Source: https://www.scribd.com/document/153450707/Unidad-3-Matematica-4to-Basico
Timestamp: 2019-02-21 10:04:04+00:00

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problemas multiplicativos y técnicas para dividir
Asesoría a la Escuela para la Implementación Curricular en Lenguaje y Matemática, LEM Nivel de Educación Básica División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile Autores: Universidad de Santiago Lorena Espinoza S. Enrique González L. Joaquim Barbé F. Ministerio de Educación: Dinko Mitrovich G. Asesores internacionales: Guy Brousseau. Profesor Emérito de la Universidad de Bordeaux, Francia. Revisión y Corrección de Estilo Josefina Muñoz V. Coordinación Editorial Claudio Muñoz P. Ilustraciones y Diseño: Miguel Angel Marfán Elba Peña Impresión: xxxxx. Marzo 2006 Registro de Propiedad Intelectual Nº 155.876 Teléfono: 3904754 – Fax 3810009
Matemática Cuarto Año Básico
TERCERA UNIDAD Didáctica
Estudiando problemas multiplicativos y técnicas para dividir
Lorena Espinoza S. • Enrique González L. • Dinko Mitrovich G. • Joaquim Barbé
Índice I	Presentación	II	Esquema	III	Orientaciones para el docente: estrategia didáctica	IV	Planes de clases	V	Prueba y Pauta	VI	Espacio para la reflexión personal	VII	Glosario	VIII	Fichas y materiales para alumnas y alumnos	6 16 18 48 54 57 58 61 .
sustracción. Matemática Aprendizajes esperados para la Unidad •	Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias. •	Restan utilizando un procedimiento convencional. profundizan aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver el problema y la formulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos (Aprendizaje esperado 10. •	Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones aso	ciadas. multiplicación y división (Aprendizaje esperado 7. •	En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad. segundo semestre). profundizan aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver problemas y la formulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos. •	Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes (Aprendizaje esperado 5. segundo semestre). estableciendo semejanzas y diferencias entre ellos y distinguiendo la operación que los resuelve e interpretando el significado de los datos y la incógnita. segundo semestre). segundo semestre). •	Establecen diferencias y semejanzas entre las características asociadas a las operaciones de adición. •	Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes. Aprendizajes previos •	Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas •	Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún procedimiento de cálculo. •	En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad.Cuarto básico TERCERa Unidad didáctica Estudiando problemas multiplicativos y técnicas para dividir Aprendizajes esperados del Programa •	Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias (Aprendizaje esperado 4.  . de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. •	Utilizan procedimientos resumidos para resolver problemas de reparto equitativo.
los niños construyen una noción amplia y significativa de la división y profundizan la de multiplicación.I presentación E sta Unidad gira en torno a la resolución de problemas multiplicativos que involucran una relación de proporcionalidad directa y el desarrollo de técnicas para dividir con el fin de resolver los problemas planteados. •	Resuelven problemas inversos de proporcionalidad directa en los que se efectuó una acción de reparto equitativo o agrupamiento en base a una medida. explican sus procedimientos y elaboran problemas. el cuociente es un número de una o dos cifras. A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta unidad: 1. esto es. problemas de iteración de una medida. ya que se itera una medida. este tipo de problemas se caracterizan por involucrar tres cantidades. la cantidad de grupos que la conforman y la medida de cada grupo.  . El estudio de la división se realiza a partir de los conocimientos que niñas y niños ya tienen sobre la multiplicación. de reparto equitativo y de agrupamiento en base a una medida. pero que se resuelven efectuando una multiplicación. pertenecen a este tipo de problemas. Las cantidades involucradas en las actividades propuestas en la unidad corresponden a números menores que mil. Tareas Matemáticas Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta unidad son: •	Resuelven problemas asociados a una relación de proporcionalidad directa. siendo esta última medida igual para todos los grupos. •	Comprueban el resultado de una división estableciendo la relación entre el dividendo y el divisor. el total de una colección. y en el caso de los problemas que se resuelven con una división. de reparto equitativo y de iteración de una medida. Tal y como se vio en la Cuarta Unidad Didáctica de Tercero Básico. •	Calculan divisiones cuyo dividendo tiene hasta tres cifras y el divisor una. Tanto los problemas de agrupamiento en base a una medida. Los niños avanzan en la apropiación de una estrategia de resolución de problemas multiplicativos identificando qué operación hay que realizar para resolver un determinado problema. el cuociente y el resto. aprenden procedimientos para dividir. A partir de la relación inversa que existe entre ambas operaciones.
Ámbito numérico del divisor: una o dos cifras. igual a 10. Relación entre el dividendo y el divisor: Dividendo múltiplo y no múltiplo del divisor. •	Elaboran problemas de iteración de una medida. de reparto equitativo o de agrupamiento en base a una medida a partir de información numérica y un contexto dado. 2. 	Tipo de acción involucrada en el enunciado del problema: del tipo agrupar (problemas de agrupamiento en base a una medida). 	Relaciones entre los números en la multiplicación: •	•	•	Uno de los factores es un número de una cifra y el otro puede ser un número de hasta tres cifras. Un factor es un número de dos cifras y el otro un número de hasta tres cifras. repartir en partes iguales (problemas de reparto equitativo) o iterar (problemas de iteración de una medida). mayor que 10 y menor que 99 (dos cifras). agrupar en base a una medida e iterar una medida asociando las dos primeras acciones a una división y la tercera a una multiplicación.  . Variables didácticas Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las tareas matemáticas que niñas y niños realizan son: 	Ámbito numérico: hasta 1. 	Características de los objetos de las colecciones: manipulables y no manipulables. Uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100. 	Disponibilidad de las colecciones: disponibles y no disponibles.000. 	Relaciones entre los números en la división: •	•	•	•	Ámbito numérico del dividendo: números de dos y tres cifras. 	Tipo de problemas: directos e inversos. que les permite obtener nueva información a partir de información disponible.Presentación •	Realizan acciones de repartir en partes iguales. Cuociente: menor que 10 (una cifra). mayor que 99 y menor 1000 (tres cifras).
•	•	•	•		En las técnicas para multiplicar recurren a distintos procedimientos estudiados en tercero básico. Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de productos. Realizar la operación. sumando finalmente cada producto. •		En las técnicas para dividir recurren a distintos procedimientos. Interpretar el resultado obtenido en el contexto del problema. Procedimientos Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son: 	En la resolución de problemas: Se apropian gradualmente de una estrategia de resolución de problemas que incluye las siguientes fases: •	Reconocer el contexto en que se presenta el problema: relacionan la acción involucrada en el problema con repartir en partes iguales. ¿Qué nos dice el problema? ¿Qué nos pide averiguar? Reconocer la relación aritmética entre datos e incógnitas para decidir si la operación que resuelve el problema es una multiplicación o una división. los descomponen canónicamente y multiplican cada sumando por el número de una cifra. Identificar los datos y la incógnita. recurren a las combinaciones multiplicativas básica y/o a la tabla pitagórica extendida. Cuando uno de los factores es un número de dos o tres cifras. agrupar en base a una medida o iterar una medida. ampliándolos según la relación entre los números: •	•	•	Cuando el divisor es de una cifra.Presentación 3. extienden las combinaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10 y 100. estudiados en tercero básico. utilizan las combinaciones multiplicativas básicas o la tabla pitagórica. según la relación entre los números: •	•	•	Números de una cifra.  . Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100. Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de cuocientes. Cuando uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100.
	En los problemas de iteración de una medida directos se tienen como datos la medida que debe tener cada grupo (en el entendido que esa medida es la misma para todos los grupos) y el número de grupos. 	Por cada grupo de a unidades que formo me quedan a unidades menos en la colección. 	En los problemas de reparto equitativo directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y el número de grupos que se deben formar. siendo la medida de los grupos la incógnita del problema. por tanto. siendo el número de grupos que se pueden formar la incógnita del problema. de forma que podemos decir que: número de grupos x medida de grupo = cantidad total Tanto los problemas de iteración de una medida. buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida a para acercarme lo más posible a la cantidad total de mi colección sin pasarme. la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de elementos que tiene cada grupo (que denominaremos como medida de grupo). 	En los problemas de agrupamiento en base a una medida directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y la medida que tiene cada grupo que hay que formar. entonces puedo repartir las unidades por “rondas” dando una unidad a cada grupo en cada ronda. 	Si tengo que repartir t unidades entre a grupos de forma que le correspondan la misma cantidad de unidades a cada grupo. Fundamentos centrales 	Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abordados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total). entonces en cada ronda reparto un total de a unidades (una unidad por cada gru . Como tengo a grupos. La cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse a través de una división. 	Dado que la cantidad total equivale a repetir tantas veces como grupos la cantidad de medida de cada grupo. La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos. siendo la cantidad total la incógnita del problema. puedo formar tantos grupos como número de veces está contenido el valor a en el total de la colección. como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por el número de grupos. jugando el rol de la constante de proporcionalidad.Presentación 4.
se determina el factor de una cifra que multiplicado por el divisor se acerca más al resultado obtenido en la última resta. El cuociente se obtiene a partir de sumar los tres cuocientes parciales anteriores: el múltiplo de las centenas. dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el dividendo. Para ello. a lo que hemos llamado medida de grupo. 10 . se empieza buscando cuál es el mayor múltiplo de 100. a la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto. Sea como sea. se busca cuál es el mayor múltiplo de 10 que multiplicado por el divisor se acerca mas a esa diferencia. más las unidades. se representa por la expresión: número de grupos x medida de grupo + cantidad que queda = cantidad total inicial La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como: divisor x cuociente + resto = dividendo Esta expresión permite comprobar el resultado de una división. la relación entre datos e incógnitas cuando la cantidad total no es múltiplo del número de grupos o de la medida. 	En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo. siendo el cuociente de esa división igual a la cantidad de unidades que corresponden a cada grupo. Nuevamente. dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el problema es de reparto equitativo o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida.Presentación po). Una vez determinado. Dicho cálculo corresponde a la división t : a. Luego se calcula la diferencia entre el dividendo y el resultado de dicho producto. más el múltiplo de las decenas. Entonces. y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. se efectúa la resta entre la diferencia y dicho producto. o sea. en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento. De ese modo. que multiplicado por el divisor da una cantidad lo más cercana posible al dividendo sin pasarse. la cantidad de elementos que tiene cada grupo coincide con la cantidad de rondas efectuadas. Durante el reparto. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el divisor. para poder anticipar para cuantas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que le puedo quitar a unidades al total t. la cantidad de elementos que hay en cada grupo una vez finalizado el reparto coincide con la cantidad de rondas efectuadas. Finalmente. 	El cuociente de una división se puede determinar a través de la suma de cuocientes parciales. 	En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo.
cuando este tiene dos cifras y. las nuevas condiciones en las que se plantean los problemas hacen que los procedimientos de la clase anterior 11 . multiplicado por el cuociente. La clase termina sistematizando la estrategia de resolver la división a partir de la búsqueda del factor que. mediante el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” se pretende que los niños desarrollen procedimientos abreviados para calcular el cuociente de una división. 5. Los problemas inversos. profundicen en el significado de los distintos datos en los problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. puesto que dependiendo de la pregunta del problema. En esta etapa interesa que los niños y niñas se familiaricen con este tipo de problemas y adquieran seguridad a la hora de resolverlos. surge la multiplicación o la división como operación que resuelve el problema. identificando la o las operaciones que los resuelven. pese a que los niños sean capaces de anticipar el resultado del problema es importante que tengan la oportunidad de comprobarlo realizando la acción concreta. son problemas donde la operación que resuelve el problema es la misma con la que se modeliza la acción descrita en el enunciado. El proceso parte en la primera clase proponiendo a niñas y niños actividades que involucran problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida como por ejemplo: Si el jornalero tiene 40 porotos ¿cuántas bolsas necesita. son problemas donde la operación que resuelve el problema es distinta a la que modeliza la acción descrita en el enunciado. Por ello. Finalmente. la sexta corresponde a una clase de evaluación. se acerca más al dividendo sin pasarse.Presentación 	Los Problemas directos de proporcionalidad directa. De hecho. dada una determinada situación. En la segunda clase el proceso avanza de forma que son los niños los que. entendidos estos como procedimientos con pocos pasos y en los que se utilizan cálculos sencillos. y desarrollen herramientas para comprobar y justificar sus procedimientos. se enfrenten ante la necesidad de buscar procedimientos de cálculo más eficaces. En las primeras 4 clases se plantean actividades que constituyen elementos de un proceso graduado frente al cual los niños tendrán la posibilidad de avanzar y sistematizar sus conocimientos sobre la resolución de problemas multiplicativos con la orientación del profesor(a). Luego. Descripción global del proceso Durante las seis clases la intención está puesta en que los alumnos estudien problemas multiplicativos de proporcionalidad. La quinta clase es esencialmente una clase de ejercitación y sistematización del trabajo desarrollado en las clases anteriores. sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa? O bien: Si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lenteja ¿cuántas semillas ha ocupado sabiendo que en cada bolsa ha echado 10 semillas? Interesa que los niños se familiaricen con este tipo de actividad. resuelven una serie de problemas que están en el mismo contexto que la actividad inicial. formulan problemas de iteración y de agrupamiento en base a una medida y luego los resuelven. En esta clase. a su vez.
en esta clase el énfasis esta puesto en el planteo y la resolución de problemas. En este sentido. La quinta clase tiene como propósito principal trabajar lo estudiado en las clases anteriores. 12 . se sistematiza la estrategia que permite decidir la operación que resuelve el problema en función del significado de los diferentes datos. Si bien el trabajo central en la clase anterior era el de desarrollar un procedimiento para dividir. independientemente de la acción formulada en el problema. en los que el ámbito numérico de las cantidades involucradas varía entre uno y tres dígitos. De ese modo se propone ampliar la técnica de acercarse al dividendo mediante múltiplos de 10. Luego se propone que los alumnos efectúen un conjunto de cálculos que incluyen multiplicaciones y divisiones. así como de establecer la operación que relaciona los datos con la incógnita. como Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. se propone que resuelvan un conjunto de cuatro problemas multiplicativos entre los que hay un problema inverso. además de practicar los procedimientos desarrollados en la segunda y tercera clase. Una vez hechos los cálculos. Es precisamente en estos casos donde el uso de los esquemas aparece como una herramienta especialmente útil a la hora de poder determinar y justificar la operación que resuelve el problema. Mediante la actividad de “Formulando Problemas” se desarrolla la habilidad de reconocer el rol de cada uno de los datos y de la incógnita dentro de los problemas multiplicativos de proporcionalidad. En la sexta clase se aplica una prueba de la unidad que permite verificar los aprendizajes matemáticos logrados por cada niño y los que habrá que retomar. En esos cálculos se propicia que el alumno. En la cuarta clase a los problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida. Esta situación pone en juego la habilidad para interpretar correctamente el rol que puede jugar cada uno de los datos en los distintos problemas. Al final de la clase. a múltiplos de 100. La clase se inicia con una situación en la que los alumnos deben formular tres problemas distintos y resolverlos recordando lo estudiado en la clase anterior. Nuevamente se amplía el ámbito numérico. se les añaden los problemas de reparto equitativo. En la tercera clase se sigue trabajando con problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. En esta clase se proponen problemas muy similares a los estudiados en la clase anterior.Presentación fracasen. adquiera destreza en comprobar los resultados obtenidos en las divisiones. Se espera que los alumnos utilicen combinaciones básicas de múltiplos de 10 para obtener el resultado. en esta clase aparece algún problema inverso. pero en este caso los cuocientes pueden ser cantidades de hasta tres cifras. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? De forma que los niños vivan la experiencia de que no es suficiente con identificar la acción involucrada en el problema para resolverlo. debido fundamentalmente a la ampliación del ámbito numérico. La clase termina con una síntesis de las principales nociones estudiadas en la unidad. de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los conocimientos construidos. más que en el cálculo.
El profesor debe asegurarse que todos los niños: •	Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas •	Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún procedimiento de cálculo. X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 13 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 . Sugerencias para trabajar los Aprendizajes Previos Antes de dar inicio al estudio de la Unidad. el producto de 6 y 8. La Tabla Pitagórica permite encontrar los productos de las combinaciones multiplicativas básicas. por ejemplo. por ejemplo: Don Raúl tiene 6 paquetes de zanahorias. se sugiere introducir la “Tabla Pitagórica”. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella. se ubica uno de los factores en la primera fila y el otro factor en la primera columna de la tabla. con 8 zanahorias cada uno. es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. ¿Cuántas zanahorias tiene? Si se detecta que no hay dominio o estabilidad en la evocación de las combinaciones multiplicativas básicas. en que los números involucrados sean de una cifra. En la intersección de esa fila con esa columna se encuentra el producto buscado.Presentación 6. El procedimiento es el siguiente: para obtener. proponga problemas multiplicativos de proporcionalidad directa. En la siguiente Tabla Pitagórica se señala el procedimiento seguido para obtener el producto buscado (48). Lo importante es asegurarse que los alumnos asocien a este tipo de problemas la multiplicación. como la operación que permite resolverlos en forma simple y eficaz. Para cerciorarse que los niños y niñas disponen de dichos conocimientos.
que suelen ser del 1 al 10. Dado que dicho cuociente es el factor que multiplicado por 8 se acerca lo más posible a 50 sin pasarse. Luego una vez encontrada. Rodrigo tiene $800 solo en monedas de a $100.Presentación La Tabla pitagórica también permite determinar el cuociente de una división. Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones asociadas Presentar a los niños situaciones en que tengan que determinar la cantidad de dinero u objetos. identificamos la fila en la que se encuentra el 48. esto es 48. se espera que los niños puedan responder el problema recíproco. o sea 50 y el producto seleccionado de la tabla. X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 La Tabla pitagórica extendida es una Tabla Pitagórica en la que se han incluido más filas y columnas. Veamos un ejemplo de ello. Por ejemplo. siempre y cuando dicho cuociente y el divisor estén dentro del ámbito numérico de los factores representados en la tabla. Finalmente podemos establecer que el cuociente de la división es 7 ya que 7 x 8 es 48. Si se desea obtener el resto basta con calcular la diferencia entre el dividendo. o sea el 7. ¿Cuántas monedas tiene? A quienes tienen dificultad para cuantificar colecciones de objetos agrupadas de a 10 ó 100. ¿Cuánto dinero tiene? Igualmente. 14 . si se encuentran agrupados de a 10 y 100. queremos calcular el cuociente de la división 50 : 8. de forma que el resto es 2. de manera de ampliar el ámbito numérico de las combinaciones multiplicativas que aparecen más allá de las combinaciones básicas. Rodrigo tiene 8 monedas de $100. apóyelos proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Segunda Unidad de Tercero Básico. o sea 48. entonces nos situamos sobre la columna del 8 y dentro de ella buscamos la cantidad más cercana a 50 pero sin pasarse.
15 . A quienes tienen dificultad para determinar la diferencia entre dos números.Presentación Restan utilizando un procedimiento convencional Utilizan procedimientos resumidos para resolver restas de números de hasta tres cifras. apóyelos proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Tercera Unidad de Tercero Básico.
•	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100. 143 x 5 •	Divisiones del tipo: 315 : 12. 346 : 6. 56 x 12. •	Divisor de una o dos cifras. 10 x 32. De lo contrario el problema no tiene solución puesto que no hay suficientes unidades como para poder iniciar el reparto/agrupamiento. •	Plantear y resolver problemas de reparto equitativo. Tareas matemáticas •	Plantear y resolver problemas de reparto equitativo. 250 : 6. 100 x 4. •	Identifican el rol de cada dato de un problema y el rol de la incógnita. en base a una medida y de iteración de una medida directos e inversos. •	En los problemas multiplicativos de proporcionalidad directa. Dicha cantidad puede obtenerse dividiendo la cantidad total de unidades a repartir entre el número de grupos/personas en las que hay que distribuir las unidades. •	Divisor de una o dos cifras. •	Divisiones del tipo: 620 : 6. •	Problemas en que la acción enunciada no se asocia con la operación que lo resuelve (inversos) •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos o tres cifras. esquema Clase 5 condiciones Técnicas fundamentos centrales •	De manera sintética y organizada. 305 x 15. •	Utilizan esquemas para justificar sus procedimientos en la resolución de problemas inversos. 198 : 7. •	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida directos e inversos. •	Comprueban el resultado de una división multiplicando el divisor por el cuociente y añadiendo el resto. dado que en cada ronda se reparten tantas unidades como cantidad de grupos/ personas participan del reparto. •	Comprobar el resultado de la división. 32 x 10. dado un factor y el producto. •	Utilizan esquemas para justificar sus procedimientos en la resolución de problemas inversos. •	Resto igual o distinto de cero (dividendo múltiplo o no del divisor). la cantidad de unidades que corresponden a cada grupo equivale al número de rondas que se pueden efectuar en el reparto. determinar el otro factor. Comprobar el resultado. •	Identifican el rol de cada dato de un problema y el rol de la incógnita. •	Comprueban el resultado de una división multiplicando el divisor por el cuociente y añadiendo el resto. 745 : 20. 143 : 25 . 300 : 50. dado un factor y el producto determinar el otro factor. Clase 4 condiciones Técnicas •	Utilizan la tabla pitagórica extendida para determinar el producto de dos factores o. la relación que se da es: Total unidades = N°grupos × unidades/grupos + unidades sin agrupar •	Esta relación permite establecer la operación que hay que efectuar para responder al problema una vez identificados los datos y la incógnita y a su vez permite comprobar el resultado de una división. •	Problemas en que la acción enunciada no se asocia con la operación que lo resuelve (inversos) •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos o tres cifras. •	Calcular cuocientes y productos. 500 x 12. •	Multiplicaciones del tipo: 150 x 40. •	Resto igual o distinto de cero (dividendo múltiplo o no del divisor) •	Multiplicaciones del tipo: 150 x 40. 16 •	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. •	En los problemas de reparto equitativo y/o de agrupamiento en base a una medida la cantidad a repartir/agrupar debe ser mayor a los participantes/unidades de cada grupo.II Aprendizajes esperados Clase 6 •	Evaluación de los aprendizajes esperados de la Unidad mediante una prueba escrita. Tareas matemáticas fundamentos centrales •	En los problemas de reparto equitativo. se repasan los fundamentos centrales en todas las clases anteriores. •	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100. 150 : 40 •	Utilizan la tabla pitagórica extendida para determinar el producto de dos factores o.
•	En los problemas de Agrupamiento en base a una medida. •	La división entre dos números nos permite calcular cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. 5 x 9. 30 x 4 •	Divisiones tipo: 70 : 7. •	Comprueban el resultado de divisiones. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por la cantidad de grupos. 300 : 3 : 8. De ese modo la cantidad total equivale a repetir tantas veces como número de grupos la cantidad de medida de cada grupo. •	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 100 y 10. •	Cuando uno de los factores es de dos cifras lo descomponen en forma canónica y multiplican el múltiplo de 10 por el factor de una cifra. •	Divisor de una cifra. •	Posibilidad de efectuar el agrupamiento o iteración en forma concreta. •	Cuociente de dos dígitos o tres dígitos. •	Multiplicaciones tipo: 86 x 8. 105 : 2. 270 : 9 Clase 2 condiciones Técnicas fundamentos centrales Tareas matemáticas •	Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. 28 : 2 •	Extienden combinaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10. •	Evocan combinaciones multiplicativas básicas o recurren al uso de tabla pitagórica. 86 : 8. la cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. 15 x 4. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por la cantidad de grupos. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por la cantidad de grupos. 832 : 9. 50 x 9. •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos cifras. •	Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. •	Resto igual o distinto de cero. •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos cifras. 56 : 4.132 x 6. 8 x 10. 12 x 5. •	Divisor de una cifra. la cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. •	La relación entre números es: •	Dividendo de tres cifras. 17 •	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. De ese modo la cantidad total equivale a repetir tantas veces como número de grupos la cantidad de medida de cada grupo. sumando el resultado con el producto de los dos números de una cifra. •	El cuociente es menor que 10. por ello para resolverla hay que determinar el factor que multiplicado por el divisor se acerca más al dividendo sin pasarse. •	Resto igual o distinto de cero. la cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. •	Resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. •	En los problemas de Agrupamiento en base a una medida. •	Resto igual o distinto de cero. sumando el resultado con el producto de los dos números de una cifra. Tareas matemáticas Técnicas fundamentos centrales •	En los problemas directos de iteración de una medida. 200 x 4 •	Divisiones tipo: 542 : 6. •	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. •	Cuando uno de los factores es de dos cifras lo descomponen en forma canónica y multiplican el múltiplo de 10 por el factor de una cifra. •	La división entre dos números nos permite calcular cuantas veces cabe el divisor en el dividendo. 45:8. por ello para resolverla hay que determinar el factor que multiplicado por el divisor se acerca más al dividendo sin pasarse. gracias a la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. •	En los problemas de Agrupamiento en base a una medida. De ese modo la cantidad total equivale a repetir tantas veces como número de grupos la cantidad de medida de cada grupo. 70 : 6. 28:3 Aprendizajes previos . •	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10. •	Multiplicaciones tipo: 6 x 8. 45 : 4. •	La determinación del cuociente de una división puede hacerse mediante la suma de productos parciales donde uno de los factores es el dividendo. •	Resta reiterada de la medida en la que se agrupan los objetos. Tareas matemáticas fundamentos centrales •	En los problemas directos de iteración de una medida. •	Multiplicaciones tipo: 6 x 8. •	En los problemas directos de iteración de una medida. •	Divisor de una cifra. •	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. 5 x 9 •	Divisiones tipo: 56:8.Clase 3 condiciones •	Extienden combinaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10 y 100. El cuociente es un número entre 10 y 40. Clase 1 condiciones Técnicas •	Utilizan el conteo mediante la multiplicación a medida que van formando los grupos.
Veamos un ejemplo de cada uno de ellos: Problema 1.	Pedro tenía un saco con 56 zanahorias e hizo paquetes de 8 zanahorias cada uno.	Pedro repartió equitativamente 56 zanahorias entre sus 7 amigos. Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abordados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total). La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos. de manera de enfrentarlos a situaciones que les permitan afianzar estrategia para resolver problemas multiplicativos y consolidar procedimientos para multiplicar y avanzar en desarrollar la adquisición de procedimientos para dividir. jugando el rol de la constante de proporcionalidad. ¿Cuántas zanahorias compró en total? Problema 2.	Pedro compró 7 paquetes de 8 zanahorias. como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas. de forma que podemos decir que: número de grupos x medida de grupo = cantidad total Expresión [1] Tanto los problemas de iteración de una medida.III orientaciones para el docente: estrategia didáctica La estrategia didáctica consiste en generar un proceso acotado en seis clases. ¿Cuántos paquetes obtuvo? 18 . en las cuales se propone a los niños y niñas un conjunto de tareas matemáticas con distintas condiciones de realización. ¿Cuántas zanahorias le tocaron a cada amigo? Problema 3. la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de elementos que tiene cada grupo (que denominaremos como medida de grupo).
la cantidad que se reparte podemos identificarla claramente con la cantidad total. y la incógnita es la cantidad total. esto es. pero en cada uno de ellos la incógnita es distinta.Orientaciones Pese a que los tres problemas son claramente distintos. Para resolver el problema podemos recurrir a la utilización de esquemas o dibujos. esto es. En el Problema 1. los tres pueden ser planteados utilizando la expresión [1]. mientras que la incógnita es el número de grupos. los datos son el número de grupos y la medida de grupo. de forma que el problema podría plantearse: 7 paquetes de Un paquete tiene 8 zanahorias Entonces el total de zanahorias se puede calcular a partir de 7 veces 8 zanahorias. dado que corresponde a las zanahorias que le tocan a cada uno. lo que resulta 7 x 8 = 56 Lo que da un total de 56 zanahorias. 19 . la relación de este problema con la expresión [1] es evidente. se tiene que calcular el resultado de repartir una determinada cantidad entre un determinado número de personas. El resultado del reparto se puede identificar con la medida de grupo. mientras que el número de personas se puede identificar con el número de grupos que se forman. En ese sentido. dado que podemos plantear: número de grupos	7 grupos	x	medida de grupo	8 zanahorias	=	cantidad total ? zanahorias El Problema 2 se enmarca en el contexto de reparto equitativo. Finalmente. o sea. mientras que en el Problema 2 los datos son la cantidad total y el número de grupos y la incógnita pasa a ser la medida del grupo. se tiene que calcular el resultado de iterar una determinada medida una cantidad de veces. la cantidad de zanahorias que va a haber en cada grupo. El Problema 1 se enmarca en el contexto de iteración de una medida. En este caso. pensando que a cada persona le corresponderá un grupo de zanahorias. en el Problema 3 los datos son la cantidad total y la medida del grupo.
los alumnos pueden desarrollar la siguiente argumentación para deducir el cálculo que resuelve el problema: Para repartir equitativamente las zanahorias entre mis 7 amigos voy a hacer una bolsa para cada amigo. es decir.. en cada ronda reparto siete zanahorias.. Dado que ese procedimiento es una resta iterada (descontar de 7 en 7. La cantidad de amigos corresponde al número de grupos que se deben formar. Luego. correspondiendo cada vez a una ronda. Siempre la cantidad de zanahorias que hay en cada bolsa corresponde a la cantidad de rondas que he efectuado. 42-7. para anticipar para cuántas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que puedo quitarle siete a la colección de zanahorias. la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno coincide con el total de “rondas” efectuadas una vez finalizado el reparto.Orientaciones Para resolver el problema podemos recurrir a un dibujo como el siguiente: Por ronda 7 zanahorias Cantidad de zanahorias en cada bolsa = número de rondas A partir del dibujo. sino que es la medida de cada grupo. poniendo en cada ronda una zanahoria en cada bolsa.. número de grupos	7 grupos	=	medida de grupo	? zanahorias	20 cantidad total 56 zanahorias =	. De ese modo.. 49-7. por tanto. mientras que la cantidad de zanahorias a repartir corresponde a la cantidad total y la cantidad de zanahorias que le toca a cada uno corresponde a la medida de grupo. cantidad total	56 zanahorias	:	número de grupos	7 grupos	=	medida de grupo ? zanahorias En este caso la relación de este problema con la expresión [1] no es tan evidente dado que la incógnita no es la cantidad total. reparto las zanahorias por “rondas”. Como hay siete bolsas. las veces que cabe el 7 en el 56.) entonces la operación que resuelve el problema es 56 : 7. 56-7.
cantidad total y cantidad de grupos. tal y cómo muestra el dibujo siguiente: 21 . En este caso. 56 es la cantidad total de la colección zanahorias. La operación que permite resolver el problema es: cantidad total	56 zanahorias	=	medida de grupo	número de grupos 8 zanahorias	=	? grupos La relación entre los problemas de agrupamiento en base a una medida y los de iteración de una medida es bastante evidente. Como se puede apreciar. en los problemas de reparto equitativo resulta relativamente complejo desarrollar una argumentación de por qué la división permite anticipar el resultado del reparto. En este tipo de problemas se da la cantidad total de elementos de una colección y la medida de los grupos que hay que formar y la incógnita es la cantidad de grupos que se puede formar. 8 zanahorias por paquete es la medida de grupo y el número de paquetes que se pueden formar corresponde al número de grupos que es la incógnita. Bajo este punto de vista. El Problema 3 se enmarca en el contexto de agrupamiento en base a una medida. Para resolver el problema podemos recurrir a agrupar las zanahorias. tendríamos que: número de grupos	? grupos	=	medida de grupo	8 zanahorias	=	cantidad total 56 zanahorias De tener representada la colección. la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno se puede calcular mediante un producto determinado el factor que repetido siete veces da un total de 56. de ese modo si se utiliza la expresión [1] para plantear el problema. dado que en ambos casos aparecen explícitamente las nociones de medida.Orientaciones Esta forma de plantear el Problema 2 hace explícita la relación entre los problemas de reparto equitativo y los de iteración en base a una medida.
número de grupos x medida de grupo = cantidad total Expresión [1] Expresión que. En primer lugar. mientras que en el Problema 3 la división 56 : 8 significa 56 zanahorias que se agrupan en grupos de 8 zanahorias. hasta que ya no sea posible formar ninguno más.	Pedro quiere repartir equitativamente 58 zanahorias entre sus 7 amigos. Es importante hacer notar la diferencia entre este dibujo y el dibujo del Problema 2. en este caso lo que se hace es agruparlas en grupos de 8. En el Problema 2 la división 56 : 7 significa 56 zanahorias que se reparten equitativamente en 7 grupos siendo el resultado de la división la cantidad (o medida) de zanahorias que corresponden a cada paquete. siendo el resultado de la división el número de grupos que se obtienen. como ya se discutió en el punto anterior. sirve para esquematizar cualquier problema multiplicativo de proporcionalidad directa.Orientaciones Aquí se van formando sucesivos grupos de 8 zanahorias cada uno. esto. Veamos dos ejemplos de ello: Problema 4. es hasta que queden menos de 8 zanahorias. dado que las acciones de repartir y agrupar que están involucradas son muy distintas y. No es de extrañar que a los alumnos les cueste entender que la operación que soluciona ambos problemas es una división.	Pedro tenía un saco con 58 zanahorias e hizo paquetes de 8 zanahorias cada uno. En este sentido. ¿Cuántos paquetes obtuvo? 22 . El rol del resto en los problemas multiplicativos Recordemos la expresión [1]. Cuando el total no es múltiplo de la medida de grupo y/o del número de grupos. de hecho. son acciones casi antagónicas. ¿Cuántas zanahorias le tocarán a cada amigo? Problema 5. para poder comprender bien los problemas de agrupamiento en base a una medida y de reparto equitativo creemos que es necesario profundizar sobre el significado de cada una de las dos divisiones. Ahora bien. hay que aclarar que la cantidad total a la que hace referencia la expresión [1] es la cantidad total efectivamente repartida o bien agrupada y no a la cantidad total que se desea repartir o agrupar. Así como en el Problema 2 lo que se hacía era distribuir las zanahorias entre las 7 bolsas. ¿qué sucede con aquellos problemas en los que la división planteada no es exacta? ¿Qué rol juega el resto de la división en la expresión [1]? En este punto trataremos de abordar estas cuestiones.
Veamos un ejemplo: 7 veces	¿qué medida?	da un total de 58 zanahorias Total 58 zanahorias paquete ? zanahorias paquete paquete paquete paquete paquete paquete Total zanahorias repartidas (múltiplos de 7) zanahorias sin repartir 23 . se reparten o se agrupan la máxima cantidad posible de objetos de la colección. Si queremos formular una expresión que relacione la cantidad total repartida con la cantidad a repartir. en el Problema 4 podemos considerar como solución que la cantidad de zanahorias repartidas entre los 7 amigos es 56. Ahora bien. o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el cuociente. dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el problema es de reparto equitativo. tocando 8 zanahorias a cada amigo y quedando 2 sin repartir. De ese modo. cantidad total repartida número de grupos	7 grupos	medida de grupo	x	? zanahorias	+	zanahorias que quedan	=	58 zanahorias cantidad por repartir Si se desea. 58 : 7 no tiene solución. así como en el agrupamiento en base a una medida. Lo mismo sucede con la división 58 : 8. y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. también es posible incorporar el resto al esquema. de forma que el esquema refleje tanto la cantidad por repartir como la cantidad repartida. cantidad que no necesariamente coincide con el total a repartir o agrupar. porque no hay ningún número natural que multiplicado por 7 dé como resultado 58. en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento. dado que no hay ningún número natural que multiplicado por 8 dé como resultado 58. A la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto.Orientaciones Ambos problemas plantean divisiones que. ¿qué respuesta se puede dar entonces a los problemas 4 y 5? La respuesta a esta pregunta está en considerar que tanto en el reparto equitativo. Sea como sea. basta que a la primera le añadamos el resto para obtener la segunda. formalmente. no tienen solución en los números naturales.
puesto que en dicha expresión la cantidad total indica la cantidad que efectivamente se reparte o agrupa. la expresión [1] modificada queda de la forma: número de grupos x medida de grupo + cantidad que queda = cantidad total inicial La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como divisor x cuociente + resto = cantidad total Expresión [2] expresión que permite comprobar el resultado de una división. en el Problema 5 también se puede añadir al esquema el resto. ya que dicho producto representa la cantidad efectivamente repartida/agrupada. dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el dividendo.Orientaciones Lo mismo sucede en el Problema 5. 24 . cantidad que solo es conocida una vez realizada la división. de forma que podemos plantear el problema así: cantidad total agrupada número de grupos	? grupos	medida de grupo	x	8 zanahorias	+	zanahorias que quedan	=	58 zanahorias cantidad por repartir Al igual que sucedía con el Problema 4. de forma de representarlo: ¿cuántas veces?	8 zanahorias	da un total de 58 zanahorias Total 58 zanahorias por agregar paquete 8 zanahorias paquete 8 zanahorias ? paquete 8 zanahorias Total zanahorias repartidas (múltiplos de 8) zanahorias sin repartir En los problemas en que aparece como dato la cantidad por repartir o por agrupar. Esto se logra añadiendo el resto de la división al resultado obtenido del producto de la medida por la cantidad de grupos. donde la cantidad total de zanahorias agrupada es 56 quedando 2 sin agrupar. De ese modo. Así pues. en esos casos resulta más útil modificar la expresión [1] de modo que la cantidad total que aparezca en la expresión sea el total por repartir o agrupar. la expresión [1] no es demasiado útil.
Para seguir descartando calculamos entonces el producto 127 x 7. con la acción involucrada en el problema. PRIMERA CLASE Se comienza trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. Utilizando esa expresión podemos descartar inmediatamente la opción d) dado que el resto debe ser menor al divisor. Una posible actividad es “Bolsas de semillas”. 25 . Problema 6. se espera que niñas y niños reconozcan el carácter anticipatorio de la operación respecto a la acción. pues de lo contrario se puede seguir repartiendo o agrupando. Asimismo. y el segundo es utilizar la relación señalada en la expresión [1]. hay dos caminos. En esta primera clase los problemas planteados a los niños se proponen teniendo como referencias situaciones de agrupamiento concreto de objetos. En esta actividad niñas y niños tienen que agrupar objetos diferentes teniendo en cuenta distintas medidas. y vamos a verificarla: 7 x 125 + 4 = 879 de manera que podemos asegurar que la respuesta correcta es la a).	Discute cuál de los siguientes resultados corresponde a la división 879 : 7 a)	Cuociente 125 y resto 4 b)	Cuociente 127 y resto 0 c)	Cuociente 127 y resto 4 d)	Cuociente 125 y resto 8 Para resolver el Problema 6. Momento de inicio Proponer una actividad que permita a los niños encontrarse con la necesidad de realizar un problema de agrupamiento en base a una medida en la que se conozca la cantidad total de objetos y la medida de cada grupo. debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven. el primero es hacer la división. lo que da un total de 889. cantidad que es mayor que 879 de manera que podemos descartar las respuestas b) y c). La respuesta correcta por tanto debería ser la a).Orientaciones Veamos un ejemplo de cómo utilizar la expresión [2] para comprobar el resultado de una división.
Para la realización de la actividad se deben contemplar los siguientes materiales: •	Cada jugador debe tener su cuaderno y lápiz, •	1.000 bolsas chicas de plástico para el curso, y •	½ kilo de porotos, garbanzos y lentejas. Descripción de la actividad “Bolsas de semilla”: Contextualice la situación explicando que un jornalero tiene que sembrar semillas de porotos, garbanzos y lentejas en maceteros para que broten. Los porotos se siembran de a 5 en cada macetero, mientras que los garbanzos de a 3 y las lentejas de a 10. Para ganar tiempo en la siembra, el jornalero prepara el día anterior bolsas con la cantidad de semillas justas, que hay que poner en cada macetero. Plantee a los niños que deberán ayudar al jornalero a averiguar cuántas bolsas necesita para guardar las semillas de distinto tipo. Por ejemplo, si el jornalero tiene 40 porotos, ¿cuántas bolsas necesita, sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa? Recíprocamente, proponga a niñas y niños problemas en la que se pregunte por la cantidad de semillas que formó el jornalero, conociendo el número de bolsas y la cantidad de semillas que hay en cada una. Por ejemplo, si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lentejas, ¿cuántas semillas ha ocupado? En ambos tipo de problemas pida a los niños que anticipen el resultado de la cantidad de bolsas o semillas. Es decir, que a partir de la información de la que disponen, averigüen cuántas bolsas se necesitará o cuántas semillas ha ocupado el jornalero, sin realizar materialmente la acción. Posteriormente, una vez que hayan anticipado la cantidad de bolsas o semillas, pídales que comprueben su resultado, realizando la acción concretamente. La intención que no se debe perder en la gestión de la actividad es que los niños anticipen un resultado, justifiquen el procedimiento utilizado para obtenerlo y comprueben la veracidad de éste realizando la actividad concretamente. Proponga otros problemas similares y con las mismas condiciones para que los niños entiendan la situación y logren establecer la relación entre los datos. En los problemas que formule considere que la cantidad total de semilla sea múltiplo de la medida (múltiplo de 3 si se trata de garbanzos, de 5 si son porotos y de 10 si son lentejas), por ejemplo: ¿Cuántas bolsas se necesita para guardar 27 garbanzos? Si al jornalero le quedan 60 lentejas, ¿cuántas bolsas necesita?
Finalice este momento inicial sistematizando los procedimientos que han utilizados los niños para resolver los problemas.
En el momento de desarrollo de la clase se plantean problemas de variación proporcional del tipo iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida como los planteados en la Ficha 1. Se espera que ante los problemas los niños justifiquen la elección de la operación que los resuelve y que progresen en los procedimientos que utilizan, que establezcan similitudes y diferencias entre ellos. En los problemas de iteración de una medida como el 1 y 3 de la Ficha 1, se espera que los niños reconozcan que la medida, cantidad de verdura que tiene un paquete en ambos problemas, se repite una cierta cantidad de veces. De tal interpretación se puede deducir que para determinar la cantidad de verduras, por ejemplo zanahorias, es necesario averiguar cuánto es 6 veces repetido 8 zanahorias. Si bien sumar 6 veces el 8 es una técnica que permite determinar la cantidad total de zanahorias, se espera que en este curso los niños usen procedimientos más eficaces como lo es para este caso, evocar la multiplicación 6 x 8. En problemas como el 2 y 4 de la Ficha 1, en que la incógnita es la cantidad de paquetes, se debe lograr que lo niños interpreten y representen la situación y la distingan de los otros dos problemas. Esto significa reconocer que la multiplicación de los datos no tiene sentido para averiguar la cantidad de paquetes que es posible formar. Se espera que los niños exploren en la búsqueda de procedimientos para resolverlos. En cuarto básico es altamente probable que muchos alumnos aún no se hayan apropiado de un procedimiento resumido para efectuar una división y los resuelvan utilizando restas reiteradas. Técnicas para resolver un problema de agrupamiento en base a una medida Con el problema que se presenta a continuación (segundo de la Ficha 1) se ilustran algunos posibles procedimientos que podrán utilizar los niños para resolverlos. Los procedimientos son comparados desde el punto de vista de su efectividad, explicitando los conocimientos matemáticos que los fundamentan y que contribuyen a su eficacia. Doña María tiene 24 cebollines. Para venderlos, ella hace paquetes de a 3 cebollines. ¿Cuántos paquetes de cebollines puede hacer? Procedimiento 1:	Si se hace un paquete, se ocupan 3 cebollines, que equivale a quitar 3 a los cebollines disponibles: 24 – 3 = 21, quedan 21 cebollines.
Continuando con este procedimiento de restar, que equivale a sacar tres cebollines de los que quedan y registrando la cantidad de paquetes que se van formando. Estas restas repetidas o iteradas es posible de hacerlas hasta que se agoten o no alcancen para formar otro paquete.
24 –3 = 21 (1 paquete) 21 – 3 = 18 (2 paquetes) 18 – 3 = 15	(3 paquetes) ...	... 6 – 3 = 3 (7 paquetes) 3 – 3 = 0 (8 paquetes)
Tal como se aprecia, esta técnica permite resolver el problema pero a un alto costo de trabajo, el cual aumenta si la cantidad de objetos es mayor. Además de la poca eficacia del procedimiento, está el riesgo de equivocarse debido a la cantidad de restas que es necesario efectuar. Procedimiento 2: Si en vez de restar sucesivamente tres cebollines, se buscara la cantidad de cebollines que se ocupan en hacer varios paquetes, se reduciría la cantidad de restas sucesivas. Por ejemplo, como para hacer 4 paquetes se utilizan 12 cebollines, entonces quedan disponibles aún
Con los 12 cebollines restantes, se pueden formar más paquetes, si se resta nuevamente 12
12 – 12 = 0
Con estas restas sucesivas, se llega al resultado de manera mucho más rápida que con el procedimiento anterior. Mientras mayor sea la cantidad de paquetes que se considere, el procedimiento será más corto. Procedimiento 3: Lo que se necesita mejorar de los procedimientos anteriores, es la forma de búsqueda. Es decir, superar la búsqueda por tanteo del número de paquetes, y desarrollar una estrategia para encontrar el número de paquetes. Para ello, una buena estrategia es recurrir al carácter decimal del sistema de numeración.
Para buscar el número de paquetes multiplicar por 10 o múltiplos de 10 la medida de cada paquete hasta encontrar la cantidad que más se acerque a la cantidad de objetos de los que se dispone. En este caso sería ¿qué múltiplo de 10 multiplicado por 3 se acerca (por abajo) o es igual a 48? Es decir:
? ∙ 3 = 48
10 • 3 = 30 20 • 3 = 60
Podemos deducir que si se hacen 10 paquetes, se ocupan 30 cebollines y que si se hacen 20 paquetes, se necesitan 60 cebollines, que son más que los disponibles. Con lo cual se puede acotar la cantidad de paquetes que se puede hacer. Son más de 10 y menos de 20. Con los cebollines restantes, 48 – 30 = 18 es posible hacer otros 6 paquetes (6 • 3 =18). Finalmente, podemos afirmar que con los 48 cebollines es posible formar 10 + 6 = 16 paquetes de cebollines. Problemas en que el dividendo no es múltiplo del divisor, probablemente generen cierto desconcierto en los niños, debido a que consideren que no tiene solución. Por ejemplo: La Sra. María tiene 50 zanahorias y hará con ellas paquetes de a 8 . ¿Cuántos paquetes puede hacer? Para resolver el problema es necesario formularse la pregunta ¿cuántas veces 8 es igual a 50? o ¿qué número por 8 es igual a 50?, es decir:
? • 8 = 50
Como no existe ningún número entero que multiplicado por 8 sea exactamente 50, los niños tienden a pensar que el problema no tiene solución, cosa que es cierta. En ese sentido es necesario flexibilizar la pregunta y, dado que no tiene solución, tratar de encontrar la solución más cercana a 50 que sea posible, pero sin pasarse. De esa forma se puede adaptar la pregunta que ellos se hacen a: ¿qué número multiplicado por 8 se aproxima más a 50 (por abajo)? (ver “El rol del resto en los problemas multiplicativos; cuando el total no es múltiplo de la medida de grupo y/o del número de grupos”).
b) Los problemas en los que los datos son la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida) y la cantidad total de unidades de la colección. El resultado de la multiplicación es justamente la cantidad total de unidades. si una bolsa trae 6 cuchuflíes y Hugo tiene 4 bolsas y se quiere saber cuántos cuchuflíes tiene Hugo. siendo la incógnita del problema.Orientaciones Momento de cierre En el momento del cierre sistematice las siguientes ideas: a) Los problemas en los que los datos son el número de paquetes y la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida). la situación se representa por el siguiente esquema: Total cuchuflíes bolsa bolsa bolsa bolsa 6 cuchuflíes 6 cuchuflíes 6 cuchuflíes 6 cuchuflíes Se repite 4 veces 6. Por ejemplo. Por ejemplo. la incógnita del problema. con 56 zanahorias. es decir. la cantidad total de unidades. siendo la cantidad de paquetes que se pueden formar. ¿cuántos paquetes con 8 zanahorias cada uno se pueden formar? La situación se puede representar a través del siguiente esquema: paquete 8 zanahorias medida ¿cuántas veces?	8 zanahorias	Total 56 zanahorias da un total de 56 zanahorias paquete 8 zanahorias paquete 8 zanahorias ? paquete 8 zanahorias 30 . 4 x 6 La cantidad total de cuchuflíes se calcula realizando la multiplicación entre el número de bolsas y las unidades que tiene cada paquete.
podemos determinar la cantidad de grupos o paquetes que se forman mediante una división. cuando el resto (cantidad de objetos que quedan) es menor que el divisor (cantidad de objetos para formar un paquete).Orientaciones La cantidad final de paquetes que se pueden formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida. se puede calcular si nos hacemos la pregunta: ¿Cuántas veces tengo que repetir el 4 para llegar lo más cerca posible de 56 sin pasarme? ? • 4 = 56 Dicho factor (cuociente de la división) se puede determinar a través de aproximaciones sucesivas. 31 . ? paquetes • 8 zanahorias por paquete = 56 zanahorias c) Ya que la división es la operación inversa de la multiplicación. debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven. Por ejemplo: ¿Cuántas pilas de ajos se pueden hacer con 56 ajos. 56	: 4 = 10 –	40 16 16	: 4 = 4 porque 10 • 4 = 40 porque 4 • 4 = 16 Se pueden hacer: 10 + 4 = 14 pilas de ajos. si cada pila tiene 4 ajos? La división 56 : 4 que resuelve el problema. con la acción involucrada en el problema. Una división está terminada. SEGUNDA CLASE En esta clase se sigue trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. siendo las prioritarias las que se acercan al dividendo. se espera que los niños reconozcan el carácter anticipatorio de la multiplicación y la división respecto a las acciones de iterar una medida y de agrupar en base a una medida. Asimismo. para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. 8 zanahorias. multiplicando el divisor por un múltiplo de 10.
¿cuántos paquetes de 5 pueden hacer? Mientras que si les salen las tarjetas paquetes 6 Un paquete tiene 8 zanahorias Podrán preguntar: Si tengo 6 paquetes de 8 zanahorias. contextualizados en la venta de verduras en la feria. propóngales problemas similares a los realizados en la clase anterior. Se sugiere plantearlos en forma oral o. si es necesario. ¿cuántas zanahorias tengo? Una vez planteada la pregunta los niños tratan de resolverla en su cuaderno. se propone que jueguen “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?”. para activar los conocimientos previos de los niños y niñas. En los primeros problemas de agrupamiento en base a una medida proponemos que la cantidad total de objetos sea múltiplo de la medida. ¡alto! y les cuenta a sus compañeros cómo re32 . a partir de una información presentada en dos tarjetas que se eligen al azar. Además.Orientaciones Momento de inicio En el momento inicial de la clase. Se trata de generar un trabajo ágil. es un contexto familiar para la mayoría de quienes cursan 4° básico. Momento de desarrollo En el momento de desarrollo de la clase. pues es un buen contexto para formular problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. En el juego. si les salen las tarjetas: unidades 56 5 betarragas tiene un paquete Podrán preguntar: Con 56 betarragas. los alumnos deberán formular una pregunta que incorpore la interrogante: ¿cuántos paquetes? O bien ¿Cuántas unidades? Por ejemplo. centrado en la utilización de las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas para obtener el resultado de la operación que resuelve el problema. Las instrucciones para jugarlo forman parte del material que se entrega a los niños (ver material anexo). escritos en la pizarra. El primer jugador que llega a la solución dice.
promueva que comparen las preguntas formuladas y los procedimientos utilizados para resolverlos. la dejan anotada en el cuaderno como sin resolver. Durante la actividad es importante que el profesor(a) ponga atención para apoyar a los grupos que tienen dificultad o no entienden cómo formular la pregunta. En ambos casos la medida está determinada por la segunda carta donde aparece la cantidad de unidades que tiene el paquete. los alumnos resuelven los problemas de la Ficha 2.Orientaciones solvió el problema. Posteriormente. Luego. Las cartas se retiran. De lo contrario. Además. mientras que si aparece la palabra unidades el problema que se puede formular es de agrupamiento en base a una medida. Se propone que niñas y niños. organizados en grupos. un representante de cada grupo sale al pizarrón a explicar cómo han resuelto el problema. compartiendo los procedimientos con todo el curso. entonces el problema que se puede formular es de iteración de una medida. de forma que todos entiendan lo que hizo y por qué lo hizo. 33 . en forma individual o en parejas. Si en algún problema sale una operación que no saben resolver en el grupo. Una vez que hayan respondido al menos las dos primeras preguntas. Los problemas de esta ficha tienen el propósito de que los niños se enfrenten a problemas de iteración de una medida y agrupamiento en base a una medida. entonces el jugador que llega a la solución se lleva las tarjetas con el dibujo. cada grupo elige uno distinto y tratan de resolverlo. debe identificar aquellos alumnos que no son capaces de discernir la operación que resuelve el problema para apoyarlos e insistir en que el alumno que resuelve el problema tiene que explicar a todos los compañeros del grupo cómo lo resolvió. Si todos están de acuerdo con la respuesta. se obtienen dos tipos de problemas. se dejan a un lado y se sacan nuevas tarjetas. anotándolos en el pizarrón por grupos. los de iteración de una medida y los de agrupamiento en base a una medida. Con las posibles combinaciones de tarjetas que permite el juego. Al finalizar el juego se hace una breve puesta en común de aquellos problemas que no se han sabido resolver. El juego termina cuando uno de los jugadores logra reunir 3 tarjetas con productos distintos. en el contexto del juego. con la finalidad que expliciten las preguntas que formulan a partir de los datos y las resuelvan recurriendo a la multiplicación o división. Si la palabra que aparece en la tarjeta sacada del mazo de los números es paquetes. no se lleva las tarjetas en juego y se devuelven al mazo. jueguen una vez el juego.
pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades. Momento de cierre En el momento de cierre se sistematizan las siguientes ideas: a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. Para realizarla se puede descomponer el 36 canónicamente e interpretar: 36 veces 4 como 30 veces 4 más 6 veces 4 Cálculos que para los niños son conocidos: 30 x 4 = 120 y 6 x 4 = 24 Luego 36 x 4 = 120 + 24 = 144 c) Por otra parte. se busca qué múltiplo de 10 multiplicado por 3 se acerca más a 96. como por ejemplo del problema 3 de la Ficha 2. los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 36 x 4.Orientaciones El docente debiera procurar que los niños transiten desde los procedimientos rudimentarios como es la suma y/o resta iterada. a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10. resulta o se acerca a 96. si los datos son la medida y la cantidad total de unidades. de manera que como la multiplicación es una suma iterada. b) Para resolver problemas de iteración de una medida. la división es una resta iterada. es necesario hacerse la pregunta qué número de veces 3 cebollines. Es posible calcular el cuociente de una división a partir de buscar aquella cantidad que multiplicada por el divisor se acerca lo más posible (sin pasarse) al dividendo. d) Para calcular la división se recurre a la relación inversa entre la división y la multiplicación. dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete. Por ejemplo para resolver el problema 1 de la Ficha 2. en la que es necesario determinar cuánto es 36 veces 4. la pregunta que se puede formular es ¿cuántos paquetes puedo formar? En ese caso dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete. hacia procedimientos más resumidos como son la multiplicación y/o la división para calcular el resultado. la pregunta se puede formular de distintas maneras. es decir: ? Paquetes • 3 cebollines por paquete = 96 cebollines Asociando la división con la resta reiterada. 34 . sin pasarse.
Respuesta: se pueden formar 32 paquetes de cebollines. tiene dos partes en esta tercera clase. Pida que un niño formule una pregunta. A partir de 35 . donde la división sea inexacta y tenga por cuociente una cantidad de dos cifras.90 6 :3= 2 . Con los 6 cebollines que quedan. Para ello. se hace una nueva división donde el dividendo es 6 2 • 3 = 6 si se hacen 2 paquetes se ocupan los 6 cebollines que quedaban. se pueden hacer otros paquetes. afiance los procedimientos sistematizados al finalizar la segunda clase. Se debe cuidar que los pares de tarjetas elegidos permitan el planteamiento de problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. la escriba en la pizarra y que cada alumno en su cuaderno escriba la operación que resuelve el problema y calcule el resultado.Orientaciones 96 : 3 = 30 .6 0 32 10 · 3 = 30 si se hacen 10 paquetes se ocupan 30 cebollines 20 · 3 = 60 si se hacen 20 paquetes se ocupan 60 cebollines 30 · 3 = 90 si se hacen 30 paquetes se ocupan 90 cebollines No alcanza para 40 paquetes por que se necesitan 40 • 3 = 120 que es más que los cebollines que se tienen. como es la multiplicación de números de una cifra por múltiplos de 10. 100 y las divisiones asociadas. 30 + 2 = 32 TERCERA CLASE Momento de inicio En el momento inicial se retoma el trabajo realizado en la segunda clase para afianzar la estrategia propuesta para resolver problemas multiplicativos y determinar el cuociente y/o resto en una división. confronte los diferentes procedimientos utilizados para resolver la multiplicación o la división. Posteriormente. Al término de este primer momento. Para averiguar cuántos. En esta primera parte se debe recordar un conocimiento previo. la profesora dirige colectivamente el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando los set de tarjetas con número con la palabra unidades y paquetes y las tarjetas con los dibujos de verduras con que se trabajo en la segunda clase. Para jugar colectivamente a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” se debe generar una dinámica de trabajo a partir de presentarles dos tarjetas a los niños. Momento de desarrollo El momento de desarrollo de la clase.
así como lo hicieron cuando las extendieron a los múltiplos de 10. y 20 x 4 = 80 entonces 200 x 4 = 800.Orientaciones este conocimiento. Así. los niños deben haberla realizado en 3º básico. En este momento debieran recurrir a argumentos como. se necesita recurrir a los conocimientos previos señalados. cuando cuantificaron colecciones de objetos agrupados de a 100. los niños y niñas irán adaptando los procedimientos aprendidos a números mayores. por ejemplo: 800 con betarragas. La validez y justificación de esta extensión. Si detecta algunas dificultades en el dominio de la multiplicación por múltiplos de 100 y las divisiones asociadas. Para lograr el propósito planteado seleccione las tarjetas: 300 500 600 800 unidades unidades unidades unidades 100 200 50 60 paquetes paquetes paquetes paquetes Inicialmente. un procedimiento abreviado es el siguiente: 36 . por ejemplo: 200 con ajos. escoja un par de tarjetas. Posteriormente. ¿cuántos paquetes de 5 betarragas se pueden hacer? Para responder las preguntas directamente. ya que 2 x 4 = 8. que dará origen a preguntas del tipo: Con 800 betarragas. que llevará a que los niños formulen preguntas del tipo: ¿Cuántos ajos tengo en 200 paquetes. una con números y la palabra paquetes y otra de verduras. para calcular 800 : 5. Material 11). escoja un par de tarjetas. extendiendo las combinaciones multiplicativas básica a los múltiplos de 100. con 4 ajos cada uno? La multiplicación que resuelve este problema es 200 x 4 y se espera que la respondan. y pida a niñas y niños que formulen una pregunta que relacione ambos datos. Para activar dichos conocimientos se propone continuar jugando a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando ahora solo algunas tarjetas del segundo set de números. una de números con la palabra unidades y otra de verdura y pida que formulen una pregunta que relacione ambos datos. se sugiere poner a disposición del curso tablas con la generalización de las combinaciones multiplicativas básicas (ver Cuadro de Productos.
comparen sus procedimientos con otros compañeros. 10 ∙ 5 = 50.000 betarragas. El trabajo con la Ficha 3 debe ser planteado como una extensión de la actividad anterior. 30 • 5 = 150 40 ∙ 5 = 200. 50 • 5 = 250. De los procedimientos utilizados por ellos. para que los niños. se utilizan 200 • 5 = 1. se utilizan 100 • 5 = 500 betarragas -	500 Si se hacen 200 paquetes. 300	:	5	=	60 -	300 0 Como quedan 800 – 500 = 300 betarragas. busquen la forma más económica de determinar el cuociente. la pregunta se puede formular de distintas maneras. hasta encontrar una cantidad con la que se ocupe la mayor cantidad posible de betarragas. Escoja. En la medida que tengan claro que deben encontrar un procedimiento que les permita en pocos pasos encontrar el cuociente. se pueden formar otros paquetes. escriba la división respetiva en la pizarra y que los niños y niñas trabajando en pareja. utilicen la relación inversa entre la multiplicación y la división. ponga en común aquellos que buscan el cuociente ampliando lo aprendido. 300 cantidad que excede a la cantidad de betarragas de que se dispone. pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades. dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete. Para averiguar cuántos. podrán reconocerlo en los procedimientos que esté usando alguno de ellos. se propone continuar con la dinámica del juego. trabajando ya sea individualmente o en pareja. por ejemplo. 37 . pero en este caso jugando con todas las tarjetas. Con esta actividad se pretende enfrentar a los niños a un problema similar a los que ya han resuelto. luego con 20 y así. lo que exigirá adaptar la técnica que vienen usando a esta nueva situación. Momento de cierre En el momento de cierre se sistematizan las siguientes ideas: a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. 60 • 5 = 300 Se pueden hacer: 100 + 60 = 160 paquetes de betarragas y no queda ninguna betarraga. En la segunda parte del momento de desarrollo.Orientaciones Procedimiento Argumento 800	:	5	=	100 Porque para hacer 100 paquetes de 5 betarragas cada uno. Pida que un niño formule una pregunta. comenzar probando con 10 paquetes. las tarjetas “252 unidades” y la palabra unidades y “cebollines”. calculen cuocientes parciales a través de multiplicar el divisor por múltiplos de 10 ó 100. es decir. 20 • 5 = 100.
se probará con otro múltiplo de 10 mayor 60 • 3 = 180 < 208 70 • 3 = 210 > 208 entonces el cuociente se encuentra entre 260 y 270 Como 28 es mayor que 3. los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 312 x 6. en la que es necesario determinar cuánto es 312 veces 6. se debe comenzar multiplicando el divisor por un múltiplo de 100. la pregunta que se puede formular es: ¿Cuántos paquetes puedo formar? En ese caso. cuando el dividendo es un número de 3 cifras. como por ejemplo del problema 3 de la Ficha 3. Destaque que la clave está en la estrategia de búsqueda. dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete. 38 808	:	3	=	200 -	600 208	:	3	=	60 -	180 28	:	3	= 9 -	27 1 . Se pueden hacer 200 + 60 + 9 = 269 paquetes de cebollines y queda un cebollín. esta vez dividiendo 28 entre 3. d) Respecto a resolver divisiones cuando el dividendo es un número de tres cifras. se debe calcular la división 808 : 3 Procedimiento Argumento Como el dividendo es un número de 3 cifras. se prueba con el siguiente múltiplo de 100 300 • 3 = 900 > 808 entonces el cuociente se encuentra entre 200 y 300 Se utiliza como estrategia multiplicar el divisor por múltiplos de 10: 10 • 3 = 30 < 208. hay algunos que son más eficaces. Por ejemplo. se comienza multiplicando el divisor por múltiplos de 100: 100 • 3 = 300 < 808.Orientaciones b) Para resolver problemas de iteración de una medida. luego de 10 y números de una cifra. 10 x 6 = 60 y 2 x 6 = 12 Luego 312 x 6 = 1800 + 60 + 12 = 1872 c) Por otra parte. continuamos aproximándonos al cuociente. se prueba con el siguiente múltiplo de 100 200 • 3 = 600 < 808. sistematice que entre los procedimientos que hay para calcular el cuociente y/ o resto. para resolver el problema 1 de la ficha 3. se probará con un múltiplo de 10 mayor 40 • 3 = 120 < 208 . si los datos son la medida y la cantidad total de unidades. Para realizarla se puede descomponer el 312 canónicamente e interpretar: 312 veces 6 como 300 veces 6 más 10 veces 6 más 2 veces el 6 Cálculos que para los niños son conocidos: 300 x 6 = 1800.
Es importante que cada docente se asegure de que los alumnos entienden bien las instrucciones y que haga especial énfasis en que en los problemas formulados la pregunta debe ser clara y se deben incorporar todos los datos en el problema. porque así los niños y niñas controlan sus procedimientos y. que interpreten correctamente el resto y que utilicen la calculadora para calcular productos y divisiones. que no es necesario resolverlos. Actividad 1. con estas tarjetas y ese tablero los problemas con solución que se pueden plantear son: cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas Problema 1	100 8 ? Problema 2 39 100 ? 8 . sino que basta con plantear correctamente la operación que los resuelve. Formulando problemas con caramelos cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas Tarjetas que salieron ? ? ? 100 8 Entonces. Además. se espera que sean capaces de distinguir claramente el rol que juega cada uno de los datos y la incógnita en el problema (número de grupos. a resultados errados que podrán reconocer si comprueban la división. Es probable que quienes utilicen el algoritmo tradicional de la división lleguen. Además. medida de grupo. cantidad total de unidades). CUARTA CLASE En esta clase se pretende que los niños y niñas sepan formular y resolver problemas multiplicativos de iteración de una medida. Veamos un ejemplo del juego. Momento de inicio En el momento inicial de la clase se propone empezar jugando el juego “Planteando problemas” en grupos de 3 a 4 alumnos. Supongamos que nuestro tablero es el siguiente y que al sacar las cartas de los mazos salen los números 100 y 8. en algunos casos.Orientaciones Es importante formar el hábito de comprobar los resultados obtenidos. además. Utilizar Ficha 4. reparto equitativo y agrupamiento en base a una medida. enfatizan la relación inversa entre la multiplicación y la división.
así como del resultado. Por ejemplo. Con esta actividad se espera lograr que los alumnos sean capaces de. mientras que los Problemas 3 y 4 corresponden a la iteración en base a una medida. En ese caso es bueno abrir la discusión de por qué ese problema “no sirve” y tratar de que emerja por parte de los alumnos que la cantidad total de unidades tiene que ser mayor que la cantidad de grupos que se deben formar o la cantidad de unidades que tiene cada grupo. manzanas en cada bandeja. Se espera que alumnas y alumnos sean capaces de plantear la operación que resuelve el problema planteado especificando qué representa cada dato y qué representa la incógnita. con un tablero donde figuran la cantidad total de manzanas. De los cuatro problemas que pueden aparecer en el juego con solución. Hay que tener presente que en la actividad es posible que los alumnos planteen algunos problemas que no tienen solución. y el número de bandejas. especificar la operación que los resuelve y el significado de cada dato. 8 los caramelos que hay en cada bolsa y el resultado de la operación sería la cantidad de bolsas que puedo formar. Luego del momento del inicio. Momento de desarrollo En el momento de desarrollo de la clase. el Problema 1 corresponde a un agrupamiento. El profesor guía la discusión y anota en el pizarrón tanto los problemas planteados como las operaciones planteadas por el curso e identifica el significado de cada dato y el significado del resultado. otro de iteración y otro de reparto equitativo y se hace una breve puesta en común sobre estos tres problemas. y que la cantidad de bolsas (o sea que la cantidad de veces que se repite la medida). además de plantear problemas. En esta actividad no se pretende que realicen la división o el producto. basta con que lo planteen. siendo 24 y 6 las dos tarjetas. la formulación del Problema 1 podría ser: Si tenemos 100 caramelos y los agrupamos en bolsas de a 8. en el pizarrón.Orientaciones cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas Problema 3	? 8 100 Problema 4 ? 100 8 ya que los problemas que aparecen al ubicar el 8 en el total de caramelos no tienen solución. siendo 100 la cantidad total de caramelos. ¿cuántas bolsas se pueden formar? La operación que resuelve el problema sería 100 : 8. el profesor plantea una situación análoga a la actividad 1. el profesor(a) selecciona tres problemas que hayan planteado distintos grupos en que uno sea de agrupamiento. Eso se debe a que la cantidad total de unidades debe ser mayor que la cantidad de unidades en cada bolsa (o sea que la medida). 40 . el Problema 2 a un reparto equitativo.
Orientaciones Alumnas y alumnos trabajan en forma individual. También es importante reflexionar que si bien el cálculo implicado en los problemas (p2) y (p3) es el mismo. la medida 4 manzanas por bandeja) (p6)	Sin solución. la medida 6 manzanas por bandeja) (p5)	Se reparten 24 entre seis bandejas (de reparto equitativo. el docente pide a los alumnos que asocien la palabra repetir. agrupar o repartir a cada problema resuelto según sea la acción involucrada para resolverlo. 41 . Actividad 2 cantidad total de manzanas manzanas en cada bandeja número de bandejas cantidad total de manzanas manzanas en cada bandeja número de bandejas (p1) 6 cantidad total de manzanas ? manzanas en cada bandeja 24 número de bandejas (p4) 24 cantidad total de manzanas 6 manzanas en cada bandeja ? número de bandejas (p2) ? cantidad total de manzanas 24 manzanas en cada bandeja 6 número de bandejas (p5) 24 cantidad total de manzanas ? manzanas en cada bandeja 6 número de bandejas (p3) ? 6 24 (p6) 6 24 ? Los alumnos deben formular y resolver cada problema. especificando en cada caso la cantidad que hay que repetir. Hay que tener presente que tanto (p1) como (p6) no tienen solución. agrupar o repartir. la medida 24 manzanas por bandeja) (p3)	Se repite 24 veces la bandeja de 6 manzanas (de iteración. (p1)	sin solución (p2)	Se repite seis veces la bandeja de 24 manzanas (de iteración. así que podrían considerarse como problemas mal formulados. o en parejas y en sus cuadernos tratan de plantear los problemas a partir de las diversas combinaciones que el profesor(a) escribe en el pizarrón. Una vez que han resuelto los cuatro problemas. mientras que en (p3) se tienen 24 bandejas con seis manzanas en cada bandeja. ambos son problemas distintos. la medida 6 manzanas por bandeja) (p4)	Se agrupan 24 manzanas en bandejas de a seis manzanas cada una (de agrupamiento. En (p2) se tienen seis bandejas con 24 manzanas en cada bandeja.
corrigiéndolos en caso que sea necesario. o buscar qué cantidad multiplicada por 12 se acerca más a 315 sin pasarse. Comprobación: 26	x 12	=	312 312	+	3	=	315 42 . ? cajas • 12 botellas = 315 botellas Acá pueden proceder de la siguiente forma 10 x 12 = 120. en la Actividad 3 se propone trabajar en forma individual (o por parejas) los problemas propuestos en la Ficha 5. De forma que el resultado es 20 + 4 + 2 = 26 cajas y quedan 3 botellas. es decir formo 20 cajas y todavía me quedan 75 botellas. de manera que hay que dividir 315:12. Lleno 4 cajas más (4 x 12 = 48). la operación y la respuesta y los anota en la pizarra. el profesor escribe en el pizarrón y pide voluntarios que le dicten el problema que han formulado. Luego. Mireya tenía que poner 315 bebidas en cajas de a 12.Orientaciones Una vez los niños han formulado y resuelto los problemas. los procedimientos aprendidos les permiten resolverlos. 20 x 12 = 240 315 – 240 = 75. Vuelvo a llenar dos cajas y me sobran 3 botellas. con lo que me quedan 75 – 48 = 27 botellas. ¿Cuántas cajas usó? Para resolverlo se tiene que averiguar cuántos grupos de a 12 bebidas puedo formar. independiente del contexto. La intención didáctica de estas actividades es que niñas y niños comparen los procedimientos utilizados para resolver distintos problemas de división y puedan concluir que. El primer problema de la ficha plantea una situación de agrupamiento en base a una medida. El procedimiento desarrollado de la división podría ser: 315	: 12 =	20 –	240 5 75 +	1 –	60 26 15 –	12 3 20	x 12	=	240 5	x	12	=	60 1	x	12	=	12 Resultado 26 cajas y quedan 3.
sino que sean capaces de interpretar el rol de cada uno de los datos en el problema y puedan resolverlo. siguiendo la nomenclatura utilizada en el campo de problemas aditivos. pese a que la acción efectuada por Luz fue un reparto equitativo. pero sin embargo se resuelve con un producto. En este caso. se podría clasificar este problema como inverso. dado que la incógnita del problema son los dulces que repartió. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? Este problema pone de manifiesto la necesidad de que los alumnos no se guíen exclusivamente por palabras clave a la hora de resolver los problemas. la operación sugerida por el problema es la división: ¿Total de dulces? : 5 amigos = 20 dulces c/amigo Un esquema para representar este problema y que podría ayudarnos a resolverlo sería: ¿Total caramelos? amigo 1 amigo 2 amigo 3 amigo 4 amigo 5 20 dulces 20 dulces 20 dulces 20 dulces 20 dulces 43 . en este sentido. los datos del problema son la cantidad de amigos (o sea la cantidad de grupos) y los caramelos que le tocan a cada amigo (o sea la medida) y la pregunta hace referencia al total de caramelos. dado que la acción del problema involucra una división. que pese a que la acción efectuada en el problema fue un reparto equitativo. el problema se resuelve mediante un producto. De ese modo.Orientaciones Un esquema para este problema podría ser: 315 botellas caja caja 12 12 ¿Cuántas cajas? 12 12 caja 12 12 12 12 12 12 12 3 botellas Resultado 10 + 10 + 5 + 1 = 26 cajas y quedan 3 botellas sueltas El segundo problema de la ficha. Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo.
de la Actividad 3.	Tengo 24 manzanas y las agrupo en bandejas de a 6. 44 . podemos pensar el problema como de iteración de una medida para resolverlo. y sin embargo. tal y como sucedía en el Problema 2.Orientaciones Ahora bien. se propone recordar que no siempre que sale la palabra agrupar o repartir tengo que dividir para resolver el problema. dado que los datos son el número de veces que se itera (18) y la medida (20 hamburguesas) y la pregunta es la cantidad total. sino también de cuáles son los datos del problema. ¿Cuántas bandejas puedo formar? P5. De ese modo. en ese caso es bueno insistir en que traten de reconocer el rol de los datos y la pregunta que plantea el problema. ya que la operación que lo resuelve no solo depende de la acción realizada (reparto.	Tengo 24 bandejas de 6 manzanas cada una. El problema 3 de la Ficha 5 es un problema donde se itera una medida (la cantidad de hamburguesas de una caja). se resuelve con una multiplicación (para ello los datos del problema deben ser la cantidad de personas participantes del reparto y la cantidad que le toca a cada uno. y sobre ellos analice en voz alta junto con los alumnos el significado de cada dato. De ese modo la operación que lo resuelve sería: 5 amigos x 20 dulces c/amigo = Total de dulces No es de sorprender que la mayoría de alumnos responda erróneamente el problema. Sugiera que propongan un ejemplo similar. y el resultado del problema. Para ello sugerimos que el profesor retome los problemas 3. Los problemas planteados podrían ser: P3.	Repartí 24 manzanas entre sus seis amigos. la operación que lo resuelve. para poder obtener la cantidad total de dulces basta con interpretar correctamente el significado de cada dato. agrupamiento. ¿Cuántas manzanas le tocaron a cada amigo? Luego. 4 y 5 planteados por los alumnos en la Actividad 2. Momento de cierre Al cierre de esta clase se enfatiza la importancia que tiene a la hora de resolver problemas identificar el papel de cada uno de los datos dentro del problema y el significado de la respuesta. que se resuelve mediante el producto entre los dos datos. ¿Cuántas manzanas tengo en total? P4. mientras que la pregunta debe ser la cantidad repartida). iteración). en que la acción involucrada en el problema es un reparto. 20 dulces es la medida que le toca a cada amigo y dado que eran cinco amigos.
También se espera trabajar los procedimientos para dividir surgidos de las clases 2 y 3. por parejas traten establecer un procedimiento para comprobar el resultado de las divisiones que hayan efectuado. se pide a los alumnos que. esta clase tiene el propósito principal de trabajar lo estudiado en las clases anteriores. La actividad se realiza individualmente. de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los conocimientos construidos. eso significa que el 40 cabe (está contenido) tres veces dentro del 150. es que me he equivocado al dividir. De lo contrario. donde se les plantea a los alumnos que con las tarjetas 150 y 40 y el Tablero de Fósforos.Orientaciones QUINTA CLASE En esta clase se pretende que los niños y niñas usen los procedimientos estudiados para plantear y resolver problemas multiplicativos de proporcionalidad y sean capaces de comprobar el resultado de una división. planteen tres problemas distintos y los resuelvan. Momento de inicio En el momento inicial de la clase se propone empezar con un Actividad similar a la Actividad 2 de la clase anterior. Así. El resultado de la división que van a tener que comprobar es 150 : 40. si bien está permitido consultar al compañero en caso de tener dudas. y todavía sobran 30 unidades. Si el resultado de la división 150 : 40 me ha dado 3 y sobran 30. Comprobación: 3	x 40	=	120 120	+	30	=	150 45 . Utilizar Ficha 6. Veamos un ejemplo de cómo podría ser el proceder de algún alumno(a): 150	: 40 = 2 –	80 +	1 70 3 –	40 30 40	x 2	=	80 40	x	1	=	40 Resultado 3 y sobran 30. Entonces 3 veces 40 más los 30 que me sobran debería ser igual a los 150 que es la cantidad total. Un razonamiento que podrían establecer para elaborar un procedimiento de comprobación es el siguiente. Una vez resueltos los problemas planteados.
el número de grupos y el total de unidades. 46 . de forma que les pueda ayudar a deducir la operación que lo resuelve. por parejas. junto con su curso. La actividad 2 es una actividad centrada en el cálculo. comentan los resultados de cada cálculo para que puedan darse cuenta de los errores cometidos y corregirlos. en los problemas estudiados tenemos tres cantidades distintas: la cantidad de unidades que tiene cada grupo. Una vez que la mayoría haya finalizado la Actividad 2. En la corrección es recomendable dejar espacio a los alumnos para que puedan comentar entre ellos las dudas que tengan al respecto de la solución de los problemas y plantearle al profesor las cosas que no entienden. 1. En los problemas estudiados (sugerimos tomar como referencia los problemas propuestos en la Actividad 3). En ese sentido. A su vez se pretende que practiquen la técnica de comprobación de la división vista en el momento inicial. se puede pedir que representen los datos del problema utilizando un esquema. Es probable que bastantes alumnos se equivoquen en la resolución del Problema 1.Orientaciones El momento inicial se cierra con una pequeña puesta en común de los resultados obtenidos en los problemas planteados y de lo que hay que hacer para comprobar el resultado de la división 150 : 40. Luego. Pese a que la acción del problema es de agrupar. dado que es un problema inverso. sistematicen lo más importante de lo que han estudiado en la unidad. comparan los resultados obtenidos con los obtenidos por su compañero(a). Una vez resueltos los problemas. con el propósito de que los alumnos practiquen las técnicas de cálculo que han aprendido en esta unidad y en unidades anteriores. Momento de cierre En el momento de cierre se propone que el profesor(a). proceden a resolver individualmente los problemas planteados en la Actividad 3. dos de ellas son conocidas y la tercera desconocida. Momento de desarrollo En el momento de desarrollo de la clase se propone que los alumnos trabajen individualmente en las Actividades 2 y 3 de la Ficha 7. para resolverlo hay que realizar el producto entre los dos datos. En este aspecto. La importancia de entender bien el significado de cada dato y de la incógnita en un problema antes de resolverlo. 2.
destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la unidad y señale que estos se relacionan con aprendizajes que se trabajarán en unidades posteriores. además de la prueba. preguntando a niños y niñas los procedimientos que utilizaron. averiguar por qué los cometieron. En la segunda parte de la clase. sin entregar información adicional a la planteada en los problemas. Para finalizar. la pregunta del problema hace referencia al número de grupos que se pueden formar y se resuelve dividiendo el total entre la cantidad de unidades que tiene cada grupo. SEXTA CLASE En la primera parte de la clase. que permite organizar el trabajo del profesor(a) en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. Si ese cálculo coincide con el dividendo. una pauta de corrección. 3. se aplica la Prueba de la unidad. el resultado es correcto (Aquí sugerimos comprobar el cálculo que los alumnos hayan realizado en el Problema 4 de la Actividad 3).Orientaciones • Si nos dan como datos la cantidad total y la cantidad de unidades que tiene cada grupo. Incluimos. • Si nos dan como datos la cantidad total y el número de grupos. la pregunta del problema hace referencia a la cantidad total y se resuelve multiplicando el número de grupos por las unidades que tiene cada grupo. se sugiere que el profesor(a) realice una corrección de la prueba en la pizarra. Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase. Si hubo errores. En la aplicación se recomienda a profesoras y profesores leer las preguntas y cerciorarse de que todos los alumnos y alumnas comprendan lo que se les solicita. 47 . Para comprobar el resultado de una división hay que multiplicarlo por el divisor y a ese producto añadirle el resto. • Si nos dan como dato el número de grupos y la cantidad de unidades que tiene cada grupo. la pregunta hace referencia a la cantidad que tiene cada grupo y se resuelve dividiendo el total entre el número de grupos.
Conduce una discusión sobre la manera en que resolvieron las operaciones en función de su eficacia. si lo considera necesario realícela concretamente o represéntela mediante un esquema. mientras que los garbanzos de a 3 y las lentejas de a 10. n	Momento de cierre: El profesor (a) plantea preguntas a niños y niñas para que reconozcan los aspectos medulares estudiados en la clase: ¿Cómo saber a partir de datos e incógnitas cuál es la operación que resuelve un problema? ¿Cómo calculan 5 x 6 y 10 x 7?	¿Cómo dividen 56 : 8 y 78 : 9 ? Finalice sistematizando la siguiente idea para el caso de la división: Una buena estrategia para resolver la división comienza por preguntarse qué número multiplicado por 9 es o se aproxima a 78. garbanzos y lentejas. relacionando la suma repetida y multiplicación con los primeros. * Tareas matemáticas. . •	Resolver una multiplicación •	Resolver una división. Por ejemplo: Si el jornalero tiene 40 porotos. Actividad: “Bolsas de semilla”. (Tabla Pitagórica) Evaluación Observe las estrategias que utilizan niños y niñas para anticipar la cantidad total de semillas o la cantidad de bolsas. Promueva que comparen sus procedimientos. n	T M* n	• Resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. 48 Momento de inicio: El profesor (a) presenta a la clase una actividad que permitirá que niños y niñas se encuentren con la necesidad de resolver problemas de iteración de una medida y problemas de agrupamiento en base a una medida. Los porotos se siembran de a 5 en cada macetero. Evalúe la comprensión que tienen niños y niñas sobre la acción involucrada en los problemas. y la resta iterada y división con los segundos. Para ganar tiempo en la siembra. ¿cuántas bolsas necesita. Posteriormente. garbanzos y lentejas en maceteros para que broten.IV planes de clases Actividades n	Plan de la Primera clase Materiales: 1000 bolsas chicas de plástico para el curso. Ficha 1 y Tabla con combinaciones multiplicativas básicas. Para buscar dicho número (que corresponde a la cantidad de paquetes) se puede utilizar la Tabla Pitagórica. Plantee a los niños que ellos deberán ayudar al jornalero y para ello deberán resolver algunos problemas. Y estableciendo similitudes y diferencias entre ellos. y ½ kilo de porotos. el jornalero prepara el día anterior bolsas con la cantidad de semillas justas que hay que poner en cada macetero. justificar la elección de la operación que los resuelve y realizarla. una vez que los niños hayan anticipado la cantidad de bolsas o semillas. sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa? Si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lenteja. n	Propicie que comparen los procedimientos que utilizan para: •	Determinar la operación que resuelve el problema. ¿cuántas semillas ha ocupado? En ambos tipos de problemas. El profesor (a) contextualiza la actividad explicando que un jornalero tiene que sembrar semillas de porotos. valorando aquellos que permitieron encontrar la respuesta al problema. pídales que comprueben su resultado realizando la acción concretamente. n	Momento de desarrollo: El profesor (a) propone una actividad que permita a los niños progresar en los procedimientos utilizados en el momento inicial. para ello presenta problemas frente a los cuales deberán establecer la relación entre datos e incógnita. Actividad: El profesor (a) propone que resuelvan los problemas de la Ficha 1. Realiza preguntas que los lleven a distinguir las diferencias entre los problemas de iteración de una medida y agrupamiento en base a una medida. pida que anticipen el resultado de la cantidad de bolsas o semillas.
explica el procedimiento utilizado para encontrar la respuesta. TM Momento de inicio: El profesor (a) propone problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Actividad: Niños y niñas. Actividad: Juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” En grupos y siguiendo las instrucciones dadas y las señaladas en el instructivo del juego. si los datos son la medida y la cantidad total de unidades. n	Identificar a los niños que tienen dificultades para reconocer la operación que resuelve el problema y aquellos que no se saben las combinaciones aditivas básicas. c)	¿Cómo multiplicar 30 x 4 ó 43 x 5? d)	¿Cómo dividir 96 : 3? Verifique que la estrategia de búsqueda del cuociente en las divisiones la realiza partiendo de la multiplicación entre un múltiplo de 10 y la medida del grupo. n	Compruebe que los niños comprenden la relación entre los datos y la incógnita para determinar si la operación que resuelve el problema es una división o una multiplicación. Cerciórese que durante el desarrollo del juego: •	Por turnos los niños dan vuelta dos cartas y formulan una pregunta que relaciona ambos datos. si es necesario. para apoyarlos. Los problemas de esta ficha están en el contexto del juego. •	Registre aquellos pares de tarjetas donde los niños no saben resolver el problema enunciado. con la finalidad que expliciten las preguntas que formulan a partir de los datos y la resuelvan recurriendo a la multiplicación o división. pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades y dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete. Se sugiere plantearlos en forma oral o. para evidenciar el progreso de las estrategias de resolución de problemas y de cálculos de multiplicaciones y divisiones. 3 y 4). similares a los estudiados en la clase anterior. y que la relación entre los números involucrada en ambas situaciones los desafíe a progresar en sus procedimientos de cálculo. en forma individual o en parejas resuelven los problemas de la Ficha 2.Plan de la Segunda clase Materiales: Instrucciones del juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” y las de tarjetas que se utilizan para jugarlo. • Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. la pregunta que se puede formular es ¿Cuántos paquetes puedo formar? Y en ese caso dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete. Actividades Evaluación n	recortadas (Material 1. 2. b)	Por otra parte. escritos en la pizarra. es decir. La Ficha 2. la pregunta se puede formular de distintas maneras. Se trata de generar un trabajo ágil. 49 Momento de desarrollo: El profesor(a) plantea una actividad en que los niños tengan que formular preguntas en situaciones en las que se repita una medida o se agrupen colecciones de objetos en base a una medida. n	Momento de cierre: El profesor(a) sistematiza las siguientes ideas: a)	Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. •	Que el niño que dice ¡alto!. los niños juegan hasta que en cada grupo resulte un ganador. un niño que tenga 4 tarjetas con verduras distintas. Planes de clases . centrado en la utilización de las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas para obtener el resultado de la operación que resuelve el problema.
Que interpretan el resultado en función de la pregunta. Según como estime conveniente organice a los niños para que jueguen. • Comprobar el resultado de la división. Actividad: Niños y niñas. pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades y dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete. en forma individual o en parejas. introduzca el resto de las tarjetas que conforman el set para esta tercera clase y organice a los niños para jueguen una vez en grupos. Se debe generar una dinámica de trabajo a partir de presentarles dos tarjetas a los niños. La Ficha 3. que se utilizan para jugarlo. Las tarjetas con números de la clase 3 (Material 5 y 6). b)	Por otra parte. Verifique que cada niño identifica la operación que resuelve el problema. •	El niño que dice ¡alto!. n	Momento de desarrollo: El profesor(a) plantea una actividad en que los niños tengan que formular preguntas en situaciones en las que se repita una medida o se agrupen colecciones de objetos en base a una medida. Actividad: Juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?”.Planes de clases Plan de la Tercera clase Materiales: Instrucciones del juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” y las tarjetas de la clase 2. Pida que un niño formule una pregunta. Actividades Evaluación n	TM Cuide que la formulación de la pregunta relaciona bien los datos proporcionados por las tarjetas. la pregunta que se puede formular es ¿Cuántos paquetes puedo formar? Dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete. confronte los diferentes procedimientos utilizados para resolver la multiplicación o la división. recortada. que la escriba en la pizarra y que cada alumno en su cuaderno escriba la operación que resuelve el problema y calcule el resultado. Dirige colectivamente el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando los set de tarjetas con número con la palabra unidades y paquetes y las tarjetas con los dibujos de verduras con que se trabajó en la segunda clase. Posteriormente. Que todos resuelven la operación. y que la relación entre los números involucrada en ambas situaciones los desafíe a progresar en sus procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones. n	n	Momento de inicio: El profesor (a) plantea una actividad que permite afianzar lo aprendido las clases anteriores. de manera que recuerden la multiplicación con dichos números. recortadas. utilizando solo tarjetas múltiplo de 10 o 100. donde la división sea inexacta. identificando la operación que los resuelve y buscando procedimientos más económicos para dividir. explica el procedimiento utilizado para encontrar la respuesta. 50 Cerciórese que durante el desarrollo del juego: •	Los niños formulan bien la pregunta. resuelven los problemas de la Ficha 3. c)	¿Cómo multiplicar 300 x 3 ó 312 x 6? d)	¿Cómo dividir 808 : 3? Verifique que utilizan procedimientos económicos para multiplicar y dividir. la pregunta se puede formular de distintas maneras. Compruebe que la estrategia de búsqueda del cuociente en las divisiones la realiza partiendo de la multiplicación entre un múltiplo de 10 ó 100 y la medida del grupo. Posteriormente. n	n	• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida. Se debe cuidar que los pares de tarjetas elegidas permitan el planteamiento de problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. que es un conocimiento base para dividir cuando el dividendo es un número de tres cifras. . n	Compruebe que los niños comprenden la relación entre los datos y la incógnita para determinar si la operación que resuelve el problema es una división o una multiplicación. n	Momento de cierre: El profesor(a) sistematiza las siguientes ideas: a)	Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. si los datos son la medida y la cantidad total de unidades.
utilizando los set de tarjetas con números de tres cifras y números de una o dos cifras y los tableros de juego. en que la acción involucrada en el problema es un reparto y. con un tablero de las manzanas y las tarjetas 24 y 6. Actividades Evaluación n	TM Momento de inicio: El profesor(a) dirige colectivamente el juego “Formulando Problemas”. una de cada mazo y dibuja un tablero en el pizarrón con la tarjeta mayor en la posición del total y la menor en la posición del número de grupos y les pide a los alumnos que formulen una pregunta y la operación que la resuelve. • Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida. organice a los niños para que jueguen en grupos. utilizando un tablero de juego ”Formulando Problemas” y los dos mazos de números. Para contar las instrucciones el profesor escoge dos tarjetas. agrupamiento. n	Verifique que cada niño identifica la operación que resuelve el problema y que interpretan el significado del resultado. en el pizarrón. n	Recordar que no siempre que sale la palabra agrupar o repartir tengo que dividir para resolver el problema. n	Los alumnos proponen un ejemplo similar. •	Que el niño que dice alto. n	Que los niños reconocen aquellos casos en los que no es posible formular un problema que tenga solución. 51 ‘Momento de desarrollo: Actividad 2: El profesor(a) plantea una situación análoga a la Actividad 1. Los alumnos trabajan en forma individual. los mazos 1 y 2 (Material 7) del juego y los tres tableros del juego recortados. n Momento de cierre: El profesor (a) sistematiza las siguientes ideas: La importancia que tiene a la hora de resolver problemas identificar el papel de cada uno de los datos dentro del problema y el significado de la respuesta. Instrucciones del juego “Formulando Problemas”. Guía la discusión y anota en el pizarrón tanto los problemas. La Ficha 5. Propone que calculen las operaciones utilizando la Tabla Pitagórica Extendida. Según como estime conveniente. se resuelve con una multiplicación. Selecciona tres problemas que hayan planteado distintos grupos. • Comprobar el resultado de la división. iteración). pone en común las respuestas. y de reparto equitativo. otro de iteración y otro de reparto equitativo y se hace una breve puesta en común sobre estos tres problemas. Actividad 3: Niños y niñas en forma individual o en parejas resuelven los problemas de la Ficha 5. Planes de clases . uno con números hasta el 20 y otro con números del 25 hasta el 900. n	Por turnos los niños dan vuelta dos cartas y formulan una pregunta que relaciona ambos datos. Haga énfasis en que la pregunta debe ser clara y se deben incorporar todos los datos en el problema. sin embargo. explica el procedimiento utilizado para encontrar la respuesta.Plan de la Cuarta clase Materiales: Ficha 4. iteración de una medida. sino también de cuáles son los datos del problema. así como las operaciones planteadas por los alumnos e identifica el significado de cada dato y el significado del resultado. Luego. Actividad: Juego ”Formulando Problemas”. n	Cuide de que los alumnos entienden bien las instrucciones. Cerciórese que durante el desarrollo de la actividad los alumnos son capaces de formular los problemas e identificar la operación que los resuelve. cuidando que uno sea de agrupamiento. n	Verificar que en el Problema 2 de la Ficha interpretan correctamente el significado de cada dato y la pregunta. Resuelven los problemas identificando la operación que los resuelve y buscando procedimientos para realizar el cálculo. ya que la operación que resuelve el problema no solo depende de la acción realizada (reparto. o en parejas y en sus cuadernos tratan de plantear los problemas a partir de las seis posibles combinaciones que el profesor escribe en el pizarrón.
El profesor dirige una breve puesta en común de los resultados obtenidos en los problemas planteados y de lo que hay que hacer para comprobar el resultado de la división 150 : 40. el resultado es 28 y quedan 2 unidades. por parejas. la pregunta del problema hace referencia a la cantidad total y se resuelve multiplicando el número de grupos por las unidades que tiene cada grupo. Verifique que los alumnos logren establecer un procedimiento para comprobar la división. Momento de inicio: Se propone empezar con la Actividad 1 donde se propone a los alumnos que con las tarjetas 150 y 40 y el Tablero de Fósforos.	En los problemas estudiados (sugerimos tomar como referencia los problemas propuestos en la Actividad 3). . la pregunta hace referencia a la cantidad que tiene cada grupo y se resuelve dividiendo el total entre el número de grupos. n	Si nos dan como dato el número de grupos y la cantidad de unidades que tiene cada grupo. por ejemplo 198 : 7 se trata de buscar qué número multiplicado por 7 se acerca más a 198 sin pasarse. Una vez resueltos los problemas planteados. iteración de una medida.	Para calcular el resultado de una división. n	n	Momento de desarrollo: Actividad 2: Los niños resuelven individualmente los cálculos planteados en la Ficha 6 y comprueban los resultados de las divisiones. se pide que. y para que planteen las cosas que no entienden. 20 x 7 = 140. comparan los resultados obtenidos con los obtenidos por su compañero. dado que se trata de un problema inverso. el número de grupos y el total de unidades. por eso decimos que al igual que la multiplicación representa una suma iterada. planteen tres problemas distintos y los resuelvan.	La división entre dos números nos permite calcular cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. y de reparto equitativo. n	Si los datos son la cantidad total y la cantidad de unidades que tiene cada grupo. por parejas. Los alumnos comentan los resultados de cada cálculo para que puedan darse cuenta de los errores cometidos y corregirlos. Actividad 3: Niños y niñas en forma individual o en parejas resuelven los problemas de la Ficha 7. Actividades Evaluación n	TM Cuide que los alumnos traten de formular los problemas por sí mismos y que los problemas que formulan sean distintos. traten de establecer un procedimiento para comprobar el resultado de las divisiones que hayan efectuado. • Comprobar el resultado de la división. 2. 140+56 = 196. Pedir que representen los datos del problema utilizando un esquema. 3. Ponga especial atención a cómo los niños plantean el Problema 1. 52 Momento de cierre: El profesor(a) sistematiza las principales ideas estudiadas en la unidad: 1. pues se resuelve mediante un producto pese a que se efectuó un agrupamiento. de forma que les pueda ayudar a justificar la operación que lo resuelve. La actividad se realiza individualmente. 5.Planes de clases Plan de la Quinta clase Materiales: Ficha 6 y 7. Una vez resueltos los problemas.	La importancia de relacionar en los problemas los datos y la incógnita con la cantidad de unidades que tiene cada grupo. Este se puede obtener mediante la suma de varios productos. la división representa una resta iterada. n	• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida. 8 x 7 = 56. Para comprobar el resultado de una división hay que multiplicarlo por el divisor y a ese producto añadirle el resto. 4. n Si nos dan como datos la cantidad total y el número de grupos. En la corrección deje espacio a los alumnos para que comenten entre ellos las dudas respecto de la solución de los problemas. la pregunta del problema hace referencia al número de grupos que se pueden formar y se resuelve dividiendo el total entre la cantidad de unidades que tiene cada grupo. Si ese cálculo coincide con el dividendo el resultado es correcto (Sugerimos comprobar el cálculo que hayan realizado en el Problema 4 de la Actividad 3).
Corrección de la prueba. Planes de clases . confrontando las diferentes respuestas en el caso de haberlas. y qué dificultades encontraron. n	Pregúnteles cómo contestaron. preguntando a niñas y niños los procedimientos que utilizaron.Plan de la Sexta clase Materiales: Prueba de la unidad para los niños. Cerciórese de que han entendido cada una de las preguntas de la prueba. se sugiere realizar una corrección de la prueba en la pizarra. Analice una a una las respuestas que dieron. Pauta de corrección para el profesor. Actividades Evaluación n Aplicación de la prueba. ¿En qué se equivocaron? 53 Cierre de la unidad didáctica Converse con niños y niñas sobre cómo les fue en la prueba. En la aplicación se recomienda a los profesores (as) que lean las preguntas y se cercioren de que todos comprendan lo que se les solicita. En la segunda parte de la clase. sin entregar información adicional a la planteada en los problemas.
Resuelve los siguientes problemas: 1. ¿Cuántos paquetes puede hacer? 54 .V Prueba y pauta Prueba de la tercera unidad didáctica matemática • cuarto año Básico Nota Nombre:	Curso:	Fecha:	Escuela: Puntaje: Indicaciones para el profesor (a): Leer la prueba completa.	La señora Marta tiene 960 cebollines. ¿Cuántos ajos deberá echar en cada bolsa si tiene 58 ajos? ¿Cuántos ajos le quedan sin repartir? 2.	Don Raúl desea echar la misma cantidad de ajos en 4 bolsas. pregunta por pregunta. Quiere hacer paquetes con 3 cebollines cada uno. señalando los espacios en que se debe responder y cuidando de no dar información adicional.
Formula un problema.	Antonia tiene 43 sobres con 6 láminas en cada sobre. cantidad total de tomates tomates en cada bandeja número de bandejas 105 8 ? 5. ¿Cuántas láminas tiene Antonia? 4.	Resuelve las siguientes operaciones: 726 : 7 = 87 x 5 = 55 .3. resuélvelo a partir de los datos que presenta el siguiente tablero y comprueba el resultado.
Responde 320 paquetes. Resuelven una división con el dividendo de tres cifras. suman o restan). por ejemplo: Si tengo 105 tomates y los quiero agrupar en bandejas de a ocho ¿cuántas bandejas puedo formar? Escriben la división 105 : 8 Escriben 13 como el cuociente de la división. Resuelven una multiplicación. donde la cantidad total de objetos es un número de tres cifras. utilizando el algoritmo convencional o el procedimiento basado en la descomposición canónica de 43. Responde 258 láminas. utilizando como procedimiento la búsqueda de cuocientes parciales multiplicando por números distintos a 300 y 20. Responde 320 paquetes. Formulan un problema del tipo de reparto equitativo. Evaluación de la unidad por el curso Pregunta Tareas matemáticas Cantidad de alumnos que respondió bien % de logro 1 2 3 4a 4b 5a 5b Resuelven un problema de reparto equitativo distinguiendo la cantidad de objetos que recibe cada grupo y los objetos que quedan sin repartir. Comprueban el resultado de una división. utilizando como procedimiento para buscar el cuociente multiplicar por 10 y luego por 4 o el algoritmo convencional. utilizando como procedimiento la suma de 43 seis veces. Formulan y resuelven un problema teniendo como datos la cantidad total de objetos y la medida de cada grupo. % total de logro del curso 56 . utilizando como procedimiento para buscar el cuociente multiplicar por un número cualquiera. sin utilizar la relación inversa entre la multiplicación y la división (dibujan. suman o restan). sin utilizar la relación inversa entre la multiplicación y la división (dibujan. Comprueban el resultado verificando que 13 x 8 +1 = 105 a) Resuelve la división 726 : 7 y escribe 103 de cuociente y 5 de resto b) Resuelve la multiplicación 87 x 5 y escribe 435. Responde 14 paquetes. Puntos 3 2 1 1 3 2 1 3 2 2 1 1 1 3 2 4 1 2 3 3 3 4 5 5 5 Puntaje máximo	20 Si al corregir la prueba con la pauta sugerida. utilizando el algoritmo convencional o el procedimiento de los cuocientes parciales multiplicando por 300 y 20. Resuelven un problema de iteración en base a una medida. Resuelven un problema de agrupamiento en base a una medida. Responde 320 paquetes. Responde 258 láminas. respectivamente. encuentra algunas respuestas ambiguas de los niños. el mayor múltiplo de 100 y el mayor múltiplo de 10. se sugiere que los entreviste solicitando que frente a la pregunta en cuestión puedan explicar sus respuestas.Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad Pregunta Respuesta	Responde 14 ajos en cada bolsa. Responde que quedan 2 ajos sin repartir. Responde 14 paquetes.
VI Espacio para la reflexión personal •	Busque en el momento de cierre de cada uno de los planes de clase. el o los fundamentos centrales de la unidad con el cual se corresponde: •	Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en que puede utilizarlos en la planificación de sus clases: 57 .
Un ejemplo de problema inverso es: •	Anita repartió todos los dulces de una bolsa entre sus 5 amigos y le tocaron 20 dulces a cada uno. Problemas de cálculo aritmético. ¿cuántas castañas necesitamos? •	Joan compró ocho bandejas de 6 tomates cada una. Algunos problemas de iteración de una medida son: •	En cada pocillo ponemos 6 castañas. ¿Cuántos tomates compró? Problemas simples : Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa : Problemas inversos : Problemas multiplicativos de iteración de una medida : 58 .VII Glosario Campo de problemas multiplicativos : Incluye todos aquellos problemas aritméticos que se resuelven mediante un producto y/o cuociente entre los datos. Problemas del campo multiplicativo en los que la relación de proporcionalidad directa existente ente datos e incógnita es la que permite resolverlos. Los problemas de esta unidad son todos de este tipo. salvo en el caso de divisiones inexactas en que aparecen dos incógnitas: el cuociente y el resto. en cuyo enunciado aparecen solo dos datos y una incógnita. Número de veces x Medida = Total Un problema multiplicativo es inverso cuando la acción presente en el enunciado no se asocia con la operación que debe efectuarse para resolverlo. Si tenemos 12 pocillos. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? Aquellos en los que se tiene una determinada medida que se repite una cantidad de veces y la incógnita suele ser la cantidad total.
Si en cada caja caben 12 bebidas. Un problema de reparto equitativo es: •	José repartió equitativamente un mazo de 62 cartas de Mitos y Leyendas entre sus 7 amigos. Luego formó paquetes de 5 betarragas para venderlos en la feria. ¿cuántas cajas necesita? Aquellos en los que se tiene una determinada cantidad total que hay que repartir equitativamente en una determinada cantidad de grupos o personas siendo la incógnita la medida (o cantidad) que le toca a cada grupo o persona. ¿Cuántas cartas le tocaron a cada amigo? ¿Le quedaron cartas por repartir? Problemas multiplicativos de reparto equitativo : 59 .Problemas multiplicativos de agrupamiento en base a una medida : Aquellos en los que se tiene una determinada cantidad total que hay que agrupar en una determinada medida y la incógnita suele ser la cantidad de grupos que se pueden formar. ¿Cuántos paquetes obtuvo? •	Pablo tiene que poner 256 bebidas en cajas. Algunos problemas de agrupamiento en base a una medida son: •	Nora compró un saco con 238 betarragas.
VIII fichas y materiales para ALUMNAS Y alumnos .
ella hace paquetes de a 3 cebollines. Para venderlos. quien también vende en la feria. Por ejemplo. Doña María tiene un puesto de verduras y ha vendido 6 paquetes de zanahoria. Si tiene 45 betarragas. 3)	A don Matías. ¿Cuántas zanahorias le quedan? Resuelve el problema en tu cuaderno. 2)	Doña María tiene 24 cebollines. 9 paquetes de zanahorias. las zanahorias se venden en paquetes de a 8. ¿Cuántas zanahorias ha vendido? Resuelve el problema en tu cuaderno.Ficha 1 Tercera Unidad Clase 1 Cuarto Básico Nombre: Curso: 1)	En la feria se venden algunas verduras en paquetes. 4)	Don Matías está haciendo paquetes de betarragas para venderlas. ¿cuántos paquetes podrá formar? Resuelve el problema en tu cuaderno. ¿Cuántos paquetes de cebollines puede hacer? Resuelve el problema en tu cuaderno. le quedaron luego de un día de venta. 63 .
¿Cuántos paquetes puede hacer? Resuelve el problema en tu cuaderno. ¿Cuántos ajos tiene. si en cada paquete hay 4 ajos? Resuelve el problema en tu cuaderno.Ficha 2 Tercera Unidad Clase 2 Cuarto Básico Nombre: Curso: 1)	Si en el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” das vuelta 2 tarjetas y te salen: Los cebollines se venden en paquetes de 3 unidades 96 	Escribe en tu cuaderno una pregunta que relacione ambos datos. 2)	Si en el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” das vuelta 2 tarjetas y te salen: paquetes 	Responde la pregunta que te hiciste. 	Responde la pregunta que te hiciste. 3)	Doña María tiene 36 paquetes de ajos. 4)	Don Matías tiene 72 betarragas y va a hacer paquetes de 5. 15 10 alcachofas tiene un paquete 	Escribe en tu cuaderno una pregunta que relacione ambos datos. 64 .
¿Cuántas bolsas necesita la señora Berta? 65 . ¿Cuántos huevos pusieron las gallinas en ese día? 4)	La señora Berta compró un paquete con 500 cuchuflíes. los huevos que pusieron las gallinas y con ellos hizo 312 cajas de huevos. Un paquete tiene 8 zanahorias 	Escribe en tu cuaderno una pregunta que relacione ambos datos. 2)	Don Fermín recogió 343 tomates. ¿Cuántas bandejas debe comprar? 3)	En un criadero de aves se recogió al final del día.Ficha 3 Tercera Unidad Clase 3 Cuarto Básico Nombre: Curso: Resuelve los problemas en tu cuaderno. Para venderlos a mejor precio los envasa en bandejas de 6 tomates cada una. con 6 huevos cada una. Quiere ponerlos en bolsas de 7 cuchuflíes cada una. 1)	Si en el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” das vuelta 2 tarjetas y te salen: 808 unidades 	Responde la pregunta que te hiciste.
•	Cada alumno debe tener su cuaderno y lápiz. Si crees que no tiene solución escribe: “no tiene solución”. 	El proceso se repite hasta que se hayan formulado tres problemas distintos usando un mismo par de tarjetas. 66 . una de cada mazo. 	El primer compañero de juego que plantea la operación que resuelve el problema dice ¡Alto! y la comparte con el resto de sus compañeros. 	El compañero que ha planteado la operación mueve una o las dos tarjetas cambiando su posición en el tablero y formula un nuevo problema a sus compañeros. Resuelve en tu cuaderno cada uno de los problemas que se pueden plantear con cada pareja de datos del pizarrón. Planteando Problemas Materiales: •	Dos set de 24 tarjetas con números. 	Ubicar las tarjetas de forma que tapen dos de los interrogantes del tablero y usando todos los datos del tablero formula un problema a tus compañeros.Ficha 4 Tercera Unidad Clase 4 Cuarto Básico Nombre: Curso: Actividad 1. •	Tablero. 	Por turnos saca dos tarjetas. 	Luego otro niño o niña saca dos nuevas tarjetas de los mazos y se repite el proceso.
¿Cuántas cajas usó? 2)	Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. Si cada bandeja trae 20 hamburguesas. ¿cuántas hamburguesas compró Pablo? 67 .Ficha 5 Tercera Unidad Clase 4 Cuarto Básico Nombre: Curso: 	Actividad 3: Resuelve los problemas en tu cuaderno. 1)	Mireya tenía que apilar 315 bebidas en cajas de a 12. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? 3)	Pablo compró 18 cajas de hamburguesas para vender en su carnicería.
? Problema 1: ? ? Problema 2: Problema 3: 68 . plantea tres problemas distintos que tengan cantidad de fósforos fósforos cada caja número de cajas solución y escribe la operación que resuelve cada uno de ellos.Ficha 6 Tercera Unidad Clase 5 Cuarto Básico Nombre: Curso: 	Actividad 1: Con las tarjetas 150 40 y el tablero siguiente.
a) 305 x 15 = b) 745 : 20 = c) 62 : 4 = d) 56 x 12 = e) 620 : 6 = f) 198 : 7 = 	Actividad 3: Resuelve los problemas siguientes: Problema 1: David agrupó las zanahorias de un saco en paquetes de a 10. ¿podrías comprobar tu resultado? 69 . Obtuvo 32 paquetes y le sobraron 3. Si pone 6 bombones en cada cajita. ¿Cuántos caramelos le tocaron a cada uno? ¿Sobró algún dulce? Problema 3: ¿Cuántos huevos hay en 35 docenas? Problema 4: Manuel compró 250 bombones al por mayor para ponerlos en cajitas y venderlos.Ficha 7 Tercera Unidad Clase 5 Cuarto Básico Nombre: Curso: 	Actividad 2: Realiza en tu cuaderno los siguientes cálculos y en el caso de las divisiones comprueba el resultado. ¿Cuántas zanahorias había en el saco? Problema 2: Anita repartió una bolsa de 100 caramelos entre sus ocho amigos. ¿cuántas cajitas necesita comprar?.
un jugador saca una carta de cada mazo y las da vuelta para que las puedan observar todos los jugadores. •	Cada jugador debe tener su cuaderno y lápiz. 12 que tienen la palabra unidades más 12 tarjetas que tienen la palabra paquetes. se deberá comprobar que el procedimiento utilizado está correcto. 	Poner sobre la mesa dos mazos de tarjetas boca abajo: las tarjetas con números y las tarjetas con los dibujos de verduras. El primero en encontrarla dice ¡Alto! 	Muestra su respuesta y la explica a sus compañeros de juego. •	Un set de 12 tarjetas con dibujo de paquetes de verduras. 	Gana aquel jugador que primero reúne 4 tarjetas de verduras distintas. el jugador se queda con la tarjeta de la verdura. 	Por turno. 	El jugador que da vuelta las cartas tiene la misión de plantear en forma oral una pregunta que relacione ambas tarjetas volteadas. 	Si la respuesta es correcta.Material 1 Tercera Unidad Clase 2 Cuarto Básico Nombre: Curso: Juego: ¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades? Materiales: •	Un set de 24 tarjetas con números. Si hay cualquier duda o desacuerdo. para estas tarjetas se puede formular la siguiente pregunta: unidades 56 5 betarragas tiene un paquete Si tengo 56 betarragas. Instrucciones: 	Pueden jugar de 3 a 5 niños y niñas. Por ejemplo. ¿cuántos paquetes de 5 puedo formar? 	Los jugadores buscan la respuesta individualmente. 70 .
(Recortar las tarjetas).Material 2 Tercera Unidad Clase 2 Cuarto Básico Nombre: Curso: Set de tarjetas con números para segunda clase. paquetes 5 10 15 6 paquetes paquetes paquetes paquetes 4 7 9 8 paquetes paquetes paquetes paquetes paquetes paquetes 6 8 12 10 paquetes 71 .
(Recortar las tarjetas). Un paquete tiene 8 zanahorias Un paquete tiene 8 zanahorias Los cebollines se venden en paquetes de 3 Los cebollines se venden en paquetes de 3 5 betarragas tiene un paquete 5 betarragas tiene un paquete 4 ajos tiene un paquete 4 ajos tiene un paquete 6 tomates en una bandeja 6 tomates en una bandeja 10 alcachofas tiene 10 alcachofas tiene un paquete un paquete 72 .Material 3 Tercera Unidad Clase 2 y 3 Cuarto Básico Nombre: Curso: Set de tarjetas con dibujos de paquetes de verduras.
35 40 48 50 unidades unidades unidades unidades 56 66 68 72 unidades unidades unidades unidades 75 81 85 96 unidades unidades unidades unidades 73 . (Recortar las tarjetas).Material 4 Tercera Unidad Clase 2 Cuarto Básico Nombre: Curso: Set de tarjetas con números para primera clase.
(Recortar las tarjetas).Material 5 Tercera Unidad Clase 3 Cuarto Básico Nombre: Curso: Set de tarjetas con números para tercera clase. 300 500 600 800 unidades unidades unidades unidades 540 252 766 153 unidades unidades unidades unidades 808 316 407 960 unidades unidades unidades unidades 74 .
(Recortar las tarjetas).Material 6 Tercera Unidad Clase 3 Cuarto Básico Nombre: Curso: Set de tarjetas con números para la tercera clase. paquetes 86 200 30 60 paquetes paquetes paquetes paquetes 50 64 58 71 paquetes paquetes paquetes paquetes paquetes 100 120 132 140 paquetes paquetes 75 .
Mazo 2 76 Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase.Material 7 Tercera Unidad Clase 4 Cuarto Básico Nombre: Curso: 5 20 10 8 12 15 6 25 7 14 18 22 300 500 600 143 540 50 264 60 96 120 360 960 Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase. Mazo 1 .
Tablero 1 cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas ? cantidad total de lápices ? Tablero 2 ? número de estuches lápices en cada estuche ? cantidad total de zanahorias ? Tablero 3 ? número de paquetes zanahorias en cada paquete ? ? 77 ? .Material 8 Tercera Unidad Clase 4 Cuarto Básico Nombre: Curso: Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase.
Material 9 Tercera Unidad Cuarto Básico Nombre: Curso: Tabla Pitagórica X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 3 3 6 9 4 4 8 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10 12 14 16 18 20 12 15 18 21 24 27 30 12 16 20 24 28 32 36 40 10 15 20 25 30 35 40 45 50 12 18 24 30 36 42 48 54 60 14 21 28 35 42 49 56 63 70 16 24 32 40 48 56 64 72 80 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 78 .
Material 10 Tercera Unidad Cuarto Básico Nombre: Curso: Tabla Pitagórica Extendida X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78 81 84 87 90 93 96 99 102 105 108 111 114 117 120 123 126 129 132 135 138 141 144 147 150 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 172 176 180 184 188 192 196 200 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 126 132 138 144 150 156 162 168 174 180 186 192 198 204 210 216 222 228 234 240 246 252 258 264 270 276 282 288 294 300 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 147 154 161 168 175 182 189 196 203 210 217 224 231 238 245 252 259 266 273 280 287 294 301 308 315 322 329 336 343 350 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 168 176 184 192 200 208 216 224 232 240 248 256 264 272 280 88 296 304 312 320 328 336 344 352 360 368 376 384 392 400 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 189 198 207 216 225 234 243 252 261 270 279 288 297 306 315 324 333 342 351 360 369 378 387 396 405 414 423 432 441 450 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 231 242 253 264 275 286 297 308 319 330 341 352 363 374 385 396 407 418 429 440 451 462 473 484 495 506 517 528 539 550 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252 264 276 288 300 312 324 336 348 360 372 384 396 408 420 432 444 456 468 480 492 504 516 528 540 552 564 576 588 600 13 1 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 273 286 299 312 325 338 351 364 377 390 403 416 429 442 455 468 481 494 507 520 533 546 559 572 585 598 611 624 637 650 14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280 294 308 322 336 350 364 378 392 406 420 434 448 462 476 490 504 518 532 546 560 574 588 602 616 630 644 658 672 686 700 15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360 375 390 405 420 435 450 465 480 495 510 525 540 555 570 585 600 615 630 645 660 675 690 705 720 735 750 16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 336 352 368 384 400 416 432 448 464 480 496 512 528 544 560 576 592 608 624 640 656 672 688 704 720 736 752 768 784 800 17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340 357 374 391 408 425 442 459 476 493 510 527 544 561 578 595 612 629 646 663 680 697 714 731 748 765 782 799 816 833 850 18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 378 396 414 432 450 468 486 504 522 540 558 576 594 612 630 648 666 684 702 720 738 756 774 792 810 828 846 864 882 900 19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380 399 418 437 456 475 494 513 532 551 570 589 608 627 646 665 684 703 722 741 760 779 798 817 836 855 874 893 912 931 950 20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700 720 740 760 780 800 820 840 860 880 900 920 940 960 980 1000 79 .
000 4.400 2.000 2.600 8 160 320 400 640 1.400 9 180 360 450 720 1.200 4.800 3.200 4.200 8 80 160 240 80 • 40 80 100 160 400 800 1.600 2.800 3.600 2.500 800 1.200 20 40 50 80 200 400 500 800 .000 3.600 2.500 2.400 3.000 2.000 120 160 200 240 300 480 1.500 2.600 3.000 1.000 2.500 7.200 3.500 5.000 1.000 4.Material 11 Tercera Unidad Cuarto Básico Nombre: Curso: Cuadro de Productos 40 80 160 200 320 400 480 560 640 720 250 300 350 400 450 200 240 280 320 360 400 100 120 140 160 180 200 400 600 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 • 10 20 30 2 20 40 60 800 1.600 5 50 100 150 500 1.500 4.600 1.000 1.200 2.600 6.200 1.500 4.000 6.400 2.800 5.800 60 80 100 120 2 3 4 5 6 7 140 280 350 560 1.500 3.600 4.400 1.200 600 800 1.400 3.000 2.800 3.800 4 40 80 120 800 1.000 4.200 240 320 180 200 250 400 1.400 1.400 7.000 3.200 1.600 1.
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