Source: http://sunya00.blogspot.com.es/
Timestamp: 2017-12-15 19:37:48+00:00

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Exploración matemática y pensamiento computacional.
Me gusta volver a los clásicos en estos tiempos de novedades que se presentan a un ritmo acelerado para su consumo rápido e inmediato. De la profundidad de los clásicos siempre es posible extraer algo más con cada relectura. Cualquier momento es bueno para ello. La coincidencia de esta semana académicamente tan corta con la "Computer Science Education Week" es una buena razón; tan buena como otra cualquiera.
Dentro de la CSEdWeeek, Google dedicó el pasado día 4 su "doodle" a celebrar los 50 años desde que los lenguajes de programación para niños se hicieron públicos. De hecho, el "doodle" interactivo creado por Google es un juego de programación para niños. En la década de 1960, mucho antes de la aparición de los ordenadores personales, Seymour A. Papert e investigadores del MIT desarrollaron LOGO, el primer lenguaje de codificación diseñado para niños que programando los movimientos de una tortuga tenían la oportunidad de explorar ideas de matemáticas y ciencias a la vez que adquirían confianza en una tecnología entonces incipiente. Papert y sus colegas materializaron así su visión de cómo las computadoras podrían ser utilizadas como una poderosa herramienta para la enseñanza y el aprendizaje.
El libro "Geometría de Tortuga. El Ordenador como medio de exploración de las Matemáticas", escrito por Harold Abelson en colaboración con Andrea diSessa, y publicado originalmente en 1981 por el MIT y en castellano en 1986 por Anaya Multimedia, es un clásico sobre cómo una aproximación computacional puede cambiar la relación entre los estudiantes y el conocimiento matemático. En palabras de Seymour Papert en el momento de su lanzamiento, es "el primer libro de texto para la educación matemática del futuro".
En su introducción puede leerse: "Todavía la mayor parte de cualquier plan de matemáticas está dedicado a la práctica de algoritmos rutinarios y a la repetición de antiguos teoremas. Es raro el estudiante que tiene la ocasión de aproximarse a las matemáticas haciéndolas, en vez de aprendiéndolas, mediante la investigación de nuevos fenómenos, formulando hipótesis originales o probando nuevos teoremas. La computación -en especial la actividad de programar- puede ofrecer muchas oportunidades a los estudiantes para que participen en tal tipo de actividades sin necesidad de dominar un aparato formidable". Estas palabras de hace más de 35 años parecen no haber penetrado aún en los currículos de Matemáticas de secundaria y bachillerato a tenor de sus contenidos y extensión. A pesar de ello, y afortunadamente, conozco muchos docentes que orientan su enseñanza de forma exploratoria y tratan de conseguir que sus estudiantes "construyan" Matemáticas.
En la misma introducción los autores manifiestan su deseo de "presentar un plan que muestre la influencia computacional en la elección de ideas, así como en la de actividades"; y cómo lo más importante en este empeño es "la expresión de los conceptos matemáticos en términos de formulaciones constructivas orientadas hacia procedimientos, que a menudo son más asimilables y concuerdan más con los modos intuitivos del pensamiento que con el formalismo axiomático-deductivo".
El capítulo con el que comienza "Geometría de Tortuga" hace una introducción a un tipo de Geometría, conocida con este nombre, diseñada no solo para presentar teoremas y demostraciones, sino fundamentalmente para explorar y ayudar a concebir nuevas ideas, y para pensar sobre los descubrimientos realizados y comprenderlos. El capítulo introduce también el lenguaje de esa geometría en términos de las acciones más simples necesarias para describir el movimiento de una tortuga; se trata de los conceptos básicos de LOGO. Una de las ideas más iluminadoras del capítulo es la consideración de los comandos de control de los movimientos de la tortuga como una forma de dibujar figuras en la pantalla de un ordenador y también como una forma de describir figuras.
Geometría de tortuga vs Geometría de coordenadas
Es muy reveladora la comparación entre la Geometría de tortuga y la Geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga se basa en las propiedades intrínsecas de las figuras geométricas; es decir, de aquellas propiedades que dependen únicamente de las propias figuras y no de su relación con un sistema de referencia, como en el caso de la geometría de coordenadas. La Geometría de tortuga es más local que la de coordenadas; la tortuga en su movimiento solo tiene en cuenta un pequeño entorno del punto en el que se encuentra, mientras que en la Geometría de coordenadas se establecen relaciones entre puntos distantes (por ejemplo, define una circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de otro). La Geometría de coordenadas describe los objetos en términos de ecuaciones. La Geometría de Tortuga lo hace mejor mediante procedimientos. Ello permite establecer relaciones y aplicar conceptos y técnicas de computación, como la iteración y la recursividad, que facilitan enormemente la exploración matemática.
La actividad planteada
Durante la realización del curso "Impulso al estudio de Matemáticas mediante Computational Thinking", impartido por miembros del Departamento de Matemática Aplicada de la E.T.S. de Ingenieros de la UPV/EHU dentro del programa de formación Prest_Gara, encontré en el primer capítulo de "Geometría de Tortuga" un buen punto de partida para desarrollar una actividad con contenido matemático que relacionara resolución de problemas y pensamiento computacional.
Está pensada para alumnado de 3º/4º de la ESO. Su objetivo es hacer ver un polígono como un camino cerrado y guiar en el descubrimiento del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono simple de cualquier número de lados. Puedes descargar la "Ficha de la Actividad" en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí. En ella se relacionan las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se aplican en esta actividad. Está dividida en cinco fases que comprenden un total de 18 tareas.
Introducción al entorno para practicar la geometría de tortuga (intérprete LOGO online desarrollado en JavaScript por Susan Bell): Comenzando por la presentación del escenario de trabajo y de los comandos básicos para desplazar y dibujar gráficos con la tortuga. A través de ejemplos sencillos se introducen los conceptos de procedimiento, iteración y variable.
Introducción a la Geometría de tortuga: Utilizando el triángulo equilátero y buscando provocar la sorpresa del alumno se introduce la idea de ángulo exterior y se reflexiona entre las diferencias entre la Geometría de coordenadas y fórmulas, y la Geometría de tortuga.
Exploración de las figuras geométricas asociadas a procedimientos sencillos: Se construye un procedimiento muy sencillo que admitiendo una longitud y un ángulo como variables avanza y gira indefinidamente. Se exploran algunos casos sencillos que producen polígonos, simples y estrellados. Se tantean algunos cambios en el valor del ángulo para estudiar su influencia en la figura que se obtiene.
Introducción de los conceptos de giro total y camino cerrado. Teorema del camino cerrado: Se estudia, en algunos casos sencillos, la relación entre el ángulo indicado al procedimiento POLI y el nº de lados de la figura dibujada. Se introducen los conceptos de giro total de un camino y de camino cerrado (que vuelve a colocar a la tortuga en su posición y con su orientación iniciales). Se conduce al alumno hacia la “deducción” del teorema del camino cerrado.
Teorema del camino cerrado simple y algunas aplicaciones inmediatas como propiedades de los ángulos interiores de un polígono: Se presenta el teorema del camino cerrado simple: “El giro total realizado a lo largo de cualquier camino cerrado simple es +-360º” como una generalización difícil de probar de lo observado al experimentar con el comando POLI. Se conduce al alumno, de forma alternativa a la tradicional triangularización, hacia la demostración del valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados. Se demuestra el valor de la medida del ángulo interior de un polígono regular de n-lados.
En la documentación para el profesorado se identifican las competencias, actitudes y conceptos de pensamiento computacional que se trabajan en cada tarea. También se añaden los cuadros de progreso y resultados de aprendizajes de la actividad. Puedes descargarla en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.
Puedes descargar la actividad para el alumnado en formato PDF haciendo clic aquí y en formato DOC, aquí.
Etiquetas: actividades, Geometría, Geometría de Tortuga, LOGO, pensamiento computacional, resolución de problemas
Programación lineal con Desmos
Construcciones Desmos para la enseñanza/aprendizaje de programación lineal en 2º de Bachillerato.
Estos son dos de los escenarios Desmos con los que hemos trabajado en el I.E.S. Samaniego B.H.I de Laguardia. Se trata de ejercicios de programación lineal en dos variables de acuerdo al currículo de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II de 2º de Bachillerato, extraídos del libro de texto de Editorial Anaya, que representan los casos típicos de este tipo de problemas.
El primero es un ejercicio de obtención del máximo en un contexto de variables discretas. Puedes acceder a él haciendo clic aquí. En el segundo se trata de calcular el mínimo en un caso de variables continuas. Puedes acceder a él haciendo clic aquí.
En ambos casos de ofrece la resolución analítica, calculando los vértices del polígono que representa la región de validez (de soluciones factibles) y evaluando la función objetivo en ellos, y también la resolución gráfica. Se trata de construcciones simples fácilmente parametrizables con controles deslizantes para experimentar con distintas funciones objetivo o con otras restricciones.
Etiquetas: 2º Bach CCSS, actividades, álgegra, Bach, Desmos, programación lineal
Actividades entorno a la “divina proporción”
¿Qué tienen en común la disposición de los pétalos de una rosa, la famosa pintura de Salvador Dalí “Sacramento de la Última Cena”, las conchas de algunos moluscos, la cría de conejos y los brazos en espiral de cierto tipo de galaxias como nuestra Vía Láctea?
Todos estos ejemplos dispares están unidos por un número conocido desde la Antigüedad, que a principios del siglo XVI, en Italia, fue denominado «Divina Proporción» y que en el siglo XIX recibió la distinción de «Número de Oro o Áureo», «Proporción Áurea» y «Sección Áurea».
Phi (Φ o φ) es un número menos conocido que otros con nombre propio como Pi (π) o e, pero mucho más fascinante en numerosos aspectos; ha seducido a lo largo de la historia a muchas de las mentes más brillantes..
Además de tener propiedades numéricas sorprendentes o expresar relaciones geométricas asombrosas, Φ aparece, relacionado con la belleza, la perfección y el caos, como conexión insospechada entre la naturaleza y las creaciones humanas.
Cotidianamente utilizamos la palabra “proporción” para expresar la relación comparativa respecto al tamaño o la cantidad que se establece entre las partes de las cosas; y para describir una relación armónica entre diferentes partes.
En Matemáticas, la palabra “proporción” se utiliza para indicar la igualdad entre dos razones: “nueve es a tres como seis es a dos”.
La proporción áurea ofrece una mezcla intrigante de ambas definiciones.
Comparto aquí las actividades entorno a la “divina proporción” que vengo utilizando desde hace algunos cursos con alumnado de 3º y 4º ESO, y 1º Bachiller.
0.- “Nature by Numbers” de Cristóbal Vila. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.
1.- Cociente entre un término y su anterior en sucesiones tipo Fibonacci a partir de dos números cualquiera.
2.- Definición de proporción áurea.
3.- División, con regla y compás, de un segmento en razón media y extrema.
4.- Rectángulos áureos.
5.- La ecuación de Φ. Representación de Φ sobre la recta real utilizando regla y compás.
6.- Algunas propiedades de Φ.
7.- Cálculo Φ por medio de Raíces anidadas.
8.- Cálculo Φ por medio de fracciones continuas.
La proporción áurea es un concepto a la vez que simple en su definición, muy rico; aparece recurrentemente en múltiples campos matemáticos. Ello permite desarrollar actividades de distintos bloques de los currículos de Matemáticas de ESO y Bachillerato, que incluyen cálculos aritméticos, construcciones y razonamientos geométricos, trabajo con sucesiones, límites, … También permite trabajar de forma interdisciplinar relacionando las Matemáticas con los contenidos de otras materias.
Las actividades compartidas permiten practicar la utilización de la calculadora y de aplicaciones de “hojas de cálculo”; también realizar construcciones con regla y compás y con GeoGebra. Algunas de ellas, especialmente a las dos últimas, son fácilmente enfocables de forma que desarrollen el “pensamiento computacional”. Otras, como la primera, pueden ser presentadas como un mero divertimento matemático.
- Puedes descargar las actividades en formato MS Word aquí. Y en formato PDF aquí.
- Puedes descargar una hoja MS Excel que facilita los cálculos aquí.
- Puedes abrir el libro GeoGebra relacionado aquí.
- “Nature by Numbers” cortometraje de Cristóbal Vila, de una muy cuidada e impactante realización técnica. Las Matemáticas ayudan a entender la conexión entre Arte y Naturaleza.Una de las mejores formas de introducirse el tema de la razón áurea
- “La teoría tras la película” ofrece interesante información complementaria a la animación, para poder entender mejor la base teórica que se encierra detrás de ella.
- Corbalán, Fernando, “La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza”. RBA Libros. Barcelona. 2010.
- Livio, Mario, “La proporción áurea: La historia de Phi, el número más sorprendente del mundo”. Ed Planeta. Barcelona. 2006.
Etiquetas: actividades, divina-proporción, GeoGebra, Hoja de Cálculo, irracionales, número-áureo, phi, proporción-áurea, razón-áurea
Área de un cuadrado conocida la longitud de su diagonal
“"It is better to solve one problem five different ways,
than to solve five problems in one way"
George Polya (1887 – 1985)”
La diagonal de un cuadrado mide 6 m ¿Cuánto mide su área?
1.- Individualmente: Calcula el resultado de 2 maneras distintas.
2.- En grupos de 3: Calculad el resultado de 4 maneras distintas.
3.- Individualmente: Redacta detalladamente 3 maneras distintas de calcular el resultado.
Explica lo que has hecho de forma que cualquier compañero que lo lea pueda comprenderlo y repetirlo.
Además de indicar los pasos a seguir (qué has hecho) tienes que incluir el razonamiento (por qué lo has hecho).
Solución de problemas versus resolución de problemas
Esta actividad tiene su origen en una charla impartida por Lorenzo J. Blanco Nieto, Catedrático de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Extremadura dentro del “Seminario Permanente de Actualización en Matemáticas” de la Universidad de La Rioja.
En la conferencia, con título “Resolver problemas versus resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos”, desde el convencimiento de que la resolución de problemas debe ser el foco principal en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, el profesor Blanco reflexionó sobre la diferencia entre “resolver problemas” y “resolución de problemas”, incidiendo sobre las dificultades mostradas por los alumnos al escribir las estrategias concretas para resolver un problema, y para diferenciar entre la redacción de la estrategia y el proceso de resolución del problema.
Además de porque, siguiendo a Polya, estoy convencido de que aprendemos mucho más resolviendo un problema de muchas formas distintas que resolviendo muchos problemas de la misma forma, me gusta esta actividad porque permite trabajar la fase de revisión y extensión de la resolución de problemas, así como la redacción rigurosa, ordenada y precisa de las estrategias seguidas. También porque al combinar trabajo individual y en grupo permite practicar destrezas relacionadas con la comunicación oral y escrita, como son la expresión de ideas complejas y la escucha atenta.
Para acceder a un libro GeoGebra con algunas soluciones y los pasos seguidos para llegar a ellas haz clic aquí.
- Vídeo de la conferencia “Resolver problemas versus resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos” en la Universidad de la Rioja.
- Artículo en el blog personal de Lorenzo J. Blanco Nieto ¿Qué hacemos y qué evaluamos cuando trabajamos la Resolución de Problemas en el aula de Matemáticas?
- Presentación de la conferencia “Resolver problemas vs. resolución de problemas: qué hacemos y qué evaluamos” en la Universidad de Zaragoza.
Etiquetas: 4º ESO, actividades, GeoGebra, Geometría, resolución de problemas
Charla de Pablo Cuesta Sampedro en el "I.E.S. Samaniego - Laguardia B.H.I."
Pablo Cuesta, que está a punto de obtener su titulación como arquitecto en la Escuela Técnica Superior de Arquitectura de Madrid (actualmente trabaja en su Proyecto Fin de Carrera) nos ofreció el pasado 10 de abril, dentro del proyecto "Parecidos RAZONables" una charla sobre conceptos básicos que relacionan Arquitectura y Matemáticas. En ella nos indicó algunas claves para entender mejor los edificios del "I.E.S. Samaniego - Laguardia B.H.I." y de "Bodegas Ysios".
Esta es la presentación elaborada por Pablo para la charla.
Muchas Gracias Pablo por el tiempo dedicado a preparar esta charla y compartir con nosotros tus conocimientos de forma tan didáctica y generosa.
Etiquetas: ABP, Aprendizaje Basado en Proyectos, arquitectura, IES Samaniego-Laguardia BHI, Parecidos RAZONables, Ysios
¡¿ π = 2 ?!
Una π-Paradoja para que π-enses un rato
Hoy 14 de marzo, 3/14 según se escriben las fechas en euskera o en inglés, además del nacimiento de Albert Einstein (14 de marzo de 1879), celebramos, por primera vez oficialmente en España, el "Día de Pi". Celebración con larga tradición en Estados Unidos hasta el punto de en 2009 su Cámara de Representantes declaró oficialmente el 14 de marzo como "Día Nacional de Pi".
Es un buen motivo para reflexionar entorno a una π-Paradoja. Y no me refiero al hecho de que π sea un número "irracional", aunque curiosamente haya sido definido como la razón entre la longitud y el diámetro de cualquier circunferencia, sino a la que nos lleva a que el valor de π es el número entero 2.
Comencemos con un segmento AB de longitud 2, construyendo una semicircunferencia tomándolo como diámetro. Así el radio de la semicircunferencia es R = 1 y su longitud es π·R = π. A continuación dividiremos el segmento AB en dos partes iguales, y tomando como diámetro cada mitad, construiremos dos semicircunferencias disponiendo una a cada lado del segmento AB. Estas dos semicircunferencias forman una línea ondulada continua cuya longitud es igual que la de la primera semicircunferencia; es decir π. En efecto, el radio de cada semicircunferencia es 1/2 y su longitud π·1/2 = π/2. Por lo que la longitud conjunta de las dos semicircunferencias es 2·π/2 = π. Continuemos este proceso indefinidamente, dividiendo el segmento AB en 4, 8, ... partes iguales y tomando como diámetro cada parte, construyendo semicircunferencias dispuestas alternativamente una a cada lado del segmento AB. Obtendremos una sucesión de líneas onduladas que se aproximan cada vez más al segmento AB.
A medida que el número de semicircunferencias aumenta se obtiene una sucesión de líneas onduladas dentro de una banda cada vez más estrecha, que contiene al segmento AB. La anchura de la franja que contiene a cada línea ondulada coincide con el diámetro de las semicircunferencias que la forman, es decir 2/n.
Pero la longitud de todas las líneas onduladas es siempre la misma, π. Y tal debe ser la longitud del límite de las líneas onduladas, es decir del segmento AB. Con lo que tenemos ¡¿π = 2?!.
El siguiente escenario GeoGebra te ayudará a visualizar la construcción.
¡¿Es posible?!
Tómate tu tiempo para pensar...y solo después de ello, si quieres conocer una explicación de esta paradoja, haz clic aquí ▼▲
Evidentemente que no lo es. π sigue siendo el número irracional 3,14159...
Detectar el fallo en la anterior argumentación necesita comprender conceptos de cierta sofisticación técnica que se estudian en el primer curso de análisis matemático de los estudios universitarios de ciencias e ingenierías.
Tratemos de ver un esquema general del razonamiento:
Al tratar las sucesión de funciones reales, se define la función límite basándose en el concepto de límite de una sucesión de números reales; y se habla de "convergencia puntual" de la sucesión de funciones hacia la función límite. Al estudiar cuestiones relacionadas con la conservación de ciertas propiedades de las funciones, se observa que no siempre el límite de una sucesión de funciones continuas es una función continua. Y lo mismo sucede con las funciones derivables e integrables; las operaciones de "paso al límite" y "derivación", o de "paso al límite" e "integración" no son siempre intercambiables.
Se continúa definiendo un tipo de convergencia de funciones más exigente que la puntual; la llamada "convergencia uniforme", que intuitivamente se visualiza como que para cualquier banda de anchura constante, simétricamente situada respecto a la gráfica de la función límite, no importa lo estrecha que sea, se puede determinar una función en la sucesión de funciones a partir de la cual todas las funciones de la sucesión tienen su gráfica dentro de la banda. En este caso de convergencia uniforme sí se puede asegurar que la función límite de una sucesión de funciones continuas, es continua. Y también que son intercambiables el "paso al límite" y la "integración". Pero el asunto de la derivación es más delicado; la convergencia uniforme tampoco asegura que el "paso al límite" y la "derivación" sean intercambiables.
El caso de la paradoja que nos ocupa es especialmente interesante. Se trata de una sucesión de funciones, las líneas onduladas, que son continuas y que convergen uniformemente a una función, el diámetro de la primera semicircunferencia. Utilizamos la operación "longitud" y, éste es precisamente el punto de fallo en el razonamiento, estamos considerando como iguales "el límite de las longitudes" (π) y "la longitud del límite" (2). La operación "longitud" implica integración y derivación. Este ejemplo es uno de los casos en los que el "paso al límite" y la "derivación" no son intercambiables, a pesar de que la convergencia de las funciones, que no de las derivadas, es uniforme.
Esta paradoja es un magnífico ejemplo de la complejidad y sutileza del infinito, presente en el concepto de límite; y de la necesidad de rigor en la comprobación de las condiciones al realizar operaciones de "paso al límite". También es una muestra de cómo las visualizaciones son una buena guía para la intuición que puede facilitar la comprensión, e incluso el descubrimiento, pero que no siempre sirven como demostración. Asimismo, este ejemplo invita a reflexionar sobre el significado de conjetura, demostración y paradoja.
Un poco más alla
Siguiendo con este planteamiento paradójico nos podemos plantear cuestiones como ¿influye la longitud del radio de la primera semicircunferencia?¿cómo hacer variable la longitud de la sucesión de líneas onduladas?¿cambia en este caso la esencia del planteamiento inicial?¿cómo conseguir otros valores distintos para π? Se trata de unos buenos y recomendables ejercicios.
Y una vuelta de tuerca más. En realidad al definir π como el cociente entre las medidas de dos longitudes, su valor depende de la métrica utilizada y en estos casos sí, y de forma veraz, π tiene otros valores distintos al euclídeo 3,14159... Dejamos este asunto como tema para otra entrada.
- Dubnov, Ya. S. (1993). Errores en las demostraciones geométricas. Lecciones populares de matemáticas. Ed. Rubiños-1860. Ávila. 1994
- Apostol, Tom M.: Calculus. Vol I. Ed. Reverté, Barcelona. 1980.
- Giaquinto, Marcus: Visual Thinking in Mathematics. An epistemological study. Ed. Oxford University Press. Oxford. 2007.
- Cortés López, Juan Carlos y Aledo Sánchez, Juan Ángel: Cálculo geométrico del límite de sucesiones trigonométricas. Revista Suma nº 34, junio 2000.
Etiquetas: convergencia, convergencia uniforme, GeoGebra, infinito, límites, paradojas, pi, visualizaciones

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