Source: https://www.scribd.com/document/216711959/06-Estandares-basicos
Timestamp: 2018-10-20 02:02:29+00:00

Document:
Ciclo CUATRO Primer Periodo
4 Adecuaciones Kinder.
La matematica como necesidad en la vida del hombre antiguo
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ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MÁTEMÁTICAS
Desde hace tres décadas, la comunidad colombiana de educadores matemáticos viene investigando, reflexionando y debatiendo sobre la formación matemática de los niños, niñas y jóvenes y sobre la manera como ésta puede contribuir más eficazmente a las grandes metas y propósitos de la educación actual. En este sentido, la educación matemática debe responder a nuevas demandas globales y nacionales, como las relacionadas con una educación para todos, la atención a la diversidad y a la interculturalidad y la formación de ciudadanos y ciudadanas con las competencias necesarias para el ejercicio de sus derechos y deberes democráticos. Para comprender mejor los cambios en la relación entre las metas de la educación matemática y los fines de la educación actual de cara al siglo XXI, a continuación se describen algunos cambios en las argumentaciones sobre la importancia de la formación matemática y su relación con las nuevas visiones de la naturaleza de las matemáticas. Hace ya varios siglos que la contribución de las matemáticas a los fines de la educación no se pone en duda en ninguna parte del mundo. Ello, en primer lugar, por su papel en la cultura y la sociedad, en aspectos como las artes plásticas, la arquitectura, las grandes obras de ingeniería, la economía y el comercio; en segundo lugar, porque se las ha relacionado siempre con el desarrollo del pensamiento lógico y, finalmente, porque desde el comienzo de la Edad Moderna su conocimiento se ha considerado esencial para el desarrollo de la ciencia y la tecnología. En Colombia, desde los inicios de la República hasta la década de los setenta, la contribución de la formación matemática a los fines generales de la educación se argumentó principalmente con base en las dos últimas razones de carácter personal y científico técnico, a saber: por su relación con el desarrollo de las capacidades de razonamiento lógico, por el ejercicio de la abstracción, el rigor y la precisión, y por su aporte al desarrollo de la ciencia y la tecnología en el país. Estos fines estuvieron fuertemente condicionados por una visión de la naturaleza de las matemáticas como cuerpo estable e infalible de verdades absolutas, lo que condujo a suponer que sólo se requería estudiar, ejercitar y recordar un listado más o menos largo de contenidos matemáticos –hechos, definiciones, propiedades de objetos matemáticos, axiomas, teoremas y procedimientos algorítmicos– para formar a todos los estudiantes en el razonamiento lógico y en los conocimientos matemáticos.
Sin embargo, estos argumentos comenzaron a ser cuestionados, de un lado, porque el desarrollo del pensamiento lógico y la preparación para la ciencia y la tecnología no son tareas exclusivas de las matemáticas sino de todas las áreas de la Educación Básica y Media y, de otro, por el reconocimiento de tres factores adicionales que no se habían considerado anteriormente como prioritarios: la necesidad de una educación básica de calidad para todos los ciudadanos, el valor social ampliado de la formación matemática y el papel de las matemáticas en la consolidación de los valores democráticos. El primero de ellos obedece al ideal de ofrecer a toda la población del país una educación básica masiva con equidad y calidad, lo que implica buscar también la integración social y la equidad en y a través de la educación matemática, es decir, formar en matemáticas a todo tipo de alumnos y alumnas. La posibilidad de esta formación ya no está dada –como sucedía en la primera mitad del Siglo XX– por el filtro social que limitaba mucho el número de estudiantes que accedían a la educación secundaria, sino que tiene que atender a toda la población juvenil, independientemente de su preparación adecuada o deficiente en las matemáticas de la Educación Básica Primaria y de su motivación o desmotivación por las mismas. Por ello, se hace necesario comenzar por la identificación del conocimiento matemático informal de los estudiantes en relación con las actividades prácticas de su entorno y admitir que el aprendizaje de las matemáticas no es una cuestión relacionada únicamente con aspectos cognitivos, sino que involucra factores de orden afectivo y social, vinculados con contextos de aprendizaje particulares. Estas consideraciones se amplían con la visión del carácter histórico y contingente de las matemáticas, consideradas ahora como un cuerpo de prácticas y de realizaciones conceptuales y lingüísticas que surgen ligadas a un contexto cultural e histórico concreto y que están en continua transformación y reconstrucción como otros cuerpos de prácticas y saberes. De esta forma se amplía la base argumentativa para relacionar las matemáticas con las finalidades culturalmente valoradas de la educación. El segundo factor incorpora nuevas finalidades sociales a los propósitos de la formación matemática, las cuales se argumentan con las siguientes razones. La primera alude al carácter utilitario ampliado del conocimiento matemático, en tanto que el mundo social y labo-
ral fuertemente tecnologizado del Siglo XXI requiere cada vez más de herramientas proporcionadas por las matemáticas –sin olvidar ni menospreciar los aportes de otras disciplinas como las ciencias naturales y sociales– y por las nuevas tecnologías, para lograr con ellas desempeños eficientes y creativos en muchas labores en las que antes no se requería más que de la aritmética elemental. La segunda razón alude al conocimiento matemático imprescindible y necesario en todo ciudadano para desempeñarse en forma activa y crítica en su vida social y política y para interpretar la información necesaria en la toma de decisiones. El tercer factor está relacionado con la segunda razón arriba mencionada, pero va más allá, pues busca contribuir desde la educación matemática a la formación en los valores democráticos. Esto implica reconocer que hay distintos tipos de pensamiento lógico y matemático que se utilizan para tomar decisiones informadas, para proporcionar justificaciones razonables o refutar las aparentes y falaces y para ejercer la ciudadanía crítica, es decir, para participar en la preparación, discusión y toma de decisiones y para desarrollar acciones que colectivamente puedan transformar la sociedad. Este factor agrega a las demás funciones de la formación matemática una nueva función política: la preocupación por la formación en valores democráticos y por el ejercicio de la ciudadanía crítica. Por lo tanto, es necesario que en los procesos de enseñanza de las matemáticas se asuma la clase como una comunidad de aprendizaje donde docentes y estudiantes interactúan para construir y validar conocimiento, para ejercer la iniciativa y la crítica y para aplicar ese conocimiento en diversas situaciones y contextos. Para lograrlo hay que hacer énfasis en los actos comunicativos, de tal suerte que se le permita al grupo deliberar sobre las razones o la falta de ellas, sobre las conjeturas, opiniones o juicios y sobre las ventajas o desventajas de las posibles decisiones que deban tomarse dentro y fuera de la clase y que tengan resonancia colectiva. Los tres factores antes descritos exigen reorganizaciones, redefiniciones y reestructuraciones de los procesos de enseñanza de las matemáticas. En primer lugar, se hace necesaria una nueva visión de las matemáticas como creación humana, resultado de la actividad de grupos culturales concretos (ubicados en una sociedad y en un período histórico determinado) y, por tanto, como una disciplina
contingente y en constante cambio. provisoria. científicas. Así pues. MEN. 1 Ministerio de Educación Nacional (1998). abren nuevos horizontes y refuerzan las razones para justificar la contribución de la formación matemática a los fines de la educación. los fines de tipo personal. Lineamientos curriculares. sociales y culturales a la educación matemática. lingüísticas y ciudadanas. que tiene fundamentos éticos y que se incardina en una práctica social. lo cual implica prioritariamente tomar en consideración el estado actual de la sociedad. sus tendencias de cambio y los futuros deseados hacia los cuales se orienta el proyecto educativo de las matemáticas. Ello implica incorporar en los procesos de formación de los educandos una visión de las matemáticas como actividad humana culturalmente mediada y de incidencia en la vida social. en la cual se utilizaban los conceptos. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . La incorporación de estos fines a la enseñanza de las matemáticas obliga a reconocer que ésta forma parte del sistema de valores compartidos. Bogotá. se hace necesario también incorporar los fines políticos. social y político de la educación matemática. a una enseñanza que se oriente a apoyar a los estudiantes en el desarrollo de competencias matemáticas. aunque plantean nuevos y difíciles problemas. la visión sobre las matemáticas escolares propuesta en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas1 preparaba ya la transición hacia el dominio de las competencias al incorporar una consideración pragmática e instrumental del conocimiento matemático. Sobre la noción de competencia matemática Sin utilizar todavía la conceptualización y la terminología actual de las competencias. cultural y política de los ciudadanos. proposiciones. se hace necesario pasar de una enseñanza orientada sólo hacia el logro de objetivos específicos relacionados con los contenidos del área y hacia la retención de dichos contenidos. cultural. sistemas y estructuras matemáticas como herramientas eficaces mediante las cuales se llevaban a la práctica determinados tipos de pensamiento lógico y matemático dentro y fuera de la institución educativa. Matemáticas.en desarrollo. Finalmente. tecnológicas. En segundo lugar.
Por lo dicho anteriormente. se puede hablar del aprendizaje por competencias como un aprendizaje significativo y comprensivo.También pueden reinterpretarse como potentes precursores del discurso actual sobre las competencias la teoría del aprendizaje significativo de Ausubel2. Wiske y otros4. tareas y proyectos en los cuales se muestra la comprensión adquirida y se consolida y profundiza la misma. actividades. En la primera. en progresivo crecimiento y en forma relativa a los contextos institucionales en donde se desarrolla. En la segunda. En las dimensiones de la comprensión se incluye no sólo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales. Gardner. y la de la enseñanza para la comprensión de Perkins. la comprensión se entiende explícitamente como relacionada con los desempeños de comprensión. Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación espontánea. profesional o científico-técnica en que se despliegue dicha comprensión. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a responder en el aula de clase. sino que se extiende a su inserción en prácticas sociales con sentido. sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . con las formas de expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana. habilidades. En la enseñanza enfocada a lograr este tipo de aprendizaje no se puede valorar apropiadamente el progreso en los niveles de una competencia si se piensa en ella en un sentido dicotómico (se tiene o no se tiene). Todas estas dimensiones se articulan claramente con una noción amplia de competencia como conjunto de conocimientos. Novak y Gowin3. que son actuaciones. comprensiones y disposiciones cognitivas. sino que tal valoración debe entenderse como la posibilidad de determinar el nivel de desarrollo de cada competencia. la significatividad del aprendizaje no se reduce a un sentido personal de lo aprendido. socioafectivas y psicomotoras apropiadamente relacionadas entre sí para facilitar el desempeño flexible. sino que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas. utilidad y eficacia. eficaz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. actitudes.
Con base en estos supuestos se pueden distinguir dos facetas básicas del conocimiento matemático: • La práctica. las cuales son socialmente decantadas y compartidas. La noción general de competencia ha venido siendo objeto de interés en muchas de las investigaciones y reflexiones que adelanta la comunidad de investigadores en educación matemática. en la cual se utilizan distintos recursos lingüísticos y expresivos para plantear y solucionar problemas tanto internos como externos a las matemáticas mismas. Una síntesis apretada de los resultados de éstas permite precisar que –además de los aspectos que se acaban de mencionar– el sentido de la expresión ser matemáticamente competente está íntimamente relacionado con los fines de la educación matemática de todos los niveles educativos (lo cual ha sido tratado en el apartado anterior) y con la adopción de un modelo epistemológico sobre las propias matemáticas.significativas y comprensivas. reglas y sus respectivas justificaciones. La adopción de un modelo epistemológico coherente para dar sentido a la expresión ser matemáticamente competente requiere que los docentes. y contribuye a mejorar su calidad de vida y su desempeño como ciudadano. reflexionen. que expresa condiciones sociales de relación de la persona con su entorno. con base en las nuevas tendencias de la filosofía de las matemáticas. teoremas) que están lógicamente estructurados y justificados. resultado que se configura como un cuerpo de conocimientos (definiciones. exploren y se apropien de supuestos sobre las matemáticas tales como: • Las matemáticas son una actividad humana inserta en y condicionada por la cultura y por su historia. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Las matemáticas son también el resultado acumulado y sucesivamente reorganizado de la actividad de comunidades profesionales. axiomas. En la búsqueda de soluciones y respuestas a estos problemas surgen progresivamente técnicas. que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.
• La formal, constituida por los sistemas matemáticos y sus justificaciones, la cual se expresa a través del lenguaje propio de las matemáticas en sus diversos registros de representación.
2 Ausubel, D. P., Novak, J. D. y Hanesian, H. (1983). Psicología educativa. Un punto de vista cognoscitivo (2a. ed.). Trillas. México. 3 Novak, J. D. y Gowin, B. (1988). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca. Barcelona. 4 Wiske, M. S. (Comp.). (2003). La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y la práctica. Paidós. Buenos Aires, Barcelona, México. Ver también la guía para el docente: Blythe, T. (1999). Enseñaza para la comprensión. Guía para el docente. Paidós. Buenos Aires, Barcelona, México. El MEN también publicó dos volúmenes sobre el tema en el “Baúl Jaibaná”: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). Pequeños aprendices, grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco, Directora General de la Obra, 2 vols.). MEN. Bogotá.
En el conocimiento matemático también se han distinguido dos tipos básicos: el conocimiento conceptual y el conocimiento procedimental. El primero está más cercano a la reflexión y se caracteriza por ser un conocimiento teórico, producido por la actividad cognitiva, muy rico en relaciones entre sus componentes y con otros conocimientos; tiene un carácter declarativo y se asocia con el saber qué y el saber por qué. Por su parte, el procedimental está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias para representar conceptos y para transformar dichas representaciones; con las habilidades y destrezas para elaborar, comparar y ejercitar algoritmos y para argumentar convincentemente. El conocimiento procedimental ayuda a la construcción y refinamiento del conocimiento conceptual y permite el uso eficaz, flexible y en contexto de los conceptos, proposiciones, teorías y modelos matemáticos; por tanto, está asociado con el saber cómo. Estas dos facetas (práctica y formal) y estos dos tipos de conocimiento (conceptual y procedimental) señalan nuevos derroteros para aproximarse a una interpretación enriquecida de la expresión ser matemáticamente competente. Esta noción ampliada de competencia está relacionada con el saber qué, el saber qué hacer y el saber cómo, cuándo y por qué hacerlo. Por tanto, la precisión del sentido de estas expresiones implica una noción de competencia estrechamente ligada tanto al hacer como al comprender. Si bien es cierto que la sociedad reclama y valora el saber en acción o saber procedimental, también es cierto que la posibilidad de la acción reflexiva con carácter flexible, adaptable y generalizable exige estar acompañada de comprender qué se hace y por qué se hace y de las disposiciones y actitudes necesarias para querer hacerlo, sentirse bien haciéndolo y percibir las ocasiones de hacerlo. Estas argumentaciones permiten precisar algunos procesos generales presentes en toda la actividad matemática que explicitan lo que significa ser matemáticamente competente: • Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las matemáticas mismas. Ello requiere analizar la situación; identificar lo relevante en ella; establecer relaciones entre sus componentes y
con situaciones semejantes; formarse modelos mentales de ella y representarlos externamente en distintos registros; formular distintos problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir de ella. Este proceso general requiere del uso flexible de conceptos, procedimientos y diversos lenguajes para expresar las ideas matemáticas pertinentes y para formular, reformular, tratar y resolver los problemas asociados a dicha situación. Estas actividades también integran el razonamiento, en tanto exigen formular argumentos que justifiquen los análisis y procedimientos realizados y la validez de las soluciones propuestas. • Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista. Es decir dominar con fluidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes matemáticos. • Usar la argumentación, la prueba y la refutación, el ejemplo y el contraejemplo, como medios de validar y rechazar conjeturas, y avanzar en el camino hacia la demostración. • Dominar procedimientos y algoritmos matemáticos y conocer cómo, cuándo y por qué usarlos de manera flexible y eficaz. Así se vincula la habilidad procedimental con la comprensión conceptual que fundamenta esos procedimientos.
En la enumeración anterior se pueden ver con claridad –aunque en distinto orden– los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas: formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos. En todas las áreas curriculares pueden considerarse procesos semejantes y en cada una de esas áreas estos procesos tienen peculiaridades distintas y deben superar obstáculos diferentes que dependen de la naturaleza de los saberes propios de la respectiva disciplina. En los apartados siguientes se hará mención de cada uno de esos procesos generales desde las particularidades presen-
tes en la actividad matemática que ocurre en su enseñanza y en su aprendizaje. Debe aclararse, además, que esta clasificación en cinco procesos generales de la actividad matemática no pretende ser exhaustiva, es decir, que pueden darse otros procesos además de los enumerados, ni tampoco pretende ser disyunta, es decir, que existen traslapes y relaciones e interacciones múltiples entre ellos; en particular, como se verá a continuación, el proceso de formular y resolver problemas involucra todos los demás con distinta intensidad en sus diferentes momentos. La formulación, tratamiento y resolución de problemas Éste es un proceso presente a lo largo de todas las actividades curriculares de matemáticas y no una actividad aislada y esporádica; más aún, podría convertirse en el principal eje organizador del currículo de matemáticas, porque las situaciones problema proporcionan el contexto inmediato en donde el quehacer matemático cobra sentido, en la medida en que las situaciones que se aborden estén ligadas a experiencias cotidianas y, por ende, sean más significativas para los alumnos. Estos problemas pueden surgir del mundo cotidiano cercano o lejano, pero también de otras ciencias y de las mismas matemáticas, convirtiéndose en ricas redes de interconexión e interdisciplinariedad. La formulación, el tratamiento y la resolución de los problemas suscitados por una situación problema permiten desarrollar una actitud mental perseverante e inquisitiva, desplegar una serie de estrategias para resolverlos, encontrar resultados, verificar e interpretar lo razonable de ellos, modificar condiciones y originar otros problemas. Es importante abordar problemas abiertos donde sea posible encontrar múltiples soluciones o tal vez ninguna. También es muy productivo experimentar con problemas a los cuales les sobre o les falte información, o con enunciados narrativos o incompletos, para los que los estudiantes mismos tengan que formular las preguntas. Más bien que la resolución de multitud de problemas tomados de los textos escolares, que suelen ser sólo ejercicios de rutina, el estudio y análisis de situaciones problema suficientemente complejas y atractivas, en las que los estudiantes mismos inventen, formulen y resuelvan problemas matemáticos, es clave para el desarrollo del pensamiento matemático en sus diversas formas.
símiles o alegorías. un sistema –a veces se dice también “una estructura”– que puede usarse como referencia para lo que se trata de comprender. como sucede con las representaciones verbales y algebraicas que no son propiamente modelos. pero no todo sistema es un modelo. todo modelo es una representación. para poder formular y resolver los problemas relacionados con ella. para apoyar la formulación de conjeturas y razonamientos y dar pistas para avanzar hacia las demostraciones. aunque pueden estarse interpretando en un modelo. estimar una solución aproximada o darse cuenta de si una aparente solución encontrada a través de cálculos numéricos o algebraicos sí es plausible y significativa. a partir de los cuales se pueden hacer predicciones. La modelación puede hacerse de formas diferentes. utilizar Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . gestualmente. lo que posibilita establecer modelos matemáticos de distintos niveles de complejidad. Un modelo se produce para poder operar transformaciones o procedimientos experimentales sobre un conjunto de situaciones o un cierto número de objetos reales o imaginados. pero no toda representación es necesariamente un modelo. Es una construcción o artefacto material o mental.La modelación Un modelo puede entenderse como un sistema figurativo mental. Un buen modelo mental o gráfico permite al estudiante buscar distintos caminos de solución. gráfico o tridimensional que reproduce o representa la realidad en forma esquemática para hacerla más comprensible. Análogamente. que simplifican la situación y seleccionan una manera de representarla mentalmente. analogías. gráficamente o por medio de símbolos aritméticos o algebraicos. En una situación problema. todo modelo es un sistema. una imagen analógica que permite volver cercana y concreta una idea o un concepto para su apropiación y manejo. En ese sentido. aunque cualquier sistema podría utilizarse como modelo. sin necesidad de manipularlos o dañarlos. la modelación permite decidir qué variables y relaciones entre variables son importantes. o si es imposible o no tiene sentido. pues esa es la manera de producir nuevas metáforas.
y en la multitud de esos modelos o patrones detectar de nuevo otros más y teorizar sobre sus relaciones para producir nuevas estructuras matemáticas. como creación de nuevos modelos y teorías matemáticas que permitan simular la evolución de una situación real en el tiempo. que van desde una forma muy elemental. con un término introducido por Hans Freudenthal5. demografía y similares. economía. cómo se relaciona con otras y qué operaciones matemáticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situación. Por lo tanto. Lynn Arthur Steen propuso en 19886 una definición de las matemáticas que va más allá de la descripción usual de ellas como la ciencia del espacio y el número: considera que las matemáticas parten de una base empírica. Steen continúa así: “El matemático busca modelos o patrones en Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . hasta una forma muy avanzada. Esta expresión se suele tomar como sinónimo de “la modelación” y ambas pueden entenderse en formas más y más complejas. nuevas teorías y nuevas estructuras. pero para detectar en ella esquemas que se repiten. Este primer sentido de la matematización o modelación puede pues entenderse como la detección de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas. de tal manera que se pueda detectar fácilmente qué esquema se le puede aplicar. esta primera manera de entender la matematización y la modelación es la que se utiliza en los Lineamientos Curriculares y en el presente documento de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas. sin poner límites a la producción de nuevos modelos mentales. las matemáticas serían la ciencia de los modelos o patrones (“Mathematics is the science of patterns”). obtener resultados y verificar qué tan razonable son éstos respecto a las condiciones iniciales. como simplificación y restricción de la complejidad de una situación real para reducirla a una situación ya conocida. ingeniería. científicas y matemáticas para reconstruirlas mentalmente. pero la primera puede comenzarse desde el preescolar e irse complejizando en los sucesivos grados escolares. Al respecto. La segunda forma de entender la matematización y la modelación es más propia de los cursos avanzados de física. en la didáctica de las matemáticas se ha hablado también con frecuencia desde 1977 de “la matematización” de una situación problema. que podemos llamar “modelos” o “patrones” (“patterns”). Con respecto a la modelación.procedimientos numéricos.
(1977). las funciones y los mapas. Las teorías matemáticas explican las relaciones entre modelos o patrones. Massachusetts. 6 Steen. en los ordenadores y en la imaginación. Vol. D. en el espacio. 611-616. (1988) “The science of patterns. L. H. 5 Freudenthal.el número. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . en la ciencia. Reidel. A. Mathematics as an educational task. 1988). 240 (29 April. los operadores y los morfismos conectan un tipo de modelos o patrones con otros para producir estructuras matemáticas perdurables” 7. Norwell.” Science.
La comunicación A pesar de que suele repetirse lo contrario. conjeturas y resultados matemáticos no son algo extrínseco y adicionado a una actividad matemática puramente mental. proponer interpretaciones y respuestas posibles y adoptarlas o rechazarlas con argumentos y razones. pero ellas pueden construirse. para tomar conciencia de las conexiones entre ellos y para propiciar el trabajo colectivo. eficacia y economía de los lenguajes matemáticos. En los grados superiores. problemas. aprecien la necesidad de tener acuerdos colectivos y aun universales y valoren la eficiencia. y puede trabajar Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . El razonamiento El desarrollo del razonamiento lógico empieza en los primeros grados apoyado en los contextos y materiales físicos que permiten percibir regularidades y relaciones. potencian la capacidad de pensar y son divertidas. son lógicas. no parece posible aprender y comprender dicho contenido9. sino que la configuran intrínseca y radicalmente. de tal manera que la dimensión de las formas de expresión y comunicación es constitutiva de la comprensión de las matemáticas8. refinarse y comunicarse a través de diferentes lenguajes con los que se expresan y representan. La adquisición y dominio de los lenguajes propios de las matemáticas ha de ser un proceso deliberado y cuidadoso que posibilite y fomente la discusión frecuente y explícita sobre situaciones. frases. las matemáticas no son un lenguaje. Los modelos y materiales físicos y manipulativos ayudan a comprender que las matemáticas no son simplemente una memorización de reglas y algoritmos. sentidos. formas que él llama “registros de representación” o “registros semióticos”. gráficos y símbolos. sino que tienen sentido. se leen y se escriben. conceptos y simbolizaciones. dar explicaciones coherentes. justificar o refutar esas conjeturas. Las distintas formas de expresar y comunicar las preguntas. Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas de expresar y representar un contenido matemático. hacer predicciones y conjeturas. el razonamiento se va independizando de estos modelos y materiales. en el que los estudiantes compartan el significado de las palabras. se hablan y se escuchan.
el razonamiento proporcional apoyado en el uso de gráficas. 9 Duval. 2 vols. pág. La enseñanza para la comprensión. axiomas. Pequeños aprendices. Jackson (ed. (Original francés publicado en 1995). al intentar comprobar la coherencia de una proposición con otras aceptadas previamente como teoremas. materiales. Buenos Aires. Semiosis y pensamiento humano. Ver también el artículo de Romberg. Cali. 1. Peter Lang-Universidad del Valle.). 7 Ibid. ed. el razonamiento numérico y. M. Es conveniente que las situaciones de aprendizaje propicien el razonamiento en los aspectos espaciales. o al intentar refutarla por su contradicción con otras o por la construcción de contraejemplos. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . Thomas (1992). (2003). “Características problemáticas del currículo escolar de matemáticas” (en inglés). New York. Handbook of research on curriculum: A project of the American Educational Research Association.. Paidós. 32-42 y 74-83. págs. pero suele apoyarse también intermitentemente en comprobaciones e interpretaciones en esos modelos. (2004). Registros semióticos y aprendizajes intelectuales (2a. en particular. México. Bogotá. págs. al formular hipótesis o conjeturas. Directora General de la Obra. págs. En: Philip W. métricos y geométricos. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. dibujos y otros artefactos. S. como el deductivo. Barcelona. 48-53. (Comp. Vinculación entre la investigación y la práctica.). postulados o principios.directamente con proposiciones y teorías. vol. cadenas argumentativas e intentos de validar o invalidar conclusiones.). En esas situaciones pueden aprovecharse diversas ocasiones de reconocer y aplicar tanto el razonamiento lógico inductivo y abductivo. 8 Wiske. Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). 237-239. MEN. Macmillan. 616. R.).
Estas destrezas dan seguridad al alumno y pueden afianzar y profundizar el dominio de dichos conocimientos. Otro mecanismo cognitivo involucrado es la reflexión sobre qué procedimientos y algoritmos conducen al reconocimiento de patrones y regularidades en el interior de determinado sistema simbólico y en qué contribuyen a su conceptualización. pueden modificarse. pero también pueden perder utilidad en la medida en que se disponga de ayudas tecnológicas que ejecuten dichas tareas más rápida y confiablemente. lo cual requiere atención. ejecución. seguir la lógica que lo sustenta y saber cuándo aplicarlo de manera fiable y eficaz y cuándo basta utilizar una técnica particular para obtener más rápidamente el resultado.La formulación. procurando que la práctica necesaria para aumentar la velocidad y precisión de su ejecución no oscurezca la comprensión de su carácter de herramientas eficaces y útiles en unas situaciones y no en otras y que. esta automatización no contribuye directamente al desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento. comparación y ejercitación de procedimientos Este proceso implica comprometer a los estudiantes en la construcción y ejecución segura y rápida de procedimientos mecánicos o de rutina. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . ampliarse y adecuarse a situaciones nuevas. también llamados “algoritmos”. Otro mecanismo cognitivo clave es la automatización. verificación e interpretación intermitente de resultados parciales. Uno de estos mecanismos es la alternación de momentos en los que prima el conocimiento conceptual y otros en los que prima el procedimental. o aun hacerse obsoletas y ser sustituidas por otras. Para analizar la contribución de la ejecución de procedimientos rutinarios en el desarrollo significativo y comprensivo del conocimiento matemático es conveniente considerar los mecanismos cognitivos involucrados en dichos algoritmos. control. por lo tanto. pero sí contribuye a adquirir destrezas en la ejecución fácil y rápida de cierto tipo de tareas. segura y efectiva ejecución de los procedimientos. planeación. Esta reflexión exige al estudiante poder explicar y entender los conceptos sobre los cuales un procedimiento o algoritmo se apoya. que requiere de la práctica repetida para lograr una rápida.
pues ser matemáticamente competente requiere ser diestro. la elaboración de macroinstrucciones y aun para la programación de computadores. el espacial. así el docente decida practicar y automatizar un solo algoritmo para cada una de las operaciones aritméticas usuales. en los cuales cada estudiante va pasando por distintos niveles de competencia. Esta comparación permite distinguir claramente la operación conceptual de las distintas formas algorítmicas de ejecutarla y el resultado de dicha operación conceptual del símbolo producido al final de la ejecución de uno u otro algoritmo. compararlos con el que se practica en clase y apreciar sus ventajas y desventajas. Esto los prepara también para el manejo de calculadoras. Además de relacionarse con esos cinco procesos. El pensamiento lógico y el pensamiento matemático A mediados del Siglo XX. el uso de hojas de cálculo. En sus estudios previos sobre la lógica y la epistemolo- Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . Jean Piaget estudió la transición de la manera de razonar de los adolescentes de lo que él llamó “el pensamiento operatorio concreto” al “operatorio formal” y propuso un conjunto de operaciones lógico-matemáticas que podrían explicar ese paso10. Todo ello estimula a los estudiantes a inventar otros procedimientos para obtener resultados en casos particulares. Los cinco tipos de pensamiento matemático Los aspectos referidos anteriormente con respecto a la expresión ser matemáticamente competente muestran la variedad y riqueza de este concepto para la organización de currículos centrados en el desarrollo de las competencias matemáticas de manera que éstas involucren los distintos procesos generales descritos en la sección anterior. el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numérico. eficaz y eficiente en el desarrollo de cada uno de esos procesos generales. ser matemáticamente competente se concreta de manera específica en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. el aleatorio o probabilístico y el variacional. es conveniente describir y ensayar otros algoritmos para cada una de ellas. y aun en el sentido restringido de “saber hacer en contexto”.Por ello. Estos procesos están muy relacionados con las competencias en su sentido más amplio explicado arriba. el métrico o de medida.
Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . B. (1978). De la lógica del niño a la lógica del adolescente. falta. y con éste –en cualquiera de sus tipos– se puede y se debe desarrollar también el pensamiento lógico. mano voluntaria u otra violación del reglamento. en la filosofía.). Paidós. J. 10 Inhelder. I. 11 Piaget. Es pues necesario dejar claro que el pensamiento lógico no es parte del pensamiento matemático. se mencionó el desarrollo de las competencias argumentativas que implican saber dar y pedir razones. de la racionalidad y de la argumentación. Tal vez en los deportes. Igualmente. No hay duda pues de que hay una estrecha relación entre el pensamiento lógico y el pensamiento matemático. Introducción a la epistemología genética. Barcelona. en cualquiera de las áreas curriculares o de los ejes transversales del trabajo escolar se puede y se debe desarrollar el pensamiento lógico. en la sección siguiente. Pero no puede pretenderse que las matemáticas son las únicas que desarrollan el pensamiento lógico en los estudiantes. al analizar el proceso general de razonamiento. (1985). dando lugar a la aritmética y a la geometría. (Original francés publicado en 1950). cuando hay dificultades en la interpretación y la aplicación de los reglamentos de cada uno de ellos. En el aprendizaje del castellano y de las lenguas extranjeras. sino que el pensamiento lógico apoya y perfecciona el pensamiento matemático. y Piaget. y ojalá avanzar hacia la demostración formal. en la lectura de textos literarios extensos y profundos. Buenos Aires. en las ciencias naturales y sociales. Tanto el pensamiento lógico como el matemático se distinguirían del pensamiento físico. (Original francés publicado en 1955). en fin. En la primera sección se enunciaron algunos argumentos clásicos y actuales con respecto a la contribución de la educación matemática a la formación integral de los estudiantes: el desarrollo del pensamiento lógico. El pensamiento matemático (2a. probar y refutar. que utiliza los dos anteriores pero tiene una relación diferente con la realidad y la experiencia. ed.gía había propuesto que el pensamiento lógico actúa por medio de operaciones sobre las proposiciones y que el pensamiento matemático se distingue del lógico porque versa sobre el número y sobre el espacio11. Paidós. es en donde muchos de los niños y las niñas empiezan a desarrollar competencias argumentativas y deductivas más complejas con el fin de defender a su equipo o a su jugador favorito contra las acusaciones de fuera de lugar. J.
la de la argumentación a partir de premisas de las que no se sabe si son verdaderas o no y la de la deducción formal basada en axiomas más o menos arbitrarios y aun contrarios a la intuición espacial o numérica se desarrollan más naturalmente con el aprendizaje de la geometría euclidiana y de las no euclidianas. La práctica de la definición cuidadosa de términos técnicos. sin subdividir este último. Estas dos maneras de hacer matemáticas sugieren pues una primera subdivisión del pensamiento matemático al menos en dos tipos: el pensamiento numérico y el espacial. Pero en toda la tradición griega y medieval ya se había distinguido entre la manera de hacer matemáticas con respecto al número: la aritmética. Se notó también que las nociones métricas no Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . con las operaciones de adición y sustracción. La subdivisión del pensamiento matemático Para los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias podría haber bastado la división entre pensamiento lógico y pensamiento matemático. los cuales no necesitaban de las nociones métricas.Eso no quiere decir que las matemáticas no sean el lugar privilegiado para desarrollar algunos aspectos del pensamiento lógico. En especial. ante todo. “topos”). Con el desarrollo de las matemáticas y luego de la física. Para la geometría se pensó también durante siglos únicamente en la geometría euclidiana. de los que se desarrolló una ciencia abstracta del espacio (llamada “topología” por la palabra griega para el espacio o el lugar. de la deducción formal a partir de axiomas. multiplicación y división. definiciones y teoremas previos. del álgebra abstracta y de otras ramas ya axiomatizadas de las matemáticas. la generalización. la geometría euclidiana es un campo muy fértil para el cultivo de la abstracción. Para la aritmética se pensó durante siglos únicamente en los números de contar. la axiomatización y. lo concreto y lo abstracto y lo cotidiano y lo académico. se notó también que había aspectos espaciales más intuitivos y cualitativos que los de la geometría. sobre todo en lo que concierna a las argumentaciones y deducciones informales que preparan la demostración rigurosa de teoremas matemáticos a partir de axiomas. por tener una articulación óptima entre lo intuitivo y lo formal. sistematizada en el Siglo IV antes de nuestra era. y la manera de hacerlas con respecto al espacio: la geometría. la definición.
de (1995) “Tendencias e innovaciones en educación matemática”. señala al respecto que. densidad. Conferencia en el Seminario de Educación Matemática. etc. masa. el espacial y el métrico. pero que tenían dificultad en pensar en los conceptos de la probabilidad o en las variaciones continuas de los procesos físicos.). en su devenir histórico “el espíritu matemático habría de enfrentarse con: 12 Guzmán. M. una de las figuras más influyentes en la educación matemática en España y en Latinoamérica. Pareció pues conveniente distinguir también el pensamiento probabilístico o aleatorio y el pensamiento analítico o variacional como tipos de pensamiento matemático diferentes del numérico. se empezó a notar también que entre los estudiantes de matemáticas había algunos que sobresalían en los aspectos aritméticos y geométricos.se aplicaban sólo a lo espacial (como en el caso de longitud. (Documento inédito disponible en la OEI). Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . OEI. velocidad. presión. más allá de las ramas tradicionales de las matemáticas: la aritmética y la geometría. Era pues conveniente distinguir también el pensamiento métrico del pensamiento numérico y del espacial. Al desarrollarse desde el Siglo XVII la teoría de la probabilidad y el cálculo diferencial e integral. aceleración. aunque muy relacionados con ellos. temperatura. Bogotá. área y volumen) sino también a lo temporal (duración y frecuencia) y a otras muchas disciplinas. Miguel de Guzmán12. especialmente la física y la química (fuerza. peso.
se propone trabajar con las magnitu- Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . el pensamiento aleatorio. el progreso en el pensamiento lógico potencia y refina los cinco tipos de pensamiento matemático. puede verse la alusión al pensamiento lógico. en el álgebra y el cálculo. a su vez. el pensamiento espacial y el métrico. el pensamiento métrico y el variacional.• la complejidad del símbolo (álgebra) • la complejidad del cambio y de la causalidad determinística (cálculo) • la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad múltiple incontrolable (probabilidad. en la geometría. Se describen a continuación uno por uno estos cinco tipos de pensamiento. en los Lineamientos Curriculares se prefirió hablar de los cinco tipos de pensamiento matemático ya mencionados (el numérico. el pensamiento numérico. mencionando simultáneamente los sistemas conceptuales y simbólicos con cuyo dominio se ejercita y refina el tipo de pensamiento respectivo. la comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las relaciones entre números. Dichos planteamientos se enriquecen si. • El pensamiento numérico y los sistemas numéricos Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración. llamado también hipotético-deductivo o pensamiento formal. estadística) • la complejidad de la estructura formal del pensamiento (lógica matemática)”. finalmente. y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación. sin incluir en ellos el lógico. pues –como se indicó arriba– en todos esos cinco tipos es necesario atender al uso y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes y. el espacial. el aleatorio o probabilístico y el variacional). y en la probabilidad y estadística. Por todo ello. Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética. además. el métrico o de medida. a la vez que ellos se desarrollan y perfeccionan con los avances en dichos tipos de pensamiento.
o con la pareja. Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeración representan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de dificultades didácticas para estos últimos. Entre los Siglos XIV y XIX. aunque de hecho se refieren más bien a los números que resultan de esas mediciones.des. los reales y los complejos. así como las notaciones algebraicas para los números irracionales. sustracción. los racionales. y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario. para el de los números racionales y reales. y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de numeración indo-arábigo. En cierto sentido. para el estudio de los números naturales. por ejemplo. Es conveniente recordar. en particular. además de los naturales. de la medida de magnitudes y cantidades continuas. el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales). las cantidades y sus medidas como base para dar significado y comprender mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. agrupaciones o reparticiones de estas cantidades. la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o “fraccionarios”). y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones. Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos en la Educación Básica y Media. el hexadecimal. En el caso de los números naturales. los reales y los complejos. se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros. la numerosidad o cardinalidad de estas cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple. Por ejemplo. las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de numeración griegos o con el romano. el octal. la repetición y la repartición de cantidades discretas. las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones usuales (adición. separaciones. la separación. Históricamente. multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión. la decena o la docena como unidades complejas. se trabaja con el conteo de cantidades discretas y. que durante Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas .
Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor (algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en partes iguales). o “la relación de 3 a 4”. Hoy día se aceptan como una nueva clase de números. que puede ser positivo. en los países europeos éstos no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. identificado con el cero. o por un decimal como “0. o “3 por cada 4”. llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional) no sólo amplía el concepto de número. o por la abreviatura “3:4”. o por un porcentaje como “el 75%”. cero o negativo.la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números. o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de referencia. representado usualmente por una fracción como “¾”. cero. El paso del número natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario expresar una magnitud en relación con otras magnitudes. así como una extensión del concepto de número. configurando así sistemas numéricos diferentes. Aunque los chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años. Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . que significa “razón”). o negativo. que también puede ser positivo. y del concepto de número racional positivo (también llamado “número fraccionario”) al de número racional más general. sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las relaciones entre ellos.75”. El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la unidad y del proceso mismo de medir. expresado a veces por frases como “3 de 4”. Las otras situaciones llevan al número racional como razón. El concepto de número negativo es el resultado de la cuantificación de ciertos cambios en las medidas de una magnitud.
que complementó el de número real llevó a pensar en un sistema unificado de números llamados “complejos”. El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de número. este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de diferentes tipos de representaciones numéricas. conceptos. el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos. las relativas a los números irracionales. Éstos. Se fueron configurando así sistemas numéricos llamados “naturales”. los cuales permiten configurar las estructuras conceptuales de los diferentes sistemas Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . irracionalidad. “reales” y “complejos”. “enteros”. requieren de diferentes tipos de representaciones y una extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos. mucho menos los demás. Igualmente. sobre todo. tanto por medio de decimales infinitos como de símbolos algebraicos. proposiciones. cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los nuevos sistemas numéricos a partir de su significado en los naturales y con sus sistemas de numeración o sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. Así pues. completitud y continuidad. Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos infinitos. “racionales positivos” (o “fraccionarios”). y por ende. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas numéricos en interacción con los sistemas de numeración. la construcción de las nociones de inconmensurabilidad. con sus operaciones y relaciones apropiadamente extendidas a los nuevos números. y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos naturales. “racionales”. que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema unificado de números racionales e irracionales llamados “reales”. modelos y teorías en diversos contextos. llamado “imaginario”. a su vez.El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número irracional.
refiriéndose no sólo al tamaño de los espacios en los que se desarrolla la vida del individuo. en lo que Grecia Gálvez ha llamado el meso-espacio y el macro-espacio. En este primer momento del pensamiento Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . sino que todos ellos se van construyendo y utilizando paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media. de otro lado. El complejo y lento desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no puede restringirse a grados específicos del ciclo escolar. desarrollar variadas representaciones y. en tanto reflexión sistemática de las propiedades de los cuerpos en virtud de su posición y su relación con los demás y. Un acompañamiento pedagógico paciente y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad. • El pensamiento espacial y los sistemas geométricos El pensamiento espacial. el reconocimiento y ubicación del estudiante en el espacio que lo rodea. sino también a su relación con esos espacios14. a través de la coordinación entre ellas. y sus diversas traducciones o representaciones materiales”13 contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio. hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. de un lado. Esto requiere del estudio de conceptos y propiedades de los objetos en el espacio físico y de los conceptos y propiedades del espacio geométrico en relación con los movimientos del propio cuerpo y las coordinaciones entre ellos y con los distintos órganos de los sentidos. Desde esta perspectiva se rescatan. las relaciones topológicas. entendido como “… el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio.numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su uso eficaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. sus transformaciones. las relaciones entre ellos.
lo cual hace aparecer nuevas propiedades y relaciones entre los objetos. y a medida que se complejizan los sistemas de representación del espacio. sino también a sus medidas y a las relaciones entre ellas. Didáctica de las matemáticas. MEN.espacial no son importantes las mediciones ni los resultados numéricos de las medidas. Posteriormente. La psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela primaria”. en un segundo momento se hace necesaria la metrización. Aportes y Reflexiones. con la observación y reproducción de patrones (por ejemplo en las plantas. Esto significa un salto de lo cualitativo a lo cuantitativo. 14 Gálvez. representaciones a escala de sitios o regiones en dibujos y maquetas. en teoremas de la geometría euclidiana. Lineamientos curriculares. los deportes y la danza. animales u otros fenómenos de la naturaleza) y con otras formas de lectura y comprensión del espacio (elaboración e interpretación de mapas. entre otras muchas situaciones posibles muy enriquecedoras y motivadoras para el desarrollo del pensamiento espacial. Paidós Educador. Bogotá. 13 Ministerio de Educación Nacional (1998). pág. El estudio de estas propiedades espaciales que involucran la métrica son las que. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . en particular.). “La geometría. Grecia (1988). en un tercer momento. pues ya no es suficiente con decir que algo está cerca o lejos de algo. sino las relaciones entre los objetos involucrados en el espacio. En: Cecilia Parra e Irma Saiz (comps. etc.). se convertirán en conocimientos formales de la geometría. 56. y la ubicación y relaciones del individuo con respecto a estos objetos y a este espacio. Lo anterior implica relacionar el estudio de la geometría con el arte y la decoración. sino que es necesario determinar qué tan cerca o qué tan lejos está. De esta manera. Buenos Aires. con la educación física. la percepción geométrica se complejiza y ahora las propiedades de los objetos se deben no sólo a sus relaciones con los demás. Matemáticas. con el diseño y construcción de objetos artesanales y tecnológicos.
Estos sistemas se expresan por dibujos. las operaciones y transformaciones con las que se combinan. área y perímetro. gestos. Los puntos. Así. la apropiación por parte de los estudiantes del espacio físico y geométrico requiere del estudio de distintas relaciones espaciales de los cuerpos sólidos y huecos entre sí y con respecto a los mismos estudiantes. Sin estos últimos. Como todos los sistemas. de las superficies. El trabajo con la geometría activa puede complementarse con distintos programas de computación que permiten representaciones y manipulaciones que eran imposibles con el dibujo tradicional. El trabajo con objetos bidimensionales y tridimensionales y sus movimientos y transformaciones permite integrar nociones sobre volumen. los geométricos tienen tres aspectos: los elementos de que constan. lo cual a su vez posibilita conexiones con los sistemas métricos o de medida y con las nociones de simetría. semejanza y congruencia. El pensamiento espacial opera mentalmente sobre modelos internos del espacio en interacción con los movimientos corporales y los desplazamientos de los objetos y con los distintos registros de representación y sus sistemas notacionales o simbólicos. regiones planas o curvas limitadas o ilimitadas y los cuerpos sólidos o huecos limitados o ilimitados pueden considerarse como los elementos de complicados sistemas de figuras. entre otras. regiones y figuras planas con sus fronteras. y del estudio de lo que cambia o se mantiene en las formas geométricas bajo distintas transformaciones. para razonar sobre ellos y con ellos y. lados y vértices. transformaciones y relaciones espaciales: los sistemas geométricos. líneas rectas y curvas. y las relaciones o nexos entre ellos. en tanto se constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación del espacio15. de cada cuerpo sólido o hueco con sus formas y con sus caras. bordes y vértices. letras y palabras que se utilizan como registros de representación diferentes que se articulan en sistemas notacionales o sistemas simbólicos para expresar y comunicar los sistemas geométricos y posibilitar su tratamiento. a su vez. tampoco se hubiera podido perfeccionar el trabajo con los sistemas Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . para producir nuevos refinamientos en los sistemas geométricos. en donde se destacan los procesos de localización en relación con sistemas de referencia.Así pues. la geometría activa se presenta como una alternativa para refinar el pensamiento espacial.
deducir y comprender algunas demostraciones. La geometría euclidiana puede considerarse como un punto de encuentro entre las matemáticas como una práctica social y como una teoría formal y entre el pensamiento espacial y el pensamiento métrico. a su vez. el pensamiento espacial y el métrico encuentran en la geometría euclidiana un lugar privilegiado –aunque no exclusivo– para el desarrollo del pensamiento lógico y éste. potencia y refina los dos primeros. Matemáticas. Estos modelos con sus teorías se suelen llamar “geometrías”. La geometría euclidiana fue la primera rama de las matemáticas en ser organizada de manera lógica. Los sistemas geométricos pueden modelarse mentalmente o con trazos sobre el papel o el tablero y describirse cada vez más finamente por medio del lenguaje ordinario y los lenguajes técnicos y matemáticos. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . Lineamientos curriculares. en consecuencia. transforma y utiliza. MEN. 57. como se dijo al tratar sobre el pensamiento lógico. 15 Ministerio de Educación Nacional (1998). Por ello. justificar. maneja. entre los propósitos principales de su estudio está definir. Por ello. refinar el pensamiento espacial que los construye. con los cuales se pueden precisar los distintos modelos del espacio y formular teorías más y más rigurosas. Bogotá. pág.geométricos y.
que fueron luego estandarizadas para el comercio y la industria. • La apreciación del rango de las magnitudes. el pensamiento métrico se perfeccionó con el refinamiento de las unidades de medida de longitud. • La comprensión de los procesos de conservación de magnitudes. como: • La construcción de los conceptos de cada magnitud. de patrones y de instrumentos y procesos de medición. En relación con los anteriores conceptos y procedimientos. Se configuraron en distintas regiones y países muchos sistemas Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . Históricamente. el tratamiento del error. • La selección de unidades de medida. • La diferencia entre la unidad y los patrones de medición. es importante destacar que la estimación de las medidas de las cantidades y la apreciación de los rangos entre los cuales puedan ubicarse esas medidas trascienden el tratamiento exclusivamente numérico de los sistemas de medidas y señalan la estimación como puente de relaciones entre las matemáticas.• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas Los conceptos y procedimientos propios de este pensamiento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantidades. tomadas al comienzo de partes del cuerpo y por tanto muy diversas en cada región y cultura. su medición y el uso flexible de los sistemas métricos o de medidas en diferentes situaciones. en contextos en los que no se requiere establecer una medida numérica exacta. En los Lineamientos Curriculares se especifican conceptos y procedimientos relacionados con este tipo de pensamiento. • La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes y los aspectos del proceso de “capturar lo continuo con lo discreto”. • El papel del trasfondo social de la medición16. la valoración de las cifras significativas y el uso de técnicas de encuadramiento. las demás ciencias y el mundo de la vida cotidiana. • La asignación numérica. así como la expresión de medidas grandes y pequeñas por medio de la notación científica. Otros aspectos importantes en este pensamiento son la integración de la estimación con los procedimientos numéricos de truncamiento y redondeo.
el inglés y su variante norteamericana y. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . que es el más extendido actualmente. 16 Ibid. tablas. más recientemente. como el francés. el SI (Sistema Internacional de unidades y medidas). pág. Así pues. ni éstos refinarse sin las notaciones. el pensamiento métrico no puede trabajar sin sistemas de medidas o métricos. Sin embargo.. en una interacción dialéctica constante y cambiante. como el sistema CGS (centímetro-gramo-segundo) y el MKS (metro-kilogramo-segundo) y. se empezó a diseñar un sistema decimal de pesos y medidas que tuvo varias etapas y configuraciones. el español. 63. el inglés y el norteamericano siguen siendo muy utilizados en todo el mundo y muchos de los antiguos sistemas locales subsisten más o menos adaptados a las unidades internacionales.de unidades y medidas o sistemas métricos. el ruso. registros. después de la Revolución Francesa. abreviaturas y otros sistemas notacionales o simbólicos.
En cada conjunto de unidades del SI para cada magnitud hay una unidad que sirve de base a las otras. como por ejemplo. kilovatio. sus procesos de medición y facturación y las unidades respectivas (litro.) y submúltipos (deci-. entre unidades y patrones de medida. centena. De esta manera. milésima. la densidad. con lo que al cuidado del medio ambiente se refiere. kilo-. Esas relaciones entre el sistema de numeración decimal y cada sistema de unidades del SI para una determinada magnitud (por ejemplo la longitud) se indican por los prefijos que expresan los múltiplos (deca-. etc.) y con las unidades inferiores (décima. vatio. voltio. etc. desbordan el campo de las matemáticas y requieren del desarrollo del pensamiento científico y del aprendizaje de algunos contenidos de la física. kilovatio-hora). El estudio de esas primeras magnitudes muestra que el pensamiento métrico no se limita a las matemáticas. la temperatura. De especial importancia son aquellas magnitudes que tienen estrecha relación con aspectos claves de la vida social. y no sólo de las magnitudes más relacionadas con la geometría: la longitud. hecto-. como ya se indicó arriba. del metro) y su correspondencia con las unidades superiores del sistema métrico decimal (decena. Igualmente. unidad de mil. el pensamiento métrico está estrechamente relacionado con las disciplinas científicas naturales y sociales y con las competencias ciudadanas. en particular. el volumen y la amplitud angular). que son mayores (múltiplos) o menores (submúltiplos) de dicha unidad básica. metro cúbico. centi-. Así se construyen herramientas conceptuales para el análisis y la ejercitación de la equivalencia entre medidas expresadas en distintas unidades y la explicitación de las relaciones pertinentes del SI con el sistema de numeración decimal en sus diversas formas escriturales: con coma. es importante el reconocimiento del conjunto de unidades de medida que se utilizan para cada una de las diferentes magnitudes (la velocidad. todo lo relacionado con los servicios públicos. etc. mili-.. etc. sino que se extiende también a las ciencias naturales y sociales. algunas de las cuales.) de la unidad básica (en este caso. en tanto conviene tener elementos conceptuales claros para Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . centésima. es necesario establecer diferencias conceptuales entre procedimientos e instrumentos de medición.). amperio. con punto y en notación científica. en particular del SI. el área. etc.En lo que respecta al aprendizaje de sistemas de medida y. y entre la precisión y la exactitud de una medición.
de azar. En las experiencias cotidianas que los estudiantes ya tienen sobre estos sucesos y estos juegos. la simulación de experimentos y la realización de conteos. abordándolos con un espíritu de exploración y de investigación mediante la construcción de modelos de fenómenos físicos. Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura. explicar las razones por las cuales pudo haberse incrementado el gasto y proponer medidas eficaces para el ahorro del agua. epidemias y enfermedades. huracanes u otros fenómenos de la naturaleza. de los accidentes. el gas y la energía eléctrica. empiezan a tomar conciencia de que su ocurrencia y sus resultados son impredecibles e intentan realizar estimaciones intuitivas acerca de la posibilidad de que ocurran unos u otros. y otras veces con las situaciones en las que se ignora cuáles puedan ser esos patrones. fallas mecánicas.hacer un uso racional de los servicios públicos. sociales o de juegos de azar y la utilización de estrategias como la exploración de sistemas de datos. El pensamiento aleatorio se apoya directamente en conceptos y procedimientos de la teoría de probabilidades y de la estadística inferencial. • El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos Este tipo de pensamiento. llamado también probabilístico o estocástico. de las elecciones por votación. de riesgo o de ambigüedad por falta de información confiable. si acaso existen. así sean inicialmente Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . identificar cuándo se está haciendo un gasto innecesario de ellos. de los resultados de dispositivos como los que se usan para extraer esferas numeradas para las loterías y de las técnicas para efectuar los lanzamientos de dados o monedas o para el reparto de cartas o fi chas en los juegos que por esto mismo se llaman “de azar”. de la ocurrencia de los terremotos. El azar se relaciona con la ausencia de patrones o esquemas específicos en las repeticiones de eventos o sucesos. Estas estimaciones conforman una intuición inicial del azar y permiten hacer algunas asignaciones numéricas para medir las probabilidades de los eventos o sucesos. e indirectamente en la estadística descriptiva y en la combinatoria. como es el caso de los estados del tiempo. en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar. ayuda a tomar decisiones en situaciones de incertidumbre.
no es ya necesario aprender las fórmulas y procedimientos matemáticos para calcular la media o la mediana. analizar y utilizar los resultados que se publiquen en periódicos y revistas. como sí lo es el desarrollo del pensamiento aleatorio. y asignar 1 a la necesidad o a la máxima probabilidad de ocurrencia. El manejo y análisis de los sistemas de datos se volvió inseparable del pensamiento aleatorio. que les permitirá interpretar. que comienzan con asignar probabilidad 0 a la imposibilidad o a la máxima improbabilidad de ocurrencia. Más tarde. sino avanzar gradualmente en el desarrollo de habilidades combinatorias para encontrar todas las situaciones po- Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . por ello. Los sistemas analíticos probabilísticos y los métodos estadísticos desarrollados durante los siglos XIX y XX se han refinado y potenciado en los últimos decenios con los avances de la computación electrónica y.un poco arbitrarias. hoy día ya no es tan importante para los estudiantes el recuerdo de las fórmulas y la habilidad para calcular sus valores. y el estudio de los sistemas de datos por medio del pensamiento aleatorio llevó a la estadística inferencial y a la teoría de probabilidades. Las situaciones y procesos que permiten hacer un conteo sistemático del número de combinaciones posibles que se puedan asumir como igualmente probables. junto con el registro de diferentes resultados de un mismo juego. Por ello. así como los intentos de interpretación y predicción de los mismos a partir de la exploración de sistemas de datos. asignar ½ a cualquiera de dos alternativas que se consideran igualmente probables. desarrollan en los estudiantes la distinción entre situaciones deterministas y situaciones aleatorias o azarosas y permiten refinar las mediciones de la probabilidad con números entre 0 y 1. El empleo cada vez más generalizado de las tablas de datos y de las recopilaciones de información codificada llevó al desarrollo de la estadística descriptiva. que se presenten en la televisión o que aparezcan en pantalla o en hojas impresas como productos de los distintos programas de análisis de datos. esas situaciones y procesos pueden modelarse por medio de sistemas matemáticos relacionados con la teoría de probabilidades y la estadística. la varianza o la desviación estándar.
estudiar. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio. con el fin de intentar predecir dentro de ciertos rangos el curso de los acontecimientos respectivos y de tomar decisiones lo más razonables posibles ante la imposibilidad de saber con certeza lo que va a pasar. icónicos. este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento. hojas de cálculo y otros programas de análisis de datos. gráficos o algebraicos. estimar si son o no igualmente probables y asignarles probabilidades numéricas. en especial a través del proceso de modelación de procesos y situaciones naturales y sociales por medio de modelos matemáticos. El pensamiento variacional se desarrolla en estrecha relación con los otros tipos de pensamiento matemático (el numérico. porque la variación y el cambio. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos. ya sean verbales. En particular la relación con otros pensamientos aparece con mucha frecuencia. para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y. así como con su descripción. resumir y diagramar sistemas de datos estadísticos y tratar de extraer de ellos toda la información posible con la ayuda de calculadoras. el espacial. • El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos Como su nombre lo indica. el de medida o métrico y el aleatorio o probabilístico) y con otros tipos de pensamiento más propios de otras ciencias. la percepción. las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. en la Educación Media. la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos. del cálculo diferencial e integral. modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos.sibles dentro de ciertas condiciones. así como en dominar los conceptos y procedimientos necesarios para recoger. y en la modelación de procesos de la vida cotidiana. aunque se representan usualmente Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas .
pueden presentarse en forma estática o en forma dinámica y variacional. del sistema de los números reales. o mejor los dos o tres términos siguientes. formas o sonidos. hacer conjeturas sobre la forma o el valor del siguiente término de la secuencia. números o letras. exploración y manipulación de los números y las figuras en los cuales se basa el proceso de generalización17. Ésta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje significativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico mucho antes de llegar al séptimo y octavo Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . El desarrollo de este pensamiento se inicia con el estudio de regularidades y la detección de los criterios que rigen esas regularidades o las reglas de formación para identificar el patrón que se repite periódicamente. requieren de conceptos y procedimientos relacionados con distintos sistemas numéricos (en particular. geométricos. oralmente o por escrito. la unidad que se repite con regularidad da lugar a un patrón. Las actividades de generalización de patrones numéricos. procurar expresar ese término. confirmar o refutar las conjeturas iniciales e intentar generalizarlas. entre otras. aumenta o disminuye la forma o el valor en una secuencia o sucesión de figuras. calcular los siguientes términos. las siguientes actividades: analizar de qué forma cambia. algoritmo o fórmula que permita reproducir el mismo patrón. sucesos.por medio de sistemas algebraicos y analíticos. de medidas y de datos y porque todos estos sistemas. geométricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las figuras involucran la visualización. a su vez. Al identificar en qué se parecen y en qué se diferencian los términos de estas sucesiones o secuencias. Las regularidades (entendidas como unidades de repetición) se encuentran en sucesiones o secuencias que presentan objetos. De esta manera. Para desarrollar este pensamiento desde los primeros niveles de la Educación Básica Primaria son muy apropiadas. uno detrás de otro en un orden fijado o de acuerdo a un patrón. fundamentales en la construcción de las funciones de variable real). e intentar formular un procedimiento. algoritmo o fórmula. se desarrolla la capacidad para identificar en qué consiste la repetición de mismo patrón y la capacidad para reproducirlo por medio de un cierto procedimiento. o por medio de dibujos y otras representaciones.
algoritmos o fórmulas que definen el patrón y las respectivas reglas que permiten reproducirlo.Labor. El estudio de las relaciones funcionales que pueden detectarse en la vida cotidiana. variable. Esta primera aproximación a la noción la función es la de dependencia funcional entre magnitudes variables. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. las gráficas (diagramas) y las icónicas. K.grado. dependencia e independencia de una variable con respecto a otra. razón o tasa de cambio. permite coordinar cambios de una magnitud Y con cambios de una magnitud X. Pensar matemáticamente. el crecimiento de una planta durante un mes o el cambio de la temperatura durante el día o el flujo de vehículos frente a la institución durante una mañana) representados en gráficas y tablas. llegar a precisar la magnitud de los cambios y aun la tasa de cambio en relación con el tiempo. las del lenguaje ordinario o técnico. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . como las lineales y las afines (o de gráfica lineal). función. y con los distintos tipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones.. El estudio de los patrones está relacionado con nociones y conceptos propios del pensamiento variacional. así como con las relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones. 17 Mason. Esta manera de acercarse al pensamiento variacional está muy relacionada con el manejo de los sistemas de datos y sus representaciones. y Stacey. J. Burton.. El estudio del cambio también se puede iniciar en la Educación Básica Primaria a través del análisis de fenómenos de variación (por ejemplo. Por el análisis cuidadoso de esas representaciones se puede identificar la variación que ocurre y. que actúan como intermediarias en la construcción general de los procedimientos. etc. como constante. las polinómicas y las exponenciales. el sistema de representación más directamente ligado con las variaciones es el sistema algebraico. pero éstas también se expresan por medio de otros tipos de representaciones como las gestuales. Barcelona. (1992). las numéricas (tablas). L. entre la temperatura a lo largo de un día y la hora que marca un reloj. como las relaciones entre edad y altura de un niño (o entre edad y masa o peso corporal). en algunos casos. En la Educación Básica Secundaria.
etc. sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas mismas. la puesta a prueba de las mismas. se reconstruyen como representaciones de funciones y las ecuaciones e inecuaciones se reinterpretan como igualdades o desigualdades entre funciones. todo lo cual se relaciona con el pensamiento lógico y el pensamiento científico.Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el estudio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. también se dan múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas. Además. el campo de variación de cada variable y las posibles relaciones entre esas variables. inecuaciones o desigualdades. El desarrollo del pensamiento variacional.– que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en la resolución de problemas. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de ciertas representaciones matemáticas –gráficas. tablas. en las situaciones de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento. Los objetos algebraicos. De aquí que las múltiples relaciones entre la producción de patrones de variación y el proceso de modelación –y particularmente el estudio de las nociones de variable y de función– sean las perspectivas más adecuadas para relacionar el pensamiento variacional con el cálculo algebraico en la Educación Básica Secundaria y con la geometría analítica y el cálculo diferencial e integral en la Educación Media. como por ejemplo los términos algebraicos. es lento y complejo. El desarrollo del álgebra en los Siglos XVI y XVII y el del cálculo diferencial e integral en los Siglos XVII y XVIII mostraron también que el pensamiento variacional no se podía refinar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél. ecuaciones. pero indispensable para caracterizar aspectos de la variación tales como lo que cambia y lo que permanece constante. Es importante también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida cotidiana. dadas sus características. La relación del pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos muestra que el álgebra es un sistema potente de representación y de descripción Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . las variables que intervienen. su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o una propuesta de generalización.
los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones. de intervalos de valores aceptables. químicos y físicos que utilicen expresiones algebraicas. así como el cálculo del área del círculo. de los volúmenes de cilindros. Es necesario señalar que el desarrollo de este pensamiento debe también atender al estudio de las actividades matemáticas propias de los procesos infinitos. lo cual se logra articulando la búsqueda de soluciones no exactas. de problemas de estimación de posibles valores en el contexto de medidas de longitudes.de fenómenos de variación y cambio y no solamente un juego formal de símbolos no interpretados. o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad y el carácter antisimétrico y transitivo de la desigualdad). en el cual se sitúa el cálculo diferencial e integral que se suele introducir en el grado 11. pues son éstos los que caracterizan el campo conceptual del análisis matemático. constantes. De esta manera. áreas y volúmenes y de modelos matemáticos de procesos biológicos. Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables. Por tal razón es necesario incorporar tempranamente a los estudiantes en el estudio de los conceptos fundamentales de ese campo y de las técnicas y métodos de estimación y de aproximación. por útiles. ingeniosos e interesantes que sean dichos juegos. términos. conos y esferas y de las Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones. por ejemplo). para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Se refuerza así a la estimación como núcleo conceptual importante en el desarrollo del pensamiento numérico. Ya desde el comienzo de la Básica Secundaria cobra especial importancia el estudio de los números decimales como sistemas de representación de valores aproximados y como expresiones infinitas para números racionales e irracionales. parámetros. el cálculo algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación de los valores de las mediciones de cantidades relacionadas funcionalmente.
se proponen como procesos de abstracción y generalización a partir del análisis de lo que es invariante en medio de los aspectos variables de un conjunto de situaciones. Entre los elementos integradores de mayor relevancia se pueden destacar: • El estudio de la variación como una base fundamental para acceder a los procesos de generalización propios de cada uno de los pensamientos. El estudio de la variación hace necesaria una referencia a la identificación de variables. Así. el estudio de las propiedades de los números y sus operaciones y de la manera como varían sus resultados con el cambio de los argumentos u operandos. En este sentido. • El tratamiento de las magnitudes y sus procesos de medición se constituyen en la base conceptual sobre la cual se organizan los procesos conceptuales de cada pensamiento. o de los objetos de la geometría y sus características y de la manera como cambian las medidas de las cantidades asociadas con las transformaciones de esos objetos. todo lo cual prepara a los estudiantes para conceptualizar el límite. la continuidad. al reconocimiento de las magnitudes y de las medidas de las cantidades asociadas. a la vez. pero ganarían mucho en flexibilidad y generalidad y atraerían más el interés de los estudiantes si se presentan en forma dinámica y variacional.áreas exteriores de los mismos. y por tanto. Muchos de los conceptos de la aritmética y la geometría se suelen presentar en forma estática. ya se señaló a propósito del pensamiento numérico cómo el tratamiento de las magnitudes Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . posibilitan que los procesos de aprendizaje de las matemáticas se den a partir de la construcción de formas generales y articuladas de esos mismos tipos de pensamiento matemático. la derivada como tasa de cambio instantánea y la integral definida como límite de una suma. por ejemplo. Relaciones entre los cinco tipos de pensamiento matemático Los cinco tipos de pensamiento descritos anteriormente tienen elementos conceptuales comunes que permiten el diseño de situaciones de aprendizaje –y en particular de situaciones problema– que integren los diferentes pensamientos y que.
de las operaciones entre números (al operar no sólo se opera sobre números. y ayudan a organizar formas de pensamiento flexibles asociadas a contextos particulares. densidad. sino también. principalmente al numérico.. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • El tratamiento de los conceptos relativos a la medida de magnitudes compuestas a partir de las relaciones funcionales con respecto a las magnitudes fundamentales que las componen hace que conceptos como el de área. la distribución de las variables independientes para predecir el posible comportamiento de las variables dependientes para distintos rangos de valores de las dependientes. puedan entenderse como funciones de otras magnitudes más simples. en tanto que se deben identificar variables. esta aproximación hace que los conceptos relativos al pensamiento métrico se relacionen de manera directa con el numérico y sirvan de puente para el estudio de las disciplinas científicas naturales y sociales. determinar su comportamiento a lo largo de su posible conjunto de valores. • El tratamiento de las situaciones que involucran fenómenos estocásticos hace necesario el recurso a conceptos relacionados con el pensamiento variacional. volumen. velocidad. al igual que el recurso a los conceptos numéricos.cobra fuerza en el aprendizaje del concepto de número (medir y contar como base para su aprendizaje). discriminar entre las variables independientes y las dependientes. al métrico y al aleatorio. Ellas son elementos fundamentales en la construcción de los conceptos. De otra parte. llaman la atención sobre el carácter inexacto e incompleto de muchos de los resultados de las matemáticas y de otras ciencias. • La estimación y la aproximación son dos procesos presentes en los diferentes pensamientos. y determinar. sobre las cantidades y magnitudes que ellos representan en el contexto del problema que se pretende resolver) y de las relaciones entre ellos (al comparar números es conveniente comparar longitudes de segmentos y trazos o marcas en una recta numérica). muestran que en la mayoría de las situaciones cotidianas lo que se necesita es tener una buena estimación del rango de magnitud de un resultado y no tanto un resultado exacto. aceleración. Igualmente. dentro de las posibilidades del fenómeno. etc. procesos y procedimientos relativos a cada pensamiento.
unidades o proyectos Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . las tradiciones y los saberes de los estudiantes. a la vida escolar y al mismo entorno sociocultural.Los tres contextos en el aprendizaje de las matemáticas El contexto del aprendizaje de las matemáticas es el lugar –no sólo físico. el currículo explícito de las distintas áreas curriculares y el llamado “currículo oculto” de la institución. docentes. Por ello también se podría decir. etc. tal como se utiliza en los Lineamientos Curriculares18. por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema preparada por el docente. la arquitectura escolar. con las demás actividades de la institución educativa y. La palabra contexto. desde donde se establecen conexiones con la vida cotidiana de los estudiantes y sus familias. ventanas. de la región. las normas de convivencia. que hay tres contextos distintos pero muy relacionados entre sí: el contexto inmediato o contexto de aula. discutir. y por lo tanto. configurado por los escenarios de las distintas actividades diarias. nacional e internacional– como al contexto intermedio de la institución escolar –en donde se viven distintas situaciones y se estudian distintas áreas– y al contexto inmediato de aprendizaje preparado por el docente en el espacio del aula. a partir de las cuales los alumnos puedan pensar. a otras áreas. creado por la disposición de las paredes. en particular. si se prefiere. como se dijo con respecto a los procesos generales y a los tipos de pensamiento. empleados administrativos y directivos. regional. el país y el mundo. o a situaciones hipotéticas y aun fantásticas. argumentar y construir conocimiento en forma significativa y comprensiva. se refiere tanto al contexto más amplio –al entorno sociocultural. al ambiente local. así como por el PEI. que hay al menos tres tipos o niveles de contexto o. con las demás ciencias y con otros ámbitos de las matemáticas mismas. con la creación de situaciones referidas a las matemáticas. conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local.. el contexto escolar o contexto institucional. sino ante todo sociocultural– desde donde se construye sentido y significado para las actividades y los contenidos matemáticos. Cuando se habla de preparar situaciones problema. muebles y materiales. proyectos de aula. y el contexto extraescolar o contexto sociocultural. formular.
18 Ministerio de Educación Nacional (1998). 38. los planetas. pues para muchos estudiantes el espacio. MEN. 36. las estrellas. constelaciones y galaxias son tan cercanas a su interés y a sus afectos como los accidentes geográficos de sus pueblos y ciudades. sino que se extiende al país y a todo el planeta Tierra. actividades y otras situaciones de aprendizaje. se suele decir que éstas deben ser adaptadas al contexto o tomadas del contexto. págs. al departamento o a la región. Matemáticas. pero no puede olvidarse que este contexto extraescolar o sociocultural no se reduce al vecindario. el sistema solar. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . Bogotá. Esta recomendación suele entenderse como la búsqueda de una relación cercana con el contexto extraescolar o sociocultural de los estudiantes. al municipio. Lineamientos curriculares.integrados. y tal vez al universo entero. dicha relación es importante para despertar su interés y permitirles acceder a las actividades con una cierta familiaridad y comprensión previa. 41 y 42.
Así pues. ante todo en la toma de decisiones previas a la realización de cada actividad. la competencia profesional del docente de matemáticas se muestra precisamente en su manera de navegar en medio de tantas corrientes y vientos cruzados. la educación física y la artística. o sea. y se refieren a los contextos en los cuales se pueden alcanzar y ojalá superar los niveles de competencia seleccionados como estándares para cada conjunto de grados. de las cuales pueden tomarse provechosamente muchos temas y situaciones muy bien contextualizadas para el trabajo matemático. en cada unidad temática. dentro del ambiente de trabajo que se crea en la clase de matemáticas se pueden diseñar situaciones problema que a un observador externo le pueden parecer puramente teóricas y alejadas del contexto extraescolar o del sociocultural. en particular con las actividades que ocurren en las clases de distintas áreas curriculares como el lenguaje. Igualmente. los conceptos y procedimientos de las matemáticas. A su vez. las ciencias sociales y las naturales. en las que es necesario tomar continuamente en el curso de la misma y en las que se toman después de ella como resultado de la evaluación que el docente hace de sus alumnos y del éxito de la actividad misma. en cada situación problema. pero que pueden estar muy bien contextualizadas en el ambiente de estudio e investigación matemática que el docente ha logrado crear en el contexto inmediato de su aula. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . los contextos. los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas se distribuyen según los tipos de pensamiento y sus sistemas. reflejan los que tradicionalmente se habían llamado “los contenidos del área”.Esta útil recomendación de tener muy en cuenta el contexto extraescolar o sociocultural para el diseño y planeación de las actividades y situaciones de clase no puede servir de excusa para no trabajar también situaciones problema relacionadas con el contexto escolar o institucional. En la misma forma. los tipos de pensamiento con sus sistemas conceptuales y simbólicos más afines y los procesos generales de la actividad matemática se entrecruzan en cada clase. pero involucran también los procesos generales. proyecto de aula o período académico.
En sus experiencias con el tratamiento de una situación bien preparada. algebraicas. instrucciones y relatos que se elaboran basados en las matemáticas. tales como definir estrategias para interpretar. formular preguntas y problemas. el conocimiento surge en ellos como la herramienta más eficaz en la solución de los problemas relacionados con la misma. gestuales. etc. por tanto. la enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cuales el docente planea. en otras ciencias y en los contextos cotidianos y que en su tratamiento generan el aprendizaje de los estudiantes. gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemático significativo y comprensivo –y en particular situaciones problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen con sus compañeros. Por su parte. a continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones. construcciones. producir. calcular Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . Por situación se entiende el conjunto de problemas. proyectos. modelos y problemas. la actividad se refiere al trabajo intelectual personal y grupal de los estudiantes.Sobre la enseñanza. el aprendizaje y la evaluación Conforme a los planteamientos expuestos en el apartado anterior. explicar. tabulares. modelar y reformular la situación. utilizar materiales manipulativos. gráficas. analizar. Partir de situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo de las matemáticas Las situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo en las matemáticas escolares son situaciones que superan el aprendizaje pasivo. les permiten buscar y definir interpretaciones. En la comunidad de educadores matemáticos se distingue hoy claramente entre situación y actividad. representativos y tecnológicos. gracias a que generan contextos accesibles a los intereses y a las capacidades intelectuales de los estudiantes y.). justificar (y aun demostrar) o refutar sus conjeturas e hipótesis. Para comprender de forma más detallada cómo y qué aspectos deben impulsarse. formular estrategias de solución y usar productivamente materiales manipulativos. profesores y materiales para reconstruir y validar personal y colectivamente el saber matemático. interpretar y transformar representaciones (verbales. investigaciones. conjeturas o hipótesis.
de las fracciones y sus diversas interpretaciones. Diseñar procesos de aprendizaje mediados por escenarios culturales y sociales El aprendizaje se propone como un proceso activo que emerge de las interacciones entre estudiantes y contextos. en una palabra: en las competencias matemáticas. etc. En esta interpretación intervienen tanto factores sociales y culturales propios de la clase de matemáticas. redactar y presentar informes. sino que tienen que ser interpretados activamente por los estudiantes.con lápiz y papel o emplear calculadoras y hojas de cálculo u otros programas de computador. Por ello se enfatiza en el diseño de situaciones matemáticas que posibiliten a los estudiantes tomar decisiones. por los materiales utilizados y por las formas de enseñanza. como es el caso de la multiplicación y sus diversos significados. Es importante señalar que un mismo contenido matemático puede –y en ocasiones debe– presentarse a través de diversas situaciones. entre estudiantes y estudiantes y entre estudiantes y profesores en el tratamiento de las situaciones matemáticas. la actividad estimulada por la situación permite avanzar y profundizar en la comprensión. en las habilidades y en las actitudes de los estudiantes. La importancia de la naturaleza y la variedad de situaciones es un aspecto determinante para la calidad de las actividades de los estudiantes. Estas formas de interacción tienen importancia capital para la comunicación y la negociación de significados. Es necesario señalar que las actividades de los estudiantes están influenciadas por el tipo de instrucciones con que se presentan las situaciones. por el tipo de preguntas que se proponen en ellas. guía y apoyo de los docentes que median en el tratamiento de la misma. pero éstos no son evidentes en sí mismos. comparar y discutir resultados producidos con o sin computador. La situación problema apunta siempre a distintos contenidos y hacia diversas estructuras matemáticas. exponer sus opiniones y ser receptivos a las de Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . En este sentido. etc. como los que median a través del ambiente de aprendizaje y el clima institucional y los que provienen del contexto extraescolar.
las potencialidades mínimas y las actitudes negativas. potenciali- Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . de las teorías del aprendizaje significativo y de la enseñanza para la comprensión. Fomentar en los estudiantes actitudes de aprecio. sus potencialidades y sus actitudes. a incrementar las potencialidades y a modificar las actitudes para que el progreso en los saberes conceptuales y procedimentales le vaya dando la seguridad y la confianza en que puede avanzar hacia nuevos aprendizajes. estos saberes previos deben ampliarse a redes conceptuales más generales. la cual no excluye momentos de competición sana y leal entre ellos o con otros cursos. grados y colegios. Todo ello conlleva a incluir en la organización del aprendizaje matemático el trabajo en equipo y a fomentar la cooperación entre los estudiantes. lo que el estudiante ya sabe sobre ese tema de las matemáticas (formal o informalmente).los demás. pero en ningún caso descalificarse o ser objeto de burla o reprensión por parte de profesores y compañeros. El reconocimiento de nociones y conocimientos previos. En ocasiones. Así al docente le parezca que las concepciones previas son erróneas. en particular. son la base de su proceso de aprendizaje. no dispone de otra base para que el estudiante mismo inicie activamente sus procesos de aprendizaje. también es necesario reconocer que es una característica distintiva de muchas otras propuestas actuales en la pedagogía de las matemáticas y. Esta construcción y reconstrucción de sentidos y significados matemáticos. reconstruirse. de sus potencialidades y de sus actitudes hacia las matemáticas es característica de una posición constructivista del aprendizaje. genera en él una posición activa y una actitud positiva para enfrentar esos nuevos aprendizajes. o sea. o incluso descartarse como inútiles por el mismo estudiante. generar discusión y desarrollar la capacidad de justificar las afirmaciones con argumentos. que el estudiante vive en la tensión entre lo que ya sabe o cree saber y lo que se le propone para aprender. Si bien esta consideración cuidadosa y respetuosa de las concepciones previas del estudiante. seguridad y confianza hacia las matemáticas Al momento de iniciar el aprendizaje de un nuevo concepto. Sólo a partir de ellas puede empezar a cuestionar las preconcepciones. sus concepciones previas.
y actitudes del estudiante pone de manifiesto –entre otras– dos cuestiones importantes: de un lado. De igual modo. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . el reconocimiento de su papel activo cuando se enfrenta a las situaciones problema propuestas en el aula de clase. Esto obliga al diseño de procesos. en particular con los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias.dades. Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza Como se mencionó antes. Estos elementos imprimen nuevas dinámicas a las prácticas escolares de enseñar y aprender matemáticas que ayudan a estructurar los procesos curriculares y a planear las actividades de aula. concordancia y coherencia de éstos con los fines de la educación y las políticas del sistema educativo. orientadas a alcanzar las dimensiones políticas. las Secretarías de Educación Departamental y Municipal. las bibliotecas y centros de documentación de las alcaldías y universidades. y por que no. disponible hoy en día en múltiples formatos (impresos y digitales) que se pueden obtener a través del Ministerio de Educación Nacional. de otro. de tal forma que se tenga una vigilancia crítica por parte de los docentes sobre la pertinencia. desarrollar las competencias matemáticas supone organizar procesos de enseñanza y aprendizaje basados en estructuras curriculares dinámicas que se orienten hacia el desarrollo de competencias. Se trata de generar la necesidad de mirar críticamente la amplia oferta de textos escolares que se encuentra en el mercado. culturales y sociales de la educación matemática. la consulta en Internet y el intercambio con otros colegas. profundizar. de trascender los textos escolares y los documentos oficiales a través de una amplia documentación bibliográfica. situaciones y actividades contextualizadas en situaciones que portan una visión integral del conocimiento matemático. Se trata también de ampliar. centradas en el desarrollo de las competencias matemáticas. es necesario ampliar la visión sobre los textos escolares y las directivas ministeriales como los únicos medios para hacer explicitas las exigencias del cambio. el reconocimiento de que el estudiante nunca parte de cero para desarrollar sus procesos de aprendizaje y.
páginas interactivas de Internet.Así mismo. que ojalá los lleven mucho más allá de lo que proponen los estándares para cada conjunto de grados. dejará atrás las propuestas de los textos escolares y de los documentos oficiales en el avance de los docentes hacia el perfeccionamiento de sus conocimientos matemáticos. permite recrear ciertos elementos estructurales de los conceptos y de los procedimientos que se proponen para que los estudiantes los aprendan y ejerciten y. software especializado. o de grupos informales de autoformación y de investigación. madera o plástico. fichas.). esa situación ayuda a profundizar y consolidar los distintos procesos generales y los distintos tipos de pensamiento matemático. En este sentido. etc. así. de sus estrategias de enseñanza y del logro de aprendizajes significativos y comprensivos en sus estudiantes. cartas. deben ser analizados en términos de los elementos conceptuales y procedimentales que efectivamente permiten utilizarlos si ya están disponibles. entendidos no sólo como el conjunto de materiales apropiados para la enseñanza. sino como todo tipo de soportes materiales o virtuales sobre los cuales se estructuran las situaciones problema más apropiadas para el desarrollo de la actividad matemática de los estudiantes. pueden destacarse aquellos configurados desde ambientes informáticos como calculadoras. puestos en escena a través de una situación de aprendizaje significativo y comprensivo. o tomados de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los fines que requiera la tarea. Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con fines educativos (regletas. etc. a través de las situaciones. o si no existen. Estos ambientes informáticos. Entre estos recursos. la conformación de grupos de trabajo por departamento en cada institución. que bien pueden estar presentes desde los primeros años de la Educación Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . diseñarlos y construirlos. pedagógicos y didácticos. cada conjunto de recursos. los recursos se hacen mediadores eficaces en la apropiación de conceptos y procedimientos básicos de las matemáticas y en el avance hacia niveles de competencia cada vez más altos. Dicho de otra manera. Aprovechar la variedad y eficacia de los recursos didácticos Los recursos didácticos. modelos en cartón. juegos.
Básica. obtenidas de diversas fuentes de información y de distintas situaciones que estimulen las producciones orales. ecuaciones. en muchos casos. argumenten. etc. Todo esto facilita a los alumnos centrarse en los procesos de razonamiento propio de las matemáticas y. proporcionen explicaciones y ampliaciones. simulaciones. sino que también integran diferentes tipos de representaciones para el tratamiento de los conceptos (tablas. Refinar los procesos de evaluación La evaluación formativa ha de poner énfasis en la valoración permanente de las distintas actuaciones de los estudiantes cuando interpretan y tratan situaciones matemáticas y a partir de ellas formulan y solucionan problemas. justifiquen y expliquen los procedimientos seguidos o las soluciones propuestas20. Estas actuaciones se potencian cuando el docente mantiene siempre la exigencia de que los estudiantes propongan interpretaciones y conjeturas. modelaciones. La evaluación formativa como valoración permanente integra la observación atenta y paciente como herramienta necesaria para obtener información sobre la interacción entre estudiantes.). complementado con los registros que cada estudiante debe llevar de su propio trabajo –carpetas para la Básica Primaria y diarios de clase y portafolios para la Básica Secundaria y la Media– ayuda para que los estudian- Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . pues no sólo realizan de manera rápida y eficiente tareas rutinarias. gráficas. proponen nuevos retos y perspectivas a los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas en tanto que permiten reorganizaciones curriculares. El registro de las evidencias por parte del docente. No puede olvidarse que la calidad de los juicios que se emitan sobre el avance en los niveles de competencia de los estudiantes depende de un amplio número de evidencias de las actuaciones de los estudiantes. entre éstos y los materiales y recursos didácticos y sobre los procesos generales de la actividad matemática tanto individual como grupal. pictóricas y escritas. Para obtener información de calidad sobre las actividades de los estudiantes es necesario precisar los criterios de referencia acordes con lo que se cree es el nivel exigible de la actividad matemática del estudiante en el conjunto de grados al que pertenece. puede poner a su alcance problemáticas antes reservadas a otros niveles más avanzados de la escolaridad19. gestuales.
Directora General de la Obra. págs. complementado con los registros que cada estudiante debe llevar de su propio trabajo –carpetas para la Básica Primaria y diarios de clase y portafolios para la Básica Secundaria y la Media– ayuda para que los estudiantes se apropien de su propio avance y asuman la responsabilidad conjunta en su aprendizaje. (Comp. 95-107. La enseñanza para la comprensión. 115-120. 20 Wiske. Pequeños aprendices. págs. (2003).). Bogotá. gestuales. Ver también: República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). Paidós. 19 Respecto a este tema de los medios informáticos en la enseñanza de las matemáticas existe una amplia documentación publicada por el MEN. vol. MEN. Buenos Aires. El registro de las evidencias por parte del docente. 1.). 2 vols. la cual se referencia en la Bibliografía. M. Barcelona.tes se apropien de su propio avance y asuman la responsabilidad conjunta en su aprendizaje en distintas situaciones que estimulen las producciones orales. México. pictóricas y escritas. Vinculación entre la investigación y la práctica. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . S.
sino que éstos identifican niveles de avance en procesos graduales que. Dicho de otra manera. ojalá. si en un conjunto de dos grados se proponen 12 estándares para un determinado pensamiento. cada estándar de cada columna pone el énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que cruzan dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas. no son terminales en el conjunto de grados para el que se proponen. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos). El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias que se desarrollan gradual e integradamente. Los estándares presentados a continuación no deben pues entenderse como metas que se puedan delimitar en un tiempo fijo determinado. En forma semejante. métrico.La estructura de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas seleccionan algunos de los niveles de avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de pensamiento matemático: numérico. pero suele referirse también a otros procesos generales que pueden practicarse en distintos contextos para contribuir a superar el nivel seleccionado como estándar. octavo a noveno y décimo a undécimo) para dar mayor flexibilidad a la distribución de las actividades dentro del tiempo escolar y para apoyar al docente en la organización de ambientes y situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo que estimulen a los estudiantes a superar a lo largo de dichos grados los niveles de competencia respectivos y. incluso. aunque muchos de esos estándares se refieran también a otros tipos de pensamiento y a otros sistemas. comunicar. Por ello aparecen en cinco columnas que corresponden a cada uno de dichos tipos de pensamiento y a los sistemas conceptuales y simbólicos asociados a él. sexto a séptimo. cuarto a quinto. con el fin de ir superando niveles de complejidad creciente en el desarrollo de las competencias matemáticas a lo largo del proceso educativo. modelar procesos y fenómenos de la realidad. aleatorio y variacional. espacial. razonar. Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero. ello no significa que éstos pueden dividirse por partes iguales entre los grados de dicho conjunto (por ejemplo. a ir mucho más allá de lo especificado en los estándares de ese conjunto de grados. y formular.
Si bien en este libro el capítulo de los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas se encuentra separado de los de otras áreas y del de las competencias ciudadanas y. proposiciones. Se trata. Así mismo.seis para un grado y seis para el otro). distintos tipos de pensamiento matemático y todos los procesos generales. pues en la práctica del diseño de situaciones de aprendizaje es conveniente que se integren estándares de varios tipos de pensamiento matemático y de una o más áreas diferentes. A través de uno solo de estos proyectos integrados debidamente diseñado y Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . en coherencia con su PEI. o articuladas alrededor de tópicos generadores. de comprender que la organización curricular de cada institución. En una misma situación problema del área de matemáticas –y más todavía en proyectos integrados de dos o más de ellas– usualmente se involucran conceptos. ni menos todavía puede pensarse en una separación por periodos del año escolar claramente delimitados para cada uno de esos estándares. los estándares están distribuidos por columnas correspondientes a cada tipo de pensamiento y a sus sistemas asociados. para aprovechar de esta forma en cada situación las posibilidades de relacionar los distintos estándares y los diferentes tipos de pensamiento matemático. más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás. narraciones o proyectos productivos21. teorías y procedimientos de diferentes áreas. en cada institución se pueden coordinar docentes de distintas áreas para proponer proyectos integrados que integren dos o más de ellas a lo largo de actividades programadas para resolver problemas de la institución o del entorno. y en el aprendizaje de un determinado concepto es necesario ubicarlo y utilizarlo en los distintos contextos. Esto se logra si el desarrollo del trabajo en el aula se piensa desde las situaciones de aprendizaje –y en particular desde las situaciones problema– más que desde los contenidos. esta organización responde exclusivamente a una necesidad analítica. entonces. se debe procurar una organización del trabajo escolar que garantice un trabajo integrado de todos los estándares correspondientes a mismo grupo de grados y que atienda a su conexión con los estándares de los grados anteriores y de los siguientes (ver más abajo la sección sobre coherencia vertical y horizontal de los estándares). Por el contrario. debe buscar el desarrollo de un trabajo integrado en los distintos pensamientos. además.
en donde procesos generales como la comunicación y el razonamiento son esenciales para todos ellos. Una propuesta de integración curricular. tal como se ha descrito. se refieren también a la siguiente estructura: La estructura descrita es evidente en tanto los cinco procesos generales que se proponen en los Lineamientos Curriculares para toda actividad matemática y que se describieron arriba (formular y resolver problemas. 2 vols. Bermúdez. y formular. E.. H. ambientes y situaciones de aprendizaje significativo y comprensivo de las matemáticas. y León. J. comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos) constituyen las actividades intelectuales que van a permitir a los estudiantes alcanzar y superar un nivel suficiente en las competencias.). CINEP. Negret. C. Pequeños aprendices. A. Procesos Generales Contextos Conceptos y procedimientos matemáticos 21 República de Colombia-Ministerio de Educación Nacional (1997). ver también: Vasco. Escobedo. el desarrollo de las competencias es mediado por diferentes contextos. los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas. (1999). T. Directora General de la Obra. que están encabezadas por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados a él. MEN. modelar procesos y fenómenos de la realidad.. comunicar. Bogotá. La manera como está formulado cada estándar Así entonces. razonar. Sobre integración curricular. Bogotá.gestionado. grandes comprensiones (Rosario Jaramillo Franco. de igual manera. los estudiantes pueden avanzar con mucha motivación y satisfacción en distintas competencias relacionadas con varias áreas y llegar a superar varios de los estándares de esas áreas para un conjunto de grados y aun para otros conjuntos de grados más avanzados. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . C.. El saber tiene sentido.
variacional y aleatorio). como por ejemplo. A medida que los estudiantes avanzan en la Educación Básica y Media. del mismo modo. de las figuras geométricas. Así. espacial. El tejido de estos hilos requiere aceptar. pues el uso de gráficas incluye la representación lineal de los números en la recta numérica. pueden alcanzarse usualmente por más de una vía. etc. los contextos y situaciones dentro de los cuales los estudiantes pueden desplegar su actividad matemática pueden y de- Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . la complejidad conceptual de sus conocimientos no se evidencia sólo en los aspectos formales de la disciplina que ellos pueden expresar verbalmente o por escrito. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar. métrico. En cuanto a cada uno de los cinco tipos de pensamiento (numérico. la representación de conceptos geométricos por medio de figuras.. la lectura y escritura de números). para el numérico. como es el caso de los procedimientos asociados a las representaciones gráficas. si bien es necesario distinguir procesos y procedimientos asociados a cada uno de esos tipos (por ejemplo. A medida que los estudiantes vayan disponiendo de mejores comprensiones conceptuales. las proposiciones acerca de las propiedades de las operaciones numéricas. se requiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales. tal como se ha descrito en cada pensamiento. sino también en el tipo de procesos generales de la actividad matemática que pueden realizar con solvencia. los distintos significados de las fracciones o los significados de la multiplicación presentes en la estructura multiplicativa. las representaciones de relaciones entre dos variables por medio de gráficas cartesianas o las representaciones en gráficos de barras en los sistemas de datos. eficacia y actitud positiva. que un concepto matemático admite diversas aproximaciones. también es necesario reconocer que algunos son transversales a varios de ellos. van a poder desarrollar procesos de mayor complejidad y estarán en capacidad de enfrentar el tratamiento de situaciones de mayor nivel de abstracción.Los estándares para cada pensamiento están basados en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental.
para darles oportunidad de avanzar en los niveles de competencia matemática señalados en los estándares del conjunto de grados respectivo y. Un ejemplo de la coherencia vertical y de la horizontal se presenta en el diagrama siguiente. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . que toma distintos estándares relacionados con el pensamiento métrico. la temperatura del salón. La coherencia horizontal también es clara en el ejemplo siguiente. lo que involucra el pensamiento espacial) y seleccionar los tipos de gráficas y las convenciones necesarias para traducir los datos numéricos de las tablas de datos en el tipo de gráfica seleccionado (pensamiento aleatorio). La segunda está dada por la relación que tiene un estándar determinado con los estándares de los demás pensamientos dentro del mismo conjunto de grados. la coherencia vertical se hace evidente en el primer ejemplo. etc. en donde los resultados de las mediciones implican el pensamiento numérico). La primera está dada por la relación de un estándar con los demás estándares del mismo pensamiento en los otros conjuntos de grados. Coherencia vertical y horizontal La complejidad conceptual y la gradualidad del aprendizaje de las matemáticas a las que ya se hizo mención exigen en los estándares una alta coherencia tanto vertical como horizontal. como sí es importante en las gráficas circulares. porque en los procesos de medición (pensamiento métrico) es necesario describir la situación numéricamente (por ejemplo un área o volumen. Así. para superarlos ampliamente. la hora del día. tener en cuenta las características geométricas de los patrones y gráficos usados para describir los datos (por ejemplo..ben involucrar mayores niveles de complejidad y ofrecerles desafíos cada vez más retadores. porque –si bien el contenido matemático es el mismo: la medición– aquello que varía en los estándares de pensamiento métrico de un conjunto de grados a otro es la complejidad y precisión del proceso de medición o la de las unidades utilizadas. ojalá. si en los pictogramas o en las gráficas de barras es importante sólo la altura o también el área de la barra.
pictogramas y diagramas de barras. comparo y cuantifico situaciones con números. Pensamiento Aleatorio: Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos. De 1º a 3º Pensamiento Numérico: Describo. tanto convencionales como estandarizadas. Pensamiento métrico Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados. Coherencia Vertical De 10º a 11º: Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos.De 10º a 11º: Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos. en diferentes contextos y con diversas representaciones. Pensamiento Geométrico: Reconozco congruencia y semejanza entre figuras (ampliar. apropiadas para diferentes mediciones. De 4º a 5º: Selecciono unidades. de acuerdo al contexto. reducir). Coherencia horizontal Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . De 6º a 7º: Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud.
). ser múltiplo de. comparo y cuantifico situaciones con números. • Reconozco y valoro simetrías en distintos aspectos del arte y el diseño. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación. localización entre otros). • Describo situaciones de medición utilizando fracciones comunes. • Reconozco nociones de horizontalidad. conteo. ser divisible por. • Reconozco propiedades de los números (ser par. etc. • Dibujo y describo cuerpos o figuras tridimensionales en distintas posiciones y tamaños. • Identifico. distancia y posición en el espacio. etc. codificación. en diferentes contextos y con diversas representaciones. • Reconozco congruencia y semejanza entre figuras (ampliar. • Describo. • Uso diversas estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . ser menor que. etc.) en diferentes contextos. • Identifico regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculadoras. los resultados obtenidos son o no razonables. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Diferencio atributos y propiedades de objetos tridimensionales.Primero a tercero Al terminar tercer grado. ser impar.) y relaciones entre ellos (ser mayor que. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de variación proporcional. paralelismo y perpendicularidad en distintos contextos y su condición relativa con respecto a diferentes sistemas de referencia. • Desarrollo habilidades para relacionar dirección. ábacos. si a la luz de los datos de un problema. PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Reconozco significados del número en diferentes contextos (medición. bloques multibase. reducir).. • Represento el espacio circundante para establecer relaciones espaciales. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para explicar el valor de posición en el sistema de numeración decimal. • Realizo construcciones y diseños utilizando cuerpos y figuras geométricas tridimensionales y dibujos o figuras geométricas bidimensionales. • Describo situaciones que requieren el uso de medidas relativas. verticalidad. • Uso representaciones –principalmente concretas y pictóricas– para realizar equivalencias de un número en las diferentes unidades del sistema decimal.. • Reconozco y aplico traslaciones y giros sobre una figura. comparación.
• Construyo secuencias numéricas y geométricas utilizando propiedades de los números y de las figuras geométricas. • Comparo y ordeno objetos respecto a atributos medibles. su duración. • Interpreto cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno escolar. • Describo cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural. área. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Represento datos relativos a mi entorno usando objetos concretos. • Identifico regularidades y tendencias en un conjunto de datos. • Realizo estimaciones de medidas requeridas en la resolución de problemas relativos particularmente a la vida social. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Clasifico y organizo datos de acuerdo a cualidades y atributos y los presento en tablas. pictogramas y diagramas de barras. • Reconozco el uso de las magnitudes y sus unidades de medida en situaciones aditivas y multiplicativas. musical. volumen. entre otros).PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Reconozco en los objetos propiedades o atributos que se puedan medir (longitud. • Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados. en los eventos. • Reconozco y genero equivalencias entre expresiones numéricas y describo cómo cambian los símbolos aunque el valor siga igual. peso y masa) y. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Reconozco y describo regularidades y patrones en distintos contextos (numérico. • Analizo y explico sobre la pertinencia de patrones e instrumentos en procesos de medición. • Predigo si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro. capacidad. • Describo situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos. dibujos y gráficas. geométrico. de acuerdo al contexto. • Explico –desde mi experiencia– la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos. económica y de las ciencias. • Resuelvo y formulo preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar datos del entorno próximo.
• Justifico regularidades y propiedades de los números. en el contexto de una situación. razones y proporciones.. comparación e igualación. figuras. • Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones. • Justifico el valor de posición en el sistema de numeración decimal en relación con el conteo recurrente de unidades. • Modelo situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa e inversa. lados) y propiedades. sus relaciones y operaciones. puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas. • Conjeturo y verifico los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para construir diseños. • Identifico.. • Identifico. • Utilizo la notación decimal para expresar fracciones en diferentes contextos y relaciono estas dos notaciones con la de los porcentajes. • Identifico y uso medidas relativas en distintos contextos. • Utilizo sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir relaciones espaciales. inversa y producto de medidas. • Identifico la potenciación y la radicación en contextos matemáticos y no matemáticos. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Identifico y justifico relaciones de congruencia y semejanza entre figuras. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones aditivas de composición. • Construyo y descompongo figuras y sólidos a partir de condiciones dadas. diseño y arquitectura. relaciones parte todo. • Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos. PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS Interpreto las fracciones en diferentes contextos: situaciones de medición. cociente. vértices) y características. • Uso diversas estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. represento y utilizo ángulos en giros. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Comparo y clasifico objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras. aberturas.Cuarto a quinto Al terminar quinto grado. la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos. inclinaciones. transformación. • Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa. • Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y puedo realizar el proceso contrario en contextos de arte.
cuando se fija una de estas medidas. en objetos y eventos. volumen. geométrica o gráfica. peso y masa. • Analizo y explico relaciones de dependencia entre cantidades que varían en el tiempo con cierta regularidad en situaciones económicas. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Utilizo diferentes procedimientos de cálculo para hallar el área de la superficie exterior y el volumen de algunos cuerpos sólidos. • Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales. • Interpreto información presentada en tablas y gráficas. distancias. • Justifico relaciones de dependencia del área y volumen. diagramas circulares). PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Represento datos usando tablas y gráficas (pictogramas. temperatura) y de algunas de las unidades que se usan para medir cantidades de la magnitud respectiva en situaciones aditivas y multiplicativas. propiedades o atributos que se puedan medir (longitudes. tanto convencionales como estandarizadas. diagramas de líneas. rapidez. consultas o experimentos. • Utilizo y justifico el uso de la estimación para resolver problemas relativos a la vida social. duración. volúmenes de líquidos y capacidades de recipientes. diagramas circulares). áreas de superficies.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Diferencio y ordeno. • Selecciono unidades. • Reconozco el uso de algunas magnitudes (longitud. sociales y de las ciencias naturales. • Describo la manera como parecen distribuirse los distintos datos de un conjunto de ellos y la comparo con la manera como se distribuyen en otros conjuntos de datos. • Uso e interpreto la media (o promedio) y la mediana y comparo lo que indican. PENSAMIENTO VARIACIONAL YSISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Describo e interpreto variaciones representadas en gráficos. duración de eventos o procesos. • Comparo diferentes representaciones del mismo conjunto de datos. capacidad. respecto a las dimensiones de figuras y sólidos. diagramas de líneas. • Construyo igualdades y desigualdades numéricas como representación de relaciones entre distintos datos. económica y de las ciencias. apropiadas para diferentes mediciones. gráficas de barras. volúmenes de cuerpos sólidos. amplitud de ángulos). gráficas de barras. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos provenientes de observaciones. • Describo y argumento relaciones entre el perímetro y el área de figuras diferentes. área. pesos y masas de cuerpos sólidos. • Predigo patrones de variación en una secuencia numérica. utilizando rangos de variación. • Conjeturo y pongo a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocurrencia de eventos. (pictogramas.
utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal. • Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Justifico la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas. • Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas. • Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. • Clasifico polígonos en relación con sus propiedades. como las de la igualdad. las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa. • Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. multiplicación. • Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.. decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida. rotaciones. sustracción. • Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica. • Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números. • Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números. • Utilizo números racionales. reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. razones. división y potenciación. • Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. • Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones. en sus distintas expresiones (fracciones. • Identifico y describo figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales. • Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales.. transitiva. etc. PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMNUMÉRICOS • Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. utilizando calculadoras o computadores. • Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales. • Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo. asociativa.Sexto a séptimo Al terminar séptimo grado. en diferentes contextos y dominios numéricos.) en diferentes contextos. etc.
(diagramas de barras. moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos. continuas. • Uso modelos (diagramas de árbol. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas. consultas.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas. diagramas de barras. experimentos. expresiones verbales generalizadas y tablas). formadas por segmentos. • Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. • Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. etc. mapas). PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa. • Predigo y justifico razonamientos y conclusiones usando información estadística.) • Uso medidas de tendencia central (media. televisión. • Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad. • Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación. • Utilizo métodos informales (ensayo y error. de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos. • Interpreto. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación). mediana. por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento. produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. • Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. • Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables. • Identifico las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos.) en relación con la situación que representan. • Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas. diagramas circulares. complementación) en la solución de ecuaciones. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas. entrevistas). revistas. diagramas circulares.
asociativa. transitiva. • Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa. • Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. • Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situaciones diversas de conteo. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas. • Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos. en diferentes contextos y dominios numéricos. división y potenciación. • Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza y congruencia usando representaciones visuales. como las de la igualdad. • Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación cartesiana y geográfica..) en diferentes contextos. • Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensionales en situaciones matemáticas y en el arte. • Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.. etc. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simétrica. rotaciones. • Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones. etc. • Justifico la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas. utilizando calculadoras o computadores. PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las medidas. decimales o porcentajes) para resolver problemas en contextos de medida. • Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números naturales a la representación decimal usual de los números racionales. sustracción. • Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números. • Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números. • Utilizo números racionales. utilizando las propiedades del sistema de numeración decimal. razones. las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición. • Identifico y describo figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales de objetos tridimensionales.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa. multiplicación. en sus distintas expresiones (fracciones.Sexto a séptimo Al terminar séptimo grado. • Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema y lo razonable o no de las respuestas obtenidas. • Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones.
produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. complementación) en la solución de ecuaciones. moda) para interpretar comportamiento de un conjunto de datos. • Predigo y justifico razonamientos y conclusiones usando información estadística. consultas. etc. • Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabilidad. • Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud. • Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación. • Uso modelos (diagramas de árbol. (diagramas de barras. mediana. • Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas. • Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación. televisión. mapas). diagramas circulares. diagramas de barras. • Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de figuras y cuerpos. entrevistas). revistas. de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos. por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento. experimentos. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Describo y represento situaciones de variación relacionando diferentes representaciones (diagramas. • Interpreto. • Utilizo métodos informales (ensayo y error.) en relación con la situación que representan. • Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación). • Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas. • Identifico las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos. expresiones verbales generalizadas y tablas). Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . • Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables. diagramas circulares. continuas.) • Uso medidas de tendencia central (media.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con medidas dadas. formadas por segmentos.
• Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes. • Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales). PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.Octavo a noveno Al terminar noveno grado.. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas. • Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos. • Identifico y utilizo la potenciación. • Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas. • Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas.
experimentos.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. consultas. • Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa. diagramas de árbol. • Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas ciencias. • Calculo probabilidad de eventos simples usando métodos diversos (listados. • Interpreto y utilizo conceptos de media. ordinal. entrevistas. • Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema. televisión. • Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. áreas de superficies. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Reconozco cómo diferentes maneras de presentación de información pueden originar distintas interpretaciones. • Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral. revistas. independencia. • Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. • Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales. exponenciales y logarítmicas. etc. • Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . entrevistas). televisión. evento. consultas. • Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. técnicas de conteo). racionales.). • Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático probabilístico. • Reconozco tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas. (prensa. • Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas. volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados. mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría. • Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación. • Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan. de información y al nivel de la escala en la que esta se representa (nominal. • Resuelvo y formulo problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas. de intervalo o de razón). • Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. experimentos. revistas. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.
• Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales. • Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares. • Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos. • Resuelvo problemas en los que se usen las propiedades geométricas de figuras cónicas por medio de transformaciones de las representaciones algebraicas de esas figuras. • Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. enteros. diagonales y transversales en un cilindro y en un cono.. • Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales. geométricos y algebraicos.. cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas. PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS • Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales.Décimo a undécimo Al terminar undécimo grado. racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir. gráfica y algebraica algunas propiedades de las curvas que se observan en los bordes obtenidos por cortes longitudinales. • Reconozco y describo curvas y o lugares geométricos. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS • Identifico en forma visual. • Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. • Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada. manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
localización. covarianza y normalidad). • Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones. Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas . muestra. muestreo aleatorio. • Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas. dispersión y correlación (percentiles. muestreo con reemplazo). la aceleración media y la densidad media. • Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas. distancia. rangos de variación y límites en situaciones de medición. centralidad. • Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos.PENSAMIENTO MÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS • Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos. espacio muestral. como la velocidad media. permutaciones. • Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos. naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. distribución de frecuencias. rango. • Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas. • Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas. variable aleatoria. • Justifico o refuto inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. cuartiles. PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS • Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación. • Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva. parámetros y estadígrafos). • Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población. varianza. • Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas. • Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes. • Uso comprensivamente algunas medidas de centralización. PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS • Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.
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Universidad Distrital “Francisco de Paula Santander” . Se agradecen los comentarios y aportes a dicho texto de: ...Ángela Duarte P. Universidad del Valle .. Universidad Nacional de Colombia .. Universidad de Antioquia El texto ha sido elaborado con base en un documento preliminar redactado por el grupo que elaboró los estándares y otro que tuvo como autoras a: Cecilia Casasbuenas.Carlos Alberto Trujillo S. Subdirección de Estándares y Evaluación.Ligia Amparo Torres R..Miryam Ochoa. Colegio Nacional “Magdalena Ortega de Nariño”. Coordinación General Ascofade. consultora Ascofade y Beatriz Espinosa B. MEN Estándares Básicos De Competencias En Mátemáticas .Gilberto Obando Z..Myriam Acevedo M. Universidad del Cauca . Universidad Externado de Colombia . Virginia Cifuentes...Pedro Javier Rojas G. consultora Ascofade.
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