Source: https://www.slideshare.net/FabiolaCastro11/hasta-el-cien-no
Timestamp: 2020-02-21 07:16:49+00:00

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Estrategias didácticas para la clase de matemáticas en preescolar y primaria.
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1. stcnnnla n: eoucncnóu PÓILICA ¿Hasta el 100?. .. ¡NO! ¿Y las cuentas? ... TAMPOCO Entonces. .. . M q f / q‘ Irma Fuenlabrada f
2. hïíliïlVQJ F‘ L lHÍﬁlÍVjlÏ’ 1jr«.1r«1i»;1 ¿Hasta caí. 1166?. m ¡Í 7m ¿Y las cuemﬁïanﬁ. cr 2 TA 1m? <3 cm & Erïtoïïcec. .- . ¿A 1 TJÉ?
3. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Alonso Lujambio lrazóbal SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN BÁSICA José Fernando González Sánchez DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO CURRICULAR Leopoldo F. Rodríguez Gutiérrez DIRECCIÓN GENERAL DE DESARROLLO DE LA GESTIÓN E INNOVACIÓN EDUCATIVA Juan Martín Martínez Becerra DIRECCIÓN GENERAL DE MATERIALES EDUCATIVOS María Edith Bernóldez Reyes DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN INDÍGENA Rosalinda Morales Garza DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN CONTINUA DE MAESTROS EN SERVICIO Leticia Gutiérrez Corona
4. ¿Hasta el 100?. .. ¡NO! ¿Y las cuentas? ... ¡TAMPOCO! Entonces. .. ¿QUÉ?
5. La edición de ¿Hasta el 100.9.. . ¡No! ¿Ylas cuentas? ... ¡Tampoco! Entonces. .. ¿Qué? fue elaborada en la Dirección General de Desarrollo Curricular, que pertenece ala Subsecretaría de Educación Basica de la Secretaría de Educación Pública Coordinación editorial Felipe G. Sierra Beamonte Diseño de portada e interiores Lourdes Salas Alexander Primera edición, 2009 D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28 Centro, CP 06020 Cuauhtémoc, México, DF ISBN 978-607-467-019-6 Impreso en México Distribución gratuita/ Prohibida su venta
6. Presentación . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .O7 Consideraciones generales . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. O9 ¿Qué signiﬁca resolver un problema? .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31 A manera de conclusión . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .59
7. Presentación lteXto ¿Hasta el 100?. .. ¡No! ¿Ylas cuentas? ... ¡Tampoco! Enton- ces. .. ¿Qué? forma parte de las acciones para impulsar la reforma pedagógica de la educación preescolar que la Secretaría de Edu- cación Pública ha llevado a cabo desde hace más de seis años. La reforma —cuyo eje es la aplicación del Programa de Educación Pre- escolar 2004- tiene como ﬁnalidad contribuir a la transformación de las prácticas educativas en el aula, de tal manera que las niñas y los niños dispongan en todo momento de oportunidades de aprendizaje interesan- tes y retadoras que propicien el logro de competencias fundamentales, partiendo siempre de los saberes y las competencias que poseen. Para las educadoras, avanzar hacia el logro de esta ﬁnalidad ha sig- niﬁcado un proceso de aprendizaje que implica probar con sus alumnos formas de trabajo innovadoras, equivocarse, reﬂexionar, volver a intentar y descubrir en esos intentos de cambio que los niños pequeños tienen múl- tiples capacidades y que es posible proponerles actividades que las hagan emerger. La maestra Irma Fuenlabrada aporta en este ensayo ideas clave res- pecto al desarrollo de competencias en los niños y a lo que ello signiﬁca en el ámbito de las matemáticas; se reﬁere también a ciertas concepciones o creencias sobre los procesos de desarrollo y aprendizaje infantil construi- das en la tradición escolar que aún rigen el trabajo educativo cotidiano, y además ofrece consideraciones didácticas precisas que ayudarán a re- orientar la práctica docente y a fortalecer la competencia didáctica.
8. ¿Qué deben aprender los pequeños sobre matemáticas durante la edu- cación preescolar? ¿Es posible que desde los tres años de edad los niños resuelvan problemas matemáticos? ¿Aprenden diferente los niños de pri- mero, segundo y tercer grados de preescolar? ¿Por qué el Programa de Edu- cación Preescolar 2oo4 no plantea competencias para cada grado? ¿Qué deben conocer los docentes de preescolar para plantear distintos tipos de problemas a sus alumnos? ¿Qué tipos de situaciones es conveniente propo- ner alos niños para hacerlos razonar, buscar y encontrar soluciones a pro- blemas matemáticos? A estas y otras cuestiones la maestra Fuenlabrada responde en este bre- ve pero sustancioso artículo, con ejemplos que ayudan a pensar sobre los razonamientos de los pequeños y las formas en que su maestra puede inter- venir. La autora invita a reﬂexionar sobre las prácticas pedagógicas que no generan razonamiento, conocimiento ni competencias en los niños, y ofrece alternativas fundamentadas y factibles para mejorar el trabajo docente. Con base en la experiencia obtenida en varias investigaciones sobre el razonamiento matemático de los alumnos de educación preescolar, la maestra Irma Fuenlabrada describe cómo pueden plantearse a los niños situaciones didácticas que desaﬁen su intelecto y explica, entre otras co- sas, cómo identiﬁcar diversos tipos de problemas atendiendo la relación semántica entre los datos numéricos. El estudio de este material no se agota con una lectura; es útil para el análisis y la discusión académica y sugerente para proponer a los pequeños situaciones análogas a las que ofrece el texto. La Secretaría de Educación Pública espera que este texto contribuya a la apropiación de una propuesta de trabajo basada en la resolución de proble- mas numéricos, así como a la mejor comprensión y aplicación del Programa de Educación Preescolar 2004.
9. Consideraciones generales Irma Fuenlabradal ntre las diversas diﬁcultades que han enfrentado las educadoras al aplicar el Programa de Educación Preescolar 2004 (PEP)2 una sobre la que particularmente nos ocuparemos en este artículo es la confusión que tienen entre “adquirir conocimiento" y “desarrollar com- petencias". En primera instancia trataré de esclarecer en dónde se origina dicha confusión para después ofrecer a las educadoras consideraciones didac- ticas que les ayuden a reorientar su practica docente, de tal forma que al trabajar sobre el campo Pensamiento matematica propicien que los niños adquieran conocimiento matematica al mismo tiempo que vayan desarrollando competencias. Las reﬂexiones que plantearé en este documento se circunscriben a las ideas que las educadoras tienen sobre los primeros números, su repre- sentación y el conteo, y a cómo estas ideas inciden en la interpretación que hacen de los problemas y de su utilización como recurso didactico para promover el conocimiento de los primeros números en los alumnos de preescolar; asimismo, haré algunas acotaciones sobre lo que se espe- ra aprendan los niños al respecto. 1 Integrante del Departamento de Investigaciones Educativas (DIE) del Centro de Investigación y de Estudios Avan- zados (Cinvestav) del IPN. Para la realización de este artículo se contó con la colaboración de Ruth Valencia Pulido, profesora de la SEP comisionada al DIE, así como de Bertha Vivanco Ocampo, auxiliar de investigación del mismo departamento. 2 Educación básica. Programa de Educación Preescolar 2004, México, SEP.
10. Teniendo presente que la pretensión del PEP es que las educadoras pro- muevan el desarrollo de competencias que permitan a los niños y las niñas del país una participación plena enla vida social (SEP, 2004:3l) organizaré la discusión a partir de los planteamientos hechos en el programa 2004, en relación con las dos primeras competencias sobre número: - Utiliza los números en situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo. - Plantea y resuelve problemas en situaciones que le son familiares y que implican agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir ob- jetos (SEP, 2oo4:75). Con el propósito de sustentar el desarrollo del contenido, en este do- cumento retomaré algunos hallazgos de dos investigaciones? en una de las cuales se exploran las creencias matematicas de las educadoras y la otra documenta y analiza los procedimientos de resolución de problemas de niños de preescolar. ¿Qué signiﬁca para las educadoras desarrollar competencias en los niños? Desde las consideraciones que hace Mercado sobre los saberes docen- tes4 se puede decir que las educadoras han elaborado ideas y creencias sobre las matematicas y su relación con el número, que tienen su origen en su propio transito por la escuela, en su formación profesional, en las 3 Saberes matemáticos de las educadoras y su incidencia en la enseñanza que realizan en el aula yEl desarrollo del pensamiento matemático en niños del preescolar desde las consideraciones metodológicas del PEPo4. Ambas inves- tigaciones fueron realizadas con la dirección de Irma Fuenlabrada en el DIE del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN. 4 Ruth Mercado (2006), “La organización de la enseñanza”, en I. Fuenlabrada y E. Weiss (coords. ), Prácticas escolares y docentes en las escuelas primarias multigrados Conafe/ Cinvestav, Sede Sur, México.
11. interacciones cotidianas con sus pares y particularmente en el hacer y de- cir de sus alumnos frente a las situaciones de enseñanza que realizan. Desde el ciclo escolar 2004-2005 las educadoras han establecido un dialogo con la deﬁnición de competencias planteada en el programa 2004, la cual señala: Una competencia es un conjunto de capacidades que incluye conoci- mientos, actitudes, habilidades y destrezas que una persona logra me- diante procesos de aprendizaje y que se maniﬁestan en su desempeño en situaciones y contextos diversos (SEP, 2004: 22). Las educadoras realizan este dialogo con base en sus ideas, creencias y experiencia docente; así, aunque dicen estar desarrollando compe- tencias, siguen —las mas de las veces- avocóndose a la transmisión de conocimiento por ostentación y repetición. Se observa todavía en muchos jardines de niños que las educado- ras sólo retoman de la deﬁnición de competencia lo referido al cono- cimiento; especíﬁcamente se hacen cargo de los primeros números en su signiﬁcado de cardinal, con la ﬁnalidad de llegara la representación y al reconocimiento de los símbolos numéricos. Esto signiﬁca para ellas la culminación dela adquisición del conocimiento del número y por ello de una competencia; la cual se maniﬁesta, dicen, cuando los niños pueden contar los elementos de una colección (dibujada) y escriben el número (correspondiente), y también lo pueden hacer al revés (realizar la tarea inversa). Sin embargo, la deﬁnición citada dice que la competencia es “algo" mas que un conocimiento. Es decir, simultaneamente al conocimiento que preocupa a las educadoras (los primeros números, su representación y el conteo) deben desarrollar en sus alumnos actitudes, habilidades y destrezas, y esto debe expresarse en situaciones y contextos diversos. A manera de ejemplo, y a partir de la experiencia, he detectado que hay educadoras que sí reparan en ese “algo mas” que incluye la deﬁni- ción de competencia. Sin embargo, al organizar la enseñanza suponen
12. que deben hacer una “partición" dela deﬁnición para lograr los propósi- tos establecidos en el PEP. He observado este fenómeno de “partición" de la deﬁnición de com- petencia particularmente en jardines de niños en donde la directora y educadoras estan organizadas como un colectivo. Entre los acuerdos conjuntos que toman para la marcha e implementación del programa suceden cosas como las que a continuación se describen. Las maestras deciden empezar en primer grado e inicios del segundo, por los conocimientos; esto es equivalente a la “enseñanza” del conteo y la representación simbólica convencional; en segundo grado e inicios del tercero continúan trabajando con las actitudes, habilidades y destrezas, que identiﬁcan con el dominio —por parte de los niños- de “lo aprendido" a través de la repetición (y en todo caso también reﬁere a una amplia- ción del rango numérico); ﬁnalmente, dejan para tercer grado el espacio para la utilización de lo aprendido en situaciones y contextos diversos, que es equivalente al planteamiento de problemas. No obstante, esta “partición” de la deﬁnición de competencia, es im- portante señalar que el desarrollo de actitudes involucrado en la deﬁnición se desdibuja en el trabajo sobre el campo de Pensamiento matematica, porque se considera que las actitudes se atienden en otros campos. De hecho, esto no ocurre inconscientemente, las educadoras dan cuenta de ello en sus planeaciones. AI cuestionamiento: En su planea- ción de enseñanza (matematica), ¿en qué momento se ocupan del desarrollo de actitudes? frecuentemente responden que desarrollar ac- titudes corresponde al campo de Desarrollo personal y social. Una educadora dice: “(trabajamos el desarrollo de actitudes) cuando les enseñamos a los niños a reconocer lo bueno que es tener actitudes favo- rables ala convivencia, al respeto a todos, [. ..] poco a poco van mejoran- do su actitudes, se pelean menos, no se quitan el material, esperan su turno para hablar. Hay niños que les cuesta más trabajo, pero esto tiene que ver con su casa [. ..] a veces son muy caprichudos [. ..]. Israel [por ejemplo] es hijo único, siempre quiere hacer su voluntad, no le gusta compartir; él tiene problemas con sus actitudes [de convivencia].
13. Con esta manera de entender el desarrollo de actitudes, las educado- ras no reconocen la importancia de ocuparse de las mismas en los cam- pos con mayor contenido disciplinar, como es el de matematicas. Es fundamental que la enseñanza se ocupe de propiciar en los niños actitudes frente a lo que desconocen, como lo es la actitud de búsque- da de la solución de un problema, en lugar de esperar que alguien (su maestra) les diga cómo resolverlo. Todavía me encuentro con educadoras que siguen asumiendo que si ellas no les dicen a los niños lo que deben hacer, ellos “no pueden" (encontrarla solución), “todavía necesitan que uno les ayude”, “son muy pequeños y algunos no saben qué hacer”, “se distraen facilmente”. Esta manera de actuar en la enseñanza se sustenta en las practicas docentes dominantes que precisamente el programa 2004 pretende cambiar. Adicionado a esto último es necesario hacer otra precisión respec- to a la utilización de lo aprendido en situaciones y contextos diversos. En los datos que se tienen se observa que las educadoras, si bien en- tienden que deben plantear problemas a los niños, lo hacen hasta que sus alumnos dan muestra de “dominio" de los conocimientos necesarios para resolverlos; es decir, los problemas no son entendidos por las edu- cadoras como un recurso dela enseñanza para propiciar el aprendizaje del conocimiento y favorecerlo como se dice en el programa, sino como el espacio en donde debe “mostrarse" la adquisición de un conocimien- to “terminal”, entendido como cuando los niños dominan el conteo de colecciones con los primeros números (alrededor del 30), son capaces de reconocer y producir la escritura numérica convencional (al menos hasta el l0) y realizan con éxito tareas explícitas —solicitadas por la edu- cadora— de conteo de objetos en una colección dibujada y el registro numérico de su cardinalidad, y a partir de un número los niños lo interpre- tan para dibujar una colección que le corresponda. Sin embargo, al margen de que los problemas sean considerados como un espacio de “aplicación" del conocimiento, se trabajan poco en la educación preescolar y en tercer grado ceden su lugar, en algunos casos, a la ampliación del rango numérico y a la operatoria (sumas y res- tas) de bidígitos sin transformación.
14. Con base en el conocimiento actual acerca de cómo aprenden ma- tematica los niños, estos componentes —conocimiento, actitudes, habili- dades y destrezas— que se espera desarrollar en ellos no se enseñan “por separado”, mas aún, deben observarse en situaciones y contextos diver- sos en el proceso mismo de aprendizaje. ¿Qué se enseña y qué se aprende? En la deﬁnición de competencias en el programa de preescolarse señala que los conocimientos, actitudes, habilidades y destrezas se logran me- diante procesos de aprendizaje. Y es desde esta consideración que aparecen las primeras diﬁcultades, porque la manera como usualmente las educadoras realizan la enseñanza todavía dista de la posibilidad de lograr lo que el programa establece. Ademas delo señalado sobre la “partición" de la deﬁnición de competencia, las practicas de enseñan- za en muchos casos continúan signadas por una serie de actividades matemáticas que terminan siendo actividades manuales. A título de ejemplo, el reconocimiento de la representación simbóli- ca de los números se entreteje con el boleo con papel crepé para que los niños rellenen las grafías de los números o bien, los pinten de colores diferentes según las indicaciones de la educadora: “2 de rojo, el 3 de verde", etcétera; con asombrosa facilidad, la intencionalidad matema- tica original (reconocer los símbolos de los números) cede su lugar, por la preocupación de las educadoras, a la actividad manual inmersa en la situación: Este es el 2 (lo señala la educadora), ¿de qué color dijimos que lo vamos a pintar? , ¿rojo? (dice el niño con duda); sí, a ver, ¿cuál es el rojo? (el niño toma una crayola roja), muy bien. .. ese es el rojo, ahora píntalo (el núme- ro) sin salirte de la rayita.
15. Así, para la educadora acaba siendo mas importante que el niño identiﬁque los colores e ilumine bien y, de ser necesario, le ayuda llevan- dole la manita para que los padres vean “lo bien que trabaja su hijo". Al respecto, una directora-educadora nos explica lo que ella y sus compa- ñeras pretenden: “Deben ser provechosas (las actividades) para que los niños integren varios conocimientos. Usted lo pudo ver, los pequeños tra- bajaron con los números, los colores y su motricidad. Esto (la motricidad) es muy importante en la lectoescritura, no lo podemos perder de vista". Frente a la observación de que varios niños no identiﬁcaron los núme- ros y la educadora se los señalaba, la respuesta siguió la siguiente lógica: “De todo (identiﬁcación de los números, los colores y el desarrollo de la motricidad), lo mas difícil es el número, es algo abstracto, que poco a poco los niños van comprendiendo, por eso, a las primeras no resulta, hay que ayudarlos, es lento pero los niños lo logran". Este espacio no es suﬁciente para analizar todo lo que hay detras del hacer y decir de las educadoras frente a este suceso; por el momento, sólo quiero destacar el reconocimiento que hacen de que el número es difícil, la importancia en la enseñanza del hecho de que los niños apren- dan a identiﬁcarlos y, desde luego, a escribirlos, pero mas importante es reparar en los recursos didácticos que suelen utilizar para lograrlo: la re- petición (“hay que hacerlo varias veces"). En la situación descrita —y en muchas otras- la representación con- vencional de los números se presenta para ser aprendida por ostenta- ción: “Este es el 2" (se señala) y por repetición para que los niños logren recordarlo y, a la larga, trazarlo; es decir, entre otras cosas, no se conside- ran espacios de aprendizaje para que los niños enfrenten la situación de comunicar la cantidad de una colección, y con ello vayan recono- ciendo una de las funciones del número. Los recursos graﬁcos para expresar la cantidad de objetos de una co- lección son diversos y los niños los maniﬁestan si se les da oportunidad de hacerlo. Desde luego que entre las muchas maneras como los niños resuelven las situaciones de comunicación de la cantidad aparece la
16. representación convencional de los números (l, 2, 3, 4,. ..), pero no es ni la primera forma de resolver y por supuesto tampoco la única, todo depende dela manera como se plantea la situación de aprendizaje5 y la actitud dela educadora sobre lo que espera de sus alumnos. Para ilustrar lo expuesto en el parrafo precedente, revisemos cómo se conduce una educadoraf cuando sus recursos de enseñanza respon- den a los planteamientos metodológicos del PEP. Asimismo, se muestran los efectos dela enseñanza, en la manera de responder de los niños. La docente en cuestión planteó a sus alumnos (de tercer grado) que el día siguiente debían traer material para hacer una maqueta. Les pi- dió que tomaran nota, “como quisieran”, de los materiales para que en su casa, “con ese recado pudieran recordar lo que les había pedido”. Lo importante es, les dijo, que “leyendo su recado puedan decirle a su mamá lo que tienen que traer para mañana”. El material solicitado fue: 10 palitos, 6 piedritas, 12 hojas y 8 cocodrilos. Es muy importante analizar la manera como la educadora presenta la situación (consigna). No les dice a los niños cómo deben hacerla nota (con dibujitos, números, usando palabras, etcétera). Solamente enfati- za Ia función dela nota: a partirdel registro deben poderrecuperarla infor- mación que ella les va a dar. Cabe destacar que los niños sabían escribir los números y realizaban esa tarea razonablemente bien cuando les era explícitamente solicita- do, pero el objetivo de la actividad no es “practicar la escritura numéri- ca” sino instalar a los alumnos en una situación de comunicación —para ellos mismos y para sus mamós—, de cantidades de diferentes coleccio- 5 Por ejemplo, puede revisarse la secuencia sobre clasiﬁcación cuantitativa, ﬁchas 1, 13, 15 y 19 de ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático? Fichero de actividades para preescolar (2008). 6 Ma. de los Ángeles Rangel (2007), Experimentación de una secuencia didáctica del eje: los números, sus relaciones y sus operaciones en un grupo del nivel preescolar, tesis de maestría, DIE.
17. nes. Es decir, se trataba de averiguar qué información de las colecciones (aspecto cualitativo y cuantitativo) resultaba signiﬁcativa para los niños, y conocer los recursos graﬁcos con los que contaban para registrar esta información. Entre las diferentes maneras como los alumnos resolvieron el registro dela información aparecen cuatro (imagenes 1,2, 3 y 4) particularmente ilustrativas sobre las posibilidades de comunicación de cantidades de los niños. La actitud de la educadora, cuando los niños intentaban resolver cómo registrar la información fue la de mantenerse en no decirles cómo hacerlo: “¿Con dibujitos maestra? " “Cómo ustedes quieran"; “Es que no sé escribir". “ No importa, hazlo de otra manera, como tú quieras". Es así como tanto el manejo dela consigna por parte dela educadora como su actitud ante las diferentes demandas de los niños propicia que en las producciones graﬁcas se pueda rastrear lo que entendieron de la situación planteada y sus posibilidades para resolverla. Plantear una consigna a los niños sin decirles cómo se espera que re- suelvan la actividad, como lo hace la educadora protagonista de este ejemplo, favorece al desarrollo dela habilidad de abstracción numérica. No debe perderse de vista que esto responde a uno de los planteamien- tos centrales de enseñanza sugeridos en el programa 2004. En las producciones de los niños queda claro que el autor de este pri- mer registro (imagen l) entendió que para hacer el recado debía “escri— bir"; imita el gesto de quienes escriben y hace uso de las letras que sabe trazar, pero el registro no comunica lo que necesita pedirle a su mama para hacerla maqueta. Para Rodrigo (imagen 2), en esta situación los números no le son útiles para comunicar cantidades, es mucho mejor para él dibujar las coleccio- nes (cantidad y cualidad). A Doris (imagen 3), los números le “sirven" pero no son lo suﬁcientemen- te claros para comunicar la cantidad, por lo que todavía necesita acom- pañarlos con el dibujo de las colecciones. Por cierto, registros como el de Doris, de los ocho cocodrilos, es lo mas que se puede esperar para quien utiliza los números como comunicación de cantidades pero todavía no sabe escribir, por lo que la palabra cocodrilo se puede remplazar con un
18. dibujo. Observemos que en la tarea solicitada es igualmente importante registrar la información cuantitativa como cualitativa. Cabe señalar, sin embargo, que la intención de Doris era hacer ocho cocodrilos, pero dada la complejidad del dibujo ya no se ocupó de hacer los otros siete. Finalmente, Jessica (imagen 4) se acerca mucho al tipo de registro que cualquier alfabetizado puede hacer, usa los números y desde sus posibi- lidades escribe las palabras correspondientes a los objetos de cada co- lección. IMAGEN ‘I El autor de este primer registro entendió que para hacer el recado debía “escribir”; imita el gesto de quienes escriben y hace uso de las le- tras que sabe trazar, pero el registro no comuni- _ . ca lo que necesita pedirle a su mamá para hacer . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . la maqueta. IMAGEN 2 "IIIIIIII: oooaoo m? Para Rodrigo los números no le son útiles para . . . , s n comunicar cantidades, es mucho mejor para el dibujar las colecciones (cantidad y cualidad). . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .Ï . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
19. IMAGEN 3 ¿ojilivirui Ïgslllﬁáoooo A Doris, los números le “sirven” pero no son lo suﬁcientemente claros para comunicar la canti- dad, por lo que todavía necesita acompañarlos ' con el dibujo de las colecciones. La intención de 35K [F31 R L Doris era hacer ocho cocodrilos, pero dada la complejidad del dibujo ya no se ocupó de hacer . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . los otros siete. IMAGEN 4 {m (qvgoﬁxc IIÓQaoWRG i? i ( g Jessica se acerca mucho al tipo de registro que Ü“ cualquier alfabetizado puede hacer, usa los nú- meros y desde sus posibilidades escribe las pa- labras correspondientes a los objetos de cada ¿es 5 K Ci colección. En el ejemplo debe quedar claro que las producciones de los niños son expresiones de las distintas formas de aproximarse a la representa- ción graﬁca de las cantidades; al ﬁnalizar preescolar se pretende que re- curran a la escritura convencional de los números por propia iniciativa, no sólo para enfrentar situaciones de comunicación sino también en otras donde el número, su representación y el conteo sean utilizados.
20. Desafortunadamente, para muchas educadoras la escritura de los números sigue siendo prioritaria practicamente desde el inicio de la en- señanza. No han logrado incorporar aún a sus practicas docentes recur- sos didócticos que favorezcan situaciones de aprendizaje en las cuales los niños produzcan registros personales, entre otros, para representar la numerosidad de una colección. La manifestación del conocimiento en situaciones y contextos diversos Promover el logro del conocimiento en situaciones y contextos diversos se establece en la deﬁnición de competencia, también tiene que ver con los procesos de aprendizaje que posibilite la educadora con las activi- dades que proponga y mediante su intervención docente. Una pregunta que puede orientar la discusión es: ¿a los niños, en su transito por la educa- ción preescolar, se les esta dando la posibilidad de desarrollar compe- tencias correlacionadas con el conocimiento del número? Una manera de averiguarlo es si frente a situaciones y problemas di- versos, en lugar de esperar que su maestra “les diga qué tienen que ha- cer”, los niños tienen oportunidades para realizar las siguientes acciones ligadas al razonamiento: a) Buscar cómo solucionar la situación; es decir, si muestran actitud de seguridad y certeza como sujetos pensantes que son. b) Comprender el signiﬁcado de los datos numéricos en el contex- to del problema; esto es, para mostrar su pensamiento mate- mático. c) Elegir, del conocimiento aprendido (los números, su represen- tación, el conteo, relaciones aditivas, etcétera), el que les sirve para resolver la situación. d) Utilizar ese conocimiento con soltura para resolver (habilidades y destrezas) la situación planteada.
21. Si las educadoras hacen una pequeña exploración en su grupo y re- sulta que al plantear a sus alumnos un problema que implique agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos, los niños esperan sus indicaciones para proceder, les sugiero hacer la siguiente valoración: o Si los niños son de primer grado de preescolar, no hay problema, tie- nen lo que resta del año y dos más para lograr que sus alumnos desa- rrollen competencias, no sólo sobre el conocimiento de lo numérico, sino también sobre cómo actuar frente a lo que desconocen. Pero no pierdan de vista que para lograrlo es indispensable permitan a los ni- ños, sistemáticamente, que con sus propios recursos encuentren cómo resolver las diversas situaciones matemáticas que les propongan. De no “dejarlos hacer”, en el mejor de los casos sus alumnos aprenderán a contar y a escribir los números, pero muy débilmente podrán reconocer cuáles son las situaciones en las que el número es un conocimiento útil para resolverlas. o Si los niños son de segundo grado, ustedes cuentan con menos tiem- po para “enderezar el rumbo”, ¡todavía están a tiempo de replantear su enseñanza! atendiendo de manera más eﬁciente las orientaciones metodológicas del PEP 2004. o Si los niños son de tercer grado, la situación es grave, están a punto de que sus alumnos terminen preescolar sin haber logrado al menos las dos competencias sobre número enunciadas al inicio de este ar- tículo. Independientemente de las “evidencias” recabadas, las cuales mostrarán que sus alumnos han aprendido algo sobre los primeros números (su representación, el conteo, etcétera), no están en posibi- lidad de evocar ese conocimiento para resolver situaciones variadas que implican poner en juego los principios de conteo. Durante la educación preescolar es necesario que los niños aprendan ciertas cosas sobre los números, esto lo saben bien las educadoras y se han ocupado de ello desde antes del PEP 2004, pero cabría preguntarse: ¿que han aprendido los niños comúnmente en preescolar?
22. - La serie numérica oral, ¿hasta el 10?, ¿hasta el 20?, ¿hasta el 100? - Conteo de colecciones, ¿hasta el 10?, ¿hasta el 20?, ¿hasta cual. ..? - Realizan con éxito tareas explícitas de correlación entre una colec- ción y el registro numérico de su cardinalidad y viceversa. Por ejem- plo, dada una colección de vacas, pueden contary escribir cuantas son; o bien, dado un número, logran dibujar una colección cuya car- dinalidad corresponda a ese número (imagen 5). - Saben hacer calculos (3 y 5, 2 y 4, etcétera) usando los deditos de sus manos, pero ese recurso (contar con los dedos) les sirve de poco, y de hecho en ocasiones es un obstaculo didactico’ para resolver cierto tipo de problemas. Sobre esto regresaremos mas adelante. - Algunos niños “muy avanzados" resuelven sumas, al menos de esto presumen sus maestras, con Ia salvedad de que lo hacen con apo- yo de un graﬁcog (imagen ó). Realmente los niños cuentan y van llenando los espacios, siguiendo las indicaciones y explicaciones de su maestra: ¿Cuántas tortugas hay aquí? ¡Cuatro! En la rayita, aquí abajo, escriban cuántas hay, ﬁjense bien, a dónde van a escribir el 4.. . a ver, ¿cómo se escribe el 4? (. ..), la “crucecita” se lee “más” y dice que vamos a juntar estas tortuguitas con las otras (. ..) escriban el 3 (. ..) y en total ¿soooon? ... ¿cuántas? A ver escriban el 7 en su lugarcito. Entonces, si estos son los aprendizajes que favorecen las educadoras, ¿estan mal? , ¿son incorrectos? La respuesta es no, sólo que es muy poco 7 Brousseau, en su artículo “Educación y didáctica de las matemáticas”, publicado en la revista Educación matemática, México, Grupo Editorial Iberoamérica, 200o, deﬁne como “obstáculo didáctico” aquello que, auspiciado por la ense- ñanza (los docentes no sólo “lo enseñan” sino, en caso de aparecer espontáneamente en a1 aula, lo valoran positiva- mente), se convierte en un obstáculo en el proceso de aprendizaje, en virtud de que los alumnos creen reconocer en él “la manera” de proceder. 8 De las operaciones con números de dos cifras, que también suelen verse en preescolar, emito mi opinión más adelante.
23. respecto a Io que actualmente Ia investigación nos dice que los niños pequeños pueden aprender y a Io que se espera aprendan, según se establece en el PEP 2004. l lamentar :4 ‘¡Wise main ‘¿ENE Dada una colección de vacas, pueden contar y ¡El escribir cuántas son; o bien, dado un número, logran dibujar una colección cuya cardinalidad . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .5 corresponda a ese número. l lamentar : . ¿Cuántas tortugas hay aquí? ¡Cuatro! En la ra- yita, aquí abajo, escriban cuántas hay, fijense bien, a dónde van a escribir el 4.. . a ver, ¿cómo se escribe el 4? (. ..), la crucecita se lee “más” y dice que vamos a juntar estas tortuguitas con las otras (. ..) escriban el 3 (. ..) y en total ¿soooon? ... ¿cuántas? A ver escriban el 7 en su lugarcito.
24. Las aspiraciones del PEP 2004 Recordemos que Ia pretensión del programa es que las educadoras pro- picien en sus alumnos el desarrollo de competencias; esto signiﬁca que el conocimiento, las destrezas y habilidades que vayan adquiriendo estén a su disposición para resolver diversas situaciones, no sólo aI término de su educación preescolar sino también en el futuro; lograr esto hace indispensable que las educadoras modiﬁquen su manera de ense- ñar, cediendo a los niños mas autonomía en el proceso de aprendizaje. Especíﬁcamente para el caso que nos ocupa, Ia cuestión sería: ¿cómo desarrollar en los niños competencias sobre lo numérico, a Ia vez que de- sarrollen Ia competencia para escuchar a sus compañeros, trabajar en equipo, argumentar, defender sus ideas, etcétera? ¿Qué van a aprender a escuchar? Las explicaciones de sus compa- ñeros (y no sólo de su maestra) sobre cómo resolver un problema. ¿Cómo van a aprender a trabajar en equipo?9 Buscando juntos, en parejas, tríadas o equipos de cuatro, Ia solución a los problemas, opi- nando sobre cómo proceder, negociando con sus pares. ¿Qué van a argumentar? Las consideraciones que tomaron en cuen- ta para resolverlos. ¿Qué ideas van a defender? Las que les hayan surgido en Ia búsque- da de solución de los problemas. Es necesario, en este momento, retomar lo ya citado en relación con lo que se espera que aprendan los niños sobre los números, como utilizarlos en situaciones variadas que impliquen poner en practica los principios del conteo. ¿Cuales son estas situaciones? Las que les sean familiares e impli- quen agregar, reunir, quitar, igualar, comparar y repartir objetos. Observemos que utilizar un conocimiento no es lo mismo que sólo “ad— quirirlo”. No basta con conocer los números, su representación y saber 9 El trabajo en equipo, que se espera realicen los niños, es un recurso para socializar su conocimiento; no se trata de una repartición de tareas cuyos productos individuales se reúnen posteriormente para dar cuenta de “lo que hizo el equipo”.
25. contar, sino, con base en ese conocimiento es necesario, ¡que pue- dan resolver diferentes situaciones! Para que un problema se pueda resolver poniendo en juego los princi- pios de conteo y esto no resulte artiﬁcioso, los datos numéricos involucra- dos inevitablemente tienen que referir a cantidades pequeñas. Veamos un problema: Eric tiene 4 carritos, el día de su cumpleaños le regalaron 8. ¿Cuántos carritos tiene Eric? El problema lleva a los niños a contar una colección de 4 ﬁchas (o cualquier otro objeto disponible), a ésta agregarle 8 y luego a contar desde el 1 Ia nueva colección para averiguar que son 12 los carritos que tiene Eric. Sin embargo, si el problema se planteara así: Eric tiene 295 carritos y le regalaron el día de su cumpleaños 547. ¿Cuántos carritos tiene Eric? Ciertamente, se podría contar una colección de 295 elementos (pie- dritas, ﬁchas, rayitas) y luego, también contando de 1 en 1, agregarotra de 547 para después iniciar un nuevo conteo desde el 1 hasta el 852 para averiguar que Eric tiene esa cantidad de carritos. Sin embargo, es claro que Ia estrategia de conteo 1 a 1 no es funcional cuando las cantidades son mayores, resulta fuera de lugar para resolver el problema de calculo involucrado en el problema. En Ia matematica se ha desarrollado otra estrategia mas económica y funcional para solucionar el calculo en este tipo de problemas, ésta, sabemos, es Ia suma: 295 547 852
26. No obstante, Ia operación de suma (resta, multiplicación o división) no está planteada para la educación preescolar, porque para com- prender dicha operación se requiere del conocimiento del sistema de nu- meración decimal (con el que habitualmente escribimos los números) y este contenido temótico se aborda al inicio del primer año de primaria y se formaliza hacia el ﬁnal del mismo. Entonces los datos numéricos de los problemas que se espera los niños de preescolar puedan resolver, deben referir a cantidades pequeñas (preferentemente menores a 10), y los resultados estarón alrededor del 20, a ﬁn de que Ia estrategia de conteo tenga sentido y resulte útil para los niños. Ademas, cabe aclarar que proponer a los niños resolver problemas con cantidades pequeñas los lleva, como veremos con mas precisión, a encontrarse con los números en diversos contextos y a utilizarlos con sen- tido; es decir, iran reconociendo para qué sirve contar y en qué tipo de problemas es conveniente hacerlo. En el proceso de resolución de problemas, los niños se ven en Ia ne- cesidad de construir colecciones con determinada cantidad de objetos (datos del problema) y realizar con esas colecciones diversas acciones, como separarlas, unirlas, agregar una a otra, compararlas, distribuirlas, igualarlas —como se propone en el PEP. Las acciones que los niños realizan (por decisión propia) son sugeridas por la relación semántica entre los datos del problema que preten- den resolver. La importancia de recurrir al planteamiento de problemas para po- sibilitar eI aprendizaje del signiﬁcado de los números y el uso del conteo, ra- dica en que para resolverlos se necesita que los niños tengan oportunidad de tener experiencias que les permitan dos cosas: - La primera es establecer la relación semántica entre los datos. Se trata de que en el proceso de aprendizaje los niños encuentren el signiﬁca- do de los datos numéricos en el contexto del problema y reconozcan las relaciones que se pueden establecer entre ellos para encontrar la solución. Los datos en los problemas aditivos pueden aparecer como medidas —de colecciones—, transformaciones o relaciones.
27. - La segunda (igualmente importante), es que los niños de preescolar tengan recursos de cálculo para encontrar la resolución demandada en el problema (percepción de la cantidad, conteo de 1 en 1, cálculo mental de colecciones pequeñas, relaciones aditivas de los primeros números, sobreconteo, etcétera)“ Dependiendo del momento en que se encuentren los niños, a veces basta con que digan oralmente el resultado y en otras ocasiones la edu- cadora puede solicitarles que lo escriban: aquí pueden aparecer regis- tros personales de la cardinalidad de la colección resultante o bien, el uso de los signos numéricos convencionales (1, 2, 3, etcétera). El lugar de las acciones y la operatoria Con la ﬁnalidad de que las educadoras reﬂexionen sobre qué es lo que permite a los niños realizar diferentes acciones con los problemas y para que comprendan la importancia de que tales acciones aparezcan en el proceso de aprendizaje de los números (en particular) y de la matemati- ca (en general), analicemos los siguientes problemas: Santiago tiene 2 coches rojos y 5 coches blancos. ¿Cuántos coches tiene Santiago? Santiago tenía 2 coches y su mamá le regaló 5 coches. ¿Cuántos coches tiene Santiago? Santiago tiene 2 coches y su mamá tiene 5 coches más que Santiago. ¿Cuántos coches tiene la mamá de Santiago? 10 El manejo del cálculo en el nivel de lo simbólico —algoritmos de suma, resta, multiplicación y división, por mencio- nar algunos- son recursos de cálculo que los niños aprenderán en la primaria, y les encuentran sentido cuando se trabaja con números mayores.
28. Santiago tenía algunos coches, le regaló 2 a Mario y a su mamá le regaló 5. A Santiago ya no le quedaron coches. ¿Cuántos coches tenía Santiago? Todos los problemas reﬁeren a los coches de Santiago, e involucran a los números 2 y 5, ademas se resuelven con Ia misma operación: 2 + 5 = 7. Sin embargo, los problemas son diferentes, llevan a razonamientos distin- tos y acciones diferentes hasta el 2 y el 5; entonces, si todos se re- suelven con Ia suma 2 + 5, ¿sera necesario que Ia educadora enseñe Ia operación de suma para que los niños puedan resolver esos problemas? ¡No! Entonces, ¿cómo podrón los niños resolverlos si no se les enseñan las operaciones? Comprender que “la suma" es Ia operación que resuelve los proble- mas citados (y muchos otros) es un proceso de abstracción al que los niños pueden acceder en Ia escuela primaria, pero el antecedente a la operatoria se sustenta en Ia posibilidad de reﬂexionar sobre las distin- tas acciones que se pueden realizar con las colecciones, a Ia vez que se van reconociendo las relaciones (aditivas) de los primeros núme- ros: el 7 puede verse como un 2 y 5, 4 y 3, 2, 2, 2 y 1; como un 10 al que se le quitan 3, un 9 disminuido en 2, etcétera, sin que deje de aparecer el 7 como el resultado de un conteo que se realiza de 1 en 1. Si en su proceso de aprendizaje se da a los niños Ia oportunidad de resolver situaciones numéricas con base en su propia experiencia y conocimientos (como se sugiere en el PEP 2004), podrón hacerlo sin co- nocer las operaciones; utilizaran el conteo. Por esto es importante que sean ellos quienes decidan qué les conviene hacer con los datos numéricos de un problema para resolver Ia pregunta respectiva. Son es- tas actividades —interactuar con los datos, tomar decisiones sobre ellos y llevarlas a cabo- las que darón sentido a los números y al conteo y en general al desarrollo del pensamiento matemótico. Las operaciones son un contenido de Ia primaria, realizar acciones sobre diversas colecciones y contar, son propósitos de preescolar.
29. Los números en el contexto de un problema En el apartado precedente se establece que los niños desarrollan su pen- samiento matemótico cuando Ia educadora les permita decidir qué hacer frente a un problema; asimismo, se aﬁrma que es fundamental po- nera los alumnos en situación de razonar con los distintos signiﬁcados que tienen los números en el contexto de un problema. Para ello, es necesario que Ia educadora comprenda qué es lo que hace que los problemas como los de Santiago y sus coches sean distintos, aunque todos se resuel- van con Ia suma 2 + 5. En el primer problema el 2 y el 5 son Ia medida: Ia cantidad de coches rojos y blancos que respectivamente tiene Santiago. En cambio, en el segundo problema, si bien el 2 sigue siendo una medi- da (los coches que tiene Santiago) el 5 ya no lo es; ahora esta funcionando como una transformación, porque modiﬁca Ia cantidad de coches que tenía Santiago (de 2 que tenía pasó a tener 7 coches). En el tercer problema, el 2 nuevamente es una medida; sin embargo, el 5 es una relación. El 5 en ese problema no es una medida, porque ni Santiago ni su mama tienen 5 coches, tampoco el 5 modiﬁca Ia cantidad de coches de Santiago, como tampoco los que tiene su mama, enton- ces el 5 no es una transformación. El 5 en este problema establece una relación entre Ia cantidad de coches que tienen ambos sujetos. En el cuarto problema, tanto el 2 como el 5 son transformaciones, en cada uno se modiﬁcó Ia cantidad de coches de Santiago, y en el pro- ceso se quedó sin coches; “recuperar" Ia cantidad de coches que tenía antes de regalarlos pasa por desandar el camino. Los distintos contextos (problemas) en los que aparecen el 2 y el 5 llevan a los niños a realizar diferentes acciones; sin embargo, cabe aclarar que los dos primeros problemas son menos complejos que el tercero y el cuarto. A ﬁn de ahondar sobre Ia importancia de establecer Ia relación se- móntica entre los datos, es decir, razonar sobre las acciones (y dejar para Ia escuela primaria el recurso de Ia operatoria), convendría que las edu- cadoras reﬂexionen también sobre lo que hace a los siguientes proble- mas diferentes, aunque todos se resuelvan con Ia resta 7 — 2.
30. Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 7. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7? Mario tenía 7 dulces, le dio 2 a Genny y los otros se los dio a Santiago. ¿Cuántos dulces le dio Mario a Santiago? Mario tenía 7 dulces y se co- mió 2. ¿Cuántos dulces le quedaron a Mario? Mario tiene 7 dulces y Genny tiene 2 dulces menos que Mario. ¿Cuántos dulces tiene Genny? Resultaría interesante, ademas, que las educadoras imaginaran las acciones que sus alumnos podrían realizar para resolver los problemas anteriores, para planteórselos y observar si lo que hacen coincide o no con Io que imaginaron y encontraran explicaciones al respecto.
31. ¿Qué signiﬁca resolver un problema? 1. La relación semóntica entre los datos Una idea generalizada (incluso en niveles educativos posteriores al pre- escolar) es que para resolver un problema se necesita conocer primero el recurso convencional de calculo (operaciones, ecuaciones, etcétera). De hecho, lo que sucede, como mencionamos, es que hay una confu- sión entre los dos elementos implícitos en la solución de un problema: los docentes se preocupan sobre todo por la estrategia de cálculo que per- mite la solución y minimizan o ignoran la relación semántica que debe establecerse entre los datos del problema. Esta relación semóntica se rea- liza en apego al razonamiento matemótico y en función de la experiencia y el conocimiento del sujeto que resuelve el problema. Revisemos a través de un ejemplo lo dicho. Supongamos que quere- mos resolver el siguiente problema: En una fábrica se hacen archiveros de cuatro y seis cajones. Si hay 28 cajones para hacer 6 archiveros, ¿cuántos archiveros de cada tipo se pueden hacer? Si el lector o lectora se toma un momento para buscar la solución, seguramente la encontrará. En la experiencia de una investigación realizada con educadoras, una maestra dijo: “Salen cuatro (archiveros) de cuatro (cajones) y dos (archiveros) de seis (cajones)”. Ante la pregunta, ¿cómo le hizo (para saberlo)? , la respuesta fue: “Multipliqué 4 x 4 = 16 y me sobraron 12 cajones, si hubiera multiplicado por otro número no me hubieran salido los archivero de seis cajones”.
32. En esa ocasión Ia mayoría de los participantes logró resolver el proble- ma de los archiveros con algunas variantes en el procedimiento. Sin em- bargo, nadie recurrió a Ia estrategia convencional (sistema de ecuacio- nes). Cuando se les preguntó si sabían lo que debían hacer para resolver ese problema de acuerdo con las matematicas (solución convencional), algunas respuestas fueron: múltiplos, distributiva, regla de tres, conteo, operaciones. Otras educadoras, en lugar de contestar a esa pregunta querían responder: ¿qué es necesario para resolver un problema? Fue así que dijeron: “(es necesario) pensar", “(hace falta) leer bien el problema", “con lógica", “poner atención" (¿a qué? , ¿a las explicaciones del maes- tro? ). También hubo quienes se aventuraron a sancionar las practicas de enseñanza dominantes: “Si los niños estón mecanizados, no se puede (es- perar que resuelvan problemas)". No obstante Ia diversidad de respuestas, no se mencionó Ia estrategia convencional: los sistemas de ecuaciones lineales, que mas adelante revisaremos. Conviene precisar que el recurso de solución de las educadoras fue aritmético, porque cuentan con conocimiento sobre los números y sus relaciones (4x4 = 16:28 -1 ó = 12:2 x ó =12; 12 +1ó = 28) y desde luego re- currieron al calculo mental con el apoyo de algunos datos. Ciertamente, este conocimiento es importante pero no suﬁciente, ya que Ia posibilidad de encontrar Ia respuesta realmente estuvo en que pudieron estable- cer la relación correcta entre los datos. Es decir, controlaron Ia rela- ción entre el total de cajones (28), el total de archiveros (ó) y el número de cajones (ó y 4) que deberían tener los archiveros. Es por esto que la maestra citada dice: “Si hubiera multiplicado por otro número no me hubieran salido los archiveros de seis cajones”. Efectivamente, no sólo se trataba de multiplicar o saber las tablas de multiplicación del 4 o del 2, o saber sumar (recursos de calculo), porque en este caso Ia operatoria para resolver es 4 x 4 = 1ó, 2 x ó = 12 y 1ó + 12 = 28, y hacer esta elección entre los distintos productos y sumas posibles entre el
33. 4, el ó y el 28 proviene de lograr establecer Ia relación entre estos números en el contexto del problema. Un problema equivalente“ es resuelto por los niños de primer grado, pero como no tienen el conocimiento aritmético desplegado por las educadoras, recurren —como es de esperarse- a lo que todo sujeto cog- noscente puede acceder: sus conocimientos y experiencias, que para los niños de ese grado son el dibujo y el conteo. El razonamiento de los niños se describe a continuación, aunque cabe aclarar que para efectos de este texto, se traslada su estrategia al mismo problema planteado a las educadoras. Ellos dibujan los archiveros (ó) y a todos les ponen 4 cajones. Cuentan los cajones “utilizados" (24) y encuentran que faltan 4 cajo- nes por repartir, éstos los distribuyen de 2 en 2 para hacer archiveros de ó cajones y así encuentran que con los 28 cajones se pueden hacer 2 archiveros de ó cajones y 4 archiveros de 4 cajones. 11 En una fábrica se hacen archiveros, de 2 y 4 cajones. Si hay 14 cajones y con ellos se hacen cinco archiveros, ¿cuán- tos archiveros de cada tipo se pueden hacer?
34. Quiza se podría caer en Ia tentación de pensar: ¿para qué sirve el conocimiento aritmético si el problema se puede resolver con dibujos y el conteo? Porque si en lugar de que el problema tenga como datos ó archiveros y 28 cajones, planteara que son 1 020 cajones y con éstos se hacen 210 archiveros de ó o 4 cajones, el calculo mental y las relaciones aditivas y multiplicativas de los primeros números (4 x 4, 2 x ó, 1ó + 12), que tan útiles resultaron para resolver el problema de los 28 cajones, se revelan insuﬁcientes para esta situación, y los dibujos también, porque aunque se puedan dibujar, nadie esta dispuesto a hacerlo con los 210 archiveros. Realmente se necesita de otro recurso, de un nuevo cono- cimiento, que viene a ser un mayor dominio delo aritmético. Retomemos el analisis de las soluciones al problema de los seis archive- ros. Estó claro que tanto los niños como las educadoras pueden resolver- lo, pero no utilizan Ia estrategia convencional para ello. ” Ésta, como se anticipó, es el sistema de ecuaciones lineales que sin grandes explicacio- nes se reseña a continuación. Determinamos que: X representa a los archiveros de 4 cajones Y representa a los archiveros de 6 cajones Escribimos el sistema de ecuaciones que establece la relación se- móntica entre los datos del problema: X+Y=6 la suma de los archiveros del tipo X y los del tipo Y es 6 12 Cabría preguntarse si todas las educadoras pasaron por la secundaria y con seguridad sus maestros de matemáticas se esforzaron en “enseñarles” los sistemas de ecuaciones lineales y los diversos métodos de solución, ¿por qué no evocan ese conocimiento para resolver el problema? Una respuesta posible es que los sistemas de ecuaciones en este caso resultan excesivos; otra posibilidad es que ese “conocimiento” sólo les sirvió para acreditar; o bien será que sus maestros se empeñaron en enseñarles y ellas, ¿se empeñaron en no aprender? Finalmente, usando la jerga actual, ese conocimiento les resultó poco “signiﬁcativo”.
35. 4 x + 6 y = 28 cada archivero x representa 4 cajones y cada archivero y representa 6 cajones, la suma de cajones es 28 Ahora es necesario conocer alguna manera de resolver el siste- ma de ecuaciones, entre los distintos disponibles se aplica el de “suma y resta", que consiste en multiplicar por un número alguna de las ecuacio- nes —en este caso se tomó al número negativo - 4 y se utilizó en Ia primera ecuación—, para eliminar una de las variables al sumar algebraicamente las dos ecuaciones, Ia variable que se elimina en este caso es x: -4X-4Y= -24 4x+6y= 28 2Y=4 se dividen ambos miembros de la igualdad entre 2 para “depejar” la variable y: y = 2 Esto signiﬁca que hay 2 archiveros de 6 cajones. Se sustituye el valor de y en la primera ecuación para encontrar el valor dem x+2=6 X=6—2 se resta en ambos miembros de la igualdad -2 para “despejar” la variable x: x = 4 Con este resultado hay 4 archiveros de 4 cajones. Si bien hemos llegado a Ia resolución convencional, Ia intención no es que las educadoras enmienden su conocimiento algebraico, sino resal- tar que existen tres formas de resolver el problema.
36. Las maneras de resolverlo son diferentes porque en cada una el “sujeto que resuelve" cuenta con conocimientos matemáticos distintos (con- teo, recursos aritméticos, recursos algebraicos): cada uno de estos cono- cimientos es mas complejo y potente, pero a su vez cada uno permite una gama de resolución mas amplia. Con todo, independientemente del conocimiento matemótico que se tenga, Ia posibilidad de resolver esta en si el sujeto puede o no establecer la relación entre los datos para encontrar Ia solución. Sin pretender minimizar Ia importancia del conocimiento aritmético y/ o algebraico, conviene precisar que sirve de poco tenerlos, si en el proceso de aprendizaje estos conocimientos no tienen Ia oportunidad de instalarse como herramientas para resolver problemas. En este punto el cono- cimiento matemótico encuentra su sentido y utilidad para Ia educación basica. En el nivel de preescolar, el desarrollo del pensamiento matemótico es susceptible de favorecerse si a los niños se les da ocasión de “recrearse" con el conteo, resolviendo problemas que involucren a los primeros 10 nú- meros (el resultado puede rebasar el 10); en este caso sus procedimien- tos tendrón que ver con juntar colecciones, separarlas, igualarlas, distri- buirlas, compararlas, pero “darles” como recurso Ia operatoria (sumas y restas) no tiene sentido, porque les resulta ajeno y distante a lo que ellos espontóneamente hacen cuando su conocimiento se sitúa en los prime- ros números y el conteo, aunque para muchas educadoras y padres de familia Ia aparición de las cuentas resulte “mas matemótico", “de mayor nivel” o cualquier otro caliﬁcativo similar. En síntesis, en el nivel de preescolar es conveniente destacarlo siguiente: - Favorecer el desarrollo del pensamiento matemático de los niños de pre- escolar es darles la posibilidad de resolver problemas numéricos. Esto signiﬁca permitirles que razonen sobre los datos del problema y determi- nen qué hacer con las colecciones. - En su proceso de aprendizaje es importante que los niños vayan encontran- do forrnas (acciones) de responder a las distintas maneras en el contexto en el que aparecen los números (medida, transformación, relación). . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .
37. - En el proceso de búsqueda de solución, los niños ampliarán su cono- cimiento sobre los números e irán dominando el conteo, pero sobre todo reconocerán para qué sirve “eso” que están aprendiendo (los números y el conteo). Observar lo que sus alumnos hacen al resolver problemas les da opor- tunidad a las educadoras de ver cómo actúan y percatarse de sus ra- zonamientos: que toman en cuenta, qué conocimientos matemóticos tienen y cómo los estan utilizando y qué les falta aprender de los conte- nidos de preescolar. Los niños no recurren a las operaciones para resolver problemas, a menos que su maestra insista; en lugar de ello, si los deja utilizar sus propias posibilidades, hacen dibujos, interpretan los números, representan de alguna manera las cantidades, cuentan las nuevas co- lecciones que salen al actuar sobre las anteriores y así hallan la respuesta a la pregunta del problema. Sin embargo, dejar que los niños resuelvan los problemas echando mano de sus conocimientos y experiencias no signiﬁca, como lo han su- puesto algunas educadoras, dejarlos a la “pata libre". Si esto fuera cierto, bastaría con recomendar a los padres de familia que les pusieran pro- blemas a sus hijos (hasta podríamos darles una lista) y las educadoras podrían recoger sus bórtulos y buscarse otra ocupación, pero ¡esto sería absurdo! Para propiciar el aprendizaje es necesaria la intervención didactica de las educadoras, quienes deben plantear el problema y anticipar las diferentes maneras como pueden responder sus alumnos; con ese re- ferente deben observar a sus alumnos en el proceso de búsqueda de solución. Seguramente las educadoras veran en las resoluciones de sus alumnos algunos de los procedimientos anticipados y otros no; particularmente sobre estos últimos tendran que preguntar a los niños para averiguar en qué estan pensando. Aun observando que los niños estan resolviendo con alguna de las maneras previstas, a veces, quieren resolver contan- do con los dedos, por ejemplo, y no pueden porque les es difícil realizar
38. las acciones (separar, agregar, unir, repartir, etc. ), entonces la educado- ra podría acercarles ﬁchas y proponerles que intenten resolver con este recurso. En ocasiones los niños saben qué quieren hacer con las colec- ciones pero presentan algunos problemas con el conteo, entonces se Ies puede ayudar. Ahora bien, si frente al problema planteado la mayoría de los niños no sabe qué hacer, una de dos: estón acostumbrados a recibir ayuda y por tanto la estón esperando. En este caso, la educadora tendría que pre- guntarse qué signiﬁca para ella posibilitar el desarrollo de competencias en sus alumnos, o bien, el problema rebasa las posibilidades cognitiva de sus alumnos. Mós adelante retomaré algunas situaciones de este tipo. Pero si se observa que dos o tres niños van por buen camino es reco- mendable que la educadora Ies proponga que expliquen a sus com- pañeros lo que estón haciendo. Recordemos que la socialización de conocimiento entre pares es un componente importante en el proceso de aprendizaje. No obstante hacer esto, las educadoras no pueden per- mitirse pensar que el asunto ha quedado resuelto para todo el grupo; es necesario que reﬂexionen sobre lo que Ies falta saber y trabajar con ello para retomar el asunto en otras clases, con algún problema equivalente y observar si mós niños muestran posibilidades de resolverlo. 2. El rango numérico Algunas educadoras piensan que los problemas con datos numéricos menores a 10 son fáciles de resolver, por eso dicen: Es que mis niños son muy listos, ya saben muy bien los primeros (números) y se aburren [. ..]; los niños de ahora ‘son más listos que los de antes’, por eso ya vamos como en el 10o y ya saben sumar y restar. Pero, ¿los alumnos de esas educadoras sabrón resolver problemas con números menores a lO, sin que ellas los vayan “orientando" en la búsqueda de la solución? Quizós esas educadoras avanzan sobre la serie numérica y . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .
39. Ia operatoria porque no saben qué hacer con los primeros números y el conteo para mantener el interés intelectual de sus alumnos. Sin afón de desestimar los esfuerzos de las educadoras para que sus alumnos “lleguen hasta el lOO o aprendan a sumar y restar", cabe co- mentar que los niños lo logran porque la serie numérica oral como la es- crita tienen regularidades, ¡que los niños descubren! Esta particularidad de las series (oral y escrita) no es adjudicable a las competencias docen- tes de las educadoras; lo meritorio en todo caso es el tiempo dedicado a que sus niños repasen las series numéricas. ¿Se imaginan lo que sería “aprenderse" una cantidad inﬁnita de nombres y signos (uno para cada número) si éstos no se sujetaran a cierta regularidad? No me cabe Ia menor duda, es mucho mós difícil ocuparse de que los niños desarrollen su capacidad para resolver problemas con los primeros números que atender a la memorización de la serie nu- mérica, no obstante que se llegue hasta el lOO o mós alló. Respecto a las operaciones, lo que usualmente se hace para “enseñarlas” es informar a los niños de unas reglas y hacer que las repitan el tiempo necesario, en su salón y en sus casas con ayuda de sus papós, hasta que las “mecanicen”, pero esto no signiﬁca que sepan utilizarlas por propia iniciativa para re- solver problemas. No estó alejado de la realidad decir que los problemas con números pequeños puedan ser difíciles de resolver, o al menos que los adultos no tengamos una respuesta inmediata ysea necesario pensar un poco antes de encontrarla respuesta. Por esta razón, y con el propósito de reﬂexionar sobre el particular, intenten solucionar el siguiente problema, “rapidito y de buen modo” como se dice. Eric tiene 2 camarones más que las tortugas que tiene Mariana, pero Genny tiene 3 pulpos menos que los camarones de Eric. ¿Cuántos animalitos tiene cada niño? Estó fócil, ¿no32 sólo tiene que ver con el 2 y el 3, números pequeños, ¿no? ¿Cual es el problema? Ademós, la pregunta es familiar, se pretende
40. averiguar cuóntos animales tiene cada niño. La respuesta no es inmedia- ta porque la diﬁcultad estó en la relación semóntica entre los datos y no en la magnitud de éstos. En la experiencia con educadoras ala que he hecho alusión, algunas de las respuestas fueron: “Es cualquier número"; “no tiene solución, no es exacto, falta (saber) lo que tiene Eric". Otras respuestas que reﬁeren a las relaciones involucradas son las siguientes: cinco (camarones), tres (tortugas) y dos (pulpos); seis (camarones), cuatro (tortugas), tres (pulpos); siete (camarones), cinco (tortugas), cuatro (pulpos). Efectivamente, este problema tiene varias soluciones, pero “no es cual- quier número", es una terna de números que cumplen con las relacio- nes “2 mós que" y “3 menos que" respecto a la cantidad de camarones de Eric. Como el problema no precisa cuóntos camarones tiene Eric, la mayoría de las educadoras lo suponen, siempre y cuando —dicen—, sean 5 o mós camarones. Algunas maestras (incluso de primaria), al igual que los niños, ” no acep- tan que Eric tenga, por ejemplo, 3 camarones, porque entonces Genny no tendría pulpos y el problema dice que sí tiene (pulpos). Tener pulpos signiﬁca que tiene muchos, dos o mós; en ese caso Mariana tendría una tortuga, pero son tortugas. Para estas educadoras la terna: 3 camarones, 1 tortugas, 0 pulpos, así como 4 camarones, 2 tortugas, 1 pulpo, ¡no son soluciones! Aunque desde el punto de vista de la matemótica sí lo son. En esa apreciación subyace uno de los muchos problemas que tuvo la incorpo- 13 En situaciones equivalentes, circunscritas a una sola relación (y no a dos como en el problema que se analiza).
41. ración de los conjuntos en la escuela primaria: la diﬁcultad de aceptar la existencia del conjunto vacío (el que no tiene elementos) y los de un ele- mento, porque en el lenguaje coloquial “un conjunto" reﬁere un colecti- vo, y éste tiene sentido si hay dos o mós elementos. Este no es el espacio para argumentar sobre la validez de las soluciones 3 —l - O o 4 - 2 - l, porque ¡tenemos muchas otras para escoger! Respecto a suponer que el problema “no tiene solución" o “no es exacto" porque es necesario precisar cuóntos camarones tiene Eric, la diﬁcultad para las educadoras que opinan así es que equivocadamente suponen que los problemas sólo pueden tener una solución y no varias, como es el caso de este problema. Esta idea errónea es producto de su trónsito por el sistema educativo; “los problemas matemóticos" que sus maestros Ies plantearon no fueron tales, se trató de un estereotipo de pro- blemas que siempre tenía los datos necesarios y suﬁcientes, en el orden en que deberían usarse para aplicar una operación y de solución Úni- ca, pero como podemos apreciar, existen problemas que no se limitan a tan infortunado esquema. Finalmente, es claro que si en lugar del problema planteado se hubie- ra propuesto: Eric tiene 3 camarones y Mariana 2 tortugas. ¿Cuántos animalitos tienen entre los dos niños? La rapidez de la respuesta de las educadoras (no así para los niños de tres años) no proviene de que no se haga referencia a los pulpos de Genny, sino que el 3 y el 2 funcionan como medida de colecciones; en cambio, en el problema que suscitara entre las docentes tantos comen- tarios, el 3 y el 2 actúan como relaciones entre cantidades. Encontrar qué hacer con los datos en este caso es mós complejo que en el que reﬁere a la medida de colecciones. Es necesario aclarar que los niños de tercero de preescolar pueden resolver problemas en los que aparece una medida y una relación, tales como:
42. Eric tiene 4 camarones y Mariana tiene 2 pulpos menos que los camarones que tiene Eric. ¿Cuántos pulpos tiene Mariana? Con un poco de mós diﬁcultad pueden resolver los que tienen una re- lación: Eric tiene 2 camarones más que los pulpos que tiene Mariana. ¿Cuántos camarones tiene Eric y cuántos pulpos tiene Mariana? En situaciones de este tipo, los niños tienden a pensar primero en los pulpos de Mariana y por ello proponen una cantidad operable, con la cual determinan cuóntos camarones tiene Eric, pero es hasta la discusión colectiva cuando se dan cuenta que hay varias respuestas posibles. “ Resulta interesante observar que, atendiendo a lo que dice el proble- ma, Ios niños se involucren, por ejemplo, en el conteo de 5 pulpos que puede tener Mariana, y a esta cantidad le agreguen 2 (los camarones que tiene de mós Eric), cuenten la nueva colección y concluyan que Eric tiene 7 camarones y Mariana 5 pulpos. Si los niños tienen a la mano la relación aditiva de estos números, como la tienen las educadoras, no necesitan hacer el conteo. La actividad intelectual de resolución de problemas es totalmente di- ferente a solicitarles a los niños que sólo cuenten colecciones, en tanto el conteo tendrón que hacerlo sin perder la relación entre las cantidades sugerida en la situación. Cuando los niños resuelven un problema, ciertamente cuentan co- lecciones pequeñas, 5, 2, 7, pero estón pensando, estón interactuando con la relación entre varios números; estón resolviendo una situación mós compleja que la acción de contar. 14 En la investigación de referencia Véase Irma Fuenlabrada, ¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del uno, dos, tres? , México, DIE, Cinvestav. Solamente una niña encontró distintas soluciones para este problema antes de la discusión colectiva de los resultados encontrados.
43. Es claro que resulta fuera de lugar poner a los niños de cinco años (casi seis) a contar colecciones de 7 camarones o 5 tortugas, por esto algu- nas educadoras proponen conjuntos con mayor cantidad de elementos para que los niños practiquen el conteo, pero la función de los problemas no es realizar esa próctica; mós aún, si los niños resuelven problemas con números menores y realizan actividades de conteo de colecciones ma- yores (no mós de 30), no estaría mal, lo preocupante es dejar de plantear problemas por ocuparse del conteo de colecciones o llevarla serie oral hasta el lOO o mós. Para entender mejor la diﬁcultad subyacente en los problemas que involucran a los primeros números, Ies sugiero que traten de resolver el siguiente problema, que también incluye números pequeños, el 2 y el 7: Eric jugó dos partidos de canicas, en el primero perdió 7 y en el segundo ganó 2. ¿Con cuántas canicas se quedó Eric al terminar de jugar? Frente a este problema, en la experiencia realizada con educadoras (y con docentes de escuelas primarias”), la primera respuesta es: “El pro- blema estó mal planteado“, “estó incompleto", “le faltan datos". Ante la precisión de la coordinadora del ejercicio de que no faltaban datos y el problema estó bien planteado, una educadora se aventuró a dar una respuesta: “3 canicas". ¿De dónde salieron las 3 (canicas). Para poder jugar el segundo juego (Eric) tenía que tener una (canica), por eso al principio (del juego) tenía 8, perdió 7 (en el primer juego y se quedó con una canica) yluego ganó 2 (en el segundo juego), entonces se quedó con 3 (canicas, al término de los dos partidos). 15 Ana Laura Barriendos Rodríguez (2005), ¿Es de suma o de resta? Experiencias con situaciones aditivas para maestros de primaria, tesis de maestra en Ciencias, Departamento de Investigaciones Educativas del Cinvestav.
44. En cambio, otras educadoras opinaron que el resultado era “5 cani- cas". Para ellas, Eric había empezado ajugar con lO canicas, perdió 7 en el primerjuego y se quedó con 3, luego ganó 2, así que cuando terminó de jugar tenía 5 canicas. “¿Aaah, estaba jugando con 10 canicas? ”, interpeló la coordinadora, “¿en qué parte del problema se da este dato? ” Las educadoras seguían insistiendo en que al problema “le faltaban datos”, nada más que ahora lo habían solucionado del “faltante” al decir que Eric empezó a jugar con 8 o 1o canicas. Hubo incluso quienes justiﬁcaron la elección de las lO canicas aludien- do a que la coordinadora había planteado, en algún momento, que era conveniente trabajar con los niños los problemas con números que no pasaran del lO, por eso aceptaban la argumentación externada por la educadora que dijo que Eric empezó con 8 canicas; pero ¡no con menos de 8! porque en ese caso habría que aceptar que “Eric era un niño de esos que se juegan ‘lo que no tienen’”, aunque claro, de que los hay, los hay. Ya instaladas en que Eric no fuera un niño “tramposo” desecharon también el resultado “3 canicas”, que surge de haber empezado con 8, porque “¿cómo es que Eric iba a jugarse 2 canicas (en el segundo partido), si nada mós tenía una al empezarlo? " Así que ajustaron el dato “faItante": “Eric empezó a jugar con 9 canicas, perdió 7 en el primer par- tido y con las 2 que tenía ‘apostó’ 2, ganó y se quedó con 4 canicas al terminar los dos partidos". Antes de dar la respuesta, sin suponer lo que Eric tenía al empezar a jugar, conviene reﬂexionar sobre la cantidad de razonamientos y justiﬁ- caciones que originó el problema. Recordemos que los números involu- crados son pequeños, el 7 y el 2. De eso se trata, de poner a los sujetos en situación de razonar sobre las relaciones que guardan los datos en el contexto de un problema; desde luego, el problema que tantas discusio-
45. nes ocasionara, no se puede proponer a los niños de preescolar, sino a sus maestras, ¡las educadoras! La diﬁcultad de establecer la relación semóntica entre los datos del problema de Eric, radica en que ambos datos son transformaciones y el resultado es otra transformación que se puede expresar en términos de una relación. A ﬁn de explicarlo dicho respecto a los datos, se propone el esquema“ en el que se muestran gróﬁcamente las relaciones que subyacen en el pro- blema. En el esquema, El, E2 y E3 representan los estados de la situación: E1: estado inicial (dato faltante, a decir de las educadoras). E2: estado intermedio (resultado al término del primer partido). E3: estado ﬁnal (resultado al término del segundo partido). Los datos 7 y 2 son transformaciones porque modiﬁcan la cantidad de canicas de Eric: perder 7 es una transformación negativa y ganar 2 es 16 El problema pertenece a la cuarta categoría de problemas aditivos, según la clasiﬁcación de Vergnaud (El niño, las matemáticas y Ia realidad, México, Trillas, 1985).
46. una transformación positiva. Ambas se expresan con números con signo (-7) y (+2), respectivamente. Perder 7 y ganar 2 es equivalente a perder 5 canicas; es decir, Eric perdió ﬁnalmente 5 canicas; la respuesta en térmi- nos de transformación modiﬁca la cantidad de canicas que tenía Eric al inicio del juego. O bien, al terminar de jugar los dos partidos Eric se quedó con 5 canicas menos que las que tenía al empezar, respuesta en términos de relación. Observemos que la respuesta es independiente de lo que tenía Eric al empezar a jugar, el famoso “dato faltante" no es tal, porque no es necesa- rio conocerlo para resolver el problema. La respuesta “Eric perdió 5 ca- nicas" de las que tenía al empezar es vólida para cualquier valor que su- pongamos sobre la cantidad de canicas con las que Eric empezó a jugar. Por esto, cuando las educadoras dicen que Eric se quedó con “3 ca- nicas", parten de que inició con 8: si empezó con 8 y se quedó con 3, perdió 5. Ahora bien, si tomamos la respuesta “Eric se quedó con 4 cani- cas", es que empezó con 9, si empezó con 9 y se quedó con 4, perdió 5. Lo mismo sucede si decimos que Eric se quedó con 5 canicas, entonces empezó con lO y perdió 5. De hecho, las educadoras al suponer el dato inicial resolvieron casos particulares del problema planteado. 3. La numerosidad de las colecciones A veces lo niños no pueden resolver un problema porque no tienen a mano la numerosidad de las colecciones; es decir, no se sienten seguros de poder realizar el conteo para construir una colección que tenga la cantidad indicada porque no tienen una imagen mental de ésta. Supon- gamos Io siguiente: En Babilianda, los biabiatenses cuando cuentan van diciendo: ba, be, bi, bam, (. ..) bembe, bembi, (. ..) cam, camba. .. Con esta información respondan el siguiente problema:
47. Samuel se comió bam chocolates de los cambambe que tenía. ¿Cuántos chocolates le quedan a Samuel? Una manera de proceder es poner cambambe objetos, y de éstos con- tarbam, quitarlos y contar la colección resultante. Seguramente ustedes ya habrón averiguado que bam es lo mismo que decir 4, pero saben, ¿cuón- to es cambambe? es decir, ¿pueden construir una colección que tenga cambambe objetos? , ¿saben contar (como lo harían los biabiatenses) hasta el cambambe? ¿tienen alguna idea mental de cuónto se tardarían en hacer una colección de cambambe ﬁchas, contando de ba en ba? Las diﬁcultades que tienen con la serie numérica oral de los biabiaten- ses la tienen los niños cuando estón aprendiendo los primeros números, conocen el inicio dela serie y algunos números “salteados”: 1,2, 3, 4, 5, ó. .. ló, 18.. . 50, 30,33, 500.. . En función del dominio de los números, de su correspondencia con las colecciones (numerosidad) y el conteo, para algunos niños puede ser im- posible (en un momento del proceso de aprendizaje) resolver el problema de Samuel y en cambio sí resolver el problema de Sergio que se proponen a continuación: Samuel se comió 3 chocolates de los 9 que tenía. ¿Cuántos chocolates le quedan a Samuel? Sergio se comió 3 chocolates de los 5 que tenía. ¿Cuántos chocolates le quedan a Sergio? Ambos problemas tienen la misma estructura, sólo se diferencian en las cantidades involucradas. Para algunos niños el nueve puede ser todavía un misterio, por tanto, es necesario que amplíen su conocimiento sobre la serie y el conteo para tener herramientas que le permitan solucionarlo. Sin embargo, el cinco puede ser ya de su dominio y entonces estarón en posibilidad de resolver el problema.
48. En una ocasión, trabajando con niños, se metieron en el lío de contar una colección “grande”; en este caso es útil comentar sus respuestas: varios dijeron “son muchos”, para otro niño eran “como un millón”, a lo que un tercero dijo: “sí, son como ¡80!” Realmente, entre un millón u 80, ¿cuál es la diferencia? ... ¡son muchos! Ante esta situación, es muy importante que la educadora observe y comprenda los razonamientos de sus alumnos, como cuóles son los co- nocimientos que tienen y cuóles todavía no. Cuando estón en el proceso de aprendizaje de los primeros números son muy sensibles a su magnitud en función del contexto en el que aparecen. Quiza los niños puedan contar una colección de nueve o mós elementos y sin embargo no sen- tirse seguros manejando el 9 cuando aparece en problemas como el de Samuel. Ahora bien, si resuelven el problema de Sergio, esto no garantiza que puedan solucionar el problema de Samuel. O bien, supongamos que la educadora propone el problema de Samuel y algunos niños no pueden re- solverlo, concluir que ese tipo de problemas es difícil, no es del todo cierto. Lo que la educadora debería hacer es proponerles el problema de Sergio y el de Samuel; si pueden solucionar el primero pero no el segundo sabró que una posible diﬁcultad puede ser la magnitud de los números involucrados y no la estructura del problema. Ésta es una, entre otras razones, por las que se establece que el Pro- grama de Educación Preescolar 2004 es un programa para el ciclo de preescolar. Los contenidos no estón repartidos y no deben disgregarse en años escolares. Se espera que los niños trabajen cada año con to- dos los contenidos propuestos; lo que cambia en cada grado es la com- plejidad de las situaciones desde una perspectiva de profundización y enriquecimiento. Dicha complejidad puede provenir del rango numéri- co involucrado, o bien, de la estructura de los problemas, como puede apreciarse en el siguiente apartado.
49. 4. La construcción de un nuevo conocimiento En una investigación de ingeniería didactica realizada con niños de ter- cero de preescolar, ” se Ies planteó el siguiente problema, ya enunciado en parrafos anteriores: “Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 7. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 7?” Entre las condiciones en las que se encontraban los niños participantes, cabe destacar Ia información de Ia educadora que los atendía, quien dijo que sus alumnos realizaban sistematicamente “calculos con sus de- dos"; se mostró orgullosa de permitir que lo hicieran e incluso lo propicia- ba. Efectivamente, frente al problema de Santiago los niños utilizaron sus dedos para intentar resolverlo, aunque se observaron serias diﬁcultades para coordinar los deditos que querían “contar". La actividad de resolver cuanto es 2 y 3, 4 y l, 3 y 3, etcétera, utilizando los dedos, es diferente a intentar resolver una situación de calculo cuando Io que se tiene en la cabeza son números que deben relacionarse en el contexto de un problema. Es decir, realizar con los dedos las acciones sugeridas por Ia relación semantica entre los datos de un problema, en muchas ocasio- nes es imposible. La sobrevaloración conferida por Ia educadora (titular del grupo ex- perimental) al recurso de los dedos para realizar calculos en esta situa- ción se manifestó como un obstáculo didáctico (propiciado por Ia ense- ñanza); ‘8 por ello, no es recomendable que las educadoras den prioridad a recursos de calculo como, por ejemplo, sugerir que el calculo se lleve a cabo siempre con palitos, dibujitos, deditos, u objetos, ésta es una de- 17 Irma Fuenlabrada (2006), “¿Cómo hacer para que los niños del preescolar vayan más allá del 1, 2, 3?”, Presentación en el foro “Educación temprana”, realizado en Cádiz, España, México, DIE, Cinvestav. 18 Guy Brousseau (1986), “Fundamentos y métodos de 1a didáctica de las matemáticas”, en E. Sánchez y G. Zubileta (comps. ), Lecturas en didáctica de las matemáticas. Escuela francesa, México, Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav, pp. 1-65.
50. cisión que tomaran los niños con base en sus necesidades para resolver situaciones de cuantiﬁcación, en todo caso es conveniente que Ia edu- cadora Ies sugiera todas las posibilidades simultaneamente. Ante Ia situación observada en el problema de Santiago se sugirió a los niños que utilizaran unas ﬁchas que había sobre Ia mesa, dibujos o lo que ellos consideraran conveniente. Todos los niños tomaron dos ﬁchas y agregaron otras, algunos al ir añadiéndolas empezaron a contar. A Ia pregunta, “¿cuóntos dulces le faltan a Santiago para tener 7?" La res- puesta fue ¡siete! Nuevamente se Ies planteó Ia situación completa y su respuesta fue ¡dos! Si bien, completaban ﬁchas hasta llegar al 7, no eran capaces de anticipar que éstas no debían revolverlas con las dos que ya tenían, para así poder contar las ﬁchas agregadas y saber que a Santiago le faltan 5 dulces; entonces, se Ies planteó un nuevo problema, reduciendo el rango numérico: Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 4. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 4? En este caso, Ia respuesta fue inmediata (no precisaron de usar los de- dos ni las ﬁchas): ¡dos! Se siguió explorando su posibilidad de respuesta, con otras situaciones equivalentes: “Santiago tiene 1 dulce pero quiere tener 4. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 4?” “Tres” “Santiago tiene 2 dulces pero quiere tener 5. ¿Cuántos dulces le faltan a Santiago para tener 5?” “Tres” Que los niños pudieran contestar correctamente en el rango numéri- co menor o igual a 5, sin utilizar el conteo, era un indicador de que ha- bían descubierto y controlaban las relaciones aditivas de esos primeros números, de que ya eran capaces de “mirar" el 4 como 2 y 2, l y 3, y al
51. 5 como 2 y 3, por ejemplo; sin embargo, desconocían que el 7 podía ser 2 y 5. 4.1. Las relaciones aditivas de los primeros números Se dejó por el momento el problema de Santiago de 2 y 7 dulces y se les plantearon actividades que propiciaran una ampliación de su conoci- miento sobre las relaciones aditivas de los primeros números, postu- lando que de contar con un mayor dominio de esas relaciones estarían en mejores condiciones para resolver el problema de Santiago con nú- meros mayores a 5. El recurso fue trabajar con las ﬁchas del dominó; ‘9 se les pidió a los niños que tomaran todas las ﬁchas que tuvieran cuatro puntos, a ﬁn de averiguar si también eran capaces de reconocer las relaciones aditivas del 4 en este nuevo contexto. No, no las reconocieron. Desordenada- mente tomaron la ﬁchas: O/4, l/4, 2/4; 3/4: 5/4 y ó/4, pero a nadie se le ocurrió tomar las ﬁchas l/3 y 2/2, que son otras posibilidades de “tomar ﬁchas con cuatro puntos", en donde subyacen expresiones de las rela- ciones aditivas del 42° Se les pidió entonces que ordenaran las ﬁchas del 4, para que empe- zaran a reﬂexionar sobre el comportamiento de los números involucrados; lo hicieron como se muestra en la imagen 7. Hubo quienes ignoraron la ﬁcha 4/4, y al pedirles explicaran la manera como habían ordenado las ﬁchas repasaron la serie l, 2, 3, 4, 5 y ó, que aparece en la parte superior de las ﬁchas y les desconcertó la 4/0 cuando se ﬁjaron en la parte inferior de éstas. Notaron que les había sobrado la ﬁcha 4/4 y decidieron incor- porarla a las que tenían ordenadas (imagen 8), ahora la ﬁcha “fuera de orden" es la 4/0. 19 Se trabajó con el dominó clásico (hasta la “mula” del 6). 2o La ﬁcha o/4 es una relación aditiva del 4, pero los niños no la consideraron.
52. IMAGEN 7 IMAGEN 8 Al preguntarles, “¿en qué lugar va esa ﬁcha (se señala la 4/O)? ", “¿en dónde pueden colocarla? decidieron acomodarla en el extremo dere- cho (imagen 9). No les convenció y ﬁnalmente la colocaron en el extre- mo izquierdo (imagen l0). IMAGEN 9 IMAGEN 10 Como no habían seleccionado las ﬁchas l/3 y 2/2 como representan- tes del 4, se les solicitó que de todas las ﬁchas del dominó buscaran ahora “los 8", con la pretensión de que se ﬁjaran en las dos partes de las ﬁchas del dominó, porque, ¡el 8 no existe en un solo lado!
53. No obstante que en varias ocasiones habían trabajado con el dominó, supusieron que en las ﬁchas donde hay seis puntos en alguna parte de éstas, ó/ O, ó/ l, ó/2, etcétera, ¡quiza pudiera haber ocho puntos en lugar de ó! Tomaron varias ﬁchas de este tipo, contaban los puntos, sólo para lle- gar a darse cuenta que se trataba del ó y no del 8; entonces, tomaron una que tuviera cinco puntos en una de sus partes (imagen ll) y hasta ese momento empezaron a mirar todos los puntos de la ﬁcha para en- contrar cuóles tenían ocho puntos (imagen 12). Así aparecieron las re- laciones aditivas posibles del 8 en las ﬁchas del dominó: el ó/2, 5/3 y 4/4. En todas las ocasiones se pidió explicaran por qué la ﬁcha elegida tenía ocho puntos, y empezaron a dar explicaciones como: “es que ó y 2 son 8", “con los 5 de aquíy los 3 de aca son 8". Se continuó trabajando con otros números, el 9, el lO, y se regresó al 4 y al 5 para veriﬁcar si los niños consideraban las dos partes de las ﬁchas de dominó para “mirar" el número solicitado. IMAGEN ll IMAGEN 12 Nuevamente se planteó el problema de Santiago que, recordemos, no habían podido resolver, así como otros equivalentes, para veriﬁcar si el nuevo conocimiento de las relaciones aditivas de los primeros lO núme- ros empezaba a instalarse como un recurso de solución, y así fue. La importancia de que los niños dominen las relaciones aditivas de los primeros números, no sólo esta en que posibilita la resolución de proble- mas de cierto tipo, sino también porque favorece la competencia de cólculo de los pequeños. El conocimiento de las relaciones aditivas mos- trara sus bondades cuando los niños se enfrenten en la escuela primaria al cólculo con números mas grandes.
54. También conviene precisar que el empleo de las ﬁchas de dominó como recurso no muestra totalmente las relaciones aditivas. Activida- des como ¿cuóntos objetos se quedaron en la bolsa? ” profundizan de manera importante el dominio de las relaciones aditivas. Esta actividad consiste en meter en una bolsa de papel, a la vista de todos los niños, lO objetos. ” Un niño pasa y saca algunos y le dice al resto del grupo cuón- tos sacó. Los niños tienen que averiguar cuóntos quedaron en la bolsa. De manera espontónea, si por ejemplo se dice que se sacaron 3, los niños empiezan a contar utilizando sus dedos: 4, 5, ó, 7, 8, 9, lO (conteo ascen- dente a partir de cualquier número distinto de l); miran los dedos que utilizaron y los vuelven a contar (sobreconteo) o reconocen cuóntos son, para decir que son 7 los objetos en la bolsa. Este resultado debe veriﬁcar- se sacando y contando los objetos que hay en la bolsa. Al jugar varias veces, los niños van adquiriendo las relaciones aditivas de los números menores a lO. Hay muchas maneras interesantes de trabajar con las relaciones adi- tivas, la única no recomendable es pedir a los niños que “se aprendan para mañana las tablas de sumar", o “ejercitarlos sobre la escritura de expresiones sencillas de suma (2 + 3 = 5)"; en su lugar hay que proponer actividades como las descritas (dominó, objetos en la bolsa) para que de manera natural se vean en la necesidad de recapacitar sobre las re- laciones aditivas y su interés por responder rapidamente. Propicie que las vayan aprendiendo. 21 Actividad tomada de Irma Fuenlabrada et al. (2008), ¿Cómo desarrollar el pensamiento matemático? Fichero de actividades para el preescolar, México, Irma Fuenlabrada Editora. 22 Si los niños son muy pequeños y su dominio de los primeros números no llega al 1o, en la bolsa se mete una canti- dad menor, por ejemplo, seis u ocho objetos.
55. 5. El dominio del conteo y su alternancia con los problemas Pedir que los niños cuenten pequeñas colecciones, por ejemplo, es una actividad útil e interesante cuando los niños no dominan bien el inicio de Ia serie numérica oral. En función del núcleo social de origen, algunos niños ingresan a preescolar sin ese conocimiento y muchos que lo tienen no necesariamente saben contar. Para poder empezar el proceso de conteo es ineludible conocer “de memoria" la serie oral de los pri- meros números, por lo que, independientemente del conocimiento de los niños al ingresar a preescolar, Ia educadora tiene que hacerse cargo de Ia memorización de Ia serie y de su uso en situaciones de conteo. En un principio se trata de hacer corresponder el nombre de los números (según aparecen en Ia serie) con un solo objeto de Ia colección que se desea cuantiﬁcar. Una actividad lúdica, entre otras que favorecen este aprendizaje, es organizar a los niños en equipos, poner al centro de las mesas objetos pe- queños y dar un bote a cada uno. La educadora también tiene un bote y objetos; dice a los niños que cada quien va a meter seis objetos en su bote, ” y que se trata de un juego entre equipos. Se hace una tabla de doble entrada en el pizarrón con el nombre de los equipos para anotar los aciertos. La actividad consiste en que la educadora suelta cada vez y de manera pausada un objeto en el bote y en voz alta lo cuenta; simultáneamente los niños hacen lo mismo. Todos deben ir a la par: 1 (tac), 2 (tac), 3 (tac). .. si el golpeteo de los objetos al caer en el bote o la mención del número correspondiente no se escucha al unísono, todos vacían su bote y se vuelve a empezar. A veces Ia educadora intercala pausas (al ir mencionado Ia serie y realizando el conteo) para favorecer Ia atención de los niños. Si logran 23 Dependiendo del dominio de los niños, el rango numérico se aumenta.
56. llegar al ó coordinadamente, la educadora elige un miembro de cada equipo para que pase al frente a contar los objetos de su bote; el grupo puede o no acompañar el conteo, según lo decida la educadora. Si hay seis objetos en el bote, el equipo gana un punto. La educadora aprove- cha estos momentos de veriﬁcación para pasar al frente a los niños que observe tienen todavía diﬁcultades con la serie o con el conteo. Se tiene la seguridad de que las educadoras han desarrollado muchos recursos para que sus alumnos aprendan a contar; la razón por la que se ha descrito una actividad de conteo es para reﬂexionar acerca de la pertinencia de este tipo de actividades y comprender por qué es impor- tante realizarlas con los niños pequeños. Para empezar a resolver problemas, en primer lugar los niños necesi- tan tener una herramienta de solución (al menos el conteo de los prime- ros seis números), pero no es cierto que empezar a plantear problemas deba postergarse hasta que los niños dominen el conteo de colec- ciones mayores a seis. Se trata de una alternancia entre actividades de conteo y resolución de problemas; la alternancia enriquece ambos procesos. En segundo, siendo las actividades de conteo dominantes en las ideas que las educadoras tienen acerca de la enseñanza de los núme- ros pueden creer que la resolución de problemas debe, como ya se ha mencionado, realizarse hasta el tercer grado de preescolar; esto es incorrecto. Los niños tienen que interactuar con las distintas funciones, usos y sig- niﬁcados de los números, y éstos aparecen en los problemas. Ya hemos analizado que el 4, por ejemplo, puede aparecer en el contexto de un problema como medida (tiene 4 cochecitos), como transformación (per- dió 4 cochecitos) o como relación (tiene 4 cochecitos mas que); aunado a lo anterior, puede ser que para resolver el problema sea necesario reco- nocer al 4 no sólo como: l, i, l, i, sino también como l y 3, 2 y 2, o bien, como ó disminuido en 2. En tercer lugar, cuando los niños dominan el conteo de los primeros l5 o 20 números, si la educadora insiste en proponerles el conteo de colec- ciones para aﬁanzar, para repasar, entonces el conteo se transforma en
57. una situación mecánica, en la que la actividad de los niños se vuelve ejecutiva: cuentan colecciones porque se les solicita que lo hagan, pero tienen escasas posibilidades de reconocer las diversas situaciones en las que es útil usar los números y el conteo, mas alla de satisfacer la demanda de su maestra. Es decir, la educadora no puede perder de vista que las pretensiones del PEP 2004 van mas alla de que los niños aprendan a contar y a representar la cardinalidad de las colecciones. Problematizar una situación implica plantear una pregunta, retar in- telectualmente a los niños. Lo que sistematicamente se debe averiguar es cómo utilizan los niños su conocimiento y su experiencia para resolver situaciones; por ello, son los niños quienes deben decidir lo que les conviene hacer. Una condición que es importante considerar es que la pregunta que plantea la situación, no rebase las posibilidades cognitivas de los alumnos. Veamos el siguiente problema: Aunque el problema nos parezca simple, si los niños no dominan el conteo de los primeros seis números, no tendrón a mano ninguna ma- nera de resolverlo; como el problema se sale de su control, no se involu- cran en la búsqueda de solución y por tanto no se comprometen con el aprendizaje. Si los niños contestaran rapidamente, ¡cinco! , lo que estón diciendo es que el problema de María no retó su conocimiento: siendo éste el caso, la educadora tendría que replantear el problema (María tiene ó peras y 7 manzanas) y observar si para resolverlo echan a andar algún recurso de cólculo, como sería, por ejemplo, poner ó rayitas, luego 7 para contar después el total y encontrar al l3 como respuesta. No sobra hacer la siguiente observación: supongamos que los niños saben contar (al menos hasta el ó) y la educadora sabe bien que no es lo mismo contar que resolver un problema; entonces decide ayudarles un “poco", total, ¿qué tanto es tantito? :
58. A ver, ¿cuántas peras tiene María? ¡Doooos! Pongan dos ﬁchitas, ¿ya todoslas pusieron? ¡Síííí! ¡Muybienl Ahora diganme, ¿cuántas manzanas tiene María? ¡Treees! ¡Eso es, muy bien, ahora pongan tres ﬁchitas! Si juntamos todas la ﬁchitas, tenemos todas las frutas de María, porque pusimos las dos peras y las tres manzanas, ¿verdad? A ver, cuéntenlas, vamos a ver quién las puede contar, ¿cuántas son? ¡Ciiiinco! ¿Todos estamos de acuerdo? Escriban el 5, a ver si lo pueden escribir. Las educadoras que así proceden tienen que percatarse que son ellas las que resuelven los problemas, las que deciden qué hacer con los datos y cómo resolver el cólculo (con los dedos, ﬁchitas, dibujos); mientras que el trabajo intelectual de los niños, en el mejor de los casos, es contar hasta el 2, hasta el 3 y luego hasta el 5. Establecer Ia relación semóntica entre los datos fue realizada por la educadora, no fue una acción producida por el razonamiento de los niños. Quiza algunas educadoras se ubiquen “enseñando a solucionar pro- blemas” como se ha relatado, y en descargo de su actuación digan: “Yo lo hago así pero después pongo otros problemas y los niños los resuelven solos". Aceptemos Ia defensa, sin conceder, ¿cuóles son los otros proble- mas que resuelven los niños solitos? , ¿ahora ya no es María sino Jazmín? , ya no son peras y manzanas sino, ¿muñequitos y muñequitasz‘; después, ¿aparece Pedrito con cochecitos y camiones? Si son estos los problemas que los niños resuelven solos, Ia educado- ra esta propiciando un proceso de resolución mecanica, porque sus alumnos estón interactuando cada vez solamente con un tipo de pro- blema: ponen Ios muñequitos y las muñequitas, juntan y cuentan Ia nue- va colección; ponen los cochecitos y los camiones, juntan y cuentan. La oportunidad para los niños de pensar sobre Ia relación semóntica entre los datos de un problema, en esta manera de proceder en Ia enseñanza, nunca estó presente, ni cuando Ia educadora explica Ia manera de re- solver ni cuando “ellos solos" resuelven problemas que Ia educadora “ha explicado” inmediatamente antes.
4007 Ou1

References: resolución 
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