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Timestamp: 2016-02-12 16:28:49+00:00

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1. Un poco de historia: los inicios del álgebra. 1
1.1 Cardano. 2
1.2 Bombelli. 4
1.3 Números imaginarios. 6
2. Álgebra de números complejos. 9
2.1 Definición de número complejo. 9
2.2 Suma de números complejos. 11
Resta de números complejos. 11
Propiedades generales de la suma y resta de números complejos. 12
2.3 Producto de números complejos. 13
Propiedades generales del producto de números complejos. 14
El conjugado de un número complejo. 15
El módulo de un número complejo. 15
2.4 División de números complejos. 16
Ejercicios. 17
2.5 Representación geométrica. 18
Interpretación geométrica del módulo y del conjugado. 20
Suma geométrica de números complejos. 22
2.6 La forma polar. 24
Multiplicación y división en la forma polar. 29
2.7 Potencias y raíces de números complejos. 30
Formula de De Moivre. 30
Ejercicios. 33
3 La fórmula de Euler. 36
3.1 El número e. 36
3.2 Aplicaciones a la trigonometría. 41
3.3 Aplicaciones a la geometría. 43
3.3.1 El teorema de Pitágoras. 44
3.3.2 La ley de los cosenos. 45
3.3.3 Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo. 47
3.3.4 El área del círculo. 48
El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan interesante por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado. Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad. En los cursos de álgebra de la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades más importantes, dejando de lado aspectos geométricos tan importantes como el estudio de las transformaciones y los movimientos del plano. El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los métodos usuales. Muchos conceptos de la matemática, como el de función, límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano.
En el presente, se tratan los aspectos históricos más importantes sobre los números complejos, que considero son fundamentales para cualquier desarrollo didáctico de este tema dentro del aula y espero que sirva para motivar a los docentes y estudiantes hacia el estudio de este y otros temas que puedan surgir a partir de éste. Además, también espero que resuelva esa inquietud que surge en los estudiantes: ¿Por qué los números complejos? ¿De dónde surgen? ¿Por qué se llaman complejos o imaginarios? ¿Para qué sirven?
1. Un poco de historia: los inicios del álgebra
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars Magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porqué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra.
Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación:
no tiene soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de -19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debido a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos mas adelante.
Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos. 1
Con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serán el semillero de las grandes ideas que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarán libres de sus equivalentes geométricos.
La palabra álgebra se deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar. ¿Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando se tiene una ecuación, como por ejemplo:
entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también los doctores lo hacen. En la medicina antigua el término álgebra se usaba para designar las operaciones de los huesos. Así pues, un algebrista era un matemático o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en su sitio. Álgebra es el arte de restituir a su lugar los huesos dislocados, según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española.
Dejemos los huesos por el momento y volvamos a la médula del problema. ¿Quienes descubrieron el álgebra? Se puede considerar al matemático árabe Al-Khwarizmi como el padre de esta disciplina. El fue el autor de un libro, llamado al-jabr, publicado en el año 830 d.c., primer libro de álgebra, de gran influencia en toda Europa, donde se recogían todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.c. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotámicos e hindúes en toda Europa, a través de España.
1.1 Cardano
La vida del matemático italiano Girolamo Cardano esta llena de historias, situaciones y aventuras tan interesantes que bien pueden servir de guión para una película o novela. Fue un destacado matemático, así como también médico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Milán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseñó geometría en la Universidad de Pavia y Milán. Fazio fue asesor del célebre pintor Leonardo da Vinci en cuestiones de geometría. Cuando Cardano estaba a punto de nacer, una epidemia de peste azotó a Milán y sus padres se 2
trasladaron a Pavia. Alli nació Girolamo el 24 de Septiembre de 1501, como hijo ilegítimo de Fazio y Chiara Micheria.
Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de médico. Después de recibir el titulo de Doctor en Medicina se dedica a ejercer su profesión, pero también al juego de cartas, dados y ajedrez. Cardano fue un jugador empedernido durante toda su vida. Su adicción por el juego lo llevó a estudiar y desarrollar muchas técnicas de la teoría de las probabilidades y las aplicó en forma bastante exitosa logrando hacer una fortuna como jugador. El lado oscuro de esta realidad feliz, es que su vida fue muy atormentada por las vicisitudes del juego, que lo llevó por los senderos más bajos y ruines de la vida. En una ocasión alguien le hizo trampas y entonces sacó una navaja y le cortó la cara a su oponente.
Su fama de buen médico, por otra parte, fue creciendo como la espuma, debido a sus curaciones casi milagrosas y su profundo conocimiento en la diagnosis de las enfermedades. Sin embargo el Colegio de Médicos de Milán no quería recibirlo en su seno, debido a su carácter arisco y pendenciero y además por ser un hijo natural. Después de varios intentos de ingreso, por parte de Cardano, finalmente fue aceptado en 1537. Una vez estabilizada su posición, le quedaba tiempo libre para dedicarse seriamente a las matemáticas.
En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. Tartaglia era un matemático de reconocida fama y prestigio, entre otras cosas, por haber ganado concursos sobre la resolución de ecuaciones, usando métodos secretos. Aparte de poseer estas habilidades, Tartaglia fue un experto en el estudio de las trayectorias de los proyectiles. El descubrió que la máxima trayectoria se obtiene cuando el ángulo de disparo es igual a 45°. También se debe a Tartaglia la primera traducción de los Elementos de Euclides al italiano.
Tartaglia le enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto, por haber faltado a su juramento. Sin embargo, un joven matemático de apenas 18 de edad, Lodovico Ferrari, quien a la sazón era sirviente de Cardano, sale en defensa de su protector diciendo que el estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento. En realidad, la fórmula para resolver la ecuación cúbica, había sido descubierta mucho antes por el matemático 3
Scipione del Ferro, quien publicó un pequeño libro, que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa.
En su Ars Magna, Cardano reconoce a Al-Khwarizmi como el padre del álgebra. El libro, que vio a la luz varias ediciones, fue un clásico de la matemática y contribuyó de manera decisiva al desarrollo del álgebra. En aquella obra aparecen muchos resultados originales, como el método para eliminar la x
en una ecuación cúbica, conocido como el método de Cardano. También desarrolló un método para resolver ecuaciones diferenciales, llamado método de las proporcionales.
Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y consideró la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela. En una nueva edición de su libro, en 1570, Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos. Por ejemplo, la expresión:
( )( ) ( ) 40 15 25 15 5 15 5 · − − · − − − +
Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dio el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. En particular, para la ecuación:
q px x 2 3
+ · (1.1)
Cardano nos da lo fórmula:
p q q p q q x + − + + + · (1.2)
Conocida como la Fórmula de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano.
1.3. Bombelli
La matemática ha evolucionado en el transcurso del tiempo de la forma más inesperada. De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle, inadvertido para la gran mayoría, en alguna fórmula o relación muy conocida, y esto puede tener consecuencias imprevisibles, planteando nuevas situaciones, generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive, abriendo nuevas áreas de estudio. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli, sobre la ecuación cúbica. Por ejemplo, la ecuación:
se resuelve usando la fórmula (1.2)
8 9 6 8 9 3
− − + − + · x
La solución parece un poco compleja, sin embargo, se sabe por métodos de cálculo que la ecuación tiene una raíz real entre 2 y 3, la cual es, aproximadamente 8473 . 2 ≅ x . Nos preguntamos entonces ¿Cómo es posible que una expresión de números complejos nos de un resultado real? ¿Quién era Bombelli? ¿Hasta cuando iría a durar la prolongada infancia de los números complejos en las manos de los algebristas italianos?
Rafael Bombelli nace en enero de 1526 en Bolonia, siendo su padre Antonio Mazzoli, un comerciante en lanas. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano, pero desde muy joven sintió una atracción muy especial hacia las matemáticas. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería, siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia, secando pantanos y reparando puentes.
Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano, pues había leído el Ars Magna. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre álgebra, hasta el momento. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho más comprensibles para el gran público.
Estando en la región de Val de Chiana, haciendo un trabajo de agrimensuría, debió pasar muchos ratos de ocio, pues las obras fueron suspendidas debido a una reclamación. Para utilizar este tiempo libre, Bombelli comienza a escribir un libro de álgebra en 1557. La idea era bastante ambiciosa: publicar una obra monumental en cinco volúmenes en donde se trataran tópicos de aritmética, resolución de ecuaciones, problemas de aplicaciones y los números complejos. Lamentablemente, solo pudo completar tres volúmenes de L'Algebra, publicados en 1572, unos meses antes de su muerte.
Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrolló el álgebra formal para trabajar con las expresiones de la forma 1 − +b a . Hemos visto que en la fórmula de del Ferro-Tartaglia-Cardano, aparecen dos sumandos del tipo:
p q q − +
la idea de Bombelli, es reducir dicho número a uno del tipo 1 − +b a , para lo cual debe resolver el problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. El número 1 − +b a debe ser elevado al cubo, para obtener una expresión del tipo 3
1 − +d c . Usando ahora los números complejos, se pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica. En el libro L'Algebra, aparecen por vez primera el cálculo con los números negativos, así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. El gran aporte de Bombelli al álgebra, fue el de aceptar sin reserva la existencia de 1 − como un número. A manera de ejemplo, Bombelli nos da las siguientes reglas:
n − ⋅ n − = -n
n − ⋅ - n − = n,
1.4. Números Imaginarios
A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli, sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la cúbica, los matemáticos de entonces se negaban aceptarlos. Estos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo, por carecer de representación real, y fueron llamados números imposibles o imaginarios. Durante el siglo XVII, debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica, los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos. Algunos genios como Newton, Leibnitz y Descartes nunca los comprendieron.
En 1673 el matemático inglés J.Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos. Su modelo sigue los siguientes pasos: 1) Sea la ecuación de segundo grado:
luego las raíces vienen dadas por:
c b b x − t − ·
2) Si b ≥ c, las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos P
sobre los números reales, de acuerdo a la construcción siguiente:
3) Si b<c, entonces las soluciones son números complejos. ¿Cómo razonaba Wallis en este caso? Pues bien, siguiendo el mismo plan, los puntos P
se hallan en el extremo de el segmento b, y como éste es más corto que c, los extremos no pueden tocar la recta real. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: los puntos P
están por encima de la recta real. Ver la figura:
Como vemos, la representación de Wallis no es igual a la representación moderna, pero fue una buena aproximación, sin duda alguna. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z = a + bi en el plano cartesiano, fue descubierta por dos matemáticos aficionados, en forma independiente: el danés C. Wessel y posteriormente el suizo J. Argand, en una obra publicada en 1806. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand, y se muestra en la siguiente figura:
Con esta representación a la mano, los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible, pero por razones de tipo histórico, se les sigue llamando imaginarios. En 1831 el matemático alemán Carl F. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma a + bi, llamados ahora Números de Gauss, y la representación geométrica de los mismos. Gracias a la autoridad indiscutible de Gauss, entraron por la puerta grande del templo de las matemáticas y ya nadie los podrá sacar del lugar preponderante que ocupan dentro del álgebra. Desde ese momento se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas, de la mano de grandes matemáticos como Hamilton y Cayley, quienes crearon los sistemas hipercomplejos, Cauchy, quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas y finalmente el matemático alemán B. Riemann, quien demostró todo el poder que encierran los números complejos en el estudio de la geometría y amplió los horizontes de la matemática, creando una nueva ciencia llamada la topología.
2. Álgebra de los Números Complejos
En esta segunda parte estudiaremos el Sistema de los Números Complejos, desde el punto de vista del álgebra. Nos interesan las propiedades más importantes de las operaciones de suma y producto. Veremos la representación geométrica de los números complejos, así como también la forma polar o trigonométrica de los mismos. Usando la calculadora se pueden realizar operaciones con estos números en forma rápida y eficiente. Por lo tanto tenemos otra oportunidad para introducir la calculadora en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática.
2.1 Definición de número complejo
Un número Complejo es una expresión del tipo:
bi a z + ·
donde a y b son números reales e i es un símbolo, cuyo significado será aclarado más adelante.
Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación:
no tiene raíces reales. Al tratar de aplicar la formula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión:
3 1 − t −
la cual no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene: 1 3 3 − ⋅ · −
Luego la solución de este problema es un número algo misterioso de la forma:
− t − · x
¿Que significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un número negativo? ¿Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de 9
ecuación no tiene solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales. Dentro de este contexto se acepta el símbolo 1 − como una entidad matemática nueva. Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.
Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición i
1 − · i Una vez hecho esto, construimos un conjunto C llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma:
Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.
Así pues, tenemos Re(z) = a e Im(z) = b.
Ejemplo: El siguiente es un número complejo:
i z 3 2 + ·
Su parte real es 2 y su parte imaginaria es 3 .
Cuando no hay parte imaginaria, como en este caso, se dice que el complejo es real. Entonces los Números Reales (R) forman parte del conjunto de los Números Complejos.
Cuando un número complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro.
¿Cuando dos números complejos son iguales?
Dos números complejos z
= a + bi y z
= c + di son iguales si y solo sí a = c y b = d. En otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes respectivas, reales e imaginarias, son iguales.
2.2 Suma de números Complejos
Ahora nos dedicaremos al estudio de las propiedades de los números complejos relacionadas con la suma de ellos.
La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Más precisamente: Sean z
i dos números complejos. Entonces la suma de z
, denotada por z
2 es el número complejo:
Ejemplo: Para sumar z
= 3 + 2i con z
= -8 + 4i hacemos:
= (3 + 2i) + (-8 + 4i) = (3 - 8) + (2 + 4)i
= -5 + 6i
Resta de números complejos: La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. Más precisamente: Sean bi a z + · y di c w + · dos números complejos, entonces la diferencia o resta entre z y w viene dada por: z- w = (a - c) + (b - d)i
Ejemplo: Sean z = 4 + 7i y w = 2 + 3i. Entonces:
z -w = (4 - 2) + (7 - 3)i = 2 + 4i
1. Propiedad de Cerradura para la suma. Si z y w son dos números complejos entonces tanto z + w como z - w son números complejos.
2. Propiedad asociativa. Si z, w y u son números complejos, entonces se tiene:
z + (w + u) = (z +w) + u
3. Propiedad Conmutativa. Si z y u son números complejos, se tiene:
z + u = u + z
4. Propiedad del elemento neutro. El número complejo 0 = 0 + 0i, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si bi a z + · es cualquier número complejo se tiene:
de la misma forma, se puede probar que 0 + z = z .
5. Propiedad del opuesto. Si bi a z + · es un número complejo, el opuesto de este es -z = -a - bi, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface:
z + (-z) = (-z) + z = 0
Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en donde aparezcan sumas y restas de números complejos Ejemplo: Calcule el valor de z donde:
z = (5 + 12i) + [(10 - 8i) + [(6 + 3i) - (7 + 2i)]]
Para simplificar esta expresión usamos las propiedades estudiadas. Así pues:
z = (5 + 12i) + [(10 - 8i) + (-1 + i)]
= (5 + 12i) + (9 - 7i)
1. Efectuar las siguientes sumas y restas de números complejos:
a) (5 + 15i) + (20-2i)
b) (10 + 10i) + (2 + 8i)
c) ( 3 + 2i) + (2 + 3 i)
g) 5 + (2 - i 3 )
h) 6i + (5 + 16i)
i) 5i + (0 + 9i)
k) (-10 -8i) + (-1 - i)
2. Hallar el resultado de las siguientes operaciones:
a) (3 + 2i) + [(4 - 5i) - (5 + i)]
b) [(1 - 9i) + (7 - 2i)] = (4 + 6i)
d) [(16 - i) + (1 - 8i)] - (17 - 9i)
3. En cada caso, hallar un número complejo Z con la condición dada:
a) z + ( 3 + 2i) = 5 + 20i
c) z + (1 +i) = 18 + 6i
d) i i z · ,
Sean z = a + bi y w = c + di definimos su producto, mediante la formula:
z · w = (ac - bd) + (ad + bc)i
Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales. En efecto, haciendo la multiplicación de z por w como si se tratara de expresiones algebraicas se obtiene:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bdi
Hemos usado la propiedad distributiva para la multiplicación, la relación i
2 = -1 y un reagrupamiento de los términos. La multiplicación puede hacerse de 13
dos maneras; o bien se aplica directamente la formula, o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas, teniendo cuidado de hacer al final la sustitución i
= -1. Ejemplo: Sean z = 6 + 2i y w = 3 + 5i. Para hallar z · w hacemos:
z · w = (6·3 - 2·5) + (6·5 + 2·3) i = 8 + 36i
Ejemplo: Sean z = 8 y w = 3+2i. Entonces para hallar el producto de ambos hacemos:
z ·w = 8(3 + 2i) = 24 + 16i
Vemos entonces, que para multiplicar un número real por un número complejo, se multiplica cada componente de este último por el número real.
Propiedades de la multiplicación. La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades. 1. Propiedad de Cerradura para el producto. Si z y w son dos números complejos entonces z · w es un número complejo.
2. Propiedad asociativa. Si z, w y u son números complejos, entonces se tiene: z · (w · u) = (z· w) · u
z · u = u · z
4. Propiedad del elemento neutro. El número complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si z = a + bi es cualquier número complejo se tiene:
z·1 = (a + bi)·1 = (a·1) + (b·1)i = a + bi = z
de la misma forma, se puede probar que 1· z = z
5. Propiedad del inverso. Si z = a + bi es un número complejo, distinto de cero, el inverso de z es otro número complejo, denotado por z
el cual satisface:
-1 · z = 1
Mas adelante veremos como se calcula z
6. Propiedad distributiva. Si z, w y u son números complejos se tienen las relaciones:
z · (w + u) = z · w + z · u
(z +w) · u= z · u + w · u
El conjugado de z:
Definición: Si z = a + bi es un número complejo, entonces el Conjugado de z, denotado por z , es otro número complejo definido por: z = a – bi
Ejemplo: Si z = 2 + 9i, su conjugado es z = 2 - 9i
Ejemplo: Si z = 7 - 9i, su conjugado es z = 7 + 9i.
El Módulo de z:
Definición: Si z = a + bi es un número complejo, el módulo de z es el número real:
|z| = 2 2
Observación: Se puede expresar el modulo de z en función de el mismo y de su conjugado, usando la relación:
|z| = z z
Se puede probar que dicha relación se verifica para todo z. En efecto, pongamos z = a + bi. Luego:
z z = (a + bi)(a - bi) = (a
) + (ab - ba)i = a
b a + = |z|
Ejemplo: Sea z = 3 + 4i, para hallar su modulo hacemos:
4 3 + = 16 9 + = 25 = 5
Algunas propiedades muy importantes del módulo se dan a continuación. Supondremos que z, w y u son números complejos:
1. |z| ≥0
2. |z| = 0 si y solo sí z = 0
3. |z +w| ≤ |z| + |w|
4. |z · w| = |z|·|w|
5. |z
2.4 División de números complejos
¿Cómo se dividen dos números complejos? El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. Por ejemplo:
Si z y w son dos números complejos, y w ≠ 0, podemos hacer la división de z entre w de la forma siguiente:
Para hacer la división de dos números complejos z y w , primero se multiplica z por el conjugado de w y este resultado se divide entre el módulo al cuadrado de w , el cual es un número real. Si hacemos z = a + bi y w = c + di, tendremos:
Ejemplo: Sea z = 3 + 4i y w = 2 + 3i. Entonces:
1. Sean los números complejos z
= 1 + 2i, z
= 5 + 3i y z
= 4 + i. Efectuar las siguientes operaciones:
d) (z
e) 5z
a) (3 + 2i)
- (4 + 2i)
b) [(5 + 2i) + (4 - i)] =(6 + 5i)
c) ( ) 6 2 5 + + i
d)(6 + 2i)(1 - 5i) / (7 + 4i)2
e)5(1 - i) + 6(7 + 1/2i)
f) (-3 - i) + (4 - 8i) [(5 + 3i) - (6 + 7i)]
g) (5 + 4i)
- (1 - 5i)
h) ( ) ( )( ) ( ) i i i 5 1 2 3 2 3 5 + + + +
3. Verifique la relación |zw| = |z||w| para los números complejos z = 5 + i y
w = 3 - 2i.
4. Verifique la relación:
para los números complejos z = 1 - 5i y z = 2 + 4i
5. Hallar un número complejo z, tal que:
6. Demuestre que si z es un número complejo tal que z = z , entonces z debe ser real.
7. Demuestre que si z= a+bi, entonces se tiene a = (z + z )/2 y b = (z - z )/2i.
8. Hallar un número complejo cuyo módulo es igual a 5 y su parte real es igual a 3.
9. Hallar un número complejo z tal que su parte real es el doble de la parte imaginaria y que además cumple z
2.5 Representación geométrica
Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta, es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas. En un sistema de tales coordenadas, se tiene un par de ejes que se cortan perpendicularmente en un punto llamado el origen. El eje en posición horizontal se llama eje x y el eje en posición vertical, llamado eje y. Si P es un punto cualquiera, entonces le asociamos las coordenadas x e y, donde x, llamada la abscisa, es la distancia desde el punto hasta el eje y e y, llamado la ordenada, es la distancia desde el punto hasta el eje x. De esta manera, denotamos al punto por P(x, y).
Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los puntos del plano. A cada número complejo z = a+bi, se le asocia el punto del plano, P(a, b). De esta forma, se obtiene una representación geométrica o Diagrama de Argand de z, ver la figura 2.1:
Fig. 2.1 Representación geométrica de un número complejo o Diagrama de Argand.
En esta representación, la componente real de z se copia sobre el eje x, que será llamado eje real y la componente imaginaria sobre el eje y, que será llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos, será llamado Plano Complejo. Ejemplo: El complejo z = 4 + 5i se puede representar en el plano complejo, para lo cual ubicamos primero al punto de coordenadas (4, 5). Una vez hecho esto se tendrá la representación de z, como podemos ver en la figura 2.2.
Figura 2.2 Representación geométrica del complejo z = 4 + 5i.
Ejemplo: El complejo w = -6+2i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (-6,2) sobre el plano. En este caso el complejo estará ubicado en el segundo cuadrante. Ver la figura 2.3.
Figura 2.3 Representación geométrica del complejo z =-6 + 2i.
Ejemplo: El complejo z = -2 + 3i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (-2,-3) sobre el plano. En este caso el complejo estará ubicado en el tercer cuadrante. Ver la figura 2.4.
Figura 2.4 Representación geométrica del complejo z = -2 -3i..
Ejemplo: El complejo w = 2 - 4i lo podemos representar, ubicando al punto de coordenadas P (2, -4) sobre el plano. En este caso el complejo estará en el cuarto cuadrante. Ver la figura 2.5.
Figura 2.5 Representación geométrica del complejo z = 2 -4i.
Interpretación geométrica del módulo y el conjugado
Sea z = a + bi un número complejo. Entonces nos interesa calcular la longitud del segmento c que une al origen con el punto correspondiente a z en el plano complejo (ver la figura 2.6).
Figura 2.6 Representación geométrica del módulo y conjugado de un número complejo z.
De acuerdo a la disposición de los ejes y el segmento dado, se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por c. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este segmento c, es igual a 2 2
b a + y por lo tanto, igual al módulo del complejo z. Esto es:
Figura 2.7 Representación geométrica del módulo de un número complejo z.
Tenemos entonces una interpretación geométrica del módulo de un complejo:
El módulo de un número complejo z es igual a la distancia desde el punto z hasta el origen.
Por otro lado, si z = a + bi es un número complejo, su conjugado viene dado por z = a - bi. Luego el conjugado en forma geométrica se obtiene al reflejar el punto correspondiente a z, alrededor del eje real (ver la figura 2.8).
Figura 2.8 Representación geométrica del conjugado de un número complejo z.
Tenemos luego la interpretación geométrica del conjugado de un complejo z:
El conjugado de un número complejo z se obtiene como una imagen especular de z alrededor del eje real. Suma geométrica de complejos
Podemos sumar dos números complejos en forma geométrica, mediante un algoritmo muy sencillo, llamado Regla del paralelogramo. Si se tienen dos complejos, digamos z
se halla de la siguiente forma: a partir del punto representando a z
se traslada el segmento que une al punto z
2 con el origen. Al final de dicho segmento, se hallará el complejo z
, ver la figura 2.9.
Figura 2.9 Suma geométrica de dos números complejos z1 y z2.
Vemos entonces que el complejo suma se halla en el extremo de la diagonal del paralelogramo con lados |z
| y |z
|. Podemos resumir entonces:
La suma de dos números complejos, de manera geométrica, se efectúa usando la Ley del Paralelogramo.
Como la longitud de un lado en un triangulo es siempre menor que la suma de los otros dos lados, se obtiene la siguiente desigualdad para los módulos: |z
| ≤|z
Para hallar el opuesto o negativo de un número complejo, en forma geométrica, procedemos de la manera siguiente: Si z = a + bi, entonces -z = -a – bi y se ubica en el extremo del segmento de dirección opuesta a la de z (ver la figura 2.10).
Figura 2.10 Representación geométrica del opuesto o negativo de un número complejos z.
Para restar dos números complejos en forma geométrica, digamos z
, se ubica el primer complejo en el plano, z
y a continuación se coloca el segmento del opuesto de z
en el punto correspondiente a z
. El complejo resultante z
se ubica en el extremo final de z
(ver la figura 2.11).
Figura 2.11 Resta geométrica de dos números complejos z1 y z2.
2.5 La Forma Polar
Como el lector habrá observado, en la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos, ni tampoco para la división. En el caso del producto tenemos la fórmula para la multiplicación:
(a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad - bc)i
El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Para resolver este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas. Veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para solucionar este problema. Podemos asignarle a cada número complejo z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las x, que será denotado por θ. Ver la figura 2.12:
Figura 2.12 Forma Polar de un número complejo z. Nota: El ángulo θ se mide a partir del eje real x y en sentido contrario a las agujas del reloj. El mismo puede venir expresado en unidades de grados o radianes. De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es 2 2
b a + , igual al módulo del complejo z. Esto es:
Figura 2.13 Representación geométrica del radio vector o módulo de un número complejo z. Usando conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior, se demuestran las relaciones:
a = |Z| cosθ (2.1)
b = |Z| senθ (2.2)
Conocidas como fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas. Cualquier ángulo α, tal que sen α = sen θ y cos α = cos θ, se llama amplitud o argumento para el complejo z. Sabemos por trigonometría, que dos argumentos cualesquiera de z difieren en 2π. El argumento θ, tal que -π ≤θ ≤π, se llama amplitud o argumento principal de z. Esta claro que si conocemos el argumento principal de z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas, de acuerdo a las formulas anteriores.
Se tiene entonces la representación de z en Forma Polar:
z = |z|(cosθ + i senθ) (2.3)
Recíprocamente, si se conocen las coordenadas cartesianas de z = a + bi, entonces |z| y θ se calculan de acuerdo a las relaciones:
b a + (2.4)
Ejemplo: Un número complejo en el primer cuadrante. Hallar la forma polar del complejo z = 2 + 2i, y dar su representación geométrica en el plano.
Solución: En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo, para lo cual usamos las fórmulas 2.4 y 2.5. Luego:
|z| = 2 2 8 2 2
Para calcular el ángulo, podemos usar la calculadora:
θ = arctg 2/2 = arctg 1 = 45º
Luego la representación polar de z es:
z = 2 2 (cos45º + i sen45º)
La representación de este número en el plano complejo aparece en la figura 2.14 mostrada a continuación:
Figura 2.14 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el primer cuadrante.
Ejemplo: Un número complejo en el segundo cuadrante. Hallar la forma
polar de w = -3 + 4i.
Solución: Calculamos el módulo y el ángulo usando las relaciones anteriores:
|w| = ( ) 5 25 4 3
Ahora calculamos el ángulo usando la calculadora, pero teniendo mucho cuidado, pues la calculadora solo nos da ángulos θ en el intervalo -90º ≤ θ ≤ 90º, al usar la tecla arctg. El ángulo dado por la calculadora es:
θ’ = arctg 4/(-3) = -53.13º
El argumento principal de w será:
θ = 180º + θ’ = 126.87º
La razón para hacer este cambio es que ambos ángulos tienen la misma tangente, ver la figura 2.15:
Figura 2.15 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el segundo cuadrante.
Luego la forma polar de w es:
w = 5(cos126.87º + i sen126.87º)
Ejemplo: Un número complejo en el tercer cuadrante. Hallar la forma polar de z = -3 -4i.
Solución: Al igual que antes, calculamos su módulo y ángulo asociado:
|z| = ( ) ( ) 5 25 4 3
Al tratar de buscar el ángulo, usando la calculadora, nuevamente se presenta el mismo inconveniente. Tenemos entonces:
θ’ = arctg(-4)/(-3) = 53.13º
Sabemos que este es un ángulo correspondiente al primer cuadrante, pero como la componente real de z es negativa, al igual que su componente compleja, cualquier argumento de z debe estar en el tercer cuadrante. Al ángulo hallado le sumamos 180
para obtener un argumento positivo, luego
+ θ’ = 233.13º
z = 5(cos233.13º + i sen233.13º)
Ver la gráfica 2.16 mostrada a continuación:
Figura 2.16 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el tercer cuadrante.
Ejemplo: Un número complejo en el cuarto cuadrante. Hallar la forma polar de w = 1 -2i.
Solución: En primer lugar, calculamos su módulo y su ángulo: |w| = ( ) 5 2 1
Al buscar el ángulo la calculadora nos da un argumento negativo, en el cuarto cuadrante (esta vez no se presentan problemas de conversión), y para llevarlo a la forma positiva le sumamos 360º. Luego
θ’ = arctg(-2)/1 = -63.43º
El argumento buscado es:
θ = 360º + θ’ = 296.55º
Por lo tanto, la forma polar de w es:
w = 5 (cos296.55º + i sen296.55º)
Ver la figura 2.17:
Figura 2.17 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el cuarto cuadrante.
Supóngase que tenemos dos complejos en forma polar y queremos hallar el producto y el cociente de ellos. Sean z = |z| (cos θ + i sen θ) y w = |w| (cos φ +i sen φ) Podemos realizar la multiplicación de estos números complejos en forma polar:
z · w = |z|(cos θ + i sen θ)·|w| (cos φ + i sen φ)
= |z||w|[(cos θ + i sen θ)·(cos φ + i sen φ)]
= |z||w|[(cos θ· cos φ- sen θ·sen φ) + (cos θ·sen φ + sen θ·cos φ)]
después de usar un par de identidades trigonométricas muy conocidas, tenemos la formula siguiente:
z · w = |z||w| (cos(θ + φ) + i sen(θ + φ)) (2.6)
También se puede obtener una formula similar para la división en forma polar. Dicha formula viene dada por
( ) ( ) ( ) ϕ θ ϕ θ − + − · isen
Observación: Podemos dar ahora una interpretación geométrica del producto y la división de números complejos, basándonos en las fórmulas anteriores. Por lo tanto, podemos resumir:
“Cuando se multiplican dos complejos, el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al producto de los módulos y cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes”.
“Cuando se dividen dos números complejos, el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al cociente de los módulos y cuya amplitud es igual a la diferencia de las amplitudes”.
Ejemplo: Sean z = 2(cos95º + i sen95º) y w = 3(cos26º + i sen26º). Entonces podemos calcular su producto, usando la fórmula 2.6. Luego se tiene:
z · w = 2·3(cos(95º + 26º) + i sen(95º + 26º))
z · w = 6(cos121º + i sen121º)
Si queremos hallar el cociente de z entre w, hacemos:
(cos(95º - 26º) - i sen(95º - 26º))
(cos69º + i sen69º)
2.6. Potencias y raíces de números complejos.
La fórmula 2.6 puede ser utilizada para hallar la potencia n-ésima de un número complejo. Supongamos que z = |z|(cosθ+i senθ), y n es un entero positivo, entonces se obtiene:
(cos(n·θ) + i sen(n·θ)) (2.8)
Esta relación, que se conoce con el nombre de Fórmula de De Moivre, nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia n-ésima de cualquier número complejo en forma polar.
Ejemplo: Sea z = 2(cos30º + i sen30º). Calcule la potencia de orden cinco de este número, es decir, z
Solución. Usando la relación (2.8):
(cos(5·30º) + i sen(5·30º))
5 = 32(cos150º + i sen150º)
Ejemplo. Calcular z
, donde z = 3 + 4 i.
Solución. En primer lugar, llevamos z a la forma polar. Para hallar el módulo hacemos:
4 3 + = 25 = 5.
Por otro lado, el ángulo viene dado por:
θ = arctg 4/3 = 53.13º
Por lo tanto, tenemos a z en forma polar:
z = 5(cos53.13º + i sen53.13º)
Calculamos ahora z
empleando la relación (2.8):
= 56(cos(6·53.13º) + i sen(6·53.13º))
= 15625(cos318.78º + i sen318.78º)
Finalmente, llevamos este resultado a la forma cartesiana:
= 15625(0.7522 - i 0.6590)
= 11753.12 – 10296.12 i
En este ejemplo se ha cometido un error de redondeo, al usar la calculadora de mano. El valor exacto de esta operación es z
= 11753 – 10296i.
Si z es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tenga z = w
donde w es otro número complejo, entonces se dice que w es una raíz enésima de z. Esto lo denotamos por w = z
z . En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente, se tiene la siguiente propiedad.
Propiedad: Todo número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas.
Así, por ejemplo, si z = 1 entonces existen 4 raíces cuartas, pues
de donde 1, -1, i, y -i son las 4 raíces cuartas de la unidad.
A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo.
π θ π θ 2 2
Ejemplo: Hallar todas las raíces cúbicas de z = 8(cos30º + isen30º) Solución: Si usamos la relación (2.9) se tiene:
2 º 30
con k = 0, 1, 2. Sustituyendo estos valores de k en la expresión de arriba nos da las tres raíces cúbicas:
= 2(cos10º + i sen10º) k = 0
= 2(cos130º + i sen130º) k = 1
= 2(cos250º + i sen250º) k = 2
Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia con centro en el origen y radio 2. Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: forman los vértices de un triángulo equilátero. Ver la figura 2.18.
Figura 2.18 La gráfica muestra las tres raíces cúbicas del complejo z = 8 (cos 30º + i sen 30º).
Ejemplo: Hallar las seis raíces sextas de la unidad.
Solución: Tomamos la representación en forma polar de 1, la cual viene dada por
1 = 1· (cos 0º + i sen 0º)
Luego hallamos las raíces sextas por intermedio de 2.9
| Π +
2 º 0
2k º 0
Con k = 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
Estos valores de k nos dan las seis raíces:
= 1(cos 0º + i sen 0º) k = 0
= 1(cos 60º + i sen 60º) k = 1
= 1(cos 120º + i sen 120º)k = 2
= 1(cos 180º + i sen 180º)k = 3
= 1(cos 240º + i sen 240º)k = 4
= 1(cos 300º + i sen 300º)k = 5
Si las graficamos en el plano complejo, vemos que ellas ocupan los vértices de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1, como se muestra en la figura 2.20. Figura 2.20 Muestra las seis raíces sextas de la unidad.
1. Representar gráficamente en el plano complejo los siguientes números:
a) z = 2(cos60º + i sen60º)
b) z = 1=5(cos45º + i sen45º)
c) z = 16(cos120º + i sen120º)
d) z = 7(cos100º + i sen100º)
e) z = 4(cos400º + i sen400º)
f) z = 6(cos312º + i sen312º)
g) z = (1 + 2 )(cos ( – 60)º + i sen (– 60)º)
2. Expresar los siguientes números complejos en forma polar:
f) z = 3 p3 + i
g) z = (6 + i)(2 - i)
h) z = -7 - 7i
3. Usando la forma polar, efectúe las siguientes operaciones:
d) (1 + i)
f) (1 + i)
4. Calcular las cuatro raíces cuartas del complejo z = 2 + i. Representarlas gráficamente.
5. Calcular las tres raíces cúbicas de los siguientes números complejos:
a) z = 1 - i
b) z = -1 - i
c) z = 3 + i
d) z = 1 - 3 i
6. Resuelva las ecuaciones en números complejos:
+ 4 = 5 + i
+ 2i = 6 + 3i
7. Dibujar en el plano complejo la región delimitada por:
b) |z – 5| < 4
c) Re(z) < 1=2
d) Im(z) ≥ 4
3. La fórmula de Euler 3.1 El Número e
Una de las constantes más usadas en matemáticas es el número e
o Número de Euler, cuyo valor aproximado de 11 cifras decimales es: 6 7182818284 . 2 ≈ e
Esta constante aparece en conexión con los números complejos, mediante la relación maravillosa
isen e
+ · cos (3.1)
Donde el lado derecho representa un número complejo en el círculo unitario de ánguloθ. Dicha fórmula se conoce con el nombre de Fórmula de Euler en honor a Leonhard Euler, quien la descubrió cerca de 1740.
Muchos textos de bachillerato y aún universitarios tienen un tratamiento inadecuado, carente de toda pedagogía y rigor matemático, de la formula de Euler. Para éstos autores el lado izquierdo no posee ningún significado y cometen el gran error de dar la formula (3.1) como una definición de θ i
e . Para poder convencer al estudiante que la relación (3.1) es una verdad matemática y no un simple acto de fe, debemos entonces tratar de entender primero qué cosa es la expresión θ i
e y luego demostrar que dicha relación se cumple para todo ánguloθ. Comenzaremos entonces por considerar la función exponencial ( )
e x f ·
¿Cómo se define x
e , si x es un número real?
La propiedad que define a la exponencial es una función ( ) x f
, tal que: ( ) 1 0 )
De manera análoga, si k es cualesquier constante, entonces:
e x g ·
Es la función ( ) x g
que satisface: )
) ( ) 1 0 ·
Comenzaremos por suponer que x
e se puede desarrollar en una serie de potencia:
( ) ... ... 3 2
x na x a x a a e x f
Este tipo de series se llaman Series Formales de Potencia. La palabra formal nos indica que dicho desarrollo es sólo una relación entre símbolos y que puede ser, o no, un número real para algunos valores de x. Derivando en ambos miembros de la serie de potencias nos queda:
... ... 3 2
x na x a x a a e
Igualando ambas expresiones y comparando los coeficientes del mismo grado nos da:
Usando (3.2) ii) se tiene que f(0) = 1 y por lo tanto 0
= 1. Luego tendremos los valores de los términos restantes definidos por recurrencia:
Luego la serie de potencias de x
Por lo que deduce que la serie de potencias de e
Por el momento no nos preocupamos por los problemas de la convergencia de estas series de potencia. Sólo haremos un cálculo formal en una primera etapa, para descubrir relaciones entre las funciones de manera heurística, como lo hacían los matemáticos en el pasado.
Las series de potencia θ θ cos y sen
, se pueden obtener por medio del Teorema de Taylor del cálculo diferencial. Tenemos también la posibilidad de calcular estas series, trabajando de manera formal. Sobre las funciones seno y coseno, apenas conocemos los valores para 0 · θ . Así pues: ( )
( ) 1 0 cos
Luego las series de potencias respectivas serán:
( ) 3.6 b b b
(3.5) a a a sen
Recordemos que la función seno es impar, es decir sen(-
= - senθ, luego podemos igualar sus series respectivas y comparar los coeficientes para obtener:
De aquí se deduce que todos los coeficientes de las potencias pares son cero. Luego (3.5) se puede escribir:
  + + + + + ·
a a a a sen θ θ θ θ
Por otra parte, la función coseno es par, es decir ) cos( cos θ θ − ·
y por lo tanto los coeficientes de las potencias impares son todas nulas. Luego se tiene el desarrollo en serie para el coseno:
1 cos θ θ θ θ
Para calcular el valor de los coeficientes i
en (3.7), derivamos la serie del seno y la igualamos a la del coseno pues θ θ
cos · sen
De aquí obtenemos que 1
Una segunda derivación de la serie (3.7) produce:
2 1 2 4 . 5 3 2
ka k a a sen
Igualando los coeficientes de las potencias del mismo orden nos da:
Esta sucesión de recurrencia nos da los valores:
Luego la serie del seno de θ es:  − + − ·
θ θ sen (3.9)
Haciendo el mismo tipo de análisis para la serie del coseno obtenemos:
 − + − ·
Volviendo al desarrollo en serie de potencias de e
, y suponiendo que k = i, x = θ , entonces nos queda:
Por el momento no vamos a probar la convergencia de esta serie, hacemos ahora un reordenamiento de esta última serie para obtener:
sen i i e
+ + − · cos
! 5 ! 3 ! 4 ! 2
Al menos heurísticamente hemos probado la Fórmula de Euler. Para dar más rigurosidad a estos resultados tendríamos que probar la convergencia de ambas series para cualquier θ real, lo cual no está al alcance de nuestro curso.
La fórmula de Euler permite usar una notación más corta para expresar los números complejos. Si z es cualquier complejo, se tiene la representación polar: ( ) θ θ isen z z + · cos
e z z ·
dos números complejos, entonces su producto y su cociente serían:
1 θ θ −
Si n > 0 es un número entero, la potencia n-ésima de θ i
y la raíz n-ésima será:
π θ 2 1 1 +
donde k = 0, 1, …, n-1.
3.2 Aplicaciones de la Trigonometría
Partiendo de la fórmula de Euler podemos derivar una gran cantidad de identidades trigonométricas. Veamos entonces como el seno y el coseno se definen a partir de la función exponencial.
Tenemos la fórmula de Euler: θ θ
isen cos e
De aquí que: ( ) ( ) θ θ θ θ
sen i cos isen cos e
Combinando las expresiones algebraicas obtenemos las conocidas fórmulas que relacionan seno y coseno con la exponencial:
Como una primera muestra del poder de los números complejos en el estudio de la trigonometría, derivamos las identidades para: ( ) ( ) α θ α θ + + cos y sen
( ) ( ) α θ α θ α θ α θ
sen sen i sen sen
sen i isen
e e e isen
Igualando componentes en ambos lados nos quedan el par de fórmulas:
( ) α θ α θ α θ
α θ α θ α θ
La ventaja de usar la fórmula de Euler, aparte de su perfección y simplicidad, es que siempre aparecen dos nuevas fórmulas.
Por ejemplo, supongamos que queremos calcular θ θ 3 cos 3 y sen
, entonces tenemos:
( ) ( ) θ θ θ θ θ θ
cos 3 cos 3 cos
cos 3 3 cos
sen sen i sen
sen i sen i sen i
isen e e sen i
Igualando partes reales e imaginarias nos quedan las fórmulas:
Podemos también derivar fórmulas para las potencias del sen θ (o del cos θ ) en función de sen θ y cos θ . Por ejemplo, si queremos una identidad para θ
sen hacemos uso de la identidad θ θ
e e sen i
− · 2 .
Elevando a la potencia cuarta ambos miembros nos dará:
2 θ isen ( )
θ θ i i
6 2 cos 8 4 cos 2
e e e e e e e e sen
3 cos 4 4 cos
3.3 Aplicaciones en la Geometría
Teniendo a los números complejos a la mano podemos pasearnos por algunos teoremas de la geometría y redescubrir algunas demostraciones, de una manera sencilla y fácil. Dentro de los complejos se esconde un potencial tremendo de cálculo de ángulos y longitudes en el plano, como veremos en los siguientes ejemplos. Comenzaremos por uno de los teoremas más importantes de la geometría:
3.3.1 El Teorema de Pitágoras
Sea el triángulo AOB un triángulo rectángulo, el cual ubicamos en el plano complejo, con el vértice O en el origen, de acuerdo al diagrama:
Fig. 3.1 Diagrama utilizado para probar el Teorema de Pitágoras.
El teorema afirma que se satisface la relación:
Basándonos en la figura, podemos definir tres números complejos 3 2 3 2 1
, , z z z y bi z a z − · · ·
Fig. 3.2 Representación geométrica de los valores a, b y c para probar el Teorema de Pitágoras.
Calculemos el módulo al cuadrado de 3
a abi abi b a bi a bi
z z z z z z z c
+ + − · − − − ·
− − · ⋅ · ·
Entonces obtenemos la relación entre los lados:
3.3.2. La Ley de los Cosenos
Consideremos un triangulo de lados a, b, c y supóngase que se conoce uno de sus ángulos, digamos α
Fig. 3.3 Diagrama utilizado para probar la Ley de los cosenos.
La ley de los cosenos establece entonces:
ab b c a − + ·
Ubicamos entonces el triángulo dentro del plano complejo:
Fig. 3.4 Ubicación de un triángulo en el plano complejo. Luego consideremos los números complejos: 1 2 3 2 1
, , z z z ce z b z
, de esta manera podemos establecer la relación entre los módulos:
z z z a − · ·
b e e bc c
b ce b ce z z z z a
y, usando la relación:
obtenemos la fórmula del coseno:
cos 2 b bc c a + − · α
Otro resultado muy usado en geometría es el inverso del Teorema de Pitágoras, el cual establece que todo triángulo con lados a, b, c que cumplen la relación:
Esto se deduce fácilmente de la ley de los cosenos. En efecto si se tiene la relación:
b c a + · (3.13)
en un triángulo como el mostrado a continuación.
Fig. 3.5 Diagrama utilizado para probar el inverso del Teorema de Pitágoras.
Entonces usando la ley de los cosenos tendremos:
ab b c a + + · (3.14)
Igualando (3.13) y (3.14) obtenemos la relación:
ab b c b c − + · +
de donde se concluye que 0 cos · α y por lo tanto ° ·90 α . Es decir, el triángulo es rectángulo.
3.3.3 Teorema del Triángulo Inscrito en un Semicírculo
Un famoso teorema de geometría, dice que todo triángulo inscrito en un semicírculo debe ser rectángulo. Probaremos este resultado usando números complejos. Supongamos que tenemos un semicírculo de radio a y un triángulo ABC ∆ inscrito en él (ver la figura) 46
Fig. 3.6 Diagrama utilizado para probar el Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo.
De acuerdo a la observación sobre la ley de los cosenos, debemos probar que:
4a BC AC BA · · +
Para probar esto, tomaremos tres números complejos: , , ,
a z ae z a z
y tomamos el ángulo α
de manera tal que el radio vector de 1
intersecte al círculo en el punto A.
Fig. 3.7 Diagrama utilizado para probar el Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo, en el plano complejo.
Es claro que 3 2
z z BA − ·
z z AC − ·
. Luego se tiene: ( ) ( ) ( )( )
a e a a e a a e a a e a z z z z
− − + + + + · − + −
Luego se ha probado que:
4a AC BA · +
y con esto termina la demostración.
3.3.4 El área del círculo
Supongamos que tenemos un círculo de centro O y radio a. Hallaremos el área del mismo mediante un proceso de límites. Podemos aproximar el círculo por medio de un polígono regular de n lados.
El área de dicho círculo se expresa (ver problema 3):
A medida que n aumenta, el área de n
se aproxima cada vez más al área del círculo, y cuando , ∞ → n
, donde A es el área buscada. Luego podemos hacer:
Aquí se presenta un problema serio, pues el límite es una indeterminación de la forma 0 ⋅ ∞ . Afortunadamente, podemos remediar este inconveniente, considerando la serie de potencias del seno, estudiada en este capítulo. Luego:
pues a partir del segundo término de la serie, los términos restantes convergen a cero. Luego el área del círculo de radio a es π
1. Si ϕ θ i i
e c z y e c z
· · son dos números complejos cualesquiera, probar que el triángulo de vértices 1
, O y 2
tiene área A, dada por:
ϕ θ −
2. Demuestre que un polígono regular de n lados, inscrito en un círculo de radio a tiene área dada por
3. Utilizando el ejercicio anterior calcule el área de un pentágono inscrito en un círculo de radio 1.
4. Sea θ i
e z · un número complejo en el círculo unitario.
Probar que la distancia de l desde z hasta 1 es igual a:
θ cos 1 2 + · l
5. Usando el ejercicio anterior calcule el perímetro de un pentágono inscrito en un círculo de radio 1
6. Halle un par de identidades trigonométricas para θ θ 4 cos 4 y sen
en función de θ θ cos y sen
7. Demuestre que la serie
converge a un número real para todo x real.
8. Usando la serie anterior, calcule un valor aproximado de e con cinco cifras decimales.
9. Calcule el valor de las sumas
 89 cos 3 cos 2 cos 1 cos + + + + · A
 89 3 2 1 sen sen sen sen B + + + + ·
Tip : sea ° · · 1 α
con e z
y calcule el valor de la suma de una progresión geométrica:
10. Probar que el conjunto de las rotaciones en el plano con eje de rotación en un punto a es un grupo.
11. Hallar la transformación que lleva el triángulo A de vértices 0, 2, i, en el triángulo A’ de vértices i z y i z i z 5 4 3 5 , 5 5
1. Paul K. Rees, Fred W. Sparks. Álgebra. Reverté Ed. Edición 2005.
2. Paul K. Rees, Fred W. Sparks, Charles Sparks Rees. Álgebra. Ed. Mc Graw Hill. Décima Edición.
3. Louis Leithod. Álgebra. Ed. Harla. Edición 1995.
4. Stanley A. Smith, (et. Al.). Álgebra. Ed. Addison-Wesley. Edición 1992.
5. http://www.portalplanetasedna.com.ar/disputas_matematicas.htm 6. http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/complejos.pdf 7. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Los_numeros_complej os/complejos1.htm
INTRODUCCIÓN Los números complejos El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan interesante por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado. Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad. En los cursos de álgebra de la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades más importantes, dejando de lado aspectos geométricos tan importantes como el estudio de las transformaciones y los movimientos del plano. El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los métodos usuales. Muchos conceptos de la matemática, como el de función, límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano. En el presente, se tratan los aspectos históricos más importantes sobre los números complejos, que considero son fundamentales para cualquier desarrollo didáctico de este tema dentro del aula y espero que sirva para motivar a los docentes y estudiantes hacia el estudio de este y otros temas que puedan surgir a partir de éste. Además, también espero que resuelva esa inquietud que surge en los estudiantes: ¿Por qué los números complejos? ¿De dónde surgen? ¿Por qué se llaman complejos o imaginarios? ¿Para qué sirven?
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars Magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porqué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra. Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación:
no tiene soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de -19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debido a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos mas adelante. Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos.
Con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serán el semillero de las grandes ideas que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarán libres de sus equivalentes geométricos. La palabra álgebra se deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar. ¿Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando se tiene una ecuación, como por ejemplo: 2x + 3 = 5 entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también los doctores lo hacen. En la medicina antigua el término álgebra se usaba para designar las operaciones de los huesos. Así pues, un algebrista era un matemático o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en su sitio. Álgebra es el arte de restituir a su lugar los huesos dislocados, según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española. Dejemos los huesos por el momento y volvamos a la médula del problema. ¿Quienes descubrieron el álgebra? Se puede considerar al matemático árabe Al-Khwarizmi como el padre de esta disciplina. El fue el autor de un libro, llamado al-jabr, publicado en el año 830 d.c., primer libro de álgebra, de gran influencia en toda Europa, donde se recogían todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.c. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotámicos e hindúes en toda Europa, a través de España. 1.1 Cardano La vida del matemático italiano Girolamo Cardano esta llena de historias, situaciones y aventuras tan interesantes que bien pueden servir de guión para una película o novela. Fue un destacado matemático, así como también médico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Milán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseñó geometría en la Universidad de Pavia y Milán. Fazio fue asesor del célebre pintor Leonardo da Vinci en cuestiones de geometría. Cuando Cardano estaba a punto de nacer, una epidemia de peste azotó a Milán y sus padres se
trasladaron a Pavia. Alli nació Girolamo el 24 de Septiembre de 1501, como hijo ilegítimo de Fazio y Chiara Micheria. Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa de médico. Después de recibir el titulo de Doctor en Medicina se dedica a ejercer su profesión, pero también al juego de cartas, dados y ajedrez. Cardano fue un jugador empedernido durante toda su vida. Su adicción por el juego lo llevó a estudiar y desarrollar muchas técnicas de la teoría de las probabilidades y las aplicó en forma bastante exitosa logrando hacer una fortuna como jugador. El lado oscuro de esta realidad feliz, es que su vida fue muy atormentada por las vicisitudes del juego, que lo llevó por los senderos más bajos y ruines de la vida. En una ocasión alguien le hizo trampas y entonces sacó una navaja y le cortó la cara a su oponente. Su fama de buen médico, por otra parte, fue creciendo como la espuma, debido a sus curaciones casi milagrosas y su profundo conocimiento en la diagnosis de las enfermedades. Sin embargo el Colegio de Médicos de Milán no quería recibirlo en su seno, debido a su carácter arisco y pendenciero y además por ser un hijo natural. Después de varios intentos de ingreso, por parte de Cardano, finalmente fue aceptado en 1537. Una vez estabilizada su posición, le quedaba tiempo libre para dedicarse seriamente a las matemáticas. En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. Tartaglia era un matemático de reconocida fama y prestigio, entre otras cosas, por haber ganado concursos sobre la resolución de ecuaciones, usando métodos secretos. Aparte de poseer estas habilidades, Tartaglia fue un experto en el estudio de las trayectorias de los proyectiles. El descubrió que la máxima trayectoria se obtiene cuando el ángulo de disparo es igual a 45°. También se debe a Tartaglia la primera traducción de los Elementos de Euclides al italiano. Tartaglia le enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto, por haber faltado a su juramento. Sin embargo, un joven matemático de apenas 18 de edad, Lodovico Ferrari, quien a la sazón era sirviente de Cardano, sale en defensa de su protector diciendo que el estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento. En realidad, la fórmula para resolver la ecuación cúbica, había sido descubierta mucho antes por el matemático
que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. en alguna fórmula o relación muy conocida. sobre la ecuación cúbica. la ecuación:
. planteando nuevas situaciones. fue un clásico de la matemática y contribuyó de manera decisiva al desarrollo del álgebra. quien publicó un pequeño libro. Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y consideró la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela. En aquella obra aparecen muchos resultados originales.2)
Conocida como la Fórmula de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano. como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. abriendo nuevas áreas de estudio.1)
x = 3 q + q 2 + p 3 +3 q − q 2 + p 3
(1. En una nueva edición de su libro. y esto puede tener consecuencias imprevisibles. También desarrolló un método para resolver ecuaciones diferenciales.Scipione del Ferro. El libro. que vio a la luz varias ediciones. inadvertido para la gran mayoría. En particular. llamado método de las proporcionales.
1. Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos. Por ejemplo. para la ecuación:
x 3 = 3 px + 2q
(1. Por ejemplo.
En su Ars Magna. en 1570. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli. Cardano reconoce a Al-Khwarizmi como el padre del álgebra. Bombelli
La matemática ha evolucionado en el transcurso del tiempo de la forma más inesperada. De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa. como el método para eliminar la x2 en una ecuación cúbica. la expresión:
− 15 5 − − 15 = 25 − ( − 15 ) = 40
Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dio el nacimiento de los números complejos.3. conocido como el método de Cardano. generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive.
aparecen dos sumandos del tipo:
q + q2 − p3
. problemas de aplicaciones y los números complejos. Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi. secando pantanos y reparando puentes. sin embargo. aproximadamente x ≅ 2. pues fue el primero que desarrolló el álgebra formal para trabajar con las expresiones de la forma a +b −1 . pues había leído el Ars Magna.2)
x = 3 3 + 9 −8 + 3 6 − 9 −8 = 3 3 +1 + 3 3 −1
La solución parece un poco compleja. Bombelli se dedica a la ingeniería. Estando en la región de Val de Chiana. pues las obras fueron suspendidas debido a una reclamación.x3 = 6x + 6 se resuelve usando la fórmula (1. Hemos visto que en la fórmula de del Ferro-Tartaglia-Cardano. se sabe por métodos de cálculo que la ecuación tiene una raíz real entre 2 y 3. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre álgebra. un arquitecto e ingeniero. el padre de los números complejos. debió pasar muchos ratos de ocio. pero desde muy joven sintió una atracción muy especial hacia las matemáticas. Para utilizar este tiempo libre. resolución de ecuaciones. solo pudo completar tres volúmenes de L'Algebra. Bombelli comienza a escribir un libro de álgebra en 1557.8473 . publicados en 1572. Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano. Lamentablemente. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano. siendo su padre Antonio Mazzoli. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho más comprensibles para el gran público. un comerciante en lanas. siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia. haciendo un trabajo de agrimensuría. Bombelli puede ser llamado con todo derecho. Por esta razón. unos meses antes de su muerte. la cual es. Nos preguntamos entonces ¿Cómo es posible que una expresión de números complejos nos de un resultado real? ¿Quién era Bombelli? ¿Hasta cuando iría a durar la prolongada infancia de los números complejos en las manos de los algebristas italianos? Rafael Bombelli nace en enero de 1526 en Bolonia. La idea era bastante ambiciosa: publicar una obra monumental en cinco volúmenes en donde se trataran tópicos de aritmética. hasta el momento.
1. para obtener una expresión del tipo 3 c + d −1 . Durante el siglo XVII. Estos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo. El gran aporte de Bombelli al álgebra. y fueron llamados números imposibles o imaginarios. fue el de aceptar sin reserva la existencia de −1 como un número. aparecen por vez primera el cálculo con los números negativos.4.
siendo n un número natural. A manera de ejemplo. es reducir dicho número a uno del tipo a +b −1 . sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la cúbica. así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. Algunos genios como Newton. Leibnitz y Descartes nunca los comprendieron. para lo cual debe resolver el problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. los matemáticos de entonces se negaban aceptarlos. En el libro L'Algebra. se pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica. de acuerdo a la construcción siguiente:
. Números Imaginarios
A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli. Usando ahora los números complejos. Su modelo sigue los siguientes pasos: 1) Sea la ecuación de segundo grado: x2 + 2bx + c2 = 0 luego las raíces vienen dadas por:
x = −b ± b 2 − c 2
2) Si b ≥ c. los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos. En 1673 el matemático inglés J. Bombelli nos da las siguientes reglas:
⋅ ⋅ -
= -n = n. las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos P1 y P2 sobre los números reales. El número a +b −1 debe ser elevado al cubo. por carecer de representación real. debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica.la idea de Bombelli.Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos.
entonces las soluciones son números complejos. ¿Cómo razonaba Wallis en este caso? Pues bien. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: los puntos P1 y P2 están por encima de la recta real. pero fue una buena aproximación. Wessel y posteriormente el suizo J.3) Si b<c. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo z = a + bi en el plano cartesiano. los extremos no pueden tocar la recta real. en forma independiente: el danés C. Argand. siguiendo el mismo plan. sin duda alguna. en una obra publicada en 1806. los puntos P1 y P2 se hallan en el extremo de el segmento b. la representación de Wallis no es igual a la representación moderna. y se muestra en la siguiente figura:
. Ver la figura:
Como vemos. y como éste es más corto que c. fue descubierta por dos matemáticos aficionados. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand.
creando una nueva ciencia llamada la topología. y la representación geométrica de los mismos. quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas y finalmente el matemático alemán B. de la mano de grandes matemáticos como Hamilton y Cayley. Cauchy. quien demostró todo el poder que encierran los números complejos en el estudio de la geometría y amplió los horizontes de la matemática. quienes crearon los sistemas hipercomplejos. pero por razones de tipo histórico. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma a + bi. los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible. entraron por la puerta grande del templo de las matemáticas y ya nadie los podrá sacar del lugar preponderante que ocupan dentro del álgebra.Con esta representación a la mano. Riemann. Gracias a la autoridad indiscutible de Gauss. llamados ahora Números de Gauss. Desde ese momento se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas.
. En 1831 el matemático alemán Carl F. se les sigue llamando imaginarios.
Usando la calculadora se pueden realizar operaciones con estos números en forma rápida y eficiente. Veremos la representación geométrica de los números complejos. Por ejemplo la ecuación: x2 + x + 1 = 0 no tiene raíces reales. aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. así como también la forma polar o trigonométrica de los mismos. Al tratar de aplicar la formula que da la solución de una ecuación de segundo grado. Sin embargo. si usamos propiedades de los radicales se obtiene:
− 3 = 3 ⋅ −1
x =− 1 3 ± 2 2 −1
.2. por el momento. Este tipo de números. algo misteriosos. Por lo tanto tenemos otra oportunidad para introducir la calculadora en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática. 2.1 Definición de número complejo Un número Complejo es una expresión del tipo:
donde a y b son números reales e i es un símbolo. Nos interesan las propiedades más importantes de las operaciones de suma y producto. Álgebra de los Números Complejos
En esta segunda parte estudiaremos el Sistema de los Números Complejos. desde el punto de vista del álgebra. cuyo significado será aclarado más adelante. nos encontramos con la expresión:
x= −1 ± − 3 2
la cual no tiene sentido en los números reales. No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo.
incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números. denotado por i. el cual será llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición i2 = -1 O bien
Una vez hecho esto. se dice que el complejo es real. con propiedades similares a las de los números reales. como en este caso. tenemos Re(z) = a e Im(z) = b.ecuación no tiene solución? La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas. construimos un conjunto C llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma:
donde a y b son números reales. Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes.
Ejemplo: El siguiente es un número complejo: z=8 Cuando no hay parte imaginaria. nos motiva a crear sistema numérico ampliado. Ejemplo: El siguiente es un número complejo: z = 12i
. Ejemplo: El siguiente es un número complejo:
z= 2 + 3i 3
Su parte real es
2 y su parte imaginaria es
. o componentes. Dentro de este contexto se acepta el símbolo −1 como una entidad matemática nueva. dadas por a y b respectivamente. llamadas: parte real y parte imaginaria. Así pues. Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo. Entonces los Números Reales (R) forman parte del conjunto de los Números Complejos. Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.
8) + (2 + 4)i z1 + z2 = -5 + 6i Resta de números complejos: La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. Entonces la suma de z1 con z2. Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes. para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado. como números reales.2 Suma de números Complejos Ahora nos dedicaremos al estudio de las propiedades de los números complejos relacionadas con la suma de ellos. Ejemplo: Para sumar z1 = 3 + 2i con z2 = -8 + 4i hacemos: z1 + z2 = (3 + 2i) + (-8 + 4i) = (3 . reales e imaginarias. Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. ¿Cuando dos números complejos son iguales? Dos números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di son iguales si y solo sí a = c y b = d. denotada por z1 + z2 es el número complejo: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i Es decir.c) + (b .w = (a . entonces la diferencia o resta entre z y w viene dada por: z.d)i Es decir. La operación suma de números complejos esta basada en la suma de números reales. Más precisamente: Sean z1 = a1 + b1i y z2 = a2 + b2i dos números complejos. son iguales. Más precisamente: Sean z = a + bi y w = c + di dos números complejos. En otras palabras.Cuando un número complejo no tiene parte real.2) + (7 .3)i = 2 + 4i
. se dice que es un imaginario puro. Ejemplo: Sean z = 4 + 7i y w = 2 + 3i. 2. como en el presente caso. Entonces: z -w = (4 . dos números complejos son iguales cuando sus componentes respectivas.
Propiedad asociativa. el opuesto de este es -z = -a . se puede probar que 0 + z = z .w son números complejos.8i) + [(6 + 3i) .Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales: 1. Así pues: z = (5 + 12i) + [(10 .bi. w y u son números complejos. Si z. si z = a + bi es cualquier número complejo se tiene: z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = z de la misma forma. es posible calcular expresiones complicadas en donde aparezcan sumas y restas de números complejos Ejemplo: Calcule el valor de z donde: z = (5 + 12i) + [(10 .(7 + 2i)]] Para simplificar esta expresión usamos las propiedades estudiadas. Propiedad del elemento neutro. Si z y u son números complejos. Si z = a + bi es un número complejo. se tiene: z+u=u+z 4. entonces se tiene: z + (w + u) = (z +w) + u 3. Nótese que el opuesto satisface: z + (-z) = (-z) + z = 0 Usando todas estas propiedades.8i) + (-1 + i)] = (5 + 12i) + (9 . el cual es otro número complejo.7i) = 14 + 5i Ejercicios 1. Propiedad del opuesto. es el elemento neutro para la suma. Propiedad de Cerradura para la suma. 2. Si z y w son dos números complejos entonces tanto z + w como z . En efecto. 5. El número complejo 0 = 0 + 0i. Efectuar las siguientes sumas y restas de números complejos: a) (5 + 15i) + (20-2i) b) (10 + 10i) + (2 + 8i) c) ( 3 + 2i) + (2 + 3 i) 12
. Propiedad Conmutativa.
Hallar el resultado de las siguientes operaciones: a) (3 + 2i) + [(4 .(5 + i)] b) [(1 . la relación i2 = -1 y un reagrupamiento de los términos.3 Producto de números complejos Sean z = a + bi y w = c + di definimos su producto.87i k) (-10 -8i) + (-1 . mediante la formula: z · w = (ac .bd + (ad + bc)i Hemos usado la propiedad distributiva para la multiplicación. haciendo la multiplicación de z por w como si se tratara de expresiones algebraicas se obtiene: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bdi2 = ac .1 5   2 2  3 3  3 3  i   1 5i   3 + + +  e)  2  2 2  2 1 4   2 8  f)  + i  −  + i  3 3  3 3 
d)  + i  +  + i 
g) 5 + (2 .8i)] . En cada caso.bd) + (ad + bc)i Aunque parezca un poco complicada.i) + (1 .(17 .2i)] = (4 + 6i)  3 13   1 8   10 6  c)  + i  +  + i  +  + i   5 5   20 5   20 5  d) [(16 . hallar un número complejo Z con la condición dada: a) z + ( 3 + 2i) = 5 + 20i b) i + ( 3 +4i) = z c) z + (1 +i) = 18 + 6i d) z +  +
1 2 1  i = i 2 
2. En efecto.9i) + (7 . esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales.5i) . La multiplicación puede hacerse de 13
.i) 2.9i) 3.3i ) h) 6i + (5 + 16i) i) 5i + (0 + 9i) j) 6i .
se puede probar que 1· z = z 5. Propiedad del inverso. o bien se multiplican los complejos como expresiones algebraicas. distinto de cero. Si z = a + bi es un número complejo. Propiedad Conmutativa. Para hallar z · w hacemos: z · w = (6·3 . Si z y u son números complejos. El número complejo 1. se multiplica cada componente de este último por el número real. denotado por z-1. Entonces para hallar el producto de ambos hacemos: z ·w = 8(3 + 2i) = 24 + 16i Vemos entonces. 2. se tiene: z·u=u·z 4. La multiplicación de números complejos satisface las siguientes propiedades. que para multiplicar un número real por un número complejo. teniendo cuidado de hacer al final la sustitución i2 = -1. si z = a + bi es cualquier número complejo se tiene: z·1 = (a + bi)·1 = (a·1) + (b·1)i = a + bi = z de la misma forma. Ejemplo: Sean z = 6 + 2i y w = 3 + 5i. Si z. el inverso de z es otro número complejo. Propiedad del elemento neutro.
.2·5) + (6·5 + 2·3) i = 8 + 36i Ejemplo: Sean z = 8 y w = 3+2i. Propiedad de Cerradura para el producto. el cual satisface: z · z-1 = z-1 · z = 1 Mas adelante veremos como se calcula z-1. Propiedades de la multiplicación. entonces se tiene: z · (w · u) = (z· w) · u 3. w y u son números complejos.dos maneras. Propiedad asociativa. es el elemento neutro para el producto. En efecto. o bien se aplica directamente la formula. Si z y w son dos números complejos entonces z · w es un número complejo. 1.
El Módulo de z: Definición: Si z = a + bi es un número complejo. Si z. En efecto.ba)i = a2 + b2 de donde:
Ejemplo: Sea z = 3 + 4i. Supondremos que z.6.9i. el módulo de z es el número real: |z| =
Observación: Se puede expresar el modulo de z en función de el mismo y de su conjugado. su conjugado es z = 2 . w y u son números complejos se tienen las relaciones: z · (w + u) = z · w + z · u (z +w) · u= z · u + w · u El conjugado de z: Definición: Si z = a + bi es un número complejo. pongamos z = a + bi. Propiedad distributiva. es otro número complejo definido por:
Ejemplo: Si z = 2 + 9i. entonces el Conjugado de z. Luego: z z = (a + bi)(a . usando la relación: |z| =
Se puede probar que dicha relación se verifica para todo z. su conjugado es z = 7 + 9i. w y u son números complejos: 15
.9i Ejemplo: Si z = 7 . para hallar su modulo hacemos: |z| =
Algunas propiedades muy importantes del módulo se dan a continuación.bi) = (a2 + b2) + (ab . denotado por z .
|z +w| ≤ |z| + |w| 4. y w ≠ 0. Entonces:
z 3 + 4i 2 − 3i = ⋅ w 2 + 3i 2 − 3i ( 6 + 12 ) + ( − 9 + 8) i = 2 2 + 32 18 − i 18 1 = = − i 11 11 11
. |z-1| = |z|-1
2. primero se multiplica z por el conjugado de w y este resultado se divide entre el módulo al cuadrado de w. |z| = 0 si y solo sí z = 0 3. podemos hacer la división de z entre w de la forma siguiente:
z z w z ⋅w = ⋅ = 2 w w w w
Tenemos entonces la regla para dividir números complejos: Para hacer la división de dos números complejos z y w. el cual es un número real. Por ejemplo:
1+i 1 2 1 1 = + i= + i 4 4 4 4 2
Si z y w son dos números complejos.4 División de números complejos ¿Cómo se dividen dos números complejos? El caso más sencillo se presenta al dividir un complejo cualquiera entre un número real. |z · w| = |z|·|w| 5.1. Si hacemos z = a + bi y w = c + di. tendremos:
z ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i = w a2 + b2
Ejemplo: Sea z = 3 + 4i y w = 2 + 3i. |z| ≥ 0 2.
Verifique la relación:
para los números complejos z = 1 . Hallar un número complejo cuyo módulo es igual a 5 y su parte real es igual a 3.5i)2 h) 5 ( 3 + 2i ) + ( 3 + 2i )(1 + 5i )
3. Hallar un número complejo z. entonces se tiene a = (z + z )/2 y b = (z .i)] =(6 + 5i) c) ( 5 + 2i ) + 6 d)(6 + 2i)(1 .(1 .z2) e) 5z2 – 6z3 2.(6 + 7i)] g) (5 + 4i)2 .5i) / (7 + 4i)2 e)5(1 .5i y z = 2 + 4i 5. Demuestre que si z es un número complejo tal que z = z . 4.Ejercicios 1. z2 = 5 + 3i y z3 = 4 + i.i) + 6(7 + 1/2i) f) (-3 . Demuestre que si z= a+bi.i) + (4 . 8. Efectuar las siguientes operaciones: a) z1·z2 b) z2·z3 c) z1·z2·z3 d) z1 / z2 d) (z1 + z2) = (z3 .2i. Verifique la relación |zw| = |z||w| para los números complejos z = 5 + i y w = 3 . entonces z debe ser real. Sean los números complejos z1 = 1 + 2i. Calcular: a) (3 + 2i)2 . Hallar un número complejo z tal que su parte real es el doble de la parte imaginaria y que además cumple z2 = -7 + 24i
. 7.z )/2i.8i) [(5 + 3i) . tal que: (7 + 2i)z + (2 + 3i) = 18 + 10i 6.(4 + 2i) b) [(5 + 2i) + (4 . 9.
1 Representación geométrica de un número complejo o Diagrama de Argand. De esta forma. es la distancia desde el punto hasta el eje y e y. denotamos al punto por P(x. Una vez hecho esto se tendrá la representación de z. y). Si P es un punto cualquiera. la componente real de z se copia sobre el eje x. llamado eje y. que será llamado eje imaginario. será llamado Plano Complejo. es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas. llamada la abscisa. como podemos ver en la figura 2.1:
Fig. 5). llamado la ordenada. A cada número complejo z = a+bi. El eje en posición horizontal se llama eje x y el eje en posición vertical. donde x. Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los puntos del plano. El conjunto de todos estos puntos. se le asocia el punto del plano. que será llamado eje real y la componente imaginaria sobre el eje y. para lo cual ubicamos primero al punto de coordenadas (4. se obtiene una representación geométrica o Diagrama de Argand de z. Ejemplo: El complejo z = 4 + 5i se puede representar en el plano complejo.5 Representación geométrica Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta. ver la figura 2.
. entonces le asociamos las coordenadas x e y. P(a.2. b). En un sistema de tales coordenadas. De esta manera. es la distancia desde el punto hasta el eje x. 2.
En esta representación. se tiene un par de ejes que se cortan perpendicularmente en un punto llamado el origen.2.
Ejemplo: El complejo z = -2 + 3i lo podemos representar.2) sobre el plano. ubicando al punto de coordenadas P (-6.3 Representación geométrica del complejo z =-6 + 2i. Ver la figura 2.
Figura 2. Ver la figura 2. En este caso el complejo estará ubicado en el segundo cuadrante.
Ejemplo: El complejo w = -6+2i lo podemos representar.3.Figura 2.-3) sobre el plano.2 Representación geométrica del complejo z = 4 + 5i. En este caso el complejo estará ubicado en el tercer cuadrante. ubicando al punto de coordenadas P (-2.4.
Ejemplo: El complejo w = 2 .4i lo podemos representar.
Interpretación geométrica del módulo y el conjugado Sea z = a + bi un número complejo.5 Representación geométrica del complejo z = 2 -4i.6). En este caso el complejo estará en el cuarto cuadrante. Entonces nos interesa calcular la longitud del segmento c que une al origen con el punto correspondiente a z en el plano complejo (ver la figura 2. ubicando al punto de coordenadas P (2. -4) sobre el plano.
. Ver la figura 2.4 Representación geométrica del complejo z = -2 -3i.
Figura 2..5.
se ha formado un triángulo rectángulo. Luego el conjugado en forma geométrica se obtiene al reflejar el punto correspondiente a z. Esto es:
Figura 2.6 Representación geométrica del módulo y conjugado de un número complejo z. Usando el Teorema de Pitágoras.8). se demuestra que la longitud de este segmento c.
Tenemos entonces una interpretación geométrica del módulo de un complejo: El módulo de un número complejo z es igual a la distancia desde el punto z hasta el origen. e hipotenusa dada por c. es igual a a 2 + b 2 y por lo tanto. si z = a + bi es un número complejo. igual al módulo del complejo z.
De acuerdo a la disposición de los ejes y el segmento dado. alrededor del eje real (ver la figura 2. 21
.bi. con catetos a y b.7 Representación geométrica del módulo de un número complejo z. Por otro lado. su conjugado viene dado por z = a .Figura 2.
entonces z1 + z2 se halla de la siguiente forma: a partir del punto representando a z1 se traslada el segmento que une al punto z2 con el origen.
Figura 2. digamos z1 y z2.Figura 2.
. llamado Regla del paralelogramo.8 Representación geométrica del conjugado de un número complejo z. Si se tienen dos complejos. Al final de dicho segmento. mediante un algoritmo muy sencillo.9 Suma geométrica de dos números complejos z1 y z2.
Tenemos luego la interpretación geométrica del conjugado de un complejo z: El conjugado de un número complejo z se obtiene como una imagen especular de z alrededor del eje real. se hallará el complejo z1 + z2.9. Suma geométrica de complejos Podemos sumar dos números complejos en forma geométrica. ver la figura 2.
procedemos de la manera siguiente: Si z = a + bi.
Figura 2. se efectúa usando la Ley del Paralelogramo.
. se ubica el primer complejo en el plano.
Para restar dos números complejos en forma geométrica.z2. digamos z1 .11). z1 y a continuación se coloca el segmento del opuesto de z2 en el punto correspondiente a z1.10 Representación geométrica del opuesto o negativo de un número complejos z.Vemos entonces que el complejo suma se halla en el extremo de la diagonal del paralelogramo con lados |z1| y |z2|. se obtiene la siguiente desigualdad para los módulos: |z1 + z2| ≤|z1| + |z2| Para hallar el opuesto o negativo de un número complejo. de manera geométrica. El complejo resultante z1 . Como la longitud de un lado en un triangulo es siempre menor que la suma de los otros dos lados.z2 se ubica en el extremo final de z2 (ver la figura 2.10). en forma geométrica. Podemos resumir entonces: La suma de dos números complejos. entonces -z = -a – bi y se ubica en el extremo del segmento de dirección opuesta a la de z (ver la figura 2.
con catetos a y b.bd) + (ad . se ha formado un triángulo rectángulo. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las x. Usando el Teorema de Pitágoras. En el caso del producto tenemos la fórmula para la multiplicación: (a + bi)·(c + di) = (ac . Esto es:
. en la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos. un radio vector. Veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para solucionar este problema. El mismo puede venir expresado en unidades de grados o radianes. que conecta al punto con el origen.2. e hipotenusa dada por el radio vector. que será denotado por θ. De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector.
Nota: El ángulo θ se mide a partir del eje real x y en sentido contrario a las agujas del reloj. ni tampoco para la división.12:
Figura 2. Para resolver este problema.12 Forma Polar de un número complejo z. requerimos de otro sistema de coordenadas. Podemos asignarle a cada número complejo z = a + bi en el plano. Ver la figura 2. resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas.bc)i El lado derecho de esta expresión.5 La Forma Polar Como el lector habrá observado. se demuestra que la longitud de este radio vector es a 2 + b 2 . igual al módulo del complejo z.
Hallar la forma polar del complejo z = 2 + 2i.3)
Recíprocamente. se llama amplitud o argumento principal de z. Solución: En primer lugar. para lo cual usamos las fórmulas 2.Figura 2. Luego:
. de acuerdo a las formulas anteriores. Esta claro que si conocemos el argumento principal de z y su módulo. entonces |z| y θ se calculan de acuerdo a las relaciones: |z| =
(2.5. que dos argumentos cualesquiera de z difieren en 2π. se llama amplitud o argumento para el complejo z.13 Representación geométrica del radio vector o módulo de un número complejo z. Sabemos por trigonometría. Cualquier ángulo α. Ejemplo: Un número complejo en el primer cuadrante. y dar su representación geométrica en el plano.2)
Conocidas como fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas.4) (2.1) (2. tal que sen α = sen θ y cos α = cos θ. tal que -π ≤ θ ≤ π. si se conocen las coordenadas cartesianas de z = a + bi.4 y 2. El argumento θ. debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo.
Usando conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior. entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas.5)
b θ = arctag a
Llamadas fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares. Se tiene entonces la representación de z en Forma Polar: z = |z|(cosθ + i senθ) (2. se demuestran las relaciones: a = |Z| cosθ b = |Z| senθ (2.
pues la calculadora solo nos da ángulos θ en el intervalo -90º ≤ θ ≤ 90º. ver la figura 2.14 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el primer cuadrante.15: 26
.|z| =
Para calcular el ángulo. El ángulo dado por la calculadora es: θ’ = arctg 4/(-3) = -53.87º La razón para hacer este cambio es que ambos ángulos tienen la misma tangente. podemos usar la calculadora: θ = arctg 2/2 = arctg 1 = 45º Luego la representación polar de z es: z = 2 2 (cos45º + i sen45º) La representación de este número en el plano complejo aparece en la figura 2.13º El argumento principal de w será: θ = 180º + θ’ = 126. Solución: Calculamos el módulo y el ángulo usando las relaciones anteriores: |w| = ( − 3) 2 + 42
Ahora calculamos el ángulo usando la calculadora. Hallar la forma polar de w = -3 + 4i.
Ejemplo: Un número complejo en el segundo cuadrante. pero teniendo mucho cuidado. al usar la tecla arctg.14 mostrada a continuación:
13º + i sen233.13º Por lo tanto. usando la calculadora.Figura 2. al igual que su componente compleja.87º + i sen126. Tenemos entonces: θ’ = arctg(-4)/(-3) = 53. cualquier argumento de z debe estar en el tercer cuadrante. la forma polar de z es z = 5(cos233. Hallar la forma polar de z = -3 -4i. Solución: Al igual que antes.15 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el segundo cuadrante.13º) Ver la gráfica 2.
Luego la forma polar de w es: w = 5(cos126. luego θ = 180o + θ’ = 233.13º Sabemos que este es un ángulo correspondiente al primer cuadrante. nuevamente se presenta el mismo inconveniente.87º) Ejemplo: Un número complejo en el tercer cuadrante.16 mostrada a continuación:
. pero como la componente real de z es negativa. calculamos su módulo y ángulo asociado: |z| = ( − 3) 2 + ( − 4) 2
Al tratar de buscar el ángulo. Al ángulo hallado le sumamos 180o para obtener un argumento positivo.
55º + i sen296.17:
(cos296.16 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el tercer cuadrante. Hallar la forma polar de w = 1 -2i.43º El argumento buscado es: θ = 360º + θ’ = 296. la forma polar de w es: w= Ver la figura 2.
Ejemplo: Un número complejo en el cuarto cuadrante. Luego θ’ = arctg(-2)/1 = -63.Figura 2. calculamos su módulo y su ángulo: |w| =
12 + ( − 2 ) = 5
Al buscar el ángulo la calculadora nos da un argumento negativo.55º)
. Solución: En primer lugar. en el cuarto cuadrante (esta vez no se presentan problemas de conversión).55º Por lo tanto. y para llevarlo a la forma positiva le sumamos 360º.
Multiplicación y división en la forma polar Supóngase que tenemos dos complejos en forma polar y queremos hallar el producto y el cociente de ellos.sen θ·sen φ) + (cos θ·sen φ + sen θ·cos φ)] después de usar un par de identidades trigonométricas muy conocidas.
También se puede obtener una formula similar para la división en forma polar.Figura 2.7)
Observación: Podemos dar ahora una interpretación geométrica del producto y la división de números complejos. el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al producto de los módulos y cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes”. Sean z = |z| (cos θ + i sen θ) y w = |w| (cos φ +i sen φ) Podemos realizar la multiplicación de estos números complejos en forma polar: z · w = |z|(cos θ + i sen θ)·|w| (cos φ + i sen φ) = |z||w|[(cos θ + i sen θ)·(cos φ + i sen φ)] = |z||w|[(cos θ· cos φ. podemos resumir: “Cuando se multiplican dos complejos. Por lo tanto. Dicha formula viene dada por
z z (cos (θ −ϕ) +isen (θ −ϕ)) = w w
(2.17 La gráfica muestra el argumento de un número complejo z en el cuarto cuadrante. tenemos la formula siguiente: z · w = |z||w| (cos(θ + φ) + i sen(θ + φ)) (2. basándonos en las fórmulas anteriores.
En primer lugar. Solución.6. z5.26º) .6 puede ser utilizada para hallar la potencia n-ésima de un número complejo. Calcular z6. que se conoce con el nombre de Fórmula de De Moivre. Supongamos que z = |z|(cosθ+i senθ). Usando la relación (2. Potencias y raíces de números complejos. Entonces podemos calcular su producto. entonces se obtiene: zn = |z|n(cos(n·θ) + i sen(n·θ)) (2.
. es decir.26º)) w 3 z 2 = (cos69º + i sen69º) w 3
2. y n es un entero positivo. Luego se tiene: z · w = 2·3(cos(95º + 26º) + i sen(95º + 26º)) z · w = 6(cos121º + i sen121º) Si queremos hallar el cociente de z entre w. llevamos z a la forma polar. hacemos:
z 2 = (cos(95º . usando la fórmula 2. donde z = 3 + 4 i.i sen(95º . nos da un algoritmo bastante eficiente para hallar la potencia n-ésima de cualquier número complejo en forma polar.8)
Esta relación.“Cuando se dividen dos números complejos. Ejemplo: Sea z = 2(cos30º + i sen30º). Solución.6. el resultado es un número complejo cuyo módulo es igual al cociente de los módulos y cuya amplitud es igual a la diferencia de las amplitudes”. La fórmula 2. Para hallar el módulo hacemos: |z| =
= 5.8): z5 = 25(cos(5·30º) + i sen(5·30º)) z5 = 32(cos150º + i sen150º) Ejemplo. Calcule la potencia de orden cinco de este número. Ejemplo: Sean z = 2(cos95º + i sen95º) y w = 3(cos26º + i sen26º).
y -i son las 4 raíces cuartas de la unidad.12 i En este ejemplo se ha cometido un error de redondeo. Si z es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tenga z = wn donde w es otro número complejo. En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. el ángulo viene dado por: θ = arctg 4/3 = 53. tenemos a z en forma polar: z = 5(cos53. por ejemplo. Concretamente. -1. entonces
.13º Por lo tanto. todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. Esto lo denotamos por w = z1/n = n z .12 – 10296.78º + i sen318.8): z6 = 56(cos(6·53. entonces se dice que w es una raíz enésima de z. pues 14 = i4 = (-i)4 = (-1)4 = 1 de donde 1.6590) z6 = 11753. i.13º) Calculamos ahora z6 empleando la relación (2. Así. En los números reales. A continuación damos una fórmula para hallar las raíces de un número complejo.7522 .i 0.Por otro lado.13º + i sen53. Propiedad: Todo número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas. llevamos este resultado a la forma cartesiana: z6 = 15625(0.78º) Finalmente.13º) + i sen(6·53. al usar la calculadora de mano. Sea z = |z|(cosθ + isenθ).13º)) z6 = 15625(cos318. El valor exacto de esta operación es z6 = 11753 – 10296i. se tiene la siguiente propiedad. si z = 1 entonces existen 4 raíces cuartas.
Ver la figura 2. 2.n
z = z1/ n = z
  θ + 2kπ   θ + 2kπ  cos  + isen  n n    
Ejemplo: Hallar todas las raíces cúbicas de z = 8(cos30º + isen30º) Solución: Si usamos la relación (2. la cual viene dada por 1 = 1· (cos 0º + i sen 0º) Luego hallamos las raíces sextas por intermedio de 2. 1. veremos que se hallan sobre una circunferencia con centro en el origen y radio 2.18.
Ejemplo: Hallar las seis raíces sextas de la unidad.18 La gráfica muestra las tres raíces cúbicas del complejo z = 8 (cos 30º + i sen 30º). Además todas ellas están a la misma distancia de las otras: forman los vértices de un triángulo equilátero. Sustituyendo estos valores de k en la expresión de arriba nos da las tres raíces cúbicas: w1 = 2(cos10º + i sen10º) k=0 w2 = 2(cos130º + i sen130º) k = 1 w3 = 2(cos250º + i sen250º) k = 2 Si representamos gráficamente estas tres raíces.9) se tiene:
30 º +2kπ 30 º +2kπ   z 1 / 3 = 81 / 3  cos + isen  3 3  
con k = 0.9
. Solución: Tomamos la representación en forma polar de 1.
1.20 Muestra las seis raíces sextas de la unidad. Representar gráficamente en el plano complejo los siguientes números: a) z = 2(cos60º + i sen60º) b) z = 1=5(cos45º + i sen45º) c) z = 16(cos120º + i sen120º) d) z = 7(cos100º + i sen100º) e) z = 4(cos400º + i sen400º) f) z = 6(cos312º + i sen312º)
. 4 y 5.6
  0º +2k Π   0º +2kΠ   1 = 6 1 cos   + isen     6 6     
Con k = 0. como se muestra en la figura 2. 3. Estos valores de k nos dan las seis raíces: w1 = 1(cos 0º + i sen 0º) w2 = 1(cos 60º + i sen 60º) w3 = 1(cos 120º + i sen 120º)k = 2 w4 = 1(cos 180º + i sen 180º)k = 3 w5 = 1(cos 240º + i sen 240º)k = 4 w6 = 1(cos 300º + i sen 300º)k = 5 Si las graficamos en el plano complejo. 2.20. k=0 k=1
Ejercicios 1. vemos que ellas ocupan los vértices de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1.
Usando la forma polar.i c) z = 3 + i d) z = 1 .i b) z = -1 . Calcular las cuatro raíces cuartas del complejo z = 2 + i. Representarlas gráficamente.i f) z = 3 p3 + i g) z = (6 + i)(2 . efectúe las siguientes operaciones: a) (1 + i)(
1 −i b) 3 +i 4i c) 2 +i
d) (1 + i)4 e) ( 3 + i)7 f) (1 + i)-3 g)
2 + i (1 − i ) 5i
4. 5. Expresar los siguientes números complejos en forma polar: a) z = 3 + 4i b) z =
c) z = d) z =
−1 1 + i 2 2 −1 1 − i 2 2
e) z = 1 .i) h) z = -7 . Calcular las tres raíces cúbicas de los siguientes números complejos: a) z = 1 .3 i e) z = 8
.7i i) z = 5 3.g) z = (1 +
2 )(cos ( – 60)º + i sen (– 60)º)
Resuelva las ecuaciones en números complejos: a) z3 + 4 = 5 + i b) z4 + 2i = 6 + 3i c) z5 + 16 = 0 7. Dibujar en el plano complejo la región delimitada por: a) |z| ≤ 3 b) |z – 5| < 4 c) Re(z) < 1=2 d) Im(z) ≥ 4
3. La fórmula de Euler
1) como una definición de e iθ .Una de las constantes más usadas en matemáticas es el número Número de Euler.7182818284 6
Esta constante aparece en conexión con los números complejos. si k es cualesquier constante. mediante la relación maravillosa
e iθ = cos θ + isen θ
(3. carente de toda pedagogía y rigor matemático.1)
Donde el lado derecho representa un número complejo en el círculo unitario de ángulo θ . si x es un número real? La propiedad que define a la exponencial es una función f ( x ) . debemos entonces tratar de entender primero qué cosa es la expresión e iθ y luego demostrar que dicha relación se cumple para todo ángulo θ .2)
ii ) f ( 0 ) =1
De manera análoga. cuyo valor aproximado de 11 cifras decimales es:
e ≈ 2. de la formula de Euler. Para éstos autores el lado izquierdo no posee ningún significado y cometen el gran error de dar la formula (3. quien la descubrió cerca de 1740. Dicha fórmula se conoce con el nombre de Fórmula de Euler en honor a Leonhard Euler. Para poder convencer al estudiante que la relación (3. Muchos textos de bachillerato y aún universitarios tienen un tratamiento inadecuado. entonces:
g ( x ) = e kx
Es la función g ( x ) que satisface:
dg = kg dx
(3. Comenzaremos entonces por considerar la función exponencial f ( x ) = e x ¿Cómo se define e x .1) es una verdad matemática y no un simple acto de fe.3)
) g ( 0) = 1
i) df =f dx
+ na n x n −1 + . Derivando en ambos miembros de la serie de potencias nos queda:
d f ( x) = e x = a1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + . dx
a0 a1 a2  an = ( n +1)a n +1 = 1 = 2a 2 = 3a 3
Usando (3.. La palabra formal nos indica que dicho desarrollo es sólo una relación entre símbolos y que puede ser...
Este tipo de series se llaman Series Formales de Potencia.2) ii) se tiene que f(0) = 1 y por lo tanto a 0 = 1.Comenzaremos por suponer que e x se puede desarrollar en una serie de potencia:
f ( x ) = e x = a1 + 2a 2 x + 3a3 x 2 + .. Luego tendremos los valores de los términos restantes definidos por recurrencia:
a0 a1 a2 a3  a n +1 = an 1 = n +1 ( n +1)! = a1 1 2 1 1⋅ 2 ⋅3
. o no. + na n x n −1 + .. un número real para algunos valores de x....
Por lo que deduce que la serie de potencias de ekx es:
e kx = 1 + kx +
( kx ) 2 + ( kx ) 3
( kx ) n
Por el momento no nos preocupamos por los problemas de la convergencia de estas series de potencia. Así pues:
cos ( 0) sen ( 0 ) = 0 = 1
senθ = a1θ + a 2θ 2 +  + a nθ n +  cos θ = 1 + b1θ + b2θ +  + bnθ + 
(3. Las series de potencia sen θ y cos θ . apenas conocemos los valores para θ = 0 . trabajando de manera formal.Luego la serie de potencias de e x es:
ex =1+ x + x2 x3 xn + + + + 2! 3! n!
(3. para descubrir relaciones entre las funciones de manera heurística.5) se puede escribir:
.sen θ . luego podemos igualar sus series respectivas y comparar los coeficientes para obtener:
a1 a2 a3 a4 = a1 = − a2 = a3 = − a4 
De aquí se deduce que todos los coeficientes de las potencias pares son cero. Sobre las funciones seno y coseno.5)
( 3. Tenemos también la posibilidad de calcular estas series.6 )
Recordemos que la función seno es impar. Sólo haremos un cálculo formal en una primera etapa. es decir sen(. Luego (3. como lo hacían los matemáticos en el pasado. se pueden obtener por medio del Teorema de Taylor del cálculo diferencial.θ) = .
es decir cos θ = cos( −θ) y por lo tanto los coeficientes de las potencias impares son todas nulas.sen θ = a1 + a3θ 3 + a5θ 5 +  + a 2 n +1θ 2 n +1 + 
(3. Una segunda derivación de la serie (3.7)
Por otra parte. derivamos la serie del seno y la igualamos a la del coseno pues De aquí obtenemos que a1 = 1 . dθ
d2 sen θ = 2 ⋅ 3a 3θ + 5.8)
Para calcular el valor de los coeficientes ai en (3. la función coseno es par.4a 5θ 3 +  + ( 2k + 1) 2ka 2 k +1θ k −1 +  2 dθ = −a1 − a3θ 3 −  − a 2 k −1θ k −1 − 
a3 a5 = =  a 2 k +1 =  − a 2 k −1 ( 2k +1) ⋅ 2k − a1 2 ⋅3 − a3 5⋅4
.7) produce:
d2 sen θ = −senθ dθ 2
d sen θ = cos θ . Luego se tiene el desarrollo en serie para el coseno:
cos θ = 1 + b2θ 2 + b4θ 4 +  + b2 nθ 2 n + 
lo cual no está al alcance de nuestro curso. 3!
1 .a3 =
−1 . Para dar más rigurosidad a estos resultados tendríamos que probar la convergencia de ambas series para cualquier θ real. entonces nos queda:
e iθ = 1 + ( iθ ) +
2! 3! 2 3 θ iθ = 1 + iθ − − + 2! 3!
( iθ ) 2 + ( iθ ) 3 +  + ( iθ ) n
Por el momento no vamos a probar la convergencia de esta serie. hacemos ahora un reordenamiento de esta última serie para obtener:
 θ2 θ4    θ3 θ5 e iθ = 1 − + +  + iθ + − +   = cos θ + i sen θ     2! 4! 3! 5!    
Al menos heurísticamente hemos probado la Fórmula de Euler. y suponiendo que k = i. se tiene la representación polar:
z = z (cos θ +isen θ)
z = z e iθ
iθ − iθ Sean z1 = z1 e 1 y z 2 = z 2 e 2 dos números complejos. x = θ . 5!
a 2 k +1 =
( − 1) k  ( k + 1)!
Luego la serie del seno de θ es:
sen θ = θ −
θ3 θ5 + − 3! 5!
(3. entonces su producto y su cociente serían:
θ2 θ4 + − 2! 4!
Volviendo al desarrollo en serie de potencias de ekx. La fórmula de Euler permite usar una notación más corta para expresar los números complejos. Si z es cualquier complejo.
1. Tenemos la fórmula de Euler:
e −iθ = cos ( −θ ) + isen ( −θ ) = cos θ − i sen θ
e iθ + e − iθ 2 e iθ + e − iθ 2i
co sθ =
(3. Veamos entonces como el seno y el coseno se definen a partir de la función exponencial.z1 ⋅ z 2 = z1 z 2 e i ( θ1 +θ 2 )
z1 i (θ1 −θ2 ) z1 = e z2 z2
Si n > 0 es un número entero.2 Aplicaciones de la Trigonometría
( θ + n2 kπ )
Partiendo de la fórmula de Euler podemos derivar una gran cantidad de identidades trigonométricas. la potencia n-ésima de
e in θ
zn = z n e
donde k = 0. 3.1 1)
. n-1.10 )
(3 . ….
Por ejemplo. es que siempre aparecen dos nuevas fórmulas. supongamos que queremos calcular entonces tenemos:
cos 3θ + i sen 3θ = e i 3θ = ( e iθ ) = ( cos θ + isenθ )
sen 3θ y cos 3θ . Elevando a la potencia cuarta ambos miembros nos dará:
( 2 isen θ ) 4
− e −iθ )
. si queremos una identidad para sen 4θ hacemos uso de la identidad 2 i sen θ = e iθ −e −iθ . Esto es:
cos ( θ + α ) + isen ( θ + α ) = e i ( θ +α ) = e iθ e iα = ( cosθ + isenθ )( cosα + i senα )
= ( cosθ cosα − senθ senα ) + i ( senθ cosα + cosθ senα )
cos (θ + α ) = cos θ cos α − sen θ sen α = sen θ cos α + cos θ sen α
sen (θ + α )
La ventaja de usar la fórmula de Euler.
= cos 3 θ + 3 cos 2 θ i senθ + 3 cos θ i 2 sen 2θ + i 3 sen 3θ = ( cos 3 θ − 3 cos θ sen 2θ ) + i ( 3 cos 2 θ senθ − sen 3θ )
cos 3θ = cos 3 θ − 3 cos θ sen 2θ sen 3θ = 3 cos 2 θ sen θ − sen 3θ
Podemos también derivar fórmulas para las potencias del sen θ (o del cos θ ) en función de sen θ y cos θ . Por ejemplo.Como una primera muestra del poder de los números complejos en el estudio de la trigonometría. aparte de su perfección y simplicidad. derivamos las identidades para: sen (θ + α ) y cos (θ + α ) .
Fig.1 El Teorema de Pitágoras Sea el triángulo AOB un triángulo rectángulo.16 sen 4θ
= e i 4θ − 4e i 3θ e −iθ + 6e i 2θ e i 2θ − 4e iθ e −i 3θ + e i 4θ = e i 4θ + e −i 4θ − 4 e i 2θ + e −i 2θ + 6 = 2 cos 4θ −8 cos 2 θ + 6
sen 4θ = cos 4θ − 4 cos θ + 3 8
3.1 Diagrama utilizado para probar el Teorema de Pitágoras. 3.3 Aplicaciones en la Geometría Teniendo a los números complejos a la mano podemos pasearnos por algunos teoremas de la geometría y redescubrir algunas demostraciones. Dentro de los complejos se esconde un potencial tremendo de cálculo de ángulos y longitudes en el plano.
. Comenzaremos por uno de los teoremas más importantes de la geometría: 3. de una manera sencilla y fácil. como veremos en los siguientes ejemplos. con el vértice O en el origen.3. el cual ubicamos en el plano complejo.
3. b. digamos α :
Fig.2 Representación geométrica de los valores a. c y supóngase que se conoce uno de sus ángulos.2. 3.
a 2 = c 2 + b 2 − 2ab cos α
. b y c para probar el Teorema de Pitágoras.
Calculemos el módulo al cuadrado de z 3 :
c 2 = z3
= ( bi − a )( − bi − a ) = b 2 − abi + abi + a 2
= z 3 ⋅ z 3 = ( z 2 − z1 ) ( z 2 − z1 )
3. z 2 = bi .z1 = a. La Ley de los Cosenos Consideremos un triangulo de lados a.3. y z 3 = z 2 − z 3 :
Basándonos en la figura. podemos definir tres números complejos
Fig.3 Diagrama utilizado para probar la Ley de los cosenos.
de esta manera podemos establecer la relación entre los módulos:
a 2 = z3
= z 2 − z1
a 2 = ( z 2 − z1 ) ( z 2 − z1 ) = ce iα − b ce −iα − b = c 2 − bc e iα + e −iα + b 2
y. usando la relación:
cos α = e iα + e − iα 2
a 2 = c 2 − 2bc cos α + b 2
Otro resultado muy usado en geometría es el inverso del Teorema de Pitágoras. c que cumplen la relación:
es un triángulo rectángulo. 3.Ubicamos entonces el triángulo dentro del plano complejo:
Fig. En efecto si se tiene la relación: 45
. Esto se deduce fácilmente de la ley de los cosenos. el cual establece que todo triángulo con lados a. z 3 = z 2 − z1 . z 2 = ce .
iθ Luego consideremos los números complejos: z1 = b. b.4 Ubicación de un triángulo en el plano complejo.
3. dice que todo triángulo inscrito en un semicírculo debe ser rectángulo.
a 2 = c 2 + b 2 + 2ab cos α
(3.13) y (3. Probaremos este resultado usando números complejos.a2 = c2 + b2
(3. Es decir.5 Diagrama utilizado para probar el inverso del Teorema de Pitágoras.14)
Igualando (3.3. el triángulo es rectángulo. 3. Supongamos que tenemos un semicírculo de radio a y un triángulo ∆ ABC inscrito en él (ver la figura)
.14) obtenemos la relación:
c 2 + b 2 = c 2 + b 2 − 2ab cos α
de donde se concluye que cos α = 0 y por lo tanto α = 90 ° .3 Teorema del Triángulo Inscrito en un Semicírculo Un famoso teorema de geometría.
y tomamos el ángulo α de manera tal que el radio vector de z1 intersecte al círculo en el punto A.3. z 3 = −a. 3. 3. z 2 = ae . debemos probar que:
= 4a 2
Para probar esto.Fig.7 Diagrama utilizado para probar el Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo. Luego se tiene:
z 2 − z3
+ z 2 − z1
= a e iα + a + a e −iα + a + a e iα − a a e −iα − a = a 1+e
) ( +1) + a (1 − e
y con esto termina la demostración.6 Diagrama utilizado para probar el Teorema del triángulo inscrito en un semicírculo. en el plano complejo. tomaremos tres números complejos: z1 = a.
De acuerdo a la observación sobre la ley de los cosenos.4
B = z 2 − z3 A
A = z 2 − z1 C
c1  c 2 sen(θ − ϕ ) 2
2. El área de dicho círculo se expresa (ver problema 3):
An = na 2  2π  sen   2  n 
A medida que n aumenta. Afortunadamente. el área de An se aproxima cada vez más al área del círculo. pues el límite es una indeterminación de la forma ∞ ⋅ 0 . Demuestre que un polígono regular de n lados. Luego:
3 5    2π   2π        2 na  2π  n   n  −  A = lim = − +  n →∞ 2 n 3! 5!      
 ( 2π ) 3 + ( 2π ) 5 −  = a 2π  lim a 2 = π −   n →∞ 2n 2 3! 2n 4 5!  
pues a partir del segundo término de la serie. estudiada en este capítulo. Podemos aproximar el círculo por medio de un polígono regular de n lados. Si probar que el triángulo de vértices z1 . entonces An → A .
z1 = c1e iθ y z 2 = c 2 e iϕ son dos números complejos cualesquiera. Luego podemos hacer:
A = lim An = lim
na 2  2π  sen   n →∞ 2  n 
Aquí se presenta un problema serio. inscrito en un círculo de radio a tiene área dada por
. 1. O y z 2 tiene área A. podemos remediar este inconveniente. donde A es el área buscada.Supongamos que tenemos un círculo de centro O y radio a. considerando la serie de potencias del seno. y cuando n → ∞. los términos restantes convergen a cero. Hallaremos el área del mismo mediante un proceso de límites. Luego el área del círculo de radio a es a 2π .
Usando el ejercicio anterior calcule el perímetro de un pentágono inscrito en un círculo de radio 1 6. Utilizando el ejercicio anterior calcule el área de un pentágono inscrito en un círculo de radio 1. Calcule el valor de las sumas
A = cos 1 + cos 2  + cos 3 +  + cos 89 
B = sen 1 + sen 2  + sen 3 +  + sen 89 
Tip : sea z = e iθ con α = 1° y calcule el valor de la suma de una progresión geométrica:
. z l 1
l = 2 1 + cos θ
5. calcule un valor aproximado de e con cinco cifras decimales. 4. Halle un par de identidades trigonométricas para sen 4θ y cos 4θ en función de sen θ y cos θ . 7. 8.An =
na 2  2π  sen   2  n 
converge a un número real para todo x real. Usando la serie anterior. Sea z = e iθ un número complejo en el círculo unitario. 9.
Probar que el conjunto de las rotaciones en el plano con eje de rotación en un punto a es un grupo. 4. Ed. Mc Graw Hill. Reverté Ed.ve/ciencias/lico/Libros/complejos. Ed. Paul K. Fred W. Hallar la transformación que lleva el triángulo A de vértices 0.com. Edición 1992. Smith. Charles Sparks Rees. 5.). en el triángulo A’ de vértices z1 = 5 − 5i. Ed. http://www. 11. (et. http://descartes. Louis Leithod.S =
89 n= 1
10. Fred W. Álgebra. Edición 2005.ula. Sparks. 2. http://webdelprofesor.htm 6.mecd. i.cnice.ar/disputas_matematicas. 2.htm
. z 2 = 5 − 3i y z 3 = 4 − 5i . Stanley A. Décima Edición.
1. Álgebra.pdf 7. 3. Harla.portalplanetasedna.es/Bach_CNST_1/Los_numeros_complej os/complejos1. Álgebra. Sparks. Addison-Wesley. Al. Rees. Paul K. Álgebra. Rees. Edición 1995.

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