Source: http://www.freelem.com/eurocode/eurocode3/instabilite.htm
Timestamp: 2020-01-22 18:09:32+00:00

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Freelem - Eurocode 3 - Instabilité
Un bref descriptif des phénomènes d'instabilité (flambement, déversement, voilement) a été effectué dans la section Tutoriel>Analyse>Contraintes.
Cette section est axée sur les calculs suivant Eurocode 3 :
flambement simple sous l'effet d'une compression pure
déversement simple sous l'effet d'une flexion pure
flambement et déversement sous l'effet d'une compression et d'une flexion
De manière générale, les instabilités élastiques constituent un danger de premier ordre pour les constructions métalliques. L'Eurocode 3 permet de les appréhender plus finement que les codes précédents, notamment à travers la notion de classes de profilés. Les profilés les plus sensibles, définis en classe 4, sont à cet effet soumis à des vérifications minutieuses et pointues.
Flambement simple (compression pure)
On étudie ici le flambement par flexion d'une barre simplement comprimée (pas de sollicitation en flexion simultanée).
Pour calculer l'effort maximal admissible, il est nécessaire de connaître :
les caractéristiques de la section (aire A, inerties de flexion I)
les propriétés du matériau (module d'Young E et limite élastique fy)
les conditions limites qui permettent de déduire la longueur de flambement Lcr.
L'inéquation à vérifier s'écrit : selon §6.3.1.1 (6.47) et (6.48) NF EN 1993-1-1 de octobre 2005
N effort normal de compression
donné par abaque en fonction de la courbe de flambement et de l'élancement réduit
coefficient des sections transversales
βA = 1 pour les sections de classes 1 à 3
βA = Aeff/A pour les sections de classe 4 (Aeff = aire efficace)
section brute (section calculée avec les dimensions nominales sans déduction des trous éventuels)
cf caractéristiques de la section étudiée
fy limite élastique
suivant matériau étudié
facteur partiel de sécurité en instabilité élastique
γM1 = 1 selon §6.1 note 2B
Détermination du coefficient de réduction χ
(figure 6.4 de l'EN 1993-1-1 octobre 2005)
Il faut donc connaître l'élancement réduit qui se définit par la formule suivante :
Pour rappel, la longueur de flambement se déduit de la longueur de l'élément étudié et des conditions limites :
Pour d'autres cas de figures de fixations (liaisons élastiques notamment), cliquer (tiré de l'ouvrage de Jean Morel).
Enfin, pour lire le coefficient de réduction χ, il est nécessaire de connaître la courbe à lire (a0, a, b, c ou d). Il faut alors se référer au tableau 6.2 de l'Eurocode EN 1993-1-1 pour le savoir. Pour les cornières (L), il s'agit de la courbe b. Pour les U, les T et sections pleines (ronds ou rectangulaires), il s'agit de la courbe c. Pour les profilés en H ou I, cela dépend du matériau, de la géométrie de la section (hauteur, largeur et épaisseur des ailes) et enfin de l'axe de flambement (y-y ou z-z).
(tableau valable pour les matériaux S235, S275, S355 et S420, issu du tableau 6.2 de l'Eurocode NF EN 1993-1-1 de octobre 2005)
Le flambement peut ne pas être calculé si est inférieur ou égal à 0.2.
Ci-dessous une petite programmation javascript vous permettant de déterminer l'effort maximal de compression avant flambement simple suivant Eurocode 3. Certaines valeurs classiques ont été pré-remplies. Il est nécessaire de définir entre autres la section, l'inertie (flambement en inertie minimale), et la longueur.
(programmation avec coefficient partiel γM1 = 1.1)
Rotulé-Rotulé Encastré-Encastré Encastré-Rotulé Encastré-Libre
Courbe a0 Courbe a Courbe b Courbe c Courbe d
E= MPa fy= MPa βA=
A= cm² I= cm4 L= mm
Ncr (compression maximale avant flambement) =
Exemple d'application 1 : flambement d'un IPE450 bi-rotulé de 6mètres (matériau standard --> valeurs par défaut OK).
Si vous avez rentré correctement les paramètres, vous devez trouver un effort critique de 684 kN (684 000 N).
Exemple d'application 2 : flambement d'un HEB 200 bi-encastré de 8 mètres (matériau standard --> valeurs par défaut OK).
Si vous avez rentré correctement les paramètres, vous devez trouver un effort critique de 1 061 kN.
Déversement simple (flexion pure)
Le déversement se produit par rapport à l'axe d'inertie forte. Une barre ne se déverse pas si le moment maximal M qu'elle encaisse est inférieur à :
(selon §6.3.2.1 (6.55) NF EN 1993-1-1 de octobre 2005)
M moment de flexion
coefficient de réduction spécifique déversement
coefficient dépendant de la classe de la section
βW = 1 pour les sections de classes 1 et 2
βW = Wel,y / Wpl,y pour les sections de classe 3
βW = Weff,y / Wpl,y pour les sections de classe 4
Weff,y
modules de flexion plastique, élastique, efficace
Détermination du coefficient de réduction χLT
Ce coefficient se lit sur les mêmes courbes que celles du flambement (cf flambement simple). Dans le cas général de déversement (§6.3.2.2), on utilise le tableau 6.4 :
A noter l'alternative §6.3.2.3 pour les profils laminés, avec utilisation du facteur de correction kc (permettant d'augmenter le coefficient de réduction).
Il faut donc connaître l'élancement réduit pour le déversement qui se définit par la formule suivante :
Mcr est le moment critique de déversement élastique, calculé quelle que soit la classe de la section à partir de la section brute. Pour les sections de classe 4, on considère une inertie de torsion nulle It = 0.
Le moment critique de déversement s'écrit :
C1, C2, C3 dépendent des conditions de charge et d'encastrement, et sont disponibles dans des tableaux.
k et kw sont des facteurs de longueur effective (0.5 pour une fixation parfaite, 0.7 pour encastrée/appuyée et 1 pour des appuis simples). On prend généralement 1 pour kw.
zg est l'excentrement entre le point d'application de la charge et le centre de cisaillement (positif si action des charges vers le centre de cisaillement). Si zg est positif (action vers centre de cisaillement), il a un effet déstabilisant donc le moment critique diminue. Dans le cas contraire, l'effet est stabilisant (effet de redressement).
Iw est le facteur de gauchissement. Iz est l'inertie de flexion faible. It est l'inertie de torsion.
L est la longueur de la poutre entre des points latéralement maintenus.
Ca fait un peu peur, mais on peut simplifier cette expression la plupart du temps. Par exemple, pour un profilé doublement symétrique (I ou H par exemple --> zj = 0), avec chargements par moments (C2=0) ou charges transversales appliquées au centre de cisaillement (zg = 0), et k = kw = 1 (pas d'encastrement aux extrémités), le moment critique de déversement devient :
Pour calculer C1 et C2, en supposant k = kw = 1 :
Moments d'extrémités
( §3.2 NF EN 1993-1-1/NA de mai 2007)
( §3.3 NF EN 1993-1-1/NA de mai 2007)
Moments d'extrémité et charge uniformément répartie (barre supposée sur appuis simples)
( §3.4 NF EN 1993-1-1/NA de mai 2007)
On définit avec μ >0 si M et q font fléchir la poutre dans le même sens et μ <0 sinon
cf courbes
Le déversement peut ne pas être calculé si est inférieur ou égal à 0.4.
Ci-dessous une petite programmation javascript vous permettant de déterminer le moment de flexion de résistance au déversement simple suivant Eurocode 3 (programmation avec coefficient partiel γM1 = 1.1).
Moments aux extrémités Charge linéique sur barre bi-appuyée Charge linéique sur barre bi-encastrée Charge nodale sur barre bi-appuyée Charge nodale sur barre bi-encastrée
Ψ = (0 si moment non nul à une extrémité et nul sur l'autre)
Courbe a Courbe c
E= MPa G= MPa fy= MPa βw= L= mm
Iz = cm4 It = cm4 Iw = cm6 Wply = cm3 zg = mm k =
Mb,Rd (moment de résistance au déversement) =
Exemple d'application 1 : déversement d'un IPE450 bi-rotulé de 6mètres, avec chargement en une extrémité par moment (matériau standard --> valeurs par défaut OK).
Si vous avez rentré correctement les paramètres, vous devez trouver un moment critique de 277 kN.m.
Exemple d'application 2 : déversement d'un PRS de classe 3 bi-rotulé de 40mètres, avec chargement linéique sur toute sa longueur (son propre poids).
Caractéristiques : Iz = 42 707 cm4, It = 1 867cm4, Iw = 227 600 000 cm6, Wely = 27 515 cm3, Wply = 30 920 cm3.
Si vous avez rentré correctement les paramètres, vous devez trouver un moment critique de 842 kN.m.
Exemple d'application 3 : déversement d'un HEA400 bi-encastré de 6mètres. C1 = 0.938 et C2 = 0.715
Si vous avez rentré correctement les paramètres, vous devez trouver un moment critique de 505 kN.m.
Exemple d'application 4 : déversement d'un IPE600 bi-encastré de 15mètres, chargé par des pannes et une couverture, le tout étant soumis au soulèvement par le vent. C1 = 0.712 et C2 = 0.652
Si vous avez rentré correctement les paramètres, vous devez trouver un moment critique de 379 kN.m.
Nota : on considère des charges excentrées zg = -300mm.
Sous l'effet d'une compression et d'une flexion simultanée, 2 inéquations combinées sont à respecter, suivant la classe (1, 2, 3 ou 4) de la section considérée (§6.3.3).
Les facteurs d'interaction kyy, kyz, kzy et kzz peuvent être calculés d'après l'annexe A de la NF EN 1993-1-1 oct 2005 (plutôt pénibles à calculer...).
On voit d'après ce tableau que dans le cas des classes de section 4, il existe des moments supplémentaires, induits par les décalages du centre de gravité de la section efficace par rapport à celui de la section brute, couplés à l'effort axial.
Le voilement est un peu aux plaques ce que le flambement est aux poutres (le voilement est néanmoins moins brutal et moins dangereux).
Les profilés normalisés ne sont pratiquement pas concernés par le voilement. En revanche, l'âme des profilés reconstitués soudés (PRS) est souvent à étudier.
La résistance au voilement par cisaillement doit être vérifiée si :
pour des âmes sans raidisseurs (exceptés ceux sur appuis)
pour des âmes comportant des raidisseurs transversaux intermédiaires
(kto étant le coefficient de voilement par cisaillement, défini dans l'annexe A.3 de l'Eurocode NF EN 1993-1-5)
Deux méthodes de calcul sont possibles, non explicitées dans cette page : la méthode post-critique simple et la méthode du champ diagonal de traction.
Il est nécessaire par ailleurs de vérifier les raidisseurs intermédiaires.

References: §6
 §6
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 §3
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