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Timestamp: 2020-07-12 21:35:42+00:00

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La resolución de problemas: sus posibilidades para el desarrollo del pensamiento multiplicativo - Ruta Maestra
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Admin-ruta 26 abril, 2019
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El presente artículo expone, a partir del análisis de los resultados de indagaciones realizadas entre estudiantes de diferentes niveles escolares y profesores en ejercicio, cómo el contexto de un aula gestionada por resolución de problemas permite que los alumnos demuestren sus posibilidades para realizar procesos matemáticos sofisticados, particularizados en el pensamiento multiplicativo. Los autores pretenden con ello demostrar, la necesidad, y a la vez la potencialidad de introducir el trabajo por resolución de problemas en todas las aulas en las que se enseñe matemáticas, si se desea promover el cambio de paradigma para la educación matemática planteado en los Lineamientos y estándares curriculares.
Desde hace más de 10 años en el país se han venido expidiendo normas que definen la política educativa en esta materia. Así para 1998 se expiden los Lineamientos Curriculares, que como su nombre lo indica, demarcan las acciones comunes para las instituciones educativas del país. En el 2006 se expiden los Estándares Básicos de Competencias, que se espera sirvan como referentes para la construcción curricular de las instituciones educativas, toda vez que en ellos se describe lo que todo niño, niña o joven debe saber y saber hacer luego de su egreso de la educación básica y media. Estas políticas replantean, entre otras cuestiones, la relación enseñanza–
aprendizaje, poniendo el énfasis de los procesos educativos en promover el aprendizaje y la formación de ciudadanos.
Para el caso de la educación matemática, en los lineamientos y los estándares curriculares se hace especial énfasis en que se aprenda a través de la resolución de problemas, articuladora de los procesos de aprendizaje y enseñanza. La propuesta incluye organizar el currículo desde tres ejes: Procesos de aprendizaje, conocimientos básicos y el contexto. Los procesos de aprendizaje organizados alrededor del razonamiento matemático, la modelación, la resolución de problemas y la construcción y uso de procedimientos y algoritmos. Los conocimientos básicos hacen referencia a la delimitación de los contenidos de formación organizados en torno a lo numérico y los sistemas numéricos y de numeración, lo variacional y los sistemas analíticos, lo métrico y los sistemas de medición, lo espacial y los sistemas geométricos, y lo aleatorio y los sistemas de datos. El contexto, entendido como el lugar donde se construye el sentido de la actividad matemática y los significados de los contenidos matemáticos puestos en juego en la situación problema. Es a partir del contexto donde se establecen las conexiones con la vida diaria, las matemáticas y de otras ciencias, por tanto, un contexto no sólo refiere al espacio físico sino al sociocultural.
En la educación básica 1 lo multiplicativo aparece como un aspecto ligado a los diferentes conjuntos numéricos (N, Z, Q, R, C) y a la resolución de situaciones de medición, estocásticas y geométricas que se recorren en este nivel educativo. Incluye aspectos relativos a suma repetida; proporción; recursión; funciones lineales, exponenciales y logarítmicas, entre otras.
A lo largo de la escolaridad, iniciando en los primeros años, los estudiantes se ven enfrentados tanto a actividades de aprendizaje que recurren a la multiplicación como
modeladora de situaciones como a trabajos centrados en la operatoria. Aun así, existen evidencias acerca de la poca comprensión que muchos de ellos demuestran cuando se
enfrentan a tareas matemáticas de tipo multiplicativo. Los resultados de las pruebas estandarizadas, nacionales e internacionales, describen ampliamente cómo para algunos
conceptos matemáticos, particularmente la proporcionalidad, los desempeños de los estudiantes están en las escalas más bajas. Según las pruebas internacionales cuando
dichos desempeños implican resolución de problemas la temática proporcionalidad es la peor valorada, aunque ahí a los estudiantes colombianos también nos va peor (Rojas etal., 2011). Este comportamiento está directamente relacionado con los ambientes de aprendizaje y los currículos desarrollados. Así, muchos de los países que superan los pobres desempeños de los estudiantes, han realizado acciones tendientes para que los currículos integren con decisión la resolución de problemas, como contexto de aprendizaje
y como estrategia de solución de situaciones problema.
Como contexto de aprendizaje, se usa para que los estudiante den sentido a la actividad matemática, de tal manera que sus experiencias con las matemáticas se aproximen a la manera como se produce el conocimiento matemático por los expertos profesionales. Como estrategia de aprendizaje, se espera que en la actividad de resolución de problemas sea de gran importancia que las herramientas matemáticas utilizadas permitan la relación entre las conceptualizaciones particulares (locales) con las conceptualizaciones generales socialmente construidas (global), es decir sean la vía privilegiada para promover aprendizaje matemático.
Los hechos mencionados han sido objeto de indagación en algunas de las investigaciones realizadas por el grupo Mescud, particularmente en Pensamiento Multiplicativo una
mirada de su densidad y complejidad en su desarrollo en el aula, cofinanciada por la Universidad Distrital, COLCIENCIAS y el IDEP y Uso de problemas matemáticos como instrumentos de aprendizaje en la formación de profesores cofinanciada por la Universidad Distrital y COLCIENCIAS. En el presente trabajo se presenta un análisis de trabajos realizados por alumnos de los primeros grados, con estudiantes universitarios y con profesores graduados, tratando de indagar sobre actividades matemáticas y organizaciones
de clase que potencian la comprensión de la multiplicación.
Lo multiplicativo en la formación ciudadana
“Hubo un época en que la alfabetización numérica sólo implicaba las cuatro reglas aritméticas de sumar, restar, multiplicar y dividir. En opinión de muchos, sigue siendo así. Sin embargo, actualmente reconocemos que, debido a que las sociedades se vuelven más complejas y dependen en mayor medida de ideas y procesos matemáticos sofisticados, el nivel de alfabetización numérica necesario para funcionar en ellas y contribuir a su desarrollo es cada vez más exigente”. (Bishop 2002, p. 40).
Sobre este aspecto nos preguntamos por las ideas y los procesos 2 matemáticos sofisticados –planteadas por Bishop– que todo ciudadano ha de conocer para que se pueda
vincular a la sociedad en condiciones funcionales pero que también, quienes quieran, puedan desarrollar pensamiento matemático avanzado y tal vez ingresar al mundo de aquellos que asumen las matemáticas como un mundo de realización particular. Es indudable que algunas de las ideas y procesos matemáticos 3 son posibles de adquirir fuera del
aula de clase y de la escuela. Ello por cuanto el conjunto de prácticas matemáticas existentes en nuestras sociedades, desde las matemáticas útiles para la tienda, pasando por las usadas y construidas por grupos de personas no matemáticos como los carpinteros, los vendedores ambulantes, etc., pueden ser transmitidas, culturalmente en el uso cotidiano, sin que necesariamente ellas sean motivo de tratamiento curricular en la escuela.
Ahora bien, algunos de los fenómenos sociales actuales por su complejidad y grado de estructuración requieren que la escuela los asuma como propios de su campo de acción,
pues las formas de multiplicación necesarias para abordarlos van más allá de las suma repetida y se insertan dentro de los modelos dinámicos (recursión) exponenciales y logarítmicos, propios del pensamiento matemático avanzado.
En conexión con lo que ya hemos dicho, aceptamos que un propósito de la educación es ayudar a los estudiantes y a los profesores en su construcción de mundos posibles. La escuela de hoy cuenta para ello con el conocimiento generado y acumulado por la humanidad, así como de valores que considera deseables, como los relativos a una
democracia en la corresponsabilidad y en la solidaridad, y que por el mismo hecho de considerarlos deseables, se colige que no están del todo instaurados colectivamente.
El conocimiento acumulado aunque ha sido suficiente para generar, por primera vez en nuestra (considerándonos miembros de la humanidad) historia moderna, suficiente excedente como para resolver los problemas de hambre y miseria, sin embargo hoy nos aquejan a todos, bien por sufrirlos directamente, bien por sufrir las implicaciones de vivir en
un mundo globalizado y sin democracia. Poder entender que todos, hambrientos y no hambrientos, miserables y pudientes participamos de un destino común, pasa por entender el efecto multiplicador a gran escala de lo infinitamente pequeño, así como de la relación compleja (no sumativa) entre la parte y el todo. Requerimientos que están representados y dispuestos, entre otros, en las semejanzas y en los fractales, sobre todo cuando se les examina desde el cambio y desde el crecimiento.
Pensemos ahora en la posibilidad de que una persona asalariada en Colombia compre casa. Es decir, pensemos en si es posible el mundo del colombiano asalariado con casa.
Todos sabemos que mientras el salario crece a una tasa anual de a lo más el IPC 4 ; los préstamos del UVR 5 crecen a una tasa anual del IPC + 14%. Al mantenerse esta diferencia de incrementos durante 15 años, ¿cuál es la diferencia absoluta de incrementos al final? , ¿qué parte del salario está aportando el asalariado año tras año para el pago de su casa?, ¿crece, se mantiene igual o decrece la parte de aporte al pago respecto del salario y de qué manera?, ¿qué posibilidad de existencia le queda a nuestro mundo pensado?
2. Algunos resultados del trabajo de aula
Uno de nuestros intereses curriculares, es trabajar a partir de situaciones problemáticas, que referencien el mundo de la vida de nuestros alumnos para desde allí ir construyendo significados, cada vez más complejos, de los objetos matemáticos a tratar, para este caso del objeto multiplicación.
Acudimos a nuestra experiencia como investigadores y formadores de profesores de matemáticas, para presentar los siguientes sucesos escolares. En primer lugar, hemos seleccionado una tarea clasificada como no rutinaria en nuestro ámbito escolar: producir problemas, la cual se le pidió realizar tanto a profesores en ejercicio, como a estudiantes para profesor (2º semestre) y a niños de sexto grado (11 años). Se elige esta tarea matemática, asumiendo con Puig (1996, p.12-13) que…
…“La multitud de estudios y de modelos teóricos desarrollados para los problemas verbales pertenecen en líneas generales a este mundo en que los problemas se consideran en
torno a conceptos, campos conceptuales o estructuras conceptuales”
La producción de problemas es una tarea que
nos permite indagar acerca de los significados que cada individuo, en situación escolar,
invoca del concepto o los conceptos involucrados.
2.1 ¿Es justo afirmar
Para analizar las producciones de los participantes seleccionamos las propuestas de
Vergnaud (1991) acerca de las estructuras
multiplicativas y una adecuación del análisis de tipo sintáctico propuesto por Nesher
(1981) para los problemas aditivos, cuya
pertinencia en relación con el análisis de problemas multiplicativos argumentamos posteriormente.
Para Vergnaud (1991), la multiplicación es
una operación cuaternaria. Considera que
los problemas «simples» de multiplicación
son aquellos en los que se relacionan cuatro
datos mediante operaciones de multiplicación o de división y sitúa su análisis en dos
grandes categorías: Isomorfismos de Medidas
y Producto de Medidas. Nesher (1981) organiza el análisis sintáctico mediante la ubicación de la pregunta en el texto del enunciado
propuesto y considera seis sentencias abiertas para dar cuenta del orden y el lugar tanto
de las sentencias de tipo informativo como de
la interrogativa; la Tabla 1 presenta nuestra
Justificación de la adecuación
La justificación enseguida presentada se dirige a dos aspectos, uno teórico y otro pragmático.
Aspecto teórico. Algunos autores ubican la
multiplicación como cierto tipo de operación
tríadica entre distintos tipos de cantidad. Por
ejemplo Schwartz (1988) considera la multiplicación como una operación que: 1. cambia
el tipo de unidad de las cantidades intervinientes y 2. intervienen tres cantidades entre
las que se puede distinguir al menos una cantidad intensiva que describe la relación multiplicativa de la situación. Así por ejemplo, en
1) En una celebración escolar a cada uno
de los niños se le pide contribuir con tres
pliegos de papel periódico para configurar
parte del escenario. Si hay 23 niños, ¿con cuántos pliegos de papel periódico contribuyen entre todos ellos?
2) En una celebración escolar se necesitan
69 pliegos de papel periódico para configurar parte del escenario. Si hay 23 niños
y a cada uno se le pide la misma cantidad,
¿cuántos pliegos de papel periódico tendrá que llevar cada uno de ellos?
3) En una celebración escolar se recolectaron
69 pliegos de papel periódico para configurar parte del escenario. Si únicamente
los niños contribuyeron y cada uno contribuyó con 3 pliegos de papel periódico,
¿cuántos niños contribuyeron con pliegos
4) Un barco se desplaza con una rapidez promedio de 30 nudos, ¿cuántas millas náuticas recorre en 5 horas?
5) Un barco en 5 horas se desplaza 150 millas
náuticas, ¿cuál es la rapidez promedio con
la que se desplaza el barco?
6) Un barco se desplazó 150 millas náuticas a
una rapidez promedio de 30 nudos, ¿cuál
fue el tiempo de viaje del barco?
Para los problemas 1, 2, 3 las tres cantidades
son 3 pliegos de papel periódico por niño, 23
niños, 69 pliegos de papel periódico; para los
problemas 4, 5, 6 las tres cantidades son 30
nudos, 5 horas, 150 millas náuticas. En los
primeros tres problemas la cantidad intensiva, que lleva la relación multiplicativa, es
3 pliegos de papel periódico por niño; para los
siguientes tres problemas es 30 nudos. Ambas
cantidades son en sí mismas una relación
conformada por dos cantidades que respectivamente son 3 pliegos de papel periódico y 1
niño, y 30 millas náuticas y 1 hora.
Mientras que según Vergnaud (1991) todos
estos 6 problemas ponen en juego 4 medidas.
Para los tres primeros éstas son: 1 niño, 23
niños, 3 pliegos de papel periódico, 69 pliegos de papel periódico y se relacionan como
lo expresa la Tabla 2; para los tres siguientes
éstas son: 1 hora, 5 horas, 30 millas náuticas
y 150 millas náuticas y se relacionan como lo
expresa la Tabla 2. En todos los problemas de
las 4 medidas se conocen tres como lo muestran las Tablas 3, 4, 5.
Resumiendo, desde el punto de vista teórico,
aquello que Vergnaud percibe como una correspondencia de cuatro medidas, Schwartz
lo percibe como una operación entre tres cantidades que transforma la unidad de medida;
mientras para Vergnaud (1991) la relación
multiplicativa no queda dispuesta de manera
explícita, ésta sí lo está en Schwartz (1988)
como una cantidad intensiva, es decir como
una relación entre dos cantidades.
Aspecto pragmático. Debido a la existencia
de cantidades intensivas con nombre, por
ejemplo, nudo, rapidez, temperatura, densidad, aceleración etc. las dos cantidades que
la constituyen quedan implícitas en muchos
enunciados de problemas multiplicativos y
sólo aparecen nombradas tres cantidades, y
a que esta cuestión se manifiesta en distintos
enunciados propuestos durante la investigación, fue conveniente incluir la manera de
Schwartz de concebir la multiplicación haciendo compatible el uso del análisis sintáctico a la manera de Nesher.
Los datos usados a continuación provienen
de las siguientes indagaciones: (Bonilla, Sánchez y Vidal, 1999; Puerto, 2001; Romero,
2003). La primera pidió a profesores de primaria elaborar tres problemas diferentes y explicar las razones para tal diferencia, utilizando
la expresión: 6 3 3 5 18; la segunda solicitó a
niños de grado sexto plantear cuatro problemas diferentes en donde se aplicara la multiplicación o la división e intervengan los números:
132 y 11 y, la tercera requirió a estudiantes
para profesor, alumnos de segundo semestre
de universidad, realizar cuatro enunciados de
situaciones de división que fueran estructuralmente diferentes describiendo en cada caso la
estructura y la diferencia con los otros casos.
La Tabla 6 presenta los resultados obtenidos
en cada indagación en relación con el tipo de
Comparando los resultados podemos afirmar
que no existe una diferencia significativa en
la preferencia del tipo de estructura usada
por los participantes en los estudios referenciados. Es muy fuerte, en los tres casos el
uso del isomorfismo de medidas, suponemos
que es debido a que en él están las palabras
usadas para referir multiplicación o división:
cada uno, veces, repartir de a o repartir entre.
La menor preferencia por los problemas de
producto de medidas, tal vez se deba a que
los problemas de este tipo se enmarcan en
ámbitos que se tratan de manera separada en
el currículo: cálculo de áreas y combinatoria
y por último tal vez, a que el uso de la regla de tres es muy marcado en nuestro ámbito escolar. Ahora bien, es de resaltar que la mayoría
de problemas que se clasifican en isomorfismo de medidas corresponden a problemas
en los que se involucra la multiplicación, los
que se plantean como de división la mayoría
debió ubicarse en el ítem sin relación multiplicativa.
Respecto a la categoría sintaxis de los enunciados planteados la Tabla 7 recoge los resultados.
Como podemos deducir, la preferencia en
esta clasificación está dada hacia los problemas con sentencia interrogativa a la derecha
del signo igual. Esto probablemente se debe
a que los problemas que abordamos escolarmente son de este tipo o tal vez a que los
participantes no consideran como problemas
diferentes a aquellos en los que el orden de la
proposición interrogativa cambia. Es probable que en el lenguaje común esta diferencia,
sobre todo para este tipo de problemas verbales no sea muy relevante.
Sin embargo en términos de la estructura
matemática, y sobre todo cuando nos enfrentamos al trabajo con ecuaciones, este tipo de
transformaciones tiene una significación importante como lo veremos en apartados posteriores.
En cuanto a problemas que modelan erróneamente la situación planteada encontramos
allí algunas semejanzas, que ejemplificamos:
Cambio de la relación multiplicativa por
una de tipo aditivo:
En un carro de helados tenían 132 helados
y vendió 11, ¿cuántos le quedaron? (Estudiante de 6° grado)
18 niños entran a estudiar y se retiran 6 a
la mitad de año, ¿cuántos niños quedan?
(profesor en ejercicio)
Problemas en que hace falta la relación
Si doy 6 frutas a 3 niñas, ¿cuántas frutas
son? (profesor en ejercicio)
En la plaza la señora vendió 132 naranjas a
11 niños, ¿cuántas naranjas le corresponde
a cada uno? (estudiante de grado 6°)
En un juego de canicas 4 niños ganaron
43 canicas en total, ¿cuántas canicas tiene
cada uno? (Estudiante para profesor)
Al comparar estos resultados encontramos
que la diferenciación tanto en el tipo de problemas producidos como en el tipo de errores
encontrados no es tanta como en principio se
supone debería ser considerando las diferenciaciones de edad, escolaridad y tipo de actividad que presentan los grupos de personas
con las que se han desarrollado las indagaciones.
Ahora bien, con los resultados obtenidos
podemos concluir, al igual que muchos de
los estudios realizados en nuestro país, que
esto se debe a incapacidad matemática de los
alumnos o a que no estudiaron lo suficiente
para aprender, afirmaciones que nos parece no son del todo ciertas, pues consideramos
que un aspecto que influye mucho más en la
implicación y producción matemática de los
alumnos es el contexto de aula e institucional en que se desenvuelve la enseñanza y el
aprendizaje, lo que trataremos de mostrar en
lo que sigue, no sin antes advertir que los resultados presentados también nos muestran
el lado de lo que hemos llamado no saben.
2.1.1. Los problemas de
Al analizar este aspecto desde aquello que
hacen los implicados en los trabajos referenciados para resolver los problemas que
plantean, vemos que en ellos está como un
implícito la congruencia de las partes, así:
El estudiante para profesor quien planteó y
solucionó los enunciados anteriores, asume
el problema como compuesto de otros dos:
uno de multiplicación y otro de división.
Para el de multiplicación asume como si estuviera explícita la relación en cada bolsa hay
la misma cantidad de golosinas y para el de
división no asume como necesario explicitar
la restricción de repartir en partes iguales o
repartir a todos y cada uno la misma cantidad.
Esas dos faltas de explicitación conducen a
que los problemas sean de tipo aditivo con
varias soluciones una de las cuales coincide
con la solución lograda cuando el problema
es visto como multiplicativo, por lo que pueden presentarse de la siguiente manera:
Como ya lo dijimos, este es uno de los errores más frecuentes observados en cada uno
de las tres grupos participantes, de lo cual no
es posible concluir que haya un alto grado de
incompetencia para resolver problemas de
la cotidianidad, ya que en nuestras prácticas
de compra–venta, juegos etc. asumimos que
compramos artículos que cuestan lo mismo o
que repartimos o formamos grupos de igual
tamaño, porque el mismo contexto cotidiano
obliga ese sentido. Sin embargo, trasladándonos al contexto de las matemáticas escolares, es un requerimiento asumir sólo las
restricciones y las relaciones establecidas de
manera explícita en un problema para aprender procesos y conceptos matemáticos.
Por otro lado, si asumimos con Vergnaud
(1991, p.197) que:
Se pueden distinguir dos grandes categorías de relaciones multiplicativas…
La más importante de ellas, que se utiliza para la introducción de la multiplicación en la escuela primaria y que
forma la trama de la gran mayoría de
los problemas de tipo multiplicativo, es
una relación cuaternaria y no una relación ternaria; por ello no está bien representada en la escritura habitual de la
multiplicación: a 3 b 5 c, ya que dicha
escritura no comporta más que tres términos….
Entonces los problemas de tipo multiplicativo
simple son una clase de problemas en los que
el esquema de la proporcionalidad se particulariza porque uno de los términos implicados
Utilizando este criterio, para considerar que
el problema que venimos analizando es un
problema multiplicativo se requiere plantear
la existencia de una relación de proporcionalidad simple entre las dos magnitudes consideradas, de tal manera que en la disposición
presentada en la Tabla 8 se considere que:
como espacios de medidas diferentes o espacios donde las unidades con las
que se mide pueden ser distintas.
• La relación entre las filas 1 y 2, es decir
entre (1, b) y (c, d) es multiplicativa en el
sentido que al multiplicar por c la fila 1 se
obtiene la fila 2 o dicho de otra manera
c 3 (1, b) 5 (c, c 3 b) 5 (c, d).
• La relación entre las medidas en M1
queda definida análogamente por una multiplicación b 3 (1, c) 5 (b, d).
• El número b transforma las medidas 1, c en
las medidas b, d constituyéndose en el operador que determina la relación multiplicativa de las medidas en M1
hacia las medidas
Ahora bien, el uso generalizado que omite
estas consideraciones y este lenguaje en el
tratamiento de este tipo de problemas en el
mundo escolar promueve en alumnos, profesores y estudiantes para profesor modelos
de multiplicación falsos o insuficientes caracterizados sólo por una forma reducida
de la Tabla 8 que, además, aparece con
nombre propio: la regla de tres dando poca
o ninguna importancia a explicitar aquello
que constituye, en este tipo de problemas, la
característica esencial para que puedan ser
considerados de tipo multiplicativo (Mora,
Romero, Bonilla y Rojas, 2006).
No sucede así con otros tipos de problemas,
también multiplicativos y en los que se involucra la proporcionalidad compuesta. Presentamos a continuación una experiencia que
fue desarrollada por estudiantes de séptimo
grado (12-14 años) reportada por Romero, et
al. (2002, p. 51) ocurrida en una institución escolar, que promueve explícitamente el trabajo por resolución de problemas.
Problema del ramo de flores
Una mujer desea regalar rosas rojas y negras.
Quiere además, que por cada dos rosas negras haya en el ramo cinco rosas rojas.
• ¿Cuál es la menor cantidad de rosas que
puede enviar?
• Si quiere enviar 25 rosas rojas, ¿cuántas
• Si envió 56 rosas, ¿cuántas rosas de cada
color compró?
• ¿Puede enviar cualquier número de rosas?
• ¿Puede enviar 105 rosas?
• ¿Qué otras cantidades de rosas puede enviar?
Los alumnos resolvieron esta tarea, recurriendo inicialmente a una tabla, construyendo paso a paso y de manera aditiva la
respuesta pero sucede algo muy importante,
actúan de manera sistemática sobre las dos
cantidades de cada fila, es decir, sumando
cada vez dos y cinco en las columnas Rosas
negras, Rosas rojas respectivamente, mostrando que llevan la relación multiplicativa
Luego, algunos identifican que en una columna están los múltiplos de 2 y en la otra
los de 5, así como que el número de rosas en
cada fila es siempre múltiplo de 7.
Un hecho que llama la atención es que al preguntarles cuántas rosas negras compró si ha
enviado 105 rosas, recurren a la tabla aunque
previamente hayan verificado que dentro del
contexto del problema 105 es un número posible de rosas a enviar, es decir, que 105 es el
múltiplo de 17 de 7 y que esto conduce a que
el número de rosas negras es 34.
Se manifiesta así, la dificultad de mantener
presente que hay una relación entre las columnas Rosas negras, Rosas rojas y Rosas.
Para mantenerla, se debe ver que en cada renglón, los números que allí aparecen son múltiplos de un mismo número, produciéndose,
entonces, una tabla de doble entrada, lo cual lleva a una estructura de
tipo multiplicativo (ver
Tabla 10). Sólo cuando
esto se verifica, los alumnos pueden abandonar
la estructura aditiva con
la cual conformaron la
Una vez trabajados estos
problemas 6 , apareció el
esquema lingüístico x es a
2 es a 5, 4 es a 10, … etc.
Mientras la relación en las filas se mantuvo
entre números enteros, la situación fue manejada adecuadamente. Sin embargo, en
tareas como 3 es a 4, 5 es a ? sucedieron
cuestiones diferentes. Este caso particular
fue propuesto varias veces en el transcurso
del trabajo, hasta que finalmente, luego de
un tiempo largo, los alumnos encontraron
tres modelos de solución:
Primer modelo. Para llegar a 5 utilizamos 2
partes de 3 más las 3. A 4 lo volvemos 3 y con
este tres hacemos lo mismo. Entonces primero se convierte a 4 en 3: una unidad (de
las 4) la parto en 3 partes y coloco cada una
de esas tres partes en cada una de las otras
tres unidades (que quedan de las 4).
Y ahora tengo tres unidades. De esas tres,
cojo dos, que son dos más dos tercios, y
como ya tengo cuatro de antes, me quedan
seis más dos tercios.
Segundo modelo. En la secuencia:
3 es a 4 12 es a 16
6 es a 8 15 es a 20, etc.
9 es a 12
Los estudiantes ya han trabajado con anterioridad el
problema con enunciado “una mujer desea regalar
rosas rojas y negras. Quiere además, que el número
de rojas sea el triple que el de negras…”
se dieron cuenta que al multiplicar en forma
de cruz dos filas consecutivas, se obtiene
cada vez el mismo resultado.
Entonces, colocando en la segunda fila 5 es a ?,
completaron la tabla así:
Y usaron la multiplicación en cruz para la primera y segunda filas, así obtuvieron que
Tercer modelo. Si multiplicamos la primera
relación por 5 llegamos a: 15 es a 20, 5 es a ?.
Como 5 es la tercera parte de 15, entonces ?
es la tercera parte de 20.
Como se desprende de la narración, es posible afirmar que el abordar este tipo de
problemas en las aulas de clase, permite la
exploración, la búsqueda, el pensamiento divergente, en fin, la posibilidad real de que los
alumnos generen formas de control de su actividad basados en la comprensión, llegando
a encontrar métodos generales de solución,
que para nada constituyen soluciones triviales o faltas de estructuración matemática.
Edición 7 – La calidad y la excelencia en la educación

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