Source: https://es.scribd.com/doc/111754097/Razonamiento-Matematico-Noveno-Actualizado
Timestamp: 2016-02-06 07:57:39+00:00

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=? 0,8 − 0,5 =? A= ? La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes (1596-1650) Filósofo y matemático francés. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 2 Clase Comprensión de conceptos Conocimiento de procesos Tarea para la casa Autoevaluación Las matemáticas pueden ser definidas como aquel tema del cual no sabemos nunca lo que decimos ni si lo que decimos es verdadero. Bertrand Russell (1872-1970) Filósofo, matemático y escritor británico RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 3 El conocimiento de la matemática juega un rol importante en la formación de los individuos, por cuanto proporciona conceptos básicos, estructuras, reglas, métodos, principios y habilidades que estimulan las facultades mentales superiores de la persona, capacitándola para resolver distintas situaciones problemas, no sólo en el ámbito del razonamiento matemático, sino también en otras ciencias y en la vida diaria. En cierta medida, la matemática suministra un vínculo entre la razón del ser humano y el mundo en que vive. Está presente en el comprender, en el actuar y aún en el jugar. Es una gran aliada cuando queremos expresar nuestras ideas en forma clara, precisa y concisa, por cuanto en sí misma es un lenguaje no ambiguo, que maneja la claridad y precisión en su metodología, obligando al que lo usa a ordenar y aclarar sus ideas antes de emplearlo. Como ciencia deductiva agiliza el razonamiento y forma la base estructural en que se apoyan las demás ciencias y aún, por su naturaleza lógica, modela los procedimientos adecuados para el estudio y comprensión de la naturaleza y para el eficaz comportamiento en la vida diaria. Al mismo tiempo, la matemática, a través del método que emplea en su aprehensión, proporciona ciertas herramientas indispensables para llevar a cabo dichas deducciones y para moverse con soltura en la sociedad. En síntesis, la Matemática, como disciplina por excelencia, ocupa un lugar de relevancia en el currículo de la Educación General Básica y en el Bachillerato General Unificado. Ella está estructurada en cinco bloques temáticos:  Relaciones y Funciones  Numérico  Geométrico  Medida  Estadística y Probabilidad RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 4 PRUEBA DE DIAGNÓSTICO INSTRUCCIONES • Lee con atención cada pregunta. • Las preguntas presentan cuatro opciones de respuesta: A, B, C y D. • Solo una de las opciones es la correcta. • Resuelve el ejercicio en el espacio en blanco de la pregunta respectiva. • Si la respuesta que obtienes es una de las opciones, pinta completamente con el lápiz, el rectángulo de esa opción. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D Toma en cuenta lo siguiente: • La prueba tiene 20 preguntas. • Para escribir, usa el lápiz que te entregan con la prueba. • No puedes usar calculadora. • Si necesitas cambiar una respuesta, debes borrar completamente la equivocada. • Si no sabes cómo responder a una pregunta pasa a la pregunta siguiente y cuando termines la prueba, vuelve a las preguntas que no respondiste. • Valor un punto cada pregunta. B C A D Nombre: ----------------------------------------------------------------- Fecha: ----------------------------------------------------------------- Calificación /20 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 5 1. La secuencia 8, 32, 128, 512 es: A. 1048 B. 2000 C. 2048 D. 1028 2. ¿Qué parte de la fracción sombreada corresponde la siguiente figura: A. 4/3 B. 3/4 C. 1/4 D. 2/5 3. La fracción 5/100, expresado en notación decimal es: A. 0,0005 B. 0,5 C. 0,0005 D. 0,05 4. Determina cuales de los siguientes pares de ﬁguras representan la misma fracción. I II III IV A. I y IV B. I y II C. II y III D. III y IV 5. Al ordenar de menor a mayor estos números – 6, 5, 7, 0, - 11, - 4, 9, 13, - 16 y 12 es: A. 5 y 10 B. - 16, - 11, - 6, - 4, 0, 5 , 7, 9, 12, 13 C. 11 y 15 D. 5 y 15 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 6 6. Se quieren colocar 25 filas y 25 hileras de sillas en un teatro. ¿Cuántas sillas se necesitan? A. 50 sillas B. 625 sillas C. 25 sillas D. 75 sillas 7. Al resolver el siguiente polinomio aritmético.
128 . 16 . 8
Su resultado es: A. 12 B. -16 C. 16 D. -12 8. El área sombreada de la siguiente figura es: 10cm A. 108cm
9. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza? A. 12/120 B. 17/120 C. 45/120 D. 35/120 3cm 3cm 3cm 3cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 7 10. El listado de números racionales: , −
Los dos números racionales más alejados entre sí, en la recta numérica, son: A. −
11. ¿Qué triángulo sigue en la siguiente serie? A. 11, 13, 24 B. 12, 13, 25 C. 14, 16, 30 D. 15, 17, 32 12. Si el área de un hexágono regular es 48cm
y su apotema es 2cm, su lado es: Recuerda:
A = A 4cm B. 12cm C. 48cm D. 8cm 13. El resultado de 3
008 , 0 64 , 0
A. 4/5 B. 5/8 C. 10/4 D. 8/5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 8 14. ¿Cuál es el precio para cubrir una pared de 60m
con baldosas de 25cm x 30cm, si cada una cuesta $1,45? A. $ 1120 B. $ 1160 C. $ 1150 D. $ 1145 15. La expresión 4
es igual a: A. 17/14 B. 19/14 C. 7/14 D. 3/14 16. Los lados de un triángulo miden tres enteros consecutivos. Si su perímetro mide 24m, su lado es: A. 2m B. 7m C. 6m D = 4m 17. ¿Qué fracción representa la parte sombreada? A. 6/12 B. 1/12 C. 4/12 D. 1/4 18. ¿Qué letra sigue? L M M J V … A. P B. S C. T D. A 19. ¿Qué letra sigue? C C S S O … A. R B. Q C. O D. N 20. En la secuencia: 240, 120, 60, 30,… ¿Cuál es el número que sigue? A. 100 B. 60 C. 10 D. 15 n+1 n n+2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 9 Índice MÓDULO 1 (Bloques 2, 3 y 4) Conjunto de los números racionales. Operaciones de los números racionales. Teoremas de Pitágoras. 13 Expresión fraccionaria y decimal de un número racional. 14 Representación de los números racionales en la recta numérica. 15 Clasificación y transformación de decimales. 16 Actividad # 1 17 – 19 Tarea para la casa # 1. 20 – 22 Operaciones con: Adición, Sustracción Multiplicación, División, Potenciación y Radicación. 23 Actividad # 2 24 – 26 Tarea para la casa # 2 27 – 28 Actividad # 3 29 – 30 Tarea para la casa # 3 31 Actividad # 4 32 – 33 Tarea para la casa 4 34 – 35 Actividad # 5 36 – 37 Tarea para la casa # 5 38 – 39 Teorema de Pitágoras. 40 Actividad # 6 41 – 43 Tarea para la casa # 6 44 – 45 MÓDULO 2 (Bloques 2 y 5) Números Irracionales y Reales. Operaciones con los reales. Estadísticas. 46 Número irracional. Representación en la Recta numérica. 47 Actividad # 7 48 – 49 Tarea para la casa # 7 50 El conjunto de los números reales. Relación de orden. Aproximación de Números decimales. 51 Actividad # 8 52 Tarea para la casa # 8 53 Operaciones con Reales: Adición Sustracción. Multiplicación y División. 54 Actividad # 9 55 – 56 Tarea para la casa # 9 57 Población. Muestra. Variables Estadísticas. 58 Distribución de frecuencia. Diagrama de Tallo y hojas. 59 Actividad # 10 60 – 62 Tarea para la casa # 10 63 – 65 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 10 Índice MÓDULO 3 (Bloques 2, 3 y 4) Potenciación. Radicación de reales. Radicales. Racionalización. Polígonos. Simetría. 66 Potenciación y Radicación. Polinomios Aritméticos. 67 Actividad # 11 68 – 69 Tarea para la casa # 11 70 – 71 Radicales. Operaciones con radicales. 72 Actividad # 12 73 – 75 Tarea para la casa # 12 76 – 78 Polígonos regulares e Irregulares. 79 Diagonales. Ángulos. Perímetro y áreas de polígonos. 80 Actividad # 13 81 – 88 Tarea para la casa # 89 – 94 Simetrías. 95 Actividad # 14 96 – 97 Dos personas son un mundo y una persona es la mitad de sí mismo. Todas las matemáticas se estrellan contra esa realidad. Silvina Bullrich MÓDULO 4 (Bloques 1 , 3 y 4) Proporcionalidad numérica. Circunferencia y círculo. Áreas de sectores circulares. 98 Patrones de crecimiento lineal. Función lineal. 99 Actividad # 15 100 – 102 Tarea para la casa # 14 103 – 105 Funciones de proporcionalidad directa e Inversa. 106 Actividad # 16 107 – 109 Tarea para la casa # 15 110 – 111 Circunferencia. Círculo. Áreas de sectores circulares. 112 Actividad # 17 113 – 116 Tarea para la casa # 16. 117 – 119 Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura. Bertrand Russell RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 11 Índice MÓDULO 5 (Bloques 1, 3 y 4) Expresiones algebraicas. Cuerpos geométricos. Ángulos notables. 120 Expresiones algebraicas. Monomios y polinomios 121 Actividad # 18 122 – 124 Tarea para la casa # 17 125 – 127 Construcción de pirámides. Conos. Área laterales de pirámides y conos. 128 Actividad # 19 129 – 130 Tarea para la casa # 18 131 – 132 Medidas de los ángulos notables en los cuatro cuadrante. 133 Actividad # 20 134 Tarea para la casa # 19 135 Los científicos necesitamos especialmente la imaginación. No bastan las matemáticas ni la lógica: Necesitamos algo de estética y poesía. María Casares MÓDULO 6 (Bloques 1 y 5) Operaciones con expresiones algebraicas. Productos Notables. Combinatoria. 136 Adición y Sustracción de monomios y polinomios. 137 Actividad # 21 138 – 140 Tarea para la casa # 20 141 – 143 Multiplicación de monomios con un Polinomio y entre polinomios. 144 Actividad # 22 145 – 147 Tarea para la casa # 21 148 – 150 Productos notables 1. 151 Actividad # 23 152 – 153 Tarea para la casa # 22 154 – 155 Productos notables 2. 156 Actividad # 24 157 – 158 Tarea para la casa # 23 159 – 160 Combinatoria. Nociones de probabilidad. 161 Actividad # 25 162 – 165 Tarea para la casa # 24 166 – 167 En política pasa como en las matemáticas: todo lo que no es totalmente correcto, está mal. Edward Kennedy RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 12 Índice MÓDULO 7 (Bloques 1 y 2) División de polinomios. Factorización. Producto cartesiano. Relación. 168 División de expresiones algebraicas. División de un polinomio para otro polinomio 169 Actividad # 26 170 – 172 Tarea para la casa # 25 173 – 175 División Sintética. Teorema del residuo. Factorización. Factor común y binomios. 176 – 177 Actividad # 27 178 – 183 Tarea para la casa # 26 184 – 189 Producto cartesiano. Relación. 190 No es casualidad que las matemáticas tengan aplicación en toda acción razonable, desde hacer una simple suma de quebrados, hasta quebrarse la cabeza descifrando la vida y sumarse a ella. Jorgeach MÓDULO 8 (Bloques 1, 2 y 5) Ecuaciones. Problemas Intervalos. Inecuaciones. 191 Ecuaciones de primer grado enteras y con Coeficientes fraccionarios. 192 Actividad # 28 193 – 195 Tarea para la casa # 27 196 – 198 Problemas: Numéricos. De edades Mezclas, y Figuras geométricas 199 Actividad # 29 200 – 203 Tarea para la casa # 28 204 – 206 Intervalos. Inecuaciones de primer Grado con una incógnita. 207 Actividad # 30 208 Tarea para la casa # 29 209 Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad. Albert Einstein RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 13 MÓDULO 1 (Bloques 2, 3 y 4) Destrezas con criterios de desempeños Representar números racionales en notación decimal y fraccionaria. Leer, escribir y realizar la representación en la recta numérica de números racionales de acuerdo a su definición. Resolver operaciones combinadas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación con números racionales. Utilizar el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios y problemas. Conjunto de los números racionales. Operaciones con racionales. Teoremas de Pitágoras RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 14 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Expresión fraccionaria y decimal de un número racional El conjunto de los números racionales (Q) Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se lo designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. A los números racionales podemos denotarlos como numerales mixto, como fracciones y como decimales. Ejemplos: fracción : cinco cuartos 6, 2 decimal: seis enteros dos décimos mixto: cuatro enteros un medio. Fracciones decimales = decimales finitos = = 6 período decimales infinito = 27 período
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico. Fecha: ________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 15 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Representación de los números racionales en la recta numérica Se debe recordar que para representar una fracción común sobre la recta numérica, hay que determinar la distancia de separación entre el cero y la unidad. Este espacio se dividirá de manera equitativa, tantas veces como indique el denominador, y se marcarán sólo aquellas que señale el numerador. Para ubicar fracciones, divides el entero (o los enteros) en tantas partes como indica el denominador y tomas las que indica el numerador. Por ejemplo: La fracción 3/5 se ubica en la recta, en el punto amarillo. El segmento de recta que representa al número 1 lo dividimos en cinco partes que están indicadas de color rojo. De esas cinco partes, tomamos las tres que están señaladas con color azul. Aquí representamos a los números decimales en la recta numérica. Para representar el número decimal 0,7 observamos que es un número comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad entre los números 0 y 1 en 10 partes iguales y tomamos 7 de esas partes contando a la derecha (pues 0,7 es un número positivo) desde el 0. Comparación de números racionales La comparación de fracciones permite determinar, de una pareja o varias fracciones, qué diferencias hay entre sus valores. Se pueden dar tres casos: Fracciones con igual denominador Para fracciones que tienen el mismo denominador hay que comparar los numeradores. La fracción con mayor numerador será mayor Ejemplo: y La segunda fracción es mayor, ya que 5 >2 Fracciones con igual numerador De dos o más fracciones que tienen igual numerador es mayor la que tiene menor denominador y La mayor es , ya que 3 < 5 Fecha: _________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 16 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES. COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fracciones con diferente numerador y denominador Para fracciones con diferente numerador y denominador, se deben buscar fracciones equivalentes hallando el mínimo común denominador(reducir fracciones a común denominador). Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (m c m) de los denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. Ejemplo: y El mínimo común denominador es 20, resultando y como 5 < 8 , entonces Nota: también se puede utilizar la notación decimal, como 1/4 = 0,25 y 2/5 = 0,4; 0,25 < 0,4 así pues 1/4 < 2/5. Clasificación y transformación de decimales Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos: Generatriz de un decimal exacto. Si la fracción es decimal exacto, la fracción tiene como numerador el número dado sin la coma y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplos: La fracción generatriz es Generatriz de un decimal periódico puro. Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo: Generatriz de un decimal periódico mixto. Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador dado sin la coma, menos la parte entera seguida de cifras decimales no periódicas, y por denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Ejemplo: Fecha: _____________________________ Decimales Exactos No exactos Periódicos No periódicos Puros Mixtos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 17 CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES 1. Sobre la recta numérica, representa las siguientes fracciones: a. 2
2. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. a. 4
÷ ÷ b. 4
÷ c. 2
÷ ÷ ÷ d. 4
÷ ÷ CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 1 Fecha: _________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 18 3. Determina la expresión decimal de los siguientes racionales. a. =
1 f. = ÷
5 g. = ÷
9 h. =
4. Escribe la fracción decimal de los siguientes números decimales. a. 0,8 = b. 1, 24 = c. 0,0002 d. 9,32 = e. 0,025 = f. 2, 45 5. Escribe la expresión decimal correspondiente. a. Cuatro milésimas b. Treinta y dos millonésimas c. Dos enteros, catorce centésimas d. Cuarenta y dos centésimas 6. Coloca en el recuadro el signo > ; < ; ó = según corresponda a. 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 19 7. Indica con x el tipo de decimal. Decimal Número Exacto Periódico puro Periódico mixto 5
3 , 0 6 , 2
5 , 2 34 , 1 75 , 0 3 8 , 0
22 , 2 63 5 , 3 23 , 0 8. Halla la fracción generatriz de estos números. a. 0,54 = b. - 2,3 = c. 0,25 = d. = 21 , 3 e. = 9 , 1
f. = 26 , 0 g. = 3 1 , 1
h. = 63 5 , 3 i. = 4 2 , 0
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 20 1. Sobre la recta numérica, representa las siguientes fracciones: a. 4
2. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. a. 5
÷ ÷ b. 7
÷ ÷ c. 12
÷ ÷ d. 4
÷ ÷ Tarea para la casa # 1 Fecha: _________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 21 3. Determina la expresión decimal de los siguientes racionales. a. =
e. = ÷
4 f. =
7 g. =
4. Escribe la fracción decimal de los siguientes números decimales. a. 0,4 = b. 2, 18 = c. 0,008 d. 4,56 = e. 0,35 = f. 8, 2 5. Escribe la expresión decimal correspondiente. a. Doce milésimas b. Cuarenta y cinco millonésimas c. Seis enteros, dos centésimas d. Dieciocho centésimas 6. Coloca en el recuadro el signo > ; < ; ó = según corresponda a. 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 22 7. Indica con x el tipo de decimal. Decimal Número Exacto Periódico puro Periódico mixto 5
4 , 0 2 , 3
8 , 4 34 , 1 15 , 0 6 2 , 0
34 , 1 22 4 , 2 33 , 5 8. Halla la fracción generatriz de estos números. a. 0,24 = b. - 0,45 = c. 0,28 = d. = 25 , 4 e. = 8 , 0
f. = 48 , 0 g. = 3 1 , 1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 23 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Adición y sustracción en racionales Racionales con el mismo denominador Racionales con distinto denominador Racionales en forma decimal 0, 24 – 0,98 = – 0,74 (- 0,42) + (- 0,39) = - 0,81 Multiplicación de números racionales Entre racionales fraccionarios La fracción como operador Para calcular la parte fraccionaria de un número se multiplica la fracción por ese número de 40 División de números racionales También podemos definir la división de dos números racionales como producto del primero por el inverso del segundo. Un labrador ha dividido su campo en 8 parcelas iguales. ¿Cuántas parcelas contienen los 3/4 del campo? Cada parcela es 1/8 del campo. Luego basta ver cuántas veces 1/8 está contenido en 3/4. Para ello hacemos esa división 3/4 : 1/8 Potenciación de números racionales Radicación de números fraccionarios La radicación de números racionales es una operación que consiste en dar una cantidad llamada subradical y un determinado índice, para obtener un resultado único llamado raíz. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 24 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES A. Efectúa las siguientes operaciones. 1. = ÷ + ÷ ÷ +
+ ÷ ÷ ÷ + ÷
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 2 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 25 4. |
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 26 9. |
· 12. 3
÷ ÷ 13. 2
· RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 27 A. Efectúa las siguientes operaciones. 1. 5
+ ÷ + ÷ 2. 4
÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ 3. 3
Tarea para la casa # 2 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 28 5. |
÷ 9. |
· RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 29 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Resuelve las siguientes operaciones. 1. 16 , 3 4 , 2 6 , 0 25 , 0 4 , 1 2 , 0 ÷ + ÷ ÷ + 2. 2 , 0 45 , 0 2 , 1 5 , 0
÷ ÷ + 3. 38 , 0 42 , 2 ÷ x 4- ( )
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 3 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 30 5. 6 , 0 : 48 , 0 ÷ 6. 12 , 0 : 72 , 0 7. 27
: 5 , 0
4 , 0 9. ( )
6 , 0 ÷ 10. ( )
216 , 0 04 , 0 · 12. 25
÷ ÷ 13. 27
5 , 0 ÷
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 31 Resuelve las siguientes operaciones. 1. 2 , 0 5 , 3 4 , 1 24 , 0 36 , 0 + ÷ ÷ ÷
2. 4 , 0
÷ + ÷ + 3. 26 , 0 38 , 1 x
6. 36 , 0 008 , 0
3 , 0 2 , 0
Tarea para la casa # 3 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 32 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Resuelve los siguientes problemas 1. La semana anterior Laura tuvo que leer un libro. El lunes leyó las 2/7 partes y el martes los 3/7. ¿Qué parte del total del libro leyó entre los dos día? 2. Las próximas vacaciones, Laura y Juan irán al pueblo con sus abuelos y allí harán, como todos los años, una excursión a una ermita cercana. Como la ermita está un poco apartada del pueblo y los abuelos no están para muchos trotes, pararán a almorzar cuando lleven recorridos los 3/8 del camino. ¿Qué parte del camino harán después del almuerzo? Si después de almorzar recorren 2000 metros a. ¿Cuál es la distancia que recorren antes de almorzar? b. ¿Cuántos kilómetros recorrerán en total en la excursión? 3. Cuando vuelvan de vacaciones los abuelos les darán propina, pues se acercan sus cumpleaños. A Juan le darán $40 y a su hermana los 6/8 de Juan. a. ¿Qué propina le darán a Laura? b. ¿Cuántos dólares le dan a Laura menos que a Juan? c. ¿Es justo el reparto de propina que hacen los abuelos? CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 4 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 33 4. Laura y su hermano juntan el dinero para hacer un regalo a su madre por ―El día de la madre‖. Le compran un libro que cuesta $19,40 y un frasco de colonia de $16,20. El resto del dinero se lo reparten entre los dos en partes iguales a. ¿Cuánto dinero se gastan en los regalos? b. ¿Cuántos dólares les sobran? c. ¿Cuánto dinero se quedará cada uno? d. ¿Podría la hermana de Juan haber hecho ella sola los regalos? e. Al final ¿Quién sale ganando? Explica tu respuesta 5. El día del cumpleaños de Laura invitan a unos amigos a merendar a casa y el padre y la madre de Juan van al supermercado para comprar la merienda. Compran 5 barras de pan de $0,64 la barra, 1/4 de kg. de jamón a $16,60 el kg., 1/2 kg. de chorizo de $9,80 el kg., 10 botellas de refresco a $1,25 la botella y una tarta que costaba $18,20 . a. ¿Cuánto se han gastado en cada producto? b. ¿Cuánto dinero se gastan los padres de los hermanos en total? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 34 Resuelve los siguientes problemas. 1. Para poder llevar la compra más fácilmente, los padres de Juan la reparten en 10 bolsas, con la buena suerte de que en todas ponen el mismo peso. Sabiendo que una barra de pan pesa 240 gramos, cada botella 1,5 kg. y la tarta 0,8 kg. a. ¿Cuánto pesará cada bolsa? No olvides pasar los pesos del jamón y el chorizo a número decimal 2. El día del cumpleaños la madre de Laura divide la tarta en partes iguales. Primero la divide en 4 partes y después cada parte la divide en otras dos. Los hermanos y sus amigos se comen cada uno una parte de la tarta. Al final de la merienda ha sobrado un trozo de tarta. a. ¿Sabes a cuántos amigos invitaron Laura y Juan? 3. Roberto y Javier se suben juntos a una bascula y marca un peso de 98.4 kg. Si Javier se baja de la bascula, el peso es de 40.6 kg. a. ¿Cuál es el peso de Roberto? ____________ b. ¿Cuál es el peso de Javier? __________ Tarea para la casa # 4 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 35 4. En la fiesta de Ana, su mamá compró 3.500 Kg. de dulces y quiere ponerlos en partes iguales en 28 bolsitas para los invitados, ¿Cuánto pesará cada bolsita? ________ 5. La medida de una circunferencia se obtiene multiplicando por la medida del diámetro. Si es igual a 3,14, ¿cuál será la medida de una circunferencia que tiene de diámetro 4,5 cm? 6. Entre tres hermanos deben repartirse $120. El primero se lleva 7 / 15 del total, el segundo 5 / 12 del total y el tercero el resto. ¿Cuánto dinero se ha llevado cada uno? 8. El 60 % de los trabajadores de una empresa tiene coche. Si el número total de empleados es de 1200. ¿Cuántos empleados tienen coche? 9. Tenía ahorrados $18 Para comprarme un juguete he sacado 4 / 9 del dinero de mi alcancía. ¿Cuánto me ha costado el juguete? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 36 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 1. =
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 5 Fecha:_____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 37 5. =
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 38 Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 1. =
Tarea para la casa # 5 Fecha: ___________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 39 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 40 TEOREMA DE PITÁGORAS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. b y c son catetos a es hipotenusa Nota: a > b y a > c Teorema de Pitágoras generalizado Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos? Filósofo y matemático griego (582 - 500 antes de Cristo), cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Fecha:___________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 41 TEOREMA DE PITÁGORAS 1. Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la altura de los polígonos. a. b. c. d CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 6 Fecha: ____________________________ 10 cm h 8cm 5cm h 4cm 25m h 15m h 17cm 8cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 42 2. Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X de las siguientes dimensiones. Se necesitan ------------- cm Se necesitan ------------ cm Se necesitan ------------ cm 2. Resuelve los siguientes problemas: a. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 25 dm de la pared. a) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared? b. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared? N 20 cm 20cm Z 10 cm 24cm X 16cm 30cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 43 c. En una circunferencia una cuerda mide 16cm y dista 12 cm del centro. Calcular el área del círculo. d. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 32 cm y 24cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo. 16cm 12cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 44 1. Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la altura de los polígonos. a. b. c. d Tarea para la casa # 6 Fecha: _____________________________ 45cm h 27cm 39cm h 15cm 30m h 18m h 34cm 30cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 45 2. Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X de las siguientes dimensiones. Se necesitan ------------- cm Se necesitan ------------ cm Se necesitan ------------ cm 3. Resuelve los siguientes problemas: a. Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 24 metros de largo y 10 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha? b. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5cm de longitud y una hipotenusa de 13 cm de longitud? N 24 cm 32cm Z 15 cm 20cm X 5cm 12cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 46 MÓDULO 2 (Bloques 2, y 5) Destrezas con criterios de desempeños Representar gráficamente números irracionales con el uso del teorema de Pitágoras. 0rdenar, comparar y ubicar en la recta numérica números reales con el uso de escala adecuada. Aplicar reglas para truncar y redondear números reales. Simplificar expresiones de números reales con la aplicación de la adición y sustracción. Simplificar expresiones de números reales con la multiplicación y división. Caracterizar a la población, la muestra y las variables estadísticas en un contexto determinado. Aplicar tablas de distribución de frecuencias en la solución de problemas. Representar datos estadísticos en diagrama de tallo y hojas. Calcular la media, mediana y moda de un conjunto de datos estadísticos contextualizados. Números irracionales y reales. Operaciones con los reales. Estadísticas. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 47 NÚMEROS IRRACIONALES Y REALES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Para representar un número racional, es necesario construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida la raíz que se quiera medir.
Para representar la raíz cuadrada de un número a se sigue los siguientes pasos: 1. Descomponemos el número a como la suma de dos cuadrados: a = x
(x, y enteros). 2. Dibujamos un triángulo rectángulo de lados x, y. la hipotenusa es: 3. Para representar en la recta numérica se traza un arco de circunferencia de centro 0 y radio la hipotenusa , el punto de corte con la recta es la representación de Fecha: _____________________________ CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.Se simboliza con (I) Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción), Números irracionales famosos Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos: 3,1415926535897932384626433832795 (y sigue... El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son: 2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...) La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son: 1.61803398874989484820... (y más...) Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos: √3 1.7320508075688772935274463415059 (etc) √99 9.9498743710661995473447982100121 (etc) RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 48 NÚMERO IRRACCIONALES Y REALES 1. Representa los siguientes números irracionales en la recta numérica. a. 13 b. 8 b. 6 c. 5 2. Escribe el número irracional que se encuentre representado en cada gráfico. a. b. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 7 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 49 c. d. e. ¿Qué número irracional se identifica en la figura para construir la √9=3? A. √5 B. √7 C. √2 D. √11 f ¿Qué número irracional se identifica en la figura para construir la √16=4? A. 3√2 B. 2√5 C. 2√3 D. 3√5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 50 1. Representa los siguientes números irracionales en la recta numérica. a. 7 b. 11 b. 14 c. 20 d. 26 c. 29 Tarea para la casa # 7 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 51 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEOS REALES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Se simboliza con la letra R Relación de orden en R Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda. Ejemplo: y Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está más a la derecha que a en la recta real. Si a < b, entonces b - a > 0 Aproximación de los números decimales Aproximar un número consiste en sustituir su valor exacto por un número próximo a él. Cuando el valor aproximado es mayor que el real, la aproximación se llama por exceso, y cuando es menor, por defecto. Las aproximaciones pueden realizarse por redondeo o por truncamiento. Redondeo y truncamiento de un número decimal Mediante truncamiento. Dejamos el número de decimales deseado, quitando los demás. Mediante redondeo. La cifra que redondeamos aumenta en uno si la primera cifra suprimida es mayor o igual que 5. En otro caso no varía. Por ejemplo 3,4578 con dos decimales se aproxima como 3,45 mediante truncamiento, y 3,46 mediante redondeo. De esta manera, el redondeo a unidades será 3, a décimas 2,8; a centésimas 2,83; a milésimas 2,828; a diezmilésimas 2,8284, etc. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 52 EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 1. Ordena de mayor a menor. 2. Ordena de menor a mayor. 3. Halla la aproximación de 0,63718122 a 2 decimales mediante redondeo y truncamiento. 4. completa la siguiente tabla. Ejercicio Número Tipo 1 -3 2 0,3636… 3 2
5 3 2 , 0
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 8 Fecha: _____________________________ 4 3,2 - 2 -3 0,6 1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 53 1. Ordena de mayor a menor. 2. Ordena de menor a mayor. 3. Aproxima los siguientes números a 2 cifras decimales por redondeo y por truncamiento: a. 60,616685821 b. 36,472742211 4. completa la siguiente tabla. Ejercicio Número Tipo 1 14 2 16
5 25 , 0
Tarea para la casa # 8 Fecha: _____________________________ - 3 2 -7 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 54 OPERACIONES DE LOS NÚMEROS REALES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES Para sumar y restar números reales, se puede resolverlos de varias formas: 1. Trabajar con expresiones decimales. 2. Aproximar cifras decimales. 3. Dejarlos expresados en radicales. Propiedades de la adición Propiedad Descripción Claurativa Si a, b, c R (a + b) R Conmutativa Si a, b, R a + b = b + a Asociativa Si a, b, c R (a+b) + c = a + (b +c) Modulativa Si a R a + 0 = a Cancelativa Si a, - a R a + (-a) = 0 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES. Para multiplicar y dividir números reales, se puede resolverlos de varias formas: 1. Trabajar con expresiones decimales. 2. Aproximar cifras decimales. 3. Dejarlos expresados en radicales. Propiedades de la multiplicación Propiedad Descripción Claurativa a. b R Conmutativa a.b = b. a Asociativa (a.b) . c = a. (b.c) Modulativa a.1 = 1.a=a a + 0 = a Cancelativa a .0 = 0 Inverso multiplicativo Distributiva a.(b+c) = ab + ac Fecha: ____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 55 OPERACIONES DE LOS NÚMEROS REALES Realiza las operaciones indicadas, por cualquier forma. 1. 2
2 , 0 ÷ +
2. 9 3 , 0 4 , 2 + ÷
3. 3 2 24 , 0 + ÷ 4. 16 4 , 0 5 , 0 ÷ +
5. 4 , 0 2 , 0 8
+ ÷ ÷ 6. 7 4 , 0 3 , 2 ÷ ÷ 7. 9
5 , 0 2 , 0 ÷ +
8. 5 2 , 3 1
+ ÷ ÷ CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 9 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 56 9. ( ) 2 , 0
10. ( )( ) 2 5 7 2 11. 2
12. 09 , 0 5 , 0 ·
13. 2 , 0
14. 5 2 10 6 ÷ 15. t t 18 3 ÷ 16. 100 6
8 , 0 ÷
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 57 Realiza las operaciones indicadas, por cualquier forma. 1. 3 3
064 , 0 001 , 0 1 , 0 ÷ + ÷
2. 1 , 0
3. 4 , 0 25 5 ÷ +
64 5 , 0
8. ( )( ) 9 , 0 6 , 0
10. 09 , 0 4 , 0 ÷
11 5 2 72 , 0 ÷
12. 6 12 12 3 ÷
Tarea para la casa # 9 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 58 POBLACIÓN, MUESTRA Y VARIABLES ESTADÍSTICAS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS La estadística es la parte de las matemáticas que se ocupa de los métodos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis. Población Es el conjunto formado por todos los elementos a estudiar, el cual puede llamarse conjunto completo. Muestra Parte de una población que se considera representativa de la misma. Muestreo Acción de escoger muestras representativas. Variables estadísticas Al hacer un estudio de una determinada población, observamos una característica o propiedad de sus elementos o individuos. Por ejemplo, con los alumnos y alumnas de nuestra clase, podemos estudiar el lugar donde viven, el número de hermanos, la estatura, etc. Cada una de estas características estudiadas se llama variable estadística. Primera variable: ¿En qué vienen a la escuela? Segunda variable: ¿Cuántas personas viven en su casa? El resultado de la primer variable puede ser: caminando, ómnibus, auto, moto, bicicleta, otros. Este tipo de variable se llama cualitativa. El resultado de la segunda variable puede ser: 2, 3, 4, 5, .... Este tipo de variable se llama cuantitativa. Una variable se llama cuantitativa cuando toma valores numéricos y cualitativos, cuando toma valores no numéricos. Distribución de frecuencias. Tablas de frecuencia Cuando se han recogido los datos correspondientes a una variable estadística, hay que tabularlos; es decir, hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan ordenadamente: Los valores de la variable que se está estudiando. El número de individuos de cada valor; es decir, su frecuencia. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 59 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de veces que se presenta un valor al estudiar una variable. Se lo representa con f. La suma de las frecuencias absolutas es el número total de datos estadísticos. Se representa con Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se representa con La frecuencia relativa se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. Marca de clase La marca de clase es el punto medio de cada intervalo, que se calcula sumando los extremos y dividiendo para 2. Construcción de una tabla de datos agrupados 1. Se localizan los valores menor y mayor de la distribución. 2. Se restan y se busca un número entero un poco mayor que la diferencia y que sea divisible por el número de intervalos queramos establecer. 3. Se forman los intervalos teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo Diagrama de tallo y hojas El diagrama "tallo y hojas", permite obtener simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formará el tallo). Por ejemplo, el número 136 sería partido como: TALLO: 13 HOJA: 6 Puede ordenar los datos de menor a mayor, esto ayudara a la organización de los datos (Opcional) Separe cada número en un tallo y una hoja. Agrupe los números con los mismos tallos. Ponga los tallos en una lista en orden creciente. Medidas de tendencia central Media aritmética Es el valor resultante que se obtiene al dividir la sumatoria de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplicable para el tratamiento de datos cuantitativos. Mediana (Me) Es el valor que separa por la mitad las observaciones ordenadas de menor a mayor, de tal forma que el 50% de estas son menores que la mediana y el otro 50% son mayores. Si el número de datos es impar la mediana será el valor central, si es par tomaremos como mediana la media aritmética de los dos valores centrales. Moda Es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, aquella cuya frecuencia absoluta es mayor. No tiene porque ser única. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 60 ESTADÍSTICA 1. Clasificar si es muestra o población. a. Las elecciones en Ecuador ( ) b. El salario de 20 empleados de una enorme compañía. ( ) c. Hacer una encuesta a 100 personas que entraron a una tienda de los 896 que entraron a dicha tienda, en un día. ( ) d. Hacer un estudio con todos los envejecientes de un asilo .( ) 2. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas: a. Comida Favorita. ( ) b. Profesión que te gusta. ( ) c. Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada. ( ) d. Número de alumnos de tu Instituto. ( ) c. El color de los ojos de tus compañeros de clase. ( ) d. Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase. ( ) 3. Completa la siguiente tabla. Puntuaciones obtenidas por un grupo en un examen Examen f f
% 13 3 14 1 15 5 16 4 18 3 19 1 20 2 22 1 Total CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 10 Fecha: ____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 61 4. Completa la tabla. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla. Peso(kg) Marca de Clase f fr % 50- 60 8 60 -70 10 70- 80 16 80 - 90 14 90 - 100 10 100 - 110 5 110 - 120 2 Total 5. Se ha obtenido la siguiente información sobre el número de transacciones mensuales de carteras gestionadas por una importante compañía de crédito: Construye el diagrama de tallo y hojas. Número de transacciones 17 25 32 41 43 31 28 27 39 36 25 19 21 28 26 30 32 26 27 34 21 24 20 25 31 6. Edad de 20 personas Construye el diagrama de tallo y hojas. Supongamos la siguiente distribución de frecuencias 36 25 37 24 39 20 36 45 31 31 39 24 29 23 41 40 33 24 34 40 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 62 7. El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, mediana, moda. 8. El precio de un interruptor magentotérmico en 10 comercios de electricidad de una ciudad son: 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 dólares. Hallar la media, moda, mediana. 9. Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4. 10. En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los envejecientes que pueden caminar sin dificultades. Buscar la media, la mediana y la moda de las siguientes edades, e indicar si es muestra o población:69 73 65 70 71 74 65 69 60 62 11. Se escogió un salón de clases de cuarto grado, con un total de 25 estudiantes, y se les pidió que calificaran del 1 al 5 un programa televisivo. (5 = Excelente 4 = Bueno 3 = Regular 4 = No muy bueno 1 = Fatal) Buscar la media, la moda y la mediana e indicar si es muestra o población. Estos fueron los resultados: 1 3 3 4 1 2 2 2 5 1 4 5 1 5 3 5 1 4 1 2 2 1 2 3 5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 63 1. Clasificar si es muestra o población. a. Las edades de todos los alumnos de los colegios fiscales del Guayas. b. Hombres adultos de 70 años con problemas cardiacos en un edificio de la ciudad de Quito. c. Enfermos de sida en el mundo. d. Mujeres embarazadas en un pueblo ubicado en el Ecuador.
2. Indica que variables son cualitativas y cuales cuantitativas: a. La nacionalidad de una persona. b. Número de litros de agua contenidos en un depósito. c. Número de libro en un estante de librería. d. Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados. e. La profesión de una persona. f. El área de las distintas baldosas de un edificio. 3. Completa la siguiente tabla. Números de estrellas de hoteles en Guayaquil Hoteles f f
% 1 6 2 12 3 16 4 4 Total Tarea para la casa # 10 Nombre: ____________________________ Curso: _____________________________ Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 64 4. Completa la siguiente tabla. En un control de velocidad en carretera se obtuvieron los siguientes datos Velocidad (km/h) Marca de Clase f fr % 60- 70 5 70 -80 15 80- 90 27 90 - 100 38 100 - 110 23 110 - 120 17 Total 5. El departamento contabilidad en una compañía de pedidos por correo, contó los siguientes números de llamadas que entraron por día al teléfono de uso sin cargo de la empresa. Durante los primeros siete en marzo de 2012:14, 24, 19. 31, 36, 26. 17. Halle la media aritmética. 6. A continuación se presenta el número de cambios de aceite para los últimos siete días en el taller denominado Los locos Adams, localizado en la esquina del cementerio de la ciudad Guayaquil. 41 15 39 54 31 15 33. Halle la mediana y la moda. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 65 7. En un estudio que se realizó en un asilo de ancianos, se tomó las edades de los envejecientes que pueden caminar sin dificultades. Buscar la media, la mediana y la moda de las siguientes edades, e indicar si es muestra o población:69 73 65 70 71 74 65 69 60 62 8. A continuación se presentan las notas de un grupo de estudiantes. Construir un diagrama de tallo y hoja, para organizar de forma creciente o decreciente las notas de dichos alumnos: 18, 05, 20, 16, 11, 03, 09, 14, 18, 07, 20. 9. Construye el diagrama de tallos y hojas para los datos 112 112 115 212 213 213 215 342 358 361 362 383 433 436 438 513 568 10. Construye el diagrama de tallo y hojas para los 15 datos: 35, 36, 38, 40, 42, 42, 44, 45, 45, 47, 48, 49, 50, 50, 50 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 66 MÓDULO 3 (Bloques 2, 3 y 4) Destreza con criterio de desempeño Resolver la potenciación y radicación en los reales. Simplificar expresiones de números reales con exponentes negativos con la aplicación de las reglas. Radicales. Operaciones con radicales. Racionalizar expresiones fraccionarias seleccionando el factor racionalizador Clasificar polígonos de acuerdo a la medida de sus lados y sus ángulos. Aplicar el cálculo de diagonales y de ángulos en polígonos en la resolución de problemas. Deducir las fórmulas para el cálculo y áreas de polígonos regulares con la descomposición. Aplicar diferentes tipos de simetría a figuras geométricas. Potenciación y radicación de reales. Radicales. Racionalización. Polígonos Simetría RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 67 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE REALES. POLINOMIOS ARITMÉTICOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Nombre: ____________________________ Curso: _____________________________ Fecha: _____________________________ Potenciación en los reales La potenciación en R cumple: Radicación en los reales La radicación en R cumple Polinomios aritméticos Es una expresión compuesta por números. Signos de agrupación y signos de operación. Ejemplo: Para resolver un polinomio aritmético en R, se consideran las mismas convenciones para naturales (N), enteros (Z), y Racionales (Q). - Signos agrupación - Potenciación y radicación - Multiplicación y división - Adición y sustracción. Signos a agrupación - Para suprimir signos de agrupación precedido del signo +, se dejan los signos del interior del paréntesis como están. - Para suprimir signos de agrupación precedido del signo -, se cambian todos los signos del interior del paréntesis RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 68 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE REALES. POLINOMIOS ARITMÉTICOS Resuelve los siguientes polinomios aritméticos: 1. 4
2 , 0 81 , 0
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 11 Fecha: ____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 69 4. ( )( )
( ) 9 , 0 36 , 0
008 , 0 4 , 0 2 , 0
+ ÷ + ÷ ÷ 2 , 0 4 , 0 2 , 0
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 70 Resuelve los siguientes polinomios aritméticos: 1. ( ) ( ) 12 , 0 48 , 0
2. ( ) 25 4 3 , 0
5 , 0 · + |
3. ( ) |
Tarea para la casa # 11 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 71 4. ( )
1 , 0 2 9 3
6. ( ) 2 , 0 4 , 0
4 , 0 2 3 , 0 5 , 0
4 , 0 2 , 0 + ÷
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 72 RADICALES. OPERACIONES CON RADICALES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Nombre: ____________________________ Curso: _____________________________ Fecha: _____________________________ Radicales Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de se impar. Se puede expresar un radical en forma de potencia. Radicales equivalentes Dos o más radicales son equivalentes si representan el mismo número real. Ejemplo: Simplificación de radicales Si existe un número natural que divide al índice y al exponente (o los exponentes del radicando se obtienen un radical simplificado. Ejemplo: Radicales semejantes Dos o más radicales son semejantes porque tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejemplo. Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Ejemplo: Operaciones con radicales Adición y sustracción de radicales semejantes. Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando. Ejemplo: Multiplicación de radicales del mismo índice. Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice. Ejemplo: Racionalización del denominador de una fracción Racionalizar Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Ejemplo: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 73 RADICALES. OPERACIONES CON RADICALES 1. Simplifica. a. = 72 b. =
4 d. = 128 e. 5
2. Extrae todos los factores posibles. a. = 150 b. =
405 c. 300 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 12 Fecha: __________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 74 d. 3
1512 3. Simplifica los radicales y resuelve. a. = ÷ + 98 8 6 72 b. 3 3 3
81 5 648 2 375 ÷ + c. = + ÷ 50 5 162 2 , 0 98
d. = + +
2187 2 , 0 3000 4 , 0
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 75 4. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales a. ( )( ) = ÷ 2 7 3 2 b. =
8 5 , 0 d. =
2 5. Racionaliza las siguientes expresiones. a. =
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 76 1. Simplifica. a. = 500 b. =
1029 c.
3 d. = 50 e. =
6 2. Extrae todos los factores posibles. a. = 567 b. =
48 c. = 500 Tarea para la casa # 12 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 77 d. =
1080 3. Simplifica los radicales y resuelve. a. = ÷ + 242 3 50 4 168 b. 3 3 3
375 5 81 7 24 4 + ÷ c. = ÷ ÷ 128
300 3 , 0 72
d. = ÷ +
81 8 , 0 1536 2 , 0
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 78 4. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales. a. ( )( ) = ÷ 5 2 8 4 b. =
12 6 , 0 d. =
6 5. Racionaliza las siguientes expresiones. a. =
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 79 POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fecha: ---------------------------------------------------------------------
_____________________________ Definición de polígono Un polígono es una figura plana que está limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. Elementos del polígono Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno. Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro. Clasificación de los polígonos a. Por sus lados Regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales, es el que es a la vez equilátero y equiángulo. Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales. b. Por la medida de sus ángulos Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos menores que 180º Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios ángulos mayores que 180º Por el número de lados, los polígonos pueden ser: N
de lados Nombre N
de lados Nombre 3 Triángulo 8 Octágono 4 Cuadrilátero 9 Eneágono 5 Pentágono 10 Decágono 6 Hexágono 11 Endecágono 7 Heptágono 12 Dodecágono RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 80 DIAGONALES. ÁNGULOS. PERÍMETRO Y ÁREA DE POLÍGONOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Diagonales de un polígono Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento: a. De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos. b. Esto es válido para los n vértices del polígono. c. Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes. Según el razonamiento tendremos que: Ángulos de un polígono Ángulo central Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:
en grados sexagesimales en radianes Ángulo interior El ángulo interior , de un polígono regular mide: en grados sexagesimales en radianes . La suma de los ángulos interiores , de un polígono regular es de: en grados sexagesimales. en radianes Ángulo exterior El ángulo exterior , , de un polígono regular es de
: en grados sexagesimales. en radianes La suma de los ángulos exteriores,
de un polígono regular es:
en grados sexagesimales en radianes Perímetro y área de polígonos. Perímetro es la suma de todos sus lados. El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 81 POLÍGONOS REGULARES E IRREGULARES. DIAGONALES, ÁNGULOS, PERÍMETRO Y ÁREA 1. Conteste las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un decágono? ----------------------------------------------- b. ¿Que Polígono regular tiene ángulo central 45º? -------------------------------------------------------------- c. ¿Cuantas diagonales tiene un dodecágono? -------------------------------------------------------------------- d. ¿Cuánto vale el ángulo interior de un eneágono regular? --------------------------------------------------- 2. Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de: a. 28 lados. b. 12 lados c. 8 lados d. 15 lados 3. Resuelve correctamente a. Calcúlese la medida de cada ángulo externo de un polígono regular con 18 lados; 20 lados. b. Calcúlese la medida de cada ángulo interno de un polígono regular con 18 lados; 20 lados c. Calcúlese número de lados de un polígono regular si cada uno de sus externos mide 120º; 40º. d. Calcúlese el número de lados de un polígono regular si cada ángulo interno mide 60º; 150º. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 13 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 82 4. En los siguientes polígonos, halla la medida de su ángulo o a. b. o 5. Halla el valor del ángulo o en cada uno de estos casos. a. b. 34º 72º 72º 70º 140º Y X 160º RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 83 6. Halla el valor de los ángulos X, Y, Z en los siguientes polígonos regulares a. Pentágono b. Octágono 7. Determine el valor de x a. b. X Y Z X Y Z 4, 2cm 3,4cm x 1, 8cm P = 12,5cm x 18 dm x – 20 18dm 10dm P= 100cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 84 8. Resuelve los siguientes problemas: a. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m². b. Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura. c. En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín. d. Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm². RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 85 e. Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda. f. Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín. g. Hallar el perímetro y el área de la figura: 92m 40m 4m 128m RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 86 9. Determina el área de los polígonos. a. b. c d 2cm 2cm 2cm 4cm 3cm 4cm 2cm 1cm 6cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 87 10. Cálculo de áreas sombreadas. a. En la figura se tiene un cuadrado de lado l = 4 cm. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado l/3. Calcular el área de la región sombreada. b. Calcular el área de la región sombreada c. Calcular el área de la región sombreada en donde cm d
100 = y b = cm b
= RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 88 d. El lado del cuadrado es 6 cm. Calcular el área de la región sombreada e. Calcular el área de la región sombreada en donde d =10 cm y b =8 cm. f. Si el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreada RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 89 1. Conteste las siguientes preguntas. a. ¿Cómo se llama el polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales? Respuesta: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b. Si un polígono tiene n lados ¿cuántos vértices tendrá? ¿Y cuántos ángulos? Respuesta: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- c. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a cuatro veces la suma de los ángulos exteriores de dicho polígono. ¿De qué polígono se trata? Respuesta: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d. Si la suma de los ángulos exteriores de un polígono regular es igual a la suma de los ángulos interiores de dicho polígono ¿cuántos lados tiene? Respuesta: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de: a. 20 lados. b. 10 lados c. 5 lados d. 40 lados 3. Resuelve correctamente a. Calcúlese la medida de un ángulo externo de un polígono regular con 40 lados. b. Calcúlese la medida de un ángulo interno de un polígono regular con 40 lados. c. Calcúlese número de lados de un polígono regular si su externo mide 18º. d. Calcúlese el número de lados de un polígono regular si el ángulo interno mide 170º. Tarea para la casa # 13 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 90 4. En los siguientes polígonos, halla la medida de su ángulo o a. b. 5. Halla el valor del ángulo o en cada uno de estos casos. a. b. 60º 80º 80º 60º 120º Y X 160º RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 91 6. Determine el valor de x a. b. 7. Resuelve los siguientes problemas: a. El escenario de un teatro tiene forma cuadrada, para que el público no se acerque con facilidad a los artistas se ha colocado un borde de 30 cm de altura y 16 m de largo que cubre el frente que da al público, se desea conocer cuál es área sobre el que actúan los artistas. b. Una vivienda tiene 12 m de fachada, si la altura del piso al techo es de 2,90 y la fachada presenta dos ventanas de forma cuadrada de 2,7 m de lado cada una. Calcula cuál es el área de pared que se tiene que revestir. 3, 6cm 2,5cm x 1, 4cm P = 18,9cm x 14 cm x – 8 10cm 16cm P= 120cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 92 c. Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por 63 cm de alto. ¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la moldura cuesta a $7,2 el metro, calcula el precio de dicho marco. d. En una ciudad hay un parque cuya forma es la de un pentágono irregular. Los lados miden respectivamente, 45, 39, 29, 17 y 39 metros. ¿Qué longitud tiene la valla que lo rodea? e. Hemos fabricado una cometa con forma de rombo, cuyas diagonales miden 393 cm y 205 cm respectivamente. Para ello se ha usado una lámina plástica rectangular cuya longitud y anchura son las de la cometa. Calcula el área de la cometa y la de la lámina. f. La torre de una antigua fortificación es de planta hexagonal. Se ha medido el área de la planta inferior obteniéndose un resultado de 166,27 m
.Si cada una de sus paredes mide 8 m de anchura, ¿cuánto mide la apotema de la planta de dicha torre? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 93 9. Determina el área de los polígonos. a. b. 10. Cálculo de áreas sombreadas. a. El diámetro de la circunferencia es 4 cm. Calcular el área de la región sombreada b. Si el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreada 5cm 2cm 2cm 2cm
m 4cm 2cm 2cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 94 c. Si el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreada d. Se desea recortar un espejo de forma circular de radio 30 cm a partir de un cuadrado. ¿Cuál es el área del menor cuadrado? e. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del círculo menor mide 2 cm. f. Hallar el área sombreada de la siguiente figura RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 95 SIMETRÍAS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Nombre: ____________________________ Curso: _____________________________ Fecha: _____________________________ Simetría La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto Simetría axial Las simetrías axiales son movimientos inversos, para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara. Simetría rotacional Decimos que una figura plana tiene simetría rotacional cuando podemos encontrar un centro (llamado centro de rotación) de manera que si giramos la figura completa un cierto ángulo (mayor o igual a 0º y menor que 360º), la figura rotada coincide con la figura original. Cuando una figura tiene simetría rotacional, a cada punto le corresponden otro punto (que se llama "punto rotado" o "imagen") a la misma distancia del centro, de forma que el ángulo que forman ambos con el centro de rotación es siempre el mismo. El número de veces que se puede hacer coincidir la imagen rotada con figura original se llama orden de la rotación. Ejemplo: Un hexágono regular tiene simetría rotacional. El ángulo de rotación es de 60° y el orden de la simetría rotacional es de 6. Un triángulo escaleno no tiene simetría rotacional. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 96 SIMETRÍAS 1. Teniendo en cuenta el siguiente plano, dibuja la figura simétrica respecto del eje señalado con color negro. 2. Marca con una X el casillero de las figuras en que se ha realizado una Simetría Axial. Dibuja la figura en la posición que corresponde si se le aplica una simetría axial. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 14 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 97 3. Busca en tu entorno figuras geométricas que tengan simetría central. 4. Dibuja la hoja que corresponde, sabiendo que se ha realizado una simetría axial. Ayúdate con las hojas de la columna de la derecha. ¿Cuántos ejes de simetría tienen los polígonos de la figura? Dibújalos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 98 MÓDULO 4 (Bloques 1, 3 y 4) Destreza con criterio de desempeño Reconocer patrones de crecimiento lineal en tablas de valores y gráficos. Graficar patrones de crecimiento lineal a partir de su tabla de valores. Representar la proporcionalidad directa en forma de función y aplicarla a la vida cotidiana. Representar magnitudes inversamente proporcionales a través de una función y su aplicación Calcular el perímetro de la circunferencia y el área en la resolución de problemas. Aplicar criterios en el cálculo de áreas de sectores circulares. Proporcionalidad numérica. Circunferencia y círculo. Áreas de sectores circulares. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 99 PATRONES DE CRECIMIENTO LINEAL. FUNCIÓN LINEAL COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Magnitud Es todo aquello que se puede medir. Ejemplos de magnitudes: velocidad, fuerza, temperatura, energía física (no la energía espiritual?), etc. Cuando dos magnitudes en una situación se relacionan cuando al aumentar una, aumenta la otra en forma proporcional, y es posible representar dicha relación en un gráfico. Si al unir los puntos se obtiene una línea recta, se concluye que las magnitudes cumplen con un patrón de crecimiento lineal. Función lineal Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y(llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio. La variable X se denomina variable independiente y la variable Y, variable dependiente. Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Definición f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números reales, es una función lineal. Este último renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b Por ejemplo, son funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4 La representación gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes perpendiculares. La inclinación de dicha recta está dada por la pendiente a y la ordenada en el origen es b. El punto de corte de la recta con el eje y es la ordenada en el origen y la llamamos b. Los pares de valores relacionados de una función (x; y), determinan puntos del plano en un sistema de ejes cartesianos. La variable independiente x se representa en el eje de abscisas y la dependiente y en el de ordenadas. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 100 FUNCIÓN LINEAL 1. Encierra los datos que representen magnitudes. a. La estatura de una persona. b. Color de las personas. c. Materias que estudia. d. Distancia de Guayaquil a Manta. e. Precio de un DVD. 2. Completa los datos de la tabla y construye un gráfico que relacione las dos magnitudes. Cantidad de zanahorias 4 12 Vasos de jugos 2 3 4 5 3. Completa los datos de la siguiente tabla, sigue el patron de crecimiento y determina si su crecimiento es lineal. km 0 1 2 3 4 2km + 2 2 4 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 15 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 101 4. Analiza las siguientes tablas y determina el patron de crecimiento. Luego elabora el gráfico respectivo. a. x 1 2 3 4 5 6 y 2 4 6 8 10 12 b. x -2 -1 0 1 2 3 y -3 -1 1 3 5 7 c. x 0 1 2 3 -1 -2 y 2 3 4 -1 0 -3 5. Elabora una tabla y el gráfico para los siguientes patrones de crecimiento lineal. a. y = 2x + 1 b. 2x – 3 c. y = 3x – 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 102 6. Menciona si la relación entre los siguientes pares de magnitudes es o no una función. a. El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante). b. El área A del círculo y de la longitud de su radio r. c. El peso de una persona y su altura. d. La calificación de un examen y la asignatura. e. Venta domiciliaria de teléfonos celulares, y el sueldo del vendedor. f. Distancia recorrida por un móvil y un camino recto a velocidad constante. 7. Obtén la expresión algebraica de la función que asocia a cada número lo siguiente. a. Su cuádruplo b. Su número dos unidades mayor c. Su mitad menos uno d. Su doble más tres. 8. Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprésalas mediante un enunciado y obtén su representación. a. y =2x – 1 b. y =2x
c. y = x/2 – 1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 103 1. Encierra los datos que representen magnitudes. a. La altura de una torre. b. Deportes que practicas. c. Lisbros de matemáticas. d. La medida de un terreno. e. Precio de una plancha. 2. Completa los datos de la tabla y construye un gráfico que relacione las dos magnitudes. Cantidad de sandías 8 60 Vasos de jugos 2 4 10 12 3. Completa los datos de la siguiente tabla, sigue el patron de crecimiento y determina si su crecimiento es lineal. t 0 1 2 3 4 4t+ 1 1 5 Tarea para la casa # 14 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 104 4. Analiza las siguientes tablas y determina el patron de crecimiento. Luego elabora el gráfico respectivo. a. x 0 1 2 3 4 y 0 1 4 9 16 b. x 0 1 2 3 4 y 1 2 2 4 5 c. x 0 1 2 3 4 y 1 2 3 4 5 5. Elabora una tabla y el gráfico para los siguientes patrones de crecimiento lineal. a. y = x – 4 b. x + 1 c. y = 2x + 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 105 6. Menciona si la relación entre los siguientes pares de magnitudes es o no una función. a. El largo y el ancho de las hojas de una rama. b. Música que te gusta y baila merengue. c. Fotocopias para un trabajo de investigación y cada copia vale $ 0,05. d. Los miembros de una familia y su abuelo. e. El peso de un barril y la cantidad de líquido que contiene. f. El número de obreros y el tiempo que tardan en acabar un trabajo. 7. Obtén la expresión algebraica de la función que asocia a cada número lo siguiente. a. El triple de un número b. El antecesor de un número c. Un número aumentado en dos d. El cuadrado de un número 8. Halla una tabla de valores para las siguientes funciones, exprésalas mediante un enunciado y obtén su representación. a. y =- 3x b. y =- 2x + 1 c. y = 3x + 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 106 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Representación de una función La función se puede representar de tres formas: 1. Mediante una tablas de valores. Peso (kg) x 1 2 3 4 Precio ($) y 0,5 1 1,5 2 2. Mediante una gráfica. 3. Mediante una ecuación. y = f(x) = 2x + 2 Dominio y rango El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio está compuesto por todos los números Reales. El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función. Función de proporcionalidad directa La función f es una función de proporcionalidad directa si y solo sí cumple con la fórmula: f(x) = k.x , siendo k la constante de proporcionalidad. y= k.x es la fórmula o modelo matemático. La representación gráfica de la función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Función de proporcionalidad directa Decimos que una función es de proporcionalidad inversa cuando la relación numérica entre sus variables es de proporcionalidad inversa Su expresión algebraica es y = k/x La gráfica de una función de proporcionalidad inversa es una curva, simétrica respecto del origen de coordenadas, que se llama hipérbola. La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa no pasa por el origen de coordenadas (0, 0). Variable independiente Variable dependiente RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 107 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA 1. Señala con una X los graficos que se muestran si son proporcionalidad directa o inversa. a. b. c. 2. Identifica en los siguientes ejemplos si son funciones de proporcionalidad directa (D) e inversa (I) a. El área de un círculo varía en función directa con el cuadrado de su radio. b. La velocidad de un coche y el trayecto recorrido en el mismo tiempo. c. Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapa. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? d. Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un autobús a precio fijo. Inicialmente iban al viaje 20 alumnos siendo el precio por persona de $14. Si finalmente hacen el viaje 8 alumnos ¿Cuánto tiene que pagar cada uno? e. La dosis adecuada del antibiótico cefalexina para niños es de 0,025g por kg de masa corporal ¿cuál es la masa corporal de un niño que recibe una dosis de 1 1/8 g? f. En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? . 3. Completa la siguiente tabla, y responde: x -3 -2 -1 0 1 2 y -1 1 a. Escribe la fórmula de la función que relaciona las dos magnitudes. b. Representa gráficamente la función. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 16 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 108 4. Resuelve los siguientes problemas: a. Un grifo tiene un caudal de 5dm
por minuto. * Haz una tabla de valores de la fucnión tiempo – capacidad. * Representa graficamente la función. * Halla la expresión algebraica de la función. b. La siguiente tabla de valores relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. x 1 2 4 5 10 20 y 20 10 * Copia y completa la tabla. * Escribe la función que relaciona las dos variables. * Representa gráficamente la función. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 109 c. Con un grifo se tardan 8 horas en llenar una piscina. * Encuentra la fórmula que exprese cómo obtener el tiempo de llenadoen función del número de grifos. * Representa graficamente la función. d. Mezclamos 50 litros de un aceite de 3,60 euros/litro con 70 litros de otro aceite de 4,20 euros/litro. ¿Qué precio debe tener el litro de la mezcla? 5. Representa gráficamente las siguientes funciones. a. y = - 3x b. y = 4/x RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 110 1. Señala con una X los graficos que se muestran si son proporcionalidad directa o inversa. a. b. c. 2. Identifica en los siguientes ejemplos si son funciones de proporcionalidad directa (D) e inversa (I) a. La velocidad de un coche y el tiempo empleado en recorrer el mismo trayecto. b. Los precios de la gasolina. c. En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. d. 5 panaderos elaboran 1000 bolillos en un turno de 8 horas. e. Kilogramos de pintura y superficie pintada. f. Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos 3. Resuelve los siguientes problemas: a. Completa la siguiente tabla, que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. No de alumnos 2 4 10 20 Precio 180 10 * ¿Cuál es la función que relaciona las dos magnitudes? *¿Cuáles alumnos deberán ir a la excursión para que cada uno pague $10? ¿Y para que cada uno pague $9 Tarea para la casa # 15 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 111 b. Una ONG envía alimentos a un país en vías de desarrollo. Con cada 6 euros aportados alimenta a 30 niños al día. Responde: *Da la fórmula que relaciona la cantidad de dinero aportada con los niños a los que da de comer la ONG al día. * ¿Es una función de proporcionalidad directa? * Representa gráficamente la función. c. Nuria, Alejandro, Pilar y Vicente han comprado, respectivamente, 1, 3, 5 y 6 cuadernos, todos ellos iguales. En total han pagado $56. Responde: * ¿Cuánto cuesta cada cuaderno? *Escribe la función que relaciona el dinero que hay que pagar con el número de cuadernos comprados. * ¿Es una función afín o lineal? 4. Representa gráficamente las siguientes funciones. a. y = 2x b. y = 2/x RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 112 CIRCUNFERENCIA. CÍRCULO. ÁREAS DE SECTORES CIRCULARES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Circunferencia Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad constante llamada radio. Elementos de la circunferencia. Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia. Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia. Tangente: Recta que toca en un punto a la circunferencia. Perímetro de la circunferencia Círculo Un círculo es el conjunto de todos puntos quienes equidistan de un punto central. Área de un círculo Sector circular Un sector circular es la porción de círculo limitada por dos radios. El área de un sector circular es la parte del área de un círculo comprendida entre dos radios y el arco subtendido. Sea S el área del sector circular, entonces: Corona circular Una corona circular es la porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 113 CIRCUNFERENCIA. CÍRCULO. ÁREAS DE SECTORES CIRCULARES 1. Calcula en cada caso el radio del círculo, según las siguientes áreas. a. 2
169 cm t b. 2
225 cm t c. 2
576 cm t d. 2
cm t e. 2
64 , 0 cm t f. 2
4 , 0 cm t
2. Encuentra el valor del área sombreada de cada figura. a. b. 3. Resuelve los siguientes problemas: a. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños mide 2 cm. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 17 Fecha: _____________________________ 20cm 12cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 114 b. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped. c. En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo d. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm. 4. Calcula el área de los siguientes sectores circulares dada la medida de sus ángulos centrales y la de sus lados. a. 30º y r = 6cm b. 45º y r = 4cm c. 60º y r = 1,2cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 115 5. Calcula el área de la corona circular cuyos radios miden: a. 8cm y 10cm b. 23cm y 45cm c. 0,6cm y 0,12cm d. 15cm y 9cm 6. Resuelve los siguientes problemas a. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia. b. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia. c. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 116 d. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo. e. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal. f. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada. g. El área de una corona circular es 20π cm
, y la circunferencia interna mide 8π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa. r2 r1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 117 1. Calcula en cada caso el radio del círculo, según las siguientes áreas. a. 2
400 cm t b. 2
49 cm t c. 2
324 cm t d. 2
04 , 0 cm t f. 2
64 , 0 cm t 2. En las siguientes figuras, determina el área de la región sombreada, si r = 12cm a. b. c. Tarea para la casa # 16 Fecha: _____________________________ 6cm 2cm 6cm 6cm 10cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 118 3. Resuelve los siguientes problemas. a. En una plaza de forma circular de radio 140 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped. b. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 12 cm y el radio del círculo mide 4 cm. 4. Calcula el área de los siguientes sectores circulares dada la medida de sus ángulos centrales y la de sus lados. a. 60º y r = 2cm b. 15º y r = 6cm c. 80º y r = 0,4cm 5. Calcula el área de la corona circular cuyos radios miden: a. 6cm y 12cm b. 20cm y 40cm c. 0,4cm y 0,8cm d. 18cm y 10cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 119 6. Resuelve los siguientes problemas a. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 6 cm el radio de la circunferencia. b. En un parque de forma circular de 200 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 10 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo. c. Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 6 m de diagonal. d. El área de una corona circular es 8π cm
, y la circunferencia interna mide 4π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa. r2 r1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 120 MÓDULO 5 (Bloques 1, 3 y 4) Destreza con criterio de desempeño Reconocer los elementos de las expresiones algebraicas y sus características. Clasificar y caracterizar expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos Representar polinomio de hasta segundo grado con material concreto. Construir pirámides y conos a partir de patrones en dos dimensiones. Calcular áreas laterales de pirámides y conos en la resolución de problemas. Reconocer medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes con el uso de instrumento. Expresiones algebraicas. Cuerpos geométricos. Ángulos notables. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 121 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. MONOMIOS Y POLINOMIOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Expresiones algebraicas Llamamos expresión algebraica a toda combinación de variables y números relacionados por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Ejemplo: Las expresiones algebraicas aparecen en multitud de campos: geometría, física, economía, etc.: Área de una circunferencia Presión de un gas a temperatura constante:
Término algebraico Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, Por ejemplo xy
es un término algebraico. Elementos de un término Valor numérico de una expresión algebraica Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtienes al sustituir cada una de sus variables por el valor que se les haya asignado de antemano, y de efectuar la operación indicada. Ejemplo Encuentre el valor numérico de: 4mn
– 5mn + n
para m= 2 y n =4 4(2)(4)
– 5(2)(4) + (4)
= 128 – 40 + 64= 152 Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras están ligadas por la operación multiplicar. Ejemplos: Grado de un monomio: Absoluto es el número que resulta de la suma de los exponentes de la parte literal. Ejemplo: 7m
p = 2+3+1 es de grado 6
Relativo se obtiene respecto a una variable y corresponde al número dado por el exponente de esa variable.
Ejemplo: 2m
es de grado 2 con respecto a m , es de grado 3 con respecto a p Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal. Ejemplo: Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios. Ejemplos: 2a +b, 3x
- 5y +z, 2x
- 3x+8 Binomio: Polinomio de dos términos: 5x
– 7y
Trinomio: Polinomio de tres términos: 2a
Grados de un polinomio Absoluto: Se determina por el exponente mayor, de uno de sus términos. Ejemplo: 8m3 – 4m2 – 5m – 2 es de grado 3 Relativo o respecto a una letra:
Es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio. Ejemplo: - 2m
+ 7mn – 7n
. Grado 2 con respecto a m y grado 3 con respecto a n Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 122 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. MONOMIOS Y POLINOMIOS 1. Encuentre una expresión algebraica para cada caso. a. La suma de un número al cuadrado con su consecutivo. b. El doble de un número menos su cuarta parte. c. Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho. d. La diferencia de dos números impares consecutivos. e. La edad de Juan es ocho veces la de Rafael. 2. Determina el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: a. p n m 4 7 2
÷ + ; para: m = 1, n = 2, p = 3 b. z y x 2
8 ÷ +
; para: x= 1/2, y = 5/4, z = 2/3 c. 2 3
2 c b a + ÷
; para: a = 25, b= 216, c= 1/2 d. c ab a
÷ + para: a = 2 , b= 8, c= 3/2 CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 18 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 123 e. 2
; para: a= 4/3, b = 1/2 f. ab
; para: a= 2, b = 8 g. ( ) z yz x ÷ +
; para: x= 2, y=4, z = 1/4 h. n m
para: m= 2/5 , n= 1/3 3. Clasifica las siguientes expresiones de acuerdo a su número de términos a. 2
b. ab m ÷
c . 7 6 2
÷ ÷ mn m
a abc ÷
4. Completa la tabla. Monomio Coeficiente Grado absoluto Grado relativo 2 3
4 y x ÷
ab 5 2
4 , 0 n m
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 124 5. Completa la tabla. Polinomio Grado absoluto Grado relativo 3 4 2 3
5 4 y x y x + ÷
b a ab ÷ 6 5 2
6 , 0 m n m +
8 2 , 0 pq q p ÷
6. Ordena los polinomios en forma ascendente y descendente a. Escribir en orden ascendente el polinomio 4 7 5 3
6 12 20 5 8 y y y y ÷ + + ÷ b. Ordenar el polinomio 6 4 7 5
x x x x ÷ + ÷ en orden descendente con respecto a la letra x c. Escribir en orden descendente el polinomio z w z w w wz z w
6 3 2 8 7 5 3
25 15 8 12 4 + + ÷ ÷ , con respecto a cada una de las variables. ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra ordenatriz. Esto simplifica muchas veces las operaciones con polinomios. Así, por ejemplo, el polinomio está ordenado en orden ascendente con respecto a la letra ordenatriz y y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra ordenatriz x. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 125 1. Encuentre una expresión algebraica para cada caso. a. Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona. b. El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta ―a‖ dólares y se vende por ―b‖ dólares. c. Roberto es cinco años más joven que Arturo. d. Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan ―p‖ dólares. e. La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado. 2. Determina el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: a. p n m 4 7 2
÷ + ; para: m = -1, n = 2, p = 1/4 b. z y x 2
; para: x= 1/16, y = 5/8, z = 1/2 c. 2 3
; para: a = 1/4, b= -8 , c= 1/4 d. c ab a
÷ + para: a = 10/8 , b= 8, c= 9/4 Fecha: _____________________________ Tarea para la casa # 17 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 126 e. 2
; para: a= 8/9, b = 1/3 f. ab
; para: a= 1/2, b = 1/8 g. ( ) z yz x ÷ +
; para: x= 4, y=4, z = 1/64 h. n m
para: m= 4/15 , n= 1/6 3. Clasifica las siguientes expresiones de acuerdo a su número de términos a. 2
+ ÷ bc a b. 2
c . 3 4 2
4 , 0 y np m ÷
c . 3 , 0 5 ÷ ab
4. Completa la tabla. Monomio Coeficiente Grado absoluto Grado relativo 3 4
2 y x ÷
6 , 0 q p
9 , 0 n m
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 127 5. Completa la tabla. Polinomio Grado absoluto Grado relativo 4 2 5
7 6 y x y x ÷ ÷
b a b a ÷ 2 4 2 3
6 , 0 2 n m n m +
7 4 , 0 q p q p ÷
6. Ordena los polinomios en forma ascendente y descendente a. m m m m m ÷ + + + + ÷
2 16 10 3 b. 2 2 3 4 4 3
8 7 6 2 5 y x xy x y y x + ÷ + ÷ ÷ c. 4 2 3
5 2 2 a a a a + ÷ ÷ + ÷ d. b a ab a b a b a
8 5 6 2 5 + ÷ + ÷ ÷ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 128 CONSTRUCCIÓN DE PIRÁMIDES. CONOS. ÁREAS LATERALES DE PIRÁMIDES Y CONOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Pirámides Una pirámides es un poliedro que tienen por base un polígono cualquiera, y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice común, que es también el vértice de la pirámide. Elementos de una pirámide Base: un polígono cualquiera. Altura: la distancia del vértice a la base. Caras laterales: los triángulos que confluyen en el vértice. Aristas básicas: los lados del polígono de la base. Aristas laterales: los lados de las caras laterales. Vértice o cúspide: el punto en donde concurren las caras laterales. Apotema: la altura de la cara lateral. Pirámide recta Cono Áreas laterales de pirámides y conos Área de una pirámide. Área del cono Si la base y las caras son triángulos equiláteros, se llama tetraedro El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 129 CONSTRUCCIÓN DE PIRÁMIDES. CONO. ÁREAS LATERALES DE PIRÁMIDES Y CONOS 1. Calcula el área lateral y total de los siguientes cuerpos. a. b. c. d. e. f. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 19 Fecha: _____________________________ 8cm 4cm 8cm 4cm 2cm 6cm 2cm 10cm 8cm 28cm 8cm
m 5cm 4cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 130 2. Resuelve los siguientes problemas: a. Calcula el área lateral y total de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. b. Calcula el área lateral y total de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm. c. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 131 1. Calcula el área lateral y total de los siguientes cuerpos. a. b. c. d. e. f. Tarea para la casa # 18 Fecha: _____________________________ 10cm 6cm 12cm 6cm 4cm 8cm 4cm 13cm 5cm 18cm 6cm
m 4cm 3cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 132 2. Resuelve los siguientes problemas: a. Calcula el área lateral y total de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. b. Calcula el área lateral y total de un cono cuya generatriz mide 10 cm y el radio de la base es de 8 cm. c. Calcular el área lateral y el área total del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm. 10cm 8cm RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 133 MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES EN LOS CUATRO CUADRANTES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Fecha: _____________________________ Plano cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano está constituido por cuatro semiplanos llamados cuadrantes. Ángulos notables Son aquellos cuyas medidas son 30º, 45º y 60º Ángulos coterminales Los ángulos coterminales son ángulos en posición estándar (ángulos con el lado inicial en el eje positivo de las x) que tienen un lado terminal común. Por ejemplo 30°, –330° y 390° son todos coterminales. Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar 360°
Ángulos cuadrantales Un ángulo cuadrantal es aquel ángulo trigonométrico en posición normal cuyo lado final coincide con algún semieje coordenado. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 134 MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES EN LOS CUATRO CUADRANTES 1. Dibuja ángulos positivos en posición normal que se ubiquen en los cuadrantes I y II 2. Dibuja ángulos negativos en posición normal que se ubiquen en el II y IV cuadrantes 3. Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 55°. 4. Gráfica los siguientes ángulos: 50º , - 135º , 630º y – 290º CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 20 Nombre: ____________________________ Curso: _____________________________ Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 135 1. Dibuja ángulos positivos en posición normal que se ubiquen en los cuadrantes I y II 2. Dibuja ángulos negativos en posición normal que se ubiquen en el II y IV cuadrantes 3. Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 60°. 4. Gráfica los siguientes ángulos: 70º , - 130º , 450º y – 295º Tarea para la casa # 19 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 136 MÓDULO 6 (Bloques 1 y 5) Destreza con criterio de desempeño Simplificar monomios con la aplicación de la adición, la sustracción y sus propiedades. Simplificar polinomios con la aplicación de la adición, la sustracción y sus propiedades Aplicar las propiedades para la multiplicación entre monomios y de monomios con polinomios. Simplificar polinomios con la aplicación de la multiplicación y sus propiedades. Identificar y aplicar los productos notables: el cuadrado de un binomio, el cuadrado de un trinomio, producto de la suma por la diferencia de binomios, el cubo de un binomio, productos de dos binomios. Definir la combinatoria como técnica de conteo que permitan resolver problemas cotidianos. Definir la probabilidad como un suceso posible o imposible en la resolución de problemas. Operaciones con expresiones algebraicas. Productos notables. Combinatoria. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 137 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Adición y sustracción de monomios Adición de monomios Procedimiento Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de la siguiente forma: a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el signo común b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el signo del número mayor en valor absoluto c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal Nota: recuérdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes. Ejemplos: Sustracción de monomios Procedimiento Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado Nota: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Ejemplos: Adición y sustracción de polinomios: Adición de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. Ejemplo: Resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. Ejemplo: Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 138 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS 1. Encuentra la suma de los siguientes polinomios: a. 9 14 ; 8 9 6 ; 6 5 2
÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + x x x x x x b. 7 12 9 14 ; 12 3 4 ; 9 2 7
÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + a a a a a a a c. 2 2 2 2 2
n mn m n mn n mn m ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ d. 2 2 2 2 2 2
y xy x y xy x y xy x + ÷ ÷ + + ÷ ÷ ÷ ÷
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 21 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 139 2. Determina el perímetro de las siguientes figuras a. b. 3. Encuentra la diferencia d los siguientes polinomios. a. 8 9 6 : ; 5 7 8 :
÷ ÷ + + ÷ a a restar a a De
+ ÷ ÷ ÷ + + ÷ n mn m restar n mn m De
+ + + ÷ + ÷ ÷ a a a de a a a star
d. 2 2 2 2
: ; 4 , 0
: Re y xy x de y xy x star + + + ÷
+ 7ab a
+ 2ab – b
5ab + 3b
-10ab 8x
– 5xy 4x
+ 3xy 8xy – 7y
2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 140 4. Dado los siguientes polinomios, encuentra lo solicitado. 4 3 2
+ ÷ = a a P
÷ + = a a P
2 , 0 4 , 0 5
5 4 2 , 0
P P P ÷ +
P P P P ÷ ÷ +
5. Suprime los signos de agrupación y reduce los términos semejantes a. ( ) | | { } a c b a c a b a 4 2 5 2 2 4 ÷ + ÷ + ÷ ÷ + ÷ + ÷
b. ( ) | | { } xy x x y xy x y xy xy x 3 6 5 6 4 2 3 5 2
÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷
c. ( ) | | ( ) { } z x y y x y x y x z y x 5 6 3 5 4 2 2 2 3 2 + ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 141 1. Encuentra la suma de los siguientes polinomios: a. 5 12 4 ; 3 15 24 ; 12 8 7
÷ + + ÷ ÷ + ÷ x x x x x x b. 10 2 19 24 ; 10 5 ; 20 7 8
Tarea para la casa # 20 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 142 2. Determina el perímetro de las siguientes figuras a. b. 3. Encuentra la diferencia d los siguientes polinomios. a. 2 8 4 : ; 15 12 :
÷ + ÷ + + ÷ a a restar a a De
: ; 5 , 0
+ 10ab 6a
+ 4ab –5 b
7ab +13b
12ab 4x
– 2xy x
+ 9xy 2xy – 10y
2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 143 4. Dado los siguientes polinomios, encuentra lo solicitado. 5 7 5
+ ÷ ÷ = a a P
8 , 0 5 , 0 3
7 6 , 0
5. Suprime los signos de agrupación y reduce los términos semejantes a. ( ) | | { } a c b a c a b a 7 5 2 3 2 7 2 ÷ + ÷ + ÷ ÷ + ÷ + ÷
b. ( ) | | { } xy x x y xy x y xy xy x 8 9 8 3 6 5 2 8
+ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷ ÷
c. ( ) | | ( ) { } z x y y x y x y x z y x + ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ ÷ + ÷ ÷ ÷ 4 8 2 8 4 9 5 2 4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 144 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS CON UN POLINOMIO Y ENTRE POLINOMIOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base. Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio, aplicando la propiedad distributiva. Multiplicación entre polinomios Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. Se suman los monomios del mismo grado. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Recuerda: La multiplicación de expresiones algebraicas ya sean estos monomios o polinomios es útil para la solución de problemas de áreas y volúmenes. Fecha: _____________________________ 4x 8x 2x RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 145 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS CON UN POLINOMIO Y ENTRE POLINOMIOS 1. Realiza los siguientes productos de monomios. a. ( )( )
7 8 mn m ÷ b. |
b a ab c. ( )( )( )
7 4 2 c c a a ÷ ÷ ÷ d. ( )( )
8 , 0 2 , 0 y x x ÷ e. ( )
3 , 0 m a am
+ + 1 2 2
x x 2. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. a. b. c. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 22 Fecha: _____________________________ 4a 2a - 5 5m + 4 2x 8x RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 146 3. Expresa los siguientes enunciados en notación algebraica. a. 2x por la suma de a y b. b. cuatro veces x por y al cuadrado. c. El cuádruplo entre el cuadrado de m y el cubo de n d. El producto entre la mitad del cuádruplo de a y el cubo de a - 2 4. Resuelve los productos y, luego, realiza las sumas y restas. a. ( )( ) ( )( ) 2 3 1 2 2 5 ÷ ÷ + ÷ + x x x x b. ( )( ) ( )( ) b a b a b a b a 7 3 4 5 3 2 + ÷ ÷ ÷ + c. |
x x x x d. ( )( ) ( )( ) n m n m n m n m 4 3 3 5 3 7 2 ÷ ÷ + + ÷ 5. Halla el área sombreada de las siguientes figuras. a. b. 4x – 7 2x + 1 x +2 2 2m – 7 2m – 1 m + 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 147 c. El cuadrado ABCD, de lado 8 cm, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cm cada uno (x menor que 8). ¿Cuál es el área sombreada? 6. Encuentra el producto resolviendo cada cuadro de doble entrada. a. b c. A x x D x x x x B C 7m - 8n 4m 5n 8x
- 3y x
2y 2a - 5 - 4a - 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 148 1. Realiza los siguientes productos de monomios. a. ( )( )
7 4 am am ÷ b. |
b a b a c. ( )( )( )
3 7 4 c c a a ÷ ÷ ÷ d. ( )( )
9 , 0 7 , 0 y x x ÷ e. ( )
5 , 0 m a m a
b b 2. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. a. b. c. Tarea para la casa # 21 Fecha: _____________________________ 7a 5a - 3 6m + 7 4x 16x RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 149 3. Expresa los siguientes enunciados en notación algebraica. a. x por la diferencia de a y b. b. dos veces x por y al cubo. c. El doble producto entre el cubo de x y el cuadrado de y . d. El producto entre la mitad del cuádruplo de a y el cubo de a - 2 4. Resuelve los productos y, luego, realiza las sumas y restas. a. ( )( ) ( )( ) 8 3 4 1 3 9 2 ÷ ÷ + ÷ + x x x x b. ( )( ) ( )( ) b a b a b a b a 3 6 2 3 8 4 + ÷ ÷ ÷ + c. |
x x x x d. ( )( ) ( )( ) n m n m n m n m 7 2 5 4 8 3 7 ÷ ÷ + + ÷ 5. Halla el área sombreada de las siguientes figuras. a. b. 5x – 6 3x + 2 3x -1 8m – 3 9m – 2 2m + 5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 150 c. El cuadrado ABCD, de lado 6 cm, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado x cm cada uno (x menor que 8). ¿Cuál es el área sombreada? 6. Encuentra el producto resolviendo cada cuadro de doble entrada. a. b c. A x x D x x x x B C 2m - 5n 9m 4n 7x
- 2y 2x
5y 4a - 7 8a - 6 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 151 PRODUCTOS NOTABLES 1 PRODUCTOS NOTABLES COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Productos Notables Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Cuadrado de la suma. La expresión (a + b)
es el cuadrado de la suma de dos monomios. (a + b)
= (a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a
El cuadrado de la suma de dos monomios es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a+ b)
2 Cuadrado de la diferencia La expresión (a - b)
es el cuadrado de la diferencia de dos monomios. (a - b)
= (a - b) · (a - b) = a · a - a · b -
b · a + b · b = a
El cuadrado de la diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. (a - b)
2 Cuadrado de un trinomio Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)
+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 152 1. Expresa el área de cada una de las siguientes figuras. a. b. c. d. 2. Halla los productos notables. a. ( )
7 4 b a ÷ b. 2
+ y x c. ( )
8 , 0 4 , 0 n m ÷ d. 2
÷ y x e. ( )
2 , 0 3 , 0 n m
+ f. ( )
4 5 c ab ÷ CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 23 2m – 5 x + 3 2y + 7 A= 0,5m – 0,4n A= A= A= Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 153 3. Determina el área de cada figura. a. b. c 4. Dibuja un cuadrado que represente cada producto y encuentre el área. a. (2n – 5)
b. (4 – 3a)
c. (6b – 5c)
d. (1 – 8p)
5. Resuelve los cuadrados de un trinomio. a. ( )
1 3 2 + + b a b. ( )
5 , 0 3 , 0 4 , 0 + + x x c. 2
6 , 0 4
+ + m m A = a + 2 2a - 7 x+3 2m + 2 4m + 6 4m RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 154 1. Expresa el área de cada una de las siguientes figuras. a. b. c. d. 2. Halla los productos notables. a. ( )
5 2 n m ÷ b. 2
4 , 0 1 , 0 n m ÷ d. 2
5 , 0 1 , 0 n m
9 8 c b ÷ Tarea para la casa # 22 Fecha: _____________________________ 2a – 3 4x + 1 2xy + 5 A= 0,6m
– 0,9n
A= A= A= RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 155 3. Determina el área de cada figura. a. b. c 4. Dibuja un cuadrado que represente cada producto y encuentre el área. a. (n – 6)
b. (2 – 5a)
c. (2b – 7c)
d. (4 – p)
3 5 4 + + b a b. ( ) 7 , 0 6 , 0 2 , 0
+ + x x c. 2
+ + m m A = 2a + 9 4a - 1 2x+5 4m + 6 8m + 10 4m RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 156 PRODUCTOS NOTABLES 2 COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Producto de la suma por la diferencia de dos términos El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostración: Producto de dos binomios con un término común. El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes. Cubo de la suma Una suma al cubo es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)
+ 3 · a
· b + 3 · a · b
Cubo de la diferencia El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término. (a - b)
- 3 · a
Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 157 PRODUCTOS NOTABLES 1. Calcula a. ( )( ) 7 2 7 2 ÷ + x x
d. ( )( ) b a b a 8 , 0 6 , 0 8 , 0 6 , 0 ÷ +
4 , 0 x x
f. ( )( ) 7 2 7 2 ÷ + ab ab
2. Resuelve a. ( )( ) 8 5 + + x x
b. ( )( ) 3 8 ÷ ÷ x x
c. ( )( ) 4 7 ÷ + x x
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 24 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 158 d. ( )( ) b a b a 12 7 ÷ +
e. ( ) 9 ) 10 ( + ÷ x x
f. ( )( ) y x y x 5 ÷ ÷
3. Resuelve los siguientes cubos de binomios. a. ( )
7 + a
5 4 , 0 m ÷
6 c b +
4. Halla el volumen de las siguientes figuras. a. b. c. 5m + 3 a + 7 2a -1 a + 2 2x - 1 x + 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 159 1. Calcula a. ( )( ) 10 3 10 3 ÷ + x x
8 , 0 5 , 0 3 , 0 5 , 0 b b ÷ +
6 , 0 x x
f. ( )( ) 5 6 5 6 ÷ + ab ab
2. Resuelve a. ( )( ) 10 3 + + x x
b. ( )( ) 8 9 ÷ ÷ x x
c. ( )( ) 7 12 ÷ + x x
Tarea para la casa # 23 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 160 d. ( )( ) b a b a ÷ +8
e. ( ) 20 ) 12 ( + ÷ x x
f. ( )( ) y x y x 7 2 ÷ ÷
1 2 ÷ x
9 2 + x
3 2 , 0 m ÷
4 c b +
4. Halla el volumen de las siguientes figuras. a. b. c. 4m - 7 4a + 1 a -2 2a + 3 x - 3 x + 4 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 161 COMBINATORIA. NOCIONES DE PROBABILIDAD COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Combinatoria La combinatoria es la parte de las matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número. La combinatoria nació como necesidad; era indispensable para poder comprender las leyes que rigen el azar, actualmente, como herramienta básica de la mayoría de las ciencias aplicadas, es una de las ramas más prácticas de toda la matemática. Ejemplo En un equipo de estudio hay 3 niñas y 2 niños. ¿Cuántas parejas diferentes pueden formarse para estudiar? De manera análoga a la anterior; podemos formar dos conjuntos de diferente naturaleza: el conjunto de las niñas: Diana, Claudia, Susana y el de los niños: Rafael, Alejandro. La selección de dúos puede realizarse usando un diagrama de red de la forma siguiente: Sucesos Suceso determinista Suceso determinista es un experimento o fenómeno que da lugar a un resultado cierto o seguro, es decir, cuando partiendo de unas mismas condiciones iniciales tenemos la certeza de lo que va a suceder. Ejemplo Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará. Suceso aleatorio Un fenómeno o experimento aleatorio es aquel en el que no se puede preveer con certeza el resultado que va tener lugar al observar el fenómeno o al realizar el experimento. El resultado depende del azar. Tipos de sucesos: Seguro. Casi seguro. Muy probable. Igualmente probable. Poco probable. Casi imposible. Imposible. Espacio muestral o casos posibles. Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra. E. Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 162 COMBINATORIA. NOCIONES DE PROBABILIDAD 1. Resuelve los siguientes problemas combinatorios. a. De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? b. Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5. c. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? d. De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda? CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 25 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 163 e. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? f. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? g. Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿En cuántas formas pueden sentarse 7 personas h. Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas. ¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen. i. ¿Cuántos triángulos quedan determinados por 6 puntos, tales que no haya 3 alineados. j. En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisión interna de 3 personas. ¿Cuántas comisiones se pueden formar? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 164 2. Resuelve los siguientes ejercicios de espacio muestral a. Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio. b. Un estudiante responde al azar a cuatro preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio c. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: 1 Lanzar una moneda. 2. Lanzar un dado. 3. Lanzar una moneda y un dado simultáneamente. 4. Lanzar tres monedas. 5. Sexo de los tres hijos de una familia. 3. Resuelve los siguientes problemas de probabilidad. a. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan: 1. Dos caras. 2. Dos cruces 3. Dos caras y una cruz RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 165 b. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide: 1. La probabilidad de que salga el 7 2. La probabilidad de que el número obtenido sea par. 3. La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres. c. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: 1. Un número par. 2. Un múltiplo de tres. 3. Mayor que cuatro. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 166 Resuelve los siguientes problemas: 1. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: a. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. b. La primera bola no se devuelve. 2. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que: a. Sea roja. b. Sea verde. c. Sea amarilla. d. No sea roja. e. No sea amarilla. 3. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? Tarea para la casa # 24 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 167 4. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles? 5. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuántos modos puede hacerse si: a. Los premios son diferentes; b. Los premios son iguales. 6. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una ﬁla de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse? 7. La urna A contiene dos bolas blancas y una negra y la urna B contiene una blanca y dos negras. Se extrae al azar una bola de la urna A y se deposita en la urna B. Luego se selecciona aleatoriamente una bola de la urna B ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 168 MÓDULO 7 (Bloques 1 y 2) Destreza con criterio de desempeño Simplificar polinomios con la aplicación de la división y sus propiedades. Aplicar el proceso de la división sintética y el teorema del residuo en la resolución de ejercicios y problemas. Factorizar polinomios obteniendo el factor común y expresar polinomios como producto de factores. Expresar binomios como el producto de dos factores. Caracterizar a la función como una relación que es un subconjunto del producto cartesiano. División de polinomios. Factorización. Producto cartesiano. Relación. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 169 DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO PARA OTRO POLINOMIO COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Términos de la división División de monomios Para la división de monomios se dividen los coeficientes y luego las letras en orden alfabético colocándoles como exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Ejemplo. División de un polinomio para un monomio. Para dividir un polinomio por monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, a esta propiedad se le conoce como la distributiva de la división. División de un polinomio para otro polinomio Para una división entre polinomios se ordena el dividendo y el divisor, con relación a la misma letra, iniciando por la de mayor exponente. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor obteniendo así el primer término del cociente. Se multiplica este término del cociente por todos los términos del divisor, restándole al dividendo este producto. Usamos este procedimiento para el segundo término, y así sucesivamente hasta terminar en cero. Fecha: _____________________________ Recuerda: Si el polinomio es incompleto se deja los espacios para los términos cuyo grado no aparecen. Si el residuo es cero la división es exacta. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 170 DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO PARA OTRO POLINOMIO 1. Efectúa las siguientes divisiones- a. 2 4
4 : 8 a a ÷
b. 2 2 4
6 : 24 m n m ÷ ÷
9 : 18 xy y x ÷
d. 4 4 2 4 5 2
5 : 35 c b a c b a ÷ ÷
e. 4 6 5 8
50 : 100 n m n m ÷ ÷
f. 3 2 3 2 2
4 : 28 bc a c b a ÷
2. Encuentre el resultado. a. m m m 3 : 12 3 6
b. a ab b a a 2 : 6 10 4
c. 5 6 7 8
6 : 48 24 12 x x x x ÷ + ÷
d. 2 3 4 2 8 7 2 4
25 : 150 100 50 y x y x y x y x + ÷
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 26 Fecha: _____________________________ Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 171 e. 2 2 3 4 8 3 2 3 4 2 4 4
48 : 24 12 8 c b a c b a c b a c b a + ÷
f. 2 2 7 5
2 : 5 2 4 b b b b ÷ + ÷
4. Resuelve las siguientes divisiones de polinomios. a. 1 8 : 7 54 16
÷ ÷ + a a a
b. 5 : 5 11 17 3
c. y x y xy x 2 7 : 10 51 56
d. n m n mn m 3 : 8 5 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 172 e. 1 : 3 4 3
+ ÷ ÷ + x x x x x
f. 2 : 4 5 3 2
÷ ÷ ÷ + ÷ m m m m m
g. 2 3 : 7 5 6
+ + + z z z
h. 1 4 : 3 7 5 8
÷ + ÷ + m m m m
5. Halla el polinomio que represente el valor de la altura de cada rectángulo. a. b. c. A= 24x
+5x – 14 A= 14x
– 58x + 72 A= 3x
+ 24x – 8 3x- 2 5x – 9 x + 8 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 173 1. Efectúa las siguientes divisiones- a. 3 8
9 : 18 a a ÷
8 : 40 n m n m ÷
c. 3 7 3 7
9 : 81 y x y x ÷
d. 2 5 6 4 7 8
9 : 36 c b a c b a ÷
e. 2 6 3 6
10 : 20 n m n m ÷ ÷
f. 2 5 2 2 7 2
6 : 48 c b a c b a ÷
2. Encuentre el resultado. a. m m m m 6 : 18 6 24
b. 3 3 2 4 6
5 : 5 100 50 a b a b a a ÷ +
c. 2 4 4 6
9 : 63 18 108 x x x x ÷ + ÷
12 : 36 96 48 y x y x y x y x + ÷
Tarea para la casa # 25 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 174 e. 2 2 3 4 8 3 2 3 4 2 4 4
50 : 20 32 16 c b a c b a c b a c b a + ÷
f. 2 2 4 6
2 : 7 22 4 b b b b ÷ + ÷
4. Resuelve las siguientes divisiones de polinomios. a. 7 3 : 35 11 6
÷ ÷ + m m m
b. 7 : 7 20 17 2
÷ + ÷ ÷ m a a a
c. b a b ab a 9 5 : 27 23 10
d. y x y xy x 7 2 : 21 22 8
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 175 e. 5 : 12 7 4
+ ÷ + + a a a a
f. 2 : 6 5 4 5
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ m x x x x
g. 1 : 10 2 3
÷ + + m m m
5. Halla el polinomio que represente el valor de la altura de cada rectángulo. a. b. c. A= 15x
+34x + 16 A= 45x
– 53x - 14 A= 16x
+ 34x – 15 5x+ 8 9x – 2 8x – 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 176 DIVISIÓN SINTÉTICA. TEOREMA DEL RESIDUO. FACTORIZACIÓN: FACTOR COMÚN Y BINOMIOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS División sintética o regla de Ruffini División Tradicional de Polinomios Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a. Ejemplo. -
Se iguala el polinomio divisor a 0 y se obtiene el valor de x
; x + 2 = 0, entonces x = - 2 - Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. - Abajo a la derecha colocamos el opuesto del término independiente del divisor. - Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. - Sumamos los dos coeficientes. - Se repite el proceso hasta llegar al término independiente del polinomio dividendo. 1 + 5 - 2 + 6 2 1 + 2 +14 + 24 1 +7 +12 + 30 Por lo tanto, el cociente es x
+ 7x+ 12 y el residuo es +30 Teorema del residuo Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a). Ejemplo: Factorización Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos. Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica. Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original. En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 177 DIVISIÓN SINTÉTICA. TEOREMA DEL RESIDUO. FACTORIZACIÓN: FACTOR COMÚN Y BINOMIOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos . Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.  Binomios 1. Diferencia de cuadrados 2. Suma o diferencia de cubos 3. Suma o diferencia de potencias impares iguales  Trinomios 1. Trinomio cuadrado perfecto 2. Trinomio de la forma x²+bx+c 3. Trinomio de la forma ax²+bx+c  Polinomios 1. Factor común Factorización de un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Factor común polinomio Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) Ejemplo. Factor común por agrupación de términos. Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Ejemplo.
Factorización de binomios Diferencia de cuadrados. a
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a – b) (a + b), uno negativo y otro positivo. Suma de cubos: x
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo: x
= (x +y)(x
) Diferencia de cubos: m
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo: m
= (m – n)(n
+mn + n
) Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 178 DIVISIÓN SINTÉTICA. TEOREMA DEL RESIDUO. FACTORIZACIÓN: FACTOR COMÚN Y BINOMIOS 1. Identifica cuáles de las divisiones no se pueden resolver por división sintética. Justifica. a. 1 : 6 5 2
÷ + ÷ x x x b.
+ ÷ ÷ ÷ m m m c. 3 2 : 1 2 7 5
÷ ÷ ÷ + x x x x
d. 3 : 1 8 7
÷ + ÷ a a a
e. 1 2 : 7 2 6
f. 2 : 4 8 3
+ + ÷ b b b
2. Divide aplicando la regla de Ruffini. a. 2 : 1 2 4
+ ÷ + ÷ a a a a
b. 1 : 4 5 2
÷ + ÷ x x x
c. 2 : 7 4
÷ + ÷ m m m
d. 3 : 8 4 5 2
÷ ÷ + ÷ y y y y
e. 4 : 2 3 2
+ + ÷ + b b b b
f. 3 : 9 2 4
÷ + ÷ + z z z z
CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 27 Fecha: _____________________________ Fecha: _____________________________ Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 179 3. Utiliza el teorema del residuo en las siguientes divisiones. a. 2 : 2 3 4
+ ÷ ÷ b b b
b. 3 : 2 7
÷ ÷ ÷ m m m
c. 1 : 2 5 3 2
d. 4 : 6 5 2
÷ + ÷ y y y
e. 2 : 1 9 2
f. 4 : 3 2 6
÷ + ÷ ÷ z z z z
4. Halla el máximo común divisor de cada grupo de números. a. 12 y 8 b. 15, 25 y 80 c. 24, 18 y 6 d. 10, 14 y 18 e. 45, 72, 18 f. 100, 80, 120 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 180 5. Factoriza hallando el factor común. a. 9 3 6
b. z xy x 24 12 40
35 20 15 y px m ÷ ÷
d. a a a 7 2 8
e. 2 2 4 3 2 4
5 7 2 y x y x y x ÷ ÷
f. 2 7 3
3 2 m m m ÷ +
g. 2 3 5
8 16 4 m m m ÷ ÷
h. 3 2 2 2 3 5
8 48 24 y x y x y x ÷ ÷
i. 2 3 5
7 49 28 p p p ÷ +
6. Descompón en dos factores. a. ( ) ( ) 1 1 2 ÷ ÷ ÷ a n a m
b. ( ) ( ) 2 2 ÷ ÷ ÷ x z x y
c. ( ) ( ) 1 2 1 2 5 + ÷ + b b a
d. ( ) ( ) c b a y c b x x + ÷ ÷ + ÷ 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 181 7. Factoriza cada expresión por agrupación de términos. a. bn bm an am 2 2 + ÷ ÷
b. by ay bx ax 6 3 8 4 + ÷ ÷
c. 1 2 2 + + + a m am
d. bz az bx ax ÷ + ÷
e. 3 6 2 ÷ ÷ + x m mx
+ ÷ ÷ ay ax x a
g. bc ab bc ab 10 5 8 4 + ÷ ÷
h. b bm a am + ÷ ÷
8. Determina la raíz cuadrada y cúbica de cada término. Raíz cuadrada ( )
Raíz cubica ( )
36 , 0 n m
125 , 0 a
144 d c
729 y x
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 182 9. Indica cuáles de las siguientes expresiones son diferencias de dos cuadrados perfectos. a. 25
c. 25 4
36 a + ÷
49 m ÷
25 , 0 x ÷
49 , 0 b +
100 81 b z ÷
10. Factoriza completamente cada expresión. a. 36 25
16 49 n m ÷
c. 81 121
49 , 0 04 , 0 y x ÷
e. 64 , 0 25 , 0
01 , 0 36 , 0 z y ÷
g. 2 4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 183 11. Factoriza cada binomio. a. 6 3
27 8 b a ÷
125 1 x ÷
c. 15 12
64 729 z y +
d. 21 6
27 512 n m +
e. 125 , 0 343 , 0
f. 12 3
0729 008 , 0 n x +
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 184 1. Identifica cuáles de las divisiones no se pueden resolver por división sintética. Justifica. a. 4 : 5 7 4
+ ÷ ÷ ÷ m m m c. 3 : 5 8
d. 1 : 2 7
e. 1 2 : 3 7 4
f. 5 : 1 7 2
2. Divide aplicando la regla de Ruffini. a. 3 : 7 2 5 2
b. 1 : 2 8 2
+ + ÷ x x x
c. 2 : 10 2
+ + ÷ m m m
d. 5 : 1 2 10
e. 3 : 8 7 3
f. 2 : 10 5 2
+ + ÷ + z z z z
Tarea para la casa # 26 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 185 3. Utiliza el teorema del residuo en las siguientes divisiones. a. 3 : 1 4 5
÷ ÷ ÷ b b b
b. 6 : 4 5 2
c. 3 : 6 5
÷ ÷ ÷ ÷ x x x x
d. 7 : 9 8 4
+ + ÷ y y y
e. 3 : 8 7 5 2
f. 3 : 5 4 9 3
+ + ÷ ÷ z z z z
4. Halla el máximo común divisor de cada grupo de números. a. 24 y 36 b. 13, 39 y 65 c. 4, 92 y 48 d. 36, 72 y 60 e. 24, 8, 72 f. 10, 50, 90 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 186 5. Factoriza hallando el factor común. a. 24 8 4
b. z xy x 55 15 40
45 9 27 y px m ÷ ÷
d. 4 6 8
7 2 8 a a a ÷ ÷
e. 4 7 4 3 6 8
5 9 y x y x y x ÷ ÷
f. 5 8 9
6 2 3 m m m ÷ +
g. 4 6 8
20 2 10 m m m ÷ ÷
h. 3 4 4 5 6 7
80 25 5 y x y x y x ÷ ÷
i. 3 2 3
24 48 8 p p p ÷ +
6. Descompón en dos factores. a. ( ) ( ) 1 1 6 ÷ ÷ ÷ b x b am
b. ( ) ( ) 5 3 5 2 ÷ ÷ ÷ x z x y
c. ( ) ( ) 1 2 1 2 5 + ÷ + c c b
d. ( ) ( ) p n m b p n m a + ÷ ÷ + ÷ 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 187 7. Factoriza cada expresión por agrupación de términos. a. bz az by ay 5 10 2 ÷ ÷ +
b. mz mx z x + ÷ ÷3 3
c. np nx mp mx 10 5 6 3 ÷ ÷ +
d. b a bz az + ÷ ÷
e. nz mz ny my 8 4 2 + + +
f. ay ax y x 10 5 4 2 + + +
g. c b ac ab 2 2 4 4 ÷ ÷ +
h. 2 2 2 2
4 4 n an m am + + +
64 , 0 n m
343 , 0 a
216 y x
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 188 9. Indica cuáles de las siguientes expresiones son diferencias de dos cuadrados perfectos. a. 12
b. 25 4
c. 49 64
9 a ÷ ÷
9 1 m ÷
49 , 0 x ÷
4 , 0 b ÷
i. 8 2
121 1 b z ÷
10. Factoriza completamente cada expresión. a. 49 4
100 9 n m ÷
16 y z ÷
25 , 0 09 , 0 y x ÷
e. 64 , 0 01 , 0
f. 4 4
09 , 0 16 , 0 z y ÷
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 189 11. Factoriza cada binomio. a. 3 3
125 b a ÷
64 27 x ÷
343 216 z y +
8n m +
e. 027 , 0 008 , 0
f. 3 9
001 , 0 125 , 0 n x +
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 190 PRODUCTO CARTESIANO.RELACIÓN COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Producto cartesiano. El producto cartesiano (en honor a su inventor, René Descartes) de dos conjuntos es el conjunto de los pares cuyo primer elemento pertenece a A y cuyo segundo elemento pertenece a B. Formalmente: Ejemplo. A ={ 1, 2, 3) y B ={ a, b, c, d, e} A x B= {(1,a);(1,b);(1,c);(1,d); (1,d);(2,a),(2,b); (2,c);(2,d);(2,e);(3,a),(3,b);(3,c);(3,d); (3,e)} Relación y Función En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido. De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano. Ejemplo. A={1,4,6} B= {2,3} R
= {(1,2);(1,3}; R
= {(4,2);(4,3)}; R
= {(6,2);(6,3)} Dominio y rango de una relación. El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango. Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 191 MÓDULO 8 (Bloques 1, 2 y 5) Destreza con criterio de desempeño Resolver ecuaciones de primer grado con procesos algebraicos. Resolver ecuaciones de primer grado enteras y coeficientes fraccionarios con procesos algebraicos. Resolver problemas numéricos y de edades a través de ecuaciones. Resolver problemas de mezclas y figuras geométricas utilizando ecuaciones. Representar intervalos usando simbología matemática y en la recta real. Resolver inecuaciones de primer grado aplicadas a problemas de la vida diaria. Ecuaciones. Problemas Intervalos. Inecuaciones. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 192 ECUACIONES DE PRIMER GRADO ENTERAS Y CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ecuación Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Las Ecuaciones de primer grado de una incógnita son igualdades en las que se tiene sólo una incógnita. Esta incógnita está representada por una letra o algún otro símbolo. Las ecuaciones de primer grado suele llamárseles también ecuaciones lineales, pues su gráfica es una línea recta. En este caso particular, de ecuaciones de una incógnita, las gráficas de estas ecuaciones son líneas perfectamente horizontales o verticales. Resolver una ecuación lineal de una incógnita es encontrar el valor (o los valores) que satisface la ecuación, es decir, el valor que al sustituirlo por la variable se confirma que los dos miembros de la ecuación son verdaderamente iguales. El procedimiento para encontrar este valor se llama Despeje. Ejemplo Ecuaciones de primer grado con signos de agrupación.  Eliminar los signos de agrupación  Reducir términos semejantes.  Transponer los términos Ejemplo 2(x +4) – 8 = 10 – 4 (x + 1) 2x + 8 – 8 = 10 – 4x – 4 2x + 4x = 10 – 4 +8 – 8 6x = 6 x = 1 Fecha: _____________________________ Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divide pasa multiplicando. Ecuación 4x – 8 = 12 4x = 12 + 8 4x= 20 x = 20/4 x= 5 Comprobación 4 (5) – 8= 12 20 – 8 = 12 12 = 12 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 193 1. Calcula mentalmente. a. ¿Qué número disminuido en 5 da 12? b. ¿Qué número aumentado en 6 da 10? c. ¿Qué número multiplicado por 4 da 20? d. ¿Qué número dividido para 5 da 6? e. ¿Cuál es el número que, el doble sumado 4 da 10? 2. Traduce cada frase numérica a una ecuación. a. El doble de un número más tres. b. La mitad del cubo de un número. c. La edad de una persona hace cinco años. d. El triple de la suma de tres números. e. La mitad de un número menos 4. f. Reparte dinero entre 5 amigos 3. Resuelve el siguiente problema. En la balanza se observan tres frascos. ¿Cuántos pesa el frasco negro? CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 28 Fecha: _____________________________ Fecha: _____________________________ Fecha: _____________________________ x 4 6 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 194 4. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica la respuesta. a. 12 8 = + x
b. 12 4 ÷ = ÷b
c. 10 8 2 = + x
d. 15 9 3 ÷ = ÷ ÷ a
e. 4 2 6 = + x
f. 8 10 4 ÷ = ÷ ÷ y
g. 90 27 9 = ÷ ÷ b
h. 6 2 4 ÷ = ÷ x
i. 72 24 6 ÷ = + x
5. Resuelve las ecuaciones a. 8 4 4 2 + ÷ = + x x
b. 20 10 10 5 + ÷ = ÷ ÷ x x
c. 25 14 21 3 + ÷ = ÷ ÷ x x
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 195 d. ( ) ( ) 2 4 1 2 + = + x x
e. ( ) ( ) 5 6 3 3 ÷ = ÷ ÷ x x
f. ( ) ( ) 5 4 2 1 4 ÷ = + x x
g. 35 14 21 7 + ÷ = ÷ ÷ x x
h. ( ) ( ) 2 4 4 1 2 + = + + ÷ x x
i. ( ) ( ) 1 6 27 3 9 ÷ = ÷ + x x
6. Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias. a. 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 196 1. Calcula mentalmente. a. ¿Qué número disminuido en 2 da 6? b. ¿Qué número aumentado en 10 da -2? c. ¿Qué número multiplicado por 2 da 40? d. ¿Qué número dividido para 7 da 10? e. ¿Cuál es el número que, el doble sumado 4 da 10? 2. Traduce cada frase numérica a una ecuación. a. La quinta parte de a aumentada en 6 es – 10 b. Tres veces m aumentada en dos es – 6 . c. La edad de una persona hace 4 años. d. La diferencia entre dos veces b es 8. e. La edad de Miguel dentro de 8años será 50. f. La tercera parte del precio de una camisa es 60
3. Resuelve el siguiente problema. En la balanza se observan tres frascos. ¿Cuántos pesa el frasco negro? Tarea para la casa # 27 Fecha: _____________________________ 2x 6 12 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 197 4. Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica la respuesta. a. 6 3 = ÷ x
b. 14 2 = ÷m
c. 18 20 4 = ÷ x
d. 40 16 8 ÷ = + ÷ x
e. 7 1 3 ÷ = ÷ x
f. 48 40 8 ÷ = ÷ x
g. 21 14 7 ÷ = + ÷ b
h. 20 10 5 ÷ = ÷ ÷ x
i. 10 20 10 ÷ = ÷ ÷ x
5. Resuelve las ecuaciones a. 15 9 6 3 ÷ ÷ = ÷ ÷ x x
b. 14 2 12 4 + ÷ = ÷ ÷ x x
c. 2 10 8 2 ÷ ÷ = + y y
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 198 d. 40 24 16 8 + ÷ = + ÷ x x
e. ( ) ( ) 8 2 6 2 4 ÷ = + x x
f. ( ) ( ) 8 4 5 + ÷ = ÷ ÷ x x
g. ( ) ( ) 2 5 1 5 + = + ÷ x x
h. ( ) ( ) 2 2 2 2 4 + = + + x x
( ) ( ) 4 3 2 10 4 ÷ ÷ = ÷ ÷ x x
6. Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias. a. 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 199 PROBLEMAS: NUMÉRICOS. DE EDADES.MEZCLAS Y FIGURAS GEOMÉTRICAS A
COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Resolución de problemas con ecuaciones Numerosos problemas se pueden resolver planteando una ecuación, de primer o segundo grado, para llegar a la solución buscada. En general, hay que seguir estos pasos o fases: Comprensión del problema. Se debe leer detalladamente el enunciado del problema para identificar los datos y lo que debemos obtener, la incógnita x. Planteamiento. Consiste en traducir el enunciado del problema al lenguaje matemático mediante expresiones algebraicas, para obtener una ecuación. Resolución de la ecuación obtenida. Comprobación y análisis de la solución. Ejemplos de problemas: a. Numéricos La suma de dos números consecutivos es 107. Calcula esos números. b. Edades Luis tiene 16 años más que Manuel y dentro de 4 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? c. Mezclas Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de $6 el litro y la segunda de $7,2 el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a $7 el litro? d. Geométricos En un triángulo escaleno de 50 cm de perímetro el lado mediano mide el doble que el menor, y el lado mayor mide 10 cm más del doble que el menor. ¿Cuánto mide cada uno de los lados? Fecha: _____________________________ Problema Comprender el enunciado Leer atentamente el enunciado Identificar los datos y la incógnita Plantear la ecuación Resolver la ecuación Comprobar la validez de la solución Recuerda: Es necesario comprobar si la solución obtenida es correcta, y, después, analizar si esa solución tiene sentido en el contexto del problema. Sí, pero yo tengo el doble que tú Entre los dos tenemos $ 600 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 200 1. Resuelve los siguientes problemas.(Numéricos) a. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número? b. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruplo del menor. ¿De qué número se trata? c. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es ese número? d. El producto de un número natural por su siguiente es igual a 210. ¿De qué número se trata? e. Halla un número tal que su doble aumentado en una unidad sea igual que su triple disminuido en tres unidades. f. La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuáles son esos números? g. Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo que su suma es igual al cuádruplo del menor. CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 29 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 201 2. Resuelve los siguientes problemas (Edades) a. Juan tiene el doble de edad que Raúl y Laura, tres años más que Juanjo. Si la suma de sus edades es 38, ¿cuál es la edad de cada uno? b. Melisa tiene el triple de edad que su hija Marta. Calcula la edad de cada una sabiendo que, dentro de 12 años, la edad de Melisa será solamente el doble que la de Marta. c. María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Dentro de 6 años , entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edad tiene cada uno? d. Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? e. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104. El padre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Qué edad tiene cada uno? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 202 3. Resuelve los siguientes problemas. (Mezclas) a. En una bodega se mezclan 6Hl. de vino de alta calidad que cuesta a $300/Hl, con 10Hl. de vino de calidad inferior a $220/HL. ¿A cómo sale el litro del vino resultante? b. Un barril contiene 1Hl. de vino de alta graduación, cotizado a $3,60/Hl, Para rebajar el grado se la añaden 20 litros de agua. ¿Cuál es ahora el precio del vino? c. El dueño de un restaurante mezcla 3 litros de aceite a $4 el litro con 2 litros de otro aceite de mejor calidad que cuesta a $7 el litro. ¿A cómo le sale el litro de mezcla? d. Para fabricar cierta colonia se mezcla 1 litro de esencia con 5 litros de alcohol y 2 litros de agua destilada. La esencia cuesta $200/litro; el alcohol. $6/litro; y el agua destilada, $1/litro. ¿Cuál es el coste de un litro de esa colonia? e. Se mezclan 300 Kg. de pintura de $30 el kilo con 200 Kg. de otra pintura más barata. De esta forma, la mezcla sale a $24 el kilo. ¿Cuál es el precio de la pintura barata? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 203 4. Resuelve los siguientes problemas (Figuras geométricas). Recuerda realizar un gráfico a. La base de un rectángulo es doble que la altura, y el perímetro mide 78cm. Calcular las dimensiones del rectángulo. b. Sabemos que el perímetro de un rectángulo es de 50m y que la base es 5m más larga que la altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? c. Calcular la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que el perímetro mide 50cm y que el lado desigual es 7 cm menor que uno de los lados iguales. d. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales es 5cm más largo que el lado desigual. El perímetro mide 55cm. ¿Cuánto mide cada lado? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 204 1. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número? 2. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números? 3. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número. 4. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida del lado del cuadrado. 5. Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: ―La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos hay tres niños muy chicos‖ ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego? Tarea para la casa # 28 Fecha: _____________________________ Resuelve los siguientes problemas RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 205 6. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? 7. La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una. 8. Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años? 9. Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo. 10. Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre? 11. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 206 12. Dividir 1080 en dos partes tales que la mayor disminuida en 132 equivalga a la menor aumentada en 100. 13. Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor. 14. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740. 15. La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez? 16. La diferencia entre dos números es 38. Si se divide el mayor de los números por el menor, el cociente es 2 y queda un resto de 8. Determina los números. 17. Separa el número 180 en dos partes tales que dividiendo la primera por 11 y la segunda por 27, la suma de los cocientes sea 12. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 207 INTERVALOS. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA COMPRENSIÓN DE CONCEPTOS Intervalos Un intervalo es un conjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un segmento o una semirrecta en la recta real. Según incluyan o no a los puntos extremos, los intervalos pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados. Para representar los intervalos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye. El dibujo superior grafica el intervalo entre todos los números (x) mayores que 7 (x > 7), excluido el 7, hasta el infinito (+ ∞) Este dibujo grafica el intervalo entre los números (x) mayores o iguales a 7 (x ≥ 7), incluyendo el 7, hasta el infinito (+ ∞). Como vemos, la simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < (menor que) o > (mayor que); y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo ≥ (mayor o igual que) o el signo ≤ (menor o igual que). De acuerdo con la simbología y las características, existen los siguientes tipos de intervalos: Intervalo abierto, que se grafica Se escribe a < x < b (a es menor que equis y equis es menor que b) y también Intervalo cerrado, que se grafica Se escribe a ≤ x ≤ b (a menor o igual que equis, y equis menor a igual que b) y también Intervalo abierto a la izquierda, que se grafica. Se escribe a < x ≤ b (a menor que equis, y equis menor o igual que b) y también Intervalo abierto a la derecha, que se grafica Se escribe a ≤ x < b (a menor o igual que equis y equis menor que b) y también Inecuación. Una inecuación es el enunciado de una desigualdad que incluye alguna de las siguientes relaciones de orden: ―mayor que‖(>); ―menor que‖ (<); ―mayor o igual que‖ (≥), y ―menor o igual que‖ (≤). Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 208 1. Considere los siguientes intervalos: Dibujar sobre la recta real. A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) C = [-1, 4] D = (-4, 5] 2. Si x eR, resuelve las siguientes inecuaciones y determina el intervalo. a. 6 2 > ÷ x b. 10 2 2 4 + < ÷ = x x A c. 12 6 6 3 + ÷ > ÷ x x d. 24 12 6 > + x e. 18 6 8 2 ÷ ÷ > + x x f. x x 15 10 5 + < CONOCIMIENTO DE PROCESOS ACTIVIDADES EN CLASE # 30 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 209 1. Representa en la recta real los siguientes intervalos: a. | | 5 , 2 b. ( ) 4 , 1 ÷ c. | ) 3 , 0 d. ( | 2 , · ÷ e. 1 5 > < x f. | | 2 , 7 2. Si x eR, resuelve las siguientes inecuaciones y determina el intervalo. a. 2 1> + x b. 7 4 5 5 ÷ < ÷ x x c. 6 6 2 8 ÷ < ÷ x x d. 6 2 2 4 + ÷ < + ÷ x x e. 18 6 8 2 ÷ ÷ > + x x f. x x 15 10 5 + < Tarea para la casa # 29 Fecha: _____________________________ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 210 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 211 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 212 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PARA NOVENO AÑO DE EDUCACIÓN BÁSICA 213 Más de este usuarioCarpet AsErika ArmasCarpet As1er Deber (Objetivos Del Milenio)Erika Armas1er Deber (Objetivos Del Milenio)

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