Source: https://www.scribd.com/document/144037546/Taller-de-Resolucion-de-Problemas
Timestamp: 2016-07-29 18:40:07+00:00

Document:
UploadSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicEditors' Picks BooksHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks AudiobooksHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks ComicsHand-picked favorites from our editorsEditors' Picks Sheet MusicHand-picked favorites from our editorsTop BooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop AudiobooksWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop ComicsWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreTop Sheet MusicWhat's trending, bestsellers, award-winners & moreCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodCrafts & HobbiesFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesArts & IdeasBiography & MemoirBusiness & LeadershipChildren'sComputers & TechnologyCooking & FoodFantasyFiction & LiteratureHappiness & Self-HelpHealth & WellnessHistoryHome & GardenHumorLGBTMystery, Thriller & CrimePolitics & EconomyReferenceReligionRomanceScience & NatureScience FictionSociety & CultureSports & AdventureTravelYoung AdultCategoriesAdaptationsChildren’sCrime & MysteryFictionHumorMangaNonfictionRomanceSciFi, Fantasy & HorrorSuperheroesYoung AdultPublishersArcanaArchie ComicsBOOM! StudiosDynamiteIDW PublishingKingstone ComicsMarvel ComicsSpace Goat ProductionsTop Cow ComicsValiant ComicsZenescopeDifficultyBeginnerIntermediateAdvancedMixedInstrumentBrassDrums & PercussionGuitar, Bass, and FrettedPianoStringsVocalWoodwindsGenreClassicalCountryFolkJazz & BluesMovies & MusicalsPop & RockReligious & HolidayStandardsWelcome to Scribd! Start your free trial and access books, documents and more.Find out moreTaller de Resolución de Problemas:
Una breve reseña y algunos problemas
22-24, Mayo 2013
Solving a problem means finding a way out of a difficulty, a way around an obstacle,
attaining an aim which was not immediately attainable. Solving problems is the
specific achievement of intelligence, and intelligence is the specific gift of mankind:
solving problems can be regarded as the most characteristically human activity.
George Polya ([11], p. ix)
El presente material fue presentado en el primer Congreso Internacional en
Ciencias de la Educación (22-24 Mayo, 2013) organizado por la Facultad de
Ciencias de la Educación de la Universidad de Colima, Colima.
1.1. Diversas acepciones del término resolución de problemas . . . . . . .
1.2. Factores que inciden en el proceso de resolución de problemas . . . .
2. Convergencia de Cuadrados
2.1. Cuadrados inscritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Construcción de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Secciones de corte del cubo
3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. El problema de los Nuggets
4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Una fórmula para calcular números primos
El estudio e incorporación de los problemas matemáticos y las acciones típicas del
pensamiento que intervienen en el proceso de solución de estos, así como la puesta
en claro de cómo realizar acciones que contribuyan a la resolución de los problemas,
se debe a George Polya. Debido al acostumbrado fracaso de sus estudiantes en el
aprendizaje de las matemáticas, Polya diseñó un método que pudiera servirles para
aprender a resolver problemas, y publicó su libro ¿How to solve it? en 1945 [10], marcando así un nuevo rumbo en el estudio de problemas relacionados con la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas.
Es hasta la década de 1970 cuando se reconoce plenamente el trabajo de Polya y
surgen estudios, artículos y libros que buscan dar explicaciones a sus planteamientos desde diferentes ángulos. Algunos de ellos son: NCTM (1980, 2000), Schoenfeld
(1985), Santos (2007), Lesh et al. (2000), Lester y Kehle (2003)1 . A mediados de la década de los 80 se presentó un cambio en las teorías del aprendizaje, producido por el
desarrollo de las ciencias cognitivas. El cambio consistió en cuestionar las ideas que
sugerían que el aprendizaje es independiente de los detalles de la disciplina, y aceptar que aprender matemáticas implica asimilar conceptos, métodos, y principios que
poseen diferencias con los estudiados en otras áreas del conocimiento ([12], p.13).
Desde la perspectiva de resolución de problemas, se espera que el estudiante recolecte información, descubra o cree relaciones, discuta sus ideas, plantee conjeturas;
evalúe, contraste e interprete las posibles respuestas y desarrolle sus propios problemas. Lo anterior presupone una visión particular de lo que significa aprender
matemáticas, que va más allá del aprendizaje y aplicación de reglas y algoritmos, y
que incluye encontrar sentido a las ideas y relaciones matemáticas. Reconocer que
resolver problemas es una actividad esencial en el aprendizaje de las matemáticas
implica discutir diversas ideas alrededor de esta actividad; por ejemplo, ¿qué es un
problema? ¿qué es la resolución de problemas? ¿qué significa aprender matemáticas?, etcétera ([12], p.4).
Identificar la resolución de problemas como una propuesta de aprendizaje de las
matemáticas requiere de adoptar una posición en torno a la naturaleza de las matemáticas. En esta propuesta, las matemáticas son una disciplina cambiante al igual
que las demás ciencias, donde el trabajo matemático es guiado por la intuición en la
exploración de conceptos y sus interacciones. Asimismo, se considera que los estudiantes aprenden matemáticas al participar activamente en el desarrollo de las ideas
1 [8],
[9],[14], [13], [5], [7]
matemáticas, al encontrarse inmersos en un ambiente similar al de los profesionales que hacen matemáticas; es decir, se acepta que los estudiantes pueden crear o
desarrollar sus propios conocimientos matemáticos.
En el marco de la resolución de problemas, las matemáticas son un tipo de conocimiento dinámico que cambia, se expande y reajusta de acuerdo con las necesidades
o inventiva humanas, tanto en resultados particulares como en métodos y principios
generales. Por su parte, el estudiante en el aprendizaje de esta disciplina elabora y
discute las estrategias de solución propias y de sus compañeros, emplea ejemplos y
contraejemplos, critica, evalúa y argumenta los resultados obtenidos, inmerso en una
comunidad matemática.
Polya [10] considera que el aspecto formal de las matemáticas tiene poca relación
con la actividad de resolver problemas y con el descubrimiento matemático. Este
autor discute el potencial de los métodos heurísticos, estrategias de carácter general
para atacar un problema; las cuales, aunque no garantizan alguna solución ayudan
a resolver el problema. También sugiere heurísticas enmarcadas dentro de su propia
experiencia como matemático al resolver problemas; las cuales, considera, pueden
ser modeladas por los maestros en el salón de clases y, una vez internalizadas (en el
sentido de Vygotsky) por los alumnos pueden usarlas sin ayuda externa. Asimismo,
identifica cuatro etapas en el proceso de resolver problemas:
1. Entendimiento del problema.
2. Diseño de un plan.
4. Evaluación de la o las soluciones (visión retrospectiva).
En diversos estudios donde se observó a expertos, en diferentes dominios, para identificar los componentes cognitivos esenciales que influían en la resolución de problemas, se definió un perfil general de las características relevantes que les permitían
resolver un problema. Estas características son:
1. Un conocimiento base, amplio, de patrones del campo donde se es experto.
2. Reconocimiento rápido de situaciones donde se aplican esos patrones.
3. Un razonamiento que va del reconocimiento directo a la solución a través del
trabajo con los patrones ([12], p.18).
Por el contrario, los novatos tienden a no ver los patrones relevantes. Estos resultados
señalan la importancia de los aspectos particulares de una disciplina que influyen en
la resolución de problemas. Por otra parte, las estrategias o heurísticas generales
también son importantes en la resolución de problemas. Un ejemplo de estrategia
general de gran utilidad en matemáticas es la búsqueda de contraejemplos, los cuales
ayudan a generar especulaciones discusiones y críticas de diversos argumentos. Un
ejemplo bastante ilustrativo del empleo de contraejemplos en el desarrollo de ideas
matemáticas puede observarse en al trabajo Pruebas y Refutaciones de Lakatos [4].
De acuerdo con Santos ([12], p.27) el término problema es relativo al individuo, más
específicamente, es relativo al esfuerzo que emplea el individuo cuando intenta resolver una tarea. Es decir, una tarea puede considerarse un problema cuando ésta es
difícil para el individuo que está tratando de resolverla. La dificultad de la misma va
más allá del nivel operacional o de cálculo, se trata de una dificultad que representa
un esfuerzo intelectual. Así, una tarea es un problema para un individuo cuando:
1. Existe dificultad para resolverla.
2. El sujeto tiene interés y deseos de abordarla.
3. No existe un camino inmediato (algoritmo) para encontrar alguna solución.
4. Pueden existir diversos caminos o métodos de solución; incluida la posibilidad
de que la tarea tenga más de una solución.
Diversas acepciones del término resolución de problemas
Stanic y Kilpatrick (citado en [15] p. 337) identifican tres diferentes significados del
término resolución de problemas. El primer significado se refiere al uso tradicional;
lo que ellos llaman resolución de problemas como contexto; aquí los problemas son
empleados como medios al servicio de otros objetivos curriculares y la resolución de
problemas no se concibe como un objetivo en sí misma.
La segunda acepción es la resolución de problemas como habilidad y se refiere a la
capacidad de obtener soluciones para los problemas asignados; esta es la interpretación que se empleó durante la mayor parte de los años 80. En este contexto, resolver
problemas no rutinarios se caracteriza como una habilidad de mayor nivel, que se adquiere después de haber desarrollado la habilidad de resolver problemas rutinarios.
Las heurísticas y en forma más general, las técnicas para resolver problemas se ven
como temas que deben ser enseñados a los estudiantes, para que estos las incluyan
dentro de su repertorio de herramientas matemáticas. El tercer significado, el cual se
empleará en este trabajo, es la resolución de problemas como un arte. Esta visión sostiene que la verdadera resolución de problemas consiste en trabajar con problemas
que causan conflicto, y que este es el objetivo central de las matemáticas. Desde esta
perspectiva, las matemáticas son la ciencia de los patrones [2]. El descubrimiento de
estos patrones puede ayudarnos a entender el mundo a nuestro entorno. Asimismo,
el proceso de hacer matemáticas es más que el cálculo y la deducción; porque involucra observación de patrones, prueba de conjeturas y estimación de resultados, entre
Lo anterior implica que el trabajo en el salón de clases debe desarrollarse en forma
similar al trabajo de los matemáticos cuando hacen matemáticas. En este proceso
de hacer matemáticas, la intuición actúa como guía en la exploración de conceptos y sus interacciones. Por tanto, el instructor debe fomentar el uso de ejemplos y
contraejemplos; cuestionar el o los métodos de solución; motivar a los estudiantes
a plantear hipótesis, probarlas, ajustarlas, rechazarlas y centrar la atención en los
procesos más que en los contenidos.
Factores que inciden en el proceso de resolución de problemas
Alan Schoenfeld, en su libro Problem Solving [14] profundiza y complementa el trabajo de Polya. Incorpora y justifica la dimensión cognitiva en el proceso de resolución
de problemas. Utiliza el término metacognitivo para denominar a los procesos de
reflexión que están asociados a las acciones mentales de monitoreo y control que
actúan implícita y continuamente mientras se resuelven problemas; es una habilidad
que se desarrolla paulatinamente y ayuda a identificar obstáculos y/o contradicciones que se cometen en el camino de solución. Para Schoenfeld, las indicaciones que
permiten avanzar en el método propuesto por Polya equivalen a hacer un inventario de lo que el estudiante sabe y de la forma en la que adquirió los conocimientos
Asimismo, Schoenfeld considera que para entender el proceso por el cual las personas resuelven problemas matemáticos e incidir en la enseñanza, es necesario considerar a las matemáticas, la dinámica del salón de clases y el aprendizaje junto con el
proceso de pensar, es decir, se necesita incorporar el conocimiento de los matemáticos, profesores de matemáticas, educadores y especialistas de las ciencias cognitivas.
En términos generales, las cuatro dimensiones que inciden en el proceso de resolver
problemas, de acuerdo con Schoenfeld [14], son:
1. Los recursos o dominio del conocimiento. Es un inventario de lo que el individuo sabe y las formas en que adquiere ese conocimiento. El autor identifica
cinco tipos de conocimiento que se encuentran en la categoría de los recursos:
(a) conocimiento informal e intuitivo acerca de la disciplina matemática; (b) hechos y definiciones; (c) procedimientos algorítmicos; (d) Procesos rutinarios no
algorítmicos y (e) conocimiento acerca del discurso del dominio.
2. Las heurísticas. Son estrategias y técnicas para avanzar en la resolución de un
problema. Entre estas estrategias se encuentra el dibujar figuras, introducir notación, explorar problemas relacionados, reformular el problema, trabajar hacia
atrás o probar y verificar procedimientos. Schoenfeld afirma que no es suficiente
que el alumno conozca estas estrategias, sino también adquirir experiencia sobre
el cómo y cuándo utilizarlas en contextos específicos [14].
3. Control o estrategias metacognitivas. Son las decisiones globales respecto a la
selección e implementación de recursos y estrategias; se refiere a la forma en
que los sujetos usan la información, los procedimientos y las técnicas matemáticas que tienen a su disposición. Las acciones que involucran control incluyen
la planeación, el monitoreo y la evaluación, la toma de decisiones y los actos
metacognitivos conscientes (visión retrospectiva). En resumen, el control o metacognición se refiere al conocimiento consciente de nuestros propios procesos
4. Sistema de creencias. Se refiere a la propia visión que se tiene de las matemáticas, que incluye el conjunto de variables que influyen en el comportamiento
individual. Aquí se incluyen las creencias que los individuos tienen de las matemáticas, a lo que significa aprender matemáticas y al papel del profesor y del
alumno en el salón de clases.
En el proyecto curricular del NCTM [9]: Principios y estándares para las matemáticas
escolares, se asigna especial interés al estándar de resolución de problemas. Cuando los
estudiantes aprenden a resolver problemas, desarrollan procesos de pensamiento ordenados que, poco a poco, se van convirtiendo en una habilidad para encontrar estrategias adecuadas para determinado tipo de problemas, lo cual permite el desarrollo
de nuevas comprensiones matemáticas. Se debe animar e involucrar a los estudiantes
en la resolución de problemas, se debe propiciar el espíritu de aferrarse a encontrar y
formular una solución cuando intentan resolver un problema complejo. Para aprender a resolver problemas en matemáticas, los estudiantes deben adquirir formas de
pensamiento, hábitos de persistencia, curiosidad y confianza en sus acciones para
explorar situaciones desconocidas. Esto contribuye a un dominio de situaciones similares y a la adquisición de la capacidad de exteriorizar ideas matemáticas.
La resolución de problemas no es una parte aislada de la educación matemática y
de los programas de las materias, es una parte fundamental para todo aprendizaje
matemático [9].
Convergencia de Cuadrados
Cuadrados inscritos
Sea ABCD un cuadrado de lado L mayor que 1. En cada vértice trazamos una circunferencia de radio r = 1. Consideremos el cuadrado inscrito que se forma con los
puntos de intersección de las circunferencias con los lados del cuadrado como se
Ahora, repetimos el proceso anterior para el nuevo cuadrado, es decir, en cada vértice
(del cuadrado nuevo) trazamos una circunferencia de radio r = 1 y consideremos el
cuadrado inscrito que se forma con los puntos de intersección de las circunferencias
con los lados del cuadrado, ver Figura 2.
Si repetimos el proceso indefinidamente, podemos construir una figura como la siguiente:
Como podemos apreciar en la Figura 3, al parecer, los cuadrados en el interior del
cuadrado ABCD convergen a un cuadrado cuyo lado es de longitud 1. ¿Cómo podemos verificar esto?
Construcción de una sucesión
Consideremos el triángulo rectángulo A1 BC1 como se puede apreciar en la Figura
4. Sabemos que el lado del cuadrado ABCD es L > 1, por lo tanto tenemos que
A1 B = L − 1 y BC1 = 1. Usando el Teorema de Pitágoras obtenemos
A1 C1 = ( L − 1)2 + 1
Consideremos ahora el siguiente triángulo rectángulo A2 C1 C2 (Figura 5), del cual
obtenemos la siguiente expresión
A2 C2 =
( L − 1)2 + 1 − 1 + 1
Si continuamos con este mismo proceso, obtenemos una sucesión de números reales
{ x1 , x2 , x3 , . . . }
donde cada elemento representa la longitud del lado de cada cuadrado inscrito. En
este caso podemos preguntarnos: ¿Converge esta sucesión? Si converge, ¿cuál es el
valor del límite?
Para responder a estas preguntas primero definamos la sucesión de la siguiente manera:
( L − 1)2 + 1
v
x4 = t 
( L − 1)2 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1
Lo cual se puede re-escribir de la siguiente forma:
( x1 − 1)2 + 1
( x2 − 1)2 + 1
( x3 − 1)2 + 1
( x4 − 1)2 + 1
De manera simplificada podemos escribir Ln = { xn : n ∈ N} donde
xn = ( xn−1 − 1) + 1.
Afirmación 1. xn > 1 para toda n ∈ N.
Demostración. Como L > 1, tenemos que x1 > 1. Demostremos ahora que x2 > 1.
Dado que x1 > 1, se sigue que
( x1 − 1)2 > 0
( x1 − 1)2 + 1 > 1
Supongamos ahora que se cumple xn−1 > 1. Entonces, haciendo cálculos parecidos a
los anteriores se ve fácilmente que xn > 1 para toda n ∈ N.
Afirmación 2. xn−1 > xn para toda n ∈ N.
Demostración. Primero demostremos que x1 > x2 . Sabemos que x1 = L > 1, entonces se tiene
( L − 1)2 > 0
y por propiedades de números reales obtenemos
( L − 1)2 + 2( L − 1) > ( L − 1)2
L2 − 2L + 1 + 2L − 2 > ( L − 1)2
L2 − 1 > ( L − 1)2
y por lo tanto x1 > x2 . Supongamos ahora que x1 > x2 > . . . > xn−1 se cumple.
Faltaría probar que xn−1 > xn . Para esto, consideremos lo siguiente
x n −1 > 1
( x n −1 − 1 ) 2 > 0
( x n −1 − 1 ) 2 + 2 ( x n −1 − 1 ) > ( x n −1 − 1 ) 2 ,
xn2 −1 − 2xn−1 + 1 + 2xn−1 − 2 > ( xn−1 − 1)2
xn2 −1 − 1 > ( xn−1 − 1)2
( x n −1 − 1 ) 2 + 1
x n −1 >
Dado que xn =
( xn−1 − 1)2 + 1, podemos concluir que xn−1 > xn para toda n ∈ N.
Un resultado que podemos utilizar aquí es el siguiente:
Teorema 2.1 ([1], p. 466). Si { an } es una sucesión de números reales decreciente y está
acotada inferiormente por un número real M, entonces converge y
l´ım an = M
Como Ln es una sucesión tal que:
xn > 1
x n −1 > x n
para toda n ∈ N. Entonces podemos concluir que Ln converge y además
l´ım Ln = 1
Secciones de corte del cubo
Consideremos un cubo de lado L. Tracemos una recta por dos esquinas opuestas del
cubo y consideremos un plano perpendicular a la recta que se mueve sobre un punto
P, como se muestra en la figura:
A medida que el punto se mueve entre las esquinas del cubo, se forman polígonos
con diferentes características. Podemos establecer ésta y otra relaciones en términos
del lado del cubo. Esto es:
1. La longitud del segmento
de recta M, definido entre los vértices de las esquinas
opuestas, es igual a 3L.
2. Si dividimos M en tres partes iguales, es posible demostrar que para las partes externas se forman triángulos equiláteros y para la parte interna se forman
3. En particular, cuando el punto
P está a la mitad de M, se forma un hexágono
regular cuya área es igual a 3 4 3 L2
Si consideramos una cara del cubo, la longitud de las diagonales son iguales a 2L.
Esto se deduce utilizando el teorema de pitágoras. Con base en este resultado, podemos
√ calcular la longitud de M, considerando el triángulo rectángulo con catetos L y
2L. Por lo tanto tenemos que:
 √ 2
L + 2L = 3L = 3L
Consideremos los puntos medios de algunas de las aristas del cubo como se muestra
en la Figura 7. Si se unen los puntos con segmentos, obtenemos un polígono de
seis lados. Utilizando el teorema de pitágoras, se puede ver que cada lado de este
hexágono mide √12 L, por lo tanto, se trata de un hexágono regular. Para calcular su
área, podemos utilizar la fórmula
donde P es el perímetro y a el apotema.
En este caso, ver Figura 7, el perímetro es igual a
y el apotema es igual a
√6 L
√3 L
Finalmente, al simplificar nos queda
El inciso 2 se deja como ejercicio al lector.
El problema de los Nuggets
Hay un famoso restaurante de comida rápida en donde se pueden pedir nuggets de
pollo los cuales vienen en cajas de varios tamaños.
Sólo se pueden comprar cajas de 6, de 9 o de 20 nuggets. Usando estos tamaños,
puedes pedir, por ejemplo, 32 nuggets de pollo. En este caso has pedido una caja de
20 y dos cajas de 6.
1. Por ejemplo, si deseas 31 nuggets, ¿podrías comprar 31?
2. ¿Hay un mayor número nuggets que no puedes comprar? Y si existe, ¿qué número
es? ¿Cómo sabes que tu respuesta es correcta?
Sean X, Y y Z el número de cajas de 6, 9 y 20, respectivamente. Estas variables
pueden tomar cualquier valor entero positivo, es decir, 0, 1, 2, 3 . . .
Podemos establecer la siguiente expresión
6X + 9Y + 20Z = N
donde N es la cantidad total de nuggets.
Es claro que el número mínimo de nuggets que se pueden comprar son 6, es decir,
una caja de 6.
Ahora, notemos que 2 cajas de 9 nuggets es lo mismo que 3 cajas de 6 nuggets. Si
compramos cajas de 9, cuando hay más de 1 caja de 9 entonces éstas las podemos
ver como cajas de 6 más otra caja de 9. Lo cual implica que podemos considerar 0 o
1 caja de 9.
Por otra parte, notemos que 3 cajas de 20 nuggets es lo mismo que 10 cajas de 6. Si
compramos más de 2 cajas de 20 entonces éstas las podemos ver ya sea como cajas
de 6 más otra caja de 20 o cajas de 6 más otras dos cajas de 20. Lo cual implica que
podemos considerar 0 o 1 o 2 cajas de 20.
Mientras que las cajas de 6 podemos considerar cualquier cantidad, digamos X. La
siguiente tabla nos permite apreciar los posibles casos.
Número de cajas de 6 Número de cajas de 9 Número de cajas de 20
Lo anterior nos lleva a considerar 6 casos para los valores de d:
Caso 1: Cuando no hay cajas de 9 ni de 20, entonces
6X + 9(0) + 20(0) = 6X
Case 2: No hay cajas de 9 pero hay una caja de 20, entonces
6X + 9(0) + 20(1) = 6X + 0 + 3 ∗ 6 + 2 = 6( X + 3) + 2
Caso 3: No hay cajas de 9 pero hay dos cajas de 20, entonces
6X + 9(0) + 20(2) = 6X + 0 + 2(3 ∗ 6 + 2) = 6( X + 6) + 4
Case 4: Cuando hay una caja de 9 y no hay cajas de 20, entonces
6X + 9(1) + 29(0) = 6X + 6 + 3 + 0 = 6( X + 1) + 3
Caso 5: Cuando hay una caja de 9 y hay una caja de 20, entonces
6X + 9(1) + 20(1) = 6X + 6 + 3 + (6 ∗ 3 + 2) = 6( X + 4) + 5
Caso 6: Cuando hay una caja de 9 y hay dos cajas de 20, entonces
6X + 9(1) + 20(2) = 6X + (6 + 3) + 2(6 ∗ 3 + 2) = 6( X + 8) + 1
En la siguiente tabla se pueden apreciar algunos de los valores que puede tomar N:
Valores de N para los 6 casos
6X 6(X+3)+2 6(X + 6)+4 6(X+1)+3 6(X + 4)+5 6(X + 8)+1
De la tabla anterior se puede apreciar que no se pueden comprar 31 nuggets. Es
decir, no hay solución entera positiva para las ecuaciones
6X = 31, 6( X + 8) + 1 = 31, 6( X + 3) + 2 = 31,
6( X + 1) + 3 = 31, 6( X + 6) + 4 = 31 y 6( X + 4) + 5 = 31.
Asimismo, se puede deducir que el máximo número de nuggets que no se pueden
comprar es 43. Si hacemos un arreglo diferente, podemos apreciar que no es posible
comprar esta cantidad de nuggets. Esto se puede apreciar en la tabla siguiente:
Valores de N para los 6 casos en orden creciente
6(X+8)+1 6(X+3)+2 6(X+1)+3 6(X+6)+4 6(X+4)+5
Una fórmula para calcular números primos
Con la siguiente fórmula
es posible encontrar números primos. Sin embargo, esta fórmula funciona solo para
valores de n desde 0, 1, 2, . . . hasta 39. Los números primos para n = 0, 1, 2, 3, . . . son
41, 43, 47, 53, . . .
En el caso de n = 40 se produce un número cuadrado. Es decir
P(40) = 402 + 40 + 41 = 1681 = 412
Se conoce que no existe una función polinómica no constante f (n) que evalúe números primos para todos los enteros positivos n. Esto se puede establecer como un
Teorema 5.1 ([3], p. 186). No existe un polinomio f (n) no constante, con coeficientes enteros, tal que tome valores primos para todos los enteros positivos n.
Demostración. Supongamos que existe dicho polinomio. Sea
f ( n ) = a k n k + a k −1 n k −1 + . . . + a 1 n + a 0
un polinomio tal que ak 6= 0 para todo k = 0, 1, 2, 3, . . . el cual toma valores primos
para todos los enteros positivos n.
Entonces f (0) = a0 es un número primo y f (ta0 ) también lo es para todos los valores
posibles de t = 1, 2, 3, . . . Pero
f (ta0 ) = ak tk a0k + ak−1 tk−1 a0k−1 + . . . + a1 ta0 + a0
De aquí podemos deducir que a0 divide a f (ta0 ) para toda t. Dado que f (ta0 ) es
primo, necesariamente
f (ta0 ) = a0
para toda t = 1, 2, 3, . . .
De esta manera, el polinomio f (n) toma el valor a0 infinitas veces y por lo tanto f (n)
debe ser constante. Esto es un contradicción. Por lo tanto, no existe un polinomio
f (n) no constante, con coeficientes enteros, tal que tome valores primos para todos
los enteros positivos n.
[1] Apostol, T. M. (2001). Calculus. Vol. I. 9a. Re-impresión. México. Editorial Reverté. 18
[2] Devlin, K. (1994). Mathematics: The science of patterns. New York: Scientific American Library. 10
[3] Hardy, G. H. and Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers,
5th ed. Oxford, England: Clarendon Press. 26
[4] Lakatos, I. (1982). Pruebas y refutaciones: La lógica del descubrimiento matemático.
(C. Solís Trad., 2a. Ed.). Madrid: Alianza Editorial. (Trabajo original publicado
en 1976). 9
[5] Lesh, R. y A. Kelly (2000). Multitiered Teaching Experiments, en A. E. Kelly y
R. Lesh (eds.), Handbook of Research Design in Mathematics Education, Mahwah,
Nueva Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 197-230. 7
[6] Lesh, R., M. Hoover, B. Hole, A. Kelly y T. Post (2000). Principles for Developing
Thought-Revealing Activities for Students and Teachers, en Antony E. Kelly y Richard Lesh (eds.), Handbook of Research Design in Mathematics Education, pp.
Mahwah, New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 591-645.
[7] Lester, F. y P. Kehle (2003). From problem solving to modeling. The evolution of thinking about research on complex mathematical activity, en R. Lesh (ed.), Beyond constructivism, models and modeling perspectives on mathematics problem solving,
learning and teaching, Lawrence Erlbaum Associates. 7
[8] National Council of Teachers of Mathematics (1980). An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics for the 1980s, Reston, Virginia., National
Council of Teachers of Mathematics. 7
[9] National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principios y Estándares de la
Educación Matemática. Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES.
[10] Polya, G. (1973). How to solve it? 2nd. ed. Princeton University Press. New Jersey
(First published 1945). 7, 8
[11] Polya, G. (1981). Mathematical discovery: On understanding, learning and teaching
problem solving. USA: John Wiley & Sons. 3
[12] Santos, L. M. (1997). Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 7, 8, 9
[13] Santos, L. M. (2007). La resolución de problemas matemáticos (fundamentos cognitivos). México: Trillas. 7
[14] Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. New York: Academic Press.
[15] Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. En D.A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334.- 370). New York: MacMillan Publishing Company. 9
More From This UserMath1050 Supp Material Problems & SolutionsPerspectiva histórica acerca del origen y evolución del concepto de derivadaMathematical Foundations, Supplementary notesA Geometrical Approach to Speed and Acceleration (complete)MATH1050Geometrical approach to speed and accelerationCientíficos griegos de Francisco Vera. Tomo IICientíficos griegos de Francisco Vera. Tomo ICuriosidades del InfinitoFunciones trigonométricasSumas de Enteros y CuadradosProblemas de construcciones geométricasRing-theoretic properties of certain Hecke algebrasArtículo generado con Mathgen¿Qué es la demostración matemática?El Fracaso de La Matemática ModernaLa fórmula de WallisIntegrales Variable ComplejaDistintas versiones del Teorema Fundamental del CálculoModelaciónPropiedades Fuerte Secuenciales de WhitneyMaterial de consultaEl Teorema Fundamental del CálculoBreve Tabla Cronológica de la Historia de las Matemáticas
Taller de Resolución de Problemas by Juancarlos Ponce1.1K viewsEmbedDownloadDescriptionUna breve reseña y algunos problemasUna breve reseña y algunos problemasCategories: Types, School WorkRead on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentShow moreShow less
RelatedAcerca del origen y evolución del Teorema Fundamental del Cálculo by Juancarlos PoncePerspectiva histórica acerca del origen y evolución del concepto de derivadaby Juancarlos PonceProblemas de construcciones geométricasby Juancarlos Ponce¿Qué es la demostración matemática?by Juancarlos PonceBreve Tabla Cronológica de la Historia de las Matemáticasby Juancarlos PonceFunciones trigonométricasby Juancarlos PonceUna discusión acerca del método de substitición para funciones trigonométricasby Juancarlos PonceMaterial de consulta: Problemas de matemáticas, Modelación y Optimizaciónby Juancarlos PonceIntegrales Variable Complejaby Juancarlos PonceLa fórmula de Wallisby Juancarlos PonceModelaciónby Juancarlos PoncePropiedades Fuerte Secuenciales de Whitneyby Juancarlos PonceCompendio de ideas, pensamientos y algo másby Juancarlos PonceEl Teorema Fundamental del Cálculo: un estudio sobre algunos conceptos, fórmulas y métodos relacionados con su aplicaciónby Juancarlos Ponce¿Qué son las matemáticas?by Juancarlos PonceCasos en los que no se aplica la fórmula del Teorema Fundamental del Cálculoby Juancarlos PonceSimilar to Taller de Resolución de ProblemasAcerca del origen y evolución del Teorema Fundamental del Cálculo Perspectiva histórica acerca del origen y evolución del concepto de derivadaProblemas de construcciones geométricas¿Qué es la demostración matemática?Breve Tabla Cronológica de la Historia de las MatemáticasFunciones trigonométricasUna discusión acerca del método de substitición para funciones trigonométricasMaterial de consultaIntegrales Variable ComplejaLa fórmula de WallisModelaciónPropiedades Fuerte Secuenciales de WhitneyCompendio de ideas, pensamientos y algo másEl Teorema Fundamental del Cálculo¿Qué son las matemáticas?Casos en los que no se aplica la fórmula del Teorema Fundamental del CálculoCuriosidades del Infinito

References: Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución

 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución