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Timestamp: 2019-01-20 09:59:34+00:00

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LOS PROBLEMAS DE MÁXIMOS
Y MINIMOS
V= 1 a h
La figura muestra a la izquierda una hoja de cartón a la que se le acortan
cuadrados iguales en cada esquina y se dobla para formar una caja sin tapa,
como lo muestra el dibujo de la derecha. ¿ de que tamaño deben ser los
cuadrados que se quitan para que la caja tengan el máximo volumen posible?
antes de que revises el contenido de esta unidad , es muy importante de que conozcas: que
aprenderás y para que aprenderás.
Métodos del precalculo para aproximarte a la solución de los problemas de
Conceptos de función, dominio, rango, así como un método aritmético geométrico
para graficar funciones.
Utilizar la computadora para resolver máximos y mínimos.
¿cómo lo lograras?
Resolviendo problemas de la vida cotidiana en los que realizaras en equipo un
trabajo sistemático, y ordenado, que tiene dos momentos: en el primero, tu equipo
trabajara para proponer sus ideas y alternativas de solución a los problemas
planteados; después, en un segundo momento, en el grupo cada equipo expondrá sus
resultados y argumentara sobre como los obtuvieron.
 Como producto de este trabajo se llegara a la solución de los problemas. También
utilizaras la computadora y la calculadora.
¿ para que aprenderás?
Para conocer la utilidad de la matemática en la resolución de problemas de
máximos y mínimos, así como para textualizar el concepto función. Además se
pretende que con esta forma de trabajo se cumplan los propósitos generales de
nuestro bachillerato, como son:
Desarrollar tu creatividad y tu habilidad para resolver problemas y que aprendas
Aprender a escuchar con propiedad a tus compañeros y desarrollar tu habilidad
para la lectura y comprensión, tu expresión oral y escrita, así como tu capacidad
para tu critica propocitiva y tu critica constructiva.
propiciar valores como tu autoestima, la valoración de tu trabajo, tenacidad, tu
sentido de responsabilidad, la solidaridad, la libertad y justicia.
Estos problemas que se reducen a obtener un efecto máximo ( máxima producción. 22 . complementado con los conceptos que le sirven de sustento: función.) se conocen con el nombre de problemas de optimización ( también se les llama problemas sobre máximos y mínimos o problemas sobre extremos). Los sistemas mecánicos.Arquímedes. Johann y Jacob Bernoulli. Tartagia. Tale problemas abundan en las distintas ramas de la ciencia y la tecnología. de reducir los gastos de producción. economizando no solamente materia prima sino también combustible. como la economía y la ingeniería. Por ejemplo.INTRODUCCIÓN Es muy común encontrarse en la vida con situaciones en las que es necesario tomar la mejor decisión posible. etc. al propagarse de un punto a otro en un medio heterogéneo. es decir. Torricelli. El método de calculo diferencial resulto ser una poderosa herramienta para la resolución de problemas de optimización de las mas variadas ramas de la ciencia y de la técnica. energía eléctrica. Leibniz y muchos otros. Fermat. la trayectoria de refracción es precisamente la que requiere el tiempo mínimo. y derivada. los líquidos y los gases. Para resolver estos problemas es indispensable elaborar un modelo matemático que se llama función del problema. gracias a las aportaciones que durante siglos hicieron ilustres sabios y científicos de todas las épocas como: Euclides . también proporciono una comprensión mas profunda de la naturaleza y de la leyes que la rigen. la luz. máxima resistencia. Apolonio. Newton.. Este método general. se comportan de un modo tal que su evolución minimiza o maximiza ciertas cantidades físicas. Al principio no hubo un enfoque único en la solución de problemas de optimización. Barrow. etc. por que pueden ser formuladas como problemas de optimización. la electricidad. tiempo y otros factores . limite. Fue hasta el siglo XVII cuando se creo un método general que permitió resolver problemas de máximos y mínimos de la mas diversa naturaleza. Heron. Fermat encontró que la refracción de la luz se explica por el hecho de que. se construyo en la rama del conocimiento matemático a la que se le ha dado el nombre ya clásico de calculo referencial. en la industria es frecuente enfrentar la exigencia de producir la mayor cantidad posible de dispositivos con las mínimas perdidas de material. o de fabricar piezas que sean lo mas resistentes posible y al mismo tiempo lo mas ligero que sea posible. la decisión optima. La experiencia ha mostrado que enfrentar situaciones de este tipo con ayuda de las matemáticas en la resolución de problemas de maximización empezó aproximadamente hace 25 siglos.
Pero el calificativo de elementales no es sinónimo de fáciles o de poco interesantes. y a cada uno le corresponde un método de solución y su respectiva teoría de la matemática. particular menta vertiginosa en el siglo xx. La necesidad de dar respuesta a tales problemas condujo a la creación de nuevas ramas de las matemática. En nuestro curso solo analizaremos el método de solución de los problemas elementales de optimización.La evolución paulatina de la ciencia y de la técnica. planteo toda una serie de nuevos problemas de optimización que. la programación lineal. pues abordaremos problemas importantes desde el punto de vista de su sentido practico y también en un cierto grado de complejidad. ESQUEMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD 1 Este esquema muestra lo que estudiaremos en esta unidad. el análisis convexo y la teoría de la dirección optima. su propósito es que tengas una idea general de los contenidos matemáticos que vamos a abordar en esta parte del curso. como el calculo variacional. Se pueden distinguir diferentes niveles sobrados de complejidad de los problemas de optimización. no se pudieron resolver con el método de calculo diferencial. a pesar de su aparente simplicidad. cuya teoría es el calculo diferencial. Resolverás problemas de máximos y mínimos Con la herramienta matemática del precalculo Estudiaras la estrategia de resolución De estos problemas En este contexto estudiaras las funciones 23 .
... cual es la mejor? ¿por qué? e) ¿son las únicas opciones posibles? ¿ cuantas mas existen? Para responder estas preguntas toma en cuenta lo siguiente : Como lo observaste en la actividad del inciso d).... Asegúrate de comprender lo que vas a hacer....... con la condición de que incluyas la información que se te proporciona en el problema....-El gallinero.......... a) con tu equipo lee el problema y anota lo que se te pide encontrar........................................ entonces b adquiere los siguientes valores: 1...RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MINIMOS CON EL PRECALCULO Actividades de aprendizaje 1....... pero esto le ha ocasionado una serie de problemas................. 1.2....... Ahora tomemos en cuenta que la base puede tomar valores numéricos que tengan decimos....... del 1 al 20..............4. 1...................... sus ahorros solo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de material para cercarlo.................... que vamos a llamar b.. b) Has un dibujo en el que representes el gallinero...................... 24 ..en equipo consulten con su maestro. Si existen dudas al respecto..... c) a continuación dibuja cuatro rectángulos distintos ( que simulen el gallinero) donde la longitud de la cerca sea de 50 metros.. significa que se puede hacer gallinero de 200 formas distintas. Consideremos que se le puede asignar a b el valor de 1 metro y después se le puede asignar cada entero consecutivo hasta llegar a 20 metros....... Recomendación: en tu cuaderno anota el problema y cada uno de sus incisos. puedes construir al menos cuatro gallineros: significa que existen al menos cuatro medidas para la base... con tu equipo elaboren la lista de información contenida en el enunciado del problema. Doña Josefa habitante de Ures..3........  coloca la base del gallinero paralela al lado del terreno de 20 metros.......1. hasta el 20..... ha creado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas............. 1............ por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa.....  Antes de hacer el dibujo....¿ que dimensiones deberá tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compro) para que este abarque la mayor área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas? ..... esto quiere decir que se pueden hacer gallineros de 20 formas distintas.. d) De estas opciones......... 1.................5........... Si el terreno donde desea construir es de 20 metros por 40 metros................ .....
Anota y ordena la información de los rectángulos en el cuadro 1. se pueden hacer 2000 gallineros .Si le asignamos a la base de valores que tengan centésimos del 1 al 20.2 para encontrar mejores aproximaciones. si es que las hay. Base (m) Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m) 25 . argumenta por que.¿cuál gallinero representa la mejor opción? h) de todos los posibles gallineros que existen. Y así sucesivamente.1. entonces se pueden hacer 20000 gallineros de formas distintas. También la base puede tomar valores numéricos que tengan milésimos. que se muestra a continuación.1 las tres mejores opciones. g) En las celdas del ultimo renglón del cuadro escribe las formulas que utilizaste para calcular altura. Si lo consideras necesario aumenta el numero de renglones que se proponen. existen muchas posibilidades de construir el gallinero. j) Utiliza el cuadro 1.¿ el que seleccionaste en la actividad anterior representa el mayor área posible? i) Si piensas que existe una mejor opción. largo del cerco y área. f) como ya te diste cuenta. Si hay casillas que no se puedan llenar con valores numéricos.1.¿ entre que valores de la base se encuentra? Para que tengas mas claridad de donde buscar colorea en el cuadro 1. Base (m) 5 8 10 14 18 20 25 30 b Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m2) g)de los valores que se enlistan en el cuadro 1. del 1 al 20.
a continuación encontraras una lectura para proporcionarte información del tipo de números que has manejado hasta aquí. por lo general esperas con facilidad que su solución se encuentre en los números enteros positivos.IV.2. El tipo de numero que se obtiene en la resolución de los problemas es variada: es decir.V...VII. 26 . el antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos: Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales..XI.IX. II.. Posteriormente coméntalas con tu grupo. IIIII. Lectura complementaria: números reales Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes de cada párrafo. III. IIIIII ...VI. Pero de la actividad del inciso e) se desprende que existen gallineros en números que no son enteros. IIIII.X. Para agrupar emplean un solo símbolo para representar alguna cantidades (IIIII viene e ser V) e introducen la convención de que IV denota “ uno antes que cinco”. IIIIII. en el estudio de las matemáticas a lo largo de tu carrera escolar. inicialmente su representación fue hecha por medio de marcas. agregando una marca por cada unidad adicional. Comentario Cuando resuelves un problema. Por esta razón. Posteriormente elabora un cuadro con mejores aproximaciones en los números con centésimos. IIII. no siempre es así. y parecen estar mas cerca del método de las marcas.. sin embargo. II.k) De los valores enlistados en el cuadro 1.. IIIIIIII. Algunos números romanos son: I. esto cambia si las marcas se agrupan como se muestra a continuación. tal y como se hace en algunos conteos: I.. En nuestro sistema numérico también. IIIIIII. la solución de un problema puede expresarse con números cuya escritura y operación son mucho mas complejas que los números enteros positivos.. por ejemplo: I. IIII. Los números naturales Son considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad.VIII. ¿cuál es la mejor opción? ¿es esta la mejor de todos los gallineros que existen? l) Hasta el momento podemos concluir cual es la mejor opción de números enteros. Elabora una tabla con mejores aproximaciones en los números con decimos. III. deja de ser conveniente.. intenta de esta manera representar el numero 68.. II.. Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números ..III. Si observamos este tipo de representación para ciertos valores.
Por ejemplo: 3.. la . para descartes eran “raíces falsas”. LOS NUMEROS ENTEROS Los números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales). 9. brillante estudioso de álgebra del siglo XIV. 27 . presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. Al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio. cero y enteros negativos ( naturales negativos). Los números romanos se construyen de una forma natural. 7. C. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.... cardano los llamo”ficticios”. como lo has estudiado en tus cursos de matemáticas anteriores: 1. con la condición de que el divisor no sea cero. En el primeros dos ejemplos de la lógica es clara.Zien se representan los números naturales. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin.c y por el alemán Michel Stifel.. y en sus trabajos para dibujar rectas tangentes a curvas de segundo grado. 29/100..c. y siempre se les rechazo por que se pensaba que no corresponderían a la solución de los problemas prácticos.. cuando se escriben de forma decimal. Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos. 6. LOS NUMEROS RACIONALES Un numero racional es aquel que se expresa como el cociente de dos números enteros.. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un numero. D. Por ejemplo. La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. 10.. con nuevos símbolos como V. empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas.. por lo menos.. puesto que se puede ver. que es igual en casi todos los sistemas.. aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar números positivos y negativos. 11. 4. 8. nuestro sistema decimal empieza con diez distintos símbolos abstractos y a excepción del uno.1/2.. La primera ventaja considerable de nuesto sistema la encontramos cuando encontramos números grandes. cada símbolo aparece por completo ajeno y sin relación con el numero que presenta..2 3. etc. estas la denunciaron de forma indirecta por que no usaban los signos + y -. En contraste. de cualquiera de los sistemas anteriores es mas razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal. mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica. En la antigua Grecia los pitagóricos (llamados así en el honor de su fundador Pitágoras) pensaban que todo se relacionaba con números enteros. los cuales se introducen cuando es necesario. Observaron que un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava. en el tercero la lógica consiste en una convención familiar que se pide prestado al alfabeto.. Se puede argumentar y con razón. 5. X. L. asociaron al 2 con el hombre. En este tipo de números aparecen los números negativos.. cierta lógica en la secuencia de los números. Fueron llamados absurdos por diofanto en el siglo III d. M. 2157.
clara y sencilla. [f] ¿ que representa cada punto de la grafica en el problema del gallinero? [g] Señala con color rojo el punto de la grafica que representa la solución que hará feliz a doña Josefa. llamada c. estima valor aproximado las coordenadas de ese punto y con ellas elabora una propuesta de solución al problema. [e] Señala las columnas de los cuadros que se utilizaron para hacer la grafica. LOS NUMEROS IRRACIONALES Como ya se dijo.. esta método es laborioso y con el no siempre podemos obtener la solución de los problemas. [h] Utilizando la grafica. Redáctala de manera breve. la hipotenusa.41421356. [c] ¿son todos los puntos que se puedan graficar? ¿ por que? [d] Traza la curva sobre los puntos que localizaste. una quinta: y la razón 4 a 3. una de sus características es que posen una cadena de decimales que no tiene fin y cuya sucesión no es periódica.1 en el plano cartesiano representado representando la base del rectángulo en el eje x y su área en el eje y.2. e . una cuarta.. Esto causo una grave crisis en la filosofía griega en aquel momento. por ejemplo: /2=1. Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triangulo rectángulo cuyos cateos sean iguales a 1. los pitagóricos descubrieron que c no puede ser numero racional. si.. [b] En el mismo plano incluye los valores del cuadro 1. 28 . el gallinero [a] localiza los cuadros del cuadro 1. Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en cursos de matemáticas desde la educación primaria hasta el semestre pasado de este bachillerato tecnológico al conjunto de todos estos números se les conoce como números reales. Actividad de aprendizaje Hasta aquí realizaste un trabajo numérico para aproximarte a la solución del problema anterior. Este descubrimiento es considerado el primero de la físicamatemática. etcétera. c*= 1* + 1*=2. Este tipo de números son llamados irracionales.Razón 3ª 2. debe satisfacer la ecuación: c2= 1* +2*=2 entonces descubrieron que c no puede ser un numero racional. que son unas de las armonías mas agradables al oído. Continuemos trabajando con el problema 1.
Para obtener la aproximación con el método grafico necesitas hacer la grafica del problema. quien reconoció al instante su genio y reavivo el interés del joven por los problemas matemáticos. uno de los matemáticos mas eminentes de su época. dejo la escuela en 1612 y se dirigió a Paris. en la que se describe el nacimiento de la geometría analítica. 29 . conoció a Isaac beeckman. A los 8 años ingreso al colegio jesuita la fleche. Francia. descartes estableció diversas soluciones. fue el tercer hijo de una familia noble. Lectura complementaria rene descartes: Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes de cada párrafo y con estas elabora un comentario y léelo con tu grupo. mucho mas que cualquiera de sus especulaciones metafísicas. Para esto es importante que recuerdes los conocimientos necesarios de la geometría analítica. A propósito de esta importante rama de las matemáticas. Se aplazo su educación formal por ser un niño débil y enfermizo. el 31 de marzo de 1596. Posteriormente. beeckman le propuso a descartes que encontrara la ley matemática que rige la aceleración de los cuerpos que caen.Comentario: En el problema anterior se te presentaron dos procedimientos para aproximarte a la solución del problema: el método numérico y el método grafico. como levantares tarde si el lo deseaba. Durante aquel invierno. tiempo que utilizaba para la meditación. con quien consagro dos años al estudio de la matemática. Este brillante matemático nació en giras. JHOAN STUART MILL. La geometría analítica. se te ofrece una lectura complementaria del ilustre rene descartes. quien fue su mas antiguo compañero y llego a ser su agente científico y protector en jefe. Ninguno de ellos sabia que galileo había resuelto ya dicho problema su solución apareció en su obra dialogi de 1632. inmortalizan el nombre de rene descartes y constituye el máximo paso hecho en el progreso de las ciencias exactas. En este colegio conoció a mersenne. Esta costumbre la siguió alo largo de su vida. quizás esto influyo para que siempre tratara de conocer la causa de todo lo que lo rodeaba. famoso aficionado a la ciencia y a la matemática. Su condición enfermiza hizo que tuviera algunas concesiones en la escuela. Ahí volvió a encontrarse con mersenne.
....3................. En la geometría analítica la herramienta básica es el plano cartesiano..................... [b] Escribe lo que se te pide encontrar........ en la cual expuso su nueva teoría............En 1649 viajo a Suecia... aumenta el numero de renglones........................................ el 11 de febrero de 1650 a causa de una inflamación en los pulmones............... Descartes publico en 1637 uno de sus libros mas famosos: discurso del método para guiar la razón y encontrar la verdad de las ciencias........... 30 ....... A rene descartes se le atribuye la invención de la geometría analítica.......... En las celdas del ultimo renglón del cuado escribe las formulas que utilizaste para calcular altura... elabora una grafica en el plano cartesiano..... Incluyo como un apéndice una de las obras matemáticas mas brillantes de todos los tiempos: la geometría.. Si existen dudas al respecto. en equipo consulten con su maestro. en donde finalmente murió............ recomendación: anota el problema y cada uno de los incisos en tu cuaderno. en Estocolmo.... en elle reine los métodos de álgebra y de la geometría..... El primer valor de las coordenadas se llama básica y el segundo valor es la ordenada. Actividades de aprendizaje: 2: la llantera: en un lote baldío de 50 metros por 100 metros............. llamadas también cartesianas en honor a su creador.... en el que puedes representar puntos utilizando coordenadas rectangulares......... una compañía llantera requiere colocar la barda a un terreno rectangular de 550 metros cuadrados de superficie....... dejando sin barda el lado que da al norte por que Será utilizado como entrada........... La geometría analítica permitió solucionar muchos problemas geométricos que los griegos no habían podido resolver e hizo posible abordar problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos..... dando lugar al nacimiento de la mecánica. dando pie a un poderoso instrumento con el que se pueden resolver problemas de matemáticas y describir muchos fenómenos de la naturaleza.................. .... Asegúrate de comprender lo que vas hacer............... si consideras necesario......... [a] con tu equipo lee el problema y has un croquis con la información que se proporciona...... largo de la barda y área... que fue determinante para el nacimiento del calculo diferencial e integral unos 50 años mas tarde.. [e] Con los valores del cuadro...........´¿ que dimensiones deberá tener el terreno para que la longitud de la barda sea la mínima? .......... [c] ¿ cuantos rectángulos de 550 metros cuadrados como los dos del croquis se pueden obtener? [d] Enlista algunas de esas opciones en el cuadro 1......
A partir de este momento se te solicitara dibujar una recta tangente en el punto mas alto o mas bajo de la grafica del problema. Lectura complementaria: recta tangente Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes del párrafo y con estas elabora un comentario y léelo en el grupo. La definición que estudiaste en los cursos anteriores de matemáticas de la recta tangente para curvas suaves y cerradas es: 31 . Une los puntos localizados trazando una curva. Si tienes problemas para resolver esta actividad lee la siguiente lectura complementaria al final de este problema. En la secundaria y el bachillerato tecnológico has estudiado a la recta tangente en los cursos de geometría. [h] Utilizando la grafica. Para mejorar las ideas que has adquirido sobre este tema a continuación se presenta una lectura. clara y sencilla. estima las coordenadas de ese punto y con ellas elabora tu propuesta de solución al problema ( remárcala). En la siguiente unidad las problemas te plantearan el trazo de la recta tangente a la grafica de la función en un punto dado. [f] En la grafica. Señala con color las columnas del cuadro que utilizaste para hacer la grafica. Redáctala de manera breve. [i] ¿cómo quedaría trazada una recta tangente a la curva en ese punto? Dibuja con color azul.base Altura (m) Área cercada (m2) Largo de la barda (m) b Representada en el eje x la base del terreno a baldeada y en el eje y la longitud baldeada. ¿ que representa cada punto? [g] ¿ en que punto de la grafica se encuentra la solución de este problema? señálalo con rojo.
averigua por que. ¿ tu. ( en la siguiente unidad mejoremos esta definición). Aunque la definición es un poco mas precisa. Actividades de aprendizaje 3 la jaula del zoológico: se desea construir una jaula rectangular para encerrar a un león. una recta p es tangente a una curva en el punto m si la recta p toca a la curva en el punto m. aun no es todo correcta. Considerando la primer definición podemos concluir que en la figura 1.3 la grafica de la izquierda muestra una recta tangente a la curva en el punto m y la grafica de la derecha muestra una recta que no es tangente a la curva en el punto m .2. esta idea es la recta tangente se ajusta perfectamente a lo que estudiaste en los cursos de geometría de la secundaria y el bachillerato. La siguiente es la versión mejorada de la anterior definición: 2. pero no la toca en ningún otro punto “ cercano” a m.1. Como lo muestra la figura 1. Para ello solo se cercaran tres lados. ambas afirmaciones son incorrectas. ¡ felicidades! Enseguida se incluye un problema resuelto con el objetivo de que lo revisen en clase y reafirmen algunas cuestiones que trabajamos hasta aquí. ya que se utilizara la barda poniente del zoológico 32 . una recta p es tangente a una curva en un punto m si m es el único punto de contacto de la recta con la curva. La figura 1. tu equipo y el grupo pudieron resolver los problemas anteriores? Si es así. Debes entender la insuficiencia de tal definición para curvas no cerradas.3 ayuda a que lo comprendas.
Si el material disponible para el cerco son 30 metros lineales. Entonces en el cuadro 1. hacer una grafica del problema resulta útil para establecer una aproximación de la solución.4 habrá valores de la base del 1 al 15. primero es necesario contar con un cuadro de valores ( trabajo que se muestra a continuación). halla las dimensiones de la jaula rectangular que tenga la mayor área posible.como cuarto lado. Cerco de 30 metros Jaula rectangular De mayor area h b barda Base (m) 1 3 5 7 9 11 13 15 Altura (m) 28 24 20 16 12 8 4 0 Largo del cerco (m) 30 30 30 30 30 30 30 30 Área cercada ( m2) 28 72 100 112 108 88 52 0 En el problema anterior te diste cuenta de que para llenar el cuado de valores primero tenemos que determinen los valore que pueden tomar la base. 33 . Estrategia de resolución a) de la lectura del enunciado obtenemos que lo planteado es : encontrar las dimensiones de una jaula rectangular que ocupe la mayor área posible. b) En la figura 1. Esto se hace considerando las condiciones establecidas en el enunciado. c) Como observaste en los problemas anteriores. en este caso: el valor de la base tiene que ser mayor que cero (b> 0) y menor que 15 (b<15).4 se muestra el dibujo del problema. Para elaborar la grafica.
los unimos con una línea curva sin despegar el lápiz del papel. Despejando h obtenemos h =30.A) que se encuentran en el cuadro. se sabe que: L = 30M Y L = 2b + h.5). 112. 34 . h)a continuación localiza el punto de la grafica que representa la jaula de mayor área. a) con esta información se puede establecer una buena aproximación de la solución del problema. la grafica nos indica que este punto tiene coordenadas (7.5). f) localizamos los puntos. Para esto tendremos que localizar el punto mas alto de la curva (véase la figura 1. Además.5. tenemos: A = bh *Cálculos: para b=1 para b=3m h= 30-2(1)=28 m y h= 30-2(3)= 24m y A= 1 (28)= 28m2 A=3 (24)=72 m2 d) representamos en el plano cartesiano el área de al jaula en el eje vertical y la base en el eje horizontal. Estos valores dependen de que tan bien elaboramos nuestra grafica y por lo tanto pueden variar.Enseguida elaboramos ejemplos de los cálculos de la altura y el área cercada para que tengas claro como se obtuvieron estos valores: *Ejemplos de los cálculos: Llamaremos L al largo del cerco. verifícalo. g) la curva que resulta es la grafica de al formula del problema ( véase la figura 1. si A es el área de la jaula que es rectangular.2 b.5). e) localizamos en el plano certeciano todas las parejas de valores (b.
pero los dos de la segunda columna dependen de los de la primera y tienen que calcularse utilizando una formula.5 m2. en el problema de la llantera representarse los valores de la base en el eje horizontal ( primera columna) y en el eje vertical los valores de la longitud bareada (cuarta columna). los valores de la primera columna se escogen de acuerdo con las condiciones que establece el problema.. cuando tracemos la grafica de un problema utilizaremos cuadros con dos columnas.. se te sugiere que elabores un modelo físico y anotes en el toda la información que se te proporciona en el enunciado. ya sean gallineros. De aquí en adelante. a pesar de elaborar cuadros con cálculos numéricos de cuatro columnas. La altura se determina: h= 30-2(7. 7. llanteras. al momento de hacer la grafica del problema solo se utilizan dos columnas.como el siguiente problema lo permita . tantas como puntos tiene la jaula del problema. realizar un dibujo con toda la información de un problema resulta muy útil por que nos ayuda a comprender lo mejor..en el trabajo de los problemas anteriores observaste que.cada uno de los problemas anteriores te mostró que se puede tener un “número muy grande” ( gigantesco) de posibilidades. en el eje horizontal se pueden representar los valores de la bases ( primera columna)y en el eje vertical su área ( cuarta columna). Pero existen otras posibilidades. 2. jaulas. 36 . 5.5)=15m El área máxima es: 112..de las columnas utilizadas para elaborar la grafica del problema. 6.como pudiste observar.es importante señalar que cuando se realiza el trabajo de elaboración de cuadros con dos columnas. corrales. Por ejemplo. 3.Solución: las dimensiones de al jaula rectangular de mayor área son:    base de 75m. 4. en el eje horizontal del plano cartesiano representarse los valores de la primera de la primera columna y el eje vertical los valores de la cuarta columna. la solución la encontraste en el punto mas alto de la grafica si el problema es de máximos y en el punto mas bajo de la grafica si es de mínimos...dependiendo del problema. En el problema del gallinero. En el problema de la jaula del zoológico se represento en el eje horizontal los valores de la base (primera columna) y en el eje vertical su área ( cuarta columna).-lo anterior significa que cuando queramos elaborar la grafica del problema es necesario hacer cuadros dos columnas. COMENTARIOS DEL TRABAJO REALIZADO HASTA AQUÍ 1.
. alto y volumen de la caja............ en tu equipo ya comprendieron el problema......... en este problema elabora ejercicios....... Si tu equipo tiene dificultades para entender como se elabora la formula del problema........................................................... se te sugiere que realices: los ejemplos numéricos suficientes para que elabores la figura geométrica que esta presente en el problema... e) en el plano cartesiano realiza la grafica de la relación anterior.... Para esto... Con el trabajo que has realizado hasta aquí ............ en los que.la caja.............. en equipo consulten con su maestro............... si existen dudas al respecto.. Recuerda esta recomendación siempre que tengas dificultades para hacer la función del problema.......... Asegúrate de comprender lo que vas a hacer .. hara uso de piezas rectangulares de cartón de 50 por 30 centímetros..... Por ejemplo........ Un fabricante desea hacer cajas sin tapa para envasar un producto. representando en el eje horizontal la longitud x y en el eje vertical el volumen de la caja.................... 37 ........ ... cortando cuadros iguales en las cuatro esquinas y doblando como la ilustra el profesor al construir el problema físico del problema.. escribe las dimensiones de x d) encuentra una expresión que calcule el volumen de la caja que solo dependa de x y llámale V (x)... ...... c) si le llamamos x a la longitud del lado del cuadrado que se va a cortar.............. Después de hacer esta lectura prosigue este problema....... si se quiere obtener que encierre el mayor volumen posible.......... Esta formula se conoce como la función del problema....Actividades de aprendizaje 4............... recomendación: en tu cuaderno anota el problema y cada uno de sus incisos.. conociendo el valor del lado del cuadrado que cortaste en cada esquina.. así como sus dimensiones y conceptos geométricos que esta involucra.. Encuentra la longitud del lado del cuadrado que será cortado en cada esquina......... b) Encuentra la formula para calcular el volumen de una caja como la planteada del problema..... ancho.......... Los siguientes dos incisos son para elaborar la formula con la que tienes que calcular los valores de la segunda columna del cuadro......3 titulado: las funciones........... a) escribe lo que el problema te pide hallar...... calcules largo..... Para que comprendas el significado de función y la lectura correcta de V (x) lee el apartado 1..............
Si tienes dificultades acude con tu profesor.f) localiza el punto de la grafica donde se encuentre representada “la caja de mayor volumen”. Después escribe en tu cuaderno los pasos que pudiste apreciar en esta discusión. PARA DISCUTIR EN EQUIPO   revisa el proceso que se siguió para resolver los problemas anteriores. g) Traza una recta tangente a la curva en el punto anterior. 2 ii r h r r 38 .. Para esto realizamos lo siguiente:   leemos. para que el área de hojalata empleada en cada bote sea mínima. Encuentra las dimensiones para que la lata resulte lo mas económica posible. sabiendo que el volumen de cada lata será de un decímetro cúbico (un litro). Actividades de aprendizaje 5.6. es decir . Un fabricante desea construir latas de forma cilíndrica y sin tapa para envasar el producto. es importante comprender el problema para obtener la resolución. Un dibujo de este problema es como el de la figura 1. Considerando esta estrategia. antes lee y comenta el problema resuelto que se te presenta para que puedas emplear el dominio que has adquirido de este tema. con la finalidad de que puedan observar la estrategia empleada en la resolución. Estrategia de resolución a) como has observado en los problemas anteriores. señalo con color diferente al de la grafica y con esta información elabora una propuesta de solución al problema planteado. resuelve los problemas que se te plantean a continuación en los problemas extra clase . discutimos y analizamos el enunciado del problema.la lata sin tapa. elaboramos un dibujo o modelo físico con toda la información importante del enunciado.
reiniciando desde la lectura del enunciado. y donde tengas dificultases plantéaselas a su profesor. con seguridad traerás una idea bastante clara del problema y estarás en condiciones de salir adelante.con tu equipo elabora el modelo físico del problema. entonces despejando h de (2) obtenemos h = 1 iih2 sustituimos este valor en (1) y obtenemos la función del problema: A(r)= iir2 + 2iir 1 Iir2 Realizando las operaciones indicadas obtenemos: A (r)= iir2 + 2 r que llamaremos la función del problema. revisamos que relaciones existen en el problema de la lata sin tapa. se te sugiere realizar ejemplos numéricos en los que calcules el área de la lata sin tapa. Si no es así. como lo recordaras. Si eres capaz de hacer todo lo que se ha descrito hasta el momento. se te sugiere que vuelvas a hacer todo lo anterior.  para elaborar la función de nuestro problema partimos de : A= iir2 +2iirh Como queremos que solo dependa de r. Si observas el enunciado del problema. esto hace utilizando la formula de volumen: V= iir2h Como V= dm3. Esto significa que en nuestro problema debemos elaborar una función que exprese el área de la lata. La variable independiente la seleccionaremos del resto de las variables del problema. necesitamos buscar un valor para h y sustituirlo en 1. Recuerda que si esta actividad te resulta difícil. Con tu equipo realiza cuando menos dos ejemplos numéricos del problema.  como la función se obtiene con las formulas del problema. Si el volumen es de 1 dm3. 39 . De los ejemplos numéricos que realizaste observaste que se calcula el área de la lata sin tapa con la formula: A iir2 + 2iirh. este se determina con la formula: V= iir2h. asígnale dos valores al radio y calcula la altura y el área de la lata. b) Enseguida anotamos lo del problema pida hallar: las dimensiones de la lata sin tapa de menor área. También se involucra el volumen de la lata. r o h. c) Para continuar con la resolución de nuestro problema es fundamental elaborar la función del problema. dice “ buscamos la lata de área mínima”.
De la elaboración de la función del problema sabemos que: La variable independiente es r y la variable independiente es A. es aquella que tiene las dimensiones siguientes: Un radio de 0.7 dm.5).7669 1 5.5 en el plano cartesiano y los unimos para obtener la grafica del problema (véase la figura 1.d) enseguida elaboramos la grafica del problema para obtener una aproximación de su solución. es decir la lata de menor área.5).2 10. Este valor se localiza en el punto mas bajo de la grafica.  Para el llenado de la primera columna necesitamos obtener el dominio de la función.3965 0.7).7854 0.9 4. Este valor se determina con la formula: h = 1 Con el área de 4.4643 0. ii r2 40 .  Representamos los puntos del cuadro 1.5 4. Con las coordenadas obtenidas elaboramos nuestra propuesta de solución: Sr. estos valores pueden variar dependiendo de lo bien que hayas hecho la grafica.7 4.3 6.  Con la función calculamos los valores de la segunda columna ( véase el cuadro 1.9494 0.1256 0.  Para poder obtener la aproximación deseada utilizamos la grafica del problema.365 dm.1 20. Este punto será el mas bajo de la grafica ( véase la figura 1. En ella localizamos el punto que representa la lata de menos área.5026 0. de aquí solucionamos valores para la primera columna del cuadro (véase el cuadro 1.7). en este caso es : r >0. Con la grafica localizamos las coordenadas del punto mas bajo (véase la figura 1.8 4. Una altura de 0.65 dm. Empresario: La lata que te conviene hacer.6 4.5106 0. Cuadro 1.5 r A(r) 0.0314 0.7).1416 e) a continuación se obtiene la aproximación a la solución del problema.4 5.  Para poder hacer la grafica necesitamos realizar un cuadro de dos columnas con valores numéricos.
la función del problema.  revisaremos que la aproximación que planteamos es congruente con las condiciones establecidas en el problema.Recuerda que estos valores son una aproximación y pueden variar dependiendo de lo bien que elabores la grafica del problema.un corral para el perro. encuentra. f) por ultimo. en términos de x. El granjero dispone de 240 metros lineales para el cerco. incluyendo la valla. se obtiene la lata sin tapa de menor área. realizaremos dos actividades:  trazaremos una recta tangente a la grafica del problema en el punto mas bajo (véase la figura 1. 2. 3. el radio esta en el dominio de la función del problema. solo revisa que el área de tu propuesta sea menos que 4. Dos personas poseen lotes vecinos de 50 metros de largo por 25 de ancho. 41 . Lote delote Lote del primer vecino ( esta bardeado) Lote del segundo vecino corral h b 50 m 50m a) si x representa la longitud del lado del corral que quedara en la barda del prime vecino. b) ¿ que valores pueden tomar x (como dominio de la función)? c) Encuentra las dimensiones del corral que abarca la mayor área posible. para esto dispone de 38 metros lineales de material para cercar y utilizara la barda como un lado del corral . Para saber si tienes una mejor aproximación que la que se te plantea en este problema. Un granjero quiere construir un corral rectangular dividirlo por una valla paralela a la altura del rectángulo. El segundo quiere construir un corral rectangular de área tan grande como sea posible para encerrar a su perro. se puede elaborar una lata cilíndrica sin tapa.8).7). Para esto revisa si: 1. es decir que solo cercara tres lados del corral ( véase en la figura 1. Encuentra las dimensiones del corral de área máxima que puede construir 2. El primer vecino ha construido una barda alrededor de su terreno.3965 dm3. Problemas extraclase 1. el corral del granjero.
Una fabrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de un prisma de base cuadrada. sabiendo que el volumen de cada bote es de 909. Determinan las dimensiones con las que se gastaría menos papel). 4. la lata para envasar aceite. uno de 15 metros y otro de 10. Dos postes. la barra de margarina. la lata para envasar chocolate.9. cuyo volumen es de 108 centímetros cúbicos. 5. 8. los postes. Encuentra las dimensiones que debe tener la lata que requiera la mínima cantidad de material en su constricción.2 centímetros cúbicos. la caja para empacar harina. cortes h 24 cm 20 cm a 20cm i a) ¿ cuanto mide el lado de los cuadrados que se cortan y que se hacen que el volumen de la caja sea máximo? b) ¿ cuales son las dimensiones de la caja de mayor volumen? c) ¿ cual es el volumen de dicha caja? 6. la alberca. Una compañía fabricante de aceites desea construir latas cilíndricas de un litro de capacidad para envasar el producto. cortando cuadrados iguales y doblando como se muestra en la figura 1. Encuentra las dimensiones que minimicen el costo de la lata (área mínima de la hojalata que se debe emplear en cada bote). Una compañía usa latas de forma cilíndrica pare envasar chocolate en polvo en su presentación de 400 gramos. Una persona atiene en su casa un patio rectangular que mide 20 por 30 metros y desea construir una alberca de forma rectangular.3. las cuales se fabrican usando laminas de cartón rectangulares de 40 cm de largo por 24 cm de ancho. Se pretende empacar harina en cajas con tapadera. se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas a una distancia de 20 metros. Determina las dimensiones del rectángulo para que la cantidad de material que use en las paredes sea la mínima. 42 . 7. cuya área sea de 40 metros cuadrados.
y a un tercio de ancho de la hoja se dobla esta hacia arriba un ángulo C para formar los lados del canalón ( tal y como se muestra en la figura 1. Si tienes asignado el trabajo de construir un canalón para transportar agua de lluvia de una hoja de metal de 15 centímetros de ancho. encuentra las medidas de ancho y la altura del canalón que permita que fluya el mayor volumen de agua. doblando hacia arriba las orillas de largo hasta formar ángulos rectos (véase la figura 1. el libro. largo h 51.5 cm de ancho. 9. De una larga pieza de lamina de valor conocido (asígnale el valor que quieras) galvanizada de 51. el canalón (segunda versión).5 cm b 43 . el canalón. ¿qué tan grande debe hacerse el ángulo C para maximizar el área de la sección transversal del canalón y por lo tanto su capacidad de acarreo? Lámina 1 1 5cm 15 cm h c 5 cm 11.10). se va hacer un canalón para que conduzca agua. Cada una de las paginas de un libro debe tener 600 centímetros cuadrados de área. 10.11). Encuentra las dimensiones de la pagina que permitan la mayor área impresa posible. con márgenes de dos centímetros a los lados y tres centímetros arriba y abajo.Calcula la longitud mínima de un cable que vaya de desde la punta de uno de los postes hasta el suelo y luego vuelva a subir hasta la punta del otro poste.
si cada ventana tiene un área de tres metros cuadrados. Enseguida. y con estos valores redactas tu aproximación del problema. según sea el caso. Fue necesario recordar los tipos de números que has estudiado en la escuela: naturales . Finalmente verificas si tu propuesta es congruente con la información del problema. ¿ cuales deben ser sus dimensiones para que el parámetro sea el menor posible? Ventana de 3 m2 de área Resumen: En este tema tuviste la oportunidad de trabajar con problemas de máximos y mínimos. irracionales así como algunas cuestiones elementales de geometría analítica como el plano cartesiano y la localización de puntos en este. Para aproximarte a su solución utilizaste el precalculo. 44 . haces la función para llenar un cuadro de valores con el que elaboras su grafica. muchos de ellos enmarcados en tu realidad.12). es decir la matemática que has estudiado hasta antes de este curso: aritmética. Recordaras que cuando se resuelve un problema de máximos y mínimos es importante considerar una primera parte en la que se tiene que leer. la ventana. discutir y analizar hasta llegar a comprender el problema. álgebra y geometría. Con la grafica localizas aproximadamente las coordenadas del punto mas alto o mas bajo. Un arquitecto desea diseñar cierto tipo de ventana de tal manera que la parte inferior sea rectangular y la superior sea un triangulo equilátero ( véase la figura 1. enteros.12.
en el problema de la llantera y en el gallinero dicha variable es b. En el problema del gallinero. el concepto de función es mas amplio. su área esta determinada por A (b)= b 50-2b . tales como el uso de variables y formulas. De acuerdo con esto. mas general que el concepto de formula. así como el problema de la llantera L (b) depende de b. Por ejemplo. con A (b) 2 nos referimos al echo de que A depende de b ( A esta en función de términos de b). donde al escribir V(x) nos referimos al echo de que V depende de X (V esta descrita en términos o en función de X). en el problema de la llantera. en el problema de la lata sin tapa determinaste que su área se calcula Con la formula A(r)= ii r2 + 2. de la misma forma que en el problema de la lata sin tapa A (r) depende de r. b donde L (b) expresa que L depende de b (L esta función o en términos de b). ya que algunas funciones son difíciles o imposibles de describir con formulas y deben ser representadas por otros medios. en caso del problema de la caja V (x) depende de x.LAS FUNCIONES Cuando resuelves problemas de máximos y mínimos como los anteriores aparecen lineamientos que son comunes de estos problemas. LA DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Usualmente una función se describe por medio de una formula que dice explícitamente como calcular los valores de la variable depende a partir de los valores de la variable independiente. la longitud de la barda (l) esta determinada por L (b) +2 550 . De la misma manera. A la otra variable de una función se le conoce como variable independiente. 45 . Pero este no es siempre el caso. en el problema de la caja determinamos que su volumen se calcula con la formula V(X)= (50-2X) (X). LAS VARIABLES DE UNA FUNCION En las formulas anteriores se distinguen dos tipos de variables : una se llama variable dependiente por que su valor depende de otra variable. aquí A (r) significa que A depende de r (A esta escrita r escrita en función o en términos de r).
Por otro lado. Se representa así: 42 [ ] a b 46 . Por ejemplo.b]. y emplean la simbología que se describe a continuación: Intervalo abierto. las valores que puede tomar la variable dependiente . entonces las primeras cantidades se las llaman funciones de las ultimas”.b). a los valores que toma la variable dependiente se la llama rango. incluyendo a a y b y se escribe [a. los valores que toma la variable independiente (x) son: 0< x < 15. esto es. los matemáticos utilizan primero el valor mas pequeño de todos. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION A todos los valores que puede tomar una variable independiente en una función se la conoce como dominio de la función y lo denotaremos con D. Cuando se quiere escribir el intervalo que construye el dominio y el rango de una función. Desde entonces a la fecha este concepto ha ido evolucionando hasta llegar a la definición actual: “ si a cada valor que puede tomar la variable independiente le corresponde un valor y solo uno de la variable dependiente diremos que dicha correspondencia es una función”. en el problema de la caja. sin incluir a a ni b. En 1755 Leonhard Euler definió a la función de la siguiente manera “si algunas cantidades dependen de otras cantidades de tal manera que si las ultimas cambian las primeras también cambian. L (b).A las relaciones o fórmulas mencionadas en este apartado los matemáticos le llaman funciones. Una manera grafica de representar este intervalo es: [ ] a b intervalo cerrado. y se escribe (a. Lo denotan con b. llamado extremo superior. Representa todos los valores numéricos entre a y b. Representa todos los valores numéricos entere a y b. es el rango o imagen. Todos los valores que en este problema de la llantera. los matemáticos las llaman restricciones. Los valores de la variable independiente (dominio de la función) normalmente son establecidos por las condiciones del problema y cuando estas condiciones están escritas en una relación. contradomino o imagen de la funciona y lo denotaremos con I. el dominio de la función.
Se representa: ( a [ a ] b ) b por ejemplo.  En la primera columna colocaste los valores de la variable independiente. diríamos que el dominio de la función es [ 5.intervalo semiabierto. Con esto obtuviste algunos valores de la grafica. 47 . Estos los calculaste con la función. en el que se puede establecer que el dominio de la función es 0< b < 20 o (0.5 < b< 50. Dibujar la grafica de una función es un trabajo que realizaste cuando resolviste los problemas de máximos y minamos de esta unidad.b). 50] y gráficamente se representa: [ 5. Para esto hiciste los siguiente:  elaboraste un cuadro con dos columnas. hicimos notar que en el problema de la llantera el dominio de la función es 5. ( 0 ] 20 LA GRAFICA DE UNA FUNCION Una manera muy útil de expresar una función es con su grafica.b] o [a.  Finalmente uniste los puntos con un lápiz o color para dibujar la grafica. 20] y gráficamente se representaría.5 ] 50 otro ejemplo de esta notación es el problema de al jaula del zoológico. en el que el dominio de la función es 0< b < 15 o (0. Se escribe (a. representaste cada pareja de los valores del cuadro (coordenadas) en el plano cartesiano. cuando se hablo en este apartado del dominio y el rango de la función. los valores de la variable independiente y en el eje vertical de la variable dependiente. incluyendo a o b. 15) y gráficamente se representa: ( 0 ) 15 un tercer ejemplo en el que podemos ilustrar esta notación es el problema del gallinero.5. en el eje horizontal.  En la segunda columna colocaste los valores de la variable dependiente.  Posteriormente. Estos los obtuviste del dominio de la función. Existen dos posibilidades y representa todos los valores numéricos entre a y b. si utilizamos la notación recién descrita.
Ya que una función es una relación en la que una cantidad variable depende de otra. su dominio y rango. así como una de sus versiones actuales. Se mostraron los diferentes intervalos que se utilizan para describir el dominio y el rango de una función. dicha grafica representa una función. te presentamos una de las primeras definiciones de función dadas por L eonhard Euler en 1755. Resumen: En este apartado estudiaste uno de los conceptos fundamentales del calculo: La función. y su grafica. Se enunciaron los conceptos inherentes a una función como son: sus variables ( variable independiente y dependiente). 48 . Aquí. podemos aplicar un criterio geométrico bastante simple para decidir si una grafica representa una función.  Criterio de la recta vertical Si toda recta vertical cruza la grafica siempre en un solo punto. Este trabajo se inscribe en el contexto de los problemas de máximos y mínimos que resolviste en esta unidad para darles significado a cada uno de estos conceptos.
Entre las actividades poder realizar para la resolución del problema. A quienes se encargan de escribir estos programas de computación se les conoce como programadores. como Basic. dentro de la computadora (conocidos como discos duros). En particular.Resolución de problemas de máximos y mínimos Con ayuda de al computadora. Lee con tu equipo y elabora un resumen. textos.etc. llamado lenguaje de computación. aprovechando su rapidez para elaborar graficas y trazar rectas tangentes a una curva en un punto dado de esta. Sin embargo. etcétera. existen muchos de estos lenguajes.2 y están diseñados para utilizar la computadora como auxiliar. Resuelve problemas de máximos y mínimos Con ayuda de la computadora Los problemas que resolvemos a continuación son como los que resolviste en el apartado 1. Las mas conocidas son las llamadas PC y las lap-top ( tienen forma de portafolio y se puede transportar a cualquier parte). algunas te orientaran en el uso de la computadora con el paquete 49 . Lectura complementaria: ¿ que es una computadora?. las instrucciones que aparecen en el programa se descodifican y ejecutan una por una en una unidad de procesamiento central conocida como CPU (central processing unit). la maquina los procesa y produce un resultado. la información y los resultados del proceso aparecen en la pantalla. musica. graficas. Esta información se puede almacenar en discos magnéticos que pueden estar fijos. se hace uso del paquete CALCULA. interactivos. En un primer paso. A una computadora se les suministran instrucciones y datos. Un programa de computación es una lista de instrucciones que la computadora debe seguir en orden al procesar los datos. La computadora se utiliza para manipular muchas formas de información: datos numéricos. dibujar figuras geométricas y moverlas en la pantalla. como los discos flexibles. Actualmente existen computadoras capaces de realizar operaciones simultáneamente. hogares e instituciones educativas y no existe un lugar prácticamente ajeno a ellas. Los datos y las instrucciones originales se introducen en la computadora en un lenguaje especial de computación. enciclopedias y otros para facilitar el estudio de algunas materias escolares. Una computadora es un aparato electrónico que procesa diversa información. logo y lenguaje C. Seguramente tu conoces algunos problemas : hay juegos. Coméntalo en el grupo. videos. libros. trazar graficas. discos compactos. sonidos. el usuario común de una computadora no necesita conocer ningún lenguaje especializado. entre otros. Estos aparatos pueden realizar operaciones matemáticas con gran rapidez. o bien pueden ser portátiles. El uso de este aparato se extiende en la actualidad a las empresas.
Un granjero quiere sembrar hortalizas en un terreno rectangular. con tu equipo realiza el trabajo necesario para elaborar la función del problema y establece su dominio. Actividades de aprendizaje La siembra de hortalizas. avanzando un décimo a la vez. c) para que la computadora te auxilie en el la elaboración de la grafica. b) enciende la computadora e inicia el paquete CALCULA. posiciona el cursor utilizando el mouse delante de esta expresión. con el mouse activa el icono de escala que viene a la derecha de la pantalla y asígnale al eje horizontal y el eje vertical una escala adecuada para que al computadora te dibuje la grafica. utiliza las flechas izquierda y derecha del teclado para desplacer el punto sobre el eje de las x. oprime ENTER para que la computadora elabore la grafica. tu cursor se desplaza sobre el eje x. Si tienes dificultades para utilizar la computadora acude a tu maestro. Si no aparece la grafica esperado. En caso de no tener este programa de computo puedes utilizar cualquier otro. Ahora te pide el valor final. ahora este trabajo la hará la computadora utilizando el paquete CALCULA. Te pide el valor inicial. necesitas proporcionarte el dominio de la función. disponiendo para ello de 21 metros lineales de material para la cerca. introduce la formula del problema y coloca el cursos en el icono con la letra f. f) ¿ que representa cada punto de la grafica? g) ¿ en que punto de la grafica esta el mayor punto del corral de mayor área? localízalo h) ¡ como es la recta tangente a la curva en este punto? ¡obsérvalo tecleando F4! También lo puedes hacer con el mouse. si quieres que el avance 50 . Recurre al anexo A. e) en la esquina inferior izquierda aparece: y= f(x). Para proteger el sembrado lo cercara. Con el mouse selecciona el icono a la izquierda de la pantalla que tiene los símbolos Xi Xf ( también lo puedes hacer presionando ALT-X). Recuerda esto para que hagas los cambios pertinentes en tu función al momento de introducirla al paquete CALCULA. ¿ cuanto deberán medir los lados del terreno que abarquen la mayor cantidad de hortalizas? A) considerando el trabajo que ya realizaste en los problemas de máximos y mínimos de esta unidad. En el bosquejo señala el punto que representa la solución del problema y dibuja una recta tangente a la curva en ese punto ( verifica esto en la actividad (h) ). daselo y presiona ENTER. De manera automática. presiona el icono f” (x)que esta a la derecha de la pantalla. La computadora solo reconoce como variable independiente a y o f (x) y como variable independiente a x. d) en tu cuaderno elabora un bosquejo de la grafica del problema. puedes recurrir al exel que ya viene instalado en las computadoras que tienen Microsoft office. En el caso de que no aparezca la recta tangente horizontal. Verifica en la actividad del inciso (e) si es correcto.CALCULA . En este momento te dabas a la tarea de elaborar la grafica del problema. si tu plantel no cuenta con este programa para elaborar graficas. en el que se proporciona un pequeño manual de instrucciones básicas y practicas para elaborar tablas y graficas. Si no conoces el uso de exel. daselo y oprime la tecla ENTER.
cortes 6 cm 51 . la caja para cerrillos. redacta tu propuesta de solución. i) con toda la información que tienes del problema..21. encuentra las dimensiones de la caja de mayor volumen. j) verifica si tu propuesta de solución es congruente con la información que sete proporciona en el problema. ¿ cual es la menor cantidad posible de material que se debe utilizar para construir una lata sin tapa de base cuadrada de 20 litros de capacidad? (recuerda que un litro equivale a un décimo cúbico. de los milésimos a centésimos o de los cartesianos a decimos..esa de un centésimo presiona una vez el signo de (-). k) si el granjero dispone de material para cercar 42 metros lineales. para esto utilizara laminas de cartón de 8 centímetros por 6 centímetros. En una industria cartonera se plantea construir una caja sin tapa para empacar cerrillos. cuales son las dimensiones que maximizan el terreno rectangular? Y ¿cuáles medidas de la base de la altura si el material para cercar es de 57 metros lineales? Y en general si el material para cercar es de 57 metros lineales? Y en general si el material para cercar L metros lineales. etc. tu avance retrocederá. 2. la lata sin tapa. Y doblando los lados como lo muestra la figura 1.) es necesario minimizar la superficie de la lata. si quieres que el avance sea un milésimo oprime una vez mas el signo de (-) y así sucesivamente. 3. En caso presionar el signo (+).. por ejemplo. cortando cuadros iguales en las cuatro esquinas. ¿cuáles son las dimensiones que maximizan el área del terreno rectangular? Actividades de aprendizaje Con el proceso de solución discutido anteriormente y utilizando al computadora resuelve los siguientes problemas.
papel y calculadora o la computadora en este contexto: * Vinculaste a la matemática como herramienta que resuelve situaciones reales y cotidianas en tu entorno. racionales e irracionales y sus operaciones básicas de álgebra (suma. enteros. En este contexto. De geometría. y su grafica. su dominio y rango. la recta tangente y la formulas para calcular el área. perímetro y volumen de figuras elementales (cuadrado. * Se le dio significado a una de los conceptos fundamentales del calculo: la función. circulo. repetitivo y puedas y puedes emplear este tiempo para llevar a cabo con detenimiento las demás etapas del proceso. De aquí en adelante. cilindro. Esto resulta útil por que te libera del trabajo laborioso. resta. prisma de base cuadrada y rectangular). Recapitulación Unidad 1 En esta unidad resolviste problemas de máximos y mínimos con el precalculo. multiplicación y división). sus variables. utilizando el lápiz.h l a 8 cm Resumen En este apartado resolviste problemas de máximos y mínimos con ayuda de la computadora. cuando tengas oportunidad de hacerlo puedes utilizar la computadora para elaborar la grafica de la función del problema. liberándote así del trabajo laborioso tedioso y repetitivo. su dominio y rango su grafica. Una vez mas aplicaste el proceso estudiando en el tema 2 para resolver problemas de optimización. Aplicaste tus conocimientos previos de aritmética: los números naturales. así como sus variables (dependiente e independiente). tedioso. * Observaste la computadora por su extraordinaria rapidez para elabora tablas o graficas. triangulo. rectángulo. Y de geometría analítica: la localización de puntos en el plano cartesiano. 52 . Observaste la rapidez de la maquina para laborar la grafica de la función. circunferencia. nuevamente trabajaste con las funciones.
53 . rene descartes. Y que la condición geométrica en el punto solución es: que la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal. por lo cual. discutir. la recta tangente. leer. y comentar hasta llegar a comprender el problema. Con la herramienta matemática del precalculo En esta contexto estudiaste las funciones. Resolviste los problemas utilizando primero un metodo numérico que resulto laborioso. con tu equipo. se te muestra un esquema que recoge lo mas importante de lo descrito anteriormente. analizar.Para hacerte mas ameno y facilitarte el recordatorio de algunos conocimientos previos se te plantearon las siguientes lecturas complementarias: los números reales. después empleaste un metodo geométrico que consiste en elaborar la grafica de la función del problema y te ofrece la posibilidad de acercarte mas al metodo empleado en el calculo para resolver este tipo de situaciones. Te diste cuenta de que la solución de estos problemas se encuentra en el punto más alto o más bajo de la gráfica. Para finalizar este apartado. acordar. y ¿qué es una computadora? Estudiaste el proceso para resolver máximos y mínimos: recordaras que el primer paso es. Observaste que esta herramienta matemática solo te aproxima a la solución de los problemas. Resolviste problemas de máximos y mínimos Conociste la estrategia de resolución de estos problemas.
x x 4 3 2 1 0 -1 -2 xY 49 37 25 03 -11 -3-1 -5-3 Y 2 2 2 2 2 2 2 -10 -8 -8 -6 -6 0 0 Y 0 6 -6 8 x -8 -3 10 -2 -10 -1 0 1 2 3 2.50). realiza lo siguiente: a) escribe la formula que menciona las variables independiente o dependiente. con las tablas de valores Y 12 7 4 3 4 7 12 del problema anterior. se retomo de un curso pasado de calculo el problema que se escribe a continuación. Comprendido el problema elaboramos el siguiente cuadro de valores. Utiliza la definición actual y de Euler del concepto de función y di en que tabla la relación es una función o no. discutimos y analizamos la información proporcionada por el problema para comprenderlo. resuelve los siguientes problemas. a continuación se te dan las siguientes tablas de valores. 54 . b) Elabora la grafica y con el criterio de la recta vertical verifica tu respuesta del problema anterior.lee el escrito de lo que se recupero y realiza el trabajo necesario para completar las partes que le faltan : problema.Actividades de confirmación de conocimientos Para revisar se comprendiste lo trabajado en esta unidad. El cuaderno de que se copio presentaba deterioro y algunas partes del problema estaban borradas. Elabora la grafica de la función A(b)= b( -b) en el dominio (0. 1. Proceso de resolución Este trabajo fue realizado en equipo y como primer paso leímos. Se te recomienda que si necesitas elaborar una grafica utilices la computadora. 3.
. Finalmente uniste los puntos para dibujarla (aquí aplicaste el criterio el área vertical par comprobar tus respuesta del problema 1) 55 . Para esto hará uso de una lata de forma de prisma rectangular (incluida la tapa superior) el volumen de la lata será de 1 medio litro (500 cm cúbicos) y su largo será del doble de su ancho. Hallar las dimensiones del terreno rectangular del café Internet de área máxima (que utilice todos los metros de pared disponibles). Para elaborar su gráfica representaste en el plano cartesiano las coordenadas del cuadro para obtener puntos de la grafica. 2.-el taller. considerando lo que dice este concepto decidiste que cuando presenta una relación de función entre las variables independi4ntes y dependientes. En el problema 2 hiciste los siguiente: observando la relación que existe entre las variables del cuadro determinaste la fórmula que la relaciona. 5. Auto evaluación Para que tengas oportunidad de retroalimentar en los temas estudiados en esta unidad..con la función calculamos los valores de la variable dependiente (los ejemplos se borraron).establecemos las variables: (la respuesta se borró). Hallar las dimensiones del terreno rectangular cuya suma de longitud de barda sea la mínima . Una compañera refresquera desea envasar su bebida.. 4.. dejara sin barda la mitad de lado que da al oriente que será utilizado como barda. En un lote baldío de 100x 200 mts se construirá un café Internet. Par resolver el problema 1 utilizaste la definición de función: la actual y la que dio Euler en 1755.B 0 8 17 A (b) 336 600 25 30 45 50 600 400 225 1. compara tus resultados de los problemas que resolviste en las actividades de confirmación de conocimientos con los que se te presente en este apartado. 6. Unimos los puntos para dibujarla (este trabajo se borro).el envase. En un lote baldío de 30 x 60 metros un mecánico requiere colocar la barda de un terreno rectangular de 200mts cuadrados de área que utilizara como taller.5 mts lineales de pared.-el café Internet.del dominio seleccionamos 10 valores para la variable independiente(véase el cuadro). 3.-representamos en el plano cartesiano las coordenadas del cuadro para obtener 10 puntos de la gráfica. regresa al texto y repásalo. 4. Hallar las dimensiones de la lata que minimizan la cantidad de material empleada en su construcción ( la lata de menor área posible). Si detectas algún aspecto que te hace falta comprender. Su dueño tiene recursos suficientes para colocar 391.
2.En el problema 3 aplicaste el proceso para elaborar la gráfica de función (que estudiaste en esta unidad) y completaste las partes borradas del texto. 56 . Con este trabajo: a). b) Un cuadro de valores para hacer la grafica del problema( si tienes oportunidad. discutir.-enseguida empleaste el precálculo para obtener una aproximación de la solución del problema realizando lo siguiente: a) los ejemplos numéricos necesarios para que tengas claro la figura geométrica que aparece en tu problema y comprendas como se determina cada uno de los elementos de esta figura. Por ultimo dibujaste una recta tangente a la grafica del problema en el punto que representas la solución y revisaste si tu propuesta en congruente con las información del problema.con la grafica del problema localizaste las coordenadas del punto mas alto o mas bajo. con tu equipo debiste de hacer los siguiente: 1. elabora la grafica con la computadora) donde:  Definiste la variable independiente y dependiente de tu problema  Estableciste el dominio de la función (los valores que toman la variable independiente)  Elaboraste la función del problema para determinar los valores de la variable dependiente.75 metros.. Para la resolución correcta de los problemas 4.leer. 3. b). c) en el plano cartesiano representaste la coordenadas del cuadro para localizar puntos de la grafica. con el área de 9568.. Nota: estos valores pueden variar en decimales dependiendo de si tu aproximación es mejor de los que aquí se propone para saber si tu propuesta es mejor que la del texto solo verifica que tu área sea mayor.ubicaste lo que el problema te pide hallar o hacer.elaboraste un dibujo o modelo físico del problema que contenga toda la información del enunciado. SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS Una buena aproximación de tu propuesta de solución en cada problema debió ser la siguiente: Señor empresario: las dimensiones del café Internet de mayor área posible son : la base de 97 mts y una altura de 98. aclara dudas de lo que se plantea en el enunciado.75 metros cuadrados.. según sea el caso y con esta información elaboraste tu propuesta de solución. Esto para comprender el problema.5 y 6. Finalmente los uniste para dibujarlos. acordar.. analizar.
su ancho de 5. Nota. Estos valores pueden variar en decimales dependiendo de tu aproximación es mejor de la que aquí se propone. Esperamos que hayas tenido éxito con el trabajo realizado hasta aquí.5 centímetros y su alto de 8.58 centímetros cuadrados. con una área de 393. Recuerda que el trabajo con tu equipo es fundamental. Si es mejor. Con una longitud de barda de 49 metros. la longitud de la barda será menor. Si es mejor. Señor empresario: las dimensiones de la lata de mejor área posible son: su largo de 11 centímetros. 57 . tu área será menor. ¿si es así? ¡felicidades ¡ te invitamos a seguir trabajando con más ahínco.Señor mecánico: las dimensiones del taller de menor longitud de barda: la base de 12 metros y una altura de 100 sobre 6 metros. Nota: estos valores pueden variar en decimales dependiendo de si tu aproximación es mejor que la que aquí se propone.26 centímetros.
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