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La praxeología local como unidad de análisis
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LA PRAXEOLOGÍA LOCAL
COMO UNIDAD DE ANÁLISIS
DE LOS PROCESOS DIDÁCTICOS1
Marianna Bosch2 y Josep Gascón3
VERSIÓN PROVISIONAL (11/03/04)
« Si on veut diffuser la pratique des mathématiques, il ne suffit pas de communiquer les savoirs. Si nous voulons comprendre les nécessités et les possibilités de la transposition didactique au sens restreint, il est indispensable d’étudier toute la chaîne et d’englober tout le processus. Dans ces conditions, l’étude de la transposition et celle des situations didactiques coïncident. Elles définissent le même objet d’étude. […] En fait, il s’agit de faciliter une approche de l’enseignement qui ne soit pas seulement centrée sur les savoirs “terminaux” de l’élève – ou plutôt sur leur écart aux savoirs scolaires –, mais sur l’ensemble des rapports à ces savoirs et sur l’histoire qui les établit. » (Antibi et Brousseau 2003)
Partiremos de un problema docente que llamaremos el Problema de Pólya y que puede sintetizarse en la enorme dificultad de las instituciones escolares para conseguir que los alumnos, más allá de los ejercicios rutinarios, lleguen a resolver “verdaderos” problemas matemáticos. Utilizaremos la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) para formular dicho problema como un problema e investigación didáctica relacionado con el fenómeno de la desarticulación escolar del currículum. Mostraremos que para responder a la reformulación didáctica del problema de Pólya y, en general, a cualquier problema didáctico, se requiere una descripción previa de la dinámica institucional de las organizaciones praxeológicas matemáticas y didácticas puestas en juego. Esta ampliación necesaria del ámbito en el que se sitúa el objeto de estudio de la didáctica de las matemáticas nos conducirá al problema de la reconstrucción teórica de las praxeologías “empíricas” (tal como aparecen al observador) y pondrá de manifiesto que la praxeología local es la unidad mínima de análisis de los procesos didácticos.
1. PUNTO DE PARTIDA: EL PROBLEMA DE PÓLYA
La confusión entre problemas docentes y problemas de investigación didáctica proviene, en gran parte, de la aceptación implícita y acrítica de que las nociones que se emplean en la cultura escolar para hablar de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas son también válidas para formular problemas de investigación didáctica.
Postulamos, efectivamente, que la cultura escolar contiene un conjunto de nociones y de ideas dominantes expresables con dichas nociones, que determinan absolutamente la problemática docente, esto es, el tipo de preguntas que pueden ser planteadas y el tipo de respuestas aceptables en las instituciones docentes. Este conjunto de ideas dominantes no constituyen propiamente un modelo explícito y coherente del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, pero forma una red muy fina, defendida por los profesores más comprometidos en las tareas de renovación e innovación del sistema de enseñanza. Las propias autoridades educativas refuerzan este conjunto de ideas dominantes porque éstas, al ser expresables en el lenguaje del profesor, parecen adecuarse muy bien para formular los problemas “reales” de la enseñanza y del aprendizaje en el aula (Gascón, 1999).
Como suele suceder en todas las instituciones, las nociones que se usan en la cultura escolar se acaban convirtiendo, para los sujetos de la propia institución, en nociones transparentes y de una pertinencia incuestionable para describir la vida institucional. Además, la permanencia de dichas nociones suele prolongarse más que la vida media de los sujetos de la institución.
Algunas de dichas nociones como, por ejemplo: problema rutinario (o “problema mecánico”), algoritmo, técnica básica, problema creativo (o “problema de pensar”), estrategia compleja de resolución de problemas, concepto matemático, teorema, definición, demostración, aritmética, álgebra, estadística, geometría, cálculo, etc., se utilizan para describir las matemáticas escolares. Pero en la cultura escolar también encontramos otras nociones que, juntamente con las anteriores, sirven para hablar de la relación de los alumnos a la matemática escolar. Entre éstas podemos citar, por ejemplo: motivación, actitud hacia las matemáticas, enseñanza activa, aprendizaje significativo, tratamiento de la diversidad, conocimientos matemáticos (de los alumnos), capacidad de abstracción, intuición geométrica, capacidad de trabajo, habilidad numérica, etc.,
Si analizamos en profundidad algunos de los problemas docentes que se enuncian utilizando estas nociones, veremos que merecen un estudio científico serio y, por lo tanto, requieren la utilización de modelos que deberá elaborar la didáctica de las matemáticas (Gascón, 1994 y 2004; Bosch y Gascón, 2002). Así, por ejemplo, uno de los problemas docentes más recurrentes en las actuales instituciones escolares puede formularse como sigue:
¿Qué papel que juegan los conocimientos matemáticos del alumno, así como su actitud hacia las matemáticas y hacia su aprendizaje, en su rendimiento escolar?
Si nos situamos en el ámbito de una teoría didáctica concreta y si aceptamos que ese problema docente es directamente traducible a un problema de investigación didáctica, entonces bastará con cambiar levemente el enunciado:
¿Qué papel juega la modelización (propuesta por dicha teoría) de los conocimientos matemáticos y de las actitudes de los alumnos, en la explicación de los hechos didácticos como, por ejemplo, el rendimiento escolar o el tipo de errores que cometen los alumnos?
Pero, en el caso que dicha cuestión sea pertinente, es razonable suponer que la respuesta no tiene porqué ser genérica y uniforme para todo tipo de conocimientos matemáticos ni para todo tipo de hechos didácticos. Podemos suponer que la respuesta dependerá del tipo de problema didáctico que se aborde y de los fenómenos didácticos particulares que se quieran esclarecer. Sería más adecuado, en nuestra opinión, partir de un tipo concreto de problemas didácticos y analizar el papel que juegan en la explicación de los mismos los diferentes elementos del modelo didáctico utilizado sin prejuzgar, de antemano, la naturaleza de dichos elementos.
Hemos elegido como punto de partida un problema docente clásico en las instituciones escolares al que todas las reformas de las matemáticas de los últimos decenios han intentado responder sin éxito. Lo denominaremos el problema de Pólya porque constituye la problemática central de la tradición del “Problem Solving”, iniciada por George Pólya en 1945 y profundizada en Pólya (1954 y 1962-5). La primera formulación de dicho problema puede hacerse utilizando nociones de la cultura escolar:
Una vez que los estudiantes dominan las técnicas “básicas” o elementales y poseen los conocimientos matemáticos “necesarios”, ¿cómo conseguir que sean capaces de construir y utilizar adecuadamente estrategias complejas para resolver “verdaderos” problemas matemáticos o problemas “creativos”?
Múltiples investigaciones han mostrado que la construcción y utilización pertinente de una estrategia compleja para abordar con eficacia una tarea matemática no rutinaria es muy difícil para la inmensa mayoría de los estudiantes (Kilpatrick, 1967; Landa, 1972; Bell, 1976; Lesh y Landau, 1983; Schoenfeld, 1985; Gascón, 1989). La dificultad no disminuye significativamente aunque la tarea matemática sea “elemental” en relación a la formación matemática de los estudiantes (Roa, 2000)4 ni, tampoco, por el hecho de que se haya comprobado experimentalmente que los estudiantes dominan efectivamente las técnicas “simples” que coordinadas adecuadamente permitirían construir la estrategia compleja en cuestión (Landa, 1972)5.
A pesar de esta gran dificultad, el aprendizaje de la resolución de problemas no rutinarios es considerado, cada vez más, como un objetivo irrenunciable de la formación matemática escolar. Esta idea, que ya fue expresada por Pólya hace más de 40 años, es hoy día vigente tanto en la comunidad escolar como en la propia comunidad matemática:
À tous les niveaux de l’éducation, on devrait inculquer à l’étudiant en même temps qu’une somme d’information, un certain degré de savoir-faire. Qu’est-ce que le savoir-faire en mathématiques ? L’aptitude à résoudre des problèmes – non pas les problèmes de routine, mais les problèmes impliquant un certain degré d’indépendance, de jugement, d’originalité, de création. C’est pourquoi, le premier et principal devoir de l’enseignement des mathématiques dans les lycées est de souligner la méthodologie dans la résolution de problèmes. (Pólya 1962-65, p. x).
El problema de Pólya admite múltiples formulaciones más o menos generales que incluyen a menudo referencias a la actividad de modelización de sistemas extramatemáticos. Así, por ejemplo, Mogens Niss lo reformula como sigue:
There is no automatic transfer from a solid knowledge of mathematical theory to the ability to solve non-routine mathematical problems, or the ability to apply mathematics and perform mathematical modelling in complex, extra-mathematical contexts. For this to happen both problem solving and modelling have to be made object of explicit teaching and learning, and there is ample evidence that it is possible to design teaching settings so as to foster and solidify these abilities (Niss 1999, p. 21).
Uno de los objetivos iniciales de este trabajo6 era el de analizar el papel que podría jugar la modelización de “los conocimientos del alumno” en el esclarecimiento de los hechos didácticos relacionados con el problema de Pólya. Pero, previamente, es necesario abordar una cuestión más fundamental y, en cierta forma, anterior: ¿Cómo se puede reformular el problema de Pólya en términos de un problema de investigación didáctica? ¿En qué ámbito de hechos y fenómenos didácticos podrá ser enunciado e interpretado adecuadamente dicho problema? ¿Cuál es el “sistema empírico” que debemos modelizar (en particular cuál es la amplitud más adecuada de dicho sistema) y qué tipo de modelización es la más pertinente para abordar dicho problema?
Postulamos que el esclarecimiento de estas cuestiones nos permitirá empezar a dar una respuesta al problema de Pólya y, lo que es más importante, pondrá de manifiesto la necesidad de delimitar con cierta precisión la amplitud y la naturaleza del espacio didáctico en el que cada problema puede ser tratado.
2. EL PROBLEMA DE PÓLYA COMO PROBLEMA DIDÁCTICO
El problema de Pólya, que tomamos como punto de partida, puede ser considerado como una versión “modernista” del problema praxeológico del profesor: ¿qué se debe enseñar y cómo enseñarlo? En efecto, cuando se postula que la actividad de resolución de problemas debe ser el núcleo de la enseñanza escolar de las matemáticas, tal como viene proponiendo la corriente del Problem Solving desde la década de los 80, se enfatiza la importancia de organizar el currículum de matemáticas en torno a la actividad de resolución de problemas “no rutinarios”. Entonces se denuncian las prácticas escolares habituales que centran la enseñanza de las matemáticas en los contenidos y en la resolución mecánica de ejercicios estereotipados. En estas circunstancias la cuestión del “¿qué se debe enseñar y cómo enseñarlo?” se acaba transformando en: “¿qué problemas matemáticos enseñar, cómo enseñar a resolverlos y cómo conseguir que los alumnos elaboren por sí mismos estrategias de resolución de problemas no rutinarios?”
Así, por ejemplo, Alan H. Schoenfeld denuncia la práctica escolar tradicional que descompone el saber matemático en pequeñas porciones y asigna a los estudiantes un papel pasivo en la construcción y utilización de los métodos de resolución de problemas:
[I]nstruction has traditionally focused on the content aspect of knowledge. Traditionally one defines what students ought to know in terms of chunks of subject matter, and characterizes what a student knows in terms of the amount of content that has been « mastered ». As natural and innocuous as this view of « knowledge as substance » may seem, it has serious entailments. From this perspective, « learning mathematics » is defined as mastering, in some coherent order, the set of facts and procedures that comprise the body of mathematics. The route to learning consists of delineating the desired subject matter content as clearly as possible, carving it into bite-sized pieces, and providing explicit instruction and practice on each of those pieces so that students master them. From the content perspective, the whole of a student's mathematical understanding is precisely the sum of these parts. […] One consequence of experiencing the curriculum in bite-size pieces is that students learn that answers and methods to problems will be provided to them; the students are not expected to figure out the methods by themselves. Over time most students come to accept their passive role, and to think of mathematics as « handed down » by experts for them to memorize […]. (Schoenfeld 1992).
En la tradición del Problem Solving se supone más o menos explícitamente que la enseñanza de la resolución de problemas (en el sentido de Pólya) modificaría esta práctica escolar tradicional al dar cabida a una actividad auténticamente matemática en la que los estudiantes construirían ellos mismos los métodos de resolución en lugar de aplicarlos mecánicamente. Aparece así una idea, bastante ingenua, que sigue actualmente vigente en las directrices curriculares de los Principles and Standards for School Mathematics del NCTM (http://standards.nctm.org), según la cual la resolución de problemas, además de ser una dimensión esencial de la actividad matemática, tendría una función organizadora y articuladora de los diferentes contenidos del currículum:
Good problems will integrate multiple topics and will involve significant mathematics […] Problems and problem solving play an essential role in students’ learning of mathematical content and in helping students make connections across mathematical content areas.
Esta hipotética función de la actividad de resolución de problemas se produciría a un nivel curricular global, esto es, el nivel de la organización general del currículum de matemáticas que se corresponde con el nivel de la disciplina en la cadena de niveles de codeterminación didáctica propuesta por Yves Chevallard (2001 y 2002):
Sociedad  Escuela  Pedagogía  Disciplina  Área  Sector  Tema  Cuestión
Pero la actividad de resolución de problemas puede también situarse en los niveles menos genéricos que la disciplina:
Puede plantearse en el nivel puntual en el que cada problema está asociado a una cuestión particular relativamente (o completamente) aislada del resto de los contenidos matemáticos escolares. La resolución de cada problema es considerada en este nivel como un objetivo en sí mismo y se mantiene relativamente separada del resto de las actividades matemáticas, incluso “voluntariamente”, a fin de impedir que los problemas tratados sean relacionados por razones de “proximidad didáctica” con un dominio particular de las matemáticas y, en consecuencia, con la utilización de las técnicas propias de ese dominio.
En el nivel local, la actividad de resolución de problemas se sitúa en el ámbito del estudio de los diferentes temas matemáticos del currículum (como, por ejemplo, las construcciones geométricas con regla y compás, las sucesiones recurrentes o la optimización de funciones) y se extiende al estudio de la clase o clases de problemas relativos a dichos temas. En este nivel los problemas se estudian en tanto que especimenes de un tipo de problemas.
Por último, la actividad de resolución de problemas también puede situarse en los niveles más genéricos que el nivel local. Así, puede hablarse de “problemas de trigonometría”, “problemas de geometría” y hasta de “problemas de matemáticas”7. Es interesante subrayar que cuando la resolución de problemas se sitúa en el nivel disciplinar, esto es, cuando los problemas matemáticos se plantean sin hacer referencia a ningún tema, sector ni área concreta del currículum de matemáticas entonces, paradójicamente, los problemas aparecen tan descontextualizados y aislados como cuando la resolución de problemas se sitúa en el nivel puntual.
2.1. La resolución de problemas en el nivel puntual
Muchos trabajos relativos a la resolución de problemas de matemáticas, y la inmensa mayoría de los que abordan el problema de Pólya de una forma más o menos explícita, sitúan la actividad de resolución de problemas en el nivel puntual. El sistema empírico observado en dichas investigaciones es generalmente un grupo de alumnos en situación escolar que tienen que resolver un problema no rutinario, suponiendo que disponen de los conocimientos necesarios para ello. El objetivo de la observación consiste en el análisis de la cognición o pensamiento matemático de los alumnos, por lo que podemos decir que dichas investigaciones atribuyen al problema de Pólya un carácter esencialmente cognitivo.
Así, por ejemplo, Alan H. Schoenfeld (1992, p. 348) afirma que existe un acuerdo general sobre el hecho de que el marco en el que se sitúan las cuestiones relativas al pensamiento matemático y a la resolución de problemas está determinado por cinco aspectos o categorías de la cognición:
The knowledge base: hechos y procedimientos almacenados en la “memoria a largo plazo” así como la forma de acceder a ellos.
Problem solving strategies: reglas heurísticas generales de ejecución incluyendo una caracterización suficientemente detallada de las versiones específicas (prescriptivas) de las heurísticas generales.
Monitoring and control: decisiones globales que regulan la selección y la evaluación tanto de los conocimientos como de las heurísticas de ejecución (este aspecto de la cognición incluye las heurísticas de control o heurísticas de segundo orden).
Beliefs and affects: creencias y actitudes respecto de las matemáticas y la resolución de problemas.
Practices (realizadas en comunidad y en un entorno escolar).
En este marco, el problema de Pólya se reformula como un problema básicamente cognitivo y se descompone en un conjunto de cuestiones que, naturalmente, se expresan en términos de la incidencia potencial de los diferentes aspectos de la cognición sobre la capacidad de construir y utilizar adecuadamente estrategias complejas para resolver problemas matemáticos no rutinarios. En concreto, algunos de los problemas de investigación didáctica que se desprenden de dicha problemática pueden formularse como sigue (Schoenfeld, op. cit.):
¿Cómo describir y representar las estructuras cognitivas asociadas a los contenidos matemáticos y cómo elaborar una interrelación dinámica entre ellos y los otros aspectos de la resolución de problemas? ¿En qué forma interactúa el conocimiento del dominio matemático con las estrategias, el control, las creencias y las prácticas? ¿Qué tipo y que cantidad de entrenamiento (training), y sobre qué tipo de problemas, es necesario para la adquisición de estrategias particulares de resolución? ¿Los mecanismos de control dependen del dominio matemático considerado? ¿Cómo se integran la dimensión cognitiva y la afectiva? ¿En qué forma la entrada en una comunidad matemática y en las prácticas de esta comunidad (“enculturation”) permite comprender mejor el desarrollo del pensamiento matemático?
La investigación en esta línea de desarrollo del Problem Solving se interesa, como ya hemos indicado, por la actividad que realiza un sujeto (o un grupo de sujetos) cuando se enfrenta a la resolución de un problema concreto y relativamente aislado. Se quiere evitar que el sujeto conozca el tipo al que pertenece el problema matemático en cuestión. En otros términos, la actividad de resolución de problemas no se sitúa en un entorno matemático delimitado de antemano, puesto que se supone implícitamente que la detección del tipo de problemas al que pertenece el problema en cuestión forma parte del trabajo de resolución de éste. Por lo tanto, en coherencia con el modelo docente modernista y a fin de que la actividad del sujeto resolutor sea “libre y creativa”, es necesario proponer constantemente problemas nuevos y, a poder ser, completamente independientes entre sí: « Problem solving, in the spirit of Pólya, is learning to grapple with new and unfamiliar tasks, when the relevant solution methods (even if only partly mastered) are not known. » Es precisamente esta actividad de resolución de problemas inicialmente aislados la que constituye el sistema empírico u objeto de análisis. Los datos empíricos que se toman en consideración están esencialmente contenidos en este ámbito.
Así, por ejemplo, se analizan las estrategias utilizadas por un individuo o grupo de individuos ante un problema de límites de sucesiones recurrentes como el siguiente (tomado de Schoenfeld, 1992):
Let the real numbers a0 and a1 be given. Define the sequence {an} by an = 1/2 (an - 1 + an - 2) for each n  2. Does the sequence {an} converge? If so, to what value?
El análisis de este caso supone que los sujetos que pretenden resolver el problema están bastante familiarizados con el dominio matemático de las sucesiones numéricas y con el problema de su convergencia, pero también supone que dichos sujetos no deben conocer el tema de las sucesiones recurrentes lineales de orden n ni, en particular, su tratamiento algebraico en términos de potencias de matrices.
Esta segunda hipótesis es necesaria porque, de lo contrario, en este universo matemático, el problema enunciado se convierte automáticamente en un problema rutinario y, por tanto, trivial8. Para el modernismo, que está en la base de esta línea de desarrollo del Problem Solving, lo que hace que este problema sea interesante es, precisamente, su estudio en tanto que problema aislado, y no el estudio del tipo (o de los tipos) de problemas al que pertenece.
2.2. Una posible superación del nivel puntual: la evolución de los esquemas
En el marco de la teoría APOS (Asiala et al., 1996; Dubinsky, 1996 y 2000) podemos encontrar una interesante reformulación del problema de Pólya utilizando la evolución de los esquemas como noción básica del análisis. Esta teoría considera que un esquema es una colección coherente de acciones, procesos, objetos y otros esquemas previamente construidos que son coordinados y sintetizados por el individuo para formar estructuras cognitivas utilizables en situaciones problemáticas. El sujeto puede reflexionar sobre un esquema y transformarlo como si se tratara de un objeto sobre el que pueden aplicarse acciones de más alto nivel dando origen a nuevos procesos, objetos y esquemas para construir nuevos conceptos. Es de esta forma como el desarrollo de las acciones, procesos y objetos continúa reconstruyendo los esquemas existentes.
Basándose en el trabajo de Piaget y García (1982) sobre el “paralelismo” entre el modelo general del desarrollo del conocimiento científico (en particular, matemático) y el mostrado en los estudios psicogenéticos, algunas investigaciones que se sitúan en el ámbito de la teoría APOS postulan que el conocimiento, que se desarrolla siguiendo el mecanismo general de equilibración, recorre, siempre en el mismo orden, tres estadios: intra  inter  trans y que estos niveles o estadios se encuentran siempre que se analiza el desarrollo de un esquema. En el nivel intra los sucesos y objetos se analizan en términos de sus propiedades internas. Las explicaciones en este nivel son puntuales y particulares. En el nivel inter el estudiante usa, compara y reflexiona sobre los sucesos y objetos que aparecían aislados en el estadio anterior y construye relaciones y transformaciones entre ellos. En este nivel de las relaciones inter-objetales se encuentran las “razones” que explican las propiedades de los objetos o de los sucesos descubiertas en el nivel intra. Cuando el estudiante reflexiona sobre dichas coordinaciones y relaciones aparecen nuevas estructuras. A través de la síntesis de las transformaciones del nivel inter el estudiante toma conciencia de la completitud del esquema. En el nivel trans puede percibir, apoyándose en las propiedades de las estructuras que se han construido con las transformaciones interobjetales, nuevas propiedades globales inaccesibles desde los otros niveles. Resulta, en definitiva que en cada estadio de la tríada el estudiante reorganiza conocimientos adquiridos durante el estadio anterior.
Utilizando este modelo general del desarrollo de los esquemas cognitivos, y teniendo en cuenta que en la teoría APOS dicho desarrollo está encaminado a la comprensión (o construcción) de los conceptos, se puede reformular el problema de Pólya en los siguientes términos:
¿Hasta qué punto los estudiantes pueden relacionar los distintos conceptos de cada parte de las matemáticas para formar un todo que puedan utilizar conjuntamente en la resolución de problemas? (Trigueros, 2003).
Siguiendo en el marco de la teoría APOS también es posible encontrar reformulaciones del problema de Pólya que lo sitúan en un área particular de la matemática escolar como, por ejemplo, el cálculo diferencial:
Our objective in this study was to analyze students’ understanding of the calculus concepts used in solving a nonroutine calculus graphing problem and to determine, as specifically as possible, how students integrated their understanding of these calculus concepts, at which point(s) students exhibited the most difficulties, and how students attempted to overcome these difficulties. (Baker, Cooley y Trigueros, 2000)
En este trabajo las autoras pretenden elaborar un modelo específico del desarrollo de un esquema concreto, el “calculus graphing schema” (CGS) y situar a cada estudiante en un estadio de dicho desarrollo. Para ello, utilizan los datos que proporcionan las respuestas de una muestra de 41 estudiantes a una tarea matemática concreta cuyo enunciado es el siguiente:
Esquematiza la gráfica de una función h que satisface las siguientes condiciones:
h es continua y h(0) = 2;
h’(–2) = h’(3) = 0 y ((x  0)  (h’(x)  ));
h’(x) > 0 cuando – 4 < x < – 2 y cuando – 2 < x < 3;
h’(x) < 0 cuando x < – 4 y cuando x > 3;
h’’(x) < 0 cuando x < – 4; cuando – 4 < x < – 2 y cuando 0 < x < 5;
h’’(x) > 0 cuando – 2 < x < 0 y cuando x > 5;
((x  – )  (h(x)  )) y ((x  )  (h(x)  – 2));
A los estudiantes que tenían éxito, aunque sólo fuese parcial, en la representación de h, se les planteaba la siguiente cuestión adicional: Si la condición de continuidad se elimina, manteniendo el resto de las condiciones, ¿existen otras posibles gráficas que cumplan todas las condiciones restantes?
Los datos muestran que los estudiantes tienen diferentes niveles de habilidad para coordinar, por un lado, las propiedades de la gráfica determinadas por las condiciones que cumple la función y, por otro, para coordinar las propiedades entre los intervalos contiguos. Por todo ello, las autoras postulan que para describir el esquema CGS en términos de la triada, éste debe descomponerse en dos subesquemas –esquema de las propiedades y esquema de los intervalos– y combinar los desarrollos de éstos, en términos de la triada.
Los resultados cuantitativos ponen de manifiesto que el porcentaje de estudiantes que se sitúa en el estadio trans para ambos subesquemas y que, por tanto, presenta un desarrollo relativamente completo del esquema CGS, no alcanza el 20% (8 de un total de 41). Las autoras intentan explicar estos hechos subrayando algunas propiedades particulares de la función como posibles causas de las dificultades: la cúspide en x = – 4; la tangente vertical en x = 0; la eliminación de la condición de continuidad y las relaciones entre la primera y la segunda derivadas.
Lo que queremos subrayar en este ejemplo es que, en concordancia con las tesis de la epistemología constructivista que sirve de fundamento a la teoría APOS, las autoras aceptan implícitamente el postulado de la presunta suficiencia de los datos empíricos que proporciona el estudio del desarrollo psicogenético para explicar la construcción escolar de los conocimientos matemáticos y, en este caso particular, para explicar las dificultades que muestran los alumnos para construir y utilizar adecuadamente una estrategia de resolución de problemas no rutinarios de representación gráfica de funciones. A pesar de que su análisis supera el nivel puntual –puesto que el tipo de problema que se propone engloba múltiples cuestiones matemáticas así como la relación entre ellas–, no se intenta poner en relación la actividad de los estudiantes con el trabajo matemático realizado previamente en la institución docente ni, todavía menos, con la actividad matemática que no ha podido ser realizada como consecuencia de las restricciones institucionales. Volveremos sobre este ejemplo después de situar la actividad de resolución de problemas de matemáticas y, por tanto, el problema de Pólya, en el ámbito global del estudio de las matemáticas en las instituciones escolares.
2.3. La resolución de problemas en el ámbito del estudio escolar de las matemáticas
Hasta aquí hemos descrito muy brevemente la tendencia, predominante entre las investigaciones que se sitúan en el enfoque cognitivo, de situar la actividad de resolución de problemas de matemáticas en niveles muy cercanos al nivel puntual. En todos esos casos el problema de Pólya se acaba reformulando en términos de la resolución de problemas aislados. Pero existen otras maneras de formular el problema de Pólya que se diferencian de las anteriores por situar la resolución de problemas en el ámbito global del estudio escolar de las matemáticas. Esta discrepancia inicial provoca, a la larga, diferencias importantes en la naturaleza de los problemas didácticos que se acabarán construyendo y abordando en cada caso9.
La conceptualización que propone la TAD permite hacer un nuevo paso en esta dirección al postular que en la vida de las instituciones nunca se estudian problemas aislados. Lo que importa no es el problema concreto que se plantea para ser resuelto (salvo en caso de vida o muerte) sino lo que se hará después con la solución obtenida. Sólo interesan los problemas fecundos que están llamados a reproducirse y desarrollarse para formar tipos de problemas cada vez más amplios y complejos, tipos de problemas cuyo estudio provocará nuevas necesidades tecnológicas que, a su vez, permitirán construir y justificar técnicas “nuevas” capaces de resolver nuevos tipos de problemas y hasta problemas formulados en el nivel tecnológico respecto de la organización matemática inicial. Esta hipótesis antropológica puede sintetizarse diciendo que el proceso de estudio de un tipo de problemas desemboca en la reconstrucción institucional de organizaciones o praxeologías matemáticas de complejidad creciente.10
En la TAD el proceso de estudio se concibe como un proceso de reconstrucción de organizaciones matemáticas (en adelante utilizaremos la abreviatura OM) cada vez más amplias y completas y, por lo tanto, se considera como un proceso fuertemente integrado y articulado. Es por ello que, en el ámbito de esta teoría, el problema de Pólya puede interpretarse como un aspecto y hasta como un efecto del fenómeno de la desarticulación o atomización escolar del currículum de matemáticas (Chevallard, Bosch y Gascón 1997, pp. 119-136) que presenta múltiples manifestaciones en todos los niveles de codeterminación didáctica (Disciplina  Área  Sector  Tema  Cuestión) tal como resumimos a continuación.
En la enseñanza de las matemáticas de Primaria y Secundaria, pero también de manera creciente en la Universidad, existe una tendencia a “atomizar” los contenidos matemáticos en una serie cuestiones puntuales relativamente independientes entre sí. La desconexión entre las diferentes cuestiones es tal que se corre el peligro de convertir la matemática enseñada en un conjunto de anécdotas o “adivinanzas” aisladas. Correlativamente las técnicas matemáticas que se utilizan también aparecen aisladas y presentan una gran rigidez que se manifiesta especialmente en el paso de Secundaria a la Universidad y, últimamente, en el paso de la Enseñanza Secundaria Obligatoria (12-16 años) al Bachillerato (16-18 años). Existen pruebas empíricas de los diferentes aspectos de esta rigidez extraídas tanto de la actividad matemática de los alumnos como de los libros de texto y demás documentos curriculares (Bosch, Fonseca y Gascón, 2004). Podríamos resumir esta tendencia diciendo que en la práctica matemática escolar se observa una influencia creciente del tecnicismo que identifica implícitamente “enseñar y aprender matemáticas” con “enseñar y aprender técnicas simples” (principalmente algorítmicas) olvidando los “auténticos” problemas que son aquellos cuya dificultad principal consiste en escoger las técnicas adecuadas para construir una “estrategia de resolución”. Estas tendencias tecnicistas chocan frontalmente con la ideología modernista imperante en las instituciones docentes y que es, en definitiva, la ideología que sustenta al movimiento del Problem Solving identificando “enseñar” y “aprender matemáticas” con enseñar y aprender una actividad exploratoria, libre y creativa, de problemas no triviales (Gascón, 2001a). Podría decirse que es este choque, entre la “realidad escolar” cada vez más tecnicista y la “ideología” modernista, el que hace especialmente visible el problema de Pólya en las instituciones docentes actuales.
Pero la desarticulación escolar del currículum de matemáticas no se produce únicamente en el nivel de las cuestiones matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la escuela. Dejando para más adelante el análisis detallado de la escasa articulación de las cuestiones matemáticas que forman parte de cada tema, se constata la ausencia de una estructuración del currículum a niveles superiores al tema que se pone de manifiesto, particularmente, en el “abandono” de dichos niveles por parte del profesor, lo que provoca un retraimiento de su acción sobre el nivel de los temas (ya sea la resolución de problemas con regla y compás, la expresión analítica de rectas y planos en el espacio, el teorema de Pitágoras, los poliedros regulares o las funciones cuadráticas). Este “encierro en los temas” constituye un fenómeno didáctico que Yves Chevallard ha calificado como el “autismo temático del profesor” (Chevallard, 2001 y 2002; Gascón, 2003). Postulamos que este fenómeno tiene incidencia sobre las dificultades de los estudiantes para construir y utilizar adecuadamente estrategias complejas de resolución de problemas.
Citemos, por último, la fuerte desconexión entre los sectores de una misma área de la matemática escolar –como, por ejemplo, entre la geometría sintética y la geometría analítica– y entre las diferentes áreas de la matemática escolar –como, por ejemplo, entre las áreas de “Geometría” y “Funciones y gráficas” en la Enseñanza Secundaria Obligatoria española (12-16 años)–. En el caso de las geometrías analítica y sintética, y a pesar de la continuidad y hasta complementariedad que existe entre ambas, el hecho es que continúan estudiándose completamente separadas a lo largo de la Enseñanza Secundaria (sintética en la ESO y analítica en el Bachillerato). La “tozudez” de este hecho, que se mantiene inalterable a lo largo de las últimas reformas educativas, parece dar a entender que no se trata de una separación accidental sino que responde a un fenómeno didáctico-matemático más profundo y que, por lo tanto, merece ser indagado (Gascón, 2001b). Parece razonable suponer que la desarticulación en estos niveles “superiores” dificultará enormemente la construcción y utilización de estrategias complejas de resolución de problemas, teniendo en cuenta que dicha construcción requiere combinar técnicas provenientes de diferentes sectores y hasta de diferentes áreas del currículum de matemáticas.
Si, en coherencia con el punto de vista de la TAD, consideramos que la desarticulación escolar del currículum de matemáticas incide sobre el problema de Pólya en todos los niveles de codeterminación didáctica, entonces podemos reformular dicho problema en los siguientes términos:
¿Cómo diseñar organizaciones didácticas que permitan articular las cuestiones puntuales dentro de cada tema (como, por ejemplo, las diferentes cuestiones que se estudian dentro del tema “Teorema de Pitágoras”), los diferentes temas que conforman cada uno de los sectores (como, por ejemplo, los diferentes temas del sector “Trigonometría”), los sectores de una misma área (como, por ejemplo, los diferentes sectores de la “Geometría”) y las diferentes áreas (“Geometría”, “Aritmética”, “Funciones y gráficas”, etc.) de la disciplina Matemáticas? ¿Cómo organizar un proceso de estudio que provoque la articulación de las diferentes dimensiones de la actividad matemática escolar, desde el trabajo más rutinario hasta la resolución de problemas “abiertos” y “creativos” que se situarían en la “frontera” de las organizaciones matemáticas elaboradas?
Esta nueva formulación sitúa el problema de Pólya en un espacio didáctico que rebasa el currículum de un curso escolar, pudiendo abarcar toda una etapa educativa (como, por ejemplo, la Enseñanza Secundaria Obligatoria) e, incluso, la articulación entre las diferentes etapas educativas. Es por ello que podemos plantearlo, incluso, en los términos más genéricos:

References: resolución 
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