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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales
2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ( I ) TEMA 1.9 * 2º BCS
3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 PROBLEMA CARACTERÍSTICAS CONCRETAS DE UN PROBLEMA 1.- A veces no está claro cuál es la pregunta, a diferencia de los ejercicios. 2.- De entrada se desconoce cómo abordarlo. 3.- Para su resolución se requiere profundizar, reflexionar, relacionar; a diferencia de los ejercicios, que se resuelven aplicando conocimientos y mecanismos aprendidos. 4.- No se sabe cuánto tiempo puede llevar conseguir un camino para su resolución. 5.- Suele ser factible e interesante para personas de muy diferentes niveles; mientras un mismo ejercicio su resolución es trivial para personas de un nivel superior e imposible para personas que no han alcanzado el nivel que requiere el ejercicio.
4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 CONSEJOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1.- Entiende bien todos los términos del problema, asegurándote que comprendes cada dato, cada frase, … 2.- Concéntrate al máximo, ya que resolver un problema es una actividad mental compleja. 3.- Ten paciencia y constancia, no abandonando a la primera dificultad. 4.- Resuelve de nuevo un problema, especialmente si has necesitado ayuda para resolverlo la primera vez. 5.- Reflexiona sobre otras formas de resolución. 6.-Sácales partido a los buenos problemas, pues muchos son una buena fuente de aprendizaje. Entre otras cosas puedes inventar otros parecidos, interrogarte sobre cómo sería si se cambiase tal dato, etc. 7.-Intercambia conclusiones con tus compañeros.
5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Una empresa china lanza al mercado pantalones, camisas y jerséis. El importe total de la producción es de 37.500 € y los costes por unidad son 7, 5 y 6 € respectivamente. Se sabe que el número de jerséis son los 2/7 del número de camisas y que, si al triple del número de pantalones se le suma el número de jerséis, se obtiene el doble del número de camisas. Averigua cuantos pantalones, camisas y jerséis se han lanzado al mercado. Resolución Sea x = Cantidad de pantalones lanzados. Sea y = Cantidad de camisas lanzadas. Sea z = Cantidad de jerséis lanzados. Por la lectura detenida del enunciado: 7.x + 5.y + 6.z = 37500 z = (2 / 7).y 3.x + z = 2.y Resultando el siguiente sistema a resolver: 7.x + 5.y + 6.z = 37500 2.y – 7.z = 0 3.x – 2.y + z = 0 PROBLEMA_9
6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 Invirtiendo el orden de filas y columnas: z – 2.y + 3.x = 0 6.z + 5.y + 7.x = 37500 7.z – 2.y = 0 Operando mediante Gauss: F2 – 6.F1 y F3 – 7.F1 z – 2.y + 3.x = 0 17.y – 11.x = 37500 12.y – 21.x = 0 Operando: 12.F2 y 17.F3 z – 2.y + 3.x = 0 204.y – 132.x = 450000 204.y – 357.x = 0 Operando: F3 – F2 y cambiando de signo los términos de F3 z – 2.y + 3.x = 0 204.y – 132.x = 450000 225.x = 450000 PROBLEMA_9 Resolviendo: x = 450000 / 225 = 2000 204.y – 132.2000 = 450000 204.y = 714000 y = 714000 / 204 = 3500 z – 2.3500 + 3.2000 = 0 z = 7000 – 6000 = 1000 Son 2000 pantalones. Son 3500 camisas. Y son 1000 jerséis.
7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Entre Ana, Bea, Carlos y Tomás tienen 162 €. Carlos tiene lo mismo que entre los otros tres juntos. Ana tiene 4 € más que Bea. Gastan cada uno de ellos 5 €, y resulta que el dinero que tiene Tomás es el doble que el que reúnen entre Ana y Bea. ¿Qué dinero tenían cada uno antes del gasto indicado?. Resolución Sea x = Cantidad que tiene Ana. Sea y = Cantidad que tiene Bea. Sea z = Cantidad que tiene Carlos. Sea t = Cantidad que tiene Tomás. Por la lectura detenida del enunciado: x + y + z + t = 162 z = x + y + t x = y + 4 t – 5 = 2.[(x – 5)+(y – 5)] PROBLEMA_10
8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Normalizando el sistema obtenido: x + y + z + t = 162 x + y – z + t = 0 x – y = 4 2.x + 2.y – t = 15 Aplicando el método de Gauss: F2 – F1, F3 – F1, F4 – 2.F1 x + y + z + t = 162 – 2.z = – 162 – 2.y – z – t = – 158 – 2.z – 3.t = – 309 Permutando filas y columnas: x + y + t + z = 162 – 2.y – t – z = – 158 – 3.t – 2.z = – 309 – 2.z = – 162 PROBLEMA_10 Resolviendo: z = 162 / 2 = 81 € 3.t + 2.81 = 309   3.t = 309 – 162 = 147   t = 147 / 3 = 49 € 2.y + 48 + 81 = 158   2.y = 158 – 129 = 29   y = 29 / 2 = 14,50 € x + 14,50 + 49 + 81 = 162   x = 162 – 144,50 = 17,50 € Ana tenía 17,50 € Bea tenía 14,50 € Carlos tenía 81 € Y Tomás tenía 162 €
9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Los alumnos de bachillerato deciden contratar a un profesor universitario para que les dé una lección magistral. Si acuden todos ellos deben pagar cada uno 4,5 €, pero si faltan seis el precio sería de 5 €. ¿Cuántos alumnos son?.¿Cuánto cobra el profesor?. Resolución Sea x = La cantidad que cobra el profesor, en €. Sea y = Número de alumnos en total. Por la lectura detenida del enunciado: x -- = 4,50 y x ------- = 5 y – 6 Operando queda: x = 4,50.y x = 5.(y – 6) PROBLEMA_11
10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 Normalizando el sistema: x – 4,50.y = 0 x – 5.y = – 30 Operando por Gauss: F2 – F1 x – 4,50.y = 0 – 0,50.y = – 30 Resolviendo el sistema: y = 30 / 0,50 = 60 alumnos hay. x – 4,50.60 = 0  x = 270 € cobra el profesor. Comprobamos la solución: 270 / 60 = 4,50 270 / (60 – 6) = 270 / 54 = 5 PROBLEMA_11
11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 Pedro dice a Juan: “Yo tengo dos veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 63 años”. Halla la edad de cada uno. Resolución Seax = edad actual de Pedro (yo en el enunciado) Seay = edad actual de Juan (tú el enunciado) Planteamiento previo Por el enunciado Pedro, x, es mayor que Juan, y Cuando Pedro tenía laCuando Juan tenga la edad de Juan:edad de Pedro: Hace (x – y) añosActualDentro de (x – y) años Pedrox – (x – y)xx + (x – y) Juany – (x – y)yy + (x – y) PROBLEMA_12
12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 Tras el planteamiento previo y la lectura detenida del enunciado: x = 2. [ y – (x – y) ] [ x + (x – y) ] + [ y + (x – y) ] = 63 Resolución: x = 2.(y – x + y)  x = 2y – 2x + 2y  3.x = 4.y x + x – y + y + x – y = 63  3.x – y = 63  y = 3.x – 63 Sustituyendo:3.x = 4.(3.x – 63) Y operando … 3.x = 12.x – 252  252 = 9.x  x = 28 Como y = 3.x – 63  y = 3.28 – 63 = 84 – 63 = 21 Pedro tiene 28 años y Juan tiene 21 años Comprobación:Hace 7 años: 28=28 Dentro de 7 años: 63 = 63 PROBLEMA_12
13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 Con los dígitos {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, y utilizándolos todos una sola vez, formar tres números de tres cifras cada uno, de modo que uno de ellos sea doble que otro, y que uno de ellos sea la suma de los otros dos. Ejemplos no válidos: N 1 = 123, N 2 = 456 y N 3 = 789 Sólo cumple la condición de utilizar todos los dígitos. N 1 = 356, N 2 = 712 y N 3 = 984 Utiliza todos los dígitos entre los tres números. El segundo número es doble que el primero. Pero el tercer número NO es suma de los otros dos. PROBLEMA_12
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