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Timestamp: 2016-09-28 15:51:43+00:00

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Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 1 Índice 1 Introducción 2 Orden de fases y simetría 3 Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas 4 El vector operador "a" 5 Teorema de Fortescue 6 Determinación de las componentes simétricas 7 Tensiones trifásicas desequilibradas en componentes simétricas 8 Corrientes trifásicas desequilibradas en componentes simétricas 9 Potencia en función de componentes simétricas 10 Impedancias de secuencia o secuenciales 11 Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero 12 Casos elementales típicos de resolver con componentes simétricas 13 F.e.m.s. generadas por los alternadores trifásicos 14 La corriente de neutro 15 Ejemplos numéricos de aplicación del Método de las Componentes Simétricas Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 2 1. Introducción El análisis de un circuito trifásico de tensiones y corrientes perfectas (igual magnitud en las tres fases y desplazadas entre si 120º) y en el cual todos los elementos del circuito, en cada una de las fases, son simétricos y balanceados es relativamente simple, ya que este circuito trifásico puede ser estudiado mediante el denominado "equivalente monofásico", que nos lleva a la misma solución directamente. El análisis de las leyes de Kirchhoff es mucho más difícil cuando el circuito no es simétrico, tal el caso de tratarse de cargas desbalanceadas, cortocircuitos asimétricos, etc. Se dice que un circuito trifásico es asimétrico o está desequilibrado, cuando las f.e.m. de los generadores de alimentación no están equilibradas o cuando los receptores no están simétricamente conectados a la red. Se trate de una u otra causa, resulta que las tensiones e intensidades dejan de ser equilibradas. Esta situación se da, con frecuencia, en los sistemas de transporte y distribución de energía eléctrica cuando se producen “cortocircuitos o fallas” En el año 1918, C.L. Fortescue presentó en una reunión del "American Institute of Electrical Engineers", un trabajo que constituye una de las herramientas más poderosas para el estudio de los circuitos polifásicos desequilibrados. Para el análisis de estos circuitos, Fortescue, ideó el llamado "método de las componentes simétricas", que consiste en descomponer un sistema asimétrico en los llamados "sistemas simétricos", también denominados "componentes simétricas" del sistema original. La idea del método consiste en suponer que todo circuito trifásico asimétrico y desequilibrado puede ser expresado por medio de la suma o composición de tres sistemas simétricos, los que a su vez son fácilmente solubles. Aunque el método de las componentes simétricas se aplica al análisis de cualquier sistema polifásico, de aquí en adelante nos referiremos particularmente a sistemas trifásicos, dado que son los que más frecuentemente encontramos. Este método de análisis hace posible la predicción, fácilmente y exactamente, del comportamiento de los sistemas de potencia durante las condiciones de cortocircuito asimétricos o cargas desbalanceadas. Las componentes simétricas suministran un instrumento para determinar analíticamente el rendimiento de ciertos tipos de circuitos eléctricos no balanceados que contienen máquinas eléctricas rotatorias. Este instrumento es particularmente útil en el análisis del rendimiento de maquinaria eléctrica polifásica, cuando se hace funcionar desde sistemas de tensiones desbalanceados. Aunque puede ser usado para resolver redes estáticas no balanceadas, esta aplicación sería en general más molesta y laboriosa que los que los métodos ya estudiados. En cambio, para redes no balanceadas que contienen máquinas rotativas, el método de las componentes simétricas suministra el único procedimiento práctico para computar los efectos no balanceados de estas máquinas y es ampliamente usado. Resumiendo con este método analítico - gráfico se pueden resolver los siguientes tipos de problemas: Facultad de Ingeniería (U.N.M.D.P.) – Departamento de Ing. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas Ingeniero Gustavo L. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 3 - Cortocircuitos monofásicos. - Cortocircuitos bifásicos con/ sin contacto a tierra. - Cortocircuitos trifásicos. - Sistemas trifásicos perfectos con cargas desequilibradas. - Sistemas trifásicos asimétricos con cargas equilibradas. - Sistemas trifásicos asimétricos con cargas desequilibradas. Como el cortocircuito tripolar equivale a un sistema equilibrado, su resolución se obtendrá por los métodos clásicos llegando a la conclusión de que cada fase es recorrida por igual corriente eficaz de cortocircuito. 2. Orden de fases y simetría Al tratar con corrientes y tensiones de corriente alterna en circuitos trifásicos, se debe establecer la idea de “orden de fases o secuencia de fases” Si se consideran tensiones senoidales de una frecuencia dada, la tensión de una fase del generador alcanza un cierto punto de su ciclo – por ejemplo máximo positivo – en un instante dado. Un cierto instante más tarde, la tensión de otra fase alcanza el mismo punto de su ciclo, y lo mismo sucede con la tercera fase. Si el máximo de la tensión de la fase A, es seguido por el máximo de la fase B, y a su vez por el máximo de la fase C, se dice que el orden de fases es “ABC” Por el contrario, si el máximo de la tensión de la fase A es seguido por el máximo de la fase C y luego por la fase B, se dice que el orden de fases es “ACB” El sentido de rotación de los fasores giratorios en función del tiempo es en todo caso el contrario a las agujas de un reloj. Este sentido se ha definido como normal internacionalmente. Figura 1. Tensiones trifásicas de orden de fases ABC y ACB El orden de fases depende del sentido de rotación, de la construcción y conexiones de los devanados del generador y de la denominación de los terminales. Si las tres tensiones o corrientes trifásicas de una frecuencia dada son de igual magnitud y difieren uno del otro en el mismo ángulo de fase, se dice que las tensiones y corrientes forman un sistema simétrico. Evidentemente, sólo hay tres sistemas trifásicos simétricos posibles. Estos se muestran en la Figura 2 como simétrico de secuencia positiva, cuyo orden de fases es ABC; simétrico de secuencia cero, llamada así porque las tensiones de las tres fases están representadas por fasores sin orden de fases, y simétrico de secuencia negativa cuyo orden de fases es ACB. E BN
de los generadores de alimentación no están equilibradas o cuando los receptores no están simétricamente conectados a la red.) – Departamento de Ing. Fortescue presentó en una reunión del "American Institute of Electrical Engineers". Las componentes simétricas suministran un instrumento para determinar analíticamente el rendimiento de ciertos tipos de circuitos eléctricos no balanceados que contienen máquinas eléctricas rotatorias. Este método de análisis hace posible la predicción.m. etc. en cada una de las fases.P. C. resulta que las tensiones e intensidades dejan de ser equilibradas. En cambio.L. Aunque el método de las componentes simétricas se aplica al análisis de cualquier sistema polifásico. Se trate de una u otra causa.M.e. Para el análisis de estos circuitos. cuando las f. El análisis de las leyes de Kirchhoff es mucho más difícil cuando el circuito no es simétrico. fácilmente y exactamente. Adjunto Electrotecnia página 2
. cortocircuitos asimétricos. Introducción El análisis de un circuito trifásico de tensiones y corrientes perfectas (igual magnitud en las tres fases y desplazadas entre si 120º) y en el cual todos los elementos del circuito. son simétricos y balanceados es relativamente simple. cuando se hace funcionar desde sistemas de tensiones desbalanceados. Fortescue. Ferro – Prof. Este instrumento es particularmente útil en el análisis del rendimiento de maquinaria eléctrica polifásica.Facultad de Ingeniería (U. que consiste en descomponer un sistema asimétrico en los llamados "sistemas simétricos". Se dice que un circuito trifásico es asimétrico o está desequilibrado. tal el caso de tratarse de cargas desbalanceadas. ya que este circuito trifásico puede ser estudiado mediante el denominado "equivalente monofásico". también denominados "componentes simétricas" del sistema original. Aunque puede ser usado para resolver redes estáticas no balanceadas. Resumiendo con este método analítico . Esta situación se da.D.gráfico se pueden resolver los siguientes tipos de problemas:
Ingeniero Gustavo L. con frecuencia. para redes no balanceadas que contienen máquinas rotativas. esta aplicación sería en general más molesta y laboriosa que los que los métodos ya estudiados. que nos lleva a la misma solución directamente. ideó el llamado "método de las componentes simétricas". de aquí en adelante nos referiremos particularmente a sistemas trifásicos. del comportamiento de los sistemas de potencia durante las condiciones de cortocircuito asimétricos o cargas desbalanceadas. La idea del método consiste en suponer que todo circuito trifásico asimétrico y desequilibrado puede ser expresado por medio de la suma o composición de tres sistemas simétricos. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
1. un trabajo que constituye una de las herramientas más poderosas para el estudio de los circuitos polifásicos desequilibrados. los que a su vez son fácilmente solubles.N. el método de las componentes simétricas suministra el único procedimiento práctico para computar los efectos no balanceados de estas máquinas y es ampliamente usado. en los sistemas de transporte y distribución de energía eléctrica cuando se producen “cortocircuitos o fallas” En el año 1918. dado que son los que más frecuentemente encontramos.
se dice que el orden de fases es “ACB” El sentido de rotación de los fasores giratorios en función del tiempo es en todo caso el contrario a las agujas de un reloj. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Cortocircuitos monofásicos. Este sentido se ha definido como normal internacionalmente.P. Orden de fases y simetría Al tratar con corrientes y tensiones de corriente alterna en circuitos trifásicos. Estos se muestran en la Figura 2 como simétrico de secuencia positiva. su resolución se obtendrá por los métodos clásicos llegando a la conclusión de que cada fase es recorrida por igual corriente eficaz de cortocircuito. se debe establecer la idea de “orden de fases o secuencia de fases” Si se consideran tensiones senoidales de una frecuencia dada. es seguido por el máximo de la fase B. Sistemas trifásicos asimétricos con cargas desequilibradas. Sistemas trifásicos perfectos con cargas desequilibradas. Un cierto instante más tarde. se dice que el orden de fases es “ABC” Por el contrario. Cortocircuitos bifásicos con/ sin contacto a tierra.N. Cortocircuitos trifásicos. Si las tres tensiones o corrientes trifásicas de una frecuencia dada son de igual magnitud y difieren uno del otro en el mismo ángulo de fase. si el máximo de la tensión de la fase A es seguido por el máximo de la fase C y luego por la fase B. de la construcción y conexiones de los devanados del generador y de la denominación de los terminales. sólo hay tres sistemas trifásicos simétricos posibles. y simétrico de secuencia negativa cuyo orden de fases es ACB. llamada así porque las tensiones de las tres fases están representadas por fasores sin orden de fases.
Ingeniero Gustavo L. Sistemas trifásicos asimétricos con cargas equilibradas. cuyo orden de fases es ABC. Evidentemente.Facultad de Ingeniería (U. la tensión de una fase del generador alcanza un cierto punto de su ciclo – por ejemplo máximo positivo – en un instante dado.) – Departamento de Ing.M.D. y a su vez por el máximo de la fase C. Ferro – Prof. Adjunto Electrotecnia página 3
. 2. se dice que las tensiones y corrientes forman un sistema simétrico. simétrico de secuencia cero.
Como el cortocircuito tripolar equivale a un sistema equilibrado. Si el máximo de la tensión de la fase A. Tensiones trifásicas de orden de fases ABC y ACB El orden de fases depende del sentido de rotación. E AN E AN
E CN E BN E BN Figura 1. la tensión de otra fase alcanza el mismo punto de su ciclo. y lo mismo sucede con la tercera fase.
) – Departamento de Ing. El vector operador de giro "a" Por conveniencia en la notación y manipulación se introduce un vector operador. 3. Adjunto Electrotecnia
.M.P. Definiciones sobre la naturaleza de los sistemas Se dice que un sistema polifásico es “perfecto”. se lo denomina "a" y se lo define como: a = – 1/2 + j 3/2 [1] Esto significa que el vector "a" tiene magnitud unidad y esta orientado a 120º en dirección positiva desde el eje de referencia.
En base a estas definiciones.N.D.Facultad de Ingeniería (U. Sistemas simétricos de fasores de tensiones trifásicos Conectando una carga equilibrada a una fuente de tensiones trifásicas equilibrada se obtienen corrientes equilibradas. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Figura 2. La suma de los fasores de un sistema simétrico positivo o negativo es cero. cuando tratándose de alternadores trifásicos se generan tensiones idénticas en “amplitud” y con “iguales desfasajes entre ellas” Para los sistemas trifásicos podemos citar algunas definiciones interesantes: SISTEMA EQUILIBRADO UAN + UBN + UCN = 0 SISTEMA PROPIO SISTEMA REGULAR  =  =  = 120º UAN  = UBN  =  UCN 
En base a estas tres definiciones podemos establecer lo siguiente: SISTEMA TRIFÁSICO PERFECTO es todo sistema trifásico que cumple simultáneamente las condiciones de propio y regular. Podemos afirmar que: Un sistema trifásico perfecto es equilibrado 4. Ferro – Prof.
Ingeniero Gustavo L.
a2 y a (siguiendo la usual convención anti horaria)
Los vectores 1.D. de secuencia contraria a la del sistema original. a y a2 (tomados en este orden) forman un conjunto balanceado y simétrico de secuencia de fase negativa. V´ = a V es un vector que tiene la misma magnitud pero rotado 120º delante del vector V. denominado “sistema homopolar” Sea un vector de tres componentes complejas V = (V1.M.30º a – a2 = j 3
5. desplazados uno del otro en igual ángulo y cruzan la línea de referencia en el orden 1. establece la descomposición del mismo en tres sistemas:  Uno.  Un conjunto de tres vectores de la misma magnitud y fase.
Ingeniero Gustavo L. El cuadrado del vector "a" es otro vector unitario orientado 120º en dirección negativa desde el eje de referencia o 240º de V en dirección positiva. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Un vector al que se lo multiplica por "a" no cambia de magnitud pero si de ángulo. V3).P. Corrientes en las líneas. a2 y a (tomados en este orden) forman un conjunto balanceado y simétrico que rota con secuencia de fase positiva. pero ahora a2 es seguido por 1 y a. Ferro – Prof. Por ejemplo. donde se tiene siempre tres componentes:      Tensión en un punto del circuito respecto a un punto de referencia (que suele ser el neutro del sistema). Como se ve en la figura el resultado de la operación de a2 sobre el vector V. de la misma secuencia de fases que el original. Teorema de Fortescue Este teorema. Impedancias de carga. denominado “sistema inverso”. Los tres vectores 1. es rotado 120º hacia adelante. Potencia eléctrica consumida por una carga (en cada fase se tiene una potencia aparente. Este vector puede tener distintas interpretaciones en un circuito trifásico. es V" que tiene la misma magnitud que V pero ubicado 120º en la dirección horaria de V. dado que los vectores son de igual magnitud.N. Adjunto Electrotecnia
.) – Departamento de Ing. activa y reactiva). V2. Tensión entre dos puntos del circuito (tenemos tres parejas de puntos geométricos). conservando la misma convención de rotación anti horaria. denominado “sistema directo”. Algunas propiedades del vector “a” son: a3 = 1 1 + a + a2 = 0 a4 = a 1 – a2 = 3  30º a5 = a2 1 – a = 3  .  Otro.Facultad de Ingeniería (U. dado que los vectores cruzan la línea de referencia en el orden nombrado. aplicado a un conjunto de tres vectores.
como se verá más adelante.M. antes definido. Ferro – Prof. La terna de secuencia directa queda identificada con: Va1 = | Va1 |  0º Vb1 = a2 Va1 = | Va1 |  . Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
"Cualquier sistema trifásico de fasores asimétrico puede ser descompuesto en tres sistemas de fasores a saber”: a) Un sistema simétrico de fasores trifásicos que poseen la secuencia de fases del sistema primitivo.P.D. Como esta es una terna perfecta solo será necesario determinar el módulo y fase de uno de los fasores. formando la terna de secuencia positiva. Adjunto Electrotecnia
. secuencia 2 o secuencia inversa. formando la terna de secuencia negativa. b) Un sistema simétrico de fasores trifásicos que poseen secuencia de fases antagónica a la del sistema primitivo. el de resolución de sistemas equilibrados y simétricos o sea empleando el circuito equivalente monofásico del sistema. c) Un sistema simétrico de tres fasores monofásicos de igual módulo y girando sincrónicamente en fase llamado terna de secuencia nula. secuencia cero o secuencia homopolar". En la figura 3 hemos alimentado una carga en estrella a través de los tres sistemas señalados por el teorema de Fortescue y conectados de manera de aplicar el principio de superposición. Es decir que la solución de un sistema cualquiera asimétrico y desequilibrado.
Figura 3. se puede encarar resolviendo los tres sistemas simétricos y aplicando el principio de superposición. para ello recurrimos al operador “a”. Representación del Teorema de Fortescue  TERNA DE SECUENCIA POSITIVA (se indicará con subíndice 1) Si el sistema original posee secuencia a-b-c.120º Vc1 = a Va1 = | Va1 |  120º
Ingeniero Gustavo L.N. esta terna poseerá la misma secuencia.Facultad de Ingeniería (U. Este teorema para sistemas polifásicos es el análogo al Teorema de Fourier aplicado a ondas no senoidales y dado que la terna asimétrica se puede descomponer en tres (3) ternas simétricas el procedimiento a aplicar será. secuencia 1 o secuencia directa. en función de los fasores originales.) – Departamento de Ing.
En este caso los tres fasores forman un sistema monofásico de manera tal que: Va0 = Vb0 = Vc0 = V0 [4] Para que se cumpla el teorema de Fortescue.) – Departamento de Ing. Ferro – Prof.Facultad de Ingeniería (U. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Si el sistema original posee secuencia a-b-c. al miembro de la izquierda de la igualdad se lo llama " matriz columna de valores normales" y al factor de la derecha de la igualdad se lo suele llamar "matriz columna de los valores en componentes simétricas” Los tres sistemas definidos pueden expresarse gráficamente de la siguiente forma: w Va1 w Vb2 Va2 Vc1    Vb1 Vc2
Ingeniero Gustavo L.P. debe satisfacerse que: Va = Va0 + Va1 + Va2 Vb= Vb0 + Vb1 + Vb2 = Va0 + a2 Va1 + a Va2 Vc = Vc0 + Vc1 + Vc2 = Va0 + a Va1 + a2 Va2 En forma matricial: Va 1 1 Vb = 1 a2 Vc 1 a 1 a a2 Va0 Va1 Va2 [6] [5]
A la matriz cuadrada se la llama "matriz de transferencia directa" [F].N. esta terna poseerá una secuencia de fases a-c-b y quedará expresada por: Va2 = | Va2 |  0º Vb2 = a Va2 = | Va2 |  120º Vc2 = a2 Va2 = | Va2 |  .D.120º
Ferro – Prof. se tratará en este caso de eliminar los términos V a1 y Va0 y retener los términos Va2 del sistema [5]. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
6. Adjunto Electrotecnia
. ya que mediante el operador “a” y las propiedades del mismo. Determinación de las componentes simétricas La determinación de las componentes simétricas de una terna desequilibrada de fasores puede hacerse de dos formas: analítica o gráficamente.P.) – Departamento de Ing. Sí por ejemplo el término: Vb = Va0 + a2 Va1 + a Va2 lo multiplicamos por “a” resultará: a Vb = a Va0 + a3 Va1 + a2 Va2 dado que a3 = 1  0º será: a Vb = a Va0 + Va1 + a2 Va2 [7]
Lo expresado por la expresión [7] es una operación de rotación en 120º del fasor original perteneciente a la fase "b".Facultad de Ingeniería (U. se obtendrá por la suma directa de las ecuaciones del sistema [5].M. [7] y [8] resultará: Va = Va0 + Va1 + Va2 2 a Vb = a Va0 + Va1 + a Va2 [9] a2 Vc = a2 Va0 + Va1 + a Va2 Va + a Vb + a2 Vc = 3 Va1 [10]
El fasor básico de la secuencia "2" [Va2] puede ser hallado mediante un proceso análogo al anterior. será: Va = Va0 + Va1 + Va2 2 Vb = Va0 + a Va1 + a Va2 Vc = Va0 + a Va1 + a2 Va2
Ingeniero Gustavo L. El método algebraico evoluciona con operaciones que propenden a obtener la expresión 1+ a2 + a. quedarán determinados los fasores que compondrán las distintas ternas. ambas formas se basan en los fasores originales y solamente se apunta el cálculo hacia la determinación de las componentes de un solo fasor original. Si ahora se efectúa la rotación de la fase "c" en 240º o sea hacemos: a2 Vc = a2 Va0 + a3 Va1 + a4 Va2 a2 Vc = a2 Va0 + Va1 + a Va2 [8]
Efectuando la suma de la primera ecuación del sistema [5] más las ecuaciones. Esto se logra multiplicando por “a2” ambos miembros de la segunda ecuación del sistema [5] y por “a” ambos miembros de la tercera ecuación del sistema anterior: Va = Va0 + Va1 + Va2 a2 Vb = a2 Va0 + a4 Va1 + a3 Va2 a Vc = a Va0 + a2 Va1 + a3 Va2 Va + a2 Vb + a Vc = (1+2a3) Va2 Va + a2 Vb + a Vc = 3 Va2 [12] [11]
El fasor básico de la secuencia nula [Va0]. que es igual a cero. por costumbre la fase “a”.N.D.
Ferro – Prof. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Es decir las componentes simétricas [VS] pueden obtenerse a partir de los valores normales [VN] utilizando la inversa de la matriz de transferencia directa [F].P. Vb y Vc = tensiones simples o de fase expresadas en valores normales. Adjunto Electrotecnia
.1. Tensiones trifásicas desequilibradas en componentes simétricas.) – Departamento de Ing.N. Va0 = componente de secuencia cero de Va y es igual a la componente de secuencia cero de Vb y Vc de modo que V0 = Va0 = Vb0 = Vc0 Va1 = componente de secuencia positiva de Va. luego: Va1.M.Facultad de Ingeniería (U. siendo [F] y [F] -1 igual a: 1 1 F = 1 a2 1 a 1 a a2 F-1 = 1/3 1 1 1 1 a a2 1 a2 a
7. 7. Vb1 y Vc1 es un conjunto de vectores trifásicos balanceados y simétricos.D. Un conjunto de vectores de tensiones trifásicas simples o de fase desequilibradas cualquiera. se simboliza Va1 (por definición: Vb1 = a2 Va1 y Vc1 = a Va1). Tensiones simples o tensiones de fase. 1 1 = 1/3 1 a 1 a2 1 a2 a Va Vb Vc
Ingeniero Gustavo L. pueden descomponerse en tres conjuntos de vectores balanceados o simétricos utilizando las siguientes ecuaciones: Va0 Va1 Va2 Donde:   Va.
a un motor de inducción. se refieren a una estrella equivalente. Esto significa que las tensiones simples si tienen en este caso componente homopolar. En muchos casos es conveniente conocer la relación entre las componentes de secuencia negativa y positiva.2. como consecuencia del desequilibrio de las tensiones compuestas. Las tensiones de línea o compuestas en función de las de fase resultan: Vab = Vao – Vbo Vbc = Vbo – Vco Vca = Vco – Vao
Estas expresiones son válidas también para sistemas en triángulo “”. estas tensiones resultarán equilibradas ( Vlínea= 0). como es sabido. Este hecho interesa en el análisis de las máquinas trifásicas rotativas. En el caso de imprimir tensiones trifásicas asimétricas.
7. poseen igual amplitud instantánea en cada una de las fases.D. se simboliza Va2 (por definición: Vb2 = a Va2 y Vc2 = a2 Va2).Facultad de Ingeniería (U. a pesar de que la Vlinea = 0. En virtud de lo expresado. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Va2 = componente de secuencia negativa de V a.P. En cualquier caso las tensiones a las distintas secuencias surgen de aplicar la segunda y tercera ecuación del sistema [16]. representable entonces por una terna de secuencia directa y otra inversa. para los sistemas trifilares. Tensiones compuestas en sistemas trifilares.) – Departamento de Ing. quiere decir que estamos en presencia de una terna de tensiones compuestas equilibrada pero asimétrica. Adjunto Electrotecnia
. Ferro – Prof. Vb2 y Vc2 es un conjunto de vectores trifásicos balanceados y simétricos. esta razón es comúnmente llamada factor de desbalanceo.M. resultará entonces: Vab + Vbc + Vca = (Va – Vb) + (Vb – Vc) + (Vc – Va) = 0 [21]
Dado que las tensiones de secuencia cero u homopolar. resulta: V0  = 1/3 [Vab + Vbc + Vca] = 0 [22]
El subíndice “” se usa para identificar componentes de tensiones en triángulo o corrientes que circulan en los arrollamientos del triángulo.
Ingeniero Gustavo L. ya que en este caso las tensiones simples o de fase. tomando la tensión Vab como referencia. Independientemente de la magnitud de la asimetría de las tensiones compuestas. luego: Va2.N. La componente de secuencia cero de una terna de tensiones compuestas. su comportamiento se puede analizar con una terna directa y otra inversa. en este caso: Vab1 = 1/3 (Vab + a Vbc + a2 Vca) [23] Vab2 = 1/3 (Vab + a2 Vbc + a Vca) Los valores de las tensiones de fase que figuran en la expresión [21] pueden ser cualesquiera. se cumple que: Va + Vb + Vc  0. las tensiones compuestas homopolares valen cero.
Ferro – Prof.30º
Análogamente para la secuencia inversa: Uab2 = Ua2 – Ub2 .30º Luego: Ua2 = (Uab2 /3)  30º
8.D. Por tanto: Ia + Ib + Ic = IN [26]
Comparando la ecuación para la componente simétrica Ia0 y la expresión [26]. reemplazando: Uab1 = Ua1 – Ua1 -120º = Ua1 [1– ( .866)] = 3 Ua1  . resulta que: IN = 3 I0 [27]
Si no hay retorno por el neutro de un sistema trifásico IN es cero y las corrientes en las líneas no contienen componentes de secuencia cero.3.120º La tensión compuesta Uab será: Uab1 = Ua1 – Ub1 .0.N. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
7. reemplazando: Uab2 = Ua2 – Ua2  120º = Ua2 [1– (0. Suponiendo una secuencia a-b-c: Ub1 = Ua1  ..5 + j 0.M. Corrientes de línea Las tres corrientes de línea pueden descomponerse en tres grupos de vectores en componentes simétricas de una manera análoga a la recién dada para la resolución de tensiones: I a0 Ia1 Ia2 1 1 = 1/3 1 a 1 a2 1 a2 a Ia Ib Ic
Donde: Ia0 = componente de secuencia cero de Ia corriente Ia (por definición Ia0 = Ib0 = Ic0) Ia1 = componente de secuencia positiva de Ia corriente Ia Ia2 = componente de secuencia negativa de Ia corriente Ia Las corrientes de línea en función de las respectivas C. valdrán: Ia = Ia0 + Ia1 + Ia2 = I0 + I1 + I2 Ib = Ib0 + Ib1 + Ib2 = I0 + a2 I1 + a I2 Ic = Ic0 + Ic1 + Ic2 = I0 + a I1 + a2 I2 [25]
En un sistema trifásico tetrafilar.P.866)] = 3 Ua1  30º O sea: Ua1 = (Uab1 / 3)  .S. la suma de las corrientes en las líneas. Adjunto Electrotecnia
.5 + j 0. Corrientes trifásicas desequilibradas en componentes simétricas en sistemas trifilares y tetrafilares 8.
Ingeniero Gustavo L.1.Facultad de Ingeniería (U. es igual a la corriente IN en el retorno por el neutro. Relación entre componentes simétricas de las tensiones de fase y las tensiones compuestas.) – Departamento de Ing.
N. Las tres corrientes de rama del triángulo pueden ser expresadas en términos de sus componentes simétricas.) – Departamento de Ing. de acuerdo a las siguientes expresiones: I0D I1D I2D 1 1 1 1 a a2 1 a2 a Ix Iy Iz
Donde la corriente Ix ha sido elegida como la corriente de referencia (corresponde a la tensión Vbc como referencia) 8.5 + j 0. estas no poseen componentes homopolares ya que:  Para un sistema en estrella “Y” se cumple que: Ia + Ib + Ic = 0 Luego la componente de secuencia cero “Ia0” de Ia resulta: Ia0 = 1/3 (Ia+ Ib+ Ic) = 0  Para un sistema en triángulo “” resulta: Ia = Iab– Ica. Del mismo modo.Facultad de Ingeniería (U. luego no habrá componente homopolar en las corrientes de línea.se cumple que: Iab1 – Ica1 = Ia1. Ib = Ibc– Iab. Si consideramos ahora las corrientes de línea de un sistema trifásico trifilar. Ferro – Prof.30º
Ingeniero Gustavo L. Para conexión en “”.P. las corrientes de fase.866)] Análogamente para la secuencia inversa:  Iab1 = Ia1 /3 30º
Iab2 = Ia2 /3  .0. las corrientes que fluyen en una carga conectada en estrella no puede tener una componente de secuencia cero a menos que el neutro de retorno esté conectado (sistema tetrafilar) o que el centro de estrella (punto neutro) esté conectado a tierra. en general cumplirán que: Iab + Ibc + Ica  0 Para una secuencia directa a-b-c. o sea que no se podrá evaluar la componente homopolar de las corrientes de fase de un sistema conectado en “” mediante las corrientes de línea. Ic = Ica– Ibc Sumando estas corrientes de línea: Ia+ Ib + Ic = (Iab – Ica) + (Ibc – Iab) + (Ica – Ibc) = 0 La expresión anterior nos indica que cualquiera sea el desequilibrio de las corrientes de fase las corrientes de línea cumplen que Ilínea= 0. Relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase.D. Adjunto Electrotecnia
.M. Las corrientes de fase o de rama en cargas conectadas en triángulo. por lo tanto.3. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Una carga conectada en triángulo no tiene retorno por el neutro y. las corrientes que van a una carga conectada en triángulo no contienen componentes de secuencia cero.2. 8. siendo: Ica1 = Iab1  120º Reemplazando: Ia1 = Iab1 [1 – (.
b y c.M. Ib e Ic las corrientes que entran al circuito por las tres líneas. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
9. haremos uso de las expresiones [6] y [18]. viene dada por: S = P + j Q = Va Ia* + Vb Ib* + Vc Ic* [29] En la que Va. Potencia en función de componentes simétricas Si se conocen las componentes simétricas de la corriente y la tensión. Adjunto Electrotecnia
.D. Con la notación matricial: Ia * Va T Ia * S = Va Vb Vc Ib = Vb Ib [30] Ic Vc Ic En la que se sobrentiende que la conjugada de una matriz tiene sus elementos que son conjugados de los elementos correspondientes de la matriz original.Facultad de Ingeniería (U. puede ser calculada directamente la potencia suministrada en un circuito trifásico a partir de las componentes. a. De acuerdo a esta regla: [F V]T = VT FT [32].
Ingeniero Gustavo L. por lo tanto: S = VT FT [F I] * = VT FT F* I* [33] Observando que FT = F y que a y a2 son conjugadas. obtendremos: 1 1 1 1 1 a2 a a a2 1 1 1 1 1 a a2 a2 a Ia0 Ia1 Ia2 * [34]
La potencia compleja es por tanto: S = Va Ia* + Vb Ib* + Vc Ic* = 3 V0 I0* + 3 V1 I1* + 3 V2 I2* [36] Esta expresión indica cómo puede calcularse la potencia compleja a partir de las componentes simétricas de las tensiones y las corrientes de un circuito trifásico desequilibrado. Para introducir las componentes simétricas de las tensiones y corrientes. La demostración de esta aseveración constituye un buen ejemplo del manejo de las componentes simétricas por medio de matrices. Ferro – Prof. pudiendo o no existir neutro.N. obteniendo: S = [F V] T [F I] * siendo: Va0 V = Va1 Va2 Ia0 Ia1 Ia2
La regla de la inversión del álgebra matricial establece que la traspuesta del producto de dos matrices es igual al producto de las traspuestas de las matrices en orden inverso.P. Vb y Vc son las tensiones respecto al neutro en los terminales e Ia.) – Departamento de Ing. La potencia total compleja transmitida en un circuito trifásico por las líneas.
de secuencia directa.
El sistema de las corrientes que se establecen en el circuito también será simétrico y su secuencia de fases será directa. luego: IA = IA1 IB = IB1 IC = IC1
Las relaciones entre las tensiones de fase simétricas complejas. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
10. En el ejemplo examinado es Z2 = Z. se llaman impedancia compleja del circuito para las corrientes de secuencia directa y se determinan: Z1 = VA1 / IA1 = VB1 / IB1 = VC1 / IC1 En el ejemplo examinado se cumple que Z1 = Z. Adjunto Electrotecnia
. si a los bornes de entrada del circuito se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia nula: VA = VB = VC = V0 el sistema de corrientes en el circuito también será simétrico y tendrá una secuencia de fase nula IA = IB = IC = I0.M. Si a los bornes de entrada se aplica un sistema simétrico de tensiones de fase de secuencia inversa: VA = VA 2 VB = VB2 VC = VC2 Entonces habrá en el circuito un sistema simétrico de corrientes que también posee una secuencia inversa de fases: IA = IA2 IB = IB2 IC = IC2 Las relaciones entre los valores complejos: Z2 = VA2 / IA2 = VB2 / IB2 = VC 2 / IC 2 [38] se llaman impedancias complejas del circuito para las corrientes de secuencia inversa.Facultad de Ingeniería (U. obtenemos: [37]
Ingeniero Gustavo L. La corriente en el conductor neutro será IN = 3 I0 La relación: Z0 = V0 / I0 [39]. aplicadas al circuito trifásico simétrico y las correspondientes corrientes de fase simétricas complejas de secuencia directa. Finalmente.D. IA = I0 e IN = 3 I0 . Ferro – Prof. Para calcular la impedancia Z0 establezcamos la ecuación.
Impedancias de secuencia o secuenciales. para la malla formada por una de las fases.N.) – Departamento de Ing. según la segunda ley de Kirchhoff. por ejemplo la fase A y por el conductor neutro: VA = Z IA + ZN IN [40] Sustituyendo VA = V0. se llama impedancia compleja del circuito para las corrientes de secuencia nula.P.
y para simplificar las notaciones se omite el subíndice a. inversa y nula”
Figura 4. Generalmente se toma como fase fundamental la fase “a”. pues la corriente homopolar evidentemente no pueden cerrarse (recordar que Ih = 1/3( Ia + Ib + Ic).Facultad de Ingeniería (U. Ferro – Prof.D. las impedancias de secuencia cero son infinitas. por lo tanto: I0 = 0 y Z =  Generalmente a Z1. En los circuitos estáticos trifásicos simétricos cualesquiera (circuitos que no contienen máquinas giratorias). en lugar de la impedancia ZN en el neutro. En las máquinas eléctricas no solo Z0 se distingue de Z1 sino que tampoco Z2 es igual a Z1.N. la impedancia presentada a corrientes equilibradas es independiente de la secuencia de fases Z1 = Z2. En el cálculo de los circuitos por el método de las componentes simétricas se examinan por separado los esquemas para las corrientes y tensiones de distintas secuencias.P. En el esquema que se da para las corrientes y tensiones simétricas de secuencia nula se introducen. Z2 y Z0 se las denominan simplemente “impedancias de secuencia directa. Todos los cálculos se realizan para una fase llamada “fundamental”.
Ingeniero Gustavo L. Podemos establecer algunos resultados de orden general: a) Salvo las máquinas giratorias. Para el ejemplo que nos ocupa en la Figura 4 se muestran los tres esquemas monofásicos para las corrientes y tensiones de distintas secuencias. inversa y nula. de allí que las impedancias y las redes de secuencia directa e inversa son iguales.) – Departamento de Ing. Adjunto Electrotecnia
En caso de no existir el conductor neutro no habrá corrientes de secuencia nula. valores triplicados de dicha impedancia en cada fase.Redes de secuencia directa. para dichas secuencias.. Dichos esquemas se denominan “redes de secuencia directa. el campo debido a las corrientes inversas gira en sentido contrario al producido por las corrientes directas y por la corriente de excitación: Z1  Z2. la asíncrona Za la presentada a las corrientes inversas y la de secuencia cero Z0 la presentada a las corrientes homopolares. b) En las máquinas giratorias. la inversión del ordenamiento de las fases de las tensiones simétricas no modifica la magnitud de las corrientes. c) Los valores de Z0 dependen de la forma en que los puntos neutros están ligados a la tierra o a un conductor de retorno.M. En el caso en que los puntos neutros están aislados y en que la capacidad de los conductores respecto a tierra es despreciable. La impedancia en el neutro no ejerce influencia sobre los sistemas simétricos de las corrientes de secuencia directa e inversa. inversa y nula” Estas impedancias son también llamadas: la síncrona ZS es la presentada a las corrientes directas. de allí que no se indiquen las impedancias en el conductor neutro.
las tensiones de secuencia cero entre los conductores de la línea tanto en el generador como en la carga son cero.D.
Sistemas de tensiones y corrientes de secuencia cero. Adjunto Electrotecnia página 16
. El neutro de un sistema de transmisión está implicado de una manera definida cuando hay corriente de secuencia cero.M. para visualizar mejor el problema. V0b’n’ y V0c’n’ las caídas de tensión en la carga y I0aa’. E0nb y E0nc son las fuerzas electromotrices de cada fase del generador. en las conexiones del triángulo sí hay corrientes de secuencia cero si la suma fasorial de las corrientes del triángulo no es cero. La figura que sigue muestra un generador trifásico conectado en estrella. Ferro – Prof. La ecuación de una fase cualquiera del sistema conectado en estrella para cantidades de secuencia cero es. V0a’n’. puesto que no puede haber neutro para el camino de retorno y la suma de las corrientes de la línea es por tanto cero.
Ingeniero Gustavo L. no hay posibilidad de que existan corrientes de secuencia cero en las líneas de transmisión. Se ve claro en este diagrama que si el neutro se suprime el circuito queda abierto y no puede haber corriente. de donde: I0 = E0 (Z + Z’0 + 3 Zn) [54] [52]
Si el generador y las cargas se conectan en triángulo. En la conexión en estrella. conectado a una carga en estrella de igual impedancia en las tres fases. I0bb’ y I0cc’ las corrientes de las líneas. puesto que son iguales a las diferencias entre cada dos tensiones de igual fase y magnitud E0. según la figura anterior E0 – I0 Z – I0 Z’ – 3 I0 Zn = 0 O bien: E0 = I0 (Z + Z’0 + 3Z n) [53]. en el cual cada fuerza electromotriz de la fuente se designa por E0 y cada tensión en la carga V0y. se cumple que: I0aa’ = I0bb’ = I0cc’ E0na= E0nb= E0nc V0a’n’ = V0b’n’ = V0c’n’
Resulta conveniente.) – Departamento de Ing.Facultad de Ingeniería (U. Sin embargo. La impedancia de cada conductor de la línea es Z y la impedancia de neutro es Zn.P. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
11. por medio de una línea de transmisión trifásica con neutro.N. representar el diagrama de la figura anterior en la forma mostrada en la figura siguiente. Según la definición de corrientes y tensiones de secuencia cero. Los fasores E0na.
Demostraremos algunas propiedades de los sistemas de secuencia cero.
 2º Paso: Se determinan las componentes simétricas de la corriente de línea. Caso elemental típico de resolver con componentes simétricas.m. En la figura. que se demuestra así es cero. tal como se hace para sistemas equilibrados. Consideremos el sistema trifásico de la figura.
Ingeniero Gustavo L. el sistema puede representarse de acuerdo a la figura que sigue. del generador en sus componentes simétricas. generada en cada fase y la impedancia a las corrientes de secuencia cero es Z0 por fase en los devanados del generador. ES y ET Se pretende encontrar el valor de las corrientes de línea utilizando el método de las componentes simétricas. y las corrientes dadas por: I0 = E0/Z0 [58].1.  3º Paso: Se hallan las corrientes de línea en valores normales a partir de las componentes simétricas halladas en el paso anterior. Circuitos con impedancias equilibradas conectadas en estrella con neutro sometidas a tensiones desequilibradas.P. Dicho generador entrega una terna de tensiones de fase asimétrica que denominaremos ER. Ferro – Prof. La ecuación de las tensiones a través del triángulo es: E0 – I0 Z0 + E0 – I0 Z0 + E0 .M. 12. Los pasos a seguir para su resolución de este problema en particular son:  1º Paso: Se descomponen las tensiones de generación en sus componentes simétricas. o bien: 3 E0 – 3 I0 Z0 = 0 [56] E0 – I0 Z0 = 0 [57] El primer miembro de la ecuación [57] es la tensión terminal de secuencia cero de cualquier fase del generador. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
En un generador simétrico conectado en triángulo la tensión terminal de secuencia cero es también cero aunque puedan existir tensiones inducidas de secuencia cero en las fases.Facultad de Ingeniería (U. La impedancia Z0 a las corrientes de secuencia cero es usualmente muy pequeña. Descomponiendo las f.D. circulan por el triángulo. E0 es la fuerza electromotriz de secuencia cero. 12.N.) – Departamento de Ing. Por esta razón ha de evitarse la conexión en triángulo siempre que sea necesario suprimir las corrientes de secuencia cero en los devanados de un generador o de un transformador. constituido por un generador trifásico que alimenta a una carga simétrica de valor Z.I0 Z0 = 0 [55].e. Adjunto Electrotecnia página 17
) – Departamento de Ing. Ferro – Prof. Estas componentes de secuencia cero son llamadas componentes monofásicas y tienen una importante significación física con relación a la interferencia inductiva entre las líneas de potencia trifásica y las líneas de comunicaciones paralelas. podemos calcular las corrientes de línea en valores normales. impedancias de carga pasivas y transformadores. es decir:
Ingeniero Gustavo L. Debe aclararse.P. deducidas de los equivalentes monofásicos: E E I1  1 [59] I2  2 [ 60] Z Z Para calcular la componente de secuencia cero u homopolar. es tres veces mayor que las componentes individuales de secuencia cero de las corrientes de línea.D. Cuando las corrientes de línea tienen componentes monofásicas. de secuencia directa e inversa la carga es equilibrada y valen los circuitos monofásicos equivalentes (se trabaja con una fase tomada como referencia) como se representan en la figura. Siendo los tres generadores de secuencia cero idénticos (en módulo y fase).m. aplicando las ecuaciones [16]: ER0 = 1/3 (ERN + ESN + ETN) ER1 = 1/3 (ERN + a ESN + a2 ETN) ER2 = 1/3 (ERN + a2 ESN + a ETN) Para las f. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Tomando la fase “R” como referencia para el cálculo. cuando dos líneas se intercambian (secuencia contraria). y en consecuencia la corriente de neutro es IN = 3 I0 y la tensión de neutro resulta U0 = 3 ZN I0. se procede a efectuar el primer paso teniendo en cuenta la secuencia del sistema original.e. ninguna forma de transposición de los conductores de la línea del sistema de potencia evitará que estas componentes establezcan interferencia inductiva en las líneas de comunicaciones paralelas y la razón es que los componentes monofásicos de los tres conductores de la línea establecerán interferencias magnéticas igualmente orientadas. Las componentes simétricas de la corriente de la fase R (tomada como referencia) de secuencia directa e inversa pueden calcularse con las siguientes expresiones.e.
E0 [ 61] Z  3 ZN Se notará que la corriente de retorno a tierra o neutro.Facultad de Ingeniería (U. Las componentes de secuencia cero de las corrientes de línea de sistemas en estrella conectados a tierra o tetrafilares son también de importancia en el cálculo de las corrientes de cortocircuito en los sistemas de potencia. A partir de las componentes simétricas de la corriente de la línea R tomando como referencia. dibujamos la red de la figura que sigue. no son diferentes para un sistema polifásico de f. De allí que las impedancias Z de secuencia directa y secuencia inversa tengan igual valor. Cada conductor de la línea lleva una componente de corriente igual en magnitud y fase a las componentes similares de las otras dos líneas. y puede demostrarse experimentalmente que las impedancias de las líneas.m. Esta propiedad no es extensiva a máquinas rotativas.M.N. utilizando la transformación de Fortescue. resulta simple probar que las corrientes de secuencia cero también lo son. en este caso secuencia directa RST. Adjunto Electrotecnia
En condiciones normales se cumple que: ER. en circuito abierto. 13. en cambio para las componentes de secuencia 1 y 2 por conformar sistemas de ternas perfectas no podrán existir como componentes de corrientes de neutro.P.M. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
La expresión [62] incluye a “3 ZN”. F.e. De acuerdo a la primera ley de Kirchhoff en un sistema trifilar.S.s generadas por los alternadores trifásicos. la suma de corrientes de línea debe forzadamente ser cero.m.
Ingeniero Gustavo L. ES = a2 ER . en caso de disponer del cuarto conductor de neutro se puede verificar que: IR + IS + I T = IN Expresando las corrientes de línea en C. Adjunto Electrotecnia
La corriente de neutro es tres veces la corriente homopolar que circula por cada una de las líneas.
La tensión que aparece en cada una de las fases de un generador trifásico. la denominaremos “E”.) – Departamento de Ing. tal que se vio en el punto 11 al tratar los sistemas de secuencia cero. Los bobinados estatóricos (de fase) pueden estar conectados en “Y” o en “”.N. La corriente de secuencia nula sólo podrá existir si existe el conductor neutro.D.Facultad de Ingeniería (U. todo ocurre como si generara únicamente la componente positiva de secuencia. 14. siendo la conexión “Y” la más usual por las razones ya expuestas en el tratamiento de redes trifásicas básicas. siendo las componentes negativa y cero de valor nulo. La corriente de neutro. Ferro – Prof. ET = a ER La secuencia supuesta es RST y las componentes simétricas de la terna: ER0 ER1 ER2 ER0 ER1 ER2 1 1 1 1 1 1 1 1 a a2 a2 a 1 1 a a2 a2 a ER ES ET ER a2 ER a ER
Para una terna perfecta: ER0 = 1/3 (ER + ES + ET) = 1/3 ER (1+a2+a) = 0 2 ER1 = 1/3 (ER + a ES + a ET ) = 1/3 ER (1+1+1) = ER ER2 = 1/3 (ER+ a2 ES +a ET) = 1/3 ER (1+a+a2) = 0 Tal como era de esperar.
2  (0º. IR1 = 1246  .300 V a) ¿Cuáles son las corrientes de secuencia positiva y negativa.87 180º
Luego.6 . por lo tanto: ERS1 = 2197.8.S. tomando ERS como eje de referencia? b) ¿Cuáles son las tensiones de secuencia positiva y negativa en bornes del motor? c) ¿Cuál es la potencia suministrada al motor?  Resolución: Como primer paso encontraremos las C.56 = 33.96 = 26.92. es decir: ERS = 2000  0º .151º
Ingeniero Gustavo L.Facultad de Ingeniería (U.14 ERS2 = 1/3 (E RS + a2 E ST + a E TR) = . EST = 2300 -115. Ferro – Prof. Las tensiones entre fases en la fuente son: ERS = 2.D.93  .76.866  por conductor.14/3  .84  .87 = 195.13 = 9.P. a saber: ER1 = ZLINEA IR1 + Z1 IR1  ER2 = ZLINEA IR2 + Z2 IR2  IR1 = ER1 / (ZLINEA + Z1) = 12.00 + j 8.22  (180º +30º)
ERS2 = . Resolución de sistemas trifásicos con generación desequilibrada y carga dinámica simétrica (motor de inducción trifásico) Un motor de inducción trifásico conectado en estrella tiene una impedancia por fase de 43.30º VmotorR2 = Z2 . El motor no tiene neutro.211º
Luego a partir de las C. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
15.M.24.) – Departamento de Ing..61º IS = a2 I1 + a I2 = .92 – j 9. EST = 2.09 + j 26.S.N.46 – j 21.87 Dado que los sistemas simétricos de secuencia 1 y 2 constituyen sistemas perfectos se cumple que la relación entre una tensión compuesta y una simple es 3 en lo que respecta al módulo y existe un desfasaje de 30º.47 = 16.50 + j 0. ETR = 2300  115.77º .6 = 24. de las corrientes encontramos las mismas en valores normales. en atraso o adelanto.14  0º  ER1 = 2197.S. tomando como referencia la tensión E RS.30º = 1270.195.96. Adjunto Electrotecnia página 20
. conociendo las tensiones simples en C. Ejemplos de Aplicación del Método de las Componentes Simétricas.158.77º ERS0 = 1/3 (E RS + E ST + E TR) = 0 ERS1 = 1/3 (E RS + a E ST + a2 E TR) = 2197.000 V.92  51. de las tensiones compuestas desequilibradas aplicadas.54 + j 5.30º)  ER2 = 113.1.30 + j 25  a las corrientes de secuencia positiva y una impedancia de 5.300 V y ETR = 2.02 – j 16.S.66  por fase a corrientes de secuencia negativa cuando están alimentando una carga mecánica determinada. según se considere la secuencia 1 o secuencia 2.55º Las caídas de tensión en el motor en términos de C. aplicaremos la 2º Ley de Kirchhoff para cada secuencia para encontrar las corrientes en términos de C.21º IT = a I1 + a2 I2 = 21.60º IR2 = ER2 / (ZLINEA + Z2) = . IR2 = 99.195.S. es decir: IR = I1 + I2 = 3. El motor recibe energía de una línea trifásica que tiene una impedancia de 0. 15. valdrán: VmotorR1 = Z1 .
2.21° ER1=1/3 (1000º + a 200 270º + a2 100 120º) = 128.8  31º VA 15. para determinar la lectura del voltímetro conectado en la fase S.31  .40) = 41. Una fuente trifásica en estrella constituye un sistema imperfecto de generación y de impedancias internas despreciables. Cada instrumento posee una resistencia interna de 10 K y reactancia despreciable.6 . ETN = 100 120º [V] Efectuando los cálculos correspondientes: ER0=1/3 (1000º + 200 270º + 100 120º) = 1/3 (50 – j 113. ESN = 200  270º [V].33 = 82159.5 + 1488.8 31º S = 95739.66. tal como se hace para sistemas equilibrados.M. Resolución de sistemas trifásicos con generación desequilibrada y carga estática equilibrada.79  15° ER2=1/3 (1000º + a2 200 270º + a 100 120º) = 41. 24.N. ER0 = 1/3 (ERN + ESN + ETN) ER1 = 1/3 (ERN + a ESN + a2 ETN) ER2 = 1/3 (ERN + a2 ESN +a ETN) Donde: ERN = 100  0º [V].03+ j 2577. 1246 .30º .31  173. Ferro – Prof.8° 2º Paso: Se determinan las componentes simétricas de la corriente de línea.151º .D. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
La potencia entregada al motor valdrá: S = 3 Vmotor R1 x I*R1 + 3 Vmotor R2 x I*R2 Numéricamente será: S = 3 .05  60º = 80671 + j 46575.P. E TN = 100 120º [V]
Ingeniero Gustavo L.83 = 95739.) – Departamento de Ing. Adjunto Electrotecnia
. 9.92  60º + 3 . seguiremos los siguientes pasos: 1º Paso: Se descomponen las tensiones de generación en sus componentes simétricas. se conecta mediante tres conductores a idénticos voltímetros también en conexión estrella. 99.  Generación trifásica imperfecta: E RN = 100  0º [V] E SN = 200  270º [V]  Resolución: De acuerdo a lo establecido en el punto 12.Facultad de Ingeniería (U.03 + j 49152.1. Usando el método de las componentes simétricas determinar algebraicamente la lectura del voltímetro de la fase S.96  211º = 93151 30º + 2976.
2° mA La tensión en el voltímetro en la fase “S”. o sea considerando el circuito equivalente monofásico. IR = I0 + I1 + I2 = 9. R = 16.000 = 4. ya que: IR0 = 0  ZR0 =   Lo expuesto es una realidad evidente y físicamente las variables tensión y corriente se pueden manejar como magnitudes que en las diversas secuencias se pueden superponer a los efectos de conformar la respuesta total. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
Las corrientes valdrán: I1 = 128. se puede ver la acción individual de las distintas componentes.30 .P.000 = 12.Facultad de Ingeniería (U.15  24. por lo tanto: IR0 = IS0 = IT0 = 0 3º Paso: Se hallan las corrientes de línea en valores normales a partir de las componentes simétricas halladas en el paso anterior.31  173.13  173.  Las corrientes de línea de secuencia 1 y 2 serán respectivamente: IR1 = ER1/R e IR2 = ER2/R. los circuitos equivalentes correspondientes son similares al caso normal de carga equilibrada con la salvedad de la rotación antagónica del sistema de tensiones inversas.) – Departamento de Ing. será: VS = IS .11  118.  Teniendo en cuenta la acción individual de cada componente de secuencia.N.84° mA IT = I0 + a I1 + a2 I2 = a I1 + a2 I2 = 14.M. Adjunto Electrotecnia página 22
.D.30 mA .8° mA Dado que no hay neutro IR + IS + IT = 0 . se ha tomado como fase base la “R”. En ambos casos la resolución es posible usando el método normal para la resolución de redes trifásicas equilibradas.8° / 10.95.79  15° / 10. En la figura que sigue. Ferro – Prof.
Ingeniero Gustavo L. es así que en la red monofásica para la secuencia cero se deberá hacer constar un circuito abierto entre los dos nodos de estrella para representar una impedancia a la secuencia cero de valor infinito.41° mA IS = I0 + a2 I1 + a I2 = a2 I1 + a I2 = 16. el problema puede ser encarado mediante el principio de superposición.88  15° mA I2 = 41. 10 kΩ = 163 V Haremos algunas consideraciones finales sobre el problema planteado:  Dado que no existen interacciones entre las corrientes de secuencia con tensiones de diferente secuencia de fase. En este caso: Z1 = Z2 = R  Como es sabido en este caso no podrá haber corriente homopolar.
) – Departamento de Ing. Adjunto Electrotecnia
.N.Facultad de Ingeniería (U.M.P.D. Ferro – Prof. Eléctrica – Área Electrotecnia El método de las componentes simétricas
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