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Timestamp: 2020-02-22 07:50:08+00:00

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Math II Algèbre - printemps 2011
Feullies TD
Séquence 2 (MPM) - cours de Philippe Malbos
Séquence 4 (MI) - cours de Riccardo Biagioli
Séquence 5 (MASS) - cours de Pascal Lainé
Fiche 0 : Groupes et Corps.
Fiche 1 : Espaces vectoriels.
Fiche 2 : Espaces vectoriels - (suite).
Fiche 3 : Applications linéaires.
Fiche 4 : Matrices.
Cours du 21 février Leçon 0 : Rappels sur les structures de groupes et corps. Groupes, sous-groupes, produits de groupes, morphismes de groupes, noyau, image. Structure de corps. Exemples.
Cours du 4 mars Leçon 1 : Les espaces vectoriels. Motivations : le cœur de l'algèbre linéaire. Espace vectoriel, sous-espace vectoriel. Exemples. Opérations sur les sous-espaces vectoriels : intersection, somme, somme directe. Supplémentaire d'un sous-espace.
Cours du 14 mars Leçon 2 : Familles génératrices et bases. Sous-espace vectoriel engendré par une partie. Combinaison linéaire. Espace vectoriel engendré en terme de combinaisons linéaires. Droite vectorielle. Famille génératrice. Famille libre. Famille liée. Diverses remarques autour de ces deux dernières notions. Base. Décomposition dans une bases, famille de coordonnés.
Cours du 21 mars fin de la leçon 2 et Leçon 3 : Espaces vectoriels de dimension finie. Espace vectoriel de dimension finie et de dimension infinie. Le cardinal d'une famille génératrice majore le cardinal d'une famille libre. Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont le même cardinal. Théorème de la base incomplète. Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base. Dimension d'un espace vectoriel. Exemples.
Cours 1 (Mercredi 22 février) §1 Groupes et Corps - 1.1 Opérations binaires; 1.2 Groupes, exemples; 1.3 Sous-groupes, caractérisation; 1.4 Morphismes, noyau et morphismes injectifs; 1.5 Produit direct de groupes.
Cours 2 (Mercredi 2 mars) 1.6 Anneaux, caractéristique d'un anneau, diviseurs de zéro, corps commutatifs, exemples. §2 Espaces Vectoriels - 2.1 Introduction, les vecteurs dans le plan, règle du parallélogramme; 2.2 Espaces vectoriels, exemples; 2.3 Sous-espaces vectoriels;
Cours 3 (Mercredi 9 mars) Droite vectorielle, plan vectoriel, sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs, combinaisons linéaires, intersection et somme de sous-espaces vectoriels, l'union et le complémentaire ne sont pas sous-espaces vectoriels; 2.4 Familles génératrices et espaces de dimension finie et infinie : exemples R^n, R_n[X], R[X], l'espace de fonctions; familles libres et unicité de la décomposition d'un vecteur de Vect{v_1,…,v_n}. Définition de base et preuve du Théorème de l'existence de bases (en dimension finie) et du Théorème de la base incomplète; exemples dans le plan.
Forum Avenir (Mercredi 16 mars) Pas de cours. Voici l'affiche du forum.
Cours 4 (Mercredi 23 mars) Dans un espace vectoriel engendré par n éléments, toute famille ayant plus de n éléments est liée. Toutes les bases ont le même nombre d'éléments. Définition de dimension. Dans un espace de dimension n, toute famille génératrice ayant n éléments est une base et toute famille libre ayant n éléments est une base. Si E est un e.v. de dimension finie et F est un s.e.v de E, alors F est de dimension finie et si dim E = dim F alors E=F. 2.5 Formule de Grassmann, 2.6 Somme directe de deux et plusieurs sous-espaces.
Cours 5 (Mercredi 30 mars) §3 Applications linéaires - 3.1 Définition, endomorphismes, automorphismes, exemples; 3.2 L'espace vectoriels des AL, compositions de AL, si f est bijective et linéaire alors f^{-1} est linéaire; 3.3 AL est bases; 3.4 Noyau et injectivité; 3.5 Image et surjectivité. Le rang d'une AL.
CC1 (Lundi 4 avril). Barème et corrigé.
Cours 6 (Mercredi 6 avril) 3.6 Le théorème du rang; 3.7 Critères de bijectivité. Si u \in L(E,F) avec dim E = dim F, alors s'il existe v \in L(F,E) telle que u \circ v=id_F ou v \circ u = id _E, alors u est bijective. §4 Matrices 4.1 Définitions, somme, produit lignes par colonnes, matrice identité, M_n(K) est un anneau unitaire, M_{mn}(K) est un espace vectoriel de dimension nm sur K. Base canonique des matrices élémentaires E_{ij}. Transposée d'une matrice et preuve que (AB)^t = B^t * A^t.
Cours 7 (Mercredi 13 avril) 4.2 Matrices et applications linéaires, l'isomorphisme mat_{e,f} entre L(E,F) et M_{m,n}(K); 4.3 compositions d'AL et matrices; 4.4 Matrices inversibles, inversibilité à droite et gauche; u est un isomorphisme ssi mat_{e,f}(u) est inversible.
Cours 8 (mercredi 20 avril) 4.5 Changement de base, la matrice de passage, exemples; 4.6 Matrices équivalents et semblables; 4.7 Rang et équivalence : rang d'un système de vecteurs, rang d'une matrice, rang d'une AL, équivalence entre rg(u) et rg(A) où A=mat_{e,f}(u). Deux matrices sont équivalentes ssi ont le même rang; rg(A)=rg(A^t).
Cours 9 (mercredi 4 mai) Le rg(A) est egal au cote de la sous-matrice inversible de A de cote maximal. §5 Déterminants 5.1 Matrices-transvections, toute matrice carrée A peut s'écrire comme un produit A=S1*..*Sk*D*T1*..*Tl où D est diagonale et les Si et Tj sont des matrices transvections. CC2 Mercredi 4 Mai de 12h00 à 13h00, tout de suite après le cours. Le CC2 portera sur bases, AL, injectivité, surjectivité, la matrice d'une application linéaire.
Cours 10 (mercredi 11 mai) 5.2 Définition du déterminant. Déterminant et matrices semblables. A est inversible ssi det(A)≠ 0. Déterminant des matrices transvections. Unicité du déterminant. Opérations sur les lignes et colonnes et déterminant.
Cours 11 (mercredi 18 mai) 5.3 Développement du déterminant par rapport à une ligne ou colonne, comatrice, mineurs. Calcul de l'inverse à l'aide du déterminant. Déterminant et transposition. §6 Polynômes 6.1 L'ensemble de polynômes à une indéterminée, degré, opérations sur K[X], l'anneau des polynômes K[X], l'espace vectoriel des polynômes, base canonique.
Cours 12 (mercredi 25 mai) 6.2 Division euclidienne. 6.3 Le plus grand commun diviseur, identité de Bezout. 6.4 Polynômes irréductibles. Lemma de Gauss. 6.5 Racines des polynômes, racine multiples, polynôme dérivée. 6.6 Fonctions polynomiales. CC3 Mercredi 25 Mai de 13h00 à 14h00
Cours 13 (mercredi 1 juin) 6.7 Factorisation sur R[X] et C[X]. Théorème fondamentale de l'algèbre. Polynômes scindés. 6.8 Définition du corps des fractions rationnelles. Théorème de décomposition en éléments simples. CC4 Mercredi 1 juin de 11h00 à 12h00.
Anneau des polynômes. Définition, degré, dérivée. Fonctions polynômiales. Egalité entre deux polynômes. Division euclidienne, PGCD de deux polynômes, identité de Bézout. Polynômes irréductibles, les polynômes de degré un sont irréductibles. Lemme de Gauss,décomposition “unique” en produit de polynômes irréductibles.
Racines d'un polynôme, factorisation de P par X-a lorsque a est une racine de P, nombre de racines d'un polynôme. Multiplicité des racines. Formule de Taylor pour les polynômes, a est une racine d'ordre k si et seulement si P(a)=P'(a)=…=P^(k-1)(a)=0. Cas des polynômes de R[X] et de C[X], théorème de D'Alembert, les polynômes irréductibles dans C[X] sont exactement les polynômes de degré 1, les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif. Division suivant les puissances croissantes. Relation entre les racines et les coefficients des polynômes. Définition des fractions rationnelles.
Unicité de la composition des fractions rationnelles en éléments simples. Exemple.
Définition des espaces vectoriels de R^n. Combinaisons linéaires, espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs. Sous-espaces vectoriels.Familles libres et génératrices, bases. Propriétés des familles libres et des familles génératrices.
Coordonnées des vecteurs. Bases canoniques de R^n. Intersection et somme des espaces vectoriels. Chapitre dimension. Le cardinal d'une famille libre est inférieur au cardinal d'une famille génératrice. Cardinal d'une base, dimension d'un espace vectoriel.
Systèmes libres maximaux, systèmes générateur minimaux. Existence de base des sous-espaces de R^n, théorème de la base incomplète. Dimension des sous espaces vectoriels de R^n. Formule de Grasmann. Somme directe, somme directe de deux espaces vectoriels.
Cours 7 : Applications linéaires, restriction d'une application linéaire à un sous-espace vectoriel. La bijection réciproque d'une application linéaire est linéaire. L'image réciproque par une application linéaire d'un espace vectoriel est un espace vectoriel. L'image d'un espace vectoriel par une application linéaire est un espace vectoriel. Noyau d'une application linéaire, le noyau est réduit au vecteur nul équivaut à ce que l'application est injective, l'image d'une application linéaire est l'espace vectoriel engendré par les images des vecteurs d'une base. Formule du rang. Critère de bijectivité.
Cours 8 : Espaces vectoriels généraux. Espaces vectoriels des polynômes, des applications de E vers F, des suites. Définition des matrices, combinaison linéaire de matrices. Multiplication des matrices, associativité du produit. Base de l'espace vectoriel des matrices, dimension. Transposée d'une matrice. Matrice d'une application linéaire.

References: §1
 §2
 §3
 §4
 §5
 §6