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ScribdBrowseInterestsPolitics & Current AffairsCareer & MoneyPersonal GrowthFictionHealth & FitnessLifestyleEntertainmentBiographies & HistoryScience & TechBrowse byBooksAudiobooksNews & MagazinesSheet MusicBrowse allUploadSign inJoinPisa 2012 Matematica Modulo 2[1]Uploaded by jpestalardo0.0 (0)DownloadEmbedDescription: PISA 2012 MATEMATICA-modulo-2View MorePISA 2012 MATEMATICA-modulo-2Copyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMÓDULO 22
ESTUDIO PISA 2012 - MATEMÁTICA - MÓDULO 2 - PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
JAIME PERCZYK Subsecretaria de Planeamiento Educativo PROF. CRISTINA FERNÁNDEZ DE KIRCHNER Ministro de Educación Prof. MARISA DÍAZ Directora Nacional de Información y Evaluación de la Calidad Educativa Dra.3
Presidenta de la Nación Dra. LILIANA PASCUAL
. ALBERTO ESTANISLAO SILEONI Secretario de Educación LIC.
Natalia Rivas DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN: Karina Actis Juan Pablo Rodriguez Coralia Vignau
. Amanda Franqueiro Prof. Evangelina Indelicato ASISTENCIA TÉCNICO-PEDAGÓGICA Prof. Beba Salinas Lic. Patricia Scorzo Prof. Florencia Carballido Lic. Norma Mustacciuoli Lic. Pilar Varela Lic. Graciela Fernández ÁREA DE CIENCIAS SOCIALES Prof. Carmen de la Linde Prof. Viviana Vega ÁREA DE MATEMÁTICA Prof.MÓDULO 2 . Elizabeth Liendro Prof. Mariela Leones ÁREA TÉCNICO-PEDAGÓGICA Lic. Liliana Bronzina Prof.4
ESTUDIO PISA 2012 . Andrea Baronzini Prof. Andrea Novembre ÁREA DE LENGUA Prof. Andrés Nussbaum Prof. Ana Lamberti ÁREA DE CIENCIAS NATURALES Mg.PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
DOCUMENTO ELABORADO POR EL DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN DE LA DINIECE DEPARTAMENTO DE EVALUACIÓN DE LA CALIDAD EDUCATIVA Mg. Jorge Novello Dra.MATEMÁTICA . Graciela Piantanida Lic. Nora Burelli Prof.
........................................................................................9	II.......................................................... . ..............................16	Ejemplo 3: Concierto de rock........	Ejemplos de ítems .........10	III......................................7 Introducción................5
CARTA A DOCENTES.......19	Ejemplo 5: Disminución de los niveles de CO2....................................................................................................	¿Qué evalúa PISA en Matemática?................................11	Ejemplo 1: El Farol... ....	Acerca de la matematización de una situación............................................21	....11	Ejemplo 2: Pizzas.................................17	Ejemplo 4: Exportaciones......................................9	I.....
.MÓDULO 2 .6
ESTUDIO PISA 2012 .MATEMÁTICA .
Estimados/as Docentes: En este Material de trabajo del área de Matemática se hará hincapié en la resolución problemática. Finalmente agradecemos la participación de todos los que están comprometidos en esta tarea. al tiempo que posibilite a los estudiantes transitar en mejores condiciones la próxima evaluación del Estudio PISA. tanto como sea posible. un conjunto de ítems que permitirá profundizar las estrategias para resolver las dificultades propias de cada una de las áreas. en este Segundo Módulo podrá encontrar: •	•	•	una síntesis del marco teórico específico de Matemática del Estudio PISA. que se pueda contar con el apoyo y colaboración de las familias.
. los criterios de corrección que son utilizados. y en los procesos de matematización como parte del enfoque de trabajo que propone el Estudio PISA. Auguramos que esta propuesta de trabajo pueda constituirse en un aporte que enriquezca sus prácticas de enseñanza. Por tanto.
Confiamos en que este documento pueda resultar de utilidad para el trabajo conjunto entre docentes y estudiantes y.
MÓDULO 2 .PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
Los periódicos. respuesta parcialmente correcta. Desarrollaremos qué se entiende por proceso de matematización y proporcionaremos ejemplos de cómo se pone en juego en la resolución de algunos problemas que hemos seleccionado para tal fin. etc. salud. gráficos. Los problemas liberados son los que Pisa decide mostrar –y por lo tanto no vuelve a usar. etc. clasificándolas en respuesta correcta. decidir qué producto conviene más. Estas respuestas se muestran de acuerdo al modo en que se realiza la corrección. ¿QUÉ EVALÚA PISA EN MATEMÁTICA?
PISA evalúa a alumnos de 15 años en su capacidad para utilizar sus conocimientos y comprensión matemática para resolver cuestiones que los ciudadanos tienen que enfrentar. internet.
I. nos abruman con información que dan en forma de tablas.a docentes y alumnos con el objetivo de que conozcan la modalidad que adquiere esta evaluación. Junto con las actividades propuestas podrán encontrar las respuestas. espaciales.9
En este módulo fijamos nuestra atención en la capacidad cognitiva de resolución de problemas y específicamente en las actividades o proceso de matematización que el Estudio PISA propone como parte de su enfoque de trabajo.
Las pruebas y problemas Pisa constituyen un material confidencial. población. De la misma manera la vida en sociedad nos exige leer formularios. Nuestro objetivo en este módulo es comunicar un modo de trabajo posible que facilite la actividad de resolución de problemas más o menos complejos. turismo. A continuación mostramos varios ejemplos de actividades que han sido usadas en estudios PISA anteriores y que ahora se han liberado1 para uso de los docentes y estudiantes. cuantitativos. cuál es la mejor oferta. respuesta incorrecta y respuesta omitida. economía. interpretar horarios de ómnibus. de probabilidad y de cambio entre otros. diagramas sobre el tiempo. televisión.
. realizar operaciones bancarias. tareas que involucran conceptos matemáticos de diversos tipos. revistas.
sino que también es esencial que adquieran práctica en la traducción matemática de la situación.MATEMÁTICA . Educación Secundaria. El proceso a través del cual los alumnos buscan y ensayan estrategias de resolución para los problemas es llamado matematización en el marco teórico de PISA. Matemática. ACERCA DE LA MATEMATIZACIÓN DE UNA SITUACIÓN
La prueba PISA contiene situaciones problemáticas en contextos reales. No hablamos de la obtención de una ecuación porque no es una condición necesaria. DiNIECE. No es raro hallar soluciones que.MÓDULO 2 . Ministerio de Educación.10
ESTUDIO PISA 2012 . pero siempre es preciso que los alumnos logren hacer algún tipo de traducción que permita matematizar la situación”. en la práctica sucede que el proceso de resolución de problemas tiene idas y vueltas. es decir buscar dentro de sus conocimientos cuáles pueden ser pertinentes para resolver el problema planteado. Dicho de manera esquemática. quien intenta sistematizarla según sus conocimientos matemáticos. que deberá resolverse. “En la enseñanza de la resolución de problemas no solo es importante enseñar a los alumnos a encontrar diferentes estrategias de resolución. por lo tanto.
. se presenta una situación a resolver a un alumno.PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
II. una vez contrastadas con el contexto del problema se muestran incorrectas y llevan a revisar lo hecho. ONE 2010. requiere ser enseñada. Esto permite transformar el problema real en uno matemático. ¿Qué involucra este proceso de matematización o modelización? Ciertamente se trata de una práctica que no resulta natural a los alumnos y que. Las soluciones halladas tendrán que ser interpretadas en función del contexto para analizar su pertinencia.
Recomendaciones Metodológicas para la Enseñanza. 2011.
La actividad de matematizar se representa en el siguiente gráfico
Si bien en el gráfico las flechas marcan relaciones en un solo sentido.
En este apartado presentamos ejemplos de problemas y analizamos qué tipos de conocimientos se pueden poner en juego al resolverlos. Si se considera que la zona iluminada está representada por un círculo cuyo centro es la posición del farol.11
III. ¿Dónde deberá colocarse?
La modelización de este problema a través de la matemática precisa de conocimientos geométricos. el problema consiste en hallar la posición del centro y el radio de la circunferencia en cuestión.
Ejemplo 1: EL FAROL
La Municipalidad ha decidido colocar un farol en una pequeña plaza triangular para que alumbre la plaza en su totalidad.
.PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
Si se busca la circunferencia de radio mínimo. el centro de la circunferencia buscada será la intersección de las tres mediatrices. se trata de hallar un punto que esté a la misma distancia de cada uno de los vértices del triángulo.
El radio es la distancia entre el centro y un vértice del triángulo. El conjunto de puntos que equidistan de otros dos constituyen la mediatriz del segmento formado por los dos puntos dados.MATEMÁTICA . Luego.MÓDULO 2 .12
ESTUDIO PISA 2012 .
¿Qué hubiera sucedido si el triángulo hubiera sido obtusángulo o rectángulo? Es decir.13
A partir del análisis hecho podríamos decir que el farol debe ubicarse en el punto que corresponde a la intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. La intensidad de la luz debe ser tal que la zona iluminada pueda pensarse como un círculo de radio la distancia entre el centro y cualquiera de los vértices. Ahora bien. ¿podemos estar seguros de que la solución encontrada no difiere al cambiar el tipo de triángulo considerado? En el siguiente dibujo se muestra el caso de un triángulo obtusángulo:
. en nuestro desarrollo propusimos como figura de análisis un triángulo acutángulo.
Cuando el triángulo considerado es rectángulo. esto significa que el farol estaría sobre un lado de la plaza. Teniendo en cuenta el contexto del problema.MÓDULO 2 .MATEMÁTICA .14
Aquí puede verse que el farol quedaría ubicado fuera de la plaza. lo cual no tiene sentido para el problema planteado. el centro de la circunferencia es un punto de la hipotenusa.
es decir el radio de la circunferencia cuya medida es la distancia entre el centro (posición del farol) y uno de los vértices del triángulo. Muchos alumnos encuentran soluciones que provienen de la lógica de lo cotidiano en lugar de la lógica matemática. Creemos que no solo es interesante debatir en clase acerca de los modos matemáticos de resolver un problema. con lo cual solo puede resolverse el problema empíricamente. que no tiene árboles que tapen la luz y que la altura del farol es la necesaria. Para que la matemática pueda responder al problema es necesario plantear ciertas restricciones.
. También es posible que haya estudiantes que planteen que la plaza puede tener árboles que tapen la luz. O también pueden plantearse como un problema la altura a la cual hay que poner el farol para que se logre iluminar la plaza. claramente. Pero es claro que cualquier otra circunferencia con el mismo centro y un radio mayor que esa distancia también sirve. pero que responden al problema. entre otras. Otra cuestión sobre la que es importante prestar atención es la influencia que impone un contexto al razonamiento que se desarrolla. de una solución válida al problema que no utiliza ningún concepto matemático.15
En todos los casos hemos considerado la solución “mínima”. Se trata. es necesario suponer que la plaza es un triángulo no obtusángulo. sino también analizar las restricciones y condiciones que se plantean. no sería raro que un alumno responda que el farol puede ubicarse en cualquier lugar de la plaza y que hay que asegurarse de conseguir una fuente de luz lo suficientemente potente que permita que toda la plaza quede iluminada. Por ejemplo. En este caso.
. Se trata de llegar a un primer acuerdo: es necesario comparar las áreas con los precios correspondientes.MÓDULO 2 .MATEMÁTICA . A partir de aquí surge un nuevo problema. no son estas las magnitudes a comparar para decidir cuál pizza conviene comprar. ¿Qué pizza es la mejor opción en relación con lo que cuesta? Justificá matemáticamente tu respuesta
Las pizzas pueden representarse a través de círculos de 30 y 40 cm de diámetro.
Si bien hay una relación de proporcionalidad directa entre el diámetro de la pizza y el precio . se eliminan las diferencias entre. ¿son proporcionales? Si bien es cierto que cuando una variable crece. por ejemplo.
Una pizzería ofrece dos pizzas redondas del mismo grosor y de diferentes tamaños.
Como se espera que los alumnos consideren al diámetro y el precio para decidir.16
ESTUDIO PISA 2012 . las imperfecciones. Las magnitudes a considerar.PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
Ejemplo 2: PIZZAS
Proponemos el análisis de este segundo ejemplo. es necesario proponer un debate en torno al criterio para determinar la conveniencia de una u otra pizza. La más grande tiene un diámetro de 40 cm y cuesta 40 zeds. la densidad. la otra también. no se trata de magnitudes directamente proporcionales. etc. Es importante que los alumnos comprendan que al hacer esta suposición. La pequeña tiene un diámetro de 30 cm y cuesta 30 zeds.
000 5.000 100. y el sitio estaba lleno.000
.	E.	2. etc.
Ejemplo 3: CONCIERTO DE ROCK
Para un concierto de rock. si la relación entre los precios y las áreas fueran las mismas.	C. conviene comprar ésta. Este problema pone a los alumnos en situación de tener que tomar varias decisiones: acerca de las variables a considerar.33 zeds aproximadamente. Como su costo es de 40 zeds. el precio de la pizza de 40 cm de diámetro debiera ser:
Es decir. qué aspecto tener en cuenta para decidir cuál de las dos pizzas conviene comprar. ¿Cuál de las siguientes podría ser la mejor estimación del número total de personas asistentes al concierto? A. sobre la relación que existe entre ellas.17
¿Cuál sería entonces una posible forma de resolverlo? Si suponemos que el precio varía en forma directamente proporcional al área del círculo.	D.000 20.	B. se reservó un área rectangular de 100 m x 50 m para el público.000 50. Las entradas para el concierto se agotaron. entonces la pizza de 40 cm de diámetro debería costar 53. con todos los fans de pie.
pero claramente no se trata de un dato certero. habría 20 personas por metro cuadrado. Si los estudiantes comprenden esta falta de certeza. pero ¿cuáles son los conocimientos necesarios para poder estimar la cantidad de personas que pueden entrar paradas en un terreno como el descripto en el problema? Una forma de resolver problemas de opción múltiple como este. Si se pensara en resolver el problema en forma directa.000 m2/100. mientras que para la opción C cada una ocupa un área de 5. La opción D se descarta por la misma razón. a partir de los datos que proporciona el problema.000 personas = 0. De ser esta la respuesta.
. el terreno no estaría lleno. Se trata de un caso en el que no solo son necesarios conocimientos matemáticos para responder sino que además es preciso poner en juegos conocimientos prácticos.000 = 2. cada persona ocupa un área de 1 metro cuadrado. En este caso se trata de determinar la cantidad de personas que entran en un metro cuadrado de estadio lleno. no resulta simple darse cuenta si hay algún cálculo para hacer.05 m2.25 m2.000 personas) implica que cada persona ocupa 5. lo cual no resulta posible. La opción A (2.PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
El terreno puede representarse a través de un rectángulo de 100 m por 50 m. Si se divide el área de la zona destinada al público por la cantidad de personas.18
ESTUDIO PISA 2012 .MÓDULO 2 .1 m2 por persona o 10 personas por metro cuadrado. sino que puede haber diferentes respuestas. Si este fuera el caso. relativos a determinar cuántas personas es razonable que entren en un metro cuadrado de un estadio lleno. En el caso de la opción B. que es una zona demasiado amplia para una sola persona.
Pero.000 m2/2. Se trata de un problema de estimación. entonces no hay dudas de que cada posible respuesta tiene que cotejarse con las opciones.MATEMÁTICA . hay datos que ellos mismos tienen que proponer. consiste en analizar la factibilidad de cada una de las opciones.000 = 0. que se trata solo de una manera de seleccionar la respuesta más cercana a la estimación hallada. se obtiene el área que ocupa cada persona. Es necesario volver a analizar la situación que propone el problema para decidir en cuál de los casos anteriores la respuesta es la más acertada. si hay información que se omitió. por lo cual habría 4 personas por metro cuadrado.5 m2. pues en este caso habría 5. Para la opción E resulta que cada persona ocupa un área de 5.000 = 0. absoluto. resulta complejo para los alumnos entender que al tratarse de una estimación.000 m2/20.000 m2/ 50.
2. 2.4 millones de zeds.3 millones de zeds.
Pregunta 1: EXPORTACIONES ¿Cuál fue el valor total (en millones de zeds) de las exportaciones procedentes de Zedlandia en 1998?
Pregunta 2: EXPORTACIONES ¿Cuál fue el valor del jugo de frutas exportado por Zedlandia el año 2000? A	B	C	D	E	1.
. país que usa el el zed como unidad monetaria. 3. 3.8 millones de zeds.19
Ejemplo 4: EXPORTACIONES
Los siguientes gráficos muestran información acerca de las exportaciones procedentes de Zedlandia.8 millones de zeds.4 millones de zeds.
ESTUDIO PISA 2012 . Esta lectura es necesaria para responder las preguntas siguientes. 42.MÓDULO 2 .09. para luego leer el valor de las exportaciones en la parte superior de la barra: 27 millones de zeds. A partir del gráfico de barras es posible saber que en el año 2000 se exportaron 42. entonces: 9% de 42.MATEMÁTICA . pero no se trata ese del valor de las exportaciones de jugo en el año 2000. El valor exportado en jugo de frutas es.6 millones de zeds en Zedlandia. El alumno podrá ubicar el año en el eje horizontal. El gráfico circular informa que se exportó el 9% en jugos de fruta.6 millones = 3. los alumnos necesitan decidir qué gráfico utilizar como fuente de información.
Pregunta 1: EXPORTACIONES La primera pregunta requiere de la lectura de información que provee un gráfico de barras.6 millones = 0. Se trata de una pregunta que sirve para que los alumnos necesiten explicitar qué datos están representados en el gráfico y de qué modo.834 millones La dificultad que plantea esta pregunta consiste en tener que combinar la información proporcionada en dos gráficos diferentes para luego poder operar con ellas. Pregunta 2: EXPORTACIONES Como parte de la actividad necesaria para responder esta pregunta.
El siguiente diagrama muestra los niveles de emisión de CO2 en 1990 (las barras blancas) para varios países (o regiones). los niveles de emisión de 1998 (las barras oscuras) y el porcentaje de cambio en los niveles de emisión entre 1990 y 1998 (las flechas con porcentajes).
Ejemplo 5: DISMINUCIÓN DE LOS NIVELES DE CO2
Muchos científicos temen que el aumento del nivel de CO2 en nuestra atmósfera sea la causa del cambio climático.
Cada uno de ellos llegó a una conclusión distinta basándose en el gráfico. Mostrá el cálculo de cómo obtener el 11%. Da dos posibles respuestas ‘correctas’ a esta pregunta y explicá cómo llegaste a cada una de esas respuestas.22
Pregunta 3: DISMINUCIÓN DE NIVELES DE CO2 Amanda y Nicolás conversaron sobre qué país (o región) tuvo el mayor aumento de emisiones de CO2.
Pregunta 2: DISMINUCIÓN DE NIVELES DE CO2 Amanda analizó el diagrama y afirma que descubrió un error en el porcentaje de cambio de los niveles de emisión: “El porcentaje de disminución en Alemania (16%) es mayor que el porcentaje de disminución en toda la Unión Europea (Total UE.
.MÓDULO 2 . porque Alemania es parte de la UE. Esto no es posible.MATEMÁTICA .PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
Pregunta 1: DISMINUCIÓN DE NIVELES DE CO2 En el diagrama se puede leer que en EEUU. 4%).” ¿Estás de acuerdo con Amanda cuando dice que esto no es posible? Da una explicación que justifique tu respuesta. el aumento del nivel de emisión de CO2 desde 1990 a 1998 fue del 11%.
PREGUNTA 1: DISMINUCIÓN DE LOS NIVELES DE CO2 El enunciado de esta pregunta le proporciona al alumno una lectura de datos que brinda el gráfico. Cuando se consideran los aumentos absolutos. Por ejemplo:
PREGUNTA 2: DISMINUCIÓN DE LOS NIVELES DE CO2 Esta pregunta tiene por objetivo poner en discusión. puede ser mitigada por una disminución no tan marcada en otro país. El 4% de disminución significa que la cantidad total emitida en 1998 es un 4% menor que la emitida en 1990. que refieren a casos apoyados en lógicas diferentes. esto es posible debido a que cuando se considera el total de toda la UE una gran disminución en la emisión de CO2 para un país. Es muy importante que la clase sea un espacio donde pueda darse un debate acerca de cómo explicar si una afirmación es o no verdadera en base a argumentos matemáticos. En un caso se trata de usar argumentos basados en aumentos absolutos –el caso en que la emisión de CO2 sufrió el mayor aumento-. A pesar de que un porcentaje es mucho mayor en valor absoluto que el otro. Será tarea de los alumnos tomar las emisiones de CO2 dadas para este país y buscar una manera de calcular el porcentaje de aumento. etc. analizar la veracidad de la afirmación dada. por un lado. es central dar un espacio para trabajar y discutir sobre las explicaciones. PREGUNTA 3: DISMINUCIÓN DE LOS NIVELES DE CO2 En esta pregunta se da una información importante acerca del problema: hay dos casos correctos y diferentes en que hay mayor aumento de emisiones de CO2. Al considerar aumentos relativos es necesario analizar los porcentajes de aumento de cada país en relación. por el otro. El de mayor aumento es Australia con +15%. la cantidad emitida en 1998 es un 16% menor que la emitida en 1990. Es decir. No suele ser habitual que se presenten problemas que admiten dos soluciones correctas como en este caso. Pero además. lo cual se da para el caso de EEUU. los datos que brinda el gráfico del problema y. en las cantidades de CO2 emitidas en toda la UE se considera la suma de las cantidades emitidas en cada uno de los países que la componen. En el caso de Alemania. Es decir que el aumento del nivel de emisión de CO2 desde 1990 a 1998 en EEUU fue del 11%. mientras que en otro se analiza el mayor porcentaje de aumento –un aumento relativo-. Tal vez sea necesario poner en discusión la información que porta el gráfico como parte de un espacio colectivo. Pero también afirma que con los demás datos disponibles es posible calcular este porcentaje. la tarea consiste en encontrar la mayor diferencia entre las emisiones en 1990 y 1998. cuáles son más comprensibles. cuáles más completas.
MATEMÁTICA .MÓDULO 2 .PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y SENSIBILIZACIÓN
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