Source: http://joselorlop.blogspot.com/2017/11/690-la-cuchilla-del-zapatero-resolucion.html
Timestamp: 2018-09-22 19:18:24+00:00

Document:
Chapuzas matemáticas: 690. La cuchilla del zapatero. RESOLUCIÓN
690. La cuchilla del zapatero. RESOLUCIÓN
Cada alumno tenía que exponer un tema de Geometría y le tocó el turno a Pepe Chapuzas:
Mire, profe. El árbelos es una figura geométrica limitada por tres semicircunferencias que son tangentes entre sí (dos a dos) y que tienen sus centros y sus puntos de tangencia alineados... Esta figura se asemeja a las cuchillas de los zapateros, que es precisamente lo que significa en griego "árbelos"...
Los árbelos se han estudiado desde la antigüedad. Entre las muchísimas propiedades que se han demostrado a lo largo de la historia tenemos las siguientes:
a) La longitud del borde convexo es igual a la suma de las longitudes de los bordes cóncavos.
b) El área de un árbelos es igual a la de la elipse de semiejes los radios de las dos semicircunferencias más pequeñas.
Pepe demostró las dos propiedades. ¡Demuéstralo tú también!
Nina Guindilla demostró la propiedad a) :
Mire, profe. Si R es el radio de la semicircunferencia mediana y r el de la pequeña (es posible que R = r ), entonces el radio de la semicircunferencia grande es R + r . La longitud de la semicircunferencia grande (el borde convexo) será π · (R + r) = π · R + π · r , que es la suma de las longitudes de las circunferencias mediana y pequeña (los bordes cóncavos).
La propiedad b) es más difícil de demostrar, ¿verdad?
A Yoyó Peluso le tocó demostrar la propiedad b) ...
Profe, mire. Si dibujamos el árbelos simétrico respecto de la recta que pasa por los centros y los puntos de tangencia de las semicircunferencias tenemos que el área del círculo grande medirá
π · (R + r)2 = π · (R2 + r2 + 2Rr) = π · R2 + π·r2 + 2·π·R·r
Como π·R2 y π·r2 son las áreas de los círculos mediano y pequeño, entonces el área del árbelos será π·R·r , que es el área de una elipse de semiejes R y r .
Yoyó terminó diciendo que π·R·r también era el área de un círculo de radio la media proporcional de R y r , o sea, √(R·r) , e hizo el siguiente dibujo:
Profe, mire. Las áreas verde y azul son iguales... Por el teorema de las cuerdas, el círculo azul tiene de diámetro la media proporcional de los diámetros 2R y 2r , por lo que el radio del círculo azul medirá √(2R·2r) / 2 = √(R·r) .
Publicado por José Lorenzo López en 14:04
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