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1 Deformación unitaria 9.3 Variación de la deformación unitaria 12.2 Método de Newton-Raphson 13.1 Campo de deformaciones 12.4 Formulación isoparamétrica 10 ELEMENTO BIARTICULADO.2 Vector de fuerzas interiores 10.5 8.3 Método de Newton modificado 13.1 Ejemplo 1.3 Matriz de rigidez tangente 11 ELEMENTO VIGA PLANA.5 Criterios de convergencia 14 MÉTODO DE LA LONGITUD DEL ARCO 15 EJEMPLOS ESTÁTICOS 15.3 Matriz de rigidez tangente 9.deslizante
.1 Método incremental puro 13.3 Deformaciones virtuales 11.3 8.7 Matriz de rigidez tangente 13 RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES INCREMENTALES 13.6 Vector de fuerzas interiores 12.2 Vector de fuerzas interiores 9.1 Deformación axial y esfuerzo axial 11.8. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL 11.2 8.6
9 ELEMENTO BIARTICULADO.1 8. Barra apoyada . FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 9.4 Métodos restringidos 13.2 Deformaciones unitarias 12.4 Deformaciones unitarias de cortadura 12. FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL 12.5 Matriz de rigidez tangente 12 FLEXIÓN DE PLACAS. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL 10.4 8.1 Deformación unitaria 10.2 Deformación y momentos de flexión 11.5 Trabajo virtual interior 12.4 Trabajo virtual 11.
2 Ecuaciones de equilibrio.4 Divergencia 20. Barra apoyada – deslizante 17.3 15. Voladizo muy flexible Ejemplo 4.4 15. PRELIMINARES MATEMÁTICOS 20. Formulación lagrangiana total 16.1 Resumen de álgebra de vectores y tensores 20. Barra deslizante apoyada elásticamente Ejemplo 3.6 Criterios de convergencia 17 EJEMPLOS DINÁMICOS 17. PROCEDIMIENTOS MATLAB
.1 Ejemplo 1. Voladizo muy flexible. Pórtico biarticulado
16 DINÁMICA 16.15.5 Métodos implícitos de integración de paso simple 16. Celosía Ejemplo 5. NOTACIÓN 20 ANEJO 2.5
Ejemplo 2.3 Gradiente 20. Cable pretensado 18 BIBLIOGRAFÍA 19 ANEJO 1.3 Ejemplo 3.2 Traza 20.2 15.3 Método explícito basado en diferencias centrales 16.4 Estabilidad del método de diferencias centrales 16.1 Principio del trabajo virtual en dinámica 16.5 Teoremas de integración 21 ANEJO 3.2 Ejemplo 2. 17.
Al ser el sistema no lineal. La posición de cada partícula queda ahora definida por unas coordenadas x
x = φ(X. ni siquiera siguiendo un proceso iterativo. La naturaleza no lineal del fenómeno hace que no pueda calcularse en general la situación deformada final en un sólo paso. Es necesario seguir un proceso de carga incremental. La necesidad de un proceso de carga incremental y de un parámetro al cual referir el mismo es importante asimismo cuando existen condiciones de carga diversas que pueden aplicarse en diferente orden. Cada partícula queda definida por unas coordenadas x i agrupadas en un vector X . Para una partícula cualquiera. la función φ define una transformación de coordenadas entre las dos configuraciones espaciales. aplicando las cargas finales paso a paso. la respuesta final depende del orden de aplicación de las mismas y se hace necesario el proceso de carga paso a paso. por incrementos. Para identificar los distintos pasos del proceso se empleará un parámetro de tiempo t. la ecuación anterior proporciona su trayectoria temporal.
. aunque no se trate más que de un parámetro arbitrario. y determinando la respuesta para cada uno de esos incrementos. En este contexto la respuesta del sólido es altamente no lineal pues por una parte no se conoce la posición deformada final y por otra la presencia de grandes deformaciones implica el uso de medidas de la deformación adecuadas que son esencialmente no lineales.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Se estudia la deformación de un medio continuo deformable bajo la acción de cargas exteriores que provocan grandes deformaciones. aplicando la totalidad de la carga. inicial y final. En principio no se considerará aquí esta no linealidad debida al material. En el caso de que las cargas sean estáticas no tiene sentido hablar del parámetro tiempo en el sentido que tiene en dinámica. A esta no linealidad de origen geométrico se puede añadir la no linealidad debida a la ecuación constitutiva del material si es que este fenómeno se pone de manifiesto en el proceso. de tal manera que no puede aceptarse la hipótesis de que la posición final deformada coincide con la posición inicial. al cual se referirán todos los incrementos de carga y las distintas configuraciones deformadas. y en ella se identifican:   Configuración inicial en t=0. pero por comodidad se le denominará así. t )
Para cada instante de tiempo. La figura 1 muestra el sólido referido a un sistema de coordenadas cartesiano. Por lo tanto la única diferencia entre los casos estático y dinámico está en la consideración o no de las fuerzas de inercia. Configuración en un instante cualquiera t.
Configuración inicial y deformada. Un cambio en el tiempo en las ecuaciones anteriores implica que la misma partícula ocupa una posición diferente. el comportamiento se refiere a la posición final x ocupada por una partícula y se trata de obtener la posición inicial que ocupaba dicha partícula.t)
Figura 1. t )
u(X. se trata de expresar las coordenadas finales de una partícula en función de sus coordenadas iniciales:
x = φ(X.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
(X. es decir: X = φ−1(x. • En el planteamiento Lagrangiano. t ) Las deformaciones se obtienen con respecto a esa posición deformada: u(X. Un cambio en el tiempo en las ecuaciones anteriores implica que una determinada posición está ocupada por 2
. en el que es necesario incluir alguna ecuación constitutiva del comportamiento de las partículas del material.
1. t ) = x − φ−1(x. El planteamiento Lagrangiano es adecuado al estudio de la mecánica de sólidos. t ) = φ(X. o material. t ) − X
En este planteamiento por lo tanto se persigue el movimiento de una misma partícula material cuya posición inicial X se conoce y se trata de obtener su posición final. t ) (3)
En este planteamiento se persigue una determinada posición en el espacio y se determina la posición inicial que tenían las partículas que pasan por dicha posición.1
La resolución de un problema no lineal puede abordarse genéricamente de dos maneras distintas. o espacial. dependiendo de a qué sistema de coordenadas se refieran las magnitudes fundamentales involucradas en el proceso. • En el planteamiento Euleriano.
el valor la temperatura T. como la temperatura T. y se obtiene como la temperatura en esa posición a medida que pasa el tiempo (y posiblemente también pasen distintas partículas por ese punto):
T = T (x. su valor se describe con respecto a la posición inicialmente ocupada por una partícula.
. • Por ejemplo. El planteamiento Euleriano es adecuado a problemas de mecánica de fluidos. en el que no interesa tanto la evolución de las partículas sino la distribución espacial de las magnitudes. t )
Sin embargo. y se obtiene como la temperatura en esa misma partícula a medida que pasa el tiempo (y posiblemente también cambie la posición de la partícula):
T = T (X. en el planteamiento Lagrangiano. en el planteamiento Euleriano espacial. se describe con respecto a una posición actual en el espacio.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
una partícula diferente. Planteamientos material y espacial. si consideramos una magnitud escalar cualquiera.
Es la magnitud fundamental en la definición de la deformación de un sólido.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
2. Denominamos ∇0 a dicho gradiente:
Es un tensor definido positivo. Consideremos el diferencial de volumen en el 4
Por lo tanto el tensor gradiente de la deformación se define como el gradiente de las coordenadas deformadas x respecto de las coordenadas iniciales X. • El determinante del tensor gradiente de deformación F=|F| establece la relación entre los diferenciales de volumen en los estado 0 y t. y establece la relación entre los elementos diferenciales de coordenadas en dos configuraciones. También se puede poner en notación de matrices como:
Siendo ∇ el operador gradiente respecto de las coordenadas deformadas x. como se demuestra al estudiar la transformación del volumen. Así entre la configuración inicial X y deformada x.
Consideremos un elemento diferencial de área en el estado inicial dA0: es una cantidad vectorial cuyo módulo dA0 es igual al área de un paralelogramo definido por dos vectores dX1 y dX2. dX2.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
estado inicial dv0 formado por un paralelepípedo cuyos lados están definidos por tres vectores diferenciales dX1. El valor de este diferencial de volumen es el producto mixto de los tres vectores:
i = 1. los términos de este tensor son:
Como ambos diferenciales de volumen siempre deben ser positivos. el determinante del tensor gradiente de deformación también lo es.
establece mediante el tensor gradiente inverso.2 Tensores gradiente de desplazamientos
En su representación como matriz. dX3. y cuya dirección n0 viene dada por su producto vectorial:
• Es instructivo expresar el tensor F en función de las direcciones principales en ambos estados.
α=1.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 3. Descomposición polar del tensor gradiente de deformación. Para ello sustituimos el valor de U:
• Considerando un vector dXα orientado en la dirección de un eje cualquiera α.3
Esto indica la naturaleza de F en el sentido de que involucra a las direcciones principales en los estados inicial y deformado.
la cual produce una variación de los gradientes de deformaciones. sometido a unos desplazamientos u=x-X.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
2. • La variación de los tensores gradiente de desplazamientos al variar los desplazamientos es sencillamente:
Consideramos un cuerpo en un estado deformado t. Se aplica una variación virtual δu a dichos desplazamientos.
Por ejemplo. se puede expresar siempre en la forma:
Siendo AC una matriz constante. que corresponde al tensor de deformaciones unitarias empleado en el análisis con pequeñas deformaciones. la expresión detallada para el caso de dos dimensiones es:
Es un tensor lineal.1
Sea u el campo de deformaciones existente en el sólido en el instante t.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. Es igual a la parte simétrica del tensor gradiente de desplazamientos Ht evaluado respecto de las coordenadas deformadas:
Dado su valor.
y el último término corresponde a los términos no lineales habituales en grandes deformaciones.2 Tensor de deformaciones unitarias de Green-Lagrange
Los dos primeros sumandos corresponden al tensor infinitesimal lineal de pequeñas deformaciones.
que es lineal.1 Expresión vectorial del tensor de Green – Lagrange El tensor de Green-Lagrange se puede expresar en forma de vector en la forma siguiente.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• El tensor de Green – Lagrange es invariante ante rotaciones de sólido rígido. El tensor gradiente de deformación en el nuevo estado es:
3.2. en la forma:
La estructura del primer término. para el caso de 2 dimensiones. para problemas de 2 y 3 dimensiones (la barra sobre el símbolo indica una representación como vector):
. Entre t y t+Δt se aplica una rotación de sólido rígido definida por una matriz R. Sea un sistema en un instante t. sometido a un tensor de deformación Ft . Agrupando los términos lineales y los no lineales se puede poner.
la variación se puede poner:
Consideramos un cuerpo en un estado deformado t. Se aplica una variación virtual δ u a dichos desplazamientos. con tamaño 3x4 en 2 dimensiones y 6x9 en 3 dimensiones:
• La matriz A(H) depende del vector gradiente de desplazamientos H.
3. sus términos son sencillamente una reordenación de los términos de H.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• La matriz AC es constante.1 Expresión en función del gradiente de desplazamientos. la variación del tensor de deformaciones unitarias de Green Lagrange es:
3. Según (19). pues como puede comprobarse.3. Dado que se cumple que δ F = δ H . Precisamente la dependencia de A de la deformación es el origen de la no-linealidad del problema. sometido a unos desplazamientos ui = x i − X i .
desarrollando las expresiones.3. Por otra parte.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. también se comprueba fácilmente que:
En esta expresión se identifica la variación del tensor infinitesimal de deformaciones unitarias δε en el instante t. como:
. en función del tensor de Finger.4 Tensor de deformaciones unitarias euleriano
De forma análoga al tensor de Green-Lagrange se puede definir el tensor de deformación unitaria en el planteamiento euleriano e o tensor de Almansi. pero referidas al estado deformado final.3.3 Variación del tensor de Green-Lagrange en forma de vector La variación del tensor de Green-Lagrange en su forma de vector es:
Observando el valor de A se comprueba que se cumple que δ A(H) = A(δ H) .
Con lo que se define este tensor euleriano.2 Expresión en función del tensor infinitesimal de deformaciones unitarias La variación del tensor gradiente F es δ F = δ Ht F . Para ello se considera la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos infinitamente próximos. con lo que finalmente la variación del tensor de deformaciones de Green – Lagrange es:
expresadas en los estados indicados.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. en los estados t y t+Δt. Para ello ambos tensores emplean la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos.5
Para el desarrollo de formulaciones incrementales. mientras que los dos últimos se deben a las deformaciones iniciales ya existentes en el material en el instante t. El tensor no lineal en el incremento de deformación vale:
. los dos tensores se expresan en función de la deformación incremental entre los dos estados:
3. referidas al estado inicial (por eso se añade el subíndice 0)
Sustituyendo el valor de los tensores en función de las deformaciones. resulta útil estudiar el incremento que sufre el tensor de Green – Lagrange al pasar desde una configuración t a otra t+Δt. en relación al incremento de deformación u
Los dos primeros términos son similares al tensor de deformaciones infinitesimales (aunque referidos a las coordenadas iniciales). el tensor incremental se puede expresar como suma de dos tensores:
ˆ: El primer tensor contiene los términos lineales. A estos efectos se emplean dos tensores incrementales que miden el incremento en el tensor de Green – Lagrange entre los estados t y t+Δt. pero referidas a estados de referencia distintos: uno emplea el estado inicial como referencia y el otro emplea el estado t como referencia. Para su empleo en las formulaciones incrementales.1 Tensor incremental de Green – Lagrange El tensor incremental de Green – Lagrange E 0 se define como la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos.5.
referidas al estado t:
Sustituyendo el valor de los diferenciales en función de las coordenadas y de los incrementos de deformación.5.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
3. el tensor incremental actualizado se puede expresar como suma de dos tensores:
.2 Tensor incremental actualizado de Green – Lagrange El tensor incremental actualizado de Green – Lagrange Et se define como la diferencia entre los cuadrados de las distancias entre dos puntos próximos. en los estados t y t+Δt.
v (x. t ) =
∂φ(X. t ) ∂t
Por su definición resulta obvio que se trata de un campo vectorial material.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
x = φ(X. t ) = dt ∂t
Y se conoce como la derivada temporal material de la magnitud σ. 4. su derivada respecto al tiempo se define como:
σ (X. su derivada respecto a las coordenadas espaciales x define el tensor gradiente de velocidad L:
.2 Tensor gradiente de velocidad
Habiendo definido la velocidad v.1 Derivada temporal material
Sea un campo escalar. Físicamente representa la velocidad de la partícula que ocupa la posición X en el instante t = 0. Si el campo σ está definido en función de la posición espacial x. t ) ∂σ(x. La velocidad es un campo espacial. representa la velocidad en sentido clásico. Es importante notar que la velocidad espacial es la derivada temporal de ninguna función. la derivada temporal material requiere efectuar la derivación en cadena:
σ (x. pues mide el cambio de σ asociado con la partícula material que está situada inicialmente en X. t ) = v (φ−1 (x. de la partícula que en el instante de tiempo t ocupa la posición x. a pesar de que se ha expresado en las coordenadas materiales de la partícula X. t )
Se trata de un campo espacial que físicamente. t ). t ) + (∇σ ) v ∂t
σ (x. 4. t ) =
dσ ∂σ(X.t). t ) =
El segundo término de esta expresión se denomina convectivo o de transporte. t ) + ∂t ∂x ∂t ∂σ(x. t ) ∂x(X. vectorial o tensorial expresado en las coordenadas materiales σ(X. t )
v (X. De hecho se puede definir la velocidad como una función de la coordenada espacial x. y está asociado al movimiento de la partícula que ocupa la posición x. t ) =
∂σ(x.
t ) = ∇v ∂x
Este tensor proporciona la velocidad relativa entre dos partículas situadas en puntos próximos P y Q.3
4. t ) =
∂v(x. a su vez. mediante el siguiente desarrollo algebraico:
. otra expresión del tensor gradiente de velocidad:
Esta expresión proporciona.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
L (x.4
• La tasa de deformación D se relaciona con la derivada temporal del tensor de Green.
pero el siguiente proceso explica su naturaleza. La fuerza actuante sobre él es df. pero referida a la superficie sin deformar.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
5. mediante la fórmula de Cauchy. Sea un elemento diferencial de área de módulo dA en el estado deformado. dando lugar al primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff P:
Por lo tanto este tensor proporciona la fuerza en el estado deformado. El vector tensión en dicha área es la fuerza de tracción actuante por unidad de área:
5.3 Segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff
Este tensor no tiene mucho significado físico. Es un tensor no simétrico. definidas como las fuerzas internas por unidad de área en la situación deformada. sobre el cual la fuerza actuante es df. definido por su vector normal n. Se trata de un tensor simétrico. como puede deducirse de las ecuaciones de equilibrio de momentos de un cubo diferencial. Sea un elemento diferencial de área en el estado deformado de módulo dA y dirección n. Según la fórmula de Cauchy esta fuerza es:
Supongamos que transformamos esta fuerza diferencial al estado original indeformado.2 Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff
La fuerza df actuante sobre el diferencial de área deformada dA se puede referir al área inicial no deformada dA0 .1
Este tensor σ representa las tensiones reales existentes en el material. empleando un cierto tensor de tensiones que resulta ser el segundo tensor de Piola-Kirchhoff:
. en el estado indeformado. 5. utilizando el tensor gradiente de la deformación (que puede usarse para transformar cualquier vector diferencial):
Este vector de fuerzas ya transformado al estado indeformado puede expresarse.
Como esta expresión debe satisfacer para cualquier diferencial de área. Este tensor corresponde a la fuerza en el estado deformado. El tensor gradiente de deformación en el nuevo estado es:
. Como puede comprobarse en su expresión. df n dA n0 df 0
Figura 4.Kirchhoff
• El segundo tensor de Piola – Kirchhoff es invariante ante rotaciones de sólido rígido. sometido a un tensor de deformación Ft . Segundo tensor de tensiones de Piola. Entre t y t+Δt se aplica una rotación de sólido rígido definida por una matriz R. Sea un sistema en un instante t. es un tensor simétrico. se debe cumplir que:
Esta expresión permite transformar las tensiones reales en el estado deformado σ en el segundo tensor de tensiones de Piola – Kirchhoff S. pero transformada al estado inicial y referida a la unidad de área del estado inicial.
por lo tanto su valor es:
. Ello es debido a que se aplica la misma matriz de rotación a las tensiones de Cauchy y al gradiente de deformaciones.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Durante la rotación de sólido rígido las tensiones se mantienen constantes en el sistema móvil y sufren dicha rotación de sólido rígido.
puesta en función de las tensiones de Cauchy.
Como el trozo de sólido es arbitrario. en su forma más compacta. el integrando tiene que ser nulo siempre:
Esta es la ecuación de equilibrio estático del sólido.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
. parte de estas fuerzas de superficie serán fuerzas aplicadas conocidas y otras serán fuerzas interiores desconocidas). y se aplica la ecuación de equilibrio estático de momentos respecto de un punto cualquiera. 6.2 Equilibrio de momentos
Se considera de nuevo un trozo cualquiera de sólido. Sean qv las fuerzas de volumen aplicadas sobre él y t las fuerzas en su superficie circundante (al ser el trozo de sólido arbitrario. en el estado deformado en el instante t. El equilibrio estático de dichas fuerzas implica que:
Las fuerzas en la superficie t se pueden sustituir por las tensiones σ en la superficie empleando la fórmula de Cauchy. de volumen v y área lateral s.1
Se considera un trozo cualquiera de sólido. Sea r el vector que define la posición de la fuerza respecto del punto donde se toman momentos.
k} es par. Además. el integrando de la segunda tiene que ser nulo siempre:
Esta condición indica que el tensor de tensiones de Cauchy σ es simétrico. en el que existe un campo de deformaciones u y en el que se aplica una variación virtual δ u a dicho campo de deformaciones. definido como eijk = 1 si la permutación {i.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El símbolo e representa el tensor alternador de orden 3. como el trozo de sólido es arbitrario. 6.3 Principio del trabajo virtual
Sea un cuerpo en equilibro en un estado cualquiera t. empleando la fórmula de Cauchy q S = σ n
La primera integral es nula pues su integrando contiene la ecuación de equilibrio. -1 si la permutación es impar y 0 si hay índices repetidos.j. El trabajo virtual de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el volumen y sobre la superficie es:
Las fuerzas de superficie se pueden sustituir por las tensiones de Cauchy σ en la superficie.
siendo la componente simétrica el tensor infinitesimal de deformaciones unitarias ε:
Por ser el tensor σ simétrico. que es desconocido. el gradiente de la variación de deformación es igual a la variación del gradiente ∇(δ u) = δ(∇u) . que se refieren a un estado conocido. Para resolver este problema se emplean las magnitudes de medida de tensión y deformación anteriormente definidas. con lo que se llega a:
El principio del trabajo virtual aplicado a esa configuración indica que la condición necesaria y suficiente para que exista equilibrio es que el trabajo virtual de las fuerzas interiores δWI sea igual al trabajo virtual de las fuerzas exteriores δWE para cualquier variación virtual de las deformaciones δ u . pues tanto los tensores de tensiones σ.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El integrando de la primera integral es nulo pues corresponde a la ecuación de equilibrio del sólido. Sin embargo su aplicación directa no es fácil. su producto contracto con la parte hemisimétrica es nulo. compatible con las condiciones de ligadura: Este principio es la herramienta fundamental para el desarrollo de una formulación de análisis no lineal. deformaciones infinitesimales ε como el volumen de integración se refieren al sólido en el estado deformado en el instante t. con lo que:
El tensor gradiente de la deformación ∇u se puede descomponer como suma de sus componentes simétrica y hemisimétrica. El tensor de tensiones de Cauchy se puede poner en función del 2º tensor de Piola – Kirchhoff despejando de la ecuación (33) :
. En la segunda integral.
por lo que su empleo es mucho más sencillo. la expresión final del trabajo virtual interior es:
Se ha obtenido así una expresión del trabajo virtual interior en el estado t. pero en la que se emplean magnitudes de tensión (S) y de deformación unitaria (E) referidas al estado inicial conocido del cuerpo. Esta expresión es la base de las formulaciones que se desarrollan a continuación
Empleando la representación como vectores de los tensores S y E.
Las derivadas de los desplazamientos contenidas en H se pueden expresar en función del campo de deformaciones a través de un operador de derivación ∂ 0 .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7.. a través de unas funciones de interpolación N:
El vector U contiene las deformaciones de los nudos en el instante t y es. U 2
La matriz G0 contiene las derivadas de las funciones de interpolación con respecto a las coordenadas iniciales y no depende de las deformaciones. nos centramos en el estudio de un solo elemento e introducimos la hipótesis de discretización del método de los elementos finitos: el campo de deformaciones se aproxima por interpolación de las deformaciones de los nudos U. que en el caso plano es:
A partir de este punto.. en el caso plano (el primer superíndice especifica el nudo):
1 1 2 n U = U1 U2 U 12 U 2 .
. Su tamaño en problemas de dos dimensiones es de 4 filas y tantas columnas como grados de libertad tiene el elemento.
.... cuya determinación se deja para más adelante:
Empleando el valor detallado de las fuerzas interiores....⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎤ . la ecuación de equilibrio resulta:
.⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . .⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .⎥ ⎥ ⎦
que proporciona la relación entre la variación de las deformaciones de los nudos y la variación de las deformaciones unitarias de Green..
7.... El trabajo virtual interior vale:
En esta expresión se define el vector de fuerzas nodales equivalentes a los esfuerzos interiores en el elemento... .2
El trabajo virtual de las fuerzas exteriores se sustituye por el trabajo virtual producido por las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores P. .. ...
7. forma lineal. pues es no lineal. proporcional al incremento de la deformación de los nudos del elemento U empleando para ello una matriz de rigidez constante. • Para evaluar la primera integral de (49). según (38):
En esta expresión se ha mantenido. es necesario establecer un valor del incremento en la tensión de Piola . y el incremento de dicha deformación tiene una expresión similar. la notación de vectores para el primer término y la de tensores para el segundo. Esta aproximación es válida para materiales elásticos e incluso para otros comportamientos más sofisticados. que viene dado por el principio del trabajo virtual en dicho instante:
La resolución directa de esta ecuación es muy difícil. Para su resolución efectuamos un planteamiento incremental. por conveniencia para desarrollos posteriores. dada por la ecuación (43). que deseamos ponerlo en ˆ. y ser los incrementos de deformaciones pequeños. la matriz de rigidez tangente:
El incremento en el trabajo virtual interior es. Donde el vector U
Sustituyendo este incremento de la deformación unitaria. así como su variación. se obtiene el valor del primer término en el incremento del trabajo virtual interior:
. resulta aceptable suponer que el incremento de dicha tensión es proporcional al incremento en las deformaciones de Green-Lagrange:
La matriz C es constante y representa la ecuación constitutiva del material en términos incrementales. Por otra parte. El término no lineal corresponde al trabajo virtual interior. la deformación de los nudos del elemento finito que denominaremos U Desarrollando en serie alrededor del punto anterior t cuyo equilibrio se conoce:
El segundo sumando es el incremento en el trabajo virtual interior.3
Suponemos conocido el equilibrio en el instante t y buscamos el equilibrio en t + Δt . en el que buscamos obtener el equilibrio en t+Δt a partir del equilibrio conocido en t. Al estar empleando un método incremental. la variación en la deformación de Green-Lagrange viene dada por (43). dada la similitud entre variaciones e incrementos:
ˆ contiene los incrementos en las deformaciones nodales del elemento.Kirchhoff. por lo que procedemos a linealizarlo con respecto a un incremento de ˆ. tanto en S como en E.
• Para calcular la segunda integral de (49) es necesario establecer una expresión del incremento de la variación de la deformación unitaria de Green . Al ser S simétrica. por lo que se desarrolla en función del valor de los tensores H y S. ambos productos contractos son iguales:
La evaluación del integrando en esta forma resulta complicada para la implementación práctica.Lagrange. su variación δH e incremento ΔH tienen la misma expresión que ˆ respectivamente. Apoyándose en la ecuación (27). Para el caso de 2 H. Al ser H lineal en las deformaciones (ver (9)). este incremento es:
En ambas integrales la matriz que multiplica a S es la misma transpuesta. pero sustituyendo u por δu y por su incremento u dimensiones la integral queda:
sobre un material matriz K D dado. que tiene dos sumandos.
. que consiste en una agrupación diagonal del 2º tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff tantas veces como dimensiones tenga el problema. Nótese su similitud con la matriz de rigidez en el análisis lineal. aunque ahora la matriz B es dependiente de las deformaciones existentes.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El primer factor del integrando es la variación del vector H (representación como vector del tensor gradiente de la desplazamiento H). El último factor corresponde a las derivadas de los ˆ y define un nuevo vector incrementos de las deformaciones u
En esta expresión se ha definido la matriz S . La primera Esta expresión define la matriz de rigidez tangente K ˆ corresponde a la rigidez asociada al incremento de las tensiones.
ˆ se denomina habitualmente matriz de rigidez geométrica y La segunda matriz K σ corresponde a la rigidez asociada al incremento de las deformaciones unitarias actuando sobre un estado de tensiones ya existente. mientras que el trabajo virtual de las fuerzas exteriores se sustituye por sus fuerzas nodales equivalentes Pt+Δt. de ahí su nombre. con lo que queda:
Al ser arbitraria la variación de las deformaciones. la ecuación de equilibrio en t + Δt queda:
En el término de la derecha. El término de la derecha representa el desequilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas en t+Δt y la fuerzas interiores existentes en t.4
Tras la linealización del trabajo virtual interior. No depende de las propiedades del material sino sólo del estado de tensiones (a través de S) y de la geometría (a través de G). El término de la izquierda representa el incremento aproximado de fuerza interior que se obtiene al aplicar un incremento a la deformación. el trabajo virtual de las fuerzas interiores en el instante conocido t viene dado por (45). ˆ ≡ K σ
7. se debe cumplir:
. en forma compacta
Esta expresión es la ecuación incremental de equilibrio del elemento finito.
3 Transformación de derivadas Las derivadas de las distintas magnitudes involucradas se transforman entre el sistema local normalizado y el general por medio de la matriz jacobiana habitual.2 Interpolación de deformaciones. 7. Por ejemplo.5. resulta sencillo desarrollar el proceso para obtener la matriz de rigidez tangente y el vector de fuerzas interiores.5
Asumiendo una formulación isoparamétrica para el elemento. Sistema linealizado. Se supone un sistema de coordenadas normalizadas ξi local al elemento.
7.1 Interpolación de coordenadas En principio sólo son necesarias las coordenadas en el estado inicial.5.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 5. para la derivada de una función de interpolación:
.5. que se interpolan con respecto a las de los nudos (el superíndice k indica el nudo):
7. Gn G2 0 0⎥ ⎦
.. cada uno de los cuales contiene las derivadas de una función de interpolación respecto de las coordenadas iniciales.4 Matriz G Está formada por una serie de tantos bloques como nudos tiene el elemento.
5. Tienen una estructura de bloques.7 Matriz de rigidez tangente Su expresión tiene dos sumandos:
• En la primera integral. El segundo es proporcional al estado de deformaciones existente a través de la matriz A y da lugar a la matriz no lineal BN 0 . similar a la de G.5 Vector de gradiente de los desplazamientos H Su cálculo es asimismo inmediato. AC y G. y requiere conocer las deformaciones de los nudos en el estado conocido t:
.5. un bloque para cada nudo. Los valores de estas matrices se obtienen fácilmente a partir de las A.6 Matriz A En realidad esta matriz sólo contiene los términos del tensor H.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7.5. la matriz B se puede descomponer en dos sumandos:
El primer sumando proviene de los términos lineales en la deformación y da lugar a la matriz constante BL 0 . ordenados de otra manera:
.. B( B(2) L0 L0 ⎥ ⎦
n) ⎤ . en base a la matriz B y al vector de tensiones de Piola-Kirchhoff S en el estado conocido t:
n) ⎤ .. 7. B( B(2) N0 N0⎥ ⎦
ˆ El primer sumando corresponde a la matriz de rigidez lineal K D 0 y los 3 restantes a la componente no lineal.5. ˆ =K ˆ +K ˆ +K ˆT + K ˆ K D D0 D1 D1 D2
• El segundo sumando de la matriz tangente corresponde a la matriz de rigidez geométrica y se puede evaluar directamente..8 Vector de fuerzas interiores Su expresión general es:
Es sencillo de evaluar...
Las fuerzas nodales P equivalentes a las fuerzas exteriores producen el mismo trabajo virtual que ellas. etc.
Estas expresiones son válidas si las fuerzas no dependen de la deformación. peso propio. El proceso requiere sustituir el diferencial de volumen empleando para ello el determinante del tensor F y el diferencial de área.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
7. como es el caso de muchas fuerzas habitualmente (p.e.
. pero referidas al volumen y superficie iniciales. Para poderlas evaluar se transforman al estado inicial. En caso contrario. las variaciones de deformación se pueden poner en función de las variaciones de deformación nodales:
La evaluación de estas fuerzas no es posible pues no se conoce ni el volumen ni la superficie en t+Δt. empleando la fórmula de Nanson.). concentradas. la presencia de fuerzas dependientes de la deformación origina nuevos términos en las ecuaciones de equilibrio que no han sido tenidos en cuenta. En el instante t+Δt su valor es:
Introduciendo la interpolación de deformaciones. Se obtiene la siguiente expresión:
t t En esta expresión q tv+Δ y q tS+Δ son los valores de las fuerzas de volumen y superficie en el 0 0 instante t+Δt.
que en el caso plano es:
La matriz Gt contiene las derivadas de las funciones de interpolación con respecto a las coordenadas deformadas x y no depende de las deformaciones.
. puede escribirse:
A su vez.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
El equilibrio en el instante t viene dado por el principio del trabajo virtual. las derivadas de los desplazamientos contenidas en Ht se pueden expresar en función del campo de deformaciones a través de un operador de derivación ∂ t . Su tamaño en problemas de dos dimensiones es de 4 filas y tantas columnas como grados de libertad tiene el elemento. que empleando las magnitudes en forma de vectores.
De la misma manera que en la formulación anterior.⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ..3
Suponemos conocido el equilibrio en el instante t y buscamos el equilibrio en t + Δt ..⎥ ⎥ ⎦
8. expresándolo interior en el punto t..... en la dirección de un incremento de la deformación u t ˆ mediante una matriz de rigidez tangente K :
El trabajo virtual es.2
En esta expresión se ha definido el vector de fuerzas nodales equivalentes a los esfuerzos interiores en el instante t. .⎥ ⎥ ⎥ ⎥ .. ...... .
Finalmente..Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
⎤ . al ser arbitraria la variación de los desplazamientos. la ecuación de equilibrio resulta:
8..⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . procedemos a linealizar el trabajo virtual ˆ . . según (35):
Para el caso 2D:
. dada la similitud entre variaciones e incrementos:
ˆ contiene los incrementos en las deformaciones nodales del elemento. por lo que se desarrolla en función del valor de los tensores. Esta aproximación es válida para materiales elásticos e incluso para otros comportamientos más sofisticados. trasponiendo el segundo sumando y considerando que el tensor de tensiones σ es simétrico. Al estar empleando un método incremental. y su variación se obtiene el valor del primer término en el incremento del trabajo virtual interior:
Sustituyendo en la segunda integral.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• Para evaluar la primera integral. resulta aceptable suponer que el incremento de la tensión es proporcional al incremento en las deformaciones unitarias:
La matriz C es constante y representa la ecuación constitutiva del material en términos incrementales. La variación en la deformación unitaria viene dada por (66). se obtiene:
La evaluación del integrando en esta forma resulta complicado para la implementación práctica. y el incremento de dicha deformación tiene una expresión similar. es necesario establecer un valor del incremento en la tensión. Donde el vector U
Sustituyendo el incremento de la deformación. y ser los incrementos de deformaciones pequeños.
ˆ se puede Efectuando el mismo desarrollo que para el vector Ht . El último factor del integrando corresponde al gradiente de los incrementos de las deformaciones:
Donde se ha definido la matriz σ que consiste en una agrupación diagonal del tensor de tensiones tantas veces como dimensiones tenga el problema. La En esta expresión se ha definido la matriz de rigidez tangente K ˆ coincide con la matriz de rigidez en el análisis lineal. pues ahora la matriz primera matriz K D Bt es constante y coincide con la matriz empleada en dicho análisis lineal. que tiene dos sumandos.
El primer factor de esta expresión es la variación del tensor Ht. puesta en forma de vector. el valor del vector H t expresar en función de los incrementos de las deformaciones de los nudos (ver (65)):
Efectuando el mismo desarrollo que en la formulación lagrangiana total se llega a las ecuaciones de equilibrio incrementales.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ tiene una estructura muy similar a la correspondiente en La matriz de rigidez geométrica K σ al formulación Lagrangiana total. y sólo se diferencia en los valores de la matriz de rigidez tangente y del vector de fuerzas interiores. ˆ ≡ K σ
8. Por ejemplo. que tienen la misma expresión general que en aquel caso. para la derivada de una función de interpolación:
.5.1 Interpolación de coordenadas En principio sólo son necesarias las coordenadas en el estado t:
Estas coordenadas se deben ir actualizando a medida que progresa el análisis incremental. en forma compacta.
O también. a base de añadirles las deformaciones obtenidas en cada paso de carga. aunque empleando la tensión de Cauchy en lugar de la de Piola Kirchhoff.3 Transformación de derivadas Las derivadas de las distintas magnitudes involucradas se transforman entre el sistema local normalizado y el general por medio de la matriz jacobiana habitual. y evaluando todos sus términos en el estado t en lugar de en el estado inicial. introduciendo el vector de fuerzas interiores:
8.5.2 Interpolación de deformaciones Para las deformaciones en el instante t la interpolación es:
8. cada uno de los cuales contiene las derivadas de la función de interpolación de ese nudo respecto de las coordenadas en el instante t.
.4 Matriz G Está formada por una serie de tantos bloques como nudos tiene el elemento.5.
con un bloque para cada nudo:
Bt = AC Gt = ⎡⎢ B1 ⎣ t Bt2 ..6 Vector de fuerzas interiores
Al igual que en la formulación total.. en base a la matriz B y al vector de tensiones σ en el estado conocido t:
8.5. Btn ⎤⎥ ⎦
8. las fuerzas nodales equivalentes a las fuerzas exteriores se evalúan con los valores en el instante t+Δt pero referidas al área y volumen de la posición conocida t.5 Matriz tangente Su expresión tiene dos sumandos:
La matriz B es constante y tiene una estructura de bloques similar a la de G.
las coordenadas de los nudos son:
Figura 6. FORMULACIÓN LAGRANGIANA
Consideramos un elemento biarticulado plano.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ELEMENTO BIARTICULADO. definido en su posición inicial mediante las coordenadas de sus nudos extremos 1 y 2:
En su posición deformada en el instante t.1
. Elemento de celosía plana.
9. Formulación lagrangiana.
se puede poner en función de las deformaciones de los nudos:
Sumando las expresiones de la parte lineal y no lineal.Lagrange es un escalar:
Desarrollando. los vectores de diferencias entre las coordenadas finales y entre las deformaciones:
El tensor de deformación unitaria de Green . análogamente.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Siendo. la matriz B resulta ser:
en lugar de aplicar las expresiones detalladas ya obtenidas. Por lo tanto:
.3 Matriz de rigidez tangente
Para su obtención. 9.2 Vector de fuerzas interiores
Siendo S la tensión de Piola – Kirchhoff en la barra. se emplea su definición como derivada del vector de fuerzas interiores:
La primera matriz se debe a la variación de la tensión S al deformarse la barra.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Que corresponde a la misma expresión que la componente lineal. Se supone que dicha tensión de Piola es proporcional a la deformación unitaria de Green siendo la contante de proporcionalidad el módulo de elasticidad del material E. pero evaluada en la situación deformada. Como B es constante dentro del elemento la integración es inmediata:
En la expresión (76) puede desarrollarse el valor de B:
Y se obtienen cuatro sumandos. pero evaluada en la posición deformada.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Esta matriz coincide con la matriz de rigidez convencional de una barra biarticulada. Considerando que el seno y coseno del ángulo final de la barra θ valen sθ ≡ sin θ = y21 / L y cθ = cos θ = x 21 / L . Si ambas longitudes son muy similares (lo cual puede suponerse siempre que los alargamientos sean pequeños). ambas matrices coinciden. salvo por el empleo del área y longitud iniciales. la matriz anterior se puede poner:
Que coincide con la matriz convencional de la barra biarticulada evaluada en su posición deformada. el primero de los cuales corresponde a la matriz de rigidez lineal de la barra en su posición inicial:
. pero introduciendo el factor de proporción entre las longitudes.
son las habituales para la interpolación lineal. y su valor es:
Obsérvese que esta matriz es independiente de la orientación de la barra y sólo depende de su nivel de esfuerzo y de su longitud.4 Formulación isoparamétrica
Aunque no es necesario. Ello permite obtener expresiones más generales de las propiedades del elemento. 9. empleando la coordenada normalizada ξ que varía entre -1 en el nudo inicial y +1 en el nudo final:
. que pueden emplearse para elementos más complejos. Las interpolaciones de coordenadas y desplazamientos son:
Las funciones de interpolación para el elemento de dos nudos. se puede formular el elemento de celosía empleando funciones de interpolación y la formulación isoparamétrica estándar en el método de los elementos finitos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La segunda matriz es la matriz de rigidez geométrica.
Son las mismas expresiones ya obtenidas antes de forma directa. para este caso particular.
La figura muestra un elemento plano. Formulación co-rotacional. y con él de tal manera que el eje x pasa por la posición deformada de ambos nudos. seguida a continuación por una rotación de valor α hasta alcanzar la orientación deformada final. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL
La formulación lagrangiana. placas y cáscaras. cuya magnitud es u1 . la cual queda definida por la deformación del nudo inicial u1.
Figura 7. empleándose para el estudio de barras. El movimiento total se descompone en una parte de sólido rígido. Esta limitación hace que esta formulación sea de aplicación más limitada.
. caracterizada por el movimiento del sistema de ejes co-rotacional y una parte de deformación del sólido con respecto a dicho sistema de ejes. de tal manera que este sistema de ejes contiene el movimiento de sólido rígido del elemento y se mueve con él. La definición de la posición del sistema co-rotacional de ejes para el caso de problemas en 3 dimensiones requiere de técnicas adecuadas. La limitación principal de la formulación CR está en que se supone a priori que la deformación del elemento respecto del sistema co-rotacional es de pequeña magnitud comparada con el movimiento global. El movimiento total de la barra se puede descomponer en tres fases: en primer lugar una traslación desde la posición inicial hasta hacer coincidir el nudo inicial con su posición deformada. tanto en su planteamiento total como actualizado. habiéndose empleado diversos métodos para ello. emplea un único sistema de ejes global al cual se refieren todos los movimientos y deformaciones del sólido. Elemento de celosía plana. vigas. que en este caso consta únicamente de un alargamiento axial. en el que se define un sistema de ejes co-rotacional x .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
10 ELEMENTO BIARTICULADO. La formulación co-rotacional (CR) por su parte emplea un sistema de ejes asociado a cada elemento de la estructura. En tercer lugar se produce la deformación de la barra.
por lo que en la práctica es mejor emplearla en la forma:
Donde β es el ángulo que forma la barra con respecto al eje x en su posición deformada. V2 u1
Figura 8.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Esta expresión tiene una mala condición numérica. por lo que es más fácil emplear un método más geométrico. Variación virtual de las deformaciones. el empleo directo de su expresión resulta complejo. La figura siguiente muestra la configuración una vez aplicada una variación virtual cualquiera. que consiste en imponer una variación a las deformaciones de los nudos y determinar cuánto varía el alargamiento a consecuencia de ella. Esta expresión se puede poner:
. medido en el sistema co-rotacional:
Para obtener la variación del alargamiento. Celosía plana.1 Deformación unitaria En esta formulación emplearemos la deformación unitaria ingenieril cuyo valor es.
2 Vector de fuerzas interiores El trabajo virtual de las fuerzas interiores está producido únicamente por la fuerza axial en la barra N (supuesta positiva a tracción):
Que es la expresión obvia de las componentes cartesianas de la fuerza axial.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
10.3 Matriz de rigidez tangente La matriz tangente se puede obtener derivando la expresión de las fuerzas interiores:
pero evaluada en su posición deformada.
. • Por su parte. la matriz de rigidez geométrica es:
Figura 9. Celosía plana.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
s = sin β . Esta expresión coincide con la matriz de
En tercer lugar se produce la deformación de la barra.
11 ELEMENTO VIGA PLANA. que en este caso consta de dos efectos: un alargamiento axial en la dirección del eje x y una deformación por flexión. y co-rotacional con él. caracterizada por los giros de los dos extremos θ1 y θ2. pues ésta está tenida en cuenta en la rotación α. Viga plana. la cual queda definida por la deformación del nudo inicial u1. no hay que considerar deformación lateral de la barra. x
Figura 10. FORMULACIÓN CO-ROTACIONAL
La formulación de este elemento emplea un sistema de ejes x .
El movimiento total de la barra se puede descomponer en tres fases: en primer lugar una traslación desde la posición inicial hasta hacer coincidir el nudo inicial con su posición deformada. Al haberse tomado los ejes co-rotacionales pasando por la posición deformada de los nudos. de tal manera que el eje x pasa siempre por la posición deformada de ambos nudos. En segundo lugar una rotación de valor α hasta alcanzar la orientación deformada final del eje co-rotacional x .1 Deformación axial y esfuerzo axial
La deformación axial en el sistema co-rotacional es u1 y su determinación es exactamente igual que para el elemento de celosía. Los grados de libertad del elemento son:
11. Formulación co-rotacional.
medida en el sistema corotacional. los momentos flectores en ambos extremos de la barra se relacionan con los giros correspondientes mediante la ecuación de rigidez:
. por lo que la energía de flexión está asociada únicamente a los giros de los nudos relativos a dicho eje co-rotacional θ1 y θ2 .2 Deformación y momentos de flexión La deformación producida por la flexión de la viga queda definida por los dos giros en los extremos. suponiendo un comportamiento elástico es:
11. Estos giros valen:
Empleando la teoría de Euler – Bernouilli de la flexión. θ1 y θ2.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La deformación unitaria ingenieril debida al alargamiento axial. medidos respecto de la orientación inicial de la barra. La definición empleada para el eje co-rotacional x hace que no haya deformaciones laterales en los nudos. Deformaciones de flexión. Estos giros se suponen de pequeña magnitud. Viga plana. vale
El valor del esfuerzo axial (supuesto positivo a tracción) producido por esta deformación.
Efectuando el mismo desarrollo que para el elemento biarticulado. La variación del ángulo de orientación β al variar las deformaciones de los nudos se obtiene fácilmente por consideraciones geométricas. esta variación se puede poner como:
11. como se efectuó para el elemento biarticulado:
la primera matriz tangente vale:
.5 Matriz de rigidez tangente Se puede obtener derivando la expresión de las fuerzas interiores:
El segundo paso es evidente en base a la definición de la δ p . actuando sobre sus correspondientes deformaciones virtuales:
11.4 Trabajo virtual El trabajo virtual de las fuerzas interiores está producido por la fuerza axial y los dos momentos en los extremos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
11. En consecuencia.
la matriz de rigidez geométrica es:
Donde Bi es la fila i-sima de la matriz B. la primera derivada es:
En consecuencia. y se requiere obtener sus derivadas respecto de los grados de libertad del elemento.  Por su parte. el primer sumando de la matriz geométrica es:
. pero evaluada en su posición deformada.  Considerando que B1 = rT .Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Esta expresión coincide con la matriz de rigidez habitual de la viga plana.
Empleando la teoría de MindlinReissner. El campo de deformaciones en el plano medio de la placa está compuesto por tres desplazamientos (dos contenidos en el plano de la placa u. despreciando en él los términos cuadráticos en las deformaciones contendidas en el
. Estos desplazamientos laterales dan lugar a su vez a deformaciones unitarias en el plano de la placa. v y uno perpendicular a ella w).
12. que se suman a las producidas por las fuerzas contenidas en su plano.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
12 FLEXIÓN DE PLACAS. y por dos rotaciones θx . θy alrededor de los ejes X.1 Campo de deformaciones Estudiamos la flexión de placas inicialmente planas. Campo de deformaciones en una placa. Las deformaciones en un punto P situado a una distancia z del plano medio son:
Nota: con objeto de simplificar la notación se emplea la nomenclatura clásica para las coordenadas x ≡ x 1 y ≡ x 2 y para las deformaciones u ≡ u1 v ≡ u2 w ≡ u 3 . FORMULACIÓN LAGRANGIANA TOTAL
12.2 Deformaciones unitarias Se considera una versión degenerada del tensor de deformaciones unitarias de Green – Lagrange. con lo que en el estado deformado la placa deja de estar contenida en su plano inicial. Se supone que las fuerzas transversales producen una flexión lateral con unos desplazamientos laterales de magnitud suficiente para no ser despreciables. estas rotaciones no son las derivadas de la deformación transversal. Y. sometidas a fuerzas tanto transversales como contenidas en el plano de la placa.
y corresponden a la diferencia entre el giro y la derivada de la deformación transversal:
.4 Deformaciones unitarias de cortadura Su expresión es la misma que en el régimen lineal. Cada uno de sus bloques tiene la forma:
12.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• La matriz BF es lineal en las derivadas de la deformación vertical.
sustituyendo las variaciones de las deformaciones unitarias por sus valores en función de las deformaciones nodales:
12.6 Vector de fuerzas interiores
Su expresión se obtiene directamente del principio del trabajo virtual. El incremento en la variación de la deformación unitaria sólo depende de la variación de la matriz A:
. su valor es:
Siendo S el vector de tensiones de Piola .5 Trabajo virtual interior Teniendo en cuenta los dos tipos de deformaciones unitarias existentes. Para ello se desarrolla su integrando. las dos últimas integrales son nulas. Por lo tanto la matriz de rigidez tangente es:
• La segunda integral proporciona la matriz de rigidez geométrica. pues z está medida desde el centro de gravedad y los demás términos del integrando son independientes de z.Kirchhoff y τ el vector de tensiones de cortadura.7 Matriz de rigidez tangente
Efectuando la integración en la coordenada z. cuyo valor es:
el integrando vale:
De forma análoga. y está compuesta por n bloques. se cumple que:
. sólo depende del incremento de la deformación lateral w
Finalmente.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ: El incremento de A. empleando la interpolación de deformaciones en la forma:
La matriz BW es de tamaño 2 x 5n.
Esfuerzos en el plano en una placa. que tiene la misma expresión que en caso lineal. dado que BW no depende de z. se obtiene:
Donde N11 y N22 son los esfuerzos axiales y N12 el esfuerzo cortante en el plano de la misma.
Efectuando la integración en z. por unidad de anchura:
De esta manera se obtiene toda la respuesta de la estructura ante un sistema de cargas creciente. de tal manera que al final del paso de carga n se obtienen las deformaciones en el instante n+1:
siendo ΔUn el incremento de la deformación que se produce en el paso de carga n. y P es un vector de fuerzas de referencia. y sólo cambian en ellos los valores concretos de la matriz tangente y del vector de fuerzas interiores. Las cargas aplicadas en el paso n se denominan Pn y puede considerarse que el incremento de carga aplicado en cada caso es constante o variable. ésta se representa en la forma:
En este caso λ es un parámetro sin dimensiones que define el valor real de la fuerza en el paso n.1. la carga en un paso cualquiera será:
Siendo PP la carga aplicada en cada paso. en el que las cargas se van aplicando de forma paso a paso.
. Esta expresión es válida tanto para el planteamiento total como para el actualizado.. que define los valores relativos entre las distintas componentes de la fuerza. Pet el vector de fuerzas exteriores y siendo K et Q el vector de fuerzas interiores (se ha añadido el superíndice e para indicar que se trata de magnitudes propias de un elemento). linealizada en un instante cualquiera t. en un solo paso entre el instante inicial t =0 y el instante final no es posible en general. La resolución de la ecuación anterior para la carga total aplicada. La obtención de la respuesta de un sistema no lineal se efectúa en la práctica empleando un proceso incremental. por incrementos y en cada uno de dichos incrementos se busca el estado de equilibrio.
El término independiente contiene las fuerzas exteriores aplicadas P en el instante t + Δt y ˆ contiene las fuerzas interiores Q en los elementos de la estructura en el instante t. El vector U ˆ es la el incremento de deformación entre t y t + Δt en todos los nudos de la estructura y K matriz de rigidez tangente en el instante t. En el primer caso.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La ecuación incremental de equilibrio de un elemento finito.2. Si se desea aplicar una cantidad variable de carga en cada incremento.. se ha obtenido en la forma:
ˆ et la matriz de rigidez tangente del elemento. Cada paso de carga de la secuencia se identifica mediante un subíndice n=0.
pues no se satisface el equilibrio en los distintos puntos obtenidos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Todos los métodos de resolución combinan el proceso incremental de aplicación de cargas con un proceso iterativo dentro de cada paso de cargas. Al ser el error acumulativo.
corr. En función de cómo se haga la fase de corrección se plantean diversos métodos. El proceso iterativo consta de un primer paso de predicción del incremento de deformaciones producido por el incremento de cargas aplicado. al final del cual lógicamente no habrá equilibrio. Método incremental.
.1 Método incremental puro En este método se efectúa la fase de predicción de las deformaciones en el incremento de carga. Puede mejorarse fácilmente a base de calcular el residuo no equilibrado en cada iteración y añadirlo a las fuerzas a aplicar al siguiente incremento.
13. Fase de predicción y corrección. pero no se efectúa ningún proceso de corrección del error cometido. Esta predicción va seguida seguido de un proceso de corrección de las deformaciones. es decir para t ≡ tn :
El incremento de deformación así obtenido tiene un error. El incremento de deformación ΔUn producido en un incremento de carga se calcula apoyándose en la ecuación incremental al comienzo de dicho paso de carga. Se trata de un método no exacto. que se encarga de buscar el equilibrio al final de dicho paso de cargas. los cuales permiten garantizar el equilibrio. Kn
Figura 14. y en cualquier caso es más ventajoso emplear los métodos que se explican a continuación. lo cual permite estimar el error producido. que se va acumulando a medida que se aplican nuevos incrementos de carga. hasta satisfacer el equilibrio en la nueva posición. sólo puede emplearse con incrementos de carga muy pequeños.
la derivada del residuo sólo corresponde a la −1 derivada de las fuerzas internas Qk n +1 :
Figura 15.…). al final de la iteración k. Si las fuerzas no dependen de la deformación.2 Método de Newton-Raphson En este método se emplea un proceso iterativo completo de predicción – corrección hasta alcanzar el equilibrio en el instante n+1. Para un instante cualquiera (k) de la iteración las ecuaciones de equilibrio se pueden poner en forma de residuo:
y Uk n +1 es la estimación de las deformaciones en el instante n+1. Método incremental puro.2. mediante una secuencia de iteraciones (k=1. apoyándose en la solución conocida en el instante anterior n. Las deformaciones en el instante n+1 se calculan por aproximaciones sucesivas.
pero no en el estado que se toma como inicio en el incremento. Como alternativa e dicho método.
13. Nótese que ambas magnitudes se evalúan para los últimos valores actualizados de las deformaciones calculados a medida que progresa la iteración (al final de la iteración anterior). la parte más costosa es la factorización de la matriz de rigidez tangente. que debe efectuarse en cada paso de la iteración. se plantea el método de Newton-Raphson modificado. Método de Newton-Raphson. en el cual la matriz de rigidez tangente en la primera iteración se utiliza en todas las iteraciones posteriores.
Figura 16.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
ˆ k −1 y el vector de fuerzas interiores Qk −1 están En esta ecuación la matriz tangente K n +1 n +1 evaluados para la última estimación conocida (k-1) de las deformaciones en el instante n+1 −1 que son las de la iteración anterior Uk n +1 .3 Método de Newton modificado En el método de Newton-Raphson. pues la diferencia entre ambas formulaciones está en la situación que se toma como referencia para las distintas magnitudes. no para los valores al inicio de la misma.
Nótese que la iteración se inicia apoyándose en el último estado de equilibrio conocido. tanto para la formulación total como para la actualizada. que siempre es el último conocido. Por lo tanto la ecuación de la iteración es:
Dependiendo del costo de la factorización y de las restantes operaciones. este método puede ser más ventajoso que el inicial o no. Los algoritmos de control de fuerza corresponden a lo ya explicado anteriormente. incluso simples. a base de aumentar la fuerza exterior paulatinamente. el sistema no tiene ese tipo de respuesta monótona. Se han desarrollado muchos algoritmos que permiten pasar puntos límites. pues la iteración de Newton falla en las proximidades de los puntos límite. Sin embargo en muchísimas aplicaciones.
13. pero se aumenta el número de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia.4 Métodos restringidos La combinación del proceso incremental de carga y de la iteración de Newton es muy eficiente para obtener la respuesta de sistemas no lineales cuando ésta es creciente.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Este método tiene un menor costo computacional en cada iteración.
Figura 17. La determinación de la curva fuerza deformación completa en estos casos requiere por del empleo de técnicas que permitan identificar la presencia de un punto límite y pasarlo eficazmente. es decir que se puede aumentar la carga aplicada y se obtiene un aumento de deformación. sino que existen puntos límites en los que la respuesta pasa de ser creciente a decreciente o viceversa y la estructura muestra fenómenos de snap-through o snapback. basados en dos ideas: el control de fuerza y el control de desplazamiento. A partir del punto A puede emplearse un método de control de desplazamiento. Método de Newton-Raphson modificado. Los principales problemas que plantean los algoritmos de control de desplazamiento son la
. En estos casos no es posible aplicar una estrategia simple de aumentar de forma continua la carga. pero al llegar al punto B este método fallará también. En una estructura cuya respuesta sea como la de la figura estos métodos fallan en las proximidades del punto A.
que se diferencian en la ecuación de restricción que añaden al sistema. es decir el nivel de carga. como una variable más del problema.
. Δs ) = 0
Así pues en estos métodos restringidos. es decir que los nuevos incrementos de deformación se buscan en la intersección con dicha perpendicular a la tangente. Para poder modificar el nivel de carga aplicada. 13. La ecuación de restricción φ relaciona el incremento de desplazamiento que es posible alcanzar en cada iteración ΔUk n con alguna distancia máxima en la curva de respuesta de la estructura Δs. se determina añadiendo una ecuación de restricción que obligue al método iterativo a moverse hacia la posición de equilibrio. se considera dicho nivel de carga. Control de fuerza y de desplazamiento. se limita el máximo incremento a efectuar por medio de Δs y de la ecuación de restricción se determina la λ (es decir la carga) a aplicar. Existen varios métodos restringidos. que está definido por el parámetro λ. El valor de esta variable. la cual se introduce como dato en el método. dentro de la curva de respuesta del sistema.
Figura 18. y su dificultad para tratar fenómenos de snap-back.
Para resolver estos problemas se han desarrollado los denominados métodos restringidos.4. En todos ellos la variable que define el nivel de carga se actualiza en cada iteración del proceso en la forma:
ˆk el incremento del parámetro que define la carga en la iteración k del paso de carga Siendo λ n. La idea fundamental en que se apoyan es modificar el nivel de carga aplicada en cada paso del proceso incremental de carga en vez de mantenerlo constante.
φ (ΔUk n . aunque ésta muestre cambios de dirección.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
elección del desplazamiento usado para controlar el proceso.1 Método del plano normal En este método la iteración para obtener el nuevo equilibrio en el instante n+1 (es decir la fase de corrección) se efectúa sobre la perpendicular a la tangente al último equilibrio alcanzado n.
y en él la iteración para obtener el nuevo equilibrio se efectúa sobre la perpendicular a la tangente en la última iteración efectuada k-1. con lo que se consigue localizar mejor los puntos límites. que indique que se ha llegado a la convergencia de la solución. En la práctica pueden emplearse varios de ellos.2 Método del plano normal actualizado Este método es una variante del anterior.
13. Método del plano normal. Es decir:
13.5 Criterios de convergencia Para terminar la iteración de búsqueda del equilibrio es necesario emplear un criterio adecuado. Método del plano normal actualizado. que se basan en comparar la norma de alguna magnitud con algún valor de referencia considerado despreciable. • El método más simple consiste en imponer que la norma del incremento de desplazamiento producido en una iteración sea muy inferior a la norma de la deformación total al final del caso de carga.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 19.4.
y se compara con el incremento de energía interna inicial en el paso de carga:
. se puede usar un criterio en el que se evalúa el incremento de energía interna en cada iteración (es decir el trabajo hecho el incremento de deformación y por las fuerzas no equilibradas). Como la deformación al final del paso de carga no es conocida. • Para evitar los problemas de los métodos anteriores. se aproxima por el último valor de ella que se haya calculado:
En algunos casos la solución obtenida con este método puede estar lejos de la convergencia. como ocurre cuando la deformación cambia muy poco en cada paso de carga. pero continúa cambiando durante muchos pasos. Por eso resulta interesante introducir un criterio basado en la fuerza no equilibrada durante la iteración.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Donde εD es la tolerancia. como ocurre en el caso de materiales con un módulo de endurecimiento por deformación muy bajo en los que las fuerzas cambien muy poco. pero las deformaciones sigan aumentado en cada paso de carga. • El cumplimiento del criterio anterior garantiza en todo caso que las deformaciones cambian poco. Por ejemplo se puede imponer que la norma del residuo al final de la iteración sea despreciable frente al residuo con el que se comenzó la iteración:
El principal problema de este método es que no considera la contribución de la deformación al criterio de terminación. pero no garantiza el equilibrio de fuerzas.
y buscar los nuevos incrementos de deformación en la intersección con dicho círculo. Consiste en utilizar un círculo de radio Δs con centro en el último equilibrio obtenido. P
Figura 21. Este método fue propuesto inicialmente por Riks y Wempner y posteriormente modificado por Crisfield. pueden expresarse en la forma:
Donde λ es un parámetro sin dimensiones que define el valor real actual de la fuerza. Método de la longitud del arco. que define los valores relativos entre las distintas componentes de la fuerza. y al ser no lineal.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Entre los métodos restringidos. suponiendo que son independientes de la deformación. En ambos casos se puede emplear el método de Newton normal o el modificado. y P es un vector de fuerzas de referencia.2. Sea k una iteración cualquiera (k=1. Las fuerzas exteriores. la ecuación de equilibrio es:
k k k Rk n +1 = λn +1 P − Qn +1 (Un +1 ) = 0 k k Donde λn +1 es el valor de λ en la iteración k del caso de carga n+1 y Un +1 son las deformaciones totales tras la iteración k del caso de carga n+1. que son funciones no lineales de las deformaciones Un+1. se resuelve por iteraciones sucesivas. como:
Siendo Pn +1 las fuerzas exteriores aplicadas y Qn +1 las fuerzas interiores producidas por las tensiones en los elementos. el conocido como método de la longitud del arco es uno de los más usados en la práctica. que son desconocidas. El residuo queda:
Esta ecuación se debe satisfacer en cualquier instante.
.…) en la búsqueda del equilibrio para el estado de carga n+1.
La ecuación de equilibrio en un instante cualquiera n+1 del proceso de carga puede ponerse en forma de residuo Rn+1. El planteamiento de Crisfield se desarrolla a continuación.
y representa la deformación producida por las fuerzas básicas:
Obsérvese que si se emplea el método de Newton modificado. se puede desarrollar en serie de Taylor alrededor de su valor en la iteración anterior:
ˆk el incremento de la variable λ y U ˆ k el incremento de las deformaciones al Siendo λ efectuarse la iteración k.
ˆk se efectúa introduciendo una ecuación que imponga la condición de • El cálculo de λ distancia máxima recorrida en este paso de carga. de deformación U Para las deformaciones la actualización es:
−1 Donde ΔUk es el incremento de deformación acumulado a lo largo de las (k-1) iteraciones n anteriores. De forma similar ΔUk n es el incremento de deformación acumulado tras efectuarse la iteración k. se procede a actualizar los valores de las incógnitas. no es necesario recalcular este término a cada paso de la iteración.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• Considerando que el residuo es una función de dos variables. las deformaciones U y el parámetro λ. es decir que se limita el incremento de
. sino que puede mantenerse el del primero. Las derivadas necesarias son:
El segundo sumando no puede evaluarse hasta no conocer el valor de λ pero su coeficiente puede evaluarse con sencillez. y por lo tanto el valor del incremento • Suponiendo por el momento conocido el valor de λ k ˆ en esta iteración. ˆ .
Se elige aquélla solución que produzca el menor ángulo. que será un escalar.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
deformación acumulado en todas las iteraciones efectuadas en este caso de carga. De entre ellas se elige aquélla Resolviendo esta ecuación se obtienes dos raíces λ (1) (2) que producirá un incremento de deformación acumulado más próximo al incremento de deformación acumulado en la iteración anterior. la condición es:
ˆk y λ ˆk . cos ϕ2 ))
A continuación se calcula la proyección de dichos incrementos de deformación sobre el incremento de la iteración anterior. Si se denomina Δs a la distancia máxima a recorrer. Para ello. es decir el mayor valor del coseno de ϕ.
ˆk = λ ˆk λ (i ) i = indice(max(cos ϕ1.
Figura 22. ˆ1 .1 Comienzo de la iteración en el primer caso de carga Una pequeña dificultad del método está en la definición del valor de Δs. que no resulta fácil pues depende del problema estudiado. a partir del valor de 1 λ1 supuesto:
. Muchas veces se supone λ1 = 1 .
De esta expresión se puede obtener el Δs a emplear en este caso de carga. Iteración en el método de la longitud del arco. con lo cual en esta definiendo para ello el valor de λ11 = λ 1 primera iteración se aplica toda la carga básica. En su lugar es más sencillo definir un valor de λ al comienzo de la iteración.1. k=1) se toma λ10 = 0 como punto de partida y se define como dato el valor de la carga aplicada en esta primera iteración. suponiendo que las deformaciones iniciales U0 son nulas y por lo tanto las fuerzas interiores también son nulas. En la primera iteración del primer caso de carga (n=0. La ecuación de equilibrio incremental en esta primera iteración del primer caso. y en base a él determinar el Δs.
Figura 24.m. suponiendo que el estado deformado coincide con el inicial.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
1 0.8 -1 -2. Respuesta de la barra apoyada – deslizante.6 0.4 -0.2 0 -0.4 0. El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo1.
.5 0 0. arroja el siguiente resultado para la relación fuerza – deformación:
Se observa que esta respuesta lineal corresponde al primer término de la solución no lineal.2 -0. El modelo no lineal muestra que la estructura es más rígida a tracción que en el modelo lineal.
El análisis lineal de esta estructura.5 -1 -0.8 0. pero es más flexible a compresión.6 -0. además de presentar el fenómeno de la inestabilidad.5
salvo que a la fuerza exterior se le debe sumar la fuerza necesaria para deformar el muelle:
La figura siguiente muestra la respuesta. pero apoyada en un muelle lineal.
. de tal forma que a medida que se aumenta su rigidez. aunque ahora la respuesta es mucho más suave a consecuencia de la presencia del muelle. Se observa que se mantiene la posibilidad del snap-through.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
15. de constante KM.
El desarrollo es el mismo.2 Ejemplo 2. Barra apoyada elásticamente. Barra deslizante apoyada elásticamente Se estudia la misma barra que en el ejemplo anterior. en función de la rigidez del muelle.
Figura 25. disminuye la zona descendente de la curva de respuesta.
.3 Ejemplo 3.000 kg/cm2.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 26. Número de elementos viga: 15 Dimensiones transversales: canto 2. sin la técnica del seguimiento de path y se han encontrado problemas de convergencia. Número de incrementos de carga: 50 El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo5. Longitud total: 500 cm Módulo de elasticidad: 800. Se ha utilizado un método de Newton puro. horizontal +20 kg. con incrementos fijos de la carga. modelizada con elementos viga de dos nudos en formulación co-rotacional. ancho 2 Fuerzas máximas en el extremo: vertical -50 kg.m. Respuesta de la barra apoyada elásticamente. y sometida a dos fuerzas puntuales en su extremo. Voladizo muy flexible Se estudia una viga en voladizo vertical. La figura siguiente muestra el proceso de deformación de la viga.
La figura siguiente muestra la relación fuerza / desplazamiento para el punto extremo de la viga. Deformación de un voladizo flexible.
. Curvas fuerza – deformación de un voladizo flexible.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Figura 27. Las deformaciones finales de este punto son DX= 356 cm y DY=-643 cm.
. con 6 barras horizontales una a continuación de la otra. Celosía Este ejemplo corresponde a una celosía muy simple. con EA = 3 ⋅ 106 N . apoyada en dos muelles. y el nudo 9 está fijo. Tiene forma de L. exponente γ = 5. número de iteraciones deseado J des = 5 .
Figura 29. y finalmente una barra vertical. En cada iteración se ha limitado el incremento de λ a 0. La carga de referencia aplicada en cada paso de carga es de 40.5.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
15. con λ1 = 1 . En total hay 8 barras y 9 nudos.
El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante el procedimiento nolin está en el archivo modelo6. la estructura se puede considerar formada por una barra. seguidas por una barra inclinada.4 Ejemplo 4. Celosía simple.m. en la que puede verse que presenta un fenómeno de snap-back. La figura siguiente muestra la relación entre la fuerza aplicada y la deformación horizontal del nudo 1. la barra inclinada.
1 Se ha empleado el método del seguimiento del path. Con esta disposición. uno vertical debido a la barra 8-9 y otro horizontal más flexible formado por las 6 barras horizontales.
En el nudo 1 se aplica una fuerza horizontal. estudiada por varios autores. Todas las barras son de las mismas propiedades.000 N.
5 Ejemplo 5. Todas las barras son de las mismas propiedades. dando un total de 20 vigas y 21 nudos. estudiado por Lee. Pórtico biarticulado Este ejemplo corresponde a un pórtico biarticulado en L.
15. de 12 cm de longitud. El valor de referencia aplicado en cada paso de carga es de 100 N. de 120 cm de lado. La estructura está sometida a una carga puntual vertical situada sobre la viga.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
. El modelo de esta estructura está en el archivo lee_frame. Respuesta con snap-through de una celosía flexible. A = 6 cm 2 . I = 2 cm 4 . Tanto el poste como la viga se han modelizado con 10 elementos viga iguales. con E = 720 kN/cm2 .m. a 24 cm del poste.
. Deformación del pórtico biarticulado flexible.
1 Se ha empleado el método del seguimiento del path. Pórtico biarticulado. número de iteraciones deseado J des = 5 .
La figura siguiente muestra la evolución de la estructura en los primeros incrementos de carga. exponente γ = 5. con λ1 = 1 . en la que puede verse una respuesta muy no lineal y un claro fenómeno de snap-back.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
120 cm Figura 31.
La figura siguiente muestra la relación entre la fuerza aplicada y la deformación vertical del nudo sobre el que se aplica la fuerza (nudo 13). En cada iteración se ha limitado el incremento de λ a 2.
Respuesta del pórtico biarticulado flexible.
la hipótesis de discretización permite establecer las relaciones entre los campos de deformaciones y aceleraciones dentro del elemento y los valores nodales de dichas deformaciones y aceleraciones:
. El parámetro t.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Se considera en este apartado el caso de que las cargas aplicadas sean variables con el tiempo. Formulación lagrangiana total Considerando un elemento finito.2 Ecuaciones de equilibrio. compatible con las condiciones de ligadura:
• El trabajo virtual de las fuerzas interiores puede ponerse en función de las magnitudes en el estado t. teniendo sentido la derivada respecto a él. (tensiones de Cauchy y deformaciones unitarias infinitesimales) o de las magnitudes en el estado inicial (deformaciones de Green-Lagrange y tensiones de Piola-Kirchhoff)
16. juega por lo tanto ahora el papel de tiempo. apareciendo en el sólido un campo de velocidades u y uno de aceleraciones u que dan lugar a las correspondientes fuerzas de inercia. 16.1 Principio del trabajo virtual en dinámica El principio del trabajo virtual en régimen dinámico indica que la condición necesaria y suficiente para que exista equilibrio es que la suma del trabajo virtual de las fuerzas interiores δWI y el trabajo virtual de las fuerzas de inercia δWIN sea igual al trabajo virtual de las fuerzas exteriores δWE para cualquier variación virtual de las deformaciones δ u . dando lugar a una respuesta dinámica en la que las deformaciones del sólido varíen con el tiempo.
La idea es considerar conocido el equilibrio en el instante tn. Sustituyendo (101) y (102) en la ecuación de equilibrio en tn y reordenando se obtiene: 95
. que es constante y se evalúa en el estado inicial:
Finalmente. en la forma:
El mismo criterio de notación se aplica a las demás magnitudes.3 Método explícito basado en diferencias centrales Para la integración numérica de las ecuaciones de equilibrio. uno de los métodos más habituales es el método de las diferencias centrales. cuya contribución a las ecuaciones de equilibrio se representa mediante una matriz de amortiguamiento C. pero corresponden a toda la estructura. Para un instante de tiempo cualquiera t. las ecuaciones diferenciales de equilibrio de la estructura completa se obtienen por ensamblado de las ecuaciones de los distintos elementos finitos. se considera la posibilidad de que sobre el sistema existan también efectos de amortiguamiento.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
En esta expresión se ha definido la matriz de masas del elemento. Para mayor generalidad. y a partir de él. que supondremos constante:
16. son de la misma forma que las de un elemento. calcular las deformaciones en el instante tn + h aproximando la aceleración y velocidad en tn mediante un operador de diferencias centrales.
Nótese que la respuesta en tn+h. En el caso de que M y C sean diagonales. Dicho paso crítico vale:
Siendo ωmax la máxima frecuencia propia existente en la malla de elementos finitos. y a continuación la velocidad y aceleración se obtienen de (102) y (101). pues casi todas las operaciones se pueden efectuar a nivel de elemento. que se corresponde con el menor periodo de oscilación Tmin. 16. Además esta condición debe satisfacerse en todos los instantes de tiempo durante la simulación. sino únicamente el vector de fuerzas interiores. pero en dichos pasos se acumula un gran error en la solución. lo cual suele ser habitual en formulaciones de masas consistentes.4 Estabilidad del método de diferencias centrales El principal inconveniente del método explícito de diferencias centrales es que es condicionalmente estable. los requerimientos de almacenamiento de datos son muy pequeños. ni es necesario emplear la matriz de rigidez tangente. El método no requiere ninguna iteración para alcanzar el equilibrio. De hecho puede plantearse el método empleando la ecuación (104) en lugar de la (103) para calcular la deformación en el paso siguiente. Desde el punto de vista de la implementación. por lo que el método tiene un carácter explícito. es necesario a continuación utilizar la ecuación de equilibrio en n+1 para hallar la aceleración en el nuevo estado. Este método es un caso particular de la familia de métodos de Newmark. no es necesario ensamblar la matriz de rigidez. en el que la respuesta muestra claramente un crecimiento incontrolado si no se satisface el criterio de estabilidad.
. se obtiene apoyándose en el equilibrio en t. no se observa un fenómeno de inestabilidad obvio en la solución total. por lo que el método es explícito. En esto la respuesta es diferente al análisis estático. El proceso de integración es una secuencia de pasos iguales en el tiempo. ni siquiera es necesario resolver ningún sistema de ecuaciones. Tiene pues innumerables ventajas que explican su amplia utilización. sin necesidad de aplicar ninguna ecuación de equilibrio.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
De esta ecuación se obtiene la deformación en tn+h. obteniéndose:
Esta ecuación indica que la deformación en n+1 se puede determinar directamente a partir del estado en n. Esta naturaleza se pone de manifiesto si de las dos ecuaciones (101) y (102) se despeja la deformación en n+1. aunque si esto se hace así. es decir que se debe emplear un tamaño de paso inferior a un paso crítico para que el método sea estable. aplicando de forma repetitiva las ecuaciones anteriores. y si las matrices de M y C son diagonales. que distorsiona la solución total obtenida. Si la condición de estabilidad no se cumple durante unos pocos de pasos del proceso total.
y sean ωie las frecuencias propias del elemento e. y no la lateral. solución de los problemas de autovalores individuales de los distintos elementos:
E (ωmax )2 = max (ωie ) e . Esto proporciona un límite superior de la frecuencia máxima del sistema ωmax que es muy fácil de evaluar. lo cual resulta prohibitivo en las aplicaciones reales. cuyo cálculo tiene un costo prohibitivo y sea ωmax la mayor de todas estas frecuencias. modelizado con elementos de dos nudos.
Empleando una formulación lagrangiana total.i 2
Es decir que la máxima frecuencia individual que presentan los distintos elementos finitos desacoplados unos de otros es mayor que la máxima frecuencia del sistema ensamblado.4. Por esta razón se trata de obtener estimaciones o límites superiores de dicha frecuencia máxima que sean fáciles de calcular.
Figura 34.1 Paso de integración crítico en problemas unidimensionales Consideramos un problema unidimensional.
Sean Ke y Me las matrices de masas y rigidez de los distintos elementos de la malla. los cuales corresponden al elemento biarticulado ya estudiado. y sean ω2 las frecuencias propias de dicho sistema. y para la cual existen de hecho soluciones analíticas. Sean K y M las matrices de rigidez y masas del sistema estructural estudiado. Elemento unidimensional.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
A la vista del paso crítico para garantizar la estabilidad de los métodos. pero considerando sólo la deformación axial. 16. Esto implicar resolver un problema de valores y vectores propios de tamaño igual al número de gados de libertad del sistema. resulta del máximo interés determinar el valor de la frecuencia máxima presente en la malla de elementos. el problema de autovalores que proporciona las frecuencias propias de un elemento finito de este tipo es:
. cuyo ensamblaje da lugar a las K y M anteriores.
Considerando sólo los términos correspondientes a la deformación en la dirección del elemento y empleando la matriz de masas diagonal. que condiciona el paso crítico del método de las diferencias centrales. Elemento Unidimensional de 2 nudos Unidimensional de 2 nudos Matriz M Diagonal Consistente
. para otros tipos de elementos finitos sencillos en los que se conozca la expresión analítica de sus matrices de rigidez y masas. Esta condición lo que especifica es que el paso de integración debe ser como mínimo aquel tiempo que permita la propagación de una onda elástica de velocidad c0 dentro del elemento de longitud L0. la ecuación anterior es:
Esta ecuación tiene dos soluciones. 16. aunque habitualmente se simplifica. En cada caso se obtiene el valor de la frecuencia máxima del elemento. despreciando por una parte la variación de la longitud y por otra la tensión S frente al módulo de elasticidad E:
Esta expresión se suele denominar condición de Courant.4. La tabla siguiente muestra los valores más habituales.2 Pasos críticos de integración para diversos elementos finitos Se puede efectuar un análisis similar al efectuado para el elemento unidimensional. La segunda corresponde a la frecuencia máxima del elemento y su valor resulta ser:
En principio esta velocidad depende del nivel de tensión y de la longitud deformada. que no interesa. quien la formuló para modelos de diferencias finitas. la primera es ω=0.
β=1/4 y γ=1/2 corresponde a una aceleración media constante en el intervalo y es el método originalmente propuesto por Newmark. Despejando la aceleración de (106) se obtiene su valor en función de las deformaciones:
. como en un elemento de 2 nudos. La familia de Newmark. mediante un desarrollo en serie de los mismos hasta términos de orden 2. en la forma:
Las integrales se evalúan mediante una regla de cuadratura. Tensión plana. Se debe comprobar además el valor correspondiente a la deformación axial. se obtienen diferentes métodos.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Cuadrado plano. Así. con lo que las aproximaciones de posición y velocidad son
Adoptando diferentes valores de los parámetros β y γ. De entre ellos. la familia de métodos de Newmark o el método de Wilson son unos de las más populares. que es condicionalmente estable. lo cual implica la realización de un proceso iterativo para hallar la solución.
(1) Corresponde sólo al efecto de flexión. que es incondicionalmente estable. 16. se caracteriza por calcular los desplazamientos y velocidades en el instante tn+h apoyándose en el estado conocido anterior. En todos ellos se plantea el equilibrio en el instante tn+h. Si se emplea β=1/6 y γ=1/2 se obtiene un método con interpolación lineal de las aceleraciones.5 Métodos implícitos de integración de paso simple Todos los métodos empleados para la integración numérica de ecuaciones diferenciales de segundo orden pueden emplearse para la resolución de problemas no lineales.
que es no lineal.. al final de la iteración k.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Las ecuaciones anteriores deben combinarse con la ecuación de equilibrio dinámico del sistema. Sea k=1. la secuencia de iteraciones. El último sumando introduce la matriz de rigidez tangente:
Las derivadas de las deformaciones que aparecen en esta expresión se pueden obtener derivando las aproximaciones del método de integración. Así.. • El valor de la matriz de rigidez efectiva se obtiene derivando (109) (particulariza para k-1 en vez de k) y es:
Se ha supuesto que las fuerzas exteriores P no dependen de las deformaciones. derivando (107) respecto de las deformaciones Un+1 se obtiene:
. apoyándose en la solución conocida en el instante anterior n.2. en una cualquiera de ellas las ecuaciones de equilibrio se pueden poner en forma de residuo:
y Uk n +1 es la estimación de las deformaciones en el instante n+1. por lo que debe emplearse un proceso iterativo para obtener la respuesta en el instante n+1.
… hasta alcanzar la convergencia. Un +1 )
Este sistema de ecuaciones lineales se emplea en un proceso iterativo k=1. se emplea:
. por lo que ese sistema de ecuaciones lineales puede resolverse y proporciona el valor del incremento de deformación a aplicar en la iteración k. cambiado de signo:
Sustituyendo los valores de la aceleración (114) y la velocidad (115) en la expresión del residuo (113). Se puede poner en forma compacta. Como punto de partida del mismo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• El término independiente de la ecuación (110) es el residuo al final de la iteración. para k=1. Un . agrupando todos los sumandos del término independiente en un vector de fuerzas efectivas. Un . que depende del estado anterior y de última estimación de las deformaciones en el estado actual:
k −1 −1 k −1 ˆ k = Pk Kn +1 U n +1(Un . bien del último paso de integración n o de la iteración anterior. y éste a continuación en la ecuación de la iteración (110) se obtiene:
Todos los sumandos del término independiente son conocidos.2.
excepto por los valores de la matriz y el vector de fuerzas efectivas. en el caso de emplear un criterio basado en el incremento de energía interna en cada iteración se deben añadir los términos correspondientes a dichas fuerzas. debe considerarse en él los términos correspondientes a las fuerzas de inercia y amortiguamiento:
De la misma forma. Por lo tanto todos los métodos y estrategias de iteración empleados en el análisis estático para este tipo de sistemas de ecuaciones son aplicables en este caso dinámico.6 Criterios de convergencia Para finalizar la iteración de búsqueda del equilibrio se pueden emplear los mismos tipos de criterios de convergencia empleados en el caso estático. En el caso de emplear un criterio basado en el residuo.
. que ahora incluyen términos debidos a la inercia y al amortiguamiento. 16.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
que corresponde a una frecuencia máxima en la estructura de valor 483 rad/s. Al ser la carga aplicada superior al valor que provoca el snap-through.deslizante. con paso de integración h=0. se observa un salto brusco en la fase inicial de la respuesta.
Las propiedades de la barra son: A0: 2 cm2 E: 2. es decir:
Se aplica una carga exterior vertical de valor -800 kg.013 s.1 106 kg/cm2
La matriz de masa se ha supuesto diagonal. la cual produce el paso de integración crítico de valor 2/481=0. El amortiguamiento se supone proporcional a la matriz de masas. pero sometida a una carga dinámica. La figura siguiente muestra la evolución de la deformación vertical del punto de aplicación de la carga.32 cm.004 s c (E / ρ)
El modelo numérico para su simulación mediante el procedimiento dynex se encuentra en el archivo modelo1D. hasta alcanzar el equilibrio con una deformación final de 43. la cual coincide con el valor hallado estáticamente.1.002 s. Barra apoyada – deslizante Se trata de la misma barra estudiada en el apartado 15.1 Ejemplo 1.0041 s
. En la respuesta se observa un periodo de oscilación del orden de 0. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es
hcr ≥ L L = = 0. Barra apoyada . aplicada en forma escalón en t=0.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
17. con un factor de proporcionalidad de valor 5. Se ha efectuado una simulación dinámica empleando un integrador explícito basado en diferencias centrales.m. La configuración geométrica particular estudiada se muestra en la figura siguiente:
5 0. Se estudia la respuesta dinámica de la viga en voladizo vertical ya analizada en un ejemplo anterior en régimen estático (apartado 15. Voladizo muy flexible. Los resultados obtenidos en ambos casos son prácticamente iguales. La matriz de masa se ha supuesto diagonal.2 0.
17. β=1/4 (procedimiento dynim).3 0. y sus propiedades son las mismas que en el análisis estático. Se han efectuado simulaciones dinámicas empleando: • Un integrador explícito basado en diferencias centrales (procedimiento dynex). El amortiguamiento se supone proporcional a la matriz de masas. • Un integrador implícito de Newmark con γ=1/2.9 1
Figura 36.deslizante.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
Deformación Y .8 0. Deformación vertical de la barra apoyada .18 10-5 s. con un factor de proporcionalidad de valor 5.2 Ejemplo 2. con paso de integración h=6 10-5 s.6 0.3).7 0. La densidad empleada es ρ=2700 kg/cm3 . es decir:
Se aplican las mismas fuerzas que en caso estático (FY=-50 kg y FX=20 kg. El modelo numérico de esta estructura para su simulación mediante los procedimientos dynex y dynim está en el archivo modelo5D. La viga está modelizada mediante elementos viga de dos nudos en formulación co-rotacional. en el extremo superior de la viga) en forma escalón en t=0.
.1 0.m.4 0. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es hCR=6.Nudo 2
-60 0 0. con paso de integración h=1 10-3 s.
. Evolución dinámica del voladizo vertical. La presencia de amortiguamiento hace que con el paso del tiempo la velocidad y aceleración se anulen.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
La figura siguiente muestra el proceso de deformación de la viga. que lógicamente coincide con la obtenida en el análisis estático. y la estructura adopte una configuración deformada final estática.
. Deformación dinámica del extremo superior de la viga. distribuida en toda su longitud.3 Ejemplo 3. El cable tiene una luz de 20 m. y se modeliza mediante un total de 20 barras biarticuladas. Cable pretensado Se estudia un cable pretensado y sometido a una carga transversal distribuida que varía linealmente con el tiempo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
17. con una resultante total que varía linealmente con el tiempo. Se aplica una carga exterior transversal al cable. según la ley:
Ftot = 10000 t (kg / s ) .
La fuerza de pretensión es N0 = 2000 kg. Se emplea la matriz de masa diagonal y no se considera el amortiguamiento.
Figura 39. Cable pretensado.
10-4 s.5 0. El modelo numérico para la simulación se encuentra en el archivo cableD.5 10-4 s. observándose una diferencia en la posición del orden del 0.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
En la implementación del modelo. con paso de integración h=1 10-3 s. concentrado en cada uno de ellos la parte de cable que le corresponde. con paso de integración h=1. mostrada a efectos comparativos). que muestra un comportamiento muy no lineal desde los primeros instantes del movimiento (la respuesta lineal es una cúbica. requiriendo un número medio 2 de iteraciones por cada paso.2 0.m.6 0. El paso mínimo para garantizar la estabilidad es hCR=2.3 0. Se han efectuado dos simulaciones dinámicas empleando: • Un integrador explícito basado en diferencias centrales (procedimiento dynex). La Figura 40 muestra la evolución de la deformación vertical del punto central del cable.1 0.4 0. tras 0.7 s de integración.
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Tiempo (s) 0. • Un integrador implícito de Newmark con γ=1/2.7 Deformación vertical (cm) Nudo central Lineal
Figura 40.15%. Deformación vertical del punto central del cable pretensado.
. Con ambos integradores los resultados son coincidentes. La resolución del sistema de ecuaciones no lineales en cada paso de integración se efectúa por el método de Newton. β=1/4 (procedimiento dynim). esta carga total se ha aplicado sobre los nudos.
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y para su manejo existen distintas notaciones. intuitivas. las expresiones obtenidas son válidas en sistemas de coordenadas no cartesianos. Tiene las ventajas de su generalidad y la facilidad de transformarse en algoritmos implementables en lenguajes de programación.1. En esta notación suele ser habitual denominar a los tensores de orden 1 con letras negrillas minúsculas. que en ocasiones son diferentes y otras veces coincidentes.1. Por otra parte cada una de de ellas tiene ventajas e inconvenientes respecto a ser más o menos compactas. Además. y a los de orden 2 o superior con negrilla en mayúsculas. 19. Además.3 Notación de matrices Es la más habitual en textos de ingeniería mecánica y de estructuras por su equilibrio entre claridad. En ambos casos se emplea la negrilla para vectores y matrices. Su principal inconveniente es que da lugar a expresiones muy farragosas. Como es habitual se supone que los tensores de orden 1 (vectores) se representan como una matriz de una columna. que normalmente son aplicables sólo en coordenadas cartesianas. 19. donde el primer índice corresponde a la fila. En algunos casos puede producirse alguna confusión entre la representación tensorial y matricial.2 Notación de tensores Es muy utilizada asimismo en textos de mecánica de los medios continuos. y los tensores de orden 2 como una matriz de 2 dimensiones. para no complicar la notación. En esta notación se introducen símbolos específicos para las operaciones entre tensores: el ⋅ para el producto escalar (contracción de un índice).
.1 Notación de subíndices Es muy empleada en los textos de mecánica de los medios continuos. como matricial: el tipo de representación quedará definido por el contexto y por los operadores empleados. En este caso los subíndices no se muestran explícitamente. el ‫ ׃‬para el producto contracto (contracción de dos índices) y el ⊗ para el producto tensorial. y es la que se empleará preferentemente.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
19 ANEJO 1. en cuyo caso se añade a la representación vectorial una barra sobre el símbolo. en los cuales la nomenclatura de subíndices es imprescindible. Corresponde a una representación directa de la notación de tensores. o fáciles de transformar en algoritmos. unido al hecho de la escasa formación en su utilización más allá de los casos simples. al ser las magnitudes tensoriales independientes del sistema de referencia. se empleará la misma letra o símbolo para denominar a una misma magnitud tanto en su representación tensorial. con lo que las expresiones son mucho más compactas y fáciles de recordar. fácil implementación y compacidad similar a la notación de tensores estricta. y en muchas ocasiones las expresiones obtenidas son casi iguales. Sin embargo existen muchísimas excepciones. Se empleará sólo cuando sea necesario.1. 19. NOTACIÓN
La mayor parte de las magnitudes empleadas en mecánica de sólidos tienen carácter tensorial.
Notación de subíndices: s = ∑ ai bi Notación de tensores: s = a ⋅ b = b ⋅ a Notación de matrices: s = aT b = bT a • Producto vectorial de vectores. PRELIMINARES MATEMÁTICOS
20. 20. definido como eijk = 1 si la permutación {i. muchas veces se omite el símbolo ⋅ entre los tensores. Da lugar a otro tensor del mismo orden. Notación de subíndices: ci = ∑ eijk ai bj El símbolo e representa el tensor alternador de orden 3.1 Operaciones entre vectores • Producto escalar de vectores.1.1 Resumen de álgebra de vectores y tensores A continuación se resume la notación empleada para las operaciones más importantes. • Producto contracto o producto escalar de dos tensores de orden 2. j
20 ANEJO 2. pero es más claro ponerlo para indicar que se contrae un índice entre ambos tensores. Contrae dos índices. Se emplea la misma expresión en notación de tensores y notación de matrices:
k j . -1 si la permutación es impar y 0 si hay índices repetidos.k} es par. Notación de subíndices: Dij = ai bj Notación de tensores: D = a ⊗ b Notación de matrices: D = a bT 20. o producto diádico.j.1. Notación de tensores: D = A ⋅ B Notación de matrices: D = A B Notación de subíndices: Dij = ∑ Aik Bkj En la notación de tensores.k i
i. o composición de tensores. Produce un tensor D de orden 2.2 Operaciones entre tensores de orden 2 • Producto ordinario. Notación de tensores: c = a × b Notación de matrices: c = a b La notación a corresponde a la matriz hemisimétrica asociada el vector a. Se emplean minúsculas para los tensores de orden 1 y mayúsculas para los de orden 2. para dar lugar a un escalar. • Producto tensorial de vectores.
es un vector definido por las tres derivadas parciales del escalar respecto a las tres coordenadas del espacio.2 Traza Para un tensor de orden 2.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
20. 20. pero es más claro ponerlo para indicar que se contrae un índice. el producto contracto se puede poner como:
i. de un tensor de orden 2 por un vector. Notación de tensores: c = A ⋅ b Notación de matrices: c = A b En la notación de tensores. Pueden emplearse las notaciones siguientes:
. se define como el escalar:
Empleando la traza. muchas veces se omite el símbolo ⋅ entre los tensores.1.3 Gradiente • El gradiente de un campo escalar f.3 Operaciones entre vectores y tensores • Producto ordinario.
20. Pueden emplearse varias notaciones:
• El gradiente de un tensor D de orden 2 es otro tensor T.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
• El gradiente de un campo vectorial v es un tensor de orden 2.
i . de orden 3.4 Divergencia • La divergencia de un vector v es un escalar d definido por:
Esta suma de las tres derivadas direccionales de las componentes de vector corresponde a la suma de los términos de la diagonal del gradiente del vector. su expresión es:
i. es decir a la traza del gradiente del vector. j . que se obtiene aplicando el operador gradiente a cada una de las componentes escalares del vector:
Si consideramos tres vectores ei que definen una base ortogonal para las coordenadas x. cada uno de cuyos términos es la derivada de las componentes del tensor respecto de las tres coordenadas.
En el primer sumando se identifica el producto escalar del vector a por la divergencia de DT. Descomponiendo el gradiente en sus componentes simétrica y hemisimétrica
La divergencia afecta a la parte simétrica del gradiente del vector. Sea D un tensor de orden 2 y a un vector. y en el segundo el producto contracto del ardiente de a por DT:
20.j del gradiente del vector a.5 Teoremas de integración • La integral a un volumen V del vector gradiente de una función escalar f es igual al flujo de dicho escalar en la superficie ∂V que rodea al volumen (n es el vector normal a la superficie):
. y en el segundo se identifica el término i. Se trata de hallar la divergencia del producto de ambos b=D a (que será un escalar):
En el primer término se identifica el término i de la divergencia de DT.
componente a componente:
Cada integral proporciona un tensor. • Para el caso de un tensor D de orden 2. Tomando la traza del tensor se obtiene una igualdad escalar:
El término de la izquierda es la divergencia del vector v. la expresión es:
• Aplicando la ecuación anterior a un vector v. que establece que la divergencia del vector en un volumen V es igual al flujo de dicho vector en la superficie circundante de V.
Estas expresiones constituyen el teorema de la divergencia para un vector cualquiera. y el de la derecha es el flujo de dicho vector.
Procedimiento dynex Este procedimiento permite efectuar la simulación dinámica no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar). Procedimiento dynim Este procedimiento permite efectuar la simulación dinámica no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar). con paso fijo.Introducción al análisis de estructuras con no linealidad geométrica
21 ANEJO 3. con paso fijo. El proceso iterativo para alcanzar el equilibrio en cada paso de integración en el tiempo se efectúa mediante el método de Newton.
. completa o modificada. completo o modificado. Implementa el método explícito de diferencias centrales. PROCEDIMIENTOS MATLAB
Procedimiento nolin Este procedimiento permite efectuar la simulación estática no lineal de estructuras planas compuestas por barras biarticuladas o vigas planas (no se pueden mezclar). Implementa el método de la longitud del arco y la iteración de Newton. Implementa el método implícito de Newmark.
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