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Timestamp: 2020-01-27 13:56:06+00:00

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Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 2 Sistemas de ecuaciones lineales En este capítulo comenzamos propiamente el estudio del Álgebra Lineal. La palab...
Author: Rosa María Calderón Duarte
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Sistemas de ecuaciones lineales En este capítulo comenzamos propiamente el estudio del Álgebra Lineal. La palabra álgebra es de origen árabe y significaba originalmente “completar” o “recomponer”. En El Quijote se usa la palabra “algebrista” para referirse a una “persona que sabe recomponer los huesos [dislocados]”. El sentido matemático de la palabra “álgebra” proviene de los métodos enseñados por los matemáticos árabes del siglo IX para “despejar” la incógnita de una ecuación y poder hallar así su solución. Esos métodos consistían en “completar” y “recomponer” los términos de una ecuación de primer o segundo grado. Así pues, el álgebra era originalmente el arte de manipular las ecuaciones con el fin de hallar su solución. El máximo ejemplo de álgebra en este sentido es lo que hoy llamamos la complección del cuadrado del binomio1 que nos permite resolver una ecuación de segundo grado o deducir la fórmula de su solución. La palabra lineal que aparece en “Álgebra Lineal” debe entenderse no en el sentido general de “línea” u objeto “unidimensional” sino en el sentido más restringido de “línea recta”, concebida como la representación geométrica de un polinomio de grado 1. El concepto clave es, pues, el de “recto” y no el de “línea” (como en la palabra “alineados”) y está muy relacionado con el concepto de proporción ya que para tres puntos alineados las diferencias de abscisas son proporcionales a las correspondientes diferencias de ordenadas.
También es parte del Álgebra Lineal (ver último tema) el estudio de las formas cuadráticas, que son polinomios de grado 2. Pero lo que hace que esto sea parte del Álgebra Lineal es que en este estudio es fundamental el marco del espacio vectorial en el que está definida la forma cuadrática, lo cual hace que las formas cuadráticas sean parte del estudio de los espacios vectoriales.
1 Un polinomio de segundo grado,
del binomio x +
x2 + bx + c no es en general el cuadrado de un binomio, pero sí es igual al cuadrado si le sumamos lo que le falta: 14 (b2 − 4c) (que es lo que completa el cuadrado del binomio).
Versión de 8 de diciembre de 2016, 12:44 h.
El concepto matemático de “lineal” incluye también un plano en el espacio (porque su ecuación está dada por un polinomio de grado 1) y también objetos geométricos análogos de dimensiones superiores, todos ellos definidos por ecuaciones de grado 1. El problema fundamental del Álgebra Lineal es determinar la intersección de varios de tales objetos, lo que equivale a “resolver” simultáneamente varias ecuaciones de primer grado (con una o más incógnitas). Las leyes que rigen las manipulaciones algebraicas de tales conjuntos de ecuaciones definen una estructura matemática llamada Espacio Vectorial, de forma que una definición breve y completa del Álgebra Lineal es que consiste en el estudio de los Espacios Vectoriales.
2.1. Conceptos básicos de las ecuaciones lineales
Conceptos básicos de las ecuaciones lineales
El estudio del Álgebra Lineal comienza por los métodos de resolución de las ecuaciones de grado 1 en varias incógnitas. Se puede pensar que si en el estudio de las ecuaciones el primer paso es aprender a resolver una ecuación de primer grado en una incógnita y el segundo es aprender a resolver una ecuación de segundo grado en una incógnita, el tercer paso es aprender a hallar la solución simultánea de un conjunto —sistema— de varias ecuaciones de primer grado en varias incógnitas. La idea directriz que se debe tener ante un sistema de ecuaciones en varias incógnitas es que para poderlo “resolver” es necesario disponer de tantas ecuaciones “independientes” como incógnitas. Sin embargo, como pronto veremos, especialmente en el caso de los sistemas de ecuaciones lineales, esta idea directriz necesita varias matizaciones importantes.
Concepto de sistema de ecuaciones lineales ecuación lineal
Una ecuación lineal es una igualdad entre dos polinomios de primer grado en varias variables con coeficientes reales o complejos. Por ejemplo: 4x − 5y + 2 = 3z + 2i (1 − x ). Las incógnitas de la ecuación son las indeterminadas o variables independientes de los dos polinomios que aparecen en ella. En el caso del ejemplo las incógnitas son x, y, z. Toda ecuación lineal se puede escribir como un polinomio de primer grado (en varias variables, con coeficientes reales o complejos) igualado a cero. En el caso de la ecuación anterior, la podemos escribir en la forma: (4 + 2i ) x − 5y − 3z + (2 − 2i ) = 0. Si una ecuación lineal está escrita de esta forma, los coeficientes de los términos de grado 1 se llaman los coeficientes de la ecuación y el opuesto del término de grado cero se llama el término independiente de la ecuación. Si el término independiente de la ecuación es cero entonces el polinomio que la define es un polinomio es homogéneo (sólo tiene términos de grado 1) y la ecuación se llama una ecuación lineal homogénea.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales. Las incógnitas del sistema son todas las incógnitas de todas las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, en los sistemas: 3x + 2y + z = x + 4 (1 + i )z + iw = 0 (2.1) 1 − z + 6x = 6 + z − t 2iz + (1 − i )w = 4 + 4i. las incógnitas son x, y, z, t en el de la izquierda y z, w en el de la derecha.
Forma estándard de un sistema de ecuaciones lineales primer paso
El primer paso en el análisis de un sistema de ecuaciones lineales consiste en escribir cada una de las ecuaciones que aparecen en él con todas las incógnitas en el miembro de la izquierda y los términos independientes en el miembro de la derecha, de forma que cada ecuación del sistema quede escrita como un polinomio homogéneo (de grado 1, en varias variables) igualado a una constante. Por ejemplo, en el caso del sistema de la izquierda de los (2.1) el primer paso sería escribir: 2x + 2y + z = 4 (2.2) −2z + 6x + t = 5. 2
2. Sistemas de ecuaciones lineales segundo paso
El segundo paso consiste en reordenar los términos de los polinomios de cada ecuación de forma que todas tengan las incógnitas en el mismo orden. En el caso del ejemplo anterior, pondríamos: 2x + 2y + z
=4 − 2z + t = 5.
Esta es la forma en la que presentaremos normalmente los sistemas de ecuaciones lineales en este curso, con lo cual, en general no será necesario realizar los dos primeros pasos descritos, y podremos centrarnos en el proceso de resolución propiamente dicho. Finalmente, para resaltar el orden de las incógnitas utilizaremos una sola letra con subíndices sucesivos para denotar las incógnitas. Así, el sistema del ejemplo lo escribiríamos usualmente ya en la forma: 2x1 + 2x2 + x3
=4 − 2x3 + x4 = 5.
Ésta sería la forma estándard del sistema.
Representación matricial Una vez que se ha escrito un sistema de ecuaciones lineales como una lista de polinomios homogéneos de grado 1 igualados a constantes y que se han escrito las incógnitas en todas las ecuaciones en el mismo orden, se puede prescindir de escribir los nombres de las incógnitas e incluso de escribir los signos de sumar que combinan los términos de los polinomios, quedándonos unicamente con los coeficientes de cada ecuación y con los términos independientes. Se obtiene de esta forma una tabla de números alineados en columnas: 2 6
1 0 4 −2 1 5
En esta tabla, la última columna (la más a la derecha) está formada por los términos independientes, y las demás columnas (una por cada incógnita) contienen cada una los coeficientes de la incógnita correspondiente según aparecían en las ecuaciones en forma estándard. Esta tabla de números, normalmente escrita entre paréntesis para delimitarla como un objeto único, se llama muy apropiadamente la matriz del sistema porque de ella se puede obtener el sistema. matriz del Para escribir la matriz de un sistema de ecuaciones lineales es muy importante tener en cuenta que en aquellas ecuaciones en las que no aparezca una incógnita determinada se debe pensar que en el lugar en el que debería aparecer esa incógnita (según la forma en que las hayamos ordenado) está presente dicha incógnita con un coeficiente igual a cero. De esta forma en el lugar correspondiente de la matriz del sistema escribiremos un cero y la matriz será un rectángulo completo con tantas filas como ecuaciones tiene el sistema y tantas columnas como incógnitas tiene mas 1.
Matriz de coeficientes y matriz ampliada En algunos problemas no nos interesan los términos independientes del sistema sino que solamente nos interesan los coeficientes. En ese caso, prescindimos de la última columna de la matriz del sistema para quedarnos solamente con la llamada matriz de coeficientes. Por esta matriz de razón, se suele llamar también a la matriz del sistema la matriz ampliada, porque es igual a la coeficientes. matriz de coeficientes ampliada por la columna de términos independientes. Por ejemplo, para matriz ampliada 3
= matriz del sistema.
el sistema (2.4), cuya matriz está definida por la tabla (2.5), tenemos: 2x1 + 2x2 + x3
sistema de ecuaciones:  matriz de coeficientes:
A partir de ahora, consideraremos a todo sistema de ecuaciones lineales como completamente equivalente a su matriz (ampliada), de forma que dos sistemas son el mismo si y sólo si tienen la misma matriz ampliada. Por otro lado, dos matrices son iguales si y sólo si ambas tienen el mismo número de filas, el mismo número de columnas y los elementos de lugares correspondientes son iguales. Una de las consecuencias de lo que acabamos de decir es que los dos sistemas: x1 + 2x2 = 4 x1 − x2 = 1
x1 − x2 = 1 x1 + 2x2 = 4
deben considerarse como distintos aunque sólo se diferencien en el orden en el que están escritas las ecuaciones.
Concepto de solución. La aplicación determinada por los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales Dados unos valores determinados de las incógnitas, podemos averiguar si constituyen una solución de un sistema haciendo dos cosas: Primero, calcular los miembros de la izquierda de todas las ecuaciones para esos valores particulares de las incógnitas y, segundo, comparar los resultados obtenidos con los miembros de la derecha o términos independientes. Por ejemplo, si queremos saber si el punto ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = (1, 2, 3, 4) ∈ R4 es una solución del sistema (2.4), calculamos en ese punto los miembros de la izquierda: 2x1 + 2x2 + x3 = 2 × 1 + 2 × 2 + 3 = 9 6x1 − 2x3 + x4 = 6 × 1 − 2 × 3 + 4 = 4. Comparando estos resultados con los términos independientes vemos que no son iguales por lo que concluimos que el punto (1, 2, 3, 4) ∈ R4 no es una solución de nuestro sistema. Si hacemos lo mismo con el elemento (1, 1, 0, −1) de R4 vemos que al evaluar los miembros de la izquierda del sistema (2.4), los resultados coinciden con los miembros de la derecha por lo que éste sí es una solución de (2.4). Lo que hacemos al proceder de esta manera es evaluar la siguiente función de R4 a R2 , la cual está completamente determinada por los miembros de la izquierda de las ecuaciones del sistema:   2x1 + 2x2 + x3 4 2 f : R → R , f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = . (2.7) 6x1 − 2x3 + x4 la aplicación determinada por los coeficientes del sistema de ecuaciones
Esta función o aplicación se llama la aplicación determinada por los coeficientes del sistema de ecuaciones. En términos de esta aplicación, el sistema de ecuaciones (2.4) se puede representar como la ecuación f (x) = b, (2.8) donde b es el vector de los términos independientes. 4
Conjunto solución Todo sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas divide al conjunto Rn (o Cn ) en dos subconjuntos: El conjunto de los elementos o vectores que son solución del sistema (llamado el conjunto solución del sistema) y el de los que no lo son. Esto es así incluso en los siguientes dos conjunto casos extremos: (1) que el sistema no tenga ninguna solución, y (2) que todo elemento de Rn solución sea solución. En el primer caso diremos que el conjunto solución es el conjunto vacío, denotado conjunto vacío mediante el símbolo ∅. En el segundo caso el conjunto solución es todo Rn y el conjunto de los vectores que no son solución es el conjunto vacío, ∅. En términos de la aplicación asociada al sistema de ecuaciones lineales, el sistema se puede representar en la forma (2.8) y entonces el conjunto solución es el conjunto f −1 (b), llamado también imagen inversa de b por f . Es incorrecto decir que un sistema dado no tenga conjunto solución. Todo sistema de ecuaciones ¡Atención! tiene conjunto solución. Si el sistema no tiene ninguna solución, aún así tiene un conjunto solución, que es ∅. En esos casos podemos decir, equivalentemente, que el sistema no tiene solución o que el conjunto solución del sistema es ∅. Esto sólo ocurre en los sistemas cuyas ecuaciones son incompatibles o contradictorias, como por ejemplo en el sistema: ( x1 = 1 o el sistema de una sola ecuación 0x1 = 1. x1 = 0 Un sistema cuyo conjunto solución sea vacío se llama incompatible. Un sistema que tiene alguna solución (o sea, cuyo conjunto solución no es vacío) se llama compatible y se dice que sus ecuaciones son compatibles. Sistemas determinados. Hay un tipo muy especial de sistemas compatibles: aquellos cuyo conjunto solución tiene un único elemento. Estos sistemas se llaman sistemas determinados. Aquellos cuyo conjunto solución tiene más de un elemento se llaman sistemas compatibles indeterminados.
Cuestiones de existencia y unicidad de soluciones Hay dos cuestiones fundamentales que se plantean acerca de las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones e incluso de cualquier problema matemático; éstas se conocen como la cuestión de existencia y la cuestión de unicidad. La primera consiste en plantearse si el sistema tiene o no alguna solución (si existe solución), es decir, si el sistema es compatible o no. La segunda cuestión es si existe una sola solución (solución única), es decir, si el sistema es determinado o indeterminado. Relación con las aplicaciones sobreyectivas e inyectivas Las cuestiones de existencia y unicidad de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales están íntimamente relacionadas con los conceptos generales de aplicación sobreyectiva y de aplicación inyectiva. Estos conceptos son de gran importancia y serán utilizados en muchas ocasiones a lo largo de este curso, por lo que conviene comprenderlos claramente. Una función o aplicación del conjunto A al conjunto B, f : A → B,
es una regla o fórmula para asignar a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B que se llama “el valor de f en el elemento dado de A”. El conjunto A de los “datos” en los que se evalúa la función f se llama el dominio de f , mientras que el conjunto B que contiene los dominio resultados de evaluar f se llama el codominio de f . Por ejemplo, para cualquier función real de codominio 5
2.2. Resolución de los sistemas de ecuaciones lineales
variable real definida por un polinomio, tanto el dominio como el codominio de la misma es el conjunto R de los números reales. Conjunto imagen. Aplicación sobreyectiva
Los valores o resultados que se obtienen al evaluar f ( x ) para los distintos x ∈ A, son elementos de B llamados las imágenes de f y el conjunto de todas esas imágenes es un subconjunto de B llamado la imagen de f y denotado Im( f ) y a veces también f ( A). Una aplicación f : A → B es sobreyectiva si todo elemento del codominio B es un elemento de la imagen Im( f ), es decir si Im( f ) = B (“la imagen es igual al codominio”). Esto es lo mismo que decir que “para todo elemento b ∈ B la ecuación f ( x ) = b tiene al menos una solución”. Por tanto el concepto de aplicación sobreyectiva está relacionado con la cuestión de existencia de soluciones.
Por otro lado, f es inyectiva si elementos distintos de A tienen imágenes distintas, es decir, si ( x, y ∈ A, x 6= y) implica f ( x ) 6= f (y). Esto  se puede decir de varias otras formas, por ejemplo: f es inyectiva si x, y ∈ A, f ( x ) = f (y) implica x = y. Pero la forma de decirlo que más nos interesa ahora es la que relaciona el concepto de aplicación inyectiva con la cuestión de unicidad de soluciones: f es inyectiva si “para todo elemento b ∈ B la ecuación f ( x ) = b tiene a lo sumo una solución”.
Las aplicaciones que son a la vez sobreyectivas e inyectivas se llaman aplicaciones biyectivas y se caracterizan por el hecho de que emparejan completamente todos los elementos de los dos conjuntos, dominio y codominio de la aplicación. Decir que la aplicación determinada por los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es sobreyectiva significa que para cualesquiera términos independientes que pongamos, el sistema resultante siempre tendrá solución. Decir que dicha aplicación es inyectiva significa que para cualesquiera términos independientes que pongamos, el sistema resultante, si tiene solución es única.
Resolución de los sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes Dos sistemas de ecuaciones lineales distintos con el mismo número de incógnitas pueden tener exactamente el mismo conjunto solución. Que esto es cierto es evidente porque hay muchos sistemas incompatibles distintos y todos ellos tienen el mismo conjunto solución: el conjunto vacío. Sin embargo, la afirmación hecha va mucho más allá de esos casos triviales y sigue siendo cierta incluso para los sistemas compatibles. Por ejemplo, los siguientes: (
x1 + 2x2 = 4 x1 − x2 = 1
x1 − x2 = 1 x1 + 2x2 = 4,
son dos sistemas compatibles distintos cuya solución es ( x1 , x2 ) = (2, 1) en ambos casos. Se puede objetar que los sistemas (2.10) no son “realmente” distintos porque sólo difieren en el orden en el que están dadas las ecuaciones y esta diferencia es irrelevante para las soluciones. Entonces nos preguntamos: ¿Qué otras diferencias puede haber entre dos sistemas de ecuaciones lineales que sean “irrelevantes” a la hora de buscar su solución?. 6
Hay tres tipos básicos de transformaciones que se pueden realizar sobre un sistema de ecuaciones lineales cuyo resultado es otro sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones y de incógnitas y que “no es realmente distinto” del de partida. Son estas: Cambiar el orden en que están dadas las ecuaciones. Por ejemplo: ( x1 + 2x2 = 4 tiene las mismas soluciones que El sistema x1 − x2 = 1
x1 − x2 = 1 x1 + 2x2 = 4.
Multiplicar una ecuación del sistema dado por un número distinto de cero. Por ejemplo: ( ( x1 + 2x2 = 4 x1 + 2x2 = 4 El sistema tiene las mismas soluciones que x1 − x2 = 1 5x1 − 5x2 = 5, porque la segunda ecuación del segundo sistema es igual a la correspondiente del otro multiplicada por 5. Sustituir una ecuación del sistema por el resultado de sumarle miembro a miembro otra ecuación del sistema. Por ejemplo: ( ( x1 + 2x2 = 4 2x1 + x2 = 5 El sistema tiene las mismas soluciones que x1 − x2 = 1 x1 − x2 = 1, porque la primera ecuación del segundo sistema es el resultado de sumar a la primera ecuación del dado, la segunda. Cualquier combinación de estos tres tipos básicos de transformaciones da lugar a otra transformación que no cambia el conjunto solución. A esos tres tipos básicos se puede añadir otra transformación que no cambia el conjunto solución pero que cambia el número de ecuaciones: Añadir la ecuación 0 = 0 o eliminarla si la hubiera. Llegados a este punto planteamos la siguiente cuestión: Sabemos que si a un sistema de ecuaciones lineales se le aplica cualquier combinación de las transformaciones descritas, se obtendrá otro sistema que tiene el mismo conjunto solución. ¿Será cierto que, a la inversa, para todo par de sistemas de ecuaciones lineales que tengan el mismo conjunto solución se pueden obtener uno del otro mediante la aplicación repetida de una o varias de las transformaciones descritas?. Más tarde estaremos en posición de demostrar que la respuesta es afirmativa e incluso de saber hallar las transformaciones que convierten un sistema en el otro. Esto nos lleva a hacer la siguiente definición: Definición: solución.
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto Sistemas equivalentes.
Operaciones elementales La estrategia fundamental para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales consiste La estrategia en transformar una o varias veces las ecuaciones del sistema mediante los tipos de transformaciones recién descritas, de forma que en cada paso se obtenga un sistema (equivalente) más fácil de resolver. Procediendo de esta forma se puede llegar a transformar el sistema original en otro equivalente cuyas soluciones sean claras o cuya inconsistencia sea evidente. 7
En la práctica realizaremos sobre las ecuaciones del sistema dado operaciones elementales, las cuales son esencialmente los tres tipos básicos descritos más arriba, excepto que el tercer tipo de operación elemental es un poco más general que sumar una ecuación a otra: Los tres tipos de operaciones elementales son: Intercambio.
1) Realizar un intercambio de las posiciones que ocupan dos ecuaciones determinadas en el sistema. 2) Multiplicar los dos miembros de una ecuación dada por un número distinto de cero. Este tipo de operación se llama una operación de reescalado. 3) Sustituir una ecuación por el resultado de sumarle, miembro a miembro, un múltiplo no nulo de otra ecuación. Este tipo de operación se llama una operación de reemplazo porque una ecuación queda reemplazada por el resultado de sumarle un múltiplo de otra. Inversas de las operaciones elementales. Toda operación elemental realizada sobre un sistema se puede “deshacer” mediante la realización de otra operación elemental. Por ejemplo, si se han intercambiado dos ecuaciones, al realizar de nuevo la misma operación de intercambio, las ecuaciones vuelven a sus posiciones originales. Si realizamos una operación de reescalado multiplicando una cierta ecuación por c, entonces por definición de operación de reescalado c es distinto de cero y podemos reescalar la misma ecuación por 1/c con lo que recuperamos la ecuación de partida. Finalmente, supongamos que realizamos la operación de reemplazo que consiste en sumar a la segunda ecuación la primera multiplicada por 3: x1 + 2x2 = 4 x1 − x2 = 1
sumo a la 2a ecuación la 1a ×3
x1 + 2x2 = 4 4x1 + 5x2 = 13,
Si a continuación realizamos la operación de reemplazo que consiste en sumar a la segunda ecuación la primera multiplicada por −3 estaremos restando lo que habíamos sumado y volveremos a obtener las mismas ecuaciones que teníamos al principio: x1 + 2x2 = 4 4x1 + 5x2 = 13,
sumo a la 2a ecuación la 1a ×(−3)
En resumen: Toda operación elemental tiene una inversa que es también una operación elemental.
Operaciones elementales en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Uno de los errores más frecuentes al intentar resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en “despejar” y “sustituir” incógnitas de forma más o menos aleatoria con la esperanza de conseguir despejarlas todas y encontrar la solución. Esta forma de proceder, combinada con un poco de habilidad suele dar resultado para sistemas pequeños con no más de dos incógnitas o para sistemas que tengan algunas simetrías muy obvias, pero cuando el número de incógnitas y de ecuaciones aumenta, suele llevarnos a círculos viciosos de los que es difícil salir. El método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales más eficaz se realiza mediante operaciones elementales en dos fases que se describen a continuación. Fase 1: Simplificación del sistema o fase de eliminación La forma sistemática de aplicar la estrategia de simplificación mediante operaciones elementales se basa en el hecho de que si una incógnita aparece en una ecuación, entonces su 8
coeficiente en esa ecuación es distinto de cero y entonces podemos: (1) hacerlo igual a 1 (mediante una operación de reescalado), y (2) eliminar esa incógnita de toda otra ecuación en la que aparezca (mediante una operación de reemplazo). Por ejemplo, en el sistema: x1 +2x2 −3x3 + x4 = 4 x2 + x3
=b + x3 +2x4 = c.
podemos utilizar la tercera ecuación para eliminar la incógnita x1 de todas las demás, que es decir, en este caso, eliminarla de la primera ecuación ya que no aparece en la segunda. Para hacer esto realizamos la operación elemental de “sumar a la primera ecuación la tercera multiplicada por −1”. También podíamos haber usado la primera ecuación para eliminar la incógnita x1 de las otras, pero en este ejemplo queremos acentuar que se puede utilizar la ecuación que más convenga. Así al elegir la incógnita x1 de la tercera ecuación, la señalamos con un recuadro y realizamos la operación elemental indicada, con lo que nuestro sistema se convierte en: 2x2 −4x3 − x4 = 4 − c x1
x2 + x3 =b + x3 +2x4 = c.
La incógnita eliminada sólo permanece en la ecuación que fué utilizada para realizar esta eliminación. Vamos a utilizar una notación estándard para las operaciones elementales. La operación de reemplazo que consiste en sumar a la ecuación k la ecuación h multiplicada por c la vamos a denotar Ek → Ek + cEh , que debe leerse: “La ecuación k queda sustituida por el resultado de sumarle la ecuación h multiplicada por c”. Entonces, la operación realizada para pasar del sistema (2.11) al sistema (2.12) se denotaría: E1 → E1 − E3 y escribiríamos: x1 +2x2 −3x3 + x4 = 4 x2 + x3 x1
2x2 −4x3 − x4 = 4 − c
E1 → E1 − E3 −−−−−−−−−→
x2 + x3 x1
Hecho esto, observamos que el sistema formado por las demás ecuaciones tiene al menos una incógnita menos que el sistema completo y podemos repetir el mismo proceso con dicho subsistema. En nuestro ejemplo podríamos elegir la incógnita x2 y eliminarla de la ecuación restante de esta forma: 2x2 −4x3 − x4 = 4 − c x2 + x3 x1
−6x3 − x4 = 4 − c − 2b =b
E1 → E1 − 2E2 −−−−−−−−−− →
+ x3 +2x4 = c.
El proceso termina cuando nos queda solamente una ecuación por utilizar. En todas las demás hay una incógnita recuadrada. Ninguna de esas incógnitas aparece en la última ecuación que nos queda. Llegados a este punto, y para terminar esta fase de eliminación, sólo nos queda elegir una de las incógnitas que aún permanecen en la última ecuación y marcarla con un recuadro como las anteriores, de forma que ahora todas las ecuaciones tienen marcada una incógnita y es una incógnita distinta en cada ecuación. En nuestro ejemplo, podemos terminar esta fase recuadrando x4 : −6x3 − x4 = 4 − c − 2b x2 + x3 x1
+ x3 +2x4 = c. 9
1 Ejercicio de tarea. Completar la fase de eliminación para el sistema (2.11) eligiendo en el segundo paso la incógnita x3 en lugar de x2 , de forma que tendríamos: 2x2 −4x3 − x4 = 4 − c x2 + x3 x1
¿Cuál sería la siguiente operación elemental a realizar? ¿Cómo quedaría el sistema al final de esta fase? Caso de que desaparezcan todas las incógnitas de una ecuación. La cuestión de existencia Al realizar el proceso de eliminación puede ocurrir que en algún momento desaparezcan todas las incógnitas de una ecuación. Por ejemplo, esto ocurre en el sistema que se muestra a continuación al sumar a la segunda ecuación la primera multiplicada por 2: x1 + 2x2 − 3x3 = 4
−2x1 − 4x2 + 6x3 = b.
x1 + 2x2 − 3x3 = 4
E2 → E2 + 2E1 −−−−−−−−−− →
0x1 + 0x2 + 0x3 = b + 8.
Cuando esto ocurre, nuestro sistema se transforma en uno que tiene una ecuación de la forma 0 = a donde a puede ser cero o no. Si a es cero, hemos obtenido la ecuación 0 = 0 que no tiene relevancia para la solución sistema y que se puede descartar. Si a no es cero, hemos llegado a una ecuación imposible, que indica que nuestro sistema original era incompatible, como ocurriría en el ejemplo anterior si b fuese 6= −8, por ejemplo: x1 + 2x2 − 3x3 = 4
−2x1 − 4x2 + 6x3 = 5.
x1 + 2x2 − 3x3 = 4 0x1 + 0x2 + 0x3 = 13.
En este caso, hemos terminado y podemos decir que el conjunto solución es ∅. Así pues, realizar la fase 1 nos permite contestar la cuestión de existencia de soluciones para nuestro sistema: No existe solución si en el proceso de eliminación se obtiene una ecuación en la que todas las incógnitas tenen coeficiente cero pero el término independiente no es cero. Si esto no ocurre, existe solución. En nuestro ejemplo no ha ocurrido que desaparezcan todas las incógnitas de una ecuación, por tanto podemos afirmar que el sistema original era compatible. Incógnitas básicas y variables libres. La cuestión de unicidad Si terminado el proceso de eliminación no hemos encontrado ninguna inconsistencia, aparte de saber que el sistema tiene solución, habremos transformado nuestro sistema en otro equivalente pero que es mucho más fácil de resolver. Pero lo realmente interesante de lo que hemos obtenido es que las incógnitas originales han quedado clasificadas en dos tipos: Las que aparecen en un recuadro, que llamaremos incógnitas básicas, y las demás, que llamaremos variables libres. En nuestro ejemplo, según vemos en (2.13), tenemos: incógnitas básicas:
x1 , x2 , x4 ;
variables libres:
El objetivo de la siguiente fase es expresar las incógnitas básicas en función de las variables libres. Las distintas posibles soluciones del sistema se obtendrán dando valores arbitrarios a las variables libres y calculando los correspondientes valores de las incógnitas básicas. Pero no es necesario hacer eso para poder contestar la cuestión de unicidad para nuestro sistema: Un sistema compatible tiene solución única si no hay variables libres; si hay alguna variable libre la solución no es única. La existencia o no de variables libres es una propiedad del sistema que no depende de los términos independientes. Sólo depende de los coeficientes. 10
Fase 2: Sustitución regresiva y solución del sistema La forma más eficaz de consguir expresar las incógnitas básicas en función de las variables libres es la técnica de “sustitución regresiva” llamada así porque se trabaja sobre las ecuaciones en el orden inverso al que se llevó en la fase anterior: Yendo ecuación a ecuación en el orden inverso al llevado en la fase de eliminación se despeja la incógnita básica de esa ecuación y se sustituye por su valor en todas las demás ecuaciones. Al terminar la fase 1, el sistema suele haber alcanzado una forma suficientemente sencilla como para que este “despejar y sustituir” se pueda realizar sin dificultades siempre que se siga el orden inverso tal como acabamos de decir. En nuestro ejemplo esto se reduciría a: (1) Despejamos x4 en la primera de las (2.13): x4 = 2b + c − 4 − 6x3 . (2) Sustituimos x4 en la última de las (2.13) (ya que es la única ecuación en la que aparece), de forma que esta ecuación se convierte en: x1 + x3 + 2(2b + c − 4 − 6x3 ) = c. (3) Despejamos x2 en la segunda de las (2.13): x2 = b − x3 (no aparece en la siguiente, luego no hay que sustituirla). (4) Despejamos x1 en la tercera de las (2.13) con lo que hemos obtenido: x4 = 2b + c − 4 − 6x3 x2 = b − x3
x1 = c − x3 − 2(2b + c − 4 − 6x3 ). Así, hemos realizado esta fase mediante “despejar y sustituir”. Sin embargo es muy importante acostumbrarse a realizar también esta fase mediante operaciones elementales. Para cada incógnita básica —y en el orden inverso al orden en el que éstas se han obtenido— se usa la ecuación en la que esa incógnita básica aparece recuadrada para eliminarla de todas las demás ecuaciones. En nuestro ejemplo bastaría hacer la operación elemental E3 → E3 + 2E1 :
−6x3 − x4 = 4 − c − 2b x2 + x3 x1
−6x3 − x4 = 4 − c − 2b
E3 → E3 + 2E1 −−−−−−−−−− →
+ x3 + 2 x4 = c.
+ x3 −11x3
=b = c + 2(4 − c − 2b).
y con esto ya estarían las ecuaciones listas para despejar las incógnitas básicas: x4 = 2b + c − 4 − 6x3 x2 = b − x3
x1 = c + 2(4 − c − 2b) + 11x3 . Estas fórmulas, ya sean (2.14) o (2.15), que expresan las incógnitas básicas en función de las variables libres son las ecuaciones paramétricas del conjunto solución. Las variables libres actúan como parámetros que pueden tomar valores arbitrarios. Cada vez que elijamos a capricho valores para las variables libres, las fórmulas de las incógnitas básicas nos proporcionarán valores numéricos para ellas y habremos especificado una solución particular del sistema. Por ejemplo, si elegimos x3 = 0, tendremos la solución particular
Ecuaciones paramétricas del conjunto solución. solución particular
x1 = 8 − 4b − c, x2 = b, x3 = 0, x4 = 2b + c − 4. 2 Ejercicio de tarea. Realiza la fase de sustitución regresiva a partir del resultado del Ejercicio 1 y escribe las correspondientes ecuaciones paramétricas del conjunto solución usando x2 como variable libre. Comprueba que tu solución es equivalente a las ecuaciones (2.15). 11
(Este ejercicio presupone haber realizado el Ejercicio 1.)
El proceso de resolución de un sistema en versión matricial Toda operación elemental realizada sobre las ecuaciones de un sistema puede efectuarse de forma, si cabe, más económica, sobre las filas de la matriz (ampliada) del sistema. Por ejemplo, la siguiente operación elemental que hemos utilizado en un ejemplo: x1 +2x2 −3x3 + x4 = 4 x2 + x3
E →E −E
3 1 1 −−−−−− →
puede representarse matricialmente escribiendo: 
1 0 1
 −3 1 4 1 0 b 1 2 c
 F1 → F1 − F3
0 2 0 1 1 0
 −4 −1 4 − c 1 0 b 1 2 c
(donde hemos cambiado la “E” por una “F” en la notación de las operaciones elementales para indicar que ahora ya no son operaciones con ecuaciones, sino con filas de una matriz). De esta forma los procesos de eliminación y de sustitución se traducen en sendos procesos que, en cada paso, transforman la matriz de un sistema en la de un sistema equivalente. Las operaciones elementales que se pueden realizar sobre las ecuaciones de un sistema dan lugar, pues, a operaciones elementales sobre las filas de una matriz, las cuales, repitiendo lo dicho más arriba, son de los siguientes tipos: (a) Intercambio: Intercambiar las posiciones de dos filas. (b) Reescalado: Multiplicar una fila por un número distinto de cero. (c) Reemplazo: Sumar a una fila un múltiplo de otra. La resolución de un sistema por este método tiene tres partes: (a) Escribir la matriz del sistema (o sea, representar el sistema en forma matricial). (b) Realizar el proceso de “eliminación” y “sustitución” sobre la matriz del sistema. (c) Escribir el sistema de ecuaciones representado por la matriz obtenida al final del proceso.
(Este ejercicio presupone haber realizado los Ejercicios 1 y 2.)
Dos matrices de las que una ha sido obtenida a partir de la otra mediante la realización de una o varias operaciones elementales de filas se dice que son matrices equivalentes por filas. Evidentemente, las matrices que corresponden a sistemas de ecuaciones lineales equivalentes son matrices equivalentes por filas y, recíprocamente, los sistemas de ecuaciones lineales que corresponden a matrices equivalentes por filas, son sistemas equivalentes.
3 Ejercicio de tarea. Escribe el proceso completo de resolución indicado en los ejercicios 1 y 2 pero sin escribir las ecuaciones, es decir reescribiéndo todo el proceso en su versión matricial.
El teorema fundamental de las operaciones elementales Todo lo que acabamos de decir nos permite concluir lo siguiente, que será la clave en nuestro estudio de las matrices: Si sobre un sistema de ecuaciones lineales se realiza una operación elemental, y luego se escribe la matriz correspondiente al nuevo sistema obtenido, el resultado es la misma matriz que se obtendría realizando dicha operación elemental sobre la matriz del sistema original. 12
2.3. Forma escalonada reducida de una matriz
Este hecho se puede representar gráficamente de la siguiente forma: Sistema 1 O  Matriz 1
op. elem.
/ Sistema 2 O
 / Matriz 2
−6x3 − x4 = 1 =2 + x3 + 2 x4 = −1 O
E3 → E3 +2E1
−6x3 − x4 = 1 =2 −11x3 =1 O
 
0 0 1
−6 −1 1 1 0 2 1 2 −1
F3 → F3 +2F1
0 0 / 0 1 1 0
 −6 −1 1 1 0 2 −11 0 1
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2, Ejercicio 3.
Hemos visto que el proceso de eliminación y sustitución que nos permite resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la realización de operaciones elementales sobre esas ecuaciones puede realizarse también sobre la matriz del sistema mediante operaciones elementales de filas. En esta sección introducimos una versión refinada de dicho proceso cuyo interés va más allá de la resolución de los sistemas, ya que aplicado a una matriz cualquiera (no necesariamente una que hayamos obtenido a partir de un sistema de ecuaciones lineales) nos permitirá obtener valiosa información sobre la misma.
Matriz en forma escalonada Imaginemos que realizamos el proceso de eliminación en un sistema de ecuaciones lineales, el proceso de pero lo hacemos eliminando en el primer paso no una incógnita cualquiera sino precisamente “eliminación la primera. Esto siempre es posible porque habrá alguna ecuación en la que aparezca la pri- ordenada” mera incógnita. Entre las ecuaciones que contienen la primera incógnita elegimos una de ellas, reordenamos las ecuaciones para que ésta (que hemos elegido por contener la primera incógnita) aparezca como la primera y eliminamos la primera incógnita de las demás ecuaciones. Por ejemplo, para el siguiente sistema representando por su matriz ampliada, podríamos elegir la primera incógnita de la última ecuación: ! ! ! 0 3 3
6 −5 −9
−5 9 15
F ↔F
3 1 −−−→
−9 −7 3
−9 −5 6
15 9 −5
F →F −F
2 2 1 −−−−−− →
−9 2 3
−9 4 6
15 −6 −5
Obtenemos así un subsistema (el formado por las ecuaciones segunda a última) en el que no aparece la primera incógnita. Si este subsistema tiene sólo una ecuación, hemos terminado el proceso. Si tiene más de una, repetimos el proceso con este subsistema eliminando en él, igual que antes, la primera incógnita de ese subsistema. En el ejemplo anterior podríamos hacer: ! ! 3 0 0
F3 → F3 − 3 F2
2 −−−−−−− →
−9 2 0
−9 4 0
15 −6 4
Cuando se termina este proceso de “eliminación ordenada”, se ha obtenido un sistema equivalente al inicial pero cuya matriz tiene unas propiedades especiales. Llamamos elemento princiElemento pal de una fila de una matriz al primer elemento no nulo de la misma (contando de izquierda principal de una a derecha). Pues bien, la matriz del sistema obtenido en un proceso de eliminación ordenada fila tiene las siguientes propiedades: Propiedades que definen una matriz escalonada
(a) Toda fila que no tiene elemento principal (fila de ceros) está después de cualquier fila que tenga elemento principal. (b) El elemento principal de cada fila está situado más a la derecha que el de la fila anterior. (c) Todos los elementos debajo de un elemento principal (en su columna) son cero. Toda matriz que tenga estas propiedades se llama una matriz escalonada y por lo explicado más arriba: Toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada.
Columnas pivote de una matriz
Estrategia de pivotación
Durante la realización del proceso de “eliminación ordenada”, en cada paso hay en general cierta libertad para elegir la ecuación que se usará para eliminar la incógnita básica correspondiente a ese paso. Esta libertad depende de que la correspondiente incógnita básica aparezca en más de una ecuación. Podemos entonces elegir la ecuación que se usará para eliminar esa incógnita básica atendiendo a varios posibles criterios. Un criterio particular que decidamos seguir para realizar dicha elección se llama una estrategia de pivotación. Por ejemplo, una estrategia sencilla es la pivotación simple que consiste en elegir la primera ecuación en la que la incógnita básica tenga coeficiente distinto de cero. Otra posible estrategia, que tiene mayor estabilidad desde el punto de vista numérico (menor acumulación de errores de redondeo en los cálculos) es la llamada pivotación parcial, que consiste en elegir aquélla ecuación en la que el coeficiente de la incógnita básica tenga el mayor valor absoluto. Dependiendo de la estrategia de pivotación adoptada, la “eliminación ordenada” puede realizarse de varias formas y cada una de ellas dará como resultado una matriz escalonada diferente. Sin embargo todas esas matrices escalonadas obtenidas por “eliminación ordenada” a partir de una matriz dada tienen siempre ciertas características comunes: Teorema: Todas las matrices escalonadas equivalentes a (obtenidas por medio de operaciones elementales de fila a partir de) una matriz dada tienen el mismo número de elementos principales y en las mismas posiciones. La demostración de esto es muy sencilla: Supongamos que la primera incógnita aparece tanto en la ecuación i como en la ecuación j y que al usar la ecuación i para eliminar la primera incógnita también se elimina la segunda incógnita en todas las ecuaciones. Esto sólo es posible si los coeficientes de las dos primeras incógnitas son proporcionales en todas las ecuaciones y por tanto también se habría eliminado la segunda incógnita de todas las ecuaciones si hubiésemos usado la ecuación j para eliminar la primera. Un razonamiento similar muestra que si al usar la ecuación i para eliminar la primera incógnita también se eliminan la segunda y la tercera incógnitas de todas las ecuaciones, lo mismo ocurrirá al usar la ecuación j en lugar
de la i. En consecuencia, cuál es la siguiente incógnita básica es independiente de qué ecuación se usa en el proceso de eliminación. Repitiendo el mismo razonamiento con el siguiente subsistema y sucesivos se llega a la tesis del teorema.
Se llaman posiciones pivote de una matriz a las posiciones ocupadas por los elementos principales de cualquier matriz escalonada obtenida al realizar sobre la matriz dada el proceso de eliminación ordenada. Se llaman columnas pivote de una matriz a las columnas de las posiciones pivote de esa matriz, es decir, las columnas de los elementos principales de la matriz. La solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales es susceptible de ser expresado tomando como incógnitas básicas las que corresponden a las columnas pivote de su matriz.
Forma escalonada y las cuestiones de existencia y unicidad El interés de tener un sistema de ecuaciones lineales escrito de forma que su matriz sea escalonada consiste en que mirando dicha matriz podemos contestar, sin realizar ningún trabajo, las dos preguntas de existencia y unicidad de soluciones del sistema ya que, al estar la matriz en forma escalonada, con sólo una mirada podemos identificar los elementos principales y por tanto las columnas pivote: Si la columna de la derecha es una columna pivote el sistema es incompatible. Si no lo es, pero todas las demás columnas son columnas pivote el sistema es determinado (solución única). Si alguna de las demás columnas no contiene elemento principal, el sistema es indeterminado.
La forma escalonada responde las cuestiones de existencia y unicidad.
4 Ejercicio de tarea. Para cada uno de los tres casos que siguen escribe una matriz de 3 filas y 4 columnas que tenga forma escalonada y que sea la matriz de un sistema de ecuaciones lineales... (a) Incompatible.
(b) Determinado.
(c) Indeterminado.
Forma escalonada reducida Si sobre un sistema de ecuaciones lineales se realiza el proceso de eliminación ordenada, de forma que el sistema se ha convertido en otro equivalente pero en forma escalonada, para obtener la solución del sistema sólo falta realizar el proceso de sustitución regresiva. Este proceso se puede realizar de forma muy eficaz de la siguiente forma: Utilizando como base la ecuación que contiene la última incógnita básica, realizamos opera- El proceso de ciones de reemplazo en todas las ecuaciones anteriores de forma que eliminemos de todas ellas reducción dicha incógnita básica. Dividiendo la ecuación usada por el coeficiente de su incógnita básica obtenemos un sistema en el que dicha incógnita básica sólo aparece en una ecuación y tiene coeficiente 1. A continuación repetimos el mismo proceso partiendo de la ecuación anterior a la que acabamos de usar y así sucesivamente hasta usar la segunda ecuación para eliminar su incógnita básica de la primera y finalmente obtener un sistema en el que toda incógnita básica aparece en una sóla ecuación y tiene coeficiente 1. La matriz del sistema así obtenido tiene las siguientes propiedades: (a) Tiene forma escalonada. (b) El elemento principal de cada fila es 1. (c) Cada elemento principal es el único no nulo de su columna. Toda matriz que tenga estas propiedades se llama una matriz escalonada reducida y por lo explicado más arriba: Toda matriz es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida. 15
Utilidad de la forma escalonada reducida ¿Cuál es el interés de la forma escalonada reducida de la matriz de un sistema de ecuaciones? Está claro que en la forma escalonada reducida podemos leer toda la información que podemos leer en cualquier forma escalonada, que consiste principalmente en las respuestas a las preguntas de existencia y unicidad de soluciones del sistema. Pero además, en la forma escalonada reducida podemos leer la solución del sistema sin necesidad de hacer ningún cálculo ya que la forma escalonada reducida de un sistema de ecuaciones lineales es esencialmente lo mismo que las ecuaciones paramétricas del conjunto solución siempre que se usen como incógnitas básicas las correspondientes a las columnas pivote. Esto es debido a que los elementos no nulos de las columnas no pivote son justamente los coeficientes en las ecuaciones paramétricas de la solución. Por ejemplo, si nos dicen que la forma escalonada reducida de la matriz de un sistema de ecuaciones lineales es esta:   1 0 2 3 0 5 −1 0 1 −1 8 0 4 9 , 0 0 0 0 1 7 6 automáticamente podemos escribir las ecuaciones paramétricas del conjunto solución: x1 = −1 − 2r − 3s−5t x1 = −1 − 2x3 − 3x4 −5x6
9 + 1r − 8s−4t
9 + 1x3 − 8x4 −4x6
6 − 7t
−7x6 .
x3 , x4 , x6 , libres.
Como las ecuaciones paramétricas del conjunto solución en términos de unas variables básicas determinadas son únicas, llegamos a la siguiente conclusión: Unicidad de la forma escalonada reducida
Teorema: Dada una matriz, cualquiera que sea la forma en que se realiza el proceso de eliminación ordenada y reducción, su resultado final será el mismo: La forma escalonada reducida de una matriz es única. 5 Ejercicio de tarea. Escribe una matriz que tenga forma escalonada reducida y que sea la matriz de un sistema determinado. Escribe también la solución del sistema llamando x1 , . . . , xn a las incógnitas. 6 Ejercicio de tarea. Escribe una matriz que tenga forma escalonada reducida y que sea la matriz de un sistema indeterminado. Escribe también la solución del sistema llamando x1 , . . . , xn a las incógnitas. 7 Ejercicio de tarea. Escribe una matriz que tenga forma escalonada reducida y que sea la matriz de un sistema incompatible.
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 4, Ejercicio 5, Ejercicio 6, Ejercicio 7. 16
2.4. Sistemas de ecuaciones lineales en forma vectorial
Sistemas de ecuaciones lineales en forma vectorial
El lenguaje de vectores nos permite ver un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas como una sola “ecuación vectorial” lineal en n incógnitas. Así, pasamos de visualizar un sistema de ecuaciones lineales como varias ecuaciones entre números con varias incógnitas numéricas a visualizarlo como una sola ecuación entre vectores con varias incógnitas numéricas. En la siguiente sección (sección 2.5, página 21), sintetizaremos aún más el punto de vista para pasar a visualizar un sistema de ecuaciones lineales como una sola ecuación matricial con una sola incógnita vectorial.
Vectores en Rn y Cn Al hablar de vectores del plano (o del espacio) se puede uno referir a dos cosas distintas (aunque equivalentes desde el punto de vista del álgebra lineal). Por un lado, en Álgebra, un vector del plano es un par ordenado de números reales y las operaciones con vectores se derivan de las operaciones con números. Por otro lado, en Física y en Geometría se suele usar la palabra “vector” como sinónimo de “cantidad con magnitud y sentido”. El ejemplo típico es un “segmento orientado”, en el cual se distinguen el punto inicial (u “origen” o “cola”) y el punto final (o “cabeza”). Un segmento orientado del plano (o del espacio) representa una traslación global del plano (o del espacio) y la suma de vectores es equivalente a la composición de traslaciones. Sin embargo, dos segmentos orientados que sean paralelos y tengan el mismo sentido2 (o sea, dos vectores con la misma dirección, sentido y longitud) representan la misma traslación del plano o del espacio. Cuando se usan los segmentos orientados para representar traslaciones, basta considerar aquéllos cuyo origen es el origen de coordenadas. Cada vector con el origen en el origen de coordenadas está completamente determinado por su punto final y éste por sus coordenadas. Así, los vectores del plano, entendidos como traslaciones del plano se corresponden con los “segmentos orientados que tienen el origen en el origen de coordenadas” y éstos con los puntos del plano coordenado. Por ello, resultan ser equivalentes las definiciones de vector en Álgebra y en Geometría y los vectores del plano serán considerados como lo mismo que los pares ordenados de números reales (y los del espacio como ternas ordenadas de números reales). En general, para todo número entero positivo n llamaremos vector de Rn a todo conjunto El espacio Rn . ordenado de n números reales y lo representaremos normalmente como una columna de números reales (esto es, una matriz con una sola columna), aunque a veces, para ahorrar papel lo representaremos en la forma ( a1 , . . . , an ) que no hay que confundir con una matriz de una sola fila (en una matriz no hay comas). Igualmente, un vector de Cn es un conjunto ordenado de n El espacio Cn . números complejos y lo escribiremos normalmente también en forma de columna.
Operaciones aritméticas con vectores: sus propiedades algebraicas Las dos operaciones básicas a las que se pueden someter los vectores de Rn o de Cn , son la suma de vectores y la multiplicación de un número por un vector (o “reescalado” de vectores), las cuales se efectúan componente a componente como en el siguiente ejemplo: Ejemplo:  Si
Si 2 Esos
  2 , 6
, c = 3,
, v= 2 −1
       1 2 1+2 3 + = = −2 6 −2 + 6 4       2 3×2 6 cu = 3 = = −1 3 × (−1) −3
dos segmentos junto con el que une sus orígenes y con el que une sus finales formarán un paralelogramo.
Dichas dos operaciones básicas de vectores de Rn (o de Cn ) tienen las siguientes propiedades fundamentales: (a) Propiedades de la suma de vectores (“Grupo conmutativo”): 1. 2. 3. 4.
Propiedad asociativa de la suma: u + (v + w) = (u + v) + w. Existencia del neutro de la suma o vector cero: 0 + u = u + 0 = u. Existencia de opuestos para la suma: −u + u = u + (−u) = 0. Propiedad conmutativa de la suma: v + u = u + v.
(b) Propiedades distributivas de la multiplicación por números: 1. Propiedad distributiva para la suma de vectores: x (u + v) = xu + xv. 2. Propiedad distributiva para la suma de números: ( x + y)u = xu + yu. (c) “Acción de los escalares”: 1. Propiedad asociativa del producto de números por vectores: x (yu) = ( xy)u. 2. Ley de identidad: El número 1 es neutro para la multiplicación de vectores por números: 1 u = u. Def. de Espacio Vectorial. vectores
Espacios vectoriales abstractos. Todo conjunto de elementos que se puedan sumar entre sí y multiplicar por números reales de tal forma que se cumplan las propiedades anteriores se llama un espacio vectorial real. y sus elementos se llaman vectores. Si los elementos del conjunto abstracto se pueden multiplicar por números complejos manteniéndose dichas propiedades, entonces el conjunto se llama un espacio vectorial complejo. Los números por los que se pueden multiplicar los vectores de un espacio vectorial se llaman los escalares de ese espacio. Así, los escalares de Rn son los números reales y los escalares de Cn son los números complejos. De ahora en adelante, utilizaremos la palabra “escalar” para referirnos a un número real si el espacio en consideración es Rn y a un número complejo si el espacio en consideración es Cn .
Combinaciones lineales de vectores Las propiedades algebraicas de las operaciones básicas de vectores (suma y multiplicación por escalares) hacen posible realizar muchas otras operaciones, como por ejemplo “punto medio” definido como: punto medio(u, v) = 21 (u + v) = 12 u + 12 v. Una operación algo más general es la llamada “baricentro” que se puede aplicar a un número arbitrario de vectores y está definida por la fórmula: baricentro(u1 , . . . , u p ) = 1p (u1 + · · · + u p ) = 1p u1 + · · · + 1p u p . La operación más general que se puede realizar con vectores consiste en multiplicar cada uno de los vectores dados por un número y sumar todos los resultados: y = c1 u1 + · · · + c p u p peso de un vector en una combinación lineal.
Esta operación se llama combinación lineal de los vectores u1 , . . . , u p . Los escalares ci por los que han sido multiplicados los vectores ui se llaman los coeficientes o pesos de esos vectores en la combinación lineal. El vector y obtenido como resultado de la combinación lineal se llama una combinación lineal de los vectores u1 , . . . , u p con pesos correspondientes c1 , . . . , c p . 18
Por ejemplo, vamos a calcular la combinación lineal y = c1 u + c2 v donde     2 5 u= ,v = , c1 = −1 , c2 = 2. 6 3 Para ello calculamos: y = c1 u + c2 v = (−1)
      2 5 8 +2 = . 6 3 0
  8 Entonces decimos que el vector y = es una combinación lineal de los vectores u, v con 0 coeficientes o pesos −1, 2. Ejercicio: Averiguar los pesos que hay que dar a los vectores v1 y v2 de la figura de la izquierda para expresar el vector w como combinación lineal de ellos. Solución: Trazando por w rectas paralelas a los vectores v1 y v2 como se muestra en la figura de la derecha, observamos que es necesario calcular dos veces y media v1 y restarle a eso la mitad de v2 : w = 52 v1 − 12 v2 . El problema de expresar un vector como combinación lineal de otros Consideremos este problema: “Dados en Rm (o Cm ) un vector b y n vectores a1 , . . . , an , se desea saber si b es combinación lineal de los a1 , . . . , an .” Este problema es equivalente a plantearse si es posible hallar escalares x1 , . . . , xn tales que x1 a1 + · · · + xn an = b.
Esta ecuación vectorial es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales. Cada solución de ese sistema nos proporciona una forma de expresar b como combinación lineal de los a1 , . . . , an . Por tanto, preguntarse si b es combinación lineal de los a1 , . . . , an es lo mismo que preguntarse si ese sistema es compatible. Este problema nos lleva a considerar el conjunto de todos los vectores que se obtienen al formar combinaciones lineales de a1 , . . . , an , el cual se conoce como el conjunto generado por a1 , . . . , a n . conjunto generado por a1 , . . . , a n
DEFINICIÓN 2.4.1 Dados n vectores a1 , . . . , an de Rm se llama conjunto generado por dichos vectores —y se denota Gen{a1 , . . . , an }— al conjunto de todos los vectores de Rm que son combinación lineal de los a1 , . . . , an . Es decir: Gen{a1 , . . . , an } es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores a1 , . . . , an . El problema de si b es combinación lineal de los a1 , . . . , an no es más que la cuestión de si b pertenece al conjunto Gen{a1 , . . . , an }. 19
El subespacio vectorial Gen{a1 , . . . , an }. El conjunto generado por un conjunto de vectores de Rn o de Cn no es un subconjunto cualquiera. La suma de dos combinaciones lineales de a1 , . . . , an es claramente otra combinación lineal de a1 , . . . , an y lo mismo ocurre al multiplicar una combinación lineal de a1 , . . . , an por un número. En consecuencia, si u y v son dos vectores de Gen{a1 , . . . , an }, su suma es otro vector de Gen{a1 , . . . , an } y el producto de cualquiera de ellos por un número es también otro vector de Gen{a1 , . . . , an }. Esto hace que el conjunto generado por los vectores a1 , . . . , an no sea un subconjunto cualquiera de Rn o de Cn sino uno con una estructura de espacio vectorial, por lo cual se dice que Gen{a1 , . . . , an } es un subespacio vectorial de Rn (o Cn ).
Sistemas de ecuaciones como ecuaciones vectoriales La ecuación (2.16) se conoce como una ecuación vectorial en las incógnitas x1 , . . . , xn . Para resolverla basta reconocer que es equivalente a un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes tiene por columnas los vectores a1 , . . . , an , y cuyo vector de términos independientes es el vector b. Recíprocamente: Todo sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como una ecuación vectorial en la que una combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes del sistema, cuyos pesos son las incógnitas, está igualada al vector de los términos independientes. Ejemplo:
Si queremos expresar el vector b como combinación lineal de u, v, w con:         3 1 3 0 b =  −1  , u =  0  , v =  4  , w =  1  2 2 −1 2
necesitamos encontrar los coeficientes x1 , x2 , x3 de la combinación lineal x1 u + x2 v + x3 w = b:         1 3 0 3 x1  0  + x2  4  + x3  1  =  −1  −1 2 2 2 Esto significa que los números x1 , x2 , x3 tienen que verificar el sistema de ecuaciones lineales: x1 + 3x2 = 3 4x2 + x3 = −1 2x1 − x2 + 2x3 = 2 Ejercicio: Plantear un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones sean las distintas formas de expresar el vector b como combinación lineal de u, v, w con:         4 1 3 0 b = 5 , u = 0 , v =  4 , w = 1. 3 2 −1 2 Escribir la matriz del sistema. Volviendo al problema de expresar un vector como combinación lineal de otros, tenemos: Un vector b es combinación lineal de los vectores a1 , . . . , an si y sólo si el sistema cuya matriz ampliada tiene por columnas los vectores a1 , . . . , an , b es compatible. Esto nos da una nueva forma de expresar la existencia de solución de un sistema de ecuaciones lineales: 20
2.5. Sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial: Ax = b
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el vector de términos independientes es combinación lineal de las columnas de la matriz de coeficientes. O también: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el vector de términos independientes pertenece al subespacio generado por las columnas de la matriz de coeficientes. Ejemplo: Supongamos que queremos averiguar si el vector b pertenece al subespacio generado por los vectores u, v con:       3 1 3 b =  −1  , u =  0  , v =  4  2 2 −1 Basta escribir la matriz cuyas columnas son u, v y b y averiguar si el sistema de ecuaciones que tiene esa matriz es compatible. Para ello basta realizar la fase 1 (eliminación), lo cual haremos en forma matricial:       1 3 3 1 3 3 1 3 3 F3 → F3 + 47 F2 F3 → F3 −2F1 0 −1  . 4 −1  −−−−−−→  0 4 −1  −−−−−−→  0 4 2 −1 2 0 −7 −4 0 0 −4 − 74 La última columna contiene un pivote, por tanto el sistema es incompatible. El vector b no es igual a una combinación lineal de u y v. No pertenece al subespacio generado por u y v. Otra forma de pensar en el proceso de eliminación Hemos visto dos formas equivalentes de pensar y de realizar el proceso de eliminación mediante operaciones elementales: Inicialmente lo pensamos como operaciones realizadas sobre las ecuaciones del sistema y más tarde vimos que esto era equivalente a realizar las operaciones elementales sobre las filas de la matriz del sistema. Ahora estamos en posición de pensar que las operaciones elementales se realizan sobre los vectores a1 , . . . , an , b. En una primera etapa se construyen operaciones elementales que tranformen a1 en un vector cuyo primer elemento es 1 y los demás cero. etc. Cada vez que aplicamos una operación elemental al sistema o a la matriz del sistema, podemos pensar que la realizamos sobre cada vector columna de la matriz del sistema. La conclusión de esto es la siguiente: Si un vector b es combinación lineal de a1 , . . . , an , el vector b0 obtenido al realizar una o varias operaciones elementales sobre b es también combinación lineal —y con los mismos coeficientes— de los vectores a10 , . . . , a0n obtenidos al realizar dichas operaciones elementales sobre los vectores a1 , . . . , an .
Sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial: Ax = b
Hemos visto que un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas es equivalente a una sola “ecuación vectorial” en n incógnitas que consiste en una combinación lineal (cuyos coeficientes son las n incógnitas) igualada a un vector. Ahora bien, una combinación lineal (de las columnas de una matriz) es justamente lo que se obtiene al multiplicar una matriz por un vector. Esto nos motiva a tomar la combinación lineal como definición del producto matriz por vector. Definición del producto de matriz por vector. Sean A una matriz y sean los vectores a1 , . . . , an las columnas de A. Si x es un vector de Rn , el producto de la matriz A por el vector x se define como la combinación lineal de los vectores a1 , . . . , an con coeficientes las componentes de x, es decir: Definición del 21
producto de una matriz por un vector.
 x1   . . . an  ...  = x1 a1 + · · · + xn an . 
xn Según esta definición del producto de una matriz por un vector, el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada tiene por columnas los vectores a1 , . . . , an , b y cuya representación vectorial es la ecuación x1 a1 + · · · + xn an = b, tiene el mismo conjunto solución que la ecuación matricial Ax = b. Por tanto podemos decir: Para cualquier matriz A, la ecuación Ax = b tiene alguna solución si y sólo si b es una combinación lineal de las columnas de A.
Sistemas que son compatibles para cualesquiera términos independientes Nos planteamos ahora la cuestión de qué condiciones tiene que cumplir la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales para que el sistema sea compatible cualesquiera que sean los términos independientes que pongamos. Planteado en términos de la ecuación matricial asociada al sistema, la cuestión es qué condición debe cumplir una matriz A para que la ecuación matricial Ax = b tenga solución cualquiera que sea el vector b. Evidentemente esto es lo mismo que pedir que el conjunto generado por las columnas de A sea todo Rm (o Cm ) donde m es el número de componentes de cada columna de A (o sea, el número de filas de A). Una condición suficiente es que la forma escalonada reducida de A no tenga ningnua fila de ceros, pues si esto se cumple ningún vector de términos independientes puede dar lugar a un sistema incompatible. Por otro lado esa condición también es necesaria porque si la forma escalonada reducida de A tuviese una fila de ceros sería fácil construir un vector de términos independientes tal que en la forma escalonada reducida tuviese un pivote y el sistema fuese incompatible. Llegamos, pues, al siguiente: Teorema Sea A una matriz real y sea m el número de filas de A (lo que es decir que las columnas de A son vectores de Rm ). Entonces, las siguiente afirmaciones son equivalentes: (a) La ecuación Ax = b tiene solución cualquiera que sea que sea el vector de términos independientes b. (b) Todo vector b de Rm es combinación lineal de las columnas de A. (c) El espacio generado por las columnas de A es todo Rm (“las columnas de A generan Rm ”). (d) Una forma escalonada de A no tiene ninguna fila de ceros. (e) A tiene m posiciones pivote. (f) Todas las filas de A tienen una posición pivote. Análogamente, si A es una matriz compleja, son equivalentes los mismos enunciados tras poner Cm donde pone Rm . Corolario Sea A una matriz real de m filas cuyas columnas generan todo Rm . Entonces el número de columnas de A es mayor o igual que m (ya que A tiene m columnas pivote). 22
2.6. Conjuntos solución de los sistemas de ecuaciones lineales
Cálculo del producto matriz por vector por la regla “fila por columna” La forma de calcular el producto de una matriz A por un vector x que nos viene sugerida por la definición del mismo como “combinación lineal”, consistiría en reescalar cada columna de la matriz A usando como factor la correspondiente componente del vector x y después sumar todas las columnas reescaladas. El resultado sería un vector que sería el producto Ax. Hay otra forma de obtener el mismo resultado, que se conoce como la “regla fila por columna”. Esta regla ya la hemos usado en la propia definición del producto matriz por vector y consiste exactamente en lo que la definición implica para una matriz que sólo tenga una fila. La regla fila por columna consiste en imaginar a nuestra matriz como formada por filas; multiplicamos cada una de estas filas por el vector dado con lo que cada uno de estos resultados es un número. El resultado final es el vector columna formado por todos estos números.
Propiedades de linealidad del producto matriz por vector Ax De la definición del producto de matriz por vector y de las propiedades de las operaciones con vectores se deduce fácilmente las siguientes propiedades llamadas propiedades de linealidad: (a) A(u + v) = Au + Av. (b) A(cu) = c( Au).
Conjuntos solución de los sistemas de ecuaciones lineales
Forma vectorial paramétrica de la solución El uso de vectores nos permite escribir las ecuaciones paramétricas del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales en una forma especialmente simple y reveladora: La forma vectorial paramétrica, que es la siguiente: Forma vectorial paramétrica de
x = p + t1 u1 + · · · + t k u k ,
(2.17) la solución.
donde k es el número de variables libres del sistema. Al expresar la solución en esta forma, el vector p se llama el vector de traslación y los vectores u1 , . . . , uk se llaman los vectores generadores. El vector de traslación es evidentemente una solución particular (la que corresponde a dar valor cero a todos los parámetros) y toda solución particular se puede usar como vector de traslación. Todas las soluciones del sistema se obtienen sumando el vector de traslación, p, a todas las combinaciones lineales de los vectores generadores, u1 , . . . , uk . La matriz U = [u1 . . . uk ] cuyas columnas son los vectores generadores se llama la matriz de los vectores generadores. Conocidas la ecuaciones paramétricas del conjunto solución, es muy sencillo ponerlas en la forma vectorial (2.17) porque ello no requiere ningún cálculo adicional, solamente es necesario reescribir dichas ecuaciones. Por ejemplo, para las ecuaciones paramétricas x1 = 1 + 11x3 x2 = 2 − x3 x4 = −1 − 6x3 (x3 libre), la forma vectorial es la siguiente:       x1 1 11  x2   2   −1   =    . o sea: x = p + tu  x3   0  + t  1 x4 −1 −6 23
   1 11  2  −1    . p=  0,u =  1 −1 −6
vector de traslación. vectores generadores.
matriz de los vectores generadores.
¿Cómo se consigue llegar a esto? Para conseguirlo hacemos lo siguiente: (a) Primeramente, para cada una de las variables libres xi , añadimos la identidad xi = xi y escribimos las incógnitas en orden: x1 = 1 + 11x3 x2 = 2 − x3 x3 = x3 x4 = −1 − 6x3 . (b) Después escribimos estas ecuaciones en forma vectorial, para lo cual escribiremos la columna de coeficientes de cada variable libre multiplicada por la misma y una columna de términos independientes si los hubiera:       1 11 x1  −1   x2   2    .  =  x3   0  + x3  1 −1 −6 x4 (c) Finalmente podemos sustituir los nombres de las variables libres en los miembros de la derecha por nuestros nombres favoritos de parámetros, y así es como hemos llegado a lo escrito más arriba, donde se ha usado como parámetro la letra t en lugar de x3 . Ejercicio resuelto: Suponiendo que las ecuaciones paramétricas del conjunto solución de cierto sistema son las siguientes: x1 = −5x2 , x3 = 3 − x2 + 2x4 (x2 y x4 libres), escribir la solución general del sistema en forma vectorial paramétrica. Solución:
Siguiendo los pasos indicados antes,
(1) Para cada una de las variables libres xi (que aparecen en los miembros de la derecha), añadimos la identidad xi = xi : x1 = −5x2 , x2 = x2 x3 = 3 − x2 + 2x4 , x4 = x4 . (2) Después escribimos estas ecuaciones en forma vectorial, para lo cual escribimos la columna de coeficientes de cada variable libre multiplicada por la misma y una columna de términos independientes:         x1 0 −5 0  x2   0   1 0   =   + x2      x3   3   −1  + x4  2  . x4 0 0 1 (3) Sustituimos los nombres de las variables libres en los miembros de la derecha por nuestros nombres favoritos de parámetros:               x1 0 −5 0 0 −5 0  x2   0   1 0 0  1 0   =  +s           x3   3   −1  + t  2  , o: x = p + s u + t v con p =  3  , u =  −1  , v =  2  . x4 0 0 1 0 0 1 24
En estas ecuaciones del conjunto solución, la matriz de los vectores generadores es 
−5  1  U= −1 0
 0 0 . 2 1
8 Ejercicio de tarea. Halla la forma escalonada reducida de la matriz U del ejemplo anterior.
Una propiedad importante de la matriz de los vectores generadores La matriz U = [u1 . . . uk ] de los vectores generadores de las ecuaciones (2.17) tiene la siguiente propiedad: Todas las columnas de U son columnas pivote. Esto es lo mismo que decir que su forma escalonada reducida es una matriz identidad completada con n − k filas de ceros (donde n es el número de filas y k el número de columnas de U). Esto se deduce del hecho de que U contiene (salvo una reodenación de sus filas) a la matriz identidad k × k. Efectivamente: para cada j = 1, . . . , k la j-ésima variable libre produce una fila de U que es la fila j de la matriz identidad k × k. En consecuencia, la forma escalonada reducida de U es la matriz identidad k × k seguida de n − k filas de ceros. 9 Ejercicio de tarea. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, x1 − 2x2 − x3 + 3x4 =
−2x1 + 4x2 + 5x3 − 5x4 = −2 3x1 − 6x2 − 6x3 + 8x4 = 2, (a) Escribe la matriz A del sistema (matriz ampliada). (b) Halla una matriz equivalente a A que esté en forma escalonada. (c) A la vista de dicha forma escalonada discute las cuestiones de existencia y unicidad de soluciones del sistema de ecuaciones dado. (d) Halla la forma escalonada reducida de A. (e) Escribe la solución general del sistema en forma paramétrica vectorial. (f) Escribe el vector de traslación de la solución y la matriz U de los vectores generadores. (g) ¿Es el conjunto solución correctamente descrito por las ecuaciones paramétricas 
       x1 4 10 2  x2   0       =   + t1  0 + t2 1 ?  x3   −1  1 0 x4 1 −3 0
 1 Solución: (d) 0 0
−20 01 00
10/3 1/3 0
    −2/3 2 −2/3     0 , U = 1 −2/3. (f) p =  0 −2/3 0 0 0
 −10/3  0  . (g) Sí. −1/3  1
Caso homogéneo Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es automáticamente compatible ya que tiene una solución obvia que consiste en todas las incógnitas iguales a cero. Esta solución se llama la solución trivial. La única cuestión, pues, para estos sistemas es la cuestión de unicidad, es decir, si el sistema es determinado o no. Esta cuestión es equivalente a la de si el sistema tiene o no alguna variable libre: si tiene, hay infinitas soluciones, si no, la única solución es la trivial. Para un sistema de ecuaciones lineales homogéneo, la columna de la derecha de la matriz del sistema tiene todos los elementos iguales a cero y esto sigue siendo así en cualquier matriz obtenida de ella mediante operaciones elementales de filas; por tanto, también en la forma escalonada reducida de la matriz del sistema todos los elementos de la columna de la derecha son cero. Esto implica que al escribir la solución en la forma vectorial paramétrica (2.17) el vector p es igual a cero. Por tanto, si un sistema homogéneo tiene k variables libres, su solución en forma vectorial tiene la forma: x = t1 u1 + · · · + t k u k .
Por ejemplo, supongamos que un sistema homogéneo tenga dos variables libres. Entonces al escribir su solución en forma vectorial paramétrica encontramos dos vectores u, v tales que la solución es: x = su+tv Lo cual nos dice que el conjunto solución es el plano generado por los vectores u y v, es decir, el conjunto de todos los vectores que son combinación lineal de u y v. Igualmente, en el caso general (2.18), los “vectores generadores” u1 , . . . , uk tienen la propiedad de que El conjunto solución del sistema homogéneo es el conjunto generado por los vectores u1 , . . . , u k : Conjunto solución = Gen{u1 , . . . , uk }.
Caso no-homogéneo En el caso de un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales, Ax = b, supongamos que p es una solución particular, es decir, que el vector p cumple Ap = b. Entonces para todo vector vh que sea solución del sistema homogéneo asociado (es decir, que Avh = 0) se cumplirá: A(p + vh ) = Ap + Avh = b + 0 = b, lo cual nos dice que p + vh es una nueva solución del sistema completo. Por otra parte, se puede demostrar que toda solución del sistema Ax = b es igual a p sumado a una solución del sistema homogéno asociado. Para convencernos de ello basta ver que si x es una solución del sistema completo, x − p es una solución del sistema homogéno asociado: A(x − p) = Ax − Ap = b − b = 0. Resumiendo: La solución general de un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales se obtiene sumando una solución particular del mismo a la solución general del sistema homogéneo asociado. Al escribir en forma vectorial paramétrica la solución de un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales, x = p + t1 u1 + · · · + t k u k , el vector p (que hemos llamado “el vector de traslación”) es siempre una solución particular del sistema (es la solución para t1 = t2 = · · · = tk = 0. Esto implica que la solución general del sistema homogéneo asociado es: x = t1 u1 + · · · + t k u k , 26
2.7. Ejercicios adicionales
En consecuencia: El conjunto solución de un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales es el resultado de trasladar, mediante una solución particular del mismo, el conjunto solución del sistema homogéneo asociado.
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 8, Ejercicio 9.
Sistemas de ecuaciones Lineales: Cuestiones de existencia y unicidad, operaciones elementales I 1. ¿Es (3, 4, −2) una solución del siguiente sistema? 5x1 − x2 + 2x3 = 7
−2x1 + 6x2 + 9x3 = 0 −7x1 + 5x2 − 3x3 = −7 I 2. Halla el punto ( x1 , x2 ) que pertenece tanto a la recta x1 + 5x2 = 7 como a la recta x1 − 2x2 = −2. I 3. Halla el punto de intersección de las rectas x1 − 5x2 = 1 y 3x1 − 7x2 = 5. I 4. Dadas las tres rectas x1 − 4x2 = 1, 2x1 − x2 = −3, y − x1 − 3x2 = 4, ¿tienen un punto de intersección común?. Explica tu respuesta. I 5. Dados los tres planos x1 + 2x2 + x3 = 4, x2 − x3 = 1, y x1 + 3x2 = 0, ¿tienen al menos un punto de intersección común?. Explica tu respuesta. I 6. La matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales ha sido transformada mediante operaciones elementales de filas a la forma que se presenta a continuación. ¿Es un sistema compatible? 
1 5 0 4 0 0
2 −7 5
 −6 2 . 0
I 7. ¿Para qué valores de h y k es compatible el siguiente sistema? 2x1 − x2 = h
−6x1 + 3x2 = k I 8. Describe con tus propias palabras la primera operación elemental de filas que debe hacerse en los sistemas dados a continuación para resolverlos por el método de Gauss explicado en clase (cálculo de la forma escalonada reducida). [Para (1), existen varias respuestas posibles.] 27
x1 − 3x2 + 5x3 − 2x4 = 0
x1 + 4x2 − 2x3 + 8x4 = 12 x2 − 7x3 + 2x4 = −4 5x3 − x4 = 7
x2 + 8x3 = −4
x3 + 3x4 = −5
Considera cada matriz de los ejercicios 9 y 10 como la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Expresa con tus propias palabras las siguientes dos operaciones elementales de fila que deben realizarse en el proceso para resolver el sistema.     1 −6 4 0 −1 1 −4 5 0 7 0 0 2 −7 0 4 1 −3 0 6 . . I 10.  I 9.   0  0 0 1 2 −3 0 1 0 2 0 0 3 1 6 0 0 0 1 −5 En los ejercicios 11 a 14, la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales ha sido reducida mediante operaciones de fila a la forma que se muestra. En cada caso, realiza las operaciones de fila apropiadas y describe el conjunto solución del sistema original.     1 7 3 −4 1 −4 9 0 0 1 −1 3 1 7 0. I 12. 0 . I 11.   0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 −2     1 −2 0 3 −2 1 −1 0 0 −4 0 0 1 0 −4 7 1 −3 0 −7 . . I 14.  I 13.  0 0 0 1 0 6 0 1 −3 −1 0 0 0 1 −3 0 0 0 2 4 En los ejercicios 15 a 18, describe la operación elemental de filas que transforma la primera matriz en la segunda. Después, describe la operación elemental de filas que transforma la segunda matriz en la primera (es decir, la operación inversa de la anterior).         0 −2 5 1 4 −7 1 −2 1 0 1 −2 1 0 4 −7, 0 −2 5. 5 −2 8, 0 5 −2 8. I 15. 1 I 16. 0 3 −1 6 3 −1 6 4 −1 3 −6 0 7 −1 −6         1 3 −4 1 3 −4 1 2 −5 0 1 2 −5 0 6, 0 1 −3. 1 −3 −2, 0 1 −3 −2. I 17. 0 −2 I 18. 0 0 −5 9 0 −5 9 0 −3 9 5 0 0 0 −1 Determina si los sistemas de los ejercicios 19 y 20 son compatibles. No resuelvas los sistemas; no se pide la solución. Sólo hay que averiguar si existe (y, por supuesto, justificar la respuesta).
I 20. x1 + 3x3 = 2
x1 − 2x4 = −3
x2 − 3x4 = 3
2x2 + 2x3 = 0
−2x2 + 3x3 + 2x4 = 1 3x1 + 7x4 = −5
x3 + 3x4 = 1
−2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5
En los ejercicios 21 a 24, determina el valor o los valores de h tales que la matriz dada es la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales compatible. 28
2. Sistemas de ecuaciones lineales 
 4 . 8
2.7. Ejercicios adicionales  −3 . 6
 −2 . 8
 −3 h . 9 5
I 25. Indica para cada uno de los enunciados si es verdadero o falso. (a) Todas las operaciones elementales de fila son inversibles. (b) Una matriz 5 × 6 tiene seis filas. (c) El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales que tenga las incógnitas x1 , . . . , xn es una lista de números (s1 , . . . , sn ) que hace de cada ecuación del sistema un enunciado verdadero cuando las incógnitas ( x1 , . . . , xn ) se sustituyen por los valores (s1 , . . . , sn ). (d) Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema de ecuaciones lineales involucran la existencia y la unicidad.
I 26. Indica para cada uno de los enunciados si es verdadero o falso. (a) En la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales, las operaciones elementales de fila no cambian nunca el conjunto solución del sistema. (b) Dos matrices son equivalentes por filas cuando poseen el mismo número de filas. (c) Un sistema incompatible tiene más de una solución. (d) Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
I 27. Halla una ecuación entre los parámetros g, h y k, que haga que la siguiente matriz corresponda a un sistema compatible: 
 −4 7 g 3 −6 h  5 −9 k
I 28. Supón que el sistema presentado a continuación es compatible para todos los valores posibles de f y g. ¿Qué puede afirmarse acerca de los coeficientes c y d ?. Justifica tu respuesta. x1 + 3x2 = f cx1 + dx2 = g
I 29. Supón que a, b, c y d son constantes tales que a es diferente de cero y el sistema presentado a continuación es compatible para todos los valores posibles de f y g. ¿Qué puede afirmarse acerca de los números a, b, c y d ?. Justifica tu respuesta. ax1 + bx2 = f cx1 + dx2 = g
Forma escalonada, forma escalonada reducida y solución general En los ejercicios 1 y 2, determina qué matrices están en forma escalonada reducida y cuáles sólo en forma escalonada.
I 1. 29
2.7. Ejercicios adicionales 
 0 0  0 1
1 (a) 0 0
2. Sistemas de ecuaciones lineales 
1 (b) 0 0
 1 1 0
1 (c) 0 0
1 (d) 0 0
I 2. 1 0 (a)  0 0
1 0 (b)  0 0
 1 2  3 4
1 1 (c)  0 0
0 0 (d)  0 0
 1 2  3 0
Halla la forma escalonada reducida de las matrices de los ejercicios 3 y 4. Señala las posiciones pivote rodeando con un círculo los elementos en posición pivote tanto en la matriz final como en la matriz original. Enumera las columnas pivote.     1 2 3 4 1 3 5 7 I 3. 4 5 6 7 I 4. 3 5 7 9 6 7 8 9 5 7 9 1
I 5. Describe las formas escalonadas posibles de una matriz de 2×2 distinta de cero. Utiliza el símbolo de punto, “•”, para representar un elemento no nulo y el de asterisco, “∗”, para representar un elemento que puede ser cero o no. I 6. Repite el ejercicio 5 para una matriz 3×2 diferente de cero. En los ejercicios 7 a 10 cada matriz representa la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones lineales. En cada caso, determina si el sistema es compatible. De ser así, determina si la solución es única o no. Al igual que en el ejercicio 5, el punto “•” representa un número no nulo y el asterisco “∗” un número que puede ser distinto de cero o no. 
• I 7.  0 0
∗ • 0
 ∗ ∗ 0
• I 8.  0 0
0 I 9. 0 0
  ∗ • ∗ I 10.  0 • 0
∗ 0 0
 ∗ ∗ ∗
En los ejercicios 11 y 12, determine el valor o los valores de h tales que la matriz sea la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales compatible.     2 3 h 1 −3 −2 . I 11. . I 12. 4 6 7 5 h −7
En los ejercicios 13 y 14, elije h y k de tal forma que el sistema dado: (a) no tenga solución, (b) tenga una solución única, y (c) tenga muchas soluciones. Da respuestas por separado para cada caso.
I 14. x1 + hx2 = 2
En los ejercicios 15 y 16, indica, para cada enunciado, si es verdadero o falso. Justifica cada respuesta.
I 15. (a) En algunos casos, una matriz se puede reducir por filas a más de una matriz en forma escalonada reducida, usando diferentes secuencias de operaciones de fila. (b) El algoritmo de reducción por filas se aplica solamente a matrices aumentadas para un sistema de ecuaciones lineales. (c) Una variable básica de un sistema de ecuaciones lineales es una variable que corresponde a una columna pivote en la matriz de coeficientes. (d) Encontrar una descripción paramétrica del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales es lo mismo que resolver el sistema. (e) Si una fila en la forma escalonada de una matriz aumentada es (0 0 0 5 0), entonces el sistema de ecuaciones lineales asociado es incompatible.
I 16. (a) La forma escalonada de una matriz es única. (b) En una matriz, las posiciones pivote dependen de si se usan o no intercambios de fila en el proceso de reducción por filas. (c) La reducción de una matriz a forma escalonada es la fase progresiva del proceso de reducción por filas. (d) Si un sistema tiene variables libres, el conjunto solución contiene muchas soluciones. (e) Una solución general de un sistema es una descripción explícita de todas las soluciones del sistema.
I 17. Supongamos que una matriz de coeficientes 3×5 para un sistema tiene tres columnas pivote. ¿Es compatible el sistema? ¿Por qué sí o por qué no? I 18. Supongamos que un sistema de ecuaciones lineales tiene una matriz aumentada de 3×5 cuya quinta columna es una columna pivote. ¿Es compatible el sistema? ¿Por qué sí o por qué no? I 19. Supongamos que la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales tiene una posición pivote en cada fila. Explica por qué este sistema es compatible. I 20. Supongamos que la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones y tres incógnitas tiene un pivote en cada columna. Explica por qué tiene este sistema una solución única. 31
I 21. Completa la siguiente frase utilizando el concepto de columnas pivote: “Si un sistema de ecuaciones lineales es compatible, entonces la solución es única si, y sólo si, ...” I 22. ¿Qué debería saberse acerca de las columnas pivote de una matriz aumentada para poder asegurar que el sistema de ecuaciones lineales es compatible y tiene una solución única? I 23. Un sistema de ecuaciones lineales con menos ecuaciones que incógnitas se denomina sistema subdeterminado. Supongamos que un sistema así resulta ser compatible. Explica por qué necesariamente existirá un número infinito de soluciones. I 24. Pon un ejemplo de un sistema subdeterminado incompatible de dos ecuaciones y tres incógnitas. I 25. Un sistema de ecuaciones lineales con más ecuaciones que incógnitas se denomina sistema sobredeterminado. ¿Puede ser compatible un sistema así?. Pon un ejemplo concreto de un sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas que justifique tu respuesta. Para los sistemas cuyas matrices (ampliadas) se dan en los ejercicios 26 a 33, halla las soluciones generales escribiéndolas en forma paramétrica vectorial.       1 3 4 7 1 4 0 7 0 1 −6 5 I 26. I 27. I 28. 3 9 7 6 2 7 0 10 1 −2 7 −6       1 −2 −1 3 3 −4 2 0 1 −7 0 6 5 I 29. 3 −6 −2 2 0 1 −2 −3 I 30. −9 12 −6 0 I 31.  0 −6 8 −4 0 −1 7 −4 2 7     1 2 −5 −6 0 −5 1 −3 0 −1 0 −2  0 1 −6 −3 0 0 2 1 0 0 − 4 1   I 33.  I 32.    0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
I 34. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, x1 − 2x2 − x3 + 3x4 = 0
−2x1 + 4x2 + 5x3 − 5x4 = −2 3x1 − 6x2 − 6x3 + 8x4 = 2, (a) Escribe la matriz A del sistema (matriz ampliada). (b) Halla una matriz equivalente a A que esté en forma escalonada. (c) A la vista de dicha forma escalonada discute las cuestiones de existencia y unicidad de soluciones del sistema de ecuaciones dado. (d) Halla la forma escalonada reducida de A. (e) En caso de ser compatible, escribe la solución general del sistema en forma paramétrica vectorial. ——— Halla las ecuaciones paramétricas del conjunto solución de los sistemas dados en los ejercicios 35 y 36. 32
I 35. x1 − 3x3 = 8
− x1 + x2 + 5x3 = 2 x2 + x3 = 0 x2 + 5x3 = −2
2x1 + 2x2 + 9x3 = 7 x1 − 3x2 = 5
Ecuaciones vectoriales I 1. Demuestra que u + v = v + u para todos los vectores u y v en Rn . I 2. Halla los valores de h para los que y estará en Gen v1 , v2 , v3 si 
     1 5 −3 v1 =  −1 , v2 =  −4 , v3 =  1 −2 −7 0
 −4 e y =  3 h
En los ejercicios 3 y 4, halla u + v y u − 2v.         −1 −3 3 2 I 3. u = ,v= I 4. u = ,v= 2 −1 2 −1
En los ejercicios 5 y 6, representa los siguientes vectores utilizando flechas en una gráfica en el plano xy : u, v, −v, −2v, u + v, u − v y u − 2v. Observa que u − v es el vértice de un paralelogramo cuyos otros vértices son u, 0 y −v.
I 5. u y v como en el ejercicio 3.
I 6. u y v como en el ejercicio 4.
En los ejercicios 7 y 8, escribe un sistema de ecuaciones que sea equivalente a la ecuación vectorial dada.               6 −3 1 −2 8 1 0       4 = −7 I 7. x1 −1 + x2 I 8. x1 + x2 + x3 = 3 5 −6 0 5 0 −5
Usa la siguiente figura para escribir cada vector indicado en los ejercicios 9 y 10 como una combinación lineal de u y v. ¿Es cada vector en R2 una combinación lineal de u y v?. d b u
-v - 2v
I 9. Los vectores a, b, c y d.
I 10. Los vectores w, x, y y z.
En los ejercicios 11 y 12, escribe una ecuación vectorial que sea equivalente al sistema de ecuaciones dado.
I 11. x2 + 5x3 = 0
4x1 + x2 + 3x3 = 9
4x1 + 6x2 − x3 = 0
x1 − 7x2 − 2x3 = 2
− x1 + 3x2 − x3 = 0
x1 + 6x2 − 5x3 = 15
En los ejercicios 13 y 14, averigua si b es una combinación lineal de a1 , a2 y a3 . 
       1 0 5 2 I 13. a1 = −2, a2 = 1, a3 = −6, b = −1 0 2 8 6
        1 −2 2 −5 I 14. a1 = 0, a2 =  5, a3 = 5, b =  11 2 0 8 −7 En los ejercicios 15 y 16, averigua si b es una combinación lineal de los vectores formados a partir de las columnas de la matriz A. 
1 I 15. A =  0 −2
   −4 2 3 3 5, b =  −7 8 −4 −3
1 I 16. A = 0 1
   −2 −6 11 3 7, b =  −5 −2 5 9
En los ejercicios 17 y 18, escribe cinco vectores que pertenezcan a Gen v1 , v2 . Para cada vector, indica los coeficientes usados con v1 y v2 para generar el vector e indica los tres elementos del vector. No hagas ningún bosquejo; trabaja algebraicamente. 
   7 −5 I 17. v1 =  1, v2 =  3 −6 0
    3 −2 I 18. v1 = 0, v2 =  0 2 3
     1 −2 4 I 19. Sean a1 =  4 , a2 = −3 y b =  1 . ¿Para qué valores de h está b en el plano 7 h −2 generado por a1 y a2 ?. 
     1 −3 h I 20. Sean a1 =  0 , a2 =  1 y b = −5 . ¿Para qué valores de h está b en el plano −2 8 −3 generado por a1 y a2 ?. 34
I 21. Da una descripción geométrica del subespacio Gen v1 , v2 de R3 para los vectores     8 12 v1 =  2 y v2 =  3. −6 −9 I 22. Da una descripción geométrica de Gen v1 , v2 para los vectores del ejercicio 18. 
2 I 23. Sean u = −1 valores de h y k.
    2 h yv= . Demuestra que el vector está en Gen u, v para todos los 1 k
I 24. Construye una matriz A de 3 × 3, con todos los elementos distintos de cero, y un vector b en R3 tal que b no esté en el conjunto generado por las columnas de A. En los ejercicios 25 y 26, indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica cada una de tus respuestas.
I 25. 
 −4 (a) Una notación equivalente para el vector es [−4 3]. 3     −2 −5 (b) Los puntos en el plano correspondientes a y están sobre una línea que pasa 5 2 por el origen. (c) Un ejemplo de una combinación lineal de los vectores v1 y v2 es el vector 21 v1 . (d) El conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada es [a1 a2 a3 b] es igual al conjunto solución de la ecuación vectorial x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 = b. (e) Cualesquiera que sean los vectores u, v el conjunto Gen u, v siempre representa un plano que pasa por el origen.
I 26. (a) Cualquier lista de cinco números reales es un vector en R3 . (b) El vector u se obtiene cuando al vector u − v se le suma el vector v. (c) Los coeficientes c1 , . . . , cn en una combinación lineal c1 v1 + · · · + cn vn no pueden ser todos iguales a cero. (d) Si u y v son vectores distintos de cero, Gen u, v contiene la recta que pasa por u y por el origen. (e) Si u y v son vectores distintos de cero, Gen u, v contiene la recta que pasa por u y por v. (f) Preguntar si el sistema lineal correspondiente a una matriz aumentada [a1 a2 a3 b] tiene una solución es lo mismo que preguntar si b está en Gen a1 , a2 , a3 .
I 27. Sean
1 A= 0 −2
 6 −2 3
 4 b =  1 . −4
Denotemos las columnas de A mediante a1 , a2 , a3 , y sea W = Gen a1 , a2 , a3 . 35
(a) ¿Está b en W? ¿Cuántos vectores hay en W?. (b) Demuestra que a1 está en W. [Indicación: No se requieren operaciones de fila.] 
   2 0 6 10 8 5, sea b =  3 , y sea W el conjunto de todas las combinaciones I 28. Sea A = −1 1 −2 1 3 lineales de las columnas de A. (a) ¿Está b en W?. (b) Demuestra que la tercera columna de A está en W.
I 29. Sean v1 , . . . , vk puntos en R3 , y supongamos que para j = 1, . . . , k un objeto de masa m j , se localiza en el punto v j . Los físicos llaman a tales objetos masas puntuales. La masa total del sistema es m = m1 + · · · + m k El centro de gravedad (o centro de masa) del sistema es v¯ =
m1 v1 + · · · + m k v k . m
Calcula el centro de gravedad del sistema constituido por las siguientes masas puntuales: Punto
= (5, −4, 3) = (4, 3, −2) = (−4, −3, −1) = (−9, 8, 6)
I 30. Considera los vectores v1 , v2 , v3 y b en R2 que se muestran en la figura. La ecuación vectorial x1 v1 + x2 v2 + x3 v3 = b, ¿tiene alguna solución?. En caso afirmativo, ¿es única?. Utiliza la figura para explicar tus respuestas.
2g 5g 2g 1g
v3 b v2 0
I 31. Usa los vectores u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn ) y w = (w1 , . . . , wn ) para verificar las siguientes propiedades algebraicas de Rn . (a) (u + v) + w = u + (v + w), (b) c(u + v) = cu + cv para cada número c.
I 32. Usa el vector u = (u1 , . . . , un ) para verificar las siguientes propiedades algebraicas de Rn . (a) u + (−u) = (−u) + u = 0, (b) c(du) = (cd)u para cualesquiera números c y d. 36
La ecuación matricial Ax = b      3 −2 0 −7  −2 , y b =  9. Comprueba que p es una 9 −5, p =   0 −1 7 0 −4 solución de Ax = b. Utiliza este hecho para mostrar una combinación lineal específica de las columnas de A que sea igual a b. 
1 I 1. Sea A = −3 4
5 1 −8
     2 5 4 −3 ,u= ,yv= . Comprueba la primera propiedad del producto 3 1 −1 5 de matrices por vectores calculando, en este caso, A(u + v) y Au + Av.
I 2. Sean A =
En los ejercicios 3 a 6 halla cada uno los productos de dos formas: (a) usando la definición del producto de una matriz por un vector y (b) usando la regla “fila por columna”. Si un producto no está definido, explica por qué.      −4 2 3 2   5 I 3.  1 6 −2 I 4.  6 −1 0 1 7 −1       1 6 5   2 8 3 −4   1 I 5. −4 −3 I 6. −3 5 1 2 7 6 1
En los ejercicios 7 y 8 usa la definición del producto Ax para escribir la ecuación matricial como una ecuación vectorial.       1 7 −3   5      −9  2 −2 −8 1 5 1 −8 4  −1      =  = I 8.  I 7. 12 16 9 −6 −5 −2 −7 3 −5  3 −4 −3 2 −2
En los ejercicios 9 y 10 usa la definición del producto Ax para escribir la ecuación vectorial como una ecuación matricial. 
       4 −5 7 6  −1  3  −8  −8        I 9. x1   7 + x2  −5 + x3  0 =  0 −4 1 2 −7 
I 10. z1
         4 −4 −5 3 4 + z2 + z3 + z4 = −2 5 4 0 13
En los ejercicios 11 y 12, primero escribe el sistema de ecuaciones lineales como una ecuación vectorial y después como una ecuación matricial.
I 11. 3x1 + x2 − 5x3 = 9 x2 + 4x3 = 0 37
I 12. 8x1 − x2 = 4 5x1 + 4x2 = 1 x1 − 3x2 = 2
En los ejercicios 13 y 14, escribe la matriz ampliada para el sistema de ecuaciones lineales que corresponde a la ecuación matricial Ax = b. Después resuelve el sistema y escribe la solución en forma paramétrica vectorial.
I 14. 
   4 −2 5, b =  2 −3 9
   0 3 I 15. Sean u = 4 y A = −2 4 1 A?. ¿Por qué sí o por qué no?
1 A =  −3 0
   2 1 0 −1 2, b =  1 5 3 −1
 −5 6. ¿Está u en el plano de R3 generado por las columnas de 1
   2 5 8 7 I 16. Sean u = −3 y A = 0 1 −1. ¿Está u en el subconjunto en R3 generado por las 2 1 3 0 columnas de A?. ¿Por qué sí o por qué no?. 
   2 −1 b1 I 17. Sean A = yb = . Demuestra que la ecuación Ax = b no tiene solución −6 3 b2 para todas las b posibles, y describe el conjunto de todas las b para las cuales Ax = b sí tiene solución. 
1 I 18. Repite el ejercicio 17: A = −3 5
   −3 −4 b1 2 6, b = b2  b3 −1 −8
Los ejercicios 19 a 22 se refieren a las matrices A y B que se presentan a continuación. Realiza los cálculos adecuados que justifiquen tus respuestas. 
1  −1 A=  0 2
3 −1 −4 0
 3 1  −8 −1
1  0 B=  1 −2
3 1 2 −8
 −2 2 1 −5  −3 7 2 −1
I 19. ¿Cuántas filas de A contienen una posición pivote?. La ecuación Ax = b, ¿tiene solución para cada b en R4 ? I 20. ¿Las columnas de B generan R4 ?. La ecuación Bx = y, ¿tiene solución para cada y en R4 ? I 21. ¿Puede escribirse cada vector en R4 como una combinación lineal de las columnas de la matriz A?. ¿Las columnas de A generan R4 ? 38
I 22. ¿Puede escribirse cada vector en R4 como una combinación lineal de las columnas de la matriz B?. ¿Las columnas de B generan R3 ? 
     1 0 1  0  −1  0 4      I 23. Sean v1 =  −1, v2 =  0, v3 =  0. ¿Genera {v1 , v2 , v3 } a R ?. ¿Por qué sí o por 0 1 −1 qué no? 
     0 0 4 I 24. Sean v1 =  0, v2 = −3, v3 = −1. ¿Genera {v1 , v2 , v3 } a R3 ?. ¿Por qué sí o por −2 8 −5 qué no? En los ejercicios 25 y 26, indica para cada enunciado si es verdadero o falso. Justifica cada respuesta.
I 25. (a) La ecuación Ax = b se conoce como una ecuación vectorial. (b) Un vector b es una combinación lineal de las columnas de una matriz A si, y sólo si, la ecuación Ax = b tiene al menos una solución. (c) La ecuación Ax = b es compatible si la matriz ampliada [A b] tiene una posición pivote en cada fila. (d) El primer elemento en el producto Ax es una suma de productos. (e) Si las columnas de una matriz A de orden m × n generan Rm , entonces la ecuación Ax = b es compatible para cada vector b de Rm . (f) Si A es una matriz m × n y la ecuación Ax = b es incompatible para algún b en Rm , entonces A no puede tener una posición pivote en cada fila.
I 26. (a) Cualquier ecuación matricial Ax = b corresponde a una ecuación vectorial con el mismo conjunto solución. (b) Cualquier combinación lineal de vectores de Rm siempre puede escribirse en la forma de producto Ax para una matriz A y un vector x. (c) El conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es [a1 a2 a3 b] es el mismo que el conjunto solución de Ax = b, si A = [a2 a2 a3 ]. (d) Si la ecuación Ax = b es incompatible, entonces b no está en el conjunto generado por las columnas de A. (e) Si la matriz ampliada [A b] tiene una posición pivote en cada fila, entonces la ecuación Ax = b es incompatible. (f) Si A es una matriz m × n cuyas columnas no generan Rm , entonces la ecuación Ax = b es incompatible para algún vector b en Rm . 39
    4 −3 1 −3 −7 5 −1 = −3. Usa este hecho para (sin realizar opeI 27. Comprueba que  5 −2 −6 2 −3 2 10 raciones de filas) hallar los valores de los coeficientes c1 , c2 y c3 tales que         −7 4 −3 1  −3 = c1  5 + c2  −2 + c3  5 10 −6 2 −3       7 3 6 I 28. Sean u = 2, v = 1 y w = 1. Comprueba que 3u − 5v − w = 0 y utiliza este 5 3 0 hecho para (sin realizar operaciones de filas) encontrar x1 y x2 que satisfagan la ecuación     7 3   6 2 1 x1 = 1 . x2 5 3 0
I 29. Sean q1 , q2 , q3 y v vectores en R5 , y sean x1 , x2 , x3 tres números desconocidos. Escribe la siguiente ecuación vectorial como una ecuación matricial. Explica el significado de cualquier símbolo que decidas utilizar. x1 q1 + x2 q2 + x3 q3 = v. I 30. Reescribe la siguiente ecuación matricial (numérica) en forma simbólica como una ecuación vectorial, y utiliza los símbolos v1 , v2 ,. . . para los vectores y c1 , c2 ,. . . para los coeficientes. Define lo que representa cada símbolo usando los datos de la ecuación matricial.   −3    2    8 −3 5 −4 9 7   4 =  − 1 5 8 1 −2 −4   −1 2 I 31. Construye una matriz 3 × 3, en forma no escalonada, cuyas columnas generen R3 . Demuestra que dicha matriz tiene la propiedad deseada. I 32. Construye una matriz 3 × 3, en forma no escalonada, cuyas columnas no generen R3 . Demuestra que dicha matriz tiene la propiedad deseada. I 33. Sea A una matriz 3 × 2. Explica por qué la ecuación Ax = b no puede ser compatible para toda b en R3 . Generaliza tu argumento para el caso de una matriz A arbitraria con más filas que columnas. I 34. ¿Podría un conjunto de tres vectores en R4 generar todo R4 ? Explica tu respuesta. ¿Qué sucede con n vectores en Rm cuando n es menor que m? I 35. Supongamos que A es una matriz 4 × 3 y b un vector en R4 con la propiedad de que Ax = b tiene una solución única. ¿Qué puede decirse acerca de la forma escalonada reducida de A? Justifica tu respuesta. I 36. Supongamos que A es una matriz 3 × 3 y b un vector en R3 con la propiedad de que Ax = b tiene una solución única. Explica por qué las columnas de A necesariamente generan todo R3 . 40
I 37. Sean A una matriz 3 × 4, y1 e y2 dos vectores en R3 , y w = y1 + y2 . Supongamos que y1 = Ax1 y y2 = Ax2 para algunos vectores x1 y x2 en R4 . ¿Qué hecho permite concluir que el sistema Ax = w es compatible?. I 38. Sean A una matriz de 5 × 3, sea y un vector en R3 , y sea z el vector de R5 dado por z = Ay. ¿Qué hecho permite concluir que el sistema Ax = 4z es compatible? En los ejercicios 39 a 42, determine si las columnas de la matriz generan a R4 .
I 39. 
7  −5   6 −7
2 −3 10 9
−5 8 4 −9  −2 7 2 15
5  6   4 −9
 −7 −4 9 −8 −7 5  −4 −9 −9 11 16 7
11 −8 7 4
I 41. 
12  −9   −6 4
−7 11 −9 5 4 −8 7 −3  11 −7 3 −9 −6 10 −5 12
8  −7   11 −3
 −6 −7 13 5 6 −9  −7 −9 −6 1 8 7
I 43. En la matriz del ejercicio 41, halla una columna que se pueda borrar sin que las columnas restantes dejen de generar a R4 . I 44. En la matriz del ejercicio 42, halla una columna que se pueda borrar sin que las columnas restantes dejen de generar a R4 . ¿Podría borrarse más de una columna?
Conjuntos solución de los sistemas de ecuaciones lineales I 1. Cada una de las siguientes ecuaciones determina un plano en R3 . ¿Se intersecan los dos planos? Si lo hacen, describe su intersección. x1 + 4x2 − 5x3 = 0 2x1 − x2 + 8x3 = 9
I 2. Escribe la solución general de 10x1 − 3x2 − 2x3 = 7 en forma vectorial paramétrica, y relacione el conjunto solución con el que se encontró en el ejemplo 2. En los ejercicios 3 a 6, determina si el sistema tiene una solución no trivial. Trata de emplear tan pocas operaciones por fila como sea posible.
2x1 − 5x2 + 8x3 = 0
−2x1 − 7x2 + x3 = 0 4x1 + 2x2 + 7x3 = 0
x1 − 3x2 + 7x3 = 0
−2x1 + x2 − 4x3 = 0 x1 + 2x2 + 9x3 = 0
−3x1 + 5x2 − 7x3 = 0 −6x1 + 7x2 + x3 = 0
−5x1 + 7x2 + 9x3 = 0 x1 − 2x2 + 6x3 = 0
En los ejercicios 7 y 8, escribe en forma vectorial paramétrica la solución del sistema homogéneo dado.
x1 + 3x2 + x3 = 0
x1 + 3x2 − 5x3 = 0 x1 + 4x2 − 8x3 = 0
−4x1 − 9x2 + 2x3 = 0 −3x2 − 6x3 = 0
−3x1 − 7x2 + 9x3 = 0
En los ejercicios 9 a 14, describe todas las soluciones de A x = 0 en forma trica, donde A sea equivalente por filas a la matriz dada.     1 3 −3 7 1 −2 −9 5 I 9. I 10. 0 1 −4 5 0 1 2 −6     3 −9 6 1 3 0 −4 I 11. I 12. −1 3 −2 2 6 0 −8    1 5 2 −6 1 −4 −2 0 3 −5  0 0 0 1 −7 0 1 0 0 − 1  I 14.  I 13.  0 0 0 0 0 0 0 0 1 −4  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
vectorial paramé-
 0 −8   1 0
I 15. Supongamos que el conjunto solución de cierto sistema de ecuaciones lineales puede describirse como x1 = 5 + 4x3 , x2 = −2 − 7x3 , (x3 libre). Usa vectores para describir este conjunto como una recta en R3 . I 16. Supongamos que el conjunto solución de cierto sistema de ecuaciones lineales puede describirse como x1 = 3x4 , x2 = 8 + x4 , x3 = 2 − 5x4 , (x4 libre). Usa vectores para describir este conjunto como una recta en R4 . I 17. Describe en forma vectorial paramétrica las soluciones del siguiente sistema. x1 + 3x2 + x3 = 1
−4x1 − 9xz + 2x3 = −1 −3x2 − 6x3 = −3
I 18. Igual que en el ejercicio 17, describe las soluciones del siguiente sistema en forma vectorial paramétrica y compáralo geométricamente con el conjunto solución del ejercicio 8. x1 + 3x2 − 5x3 = 4
Da también una descripción geométrica del conjunto solución y compárelo con el del ejercicio 7.
x1 + 4x2 − 8x3 = 7
−3x1 − 7x2 + 9x3 = −6
I 19. Describe y compara los conjuntos solución de x1 + 9x2 − 4x3 = 0 y x1 + 9x2 − 4x3 = −2. I 20. Describe y compara los conjuntos solución de x1 − 3x2 + 5x3 = 0 y x1 − 3x2 + 5x3 = 4. En los ejercicios 21 y 22, halla la ecuación paramétrica de la recta que pasa por a y es paralela a b. 42
I 21. a =
I 22. a =
En los ejercicios 23 y 24, halla una ecuación paramétrica de la recta ` que pasa por p y q. [Indicación: ` es paralela al vector q − p.] 
I 23. p =
I 24. p =
-p q- p
En los ejercicios 25 y 26, indica para cada afirmación si es verdadera o falsa. Justifica cada respuesta.
I 25. (a) Una ecuación homogénea siempre es compatible. (b) La ecuación A x = 0 proporciona una descripción explícita de su conjunto solución. (c) La ecuación homogénea A x = 0 tiene solución trivial si, y sólo si, cuenta por lo menos con una variable libre. (d) La ecuación x = p + t v describe una recta que pasa por v paralela a p. (e) El conjunto solución de A x = b es el conjunto de todos los vectores de la forma w = p + v, donde v es cualquier solución de la ecuación A x = 0.
I 26. (a) Si x es una solución no trivial de A x = 0 , entonces todos los elementos de x son diferentes de cero. (b) La ecuación x = x2 u + x3 v, con x2 y x3 libres (y con u y v tales que no son múltiplos entre sí), describe un plano que pasa por el origen. (c) La ecuación A x = b es homogénea si el vector cero es una solución. (d) El efecto de sumar p a un vector es trasladar el vector en una dirección paralela a p. (e) El conjunto solución de A x = b se obtiene al trasladar el conjunto solución de A x = 0.
I 27. Los siguientes dos apartados demuestran el teorema que relaciona las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con las del sistema homogéneo asociado, a saber: Si p es una solución particular de A x = b, las soluciones de A x = b son precisamente los vectores la forma w = p + v, donde v es una solución de A x = 0. 43
(a) Supongamos que p es una solución de A x = b (de manera que A p = b) y que v es una solución de la ecuación homogénea A x = 0. Definamos el vector w como w = p + v. Demuestra que w es una solución de A x = b. (b) Sea w cualquier solución de A x = b y sea v = w − p. Demuestra que v es una solución de A x = 0.
I 28. Supongamos que A x = b tiene una solución. Explica por qué la solución es única precisamente cuando A x = 0 tiene solamente la solución trivial. I 29. Supongamos que A es la matriz cero de orden 3 × 3 (todos los elementos iguales a cero). Describe el conjunto solución de la ecuación A x = 0. I 30. Si b 6= 0, ¿el conjunto solución de A x = b puede ser un plano que pase por el origen? Explica tu respuesta. En cada uno de los ejercicios 31 a 34 se da una matriz m × n. Para cada uno de ellos contesta a las siguientes dos preguntas: (a) ¿La ecuación A x = 0 tiene una solución no trivial?. (b) ¿La ecuación A x = b tiene solución para todos los vectores b de Rm ?.
I 31. A es una matriz de orden 3 × 3 con tres posiciones pivote.
I 32. A es una matriz de orden 3 × 3 con dos posiciones pivote.
I 33. A es una matriz de orden 3 × 2 con dos posiciones pivote.
I 34. A es una matriz de orden 2 × 4 con dos posiciones pivote.
I 35. Dada A =
2 7 −3
−6 21 −9
! , halla mediante inspección una solución no trivial de A x = 0. [Suge-
rencia: Piensa en la ecuación A x = 0 escrita como una ecuación vectorial.]
I 36. Dada A =
4 −8 6
−6 12 −9
! , halla mediante inspección una una solución no trivial de A x = 0.
I 37. Construye una matriz A de orden ! 3 × 3, distinta de cero, tal que el vector
I 38. Construye una matriz A de orden ! 3 × 3,
distinta de cero, tal que el vector
una solución de A x = 0.
I 39. Construye una matriz A de orden 2 × 2 tal que el conjunto solución de la ecuación A x = 0 sea la recta ` en R2 que pasa por (4, 1) y el origen. Después, halla un vector b en R2 tal que el conjunto solución de A x = b no sea una recta en R2 paralela a la recta `. ¿Por qué esto no contradice el teorema que relaciona las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con las del sistema homogéneo asociado (ejercicio 27)? I 40. Supongamos que A es una matriz de orden 3 × 3 e y un vector en R3 tal que la ecuación A x = y no tiene solución. ¿Existe un vector z en R3 tal que la ecuación A x = z tenga una solución única?. 44
I 41. Sea A una matriz de orden m × n y u un vector en Rn que satisfaga la ecuación A x = 0. Demuestra que para cualquier número c, el vector c u también satisface A x = 0. [Esto es, muestra que A(c u) = 0.] I 42. Sea A una matriz de orden m × n, y sean u y v vectores en Rn con la propiedad de que A u = 0 y A v = 0 . Explica por qué A(u + v) debe ser igual al vector cero. Después explica por qué A(c u + d v) = 0 para cada par de números c y d.

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