Source: https://es.scribd.com/document/125757290/Apuntes-y-ejercicios-resueltos-de-Programacion-Lineal
Timestamp: 2018-02-25 04:19:11+00:00

Document:
Descripción: Ejercicios de Programación Lineal
Libro de Apuntes para estudiantes de Investigación Operativa que considera la revisión de modelos de Programación Lineal en cuanto a su formulación y resolución.
Prohibida su Reproducción Total o Parcial 01/01/2013
En el mes de Abril del año 2008 www.programacionlineal.net nace como un sitio de apoyo y consulta para estudiantes hispanos que cursan la asignatura de Investigación de Operaciones. Desde entonces recibe diariamente visitas y consultas de estudiantes de todo el mundo sobre las distintas temáticas de la Investigación de Operaciones y en especial de la Programación Lineal. Luego de recibir innumerables sugerencias de los usuarios sobre la necesidad de contar con un libro de apuntes para facilitar el estudio de esta disciplina, se emprende una iniciativa para crear un Ebook con ejercicios resueltos el cual se comienza a distribuir exitosamente a fines de Enero de 2012 a un precio simbólico de 1 Mensaje de Texto (SMS). En Diciembre del año 2012 hemos llegado a un acuerdo de compra de dicho Sitio Web considerando la integridad del material y contenidos, incluyendo el Ebook. A contar de Enero de 2012 ofrecemos este Ebook gratuitamente para nuestros usuarios registrados en www.gestiondeoperaciones.net. Adicionalmente recibirás periódicamente emails con información útil para tus estudios no tan solo de la Programación Lineal sino también de las distintas áreas de la Gestión de Operaciones. Con el objetivo de mantener la condición de gratuito del Ebook, destinamos en algunas páginas un pequeño espacio para efectos de publicidad. Si el programa publicitado es de tu interés te agradecemos de antemano que te puedas registrar a través del enlace de afiliado que te proporcionamos. Nos encantaría escuchar tus comentarios y testimonios del Ebook escribiendo a ebook@gestiondeoperaciones.net. Encuéntranos también en Twitter (@geotutoriales) y Suscríbete a nuestro Canal en Youtube (geotutoriales) para revisar nuestros tutoriales. Esperamos sinceramente que este libro de apuntes sea un apoyo para tus estudios formales. Un cordial saludo:
El Equipo de www.GestiondeOperaciones.net
Agradecemos de antemano a los usuarios ayudarnos a proteger los derechos de autor de este libro no publicándolo o distribuyéndolos a terceros sin previa autorización.
UNIDAD 1: FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN GRÁFICA DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN 2 VARIABLES UNIDAD 2: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL UTILIZANDO EL MÉTODO GRÁFICO UNIDAD 3: RESOLVER UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON SOLVER DE EXCEL UNIDAD 4: INTERPRETACIÓN DE LOS INFORMES DE SENSIBILIDAD OBTENIDOS CON SOLVER DE EXCEL UNIDAD 5: MÉTODO SIMPLEX UNIDAD 6: MÉTODO SIMPLEX DE 2 FASES
01*B <= 0 . Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita maximizar los retornos del inversionista satisfaciendo las condiciones impuestas. La desviación estándar de los retornos anuales (como indicador del riesgo de la inversión) según información histórica para la alternativa A y B han sido un 3% y 6%. Variables de Decisión: A: US$ a invertir en la alternativa A B: US$ a invertir en la alternativa B Función Objetivo: Maximizar 0.000 en la alternativa A.10*A+0.000 A >= 0 B >= 0 1 Reduciendo la expresión es equivalente a -0.03*A+0. respectivamente.000 está considerando 2 alternativas de inversión para el próximo año. Asimismo ha establecido que al menos desea invertir US$2.15*B Restricciones: Máximo presupuesto Máxima desviación estándar1 Mínimo a invertir en alternativa A No Negatividad 4 A+B <= 10. El inversionista desea que su inversión total considere una desviación estándar máxima de un 5%.000 (0.UNIDAD 1: FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN GRÁFICA DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN 2 VARIABLES Ejercicio 1: Un inversionista que tiene un presupuesto de US$10.05 A >= 2. La alternativa A tiene un retorno de un 10% anual y la alternativa B un retorno de un 15% anual.02*A+0.06*B)/(A+B) <= 0.
3+0. Para ello utilizamos el programa Geogebra: 5 Una alternativa de resolución consiste en evaluar cada uno de los 4 vértices del dominio de soluciones factibles (área sombreada) y ver cuál de ellos representa un mayor valor en la función objetivo.32 (aproximado). desplazando las curvas de nivel de la función objetivo se llega a una conclusión similar. Sin embargo.333. En dicho vértice las restricciones de máximo presupuesto y máxima desviación estándar se interceptan. de donde se obtiene que A=US$3.666.10*US$3.666. Publicidad: Gana dinero desde la comodidad de tu computador viendo publicidad en Internet .Una vez definido el modelo realizamos una representación gráfica para su resolución.3 y B=US$6.6. donde se verifica que el vértice C es la solución óptima del problema.333. El valor óptimo es V(P)=0.333.15*US$6.6=US$1.
Las ampolletas tradicionales se venden a US$4. Según la capacidad del sistema productivo no se pueden fabricar más de de 400 ampolletas normales y no más de 300 ampolletas de ahorro energía en un día cualquiera.0*X2 Restricciones: Máxima producción A.0 cada una. Función Objetivo: Maximizar 4. X2: Número de ampolletas (bombillas) de ahorro de energía a producir diariamente.5 y las de ahorro de energía a US$6. Variables de Decisión: X1: Número de ampolletas (bombillas) tradicionales a producir diariamente. Adicionalmente la producción conjunta de estos 2 tipos de ampolletas no puede superar a las 500 unidades diarias.Ejercicio 2: Una fábrica produce 2 tipos de ampolletas (conocidas también como bombillas): la ampolleta tradicional y la ampolleta de ahorro de energía.Ahorro Energía Máxima producción conjunta No Negatividad 6 X1 <= 400 X2 <= 300 X1 + X2 <= 500 X1 >= 0 X2 >= 0 . Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita maximizar la facturación diaria de la fábrica satisfaciendo las condiciones impuestas.Tradicional Máxima producción A.5*X1+6.
Luego X1=200 y X2=300. 7 La solución óptima se alcanza en el vértice C cuyas coordenadas corresponde a la intersección de las restricciones de máxima producción de ampolletas de ahorro de energía y máxima producción conjunta. El valor óptimo es V(P)=US$4. Esto se logra al desplazar las curvas de nivel de la función objetivo en la dirección de mayor crecimiento y buscando el último punto donde éstas intercepten el dominio de soluciones factibles.5*200+US$6.0*300=US$2.Al graficar las restricciones se define el dominio de soluciones factibles (área sombreada) que permite resolver gráficamente el problema.700 que corresponde a la máxima facturación diaria.49 al año .COM desde US$7. Publicidad: Compra un dominio .
000. sin embargo.000*X2) <= 0.000*X2 Restricciones: Mínimo impacto (clientes potenciales) Presupuesto Mensual Mínimo minutos en Radio Mínimo gasto en Radio2 No Negatividad 8 10. contando con un presupuesto para estos efectos de US$100. Por otra parte cada minuto de anuncio en TV permite llegar a 400.000*X2 >= 5.000.Ejercicio 3: Una empresa de consumo masivo desea programar sus campañas publicitarias para el mes de Marzo de 2012. La empresa desea alcanzar con sus campañas de publicidad al menos a 5.000 potenciales clientes con un costo de US$300. X2: Minutos de publicidad en TV a contratar durante el mes de Marzo de 2012. Adicionalmente el Departamento de Marketing ha sugerido que por razones estratégicas es necesario realizar al menos 50 minutos de publicidad en Radio.000 potenciales clientes con un costo de US$5.500*X2 <= 0 . Variables de Decisión: X1: Minutos de publicidad en Radio a contratar durante el mes de Marzo de 2012.000 300*X1 + 5. el dinero que se destine a esa alternativa no puede ser superior al 30% del total del dinero utilizado.000.000*X2 <= 100.000 X1 >= 50 (300*X1)/(300*X1+5. Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita determinar la política de publicidad de costo mínimo además de satisfacer las condiciones impuestas.000 de potenciales clientes. Cada minuto de anuncio en Radio permite llegar a 10.000. Para ello vamos a considerar que sólo existen 2 alternativas posibles para realizar publicidad: Radio o TV.000*X1+ 400. Función Objetivo: Minimizar 300*X1+5.30 X1 >= 0 X2 >= 0 2 Reduciendo la expresión es equivalente a 210*X1-1.
000*11.Al graficar el problema se determina que la solución factible que proporciona el menor valor en la función objetivo corresponde al vértice A.250.25=US$71. donde se interceptan las restricciones de mínimo impacto (clientes potenciales) y mínimo minutos en Radio.25[min] 3 con valor óptimo V(P)=US$300*50+US$5. 9 Publicidad: Gana dinero vendiendo enlaces de texto en tu Página Web o Blog 3 Una solución fraccionaria para una variable de decisión es admisible en los modelos de Programación Lineal. . La solución óptima por tanto es X1=50[min] y X2=11.
son restricciones activas4 en el óptimo.5) de modo que se conserve la actual solución óptima. Nos interesa determinar en qué intervalo puede variar el coeficiente asociado a la variable X1 en la función objetivo (actualmente C1=4. En los cursos de Investigación de Operaciones generalmente se aborda lo anterior en primera instancia a través de la resolución gráfica. 10 Intervalo de Variación de los Coeficientes de la Función Objetivo que conservan la actual Solución Óptima: Consideremos el Ejercicio 2 cuya solución función objetivo de maximización es f(X1. 4 Una restricción activa en el óptimo es aquella que se cumple en igualdad al ser evaluada en la solución óptima del problema. con solución óptima X1=200 y X2=300. Notar que en la solución del problema las restricciones de máxima producción de ampolletas de ahorro de energía y máxima producción conjunta se interceptan.5*X1+6. es decir. sin la necesidad de resolver nuevamente el problema. A continuación presentaremos el análisis de sensibilidad utilizando el método gráfico y tomando como referencia los ejemplos abordados en la Unidad 1. .UNIDAD 2: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL UTILIZANDO EL MÉTODO GRÁFICO Una vez resuelto un modelo de programación lineal resulta de interés determinar el impacto en los resultados (principalmente solución óptima y/o valor óptimo) ante variaciones en los parámetros o datos del modelo. debido a que los conceptos que se presentan en un modelo de 2 variables son extensibles para problemas de mayor tamaño.X2)=4.0*X2. Esta instancia se conoce como análisis de sensibilidad o postoptimal.
Se asume que el resto de los parámetros del modelo permanece constante. -1≤-C1/C2≤0 11 Multiplicando por -1 y luego reemplazando C2 por 6. Del mismo modo la pendiente de la restricción de máxima producción conjunta es -1.La pendiente de la restricción de máxima producción de ampolletas de ahorro de energía es 0. Siguiendo el mismo procedimiento y conservando C1 en 4. Para ello debemos analizar cuál es el aumento permisible y disminución permisible para el actual valor del lado derecho (b3=500) de modo 5 Sea la función objetivo: f(X1.+∞[ .5 (su valor actual) se determina que el intervalo de variación para el parámetro C2 que conserva la actual solución óptima es entre [4. En particular si C1=0 se generan infinitas soluciones óptimas (tramo entre los vértices B y C). Utilizando el concepto de precio sombra podemos responder a lo anterior sin la necesidad de resolver nuevamente el problema. si C1=6 el tramo de soluciones óptimas es entre los vértices C y D.5.X2)=C1*X1+C2*X2. Luego se conserva la actual solución óptima del problema (vértice C) si la pendiente de la función objetivo5 sigue variando entre las pendientes de las restricciones activas en el óptimo. Consideremos nuevamente el Ejemplo 2. su pendiente es –C1/C2 con C2≠0 .0 (su actual valor) tenemos que si C1varía en el intervalo entre [0.6] se conserva la actual solución óptima del problema. asumiendo que la fábrica desea evaluar el impacto en los ingresos diarios si logra aumentar la capacidad máxima de producción conjunta de 500 a 600 unidades. Tasa de Cambio del Valor Óptimo ante la modificación del lado derecho de una restricción (Precio Sombra): El precio sombra de una restricción consiste en una tasa de cambio del valor óptimo ante una modificación del lado derecho o recurso de una restricción.
X2)=(400. Para ello consideremos nuevamente la resolución gráfica de dicho problema: 12 El aumento permisible para el valor del lado derecho de la restricción que permite mantener las actuales restricciones activas en el óptimo se alcanza en la intersección de las restricciones de máxima producción de ampolletas tradicionales y máxima producción de ampolletas de ahorro de energía. .que la solución óptima del problema se siga encontrando con las actuales restricciones activas en el óptimo. Esto corresponde a la coordenada (X1.300) destacada por la flecha color rojo.
5 unidades monetarias. Con la información anterior determinamos el precio sombra de la restricción de máxima producción conjunta: 13 3  z (400. Esto corresponde a la coordenada (X1. Por tanto un aumento de 100 unidades en el lado derecho está contenido en el intervalo donde el precio sombra es válido y en consecuencia podemos utilizar el precio sombra para poder determinar el nuevo valor óptimo sin la necesidad de resolver nuevamente el problema. lo cual es válido en la medida que el valor del lado derecho (b3) varíe en el intervalo entre [300.150.5 * 700  300 b3  b3 El precio sombra es igual a 4.700+(600-500)*US$4.300) destacada por la flecha color azul.300)  z (0.La disminución permisible para el valor del lado derecho de la restricción que permite mantener las actuales restricciones activas en el óptimo se alcanza en la intersección de las restricciones de máxima producción de ampolletas de ahorro de energía y la restricción de no negatividad para las ampolletas tradicionales.600  1.300) 3.X2)=(0. Notar que el actual valor del lado derecho es 500 y pertenece a dicho intervalo. El nuevo valor óptimo es: V(P)=US$2.700].800   4. Publicidad: Gana dinero desde la comodidad de tu computador viendo publicidad en Internet .5=US$3.
Tradicional Máxima producción A.Ahorro Energía Máxima producción conjunta No Negatividad X1 <= 400 X2 <= 300 X1 + X2 <= 500 X1 >= 0 X2 >= 0 Publicidad: Compra un dominio . implementaremos el Ejemplo 2 descrito en la Unidad 1.5*X1+6. Como referencia se puede consultar el siguiente tutorial en Internet: Instalación Solver de Excel utilizando Microsoft Office 2003 y 2007.0*X2 Restricciones: Máxima producción A. No obstante.49 al año .COM desde US$7. Para poder usar dicho complemento se debe activar en nuestra planilla de cálculo.UNIDAD 3: RESOLVER UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON SOLVER DE EXCEL Solver® es un complemento de Excel que nos permite resolver modelos de optimización a través de una interfaz intuitiva. Se recomienda visitar el siguiente tutorial para una descripción detallada de cómo Resolver un modelo de Programación Lineal con Solver de Excel. 14 Función Objetivo: Maximizar 4. para ejemplificar su uso.
definiendo la celda que contiene la función objetivo. el objetivo (máximo). En color verde las celdas que contienen fórmulas: función objetivo y lado izquierdo de las restricciones. Con color amarillo las celdas que serán las variables de decisión.Paso 1: En una planilla de cálculo definimos la estructura del problema. cambiando las celdas (rango de las variables de decisión) y las restricciones. . 15 Paso 2: Se implementa el problema en la interfaz de Solver.
. para luego habilitar las opciones “Adoptar modelo lineal” y “Adoptar no negativos”.Paso 3: En la pantalla anterior se selecciona “Opciones”. 16 Paso 4: Se obtienen los resultados del modelo que verifica lo alcanzado en la resolución gráfica. Finalmente se selecciona “Aceptar” y “Resolver”.
UNIDAD 4: INTERPRETACIÓN DE LOS INFORMES DE SENSIBILIDAD OBTENIDOS CON SOLVER DE EXCEL Los resultados descritos sobre el análisis de sensibilidad o postoptimal descrito en la Unidad 2 se pueden obtener a través de los informes de sensibilidad de Solver. 17 El informe de Sensibilidad se cargará en una nueva pestaña u hoja de nuestra planilla de cálculo: Publicidad: Gana dinero vendiendo enlaces de texto en tu Página Web o Blog . Para ello una vez obtenidos los resultados del modelo se debe seleccionar el informe de “Sensibilidad” y luego seleccionar “Aceptar”.
El “Coeficiente objetivo” corresponde al valor actual del parámetro.6.5+1. Notar que el precio sombra de la restricción 3 (máxima producción conjunta) es 4.5][0.0+∞][4. El informe de sensibilidad corresponde al Ejemplo 2 de modo de poder contrastar la información proporcionada por Solver con los resultados de sensibilidad obtenidos gráficamente y analizados en la Unidad 2.5.5-4. De forma análoga se concluye que si C2 ℮[6. el intervalo para b3 es [500200.500+200][300. El “Aumento permisible” y la “Disminución permisible” establecen un rango de variación para el valor del parámetro que conserva la actual solución óptima. Con esto se comprueba que si C1℮[4. En “Restricciones” se puede obtener el precio sombra de las restricciones. Para resaltar esta situación se ha marcado dicha palabra con color rojo.5.5.5.+∞[ se mantiene la solución óptima.Un primer elemento a considerar es la última columna de la imagen anterior donde dice “Aumento” cuando debiese decir “Disminución”. En la sección “Celdas cambiantes” se presenta el análisis de los parámetros de la función objetivo. En consecuencia.6] se mantiene la solución óptima.01. “Restricción lado derecho” corresponde al valor actual del lado derecho y los valores en las columnas de “Aumento permisible” y “Disminución permisible” nos permiten determinar el rango de variación para el lado derecho que mantiene la geometría del problema.4.700]. 18 .
Mayor información se puede encontrar en la sección dedicada al Método Simplex en nuestro sitio. llevar la función objetivo al formato de minimización y realizar cambios de variables de ser necesario. es necesario realizar una serie de transformaciones previas antes de la aplicación del algoritmo. por lo cual. éste debe estar en un formato especial conocido como formato estándar el cual definiremos a continuación. 19 Como no todos los modelos de programación lineal están definidos en el formato estándar. la búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo.UNIDAD 5: MÉTODO SIMPLEX El Método Simplex publicado por George Dantzig en 1947 consiste en un algoritmo iterativo que secuencialmente a través de iteraciones se va aproximando al óptimo del problema de Programación Lineal en caso de existir esta última. El Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un vértice o frontera del dominio de puntos factibles (esto último en casos muy especiales). Cabe destacar que para aplicar el Método Simplex a un modelo lineal. Estas transformaciones consisten generalmente en agregar variables de holgura y/o exceso. .
2 y 3.X2.5*X1-6. Luego se agregan las variables de holgura X3.X5 >= 0 20 En el ejemplo se multiplica la función objetivo por -1 para llevar ésta al formato de minimización. X5 a las restricciones 1. para luego realizar las iteraciones del método simplex que nos permitan llegar a la solución óptima y valor óptimo: Formato Original: Maximizar 4. X4.A continuación utilizaremos nuevamente el Ejemplo 2 para mostrar en detalle cómo llevar dicho problema al formato estándar.X3. X4 y X5 son variables básicas (X3=400.A. respectivamente. X5=500).X4. X1 <= 400 X2 <= 300 X1 + X2 <= 500 X1 >= 0 X2 >= 0 Formato Estándar: Minimizar -4. Esta solución básica factible inicial corresponde al vértice A de la resolución gráfica: . La tabla inicial del método simplex es: En la tabla inicial X1 y X2 son variables no básicas (X1=X2=0) y X3. de modo de generar ecuaciones.0*X2 S. X1+X3 = 400 X2+X4 = 300 X1+X2+X5 = 500 X1.0*X2 S.5*X1+6.A. X4=300.
De esta forma se espera realizar un menor número de iteraciones para alcanzar la solución óptima 6. 500/1} = 300 X4 sale de la base. . La posición donde se alcanza el mínimo cuociente se llama “pivote” el cual se ha marcado con color rojo en la tabla inicial.21 Como al menos el costo reducido (última fila) de una variable no básica es negativo. 6 Este concepto se conoce como rapidez de convergencia del algoritmo. Luego se calcula el mínimo cuociente entre el valor de los lados derechos y los coeficientes estrictamente mayores a cero en la columna de X2  Min {300/1. esto implica que aún se puede seguir optimizando. El criterio general es considerar como variable que entra a la base aquella con el costo reducido más negativo. En nuestro ejemplo X2 entra a la base.
Se ha alcanzado la solución óptima del problema dado que nos encontramos ante una solución básica factible.Se realiza una iteración del método simplex ingresando X2 a la base.700. 22 Es necesario realizar una nueva iteración dado que la variable no básica X1 tiene costo reducido negativo. por tanto X1 entra a la base. También multiplicando por 6 la fila 2 y sumando a la fila 4. Esto corrobora la solución gráfica encontrada en la Unidad 1 y la resolución utilizando Solver de Excel descrito en la Unidad 3. multiplicando por -1 la fila 2 y sumando ésta a la fila 3. La solución óptima en las variables originales son: X1=200. X3=400. La tabla resultante considera ahora a X2. X5=200) y X1 y X4 como variables no básicas (X1=X4=0) lo que corresponde al vértice B de la resolución gráfica. Las operaciones filas que permiten la actualización de la tabla se realizan desde la posición del pivote. con valor óptimo: V(P)=2. . donde además los costos reducidos de las variables no básicas (X4 y X5) son mayores o iguales a cero. X3 y X5 como variables básicas (X2=300. X2=300 (vértice C). Se actualiza la tabla a través de operaciones filas desde el pivote. 200/1} = 200  X5 sale de la base. Por ejemplo. al mismo tiempo que X4 sale de la base. El mínimo cuociente es: Min {400/1.
La aplicación de resolución del Método Simplex disponible en nuestra página web también permite comprobar los resultados obtenidos según se muestra a continuación7: 23 7 No considerar los resultados de la columna bajo la letra “p”. .
Adicionalmente si se busca determinar el intervalo de variación para el respectivo lado derecho que mantiene la geometría del problema. Por ejemplo.5 unidades monetarias.Es importante destacar que en la aplicación del método simplex en la tabla final podemos encontrar el precio sombra de las respectivas restricciones. se puede seguir el procedimiento de Análisis de Sensibilidad o Postoptimal descrito en nuestro sitio. que coincide con el precio sombra calculado gráficamente en la Unidad 2 y obtenido a través de los informes de sensibilidad de Solver. la variable de holgura X5 tiene costo reducido de 4. 24 .
Una alternativa en este contexto es el método simplex de 2 fases.10*A-0.000 -0. En dichos casos es necesario aplicar una variante algorítmica que permita la resolución del modelo de programación lineal.B. Si formamos una tabla inicial para el método simplex obtenemos: .A.02*A+0.01*B <= 0 A >= 2.01*B+H2 = 0 A – E3 = 2.02*A+0.10*A+0.000 A.000 -0.15*B S.15*B S. Formato Original: Maximizar 0.000 A >= 0 B >= 0 Formato Estándar: Minimizar -0. respectivamente.E3 >= 0 25 Donde H1 y H2 son variables de holgura de las restricciones 1 y 2. A+B <= 10.UNIDAD 6: MÉTODO SIMPLEX DE 2 FASES En la aplicación del método simplex no siempre se dispone de una solución básica factible inicial como la obtenida en el ejemplo de la Unidad 5 una vez que se lleva el problema a su forma estándar.H2.H1. y E3 es variable de exceso de la restricción 3.A. Consideremos el Ejemplo 1 resuelto gráficamente en la Unidad 1. A+B+H1 = 10.
FASE 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I.01*B + H2 = 0 A – E3 + X = 2. de modo de obtener una solución básica factible.H1. Si el valor óptimo es cero.A.000 A.000>=0) y H2 variable básica de la fila 2 (H2=0>=0).000 -0.X >= 0 26 . al realizar dicha transformación H3=-2.B.E3. X A + B + H1 = 10.Donde H1 es variable básica de la fila 1 (H1=10. lo cual no define una solución básica factible para el método simplex. sin embargo. En consecuencia aplicamos el Método Simplex de 2 Fases según lo descrito en nuestro sitio: FASE 1: Se considera un problema auxiliar que resulta de agregar tantas variables auxiliares a las restricciones del problema. no existe solución factible. en caso contrario.02*A + 0. Resolver por Simplex un problema que considera como función objetivo la suma de las variables auxiliares. es necesario multiplicar por -1 dicha fila.H2. En nuestro ejemplo el problema de la Fase I es (X: variable auxiliar): Minimizar S. Si quisiéramos utilizar E1 como variable básica para la fila 3. seguir a la Fase II.000.
Luego aplicamos el criterio del mínimo cuociente para determinar la variable que deja la base: Min {10.La tabla inicial asociada a la Fase I queda definida de la siguiente forma: 27 Llevamos el costo reducido de X a cero: Ahora disponemos de una solución básica factible con H1=10.000/1. que satisfacen las condiciones de no negatividad.000/1} = 2.000  X sale de la base. Esto determina que A entra a la base. Al actualizar la tabla se obtiene: .000. H2=0 y X=2.000. 2. No obstante la variable no básica A tiene costo reducido negativo por tanto es necesario realizar una iteración del método simplex.
000 y H2=40). Fase 2: Resolver por Simplex el problema original a partir de la solución básica factible inicial hallada en la Fase I. Adicionalmente el valor de la función objetivo es igual a cero. Las variables no básicas (B.1 la fila 3 y la sumamos a la fila 4. Para ello necesitamos llevar el costo reducido de la variable A a cero de modo que mantenga la estructura asociada a una variable básica.000. Para ello eliminamos la columna de la variable artificial X y actualizamos el vector de costos reducidos considerando la función objetivo original: Antes de continuar con las iteraciones debemos formar la base. . H1=8. Para ello multiplicamos por 0.28 Donde las variables básicas satisfacen las condiciones de no negatividad (A=2. por tanto pasamos a la Fase 2. E1 y X) tienen costos reducidos mayores o iguales a cero.
000  H2 deja la base. . 40/0. Ahora E1 es la única variable no básica con costo reducido negativo por tanto ingresa a la base.000/1. En consecuencia. seleccionamos B como la variable que entra a la base y luego calculamos el mínimo cuociente para determinar la variable que deja la base: Min {8.29 Al realizar la operación fila anterior la variable no básica B tiene costo reducido negativo. El mínimo cuociente es inmediato debido a que existe sólo un coeficiente estrictamente mayor a cero en la columna de E1  H1 sale de la base. Posteriormente se realiza una iteración del método simplex realizando operaciones fila desde la posición del pivote (celda color rojo).01} = 4.
000/3 lo cual corrobora los resultados obtenidos gráficamente en la Unidad 1. con valor óptimo V(P)=4.000/3. .000/3 y B=20.30 Finalmente se alcanza la solución óptima del problema con A=10.
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