Source: https://www.slideshare.net/mashablekkk/libro-logica
Timestamp: 2017-03-27 15:01:59+00:00

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Lógica Computacional José Luis Fernández Vindel Ángeles Manjarrés Riesco Francisco Javier Díez Vegas Dpto. Inteligencia Artiﬁcial E.T.S.I. Informática UNED 2003 2.
PresentaciónEstos apuntes son el embrión de un futuro texto sobre el papel de la lógica en la computación. Hansurgido, en principio, como material de estudio de la asignatura Lógica Computacional que los autoresimparten en cuarto curso de Ingeniería Informática en la UNED. Quedan aún por desarrollar algunos contenidos. En particular, los que se reﬁeren a la implemen-tación de los sistemas de primer orden, así como un breve recorrido por su uso en computación einteligencia artiﬁcial. El capítulo dedicado a las lógicas modales todavía no hace honor a la enormeexplosión teórica y aplicada de este tipo de sistemas en los últimos años. Por último, obviamente,el capítulo sobre lógica temporal debe ampliarse para recoger, al menos, las lógicas temporales de lacomputación (tales como CT L∗ y sus subsistemas) y su empleo en la veriﬁcación de sistemas reactivosconcurrentes. Los capítulos 1-2 y 5-6 están siendo desarrollados por José Luis Fernández Vindel, el capítulo 3por Ángeles Manjarrés Riesco y el capítulo 4 por Francisco Javier Díez Vegas, todos ellos profesoresdel Departamento de Inteligencia Artiﬁcial de la UNED. Agradeceríamos sinceramente cualquier comunicación sobre erratas así como sugerencias sobrelos contenidos y su exposición. En particular nos preocupa cómo mantener un tono expositivo amiga-ble sin renunciar al rigor: hasta qué punto facilitar demostraciones formales (y dónde situarlas), cómoreubicar ejemplos y ejercicios para no entorpecer la exposición, etc. La dirección de correo logica4@dia.uned.es está a su disposición para estas comunicaciones,así como la página www.ia.uned.asignaturas/logica4 donde podrá consultar la (inevitable) fe deerratas y el desarrollo de estas notas. Los autores UNED, Madrid, 1 de octubre de 2003 3.
Índice generalIntroducción 1 Objetivos y contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Motivación para los alumnos de Ingeniería Informática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Bibliografía recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Parte I. LÓGICA DE PREDICADOS 51 LÓGICA DE PROPOSICIONES 7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1 Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 El lenguaje de la Lógica de Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Sobre la estructura inductiva del lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Derivación de conceptos sintácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.4 Eliminación de paréntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.2 Valores de verdad de fórmulas atómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.3 Semántica de las conectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4 Valores de verdad de fórmulas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.6 Tautologías y contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Conceptos semánticos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 Satisfacibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2 Validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.3 Consecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.4 Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4 Sistemas deductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.1 Deducción natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.4.2 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4.3 Tablas semánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Bibliografía complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Actividades y evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.
2 LÓGICA DE PREDICADOS DE PRIMER ORDEN 63 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1 Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.1 Lenguajes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.1.2 Inducción y recursión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.1.3 Subfórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1.4 Eliminación de paréntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1.5 Variables libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.1.6 Sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2 Semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.2 Interpretaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2.3 Asignaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.4 Satisfacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.5 Ejemplos de interpretación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.2.6 Conceptos semánticos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.3 Deducción Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3.1 Consideraciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.3.2 Cuantiﬁcadores universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3.3 Cuantiﬁcadores existenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.4 Tablas semánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.1 Fórmulas proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.2 Notación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.4.3 Reglas de expansión γ y δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.4.4 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.5.1 Forma prenexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.5.2 Funciones de Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.5.3 Forma clausulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.5.4 Uniﬁcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.5.5 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Bibliografía complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Actividades y evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Parte II. FORMALISMOS PARA PROGRAMACIÓN 1153 PROGRAMACIÓN LÓGICA 117 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.1 Cómo interpretar una fórmula lógica como un programa . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.1.1 Declaración de programa versus algoritmo de solución . . . . . . . . . . . . 118 3.1.2 La resolución como algoritmo para la solución de problemas . . . . . . . . . 121 3.1.3 Programación lógica versus programación algorítmica . . . . . . . . . . . . 123 3.2 Formalismo lógico para la representación de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . 125 IV 6.
3.3 Resolución SLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.4 El lenguaje PROLOG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.4.1 Deﬁnición de predicados recursivos. Reglas de computación y búsqueda . . . 130 3.4.2 Usos procedimentales del PROLOG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.4.3 Ventajas de la programación en PROLOG. Principales aplicaciones. . . . . . 142 Bibliografía complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Actividades y evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454 VERIFICACIÓN DE PROGRAMAS SECUENCIALES 147 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.2 Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2.1 Un micro-lenguaje de programación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2.2 Especiﬁcación de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.2.3 Ternas de Hoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.2.4 Variables de programa y variables lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.3 Semántica de los programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.3.1 Corrección total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.3.2 Corrección parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.4 El sistema deductivo de Hoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.4.1 Regla de asignación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.4.2 Regla del condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.4.3 Regla del condicional modiﬁcada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.4.4 Regla del bucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.4.5 Regla de composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.4.6 Regla de encadenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.5 Veriﬁcación parcial de programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.5.1 Composición y encadenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.5.2 Tratamiento de las asignaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.5.3 Tratamiento de las instrucciones condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.5.4 Tratamiento de los bucles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.6 Veriﬁcación total de programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.7 Comentarios adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.7.1 Consistencia y completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.7.2 Otras cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Bibliografía complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Actividades y evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Parte III. LÓGICA MODAL 1675 FUNDAMENTOS DE LÓGICA MODAL 169 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.1 Perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 V 7.
5.1.1 Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.1.2 Fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.1.3 Modelos adecuados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2 Estructuras relacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.1 Sistemas de transiciones etiquetadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.2 Propiedades de una relación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.2.3 Cierres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3 Lógica monomodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.3.1 Lógica modal básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.3.2 Teoría de la correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.3 Lógicas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.4 Lógicas polimodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.4.1 Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.4.2 Semantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.4.3 Lógica temporal básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.4.4 Lógica epistémica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Bibliografía complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Actividades y evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026 LÓGICA MODAL TEMPORAL 203 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.1 En Lógica de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.2 En Lógica modal básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.3 Lógica temporal bimodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.4 Más operadores temporales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.5 Lógica temporal de las computaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.6 Ampliación y lecturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Bibliografía complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Actividades y evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Bibliografía 210 VI 8.
Índice de ﬁguras 1 Dependencia conceptual entre los temas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Árboles sintácticos: presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Árbol sintáctico: ((p → q) ↔ (¬p)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Los colores de las fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Deﬁnición recursiva de árbol sintáctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Sustitución uniforme [p/ϕ, q/ψ] sobre un árbol sintáctico . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Árboles y paréntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Interpretación inducida por una asignación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.8 Deducción natural. p ∧ (q ∧ r) p ∧ r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.9 Árbol de la deducción natural. p ∧ (q ∧ r) p ∧ r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.10 Deducción natural. p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.11 Árbol de la deducción natural. p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) . . . . . . . . . . . . . 47 1.12 Deducción natural. (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∧ (q ∨ r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.13 Deducción natural. p → q, q → r p → r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.14 Deducción natural. (p ∧ q) → r p → (q → r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.15 Deducción natural. p → (q → r) (p ∧ q) → r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.16 Deducción natural. p → (p ∨ q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.17 Deducción natural. p → q, ¬q ¬p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.18 Árbol de la resolución {pq, pr, qr, r} . . . . . . . . . . . . . ¯ ¯ ¯ . . . . . . . . . . . . . 55 1.19 Una derivación de la cláusula vacía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.20 Una derivación de la cláusula vacía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.21 Notación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.22 Tableau de ¬(p → (q ∧ r)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.23 Tableau de {p → (q ∧ r), ¬r ∧ p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1 Fórmula de Primer Orden: árbol sintáctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2 Dos fórmulas de Primer Orden: subfórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3 Ámbitos y variables libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4 Tres estructuras sobre el mismo universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.5 Estructuras con dos predicados monádicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6 Inferencia sobre instancias de fórmulas proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.7 Tableau que conﬁrma que p → (q ∧ r) ¬r → ¬p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.8 (p ∧ p ) → ((q ∨ q ) ∧ (r → r )) ¬(r → r ) → ¬(p ∧ p ) . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.9 ∀xPx → (∃yQy ∧ ∀zRz) ¬∀zRz → ¬∀xPx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.10 Tableau que conﬁrma que ∀xPx ∨ ∃yQy ∃y∀x(Px ∨ Qy) . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.11 Tableau que conﬁrma que ∀x∃y(Rxy → Qy), ∀x∀yRxy ∃zQz . . . . . . . . . . . . 100 3.1 Árbol SLD del objetivo q(y, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.2 Árbol SLD del objetivo conectado(Y, b), conectado(b, Z) . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.3 Reevaluación del objetivo conectado(Y, b), conectado(b, Z) . . . . . . . . . . . . . . 133 3.4 Exploración del árbol SLD del objetivo conectado(Y, b), conectado(b, Z) por un in- térprete PROLOG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.5 Rama inﬁnita del árbol SLD del objetivo conectado(X,Y ) . . . . . . . . . . . . . . 134 3.6 Funcionamiento del operador de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.1 Estructura relacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 VII 9.
5.2 Un modelo: marco y asignación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.3 Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.4 Árbol sintáctico de 2((p ∧ q) ∨ (¬3r)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795.5 dos marcos sobre un mismo conjunto W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.6 una relación sobre un conjunto de 4 elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.7 Un modelo: marco y asignación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.8 satisfacción de una fórmula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.9 Marco para un lenguaje bimodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.1 Marco temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.2 Sistema de transiciones y su árbol de desarrollo desde un cierto nodo . . . . . . . . . 208 VIII 10.
Índice de tablas 1.1 Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 23 asignaciones distintas sobre 3 letras proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Semántica de las conectivas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Tabla de verdad de ((p ∧ q) ∨ (¬⊥)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5 Tabla de verdad de ((p ∧ q) ∨ (¬p)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Tabla de verdad, compacta, de ((p ∧ q) ∨ (¬p)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Una fórmula insatisfacible y dos satisfacibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.8 El conjunto Γ = {p → (q ∨ r) , (p ∧ q) ∨ r , q → (r ∨ p)} es satisfacible . . . . . . . . 28 1.9 El conjunto Ω = {(p → (q ∨ r) , (p ∧ q) , ¬(r ∨ p)} es insatisfacible . . . . . . . . . . 29 1.10 Consecuencia. {(¬p ∨ q) , (p ∨ r)} |= (q ∨ r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.11 Consecuencia. {¬p ∧ r , ¬(p ↔ q)} |= (p ∨ q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.12 Si {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ψ entonces ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn → ψ es tautología . . . . . . . . . . . . . 33 1.13 Si {ϕ1 , . . . , ϕn } |= ψ entonces ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn ∧ ¬ψ es insatisfacible . . . . . . . . . . . 35 1.14 Si ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn insatisfacible entonces {ϕ1 , . . . , ϕ j−1 , ϕ j+1 , . . . , ϕn } |= ¬ϕ j . . . . . . 35 1.15 Algunas fórmulas de dos variables, agrupadas por clases de equivalencia . . . . . . . 37 1.16 Todas las clases de equivalencia sobre fórmulas con dos variables . . . . . . . . . . 37 1.17 Equivalencias básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.18 Forma normal disyuntiva de una fórmula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.19 Formas normales conjuntivas y disyuntivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.20 Reglas de expansión de un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2 Dos relaciones sobre el mismo universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.3 Notación uniforme, conectivas binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.4 Notación uniforme, fórmulas cuantiﬁcadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.5 Reglas de expansión de un tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.6 Equivalencias de interés para alcanzar la forma prenexa . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.7 Otras equivalencias de interés para alcanzar la forma prenexa . . . . . . . . . . . . . 103 4.1 Tabla para probar el bucle de la función fact1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1 Propiedades de una relación binaria, expresadas en lógica de primer orden . . . . . . 174 5.2 deﬁnición recursiva de satisfacción M, w φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.3 Fórmulas modales que caracterizan relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . 194 IX 11.
IntroducciónObjetivos y contenidosEl objetivo fundamental de este libro es exponer los métodos de la lógica (concretamente de la lógicade predicados y de la lógica modal) que más se utilizan hoy en día en ciencias de la computación,inteligencia artiﬁcial e ingeniería del software. Por ello, algunos de los temas son de índole puramente teórica, mientras que otros tratan de es-tablecer el puente con las aplicaciones concretas. Así, la primera parte, que es de naturaleza teórica,estudia dos aspectos de la lógica de predicados: la lógica de proposiciones (tema 1) y la de predicadosde primer orden (tema 2), mientras que la segunda parte se centra en dos formalismos lógicos apli-cables a problemas de computación: el tema 3 estudia el fundamento de la programación lógica y eltema 4 la lógica de Hoare como formalismo para la veriﬁcación de programas secuenciales. Análogamente, dentro de la tercera parte, dedicada a la lógica modal, el tema 5 (fundamentos delógica modal) es puramente teórico, mientras que el tema 6 estudia la lógica modal temporal, que sirve,entre otras aplicaciones, para la veriﬁcación de sistemas concurrentes y de tiempo real (software) y decomponentes físicos (hardware). La ﬁgura 1 muestra la dependencia conceptual entre los temas tratados en el libro. 1. Lógica de proposiciones 3 k 2. Lógica 5. Lógica de predicados modal K 6 3. Programación 4. Veriﬁcación de 6. Lógica lógica progr. secuenciales modal temporal Figura 1: Dependencia conceptual entre los temas. Conviene señalar, sin embargo, que el objeto de este libro no es ninguno de los campos de aplica-ción anteriores, sino los formalismos lógicos. Por eso no vamos a estudiar aquí los detalles de cadauna de estas técnicas aplicadas, sino que insistiremos ante todo en el fundamento lógico común en 13.
2 Introducciónque se apoyan. En la bibliografía complementaria de cada uno de los temas encontrará el lector lasreferencias necesarias para conocer a fondo las técnicas que más le interesen.Motivación para los alumnos de Ingeniería InformáticaLa lógica constituye la herramienta formal de razonamiento de la mayor parte de las asignaturas dela carrera de informática, sobre todo de las que están más relacionadas con las matemáticas y laprogramación, tales como Álgebra, Análisis Matemático, Matemática Discreta, Electrónica Digital,Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales, Programación (incluida la Programación Concurrente yla Programación Declarativa), Bases de Datos, etc. En cuanto a la inteligencia artiﬁcial, la lógica es el fundamento de todos los métodos de repre-sentación del conocimiento y del razonamiento, especialmente en sistemas expertos, razonamientocon incertidumbre (encadenamiento de reglas, lógica difusa, etc.), procesado del lenguaje natural,razonamiento espacial y temporal, visión artiﬁcial, robótica, lógica epistémica,1 etc. En tercer lugar, los métodos formales tienen una aplicación inmediata en la ingeniería del soft-ware. El uso de lenguajes de especiﬁcación formal es beneﬁcioso en todos los desarrollos, ya quepromueve la deﬁnición de modelos estructurados, concisos y precisos en diferentes niveles de abs-tracción, y facilita el razonamiento sobre ellos incluso a un nivel informal. Cuando a las notacionesformales se les asigna una semántica operacional, es posible diseñar herramientas automáticas quedetecten ambigüedades en los requisitos iniciales, veriﬁquen y validen modelos a lo largo del ciclode desarrollo, ayuden en la evolución y el mantenimiento de los productos y generen automática osemi-automáticamente prototipos o incluso partes del código ﬁnal. Finalmente, los métodos formalessirven también para propósitos de documentación, ingeniería inversa y reutilización de componentes. No obstante, aun siendo reconocidas las importantes contribuciones de los métodos formales a laingeniería del software, su uso no se ha extendido tanto como cabía prever hace un par de décadas.Lo cierto es que los proyectos de desarrollo formal han fracasado con frecuencia, si bien por razonesmás ergonómicas que técnicas. La experiencia ha mostrado que introducir métodos formales en unproceso de desarrollo puede provocar diﬁcultades no relacionadas con la potencia de los métodos.En primer lugar, pueden resultar excesivamente restrictivos, tanto porque obligan a sobreespeciﬁcarciertos aspectos como porque constriñen el proceso de desarrollo, que tienen tendencia a monopolizar.En segundo lugar, su introducción puede ser problemática desde un punto de vista práctico, debido asu diﬁcultad real y percibida, de forma que el coste inicial de entrenamiento en estas técnicas puede sersigniﬁcativo, y en ocasiones los métodos son infrautilizadas incluso por parte de ingenieros instruidosen su uso. El incremento en costes de desarrollo que los métodos formales suponen en las primeras fases delciclo software se puede ver no obstante compensado por el decremento de los costes de las últimasfases, particularmente de la fase de validación, así como de las subsecuentes fases de mantenimiento yevolución. El problema fundamental de los métodos formales ha sido siempre que la comunidad cien-tíﬁca dedicada al desarrollo métodos formales ha invertido un escaso esfuerzo en transferir la tecnolo-gía a los entornos de ingeniería. Las diﬁcultades antes referidas podrían solventarse si se difundiesenpautas para seleccionar notaciones adecuadas para cada problema, evitar la sobre-formalización, iden-tiﬁcar dominios adecuados, integrar las técnicas formales con técnicas semi-formales de uso extendi- 1 La lógica epistémica es una rama de la lógica modal que sirve para razonar sobre el conocimiento (propio y ajeno), yse utiliza sobre todo para modelar el conocimiento de varios agentes. Hay que tener en cuenta que el enfoque más actualde la inteligencia artiﬁcial, tanto en el estudio teórico como en el desarrollo de aplicaciones, consiste en analizar y construirlos sistemas inteligentes como agentes que interactúan entre sí (por ejemplo, cooperando o compitiendo, según el dominiode que se trate). 14.
Introducción 3do, comercializar herramientas de desarrollo amigables, desarrollar técnicas especíﬁcas de estimaciónde costes de desarrollo, etc. Una buena estrategia para promover la integración de técnicas formalesen un proceso de desarrollo es construir una base formal detrás de un lenguaje semi-formal bien cono-cido y difundido. Tal fue la estrategia seguida en el caso del exitoso lenguaje SDL en el campo de lastelecomunicaciones, y es asimismo la estrategia seguida actualmente por algunos investigadores dellenguaje UML, con el propósito de introducir estas técnicas en los procesos de desarrollo orientadosa objeto, actualmente tan en boga. De los métodos formales se ha aﬁrmado, irónicamente, que “siempre han tenido un gran futuroy siempre lo tendrán”. No obstante, recientemente hay motivos razonables para conﬁar al ﬁn en unlanzamiento deﬁnitivo de estas técnicas, particularmente en los cada vez más numerosos complejosdominios que exigen un alto grado de calidad del software, tales como: telecomunicaciones, tran-sacciones bancarias, comercio electrónico, votaciones electrónicas, tarjetas inteligentes, dispositivosinalámbricos, etc. En resumen, los avances realizados en la última década en este campo han hecho de los métodosformales de veriﬁcación una herramienta cada vez más utilizada, y es de prever que su uso se extiendasigniﬁcativamente en los próximos años. Por eso, el alumno debe tener presente que, además del valor educativo de la lógica en la formaciónde una “mente ordenada”, las técnicas estudiadas en este libro han llegado a ser una herramienta cadavez más utilizada en aplicaciones industriales en la última década; las empresas más importantes delmundo de la informática y las telecomunicaciones, como ATT, BT, IBM, Intel, Motorola, Siemens,SRI, etc., cuentan con equipos especializados en este tema y los profesionales que conocen estastécnicas están cada vez más solicitados. En este sentido, puede ser útil la lectura del artículo —disponible en Internet— en que Clarke yWing [1996] enumeran algunas de las herramientas de veriﬁcación formal que se están utilizando enla actualidad. Como anécdota curiosa, este artículo menciona que el error que el primer procesadorPentium presentaba al efectuar ciertas divisiones, y que provocó unas pérdidas económicas conside-rables para Intel, se podría haber evitado con las técnicas disponibles en la actualidad; las referenciasbibliográﬁcas se encuentran en dicho artículo. Entre las aplicaciones desarrolladas recientemente utilizando un proceso de desarrollo enteramen-te formal cabe destacar la automatización de la nueva línea de metro de París, METEOR, que haobtenido una enorme publicidad. Esta línea funciona sin conductores y dejando un pequeño margentemporal entre trenes, de modo que los requisitos de seguridad requieren una alta conﬁanza en elsoftware. En la misma línea, recomendamos también los sitios de Internet www.afm.sbu.ac.uk/ ywww.cs.indiana.edu/formal-methods-education/, donde el alumno podrá encontrar numerososrecursos sobre métodos formales aplicados a la especiﬁcación y veriﬁcación de sistemas (hardware ysoftware), tales como herramientas gratuitas, abundante bibliografía e incluso ofertas de empleo. Finalmente, aunque el alumno no llegue a ser un experto en veriﬁcación, el estudio de la lógicacomputacional puede aportar al alumno dos beneﬁcios importantes: por un lado, le ayudará a formaruna mente lógica, lo cual le servirá tanto para estudiar las asignaturas de esta carrera como para en supráctica profesional, especialmente en las labores de diseño y programación.Bibliografía recomendadaAdemás de la bibliografía complementaria que hemos incluido en cada capítulo de este libro, quere-mos ofrecer una selección general de bibliografía que puede ser útil para el alumno que quiera ampliarlos temas tratados en esta asignatura. 15.
4 Introducción• Logic in Computer Science [Huth y Ryan, 2000] Es un libro excelente, que explica la aplicación de las técnicas de la lógica computacional a pro-blemas del mundo real. Lo recomendamos encarecidamente a los alumnos que quieran profundizar enlos temas que tratamos en este texto y conocer otras técnicas nuevas. Aunque el nivel de complejidades mayor que el de nuestro texto, se encuentra al alcance cualquier estudiante de pregrado que decidaestudiarlo detenidamente. Recomendamos a quienes estén interesados que visiten la página web dellibro, http://www.cs.bham.ac.uk/research/lics/, creada por sus autores; en ella podrán en-contrar una fe de erratas, ejercicios de autoevaluación en forma de test (con soluciones explicadas),enlaces de interés, etc.• Mathematical Logic for Computer Science [Ben-Ari, 2001] Desde su aparición, en 1993, este libro se ha convertido en uno de los textos más conocidos delógica matemática. La segunda edición, publicada en junio de 2001, amplía y actualiza sensiblementelos contenidos de la primera. Se trata de un texto para pregraduados, que intenta ser bastante didáctico,y en general lo consigue, aunque a nosotros nos gustaría que fuera más intuitivo en las explicaciones;por ejemplo, dando la “traducción” a lenguaje natural de las expresiones matemáticas, especialmentede los teoremas (lo hace en algunas ocasiones, pero en otras muchas no). Los ejemplos y ejerciciosdel libro están bien escogidos y constituyen un apoyo importante para el estudio. La página web http://stwww.weizmann.ac.il/g-cs/benari/books.htm#ml2, creada por elautor, contiene una fe de erratas, enlaces muy interesantes sobre lógica matemática y el código fuenteen PROLOG de algunos algoritmos para los formalismos lógicos (demostradores de teoremas, etc.),descritos en el libro, cuyo estudio puede resultar muy interesante para asentar los conceptos y losmétodos expuestos en nuestro texto.• Handbook of Logic in Artiﬁcial Intelligence and Logic Programming [Gabbay et al., 1993, 1994b,1994c, 1995, 1998] Es una colección de cinco volúmenes, en que cada capítulo está escrito por un autor diferente. Elprimer volumen se ocupa de los fundamentos lógicos (incluida la lógica modal básica y las cláusulasde Horn), el segundo de las metodologías de deducción, el tercero del razonamiento no-monótono, elcuarto de las lógicas epistémicas y temporales y el quinto de la programación lógica. Constituye unaexcelente obra de consulta, pero puede resultar demasiado compleja para alumnos pregraduados. (No se debe confundir esta obra con el Handbook of Logic in Computer Science [Abramsky etal., 1992-2001]. Ambas constan de cinco volúmenes y están editadas por Oxford University Press,pero esta última es de una complejidad aún mayor, por lo que no la incluimos como bibliografíacomplementaria para nuestros alumnos.)• Introduction to Mathematical Logic [Mendelson, 1997] Uno de los mejores libros sobre lógica por la claridad de las explicaciones y la amplitud de lostemas que cubre. Muchos de estos temas superan ampliamente el nivel de una asignatura de pregrado. Para mayor información, en http://aracne.usal.es/results/biblioes.html hay una listade más de 40 libros de lógica en inglés y en español. A través de esa página puede acceder también arecursos muy interesantes desarrollados dentro del Proyecto Aracne. 16.
Parte ILÓGICA DE PREDICADOS 17.
Capítulo 1LÓGICA DE PROPOSICIONESResumenSe presenta el primero de los sistemas lógicos de este texto. Como en todos los restantes, se cubrentres etapas: • primero se facilita un lenguaje formal, • después se deﬁne con precisión cómo evaluar el valor de verdad de una expresión del lenguaje • y por último se facilitan sistemas deductivos para decidir, mediante cálculos, sobre propiedades o relaciones entre unas expresiones y otras (más precisamente, entre sus valores de verdad). Este capítulo tiene, por un lado, un interés intrínseco por sus aplicaciones en Matemáticas, Com-putación y en la formalización incipiente de razonamientos cotidianos, en lenguaje natural. Adicionalmente ofrece un marco formal sencillo donde plantearse propiedades e interrelacionessobre los valores de las expresiones (satisfacibilidad, validez, consecuencia, equivalencia), sobresus métodos de decisión y sobre los sistemas deductivos creados para abordar estas cuestiones. Ylo que es más importante: tales conceptos son todos exportables a otros sistemas lógicos, con lasrestricciones propias de cada sistema.Objetivos 1. Respecto a la comprensión y uso del lenguaje formal: • es primordial ser capaz de generar, a mano, expresiones correctas (con todos los parén- tesis que conllevan) y sus árboles sintácticos. Asimismo se debe poder analizar cualquier expresión correcta facilitada. • adicionalmente, se requiere la comprensión de la estructura inductiva del lenguaje con dos ﬁnes: primero porque facilita la automatización del lenguaje y segundo porque facilita el seguimiento de demostraciones sobre el propio lenguaje. 2. Respecto a la semántica, a la evaluación de los valores de verdad de una expresión • es básico ser capaz de evaluar, a mano, el valor de verdad de una expresión frente a una determinada interpretación; y ser capaz de listar todas las interpretaciones posibles y evaluar la expresión sobre cada una de ellas (es decir, de construir la tabla de verdad de la expresión). 7 18.
8 Capítulo 1. LÓGICA DE PROPOSICIONES • tan básico como lo anterior resulta comprender, trabajando sobre tablas de verdad, los conceptos semánticos que manejaremos permanentemente: satisfacción, satisfacibilidad, validez (tautologías), equivalencia. Es crítico tanto entender estos conceptos por separa- do como empaparse de sus interrelaciones. • adicionalmente se puede considerar una primera automatización de los procesos de de- cisión de estas cuestiones, basada en el recorrido extensivo de la tabla de verdad hasta donde se requiera. 3. Sobre los sistemas deductivos: • es importante darse cuenta de que tanto la Resolución como las Tablas Analíticas se utilizan para conﬁrmar que el conjunto de fórmulas de partida es insatisfacible. Y de cómo se utiliza esta conﬁrmación para detectar relaciones de consecuencia. • sería deseable que el lector trabajara sobre al menos uno de los sistemas deductivos hasta sentirse cómodo desarrollando demostraciones en ese marco. No obstante, para problemas complejos se requiere en seguida la asistencia de un sistema automatizado de apoyo. • como objetivo más avanzado se propone la reﬂexión sobre la automatización de estos sistemas, principalmente de los basados en Resolución o en Tablas Analíticas • otro objetivo avanzado, éste muy formal, conlleva la comprensión de los teoremas de corrección y completud (que aún no facilita el texto) para entender cómo se engarzan y convergen los conceptos semánticos con ’esos cálculos sintácticos de los sistemas deducti- vos’. En particular, cómo conﬂuyen el concepto de consecuencia lógica y el de derivación, prueba o demostración sintáctica.MetodologíaDe un texto lineal conviene saber qué debe leerse primero, qué se debe posponer y cómo contrastarel nivel de conocimiento en cada instante. Utilice el apartado Objetivos como referencia: trate de abordar, por ese orden, los objetivosbásicos de cada uno de los tres puntos analizados. En el estado actual de estas notas no es difícil: nohay muchos contenidos sobre automatización ni demostraciones formales. Le recomendamos que aborde mínimamente el capítulo de sintaxis, hasta donde formalmente leresulte cómodo. Y que, con ese conocimiento intuitivo sobre la generación correcta de expresionesdedique tanto tiempo como requiera a la comprensión en profundidad de los conceptos semánticosbásicos. Sólo entonces puede comenzar a trabajar sobre los sistemas deductivos. Lamentamos que, salvo los ejemplos y ﬁguras, no se incluyan todavía ejercicios suﬁcientes.1.1 SintaxisDeﬁnición 1.1 (Alfabeto) Un alfabeto es un conjunto de símbolos.Ejemplo 1.2 Los dos siguientes conjuntos pueden considerarse alfabetos: A1 = {$, s, 5} A2 = {p1 , p2 , p3 , p4 , . . .}A1 es un alfabeto ﬁnito, que consta de 3 símbolos. Por contra, A2 puede aceptarse como un alfabetoinﬁnito (si se considera cada p j como un único carácter, distinto del resto). 19.
1.1. Sintaxis 9Deﬁnición 1.3 (Expresión) Una expresión es una secuencia ﬁnita de símbolos. Por ’expresión sobre el alfabeto A’ se entenderá una expresión compuesta exclusivamente desímbolos del alfabeto A. A los símbolos también se les denomina caracteres y a las expresiones,cadenas.Ejemplo 1.4 Cada una de las cinco secuencias siguientes es una expresión sobre el alfabeto A1 : 5 ss $$s55s ss5 5555ss$$Observe que en una expresión se pueden repetir símbolos, pero no incluir símbolos ajenos: la cadena’55ss4s’, que incluye el carácter ’4’, no contenido en A1 , no es una expresión sobre A1 . Sobre un alfabeto ﬁnito, como A1 , ¿cuántas expresiones distintas pueden formarse?, ¿alguna de estas expresiones puede ser inﬁnita?. Observe que la deﬁnición de expresión exige que cada secuencia sea ﬁnita: no es una expre-sión 5555 . . . , donde se espera que detrás de cada 5 siempre aparezca otro. Sin embargo, no se ﬁjauna longitud máxima: por muy grande que sea una expresión siempre puede construirse otra mayoradjuntando un nuevo carácter. Así, puede generarse un número inﬁnito de cadenas incluso con un alfabeto ﬁnito, como p. ej.A3 = {a} con un solo símbolo: a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, . . . Al conjunto (siempre inﬁnito) de todas lasexpresiones que pueden construirse sobre un alfabeto A se le suele notar como A∗ .Deﬁnición 1.5 (Lenguaje) Un lenguaje es un conjunto de expresiones. Más concretamente, un len-guaje sobre el alfabeto A es cualquier subconjunto de A∗ . Dado un alfabeto A, el conjunto total de cadenas A∗ es un lenguaje sobre A, pero también lo escualquier subconjunto suyo L ⊂ A∗ (vacío, ﬁnito o inﬁnito).Ejemplo 1.6 Sobre A = {$, s, 5} se pueden deﬁnir, entre otros, los lenguajes L1 = {5, $$, ss, 55} ó L2 = {s, ss, sss, . . .}L2 es un lenguaje con un número inﬁnito de cadenas. Para deﬁnir este tipo de lenguajes se requiereprecisar las propiedades que distinguen sus expresiones. Por ejemplo, para los lenguajes L3 = {s, s$, s5, $s, 5s, ss, . . .} L4 = {s5, 5s, s$5, $s5, 5$s, . . .}L3 : ’todas las cadenas formadas al menos por una s’ ; o L4 : ’todas las cadenas que incluyen igualnúmero de símbolos s que de 5’.1.1.1 El lenguaje de la Lógica de ProposicionesEl alfabeto de la Lógica de Proposiciones debe proporcionar los símbolos necesarios para representarproposiciones sobre el mundo. Como el número de proposiciones que pueden manejarse en un mismorazonamiento no está limitado, debe proveer un número inﬁnito de letras proposicionales.Deﬁnición 1.7 (Alfabeto de la Lógica de Proposiciones) El alfabeto A de la Lógica de Proposicio-nes consta de los siguientes elementos: 20.
10 Capítulo 1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 1. inﬁnitas letras proposicionales: p0 , p1 , p2 , p3 . . . 2. símbolos lógicos: constantes (⊥, ), conectiva monaria (¬) y conectivas binarias (∧, ∨, →, ↔) 3. dos símbolos auxiliares de puntuación: paréntesis izquierdo’(’ y derecho ’)’ Así, A = {p0 , p1 , . . . , ⊥, , ¬, ∧, ∨, →, ↔, (, )} En las exposiciones teóricas, el número de letras proposicionales que se consideran simultáneamente espequeño (por ejemplo, de p0 a p8 ). En estos caso se suelen notar informalmente con las últimas letras delalfabeto latino: {p, q, r, s,t, . . .}. Seguiremos esta notación informal a partir de este punto.Lectura y representaciones alternativas En la siguiente tabla se adjunta el nombre usual de ca-da conectiva y su lectura. También se añaden algunas formas alternativas de representación en otrostextos. Ciertos lenguajes de programación pueden reservar símbolos distintos para estas mismas co-nectivas. ⊥, ’falso’, ’verdadero’ f alse, true ¬p ’no p’ negación ∼p p∧q ’p y q’ conjunción pq p∨q ’p o q’ disyunción p→q ’si p entonces q’ condicional p ⊃ q, p ⇒ q p↔q ’p si y sólo si q’ bicondicional p ≡ q, p ⇔ qEjemplo 1.8 Las siguientes secuencias son expresiones sobre el alfabeto ﬁjado: ( (pq (→ ¬p) (p ∨ ∧p) (r →↔ p ∨ q¬) p (¬p) (p → q) ((p ∨ p) ∧ ⊥) ((r ↔ ) ∧ (r → (¬q))) Para nuestros ﬁnes, algunas de estas cadenas no son útiles. En este ejemplo, sólo aceptaríamoslas de la segunda ﬁla. A las expresiones aceptables se las denominará fórmulas o expresiones bienformadas. El conjunto (inﬁnito) que incluye todas estas fórmulas (y nada más) es el Lenguaje de laLógica de Proposiciones, que notaremos como Form. Como introducción intuitiva le proponemos que estudie el proceso de generación de la fórmula(correcta, aceptable) ((p ∧ ) ∨ (¬p)). Se representa gráﬁcamente en la siguiente ﬁgura, que deberecorrerse de abajo arriba. ((p ∧ ) ∨ (¬p)) ()*+ /.-,? c∨  c ?? ??  ???  ??  ??   ?? (p ∧ ) (¬p) ()*+ /.-,? ∧ ()*+ /.-, ¬ c ?? y c ?? y  ??  ??  ??  ??   p p p p Figura 1.1: Árboles sintácticos: presentación Observe que, partiendo de bloques mínimos, se van construyendo expresiones más complejas.Éstas, a su vez, siempre pueden ser reutilizadas como nuevos bloques componentes: 21.
1.1. Sintaxis 11 p ∧ ∨ ¬ p Los bloques mínimos aceptables, las fórmulas atómicas, están compuestas por un único caracterdel alfabeto. Pero no cualquiera: sólo letra proposicional o constante.Deﬁnición 1.9 (Fórmula atómica) Una fórmula atómica es una expresión compuesta exclusivamen-te por una letra proposicional, la constante ⊥ o la constante . El conjunto de todas las fórmulas, el lenguaje buscado, podría deﬁnirse (en primera aproximación)como el conjunto X que veriﬁcase: 1. todas las fórmulas atómicas pertenecen a X 2. si la expresión ϕ ∈ X entonces (¬ϕ) ∈ X 3. si las expresiones ϕ, ψ ∈ X entonces (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ) ∈ X Un conjunto así garantiza que todas las fórmulas pertenecen al mismo. Pero puede además constarde otros elementos. En particular, el conjunto A∗ formado por todas las cadenas generables a partirdel alfabeto, veriﬁca esas tres propiedades. Pero también las veriﬁca el conjunto ’A∗ menos la cadena(→ ∧)’. Intuitivamente, si sólo se partiera de las fórmulas atómicas y se produjeran todas las negacionesy conexiones binarias posibles, debiera obtenerse un conjunto que contiene fórmulas y sólo fórmulas.Y estaría incluido en cada uno de los dos conjuntos antes citados (y, por tanto, en su intersección).Deﬁnición 1.10 (Lenguaje de la Lógica de Proposiciones) El conjunto Form, que contiene todaslas expresiones aceptables en nuestro lenguaje (y sólo éstas), es el menor de los conjuntos X queveriﬁca: 1. todas las fórmulas atómicas pertenecen a X 2. si la expresión ϕ ∈ X entonces (¬ϕ) ∈ X 3. si las expresiones ϕ, ψ ∈ X entonces (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ) ∈ X Esta familia de conjuntos X no es vacía: pertenece a la misma al menos el conjunto A∗ . La intersección detodos ellos produce un conjunto que veriﬁca también las tres propiedades requeridas. Y es el menor de todos,está incluido en cada uno. En particular, es el conjunto que incluye todas las expresiones que pueden generarsecon estas tres reglas y exclusivamente tales expresiones.Ejemplo 1.11 Las siguientes cuatro líneas muestran tanto fórmulas atómicas como compuestas con1, 2 y 3 conectivas, respectivamente: • p, q, r, ⊥, • (¬p), (¬⊥), (¬ ), (p ∧ q), (p → ⊥) • (¬(¬p)), (¬(¬ )), ((p ∧ q) ∨ r), (p → (¬⊥)) • ((¬(p ∧ q)) → p), ((p → r) → (¬⊥)) Trate de explicitar los pasos (las reglas utilizadas), desde las fórmulas atómicas, hasta la generara-ción de una fórmula del ejemplo. Puede resultarle útil considerar una representación como la de ﬁgura1.2. A este tipo de gráﬁcos se les denomina árboles sintácticos. Posponemos su deﬁnición formal. 22.
12 Capítulo 1. LÓGICA DE PROPOSICIONES 89:; ?= ((p → q) ↔ (¬p)) c ?? c↔?   ??  ???  ??  ??   ?? (p → q) (¬p) ?= 89:; → ? ()*+ /.-, ¬ c y c ?? ?? y  ???  ??  ??    ?  ? p q p p q p Figura 1.2: Árbol sintáctico: ((p → q) ↔ (¬p))MetalenguajeA lo largo de estas notas encontrará expresiones como ’(ϕ ↔ ψ)’. Ésta es una abreviatura de fórmula:la que se compone uniendo por un bicondicional dos fórmulas cualesquiera, denotadas como ϕ y ψ.Puesto que ϕ y ψ no forman parte del alfabeto, esta expresión no es una fórmula del lenguaje sinouna frase para hablar acerca del lenguaje. A este lenguaje superior, utilizado para analizar otro, se ledenomina metalenguaje. En concreto, en estos apuntes se utilizará el castellano más algunos símbolosadicionales como metalenguaje. Algunas de las expresiones del metalenguaje serán meras abreviaturas de fórmulas, o esquemasde fórmulas: por ’(ϕ ∗ ψ)’ se entenderá la fórmula construida por cualesquiera dos otras y una de lasconectivas binarias. Observe que, como ϕ y ψ pueden ser cualesquiera fórmulas, no se descarta quepuedan particularizarse en la misma fórmula. Otras expresiones del metalenguaje abreviarán frasesmás complejas, ya no fórmulas, expresando propiedades o relaciones entre fórmulas; por ejemplo,’φ ≡ ψ’ se leerá como ’las fórmulas φ y ψ son equivalentes’. En este texto se utilizarán letras griegas minúsculas para denotar fórmulas y letras griegas mayús-culas para denotar conjuntos de fórmulas. La siguiente tabla facilita su lectura: A α alfa I ι iota P ρ ro B β beta K κ kappa Σ σ, ς sigma Γ γ gamma Λ λ lambda T τ tau ∆ δ delta M µ mu ϒ υ ípsilon E ε épsilon N ν nu Φ φ, ϕ ﬁ Z ζ dseta Ξ ξ xi X χ ji H η eta O o omicron Ψ ψ psi Θ θ, ϑ zeta Π π, ϖ pi Ω ω omega Tabla 1.1: Alfabeto griego1.1.2 Sobre la estructura inductiva del lenguajeEn la deﬁnición 1.10 de lenguaje, con tres reglas de composición se ha deﬁnido un conjunto defórmulas, inﬁnito pero muy estructurado. Este conjunto, por deﬁnición, tiene una estructura inductiva:nuevas fórmulas se construyen a partir de otras utilizando alguna de las cinco opciones de generación, 23.
1.1. Sintaxis 13alguna de las cinco conectivas ﬁjadas. Sobre un conjunto con esta estructura, las demostraciones y deﬁniciones se producen por métodosinductivos y recursivos respectivamente. Así, en muy pocas líneas, se puede ﬁjar una deﬁniciónaplicable sobre cualquier fórmula, por muy compleja que sea. O demostrar que todas y cada una delas inﬁnitas fórmulas veriﬁcan cierta propiedad.Demostraciones inductivasEl lector puede estar familiarizado con el Principio de Inducción aritmético, donde sólo se requiereun paso inductivo: el que lleva de un número a su sucesor. Así, para demostrar una propiedad de losnúmeros naturales, basta demostrar que el primer número la veriﬁca y que dado un número cualquieratambién la veriﬁca su sucesor. Sobre el conjunto de fórmulas existen varias opciones de generación de fórmulas más complejas.Es preciso disponer de un retocado Principio de Inducción, que ﬁje tanto el caso base como cada unade las alternativas inductivas.Deﬁnición 1.12 (Principio de inducción estructural) Para demostrar que toda fórmula ϕ ∈ Formtiene la propiedad P basta demostrar que: 1. Caso base: toda fórmula atómica tiene la propiedad P 2. Pasos inductivos: (a) si la expresión ϕ tiene la propiedad P, entonces (¬ϕ) tiene la propiedad P (b) si las expresiones ϕ y ψ tienen la propiedad P, entonces (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ) tienen la propiedad P Sea P el conjunto de expresiones de A∗ que tienen la propiedad P. Si se veriﬁcan los puntos 1 y 2,P contiene todas las fórmulas atómicas, la negación de cualquier expresión que esté en P y la composiciónbinaria de cualesquiera dos expresiones pertenecientes a P . Así, el conjunto P es uno de aquellos conjuntos X que veriﬁcaban las propiedades exigidas en la deﬁnición1.10 del Lenguaje de la Lógica de Proposiciones. Es decir, Form ⊂ P : todas las fórmulas veriﬁcan la propiedadP (además de, quizá, otras expresiones).Ejercicio 1.13 Demuestre, mediante inducción, que toda fórmula tiene un número par de paréntesis. Entre otras propiedades demostrables, resaltaremos una en este punto: si se facilita una expresión,supuesto que sea una fórmula, sólo existe un medio de descomponerla sintácticamente.Teorema 1.14 (Análisis sintáctico único) Cada fórmula proposicional ϕ pertenece a una y sólo unade las siguientes categorias: 1. ϕ es atómica 2. ϕ es de la forma (¬ψ), para ψ fórmula única 3. ϕ es de la forma (ψ ∗ χ), para una determinada conectiva y para ψ y χ fórmulas únicas La descomposición de una fórmula no atómica ϕ en una o dos componentes produce sus sub-fórmulas inmediatas. La conectiva que se aplicaba sobre ella o ellas es la conectiva principal deϕ. 24.
14 Capítulo 1. LÓGICA DE PROPOSICIONESEjemplo 1.15 La fórmula ((p → (¬q)) ∧ (p ∨ r))es una conjunción. Es decir, es de la forma (ψ ∧ χ) con ψ = (p → (¬q)), χ = (p ∨ r)Su conectiva principal es ∧ y sus subfórmulas inmediatas son esas ψ y χ.Ejercicio 1.16 Trate de encontrar un algoritmo que determine la conectiva principal de cualquierfórmula, contabilizando los paréntesis abiertos y cerrados. Observe que, de acuerdo al teorema 1.14 previo, cualquier fórmula (por muy extensa que sea)presenta la siguiente estructura: ¿ ... ? ∗ ¿ ... ? ¬ ¿ ... ? pDeﬁniciones recursivasEn el ejercicio 1.13 se utilizaba el concepto intuitivo de número de paréntesis. Hay que suponer queestamos reﬁriéndonos a una función del conjunto de fórmulas en el conjunto de números naturalesnum par (ϕ) = n. ¿Cómo puede deﬁnirse rigurosamente esta función? Observe que un proceso como’cuente usted ...’ no nos sirve como deﬁnición. Si las fórmulas hablasen, una fórmula conjuntiva como (ϕ ∧ ψ) diría: ’yo sólo sé que tengo 2paréntesis más que mis componentes inmediatas’. De esta forma, el número que se quiere calcularsupone una operación sobre el número que ’aportan’ las componentes. Y sobre el que aportan lascomponentes de las componentes de éstas, recursivamente hasta llegar al caso base. Para las fórmulasatómicas su aportación debe estar ﬁjada. Más precisamente, la función num par : Form → N buscada se deﬁne como:   2 + num par (ψ) + num par (χ) , ϕ = (ψ ∗ χ) num par (ϕ) = 2 + num par (ψ) , ϕ = (¬ψ)  0 , ϕ atómicaEjemplo 1.17 La función num↔ : Form → N hace corresponder a cada fórmula el número total desus conectivas bicondicionales. Se deﬁne como:   1 + num↔ (ψ) + num↔ (χ) , ϕ = (ψ ∗ χ, ) con ∗ =↔   0 + num↔ (ψ) + num↔ (χ) , ϕ = (ψ ∗ χ), con ∗ =↔ num↔ (ϕ) =  0 + num↔ (ψ)  , ϕ = (¬ψ)  0 , ϕ atómicaObserve que, aunque de forma compacta, se ﬁja la imagen tanto para las fórmulas atómicas comopara cada una de las 5 conectivas. En algunos casos, la imagen para alguna de estas alternativas puedecoincidir. En el ejemplo 1.17, el número de bicondicionales es una función num↔ : Form → N, del con-junto de fórmulas en el conjunto de números naturales. En general, las deﬁniciones sobre fórmulasresultarán ser una función de Form en algún conjunto, aunque no necesariamente sobre N. 25.
1.1. Sintaxis 15Ejemplo 1.18 Deﬁniremos una función color, de Form en el conjunto Semáforo={verde,ámbar,rojo},que abreviaremos como conjunto S = {v, a, r}. El primer objetivo es ﬁjar el color de cualquier fórmula atómica. Deﬁnamos una función coloratsólo desde el conjunto de fórmulas atómicas sobre el conjunto Semáforo: colorat (p0 ) = v colorat (p1 ) = a colorat (p2 ) = r colorat (p3 ) = v colorat (p4 ) = a colorat (p5 ) = r ... colorat (p0+3 j ) = v colorat (p1+3 j ) = a colorat (p2+3 j ) = rcon colorat ( ) = v, colorat (⊥) = r. En este punto, pueden empezarse a valorar los nodos terminales(inferiores) de una ﬁgura como la 1.3. Y continuar la valoración hacia el nodo raíz. y a color∨ (r, a) U gOOO ooo OOO ooo r a OOO ooo color∧ (v, r) color¬ (a) c ?? y  ?? v r ? ? a  colorat (p0 ) colorat (⊥) colorat (p4 ) Figura 1.3: Los colores de las fórmulas Para ello es preciso deﬁnir qué color ’sale’ de un nodo ¬ (negación), según el color que ’entre’.Y qué color ’sale’ de cada conjuntiva binaria, según qué par de colores entren. Para el ejemplo de laﬁgura: color¬ (a) = a, color∧ (v, r) = r, color∨ (r, a) = a. Así, color( ((p0 ∧ ⊥) ∨ p4 ) ) = aObserve que, para deﬁnir la función color : Form → S se requiere deﬁnir las funciones auxiliares: colorat : Form_Atom → S color¬ : S → S color∗ : S2 → S para cada conectiva binariaTeorema 1.19 (Principio de Recursión Estructural) Dadas las funciones fat : Form_Atom → X f¬ : X → X f∗ : X 2 → X para cada conectiva binariaexiste una única función F : Form → X tal que:   f∗ ( F(ψ ∗ χ) ) ϕ = ψ ∗ χ F(ϕ) = f¬ ( F(ψ) ) ϕ = ¬ψ  fat (ϕ) ϕ ∈ Form_Atom El Principio de Recursión estructural garantiza que, para una determinada elección de las funcio-nes previas, la función resultante es única y está bien deﬁnida.1.1.3 Derivación de conceptos sintácticosCon ayuda del Principio de Recursión Estructural se pueden deﬁnir otros conceptos sintácticos. Eneste apartado abordaremos la deﬁnición de rango, número de símbolos, apariciones de un determinadosímbolo, la deﬁnición de árbol sintáctico y la de conjunto de subfórmulas de una fórmula dada. 26.
16 Capítulo 1. LÓGICA DE PROPOSICIONESRangoLa función rango : Form → N, intuitivamente, proporciona la longitud de la mayor rama del árbolsintáctico de la fórmula. Se deﬁne:   1 + max(rango(ψ), rango(χ)) , ϕ = (ψ ∗ χ) rango(ϕ) = 1 + rango(ψ) , ϕ = (¬ψ)  0 , ϕ atómica Dejamos al lector la deﬁnición de otros conceptos similares, como número de símbolos o númerode apariciones de conectivas (o de algunas, en particular).Ejercicio 1.20 Construya, exclusivamente con 7 conectivas binarias, una fórmula con el mayor rangoposible y otra con el menor. Dada una fórmula, reﬂexione sobre cómo su rango, número de símbolos o apariciones de conec-tivas se acotan entre sí. El lector puede encontrar en la literatura demostraciones inductivas sobre el lenguaje que no uti-lizan el Principio de Inducción Estructural. Son demostraciones que emplean el conocido Principiode Inducción Completa sobre números naturales. En este caso, el número natural asignado a cadafórmula es su rango o su número de símbolos:Teorema 1.21 (Principio de Inducción Completa) Si para cualquier fórmula ϕ se demuestra que: todas las fórmulas con rango (o número de símbolos) menor que ϕ tienen la propiedad Pentonces todas las fórmulas tienen la propiedad P. La demostración de que ambos principios de inducción son equivalentes no se aborda en estetexto.Árboles sintácticosSe ha estado utilizando el concepto de árbol sintáctico sin una deﬁnición. En la ﬁgura 1.4 se repre-sentan, respectivamente, las deﬁniciones de arbol(ϕ ∗ ψ), arbol(¬ψ) y arbol(ϕ) para ϕ atómica. ´ ´ ´ Puede precisar y formalizar más esta deﬁnición si utiliza como conjunto imagen el de las re-presentaciones matemáticas del concepto de árbol, o el de alguna estructura computacional que lorepresente. [arbol(ϕ), ϕ = ψ ∗ χ] ´ [arbol(ϕ), ϕ = ¬ψ] ´ [arbol(ϕ), ϕ at omica] ´ ´ (ψ ∗ χ) (¬ψ) ϕ  ?1 arbol(ψ) ´ arbol(χ) ´ arbol(ψ) ´ Figura 1.4: Deﬁnición recursiva de árbol sintáctico 27.
1.1. Sintaxis 17SubfórmulasDeﬁnición 1.22 (Subfórmulas) Dada una fórmula ϕ, el conjunto de todas sus subfórmulas se deﬁnerecursivamente como:   {ϕ} ∪ sub f orm(ψ) ∪ sub f orm(χ) , ϕ = (ψ ∗ χ) sub f orm(ϕ) = {ϕ} ∪ sub f orm(ψ) , ϕ = (¬ψ)  {ϕ} , ϕ atómica Observe que sub f orm : Form → P (Form) es una función del conjunto de fórmulas en el conjuntode subconjuntos de fórmulas.Ejemplo 1.23 El conjunto de subfórmulas de ϕ = ((p ∧ r) → (q ∨ (¬t))es sub f orm(φ) = {((p ∧ r) → (q ∨ (¬t)), (p ∧ r), (q ∨ (¬t)), p, r, q, (¬t),t}Sustitución uniformeLa sustitución uniforme permite escribir una fórmula a partir de otra. Será una operación sintáctica deextraordinaria utilidad en las secciones siguientes. Intuitivamente, se puede visualizar contemplandolos árboles de la ﬁgura 1.5. ((p → q) ↔ (¬p)) ((ϕ → ψ) ↔ (¬ϕ)) c ?? ?? ooo oU gOOO OOO   ?? ooooo OOO O (p → q) (¬p) (ϕ → ψ) (¬ϕ) c ?? ?? y c ?? ?? y  ??  ??  ?   p q p arbol(ϕ) ´ arbol(ψ) ´ arbol(ϕ) ´ Figura 1.5: Sustitución uniforme [p/ϕ, q/ψ] sobre un árbol sintácticoEjemplo 1.24 Considere la fórmula χ := ((p → q) ∨ p)y sustituya todas la apariciones de: p, por la fórmula ϕ := (r ∧ s) q, por la fórmula ψ := (t → u) el resultado es la fórmula ((r ∧ s) → (t → u)) ∨ (r ∧ s)) ϕ ψ ϕ 28.
18 Capítulo 1. LÓGICA DE PROPOSICIONESdonde las marcas de subrayado se han añadido ocasionalmente para facilitar la correspondencia. Cuidado Observe que la sustitución se produce uniformemente, por igual, en todas y cada unade las apariciones de la letra proposicional sustituida. Sobre la misma fórmula χ de partida, se podían haber sustituido todas las instancias de: p, por la fórmula ϕ := q q, por la fórmula ψ := (q → ¬p) el resultado sería entonces la fórmula ( q → (q → ¬p)) ∨ q ) ϕ ψ ϕ Cuidado Observe que la sustitución no vuelve a aplicarse sobre instancias nuevamente apareci-das de la letra proposicional. En [p/q, q/(q → (¬p))] se produce las sustituciones atómicas simul-táneamente: no se ’convierten’ primero las p en q y, luego, todas las q (las primitivas y las reciénaparecidas) en (q → (¬p)). Algo más formalmente, dada una fórmula ϕ su sustitución (ϕ)σ es una fórmula. Y esta función()σ : Form → Form se puede deﬁnir recursivamente.Deﬁnición 1.25 (Instancia, por sustitución, de una fórmula) Considere una fórmula ϕ y una fun-ción σat om : Form_At om → Form que deﬁne la sustitución para cada fórmula atómica . Entonces, la ´ ´sustitución uniforme (ϕ)σ se deﬁne como:   ( (ψ)σ ∗ (χ)σ ) , ϕ = ψ ∗ χ (ϕ)σ = ( ¬(ψ)σ ) , ϕ = ¬ψ  σat om (ϕ) ´ , ϕ atómicaDe la sustitución atómica σat om se requiere que σat om (⊥) = ⊥ y que σat om ( ) = . Cada σat om ﬁja ´ ´ ´ ´una única sustitución uniforme ()σ . La fórmula (ϕ)σ es la instancia de ϕ por la sustitución σ. Así, si una sustitución se aplica sobre una fórmula, por ejemplo, conjuntiva, el resultado será laconjunción de las transformadas. Si se aplica sobre una negación, el resultado es la negación de latransformada. Cuando se llega a una letra proposicional, se cambia ésta por su fórmula sustituyente.Ejemplo 1.26 Sea σat om : Form_At om → Form tal que: ´ ´ σat om (⊥) = ⊥ ´ σat om ( ) = ´ σat om (p0 ) = (p1 ∨ p0 ) σat om (p1 ) = p3 ´ ´ σat om (pk ) = pk para toda letra proposicional pk con k = 0, 1 ´ Entonces está deﬁnida la transformada (ϕ)σ de cualquier fórmula ϕ, por ejemplo ϕ := (p0 → ¬p1 ) (ϕ)σ = (p0 → ¬p1 )σ = ((p0 )σ → (¬p1 )σ ) = = ((p0 )σ → (¬(p1 )σ )) = (σat om (p0 ) → (¬σat om (p1 ))) ´ ´ = ((p1 ∨ p0 ) → (¬p3 ))Ejercicio 1.27 Con la sustitución deﬁnida en el ejemplo previo, calcule: ((p0 ∧ p1 ) → (⊥ ∨ p3 ))σ 29.
1.1. Sintaxis 19 Cuando en una sustitución atómica, como σat om = [p/(q∧r), q/(t ∨q)], no se facilite la sustitución ´para todas (las inﬁnitas) letras proposicionales, se entenderá que σat om (pk ) = pk para esas letras. ´ Aunque no fuera así, suelen precisarse sólo las sustituciones atómicas de las letras incluidas enlas fórmulas analizadas en ese momento. Si dos sustituciones coinciden sobre esas letras (aunque di-ﬁeran en alguna de las inﬁnitas restantes), producen las mismas transformaciones sobre esas fórmulasconsideradas.1.1.4 Eliminación de paréntesisConsidere el árbol sintáctico de la ﬁgura (ﬁg. 1.6). Cada nodo es una de las subfórmulas utilizadas ensu generación. Y una fórmula no es más que la expresión lineal de esta estructura. Con todos sus paréntesis (y correctamente situados) a cada fórmula le corresponde un único árbolsintáctico. Y a cada árbol una única fórmula. Si se omiten los paréntesis, a una fórmula le puedencorresponder varios árboles: resulta ambigua. Por ejemplo, p ∧ q ∨ ¬ppuede tener por conectiva principal una conjunción o una negación. Trate de dibujar sus posiblesárboles sintácticos. ((p ∧ q) ∨ (¬p)) /.-,? ()*+ c∨  c ?? ??  ???  ??  ??   ?? ()*+ /.-,? ()*+ /.-, (p ∧ q) (¬p) c∧ ¬y c ?? y  ???  ?? ??  ??  ?  ??   p q p p q p Figura 1.6: Árboles y paréntesis Además de los paréntesis (cuya anidación replica la del arbol) existen otras dos maneras de li-nealizar un árbol sintáctico: utilizando notación preﬁja o conviniendo un orden de precedencia entreconectivas.Notación preﬁjaUna operación aritmética binaria como (3 + 5) puede representarse así (en notación inﬁja) o (+ 3 5)(en notación preﬁja). También se puede considerar la notación posﬁja. Así, una fórmula como ((p ∧ q) ∨ (¬p))se puede representar en notación preﬁja como ∨ ∧ pq ¬ pDonde las llaves y líneas se han añadido para facilitar la lectura. Observe que corresponde a unrecorrido del árbol en profundidad. Y que la fórmula, ya sin paréntesis, no resulta ambigua. A la notación preﬁja también se la conoce como notación polaca. 30.
20 Capítulo 1. LÓGICA DE PROPOSICIONESPrecedenciaPara interpretar una expresión aritmética como 3 · 5 + 7 · 4, ambigua, se suele suponer que existe unconvenio entre el escritor y el lector que deshace esta ambiguedad. El convenio más generalizado per-mite interpretar esa expresión como ((3 · 5) + (7 · 4)). Se suele explicar informalmente este convenioﬁjando que, en caso de ambiguedad, ’las multiplicaciones se consideran antes que las sumas’. Entre los operadores lógicos, en este mismo tono informal, se suelen considerar primero las nega-ciones, luego conjunciones y disyunciones, y después condicionales y bicondicionales. Como quieraque es un convenio, trate de determinar con exactitud qué precedencia utiliza el autor del texto queesté leyendo.1.2 Semántica1.2.1 IntroducciónLos sistemas lógicos no son meros ejercicios formales. Se utilizan para representar declaracionessobre el mundo y operar sobre estas representaciones.Representación de declaraciones Cada declaración, cada expresión declarativa, enuncia un estadode cosas. ’LLueve’ es una expresión declarativa. Una orden o una pregunta no lo son. De unaexpresión declarativa se puede juzgar cuánto de verdadera es. La sintaxis del lenguaje natural, con el que nos comunicamos diariamente, permite construir ex-presiones declarativas a partir de otras. Así, en una frase como ’llueve y es de día’ se distinguen 3expresiones: ’llueve’, ’es de día’ y ’llueve-y-es de día’. llueve y es de día Los sistemas lógicos proporcionan un lenguaje formal. Y sobre este lenguaje se intenta representarlas declaraciones del lenguaje natural. Como el lenguaje natural es mucho más rico en matices,excepciones, ambigüedades y contextos, este proceso de representación no es fácil. Ciertamente,algunos lenguajes formales son más expresivos que otros, permiten captar más detalles del lenguajenatural. Si estos detalles son signiﬁcativos para describir un nuevo tipo de razonamiento, bienvenidos.Si no, podíamos habernos quedado con el lenguaje formal previo, más rígido. La lógica de proposiciones facilita un lenguaje muy pobre. Sin embargo, hay procesos de razo-namiento utilizados diariamente que pueden ser formalizados, captados convenientemente, sobre estelenguaje. Para formalizar otros procesos habrá que deﬁnir nuevos sistemas lógicos. En el lenguaje proposicional, el ejemplo previo sobre la lluvia y el estado diurno, se representaríacomo: p ∧ q Observe que, de nuevo, se pueden considerar 3 fórmulas: p, q y p ∧ q.Valores de verdad de una declaración Volvamos al lenguaje natural, a las 3 declaraciones detec-tadas en ’llueve y es de día’. Sobre cada una de ellas se puede considerar su grado de verdad, pero node forma totalmente independiente. Una vez que se ha ﬁjado el valor de verdad de las componentes,el de la expresión compuesta está determinado: es función de los anteriores. Para este ejemplo, si sólo Recommended
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