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Timestamp: 2018-10-17 19:29:04+00:00

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conceptos abastecimiento
Analisis Nodal Produccion II
Clase de Regulacion de Caudales
2. Monografía - Abastecimiento de Agua FINAL
Introduccion a La Hidraulica Fluvial - Arturo Rocha Felices
Diseño de geomembranas
Métodos de cálculo usuales en el diseño
de canales y embalses en cuencas pequeñas
Monografía nº 179
Depósito Legal: CO-386-1990
Imprime: Servicio de Publicaciones E.T.S.I. Agrónomos
5 Circulación de flujos a través de canales abiertos 3.6.4 Circulación de flujos a través de embalses 3.5. 3. Método del HU 3.4.2 Método de Runge-Kutta 3.1 Método de Muskingum 3.2 Modelo de embalses lineales en serie 7 7 11 13 15 16 26 31 32 41 42 42 51 4 CIRCULACIÓN HIDRÁULICA (SISTEMAS DISTRIBUIDOS) 4.6.2 Relación almacenamiento-descarga 3.4.1 La cuenca como sistema lineal.1 Modelo de sistema hidrológico general.1 Ecuaciones básicas 4.5.1 Método de la superficie libre horizontal 3.6 Circulación de flujos a través de cuencas 3.3 Almacenamiento y transmisión del flujo 3.3 Método de Muskingum-Cunge 69 70 73 76 REFERENCIAS 93 ANEXO I Programa PRAVEM Programa MUSKING Programa CONVOL Programa NASH Programa HUNASH Programa CUNGE 96 97 100 102 102 104 110 .José Luis Ayuso Muñoz 4 ÍNDICE Prefacio 5 1 INTRODUCCIÓN 6 2 CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE CIRCULACIÓN DE FLUJOS 7 3 CIRCULACIÓN HIDROLÓGICA (SISTEMAS GLOBALES) 3.2 Clasificación de los modelos distribuidos 4.2 Método de Muskingum no lineal 3.
Prudencio Salces. de sus muchas dificultades. quién mecanografió el manuscrito y se ocupó. básicamente.Circulación de flujos 5 Prefacio Aunque este libro ha sido concebido. Dr. En especial. José Antonio Cobacho. cauces y embalses. El interés puesto en muchos de los puntos tratados en el libro. se describen los métodos hidráulicos e hidrológicos más empleados en el estudio de la evolución de ondas de avenida a través de embalses. Uno de los objetivos principales del libro es presentar los programas de ordenador. José L. dar las gracias debidas a D. Tras una clasificación de los modelos comúnmente utilizados en el estudio del movimiento de ondas de flujo. Finalmente. alcanzada a través de los cursos de especialización impartidos. inteligentemente. he de agradecer la deuda contraída con el Prof. para el análisis y estudio de los problemas hidráulicos e hidrológicos envueltos en el movimiento de ondas de avenida. como guía para el curso de especialización del tercer ciclo Modelación hidrológica de cuencas pequeñas. Aplicación al diseño de pequeñas presas y embalses. Giráldez Cervera por sus precisas observaciones y oportunos consejos. Cada uno de los métodos descritos se ilustra con un ejemplo resuelto y con la aplicación del software presentado. El texto analiza y estudia la hidráulica e hidrología de la circulación de flujos a través de cuencas. escritos en lenguaje Fortran 77 (disponible en la mayoría de los microordenadores). y en los consejos y apreciaciones de colegas y amigos. Ayuso Catedrático de Proyectos de Ingeniería Departamento de Ingeniería Rural UNIVERSIDAD DE CORDOBA . cauces y cuencas. y a D. quien realizó la excelente delineación. también ha sido escrito con miras al interés de las aplicaciones prácticas de los métodos de cálculo en la circulación de flujos. ha estado inspirado en la propia experiencia.
En Hidrología. se conoce por Circulación o propagación de flujos. seguidamente. embalses y cuencas se presentan. la circulación de flujos puede considerarse como el análisis para describir el flujo a través de un sistema hidrológico (cuenca. originado por una precipitación conocida. y simulación de cuencas. Se analiza y estudia la hidráulica e hidrología de la circulación del flujo sobre el terreno. da lugar al hidrograma de salida de la cuenca. La precipitación que llega a encauzarse como flujo en una corriente. en FORTRAN 77. cauce o embalse) conocida la entrada al sistema (Figuras 1 y 2).Caudal de entrada Entrada I(t) . el tiempo y magnitud del flujo (es decir. y a través de canales de corriente y embalses. proceso conocido como escorrentía directa (o respuesta inmediata de la cuenca a un episodio de lluvia). . al procedimiento mediante el cual se determina el avance progresivo (predicción de las variaciones en el tiempo y en el espacio) de una onda de flujo a lo largo de un canal de corriente o embalse.EMBALSE Salida Q(t) Caudal de salida Figura 1. Las técnicas o métodos de circulación de flujos a través de canales. primero. Todos los proyectos de sistemas de recursos hidráulicos.Caudal sección aguas arriba . estableciendo los fundamentos teóricos en los que se basan y las aplicaciones prácticas de los mismos. diseño de embalses. aliviaderos de pequeñas y grandes presas. entra al mismo como flujo superficial y/o subsuperficial. o se predice el hidrograma de salida de una cuenca. que es la precipitación efectiva o exceso de lluvia. a partir de hidrogramas conocidos o supuestos en uno o más puntos aguas arriba. En sentido amplio. de los modelos matemáticos. en secciones separadas. el hidrograma) en un punto de un curso de agua. como previsión de avenidas. utilizan dicho procedimiento. En algunos casos se especifican los programas. y a través de embalses. después.José Luis Ayuso Muñoz 1 6 INTRODUCCION La determinación de los caudales en las corrientes superficiales es el objetivo central de la Hidrología Superficial.Precipitación .CUENCA . por ejemplo. a lo largo de cauces y canales. Representación esquemática del funcionamiento del sistema hidrológico Mediante este procedimiento se puede determinar. SISTEMA HIDROLÓGICO . que tras fluir como flujo superficial en laderas.TRAMO DE CANAL . represado o no.
estriba en que en un modelo de sistema global.Circulación de flujos 7 PRECIPITACION I (t) Divisoria de la cuenca Superficie de la cuenca Límites del sistema Caudal de salida Q(t) Figura 2. mientras que en un modelo de sistema distribuido. entre la circulación de flujos a través de sistemas globales y sistemas distribuidos. 3 CIRCULACIÓN HIDROLÓGICA (SISTEMAS GLOBALES) 3. el flujo se calcula como una función del tiempo y del espacio a través del sistema (en sucesivos puntos a lo largo de un canal. conocidas como ecuaciones de Saint Venant. también conocida como Circulación de flujos a través de sistemas globales. Desde la perspectiva de la teoría de sistemas. tanto desde el enfoque tradicional como desde el análisis de sistemas. también llamada Circulación de flujos a través de sistemas distribuidos. La cuenca como sistema hidrológico 2 CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE CIRCULACIÓN DE FLUJOS Los métodos de circulación de flujos se clasifican.1 Modelo de sistema hidrológico general. analítica o empírica. entre el almacenamiento y la descarga dentro del sistema. en dos categorías: * Circulación hidrológica de flujos. mientras que las de circulación hidráulica utilizan la ecuación de continuidad y la ecuación de la cantidad de movimiento. la diferencia. embalse o cuenca). S. Las técnicas de circulación hidrológica emplean la ecuación de continuidad junto a una relación. El agua almacenada en un sistema hidrológico. * Circulación hidráulica de flujos. el flujo se calcula únicamente como función del tiempo en una localización particular (extremo aguas abajo de un canal. salida de un embalse o cuenca). puede relacionarse a los caudales de .
el almacenamiento. .José Luis Ayuso Muñoz 8 entrada I. y de salida Q. Considérese el embalse representado en la figura 3. y Q y sus derivadas. . dQ d 2 Q dI d 2 I . en cuyo caso el sistema lineal se dice que es invariable en el tiempo. An n + B0 Q + B1 + B 2 2 + .. puede expresarse por una función de almacenamiento (Chow et al.. d²Q/dt². 7) como S = f ( I. y B0 a Bn de la ecuación (2a) pueden ser constantes. dQ/dt. o algunos de los coeficientes pueden ser dependientes del tiempo.. B n n dt dt dt dt dt dt (2a) Si los términos de la ecuación (2a) fuesen productos de I y sus derivadas. Cap. Los coeficientes A0 a An. 1989. d²I/dt²... . Q.) dt dt dt dt 2 (2) función que estará determinada por la naturaleza del sistema hidrológico que se trate. y a sus variaciones con respecto al tiempo Di/dt. mediante la relación general S = K Qn (3) La ecuación de continuidad (1) puede expresarse como dS =I −Q dt (3a) . el sistema descrito por esta función podría ser no lineal. 1986).. en el que el almacenamiento S.. en cuyo caso el sistema lineal se dice que es variable en el tiempo (O'Donnell. . tal como el de la Figura 3 en el que S varía (aumenta y/o disminuye) con el tiempo en la respuesta a I y Q.... o potencias distintas de las de primer grado.. mediante la ecuación de continuidad dS = I -Q dt (1) Si el sistema hidrológico es un depósito. está relacionado al caudal de salida Q... . en cualquier instante. I(t) dS =I(t)-Q(t) dt S(t) Q(t) Figura 3 Ecuación de continuidad en un sistema hidrológico La función de almacenamiento (2) puede expresarse por la ecuación diferencial lineal S = A0 I + A1 2 n 2 n dQ dI d Q d Q d I d I + A2 2 + . 2 ..
. de modo que para n ═ 1 y K constante. Si n ═ 1 y K es una función del tiempo K(t). pero que tiene un coeficiente variable con el tiempo. se tendrá al derivar la expresión (3) que dQ dS = K n Q n −1 dt dt valor que sustituido en la ecuación de continuidad da K nQ n -1 dQ +Q= I dt (6) que es una ecuación diferencial no lineal. para n ═ 1.Circulación de flujos 9 Para el caso particular de n ═ 1 y K constante. el embalse es un sistema lineal invariable en el tiempo. cuyo comportamiento es descrito por la ecuación (5). si n ═ 1 y K es constante. entonces se tendrá como valor de dS/dt dK (t ) dQ dS = K (t ) +Q dt dt dt que sustituido en la ecuación de continuidad (1) da K(t) dQ ⎡ dK(t) ⎤ + 1+ Q= I dt ⎢⎣ dt ⎥⎦ (5) que sigue siendo una ecuación diferencial lineal. por lo que el embalse. en este caso. cuyo comportamiento es descrito por la ecuación (4). el embalse es un sistema no lineal.2). Por consiguiente. cualquiera que sea K. El modelo de embalse lineal es usado en la modelación de cuencas para el desarrollo del Hidrograma Unitario (§ 3. es un sistema lineal variable en el tiempo. Finalmente.6. la ecuación (3) da dQ dS =K dt dt que sustituida en la expresión (3a) da K dQ +Q= I dt (4) que es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.
ya que contiene únicamente la derivada con respecto al tiempo. siendo I y Q funciones del tiempo. y sustituyendo el resultado de dS/dt. Este será el método que se aplicará en la circulación de flujos a través de sistemas globales o circulación hidrológica de flujos. se obtiene t ∫ t =0 Q dt = K ∫ 0 dQ I −Q resultando t = − K [ln( I − Q)]0 = − K ln Q de donde − t ⎛ I −Q⎞ = ln⎜ ⎟ K ⎝ I ⎠ la cual. de continuidad y almacenamiento. permite calcular el caudal de salida Q. Para ello. está relacionado con el caudal de salida Q por la relación S = K·Q. para resolverlas recursivamente en puntos discretos a lo largo del tiempo. directamente a las ecuaciones (1) y (2). usando la función de almacenamiento (2) para responder del valor del mismo en cada instante de tiempo. Obtener el caudal de salida Q por resolución de las ecuaciones (1) y (2) mediante el primer procedimiento establecido anteriormente. se obtiene la expresión I −Q=K dQ dt (7) que describe un sistema global. Ejemplo 3. Integrando con la condición Q = 0 para t = 0. desde un instante de tiempo al siguiente. Diferenciando la función de almacenamiento S=KQ. obteniendo Q(t) como una función de I(t). en la ecuación (1). para resolver posteriormente la ecuación diferencial resultante por integración. conocido el de entrada I.1 Sea el caso de un embalse lineal como el representado en la figura 3.José Luis Ayuso Muñoz 10 La solución simultánea de las ecuaciones (1) y (2). y sustituyendo el valor de dS/dt en la ecuación de continuidad (1). Solución. La solución puede realizarse por dos procedimientos 1) Diferenciando la función de almacenamiento (2). se divide el tiempo en intervalos finitos y se resuelve la ecuación de continuidad (1) recursivamente. en el que el almacenamiento S. al tomar antilogaritmos da e −t K = llegándose finalmente a la expresión I −Q I I −Q I . 2) Aplicando los métodos de diferencias finitas.
es una función no lineal de Q solamente S = f(Q) y la función f(Q) se determina relacionando el almacenamiento S. 3. 1. 3. tiene la forma de la ecuación (10) y se aplica a embalses con la superficie libre horizontal. Tales embalses tienen un vaso ancho y profundo. La relación de almacenamiento invariable requiere que el caudal de salida del embalse. en los que el almacenamiento S. Si la posición de la compuerta de control cambia durante la descarga. ésta y la cota de la superficie libre del agua cambian en la presa. es una función lineal de Q y sus derivadas respecto al tiempo. o controladas por compuertas mante-nidas en una posición fija.Circulación de flujos 11 Q = I (1 − e −t K ) (8) que da la relación entre el caudal de salida Q. que pretenden predecir el hidrograma resultante como respuesta a la lluvia. Una relación invariable. Se estudiarán tres sistemas. Circulación a través de cuencas. existe una relación biunívoca entre almacenamiento y descarga. 2. S. tiene gran influencia en la circulación del flujo.2 Relación almacenamiento-descarga La forma específica de la función de almacenamiento dependerá de la naturaleza del sistema que se trate. Circulación a través de canales por el método de Muskingum. para una cota dada de la superficie libre de la lámina de agua. Esta relación puede ser invariable o variable. Se deduce que para un tiempo t ──> ∞ ⎛ Q = I ⎜1 t u >∞ ⎝ 1 ⎞ ⎟→ I t/K e ⎠ (9) es decir. en el que el almacenamiento. siendo muy pequeña la velocidad del flujo en los mismos. Circulación a través de embalses por el método de la superficie libre horizontal. mediante la utilización de modelos conceptuales de cuenca. La relación entre el almacenamiento y el caudal de salida de un sistema hidrológico. sea fijo. y el de entrada I. en el que el almacenamiento S. está linealmente relacionado a I y Q. se llega a un estado de equilibrio en el que se igualan los caudales de entrada y salida. lo que implica que las estructuras hidráulicas de salida deben ser libres. a la cota h de la superficie libre en el embalse. . como se indica en la Figura 4. y el caudal de salida Q. es decir.
Igualmente la descarga Q. y la descarga Q. y el caudal de salida máximo P. en donde los puntos que denotan el almacenamiento máximo R. creando una superficie libre de agua curvada temporalmente. pueden relacionarse para producir una función de almacenamiento biunívoca o invariable. el caudal punta de salida ocurre cuando el hidrograma de salida intercepta al hidrograma de entrada. como se indica en la Figura 4. P. el almacenamiento en el embalse S. es función de la cota de la superficie libre o calado h sobre la coronación de la estructura hidráulica de salida.José Luis Ayuso Muñoz 12 propagándose el efecto aguas arriba en el embalse. Esto está indicado en la Figura 4a. Q O O s O R Q s O a) Relación invariable b) Relación variable Figura 4 Relación entre descarga y almacenamiento Combinando estas dos funciones. Una relación variable almacenamiento-caudal de salida. S ═ ϕ(h). P. ya que el almacenamiento máximo ocurre cuando dS = I −Q =0 dt estando relacionados el almacenamiento y el caudal de salida por S ═ f(Q). su almacenamiento es función de la cota de la superficie libre del agua o calado h. S ═ f(Q). S = φ ( h) h =ψ −1 (Q) Q =ψ (h) S = φ ψ −1 (Q) = f (Q) [ ] (11) En tales embalses. hasta que se establece un nuevo equilibrio en la superficie libre a lo largo del embalse Hietograma de entrada R. Q ═ Ψ(h). P R Hietograma de salida O Hietograma de entrada Caudal Caudal Cuando un embalse tiene la superficie libre horizontal. O t O Hietograma de salida t O P R. coinciden. se aplica a embalses estre- .
a canales abiertos y cursos de agua. en el que la onda se desplaza aguas abajo sin cambiar su forma (Figura 5a). se producirá una avenida por desbordamiento de la red de drenaje. en la que los puntos R y P no coinciden. dependiendo de las características del almacenamiento del sistema. 3. como una aproximación. Como se indica en la Figura 4b. almacenamiento-descarga. Si el efecto aguas arriba no es muy significativo. puede sustituirse el bucle por una curva promedio como la mostrada por la línea de trazos. a medida que el flujo va entrando. cuando entra un curso rápido de agua. El segundo proceso que actúa sobre la onda de flujo es la acción de embalsamiento o almacenamiento. A causa del retardo debido al efecto aguas arriba. ocasionando que aumente el caudal de salida. en donde la velocidad que alcanza el flujo es elevada y relativamente constante a lo largo del intervalo de los valores de la descarga. El efecto de la traslación es desplazar el centroide del hidrograma de entrada a la posición del de salida. La cuantía del almacenamiento debido a los efectos aguas arriba depende de la velocidad de cambio del flujo a través del sistema. desplazando el centroide del hidrograma de entrada a la posición del de salida en un tiempo denominado tiempo de redistribución. la punta del caudal de salida. la misma es conducida y canalizada a través de un sistema de canales de drenaje. primero creciente y luego decreciente. los métodos de circulación de flujos con superficie libre horizontal pueden aplicarse.2. sin alterar el hidrograma. el caudal de salida se mantiene por encima del aporte a costa del almacenamiento. la mayor parte del aporte es almacenado dentro del sistema. En la mayoría de los canales de corriente. Si la escorrentía se produce a un ritmo que exceda la capacidad de almacenamiento del sistema de canales. o traslación. el canal queda sujeto a dos procesos que alteran su carácter. en los que el perfil de la superficie libre del agua puede estar significativamente curvada debido a los efectos aguas arriba. sobre todo en los de mucha longitud. Cuando el aporte disminuye significativamente. durante intensas tormentas. La escorrentía canalizada en los arroyos y ríos se mueve aguas abajo como una onda de flujo.Circulación de flujos 13 chos y largos. en un tiempo denominado tiempo de traslación. en el que la onda es atenuada por el almacenamiento del canal y del valle. Consecuentemente. la relación entre descarga y almacenamiento en el sistema. tiene lugar después de la intercepción de los hidrogramas de entrada y salida. Este fenómeno es dominante en torrentes montañosos rectos y de fuerte pendiente. El efecto del almacenamiento es redistribuir el hidrograma. En estos sistemas hay una relación entre el almacenamiento y el caudal de salida del sistema. A medida que esta onda se desplaza aguas abajo. habitualmente. En consecuencia. a la circulación de flujos con una relación variable. ya no es una función biunívoca. El primero es un proceso uniforme. En el caso de embalse. de flujo progresivo. la onda de flujo actúa de manera intermedia a las situaciones extremas descritas anterior- . tal como la expresión (10) del § 3. se eleva el nivel progresivamente.3 Almacenamiento y transmisión del flujo Una vez generada la escorrentía. sino que muestra un bucle de histéresis. como se indica en la Figura 4b.
actúa como un gran componente de almacenamiento. Tiempo de movimiento de la avenida.José Luis Ayuso Muñoz 14 mente. es la suma del tiempo de redistribución y de traslación (Figura 5c). b) Efecto de almacenamiento. a) Efecto de traslación simple o flujo progresivo uniforme. durante la onda de avenida. En este caso el tiempo total del movimiento de la avenida. distancia entre los centroides de los hidrogramas de entrada y salida. es decir. Durante las grandes avenidas el canal y el valle almacenan una parte considerable del volumen total de escorrentía generada en las laderas por los aguaceros intensos. una parte del agua se almacena en el canal y la onda se atenúa por el efecto de almacenamiento. Si se produce desbordamiento. mientras que el de traslación cambia su posición. el valle. y c) Efecto real de combinación de traslación y almacenamiento . a medida que la onda de flujo se desplaza aguas abajo. Puede concluirse en que el proceso de redistribución modifica la forma del hidrograma. Q Hidrograma de entrada Hidrograma de salida Tiempo de traslación t Tiempo de traslación b) Efecto de almacenamiento Q Hidrograma de entrada Hidrograma de salida t Tiempo de redistribución c) Efecto real de combinación de la traslación y almacenamiento Q Hidrograma de entrada Hidrograma de salida Tiempo de movimiento de la avenida t Figura 5.
por lo que el agua se estará almacenando en el embalse. Consecuentemente. La tasa de almacenamiento pasa a ser negativa. que ha de ser conocido). A partir del instante t1. Despreciando la posible pérdida o ganancia de agua en el transcurso del paso de la avenida por el embalse. La solución se obtiene resolviendo las ecuaciones (1) de continuidad para el flujo no permanente y la (10). representa el volumen almacenado por encima de la cota de coronación del vertedero (aliviadero) duran te la avenida. En consecuencia. y en consecuencia. el caudal de salida por el aliviadero y el almacenamiento como una función del tiempo. representa el volumen de almacenamiento evacuado. Este fenómeno se conoce como efecto laminador del embalse o laminación de la avenida por el embalse.Circulación de flujos 15 3. o diferencia entre los hidrogramas de entrada y salida. la tasa de almacenamiento (Figura 6b) crece desde cero hasta un máximo. estas técnicas se utilizan tanto en la fase de planificación como de proyecto de embalses para determinar la localización y capacidad de almacenamiento. El área bdca. dato de esencial importancia en la determinación del resguardo necesario para la presa y altura de la misma. por lo que.4 Circulación de flujos a través de embalses La aplicación de las técnicas de circulación de flujos al paso de una avenida a través de un embalse permite la determinación de: la altura de agua embalsada. Durante la primera porción de la onda de avenida. el problema planteado al circular una avenida por un embalse es determinar la relación entre el caudal de entrada al embalse. en la que se ilustra el caso típico de un embalse. excede al de salida Q. Estas técnicas comprenden el caudal de entrada al embalse (hidrograma de avenida. En este instante se alcanza el máximo volumen almacenado (Figura 6c).2). el caudal de salida a través del aliviadero de la presa (hidrograma de salida. En este caso los hidrogramas de entrada y salida serían como los de la Figura 6a. a determinar para unas características y dimensiones del aliviadero) y el almacenamiento en el embalse. período de tiempo entre t0 y t1. En esta primera parte. para anularse de nuevo cuando se igualan los valores de los caudales de entrada y salida. equivalente al área abdca. consecuentemente. el nivel máximo de crecida. especialmente en aquellos embalses de grandes dimensiones. relación invariable almacenamiento-caudal de salida en el caso de embalses con superficie libre horizontal (§ 3. el volumen total de agua ──representado por el área bajo los hidrogramas── permanecerá constante. el caudal de entrada I. el volumen almacenado y el caudal de salida por el aliviadero. el volumen desaguado estará siendo extraído del almacenamiento. El área defg. cuyo nivel se encuentra a la cota de coronación del aliviadero cuando se produce la onda de avenida. y el diseño de las estructuras hidráulicas de desagüe y aliviaderos. y el almacenamiento sobre la coronación del aliviadero comienza a decrecer (Figura 6c). . aunque el caudal punta se reduce y retrasa. el caudal de salida excede al de entrada.
1989.4.. también conocido como método de Indicación de Almacenamiento o de Puls modificado (Viessman et al. Cap. es el más empleado para circular una avenida a través de un embalse. es diferida y atenuada al entrar y difundirse sobre la superficie del mismo. El .José Luis Ayuso Muñoz Figura 6 16 Hidrogramas de entrada y salida. y almacenamiento en un embalse cuyo nivel se encuentra a la cota de coronación del aliviadero cuando se produce la avenida 3. Una onda de avenida que pasa a través de un embalse como el de la Figura 7.1 Método de la superficie libre horizontal Este método. 13).
serían Ii e Ii+1. de una estructura de desagüe que desembalse un caudal regulado. Niveles de embalse y zonas de almacenamiento para un embalse de uso múltiple Dividiendo el tiempo total en el que se quiere estudiar la evolución de la onda de avenida en intervalos de duración ∆t.2). Este método obtiene el hidrograma de salida de un embalse. respectivamente. es decir. o en caso de avenidas extremas por los aliviaderos de emergencia. el cambio en el almacenamiento.Qi + Qi+1 ∆t 2 2 (13) Si el embalse dispone. t=0. ABASTECIMIENTO O NAVEGACIÓN) PRESA Nivel mínimo ALMACENAMIENTO MUERTO O DE CONSERVACION Aliviadero principal Figura 7. nivel normal ALMACENAMIENTO ACTIVO (RIEGO. 1982 Cap.S i = I i + I i+1 ∆t . 3∆t. Resguardo mínimo Resguardo normal Coronación de la presa Aliviadero de emergencia o de demasias Nivel máximo de crecida Nivel cresta del aliviadero ALMACENAMIENTO EN SOBRECARGA ALMACENAMIENTO PARA CONTROL DE AVENIDAS Máx. despreciando la curvatura de la misma durante el paso de la onda de avenida. denominadas aliviaderos principales. se supone que la superficie libre del embalse es horizontal. ∆t. 2∆t. Si la variación del aporte y del caudal de salida en el intervalo es aproximadamente lineal. 9) la ecuación anterior se modifica a . al principio y final del intervalo i-ésimo de tiempo en el que se integra. Qr. Igualmente..∫ i∆t Q(t) dt (12) en la que los valores del aporte. además. e integrando la ecuación de continuidad (1). que se asume como relación invariable (§ 3. en cada intervalo de tiempo i. (i+1)∆t. i∆t. o a través de estructuras de desagüe. en el intervalo sería S i+1 . …. (Linsley et al. y los correspondientes del caudal de salida Qi y Qi+1. conocido el hidrograma de entrada y las características de la relación almacenamiento-caudal de salida.Circulación de flujos 17 agua almacenada en el embalse se evacua gradual y controladamente como caudal a través de conducciones que la llevan a las turbinas. se tendrá (i+1) ∆t S i +1 ∫ S i dS = ∫ i∆t (i+1) ∆t I(t)dt . constante.
también son conocidos porque son datos obtenidos en el cálculo del intervalo de tiempo precedente. calculando a continuación el valor de 2S/∆t+Q. Qr. ha de deducirse de las curvas de gasto. La relación entre la cota de la superficie libre del agua y el almacenamiento en el embalse ha de deducirse a partir de la cartografía mediante la planimetración del área encerrada dentro de las sucesivas curvas de nivel de los planos topográficos del vaso. constante. etc. aliviadero no controlado y desagüe regulado.Qi ⎟⎟ = ⎜ 2 i+1 + Qi+1 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ∆t ⎝ ∆t (14) El procedimiento de cálculo para obtener Qi+1 y Si+1.Qi ⎟ = ⎜ 2 i+1 + Qi+1 ⎟ ⎝ ∆t ⎠ ⎝ ∆t ⎠ (14a) cuya solución es idéntica a la (14). que pueden dejarse en el segundo miembro multiplicando la expresión (13) por 2/∆t y reordenando términos.∆t Qr 2 2 (13a) Para que la expresión anterior se satisfaga con suficiente aproximación. En la Tabla 1 se muestran las ecuaciones que relacionan la altura con la descarga para diversos tipos de aliviaderos y estructuras de desagüe. el intervalo de tiempo ∆t ha de ser lo suficientemente pequeño para definir el hidrograma con precisión. compuertas. dicha expresión. es decir.2 Q r + ⎜ i . y representándolo en el eje vertical de una gráfica con el valor de Q en el eje horizontal (Figura 8c). En el caso de la ecuación (13a). por ser ordenadas del hidrograma de entrada. Teóricamente ha de ser igual o menor que el tiempo de viaje de la onda de flujo a través del embalse. se aproxima a una línea recta. resultando ⎞ ⎛ S ⎛ 2 Si ⎞ ( I i + I i+1) + ⎜⎜ . como aliviaderos. cota de la superficie libre-caudal de salida. contiene dos incógnitas.S i = I i + I i+1 ∆t . Para un valor dado h. la ecuación (14) se transforma en ⎛ 2S ⎞ ⎛ S ⎞ ( I i + I i+1) . . excepto que tiene incluido el término Qr. y tan pequeño como para considerar que el hidrograma durante el período ∆t varía linealmente. conocido. En la expresión (13) se conocen los valores de Ii e Ii+1. azudes. se determinan los valores del almacenamiento S y del caudal de salida Q (Figuras 8a y 8b). Qi+1 y Si+1. El método alternativo sería emplear una función almacenamiento-caudal de salida que relacione 2S/∆t+Q con Q.José Luis Ayuso Muñoz 18 S i+1 . que relacionan la altura con la descarga. La segunda relación. como indica la Figura 8. cota de la superficie libre. Esta función se desarrollará a partir de las relaciones elevación-almacenamiento y elevación-caudal de salida.Qi + Qi+1 ∆t . sería generar pares de valores de prueba de Q y S que satisfagan la ecuación (14) y verificarlos posteriormente sobre la curva almacenamiento-descarga para confirmar la validez de los mismos. Este procedimiento de prueba sería tedioso y poco operativo. de las estructuras de desagüe. En consecuencia. Los valores de Qi y Si.
para las diversas posiciones o apertura de compuertas. al valor de 2Si+1/∆t+Qi+1. en cuyo instante empezará el vertido o desagüe por el mismo H Almacenamiento (b) H S Caudal de salida Q 2S ∆t +Q (c) Caudal de salida Q Figura 8 Desarrollo de la función Caudal de salida-Almacenamiento a partir de las curvas Elevación- Almacenamiento y Elevación-Caudal de salida . Así pues. Se requiere una familia de curvas de 2S/∆t+Q versus Q.1 se ilustra el procedimiento a seguir y se obtiene el hidrograma de salida en la Figura 10. la descarga será función de la carga o altura total (Tabla 1). que se calcula restando dos veces Qi+1. si las compuertas permanecen abiertas en una posición fija.Circulación de flujos 19 Si el embalse sólo dispone de aliviadero regulado por compuertas y están situadas en una determinada posición fija.4. (a) Elevación superficie del agua Elevación superficie del agua Si el nivel de la superficie libre está por debajo de la cota de coronación del aliviadero al comienzo de la entrada de la avenida al embalse. con lo que se conoce el valor de 2Si+1/∆t+Qi+1. Con este valor se puede obtener el correspondiente de Qi+1 entrando en la curva 2S/∆t+Q versus Q. también obtenido en el intervalo anterior. es decir ⎞ ⎞ ⎛ 2S ⎛ 2 Si . En el ejemplo 3. o bien interpolando linealmente si se conoce una tabla de valores. En el siguiente intervalo de tiempo se requiere conocer el valor de 2Si/∆t-Qi.Qi ⎟ = ⎜ i+1 + Qi+1 ⎟ . al calcular el flujo en el intervalo de tiempo i. La solución puede ser tratada como un embalse simple. calculado en el paso anterior. bien gráficamente. el agua se va acumulando en el almacenamiento hasta que alcanza dicha cota. se conocen todos los términos del lado izquierdo de la expresión (14).2 Qi+1 ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ∆t ⎝ ∆t (15) Así se procede durante los sucesivos períodos de tiempo.
m C = coeficiente de desagüe variable Q = caudal m / s 3 José Luis Ayuso Muñoz 20 . m C = coeficiente de desagüe variable Q = caudal m 3 / s H = carga total sobre coronación incluyendo la altura de velocidad de aproximación L = longitud efectiva de la coronación.H ha H H Rs ha ha TIPO DE ALIVIADERO 3/2 3/2 Q = Co ( 2 π R s ) H Q=CLH Q=CLH ECUACION 3/2 NOTACION H = carga total sobre coronación R s = radio de la coronación del vertedero C o = coeficiente relacionado a H y R s H = carga total sobre coronación incluyendo la altura de velocidad de aproximación L = longitud efectiva de la coronación.
2908 ( h / B ) + 0.865 para el régimen 0.0317 ( h / B ) ( h / p ) para el régimen 0. m H = carga total sobre la cresta del azud C = coeficiente de desagüe variable p = altura del azud B = longitud del azud en la dirección del flujo. m H 1 = carga total referida a la coronación. m L = longitud efectiva de la coronación.06 < h / B < 4.035 ( h / B ) + + 0. m NOTACION Circulación de flujos 21 .0 C = 0.0809 ( h / p ) . m C d = coeficiente de desagüe variable D = altura de la abertura W = anchura de la entrada.H2 ) 3 C = 0.06 < h / B < 0.759 + 0.40 0.6 0.0.0.55 Q=CL g ( Q = Cd W D 2 g H ECUACION C = coeficiente que varia con la disposición de la compuerta y el perfil de la coronación H 2 = altura total referida al borde superior de la abertura.08 < h / B < 0.ha p H H1 H B H2 L D TIPO DE ALIVIADERO 2 3/2 h) 3 Q= 2 3/2 3/2 2 g C L ( H 1 .074 ( h / p ) .08 < h / B < 5.
deberá optar por proyectar una estructura de desagüe estrecha y alta.5 3.0 347.937 3.0 212. Si quiere una gran atenuación del caudal punta en un embalse con una superficie libre pequeña.22 90.698 .0 1.5 5.140 0.0 0. El segundo es la naturaleza de la relación entre el almacenamiento y el caudal de salida (representado por la altura de la superficie libre por encima de la cota de coronación de la estructura de salida). se deduce que son dos los factores principales que controlan el efecto del embalse sobre el hidrograma de avenida.0 297. El primero es el área de la superficie libre.90 1.0 (2) Superficie libre (3) Almacenamiento (m) (Ha) 338. la forma de la curva de desagüe varía ampliamente.45 77.800 162.748 120.5 2.067 0.82 5.70 0.0 3.60 0.0 30.0 140.5 1.0 5.571 0.0 35.0 112.42 161.0 348.0 165.20 (7) Q 3 (m /s) 0.0 343.453 12.5 6.0 353.620 49.0 346. Ejemplo 3.almacenamiento y curva de gasto del aliviadero se dan en la Tabla 2.0 13.20 0.332 2.0 350.0 80.608 7.0 342.52 16. Si la estructura de salida es un canal natural. Tabla 2 Funciones: Elevación-Superficie libre Elevación-Almacenamiento (1) Elevación HIDROGRAMA DE ENTRADA (4) (5) Tiempo I (Hm ) (h) (m /s) 0.476 6.0 356.10 0.797 1.4.386 0.0 344.594 23.42 66.José Luis Ayuso Muñoz 22 De lo expuesto. la relación almacenamiento-caudal de salida.0 4.1 El nivel de la superficie libre de un embalse.0 0.0 351.0 0. que controla el volumen de almacenamiento para un cambio de elevación dado.85 105.10 1. Si en estas condiciones llega una avenida al embalse. que obligará al volumen de avenida a acumularse hasta una cota elevada en el embalse antes de ser evacuado.0 4. obtener el hidrograma de salida por el método de la superficie libre horizontal.0 2.0 341.5 4.0 349.0 355.0 6.80 0. cuya relación elevación. proyectará un azud bajo y ancho como estructura de desagüe. se encuentra a la cota 355.830 2.02 20. si desea que la onda de avenida pase a través del embalse con relativamente poca atenuación.40 0. Así. puede establecerse de modo que se ajuste a los propósitos del proyectista.5 8.0 0. cuyo hidrograma también se da en la Tabla 2.3 340.22 121.38 3 3 CURVA DE DESAGÜE (6) Elevación sobre coronación aliviadero (m) 0.416 1.461 100.35 24.50 0.780 65.136 35.82 30.655 4.18 136. Sin embargo.5 7.0 285.30 0.438 82.389 0.00 1.75 8.896 9.0 352.02 45.0 5.95 37.400 208.076 1.217 140.247 0.495 5.0 2.0 354.00.0 345.72 12.0 5.024 0.0 5.0 357.0 55.0 7. cota de coronación del aliviadero de emergencia.0 270.93 54. en estructuras de desagüe controladas artificialmente.0 216.0 75.
800 162.10 m.89 1.426 1.231.228 125. resultando Q2 = 0 + 4.01 284.84 744.370 0.50 0.3 355.755 0.30 0.174 8. Como el volumen de almacenamiento viene dado en la Tabla 2 para cotas que varían de metro en metro. de modo que ∆t ═ 1. así como el caudal de salida.245 0.105 7.22 903. En la Figura 9 se representa la función elevación-almacenamiento.30 0. Se ha de establecer la curva 2S/∆t+Q frente a Q.2 355.9 356.978 7.01 − 0 .746.00 1.752 127.136 35.018 1.90 1.372 134. La propagación de la avenida por el embalse se lleva a cabo usando la ecuación (14).0 355.10 0.608 6.800 130.00 de coronación del aliviadero.885 1.80 0. aliviadero (m) S 3 (Hm ) 0. Para ello.626 7. Por lo tanto 2S1/∆t+Q1 ═ 0 también.453 − 0 (40 − 0) = 1.233 7.20 1.494 7.48 El valor de Q2 se obtiene por interpolación lineal en la tabla de valores 2S/∆t+Q versus Q.625 0.0 356. se realiza la Tabla 3.034 8.324 131.708 3 Caudal de desagüe 2S/∆t+Q Q (m3/s) (m3/s) 0.40 0. Los valores de aporte son.1 356.25 587.Q1 ⎟ = + Q2 I1+ I2 +⎜ t ∆ ⎠ ∆t ⎝ 5 + 35 + 0 ═ 40 m3/s Tabla 3 Desarrollo de la función Almacenamiento-Caudal de salida: 2S/∆t + Q versus Q Elevación Superficie libre Volumen almacenado h (m) A (Has) (Hm ) 355. 4.217 140. una vez conocido el valor 2S2/∆t + Q2.106.288 1. ya que el embalse se encuentra lleno a la cota de coronación del aliviadero y el almacenamiento sobre dicha cota es nulo. en la que se parte de la cota de la superficie libre inicial que es 355.780 65. 0.2 356. la de coronación del aliviadero en este caso. 140. es necesario interpolar linealmente para obtener el almacenamiento a incrementos de 0.461 100.22 1.440 185.908 6.122 0.20 0. En el primer intervalo de tiempo S1 = Q1 = 0. El valor de la función almacenamiento-caudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula de la ecuación (14) ⎞ 2 S2 ⎛ 2 S1 .400.363 7.6 355.497 0.453 12. a partir de la cota 355.82 434.09 1.853 6.760 7.00 m.79 1.925.566 1.4 355.063.896 136.276 128. por encontrarse el embalse lleno.916 141.800 s.3 121.086 208.620 49.10 1.594 23.88 1.698 0.152 1.848 133.5 355.86 1.70 0.91 1.217 m3 /s 140.896 8. I1 ═ 5 m3/s e I2 3 3 ═ 35 m /s.571.Circulación de flujos 23 Solución: El hidrograma se especifica a intervalos de 30 minutos.420 138. 0. la curva de desagüe del aliviadero y la función almacenamiento-caudal de salida anteriormente obtenida.316 Elevación sobre coronación aliviadero Almacenaje disponible sobre coron.7 355.8 355.438 82.412 143.180 122.730 6. de modo que (I1 + I2) ═ 5 + 35 ═ 40 m /s.1 355.748 120.704 124.60 0.
se obtiene usando la ecuación (15) ⎞ ⎞ ⎛ 2S ⎛ 2 S i+1 .73 1.272 = 37.09 40.5 3.910 131.105 59.Q2 de la columna 5 de la Tabla 4.0 0.997 169.158 112.46 m3 /s ⎜ ⎠ ⎠ ⎝ ∆t ⎝ ∆t En el siguiente intervalo se procedería de manera análoga.086.José Luis Ayuso Muñoz 24 El valor 2S2/∆t .08 1.381.86 1.0 2.852.248.95 586.516.51 1.95 1.48 1.5 8.5 2.08 1. Los valores de las columnas (2) y (3) son valores conocidos del hidrograma de entrada.108.801.163 188. Se entra en la curva 2S/∆t + Q versus Q. columna (7).948.51 1. 5.48 1. a partir de la relación 2S/∆t+Q versus Q.40 1.0 37. para hallar el valor de Q2.5 4.00 147.26 967.19 1.384 43.5 7.0 3.693.498.72 672.30 847.49 1.462. Repetir los pasos 3 a 6 hasta generar el hidrograma de salida completo.72 317.327 84.572.0 5. El procedimiento puede resumirse en la Tabla 4 como sigue: 1.0 7.501. Sumar el valor de la columna (5) al valor de la columna (4).30 837. Se halla de nuevo el caudal de salida.30 916.772 175. La columna (4) es el resultado de la suma Ii + Ii+1 de la columna (3).5 5.0 5 35 75 140 215 285 297 270 216 165 112 80 55 30 13 5 5 .5 6.333.49 1.272 4.73 1.0 4.46 352.5 1. con el valor conocido de 2S2/∆t2 + Q2. 4. 3.953.2 Q 2 = 40 − 2 × 1.466 91.151.Qi +1 ⎟ = ⎜ 2 + Q 2 ⎟ .892 155.978 74.0 6.26 985.19 1.46 137.30 1. que se necesita para la siguiente iteración.234. y poner el resultado de la columna (6) como valor para el nuevo intervalo de tiempo considerado 6.379 188.575.40 1. Tabla 4 Circulación de la avenida a través del embalse (1) Intervalo (2) Tiempo i (3) Aporte I 3 (m /s) (4) Ii+Ii+1 (5) 2Si/∆t-Qi (6) 2Si+1/∆t+Qi+1 (m /s) 3 (m /s) 3 (m /s) (7) Caudal de salida Q 3 (m /s) 40 110 215 355 500 582 567 486 381 277 192 135 85 43 18 10 0. Del valor de la columna (6) se resta el doble del valor de la columna (7).786 134. para calcular el valor de 2Si/∆t – Qi de la columna (5).86 1. 7.0 1.872 17.09 1. 2.868 3 (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0.
2 1. Relaciones elevación-volumen almacenado.1 1.9 0.4 1.0 0.3 1.7 0.2 0.4 0. y almacenamiento en el embalse-caudal de salida .8 0.5 0.6 0.3 0.1 0.0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 160 180 200 220 Caudal de desagüe (m 3/ s) c) Almacenamiento-caudal de salida Almacenamiento 2S / ∆ t +Q (m 3/s) 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 20 40 60 80 100 120 140 Caudal Q ( m 3/ s) Figura 9. curva de gasto del aliviadero.Circulación de flujos 25 Elevación (m) a) Función elevación-almacenamiento 358 357 356 355 354 353 352 351 350 349 348 347 346 345 344 343 342 341 340 339 338 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 Volumen almacenado (Hm ) Calado sobre coronación (m) b) Curva de desagüe del aliviadero 1.
obtenido interpolando linealmente en la Tabla 2 de valores de la curva de desagüe. puede establecerse un método alternativo al anteriormente descrito resolviendo la ecuación de continuidad (1) mediante un método numérico como el de Runge-Kutta. puesto que el almacenamiento también se hace máximo en dicho instante y que existe una función biunívoca que relaciona el almacenamiento y el caudal de salida. y se aproxima más a la hidráulica de la circulación de flujos a través de embalses. El calado máximo del agua sobre la coronación del aliviadero resulta ser de 1. Se observa que la punta de avenida es de 297 m3/s. con mucho. pero. el más útil y empleado es el de cuarto orden (Press et al. y que el embalse lamina la avenida reduciendo la punta de salida a 188.8 m3/s y retrasando su ocurrencia hasta las 4. 350 300 Hidrograma de avenida Caudal ( m 3 /s ) 250 200 Hidrograma de salida 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 Tiempo ( h ) 6 7 8 9 Figura 10.4.216 m. Hidrogramas de avenida y de salida por el aliviadero 3. para un valor de Q ═ 188. La ecuación de continuidad puede expresarse como dS = I (t ) .2 Método de Runge-Kutta Para la circulación de avenidas a través de embalses bajo el supuesto de superficie libre horizontal. Este método no requiere el cálculo de la función especial 2S/∆t+Q versus Q..4. Como se ha indicado en el epígrafe 3.5 h.772 m3/s.Q( y ) dt (16) .José Luis Ayuso Muñoz 26 En la Figura 10 se representan los hidrogramas de avenida y de salida por el aliviadero. Existen diversos órdenes de esquemas de Runge-Kutta. el caudal de salida se hace máximo en el punto donde se igualan los hidrogramas de avenida y de salida. ocurriendo a las 3 horas. 1986).
obteniendo el valor de la función al final .. Q(y): Descarga evacuada por el aliviadero o estructura de desagüe. calculadas numéricamente en el punto (tn. las derivadas sucesivas de la función.. El cambio en el volumen. originado por la variación en la cota de la superficie libre. mediante un desarrollo en serie de Taylor. y n) + f ′′′(t n . determinada por la carga o calado.Q( y ) = dt A( y ) (18) que es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. para cuya solución numérica hay que conocer la condición de valor inicial. la ecuación (16) puede ponerse de la forma siguiente: A(y)dy = I (t ) . una vez en el punto inicial.. dy. por ser ésta la precisión. Despreciando a partir del quinto término inclusive. ∆t. yn). y n) y n+1 = y n + ∆t f ′(t n ... El método de Runge-Kutta aproxima el valor de la función y sobre un intervalo de tiempo. I(t): Aporte que entra al embalse. dos veces en los puntos medios de prueba y una vez en el punto final de prueba.Circulación de flujos 27 en donde S: Volumen de agua almacenado. yn el valor de la variable dependiente en tn.. tn (por ejemplo a intervalos de tiempo prefijados). y n) 1! 2! m! (19a) expresión en la que yn+1 representa el valor de la variable dependiente en el punto tn+1. y n+1 = y n + ∆t ∆ t2 ∆ tm m f ′(t n . En consecuencia. será: dS = A(y) dy (17) en la que A(y) es la función que expresa el área de la superficie libre a la cota y. t3. en el segundo miembro de la ecuación (19a) se obtiene ∆ t2 ∆ t3 f ′′(t n . t2. y n) + 0 (∆ t 5) 4! (19b) que es la aproximación de Runge-Kutta de cuarto orden. función del tiempo. dS. y n) + f ′′(t n . . yn). en la que el término de error será 0 (∆t5). Este método numérico requiere cuatro evaluaciones de la derivada en cada paso o intervalo de tiempo ∆t..Q( y ) dt de donde dy I (t ) . en la que y se conoce en un punto inicial t0 y se desea hallar el de y en el punto final tf.. o en una serie de puntos discretos t1. y f'(tn. y n) + 2! 3! ∆ t 4 IV + f (t n . y n) + . + f (t n .
h n + ∆ t 3 ) 1 tn t n+1 y h n+1 = h n + h n+1 2 3 hn ) 1 tn h n+ t n+1 ∆h2 y h n+ ∆ h1 = ∆ t f ' ( t n .∆y2. a partir de dichas derivadas. La Figura 11 ilustra la idea y desarrollo del procedimiento. hn + ∆ h1 2 t n+ ∆ t 2 y t n+1 t ∆ h3 ∆ h2 3 Pendie nte = ∆ t ∆ h3 = ∆ t f ' ( t n + 2 hn ∆t 2 . se definen cuatro valores aproximados ∆y1 . ∆y3 e ∆y4. En el intervalo ∆t. h n ) t ∆ h1 6 + ∆ h2 3 + ∆ h3 3 + ∆ h4 5 4 1 tn t n+ ∆ t 2 t n+1 t Figura 11. y ∆h 1 ∆t te = ien nd e P hn 1 t n+ ∆ t 2 ∆t tn t t te = ∆ dien Pen ∆h 2 ∆ h2 = ∆ t f ' ( t n + 2 hn ∆t 2 . hn + ∆ h2 2 1 t n+ ∆ t 2 tn t n+1 t y ∆ hn te = ∆ t Pendien h n+ ∆ h 3 hn 4 ∆ h4 = ∆ t f ' ( t n + ∆ t . Esquema de Runge-Kutta de cuarto orden 6 ) .José Luis Ayuso Muñoz 28 del intervalo ∆t.
412 340.180 127. estando dado el valor de yn+1 por ∆ y1 ∆ y 2 ∆ y 3 ∆ y 4 + + + y n+1 = y n + (21) 6 3 3 6 En el Anexo I se muestra el diagrama de flujo para la resolución de la ecuación diferencial por el método de Runge-Kutta de cuarto orden.450 121.0 270. necesario para ejecutar el programa es: 353.0 0. siendo la cota de nivel máximo normal 353.0 165. yn+∆y2/2) y (tn+∆t. 5 2.0 5. Solución: Se obtiene el hidrograma de salida mediante la aplicación del programa PRAVEM. yn+∆y1/2).0 112.3 343.0 344.Q( y ) = dt A( y ) en los puntos (tn.0 4.372 141.4. aproximada por ∆y/∆t.Circulación de flujos 29 El valor de la pendiente dy/dt.0 75.752 131. (tn+∆t/2.950 66.420 1.8 356.DAT. yn+∆y2).980 341.0 45.896 143. se evalúa primero en (tn.2 Emplear el método de Runge-Kutta de cuarto orden para circular la avenida del ejemplo 3. yn+∆y2/2) = ∆t·f'(tn+∆t. yn+∆y3).350 349.0 90. yn+∆y3).0 350.5 355.0 346.750 345. yn+∆y1/2) = ∆t·f'(tn+∆t/2. yn).2 124.530 30.0 355. y se da el programa escrito en FORTRAN 77.820 16.020 77.0 80.0 285.276 133.3 2.0 347. y finalmente en (tn+∆t.324 356.850 355.0 351.820 54. (tn+∆t/2.820 24.50 m. y en (tn+∆t/2. yn+∆y1/2). realizado en FORTRAN 77 de acuerdo al diagrama de flujos del Anexo I para el desarrollo del método de Runge-Kutta.0 355.0 8.9 356.0 42. encontrándose el embalse en este nivel al producirse la avenida.0 17 0.1 355.0 348.0 5. yn+∆y3) (20a) (20b) (20c) (20d) Expresiones en las que f' denota el valor de la derivada dy I (t ) . EMBALSE.0 297.5 5.0 216.0 3.1 por el mismo embalse.2 355.0 5. El archivo de datos.220 122. yn).0 355.0 8.0 2.020 37. yn) = ∆t·f'(tn+∆t/2.0 12.5 140.5 4.848 138.916 . luego en (tn+∆t/2.0 5.0 136.930 353.0 0.420 105.0 30 338.228 355.704 128.220 125. Ejemplo 3.. teniéndose ∆y1 ∆y2 ∆y3 ∆y4 = ∆t·f'(tn.4.5 3.0 354.0 215.800 134.7 356.5 15.6 130.0 355.5 35.0 352.4 355.3 355.0 1.0 20.1 8.
708 355.29 83.780 0.) Elevación (m.440 y el hidrograma de salida resultante.José Luis Ayuso Muñoz 15 0.2 30 0.0 12.6 65.3 0.81 64.) Caudal 3 (m /s) 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 353.71 104.0 35.539 354.763 354.593 355.217 1.95 77.324 354.1 23. por lo que la precisión obtenida será mayor que en aquél.195 355.1.80 90.4 232.17 97. 350 300 Caudal (m 3/s) 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tiempo (h) Figura 12.7 1.537 353.36 95.520 355.96 72. tras ejecutar el programa se muestra en la Tabla 5 Tabla 5 HIDROGRAMA DE SALIDA Tiempo (min.726 355.28 58.453 0.718 353.511 353.4.555 355.0 0.0 0. Hidrogramas de avenida y salida por el aliviadero 9 .461 162.0 0.88 48.136 82.0 0.086 0.5 49.0 0.236 0.4 0.2 12.985 355.698 0.75 53.0 0.817 355.15 32.488 87.) Elevación (m.798 355.578 353.965 354.829 355.0 0.817 355.748 185.743 355.0 0.438 1.8 1.636 353. menor que el utilizado en el ejemplo 3.15 106.377 355.51 255 270 285 300 315 330 345 360 375 390 405 420 435 450 465 480 355.3 208.831 355.9 120.70 106.594 0.09 Puede observarse que el incremento de tiempo considerado ha sido de 15 minutos.08 100.0 0.0 0.642 0.773 355.0 0.800 1.35 104.783 355.46 70.527 355.0 140.620 100.132 354.632 355.39 52.) Caudal 3 (m /s) Tiempo (min.671 355.827 353.0 0.1 4.
En consecuencia. existe un almacenamiento en cuña (por encima del almacenamiento en prisma y limitado por la superficie libre del agua). y el método hidrológico empleado para estudiar la evolución de una onda de avenida. el caudal de entrada en la sección aguas arriba. En un tramo de un río o canal. siempre excede al de salida en la sección aguas abajo.4. 3. que tiene lugar a los 300 minutos (5 h) de iniciarse la avenida. un almacenamiento en cuña positivo. I-Q Almacenamiento en cuña = K x ( I . por consiguiente. cuando exista régimen permanente. dado que el nivel del embalse se encontraba a una cota de 1. resultando un almacenamiento en cuña negativo.5 Circulación de flujos a través de canales abiertos En el caso de un embalse (§ 3. usaba una relación no lineal entre el almacenamiento y el caudal de salida del tipo S ═ f(Q). lo que implica la existencia de un volumen inicial disponible para el almacenamiento o control de la avenida. durante la fase de recesión. cuando son iguales el caudal de entrada en la sección aguas arriba y el de salida en la sección aguas abajo. . es un bucle (Figura 4. el caudal de salida excede al de entrada. es decir.70 m3/s. Únicamente puede relacionarse S y Q mediante una simple función lineal. Figura 13. durante el paso de una avenida.Circulación de flujos 31 El caudal punta de salida resulta ahora de 106. Almacenamiento en prisma y cuña en un tramo de canal Durante el avance de una onda de avenida. no hay una relación simple entre el almacenamiento S y el caudal de salida Q. además del almacenamiento en prisma (almacenamiento por debajo de una superficie paralela a la solera del canal).1) el almacenamiento activo constaba únicamente del almacenamiento en prisma debido al supuesto de horizontalidad de la superficie libre del agua. habitualmente.Q ) Q Almacenamiento en prisma = K Q Q Figura 13.50 m. Existe una sensible disminución en la punta y calado máximo y un retraso respecto al caso anterior. En cambio. como en el caso de un embalse. produciéndose. y un calado sobre la coronación del aliviadero de 0. por debajo de la coronación del aliviadero. En la Figura 12 se representan los hidrogramas de entrada y salida. la curva resultante.b) por ser una relación variable.831 m. Si se representa el almacenamiento dentro del tramo de canal frente al caudal de salida.
. y conocida como ecuación de Muskingum. Dada su simplicidad.1 Método de Muskingum Asumiendo que el área de la sección transversal del flujo de avenida es directamente proporcional a la descarga en la sección.x) Q ] (23) que representa un modelo lineal para circulación de flujos en canales. debido a que los resultados del método son relativamente poco sensibles a la variación de este parámetro. conocido como factor de almacenamiento. Para representar el movimiento de una onda de avenida en un tramo de río o canal. y varía.José Luis Ayuso Muñoz 32 indicando mayor almacenamiento para un caudal dado durante la fase de crecida que durante la fase de recesión de la avenida. 3.2. Con x = 0 no existe cuña. El examen de la Figura 14 muestra el comportamiento de la onda de avenida originado por cambios en el valor del parámetro x. En canales naturales. el volumen del almacenamiento en prisma será igual a K⋅Q.. el modelo conceptual empleado en el caso de embalses resulta claramente inadecuado.5. Por consiguiente. resultando un modelo de embalse lineal S ═KQ. S = K Q + K x( I − Q) (22) Resultando una función lineal ponderada del aporte I y del caudal de salida Q. obteniéndose la relación básica del modelo de Muskingum (Dooge et al.5 (0 ≤ x ≤ 0. siendo x un factor de ponderación comprendido entre 0 y 0. El valor de x depende de la forma del almacenamiento en cuña. como se ha dicho. del Cuerpo de Ingenieros de EE. para estudiar la propagación de avenidas en canales naturales y ríos. el almacenamiento total será la suma de los dos componentes. Expresión que fue desarrollada por McCarthy.UU.5 para una cuña completa. y tiene un valor razonablemente próximo al tiempo de viaje de la onda de avenida dentro del tramo del canal. tiene las dimensiones de tiempo. Se procede a establecer un modelo conceptual de dos parámetros. siendo K el coeficiente de proporcionalidad. este modelo es el más ampliamente usado. x varía entre 0 y 0. El volumen del almacenamiento en cuña será igual a K⋅x(I-Q).5). no teniendo lugar los efectos aguas arriba (caso del supuesto de horizontalidad de la superficie libre en embalses).3. con un valor medio en torno a 0. El parámetro K. entre los diversos modelos existentes. Se observa que la onda de avenida . No se necesita gran precisión a la hora de determinar el valor de x. en el año 1939. que puede expresarse como S = K [x I + (1 . para almacenamiento tipo embalse y 0. 1982). entre cero. al asumir que el almacenamiento S es una función lineal del aporte I y del caudal de salida Q.
C1 y C2 son coeficientes funciones de K.x)(Qi+1 . Cuando x ═ 0.Qi )] (26) El cambio en el almacenamiento también puede expresarse usando la ecuación de continuidad (13).Circulación de flujos 33 resultante en el extremo aguas abajo está generalmente descrita por la cuantía de la traslación ─es decir. pueden ponerse. x = 0. al principio y final del incremento de tiempo considerado.I i ) + (1 .5 I Q x = 0.x) Qi+1] con lo que el cambio en el almacenamiento durante el intervalo ∆t será S i+1 .Qi )]⎫ ⎪ ⎬ Qi + Qi+1 I i + I i+1 ∆t ∆t S i+1 . en la que C0. con lo que se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Figura 6. Efecto del factor de ponderación x Considerando un intervalo de tiempo ∆t. los cuales se suponen constantes a lo largo del intervalo de valores del flujo.x) Qi ] y (25) S i+1 = K [x I i+1 + (1 .S i = ⎪ 2 2 ⎭ (27) cuya resolución da Qi +1 = C 0 I i +1 + Ci I i + C 2 Qi (28) que es la ecuación para la circulación de flujos por el método de Muskingum. Caudal (m 3/s) Para la aplicación del modelo hay que conocer los valores de los parámetros K y x.S i = K [x( I i+1 .S i = K [x( I i+1 .0 Tiempo t Figura 14. Qi+1. el tiempo lag─ y por la cuantía de la atenuación o reducción en la punta de la descarga.x)(Qi+1 . como (24) S i = K [x I i + (1 . y Si+1 S i+1 .I i ) + (1 . los valores del almacenamiento.5 resulta una traslación. respectivamente. x y del intervalo de tiempo discretizado ∆t .
2) método de los momentos. usando datos registrados de aportes I y caudales de salida Q. 3) programación lineal. como el valor de Qi para el siguiente incremento de tiempo. simplemente.x) + ∆t 2Kx(1 . dos pasos: calibración y predicción. depende de los parámetros K y x. para sucesivos incrementos de tiempo. No existiendo una neta superioridad de alguno de los métodos anteriores sobre los restantes. se van a exponer dos métodos gráficos que por su facilidad y sencillez son los más empleados. Puesto que Ii e Ii+1 son conocidos para cada intervalo de tiempo ∆t. la propagación de la avenida se realiza resolviendo la ecuación (28). en la aplicación de la ecuación (28). puede determinarse el valor del parámetro x. Por último.x) + ∆t ∆t + 2Kx C1 = 2K (1 . La aplicación del modelo de Muskingum comprende. Para la calibración de dichos parámetros distinguiremos entre: a) Canales aforados. . El ejemplo 3.x) + ∆t C0 = (29) (30) (31) siendo C0 + C1 + C2 = 1. básicamente. Como ya ha sido analizado (§ 3. usando el valor de Qi+1 calculado. 1980) como. y el de salida Q. En corrientes o tramos de canales aforados. en el tramo considerado.4). los parámetros K y x se determinan a partir de hidrogramas de entrada y salida conocidos.José Luis Ayuso Muñoz 34 ∆t . El procedimiento de calibración se centra en la identificación de los parámetros del modelo K y x.5.1 ilustra este cálculo fila por fila. Determinación de los valores de K y x La precisión del modelo de Muskingum. 1) mínimos cuadrados o su equivalente el método gráfico.x)∆t C2 = 2K (1 .2Kx 2K (1 . la predicción con el modelo consiste. y 4) optimización directa. En el Anexo I se muestra el diagrama de flujo para la resolución de la ecuación (28) y se da el programa escrito en FORTRAN 77. empleando diversos métodos que utilizan técnicas de ajuste de curvas (Singh y McCann. del hidrograma de entrada. Conocido el hidrograma de entrada I. que relacionan el volumen de almacenamiento en el tramo del canal a los caudales de entrada I y de salida Q. el almacenamiento S alcanza un máximo en el instante en que se interceptan ambos hidrogramas.
Teniéndose (De Wiest. para cada intervalo de tiempo. a partir de la ecuación de continuidad (27) . Determinación gráfica del valor de x El procedimiento más utilizado para determinar los parámetros K y x consiste en establecer diversos valores de x. 1965 Cap. denotan los valores de las pendientes de las tangentes a los hidrogramas de entrada y salida en el punto de intercepción C. en el sistema de ecuaciones (27). 1/2). que sustituidos en (34) permiten estimar el valor del parámetro x.Circulación de flujos 35 punto C de la Figura 15. y mediante el empleo de los valores conocidos del caudal de entrada I. Los valores del numerador se pueden obtener. calcular los valores del numerador y denominador de la siguiente expresión de K K= S i+1 x I i+1 + (1 .x) Qi+1 (35) obtenida de (25). Caudal Q I C Q Tiempo t Figura 15. La sustitución del valor de x. da lugar a la determinación del parámetro K. así determinado. 2) que dS =0 dt (32) Diferenciando la ecuación (23) se obtiene 1 dS dI dQ = x + (1 − x) K dt dt dt (33) Combinando (32) y (33) se obtiene ⎛ dI ⎞ ⎛ dQ ⎞ x⎜ ⎟ = − (1 − x)⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ c ⎝ dt ⎠ c (34) en donde (dI/dt)c y (dQ/dt)c. y salida Q. en el intervalo (0.
generalmente.5.): 3 Aporte I (m /s): 12 115 1 2 3 4 45 130 340 575 13 70 14 30 5 6 7 8 9 10 11 680 690 640 550 425 290 170 15 22 300 250 Hidrograma de entrada Caudal (m 3/s) 200 Hidrograma de salida 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Tiempo (h) Figura 16. Hidrogramas de entrada y salida 16 18 20 .): 3 Aporte I (m /s): 0 22 Tiempo (h. en el eje de ordenadas. Ejemplo 3. siendo el valor de x para el tramo de canal considerado. siendo el valor de K. de un tramo de un río.José Luis Ayuso Muñoz 36 S i+1 = S 1 + I i + I i+1 ∆t . la pendiente de dicha línea. Determinar: a) los parámetros K y x de Muskingum para el tramo del río y b) el hidrograma de salida en la sección B. en el eje de abscisas. ya que numerador y denominador están linealmente relacionados por la ecuación (35). que comenzó a las 0 horas.5. respectivamente. si un aguacero diferente produjese el siguiente hidrograma: Tiempo (h. frente a los del denominador.Qi + Qi+1 ∆t 2 2 Representando los valores del numerador así obtenidos.1 Un aguacero. para cada valor estudiado de x.1 ilustra este procedimiento. en dos secciones A y B. El ejemplo 3. una gráfica en forma de bucle. el que se ajuste más a una representación lineal (bucle más estrecho). se produce. dio lugar a los hidrogramas de entrada y salida de la Tabla 6.
70 164.Circulación de flujos 37 Solución a) Determinación de los parámetros K y x Mediante la aplicación de la ecuación (35) se calcula el valor del parámetro K. a partir de los valores conocidos de I y Q en los instantes finales de cada intervalo para diversos valores de x.0 3 57.0 214.5 10 275.022.20 109.0 9 292.00 518.60 222.75 1. Finalmente.0 14 108.4 152.5 65.65 216.5 25.40 35. En la Tabla 6 se muestra el proceso seguido para determinar los valores de K y x.00 406.25 33.80 53.00 .00 25.485.00 25.25 1.5 18 37.50 842.20 34.182.20 177.6 198.20 66.00 176.5 51.8 268.5 19 31.0 5 143.600.55 254.5 6 206.00 89. En las columnas 5 y 6 se obtienen los valores medios del caudal de entrada y salida para cada intervalo de tiempo. en las columnas 8 a 10 se calculan los valores de xIi+1+(1-x)Qi+1.40 114.75 271.0 11 236.0 16 62.5 116.90 154.5 15 81.55 207.65 249.75 129.4 97.2 62.4 144.0 217.4 55.2 274.0 50.30 113.0 8 290.0 271.6 41.5 7 261.75 1. en el entorno 0 a 0.25 0 25.80 216.50 47.585. En la columna 7 se calcula el almacenamiento acumulado en el tramo considerado al final de cada intervalo.40 184.75 1.0 247.45 272.5 35.5 17 48.00 85.25 253.0 S I +1 = S I + xI I +1 + (1− x)QI +1 3 (m /s) ( I − Q) ∆t 3 (m /s) x=0.8 93.00 1.75 41.50 48.40 67.0 259.30 26.5 268. Tabla 6 Hidrogramas conocidos 3 (m (s) Tiempo Entrada Salida (h) I Q 0 25 25 1 32 26 2 45 30 3 70 40 4 112 60 5 175 93 6 238 140 7 285 194 8 295 240 9 290 267 10 260 275 11 213 262 12 165 233 13 123 195 14 93 156 15 70 122 16 55 95 17 42 74 18 33 57 19 30 45 20 25 37 I + I I +1 I= I 2 3 (m /s) QI + QI +1 2 3 (m /s) Q= 1 28.15 x=0.25 272.2 72.90 27.40 51.6 30.50 44.0 20 27.00 10.4 191.8 26.50 1.5 139.00 106.00 277.445.00 779.05 x=0.4 242.5 108.5 12 189.5.4 119.5 76.75 32.5 167.00 57.6 36.75 1.50 277.5 253.0 4 91.80 73.5 84.60 67.5 2 38.10 105.15 270.55 140.5 13 144.85 146.274.75 248.2 44.5 41.4 229.0 175.5 28.25 42.25 572.
0 3.15) + 1 2 × 1.José Luis Ayuso Muñoz 38 En la Figura 17 se representan las curvas de S versus xI+(1-x)Q.5 s ≈ 1. En efecto. se cumple que 1 h < 1.El valor de K.0 0.0 15.15 = 0. Para el primer intervalo.0 2.600. pendiente de la recta.0 4.0 550.0 12.15 22.15) + 1 1+ 2 × 1.0 70.3793 C1 = 2 × 1.0 1.1133 2 × 1. es la correspondiente al valor de x = 0. Se muestra el archivo de datos EJER351.0 7. la solución de la propagación de la avenida dada por el hidrograma I. la onda podría pasar el tramo en dicho período.0 680.465.8 × 0.5074 C2 = 2 × 1.0 8. nunca sea mayor que el tiempo de viaje de la onda de flujo ya que.0 575.8 16 0.8 × (1 − 0. en este caso.15) + 1 C0 = En la Tabla 7 se muestra el proceso de cálculo.15 = 0. realizada mediante la ejecución del programa MUSKING (Anexo I).1133 × 45 + 0.5074 × 22 = 24. x = 0. valor comprendido entre 2Kx = 0. observándose que la que más se aproxima a una recta.8 × 0. b) Determinación del hidrograma de salida en la sección B.DAT necesario para ejecutar el programa MUSKING 1. tendrá dimensiones de tiempo.75 .15. estará dada por la ecuación (28) Qi+1 = C0 Ii+1 + C1 Ii + C2 Qi en la que los valores de los coeficientes son: 1 − 2 × 1.2 × 103 m3 = 6.0 5. En general se recomienda tomar un valor de ∆t comprendido entre 1/2 y 1/3 de K.0 22.3793 × 22 + 0. En efecto.0 45. Conocidos K =1.8 × (1 − 0.8 × 0.0 640.8 h ( 272.8 h.0 425.0 290. Así se tendrá Q2 = C 0 I 2 + C1 I 1 + C 2 Q1 = 0. el intervalo de tiempo empleado ha sido de 0.61 m 3 s A continuación se da la solución al hidrograma de salida en la sección B.0 340.0 22. En consecuencia ∆t < K.54 h. conocido en la sección de entrada A.0 130.0 30.0 10.75 horas.8 × (1 − 0.0 ) m3 /s que es aproximadamente el tiempo de viaje de la onda de avenida a través del tramo del río.0 115.0 170.0 11.0 13. el caudal de salida se determina usando los valores de I1 e I2 de la Tabla 7.8 h .0 690.8 h.85 − 1 = 0.0 9.0 14. Se ha de cumplir que el intervalo de tiempo empleado. el valor de K será: K = 1. Puesto que el programa permite interpolar entre los valores del hidrograma de entrada.25.0 6.15 y ∆t = 1 h. y K =1.0 . ∆t.
95 1.50 600.52 65.97 126.00 425.47 55.75 208.19 311.60 9.00 22.50 455.51 62.01 63.25 312.96 218.62 161.28 7.15 77.Circulación de flujos 39 La salida tras la ejecución del programa es Método de Muskingum Propagación de una avenida por un tramo de canal Valores de los parámetros: K = 1.75 504.93 3.32 48.67 8.31 128.00 79.18 72.76 15.00 428.16 12.94 135.00 565.00 269.50 87.75 604.00 24.00 22.06 Tabla 7 Horas Entrada I 3 C0Ii+1 C1ii C2Qi (m /s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 45 130 340 575 680 690 640 550 425 290 170 115 70 30 22 Salida Q 3 (m /s) --5.74 6.96 77.25 214.00 155.50 32.80 x = .75 39.03 7.75 516.00 115.00 690.02 374.10 257.00 112.00 116.25 346.25 28.28 .62 26.75 323.28 110.14 279.70 95.08 422.26 13.72 288.20 110.04 78.41 22.40 2.37 3.15 HIDROGRAMAS ─────────────────────────────────────── Tiempo De entrada De salida (h.75 38.50 59.24 613.25 156.66 10.10 14.38 --11.54 9.11 12.75 81.15 32.55 11.00 22.03 2.30 250.00 .20 5.50 50.00 340.72 242.92 261.50 627.42 616.49 22.08 189.25 682.50 339.49 483.96 245.49 --8.50 230.10 3.61 44.13 4.27 11.25 518.32 569.25 182.45 187.51 14.34 267.00 617.35 17.04 550.58 13.) (m3/s) (m3/s) ─────────────────────────────────────── .00 545.25 206.48 43.86 19.15 12.50 595.25 124.07 49.43 6.25 22.75 652.00 64.89 214.
25 3 Almacenamiento S · 10 m 3 1500 1000 750 500 250 0 0 50 100 150 3 x I + ( 1.05 3 Almacenamiento S · 10 m 3 1500 1000 750 500 250 0 0 50 100 150 200 250 300 200 250 300 200 250 300 3 x I + ( 1.x ) Q m / s 1750 1250 x = 0.José Luis Ayuso Muñoz 40 1750 1250 x = 0.15 3 Almacenamiento S · 10 m 3 1500 1000 750 500 250 0 0 50 100 150 3 x I + ( 1. Relación del almacenamiento S (m ) versus xI+(1-x)Q (m /s) .x ) Q m / s 3 3 Figura 17.x ) Q m / s 1750 1250 x = 0.
En corrientes o tramos de canales no aforados, los valores de K y x, se determinan relacionándolos a los parámetros hidráulicos del canal, a través de relacionar la ecuación de
Muskingum (23) a la ecuación de la cantidad de movimiento para flujo no permanente en
El método más conocido es el de Cunge-Muskingum, que estima los parámetros K y x
al observar similaridades entre el método de Muskingum y la aproximación numérica de
un modelo de onda de difusión (Stephenson y Meadows, 1986 Cap. 4; Chow et al., 1989
Cap. 9) y que se describe en la sección 4.
Wilson y Ruffini (1988) analizan y comparan tres métodos, físicamente basados, para
estimar K y x en canales no aforados, siendo estos, a) un método de almacenamiento en
canal, b) un método de onda de difusión similar al de Cunge, y c) un método de onda
dinámico. El primero, se basa en el enfoque tradicional de almacenamiento en prisma y
cuña dentro del tramo del canal, y los otros dos son métodos hidrodinámicos, en los que K
y x son parámetros hidráulicos sin el significado de almacenamiento en prisma y cuña. De
los tres métodos, el de onda dinámica, resultó ser el teóricamente mejor, por incluir los
términos de inercia. A falta de datos, puede realizarse una estimación grosera asignando a
3.5.2 Método de Muskingum no lineal
En tramos de canales naturales, es posible que no exista una relación lineal entre el
almacenamiento y la descarga, como se asume en el método de Muskingum lineal,
ecuación (22). En tales casos, el uso de este modelo puede dar resultados significativamente erróneos en la predicción de los niveles de avenida. En este sentido, se han pro-puesto
diversos métodos que tienen en cuenta este comportamiento no lineal, considerando que
los parámetros K y x, del modelo lineal, varían con respecto al tiempo y al espacio (Ponce
Muskingum no lineal (Singh y Scarlatos, 1987) al expresar la relación almacenamieto-caudal de salida como:
S = K 1 α1 I m + (1 − α1 ) Q m
S = K 2 [α 2 I + (1 − α 2 ) Q ]
en donde K1, K2, α1, α2, m y p son parámetros. Las soluciones analíticas, la integración
aproximada y los parámetros han sido estudiados por Singh y Scarlatos (1987), quienes
concluyen que los métodos no lineales son más precisos que el método lineal.
3.6 Circulación de flujos a través de cuencas
generado por una precipitación efectiva conocida. En primer lugar, se estudia el modelo
conocido también como método del Hidrograma Unitario, en el que se concibe la
escorrentía originada en una cuenca como un tránsito por dos tipos de almacenamiento,
canales y embalses. Esto permite la construcción de modelos sencillos, compuestos por la
combinación de embalses y canales lineales, en serie o en paralelo, para describir los
hidrogramas de escorrentía directa.
3.6.1 La cuenca como sistema lineal. Método del HU
la entrada sería la precipitación efectiva y la salida el caudal de escorrentía directa. Este
supuesto permite la aplicación de la teoría del Hidrograma Unitario (HU), propuesta por
Sherman en 1932, para la obtención del hidrograma de salida. El método del HU es el más
conocido y la técnica más usada, tanto en el análisis del fenómeno lluvia-escorrentía en la
cuenca, como en la predicción de avenidas futuras originadas por posibles hietogramas de
diseño. Fue de las primeras herramientas disponibles para predecir el hidrograma de
escorrentía directa completo en lugar de del caudal punta.
La esencia de la linealidad de un sistema se resume en dos principios básicos
la salida Y1(t), la entrada C⋅X1(t) producirá la salida C⋅Y1(t), siendo C una constante.
2. El de superposición o aditividad, que establece que si dos entradas individuales X1(t) y X2(t) producen, respectivamente, las salidas Y1(t) e Y2(t), la entrada
X1(t) + X2(t) producirá la salida Y1(t) + Y2(t).
Invariable en el tiempo indica que sus parámetros no cambian con el mismo, es
decir, la forma de la salida depende únicamente de la entrada y no del tiempo en el que se
X(t+τ) → Y(t+τ)
siendo τ un tiempo positivo o negativo.
es del todo correcto debido al alto grado de no linealidad de las cuencas, se usa en la aplicación práctica debido a la simplificación que ello supone. Este concepto está implícito
en la teoría del HU.
Los supuestos fundamentales en los que se basa la teoría del HU, y que a su vez
limitan su uso en la modelación de los sistemas hidrológicos son:
volúmenes) de la precipitación efectiva producen respuestas de la cuenca consecuen-temente proporcionales y, por otra parte, por el principio de superposición,
b) El volumen de la precipitación efectiva está uniformemente distribuido sobre el
área completa de la cuenca. Esto puede ser difícil de cumplir en grandes cuencas.
c) La intensidad del exceso de lluvia es constante durante la duración de la lluvia
d) La duración del hidrograma de escorrentía directa (tiempo base del hidrograma) es
independiente de la intensidad de la precipitación efectiva y depende solamente
de la duración de la lluvia.
Se asume que el HU es una función de respuesta de la cuenca constante siempre
que no existan cambios importantes en los usos del suelo. La teoría del HU no considera
limitaciones más importantes de la teoría del HU es el supuesto de linealidad. De hecho,
método del HU no sea aplicable a cuencas en las que el efecto de almacenamiento sea
apreciable (Gray, 1973). Las cuencas pequeñas muestran un mayor grado de no linealidad que las cuencas más grandes (Huggins y Burney, 1982). En la práctica, el supuesto
de linealidad es útil por la relativa simplicidad de las ecuaciones y la aceptabilidad de los
resultados en la mayoría de los problemas de ingeniería.
Existen discrepancias en cuanto a la extensión de las cuencas para la aplicabilidad
del método del HU. Sherman (1932) lo utilizó en cuencas de 1300 km2 a 8000 km2,
Ponce (1989) sugiere su aplicación solamente a cuencas de tamaño medio de 2,5 a 250
km2. Puesto que el modelo del HU asume que la lluvia es uniforme sobre el área de la
por consiguiente. se describe por la función h(t-τ). que las cuencas pequeñas son menos apropiadas que las grandes cuencas para el análisis del HU (Huggins y Burney. La duración del volumen unitario del exceso de lluvia. los HU deducidos de diferentes episodios de lluvia-escorrentía deberían ser idénticos. Respuesta de un sistema lineal a entradas tipo impulso 2 . Si el volumen unitario. el hidrograma unitario de T horas de una cuenca. Así pues. Teóricamente.desde que se aplica el impulso unitario (Figura 19 a). el HUI es la respuesta impulso del sistema cuenca a una entrada impulso instantánea. debido al menor almacenamiento en canal de aquellas. la respuesta o salida del sistema sería 2h(t-τ1) h(t-τ2) (Figura 19 b). Ponce (1989) recomienda deducir hidrogramas unitarios de al menos 5 eventos de lluvia-escorrentía El hidrograma unitario de una cuenca se define como el hidrograma de escorrentía directa que resulta de un volumen unitario de exceso de lluvia de intensidad constante y uniformemente distribuida sobre el área de drenaje de la cuenca. Las pequeñas cuencas tienden a reflejar las variaciones de la precipitación efectiva de una manera más acusada que las grandes cuencas. sin embargo. el hidrograma resultante es el Hidrograma Unitario Instantáneo (HUI). τ1 τ I (t) τ2 Impulso unitario 1 2 (a) (b) 1 2 h ( t -τ ) + h ( t -τ ) 1 h ( t -τ) Q (t) t t Figura 19. se define como el hidrograma de escorrentía directa. resultando.José Luis Ayuso Muñoz 44 cuenca. define y caracteriza el hidro-grama unitario particular. Aunque es un concepto teórico. es útil porque el HUI caracteriza la respuesta de la cuenca a la lluvia sin referencia a la duración de la misma. En Ingeniería de Sistemas. esto es prácticamente imposible. Para deducir una respuesta promedio. que cae sobre la cuenca en T horas. no será aplicable a grandes cuencas. originado por un volumen unitario de lluvia efectiva uniforme. 1982). cae en un tiempo dT → 0. aplicada instantáneamente en el tiempo τ. y unitario el segundo. la respuesta del sistema en un tiempo posterior. Si se aplican dos impulsos instantáneos en los tiempos τ1 y τ2 de cuantía dos unidades el primero. siendo t-τ el tiempo de retraso -tiempo lag. Si el sistema recibe una entrada de cuantía unitaria. denominada duración efectiva. t.
Si I(τ) y Q(t) tienen las mismas dimensiones (por ejemplo m3/s). es decir. las salidas o resultados se requieren en intervalos de tiempo discretos. I(τdτ) será la altura de lluvia efectiva que entra al sistema en dicho intervalo de tiempo dτ. y dτ es el intervalo de tiempo infinitesimal. una entrada continua al sistema.τ ) dτ (38) que se conoce como integral de convolución. I ( τ) d τ I Hietograma de lluvia efectiva τ τ dτ to to HUI h Q(t)= o I ( τ ) h ( t -τ ) d τ h (t . puede tratarse como una suma de impulsos de duración infinitesimal. La respuesta a la función completa I(τ).Circulación de flujos 45 De la misma manera. la ordenada del HUI deberá estar dada en m3/s/mm para intervalos de tiempo expresados en horas. la integral Q(t) = ∫0t 0 I( τ ) h(t . Si I(τ) se expresa en mm/h y Q(t) en m3/s.τ ) t-τ Q Hidrograma resultante originado por el hietograma de lluvia efectiva Q(t) t t Figura 20. que da la salida de un sistema lineal en una escala de tiempo continuo (Figura 20). medido en horas. Relación de convolución en una escala de tiempo continuo En las aplicaciones prácticas. se obtendrá sumando las respuestas de todos los impulsos de duración infinitesimal que constituyen la entrada I(τ). las ordenadas del HUI deben tener las dimensiones hora-1 si dt se expresa en horas. t-τ. dado que la entrada al sistema se especifica como una función de . Por consiguiente. Así. la respuesta del sistema en un tiempo posterior. si I(τ) es la intensidad de lluvia efectiva en mm/h. que resulta de dicha entrada será I(τ) h(t-τ) dτ.
2.2. los datos de la lluvia efectiva se dan como un conjunto de datos pulso (Figura 21). Es decir. La integral de convolución discreta para un sistema lineal es ahora (Figura 21c) n≤m Q n = ∑ Pi U n -i+1 (41) i= 1 En la que m es el número de pulsos.. de la función de entrada. El límite superior n ≤ m indica que los términos han de sumarse para i = 1. Es decir.3....2. el número de datos pulso del hietograma. n. cuando n > m.. i∆t ∆t (a) Pi ∆t i∆t Pi = I (τ ) d τ ( i -1) ∆ t Un .. que cae durante un intervalo i (Figura 21 a)...2. (39) Pi = ⎮ I( τ ) dτ ⎮ ⌡ ( i −1) ∆t en la que Pi es la lluvia efectiva. ⌠ i ∆t ⎮ i = 1. tal como un hietograma de lluvia efectiva que se da en intervalos de tiempo ∆t. siempre que n ≤ m. y Un-i+1 es la función de datos instantáneos de la salida o respuesta a un pulso de volumen unitario....i + 1 (c) n∆ t Figura 21. En cambio.José Luis Ayuso Muñoz 46 tiempo discreto. y estando limitada la suma a i = 1. los caudales de salida (escorrentía directa) se dan como datos instantáneos.. en mm. de intensidad constante. las variables de entrada y salida al sistema cuenca se registran como datos discretos pero con diferentes representaciones.3. Relación de convolución en una escala de tiempo discreto . m. de modo que el valor de salida del sistema en el intervalo n-ésimo de tiempo (t=n∆t) es Qn = Q(n∆t) (40) n = 1.3. es decir..i + 1 (b) n<m Qn Q n= Σ i=1 Pi U n .
. Generalmente. al existir 3 pulsos de entrada. se conoce el hidrograma unitario (HU) de duración ∆t (Figura 22 b). y para el último intervalo sólo hay un término puesto que i toma el valor de 3. conocida la lluvia efectiva y el hidrograma unitario.. permite la obtención del hidrograma de escorrentía directa en una cuenca. La ecuación de convolución discreta (41). En efecto. m = 3 por lo que se tendrá n≤3 Q n = ∑ Pi U n-i+1 i=1 que desarrollada da Q1 = P1⋅U1 Q2 = P1⋅U2 + P1⋅U2 Q3 = P1⋅U3 + P2⋅U2 + P3⋅U1 Q4 = P1⋅U4 + P2⋅U3 + P3⋅U2 Q5 = P1⋅U5 + P2⋅U4 + P3⋅U3 Q6 = P1⋅U6 + P2⋅U5 + P3⋅U4 Q7 = P1⋅U7 + P2⋅U6 + P3⋅U5 Q8 = P2⋅U7 + P3⋅U6 Q9 = P3⋅U7 Puede observarse que. los valores de U vienen expresa-dos en m3/s de respuesta.. es decir. lo que está implícito en el propio concepto de Hidrograma Unitario. es decir al subíndice de Q. puesto que i toma los valores 1 y 2. ya que i toma los valores 2 y 3. Para el intervalo 8 sólo hay dos términos. Como existen 3 pulsos de entrada y la función de respuesta U consta de 7 valores instantáneos no nulos. En el Anexo I se da el diagrama de flujos y el programa CONVOL escrito en FORTRAN-77 que resuelve la integral de convolución en tiempo discreto. Qn se expresa en m3/s y Pm en mm de lluvia efectiva. Como comprobación. P2 y P3 (Figura 22 a) que tiene lugar en intervalos de tiempo iguales. para el primer intervalo (n=1). por cada mm de lluvia efectiva de entrada a la cuenca. Para el segundo intervalo (n=2) hay dos términos en la convolución. . El hidrograma resultante (Figura 22c) se obtiene mediante la aplicación de la relación de convolución discreta (41). la suma de los subíndices de cada término del segundo miembro es siempre una unidad superior al número del intervalo. 7 hay tres términos Qn = P1⋅Un + P2⋅Un-1 + P3⋅Un-2. En efecto.1 = 9 términos no nulos en la función de respuesta final Qn.Circulación de flujos 47 En la Figura 22 se ilustra la aplicación del método. solo hay un término en la convolución. 4. habrá 3 + 7 . Esto determina que las dimensiones de U (ordenada del HU) han de ser las de m3/s/mm. para que la expresión (41) sea dimensionalmente correcta. ∆t y se conoce la respuesta de la cuenca a un pulso de volumen unitario de duración ∆t. Para los intervalos 3. . puesto que i sólo toma el valor 1. Se supone que la lluvia efectiva consta de tres pulsos de volumen P1.
de duración media hora). de 2 horas de duración cuya distribución es 12 mm en la primera media hora.U n . obtener el hidrograma de escorrentía directa que produciría un aguacero de 53 mm de lluvia efectiva. Suponer que el flujo base . 15 mm en la tercera.6.1 Conocido el hidrograma unitario de media hora de una cuenca (función de respuesta a una lluvia de volumen 1 cm. 17 mm en la segunda. y 9 mm en la última media hora del aguacero.José Luis Ayuso Muñoz 48 1 P 2 P1 i 3 m P3 Entrada P i P2 (a) Respuesta unitaria aplicada al pulso P1 (b) Respuesta unitaria aplicada al pulso P 2 Respuesta unitaria aplicada al pulso P 3 n<m Σ i=1 Pi .i + 1 Caudal (m 3 / s) Salida Q n = (c) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n Figura 22. Desarrollo de la relación de convolución discreta Ejemplo 3.
0 3.8 64.6.6 5 60 6 56 72. n = 3 Q3 = = P1⋅U3 + P2⋅U2 + P3⋅U1 1..8 58.8 6. desarrollándose en la Tabla 8 y se representan gráficamente en la Figura 23.4 7 34 40.0 50.6 234.0 2.5 0.8 53.6 54.2 ×18 + 1. la función de respuesta final constará de 4 + 9 .0 95.4 34. 3 Ordenadas del hidrograma unitario (m /s/cm de escorrentía) n Un 1 4 2 18 3 36 4 54 5 60 6 56 7 34 8 16 9 6 Solución El cálculo del hidrograma de escorrentía directa se realiza aplicando la ecuación de convolución discreta (41).6 245.4 4 54 64.8 156.4 9 6 7.8 28.8 51.6 215.0 5.0 3.2 ×36 + 1.4 m3/s Para el tercer intervalo.0 165.7 ×18 + 1.5 5..2 10.2 9.8 81.0 312.8 186.0 84. Como la función de entrada (hietograma) consta de 4 datos pulso y la función de respuesta unitaria U.6 27.7.4 109.0 1.2 ×4 = 4.0 32.2 54.8 91. Tabla 8 Cálculo del hidrograma de escorrentía directa y del hidrograma de salida en una cuenca a partir de HU Inter valo Tiempo (h) (n) Lluvia efectiva (cm) Ordenadas del Hidrograma Unitario 3 (m /s/cm) 12 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.5 6.8 6. n = 2 Q2 = = P1⋅U2 + P1⋅U2 1.7 1.0 135.0 14.6 274. se realizan de manera análoga.0 30.4 79.2 27.9 4.5 4.2 24.4 Escorrentía directa 3 (m /s) De salida 3 (m /s) 4. Para el primer intervalo.0 48.2 90.8 m3/s Para el segundo intervalo.5. n = 4.1 = 12 términos no nulos. n = 1 en la ecuación (41) y Q1 = = P1⋅U1 1.0 1.6 304.5 3.8 23..4 35.6 264.8 57.2 1.4 5.8 m3/s Los cálculos para los siguientes intervalos.6 HIDROGRAMAS 8 16 19.8 94.5 2.6 30.5 ×4 = 79. de 9 valores instantáneos no nulos.2 61.0 5.0 4.0 102.4 .0 67.Circulación de flujos 49 durante la avenida es constante de 30 m3/s.6 18 21.7 ×4 = 28.0 16.5 1.0 282.2 3 36 43.
) ______________________________ 1 . ______________________________ Intervalo Caudal 3 (m /s/mm.80 5.00 Hidrograma Unitario de 0.05.40 2 1.DAT 0.5 4.60 2.00 .00 4.5 234.5 4 12.00 . Hietograma de lluvia efectiva Intervalo (mm.0 . Se muestra el archivo de datos EJER361.40 5 6.5 h.5 .5 135.5 274.0 5.60 3. 9 0.00 6 5. 15.40 6.80 2.6 Salida resultante tras ejecutar el programa CONVOL Obtención del hidrograma de salida de una cuenca mediante la aplicación de la relación de convolución al H.4 1.60 4.4 6.6 3.00 4 9.40 1.0 215.5 79.0 156.60 * HIDROGRAMA DE SALIDA * _________________________ Tiempo Caudal 3 (h.0 28.) (m /s) _________________________ .6 0.4 17.0 64.80 6.8 3.U.60 4 5. 1.60 7 3.0 282.40 8 1.José Luis Ayuso Muñoz 50 Aplicando el Programa CONVOL se obtiene la misma solución.00 3 15.00 3.DAT correspondiente a éste ejercicio y la salida resultante.80 1.) ____________________________ 1 12.80 3 3. Archivo EJER361. 9.00 2 17.60 9 .6 5.
así. 150 Escorrentía directa de la lluvia de 17 mm.Circulación de flujos 51 350 300 HIDROGRAMA TOTAL DE SALIDA Caudal ( m 3/s ) 250 200 Escorrentía directa de la lluvia de 12 mm. 100 50 0 Flujo base 0 1 2 3 4 Tiempo ( h ) 5 6 7 Figura 23. Escorrentía directa de la lluvia de 9 mm.2 Modelo de embalses lineales en serie De acuerdo al desarrollo conceptual de Nash. 12). descarga sobre el segundo. Se supone que el primer embalse recibe instantáneamente un volumen unitario de lluvia neta de toda la cuenca. . los efectos de almacenamiento y de difusión.1). éste sobre el tercero y así sucesivamente (Figura 24). Escorrentía directa de la lluvia de 15 mm. la cuenca puede representarse por una serie de n embalses lineales idénticos (Chow et al. 8 y Viessman et al. Hidrograma de salida del aguacero de 53 mm de lluvia efectiva. 1989 Cap.6. teniendo lugar. 1988 Cap. obtenido a partir del HU de 0.5 h 3. que tienen la misma constante de almacenamiento (§ 3.
lo que quiere decir que para t > 0. se llega al sistema de ecuaciones. Por otra parte. el aporte será I ═ 0.José Luis Ayuso Muñoz 52 Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Q3 Q4 Q4 Qn-1 Qn Qn Figura 24. La integración de la ecuación (44) da el caudal de salida Q1 del embalse en función del tiempo para t > 0. Modelo conceptual de embalses lineales en serie Combinando la ecuación de continuidad (1) con la función de almacenamiento de un embalse lineal. dS ⎫ = I − Q⎪ dt ⎬ S = K Q ⎪⎭ (42) I-Q ═ K dQ/dt (43) que resolviendo da Para el primer embalse el caudal de salida será Q1(t). t Q ∫t =0 dt = − ∫Q k dQ1 / Q1 u (46) . y la ecuación anterior se reduce a dt = − K dQ1 / Q1 (44) puesto que el aporte I(t) tiene lugar instantáneamente. como el volumen almacenado en el instante inicial es la unidad (aporte unitario instantáneo) S=1=KQ0. de donde Q0 ═ 1/K (45) es el caudal que sale del primer embalse en el tiempo inicial t ═ 0.
dado por (47) se tiene (1 K e −t K − Q2 )dt = K dQ2 (48) que tras operar y tener en cuenta que Q2' = dQ2/dt se llega a Q2' + 1 K ⋅ Q2 t = 1 K 2 e −t K (49) que es una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes. según se establece en la definición del modelo. La solución de la homogénea Q2' + 1/K⋅Q2 = 0 será Q2h = C h e −t K (50) y la solución de la particular Q2p = C P (t ) e − t / K (51) que se determina por el método de variación de las constantes. Este caudal será la aportación al segundo embalse. en la expresión de la ecuación diferencial (49) se llega a C p' (t ) ⋅ e −t K − 1 K ⋅ C p (t ) ⋅ e −t K + 1 K ⋅ C p (t ) ⋅ e −t K =1 K 2 ⋅ e −t K .Circulación de flujos 53 expresión de la que se obtiene t = − K [ln Q1] Q1 = − K ln [Q1 Q0 ] Q 0 que al tomar antilogaritmos da e −t K = Q1 Q0 y finalmente sustituyendo el valor de Q0 dado por (45) queda la expresión Q1 ═ 1/K e-t/k (47) que da el caudal de salida 1del primer embalse en función del tiempo para t > 0. Para el segundo embalse la ecuación diferencial (43). cuya solución da el caudal de salida. cuya solución general será la suma de la homogénea y la particular. Sustituyendo en la expresión anterior el valor del aporte Q1. Derivando (51) se tiene ' Q2p = C p' (t ) e −t K − 1 K ⋅ C p (t ) e −t K (52) Sustituyendo los valores de Q2p y Q2p' dados por (51) y (52) respectivamente. será Q1 − Q2 = K dQ2 dt en la que la variable Q2 es el caudal de salida dependiente del tiempo.
Valores de t y Q2 que sustituidos en la expresión última (54) determinan que Ch = 0. y se trata de obtener la expresión que dé la descarga Q3 en función del tiempo. que da la descarga del segundo embalse será Q2 = t K 2 e − t K (55) Para el tercer embalse la ecuación diferencial (43) se convierte en Q2 − Q3 = K dQ3 dt (56) en la que se conoce la variación de Q2(t). ecuación (55). en la ecuación (58) se . en el que el caudal de salida Q2 = 0. cuya solución se realiza análogamente a la de la expresión (49). por lo que la solución de la ecuación (49). resultando la solución de la homogénea Q3h ═ Ch⋅e-t/K (59) y de la particular Q3p =1 K ⋅ C p (t ) e −t K (60) que derivando y sustituyendo los valores de Q3p.José Luis Ayuso Muñoz 54 de la que se obtiene el valor de Cp'(t) = 1/K² y en consecuencia 2 2 C p (t) = ∫ 1 K dt = t K por lo que la solución particular será Q2 = 1 K 2 t e − t K (53) La solución general será la suma de la homogénea (50) y particular (53) Q2 = Q2h + Q2p = C h e −t K + 1 K 2 t e −t K = (C h + t K 2 )e −t K (54) en la que el valor de la constante Ch se determina a partir de los valores iniciales en el instante t = 0. por lo que se tiene t K 2e −t K − Q3 = K dQ3 dt (57) ' que tras operar y tener en cuenta que Q3 = dQ3 dt se llega a Q3' + 1 K Q3 = t K 3 e −t K (58) que es una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes. y Q3' obtenido.
En efecto.2. y Γ(n) la función Gamma de n.n) el HUI de salida de la cuenca.Circulación de flujos obtiene 55 C p' (t ) e −t K − C p (t )1 K e −t K + 1 K C p (t ) e −t K = t K 3 e −t K de la que se obtiene el valor de Cp'(t) ═ t/K3 y por consiguiente Cp ═ t²/(2K3). si se hace el cambioλ = 1/K. soluciones de la homogénea y la particular. en función del tiempo. Esta ecuación describe el caudal de salida del n-ésimo embalse tras circular. representando la última curvaγ(1/K. .. un aporte unitario que tiene lugar instantáneamente en el primer embalse.. pues. La ecuación (65) representa la función de densidad de la distribución de probabilidad Gamma. n > 0 ⎟ ⎠ para t > 0 (66) en la queλ es el parámetro de escala y n el parámetro de forma de la distribución Gamma. en la ecuación. por lo que la descarga del tercer embalse. la descarga es Qn = t n −1 e −t / K (n − 1) ! K n que puede ponerse como Qn = (64) 1 n -1 (t/K ) e-t/k K Γ(n) en la que Γ(n) = (n-1)! es la función gamma de n. resultando la solución particular Q3p = t 2 (2 K 3 )e −t K (61) La solución general será la suma de las ecuaciones (59) y (61). Esto representa. el hidrograma unitario instantáneo (HUI) del modelo propuesto. por los n embalses. estará dada por la expresión Q3 = t 2 (2 K 3 )e −t K (63) Procediendo de manera análoga para los sucesivos embalses se llega a determinar que para el n-ésimo.. se obtiene la función de densidad ⎛0 ⎜ f(t) = ⎜ λ n n-1 -λt ⎜ Γ(n) t e ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ para t < 0 y λ . [ ] Q3 = C h e −t K + t 2 (2 K 3 )e −t K = C h + t 2 (2 K 3 ) e −t K (62) en la que el valor de la constante Ch vale cero para las condiciones iniciales t = 0 y Q3 = 0. n. En la Figura 24 se representan las diversas formas de la función de densidad f(t) ─hidrogramas de salida de cada embalse Qi(t)─ para los diversos valores 1.
cuyos parámetros K y n es necesario estimar para definir el HUI y. se demuestra que. distancias al origen de los centroides de las áreas SH. están relacionadas por . La primera integral es el momento de primer orden respecto al origen de tiempos del hietograma. se realiza partiendo de registros de hietogramas de lluvia efectiva y de sus correspondientes hidrogramas de escorrentía directa. de la ecuación (66)─ sobre t. M1OI: Momento de primer orden respecto al origen. y tQ. mientras que la segunda lo es del HUI. puesto que el área encerrada por el mismo es la unidad. proceder a sintetizar hidrogramas de salida de la cuenca. M1OQ: Momento de primer orden respecto al origen. función de densidad de la distribución Gamma. a partir del mismo. Esta propiedad se comprueba al establecer la ecuación y descomponer el tiempo t en dos sumandos. con respecto al origen de tiempos. el principio de linealidad requiere que cada elemento infinitesimal del HPE produzca su correspondiente HED con el mismo tiempo de retraso. El momento de primer orden. la diferencia de tiempo entre los centroides de las áreas bajo el HPE y el HED será igual al tiempo de retraso del centroide del HUI. Por su carácter lineal. Estimación de los parámetros K y n Se ha establecido que el HUI de la cuenca está representado por la ecuación (65). representa el área bajo el HUI ─o el área bajo la curva de densidad f(t). SI y SQ respectivamente (Figura 25).José Luis Ayuso Muñoz 56 La integral del lado derecho de la ecuación (65) ─o lo que es igual. lo que permite descomponer la integral en suma de dos. t y (t-τ). las abscisas tH. tI. o lo que es igual al momento de primer orden respecto al origen del HUI. o por la expresión (66). de la distribución gamma─ que será la unidad. obtenidas de los momentos de primer orden. Aplicando el HUI en la integral de convolución para relacionar el hietograma de precipitación efectiva (HPE) al hidrograma de escorrentía directa (HED). de cualquier entrada I al sistema (Hietograma de Precipitación Efectiva). desde cero a infinito. La estimación de K (unidades de tiempo) y n. Llamando M1OH: Momento de primer orden respecto al origen. del HUI representa el tiempo de retraso del centroide del área bajo el HUI. de la respuesta impulso del sistema cuenca (Hidrograma Unitario Instantáneo). para un sistema lineal invariable en el tiempo. Es decir. del sistema (Hidrograma de Escorrentía Directa). los momentos del HUI tienen unas propiedades que son de gran utilidad para la estimación de parámetros. de la correspondiente salida Q.
se obtiene . están relacionados por la siguiente expresión 2 2 2 M CH = M CQ − M CI SH SQ SI (68) ecuación que junto a la (67 a) permite abordar la determinación de los parámetros K y n a partir de datos registrados de hietogramas e hidrogramas de salida. Momentos de las áreas para un sistema lineal El momento de primer orden M1OH. divididos por sus áreas respectivas.Circulación de flujos 57 1 1 1 M OH = M OQ − M OI SH SQ SI (67a) t H = t0 − t I (67b) o lo que es igual y que los momentos de segundo orden. respecto a los centroides de las áreas (M2CH. y M2CQ). M2CI. será ∞ ∞ 1 = ∫ t ⋅ f(t) dt = ∫ t M OH 0 0 λn Γ(n) n -1 .λt t e dt que tras multiplicar y dividir el segundo miembro por λn. I ( τ) I Hidrograma de lluvia efectiva S1 τ tI HUI h SH = 1 tH Q(t) Q Hidrograma resultante originado por el hietograma de lluvia efectiva SQ t tQ Figura 25. del HUI ──función de densidad f(t)── respecto al origen de tiempos.
pueden ponerse en función de los momentos de segundo orden respecto al origen. se tendrá.José Luis Ayuso Muñoz 58 M OH = n λ n+1 ∞ n . y el hietograma de lluvia efectiva que lo origina. los momentos de segundo orden. respecto a los centroides de las áreas. para cada uno de los momentos de segundo orden M CH = M OH − t H ⋅ S H SH SH 2 2 2 M CI = M OI − t I ⋅ S I SI SI 2 2 2 M CQ M OQ − t Q ⋅ S Q = SQ SQ 2 2 2 valores que sustituidos en la expresión (68) da 2 2 2 M OH − 2 = ⎡ M OQ − 2 ⎤ − ⎡ M OI − 2 ⎤ tH ⎢ tQ⎥ ⎢ tI ⎥ SH ⎦ ⎣ SQ ⎦ ⎣ SI (71) que tras reordenar términos 2 2 2 M OQ M OI = − M OH − t 2H + t Q2 − t 2I SQ SI SH (72) . Aplicando el teorema de Steiner. que la diferencia entre las abscisas de los centroides del hidrograma de escorrentía directa observada.λt t e ∫ λ 1 0 Γ(n + 1) 44244 3 =1 y tras dividir los dos miembros por el área SH. tras deshacer el cambio λ ═ 1/K tH = 1 M OH = nK SH (69) siendo tH. es igual al producto de los parámetros n y K. se llega a 1 M OH = SH n λ de donde. Finalmente la ecuación (67 a) queda como 1 M OQ M 1OI − = nK SQ SI (70) expresión que establece. Así pues. el tiempo de retraso del centroide del área bajo la curva del HUI respecto al origen. del HUI que es la unidad.
permite estimar n y K. se obtiene 2 2 M OQ M OI = n(n + 1) K 2 + 2 t H ⋅ t I − SQ SI (75) y finalmente. sustituyendo el valor de tH dado por la ecuación (69). dado por la expresión (67 b). representa un volumen unitario de escorrentía directa (1 mm ó .Circulación de flujos 59 El segundo momento M2OH. junto a la (70). respecto al origen. y el de tI por M10I/SI. en la ecuación anterior (74). M0I.λt t ⋅ e dt que tras multiplicar y dividir el segundo miembro por λ²n(n+1) M 0H = 2 n(n + 1) ∞ n + 2 n+1 -λt ∫ Γ(n + 2) t ⋅ e dt 0 λ2 1 4442444 3 =1 y teniendo en cuenta que el área bajo el HUI es la unidad se llega a 2 M OH = n (n + 1) 2 λ SH de donde. se llega a la relación 2 1 M OQ M 0I2 = n(n + 1) K 2 + 2 n K M OI − SQ SI SI (76) Expresión que. calculando los valores de los momentos de segundo orden. determinando por consiguiente el HUI. Obtención del Hidrograma Unitario para una duración de lluvia ∆t El hidrograma unitario instantáneo desarrollado de acuerdo al procedimiento indicado anteriormente. del HUI respecto al origen es ∞ ∞ 2 2 2 M OH = ∫ t f(t) ⋅ dt = ∫ t 0 0 λn Γ(n) n -1 . deshaciendo el cambio λ = 1/K queda finalmente 2 M OH = n(n + 1) 2 K SH (73) valor que sustituido en la expresión (72) da 2 2 M OQ M OI = n(n + 1) K 2 − t 2H + t Q2 − t 2I − SQ SI (74) Si se sustituye el valor de tQ. de un hidrograma e hietograma conocidos. M0Q. y las áreas SQ y SI.
será el área encerrada por el HUI a la izquierda de t. A partir del mismo. permite predecir el hidrograma de escorrentía directa ocasionado por el aguacero. se halla restando la respuesta del sistema a la entrada de intensidad 1/∆t que comienza en el tiempo ∆t. y tendrá un valor en el tiempo t igual a (1/t) g(t-∆t) Empleando el principio de superposición. es decir t 1 (t/K )n-1 e-t/k dt K Γ (n) 0 t g(t) = ∫ h(t) = ∫ 0 (77) El HU buscado será la respuesta a un pulso de cuantía unidad que tiene lugar en un periodo de tiempo ∆t. del exceso de lluvia. Si una entrada de paso unitario similar. La intensidad del exceso de lluvia será I(t)=1/∆t. comienza en el tiempo ∆t. que comienza en el instante t=0. en lugar de en el instante inicial t=0. la respuesta del sistema a una entrada de paso unitario de intensidad 1/∆t. La respuesta del sistema producida por esta entrada puede deducirse por los dos principios ya citados de los sistemas lineales. de la respuesta a la entrada de la misma intensidad 1/∆t. es (1/t) g(t-∆t). El HUI (Figura 26 a) está dado por la función de densidad de la distribución Gamma. consecuentemente. como ha sido demostrado.José Luis Ayuso Muñoz 60 1 cm) resultante de un exceso de lluvia que ocurre instantáneamente. En consecuencia. el valor de la ordenada g(t). por lo que el hidrograma S (Figura 26 b) será la función de distribución. En la Figura 26 se muestran los pasos para la obtención del HU para una duración ∆t. mediante los principios de proporcionalidad y aditividad. t=0. para un tiempo t. poder superponer hidrogramas desplazados en el tiempo y sumar sus ordenadas. de modo que la función de respuesta al pulso unitario será 1 Q(t) = [g(t) − g(t − ∆t)] ∆t t t − ∆t ⎤ 1 ⎡ = ⎢ ∫ h(t)dt − ∫ h(t)dt ⎥ ∆t ⎣ 0 0 ⎦ (78) t 1 = h(t )dt ∆t t −∫∆t 1 t 1 (t K )n−1 e −t K dt = (79) ∫ ∆t t − ∆t K Γ(n) . En primer lugar. que empieza en el instante inicial. El método se basa en el supuesto de la respuesta lineal de la cuenca y. la función de respuesta estará desfasada un intervalo de tiempo ∆t. es posible obtener el Hidrograma Unitario de 1 mm ó 1 cm de escorrentía directa que resulta de un exceso de lluvia que ocurre en un tiempo determinado ∆t. por el principio de proporcionalidad. que aplicado a un aguacero cuyo hietograma de precipitación neta esté dado en los mismos periodos de tiempo ∆t. para 0≤ t≤ ∆t y cero en otro caso. la respuesta a un pulso unitario de duración ∆t.
a partir de datos de precipitación efectiva y escorrentía directa registrados. 12.6.0 horas de duración del exceso de lluvia. En el Anexo I se da el programa HUNASH. determinar a) b) c) Los valores de los parámetros n y K del modelo de Nash de embalses lineales en serie. 3 y 5 mm. del exceso de lluvia. y su correspondiente diagrama de flujos. y Q(t) representa la pendiente del hidrograma S.∆t ) ] Tiempo Figura 26. registrados en una cuenca de 243 km² de superficie. de lluvia efectiva h(t)= t n-1 -t/K 1 ( ) e K Γ (n) K h(t) Tiempo g(t) b) Respuesta a una entrada de paso unitario (hidrograma S) 1 g ( t ) .g ( t . entre dichos instantes de tiempo.2 Dados el hietograma de precipitación efectiva (HPE) y el correspondiente hidrograma de escorrentía directa (HED). mostrados en la Figura 27. . para obtener el HUI. que permite estimar los parámetros n y K del HUI y obtener el Hidrograma Unitario para una duración determinada ∆t.Circulación de flujos 61 Como se indica en la Figura 26. El hidrograma de escorrentía directa producido por un hietograma de lluvia efectiva de 6 horas compuesto por pulsos de una hora de 4. 6. La integración de la expresión (79) se realiza mediante la regla de Simpson. Deducción del HU para una duración ∆t de lluvia efectiva. h(t) a) Respuesta al impulso instantáneo (HUI) Impulso instantáneo de 1 mm. El Hidrograma Unitario (HU) de 1. g(t)-g(t-∆t) representa el área encerrada por el HUI entre los tiempos t-∆t y t. 10. a partir del HUI Ejemplo 3.g ( t -∆t ) g(t)= t o h(t) t ∆t Tiempo Q(t) c) Hidrograma unitario o respuesta a un impulso unitario Exceso de lluvia ∆t Q(t) Q(t)= 1 ∆t [ g ( t ) . escrito en Fortran 77.
Un mm/h de lluvia efectiva equivale a 1 × 10 −3 × 243 × 10 6 m3 = 67. hay que convertir la lluvia a unidades de m3/s. Hietograma de Precipitación Efectiva e Hidrograma de Escorrentía Directa Solución a) Estimación de los parámetros n y K.Lluvia (m 3/s) José Luis Ayuso Muñoz 0 250 500 750 1000 62 Tiempo ( h ) 1 2 3 0 4 270 540 675 945 325 300 275 250 Caudal ( m 3/s ) 225 200 175 150 125 100 75 y i+1 50 25 y 0 0 1 2 DTO i i 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tiempo ( h ) xi Figura 27. multiplicando por el área de la cuenca y dividiendo por el incremento de tiempo de cada pulso de lluvia. Las expresiones (70) y (76) permiten estimar los valores de los parámetros n y K. para que sea dimensionalmente homogénea con la escorrentía. Para ello.5 m3 /s 3600 s lo que determina que el hietograma sea ───────────────────────── Hora Precipitación 3 (mm) (m /s) ───────────────────────── 1 2 3 4 8 10 14 4 540 675 945 270 ───────────────────────── . Para aplicar la ecuación (70) es necesario calcular los momentos respecto al origen de las áreas del HPE y del HED.
1.5185 h . por la expresión ⎛ ∆t ⎞ Y i + 2 · Y i+1 Xi=⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ Y i + Y i+1 siendo Di = DTOi + X i Lluvia (m 3/s) la distancia del centroide del trapecio considerado al primer lado Yi (Figura 28).6296 h ═ n K . del HPE e HED. Las áreas de los intervalos del HED se calculan como trapecios. 0 250 500 750 1000 Tiempo ( h ) 1 2 3 0 4 270 540 675 945 325 300 275 250 Caudal ( m 3/s ) 225 200 175 150 125 100 75 y i+1 50 25 y 0 0 1 2 DTO i i 3 4 xi 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Tiempo ( h ) Figura 28.590 m3 /s ·h2 = − − 2.430 m3 /s ·h SQ SI ═ 88. y las distancias del centroide de cada una al origen de tiempos.Circulación de flujos 63 En la Tabla 9 se indican los pasos para el cálculo de los momentos de primer y segundo orden respecto al origen.700 m3 /s ·h2 4.430 m3 /s · h 2. En la Figura 28 se muestran los trapecios elementales en que queda dividido el HED por el incremento de tiempo utilizado. Hietograma de Precipitación Efectiva e Hidrograma de Escorrentía Directa Mediante la expresión (70) se obtiene 1 M OQ M 10I 20.8889 h ═ 6.
0 180.460 15.5 222.25 3.590 Σ=10.570.2 759.2 463.75 5.753.590 2.444 17.043.6296 6.444 18.056.430 m3 /s h 2.790.332.6296 K + 2 × 6.144.828.430 m3 /s h SQ SI ═ 81.0 1.690.5 m3 /s h3 M OQ M OI = − − 2.5 2.4 6.977.3 27.848.430 .2 43.5 85.3 2.0 7.549 4.472 12.753.4 10.0 135.476 11.2554 h 6.8 2.0 245.8 7.7 130.5 85.0 2.0 127.9 23.867.5 270.070.2 301.0 1.542 5.3 2.155.2807 n= 3 (h) 4. la ecuación en K 77.569 3.0 15.6 11.141.518.0 19.754 Σ=2.6296 = 1.1 21.504 8.5 0.8 45.667 1.430 3 BRAZO 2 M OQ 2 /s h ) (m 3 3 /s h ) MOMENTOS 1 M 0I (m 3 /s h) 3.499 9.651.7 2.5 302.5 275.2554 = 5.2 280.3 840.282.3239 = 1.6296 × 2 que resolviendo da K= y como valor de n 8.700 Σ=198.5 42.4 1.6296 ) + 6.307.528 6. se obtiene 2 2 198.5 290.065.3 16.0 1.444 16.5 3.5 2.7920 h² .867.230.0 1.5 30.3 540 675 945 270 Σ=20.494 10.50 Σ=4.401.8 2.566.4.3198 = (6.799.0 52.1 26.5 2.7 670.471 13. en la expresión (76).3 246. por consiguiente.9 4.0 297.6 3.430 2 M 0I2 (m 0.333 AREA MOMENTOS ) (m /s h) HIETOGRAMA PRECIPITACION EFECTIVA (m Σ=2.906.5 2.362.0 17.6296 K 6.3 15.0 147.4722 h² ═ 77.00 1.3198 h² Resultando.4 26.571 2.5 3 /s h ) (m 3 /s h ) Sustituyendo este valor del producto nK y los valores de los momentos de segundo orden.0 1.José Luis Ayuso Muñoz 64 Tabla 9 HIDROGRAMA ESCORRENTIA DIRECTA AREA BRAZO 1 M OQ DTO 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (h) 5.509 7.754 m3 /s h3 10.012.461 14.888.5 945.590.5 1.5 109.
2.2554 Γ(5.2807) b) Obtención del hidrograma Unitario de 1.0 . 17. Archivo de datos EJER362. con el archivo de datos EJER362. 18. 6. 8. será el cociente entre la diferencia de las áreas encerradas por la curva del HUI a la izquierda de t y t-1 horas y el valor de ∆t.DAT. 280.DAT 243. 210. 1. 13. 110. 65. 300. 20. 7. y fijando ∆t ═ 1 h. 305. Salida de resultados Obtención de los parámetros n y K del modelo de Nash ────────────────────────────────────────── Superficie de la cuenca: 243. 1. 14. 4. 40. 105. 260. 2554 1. 0. 0. 0. 150.00 Km² Hietograma de Precipitación Efectiva ────────────────────────────────────────── Intervalo de tiempo: 1. 5. 11. La obtención del HU de 1 hora se realiza ejecutando el Programa HUNASH (Anexo I). 16. Intervalo ──────── 1 2 3 4 Precipitación (mm) ────────── 8. 25.Circulación de flujos 65 Sustituyendo estos valores de n y K en la ecuación (65) se determina el HUI de la cuenca.0 4.0 10.2554) 4.0 14. 10. 12. resultando h(t) = 1 (t/ 1. 60. 9. 19. 4 8. La ordenada del HU en cualquier instante t. conocidos los valores de K y n. se hace necesario el cálculo de la integral (79) que para valores de n reales no tiene solución analítica. Por consiguiente. 4. 10. 5. 10. 290.0 1. 185. 1.0 hora Mediante la utilización de la ecuación (79) se obtiene el HU de 1 hora de duración. 10. N.00 h. 15. 3. 2807 e −t 1. 20. 14.
00 6.058 6.0 25.0 17.636 15.00 .00 .582 5.00 .0 185.0 4.898 7.0 280.00 2.00 1.00 5.0 290.0 60.470 12.0 20.0 40.0 11.255346 Hidrograma Unitario Instantáneo ───────────────────────── Tiempo Caudal 3 (h) (m /s/mm) ──────── ────────── 1.555 4.0 10.0 10.0 15.0 16.385 16.00 .00 8.0 300.616 13.0 13.044 20.00 .248 2.0 12.0 65.0 260.0 14.229 17.00 .633 8.0 1.281119 K = 1.027 14.00 1.0 8.0 210.00 2.0 19.00 3.171 3.0 .077 19.0 Valores de los parámetros del modelo de Nash N = 5.0 3.00 .0 5.0 6.José Luis Ayuso Muñoz 66 Hidrograma de Escorrentía Directa ──────────────────────────── Tiempo Caudal (h) (m3/s) ──────── ────────── .00 .0 105.643 11.00 8.0 10.0 9.0 150.0 18.025 .0 305.0 2.00 10.894 9.00 5.0 110.0 5.0 .0 7.134 18.147 10.00 9.
166 5.00 .Circulación de flujos 67 11 10 9 Respuesta impulso a 1 mm.301 17.00 4. se obtiene mediante la ejecución del Programa . de duración.00 .501 16.034 3.00 10.097 7.054 2.029 12.2807 K = 1.059 20.2554 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Tiempo ( h ) Figura 29.00 .019 13.467 6.0 horas a partir de la Función de Distribución Gamma HIDROGRAMA UNITARIO ───────────────────────── Tiempo Caudal 3 (h) (m /s/mm) ──────── ────────── 1. conocido el HU de 1 hora.330 8. para el aguacero dado de 6 h.817 15.00 7. de lluvia Caudal ( m 3/s ) 8 7 6 h(t)= 5 n-1 -t/k 1 e (t/n) K Γ (n) n = 5.00 1. Hidrograma Unitario Instantáneo obtenido de la función de densidad de la distribu- ción Gamma Obtención del Hidrograma Unitario de 1.033 c) Hidrograma de escorrentía directa El hidrograma de escorrentía directa de la cuenca.00 .00 2.369 11.00 7.302 14.00 3.00 .814 4.103 19.00 3.00 .00 .00 1.00 9.781 9.00 .00 9.177 18.00 6.008 10.
0 338.0 11.17 0.0 81.0 148.00 4 10.U.50 7.81 15.03 3.00 6 5. 6.01 4. 4.0 46.33 0.0 0.45 13.52 18. 7.33 17.DAT.0 157.03 Resultando la siguiente salida tras la ejecución (Figura 30) Obtención del hidrograma de salida de una cuenca mediante la aplicación de la relación de convolución al H.03 6.81 1.0 .72 3.José Luis Ayuso Muñoz 68 CONVOL con el archivo CONV-362.94 9.32 19.12 20.0 338.0 303.0 0.10 9.06 7.0 257.50 10.18 0. Archivo de datos CONV-362.0 104.90 4. 20 0.051.0 .23 6.62 8.37 3.0 3.300.07 11.0 70. 5.00 * HIDROGRAMA DE SALIDA * ═════════════════════════ Tiempo Caudal (h.0 29.00 2 12.75 23.98 24.0 0.) (m3/s) ───────────────────────── .00 2.00 3 6.0 27.0 4.0 6.33 12.0 201.0 .10 0.30 3.46 14.39 25.20 2.00 5 3.64 21.02 .0 238.00 1.0 18.82 0.92 10.15 26. 9. 6.0 308.78 16.78 0.47 10.08 5.DAT 1. 12. Hietograma de lluvia efectiva Intervalo (mm) ───────────────────────── 1 4.
constituyendo un poderoso medio analítico para el estudio de importantes problemas en el campo de la ingeniería de los recursos hidráulicos. velocidad y calado. a través de la cuenca o sistema de canales. Hidrograma de Escorrentía Directa producido por el aguacero de 6 h y 40 mm de llu- via efectiva obtenido a partir del HU de 1 h. Los modelos distribuidos. varían en el espacio. (ecuaciones de la conservación de masa y de la cantidad de movimiento) que describen el flujo unidimensional no permanente con superficie libre.Circulación de flujos 69 Tiempo ( h ) Lluvia (mm) 0 0 1 5 2 3 4 5 3 4 5 6 10 10 12 15 6 350 300 ESCORRENTIA DIRECTA TOTAL Caudal ( m 3/s ) 250 Escorrentía directa del exceso de 10 mm. 200 150 100 Escorrentía directa del exceso de 6 mm. Mediante el uso de modelos distr. dentro del sistema de canales de la cuenca. Escorrentía directa del exceso de 5 mm. constituye un proceso distribuido. en puntos determinados. incluyendo la escorrentía .buidos. y comprenden un amplio abanico de fenómenos. es posible calcular el caudal y calado. Escorrentía directa del exceso de 4 mm. Estos problemas se caracterizan por la dependencia temporal y espacial del flujo. Escorrentía directa del exceso de 12 mm. Escorrentía directa del exceso de 3 mm. puesto que el caudal. 4 CIRCULACIÓN HIDRÁULICA (SISTEMAS DISTRIBUIDOS) La evolución de una onda de avenida a través de una cuenca o un sistema de canales. se basan en las ecuaciones de Saint Venant. 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Tiempo ( h ) Figura 30.
se conocen sólo localmente en un punto dado. . los calados de una onda de avenida suelen variar a lo largo del cauce en una distancia del orden de pocos metros.José Luis Ayuso Muñoz 70 superficial. normalmente. ondas en canales. b) El flujo es unidimensional. se simplifican considerando el flujo como unidimensional. por el coeficiente de resistencia a la fricción. En consecuencia. d) La distribución de velocidades en la sección transversal es la misma que la del régimen uniforme. y representando todos los procesos contribuyentes a la pérdida de energía de la cantidad de movimiento. propagación de avenidas y drenaje urbano y agrícola. excepto en casos como la propagación de un frente de onda provocado por la rotura brusca de una presa o la propagación de una avenida en cauces en los que existan variaciones bruscas de sección. En la planificación y proyecto de estos sistemas se hace necesario predecir el cambio de calado. regulación de embalses. y la superficie del agua horizontal a lo largo de cualquier sección transversal. el estudio del movimiento de una onda de avenida a lo largo de un cauce. tiene las características del movimiento gradualmente variable. Así pues. algunos o todos los parámetros citados. es hidrostática. Los modelos distribuidos son los procedimientos empleados para obtener esta información. Chow et al. c) La distribución de presiones en la sección transversal vertical. que permiten calcular los calados y las velocidades (o caudales) en función del tiempo y de la posición de la sección objeto de estudio. mientras que la longitud de la onda suele ser del orden de decenas de kilómetros. S0. 1988 Cap.1 Ecuaciones básicas Los complejos fenómenos del movimiento en cauces naturales o artificiales. es correcto suponer que la propagación de la avenida. 4. cuando.. En este sentido. que junto a los siguientes supuestos y simplificaciones (Yevjevich y Barnes. conocidas las condiciones iniciales y de límite. en diferentes localizaciones a lo largo de una corriente. 9) a) La pendiente de la solera del cauce. lo que implica que la velocidad es constante. se puede abordar mediante la aplicación de las ecuaciones del movimiento no permanente gradualmente variable. El calado y velocidad varían únicamente en la dirección del canal. es pequeña y aproximadamente igual al seno del ángulo de inclinación. 1970. lo que supone una aproximación más rigurosa a la naturaleza de régimen no uniforme y no permanente en la propagación de una avenida a lo largo de un cauce. e) Contorno rígido y fijo. caudal o algún otro parámetro del flujo.
a) Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad se expresa por: A o bien ∂V ∂A ∂A −q = 0 +V + ∂x ∂x ∂t ∂ (VA) ∂A −q =0 + ∂x ∂t (80a) (80b) en las que A= V= x = t = q = área de la sección transversal (m²) velocidad media en la sección (m/s) distancia en la dirección del flujo (m) tiempo (s) aporte lateral (m3/s) La ecuación (80b) suele expresarse como ∂Q ∂A −q =0 + ∂x ∂t en la que Q=VA es el caudal (m3/s). Sf = V 2n2 R4/3 g) El fluido es incompresible y de densidad constante. conducen a las ecuaciones de Saint Venant. Sección transversal (80c) . que rigen el régimen no permanente gradualmente variado.Circulación de flujos 71 f) Las pérdidas por resistencia se describen del mismo modo que las pérdidas en régimen permanente y uniforme con el mismo calado y caudal. por lo que puede emplearse una relación tal como la de Manning. B y A Figura 31. Siendo ahora A y Q las variables dependientes.
según el orden secuencial. la ecuación (80 c) puede expresarse por A ∂V ∂y ∂y + V ·B + B − q = 0 ∂x ∂x ∂t (80d) En las aplicaciones prácticas puede emplearse cualquiera de las cuatro ecuaciones (80 a) a (80 d) a una sección transversal de un cauce. teniendo. por una variación del área A a lo largo del canal. los términos de la ecuación anterior. que resulta de la diferencia de calados entre la sección inicial y final del tramo elemental ∆x. (2) almacenamiento en cuña. y (4) almacenamiento. (3) almacenamiento debido a la variación del calado resultante de la variación del área A con el tiempo. En consecuencia. b) Ecuación dinámica Se expresa por ∂V ∂V ∂y V + q − g (S 0 − S f ) = 0 +V +g ∂t ∂x ∂x A (81ª) que constituye la ecuación dinámica general para el régimen no permanente gradualmente variable. positivo o negativo. la siguiente significación física: (1) almacenamiento en prisma. se obtiene en todos ellos la dimensión de volumen. siendo . Líne a de ener gía Sup erfic ie libre So ∆x Figura 32. Perfil longitudinal Si se multiplican por ∆x∆t.José Luis Ayuso Muñoz 72 De la Figura 31 se deduce ∂A ∂y =B ∂t ∂t siendo B la anchura de la superficie libre en la sección transversal. resultante del aporte o pérdida lateral.
aceleración convectiva. . y de presión. a dichas ecuaciones. 4. Así. posibilitan la solución de las mismas. en consecuencia. que definen diversos modelos unidimensionales distribuidos para la circulación de flujos. Las ecuaciones de Saint Venant pueden aplicarse a cualquier sección transversal del flujo superficial y de flujo en canal abierto. es decir. Supone S0= Sf.2 Clasificación de los modelos distribuidos Debido a la complejidad que presentan las ecuaciones de Saint Venant existen diversas formas simplificadas de las mismas. conocidas. también llamado término de convección. 4) tasa de cambio de la altura de velocidad a lo largo del cauce. despreciando el aporte lateral q S f = S0 − ∂y V ∂V 1 ∂V − − ∂x g ∂x g ∂t (82) El significado físico de los cinco términos de la ecuación (82).Circulación de flujos 73 g = aceleración de la gravedad S0 = endiente de la solera (m/m) Sf = pendiente motriz. y 5) término de aceleración local. el empleo de soluciones numéricas y el conocimiento de la geometría del cauce. es: 1) pendiente motriz. lo que supone una relación caudales-calados biunívoca y. el cual desprecia los términos de aceleración local. Constituyen un sistema no lineal hiperbólico de ecuaciones en derivadas parciales que puede resolverse para las incógnitas V e y. 2) pendiente de la solera. teniendo en cuenta las condiciones apropiadas de límite. las fuerzas de gravedad se contrarrestan por el roza-miento. siguiendo el orden secuencial. Los dos últimos términos representan los efectos de las fuerzas de inercia sobre el flujo. también puede expresarse de la siguiente forma. Aunque no existen soluciones analíticas genera-les. que puede evaluarse por la fórmula de Manning o cualquier otra fórmula apropiada del régimen uniforme La ecuación (81 a). los diversos modelos distribuidos alternativos son Sf = S0 − ∂ y V ∂V 1 ∂V − − ∂ x g ∂ x g ∂t Onda cinemática Onda de difusión Onda dinámica completa El modelo distribuido más simple es el modelo de onda cinemática. en la ecuación dinámica. La simplificación consiste en no considerar algunos de los términos de la ecuación dinámica (82). 3) tasa de cambio del calado o pendiente de la superficie libre creada por variación del calado a lo largo del cauce.
) . El régimen permanente no uniforme ocurre en cualquier canal no regular en el que la descarga no cambia con el tiempo. relación caudal-calado. dimensiones del canal. El calado en estas condiciones se denomina calado normal. El modelo de onda de difusión o de convección-difusión desprecia los términos de aceleración local y convectiva. o por el método de paso a paso. considera todos los términos de la ecuación dinámica. no uniforme Régimen no permanente y no uniforme El régimen permanente se define como aquel en el que las características del flujo en un punto. y uniforme o no uniforme. sino también.) . ∂y ∂y = 0. Por último. Cuando existe un cambio gradual en el calado o la sección. rugosidad y condiciones conocidas en una sección dada. etc. el régimen se denomina gradualmente variado. es biunívoca. En este caso la curva de gasto. Para tramos en los que existan cambios pronunciados en la velocidad y calado. pendiente. ∂V ∂L = 0) . para el calado existente. no solamente por la inclusión de los diferentes términos de la ecuación (81). Este modelo permite estudiar la laminación de una avenida y precisa de dos condiciones de límite y da lugar a una relación. se supone. en un instante dado. teniendo en cuenta el de presión. etc. y en canales regulares en los que el calado. cambian de una sección a otra (∂y ∂L = 0. el modelo de onda dinámica. Estos tres modelos difieren. El régimen permanente y uniforme ocurre en canales muy largos de sección transversal constante. en la consideración de si el régimen es permanente o no permanente. ∂V ∂L = 0. caudales-calados. La entrada de la descarga a un embalse y la aproximación a una caída libre. son ejemplos de este tipo de régimen. en los que la superficie libre y la línea piezométrica son paralelas a la solera del canal. para una descarga. como en una transición de una sección a otra. pueden realizarse por integración numérica. en una distancia corta. y uniforme como aquel en el que el calado. velocidad y sección transversal permanecen constantes en una longitud dada del cauce (∂y ∂L = 0. no varían con el tiempo (∂V ∂t = 0. en el que el caudal permanece constante pero varía la pendiente de la superficie libre. y por tanto la velocidad media. no biunívoca. idéntico al del régimen permanente y uniforme. en el que el cálculo de los calados. S f = S0 − Régimen permanente y uniforme ∂ y V ∂V 1 ∂V − − ∂ x g ∂ x g ∂t Régimen permanente. .José Luis Ayuso Muñoz 74 el caudal que pasa por una sección. se hace necesario el estudio con modelos.
Caudal Q (m 3/s) Q max Régimen permanente y uniforme y max Calado y (m) Figura 33. mientras que el régimen no permanente y no uniforme es muy común. el caudal permanece constante. se tendrá Q02 n 2 S0 = 2 4 / 3 A R por lo que consecuentemente S f Q2 = S 0 Q02 Teniendo en cuenta la ecuación (82) se obtiene Q = Q0 1 − 1 S0 ⎛ ∂y V ∂V 1 ∂V ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + + ⎝ ∂x g ∂x g ∂t ⎠ (83) Para régimen permanente y uniforme. Sf.Circulación de flujos 75 Por último. Puede observarse que. la relación caudal-calado es una relación biunívoca. Relación caudal-calado en una sección La pérdida de energía por unidad de longitud y peso. los caudales son superiores a los . Relación caudal-calado En la Figura 33 se muestra la relación caudal-calado correspondiente a una avenida. el movimiento de una onda de avenida a lo largo de un canal. en régimen permanente y uniforme. durante la fase de crecida. el régimen no permanente y uniforme raramente ocurre en canales abiertos. siendo. sin bucle de histéresis (Figura 33). pero varía la pendiente de la superficie libre. En el régimen permanente no uniforme. tal como ocurre en la entrada a un embalse o en la aproximación a una caída libre. ejemplo típico. Q2 n2 Sf = A R4/3 Si Q0 es el caudal correspondiente a un calado dado. puede evaluarse mediante la fórmula de Manning.
como es el caso de cuencas agrícolas.5. se examina la relación calado-caudal (curva de gasto). Para seleccionar el modelo aplicable. 4.3 Método de Muskingum-Cunge El modelo de Muskingum. e igualando al segundo miembro de la ecuación de continuidad (13) se tiene dQ ⎤ ⎡ dI K ⎢ x + (1 − x) = I −Q dt ⎥⎦ ⎣ dt (84) en la que I y Q representan los caudales medios de entrada y salida en el intervalo dt. La selección del modelo dependerá de si esta diferencia es pequeña (modelo cinemático). particularmente útil para corrientes no aforadas.José Luis Ayuso Muñoz 76 correspondientes al movimiento permanente y uniforme. mientras que el modelo de Muskingum-Cunge. ocurre lo contrario. También puede observarse que el caudal máximo ocurre antes que el calado máximo. no requiriendo calibración para un conocido o supuesto coeficiente de resistencia. Es. visto anteriormente (§ 3. mientras que. estando sus parámetros relacionados a las propiedades hidráulicas del sistema. o si es un bucle de histéresis. en el que difieren la fase creciente de la decreciente. Diferenciando la ecuación de Muskingum (23) respecto al tiempo t. relativamente grande (modelo dinámico completo) o si es intermedia (modelo de difusión-convección).1). es aplicable a sistemas distribuidos en los que el flujo se calcula como una función del tiempo y del espacio en sucesivos puntos a lo largo del canal. pues. es un modelo simple aplicable a la circulación de flujos a través de sistemas globales en los que el caudal se calcula como una función del tiempo en el extremo aguas abajo del canal. t +∆ t Tiempo t t +∆ t Q i+1 Qi t +∆ t 2 4 P ∆t χ ∆ x. Red espacio-tiempo en diferencias finitas para la solución de la ecuación de Muskingum-Cunge . en la fase de recesión. que se analizará en detalle seguidamente. ∆ t 2 t 1 3 t t Qi Q i+1 ∆x xi x i+1 Distancia x Figura 34. y se ve si es una relación biunívoca.
al t + ∆t despejar Qi +1 se obtiene de nuevo la expresión (86) y las expresiones (29) a (31) para los coeficientes C0. presentando el modelo de Muskingum las características del modelo cinemático. 13). 9. produciéndose una traslación sin atenuación. Cunge mostró que cuando x=½ y c∆t/∆x=1. la ecuación (86) es una solución aproximada de las ecuaciones de onda cinemática (Chow. B el ancho de la superficie libre (m). y el calado (m). y considerando que K es el tiempo de propagación de la descarga a lo largo del tramo de longitud ∆x a la velocidad c. mientras que para valores 0< x <½ existe una . C1 y C2. se obtienen las expresiones ∂Q x (Qit + ∆t − Qit ) + (1 − x) (Qit++1∆t − Qit+1 ) = ∆t ∂t 1 t + ∆t 1 ( Qi +1 − Qit + ∆t ) + (Qit+1 − Qit ) ∂Q 2 2 = ∆x ∂x (89) (90) que sustituidas en la ecuación (87). Cunge (1969). Viessman. y sustituyendo I por Qi y Q por Qi+1. C1 y C2 son los coeficientes dados por las expresiones (29) a (31). Empleando el esquema en diferencias finitas explícito.ra 34). se obtiene ⎡ Q t + ∆t − Qit Q t + ∆t − Qit+1 ⎤ Qit + Qit + ∆t Qit+t + Qit++1∆t K ⎢x i − + (1 − x) i +1 ⎥= 2 2 ∆t ∆t ⎣ ⎦ (85) t + ∆t Resolviendo esta ecuación para el caudal Qi +1 se obtiene la conocida expresión de Muskingum (28) Qit++1∆t = C 0 Qit + ∆t + C1 Qit + C 2 Qit+1 (86) en la que C0. t + ∆t 2) . y c la celeridad de la onda cinemática (m/s). para evaluar las derivadas ∂Q ∂x y ∂Q ∂t en elpunto P( xi +1− x∆x .xi+1 de la red de cálculo espacio-tiempo de la Figura 34. 1989 Cap. ∂Q ∂Q =0 +c ∂t ∂x (87) dQ 1 dQ = dA B dy (88) c= en la que A representa el área de la sección transversal (m²).Circulación de flujos 77 Refiriendo la ecuación anterior al tramo de canal xi . propuesto por Cunge (Fig. 1988 Cap. demostró que cuando K y x son constantes. no se origina laminación de la avenida. es decir K =∆x/c. para la integración de la ecuación (87) en el que se introduce un coeficiente de ponderación x.
∆x = Q Q = S 0 B c S 0 dQ dy (95) Las ecuaciones (94) y (95) han de evaluarse con un valor representativo de Q y sus correspondientes valores de B y c. t) a partir de la ecuación (87) en forma de diferencias finitas y comparando con los coeficientes de la ecuación de convección-difusión para canales regulares. ∂Q ∂A =0 + ∂x ∂t ∂y = S0 − S f ∂x (91) (92) Si los parámetros K y x.1979) para el cálculo de la longitud de los subtramos en los que se divide la longitud del canal para propagar la avenida con x= 0. 1987). que no considera el modelo cinemático. 1988 Cap. al ser el modelo de Muskingum con x≠ ½. 13). . se consideran variables según las expresiones K= x= 1 2 ∆x ∆x ∆x = = c dQ / dA 1 dQ B dy ⎡ ⎤ Q ⎢1 − ⎥ ⎣ B c S 0 ∆x ⎦ 0< x< (93) 1 2 (94) en las que Q es el caudal correspondiente al calado y. más exacta que el cinemático.José Luis Ayuso Muñoz 78 laminación tanto mayor cuanto más pequeño sea x. o dQ/dy. se obtiene la expresión propuesta por Kalinin y Milyukov (Weinmann y Laurenson. Cunge también demostró que la ecuación (86) de Muskingum es una aproximación en diferencias finitas del modelo de convección-difusión. 1989 Cap. 9 Viessman. S0 la pendiente de la solera del cauce y Sf la pendiente motriz. es artificialmente introducida. Despejando ∆x. una pobre aproximación en diferencias finitas de la ecuación (87) de onda cinemática (Dolz. expresado por las ecuaciones (Chow. desarrollando en serie de Taylor Q(xi. Esta laminación. de la ecuación (94) con x=0. Teniendo en cuenta la expresión de Manning para el caudal Q= S 01 / 2 A R2/3 n se infiere que los parámetros K y x dependen de las características hidráulicas del cauce. supuesto régimen permanente y uniforme. La expresión (94) fue obtenida por Cunge.
conocidos K y x. 1979). las expresiones (86) y (29) a (31) de los coeficientes. Si los caudales Qit y Qti+1 al principio del intervalo de tiempo t + ∆t son conocidos (condiciones iniciales). puede ser calculado si se da el caudal en el extremo aguas arriba. conocidas las condiciones iniciales y de límite. hasta obtener el caudal en el extremo aguas abajo. permiten calcular la propagación de la avenida en dicho tramo. Cunge mostró que para la estabilidad numérica de la solución en el esquema de diferencias finitas empleado. para un tramo cualquiera. conocidas. al no considerar la condición de límite en el extremo aguas abajo (posible variación temporal de las condiciones de desagüe en el mismo) presenta de nuevo similitud con el modelo cinemático. posibilitan la solución de las mismas. y fijado ∆t. hasta la sección final de salida. el caudal en el extremo aguas abajo Qi +1 al final del intervalo de tiempo. a utilizar en el modelo. Puede observarse que sólo se precisa una condición de límite en el extremo aguas arriba: el hidrograma de entrada. En cuanto al valor de ∆t. Así. Procediendo de esta forma se avanza tramo a tramo. debe cumplir la condición de que sea menor o igual al tiempo medio de propagación de la avenida en el tramo. Las dos primeras etapas permiten establecer las ecuaciones básicas que rigen los complejos fenómenos del flujo en canales abiertos (ecuaciones de Saint Venant). se requiere que 0≤ x≤½.Circulación de flujos 79 Desarrollo del modelo El establecimiento de cualquier modelo matemático de circulación de flujos comporta. a las ecuaciones completas de Saint Venant (modelo de onda dinámica completa). Las dos últimas etapas hacen referencia a los aspectos prácticos de la operación del modelo y del programa de ordenador que se detallan seguidamente. de acuerdo a la variabilidad del flujo. es decir ∆t ≤ ∆x c (96) . se lleva a cabo. el empleo de las soluciones numéricas. necesariamente. La solución se aborda mediante el empleo del esquema en diferencias finitas de la Figura 34. representa una aproximación más realista a la física del flujo. Este modelo presenta la ventaja de que al considerar la variación de los parámetros K y x con el tiempo y el espacio. una serie de supuestos y simplificaciones que hay que abordar a lo largo de las diferentes etapas (Figura 35) envueltas en el desarrollo del modelo (Weinmann y Laurenson. o por métodos en diferencias finitas aplicados directamente a las ecuaciones diferenciales. En cambio. son importantes en cuanto que permiten clasificar a los modelos de acuerdo a las aproximaciones empleadas en las ecuaciones básicas y al tratamiento numérico o analítico de las mismas. 1990). Aunque no existen soluciones analíticas generales. tramo a tramo desde la sección inicial aguas arriba. Las dos siguientes. QIt+∆t (condición de límite). resolviendo la ecuación (86). La propagación de una avenida por el modelo de Muskingum-Cunge. mediante el método de las características (Ayuso y Giráldez.
Procedimiento de interpolación y extrapolación .Condiciones iniciales. Etapas en el desarrollo del modelo matemático para la circulación de flujos en canales abiertos (Según Weimann y Laurenson.Forma del input y ouput. .Especificaciones de las características del canal o parámetros de la circulación de flujos. .Condiciones de contorno.José Luis Ayuso Muñoz 80 NIVELES DE LA MODELACIÓN ETAPAS EN EL DESARROLLO DEL MODELO Fenómeno físico del flujo en canales (suma de procesos) Selección de las características importantes de los procesos del flujo en canales Procesos físicos representativos Descripción de los procesos físicos usando los principios de la mecánica de fluidos Representación matemática exacta de los procesos físicos seleccionados .Input de los datos del hidrograma de entrada. 1979) .Aproximaciones en las ecuaciones básicas .Otras consideraciones de la programación Programa de ordenador para los cálculos de la circulación de flujos Hidrogramas y perfiles superficiales resultantes de la circulación del flujo .Procedimientos para evaluación o parámetros de la circulación Figura 35. .Selección de los intervalos de tiempo y espacio. . . .Tratamiento numérico o analítico conceptual de las ecuaciones básicas Bases del modelo matemático .Técnica de solución Modelo matemático detallado .
Los valores medios. se determinan los valores medios de la celeridad de la onda de avenida c. de la retícula (Ponce y Yevjevich. El procedimiento operativo para proceder al estudio de la evolución de una avenida en un tramo de río o canal. 2 y 3.Circulación de flujos 81 Normalmente se toma un valor. para ∆t. que consta de cuatro puntos. Tramo de canal en régimen permanente y uniforme al que llega una onda de avenida En cada intervalo ∆x (retícula de cálculo de la malla de la figura 34). pueden obtenerse mediante la media aritmética en los tres puntos conocidos 1. el caudal Q. en intervalos de longitud ∆x Onda de avenida ∆x L Figura 36. y en dividir el tramo de longitud L. y la anchura de la superficie libre B. 1978) C1 + C 2 + C 3 3 Q1 + Q2 + Q3 Q= 3 B + B2 + B3 B= 1 3 c= o bien como (Holden y Stephenson. 1988) C1 + C 2 + 2 C 3 4 Q + Q2 + 2 Q3 Q= 1 4 B + B2 + 2 B3 B= 1 4 c= . que serán empleados en el cálculo de los parámetros K y x. comprendido entre la quinta y veinteava parte del tiempo correspondiente a la rama ascendente del hidrograma. consiste en fijar un valor de ∆t.
escrito en Fortran 77. del modelo de Muskingum-Cunge. se aplica el método iterativo de NewtonRaphson para la solución numérica de la ecuación no lineal resultante. bajo ciertas condiciones. aplicable a cauces naturales o artificiales de sección rectangular. trapecial. Para la obtención del calado. y conocido el caudal. triangular o parabólica. Expresando Q0 mediante la relación de Manning se tiene F ( y0 ) = S 1/ 2 A R2/3 − Q n (98) en la que A y R son funciones del calado y0. para la determinación del calado. una mayor aproximación está dada por y1 = y 0 − F ( y0 ) F ' ( y0 ) (97) en la que la prima indica la derivada. Puesto que no existe una solución analítica general a dicha ecuación. Derivando (98) respecto a y. la función a resolver será F(y0)= Q0 -Q en la que Q es el caudal conocido y Q0 el caudal calculado para un valor seleccionado. Fijada la sección transversal. F(y)=0. si y0 es una aproximación de la solución. indica que el contenido se evalúa para el calado y= y0.José Luis Ayuso Muñoz 82 En el anexo I se muestra el diagrama de flujo y el programa. Sustituyendo el valor de F'(y0) dado por la expresión (99) en la ecuación (97) se tiene y1 = y 0 − Q0 − Q ⎡ 2 dR 1 dA ⎤ Q0 ⎢ + ⎥ ⎣ 3R dy A dy ⎦ y0 . conocido el caudal. ya que el área A y el radio hidráulico R no son funciones simples del calado. fuera del paréntesis. suponiendo n constante y calculando F'(y0) se obtiene F ' ( y0 ) = = S 01 / 2 n ⎡2 dA ⎤ −1 / 3 dR + R2/3 ⎢3 AR dy dy ⎥⎦ y0 ⎣ ⎡ 2 dR 1 dA ⎤ S 01 / 2 A R2/3 ⎢ + ⎥ n ⎣ 3R dy A dy ⎦ y0 (99) ⎡ 2 dR 1 dA ⎤ = Q0 ⎢ + ⎥ ⎣ 3R dy A dy ⎦ y0 en donde el subíndice y0. dada una función de y. el calado se calcula mediante la ecuación de Manning. del calado. y0. Este método numérico establece que.
00 m PARABÓLICA y TRIANGULAR y TRAPECIAL y Bo Bo y 1 x 4 k= 2 a 2y ) D D S=2 ky z 1 z = 2 arc cos (1- B a RECTANGULAR SECCIÓN 2 D ( .sen ) sen 2 8K 1+S ) 2 1+z 3S ln(S+ 1+S )+S 1+S 4 ( 2 sen -- 8 3y 3 y ( B o + z y ) ( B o+ 2 y 1 + z ) 2 ( B o + 2 z y ) ( 5 B o+ 6 y 1 + z ) + 4 z y 5 B o+ 6 y 3 y ( Bo + 2 y ) 2 dR + 1 dA 3R dy A dy 2 Circulación de flujos 83 .sen 4 ) 3K ln(S+ 1+S )+S 1+S S 2 1+z zy Bo + 2 y 1 + z ( Bo + z y ) y Bo y Bo + 2 y RADIO HIDRÁULICO 2 D sen S K 2zy 2 Bo+ 2 z y Bo ANCHURA D 8 2 2 S 6K ( sen.sen ) 8 2 2 3 6K S zy ( Bo + z y ) y Bo y ÁREA 1 2K 1 2 D 2 2 2 2 ln(S+ 1+S )+S 1+S 2y 1+z Bo+ 2 y 1 + z Bo + 2 y PERÍMETRO MOJADO 3 2 2 2 D ( 1 .y=kx Tabla 10 Funciones geométricas e hidráulicas de diversas secciones transversales Ángulo central y CIRCULAR 2 1.sen ) y 2 ( Bo + z y ) y Bo + 2 z y y CALADO MEDIO O CALADO HIDRAÚLICO S 2 10 K 2 2 3D 2 +3 -5 2 cos ( .
0 70.0 329.1 51.25 9. 6.50 3.75 12.6 329.1 319. Solución.9 319.75 4. y en la sección aguas arriba del tramo conside-rado.25 12.75 9.50 8.9 350.00 4.0 257. un valor menor que 10-6.00 11.00 6.75 7.25 8. Un tramo de un cauce natural cuya sección se aproxima a una parábola dada por la expresión y = (4/a²)⋅x² (en la que a=25 representa el ancho de la superficie libre en la sección transversal para el calado de 1. En la Tabla 10 se especifican los valores de la función de forma del canal [2/(3R) (dR/dy) + (1/A) (dA/dy)].3 275.0015 m/m.8 219.75 11.50 4.25 3.4 55.75 6.25 219.4 238.0 . perímetro mojado y radio hidráulico. hasta que la diferencia entre los valores de y1 calculado e y0 establecido llega a ser tan pequeña como se quiera.25 4.cos 2πt/T) Q = Qb para t > T Determinar el hidrograma en la sección aguas abajo del tramo considerado mediante el método de Muskingum-Cunge. Ejemplo 4.00 7.75 5.6 238.00 5. tiene una longitud de 30.José Luis Ayuso Muñoz 84 que simplificando conduce a y1 = y 0 − 1 − Q / Q0 (100) ⎡ 2 dR 1 dA ⎤ ⎢ 3R dy + A dy ⎥ ⎣ ⎦ y0 la cual se resuelve mediante sucesivas iteraciones.0 180.50 7.9 348.4 275.50 6.25 5.50 5. sin rocas ni arbustos y corresponde a un curso de agua importante. para diversas geometrías.3.7 93.3 50.50 11.4 161.50 344.9 338.25 11.00 Km y una pendiente de 0.0 306.cos 2πt/12) = 200 .0 291.00 9.75 8.75 10.25 10.9 81.25 7. generalmente.150⋅cosπt/6 resultando los siguientes valores de caudales T(h) 3 Q(m /s) T(h) 3 Q(m /s) T(h) 3 Q(m /s) 3.00 10. El hidrograma de la onda de avenida resultante es Q = 50 + 300/2⋅(1 .3 306. junto a los valores de la anchura de la superficie libre.00 8.0 m).0 50.6 200.9 338. El tramo se encuentra relativamente limpio. sección transversal.6 344.6 125.0 348.1 61.0 50.00 12.50 142. El caudal base es de 50 m3/s.0 108.1 291. se origina una avenida descrita por el siguiente hidrograma sinusoidal Q= Qb + Qp⋅(1 .2 9.8 257.50 10.
5 2.1 161.3 348.0 10.0 1.0 5.25 5.75 6.0 100 0.0 1.0 .25 13.0 70.Circulación de flujos 85 El valor del coeficiente n de Manning para el tramo se deduce de la Tabla 11.7 219.0064 3.9 50.5 6.75 5.0064 Una vez conocidos todos los datos necesarios.0 8. .Según las características dadas del cauce.5 3.75 2.0 11.6 257.6 61.00 m3/s Factor n de Manning: .0300 N.9 200.0 2.DAT 30000.030 55 0.5 10.8 329.6 108.5 9.75 4.5 14.030 (cauce principal relativamente limpio sin rocas ni arbustos).0 306.7 319.75 14.0 .0 93. intervalos en que se divide el tramo de canal: 23 Incremento de x: 1304. 55.25 8.6 319.0 3.0015 4.25 10.50 50.25 3.5 5.5 12. .0 0.25 7.4 50.9 329.3 108. resulta ser k = 4/25² = 0.8 125.50 Salida de resultados Método de Muskingum-Cunge Propagación de una avenida por un tramo de canal parabólico Características geométricas: Longitud del canal: 30.0 238.50 51. A continuación se da el archivo de datos EJER43. se procede a ejecutar el programa CUNGE (ver Anexo I) que obtiene el hidrograma de salida en la sección aguas abajo.0 9. para ejecutar con el programa CUNGE Archivo EJEM43.25 9.1 50.5 4.25 11.5 7.4 338.25 1.9 275.75 3.75 11.25 4.1 50.75 7.0 348.0 0.3 50.6 338.2 70.75 10.75 9.00150 Constante K de la ecuación y = k x 2 de la parábola: .1 125.3 180.0 180.25 2.75 12.4 142.0 161.9 344.4 142.0 93.0 219.000.6 257.1 350.0 50.0 55.2 275.0 50.0 1.7 51.75 8.DAT correspondientes a este ejercicio.0 306.0 61.0 6.4 291.1 200.00640 Características hidráulicas: Caudal inicial: 50.9 238.4 81. se selecciona un valor de n= 0.5 11.5 8.00 m Pendiente de la solera: 0. El valor del coeficiente k de la parábola y = k⋅x².35 m 81.0 344.7 291.0 50.0 7.25 6.0 4.0 15.0 13.
684 1.324 3.911 2.696 1.75 2.25 6.695 1.50 3.126 4.487 3.675 1.689 2.00 6.675 Caudal (m3/s) 50.50 .063 4.90 338.50 1.00 50.69 320.673 3.70 93.89 199.00 108.95 169.10 319.75 8.168 3.75 7.40 55.25 1.76 336.00 50.90 348.00 1.50 2.944 3.10 51.877 3.75 10.00 50.773 1.689 3.90 338.035 2.75 5.00 50.73 329.410 2.00 10.25 10.60 238.00 219.00 50.877 3.880 3.675 1.01 342.013 3.00 50.50 6.75 1.834 3.25 7.752 1.560 2.094 2.99 344.00 4.25 11.30 55.95 224.00 50.00 DE SALIDA Calado (m) 1.75 285.959 1.70 125.00 50.098 4.02 197.675 1.00 2.675 1.070 2.75 9.00 180.) .361 3.094 1.959 2.324 3.952 4.30 306.75 11.90 108.675 1.67 138.675 1.25 9.80 257.85 310.708 1.50 4.44 84.903 3.70 344.00 70.00 50.67 213.91 330.183 3.00 257.789 3.50 5.75 4.25 3.063 4.087 4.00 7.70 350.675 1.00 306.60 344.00 9.86 249.21 Calado (m) 1.25 .50 9.20 180.50 66.00 142.60 329.50 11.243 2.098 4.José Luis Ayuso Muñoz 86 HIDROGRAMAS DE ENTRADA Tiempo (h.582 3.842 1.90 81.00 3.060 4.02 171.39 109.400 2.178 3.119 4.00 93.00 12.387 3.09 243.50 7.035 3.183 3.721 2.676 1.40 70.096 4.675 1.50 8.675 1.578 3.10 61.00 50.958 4.789 3.00 5.60 161.96 272.014 4.80 219.119 4.00 291.28 306.783 3.40 238.00 50.25 5.90 319.15 56.757 3.39 338.675 1.10 61.00 .57 52.19 290.25 2.54 319.560 2.081 4.014 3.60 125.752 1.40 275.10 50.017 4.666 3.135 2.28 185.00 50.00 329.456 3.053 4.30 275.40 200.46 298.243 2.677 1.675 1.675 1.842 1.33 258.10 81.284 3.60 200.25 4.30 50.00 50.675 1.50 10.099 4.57 341.34 271.880 2.526 3.400 2.40 161.456 3.10 291.75 6.00 11.962 .880 3.721 2.00 8.00 50.25 Caudal (m3/s) 50.75 3.952 3.00 348.963 3.578 3.85 344.689 3.47 228.25 8.675 1.675 1.00 51.20 142.75 12.00 50.
y los calados correspondientes al flujo base y al caudal máximo en la sección última.98 145.22 2. Sección transversal y calados de la sección de salida 20 25 30 Calado (m) Figura 37 Hidrogramas de entrada y salida en el tramo de río de sección parábolica .00 50. 5 4 3 2 1 0 Calado caudal base 1.00 13.Circulación de flujos 87 12.9 m /s 350 300 Hidrograma de entrada Caudal ( m 3/s ) 250 Hidrograma de salida 200 150 100 L = 30 km n = 0.50 14.00 14.675 1.45 112.25 13.675 1.243 2.50 13.337 2.00 50.675 1.00 50. 400 Q p = 350 m 3/s 3 Q p = 344.536 2.15 102.75 13.00 50.675 1.675 1.00 72.675 1. 0 5 10 15 Distancia (m) Figura 38.50 12.00 50.992 1.75 14.154 2.675 157.0015 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tiempo ( h ) 10 11 12 13 14 15 Calado máximo 4.675 1.00 50.40 133.54 122.75 15.070 1.746 2.00 50.854 2.675 1.25 14.00 50.00 50.65 93.675 m.640 2.435 2.00 50.675 1.97 86.099 m.71 67.00 1.030 S o = 0.921 En las Figuras 37 y 38 se muestran los hidrogramas de entrada y el de salida resultante en la sección aguas abajo del tramo.09 79.675 1.00 50.
045 0.050 0.sin cultivo . laderas con pendientes pronunciadas y árboles y arbustos en las laderas que se sumer-gen en niveles de crecida .025 0.100 .110 0.1.080 0.040 0. citado por French 1988) Tipo de cauce o canal Mínimo Normal Máximo 0.pequeños árboles y arbustos sin follaje (parada invernal) .100 0.030 0.tramos sucios.110 0.3 Zonas arbustivas .sección regular sin rocas ni arbustos .040 0.160 A Cauces naturales A.030 0.040 0.150 0.035 0.030 0.035 0.060 0.030 0.200 0.José Luis Ayuso Muñoz 88 Tabla 11 Valores del coeficiente de rugosidad n de Manning (según Chow.070 0.050 A. sin fallas ni pozos .050 A.1. carentes de vegetación en el fondo. ya que los bancos ofrecen una resistencia efectiva me-nor .035 0.meandros con algunas piedras y pastos .rectos con algunas piedras y pastos .045 0.040 0.080 0.060 0.limpios con meandros.035 0.050 0.050 0.040 0.025 0.arbustos medianos a densos durante la parada invernal .120 0.pequeños árboles y arbustos con follaje (fase vegetativa) .070 A.050 0.040 0.030 0.1 Zonas de pastos.035 0.035 0. 1959.2.080 0.045 0.2 Cursos montañosos. con pastos y pozos profundos - tramos con mucho pasto.060 0.cultivos sembrados en línea en fase de madurez fisiológica . cantos rodados y algunas rocas .040 0.080 0.1 Cursos secundarios (ancho de la superficie libre en crecida < 30 m) A.arbustos medianos a densos durante la fase vegetativa 0.sección irregular y rugosa 0.025 0.040 0.2 Cursos en planicies inundadas A.100 0. poco crecimiento en las zonas bajas y nivel de inundación que alcanza a las ramas Cursos importantes (ancho de la superficie libre en crecida > 30 m) En este caso. con algunos pozos y bancos . sin arbustos .070 0.020 0.2.050 0.033 0.070 0.060 0. son inferiores a los correspondientes de cauces secundarios análogos. temporada invernal .050 0.cauce de grava.2.1 Cursos en planicies .terreno claro con ramas sin brotes .100 0. rectos.025 0.terreno claro con ramas con gran crecimiento de brotes zonas de explotación maderera con árboles caídos.150 0.030 0.4 Zonas arbóreas .zonas de explotación maderera con árboles caídos.limpios.cultivos sembrados a voleo en fase de madurez fisiológica 0.160 0.sauces densos.075 0.045 0.cauce de cantos rodados. los valores del coeficiente n.035 0. pozos profundos y cauce en crecida con muchos arbus-tos y matorral A.100 0. poco crecimiento en las zonas bajas y nivel de inundación por debajo de las ramas .meandros con muchas piedras .045 0.escasos arbustos y pasto abundante .120 0.033 0.030 0.050 0.050 0.035 0.2 Zonas cultivadas .030 0. con grandes rocas A.pasto corto .2.070 0.060 0.050 0.pasto alto 0.
013 0. con los taludes de: piedra cogida con mortero piedra volcada sobre mortero mampostería de piedra partida cementada y revocada mampostería de piedra partida cementada piedra partida suelta o escollera 0.cepillada sin tratar .015 0.014 0.024 0.1.020 0.liso 0.020 0.8 Asfalto .1 Metálicos Corrugados B.013 0.2.017 0.2 0.en mortero de cemento 0.9 Revestimiento vegetal 0.piedra partida cementada .cepillada y tratada con creosota .025 0.020 0.032 0.2 Madera .030 B.015 0.016 0.020 0.2.020 0.017 0.piedra partida suelta o escollera 0.030 0.2.030 Tipo de cauce o canal Máximo B Canales revestidos o de fábrica B.2.011 0.4 - Solera de hormigón terminado con lechada.030 0.sobre roca excavada irregular 0.012 0.020 0.2.017 0.sin pintar .3 Hormigón .014 0.1.013 0.limpio en la superficie .024 0.2.011 0.piedra partida suelta .020 0.6 Solera de fábrica de ladrillo .023 0.020 0.012 0.mortero enlucido y bruñido 0.011 0.piedra volcada sobre mortero .1 Superficie de acero limpio .016 0.017 0.sobre roca excavada pareja .017 0.500 .013 B.010 0.011 0.5 Solera de grava con taludes de: .vitrificado .2.sin cepillar 0.017 B.035 B.Circulación de flujos 89 Tabla 11 (Continuación) Valores del coeficiente de rugosidad n de Manning (según Chow.012 0.pintada 0.015 0.013 0.022 0.018 B.014 0.2 No metálicos B.015 B.015 B.025 0.015 0.025 0.terminado con lechada .013 0.terminado con grava en el fondo .023 0.013 0.7 Mampostería .sin terminar .015 0.020 0.hormigón encofrado .025 0.010 0.2.013 0.021 0.015 0.026 0.033 0.030 0.piedra labrada y ajustada 0.035 0.011 0.036 B.012 0.011 0.017 0.2.015 0.020 0.017 0.013 0.1 Cemento .027 0.012 0.017 B. citado por French 1988 Mínimo Normal B.023 0. 1959.
limpio.lisa y uniforme .080 0.035 0.030 0.solera de cantos rodados y taludes limpios 0.050 0.022 0.050 C. rectos y uniformes . citado por French 1988) Mínimo Normal Máximo C.040 0.sin vegetación .2 De tierra.050 0. con pastos y arbustos sin cortar .033 C.040 0.pastos densos.035 0.050 C. tan altos como el calado del flujo . curvos y lentos .028 0.rugosa o irregular 0. 1959.018 0.022 0.4 Roca excavada .sin vegetación .023 0.con musgo y algo de pasto .018 0.050 0.025 0.030 0.030 0.030 0.016 0.limpios.040 0.040 0.solera de tierra y taludes de piedra partida .030 0.limpios.025 0. sección uniforme .014 Tipo de cauce o canal C Canales excavados o dragados .040 0.025 0.025 0.con musgo corto y poca hierba 0.con pocos arbustos en los bancos 0.025 0. con cierto uso .120 0.solera pedregosa y bancos con pastos .pasto denso o con plantas acuáticas en canales profundos .035 0.040 0.025 0.033 0.035 0.027 0.3 Excavados con pala o dragados .1 De tierra.022 0.grava.030 0.025 0.033 0.030 0.035 0.5 Canales sin mantenimiento.028 0.060 C. terminados recientemente .solera limpia y arbustos en los bancos .080 0.080 0.arbustos densos de igual altura al calado del flujo 0.020 0.José Luis Ayuso Muñoz 90 Tabla 11 (Continuación) Valores del coeficiente de rugosidad n de Manning (según Chow.100 0.
Establecer un factor modificador de n que tiene en cuenta la rugosidad y el grado de irregularidad. 3.014 0.010 a 0. Establecer un factor modificador de n por la variación del tamaño y forma de la sección.000 0. 2.15 veces ns 0.Pequeña .050 a 0.000 a 0. 6.5 > 1.Efecto importante 0.010 0. troncos caídos y raíces al aire.028 Factores recomendados para el grado de irregularidad .Cauces en tierra .Gradual 0. 4.Circulación de flujos 91 Tabla 12 Determinación del valor del factor n de Manning por el método U.000 . etc.010 . Factores recomendados para la vegetación .010 0.025 a 0.Lm = Longitud del tramo de meandros Lm/Ls -----1. Factores recomendados para el valor de los meandros .Ocasional 0.Frecuente 0. Valores básicos de n recomendados .Ls = Longitud del tramo recto . Establecer un factor modificador de n que tenga en cuenta la existencia de meandros. tocones.030 .2 .5 n ---------0.S.Grande 0. raíces.Moderada . 7.2 1.100 .060 5.Efecto importante . tocones. Soil Conservation Service 1.Cauces con grava gruesa 0. 2. VALORES DE N QUE NO SE DEBEN EMPLEAR 1. Sumar todos los valores de los seis pasos precedentes.005 .000 .020 3. Suponer un valor n básico.Efecto muy grande 6.Efecto despreciable 0. Factores recomendados para los cambios en forma y tamaño de la sección transversal . Establecer un factor modificador de n por la vegetación.015 0.1.Cauces en roca . 5. .015 4.Efecto pequeño 0.Efecto pequeño . Establecer un factor modificador de n que tiene en cuenta las obstrucciones por depósitos de hojarasca.Efecto medio .000 0. Factores recomendados para las obstrucciones ocasionadas por hojarasca.Efecto apreciable 0.050 0.1.30 veces ns siendo ns = factores 1 + 2 + 3 + 4 + 5 0.025 0.005 0.0 .010 0.Suave .Cauces en grava fina .010 a 0.
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K. pp:61-79. Streamflow from rainfall by the unit-graph method. 1989. Brakensiek. H. Cambridge University Press.H. Michigan. Editado por C. SINGH. 1987. Prentice Hall PRESS. SHERMAN. YEVJEVICH.Circulación de flujos 93 HUGGINS. Haan. Cap.L. The engineering of large dams. Editado por D. TEUKOLSKY y W.H. 1978. Abt y J.P. 48.P. Muskingum-Cunge method with varible parameters. McCANN. Journal of the Hydraulics Division. Johnson y D. 1986. pp:85-91. THOMAS. T. y J.. 1975. 5. M. pp:1663-1667.M. 1988.. VETTERLING. London.E.F. pp:169-225. KOHLER y J. Hydrology for Engineers. Journal of Hydraulic Engineering. St. W. 1980. Amsterdam.D. Moll. pp:91-97.T. 31. Proceedings of the 1988 National Conference on Hydraulic Engineering. Simplified Muskingum routing.C. Editado por S. W. Some notes on Muskingum method of flood routing. y M. H. ASCE 105. VIESSMAN. ASAE LINSLEY. Kinematic hydrology and modelling. John Wiley and Sons.R. R. 1932.R.M.A. S.. y P. Journal of Hydrology. Comparison of physically-based Muskingum methods. Discharge characteristics of rectangular profiled weirs. V. 1980. RUFFINI.R. Kraijenhoff y J. y V...H. . Joseph. PAULHUS. Third edition. 113. En Hydrological Modeling of small Watersheds. Analysis of monlinear Muskingum flood routing..W. 1976. Transactions of the ASAE. PONCE. LEWIS y J. FLANNERY.A. pp:11-37. D. y J. storage and routing.L. Surface runoff. PONCE. V.. pp:501-505 SINGH. M. y R. pp:969-978. STREETHARAN. 1982. Engineering Hydrology: Principles and Practices. Introduction to hydrology.R. BURNEY. V. 1986. Englewood Cliffs. L. L. ASCE 104. River flow modelling and forecasting. Journal of the Hydraulics Division. KNAPP. MEADOWS.P. 1979. PONCE. Colorado. The art of scientific computing. McGraw-Hill Book Company O`DONNEL. Eng.P.. V. SCARLATOS. B.M. STEPHENSON. pp:342-361. News Record 108.A. B. Elsevier.K. Harper & Row Publishers. WILSON. 26. New York.T. Deterministic catchment modelling. Part II. New York. Numerical recipes. 1989. V.. G. New Jersey.N. 1988. Gessler. Developments in Water Science.
1970. BARNES.José Luis Ayuso Muñoz 94 YEVJEVICH. Hydrology Papers. Numerical computer methods of solution.H. Fort Collins. Flood routing throgh storm drains. 46. y A. V. . Part IV. CSU.
Programa MUSKING Realiza la propagación de una avenida por un tramo de un cauce. Programa CONVOL Obtiene el hidrograma de salida de una cuenca. conocidos el hidrograma de entrada. a partir de un hidrograma de lluvia efectiva registrado y el correspondiente hidrograma de escorrentía directa. mediante el método de Muskingum-Cunge. la función cota de la superficie librealmacenamiento y la curva de gasto del aliviadero. trapecial. registrados en la misma. . mediante el método de Muskingum. mediante la convolución discreta. de n embalses lineales en serie.Circulación de flujos 95 ANEXO I Programa PRAVEM Obtiene el hidrograma de salida por el aliviadero de un embalse. triangular o parabólica. a partir de un hietograma de lluvia efectiva y el correspondiente hidrograma de escorrentía directa. conocidos los parámetros k y x del modelo. la pendiente del tramo del canal y el factor de rugosidad n de Manning. Programa CUNGE Realiza la propagación de una avenida a través de un cauce natural o artificial de sección rectangular. conocidos el hidrograma unitario (HU) de duración ∆t y el hidrograma de lluvia efectiva a intervalos ∆t. por resolución de la ecuación de continuidad dy / dt = [I (t ) − Q( y )] / S ( y ) mediante el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden. deducido del HUI obtenido del modelo conceptual de Nash de n embalses lineales en serie. Programa HUNASH Obtiene el hidrograma unitario de una determinada duración ∆t. de una cuenca. y consecuentemente el HUI de una cuenca (función de densidad de la distribución Gamma). conocidos el hidrograma de entrada en la sección aguas arriba. Programa NASH Obtiene los valores de los parámetros n y k del modelo conceptual de Nash.
Propagación de una avenida a través de un embalse
Obtención del hidrograma de salida de un embalse con superficie
las características Elevación-Superficie libre, y la curva de
desagüe del aliviadero, por resolución de la ecuación de continuidad:
mediante el método numérico de Runge-Kutta de cuarto orden.
ELEV(I): Valor puntual de la elevación de la superficie libre en
la curva Elevación-Superficie libre (m.)
Valor puntual del área de la superficie libre en la
curva Elevación-Superficie libre (Has.)
COT(I): Valor puntual del calado en la curva de desagüe del
Valor puntual del caudal en la curva de desagüe del
Cota de la coronación del aliviadero (m.)
Valor del tiempo para finalizar los cálculos (h.)
Elevación de la superficie libre del agua en el embalse en el
instante t=0 y cota de coronación del aliviadero
Valor del intervalo de tiempo dt y tiempo máximo para el calculo
Datos de la curva de desagüe del aliviadero
-------105 FORMAT (1X,'Propagación de una avenida a través de un embalse'/
1 /1X,'Solución de la ecuación de continuidad:'//10X,
2 'dy/dt=(I(t)-Q(y))/S(y)'//1X,'mediante el esquema numérico de',
109 FORMAT (//1X,'Curva Elevación-Area de la superficie del embalse'
112 FORMAT (//9X,'Curva de desagüe aliviadero'/15X,'Cota',5X,
115 FORMAT (//1X,’Cota inicial superficie libre: ‘,F7.2/
1X,'Cota de coronación del aliviadero: ',F7.2//)
116 FORMAT (16X,'Hidrograma de salida'/11X,'Tiempo',3X,'Elevación'
QA(I).) X: Parámetro de Muskingum (adimensional) DT: Intervalo de tiempo considerado en el calculo (h.*FK*X)/DENO C1=(DT+2.*)(TQ(I).205) T(I).QC(100).) QC(I): Caudal de entrada al final del intervalo de tiempo considerado.NQ) Muestra en pantalla el parámetro K y pide el valor del intervalo de tiempo DT>2*K*X.QA.) Q0: Caudal inicial de salida en la sección aguas abajo (m3/s) ------------------------------------------------------------------PROGRAM MUSKING DIMENSION TQ(50).Circulación de flujos 99 PROGRAM MUSKING C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Obtiene el hidrograma de salida en un tramo de canal o río conocido el hidrograma de entrada en la seción aguas arriba mediante el método de Muskingun -----------------------------------------------------------------Variables empleadas ------------------QA(I): Valor del caudal en la sección de entrada A (m3/s) TQ(I): Valor del tiempo correspondiente a los puntos conocidos del hidrograma de entrada T(J): Tiempo en el que se calcula el caudal de salida (h.200) FK. para calcular los caudales de salida FT=2.*FK*X WRITE (*. caudal de salida inicial Q0.FK READ (*.X DO 15 I=1.*) DT Calculo de los coeficientes C0.*FK*X)/DENO C2=(2. caudal de cálculo QC.105) FT.*) NQ READ (1.*) FK.*FK*(1-X)+DT C0=(DT-2.QC(I).J WRITE (2. caudal de salida QSAL.X.QA(50).I=1.QC(J)) QSAL(J)=C0*QC(J)+C1*QC(J-1)+C2*QSAL(J-1) GO TO 10 END IF Escritura de resultados WRITE (2. obtenido por interpolación lineal entre los valores conocidos del hidrograma de entrada (m3/s) QSAL(I): Caudal de salida calculado en la sección aguas abajo (m3/s) FK: Constante de almacenamiento (h.*FK*(1-X)-DT)/DENO Establece valores iniciales de tiempo T.Q0 Hidrograma de entrada en la sección aguas arriba READ (1.QSAL(I) 15 CONTINUE STOP Formatos -------- . y contador J J=1 T(1)=TQ(1) QSAL(1)=Q0 QC(1)=QA(1) Calcula el caudal de salida al final del intervalo considerado 10 T(J+1)=T(J)+DT IF (T(J+1). C1 y C2 DENO=2.T(100).TQ(NQ)) THEN J=J+1 CALL INTERPO (TQ.T(J).NQ.QSAL(100) Lectura de datos ---------------Parámetros K y x.LE. en la sección aguas abajo del tramo de canal estudiado READ (1.
A(K+1)) GO TO 10 K=K+1 GO TO 5 VAL=B(K)+(B(K+1)-B(K))*(X-A(K))/(A(K+1)-A(K)) RETURN END .4X.José Luis Ayuso Muñoz 105 1 2 200 1 2 3 4 205 C 5 10 100 FORMAT (/1X.B.B(N) K=1 IF (X.6X.2.'(h.VAL) DIMENSION A(N).F5.X.A(K).F7.2.X. en el’ ' que se va a realizar el cálculo de modo que:'.LE. ' < DT (h. 7X.'De salida'/2X.'Método de Muskingum'/1X.'De entrada'.2) END SUBROUTINE INTERPO (A.'Valores de los parámetros:'//8X.3X. 'Tiempo'.2/8X.30('-')) FORMAT (F6.'Entre el valor del intervalo de tiempo DT.)'.5X.F5.'HIDROGRAMAS'/1X.2//11X.F5.'(m3/s)'.2.F7.'(m3/s)'/1X.N.30('-')/1X.2x.2/) FORMAT (15X.AND.F5. 'K = '.) <'.'Propagación de una avenida por un tramo de canal'//1X.GE.'x = '.
115) DT DO 10 I=1.I=1.NU) Escritura de los datos de partida --------------------------------WRITE (2.NP) GOTO 30 IF (J.NP) Datos del HU READ (1.F5.N 25 WRITE (2.Circulación de flujos 101 PROGRAM CONVOL C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Obtiene el hidrograma de salida de una cuenca dados el hidrograma Unitario (HU) de duración DT y el hietograma de lluvia efectiva a intervalos de tiempo DT.500) N Obtención de las ordenadas del hidrograma de salida por la relación de Convolución discreta DO 20 K=1.110) I.29('-')) 110 FORMAT (17X.*) NU READ (1.I2.NU J=K+1-I IF (J.205) FLOAT/I)*DT.'Intervalo'.105) DO 5 I=1.GT.*)(U(I). 2 ' H.'//10X.*) (P(I).9X.U. mediante la relación de Convolución discreta --------------------------------------------------------------------Variables utilizadas -------------------P(i): Valor del volumen de precipitación efectiva durante el intervalo i del hietograma (mm.NP 5 WRITE (2.U(I) 10 CONTUNUE Obtención del numero de ordenadas no nulas del hidrograma de salida N=NP+NU-1 N=NP+UN-1 WRITE (2.QSAL(I) Formatos -------105 FORMAT (2X.TP(30) Entrada de datos ---------------Valor del intervalo de tiempo DT READ (1.*)DT Datos del hietograma de lluvia efectiva READ (1.'Hietograma de lluvia efectiva'/14X. DO 30 I=1.) U(i): Valor de la ordenada del HU (m3/s por mm de lluvia efectiva) QSAL(i): Valor del caudal resultante a la salida de la cuenca al final del intervalo i (m3/s) DT: Valor del intervalo de tiempo del hietograma y tiempo del HU ------------------------------------------------------------------CHARACTER TITULO *80 DIMENSION P(250).N QSAL(K)=0.5x.110) I.LE.*) NP READ (1.'Obtención del hidrograma de salida de una cuenca'.I=1. 3 '(mm.200) DO 25 I=1. 1 ' mediante la'/2X.U(250).NU WRITE (2.P(I) WRITE (2.2) .'aplicación de la relación de convolución al’.0) GOTO 20 QSAL(K)=QSAL(K)+U(I)*P(J) 20 CONTINUE 30 CONTINUE Salida de resultados WRITE (2.QSAL(300).)'/10X.
'Nº de Ordenadas del Hidrograma de salida’. 1 'Tiempo Caudal'/16X.29('-')) 120 FORMAT (/1X.'/9X.)'.'* HIDROGRAMA DE SALIDA *'/14X.)'/9X.29('-)/ 1 14X.F7.5X.7X.José Luis Ayuso Muñoz 115 102 FORMAT (///9X.2) END .20('-')) 205 FORMAT (16X.'h.1.'Hidrograma Unitario de'.'(h.20('=')/15X.'Intervalo Caudal'/26x.'(m3/s)'/14X.1X.'(m3/s/mm.f4.I5) 200 FORMAT (///12X.F4.1.
BRP=DTP*0. FMP1=0.I=1.*) NP READ (1.Q(I). Las ordenadas del HUI están dadas por la función 1 n-1 -t/K h(t) = -----.*) SUP.NP) READ (1. FMP2=0.Circulación de flujos 103 Programa NASH C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Obtiene los valores de los parámetros N y K del modelo de Nash en el que el HUI es la función de densidad de la distribución Gamma.200) SUP.*) NQ READ (1. para que sea dimensionalmente homogénea con los datos de escorrentía.DTP Hietograma e hidrograma conocidos READ (1.I=1.*)(P(I). intervalo de tiempo en que se da el hietograma READ (1. Obtiene el Hidrograma Unitario Instantáneo de una cuenca a partir de los los datos de un Hietograma de precipitación Efectiva (HPE) y el corres pondiente Hidrograma de Escorrentía Directa (HED) registrados en la cuenca mediante el modelo de Nash.Q(I) Conversión de los mm de lluvia efectiva del hietograma a m3/s de lluvia.NP 5 WRITE (2. respecto al origen del hidrograma .NP SP(I)=P(I)*DTP S1=S1+SP(I) FMP1=FMP1+SP(I)*BRP FMP2=FMP2+SP(I)*BRP**2 BRP=BRP+DTP 20 CONTINUE Calculo del área y momentos de primer y segundo orden.215) TQ(I).NQ 10 WRITE (2.*)(TQ(I).Q(100). respecto al origen del hietograma ---------------S1=0.NQ) Escritura de los datos ---------------------WRITE (2.P(I) WRITE (2.5 DO 20 I=1.SQ(100) Lectura de datos ---------------Superficie de la cuenca.(t/K) e K Γ(n) Variables utilizadas -------------------SUP: Superficie de la cuenca (Km2) DTP: Intervalo de tiempo en que se dan los pulsos del hietograma (h) P(I): Valor del pulso del hietograma (mm) Q(I): Valor puntual de la ordenada del hidrograma (m3/s) TQ(I): Valor puntual del tiempo en el hidrograma (h) SP(I): Valor del área de cada uno de los intervalos del hietograma SQ(I): Valor del área de cada uno de los intervalos del hidrograma ------------------------------------------------------------------PROGRAM NASH DIMENSION P(50). DO 15 I=1.TQ(100).NP P(I)=P(I)*SUP/(3.6*DTP) 15 CONTINUE Calculo del área y momentos de primer y segundo orden.DTP DO 5 I=1. de N embalses lineales en serie.210) DO 10 I=1.SP(50).205) I.
' Km2'///1X.'K = '.36('-')/5X.5X.'Hidrograma de Escorrentía Directa'/2X.*Q(I+1))/SY*DTQ/3. 'Tiempo'.9X. 'Intervalo de tiempo:'.F5. DO 25 I=1.F7.'Intervalo'.8X.5 S2=S2+SQ(I) BRQ=DT0+(Q(I)+2.'Obtención de los parámetros n y K del modelo de Nash '/1X.'Superficie de la cuenca:'.4X.'(mm)'/5X.N SY=Q(I)+Q(I+1) DTQ=TQ(I+1)-TQ(I) SQ(I)=SY*DTQ*0.'//9X.220) FN.2.6('-')) FORMAT (10X.1X.2. 'N = '.6/1X.6) STOP END . FMQ1=FMQ1+SQ(I)*BRQ FMQ2=FMQ2+SQ(I)*BRQ**2 DT0=DT0+DTQ 25 CONTINUE Calculo de los parámetros n y K ------------------------------FNK=FMQ1/S2-FMP1/S1 FK=(FMQ2/S2-FMP2/S1-FNK**2-2.4X.'.F10.'Valores de los parámetros del modelo de Nash'//1X.13X.FK Formatos -------200 205 210 215 220 1 2 3 4 1 1 FORMAT (1X.1) FORMAT (//2X.José Luis Ayuso Muñoz C C C C C C C C 104 ---------------S2=0.' h.F6.1) FORMAT (//1X. N=NQ-1 DT0=0.'(h)'.F10.*FNK*FMP1/S1)/FNK FN=FNK/FK Escritura de resultados ----------------------WRITE (2.I2.5X.6('-').33('-')/10X.'N.4X. 'Hietograma de precipitación Efectiva'/1X.F4.9('-').1. FMQ1=0.13('-')) FORMAT (8X.'(m3/s)'/10X.'Caudal'/12X.F5.52('-')//1X.'precipitación'/ 5X. FMQ2=0.
SQ(100) Lectura de datos ---------------Superficie de la cuenca.205) I.P(I) WRITE (2. Las ordenadas del HUI esta dadas por la función 1 n-1 -t/K h(t) = -----.*) THU.DT Escritura de los datos ---------------------WRITE (2. DO 15 I=1. FMP2=0.*) SUP. de N embalses lineales en serie.Q(I).NP) READ (1.6*DTP) 15 CONTINUE Calculo del área y momentos de primer y segundo orden.Q(I) Conversión de los mm de lluvia efectiva del hietograma a m3/s de lluvia.Q(100).NQ) Tiempo que caracteriza al HU e incremento de tiempo en que se calculan las ordenadas del HU READ (1.NQ 10 WRITE (2.*) NP READ (1.210) DO 10 I=1.I=1.SP(50).NP P(I)=P(I)*SUP/(3. respecto al origen del hietograma ---------------S1=0.FK DIMENSION P(50).DTP DO 5 I=1.5 . intervalo de tiempo en que se da el hietograma READ (1.*) NQ READ (1.I=1. FMP1=0.*)(TQ(I).(t/K) e K Γ(n) Finalmente obtiene el Hidrograma Unitario de una duración determinada a partir del HUI.Circulación de flujos 105 Programa HUNASH C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----------Obtiene los valores de las ordenadas del Hidrograma Unitario Instantáneo Se obtiene el Hidrograma Unitario Instantáneo de una cuenca a partir de los datos de un Hietograma de Precipitación Efectiva (HPE) y el correspondiente Hidrograma de Escorrentía Directa (HED) registrados. mediante el modelo conceptual de Nash.TQ(100).DTP Hietograma e hidrograma conocidos READ (1.215) TQ(I).*)(P(I). Variables utilizadas -------------------SUP: Superficie de la cuenca (Km2) DTP: Intervalo de tiempo en que se dan los pulsos del hietograma (h) P(I): Valor del pulso del hietograma (mm) Q(I): Valor puntual de la ordenada del hidrograma (m3/s) TQ(I): Valor puntual del tiempo en el hidrograma (h) SP(I): Valor del área de cada uno de los intervalos del hietograma SQ(I): Valor del área de cada uno de los intervalos del hidrograma THU: Tiempo que caracteriza al HU que se quiere obtener DT: Incremento de tiempo en el que se calculan las ordenadas del HU (h) HUI: Ordenada del Hidrograma Unitario Instantáneo ------------------------------------------------------------------PROGRAM NASH COMMON FN.200) SUP. BRP=DTP*0.NP 5 WRITE (2. para que sea dimensionalmente homogénea con los datos de escorrentía.
THU) THEN A=0. FMQ2=0.*Q(I+1))/SY*DTQ/3.1.NP SP(I)=P(I)*DTP S1=S1+SP(I) FMP1=FMP1+SP(I)*BRP FMP2=FMP2+SP(I)*BRP**2 BRP=BRP+DTP CONTINUE Calculo del área y momentos de primer y segundo orden.E-2) GOTO 27 HUV=HUI GOTO 26 27 CONTINUE Obtención del Hidrograma Unitario de THU horas ---------------------------------------------WRITE (2. ELSE A=T-THU END IF . FMQ1=0.LE. 30 T=T+DT Búsqueda del limite inferior del intervalo para el calculo de la integral g(t)-g(t-thu) IF (T.5 S2=S2+SQ(I) BRQ=DT0+(Q(I)+2. 26 T=T+DT HUI=1.N SY=Q(I)+Q(I+1) DTQ=TQ(I+1)-TQ(I) SQ(I)=SY*DTQ*0.GE.AND.LE. FMQ1=FMQ1+SQ(I)*BRQ FMQ2=FMQ2+SQ(I)*BRQ**2 DT0=DT0+DTQ 25 CONTINUE Calculo de los parámetros n y K ------------------------------FNK=FMQ1/S2-FMP1/S1 FK=(FMQ2/S2-FMP2/S1-FNK**2-2.6 WRITE (2.José Luis Ayuso Muñoz C C C C C C C C C C C C C C C C C 20 106 DO 20 I=1. HUV=0.FK Calculo de las Ordenadas del Hidrograma Unitario Instantáneo expresadas en m3/s/mm de lluvia efectiva ------------------------------WRITE (2. respecto al origen del hidrograma ---------------S2=0. DO 25 I=1.225) THU WRITE (2.216) T.219) T=0.ABS(HUI-HUV)./FK/GAMMA(FN)*(T/FK)**(FN-1)*EXP(-T/FK) HUI=HUI*SUP/3. QOLD=0.230) Calculo del tiempo base del HU Calculo de las ordenadas del HU T=0.*FNK*FMP1/S1)/FNK FN=FNK/FK WRITE (2. N=NQ-1 DT0=0.TQ(NQ).220) FN.HUI IF (T.
F5.1) FORMAT (//2X.'(h.'Caudal'/12X.P1.F10. 'Hietograma de precipitación Efectiva'/1X.2..4. a partir'/1X..4X.b) en 2.4X.LE.F4.. -----------------------------------------------------------------SUBROUTINE SIMPS(A.8.13('-')) FORMAT (8X.*FUNC(X+H)+FUNC(X+2. 'N = '.1X.' h.'(m3/s)'/10X..Circulación de flujos C C C C CALL SIMPS(A.' Km2'///1X.*H))/3.JMAX=10) SOLD=0.4X.'de la función de distribución Gamma'//) FORMAT (5X.33('-')/10X. correspondientes a dos pasos de h.F4.'precipitación'/ 5X.FK TT=T/FK .'(h)'.5X.3X.6/1X.E-2) GOTO 40 QOLD=QHU GOTO 30 40 STOP Formatos -------200 205 210 215 216 219 220 225 230 235 C C C C C C C C C C C C C C 107 1 2 3 4 1 1 1 1 1 FORMAT (1X.'Hidrograma de Escorrentía Directa'/2X..6 WRITE (2.(P2.1.F6.'(mm)'/5X. 'Tiempo'. dividiendo el intervalo (a.'K = '.10('-')) FORMAT (5X.*H 10 CONTINUE IF (ABS(SOLD-S).'HIDROGRAMA UNITARIO'/5X.1.'(m3/s)'/10X. calculadas en los puntos (Po. 'Tiempo'. .2..JMAX N=2**J M=N/2 X=A H=(B-A)/FLOAT(N) S=0.32('-')/10X.'(h)'.'N.'Superficie de la cuenca:'.6('-')) FORMAT (//1X. DO 5 J=1.'(m3/s/mm.2.EPS) GO TO 15 SOLD=S 5 CONTINUE 15 RETURN END función de integración ---------------------Establece la función de densidad de la distribución Gamma FUNCTION FUNC (T) COMMON FN.'Obtención de los parámetros n y K del modelo de Nash '/1X.T.'.E-6.'Caudal'/12X. 2 divisiones.QQ) Calculo de la ordenada en m3/S/mm de lluvia efectiva QHU=QQ/THU*SUP/3. 'Caudal'/6X.F6.1) FORMAT (9X.P4) .S) PARAMETER (EPS=1.4X.3) END Subrutinas y funciones ---------------------Subrutina SIMPS Obtiene la integral de la función f(x) entre los limites a y b mediante la regla de Simpson.AND.F6.'Tiempo'.QHU IF (T.TQ(NQ).2.36('-')/5X.8X. X=X+2.'Hidrograma Unitario Instantáneo'/1X.3) FORMAT (//1X.9('-').235) T.)'/5X.6/) FORMAT (//1X. y sumando las áreas de Xo a X2. .P3.GE.LE.F10.4X.19('-')/5X..6('-').13X.'Obtención del Hidrograma Unitario de'.F7.6('-')) FORMAT (10X..M S=S+H*(FUNC(X)+4.I2.F5.9X.3X.F8.1. DO 10 I=1.4X.P2).16.. 'horas.)'.'Intervalo'.F10. 'Intervalo de tiempo:'.'Valores de los parámetros del modelo de Nash'//1X. X2 a X4.B.5X.3X.5X.6('-').5X.'//9X.ABS(QHU-QOLD).1X.52('-')//1X.6('-').
6 X=X+ONE SER=SER+COF(J)/X 10 CONTINUE GAMMLN=TMP+LOG(STP*SER) RETURN END . 1 -1.ONE.FPF/0.1.50662827465D0/ DATA HALF.1.-X ZZ=EXP(GAMMLN(U)) GAMMA=PI*Z/ZZ/SIN(PI*Z) ELSE GAMMA=EXP(GAMMLN(X)) END IF RETURN END FUNCTION GAMMLN(XX) Obtiene el valor de Ln( â (x)) para x>1 REAL*8 COF(6).5.))/(FK*GAMMA(FN))*EXP(-TT) RETURN END función Gamma ------------FUNCTION GAMMA(X) Obtiene el valor de la función Gamma(X).) THEN PI=2.STP/76.536382D-5.18009173D0.01409822D0. W.231739516D0.ONE.120858003D-2. para X>0 Para X>1 se obtiene precisión total Para 0<X<1 se emplea la formula de reflexión (Subrutina tomada de "Numerical Recipes". 1986) IF (X.LT.TMP.H..SER DATA COF. Press et al.50532033D0.FPF.5D0.STP.-X U=2.-.HALF.24.*ASIN(1.5D0/ X=XX-ONE TMP=X+FPF TMP=(X+HALF)*LOG(TMP)-TMP SER=ONE DO 10 J=1.X.José Luis Ayuso Muñoz C C C C C C C C C 108 FUNC=(TT**(FN-1.) Z=1.0D0.2.-86.
Q0 Datos del hidrograma de entrada READ (1. sección y rugosidad) -----------------------------------------------------------------Variables utilizadas -------------------TA(I): Tiempo del hidrograma de entrada (h) QA(I): Caudal de hidrograma de entrada (m3/s) Q(I): Caudal conocido en el punto I de la malla al principio del incremento de tiempo (m3/s) QS(I): Caudal calculado al final del incremento de tiempo en el punto I de la malla (m3/s) Y(I): Calado en el punto I de la malla (m) S0: Pendiente de la solera del canal FMAN: Factor n de Manning FLONG: Longitud del tramo de canal que se analiza (m) NSEC: Tipo de sección transversal del canal (1) Rectangular (2) Trapecial (3) Triangular (4) Parabólica B0: Ancho de la solera del canal o constante K de la parábola Z: relación H/V del talud del canal trapecial DT: Valor del incremento de tiempo en que se realizan los cálculos (h) NINT: Numero de intervalos en que se divide el tramo del canal CK: Valor de la celeridad de la onda de avenida (m/s) FK: Valor del parámetro K de Muskingun (h) X: Valor del parámetro x de Muskingun ------------------------------------------PROGRAM MUSCUN DIMENSION TA(100).2.S0.Z.121) FLONG.B0.QS(200).4) NSEC 1 WRITE (2. conociendo el hidrograma de entrada en la sección aguas arriba y las características geométricas del canal (pendiente.120) FLONG.Z COMMON /MC2/ NSEC.3.S0.*) 'Valor del incremento de tiempo DT (h) a utilizar en 1 los cálculos' READ (*.QA(I).Y(200) COMMON /MC1/ SN.*)(TA(I).*) FLONG.B0.*) NINT Incremento de tiempo DT en que se realizan los cálculos WRITE (*.QA(100).*) NA READ (1.*) DT WRITE (*.YS(200). Realiza la propagación de una avenida a través de un canal natural o artificial.*) DER ---------------------Escritura de los datos de partida GOTO (1.S0 COMMON /MC3/ FK.Circulación de flujos 109 Programa CUNGE C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Programa CUNGE.B0 GOTO 6 2 WRITE (2.X Entrada de datos ---------------Datos geométricos del canal READ (1.S0. mediante el método de Muskingun-Cunge.Q(200).NA) Datos para el calculo READ (1.NSEC Datos hidráulicos del canal READ (1.Z GOTO 6 .B0.DX.I=1.*) 'Valor del intervalo de tiempo (horas) en que se den 1 los resultados' READ (*.*) FMAN.
123) FLONG.YS(I-1)) END IF Calculo del parámetro X mediante la subrutina Musk CALL VALPAR (YS(I-1).CK2.S0.EQ.X.*FK*X)/DENO C1=(DT+2.150) T. X=(1.QB2) CALL VALPAR (Y(I).*FK*X)/DENO C2=(2. C2 DENO=2.FMAN Definición de parámetros a utilizar ----------------------------------IPR=(DER+0.YS(I)) 25 CONTINUE IF (KT/IPR*IPR.*FK*(1-X)+DT C0=(DT-2.Y0) Establecimiento de las condiciones iniciales -------------------------------------------DO 15 I=1.T.140) Calculo del calado y velocidad normales en régimen uniforme y permanente correspondientes al caudal inicial CALL CALADO (NSEC.QS(I).N Y(I)=Y0 Q(I)=Q0 15 CONTINUE KT=0 T=0.N IF(I.0. QB=(QB1+QB2+QB3)/3.001)/DT SN=SQRT(S0)/FMAN Comprobación de la condición de Cunge para el caudal máximo QMX=QA(1) DO 10 I=2. Calculo de los coeficientes C0.CK1.122) FLONG.*FK*(1-X)-DT)/DENO Calculo del caudal y calado en el punto I de la malla QS(I)=C0*QS(I-1)+C1*Q(I-1)+C2*Q(I) CALL CALADO (NSEC.5) THEN NINT=NINT-1 IF (NINT.Z GOTO 6 4 WRITE (2.KT) THEN WRITE (2. C1.QS(1).CK3.B0 6 WRITE (2.-QB/(S0*CK*DX))/2.2) THEN CALL INTERPO (TA.José Luis Ayuso Muñoz 3 C C C C C C C C C C C C C 110 WRITE (2.Q(I).Q0.0) STOP 'No se cumple la condición de Cunge' GOTO 5 END IF WRITE (2.NA.S0.EQ.125) Q0.EQ.LT.YMX) 5 DX=FLONG/FLOAT(NINT) N=NINT+1 Llamada a subrutina Musk que calcula los parámetros de Muskingun-Cunge CALL MUSK (YMX.OR.DX WRITE (2.GT.YS(N) .QB3) Promedio de tres puntos de la retícula (Ponce y Yevjevich.YS(1). FK=DX/CK/3600. 1979) CK=(CK1+CK2+CK3)/3.QS(I-1).QMX) QMX=QA(I) 10 CONTINUE CALL CALADO (NSEC.NA IF (QA(I).130) NINT.QB1) CALL VALPAR (Y(I-1).QS(I-1).QMX) IF (X.QS(I-1)) CALL CALADO (NSEC.QMX. 20 T=T+DT KT=KT+1 Calculo del caudal y calado en los puntos de la malla en el instante T DO 25 I=2.GT.Q(I-1).0.QA.QS(N).
40('-')/11X.'características geométricas:'/6X.2.'características geométricas:'/6X.'Método de Muskingun-Cunge'/1X.F6.4X. '(m3/s)'.F7.Z Y0=1.'Longitud del canal:'. 'Propagación de una avenida por un tramo de canal triangular' ///1X.2//) FORMAT (15X.B0.'Incremento de x: '. 'Propagación de una avenida por un tramo de canal parabólico' ///1X.2.2.F6. 'Constante K de la ecuación y=kx2 de la parábola:'F7.2X.Y0)*RADH(NSEC.5/6X.'Pendiente de la solera:'.'características hidráulicas:'/6X.2.2X.5X.'Caudal inicial: '.14('-').4X.' m3/s'/6X.F7.'DE ENTRADA' .5/6X.'DE SALIDA'/9X.5/6X.3X. 'Ancho de la solera:'. F8.F7.'Pendiente de la solera:'.40('-')) FORMAT (F6.'Método de Muskingun-Cunge'/1X.'(h.'características geométricas:'/6X.' m'/6X.' m'//) FORMAT (10X.' m'/6X.Y0) IF (ABS(Y1-Y0)-1.2X.2.Y)/B FK=DX/CK/3600.' m'/6X.' m'//) FORMAT (15X.2.'Factor n de Manning: '. 'Propagación de una avenida por un tramo de canal trapecial' ///1X.E-5) 6.4//) FORMAT (1X.20 Q0=SN*AREA(NSEC.'Pendiente de la solera:'./3.3) END Subrutinas y funciones ---------------------Subrutina CALADO SUBROUTINE CALADO (NSEC.2X. DO 5 J=1. 'Propagación de una avenida por un tramo de canal rectangular' ///1X. F8.)'.2.5. F8.S0 COMMON /MC3/ FK.'características geométricas:'/6X. F8. .14('-')/1X.F6.DX.Circulación de flujos C C C C END IF Cambio de los valores T+DT recién calculados a valores T DO 30 I=1.5/6X.'Método de Muskingun-Cunge'/1X.8X. 'relación H/V del talud:'F6.Q.2.2.Y0)**(2.4X.'Tiempo'.'(m)'/1X.'H I D R O G R A M A S'/1X.3X.'Pendiente de la solera:'.2//) FORMAT (15X.-Q/Q0)/DARDY(NSEC.5//) FORMAT (1X.'(m)'.Y) COMMON /MC1/ SN.TA(NA)) GOTO 20 STOP Formatos -------120 121 122 123 125 130 140 150 C C C C C 111 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 1 2 3 FORMAT (15X.F7.'relación H/V del talud:'.F6. 'Ancho de la solera:'.'Longitud del canal:'.'Longitud del canal:'. F6.LT.5 5 Y0=Y1 STOP 6 Y=Y1 RETURN END Subrutina MUSK SUBROUTINE MUSK (Y.'N.3.F7.F7.'Caudal'.N Q(I)=QS(I) Y(I)=YS(I) 30 CONTINUE IF (T.'Calado Caudal Calado'/.2.' m'/6X.X B=ANCH(NSEC.2X .'(m3/s)'.'Método de Muskingun-Cunge'/1X.F6.2.Q) COMMON /MC2/ NSEC.I3/1X.F7. F8.' m'/6X.2X.) Y1=Y0-(1. intervalos en que se divide el tramo de canal:' .Y) CK=Q*DARDY(NSEC.'Longitud del canal:'.
CK.B(N) K=1 5 IF (X.-Q/(B*S0*CK*DX))/2.Z GOTO (1.*B0+6.*S*(B+S*A)) RETURN END Funcion ANCH FUNCTION ANCH (NSEC.+S*S) B=ALOG(S+A) DARDY=10.*Y) RETURN 4 S=2.A(K).Y) RETURN END Funcion AREA FUNCTION AREA (NSEC.B0.B0.*Z*Y)*(5.*Y*(B0+Z*Y)*(B0+2.3.*Y*(B0+2.*B0/S/S-8.DX.GE.Y) QB=Q/B CK=QB*DARDY(NSEC.*SQRT(Y/B0) RETURN .X.*Y*SQRT(1.*Z*Y RETURN 4 ANCH=2.Q.4) NSEC 1 ANCH=B0 RETURN 2 ANCH=B0+2.QB) COMMON /MC2/ NSEC.*B0*A/(3.José Luis Ayuso Muñoz C C C C C 112 X=(1.4) NSEC 1 DARDY=(5.*Y*SQRT(1.*Z*Y RETURN 3 ANCH=2.*Y)) RETURN 2 A=(B0+2.AND.3.Z GOTO (1.LE.A(K+1)) GOTO 10 K=K+1 GOTO 5 10 VAL=B(K)+(B(K+1)-B(K))*(X-A(K))/(A(K+1)-A(K)) RETURN END Subrutina VALPAR SUBROUTINE VALPAR (Y.N.3. RETURN END Subrutina INTERPO SUBROUTINE INTERPO (A.+Z*Z))+4. RETURN END Funcion DARDY FUNCTION DARDY (NSEC.X.*B0+6.S0 B=ANCH(NSEC.Y) COMMON /MC1/ SN.Y) COMMON /MC1/ SN.+Z*Z) B=3.*Y)/(3.*SQRT(B0*Y) A=SQRT(1.4) NSEC 1 AREA=B0*Y RETURN 2 AREA=(B0+Z*Y)*Y RETURN 3 AREA=Z*Y*Y RETURN 4 AREA=4.*SQRT(Y**3/B0)/3.Y) COMMON /MC1/ SN.+Z*Z)) DARDY=A/B RETURN 3 DARDY=8./(3.*Z*Y*Y*SQRT(1.B.B0.Z GOTO (1.2.2.VAL) DIMENSION A(N).2.
*Y*SQRT(1.B0.Y) COMMON /MC1/ SN.*B0*(B+S*A)) RETURN END 113 .Circulación de flujos C END Funcion RADH FUNCTION RADH (NSEC.+Z*Z)) RETURN 3 RADH=Z*Y/(2.3.*SQRT(1.4) NSEC 1 RADH=(B0*Y)/(B0+2.*SQRT(B0*Y) A=SQRT(1.Z GOTO (1.2.+Z*Z)) RETURN 4 S=2.*Y) RETURN 2 RADH=(B0+Z*Y)*Y/(B0+2.+S*S) B=ALOG(S+A) RADH=S**3/(3.
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