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Timestamp: 2020-05-26 03:10:54+00:00

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Matemática: Módulos para docentes (Primaria Para Adultos) | División (Matemáticas) | Sustracción | Kostenlose 30-Tage-Testversion | Scribd
Manual del docente para enseñar Primaria a los adultos.
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MATEMATICA MODULOS PARA DOCENTESCO
Dr. Carlos Saúl Menem Presidente
Encuestas para docente
Contenidos y actividades Eje Números Números naturales Números racionales Fracciones Expresiones decimales Eje Operaciones Adicion sustraccion Eje Me ida Tiempo histórico. Tiempo cotidiano
El Módulo Inicial (diagnóstico), se caracterizo por la integración de todos los contenidos en el contexto significativo de “Un d ía en la vida de los Costa”. Se penso que era conveniente continuar en el Módulo 1 para alumnos con una línea argumental integradora a partir de situaciones de la vida cotidiana. Se trabajan contenidos de los ejes: Numeros, Operaciones y Medida.
Del eje Numeros se sistematizan los contenidos: números naturales, racio- nales, fracciones (ordinarias y decimales) y expresiones decimales, a partir del conocimiento del sistema de numeración decimal.
Del eje Operaciones se plantean la adición y la sustraccion* y se propone considerar la estimación y el cálculo aproximado.
Respecto del eje Medida se hace un reconocimiento de las medidas de tiempo usadas más frecuentemente.
Seguramente usted habrá registrado las dificultades de los alumnos, en el instrumento diagnóstico del Módulo Inicial. Es probable que la mayoría haya podido leer y escribir correctamente números naturales, como también operar mentalmente con dichos números y con las expresiones decimales. Sin embargo, es frecuente que los adultos tengan dificultades para simbolizar las operaciones (realizar las cuentas por escrito). Por tal motivo, en el Módulo 1 para alumnos, se privilegiaron las actividades que tienden a la comprensión del sistema de numeración decimal (composición y descomposicion de numeros naturales y ex presiones decimales), ya que este tema es fundamental para la construcción de los algoritmos de las operaciones.
Los objetivos proponen que el alumno:
Aplique las reglas del sistema de numeración decimal a la construcción de los al- goritmos de suma y resta.
Utilice los algoritmos de adicion y sustracción entre números naturales y expre- siones decimales.
Resuelva situaciones de adición y sustraccion
Reconozca las fracciones como partes de un entero.
Resuelva situaciones utilizando las medidas de tiempo de uso comun
* En realidad, suma y resta son los nombres para el resultado de la adición y de la sustrac- ción; pero en el Módulo 1 para alumnos, se usan suma y resta porque el adulto está más
A continuación se presenta el esquema de contenidos del Módulo 1 para
Eje Numeros
ara contar la cantidad de elementos de un
conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos ni el orden en que se encuentran, se llaman números naturales. Se designa con N el conjunto de estos números:
Los números que se utilizan
El 0 es un número natural porque indica la cantidad de elementos del conjunto vacío.
naturales permiten indicar un orden o
posición: lº, 2º, 3º
un proceso de coordinación entre la cardinalidad y la ordiinalidad.
Además de contar, los números
Es decir que el número naturaI sur e como resultado de
numeral es la expresión a l gráfica del número. Actualmente se utiliza el
para simbolizar los números.
sistema de numeración decim
Cada simbolo representa distinta cantidad de uni- dades, según el lugar que ocupa.
Se agrupa de a 10 unidades
La regla de construcción del sistema decimal puede resumirse en: “no más de
9 unidades sueltas cualquiera sea el orden de estas unidades”, ya que se van
(10 unidades agrupadas) y 0 unidad (no hay unidades sueltas).
Es importante destacar el carácter posicional del sistema de numeración decimal. De la posición que ocupe una cifra en un numeral, depende el valor relativo que ella represente, con independencia de su valor absoluto. Por ejem- plo, el numeral doscientos veintidós es el registro simbólico de:
las cifras del numeral 10 está representando el registro simbólico de 1
agrupando 10 unidades en un conjunto de orden superior, de tal
Sin mencionar el calificativo absoluto o relativo en la actividad Nº4, se propone el reconocimiento de esos valores.
Desde la actividad Nº5 y hasta la Nº l1, inclusive, se trabaja el agrupamiento de a 10, con material representativo: los cuadraditos que corresponden a las unidades, las tiras de 10 cuadraditos a la decena y los cuadrados de 100
cuadraditos a las centenas. Este material facilita el agrupamiento y el canje,
razón por la cual se sugiere utilizarlo en las instancias alumnos que presenten dificultades para compren
presenciales con aquellos der la composición y la
descomposición de números en el sistema de numeración decimal. Si el alumno comprende las reglas del sistema, posiblemente no tendrá dificultades para entender los algoritmos de las operaciones.
Con el fin de comprobar el nivel de comprensión del sistema de numeración decimal, usted podrá sugerir a los alumnos que expresen de diferentes formas un numeral, por ejemplo:
decimal! portante que el alumno pudiera comparar el sistema de nu-
meración
no tiene esa ‘característica. Por tal motivo se presentó el sistema de nume- ración romano, que no es posicional y sus símbolos están sujetos a otras reglas.
Se consideró imp
especialmente su carácter posicional, con otro sistema que
Seguramente, si usted tiene 4 hijos y en su casa solo han quedado 2 alfajores,
cortará cada uno de ellos en dos partes aproximadamente iguales y les entregara una mitad del alfajor a cada uno de sus niños. Esa mitad aproximada tiene un
símbolo que es
A estas partes se las llama fracciones o quebrados.
Al conjunto de números formado por los números enteros y sus partes posibles, positivas o negativas, se lo llama conjunto de números racionales y se l o designa con la letra Q
Q= {x/x es número racional }
En la vida cotidiana, para nombrar los números racionales, usamos con más frecuencia la forma decimal que la fraccionaria. Lo hacemos cuando decimos que compramos 1,5OOkg. de mandarinas a $1,20 el kg. o que necesitamos 1,75m. de tela para hacer un vestido.
Las expresiones fraccionarias e quivalentes o familia de fracciones, representan todas una misma cantidad que llamamos número racional. Por ejemplo:
Clase o familia de la mitad
Es conveniente partir de elementos concretos como, por ejemplo, una tableta
de chocolate o un pan lacta1 cortado en rebanadas, insistiendo siempre en que
las partes son “aproximadamente iguales”. deberían ser “exactamente iguales”.
Para escribir cada fracción las partes
Posteriormente podrá utilizarse la representación gráfica (fig. 1, 2 y 3) considerando que las equivalencias son referidas a un mismo entero. Finalmente se simbolizará:
Las situaciones de todos los días, oblig an a reconocer las expresiones decima-
les y a operar con las mismas: en las vid-rieras donde se destacan los precios de los productos, cuando se realizan las compras o cuando se viaja en colectivo se utilizan pesos y centavos. Coherentemente, con la fundamentación del área, es
para los adultos), que se
a partir del dinero (tema éste tan significativo
introduce el concepto de las expresiones decimales (actividad Nº25 en el
Módulo 1 para alumnos).
El contenido se sistematiza a partir del conocimiento del sistema de numeracion decimal. Para ello se utiliza el material representativo usado para facilitar los canjes. Se optó por aumentar el tamaño del cuadrado que represen- ta la unidad con el fin de facilitar la división de la misma en diez y cien partes iguales y, también, con el objeto de que no se confunda la unidad con la centena, se optó por representar la unidad agrandada en el dibujo.
Las expresiones decimales son otra forma de expresar los números fracciona-
rios. Tomando como base la regla del sistema de numeración decimal, trate de
que los participantes hagan agrup
analicen qué ocurre hacia la derech a de las unidades en este gráfico:
amientos de a 10, para que ellos mismos
Eje Qperaciones
Resolver una operación significa poder transformar los elementos originales en otros, como consecuencia de las acciones ejercidas sobre los primeros. Si a una lista
agregan otros 16, la lista presentará 63 invitados, como resultado
de haber transformad o los 47 primitivos, luego de sumarle los 16 posteriores.
de 47 invitados se le
Como ya se explicito en el Módulo Inicial para docentes, el planteamiento de problemas debe preceder a la enseñanza de las operaciones básicas. Dicho de otra manera, las operaciones deben ser planteadas en forma contextualizada.
En el Módulo 1 para alumnos se plantean situaciones problemáticas aditivas relacionándolas con los conceptos de agregar, reunir, juntar, hallar el total, y situaciones de sustracción relacionadas con los conceptos de quitar, disminuir, complementar, hallar la diferencia. Posteriormente, se presentan los algoritmos de ambas operaciones.
¿Qué es un algoritmo? En principio, un algoritmo es un procedimiento.
Cotidianamente se utilizan algoritmos, pero se los aplica sin necesidad de com- prender su fundamento-. Cuando se usa el televisor, la computadora, el teléfono
y tantos otros elementos electrónicos modernos, se
ponen en juego una serie de
pasos lógicos. Esa secuencia lineal de acciones que d eben ser ejecutadas, consti-
tuye un algoritmo. Utilizar el teléfono, por ejemplo, responde al siguiente es- quema: descolgar el auricular, ,esperar el tono, marcar, etc. Por lo tanto, el aprendizaje de un algoritmo no se reduce a las operaciones aritméticas elemen-
tales sino que está presente en el accionar cotidiano. Generalmente, al ejecutar estos al optimos no se los acompaña de una reflexión, ni de una comprensión
de su funcionamiento, ya que en
el ejemplo del t élefono. Para el usuario, entonces, basta con automatizar las acciones, sin analizar el por que de las mismas. En cambio, un técnico, necesita comprender el funcionamiento del aparato electrónico a partir de conoci-
permite resolver ‘problemas, como el de la comunicación, en
determinados actos, un algoritmo es una
mientos cientificos relacionados con la construcción del mismo.
¿Se puede enseñar a los alumnos la adición y la sustracción simplemente como una serie ordenada de pasos? Se ha demostrado que esto es posible. Basta con recordar nuestros propios aprendizajes. Los algoritmos se pueden aprender como una simple secuencia de acciones que se deben ejercer sobre los números en juego. Podría intentar enunciarles: colocar el minuendo (número mayor) arriba del sustraendo (número menor), de manera que coincidan en columna las unidades del mismo orden. A las unidades del minuendo se les resta las del sustraendo; si no fuera posible se le pide 1 al comp añero (las decenas), y se le suma a las unidades que se tenía; después se restan las unidades del sustraendo.
l Los distintos pasos del algoritmo se recuerdan mejor cuando existen más datos o claves para recuperarlo memorísticamente.
l Comprender su fundamento científico permite la reconstrucción del mismo, si se ha olvidado alguno de sus pasos.
Por eso, en el Modulo 1 se pro pone a los alumnos utilizar el material repre-
sentativo para la construcción de algoritmo de la adición y del de la sustrac- ción. Sería conveniente que el adulto tratara de comprender el por que de las
acciones que se van realizando secuencialmenre; que
‘llevo 1” con el “con la columna de las decenas”.
10 unidades formo una d ecena que la agrego a
pueda relacionar, por
El tiempo ‘histórico y el tiempo cotidiano se miden con diferentes unidades:
unidades mayores para períodos historicos más prolongados como la década y el siglo; unidades menores para el tiempo cotidiano, año, mes, semana, dia, hora, minuto.
La actividad Nº14, tiene como objetivo recordar que cada siglo comienza a partir del año 1 de la centena exacta.
períodos h ara aplicarlo en el área de las
istóricos y a la comprensión de
la linea del tiempo. Respecto del tiempo cotidiano, para la resolución de situaciones en las que intervienen horas y minutos (Ej.: actividades Nº39, Nº40, Nº41 y Nº 42), se sugiere estimular el desarrollo de estrategias espontáneas para el calculo. Para comparar tiempos, se podrán utilizar noticias de portivas, estimar el tiempo que demanda una tarea, calcular los tiempos de estud io por día, por semana, etc. A modo de ejemplo, usted podrá presentar en una instancia presencial un proble- ma como éste:
Un avión recorre la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B en 1 hora y 20 minutos. El vuelo de retorno lo efectúa en 80 minutos. ¿Cómo explica esto?, teniendo en cuenta que en ambos viajes ,la situación climática y la ruta fueron similares,
El tratamiento de este tema es de utilidad
ciencias sociales, al aprendizaje de los
Se proponen al unas actividades grupales cuyos objetivos son afianzar los contenidos trata os, especialmente los referidos al sistema de numeración decimal y las operaciones, y para favorecer la integración grupal.
Propósito: trabajar serie numérica e intervalo numerico.
Usted piensa en un número y los alumnos deben descubrirlo; para ello, sólo
pueden preguntar (tantas veces como sea necesario): ¿es mayor que
Usted solamente puede responder sí o no.
¿Cual es mi regla?
? o ¿es
Propósito: afianzar la serie numérica y el cálculo mental.
Usted o un alumno, dicen varios números relacionados por una re la. Por
ejemplo: 114, 124, 134,. Los alumnos deben descubrir qué regla se aplicó (en
"+ 10").
¿Cómo obtener el numero?
Propósito: ejercitar el calculo mental.
Se escriben en el pizarrón varios números, por ejemplo: 5; 7; 8; 1; 3; 6; 4; 9. Después usted propone a los participantes que, empleando estos números,
formulen cálculos con sumas y restas cuyo resultado sea: 25
al unas actividades de evaluación en función de los temas
tratados y considerando diferentes niveles de complejidad. Usted podrá seleccionar las que crea convenientes, modificarlas o implementar otras, según las características del grupo de alumnos a su cargo.
El número representado es 195.
a) El número representado tiene
dec.+
b) El número representado tiene
dec. +
c) El número representado tiene
unid. en total.
d) Agréguele al número anterior, 1 decena, ¿qué número obtuvo?
Mialaret, Gastón: La matemática ¿como se aprende, cómo se enseña? Madrid, Visor, 1972.
Rico Romero, L., Castro Martínez, Encarnación, Castro Martinez, Enrique:
Números y operaciones. Madrid, Síntesis, 1989.
Gabba, Pablo: Matemática para maestros. Buenos Aires, Marymar, 1978.
Perelman, Y: Problemas y experimentos recreativos. Moscú, 1979.
Rey María Esther: Didáctica de la matemática. Buenos Aires, Estrada, 1994.
Brindstein, M. y Hyanfling, M.: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993.
Contenidos y actividades Geometría Operaciones La multiplicación Su naturaleza Los problemas que se resuelven con la multiplicacion Propiedades de la multiplicacion Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva Los errores más fiecuentes La división Su nuturaleza
que se resuelven con Ia división
La propiedad distributiva de la división respecto de la suma
Los errores mas frecuentes Estadística Tablas de doble entrada Promedio
El mundo que nos rodea está constituido no sólo por gran cantidad de obje- tos de diferentes formas y diseño como por ejemplo, muebles (mesas cuadra- das, redondas, rectangulares), utensilios y herramientas (relojes prismáticos, es- féricos, cúbicos; ollas cilíndricas, prismáticas), sino también por las transforma- ciones propias de ciertos objetos o cuerpos, edificios en construcción, ensan- chamiento de una calle, cambio de dirección en una avenida, etc.
En la vida cotidiana está presente, cada vez más, la geometría, que junto con
la aritmética forman un todo. ¿Cómo
perímetro, superficie y volumen sin re lacionarlos con el concepto de medida? ¿Cómo resolver situaciones geométricas que tienen que ver con longitudes, pla-
pensar en los conceptos geométricos de
nos y escala sin el a paulatinamente, el
analizando formas y buscando relaciones espaciales. Intuitivamente, va adqui- riendo el conocimiento de su entorno.
h ombre va tomando- posesión del espacio, orientándose,
de las operaciones y de los números? Sistemática y
Por su experiencia, los alumnos adultos poseen algunas nociones intuitivas del conocimiento espacial; es importante capitalizar esos saberes prácticos del adul-
to. Por eso, a partir de una propuesta, que se origina en la intuición para llegar
geometría en el Módulo 2 para alumnos. Intuición
y reflexión son dos formas d el conocimiento geométrico que se relacionan y se complementan. El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a partir de la intuición, es lo que se llama la percepción espacial. En las actividades que se
proponen a los alumnos, se destacan los temas de geometría que caracterizan la percepción espacial: el reconocimiento de formas (actividad Nº6 b: Reconoci- miento de cuerpos), de propiedades geométricas (actividad Nº6 a: Paralelismo
a la reflexión, se
y perpendicularidad), transformaciones (actividad Nº2: Transformación del
plano según desde donde se observe) y de relaciones espaciales (actividad Nº5 c y actividad Nº8 a, b, c y d: Mayor, menor o igual distancia).
El Módulo 2 para alumnos, tiene como objetivos que el alumno:
Se oriente en planos y croquis.
Reconozca distancia entre dos puntos.
Diferencie formas geométricas.
Reconozca paralelismo y perpendicularidad.
Reconozca angulos: rectos, agudos, obtusos y llanos.
Aplique los conocimientos del sistema de numeración decimal, y algunas propie-. d ades de la multiplicación y división en el uso de los algoritmos.
Resuelva situaciones sencillas de promedio.
Con respecto al eje Operaciones, a partir de situaciones significativas, se trabaja la multiplicación como suma reiterada entre números naturales y
ap icada y reconocida. La división se presenta como la operación inversa de la
presiones decimales. Se plantea la propiedad conmutativa intuitivamente
multiplicación y como resta reiterada.
Del eje Estadistica, los contenidos que se trabajan son la tabla de doble entrada como recurso organizador de la información y el promedio.
Los contenidos del eje Geometría que se abordan son: orientación en planos y croquis, paralelismo, perpendicularidad, ángulos, cuerpos geometricos.
Las experiencias visuales constituyen la base sobre la cual se fundamentan las actividades y abstracciones posteriores.
Observar es ver, notar lo común que puede haber en situaciones distintas, lo diferente en objetos y acciones, y lo característico de cada cosa.
puede orientarse por medio de preguntas que
refieran a aspectos fundamenta les. La actividad Nº1 propone observar un croquis y orientarse en él teniendo en cuenta las indicaciones. En la actividad Nº2 se presenta el mismo croquis, pero variando su orientación y omitiendo las referencias que tenía el anterior. En ambas, la observación se va guiando a través de preguntas, para que el alumno pueda interpretar croquis y orientarse en el entorno espacial que ese croquis representa. Toda observación debe ir acompa- ñada de una acción posterior. Las actividades Nº1 y Nº2, por ejemplo, comien- zan con una observación, pero inmediatamente el alumno debe actuar: señalar o indicar lo que se le solicita.
La observación de los alumnos
La secuencia propuesta es: primero observar, luego actuar y reflexionar, pero para que se pueda construir el espacio geométrico es imprescindible llegar a la abstracción. Abstraer es, entre otras cosas y siempre refiriendose a la geometria, reconocer lo que hay de común o de diferente en algunas situaciones, sim- plificar la situación real, esquematizándola como en la actividad Nº4 b, o deter- minar el campo de validez de una propiedad (actividad Nº6 a).
Con este plan se trabajan, en el Módulo 2 para alumnos, desplazamientos y recorridos en planos y cuerpos, las nociones de distancia, paralelismo y perpen- dicularidad, ángulos y cuerpos.
Jean Piaget afirma que:
“1a representación del espacio se debe a las actividades
durante su experiencia diaria“. En el módulo para
que realiza cada individuo,
alumnos se trabaja desde lo intuitivo (que incluye la observación) a lo concep-
tual o abstracto ( que incluye la reflexión y la abstracción).
El trabajo con croquis y planos permite a los alumnos adultos ubicarse y loca- lizar referencias y calles, señalar recorridos, identificar distancias además del sentido y la dirección de las calles. Se pretende que el alumno pueda leer e
plano correctamente y al mismo tiempo, orientarse en el espacio
cercano o cotid. iano.
Una posible actividad para realizar con los alumnos en los encuentros presen- ciales podría ser la siguiente: a) formar tres subgrupos; b) cada subgrupo escri- be en un papel las indicaciones para ir de una casa a otra; c) se intercambian los papeles; d) después de leer las indicaciones, cada subgrupo representa gráfi- camente ese recorrido en un croquis o plano; e) vuelven a intercambiar los pa- peles; f) cada grupo interpreta el croquis o plano y, en forma verbal, es ex re- sado por un representante de cada equipo. Lo que se expresa verbalmente, debe coincidir con las indicaciones primeras y esto ocurre cuando el croquis o plano responde correctamente a esas indicaciones. Es frecuente que los alumnos se equivoquen al verbalizar los recorridos. Los errores más comunes son confundir sentido con dirección y derecha con izquierda.
En la actividad Nº3, a partir de la lectura del plano, se incorpora la noción de calles paralelas y calles perpendiculares, Usted podrá sugerir a los alumnos observar el entorno para encontrar ejemplos de paralelismo y perpendicu- laridad (en paredes, puertas, ventanas, bancos, escritorios, etc.).
Respecto de la noción de ángulo y su clasificación, se recomienda:
a) recurrir al plegado de papeles para obtener ángulos rectos, ángulos que son la mitad de un recto y ángulos que son un cuarto de un recto;
b) obtener por plegado cuatro ángulos rectos y vincularlos con: la intersección de pares de rectas de direcciones vertical, horizontal; delante, atrás; izquierda, derecha; norte, sur; este, oeste;
c) realizar cambios de dirección en una marcha: giro completo; medio giro; cuarto de giro;
d) representar gráficamente los desplazamientos realizados.
La representación gráfica, permite que se puedan expresar ideas y conoci- mientos; es una forma de comunicación en la que se utilizan esquemas, cons- trucciones geométricas, figuras o dibujos. Es una descripción y esta, ya sea ver- bal o gráfica, obliga a quien la hace a observar, ordenar, situar en el espacio, es- tablecer relaciones entre el objeto que se va a representar y su representación gráfica. Por eso, describir no es tarea fácil, también es necesario tener presente la forma, las características y la ubicación en el espacio del objeto.
La representación gráfica también es una herramienta útil, ya que puede ayudar a encontrar estrategias para la resolución de problemas. En geometría,
es importante tanto para expresar formas como para comprender razonamien- tos. Cuando se plantean situaciones problemáticas en las que se pide calcular el perímetro de una figura o el valor de un ángulo de la misma, es común que el
ara facilitar la resolución: a) represente gráficamente la figura, b) ubi-
que en e ll a los datos que se le aportan. Esta estrategia facilita el razonamiento
correcto y la posterior resolución. Por tal motivo, en el Módulo 2 para alum-
la re presentación gráfica de las
nos, se insiste en los recorridos, las distancias y
mismas (actividad N Q 4 d). En 1a actividad Nº6, el a lumno debe encontrar el o
los planos (representación gráfica) que corresponden al desarrollo del cubo.
giere que, de ser posible, los alumnos hagan en cartulina el plano del
desarrol lo de un prisma (caja de zapatos) y luego lo armen.
Se analizarán las operaciones de multiplicación y división, teniendo en cuenta:
su naturaleza; los tipos de problemas que se resuelven con ellas; las propiedades elementales; los errores algorítmicos más frecuentes que suelen cometer los alumnos.
La multiplicación debe entenderse, en principio, como una operación aritmé- tica entre números naturales. El punto de partida de esta operación son dos nú- meros y el punto de llegada otro número distinto (o no) de los anteriores.
Ejemplos: 2 x 5 = 10 2x1= 2
¿La multiplicación es una suma abreviada?
La interpretación de la multiplicación como una suma abreviada en todos los casos, es un error, ya que la multiplicación no es un caso particular de la suma. Es otra operación que puede definirse a partir de la suma pero no se reduce a
peración aritmética que puede interpretarse
ella. La multi plitación es una o
como suma ab reviada (sin ser lo mismo) cuando se trabaja con números naturales, por lo menos, en uno de los dos factores. En cambio, no puede pensarse en suma abreviada cuando debe resolverse por ejemplo 0,2 x 0,3 (este caso de multiplicación de dos ex presiones decimales, será tratado en el Módulo 3). Otra interpretación de la multiplicación, es considerarla un producto carte-
siano. Un ejemplo práctico de esta interpretación, es el portero eléctrico (para las zonas urbanas), o un tablero de hotel como el que figura en la actividad Nº18 (dibujo del tablero).
Hay 5 habitaciones por piso (PB. lº y 2º)
O sea que en la PB hay: (PB l), (PB 2), (PB 3), (PB 4) y (PB 5);
en el ler.Piso:
en el 2º Piso:
(1º1), (lº2), (lº3),
(2ºl), (2º2), (2º3), (2º4) y (2º5).
(1º4) y (lº5) ;
Estos pares ordenados son el producto de los elementos pisos (PB, lº y 2º por los elementos habitaciones (1, 2, 3, 4 y 5).
Si se quiere averiguar cuantas habitaciones tiene el hotel en total, basta con
multiplicar: 3 (pisos) x 5 (habitaciones) = 15 habitaciones.
se resuelven con la multiplicacion
Los solucionables por suma reiterada (actividades Nº 11, Nº 12, Nº 13, Nº 14 y Nº15). Ejemplo:
Un café cuesta $1,30,
¿cuánto debe pagarse por 3 cafés?
+ $ 1,30
$3,90 ó
El planteo de las dos situaciones multiplicativas son de distinta naturaleza, sin embargo, ambas se resuelven empleando la multiplicación. Es conveniente tra- bajarlos conjuntamente.
alumnos son: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y s e la
resta. El alumno adulto probablemente las aplique intuitivamente. A continua- ción se le propone una forma de trabajarlas.
Las propiedades de la multiplicación que se trabajan en el Módulo 2
Juan quiere saber cuantas latas de aguarrás le quedan después de una venta importante. Revisa primero las cajas y cuenta G latas en cada una. Luego cuenta las cajas y verifica que hay 5. Después calcula 6 x 5 = 30 latas
que lo ayuda comienza contando las cajas (5) y luego continúa con
las latas que h ay en cada caja (6). Entonces, calcula:
6x5=5x 6
Cuando se piensa en situaciones en las que se puede intercambiar el orden de las cosas sin que se altere el resultado, se está pensando en operaciones conmu- tativas. La multiplicación es una operación conmutativa.
¿De qué otra forma se puede expresar 5 x 8?
Como 8 = 2 x 4, entonces:
5x8=5x(2x4 )
Finalmente se puede solicitar a los alumnos que verbalicen los procedimien- tos, antes de enunciar la propiedad.
El planteamiento didactico de esta actividad es muy similar al anterior; se ha reservado el uso de esta propiedad para multiplicar números de dos dígitos. Ejemplo:
Hay 12 estantes y hay 15 libros en cada estante. ¿Cuantos libros hay en total? La resolución es 15 x 12, pero como
15 x (10 + 2) que se resuelve:
15x10 + 15x2
15x6 + 15x6
180 ó
12=8+ 4
15x8 + 15x4
Esta propiedad está ligada a la suma abreviada,
por ello su tratamiento puede
ser anterior al de la propiedad asociativa, que impl ica realizar dos multiplicacio-
nes consecutivas.
Las equivocaciones están estrechamente relacionadas con dos aspectos; el primero tiene que ver con el grado de claridad que se tenga del concepto de multiplicación, y el segundo con la dificultad para relacionar el concepto con el procedimiento. Esto último también tiene que ver con haber o no haber construido el algoritmo de la multiplicación.
Cuando los errores son tratados solamente como dificultad en el procedi- miento y la solución que se da, es la repetición infinita del algoritmo para lograr la mecanización; en realidad, los obstáculos no se superan. Es necesario tratar de comprender la naturaleza del error. Si el problema está, por ejemplo en una incorrecta aplicación de la propiedad distributiva, se tratará de replantear problemas que lleven al uso de esa propiedad, es decir, volver a trabajar los contenidos conceptuales, ya que seguramente alli se encuentra la base del error.
Manejar correctamente el algoritmo, significa comprender que, para resolver, por ejemplo:
Al multiplicar 4 x 6 unidades, se obtienen 24 unidades que son 2 decenas y 4 unidades sueltas.
Se escriben las 4 u. sueltas en la
columna de las unidades y se colocan las 2 decenas en la columna de las
Al multiplicar 4 x 2 decenas se obtienen 8 decenas a las que se suman las 2 decenas correspondientes a las 24 unidades Se obtienen 10 decenas = 1 centena y 0 decenas sueltas.
l Errores en la aplicación de la propiedad distributiva:
mu1tiplicador
Olvido de las decenas del multiplicador:
* Agregar de manera incorrecta las agrupaciones de a diez:
Las decenas (2) y las centenas (2) son sumadas a las cifras correspondientes (4 y 3) antes de multiplicarla por el 4 (2+ 4 = 6 ; 4 x 6 = 24)
(2+3=5;4x5=20).
l Olvidar las decenas o centenas que deben sumarse:
Se omitió:
a) Al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas, sumar a este resultado las 5 dece- nas correspondientes a las 56 unidades obtenidas al multiplicar 8 x 7 unida- des.
b) Al multiplicar 8 x 1 centena, sumar a este resultado las 3 centenas corres- pondientes a las 37 decenas obtenidas al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 de- cenas y 32 decenas + 5 decenas = 37 decenas = 3 centenas y 7 decenas sueltas
* Realizar el producto del multiplicador solo por las decenas o centenas que deben sumarse:
Existen numerosas variantes de errores. Pueden provenir de algún paso, alguna acción, dentro del algoritmo que el alumno olvida o no ha llegado a comprender. El aprendizaje meramente instrumental tiene una rigidez que seguramente generará errores ante algun cambio en la situación original. Es necesario que el alumno pueda relacionar conceptos y procedimientos, para que cada uno de los pasos del algoritmo tenga sentido,
Se sugiere partir, entonces, de la revisión de algunos conceptos relacionados con la multiplicación que son:
Sistema de numeración decimal. Propiedad asociativa de la multiplicación Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Interpretación de la multiplicación como suma abreviada.
y d que podría facilitar la comprensión de los algoritmos de la
Una estrategia multiplicación
Módulo 2 para alumnos se trabaja con tablas de doble entrada, y l a pitagórica
es un ejemplo que, además,
tenga dudas con respecto a las multiplicaciones básicas (tablas de multiplicar), consultándolas cuando fuere necesario.
e la división es la construcción de la tabla pita
puede ser utilizado como recurso cuando el alumno
¿Cómo trabajar esta tabla? En primer lugar, sería conveniente que se les diera a los alumnos para completar. Una vez completada se les puede proponer que tracen la diagonal que va desde el 0 hasta el 100 y plantear por ejemplo:
Observen los números a ambos lados de la diagonal. ¿A qué conclusiones se puede arribar?
Observe los numeros de las columnas y las filas. ¿Qué diferencias y qué simi- litudes encuentra?
¿Hay números repetidos?¿ Cuales?
Los números que están en la diagonal, ¿en qué se diferencian de los demás?
Y todas las preguntas que usted considere oportunas. También se podrá pedir al alumno que registre todas sus observaciones para ser leídas y discutidas en la
De las respuestas y reflexiones de los alumnos surgirán las propiedades de la multiplicación:
la conmutativa: simetría respecto de la diagonal;
el cero “absorbe” cualquier número (la columna y la fila que lo contienen,
quí se concluye que cual-
tienen como resultado del producto, el cero). De a
quier número multiplicado por cero, da como resul tado, cero;
la fila y la columna correspondiente al producto de los números x 1, da por resultado el mismo número; de aquí se concluye que cualquier número multiplicado x 1, da ese mismo número; en matemática se dice que el 1 es el elemento neutro de la multiplicación;
los números de la diagonal corresponden. todos a cuadrados perfectos.
En la división se dispone de dos números iniciales (dividendo y divisor) y a partir de ellos se obtiene otro que recibe el nombre de cociente. Cuando en la division, el resto es cero; la división se llama exacta. Cuando el resto no es cero, la división se llama entera.
Se debe tener presente que no siempre el cociente entre dos números
naturales, es otro número natural. Por ejemplo: 3 : 2 = 1,50.
En este caso el cociente (1,50) es una expresión decimal (número racional),
10:5 es igual a 2
porque 2 x 5=10
3 : 2 = 1,50 porque 1,50 x 2 = 3
como partición, como reparto y
como búsqueda de número de
formación de pares, en el Módulo 2 para alumnos y en éste se trabaja solo en los dos primeros sentidos, ya que en la vida cotidiana se utiliza la división en situaciones asociadas a “repartir” y “partir”.
elementos en un conjunto que da lugar a la
Si bien la division tiene tres si gnificados:
* Cada caja de chiclets cuesta $1,50. Tengo $6, ¿Cuántas cajas puedo comprar?
* Con $ 6, puedo comprar 4 cajas de chiclets. ¿Cuánto cuesta cada una?
EI procedimiento multiplicativo correspondiente implica repetir $1,5O cuatro veces para obtener $6 en total.
Las cantidades desconocidas que se deben calcular son distintas para ambos
problemas: en el primero:
4 cajas; en el segundo: $ 1,50.
En el primer problema, se puede llegar a la solucion por resta reiterada.
Tengo $6
He comprado 4 cajas de chiclets.
Si quisiéramos resolver el segundo problema de la misma manera, sería imposible ya que no se pueden restar 4 cajas de $6. La división puede resolverse en algunos casos como resta reiterada pero no siempre. El segundo problema es
un ejemplo. Este problema requiere realizar un reparto: los $6 los debo repartir entre las 4 cajas. Las actividades Nº24 y Nº25 del Módulo 2 para alumnos plantean situaciones de este tipo de división. En cambio en la actividad Nº26
se plantean situaciones similares a las del primer problema, ya que se
resolver como resta reiterada e implican la idea de partición: se los $6 en x partes de $1,50 cada una.
deben "partir”
El al goritmo clásico de la división resulta de una aplicación inicial de la
piedad distributiva a la derecha (ya que solamente en esa dirección es posible la
division respecto de la suma) y de la multiplicación sistemática de la descompo- sición de los números. Por ejemplo:
458 : 4 se realiza teniendo en cuenta que:
+ 8) : 4 = 400 : 4 + 50 : 4 + 8 : 4. Además al realizar 50 : 4 resulta
un resto de 1 decena que debe ser convertida en unidades para continuar el algoritmo (18 : 4).
(400 + 50
400:4 =lOO
y sobra 1 decena = 10 unidades y sobran 2 unidades ( resto).
114 cociente
Aplicación incorrecta del sistema de numeración decimal
En un campo hay 604 manzanos dispuestos en filas de 6 manzanos cada una. ¿Cuántas filas completas tiene el campo?
El mayor problema suele presentarse cuando las centenas se agotan en el reparto y no hay decenas que repartir. El alumno, entonces, tiene en cuenta las unidades y olvida las decenas (puesto que no las hay), tanto en el dividendo como, lo que es peor, en el cociente. Lo expresa así:
Otro procedimiento válido, es la estimación previa
a partir de sucesivas
multiplicaciones por la unidad seguida de ceros, por ejemplo :
permite al alumno saber que va a contar con centenas, decenas y unida des en
el cociente, pues éste va a estar entre 100 y 1.000.
Esto imp lica un imp ortante trabajo de estimación de resultados, ya
Suele ocurrir que, llegado el momento de verificar el resultado con la calcu- ladora, el alumno olvide colocar la coma decimal (en la calculadora, el pun- to), por ejemplo, si tiene que resolver: 12,5 : 4. Si previamente el alumno estimo que el resultado de 12,5 : 4 tiene que ser un poco mayor que 3 (ya que 12 : 4 = 3), difícilmente podrá aceptar que 12,5 : 4 de por resultado 31.
l La primera cifra del dividendo es de menor valor absoluto que la cifra del divisor
En la actividad Nº30 del Módulo 2 para alumnos, se plantea el algoritmo 376 : 5 en el que el valor absoluto de la cifra de las centenas es menor que 5 y esto suele ser motivo de errores por la dificultad que presenta.
Lo mismo que en el caso anterior se sugiere trabajar con el material que se adjunta al final del Módulo 1 para alumnos.
Como las 3 centenas no se pueden “partir” en 5 partes iguales, habrá que canjearlas por decenas (30 tiritas) y sumarles las 7 decenas sueltas. De esta
manera, hay que resolver 37 : 5. Se le puede sugerir al alumno que consulte la
pone en la actividad mencionada, que
tabla pita górica o, como se le pro complete a tabla del 5 para buscar e
utilizado para buscar productos en la tabla pitagórica.
valor que se aproxima a 37. Este procedimiento es equivalente
número que, multiplicado al por 5 da un
l Aplicación incorrecta de la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma
Rosa cobró este mes $405. Si le pagan $5 la hora. ¿Cuántas horas trabajó?
Es un ejemplo similar al mencionado en el caso del campo con las manzanas, ya que también éste tiene 0 en las decenas, pero aquí también se da la otra dificultad: la cifra de las centenas es menor que 5.
errores, obstáculos y dificultades de la división, tienen su
origen en la incorrecta aplicación de:
las reglas del sistema de numeración decimal; la propiedad distributiva a la derecha de la división respecto de la suma; no recordar las tablas y tratar de buscar mentalmente los productos.
La actividad Nº27 del Módulo 2 para alumnos, propone el algoritmo tradicional como procedimiento para resolver la operación 733 : 3. Teniendo en cuenta las dificultades que, en general, presenta la división, se utilizaron como recurso visual, tres tonalidades diferentes de un mismo color, con el fin de establecer con facilidad la relación entre la explicación con palabras y la simbolización numérica.
Las tablas de doble entrada son un recurso valioso para la organizacion de da- tos y el posterior análisis de los mismos. El adulto está familiarizado con ellas, ya que los medios de comunicación las utilizan como ordenadores de la infor- mación. Las actividades Nº19, Nº20 y Nº21, presentan diferentes tipos de ta- blas, desde un tablero de un hotel, donde los pisos están en la vertical y el nú- mero de habitación en la horizontal, hasta una tabla de posiciones de equipos de fútbol. La actividad Nº21, le propone al alumno buscar tablas de doble entrada en diarios y revistas.
Se su giere, de ser posible, trabajar con los alumnos los planos de las guías que se venden en quioscos y librerías o en folletos turísticos de las localidades. Con el propósito de facilitar la ubicación de zonas, barrios o calles, esos planos, hechos en escala, tienen en el borde horizontal, números y en el vertical, letras. Trabajar ubicaciones y recorridos implica no solo continuar con la propuesta iniciada en geometría, sino también ejercitar la lectura e interpretación de las tablas de dob le entrada.
Es importante favorecer en los alumnos, la comprensión de las informaciones que a diario reciben de los medios para interpretar, críticamente, algunos datos cuantitativos. A continuación se presentan algunas definiciones de conceptos que servirán para interpretar ese tipo de información. El propósito no es que usted los trabaje con los alumnos, sino que los utilice para aclarar dudas cuando la situación lo requiera.
Población: conjunto de individuos (de variada naturaleza) sobre el que se efectúan observaciones, Por ejemplo, los habitantes de la ciudad de La Rioja forman una poblacion.
Muestra: parte de la población sobre la que se trabaja o se observa. Por ejemplo, se toma una muestra de 100 habitantes de La Rioja.
Frecuencia: número de veces que se repite un suceso en la muestra observada. Podría ser la cantidad de mujeres, en la muestra tomada.
Promedio (o media aritmetica): es el cociente entre 1. suma de todos los
valores obtenidos y el número de observaciones realizadas. Por ejem
podría obtener la edad promedio de la muestra, sumando todas las e dividiendo por el total de las personas de la muestra.
Moda: es el valor de mayor frecuencia de la muestra considerada.
Se presentan tres actividades de evaluación que usted podrá reformular o modificar según las dificultades y logros de los alumnos durante el desarrollo del módulo.
debe tener como resultado un número entero, ya que en el Mod ulo 2 para alumnos, no se trabajó la división con expresiones decimales. l- El restaurante “La Moderna” ofrece comidas para enviar a domicilio. Éstas
En caso de cambiar los valores de la actividad Nº3, tenga presente
son algunas de las ofertas:
Un grupo de ocho amigos decide hacer el siguiente pedido:
Y deciden dividir el importe por partes iguales entre los ocho, ¿cuánto pagó
2.- Este es el plano de la zona de envío del restaurante “La Moderna”.
a) Nombre dos calles que sean perpendiculares
b) ¿Qué clase de ángulo es el que aparece en el plano, limitado por las calles Ri- vadavia y Belgrano?
c) ¿Y el que está limitado por las calles
Independencia y San Martín?
d) ¿Roca e Independencia son paralelas? ¿Por qué’
3.- Éstos son los gastos diarios de Juan, durante una semana:
¿Cual fúe el promedio de gastos esa semana?
Bindstein, Mirta y Hanfling, Mirta: Matemática 1. Buenos Aires, Aique, 1993,
Buenos Aires (Provincia). Dirección de Educación Primaria: Matemática maestros. Buenos Aires, 1991.
Catala, Flamarich, Fortuny Aymemmi. Invitacion a la didáctica de la geometria. Madrid, Síntesis, 1989.
Chemello, Graciela; Carozi de Rojo, Mónica y otros: “La matemática y su didáctica.Nuevos y antiguos debates”, en Didácticas especiales. Buenos Aires, Aique, 1992.
Maza Gómez, Carlos: Enseñanza de la multiplicación y de la división.
Contenidos y actividades Noción de proporcionalidad Las mediciones La longitud Las escalas
Geometría Polígonos Clasificacion de los poligonos La superficie de los polígonos Calculo de superficies
En el Módulo 3 para alumnos se desarrollan contenidos de los ejes Operaciones, Medida y Geometría. En el eje Operaciones, como ya se procedió con otros temas, se trabaja la noción de proporcionalidad a partir de situacio- nes cotidianas. El propósito es que los alumnos reconozcan si existe o no existe relación de proporcionalidad entre dos magnitudes; y que utilizando las propie- dades de la proporcionalidad, frente a una directa, puedan calcular valores no conocidos. Teniendo en cuenta que los adultos hacen este tipo de cálculos utili- zando el sentido común, convendría que analizaran que están utilizando tales propiedades.
En el eje Medida se comienza diferenciando las magnitudes escalares de las no escalares. Este concepto no siempre es tratado en forma correcta, generándose confusión entre qué cosas pueden ser medidas y cómo, y cuáles son las que no se pueden medir.
A. partir de la noción de proporcionalidad y de magnitudes, se desarrolla el concepto de escala, que también se trata en los módulos 2 y 5 de Ciencias Sociales.
Es conveniente que los alumnos comprendan no sólo el concepto de escala, sino que lo apliquen para calcular o representar distancias.
Dentro de las magnitudes escalares, se desarrollarán, principalmente, el concep- to de medir y el de dos de las magnitudes más utilizadas; longitud y superficie.
Al iniciar el tema de medidas de longitud se trabajará con unidades no con- vencionales hasta llegar a la necesidad de utilizar una unidad de medida con- vencional.
Con respecto a la superficie, al igual que en el caso anterior, se comienza con unidades no convencionales hasta llegar a las convencionales establecidas en el SIMELA.
En el eje Geometria, a partir de las curvas y los poliláteros se arriba al concepto
reci b en según el número de lados y en el reconocimiento de sus elementos.
polígonos, su clasificación en regulares y no regulares, en el nombre que
Trabajar con la su perficie de los rectángulos, se considera propósito central ya
que a partir de su
mulas de la mayoría de las restantes figuras planas,
formula y del concepto de la superficie se obtienen las fór-
Las actividades de cálculo de superficie, son ejemplos de cómo en una misma actividad, se relacionan todos los ejes, ya que también se debe operar y medir.
En el Módulo 3 los objetivos tienden a que el alumno:
* Afiance la comprensión y la correcta utilización de los al algoritmos de la multipli- cación y la división, especialmente con la unidad seguida de ceros.
* Conceptualice la noción de proporcionalidad.
* Comprenada en conceptos de medida: perímetro, superficie y volumen.
* Aplique adecuadamente las unidades convencionales de longitud y superficie
* Reconozca los elementos de los poligonos.
* Utilice correctamente las fórmulas para calcular superficies y volumenes.
* Emplee el concepto de escala para calcular longitude o para hacer representacio- nes.
Si bien el desarrollo de la proporcionalidad directa e inversa son ‘contenidos
presenta la noción de
proporcionalidad en situaciones cotidianas. En general los adultos, no tienen
formalizado este concepto pero lo a plicancuando
mezclas de combustible o de
mapas u hojas de ruta, etc. En el módulo para alumnos, se han utilizado al- gunos de estos casos. Es apropiado en las instancias presenciales proponer otras situaciones cotidianas para reconocer si existe o no existe proporcionalidad directa.
del próximo módulo, en el Módulo 3 para alumnos se
preparan recetas de cocina,
albañilería, y realizan interpretación de planos,
Respecto a la proporcionalidad, para que reconozcan cómo se relacionan dos magnitudes en forma directamente proporcional, usted puede trabajar con los
alumnos a partir del error. Es común que los adultos utilicen criterios para el reconocimiento de magnitudes directamente proporcionales que son inco- rrectos, por ejemplo, suele pensarse que: “Si al aumentar una, también aumenta la otra, entonces son directamente proporcionales”. Esto no sólo confunde, sino que origina errores en la resolución de problemas ya que utilizan las pro- piedades de proporcionalidad en situaciones en que no corresponden porque no existe tal relación. Usted podrá dar algunos ejemplos como las boletas de,
servicios (electricidad, gas, teléfono, etc.),
insuficiente. Es fácil comprobar que al dob le de consumo no le corresponde el
doble de importe.
ara demostrar que esta condición es
Otro de los errores relacionados con proporcionalidad, es considerar la razón
como sinónimo de fracción. Cuando se utiliza una razón, lo que se está hacien-
do es indicar la relación
que de cada 3 personas 3 tas hay 5 bajas y escribimos la razón 3, esta escritu-
que existe entre dos cantidades. Por ejemplo si decimos
ra establece que la relación entre bajos y altos, indica, entre otras cosas:
Que hay más bajos que altos. Que la cantidad de personas bajas es “casi” el doble que la cantidad de perso-
nas altas. Que en un grupo de 800 personas posiblemente 300 serán altas y 500 ba- jas, etc.
En las relaciones, decir 3 de cada 5 es igual a decir 6 de cada 10 o 30 de cada 50, ya que la relación es la misma.
Si se tiene en cuenta que se opera del mismo modo con las razones y con las fracciones, no es necesario establecer esas diferencias ante los alumnos, pero tampoco deben tratarse del mismo modo. En este sentido, es conveniente que se remarque la lectura correcta de una razón. Por ejemplo, si resulta 5 debe leer-
se “cinco de cada seis” y no "cinco sextos”. La lectura correcta permite marcar
la relación entre esas cantidades y no un numero, como resulta de leer “cinco sextos”.
En las razones, al igual que en las fracciones, se escribe la línea de separación en forma horizontal y no oblicua.
Sólo después de utilizar correctamente la escritura, la lectura y el concepto de razón, los alumnos están en condiciones de continuar con proporciones.
Para comprender qué representan, las proporciones también requieren ser leídas correctamente.
En las roporciones al igual que en las razones, la lectura correcta permite observar la relación que existe entre las cantidades, de tal manera que, en caso de conocer tres de las cuatro cantidades, al calcular la cuarta su resultado se interprete como un resultado lógico y no simplemente como el resultado de una cuenta.
En el Módulo 4 para alumnos se tratará nuevamente el tema de la proporcio- nalidad. En el Módulo 3 se trabaja la proporcionalidad directa porque resulta más sencillo para los alumnos.
Si se observaran dificultades con este concepto en algunos adultos, conven- dría continuar con más ejemplos tratando de que éstos estén de acuerdo con las actividades cotidianas de los alumnos, como las que se enuncian a conti- nuación.
a) Si para preparar 4 porciones de gelatina se requieren 2 tazas de agua, ¿Cuántas tazas se necesitarán para 8 porciones?
b) Si se gastan 3 panes de jabón en 2 meses, ¿para cuantos meses alcanzarán 9 panes? (Gastando en forma regular el jabón,)
c) Si en 3 hectáreas se obtuvieron 15 toneladas de grano, ¿Cuantas toneladas se obtendrán en 6 hectáreas? (Se entiende que el rendimiento por hectárea se considera aquí de manera constante.)
d) d) ¿Cuantos kilos de fruta se espera cosechar, si de los 4 primeros frutales se co- secharon 80 kilos y en total existen 400 frutales? (Se supone que los frutales tienen el mismo rendimiento.)
Las aclaraciones entre parentesis, indican lo que permanece constante en cada uno de los problemas enunciados. Cuando existe una relación directamente pro- porcional, es conveniente indicar o buscar la constante de proporcionalidad.
Si no se lo explicita, nada garantiza que lo sea. Por ejemplo, en el problema b) es más lógico pensar que no gasta siempre la misma cantidad de jabón. Al señalar que se gas-
ta en forma constante queda claro que se supone una re
se plantea. Esto permitirá decir que existe proporcionalid ad directa.
gularidad en el problema que
Por intuición o por sentido comun hallarán y justificarán las respuestas, lo que no quita que se llegue también al resultado siguiendo el procedimiento ma- temático correspondiente, ya que no siempre el resultado será fácilmente calcu- lable sin utilizar la proporción escrita. En cuanto al procedimiento matemático correspondiente, este se planteará en el Módulo 4.
El cálculo aproximado del resultado, en forma mental o por intuición, debe ser estimulado; pero es el procedimiento escrito el que permitirá calcular co- rrectamente en situaciones más complejas.
Otra de las. formas de trabajar con proporciones es a través de tablas, éstas tienen algunas ventajas, por ejemplo permiten interpretar los datos de un problema en forma más ordenada, reconocer más fácilmente la constante o calcular varias incógnitas a partir de un sólo enunciado.
Trabajar con el concepto de proporcionalidad es necesario para abordar un caso particular de las proporciones que es la escala.
l ¿Cuantas hojas tiene este módulo’! * ¿Cuánta agua hay en el vaso!
Para responder a la primera pregunta es suficiente contar y responder con un número, pero no se puede contestar a la segunda del mismo modo. ¿Se puede contar la cantidad de aguã?;
En el primer caso la respuesta es. una cantidad discreta o discontinua, y para cuantificarla basta contar una por una las unidades que la integran.
En el segundo caso, la respuesta es una cantidad continua y para cuantificarla es necesario utilizar una unidad de la misma especie y determinar cuántas veces cabe esta unidad en el objeto que se quiere cuantificar.
discontinuas; las segundas se miden, porque son cantidades continuas.
presente este tipo de clasificación porque es común que se
trabaje con ambas clases en forma simultánea.
que se propone a los alumnos, es reconocer qué cosas
pueden ser o no ser me di‘das con precisión, sin diferenciar entre las cantidades
Para medir una cantidad es necesario establecer una unidad que puede o no puede ser elegida arbitrariamente.
Si se quiere medir una longitud, es log gic o que se piense en unidades tales
como el metro o el kilómetro en lugar d e pasos, una ramita o cualquier otro objeto, por ser las primeras de uso frecuente y generalizado. Pero, para construir estas unidades convencionales, la humanidad tuvo que recorrer un largo cami-
no. En la antigüedad, sólo se utilizaron unidades no convencionales (objetos, partes del cuerpo humano, etc,) Transcurrieron muchos siglos hasta que se obtuvieron sistemas de unidades convencionales, universalmente aceptad as. Por eso para estudiar las medidas de longitud, como tambien las de superficie, el camino lógico es a través de las unidades arbitrarias en una primera instancia, para llegar después a las conven- cionales establecidas en el SIMELA.
El uso de unidades no convencionales en una primera instancia, facilita que los alumnos comprendan el concepto de medida. Comenzar con unidades co- mo el metro, que en muchos casos es frecuente, no permite ver por que exísten unidades convencionales.
El alumno tendrá que comprender la necesidad de utilizar unidades que resul-
gerir que mida el ancho del aula o la altu-
ten comunes a todos. Por ejemplo, su
ra de la puerta, utilizando el largo del b orrador o una tiza como unidad de me-
dida de longitud; o bien que el mismo objeto sea medido con diferentes unidades, y que compare y analice los resultados.
En los sistemas como el SIMELA, la existencia de multiplos y submúltiplos, tiene por finalidad disponer de unidades más grandes o más chicas que la uni- dad base, ya que ésta en muchas ocasiones resulta inapropiada. Por ejemplo, para medir la distancia que existe entre su ciudad y la ciudad de Roma, o para medir el largo de una hormiga, ¿el metro es una unidad apropiada?
Una vez comenzado el trabajo con unidades convencionales, es importante que se observe si los alumnos tienen la noción del tamaño de cada unidad; si
usted detectara dificultades, podría proponer actividades como las Nº4, Nº5 y
Nº6 del módulo para alumnos, para que el adulto
lencia entre una unidad y sus múltiplos y submúltipl os.
pueda expresar la equiva-
De nada sirve correr la Coma para uno u otro lado, si no se entiende la equiva- lencia entre las distintas unidades.
Posiblemente, los alumnos hayan interpretado un plano, un mapa, un molde de costura o el es quema de algún electrodomestico, en estos casos han operado con el concepto d e escala, pero quizá no tienen formalizado dicho concepto. Estas experiencias de vida, resultan útiles para desarrollar el contenido de las escalas. Por esta razón se utilizaron en el abordaje del tema, mapas, planos, etc.
Posiblemente, algún alumno podrá preguntar por alguna de las no utilizadas en el módulo, en todos los casos, lo importante es remarcar que solo son maneras diferentes de .expresar lo mismo. El concepto de escala, como ya se expresó; se trabaja también en los módulos 1, 2 y 5 de Ciencias Sociales.
Fundamentalmente, lo que debe quedar claro es que la escala es la ‘relación (razón) entre la medida con que se representa una distancia y la medida real de esa distancia.
indica que por cada cm representado la distancia real
100.000 es de 100.000 cm.
Indica que cada cm representa 50.000 cm.
Esta representación es frecuente en mapas. Muchas veces el segmento está di- vidido, en segmentos menores para establecer distancias reales más pequeñas.
El uso e interpretación correcta de la escala, permite comprender la relación entre magnitudes muy grandes o muy pequeñas.
Por ejemplo las dimensiones que tiene el sistema solar y los cuerpos que lo integran, que se estudian en el Módulo 3 de Ciencias y Tecnología, son impo- sibles de comprender si no es a través de una proporción o un gráfico en escala.
La ejercitación adicional se planteará de acuerdo con el tipo de dificultad que presenten los alumnos. Si el problema radica en que no puede o perar con el
concepto, será necesario proponer actividades como la Nº30 del
para alumnos y trabajar con planos, mapas o esquemas, para calcular longitu-
des utilizando la escala que se indique en cada caso.
Una actividad para proponer a los alumnos, podria ser dar la medida real de un objeto, y tomando la de su representación, hallar la escala utilizada. Una actividad que integre todo lo anterior, sería representar algún objeto con una escala previamente establecida por los alumnos, por ejemplo la represen-
tación del aula, del patio, de un armario, etc.
El edificio geometrico fue construido por los seres humanos a lo largo de muchos siglos. Sobre él se han escrito importantes tratados que generaron discusiones entre matemáticos ilustres; transcurrieron siglos h asta llegar a algunos acuerdos.
La enseñanza de la geometria también pasó por períodos criticos. Durante mucho tiempo se enseñó matemática y especialmente geometria, con un ordenamiento, una sistematización y un rigor cientifico que poco tenía que ver con las posibilidades y los intereses personales de los alumnos para aprender matemática.
El tratamiento de la geometria en el Módulo 3 para alumnos, va desde la geometría física (de las representaciones gráficas y materializadas), a la geome- tria abstracta (conceptualizaciones matemáticas).
No hay dudas, desde el punto de vista didáctico, de que la geometría del mundo físico es un modelo excelente para el desarrollo de la geometría mate- mática. Se comenzó el estudio de la geometría (en el Módulo 2) resentando actividades que intentaron poner en contacto a los alumnos con algunos con- ceptos geométricos.
A partir del-Módulo 3 para alumnos se incorpora el lenguaje de las represen- taciones geometricas.
La idea de poligonal surge al considerar segmentos consecutivos no alineados. Si los segmentos o lados de la poligonal no se cruzan, la poligonal recibe el nombre de simple. De lo contrario se llama poligonal cruzada. En ambos casos puede ser abierta o cerrada.
Cruzada s
Dentro de las cuatro posibilidades que se presentan en las poligonales, las cerradas y simples son las que, matemáticamente, reúnen las propiedades más interesantes.
Los alumnos deben notar que los puntos del plano quedan divididos en tres clases; los de la poligonal, los interiores a la poligonal y los exteriores a ella. Esta clasificación de los puntos, permite construir el concepto de polígono. La unión entre la poligonal cerrada y simple con su región interior determina un polígono: es importante que se establezca con claridad que al polígono per- tenecen tanto los puntos del borde o frontera (poligonal), como también los interiores.
Respecto de la actividad Nº 31 (pág. 225) es conveniente que sea el alumno quien compare las dos figuras y establezca las diferencias. Una de las princi- pales, es que la poligonal es una línea en cambio el polígono no. Por eso en la poligonal sólo existe una dimensión, la longitud. En un polígono son dos las dimensiones y, por lo tanto, tienen como propiedad específica la superficie. Esto es tratado para facilitar al alumno la conceptualización de perímetro y de superficie.
Generalmente, la primera clasificacion que se establece entre los polígonos es:
convexos y no convexos (o cóncavos).
Esta clasificación no fue desarrollada en el Módulo 3 para alumnos, pero si
en el grupo surgiera la necesidad de hacerlo, se sugiere
presentar dos- poligonos, uno convexo y otro cóncavo! como los siguientes.
Solicitar que indiquen las diferencias que observan entre uno y otro. Muchas serán las diferencias que encuentren, y sin lugar a dudas una de ellas será la propiedad de convexidad de uno de los polígonos. La forma cómo expresen esta condición podrá variar de un alumno a otro, pero el concepto será el mismo.
Una figura es cóncava (o no convexa) cuando con un par de puntos pertene- cientes a ella puede determinarse un segmento que no está incluido en dicha figura.
Es necesario hacer notar que con encontrar al menos un par de cumplan con este requisito, es suficiente para que la figura se
cóncava. Por lo tanto, para ser convexa no debe existir ningún par de puntos que determine un segmento que no esté incluido en la figura.
untos que
clasifique en
La clasificación en cóncavo y convexo, no solo se aplica a los polígonos. Por lo tanto es necesario verificar que el concepto sea general y no particular para los polígonos. Por ejemplo con ángulos, con las lentes, etc.
Los polígonos, puden ser regulares o irregulares. Con respecto a esta clasifica-
ción, es común que se interprete
lados deben ser iguales”.
Si bien es cierto que esta condición es necesaria, no es
suficiente. Un polígono es regular si y, sólo sí, si todos sus lados y todos sus
que para que un polígono sea regular “sus
La clasificación más utilizada, es la que divide a los polígonos según el núme- ro de lados. Algunos de estos figuran permanentemente en nuestro lenguaje, como el triángulo, el cuadrilátero, etc. En general, esta ultima clasificación no presenta dificultades. Es conveniente remarcar que los triángulos y los cuadri:
l áteros son polígonos, por lo tanto tienen sus mismas propiedades.
Algo semejante ocurre con los términos congruente e igual, los adultos en general desconocen la palabra congruente, pero utilizan permanentemente la palabra igual, en algunos casos como sinónimo de congruente. De nada serviría insistir en la diferencia.
Al igual que en la longitud, para llegar al cálculo de superficie y al uso de unidades convencionales, se creyó necesario incorporar el concepto de superficie y el uso de unidades no convencionales. Por eso en la actividad Nº40, se ha intentado diferenciar el perimetro de la superficie. A diferencia de las líneas cuya propiedad es la longitud, la propiedad característica de los po- lígonos es la superficie.
Para medir una longitud se necesita otra longitud, es decir una magnitud de la misma especie, y, para medir una superficie, es necesario utilizar otra superfi- cie como unidad. Se pueden utilizar entonces, baldosas (si se trata de un piso), manzanas (en el caso de un sector de una ciudad), cerámicas o azulejos (en el caso de una pared), etc. Además, el alumno podrá proponer otras unidades po- sibles para medir superficies y medir la misma superficie con distintas unidades
Nº43).
Si bien se puede tomar cualquier superficie como unidad, es conveniente que las últimas que se utilicen durante ‘las actividades’ que se propongan sean cua- drados, ya que el metro cuadrado es una superficie cuadrada. También en este caso el alumno debe ver la necesidad de utilizar unidades convencionales incluidas en el SIMELA,
En el tratamiento de los múltiplos y submúltiplos hay dos aspectos centrales a tener en cuenta: la relación entre las unidades y la formación de la idea del tamaño de las unidades de superficie más usuales.
Estos dos aspectos se pueden trabajar simultáneamente como en las activi-
dades Nº44, Nº45 y Nº46. Ante dificultades, se puede llevar un metro y con
tiza o al
apropiad; as. Por ejemplo: medir la superficie del pizarrón, del patio o de. una pared. Dibujar entonces cuadrados de 1 m por 1 m, o de 1 dm por l dm de 1 cm por l cm y luego contar los m 2 , dm 2 o cm 2 .
gún objeto que permita marcar, dibujar con los alumnos las unidades
De esta actividad, que puede repetirse con distintos objetos y diferentes uni- dades, surgen varias situaciones adicionales: a) elegir la unidad apropiada; b) la unidad elegida no está contenida un número exacto de veces; c) la equivalencia (si se eligen dos unidades distintas para medir la misma superficie). En el caso a), se verifica si tienen noción del tamaño de las unidades para ele- gir la apropiada. De no ser así, al intentar resolver la actividad, se darán cuenta de que es muy pequeña o muy grande la unidad elegida.
La situación b) se dará en casos como el siguiente.
Sobre el patio se han dibujado cuadrados de 1 m 2 cada uno, en total hay 12,
superficie restante?
queda superficie del patio sin medir. ¿Cómo se determina la medida de la
Aquí los alumnos pueden proponer: 1) Estimar lo que quedó (más o menos 4m 2 dando un total de 16m 2 ). 2) Completar el resto de la medición con dm 2 (en este caso se dibuja en lo que queda del patio, cuadrados de 1 dm por 1 dm). Finalmente, se podrán comparar las dos respuestas.
En c), se presenta una buena ocasión para mostrar equivalencias. Si por ejemplo, la superficie de un pupitre es de 18 dm 2 , al medirla con cuadradítos de 1 cm por 1 cm, se obtendrán 1.800cm 2 .
Para medir superficies también se utilizan las unidades agrarias, fundamen- talmente, la hectarea. Generalmente los hombres y mujeres que trabajan o han trabajado en el campo, tienen presente esta unidad de medida. Con ellos solo será necesario trabajar la equiva lencia con el hectómetro cuadrado (1 hectárea).
Con los alumnos que no ten gan una nocion clara del tamaño de una hectárea, se la deberá relacionar con elh m 2 , establecer la manzana de al unas ciudades como una superficie similar (se debe tener presente la irregulari d: ad de las man- zanas) .
En el Módulo 3 se trabajará solo el cálculo (con fórmula) de la superficie de rectángulos.
pecialmente en geometría, se presentan las formulas
medida de la figura
un volumen o
libro y que el alumno, sin
comprenderla, debe aceptar. En tales casos, los alumnos tienen la sensación de
d que son el “mandato” de algún matemático que vivió hace mucho tiempo y que eben ser utilizadas mecánicamente.
geométrica como una imposición del maestro o el
En muchas ocasiones, es
Las actividades Nº47, Nº48 y, especialmente, la Nº49, ‘permiten que el alumno descubra la fórmula para calcular la superficie de los rectángulos. En el rectángulo de la actividad Nº49, la superficie la obtuvo multiplicando 10 cm por 6 cm, que son las medidas de ese rectángulo, pero el procedimiento se puede generalizar, ya que en todos los casos, el producto de la base por la altura permite hallar la superficie de un rectángulo.
Si el alumno, es quien generaliza, podrá:
La obtención, comprensión y utilización de las fórmulas por parte de los alumnos, permite ir de lo concreto y particular a lo general, representativo y abstracto.
La fórmula para calcular superficies de rectángulos es fundamental, ya que las fórmulas para el resto de las guras (directa o indirectamente), están relaciona- das con ésta.
De ser necesario, se pueden proponer actividades similares a la Nº49. Si los alumnos comp renden el concepto de superficie y el de multiplicación, no tendrán dificul tades para aplicar o reconstruir la fórmula para calcular la super- ficie del rectángulo; de lo contrario, hay que verificar en cual de estos dos conceptos está la dificultad, para poder superarla.
Otras actividades podrían ser las que los alumnos -piensen en situaciones cotidianas en donde necesiten calcular las superficies. Por ejemplo, calcular la superficie de un vidrio que debe ser reemplazado, la de una huerta que debe ser abonada o sembrada, la de una pared que se quiere empapelar, etc.
Luego de haber hecho calculos simples, se pueden la Nº51, donde intervienen muchos de los temas d
proponer actividades como esarrollados en el módulo
para alumnos. Ejercicios semejantes, pueden realizarse, no sólo a través del grá-
f ico de las paredes, sino tomando una habitación para graficar sus paredes, medirlas y luego resolver la actividad.
El aula siempre ofrece posibilidades mu buenas para generar actividades. En este sentido, es bueno llevar o pedir que los alumnos lleven instrumentos para medir. En este tipo de actividades, la vivencia que se genera por tener que obtener los datos para resolver el problema, generalmente, hace que éstos sean ordenados y utilizados correctamente.
Los algoritmos se olvidan fácilmente cuando no son comprendidos. La com-
b prensión del algoritmo tanto de la multiplicación como de la división, está
en un manejo apropiado del sistema de numeración
asada, principalmente,
Los alumnos, en muchas ocasiones operan mal al querer aplicar un mecanis- mo que no comprenden o no lo recuerdan por haber sido incorporado solo en forma mecánica.
Si en un grupo hay alumnos que cometen errores al multiplicar o dividir, en especial con dos cifras, no es conveniente insistir con más cuentas, como máxi- mo se logrará que temporariamente obtengan algunos resultados correctos. En estos casos, es necesario observar las cuentas realizadas por ellos. Se notará que, en general, los errores se relacionan con el sistema de numeración decimal, ya sea porque encolumnan mal o porque transforman unidades de uno a otro or- den en forma incorrecta.
Para superar estos errores, es necesario que usted plantee actividades que se refieran al sistema de numeración decimal y luego rehacer junto con los alumnos las operaciones resueltas incorrectamente, indicando por qué se opera de esa manera, para que puedan reconocer la causa de sus errores.
En la historieta que introduce al tema multiplicacion y en la actividad Nº12, se sugiere que en lugar de multiplicar por 12, se multipli que por 2 y por 10 y que se sumen los resultados, ya que en esto consiste el algoritmo de la mul- tiplicación por dos cifras.
Hasta que el algoritmo no esté comprendido, es conveniente que se utilicen las columnas de C, D y U. Los alumnos solos sabrán cuándo no usarlas más.
El mismo tipo de dificultades, presenta la multiplicación de una expresión
Por lo tanto, es necesario insistir en las
decimal por un número natural.
multi plicaciones entre números naturales antes de pasar a agregar una mayor dificultad al utilizar la coma decimal.
es conveniente mencionar que se está
multiplicando y que se o b tiene, por ejemplo, en la actividad Nº15: “2 por 4 centésimos, es igual a 8 centésimos” y ubicarlo en la columna que corresponda.
Las primeras actividades de multiplicación (actividades Nº12 y Nº15) y de división (actividades Nº23 y Nº24) por dos cifras, es conveniente explicarlas oralmente para facilitar su comprensión, ya que la secuencia indicada para resolver las operaciones y sus justificaciones, pueden no ser comprendidas por todos los alumnos. No se puede agregar más texto a los ejercicios para que no resulten demasiado extensos.
La multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros, permite hacer cálculos aproximados del resultado de una cuenta sin necesidad de hacerla con calculadora o escribiéndola.
Hay que estimular a los alumnos para que antes de realizar una operación, estimen un posible resultado. De esta manera, si al hacer una cuenta por escrito el cálculo se realiza mal, notarán que el resultado no es correcto y revisarán la cuenta, Por ejemplo, si se tiene que multiplicar 154 por 13, se puede pensar
que si se multiplica 154 por 10 y se obtiene 1540, entonces por 13 será al más, tendrá que dar aproximadamente 2000; si al hacer la cuenta da mucho más o mucho menos, es evidente que hay un error. Es posible que muchos adultos utilicen estrategias semejantes, en estos casos conviene que las com- partan con el resto del grupo. Esto los estimulará y permitirá a los otros ir construyendo sus propios procedimientos.
Las actividades Nº17, Nº20 y Nº22, permiten que los alumnos descubran la propiedad referida a la multiplicación y la división por la unidad seguida de ceros. Las tablas de equivalencias que se presentan, muestran que siempre ocu- rre lo mismo, descartando lo que en una sola cuenta podría parecer casualidad.
El algoritmo de la division por dos cifras no es distinto al de una cifra, pero tiene sus particularidades. Por ejemplo
¿Se puede dividir 7 centenas por 21 ?
Como la respuesta es no, generalmente se dice: “entonces se toma la cifra que sigue”, esto no tiene la justificación correspondiente y comienza a convertirse en un mecanismo incomprensible. Lo correcto es utilizar el sistema de numera- ción y pensar, “Como no se puede dividir 7 centenas en 21 partes iguales se transforman las 7 centenas en decenas, o sea 70, más 4 que ya se tenían da 74 decenas”.
¿Se puede dividir 74 decenas por 21?
La respuesta ahora es sí. El problema es cuánto se obtiene. En la actividad del módulo para alumnos, para poder hallar cada una de las cifras del cociente, se agregaron todos los productos del dividendo por una cifra. Esta es una de las técnicas posibles. Otra forma de hallar la primera cifra del cociente, es por tanteo. Este es el procedimiento más utilizado, pero no es el mejor para iniciar el tema, porque implica muchos cálculos innecesarios que pueden evitarse si el alumno sabe las tablas, o utiliza la tabla pitagórica sabiendo de lo que busca.
ll decenas se transforman en 110 unidades,
más las 8
escribe el 8 junto al ll.
que ya había, da 118, por eso. ,se
Generalmente se dice ” se baja el 8 ”. ¿Por qué?, ¿para qué?. Si no se cambia o justifica este tipo de expresión, se cae en el mecanismo incomprensible.
A partir de este paso, el ciclo se repite, se busca el cociente entre 118 y 21 y se sigue
Si el propósito es obtener un cociente decimal, sólo se necesita mostrar que el 5 obtenido en el cociente corresponde a las unidades, por lo tanto, para con- tinuar, es necesario transformar 13 unidades en 130 décimos (generalmente se dice “se agrega un cero al resto”), obteniendo en el cociente, como próxima cifra 6 décimos, por eso se coloca la coma decimal en el resultado.
Sintetizando, para los adultos que ya saben este tipo de
procedimientos habrá
que justificarlos, mejorarlos y controlarlos. Para los que lo están aprendiendo,
es necesario que justifiquen permanentemente. Esto ayudará a que compren- dan y no olviden los algoritmos. Recuerde que la calculadora podrá ser utilizada para ‘verificar los resultados.
La siguiente es una actividad de integracion propuesta para la evaluación. Es conveniente tener en cuenta que un error de medición o de calculo, puede motivar que las respuestas que dependan de éste no sean correctas, pero esto no implica necesariamente que el alumno haya procedido mal.
Campo “La luz güena”
En el gráfico se ha hecho el esquema de un campo, el recuadro mayor corres- ponde a los límites del campo; el interior al sector destinado a la vivienda.
1) Mida y escriba cuántos cm tiene el ancho (base) del rectángulo,
2) Si la medida real del ancho del campo es de 900m, ¿cuál es la escala utilizada para la representación?
3) ¿Cuál es el perímetro del campo?
4) Si por cada 25m de alambre perimetral se quiere colocar un cartel, ¿cuántos carteles podrán ubicarse?
5) Calcule la superficie total del campo
6) ¿Cual es la superficie del sector destinado a vivienda?
7) Si el resto del campo es utilizado para criar animales. ¿Cual es la superficie destinada a esta finalidad?
8) Exprese esta superficie en hm2, o sea, son
Si por ejemplo en el punto 1) el alumno mide mal y en lugar de medir 9cm lee 10cm, la escala ya no será la dada, pero’ si usando lo que él midió (l0cm),
calcula como escala 10 cm : 900 m o l cm el punto 2) es correcto.
90 m 0 como lo exprese,
Este tipo de situaciones, pueden darse en cualquier punto de la evaluación, y el criterio a adoptar debe ser el mismo.
Bandet, J. y otros: Hacia el aprendizaje de las matematicas. Buenos Aires, Ka- pelusz, 1965.
Didáctica de la matemática moderna. Mexico, Trillas,
Márquez, Cristina del Carmen: Enseñar a pensar. Buenos Aires, Kapelusz, 1987, Cuaderno pedagógico Nº57.
Polya, G.: Cómo plantear y resolver problemas. México, Trillas, 1978.
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, Capitulo 4.
Rey, María Esther y otros: Aprendizaje y matemática. La medida. Buenos Aires, Plus Ultra, 1982.
Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 6.
Tapia, Nelly: Matemática
ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 6.
Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 4.
Tapia, NeIly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 5.
La superficie, cálculo:
Trama, Eduardo y otros: Matemática 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 8.
Tapia, Nelly: Matemática ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 11.
Operaciones, potenciacion:
Amadori, Liliana: Matemática 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap.s 5 y 11.
Contenidos y actividades Operaciones Proporcionalidad Las posibles dificultades de los alumnos Porcentaje Multiplicacion y division de expresiones decimales Medidas de capacidad y peso Geometría Medición de angulos
Anexo 1: Problemas Proporcionalidad Porcentaje
La organización de este módulo destaca el concepto de proporcionalidad; se
lo considera un tema fundamental por su utilidad en la vida cotidiana y en la
a plicación en otras disciplinas como, por ejemplo, la física. Además, de él
d erivan otros temas como los de escala, porcentaje y descuento.
La enseñanza de la matemática está estrechamente ligada a la resolución de problemas. Por tal motivo, el objetivo central de este módulo es presentar algunas herramientas que lo orienten a usted en:
* la selección de problemas de proporcionalidad para plantear a los alumnos;
* la elección de procedimientos de resolución de problemas de regla de tres y de formas de representación de planteos y soluciones; * la elección de estrategias para superar posibles errores conceptuales y/o de aplicación de procedimientos por parte de los alumnos,
Un tema no se agota con la resolución de un solo tipo de problemas. Es conveniente enfrentar al alumno con situaciones que contemplen diferentes aspectos en relación con un contenido particular, de tal forma que nuevos problemas den lugar a nuevas reflexiones y reformulaciones. Por tal motivo, se incorporó al final de este módulo el Anexo 1 con propuestas de problemas, para ser utilizado cuando usted lo crea oportuno.
En el eje Operaciones, es prioritario el concepto de proporcionalidad, cuyo tratamiento se inició en el Módulo 3. Dicho concepto, se fue estructurando a
partir de la formulación de una secuencia de problemas con nivel creciente de
complejidad. El
propósito es que el alumno analice y confronte los posibles
procedimientos d e resolución de situaciones de proporcionalidad y utilice el que le resulte más conveniente 1 *
Derivado del concepto de proporcionalidad, se plantea el concepto de porcentaje, que está presente en el quehacer cotidiano del adulto, en situaciones como: calcular e

References: resolución 
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