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Timestamp: 2017-06-28 10:43:57+00:00

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Naturaleza, Evolución e Importancia de la MatemáticaCargado por raul1441Intereses relacionadosMathematical LogicPhysics & MathematicsMathematicsLogicScienceCalificación y estadísticas5.0 (1)Acciones de documentosDescargaCompartir o incrustar documentosInsertarVer másCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentMINISTERIO DE EDUCACIÓNMatemática Serie 1 para docentes de Secundaria Currículo y desarrollo de capacidades en Matemática Fascículo 1: NATURALEZA, EVOLUCIÓN E IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA © Ministerio de Educación Van de Velde 160, San Borja Primera edición, 2007 Tiraje: 14 000 ejemplares Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318, Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nro. 2007-00253 Coordinación y supervisión general MED Antonieta Cubas Mejía Supervisión pedagógica MED Luis Enrique Eyzaguirre Espino Verificación de estilo MED Miguel Luis Bances Gandarilla
Autoría Ediciones El Nocedal S.A.C. Coordinador Rubén Hildebrando Gálvez Paredes Elaboración pedagógica Felipe Eduardo Doroteo Petit Itala Esperanza Navarro Montenegro Edgar Justo Chacón Nieto Daniel José Arroyo Guzmán Revisión pedagógica Hno. Marino La Torre Mariño Revisión académica Armando Zenteno Ruiz Diseño y diagramación Virginia Rosalía Artadi León
Ilustraciones Patricia Nishimata Oishi Brenda Román González Fotografía Enrique Bachmann Corrector de estilo Marlon Aquino Ramírez
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Ser docente en Matemática en la actualidad es un gran reto, pues se trata de una tarea compleja que requiere multiplicidad de saberes. No es suﬁciente dominar los contenidos temáticos del área, sino ser capaces de lograr que los estudiantes desarrollen las capacidades de la misma (razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas), así como valores y actitudes que les permitan una educación integral para que alcancen su autorrealización. Esto exige que los docentes estén actualizados en las nuevas tendencias curriculares y metodológicas. En las páginas del presente fascículo, desarrollamos la naturaleza de la Matemática para el proceso de aprendizaje de una manera sencilla, pero profunda; empezamos citando la deﬁnición de la Matemática propuesta por Federico Engels y complementada por nosotros. Las concepciones que los docentes tengan sobre la naturaleza de la Matemática inﬂuirán de manera sustancial en sus estrategias didácticas, gracias a la reﬂexión de los matemáticos acerca de la naturaleza, fundamentación y el papel de la Matemática dentro de la sociedad. El conocimiento de la Historia proporciona una visión dinámica de la evolución de la Matemática. Esto debería formar parte indispensable del bagaje de saberes del matemático en general, y del docente de cualquier nivel, en particular del nivel secundario. Y no sólo con la intención de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino principalmente porque la Historia le puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la Ciencia y de la Matemática. Con respecto al proceso de aprendizaje y a la formulación de propuestas que sirvan para orientar la enseñanza, consideramos que deben estar en función del desarrollo de las capacidades matemáticas; a ellas las presentamos en unas tablas didácticas para su comprensión y desarrollo, con sus correspondientes ejemplos. Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes matemáticos, problemas para investigar, bibliografía y enlaces web.
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Presentación ....................................................................................................................................... Índice.................................................................................................................................................. Organizador visual de contenidos ..................................................................................................... Motivación ......................................................................................................................................... Logros de aprendizaje ........................................................................................................................ Recuperación de saberes previos ....................................................................................................... 1. NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA ................................................................................................ 1.1 ¿Qué es la Matemática?...................................................................................................... 1.2 Corrientes de pensamiento matemático.............................................................................. 1.3 Diferencias entre Logicismo y Formalismo ....................................................................... 1.4 Diferencias entre la Matemática clásica y la intuicionista ................................................. 1.5 ¿Cómo conciben la Lógica los intuicionistas?¿Cuál es la diferencia con los logicistas?............................................................................................................... Actividad 1 .................................................................................................................................. 2. EVOLUCIÓN DE LA MATEMÁTICA................................................................................................... 2.1 Visión histórica .................................................................................................................. 2.2 Sobre la utilización de la Historia en la educación matemática ......................................... 2.3 Presentación de diversos modelos numéricos ................................................................... Actividad 2 .................................................................................................................................. 3. TENDENCIAS ACTUALES DE LA ENSEÑANZA - APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA ......................................... 3.1 Introducción........................................................................................................................ 3.2 Los procesos del pensamiento matemático y el desarrollo de capacidades ....................... 3.3 Comprendiendo las capacidades matemáticas.................................................................... 3.4 La enseñanza a través de la resolución de problemas ........................................................ 3.5 Un modelo para trabajar con problemas: el modelo de Miguel de Guzmán Ozámiz .......................................................................... Actividad 3 .................................................................................................................................. 4. 5. EVALUACIÓN ................................................................................................................................ METACOGNICIÓN ......................................................................................................................... 1 2 3 4 4 4 5 5 6 9 9 10 10 11 11 12 18 19 20 20 20 21 24 26 28 29 30 31 32
Bibliografía comentada...................................................................................................................... Enlaces web........................................................................................................................................
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comprende el estudio de la
con una de la
de mostrando la
como la hasta las
Conocimiento histórico Maneras
sobre la de su
Enseñanza Uso en el aula
Fascículo 1 / NATURALEZA, EVOLUCIÓN E IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA
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naturaleza, evolución
Pirámide maya.
Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA
Este fascículo nos ofrece una muestra de la naturaleza, evolución e importancia de la Matemática. Los números naturales se crearon debido a la necesidad de contar, así como los números reales nos ayudan a medir. La Aritmética se fue desarrollando conforme se efectuaban las operaciones de trueque y de comercio, y se fueron haciendo más complejas. Pasaron cientos de siglos para que el hombre alcanzara el concepto abstracto del número, base indispensable para la formación de la ciencia algebraica. El nacimiento de la Geometría también obedeció a necesidades prácticas, pues en las primeras sociedades agrícolas la posesión de la tierra adquirió mucha importancia, y fue entonces cuando se desarrollaron los primeros métodos de medición de superficies y volúmenes.
Números mayas.
Conjunto arqueológico de Machu Picchu.
Quipus. Fractales.
■ Reconoce e interpreta la naturaleza de la Matemática a través del análisis de la información presentada, valorando su importancia. ■ Interpreta los conocimientos sobre la evolución de la Matemática, a través del análisis de datos históricos presentados, manifestando capacidad crítica. ■ Analiza estrategias planteadas para la enseñanza – aprendizaje de la Matemática, mostrando dedicación y responsabilidad.
■ recuPeración de saberes Previos
Antes de empezar con el desarrollo del presente fascículo es indispensable que recuerdes algunos conceptos. Lee atentamente las preguntas y responde en una hoja aparte. ■ ¿Cuál es la diferencia entre la Matemática clásica y la Matemática moderna? ■ ¿Qué es una capacidad? ■ ¿Qué procesos te permiten desarrollar la capacidad específica de “interpretar”? ■ Nombra a los matemáticos más importantes que recuerdes.
1.1 ¿Qué es la Matemática?
Responderemos esta pregunta citando la deﬁnición de la Matemática propuesta por Federico Engels: “La Matemática es una ciencia que tiene como objeto las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo real”. Añadimos que, además, nos permite el desarrollo de las capacidades matemáticas: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Por otra parte, la Matemática misma es una ciencia intensamente dinámica y cambiante. Varía de manera rápida y hasta turbulenta en sus propios contenidos, e incluso en su propia concepción profunda, aunque de modo más lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemática no puede ser una realidad que se aborde fácilmente. La Matemática no es solamente un conjunto de técnicas o de herramientas, por muy útiles que éstas puedan resultar en nuestra civilización para alcanzar diversos ﬁnes. La Matemática es una parte muy importante de la cultura humana. El matemático debería ser el arquitecto capaz de contemplar y entender globalmente el ediﬁcio, su ﬁnalidad, su utilidad, su belleza, su sentido, su función, sus relaciones con el entorno, con la cultura de quien lo va a usar, con lo más íntimo de su personalidad. Para llevar a cabo esta tarea necesitamos que el matemático tenga una visión amplia y profunda.
Federico Engels (Prusia, 1820 - Londres, 1895) http://es.wikipedia.or g/wiki/ Imagen:Engels_1856.jpg
EL ÚLTIMO NÚMERO PRIMO DESCUBIERTO
¿Sabías que el 4 de setiembre del año 2006, un equipo de la Central Missouri State University (CMSU), en Estados Unidos, rompió su propio récord descubriendo el mayor número primo conocido hasta la fecha? Este número consta de 9 808 358 dígitos, pero puede escribirse como:
La Matemática es de suma importancia en nuestra vida, en nuestra cultura y en el contexto del desarrollo cientíﬁco y tecnológico de la humanidad. La Matemática ha llegado a ocupar un lugar central en la civilización actual, porque es una ciencia capaz de ayudarnos en el desarrollo de nuestras capacidades matemáticas y fundamentales. Esto nos permite comprender nuestro entorno y el universo en muchos aspectos, constituyéndose en el paradigma de muchas ciencias y en un gran apoyo auxiliar en la mayor parte de ellas. Esto gracias a sus procesos cognitivos tales como el razonamiento simbólico con el que trata de modelar diversas formas de ser del mundo físico e intelectual. La Matemática es entonces un potente modelo de intervención
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en las estructuras de la realidad de nuestro entorno, en la aplicación de modelos fidedignos al mundo físico y mental. En realidad, como afirma Miguel de Guzmán, la mayor parte de los logros de nuestra tecnología no son sino matemática encarnada con la colaboración de otras ciencias. Esta intensa presencia de la Matemática en nuestra cultura no es algo que vaya a menos, sino todo lo contrario. A juzgar por las tendencias que se manifiestan cada vez con más fuerza, parece claro que el predominio de la intelección matemática será un distintivo evidente de la civilización futura. La Matemática es importante porque constituye un modelo de pensamiento, por sus cualidades de objetividad, consistencia y sobriedad, las cuales le otorgan un lugar prominente entre las diversas formas que tiene el pensamiento humano de enfrentar los problemas. Este aspecto es la raíz de sus profundas conexiones con la filosofía de todos los tiempos.
Un mate...
- Las bacterias se multiplican dividiéndose. - Los símbolos algebraicos se usan cuando no sabes de qué estás hablando. - Un matemático es un inventor que transforma café en teoremas.
La Matemática es importante también porque es una actividad pionera en la que se busca una cierta clase de belleza intelectual, solamente accesible –como afirmaba Platón– a los ojos del alma. En esto consiste, en el fondo, la fuerza motivadora y conductora siempre presente en los esfuerzos de los grandes creadores de la Matemática. Es importante, finalmente, porque es una actividad bastante lúdica, tanto que en sus orígenes el juego ha estado presente de forma muy activa (Teoría de números, Álgebra, Combinatoria, Probabilidad). Es cierto que tenemos más desarrollado un hemisferio de nuestro cerebro con respecto al otro, pero también es necesario que nosotros mismos y nuestros estudiantes tengamos en cuenta que debemos desarrollar experiencias que contribuyan a desarrollar el hemisferio derecho de nuestro cerebro. Es allí donde se concentra la parte intuitiva, que es importante cultivar para que nuestro aporte en Matemática esté siempre presente dando corazonadas, intuyendo o adivinando sobre determinadas respuestas ante problemas y/ o ejercicios que tengamos que enfrentar a lo largo de nuestras vidas.
1.2 Corrientes de pensamiento matemático
Las concepciones que tengan los profesores o profesoras sobre la naturaleza de la Matemática influyen de manera sustancial sobre sus estrategias didácticas y su práctica profesional. Respecto a la fundamentación de la Matemática surgieron tres corrientes de pensamiento que han recibido el nombre de escuelas: la escuela logicista, la escuela intuicionista y la escuela formalista. La escuela logicista afirma que los conceptos matemáticos se pueden definir a partir de los conceptos lógicos, y por ello la Matemática puede ser considerada una parte de la Lógica. Es posible encontrar antecedentes de esta corriente desde Aristóteles y, dentro de los matemáticos destacados, Leibnitz expresó opiniones de tipo logicista en 1666. Sin embargo, fue G.
Aristóteles (Estagira, 384 a.C. - Calcis, 322 a. C.) http://www.biografiasyvidas.com/ biografia/a/fotos/aristoteles.jpg
Frege, con sus trabajos titulados Begriffschrift (1879) y Die Grundlagen der Arithmetik (1884), el primero que comenzó a explicar la Matemática a partir de la Lógica. La obra de Frege no recibió inicialmente mucha atención hasta que B. Russell, a principios del siglo pasado, puso de relieve el verdadero signiﬁcado de dichas obras. B. Russell y A. N. Whitehead, inspirados en la obra de Frege, publicaron los Principia Mathematica, que se considera la obra fundamental de la escuela logicista. La escuela intuicionista aﬁrma que existen conceptos matemáticos que están fundamentados en nuestra intuición, y uno de esos conceptos es el de número natural, (nuestra intuición de número natural proviene de nuestra percepción de los sucesos ordenados respecto al tiempo). Para los intuicionistas, la Matemática se debe desarrollar a partir de esos conceptos, y no a partir de conceptos lógicos. Ellos aﬁrman que los conceptos y las reglas de la Lógica se obtuvieron de las operaciones entre conjuntos ﬁnitos, y no a la inversa. Sin embargo, para el intuicionista algunos de los conceptos empleados en la Matemática clásica no tienen un fundamento intuitivo; uno de ellos es el de conjunto inﬁnito. Para el intuicionista, los números naturales se van construyendo uno a uno, pero el conjunto de números construido en cada etapa es ﬁnito, aunque se tenga la posibilidad de obtener conjuntos cada vez mayores. En la concepción “intuicionista” de L.E.J. Brouwer, la Matemática debe fundamentarse, en lo posible, al margen de toda consideración ﬁlosóﬁca. Pero si uno considera los objetos matemáticos, por ejemplo los números naturales, como algo dado independientemente de que se les piense o no, tal consideración presupone una idea de existencia que es, ella misma, fruto de una concepción ﬁlosóﬁca particular. La existencia de una entidad ideal “tres” –algo que como tal no es observable en el mundo real– es algo muy distinto de la existencia de entidades reales como pueden ser “tres naranjas”. Por esta razón, Brouwer cree que los objetos matemáticos son creados (construidos) por la actividad mental del matemático. Si, con todo, se admitiera la existencia transcendente de las entidades matemáticas, tal presuposición, lo mismo que la de su construcción humana, no debe desempeñar papel alguno en las demostraciones matemáticas. En el modo de ver (observar) del matemático, la Matemática no va más allá de los objetos construidos por él; es, por tanto, algo objetivo, en la medida en que cualquier otro también puede comprender las descripciones de dichas construcciones o puede reconstruirlas él mismo llegando a los mismos resultados. La peculiar “existencia” de los objetos matemáticos con sus particulares propiedades sólo es demostrable a través de la re-construcción de dichos objetos. Desde la perspectiva “constructivista” de Brouwer, las entidades matemáticas deben ser observadas al margen de la forma habitual de concebir la verdad. Desde este punto de vista, los criterios de verdad que se aplican son distintos de los de la vida cotidiana en que tenemos que admitir ciertos principios,
LOS DESCENDIENTES DE CARLOMAGNO
Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismísimo Carlomagno. Cierto día se encontró con un matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos: “usted tiene dos padres, y cada uno de éstos, otros dos; de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el número de ascendientes que contamos son 14. Y si nos remontamos unas 40 generaciones, el número de antepasados que tiene usted es: 2 3 2 + 2 + 2 + 24 + 25 + .... + 238 + 239 + 240 = 2 199 023 255 550” Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra historia pensó “poca sangre noble tiene este buen hombre”; pero siguió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna. ¿Qué te parece esta descendencia? http://www.geocities.com/ Athens/Acropolis/4329/ carlomag.htm
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como el de no-contradicción o el del “tertium non datur”. La peculiar existencia de una entidad matemática sólo puede ser objeto de inferencia si se indica la forma (reproducible por cualquier otro observador constructor). Dado que las proposiciones matemáticas no se refieren a un reino de la realidad objetiva independiente del observador que las construye-intuye, la negación de una afirmación sólo podrá demostrarse por el hecho de que la construcción presupuesta en tal proposición lleva a una contradicción, diríamos, operativa, es decir, con la misma actividad constructiva. Pero en la medida en que ni se realiza la construcción, ni se deriva de ella una contradicción, no se podrá afirmar nada sobre ella. Formulado de otra manera: “En el estudio de las construcciones mentales matemáticas ‘existir’ debe ser sinónimo de ‘ser construido”. Brouwer se oponía así radicalmente tanto al Logicismo (de Frege y Russell) como al Formalismo (de Hilbert).
David Hilbert (Prusia, 1862 - Alemania, 1943) http://www.calpoly.edu/~brichert/ AMS/hilbert.jpg
La Lógica no puede decir nada sobre la fundamentación de la Matemática, pues ella misma utiliza ya conceptos matemáticos; es, en el fondo, mera aplicación de la Matemática. El Construccionismo de Brouwer se aparta del Formalismo por la finalidad de su modo de observar: mientras que los formalistas, partiendo de lo cuestionable de muchos métodos de demostración, intentan salvar al menos en su forma el contenido de la Matemática, Brouwer intenta elaborar de una forma lo más pura posible las inferencias matemáticas. Para los formalistas, el lenguaje matemático constituye el objeto central de su trabajo; para Brouwer, tal lenguaje formal es un mero medio para su comunicación sobre la realidad última de la Matemática. Por esta razón, se opuso al intento de formalizar el mismo Intuicionismo en la obra de su discípulo Heyting (1930), que intentó reducir esta concepción que, para él era al fin y al cabo filosófica, a un mero cálculo lógico. La Matemática no era para Brouwer una teoría (un conjunto o sistema de conceptos, teoremas etc.), sino una actividad, un modo de proceder –hoy hubiera probablemente dicho: un “programa” de operaciones mentales– basado en dos capacidades: la intuición primordial del enumerar (añadir unidad a unidad), y la del medir (que él consideraba como una repetición de la operación de la subdivisión de unidades). Es decir, la Matemática no sería sino la forma metódica de proceder desde nuestras experiencias internas. La realización de este programa intuicionista llevó, por un lado, a cierto empobrecimiento, pues abandonaba algunas formas de demostración; y, por otro lado, enriqueció la reflexión filosófica sobre la Matemática al posibilitar introducir nuevos “conceptos” que no podían antes ser configurados de forma lógica, como es el caso de una sucesión siempre incompleta, pero que puede proseguirse de forma indefinida. Este intuicionismo ha sido “formalizado” en lenguaje lógico-matemático. Presentamos algunas comparaciones de las escuelas matemáticas.
- Si un reloj marca las 3:30 p.m., otro marca las 3:40 p.m. y otro marca las 3:35 p.m., ¿qué hora es? - Es hora de mandarlos a arreglar.
1.3 Diferencias entre Logicismo y Formalismo
LOGICISMO (Frege y Russell) Las variables ligadas se refieren a toda clase de entidades abstractas.
Esta corriente de pensamiento considera que la Matemática es una rama de la Lógica, con vida propia, pero con el mismo origen y método, y que son parte de una disciplina universal que regiría todas las formas de argumentación. Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos lógicos, y reducir los teoremas de la Matemática a los teoremas de la Lógica, mediante el empleo de deducciones lógicas. Esta corriente reconoce la existencia de dos lógicas que se excluyen mutuamente: la deductiva y la inductiva. La deductiva busca la coherencia de las ideas entre sí; parte de premisas generales para llegar a conclusiones específicas. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el mundo real; parte de observaciones específicas para llegar a conclusiones generales, siempre provisorias, que va refinando a través de experiencias y contrastaciones empíricas. Frege hizo grandes aportes a lo que hoy conocemos como Lógica matemática: cálculo proposicional, reglas para el empleo de los cuantificadores universales y existenciales, y el análisis lógico del método de prueba de inducción matemática.
FORMALISMO (Hilbert) La Matemática es un juego de reglas formales, sin ningún contenido de realidad.
Esta corriente reconoce que la Matemática es una creación de la mente humana y considera que consiste solamente en axiomas, definiciones y teoremas como expresiones formales que se ensamblan a partir de símbolos, manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o convenios preestablecidos. Para el formalista, la Matemática comienza con la inscripción de símbolos en el papel; la verdad de la Matemática formalista radica en la mente humana, pero no en las construcciones que ella realiza internamente, sino en la coherencia con las reglas del juego simbólico respectivo. En la actividad matemática, una vez fijados los términos iniciales y sus relaciones básicas, ya no se admite nada impreciso u oscuro; todo tiene que ser perfecto y bien definido. Las demostraciones tienen que ser rigurosas, basadas únicamente en las reglas del juego deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos con los términos y las relaciones.
1.4 Diferencias entre la Matemática clásica y la intuicionista
Matemática Clásica ■ La existencia matemática está dada por teoremas.
■ Utiliza el método racional y deductivo. ■ La noción de número real se presenta en términos de la sucesión de Cauchy y de números racionales.
Matemática Intuicionista ■ La existencia matemática se da en la constructibilidad real.
■ Utiliza el método empírico e intuitivo. ■ No admite la idea de los generadores numéricos, la identificación de la existencia con la constructibilidad real de generadores numéricos ha de conducir a una modificación profunda de la noción clásica de la igualdad y diferencia de dos números reales.
1.5 ¿Cómo conciben la Lógica los intuicionistas? ¿Cuál es la diferencia con los logicistas?
Lógica intuicionista Logicistas
■ ■ Formula los principios de razonamiento de forma “a priori” o preestablecida. Se sustenta en la Lógica.
Futuras construcciones tendrán principios no formulados o previstos. Utiliza la Lógica como recurso o accesorio lingüístico.
El área referente al pensamiento matemático permite reconocer las diversas concepciones desarrolladas con referencia a la naturaleza de la Matemática, privilegiando el rol generador de la Matemática como actividad, la dimensión histórica del conocimiento matemático y las posibilidades didácticas de la misma. Es importante, al respecto, el sinceramiento sobre qué pensamiento matemático predomina más en nuestra práctica pedagógica; asimismo, es fundamental valorar el aporte de los intuicionistas, logicistas y formalistas, los mismos que deben ser comunicados con responsabilidad en los diversos procesos de enseñanza-aprendizaje de los contenidos matemáticos.
■ El ajedrez de tetraminós El juego consiste en recubrir un tablero de ajedrez (8 8) con cada uno de los cinco tetraminós. Investiga grupalmente si es posible hacerlo con cada uno de ellos. - http://www.elementos.buap.mx/num59/ htm/15.htm Trata sobre la crisis de los fundamentos de la Matemática y el papel de la escuela formalista. - http://www.gatoencerrado.net/store/ noticias/27/27310/detalle.htm Establece una interrogante sobre el reﬂejo de la Matemática en la realidad. - http://www.zubiri.org/works/ spanishworksabout/munoz/chapter5.htm Trata sobre el constructivismo lógico y la verdad matemática. - http://www.monograﬁas.com/trabajos30/ kant-logica/kant-logica.shtml Desarrolla el tema de la crisis de la Matemática actual. Se describen las escuelas más importantes. - http://www.heideggeriana.com.ar/textos/ epoca_de_la_imagen.htm Es una reﬂexión acerca de la ciencia moderna, su esencia y alcances; la Matemática es aludida y relacionada con otras ciencias. Trabaja de manera cooperativa con los otros miembros de tu área. Distribúyanse el trabajo de manera equitativa. Elaboren un informe donde se detallen las características de estas escuelas, y compartan el resultado de su investigación con sus colegas de otras instituciones educativas a través de un plenario.
investiga con tus colegas
Para profundizar acerca de la naturaleza de la Matemática desarrollada por las distintas tendencias de la Filosofía, de la Matemática y sus escuelas; visita las siguientes conexiones web: - http://www.mat.puc.cl/~rrebolle/Cvirtual/ node2.html Hace referencia al esfuerzo de David Hillbert por formalizar la Matemática tras el fracaso del logicismo y la pretendida completitud. - http://www.matematicas.unal.edu.co/boletin/ Archivos/2004-I/Doc7.pdf Se reﬁere a las teorías y hechos históricos que contribuyeron a conﬁgurar y desestabilizar la aspiración de formalizar la Matemática.
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2. EvolucióN de la MatEMática
2.1 Visión histórica (*)
El conocimiento de la Historia proporciona una visión dinámica de la evolución de la Matemática. Un cierto conocimiento de la historia de la Matemática debería formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemático en general, y del profesor de cualquier nivel de educación secundaria, en particular. Y no sólo con la intención de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseñanza, sino principalmente porque la Historia le puede proporcionar una visión verdaderamente humana de la Ciencia y de la Matemática. La visión histórica transforma simples hechos en porciones de conocimiento buscados ansiosamente y, en muchas ocasiones con genuina pasión, por hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando por primera vez dieron con ellos. Cuántos de esos teoremas han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teoría, después de haberla estudiado más a fondo, incluido su contexto histórico y biográfico. La perspectiva histórica nos acerca a la Matemática como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz también de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas. Desde el punto de vista del conocimiento más profundo de la propia Matemática, la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemático técnico, como para el que enseña. Si cada porción de conocimiento matemático de nuestros libros de texto llevara escrito el número de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximación, veríamos saltar locamente los números, a veces dentro de la misma página o del mismo párrafo: conjuntos, números naturales, sistemas de numeración, números racionales, reales, complejos... decenas de siglos de distancia hacia atrás, hacia adelante, otra vez hacia atrás, vertiginosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos y alumnas de tal circunstancia. El orden lógico no es necesariamente el orden histórico, ni tampoco el orden didáctico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor o la profesora debería saber cómo han ocurrido las cosas para:
* Tomado y adaptado del artículo “Enseñanza de las Ciencias y la Matemática” de Miguel de Guzmán. http:/www.oei.es/oeivirt/edumat.htm
Pirámides de Egipto. http://www.fotolibre.org/albums/ userpics/10014/P5091524_ piramides.jpg
Los babilonios casi no prestaron atención a las ecuaciones lineales por considerarlas demasiado elementales y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.
- ¿Qué le dijo un vector a otro? - Oye, ¿tienes un momento? - ¿Qué es un niño complejo? - Un niño con la madre real y el padre imaginario.
■ Comprender mejor las diﬁcultades del hombre genérico, de la humanidad, en la elaboración de las ideas matemáticas, y a través de ello las de sus propios alumnos y alumnas. Entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfonía matemática. Utilizar este saber como una sana guía para su propia pedagogía. Por otra parte, el conocimiento de la historia de la Matemática y de la biografía de sus creadores más importantes nos hace plenamente conscientes del carácter profundamente histórico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, así como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la Filosofía, la Matemática, la tecnología, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este último del que los mismos matemáticos enfrascados en su quehacer técnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la Matemática suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la Historia.
2.2 Sobre la utilización de la Historia en la educación matemática
No debemos reducir el valor del conocimiento histórico en tener una batería de historietas y anécdotas curiosas para entretener a nuestros alumnos y alumnas a ﬁn de hacer un alto en el camino. La Historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difícil del modo más adecuado. Los diferentes métodos del pensamiento matemático, tales como la inducción, el pensamiento algebraico, la Geometría analítica, el Cálculo inﬁnitesimal, la Topología, la Probabilidad... han surgido en circunstancias históricas muy interesantes y peculiares, en la mente de pensadores muy singulares, cuyos méritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy útil resaltar. La Historia debería ser un potente auxiliar para objetivos tales como: ■ Hacer patente la forma peculiar en que aparecen las ideas en Matemáticas. ■ Enmarcar temporal y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivación y precedentes. ■ Señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación en la que se encuentran actualmente. ■ Apuntar las conexiones históricas de la Matemática con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes. Sabemos que la Matemática es una actividad vieja y polivalente. A lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotamios. Entre los pitagóricos se consideró como un medio de aproximación a una vida más profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad entre los pitagóricos. Fue utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el Medioevo. Ha
Pitágoras (Samos, 572 a.C. - Metaponto, 497 a.C) http://www.biografiasyvidas. com/biografia/p/fotos/ pitagoras.jpg
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sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partir del Renacimiento. Ha constituido una magníﬁca guía del pensamiento ﬁlosóﬁco, entre los pensadores del racionalismo y ﬁlósofos contemporáneos. Ha sido un instrumento de creación de belleza artística, un campo de ejercicio lúdico, entre los matemáticos de todos los tiempos. Según Roberto Markarian*, “En muchos sectores de la sociedad, en particular del cuerpo docente e intelectual, existe la opinión de que nada hay por inventar en Matemática y que, por tanto, ésta es una ciencia consolidada que no ha tenido nuevos avances (invenciones o descubrimientos) en los últimos tiempos. El ﬁn de los avances matemáticos es ﬁjado en diferentes épocas dependiendo del grado de desconocimiento de quien eso piensa: puede ir desde los griegos en el siglo V antes de nuestra era, hasta ﬁnes del siglo XIX (recordándose el nombre de algún matemático alemán: Weierstrass, Cantor). En todo caso, se piensa que no hay Matemática reciente que valga la pena saber ni enseñar”. Algunos matemáticos en la historia** Por fortuna, en la larga historia de nuestra ciencia han habido muchos matemáticos y matemáticas eminentes, cuya actividad puede iluminar poderosamente nuestra forma de proceder. Al observar sus modos de actuar podemos constatar la gran diversidad de maneras que puede darse, de acuerdo con las posibilidades del tiempo y según los gustos y la idiosincrasia de cada persona. Mencionaremos, en una visión probablemente muy sesgada, tan sólo a algunos matemáticos. No sabemos casi nada que se pueda considerar cierto acerca de Pitágoras como persona, pero, a juzgar por la estela que dejó, es absolutamente evidente que tuvo entusiasmo, capacidad de persuasión y de comunicación de sus concepciones acerca de la Matemática como no se ha dado probablemente en toda la historia de la ciencia. De Hypathia se conoce muy poco. Vivió en Alejandría a principios del siglo V. Fue una de las primeras mujeres matemáticas famosas y, por lo que sabemos, debió de ser extraordinariamente buena comunicadora y de una gran inﬂuencia entre sus alumnos y alumnas. Tal como pensaron los oponentes de sus concepciones ﬁlosóﬁcas, ejercía un enorme inﬂujo sobre muchas personas. Esto les impulsó nada menos que a acabar con su vida violentamente. Descartes escribió una obra de juventud, las llamadas Reglas para la dirección del ingenio, unas notas fundamentalmente para su propio uso, que quedaron inacabadas, ni siquiera tituladas y no se publicaron en vida de su autor. Las Reglas son como un preludio, la base del Discurso del método. En este se entrecruzan diversos hilos de interés. En las Reglas se manifiesta un interés más puro por el gran problema de cómo pensar mejor, y en ellas Descartes aparece como un excelente precursor de George Pólya al escudriñar a fondo las cuestiones relativas al pensamiento eficaz, sobre todo en las indagaciones matemáticas. Descartes, como el mismo Pólya, se asoma también a la posibilidad de
* En http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2001/julio/1anteaula62.htm ** Tomado y adaptado de http://usuarios.bitmailer.com/mdeguzman/guzmanpa/ papeldelmatematico.htm
Hypathia (Alejandría, 370 d.C. - 415 d.C.) http://www.victoriaspast. com/JuiliaMCameron/ Hypatia%201867.jpg
René Descartes (Touraine, 1596 - Estocolmo, 1650) http://almez.pntic.mec.es/ ~agos0000/descarte.gif
George Pólya (Budapest,1887 - Palo Alto,1985) http://www.math.sunysb. edu/~zakeri/mat542/ men/Polya.jpg
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Cuando una especie animal encuentra dificultades para reproducirse, la Naturaleza pone remedio y determina que sea inmenso el número de huevos o crías que van a permitir el correcto desarrollo de la especie. Hagamos un pequeño cálculo para demostrar de qué manera crecería la descendencia de una hormiga y cómo las dificultades que encuentran en el medio, aniquilan millones de ellas. Supongamos que cada hormiga pone 100 huevos y que en el curso de un verano se alcancen seis generaciones de hormigas. En la primera generación saldrán 100 hormigas, de ellas 50 hembras; de estas 50 hembras, en la segunda generación salen 5 000 hormigas, de las cuales 2 500 serán hembras ... y siguiendo el proceso, en la sexta generación aparecerían 1 562 500 000 000 hormigas que puestas en fila, cubrirían unas 20 veces la distancia entre la Tierra y la Luna... ¿Qué te parece esta descendencia? Tomado de: http:/www. geocities.com.athens/ acropolis/
transferir tales formas de pensamiento a otros muchos aspectos de la investigación de la mente humana, tanto en el terreno cientíﬁco como en el ﬁlosóﬁco. Las visiones de Descartes enriquecieron, sin duda, la Matemática, pero no menos la Filosofía y otros aspectos de la Ciencia. Sin duda, Descartes puede proponerse como un gran ejemplo por imitar para nosotros, por su enorme apertura y visión global de la Matemática como un elemento fundamental de la cultura humana; así como en su preocupación por guiar el talento del modo más correcto hacia la solución de los problemas, matemáticos o no. Euler es el maestro de todos nosotros y el gran maestro de todos los matemáticos posteriores gracias a sus aportes a esta ciencia, no solamente por el contenido, sino también por razón de la forma y modos de transmitir. La obra de Euler es, en general, una muestra de lo que un buen docente de Matemática debe hacer, tratando de colocarse inicialmente en la ignorancia del tema y de los métodos que va a emplear para comenzar en condiciones de igualdad con aquel a quien trata de conducir por el camino, haciéndole ver las diﬁcultades con las que también él mismo se ha encontrado, llevándole a veces por senderos equivocados que él mismo ha recorrido antes, a ﬁn de que aprenda también de las equivocaciones, extrayendo de las conclusiones a las que llega visiones muy generales que han de resultar válidas en otros muchos casos. Weierstrass es un gran ejemplo para los profesores de enseñanza secundaria. Por mucho tiempo fue Weierstrass profesor de Gymnasium y muy probablemente fue en él donde aprendió a transmitir eﬁcazmente hasta el punto de crear una potentísima escuela matemática. Poincaré es el gran ejemplo de matemático convencido de que las formas propias del pensamiento matemático presentan inﬂuencias profundas para el conjunto de la cultura humana. El estudio de Poincaré fue la fuente de donde brotó toda una corriente de investigaciones sobre la forma de trabajo en Matemática, sobre la naturaleza de la creatividad matemática, etc. George Pólya es otro de los grandes ejemplos de nuestros días, pues su obra en análisis matemático y en otras ramas es de gran profundidad. Su inﬂuencia sobre las corrientes actuales en educación matemática ha sido fundamental. Su pequeño libro How to solve it, en la vena de Descartes, Leibnitz, Euler, Poincaré, Hadamard y de los grandes matemáticos que se han preocupado por escudriñar las formas misteriosas en que la mente humana actúa en el acto creativo, dio lugar a un torrente de publicaciones posteriores. Sería interminable la lista de los buenos ejemplos de interés activo e inﬂuyente por los problemas de la educación matemática. Pero mencionaremos a uno que para todo el mundo de habla hispana es excepcionalmente importante. Luis Santaló ha sido y sigue siendo para nosotros el personaje que ha sabido aunar de una forma más efectiva su altura matemática con el interés por la educación matemática. Todo el mundo matemático de habla hispana conoce a fondo sus muchas obras dedicadas a la enseñanza de esta ciencia.
respetar las ideas de los demás Como podemos apreciar, en esta sección cada personaje que contribuyó en el desarrollo de la Matemática tuvo un espacio y tiempo determinados, destacando la tolerancia hacia su modo de pensar. Este principio básico debe estar presente en nuestro quehacer educativo, es decir, debemos seguir contribuyendo al desarrollo de la Matemática desde donde nos encontramos, pero respetando las ideas y puntos de vista de los demás, siendo tolerantes y firmes en nuestras apreciaciones.
Maneras de usar la Historia de la Matemática en el aula
El conocimiento de la Historia de la Matemática es un valor agregado. Para el o la docente constituye un conocimiento muy interesante, ya que le ayuda a comprender mejor la evolución de los diversos conceptos y procedimientos matemáticos. Para los o las estudiantes es una fuente de conocimiento, interés y motivación. En la revista Uno (Historia de las Matemáticas. Revista N° 26 de Didáctica de las Matemáticas. Editorial Graó. Barcelona, 2001), se plantea qué, cómo y cuándo presentar la Historia de la Matemática en el aula. Existen muchas maneras de realizar ciertos estudios sobre Historia de la Matemática: ■ Puede ser tener solamente una cronología de nombres, fechas y aspectos más importantes de personajes de la Matemática; sin embargo, esto constituye sólo un aspecto parcial. ■ El ser más ambiciosos nos plantea profundizar en la evolución del pensamiento y quehacer matemático. Esto requiere una sólida formación matemática y humanística. Se sugiere citar los siguientes temas: - Las distintas culturas científico – matemáticas. - La evolución de los principales conceptos matemáticos. - El nacimiento y la evolución de los principales conceptos matemáticos. - El nacimiento y la evolución de las distintas ramas matemáticas: Aritmética, Álgebra, Estadística, Análisis, Probabilidades, etc. - Los hitos más importantes del pensamiento matemático. - Los problemas más interesantes. - Los diversos procedimientos de resolución. - Las escuelas y tendencias en Matemática. ■ Existe también la posibilidad de estudiar la Historia de la Matemática tomando como referencia a sus pioneros, en este caso, hay que hacer una cuidadosa selección de los personajes. Sin embargo, se corre el riesgo de dejar de lado a personajes importantes. En la citada revista Uno, encontramos una propuesta de J. I Fauvel, que es la siguiente:
- ¿Cuándo 2 + 2 da 5? - Cuando se suma mal.
Thales de Mileto (Mileto, 640 a.C. - 560 a.C.) http://www.astrosafor.net/ Huygens/2005/56/figura2B.jpg
■ Presentar introducciones históricas de los conceptos que son nuevos para los estudiantes. ■ Trabajar con aﬁches, exposiciones u otros proyectos con transfondo histórico. ■ Idear el orden y estructura de los temas dentro del programa de acuerdo con su desarrollo histórico. ■ Trabajar en la comprensión de algunos problemas históricos cuya solución ha dado lugar a los distintos conceptos matemáticos. ■ Mencionar anécdotas históricas. ■ Repasar situaciones históricas para ilustrar técnicas y métodos de resolución. ■ Proponer ejercicios similares a los propuestos en textos históricos del pasado. ■ Realizar proyectos en torno a actividades históricas del pasado.
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. a b c2 = a2 + b2 c
■ Estudiar errores históricos para ayudar a comprender y resolver diﬁcultades relacionadas con el aprendizaje de la Matemática. ■ Estudiar e impartir lecciones sobre Historia de la Matemática.
Ejemplos de situaciones históricas para su uso en el aula
En lo que sigue presentamos un conjunto de situaciones históricas. Empezaremos con el famoso Teorema de Pitágoras. La aportación de los pitagóricos es fundamental para la Matemática puesto que construyeron un sistema coherente en el que todos los teoremas se pueden demostrar a partir de unos pocos axiomas. El Teorema de Pitágoras es considerado como una de las joyas de la Matemática; a lo largo de la historia se han presentado diversas formas de demostración. Presentamos a continuación diversas demostraciones algebraico-geométricas del Teorema de Pitágoras: I.
a b b a b a c b b a c b c b a
i. De la ﬁgura: (a + b)2 = c2 + 2ab ii. Por Álgebra: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab iii. De i y ii a2 + b2 = c2
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b b a a 1 a a 2
b b 3 4
Se observa que: c2 = a2 + b2
Prueba aportada por el matemático chino Lui Hui ( siglo III)
2 3 1 4 5 1 5 4 3 2
Demostraciones geométricas realizadas por H.E. Durenez (1917)
Una comprobación del Teorema de Pitágoras se atribuye a J.A Garﬁeld (vigésimo presidente de EEUU). La idea a es la de construir un trapecio a partir del cuadrado de c lado a + b, (ver ﬁgura). Área de la región trapezoidal = b Sumatoria de las áreas de las regiones triangulares.
http://www.mercadotour.jp/latina/ peru/andina/411.JPG Carlos Milla Villena es miembro de la Orden del Colegio de Arquitectos del Perú y pertenece a la Sociedad Peruana de Aerofotografía aplicada, a la Sociedad Geográfica de Lima, al Instituto de Urbanismo del Perú y al Seminario de Arqueología del Instituto Riva Agüero, Escuela de Altos Estudios de la Universidad Católica de Lima, y a la Asociación Peruana de Arqueología.
Como podemos apreciar la Historia de la Matemática es un recurso fundamental que debe emplearse en el aula, valorando el aporte genuino de cada autor. En este contexto, es necesario considerar y revalorar el aporte de Carlos Milla Villena, cuando trata sobre el templo matemático de Sechín, tema de etnomatemática que necesita difundirse, analizarse y tener una apreciación, con la ﬁnalidad de socializarlo y reforzar nuestra identidad.
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2.3 Presentación de diversos modelos numéricos
El lema de la Escuela Pitagórica fue: “Todo es número”. Los pitagóricos ya conocían los números perfectos, los números amigos, así como la disposición geométrica de los números; hablaban de números lineales, números triangulares, números cuadrados, números pentagonales, números rectangulares, números tetragonales, etc. Por ejemplo:
Números lineales
Pitágoras (Samos, 572 a.C.- Metaponto, 497 a.C.) http://www.samaelgnosis.net/ revista/ser15/pitagoras.jpg
— ¿Cuánto es dos más dos? — Cuatro — ¡Te pasaste! — ¡Qué!, ¿es tres?
Números tetragonales
Los primeros tetragonales forman pirámides triangulares cuyos pisos son a su vez números triangulares.
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Trabajen de manera cooperativa distribuyéndose los temas entre los miembros del área de Matemática de tu institución educativa. Elaboren un resumen y entreguen una copia a cada uno. 1. Con relación al Teorema de Pitágoras: ■ Interioriza en detalle las demostraciones presentadas del Teorema de Pitágoras. ■ Si es posible, determina otras demostraciones del mencionado teorema. ■ ¿Conocían los egipcios el Teorema de Pitágoras? ■ Profundiza tus conocimientos acerca de los pitagóricos. 2. Con respecto a los modelos numéricos: ■ Escribe los nueve primeros números triangulares. ■ ¿Qué número triangular ocupa el lugar 13°? ■ Escribe los once primeros números cuadrados. ■ ¿Cuál es el primer número cuadrado y triangular a la vez?
1. Investiga con otros u otras colegas sobre más personajes matemáticos que han inﬂuido notablemente en la educación matemática; por ejemplo, Miguel de Guzmán y Luis Santaló. Elabora breves reseñas y publícalas en el periódico mural de tu institución educativa. ■ Investiga sobre el maestro Luis Santaló y su inﬂuencia en la educación matemática. 2. Números con una cantidad de divisores ﬁjo: Sólo hay un número con un solo divisor: el 1. Los números que tienen únicamente dos divisores (el 1 y ellos mismos) son los que se llaman números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13,...), que forman una sucesión indeﬁnida.
Luis Santaló (Gerona, España, 1911 - Buenos Aires, Argentina, 2001) http://www.soarem.org.ar/ Publicaciones/9.jpg
■ Se trata de que estudies los números que tienen exactamente tres divisores. ■ Después continúa estudiando los números que tienen un número de divisores preﬁjado (cuatro, cinco, seis,...). ■ ¿Presentan alguna característica todos los números que tienen una cantidad de divisores? ■ ¿Qué número tiene exactamente 100 divisores? Reúnete con tus colegas de área y discutan sobre este tema compartiendo sus procedimientos de solución.
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3. TENDENCIAS ACTUALES de la Enseñanza-Aprendizaje de la MATEMÁTICA
Lo que fue bueno ayer, tal vez no lo sea ya hoy. Lo que te parece adecuado que se introduzca y cambie rápidamente en la enseñanza, tal vez sea una buena utopía hacia la que hay que dirigir nuestros esfuerzos, pero con cierta parsimonia y con el convencimiento de que son las personas las que deben cambiar su visión primero. La educación matemática es, por la propia naturaleza tan compleja de su estructura, un proceso dotado de una fuerte dosis de sana inercia. Esa inercia nos puede parecer, y es que a veces así es, una verdadera rémora que impide la transformación y el crecimiento adecuados. Pero la educación no puede tener la misma ﬂexibilidad que es propia, o debería ser propia, de las tareas de la investigación cientíﬁca. La educación, por su propia naturaleza, involucra a la vez a varias generaciones distintas de personas, y por ello es natural que los cambios globales se realicen muy paulatinamente. No valen las sugerencias escritas, los cambios legales, los planes de estudio más o menos inteligentes. Lo que vale fundamentalmente es la disposición de los docentes, que han de estar en contacto con los o las estudiantes quienes son los que han de aprender y aceptar a su modo lo que puedan aprovechar. Tal proceso evolutivo es necesariamente lento.
El calentamiento global Es la teoría por la cual hay un aumento en la temperatura media de la atmósfera terrestre y de los océanos motivada por el efecto invernadero, causado por las emisiones de dióxido de carbono y otros gases. La temperatura se ha elevado desde ﬁnales del siglo XIX, cuando se puso ﬁn a una etapa de unos 400 años conocida como “pequeña glaciación” y se estima que en gran medida es debido a la actividad humana, incrementándose durante los últimos decenios. La teoría predice, además, que las temperaturas continuarán subiendo en el futuro si continúan las emisiones de gases del efecto invernadero. http://es.wikipedia.org/wiki/ Calentamiento_global
3.2 Los procesos del pensamiento matemático y el desarrollo de capacidades
Una de las tendencias generales más difundidas hoy consiste en el hincapié en la transmisión de los procesos de pensamiento propios de la Matemática más que en la mera transferencia de contenidos, poniéndose énfasis en el desarrollo de capacidades matemáticas. Son capacidades que se pueden transferir o aplicar a otros aprendizajes y situaciones de la vida. Planteamos una propuesta pedagógica para desarrollar capacidades matemáticas, que implican procesos complejos que se desarrollan conjuntamente con el aprendizaje de conocimientos sobre Números, Relaciones y Funciones, Geometría y Medida, y Estadística y Probabilidades. La Matemática es, sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método claramente predomina
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sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones (en buena parte colindantes con la psicología cognitiva) que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas. En la situación de transformación vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez son lo más valioso que podemos proporcionar a nuestros jóvenes. En nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente cambiante, vale mucho más hacer acopio de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente se convierten en lo que Whitehead llamó “ideas inertes”, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinámicas, ineficaces para abordar los problemas del presente.
Whitehead (Ramsgate, 1861 - Cambridge, 1947) http://www.science.uva.nl/~seop/ archives/win1997/entries/ whitehead/whitehead.jpeg
3.3 Comprendiendo las capacidades matemáticas
COMPRENDIENDO LAS CAPACIDADES MATEMÁTICAS
1. Razonamiento y demostración Razonamiento. Sinónimos: razón, argumento, demostración, explicación, prueba, ilación, inferencia, reflexión, juicio, lógica, discurso, raciocinio, deducción. Es expresarse ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. Esta definición implica varios supuestos: primero, supone que el sujeto tiene establecidas ideas que se constituyen gracias a la capacidad de abstraer; segundo, asume el ordenamiento de ellas (ordenar es el resultado de la capacidad de relacionar razonamiento y demostración). El razonamiento y la demostración proporcionan modos potentes de desarrollar y codificar conocimientos sobre una amplia variedad de fenómenos, de allí que sea una capacidad que todo estudiante debe desarrollar. Razonar y pensar matemáticamente implica percibir patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como en objetos simbólicos; ser capaz de preguntarse si esos patrones son casuales o si hay razones para que aparezcan; poder formular conjeturas y demostrarlas. Para comprender la Matemática es esencial saber razonar, desarrollando ideas, explorando fenómenos, justificando resultados y usando conjeturas matemáticas en todos los componentes o aspectos del área. Demostración. Sinónimos: prueba, confirmación, corroboración, verificación, justificación, ejemplificación. Demostrar es establecer una sucesión finita de pasos partiendo de proposiciones verdaderas para fundamentar la veracidad de una proposición.
COMPRENDIENDO LAS CAPACIDADES ESPECÍFICAS
Reproducir Sinónimos: copiar, imitar, remedar, calcar, repetir, machacar, insistir, porfiar. Es una capacidad específica en la cual se repite conscientemente y de manera comprensiva lo aprendido, mediante la observación, la identificación, la conceptualización, la formulación o ejemplificación de la información recibida. Analizar Sinónimos: examinar, estudiar, averiguar, comparar, separar, considerar, distinguir, detallar, descomponer. Es una capacidad específica en la cual se distingue y separa las partes de un todo para conocer sus elementos. Mediante la observación, la diferenciación, la identificación, la relación o comparación y la organización de la información recibida. Interpretar Sinónimos: explicar, comentar, entender, comprender, traducir, descifrar, decodificar, representar, glosar. Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo personal la realidad, mediante la observación, la identificación, la comprensión, la clasificación, la relación, la inferencia o deducción y la generalización o formulación de la información recibida. Relacionar significa encontrar un vínculo o nexo cuantitativo o cualitativo entre dos o más objetos matemáticos de un mismo conjunto o clase, lo cual permite reconocer y usar conexiones entre ideas matemáticas. Estimar significa cuantificar aproximadamente una característica medible de un objeto, así como pronos-
Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES COMPRENDIENDO EN MATEMÁTICA
LAS CAPACIDADES MATEMÁTICAS
ticar el resultado de un proceso matemático sobre la base de experiencias anteriores o juicios subjetivos. Argumentar significa fundamentar, utilizando razones lógicas o matemáticas, la validez de un proceso o el valor de verdad de una proposición o resultado. Comprende el desarrollo y evaluación de argumentos y demostraciones matemáticas. Aplicar Sinónimo: adaptar, acomodar. Es una capacidad específica en la cual se utiliza uno o mas procedimientos adecuados en una situación específica, mediante la observación, la identificación, la descomposición, la transformación, la simplificación y la aplicación de algoritmos. Interpretar Sinónimo: descifrar, dilucidar, desentrañar, aclarar. Es atribuir significado a expresiones matemáticas de modo que adquieran sentido en función del problema planteado. Implica tanto los procesos de codificación como decodificación. Decodificar Sinónimos: descifrar. Es una capacidad específica en la cual se transforma de un lenguaje formal simbólico a lenguaje cotidiano, mediante la observación, la identificación, la interpretación y la transformación de la información recibida. Codificar: Sinónimos: cifrar. Es una capacidad específica en la cual se transfiere la información de lenguaje cotidiano al lenguaje matemático, mediante la observación, la identificación y la interpretación, la transformación y la expresión de la información recibida. Representar Sinónimos: simbolizar, interpretar, trazar, figurar, reproducir, crear, informar, referir. Es una capacidad específica en la cual se lleva el lenguaje cotidiano o formal a gráficos o esquemas y viceversa, mediante la observación, la identificación y la diferenciación, la clasificación, la interpretación y la expresión de la información recibida. Representar significa expresar ideas matemáticas con precisión mediante el lenguaje de la Matemática. Graficar, es decir, crear y utilizar dibujos, esquemas,
“Una demostración matemática es una manera formal de expresar tipos particulares de razonamiento y de justificación”. En definitiva, el desarrollo de la capacidad de razonamiento y demostración, que implica procesos de naturaleza compleja, se favorecerá a lo largo de la Educación Básica a través de intervenciones pedagógicas en las que los estudiantes tengan la oportunidad de reconocer que el razonamiento y la demostración son aspectos fundamentales de la Matemática. Formular e investigar conjeturas matemáticas, seleccionar y utilizar diversos tipos de razonamiento y métodos de demostración, relacionar las ideas matemáticas e interpretar la conexión entre ellas, y desarrollar prioritariamente las capacidades de: Identificar, relacionar, estimar y argumentar. 2. Comunicación Matemática Sinónimos: comunicado, escrito, oficio, trato, relación, correspondencia, unión, paso, contacto. Es la transmisión y recepción de códigos relacionados a situaciones matemáticas o de un lenguaje cotidiano. La comunicación matemática es una de las capacidades del área que adquiere un significado especial en la educación matemática porque, entre otras cosas, permite expresar, compartir y aclarar las ideas, las cuales llegan a ser objeto de reflexión, perfeccionamiento, discusión, análisis y reajuste. El proceso de comunicación ayuda también a dar significado y permanencia a las ideas y difundirlas. Escuchar las explicaciones de los demás da oportunidades para desarrollar la comprensión. Las conversaciones en las que se exploran las ideas matemáticas desde diversas perspectivas, ayudan a compartir lo que se piensa y a hacer conexiones matemáticas entre tales ideas. Comprender implica hacer conexiones. Esta capacidad contribuye también al desarrollo de un lenguaje para expresar las ideas matemáticas, y apreciar la necesidad de la precisión en este lenguaje. Los estudiantes que tienen oportunidades, estímulo y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de Matemática, se benefician doblemente: comunican para aprender Matemática, y aprenden a comunicar matemáticamente. Debido a que la Matemática se expresa mediante símbolos, la comunicación oral y escrita de las ideas matemáticas es una parte importante de la educación matemática. Según se va avanzando en los grados de escolaridad, la comunicación aumenta sus niveles de complejidad. Es necesario tener presente la autonomía del lenguaje matemático en relación con el lenguaje cotidiano. Las diferentes formas de representación, tales como los diagramas, las gráficas y las expresiones simbólicas se deben considerar como elementos esenciales para sustentar la comprensión de los conceptos
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y relaciones matemáticas, para comunicar enfoques, argumentos y conocimientos, para reconocer conexiones entre conceptos matemáticos y para aplicar la Matemática a problemas reales. 3. Resolución de problemas Resolución Sinónimos: decisión, determinación, conclusión. Resolver un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma inmediata. (George Pólya). La capacidad de resolución de problemas es de suma importancia por su carácter integrador, ya que posibilita el desarrollo de las otras capacidades. Resolver problemas implica encontrar un camino que no se conoce de antemano, es decir, una estrategia para encontrar una solución. Para ello se requiere de conocimientos previos y capacidades. A través de la resolución de problemas, muchas veces se construyen nuevos conocimientos matemáticos. Resolver problemas posibilita el desarrollo de capacidades complejas como la creatividad, y procesos cognitivos de orden superior como la inferencia, que permiten una diversidad de transferencias y aplicaciones a otras situaciones y áreas; y, en consecuencia, proporciona grandes beneficios en la vida diaria y en el trabajo. De allí que resolver problemas se constituye en el eje principal del trabajo en Matemática. Desde esta perspectiva, el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas permite que los estudiantes construyan sus conocimientos matemáticos mediante el planteamiento de diversos problemas, y amplíen capacidades específicas para: Modelar, formular, seleccionar, aplicar y verificar.
COMPRENDIENDO LAS ESPECÍFICAS
Fascículo 1 / NATURALEZA, EVOLUCIÓN E IMPORTANCIA CAPACIDADES DE LA MATEMÁTICA
Graficar, es decir, crear y utilizar dibujos, esquemas, diagramas, formas geométricas, tablas, entre otros, para organizar, registrar y comunicar ideas matemáticas. Interpretar Sinónimos: entender, alcanzar, discernir, atar cabos, percibir, descifrar, intuir, acertar, averiguar, resolver, darse cuenta. Es una capacidad específica en la cual se concibe de un modo personal la realidad, mediante el análisis, la clasificación, la discusión y la representación de la información recibida para lograr un fin. Procesar información Sinónimos: elaborar, asimilar, transformar la información. Someter datos o materiales a una serie de operaciones programadas. Es una capacidad específica en la cual se realizan operaciones lógicas y aritméticas ordenadas, cuyo fin es la obtención de resultados determinados, mediante la relación, transformación y aplicación de propiedades y algoritmos a la información. Verificar Sinónimo: comprobar. Es una capacidad específica en la cual se comprueba la verdad del enunciado del problema, en función del resultado obtenido, mediante la sustitución, y la aplicación de algoritmos. Verificar, significa controlar el proceso seguido para encontrar la solución de un problema, evaluando la validez de cada uno de los procedimientos matemáticos utilizados. Formular Sinónimos: exponer, proponer, manifestar, expresar, enunciar, aclarar, precisar. Es la capacidad específica según la cual se elaboran proposiciones o problemas, mediante la analogía, la generalización, la creación. Formular, significa elaborar un enunciado o el texto de un problema, a partir de situaciones de la vida real y a partir de contextos matemáticos. Aplicar consiste en ejecutar un procedimiento o estrategia a partir de conceptos matemáticos y propiedades de relaciones matemáticas, para responder a una pregunta o hallar la solución de un problema. Comprende la realización de operaciones numéricas. Modelar significa asociar a una situación u objeto no matemático una expresión u objeto matemático que represente determinadas relaciones o características consideradas relevantes para la solución de un problema. Esto permite reconocer y aplicar la Matemática en contextos no matemáticos. Seleccionar significa elegir una alternativa de respuesta para una pregunta, o elegir una estrategia para hallar la solución de un problema.
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La enseñanza a través de la resolución de problemas
La enseñanza a través de la resolución de problemas es actualmente el método más invocado para poner en práctica el principio general de aprendizaje activo. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir, en lo posible, de una manera sistemática, los procesos de pensamiento eficaces en la resolución de verdaderos problemas. Tenemos un verdadero problema cuando nos encontramos en una situación desde la que queremos llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfilada, y no conocemos el camino que nos puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto están, por lo general, repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede ser engañosa. La enseñanza por resolución de problemas pone el énfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y desarrollo de capacidades; y toma los contenidos matemáticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces.
TEOREMA: Todos los números enteros son interesantes. DEMOSTRACIÓN: Supongamos que no; por lo tanto, existe como mínimo un número entero no interesante. Este número es, obviamente, interesante, lo cual contradice el hecho de que no es interesante. Por reducción al absurdo, la suposición de que existen números enteros no interesantes es falsa.
Problema resuelto para discutir las fases de su resolución
Con tus colegas estudia el siguiente problema resuelto y discute las fases consideradas: Un bosquecillo tendrás que plantar, mi señor, si quieres demostrar que soy vuestro amor. Esta arboleda, aunque pequeña, ha de estar compuesta por	veinticinco	arbolitos	en	doce	filas	bien	dispuestas. Y	en	cada	fila	cinco	árboles,	plantarás o mi lindo rostro nunca más verás. - Fase de familiarización y búsqueda de estrategias: El enunciado no ofrece dificultades y tras entenderlo y condensarlo en 25 árboles en doce filas de 5, el grupo se decide por la estrategia de simplificar el problema con plantaciones más sencillas (a ser posible sobre polígonos regulares) y, posteriormente, complicar las formas. - Fase de desarrollo de la estrategia: Iniciamos la plantación sobre un cuadrado:
Probamos con el pentágono:
Surgen nuevas ideas: también hay pentágonos estrellados. ¿Y si fuera un polígono estrellado y dentro otro polígono?:
http://www.profes.net/ rep_imagenes/Noticias_2004/ MGuzman.jpg
Miguel de Guzmán ozámiz Nació en 1936 en Cartagena, era catedrático de Análisis de la Universidad Complutense de Madrid, miembro numerario de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales desde 1982, y miembro correspondiente de la Academia Nacional de la Ciencia de la República Agentina desde 1985. Entre 1991 y 1998 fue presidente de la ICMI, Comisión Internacional de Instrucción Matemática. Se doctoró en la universidad de Chicago de la mano de Alberto Calderón en 1968. Ese mismo año regresó a la Universidad Complutense y obtuvo el titulo de doctor. El 14 de abril de 2004, una inoportuna y fulminante infección detenía los latidos del corazón de Miguel de Guzmán. Nos ha dejado a los 68 años un matemático universal, el último de los pitagóricos.
Parece que necesitamos algo más sencillo que nos proporcione mayor número de árboles. Probamos con:
Y si buscamos más líneas interiores, ¿tendría que ser regular? ¿Y si vamos a un estrellado mayor, más complicado?
Tras varios intentos como éstos, surge una solución:
Fase de revisión y ampliación: Tras una reﬂexión sobre todos los pasos seguidos en la fase anterior, el secretario de la sesión nos muestra su solución, que es:
El rey de Persia, fascinado por el juego de ajedrez, quiso conocer y premiar al inventor. Se cuenta que el rey ofreció al matemático oriental el premio que solicitara. El matemático contestó: - Me conformo con un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez. Ordenó el rey a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta de que era imposible cumplir la orden. Se necesitaría la cantidad de: 264 granos de trigo = 18 446 744 073 709 551 616 granos ¿Sabes leer ese número?: Dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos dieciséis granos de trigo. En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11,5 kilómetros de lado. Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares) durante ocho años. ¿Qué opinión te merece esta historia? Tomado de: http://www. geocities.com/athens/acropolis/
El grupo considera que, aunque aparentemente las soluciones encontradas y mostradas tienen un aspecto diferente, se trata de la misma solución básica. Habrán podido observar que en la solución del problema se ha seguido un esquema de trabajo, modelo que corresponde al propuesto por Miguel de Guzmán Ozámiz, y que presentamos a continuación.
3.5 Un modelo para trabajar con problemas: el modelo de Miguel de Guzmán Ozámiz
Un modelo es una guía que nos facilita el camino que debemos recorrer a lo largo de todo el proceso de resolución de un problema. La ﬁnalidad de todo modelo es la de adquirir una colección de hábitos mentales que nos ayuden eﬁcazmente en el manejo de los problemas. Este modelo consta de cuatro fases, a saber: Fase 1: Familiarización con el problema. Fase 2: Búsqueda de estrategias. Fase 3: Llevar adelante la estrategia. Fase 4: Revisar el proceso y sacar consecuencias de él. En cada una de las fases las pautas a seguir son: Al comienzo, en la familiarización con el problema, debemos actuar sin prisas, pausadamente y con tranquilidad. Hay que conseguir tener una idea clara de los elementos que intervienen: datos, relaciones, incógnitas, etc. En resumen, antes de hacer, trata de entender. Una vez que hemos entendido el problema pasamos a buscar las estrategias que nos permiten resolverlo. En esta fase no iniciamos el ataque del problema, sino que vamos apuntando todas las ideas que nos surjan relacionadas con el problema. Es conveniente pensar y disponer de más de una estrategia o camino a desarrollar en la fase posterior. Tras acumular varias opciones de resolución, es el momento de llevar adelante la estrategia elegida. La llevamos adelante trabajando con conﬁanza y sin apresuramientos. Conviene no echarse atrás ante la primera diﬁcultad que surja, ni continuar con la estrategia si las cosas se complican demasiado. En el caso de no acertar con el camino correcto, es el momento de volver a la fase
anterior y reiniciar el proceso. Seguimos de esta forma hasta cerciorarnos de haber llegado a la solución. Por último, queda la fase más importante del problema, la de revisión del proceso y obtención de sus consecuencias. En esta fase, que no puede faltar, hayamos resuelto el problema o no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes del camino seguido, sobre si es posible extender las ideas que hemos tenido a otras situaciones, sobre el problema en sí y sobre nuestros estados de ánimo a lo largo de todo el proceso. Resumiendo:
I FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA
■ Antes de hacer, trata de entender. ■ Tómate el tiempo necesario. ■ Actúa sin prisas y con tranquilidad. ■ Imagínate los elementos. ■ Juega con los elementos del problema. ■ Pon en claro la situación de partida, la de llegada y lo que debes lograr. ■ Busca información que te pueda ayudar. ■ Encara la situación con gusto. ■ Busca y anota las ideas que se te ocurran. ■ No desarrolles las ideas hasta que no poseas varias. ■ Estas estrategias te pueden ayudar: • Empezar por lo fácil. • Experimentar y buscar regularidades y pautas. • Hacer esquemas, figuras y diagramas. • Modificar el problema. • Escoger un lenguaje y una notación apropiada. • Buscar semejanzas con otros juegos y problemas. • Explorar la simetría de la situación. • Suponer el problema resuelto. • Suponer que el problema no está resuelto, ¿a dónde nos lleva? • Piensa en técnicas generales: inducción, principio del palomar, proceso diagonal, etc. ■ Lleva adelante las ideas de la etapa anterior. ■ Procura no mezclarlas y ejecútalas de una en una. ■ Trabaja con tenacidad y decisión en cada idea. ■ Trabaja con flexibilidad en las situaciones que se compliquen demasiado. ■ Cuando consideres que has llegado al final, observa a fondo la solución que obtienes. ■ Examina con detenimiento y profundidad el camino que has seguido. ■ ¿Cómo has obtenido la solución? Si no la has resuelto, ¿por qué no has obtenido la solución? ■ Trata de entender las cosas que han marchado y por qué han marchado. ■ Busca un modo más sencillo de resolverlo. ■ Intenta trasladar el método seguido a otras situaciones. ■ Reflexiona sobre tus estados de ánimo y tu proceso de pensamiento, y saca consecuencias para el futuro. 2
II BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
III LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA
IV REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL
Trabaja de manera cooperativa con los otros miembros de tu área. Distribúyanse el trabajo de manera equitativa y compartan el procedimiento que han empleado para solucionar la situación planteada. 1. Presenta la solución de los siguientes problemas, siguiendo la metodología de resolución de problemas propuesta por Miguel de Guzmán. ■ un montón de estampillas Tienes muchas estampillas de 10 centavos y 20 centavos. ¿De cuántas formas puedes franquear una carta que necesita 30 centavos de estampillas? Lo mismo si es de 40 centavos, de 50 centavos, etc. Generalizar al caso en que se tengan estampillas de 10, 20 y 30 centavos o de 10, 20, 30 y 40 centavos. ■ El diamante doble Empieza con el 1, dóblalo; dóblalo de nuevo; sigue doblándolo. Obtendrás los números: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256;... Observa la cifra de las unidades. ¿Puedes ver una pauta? Haz un diagrama con la pauta que hayas conseguido. Empieza con el 3 y haz lo mismo. ¿Puedes continuar el nuevo diagrama con el anterior? Elige otros números para empezar, hasta que tengas un diagrama completo. ■ El reparto En una comunidad costeña, al término de una cosecha de arroz se determinó repartir las utilidades obtenidas. En la sala de la comunidad las monedas fueron acomodadas en “pilas”. La primera pila se reducía a una sola moneda, la segunda constaba de tres, la tercera de cinco, y así sucesivamente siguiendo la sucesión de números impares. El número total de monedas se prestó a este modo de reparto. Los comuneros fueron dispuestos de conformidad a su entrega, rendimiento de su trabajo y cuidado del medio ambiente. El menos meritorio tomó una moneda, el segundo tomó las dos pilas siguientes; el tercero las tres pilas siguientes y así sucesivamente; el número de “pilas” era tal que todos los comuneros pudieron beneficiarse del reparto hasta que no hubo ninguna moneda. Sabiendo que las utilidades de la comunidad son de 25I502 500 monedas de diez centavos: ¿Cuántos comuneros se beneficiaron del reparto?
Reúnete con los miembros de tu área e investiguen acerca de las siguientes situaciones planteadas. uN NÚMEro MáGico Toma un número de cuatro cifras, ordena sus dígitos de mayor a menor, y luego de menor a mayor, y resta los dos números obtenidos. Por ejemplo: 5 21 »»  521 -1 25 = 6 264. Continúa el proceso igual que en el caso anterior: 6 642 - 2 466 = 4 16. Continúa:  641 – 1 46 = 6 14. Hemos acabado en un número compuesto por las cifras ; 6; 4; 1. ¿Será cierto para todos los números de cuatro cifras? ¿Por qué? Investiga el mismo proceso para números de 2; 3; 5; 6 cifras.
Responde las siguientes preguntas y elabora un informe. Luego reúnete con tus compañeros y compañeras de área para compartir la solución a las situaciones planteadas. 1. ¿En qué se diferencian el Logicismo, el Intuicionismo y el Formalismo? 2. Comenta sobre los principales representantes de cada una de las escuelas matemáticas consideradas en el fascículo y averigua cuáles fueron las bases ﬁlosóﬁcas que las sustentan. 3. Elabora cinco ejemplos que ilustren la importancia de la Matemática. 4. Escribe los aportes del matemático Miguel de Guzmán a la educación matemática. 5. Elabora un problema en cuya resolución aparezcan las fases que aparecen en la propuesta de Miguel de Guzmán Ozámiz. 6. Realiza los protocolos de los siguientes casos poniendo en práctica el modelo propuesto por Miguel de Guzmán. Problema 1: Una cabra está atada por una cuerda de seis metros en una esquina exterior de un redil rectangular de cuatro metros por cinco metros, rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra? Problema 2: Otra cabra está atada al borde de un silo circular en un campo de hierba, con una cuerda que alcanza justo la mitad del camino alrededor del círculo. ¿En qué área puede pastar la cabra? Problema 3: Un campesino decide subir desde su hogar a la cima de la montaña para pasar allí la noche orando a Dios. Sale de su hogar a las nueve de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. Allí pasa la noche orando y a la mañana siguiente, a las nueve de la mañana, emprende el camino de retorno por el mismo sendero. Al ir bajando el campesino se pregunta: ¿habrá algún punto en el camino en el que hoy me encuentre a la misma hora que estuve ayer? Juego: Dos personas comienzan a jugar con una pila de nueve monedas. La primera en jugar divide la pila en dos pilas que deben ser desiguales. A partir de allí, cada una divide alternativamente la pila para que quede en dos partes desiguales. Ganará la última persona capaz de hacer el movimiento reglamentario. ¿Puedes determinar una estrategia que garantice ganar siempre?
Protocolo de un problema Cuando leemos y estudiamos la resolución de un problema efectuado por otro, en general, nos encontramos con una secuencia de pasos ordenados, clasiﬁcados y lógicos que nos llevan desde el enunciado a la resolución. Estas soluciones nada nos dicen de los procesos de pensamiento ni de los estados de ánimo por los que ha pasado la persona que ha resuelto el problema. El protocolo del proceso de resolución de un problema consiste en reproducir cuanto ha pasado por nuestra mente a lo largo de todo el proceso, en lo que se reﬁere a lo que revisamos, pensamos y a los sentimientos que hemos ido experimentando al resolver el problema.
Z_Fasciculo 01 naturaleza y evol29 29
5/24/07 12:07:06 PM
Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.
Responde en una hoja aparte: 1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas? 2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué? 3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo? 4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades? 5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor diﬁcultad? 6. ¿Cómo lograste superar estas diﬁcultades? 7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor diﬁcultad? 8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas diﬁcultades? 9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo? 10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al ﬁnalizar este fascículo?
Muy bueno Bueno Regular Deﬁciente
¿Por qué? 11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica. 12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?
1. Antón Bozal, J. L.; González Ferreras, E.; Gonzáles García, C.; Llorente Medrano, J.; Montamarta Prieto, G.; Rodríguez Rodrigo, J. A. ; Ruiz Jiménez, M. J. taller de Matemáticas. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia. Nancea S.A de Ediciones, 1994. Taller de Matemáticas está compuesto por tres fascículos, el primero de ellos trata sobre los objetivos, contenidos y evaluación del taller de Matemática para la educación secundaria obligatoria española. Además, tiene una propuesta metodológica, la guía de uso de las actividades del profesor o profesora y las soluciones de todas las actividades propuestas. El segundo fascículo contiene las actividades desarrolladas y en el tercer fascículo se encuentran las actividades referidas a resolución de problemas, juegos de lógica y estrategia. Recomendamos este ejemplar para todas o todos los docentes de educación secundaria. 2. Guzmán, Miguel de. Enseñanza de la ciencia y de la Matemática. Zaragoza. Publicaciones del Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de Zaragoza, 1989. Las notas contienen una serie de observaciones personales de Miguel de Guzmán sobre algunos aspectos del panorama actual de la educación matemática. Se presentan unas cuantas reflexiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas vías menos deseables en las que la enseñanza matemática se introdujo en un pasado reciente. 3. La Torre Ariño, Marino; Seco del Pozo, Carlos Javier. diseño curricular nuevo para una nueva sociedad. Lima. Universidad Marcelino Champagnat, 2006. Presenta las bases curriculares para la nueva sociedad de la información, y aclara que no es lo mismo información que conocimiento. Constituye un buen texto para el o la docente de educación secundaria. 4. National Council of Teachers of Mathematics. Principios y estándares para la educación matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2003. Es un documento de última generación que todo docente debe tener en su biblioteca personal; en él encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo de las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional. 5. Historia de las Matemáticas. Barcelona. Revista N° 26 de Didáctica de las Matemáticas. Editorial Graó, 2001. Es una revista de didáctica de la Matemática que aporta reflexiones sobre la educación histórico – matemática, desde un punto de vista didáctico más que desde un punto de vista formal. Constituye un buen documento para el docente de educación secundaria.
1. http://ar.geocities.com/matematicamente/aplicacion1.htm Especialmente desde los tiempos de Galileo en el siglo XVI, la evolución de la Matemática ha estado íntimamente ligada con el estudio de aquellos fenómenos del mundo físico en los que el hombre ha estado interesado. En esta página se presenta de manera didáctica este desarrollo. 2.	http://www.monografias.com/trabajos10/historix/historix.shtml En esta dirección electrónica se puede encontrar una monografía que presenta el papel que juega la Matemática en el desarrollo de la humanidad. Así, podemos entender de forma cronológica los hechos más importantes a través de la historia. 3. http://deptomat.unsl.edu.ar/Carreras/Matcvf_res.htm Todo el mundo percibe la relación estrecha entre la Matemática y, por ejemplo, la ingeniería, pero hay muchos otros ejemplos simples donde la Matemática es aplicada. Bajo esta premisa, esta página web presenta la gran importancia de esta ciencia en las diferentes disciplinas. 4. http://www.xtec.es/~jjareno/index.htm Excelente página sobre recreaciones matemáticas. Problemas (con pistas y solución que también están en formato pdf), matemática recreativa, actividades y libros. En las secciones enlace del mes y enlaces anteriores se analizan páginas de contenido matemático. Feria de la Matemática lúdica (Matemágnum). Actualización constante. 5. http://www.cimm.ucr.ac.cr/edefaria/conferencias/Conferencia_Tendencias_Actuales.pdf En esta dirección electrónica se puede encontrar unas interesantes diapositivas que formaron parte de la conferencia: “Tendencias actuales en el mundo sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática” de Edison De Faria Campos. 6. http://www.correodelmaestro.com Esta es la página de la revista virtual Correo del maestro. Una interesante publicación que aborda diversos temas de la educación. . http://www.oei.es/oeivirt/edumat.htm En esta dirección electrónica se puede encontrar el artículo “Enseñanza de las Ciencias y la Matemática” de Miguel de Guzmán. 8. http://usuarios.bitmailer.com/mdeguzman/guzmanpa/papeldelmatematico.htm Página web donde se da cuenta del papel que cumple la Matemática, y se señalan los principales aportes de importantes matemáticos a través del tiempo.
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