Source: https://www.scribd.com/document/356499052/Trigonometria-CEPREVI
Timestamp: 2018-10-20 20:37:00+00:00

Document:
Trigonometría-CEPREVI
04 Sector Circular
TRIGONOMETRIA 4TO 2010
005-078 int
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Practica 02 Longitud de Arco y Area de Un Sector UNMSM
Trigonometria CEPREVI
Trigonometría Repaso 01
Sector Circular u
Cap 02 Longitud de Arco
Sistema de Medicón Angular Trigonometria
TRI_SEMI1_2014-I.pdf
Trigonometria_Sem_1.pdf
301301 – 392 – Momento 4
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Sistemas No Lineales de Ecuaciones Diferenciales - Estabilidad de Sistemas de EDO
Cálculos de Fico Ppt
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│EC│ FILOSOFIA COMPLETO CEPRE SM 2016-I.pdf
Este libro reúne la teoría completa y problemas (resueltos y propuestos).
Son problemas tipo, que presentan las mismas características de los que se
plantean al postulante en el concurso de admisión a la Universidad Nacional
Federico Villarreal. La Plana Docente de trigonometría los expone y resuelve
en 16 clases de manera ejemplar para que puedan servir como modelos
en la resolución de otros problemas parecidos con los que el estudiante
de CEPREVI tiene que enfrentarse en sus prácticas calificadas, exámenes
parciales y finales.
La Plana Docente de trigonometría de CEPREVI es conocida por los
estudiantes no sólo por sus condiciones pedagógicas sino también por el
amplio conocimiento de los temas de la trigonometría, lo cual hacen de
este libro una guía teórica y práctica de gran utilidad para el estudiante de
CEPREVI.
UNIDAD 1 Sistemas de Medición Angular.......................................................... 3
UNIDAD 2 Arco y Sector Circular..................................................................... 15
UNIDAD 3 Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I............................. 25
UNIDAD 4 Razones Trigonométricas del Ángulos Agudos II........................... 40
UNIDAD 5 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud......... 54
UNIDAD 6 Reducción al primer cuadrante....................................................... 70
UNIDAD 7 Circunferencia Trigonométrica (C.T.).............................................. 82
UNIDAD 8 Identidades trigonométricas para un mismo arco........................... 93
UNIDAD 9 Identidades trigonométricas para el arco compuesto................... 103
UNIDAD 10 Identidades trigonométricas para el arco doble............................ 115
UNIDAD 11 Identidades trigonométricas para el arco mitad............................ 126
UNIDAD 12 Identidades trigonométricas para el arco triple............................. 137
UNIDAD 13 Transformaciones trigonométricas................................................ 145
UNIDAD 14 Resolución de triángulos oblicuángulos........................................ 150
UNIDAD 15 Funciones trigonométricas............................................................ 159
UNIDAD 16 Ecuaciones trigonométricas.......................................................... 172
2 U N F V – C E P R E V I
Ángulo Trigonométrico: L.F.
Es una figura generada por la rotación de un
rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice,
desde una posición inicial hasta una posición
final. 0
Ángulos Positivos: Ángulos Negativos:
Si el rayo gira en sentido antihorario. Si el rayo gira en sentido horario.
B Nótese en las figuras:
•	“θ” es un ángulo trigonométrico de
medida positiva.
•	“x” es un ángulo trigonométrico de
θ medida negativa.
∴	Se cumple: x = -θ
1.	ÁNGULO NULO
Si el rayo no gira, la medida del ángulo sera cero
el cual es equivalente a la 400 ava parte del ángulo de una vuelta.	ÁNGULO DE UNA VUELTA Se genera por la rotación completa del rayo. pulgadas. el cual es equivalente a la 360 ava parte del ángulo de una vuelta.	MAGNITUD DE UN ÁNGULO Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud. e l ángulo trigonométrico mide “3 vueltas”. etc.TRIGONOMETRÍA 2. -1V 1V O O 3. Fig.). ya que su rayo puede girar infinitas vueltas. 1v 1º = → 1v = 360º 360 Equivalencias 1º = 60’	1’ = 60”	1º = 3600” Sistema Centesimal (Francés) Su unidad angular es el “grado Centesimal” (1g). Sistema Sexagesimal (Inglés) Su unidad ángular es el “grado sexagesimal”(1º). Medición de ángulos Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada (metros. 1	Fig 2. para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición. es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. en la figura (2) el ángulo trigonometrico mide “-2 vueltas”. Así por ejemplo en la figura (1). en cualquiera de los sentidos. 1v 1g = → 1v = 400g 400 Equivalencias 1g = 100m 1m = 100s 1g = 10000s 4 U N F V – C E P R E V I .
multiplicaremos por el factor de conversión”.141592653. TRIGONOMETRÍA Sistema Radial o Circular (Internacional) Su unidad es el “radián”. m  AOB = 1 rad 1v 1 rad = 2π → 1v = 2π rad  6.2832 rad Nota: Como:	π = 3. el cual es un ángulo central que subtiende un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva. Ejemplo (1) Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: a = 12º Resolución Magnitud equivalente Factor de Conversión πrad π rad 〈 〉 180° 180 º a = 12° · π rad < > π rad 180º 15 U N F V – C E P R E V I 5 .1416 ≅ ≅ 10 ≅ 3 + 2 7 Conversión de Sistemas Factor de conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes. Magnitudes angulares equivalentes:  1 vuelta	:	1 v	=	360º 〈 〉 400g 〈 〉 2πrad  Llano	:	1/2 v	=	180º 〈 〉 200g 〈 〉 πrad Sólo grados:	9º 〈 〉 10g  Recto	:	1/4 v	=	90º 〈 〉 100g 〈 〉 π/2 rad Nótese que: “Para convertir un ángulo de un sistema otro.. 22 Entonces:	π ≅ 3..
TRIGONOMETRÍA Ejemplo (2) Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: b = 15g Resolución Magnitud equivalente Factor de Conversión πrad π rad 〈 〉 200g 200g π rad 3π b = 15° · 〈〉 rad 200 g 40 Ejemplo (3) Convertir a grados sexagesimales la siguiente magnitud angular: q = 24g Resolución Magnitud equivalente Factor de Conversión 9º 9° 〈 〉 10g 10g 9º 108º =θ 24g .6º 10 g 5 Ejemplo (4) 1º 1g 9º Hallar:	E= + + 1' 1m 5g Resolución Recordando:	1º = 60’ 1g = 100m 9º 〈 〉 10g Reemplazando en: 60 ' 100m 10g E= + m + g 1' 1 5 ∴ E = 60 + 100 + 2 = 162 Ejemplo (5) π Hallar: a+b . 〈〉 〈 〉 21. sabiendo: rad 〈 〉 a°b’ 8 Resolución Equivalencia:	π rad = 180° π 180º 180º 45º 44º +1º 1º rad • = = = = 22º + = 22º +30 ' = 22º 30 ' 8  rad π   8 2 2 2 Factor de conversión 6 U N F V – C E P R E V I .
. Sº 〈 〉 Cg 〈 〉 R rad	... De la fig. multiplicaremos por el factor de conversión”. (**) g Dividiendo (*) entre (**) tenemos: S C R = = Fórmula o Relación de Conversión 180 200 π U N F V – C E P R E V I 7 . (*) Además 180º 〈 〉 200 〈 〉 π rad	. luego hallamos la relación que existe entre dichos números. C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal. Nótese que: “Para convertir un ángulo de un sistema a otro. 4º 10 g 10 5 B)	16g → radianes πrad Factor de conversión = 200 g πrad 16 ⋅ πrad 2π Luego: = α 16g= • = rad 200g 200 25 Fórmula general de conversión Sean S. centesimal y radial respectivamente. TRIGONOMETRÍA π Luego:	rad 〈 〉 22º30’ 8 Comparando:	a = 22 b = 30 Entonces:	a + b = 52	.. Rpta.. Ejemplo (6) Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular: a = 16g Resolución A)	16g → sexagesimales (°) 9º Factor de conversión = 10g 9º 144º 72º α 16g • = Luego: = = = 14..
Convertir 60g a radianes Resolución C R 60 R 3π = → = → R= 200 π 200 π 10 3π \	60g = rad 10 3. Resolución Si S. Hallar el número de radianes de dicho ángulo. C y R son los números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales.	Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el número de sus grados centesimales es 222. del enunciado afirmamos que: 6S + 2C = 222 .	Convertir 27º a grados centesimales Resolución S C 27 C = → = → C = 30 9 10 9 10 \	27º = 30g 4.	Convertir rad a grados sexagesimales 5 Resolución S R S π/5 = → = → S = 36 180 π 180 π π ∴	rad = 36° 5 2. TRIGONOMETRÍA Fórmulas particulares: S C S R C R = = = 9 10 180 π 200 π Ejemplos π 1.. en grados centesimales y en radianes respectivamente. (1) Sabemos: NOTA: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer: S = 180K S C R  = = =K C = 200K 180 200 π R = πK = ?  8 U N F V – C E P R E V I ..
TRIGONOMETRÍA Reemplazando en (1): 6(180K) + 2(200K) = 222 1480K = 222 3 K= 20 3 \ R = πK = 20 5. calcular el valor simplificado de: C+S 3 C+S P=4 − +8 C−S C−S Resolución S C  S = 9K = = K ⇒  9 10  C = 10K Calculamos en forma particular: C + S 10K + 9K 19K = = = 19 C − S 10K − 9K K Reemplazamos en “P”: P = 4 19 − 3 19  8 + 27 4 P = 19 − 3 4 P = 16 P=2 U N F V – C E P R E V I 9 .	Un ángulo positivo mide Sº o Cg.
E= 3πC − πS + 20R a) 1x	b) 2x	c) 3x a) 5/11	b) 10/11	c) 11/10 d) 4 x e) 5x d) 1	e) 2 10 U N F V – C E P R E V I . según sus ángulos que tipo de a) 3	b) 1/3	c) 2 triángulo es: d) 1/2	e) 1 a)	Escaleno b)	Isósceles 4.	En la figura. siendo 1. K= π π π rad − 40° a) b) c) π 4 4 3 2 π a) 1	b) 2	c) 3 d) π e) 6 5 d) 4	e) 5 π 7.	De la condición: 5° < > rad. hallar: a − 15 Hallar: 3'' x° a) 30	b) 33	c) 35 E= 10g d) 53	e) 32 a) 2	b) 4	c) 6 3. TRIGONOMETRÍA Problemas I S C 6. Hallar “R”.	Simplificar: 3 2 70g − 18° “S”.	Si: + = 40.	Si:	S = # de grados sexagesimal c)	Equilátero C = # de grados centesimal d)	Rectángulo Simplificar: e)	Rectángulo isósceles C+S 3 C+S M= 4 − +8 9. hallar “x”.	Si: a = .	En un triángulo se cumple que la πx rad suma del primer y segundo ángulo 3π 10°(1-12x) es igual a ( )rad.	Calcular: equivalente de ( π )rad. y que la suma 4 del segundo y tercer ángulo es 150g. “C” y “R” los conocidos. 1°2' x 2. Calcular el 5. en el nuevo 10 πC + πS + 20R sistema.	Se crea un nuevo sistema de C−S C−S medición angular denominado “x” a) 1	b) 2	c) 3 tal que 7 unidades de este nuevo d) 4	e) 5 sistema equivale a 35g. d) 8	e) 10 8.
π π d) e) 5 4 a) π b) π c) π 4 3 2 16.	Hallar: “R”.	Simplificar: d) π e) π C° + E° + P° + R° + E° + V ° + I° 6 5 E= W Cg + Eg + Pg + Rg + Eg + V g + Ig 12. determinar (b-a)° en radianes. Además se cumple 80 90 que: S = x3 + x2 + x + 2 C = x3 + x2 + x + 7 U N F V – C E P R E V I 11 . en: convencionales. R= S y= x − 1 . “C” y “R” los conocidos. π b) π c) π 3  π + π  π + π  π + 1 =64π a)     10  S 180  C 200  R  27SCR 8 6 Siendo “S”. Hallar: “R” Hallar “x”. en: C + S + R 2S + R + 4 + 2 = a) 1	b) -2	c) 0 2S + R + 4 C + S + R d) 4	e) 2 Siendo “S”.	Hallar “R”. 20 π π π a) 81	b) 80	c) 82 a) rad	b) rad	c) rad 20 40 60 d) 83	e) 64 14.	Indicar el valor de “θ” que verifica la igualdad.	Un ángulo mide 1aa° y también cumple: g π 1b0 . hallar “x”. π b) π c) π a) 10 8 6 π π d) e) S = 5x+2 5 4 C = 5x+5 15. 9 a) 9	b) 10	c) π°π ' π ' π '' 10 θ° + (θ +1)’ + θ” = + π π 10 1 a) 1/2	b) 1	c) 2 d) e) d) 1/4	e) 19 9 90 13. TRIGONOMETRÍA 10.	S i e n d o “ S ” .	Si “R” y “S” son los conocidos y se 17. “ C ” y “ R ” .	Siendo “S” y “C” lo convencional. “C” y “R” los 11. l o s π π d) rad	e) rad convencionales.
b 13.3 7π d) 0. 6. b 12. e 18. Hallar el  3  complemento del menor de ellos. d 17.	La diferencia de dos ángulos a) 1	b) 2	c) 3 g  80  d) 4	e) 5 suplementarios es de   .1	b) 0. d π π rad	c) π rad 16.5 rad − 15°59' 60'' 20 19.	Si: 22g <> A°B’ a) 1	b) 2	c) 3 Hallar: B − 10 d) 4	e) 5 K= A 3.	En un triángulo ABC.	Sabiendo que: π π a2 + 4ab + b2 .	Reducir: π π 3π a) rad	b) rad	c) rad ag bm 80 40 80 M = + 5π rad	e) 3π rad a° b' d) 4 8 a) 1/5	b) 2/5	c) 3/5 d) 4/5	e) 6/5 CLAVES I 1. c 3. c a) rad	b) 15 12 6 π π Problemas II d) rad	e) rad 4 3 1. b 5. b ∈ R+ a) π rad	b) rad	c) rad 2S − C = 3 5 9 ab π Señale el menor valor que puede d) π rad	e) rad tomar la medida circular del ángulo.	Halle el valor de la siguiente ángulo. e 9. e 15. π π π 10xg a) rad	b) rad	c) rad 4 6 3 a) 13	b) –20	c) 20 d) π rad	e) 2π rad d) –15	e) –13 2 3 12 U N F V – C E P R E V I . e Exprese “α+β” en radianes. c 2. 20. b 8. 100 + rad + 45° π 18 π 9 W= a) 0. tal que: expresión: C 1 S 1 g 5π 10 = ak + ^ = ak . c 14. b 4.	Hallar “x” de la figura: 6. TRIGONOMETRÍA 18. b 5.	Si: α = 8°47" y β = 21°59'13".4	e) 0. C= rad.	Hallar la medida en radianes de un 2. a. 11. se tiene que: 360g 2πx 9x° A= x°.2	c) 0. a 7. d 10. B=10xg. 4. b 20. si 15 29 “S” y “C” representan los conocidos. Calcular 45 la medida del mayor ángulo del triángulo ABC. b 19.
TRIGONOMETRÍA 7.	Si se cumple que: d) 9	e) 11 x g ym x g y ' y° − = 13. 5π e) 3π d) a) 18°	b) 36°	c) 72° 6 5 d) 108°	e) 120° 19π 15. tal que: 5π 4π π d) rad	e) rad 1x < > rad 4 5 240 ¿A cuántos grados “x” equivalen 180 x2 10 12. le agregamos el triple de 4S − 3C π − R su número de grados sexagesimales y Hallar: “R” el quíntuple de su número de radianes π π 2π a) b) c) resulta: 444+3π. C y R lo convencional para d) 45°	e) 54° un ángulo de modo que: 10SC π + R 10. 11.	Halle la medida sexagesimal del para un ángulo.	Siendo S.	Si al número de grados centesimales = de un ángulo. π(C + S)= (C − S)  + π  π  U N F V – C E P R E V I 13 . ángulo que cumple que: π π π a) rad	b) rad	c) rad 80R 19 38 190 5C + 3S – = 292 . lo convencional para un d) rad	e) rad 380 1900 ángulo. a) 2	b) 3	c) 4 8.	Si se cumple que: (S + C)°〈 〉− rad.	Para un cierto ángulo se cumple que: ym y' xg 1 1 S m2 − = C m2 + ^= Calcular: x/y 38 38 a) 1/6	b) 1/5	c) 1/4 Halle la medida circular de dicho d) 1/3	e) 1/2 ángulo.	Si: S = ^C= minutos sexagesimales? 27 x a) 2x	b) 3x	c) 4x Hallar “x”. Calcule la medida radial de  32R2  dicho ángulo.	Halle la medida radial del ángulo que 45 Siendo S y C lo convencional para un cumple que: ángulo. a) 9°	b) 27°	c) 36° 14.	Se ha creado un nuevo sistema de 3π π 4π medida angular cuya unidad es el a) rad	b) rad	c) rad 4 3 3 grado “x” (1x). C y R. siendo S y C lo convencional 9. siendo: π π π S. Halle la medida 6 3 3 sexagesimal de dicho ángulo. siendo S y C lo convencional d) 5 x e) 6x para un mismo ángulo.
a 18.	Si se cumple que: a) rad	b) rad	c) rad S C 10 15 12 C−S= C+S π π Calcular: 1+ 10 C + S . Calcule el valor de: y+x N= y−x a) 3	b) 7	c) 9 d) 11	e) 15 14 U N F V – C E P R E V I . c 15.. d 4.	Si se cumple que: π π π S = (x+3)(x-2) a) rad	b) rad	c) rad 20 10 5 C = (x+2)(x-1) d) π rad	e) 5π rad Siendo S y C lo convencional para un ángulo. d 14. e 2.	Si se cumple que: 40<S+C<120. a 9. c 8. siendo S y C d) rad	e) rad 5 3 lo conocido para un ángulo. halle la d) 54°	e) 60° medida radial de dicho ángulo. d 13. e 5.	Para un ángulo se cumple que: lo convencional para un ángulo. d 17. c π π π 6. 16. d 5 4 3 16. d a) rad	b) rad	c) rad 11. 1. TRIGONOMETRÍA π π π 19. siendo S y C 20. S–2C+3S-4C+5S-6C+.. a) 9	b) 10	c) 19 Calcule el mayor ángulo entero en d) 20	e) 21 grados sexagesimales. Calcular la medida radial de CLAVES II dicho ángulo.–100C=–3000 a) 27°	b) 36°	c) 45° Siendo S y C lo convencional. 17. a π d) rad	e) π rad 2 18. d 19. a 12. d 20. e 3. c 10.	Si: 17g < > x°y’. d 7.
� : Arco AB AB A	: Origen del Arco AB B	: Extremo del arco AB O	: Centro de la circunferencia R	: Radio de la circunferencia a. U N F V – C E P R E V I 15 . i. que se calcula multiplicando el número de radianes “q” y el radio de la circunferencia “R”.	LONGITUD DE ARCO En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “q” radianes determina una longitud de arco “L”. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 2 Arco y Sector Circular 1. y la amplitud del ángulo central es 0.5 radianes.	Arco Una porción cualquiera de una circunferencia recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia.	Amplitud Dada por la medida del ángulo central que subtiende el arco. L :	Longitud del Arco AB R :	Radio de la Circunferencia q :	Número de radianes del ángulo central (0<q≤2π) L=R·q Ejemplos Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4m.
Sector Circular Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. R LC = 2pR 0 2. en radianes. es decir: A 2 R R ⋅θ S S= θrad 2 O B R Donde: S : Area del Sector circular AOB 16 U N F V – C E P R E V I .	Área del sector circular El área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su radio elevado al cuadrado y la medida de su ángulo central.5 L=2 El perímetro 2p del sector AOB será: 2p = R + R + L 2p = 4m + 4m + 2m 2p = 10m Nota La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2π por el radio “R” de la circunferencia (2πR). A O AOB: Sector Circular AOB B b.TRIGONOMETRÍA Resolución L=R•θ L = 4 • 0.
III.5 rad O O 4m O 2m Resolución Caso I	Caso II	Caso III L•R R 2θ L2 SI = SII = SIII = 2 2 2θ (3m) • (2m) ( 4m)2 • 1 ( 2 m )2 SI = SII = SIII = 2 2 2 • 0. si el arco ABC tiene por longitud 4p m. TRIGONOMETRÍA Otras Fórmulas 2 L•R L S= S= 2 2θ Ejemplos (1) Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso: I. calcular el área de la región sombreada.5 SI = 3m2	SII = 8m2	SIII = 4m2 Ejemplos (2) De la figura mostrada. 8m 12m cuerda D C A B U N F V – C E P R E V I 17 .	II. 4m 2m 2m 3m 1 rad 0.
TRIGONOMETRÍA Resolución Denotemos por: L1	: Longitud del arco . produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”. 1	Fig. A B 4 4 4 4 18 U N F V – C E P R E V I . 2 Ejemplos Hallar el cociente de las áreas sombreadas “A” y “B” respectivamente. de radio R2 = 4 m 8m 12m De la figura π L2	= R2 • θ2 = 4m • C 2 4m L2	= 2π m A L2 Según el dato: L +L = 4πm L1 B L1 + L2 = 4πm L1 + 2π	= 4πm L1	= 2πm El área del sector AOB será L1 • R1 2πm • 12m =S1 = = 12πm2 2 2 Observaciones 1)	El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de área “S” (figura 1). el radio R1 = 12 m L2	: Longitud del arco . R R R 7S 5S R R 3S S S R R R R R Fig. que el estudiante podría comprobar (figura 2).
Área de un trapecio circular •	Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos. TRIGONOMETRÍA Resolución Recordando la observación: A = 7S B = 3S ∴	A = 7 7S B 3 5S 3S S 4 4 4 4 2. •	El área de un trapecio circular es igual a la semisuma de las longitudes de arcos que conforman al trapecio circular.5 2 Ejemplos (2) Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m². es decir: h B+b A T =   • h  2  Donde: θrad b AT B AT = Área del trapecio circular B−b También: θ= h h Ejemplos (1) Calcular el valor del área del trapecio circular y encontrar la medida del ángulo central en la figura mostrada: Resolución 4+3 4−3 AT =   • 2 θ =  2  2 1 ∴	AT = 7m ∴	2 θ = = 0. multiplicada por su espaciamiento. 2m θrad 3m AT 4m 2m U N F V – C E P R E V I 19 .
Calcular: θ2+ θ d) 66	e) 77 4.	Si a un sector circular le triplicamos su radio y a su ángulo central le añadimos 60°.	Del gráfico mostrado. Calcule el ángulo central del nuevo sector. 1. ¿Cuánto debe aumentar a+6 el radio para que la longitud de dicho arco no varié? (S y C son lo O a rad 6a+25 convencional) a) 2	b) 4	c) 6 a+6 d) 8	e) 10 B a) 22	b) 36	c) 55 7. se obtendrá un O 2θ° L nuevo sector cuya longitud de arco es el quíntuple de la longitud del arco inicial. disminuye dicho ángulo hasta que A mida S rad.	De la figura mostrada. calcule “L”.	Sí a un sector circular le duplicamos el ángulo central y a su radio le θg aumentamos 3m. TRIGONOMETRÍA 2m Resolución Por dato:	AT = 21 ( x + 9) Por fórmula:	AT = •2 =x+9 0 9m x 2 Igualamos:	x + 9 = 21 x = 12 m 2m Problemas I inicial. si se perímetro del sector AOB.	El ángulo central que subtiende un 3. A x+1 2π 3π 4π a) rad	b) rad	c) rad 3 4 3 O x rad x+9 3π 5π d) rad	e) rad 2 6 x+1 5. calcule “x”. se obtendrá un nuevo sector de longitud de arco igual al a) 1	b) 2	c) 3 quíntuple de la longitud del arco d) 1/2	e) 1/3 20 U N F V – C E P R E V I . Determine el radio del sector C inicial. calcule el arco de radio 36 mide C rad. B A a) 3	b) 7	c) 9 9π m d) 12	e) 15 B 2.	En la figura mostrada. a) 10π m	b) 15π m	c) 20π m a) 1m	b) 2m	c) 3m d) 9π m	e) 18π m d) 4m	e) 5m 6.
a) 2m	b) 4m	c) 6m O d) 8m	e) 10m D 6 9. hay que aumentar al ángulo central A de dicho sector para que el área no varíe. Calcular la longitud del radio de la circunferencia. ¿Cómo varía el 2 área del sector? d) 30π m²	e) 15π m² a) Aumenta en un 10% 12. ¿Cuánto longitud del arco AC. TRIGONOMETRÍA 8. calcule el valor circunferencia son complementarios de “θ" y las longitudes de los arcos que 6 B A subtienden suman 4π m. 15.	Del gráfico mostrado. disminuye en un 20% y su radio 45π a) 20π m²	b) m²	c) 45π m² aumenta en un 50%.	Si la longitud del arco de un sector b) Disminuye 10% circular es 15 m y la del radio es 6 m. L1 B A O 45 A O B D π π π π π C a) b) c) d) e) a) 4π u²	b) 8π u²	c) 16π u² 2 4 8 7 9 11. calcule la y un ángulo central de 36°. si su radio disminuye un cuarto 2x-1 del anterior? S a) 28°	b) 26°	c) 24° d) 22°	e) 20° O 2S 3x+3 C a) 9 b) 12	c) 15 d) 18	e) 27 U N F V – C E P R E V I 21 .	Del gráfico mostrado.	Se tiene un sector circular de 6 cm C de radio y 12 cm de longitud de arco.	Hallar el área de un sector circular d) 12π u²	e) 20π u² cuyo ángulo central mide 1° y su radio 16. calcule el área calcular “θ" de la región sombreada.	Dos ángulos en el centro de una 14.	Se tiene un sector circular de radio R 13.	De la figura se cumple: L1 = 8L 2. c) Aumenta 20% Encontrar el área del sector d) Disminuye 20% a) 40m2	b) 45m2	c) 90 m2 e) Sigue igual d) 50 m2	e) 55 m2 17. ¿Cuál será la a) b) c) 2 3 4 nueva longitud de arco? a) 8 cm	b) 10 cm	c) 12 cm	π π d) e) d) 14 cm	e) 16 cm 6 9 10. Si el radio aumenta en 2 cm sin que π π π el ángulo central varíe.	Del gráfico mostrado.	El arco de un sector circular mide 90 m.
su arco es 1 m.40 rad d) 8	e) 10 e) 1. b 13. luego la medida de su A ángulo central es: a) 1 rad	b) 0. TRIGONOMETRÍA 18.99	b) 1	c) 10 d) 99	e) 100 2. (A: d) 135	e) 1350 Área) 3.35	c) 13.25π rad	d) 0. c 20. a 19.	Se tiene un sector circular de 6cm de S2 radio y 12cm de longitud de arco.	Calcular: S1 B radio aumenta 2cm sin que el ángulo A varíe. su longitud 1 d) 1 e) de arco 9(x–1)cm. e 14.	En un sector circular. sabiendo que en ella un ángulo central que mide 20g Problemas II determina una longitud de arco igual 1. e d) 2	e) 1 11. Si el 20. en m. c 6. el quíntuplo de la longitud de su radio es igual 24 x al cuadruplo de su longitud del arco A A respectiva.	En un sector circular se conoce que a) 1	b) 2	c) 3 su radio mide (x+1)cm.40π rad a) 2	b) 4	c) 6 c) 1. e 5. a 2. Si su ángulo central a) 100π u	b) 100 u	c) 10π u se aumenta en 10% y su radio se d) 20 u	e) 20π u disminuye en 10%.	A partir de la figura calcular “x”.25 rad 4. d 9.	Determinar la longitud de una 16. y la medida de su 2 3 ángulo central correspondiente (x²–1) rad. 18 m 22 a) 36π m²	b) 8π m²	c) 16π m² (Considerar: π = ) 7 d) 12π m²	e) 20π m² a) 0. en cms. e 10. a 18. es: a) 0.	Un péndulo oscila describiendo un 60° ángulo cuya medida es 28° y un arco de longitud 66 cm.	Calcular el área del círculo: nuevo sector circular cuya longitud del arco.	En un sector circular la longitud de a π u. c 6. b 3. se determina un 22 U N F V – C E P R E V I . e 4.5 19. a 8. c 12. c circunferencia. c 17. ¿ Cuál será la nueva longitud de arco ? O S1 S2 a) 12 cm	b) 14 cm	c) 16 cm d) 18 cm	e) 20 cm D C 5. b 7. CLAVES I a) 9	b) 4	c) 3 1.135	b) 1. Hallar el valor de "x". b 15. Encontrar la longitud del péndulo.
(Usar π = 22/7 ) a) 11 m	b) 21 m	c) 22 m R R d) 42 m	e) 44 m 12. d) 4π m²	e) 2π²m² U N F V – C E P R E V I 23 .	En el gráfico mostrado a continuación.	Hallar a partir del gráfico: W = [x + 0. el perímetro del sector circular AOB es igual al del trapecio a) π m²	b) 2π m²	c) 2 π m² circular ABCD. 11. 3 desde la posición mostrada hasta d) e) 5 llegar a la pared AB.5]² πR a) π R	b) 2π R	c) 2 O x rad 2πR d) 3π R	e) 3 9. TRIGONOMETRÍA 7.	Hallar el diámetro de la circunferencia R en la cual un ángulo inscrito de 30° subtiende un arco con 11 m de longitud. 18 m A B P (2 2)m a) 3π m	b) 5π m	c) 8π m d) 11π m	e) 13π m O (2 2)m 10. luego la longitud del radio de la B 1 circunferencia es: C a) 2 m	b) 4 m	c) 6 m 2 3 1 a) rad	b) rad	c) rad d) 8 m	e) 16 m 3 2 2 8. Encontrar “α”.	En la figura.	Las medidas de dos ángulos en el D centro de una circunferencia son A 2 complementarias y las longitudes O de los arcos que subtienden suman 4π m.	Calcular el perímetro de la región d) 1 rad	e) 2 rad sombreada. 1 1 calcula longitud total de la trayectoria a) 1	b) c) 4 2 descrita por una bola ubicada en “P”.	Calcular el área del círculo 60° sombreado. (BC=8 m) 4 4 C D 13.
a 9.25 rad	b) 0. a a) 27 u	b) 24 u	c) 18 u 11. R 2R 3R D a) b) c) A 5 5 5 4R O 5 2 x d) e) R 5 16. si el área del sector AOB para que el área no varíe?. e 15. 19.14 u²	c) 4. e 7.	El ángulo central de un sector circular d) ¼	e) 1 mide 36° y su radio es "R".	El valor del área de un sector circular. b 12. siendo: AH = 3u a) 50	b) 25	c) 20 A d) 10	e) 5 � = 2m. si: AD = BC = l CD además el área del trapecio circular 40° ABCD es 5 m². b 24 U N F V – C E P R E V I . d 18. d 20. b 3. a 19.57 u²	b) 3.71 u² d) 6. e 4. d 9 u.	Hallar de la figura: “R” es 4πu². d 5. 6. c 10. b 14. a d) 15 u	e) 9 u 16.42 u² O 17.5 rad	c) 1 rad radianes de la medida de su ángulo d) 2 rad	e) 4 rad central. 20. TRIGONOMETRÍA 14. e 13.	Hallar el área del trapecio circular B C sombreado.	Hallar “θ". ¿Cuál será el área de S1 − S2 − S3 M= otro sector circular cuyo radio es "2R" S 2 + S3 y cuyo ángulo central es la mitad del anterior? π O S3 S2 S1 a) u²	b) π u²	c) 2π u² 2 d) 4π u²	e) 8π u² a) 2	b) ½	c) 4 15.	El área de un sector circular de radio 18. es igual al área del trapecio circular ABCD.	En el esquema adjunto determine el ¿Cuánto hay que aumentar el radio valor de “x”. la longitud de su radio y su CLAVES II longitud del arco respectiva. e igual a 1. d 8. b 17. si se disminuye en 11° el ángulo central. d 2.28 u²	e) 9. Hallar su perímetro. O A H D a) 1. C B es igual al producto del número de a) 0.
(1) Hipotenusa c Csc α	=	Cateto Opuesto =	a U N F V – C E P R E V I 25 . Razón Trigonométrica B c a us a oten p Hi Cateto A C Cateto b Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” a2 + b2 = c2 Teorema “Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios” ˆ + Bˆ = A 90º Definición de las razones trigonométricas para un ángulo agudo Dado el triángulo ABC. según la figura (1). se establecen las siguientes definiciones: Cateto Opuesto a Sen α	=	=	Hipotenusa c B Cateto Adyacente b Cos α	=	=	c Hipotenusa c Cateto Opuesto a a Tan α	=	=	Cateto Adyacente b Cateto Adyacente b α Cot α	=	=	A C Cateto Opuesto a Hipotenusa c b Sec α	=	=	Cateto Adyacente b Fig. recto en “C”. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 3 Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos I Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo.
r Cateto mayor	= x x+r x Hipotenusa	= x + r Teorema de Pitágoras (x . tenemos: 4r 4 Nos piden calcular: Tanα = = 5r 3r 3 4r α 3r 26 U N F V – C E P R E V I . se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. reemplazando en la figura (A). de razón “r” asumamos entonces: Cateto menor	= x .r)2 + x2	= (x + r)2 x2 + 2xr + r2 + x2	= x2 +2xr + r2 x-r x2 .2xr = 2xr Fig. Resolución Nótese que dado el enunciado. los lados del triángulo están en progresión aritmetica. TRIGONOMETRÍA Ejemplo En un triángulo rectángulo ABC (Ĉ = 90°). Resolución Nótese que en el enunciado del problema tenemos: B a+b=k·c β c a Nos piden calcular: a b a+b α Senα + Senβ = + = A C c c c b k•c Luego: Senα + Senβ = =K c Ejemplo Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión arítmetica. hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. luego. se opone mayor ángulo agudo”. (A) x2	= 4xr	→	x = 4r Importante “A mayor cateto.
4 = = 10 5 Ubicamos “α” en un triángulo rectángulo. cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5. La parejas de las R. recíprocas son entonces: Seno y Cosecante:	Senα • Cscα = 1  Coseno y Secante:	Cosα • Secα = 1  Nótese: “ángulos Tangente y Cotangente:	Tanα • Cotα = 1  iguales” U N F V – C E P R E V I 27 . La hipotenusa se calcula por pitágoras Triángulo Rectángulo Particular	Triángulo Rectángulo General 13 13K 12 12K α α 5 5K 2º	El perímetro del triángulo rectángulo es: Según la figura:	5K + 12K + 13K	= 30 K Según dato del enunciado:	= 330 m Luego:	30K	= 330 K	= 11 3º	La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir: Cateto	= 5K = 5 · 11 m = 55 m Propiedades de las Razones Trigonométricas Razones Trigonométricas Recíprocas “Al comparar las seis razones trigonométricas de un mismo ángulo agudo. notamos que tres pares de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. TRIGONOMETRÍA Ejemplo Calcular el cateto menor de un triángulo rectángulo de 330 m de perímetro.4. si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2. Resolución 1º	Sea “α” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición: 24 12 Tan α = 2.T.
Cos40º • Sec40º = 1 Resolución Nótese que en las parejas de razones trigonométricas recíprocas el producto es “1”.TRIGONOMETRÍA Ejemplo Indicar la verdad de las siguientes proposiciones: I. (I) 7 28 U N F V – C E P R E V I . Tan(3x + 10º + α)•Cot(x + 70º + α ) = 1 ANGULOS IGUALES 3x + 10º + α = x + 70º + α 2x = 60º x = 30º Ejemplo 3 Se sabe:	Senθ • Cosθ • Tanθ • Cotθ • Secθ = 7 Calcular: E = Cosθ • Tanθ • Cotθ • Secθ • Cscθ Resolución Recordar:	Cosθ • Secθ	= 1 Tanθ • Cotθ	= 1 Secθ • Cscθ = 1 Luego. sus ángulos SI son iguales ∴	I) F	II) F	III) V Ejemplo Resolver “x”. Luego:	Sen20º • Csc10º ≠ 1. siempre que sean ángulos iguales. sus ángulos NO son iguales Cos40º • Sec40º = 1.	Sen20º • Csc10º = 1 II.. sus ángulos NO son iguales Tan30º • Cot50º ≠ 1. razones trigonométricas recíprocas. luego los ángulos son iguales.. Ángulo agudo que verifique: Tan(3x + 10º + α) • Cot(x + 70º + α) = 1 Resolución Nótese que en la ecuación intervienen. reemplazando en la condición del problema: 3 Senθ • Cosθ • Tanθ • Cotθ • Secθ	=   7 1 3 Senθ	= .	Tan35º • Cot50º = 1 III.
Sen80º = Cos20º II. pero de (I) tenemos: Senθ = Senθ 7 7 ∴	E = 3 Razones trigonométricas de ángulos complementarios “Al comparar las seis razones trigonométricas de ángulos agudos.	Sec(80º – x) = Csc (10º + x) U N F V – C E P R E V I 29 .” RAZÓN CO-RAZÓN Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Dado: α + β = 90º. entonces se verifica: Senα = Cosβ Tanα = Cotβ Secα = Cscβ Así por ejemplo: A)	Sen20º = Cos70º B)	Tan50º = Cot40º C)	Sec80º = Csc10º Ejemplo Indicar el valor de verdad según las proposiciones: I.	Tan45º = Cot45º III. siempre que su ángulos sean complementarios”. NOTA: “Una razón trigonométrica de un ángulo es igual a la co-razón del ángulo complementario. notamos que tres pares de ellas producen el mismo número. TRIGONOMETRÍA Nos piden calcular: E =  Cosθ • Tanθ • Cotθ • Secθ  • Cscθ 1 1 3 E = Cscθ = .
además: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4. TRIGONOMETRÍA Resolución Nótese que dada una función y cofunción serán iguales al evaluar que sus ángulos sean complementarios.T.	Sec(80º – x) = Csc (10º + x) Suman 90° Ejemplo Resolver el menor valor positivo de “x” que verifique: Sen5x = Cosx Resolución Dada la ecuación sen5x = Cosx. Sin embargo: Sen80º = Cos10º Porque suman 100°	Suman 90° II. recíprocas) De la segunda igualdad: y = 15º Reemplazando en la primera igualdad: 3x + 15º = 90 3x = 75º x = 25º Ejemplo Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios.	Tan45º = Cot45º Suman 90° III. ángulos complementarios) Tan2y • Cot30º = 1 ⇒ 2y = 30º	(R.T.1 Hallar: Tan x 30 U N F V – C E P R E V I . I.	Sen80º ≠ Cos20º. luego los ángulos deben sumar 90º entonces: 5x + x	= 90º 6x	= 90º x	= 15º Ejemplo Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x – Cosy	= 0 Tan2y • Cot30º – 1	= 0 Resolución Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Sen3x = Cosy ⇒ 3x + y = 90º	(R.
graficando la condición (I) en un triángulo rectángulo. (I) 5 Nota: Conocida una razón trigonométrica.. tenemos: 5 Cateto Opuesto 4 4 ⇒	Tanx = = Cateto Adyacente 3 x 3 Por Pitágoras Razones trigonométricas en ángulos notables I.. luego hallaremos las restantes.8 4 Senx	= .	Triángulos rectángulos notables exactos * 30º y 60º 60º 60º 2 2k 1 1k ⇒ 30º 30º √3 k√3 * 45º y 45º 45º 45º √2 ⇒ k√2 1 k 45º 45º 1 k U N F V – C E P R E V I 31 . 1) + 3 Senx	= 0.1 –1. TRIGONOMETRÍA Resolución Dado: x + y = 90º → Senx	= Cosy Reemplazando:	2t + 3	= 2t + 4.1	= t Conocido “t”. calcularemos: Senx	= 2(–1.
Triángulos rectángulos notables aproximados * 37º y 53º 53º 53º 5k 5 3 ⇒ 3k 37º 37º 4 4k * 16º y 74º 74º 74º 25 ⇒ 25k 7 7k 16º 16º 24 24k Tabla de las razones trigonométricas de ángulos notables )< 30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º R. TRIGONOMETRÍA II. Sen )< 1/ 2 3 /2 2 /2 3/ 5 4/ 5 7/ 25 24 / 25 Cos )< 3 /2 1/ 2 2 /2 4/ 5 3/ 5 24 / 25 7/ 25 Tan )< 3 /3 3 1 3/ 4 4/ 3 7/ 24 24 / 7 Cot )< 3 3 /3 1 4/ 3 3/ 4 24 / 7 7/ 24 Sec )< 2 3 /3 2 2 5/ 4 5/ 3 25 / 24 25 / 7 Csc )< 2 2 3 /3 2 5/ 3 5/ 4 25 / 7 25/ 24 Ejemplo Calcular: 4 • Sen30º + 3 • Tan60º F= 10 • Cos37º + 2 • Sec45º Resolución Según la tabla mostrada notamos: 1 4⋅ + 3⋅ 3 2+3 5 F= 2 F= = 4 8 + 2 10 10 ⋅ + 2 ⋅ 2 5 1 ∴	F= 2 32 U N F V – C E P R E V I .T.
efectuaremos trazos de modo que “α” y 53º estén en triángulo rectángulo. De la figura: 5k 4k PMD: notable de 37º y 53º. M P luego suponemos DP = 5k. TRIGONOMETRÍA Ejemplo 9θ Sen3θ • Cos6θ • Csc    2  Sea:	F(θ) = 9θ Tan3θ • Sec6θ • Cot    2  Evaluar para: θ = 10º Resolución Reemplazando θ = 10º en “F(θ) tenemos: Sen30º • Cos60º • Csc45º F(10º) = Tan30º • Sec60º • Cot45º Reemplazando sus valores notables tenemos: 1 1 • • 2 F(10º)	= 2 2 3 • 2•1 3 2 4 3 2 F(10º)	= = 2 3 8 3 3 6 Racionalizando: F(10º)	= 8 Ejemplo A B Si ABCD es un cuadrado calcular “Tanα” α P 53º D C Resolución H A B Como “α” no está en un triángulo rectángulo: α Luego. 37º 3k 5k 53º Como: DP = BC = 5k D C 5k U N F V – C E P R E V I 33 .
P luego aplicando el teorema de Pitágoras 4 x x=2 3 O 2 H 2 B En la figura inicial trazamos QE PH PE = 2 3 − 3 A QE = 2 P PE 2 3 − 3 1 ∴	Cot θ = = θ QE 2 Q E 2√3 3 O 2 H 2 B 34 U N F V – C E P R E V I . hallar “Cotθ” 1 θ Q 3 O 2 H 2 B Resolución A Construimos un triángulo rectángulo OPH. TRIGONOMETRÍA Luego el lado del cuadrado mide 5K -	Sumando:	PH + MD = AD PH + 3K = 5K ∴ PH = 2K -	Sumando:	PM + HB = AB 4K + HB = 5K ∴ HB = K PH 2K -	Finalmente:	Tanα = = = 2 HB K Ejemplo A En la figura mostrada “O” es el centro del P cuadrante AOB.
b 1 1 1 a) b) c) 2 3 4 a 1 a) b) ab c) 1 1 b ab d) e) 5 6 b 2a d) e) 3.	Si se cumple: Sen28°·Sec θ = 7Cos62°–4Sen28°. calcular: uno de los ángulos agudos es 0.	Si: 2Senθ+Cosec θ = 3 .8. calcular el coseno del mayor ángulo agudo.	Del gráfico.	Calcular “x” ( agudo). A = Cosec θ – Ctg θ a) 120 m²	b) 130 m²	c) 140 m² x+2 d) 150 m²	e) 160 m² 8 7.	De la figura.	Calcular: 2 Tg10° ⋅ Tg80° + Tg 60° A= Sen50° ⋅ Sec40° − Sen30° a) 1	b) 2	c) 4 a) 1	b) 2	c) 3 d) 8	e) 16 d) 4	e) 6 5. calcular: 10. si se cumple: a b 9. TRIGONOMETRÍA Problemas I 6.	De la figura calcular: Sen  7x + 1°  Tg 50°·Cosec(x+13°)·Ctg 40°=1 K = Ctg2 θ + 4 Tg α  2  · a) 1°	b) 3°	c) 5° d) 7°	e) 9° 4. calcular su área. si el coseno de 1.	Calcular “x” ( agudo) K = Cosec2θ + 3 Sen(3x+y+10°)·Sec(2x-y+30°)=2Cos 60° a) 10°	b) 20°	c) 30° d) 15°	e) 25° 11.	En un triangulo rectángulo de perímetro 60 m. 0° < θ < 90° 45° Calcular: K = 6Cos 2θ + Ctg2θ a) 15	b) 14	c) 13 a) 2	b) 4	c) 6 d) 12	e) 11 d) 8	e) 10 U N F V – C E P R E V I 35 .	De la figura “'Sec θ" es: 5 6 2.	En triangulo rectángulo la tangente de uno de los ángulos agudos a es el triple de la tangente de su complemento. x 0°<θ< 90° Calcula: 1 1 1 K = Sec 45° (Tg θ + 3 Sen θ) a) b) c) a) 2	b) 4	c) 6 2 3 4 d) 8	e) 10 1 1 d) e) 8.
a 3.	Si:	= 0.	Dado un triangulo rectángulo ABC. d a) 1	b) 2	c) 5 16. c θ 45° 2S 6. d 5.	De la figura. 0°<y<90° Calcular: a) 1	b) 2	c) 1/2 A=Sec45°·Ctgy– Co sec 2 x + Sec60° e) 0	e) –1 a) 3 b) 5 c) 6 19. la expresión: d) 7 e) 10 K = a(1+Cos B) + b(1+Cos A) representa: 14. c 12. c d) 1/5	e) 4 16.2 d) 9	e) 11 7 (“x” e “y” son ángulos agudos) 36 U N F V – C E P R E V I . b Calcular: Tg θ a) 2 2 +1	b) 2( 2 +1)	c) 2 2 +3 d) 2( 2 +2)	e) 2 2 +5 S CLAVES I 1. c 2.	En la figura. b 13. calcular: 17. d 14.	Si: 37° Tg x – Sen 30° = 0 . a 9. e 10.333… ^ 2 K = 5 · Cosec A + Tg C a) 3	b) 5	c) 7 Cos y = 0. TRIGONOMETRÍA 12.	En la figura:	Ctg α = 2 ^ Ctg θ = 3 a) Área b) Doble del área c) Perímetro d) Doble del perímetro e) Semiperimetro x 10 20. 0° < x < 90° ^ Cosec y=Tg 60°·Cosec x. Si: θ Sec A + Ctg C = 5 K = Ctg(θ-15°) + Tg Calcular: 3 =K 15(Co sec C − TgA) + 1 2ab a a) l	b) 2	c) ±1 d) ±2	e) 4 b 18. b 18. c 4.	Dado un triángulo ABC. d 7. b 15. d 19. calcular: a) 1	b) 2	c) 3 K = 8Tg θ – 3 d) 4	e) 5 θ 13. a) 1	b) 2	c) 3 6ab a d) 4	e) 5 15. d 8.	En un triangulo ABC (recto en B) se Problemas II cumple: 4Tg A · Ctg C =Sen A · Sec C Sen x Calcular: 1.	En la figura: S = Área.	En la figura. c 20. a 11. calcular: Tg θ Calcular “x”. c 17.
10..	Encontrar “x” a partir de la relación: rectángulo.	Hallar “Sen ” del gráfico siguiente: H= 2 CscY ⋅ CscX − CotY ⋅ CotX 7 2 1 16 a) b) c) 9 2 7 7 α d) 7	e) 7 2. siendo su Sec(4x+y)–Csc(y–x) = 0 . CD 3 2 2 W = 2Tan φ – Tan 2 φ . y = 35° 15 17 17 b) x = 10° .	Si: 2A+2B = rad y + = 25g. a) 12 cm	b) 13 cm	c) 15 cm a) 16°	b) 8°	c) 18° d) 24 cm	e) 30cm d) 9°	e) 20° 4. calcular: π C D 9. y = 25° 8 8 e) x = 25° .	Reducir: A H C Sen5 15° ⋅ Csc 3 15° + Cos6 15° ⋅ Sec 4 15° H= 3 3 Tan2 15° ⋅ Cot 2 15° a) 0	b) 2 c) – 2 a) 1	b) 2 d) 2 2 e) –2 2 c) 2sen215°	d) 2Cos215° e) 1/2 U N F V – C E P R E V I 37 . Hallar “Tg C”.	En un triángulo rectángulo ABC (recto en A). calcular el coseno Tan(5x − y) = 1	.(ii) de uno de sus ángulos iguales.5 cm².	De la figura mostrada.. si: = BD Calcular: B 3 M= Sen 3A – Cot 2D + Tan 2C – Cos 3B D a) 0	b) 1	c) 2 d) 4	e) F.	Hallar “x” e “y” del sistema: isósceles mide 15 cm. cuya área es 7. TRIGONOMETRÍA Calcular: α TanY ⋅ CotX + CosX ⋅ SecY 6. si se verifica la relación: 24 7 25 CscB − SenB a) b) c) =8 25 24 7 SecB − CosB 25 7 a) 1	b) 2	c) 8 d) e) d) 1/2	e) 1/8 24 25 3.	Calcular el perímetro de un triángulo 7.. Cot(2y + x) a) x = 5° . y = 30° a) b) c) 17 15 8 c) x = 30° .. si el Sen(3x − 20°) ⋅ Csc40° Cos(2x + 30°) ⋅ Sec50° = valor de la tangente trigonométrica de Tan(10° + x) Cot(80° − x) uno de sus ángulo agudos es 5/12.	La altura desigual de un triángulo 8. y = 10° d) x = 15° .(i) perímetro 50 cm. y = 15° d) e) 17 15 5.D.
En el triángulo ABC mostrado. si: π π 5AB = 6BC.	Calcular el valor de: d) – e) 1 6 2 4 −2 3π Sen 30° + 0. si: 60° α  5π  O A=  rad . a) 1	b) 1 c) 1 12 14 d) 12	e) 14 15. a) b) 2 c) halle “x”. calcular el valor de: d) rad	e) rad 9 2 Q = Tanθ − Cotθ B 13.	Siendo “φ" y "β" las medidas de dos ángulos agudos y complementarios 127° indicar la alternativa incorrecta: Senφ a) =1 A C Cosβ b) Cos β – Sen φ = 0 c) Sen φ · Sec β = 1 6 6 5 a) b) – c) d) Tg β· Ctg φ = 1 5	5 6 e) Cos φ · Csc β – 1 = 0 5 14. 1 3 3 a) b) c) a) 2 2 b) 3 2 c) 6 + 2 7 7 8 d) 2 2 e) 2 3 7 3 8 3 d) e) 3 3 38 U N F V – C E P R E V I .	Si: 16. B = 50g y AB = 18  12  Calcular el lado “b”.	En un triángulo ABC.	Del gráfico.	Encontrar “Tan α” de la semi- Q= 4π 2π circunferencia de centro “O” mostrada Cot   + Sec   + 3Tan 37° ⋅ Tan 53° 6 4 en la figura.5Csc 60° + 6 Sec   3 18. TRIGONOMETRÍA 11. [Sen2φ]Secφ=[Csc3φ]–Cos φ . 2 3 6 π π π d) 3 e) a) rad	b) rad	c) rad 3 20 18 10 17. 0°< φ <90°. calcular “Cos φ”. Calcular el valor de: 45° P = [Tan3φ]Cot²φ φ 1 a) 4 8 b) c) 4 1 4 d) e) 8 8 2 3 12.	Si: Ctg[2x+10g] · Ctg[11° + 5x] = 1 .
a 2. c 17. a 10. d 18. b 13. d 12. b 15. d 5.	En la figura. calcular: “Cot φ" 20. a 8. b 9. c 4. e 16. b 19. d U N F V – C E P R E V I 39 . d 14. TRIGONOMETRÍA 19. c 6. a 11. hallar: M = 32Tan β + 3Cot β 37° 37° φ 45° 3 4 7 60° β a) b) c) 7	7 3 a) 4 3 b) 12	c) 8 3 7 d) 24	e) 35 d) e) 7 4 CLAVES II 1.	De la figura mostrada. e 7. b 3. c 20.
Ejemplo Resolver:	Resolución 30º 30º 4 4 ⇒ 2 3 2 Cálculo de lados Para calcular lados. Opuesto a “ θ” HSenθ ⇒ θ θ Cat.TRIGONOMETRÍA UNIDAD 4 Razones Trigonométricas del Ángulos Agudos II RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ¿Qué es resolver un triángulo rectángulo? Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus lados si se conocen un lado y un ángulo agudo. vamos a aplicar tres propiedades que a continuación deducimos: Conocida la hipotenusa (H) y un Ángulo agudo (q): Cateto Opuesto Senθ = → Cateto Opuesto = Hipotenusa • Senθ Hipotenusa Cateto Adyacente Cosθ = → Cateto Adyacente = Hipotenusa • Cosθ Hipotenusa H H Cat. Adyacente a “ θ” Hcosθ 40 U N F V – C E P R E V I .
TRIGONOMETRÍA Luego afirmamos de la figura: 5 x { Cateto opuesto = x = 5Sen 13° Cateto adyacente = y = 5Cos 13° 13º y Conociendo un cateto adyacente (a) y un Ángulo agudo (θ): Cateto Opuesto Tanθ = → Cateto Opuesto = Cateto Adyacente • Tanθ Cateto Adyacente Hipotenusa → Hipotenusa = Cateto Adyacente • Secθ Secθ = Cateto Adyacente Así por ejemplo en la figura mostrada afirmamos: Cateto Opuesto= x= 13Tan37º= 13 • 3 39  = 4 4  Hipotenusa 5 65 = y= 13Sec37º= 13 • =  4 4 Conociendo un cateto opuesto (a) y un Ángulo agudo (θ) Cateto Adyacente Cotθ = → Cateto Adyacente = Cateto Opuesto • Cotθ Cateto Opuesto Hipotenusa Cscθ = → Hipotenusa = Cateto Opuesto • Cscθ Cateto Opuesto U N F V – C E P R E V I 41 .
TRIGONOMETRÍA En base a lo estudiado afirmamos: Cateto Adyacente= x= 3 5 • Cot30º= 3 5 • 3= 3 15  Hipotenusa = y= 3 5 • Csc30º= 3 5 • 2= 6 5 Área de la región triangular Conocida la base y altura El área de una región triángular se calcula multiplicando la base (un lado) por su altura (relativa al lado) dividido entre dos: b•h ÁREA∆ = 2 Conocidos dos lados y ángulos entre ellos El área de de una región triángular se calcula multiplicando dos lados y el seno del ángulo entre ellos dividido entre dos. θ a•b AREA∆= Senθ a b 2 42 U N F V – C E P R E V I .
q.q. U N F V – C E P R E V I 43 .T. Base • Altura 4 • 4 4 a b 4 *	Área DAED = = 2 2 a•b 5 • 17 Senθ **	Área DAED = = Senθ 2 2 A D Igualando (*) y (**) tenemos: 4 Area ∆AED = Área ∆AED 5 17 4•4 16 16 17 Sen θ = → Sen θ = = 2 2 5 17 85 Nota: Recuerde que el cálculo del área será una herramienta importante. Seno. B 3 E 1 C θ A D Resolución 3 E 1 Por el Teorema de Pitágoras:	a = 5 b = 17 θ Cálculo del área de la región triángular AED. para el cálculo de la R.d b 2 Se nθ Ejemplo (1) En la figura mostrada ABCD es un cuadrado calcular “Senθ”. TRIGONOMETRÍA Demostración Usando un trazo auxiliar notamos en la figura que la altura mide “bSenθ” Sabemos: θ BASE • ALTURA AREA∆ = 2 a b a • bSenθ ∴	AREA∆ = L.
“α” y “θ” E D θ a B α C A Resolución Por resolución del triángulo rectángulo. CBE: conocida la hipotenusa CE y “α” BAC:Conocida la hipotenusa CB y “θ” E D aS en α θ a B B osα aC aCos α • Sen θ osα α aC θ θθ C A C aCos α • Cos θ A ∴	AB = aCosα • Senθ Ejemplo (3) Calcular “x” en la siguiente figura: D H θ α A B C x 44 U N F V – C E P R E V I . TRIGONOMETRÍA Ejemplo (2) Halle AB en función de “a”.
“α” y “β” D α x E a β A D C Resolución Aplicando resolución de triángulos rectángulos a) BAC: Conocidos “x” y “α”	BAD: Conocidos “x” y “β” b) CED: Conocidos “a” y “α” B B α α xCscβ x x xSecα E a aTanβ β β D D A C A xTanα aSecβ xCotβ U N F V – C E P R E V I 45 . TRIGONOMETRÍA Resolución BAD: Conocido “H” y “θ”	CAD: Conocido “H” y “α” D D Hcscα H HC H scθ α θ α θ A C C A B B Hcotθ x x AC = BC Hcotα Luego:	HCot α + x = HCot α ∴	x = H(Cot α – Cot θ) Ejemplo (4) Hallar “x” en función de “a”.
“α” es un ángulo vertical en la siguiente figura: Los ángulos verticales se clasifican en: Plano Vertical α Plano Horizontal 46 U N F V – C E P R E V I . TRIGONOMETRÍA AD	= AD xTanα + aSecβ	= xCotβ aSecβ = xCotβ – xTanα aSecβ ∴	x	= Cotβ − Tanα Ejemplo (5) Hallar “x” en función “d” y “θ” x d θ θ Resolución Senθ XCosθ = dSenθ xCosθ = dSenθ ⇒ x=d θ Cosθ x ∴	x = dTanθ d θ θ Ángulo Vertical Un ángulo se llama vertical. Por ejemplo. si está contenido en un plano vertical.
Una persona de dos metros de estatura observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 30º. TRIGONOMETRÍA Ángulo de elevación (α) Es un ángulo vertical que está formado por UA L V IS una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y su visual que se encuentra α HORIZONTAL por encima de ésta. Ángulo de depresión (β) Es un ángulo vertical que está formado por una línea horizontal que pasa por el HORIZONTAL ojo del observador y su línea visual que se β encuentra debajo de ésta. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra la hormiga? Resolución La hormiga se encuentra a una distancia de 80 m = 80m U N F V – C E P R E V I 47 . ¿A qué distancia se encuentra de la base de la torre. VIS UA L Ejemplos 1. de longitud se observa a una hormiga con un ángulo de depresión de 37º. si ésta mide 82 m? 80 3 m Resolución La distancia pedida es 80 3 m 80 3 m 2.	Desde la parte más alta de una torre de 60 m. A continuación ilustraremos con un gráfico los términos expresados.
TRIGONOMETRÍA Problemas I 4.	Hallar la longitud del cable AB que Tanφ − Cotθ sostiene la esfera de centro "O".	Calcular AB en la figura. 1. "φ" y "θ". el perímetro del rectángulo ABCD a mostrado. hallar "x" en términos de "H".	En la figura siguiente. A C B O O 1 r B A a)	r(Csc φ +1) b)	r(Csc φ – 1) a)	Tg θ(Sec θ +1) c)	rCsc φ b)	Tg θ (Sec θ -1) d)	r(1–Csc φ) c)	Ctg θ (Sec θ +1) r(Cscφ + 1) d)	Tg θ (Csc θ +1) e)	e)	Ctg θ (Csc θ –1) 2 6. en función de "m" y "α".	Indicar función de “r” y “φ". C x m H H A B a)	Cotφ + Tanθ a)	m(1+Sen α +Cos α) b)	H(Cot φ + Tan θ) b)	m(Sen α +Cos α) H c)	mSen α -Cos α c)	Tanφ + Cotθ d)	m(1+Sen α) e)	m(1+Cos α) d)	H(Tan φ + Cot θ) e)	H 2. considere “r” y "φ” como datos.	Hallar "x" 3. B C x r O A D a)	aCos(α−θ)Tg α b)	aCos(α−θ)Ctg α a)	3r(2+Cot φ) c)	aCos(θ−α)Tg θ b)	2r(3+Cot φ) d)	aCos(θ−α)Ctg α c)	2r(1+Cot φ) e)	aCos(θ+α)Tg α d)	2r(3+Tan φ) e)	3r(2+Tan φ) 48 U N F V – C E P R E V I .	Calcular el perímetro del ∆ABC mostrado. 5.
Calcular “x” 15. 12 5µ ¿Qué distancia habría que alejarse para que el ángulo de elevación sea θ? 30° 1 4µ 6µ Donde: Tg θ = 4 a) 10 µ²	b) 15 µ²	c) 20 µ² a) 12 m	b) 13 m	c) 48 m d) 30 µ²	e) 35 µ² d) 15 m	e) 20 m 10.	Calcular el área de la región d) 4	e) 5 sombreada. y observa lo alto del mismo bajo un ab ac a) Sen θ	b) Sen θ ángulo de elevación “x”.	Un avión vuela horizontalmente a una altura constante.	Una persona ubicada en la parte más x alta de un edificio observa a dos puntos opuestos a ambos lados del edificio con ángulos de depresión de 37° y 53°. hallar "H". Hallar la altura de la torre. 11. a) 20 m	b) 22 m	c) 24 m a d) 26 m	e) 28 m a)	aSenθ Tg(θ+α) b)	aSenθ Tg(θ−α) 12.	Una persona se dirige a un edificio. ¿Cuánto vale Tg α? a) 8	b) 10	c) 12 a) 1	b) 2	c) 3 d) 14	e) 15 d) 4	e) 6 U N F V – C E P R E V I 49 . el ángulo 8. observa su parte más alta con un 7 ángulo de elevación “α" (Tg α = ). Si los puntos distan entre sí 20 metros. después de c b caminar 10 m observa la misma altura bc 2ab con un ángulo de elevación “θ". 14. de elevación es de 30°. e)	aSenθ Ctg(α+θ) si se retrocede 40 m y se vuelve a observar la parte más alta. TRIGONOMETRÍA 7. hallar: a c  1 2ac W = Tg x  Tgθ +  e) Sen θ  3 b a) 1	b) 2	c) 3 9. Si la c) Sen θ	d) Sen θ altura del edificio es 30 m.	Hallar “x”.	Una persona colocada a 36 m de una 3µ torre. antes de pasar x sobre dos puntos en tierra “A” y “B” los 30° observa con ángulos de depresión de 37° 45° y 37° respectivamente.	Desde un punto en el suelo se c)	aSenθ Tg(α−θ) observa la parte más alta de una torre d)	aSenθ Ctg(θ−α) con un ángulo de elevación de 60°. b a) 20 3 m	b) 10 3 m	c) 30 m H a d)15 3 m	e) 10 m c 13. Cuando está sobre “B” es visto desde “A” con 10 un ángulo de elevación “α". hallar la suma de las visuales.	De la figura.
Calcular “x”. si CO = K. posición horizontal avanzando una B distancia “x” y el piloto observa el objeto con un ángulo de depresión de C 45°. d) 240	e) 360 2 CLAVES I a) 2 b) c) 2 2 2 1. e 12. conocidos “α” y “4”. Calcular "Ctg α". d 19. a 2. b 3. a 7. a 14. 2 minutos después es R 50 U N F V – C E P R E V I .	Desde el décimo piso de un edificio de b)	K(Sec θ + Csc θ) 16 pisos.	Un avión que vuela a una altura 8° constante de 6000 m pasa sobre C O A una ciudad. b 10. sobre un objeto.	Desde lo alto de un edificio se ve visto desde la ciudad. si después de avanzar las 2/3 partes de la distancia a) 2Sen 2α	b) 4Cos 2α	c) 4Sen 2α original que separaba al observador d) 8Cos 2α	e) 8Sen 2α del pie del edificio. "R" y "8°". TRIGONOMETRÍA 16. con un ángulo un punto en tierra con un ángulo de de elevación de 37°. ¿cuál es la depresión "α". Calcular "θ". el lado BC. b 4. d 20. a) 2400 m	b) 1800 m c) 2400 2 d) 2100 2 e) 2000 m O A a)	K(Sec θ + Cos θ) 18. c 17. a 5. 1. (O: Centro de la circunferencia). 2 1 A a) b) c) 1 3 3 4 5 d) e) 3 3 O 19. c d) e) 1 4 11. B a) 15°	b) 45°	c) 60° d) 30°	e) 22°30' 20.	Un avión que inicialmente se encuentra 16. a 13.	En la circunferencia mostrada hallar Hallar: Ctg θ. d 2 6. y a otro punto ubicado velocidad constante del avión en a la mitad entre el primer punto y el km/h? edificio con un ángulo de depresión a) 480	b) 120	c) 960 “90°–α”. b 8.	Desde un punto se observa la parte más alta de un edificio con un ángulo B 4 C de elevación “θ". se observa un punto en el c)	K(Sen θ + Cos θ) suelo con un ángulo de depresión “θ”. el ángulo de 3. 2. elevación fue el complemento de "θ".	Determinar AB conocidos. d a 2700 m de altura. a 9. c 15. a 17. (O: Centro de la circunferencia).	Hallar el radio del cuadrante AOB avanzando 500 m luego retoma su mostrado. empieza a caer con un ángulo de Problemas II 37° por debajo de la línea horizontal. c)	K(Sen θ + Csc θ) De la azotea del edificio se observa e)	K·Sen θ · Cos θ el mismo punto con un ángulo de depresión igual al complemento de θ. e 18.
n hallar: “Tg θ". ABCD es un cuadrado.80	b) 1.	Hallar el lado del cuadrado PQRS inscrito en el triángulo rectángulo ABC.	Hallar de la figura: b)	R(Cos 8º+Ctg8°) Senθ ⋅ Sec2θ c)	R(1+Csc 8°) P= Cos3θ d)	R(Cos 8° + Tg 8°) e)	R(Sec 8°+Ctg8°) 5 4.00	c) 1. (S: área de la región) a)	n(Tg.φ + Ctg φ)–1 3S d)	n(Tg. si: AB = = 2 3 Hallar: “130Sen²α” A B C A B C c)	r(Sec +Sec +Sec ) 2 2 2 A B C d)	r(Csc +Csc +Csc ) 2 2 2 e)	r(Csc A+Csc B+Csc C) 6.	En la figura hallar “x” en términos de “m”.φ + Ctg φ + 1)–1 B C b)	n(Tg.φ + Ctg φ + 1) c)	n(Tg.60	e) 2.φ + Ctg φ – 1) S 5. “α” y “β”.25 d) 1. Hallar: A D W = AI+BI+CI 1 1 a) 1 b) 2	c) d) 3	e) A B C 2 3 a)	r(Sen +Sen +Sen ) 2 2 2 BC CD b)	r(Sen A+Sen B+Sen C) 9.	En la figura. siendo “I” su incentro. B Q R 4 a) 0. E D m a) 81	b) 27	c) 9 d) 3	e) 1 x 10.φ + Ctg φ) e)	n(Tg.	El inradio de un triángulo ABC vale "r".50 A P S C 8.	En la figura.	Hallar “Ctg θ" de la figura: 2 a)	mCsc α · Sen β b)	mCos α · Sen β c)	mSec α · Csc β 1 3 d)	mSen α · Cos β a) 3/4	b) 4/3	c) 3/5 e)	mCsc α · Sec β d) 4/5	e) 5/4 U N F V – C E P R E V I 51 . TRIGONOMETRÍA a)	R(1+Sen 8°) 7.
niño volando a una altura constante Hallar: "H/h". Hallar a que altura volaba el OVNI. ambos se dirigen en forma simultánea hacia la base la palmera. e) x = a+b La persona de menos estatura 12.	La elevación angular de la parte mostrado a continuación: superior de una torre vista desde el pie de un poste es de 60°. TRIGONOMETRÍA 11. Observa su sombra a las 2 de altura en el tronco de una palmera.	Hallar "x" del triángulo rectángulo 14. el hombre. y la tarde. y es visto nuevamente ahora con a)	1+Tg α · Tg β un ángulo de elevación de 53°. sigue una trayectoria circular sobre Luego.	Un mono se encuentra a 24 m de m. asumiendo que amanece ve a una mona que está en el suelo a las 6 de la mañana y que él sol con un ángulo de depresión de 53°. luego avanza 28 m 9 2 a) m	b) 9 m	c) 9 2 m acercándose al muro en línea recta 2 y. Luego la altura de la torre es: 2ab 2ab a) 15 m	b) 30 m	c) 45 m a) x = b) x = a+b 3 a 3 +b d) 60 m	e) 75 m ab ab 15. Si el ratón tarda 3 segundos en llegar a la base del 52 U N F V – C E P R E V I .68 13.	Un niño de 100cm de estatura mira observa la cabeza de la otra persona un OVNI con un ángulo de elevación con un ángulo de elevación α y sus de 45°. que tiene b a 30°x 30 m de altura. y desde la parte superior del poste. el ángulo de elevación mide 30°. lo vuelve a observar con un ángulo d) 18 2 m	e) 18 m de elevación de 53°. d)	1+Ctg α · Ctg β a) 104 m	b) 105 m	c) 106 m e)	1+Sen α · Cos β d) 204 m	e) 183 m 16.	Dos personas de estaturas “H” y “h” c) x = d) x = a+b 3 a 3 +b (H>h) se encuentran paradas frente a 2ab frente separadas una cierta distancia.	Un ratón observa el borde superior separa en ese instante es: de un muro con un ángulo de elevación de 37°. Si la b)	1+Tg α · Ctg β distancia horizontal entre la primera y c)	1+Ctg α · Tg β segunda observación fue de 182 m. Luego el OVNI pasa sobre el pies con un ángulo de depresión "β". ¿Cuánto mide su sombra y cuando la mona ha avanzado la aproximadamente? mitad de la distancia que la separaba a) 79 cm	b) 48 cm	c) 97 cm de la palmera inicialmente mira al d) 84 cm	e) 63 cm mono con un ángulo de elevación de 45°. entonces la distancia que los 17.	La estatura de un hombre es l.
c 14. d 19. e 20. a 5. b a) 5/4	b) 4/5	s) 3/4 11. con un CLAVES II ángulo de depresión “θ”. a 12. TRIGONOMETRÍA muro desde su segunda posición. e 7. b 13. d Calcule el valor de "Tg θ" 6.	Desde dos puntos “P” y “Q” situados determine la velocidad constante al Sur y al Este de un poste de luz en m/seg con que se desplaza el se observa su foco con ángulos de elevación que son complementarios. b 4. Hallar: el nivel del mar se observa una boya W = Tg θ + Ctg θ con un ángulo de depresión cuya a) 1	b) 3	c) 9 tangente es 3/2. b d) 4/3	e) 3/5 16. b 19.	Desde lo alto de un faro a 15m sobre mide “θ". d 18. Luego la altura de la torre es: a) 7 m	b) ( 6 –1) m c) ( 7 –1) m	d)	( 6 +1) m e) ( 7 +1) m U N F V – C E P R E V I 53 .	Cuando observamos una torre desde un punto en el terreno distante 2 m más que su altura el ángulo de elevación mide “α”. c 17. c 15. c 2. y uno de los d) 12	e) 10 ángulos de elevación mencionados 18. e 3. Si la distancia PQ es igual al triple a) 18	b) 16	c) 14 de la altura del poste. desde la base del d) 11 e) 7 faro a 8 m sobre el nivel del mar se vuelve a observar la boya. pero si se observa de otro punto en el terreno distante 2 m menos que su altura el ángulo de elevación mide “2α”. c 8. roedor. a 10. 1. 20. c 9.
90º.	2. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º. y análogamente para los otros cuadrantes. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 5 Razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud Ángulo en posición normal Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje x. Ejemplo 1. 54 U N F V – C E P R E V I . Y Y β 90º α 0 X X 0 θ φ α ∈ I	90º ∉ a ningún cuadrante β ∈ II	φ no está en posición normal θ ∈ III Ángulo cuadrantal Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE. Si el lado final está en el segundo cuadrante. el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante. 270º y 360º. 180º. que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.
a qué cuadrante pertenece α + 70º 2 Resolución Si α ∈ II. TRIGONOMETRÍA 90º II I 180º 0º O 360º III IV 270º Propiedad Si θ es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: Si	θ ∈ I	⇒	0	<	θ	<	90º Si	θ ∈ I I ⇒	90º	<	θ	<	180º Si	θ ∈ I I I ⇒	180º	<	θ	<	270º Si	θ ∈ IV	⇒	270º	<	θ	<	360º Ejemplos 1. ¿En que cuadrante está 2θ/3? Resolución Si: θ ∈ III	⇒	180º	θ	<	<	270º θ 60º	<	<	90º 3 2θ 120º	<	<	180º 3 ∴ Como 2θ/3 está entre 120º y 180º.	⇒	90º	<	α	<	180º α 45º	<	<	90º 2 115º	<	α + 70º <	160º 2 Como α/2 + 70º está entre 115º y 160º.	Si θ ∈ III. 2. entonces pertenece al II cuadrante.	Si α ∈ II. entonces pertenece al II cuadrante. U N F V – C E P R E V I 55 .
TRIGONOMETRÍA Ángulos coterminales Dos ángulos en posición normal se llamarán COTERMINALES o COFINALES si tienen el mismo lado final.	330º y –30º coterminales porque 330º –(–30º) = 360º (1 vuelta) 3. Si α ∧ β son coterminales tal que α > β entonces se cumple: α – β = k(360º) k ∈ ZZ+ Ejemplos 1.	750º y 30º coterminales porque 750º – 30º = 720º (2 vueltas) 2. Y Y 30º 50º x x 410º -240º Propiedad La diferencia de las medidas de dos ángulo coterminales siempre nos dará como resultado un número entero positivo de vueltas.	2. y φ θ x α ∧ β son coterminales	φ ∧ q no son coterminales 3.	450º y –90º coterminales porque 450º – (–90º) = 540º (No tiene vueltas exactas) 56 U N F V – C E P R E V I .	4. Ejemplos 1.	7π y 3π coterminales porque 7π – 3π = 4π (2 vueltas) 4.
utilice el siguiente cambio: CATETO OPUESTO	= ORDENADA CATETO ADYACENTE	= ABSCISA RADIO VECTOR	= HIPOTENUSA Ejemplos 1. TRIGONOMETRÍA Razones trigonométricas de ángulos en posición normal Si θ es un ángulo cualquiera en posición normal. Y) x = Abscisa r θ  y = ordenada r = radio vector 0 X  y ORDENADA r RADIO VECTOR Senθ = = ⇒	Cscθ = = r RADIO VECTOR y ORDENADA x ABSCISA r RADIO VECTOR Cosθ = = ⇒	Secθ = = r RADIO VECTOR x ABSCISA y ORDENADA x ABSCISA Tanθ = = ⇒	Cotθ = = x ABSCISA y ORDENADA Observaciones 1. sus razones trigonométricas se definen como sigue: Y Ojo: r = x2 + y2 P(X. 2.	En verdad “r” es la longitud de radio vector OP por cuestiones prácticas vamos a denominar a “r” como vector. 12) 5 X 0 U N F V – C E P R E V I 57 .	Para RECORDAR las definiciones anteriores.	Hallar “x” Y (X.
y) Resolución Análogamente aplicamos: x2 + y2	= r2 Reemplazamos “x” por 8 ∧ “r” por 17 en la igualdad anterior: (-8)2 + y2	= 172 64 + y2	= 289 y2	= 225 y	= ±15 Como “y” está en el tercer cuadrante entonces tiene que ser negativo: y = –15 3. 3) r X 0 58 U N F V – C E P R E V I .	Hallar “r” Y (-2.	Hallar “y” Y X 0 17 (-8. TRIGONOMETRÍA Resolución Aplicamos la fórmula:	r	= x 2 + y 2 Que es lo mismo:	r2	= x2 + y2 x2 + y2	= r2 Reemplazamos “y” por 12 ∧ “r” por 13 en la igualdad anterior x2 + 122	= 132 x2 + 144	= 169 x2	= 25 x	= ± 5 Como “x” está en el segundo cuadrante entonces tiene que ser negativo: x = –5 2.
4) 5 θ X 0 U N F V – C E P R E V I 59 . Hallar Senθ Y θ X 0 25 (-7. 4. aplicamos la definición: y Senθ = r Reemplazamos: 24 Senθ =– 25 5. y) Resolución Aplicamos el EJEMPLO 2 y obtenemos: y = -24 Del gráfico obtenemos los valores de: x = -7 ∧ r = 25 Nos piden Senθ.	Hallar Cosθ Y (X. TRIGONOMETRÍA Resolución Análogamente aplicamos: r = x 2 + y 2 Reemplazamos “x” por -2 ∧ “y” por 3 en la igualdad anterior: 2 2 r	= ( −2) + 3 r	= 4 + 9 r	= 13 Ojo: “r” es siempre POSITIVO por ser LONGITUD.
y) Resolución Aplicamos el EJEMPLO 2 y obtenemos: y =−3 5 Del gráfico obtenemos los valores de: x=2 ∧ r=7 Nos piden Tanθ.	Hallar Tanθ Y θ X O 7 (2.TRIGONOMETRÍA Resolución Aplicamos el EJEMPLO 1 y obtenemos: x = -3 Del gráfico obtenemos los valores de: y=4 ∧ r=5 Nos piden Cosθ. aplicamos la definición: x Cosθ = r Reemplazamos: 3 Cosθ = – 5 6. aplicamos la definición y Tanθ = x Reemplazamos: Tanθ = – 3 5 2 60 U N F V – C E P R E V I .
¿Qué signo tiene? Sen100 º • Cos200 º E= Tan300 º U N F V – C E P R E V I 61 . son negativas. son negativas. Segundo Cuadrante En el segundo cuadrante el SENO y la COSECANTE son POSITIVAS porque la ORDENADA (y) el RADIO VECTOR (r) son positivas. Las demás R. Las demás R.T.T. y la ORDENADA (y) son negativas. en cada cuadrante Primer Cuadrante En el primer cuadrante TODAS las R.T.T. la ORDENADA (Y) y el RADIO VECTOR (r) son positivos.T. son POSITIVAS porque la ABSCISA (x). Regla Práctica Son POSITIVOS. Cuarto Cuadrante En el cuarto cuadrante el COSENO y la SECANTE son POSITIVAS porque la ABSCISA(x) y el RADIO VECTOR (r) son positivos Las demás R. Ejemplos Sen ∧ Csc TODAS o Tan ∧ Cot Cos ∧ Sec 1. son negativas. TRIGONOMETRÍA Signos de las R. Tercer Cuadrante En el tercer cuadrante la TANGENTE Y COTANGENTE son POSITIVAS porque la ABSCISA (x).
por tanto: 2 Cos θ = − 3 4 3.	Si θ ∈ II ∧ Cos2θ = . Hallar Cosθ. Hallar Tanθ.TRIGONOMETRÍA Resolución 100º	∈	II	⇒	Sen100º es (+) 200º	∈	III	⇒	Cos200º es (–) 300º	∈	IV	⇒	Tan300º es (–)	( + ) ( −) Reemplazamos:	E = ( −) ( −) E= ( −) E = (+) 2 2. por tanto: 2 Tanθ = − 5 62 U N F V – C E P R E V I .	Si θ ∈ IV ∧ Tan2θ = . 9 Resolución 2 Despejamos Cosθ de la igualdad dato:	Cos2θ = 9 2 Cos θ = ± 3 Como θ ∈ III entonces Cos θ es negativo. 25 Resolución 4 Despejamos Tanθ de la igualdad dato:	Tan2θ = 25 2 Tan2θ = ± 5 Como θ ∈ IV entonces la Tanθ es negativa.
de 90º. de 0º.T. de ángulos cuadrantales Como ejemplo modelo vamos a calcular las R.T. análogamente se van a calcular las otras R. y) y 90º X 0 y y Sen90º	=	=	=	1 r y x 0 Cos90º	=	=	=	0 r y y y Tan90º	=	=	=	No definido = ND x 0 x 0 Cot90º	=	=	=	0 y y r y Sec90º	=	=	=	No definido = ND x 0 r y Csc90º	=	=	=	1 y y U N F V – C E P R E V I 63 .T. TRIGONOMETRÍA R. 180º. 270º y 360º. Y (x. por tanto: Y (0. y) r 90º X 0 Del gráfico observamos que x = 0 ∧ r = y.
Calcular: Sen2x + Cos6 x E= 2Sen( π / 2) − Cosπ Tan4 x + Cos8 x E= Cot(3π / 2) + Sec 2π Resolución Reemplazamos x = 45º en E: Resolución Sen90º +Cos270 º Los ángulos están en radianes.	Calcular el valor de “E” para x = 45º. TRIGONOMETRÍA Análogamente: R.T. 1. E	= Tan180 º +Cos360 º haciendo la conversión obtenemos: 1+ 0 π E	= = 90º 0 +1 2 1 π	= 180º E	= π 1 3 = 270º E	= 1 2 2π	= 360º Reemplazamos: E	= 2Sen90º − Cos180º Cot270º + Sec360º 2( 1 ) − ( −1) E	= 0 +1 E	= 3 64 U N F V – C E P R E V I .  0º 90º 180º 270º 360º Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Tan 0 ND 0 ND 0 Cot ND 0 ND 0 ND Sec 1 ND -1 ND 1 Csc ND 1 ND -1 ND Ejemplos 2.
Del gráfico mostrado: y B P(x. – a) –1	b) 0	c) 1 d) –. III d) III.	Si: 225Tg2α–64 = 0.	Sen β < 0 ^ Cot β < 0 y ¿A qué cuadrantes pertenecen "α“ y 7 "β“ respectivamente? a) I.	Si: Cos θ = –0. +. 9 Calcular: 9.	De la figura: II. Q(-12.	Dada las proposiciones: I. +	c) +. II	b) II.25.	Halle el valor de la expresión: 2. –. +	b) –. calcule el valor de la expresión: 3 3 M = Csc α – Cot α a) b) c) 3 a) 0	b) 5/12	c) 5 3 2 d) 12/5	e) 1/5 3 d) 2 3 e) − 4.	Indique el signo de las expresiones: 3 O x P = Sen 100° + Cos2200° .Tg3300° Calcular el valor de la expresión: Tg100°(Sen200° + Cot300°) Q= Cos300° W = 4Cos α – 7 Cot α a) +.5). P = Sec θ – 15 · Tg θ Calcule el valor de la expresión: a) 4	b) 7	c) 9 A = 17Cos α + 15Tg α d) 11	e) 19 a) 18	b) 15	c) 11 d) 10	e) 7 U N F V – C E P R E V I 65 . – d) 4+ 7 e) 2 7 7.	Tg α > 0 ^ Cos α < 0 1. IV 6. además estándar "α" pasa por el punto "G" es baricentro. +	e) +. además θ ∈ IIC. α ∈ IVC. II	e) III. +.	De la figura mostrada: Sen0° − Cos180° + Sec360° y M= Sen90° − Cot270° a) –1	b) 0	c) 1 x d) 2	e) -2 17 8. I	c) II. –.	Si el lado final del ángulo en posición Halle “Tg θ“ . TRIGONOMETRÍA Problemas I 5. Si: OA=AB=BC. 4) Halle el valor de: H = Tg θ + Cot θ θ 120° G a) 1/4	b) 4	c) 17/4 d) 4/17	e) 21 C A O x 3. +.
a ). además: -13 -9 Sen α + Cos β + |Cos β| = 0 O x Calcule: Cos α θ a) 0	b) 1	c) 3 3 d) –1	e) 1 2 2 a) b) c) 1 3	3 15. halle: Sec α 3 y d) e) 3 2 O α x 11. θ ∈ IIC Calcule: 21 Tg θ 10 10 5 a) 2	b) –2	c) 5 a) b) − c) 2 2 2 d) –5	e) − 21 5 1 17. TRIGONOMETRÍA 10. es un punto del lado final de un ángulo en posición O x estándar “θ".	Si "α" es un ángulo positivo menor de y una vuelta y.	Dado: d) − e) 2 2 Csc θ · Sen5 θ ·Cos θ < 0 13.	Si: P(a.	De la figura mostrada: ¿A qué cuadrante pertenece θ? y a) IC	b) IIC	c) IIIC d) IVC	e) II ó IIIC 60° 18. β ∈ IIC.	Si: 3 Tg β = 3 .	Si se cumple: E = 2 Cos β + Sen β 27Sen θ = 91–Sen θ .1–5a) 2 x 13 13 13 a) b)– c)– a) -2	b) 1	c) -1 2 2 3 d) 1/2	e) 2 13 d) e) 13 12.	Calcular: Tg θ y (a.a–5) 1 (a+4. |Sen β| = –Sen β Calcular: 16. Calcular: aSecθ Calcule: A = a + 1 ⋅ Senθ + A = Cot α + Csc α 2 a2 + a a) 1	b) 2	c) 3 a) 0	b) 1	c) 2 d) 4	e) 5 d) 3	e) –1 66 U N F V – C E P R E V I .	De la figura mostrada. halle: Tg θ 14.	De la figura mostrada.
TRIGONOMETRÍA 19. b (-3.Cos α) 3 3 y x CLAVES I 1. –. c 4. G. – (-12. b 17. b 13. e 10. (Sec285° ⋅ Tan2 138° ⋅ Sen220°)3 F= Csc 3 215° ⋅ Cot338° U N F V – C E P R E V I 67 .. φ ∈ IIC x a) 1	b) 3	c) 5 7 3 a) − 7 b) − c) − d) 7	e) 9 2 2 4. d 15.8) (Tan135° ⋅ Sec298°)7 a) –. a d) 1	e) 2 5.	Indicar los signos de las siguientes expresiones. en el orden F. + Halle: Tg α. b 2. a a) -5	b) -3	c) -2 16. e 20. e 14. O1: Centro 3.0) x d) + . –	e) +. c 18.1) 20. +	c) –. –	b) –. e 7.	De la figura calcular el valor de: a) –1/5	b) –5/12	c) –12/5 E = 5 Csc θ – Cot θ d) –13/5	e) –13/12 y (-2.	De la figura mostrada: y 3 5 (Sen 260° ⋅ Cos115° ⋅ Csc116°) G= 4 (Csc 195° ⋅ Tan 336°) O1 Sen195° ⋅ Cot340° ⋅ Csc128° H= (0.. H. –. –. e 6.-2) 11. = 2. +.-24) a) 2	b) 4	c) 6 d) 8	e) 10 a) 17/24	b) 24/17	c) 7/24 d) -17/24	e) -7/24 2. d 5. +.	De la figura calcular el valor de: E = (Sen θ + Cos θ)Csc θ Problemas II y 1.	Halle: 3Cot φ. a 12.	Hallar el valor numérico de la expresión: x E = Sen 180°+2Cos 180° +3Sen 270°-5Sec 180°-6Csc270° (7. e 9. si: 3 Senφ + Senφ + Senφ + . c 19. d 8.	De la figura calcular el valor de: 1 7 d) − e) − P = 13 (Sen α . c 3.
4a-1) a) –1	b) –2	c) –3 d) –4	e) –5 a) 1	b) 2	c) 3 d) 4	e) 5 11. si: OABC Hallar la suma de dichos ángulos. E= Calcular el valor de: Cotθ ⋅ Secα ⋅ Cscθ a) +	b) -	c) + y - 1 d) cero	e) FD E = 2Sen α + Cos α 4 12.4 y Sen α < 0. si: Tan θ = 3 y 2Cosα Tanβ =Q + Cosβ Tanα x y x (a-1.	Hallar “a”. TRIGONOMETRÍA 6. Además el mayor de ellos esta d) IVC	e) FD comprendido entre 1000° y 1700°.	Hallar "α+θ". siendo Senθ ⋅ Cosα ⋅ Tanθ "α" un ángulo en posición estándar.	Dos ángulos coterminales son Tan θ > Tan π proporcionales a los números 5 y a) IC	b) IIC	c) IIIC 2.	Siendo “θ” y ”α” ángulos del II y III cuadrante respectivamente. 14. hallar: 15.	¿A qué cuadrante pertenece el ángulo Cosα + 1 + −1 − Cosα = 1 − Senθ “θ"?. a) 480°	b) 960°	c) 1200° y d) 1680°	e) 1800° B C 9. hallar el signo de: 68 U N F V – C E P R E V I . es un cuadrado. Si cada uno de ellos es a) +	b) -	c) + y - ángulo cuadrantal positivo menor que d) cero	e) FD una vuelta y cumplen: 13.	Si: Cot α = 2.	Indicar el signo de: a) –2	b) –1	c) 1/2 Sen220°Cos370°Tan265° d) 1	e) 2 E= Sen45°Cos120°Sec240° 7. hallar "Tan α".	Calcular a/b si se tiene que: (a + b)2 Cos0° + 2abTan2π + 4abSecπ π 3π =2 a2Sen + b2Csc 2 2 A O x a)-3	b) -2	c) –1 a) -2	b) -1/2	c) -1/3 d) 1	e) 2 d) -3	e) 1/2 10.	De la figura.	De la figura. si se cumple: a) 540°	b) 90°	c) 180° π d) 270°	e) 360° Cos θ < Cos( ) 2 8.
a 3 6. d 8. a 12. Además se cumple que: Cos θ < 0.	“α" y "β" son complementarios.	Si el punto (–a. c 2. b es negativo. b 19. a 20. d 9. 3a) pertenece al calcular el valor de: lado final de un ángulo canónico "θ". (θ ∈ IVC) 20. Hallar “α+β” a) 920°	b) 940°	c) 960° 5 5 d) 980°	e) 1000° d)– e) 10 15 18.	Si: 0 < x < 2π y Sen x = Tan 2π.	Siendo “θ" un ángulo en posición CLAVES II 1. 19. b 7. 10 10 10 además se cumple: 4 1 (Tan α)2 Tan θ+3 = (Cot β)Tan θ+1 d) − e) Calcular: 10 10 M = Sen θ + Cos θ . c P = 3 + 13 (Sen θ + Cos θ) a) 1	b) 2	c) 3 d) 4	e) 5 U N F V – C E P R E V I 69 . a 10. TRIGONOMETRÍA 16. d 4. d 5. c 14.	Los ángulos coterminales “α" y "β" están en la relación de 1 a 7 5 5 5 respectivamente. x x x Calcular: P = Sen + Cot + Csc R = Sen θ · Cot θ 2 4 6 a) 1	b) 2	c) 3 d) 4	e) 0 1 2 3 a) − b) − c) − 17. El ángulo "α" esta a) b)– c) 5 5 10 entre 90° y 180°. d 17. Calcular: 2 16. b 18. b 15. c normal donde: Tan θ = − y “Csc θ” 11. c 3. b 13.
Y 40º X 0 El ángulo de referencia de 40º es 40º	El ángulo de referencia de 120º es 60º 3. Y Y 200º X X 20º 0 O 50º 310º El ángulo de referencia de 200º es 20º	El ángulo de referencia de 310º es 50º 70 U N F V – C E P R E V I .	2. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 6 Reducción al primer cuadrante Ángulo de referencia Al ángulo agudo formado por el lado final de un ángulo positivo en posición normal θ con el lado positivo o negativo del eje x se llama ÁNGULO DE REFERENCIA y se denota por θR Ejemplos 1.	4.
aunque en algunos casos difieren en el signo.1) H 2 2 1 150º Entonces: 30º X Sen150º = Sen30º 3 0 Y y −1 2. así: R..3) U N F V – C E P R E V I 71 .T(θ) = ± R.T.3. de θ y los R.	Sen150º = = r 2 CO 1 Sen30º = = (. (θR) Ejemplos Y y 1 1.	Cos 225º = = r 2 CA 1 Cos 45º = = 225º H 2 1 X 45º O Entonces: 1 2 Cos225º = -Cos45º (-1.T.	Y Tan300º = = =− 3 x 1 CO 3 Tan60º = = = 3 CA 1 300º 1 Entonces: X 60º Tan300º = –Tan60º 2 3 (1. de θR van a tener los mismos valores. TRIGONOMETRÍA Propiedad fundamental Si θ es un ángulo positivo en posición normal menor que una vuelta y θR su ángulo de referencia.T. entonces se cumple que las R.-1) y − 3 3.
T.T. de los ángulos anteriores se reducen a R. Propiedad I: Para ángulos positivos menores que una vuelta Esta propiedad se analizará en dos partes: A.x) ∈ I	∨	 − x  ∈ I 2  π  •	(90º + x) ∈ II	∨	 2 + x  ∈∈ III    3π  •	(270º – x) ∈ III	∨	 − x  ∈ III  2   3π  •	(270º + x) ∈ IV	∨	 + x  ∈ IV  2  Los R.(90º + x) = ±CO – RT(x)	R.T. Si x es un ángulo agudo.(270º + x) = ± CO – RT(x) Ojo:El signo ± depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo que queremos reducir 72 U N F V – C E P R E V I .T.(270º – x) = ± CO – RT(x) R. de (x) aplicando la siguiente fórmula: R. TRIGONOMETRÍA Observación En los ejemplos anteriores se ha notado que efectivamente las R.	Para entender la propiedad. Para hacer cálculos vamos a citar cuatro propiedades.T. en algunos casos difieren en el signo.T.T. de su respectivo ángulo de referencia.(90º – x) = CO – RT(x)	R.T. es fácil darse cuenta que: 90º = π/2 ΙΙ Ι x x x x ΙΙΙ VΙ 270º = 3π/2 π  •	(90º . nos ayudamos del siguiente gráfico. de un ángulo en posición normal son igual a las R.
(x) R.(180º – x) = ± R.	Tan  + x  = –Cotx  2  B.	Para entender la propiedad. U N F V – C E P R E V I 73 .(x)	R. TRIGONOMETRÍA Ejemplos 1.T.T.T.	Sen  + x  = +Cosx 2   3π  5.T.T.x) ∈ II ∨	(π – x) ∈ II •	(180º + x) ∈ III ∨	(π + x) ∈ III •	(360º – x) ∈ IV ∨	(2π – x) ∈ IV Los R. de los ángulos anteriores se reducen a R.(x) Ojo: El signo ± depende del cuadrante al cual pertenece el ángulo que queremos reducir.T.	Tan310º = Tan(270º + 40º) = –Cot40º π  4.(180º + x) = ± R. de (x) aplicando la siguiente fórmula: R.	Cos  − x  = –Senx  2   3π  6. nos ayudamos del siguiente gráfico Si x es un ángulo agudo es fácil darse cuenta que: •	(180º .T.	Sen100º = Sen(90º + 10º) = +Cos10º 2.	Cos200º = Cos(270º – 70º) = –Sen70º 3.T.(360º – x) = ± R.
de θ y las R.TRIGONOMETRÍA Ejemplos 1.	Sen110º = Sen(180º – 70º) = +Sen70º 2.T.(α) Ejemplos 1.	Calcular: Tan 900º Resolución 900º	360º	⇒	Tan900º = Tan180º = 0 180º	2 4. lo dividimos entre 360º nos da como cociente “n” y residuo “α”.T.T. Es decir: θ = n(360º) + α Las R.	Calcular Sen 750º Resolución 1 750º	360º	⇒	Sen750º = Sen30º = 2 30º	2 2.[n(360º) + α] = R. de α son iguales.	Calcular Cos 540º Resolución 540º	360º	⇒	Cos540º = Cos180º = – 1 180º	1 3.	Tan(2π – x) = –Tanx Propiedad II: Para ángulos positivos mayores que una vuelta Si a un ángulo positivo θ mayor que una vuelta.	Sen(π + x) = –Senx 7. por tanto: R.	Tan340º = Tan(360º – 20º) = – Tan20º 4.	Cos230º = Cos(180º + 50º) = –Cos50º 3.	Reducir al primer cuadrante: Sen 3010º Resolución 3010º	360º	⇒	Sen 3010º = Sen 130º 130º	8	Sen 3010º = Sen(180º – 50º) Sen 3010º = +Sen 50º 74 U N F V – C E P R E V I .T.	Cot400º = Cot(360º + 40º) = Cot40º 5.	Sen(π – x) = Senx 6.
Tan(35π + x) = Tan(34π + π + x) = Tan(π + x) = Tanx 10.	Cot(499π + x)= Cot(498π + π + x) = Cot(π + x) = Cotx 11.	Sen 1275π = Sen(1274π + π) = Senπ = 0 12.	Cos 4377π = Cos(4376π + π) = Cosπ = –1 π 13.	Sen 43 luego dividimos sin el π: 7 43 1 43 7	= =6+ 7 7 1 6 π  1  π π Sen43 = Sen  6 +  π = Sen  6π +  = Sen 7  7  7 7 237 14.	Reducir al primer cuadrante Tan 10000º Resolución 10000º	360º	⇒	Tan10000º = Tan 280º 280º	27	Tan10000º = Tan(360º .	Cos π luego dividimos sin el π: 5 237 2 237 5	⇒ = 47 + 5 5 2 47 237  2  2π   2π  2π Cos π = Cos  47 +  π = Cos  47π +  = Cos  46π + π +  = − Cos 5 5  5   5   5 U N F V – C E P R E V I 75 .	Sen(10π + x) = Sen(10π + x) = Senx 8.	Reducir al primer cuadrante: Cos 4910º Resolución 4910º	360º	⇒	Cos 4910º = Cos 230º 230º	13	Cos 4910º = Cos(180º + 50º) Cos 4910º = –Cos 50º 6. TRIGONOMETRÍA 5.	Cos(416π + x)= Cos(416π + x) = Cosx 9.80º) Tan10000º = -Tan80º 7.
Coseno y Tangente de (θ) y (-θ) y obtenemos: y y Senθ = ∧	Sen( −θ) = ⇒	Sen(–θ) = –Senθ r r x x Cosθ = ∧	Cos( −θ) = ⇒	Cos(–θ) = Cosθ r r y y Tanθ = ∧	Tan( −θ) = − ⇒	Tan(–θ) = –Tanθ x x 76 U N F V – C E P R E V I . como se muestra en el gráfico siguiente. θ −θ Calculamos el Seno.	Tanπ luego dividimos sin el π: 8 315 3 315	8	⇒	= 39 + 8 8 3	39 315 3 3π  3π  3π Tan π = Tan  39 = +  π Tan  39π = +   Tan  38π + π = +  Tan 8  8   8   8  8 Propiedad III: Para ángulos negativos Si θ es un ángulo positivo entonces -θ es un ángulo negativo. TRIGONOMETRÍA 315 15.
Cos110º	= –Cos70º	porque:	110º + 70º = 180º 3.	Tan140º	= –Tan40º	porque:	140º + 40º = 180º 2π π 2π π 4.	Sen = Sen porque: + =π 3 3 3 3 4π π 4π π 5. Ejemplos 1 1. TRIGONOMETRÍA Análogamente Cot( −θ) = −Cotθ Sec( −θ) = Secθ Csc( −θ) = −Cscθ Nótese.	Tan(–60º)	= –Tan60º = − 3 4.	Tan(–325º) = –Tan325º = –Tan(360º – 35º) = –(–Tan35º) = Tan35º Ángulos suplementarios Si α y β son suplementarios entonces: α + β	= 180º α = 180º – β Senα = Sen(180º – β) Senα	= Senβ Análogamente Cosα = –Cosβ Tanα = –Tanβ Cotα = –Cotβ Secα = –Secβ Cscα = Cscβ Ejemplos 1. que para el coseno y la secante el ángulo negativo es indiferente.	Cos(–45º) = Cos45º = 2 3.	Sen(–130º) = –Sen130º = –Sen(180º .50º) = –(+Sen50º) = -Sen50º 5.	Cos 5 = –Cos porque: + =π 5 5 5 U N F V – C E P R E V I 77 .	Sen130º	= Sen50º	porque:	130º + 50º = 180º 2.	Sen(–30º) = –Sen30º = − 2 2 2.	Cos(–200º) = Cos200º = Cos(180º + 20º) = –Cos20º 6.
simplificar: 5.	Tg(π+x) = Tg x a) VVF	b) FVV	c) FVF d) FFV	e) VVV IV.	Tg  3π − x  = Ctg x  2  9.	Simplificar: m .	Reducir: Sen(A + B) Cos(B + C) Tan(A + C) E= + − Sen( − A) Cos( − A) SenC CosA TanB =E + Sen( π + A) π Sen  + A  a) 1	b) -1	c) 2 2  d) 3	e) -3 a) 0	b) 2	c) -2 d) 1	e) –1 11. TRIGONOMETRÍA Problemas I 7.n = Cos 240° π Sen  + x  Hallar: 2m .3n =E  2  + Tg( π + x) a) 2	b) -2	c) 3/2 Cos( − x) Tg( − x) d) -3/2	e) 3 a) 0	b) 2	c) –2 d) 1/2	e) –1/2 78 U N F V – C E P R E V I .	Sabiendo que: Sen(90°+α) = m 1.	Calcular: 5 d) Sec 143° = − Cos( π + α ) π 3 E= .	Simplificar: E = TgA + Tg(180°-A) + Ctg(90°-A) 3 +Tg(180°+A) b) Cos 150° = – 2 a) 0	b) Tg A	c) 2TgA d) 1	e) -1 c) Tg 135° = -1 4.	Señale lo incorrecto: ( ) Sec 300° = 2 I.	Sabiendo que: m + n = Sen 150° + Tg 225° 6.	Afirmar si es verdadero (V) o falso a) VVV	b) FFF	c) FVV (F): d) FFV	e) VVF ( ) Tg 210° = 3 2.	Marcar lo incorrecto: V.	Cos   ( ) Sen 150° = −  2  2 III. Si: α = 3π 6 Tg  − α  5  2  e) Csc 127° = 4 a) -1/2	b) 2	c) -2 d) 1	e) –1 10.	Marcar verdadero (V) o falso (F) ( ) Sen(π+x) = –Senx Calcular: M = Cos(-α)+Cos(180°-α)+Cos(360°-α) ( ) Cos   π + x  = –Sen x a) m	b) 2m	c) 3m  2  d) -2m	e) -m ( ) Tg(2π–x) = –Tg x 8.	Sen(π–x) = Sen x  3π − x  = –Sen x 2 II.	Sec(π+x) = Sec x a) I	b) II	c) III 3 d) IV	e) V a) Sen 120° = 2 3.	En un triángulo ABC.
TRIGONOMETRÍA 12. es: A= Cos(90° + x)Csc(360° − x) 2 a) b) 2 c) 2 2 4 a) -1/2	b) –1	c) 0 d) 8 2 e) – 8 d) 1	e) 1/2 17.2Cos A = 0.	Siendo “A” un ángulo agudo.	Si: Sen A . el valor de: 3 Sen(90° − x)Sec(180° − x) Tg(3α + 2β).	Simplificar: d) 2	e) –2 π Sen  α −   2  Cos(α − 270°) CLAVES I =E − 3π  Sen(α − 180°) 1.	Siendo: a+b+c = π 2.	Simplificar: Simplificar: Tan(180° + x) Sec(90° + x) = M + 1 1 Cot(270° + x) Csc(180° − x) E= [Cos(a+2b+c)+Sen (a+3b+c)] 2 2 a) –2	b) –1	c) 0 a) 0	b) Sen b	c) 0.	Simplificar: Sen(2α+3β)= − . a 8.	Si: Tg(90° + A)Sec(180° – + A)Tg(270° − A) E= Sen(360° − A)Csc(180° − A)Cos(180° + A) 3π k Ctg  + x  =  2  2 y a) 8/3	b) –8/3	c) 3/8 2k + 1 d) –3/8	e) 5/4 Tg(x − π) = 3 20.	Simplificar: Calcular el valor de “k” π 3π 8π 10π A = Cos + Cos + Cos + Cos a) -2/7	b) 7/2	c) -7/2 11 11 11 11 d) 3/7	e) 7/3 a) 1	b) –1	c) 0 15.5Senb d) 1	e) 2 d) 2Sen b	e) 1 U N F V – C E P R E V I 79 . b Sen  α +  6. e 20. b 14. simplificar: 18.	Hallar: Sen(A + B + 2C) π π 5π E= Tg  kπ +  + Tg  −  + Sec   Sen(A + B) E=  4  4  4  π Sec  −  + 2 a) -1	b) -2	c) 1  4 d) Tg B	e) Tg C Donde: k ∈ Z 13. e 3. d 10.	Si: “α" y “β” son dos ángulos Problemas II complementarios y 1 1. hallar “A” en: a) 2 +1	b) 2 –1	c) 1– 2 Ctg(–160°) = Ctg A d) 2 e) 1 a) 10°	b) 20°	c) 30° d) 40°	e) 50° 19. a 13. a 7. a  2  11. c 4. b 12. a 5. c 9. c a) 1	b) –1	c) 0 16. calcular: 14. c 19. a 2. c d) 2	e) –2 16.	En un triangulo ABC. a 15. c 17. a 18.
Simplifique: a) –3Tan x	b) –Tan x	c) 3Tan x d) Tan x	e) 0 H = Tan 2π + Tan 5π + Tan 8π + Tan 11π 13 13 13 13 8.	Calcule el valor de: y (-2.	Simplifique: 10.	Reduzca: d) 1	e) 2 E = Tan(4π+x)+Tan(7π+x)+Tan(12π-x) 13.	Si “θ” es un ángulo positivo y menor a) –2	b) –1	c) 0 que una vuelta. TRIGONOMETRÍA 3.	Calcule: a) -2	b) –1	c) 0 π π d) 1	e) 2 F = Tan 57 + Sec 61 4 3 14.8) Sen150° ⋅ Sec300° + Tan2 135° P= Tan315° + Cos240° a) -2/3	b) -4/3	c) –1/3 x d) 3	e) 3/4 5.	Determinar el valor de: Q = Sec 1500° + 5Sen 2483° a) –2	b) –4	c) 0 a) -2	b) –1	c) 0 d) 1/2	e) 1/4 d) 1	e) 2 12.	En un triángulo ABC. de modo que d) 1	e) 3 cumple: Sen θ = Cot(180°+θ)+Tan(270°+θ) 9.	Calcule la medida del ángulo agudo Calcule: que cumple con: θ A = Cos θ + Sen + Sec 2θ π  Sen  + x  – 3Cos(π–x) = Sec(2π–x) 2  2  a) –2	b) –1	c) 1 π π π d) 2	e) 3 a) b) c) 8	4 3 π π d) e) 6 12 80 U N F V – C E P R E V I . calcule: Tan α 4.	Reducir: Tan   A +C Sen200° + 2Cos1510°  R= Cos(2A + 2B)  2  =T + Cos( −70°) Cos2C B Cot 2 a) 1	b) 2	c) 3 d) 1/2	e) 1/3 a) –2	b) –1	c) 0 7.	En un triángulo ABC.	De la figura. reducir: 6. reducir: Sen( π + x) + Sen( − x) Cos( − x) SenC Cos(B + C) N + = N +  3π   π  Sen(A + B) CosA Cos  x −  Sen  + x   2  2  a) –2	b) –1	c) 0 a) -2	b) 3	c) 0 d) 1	e) 2 d) 1	e) 2 11.
05 d) 2. c 10. e 13. a 7. b 17. 18.	S i e n d o “ α “ y “ β “ á n g u l o s Si: OA=AB=41 ^ OB=80 complementarios. c 16. calcular: A Cos(2α + 4β) Tan(3α + 2β) =M + Cos(4β + 6α ) Cot(2α + 3β) a) –2	b) –1	c) 0 d) 1	e) 2 O B 19.1	e) 4. e 19.2 U N F V – C E P R E V I 81 .	De la figura mostrada. c O N B a) –2.	Siendo “α“ y “β“ ángulos agudos de Tan(60° + θ) ⋅ Cos(400° − θ) un triángulo rectángulo. c 15. TRIGONOMETRÍA 15. c 18. e 9. reducir: P = Sec(α+2β)+Tan(2α+5β) a) –2	b) –1	c) 0 ×Cot(β+4α)+Csc(2α+β) d) 1	e) 2 a) –2	b) –1	c) 0 20.	El equivalente de: d) 1	e) 2 W = Sen Kπ – Cos(K+1)π .	Reduzca: a) 20/21	b) 21/20	c) –9/40 d) –40/9	e) –1/2 Sen(230° + θ) ⋅ Tan(300° − θ) P= 16. c 11. c 14. a 3. e 12.1	b) –4.2	c) –1. b 5.	De la figura. b 2. b 4. d 8. k ∈ Z es: 17. calcule: Tan θ. b 6. calcule: Tan α a) 1	b) 1k	c) (–1)k Además: d) (-1)2k	e) (–1)k+1 ON NB = 29 21 A CLAVES II 1. d 20.
0)	Como origen de arcos B(0.T.) Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen de coordenadas rectangulares y cuyo radio es igual a la unidad. 1)	Como origen de complementos A’(–1.0)	Como origen de suplementos B’(0.T. P2 Medida del arco negativo B’ La ecuación de la circunferencia trigonométrica es: x² + y² = 1 Para un mejor entendimiento de las definiciones posteriores se enuncian las siguientes denominaciones a los puntos: A(1.T.-1)	Sin nombre especial P1 ^ P2	Extremos de arco Arco en posición estándar Es aquél arco cuyo extremo inicial es el origen de arcos de la C. y B P1 Medida del arco positivo θ A’ θrad A O αrad x α C. y su extremo final cualquier punto sobre la C.T.TRIGONOMETRÍA UNIDAD 7 Circunferencia Trigonométrica (C. 82 U N F V – C E P R E V I . (es aquel que indica el cuadrante al cual pertenece dicho arco). razón por la cual se le denomina también circunferencia unitaria.
0).71 2 Ubique gráficamente en la circunferencia trigonométrica los extremos de arcos (en posición estándar). –1 6 Resolución Para que los arcos se encuentren en posición estándar en la C.T. y ”θ” y ”α” son arcos en posición P estándar tales que: θ es (+) ^ θ ∈ IC α es (–) ^ α ∈ IIIC A x � =θ AP T � =α AT B Observación Del gráfico estos extremos de arcos servirán como referencia para ubicar aproximadamente otros arcos en la C. TRIGONOMETRÍA Observación El ángulo central correspondiente a un arco en posición estándar tiene una medida en radianes que es igual a la medida del arco en unidades. 5π . estos tendrán su posición inicial en el punto A(1.57 B 2 A O x B 3π = 4.T. 4. Ejemplo y π = 1. U N F V – C E P R E V I 83 .
T.T.(arco) = R. Razones trigonométricas de arcos en posición estándar Son numéricamente iguales a las razones trigonométricas de su respectivo ángulo central en la C.(θ) = R. Importante: R.T.T.T.y0) x 1 Cos θ = Cos(θ rad) = 0 = x0 1 y0 A Tg θ = Tg(θ rad) = x x0 x Ctg θ = Ctg(θ rad) = 0 y0 C.TRIGONOMETRÍA y 5π B 6 5π 5π 5π M: extremo de arco ( ∈ IIC) M rad 6 6 6 N: extremo de arco 4 (4 ∈ IIIC) A x Q: extremo de arco -1 (-1 ∈ IVC) 4 -1 rad N -1 Q C.( central) Cálculo de las R. 1 Sec θ = Sec(θ rad) = x0 1 Csc θ = Csc(θ rad) = y0 De acuerdo al gráfico: R. y0 y Sen θ = Sen(θ rad) = = y0 1 P(x0.T.T.(θ rad) Ejemplo: π π 1 Sen = Sen rad = 6 6 2 π π Tg = Tg rad = 1 4 4 84 U N F V – C E P R E V I .T.
Sen θ) Coordenadas del extremo de arco y O x C.y0). B Coordenadas opuestas y O x : Coordenadas opuestas C. U N F V – C E P R E V I 85 .y0) = (Cos θ. luego se tendra: (x0.T. Coordenadas simétricas y θ O x C.T.T. TRIGONOMETRÍA Observación: Las coordenadas de “P” son (x0.
T. Líneas trigonométricas Son segmentos de rectas dirigidas.T. Representaciones de seno. y y Sen=1 Decrece Crece Sen=0 Sen=0 x x Decrece Crece Sen=-1 Rango de valores –1 ≤ Sen θ ≤ 1 ∀θ∈R -1 1 86 U N F V – C E P R E V I . el valor numérico de una razón trigonométrica de un ángulo o número. los cuales nos representan en la circunferencia trigonométrica. coseno de un arco en la C. Representación de la línea Seno El seno de un arco viene a ser la ordenada trazada de su extremo de arco.TRIGONOMETRÍA Coordenadas ortogonales y O x C.
y y Cos=0 Decrece Decrece Cos=-1 Cos=1 x x Crece Crece Cos=0 Rango de valores –1 ≤ Cos θ ≤ 1 ∀θ∈R -1 1 U N F V – C E P R E V I 87 . TRIGONOMETRÍA Representación de la línea Coseno El coseno de un arco es la abscisa trazada de su extremo de arco.
Cos 235°. 88 U N F V – C E P R E V I .	Calcular el cociente de los valores a) 4	b) 5	c) 6 máximo y mínimo de: d) 7	e) 8 Q = 6Cos α – 7 5. 1 − 3a 3 8.	Considerando los valores de: Senα a) µ²	b) 2Sen α µ² 2 Sen 40°. Q = 2 – 3 Sen α  3   3  Encontrar el valor de “A-B” 9.	Si: “θ" ∈ IVC y Cos θ = 7  7 7 c) K ∈ −1.	Hallar la variación de “m” si: c) 6 ≤ m ≤ 8	d) –2 ≤ m ≤ 2 e) 2 ≤ m ≤ 3 m+3 3.	Hallar la extensión de "K". Sen 310° c) Sen α µ²	d) 2Cos α µ² e) Cos α µ² Luego el mayor valor será: a) Sen 40°	b) Sen 130° 6. TRIGONOMETRÍA Problemas I 1. d) K ∈ 1. Cos 325° 2. 1]	b) K ∈ −1. Cos 145°.2 c) − . si: Cosα = 5 3K − 7 a) –1 ≤ m ≤ 1	b) 2 ≤ m ≤ 8 "θ" ∈ IIIC y Sen θ = c) –8 ≤ m ≤ 8	d) –8 ≤ m ≤ –2 4 e) –8 ≤ m ≤ 2 7 a) K ∈ [-1. Sen 220°.  3  3 ¿Entre que límites debe estar “a” para que el "Cos θ" exista?  7 e) K ∈ 1.2   1  b) − .T.  3  a)  1 .	Considerando los valores de: c) Sen 220°	d) Sen 310° e) Necesito calculadora Cos 55°.	Si “A” es el máximo valor.	Hallar la variación de "m" para que Luego el menor valor será: sea posible la relación: a) Cos 325°	b) Cos 235° c) Cos 145°	d) Cos 55° Sen α = 2m – 7 e) Necesito calculadora a) 3 ≤ m ≤ 4	b) –1 ≤ m ≤ 1 7. e) −2.	Hallar el área de la región sombreada: a) 1	b) 13	c) –13 y d) –1/13	e) 1/13 O x C. Sen 130°. y “B” el  3   3   3  mínimo valor de la expresión:  1  1 d) −2.2  1  4.
5Sen α · Cos α µ² 3 b) 2Sen α · Cos α µ² Sen360° + 3Sen90° − 2Cos 180° J= c) Sen α · Cos α µ² Cos90° + 10Sen2 270° ⋅ Cos3 0° d) –Sen α · Cos α µ² e) –0.T.1	e) –0.	Indicar la relación posible: Hallar la extensión de: E = 4Cos θ + 1 a) Sen α = 3 a) <3. C.5.1] c) Sen θ = 2 +1 18.	Siendo: sombreada: P = 3Sen²α – 5Cos²β .	Si: <α < α2 < π 2 1 Indicar si es (V) o (F) 1 1 a)– b) c) 1 i)	Sen α1 < Sen α2 2 2 ii)	Cos α1 > Cos α2 2 2 iii)	Sen α2 · Cos α1 > 0 d) − e) iv)	Cos α2 · Sen α1 < 0 2 2 a) FVVF	b) FVFV	c) VFFF π π d) FVVV	e) VFVF 17. 5>	b) [3.	Si: 45° < θ < 135° y A < Sen θ ≤ B Hallar el valor de: π W = (A+B) (A-B) 12.1	c) 0.5Sen α · Cos α µ² a) 1	b) 0. hallar el área de la región sombreada. TRIGONOMETRÍA 10.5 d) –0.	Hallar el área de la región 14.	En la figura.	Indicar la verdad (V) o Falsedad (F) de las siguientes proposiciones: d) Cos φ = 1– 3 i)	Sen 1 < Sen 3	( ) ii)	Cos4 > Cos2	( ) 3 iii)	Sen 5 · Cos 6 > 0	( ) e) Sen γ = a) VVV	b) FVV	c) FFV 2 d)FFF	e)VFF U N F V – C E P R E V I 89 . α≠β y Encontrar: Pmáx · Pmin a) –64	b) –15	c) –2 d) 1	e) 0 O x 15. e) (1+Cos θ)µ² 11.	Calcular: a) 0. y a)   1 − Cosθ  µ²	b)  1 + Cosθ  µ²     2   2  O x c)   Cosθ  µ²	d) (1–Cos θ)µ²   2  C. 5] b) Cos β =– 2 d) [3.5>	e) <0.T. 5]	c) <3.	Si: − <θ< 6 3 13.5 16.
b 13. c 6.T.	Indicar el mayor valor en las d) [1. e 9. ( ) Cos 10° > Cos 50° y ( ) Cos 120° > Cos 160° ( ) Cos 290° > Cos 340° a) VVV	b) FFF	c) FVF d) VVF	e) VFF O x 3. C.	Indicar la extensión de "k".Cos β) u² ( ) Sen 100° = Cos 350° d) 0.Cos β) u² c) 0. e 10.2> CLAVES I 2 2 1.	Indicar verdadero (V) ó falso (F) mostrada en la circunferencia según corresponda: trigonométrica. b 6. 4] 1. e 20. e) <–1. verifique la igualdad: y 2k − 5 S R Senθ = 3 a) –1 ≤ k ≤ 1	b) 0 ≤ k ≤ 3 O x c) 0 ≤ k ≤ 1	d) 1 ≤ k ≤ 4 θ e) –2 ≤ k ≤ 1 P Q 5. . TRIGONOMETRÍA 19.5 · Sen β · Cos β u² ( ) Cos 190° > Cos 300° b) 0. hallar el perímetro del 4.	Si “α” ∈  π 3π  . b 2.	Hallar la variación de “k”’ para que se rectángulo PQRS. e 8. hallar la extensión 11. a E = 4Sen α – 3 Problemas II a) [–1. c 7. a 3.5 (1 +Sen β + Cos β) u² a) VVV	b) FFF	c) FFV e) 0.5 (1+Sen β . según corresponda: ( ) Sen 20° > Cos 20° a) 0. − c) [0.1]	b) [0. 1]	c) [–3. d 4. d 19. 2]	e) [–2.1]	b) −2. c 12.5 (1-Sen β + Cos β) u² d) VFF	e) VVF 20. si “θ” ∈ IIC. 0] siguientes alternativas: a) Sen 20°	b) Sen 70° c) Sen 100°	d) Sen 230° e) Sen 300° 90 U N F V – C E P R E V I .	Indicar verdadero (V) ó falso (F) C.	Hallar el área de la región triangular 2.T.5 (1-Sen β .	En la figura. a 17. b 15. c de:  6 5  16. 1] e) 4 · Sen θ · Cos θ 2 1 3 d) − . c 18. d 14. c 5. además: a) -4(Sen θ + Cos θ) Cos θ = 2k + 3 b) 4(Sen θ + Cos θ) c) -4(Sen θ – Cos θ) d) -4(Cos θ – Sen θ) 3 a) [–1.
hallar la diferencia entre el ( ) Sen Kπ = 0 máximo y mínimo valor de: ( ) Cos(2k+1)π = –1 M = 2Sen α + 3Cos2β π ( ) Sen(4k+1) =1 a) 1	b) 3	c) 5 2 d) 7	e) 9 a) VVV	b) FFV	c) VVF d) VFV	e) VFF 8.	Sabiendo que: y Sen x − 1 + 4Cos x = Sen y Calcular el valor de: O x M = Cos x + Cos y a) –2	b) –1	c) 0 d) 1	e) 2 P 13. –1) II.	Cos 3 > Cos 4 e) (Cos θ.2>	b) [0. –1)	b) (–1.T.	En la C.	Cos  5x + = a) Sen θ	b) Cos θ	c) –Cos θ  4 2 1 1 d) Sen θ	e) − Cos θ x+y 2 2 5 −1 iii. calcular: x(1–Cos θ)  2  2 y a) VVV	b) FFF	c) VVF d) VFV	e) FVF x 15.–1> d) [–2. Cos θ) I. hallar las coordenadas del punto “P”. TRIGONOMETRÍA 7.	Indicar verdadero (V) ó falso (F) según corresponda: O x i.	Calcular el área de la región b) Solo II sombreada: c) Solo III y d) Solo l y ll e) Solo II y III 14.	Indicar las alternativas correctas: a) (–Sen θ.	Del gráfico.–1) III. –Cos θ)	d) (–Cos θ. 120°>.T.2] a) 2Sen θ	b) 3Cos θ	c) Tg θ d) Sen θ	e) 2Sec θ U N F V – C E P R E V I 91 . a) [–1.	Sen  = 10.  π 3+ 2 ii.	Sen 4α = 3 –1 C.T.	Sabiendo que “α” ∈ <30°.2>	e) [1.3]	c) <–2.	Siendo "α" y "β" ángulos independientes 11.	Cos 6 > Sen 1 a) Solo I 9.	Sen 1 > Sen 2 c) (–1. hallar la extensión de: O x M = 2Cos 2α + 1 C. 12.	Indicar verdadero (V) ó falso (F): entre si. mostrada.
c 13.45°> 20. b 17. –1] d) [-2. d 5. b 20. e d) 4	e) 5 18. TRIGONOMETRÍA 16.45°] e) <30°. d 15. M = Sen²α+Cos²β+2(Senα+3Cos β) a) Csc θ	b) Sen θ a) 2	b) 4	c) 6 1 d) 8	e) 10 c) –Cos θ	d) Sen θ·Cos θ 2 1 e) Cos θ CLAVES II 2 1. d 9.	Si ”α” ∈ IIIC.60°>	d) [30°. d 17. c 4.30°> x c) <30°. a 7. a 19. c 14. 2]	c) [-2.T. d 3.45°>	b) <0°. a a) 1	b) 2	c) 3 16. hallar la variación del sombreada: ángulo agudo “β” para el cual se y cumple: Cosα + 1 Senβ = 2 a) <10°. 1]	b) [0. a 12. 2] 92 U N F V – C E P R E V I . d 8.	Calcular el área de la región 19.	Hallar la extensión de: π Cos  Sen x   2  a) [0.	Calcular el máximo valor de: C. 0]	e)[1. e 10. c 2. d 18.	Calcular el máximo valor de: 6. a E = (3–Cos x)(1 + Cos x) 11.
q. Se clasifican en:	Pitágoricas Por cociente Recíprocas Identidades pitagóricas Sen2θ + Cos2θ	= 1 1 + Tan2θ	= Sec2θ 1 + Cot2θ	= Csc2θ Sabemos que: x2 + y2	= r2 x2 y2 + =1 r2 r2 y2 x2 + =1 r2 r2 Sen2θ + Cos2θ	= 1	L. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 8 Identidades trigonométricas para un mismo arco Identidad Trigonométrica Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible del ángulo. Ejemplos Identidad Algebraica: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Identidad Trigonométrica: Sen2θ + Cos2θ = 1 Ecuación Trigonométrica: Senθ + Cosθ = 1 Para: θ = 90º Cumple Para: θ = 30º No cumple Identidades Fundamentales Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas.d U N F V – C E P R E V I 93 .q.
d ABSCISA x x Cosθ r Identidades recíprocas Senθ • Cscθ	= 1 Cosθ • Secθ	= 1 Tanθ • Cotθ	= 1 Demostración 1	= 1 y r • = 1 r y Senθ • Cscθ	= 1	L.q.q.d Observación: Sen2θ + Cos2θ	= 1 Despejando:	Sen2θ	= 1 – Cos2θ	⇒ Sen2θ = (1+ Cosθ) (1 – Cosθ) Así mismo:	Cos2θ	= 1 – Sen2θ	⇒ Cos2θ = (1 + Senθ) (1 – Senθ) Identidades auxiliares A)	Sen4θ + Cos4θ = 1 – 2Sen2θ • Cos2θ B)	Sen6θ + Cos6θ = 1 – 3Sen2θ • Cos2θ C)	Tanθ + Cotθ = Secθ • Cscθ D)	Sec2θ + Csc2θ = Sec2θ • Csc2θ E)	(1 + Senθ + Cosθ)2 = 2(1 + Senθ)(1 + Cosθ) 94 U N F V – C E P R E V I .q.TRIGONOMETRÍA Identidades por cociente Senθ Tan θ	= Cos θ Cosθ Cot θ	= Senθ Demostración y ORDENADA y Senθ Tanθ	= = = r = L.q.
TRIGONOMETRÍA Demostraciones A)	Sen2θ + Cos2θ = 1 al cuadrado: (Sen2θ + Cos2θ)2 = 12 Sen4θ + Cos4θ +2Sen2θ • Cos2θ = 1 ⇒	Sen4θ + Cos4θ = 1 –2Sen2θ • Cos2θ B)	Sen2θ + Cos2θ = 1 al cubo: (Sen2θ + Cos2θ)3	= 13 Sen θ + Cos θ + 3Sen2θ • Cos2θ(Sen2θ + Cos2θ) = 1 6 6 Sen6θ + Cos6θ + 3Sen2θ • Cos2θ = 1 ⇒	Sen6θ + Cos6θ = 1 –3Sen2θ • Cos2θ Senθ Cosθ C)	Tanθ + Cotθ = + Cosθ Senθ Sen2θ + Cos2θ Tanθ + Cotθ = Cosθ • Senθ 1• 1 Tanθ + Cotθ = Cosθ • Senθ ⇒	Tanθ + Cotθ = Secθ • Cscθ 1 1 D)	Sec2θ + Csc2θ = + 2 Cos θ Sen2θ Sen2θ + Cos2θ Sec2θ + Csc2θ = Cos2θ • Sen2θ 1• 1 Sec2θ + Csc2θ = Cos θ • Sen2θ 2 ⇒	Sec2θ + Csc2θ = Sec2θ • Csc2θ E)	(1+Senθ+Cosθ)2 = 12+(Senθ)2+(Cosθ)2+2Senθ+2Cosθ+2Senθ•Cosθ = 1 + Sen2θ + Cos2θ + 2Senθ + 2cosθ + 2Senθ • Cosθ = 2 + 2Senθ + 2Cosθ + 2Senθ • Cosθ U N F V – C E P R E V I 95 .
Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas. 2. Ejemplos 1)	Demostrar: Secx•(1 – Sen2x)•Cscx	= Cotx Se escoge el 1er miembro: Secx•(1 – Sen2x)•Cscx	= Se lleva a senos y cosenos: 1 1 • (Cos2 x ) • = Cosx Senx 1 Se efectúa:	Cosx • = Senx Cotx	= Cotx 2)	Demostrar: [Secx + Tanx – 1][1 + Secx – Tanx]	= 2Tanx Se escoge el 1er miembro: [Secx + Tanx – 1][Secx – Tanx + 1]	= [Secx + (Tanx – 1)][Secx –(Tanx – 1)]	= Se efectua: (Secx)2 – (Tanx – 1)2	= (1+ Tan x) – (Tan2x – 2Tanx – 1)	= 2 1 + Tan2x – Tan2x + 2Tanx – 1	= 2Tanx	= 2Tanx 96 U N F V – C E P R E V I . TRIGONOMETRÍA Agrupando convenientemente: = 2(1 + Senθ) + 2Cosθ(1 + Senθ) = (1 + Senθ)(2 + 2Cosθ) = 2(1 + Senθ) (1 + Cosθ) Finalmente: ⇒	(1 + Senθ + Cosθ)2 = 2(1 + Senθ) (1 + Cosθ) Problemas para demostrar Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta son equivalentes. Para lograr dicho objetivo se siguen los siguientes pasos: 1. 3.	Se escoge el miembro “más complicado”.	Se lleva a Senos y Cosenos (por lo general).
Hallar: Senx•Cosx 2 Resolución 2  1 Del dato:	(Senx + Cosx)2	=   2 1 Sen2x + Cos2x + 2Senx • Cosx	= 4 U N F V – C E P R E V I 97 . Ejemplos 1 Si Senx + Cosx = . TRIGONOMETRÍA Problemas para simplificar y reducir Ejemplos 1)	Reducir: K = Sen4x – Cos4x + 2Cos2x Por diferencia de cuadrados  1   K = (Sen2x + Cos2x) (Sen2x – Cos2x) + 2Cos2x K = Sen2x – Cos2x + 2Cos2x K = Sen2x + Cos2x	⇒	K=1 2)	Simplificar: 1 + Cosx Senx E= − Senx 1 − Cosx 1− Cos 2  x (1 + Cosx)(1 − Cosx) − (Senx)(Senx) E= Senx(1 − Cosx) Sen2 x − Sen2 x 0 E= →	E= Senx(1 − Cosx ) Senx(1 − Cosx ) ⇒	E=0 Problemas condicionales Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones.
Ejemplos Eliminar “x” a partir de:	Senx = a Cosx = b Resolución De:	Senx	= a	→	Sen2x	= a2   Sumamos Cosx	= b	→	Cos x	= b 2 2  Sen2x + Cos2x	= a2 + b2 ∴	1	= a2 + b2 Resumen de fórmulas Fundamentales Sen2θ = 1 – Cos2θ 	Sen2θ + Cos2θ = 1  	Cos2θ = 1 – Sen2θ P  I T 	Tan2θ = Sec2θ –1 G 	1 + Tan2θ = Sec2θ	A Ó  R Sec2θ – Tan2θ = 1 I  C  A S 	Cot2θ = Csc2θ – 1 	1 + Cot2θ = Csc2θ 	 Csc2θ – Cot2θ = 1 98 U N F V – C E P R E V I . y que al final se den relaciones independientes de la variable. TRIGONOMETRÍA 1 2Senx • Cosx	= −1 4 3 2Senx • Cosx	= − 4 3 ⇒	Senx • Cosx	= − 8 Problemas para eliminar ángulos La idea central es eliminar todas las expresiones algebraicas.
TRIGONOMETRÍA D E  Tanθ = Senθ C O  Cosθ C I  Cosθ Cotθ = E N  Senθ T E  1 	Senθ Senθ • Cscθ = 1 = Cscθ  1 	Cscθ = Senθ R  C 	Cosθ = E 1 P 	Cosθ • Secθ = 1	Í Secθ R  O 1 A  C Secθ = Cosθ S  	Tanθ = 1 	Tanθ • Cotθ = 1 Cotθ 	Cotθ = 1  Tanθ Auxiliares Sen4θ + Cos4θ	= 1 – 2Sen2θ • Cos2θ Sen6θ + Cos6θ	= 1 – 3Sen2θ • Cos2θ Tanθ + Cotθ	= Secθ • Cscθ Sec2θ + Csc2θ	= Sec2θ • Csc2θ (1 ± Senθ ± Cosθ)2	= 2(1 ± Senθ)(1 ± Cosθ) U N F V – C E P R E V I 99 .
Reducir la expresión: 15. 3.	Si: Tg x + Ctg x = 3 a) 1	b) Sen x	c) Sen²x Hallar: d) Sec x	e) Cos²x Tg4x + Ctg4x a) 41	b) 43	c) 45 5.	Si: Cos x = .	Reducir: a) 0	b) 1	c) 2 (Sen x + Cos x)² + (Sen x – Cos x)2 d) 3	e)4 a) 1	b) 2 c) 2Sen x Cos x	d) 4Sen x Cos x 11.	Si: Sen x + Cos x = n (Sen²x .	Reducir la expresión: Csc x(Csc x+Sen x) – Ctg x(Ctg x–Tg x) 1.	Reducir: (Sec x – Cos x)Ctg x 13.	Reducir: 1 1 (Sen x + Cos x · Ctg x)Sen x + Secx + Tgx Ctgx a) Tg x	b) Ctg x	c) 1 d) Sec x	e) Csc x a) Sen x	b) Cos x	c) Sec x d) Csc x	e) Tg x 4.	Reducir.	Simplificar: a “x”.Cos²x)Csc²x + Ctg²x Hallar: a) 0	b) 1	c) 2 Tg x + Ctg x + Sec x + Csc x d) 3	e) 4 7.	Simplificar: 1 − Senx ⋅ Cosx (Csc x – Ctg x)(1 + Cos x) a) Sen x	b) Cos x	c) Tg x a) 1	b) Sen x	c) Cos x d) Ctg x	e) Sec x d) Sen²x	e) Cos²x 12.	Si: Tg x + Ctg x = 3 1 + Cosx Senx k Hallar: (Sen x + Cos x)2 a) Sen x	b) Cos x	c) Tg x a) 5	b) 5/2	c) 5/3 d) Sec x	e) Csc x d) 5/4	e) 5/6 6.	Hallar “A” en la identidad: 1 1 17. Ctg x = 1 + Senx a+b a−b = A + Tg x 1 − Senx Eliminar “x” a) Sen x	b) Cos x	c) Ctg x a) ab = 1	b) 2ab = 1	c) 3ab = 1 d) Sec x	e) Csc x d) 4ab = 1	e) 5ab = 1 100 U N F V – C E P R E V I . TRIGONOMETRÍA Problemas I 10.	Hallar “k” de la siguiente identidad: d) 47	e) 49 Senx 1 + Cosx 2 + = 14.	Si la expresión es independiente de 8. hallar: Cosx b Tgx + 1 + Senx 3a(Sen4x+Cos4x)+b(Sen6x + Cos6x) a) 2	b) 2Sec x	c) 2Csc x a) 1/5	b) -1/3	c) -1/2 d) Sec x	e) Csc x d) -2/3	e) 5/2 9.	Reducir: e) 4 Sen3 x + Cos3 x − Cosx 2.	Reducir: 2 a) n+1	b) n -1	c) Secx − Cosx n +1 Cscx − Senx 2 1 d) e) a) Tg x	b) Tg²x	c) Tg³x n −1 n −1 d) Ctg²x	e) Ctg³x 16.
Reduzca: Senx − Cosx J= Sec 2 x − 2Sen2 x − Tan2 x a) 1	b) 7	c) 1 Csc 2 x − 2Cos2 x − Cot 2 x 7 a) –2	b) 2	c) –1 7 d) 1	e) 0 d) 7 e) 7 U N F V – C E P R E V I 101 . a 12.	Reducir: (1 + Senx − Cosx)2 (1 − Senx + Cosx)2 =U − (2 + 2Senx) (2 + 2Cosx) CLAVES I 1. d 10.0	b) 1. d 18.	Simplificar: 5.1)(Sec x – Tg x + 1) trigonométrica: a) 2Sen x	b) 2Cos x	c) 2Tg x (1+Tan x)2+(1+Cotx)2=(Secx+Cscx)n d) 2Sec x	e) 2Csc x a) 0	b) 1	c) 2 d) 3	e) 4 19.	Siendo: Sen x · Cos x = Hallar: 8 a) –1	b) 1	c) –2 d) 2	e) 0 Senx + Cosx T= 4. c 8. b 2.	Si: 5Sec x – 4Tg x = 3 a) 1	b) 5	c) –1 Calcular: A = Sen x + Cos x 1 d) –5	e) − a) 1. c 15. c 13. d e) Sen x – Cos x 16. c 4. d 14.	Reducir: Secx(Secx − Cosx) + Cscx(Cscx − Senx) W= Cotx(Tanx − Cotx) − Tanx(Cotx + Tanx) 3 10. c 17.	Simplificar: (Senx + Cosx)(Senx − Cosx) a) Tan²x+Cot²x P= Sen4 x − Cos4 x b) Sec²x+Cos²x c) Sen²x+Csc²x a) 0	b) 1	c) –1 d) Sec²x+Csc²x d) Sen²x	e) Cos²x e) 1 2. b 3.	Simplificar: (1 + Senx)−1 + (1 − Senx)−1 Q= (2Tanx + Secx)(Cscx − Senx) (1 − Cosx)−1 + (1 + Cosx)−1 L= Cotx + 2Cosx a) 1	b) Tan x	c) Cot x a) 1	b) Cos²x	c) Cos4x d) Tan²x	e) Cot²x d) Tan2x	e) Cot2x 3.	Hallar “n” en la siguiente identidad (Sec x + Tg x .	Reducir: Sec x·Csc x – Ctg x + Sec x + Tg x Sen4 x(1 + Sen2 x) + Cos4 x(1 + Cos2 x) − 2 a) Sen x	b) Cos x	c) Sec x H= Sen4 x(1 − Sen2 x) + Cos4 x(1 − Cos2 x) d) Csc x	e) Ctg x 20. b 5.	Simplificar: 1 6.6	e) 1. c 19. d 9. a a) 0	b) 2 6.	Reducir: 9.8 7. TRIGONOMETRÍA 18.	Indicar el equivalente de: 2 2 Problemas II  Cosx − 1   Senx + 1  M=      1 − Senx Cotx   1 + Cosx Tanx  1. d c) Cos x– Sen x	d) Sen x + Cos x 11. b 7.4 5 d) 1. c 20. c 8.2	c) 1.
Simplificar: d) 1– 3 e) 3 –1 Csc 2 x + Sen2 x − 1 P= 18. d Hallar: 11.	Siendo: a) 12	b) 15	c) 27 (Sec A + Tan A) (Csc B – Cot B) = k d) 33	e) 36 Hallar: (Tan A – Sec A)(Cot B + Csc B) 20. a 4. TRIGONOMETRÍA 11. b 19. d Sec 2 x + Csc 2 x − 1 V= Tanx + Cotx − 1 2 1 + m2 m2 − 1 a) b) c) 2 2 m −1 1− m m2 + 1 1 − m2 m2 + 1 d) e) 1 + m2 m2 − 1 102 U N F V – C E P R E V I . e 20. a 10. d 16. b 2.	Calcular: (Sen3° + cos3°)2 + (Sen3° − Cos3°)2 π π Y= 2 1 − 2Cos   ⋅ Sen   F= (Tan1° + Cot1°)2 − (Tan1° − Cot1°)2 3 3 1 1 a) b) c) 1 3	2 3 1 d) 2	e) 3 a) b) c) 3 +1 2 2 12.	Dado: a) –Tan²x	b) Tan²x	c) 1 Tan x – Cot x = 3 d) –Cot²x	e) Cot²x Halle: J = Tan3x – Cot3x 14. c Sen x + Cos x = m 6.	Si: Cos x(1+Cos x) = 1 a) 1	b) –k	c) –k–1 Hallar: d) k	e) k–1 M = Csc2x + Cos2x 15. b 12. a 14. e 17.	Sabiendo que: 1. b 13.	Calcular: 17. c 15. d 3. d 7.	Simplificar: Sec 2 x + Cos2 x − 1 T an2 x − Sen2 x a) 1	b) Cot²x	c) Tan²x H=3 d) Cot6x	e) Tan6x Cot 2 x − Cos2 x 13.	Simplificar: a) 1	b) Tan²x	c) Cot²x [Secx + Tanx + 1] ⋅ [Secx − Tanx − 1] d) Tan6x	e) Cot6x W= [Cscx + Cotx − 1] ⋅ [Cscx − Cotx + 1] 19. e 8. d 9. c 5.	Reducir: a) 0	b) 1	c) 2 Q = 1 – Tan²x + Tan4x – Tan6x + … d) 2	e) 4 a) Tan²x	b) Sec²x	c) Csc²x d) Cos²x	e) Sen²x CLAVES II 16. e 18.
TRIGONOMETRÍA UNIDAD 9 Identidades trigonométricas para el arco compuesto Identidades trigonométricas para la suma de dos arcos A partir del gráfico: Y B M α 1 CIRCUNFERENCIA S TRIGONOMETRICA R β α X O P Q A Sen(α + β) = ? Sen(α + β) = MP = PS + SM = QR + SM OQR ⇒ OQ = OR  Sen= α Senα • Cosβ Cosβ MSR ⇒ SR = MR  Cos= α Cosα • Senβ Senβ Luego: Sen(α + β) = Senα • Cosβ + Cosα • Senβ Cos(α + β) = ? Cos(α + β) = OP = OQ – PQ = OQ – SR OQR ⇒ OR = OR  Cos=α Cosα • Cosβ Cosβ MSR ⇒ SM = MR  Sen= α Senα • Senβ Senβ Luego: Cos(α + β) = Cosα • Cosβ – Senα • Senβ U N F V – C E P R E V I 103 .
TRIGONOMETRÍA Tan(α + β) = ? Sen(α + β) Senα • Cosβ + Cosα • Senβ Tan(α + β) = = Cos(α + β) Cosα • Cosβ − Senα • Senβ Dividiendo a la expresión por CosαCosβ Senα • Cosβ Cosα • Senβ + Cosα • Cosβ Cosα • Cosβ Tan(α + β) = Cosα • Cosβ Senα • Senβ − Cosα • Cosβ Cosα • Cosβ Luego: Tanα + Tanβ Tan(α + β) = 1 − Tanα • Tanβ Observaciones 1 Cot(α + β)	= Tan(α + β) 1 Sec(α + β)	= Cos(α + β) 1 Csc(α + β)	= Sen(α + β) Ejemplos Sen 75º = ? Sen(45º + 30º) = Sen45º • Cos30º + Sen30º • Cos45º 2 3 1 2 = • + • 2 2 2 2 4 75º 6.2 6 2 = + 4 4 15º 6+ 2 6+ 2 ∴	Sen75º = ⇒ 4 104 U N F V – C E P R E V I .
TRIGONOMETRÍA De la circunferencia trigonométrica se observa que: Y *	Sen(-α) = M’P B Sen(α)	= MP M ∴	M’P	= -MP	⇒	Sen(-α) = –Senα *	Cos(-α)	= OP	⇒ Cos(-α) = Cosα Cos( α) = OP α O X −α P A Asi mismo: *	Cot(-α)	= –Cotα *	Sec(-α) = Secα *	Csc(-α)	= –Cscα M’ *	Tan(-α) = –Tanα B’ CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA Identidades trigonométricas para la diferencia de dos arcos Sen(α – β) = ? Sen[α + (-β)] = Senα • Cos( −β) + Cosα • Sen( −β)       Cosβ − Senβ Luego: Sen(α – β) = Senα • Cosβ – Cosα • Senβ Cos(α – β) = ? Cos[α + (– β)] = Cosα • Cos( −β) − Senα • Sen( −β)       Cosβ − Senβ Luego: Cos(α – β) = Cosα • Cosβ + Senα • Senβ Tan(α – β) = ? − Tanβ     Tanα + Tan( −β) Tan[α + (–β)] = 1 − Tanα • Tan  ( − β)  − Tanβ Luego: Tanα − Tanβ Tan(α – β) = 1 + Tanα • Tanβ U N F V – C E P R E V I 105 .
TRIGONOMETRÍA Observaciones: 1 Así mismo:	Cot(α − β) = Tan(α − β) 1 Sec(α − β) = Cos(α − β) 1 Csc(α − β) = Sen(α − β) Ejemplos Cos16º = ? Cos(53º – 37º)	= Cos53º • Cos37º + Sen53º • Sen37º 3 4 4 3 = • + • 5 5 5 5 74º 25 12 12 = + 7 25 25 24 16º ∴	Cos16º	= ⇒ 25 24 Tan8º = ? Tan45º −Tan37º Tan(45º – 37º)	= 1 + Tan45º • Tan37º 3 1 1− 5 2 82º = 4 = 4 3 7 1 1 + 1• 4 4 8º 1 ∴	Tan8º	= ⇒ 7 7 Propiedades Sen(α + β) • Sen(α – β) = Sen2α – Sen2β Demostración Sabemos que: *	Sen(α + β) = Senα • Cosβ + Cosα • Senβ	⇒	i *	Sen(α – β) = Senα • Cosβ – Cosα • Senβ	⇒	ii 106 U N F V – C E P R E V I .
β)	= [(Senα • Cosβ)2 – (Cosα • Senβ)2] = Sen2α • Cos2β – Cos2a • Sen2β = Sen2α • (1 . tenemos: Sen(α + β) • Sen(α .d Ejemplos 1 •	Sen(45º + θ) • Sen(45º – θ) = Sen245º – Sen2θ = – Sen2θ 2 •	Sen23x – Sen22x = Sen(3x + 2x) • Sen(3x – 2x) = Sen5x • Senx Tanα +Tanβ + Tan(α + β) • Tanα • Tanβ = Tan(α + β) Demostración Sabemos que: Tanα + Tanβ = Tan(α + β) 1 − Tanα • Tanβ Tanα + Tanβ	= Tan(α + β) • [1 .q. TRIGONOMETRÍA Multiplicando miembro a miembro i •ii.q.Sen2β) – (1 – Sen2α) • Sen2β = Sen2α – Sen2α • Sen2β – Sen2β + Sen2α • Sen2β ∴	Sen(α + β) • Sen(α – β) = Sen2α – Sen2β L.q.Tanα • Tanβ] Tanα + Tanβ	= Tan(α + β) – Tan(α + β) • Tanα • Tanβ ∴	Tanα + Tanβ + Tan(α + β) • Tanα • Tanβ = Tan(α + β)	L.q.d Ejemplos •	M = Tan2θ +  Tanθ + Tan3θ • Tan2θ • Tanθ → M = Tan(2θ + θ) Tan( 2θ + θ) ∴	M = Tan 3θ •	N = Tan70º+Tan10º+Tan80º•Tan70º•Tan10º   → N = Tan(70º+10º) Tan(70º +10º) ∴	N = Tan 80º •	P = Tan55º + Tan5º + 3 •Tan55º • Tan5º → P = Tan(55º + 5º) Tan60º  Tan(55º +5º) ∴	P = Tan60º = 3 U N F V – C E P R E V I 107 .
entonces se cumplirá: TanA  + TanB  + TanC  = TanA  • TanB  • TanC  3 2 ? 3 2 ? Reemplazando datos:	3 + 2 + TanC	= 3 • 2 • TanC 5 + TanC	= 6 • TanC 5	= 5 • TanC ∴	TanC	= 1 Ejemplos Calcular: π 2π 4π π 2π 4π E = Tan + Tan + Tan − Tan • Tan • Tan 7 7 7 7 7 7 108 U N F V – C E P R E V I . TRIGONOMETRÍA •	Q = Tan13º + Tan32º + Tan13º • Tan32º Q = Tan13º + Tan32º + 1 • Tan13º  • Tan32º → Q = Tan(13º + 32º) Tan45º  Tan(13º +32º) ∴	Q = Tan45º = 1 Si: α + β + θ = 180º ⇒ Tanα + Tanβ + Tanθ = Tanα • Tanβ • Tanθ Demostración Por condición:	α + β + θ	= 180º α + β	= 180º – θ Tan(α + β)	= Tan(180º – θ) Tanα + Tanβ = –Tanθ 1 − Tanα • Tanβ Tanα + Tanβ	= –Tanθ • (1 – Tanα • Tanβ) Tanα + Tanβ	= – Tanθ + Tanα • Tanβ • Tanθ ∴	Tanα + Tanβ + Tanθ	= Tanα • Tanβ • Tanθ	L.q.q. así: Tan A = 3 y Tan B = 2. Hallar “Tan C” Resolución En todo ∆ABC: A + B + C = 180º.d Ejemplos En un ∆ABC.
q.q. TRIGONOMETRÍA Resolución π 2π 4 π Se nota que:	+ + =π 7 7 7 π 2π 4π π 2π 4π ⇒	Tan + Tan + Tan = Tan • Tan • Tan 7 7 7 7 7 7 Reemplazamos: π 2π 4π π 2π 4π E = Tan • Tan • Tan − Tan • Tan • Tan 7 7 7 7 7 7 ⇒	E = 0 Si: α + β + θ = 90º ⇒ Tanα • Tanβ + Tanβ • Tanθ + Tanα • Tanθ = 1 Demostración Por condición:	α + β + θ	= 90º α + β	= 90º – θ Tan(α + β)	= Tan(90º – θ) Tanα + Tanβ = +Cotθ 1 − Tanα • Tanβ Tanα + Tanβ 1 = 1 − Tanα • Tanβ Tan θ (Tanα + Tanβ) • Tanθ	= 1 – Tanα • Tanβ Tanα • Tanθ + Tanβ • Tanθ = 1 – Tanα • Tanβ ∴	Tanα•Tanβ+Tanβ•Tanθ+Tanα•Tanθ= 1	L. entonces Se cumple que:  Tan20º • Tan30º + Tan30º • Tan40º + Tan 20° • Tan40º  =1 W ⇒	W = 1 U N F V – C E P R E V I 109 .d Ejemplo Calcular: W = Tan20º • Tan30º + Tan30º • Tan40º + Tan20º • Tan40º Notamos que: 20º + 30º + 40º = 90º.
TRIGONOMETRÍA Resumen de fórmulas Básicas *	Sen(α ± β) = Senα • Cosβ ± Cosα • Senβ *	Cos(α ± β) = Cosα • Cosβ  Senα • Senβ Tanα ± Tanβ *	Tan(α ± β) = 1  Tanα • Tanβ Observaciones 1 *	Cot(α ± β) = Tan(α ± β) 1 *	Sec(α ± β) = Cos(α ± β) 1 *	Csc(α ± β) = Sen(α ± β) Propiedades •	Sen(α + β) • Sen(α .Sen2β •	Tanα + Tanβ + Tan(α + β) • Tanα • Tanβ = Tan(α + β) •	Si: α + β + θ = 180º ⇒ Tanα + Tanβ + Tanθ = Tanα • Tanβ • Tanθ •	Si: α + β + θ = 90º ⇒ Tanα • Tanβ + Tanβ • Tanθ + Tanα • Tanθ = 1 Notas •	Notable exacto 5π <) π 5π 12 15º = 12 75º = 12 R.β) = Sen2α .2 4 4 Cos 15º Tan y 2 3 2 3 6+ 2 Cot Sec y 6 2 6 2 Csc •	s Notables aproximados 74º 82º 25 5 2 7 1 16º 8º 24 7 110 U N F V – C E P R E V I . 75º 4 Sen π y 6 2 6 2 ⇒ 12 6.T.
Problemas I 6.	La expresión:
12 4 Sen9° ⋅ Cos6° + Cos9° ⋅ Sen6°
1.	Si: Sen α = ^ Cos β = ; α y β E=
13 5 Cos9° ⋅ Cos6° − Sen9° ⋅ Sen6°
ángulos agudos. es igual a:
Calcular: a) 1	b) 2+ 3 c) 2– 3
Sen(α+β) = ........................................
Cos(α+β) = ........................................ 3
Tan(α+β) = ........................................ 6
8 7 a− b
2.	Si: Cos θ = ^ Sen φ = ;θyφ 7.	Si: Sen 15° =
Indica el valor de: (b - a)
a) –1	b) 1	c) 2
Sen (θ−φ) = .......................................
d) –2	e) 3
Cos (θ−φ) = .......................................
Tan(θ−φ) = ......................................... 8.	Si:	AB=AP=2 2 ;
3.	El valor simplificado de: AD=DC= 6 + 2
2Sen(30° + x) − Cosx Hallar: Cos θ
es: E =
Senx A B
a) 1	b) 3 c) 2 3
4.	Calcular el valor de: D C
E = (Cos70°+Cos10°)²+(Sen70°+Sen10°)²
a) 1	b) 2	c) 3 3 2 4
d) 4	e) 1 3
2 d) e)
5.	¿A qué es igual?
E = Sen(15°+x)·Cos x–Cos(15°+x) · Sen x θ
9.	Hallar:
6+ 2 6− 2 1 Sen5°+Cos 5°= a Senθ°; 0°<θ°< 90°
a) b) c) a) 1	b) 3	c) 5
d) e)0 d) e)
U N F V – C E P R E V I 111
15.	Calcular el valor de:
10.	Hallar:
10a Tan50° − Tan40°
4Tan10°
Sen 20°+ 3 Cos 20° = aSen θ° ; 0°<θ°<90°
a) 1	b) 2	c) 3 1 2 3
d) 4	e) 5 a) b) c)
11.	¿A qué es igual? 4 5
E = 2Sen 20° + 3 Sen 10° 3 2
a) Sen 20°	b) Tan 10°	c) Cos 10° 16.	¿A qué es igual?
d) Tan 20°	e) Cos 20°
Tan2°
12.	El valor de:
Tan46° − Tan44°
E = Cos 40° – 2Cos 50° · Cos 10°
es: a) 2	b) c) –
d) –2	e) 1
a) − b) c) − 17.	Calcular el valor aproximado de:
E = 117 Tan 21° + 31 Tan 29°
d) e) − a) 59	b) 60	c) 61
2 2 d) 62	e) 63
13.	¿A qué es igual? 18.	En la figura, calcular “Tan θ“.
Cot70° + Tan25°
1 − Cot70° ⋅ Tan25°
a) –1	b) 1	c) 3
3 B1 C 2 D 3 E
d) – 3 e)
14.	El valor de: a) b) c)
3	2 6
π π d) 2	e) 3
Tan − Tan
E= 5 30
19.	En la figura, calcular “x”.
π π A
1 + Tan ⋅ Tan
a) 1	b) c) –1
3 B2 C 6 D 4 E
3 a) 4 3 b) 4 6 c) 3 6
d) − e) − 3
3 d) 3 3 e) 4 2
112 U N F V – C E P R E V I
20.	Si ABCD es un cuadrado de lado “3”. 4.	El valor de la expresión:
¿A qué es igual? Sen67° ⋅ Cos14° − Sen14° ⋅ Cos67°
Sen(x − y) Cos38° ⋅ Cos22° − Sen38° ⋅ Sen22°
7Cosx ⋅ Cosy es:
a) 0,2	b) 0,4	c) 0,5
B 2 C d) 1,2	e) 1,6
5.	Calcular:
Tg(50° + x) + Tg(10° − x)
1 − Tg(50° + x)Tg(10° − x)
A D a) 1	b) c) 3
a) b) − c) − d) Tg x	e)
9	10 9 4
6.	De la figura, halle: Tg θ
d) e) −
CLAVES I
1.* 2.* 3. b 4. c 5. b
6. c 7. b 8. b 9. c 10. b
11. c 12. a 13. b 14. b 15. a 1
16. b 17. c 18. b 19. b 20. c
Problemas II a) b) c)
1.	Calcule aproximadamente: Tg 24°
1 7 d) e)
a) b) c) 7 13 13
7 24 7.	Halle el valor de:
73 161 2Cos 48° · Cos 5° – Cos 43°
161 73 a) 0,2	b) 0,3	c) 0,4
d) 0,5	e) 0,6
2.	Reducir la expresión: 8.	Halle el valor de “K”, en:
A = [Sen(α+β) – Sen(α−β)] Sec α K · Tg 56° = Tg 73° – Tg 17°
a) 2Sen β	b) Cos β	c) Sen α a) 1/2	b) 1	c) 3/2
d) Cos α	e) 1 d) 2	e) 2/3
3.	Halle el valor de la expresión: 9.	El valor de la expresión:
4Cos 7° + 3Sen 7°
Cos(x-y) - 2Sen x · Sen y ;0°<x,y<90° es:
Si: Sen x = Cos y
1	3 3 3 3
a) b) 0	c) a) b) 3	c)
d) e) d) e) 5
U N F V – C E P R E V I 113
d 19.	Si: 3Cos(α−β) = 5Cos(α+β) Halle: Hallar: Ctg α · Ctg β TgB ⋅ TgC + 2 a) 1	b) 2	c) 3 N= d) 4	e) 5 TgB ⋅ TgC − 2 a) 1/2	b) 1	c) 2 19. b 4. a 15. TRIGONOMETRÍA 10.	Si: Tg(x+45°) = –3 Halle: Csc x.	Si:	Sen α + Cos β = m Sen β + Cos α = n 1 2 3 Calcular: Sen(α+β) a) b) c) 3 3 2 a) m²+n²+2	b) m²+n²–2 d) 3	e) 5 2 2 2 2 m +n +2 m + n +1 c) d) 2 2 CLAVES II m 2 + n2 − 2 1. c 13.	En un triángulo ABC. e 16. Si: Tg α = 5 4(Tg 19°+Tg 18°)+3Tg 19° · Tg 18° a) 1 b) 2	c) 3 d) 4	e) 5 11. c 12. c 2 11.	De la figura.	Halla el valor de: x (Tg 36°+1)(Tg 9°+1) a) 1/2	b) 1	c) 2 2 3 d) 3/2	e) 4 a) 1	b) 2	c) 3 d) 4	e) 5 12. d 10. a 7.	Calcular: 3Cos40° + Sen40° P= Cos20° ⋅ Cos10° + Sen20° ⋅ Sen10° 3 a) 2 b) 1	c) 3 d) e) 3 2 2 114 U N F V – C E P R E V I .	Calcular el valor de: 17. d 2. a 17. calcular: Tg α d) 3/2	e) 4 13. se cumple: Tg B + Tg C = 5Tg A 18.	Hallar “x”. e 8.	Si: y	Tg(3β-2α) = Halle: Tg(α+β) 3 Sen(α+2β) = 5Sen α 9 7 Halle: a) b) c) 7 d) 9	e) 16 Tgβ 7 9 Tg(α + β) 15. b 16. d 14. c e) 6. e 5. b 20. a 3. 0° < x < 90° a) 3	b) 2	c) 5 5 5 d) e) 2 3 1 1 2 a) b) c) 3 2 3 1 14. b 18. d 9.	Si: Tg(3α–2β) = 3 3 d) e) 1 4 2 20.
q. entonces tendremos: Cos(x + x)	= Cosx • Cosx – Senx • Senx ∴	Cos2x	= Cos2x – Sen2x	L. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 10 Identidades trigonométricas para el arco doble Seno del arco doble Sen2x = 2SenxCosx Demostración Recordar que: Sen(x + y)	= Senx • Cosy + Cosx • Seny Hacemos y = x.d Ejemplos •	Sen20º = Sen2(10º) = 2Sen10º • Cos10º •	Sen4α = Sen2(2α) = 2Sen2α • Cos2α •	2Sen7º30’ • Cos7º30’ = Sen2(7º30’) = Sen14º60’ = Sen15º θ θ θ •	2•Sen • Cos = Sen2 = Senθ 2 2 2 Coseno del arco doble Cos2x = Cos2x – Sen2x Demostración Recordar que: Cos(x + y)	= Cosx • Cosy – Senx • Seny Hacemos y = x.d Ejemplos •	Cos8φ = Cos2(4φ) = Cos24φ – Sen24φ •	Cos50º = Cos2(25º) = Cos225º – Sen225º •	Cos2(A + B) – Sen2(A + B) = Cos2(A + B) = Cos(2A + 2B) π π π π •	Cos2 – Sen2 = Cos2   = Cos 8 8 8 4 U N F V – C E P R E V I 115 . entonces tendremos: Sen(x + x)	= Senx • Cosx + Cosx • Senx ∴	Sen2x	= 2SenxCosx	L.q.q.q.
Degradación del “cuadrado” del seno de un arco simple “x” Se ha demostrado que: Cos2x = 1 – 2Sen2x	⇒	2Sen2x = 1 – Cos2x 116 U N F V – C E P R E V I . donde se presenten “senos” o “cosenos” de ciertos arcos elevados al exponente “2”.TRIGONOMETRÍA Cos2x = 1 – 2Sen2x Demostración Recordar que: Sen2x + Cos2x = 1 ⇒ Cos2x = 1 – Sen2x Reemplazando en: Cos2x = Cos2x – Sen2x ⇒ Cos2x = (1 – Sen2x) – Sen2x ∴	Cos2x = 1 – 2Sen2x	L.d Ejemplos •	Cos86º = Cos2(43º) = 1 – 2Sen243º y y •	Cosy = Cos2   = 1 – 2Sen2 2 2 •	1 – 2Sen21º = Cos2(1º) = cos2º •	1 – 2Sen2(45º – θ) = Cos2(45º – θ) = Cos(90º – 2θ) = Sen2θ Cos2x = 2Cos2x – 1 Demostración Recordamos que: Sen2x + Cos2x = 1 ⇒ Sen2x = 1 – Cos2x Reemplazando en: Cos2x = Cos2x – Sen2x ⇒ Cos2x = Cos2x – (1 – Cos2x) ∴	Cos2x = 2Cos2x – 1	L.d Ejemplos  9º  •	Cos9º = Cos2   = Cos2(4º30’) = 2Cos24º30’ – 1 2 •	Cos6γ = Cos2(3γ) = 2Cos23γ – 1 •	2Cos211º15’ – 1 = Cos2(11º15’) = cos22º30’ •	2Cos2(30º + α) – 1 = Cos2(30º + α) = Cos(60º + 2α) Degradación del exponente “2” o “cuadrado” Las fórmulas expuestas a continuación son empleadas en expresiones trigonométricas.q.q.q.q.
•	2Sen218º = 1 – Cos2(18)º = 1 – Cos36º
2Sen2 2α 1 − Cos2(2α) 1 − Cos4α
•	Sen22α = = =
•	2Sen2(a - b) = 1 – Cos2(a - b) = 1 – Cos(2a – 2b)
•	2Sen222º30’ = 1 – Cos2(22º30’) = 1 – Cos44º60’ = 1 – Cos45º
•	1 – Cos8θ = 1 – Cos2(4θ) = 2Sen24θ
A A
•	1 – CosA = 1 – Cos2   = 2Sen2
2 2
 37º  = 2Sen2  37º  = 2Sen218º30’
•	1 – Cos37º = 1 – Cos2    
 2   2 
Degradación del “cuadrado” del coseno de un arco simple “x”
Cos2x = 2Cos2x – 1	⇒	2Cos2x = 1 + Cos2x
•	2Cos23φ = 1 + Cos2(3φ) = 1 + Cos6φ
2Cos2 75º 1 + Cos2(75º ) 1 + Cos150º
•	Cos275º=
α  α 
•	2Cos2 = 1 + Cos2   = 1 + Cosα
2 2
•	4Cos210º = 2[2Cos210º] = 2[1+Cos2(10º)] = 2[1+Cos20º] = 2+2Cos20º
•	1 + Cos40º = 1 + Cos2(20º) = 2Cos220º
•	1 + Cos10b = 1 + Cos2(5b) = 2Cos25b
x+ y x+ y
•	1 + Cos(x + y) = 1 + Cos2   = 2Cos2  
53º  2  53º 
•	1 + Cos53º = 1 + Cos2   = 2Cos   = 2Cos 26º30’
Tangente del arco doble
2Tanx
1 − Tan2 x
Tanx + Tany
Tan(x + y) = , hacemos y = x
1 − Tanx • Tanx
U N F V – C E P R E V I 117
Tanx + Tanx
⇒	Tan( x + x ) =
∴	Tan2x = L.q.q.d
2Tan18º
•	Tan36º = Tan2(18º) =
1 − Tan2 18º
2Tan8º
•	= Tg2(8º)= Tg16º
1 − Tan 2 8º
2Tan2θ
•	Tan4θ = Tan2(2θ) =
1 − Tan 2 2θ
α
2Tan 
 2  = Tan 2  α  = Tanα
•	2
α  
1 − Tan 2  
Cotangente, secante y cosecante del arco doble
Tomaremos las identidades recíprocas aplicadas al arco doble, es decir:
Como:	Tan2x • Cot2x = 1	⇒	Cot2x =
Como:	Cos2x • Sec2x = 1	⇒	Sec2x =
Como:	Sen2x • Csc2x = 1 ⇒	Csc2x =
•	Siendo: = 1,2; calcular el valor de “Cot 2x”.
Csc 2x
Sec 2x Cos2x = 12
Sabemos:	= 1,2	→
Csc 2x 1 10
Sen2x 6 6
→	= →	Tan2x =
Cos2x 5 5
Luego:	Cot2x = →	Cot2x = =
Tan2x 6 6
118 U N F V – C E P R E V I
Especiales del arco doble
2Tanx 1 − Tan2 x
Sen2x = y Cos2x =
1 + Tan2 x 1 + Tan2 x
Como Tangente del Arco Simple “x”
1 − Tan 2 x
y suponiendo “2x” ángulo agudo, formamos el siguiente triángulo rectángulo
C Calculamos luego la hipotenusa con
aplicación del Teorema de Pitágoras, es
2Tanx decir:
2x AC = (2Tanx)2 + (1 – Tan2x)2
1 Tan2x →	AC = 1 + Tan2x
Del ABC mostrado tenemos:
2x 2Tanx
T an Sen2x =
1+ 2Tanx 1 + Tan2 x y
B 1 − Tan2 x
1 Tan2x Cos2x =
2Tan7º 30 '
•	= Sen2(7º30’) = Sen15º
1 + Tan2 7º 30 '
1 − T an2 4θ
•	= Cos2(4θ) = Cos 8θº
1 + T an2 4θ
Si: Tanx = 3; hallar el valor de:
P = Sen 2x – Cos 2x
2Tanx 2(3) 6 3
*	Sen2x = = = →	Sen2x =
1 + Tan x 1 + (3 )
1 − Tan x 1 − ( 3 )2 −8 −4
*	Cos2x = 2
= →	Cos2x =
1 + Tan x 1 + (3 ) 10 5
U N F V – C E P R E V I 119
Pero : Cos2x = n Sen2 2x 1 − Cos2 2x 4n ∴ W	= 1 − n2 120 U N F V – C E P R E V I .d.q. TRIGONOMETRÍA Finalmente:  3   −4  3 4 7 P = Sen2x – Cos2x =   −  = + →	P= 5  5  5 5 5 Cotx + Tanx = 2Csc2x y Cot x – Tanx = 2Cot2x Demostraremos que: Cotx – Tanx = 2Csc2x. se efectuara de izquierda a dererecha Cosx Senx Cos2 x − Sen2 x →	Cotx – Tanx = − = Senx Cosx Senx • Cosx 2(Cos2 x − Sen2 x ) 2Cos2x = = (2Senx • Cosx ) Sen2x ∴	Cotx – Tanx = 2Cot 2x	L.q. Análogamente se demuestra que: Cotx + Tanx = 2Csc2x Ejemplos •	Cot10º + Tan10º = 2Csc2(10º) = 2Csc20º •	Cot4α – Tan4α = 2Cot2(4α) = 2Cot8α •	2Csc4θ = 2Csc2(2θ) = Cot2θ + Tan2θ •	2Cot70º = 2Csc2(35º) = Cot35º – Tan35º Problema Aplicativo •	Si: Cos2x = n. hallar : W = Cot2x – Tan2x Resolución * W	= Cot2x – Tan2x = (Cotx + Tanx) • (Cotx – Tanx)  1   Cos2x  = (2Csc2x) • (2Cot2x) =  2 •  • 2 •   Sen2x   Sen2x  4Cos2x 4Cos2x = = .
TRIGONOMETRÍA Resúmen de fórmulas BÁSICAS: *	Sen2x = 2Senx • Cosx	Degradan “cuadrados”: Cos2x = 1 – 2Sen2x →	2Sen2x = 1 – Cos2x *	Cos2x =Cos2x – Sen2x Cos2x = 2Cos2x –1 →	2Cos2x = 1 + Cos2x * Sen2x = 2Tanx  1 + Tan 2 x 2Tanx  2Tanx 1 + Tan 2 x * Tan2x = ⇒ 1 − Tan 2 x  2 2x * Cos2x = 1 − Tan x 1 .Tan2 x  1 + Tan 2 x Observaciones: 1 1 1 * Cot 2x = * Sec2x = * Csc2x = Tan2x Cos2x Sen2x Especiales: Tan2x * Cotx + Tanx = 2Csc2x	* Sec2x + 1 = Tanx * Cotx – Tanx = 2Cot2x	* Sec2x – 1 = Tan2x • Tanx 3 + Cos4 x * Sen4x + Cos4x = 4 5 + 3Cos4 x * Sen6x + Cos6x = 8 U N F V – C E P R E V I 121 .
Simplificar: 9	9 81 Cos 2x + Cosx + 1 31 25 Sen2x + Senx d) – e) 81 81 a) Sen x	b) Cos x	c) Tg x d) Cot x	e) Sec x 1 3.	Reducir: a) 1	b) 2	c) 7 (Senα + Cosα )2 − 1 A= 2 Sen4α d) 7	e) 10 1 a) Sec 2α	b) Sec 2α 5. TRIGONOMETRÍA Problemas I 6.	Simplifique: 2 2  Sen2θ  +  Sen2θ      2  Senθ   Cosθ  1	Si: Cos x = .	Si: Sen x = =F −1 Calcular: 3 Cosx − Senx Cos 4x.	Halle el valor de: 1 3 2Tgx a) b) 1	c) .	Calcule el valor de: Cos48° – Sen48° 1 1 5 1 24 a) b) c) a) b) 7	c) 3 2 3 7	25 5 4 5 7 2 d) e) d) e) 4 9 24 5 8. 0° < x < 90° a) Cos x	b) Tg x	c) Cot x d) Sec x	e) Csc x 5 5 31 a) b) – c) 9. 0°< x < 90° a) 1 b) 2	c) 3 d) 4	e) 5 3 Calcule: Sen 2x 7.	Reducir la expresión: 2 Sen2x ⋅ Cosx 1 E= c) Csc 2α	d) Csc 2α Cscx − Senx 2 a) 2Sen x	b) 2Cos x	c) 1–Cos 2x 1 e) Cos 2α d) 1+Cos 2x	e) 2Tg x 2 122 U N F V – C E P R E V I .	Reducir: Halle: Sen 2x 3 2 − 2 + 2Cos80° 1 2 4 a) 2Sen 10°	b) 2Cos 10° a) b) c) 9	9 9 c) 2Cos 20°	d) 2Sen 20° 8 e) 2Sen 40° d) e) 1 9 11.	Reducir: 2 Secx ⋅ Cos2x 2.	Si: Sen x – Cos x = 10. para: x = 4° 2	2 1 − Tg2 x d) 2	e) 3 1 12.	Halle el valor de: (Cot 42° + Tg 42°) Cos 6° 4.
e 19. e 2. b 1 e) Sen 32θ 32 Problemas II 15.	Si: α+β = 90°.	Calcular: d) e) 5 M = 4Sen 9°·Cos 9°·Cos 18°+Sen227°-Cos227° 7 a) 4 b) 3	c) 2 d) 1	e) 0 18.	Indicar el equivalente de: a2 a2 W= 1 + Cos20° − Sen20° a) a²	b) c) 2 2 a −8 1 − Cos20° − Sen20° a2 + 8 a+8 a) –Cot 10°	b) Cot 10°	c) –Tan 10° d) e) d) Tan 10°	e) –1 a a U N F V – C E P R E V I 123 . 20.	Calcular: Sen 2x Si: 14Tg x = 5 + 5Tg²x 1. siendo: d) Sen 2b	e) 1 A = 2Cos x (Cos x – Sen x) – 1 17. b 9. c 17.	Si: Tg x + Cot x = a d) 2m–2	e) 2–2m Hallar: Sec 4x 5. c 1 1 6. c 14. d 16 32 16. a 15.	Reducir: x e) Tg · Cot 16x Sen θ·Cos θ·Cos 2θ·Cos 4θ·Cos 8θ 2 1 1 CLAVES I a) Sen 16θ	b) Sen 16θ 16 32 1.	Reducir: Halle el valor de la expresión: (Sec x+1)(Sec 2x+1)(Sec 4x+1)(Sec 8x+1) Sen(2x–y)·Cos y + Sen y·Cos(2x-y) 1 2 3 x x a) b) c) a) Tg · Tg 8x	b) Cot · Tg 8x 5	5 5 2 2 4 x x d) e) 1 c) Tg · Tg 16x	d) Cot · Cot 16x 5 2 2 14.	Dado: (Cos6x Sen2x–Sen6x Cos2x)·Cos2x = m 4. a 13. a 18.	Hallar “A·B”. c 8. x Cotx Reducir la expresión: d) Cot e) A= (Cos α + Cos β)(Cos α – Cos β) 2 2 a) Sen 2α	b) Cos 3b	c) Cos 2a 2. d 3.	Si: Tg α = 2. hallar: Tg(2α+45°) B = 1 – 2Sen x (Sen x – Cos x) a) 1	b) –1	c) –Cos 4x 1 d) Cos 4x	e) Sen 2x · Cos 2x a) – b) –7	c) 7 7	1 3. d c) Sen 32θ	d) Sen 16θ 11. TRIGONOMETRÍA 13.	Siendo: Calcular: Cos 8x Sen2x – Cos2y = m a) m	b) 1 – m	c) 1 – 4m Hallar: d) 1–16m	e) 1–32m Q = Cos 2x + Cos 2y a) 2m	b) –2m	c) 2m+2 19. d 12. d 4. c 20. d 7. 0° < x < 90° a) b) c) P= 14 5 5 2Sen2x ⋅ Cotx 5 19 1 x Tanx d) e) a) b) Tan c) 7 5 2	2 2 16.	Si: Tg x = 3. c 5. d 10.	Simplificar: 5 14 7 Cos2 x − Cos2x .
Calcular: d) –2Tan α	e) 2Tan α W = 8Sen π · Cos³ π – 8Sen³ π · Cos π 16.	Calcular “Csc 2x”.	Hallar “Tan θ” de la figura: 12. si: 2 Sen(πSenx) · Sec(πCos x) = 1 3 3 d) e)– 1 1 2 2 a) – b) c) − 3 15.	Reducir: (0° < x < 90°) 2(1 + Cosx) + 2(1 − Cosx) M= 1 + Senx a) 1	b) 2	c) 1/2 2 d) 2 e) 2 3 2 13.	Calcular:  2Tan75°   1 − Tan2 67°30 '  x = P  ⋅  x 1 + Tan2 75°  1 + Tan2 67°30 '  2 2 6 2 1 1 a) b) – c) a) 2 b) c) 2 d) e) 4 4 4 2 2 4 6 2 d) – e) 3π 4 2 14. Hallar: Cos 4x 11.2Csc 2x a) Cot x	b) –Cot x	c) 3Cot x d) -3Cot x	e) 0 7 a) 3	b) –3	c) 9. si las bases están en la 2 1 5 relación de 3 a 5.	Si: Tan2θ + Cot2θ = 7 y < θ < 2π 8.	Simplificar: 2 1 1 1 − 3Sen2 x + 2Sen4 x a) b) − c) E= 3	3 3 2Cos4 x − 3Cos2 x + 1 7 7 a) 1	b) Cot²x	c) –Cot²x d) e) – d) Tan²x	e) –Tan²x 9	9 124 U N F V – C E P R E V I . d) 6	e) 6 7.	Reducir: 2 luego el valor de “Csc 2θ“ será: Z = 4Cot 2x + 3Tan x .	Reducir: 2 2 4 π α π α 4 3 M Tan  −  − Tan  +  = d) − e) 4 2 4 2 3 4 a) 0	b) –2Cot α	c) 2Cot α 10.	Indicar el equivalente de: 16 16 16 16 (Senx + Cosx + 1)(Senx + Cosx − 1) A= 1 Cos4 x − Sen4 x a) 1	b) c) 2 2 a) –Cot 2x	b) –Tan 2x	c) Tan 2x d) Cot 2x	e) 1 2 d) e) 2 2 2 17. TRIGONOMETRÍA 6.	Si: 3Sen x = 3 .	Hallar “Cot x” del trapecio isósceles 1 a) b) 5	c) 1 mostrado.
Si: Cos 4x = 0. b 8. TRIGONOMETRÍA 18. c 2. e 15.	Reducir: 20. d 19. a 3 3 d) e) 2 4 U N F V – C E P R E V I 125 . b 20. e 7.333…. d 10. b 5. d 16. a 1 2 4 6. c 12. b 13. e 4.	La expresión equivalente a: −1 π + 2x  es: = x x x 2 3  A Cos  3Cos + Sen  −   Tan   2 2 2  3   4  a) Sen(30°+x) a) Sec x + Tan x b) 2Cos(30°-x) b) Sec x – Tan x c) 2Cos(30°+x) c) Csc x + Cot x d) Cos(30°–x) d) Csc x – Cot x e) Cos(30°+x) e) Sec x + Cot x 19. a 14. c 17. hallar: M=(Sen32x+Cos32x)2+(Sen32x–Cos32x)2 CLAVES II 1. e 18. c a) b) c) 2	3 3 11. a 9. d 3.
q. así como del operador trigonométrico que lo afecta.TRIGONOMETRÍA UNIDAD 11 Identidades trigonométricas para el arco mitad Seno del arco mitad x ± 1− Cosx Sen = 2 2 Demostración Recordar que: 1− Cos2y Cos2y	= 1–2Sen2y →	2Sen2y = 1 – Cos2y →	Sen2y = 2 1− Cos2y x → Seny	= ± →	hacemos: y = → 2y = x. Ejemplos 100º  1 − Cos100º Sen50º = Sen  = +  2  2 IC 400º  1 − Cos400º Sen200º = Sen  = −  2  2 IIIC 126 U N F V – C E P R E V I . dependerá del cuadrante al cual pertenece el arco “X/2”.d 2 2 Observación general La elección del signo “+” ó “–” en las fórmulas expuestas que presentan radicales. tendremos: 2 2 x 1− Cosx ∴	Sen =± L.q.
q. tendremos: 2 x 1+ Cosx ∴	Cos =± L.d 2 2 Ejemplos  200 º  1 + Cos200 º Cos100 º = Cos =−   2  2 IIC  600 º  1 + Cos600 º Cos300 º = Cos  = +  2  2 IV Tangente del arco mitad x 1 − Cosx Tan =± 2 1 + Cosx Demostración Observar que: x 1 − Cosx 1 − Cosx x Sen Tan = 2 = 2 2 = 2 x 1 + Cosx 1 + Cosx Cos 2 2 2 x ± 1 − Cosx ∴	Tan = 1 + Cosx L.q.q.d 2 U N F V – C E P R E V I 127 . TRIGONOMETRÍA Coseno de arco mitad x 1+ Cosx Cos =± 2 2 Demostración Recordar que: Cos2y = 2Cos2y – 1	→	2Cos2y = 1 + Cos2y 1+ Cos2y →	Cos2y = 2 1+ Cos2y →	Cosy = ± 2 x →	hacemos: y = →	2y = x.q.
100º  1 − Cos100º
Tan50º = Tan  = +
 2  1 + Cos100º
 600 º  1 − Cos600 º
Tan300 º = Tan  = −
 2  1 + Cos600 º
Tan = Cscx – Cotx
Notemos que también:
SenSen 2Sen 2Sen2
x 2 = 2 • 2 = 2
Cos Cos 2Sen 2Sen • Cos
1 − Cos2 
 2  1− Cosx 1 Cosx
x Senx Senx Senx
Sen2 
∴	Tan = Cscx – Cotx	L.q.q.d
 100 º 
Tan 50 º = Tan   = Csc100 º −Cot100 º
 600 º 
Tan 300 º = Tan   = Csc600 º −Cot600 º
Cotangente del arco mitad
x 1 + Cosx
Cot =±
2 1 − Cosx
128 U N F V – C E P R E V I
x 1 + Cosx 1 + Cosx
Cot = 2 = = 2
2 x 1 − Cosx 1 − Cosx
∴	Cot = ± L.q.q.d
 200 º  1 + Cos200 º
Cot100 º = Cot  = −
 2  1 − Cos200 º
 400 º  1 + Cos400 º
Cot 200 º = Cot  = +
 2  1 − Cos400 º
Cot = Cscx + Cotx
Cos Cos 2Cos 2Cos2
2 = 2 • 2 = 2
Sen Sen 2Cos 2Sen Cos
1 + Cos2  
 2  1+ Cosx 1 Cosx
Sen2  
∴	Cot = Cscx + Cotx	L.q.q.d
 200 º 
Cot100 º = Cot  = Csc 200 º +Cot 200 º
 400 º 
Cot 200 º = Cot  = Csc 400 º +Cot 400 º
U N F V – C E P R E V I 129
Secante del arco mitad
Sec =±
2 1 + Cosx
Cos x • Sec = 1
⇒	Sec = =
2 x 1 + Cosx
Cos ±
∴	Sec =± L.q.q.d
Cosecante del arco mitad
Csc =±
• Csc = 1
⇒	Csc = =
2 Sen x 1 − Cosx
x ± 2
∴	Csc = L.q.q.d
Si:	Cosx = 0,6 ∧ 270º< x <360º
Calcular los valores de “ Csc ” y “ Sec ”
*	Cosx = 0,6	→	Cosx = →	Cos x =
*	270º < x < 360º	→	135º< <180º	→	“ ” ∈ IIC
130 U N F V – C E P R E V I
TRIGONOMETRÍA Entonces tenemos: x 2 2 x i)	Csc =+ = →	Csc = 5 2 1 − Cosx 3 2 IIC 1− 5 x 2 2 x 5 ii)	Sec =− =− →	Sec =− 2 1 + Cosx 3 2 2 IIC 1 + 5 Resumen de fórmulas Básicas x 1 − Cosx *	Sen =± 2 2 x 1 + Cosx *	Cos =± 2 2 x 1 − Cosx 1 − Cosx *	Tan =± = = Cscx − Cotx 2 1 + Cosx Senx x 1 + Cosx 1 + Cosx 1 *	Cot =± = = Cscx + Cotx = 2 1 − Cosx Senx x Tan 2 Observaciones x 1 x 2 *	Sec = ⇒	Sec =± 2 x 2 1 + Cosx Cos 2 x 1 x 2 *	Csc = ⇒	Csc =± 2 x 2 1 − Cosx Sen 2 U N F V – C E P R E V I 131 .
2 π 45º 8 = 2 22º30' 2+ 2 132 U N F V – C E P R E V I . TRIGONOMETRÍA Notas *	s Notables Aproximados: 71º30' 63º30' 10 5 1 1 37º 53º 2 2 18º30' 26º30' 3 2 *	s Notable Exacto: 67º30' 2 2.
Hallar el valor aproximado de: a) b) c) 1 3 2 Csc18°30' W= 5 6 Sec26°30' d) e) 6 5 a) 2	b) 5 c) 6 4.	Calcular: a) b) c) 8	4 2 Tan 37°30’ 3 3 a) 6 + 3 + 2+2 d) − e) − 4 2 b) 6 − 3 + 2 −2 3.	Si: T an x 6 = .	Si: d) 8 e) 20 24 Sen x = . 0°< x < 90° c) 6 + 3 − 2+2 2 5 Hallar: d) 6 − 3 − 2 −2 x Tan 2 e) 6 + 3 − 2 −2 2 3 8.	Si: 8 4 3π a) 2− 2 b) 2 2 − 2 Cos2θ = .	Si: 2 2 Sec x = 8 . 450° < x < 540° 25 9.	Determinar el valor de: a) b) c) 36 6 6 π 2Sen 6 30 16 d) e) 6 6 2− 2 2+ 2 a) b) 2. 270° < x < 360° Calcular: c) 2 − 2 + 2 d) 2+ 2+ 2 x 2Cos 2 e) 2 2 2 1 3 3 7. π<θ< Calcular: 9 2 c) 2 + 2 d) 2 2 2 θ Sen2 2 e) 2 2 + 2 25 1 5 6. TRIGONOMETRÍA Problemas I 5.	Si: A = 555° Calcular: Hallar: x  3A  Csc Cot   2  2  5 5 5 a) 2 − 1 b) 1 − 2 c) 2 +1 a) b) c) – 4	3 4 1 d) −1 − 2 e) − 5 25 2 d) – e) 3 48 U N F V – C E P R E V I 133 .	Calcular: π 4·Cos 1.
TRIGONOMETRÍA 10.666.	Si: 90° < x < 180° y d) Cot e) x x 2 2 Cot2 +Tan2 = 27 2 2 15.	Indicar el equivalente de: 18.Csc 2θ 2 3 a) Tan θ	b) –Tan θ	c) Cot θ 3 1 d) ± e) ± d) –Cot θ	e) 0 2 2 13. Calcular: Tanx − Sen2π π x H= Tan  −  Secx + Cosπ  4 2 Cotx x x 1 1 a) b) –Tan c) –Cot a) – b) c) –5 2 2 2 5 5 x x 1 d) Tan e) Cot d) 5	e) – 2 2 2 14.	Si: Cot = 5 .	Reducir: 2 3 a) ± b) ± 2 c) ± W = Cot 4θ + Csc 4θ ..	Indicar el equivalente de: 1 − Cosx + Senx 1 + Cos20° 1 − Cos80° M= M = − 2cos 40° 1 + Cosx + Senx 2 2 x x a) 1	b) Sen c) Cos a) 0	b) Cos 10°	c) Sen 10° 2 2 d) 2Cos 10°	e) 2 Sen 10° x x 11.	Si: Csc x + Cot x = 0. a) 20°	b) 35°	c) 40° Tan A d) 55°	e) 70° 4 12.	Si: = A A 1 1 − Sen200° Secx Cos · Cos A + Sen · Sen A = 2 2 3 Calcular el valor de: Hallar la medida del ángulo agudo “x”.	En la siguiente igualdad: Calcular: Tan 2x 1 + Senφ 20 20 21 Cos12°30’ = a) b) – c) 2 21 21 20 Hallar la medida del ángulo agudo “φ'..	Reducir: 16. a) 12°30'	b) 77°30'	c) 50° 21 4 d) – e) – d) 25°	e) 65° 20 5 134 U N F V – C E P R E V I .	Indicar el equivalente de: x 19. 0° < x < 90° x x 2 2Sen ⋅ Cos Hallar: P= 2 2 x x Q = 3 Sen x – 2Tan x 1 + Cos2 − Sen2 5 2 2 a) 0	b) 5 5 c) 5 x x x 5 a) Tan b) Cot c) –Tan d) e) 5 2	2 2 6 x Tanx 20.	Si: d) Tan e) Cot 2 2 1 + Sen200° Cscx 17.
Si: 2	2 2 2 Cos α = .	Si: 25Cos²x–4 = 0. 180° < x < 270° π π Tg − 2Sen x Q= 8 4 Calcule: Tan 2 π π Ctg − 2Cos 12 6 7 1 a) − 7 b) − 3 c) − a) 1	b) c) –1 3 2 1 d) − e) 2 3 2 d) − e) − 10 7 10. e 3.	Calcule: Halle: Sen 2 P =5 2 ·Sen26°30’ · Cos 18°30’ 30 6 6 a) b) c) a) 1	b) 2	c) 3 6 6 12 d) 4	e) 5 6 d) 6 e) 7. c 2. e x 6.	Si: Calcule: Cot 50° 1 3π Cos θ = . b 10.	Halle: 3.	Reduce: 1. a 19. d 12. c 5. e 14. 0°< α < 90° x x 3 d) 2Sen² e) 2Cos² 2 2 α 6. e 8.	Calcule “x”.	Reduce: Csc6° − Cot6° Sen40° 9 9 3= M − a) − b) c) – Tan3° Csc40° + Cot40° 16 16 4 a) 1	b) Sen 40°	c) Sen 50° 3 1 d) Cos 80°	e) Sen 80° d) e) 4 16 9. e E= 2 x 16. c 7. TRIGONOMETRÍA CLAVES I 5. si: 1 − Sen50° = Cot x.	Si: 5 Sec 10° + Tan 10° = k 2. b Tg + Cotx 2 Problemas II x x x a) 2Sen b) 2Cos c) 2Tg 1.	Si se cumple: 4. b 13. (x  agudo) 1 − Cos10° 1 + Cos20° Sen20° 1 + Sen50° ⋅ = 2 2 x ⋅ Cos5° Halle: Sec(x–10°) a) 8	b) 4	c) 2 a) 2	b) 2 c) 3 5 1 d) 4	e) d) 1	e) 4 2 U N F V – C E P R E V I 135 . d 9. a 20. a 15. a Cot − 2Cotx 11. d 17. a 4. < θ < 2π a) k	b) 2k	c) k–1 8 2 d) 2k–1	e) k θ Calcule: Cos 2 8. a 18.
180°] a) 2 Cos x	b) 2Cos x a2 + b2 2 x Calcule: Tg c) Cos x	d) Cos x 2 2 e) 0 a b a) − b) − c) ab 14.	Reduce: (90° < x < 180°) Ctg  +  + Tgx  4 2 1 + Cosx E= π x 1+ 2 Secx − Tg  −  1−  4 2 E= 2 2 a) 1	b) –1	c) Csc x d) –Csc x	e) Sen x Cosx Senx x a) b) c) Cos 8 8 8 CLAVES II x x d) Sen e) Sen 1.	Dada la siguiente identidad: Tan10° + Cot20° (1+Sen x+Cos x)² R= Cot10° − Cot20° x a) 1	b) 2	c) –1 +(1-Sen x+Cos x)² = WCot 2 1 Calcule: W d) –2	e) a) 2Sen x	b) 3Sen x	c) 4Sen x 2 13. d 8 4 6. b 5. a>b>0. d 10. a 14. TRIGONOMETRÍA 11.	Reduce la expresión: b	a x Senx + Cosx − 1 a b E= Tg2 + + Ctgx d) e) 2 1 + Cosx b a a) Sen x	b) Cos x c) Tg x d) Sec x	e) Csc x 20.	Simplifique: π x 15.	Si: E= Cos 1 + Cosx − Sen 1 − Cosx 2 2 2ab Sen x= . d 20.	Reducir: 18. c 19.	Simplifique: (0°< x < 90°) d) Cos x	e) 2Cos x x x 19. d (1 + Cos2x)(C sc 2x − Cot2x) 16. x∈[90°. a 16. e 12. c 17.	Reduce: θ θ E = Csc x+Csc 2x+Csc 4x+Csc 8x R = Csc –Csc –Csc θ – Ctg θ a) Cot 6x	b) Cot 4x 4 2 θ θ x a) 0	b) Ctg c) Ctg c) Cot 2x	d) Cot –Cot x 4 8 2 θ θ x d) Tg e) Tg e) Cot –Cot 8x 4 8 2 12. a 13. e 15. c 9.	Reduce: 11. b 2. c 3. c M= x Sen2x(1 + Cosx)  1 + Tg2   2 1 a) 2	b) 1	c) 2 1 d) e) 2 4 136 U N F V – C E P R E V I . e 18.	Simplificar: 17. c 8. c 4. c 7.
q.d U N F V – C E P R E V I 137 .d Ejemplos •	Sen6α = Sen3(2α) = 3Sen2α – 4Sen32α •	Sen27º = Sen3(9º) = 3Sen9º – 4Sen39º •	3Sen40º – 4Sen340º = Sen3(40º) = Sen120º θ θ θ •	3Sen – 4Sen3 = Sen3   = Senθ 3 3 3 Coseno del arco triple Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx Demostración Notamos que: Cos3x	= Cos(2x + x) = Cos2x • Cos x – Sen2x • Senx = Cosx • Cos2x – (2Senx • Cosx) • Senx = Cosx • (2Cos2x – 1) – 2 Cosx • Sen2x = 2Cos3x – Cosx – 2Cosx(1 – Cos2x) = 2Cos3x – Cosx – 2Cosx + 2Cos3x ∴	Cos3x	= 4Cos3x – 3Cosx	L.q. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 12 Identidades trigonométricas para el arco triple Seno del arco triple Sen3x = 3Senx – 4Sen3x Demostración Notamos que: Sen3x	= Sen (2x + x) = Sen2x • Cosx + Cos2x • Senx = (2Senx • Cosx) • Cosx + Senx • Cos2x = 2Senx • Cos2x + Senx • (1 – 2Sen2x)	= 2Senx • (1 – Sen2x) + Senx – 2Sen3x = 2Senx – 2Sen3x + Senx – 2Sen3x ∴	Sen3x	= 3Senx – 4Sen3x	L.q.q.
TRIGONOMETRÍA Ejemplos •	Cos33º = Cos3(11º) = 4Cos311º – 3Cos11º •	Cos9β = Cos3(3β) = 4Cos33β – 3Cos3β •	4Cos3(60º+φ)–3Cos(60º+φ) = Cos3(60º+φ) = Cos(180º+3φ) = –Cos3φ •	4Cos38º20’ – 3Cos8º20’ = Cos3(8º20’) = Cos24º60’ = Cos25º Degradación del exponente “3” ó “Cubo” Las fórmulas expuestas a continuación son empleadas en las expresiones trigonométricas. donde se presenten “senos” o “cosenos” de un cierto arco elevado al exponente “3”. Degradación del “Cubo” del seno de un arco simple “x” Se ha demostado que: Sen3x = 3Senx – 4Sen3x	⇒	4Sen3x = 3Senx – Sen3x Ejemplos •	4Sen35º = 3Sen5º – Sen3(5º) = 3Sen5º – Sen15º •	4Sen33α = 3Sen3α – Sen3(3α) = 3Sen3α – Sen9α 4Sen3 15º 3Sen15º − Sen3(15º ) 3Sen15º − Sen45º = •	Sen3 15º = = 4 4 4 •	3Sen2θ – Sen6θ = 3Sen2θ – Sen3(2θ) = 4Sen32θ Degradación del “Cubo” del coseno de un arco simple “x” Se ha demostrado que: Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx	⇒	4Cos3x = 3Cosx + Cos3x Ejemplos •	4Cos35φ = 3Cos5φ + Cos3(5φ) = 3Cos5φ + Cos15φ •	4Cos312º = 3Cos12º + Cos3(12º) = 3Cos12º + Cos36º 4Cos3 2β 3Cos2β + Cos3(2β) 3Cos2β + Cos6β •	Cos32β = = = 4 4 4 •	3Cos10º + Cos30º = 3Cos10º + Cos3(10º) = 4Cos310º Tangente del arco triple 3Tanx − Tan3 x Tan3x = 1 − 3Tan 2 x 138 U N F V – C E P R E V I .
.444. es decir: 1 Como:	Tan3x • Cot3x = 1	⇒	Cot3x = Tan3 x 1 Como:	Cos3x • Sec3x = 1	⇒	Sec3x = Cos3 x 1 Como:	Sen3x • Csc3x = 1	⇒	Csc3x = Sen3 x Problema aplicativo Sec 3 x Siendo: = 0. secante y cosecante del arco triple Tomaremos las identidades recíprocas aplicadas el arco triple. Csc3 x Resolución 1 Sec 3 x  4 Sabemos:	= 0. TRIGONOMETRÍA Demostración Notamos que:  2Tanx  Tanx +   Tanx + Tan2x  1 − Tan 2 x  Tan3x = Tan(x + 2x) = = 1 − Tanx • Tan2x  2Tanx  1 − Tanx •   2   1 − Tan x  Efectuando tenemos: 3Tanx − Tan3 x ∴	Tan3x = L.q.q.4 →	Cos3 x = Csc3 x 1 9 Sen3 x Sen 3 x 2 2 →	= →	Tan3x = Cos 3 x 3 3 U N F V – C E P R E V I 139 ...d 1 − 3Tan 2 x Ejemplos 3Tan22º −Tan3 22º •	Tan66º = Tan3(22º) = 1 − 3Tan2 22º 3Tan3α − Tan3 3α •	Tan9α = Tan3(3α) = 1 − 3Tan2 3α •	3Tan10º −Tan3 10º = Tan3(10º=) Tan30º 1 − 3Tan2 10º Cotangente. calcular el valor de “Cot3x”.
TRIGONOMETRÍA 1 1 3 Finalmente:	Cot3x = →	Cot3x = = Tan3 x 2 2 3 Resumen de fórmulas Básicas: Degradan “cubos”: *	Sen3x = 3Senx – 4Sen3x	→	4Sen3x = 3Senx – Sen3x *	Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx	→	4Cos3x = 3Cosx + Cos3x 3Tanx − Tan3 x *	Tan3x = 1 − 3Tan 2 x Observaciones: 1 *	Cot3x = Tan3 x 1 *	Sec3x = Cos3 x 1 *	Csc3x = Sen3 x Especiales: Sen3x = Senx(2Cos2x + 1)  2Cos2x + 1  Cos3x = Cosx(2Cos2x – 1)	⇒	Tan3x = Tanx    2Cos2x − 1  4Senx • Sen(60º – x) • Sen(60º + x) = Sen3x 4Cosx • Cos(60º – x) • Cos(60º + x) = Cos3x Tanx • Tan(60º – x) • Tan(60º + x) = Tan3x Notas 5 −1 5 +1 Sen18º = Cos36º = 4 4 Csc18º = 5 + 1 Sec36º = 5 − 1 140 U N F V – C E P R E V I .
si: Tgx Tg72° 12.	Señale el valor de: Sen3x ⋅ Cscx 3Cosx + Cos3x Y = Sec 20° · Sec 40° · Sec =80° W + a) 8	b) 6	c) 16 0. TRIGONOMETRÍA Problemas I 7.	Siendo: 1 n m Cos x = 4 Calcular: 3x x P = Cos 3x · Sec x A C 11 11 7 a) b) – c) m−n m−n m−n 4 4 4 a) b) c) 2m n 2n 7 5 d) – e) − m−n m+n 4	4 d) e) m 2m 2. “x” es agudo. hallar: Cos 2x B 1.	Hallar “x”.	Calcular: 2π 2π 1 1 1 Sec + 8Cos2 a) b) c) 9 9 2	4 8 a) 1	b) 2	c) 3 1 1 d) 5	e) 6 d) e) 16 32 11.	Calcular: 4 3 3.	Siendo: 8.75 − Sen2 x 3Senx − Sen3x d) 4	e) 32 a) 4+Cot3x	b) Cot3x	c) 2Cot3x d) 3Cot 3x	e) 4Cot 3x 6.	Si: = P = 4 – 8Sen 29° – 3Sec 18° Tg12° Tg42° Entonces una expresión equivalente a) 36°	b) 18°	c) 24° para P será: d) 54°	e) 28° a) Tg 9°	b)Tg 18°	c) 2Tg18° d) 2Tg 9°	e) Tg 36° U N F V – C E P R E V I 141 .	Simplificar: 5.	La siguiente igualdad es una Cos x = 1 .	Calcular: 4 4 J = Sen 10° · Sen 50° · Sen 70° 10.	De la figura. identidad: 3 Sen3φφ Cos3 Sen3 Cos3φφ ==+ = = 2kCos 2kCosφφ Calcular: Tg 3x Senφφ Cos Sen Cosφφ 2 2 2 Hallar: k a) b) – c) – 5 5 4 a) 0	b) 1	c) 2 d) 4	e) 3 2 2 d) e) − 9.	Simplificar: Cos 85o(1+2Sen 80°) Sen3x =M −1 3 1 Senx a) b) c) 6 + 2 a) Cos x	b) Cos 2x	c) 2cos x 2 2 4 d) 2Cos 2x	e) Cos2x 6− 2 5 −1 d) e) 4.
calcular: B b 4 3 1 a) b) c) 3	4 2 67° 1 2 E 53° d) – e) A C 2 3 7° b a 14.5	e) 3 Cos3 x − Cos3x Sen3 x + Sen3x + 18.	Calcular “x”. b 3. d 4. Cosx Senx a) –1	b) –2	c) 1 B d) 2	e) 3 3.	Calcular el valor de: Sen3x + Sen3 x P= 3 Cos3 x − Cos3x 1 + 6Cos20° a) Tan x	b) Cot x	c) Tan 3x M= 2Cos20° d) Cot 3x	e) 1 a) 1	b) 0	c) 0. a W = –Cos 6x 6. e 20. a 7. c 13.5 a) 40°	b) 50°	c) 30° d) 1	e) 2 d) 37°	e) 53° 1 CLAVES I 16. a 14.	Si: 33° aCsc x = 3 – 4Sen 2x ^ bSec x = 4Cos2x – 3 x Calcular: a2+b2 19° a) –2	b) 0	c) 0. d) 6	e) 4 49° 15. c 5.	Reduzca: 17.5 2.	Calcule el valor de: E 3Sen15° − 4Sen3 15° 54° 57°+x x 4Cos3 20° − 3Cos20° 27° 2 3 A D C a) b) c) 2 2 2 a) 10°	b) 20°	c) 15° 1 d) 25°	c) 30° d) 3 e) 2 142 U N F V – C E P R E V I . calcular “x”. e 15. c 9.	En la siguiente igualdad se tiene una identidad trigonométrica: ASen4x + BCos2x D =Sen3x · Cotx Senx + Cosx a) Tg 120°	b) Tg 240°	c) Tg 30° + Cos 3x · Tg x d) Tg 54°	e) Tg 21° Calcular: A+B a) 1	b) 2	c) 3 20. e 41 5 329 11. a 12.	Simplifique: d) 1. TRIGONOMETRÍA 13.	En la figura mostrada. b 2. c 8. d a) b) c) 16. e 19. a 18.	Sen(60°–x) = Calcular: 3 1.	Si: 3Tg2x + 6Tg x – 1 = 2Tg3x a Calcular: Tg 6x 19. c 17. c 47 67 729 d) 63 e) 121 Problemas II 65 130 1. d 10.	En la figura mostrada.
3 Csc α = Cos α.	¿Cuántos valores enteros puede “Sen 6α“ tomar la expresión: 22 11 2 1 − Cos6x a) b) c) 27 27 27 1 − Cos2x 9 1 a) 2	b) 3	c) 4 d) e) 11 27 d) 7	e) 9 U N F V – C E P R E V I 143 . TRIGONOMETRÍA 4.	Reducir: Tan20° ⋅ Tan40° ⋅ Tan80° 1 1 1 Sen3x + Sen3 x a) b) c) M= 4	8 16 Sen2x 3 3 3 3 1 d) e) a) Cos x	b) Sen x	c) Cos x 8 24 2 2 2 7. calcule: 17.40	e) 0.	Reducir: 5.	¿A qué es equivalente: d) − e) − 7 14 3 +6Cos 10°? x x a) Sen 10°	b) Sen310° 9. calcular: “Cos 2x” Sen3x =E − 3Cos2 x a) 0. calcular: =W  +  3  4 2  Sen3β Cos3β  “Tan 3x” 45 3 15 3 5 3 a) 3Tan β	b) 6Cot β a) − b) − c) − c) 3Tan 2β	d) 6Tan 2β 28 28 28 e) 6Cot 2β 5 3 45 3 15.	Si: 2Sen 3x = 3Sen x.30 Senx d) 0.	Si: Tan   .	Calcule el valor de: Sen 159° 11. 2 2 c) 8Sen210°	d) 8Cos310° Calcule: Cos 3x e) 8Sen310° 1 3 3 16.	Reduzca: 117 107 44 16Cos 6x – 24Cos 4x + 9Cos 2x a) b) c) 225 225 225 a) 3Sen x	b) 3Cos x	c) Cos 23x 44 22 d) Cos33x	e) Cos43x d) e) 125 225 12.	Reduzca:  π − x = 3 Sen2β  Sen3β Cos3β  8.20	b) 0.	Si: 4Cos2 = 3 + 4Sen2 .	Reduzca: 1 3 3Tan2θ· ·Tan 3θ + 3Tan θ – Tan3θ d) Sen x	e) Cos x a) Tan θ b) Tan 3 θ	c) Tan 6 θ 2 4 d) Cot θ	e) Cot 3θ 14.50 a) –Sen 2x	b) –2Sen 2x	c) –Cos 2x 6.	Si: 0.25	c) 0.	Indique el equivalente de: a) − b) − c) − 4	4 16 Tan220° · Tan²40° + Cot280° 9 3 a) 2Tan 10°	b) 4Tan 10° d) − e) − c) 2Tan210°	d) 4Tan 210° 16 8 e) 2Tan 20°  10.	Calcular: d) Sen2x	e) Cos2x Sen10° ⋅ Sen50° ⋅ Sen70° 13.
b 6. d 16.	Si: Sen² – Sen2x = mSen 3x.	Reduzca: n2 + n + 1 Tan 10°+ Tan 60°+ Tan 40° e) a) Tan 20°	b) Tan 40°	c) Tan 50° 4 d) Tan 70°	e) Tan 80° CLAVES II 1. a 11. c 12. e 15. c 4. d 5.	Si: Tan 3x · Cot x = n3 18. b 8. a 144 U N F V – C E P R E V I . e 18. TRIGONOMETRÍA π 20. a 13. e 7. d 10. a 14. Calcule: 3 Cosx Halle: “m” W= (n − 1) ⋅ Cos3x 1 1 1 a) Sen x	b) Csc x	c) Cos x n2 + n + 1 n2 − n + 1 4 4 4 a) b) 2 2 1 1 d) Sen x	e) Csc x n3 + n2 + 1 n2 + n 2 2 c) d) 2 2 19. d 17. d 20. b 2. b 19. e 3. a 9.
.....................	(3) A +B A −B Haciendo: x + y = A ∧ x – y = B → x= ∧ y= 2 2 Reemplazando en (3):  A +B  A −B SenA + SenB = 2Sen  • Cos   2   2  Análogamente y en resumen tendremos:  A +B  A −B SenA + SenB = 2Sen  • Cos   2   2   A +B  A −B SenA – SenB = 2Cos  • Sen   Donde: A > B  2   2   A +B  A −B CosA + CosB = 2Cos  • Cos    2   2   A +B  A −B CosB – CosA = 2Sen  • Sen    2   2  Ojo:  A +B  A −B CosA – CosB = − 2Sen  • Sen    2   2  Ejemplos  6 x + 2x   6 x − 2x  •	Sen6x + Sen2x = 2Sen  • Cos   = 2Sen4x • Cos2x  2   2  U N F V – C E P R E V I 145 ............................................	(1) Sen(x – y) = Senx • Cosy – Cosx • Seny ....	(2) (1) + (2): Sen(x + y) + Sen(x – y) = 2Senx • Cosy ..... TRIGONOMETRÍA UNIDAD 13 Transformaciones trigonométricas De suma o diferencia a producto Recordar que: Sen(x + y) = Senx • Cosy + Cosx • Seny ........
.TRIGONOMETRÍA 80º +40º   80º −40º  •	Sen80º – Sen40º = 2Cos   • Sen   = 2Cos60º•Sen20º  2   2   12θ + 4θ   12θ − 4θ  •	Cos12θ + Cos4θ = 2Cos   • Cos   = 2Cos8θ • Cos4θ  2   2   55º +5º   55º −5º  •	Cos5º – Cos55º = 2Sen  • Sen   = 2Sen30º•Sen25º  2   2   55 º +5º   55 º −5º  •	Cos55º – Cos5º = − 2Sen   • Sen   = – 2Sen30º•Sen25º  2   2  De producto a suma o diferencia Recordar que: Senx•Cosy + Cosx•Seny = Sen(x + y)	... (2) (1) + (2): 2Senx•Cosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) Análogamente y en resumen tendremos: 2Senx•Cosy	= Sen(x + y) + Sen(x – y) 2Cosx•Seny	= Sen(x + y) – Sen(x – y)	Donde: x>y 2Cosx•Cosy	= Cos(x + y) + Cos(x – y) Ojo: 2Senx•Seny	= Cos(x – y) – Cos(x + y) Ejemplos •	2Sen5x•Cosx = Sen(5x + x) + Sen(5x – x) = Sen6x + Sen4x •	2Cos30º•Sen15º = Sen(30º+15º) – Sen(30º–15º) = Sen45º – Sen15º •	2Cos75º•Cos5º = Cos(75º+5º) + Cos(75º – 5º) = Cos80º + Cos70º •	2Sen6θ•Sen4θ = Cos(6θ – 4θ) – Cos(6θ + 4θ) = Cos2θ – Cos10θ Problema aplicativo Factorizar: E = Cos5x • Sen2x + Cos2x • Senx Resolución Multiplicamos por (2) a ambos miembros: 2E = 2Cos5x • Sen2x + 2Cos2x • Senx Transformamos a diferencia de senos: 2E = Sen7x – Sen3x + Sen3x – Senx 2E = Sen7x – Senx Transformamos a producto: 2E = 2Cos4x • Sen3x E = Cos4x • Sen3x 146 U N F V – C E P R E V I .. (1) Senx•Cosy – Cosx•Seny = Sen(x – y)	.
TRIGONOMETRÍA Problemas I 8.Cos 65° · Cos 55° Q= Cos(120° − x) − Cos(120° + x) b) 2Cos 32°30’ · Cos 27°30’ a) –Tan x	b) Tan x	c) –Cot x c) 4Cos 32°30’ · Cos 27°30’ d) Cot x	e) 1 d) 2Sen 32°30’ · Sen 27°30’ 5.	Calcular: 1.4	c) 0.8	e) 1.3	b) 0.	Hallar “n” en la siguiente Identidad: 1 + Cos 2x + Cos 6x + Cos 8x 13.	Si: Cos 12° + Cos 32° = n a) m+n	b) m–n	c) mn 5 +1 Cos 36°= y m n 4 d) e) n m 5 −1 Cos 72° = 6.	Hallar Cot 68°.	Siendo: φ = rad 19 H = 1 + 2Sen 4y · Cos 4y Hallar: a) 2Sen(90°+8y)·Cos(90°–8y) Sen3φ − Sen23φ b) 2Sen(45°+4y)·Sen(45°–4y) P= Sen4φ + Sen16φ c) 2Cos(45°+4y)·Cos(45°–4y) a) –1	b) 1	c) –2 d) 2Cos(45°+4y)·Sen(45°–4y) 1 e) 2Sen(45°+4y)·Cos(45°–4y) d) 2	e) 2 11.	Reducir: a) Sen 5x · Cos x Sen12x + Sen4x Cos11x − Cos5x b) Sen 5x · Sen x P − Cos12x + Cos4x Sen11x − Sen5x c) Sen 3x · Sen 2x a) 2Tan 8X	b) 2	c) 1 d) Cos 5x · Sen x d) 2Cot 8X	e) 0 e) Cos 5x · Cos x π 10. si se cumple que: e) 4Sen 32°30’ · Sen 27°30’ Sen 12° + Sen 32° = m .2 U N F V – C E P R E V I 147 .	Simplificar: M = 1 + 2Cos 5° Cos(150° + x) + Cos(150° − x) a) 4.6 d) -2	e) 1 d) 0.	Calcular: Cos10° Sen40° =T + 3π π Cos20° Sen70° Sen + Sen K= 8 8 3π π 1 3 Sen − Sen a) b) 1	c) 8 8 2	2 2 1 3 a) 1	b) c) d) e) 3 2 2 3 d) 2 +1	e) 2 –1 9.	Calcular: = n · Cos x · Cos 3x · Cos 4x Q = 6Cos 71°30’ · Sen 18°30’ a) 4	b) -4	c) 2 a) 0. 12.	Calcular: 4 Cos10° + Cos15° + Cos20° Hallar el valor de: W= Sen10° + Sen15° + Sen20° P = 2Cos 18° · Sen 36° 3 3 a) 5 b) 5 c) 5 a) b) c) 2 3 6 2 2 4 d) 2– 3 e) 2+ 3 1 1 d) e) 2 4 7.	Factorizar: Q = Sen23x – Sen22x 2.	Factorizar: 4.	Llevar a producto: 3.
Reduzca: 13 13 8 16 Sen3x + Sen6x + Sen9x d) e) Cos3x + Cos6x + Cos9x 11 11 a) Tan x	b) Cot 3x	c) Tan 6x 18.	Transforme a producto: a) 90°	b) 45°	c) 60° M = Cos α+Cos 5α+Cos 9α+Cos 15α d) 30°	e) 15° a) 4Cos α Cos 2α Cos 7α b) 4Sen 2α Sen 5α Sen 7α 19.	Simplifique: Cos20° ⋅ Cos10° − Sen40° ⋅ Sen10°  Cos3x + Cosx  Tan x a) – 3 b) – 3 c) 3   3 3  Cos3x − Cos5x  3 1 1 1 d) 3 e) a) Sec x	b) Csc x	c) Sec 2x 2 2 2 2 17.	Reduzca: c) d) Tan  A − B  2Sen 7x Cos 3x – Sen 4x 2  2  a) Sen 3x	b) Sen 7x	c) Sen 4x e) Cot  A − B  d) Sen 10x	e) Cos 10x  2  148 U N F V – C E P R E V I . c 17. a 19.	Calcular: d) 3 e) 1 Sen40° ⋅ Cos10° − Cos20° ⋅ Sen10° P= 2. b 4.	En triángulo PQR se cumple que: d) Cot 6x	e) Tan 9x Sen P – Cos Q = Cos P – Sen Q Luego su ángulo interno “R” mide: 4. TRIGONOMETRÍA 14. c 14.	Hallar el valor de: 1 U = Cot 33°30’ – Tan 3°30’ d) Csc 2x	e) Sec 2x 6 12 2 a) 3	b) c) 3. si: c) Cos 12x · Sen 4x PCos 70° – Sen 65° + Sen 25° = 0 d) Sen 6x · Sen 2x 2 3 e) Cos 6x · Cos 2x a) b) 2 c) 2 3 16. d 2.	Siendo: c) 4Cos 3α Cos 5α Cos 7α 7Sen x · Cos x = 5Sen y · Cos y d) 2Cos 3α Cos 7α Cos 9α Hallar: e) 2Cos α Cos 3α Sen 5α Tan (x+y) · Cot (x–y) a) 1	b) 6	c) –6 5. e d) 1	e) 0 11.	Factorizar: 16. c 5.	Reducir: CLAVES I T = Cos²(A+B)+Cos²(A–B)–Cos 2A · Cos 2B 1.	Simplificar: SenA + SenB + Sen(A + B) 2 3 3 W= a) b) c) 1 + Cos(A + B) + CosA + CosB 2 3 5 6 8 a) Cot  A + B  b) Tan  A + B  d) e)  2   2  5 5 Tan[A + B] 6. d 15. a 3.	Calcular: 1 1 (Cos40° + Sen24°)Csc77° d) e) – 6 6 (Cos20° − Sen10°)Sec40° 20. b 10. c 20. a 8.	Halle el valor de “P”. c 12. e 15. e 7. e 18. e 9. b J = Cos 3x·Cos 5x – Sen x·Sen 3x a) Sen 6x · Cos 2x Problemas II b) Cos 6x · Sen 2x 1. a 13. d a) Cos A	b) Cos B	c) 2 6.
Simplificar: kSen 40° = Sec 40° + Sec 100° Sen2x ⋅ Cos3x − Senx ⋅ Cos4x a) 3 b) 2	c) − 2 A= Cos2x ⋅ Cos5x − Cos4x ⋅ Cos3x d) −2 2 e) −4 3 a) Cot x	b) –Cot x	c) Cot 5x 16. b 18. hallar la medida del ángulo “θ”. sea una identidad: Sen3x − Senx Sen3x + Senx  Sen6x + Sen2x  2Cos20° − Sen50° + =k  Tan x = Cos3x + Cosx Cos3x − Cosx  Cos6x − Cos2x  Sen40° a) 15°	b) 20°	c) 30° a) –2 b) 2	c) –1 d) 1	e) 4 d) 45°	e) 60° 19. b 19. para que la 11. c 17. d 10.	En la figura mostrada.	Transforme a producto: 14. a U N F V – C E P R E V I 149 .  b2 + a2  Halle: Cos(α+β)   °  b+a  44 S en a) b–a	b) a–b	c) a °– 76 Sen d) b	e) a+b 6°+ CLAVES II n5 Se 1. d a) 16°	b) 32°	c) 36° 11.	Si: 2Sen 5α = 3Sen 3α d) –Cot 2x	e) Cot 2x Calcular: 10. d 9.	Sabiendo que:	Sen α + Sen β = a Cos α + Cos β = b 13.	Determine el valor de “k”.	La expresión equivalente de: A = Sen 5x Sen x + Cos 7x Cos x Senθ + Cos(2x − θ) a) 2Cos 6x · Cos x es: Cosθ − Sen(2x − θ) b) 2Sen 6x · Sen 2x c) 2Sen 2x · Cos 6x π π a) Cot( –x)	b) Tan( –x) d) Cos 2x · Cos 6x 4 4 e) Sen 2x · Sen 6x π π c) Tan( +x)	d) Cot( +x) 8.	Halle el valor de “K”. d 2Cos 20° 6. c 4. si: 9. TRIGONOMETRÍA 7. d 7. c 5. d 3.	Transforme a producto: 1 1 R = 3Sen 3x + 2Sen x + Sen 5x a) Cos 20°	b) Sec 20° a) 8Sen x · Cos3x 2 2 b) 16Sen x · Cos4x 1 1 c) 12Cos x · Sen4x c) Cos 40°	d) Sec 40° 4 4 d) 16Cos x · Sen3x 1 e) 32Sen x · Cos5x e) Sec 80° 8 18. e d) 54°	e) 72° 16. a 20. d 13. e 12. d 14. b 2. a 15.	Simplifique: 12.	Reduzca: 8 4 N = 2Cos 4x · Csc 6x – Csc 2x π e) Tan( -x) a) –Sec 3x	b) –Csc 3x	c) –Sec 6x 8 d) –Csc 6x	e) Tan 6x 15. d 8.	Reducir: 2(Sen2α + Sen2β) A= 1 − 4Sen10° ⋅ Sen70° 1 + Cos2α + Cos2β + Cos2(α − β) Sen5° ⋅ Cos5° a) Tan α + Tan β	b) Tan α – Tan β 1 3 c) Tan β – Tan α	d) Tan α·Tan β a) b) 2	c) e) 1 2 2 d) 4	e) 5 20.	Calcule el menor ángulo que cumple: siguiente igualdad.	Simplifique: 5Cot 4α – Cot α Sen20° a) -2 b) –1	c) 0 d) 1	e) 2 3 − 2Sen20° 17.
En el ∆ABC se cumple: a b c = = = 2R SenA SenB SenC “R” → Circunradio. se puede calcular los otros tres elementos. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 14 Resolución de triángulos oblicuángulos Triángulos oblicuángulos El triángulo que no contiene el ángulo recto se denomina OBLICUÁNGULO. •	Un triángulo está determinado si se conocen tres de sus elementos básicos (uno de ellos es nesariamente uno de los lados). •	Los elementos básicos de todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. •	Resolver un triángulo significa que dados tres elementos básicos. Leyes fundamentales Ley de senos “En todo triángulo las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos”. “O” → circuncentro Observaciones: a = 2R•SenA b = 2R•SenB c = 2R•SenC Demostración * En el BCD: a a SenA = ⇒ = 2R 2R SenA * En forma análoga: b c = 2R ∧ = 2R SenB SenC 150 U N F V – C E P R E V I .
B = 60º y A = 45º.	En un triángulo ABC.2 Resolución Aplicamos:	a = 2R•SenA Según la figura: Reemplazando datos:	6 − 2 = 2R•Sen15º  6− 2 6 − 2 = 2R   4    Luego:	R=2 U N F V – C E P R E V I 151 . calcular el lado AC. TRIGONOMETRÍA Conclusiones a b c = = = 2R L.q. A Resolución 45º Datos:	a = 2u B = 60º c b A = 45º 60º b = ?? B C 2 Aplicando Ley de Senos b 2 2Sen60º 2 ( 3 / 2) = ⇒ = Sen60 º Sen45 º Sen45º 2 /2 ∴	b = AC = 3 u 2. si se cumple que a = 2u .	Hallar “R” A 15º R O C B a= 6.q.d SenA SenB Senc Ejemplos 1.
b2 + 2b(cCosA) En conclusión:	a2 = b2 + c2 . Observaciones: De la ley de cosenos se deducen: b2 + c 2 − a2 a2 + c 2 − b2 a2 + b2 − c 2 CosA = CosB = CosC = 2bc 2ac 2ab Ejemplos 1. (3) m A m H b-m C * En el AHB:	= CosA b c ⇒	m = cCosA Reemplazando en (3): c2 = a2 .	En un ∆ABC.L. (2) c a h Igualando (1) y (2) c2 . TRIGONOMETRÍA Ley de cosenos “En todo triángulo la medida de cualesquiera de sus lados al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.d En forma análoga se demuestran las otras dos igualdades.(b .m)2 .. b = 2u y C = 75º A Resolución Datos:	a = 6u c 2 b = 2u C = 75º c = ?? 75º B C 6 152 U N F V – C E P R E V I .. B En el ∆ABC se cumple: a2 = b2 + c2 – 2bc•CosA c a b2 = a2 + c2 – 2ac•CosB c2 = a2 + b2 – 2ab•CosC A C b Demostración B Tenemos: * En el AHB: h2 = c2 ..m2 = a2 ... si se tiene que a = 6u .2bc • CosA	.q. menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que éstos forman”.b2 + 2bm ..m2 * En el BHC: h2 = a2 .q.m2 .
tenemos del triángulo mostrado que: ( 3 + 1)2 + ( 3 − 1)2 − ( 6 )2 Cosθ = .4 6    4    2 →	c2 = 4 + 2 3 = ( 3 + 1) ∴	c = ( 3 + 1)u 2. efectuando tenemos: 2( 3 + 1)( 3 − 1) 1 ∴	Cosθ = →	θ = 60º 2 Problema aplicativo Hallar “x” en la figura: B 37º D 8 30º x 60º A 5 C U N F V – C E P R E V I 153 .	En la figura. encontrar “Cosθ” y “θ” θ 3+1 3-1 6 Resolución Aplicando la ley de Cosenos (Observaciones). TRIGONOMETRÍA *	Aplicando Ley de Cosenos: 2 2 c2 = ( 6 ) + (2) − 2( 6 )(2)Cos75 º  6− 2 c2 = 6 + 4 .
80º = 89 – 40 2 y2	= 49	⇒ y=7 Hallamos “x” por ley de Senos en el ∆BOC x y x 7 = ⇒	= Sen37º Sen30º 3 / 5 1/ 2 42 ∴	x = = 8.4 5 154 U N F V – C E P R E V I . TRIGONOMETRÍA Resolución B 37º D 8 30º y x 60º A 5 C Hallamos “y” por ley de cosenos en el ∆ABC 1 y2	= 82 + 52 – 2 • 8 • 5 • Cos60º = 64 + 25 .
los lados miden 5. reducir: E = bCos C + cCos B 5.	En un triángulo ABC: a= 2.	En un triángulo ABC. 7 y 30 cm. doble del menor.	Encontrar la superficie de un triángulo en el cual dos de sus lados miden 40 7. Â = 45°. si el ángulo mayor es el ángulo interno. calcular “c”. si: a² + b² + c² = 24.	En un triángulo ABC. a) 30°	b) 60°	c) 120° a = 8.	En un triángulo ABC. TRIGONOMETRÍA Problemas I 9. b = x–1 a) a	b) b	c) c Calcular: x d) 0	e) 1 a) 10	b) 9	c) 11 d) 13	e) 15 12.	En un triángulo ABC.	En un triángulo ABC: Â = 37°. a = x+1. si: Calcular Â . los lados están = = 4 5 6 representados por 3 números enteros Determinar el coseno del menor consecutivos.	En un triángulo ABC. se 2 d) 0	e) cumple: ab a b c 6. a) 6	b) 8	c) 10 d) 12	e) 14 a) 8	b) 2	c) 1 10.	En un triángulo ABC. reducir: + aCos B + bCos A – a SenB SenC a) b	b) a	c) c = J − b c d) a+c	e) a+b a) 1	b) 2	c) ab 14.	En un triángulo ABC. Calcular el Coseno del mayor de los Seno del ángulo comprendido entre ángulos interiores de dicho triángulo. Hallar el perímetro.	En un triángulo ABC. calcular: Cos A d) abc	e) 3abc a) 1/14	b) 3/14	c) 5/14 d) 9/14	e) 11/14 13. se sabe que: d) 300 cm²	e) 600 cm² a b c 16. d) 150°	e) 135° a) 3	b) 4	c) 6 d) 7	e) 9 11.30103 (Log 2 = 0. E = bcSen A(Ctg B + Ctg C) 4. a) a²	b) b²	c) c² c = 7. E = bcCos A + acCos B + abCos C B̂ = 60°. dichos lados es: a) 1/3	b) 1/4	c) 1/5 -0. b = 3.	En un triángulo ABC: a = 5. y el logaritmo decimal del y 8. reducir.	En un triángulo ABC. calcular: 1. b = 5 y Ĉ = 60°. a) 1/2	b) 2/3	c) 3/4 a) 12	b) 15	c) 18 d) 4/5	e) 1/3 d) 21	e) 24 U N F V – C E P R E V I 155 .	En un triángulo ABC. reducir: E = 2RSen(B+C)– a 3. se cumple que: d) 2	e) 3 a² = b² + c² +bc 2.	En un triángulo ABC. (R → Circunradio) B̂ = 30°. Hallar el lado “b”. reducir: = = CosA CosB CosC a 2b 3c E= + − a) Isósceles	b) Equilátero SenA SenB SenC c) Rectángulo	d) Escaleno (R → Circunradio) e)  tal triángulo a) 0	b) R	c) 2R d) 3R	e) 4R 15.30103) d) 1/6	e) 1/7 a) 200 cm²	b) 250 cm²	c) 280 cm² 8.	En que tipo de triángulo ABC.
En un triángulo ABC: de la circunferencia circunscrita a partir de: Ĉ = 2 Â y 4c = 3a a+b 3c entonces al calcular: + 40 = SenA + SenB SenC ˆ  Aˆ + C  Aˆ  E = Cos  a) 1	b) 2	c) 3  Sec    2  2 d) 4	e) 5 1 1 5.	En un triángulo ABC: trapecio a b c + + = R CosA CosB CosC x 6 Calcular: E = Tg A · Tg B · Tg C 45° 30° a) 1 b) 2	c) 1/2 d) 4	e) 1/4 a) 2	b) 3	c) 2 19. TRIGONOMETRÍA 17. c 14. c = 3 µ . c 18.	En un triángulo ABC. d 10.	En un triángulo ABC. a 7. c 9. d e) Doble del perímetro 6. e 8. a 13.	Dado un triángulo ABC simplificar: a) b) – c) 1 4	4 2R[Sen(A+B)+Sen(A+C)+Sen(B+C)] 1 1 a) Área d) e) – b) Doble del área 2 2 c) Perímetro CLAVES I d) Semiperímetro 1. d 3. b 17. calcular el radio 20.	En un triángulo ABC. 18. a) 3	b) c) ± 3 2 a) 30°	b) 60°	c) 15° 1 1 d) 75°	e) 45° d) e) ± 2 2 4.	De la figura.	Hallar “x” de la figura. en un triángulo d) 4	e) 3 ABC se cumple: aCos A+bCos B+cCos C=2RSen A·Sen B 3. d 16. b x 2 Problemas II 1. b 15. d 12. c 19. c 4. reducir: C C a b b E = (a+b)²·Sen²   +(a–b)²·Cos²   a) b) c) 2 2 b	a 2a a) c	b) 2c	c) c² a 2a  1  c² d) e) d) 2c²	e)   2b b 2 2. 11. c 6. se cumple que: Hallar: Tg 2C b = 2 µ . hallar: “Sec a” 60° 5 b a a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 156 U N F V – C E P R E V I . 3 Indicar la medida del ángulo A. c 20. e 2.	En un triángulo ABC. mC = 60°.	Hallar “x” de la figura. e 5.
2	b) 2. hallar mC.	Se tiene un triángulo cuyos lados son proporcionales a 5. a) a²	b) b²	c) c² a) 0.8 d) 2.6	e) 1. Hallar: N = Sen A + Sen B + Sen C D a) 1.	De la figura.5	c) 0. 6 y 7. si a) 1	b) 2	c) 4 su mayor ángulo interno mide 120°. BC = 15 d) 3	e) 1 B 8.	En un triángulo ABC.3	c) 0. luego su perímetro es: 1 1 d) e) a) 30 m	b) 60 m	c) 15 m 2 4 d) 20 m	e) 10 m 12. Hallar A Q = 2Sen² (b+c)²+(b²+c²)·Cos A – 2bc el coseno del mayor ángulo de dicho 2 triángulo.8 3 14.	En un triángulo ABC el perímetro B 2 C es 24 m y el circunradio mide 5 m. Ctg β. Si: a = 1 u. 13. se cumple: cumple: Cos A CosB CosC a2 + b2 + c 2 a b c + + = = = a b c kabc CosA CosB SenC Luego el valor de “k” es: C Calcular: Sen a) 1	b) 2	c) 3 3 a) 0.5	e) 0.3 1 1 d) e) 2 3 U N F V – C E P R E V I 157 .	En un ∆ABC.4	b) 0.9	e) 0.	Los lados de un triángulo están en progresión aritmética de razón 4m. a) 5	b) 4	c) 2 Si: AB = 17.7 d) 0.	En un triángulo ABC se cumple: 2 a² = b² + c²– bc Hallar: Tg A 3 1 C a) b) 3	c) 2 2 A 3	a) 8	b) 14	c) 15 2 2 2 d) 16	e) 17 d) e) 4 3 15.6 16.	Dado un triángulo ABC.	Dado un triángulo ABC donde se 17.2	b) 0. reducir: 9. b = 3 u y c = 7 u Calcular: a) 22°30’	b) 45°	c) 15° SenA + SenC d) 30°	e) 60° Q= SenB 11.	De la figura adjunta: A E Calcular: Tg α. hallar CD. en progresión aritmética (a<b<c). TRIGONOMETRÍA 7.	Si los lados de un triángulo ABC están 10.4	c) 2.4 d) ab	e) ac d) 0.
a d) e) 16. TRIGONOMETRÍA 18. c 9. 20. e 3. e 2. reducir: a−b B + A  B − A  W = + Ctg   Tg   a+b  2   2  a) 2	b) 1	c) 0 d) –1	e) –2 158 U N F V – C E P R E V I . d 15. d 4.	Dado un triángulo ABC. a 10. c 20. b 18. b 13. d 6 6 19. b 14. reducir: C C N = (a+b)²·Sen² +(a–b)²·Cos² 2 2 a) 1	b) a²	c) b² d) c²	e) 2 CLAVES II 6 6 6 a) – b) c) 1. e 3 2 11. a 12.	Dado un triángulo ABC. b 17. c 19.	Hallar “Cos θ" si el sólido es un cubo. e 7. c 8. e 5. c 6 2 3 6.
Es decir: F. TRIGONOMETRÍA UNIDAD 15 Funciones trigonométricas Función trigonométrica Se denomina FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA al conjunto de pares ordenados (x.T.T. = { (x.(x) } Dominio y rango de una función trigonométrica Si tienemos una función trigonométrica cualquiera y = R. tal que la primera componente “x” es la medida de un ángulo cualquiera en radianes y la segunda componente “y” es la razón trigonométrica de “x”. y).T. x2] RAN(F) = [y1 .(x)} Recordar álgebra La gráfica corresponde a una función y = F(x) donde su DOMINIO es la proyección de la gráfica al eje X y el RANGO es la proyección de la gráfica al eje Y. RAN = {y  y = R.T. DOM = {x  y = R. y2] y2 RANGO GRAFICA DE Y=F(X) y1 0 x1 x2 X DOMINIO U N F V – C E P R E V I 159 .(x) •	Se llama DOMINIO(DOM) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variable “x”.T. y)  y = R.(x)} •	Se llama Rango(RAN) de la función trigonométrica al conjunto de valores que toma la variable “y”. Y DOM(F) = [x1 .
y)  y = Senx } Gráfico de la función seno Y y = Senx 1 X -4π -2π 0 2π 4π -1 •	El DOMINIO de la función seno es la proyección de su gráfica al eje x por lo tanto: DOM(Sen) = <-∞. 1] Ojo al gráfico Una parte de la gráfica de la función seno se repite por tramos de longitud 2π. +∞> o IR •	El RANGO de la función seno es la proyección de su gráfica al eje y por lo tanto: RAN(Sen) = [-1 . Y 1 X 0 π/2 π 3π/2 2π -1 Nota: El periodo de una función se representa por la letra “T” por lo tanto el periodo de la función seno se denota así: T(Senx) = 2π 160 U N F V – C E P R E V I . Por lo tanto todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico.TRIGONOMETRÍA Función Seno Definición Sen = { (x. Esto quiere decir que la gráfica de la función seno es PERIÓDICA de periodo 2π.
TRIGONOMETRÍA Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y = ±Asenkx entonces al número “A” se le va a llamar AMPLITUD y el periodo de esta función es 2π/k Es decir: AMPLITUD = A y = ±ASenkx ⇒  T(Senkx ) = 2π  k Gráfico Y A AMPLITUD X 0 2π K -A PERIODO TRAMO QUE SE REPITE Ejemplos Graficar la función: y = 2Sen4x. Indicar la amplitud y el periodo Resolución AMPLITUD = 2 y = 2Sen4x	⇒	 T(Sen4 x ) = 2π = π  4 2 Graficamos la función: Y 2 AMPLITUD π X 0 π /8 π /4 3π/8 2 -2 PERIODO U N F V – C E P R E V I 161 .
TRIGONOMETRÍA Función Coseno Definición Cos = { (x . Y 1 0 π/2 π 3π/2 2π X -1 Nota: El periodo de la función coseno se denota así: T(Cosx) = 2π 162 U N F V – C E P R E V I . 1] Ojo al gráfico Una parte de la gráfica de la función coseno se repite por tramos de longitud 2π. y)  y = Cosx } Gráfico de la función coseno Y y = Cosx 1 X -4π -2π 0 2π 4π -1 •	El DOMINIO de la función coseno es la proyección de su gráfica al eje X por lo tanto: DOM(Cos) = <-∞. todo análisis y cálculo del dominio y rango se hace en el siguiente gráfico. Esto quiere decir que la gráfica de la función coseno es el periodo 2π. +∞> o IR •	El RANGO de la función coseno es la proyección de su gráfica al eje Y por lo tanto: RAN(Cos) = [-1 . por lo tanto.
entonces al número “A” se le va a llamar AMPLITUD y el periodo de esta función es 2π/k. Indicar la amplitud y el periodo. Es decir: AMPLITUD = A y = ±ACoskx ⇒  T(Coskx ) = 2π  k Gráfico y = ACoskx Y A AMPLITUD 0 2π X K -A PERIODO TRAMO QUE SE REPITE Ejemplo Graficar la función: y = 4Cos3x. TRIGONOMETRÍA Propiedad Si tenemos la función trigonométrica y = ±ACoskx. Resolución AMPLITUD = 4 y = 4Cos3x ⇒  T(Cos3 x ) = 2π  3 Graficamos la función Y 4 AMPLITUD π /2 2π X 0 π /6 π /3 3 -4 PERIODO U N F V – C E P R E V I 163 .
2n + 1 pertenece a: y = Senx 6  π ⇒	2n + 1 = Sen 6 1 2n + 1 = 2 1 2n = – 2 1 n = − 4 164 U N F V – C E P R E V I . entonces se cumple que: b = Sena Y (a.	Graficamos la función: Y y = Senx (120º. 3 ) 3 2 = Sen120º 2 X 0 120º 270º -1= Sen270º (270º.	Si  . 2n + 1 pertenece a la gráfica de la función y = Senx. TRIGONOMETRÍA Propiedad fundamental para Seno y Coseno Para la función seno Si (a.b) b = Sen a X 0 a Ejemplo 1. b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y = Senx. si  . 6  Hallar: “n” Resolución π  Aplicamos la propiedad. -1) π  2.
b) a X 0 Ejemplo 1.	Graficamos la función: y = Cosx Y 1/2 = Cos60º (60. 2n + pertenece a la gráfica de la función y = Cosx 4 4    Hallar “n” Resolución π 2  Aplicamos la propiedad. b) es un punto que pertenece a la gráfica de la función y = Cosx entonces se cumple que: b = Cosa Y b = Cosa (a.	 . Si  .2n + pertenece a: y = Cosx 4 4    2 Cos π ⇒	2n + = 4 4 2 2 2n + = 4 2 2 2 2n = ⇒	n= 4 8 U N F V – C E P R E V I 165 . -1) π 2  2. TRIGONOMETRÍA Para la función Coseno Si (a. ½) 60 180º X 0 -1 = Cos180º (180º.
y = 18 Sen(πx) iii.5n  pertenece a la  3  1/2 gráfica de la función: y = Cos x.	El gráfico adjunto corresponde a la función: 2π y 1. halle “n”.	Determinar la amplitud y periodo de 3 3 3 c/u de las siguientes funciones: π π d) u²	e) u² i. a) 1 b)− 5 c) − 1 p x 10 2 10 5 1 1/2 d) − e) − 2 2 a) –Cos x	b) –2Cos x  π a−b 2 2.	y = πCos( ) mostrado: π y y=aCos(bx) iii.	y = 4Sen( ) x 4 ii.	Si el punto P  .5Cos(x 2 ) 6 12 x 8.	Halle el área de la región sombreada 2 en el gráfico: d) e) 2 3x 2 y y 4Sen 2 3.	Determinar la amplitud y periodo de c/u de las siguientes funciones: x i.	y=− Cos 8	2 3 4 d) 2	e) 8 166 U N F V – C E P R E V I .	y = 2Sen x · Cos x · Cos 2x 4π 2π π a) u²	b) u²	c) u² 4. TRIGONOMETRÍA Problemas I 6.	y = 0.	Halle “a/b” a partir del gráfico ii.	y = –Sen 5x 1 1 1 x a) b) c) 1 iv.	y = (Sen x+Cos x)(Sen x–Cos x) 5.	y = 3 Cos 6x iii.	y = 3+2Cos(x+60°) 1 iv.	Si el punto Q  . c) 2Cos d) − Cos 2x 2	2 halle a .  pertenece 4 a+b x 1 a la gráfica de la función: y = Sen x.	y = 6 – 5Sen (3x) iv.	y = 2Sen 2 ii. 1 b e) Cos 2x a) 3+2 2 b) 5 2 c) 3–2 2 2 7.	Graficar las siguientes funciones: 4 x x 3 i.
: x = (2π+1)π . T = 2π 11.: y ∈ [–8.	Graficar las siguientes funciones: i)	y = 4 + 3Sen 8x x x ii)	y = –2 – 4Sen( x ) a) 2Sen 3	b) 2–4Sen 3 5 13.	Hallar el rango.= –8 c) A = 1 . Máx. T = 2 Mín. n ∈ Z 4 d) Dom.= –8 2 2 b)	Ran.2] .= –2 a) A = 5 . T = 4π Mín. d) A = 1 . Máx.: x = . = 1 .	Halle el dominio de la función: 16. Máx. Máx. = 8 .: y ∈ [–8. 2 b) A = 5 . Mín. T = 3 2 8π 4π 2π 3 π a) u²	b) u²	c) u² d) A = − .: y ∈ [–2. n ∈ Z nπ 2 e) Dom. T = 4π d)	Ran. n ∈ Z 6 nπ b) Dom.–2] . π Mín. = 8 .: x = 2π n . T = 3 3 3 2 2 π π 3 π d) u²	e) u² e) A = . n∈Z 4 x 12. valores máximo y 15.	El gráfico adjunto corresponde a la F(x) = Cosx − 1 función: y a) Dom.: y ∈ [–1.: x = nπ .= 2 π e)	Ran.	Halle el área de la región sombreada 14. TRIGONOMETRÍA 9.: y ∈ [2.: x = . = –2 .8] . T = 2π 2 x 2 π c) A = .	Halle la amplitud (A) y periodo (T) de en el gráfico: la función: y = 1 + 3Cos²2x y a) A = 3 .1] . x x y = 4Sen( ) – 3Cos( ) Mín. Máx. = 2 . n∈Z 2 c) Dom.= –1 e) A = 5 .	Halle la amplitud (A) y periodo (T) de mínimo de la función: la función: Y = 5Sen x – 3 a)	Ran.8] . T = π 1 3 b) A = . T = c)	Ran.	Graficar las siguientes funciones: x c) 4–2Sen d) 2–4Sen 3x 3 i)	y = 2Cos( x )–3 4 e) 4–2Sen 3x ii)	y = –5Cos 6x + 1 U N F V – C E P R E V I 167 . T = 3 6 2 2 10.
b)	Dom. d 18.2 c)  1 .2] 2 4 8 d)	Dom.	Si el punto M  .: y ∈ [–2. c 17.* x 6.1 1 3 2 a) [–1.: x ∈ R–{(2n+1)π/2. e 9.n ∈ Z} .	Halle el área de la región sombreada en el gráfico adjunto: π 2 π 2 y a) π 2 u²	b) u²	c) u² 2 4 π 2 π 2 d) u²	e) u² 8 16 CLAVES I 1. d 12.1]	b)  4   4  a) b) − c) 2	2 2  1 . e 20.	Halle el rango de la siguiente función:  4π n  1.	Halle el área de la región sombreada las siguientes funciones: en la figura siguiente: y a) y = 7Sen 4x y = Cos x 9x b) y = 23 Cos +40 2 c) y = 59– 2 π · Sen( 2 x–12) x d) y = 4Sen x · Cos x(Cos²x–Sen²x) y = Sen x 168 U N F V – C E P R E V I . 2 2 2 a) b) c) Ran.2] 2 3 d) e) e)	Dom.2> c)	Dom.* 13.: x ∈ R–{nπ . e 15. Ran.1 e)  1 .: y ∈ [–2.	Determine la amplitud y el periodo de 20.n ∈ Z} .: y ∈ <–2. b 19.n ∈ Z} . Ran.	Si el punto P  .2n +  . c a) u²	b) u²	c) u² 3 3 3 π π Problemas II d) u²	e) u² 3 6 18. b 8.* 14. 4  1 d) d) − 3 e) −  2   2 3  2 19. n ∈ Z} . c 10. 16 2 Ran. TRIGONOMETRÍA 17. a 3.2] a la gráfica de la función: y = Cos 2x.  . pertenece  8 4  a)	Dom.* 5. c 2. b 8π 4π 2π 16.  3 . d 7.: y ∈ [–2. halle “n”. halle: “n” Ran. pertenece a la F(x) = Sen4x(1+Sen²x)  3 2 + Cos4x(1+Cos²x) gráfica de la función: y=Sen x.2> 3.: y ∈ <–2.	Indique el dominio y rango de la función: π 2 y = Sen 2x · Sec x 2.* 4.: x ∈ R–{nπ .: x ∈ R–{(2n+1)π/2 .: x ∈ R . a 11.
función cuya regla de correspondencia es: y  1 11. halle el valor de la expresión: x E = Csc a + Cot²a 4 –2/3 a) 18	b) 24	c) 31 d) 41	e) 45 3 2 a) y = Cos 2x	b) y = Cos 2x 12.1] 2 x 10.2] d) Dom = R–nπ .	Grafique la función: 5 iv) y = − Cos 4x y = Sen 2x · Csc x 3 e indique su dominio y rango.	Si el punto P  a.	Calcule el área de la región las siguientes funciones: sombreada: a) y = Cos 8x y y=Sen x x  b) y = Log 100 · Sen  + 2  –5 4  c) y = 3 – 4Sen³x + 3Sen x d) y = Sen x + 3 Cos x 5 x 6 5.	Grafique las siguientes funciones: i) y = 6Sen 8x x π π 3π ii) y = –4Sen   a) 8 u²	b) 4 u²	c) 8 u² 5 π π iii) y = 7 Cos   2x  d) u²	e) u²  2 16  3  9.  pertenece a la 2/3  2 gráfica de la función: f(x)=3Sen x. Ran = [–2.	Grafique la función: a) 16π u²	b) 24π u²	c) 36π u² Sen5x + Sen3x y= d) 48π u²	e) 72π u² Sen4x 7.	Determine la amplitud y el periodo de 8.2] y c) Dom = R–nπ2 . Ran = [–2. Ran = [–1. 6.	Grafique las siguientes funciones: 2 3 i)	y = 4 – 2Sen x 3 3 c) y = Cos 4x	d) y = Cos 8x 2 2 x–5 ii)	y = 3Cos   2 e) y = Cos 8x 4 3 U N F V – C E P R E V I 169 . Ran = ]–2. TRIGONOMETRÍA 4.	La gráfica adjunta. Ran = [–2.2[ nπ e) Dom = R– .	Calcule si área de la región a) Dom = R .2] sombreada: nπ y = 6Sen(x/4) b) Dom = R– . corresponde a la e indique su Dominio y Rango.
Calcule el área de la región 5x b) y = 2Cos sombreada: 2 x x y y 4Cos y 4Sen 5x 4 8 c) y = Cos 4 5x d) y = Sen x 2 e) y = Cos 5x 170 U N F V – C E P R E V I .	Determine la regla de correspondencia 14.	Determine el dominio y rango de la de: y = f(x) siguiente función: x y=2Sen x y = (Csc x – Cot x)Cos y 2 15. − 6  . además: x P  10π . Calcule: 2 A + 5B  x  3  a) y = 3+Sen y 2 x b) y = 3 – Sen 2 x 25 x c) y = 5 – 2Sen 8 4 P x d) y = 7 – 4Sen 4 a) 2	b) 4	c) 6 x d) 8	e) 10 e) y = 4 – 2Sen 8 18.	La gráfica mostrada. TRIGONOMETRÍA 13.	Halle el valor de a/b.	La ecuación de la gráfica adjunta es: y = Asen Bx . a partir de: 1 y y = aCos bx 1 x y=f(x) 4 x 1 3 a) 4	b) 8	c) 10 5x a) y = Cos d) 12	e) 16 2 16. corresponde a la función de regla de correspondencia: 8π 4π 16π y a) u²	b) u²	c) u² 3 3 3 7 32π 48π d) u²	e) u² 3 3 3 17.
* 11. calcule el relación entre los lados de la región periodo de la función. (ABCD y cuadrado) y y = 2Cos Bx x M N x π π π a) b) c) Q P 4	6 8 π π a) 6 3 b) 9 3 c) 12 3 d) e) 9 18 d) 3 3 e) 18 3 CLAVES II 1.c 18. se muestra.a 19.d 17.c 14.d 12. si el área de la región y 4 3Senx sombreada es de 3 u².* 6. cuyo gráfico rectangular.* 4. TRIGONOMETRÍA 19.* 15.d 10. determine la 20.c 9.	Del gráfico mostrado.* 13.a U N F V – C E P R E V I 171 .d 2.	Del gráfico mostrado.c 3.b 16.e 20.* 5.e 8.c 7.
 (KX)  = a	⇒	VP = ángulo ángulo 172 U N F V – C E P R E V I .	Senx = Cosx 2.T. Ejemplo 1.	Sen = 4 2 4.(KX) = a Ejemplo 1 1)	Senx = 2 2 2)	Cos2x = 2 x 3)	Tan =− 3 3 Valor principal de una ecuación trigonométrica elemental Se llama valor principal (VP) al menor ángulo positivo o mayor ángulo negativo que satisface una ecuación trigonométrica elemental. Ecuación trigonométrica elemental Una ecuación trigonométrica se llama ELEMENTAL o BÁSICA o SIMPLE si tiene la siguiente estructura: F.	Tanx – Cot2x = 0 x 1 3. si no también sin otro operador trigonométrico. es decir: Si:	F.T. por que en esta la incognita “x” se encuentra no solo bajo el operador TAN.	Tan2x	= 3x – 1 Ojo: La ecuación del ejemplo Nº 4 no se llama trigonométricas.TRIGONOMETRÍA UNIDAD 16 Ecuaciones trigonométricas Ecuación trigonométrica Una ecuación se llama TRIGONOMÉTRICA si ella contiene la incognita “x” sólo bajo los operadores trigonométricos.
•	Si a es 0 entonces su VP es 90º. •	Si a es 0 entonces su VP es 0º.	Sen4x = 4x = ⇒	Sen  ⇒	VP = 45º 2 2 45 º 2 2 4.	Sen4x = − 4 x =− ⇒	Sen  ⇒	VP = -45º 2 2 − 45 º 5.	Sen2x = 1	2x = 1	⇒	Sen  ⇒	VP = 90º 90 º 2x = -1	6. Ejemplo Calcular el VP de las siguientes ecuaciones 1 1 1. U N F V – C E P R E V I 173 .	Sen2x = -1	⇒	Sen  ⇒	VP = -90º − 90 º x x 7. Ojo: El valor principal no es la incógnita “x” (VP ≠ x).	Senx = ⇒	Sen x = ⇒	VP = 30º 2  2 30 º 1 1 2. •	Si a es 1 entonces su VP es 0º. Valor principal para CosKX = a La ecuación tendrá soluciones solamente cuando -1 ≤ a ≤ 1. •	Si a es -1 entonces su VP es 180º. •	Si a es 1 entonces su VP es 90º. •	Si a es -1 entonces su VP es -90º. •	Si a es negativo entonces su VP es el negativo del ángulo agudo.	Sen3x = 2 ( La ecuación no tiene soluciones). TRIGONOMETRÍA Valor principal para: SenKX = a La ecuación tendrá soluciones solamente cuando -1 ≤ a ≤ 1 •	Si a es positivo entonces su VP es un ángulo agudo. •	Si a es negativo entonces su VP es el suplemento del ángulo agudo.	Sen = 0	⇒	Sen = 0	⇒	VP = 0º 3 3  0º 8. •	Si a es positivo entonces su VP es un ángulo agudo.	Senx = − ⇒	Sen  x = − ⇒	VP = -30º 2 2 − 30 º 2 2 3.
Sen = -1	⇒	Cos 2 x = -1	⇒	VP = 180º 3 180 º x x 7.	Cosx = ⇒	Cos x = ⇒	VP = 60º 2  2 60 º 1 1 2.	Cosx = − x = − ⇒	⇒	Cos  VP = 120º 2 2 120 º 2 2 2 3.	Cos2x = 1	2x = 1	⇒	Cos  ⇒	VP = 0º 0º x 6.	Cos 3x = 3 (La ecuación no tiene solución) Ojo: El valor principal no es la incógnita “x” (VP ≠ X) Valor principal para TanKX = a La ecuación tendrá soluciones para cualquier valor de “a” •	Si a es positivo entonces su VP es un ángulo agudo •	Si a es negativo entonces su VP es el negativo de ángulo agudo •	Si a es cero entonces su VP es 0º Ejemplo Calcular el VP de las siguientes ecuaciones: x = 3 1.	Cos4x = 4x = ⇒	Cos  ⇒	VP = 45º 2 45 º 2 2 4. TRIGONOMETRÍA Ejemplo Calcular el VP de las siguientes ecuaciones: 1 1 1.	Cos4x = − 4x = − ⇒	Cos  ⇒	VP = 135º 2 2 135 º 5.	Cos = 0	⇒	Cos = 0	⇒	VP = 90º 3 3  90 º 8.	Tanx = 3 ⇒	Tan  ⇒	VP = 60º 60 º x = − 3 ⇒	2	Tanx = − 3 ⇒	Tan  VP = -60º − 60 º 174 U N F V – C E P R E V I .
Tan = 0	⇒	Tan = 0	⇒	VP = 0º 4 4  0º Resolución de ecuaciones trigonométricas elementales Resolver una ecuación trigonométrica elemental significa hallar todos los valores de la incógnita “x” que satisfacen dicha ecuación. Así.	Tan3x = -1	⇒	Tan  3 x = -1	⇒	VP = -45º − 45 º 5.. Es decir. porque también satisfacen los siguientes valores: 75º. TRIGONOMETRÍA 3.	Resolver la ecuación y hallar las cuatro primeras soluciones positivas: 1 Sen2x = 2 U N F V – C E P R E V I 175 . 195º. por ejemplo la ecuación: 1 Sen 2 x = 30 º 2 2x	= 30º x	= 15º Tiene por solución 15º. 435º. 375º.	Tan3x = 1	3 x = 1	⇒	Tan  ⇒	VP = 45º 45 º 4.. .	Tanx = 0	x = 0	⇒	Tan  ⇒	VP = 0º 0º x x 6. pero no es la única solución. coseno y tangente a fin de hallar todas sus infinitas soluciones. El motivo de estos resultados es que las funciones trigonométricas son PERIÓDICAS a continuación citaremos para las ecuaciones que involucran seno. 255º. “n” ∈ ZZ k Ejemplos 1. Resolución de SenKX = a Se aplica la siguiente fórmula: SenKX = a ⇒ KX = n(180º) + (-1)n • VP	“n” ∈ ZZ Denominándose CONJUNTO SOLUCIÓN o SOLUCIÓN GENERAL al resultado: n(180 º ) + ( −1)n • VP x= . que reducen la ecuación a una igualdad después de la sustitución de la incógnita.
TRIGONOMETRÍA Resolución Calculamos el valor principal:	VP = 30º Aplicamos la fórmula:	2x = n(180º) + (-1)n • VP 2x = n(180º) + (-1)n • 30º n(180 º ) + ( −1)n • 30 º Despejamos “x”:	x= 2 Obteniendo así el conjunto solución: x = n(90º) + (-1)n • 15º Para calcuar las cuatro primeras soluciones positivas damos valores enteros positivos a “n”. En el conjunto solución. damos valores enteros positivo a “n” en el conjunto solución π ( −1)o • π π Para n = 0 ⇒	x = 0 • – 12 ⇒	x=− (no se toma) 3 12 176 U N F V – C E P R E V I . Para n = 0:	x = 0(90º) + (-1)º • 15º	⇒	x = 15º Para n = 1:	x = 1(90º) + (-1) • 15º	⇒	1 x = 75º Para n = 2:	x = 2(90º) + (-1) • 15º	⇒	2 x = 195º Para n = 3:	x = 3(90º) + (-1)3 • 15º	⇒	x = 255º 2.	Resolver la ecuación y hallar las tres primeras soluciones positivas en radianes. 2 Sen3 x = − 2 Resolución π Calculamos el valor principal:	VP = -45º = − 4 Aplicamos la fórmula:	3x = n(180º) + (-1)n • VP  π Pasamos a radianes:	3x = n(π) + (-1)n •  −   4  π nπ − ( −1)n • Despejamos “x”:	x= 4 3 Obteniendo el conjunto solución: nπ π x= − ( −1)n • 3 12 Para calcular las tres primera soluciones positivas.
π π 5π
Para	n = 1 ⇒	x = 1 • – ( −1)1 • ⇒	x =
π ( −1)2 • π 7π
Para	n = 2 ⇒	x = 2 • – ⇒	x =
π 3 π 13π
Para	n = 3 ⇒	x = 3 • – ( −1) • ⇒	x =
Resolución de Cos KX = a
Se aplica la siguiente fórmula
CosKX = a ⇒ KX = n(360º) ± VP	“n” ∈ ZZ
Denominándose CONJUNTO SOLUCIÓN o SOLUCIÓN GENERAL al
n(360 º ) ± VP
x= “n” ∈ ZZ
1.	Resolver la ecuación y hallar las cinco primeras soluciones positivas
Calculamos el valor principal:	VP = 60º
Aplicamos la fórmula :	2x = n(360º) ± VP
Despejamos “x”:	2x = n(360º) ± 60º
Obtenemos el conjunto solución: x = n(180º) ± 30º
Para calcular las 5 primeras soluciones, damos valores enteros a “n” en el
Para n = 0 ⇒	x = 0.180º ± 30º ⇒	x = ±30º
∴	x = 30º
Para n = 1 ⇒	x = 1(180º) ± 30º ⇒	x = 180º + 30º ∨ x = 180º – 30º
∴	x = 210º ∨ x = 150º
Para n = 2 ⇒	x = 2(180º) ± 30º ⇒	x = 360º – 30º ∨ x = 360º + 30º
∴	x = 330º ∨ x = 390º
2.	Resolver la ecuación y hallar las tres primeras soluciones positivas en
Cos 3x = −
U N F V – C E P R E V I 177
Calculamos el valor principal:	VP = 135º =
Aplicamos la fórmula:	3x = n(360º) ± VP
Despejamos “x”:	3x = n(2π) ±
 2π  π
Obtenemos el conjunto solución: x = n   ±
 3  4
Para calcular las tres primeras soluciones positivas, damos valores enteros a
“n” en el conjunto solución.
 2π  π π
Para n = 0 ⇒	x = 0   ± ⇒	x=±
 3  4 4
∴	x=
 2π  π 2π π 2π π
Para n = 1 ⇒	x = 1  ± ⇒	x= − ∨ x= +
 3  4 3 4 3 4
5π 11π
∴	x= ∨ x=
Resolución de TanKX = a
TanKX = a ⇒ KX = n(180º) + VP	“n” ∈ ZZ
n(180 º ) + VP
x= ; “n” ∈ ZZ
1.	Resolver la ecuación y hallar las TRES primeras soluciones positivas
Tan2x = 3
Aplicamos la formula:	2x = n(180º) + VP
Despejamos “x”:	2x = n(180º) + 60º
Obtenemos el conjunto solución: x = n(90º) + 30º
178 U N F V – C E P R E V I
Para calcular las 3 primeras soluciones positivas, damos valores enteros
positivas a “n” en el conjunto solución
Para n = 0 ⇒	x = 0(90º) + 30º ⇒	x = 30º
Para n = 1 ⇒	x = 1(90º) + 30º ⇒	x = 120º
Para n = 2 ⇒	x = 2(90º) + 30º ⇒	x = 210º
Tan 3x = –1
Calculamos el valor principal:	VP = – 45º = −
Aplicamos la fórmula:	3x = n(180º) + VP
Pasamos a radianes:	3x = n(π) +  − 
 4 
Despejamos “x”:	3x = nπ -
Obtenemos el conjunto solución: x = n −
Para calcular las tres primeras soluciones positivas, damos valores enteros
positivas a “n” en el conjunto solución.
Para n = 0 ⇒	x=0• − ⇒	x=− (no se toma)
Para n = 1 ⇒	x=1• − ⇒	x=
π π 7π
Para n = 2 ⇒	x=2• − ⇒	x=
π π 11π
Para n = 3 ⇒	x=3• − ⇒	x=
Resolución de CotKX = a, SecKX = a, CscKX = a
Para resolver ecuaciones trignométricas elementales que involucran Cot,
Sec y Csc se invierten y se obtienen Tan, Cos y Sen respectivamente.
U N F V – C E P R E V I 179
Resolver la ecuación: x Csc = 2 2 180 U N F V – C E P R E V I .TRIGONOMETRÍA Ejemplo 1.	Resolver la ecuación: Sec 3x = 2 Resolución Invertimos:	Sec3x	= 2 1 1 = Sec 3 x 2 1 Cos3x	= ⇒	VP = 60º 2 3x	= n(360º) ± VP 3x	= n(360º) ± 60º n(360 º ) + 60 º x	= 3 x	= n(120º) ± 20º 3.	Resolver la ecuación: Cot 2x = 3 Resolución Invertimos:	Cot2x	= 3 1 1 = Cot 2x 3 3 Tan2x	= ⇒	VP = 30º 3 2x	= n(180º) + VP 2x	= n(180º) + 30º n(180 º ) + 30 º x	= 2 x	= n(90º) + 15º 2.
Ejemplo 1.	Resolver la ecuación y hallar la segunda solución positiva: Sen x = Cosx Resolución Senx	= Cosx Senx = 1 Cosx Identidades:	Tanx	= 1	⇒	VP = 45º x	= n(180º) + VP x	= n(180º) + 45º Para n = 0	⇒	x = 0(180º) + 45º	⇒	x = 45º Para n = 1	⇒	x = 1(180º) + 45º	⇒	x = 225º U N F V – C E P R E V I 181 . identidades de transformación a ecuaciones elementales para luego seguir el procedimiento ya conocido. se reducen aplicando las identidades trigonométricas. TRIGONOMETRÍA Resolución x Invertimos:	Csc = 2 2 1 1 = x 2 Csc 2 x 2 Sen = ⇒ VP = 45º 2 2 x = n(180º) + (-1)n • VP 2 x = n(180º) + (-1)n • 45º 2 x	= 2[n(180º) + (-1)n •45º] x	= n(360º) + (-1)n • 90º Resolución de ecuaciones trigonométricas Para resolver ecuaciones trigonométricas.
TRIGONOMETRÍA 2.	Resolver la ecuación y hallar la tercera solución positiva: 2Sen2x = Cos2x Resolución 2Sen2x	= Cos2x Arco doble:	1 – Cos 2x	= Cos2x Cos 2x	= 1 – Cos 2x Cos 2x+Cos 2x	= 1 2Cos 2x	= 1 1 Cos2x = ⇒	VP = 60º 2 182 U N F V – C E P R E V I . obtenemos dos ecuaciones elementales.	Resolver la ecuación y hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas Sen 2x = Cosx Resolución Sen2x	= Cosx Sen2x – Cosx	= 0 Arco doble: 2SenxCosx– Cosx	= 0 Cosx(2Senx–1)	= 0 Igualando a cero cada factor. por lo tanto dos conjuntos soluciones: 1 Cos x = 0 ⇒ VP = 90º	∨	Sen x = ⇒ VP = 30º 2 x = n(360º) ± VP	x = n(180º) + (-1)n • VP x= n(360º) ± 90º	x = n(180º) + (-1)n • 30º El conjunto solución de la ecuación será la unión: x = n(360º) ± 90º	∨	x = n(180º) + (-1)n • 30º Para n = 0 en el primer conjunto tenemos:	x = ± 90º x = 90º Para n = 0 en el segundo conjunto tenemos:	x = 30º Luego la suma de las dos primeras soluciones positivas es: 30º + 90º = 120º 3.
U N F V – C E P R E V I 183 . TRIGONOMETRÍA 2x	= n(360º) ± 60º n(360 º ) ± 60 º x	= 2 x	= n(180º) ± 30º Para n = 0 ⇒	x = 0(180º) ± 30º ⇒	x = –30º	v x = 30º Para n = 1 ⇒	x = 1(180º) ± 30º ⇒	x = 180º–30º	v x = 180º+30º x = 150º	v x = 210º Luego la tercera solución positiva es 210º.
0° < x < 360° d) 143°	e) 150° a) {45°.	Resolver: 2 3 Cos²θ = Sen θ 4Sen²x + 8Sen x + 3 = 0 . 10. 225°} 9.	Hallar el menor valor positivo de “x” 3 4 4 4 4 4 que resuelva la ecuación: π 5π π 5π d) .	Hallar “x” que satisface: d) 540°	e) 360° 2Cos²x + 3Sen x = 3 a) 30° y 90°	b) 60° y 90° 11. TRIGONOMETRÍA Problemas I 8.	Resolver: a) 120°	b) 135°	c) 127° 2Cos x – 2 = 0 . .	Hallar el número de soluciones de “θ” a) 30°	b) 45°	c) 60° en el recorrido de 0 a 2π que cumpla: d) 30°	e) 36° (4Cos²θ–3)(Csc θ + 2) = 0 a) 3	b) 2	c) 1 6. 315°}	d) {135°. c) . d) 60°	e) 75° 3 2 184 U N F V – C E P R E V I . 2Tan²x + 3Sec x = 0 8 6 6 a) 180°	b) 270°	c) 120° 3. 225°} ángulos “θ” comprendidos entre 0° y e) {225°.	Resolver "x" que satisface: Tan²x – (1+ 3 )Tan x + 3 = 0 π 5π π a) b) c) 11 8 3 π π 3π π π 5π 4π 2π π a) . e) . x ∈ [0. d) . 8 8 6 3 3 3 3 Tan(45°+x)=3 Tan x + 2 .	Resolver “x” que satisface: 2Cos x + Cos 2x = –1.	Hallar el menor valor positivo de “x” d) 0	e) 4 que resuelva la ecuación: 12. 0°<x<90° a) 15°	b) 30°	c) 45° π π e) . d) e) 5 4 2 4 3 4 3 3 6 π 5 π π 2π π 2π 4 π 7.135°}	b) {45°.	Hallar "x" que satisfaga: Sen x = 1 + 3 Cos x 8 a) 30°	b) 45°	c) 75° Tanx + 8 Cotx = 2 d) 90°	e) 60° π π π 3π 3π 5π a) . . 180°〉 que cumpla: e) 30° y 180° Tan²x – 3 = 0 a) 1	b) 2	c) 3 4. 90°<x<180° 1.	Hallar la suma de valores de los c) {45°. 5. c) . 315°} 360° que cumpla: 2. 1 1 4 4 4 8 + 8 = 1 + Senx 1 − Senx 13. . .2π] a) 60°	b) 120°	c) 180° d) 270°	e) 360° 5π π π π π π a) . b) .5 .	Hallar el número de soluciones para: c) 45° y 60°	d) 75° y 150° x ∈ 〈0°.	Hallar la suma de soluciones 6 2	3 2 6 3 comprendidas entre 0° y 360° que π 7π 11π cumpla: d) e) .	Hallar “x” en la ecuación: c) .	Hallar el menor valor positivo de “x” d) 4	e) 5 que satisface la ecuación: 2Cos x = 3Tan x 14. b) . . b) . .
Resolver: Sen α + Cos α + 2 · Cos 2α = 0 25Cos(3x+29°) + 24 = 0 a) 18°	b) 25°	c) 36° π π π d) 45°	e) 53° a) b) c) 16 18 10 5.d 18.	Hallar “α” que cumpla: 4.	Hallar el menor ángulo positivo que CLAVES I cumpla: 1.d 13. 210°} en el intervalo: 0°<x<90 c) {30°.	Siendo “x1” una raíz de la ecuación: Sen x – 3 Cos x = 0 3Sen x + 4Cos x = 5 a) {15°. TRIGONOMETRÍA 15. 8.	Hallar la segunda solución positiva de la ecuación: 20.	Calcular la segunda solución positiva a) 11	b) 13	c) 17 de la ecuación: Sen x – Cos x = 1 17 a) 75°	b) 45°	c) 90° d) 5	e) 18 d) 150°	e) 180° U N F V – C E P R E V I 185 .c 17.e 7.b 19.	Resolver: 2.a 4. 60°} Hallar: x1 e) {60°. 195°}	b) {30°.	Resolver la ecuación: 4	6 3 5π 5π 2Sen 12x – 3 = 0 d) e) a) 5°	b) 8°	c) 10° 12 4 d) 14°	e) 15° 16.c 10.	Hallar los valores de x en el recorrido 1 dé 〈0.e  2 + 1 11.c 2. 240°} a) 30°	b) 37°	c) 45° d) 60°	e) 53° 7.b 20.	Hallar “x”: a) 10°	b) 25°	c) 28° 2 + Tanx + 2 − Tanx = 2Tanx d) 30°	e) 45° a) 30°	b) 60°	c) 90° 6. 150°}	d) {30°.e 3.b 8.π〉 que satisface: Cos²x = 1 5x 5x 2 Sen 4x · Cos x = + Sen ⋅ Cos a) 45°	b) 90°	c) 135° 4 2 2 d) 150°	e) 315° Indicar el cociente entre la mayor y la menor raíz.d 5.	Indicar una solución de la siguiente 5π π ecuación ecuación: d) e) 12 12 Tan(5x+10°) + 1 = 0 18.c 6.b 2 Sen²x –   Sen x + =0 16.	Resolver la siguiente ecuación: π π 5Sen(2x+87°) + 3 = 0 d) e) 4 12 a) 25°	b) 39°	c) 50° d) 65°	e) 70° 17.d 14.c  2  4 π π π Problemas II a) b) c) 1.b 15.	Hallar las dos primeras soluciones d) 45°	e) 53° positivas de la ecuación: 19.	Resolver: Cos x = 3 Sen x + 2 . una solución 2 Csc(x–8°) –1 = 0 es: a) 15°	b) 30°	c) 37° ππ 17π a) − c) b) − d) 45°	e) 53° 2	4 12 3.b 12.a 9.
Calcular la suma de soluciones de la Tg²x = 1 − Senx siguiente ecuación. e 3.180°[ . Sen x – Cos 2x = 0 9π 7π a) b) 3 π	c) 3π 5π 7π d) π	2 e) 2 π 2 a) b) c) 2 2 2 d) π	e) 2π CLAVES II 14.	Resolver e indicar el número de 1. a 10. a) 60°	b) 120°	c) 240° 2Sen x + Cot x = Csc x d) 300°	e) 420° a) 1	b) 2	c) 3 12.b 14. a 2.	Hallar el número de soluciones 2Cos²x – 7Cos x + 3 = 0 positivas y menores a una vuelta.	Si x ∈ [0.b 20.	Calcular la tercera solución positiva d) 225°	e) 315° de la ecuación: 19. a) b) c) 12 4 6 a) π	b) 2π	c) 3π 5π 5π d) 4π	e) 5π d) e) 6 3 17.d Sen²x + Sen x = Cos²x 11.2π] de: 6.d 19. para Sen4x + Sen2x 1 x ∈ [0. para x ∈ [0. para x ∈ [0°. = 2Cos2x + 1 2 Sen x + Cos x = 1 + Sen 2x dar como respuesta la suma de π 5π π soluciones.	Calcular la mayor solución positiva y π 5π menor a una vuelta de la ecuación: a) b) π	c) 3	3 x Tan x + Sen x = 2Cos² d) 3π	e) 4π 2 a) 150°	b) 180°	c) 45° 11. b soluciones para x ∈ [0.	Hallar la menor solución positiva de la siguiente ecuación: Sen18x+Sen10x+2 3 Sen²2x= 3 π π π a) b) c) 12 8 22 π π d) e) 42 52 186 U N F V – C E P R E V I .	Resolver la siguiente ecuación. c 8.	Si: x ∈ ]90°. esolver: Tg(x+45°) + Tg(x–45°) – 2Ctg x = 0 10. e 7.2π].c 15.	Resolver la ecuación y dar como a) 105°	b) 120°	c) 135° respuesta la suma de las soluciones d) 150°	e) 165° comprendidas en [0.2π].	Hallar el número de soluciones de la d) 4	e) 5 siguiente ecuación.e 17. d 4. d 5.d 18.c 13.	Resolver: 16. TRIGONOMETRÍA 9.e 12. e 9.2π]: (1+Tan x)(1–Tan x) = 1 18.2π].c d) 4	e) 5 15. sumar las soluciones de Sen 3x+ Sen x = 0 la ecuación: a) 1	b)2	c) 3 d) 4	e) 5 1 − Cosx 13.d a) 1	b) 2	c) 3 16. 180°]: 20.
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