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Herramientas y el futuro de la educación Parte 2: Educación matemática – AGATE
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Publicación #248, 31 de Diciembre del 2018
Parte 2: Educación matemática
“Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre” (Leopold Kronecker, matemático alemán que trabajó en la teoría de los números, el álgebra y la lógica; 1823-1891).
“Las matemáticas son la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de las matemáticas. A menudo condesciende a prestar servicio a la astronomía y otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones tiene derecho a la primera categoría”. (Johann Carl Friedrich Gauss; matemático, astrónomo y físico alemán; 1777-1855.
“Una nueva tecnología [como la tecnología de la información y la comunicación] no agrega algo, cambia todo”. (Neil Postman; autor estadounidense, educador, teórico de los medios y crítico cultural; 1931-2003).
La resolución de problemas está en el corazón de las matemáticas, y las matemáticas son útiles para resolver problemas en muchas otras disciplinas (Moursund, 2016a, enlace ). Debido a que las matemáticas son una ayuda tan versátil para resolver problemas en todo el plan de estudios, se considera que es uno de los aspectos básicos de la educación.
De manera similar, las computadoras son una ayuda para resolver problemas en todo el currículo. En mi libro, La cuarta R , presento el caso de que Razonamiento / Pensamiento Computacional es una nueva ” R ” básica que se agrega a las tres ” Rs” básicas de R eading, ‘ R iting y’ R ithmetic. Por lo tanto, este nuevo uso de la Cuarta R de los cerebros humanos e informáticos en todas las áreas del currículo es una nueva base de educación (Moursund, 2018b, enlace).
Este y el próximo Boletín IAE explorarán la educación matemática y algunos roles de las computadoras en la educación matemática. El objetivo es ayudar a mejorar estos dos conceptos básicos importantes de una educación moderna.
Mientras trabajamos para mejorar la educación matemática, debemos tener en cuenta las respuestas a preguntas fundamentales tales como:
¿Cuáles son los objetivos de la educación matemática?
Cita de Leopold Kronecker
Como fue citado al comienzo de este boletín, el famoso matemático Leopold Kronecker dijo: “Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre”. Es decir, las matemáticas son una herramienta desarrollada por las personas. Alguna capacidad de conteo natural para contar está conectada a los cerebros humanos y los cerebros de otros animales (Goldman, abril de 2013, enlace ).
Mucho antes de que tengamos lenguajes escritos y escuelas, las personas aprendieron a contar y hacer otros usos simples de las matemáticas. El desarrollo de la agricultura hace unos 12.000 años y el aumento del comercio de bienes y servicios llevó a la necesidad de más matemáticas que el simple conteo. El desarrollo de símbolos escritos para números y operaciones en los números facilitó la enseñanza de las matemáticas en las primeras escuelas que fueron diseñadas para enseñar a leer y escribir hace más de 5.000 años.
Hoy en día, los niños pequeños aprenden de sus cuidadores de la primera infancia cómo contar y cómo determinar la cantidad de objetos en un conjunto pequeño. Por encima de ese nivel de comprensión, conocimiento y destreza matemática, nuestra educación matemática formal comienza a activarse. Por ejemplo, tenemos varios sistemas de numeración escritos como los números romanos (I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, XI) y números hindú-árabes (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
En nuestros idiomas naturales, tenemos palabras y símbolos específicos para la suma, resta, multiplicación, división y otras operaciones en los números. Tenemos fracciones y decimales. Tenemos subdisciplinas de matemáticas tales como aritmética, álgebra, geometría, estadística, probabilidad y cálculo. Tenemos varios sistemas y vocabulario para medir la distancia , el área , el tiempo y la cantidad , como el sistema métrico y el sistema inglés. Como señaló Kronecker, todos estos conceptos relacionados con las matemáticas son los inventos de las personas.
Tu formación ha incluido el estudio de las matemáticas. De acuerdo con sus experiencias e intereses, puede proporcionar una definición de matemáticas. Sin embargo, las matemáticas son un campo tan amplio y profundo que es difícil dar una definición breve y completa (Moursund, 2016b, enlace).
Las matemáticas tienen una historia muy larga y es un gran campo de estudio y aplicación. Cita de Historia de las Matemáticas (Wikipedia, 2018b, enlace):
El área de estudio conocida como la historia de las matemáticas es principalmente una investigación sobre el origen de los descubrimientos en las matemáticas y, en menor medida, una investigación sobre los métodos matemáticos y la notación del pasado. Antes de la era moderna y la difusión mundial del conocimiento, ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos han salido a la luz solo en algunos lugares. Desde el 3.000 a.C., los estados mesopotámicos de Sumer, Akkad y Asiria, junto con el Antiguo Egipto y Ebla, comenzaron a utilizar la aritmética, el álgebra y la geometría con fines de tributación, comercio, intercambio, en el campo de la astronomía y para formular calendarios y tiempos récord.
Las primeras escuelas se iniciaron en aproximadamente 3.400 a.C., poco después del desarrollo de la lectura y la escritura. Sin embargo, las matemáticas tienen su origen en la necesidad y el uso de la medición muchas decenas de miles de años antes de la creación de estas escuelas. Por ejemplo, considere un pequeño grupo de cazadores-recolectores que quieren regresar a su cueva antes de que oscurezca. Miran la posición del sol. Piensan en su ubicación actual, en la ubicación de su cueva y en la necesidad de regresar a su cueva antes de que oscurezca. Pueden pensar en la cantidad de alimentos que han recolectado, y si pueden cargarlos todos. Tiempo , distancia , cantidad y Las direcciones de viaje son todas las medidas importantes.
El dinero es una de las cosas que medimos (contamos). Citando de ¿Quién inventó el dinero? (Wonderopolis, nd, enlace):
Nadie sabe con certeza quién inventó dicho dinero por primera vez, pero los historiadores creen que los objetos metálicos se usaron por primera vez como dinero desde el año 5.000 a. C. [Esto fue mucho antes de la invención de la lectura y la escritura y el desarrollo de las primeras escuelas que enseñaban lectura, escritura, y aritmética.]
Alrededor del 700 a.C., los lidios se convirtieron en la primera cultura occidental en hacer monedas. Otros países y civilizaciones pronto comenzaron a acuñar sus propias monedas con valores específicos. El uso de monedas con valores establecidos facilitó la comparación de valores y el intercambio de dinero por bienes y servicios.
En resumen, la herramienta que llamamos matemáticas está totalmente integrada en nuestros lenguajes naturales y en nuestra vida cotidiana.
Cada uno de nosotros tiene sus propias opiniones sobre la educación matemática.
Como adulto, sabes mucho sobre matemáticas y utilizas tus conocimientos todos los días. Si le pregunto qué hora es, es probable que consulte su reloj de pulsera, su teléfono celular o una computadora de uso más general, y me dé una respuesta como la 1:35. Presumiblemente, sé si esto es en la mitad de la noche o en la mitad del día, así que sé si es a la mañana o la tarde. Una respuesta más precisa podría incluir la AM o PM correcta, el día de la semana, el mes del año, el año y el sistema de calendario que se está utilizando.
Piense detenidamente la diferencia entre leer un reloj o un reloj de pared y entender el significado de las medidas que proporcionan. (Este proceso de lectura es más difícil si se consulta un reloj o un reloj analógico). La hora es un tema muy complejo. A través de años de experiencia se ha desarrollado el sentido del tiempo . Puede relacionar los símbolos 1:35 con su conocimiento del tiempo y la forma en que hace uso rutinario de este conocimiento. Si está trabajando en un empleo de 9:00 a 5:00, puede darse cuenta rápidamente de que pasarán aproximadamente 3 horas y media hasta que salga del trabajo, pero solo un poco menos de media hora antes de su descanso de las 2:00.
Al realizar este ejercicio de reflexión, usted descubrirá uno de los objetivos principales en la educación matemática. Este objetivo es desarrollar el sentido numérico. Considere una analogía con saber cómo usar una calculadora de mano o un algoritmo computacional memorizado para hacer aritmética. Se necesita poco tiempo para aprender los números clave en una calculadora y obtener una respuesta. Se tarda mucho más en memorizar un algoritmo y desarrollar tanto la velocidad como la precisión en el uso del algoritmo. Lleva mucho tiempo entender el significado de lo que está haciendo y hacer uso de la respuesta. También lleva mucho tiempo desarrollar habilidades de estimación (parte del sentido numérico) que pueden ayudarlo a detectar errores en el teclado y / o en la lectura de los números que desea utilizar para realizar operaciones aritméticas.
Memorizar algoritmos computacionales y / o usar una calculadora para hacer cálculos contribuye poco al desarrollo del sentido numérico. La calculadora de mano barata ha estado con nosotros por más de 40 años. Es una herramienta útil, y muchos adultos usan esta herramienta de manera rutinaria. Sin embargo, tenemos poca evidencia de que las formas actuales de usar tales calculadoras en la escuela primaria hacen una diferencia significativa en el nivel de sentido numérico que estos estudiantes están obteniendo.
La respuesta de George Polya a “¿Qué es la matemática?”
George Polya fue un destacado matemático y educador de matemáticas del siglo XX (Wikipedia, 2018a, enlace). La resolución de problemas fue una de sus áreas de estudio y escritura. Lo siguiente es una cita de una charla que dio a maestros de preservicio y en servicio a fines de la década de 1960 (O’Brien, nd, link).
Entender las matemáticas significa poder hacer matemáticas. ¿Y qué significa hacer matemáticas? En primer lugar significa poder resolver problemas matemáticos. Para los objetivos más elevados de los que estoy hablando ahora son algunas tácticas generales de problemas: tener la actitud correcta para los problemas y poder atacar todo tipo de problemas, no solo problemas muy simples, que se pueden resolver con las habilidades de la escuela primaria, pero problemas más complicados de ingeniería, física, etc., que se desarrollarán aún más en la escuela secundaria. Pero los cimientos deben iniciarse en la escuela primaria. Y entonces creo que un punto esencial en la escuela primaria es introducir a los niños a las tácticas de resolución de problemas. No para resolver este o ese tipo de problema, no para hacer solo divisiones largas o algo así, sino para desarrollar una actitud general para la solución de problemas.
La disciplina de las matemáticas, como cualquier otra disciplina académica, se enfoca en resolver problemas y realizar tareas (Moursund, 2016a, enlace).
Las matemáticas son una disciplina estructurada verticalmente en la que los nuevos resultados se basan en resultados anteriores. Tal sistema de construcción sobre el trabajo anterior del otro, se desmorona si se encuentra que el trabajo realizado anteriormente es incorrecto. Por lo tanto, las definiciones y suposiciones cuidadosamente seleccionadas, y luego los resultados (teoremas) basados ​​en las definiciones y suposiciones, forman la base de las matemáticas. Citando de la Wikipedia (Wikipedia, 2018c, enlace):
En matemáticas, un teorema es una afirmación que se ha probado sobre la base de afirmaciones previamente establecidas, como otros teoremas, y afirmaciones generalmente aceptadas, como los axiomas. Un teorema es una consecuencia lógica de los axiomas. La prueba de un teorema matemático es un argumento lógico para la declaración del teorema dado de acuerdo con las reglas de un sistema deductivo. La prueba de un teorema a menudo se interpreta como justificación de la verdad de la afirmación del teorema. A la luz del requisito de que los teoremas sean probados, el concepto de teorema es fundamentalmente deductivo, en contraste con la noción de una ley científica, que es experimental.
En breve resumen, las matemáticas son la resolución de problemas y la prueba. Las actividades educativas de educación matemática, tales como “muestra tu trabajo” y “explica los pasos que has dado para resolver un problema” son un enfoque común para enseñar a los jóvenes estudiantes sobre pruebas. A medida que los estudiantes progresan en sus estudios de matemáticas, aprenden más y más sobre pruebas.
Cualquier disciplina de estudio puede definirse como una combinación adecuada de los problemas que trabaja para resolver, las tareas que trabaja para lograr, sus logros acumulados, etc. Tiendo a ver el mundo a través de lentes de colores de resolución de problemas. Probablemente debido a mis muchos años de estudio en matemáticas, informática y educación, mis lentes de colores están teñidos para que enfaticen estas tres disciplinas de estudio.
Aquí hay una definición formal del término problema . Usted (personalmente) tiene un problema si se cumplen las siguientes cuatro condiciones:
Tienes una situación inicial dada claramente definida .
Tienes un objetivo claramente definido (una situación final deseada). (Algunos escritores hablan de tener múltiples objetivos en un problema. Sin embargo, esta situación de objetivos múltiples puede dividirse en una serie de situaciones de objetivos individuales).
Tiene un conjunto de recursos claramente definido que puede ser aplicable para ayudarlo a pasar de la situación inicial dada a la situación de objetivo deseada. Estos incluyen sus capacidades físicas y cognitivas, junto con los conocimientos y habilidades que ha adquirido a lo largo de su vida. En algunas situaciones de resolución de problemas, puede haber limitaciones específicas en los recursos, tales como reglas, regulaciones y pautas para lo que se le permite hacer al intentar resolver un problema en particular. Esto es cierto en la mayoría de los exámenes escolares.
Usted tiene cierta responsabilidad: está comprometido a utilizar algunos de sus propios recursos, como su conocimiento, habilidades y energías, para lograr la meta final deseada.
Estos cuatro componentes de un problema bien definido se resumen en las cuatro palabras: datos, objetivo, los recursos y la propiedad. Si falta uno o más de estos componentes, llamamos a esto una situación problemática . Un aspecto importante de la resolución de problemas es darse cuenta cuando uno se enfrenta a una situación problemática y trabaja para transformarla en un problema bien definido.
Las personas a menudo se confunden con los recursos (parte 3) de la definición. Los recursos no te dicen cómo resolver un problema. Los recursos simplemente le dicen lo que tiene permitido hacer y / o usar para resolver el problema. Por ejemplo, desea crear una campaña publicitaria a nivel nacional para aumentar las ventas en al menos un 20% para un conjunto de productos que produce su empresa. La campaña se completará en tres meses y no excederá los $ 80.000 en costos. Tres meses es un recurso de tiempo y $ 80.000 es un recurso de dinero. Su tiempo y capacidades son un recurso de personas. Puede usar estos recursos para resolver el problema, pero los recursos no le dicen cómo resolverlo. De hecho, el problema podría no ser solucionable.
Los problemas no existen en el resumen. Solo existen cuando hay propiedad . El propietario puede ser una persona, un grupo de personas como los estudiantes de una clase, o puede ser una organización, un país o el mundo entero. El calentamiento global es un ejemplo de un problema mundial.
Una persona puede tener la propiedad “asignada” por su supervisor en una empresa. Es decir, la empresa o el supervisor tiene la propiedad y lo asigna a un empleado o grupo de empleados.
La idea de propiedad es particularmente importante en la educación. Si un estudiante crea o ayuda a crear los problemas a resolver, hay una mayor probabilidad de que el estudiante tenga la propiedad. Dicha propiedad contribuye a la motivación intrínseca: la voluntad de comprometer el tiempo y las energías para resolver el problema.
El tipo de propiedad que proviene de un estudiante que desarrolla un problema que él / ella realmente quiere resolver es bastante diferente del tipo de propiedad que a menudo ocurre en los entornos escolares. Cuando se enfrenta a un problema presentado / asignado por el maestro o el libro de texto, un estudiante puede traducirlo en “Mi problema es hacer la tarea y obtener una buena calificación. No tengo ningún interés en el problema presentado por el maestro o el libro de texto “. Un maestro capacitado ayudará a los estudiantes a desarrollar proyectos que contengan problemas desafiantes, y los problemas son los que realmente les interesan.
Algunas ideas clave para establecer metas en la educación matemática
Debido a que ha habido una gran cantidad de investigaciones en el campo de las matemáticas a lo largo de los años, hay una gran cantidad de información sobre cómo resolver una gran variedad de problemas matemáticos. Si un problema del mundo real se puede representar matemáticamente, esto puede ser bastante útil para resolverlo.
Aquí hay cinco ideas que pueden ayudarnos a establecer metas para la educación matemática (Moursund, 2018a, enlace).
La resolución de problemas está en el corazón de las matemáticas y la educación matemática. Las matemáticas son una ayuda importante para representar y resolver problemas en muchas disciplinas diferentes. Las escuelas siempre han incluido un enfoque en la lectura en todo el currículo. Esto debe ampliarse a las matemáticas y la resolución de problemas en todo el plan de estudios.
Cada disciplina de estudio avanza basándose en el trabajo anterior de otros . Esto es especialmente cierto en matemáticas, porque los matemáticos desarrollan y prueban teoremas matemáticos que perduran a lo largo de los siglos. Usted podría preguntarse, ¿cuántos teoremas matemáticos hay? Esta pregunta se discute en el sitio web Pregunte a un matemático / Pregunte a un físico (The Physicist, 23/11/2012, enlace). La respuesta proporcionada es que hay muchos millones y quizás un número infinito. Esto sugiere una pregunta seria. ¿Cuántos teoremas necesitan los estudiantes para aprender en varios niveles de grado, y cuáles? Muchos maestros y algunas pruebas estandarizadas les proporcionan a los estudiantes una lista de “hojas de trucos” de fórmulas matemáticas de uso frecuente. Una calculadora sofisticada o una computadora pueden ser un sustituto para memorizar muchos teoremas, fórmulas y algoritmos. Solo búsquelo en la Web y haga que la computadora realice los cálculos y manipulaciones de símbolos necesarios.
La fluidez y el sentido de las matemáticas es poder leer, escribir, hablar, escuchar, pensar y entender (dar sentido a) las comunicaciones en el lenguaje de las matemáticas o que incluyen algo de cálculo. Esto es algo parecido a desarrollar fluidez en un lenguaje natural.
La madurez matemática es poder hacer un uso efectivo de las matemáticas que uno ha estudiado. Es la capacidad de reconocer, representar, aclarar y resolver problemas relacionados con las matemáticas utilizando la matemática que uno ha estudiado. Por lo tanto, un estudiante de quinto grado puede tener un nivel alto o bajo de madurez matemática en relación con el contenido matemático que se espera que un alumno típico de quinto grado haya aprendido.
Una buena educación matemática ayuda a los estudiantes a desarrollar competencias en 1 a 4 que se mencionaron anteriormente. La tecnología de la información y la comunicación (TIC) nos proporciona una enseñanza, un aprendizaje y una ayuda en constante crecimiento para lograr de 1 a 4.
Muchos de los problemas relacionados con las matemáticas que las personas encuentran en diversas disciplinas, particularmente en las ciencias y en todas las áreas que usan análisis estadísticos o grandes bases de datos, requieren una cantidad de cómputo que va más allá de lo que se puede hacer a mano. ¡Solo piense en una compañía como Amazon que intenta tratar con muchos millones de clientes y millones de productos diferentes utilizando un sistema de lápiz y papel!
Es fácil ver por qué las matemáticas son una parte tan importante del currículo escolar PreK-12. Si bien esencialmente todos los humanos tienen la capacidad de aprender y usar una cantidad significativa de matemáticas, las personas varían ampliamente en cuanto a su capacidad innata e interés en las matemáticas.
Durante más de 5.000 años, las escuelas han luchado para determinar qué matemáticas enseñar y cómo enseñarla de manera efectiva y eficiente. La Evaluación Nacional del Progreso Educativo es una prueba en los Estados Unidos que se ha utilizado desde 1969, con gráficos de resultados de 1971-2012 disponibles en línea (NAEP, 2012, enlace ). Los datos de años más recientes también están disponibles en línea (NAEP, 2018, enlace ). En términos generales, los niños de 9 años y de 13 años han progresado un poco en los puntajes de matemáticas a lo largo de los años, pero los de 17 años no. Los Estados Unidos tienden a estar en el medio en términos de evaluaciones internacionales.
Las computadoras son un importante agente de cambio, tanto en matemáticas como en muchas otras disciplinas. El próximo boletín de esta serie analiza algunos roles posibles de las computadoras en la enseñanza, el aprendizaje y el hacer (usar) las matemáticas.
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