Source: https://ru.b-ok.xyz/book/446395/ef037b
Timestamp: 2020-04-02 12:18:42+00:00

Document:
Dernieres pensees | Poincare H. | download
Главная Dernieres pensees
Скачать (djvu, 1.01 MB)
Henri Poincaré Dernières pensées Alain.Blachaif(g)ac-nancy-nietz.ff Cliquez sur le lien ci-dessus pour signaler des erreurs.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 2 AVERTISSEMENT 3 CHAPITRE I : L'EVOLUTION DES LOIS 4 1 4 II 5 m 6 IV 7 V 7 VI 8 VII 8 VIII 9 IX 9 X 10 XI 10 CHAPITRE II : L'ESPACE ET LE TEMPS 12 CHAPITRE m : POURQUOI L'ESPACE A TROIS DIMENSIONS 18 § l.-^ANALYSIS SITUS ET LE CO^TmU 18 § 2. - LE CONTINU ET LES COUPURES 19 § 3. - L'ESPACE ET LES SENS 21 § 4. - L'ESPACE ET LES MOUVEMENTS 23 §5.-L'ESPACE ET LA NATURE 26 § 6.-LANALYSIS SITUS ET VmTUlTlO^ 27 CHAPITRE IV : LA LOGIQUE DE L'INFINI 29 § pr. - CE QUE DOIT ETRE UNE CLASSIFICATION 29 § 2.-LE NOMBRE CARDINAL 31 §3.-LE MEMOIRE DE M. RUSSELL 31 § 4. - L'AXIOME DE REDUCTIBILITE 33 §5.-LE MEMOIRE DEM. ZERMELO 34 § 6.-L'EMPL0I DE L'INFINI 37 §.7.-RÉSUMÉ 38 CHAPITRE V : LES MATHEMATIQUES ET LA LOGIQUE 40 CHAPITRE VI : L'HYPOTHESE DES QUANTA 46 § 1.-THERMODYNAMIQUE ET PROBABILITE 46 § 2. - LA LOI DU RAYONNEMENT 47 § 3. - LES QUANTA D'ENERGIE 48 § 4. - DISCUSSION DE L'HYPOTHESE PRECEDENTE 49 §5.-LES QUANTA D'ACTION 50 § 6. - LA NOUVELLE THEORIE DE PLANCK 52 § 7.-LES IDEES DE M. SOMMERFELD 52 § 8. - CONCLUSIONS 53 CHAPITRE VIII : LA MORALE ET LA SCIENCE 61 Appendice 70 CHAPITRE I : LES FONDEMENTS DE LA GEOMETRIE 71 § 1.-LISTE DES AXIOMES 72 § 2. - INDEPENDANCE DES AXIOMES 74 §3.-LA GEOMETRIE NON ARCHIMEDIENNE 75 § 4. - LA GEOMETRIE NON ARGUESIENNE 77 §5.-LA GEOMETRIE NON PASCALIENNE 77 Conclusion 79 CHAPITRE II : COURNOT ET LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITESIMAL 82 CHAPITRE m : LE LIBRE EXAMEN EN MATIERE SCIENTIFIQUE 89 CHAPITRE IV : LE DEMON D'ARRHENIUS 94
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 3 AVERTISSEMENT Sous ce titre Dernières pensées, nous réunissons ici divers articles et conférences que M. Henri Poincaré destinait lui- e for er le quatriè e volu e de ses ouvra es de p ilosop ie scientifique. Tous les précédents avaient dé paru dans cette collection. Il serait inutile de rappeler leur prodi ieu succès. Le plus illustre des at é aticiens o; demes s' est révélé é inent p ilosop e, un de ceu dont les livres infiuencent profondé ent la pensée u aine. Il est pro a le que si Henri Poincaré lui- e avait pu lié ce volu e, il e t odifié certains détails, fait dispara tre quelques répétitions. Mais il nous a paru que le respect d la é oire de ce rand ort interdisait aucune retouc e son te te. Il nous a paru é aie ent inutile de faire précéder ce volu e d'aucune étude sur 1' uvre de Henri Poincaré. Elle a été u ée par tous les savants et aucun co entaire ne pourrait au enter la loire de ce puissant énie Gustave Le Bon
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 4 CHAPITRE I : L'EVOLUTION DES LOIS M. Boutroux, dans ses travaux sur la contingence des lois de la nature, s'est demandé si les lois naturelles ne sont pas susceptibles de changer, si alors que le monde évolue continuellement, les lois elles-mêmes, c'est-à-dire les règles suivant lesquelles se fait cette évolution, seront seules exemptes de toute variation. Une pareille conception n'a aucune chance d'être jamais adoptée par les savants ; au sens où ils l'entendraient, ils ne sauraient y adhérer sans nier la légitimité et la possibilité même de la Science. Mais le philosophe conserve le droit de se poser la question, d'envisager les diverses solutions qu'elle comporte, d'en examiner les conséquences, et de chercher à les concilier avec les légitimes exigences des savants. Je voudrais considérer quelques-uns des aspects que le problème peut revêtir ; je serai ainsi amené non à des conclusions proprement dites, mais à diverses réflexions qui ne seront peut-être pas dénuées d'intérêt. Si, chemin faisant, je me laisse aller à parler un peu longuement de certaines questions connexes, on voudra bien me le pardonner. I Plaçons-nous d'abord au point de vue du mathématicien. Admettons pour un instant que les lois physiques aient subi des variations dans le cours des âges, et demandons-nous si nous aurions un moyen de nous en apercevoir. N'oublions pas d'abord que les quelques siècles pendant lesquels l'humanité a vécu et pensé, ont été précédés de périodes incomparablement plus longues où l'homme ne vivait pas encore ; ils seront sans doute suivis d'autres périodes où notre espèce aura disparu. Si l'on veut croire à une évolution des lois, elle ne peut sans contredit être que très lente, de sorte que, pendant le peu d'années où l'on a pensé, les lois de la nature n'ont pu subir que des changements insignifiants. Si elles ont évolué dans le passé, il faut comprendre par là le passé géologique. Les lois d'autrefois étaient-elles celles d'aujourd'hui, les lois de demain seront-elles encore les mêmes ? Quand on pose une pareille question, quel sens doit-on attacher aux mots autrefois, aujourd'hui et demain ? aujourd'hui ce sont les temps dont l'histoire a conservé le souvenir ; autrefois ce sont les millions d'années qui ont précédé l'histoire et où les ichtyosaures vivaient tranquillement sans philosopher ; demain, ce sont les millions d'années qui viendront ensuite, où la Terre sera refroidie et où l'homme n'aura plus d'yeux pour voir ni de cerveau pour penser. Cela posé, qu'est-ce qu'une loi ? C'est un lien constant entre l'antécédent et le conséquent, entre l'état actuel du monde et son état immédiatement postérieur. Connaissant l'état actuel de chaque partie de l'univers, le savant idéal qui connaîtrait toutes les lois de la nature posséderait des règles fixes pour en déduire l'état que ces mêmes parties auront le lendemain ; on conçoit que ce processus puisse être poursuivi indéfiniment. De l'état du monde du lundi, on déduira celui du mardi ; connaissant celui du mardi, on en déduira par les mêmes procédés celui du mercredi ; et ainsi de suite. Mais ce n'est pas tout ; s'il y a un lien constant entre l'état du lundi et celui du mardi, on pourra déduire le second du premier, mais on pourra faire l'inverse, c'est-à-dire que si l'on connaît l'état du mardi, on pourra conclure à celui du lundi ; de l'état du lundi on conclura de même à celui du dimanche, et ainsi de suite ; on peut remonter le cours des temps de même qu'on peut le descendre. Avec le présent et les lois, on peut deviner l'avenir, mais on peut également deviner le passé. Le processus est essentiellement réversible. Puisque nous nous plaçons ici au point de vue du mathématicien, il convient de donner à cette conception toute la précision qu'elle comporte, dut-on pour cela employer le langage mathématique. Nous dirons alors que l'ensemble des lois équivaut à un système d'équations différentielles qui lient les vitesses de variations des divers éléments de l'univers aux valeurs actuelles de ces éléments. Un pareil système comporte, comme on le sait, une infinité de solutions ; mais si nous nous donnons les valeurs initiales de tous les éléments, c'est-à-dire leurs valeurs à l'instant t = 0, (celui que dans le langage ordinaire nous appelons le présent) la solution se trouve entièrement déterminée, de sorte que nous pouvons calculer les valeurs de tous les éléments à une époque quelconque, soit que nous supposions t > 0, ce qui correspond à l'avenir, soit que nous supposions t < 0, ce qui correspond au passé. Ce qu'il importe de se rappeler, c'est que la façon de conclure du présent au passé ne diffère pas de la façon de conclure du présent à l'avenir.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 5 Quel moyen avons-nous alors de connaître le passé géologique, c'est-à-dire l'histoire des temps où les lois auraient pu autrefois varier ? Ce passé n'a pu être directement observé et nous ne le connaissons que par les traces qu'il a laissées dans, le présent, nous ne le connaissons que par le présent, et nous ne pouvons l'en déduire que par le processus que nous venons de décrire, et qui nous permettrait également d'en déduire l'avenir. Or, ce processus est-il capable de nous révéler des changements dans les lois ? videmment non ; nous ne pouvons précisément l'appliquer qu'en supposant que les lois n'ont pas changé ; nous ne connaissons directement que l'état du lundi par exemple, et les règles qui lient l'état du dimanche à celui du lundi ; l'application de ces règles nous fera alors connaître l'état du dimanche - mais si nous voulons pousser plus loin et en déduire l'état du samedi, il faut de toute nécessité que nous admettions que les mêmes règles qui nous ont permis de remonter du lundi au dimanche, étaient encore valables entre le dimanche et le samedi. Sans cela, la seule conclusion qui nous serait permise, c'est qu'il est impossible de savoir ce qui s'est passé le samedi. Si alors l'immutabilité des lois figure dans les prémisses de tous nos raisonnements, nous ne pouvons pas ne pas la trouver dans nos conclusions. Un Leverrier, connaissant les orbites actuelles des planètes, calcule, en se servant de la loi de Newton, ce que seront devenues ces orbites dans 10.000 ans. De quelque manière qu'il dirige ses calculs, il ne pourra jamais trouver que la loi de Newton sera fausse dans quelques milliers d'années. Il aurait pu, en changeant tout simplement le signe du temps dans ses formules, calculer ce qu'étaient ces orbites il y a 10.000 ans ; mais il est sûr d'avance de ne pas trouver que la loi de Newton n'a pas été toujours vraie. En résumé, nous ne pouvons rien savoir du passé qu'à la condition d'admettre que les lois n'ont pas changé ; si nous l'admettons, la question de l'évolution des lois ne se pose pas ; si nous ne, l'admettons pas, la question est insoluble, de même que toutes celles qui se rapportent au passé. II Mais, dira-t-on, ne pourrait-il se faire que l'application du processus précédent conduisit à une contradiction, ou, si l'on veut, que nos équations différentielles n'admissent aucune solution ? Puisque l'hypothèse de l'immutabilité des lois, posée au début de tous nos raisonnements, conduirait à une conséquence absurde, nous aurions démontré per absurdum qu'elles ont évolué, tout en étant à tout jamais impuissants à savoir dans quel sens. Comme notre processus est réversible, ce que nous venons de dire s'applique à l'avenir, et il semble qu'il y ait des cas où nous pourrions affirmer qu'avant telle date le monde doit périr ou changer ses lois ; si par exemple le calcul nous montre qu'à cette date, l'une des quantités que nous avons à envisager doit devenir infinie, ou prendre une valeur physiquement impossible. Périr, ou changer ses lois, c'est à peu près la même chose ; un monde qui n'aurait plus les lois du nôtre, ce ne serait plus notre monde, c'en serait un autre. Est-il possible que l'étude du monde actuel et de ses lois nous conduise à des formules exposées à de semblables contradictions ? Les lois sont obtenues par l'expérience ; si elles nous enseignent que l'état A du dimanche entraîne l'état B du lundi, c'est qu'on a observé les deux états A et B ; c'est donc qu'aucun de ces deux états n'est physiquement impossible. Si nous poursuivons le processus, et si nous concluons en passant chaque fois d'un jour au jour suivant, de l'état A à l'état B, puis de l'état B à l'état C, puis de l'état C à l'état D, etc., c'est que tous ces états sont physiquement possibles ; car si l'état D par exemple ne l'était pas, on n'aurait jamais pu faire d'expérience prouvant que l'état C engendre au bout d'un jour l'état D. Quelque loin que les déductions soient poussées, on n'arrivera donc jamais à un état physiquement impossible, c'est-à-dire à une contradiction Si une de nos formules n'en était pas exempte, c'est qu'on aurait dépassé l'expérience, c'est qu'on aurait extrapolé. Supposons par exemple qu'on ait observé que dans telle ou telle circonstance la température d'un corps baisse d'un degré par jour ; si elle est actuellement de 20, par exemple, on conclura que dans 300 jours, elle sera de - 280 ; et cela sera absurde, physiquement impossible, puisque le zéro absolu est à -273°. Qu'est-ce à dire ? Avait-on observé que la température passait en un jour de -279° à - 280 ? Non, sans doute, puisque ces deux températures sont inobservables. On avait vu par exemple que la loi était vraie à très peu près entre 0° et 20°, et on en avait abusivement conclu qu'elle devait l'être encore jusqu'à - 273° et même au-delà ; on avait fait une extrapolation illégitime. Mais il y a une infinité de manières d'extrapoler une
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 6 formule empirique, et parmi elles ou peut toujours en choisir une qui exclue les états physiquement impossibles. Nous ne connaissons les lois qu'imparfaitement ; l'expérience ne fait que limiter notre choix, et parmi toutes les lois qu'elle nous permet de choisir, on en trouvera toujours qui ne nous exposent pas à une contradiction du genre de celles dont nous venons de parler et qui pourraient nous obliger à conclure contre l'immutabilité. Ce moyen de démontrer une pareille évolution nous échappe encore, qu'il s'agisse d'ailleurs de démontrer que les lois changeront, ou qu'elles ont changé. m Arrivés à ce point, on peut nous opposer un argument de fait. «Vous dites qu'en cherchant à remonter, grâce à la connaissance des lois, du présent au passé, on ne se heurtera jamais à une contradiction et cependant les savants en ont rencontré, dont il ne semble pas qu'on puisse se tirer aussi facilement que vous le pensez Qu'elles ne soient qu'apparentes, qu'on puisse conserver l'espoir de les lever, je vous l'accorde ; mais d'après votre raisonnement, une contradiction même apparente devrait être impossible.». Citons tout de suite un exemple. Si l'on calcule d'après les lois de la thermodynamique, le temps depuis lequel le Soleil a pu nous verser sa chaleur, on trouve environ 50 millions d'années ; ce temps ne saurait suffire aux géologues ; non seulement l'évolution des formes organisées n'a pu se produire aussi vite, - c'est là un point sur lequel on pourrait discuter, - mais le dépôt des couches où on trouve des restes de végétaux ou d'animaux qui n'ont pu vivre sans soleil, a exigé un nombre d'années peut- être dix fois plus grand. Ce qui a rendu la contradiction possible, c'est que le raisonnement sur lequel repose l'évidence géologique diffère beaucoup de celui du mathématicien. Observant des effets identiques, nous concluons à l'identité des causes, et par exemple en retrouvant les restes fossiles d'animaux appartenant à une famille actuellement vivante, nous concluons qu'à l'époque où s'est déposée la couche qui contient ces fossiles, les conditions sans lesquelles les animaux de cette famille ne sauraient vivre, se trouvaient toutes réalisées à la fois. Au premier abord, c'est bien la même chose que faisait le mathématicien, dont nous avions adopté le point de vue dans les paragraphes précédents ; lui aussi il concluait que, les lois n'ayant pas changé, des effets identiques ne pouvaient avoir été produits que par des causes identiques. Il y a toutefois une différence essentielle. Considérons l'état du monde, a un instant donné, et à un autre instant antérieur ; l'état du monde, ou même celui d'une très petite partie du monde est quelque chose d'extrêmement complexe et qui dépend d'un très grand nombre d'éléments. Je suppose, pour simplifier l'exposé, deux éléments seulement, de sorte que deux données suffisent pour définir cet état. A l'instant postérieur, ces données seront par exemple A et B ; à l'instant antérieur A' et B'. La formule du mathématicien, construite avec l'ensemble des lois observées, lui apprend que l'état A B ne peut avoir été engendré que par l'état antérieur A' B' ; mais s'il ne connaît que l'une des données, A par exemple, sans savoir si elle est accompagnée de l'autre donnée B, sa formule ne lui permet aucune conclusion. Tout au plus, si les phénomènes A et A' lui apparaissent comme liés entre eux, mais relativement indépendants de B et de B', conclura-t-il de A à A' ; en aucun cas, il ne déduira la double circonstance A' et B' de la circonstance unique A. Le géologue, au contraire, observant l'effet A seul, conclura qu'il n'a pu être produit que par le concours des causes A' et B' qui lui donnent souvent naissance sous nos yeux ; car dans bien des cas cet effet A est tellement spécial, qu'un autre concours de causes aboutissant au même effet serait absolument invraisemblable. Si deux organismes sont identiques ou simplement analogues, cette analogie ne peut pas être due au hasard, et nous pouvons affirmer qu'ils ont vécu dans des conditions pareilles ; en en retrouvant les débris, nous serons sûrs, non seulement qu'il a préexisté un germe analogue à celui d'où nous voyons sortir des êtres semblables, mais que la température extérieure n'était pas trop élevée pour que ce germe pût se développer. Autrement ces débris ne pourraient être qu'un Indus naturae, comme on le croyait au XVIP siècle ; et il est inutile de dire qu'une pareille conclusion choque absolument la raison. L'existence de débris organisés n'est d'ailleurs qu'un cas extrême plus frappant que les autres, et sans sortir du monde minéral, nous aurions pu citer des exemples du même genre. Le géologue peut donc conclure, là où le mathématicien serait impuissant. Mais on voit qu'il n'est plus garanti contre la contradiction comme l'était le mathématicien. Si d'une circonstance unique.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 7 il conclut à des circonstances antérieures multiples ; si l'étendue de la conclusion est en quelque sorte plus grande que celle des prémisses, il est possible que ce que l'on déduira d'une observation se trouve en désaccord avec ce qu'on tirera d'une autre. Chaque fait isolé devient pour ainsi dire un centre d'irradiation : de chacun d'eux le mathématicien déduisait un fait unique ; le géologue en déduit des faits multiples ; du point lumineux qui lui est donné, il fait un disque brillant plus ou moins étendu ; deux points lumineux lui donneront alors deux disques qui pourront empiéter l'un sur l'autre, d'où la possibilité d'un conflit. Par exemple s'il trouve dans une couche des mollusques qui ne peuvent vivre au-dessous de 20°, il conclura que les mers de ce temps étaient chaudes ; mais si ensuite un de ses collègues découvrait dans la même strate d'autres animaux que tuerait une température supérieure à 5°, il conclurait que ces mers étaient froides. On peut avoir des raisons d'espérer que les observations ne se contrediront pas en fait, ou que les contradictions ne seront pas irréductibles, mais nous ne sommes plus pour ainsi dire garantis contre le risque d'une contradiction par les règles mêmes de la logique formelle. Et alors on peut se demander si en raisonnant comme les géologues, on ne tombera pas un jour dans quelque conséquence absurde, de sorte qu'on sera obligé de conclure à la mutabilité des lois. IV Qu'on me permette ici une digression. Nous venons de voir que le géologue possède un instrument qui manque au mathématicien et qui lui permet de conclure du présent au passé. Pourquoi le même instrument ne nous permet-il pas de conclure du présent à l'avenir ? Si je vois un homme de vingt ans, je suis sûr qu'il a franchi toutes les étapes depuis l'enfance jusqu'à l'âge adulte et par conséquent qu'il n'y a pas eu depuis vingt ans sur la Terre un cataclysme qui y ait détruit toute vie, mais cela ne me prouve en aucune façon qu'il n'y en aura pas un d'ici à vingt ans. Nous avons pour connaître le passé des armes qui nous manquent quand il s'agit de l'avenir, et c'est pour cela que l'avenir nous apparaît comme plus mystérieux que le passé. Je ne puis m'empêcher ici de me reporter à un article que j'ai écrit sur le hasard ; j'y rappelais l'opinion de M. Lalande qui avait dit, au contraire, que, si l'avenir est déterminé par le passé, le passé ne l'est pas par l'avenir. D'après lui une cause ne peut produire qu'un effet, tandis qu'un même effet peut être produit par plusieurs causes différentes. S'il en était ainsi, ce serait le passé qui serait mystérieux et l'avenir qui serait aisé à connaître. Je ne pouvais adopter cette opinion, mais j'ai montré quelle avait pu en être l'origine. Le principe de Carnot nous montre que l'énergie, que rien ne peut détruire, est susceptible de se dissiper. Les températures tendent à s'égaliser, le monde tend vers l'uniformité, c'est-à-dire vers la mort. De grandes différences dans les causes ne produisent donc que de petites différences dans les effets. Dès que les différences dans les effets deviennent trop faibles pour être observables, nous n'avons plus aucun moyen de connaître les différences qui ont existé autrefois entre les causes qui leur ont donné naissance, quelque grandes que ces différences aient été. Mais c'est justement parce que tout tend vers la mort que la vie est une exception qu'il est nécessaire d'expliquer. Que des cailloux roulants soient abandonnés au hasard sur une montagne, ils finiront tous par tomber dans la vallée ; si nous en retrouvons un tout en bas, ce sera un effet banal et qui ne nous renseignera pas sur l'histoire antérieure du caillou ; nous ne pourrons pas savoir en quel point de la montagne il a été d'abord placé. Mais si, par hasard, nous rencontrons une pierre dans le voisinage du sommet, nous pourrons affirmer qu'elle y a toujours été, puisque dés qu'elle se fût trouvée sur la pente, elle eût roulé jusqu'au fond ; et nous le ferons avec d'autant plus de certitude que le cas est plus exceptionnel et qu'il avait plus de chances de ne pas se produire. V Je n'ai soulevé cette question qu'incidemment ; elle mériterait qu'on y réfiéchit ; mais je ne veux pas me laisser entraîner trop loin de mon sujet. Est-il possible que les contradictions des géologues amènent jamais les savants à conclure à l'évolution des lois ? Observons d'abord que c'est seulement dans la jeunesse des Sciences qu'elles emploient les raisonnements par analogie dont la géologie actuelle est obligée de se contenter. A mesure qu'elles se développent, elles se rapprochent de l'état que
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 8 l'astronomie et la physique semblent avoir déjà atteint et où les lois sont susceptibles d'être énoncées dans le langage mathématique. Ce jour-là, ce que nous disions au début de ce travail redeviendra vrai sans restriction. Or beaucoup de personnes pensent que toutes les sciences sont appelées à subir plus ou moins vite, et les unes après les autres, la même évolution. S'il en était ainsi, les difficultés qui pourraient surgir ne seraient que provisoires, elles seraient destinées à s'évanouir dès que les sciences seraient sorties de l'enfance. Mais nous n'avons pas besoin d'attendre cet incertain avenir. En quoi consiste le raisonnement par analogie du géologue ? Un fait géologique lui paraît tellement semblable à un fait actuel qu'il ne saurait attribuer cette similitude au hasard. Il ne croit pouvoir l'expliquer qu'en supposant que ces deux faits se soient produits dans des conditions tout à fait identiques. Et il irait imaginer que les conditions étaient identiques, sauf ce point de détail que les lois de la nature ayant varié dans l'intervalle, le monde tout entier aurait entièrement changé au point de devenir méconnaissable. Il affirmerait d'un côté que la température a dû rester la même, alors que par suite du bouleversement de toute la physique, les effets de la température seraient devenus tout différents, de sorte que le mot même de température aurait perdu toute espèce de sens, videmment, quoi qu'il arrive, ce ne sera jamais à une pareille conception qu'il s'arrêtera. La façon dont il conçoit la logique s'y oppose absolument. VI Et si l'humanité devait durer plus longtemps que nous ne l'avons supposé, assez longtemps pour voir les lois évoluer sous ses yeux ? Ou bien encore si elle venait à acquérir des instruments assez délicats pour que cette variation, toute lente qu'elle soit, devienne sensible après quelques générations ? Ce ne serait plus alors par induction, par inference que nous connaîtrions les changements des lois, ce serait par observation directe. Les raisonnements précédents ne perdraient-ils pas toute valeur ? Les mémoires où seraient relatées les expériences de nos devanciers ne seraient encore que des vestiges du passé, qui ne nous donneraient de ce passé qu'une connaissance indirecte. Les vieux documents sont pour l'historien ce que les fossiles sont pour le géologue, et les ouvrages des savants d'autrefois ne seraient que de vieux documents. Ils ne nous renseigneraient sur la pensée de ces savants que dans la mesure où les hommes d'autrefois seraient semblables à nous. Si les lois du monde venaient à changer, toutes les parties de l'univers en subiraient le contrecoup et l'humanité n'y saurait échapper ; en admettant qu'elle pût survivre dans un milieu nouveau, il faudrait bien qu'elle changeât pour s'y adapter. Et alors le langage des hommes d'autrefois nous deviendrait incompréhensible ; les mots dont ils se servaient n'auraient plus de sens pour nous, ou en auraient un autre que pour eux. N'est-ce pas déjà ce qui arrive, au bout de quelques siècles, bien que les lois de la physique soient demeurées immuables ? Et alors nous retombons toujours dans le même dilemme : ou bien les documents d'autrefois seront restés parfaitement clairs pour nous, et ce sera alors que le monde est resté le même, et ils ne pourront nous apprendre autre chose ; ou bien ils seront devenus des énigmes indéchiffrables, et ils ne pourront rien nous apprendre du tout, pas même que les lois ont évolué ; nous savons assez qu'il n'en faut pas tant pour qu'ils soient pour nous lettre morte. D'ailleurs les hommes d'autrefois, comme nous-mêmes, n'auront jamais eu des lois naturelles qu'une connaissance fragmentaire. Nous trouverions toujours bien moyen de raccorder ces deux fragments même s'ils étaient restés intacts ; à plus forte raison s'il ne nous reste du plus ancien qu'une image affaiblie, incertaine et à demi effacée. VII Plaçons-nous maintenant à un autre point de vue. Les lois que nous donne l'observation directe ne sont jamais que des résultantes. Prenons par exemple la loi de Mariotte. Pour la plupart des physiciens, ce n'est qu'une conséquence de la théorie cinétique des gaz ; les molécules gazeuses sont animées de vitesses considérables, elles décrivent des trajectoires compliquées dont on pourrait écrire l'équation exacte si l'on savait suivant quelles lois elles s'attirent ou se repoussent mutuellement En raisonnant sur ces trajectoires d'après les règles du calcul des probabilités, on arrive à démontrer que la densité d'un gaz est proportionnelle à sa pression. Les lois qui régissent les corps observables ne seraient donc que des conséquences des lois moléculaires.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 9 Leur simplicité ne serait qu'apparente et cacherait une réalité extrêmement complexe puisque la complexité en serait mesurée par le nombre même des molécules. Mais c'est justement parce que ce nombre est très grand que les divergences de détail se compenseraient, mutuellement et que nous croirions à l'harmonie. Et les molécules elles-mêmes sont peut-être des mondes ; leurs lois ne sont peut-être aussi que des résultantes, et pour en trouver la raison, il faudrait descendre jusqu'aux molécules des molécules, sans qu'on sache où l'on finira par s'arrêter. Les lois observables alors dépendent de deux choses, les lois moléculaires et l'agencement des molécules. Ce sont les lois moléculaires qui jouissent de l'immutabilité puisque ce sont les vraies lois et que les autres ne sont que des apparences. Mais l'agencement des molécules peut changer et avec lui les lois observables. Et ce serait une raison de croire à l'évolution des lois. VIII Je suppose un monde dont les diverses parties possèdent une conductibilité calorifique si parfaite qu'elles se maintiennent constamment en équilibre de température. Les habitants de ce monde n'auraient aucune idée de ce que nous appelons différence de température ; dans leurs traités de physique, il n'y aurait pas de chapitre consacré à la thermométrie. A part cela ces traités, pourraient être assez complets et ils enseigneraient une foule de lois, beaucoup plus simples même que les nôtres. Imaginons maintenant que ce monde se refroidisse lentement par rayonnement ; la température y restera partout uniforme, mais elle diminuera avec le temps. Je suppose qu'un de ses habitants tombe en léthargie et se réveille au bout de quelques siècles ; nous admettrons, puisque nous avons déjà supposé tant de choses, qu'il puisse vivre dans un monde plus froid et qu'il ait conservé le souvenir des choses d'autrefois. Il verra que ses descendants font encore des traités de physique, qu'ils continuent à ne pas parler de thermométrie, mais que les lois qu'ils enseignent sont très différentes de celles qu'il a connues. Par exemple on lui a appris que l'eau bout sous une pression de 10 millimètres de mercure, et les nouveaux physiciens observeront que pour la faire bouillir il faut abaisser la pression jusqu'à 5 millimètres. Tel corps qu'il a connu autrefois liquide ne se présentera plus qu'à l'état solide et ainsi de suite. Les relations mutuelles des diverses parties de l'univers dépendent toutes de la température et dès qu'elle change, tout est bouleversé. Eh bien, savons-nous s'il n'y a pas quelque entité physique, aussi inconnue pour nous que la température pour les habitants de ce monde de fantaisie ? Savons-nous si cette entité ne varie pas constamment comme la température d'un globe qui perd sa chaleur par rayonnement, et si cette variation n'entraîne pas celle de toutes les lois ? IX Revenons à notre monde imaginaire et demandons-nous si ses habitants ne pourraient pas, sans renouveler l'histoire des dormants d' phèse, s'apercevoir de cette évolution. Sans doute, si parfaite que soit la conductibilité calorifique sur leur planète, elle ne serait pas absolue, de sorte que des différences de température extrêmement légères y seraient encore possibles. Elles échapperaient longtemps à l'observation, mais il viendrait peut-être un jour où on imaginerait des appareils de mesure plus sensibles et où un physicien de génie mettrait en évidence ces différences presque imperceptibles. Une théorie s'édifierait, on verrait que ces écarts de température ont une infiuence sur tous les phénomènes physiques, et finalement quelque philosophe, dont les vues paraîtraient hasardées et téméraires à la plupart de ses contemporains, affirmerait que la température moyenne de l'univers a pu varier dans le passé et avec elle toutes les lois connues. Ne pourrions-nous faire nous aussi quelque chose de pareil ? Par exemple les lois fondamentales de la Mécanique ont été longtemps considérées comme absolues. Aujourd'hui certains physiciens disent qu'elles doivent être modifiées, ou plutôt élargies ; qu'elles ne sont approximativement vraies que pour les vitesses auxquelles nous sommes accoutumés ; qu'elles cesseraient de l'être pour des vitesses comparables à celle de la lumière ; et ils appuient leur manière de voir sur certaines expériences faites au moyen du radium. Les anciennes lois de la Dynamique n'en restent pas moins pratiquement vraies pour le monde qui nous entoure. Mais ne pourrait-on pas dire avec quelque apparence de raison que par suite de la dissipation constante de l'énergie, les vitesses des corps ont dû tendre à diminuer, puisque leur force vive tendait à se transformer en chaleur ; qu'en remontant assez
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 10 loin dans le passé, on trouverait une époque où les vitesses comparables à celle de la lumière n'étaient pas exceptionnelles, où par suite les lois classiques de la Dynamique n'étaient pas encore vraies ? Supposons d'autre part que les lois observables ne soient que des résultantes, dépendant à la fois des lois moléculaires et de l'agencement des molécules ; quand les progrès de la Science nous auront familiarisés avec cette dépendance, nous pourrons sans doute conclure, qu'en vertu même des lois moléculaires, l'agencement des molécules a dû être autrefois différent de ce qu'il est aujourd'hui, et par conséquent que les lois observables n'ont pas toujours été les mêmes. Nous conclurions donc à la variabilité des lois, mais, qu'on le remarque bien, ce serait en vertu même du principe de leur immutabilité. Nous affirmerions que les lois apparentes ont changé, mais ce serait parce que les lois moléculaires, que nous regarderions désormais comme les vraies lois, seraient proclamées immuables. X Ainsi il n'est pas une seule loi que nous pouvons énoncer avec la certitude qu'elle a toujours été vraie dans le passé avec la même approximation qu'aujourd'hui, je dirai plus, avec la certitude qu'on ne pourra jamais démontrer qu'elle a été fausse autrefois. Et néanmoins, il n'y a rien là qui puisse empêcher le savant de garder sa foi au principe de l'immutabilité, puisque aucune loi ne pourra jamais descendre au rang de loi transitoire, que pour être remplacée par une autre loi plus générale et plus comprehensive ; qu'elle ne devra même sa disgrâce qu'à l'avènement de cette loi nouvelle, de sorte qu'il n'y aura pas eu d'interrègne et que les principes resteront saufs ; que ce sera par eux que se feront les changements et que ces révolutions mêmes paraîtront en être une confirmation éclatante. Il n'arrivera même pas qu'on constate des variations par l'expérience ou par l'induction et qu'on les expliquera après coup en cherchant à tout faire rentrer dans une synthèse plus ou moins artificielle. Non, ce sera la synthèse qui viendra d'abord, et si nous admettons des variations, ce sera pour ne pas la déranger. XI Jusqu'ici nous n'avons pas semblé nous inquiéter de savoir si les lois varient réellement, mais seulement si les hommes peuvent les croire variables. Les lois considérées comme existant en dehors de l'esprit qui les crée ou qui les observe sont-elles immuables en soi ? Non seulement la question est insoluble, mais elle n'a aucun sens. A quoi bon se demander si dans le monde des choses en soi les lois peuvent varier avec le temps, alors que dans un pareil monde, le mot de temps est peut-être vide de sens ? De ce que ce monde est, nous ne pouvons rien dire, ni rien penser, mais seulement de ce qu'il paraît ou pourrait paraître à des intelligences qui ne différeraient pas trop de la nôtre. La question ainsi posée comporte une solution. Si nous envisageons deux esprits semblables au nôtre observant l'univers à deux dates différentes, séparées par exemple par des millions d'années, chacun de ces esprits bâtira une science, qui sera un système de lois déduites des faits observés. Il est probable que ces sciences seront très différentes et en ce sens on pourrait dire que les lois ont évolué. Mais quelque grand que soit l'écart, on pourra toujours concevoir une intelligence de même nature encore que la nôtre, mais de portée beaucoup plus grande, ou appelée à une vie plus longue, qui sera capable de faire la synthèse et de réunir dans une formule unique, parfaitement cohérente, les deux formules fragmentaires et approchées auxquelles les deux chercheurs éphémères étaient parvenus dans le peu de temps dont ils disposaient. Pour elle, les lois n'auront pas changé, la science sera immuable, ce seront seulement les savants qui auront été imparfaitement informés. Pour prendre une comparaison géométrique, supposons qu'on puisse représenter les variations du monde par une courbe analytique. Chacun de nous ne peut voir qu'un très petit arc de cette courbe ; s'il le connaissait exactement, cela lui suffirait pour établir l'équation de la courbe, et pour pouvoir la prolonger indéfiniment. Mais il n'a de cet arc qu'une connaissance imparfaite et il peut se tromper sur cette équation : s'il cherche à prolonger la courbe, le trait qu'il tracera s'écartera de la courbe réelle d'autant plus que l'arc connu sera moins étendu, et qu'on voudra pousser plus loin le prolongement de cet arc. Un autre observateur ne connaîtra qu'un autre arc et ne le connaîtra non plus qu ' imparfaitement. Pour peu que les deux travailleurs soient loin l'un de l'autre, ces deux prolongements qu'ils traceront ne se raccorderont pas ; mais cela ne prouve pas qu'un observateur à la vue plus longue, qui apercevrait directement une plus grande longueur de courbe, de façon à embrasser à la fois ces deux
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 11 arcs, ne serait pas en état d'écrire une équation plus exacte et qui concilierait leurs formules divergentes ; et même, quelque capricieuse que soit la courbe réelle, il y aura toujours une courbe analytique, qui sur une longueur aussi grande qu'on voudra, s'en écartera aussi peu qu'on voudra. Sans doute bien des lecteurs seront choqués de voir qu'à tout instant je semble remplacer le monde par un système de symboles simples. Ce n'est pas simplement par habitude professionnelle de mathématicien ; la nature de mon sujet m'imposait absolument cette attitude. Le monde bergsonien n'a pas de lois ; ce qui peut en avoir, c'est simplement l'image plus ou moins déformée que les savants s'en font. Quand on dit que la nature est gouvernée par des lois, on entend que ce portrait est encore assez ressemblant. C'est donc sur lui et sur lui seulement que nous devions raisonner, sous peine de voir s'évanouir l'idée même de loi qui était l'objet de notre étude. Or cette image est démontable ; on peut la disséquer en éléments, y distinguer des instants extérieurs les uns aux autres, des parties indépendantes. Que si j'ai simplifié parfois à outrance et réduit ces éléments à un trop petit nombre, ce n'est là qu'une affaire de degré : cela ne changeait rien à la nature de mes raisonnements et à leur portée ; l'exposition en devenait simplement plus brève.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 12 CHAPITRE II : L ESPACE ET LE TEMPS Une des raisons qui m'ont déterminé à revenir sur une des questions que j'ai le plus souvent traitées, c'est la révolution qui s'est récemment accomplie dans nos idées sur la Mécanique. Le principe de relativité, tel que le conçoit Lorentz, ne va-t-il pas nous imposer une conception entièrement nouvelle de l'espace et du temps et par là nous forcer à abandonner des conclusions qui pouvaient sembler acquises ? N'avons-nous pas dit que la géométrie a été construite par l'esprit à l'occasion de l'expérience, sans doute, mais sans nous être imposée par l'expérience, de telle façon que, une fois constituée, elle est à l'abri de toute révision, elle est hors d'atteinte de nouveaux assauts de l'expérience ? et cependant les expériences sur lesquelles est fondée la mécanique nouvelle ne semblent-elles pas l'avoir ébranlée ? Pour voir ce qu'on en doit penser, je dois rappeler succinctement quelques-unes des idées fondamentales que j'ai cherché à mettre en évidence dans mes écrits antérieurs. J'écarterai d'abord l'idée d'un prétendu sens de l'espace qui nous ferait localiser nos sensations dans un espace tout fait, dont la notion préexisterait à toute expérience, et qui avant toute expérience aurait toutes les propriétés de l'espace du géomètre. Qu'est-ce en effet que ce prétendu sens de l'espace ? Quand nous voulons savoir si un animal le possède, quelle expérience faisons-nous ? Nous plaçons dans son voisinage des objets qu'il convoite, et nous regardons s'il sait faire sans tâtonnement les mouvements qui lui permettent de les atteindre. Et comment voyons-nous que les autres hommes sont doués de ce précieux sens de l'espace ? c'est parce qu'eux aussi, ils sont capables de contracter leurs muscles à propos pour atteindre les objets dont la présence leur est révélée par certaines sensations. Qu'y a-t-il de plus quand nous constatons le sens de l'espace dans notre propre conscience ? Ici, encore, en présence de sensations variées, nous savons que nous pourrions faire des mouvements qui nous permettraient d'atteindre les objets que nous regardons comme la cause de ces sensations, et par là d'agir sur ces sensations, les faire disparaître ou les rendre plus intenses ; la seule différence c'est que pour le savoir, nous n'avons pas besoin de faire effectivement ces mouvements, il nous suffit de nous les représenter. Ce sens de l'espace que l'intelligence serait impuissante à exprimer, ne pourrait être que je ne sais quelle force qui résiderait dans le tréfonds de l'inconscient, et alors cette force ne pourrait nous être connue que par les actes qu'elle provoque ; et ces actes ce sont précisément les mouvements dont je viens de parler. Le sens de l'espace se réduit donc à une association constante entre certaines sensations et, certains mouvements, ou à la représentation de ces mouvements. (Est-il besoin, afin d'éviter une équivoque sans cesse renaissante, malgré mes explications réitérées, de répéter une fois de plus que j'entends par là non la représentation de ces mouvements dans l'espace, mais la représentation des sensations qui les accompagnent ?) Pourquoi maintenant et dans quelle mesure l'espace est-il relatif? Il est clair que si tous les objets qui nous entourent et notre corps lui-même, ainsi que nos instruments de mesure étaient transportés dans une autre région de l'espace, sans que leurs distances mutuelles varient, nous ne nous en apercevrions pas, et c'est en effet ce qui arrive, puisque nous sommes entraînés sans nous en douter par le mouvement de la Terre. Si les objets étaient tous agrandis dans une même proportion, et qu'il en fût de même de nos instruments de mesure, nous ne nous en apercevrions pas davantage. Ainsi non seulement nous ne pouvons connaître la position absolue d'un objet dans l'espace, de sorte que ce mot, «position absolue d'un objet», n'a aucun sens et qu'il convient de parler seulement de sa position relative par rapport à d'autres objets ; mais le mot «grandeur absolue d'un objet», «distance absolue de deux points», n'a aucun sens ; on doit parler seulement du rapport de deux grandeurs, du rapport de deux distances. Mais il y a plus : supposons que tous les objets soient déformés suivant une certaine loi, plus compliquée que les précédentes, suivant une loi tout à fait quelconque et qu'en même temps nos instruments de mesure soient déformés suivant la même loi ; de cela non plus nous ne pourrions pas nous apercevoir, de sorte que l'espace est beaucoup plus relatif encore qu'on ne le croit d'ordinaire. Nous ne pouvons nous apercevoir que des modifications de forme des objets qui diffèrent des modifications simultanées de forme de nos instruments de mesure. Nos instruments de mesure sont des corps solides ; ou bien ils sont formés de plusieurs corps solides mobiles les uns par rapport aux autres et dont les déplacements relatifs nous sont indiqués par des repères placés sur ces corps, par des index se déplaçant sur des échelles graduées, et c'est précisément en lisant ces indications qu'on se sert de l'instrument. Nous savons donc si notre
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 13 instrument s'est oui ou non déplacé à la façon d'un solide invariable, puisque dans ce cas les indications en question n'ont pas changé. Nos instruments comportent aussi des lunettes avec lesquelles nous faisons des visées, de sorte qu'on peut dire que le rayon lumineux est aussi un de nos instruments. Notre intuition de l'espace nous en apprendra-t-elle davantage ? Nous venons de voir qu'elle se réduit à une association constante entre certaines sensations et certains mouvements. C'est dire que les membres avec lesquels nous faisons ces mouvements jouent aussi pour ainsi dire le rôle, d'instruments de mesure. Ces instruments qui sont moins précis que ceux du savant nous suffisent pour la vie de tous les jours, et c'est avec eux que l'enfant, que l'homme primitif, a mesuré l'espace ou pour mieux dire s'est construit l'espace dont il se contente pour les besoins de sa vie quotidienne. Notre corps est notre premier instrument de mesure ; comme les autres, il se compose de plusieurs pièces solides mobiles les unes par rapport aux autres, et certaines sensations nous avertissent des déplacements relatifs de ces pièces, de sorte que comme dans le cas des instruments artificiels, nous savons si notre corps s'est oui ou non déplacé comme un solide invariable. En résumé, nos instruments, ceux que l'enfant doit à la nature, ceux que le savant doit à son génie, ont comme éléments fondamentaux le corps solide et le rayon lumineux. Dans ces conditions l'espace a-t-il des propriétés géométriques indépendantes des instruments qui servent à le mesurer ? Il peut, avons-nous dit, subir une déformation quelconque sans que rien nous en avertisse, si nos instruments la subissent également. En réalité, il est donc amorphe, il est une forme fiasque, sans rigidité, qui peut s'appliquer à tout ; il n'a pas de propriétés à lui ; faire de la géométrie, c'est étudier les propriétés de nos instruments, c'est-à-dire du corps solide. Mais alors, comme nos instruments sont imparfaits, la géométrie devrait se modifier chaque fois qu'ils se perfectionnent ; les constructeurs devraient sur leurs prospectus : «Je fournis un espace bien supérieur à celui de mes concurrents, beaucoup plus simple, beaucoup plus commode, beaucoup plus confortable ». Nous savons qu'il n'en est pas ainsi ; nous serions tentés de dire que la c'est l'étude des propriétés qu'auraient les instruments s'ils étaient parfaits. Mais pour cela il faudrait savoir ce que c'est qu'un instrument partait, et nous ne le savons pas puisqu'il n'y en a pas, et que, nous ne pourrions définir l'instrument idéal que par la géométrie, ce qui est un cercle vicieux. Et alors nous dirons que la géométrie est l'étude d'un ensemble de lois peu différentes de celles auxquelles obéissent réellement nos instruments, mais beaucoup plus simples, de lois qui ne régissent effectivement aucun objet naturel, mais qui sont concevables pour l'esprit En ce sens, la géométrie est une convention, une sorte de cote mal taillée entre notre amour de la simplicité et notre désir de ne pas trop nous écarter de ce que nous apprennent nos instruments. Cette convention définit à la fois l'espace et l'instrument parfait. Ce que nous avons dit de l'espace s'applique au temps ; je ne veux pas parler ici du temps tel que le conçoivent les disciples de Bergson, de cette durée qui, loin d'être une pure quantité exempte de toute qualité, est pour ainsi dire la qualité même et dont les diverses parties, qui d'ailleurs se pénètrent en partie mutuellement, se distinguent qualitativement les unes des autres. Cette durée ne pouvait être un instrument pour les savants ; elle n'a pu jouer ce rôle qu'en subissant une transformation profonde, qu'en se spatialisant, comme dit Bergson. Il a fallu en effet qu'elle devînt mesurable : ce qui ne se mesure pas ne peut être objet de science. Or, le temps mesurable est aussi essentiellement relatif. Si tous les phénomènes se ralentissaient, et s'il en était de même de la marche de nos horloges, nous ne nous en apercevrions pas et cela quelque soit la loi de ce ralentissement, pourvu qu'elle soit la même pour toutes les sortes de phénomènes et pour toutes les horloges. Les propriétés du temps ne sont donc que celles des horloges, comme les propriétés de l'espace ne sont que celles des instruments de mesure. Ce n'est pas tout ; le temps psychologique, la durée bergsonienne, d'où le temps du savant est sorti, sert à classer les phénomènes qui se passent dans une même conscience ; il est impuissant à classer deux phénomènes psychologiques qui ont pour théâtre deux consciences différentes ou a fortiori deux phénomènes physiques. Un événement se passe sur la Terre, un autre sur Sirius ; comment saurons-nous si le premier est antérieur au second, ou simultané, ou postérieur ? ce ne pourra être que par une convention. Mais on peut envisager la relativité du temps et de l'espace à un point de vue tout différent. Considérons les lois auxquelles le monde obéit ; elles peuvent s'exprimer par des équations différentielles ; nous constatons que ces équations ne sont pas altérées, si l'on change les axes rectangulaires de coordonnées, ces axes restant fixes ; ni si l'on change l'origine du temps, ni si l'on
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 14 remplace les axes rectangulaires fixes par des axes rectangulaires mobiles, mais dont le mouvement est une translation rectiligne et uniforme. Permettez-moi d'appeler la relativité psychologique si elle est envisagée au premier point de vue et physique si elle l'est au second. Vous voyez tout de suite que la relativité physique est beaucoup plus restreinte que la relativité psychologique. Nous avons dit par exemple que, rien ne serait changé, si on multipliait toutes les longueurs par une même constante, pourvu que la multiplication portât à la fois sur tous les objets et tous les instruments ; or, si nous multiplions toutes les coordonnées par une même constante, il est possible que nos équations différentielles soient altérées. Elles le seraient si on rapportait le système à des axes mobiles tournants puisqu'il faudrait y introduire la force centrifuge ordinaire et la force centrifuge composée ; c'est ainsi que l'expérience de Foucault a pu mettre en évidence la rotation de la Terre. Il y a là quelque chose qui choque ici un peu nos idées sur la relativité de l'espace, idées fondées sur la, relativité psychologique et ce désaccord a paru embarrassant à bien des philosophes. Examinons la question d'un peu plus près. Toutes les parties du monde sont solidaires et quelque loin que soit Sirius, il n'est sans doute pas absolument sans action sur ce qui se passe chez nous. Si donc nous voulons écrire les équations différentielles qui régissent le monde, ou bien ces équations seront inexactes, ou bien elles devront dépendre de l'état du monde tout entier. Il n'y aura pas un système d'équations pour le monde terrestre, et un autre pour le monde de Sirius, il y en aura un seul qui s'appliquera à tout l'univers Or, nous n'observons pas directement les équations différentielles ; ce que nous observons, ce sont les équations finies qui sont la traduction immédiate des phénomènes observables et d'où les équations différentielles se déduisent par differentiation. Les équations différentielles ne sont pas altérées quand on fait un des changements d'axes dont nous avons parlé, mais il n'en est pas de même des équations finies ; le changement d'axes nous obligerait en effet à changer les constantes d'intégration. Le principe de relativité ne s'applique donc pas aux équations finies directement observées, mais aux équations différentielles. Or, comment peut-on passer des équations finies aux équations différentielles dont elles sont les intégrales ? il faut connaître plusieurs intégrales particulières différant les unes des autres par les valeurs attribuées aux constantes d'intégration, puis éliminer ces constantes par differentiation ; une seule de ces solutions est réalisée dans la nature, bien qu'il y en ait une infinité de possibles ; pour former les équations différentielles, il faudrait connaître non seulement celle qui est réalisée, mais toutes celles qui sont possibles. Or, si nous n'avons qu'un seul système de lois s'appliquant à tout l'univers, l'observation ne nous donnera qu'une solution unique, celle qui est réalisée ; car l'univers n'est tiré qu'à un seul exemplaire ; et c'est là une première difficulté. De plus, en vertu de la relativité psychologique de l'espace, nous ne pouvons observer que ce que nos instruments peuvent mesurer ; ils nous donneront par exemple les distances des astres, ou des divers corps que nous avons à considérer ; ils ne nous donneront pas leurs coordonnées par rapport à des axes fixes ou mobiles qui n'ont qu'une existence purement conventionnelle. Si nos équations contiennent ces coordonnées, c'est par une fiction qui peut être commode, mais qui n'est qu'une fiction ; si nous voulons que nos équations traduisent directement ce que nous observons, il faudra que les distances figurent parmi nos variables indépendantes, et alors il arrivera que les autres variables disparaîtront d'elles-mêmes. Ce sera là notre principe de relativité, mais il n'a plus aucun sens; il signifie seulement que nous avions introduit dans nos équations des variables auxiliaires, parasites, qui ne représentent rien de tangible et qu'il est possible de les éliminer. Ces difficultés s'évanouiront si on ne tient pas à une rigueur absolue. Les diverses parties du monde sont solidaires, mais a condition que la distance soit grande, l'action est si faible qu'on est en droit de la négliger ; et alors nos équations vont se répartir en systèmes séparés, l'un s'appliquant au monde terrestre seul, l'autre au monde solaire, l'autre au monde, de Sirius, ou même à des mondes beaucoup plus petits tels que la table d'un laboratoire. Et alors il n'est plus vrai de dire que l'univers n'est tiré qu'à un seul exemplaire ; il peut y avoir beaucoup de tables dans un laboratoire ; il sera possible de recommencer une expérience en faisant varier les conditions ; on connaîtra non plus une solution unique, la seule qui soit réalisée, mais un grand nombre de solutions possibles et il deviendra facile de passer des équations finies aux équations différentielles.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 15 D'autre part, nous connaîtrons non seulement les distances mutuelles des divers corps d'un de ces petits mondes, mais leurs distances aux corps des petits mondes voisins. Nous pouvons nous arranger pour que les secondes seules varient, les premières restant constantes. Ce sera alors comme si nous avions changé les axes auxquels le premier petit monde était rapporté. Les étoiles sont trop loin pour agir sensiblement sur notre monde terrestre, mais nous les voyons, et grâce à elles nous pouvons rapporter ce monde terrestre à des axes liés à ces étoiles ; nous avons le moyen de mesurer à la fois les distances mutuelles des corps terrestres et les coordonnées de ces corps par rapport à ce système d'axes qui est étranger au monde terrestre. Le principe de relativité prend ainsi un sens : il devient verifiable. Observons toutefois que nous n'avons obtenu ce résultat qu'en négligeant certaines actions et que cependant nous ne considérons pas notre principe comme simplement approché ; nous lui attribuons une valeur absolue ; voyant en effet qu'il reste vrai quelque éloignés que soient nos petits mondes les uns des autres, nous convenons de dire qu'il est vrai pour les équations exactes de l'univers ; et cette convention ne sera jamais prise en défaut, puisque, appliqué à l'univers entier, le principe est invérifiable. Revenons maintenant au cas dont nous avions parlé tout à l'heure ; un système est rapporté tantôt à des axes fixes, tantôt à des axes tournants ; les équations qui le régissent vont-elles changer ? Oui, répond la Mécanique ordinaire ; est-ce exact ? Ce que nous observons ce ne sont pas les coordonnées des corps, ce sont leurs distances mutuelles ; nous pourrions donc chercher à former les équations auxquelles obéissent ces distances, en éliminant les autres quantités, qui ne sont que des variables parasites et inaccessibles à l'observation. Cette élimination est toujours possible ; seulement, si nous avions conservé les coordonnées, nous serions arrivés à des équations différentielles du 2^ ordre ; celles que nous obtiendrons après avoir éliminé tout ce qui n est pas observable, seront au contraire du ^ ordre, de sorte qu'elles laisseront place à, un plus grand nombre de possibles. A ce compte le principe de relativité s'appliquera encore à ce cas ; quand on passera des axes fixes aux axes tournants, ces équations du 3^ ordre ne varieront pas. Ce qui variera, ce seront les équations du 2^ ordre qui définissent les coordonnées, or, ces dernières sont pour ainsi dire des intégrales des premières, et comme dans toutes les intégrales des équations différentielles, il y figure une constante d'intégration, c'est cette constante, qui ne reste pas la même quand on passe des axes fixes aux axes tournants. Mais, comme nous supposons notre système complètement isolé dans l'espace, que nous le regardons comme l'univers entier, nous n'avons aucun moyen de savoir s'il tourne ; ce sont donc bien les équations du 3^ ordre qui expriment ce que nous observons. Au lieu de considérer l'univers entier, envisageons maintenant nos petits mondes séparés sans action mécanique les uns sur les autres, mais visibles les uns pour les autres ; si l'un de ces mondes tourne, nous verrons alors qu'il tourne ; nous reconnaîtrons que la valeur que l'on doit attribuer à la constante dont nous venons de parler dépend de la vitesse de rotation et c'est ainsi que se trouvera justifiée la convention habituellement adoptée par les mécaniciens. On voit donc quel est le sens du principe de relativité physique ; il n'est plus une simple convention ; il est verifiable et par conséquent il pourrait n'être pas vérifié ; c'est une vérité expérimentale, et quel est le sens de cette vérité ? Il est aisé de le déduire des considérations qui précèdent ; il signifie que l'action mutuelle de deux corps tend vers zéro quand ces deux corps s'éloignent indéfiniment l'un de l'autre ; il signifie que deux mondes éloignés se comportent comme s'ils étaient indépendants ; et on Conçoit mieux pourquoi le principe de relativité physique a moins d'extension que le principe de relativité psychologique ; ce n'est plus une nécessité due à la nature même de notre esprit ; c'est une vérité expérimentale à laquelle l'expérience impose des limites. Ce principe de relativité physique peut servir à définir l'espace ; il nous fournit pour ainsi dire un nouvel instrument de mesure. Je m'explique : comment le corps solide pouvait-il nous servir à mesurer, ou plutôt à construire l'espace ? En transportant un corps solide d'une position dans une autre, nous reconnaissions qu'on peut l'appliquer d'abord sur une figure et ensuite sur une autre et nous convenions de considérer ces deux figures comme égales. De cette convention naissait la géométrie. À chaque déplacement possible du corps solide correspondait ainsi une transformation de l'espace en lui- même, n'altérant pas les formes et les grandeurs des figures ; et la géométrie n'est que la connaissance des relations mutuelles de ces transformations, ou pour parler le langage mathématique, l'étude de la structure du groupe formé par ces transformations, c'est-à-dire du groupe des mouvements des corps solides.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 16 Cela posé, voici un autre groupe, celui des transformations qui n'altèrent pas nos équations différentielles, voici une autre façon de définir l'égalité de deux figures ; nous ne dirons plus : deux figures sont égales quand un même corps solide peut s'appliquer sur l'une et sur l'autre ; nous dirons : deux figures sont égales quand un même système mécanique, assez éloigné des systèmes voisins pour pouvoir être regardé comme isolé, placé d'abord de façon que ses différents points matériels reproduisent la première figure, et ensuite de façon qu'ils reproduisent la seconde, se comportent ensuite de la même manière. Les deux conceptions diffèrent-elles essentiellement l'une de l'autre ? Non ; un corps solide prend sa forme sous l'infiuence des attractions et répulsions mutuelles de ses différentes molécules ; et ce système de forces doit être en équilibre. Définir l'espace de façon qu'un corps solide conserve sa forme quand on le déplace, c'est le définir de façon que les équations d'équilibre de ce corps ne soient pas altérées par un changement d'axes ; or, ces équations d'équilibre ne sont qu'un cas particulier des équations générales de la Dynamique, lesquelles, d'après le principe de relativité physique, ne doivent pas être modifiées par ce changement d'axes. Un corps solide est un système mécanique comme un autre ; la seule différence entre notre ancienne définition de l'espace et la nouvelle, c'est que celle-ci est plus large, en ce sens qu'elle permet de remplacer le corps solide par tout autre système mécanique. De plus la convention nouvelle ne définit pas seulement l'espace, elle définit le temps. Elle nous apprend ce que c'est que deux instants simultanés, ce que c'est que deux temps égaux ou qu'un temps double d'un autre. Une dernière remarque : le principe de relativité physique, nous l'avons dit, est un fait expérimental, au même titre que les propriétés des solides naturels ; comme tel, il est susceptible d'une incessante révision ; et la géométrie doit échapper à cette révision ; pour cela il faut qu'elle redevienne une convention, que le principe de relativité soit regardé comme une convention ; nous avons dit quel est son sens expérimental, il signifie que l'action mutuelle de deux systèmes très éloignés tend vers zéro quand leur distance augmente indéfiniment ; l'expérience nous apprend que cela est à peu près vrai ; elle ne peut nous apprendre que cela est tout à fait vrai, puisque la distance des deux systèmes demeurera toujours finie. Mais rien ne nous empêche de supposer que cela est tout à fait vrai ; rien ne nous en empêcherait même si l'expérience donnait au principe un apparent démenti; supposons que l'action mutuelle, après avoir diminué quand nous faisons croître la distance, se mette ensuite à croître; rien ne nous empêcherait d'admettre que pour une distance plus grande encore, elle décroîtrait de nouveau pour tendre finalement vers zéro. Seulement alors le principe se présente à nous comme une convention, ce qui le soustrait aux atteintes de l'expérience. C'est une convention qui nous est suggérée par l'expérience, mais que nous adoptons librement. Quelle est alors la révolution qui est due aux récents progrès de la Physique ? Le principe de relativité, sous sa forme ancienne, a dû être abandonné, il est remplacé par le principe de relativité de Lorentz. Ce sont les transformations du «groupe de Lorentz» qui n'altèrent pas les équations différentielles de la Dynamique. Si nous supposons que le système est rapporté non plus à des axes fixes, mais à des axes animés d'un mouvement de translation, il faut admettre que tous les corps se déforment, qu'une sphère, par exemple, se transforme en un ellipsoïde dont le petit axe est parallèle à la translation des axes ; il faut que le temps lui-même soit profondément modifié; voilà deux observateurs, le premier lié aux axes fixes, le second aux axes mobiles, mais se croyant l'un et l'autre en repos. Non seulement telle figure, que, le premier regarde comme une sphère, apparaîtra au second comme un ellipsoïde ; mais deux événements que le premier regardera comme simultanés ne le seront plus pour le second. Tout se passe comme si le temps était une quatrième dimension de l'espace ; et comme si l'espace à quatre dimensions résultant de la combinaison de l'espace ordinaire et du temps pouvait tourner non seulement autour d'un axe de l'espace ordinaire, de façon que le temps ne soit pas altéré, mais autour d'un axe quelconque. Pour que la comparaison soit mathématiquement juste, il faudrait attribuer des valeurs purement imaginaires à cette quatrième coordonnée de l'espace ; les quatre coordonnées d'un point de notre nouvel espace ne seraient pas x, y, z et t, mais x, y, z et t V-î • Mais je n'insiste pas sur ce point ; l'essentiel est de remarquer que dans la nouvelle conception l'espace et le temps ne sont plus deux entités entièrement distinctes et que l'on puisse envisager séparément, mais deux parties d'un même tout et deux parties qui sont comme étroitement enlacées de façon qu'on ne puisse plus les séparer facilement.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 17 Autre remarque : j'ai cherché autrefois à définir le rapport de deux événements survenus dans deux théâtres différents en disant que l'un sera regardé comme antérieur à l'autre s'il peut être considéré comme la cause de l'autre. Cette définition devient insuffisante ; dans cette Mécanique Nouvelle, il n'y a pas d'effet qui se transmette instantanément ; la vitesse de transmission maximum est celle de la Lumière ; dans ces conditions il peut arriver que l'événement A ne puisse être (en vertu de la seule considération de l'espace et du temps) ni l'effet ni la cause de l'événement B, si la distance des lieux où ils se produisent est telle que la Lumière ne puisse se transporter en temps utile ni du lieu de B au lieu de A, ni du lieu de A au lieu de B. Quelle va être notre position en face de ces nouvelles conceptions ? Allons-nous être forcés de modifier nos conclusions ? Non certes : nous avions adopté une convention parce qu'elle nous semblait commode, et nous disions que rien ne pourrait nous contraindre à l'abandonner. Aujourd'hui certains physiciens veulent adopter une convention nouvelle. Ce n'est pas qu'ils y soient contraints ; ils jugent cette convention nouvelle plus commode, voilà tout ; et ceux qui ne sont pas de cet avis peuvent légitimement conserver l'ancienne pour ne pas troubler leurs vieilles habitudes. Je crois, entre nous, que c'est ce qu'ils feront encore longtemps.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 18 CHAPITRE III : POURQUOI L ESPACE A TROIS DIMENSIONS § 1. - VANALYSIS SITUS ET LE CONTINU Les géomètres distinguent d'ordinaire deux sortes de geometries, qu'ils qualifient la première de métrique et la seconde de projective ; la géométrie métrique est fondée sur la notion de distance ; deux figures y sont regardées comme équivalentes, lorsqu'elles sont «égales» au sens que les mathématiciens donnent à ce mot ; la géométrie projective est fondée sur la notion de ligne droite. Pour que deux figures y soient considérées comme équivalentes, il n'est pas nécessaire qu'elles soient égales, il suffit qu'on puisse passer de l'une à l'autre par une transformation projective, c'est-à-dire que l'une soit la perspective de l'autre. On a souvent appelé ce second corps de doctrine, la géométrie qualitative ; elle l'est en effet si on l'oppose à la première, il est clair que la mesure, que la quantité y jouent un rôle moins important. Elle ne l'est pas entièrement cependant. Le fait pour une ligne d'être droite n'est pas purement qualitatif; on ne pourrait s'assurer qu'une ligne est droite sans faire des mesures, ou sans faire glisser sur cette ligne un instrument appelé règle qui est une sorte d'instrument de mesure. Mais il est une troisième géométrie d'où la quantité est complètement bannie et qui est purement qualitative ; c'est VAnalysis Situs. Dans cette discipline, deux figures sont équivalentes toutes les fois qu'on peut passer de l'une à l'autre par une déformation continue, quelle que soit d'ailleurs la loi de cette déformation pourvu qu'elle respecte la continuité. Ainsi un cercle est équivalent à une ellipse ou même à une courbe fermée quelconque, mais elle n'est pas équivalente à un segment de droite parce que ce segment n'est pas fermé ; une sphère est équivalente à une surface convexe quelconque ; elle ne l'est pas à un tore parce que dans un tore il y a un trou et que dans une sphère il n'y en a pas. Supposons un modèle quelconque et la copie de ce même modèle exécutée par un dessinateur maladroit ; les proportions sont altérées, les droites tracées d'une main tremblante ont subi de fâcheuses déviations et présentent des courbures malencontreuses. Du point de vue de la géométrie métrique, de celui même de la géométrie projective, les deux figures ne sont pas équivalentes ; elles le sont au contraire du point de vue de VAnalysis Situs. VAnalysis Situs est une science très importante pour le géomètre ; elle donne lieu à une série de théorèmes, aussi bien enchaînés que ceux d'Euclide ; et c'est sur cet ensemble de propositions que Riemann a construit une des théories les plus remarquables et les plus abstraites de l'analyse pure. Je citerai deux de ces théorèmes pour en faire comprendre la nature : deux courbes fermées planes se coupent en un nombre pair de points ; Si un polyèdre est convexe, c'est-à-dire si on ne peut tracer une courbe fermée sur sa surface sans la couper en deux, le nombre des arêtes est égal à celui des sommets, plus celui des faces, moins deux ; et cela reste vrai quand les faces et les arêtes de ce polyèdre sont courbes. Et voici ce qui fait pour nous l'intérêt de cette Analysis Situs ; c'est que l'est là qu'intervient vraiment l'intuition géométrique. Quand, dans un théorème de géométrie métrique, on fait appel à cette intuition, c'est parce qu'il est impossible d'étudier les propriétés métriques d'une figure en faisant abstraction de ses propriétés qualitatives, c'est-à-dire de celles qui sont l'objet propre de VAnalysis Situs. On a dit souvent que la géométrie est l'art de bien raisonner sur des figures mal faites. Ce n'est pas là une boutade, c'est une vérité qui mérite qu'on y réfiéchisse. Mais qu'est-ce qu'une figure mal faite ? c'est celle que peut exécuter le dessinateur maladroit dont nous parlions tout à l'heure ; il altère les proportions plus ou moins grossièrement ; ses lignes droites ont des zigzags inquiétants ; ses cercles présentent des bosses disgracieuses ; tout cela ne fait rien, cela ne troublera nullement le géomètre, cela ne l'empêchera pas de bien raisonner. Mais il ne faut pas que l'artiste inexpérimenté représente une courbe fermée par une courbe ouverte, trois lignes qui se coupent en un même point par trois lignes qui n'aient aucun point commun, une surface trouée par une surface sans trou. Alors on ne pourrait plus se servir de sa figure et le raisonnement deviendrait impossible. L'intuition n'aurait pas été gênée par les défauts de dessin qui n'intéressaient que la géométrie métrique ou projective ; elle deviendra impossible dès que ces défauts se rapporteront à VAnalysis Situs. Cette observation très simple nous montre le véritable rôle de l'intuition géométrique ; c'est pour favoriser cette intuition que le géomètre a besoin de dessiner des figures, ou tout au moins de se les
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 19 représenter mentalement. Or, s'il fait bon marché des propriétés métriques ou projectives de ces figures, s'il s'attache seulement à leurs propriétés purement qualitatives. C'est que c'est là seulement que l'intuition géométrique intervient véritablement. Non que je veuille dire que la géométrie métrique repose sur la logique pure, qu'il n'y intervienne aucune vérité intuitive ; mais ce sont des intuitions d'une autre nature, analogues à celles qui jouent le rôle essentiel en arithmétique et en algèbre. La proposition fondamentale de VAnalysis Situs, c'est que l'espace est un continu à trois dimensions. Quelle est l'origine de cette proposition, c'est ce que j'ai examiné ailleurs, mais d'une façon très succincte et il ne me semble pas inutile d'y revenir avec quelques détails afin d'éclaircir certains points. L'espace est relatif ; je veux dire par là, non seulement que nous pourrions être transportés dans une autre région de l'espace sans nous en apercevoir (et c'est effectivement ce qui arrive puisque nous ne nous apercevons pas de la translation de la Terre), non seulement que toutes les dimensions des objets pourraient être augmentées dans une même proportion, sans que nous puissions le savoir, pourvu que nos instruments de mesure participent à cet agrandissement ; mais je veux dire encore que l'espace pourrait être déformé suivant une loi arbitraire pourvu que nos instruments de mesure soient déformés précisément d'après la même loi. Cette déformation pourrait être quelconque, elle devrait cependant être continue, c'est-à-dire être de celles qui transforment une figure en une autre figure équivalente au point de vue de VAnalysis Situs. L'espace, considéré indépendamment de nos instruments de mesure, n'a donc ni propriété métrique, ni propriété projective ; il n'a que des propriétés topologiques (c'est-à-dire de celles qu'étudie VAnalysis Situs). Il est amorphe, c'est-à-dire qu'il ne diffère pas de celui qu'on en déduirait par une déformation continue quelconque. Je m'explique en employant le langage mathématique. Voici deux espaces E et E' ; le point M de E correspond au point M' de E' ; le point M a pour coordonnées rectangulaires x, y et z ; le point M' a pour coordonnées rectangulaires trois fonctions continues quelconques de x, d'y et de z. Ces deux espaces ne diffèrent pas au point de vue qui nous occupe. Comment l'intervention de nos instruments de mesure, et en particulier des corps solides donne à l'esprit l'occasion de déterminer et d'organiser plus complètement cet espace amorphe ; comment elle permet à la géométrie projective d'y tracer un réseau de lignes droites, à la géométrie métrique de mesurer les distances de ces points ; quel rôle essentiel joue dans ce processus la notion fondamentale de groupe, c'est ce que j'ai expliqué longuement ailleurs. Je regarde tous ces points comme acquis et je n'ai pas à y revenir. Notre seul objet ici est l'espace amorphe qu'étudie VAnalysis Situs, le seul espace qui soit indépendant de nos instruments de mesure, et sa propriété fondamentale, j'alliais dire sa seule propriété, c'est d'être un continu à trois dimensions. § 2. - LE CONTINU ET LES COUPURES Mais qu'est-ce qu'un continu à n dimensions ; en quoi diffère-t-il d'un continu dont le nombre des dimensions est plus grand ou plus petit ? Rappelons d'abord quelques résultats obtenus récemment par les élèves de Cantor. Il est possible de faire correspondre un à un les points d'une droite à ceux d'un plan, ou, plus généralement, ceux d'un continu à n dimensions à ceux d'un continu à p dimensions. Ceci est possible, pourvu qu'on ne s'y astreigne pas à la condition qu'à deux points infiniment voisins de la droite correspondent deux points infiniment voisins du plan, c'est-à-dire à la condition de continuité. On peut donc déformer le plan de façon à obtenir une droite, pourvu que cette déformation ne soit pas continue. Cela serait impossible au contraire avec une déformation continue. Ainsi la question du nombre des dimensions est intimement liée à la notion de continuité et elle n'aurait aucun sens pour celui qui voudrait faire abstraction de cette notion. Pour définir le continu à n dimensions, nous avons d'abord la définition analytique -, un continu à n dimensions est un ensemble de n coordonnées, c'est-à-dire un ensemble de n quantités susceptibles de varier indépendamment l'une de l'autre et de, prendre foutes les valeurs réelles satisfaisant à certaines inégalités. Cette définition, irréprochable au point de vue mathématique, ne saurait pourtant nous satisfaire entièrement. Dans un continu les diverses coordonnées ne sont pas pour ainsi dire juxtaposées les unes aux autres, elles sont liées entre elles de façon à former les divers aspects d'un tout. A chaque instant en étudiant l'espace, nous faisons ce qu'on appelle un changement de coordonnées, par exemple nous faisons un changement d'axes rectangulaires ; ou bien nous passons
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 20 aux coordonnées curvilignes. En étudiant un autre continu, nous faisons aussi des changements de coordonnées, c'est-à-dire que nous remplaçons nos n coordonnées par n fonctions continues quelconques de ces n coordonnées. Pour nous qui tirons la notion du continu à n dimensions, non de la définition analytique précitée, mais de je ne sais quelle source plus profonde, cette opération est toute naturelle ; nous sentons qu'elle n'altère pas ce qu'il y a d'essentiel dans le continu. Pour ceux, au contraire, qui ne connaîtraient le continu que par la définition analytique, l'opération serait licite sans doute, mais baroque et mal justifiée. Enfin cette définition fait bon marché de l'origine intuitive de la notion de continu, et de toutes les richesses que recèle cette notion. Elle rentre dans le type de ces définitions qui sont devenues si fréquentes dans la Mathématique, depuis qu'on tend à «arithmétiser» cette science. Ces définitions, irréprochables, nous l'avons dit, au point de vue, mathématique, ne sauraient satisfaire le philosophe. Elles remplacent l'objet à définir et la notion intuitive de cet objet par une construction faite avec des matériaux plus simples ; on voit bien alors qu'on peut effectivement faire cette construction avec ces matériaux, mais on voit en même temps qu'on pourrait en faire tout aussi bien beaucoup d'autres ; ce qu'elle ne laisse pas voir c'est la raison profonde pour laquelle on a assemblé ces matériaux de cette façon et non pas d'une autre. Je ne veux pas dire que cette «arithmétisation» des mathématiques soit une mauvaise chose, je dis qu'elle n'est pas tout. Je fonderai la détermination du nombre des dimensions sur la notion de coupure. Envisageons d'abord une courbe fermée, c'est-à-dire un continu à une dimension ; si, sur cette courbe nous marquons deux points quelconques par lesquels nous nous interdirons de passer, la courbe se trouvera découpée en deux parties, et il deviendra impossible de passer de l'une à l'autre en restant sur la courbe et sans passer par les points interdits. Soit au contraire une surface fermée, constituant un continu à deux dimensions ; nous pourrons marquer sur cette surface, un, deux, un nombre quelconque de points interdits ; la surface ne sera pas pour cela décomposée en deux parties, il restera possible d'aller d'un point à l'autre de cette surface sans rencontrer d'obstacle, parce qu'on pourra toujours tourner autour des points interdits. Mais si nous traçons sur la surface une ou plusieurs courbes fermées et si nous les considérons comme des coupures que nous nous interdirons de franchir, la surface pourra se trouver découpée en plusieurs parties. Venons maintenant au cas de l'espace ; on ne peut le décomposer en plusieurs parties, ni en interdisant de passer par certains points, ni en interdisant de franchir certaines lignes ; on pourrait toujours tourner ces obstacles, il faudra interdire de franchir certaines surfaces, c'est-à-dire certaines coupures à deux dimensions; et c'est pour cela que nous disons que l'espace a trois dimensions. Nous savons maintenant ce que c'est qu'un continu à n dimensions. Un continu a n dimensions quand on peut le décomposer en plusieurs parties en y pratiquant une ou plusieurs coupures, qui soient elles-mêmes des continus à n-1 dimensions. Le continu à n dimensions se trouve ainsi défini par le continu à n-1 dimensions ; c'est une définition par récurrence. Ce qui me donne confiance dans cette définition, ce qui me montre que c'est bien ainsi que les choses se présentent naturellement à l'esprit, c'est d'abord que beaucoup d'auteurs de traités élémentaires, qui n'y entendaient pas malice, ont fait au début de leurs ouvrages quelque chose d'analogue. Ils définissent les volumes comme des portions de l'espace, les surfaces comme les frontières des volumes, les lignes comme celles des surfaces, les points comme celles des lignes ; après quoi ils s'arrêtent et l'analogie est évidente. C'est ensuite que dans les autres parties de VAnalysis Situs, nous retrouvons le rôle important de la coupure ; c'est sur la coupure que tout repose. Qu'est-ce qui, d'après Riemann, distingue, par exemple, le tore de la sphère ? c'est qu'on ne peut pas tracer sur une sphère une courbe fermée sans couper cette surface en deux ; tandis qu'il y a des courbes fermées qui ne coupent pas le tore en deux, et qu'il faut y pratiquer deux coupures fermées n'ayant aucun point commun pour être sûr de l'avoir divisé. Il reste encore un point à traiter. Les continus dont nous venons de parler sont des continus mathématiques, chacun de leurs points est un individu absolument distinct des autres et, d'ailleurs, absolument indivisible. Les continus que nous révèlent directement nos sens, et que j'ai appelés continus physiques, sont tout différents. La loi de ces continus est la loi de Fechner, que je dépouillerai du pompeux appareil mathématique qui l'entoure d'ordinaire pour la réduire au simple énoncé des données expérimentales sur lesquelles elle repose. On sait distinguer au jugé, un poids de 10 grammes d'un poids de 12 grammes ; on ne pourrait distinguer un poids de 11 grammes, ni de celui de 10 grammes, ni de celui de 12 grammes. Plus généralement il peut y avoir
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 21 deux ensembles de sensations que nous distinguons l'un de l'autre, sans que nous puissions distinguer ni l'un, ni l'autre d'un même troisième. Cela posé, nous pouvons imaginer une chaîne continue d'ensembles de sensations de telle sorte que chacun d'eux ne se distingue pas du suivant, bien que les deux extrémités de la chaîne se discernent aisément ; ce sera là un continu physique à une dimension. Nous pouvons également imaginer des continus physiques plus complexes. Les éléments de ces continus physiques seront encore des ensembles de sensations (mais je préfère employer le mot élément qui est plus simple). Quand dirons-nous, alors qu'un système S de semblables éléments est un continu physique ? C'est quand on peut considérer deux quelconques de ses éléments comme les extrémités d'une chaîne, continue analogue à celle dont je viens de parler et dont tous les éléments appartiennent à S. C'est ainsi qu'une surface est continue, si on peut joindre deux quelconques de ses points par une ligne continue qui ne sorte pas de la surface. Pouvons-nous étendre la notion de coupure aux continus physiques et déterminer par là le nombre de leurs dimensions ? Evidemment oui. Supposons que l'on s'interdise certains éléments de S, et tous ceux qu'on n'en peut discerner. Ces éléments interdits pourront d'ailleurs être en nombre fini, ou former par leur réunion un ou plusieurs continus. L'ensemble de ces éléments interdits constituera une coupure ; et il pourra se faire qu'après avoir pratiqué cette coupure, on ait partagé le continu S en plusieurs autres, de façon qu'il ne soit plus possible de passer d'un élément quelconque de S à un autre élément quelconque par une chaîne continue, aucun élément de cette chaîne n'étant indiscernable d'aucun élément de la coupure. Alors un continu physique que l'on peut découper ainsi en s'interdisant un nombre fini d'éléments aura une dimension ; un continu physique aura n dimensions, si on peut le découper en y pratiquant des coupures qui soient elles-mêmes des continus physiques à n-1 dimensions. § 3. - L'ESPACE ET LES SENS La question semble résolue ; nous n'avons, semble-t-il, qu'à appliquer cette règle, soit au continu, physique qui est l'image grossière de l'espace, soit au continu mathématique correspondant qui en est l'image épurée et qui est l'espace du géomètre. C'est là une illusion; cela irait bien si le continu physique d'où nous tirons l'espace nous était directement donné par les sens, mais il est loin d'en être ainsi. Voyous, en effet, comment on peut, de la masse de nos sensations, déduire un continu physique. Chaque élément d'un continu physique est un ensemble de sensations ; et le plus simple est de considérer d'abord un ensemble de sensations simultanées, un état de conscience. Mais chacun de nos états de conscience est quelque chose d'excessivement complexe, si bien qu'on ne peut espérer voir jamais deux états de conscience devenir indiscernables et cependant pour construire un continu physique, il est essentiel, d'après ce qui précède, que deux de ses éléments puissent, dans certains cas, être regardés comme indiscernable. Or, il n'arrivera jamais que nous puissions dire : je ne puis discerner mon état d'âme actuel de mon état d'âme d'avant-hier à pareille heure. Il faut donc que, par une opération active de l'esprit, nous convenions de considérer comme identiques deux états de conscience en faisant abstraction de leurs différences. Nous pourrons, par exemple, et c'est le plus simple, faire abstraction des données de certains sens. J'ai dit que je ne pouvais distinguer un poids de 10 grammes d'un poids de 11 grammes ; il est probable pourtant que si j'ai jamais fait l'expérience, la sensation de pression causée par le poids de 10 grammes était accompagnée de sensations olfactives ou auditives diverses, et que quand le poids de 10 grammes a été remplacé par celui de 11, ces sensations diverses avaient varié ; c'est parce que je fais abstraction de ces sensations étrangères, que je puis dire que les deux états de conscience étaient indiscernables. On peut faire d'autres conventions plus compliquées ; on peut aussi envisager comme éléments de notre continu, non seulement des ensembles de sensations simultanées, mais des ensembles de sensations successives, des suites de sensations. Il faudra ensuite faire la convention fondamentale et dire quels sont les caractères communs que doivent posséder deux éléments du continu (qu'ils soient deux ensembles de sensations simultanées ou successives), pour qu'on doive les regarder comme identiques. Ainsi, pour la définition d'un continu physique, il faut faire un double choix : 1° choisir les ensembles de sensations simultanées ou successives qui doivent servir d'éléments à ce continu ; 2° choisir la convention fondamentale qui définira les cas où deux éléments doivent être regardés comme identiques.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 22 Comment faut-il faire ce double choix pour obtenir l'espace ? Pouvons-nous nous contenter d'envisager un ensemble de sensations simultanées ou bien faut-il envisager une suite de sensations ? Pouvons-nous, en particulier, nous contenter de la convention fondamentale la plus simple, la plus naturelle, qui consisterait à faire abstraction des données de certains sens ? Non. Une semblable abstraction est impossible, nous ne pouvons pas choisir parmi nos sens ceux qui nous donneront tout l'espace et ne nous donneront que cela ; il n'en est pas un qui puisse nous donner l'espace sans le secours des autres ; il n'en est pas un non plus qui ne nous donne une foule de choses qui n'ont rien à faire avec l'espace. Si nous analysons, par exemple, les données du toucher proprement dit, voici ce que nous apercevons ; l'expérience nous montre que si l'on touche la peau, avec deux pointes, la conscience distingue les deux pointes si elles sont suffisamment éloignées l'une de l'autre et cesse de les distinguer si elles sont très rapprochées ; la distance minimum qui permet de les discerner varie d'ailleurs suivant les régions du corps ; on dit d'ordinaire que la peau est divisée en départements, dont chacun est le domaine d'un même nerf sensitif ; que si les deux pointes tombent dans un même département, un seul nerf est ébranlé et nous ne percevons qu'une pointe ; mais que nous en percevons deux au contraire si elles tombent dans deux, départements et affectent, par conséquent, deux nerfs. Cela n'est pas entièrement satisfaisant ; nous ne retrouverions pas ainsi les caractères du continu physique ; supposons que l'on déplace les deux pointes, leur distance, d'ailleurs très petite, étant maintenue constante. Cette distance étant très petite, nous aurons des chances pour qu'elles tombent dans le même département et pour n'avoir qu'une perception unique ; mais si nous les déplaçons petit à petit sans changer leur distance, il devra arriver un moment ou l'une d'elles se trouvera hors du département et où l'autre n'en sera pas encore sortie. A ce moment, on devrait sentir deux pointes ; or ce n'est pas ce que l'on observe ; nous n'obtiendrions pas ainsi la notion d'un continu physique, mais celle d'un ensemble discret formé d'autant d'individus distincts qu'il y aurait de départements. Il vaut mieux admettre que le contact d'une pointe affecte, non seulement le nerf le plus rapproché, mais aussi les nerfs voisins, et cela avec une intensité qui décroît quand la distance augmente. Supposons alors que l'on compare les effets du contact de deux pointes ; si la distance des deux pointes est faible, les mêmes nerfs sont affectés ; l'intensité de l'excitation d'un même nerf par l'une et par l'autre pointe sera sans doute différente, mais cette différence sera trop faible pour être discernée, d'après la règle générale de Fechner. Si un nerf est affecté par la pointe A, sans l'être par la pointe B, il ne le sera que très peu par la pointe A et l'excitation sera au-dessous du «seuil de la conscience». Les effets des deux pointes seront donc indiscernables. Nous avons là alors tout ce qu'il faut pour construire un continu physique, nous n'avons qu'à promener deux pointes sur la surface de la peau et à noter les cas où notre conscience les distingue. Nous avons fait abstraction (et c'est là ce que j'appelais plus haut notre convention fondamentale) d'une foule de circonstances, de l'intensité de l'ébranlement de chaque filet sensitif ; de la pression plus ou moins grande exercée sur la peau par la pointe, de la nature du contact ; toutes ces circonstances nous sont révélées par le toucher, mais nous les avons éliminées pour ne conserver que celles dont le caractère est géométrique. Avons-nous ainsi l'espace ? Non ; d'abord le continu ainsi construit n'a que deux dimensions, comme la surface de la peau elle-même ; ensuite nous savons bien que notre peau est mobile, qu'un même point de la peau ne correspond pas toujours à un même point de l'espace ; que la distance de deux points de notre peau varie quand notre corps se déforme. C'est sans doute ainsi que les mollusques conçoivent l'espace, mais cela n'a aucun rapport avec le nôtre. Pour la vue, c'est la même chose ; deux faisceaux de lumière frappant deux points de la rétine, nous donneront l'impression de deux taches lumineuses ou d'une seule, selon que ces deux points seront plus ou moins distants. Nous avons l'équivalent de nos deux pointes de tout à l'heure ; nous pouvons nous en servir pour construire un continu physique en faisant abstraction de la couleur et de l'intensité de la lumière ; ce continu physique aura deux dimensions comme la surface de la rétine. On introduira la troisième dimension en faisant intervenir la convergence des yeux dans la vision binoculaire, et voilà ce que l'on a appelé l'espace visuel. Il est supérieur à l'espace tactile, d'abord parce qu'avec un peu de bonne volonté on peut lui donner trois dimensions, et ensuite parce que la rétine est mobile sans doute, mais à la façon d'un corps solide, tandis que la peau peut se plier dans tous les sens. On est alors tenté de dire que c'est là le vrai espace où nous cherchons à localiser toutes nos autres sensations. Cela ne va pas encore ; non seulement l'œil est mobile, de sorte que, à un même point de la rétine, à, un même degré de convergence des yeux, ne correspond pas toujours un même point de
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 23 l'espace ; mais on n'explique pas pourquoi on a introduit une troisième dimension, si manifestement hétérogène aux deux autres, ni pourquoi la géométrie des aveugles est la même que la nôtre. Si l'on veut combiner l'espace visuel avec l'espace tactile, on va avoir 5 dimensions, au lieu de 3 ou de 2 ; et il restera à expliquer par quel processus ces 5 dimensions se réduisent à 3 ; et le nombre des dimensions sera encore accru si l'on veut faire entrer d'autres sens dans la combinaison. Il reste à expliquer en un mot pourquoi l'espace tactile et l'espace visuel sont un seul et même espace. § 4. - L'ESPACE ET LES MOUVEMENTS Il semble donc qu'on ne puisse construire l'espace en envisageant des ensembles de sensations simultanées, qu'il faut considérer des suites de sensations. Il faut toujours en revenir à ce que j'ai dit autrefois. Pourquoi certains changements nous apparaissent-ils comme des changements de position et d'autres comme des changements d'état sans caractère géométrique ? Pour cela nous devons distinguer d'abord les changements externes qui sont involontaires et ne sont pas accompagnés de sensations musculaires et les changements internes qui sont les mouvements de notre corps et que nous distinguons des autres parce qu'ils sont volontaires et accompagnés de sensations musculaires. Un changement externe peut être corrigé par un chargement interne, par exemple quand nous suivons de l'œil un objet mobile de façon à ramener toujours son image en un même point de la rétine. Un changement externe susceptible d'une semblable correction est un changement de position ; s'il n'en est pas susceptible, il est un changement d'état. Deux changements externes, qui au point de vue qualitatif sont tout à fait différents, sont regardés comme correspondant à un même changement de position s'ils peuvent être corrigés par un même changement interne. De même deux changements internes peuvent être constitués par des suites de sensations musculaires qui n'ont rien de commun et qui peuvent pourtant correspondre à un même changement de position, s'ils peuvent corriger un même changement externe. C'est ce que nous exprimons dans le langage ordinaire en disant qu'il y a plusieurs chemins pour aller d'un point à un autre. Ce qui importe alors, ce sont les mouvements qu'il faut faire pour atteindre un objet déterminé, la conscience de ces mouvements n'étant pas autre chose pour nous que l'ensemble des sensations musculaires qui les accompagnent. Cela posé, un certain objet se trouve au contact d'un de mes doigts, par exemple de l'index de la main droite ; j'éprouve de ce fait une sensation tactile T ; je reçois en même temps de cet objet les sensations visuelles V ; l'objet s'éloigne, la sensation T s'évanouit, les sensations V sont remplacées par les sensations visuelles nouvelles V ; c'est là un changement externe. Je veux corriger en partie ce changement externe en rétablissant la sensation T, c'est-à-dire ramener mon index au contact de l'objet. Pour cela je dois exécuter certains mouvements qui se traduisent pour moi par une certaine suite de sensations musculaires S ; cela je le sais, parce que de nombreuses expériences faites, soit par moi-même, soit par mes ancêtres, m'ont appris que quand la sensation T disparaissait, et que les sensations visuelles passaient de V à V, on pouvait rétablir la sensation T par les mouvements correspondant à la suite S. Je sais également que j'aurais pu obtenir le même résultat par d'autres mouvements se traduisant pour moi, non plus par la suite S, mais par une autre suite S' ou S". Toutes ces suites de sensations musculaires S, S', S",... n'ont peut-être aucun élément commun, je les rapproche parce que je sais que les unes et les autres me permettent de rétablir la sensation T toutes les fois que les sensations V sont devenues V. Dans notre langage habituel, à nous qui savons déjà la géométrie, nous dirons que les diverses suites de mouvements qui correspondent aux suites de sensations musculaires S, S', S", ont ceci de commun que, dans les unes comme dans les autres, la position initiale, ainsi que, la position finale de mon index reste la même. Tout le reste peut différer. Je suis ainsi conduit à ne pas distinguer ces diverses suites S, S', S"... à les regarder comme un individu unique. Je n'en distinguerai pas non plus les suites de sensations musculaires qui en diffèrent trop peu. J'aurai alors de quoi construire un continu physique et j'ai, en effet, choisi les éléments de ce continu qui sont des suites de sensations musculaires et je possède la «convention fondamentale» qui m'apprend dans quels cas deux de ces éléments doivent être regardés comme identiques et c'est ce continu qui a trois dimensions.
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 24 Mais ce n'est pas tout, nous venons de définir un continu qui est un véritable espace ; c'est l'espace considéré comme décrit par un de mes doigts mais j'ai plusieurs doigts (et au point de vue qui m'occupe, tous les points de ma peau pourraient me servir de doigts). Mes différents doigts vont-ils décrire le même espace? Oui, sans doute, mais qu'est-ce que cela veut dire ? Cela implique un ensemble de propriétés qu'il ne serait pas aisé d'énoncer dans le langage ordinaire, mais que je puis tenter d'expliquer si on veut bien me permettre d'employer certains symboles. Je considère deux doigts que j'appellerai a et P; le doigt a sera, par exemple, l'index de la main droite dont nous nous sommes servis, pour définir les suites nous écrirons alors : S = S'(mod a) et cela voudra dire que si les mouvements correspondant à S rétablissent la sensation tactile éprouvée par le doigt a, il en sera de même des mouvements correspondant à S' et inversement, écrirai de même Si =Si'(modp) pour exprimer que si les mouvements correspondant à S^ rétablissent la sensation tactile éprouvée par le doigt P, il en sera de même des mouvements correspondant à S'^. Cela posé, je suppose qu'il existe deux suites particulières de sensations musculaires s et s^, qui seront définies de la façon suivante : je suppose que le doigt P éprouve une sensation tactile due au contact d'un objet ; faisons les mouvements correspondant à s, cette sensation disparaîtra, mais, finalement, ce sera le doigt a qui éprouvera une sensation de contact ; je sais par expérience que cela arrivera toutes les fois qu'avant ces mouvements, le doigt P sentait un contact ; ou du moins presque toutes les fois (je dis presque, parce que cela exige pour réussir que l'objet n'ait pas bougé dans l'intervalle) dans notre langage ordinaire (qui serait plus clair pour nous, mais que je n'ose pas employer puisque je parle d'êtres qui ne savent pas encore la géométrie), nous dirions que les mouvements correspondant à s ont amené le doigt a à la place primitivement occupée par le doigt p. Pour s^, ce sera le contraire, les mouvements correspondants amènent le doigt P à la place primitivement occupée par le doigt a. Si ces deux suites s et s, existent, la relation S = S'(mod a) entraînera comme conséquence la relation : s + S + s =s + S+Sid P) c'est ce dont on se convainc immédiatement si l'on se rappelle le sens de ces symboles et on en déduirait sans peine que les deux espaces, engendrés par a et par P, sont isomorphes et, en particulier, qu'ils ont le même nombre de dimensions. Il n'en serait plus de même si les suites s et s^, n'existaient pas. Supposons, en effet, qu'on ne puisse trouver une suite de mouvements telle qu'à une sensation de contact du doigt P avec un objet, elle fasse succéder une sensation de contact du doigt a avec ce même objet, et cela sinon à coup sûr, du moins presque à coup sûr, comment alors raisonnerions-nous ? Nous dirions que le doi t sent 1 objet sans être au même point de 1 espace, quil le sent à distance ; autrement, toutes les fois que le doi t P sentirait l'objet, c'est qu'il serait en un même point A de l'espace ; alors il devrait y avoir une suite de mouvements qui amèneraient le doigt a au point A ; et comme l'objet est au point A, le doigt a devrait sentir l'objet et cela devrait réussit toujours. Si nous supposons donc qu'il n'y ait pas de suite de mouvements jouissant de cette propriété, il faut admettre que, le doigt P sent le contact à distance, c'est-à-dire que le fait d'être senti par ce doigt ne suffit pas pour déterminer la position de l'objet dans
Henri Poincaré. - Dernières pensées. - 25 l'espace, c'est-à-dire enfin, que l'espace doit posséder plus de dimensions que le continu physique engendré par le doigt P de la façon que nous avons dite. Je suppose par exemple que l'espace ait quatre dimensions, et je désigne par x, y, z, t les quatre coordonnées ; je suppose que le doigt P ressente le contact de l'objet, toutes les fois que les 3 coordonnées x, y, z sont les mêmes pour le doigt et l'objet, quelle que soit d'ailleurs la quatrième coordonnée ; et d'autre part que le doigt a ressente le contact de l'objet, toutes les fois que les 3 coordonnées x, y, t sont les mêmes pour l'objet et ce doigt, quelle que soit d'ailleurs la coordonnée z. Dans ces conditions, appliquons nos règles pour la construction du continu physique engendré par P ; nous lui trouverons 3 dimensions seulement, qui correspondront aux trois coordonnées x, y, z, la coordonnée t ne jouant aucun rôle. De même le continu physique engendré par a aurait 3 dimensions correspondant à x, y et t. Mais nous ne pourrions trouver une suite de mouvements correspondant à une suite de sensations musculaires s, telle que la sensation de contact pour a succède, à coup sûr, à la sensation de contact pour p. Soient en effet, x^, y^, z^, t^, les coordonnées de l'objet, Xq, yQ, Zq, tQ celles du doigt P avant le mouvement ; x'q, y'Q, z'q, t'Q celles du doigt a après le mouvement. Nous exprimerons que le doigt P ressent le contact avant le mouvement en écrivant : (l)xo=Xi,yo=yi,Zo = Zi nous exprimerons que a ressent le contact après le mouvement en écrivant : B) xo =Xi,yo =yi,Zo =zi. Pour que s existât, il faudrait que nous puissions choisir Xq, yQ, Zq, tQ ; x'q, y'Q, z'q, t'Q de telle façon que les relations A) entraînassent les relations B) quelles que fussent d'ailleurs x^, ^, z^, t^ Il est clair que cela est impossible. C'est précisément l'impossibilité de former s qui nous révélerait en pareil cas que l'espace aurait 4 dimensions et non pas 3 comme le continu physique engendré par p. Et d'ailleurs nous observons effectivement quelque chose d'analogue si nous faisons intervenir le sens de la vue. Considérons un point de la rétine, nous pouvons lui faire jouer le même rôle qu'à nos doigts a ou p. Nous pouvons considérer la suite de mouvements nécessaires pour ramener l'image d'un objet en ce point y de la rétine, ou la suite correspondante de sensations musculaires ; nous pouvons nous servir de cette suite pour définir un continu physique analogue à celui qui était engendré par a ou par p. Ce continu n'aura que deux dimensions. Mais nous ne pouvons construire une suite analogue à s, c'est-à-dire une suite de mouvements faisant succéder à coup sûr, à la sensation visuelle ressentie au point y la sensation tactile ressentie sur le doigt a. En d'autres termes, il ne suffit pas que nous constations que l'image de l'objet se fait en y, pour que nous puissions déterminer les mouvements nécessaires pour amener notre doigt au contact de cet objet ; il nous manque une donnée qui est la distance de l'objet. Et c'est pourquoi nous disons que la vue s'exerce à distance, et que l'espace a trois dimensions, une de plus que le continu engendré par y. Nous voyons par ce rapide exposé quels sont les faits expérimentaux qui nous ont conduits à attribuer trois dimensions à l'espace. En présence de ces faits, il nous était plus commode de lui en attribuer trois que quatre ou que deux ; mais ce mot de commode n'est peut-être pas ici assez fort ; un être qui aurait attribué à l'espace deux ou quatre dimensions se serait trouvé dans un monde fait comme le nôtre, en état d'infériorité dans la lutte pour la vie ; qu'est-ce à dire en effet ? qu'on me permette de r

References: § 2
 § 3
 § 4
 §5
 § 6
 § 2
 §3
 § 4
 §5
 § 6
 § 1
 § 2
 § 3
 § 4
 §5
 § 6
 § 7
 § 8
 § 1
 § 2
 §3
 § 4
 §5
 § 1
 § 2
 § 3
 § 4