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Timestamp: 2019-01-22 19:26:51+00:00

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ALGEBRA PARA TODOS: Unidad didactica para la resolución de sistemas de ecuaciones
ALGEBRA PARA TODOS
Unidad didactica para la resolución de sistemas de ecuaciones
MINISTERIO PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR.
UNIDAD DIDÁCTICA PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Profesor: Francisco Rivero.
Materia: Algebra Lineal.
Autor: Alexis Javier Puentes Pereira.
C.I.: V-17340503.
Mérida, 09 de Marzo de 2011.
En ésta Unidad Didáctica estudiaremos los métodos clásicos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En primer lugar, aclararemos el concepto de ecuación lineal con dos incógnitas y posteriormente pasaremos al estudio pormenorizado de los métodos de igualación sustitución, reducción y gráfico.
Al finalizar esta Unidad Didáctica, los objetivos que se pretenden conseguir son los referentes a las siguientes capacidades:
 Obtener ecuaciones equivalentes a una dada mediante suma o producto.
 Comprobar si un par de números es o no solución de un sistema de ecuaciones.
 Saber distinguir los tipos de sistemas, según la existencia o no de soluciones y el número de éstas.
 Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante cualquiera de los tres métodos analíticos: sustitución, igualación y reducción.
 Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante el método gráfico.
 Saber interpretar geométricamente el número y la existencia o no de soluciones de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Los contenidos conceptuales de esta Unidad Didáctica son los siguientes:
• Definición de sistemas de ecuaciones. Soluciones. Sistemas equivalentes.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma:
cx + dy = q
donde x e y son las incógnitas, a, b, c y d son los coeficientes y p y q son los términos independientes.
Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas puede ser:
Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya resta sea 2. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos.
Los sistemas de ecuaciones responden a planteamientos de problemáticas muy diversas. Por ejemplo, el sistema que hemos propuesto más arriba, podría ser el planteamiento para resolver un problema de este tipo:
Los sistemas de ecuaciones nos ayudan, por tanto, a plantear y resolver problemas parecidos al redactado en el párrafo anterior. Vamos pues, en esta Unidad, a profundizar en el conocimiento y manejo del planteamiento y la resolución de estos problemas utilizando como herramienta los sistemas de ecuaciones.
En el ejemplo anterior, decíamos que buscábamos un par de números que cumplieran las dos ecuaciones del sistema. Pues bien, ese par de números (x, y) que satisface ambas ecuaciones de un sistema se llama solución del sistema de ecuaciones.
En el caso del problema que utilizamos como ejemplo, la solución vendría dada por el par de números (6, 4), es decir, x = 6 e y = 4. Por tanto, la respuesta del problema planteado sería que tengo seis lápices y cuatro gomas. Debemos insistir en que 6 y 4 no son dos soluciones del sistema, sino que es una solución y ésta está formada por dos números.
¿Quiere decir esto que siempre un sistema de ecuaciones tiene un par de números por solución? Pues no. En realidad, un poco más adelante en la Unidad veremos que un sistema de ecuaciones puede que no tenga solución, e, incluso, puede que tenga infinitas soluciones. Esto dependerá del tipo de sistema de que se trate.
3. Equivalencia de sistemas
Para poder hablar de sistemas equivalentes, vamos a hacerlo primero de ecuaciones equivalentes.
Supongamos que tenemos en una balanza un bote azul y dos verdes que pesan 7 kg. Esto lo podemos expresar como una ecuación de la forma: a + 2v = 7. Si en ambos platos de la balanza ponemos una pesa de 3 kg., la balanza seguirá equilibrada. Esta última acción se escribiría en la ecuación así: a + 2v + 3 = 7 + 3, es decir, a + 2v + 3 = 10. Estas dos ecuaciones tienen la misma solución y se dice que son ecuaciones equivalentes.
De la misma forma, si, en vez de sumar la misma cantidad, se multiplican los dos miembros de una ecuación por la misma cantidad, ambas ecuaciones tendrán la misma solución. Es decir:
Si se suma una misma cantidad a los dos miembros de una ecuación o se multiplican ambos por un mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
Bien, pues una vez definido el concepto de ecuación equivalente, ya podemos definir el de sistemas equivalentes:
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la(s) misma(s) solución(es).
Aunque ya conozcamos la definición, debemos saber también qué operaciones nos permiten pasar de un sistema de ecuaciones a otro equivalente. Pues bien, son las siguientes:
 Sumar un mismo número (no una incógnita) a ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema.
 Multiplicar ambos miembros de una de las ecuaciones del sistema por un número distinto de cero.
 Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un número cualquiera.
 Despejar una incógnita en una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.
Mediante cualquiera de los métodos relacionados antes se obtiene un sistema equivalente al dado y que, por tanto, tendrá las mismas soluciones que el primitivo.
En realidad, los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar por diversos motivos, es decir, atendiendo a diversas propiedades de los mismos. Por ejemplo, se pueden clasificar según el grado de las ecuaciones. Tendríamos entonces:
 Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales.
 Sistema no lineal: si no todas las ecuaciones son lineales.
Por otro lado, también se pueden clasificar los sistemas según el número de ecuaciones o de incógnitas que tengan, es decir, podríamos hablar entonces de:
 Sistemas de dos ecuaciones.
 Sistemas de tres ecuaciones.
 Sistemas de una incógnita.
 Sistemas de dos incógnitas.
 Sistemas de tres incógnitas.
En estos casos, debemos dejar claro de nuevo que, en esta Unidad, estamos estudiando los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Por tanto, cuando hacemos referencia a una clasificación de los sistemas, estamos aludiendo a aquella que los etiqueta y distingue según la existencia o no de soluciones y, en el primer caso, el número de ellas. Esta, la más importante, clasificación de los sistemas es la siguiente:
 Sistema compatible determinado si tiene una única solución.
 Sistema compatible indeterminado si tiene múltiples soluciones.
Más adelante, cuando veamos la interpretación gráfica o geométrica de los sistemas de ecuaciones y, por tanto, el método gráfico para resolverlas, seremos conscientes de que cuando hablamos de múltiples soluciones, en realidad, estamos hablando de infinitas soluciones. Es decir, un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones.
Antes de desarrollar en el siguiente punto los distintos métodos de resolución de los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, vamos a ver algunos ejemplos de los tipos de sistemas que hemos mencionado en esta sección:
Sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Sistema no lineal de tres ecuaciones con una incógnita
Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
Sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas
• Métodos analíticos de resolución:
 Sustitución.
En principio, por tanto, la discusión es un proceso anterior al de resolución. Ahora bien, estas fases sólo se realizan en ese orden cuando se utilizan métodos para la resolución de los sistemas distintos de los que veremos en este nivel y que, por tanto, quedan fuera del ámbito de este curso. Por ello, en este momento, ambos procesos, la discusión y la resolución del sistema, se harán de manera simultánea.
En cuanto a la resolución, los métodos que veremos en esta Unidad, que no son todos como ha quedado indicado más arriba, se dividen en dos grupos: métodos analíticos y método gráfico. Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, Antes de centrarnos en el método de sustitución, vamos a hablar de algunas generalidades sobre la resolución de los sistemas de ecuaciones. En primer lugar, hay que saber que, en realidad, resolver adecuadamente un sistema es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión consiste en clasificar el sistema según el esquema visto en la sección anterior, es decir, analizar si el sistema tiene o no solución y, en caso de tenerla, cuántas soluciones. Por otro lado, para la resolución, una vez comprobado que el sistema tiene solución, se utilizará uno de los métodos que en esta Unidad se describen.
mediante la utilización de la equivalencia de sistemas, ya vista anteriormente, y simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres: sustitución, igualación y reducción. Por contra, el método gráfico (sólo hay uno), consiste, como su propio nombre indica) en resolver (y discutir) el sistema mediante la representación gráfica de sus ecuaciones.
De ahora en adelante, iremos viendo, uno por uno, los diferentes métodos de resolución de los sistemas de ecuaciones y, al mismo tiempo, cómo, simultáneamente, se puede ir haciendo, en cada caso, la discusión del sistema. Vamos a empezar pues con el método de sustitución:
De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:
i. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.
ii. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.
iii. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.
Evidentemente, aún cuando la incógnita que se va a despejar en el primer paso puede ser cualquiera y de cualquier ecuación, es mejor, por la facilidad de los cálculos posteriores, hacer una buena elección de ambas, incógnita y ecuación. Queremos decir que será más fácil operar después si, por ejemplo, se elige una incógnita en una ecuación en la que "no tenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que, en ese caso, podremos evitar el cálculo con fracciones.
Hemos mencionado, en los párrafos anteriores, que, de manera simultánea, se puede ir haciendo la discusión del sistema. ¿Cómo?. Pues bien, si en el proceso de sustituir la incógnita despejada en el primer paso en la otra ecuación e intentar resolverla nos quedase una expresión del tipo "0 = 0", o "K = K", siendo K un número cualquiera (por ejemplo, 4 = 4), tendremos que el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Esto se debe a que, en ese caso, una de las ecuaciones es múltiplo de la otra y el sistema quedaría reducido a una sola ecuación, con lo que habría infinitos pares de números (x, y) que la cumplirían. Este tipo de ecuación (0 = 0) se llama ecuación trivial.
Por otro lado, si la ecuación que nos resultase en el proceso anteriormente explicado fuera de la forma "K = 0", siendo K cualquier número distinto de 0, tendremos que el sistema es incompatible por lo que, en ese caso, no tiene solución. Esto es claro por la imposibilidad de la expresión aparecida. Este tipo de ecuación (K = 0) se llama ecuación degenerada. No habría, por tanto, ningún par de números (x, y) que cumplieran ambas ecuaciones del sistema.
Por último, si no nos encontramos, al resolver el sistema, ninguna de los tipos antes descritos de ecuaciones (triviales y degeneradas) y llegamos, al final de su resolución, a un valor para la incógnita x y a otro para la y, estos dos valores formarán el par (x, y) que nos da la solución del sistema y éste tendrá, por tanto una única solución y será un sistema compatible determinado.
Todas las aclaraciones de los párrafos anteriores sobre la discusión de los sistemas son válidas, no sólo para el método de sustitución, sino también para los otros dos métodos de tipo analítico, igualación y reducción, que veremos en las secciones siguientes.
Veamos ahora un ejemplo de resolución de un sistema mediante el método de sustitución:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:
x + y = 600
Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución, ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, ya despejada. Sustituimos el valor de y = 2x en la primera ecuación, con lo que tendremos:
x + 2x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200
Ahora sustituimos x = 200 en la ecuación en la que estaba despejada la y, con lo que tendremos:
y = 2x ⇒ y = 400
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros.
 Igualación.
ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.
Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.
A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:
Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:
⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x
Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con el método de sustitución.
 Reducción.
El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos el proceso por fases.
i. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,
ii. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.
iii. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.
iv. Para este paso hay dos opciones:
a. Se repite el proceso con la otra incógnita.
b. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.
De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre la discusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.
Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resuelto por el método de reducción:
Vamos a resolver el sistema por el método de reducción. Para ello, teniendo en cuenta que, en ambas ecuaciones, la y tiene coeficientes opuestos, podemos pasar a sumar directamente ambas y nos quedará:
3x = 600 ⇒ x = 600/3 ⇒ x = 200
A partir de este momento es cuando se pueden aplicar caulquiera de las dos posibilidades descritas más arriba. Como en secciones anteriores ya hemos resuelto esta parte del problema sustituyendo la x para despejar la y, vamos ahora a utilizar la otra posibilidad, es decir, vamos a terminar el ejercicio con la forma más pura posible de aplicación del método de reducción. Para ello, vamos a volver a aplicar el método para hallar la y sin tener que recurrir a ninguna sustitución.
Multiplicamos la primera ecuación por -2 y obtendremos el siguiente sistema, equivalente al inicial:
-2x - 2y = -1200
Si sumamos ambas ecuaciones de este sistema tendremos:
-3y = -1200 ⇒ y = 1200/3 ⇒ y = 400
Por tanto, la solución al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los métodos de sustitución e igualación.
• Método gráfico de resolución.
Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:
a. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
b. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
c. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.
Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:
y = -x + 600
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:
y = -x + 600 y = 2x
200 400 100 200
600 0 200 400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.
Los contenidos procedimentales de esta Unidad Didáctica son los siguientes:
 Utilización de letras como objetos, como incógnitas y como números generalizados.
 Búsqueda de ecuaciones equivalentes a una dada mediante sumas y productos.
 Determinación de si un par de números es solución de un sistema.
 Obtención de un sistema equivalente a otro dado y determinación de si dos sistemas son o no equivalentes.
 Análisis sobre si un sistema es compatible o incompatible.
 Análisis sobre si un sistema compatible es determinado o indeterminado.
 Utilización correcta de los métodos analíticos de sustitución, igualación y reducción para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
 Utilización correcta del método gráfico para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.
 Interpretación geométrica de las distintas posibilidades de soluciones (o la ausencia de ellas) de un sistema de ecuaciones.
 Formulación de problemas haciendo uso del lenguaje simbólico y algebraico.
 Resolución de problemas reales mediante sistemas de ecuaciones, planteándolos, resolviéndolos y comprobando que las soluciones son correctas y tienen sentido según el contexto.
Los contenidos actitudinales de esta Unidad Didáctica son los siguientes:
 Valoración del lenguaje algebraico y, en concreto, de los sistemas de ecuaciones, como un instrumento útil y sencillo para representar, comunicar y resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana.
 Interés y cuidado a la hora de representar gráficamente las soluciones de un sistema de ecuaciones.
 Sensibilidad, interés y valoración crítica ante los mensajes de naturaleza numérica y gráfica.
 Gusto por la presentación clara y sistemática de los cálculos realizados.
 Valoración de la importancia de la representación gráfica para estudiar diversas situaciones de la vida cotidiana.
 Curiosidad e interés para enfrentarse a los problemas matemáticos.
 Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.
 Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas.
La metodología de trabajo del profesor/a y los alumnos/as es uno de los puntos cruciales, si no el punto clave, que enmarcan las relaciones entre todos los sujetos que conforman los procesos de enseñanza-aprendizaje. El uso de una determinada metodología, o de distintas estrategias metodológicas si hace al caso, puede hacer óptimos, por un lado, el proceso de enseñanza del profesor/a y, por otro, los procesos de aprendizaje de los alumnos/as. El profesor/a tiene un papel crítico en la creación de un clima de relaciones en el aula que transforme a ésta en un lugar de trabajo compartido.
Las fases de trabajo y los recursos metodológicos que se utilizan en esta Unidad Didáctica son los siguientes:
 Planteamiento de la necesidad del estudio del tema a partir de problemas basados en situaciones reales.
 Exploración de los conocimientos inicial de los alumnos/as y realización de actividades de refuerzo para aquellos en los que se detecte alguna laguna.
 Explicación del tema por parte del profesor/a con la intervención y participación de los alumnos/as y la realización de algunas actividades que sirvan para desarrollar determinados aspectos del tema.
 Realización de actividades de consolidación del tema.
 Resolución de problemas y actividades de refuerzo o ampliación según sea el caso.
 Realización de tareas de investigación en equipo. Posteriormente, los resultados de cada grupo en el trabajo de investigación serán expuestos en clase, debatidos los resultados diferentes entre los grupos, etc.
Teniendo en cuenta los objetivos que nos marcamos para esta Unidad Didáctica, los criterios de evaluación que se van a seguir son los que nos van a permitir evaluar la capacidad del alumno para:
 Utilizar los números reales y las operaciones con la notación habitual en el cálculo escrito y en la resolución de problemas.
 Resolver problemas de la vida cotidiana por medio de la simbolización de las relaciones que existen entre ellos y, en su caso, de la resolución de sistemas lineales de ecuaciones.
 Utilizar y valerse de las virtudes del lenguaje algebraico para representar situaciones y resolver problemas.
 Utilizar adecuadamente los conceptos sobre representación gráfica de funciones, juzgando la elección de escalas, intervalos, precisión, etc.
 Presentar en los cuadernos y en las manifestaciones orales procesos bien razonados del trabajo matemático y argumentar con criterios lógicos; ser flexible para cambiar de punto de vista en función de la argumentación convincente de los compañeros/as y perseverar en la búsqueda de soluciones para las actividades, especialmente en el caso de los problemas.
Los recursos materiales que se utilizan en esta unidad son los siguientes: libros de texto, calculadoras científicas, hojas de papel milimetrado, ordenadores y, si es posible, calculadoras gráficas.
Publicado por el algebrista en 14:26
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