Source: https://es.scribd.com/doc/30795661/2/Lugares-geometricos
Timestamp: 2016-02-13 06:57:24+00:00

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Lugares geométricos for a Algebra y Modelos cos 3ero Medio
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a.Distancia entre dos puntos del plano.
b.La circunferencia como lugar geométrico. Deducción de la ecuación de la cir-
cunferencia con centro en el origen. Gráfico. Ecuación de la circunferencia tras-
c.Relación de la función ƒ ( x ) = √ r2
con la semicircunferencia. Análisis
de los posibles valores de x.
d.Resolución gráfica y analítica de problemas sencillos que involucren rectas, cir-
cunferencia y parábola.
1.Reconocen que los lugares geométricos se pueden describir mediante ecuaciones
2.Reconocen la recta, circunferencia, elipse y parábola a partir de las ecuaciones
cartesianas que las caracterizan.
3.Resuelven problemas que involucran intersecciones y/o posiciones relativas de
En el año 1637, René Descartes publicó su famoso tratado “El discurso del método”, y en uno de sus
apéndices se sientan las bases de su entonces innovador acercamiento analítico a la geometría, lo
cual significó un paso trascendente en la visión integrada que se tiene hoy de la matemática.
En la enseñanza escolar, el tema de los lugares geométricos, el conjunto de puntos que satisfa-
ce ciertas condiciones determinadas, permite promover el pensamiento asociado a imágenes y rela-
cionar claramente los registros gráfico, algebraico y numérico.
Puede ser interesante construir algunos lugares geométricos con compás y escuadra, o bien
con un programa computacional y expresarlo analíticamente.
Con el propósito de no perder de vista que vivimos en un espacio tridimensional, en el desarro-
llo de esta unidad, para algunos lugares geométricos se extiende su descripción desde el plano al
espacio tridimensional; así se establece una relación entre la circunferencia y la esfera; entre el
cilindro y las rectas paralelas trazadas a ambos lados de una recta dada.
Además, en relación con la intersección de lugares geométricos, es interesante discutir la rela-
ción entre las posiciones relativas de los elementos iniciales y las características de dicha intersec-
Finalmente interesa el estudio inicial de las cónicas: circunferencia, elipse y parábola. La pará-
bola como función cuadrática es tema de estudio en la Formación General; en este programa se
avanza un poco en relación con la circunferencia y elipse. Es importante mencionar a los estudian-
tes que las secciones cónicas han jugado un rol central en la ciencia, especialmente en el siglo XVII
cuando Kepler descubrió y Newton explicó que los cuerpos celestes se mueven en trayectorias que
son secciones cónicas. En la actualidad las propiedades de reflexión tanto de la parábola como de la
elipse tienen variadas explicaciones en los ámbitos de la transmisión de ondas.
Analizan y construyen algunos lugares geométricos, relacionando las formas geométricas
que satisfacen una misma condición, en el plano y en el espacio; determinan la intersec-
ción de lugares geométricos y, con apoyo de modelos físicos o representaciones gráfi-
cas reales o virtuales, discuten las condiciones que deben cumplir los elementos inicia-
les para que esta intersección tenga uno, varios, infinitos o ningún elemento.
Determinar la ubicación de los puntos que se ubican a una misma distancia de una recta
dada. ¿Qué forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? ¿Qué forma toma este
conjunto de puntos en el espacio de tres dimensiones?
Determinar el conjunto de puntos que tienen una distancia dada a un punto determinado.
¿Qué forma adquiere este conjunto de puntos en el plano? ¿Qué forma toma este conjunto
de puntos en el espacio de tres dimensiones?
Al extender al espacio de tres dimensiones los clásicos lugares geométricos de la circunferencia y de
las paralelas trazadas a ambos lados de una recta, se enriquece la imaginación geométrica de los
estudiantes. Es interesante relacionar la circunferencia con la esfera y las rectas paralelas a ambos
lados de una tercera, con un cilindro infinitamente alto cuyo manto equidista del eje central.
Determinar la ubicación de los puntos tales que para cada punto, la distancia entre dicho
punto y ambas rectas es la misma.
Para los alumnos y alumnas la bisectriz de un ángulo es un lugar geométrico conocido; sin embargo,
muchos no logran visualizar con claridad el significado de la equidistancia a los lados del ángulo. Es
importante representar esta propiedad en dibujos en los que se evidencie la identificación entre
distancia de un punto a una recta y la perpendicular correspondiente.
Si el problema se visualiza como dos rectas que se intersectan, será interesante demostrar que
además, las bisectrices a los ángulos que se forman, son perpendiculares entre sí.
Dados tres puntos cualesquiera, determinar el lugar geométrico de los puntos que tienen la
misma distancia a cada uno de ellos. Analizar las soluciones en relación con la posición
relativa de los tres puntos dados.
Dados una recta y dos puntos, determinar el lugar geométrico de los puntos que están a una
distancia q de la recta y que la distancia en relación con los dos puntos es la misma. Anali-
zar las soluciones en relación con la posición relativa de la recta y los puntos.
En ambos ejemplos, la solución corresponde a la intersección de dos lugares geométricos.
En el ejemplo D, interesa que los alumnos y alumnas determinen el centro de la circunferencia
circunscrita y visualicen que si los tres puntos son colineales, no hay un punto privilegiado que
equidiste de los tres puntos dados.
En el ejemplo E, este análisis sobre la existencia de las soluciones es un poco más complejo que
el anterior: existe un máximo de dos soluciones si la simetral intersecta a las paralelas y no hay
puntos privilegiados si la simetral es paralela a la recta dada.
Dado un punto R y un plano P, determinar el lugar geométrico de los puntos que están a una
misma distancia de R y están a una distancia q del plano P. Discutir las soluciones.
En el espacio, determinar los puntos que están a una distancia p de una recta y están a una
misma distancia de un punto dado R. Discutir la existencia de las soluciones
Es posible que algunos alumnos y alumnas necesiten la experiencia concreta para tener una imagen
de la intersección de los lugares geométricos que son la solución en ejemplos de este tipo.
Es interesante, para el ejemplo F, que los estudiantes se den cuenta que la intersección de un
plano con una esfera, en cualquier posición, es siempre una circunferencia.
Además, en relación con estos ejemplos, el plano o cilindro pueden ser tangentes o simplemen-
te no intersectarse con la esfera. Es interesante especificar las posiciones relativas del centro de la
esfera y el plano o el cilindro para que estas soluciones se produzcan.
Establecen la expresión analítica de algunos lugares geométricos; relacionan las repre-
sentaciones gráficas de algunos lugares geométricos que son rectas con la expresión
analítica de ellas.
Dados dos puntos A y B en un sistema de coordenadas cartesianas; determinar la ecuación
del lugar geométrico de los puntos tales que la distancia entre cada uno de esos puntos a A
y a B sea la misma.
Es recomendable considerar, inicialmente, dos puntos A y B con coordenadas numéricas para pos-
teriormente plantear el problema en su forma general.
Al resolverlo, es posible que algunos alumnos consideren las coordenadas del punto medio
entre A y B; con este dato determinen la ecuación de la recta que pasa por ese punto y es perpendi-
cular a la recta que pasa por A y B.
Otros podrán buscar al ecuación considerando el problema resuelto: si un punto P de coorde-
nadas (x,y) pertenece a la simetral, entonces equidista de los puntos A y B; escribiendo analítica-
mente esta propiedad se determina la ecuación de la simetral.
Es interesante comentar con los estudiantes sobre la lógica de ambos procedimientos; en el
primero subyace el conocimiento geométrico de algunas propiedades de la simetral: perpendicular
en el punto medio. En el segundo se trabaja directamente con las condiciones pedidas en el proble-
En un sistema de coordenadas cartesianas, conocida la ecuación de dos rectas paralelas,
determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que tienen la misma distancia a
Será interesante constatar que la paralela media entre dos rectas de la forma
1 x + n
es la recta
Complementar este ejemplo pidiendo a los alumnos y alumnas que anticipen y después cons-
taten analíticamente si el punto medio entre dos puntos cualesquiera, uno de cada recta paralela, es
también punto de la paralela media. Relacionar con el Teorema de Thales ya estudiado con anterio-
Si se estima conveniente se puede proponer, en esta misma línea de trabajo, que los alumnos y
alumnas establezcan las ecuaciones de las dos rectas paralelas a una distancia determinada, a una
Caracterizan la circunferencia, elipse y parábola como un lugar geométrico y estable-
cen sus correspondientes ecuaciones analíticas.
Escribir la ecuación de la circunferencia de centro P (3, -4) y radio 7 cm.
Es conveniente que los alumnos y alumnas dibujen aproximadamente lo que se solicita para darle
sentido a las relaciones que anoten.
La ecuación con los cuadrados de binomio explícitos se relaciona directamente con el dibujo.
Es necesario poner atención a los signos de las coordenadas del punto centro: (x-3)2
+ (y+4)2
Con anterioridad a este ejemplo es necesario establecer la ecuación de una circunferencia
centrada en el origen y de radio r, utilizando la noción de distancia entre dos puntos en el plano.
Es necesario hacer notar que la escritura y = √r2
que deriva de la ecuación
, representa sólo la semicircunferencia ubicada en la parte positiva del eje y, dado
que está definida como una raíz cuadrada. También se puede anotar la semicircunferencia que se
ubica en la parte negativa del eje y.
Puede ser oportuno, sentar las bases para la formalización de estudio del concepto de función,
que será estudiado en Cuarto Año Medio, valorándolo como una precisión en la interpretación del
valor único para y dado un determinado valor de x.
Ubicar en un plano cartesiano los puntos(3,2) ; (5,4) ; (3,6) ; (1,4) ; (1,5 ; 4 - √1,75) ;
(4,5 ; 4 + √1,75);
Establecer a qué lugar geométrico podrían pertenecer.
Es importante que los alumnos y alumnas reconozcan la utilidad de un buen dibujo, que les permita
conjeturar que los puntos podrían pertenecer a una circunferencia.
Tras la determinación de las coordenadas del centro y del radio, es necesario que verifiquen
que la distancia de cada punto al centro de la circunferencia es efectivamente el radio deducido.
Finalmente, es conveniente que escriban la ecuación del lugar geométrico deducido.
Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P tal que la distancia de (1,2) a P
sea el doble de la distancia de (4,-1) a P.
La resolución de este problema requiere plantear la ecuación
d ((x,y) , (1,2)) = 2d ((x,y) , (4,-1)) con P = (x,y)
Un adecuado manejo de esta ecuación lleva a (x - 5)2
= 8 , es decir, el lugar
geométrico pedido es una circunferencia centrada en (5,-2) y de radio 2√2.
i)¿Para qué valores de x tiene sentido la expresión y = √4 - x2
ii)Hacer el gráfico de y = √4 - x2
iii)Escribir la ecuación de la circunferencia que contiene a la figura anterior.
iv)Escribir la ecuación de la semicircunferencia inferior.
Es recomendable generalizar al caso y = √r2
y observar que los valores permitidos para r
se encuentran en el intervalo [-r, r]
Para hacer el gráfico pedido puede hacerse una tabla de valores que considere las restricciones
para x ( puede ser un buen momento para introducir la notación ƒ (x) = √4 - x2
, en donde x
es la variable independiente).
También puede usarse una calculadora gráfica o un programa computacional y, también, es
posible utilizar el recurso algebraico de elevar al cuadrado obteniendo así la ecuación de la circun-
ferencia y notando que y es mayor o igual que cero.
i)¿Qué lugar geométrico en el plano representan las siguientes ecuaciones?
ii)¿Qué lugar geométrico en el plano representa la siguiente ecuación?
Será interesante que los alumnos y alumnas utilicen un graficador; su uso les permitirá establecer
rápidamente las relaciones entre el gráfico, la expresión analítica del mismo y el rol de los números.
Es posible que algunos alumnos y alumnas tiendan a resolver los binomios al cuadrado que
están en la segunda ecuación; importa que se den cuenta que no es necesario, que es más evidente
la información en su forma de binomio.
Si se considera pertinente se puede obtener la ecuación general de la elipse centrada, como un
Se sugiere establecer la relación entre la circunferencia y la elipse y hacer referencia a las
cónicas; se puede pedir que los alumnos y alumnas investiguen sobre estos lugares geométricos,
que los construyan, que establezcan las relaciones con los diferentes cortes en el cono, entre otras
¿Cuáles son las ecuaciones de las elipses del siguiente dibujo?
Es aconsejable que los alumnos y alumnas asocien los interceptos con los ejes del sistema de coor-
denadas con los parámetros a y b de la ecuación de la elipse.
Es conveniente dibujar una elipse artesanalmente para que la frase ‘la suma de las distancias a
los focos es constante’ tenga sentido y sea comprendida por los alumnos y alumnas.
Establecen nexos entre la parábola como lugar geométrico y la función considerando una
parábola con vértice en el origen, como lo indica el dibujo.
Es importante que los alumnos y alumnas identifiquen la parábola en su expresión analítica con el
lugar geométrico correspondiente. Si (x , y) es un punto de la parábola, éste satisface las condicio-
nes del lugar geométrico, de donde: d ((x , y) , (0, p)) = d ((x , y), L ) en que (0 , p) son las
coordenadas del foco y L la recta directriz. Se obtiene la ecuación y =
Se sugiere que los estudiantes reconozcan que gráficos como los siguientes corresponden a
parábolas cuyas ecuaciones no son funciones.
Determinar el centro y radio de una circunferencia cuya ecuación es
+ 4y - 3 = 0
Es importante que los alumnos y alumnas desarrollen destrezas para completar cuadrados y utili-
zando dicho procedimiento puedan determinar los parámetros pedidos.
Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas (0,0);
(2,0) y (1,1).
Se sugiere que los alumnos y alumnas dibujen la circunferencia que satisface las condiciones que se
Un buen dibujo es siempre un buen apoyo para la reflexión.
En este caso, a partir del dibujo se puede anotar, a partir de la forma general, si h y k son las
coordenadas del centro,
También se podría resolver sustituyendo en la forma general los valores de las coordenadas de
los puntos y calculando a partir de las ecuaciones resultantes las coordenadas del centro y el radio
i)(0, 0) pertenece a la circunferencia: h2
ii)(2, 0) pertenece a la circunferencia: (2 - h)2
iii)(1, 1) pertenece a la circunferencia: (1 - h)2
+ (1 - k)2
ecuaciones que permiten calcular h, k y r.
Determinar los puntos de intersección de la recta y = x + 2 con la circunferencia de centro
el punto de coordenadas (1, 2) y de radio igual 2.
Después de dibujar la recta y la circunferencia definidas en el problema, será necesario resolver el
sistema de ecuaciones que, tal como puede verse en la figura, tiene dos soluciones.
Si se estima pertinente puede extenderse el problema a la búsqueda de la ecuación de una
recta paralela a la recta dada tal que su intersección con la circunferencia sea sólo un punto.
¿Cuáles son los puntos de intersección de la parábola y = x2
- 3 con la circunferencia de
centro en el origen y radio √23? Graficar ambas curvas y determinar las condiciones para
que existan 3, 4 o no existan puntos de intersección entre la parábola y la circunferencia.
Suponga que una circunferencia con centro en el eje y intersecta a una parábola y = x2
en cuatro puntos de coordenadas (x
1) ; (x
2) ; (x
3) ; (x
Demostrar que x
Es importante hacer una figura que represente la situación para notar que las coordenadas del
centro de la circunferencia deben ser de la forma (0, k) con k > 0 y el radio arbitrario. La resolución
requiere de un ordenado manejo algebraico.
Encontrar las ecuaciones de las dos tangentes a la circunferencia x2
= 4 que pasan
por el punto (3, 0)
La resolución de este problema permite conjugar variados conocimientos: que las tangentes son
perpendiculares a los radios en el punto de tangencia, que el producto de las pendientes de dos
rectas perpendiculares es igual a -1, la resolución de sistemas de ecuaciones, la ecuación de la recta
que pasa por dos puntos y otros.
Considerando la perpendicularidad de una de las tangentes con el radio se puede escribir ;
la resolución del sistema de ecuaciones
permite determinar las coordenadas de uno de los dos puntos de tangencia.
Las actividades que se proponen a continuación se complementan con algunos ejemplos. Para cada
ejemplo se propone un conjunto de indicadores que importa tener en cuenta para evaluar el logro
de los aprendizajes esperados por el alumno o alumna.
Estos indicadores son concordantes con los siguientes criterios de evaluación, ya descritos en
la presentación de este programa:
Resolución de problemas que involucren relaciones matemáticas.
Organización y estructuración de conceptos matemáticos.
Comprensión y aplicación de procedimientos rutinarios.
Determinar el lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de tres rectas que
i)consideran que las tres rectas pueden formar un triángulo; en ese caso, trazan las
bisectrices;
ii)consideran tres rectas paralelas que intersectan a una tercera; si trazan las bisectrices
de los ángulos;
iii)consideran las tres rectas concurrentes a un solo punto y la distancia la igualan a cero.
Determinar el punto que equidista de los vértices de:
i)un triángulo cualquiera;
ii)un rectángulo;
iii)un rombo.
i)dibujan las situaciones;
ii)generalizan considerando el punto de intersección de las simetrales, sin hacer mayor
iii)desarrollan alguna estrategia para ubicar el punto central;
iv)se dan cuenta que no hay tal punto para el rombo.
Determinan la ecuación de una circunferencia si conocen algunos elementos básicos
que la definan.
Determinan la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes en los puntos (3,0) y (0,-3).
i)hacen un dibujo;
ii)determinan desde el gráfico las coordenadas del centro y la medida del radio;
iii)escriben la ecuación recurriendo a los binomios o los desarrollan.
Determinar el lugar geométrico de los puntos que son centros de las circunferencias tan-
gentes a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano.
i)dibujan varias circunferencias que cumplan la condición de tangencia a los ejes;
ii)consideran sólo el cuadrante positivo;
iii)consideran la recta y = x como el lugar geométrico pedido;
iv)incorporan la recta x = -y como perteneciente a dicho lugar geométrico.
Resuelven problemas que involucran la resolución de sistemas de ecuaciones que in-
cluyen parábola y circunferencia.
Determinar los puntos de intersección de la circunferencia con centro en el origen y radio
igual a √ 2 y la recta y + x = 0.
i)hacen un dibujo y determinan las soluciones sin necesidad de hacer cálculos;
ii)plantean ambas ecuaciones,
iii)resuelven el sistema,
iv)determinan las dos soluciones.
Determinar los puntos de intersección de la elipse de ecuación
y la circunferencia de centro en el origen y radio igual a √ 5 . ¿Para qué valores del radio de
la circunferencia ambas curvas se intersectan?
i)hacen un dibujo de ambas curvas;
ii)plantean y resuelven el sistema de ecuaciones;
iii)determinan el rango para el radio de la circunferencia.
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