver la siguiente inecuación: x x ≤ 4 Solución: Diagrama de signos: Primero la comparamos con cero. 1] . 6 2 .
igual en el denominador. como es el caso de las inecuaciones mixtas o de grado tres o más. Cualquiera de los métodos es válido para desarrollar inecuaciones. ( )( ) ( ) 0 1 2 3 6 2 2 < − + − = − − − . tengan en el numerador polinomios de grado dos o más. también llamado técnica del cementerio por aquello d e las cruces.Como desigualdad: 1 0 ≤ ≤ x OBSERVACIÓN: Los ejemplos modelos que se han ilustrado. Ejemplo 1: Hallar el conjunto solución de la inecuación: 0 6 2 2 < − − − x x x x Solución: Como se ha venido trabajando. pero para muchos casos es más pertinente el diagrama de signos. muestran que las inecuacion es racionales y cuadráticas (también polinómicas) se pueden resolver por el método de los conectivos lógicos y del diagrama de signos. El camino de solución para este tipo de inecuaciones es el diagrama de signos por su facilidad y mejor manejo. lo primero es linealizar los términos. INECUACIONES MIXTAS: En este contexto se ha determinado que las inecuaciones mixtas sean aquellas qu e además de ser racionales.
valor crítico x = 2 x. 0 1 2 2 2 0 2 1 2 2 1 ¡ ¡ . valor critico x = 3 x + 2 = 0. entonces la solución serán los intervalos: ( 2. valor critico x = 0 x – 1 = 0. 0) U (1. 127 x – 3 = 0. entonces se procede a tomar cada término para ide ntificar el valor crítico. 3) Ejemplo 2: Resolver: 2 1 2 2 ≤ − − − x x x Solución: Primero se lleva la fracción a compararla con cero. valor crítico x = 1 Por la ley de los signos para producto.x x x x x x x x Como ya la tenemos linealizada. Como la fracción debe ser menor que cero.
2 2 2 2 ≤ − + − − − ⇉⇉ ≤ − − − − ⇉⇉ ≤ − − − x x x x x x x x x x Operando y simplificando: 0 1 3 0 1 2 2 2 2 2 ≤ − − ⇉⇉ ≤ − + − − − x x x x x x x Ahora se linealiza los términos de la fracción. ( ) 0 1 3 0 1 3 2 ≤ − − ⇉⇉ ≤ − − x x x x x x .
ya que cuando x = 1 la fracción se vuelve indeterminada. x. así su aplicación en cualquier contexto. valor crítico x = 0 x – 3. Solución: ] 3 . además. 1 ( ] 0 . por favor do y hacer los pasos requeridos en su resolución. valor crítico x = 1 Por la ley de los signos para producto. ( )( )( ) 0 4 1 2 < − − + ( ) ( ) ∞ ∪ − . 1. 4 1 .128 Se identifican los valores críticos. De la expresión original. se podrá comprender e interiorizar las inecuaciones. entonces la solución será los intervalos negativos del producto obtenido. 2 − . la desigualdad no es estricta. luego la solución pu ede incluir los extremos. se infiere que x ≠ 1. 129 EJERCICIOS Para los ejercicios propuestos. Se observa que la fracción debe ser menor o igual que cero. 12 2 2 2 < − x x ( Rta: ) 3 . teniendo en cuenta por supuesto la restricción identificada. ( ∪ −∞ En la medida que se estudien detalladamente los ejemplos modelos y se resuelvan los ejercicios propuestos. valor crítico x = 3 x – 1. 2 resolverlos con mucho cuida x x x Rta: 2.
1 1 1 5 2 − + > + + x x x x ( ) ( Rta: ) ( ) ∞ ∪ − ∪ − ∞ − . 0 3 2 2 3 ≥ − − x x x Rta: ) . . 1 [ ∞ ∪ − 5. 1 3 . ( ) 8 4 2 1 + > − x x Rta: ( ) 20 .− ∞ − 4.3. 2 3 x x > Rta: ∞ < < x 1 6. 3 [ ] 0 . 2 1 . 1 2 4 ≤ − + x x 2 < < ∞ − Rta: x 7.
Para el caso par ticular de las inecuaciones. ( 0 20 5 4 2 2 2 ≥ − + + − x x x x ) 3 ( )( ) + x Rta: ( ) ( ) ∞ ∪ ∪ − ∪ − ∞ − . como mínimo. una vez estudiados los principios y técnicas de s olución de inecuaciones. 2 ∪ − 9.8. ya que de esta mane ra. 9 ( 0 . por favor leer el problema las vec es que sea pertinente hasta que se comprenda completamente. 4 ) 4 . se podrá plantear el modelo adecuado y posteriormente su resolución. 3 [ ] 3 . ahora corresponde darle sentido de aplicabilidad a las mismas. es leer muy bien el problema hasta comprenderlo completamente. 0 2 2 2 ≤ + − x x x x ( Rta: ) ] 1 . como. 130 PROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA INCÓGNITA: En la vida diaria se presentan diversos problemas donde el camino ade cuado para la resolución son las inecuaciones. El primer paso para resolver problemas que involucran inecuaciones. etc. A lo más. lo cual ya sabemos hac . Para la inmersión en problemas de inecuaciones. En seguida plantear el modelo matemátic o que expresa con simbología matemática las especificidades del mismo. que son los que dan las condiciones para plantear las condiciones de comparación. es pertinente tener claro algunos términos usados para compa rar. 5 ( 5 .
Solución: Para que no haya perdida ni ganancia. solo se tendrá en cuenta la parte positiva. P = 0. luego la can tidad mínima para obtener ganancia será de 15 unidades. valor crítico x = 15. x – 15 = 0. Ejemplo 1: La función utilidad al vender x unidades esta dada por el modelo: P = x 2 + 7x – 120. 82. La solución: presenta un intervalo negativo y otro positivo. Faltando el examen. Utilicemos diagrama de signos. ¿Cuál debe ser la nota mínima en el examen para que el estudiante apruebe el curso? Solución: Según las condiciones del problema. 131 Ejemplo 2: En una clase de Matemáticas un estudiante obtuvo las notas en sus primeras 4 evalu aciones de 60. 0 120 7 2 > − + x x Linealizando: ( )( ) 0 15 8 el mínimo de unidades para q > − + x x Recordemos que se puede resolver por los conectivos lógicos o por diagr ama de signos. 80. valor crítico x = 8 Producto: . el promedio será: 5 ¡ x + 8 = 0. Para obtener una calificación d e aprobatoria el promedio de las 5 notas debe ser igual o mayor a 80 y menor que 95. 78. es obvio que por las características del problema. luego ue haya ganancia debe ser tal que P > 0.er. ¿cual será el mínimo de unidades vendidas para que se presente ganancia.
la renta obtenida por venta de x unidades es de 450 x. Ejemplo 3: En la fabricación de equipos para calentamiento. 95 5 82 78 80 60 80 < + + + + ≤ x Iniciamos la resolución. ¿Cuántos equipos mínimo se deben fabricar para obtener utilidad? Solución: La utilidad se mide así: Ingresos – Egresos > 0. 0 ) 750 200 ( 450 > + − x x . 175 100 300 475 300 300 300 400 < ≤ ⇉⇉ − < + − ≤ − El estudiante debe obtener mínimo 100 puntos para aprobar el curso. Operando: 750 750 750 250 0 750 250 > + − ⇉⇉ > − x x 750 250 750 750 750 250 Despejando la incógnita: x = 750 / 250 = 3. El mínimo de unidades que se debe fabricar es de 3 equipos para obtener ganancia. La distancia y de la pelota al suelo después de de t segundos esta dada por: 2 16 80 t t y − = ¿En qué intervalo de tiempo la pelota estará a más de 96 metros de altura? > ⇉⇉ > + − x x Luego: . 132 Ejemplo 4: Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 m/seg. El costo de producción para x equipos es 200x + 750. 95 ) 5 ( 5 ) 82 78 80 60 ( 5 ) 5 ( 80 < + + + + ≤ x 475 300 400 < + ≤ x x x Eliminamos 300 que acompaña a la incógnita.82 78 80 60 x + + + + El promedio debe estar entre 80 y 95. eliminando el 5 del denominador de la fracción.
3). entonces: 96 16 80 2 > − t t Organizando la expresión para compararla con cero. Cambiamos de signo para que la incógnita al cuadrado quede positiva ya sí poder linealizar más fácil. t < 2 V Como la expre (t – 3 < 0 Λ t – 2 > 0) Para este caso NO hay solución. t < 3 Λ t – 2 > 0. utilizando la factorización. 0 96 80 16 2 < + − t t Ahora dividimos por 16 para que la expresión quede más sencilla. ya que no se presenta elementos comune s entre los dos intervalos. entonces las dos posibilidades serán: (t – 3 > 0 Λ t – 2 < 0) Comencemos con la primera posibilidad. 0 96 16 80 2 > − − t t . sión debe ser menor que cero. La solución total será la unión de las soluciones obtenidas: (Φ) U (2.Solución: Como 2 16 80 t t y − = y además y > 96. utilicemos los conectivos lógicos. Ahora linealizamos la expresión. así la solución: (Φ) Segunda posibilidad: t – 3 < 0. t > 3 Λ t – 2 < 0. ( )( ) 0 2 3 0 6 5 2 < − − ⇉⇉ < + − t t t t La resolver la última desigualad. t – 3 > 0. 3) = (2. t > 2 Para este caso la solución esta en el intervalo (2. 3). 0 6 5 16 0 16 96 80 16 2 2 < + − ⇉⇉ < + − t t t t . que son los elementos com unes a los dos intervalos. .
¿Cuál será el intervalo de temperatura que se considera anormal? Rta: x ≤ 35 0 C y x > 37 0 C. para que sean resueltos adecuadamente. se tiene la relación: P V = 200. ¿En qué intervalo de tiempo el objeto estará por encima de 592. para un gas específico a temperatura c onstante. donde h se da en metros y t en segundos. 5. Según la Ley de Boyle. La función ingreso por venta de un producto esta dado por la expresión . si una temperatura x difiere a la normal al menos en 2 0 C. 133 EJERCICIOS Leer cuidadosamente cada problema. ¿ En qué intervalo se desplaza la presión. Para P presión en psi y V volumen en plg 3 . la pelota estará a más de 96 metros de altura entre los 2 y 3 segundos. ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener utilidad. El cuerpo humano tiene una temperatura normal de 37 0 C. se considera anormal. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba. 9 2 + − = .Volviendo al problema planteado. cuya función altura est a dada por la expresión: t t h 147 8 . 1. El costo de producción de x unidades de un producto esta dado por la expresión: x x C 6 2 + = . la utilidad por concepto de ventas esta dada por x x U + = 2 2 . Rta: x > 5 2.2 metros? Rta: 6 < t < 9 3. si el volumen se encuentra entre 25 y 50 plg 3 ? Rta: 4 ≤ P ≤ 8 4.
entonces: x + y = 80. 0). En este aspecto.3 5 1 40 x x − . luego plantear el modelo m atemático a través de una inecuación. es decir. se requieren varias situaciones. Línea roja y ≥ 12. Tener tres veces artículo tipo A. 80). 3 y: Tres veces artículo tipo A que de B. el espacio permite tener máxi mo 80 artículos exhibidos. entonces: x = 36. ya que lo demás se conoce. Plantear el sistema que describe la situación y describir la región solución del fenómeno. Los puntos: (0. en seguida resolver la inecuación planeada. entonces: x – 3y = 0. El costo de producción de una unidad es de $28. se debe tener al menos 12 artículos tipo B. Línea café x + y ≤ 80. ¿Cuántas unidades se deben vender para que la utilidad sea de $100? Rta: 10 < x < 50 134 PROBLEMAS CON INECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS Para resolver problemas que involucran inecuaciones. Solución: Sea x ≥ y ≥ x ≥ x + x cantidad de artículos tipo A y sea y cantidad de artículos tipo B. Es una recta vertical. 12: Tener al menos 12 artículos tipo B 36. 2). Línea azul x ≥ 36. a demás. Es una recta horizontal. x ≥ 3 y. Ejemplo 1: Un Almacén vende dos clases de artículos tipo A y tipo B. . finalmente anali zar los resultados para dar las conclusiones al problema dado. entonces: y = 12. la inecuación que explica el fenómeno a an alizar. y ≤ 80. primero leer muy bien el problema para comprenderlo. Planteamos las ecuaciones temporales para graficar. las condici ones del almacén establecen que se debe tener al menos tres veces artículos tipo A que de tipo B. 0) Línea verde. (6. Los puntos: (0. Capacidad máxima de exhibición. se diría q ue lo nuevo es el planteamiento del modelo. (80.
135 Ejemplo 2: La compañía π desea comparar cable tipo AA y tipo BB para instalaciones telefónicas.200 Valor máximo de compra c) y ≥ 2 x. Requerimientos de cable. La compañía r equiere al menos 2 veces más de cable tipo BB que de tipo AA. El valor de la unidad de cable tipo AA es de 400 mil y de tipo BB de 300 mil pesos.200 millones de pesos.La parte sombreada será la región de solución del sistema. Solución para el caso a: Solución para el caso b: . ¿Cuál será la zona de solución del sistema e identificar al menos dos posibilidades de compra? Solución: Sea x cable tipo AA Sea y cable tipo BB Según el problema: a) 400 x + 300 y ≥ 600 Valor mínimo de compra b) 400 x + 300 y ≤ 1. par a esto cuenta con un capital que oscila entre 600 y 1.
136 Solución para el caso c:
La solución al problema será la intersección de las soluciones obtenidas, mostrada en la zona sombreada.
Dos posibles soluciones: Punto: (1, 2) puede ser una solución. Punto: (1/2, 3) también puede ser solución. 137 EJERCICIOS Resolver los siguientes sistemas gráficamente. 1. 3 x + y < 3 2. y – x < 0 y y 4 – y < 2 x 2 x + 5 y < 10
3. x ≥ 1,
y ≥ 2,
x + 3 y ≤ 19,
3 x + 2 y ≤ 22
Leer cuidadosamente los siguientes problemas, plantear el sistema y resolverlo g ráficamente. 4. Un negociante de finca raíz vende casas y apartamentos, por la demanda se debe tener al menos tres veces más casas que apartamentos. Se debe tener disponible al menos 6 c asas y 2 apartamentos para su ocupación. Las casas cuestan 30 millones y los apartamentos 20 millones. El comerciante desea mantener sus costos de inventario en 600 millones o menos. Elaborar un sistema que explique el fenómeno y hallar la región solución. 5. Una refinería de petróleo puede producir hasta 5.000 barriles por día, el petróleo es de tipo A y B, del tipo A se deben producir por día al menos 1.000 y a lo más 3.500 barriles . Si hay una utilidad de 7 dólares para tipo A y 3 dólares para tipo B ¿Cuál será la utilidad máxima por día. Rta: Tipo A 3.500 y tipo B 1.500 6. La empresa Sport fabrica dos tipos de balones para fútbol, el model o pie duro da una utilidad de 20 mil pesos y el modelo pie blando de 13.00 pesos. Para satisface r la demanda la empresa debe producir diariamente del modelo pie duro entre 20 y 100 inclusi ve, mientras que del modelo pie blando entre 10 y 70 inclusive. Por las condiciones de la fábr ica el total de producción diaria debe ser máxima de 150 unidades. ¿Cuántos balones de ca da tipo se deben fabricar en un día para obtener máxima utilidad? Rta: 100 balones pie duro y 50 pie blando.
138 ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO El valor absoluto como todos sabemos, es una figura matemática creada p ara relacionar un valor con una distancia. Aunque en los cursos básicos de matemáticas se analiza este concepto, es pertinente aclarar algunos aspectos al respecto. Valor Absoluto: Sea x un número real cualquiera, el valor absoluto simbolizado x se defina así:
\ | < = > = 0 0 0 x x x x
0 si x si si x
La definición es explicita y nos indica que el valor absoluto de un número positivo es positivo, pero si el número es negativo, su valor absoluto es negativo. Como consecuencia d e esto, el valor absoluto de cualquier número siempre será positivo, excepto cero. Algunas propiedades que son importantes en valor absoluto: 1. y x y x * * 2. y x y x = 3. n n x x =
Ejemplo: Hallar el valor absoluto de las siguientes cantidades. π π − − − 2 5 10
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ . Con este principio se pueden resolver ecuaciones con valor absoluto. entonces: x = 8 + 3 = 11 x – 3 = 8. Para el último término. Para todo x ≠ 0. entonces su val or absoluto será negativo. hagámoslo con 5. x = a. luego su valor absoluto será negativo. 140 La comprobación puede verificar la solución. luego su valor absoluto será negativo. Ejemplo 1: Hallar la solución de la siguiente ecuación: 8 3 = − x Solución: Por la definición: x – 3 = 8. el valor es positivo. dos es menor que π así la cantidad será negativa. Para el tercer caso. entonces: x = 8 + 3 = 5 La solución será: 5 y 11. el valor es negativo.v. luego su valor absoluto será positivo. como e es menor que π la cantidad será negativa. 0 = + b ax Sea a x = Entonces x = a . aho ra se hará una combinación de los dos términos para analizar ecuaciones con valor absoluto. Para el segundo caso. Veamos: 2 ) 2 ) ( 5 ) 5 10 10 − = − − = − = − − = π π π π π π ( 2 ( 5 − = − − = − = − e e e ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Conocidos los principios sobre ecuaciones y sobre valor absoluto.139 Solución: Para el primer caso.
situación qu e ocurre con las ecuaciones de primer grado con valor absoluto.8 ) 8 ( 8 3 5 Ejemplo 2: Resolver: 12 4 8 2 = − x Solución: = − − = − = − − Aplicamos la definición: 12 4 8 2 12 4 8 2 − = − = − x v x Resolviendo: 48 8 2 48 8 2 − = − = − x v x Despejando la incógnita. Por favor verificar las soluciones obtenidas. En los ejemplos analizados se observa que se obtienen dos soluciones. 2 18 8 2 = − − x x ¡ La solución es . 8 48 2 8 48 2 + − = + = 20 2 40 28 2 56 − = − = = = x v x x v x 20 y 28. Ejemplo 3: Hallar la solución para la ecuación dada a continuación.
2 . Por la regla del producto nulo: x = 10 y x = 2 b) 0 16 8 2 18 8 2 2 = − − ⇉⇉ − = − − x x x x . 2 4 4 .Solución: Siguiendo el mismo camino que se ha utilizado: a) 0 20 8 2 18 8 2 2 = − − ⇉⇉ = − − x x x x Factorizamos: ( )( ) 0 2 10 20 8 2 = + − = − − x x x x . Esta ecuación la resolvemos por la cuadrática: 141 2 64 64 8 ) 1 ( 2 ) 16 )( 1 ( 4 ) 8 ( ) 8 ( 16 8 2 2 + = − − − − − = ⇉⇉ − − x x x 2 4 4 2 2 8 8 2 2 * 64 8 2 64 64 8 = = = + = x Solución: 2 4 4 + y 2 4 4 − La solución total será: 2 4 4 . 10 − + − Ejemplo 4: Resolver: x x 3 4 2 = − Solución: ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ .
La resolución de inecuaciones con valor absoluto parte de las siguientes definicio nes: Primera definición: Sea a x 0 < + b ax 142 Veámoslo gráficamente: Segunda Definición: Veámoslo gráficamente: Las definiciones de dieron para desigualdades estrictas. Ejemplo 1: Resolver: ¡ < Entonces: a < x < a ¡ Por la regla del producto nulo: x = 4 y x = 1 ¡ . ya que los incluye. los extremos serán cerrados. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: En la naturaleza existen muchos fenómenos que suceden bajo ciertos límites o mejor en un intervalo determinado. luego la solución es: 1 y 4. en la gráfica. pero aplica ta mbién para las no estrictas. Los valores negativos NO satisfacen la ecuación. Las inecuaciones con valor absoluto son un d ispositivo matemático que permiten resolver problemas de fenómenos que presentan dichas restricciones.a) ( )( ) 0 1 4 4 3 3 4 2 2 = + − = − − ⇉⇉ = − x x x x x x b) ( )( ) 0 1 4 4 3 3 4 2 2 = − + = − + ⇉⇉ − = − x x x x x x Por la regla del producto nulo: x = 4 y x = 1.
8 < x Solución: Por la primera definición. 10 2 2 6 4 6 6 2 6 4 4 6 2 4 ≤ ≤ ⇉⇉ + ≤ + − ≤ + − ⇉⇉ ≤ − ≤ − 5 1 2 10 2 2 2 2 10 2 2 x x ≤ ≤ ⇉⇉ ≤ ≤ ⇉⇉ ≤ ≤ ¡ x < a ó x > a x ¡ ¡ ¡ ¡ x x x . Veamos un caso: Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución para la siguiente expresión: 6 > x Solución: Por la segunda definición. a x 143 Ejemplo 3: Hallar la solución de la expresión: 4 6 2 ≤ − x Solución: Por la definición uno. 6 6 6 > − < ⇉⇉ > x v x x La solución será: ( ∞. ∞) Sea > Entonces: 5. 5 ) 5 ( 5 = − − = − obviamente 5 es menor que 8. 4 6 2 4 4 6 2 ≤ − ≤ − ⇉⇉ ≤ − x x Desarrollemos el procedimiento para desigualdades compuestas. 6) U (6. 8 8 8 < < − ⇉⇉ < x x Lo anterior significa que cualquier valor entre 8 y 8 satisface la desigualdad.
16) U (2. 6. 144 EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto. 7 < z 7. 1. Ejemplo 4: Mostrar que la solución de la expresión: 2 4 ≥ − x x es [8/3. 4) U (4. 8] Solución: or. 2 5 2 3 = + x Rta: x = 36 / 5 4. 1 = − q q Rta: q = 1 / 2 Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. 7) ¡ . 5 4 1 3. ∞) ¡ ¡ Rta: 7 < z < 7 ¡ ¡ ¡ 1 y y = 3/2 ¡ ¡ ( 7. 5 3 2 2.La solución será el intervalo [1. Notemos que es cerrado ya que la solución incluye los extremos. 1 2 3 y x = 24 / 5 = + x Rta: x = = − y Rta: y = Resolverlo con el grupo colaborativo y cualquier duda consultar al tut 4 y x = 1 − = + x x Rta: x = 4 y x = 2 / 3 5. 5]. 3 3 7 > + y ¡ Rta: ( ∞.
México. El peso en gramos de llenado de un recipiente que contiene granos. 0 16 ≤ − P donde P es el peso. 1. FUNCIONES Y Gráficas. 2 1 2 > + − x x 10. Mc Graw Hill. 1. Mc Graw Hill. México. Rta: NO. Earl. Álgebra y trigonometría. Álgebra y Trigonometría. Editorial Iberoamericana.978 _____ Precalculo.978 SWOKOSKI. 0 7 2 9. USA 1997 KEDDY. Raymond.999 LEITHOLD. Álgebra y Trigonometría. Álgebra y Trigonometría.8. 31/5) . debe c umplir con la siguiente condición 1 05 . . 1) (29/5.972 STANLEY Smith. Se toma un tarro y al pesarlo éste fue de 17 gramos. Florence. con Geometría Analítica.992 LOVAGLIA. Louis. Álgebra. 1. con Geometría Analítica. esta fuera del rango. 145 BIBLIOGRAFÍA BARNET. Álgebra y Trigonometría. BITTINGER. Reverte. Grupo Editorial ¡ ¡ ¡ ¡ Rta: 4 < x < 1 ( 4. Fondo Educativo Interamericano. México. 10 1 3 2 1 < − x ≤ − w Rta: w = 7 / 2 Rta: 29 / 5 < x < 31 / 5 11. El tarro cumple con las especificaciones de peso. Oxford. 1.
México. Precalculus.980 HENGEN. Wade. Scott Foresman and Company. 10 o Edición. 1997 GUSTAFSON. Álgebra Intermedia. 2002 JOHNSON. Bogotá Colombia. Precálculo. Dennis y DEWAR.966 TAYLOR. México. Precálculo. 1. Fundamental Mathematical Structures. México D. Trillas. 1. Arnold. Limusa. Álgebra y Trigonometría con Aplicaciones. Mc Graw Hill.994 ZILL. 3 o Edición. 2 o Edición. Matemáticas Básicas. 1997 STEWART. Henry. David. 1. Reverte. Oa ley. Thomson Learning.981 SULLIVAN. 000 146 . WATSON. Thomson Learning. Janes. Pearson Education. Mc Graw Hill. International Thomson Editores. Álgebra y Trigonometría. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Jacqueline. 1. Jeffery. Michael.982 MUNEM y YIZZE. Earl y COLE.Iberoamericano. 1. Murphu y STEFFENSEN. Saleem. 1. F. Bogotá Colombia. REDLIN Lothar.981 ALLENDOELFER. 2. México. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México. 2001 SWOKOSWKI.
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