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Timestamp: 2019-03-25 21:54:03+00:00

Document:
1 - matematicas1-2-3 - Patinaje Artístico
1 - matematicas1-2-3
Juan Carlos Recéndiz Medina
Cuauhtémoc Jiménez Olivares
Georgina Castillo de Hoyos
Rebeca García Peña
©Secretaría de Educación Pública. México, 2007.
LAS LEYES DE SENOS
La asignatura de Matemáticas II, tiene como propósito introducirte en el estudio de la
Geometría y la Trigonometría; su estudio te ayudará a visualizar y analizar geométricamente los problemas que se presentan en tu entorno, así como hacerte hábil en la
construcción de modelos matemáticos para su estudio y posible solución.
Desde el punto de vista práctico, el estudio de la Geometría y la Trigonometría te
proporciona herramientas útiles para estudiar diversas situaciones o fenómenos desde
una o ambas perspectivas, según la información disponible y la conveniencia de tales
representaciones. De esta forma, su inclusión en el segundo semestre del plan de
estudios del bachillerato general, posibilita que apliques dichos conocimientos en la
modelación de fenómenos, en la asignatura de Física I y en el estudio del la Geometría Analítica del tercer semestre, así como del Cálculo Diferencial e Integral, del V y
VI semestres.
Por otra parte, además de que los conocimientos que obtengas al estudiar Matemáticas 2 te servirán para emprender el estudio de otras asignaturas, también te servirá
para resolver problemas parecidos a los que afrontan los Ingenieros civiles cuando
tienen que diseñar puentes o carreteras, o a los que tienen frente a sí los Arquitectos
cuando quieren conjugar belleza con funcionalidad al diseñar casas o ediﬁcios. Los
Geógrafos, por su parte, se beneﬁcian de estos conocimientos cuando estudian los
diversos accidentes geográﬁcos y sus implicaciones; los marinos logran calcular con
exactitud el rumbo mediante la aplicación de conocimientos trigonométricos, etc.
La Asignatura de Matemáticas II comprende cuatro Unidades que van de lo más simple a lo relativamente complejo.
En la primera Unidad: Ángulos y triángulos, revisarás los aspectos básicos de estos dos
temas y sus aplicaciones más simples, además de servirte como punto de partida para
el estudio de las siguientes Unidades.
La Unidad 2: Polígonos y Circunferencia te llevará por el estudio de las propiedades
de estas ﬁguras geométricas para identiﬁcar con exactitud todos sus elementos distintivos.
En la Unidad 3: Funciones trigonométricas, estudiarás los conceptos básicos de las
relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo conocidas como funciones trigonométricas, utilizando tanto el circulo unitario como las coordenadas
cartesianas rectangulares; con ello sentarás las bases necesarias para el abordaje de
diversos fenómenos físicos.
Por útlimo, en la Unidad 4 titulada Las leyes de senos y cosenos, verás la deﬁnición
de cada una de ellas y su aplicación para determinar diversos elementos de triángulos
que no poseen ningún ángulo recto y que de manera genérica se describen como
Se abordarán así, problemas del medio circundante (económicos, sociales, ambientales, demográﬁcos, etc.) y de diferentes campos del saber, que propicien el desarrollo
del pensamiento crítico y reﬂexivo (en el ámbito matemático y en el contexto social)
así como una actuación comprometida del alumno.
Resumiendo, los contenidos a revisar en este programa serán los siguientes:
Unidad I. Ángulos y triángulos
Unidad II. Polígonos y circunferencia
Unidad III. Las funciones trigonométricas
Unidad IV. Las Leyes de Senos y Cosenos
Objetivo de la asignatura: Resolverás problemas geométricos y trigonométricos de carácter teórico o de aplicación práctica, provenientes del ámbito escolar o de su vida cotidiana, mediante el
uso de técnicas, conceptos y procedimientos de la geometría plana y la trigonometría, que favorezca
la deducción delcomportamiento gráfico de las figuras formadas por líneas en el plano (Geometría
Euclidiana) y una aplicación correspondiente a la medición de triángulos (Trigonometría), mostrando interés científico y actitudes críticas, reflexivas y responsables, que le permitan su desenvolvimiento.
Objetivo de la unidad: Resolverás problemas geométricos de
tipo teórico o práctico de distintos ámbitos, mediante la aplicación de técnicas de medición de ángulos en el plano y su
clasificación, así como las correspondientes a la medición de
triángulos utilizando razonamientos analógicos y deductivos
para recuperar los conceptos de semejanza y congruencia, en
un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes UNIDAD
de responsabilidad, iniciativa y colaboración hacia el entorno
Iniciamos el estudio de la asignatura de Matemáticas II ¡Recibe la más cordial
A lo largo de este curso aprenderás temas y adquirirás habilidades que te servirán
para crecer como persona y también para tu preparación posterior. Por supuesto
que es necesaria tu dedicación y empeño desarrollando todas las actividades de
aprendizaje y siguiendo atentamente las indicaciones de tu Asesor. Te sugerimos conseguir un cuaderno de cuadrícula para resolver todos los ejercicios y un
juego de geometría para efectuar los trazos necesarios.
¿Qué estudiaremos en esta Unidad? Como el título nos lo indica, veremos dos
grandes temas: los ángulos y los triángulos.
Dentro del tema ángulos recordarás –o aprenderás, si es el caso- qué es un
ángulo, cuáles tipos hay, cómo se miden y pasarás de la teoría a la práctica al
construir ángulos y medirlos con el auxilio de un transportador. Mención aparte
merecen los ángulos que se forman por dos rectas paralelas y una secante que
se estudian en la parte ﬁnal de este apartado; su estudio será de mucha utilidad
en temas o asignaturas posteriores.
En el tema triángulos, se revisará su deﬁnición y clasiﬁcación; cuáles son las rectas notables que existen en ellos y cómo se determinan; asimismo, verás como
se calculan sus perímetros y áreas, y cómo se determinan los ángulos interiores
o exteriores de cualquier tipo de triángulo. Como temas especiales aprenderás
qué es la congruencia y la semejanza de los triángulos y aplicarás el célebre
Teorema de Pitágoras en la resolución de diversos problemas.
Para guiar tu estudio de los contenidos de la Unidad te sugerimos orientarte por
¿Cuál es la deﬁnición de ángulo? ¿Qué elementos lo constituyen?
¿En qué se distingue un ángulo cóncavo de un ángulo convexo?
¿Bajo que condiciones dos ángulos son suplementarios?
¿Qué condición debe cumplirse para aﬁrmar que dos ángulos son complementarios?
¿Cómo se clasiﬁcan los triángulos?
¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo? ¿Cuánto vale la
suma de sus ángulos exteriores?
¿Bajo qué condiciones dos triángulos son congruentes? ¿Cuándo son semejantes dos
triángulos?
¿Cuál es el enunciado del Teorema de Pitágoras? ¿Para qué tipos de triángulos funciona este teorema?
¿En qué puedes apoyarte para aprender lo más y mejor posible sobre los temas de esta
unidad? En cualquier libro que tengas a tu alcance y que trate sobre Geometría Plana
y Trigonometría. Si te es posible, te recomendamos la consulta de los siguientes textos
que además de ser actualizados, desarrollan todos los temas del curso:
• García, Miguel y Manuel Rodríguez. Matemáticas 2, Bachillerato. México.
ST Editorial. 2005
• Ruiz Basto, Joaquín. Matemáticas II, Bachillerato General. México. Publicaciones
Cultural, 2005
• Ortiz Campos, Francisco. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. México.
Publicaciones Cultural, 2005
Artículos de la Enciclopedia Encarta
Si cuentas con este software en tu centro de servicios, consulta los siguientes artículos
que te servirán para profundizar en los temas de la Unidad:
Triángulo (ﬁgura)
http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm
Un sitio muy interesante donde encontrarás información de los polígonos, cuerpos
con volumen, biografías y ﬁchas de trabajo.
http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm que contiene un tutorial de Geometría
plana elemental.
http://platea.pntic.mec.es/%7eablanco/gi/index.htm es un sitio en el que puedes interactuar manipulando las ﬁguras y observando cómo se ubican los diferentes elementos,
rectas notables de triángulos construcción, etc. Te lo recomendamos ampliamente.
http://www.acienciasgalilei.com/mat/formularios/form-triangulos.htm Formularios, tablas y constantes matemáticas.
De la serie de programas de televisión educativa para apoyar la Asignatura de Matemáticas 2 te recomendamos observar los siguientes para profundizar en los contenidos
que revisarás:
Programa 1.- Área, volumen y unidades de medición
Este programa te ayudará a entender algunos de los conceptos básicos y aplicaciones
de la Geometría y del Sistema Métrico Decimal.
Programa 2.- Longitud y generación de curvas
Los contenidos de este programa tienen como propósito que aprendas a identiﬁcar los
tipos básicos de curvas, a conocer los métodos de medición de curvas y sus aplicaciones así como el surgimiento de la geometría fractal.
Programa 7.- La recta.
El programa de televisión educativa “La recta” te ayudará a conocer las formas para
medir la pendiente de una recta y la función de los triángulos dentro de la medición
de una recta. Te invitamos a observarlo con atención en tu Centro de Servicios
Programa 8.- “Clasiﬁcación del triángulo”
El triángulo tiene múltiples y varios usos en la vida cotidiana. Para conocer más de
este tema te invitamos a observar el programa de televisión educativa “Clasiﬁcación
del triángulo”
Programa 9.- “Medición de ángulos y lados del triángulo”
¿Te cuesta trabajo entender que es el “seno” o el “coseno” de un ángulo? ¿Cuál fue
la mayor aportación de Pitágoras a las Matemáticas? Estas y otras preguntas podrás
contestarlas al observar el programa de televisión educativa “Medición de ángulos y
lados del triángulo”.
Iniciamos el estudio de los temas de esta primera Unidad haciéndote las recomendaciones siguientes:
• Consigue un cuaderno de cuadrícula y un juego de geometría (escuadras,
compás y transportador) para que realices todos los trazos que se piden en las
actividades. Esto te será de mucha utilidad para lograr aprendizajes efectivos.
• Consulta a tu Asesor para resolver las dudas que puedan surgirte y en un
ambiente cordial y de respeto, trabaja con tus compañeros las actividades que
te sean asignadas. La ﬁnalidad es que el grupo se vuelva una comunidad de
1.1. ÁNGULOS EN EL PLANO
Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos relacionados con ángulos en el
plano, mediante la identificación, clasificación y medición de los mismos.
1.1.1. Deﬁnición de ángulo
Investiga en la bibliografía a tu alcance la deﬁnición de ángulo y anótala en las
líneas siguientes. Acompaña la deﬁnición con un esquema que muestre los elementos de un ángulo y la forma de nombrarlos.
Un ángulo es: _______________________________________________________
Tomando como referencia los puntos, traza los ángulos que se solicitan:
<PRQ
<STU
1.1.2. Clasiﬁcación de los ángulos
Los ángulos se pueden clasiﬁcar de diferentes formas, especialmente tanto por
sus medidas como por la posición de sus lados. En los cuadros siguientes hemos anotado los nombres. Investiga la descripción y anótala en el cuadro correspondiente. No olvides dibujar un ejemplo de cada uno de ellos.
Clasiﬁcación de los ángulos pos sus medidas
Completa el cuadro siguiente, en el que concentrarás información sobre la clasiﬁcación de los ángulos por la posición de sus lados:
Clasiﬁcación de los ángulos por la posición de sus lados
Una clasiﬁcación especial incluye a los ángulos complementarios y suplementarios. Investiga y completa el cuadro siguiente:
1.1.3. Medición de ángulos en el sistema sexagesimal
Se llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo
que resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el
ángulo recto mide 90º.
Con la ayuda del transportador y las escuadras construye en el espacio siguiente
ángulos de 25º, 135º, 45º, 123º, 180º, 90º, 190º, 0º, 270º, 330º, 360º. Anota,
de acuerdo a las clasiﬁcaciones revisadas en el tema anterior, de qué tipo es
Comparte con tus compañeros y Asesor, tus razones para clasiﬁcar a los ángulos en la forma que lo hiciste. A partir de lo discutido en la sesión, corrige tu
ejercicio si es necesario. Si te es posible conectarte a Internet, visita la dirección
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulos1.htm
que presenta una página interactiva para dibujar ángulos de cualquier medida.
1.1.4 Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Al ser cortadas dos rectas paralelas por una secante se forman ángulos con
características especiales de igualdad. Revisa detenidamente la ﬁgura que presentamos a continuación y anota a los ángulos en la clasiﬁcación que les corresponde:
Ángulos correspondientes iguales:
<___ = <____ ; <____ = <____; <____ = <____; <____ =<____
Ángulos alternos internos iguales: <___ = <____ ; <____ = <____
Ángulos alternos externos iguales: <___ = <____ ; <____ = <____
1.2 TRIÁNGULOS
Objetivo temático: Resolverás problemas de triángulos de tipo teórico y prácticos aplicando los
conceptos, técnicas y procedimientos relativos a los triángulos y sus propiedades geométricas,
la semejanza y congruencia y el Teorema de Pitágoras.
1.2.1 Deﬁnición y clasiﬁcación de los triángulos
Desarrolla las actividades de aprendizaje que se te indican:
Busca en libros de Matemáticas o en la Enciclopedia Encarta la deﬁnición de
triángulo. Anótalas en tu cuaderno y en el espacio siguiente. Comparte tus hallazgos con tus compañeros y con tu Asesor, traten de llegar a una deﬁnición
que todos comprendan.
Un triángulo es: ____________________________________________________
• Clasiﬁcación de los triángulos
Los triángulos se clasiﬁcan tanto por la longitud de sus lados como por su amplitud. Llena los cuadros siguientes buscando la información que sea necesaria:
Clasiﬁcación de los triángulos por la longitud de sus lados
Clasiﬁcación de los triángulos por la amplitud de sus ángulos
Para las siguientes ﬁguras anota la clasiﬁcación de acuerdo a lo que acabas de
• Rectas notables en el triángulo
Busca información sobre las descripciones de los puntos y rectas notables de los
triángulos y anota lo que encuentres en las líneas siguientes:
Baricentro: _________________________________________________________
Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las
medianas. e indica el nombre del punto en el que se cruzan las medianas. Pide
ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas
mediatrices. e indica el nombre del punto en el que se cruzan tales rectas. Pide
Con ayuda de las escuadras y el compás, en los triángulos siguientes traza las alturas e indica el nombre del punto en el que se cruzan las medianas. Pide ayuda
a tu Asesor en caso de tener dudas
bisectrices de cada uno de los ángulos e indica el nombre del punto en el que
se cruzan las bisectrices. Pide ayuda a tu Asesor en caso de tener dudas
Siguiendo con el proceso y a manera de resumen, haz los trazos necesarios para
ubicar el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro para cada uno
de los triángulos. Une los puntos mediante una recta (recta de Euler) y observa
con atención la posición que tiene cada punto respecto de los demás. Anota tus
observaciones y discútelas con tus compañeros y tu Asesor.
Mis observaciones sobre la posición relativa del baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro en la Recta de Euler
Ángulos interiores y exteriores en los triángulos
Actividad especial: en tu cuaderno, en una hoja blanca o trozo de cartulina
dibuja tres triángulos de formas y medidas diferentes cada uno. Una vez que
hayas concluido recorta las ﬁguras y para ﬁnalizar corta las tres esquinas de cada
triángulo, únelos por los vértices y determina cuántos grados suman juntos los
tres ángulos. Haz tus observaciones en el cuadro siguiente.
Indaga en la bibliografía a tu alcance o en la Enciclopedia Encarta cuánto suman
los tres ángulos interiores de un triángulo. Anota los resultados de tu investigación:
Los ángulos interiores de un triángulo suman: _____________________________
Para la siguiente actividad dibuja dos triángulos más diferentes en tamaño y forma al que mostramos. Al igual que en éste, prolonga los lados aproximadamente 1.5 cm marcando los ángulos exteriores y midiéndolos con el transportador.
Anota tus observaciones en cada caso.
Para este triángulo, la suma de los ángulos exteriores
es igual a: _____ + _____ +_____ =
Ahora haz los dos dibujos de triángulos solicitados y efectúa la suma de los
ángulos exteriores para cada uno de ellos.
• Perímetros y áreas de los triángulos
Posiblemente recuerdes que el perímetro de una ﬁgura plana equivale a la suma
de las longitudes de sus lados. En consecuencia si se quiere obtener el perímetro
de un triángulo debemos sumar las longitudes de sus tres lados.
Si nombramos con las letras a, b y c a los lados de un triángulo ¿Cuál será la
fórmula para obtener su perímetro? Escríbela enseguida:
¿Recuerdas la característica esencial de un triángulo equilátero? ¡Por supuesto!
Sus tres lados y ángulos son ________________. Por lo que para este tipo de
triángulo, la fórmula del perímetro se puede simpliﬁcar. Anota a continuación
cuál sería esta fórmula:
Para calcular el área de un triángulo se utiliza la fórmula bien conocida:
b = longitud de la base del triángulo.
h = longitud de la altura del triángulo
Apliquemos ahora estas fórmulas para resolver los problemas que se proponen
a) Observa la ﬁgura y determina su perímetro y su área
El perímetro se calcula P = _____ + _____ + _____ = ______ cm
y aplicando la fórmula para calcular el área, tendremos:
b) Se tiene el triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm y su altura tiene un
valor de aproximadamente 5.2 cm. Dibuja la ﬁgura correspondiente y determina su perímetro y su área.
Investiga sobre el tema de congruencia y desarrolla lo que se pide a continuación:
Complementa la siguiente descripción:
El primer criterio de igualdad entre triángulos aﬁrma que si dos lados de un
triángulo y el ángulo que forman son iguales respectivamente a los de un segundo triángulo, ambos son congruentes o iguales. Observa las ﬁguras siguientes y
complementa lo que falta:
El lado MN es ______ al lado ______
El lado ___ es igual al lado ________
El ángulo ____ es _____ al <S
MNO es ________ M
_ o __________ al triángulo PQR
En conclusión, el MNO es _________ o __________ al triángulo PQR
El segundo criterio expresa que si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente iguales, ambos triángulos son correspondientes o iguales entre sí. Revisa
las siguientes ﬁguras, mide los lados de cada una y determina si son correspondientes o iguales.
¿Cuáles lados son iguales?
El tercer criterio aﬁrma que si dos triángulos tienen un lado y dos ángulos iguales, entonces son triángulos congruentes o iguales. Dibuja dos triángulos que
cumplan con este criterio.
Completa el enunciado siguiente:
Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos __________ y
sus lados correspondientes ____________________.
Los triángulos que se muestran son semejantes. Mide los ángulos, los lados y
anota lo que hace falta para completar las expresiones que demuestran la semejanza entre ellos.
<A = <___
= _____ =
<___ =<___
<___ = <___
¿Los triángulos son semejantes? ¿Por qué?
Anota el enunciado del teorema de Pitágoras y su expresión matemática:
En la siguiente ﬁgura, hemos dibujado cuadrados tomando como base las dimensiones de cada uno de los catetos y la hipotenusa. Tu tarea será dividir cada
uno de los cuadrados en pequeños cuadros de aproximadamente 1cm x 1 cm.
Suma el total de cuadritos que aportan los dos catetos y compáralos con los cuadritos que aporta la hipotenusa. Escribe un pequeño comentario sobre lo que
aprecias y relaciónalo con la expresión del teorema de Pitágoras.
Mis observaciones: ___________________________________________________
Utilizando la expresión matemática del teorema de Pitágoras y haciendo los
despejes necesarios, completa la tabla siguiente:
Medida del cateto A
Medida del cateto B
Espacio para cálculos:
Elige la opción que conteste correctamente las siguientes cuestiones.
1. Abertura formada por dos semi-rectas con un mismo origen llamado vértice.
C) Ángulo
E) Perpendiculares
2. ¿Qué nombre recibe la unidad de medida que sirve para calcular la abertura de un ángulo?
A) Centímetro
D) Milímetro
E) Kilómetro
3. Otra unidad de medida que puede tener un ángulo es...
A) el radian
B) la longitud
D) la masa
E) el radio
4. ¿Cómo se escribe en notación matemática 25 grados 12 minutos y 6 segundos?
A) 25° 6’ 12”
B) 25° 12’ 6”
C) 25° 12.6”
D) 25° 6.12”
E) 25° 12’ 60”
5. ¿Cuál de las siguientes ﬁguras corresponde a un ángulo de 90°?
6. ¿Cuál de las siguientes ﬁguras representa el ángulo
que mide 180°?
7. El ángulo que es menor a 90° o a un cuarto de vuelta, se denomina...
A) llano.
B) recto.
C) agudo.
D) obtuso.
E) cóncavo.
8. ¿Cómo se llama el ángulo que mide 90°?
E) Llano
9. El ángulo que es mayor a 90°, pero menor a 180°, se conoce como:
B) obtuso.
C) recto.
D) cóncavo.
E) agudo.
10. Ángulo que mide 180°.
11. Nombre que recibe el ángulo que es mayor a 180° pero menor a 360°.
A) Obtuso
B) Cóncavo
C) Llano
12. Si el valor de< es de 35º, ¿cuál es el valor del ángulo >?
13. Si el valor
14. Si el valor de
es de 125º, ¿cuál es el valor del ángulo ß?
es de 220º, ¿cuál es el valor del ángulo ß?
15. ¿Qué nombre recibe la ﬁgura geométrica determinada por tres rectas, que se cortan
en tres puntos diferentes?
16. ¿Qué nombre recibe el triángulo cuyos tres lados son desiguales?
A) Equiángulo
C) Acutángulo
17. ¿Qué nombre recibe el triángulo que tiene dos lados iguales?
B) Acutángulo
E) Obtusángulo
18. Triángulo que tiene sus tres lados iguales.
E) Isósceles
19. Triángulo que tiene un ángulo recto.
D) Equiángulo
20. ¿Qué nombre recibe el triángulo que tiene tres ángulos agudos?
21. Triángulo que tiene un ángulo obtuso.
22. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta AB que bisecta el ángulo A y llega hasta el lado
opuesto de la recta”, se deﬁne como...
C) bisectriz.
23. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del vértice C y que es perpendicular
al lado”, se deﬁne como...
A) bisectriz.
D) mediatriz.
24. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del vértice C hasta el punto medio
del lado”, se deﬁne como...
B) bisectriz.
C) mediatriz.
25. En el siguiente triángulo: “el segmento de recta que parte del punto medio del lado en forma
perpendicular” se deﬁne como...
A) mediatriz.
C) altura.
D) bisectriz.
26. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado l • a • l ?
A) II - IV
27. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado a • l • a?
B) II – I V
(III) 75° 35°
28. ¿Qué triángulos son congruentes de acuerdo al postulado l • l • l?
D) I - IV
29. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incógnitas “x” y “y”.
A) x = 28.8 y = 23.5
B) x = 45 y = 14.4
C) x = 28.8 y = 40
D) x = 20 y = 27
E) x = 27 y = 20
30. Apoyándote en el concepto de semejanza de triángulos, encuentra el valor de las incógnitas.
C) x = 48
D) x = 128 y = 2
E) x = 2
El triángulo de Penrose y el trabajo artístico de M. C. Escher
¿Te gustan las ilusiones ópticas? Observa atentamente la ﬁgura que se conoce como triángulo de Penrose ¿Qué observas? ¿Cómo podrías describirlo?
¿Es posible construirlo realmente?
M.C.Escher es el artista que mejor ha reﬂejado gráﬁcamente el pensamiento
matemático moderno. Aún sin ser matemático, sus obras muestran un interés y
una profunda comprensión de los conceptos geométricos, desde la perspectiva
a los espacios curvos, pasando por la división del plano en ﬁguras iguales. En su
obra Cascada (1961) toma como base el triángulo (más conocido como el tribar
de Penrose)
Penrose deﬁne al tribar como una ﬁgura triangular en tres dimensiones imposible
porque su existencia está basada en uniones de sus lados formadas por elementos
corrientes pero incorrectos. Aunque cada uno de los ángulos que forman este triángulo parece correcto, los tres son rectos y suman 270º. Escher marca el absurdo de la
imagen mediante una corriente de agua que sube hasta una cascada desde la cual cae
en un perpetuum mobile (movimiento perpetuo).
1 Bats and Angels
2 Les parapluies de Verone
3 Lobachevskian space
Objetivo de la unidad: El estudiante resolverá problemas relacionados con polígonos y circunferencia, de
tipo teórico o prácticos en distintos ámbitos, mediante
la aplicación y el análisis de teoremas, recta, triángulos
y ángulos, en un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación,
iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se
¿Alguna vez te has preguntado qué conocimientos requieren los arquitectos, ingenieros civiles, carpinteros e ingenieros mecánicos para diseñar y construir casas, puentes, carreteras,
muebles o automóviles? En esta unidad conocerás los elementos básicos que ellos utilizan
en el diseño de maquinaria, interiores de casas-habitación, equipo, herramienta y para la
construcción de muebles, ediﬁcios, puentes y jardines. Asimismo, si es de tu agrado el arte
de pintar, con el estudio de los temas de esta unidad tendrás las bases para plasmar con
mayor facilidad todas las ideas que vengan a tu imaginación.
¿Sabías que existen mediciones que al hombre le resultan imposibles hacer de manera directa como el caso de determinar las distancias astronómicas? ¿Cómo pueden, entonces, los
astrónomos determinar tales distancias? ¿En qué se basan? ¿Cuáles conocimientos aplican?
Sorprendentemente, te darás cuenta de que los cálculos astronómicos tienen su fundamento
en los temas que aborda la presente Unidad.
En el primer tema de la unidad distinguirás entre polígonos y poligonales, entre polígonos
regulares e irregulares; clasiﬁcarás a los polígonos regulares de acuerdo a su número de
lados. De ellos conocerás, además, sus elementos básicos: el radio, el apotema y las diagonales que pueden ser trazadas desde cualquiera de sus vértices. Estudiarás, más adelante, la
forma de determinar los ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono, tema que se
verá reforzado al revisar la triangulación de polígonos. Para ﬁnalizar estudiarás los métodos
que se utilizan para calcular correctamente perímetros y áreas de polígonos.
Como segundo y último tema de la unidad se tratarán los conceptos de circunferencia y
circulo, con lo cual aprenderás a diferenciarlos; asimismo, conocerás sus elementos (radio,
cuerda, tangente, secante, diámetro, arco) y la clasiﬁcación de los ángulos en la circunferencia (central, inscrito y circunscrito). Esto te permitirá resolver problemas, comenzando
con ejercicios sencillos hasta llegar a aplicarlos en una situación real. Cabe mencionar que
la rueda (una aplicación del círculo) no fue inventada por el hombre, sino que solamente la
descubrió y se encargó de darle un uso diverso en la industria y en el hogar para satisfacer
una múltiple gama de necesidades de la humanidad entera; entre las múltiples aplicaciones
de la rueda podemos mencionar las llantas de automóviles, los discos de frenado, los sistemas de engranajes, etc. Ahora es tu turno para que llegues a descubrir aquello que aún se
encuentra escondido en los misterios de la ciencia.
Es necesario que trabajes en equipo en la realización de las actividades e investigaciones que se te sugieren para que se compartan cada una de las experiencias y se
enriquezca la experiencia en el aula, propiciando que tanto tú como tus compañeros
expresen sus opiniones tal como las perciben.
Para obtener aprendizajes sólidos al estudiar los temas de esta unidad te sugerimos
volver a repasar la clasiﬁcación de los ángulos, especialmente la que corresponde a
los ángulos complementarios y suplementarios ya que te serán de gran utilidad para
resolver problemas relacionados con la suma de ángulos interiores y exteriores en
los polígonos. Otro contenido relevante para abordar los temas de esta Unidad es el
teorema de Pitágoras, por lo que se sugiere que lo vuelvas a practicar. Emplea tu imaginación y creatividad para que desarrolles tus talentos y logres ver esta unidad como
aquella que te permitirá darle una aplicación en tu entorno, haciendo cuanto puedas
a través del uso de tu juego de geometría en el trazo de polígonos y circunferencias.
El problema al que te puedes enfrentar es el no saber distinguir el vértice dados tres
puntos en los polígonos y la circunferencia. También deberás saber sustituir y despejar
para que evites cometer algún error de operación.
Una de las maneras que te permiten comprobar tus resultados en la geometría plana,
es el de hacer los trazos y dibujar cada una de las ﬁguras haciendo uso de tu transportador, escuadras y compás, esto te permitirá ubicar los datos e imaginar previamente
la posible solución comprobando así los cálculos que realizarás.
Como ya se señaló en la presentación del Cuadernillo, no se exige un texto en particular para el desarrollo de las actividades de aprendizaje, sin embargo los que citaremos
a continuación te pueden ser de mucha utilidad por su actualidad y apego al Programa
• García, Miguel y Manuel Rodríguez. Matemáticas 2, Bachillerato. México. ST
http://www.arrakis.es/~bbo/geom/trian1.htm Un sitio muy interesante donde encontrarás información de los polígonos, cuerpos con volumen, biografías y ﬁchas de trabajo.
tipos básicos de curvas, a conocer los métodos de medición de curvas y sus aplicaciones así como
el surgimiento de la geometría fractal.
Programa 3.- Medición del área de una curva
Este programa te ayudará a identiﬁcar las diferencias del área plana y el área espacial; te ayudará a
comprender la importancia de utilizar el geoplano en la medición de áreas y algunas aplicaciones
de la medición de áreas.
Programa 4.- Curva y circunferencia
En este programa se te proporcionarán elementos para conocer las propiedades del círculo y de la
circunferencia, las maneras de calcular el área de un círculo y la longitud de una circunferencia,
así como algunas aplicaciones prácticas de estos conocimientos.
Programa 5.- Cálculo de áreas y volúmenes
Al observar este programa podrás conocer más de cerca los procedimientos matemáticos del cálculo de áreas y volúmenes, el fundamento matemático del teorema de Arquímedes y de las aportaciones del matemático Cavalieri.
Programa 6.- Construcción y uso de poliedros.
Con la observación del programa de televisión educativa “Construcción y uso de poliedros” profundizarás en los conocimientos de la geometría del espacio y en el uso de los poliedros en la vida
El programa de televisión educativa “La recta” te ayudará a conocer las formas para medir la pendiente de una recta y la función de los triángulos dentro de la medición de una recta. Te invitamos
a observarlo con atención en tu Centro de Servicios
2.1 POLÍGONOS
Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos o prácticos de polígonos que involucren los
diferentes tipos de polígonos, así como el cálculo de sus ángulos, áreas y perímetros.
2.1.1 Deﬁnición
1.- Observa cada una de las ﬁguras con atención, fíjate en aquellas características en las que coinciden y trata de asociarlas con el concepto que las agrupa
(poligonal o polígonos). Partiendo de tus observaciones escribe una deﬁnición
con tus propias palabras. Posteriormente investiga en la bibliografía que tengas
a tu alcance y discute en grupo tus conclusiones en un ambiente cooperativo
para llegar a una deﬁnición común.
¿Qué es una poligonal? _______________________________________________
¿Qué es un polígono? ________________________________________________
2.1.2 Clasiﬁcación de los polígonos
1.- Lee con atención la información siguiente:
ENÉAGONO
11 ENDECÁCONO
2.- Partiendo de la información que acabas de revisar, escribe con tus palabras
qué es un:
a) POLIGONO REGULAR: ____________________________________________
b) POLIGONO IRREGULAR ___________________________________________
3.- Comenta con tu Asesor y tus compañeros tus descripciones y traten de llegar
a una idea común.
4.- Revisa con atención la información siguiente:
Los polígonos se clasiﬁcan según sus ángulos en:
a) Cóncavos
b) Convexos
5.- Responde:
¿Cuál es el criterio para clasiﬁcar a un polígono como cóncavo o convexo?
6.- Lee con atención:
a) Equiángulos. Aquellos cuyos ángulos son iguales, sean irregulares o regula
res, por ejemplo:
b) Equiláteros. Aquellos en los que todos sus lados son iguales, sean regulares
o irregulares, por ejemplo:
7.- Investiga a qué se le llama radio y a qué se le llama apotema de un polígono.
Anota las deﬁniciones que encontraste:
8.- Para cada uno de los siguientes polígonos dibuja tanto el radio como la apotema. Marca con rojo la apotema y con azul el radio.
9.- Para cada uno de los polígonos que te presentamos:
a) Toma un vértice del polígono y partiendo de él dibuja todas las diagonales
posibles sin que se crucen entre sí.
b) Aplicando la fórmula correspondiente, calcula el total de diagonales y compara el resultado numérico con lo que obtuviste en el inciso (a). (Recuerda
que en la fórmula n signiﬁca el número de lados que tiene el polígono)
Cálculo del total de diagonales (n-3)
2.1.3 Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono
10.- Utilizando escuadras y transportador, marca y mide los ángulos interiores y
exteriores de cada polígono.
11.- Concentra tus resultados en la tabla siguiente
12.- Ahora aplica las fórmulas correspondientes y calcula la suma de los ángulos interiores y la suma de los ángulos exteriores para cada polígono. Compara
estos resultados con los que obtuviste en la actividad anterior y comenta con
tu Asesor y tus compañeros tus observaciones acerca de las coincidencias y las
(n - 2) 180°
e= 360°
S=n•e
2.1.4 Triangulación de polígonos
1.- Investiga en libros y describe con tus palabras en qué consiste la triangulación de polígonos y cuál es su utilidad.
2.- En los siguientes polígonos traza la triangulación y determina la suma de los
3.- ¿Coincide la suma de los ángulos interiores con lo que calculaste anteriormente? Anota tus comentarios al respecto y compártelos con tus compañeros y
tu Asesor.
2.1.5 Cálculo de perímetros y áreas de polígonos.
Investiga en los libros a tu alcance y desarrolla lo que se pide:
1. En términos generales ¿Cómo se determina el perímetro de un polígono?
2. ¿Qué datos son necesarios para calcular el área de un polígono? ¿Qué fórmulas se aplican?
3. Completa el cuadro siguiente:
Fórmula para calcular el área
2.2 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
Objetivo temático: Resolverás problemas teóricos y prácticos de la circunferencia y círculo
aplicando las propiedades y teorías de los ángulos en la circunferencia, mediante la obtención
de perímetro y áreas del círculo y la circunferencia.
2.2.1 Deﬁnición y elementos de la circunferencia y del círculo
1. Observa atentamente el diagrama que se presenta a continuación y escribe
los nombres de cada uno de los elementos de la circunferencia. Si desconoces
alguno investiga en libros o en la Enciclopedia Encarta. Comparte tus respuestas
con tus compañeros y con tu Asesor.
MN : _______________ PQ : _______________ ST: ____________________
UW: _______________ OR: _______________
O:_____________________
2. Refuerza lo que acabas de aprender resolviendo el crucigrama que te proponemos a continuación:
1. Porción de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
6. Cualquier segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.
7. Recta que toca un solo punto de la circunferencia.
2. Punto interior del que equidistan todos los puntos de la curva
3. Todo segmento que une un punto cualquiera de la circunferencia con el
4. Segmento de recta que une dos puntos no consecutivos de la circunferencia.
5. Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.
2.2.2 Rectas tangentes a un círculo
¿Cuántos puntos del círculo toca una recta tangente?
1.- En los siguientes círculos dibuja una, dos y tres rectas tangentes, respectivamente:
2.2.3 Ángulos en un círculo
1.- Investiga sobre el tema de ángulos en un círculo y completa el cuadro siguiente:
Fórmula para calcular su medida
2.- Revisa las siguientes ﬁguras donde se muestran algunos ángulos con sus
fórmulas. Colorea con rojo los arcos y con azul los ángulos correspondientes.
<AOB=AB
<ABC=AC
<B =<C =90°
2.2.4 Perímetros y áreas
1.- Investiga el signiﬁcado de los términos siguientes y utilizando tus palabras
describe cada uno de ellos en tu cuaderno de notas o en el espacio que hemos
destinado en esta página. Te sugerimos dibujar los diagramas que consideres
necesarios para complementar la información.
• Área del círculo
• Perímetro de la circunferencia
• Anota a continuación las fórmulas para calcular el perímetro y el área de un
círculo. Asimismo, copia algún ejemplo de cómo se aplica cada fórmula colocando el dibujo o diagrama que ilustre la solución.
Ejemplo resuelto con diagrama
Instrucción: Relaciona lo que se pide y elige la opción correcta.
1. Relaciona las ﬁguras con los números romanos.
I. Polígonos
II. No - polígonos
A) I a b c d - II e f g h
B) I a c e f - II b d g h
C) I a c f h - II b d e g
D) I b d g h - II a c e f
E) I b d f h - II a c e g
2. Los polígonos ________ son los que tienen ángulos y lados iguales y los ______________ son
los de lados y ángulos desiguales.
B) regulares ... irregulares
C) cerrados ... abiertos
D) abiertos ... cerrados
E) irregulares ... cerrados
3. Relaciona la columna de la izquierda con los polígonos de la derecha.
b) Trapecio.
c) Rombo.
f) Octágono.
g) Trapezoide.
h) Cuadrado.
4. Relaciona las ﬁguras con su nombre:
I. Pemtágono
II. Heptágono
III. Hexágono
IV. Octágono
V. Cuadrilátero
5. Indica el valor del ángulo interior y exterior de un triángulo regular.
A) 120° y 60°
B) 135° y 45°
C) 30° y 150°
D) 45° y 135°
E) 60° y 120°
6. Indica el valor del ángulo interior y exterior de un octágono regular.
A) 108° y 72°
B) 120° y 60°
C) 135° y 45°
E) 72° y 108°
7. Observa los siguientes polígonos y suma sus ángulos internos. Relaciona tu respuesta con las cifras que aparecen con números romanos.
I. 1080°
II. 900°
III. 720°
IV. 540°
V. 360°
VI. 180°
8. Observa las siguientes ﬁguras geométricas e indica en cuáles se puede trazar sólo una diagonal partiendo de un único vértice.
A) a - b - c - d
B) a - c - f - g
C) a - d - e - f
D) a - d - f - h
E) a - d - g - h
9. Indica el número de diagonales que se pueden trazar y de triángulos que se pueden formar
en un heptágono regular, partiendo de un mismo vértice.
A) 5 y 4
B) 5 y 6
E) 4 y 4
10. Observa las siguientes ﬁguras geométricas y de acuerdo al orden en que aparecen, indica
el número de triángulos que se forman al trazar sus diagonales desde un vértice.
A) 3, 5, 4, 2, 2
C) 3, 6, 4, 2, 2
D) 3, 4, 7, 2, 1
E) 3, 4, 6, 2, 0
11. Curva cerrada y plana donde todos sus puntos equidistan de otro punto interior llamado
D) Cuerda
E) Secante
12. A la superﬁcie plana limitada por la circunferencia se le llama...
B) círculo.
C) cuerda.
D) secante.
E) tangente.
13. Es el segmento de recta que va del centro a un punto de la circunferencia.
14. Es el segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro
C) Secante
D) Diámetro
E) Tangente
15. Es el segmento de recta que NO intersecta el centro y cuyos extremos son puntos de
E) Diámetro
16. Recta que corta en dos cualesquiera de sus puntos a la circunferencia.
17. Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
18. Segmento de curva marcado o delimitado por dos puntos de la circunferencia.
19. Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.
A) semi-inscrito
D) inscrito
20. Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y todos sus lados son secantes.
B) inscrito
D) adyacente
E) ex-inscrito
21. Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia en donde uno de sus lados es una tangente y
el otro una secante.
C) ex-inscrito
D) semi-inscrito
22. El ángulo adyacente a un ángulo inscrito se conoce como...
A) interior.
B) semi-inscrito.
C) ex-inscrito.
E) exterior.
23. Ángulo cuyo vértice es un punto que está dentro de la circunferencia.
E) semi-inscrito
24. ¿Cuál es el valor del ángulo central AOB, si el arco vale 120°?
25. ¿Cuál es el valor del ángulo inscrito ABC, si el arco vale 110°.
26. ¿Cuál es el valor del ángulo semi-inscrito ABC, si el arco vale 60°?
27. ¿Cuál es el valor del ángulo exterior BCD, si el arco vale 40° y el arco vale 110°?
28. ¿Cuál es el valor del ángulo interno DBC, si el arco vale 30° y el arco vale 120°?
29. Calcula el valor del ángulo exterior EAB, si el arco vale 60° y el arco vale 10°.
30. Calcula el valor del arco , si el ángulo BAE vale 80° y el arco tiene un valor de 10°.
E) 170°
31. Calcula el valor del arco si el segmento de recta es paralela a , el arco vale 15° y el ángulo
EDF vale 25°.
Instrucción: Desarrolla lo que se pide.
32. Determina para cada uno de los casos siguientes la medida de cada ángulo interior:
33. Determina el número total de diagonales que se pueden trazar en los siguientes polígonos
partiendo de un solo vértice:
34. Determina el número de lados que tiene un polígono regular o irregular cuyos ángulos interiores suman:
A) 6840º
B) 4140º
C) 1980º
35. Calcular el perímetro de los siguientes polígonos de acuerdo a los datos mostrados:
A) Hexágono de 22 cm de lado y 19 cm de apotema.
B) Cuadrado inscrito en una circunferencia de 6cm de radio.
C) Trapecio de 40 y 80 cm de base, respectivamente y una altura de 10 cm.
36. El Sr. Juan desea colocar mosaico para el piso de su baño, si cada mosaico mide 25cm x 25cm,
Sala-comedor Baño Dormitorio
37. En la ﬁgura, asocie un término del lado izquierdo con los nombres del lado derecho:
b. Angulo central
c. Semicírculo
d. Arco menor
e. Arco mayor
g. Diámetro
h. Secante
i. Tangente
j. Poligono inscrito
k. Poligono circunscrito
l. Circulo inscrito
m. Circulo circunscrito
n. Angulo semi-inscrito
p. Angulo Exterior
q. Angulo inscrito
3. circulo O en ABCD
4. Cuadrilatero EFGH
5. < GCH
6. FEG arc
8. < EOF
10. arc EF
12. < FGH
13. arc FGH
14. cuadrilatero ABCD
15. Circulo O alrededor de EFGH
16. < FEA
38. De la siguiente ﬁgura geométrica se sabe que el área ABCD es de 64 cm2, calcula el
perímetro de la ﬁgura geométrica ABCD así como el área de las partes sombreadas.
A) 8 cm y 24 cm2
B) 16 cm y 24 cm2
C) 16 cm y 32 cm2
D) 32 cm y 24 cm2
E) 32 cm y 32 cm2
39. Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 2 cm y su
apotema 1.73 cm.
1=2 cm
A) P = 8 cm A = 6.92 cm2
B) P = 12 cm A = 20.76 cm2
C) P = 8 cm A = 20.76 cm2
D) P =12 cm A = 10.38 cm2
E) P = 8 cm A = 10.38 cm2
40. A continuación aparece una moneda antigua de diez pesos, calcula el área de la
corona circular donde se lee $10, Diez Pesos, 1998.
A) .45 cm
B) 1.01 cm2
C) 1.41 cm2
D) 2.90 cm2
E) 3.18 cm2
Según consta por documentos históricos, existieron algunos pensadores griegos que destacaron en diversas
ramas del saber. Entre los matemáticos más distinguidos
se cuenta a Herón de Alejandría a quien se le debe,
entre otras cosas, la invención de la máquina de vapor
y de una fórmula para calcular el área de un triángulo a
partir de su perímetro. En la nota siguiente te mostramos
algunos datos de su biografía.
Herón de Alejandría (s. I ó II d.C.) es considerado el inventor de la máquina de
vapor. A partir del siglo XVIII muchas máquinas empezaron a funcionar gracias
a la energía que se obtiene del vapor de agua, sin embargo, diecisiete siglos
antes, Herón de Alejandría ya había utilizado las posibilidades energéticas del
vapor. Su “máquina de vapor” era una esfera hueca a la que se adaptaban dos
tubos curvos. Cuando hervía el agua en el interior de la esfera, ésta giraba a gran
velocidad como resultado de la ley de acción y reacción, que no fue formulada
como tal hasta muchos siglos más tarde. A pesar de la trascendencia del invento,
durante siglos a nadie se le ocurrió darle más utilidad que la construcción de
unos cuantos juguetes.
Por otra parte, en su tratado denominado Métrica demostró la fórmula que lleva
Área del triángulo = s (s - a) (s - b) (s - c)
Donde: a,b,c son las medidas de los lados del triángulo, s es el semiperimetro
La fórmula, que constituye el principal mérito matemático de Herón, es fácil de
demostrar con ayuda de trigonometría.
En nuestros días, la fama de Herón se debe, sobre todo, a sus deliciosos tratados
sobre autómatas griegos y juguetes hidráulicos, como la paradójica «fuente de
Herón» donde un chorro de agua parece desaﬁar la ley de la gravedad, pues
brota más alta que su venero.
Herón era, sobre todo, un ingeniero. Escribió tratados de mecánica en los que
describía máquinas sencillas (ruedas, poleas, palancas ... ).
TRIGONOMÈTRICAS
Objetivo de la unidad : Resolverás problemas de funciones trigonométricas teóricos o prácticos de distintos
ámbitos, mediante la aplicación y el análisis crítico y
reflexivo de sus propiedades, que permita la resolución
de triángulos rectángulos, en un ambiente escolar que
favorezca el desarrollo de actitudes de responsabilidad,
cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno
En la primera Unidad tuviste oportunidad de familiarizarte con los triángulos y sus
características. Partiendo de tales conocimientos podrás abordar con mayor facilidad
los temas que se presentarán en esta Unidad que se intitula “Las Funciones Trigonométricas”. En ella aprenderás a resolver con el auxilio de la trigonometría, problemas
que se presentan en una diversidad de aplicaciones de la vida cotidiana o del trabajo
especializado, como es el caso de los ingenieros de la construcción al diseñar estructuras, los topógrafos cuando efectúan el trazo de carreteras en terrenos difíciles
de transitar y para calcular distancias entre objetos de manera indirecta, es decir, sin
necesidad de medir en el lugar con algún instrumento sino a través de un calculo
matemático. También es útil para el diseño de estructuras que van desde un puente
hasta el diseño de automóviles.
Los temas a tratar en esta tercera unidad son dos:
• Funciones trigonométricas para ángulos agudos y
• Funciones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud.
En el primer tema aprenderás a realizar conversiones de ángulos expresados en grados sexagesimales a radianes y viceversa; posteriormente estudiarás las razones trigonométricas como una propiedad de los triángulos rectángulos; conocido lo anterior,
mediante cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, podrás obtener las funciones recíprocas y por medio de la geometría, y el teorema de Pitágoras,
calcularas los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º
y 60º, lo cual te ayudará a resolver problemas de triángulos rectángulos. Este tipo de
problemas tienen la ﬁnalidad de que aprendas a calcular distancias o longitudes de
ríos, cables, etc., y alturas de ediﬁcios, árboles, personas, etc. con el auxilio de cálculos matemáticos y sin necesidad de mediciones de campo.
Una vez que se han estudiado las funciones trigonométricas para ángulos agudos,
en el segundo tema comenzarás a determinar los valores para cualquier otro ángulo;
por tal razón, será necesario que sepas ubicar a las funciones trigonométricas en el
plano cartesiano para conocer los signos y valores que adoptan según el ángulo de
referencia a emplear. Posteriormente será necesario graﬁcar cada una de las funciones
para conocer su comportamiento periódico y sus variaciones. Se incluye el círculo
unitario para comprobar que las funciones trigonométricas de un ángulo son razones
que pueden ser representadas mediante segmentos de recta y con ellos se mostrará la
ventaja de las funciones de un segmento para obtener las funciones trigonométricas
de manera sencilla; por último, se considera el tema de identidades pitagóricas, las
cuales serán de gran utilidad en la resolución de problemas. Esto te apoyará sustancialmente en la asignatura de Física que cursarás hasta el tercer semestre y te facilitará
la simpliﬁcación de operaciones.
Te invitamos a que realices las actividades que se te proporcionan, así como también,
pongas toda la atención necesaria usando tu creatividad y realices ejercicios de prácticos en equipo en un ambiente coolaborativo y de respeto, recuerda que las ideas de
los demás te permitirán ampliar tu visión.
Para apoyar la resolución de las actividades de aprendizaje puedes utilizar cualquier
libro de Geometría o Trigonometría que tengas a tu alcance en el Centro de Servicios.
Sin embargo te sugerimos la consulta de los siguientes textos que por su actualidad y
apego puntual al programa de estudios te pueden ser de utilidad:
En la Enciclopedia Encarta puedes revisar los siguientes artículos que complementarán
el estudio de los temas de la Unidad:
Seno (matemáticas)
Por otra parte, te recomendamos ver en tu Centro de Servicios los siguientes programas de televisión. Cada uno de ellos trata contenidos relevantes y te serán de mucha
utilidad. Cuando los observes toma nota de las explicaciones y los ejemplos.
Programa 10.- Funciones trigonométricas
El programa de televisión educativa “Funciones trigonométricas” te ayudará a comprender mejor cómo se obtienen los valores de las funciones trigonométricas y algunas de sus múltiples aplicaciones en la vida cotidiana.
http://www.edumedia-sciences.com/a348_l3-circulo-trigonometrico.html
una interesante animación de la posición de un punto en el círculo trigonométrico,
mostrando simultáneamente la gráﬁca del seno y el coseno del ángulo formado.
www.matebrunca.com/trigonometria/circulo-trigono.doc es un sitio que permite descargar un archivo en Word donde se explica de manera muy sencilla la descripción y
la aplicación del círculo trigonométrico.
http://www.dim.uchile.cl/~rgormaz/trigo_bas.html es un sitio generado por la Universidad de Chile y tiene información sobre el círculo trigonométrico y las identidades
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente signiﬁca ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma
directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el ﬂujo de corriente
alterna. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y
la trigonometría esférica.
Para orientarte en el estudio de los temas que comprende esta Unidad te sugerimos
guiarte por las siguientes preguntas:
¿Qué es un radián? ¿Cuál es la relación entre un grado sexagesimal y el radián?
¿Cuáles son las funciones trigonométricas? ¿Cómo se deﬁne cada una de ellas?
¿Qué valores toman las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 60° y 45°?
¿Cómo se calculan los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida?
¿Qué signo tienen los valores de cada función dependiendo del cuadrante en el que
se encuentre el lado terminal del ángulo?
¿Cómo se utilizan las funciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos?
¿Qué características presentan las gráﬁcas de las funciones trigonométricas?
¿Por qué razón se aﬁrma que las funciones trigonométricas son “periódicas”?
¿A qué se le llama el círculo unitario? ¿Cómo se representan en él cada una de las
3.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS AGUDOS
Objetivo temático: Resolverás problemas de funciones trigonométricas para ángulos agudos y su aplicación práctica que involucren conversiones de ángulos y razones y funciones trigonométricas utilizando métodos de resolución de triángulos rectángulos.
hipotenusa(hip)
opuesto(op)
adyacente(ady)
1. Estudia con atención la información siguiente: En un triángulo rectángulo como el
que se muestra enseguida, se tiene el ángulo agudo , respecto del cual se pueden
establecer razones entre los lados.
Las primeras tres razones trigonométricas para el ángulo I son:
2. Aplica lo anterior y, partiendo de la información que presentan cada triángulo, obtén los valores del seno, coseno y tangente, para los ángulos y ß
sen ß
tan ß
3. Confronta tus respuestas con la solución que se proporciona en la página 87.
Si tienes errores, corrígelos y consulta a tu Asesor para resolver las dudas.
3.1.1 CONVERSIÓN DE ÁNGULOS EN GRADOS
A RADIANES Y VICEVERSA
Revisa en la bibliografía que tengas a tu alcance de qué manera se efectúa la
conversión de ángulos a radianes y viceversa. Toma las notas necesarias y desarrolla las actividades siguientes:
4. Estudia con atención los ejemplos siguientes sobre el cambio de medidas
90°=90
=180 =60°
270°=270
= 7π =180 =210°
5. Realizando los cálculos necesarios, completa la siguiente tabla:
6. Examina atentamente los siguientes ejemplos de conversión de ángulos a
radianes y viceversa:
a) Convertir a radianes 39° 15’ 45”
- Convertimos inicialmente los 45” a minutos:
=0.75’
Sumamos el resultado a los 15’ y efectuamos la conversión a grados:
- Añadimos este resultado a los 39° y realizamos la conversión a radianes:
39.2625°
=0.218π rad
que es el resultado buscado
b) Convertir a grados 1.0532116 rad
- Multiplicamos por π rad para efectuar la conversión de radianes a
1.0532116 π rad 180° =60.344438°
- La fracción de grado se convierte a minutos de la siguiente manera:
0.6663 60’ =20.6663’
- Posteriormente, la fracción de minutos se convierte a segundos:
0.6663 60’ =39.978” 40”
- La solución es, entonces, 60° 20’ 40”
7. Practica lo aprendido realizando las conversiones que se piden.
I. Convierte a radianes los siguientes ángulos
a) 35°15’45”
b) 85°30’
c) 100°25’14”
II. Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos
a) 1.8 πrad
b) 4 πrad
8π rad
3.1.2 Funciones recíprocas
8. Reúnete con dos o tres de tus compañeros y traten de contestar a las preguntas ¿Qué signiﬁca
en el lenguaje cotidiano el término “recíproco”?¿Qué signiﬁca en matemáticas? Traten de obtener
acuerdos y posteriormente presenten al grupo sus ideas para tratar de obtener en consenso una
deﬁnición común. Haz tus anotaciones en el espacio siguiente:
9. Completa el cuadro siguiente:
10. Resuelve lo que se pide:
a) Calcula las funciones trigonométricas directas e inversas del ángulo B en el siguiente
4 √5 cm
sen B= ________
csc B= ________
cos B= ________
sec B= ________
tan B= ________
cot B= ________
b) Encuentra la función inversa y su valor correspondiente:
tan = √2
3.1.3 Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para
ángulos de 30°, 45° y 60°
11. Estudia con atención el texto que se presenta a continuación.
En un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 unidades cada uno, se ha trazado la altura y en consecuencia se han obtenido dos triángulos rectángulos con
las dimensiones que se muestran en la ﬁgura siguiente:
La dimensión de la altura del triángulo se calculó aplicando el teorema de
Sustituyendo en la expresión los valores c =2 , a = 1 y despejando, se obtiene
el valor de b
b2=c2 - a2
b= c2 - a2
b= 22 - 12
b= 4 - 1
Para obtener los valores de las funciones trigonométricas de 60° se tomará en
Cateto opuesto = √3
Cateto adyacente = 1
Hipotenusa = 2
12. Con toda esta información obtén los valores que se solicitan:
sen 60° = cateto opuesto =---------hipotenusa
=---------hipotenusa
tan 60° = cateto opuesto =---------cateto adyacente
13. Lee con atención y resuelve lo que se pide.
Para el ángulo de 30°, los valores que consideraremos serán:
Cateto opuesto = 1
Cateto adyacente = √3
Y las funciones trigonométricas correspondientes tendrán los siguientes valores:
=---------- = √3
Investiga por qué razón hemos
anotado este valor
Para obtener los valores que corresponden a un ángulo de 45° trazamos un
triángulo rectángulo que tiene las medidas que se muestran:
Los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45° serán:
=---------cateto adyacente
14. Concentra en la siguiente tabla los valores para estos ángulos
Valor del ángulo
3.1.4 Resolución de triángulos rectángulos
15. Estudia atentamente la información que te presentamos. Investiga en la bibliografía a tu alcance sobre el tema y haz tus anotaciones en tu cuaderno de
En toda aplicación para la resolución de triángulos se proporcionan datos incompletos o se desconocen algunos de ellos, como en el caso de los ángulos o
longitudes de catetos de un triángulo rectángulo. Al procedimiento de encontrar los valores restantes partiendo de los datos originales, se le conoce como
“resolución de un triángulo rectángulo”. Para que esto se cumpla, debes saber
resolver problemas sencillos donde apliques las razones trigonométricas para el
uso de triángulos rectángulos y recordar el teorema de Pitágoras.
Un triángulo rectángulo puede resolverse cuando se den como datos:
a) Dos lados
b) Un lado y la hipotenusa.
c) Un lado y un ángulo agudo.
d) La hipotenusa y un ángulo agudo.
Observa la solución a los ejemplos que se muestran a continuación:
Ejemplo 1: Resuelve el siguiente triángulo rectángulo donde se dan como datos
un lado y un ángulo agudo.
M=30° 20’
a) Encontraremos primero el ángulo Q, recordando que el ángulo N tiene un
valor de 90 ° y que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo
M + N + Q = 180°
Q = 180° - (N + Q)
Q = 180° - (90° + 30°20’) = 59°40’
b) Para obtener el valor de los lados q y n, utilizaremos las funciones seno y
tangente, porque la primera relaciona el cateto opuesto (m) con la hipote
nusa (n) y la función tangente relaciona ambos catetos (m y q).
sustituyendo=
sen M=
sen 30° 20’=
= sen 30°20’ = 9.9
sen 30°20’
c) Para obtener el valor de q, tomando en cuenta que ya conocemos el valor
de la hipotenusa (n) y el del cateto opuesto (m), podemos utilizar tanto el
teorema de Pitágoras como la función tangente. Veamos ambos casos.
Utilizando el teorema de Pitágoras
n2 = m2 + q2
9.92 = 52 + q2
q2 = 9.92 - 52
q= 9.92+52
q= 98.01- 25=73.01=8.544
Utilizando la función tangente:
Como se puede observar, por ambos métodos obtenemos el mismo resultado.
d) La superﬁcie del triángulo se obtiene aplicando la fórmula S= b x h
S= (8.544x5)=21.36u
Ejemplo 2: El techo de una casa habitación construida a doble agua (ver ﬁgura),
tiene una distancia horizontal de 20 mts y una elevación de 3 mts. Calcular la
longitud de la parte inclinada del techo y el ángulo de inclinación.
La forma del techo puede dividirse en dos triángulos rectángulos, cada uno de
ellos mide en su base 10 m. La elevación del techo (que para nuestro problema
sería el cateto opuesto al ángulo B), tiene una medida de 3 m. Con estos datos,
las incógnitas en nuestro problema serían tanto la hipotenusa como la medida
del ángulo B.
Empleamos el teorema de Pitágoras para calcular la dimensión de la parte inclinada del techo:
x2 = 102 + 32
x2 = 100 + 9 = 109
x = 109 =10.44 m aproximadamente.
Para determinar el valor del ángulo B podemos utilizar indistintamente las funciones seno, coseno y tangente del ángulo, todo depende de cuáles datos utilicemos. En este ejemplo utilizaremos la función tangente porque relaciona ambos
catetos, que fueron los datos originales. En consecuencia:
= 3 =0.3
Como no es de nuestro interés conocer la tangente de B sino la dimensión del
ángulo B, realizamos el siguiente despeje:
tan B = 0.3
B = tan-1 (0.3)
Utilizando nuestra calculadora ubicamos el ángulo cuya tangente tiene un valor
de 0.3, lo cual nos da el valor de 16.699° (Veriﬁca este resultado en tu calculadora), lo cual también equivale a 16°41’57”. Con esto hemos llegado al ﬁnal
16. Estudia atentamente la siguiente ﬁcha temática:
Apoyo de la calculadora para obtener valores de funciones trigonométricas
En estos tiempos es común usar una calculadora cientíﬁca que nos permita
determinar más rápidamente los valores de funciones. Para ello es necesario
que en la calculadora presiones la tecla para que aparezcan las siglas (DEG), es
decir, ángulo en grados sexagesimales.
Para encontrar el valor de sen 35° a través de tu calculadora, procede a:
• Encender la calculadora
• Cerciorarte de que en la pantalla aparezca: “DEG”
• Presionar el valor de 35
• A continuación presionar la tecla de “sin” (o “sen”)
• Observar que aparece en la pantalla el valor de: 0.573576436
• Para ﬁnes prácticos y cálculos matemáticos sólo se toma el valor con cuatro
decimales, esto es:
sen 35° = 0.5736
17. Encuentra los valores de las siguientes funciones trigonométricas, siguiendo
los pasos anteriores. Después compara tus respuestas.
1) sen 75°
2) cos 75°
3) tan 75°
4) sen 65°
5) cos 65°
6) tan 65°
7) sen 120°
8) cos 120°
9) tan 120°
10) sen 150°
11) cos 150°
12) tan 150°
13) cos 15°
14) sen 15°
15) tan 15°
16) cos 25°
17) sen 25°
18) tan 25°
19) sen 60°
20) cos 60°
21) tan 60°
22) sen 30°
23) cos 30°
24) tan 30°
Ahora podrás calcular valores de expresiones como las siguientes.
1) 6 sen2 45° + 6 cos2 60°
Procedimiento algebraico
6(sen 45°)2 + 6(cos 60°)2=
6(0.7071)2 + 6(0.5)2=
6(0.5) + 6(0.25)
3 + 1.5
El cuadrado de un ángulo es igual al ángulo elevado al
Con la calculadora se obtiene el valor de la función.
Se elevó al cuadrado y se multiplicaron los valores.
Se realizan las operaciones indicadas.
16 cos2 60° + 4 sen2 45°
4 sen2 60° + 2 cos2 45°
Con el objeto de aprender a resolver expresiones como la que se plantea, te
recomendamos seguir los pasos descritos en el ejemplo anterior al realizar las
operaciones con tu calculadora.
16(0.25) + 4(0.5)
4(0.75)+ 2(0.5)
16 (0.5)2 + + 4(0.7071 )2
4 (0.8660)2+ 2(0.7071)2
3.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
DE CUALQUIER MAGNITUD
Objetivo temático:Resolverás problemas de naturaleza periódica, utilizando conocimientos
sobre valores y signos, gráficas, dominio y rango de las funciones trigonométricas.
3.2.1. En un plano coordenado
1. Lee atentamente la información que se presenta enseguida:
Las funciones trigonométricas no se reﬁeren exclusivamente a triángulos rectángulos sino que se aplican con gran provecho en ángulos de cualquier medida.
Una manera conveniente de representar un ángulo consiste en colocar su vértice en el origen de los ejes coordenados, el lado inicial en el eje positivo de las
“x” y el punto P(a,b) determinaría la posición del lado terminal.
El ángulo de referencia es aquél que forma el lado terminal con el eje de las “x”,
sin importar el cuadrante en el que se ubique.
2. Para comprender mejor estas ideas, ubica los siguientes puntos en el plano
utilizando tus escuadras. Una vez realizado lo anterior, traza un segmento de
recta del punto al origen e indica el ángulo de referencia:
B (-3.2)
C (-4,-4)
D (2,-3)
Signo y valores de las funciones trigonométricas
2. Lee con atención y resuelve lo que se pide.
P(-a,b)
El cuadrante en el que se sitúa
el punto P(a,b) determina el signo que presenta cada una de las
coordenadas, como se muestra
en la ﬁgura de la derecha.
P(-a,-b)
P(a,-b)
Tomando esto en cuenta, veamos cuáles son los signos que adoptan las funciones trigonométricas dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el lado
terminal del ángulo:
Para un ángulo en el primer cuadrante
Aplicando las deﬁnciones, los signos que adopta cada función trigonométrica
en el primer cuadrante son:
= +b =+
= +a =+
= +c =+
En conclusión, para un ángulo del primer cuadrante, todas las funciones trigonométricas son positivas.
Determina, ahora, los signos para los ángulos en los otros tres cuadrantes:
Para un ángulo en el segundo cuadrante
= - a =+c
= +b =-a
= - a =+b
= +c =-a
En conclusión, para un ángulo en el segundo cuadrante, son positivas las funciones________________________________________________________________
y negativas las funciones _____________________________________________
Para un ángulo en tercer cuadrante
= -b =
= -a =
= +c =
Conclusión: para un ángulo en tercer cuadrante, las funciones trigonométricas
con signo positivo son _____________________________________ y las que presentan signo negativo son ______________________________________.
Para un ángulo en cuarto cuadrante
= - b =+
P(+a,-b)
Conclusión: para un ángulo en el cuarto cuadrante, las funciones trigonométricas con signo positivo son _____________________________________ y las que
presentan signo negativo son ______________________________________.
Concentra en el cuadro los resultados obtenidos:
Estudia con atención los ejemplos siguientes:
Ejemplo 1: Encuentre los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo A cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y su tangente es - 12
Por deﬁnición, la tangente del ángulo A es
= +b = 12
Trazamos un diagrama que represente al ángulo A en el segundo cuadrante y
con las dimensiones que nos proporciona el valor de la tangente:
P(-5,12)
Para obtener las dimensiones del lado terminal (que equivale a la hipotenusa del
triángulo) utilizamos el teorema de Pitágoras:
c2 = 122 + (-5)2
c2 = 144 + 25 = 169
Con este valor, las funciones trigonométricas para el ángulo A quedan así:
sen A = 12
cot A = 12 =- 12
cos A = -5 = - 5
sec A = 13 =- 13
tan A =-
El ángulo A está situado en el tercer cuadrante y su cotangente tiene un
valor de 7.
Determina los valores de las demás funciones trigonométricas:
Por deﬁnición, cot A =
Y como el ángulo A está en el tercer cuadrante, ambos catetos son negativos,
por lo que anotamos:
cot A=
Dibujamos un diagrama del ángulo:
P(-7,-1)
Calculamos el valor de c utilizando el teorema de Pitágoras:
c2 = (-7)2 + (-1)2
c2 = 49+ 1 = 50
c=√50 =5√2
Las funciones para el ángulo A son las siguientes (nota como hemos aplicado las
reglas de los signos, la simpliﬁcación y la racionalización cuando la raíz queda
en el denominador)
sen A = -1 = -1
5√2 5√2
5√2 35√2
cot A = -1 = 1
sec A = 5√2 =- 5√2
csc A = 5√2 =-5√2
Aplica lo aprendido en cada uno de los siguientes casos, en los que se da una
función trigonométrica y el cuadrante. Determina los valores de las demás funciones:
a) tan A = - 12 (2°)
c) cos A = 35 (4°)
Gráﬁcas de las funciones seno, coseno y tangente
Las funciones trigonométricas presentan una variación que se hace evidente
cuando se traza su gráﬁca tomando como referencia un punto P (x, y) que se
desplaza por el círculo unitario.
Para el punto P(x,y) la abscisa (x) representa al coseno del ángulo y la ordenada (y) representa el seno del ángulo de referencia, tomando esto en cuenta, el
punto P(x,y) puede denotarse como P(cos , sen ). En consecuencia, según
cambie la abscisa del punto P al desplazarse por el círculo unitario, de la misma
forma cambiará el valor del coseno. Asimismo, al desplazarse el punto P, el valor de la ordenada indicará el valor del seno del ángulo formado.
Observa el diagrama siguiente en el que hemos dividido en ocho partes el círculo unitario y cómo hemos trazado la gráﬁca del seno del ángulo . La gráﬁca
formada se llama senoide.
(x , b)
b 1 2π a
3π x
y=sen x, 0 < x < 2π
Partiendo del ejemplo que hemos mostrado, traza las gráﬁcas para el coseno,
la tangente, la secante y la cosecante del ángulo . Busca información en la
bibliografía a tu alcance para comprender mejor las características de cada
función y cómo se representan en la gráﬁca. Pide, como siempre, la ayuda de
GRÁFICA DE y=cos x
Rango: -1< y < 1
Dominio : R
Periodo: 2π
GRÁFICA DE y=tan x
Dominio: el conjunto de todos los números reales R, excepto π/2
+ kπ, k entero
Rango: R Periodo: π
GRÁFICA DE y=cot x
Dominio: el conjunto de todos los números reales R, excepto π/2 +
kπ, k entero Rango: R
GRÁFICA DE y=csc x
Dominio: todos los números reales x, excepto x= kπ, k entero
Rango: todos los números reales y, tales que y <-1 o y > 1
GRÁFICA DE y=sec x
Dominio: todos los números reales x, excepto x= π/2 + kπ,
k entero Rango: Todos los números reales y, tales que y<-1 o
y> 1 Periodo: 2π
3.2.2. En el círculo unitario
El círculo unitario se denomina “unitario” porque su radio es igual a la unidad.
Tiene su centro en el origen de los ejes coordenados y su ecuación es
Posiblemente recuerdes que la fórmula para calcular la circunferencia es
Y como en el círculo unitario r = 1, la fórmula se simpliﬁca:
Puesto que la circunferencia tiene 360°, por lo que la expresión anterior puede
De lo cual se deriva que
270° = 3π/2, etc.
En consecuencia, los puntos correspondientes a los ejes coordenados son:
π/2 (0,1)
P(0) = (1,0)
P(π/2) = (0,1)
P(π) = (-1,0)
P(3π/2) = (0,-1)
-π π=
3π/2 (0,-1)
Encuentra, ahora, las coordenadas para los puntos siguientes:
P(2π)=
• Funciones de un segmento
Otra representación frecuente y útil de las funciones trigonométricas se efectúa
con el auxilio del denominado “circulo unitario”. En este círculo las funciones
trigonométricas se representan mediante segmentos de recta.
Como se observa en la ﬁgura, situado un punto (B) en el círculo unitario, se han
efectuado algunos trazos que, como se estudiará, representan a las funciones
Para entenderlo bien, debemos tener en mente algunos supuestos básicos:
Los segmentos de recta son iguales y tienen valor igual a la unidad, es decir:
OA=OB=OC=1
Hay que notar, además que los triángulos OBD, OCT y OAM son semejantes.
OBD ~ OCT ~ OAM
Tomando en cuenta lo anterior, las funciones trigonométricas en el círculo unitario se deﬁnen de la siguiente forma:
= BD = BD =BD
OD AM AM
= BD = OA = 1 =AM
= OD = OD =OD
= OB OM OM
De acuerdo a lo que acabamos de aprender al estudiar la representación de
las funciones trigonométricas en el círculo unitario, el punto P (x,y), se puede
P(cos ,sen )
¿Recuerdas la expresión matemática del Teorema de Pitágoras?
De acuerdo al círculo unitario, r= 1, x = cos , y = sen ; por lo cual podemos
12 = (cos )2 + (sen )2
1 = cos2 + sen2 ....................................(1)
Que es la llamada identidad pitagórica fundamental
Si a la expresión (1) la dividimos por cos2 , obtendremos otra relación de gran
importancia, tomando en cuenta que y que la función recíproca del coseno
es la secante y que la tan2 = sen
=tan2
+1=sec2
Y si dividimos ahora la expresión (1) por sen2 obtenemos la siguiente expresión:
1 + cot2 =csc2
En resumen, las tres identidades pitagóricas fundamentales son las siguientes:
tan2 + 1 = sec2
1 + cot2 = csc2
Estas identidades funcionan para cualquier ángulo. Para comprobarlo realiza los
cálculos que se piden en el cuadro siguiente. Auxíliate con la calculadora para
Ángulo sen2 +cos2
+ 1 = sec2
Respuesta a los ejercicios de la página 63.
1. Determina los valores de las razones trigonométrica del seno, coseno y la tangente del ángulo
; cos = ; tan =
2. Determina los valores de las razones trigonométricas del seno, coseno y la tangente del ángulo
cos = ; tan =
C) sen = ; cos = ; tan =
D) sen =
E) sen = ; cos = ; tan =
3. Si el lado ﬁnal de un ángulo pasa por A, cuyas coordenadas son (3,4) como lo muestra la siguiente ﬁgura, determina las razones trigonométricas de los valores del seno , coseno q, tangente de
; tan = ; tan =
= ; tan = ; tan =
= ; tan = ; tan = 4
A (3,4)
= - 8 y el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, encuentra
4. Si el valor de tan
los valores de las otras dos funciones trigonométricas sen
; cos =- 8
cos = 10
=cos =
=- ; cos =
= ; cos =10
5. Si el valor de cos y = es un ángulo del segundo cuadrante, encuentra los valores
de las otras dos funciones trigonométricas sen y tan .
= ; tan
6. Calcula las tres funciones trigonométrica (sen, cos y tan) para el ángulo notable de 45°,
partiendo del punto A (1,1) de la ﬁgura adjunta.
; cos 60°= √3
B) sen 60°= √3 ; cos 60°=
C) sen 60°= ; cos 60°= 1
D) sen 60°= ; cos 60°=
E) sen 60°= ; cos 60°=
A) sen 60°=
7. De las siguientes ﬁguras, indica los valores de las funciones trigonométricas del sen, cos
y tan para los ángulos notables de 30º,45º, y 60º y elige la opción que complete el cuadro
que aparece abajo
√3 ;
√2 ;
1 ; √3
√2 ; 1
√3 ; 1
√3 ; √3
√3;
E) sen= 1 ;
8. Calcula las tres funciones trigonométricas (sen, cos, y tan) para el ángulo notable de 60°,
partiendo del punto A(1, ) y de la ﬁgura.
; cos 60°= √3 ;
B) sen 60°=√3; cos 60°= √3 ;
C) sen 60°= ; cos 60°=
D) sen 60°= ; cos 60°= 1 ;
E) sen 60°= 1 ; cos 60°= √3 ;
tan 60°=√3
tan 60°= √3
A (1,
9. Calcula las tres funciones trigonométricas (sen, cos, y tan) para el ángulo notable de 30°,
partiendo del punto A(1, √3) y de la ﬁgura adjunta.
; tan 30°=√3
B) sen 30°= 1 ; cos = √3; tan 30°= √3
C) sen 30°= ; cos = ; tan 30°=
D) sen 30°=
3 ; cos =√3 ; tan 30°= 2
; cos = ; tan 30°= √3
E) sen 30°=
A) sen 30°=
10. Una casa de 5 m de altura proyecta una sombra de 5 m de longitud. Encuentra el ángulo
de elevación del Sol.
0 sombra A
11. Calcula el ángulo de elevación del Sol, si una casa de 5 m de altura proyecta una sombra
de 5 √3 m de longitud.
5√3 m
12. Calcula el ángulo de elevación del Sol, si una casa de 17.14 m de altura proyecta una
sombra de 7√2 m de longitud.
13. Completa la siguiente tabla con las funciones recíprocas para las funciones trigonométricas directas que se presentan.
14. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de la cotangente, secante y la cosecante del ángulo a, que se forma con el eje “x” y el lado A (5,12).
E) cot
= ; csc =
sec = ; csc =
A(5,12)
15. Si el valor de csc =
y el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, encuentra
los valores de las otras dos funciones trigonométricas cot a y sec .
= -4 ; sec
=- ; sec
16. Se llama círculo trigonométrico, a aquel cuyo radio vale...
A) ciento ochenta grados.
B) noventa grados.
D) la unidad.
E) dos unidades.
17. Indica con qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas respecto al seno
a y cosecante a.
A) Primero y cuarto cuadrante
B) Primero y segundo cuadrante
C) Primero y tercer cuadrante
D) Segundo y tercer cuadrante
E) Segundo y cuarto cuadrante
18. Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas con respecto a la
tangente a y cotangente a.
A) Tercero y segundo cuadrante
B) Tercero y cuarto cuadrante
C) Primero y cuarto cuadrante
D) Primero y tercer cuadrante
E) Primero y segundo cuadrante
19. Indica en qué cuadrantes son positivas las funciones trigonométricas respecto al coseno a y secante a.
A) Primero y segundo cuadrante
B) Primero y tercer cuadrante
20. La conversión de una función trigonométrica de un ángulo cualquiera en otra función
equivalente de un ángulo entre cero y noventa grados, se llama reducción...
A) al tercer cuadrante.
B) al segundo cuadrante.
C) al primer cuadrante.
D) a noventa grados.
E) a cero grados.
21. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado como la misma función de su ángulo
en función del primer cuadrante, y encuentra el valor de la siguiente función, aplicando el
concepto de reducir al primer cuadrante:
A) sen 160° = 0.3420
B) sen 20° = 0.3420
C) sen 110° = 0.9396
D) sen 70° = 0.9396
E) sen 250°= -0.9396
22. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado como la misma función de su ángulo
concepto de reducir al primer cuadrante: cos (-38)°
A) cos 142° = -0.7880
B) cos 38° = 0.7880
C) cos 52° = 0.6156
D) cos 232° = -1.6156
E) cos 332° = 0.7880
23. Expresa cada una de las funciones del ángulo dado como la misma función de su ángulo
concepto de reducir al primer cuadrante: cot (-132)°
A) cot 42° = 0.9004
B) cot 48° = 1.1106
C) cot 48° = 0.9004
D) cot 42° = 1.1106
E) cot 132° = -0.9004
24. Una característica de los triángulos rectángulos es que tienen un ángulo...
C) llano.
E) recto.
25. Encuentra los valores de las funciones trigonométricas (sen, cos, tan) de los ángulos agudos (
, ) del triángulo OAB, si el ángulo OAB=90° y los catetos tienen los valores de
OA=12 cm y AB= 6 cm.
26. Para calcular el ancho de un río, Rodrigo tomó como referencia una piedra que se encuentra del otro lado del río (enfrente de él), posteriormente camina 200 metros a la izquierda formando un ángulo de 75º. Con base en esta información, ¿qué medida tiene el ancho del río?
27. Paula, Rosa y Juan necesitan saber hasta que distancia se puede escuchar un radio transmisor, para ello deciden probarlo y se sitúan de la siguiente manera:
En el punto más alto del cerro se ubica Paula directamente por encima de Rosa, el cerro tiene
una altura de 1500 m, el ángulo de depresión de Paula hacia Juan que se encuentra cercano
a una carretera es de 25°. Calcula la distancia en metros desde donde está situada Rosa hasta
donde está Juan y la distancia en donde se encuentra Paula con respecto a Juan. Calcula el
alcance del radio con respecto a los tres puntos de referencia.
28. Un avión que está en vuelo, se reporta a la torre de control e indica que está a una altura de
1500 m y empieza a descender a la pista sobre una trayectoria recta que está a 10.5° de depresión. Calcula la distancia horizontal hasta que se hace contacto al piso y la distancia inclinada
recorrida en el momento de reportarse hasta tocar las llantas la pista de aterrizaje
29. Se coloca una escalera de 7m contra un ediﬁcio de modo que el extremo inferior está a 1.5
m de la base del ediﬁcio. ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso y cuál es la altura alcanzada
de la escalera respecto al ediﬁcio?
30. Calcula el valor de las incógnitas en las siguientes ﬁguras.
B=62°30’
c==?
<=90°
<c=?
Área=A=?
<A=90°
<C=15°30’
<A=90°14’
Área=?
33. Las propiedades recíprocas son ejemplos de identidades trigonométricas.
39. El seno y el cosecante son identidades recíprocas.
40. El coseno y la cotangente son identidades recíprocas.
41. La tangente y la cotangente son identidades recíprocas.
42. El seno y la secante son identidades recíprocas.
43. El coseno y la secante son identidades recíprocas
representa una identidad de cociente trigonométrica
representa una identidad de cociente trigonométrica:
=1 representa una identidad pitagórica trigonométri-
representa una identidad pitagórica trigonométrica:
;para cos
35. Es una identidad recíproca csc
;para sen
36. Es una identidad recíproca del tan =
;para cot
37. Es una identidad recíproca del cos
;para csc ≠ 0:
38. Es una identidad recíproca del sec = 1
34. Es una identidad recíproca: sen
44. tan
45. cot
47. sen2
48. 1+cot2
49. tan2
= csc2
Existen varias demostraciones del teorema de Pitágoras, una de las más comunes es dado
un triángulo rectángulo, se trazan cuadrados en cada uno de los lados y se calcula el área
de cada uno de estos cuadrados, se tiene que el área del cuadrado ubicado en la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados ubicados en los dos catetos; como
se muestra en la siguiente ﬁgura:
Una demostración más rigurosa es la siguiente, “dado un triángulo rectángulo abc (ﬁg.
1), se traza una línea paralela al hipotenusa que pase por el vértice C, y se trazan perpendiculares a esta recta que pasen por los vértices A y B, se construye un rectángulo que
contiene al triángulo abc(ﬁg. 2)”
Observa que se generan dos triángulos más, estos triángulos tienen la misma forma pero
diferente tamaño y tienen ángulos iguales por ser triángulos semejantes, un ángulo de
90º(C), y dos ángulos A y B, esto signiﬁca que la proporción de lados correspondientes es
igual para todos los tres triángulos.
Nota que la recta paralela a la hipotenusa se dividió en dos partes, llamemos respectivamente X a la primera y Y a la segunda.
Sabemos que en triángulos semejantes sus lados son proporcionales (Teorema de
Tales), y en nuestros triángulos tenemos las siguientes relaciones;
x/a = a/c y y/b = b/c,
También se puede observar que:
c = x +y = a2/c + b2/c
si multiplicamos a esta última expresión por c, tenemos:
siendo esta última relación precisamente el Teorema de Pitágoras.
Te has preguntado como se construye un triángulo. Bueno, parece evidente que solo
necesitamos tener tres rectas y unirlas por sus extremos para hacer de ellas un triángulo, el cual es el primer polígono que se puede construir con regla y compás.
Pero vamos a suponer que en lugar de darte tres líneas, te doy tres valores numéricos,
mi pregunta es ¿ serias capaz de decir cuando tres cantidades representan un triángulo
y cuando no?. Interesante verdad.
Un método práctico para saber si tres valores forman un triángulo es trazarlos en un
plano y haciendo centro en uno de sus lados trazar circunferencias con radio el valor
dado, y ver si esos tres segmentos se pueden unir exactamente, por ejemplo:
“Los valores 3, 4, y 5 son llamados una terna pitagórica, ya que cumplen el Teorema
de Pitágoras y forman una clase especial de triángulo, un triángulo rectángulo”.
La forma de hacer el triángulo con el método descrito anteriormente es la siguiente:
Primero trazo un segmento de longitud cualquiera de las tres cantidades dadas:
Haciendo centro en A, trazo una circunferencia, que tenga de radio 5 unidades.
Aún no se observa nada verdad, eso parece, pero si te ﬁjas bien las dos circunferencias
trazadas a partir de los puntos A y B se intersecan en un punto, al cual le vamos a llamar C por comodidad. ¿Qué distancia crees que tenga el segmento BC?, ¿Qué distancia
crees que tenga el segmento AC?, ¿Qué hubiera pasado si en lugar de trazar una circunferencia de 3 unidades de radio la trazo de media o una unidad? O quizás, dejando la
de radio 3, trazara una circunferencia de 9, ¿Crees que las dos circunferencias se tocaran
o intersecaran en algún punto?, si estas circunferencias no se tocaran ¿Se formara un
Por último vamos a trazar una perpendicular a AB, que pase por el punto B y por el
punto C, se observa que se genera un triángulo rectángulo del cual AC es la hipotenusa;
sabemos por el teorema de Pitágoras que:
AC2 = AB2 + BC2 y como sabemos cuanto valen tanto AB, como BC, al hacer las operaciones y obtener la raíz cuadrada se tiene que AC= 5.
Un último comentario: más adelante, cuando estés en tercer semestre, vas a aplicar las
leyes de los senos y cósenos para realizar sumas de vectores y calcular fuerzas, por eso
este conocimieno que acabas de aprender procura que no se te olvide.
En las siguientes direcciones electrónicas podrás encontrar más información interesante sobre los temas discutidos y también sobre otros contenidos de matemáticas, te
invito a que las visites y te inmersas en el maravilloso mundo de las matemáticas.
http://www.ommm.uaem.mx
http://www.escuela32.com.ar/
http://www.amc.unam.mx/lacienciaentuescuela.htm
1) Baldor, A. “Geometría y Trigonometría”. Primera Edición México, 2005.
2) Boyer, B. C. “A History of Mathematics”. Second Edition. John Wiley y Sons, Inc.
3) Calendario Matemático 2006. Un reto diario. Subsecretaría de Educación Superior
Objetivo de la unidad: Resolverás problemas teóricos
y prácticos de distintos ámbitos mediante la aplicación
de las leyes de Senos y Cosenos.
En la unidad anterior aprendiste a resolver triángulos rectángulos aplicando el Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas, pero en está unidad te encontrarás con triángulos que no
son rectángulos, a estos se les conoce como triángulos oblicuángulos, es decir, son aquellos
que no tienen ángulos rectos.
En está unidad verás dos leyes que te ayudarán a resolver triángulos oblicuángulos estas son:
A) Ley de Seno
B) Ley de Coseno
Como una introducción a este interesante tema, observarás los dos tipos de triángulos oblicuángulos, que son el triángulo acutángulo y el triángulo obtusángulo, hasta llegar a los elementos
que integran al triángulo oblicuángulo en su totalidad.
Tendrás una visión general de las dos leyes de senos y cosenos, primeramente aprenderás a
identiﬁcar cuando aplicar cada una de ellas, dependiendo los datos que proporciones el problema.
Ya que sepas identiﬁcar cuando usar cada una de las dos leyes, resolverás problemas teóricos,
apoyándote con una serie de problemas resueltos, que de una manera progresiva te mostrarán
paso a paso cómo resolver primero un problema incompleto, hasta que se te muestre un problema que resolverás de manera total.
Finalmente, llegarás a aplicar la ley de senos y la ley de cosenos en problemas de la vida cotidiana, atendiendo diversos ámbitos.
Cada tema ha sido cuidadosamente desarrollado, para que de manera didáctica y progresiva
desarrolles la habilidad en la resolución de cada problema.
Para desarrollar con éxito los objetivos de esta unidad te recomendamos los siguientes textos que complementarán las actividades de aprendizaje y además te ayudarán
a profundizar en los temas de tu agrado:
• García, Miguel y Manuel Rodríguez, l. Matemáticas 2. México, ST Editorial, 2005,
•Olmos, Raúl y otros. Matemáticas II. México, McGrawHill, 2006, pp. 181-198.
• Ibáñez, Patricia y Gerardo García. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría.
México, Thomson, 2006, pp. 194-215.
Casos donde se usa
Un lado y dos ángulos.
Dos lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos.
Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Los tres lados del triángulo.
Apoyos teóricos para resolver
4.1 LEY DE SENOS Y COSENOS
Objetivo temático: Serás capaz de: Identificar las características y elementos de un triángulo oblicuángulo para diferenciar los casos donde aplicará ley de senos y ley de cosenos y así
llegar a la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Para la aplicación de la Ley de Seno y Ley de Coseno debes tener presente lo
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no presenta un ángulo recto, se
denomina de dos formas: triángulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos
y triángulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por lo que no es posible
resolverlo si aplicamos el Teorema de Pitágoras.
Para efectos prácticos en la resolución de los problemas, se sugiere el siguiente formato de triángulo oblicuángulo.
Donde: “A, B y C” representan los ángulos y “a, b y c” representan los lados.
a es el lado opuesto al ángulo A
b es el lado opuesto al ángulo B
c es el lado opuesto al ángulo C
Para resolver triángulos oblicuángulos se utiliza
• Ley de seno.
• Ley de coseno.
Antes de iniciar con el desarrollo de los temas te recomendamos que revises la
siguiente página http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/SoftDidactico/acuna/index.html que te dará un panorama general de lo que vas a ver.
4.1.1 Ley de Senos
Objetivo temático: Identificarás las características y elementos de un triángulo oblicuángulo
para diferenciar los casos donde aplicará ley de senos y ley de cosenos y así llegar a la resolución
En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
senA= senB = senC
La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se
• Un lado y dos ángulos (LAA o ALA)
Ejemplo: Observa el siguiente triángulo
Los ángulos del triángulo están representados por las letras A, B, C y los lados
por a, b, c, los datos que proporciona son:
A= 22° C = 130°
El lado “c” es opuesto al ángulo “C”., por lo tanto para resolver este problema
puedes aplicar la ley de Seno.
El otro caso para aplicar la ley de seno es cuando:
• Tienes dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)
Ejemplo: Observa el siguiente triángulo.
B= 83°
El ángulo “B” es opuesto al lado “b”., por lo tanto para resolver este problema
4.1.2 Ley de coseno
Seguiremos nuestro estudio en la resolución de los triángulos oblicuángulos.
Como recordarás, en el caso de la Ley de Senos, ésta se aplica en los casos
cuando sólo conoces un lado del triángulo y dos de sus ángulos, es decir LAA
o ALA o bien cuando conocemos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos,
es decir, LLA.
Sin embargo; ahora veremos otros dos casos posibles, cuando de un triángulo
oblicuángulo conocemos:
• Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, conocido como LAL.
• Los tres lados, caso conocido como LLL.
Para estos casos utilizarás la Ley de Coseno
La ley de Cosenos dice:
En todo triángulo, el cuadrado de un lado, es igual a la suma de los cuadrados
de los otros dos lados, menos la multiplicación del doble producto de ellos,
por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
De esta manera, las fórmulas para aplicar la ley de cosenos son las siguientes:
Para encontrar los lados:
Para encontrar los ángulos:
b2 = a2+ c2 - 2ac cos B
a 2 + c 2 - b2
Actividad 4.1 Una vez analizado el texto anterior, identiﬁca que ley aplicar
según los datos proporcionados de los siguientes triángulos oblicuángulos.
A = 38°
B = 72 °
C = 60 °
B=98°
4.1.3 Resolución de triángulos oblicuángulos
Una vez que ya sabes identiﬁcar los casos en los cuales aplicar cada una de las
leyes, ahora podrás resolver los triángulos oblicuángulos.
¿A qué se reﬁere con la resolución de triángulos oblicuángulos?
Pues bien, resolver triángulos oblicuángulos consiste en encontrar los datos que te
faltan ya sean lados o ángulos.
Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo con los datos que se dan a continuación.
Primero analizamos los datos
que nos proporciona el triángulo oblicuángulo.
A =22°
C =130°
¿Qué ley aplicarías?
Si observas los datos que nos proporcionan son dos ángulos y un lado, esté caso
corresponde a la Ley de seno.
Fórmulas que aplicarás
Recuerda que: “La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°”
La Ley Seno se puedes descomponer en las siguientes relaciones:
Sustituye los datos que
te proporciona el problema
Observa que la segunda
relación solo falta el
valor del lado “a”, entonces despejaremos y
encontraremos su valor:
sen22° senB
sen22° sen130°
sen130°
sen22°
(80)(sen22°)
sen 130°
a = (0)(0.3746°) = 29.968
a=39.12
Ahora hay que encontrar el
Para encontrar el valor del lado
“ b ” puedes utilizar la relación
1 ó 3 para encontrar su valor
22° + B +130°=180°
B= 180° 22° 130°
B= 28°
b = ( 80)( sen28° )
80( 0.4694 ) = 37.552
b=49.02
Por lo tanto los datos faltantes
del triángulo oblicuángulo son:
a = 39.12
b = 49.02
B =28°
2) Los datos de un triángulo oblicuángulo son: A = 67º15´, b = 7 y c = 11
Primero analizamos los datos que nos proporciona del triángulo oblicuángulo.
A =67º15´
Si observas los datos que nos proporcionan son dos lados y un ángulo, esté
caso se recomienda que dibujes el triángulo para veriﬁcar si el ángulo que te
proporcionan está comprendido entre los lados o es opuesto a uno de ellos.
A=67°15’
Observa que el ángulo queda comprendido entre los lados, por lo tanto la
ley que ocuparás es la Ley de Coseno.
a2 = (7)2 + (11)2 - (2)(7)(11)(cos 67°15’)
a2 = 49 + 121 - (154)(.3867)
Calculamos el lado “a”
a2 = 49 + 121 - 59.5518
a2= 110.4482
a = 110.4482
a = 10.509
Cálculo del ángulo B utilizando la
Ley de Seno.
sen67°15’
7(sen67°15’)
7(0.9222)
B= sen -1 =
[(7)(0.9222)]
B=37°53’
Cálculo del ángulo C:
67°15´ + 37°53´ + C = 180°
C = 180° - 67°15´-37°53´
C = 74°52´
a= 10.59
B =37°53’
C= 74°52’
Ahora se presentan dos problemas incompletos, para que encuentres los datos
faltantes de los triángulos oblicuángulos, tomando como base el procedimiento que se te va indicando.
1) Los datos de un triángulo oblicuángulo son: b = 8.5, c = 9.8, A = 52°
que nos proporciona del triángulo oblicuángulo.
¿Qué caso es?
Dibuja el triángulo oblicuángulo
a2=(___)2 + (___)2-(2)(___)(___)(cos 52°)
a2=(___) + (___) - (___)(___)
a2=(___) + (___) -(_________)
a2=(__________)
senB sen52°
) ( sen52°)
senB=(
B utilizando la Ley
B=sen-1(
52°+ (
)’+ C = 180°
C=180° - 52° - (
b=1129
Primero analizamos los datos que nos proporciona el triángulo oblicuángulo.
¿A qué caso corresponde?
La Ley Seno se puede descomponer en las siguientes relaciones:
Sustituye los datos que te proporciona el problema
Observa que la primera relación solo falta el valor del ángulo “A”, entonces despejaremos y encontraremos su valor:
senA = (
) sen83°
senA= (
A=sen-1 (
) + C = 180°
C= 180° - (
sen83° =
(11.29 ) (sen ____ )
sen83°
c = 11.29 (
Los resultados compártelos con tu asesor y con tus compañeros.
Si deseas seguir practicando te recomendamos la siguiente página http://usuarios.lycos.es/calculo21/id364.htm, en ella puedes encontrar problemas resueltos del libro de Baldor.
4.1.4 Aplicaciones prácticas
La ley de Seno y Coseno juegan un papel fundamental en la solución de problemas prácticos, así mismo te será de apoyo en materias posteriores.
Con ayuda de tu asesor trata de resolver los siguientes problemas aplicados en tu
1.- Dos aviones parten del mismo aeropuerto a la misma hora. El primero viaja
a una velocidad de 120 km/h en una dirección de 340º. El segundo vuela a una
velocidad de 180 km/h en una dirección de 190º. Después de 2 horas,
¿a qué distancia se encuentran los aviones entre sí?
2.- Un trozo de alambre de 7.5 m, de longitud, es doblado formando un triángulo. Uno de los lados mide 2.8 m y el otro 3.1 m. Calcula los valores de los
3.- Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde
dos puntos que se encuentran a 5 km uno de otro. Desde el primer punto, el
ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 76º. Desde el segundo punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 52º. ¿Qué
tan lejos está la montaña de cada punto?
Ahora si, ya estás listo para aplicar lo que aprendiste a lo largo de está unidad y reaﬁrmar el
aprendizaje adquirido, para ello desarrolla las siguientes actividades, que seguramente podrás
resolver sin ningún problema; pero si te surgen dudas acude con tu asesor.
I.- Según los triángulos oblicuángulos identiﬁca los datos que te proporcionan e indica según
estos que Ley debes aplicar para encontrar los datos faltantes.
c=24.36
b=34.37
b=120.8
b=27.9
b=5.44
a=15.2
II.- Relaciona las siguientes columnas
1.- Es un triángulo que no presenta ángulo recto,
puede ser acutángulo u obtusángulo.
2.- En cualquier triángulo, las longitudes de los
lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
) Ley de Coseno.
3.- En todo triángulo, el cuadrado de un lado es
menos el doble producto de los mismos lados
por el coseno del ángulo que forman.
4.- La ley de seno se utiliza si se conoce:
5.- La ley de coseno se utiliza si se conocen:
6.-Según los datos, triángulo que aplica la ley de
( ) Dos ángulos y un lado o dos lados y
el ángulo opuesto a uno de ellos.
) Cuando se conocen los tres lados
ó cuando se conocen sólo dos lados y el
) Triángulo Oblicuángulo.
) Ley de Seno.
III.- Selecciona la respuesta correcta de las siguientes preguntas
1.- Triángulo que tiene tres ángulos agudos:
C) Oblicuángulo
2.- Triángulo que tiene un ángulo obtuso:
3.- Ley que nos sirve para solucionar Triángulos oblicuángulos
A) Ley de Pitágoras
B) Ident. Trigonométricas
C) Ley de Cotangente
D) Ley de senos
4.- Ley que se aplica en un triángulo oblicuángulo cuando se conocen sus tres
B) Ley de Tangentes
C) Ley de cosenos
D) Ley de geometría
5.- La ley de seno se utiliza para encontrar los lados y ángulos de un triángulo
oblicuángulo. ¿Cuál es la forma correcta de redactar esta ley?
C) En cualquier triángulo oblicuánA) En cualquier triángulo, las longulo, las longitudes de los lados son
gitudes de los lados son propordiferentes a los senos de lo ángulos
cionales a los senos de lo ángulos
B) En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados
son proporcionales a los senos de
lo ángulos.
D) En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son
proporcionales a los senos de lo ángulos opuestos.
6.- La ley de seno se enuncia: “En cualquier triángulo, las longitudes de los lados
son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos” y se representa como
Si los datos de un triángulo son: lado c = 80 m. y los ángulos A = 22° y C = 130°. ¿Qué
relación utilizas para encontrar el lado a?
senA = c
A) senA senB
D) senB = senC
B) senA = senC
7.- Ley que dice que en todo triangulo el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de los mismos lados por
el coseno del ángulo que forman:
B) Ident.Trigonométricas
C) Ley de Newton
D) Ley de cosenos
8.- Utiliza tú calculadora y desarrolla la ley de senos para que identiﬁques la respuesta correcta en el siguiente problema:
Dos botes de basura están situados a 80 m uno del otro, y una persona está ubicado a 95
m del más alejado. El ángulo que forman las dos visuales de la persona a los botes es de de
53.3°. ¿Qué distancia hay de la persona al bote de basura más próximo?
Nota: El resultado ha sido redondeado al número inferior inmediato.
c=95m
A) 86 m
B) 81 m
C) 67 m
9.-Utiliza tú calculadora y la ley de seno a = b =
para que identiﬁques la respuesta correcta del siguiente problema:
Dos observadores distantes entre sí 3850 m, observan al mismo tiempo un aeroplano que
vuela entre ellos. Los ángulos de elevación, de los observadores B y C hacia el aeroplano
fueron de 38º y 46º, respectivamente. ¿A que distancia se encuentran los observadores
del aeroplano?
A) b = 2784.71 m
c = 2383.35 m
B) b = 2000 m
C) b = 2784.71 m
c = 20000 m
D) b = 3584.71 m
10.- Como ya sabes, la ley de coseno se utiliza para encontrar los lados y ángulos de
un triángulo oblicuángulo. Las opciones contienen elementos descriptivos de esta ley,
pero sólo una la enuncia correctamente. Identifícala.
A) En todo triángulo oblicuángulo, la longitud
de lado es igual a la suma de los cuadrados de
los otros dos, menos el doble producto de los
mismos lados por el coseno del ángulo que forman.
C) En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos, mas el doble
producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman.
B) En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado
de un lado es igual a la suma de los otros dos,
D) En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos, menos el doble
11.- Utiliza tú calculadora y la ley de coseno a2 = b2 + c2 - 2bc cosA para que identiﬁques la respuesta correcta del siguiente problema:
El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 73.66° y los lados que se unen
en esta esquina miden 175 y 150 m de largo. Calcula la longitud del tercer lado.
Nota: El resultado ha sido redondeado al número superior inmediato.
73.66°
A) 156 m
B) 196 m
C) 169 m
12.- De los problemas que se presentan en las opciones y de acuerdo con los datos,
identiﬁca en cual opción utilizarías la ley de coseno para resolverlo.
A) Un terreno triangular tiene lados de
420, 350 y 180 m de longitud. Calcula
el ángulo más pequeño entre los lados.
B) El ángulo en la base de un triángulo
isósceles es de 40cm y la altura mide 22
cm. Determina la longitud de sus lados
C) El pie de una escalera de 12 m, apoyada
contra la pared, queda a 5 m de ésta, suponiendo que el piso es horizontal, ¿Qué
ángulo forma la escalera y el piso?
D) Dos barcas están situadas a 70 m una de
la otra, y una boya está a 85 m de la más
alejada. El ángulo que forman las dos visuales de la boya a las barcas es de 53.3°.
¿Qué distancia hay de la boya a la barca
más próxima?
Contesta las preguntas 13, 14 y 15 de acuerdo a los datos que te proporciona el siguiente triángulo.
13.-Encuentre el valor del ángulo B
A) 29.85 ˚
B) 90 ˚
C) 180 ˚
D) 77.25˚
D) 77.15˚
C)12.380˚
D) 17.15˚
14.- Encuentre el valor del ángulo C
A) 46.75˚
15.- Encuentre el valor del lado ¨ c ¨
A) 29.87˚
B) 18.90˚
IV.- Dibuja en tu cuaderno los triángulos oblicuángulos con los datos que se te proporcionan a continuación y resuelve utilizando la Ley de Seno ó Coseno según los
A = 133º, b = 12, c = 15
B = 38°.57´, a = 68.7, b = 45
B = 73º42´, c = 16, a = 79
A = 26° , C =106°, c = 18
a = 6, b = 4, c = 5
C = 105.5°, a =42.3, c = 83.44
B = 98º6´, a = 40, c = 24.86
C = 135º, a = 6, b = 7
B = 41° , C =120°, b = 40
C = 60º, a = 15, b = 12
V.- Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas aplicados y compara con tus
compañeros los resultados.
1.- Una persona observa un ediﬁcio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo
de 30º, si avanza 40 metros. Calcula la distancia desde el punto inicial del observador
al punto más alto del ediﬁcio.
2.- El ángulo de una esquina de un terreno triangular mide 76º y los lados que
unen a esta esquina miden 120 m y 112 m de longitud. Calcula la longitud del
Matemáticas, algo de su historia
Ya se sabe que las matemáticas surgieron al mismo tiempo que la historia del universo, que toda la naturaleza se ha desarrollado de manera matemática, de hecho, pareciera que todo ha sido calculado de manera exacta y ha sido ubicado cada molécula,
cada partícula de nuestro universo en el lugar exacto, en el momento exacto.
Es por ello, que hablaremos de algo de la historia de las matemáticas, como ciencia
conocida para los humanos y la primera civilización que de manera racional la reconoció como una ciencia, fue la cultura griega.
Ing. Víctor Morales Hernández
Lic. Georgina Castillo
Ahora te invitamos a que leas la siguiente lectura recomendada.
http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm
Trigono signiﬁca “triángulo” y metron, “medida”, o sea que trigonometría= “medida
de triángulos”.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia
que no podía ser medida de forma directa.
Su origen se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia, y
la usaban para efectuar medidas en agricultura y en la construcción de las pirámides.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría
en las matemáticas. En el siglo II a.C., el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una
tabla trigonométrica para resolver triángulos similares a la moderna tabla del seno. De
Grecia pasó a la India y a Arabia, desde donde se difundió por Europa.
RECUERDA QUE... un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas.
Menor que un Entre uno
ángulo recto y dos rectos
dos rectos
Suman 90°
Tomado de: http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/Trigonometria/trigonometria1.
http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa
http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Resolucion_triangulos_oblicuangulos/
Resolucion_TO_indice.htm
http://www.elosiodelosantos.com/sergiman/div/oblic.html
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id368.htm
Clasiﬁcación de polígonos.
Círculo y circunferencia: elementos.
32. A) 108°, B) 120°, C) 135°
33. A) 7, B) 3, C) 4
34. A) 40, B) 25, C)13
35. A) 1254 cm2 , B) 18 cm2, C) 600
36. $ 5,760.00
37. 1-g, 2-f, 3-l, 4-j, 5-p, 6-c, 7-a, 8-b,
9-h, 10-d, 11-i, 12-q, 13-e, 14-k, 15m, 16-n
10.11.- D
19.20.- C
25.- Cálculo para ángulos notables
30°, 45° y 60°
Funciones trigonométricas para el ángulo “ “:
A) sen= 6 = 1 • √5 = √5
6√5 √5
B) cos= 12 = 2 = 2 * √5 = 2√5
C) tan= 6 = 1
A) sen= 12 = 2 = 2 • √5 = 2√5
B) cos= 6 = 1 = 1 * √5 = √5
C) tan= 12 = 2
cos =cos =2√5
tan =2
r= 22*32*5
r= (122+(6)2)
r= (2)(3) 5
r= 144+36
r= 6 √5
r= 180
26. Razones trigonométricas para triámgulos rectángulos
tan 75°=
y=200 (tan75°)
y=200 (3.7320)
y=746.40mts
tan 25°=
sen 25°=
sen 25°= 1500
x=3,216.81m
sen 25°
x=3,549.45m
Distancia de Rosa a Juan:
x=3,216.81 m
Distancia de usted a Juan:
R=3,549.45 m
h=1,500 m
tan 10.5°=
sen 10.5°=
sen10.5°
r= 1500
x=8,232.71=8,233m
x=8,095 m
r=8,233 m
x=8,094.98m=8,095m
=0.2142
=cos -1 0.2142
=77.63°
=77.38°
h=1.5(tan )
h=1.5(tan 77.63°)
h=1.5(4.5596)
h=6.8 mts
=77°3’
30. Triángulo rectángulo.
Calculo del cateto “c“
c=a(cosB)
1 a2 sen2 B
A= (4)2 sen2(62.5°)
c=4(cosB)
c=4(cos 62.5°)
62°30’
A= 4(0.8191)
1 (16) sen (62.5°)
c=4(0.4617)
A=3.276=3.28 cm2
c= 1.846 ~ 1.85 cm
Calculo<C
TanC=
<B=62°30’
TanC=0.5211
<C=tan-1 0.5211
<C=27.52°=27°30’
Calculo de cateto “b“
TanB=
b=4(sen B)
b=(4 sen 62°30’)
b=4(sen 62.5°)
b=4(0.8870)
b=3.548=3.55 cm
CATETO b=3.55 cm
CATETO c=1.85 cm
ANGULO C=27°30’
AREA A=3.28 cm2
31. Triángulo rectángulo
Calculo de la hipotenusa A
Cálculo <C
sen B=
sen 38.60°
tan b=
tan b= 0.8
<B = 38.66° = 38° 39’
x=x2+y2=r2
152+122=r2
r= 225+144
r= 369
r=19.209=19.2
A=19.209=19.21 cm
1 (19.21)2 sen2(38.66°)
1 (369.0241)2 sen77.32°
A=92.2560 (0.9756)
A=90.000190 cm2
Calculo < C
tan C= c
<B=38°39’
tan C= 12
tan C=1.25
<C= tan-1 1.25
<C= 51.34°=51°21’
<C=51°21’
a=19.21 cm
Área=90 cm2
32. Triángulo rectángulo
Cálculo del cateto C:
Cálculo de la hipotenusa a:
c=b (tan C)
c=25 (tan15° 30´)
c=25 (tan 15.5°)
c=25 (0.2773)
c=6.9325 = 6.93 cm
cos 15.5° 0.9636 25.94
A=25.94
Cálculo del ángulo B:
Tan B=3.6232
< B = tan 3.6232
< B = 74.57° = 74°30’
Cálculo del area:
a2 sen 2 C
(25.94)2 sen2(15.5°)
(672.8836) sen31°
A=168.2209 (0.5150)
A=86.63 cm2
c=6.93 cm
a=25.94 cm
<B =74°30’
Área=A=86.63 cm3
c= 34.37
Aplicar la ley de coseno
b = 120.8
B = 35°
C = 61°
Aplicar la ley de seno
b = 27.9
B = 8°
a = 15.2
b = 5.44
C = 106°
1.- Es un triángulo que
no presenta ángulo recto, puede ser acutángulo u obtusángulo.
2.- En cualquier triángulo, las longitudes de
los lados son proporcionales a los senos de
los ángulos opuestos.
3.- En todo triángulo, el
cuadrado de un lado es
cuadrados de los otros
dos, menos el doble
producto de los mismos
lados por el coseno del
( 3 ) Ley de Coseno.
( 5 ) Cuando se conocen los tres lados ó
cuando se conocen sólo dos lados y el
( 1 ) Triángulo Oblicuángulo.
( 2 ) Ley de Seno.
2.- D) Obtusángulo
3.- D) Ley de senos
4.- C) Ley de cosenos
1.- D) Acutángulo
( 4 ) Dos ángulos y un lado o dos lados y el
ángulo opuesto a uno de ellos.
5.- La ley de coseno se
utiliza si se conocen:
5.- D) En cualquier triángulo oblicuángulo, las longitudes de los lados son proporcionales
a los senos de lo ángulos opuestos.
7.- D) Ley de cosenos
8.- B) 81 m
9.-A) b = 2784.71 m
10.- D) En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo
11.- B) 196 m
12.- A) Un terreno triangular tiene lados de 420, 350 y 180 m de longitud. Calcula el ángulo
más pequeño entre los lados.
13.- D) 77.25˚
14.- A) 46.75˚
15.- A) 29.87˚
IV.- Dibuja en tu cuaderno los triángulos oblicuángulos con los datos que se te proporcionan a
continuación y resuelve utilizando la Ley de Seno ó Coseno según los datos.
1. a = 24.78, B = 20.74º, C = 26.26°
2. c = 66.07, A = 73.68°, C = 67.37°
3. b = 76.07, A = 73.52°, C = 32.78°
4. b = 30.51, c = 39.47, B = 48°
5. A = 82.81°, B = 41.40º, C = 55.79°
6. b = 61.50, A = 29.24°, B = 45.26°
7. c = 49.98, A = 52.40°, C = 29.5°
8. c = 12.01, A = 24.33°, C = 20.67°
9. a = 19.84, b = 52.80, A= 19°
10. c = 13.74, A= 70.84°, B = 49.14°
V.- Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas aplicados y compara con tus compañeros
1.- d = 109.28 m
2.- Longitud del tercer lado es 142.93 m
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