Source: https://es.scribd.com/document/91323155/Historia-de-Los-Numeros-Complejos
Timestamp: 2017-02-25 23:39:18+00:00

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NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosNoticias & RevistasPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseHistoria de los Números Complejos 1.1.Los inicios del Álgebra Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el período del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿cómo surge la idea de usar estos números? ¿Por qué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del álgebra. Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan
raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación: no posee soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de -19: Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas. Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos. Con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serían el semillero de las grandes ideas que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarían libres de sus equivalentes geométricos.
La palabra álgebra se deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar. ¿Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando se tiene una ecuación, como por ejemplo entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también los doctores lo hacen. En la medicina antigua el término álgebra se usaba para designar las operaciones de los huesos. Así pues, un algebrista era un matemático o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en su sitio. Algebra es el arte de restituir a su lugar los huesos dislocados, según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española. Dejemos los huesos por el momento y volvamos a la médula del problema. ¿Quiénes descubrieron el álgebra? Se puede considerar al matemático árabe Al-Khwārizmī como el padre de esta disciplina. El fue el autor de un libro, llamado al-jabr, publicado en en el año 830 d.c., primer libro de álgebra, de gran influencia en toda Europa, donde se recogían todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.c. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotamios e hindúes en toda Europa, a través de España. 1.2. Cardano La vida del matemático italiano Girolamo Cardano está llena de historias, situaciones y
Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y consideró la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela. Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa. por otra parte. es que su vida fue muy atormentada por las vicisitudes del juego. pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. quien a la sazón era sirviente de Cardano. El descubrió que la máxima trayectoria se obtiene cuando el ángulo de disparo es igual a 45 . Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseño geometría en la Universidad de Pavia y Milán. Sin embargo el Colegio de Médicos de Milán no quería recibirlo en su seno. También desarrolló un método para resolver ecuaciones diferenciales. conocido como el método de Cardano. que vio a la luz varias ediciones. Cuando Cardano estaba a punto de nacer. por parte de Cardano. En una ocasión alguien le hizo trampas y entonces sacó una navaja y le cortó la cara a su oponente. Cardano reconoce a AlKhwārizmī como el padre del álgebra. usando métodos secretos. Su padre. astrónomo y teólogo. Lodovico Ferrari. Allí nació Girolamo el 24 de Septiembre de 1501.
Su fama de buen médico. por haber ganado concursos sobre la resolución de ecuaciones. por haber faltado a su juramento. Por ejemplo. así como también médico. Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos. finalmente fue aceptado en 1537. Cardano fue un jugador empedernido durante toda su vida. como el método para eliminar la en una ecuación cúbica. lo cual fue un hecho crucial en su vida. dados y ajedrez.aventuras tan interesantes que bien pueden servir de guión para una película o novela. debido a su carácter arisco y pendenciero y además por ser un hijo natural. En su Ars Magna. un joven
matemático de apenas 18 de edad. Tartaglia era un matemático de reconocida fama y prestigio. que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. El libro. como hijo ilegítimo de Fazio y Chiara Micheria. En el año de 1539. Más tarde se cambia a la Universidad de Padua. fue creciendo como la espuma. entre otras cosas. llamado método de las proporcionales. Su afición por el juego lo llevó a estudiar y desarrollar muchas técnicas de la teoría de las probabilidades y las aplicó en forma bastante exitosa logrando hacer una fortuna como jugador. En 1545. El lado oscuro de esta realidad feliz. Fue un destacado matemático. donde se gradúa de Médico. la expresión
Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dió el
. le quedaba tiempo libre para dedicarse seriamente a las matemáticas. Después de varios intentos de ingreso. En aquella obra aparecen muchos resultados originales. Tartaglia fue un experto en el estudio de las trayectorias de los proyectiles. pero también al juego de cartas. filósofo. no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Milán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. En una nueva edición de su libro. Tartaglia le enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones. en contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado. Después de recibir el título de Doctor en Medicina se dedica a ejercer su profesión. sale en defensa de su protector diciendo que él estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento. debido a sus curaciones casi milagrosas y su profundo conocimiento en la diagnosis de las enfermedades. que lo llevó por los senderos más bajos y ruines de la vida. la fórmula para resolver la ecuación cúbica. Sin embargo. en 1570. Aparte de poseer estas habilidades. una epidemia de peste azotó a Milán y sus padres se trasladaron a Pavia. fue un clásico de la matemática y contribuyó de manera decisiva al desarrollo del álgebra. había sido descubierta mucho antes por el matemático Scipione del Ferro. donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. En realidad. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto. Cardano publica su obra Ars Magna. También se debe a Tartaglia la primera traducción de los Elementos de Euclides al italiano. Fazio fue asesor del célebre pintor Leonardo da Vinci en cuestiones de geometría. Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina. Una vez estabilizada su posición. quien publicó un pequeño libro. Fazio Cardano.
sólo pudo completar tres volúmenes de L'Algebra. sobre la ecuación cúbica. aparecen dos sumandos del tipo
(1.Cardano 1. siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia. es reducir dicho número a uno del tipo . como un número. Por ejemplo. hasta el momento. sin embargo.Cardano. En particular.2) conocida como Fórmula de Scipione Del Ferro – Tartaglia . abriendo nuevas áreas de estudio. planteando nuevas situaciones. El gran aporte de Bombelli al álgebra. haciendo un trabajo de agrimensuría (La Agrimensura es la ciencia que tiene por objeto la medición de terrenos. un comerciante en lanas. Bombelli puede ser llamado con todo derecho. aproximadamente . En el libro L'Algebra. pero desde muy joven sintió una atracción muy especial hacia las matemáticas. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho más comprensibles para el gran público. Usando ahora los números complejos. Estando en la región de Val de Chiana. un arquitecto e ingeniero. para obtener una expresión del tipo . pues fue el primero que desarrolló el algebra formal para trabajar con las expresiones de la forma . y esto puede tener consecuencias imprevisibles. Hemos visto en la fórmula de Del Ferro – Tartaglia . Recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi. Por esta razón. Para utilizar este tiempo libre. Bombelli no recibió una educación formal como Cardano. para lo cual debe resolver el problema de cómo sumar y multiplicar dichas expresiones. Lamentablemente. unos meses antes de su muerte. Bombelli comienza a escribir un libro de álgebra en 1557. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre álgebra. resolución de ecuaciones. El número debe ser elevado al cubo. secando pantanos y reparando puentes. A manera de ejemplo.1) Cardano nos da la fórmula
Nos preguntamos entonces ¿Cómo es posible que una expresión de números complejos nos dé un resultado real? ¿Quién era Bombelli? ¿Hasta cuándo iría a durar la prolongada infancia de los números complejos en las manos de los algebristas italianos? Rafael Bombelli nace en enero de 1526 en Bolonia.
. se pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica. la cual es.3. Bombelli nos da las siguientes reglas:
La solución parece un poco compleja. como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. inadvertido para la gran mayoría. para la ecuación (1. pues las obras fueron suspendidas debido a una reclamación. siendo su padre Antonio Mazzoli. así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. La idea era
bastante ambiciosa: publicar una obra monumental en cinco volúmenes en donde se trataran tópicos de aritmética. aparecen por vez primera el cálculo con los números negativos. problemas de aplicaciones y los números complejos. De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle.2)
la idea de Bombelli. pues había leído el Ars Magna. fue el de aceptar sin reserva la existencia de . en alguna fórmula o relación muy conocida. el padre de los números complejos. la ecuación se resuelve usando la formula (1.nacimiento de los números complejos. se sabe por métodos de cálculo que la ecuación tiene una raíz real entre 2 y 3. generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive. Bombelli La matemática ha evolucionado en el transcurso del tiempo de la forma más inesperada. como principio general). debió pasar muchos ratos de ocio. Bombelli se dedica a la ingeniería. publicados en 1572. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli. Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano.
Ellos eran considerados aún como fantasmas de otro mundo. entonces las soluciones son números complejos. fue descubierta por dos matemáticos aficionados. quien demostró todo el poder que encierran los números complejos en el estudio de la geometría y amplío los horizontes de la matemática. en forma independiente: el danés C. Leibnitz y Descartes nunca los comprendieron. quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas y finalmente el matemático alemán B. pero fue una buena aproximación. creando una nueva ciencia llamada la topología. En 1673 el matemático inglés J. la representación de Wallis no es igual a la representación moderna. los matemáticos de entonces se negaban a aceptarlos. de acuerdo a la construcción siguiente:
3) Si . los extremos no pueden tocar la recta real. los puntos y se hallan en el extremo de el segundo . sin duda alguna. Por lo tanto se ha llegado a una gran idea: Los puntos y están por encima de la recta real. Cauchy. La idea correcta de la representación geométrica de un número complejo en el Plano Cartesiano.
Como vemos. los números complejos dejaron de ser algo misterioso e imposible. por carecer de representación real. llamados ahora Números de Gauss. Desde ese momento se inicia un desarrollo sostenido de la teoría de las funciones complejas. Riemann. Wessel y posteriormente el suizo J. Su modelo sigue los siguientes pasos: 1) En la ecuación cuadrática .4. siguiendo el mismo plan.
Con esta representación a la mano. debido quizás a la aparición del cálculo infinitesimal y la geometría analítica. de la mano de grandes matemáticos como Hamilton y Cayley. y fueron llamados números imposibles o Imaginarios. y como éste es más corto que . Algunos genios como Newton. se les sigue llamando imaginarios. entraron por la puerta grande del templo de las matemáticas y ya nadie los podría sacar del lugar preponderante que ocupan dentro del álgebra. sobre el empleo de los números complejos en la resolución de la cúbica. las raíces son 2) Si . ¿Cómo razonaba Wallis en este caso? Pues bien. pero por razones de tipo histórico. Gauss publica un trabajo en donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma .Siendo
1. en una obra publicada en 1806.
. Durante el siglo XVII. quienes crearon los sistemas hipercomplejos. Argand. En 1831 el matemático alemán Carl F. las raíces son reales y pueden ser representadas por un par de puntos y sobre los números reales. los números complejos fueron relegados al olvido por los matemáticos. Números Imaginarios A pesar de los brillantes trabajos de Bombelli. Gracias a la autoridad indiscutible de Gauss. Wallis dio la primera interpretación geométrica de los complejos. y la representación geométrica de los mismos. A partir de entonces dicha representación se conoce con el nombre de Diagrama de Argand.
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