Source: https://es.scribd.com/doc/110022020/metodos-rigurosos
Timestamp: 2016-08-23 22:03:41+00:00

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1. INTRODUCCIÓN Hasta 1950, los cálculos correspondientes a los problemas de rectificación tenían que realizarse “a mano”. Aunque se disponía de métodos rigurosos, eran difíciles de aplicar, incluso en el caso de columnas muy pequeñas. En esta época, los métodos aproximados constituían la principal herramienta de diseño y los rigurosos sólo se aplicaban para columnas muy pequeñas o para comprobar el diseño final. La aparición de los ordenadores invirtió la situación: los métodos rigurosos, cuya aplicación hasta el momento requería varios días de trabajo, o incluso semanas, suponían ahora muy poco tiempo de cálculo con el ordenador y por tanto no tenía sentido aceptar como buenas las inexactitudes e imprecisiones de los métodos aproximados. En la actualidad, los métodos rigurosos han pasado a ser la principal herramienta de diseño, quedando como único papel de los métodos aproximados el proporcionar una estimación inicial para los cálculos rigurosos y eliminar las opciones menos adecuadas. El diseño final del equipo de etapa múltiple requiere una determinación rigurosa de la temperatura, la presión, los caudales y composiciones de las corrientes y las velocidades de transferencia de calor para cada etapa. Dada la elevada no linealidad de las ecuaciones que describen el proceso, es necesario resolver el problema general por el uso de procedimientos iterativos y los diversos métodos difieren en la selección del conjunto de variables independientes. Históricamente, los primeros intentos para la resolución del sistema de ecuaciones formado por los balances de materia, las relaciones de equilibrio, los sumatorios de fracciones molares y los balances de entalpía (sistema de ecuaciones MESH) fueron los métodos clásicos de cálculo etapa a etapa y ecuación a ecuación de Lewis-Matheson (1932) y Thiele-Geddes (1933), aplicables a columnas convencionales (se introduce un único alimento y se extraen dos productos, el destilado por la cabeza y el residuo por la cola). Sin embargo, la mayor parte de los métodos modernos son métodos “componente a componente”, haciendo referencia este tipo de designación a la forma en que se agrupan y se resuelven los sistemas de ecuaciones. Los métodos clásicos de cálculo etapa a etapa y ecuación a ecuación de LewisMatheson y de Thiele-Geddes constituyen un primer intento de resolución de las ecuaciones MESH. Aunque ambos fueron ampliamente utilizados para cálculos manuales en los años siguientes a su aparición en la bibliografía, se observó un comportamiento numéricamente inestable cuando se intentó su programación en un ordenador digital. El método θ de convergencia,
desarrollado por Holland y col., mejoró el método de Thiele-Geddes y ha sido utilizado con éxito en diferentes versiones. En la actualidad se utilizan métodos que resuelven las ecuaciones MESH a partir de un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas para las N etapas, agrupadas para cada componente. Estos métodos se pueden clasificar dentro de cuatro grandes grupos: Métodos de punto de burbuja (BP), que calculan la temperatura de los pisos por resolución de la ecuación del punto de burbuja. Métodos de suma de caudales (SR), que usan los balances de energía para obtener la temperatura de los pisos. Métodos de Newton 2N, que calculan las temperaturas y el caudal total al mismo tiempo, pero las composiciones en un paso separado.
Recientemente se han desarrolado otros métodos (métodos inside-out, métodos de relajación, métodos de homotopía, métodos de no equilibrio, etc.) que intentan solucionar a los problemas de convergencia que presentan los métodos anteriores, así como dar cobertura a la resolución de problemas de separación de mezclas cada vez más complejas. En general, los métodos modernos están ya programados, son rápidos y requieren un espacio mínimo de memoria en un ordenador, aunque normalmente están limitados a un número relativamente reducido de posibilidades para la especificación de variables. 2. MÉTODOS ETAPA A ETAPA Y ECUACIÓN A ECUACIÓN 2.1. Método de Thiele-Geddes Es un método aplicable a columnas de destilación convencionales. La notación utilizada es la siguiente: D Lo B Piso Piso Piso Piso caudal molar de destilado reflujo externo caudal molar de residuo condensador primer plato de la columna (cabeza) piso de alimentación último piso de la columna (base) 84
0 1 f N
Piso N+1 Vj Vj Vj = Vj Lj Lj Lj = L j
caldera caudal de vapor que abandona el piso j caudal de vapor que llega al piso j-1 si no se introduce ningún vapor entre los pisos j y j-1 caudal de líquido que abandona el piso j caudal de líquido que llega al piso j+1 si entre los pisos j y j+1 no se introduce ningún líquido
Los caudales molares de cada componente se identifican por las letras minúsculas v y l, según se refiera a las corrientes de vapor o líquido. El subíndice i hace referencia al componente y el j al piso en cuestión. Así pues,
v ji = Vj y ji l ji = L j x ji
v ji = Vj y ji lji = L j x ji di = DXDi bi = Bx Bi
obsérvese que X para el destilado no distingue la condición térmica a la que se encuentra esa corriente. Dado que se supone que las etapas son ideales y el vapor y el líquido que abandonan cada etapa están en equilibrio, los caudales de cada componente pueden relacionarse mediante factores de absorción (Aji) o de desorción (Sji):
y ji = K ji x ji VjL j y ji = K ji VjL j x ji L j v ji = K ji Vjl ji o ⎛ K ji Vj ⎞ ⎟l = S jil ji v ji = ⎜ ⎜ L ⎟ ji ⎝ j ⎠ ⎛ Lj ⎞ ⎟ v = A ji v ji donde l ji = ⎜ ⎜ K V ⎟ ji ⎝ ji j ⎠ A ji = 1 / S ji
El método de Thiele-Geddes se caracteriza por la elección de las temperaturas a través de la columna como variables independientes. La aplicación del método requiere los siguientes datos de partida: - número de platos en cada sección de la columna. - caudal, composición y condición térmica del alimento - otras dos variables como por ejemplo el caudal de destilado y el de reflujo (2.2)
El organigrama de cálculo se muestra en la figura 2.1. y las ecuaciones a aplicar se desarrollan a continuación. Sea una columna convencional, un balance de materia alrededor del condensador conduce a
v1i = loi + di
y dividiendo ambos miembros de esta ecuación por di, y considerando que:
l oi L o x oi L x L = = o oi = o = A oi di DX Di DK oi x oi K oiD
se obtiene la siguiente ecuación para el condensador:
v1i / di = Aoi + 1
Para un condensador total xoi = XDi, loi/di = Lo/D, que también se designa por Aoi. En el sector de enriquecimiento, un balance de materia alrededor de un piso j y la cabeza de la columna, dividiendo ambos miembros por di, conduce a:
v ji di
l j−1,i di
Dado que lj-1,i = Aj-1,ivj-1,i se llega:
l j −1,i di ⎛ v j −1.i ⎞ ⎟ = A j −1,i ⎜ ⎜ d ⎟ ⎝ i ⎠
y la sustitución de esta expresión por (lj-1,i/di) en la ecuación (2.6), da como resultado la siguiente ecuación para la etapa j del sector de enriquecimiento:
v ji /di = A j−1,i ( v j−1,i / di ) + 1
2 ≤ j ≤ f -1
Análogamente se deduce, para el piso de alimentación:
v fi / di = A f −1,i ( v f −1,i / di ) + 1
lf −1,i /bi = S fi (lf / bi ) + 1
Se pueden deducir ecuaciones totalmente análogas a las anteriores planteando balances de materia alrededor de la caldera:
lNi VN + 1 y n + 1, i = +1 bi bi donde v N + 1, i bi = VN + 1 y N + 1, i Bx Bi = VN + 1K N + 1, i x Bi Bx Bi = VN + 1K N + 1, i B = S N + 1, i
que se reduce a la siguiente ecuación para la caldera:
lNi / b i = S N +1,i + 1
mientras que un balance alrededor de la caldera y un piso j conduce a:
l j−1,i bi
v j,i bi
donde l ji v j,i = S ji bi bi
reduciéndose a la siguiente ecuación para una etapa j del sector de agotamiento:
l j−1,i /bi = S ji (l ji / bi ) + 1 f +1 ≤ j ≤ N
En las ecuaciones (2.3) a (2.14) se ha considerado lo siguiente: Aoi = Lo/KoiD para un condensador parcial y Aoi = Lo/D para un condensador total. Aji = factor de absorción; Aji = Lj/KjiVj
l f −1,i = caudal molar de i, en estado líquido, que llega al piso de alimentación,
fi; lf −1,i = l f −1,i + lFi lFi = caudal molar de i que llega a la columna en la porción líquida del alimento Sji = factor de desorción (stripping factor); S ji = K ji Vj / L j y SN+1,i = K N+1,i VN+1 / B
v fi = caudal molar de i, en estado vapor, que llega al piso f-1; v fi = v fi + vFi
vFi = caudal molar de i que llega a la columna en la porción vapor del alimento
Suponer perfil inicial de T (Tj) Suponer perfil inicial de K (Kij) Cálculo piso a piso desde el condensador hasta el piso de alimentación: vij/di y lij/di Cálculo piso a piso desde la caldera hasta el piso de alimentación: vij/bi y lij/bi Cálculo de di y a partir de éste. Al llegar al piso de alimentación. di se calcula a partir de un balance global de materia:
FX i 1 + (bi / di )
(2. (2. (2. 2.1
Dado un conjunto inicial de valores de L/V y de T supuestos para cada etapa.Universidad de Alicante.10). los cálculos se comienzan desde cada extremo de la columna y avanzan hacia el piso de alimentación. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. y para un alimento líquido a su temperatura de ebullición.12) y (2. (2. v fi = v fi y por tanto:
bi v fi / di = di v fi / bi
Después de determinar bi/di.14).8) a (2.17)
. obteniéndose los caudales para cada componente por las ecuaciones (2.2).15)
donde v fi / di se calcula usando las ecuaciones del sector de enriquecimiento y vfi/bi por las del de agotamiento:
⎛l ⎞ v fi = S fi ⎜ fi ⎟ ⎜b ⎟ bi ⎝ i⎠
(2. Dpto. nuevo perfil de composición y de Kij
Coinciden los perfiles de Kij calculados y supuestos NO Nuevos perfiles: Tj y Kij
Figura 2.5).
20) puede usarse para calcular bi/di a partir de los resultados obtenidos considerando un alimento en cualquier condición térmica: para alimentos líquidos lFi = FXi y vFi = 0 y para alimentos en fase vapor: vFi = FXi y lFi = 0.i
que puede reordenarse del siguiente modo:
⎛ v fi ⎜ ⎜b ⎝ i
⎞⎛ b i ⎟⎜ ⎟⎜ d ⎠⎝ i
⎞ ⎛ v Fi ⎟+⎜ ⎟ ⎜ FX ⎠ ⎝ i
⎞⎛ FX i ⎟⎜ ⎟⎜ d ⎠⎝ i
⎞ l f −1. Dpto. Para un alimento parcialmente vaporizado.19)
donde v Fi l = 1 − Fi FX i FX i y FX i b =1+ i di di
que. finalmente proporciona:
l Fi di bi FX i = v fi v Fi di + b i FX i +
l f −1. un balance entre el piso por encima del de alimentación y el condensador proporciona:
v fi v Fi lf −1. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.i ⎟= +1 ⎟ di ⎠
La ecuación (2. Finalmente se obtiene un nuevo perfil de temperatura a partir de los valores calculados de las variables según:
⎛ v ji ⎞ ⎟d i ⎜ ⎝ di ⎠ y ji = c ⎛ v ji ⎞ ⎟d i ∑⎜ ⎜ ⎟ i=1 ⎝ d i ⎠ ⎛ l ji ⎞ ⎜ d ⎟d i i⎠ ⎝ x ji = c ⎛ l ji ⎞ ∑ ⎜ ⎟d i ⎜ ⎟ i=1 ⎝ d i ⎠
(2.i + = +1 di di di
(2. 2. Métodos rigurosos
El uso de este valor de di permite el cálculo de los caudales individuales a través de la columna.Universidad de Alicante.
se calculan y1i un cálculo de punto de rocío permite obtener x1i. 2.Universidad de Alicante.2 se muestra el organigrama de cálculo correspondiente: partiendo del conjunto de xDi supuestas. En la figura 2. Dpto.6)
(2.2. La división de v fi por el correspondiente caudal de destilado da un valor de v fi / di . Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. BxBi = FXi . para los demás pisos:
Lx j−1 V
por transformación de (2. Análogamente. en lugar del perfil de temperatura. el valor de bi/di viene dado por (2. Método de Lewis-Matheson
Difiere del de Thiele-Geddes en la elección de la distribución de cada componente entre la cabeza y la cola como variables independientes. La multiplicación de cada uno de éstos por Vf da v fi .24)
. se pueden realizar los cálculos desde la cabeza y la base hacia el piso de alimentación a partir de la distribución de productos supuesta. La composición del destilado para la siguiente iteración se obtiene:
xDi = di
(2.DXDi.23)
y los DxDi para la siguiente iteración se calculan utilizando el valor de D especificado y el xDi dado por la ecuación (2. Métodos rigurosos
y los nuevos valores de las temperaturas de prueba (o de las Kb. en el caso de un alimento líquido a su temperatura de burbuja. los cálculos se inician en la cabeza de la columna y se continúan hacia el piso de alimentación. para dar un conjunto de valores de y fi .15) y di está dado por la ecuación (2. Como se vio en la sección anterior.23) mientras que los correspondientes valores de BxBi se obtienen del balance global de materia. a partir de los resultados obtenidos al realizar los cálculos desde la base hacia el piso de alimentación puede calcularse un valor de vfi/bi.17). siendo b el componente de referencia para el cálculo de las volatilidades) en cada etapa para la siguiente iteración se calculan a partir de las yji o xji y las ecuaciones del punto de rocío o del punto de burbuja.
2. Si se considera el mismo conjunto de especificaciones que en el caso de Thiele-Geddes. La secuencia de pasos para los cálculos en cada sector: a) Sector de enriquecimiento a partir de di.
11) L L yji: en equilibrio con las xji x ji = + Vy j+1
(2.15 ó 2. Si no coinciden. 3.Universidad de Alicante.27)
v fi Vy fi = bi bi
a continuación se calcula bi/di (por 2. temperatura y presión).20).2 permite resolver un problema de simulación. 2.a partir de bi.26)
al llegar a j = f: (2. y di por (2. NS y del resto de di no especificadas.25)
(2. composición. Dpto.al llegar a j = f:
v fi Vy fi = di di
b) Sector de agotamiento . se calculan xbi un cálculo de punto de burbuja permite obtener yBi. .
. el método de Lewis-Matheson.para los demás pisos:
bi por transformación de (2. El desarrollo del método de Lewis-Matheson descrito en el organigrama de la figura 2. Cálculo piso a piso desde el condensador hasta el piso de alimentación y desde la caldera hasta el piso de alimentación (como en el método de ThieleGeddes). Especificación completa del alimento (caudal. repetir desde el paso 2.17). Métodos rigurosos
. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. El esquema de cálculo sería el siguiente:
1. Suposición de NR. puede plantearse también como método de diseño ya que permite realizar los cálculos de la columna utilizando el número de pisos en el sector de agotamiento y el número de pisos en el sector de enriquecimiento como variables de prueba. de di (o bi) para los componentes HK y LK y de dos variables más (D y Lo). Sin embargo. Comparación de las composiciones obtenidas para el piso de alimentación por ambos caminos. comparándose con el valor supuesto. al contrario del de Thiele-Geddes. 2. 4.
Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. bi
Cálculo piso a piso desde la base de la columna hasta el piso de alimentación: vji/bi
d i y bi supuestos y calculados son iguales
Figura 2. 2. bi
Cálculo piso a piso desde la cabeza de la columna hasta el piso de alimentación: vji/di Suponer nuevos di.2
3. los sistemas de ecuaciones que resultan al aplicar los métodos componente a componente suelen dar lugar a una matriz de coeficientes en forma de matriz tridiagonal. Algoritmo de Thomas
Frecuentemente. Dpto.
. LOS MÉTODOS COMPONENTE A COMPONENTE 3. La matriz tridiagonal. y se resuelven mediante un método de eliminación progresiva que recibe el nombre de algoritmo de Thomas.Universidad de Alicante. Métodos rigurosos
Suponer di.1.
j −1 + Vj +1 y i. Dpto. E = equilibrio.relaciones de equilibrio entre fases para cada componente (c ecuaciones por etapa):
Eij = y ij − K ij x ij = 0
(2. S = sumatorio de fracciones molares o másicas y H = balance de entalpía) para una etapa j pueden escribirse: 1.4:
Figura 2. Métodos rigurosos
3. Nomenclatura. 2.1. Sistema de ecuaciones MESH
Sea la etapa de equilibrio de la figura 2.28)
2. M. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.1. E.3.3
Las ecuaciones MESH (M = balance de materia. y la columna de la figura 2.Universidad de Alicante. j +1 + Fjzij − (L j + U j ) x ij − ( Vj + Wj ) y ij = 0 (2.29)
.balances de materia para cada componente (c ecuaciones para cada etapa):
Mij = L j −i x i.
2. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.Universidad de Alicante. Dpto. Métodos rigurosos
Um .1
D j = −Fj z ij 1≤ j≤N
(2. C y D:
A j x j. H.Wm) . Métodos rigurosos
(2. Uj y Vj dado por el balance global de materia.
Um. S . se puede obtener la siguiente ecuación para cada componente y etapa.0 = 0
donde. j−1 + B jx ij + C jx i.30)
(S x ) j = ∑ x ij − 1.31)
Si se modifican las ecuaciones MESH de forma que en las ecuaciones M se sustituyen los yij por Kijxij y los Lj por su valor en función de Wj.V1 →Aj
Bj: (Lj + Uj)+ (Vj + Wj) Kij = Vj+1 +
(Fm. en la
ecuación (2. 2.Um .Universidad de Alicante. V1 y Lj-1. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Dpto.32).34)
Lj-1 = Vj +
(Fm. los valores de los coeficientes son:
A j = Vj + ∑ (Fm − Wm − Um ) − V1
2≤ j≤N
j ⎡ ⎤ B j = − ⎢ V j+1 + ∑ (Fm − Wm − U m ) − V1 + U j + (V j + Wj )K i.Sumatorios de las fracciones molares (una para cada etapa):
(S y ) j = ∑ y ij − 1.35) siendo el entorno seleccionado para realizar los balances aquel en el que entran las corrientes
Fm y Vj y salen
Um .33) (2. Por tanto. j+1 1 ≤ j ≤ N . j ⎥ 1 ≤ j ≤ N m=1 ⎣ ⎦
C j = Vj+1K i. j+1 = D j
(2. donde se ha omitido el subíndice i para los términos B.Balance de energía (uno para cada etapa):
H j = L j−1HL j−1 + V j+1H Vj+1 + FjHFj − (L j + U j )HL j − ( V j + W j )H Vj − Q j = 0
(2. si se tiene en cuenta que un balance global entre la etapa j-1 y la cabeza de la columna proporciona: Lj-1 +
(Um + Wm) + V1 = Vj +
(2.Wm) – V1 + Uj + (Vj + Wj) Kij
.1.. Mientras que las Dj pueden calcularse a partir de las especificaciones del problema... los coeficientes Aj..... ⎢ . 0 .. ⎢ .N-1 mediante una sustitución por el camino inverso.. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.. el cálculo se simplificaría ya que entonces el cálculo de los coeficientes Bj y Cj dependería exclusivamente de las variables de tanteo Tj y Vj.. ⎢ ⎢ 0 . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . Se obtienen así otros valores de xij comenzando con xi... pueden escribirse como una serie de c sistemas de ecuaciones..... . Bj.. ⎣ 0 0 C3 0 .. Kij. ⎢ 0 ... ⎥ ⎢ . .. ⎥ ⎢ .. 0 . en los que las matrices de coeficientes son matrices tridiagonales y donde la variable de salida para cada sistema es la composición xi para ese componente en toda la cascada en contracorriente de N etapas:
⎡ B1 C1 0 ⎢ ⎢ A 2 B 2 C2 ⎢ 0 A1 B 3 ⎢ ⎢ ... 2.....
3..... ⎥ = .. ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ CN−1 ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ..37) se simplifica mucho con la aplicación del algoritmo de Thomas....... 0 . ... .. de constantes de equilibrio y de caudales de vapor en la columna.. En el caso en que los valores de las constantes de equilibrio. ⎥ ⎢ ... . ⎢ ⎢ 0 . . uno para cada componente...... ⎥ ⎢ . Cj y Dj en cada etapa.... la resolución de los c sistemas de ecuaciones proporcionará el perfil de composición del líquido en la columna. Dpto.. ⎥ ⎢ . ... ⎥ ⎢ .. ⎥ BN ⎥ ⎢ xN ⎥ ⎢DN ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.. ⎥ . 0 ... . ⎥ ⎢ .. . W1 = 0 y UN = 0. ⎥ ⎢ ..el perfil de temperatura... que es un método gaussiano de eliminación en el que se procede inicialmente a una eliminación progresiva comenzando en la etapa 1 y operando hasta alcanzar la etapa N. 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ D1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ ⎢D2 ⎥ 0 ⎥ ⎢ . El algoritmo de Thomas
La resolución del conjunto de ecuaciones linealizadas (2. . ⎥ ⎢ . Si las ecuaciones M modificadas (2..... fueran independientes de la composición..
.. ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . VN+1 = 0.. ⎥ . 0
AN−2 BN−2 CN−2 0 AN−1 BN−1 0 0 AN
Si se dispone de los valores de los coeficientes Aj.37)
....... Bj y Cj para cada componente pueden evaluarse si se conoce –porque se ha supuesto o bien porque se ha calculado en una iteración previa.Universidad de Alicante. Métodos rigurosos
con xio = 0.32) se agrupan por componentes. ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ . .... ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ .. eliminándose de esta manera en el cálculo de los coeficientes la dependencia de la composición.. ⎥ ⎢ ... ⎢ . ⎢ ⎢ ..... ⎢ ⎢ .2.. aislando finalmente xiN......
. Sólo se necesita conservar los valores de p1 y q1.39) (2. Dpto. 2.42)
resulta: x i2 = q 2 − p 2 x i3 (2.Universidad de Alicante. los coeficientes de la matriz se transforman en B1←1. De forma general.40)
Por tanto. se puede definir: qj = D j − A j q j−1 B j − A j p j−1 y pj = Cj B j − A j p j−1 (2. Sólo se necesita conservar los valores de p2 y q2.32) es de la forma B1xi1 + C1xi2 = D1.43)
De esta forma. donde ← quiere decir “reemplazado por”. Métodos rigurosos
Las ecuaciones utilizadas en el algoritmo de Thomas son las siguientes: para la etapa 1. j+1 (2. A2←0.41)
q2 = D 2 − A 2 q1 B 2 − A 2 p1 y p2 = C2 B 2 − A 2 p1
(2. B2←1 y C2←p2 y D2←q2.38)
p1 = C1 D q1 = 1 B1 B1 x i1 = q1 − p1 x i2
(2. la ecuación (2. C1←p1 y D1←q1. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Para la etapa 2:
x i2 = ⎞ D 2 − A 2 q1 ⎛ C2 ⎟ x i3 −⎜ B 2 − A 2 p 1 ⎜ B 2 − A 2 p1 ⎟ ⎠ ⎝
(2. y puede resolverse para xi1 en función de xi2 para dar:
x i1 = D 1 − C 1 x i2 B1
x ij = q j − p j x i.
la derivada pierde significado. pero puede ser inferior en algunas iteraciones). Una alternativa es utilizar procedimientos de derivación numérica:
∂ f [f ( x + e) − f ( x − e)] = 2e ∂x
(2. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. q1.49)
Para asegurarse que la norma disminuye en cada iteración se utiliza un escalar. la ecuación (2. .46)
se calculan entonces.. q2. Dpto. puede suponer un alejamiento de la solución. partiendo de la etapa 1.
El algoritmo de Thomas es de gran eficacia y es superior a las rutinas alternativas de inversión de matrices.45) aisla xiN como
x iN = qN
(2. pN-1. valores sucesivos de xi sustituyendo a lo largo del cálculo inverso en la forma: x i.001x. Sólo se necesita conservar los valores de pj y qj. a partir de (2. De esta forma. El principal problema que se plantea es la obtención de las derivadas de las relaciones de equilibrio y de la entalpía con respecto de la composición. qN1. como el de Newton-Raphson. la derivación numérica también presenta problemas: si e es demasiado pequeño.Universidad de Alicante. j −1 = q j−1 − p j−1 x ij = r j−1 (2. tal que xk+1 = xk + sk∆xk (sk generalmente es igual a 1.. qN. sk.45). el método de Newton-Raphson requiere un test de convergencia adicional.2.48)
donde f representa alguna de las ecuaciones MESH. Sin embargo. por ejemplo el cálculo de la raíz cuadrada de la suma de cuadrados o norma. mientras que si es demasiado grande. En la etapa N.. x es una variable del sistema y e es una perturbación del valor de x. se van calculando de forma progresiva los valores de pj y qj en el siguiente orden: p1. Otra restricción que suele imponerse es que las variables independientes calculadas en cada iteración cumplan unos ciertos criterios de tolerancia:
. Métodos rigurosos
Donde Aj←0. p2. Métodos numéricos
Una alternativa al uso del método de la matriz tridiagonal para resolver el sistema de ecuaciones MESH el uso de métodos numéricos. por ejemplo x = 0. sobre todo cuando se utilizan modelos como UNIQUAC y NRTL. Además de los criterios de convergencia habituales. 2. Bj←1 y Cj←pj y Dj←qj. ∑ f (x) n
4. se han desarrollado los métodos quasi-Newton. Consiste en reordenar el jacobiano en dos matrices: Jk = LkUk. los ∆xk correspondientes se dividen por 2. o incluso que nunca se alcance la solución buscada. que eliminan el cálculo de la matriz jacobiana y de su inversa mediante algún tipo de fórmula. un mal conjunto de estimaciones iniciales puede provocar que el cálculo oscile. Calcular los valores de las funciones f. 2. y Lk contiene los elementos de la diagonal y los inferiores a ésta. pero aumenta el número de iteraciones. Calcular las derivadas parciales para la matriz jacobiana. Con los métodos quasi-newton se reduce el tiempo de cálculo por iteración.
En algunas aplicaciones del método de Newton-Raphson. tales que Uk contiene los elementos de la diagonal y los superiores a ésta. Un buen programa de simulación debe ser capaz de detectar cuándo ocurre esto. y obtener un nuevo conjunto de variables xk+1. El esquema de cálculo general de los métodos numéricos es el siguiente:
1. 2. Se denomina método del punto de burbuja (BP) debido a que en cada iteración se calcula un nuevo conjunto de temperaturas de las etapas a partir de las ecuaciones del punto de burbuja.
4.1. Suponer un conjunto de variables independientes xk. La factorización LU es similar al algoritmo de Thomas para matrices tridiagonales. Comprobar si se ha alcanzado la solución calculando la norma. MÉTODOS COMPONENTE A COMPONENTE MÁS FRECUENTES 4. Método del punto de burbuja (BP) para destilación
Es un procedimiento de resolución particularmente efectivo en el caso en que las especies de la mezcla a separar presenten un intervalo estrecho de volatilidades. También se trata de métodos más sensibles a las estimaciones iniciales y que fallan con más facilidad. Resolver el jacobiano para el vector ∆xk utilizando la factorización LU. Holland recomienda realizar una factorización LU (lower-upper) para calcular los ∆xk. Métodos rigurosos
Tmín < T < Tmáx V>0 L>0 de forma que si alguna variable no los cumple. que se
. excepto las ecuaciones M modificadas. Con el fin de disminuir el tiempo de ordenador requerido por el método de Newton-Raphson. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Las ecuaciones se separan y se resuelven en forma secuencial. Fue propuesto por Friday y Smith y desarrollado por Wang y Henke.Universidad de Alicante. donde k = 0 para la primera iteración. 3. Dpto.
como la temperatura de rocío de un producto de vapor destilado (o en general.37) por el método de Thomas se precisan los valores de Kij. es decir. Esta ecuación se utiliza para predecir el valor de Tj que hace Sj = 0. 2. El algoritmo de cálculo se muestra en la figura 2. se necesitan también suposiciones iniciales para todos los xij e yij.
. calculando o suponiendo la temperatura del destilado en la condición térmica impuesta por el tipo de condensador) y procediendo después a determinar la temperatura del resto de etapas admitiendo una variación lineal de la temperatura a lo largo de la columna.Universidad de Alicante. que precisa de tres suposiciones iniciales de Tj. Tj.Sj) se ajustan mediante una ecuación cuadrática de Sj en función de Tj. Para cada suposición se calcula el valor de Sj a partir de:
S j = ∑ K ij x ij − 1. Por lo general se puede obtener un conjunto inicial adecuado de valores de Tj calculando y suponiendo tanto la temperatura de burbuja de un producto de colas estimado. reflujo y corrientes laterales especificadas. En la mayoría de los problemas es suficiente con establecer un conjunto inicial de valores Vj basados en la suposición de caudales molares constantes entre etapas. cuando éstos dependen de la composición. utilizando los caudales de destilado.5. Para iniciar los cálculos se asignan valores a las variables de tanteo.50)
y son estos valores normalizados los que se usan para todos los cálculos posteriores. Por tanto. Algunos autores prefieren utilizar el método de iteración de Muller. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. el conjunto de valores calculados xij de cada etapa. El nuevo conjunto de temperaturas. Dpto. Para cada iteración. a no ser que se utilicen en la primera iteración los valores ideales de las Kij. Métodos rigurosos
resuelven para cada componente por el método de la matriz tridiagonal. alimentación. por lo general. no satisfará la restricción impuesta por las ecuaciones S y es aconsejable normalizar el conjunto de valores calculados xij mediante:
( x ij ) normalizado = x ij
(2. se calcula etapa a etapa mediante la obtención de la temperatura de burbuja a partir de los valores normalizados de xij. La validez del valor de Tj así obtenido se comprueba utilizándolo para calcular Sj.51)
Las tres parejas de valores (Tj. El proceso se repite hasta alcanzar una cierta tolerancia de convergencia. Para obtener xi a partir de (2.
aplicada a las etapas comprendidas entre 2 y N1 es:
.31) en todas las etapas para dar: Q N = ∑ (FjHFj − U jHL j − WjH Vj ) − ∑ Q j − V1H V1 − L NHLN
j =1 j =1 N N −1
(2. Las entalpías molares para cada corriente de vapor y de líquido que abandonan una etapa se calculan a partir de un conjunto consistente de valores de xij. U1.52)
con T en Kelvin y siendo n el número de iteración en el bucle para el cálculo de T. Tj e yij. La ecuación (2.53)
y la energía eliminada en el condensador es una cantidad positiva que se obtiene de (2.53) dos veces para eliminar Lj-1 y Lj. Puesto que F1.0001
Se calcula entonces un nuevo conjunto de variables de tanteo.Universidad de Alicante. Una vez reordenado: α j V j + β j V j+1 = γ j donde:
α j = HL j−1 − H Vj β j = H Vj+1 − HL j ⎡ j−1 ⎤ γ j = ⎢ ∑ (Fm − Wm − Um ) − V1 ⎥(HL j − HL j−1 ) + Fj (HL j − HFj ) + Wj (H Vj − HL j ) + Q j ⎣m=1 ⎦
(2. El servicio del ebullidor es una cantidad que se determina sumando (2.55) escrita en forma de matriz didiagonal. obtenido por combinación de (2. V1. V2 se obtiene de forma inmediata de:
L j = V j+1 + ∑ (Fm − Um − Wm ) − V1
m=1 j
(2. Vj.31) y (2. Métodos rigurosos
− Tj Tj
≤ 0. Dpto.56)
y las entalpías se evalúan para las últimas temperaturas calculadas para cada etapa en vez de las utilizadas al iniciar la iteración.55)
(2. mediante la aplicación del siguiente balance de energía modificado.31). W1 y L1 están especificadas. 2. Los valores de yij se obtienen junto con el cálculo de la temperatura de las etapas utilizando las ecuaciones E. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.
. ⎥ ⎢ .. . .
0 0 β4
0 ...5 ) Calcular nuevos Tj (ec.... ...57) y Lj (2.... y operando hacia abajo en la misma forma... ⎥ ⎥ .. ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ .. 0 .. Dpto. N. . .. ⎥ ⎥ . . ..
(2..... ⎥ ⎢ ...31 ( ...... ⎢ . Kij) Calcular xij (método de Thomas.. ⎥ ⎢ .3 ) da Q1 y balance global (2.01N (2..... ⎢ ⎢ .. 0 . ⎥ ⎢ ... .... Esto es:
. ⎢ . ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 ⎤ ⎡ V3 ⎤ ⎡ γ 2 0 ⎥ ⎢ V4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ V5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ........5
⎡β 2 ⎢α ⎢ 3 ⎢0 ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ VN−2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 0 ⎥ ⎢ VN−1 ⎥ ⎢ β N−1 ⎥ ⎢ VN ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎦⎣ − α 2 V2 ⎤ ⎥ γ3 ⎥ ⎥ γ4 ⎥ .60) ( . .. Vj. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ... 0 . 2..... L1 (reflujo). zij.. . ) Calcular nuevos Vj (2...6 )
Figura 2. TFj. ⎥ . Qj (excepto para j=1 y j=N)... ⎥ ⎥ . PFj (o HFj). ⎢ ⎢ .5 ) da QN) ( .... ⎥ γ N− 3 ⎥ ⎥ γ N− 2 ⎥ γ N−1 ⎥ ⎦
0 β3 α4 .57)
. ⎢ .34) SI NO
τ = 0.......
. ⎥ ⎢ . 37) Normalizar xij (2.. Métodos rigurosos
Especificar Fj..... ) ( ... ( .. ⎥ ⎢ ... apoyándose en los resultados anteriores. 0 ... comenzando por la ecuación superior donde V2 es conocida.. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.....50) ( . ⎥ ⎢ . 0
α N− 3 0 0
β N− 3 α N− 2 0
0 β N− 2 α N−1
que se resuelve de forma inmediata. ⎥ . ⎥ ⎢ . . V1 (destilado) Ajustar las variables de tanteo (T. Punto burbuja ) Ajustar las variables de tanteo
Calcular Qj (j=1: ecuación H1 (2. ⎥ ⎢ = .Universidad de Alicante.
junto con la formulación de la matriz tridiagonal para resolver las ecuaciones M modificadas. el cálculo de la temperatura de las etapas mediante el cálculo del punto de burbuja es demasiado sensible a la composición de la fase líquida y el balance energético de la etapa es mucho más sensible a la temperatura de las etapas que a los caudales interetapas. donde las especificaciones del problema son las condiciones y etapa de localización de todas las alimentaciones.Universidad de Alicante.60)
La velocidad de convergencia del método BP es impredecible y también suele utilizarse junto con el método θ de convergencia.2. La figura 2. 2. Se considera que el método ha convergido cuando los conjuntos de valores de Tj y de Vj obtenidos se encuentran dentro de un margen preestablecido de tolerancia. Un posible criterio es el siguiente:
(k ) (k −1) ⎤ ⎡ Tj(k ) − Tj(k −1) ⎤ N ⎡ Vj − Vj ⎥ + ∑⎢ ⎥ ≤ε ∑⎢ (k ) (k ) j =1 ⎢ j =1 ⎢ Tj Vj ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ N 2 2
(2. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.
4. Aplicación a absorción y desorción
Los componentes químicos presentes en la mayoría de los absorbedores y desorbedores cubren un intervalo relativamente amplio de volatilidades. presión en cada etapa. En estos casos se puede aplicar con resultados satisfactorios el método de la suma de caudales (SR).59)
donde k es el índice de iteración.. Dpto. como se ha dicho. Wang y Henke sugieren el siguiente criterio basado exclusivamente en los sucesivos valores de T:
τ = ∑ ( Tj
(k −1) 2
) ≤ 0. caudales
.. Método de la suma de caudales (SR).58)
y así hasta el final.01N
(2. Vj = γ j −1 − α j −1 Vj −1 β j −1
(2. por lo que la utilización del método BP para la resolución de las ecuaciones MESH suele fallar ya que. desarrollado por Burninham y Otto. Métodos rigurosos
γ − α 2 V2 V3 = 2 β2 γ − α 3 V3 V4 = 3 β3 .6 muestra el algoritmo para el método SR de Burningham-Otto.
Los correspondientes valores de Vj(k+1) se determinan a partir de: V j = L j−1 − L N + ∑ (Fm − Wm − Um )
m= j N
(2.29). Los valores de xij se obtienen resolviendo (2. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Para iniciar los cálculos se supone un conjunto inicial de variables de tanteo Tj y Vj.61)
donde los valores de Lj(k) se obtienen a partir de los valores de Vj(k). caudales de transferencia de calor desde o hacia cualquier etapa.50). según (2.Universidad de Alicante. Dpto. Los valores así obtenidos se utilizan directamente para calcular nuevos valores de Lj mediante la ecuación de suma de caudales: Lj
(k ) c
(2. Los valores de yij correspondientes se calculan por el equilibrio. 2. operando desde la cola del absorbedor utilizando los caudales de las alimentaciones y de las corrientes laterales de fase vapor especificadas.62)
Se calculan a continuación los valores normalizados de xij a partir de (2. el perfil de temperatura para la siguiente iteración se obtiene por resolución del balance de entalpía en cada etapa. y número total de etapas. Métodos rigurosos
totales de todas las corrientes laterales. Finalmente. Generalmente puede obtenerse un conjunto adecuado de valores Tj iniciales a partir de los valores supuestos para las etapas de cabeza y cola. suponiendo una variación lineal con el número de etapa.
. Para la mayoría de los problemas es suficiente con suponer un conjunto de valores Vj basados en la consideración de caudal molar constante interetapas.57) mediante un algoritmo de Thomas.
composiciones y etapas de localización de todas las alimentaciones. La figura 2. Pj. debida a Friday y Smith y mostrada en detalle por Tsuboka y Katayama.Universidad de Alicante. Método de la suma de caudales isotérmicos (ISR).
4. Dpto. Los símbolos de fase líquida y fase vapor corresponden al refinado y al extracto. pueden calcularse valores de Qj a partir de los balances de energía de las etapas.001 N
Figura 2. 2. Cuando las corrientes se encuentran a la misma temperatura y el calor de mezcla es despreciable. En el método ISR se presta particular atención a la posibilidad de una fuerte influencia de la composición sobre los valores de Kij.7 muestra el algoritmo para el método ISR de Tsuboka-Katayama.6. temperaturas de las etapas (normalmente todas iguales).31) (ecuaciones H)
Evaluaciones de la ecuación de la matriz tridiagonal (un componente cada vez)
Evaluaciones secuenciales (una ecuación cada vez)
NO τ (de (2. N Inicializar variables de tanteo (Tj y Vj) Calcular xij de (2. puede aplicarse una versión isotérmica simplificada del método de suma de flujos (ISR). Sin embargo. con todas las temperaturas de las etapas especificadas. la operación también es isotérmica. Está basada en el mismo modelo de etapa de equilibrio que en el caso de destilación. respectivamente. Uj.61) y nuevos Vj de (2.62) (balance de materia con la cabeza de la columna) Normalizar xij para cada etapa. Wj. Aplicación a extracción líquido-líquido
Normalmente los equipos de extracción líquido-líquido en etapa múltiple operan adiabáticamente. Se sobreentiende que la
. Las especificaciones del problema son los caudales. calcular los correspondientes yij = Kijxij y normalizarlos Calcular nuevas Tj según (2. que se pueden separar de las otras ecuaciones y ser resueltas aparte.37) por el método de Thomas Calcular nuevos Lj de la ecuación de suma de caudales (2.3. caudales totales de las corrientes laterales y número total de etapas. Métodos rigurosos
Especificar todas las Fj y zij junto con su condición térmica. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Qj.60)) < 0. o bien cuando las temperaturas de las etapas están especificadas. Bajo esta condición.
los valores de xij se utilizan para calcular nuevos valores de yij según (2.28). es preferible establecer estimaciones iniciales de xij e yij a partir de las cuales se calculen los valores de Kij. Cuando el bucle interior alcanza la convergencia.7. Los valores intermedios de Vj se obtienen por interpolación lineal entre las N etapas.63)
Resolviendo (2.Universidad de Alicante. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Los correspondientes valores de yij se calculan mediante el balance de materia (2. a partir de las composiciones conocidas de entrada y las composiciones supuestas de salida. Los valores iniciales de xij se obtienen por interpolación lineal en las etapas. Dpto. Métodos rigurosos
presión en cada etapa es mayor que la del punto de burbuja para evitar una vaporización. Se obtiene entonces un nuevo conjunto de variables de tanteo Vj a partir de la relación de suma de flujos Vj
(2.01NC. j (2. Los valores de γiL.j. Si τ1 > ε1. j γ iV .65)
.37). Para el caso de corrientes laterales o alimentaciones intermedias se necesitan realizar algunas modificaciones del método. las únicas variables de tanteo son los valores Vj. Así se obtienen valores aproximados de los caudales de extracto y refinado existentes. por ejemplo ε1 = 0.37) por el algoritmo de Thomas se obtiene un nuevo conjunto de valores xij. Por tanto. UNIQUAC o UNIFAC) y los valores de los coeficientes de distribución se obtienen de la siguiente ecuación: K ij = γ iL . El bucle interior se utiliza para mejorar los valores de Kij utilizando valores normalizados de xij e yij para calcular nuevos valores de γiL.j y γiV.64)
donde r es un índice del bucle interior. Estos valores se comparan con los supuestos calculando: τ1 = ∑ ∑ x ij
j =1 i=1 N C (r −1)
− x ij
(2. Una vez especificadas las temperaturas de las etapas. En extracción líquido-líquido el efecto de la composición de las fases sobre los valores de los coeficientes de distribución suele ser importante. Tal como se muestra en la figura 2. NRTL. 2.j y γiV. las variables de tanteo se reinicializan en un lazo de iteración exterior. donde ε1 es un criterio de convergencia. Se obtiene un conjunto inicial suponiendo una separación perfecta entre los componentes de la alimentación y despreciando la transferencia de materia de disolvente a la fase de refinado.j se determinan a partir de una correlación adecuada (van Laar.
) (2. )<ε
4. Uj. zij.31). Métodos rigurosos
donde k es el índice del bucle exterior. que se resuelven por el método de Newton-Raphson.01N. PFj. Tj.. Calcular xij por el método de Thomas ( . Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Los correspondientes valores de Lj(k+1) se obtienen del balance de entalpía. planteando dos ecuaciones por piso. En el método de Tomich las primeras ecuaciones independientes son:
. TFj. por ejemplo. de Holland y de Orbach y col. ecuación (2. Pj. el criterio de convergencia ε2 puede tomarse como 0. Wj.4.37) Calcular nuevos γijV y Kij k = k +1 r=1 Ajustar variables de tanteo τ1 (2. ). γijV Calcular Kij r=1
r = r+1 Calcular nuevos yij (y=Kx). Otra alternativa es calcularlos de forma conjunta. El bucle exterior alcanza la convergencia cuando
⎛ V j (k ) − V j (k −1) τ2 = ∑ ⎜ (k ) j =1⎜ Vj ⎝
⎞ ⎟ ≤ε 2 ⎟ ⎠
(2.Universidad de Alicante. Calcular nuevos Lj (ecuación H) Evaluación secuencial (una ecuación cada vez) NO Normalizar xij Calcular nuevos gijL y Kij
τ2 (2. que difieren en la elección de cuáles son las ecuaciones y variables independientes.64) < ε1 ( .
Especificar Fj. el perfil de temperatura y el perfil de caudales de vapor y de líquido se calculan en pasos separados. Normalizar.65).6 ) SI Calcular nuevos yij ( equilibrio) Calcular nuevos Vj de la relación de suma de Caudales d ( .66)
donde. Dpto.7. N k=1 Inicializar Vj Suponer valores de xij Calcular yij (balance de materia) Calcular γijL. (2. Métodos Newton 2N
Tanto en los métodos BP como en los SR.66)<ε2 ( . Las aplicaciones del método más conocidas son las de Tomich. 2.
Esta última posibilidad. como el de Goldstein-Stanfiel.Universidad de Alicante. 4.67)
donde las xij y las yij se obtienen a partir de los balances de componente y de las relaciones de equilibrio. no resulta demasiado adecuado calcular las composiciones a partir de valores de constantes de equilibrio y de entalpías procedentes de la iteración anterior. La secuencia de cálculo propuesta por Tomich: 1. Las segundas ecuaciones independientes son los balances de energía en cada piso. Dpto. que es la que se desarrolla a continuación. donde los valores de las relaciones de equilibrio -especialmente los valores de los coeficientes de actividad y de las entalpías. En general. Goldstein y Stanfield señalaron que cuando el número de componentes es elevado y hay pocas etapas resulta conveniente agrupar las ecuaciones por tipos. Las variables independientes son las temperaturas y los caudales de vapor en cada piso.
4. 3. el de Ishii-Otto o el algoritmo
. 2. de forma que en ocasiones se requiere aplicar primero otro método riguroso (BP o SR) para encontrar aproximaciones a la solución final que sirvan como estimaciones iniciales para el método SC. capaces de resolver todos los problemas de separaciones multicomponentes en etapa múltiple. Calcular las composiciones del líquido. considerando los últimos perfiles de T.5. Métodos rigurosos
∑ y ij − ∑ x ij = 0
(2. Generar un perfil de T y V resolviendo las ecuaciones independientes mediante el método de Newton-Raphson.dependen fuertemente de la composición. Métodos de Newton Globales o de Corrección Simultánea (SC)
Son métodos más generales. Suponer T y V para cada piso. pero también son más poderosos a la hora de tratar mezclas no ideales. Están basados en la resolución conjunta de todas las ecuaciones MESH o de una combinación de las mismas por técnicas de corrección simultánea. Estos métodos son los más sensibles a la calidad de las estimaciones iniciales. mientras que cuando hay muchas etapas pero pocos componentes es más eficaz agruparlas por la localización de las etapas. Calcular los valores de L mediante los balances de materia. utilizando el método de la matriz tridiagonal y las composiciones del vapor a partir de las relaciones de equilibrio. ha sido descrita por Naphtali y Sandholm. 2. resultan más convenientes que los anteriores ya que en sistemas altamente no ideales. Para el desarrollo de una técnica SC que utilice el método de Newton-Raphson deben seleccionarse y ordenarse las variables desconocidas y las correspondientes funciones (ecuaciones MESH) que las contienen. 5. L y V. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Otros métodos SC. Comprobar si la norma de las funciones independientes es lo suficientemente pequeña.
donde sj = Uj/Lj y Sj = Wj/Vj son caudales adimensionales de corrientes laterales. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.29) para eliminar Vj.30) por Vj y Lj. para dar:
V j = ∑ v ij
(2. 2. yij y xij. Métodos rigurosos
“almost-band” de Gallum y Holland difieren del de Naphtali-Sandholm en la elección de las funciones y variables independientes a la hora de aplicar el método de Newton-Raphson. j +1 − fij = 0 (2.68)
L j = ∑ lij
y posteriormente las ecuaciones (2.69)
∑ v kj
k =1 c
E ij = K ij lij
∑ lkj
− v ij = 0
(2. respectivamente. 1 ecuación H y 2 ecuaciones S para cada etapa).
Mij = lij (1 + s j ) + v ij (1 + S j ) − li.71)
donde fij = Fjzij. c ecuaciones E. se sustituyen en (2.70)
H j = HL j (1 + s j ) ∑ l ij + H Vj (1 + S j ) ∑ v ij − HL j −1 ∑ l i. éstas se combinan para eliminar 2N variables.
. j+1 − HFj ∑ fij − Q j = 0
(2. j −1 − v i.28) y (2.Universidad de Alicante.68) y las definiciones de fracción molar. En vez de resolver simultáneamente las N(2c + 3) ecuaciones MESH (C ecuaciones M. j−1
i=1 i=1 i=1 c c c
. Para ello se expresan las ecuaciones en términos de caudales de componente en vez de fracciones molares o másicas. Lj. e introducir los caudales de componente vij y lij. Dpto. Se obtienen así las siguientes N(2c + 1) ecuaciones.H Vj +1 ∑ v i. reduciendo el problema a la resolución simultánea de N(2c + 1) ecuaciones. Para ello se multiplica en primer lugar (2.
(2. E y H alcancen una cierta tolerancia en un entorno de cero.. v ij . Sea:
[ ]T T F = [F1 . obteniéndose una estructura de bloque tridiagonal en la matriz jacobiana de las derivadas parciales que permite aplicar el algoritmo de Thomas. Sj y Qj están especificadas... Pj.Universidad de Alicante...E cj
(2... que se utilizan para calcular la siguiente aproximación a la solución final se obtienen:
⎡⎛ ∂ F ⎞ −1 ⎤ = − ⎢⎜ ⎟ ⎥F (k ) ⎢⎜ ∂X ⎟ ⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎦
(2.. Las funciones y las variables de salida se agrupan por etapas... Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación....... Dpto. FN ]
X = X 1 ..... M1 j .. E 2 j . lij y Tj desde i =1 hasta c y desde j = 1 hasta N.. Fj . T j .
X (k +1) = X (k ) + t∆X (k )
(2. F2 ...69). l ij .. X 2 .... a los valores de las funciones distintos de cero se les denomina discrepancias o errores. TFj..73)
donde Xj es el vector de variables de salida para la etapa j y Fj es el vector de funciones para la etapa j.74) (2. (2. En las iteraciones.. E1 j . l1 j . v 2 j .. las ecuaciones M. donde se generan sucesivos conjuntos de variables de salida hasta que las funciones M.E ij ...Mij . de cabeza a cola. v cj ... dispuestos en el orden: X j = v 1 j .75)
y las correcciones de las variables de salida. Métodos rigurosos
Si N y todas las fij.Mcj ..... X j ..70) y (2.. E y H son no lineales en las n(2c + 1) variables (de salida) desconocidas vij. X N
(2. Las ecuaciones (2... M2 j .76)
y por tanto.77)
La cantidad (∂F / ∂X) es el siguiente jacobiano o matriz (NxN) de bloques de derivadas parciales de todas las funciones con respecto a todas las variables de salida:
. ∆X. sj..... l cj
Fj = H j . 2.71) se resuelven de forma simultánea por el método iterativo de Newton-Raphson. v 2 j ..
. .... ⎥ ∂M c. j−1
∂v c. ...70) y (2. .. ⎢ ⎢ ... ⎢ ⎢ ... j−1 ⎣
.. . ...... . ∂E1. ⎥ ... .... .. ......74) y (2. .. .. j
∂l c. 0 .. . .. ..... j−1 ∂E1. .... ∂H j ∂v1. ....... ......... j ⎢ ⎢ ∂l1. .. j−1 ⎢ .... . .. . . ... . . ⎝ ⎠ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣
0 C2 B3
0 .. ..71) y sombreando los bloques que contienen derivadas parciales no nulas.Universidad de Alicante. . j−1 .. j−1 ... j−1 . ... ⎥ ⎥ . Métodos rigurosos
⎡ B1 ⎢ ⎢A 2 ⎢ . .. j−1 ∂Fj = ⎢. ⎥ ⎥ ... j−1
∂M1.. .. . ⎢ ⎛ ∂ F ⎞ ⎢ ... La estructura de matrices que se presenta únicamente difiere de la resultante de la aplicación de las ecuaciones descritas previamente en el orden en que se disponen las ecuaciones y las variables en las matrices (2... .... j
∂M1.. .... en la posición de los bloques distintos de cero.. . . . j ∂l c. . . ∂H j ∂l c..75)..... donde la disposición de las funciones y variables de salida están dadas por (2. C 3 . ..... . j ∂v1. ∂M c. es decir.... .. ... .... B o C representa una submatriz [(2c+1) x (2c+1)] de derivadas parciales.. j ∂v c. ....... . .. (2. . .. . ⎢ ∂M c..... j
∂v c...
A N −1 0
BN − 1 AN
0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ ⎥ .... j ⎢ ⎢ ∂l1. ......... ∂H j ∂v c. . . j
... ⎥ ∂H j ⎥ ⎥ ∂Tj−1 ⎥ ⎦
. j−1 ∂E1.. j ∂x j−1 ⎢ ⎢ ∂l1...
∂M1... ..... . ⎥ ⎥ .
⎡ ∂M1.... . j−1 .. ... respectivamente..... j−1 ⎢ .... ∂M c. . j−1 ∂E1... .. ⎥ . Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.... Dpto... ⎢ ..75).78)
Este jacobiano representa una forma tridiagonal dado que las funciones para la etapa j sólo dependen de las variables de salida de las etapas j-1 y j+1. .....69).. 2............ j ⎥ ⎥ ∂Tj−1 ⎥ ∂E1..74) y (2. ⎢ ∂H j ⎢ ⎢ ∂l1. . .. .. .. .. ∂M c. j y j+1.
∂M1.. j ⎤ ⎥ ∂Tj−1 ⎥ .... . ⎥ .. respectivamente.. .
... .. j .. ..... De esta forma.. . . Cada bloque A . j ∂v1... B j y C j corresponden a submatrices de derivadas parciales de las funciones de la etapa con respecto a las variables de salida de las etapas j-1.. .. . ⎥ ⎥ 0 ⎥ CN −1 ⎥ ⎥ BN ⎥ ⎦
(2. j ∂v1. j−1
∂l c.. j−1 ... ⎢ ⎢ . Los bloques A j . . utilizando (2. .. . .⎥ ⎥ ∂Tj−1 ⎥ .. .... . j−1 . se obtiene un estructura de matrices similar a la que se muestra a continuación y donde solamente los bloques sombreados son distintos de cero. ... ⎜ ⎟= ⎜ ∂X ⎟ ⎢ .. .... .. ⎢ ........
. .......... j ⎢ ⎢ ∂l ∂Fj ⎢ 1.78) consiste en un conjunto de N(2c+1) ecuaciones lineales simultáneas en las N(2c+1) correcciones ∆X... ..... j ∂l c. j .. . Dpto... .. .. ... .. ... ⎢ ∂H j ⎢ ⎢ ∂l1.. ⎢ ⎢ . .. .. j ∂x j+1 ⎢ ⎢ ∂l1. ⎥ ∂M c.. ⎢ ... . .. . . . .. .. .. j ⎢ ⎢ ∂l1.. ...... ... j+1 ∂E1. ⎢ ⎢ . .... . j ⎢ . . . ∂M c.. ... .. ⎢ ⎢ .. j
∂M1.. . .. ∂H j ∂v1. .. . ... ..... j
∂M1.... j ∂x j ⎢ ⎢ ∂l1... ... . . j ..
∂M1.. . . ⎥ ⎥ ..... j .......... ...... . . ⎢ ∂M c. .... .... j .. . .... ∂M c.. j ⎥ ⎥ ∂Tj ⎥ ∂E1.. .. ... .. . . j ∂l c. j ∂v1. ... j = .... j
. . ... j ⎢ ⎢ ∂l1.. .. .... .. ∂M c..... respecto a las N(2c+1) variables de salida. ∂H j ∂v c.. j+1 ⎢ ... ∂M c........ ... . se muestra cuál sería la ecuación 2c+2 de este conjunto. j .... ⎢ ... j ∂E1.. .. . .... . j . j+1 .... . . .. ...
∂l c... ... . ⎥ ⎥ . ⎥ ∂H j ⎥ ⎥ ∂Tj ⎥ ⎦
⎡ ∂M1. .... se manejan con facilidad en los programas de cálculo...⎥ ⎥ ∂Tj ⎥ ... . j ∂v c. ⎢ ∂M c...... ....... .. j+1 .... . . j+1 . . Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación....... . ........ j ∂v1... . j+1 ..... j ⎢ ⎢ ∂l1...... ⎢ ⎢ .. . .. j+1
.... . .. j ∂v c. . j ∂E1... Ecuaciones como ésta. . j .. ⎢ ∂H j ⎢ ⎢ ∂l1.. ∂M c. ... . ..... j ∂v1... j
..... ∂H j ∂v1.. ∂E1. . . .... j ⎢ ... ... ........ ...... j ⎤ ⎥ ∂Tj+1 ⎥ .. ... . . . .. j ⎤ ⎥ ∂Tj ⎥ .. ... ⎥ ∂H j ⎥ ⎥ ∂Tj+1 ⎥ ⎦
Por tanto (2. j+1 ...... ⎥ . ⎢ .... .... j+1
∂v c. .. j+1 ∂Fj = ⎢. . j+1 . j ∂l c...
∂M1..... j ⎣
.. j ∂v1... ... . . ⎥ .... . .. ... ...... .
∂M1..... ⎥ ⎥ ...... ....... . ⎢ ⎢ . .. . ... . .. ⎢ ⎢ ......
∂M1...Universidad de Alicante. ⎥ ⎥ ..... j ∂v1. ⎥ ⎥ .
. ⎥ ∂M c.... ∂H j ∂v c. ⎥ . ∂H j ∂l c. j
∂v c...... .⎥ ⎥ ∂Tj+1 ⎥ . j+1 ⎢ ..... ⎥ .. .. . ⎢ .. . . ∂H j ∂l c.... que se obtiene desarrollando la función H2 en una serie de Taylor. .. ..... . ....... ..... . .. .. ∂M c.... .. . .. . j ∂l c. ... ... . j ⎥ ⎥ ∂Tj+1 ⎥ ∂E1...... .. j ∂v1.... aunque largas. . . j
. . .. ....... ... A título de ejemplo....... . j+1 ⎣
∂l c. .. . j ∂v c.. 2. ∂E1. j
∂M1... . . ... ..... .. Métodos rigurosos
⎡ ∂M1. .. . .... j . .... j+1
∂M1.. j+1 ∂E1... j ∂E1. j ∂v c.. ⎥ ⎥ .. j+1 ∂E1. .
0(∆v 1. Para alcanzar la convergencia.1 (∆T1 ) − ⎢ ∑ li. i=1 ⎢ ∂l1. Se obtienen así valores iniciales para vij y para lij. Dpto.1 i=1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ C ⎡ ∂H V2 ⎤ (1 + s 2 ) ∑ v 12i + H V2 (1 + S 2 )⎥ ∆v C2 +⎢ i=1 ⎢ ∂v C2 ⎥ ⎦ ⎣ ⎡ ∂HL 2 C ⎛ ∂H V2 (1 + s 2 ) ∑ l1.2 + HL 2 (1 + s 2 )⎥ ∆l1.1 + HL j ⎥ ∆l C . + ∆v C . y quizás para una o más etapas intermedias.79)
En la figura 2.. El resto de las suposiciones de Tj.3 + H V3 ⎟∆v C .. Vj y Lj se obtienen de forma directa por interpolación lineal de los valores dados de Tj y los valores calculados de (Vj/Lj).1 ) −
∂HL j
⎤ ⎡ ∂HL j C C ∑ li.3 ⎠ ⎛ ∂H V3 C ⎞ −⎜ ∑ v i.2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ∂H V3 C ⎞ ⎛ ∂H V3 C ⎞ −⎜ ∑ v i.. − ⎜ ∑ v i.1 + ⎢ i=1 ⎢ ∂v 1.. Si los valores de K son independientes de la composición o pueden aproximarse a esta situación.2 −⎢ ∑ li. una práctica habitual consiste en el cálculo de los valores xij y los correspondientes yij en equilibrio..1 − ..1 + . aunque se prefiere la primera para los casos difíciles.3 + .. pueden generarse si se han supuesto los valores de T..3 − .i + H V2 (1 + S 2 )⎥ ∆v 1..2 + .
.1 i=1 ⎦ ⎣
⎡ ∂HL j C ⎤ C ⎡ ∂H V2 ⎤ (1 + S 2 ) ∑ v 1.. Esta segunda técnica opera bien.N = −H2 ⎜ Tv i=1 ⎟ 3 ⎝ ⎠
(2.8 se muestra el algoritmo para el método SC de Naphtali y Sandholm. En vez de fijar todas estas suposiciones a priori..3 ⎠ ⎝ 1.2 ⎥ ⎣ ⎦ C ⎡ ∂HL 2 ⎤ +⎢ (1 + s 2 ) ∑ li.1 + HL j ⎥∆l1. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. V y L para las etapas de cabeza y cola.3 + H V3 ⎟∆v 1.2 ⎥ ⎢ ∂l C . Una estimación mucho menos precisa se obtiene realizando los cálculos de flash para una combinación de alimentaciones a una presión media de la columna y una relación V/L que se aproxime a la relación entre los caudales de destilado y de residuo y se suponen entonces para cada etapa las composiciones resultantes para las fases de vapor y líquido en equilibrio.Universidad de Alicante. el método de Newton-Raphson requiere unas suposiciones razonables para los valores de las variables de salida..2 + HL 2 (1 + s 2 )⎥ ∆l C .2 i=1 ⎢ ∂l C .3 ⎜ ∂v i=1 ⎟ ⎜ ∂v i=1 ⎟ ⎝ 1. 2. + ∆l C . En ambas los caudales de componente iniciales se calculan utilizando los valores xij e yij para obtener lij y vij a partir de Lj y Vj.2 ⎥ ∆T2 + ⎟ i=1 ⎥ ⎠ ⎦
C ⎡ ∂HL 2 ⎤ +⎢ (1 + s 2 ) ∑ li.3 ∆T3 ⎟ + 0(∆l1.. ∂T1 i=1 ⎥ ⎢ ∂l1.i + ⎜ +⎢ ⎜ ∂T i=1 ⎢ ∂T2 ⎝ 2 ⎣ ⎤ C ⎞ ⎟(1 + S 2 ) ∑ v i.
serán generalmente exactos. Esto se traduce en un cálculo iterativo en el que cada vez. y constituyen las variables para un bucle exterior. de forma que estos parámetros son característicos para una etapa del cálculo.
. Métodos “inside-out”
Los métodos descritos previamente utilizan las temperaturas. basada en las suposiciones iniciales para todas las variables de salida. El bucle interior contiene la resolución del sistema de ecuaciones MESH y consiste en alguna variante de los métodos BP. caudales y composiciones como soluciones principales. es aconsejable limitar las correcciones de temperatura en cada iteración. ⎡ t∆X (k) ⎤ X (k +1) = X (k ) exp ⎢ (k ) ⎥ ⎣ X ⎦ (2.6. que se utilizan para generar los valores de las constantes de equilibrio y de las entalpías a partir de correlaciones complejas.
4.Universidad de Alicante. por ejemplo:
N ⎧ c ⎫ τ 3 = ∑ ⎨(H j ) 2 + ∑ (Mij ) 2 + (E ij ) 2 ⎬ ≤ ε 3 j =1 ⎩ i=1 ⎭
(2. Dpto. Naphtali y Sandholm recomiendan la siguiente ecuación que reduce el valor de la variable desconocida a una cantidad próxima a cero. Se calcula el criterio de convergencia a partir de:
⎞ ⎛N ε 3 = N(2C + 1)⎜ ∑ Fj2 ⎟ 10−10 ⎟ ⎜ ⎝ j =1 ⎠
(2. se calcula y compara mediante un criterio de convergencia. El concepto dentrofuera (inside-out) invierte este proceso: se utilizan las correlaciones complejas para el cálculo de las relaciones de equilibrio y de las entalpías para generar parámetros correspondientes a modelos más sencillos. El método SC de Naphtali-Sandholm se puede ampliar fácilmente a separadores en etapas que operen con dos fases líquidas y con tres fases coexistentes.81)
los valores resultantes de las variables de salida. los valores de ambas variables resultan eliminados y sustituidos por sus nuevos valores cada vez que cambian las variables MESH. una vez alcanzada la convergencia. pero no negativa.82)
Además. 2. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Métodos rigurosos
La suma de los cuadrados de las funciones de discrepancia. Si en alguna iteración se obtiene un caudal de componente negativo. por término medio. hasta 4 ó más cifras significativas.80)
Para conseguir que los valores de todas las discrepancias sean del mismo orden de magnitud es necesario dividir las funciones del balance de energía Hj por un factor de escala del orden del calor latente de vaporización.
en el bucle interior las Kij y las Hj y hj se calculan mediante modelos aproximados en los que sólo se contempla la dependencia de la temperatura y manteniéndose constantes los parámetros de estos modelos.
4. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones MESH en el bucle interior. Métodos rigurosos
SR o Newton 2N.6. se recalculan los valores de los parámetros de los modelos aproximados del bucle interior. que se va a considerar para el cálculo de las constantes de equilibrio según: Kbj = exp(Aj-Bj/Tj) (2. Kbj se calcula a partir de la composición del vapor mediante:
K bj = exp⎛ ∑ w ij ln K ij ⎞ ⎜ ⎟ ⎝i ⎠ y ij ∂ ln K ij / ∂(1 / T ) w ij = ∑ y ij ∂ ln K ij / ∂(1 / T )
(2. 2. Es decir. Se elige un componente de referencia. Modelos termodinámicos aproximados
Son los que se utilizan para calcular las constantes de equilibrio y las entalpías en el bucle interno.85)
(2. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. repitiéndose el proceso hasta obtener parámetros concordantes en dos iteraciones sucesivas del bucle exterior.1. a partir de los valores proporcionados por modelos rigurosos.Universidad de Alicante. Los parámetros de estos modelos se determinan en el bucle externo. b. Dpto.83)
donde el subíndice j hace referencia a una etapa de la columna.
Calcular las suposiciones iniciales de v j . N j todas las Q j (excepto para j = 1 y j = N. PFj (o HF). Calcular nuevos valores de v j.8
. Vj. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Dpto. lij. 2. Métodos rigurosos
Especificar F. una variable para cada corriente lateral. Tj
Figura 2. zij.lij
Calcular la suma de los cuadrados de las funciones de discrepancia
τ3<= ε3
SI (Ha convergido)
Calcular Vj y Lj
Ajustar k=k+1
No (No ha convergido)
Resolución Calcular simultánea de correcciones de las ecs. Pj . ηj . TFj. una para la etapa de cabeza. por el Newton-Raphson método de newton-Raphson
Calcular Q1 de H1 y QN de HN si no se especifican
FIN Calcular t óptimo para minimizar τ 3 .Universidad de Alicante. y una para la de cola Ajustar k = 1 (para comenzar la primera iteración) Inicializar las variables de tanteo Tj .
utilizando ecuaciones del tipo ∆HVj = cj .87)
donde las ∆HVj y ∆HLj se obtienen a partir de un modelo riguroso para el cálculo de entalpías. Vj y Lj. Los diferentes métodos inside-out se diferencian en el tipo de modelo sencillo elegido para el cálculo de las constantes de equilibrio y las entalpías en el bucle interior.85) se calculan numéricamente. 1. a partir de un modelo riguroso utilizando los valores supuestos o calculados de la temperatura y la composición del vapor y del líquido en esa etapa. en función de éstos. 5.T*) ∆HLj = ej . los valores de Vj y Lj. Los valores de Aj y Bj se obtienen a partir de los valores conocidos de Kbj (de 2. y los coeficientes de (2. 2.84) obtenidos al seleccionar dos temperaturas para cada etapa j (por ejemplo las temperaturas estimadas para las etapas j-1 y j+1). Si no están especificados. Dar una especificación adicional por cada producto lateral adicional.86) y (2.
. En el caso de las entalpías. condición de todos los alimentos y perfil de presión de la columna 2.6. para cada etapa. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. a la presión media de la columna y utilizar las composiciones resultantes como perfil inicial de composición en la columna.Tj. 6.dj (Tj .T*) (2. Especificar localización de productos laterales (incluyendo intercambios de calor) 3. también a partir del modelo riguroso. Método de Russell
A continuación se presenta el esquema de cálculo a seguir para la aplicación del método inside-out de Russell Inicialización Se requiere realizar estimaciones razonables de xij. estimar los caudales de los productos laterales y.
4.87) para cada etapa se obtienen a partir de los correspondientes ajustes en función de la temperatura.86) (2.Universidad de Alicante. yij.fj (Tj . Estimar un perfil inicial de Tj (a partir de los puntos de burbuja y de rocío de una mezcla ficticia formada por la combinación de las corrientes de alimentación). Dpto. se procede de manera similar. Especificar N. Hacer un flash isotérmico de la mezcla ficticia anterior. Métodos rigurosos
Los valores de Kij se obtienen. 4.2. Las derivadas que aparecen en la ecuación (2.
4.3. 10. 2. Para obtener más detalles acerca de la secuencia de cálculo en este bucle se puede consultar.86) y (2. Si los valores obtenidos son próximos a los utilizados para iniciar el bucle interno. Un procedimiento alternativo que siempre converge es el método de relajación de
. En caso contrario.7. Métodos de relajación
La utilización de malas suposiciones iniciales al aplicar el método de NewtonRaphson puede conducir a no alcanzar la convergencia dentro de un número razonable de iteraciones. Secuencia de cálculo del bucle interno 8. A veces es imposible encontrar un conjunto de suposiciones iniciales adecuado.Universidad de Alicante. Utilizar las estimaciones anteriores junto con modelos termodinámicos rigurosos para determinar los valores de los coeficientes de los modelos aproximados que se utilizan en el bucle interno. (2. salvo en el tipo de modelo sencillo utilizado para el cálculo de las constantes de equilibrio y las entalpías. Dpto. el libro de Seader y Henley.88)
y permiten calcular nuevos valores de Tj (2.86) y (2. Los valores de las variables obtenidos al salir de este bucle no son válidos a menos que sean coherentes con los modelos termodinámicos rigurosos. Secuencia de cálculo del bucle externo 9. por ejemplo.
4. el problema quedó resuelto al salir del bucle interno.6. Calcular los valores de las volatilidades relativas y de las entalpías utilizando los resultados del bucle interno y aplicando los modelos termodinámicos rigurosos. Método de Boston
En la versión del método inside-out debida a Boston el bucle externo tiene la misma estructura que en el método de Russell. Los valores de las entalpías se calculan mediante (2. Utilizar los valores procedentes de la etapa 9 para obtener nuevos valores de los parámetros en (2. Resolver las ecuaciones MESH. continuar con el siguiente paso. Los valores de Kbj mediante Kbj = 1/Σαijxij se obtienen (2. Métodos rigurosos
7.83).87). Debería entonces seleccionarse un nuevo conjunto de suposiciones para las variables de salida y reiniciar el proceso. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.87) y volver al bucle interno.
A título de ejemplo.p. En los métodos de relajación se va siguiendo el comportamiento o la evolución del proceso de separación durante el estado transitorio hacia el estado estacionario. Para valores bajos del factor de relajación. modificado por Ball. los caudales. haciendo que en cada nueva iteración no se cumplan los balances y se requiera el cálculo de nuevas correcciones. Sin embargo.Universidad de Alicante. Se modifican entonces las variables de cada etapa de forma que se corrijan los desequilibrios en las entalpías y en los caudales que abandonan cada etapa. denominado factor de relajación. De acuerdo con lo anterior. no es muy utilizado en la práctica.p +1 + Vp −1 y j.p dt
= L P +1 x j. para cada intervalo de tiempo. la solución de estado estacionario se alcanza muy lentamente.p −1 − L p x j. Sweeny y Schrodt.p/dt por ∆xj. se resuelven estas ecuaciones numéricamente. En el caso de problemas difíciles. se muestra cómo se obtendrían las correcciones para la composición del líquido mediante el método de relajación. El incremento de tiempo seleccionado para resolver las ecuaciones puede elegirse de manera más o menos arbitraria. que se utiliza para corregir las composiciones supuestas para la etapa p en la iteración anterior. en los métodos de relajación. Ketchum combina la estabilidad del método de relajación
. los parámetros para la iteración (i+1) se obtienen a partir del desequilibrio de los caudales en la iteración i. Si la ecuación anterior se escribe en forma finita. Hlavacek y Kubicek. junto con las ecuaciones de equilibrio entre fases para obtener variaciones en las temperaturas. Los métodos de relajación suelen ser muy estables ya que representan una analogía razonable a procesos de puesta en marcha de la columna que pueden ser realizables. Dpto.p/∆t.p − Vp x p + f j. Si Up representa los moles de líquido en la etapa p. flujos y composiciones de las etapas. es decir. para valores altos la solución puede oscilar entre iteraciones consecutivas. dado que la velocidad de convergencia del método de relajación disminuye a medida que se aproxima a la solución.p
donde se considera que la mezcla en la etapa p es perfecta y se considera despreciable la cantidad de vapor retenida en la etapa. que utiliza ecuaciones diferenciales en estado no estacionario para los balances de energía y de materia. el balance de componente en dicha etapa vendría dado por:
dx j. se sustituye dxj. es el que gobierna la convergencia hacia la solución. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. sin embargo. se puede resolver para calcular ∆xj. comenzando a partir de un conjunto supuesto cualquiera de valores iniciales. temperaturas y composiciones de las etapas adyacentes cambian de una iteración a la siguiente. 2. de forma que el parámetro ωp = ∆t/Up. Métodos rigurosos
Rose. De esta manera. De esta manera. Se parte de la suposición de valores iniciales para los caudales interetapa y para las temperaturas y composiciones en cada etapa. y posteriormente mejorado por Jelinek.
Generalmente requiere cálculos algo sofisticados. dado que existe una relación entre x y B. dado que x depende de B. próximo al anterior. cabe esperar que para otro valor de B. utilizando una condición inicial correspondiente a un par de valores (x. Otra forma de desplazarse desde una solución a la siguiente es considerar que. se puede obtener. El método de continuación o de “homotopía” es un procedimiento de resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales.90)
Si se resuelve esta ecuación diferencial para x en función de B. Métodos rigurosos
con la velocidad del método de Newton-Raphson SC para obtener un algoritmo sencillo que utiliza un factor de relajación ajustable. Para un valor dado de B. De la misma manera. Supóngase que. los métodos SC suelen presentar problemas en la estimación de los valores iniciales a partir de los que debe alcanzarse la solución deseada. sin embargo. el conjunto completo de soluciones para x en el intervalo deseado de valores de B. desorbedores laterales. se puede generar una ecuación diferencial para dx/dB por diferenciación de f(x. pero tiene la ventaja de que permite encontrar soluciones incluso cuando los valores de partida son deficientes. 2. el éxito de este procedimiento depende de que el desplazamiento se produzca desde una solución hacia otra lo suficientemente próxima. puede encontrarse más de una solución y los métodos deben forzarse con el fin de que alcancen la solución buscada. Los modelos para el cálculo de los valores de las relaciones de equilibrio o de la entalpía. ambas dependientes de la temperatura y de la composición. Métodos homotópicos o de continuación
En ocasiones las ecuaciones MESH son difíciles de resolver debido tanto a la configuración de la columna (múltiples alimentos o corrientes laterales. la solución para x tampoco cambie demasiado. que se encuentra dentro del intervalo de valores deseados para B.8. B) = 0 para determinados valores de B. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. y depende en gran medida del tipo de ecuación que se pretende resolver.) como a la no idealidad de los sistemas a tratar. para sistemas de tres fases. son no lineales y pueden presentar discontinuidades o cambios de pendiente. en una única etapa de integración. el problema se reduce a la resolución de una ecuación no lineal. si se trata de un
. desconocida. Además. etc. B). para B próximo al anterior”.Universidad de Alicante. ésta puede aprovecharse para facilitar la resolución del problema. Obviamente. proximidad al reflujo mínimo. la “x calculada para B” se utiliza como valor de partida para obtener la “x. Dpto. se desea encontrar los valores de x que son soluciones de f(x. De esta manera.
4. por ejemplo. Por ejemplo. sistemas azeotrópicos o sistemas de columnas con dos o más combinaciones de recirculación de las corrientes de alimentación. si se resuelve la ecuación para un cierto valor de B. B) = 0:
∂f dx ∂f + =0 ∂x dB ∂B
(2. Por otro lado.
definiendo una trayectoria que conduce desde G(x) hasta F(x) (figura 2. por ejemplo. j dt j =1
∑ ∂xi
(i = 1. mediante la siguiente relación:
f[x(t)] = (1-t) f(x0)
(2.Universidad de Alicante. f(x) = f(x0) y para t = 1. comenzando a x = x0 y t = 0. Así pues.90)...9). Si se introduce en la ecuación un parámetro t.91)
donde para t = 0. proporcionará x* a t =1 En la aplicación de los métodos homotópicos al cálculo de columnas de rectificación multicomponente se comienza con una solución conocida para la columna. Se define una función homotópica como una función continua que se obtiene como suma de otras dos funciones de forma que
H(x. se puede generar un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias para el vector solución dxi/dB. A partir de esta solución inicial se van efectuando cambios. f(x) = 0 = f(x*).
. excepto que ahora la matriz ∂fi/∂xj sustituye a ∂f/∂x. es decir. a t =1. hasta alcanzar la solución buscada. f representa un vector (f1. la solución del sistema de ecuaciones diferenciales (2. En este caso. difícil de encontrar y G(x) es una solución más sencilla del problema (por ejemplo. Esto puede llevarse a cabo. n)
(2. se mueve entre 0 y 1. la correspondiente a la columna en otras condiciones).. paso a paso. lo que ocasionalmente puede generar problemas) y los que consideran homotopía física o paramétrica (cuya base está en las ecuaciones MESH). t = 0 y para x = x* (solución deseada). Por diferenciación de la ecuación (2. x = x*. a partir de la que se sigue una trayectoria hacia la solución deseada. t.92). el vector dxi/dB sustituye a dx/dB y el vector ∂fi/∂B sustituye a ∂f/∂B.. donde se ha utilizado el formato en negrita para designar a vectores.t) = tF(x) + (1-t)G(x)
(2. t = 1. fn). Dpto. el sistema de ecuaciones diferenciales podría tener exactamente la misma forma que la ecuación (2. ….91) se tiene: ∂f dx j = −fi ( x 0 ). . Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Métodos rigurosos
sistema de ecuaciones no lineales que dependen de un parámetro B.92)
Por tanto. La solución conocida puede ser la correspondiente a unas condiciones de operación diferentes o la obtenida con modelos más sencillos para el cálculo de las relaciones de equilibrio y de la entalpía. 2. es decir. tal que x depende de t de forma que para un valor inicial arbitrario x0. El parámetro de homotopía.93)
donde F(x) es la solución buscada. supóngase que se desea resolver el sistema de ecuaciones f(x*) = 0. Existen dos clases fundamentales de métodos homotópicos: aquellos con homotopía matemática (son convenciones sin relación física con las ecuaciones MESH.
y con el ∆t fijado. los valores de x se corresponderán con los de la solución buscada. 2.9 La solución de convergencia se alcanza cuando F(x) = 0 y t = 1. difiere de éstos en que sólo se necesita modificar las ecuaciones MESH independientes para obtener las derivadas con respecto a t. La diferenciación de H(x. que puede dar lugar a caudales negativos para valores intermedios de t que en ocasiones no son tolerados por las subrutinas para el cálculo de K y de las entalpías. Con Ht y Hx conocidos. Dpto. F(x) = 0.Universidad de Alicante.t) = 0. Fijar un conjunto inicial de temperaturas y caudales de vapor y de líquido para cada etapa y resolver la columna para obtener la solución conocida inicial (correspondiente a un caso o a un modelo más sencillo). conteniendo todas las ecuaciones MESH y las variables correspondientes [N(2C+3) ecuaciones]. G(x) = 0.94)
Vickery y Taylor utilizan el método SC de Naphtali-Sandholm. se dt obtiene un nuevo conjunto de valores para las variables independientes. por el método de Euler:
x n + 1 = x n + ∆ t(dx / d t) n
(2. y representando por x a las variables. El procedimiento para aplicar un método de homotopía es el siguiente: 1. obteniéndose un Ht y un nuevo Hx dx en cada paso.
. Inicialmente t = 0 y Hx es el jacobiano a partir de la solución del problema conocido.95)
Para t =1. Los resultados obtenidos en el paso anterior constituyen los valores iniciales para x en el método SC. Ésta es una aproximación puramente matemática.
Figura 2. Hacer t = 0. 2. que se asemeja a los métodos de relajación. Esta técnica. Métodos rigurosos
Para cada valor de t se obtiene un nuevo conjunto de variables independientes x. se resuelve . Éste se integra numéricamente entre t = 0 y t = 1. H(x. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.t) con respecto a t proporciona
dx + Ht = 0 dt
Obtener un nuevo conjunto de variables. se ha comprobado que todas las ramas de soluciones están conectadas a aquellas ramas para las que se puede identificar a priori un punto de partida (componentes puros).. considerando la siguiente relación de equilibrio “artificial”:
s ~ = ⎡(1 − t ) + t γ i ⎤ Pi x yi ⎢ i ⎥ φi ⎦ P ⎣
(2.94) para obtener . 2. resolver la ecuación (2. El azeótropo aparece y se va desplazando desde una posición inicial correspondiente al componente puro hasta la que corresponde al azeótropo real (Figura 2.t) = 0 mediante el método SC. va cambiando desde 0 hasta 1. hay tantas ramas de soluciones como componentes en el sistema y. Dpto. Los valores de K y de las entalpías están determinados por el valor actual de t. Conforme el parámetro de homotopía. La búsqueda de los azeótropos homogéneos puede llevarse a cabo según el procedimiento propuesto por Fidkowski et al. Estos criterios aseguran la robustez del método y garantizan que el modelo sea capaz de predecir todos los azeótropos. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Para empezar. por lo menos una de estas ramas ha de presentar una bifurcación. cuando exista un azeótropo. dt 5.96)
donde y es el vector de composición de la fase vapor y z es el vector de composición de la fase líquida global (homogénea o heterogénea). como ejemplo de aplicación del método de homotopía. Puede aplicarse por tanto un método homotópico de continuación para llevar a cabo esta deformación sistemática del sistema. Si t < 1. Métodos rigurosos
3. su utilización para encontrar los azeótropos de una mezcla multicomponente resolviendo la ecuación f(z) ≡ y – z = 0 (2. Por otro lado. dx 4. y volver al paso 3.10). además. x.Universidad de Alicante. t.97)
que se corresponde con la ley de Raoult cuando t = 0 y con la relación de equilibrio real cuando t = 1. la superficie de equilibrio se va deformando gradualmente desde el equilibrio ideal descrito por la ley de Raoult (no hay azeótropos y sólo los componentes puros son soluciones del sistema de ecuaciones previamente descrito). Este sistema de ecuaciones tiene como soluciones los puntos correspondientes tanto los azeótropos como a los componentes puros.
. A continuación se describe. Resolver H(x.
los diseñadores de columnas suelen preferir realizar otro tipo de especificaciones. Algunos métodos pueden modificarse (modificación de los sistemas de ecuaciones) para adaptarse a un cierto tipo de especificaciones. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. SR. tales como la pureza (incluyendo la especificación del punto de ebullición verdadero. 1999)
5. Métodos rigurosos
Figura 2.. sin embargo. 2. Newton-2N y SC sólo son compatibles con un conjunto limitado de especificaciones de columnas. la presión de vapor. Estas especificaciones son las que permiten resolver más fácilmente el conjunto de ecuaciones MESH. pero para otros. Consideraciones relativas al conjunto de especificaciones iniciales
Los métodos BP.1.Universidad de Alicante. o la temperatura del piso de cabeza de la columna) o la recuperación de un componente. algunos conjuntos de especificaciones son incompatibles. generalmente con la especificación del caudal o de la razón de reflujo y la especificación de un caudal de producto.10 (Wasylkiewicz y col.
. ¿CÓMO Y CUÁNDO SE DEBE UTILIZAR CADA MÉTODO? 5. Dpto. que puede ser sustituida por la especificación del calor eliminado/aportado en el condensador/caldera. si bien es cierto que el número de posibilidades que ofrecen los simuladores de procesos es cada vez mayor.
Por eso la especificación simultánea de las purezas de las corrientes de cabeza y cola suele fallar. • Cuando se establecen las especificaciones de la columna. Esta situación se detecta con facilidad en un diagrama x-y.2. sugiriendo la necesidad de acoplar un cambiador de calor para el alimento. en este intervalo de concentraciones. por lo que una especificación de temperatura no resulta adecuada. Por ejemplo. la pureza de las colas puede ser más sensible al aporte de calor en una intercaldera que a la de la caldera. Dicha ecuación es sensible sólo a unas pocas variables independientes. la temperatura del absorbente en una columna de absorción puede afectar a la eliminación de los componentes pesados en el vapor y provocar pérdidas en la corriente de absorbente de la cabeza de la columna (evaporación del aceite pesado). Por ejemplo. 2. Los problemas de convergencia durante la simulación pueden representar problemas físicos. una vez que están totalmente especificadas todas las corrientes de alimentación y la configuración de la columna (número de pisos y posición de los alimentos). en una columna compleja.Universidad de Alicante. hay que tener en cuenta que algunas variables pueden ser especialmente sensibles a la especificación. Por ejemplo. Para columnas complejas. un condensador y una caldera.
. Dpto. caldera. y si se añade una segunda ecuación. En una columna sencilla con una pérdida de calor en el condensador pequeña.
5. sobre todo si aquel es elevado. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. En una columna sencilla con sólo dos productos. o producto lateral. Métodos rigurosos
• Normalmente en los métodos 2N o SC sólo puede haber una ecuación en que se relacionen entre sí las purezas de los productos. • Si la concentración especificada para un componente es demasiado pequeña (del orden de ppm) puede haber variables que no sean sensibles a dicho valor. se añade un grado de libertad con cada intercondensador. y la columna no se podrá resolver. puede aparecer un punto de contacto (pinch-point). la pureza del destilado puede ser más sensible al calor aportado en la caldera. la temperatura es insensible a la composición. • Temperatura del alimento Un alimento demasiado frío o demasiado caliente puede perturbar la operación de uno o más pisos y provocar la aparición de un punto de contacto. sólo hay dos grados de libertad y sólo puede haber dos especificaciones. la manipulación de la matriz jacobiana presentará problemas. Problemas que pueden plantearse durante la introducción de datos para simulación
• Localización del piso de alimentación Si el piso de alimentación está muy lejos del óptimo.
en estos casos. dos especificaciones de pureza para el mismo producto pueden ser imposibles. Dos especificaciones para la misma corriente sólo permitirán la resolución de la columna si las volatilidades relativas entre los componentes implicados en dichas especificaciones son lo suficientemente elevadas y si las composiciones de éstos no son demasiado pequeñas. se debe resolver la columna a un reflujo bastante mayor y la solución así obtenida se utiliza como estimación inicial para un segundo cálculo y así sucesivamente. especialmente para mezclas binarias. • Combinación de especificaciones de pureza/recuperación y de caudal de producto Pueden no ser coherentes con los balances en la columna. o realizar una especificación menos exigente para el componente en cuestión pero en el otro producto. • Especificación de la pureza o la recuperación de más de un producto No todos los métodos lo permiten. 2. • Especificación de dos purezas/recuperaciones para el mismo producto En una columna sencilla. En estos casos se debe cambiar una de las especificaciones por otra diferente. • Especificación de pureza/recuperación demasiado elevada En este caso puede no alcanzarse la solución bien por haberse alcanzado una situación en la que la temperatura ha dejado de ser sensible a cambios tan pequeños en la composición o bien porque la precisión del método o del programa de cálculo considera que ya se ha alcanzado la composición de disolvente puro.
• Razón de reflujo y de vapor generado en la caldera Ambas relaciones han de superar el mínimo de operación para la columna.Universidad de Alicante. La alternativa es especificar el contenido de impurezas o componentes minoritarios en la corriente. • Especificación de todos los caudales En general. Se suele reemplazar una especificación de pureza/recuperación por otra como un caudal de reflujo o de producto. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Una columna operando cerca del mínimo puede dar problemas de convergencia durante la simulación. se debe dejar libertad a los programas para resolver el balance global de materia y por lo menos un caudal debe poder ser calculado por el programa. Para identificar dichos mínimos pueden utilizarse diagramas x-y o algún método de cálculo del reflujo mínimo. hasta alcanzar el reflujo deseado (técnica “sneaking up on an answer” o “husmeando la respuesta”). Dpto.
Un procedimiento sencillo para especificar o estimar un producto consiste en examinar el alimento y decidir que componentes podrán estar en cada producto a la vista de sus puntos de ebullición. y es el usuario el que debe corregirlo cambiando la estimación. 2. • Caudales de productos Una especificación de este tipo debe hacerse cuidadosamente. y en cada nueva versión que llega al mercado se van ampliando las posibilidades de especificación de variables. disminuyendo el
. o cualquier especificación en el líquido de cabeza (si existe). No debe usarse en pisos donde se localice un producto de elevada pureza. Análisis de resultados y solución de problemas a) Caudales negativos
• En ocasiones se deben a una mala estimación de los flujos y de los productos internos. • Especificación de la temperatura de los pisos Esta especificación es efectiva sólo si la temperatura es sensible a la composición. los simuladores de procesos son capaces de resolver problemas cada vez más complejos. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. • Especificación de la temperatura y el producto de un piso En este caso también existe una estrecha relación entre ambas variables y sólo suele haber un margen muy estrecho de soluciones para esta combinación. puede deberse a estimaciones de pérdidas/aportes de calor o caudales de productos laterales demasiado elevados. la temperatura en el condensador. disminuyendo el calor aportado o eliminado en intercalderas o intercondensadores.Universidad de Alicante. • En columnas complejas.3. Dpto. No obstante todo lo anterior. Métodos rigurosos
• Especificación de un vapor de cabeza en un sistema que contiene componentes incondensables Dado que la separación que se realiza en el condensador puede ser muy pronunciada. debe permitírsele una ligera libertad de acción y es mejor especificar el caudal de reflujo. cuando la composición cambia significativamente. • Especificación de las pérdidas/aportes de calor y el reflujo o el vapor generado en la caldera Se trata de variables que están directamente interrelacionadas y por tanto la especificación de ambos valores puede ser imposible.
5. es decir. • Se evitan aumentando el reflujo.
• Los métodos inside-out suelen funcionar bien en estos casos. • Perfiles planos o que presentan resistencia al cambio de temperatura de composición a lo largo de un elevado número de pisos pueden indicar la localización de un punto de contacto.Universidad de Alicante. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. indica un • problema con la temperatura del alimento.
d) Sistemas altamente no ideales
• Puede comenzarse utilizando un método de cálculo del VLE sencillo. y luego ir introduciendo poco a poco modelos más complicados. debe aumentarse el reflujo o eliminar algunos pisos.
. Si el agua no entra a la columna formando parte de una inyección de vapor directo. los diagramas x-y o las representación de los componentes clave son útiles para detectar zonas de infinitud y para el análisis de los resultados. Métodos rigurosos
caudal de los productos laterales o mejorando las estimaciones iniciales. También puede deberse a un cambio en la composición de un componente inerte en la fase vapor. sobre todo cuando se aplican métodos basados en el de NewtonRaphson. caudal. La oscilación se debe a un incremento demasiado grande en los perfiles entre una iteración y otra y se evita limitando el porcentaje de cambio en las variables MESH a un valor inferior al de los incrementos que proporciona el método de Newton-Raphson. Dpto. Si la zona del punto de contacto engloba al piso de alimentación.
c) Componentes “malos actores”
• Componentes como el agua pueden afectar seriamente al método del cálculo del equilibrio líquido-vapor (VLE) e impedir que se alcance la solución incluso con buenas estimaciones iniciales. 2. Si la temperatura aumenta al ascender en la columna.
e) Las estimaciones iniciales pueden generarse utilizando métodos de cálculo más sencillos f) Detección de pinch points y análisis de resultados
• La representación gráfica de los perfiles de temperatura. composición y factores de absorción/desorción. Entonces se debe desplazar el piso de alimentación hacia dicha zona. se puede resolver la columna omitiendo el agua en la corriente de alimentación para obtener un perfil inicial.
b) Oscilación de las variables de la columna
• Ocurre cuando los perfiles de temperatura o de caudales de vapor y de líquido están muy lejos de los correspondientes a la solución final. y luego se va añadiendo poco a poco el agua en sucesivas simulaciones.
Universidad de Alicante. Capacidad para alcanzar la solución en un amplio intervalo de: problemas mezclas columnas combinación de especificaciones
. ¿Qué método usar?
En la figura 2. 4. Variedad de posibilidades para las especificaciones iniciales.5. Precisión del resultado final. Capacidad para detectar errores al introducir los datos y tipo de respuesta cuando se presentan fallos al alcanzar la solución. y en la tabla 2. 5. Aspectos a considerar en la elección de un método o de un paquete de programas
1. 2.11 se muestra un diagrama que facilita la decisión del método a utilizar.4. Dpto. 2.1. un resumen de los diversos métodos disponibles. Métodos rigurosos
5. Normalmente depende más del modelo para el cálculo de las constantes de equilibrio y de las entalpías que del propio método. Flexibilidad y facilidad en la introducción de los datos. Calidad del manual que acompaña al programa/paquete informático. Robustez para alcanzar la solución cuando se parte de malas estimaciones iniciales.
5. por tanto un buen programa debe permitir que el usuario introduzca sus propios valores y/o modelos. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.
pero sólo admite una pureza
Inside-Out (Boston)
• • • • • • Amplia variedad de intervalos • de Tª de ebullición. Resumen de los métodos disponibles. vapor generado en la caldera
Han de especificarse todos los caudales de productos y de pérdidas/aportes de calor laterales pérdida en el condensador aporte en la caldera reflujo vapor generado en la caldera Todos los flujos de productos laterales Una pureza pérdida en el condensador aporte en la caldera reflujo vapor generado en la caldera Todos los flujos de productos laterales Una pureza Muy variadas. columnas • y especificaciones • Sistemas ideales y no ideales Superfraccionadores.Universidad de Alicante. incluso no ideales • Requiere buenas estimaciones iniciales • Sistemas con reacción química SC (Goldstein. despropanizadores SC (Naphtali• Muchos pisos y pocos Sandholm) componentes • Todo tipo de mezclas. Método Mejores aplicaciones BP • Sistemas con margen estrecho de Tª de ebullición • Sistemas ideales o casiideales • pocos alimentos y productos • superfraccionadores.• Pocos pisos y muchos Stanfield) componentes • Sistemas no ideales • Columnas de refinerías SC (Ishii-Otto) • Sistemas ideales y no ideales • Sistemas con aminas Relajación Columnas difíciles de resolver (Rose-SweenySchrodt) Relajación Sistemas no ideales y (Ketchum. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación. Dpto. • isodesordebores SR • Absorbedores y desorbedores • Sistemas con amplio margen de Tª de ebullición Newton-2N • Sistemas con margen estrecho-medio de Tª de ebullición • Sistemas casi ideales desbutanizadores. pero sólo admite una pureza
Muy variadas. petroquímicas. 2. reactivos Drew-Franks)
Intervalo de especificaciones • caudales de productos y de reflujo • perdida/aporte en el condensador/caldera razon de reflujo.1. Métodos rigurosos Tabla 3. reacciones químicas
pérdida en el condensador aporte en la caldera reflujo vapor generado en la caldera Todos los flujos de productos laterales Una pureza Muy variadas Múltiples purezas Incluye solución por mínimos cuadrados cuando se sobreespecifica
Sawistowski. Métodos rigurosos
Tabla 2. Chem. Ind Eng..F. C. 38. Inc. y Malone. Ind Eng. J.F. H. y Smith.1. John Wiley & Sons. Dpto. King.J.Universidad de Alicante. Seader. J. McGraw-Hill. 35. E. M. 4901-4912. H.K. 1988. (1999).D.D.. L.. Wasylkiewicz. (1996). S. Separation Processes.. Separation Process Principles.F. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.J. Graw Hill. (1992). Nueva York. Continuación Método Mejores aplicaciones Inside-Out • Amplia variedad de intervalos de Tª de (Rusell) ebullición. Wasylkiewicz. E. Henley. Métodos de cálculo en los procesos de transferencia de materia. Alhambra.Z. W. 2. 1998. 1395-1408.
. Res. Operaciones de separación por etapas de equilibrio en Ingeniería
Kister. columnas complejas No-equilibrio • Sistemas en los que la transferencia de materia está inhibida • Uso de eficiencias Sistemas altamente no ideales y sistemas reactivos
Intervalo de especificaciones • Muy variadas
pérdida en el condensador aporte en la caldera reflujo vapor generado en la caldera Todos los flujos de productos laterales Una pureza
Química.J. Chem.
Henley. “Global stability analysis and calculation of liquid-liquid equilibrium in multicomponent mixtures”. 1967. Seader. Doherty. Reverté.. columnas y especificaciones • Sistemas ideales y no ideales • Columnas de refinerías. New York.. Distillation Design. “Computing all homogenous and heterogeneous azeotropes in multicomponent mixtures”.. S... 1988. Sridhar. M. Res. y Malone. Mc. Doherty..K. Inc.F. M. M....N. Chemical Engineering Series.
Altam ente no ideal
idealidad del sistem a
ideal o poco no ideal
Moderadam ente no ideal SC Inside-O ut R ango de T ª ebullición
. 2. Dpto. Ingeniería Química Ampliación de Operaciones de Separación.Absorción con reacción quím ica .D ependencia de la transferencia de m ateria
D estilación Estrecho Medio
altura de la colum na N o-equilibrio baja alta
destilación Inside-O ut (R usell) (2N -N ewton)
absorción Inside-O ut (R usell) (SR )
destilación Inside-O ut (Boston o R usell) (2N -N ewton)
absorción Inside-O ut (R usell) (2N -N ewton)
R elajación
H om otopía Am plio Inside-O ut (Boston o R usell) (2N -N ewton)
D estilación
T am año colum na
C olum na
C om pleja
Inside-out (Boston o R usell)
Inside-O ut (boston)(BP)
.Universidad de Alicante. Métodos rigurosos
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