Source: https://es.scribd.com/document/56516193/anlissi-de-senales-wavelets
Timestamp: 2016-09-28 14:45:28+00:00

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Posteriormente se introduce wavelets como una herramienta alternativa al análisis de Fourier para el procesamiento de señales. Discrete Fourier transform and Fast Fourier transform). Por último se presenta una aplicación de esta herramienta en la reducción de ruido a través de métodos estadísticos y además se plantea un método acústico o auditivo para el mismo propósito. El marco teórico de esta nueva herramienta se desarrolla explicando las propiedades matemáticas y utilizando como ejemplo la Haar wavelet que corresponde al sistema wavelet más simple. Finally an application of this tool in de-noising of acoustic signals is presented through statistic methods. the multi-resolution analysis (MRA) is presented together with an explanation of the Discrete Wavelet Transform (DWT) and the development of computational algorithms to implement the Fast Wavelet transform (FWT). the thesis begins with the relevant mathematicalbackground and a general explanation about the concepts of the Fourier theory (Fourier series. Fourier Transform.2
Este trabajo constituye principalmente una introducción a la teoría de wavelets. At this point.
. Para poder abordar este tema de una forma más fácil se comienza con una base matemática para luego dar una explicación general de los conceptos sobre las series de Fourier. Transformada de Fourier. The mathematical theory of this relatively new digital signal processing tool is developed trough the explanations of it’s properties and using as an example the simplest wavelet system. DFT y FFT. the Haar wavelet. Ya con un entendimiento básico de wavelets se presenta el análisis multi-resolución dentro del cual se desarrolla la transformada Discreta de Wavelets en conjunto con el desarrollo de algoritmos para la transformada rápida de wavelets. Latter we introduce wavelets as an alternative tool of the Fourier analysis. with a basic knowledge of wavelets.
This thesis is mainly an introduction to wavelets theory applied to digital signal processing of acoustics signals. To aboard this subject in a comprehensible manner.
Implementar el uso de algoritmos que realicen la transformada Discreta de Wavelets utilizando el Software MATLAB 5. 4. Utilizar el proceso de reducción de ruido sobre una señal real con un alto nivel de ruido de fondo e individualizar o aislar la señal deseada. 2. 3. Describir las bases para el diseño de algoritmos con el ﬁn de implementar wavelets en ambientes computacionales. Describir la teoría de wavelets tanto en el dominio continuo como en el dominio discreto teniendo como base la teoría de Fourier. 2.3
1. 3. Demostrar de manera clara que para ciertos tipos de señales y/o aplicaciones la transformada de wavelets presenta un mejor desempeño que la transformada de Fourier. Presentar una aplicación de wavelets orientada a resolver un problema de tipo acústico. Describir la utilización de wavelets en el proceso de reducción de ruido de alta frecuencia sobre una señal creada en forma artiﬁcial. 5.
. Desarrollar de una manera clara y didáctica la teoría matemática de wavelets.3 y comprobar su uso mediante señales obtenidas de forma ﬁcticia y de forma real.
. . . utilizando utilizando la función de escalamiento en
½.2 6. .3 6. . . . Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï½ . . . . . . . . . .
. . . . .1 6.Índice de Tablas
Coeﬁcientes de reconstrucción para la función de escalamiento. . Coeﬁcientes de reconstrucción para
Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï¼ . .
. . . . . . se observa que las amplitudes de ambas componentes han disminuido a la mitad de su valor real .4 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Diferencia tiempo . . . . . . . . . . . . . para una escala grande la wavelet ocupa un mayor segmento de la señal y por lo tanto tiene mejor resolución en frecuencia mientras que para una escala más pequeña el intervalo de tiempo bajo el que se analiza la señal es menor. . . . . . . . . . . Representación tiempo . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Representación de la señal Ü´Øµ . . . . . . N=8 y N=16. . . . .6 3. . . . . .2 3. .9
(a) Función seno de período T=¾ . . . . . . . . .frecuencia con buena resolución en tiempo y mala resolución en frecuencia.6 4.8 3. . . . (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la FFT.2 4. . .8). . .7 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 4.frecuencia con buena resolución en frecuencia y mala resolución en tiempo.
. . . Representación de una onda cuadrada con Æ datos de entrada
. . . . . . . . (a) es par y de período ¾ . . .
. . . . . . Se observa como cumplen con la condición de admisibilidad al tener un rápido decaimiento a medida que la frecuencia tiende a ¼. . .3 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la transformada rápida de Fourier . .Índice de Figuras
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 4. . . (b) Descomposición en series de Fourier. . . . . . . . . . . .
(a) Señal original. . .5 3. . . . . . . . . . . . . . .10 Inversión binaria para una señal con Æ 4. . . . . . . . . .
4. . . . . (a) Representación de la señal Ü½ ´Øµ . (b) es impar y de período ¾ . . . . .4 3. .3 4. . . . . . . . . . . . . . . . la amplitud de cada onda es lo que representa la transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . .
Función Wavelet Mexican Hat y Morlet con sus respectivas Transformadas de Fourier (gráﬁcos de la izquierda). . . . . . . . .
4. . . . . . Función wavelet correspondiente a la familia Daubechies 4 (ver Apéndice). . . . . (b) Función coseno de período T=¾ Expansión de función entre
. . . . . . . . . . . . . . . . lo que implica mayor resolución en tiempo. . . .
Ø en series de Fourier para N=2. . . . . .frecuencia v/s tiempo -escala entre la STFT y la CWT. . . . . . . . Se observa el proceso de escalamiento y traslación. . .
Transformada Discreta de Fourier de la onda cuadrada ilustrada en la ﬁgura (1. . . .
Representación en el tiempo de la función a analizar en el ejemplo. datos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . .
3. . . . . . . . . . . . N=4. . . Transformada de Fourier obtenida en el ejemplo. .7
. . . . . . . Representación tiempo . Para la obtención de la DFT se realizaron
operaciones de multiplicación. . . . .
. .12 Se observa la aplicación del algoritmo sobre una señal de longitud Æ
para obtener (a) Los coeﬁcientes de aproximación y (b) los coeﬁcientes wavelet. . . . . . . . . . .1 6. . . .6 6. . .
Ø¾ en el subespacio Ï½ . . . . . . . . . . . usando el sistema Haar. . . . . . .1 7. . . . . .
Función wavelet en Ï¼ como combinación lineal de las funciones escalamiento que expanden Î½ y Î¼ . . .7 7.4 6. . 104 7. . . y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama. . . . .4 7. . . .
. Aproximación de la señal Ø¾ mediante las función wavelet del espacio Ï¼ . . . . . . 109
7. En esta ﬁgura se presenta una clara mejoría en la resolución de la representación de la función cuadrática. . . . . . . .
Espacios wavelet. . . . .10 (a) Estructura de una descomposición multiresolución. . . . . . . . . . . obtenido mediante el sistema Haar en distintos espacios Ï . . . . .DWT. .16 Esquema de Reconstrucción. . . . . . . . . 106
7. . . . .1 8.2 7. .
En esta ﬁgura apreciamos que la aproximación realizada por la función de escalamiento es bastante burda. . Al lado izquierdo vemos la representación de una función mediante el sistema Haar en distintos espacios
Î . . por la función escala en distintos espacios. . . . . . . .3 6. . . . . . . . .14 La suma de las reconstrucciones obtenidas de los coeﬁcientes escala y wavelet nos entrega la señal original. . . .DWT obtenido de la descomposición. . . . . . . . . . . 113 Señal que representa un efecto doppler con un nivel de ruido bastante notable (1024 muestras). . . .
. .2 6. .15 Análisis multiresolución de
el vector . (b) Modelamiento de sampleos digitales mediante la función Haar escala con una longitud de Æ
(a) Señal original. .
Reconstrucción Wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia arriba representa la operación de supsampleo. . . . 103
7. . . . . 104 7. . . . . . . . . . . .ÍNDICE DE FIGURAS
7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Estructura de una reconstrucción multiresolución. . . 115
. . . . . . Observar que ¼
sólo como número entero. . . . . . . .13 Esquema de reconstrucción a partir de un nivel de descomposición. . . . . .3]. debido al espacio en que trabajamos. .6
Al lado izquierdo vemos el detalle de una función. . . . . . Ambos procesos se realizan en forma paralela. . . Representación de la función
. . . . debido que
¼. .
Descomposición wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia abajo representa la operación de subsampleo. . .
. . . . . . . (c) Modelo en el dominio análogo. . . . . . . . . . . 107 7. . . . . . . . . . . . . .5
Función Haar de escalamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representación de la función sin(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proyección de una función en diferentes espacios wavelet. . .2
Efecto del umbral duro y suave aplicado sobre un conjunto de coeﬁcientes. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espacios anidados generados por la función escala. .3 7. . . . . . .5 6. . . . (b) Vector . . . . 108 7. . .
Ø¾ deﬁnida sobre el intervalo [-3. . . . . . . . De abajo hacia arriba tenemos desde el espacio Ï½ hasta el Ï . . . .7 7. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .8 7. . . . . . 110 8. . . . De abajo
hacia arriba tenemos desde el espacio Î¼ hasta el Î . . . y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .4 8. . . . . . . . Ambas representaciones fueron obtenidas
utilizando la wavelet Morlet. . . . . . . . . . .3 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¾.119 Representación del espectro de la señal original y de la señal limpia. . . . . .
¿. . .10 Descomposición de la señal original realizada con la wavelet Daubechies 4.11 Descomposición de los coeﬁcientes d4 usando la wavelet Daubechies 6. . . . . 118 Coeﬁcientes de descomposición wavelet obtenidos utilizando la Daubechies 4 (lado derecho). 122 8. . 120 Señal original. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeﬁcientes Wavelet obtenidos después de haber sido comparados con el umbral seleccionado (Lado izquierdo). . . . . . .
. Comparación visual entre la señal original y la señal reconstruida. . 123 8. . . Coeﬁcientes obtenidos de-
. Para una visualización más clara. . . . . . . . . . . . El porcentaje de energía conservado fue de 93. . . . . . . . . . . Señal después de haber sido procesada (Abajo). . . . .12 Transformada de Fourier de las reconstrucciones de la señal original. . . .8 %. . . . . . . . . . . . . . . . .ÍNDICE DE FIGURAS
8. . . . .8 8. . . . .5 8.
. . . . . . 117 Señal correspondiente a vibraciones de un motor rotatorio (Arriba). . . . . . . . . . . 117
spués de haber sido comparados con el umbral (Lado derecho). . . . . . . . . . . .7 8. 115 Señal reconstruida utilizando los coeﬁcientes wavelet procesados mediante umbral suave. . . . . En rojo: mediante los espacios ¾. . . . 121
. . . . . ¿
. . . . . . 124
8. . Abajo: Transformada Continua Wavelet
¾. . . . . . sólo los primeros 2500 sampleos se graﬁcaron. . . . .13 Arriba: Transformada Continua Wavelet de la señal original. . ¿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Descomposición wavelet realizada con la Daubechies 2 (Lado izquierdo).6 8. . . . . .
. . . .2 2. . FFT de diezmado de frecuencia . . . . . . . . . . . . . Transformada Continua Wavelet (CWT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformada rápida de Fourier (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Características de sistemas wavelet . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . . . .Frecuencia . . 10 12 12 18 22 29 31 31 31 33 35 37 40 44 44 45 48 48 49 54 55 59 59 59 61
3 Teoría de Fourier 3. . . .1. . . . . . . . . . La Transformada de Fourier . . . Espacios Vectoriales de Dimensión Inﬁnita .1 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Frecuencia 4. . . . . . . . . . . .1 4. . . . . . .2 La Transformada corta de Fourier (STFT) . . . . . . . . . . . . . . .1 2. . .4 3. . . . . . . . Series de Fourier . . . . . .5 Introducción . . .1 Series de Seno y Coseno . .1. . . . . . . . . . . .Índice General
1 Introducción 2 Base Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . . . . . .1 3. . . . . . . . . . Función escala . . . . . . . . 8
. . . . 5. . . . . . . . . . . . . . .1 3. . . . . . . . . . . . . . . .1 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 3. . . . . . . . . . Variables de escala y traslación . . . . . . . . .1 Resolución Tiempo . . . . . . . . . . . . . . .
4 Analisis Tiempo . . . . 5. . . .3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . .2 FFT de diezmado de tiempo . . . . . . . . . . . . . Cálculo de los coeﬁcientes . . . . 2. .2. . . . . . 3. . . . . . . . . .1 5. . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . .5. . . . . . . .1 Sistemas wavelet de primera generación . . . . . . . . . . . . . . . Transformada Discreta de Fourier (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios con producto interno . . . .4 Espacios vectoriales de dimensión ﬁnita .3 3. .
5 Sistemas Wavelet. . . . . . . . . .
Descomposición de señales unidimensionales (Análisis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Desarrollo Experimental con señales reales . . . . . . 119
8. . . . . . .3. . . 116 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 7. . . . . . . . . . . . . . .
7 Análisis Multi-Resolución 7. . . .1. . . . . . . . . 112 Limpieza de Ruido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Aplicaciones 111 8.2. . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . 111 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 7. . .3 Criterios de umbral . . . . . . . . .3. . . . . . . . . 112 8. . . . . . .3. . .3.1. . . . . . . . . . . 111 Compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Características de una función escala. .ÍNDICE GENERAL
5. . . . . . . . . . . . 113 8. . .2 8. . . . . . . . . . . . . . . .1 Tratamiento de señales reales obtenidas de las vibraciones de un motor116 8. . . . . . . . . .2 Tratamiento de señales reales obtenidas al aire libre. . . . . . . . .3. .3. . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . 126 131 134 142
. . . . 6. . . . . . . . . . . .1. .
Reconstrucción de señales unidimensionales (Síntesis) . . . . .2. .3 7. 7. .2 Función Haar Wavelet . .
Función Wavelet . .Síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Relación ortogonalidad y normalidad . .3. . . . . . .1 Función Haar Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Conclusiones . . . . . . . . . . . 112 8. . . . . . . . . . . .1. .3 Principios de Multi-Resolución . . . . . . . . .
6 Wavelet Haar 6. . . . . .3
8. . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 8. . . . . .1 Análisis de transientes . . . . . . . . . . .1 Biomedicina . . . . . . Transformada Discreta Wavelet (DWT) . . . . . . . . 6.3. .3. . . . .1 5.1 7. . .1 Compresión de Imágen . . . . . . . . . . . . . 113 Desarrollo experimental con datos ﬁcticios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Múltiples Niveles Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 8. . . . . . . . . . . . . . . . Transformada rápida Wavelet (FWT) y banco de ﬁltros . . . . 6. .2 Compresión de Audio .4 Representación de señales . . . . . . . . . . . . . . . .1 Relación ortogonalidad y normalidad . . .
astronomía. de series de senos y cosenos (o en forma equivalente como exponenciales complejas).Capítulo 1 Introducción
A ﬁnes del siglo XIX comenzaba a gestarse el inicio de la teoría matemática que posteriormente sería utilizada en el procesamiento digital de señales. de tiempo invariante o estacionarios. Un matemático francés llamado Joseph Fourier establecía que una señal o función podía ser representada como la suma. las cuales son seno y coseno. no son analizadas a fondo mediante la transformada de Fourier. análisis espectral de una señal en el tiempo. las cuales son más conocidas como señales no estacionarias. De acuerdo con esto la transformada de Fourier utiliza dos funciones bases. Es en estos términos de análisis Û ÚÐØ donde entra en juego una nueva herramienta matemática llamada Û Ú Ð Ø o Ì Ö Ò× ÓÖÑ La transformada wavelet es el resultado de un gran número de investigaciones y constituye una 10
.frecuencia. acústica y muchos otros. es ampliamente utilizada en la resolución de problemas cientíﬁcos e ingenieriles en diferentes campos tales como física cuántica. más conocida como la transformada de Fourier. debido a ciertas limitaciones de este análisis en el campo tiempo . entre otras. óptica. Sin embargo. Estas funciones tienen ciertas características como su suavidad (término utilizado para describir funciones que no poseen pendientes abruptas o discontinuidades). posiblemente inﬁnita. Las señales pueden ser interpretadas como una combinación lineal de ondas harmónicas o tonos puros por lo que se observa de una manera casi intuitiva que la señal en un instante de tiempo es reemplazada por la suma de varios tonos puros. representación individual de una frecuencia. Desde un punto de vista más ingenieril o físico la transformada de Fourier puede ser descrita como un fenómeno físico más que como una herramienta matemática. lo que hace que esta transformada sea extremadamente útil en el análisis de fenómenos periódicos. ciertas señales cuya amplitud varía en forma rápida y abrupta en el tiempo o señales cuyo contenido de frecuencia es variable de un instante de tiempo a otro. Este postulado siguió evolucionando hasta los días de hoy donde la teoría de Fourier. para poder expandir o representar una señal o función en términos de ellas. no son localizables en el tiempo (su dominio es de [-½ ½]). electrónica. que corresponden a tópicos de gran importancia en el campo de la Ingeniería Acústica.
J. La simplicidad y elegancia de esta nueva herramienta matemática fue reconocida por un matemático francés llamado Yves Meyer [HEI99] [STR89] [DEV91] quien descubrió que las wavelets formaban bases ortonormales de espacios ocupados por funciones cuyo cuadrado es integrable. Como alternativa a la transformada de Fourier. 1986. óptica. Morlet utilizó un sistema basado en una función prototipo.frecuencia. SIAM Journal Math. Estos tópicos constituyen el foco principal del desarrollo de esta tesis. radar.. análisis tiempo . Descompostion of Hardy functions into square Integrable wavelets of constant shape. ingenieros e investigadores comenzaron a utilizar la transformada de wavelet para aplicaciones en diferentes campos tales como astronomía. formaba un set de bases que permitían representar las señales de propagación con la misma robustez y versatilidad que la transformada de Fourier. Inicialmente un geofísico francés llamado Jean Morlet1 [STR89] [TOR98] investigaba un método para modelar la propagación del sonido a través de la corteza terrestre. Las características propias de la transformada wavelet nos otorgan la posibilidad de representar señales en diferentes niveles de resolución. En este momento ocurrió una pequeña explosión de actividad en este área. corresponde a funciones o señales cuyo contenido energético es ﬁnito. acústica. ingeniería nuclear. 15. que visto desde una perspectiva del análisis o procesamiento de señal puede ser considerada como una herramienta matemática para la representación y segmentación de señales. analizar señales no estacionarias permitiéndonos saber el contenido en frecuencia de una señal y cuando estas componentes de frecuencia se encuentran presentes en la señal.
. 723-736. A.11 técnica de análisis reciente. El término Û Ú Ð Ø se deﬁne como una “pequeña onda” o función localizable en el tiempo. pp. que cumpliendo ciertos requerimientos matemáticos y mediante dos procesos denominados dilatación o escalamiento y translación. neuroﬁsiología. compresión de imágenes. la cual pretende entregar una visión teórica y práctica del uso de esta herramienta en el plano general del procesamiento digital de señales y de como puede resultar de utilidad en la resolución de problemas relacionados con el campo de la Acústica. visión humana. Annual. reconocimiento de voz. Grossmann. pero sin sus limitaciones. resonancia magnética. lo que traducido al lenguaje del procesamiento de señales. y fácil implementación de rápidos algoritmos computacionales. etc. detección de terremotos.
Morlet.. representar en forma eﬁciente señales con variaciones de peak abruptos.
Espacio vectorial. llamado vector nulo. Un espacio vectorial consta de lo siguiente: 1. Ü ¾ Î (d) para cada vector Ü ¾ Î . El origen de este nombre proviene del ejemplo 1. una operación binaria · Î ¢ Î (b) Ü · ´Ý · Þ µ ´Ü · Ýµ · Þ (c) existe un único vector ¼ ¾ Î . que satisfacen ciertas propiedades especiales. con dos operaciones binarias ´·µ y ´¯µ. tal que Ü · ´ Üµ ¼. por conveniencia.
Î tal que ´Ü Ý µ Ü · Ý . un cuerpo Ã de escalares.1 Espacios vectoriales de dimensión ﬁnita
Un espacio vectorial es un objeto compuesto que consta un cuerpo Ã y de un conjunto de “vectores” Î . existe un único vector Ü ¾ Î . 2.
2. El nombre ”vector” se da a los elementos del conjunto Î . tal que
Ü · ¼ ¼ · Ü Ü. un conjunto Î de objetos llamados vectores. satisface: (a) Ü · Ý Ý · Ü 3.
Deﬁnición 1. pues existe una gran variedad de objetos que pueden ser vectores y que no se asemejan mucho al concepto que se tiene de Ú ØÓÖ . En esta sección se deﬁnirán algunos objetos concernientes a espacios vectoriales. El mismo conjunto de vectores puede ser parte de distintos espacios vectoriales.Capítulo 2 Base Matemática.
Sea Î el conjunto de todas las funciones Ë Ã . El espacio de n-tuples. La suma de dos vectores y de Î es el vector
. llamada multiplicación escalar. la suma de n-tuples Ü ´Ü½ Ü¾ Ü¿ ÜÒ µ de escalares Ü ¾ Ã . y sea Ë cualquier conjunto no vacio.1. Sea Ã cualquier cuerpo. y sean Ñ y Ò enteros positivos.
Ñ ¢ Ò Ã Ñ¢Ò . Sea Ã cualquier cuerpo. que Ü. El espacio de funciones de un conjunto en un cuerpo. Ü ¾ Î (ii) ´«¬ µÜ «´¬Üµ (iii) «´Ü · Ý µ «Ü · «Ý (iv) ´« · ¬ µÜ
Ejemplo 1. Sea Ñ¢Ò el conjunto de todas las matrices Ñ ¢ Ò sobre el cuerpo Ã . una operación externa ¯ satisface: (i) ½Ü «Ü · ¬Ü. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
4. La suma de dos
Ejemplo 2. y sea Î el conjunto de todos los ÝÒ µ con Ý ¾ Ã . El espacio de matrices y en
Ã ¢ Î Î tal que ´« Üµ «Ü.2. Si Ý ´Ý½ Ý¾ Ý¿ Ü e Ý se deﬁne por
Uasndo las propiedades de la adición y multipicación escalar de los elementos de fácilmente las propiedades de espacio vectorial. Ã Ò Sea Ã cualquier cuerpo.
El subconjunto subespacio nulo de Î . llamado
Teorema 2.w.
Ejemplo 5. sobre el cuerpo Ã es simétrica si
matriz ¾ ¢ ¾ es Hermítica si.Ï
¸ Ü Ý ¾ Ï y ¾ Ã . sobre el cuerpo de los números complejos es Hermítica para todo . Un vector
ÚÒ ¾ Î . ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Deﬁnición 2.
Las matrices simétricas forman un subespacio del espacio de las matrices Ò ¢ Ò sobre Ã . Sea Î un espacio vectorial sobre el cuerpo Ã .
Î . Teorema 1.
Ü · Ý como deﬁnición de un subespacio.2.y. entonces será un espacio vectorial (con las propiedades heredadas de Î ). tiene la forma
Ejemplo 6. son números reales. Una matriz . si existen escalares
Deﬁnición 3. el vector Ü · Ý ¾ Ï .
Una matriz cuadrada Ò ¢ Ò. Una (o autoadjunta) si
. es él mismo un espacio vectorial sobre Ã .
Î . donde el super-rayado indica conjugación compleja. La intersección de cualquier colección de subespacios de Î es un subespacio de Î .1. lo que es sólo diferente. El espacio de las funciones polinomios sobre el cuerpo Ã es un subespacio del espacio en . cuadrada Ò ¢ Ò. Lo importante es que si Ï contiene todos los Ü · Ý . Î que con las operaciones de adición vectorial y multiUn subespacio de Î es un subconjunto Ï plicación escalar sobre Î .
donde x. El conjunto de todas las matrices Hermíticas no es un subespacio
A veces se preﬁere usar la propiedad Ejemplo 4. y sólo si. Combinación lineal. Sea Î un espacio vectorial sobre el cuerpo Ã . Subespacio de un espacio vectorial.z.
cada uno contiene el vector nulo.
un conjunto de vectores linealmente independientes de Î . que genera el espacio Î . Así Ï contiene el conjunto nación lineal de vectores de Ë . luego Ï .1. Demostración. Sea ´Ï
Ï . El espacio Î es de dimensión ﬁnita si tiene una base ﬁnita. y sea Ï
Teorema 3. entonces
Deﬁnición 6.
Deﬁnición 4.2. y ´«Ü · Ýµ ÈÑ ½ ´« µÜ · ÈÒ ½ Ý ¾ Ä. Por el Teorema 1 Ï es un subespacio de Î . Ï tal que Ë Ï . Como cada Ï es un subespacio. Subespacio generado. no todos
Un conjunto que no es linealmente dependiente se dice linealmente independiente. dependiente si existen vectores distintos nulos. El subespacio generado por Ë se deﬁne como la intersección Ï de todos los subespacios de Î que contienen a Ë .
Î se dice linealmente Ò de Ã . Si Ü e Ý ¾ Ä entonces Ý ½ Ý½ · · ÒÝÒ. Base de un espacio vectorial. de la forma Ü ½ Ü½ · ¾ Ü¾ · Ä de todas las combinaciones lineales de vectores de Ë . tales que ½ Ü½ · ¾ Ü¾ · · Ò ÜÒ
¼.i ¸ ØÓ
Ó subconjunto ﬁnito de Ë es l. Sea Î un espacio vectorial sobre Ã . Por otra parte Ë Ä y Ä es no vacio. Sea Ï
Ë el subespacio generado por Ë . Un conjunto Ë es l. Dependencia lineal.
µ una colección de subespacios de Î .
conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de Ë . Sea Î un espacio vectorial sobre Ã . entonces Ï contiene toda la combi· Ñ ÜÑ . También cada Ï contiene ´ Ü · Ý µ lo que implica que ´ Ü · Ý µ ¾ Ï .i. Como consecuencia de esta deﬁnición se tiene que:
Todo conjunto que contiene el vector no nulo es linealmente dependiente. Por lo tanto Ë Ä Ï µ Ä
Deﬁnición 5. Una base de Î es
. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Demostración. Teorema 4. Sea Ë un conjunto de vectores de un espacio vectorial Î . Si Ï½ y Ï¾ son subespacios de dimensión ﬁnita de un espacio vectorial.
Î deﬁnida por ´ µ´Üµ ½ · ¾ ¾ Ü · · Ü ½ . Si Î es de dimensión ﬁnita. de en . ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Deﬁnición 7. Si
Î es un espacio Ã se llama función lineal sobre Î . entonces Ö Ò Ó´Ì µ · ÒÙÐ ´Ì µ ÑÎ . Si ÑÎ vectorial sobre el cuerpo Ã . Sea Ò ¾ y Ã un cuerpo.
µ. Sea el cuerpo de los números reales y sea Î el espacio de todas las funciones continuas Ê Î por ´Ì µ´Üµ ¼Ü ´Øµ Ø . Entonces es una transformación
La función Ì es continua y tiene primera derivada continua. El espacio nulo de Ì es el vectoriales sobre el cuerpo Ã y sea Ì Î
Ejemplo 9. Ejemplo 11. una transformación lineal Ejemplo 10. Se deﬁne Ì Î
conjunto de todos los vectores Ü de Î tal que Ì Ü ¼. Sea Entonces y sea
. y la nulidad de Ì es la dimensión del espacio nulo de Ì . Una función Ì
Ejemplo 8. Sean Î y Ï dos espacios vectoriales sobre el cuerpo Ã y sea Ì Î ½. Sean Î y Ï dos espacios Ï una transformación lineal.
Teorema 5. Entonces Ì es una transformación lineal.
Ã un cuerpo y sea Î el espacio vectorial de las funciones polinomios de grado . Sea Sea lineal. Espacio nulo y rango de una transformación lineal. Transformación lineal.
. La linealidad de las integraciones es una de sus propiedades fundamentales. Deﬁnición 8.2.1.
La función traza es un funcional en el espacio de las matrices Ã Ò¢Ò . Sean Î y Ï dos espacios vectoriales sobre el cuerpo Ã . Si formación lineal. el rango de Ì es la dimensión de la imágen de Ì .
Ò y sea ¬ Ú½ Ú¾ ÚÒ una base de £ tal que ´Ú µ Æ . Para cada existe un funcional lineal único en Î . tal que ´Ú µ Æ .1. De esta forma se obtiene de ¬ un conjunto de Ò funcionales lineales distintos ½ ¾ Ò sobre Î . y sea
Entonces Ä½ Ä¾ Ä¿ son funcionales lineales sobre Î . Sea Î ´Ã µ un espacio vectorial con Î . una base de Î
Teorema 6.i. Sean Ø Ø Ø
tres números reales distintos arbitrarios.i. La base Ô½ Ô¾ Ô¿ de Î tal que Ä½ Ä¾ Ä¿ es su dual debe satisfacer
. Sea Î el espacio vectorial de todas las funciones polinomios de
¾. . Estos funcionales son l. Estos funcionales son l. Este es el espacio dual del espacio Î :
Ä´Î Ã µ. un espacio vectorial. y como ÑÎ £ Ò. Para cada Ò de Î
es la base dual. deben ser tales que ¬ £ ½ ¾ Ò es £ .2. Entonces existe una única base dual ¬ £ ½ funcional lineal sobre Î se tiene
ÑÎ . Se designa este espacio por Î £ y se llama espacio Î£ Ä´Î Ã µ
ÚÒ una base de Î . estos forman una base de Î £ . el conjunto de los funcionales lineales sobre Î forman. naturalmente. Ejemplo 12. Esta base se llama base dual de ¬ . y como ÑÎ ¿. entonces es precisamente la función que asigna a cada vector coordenada de Ú respecto a la base ordenada ¬ . ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA
Si Î es un espacio vectorial.
se deﬁne el producto Ì
2. Si por
son espacios vectoriales. donde Ü varía en Ò con Ü ½. En este caso Ì ½ es lineal y Ì ´Ì ½ µ´Üµ Ì ½ ´Ì ´Üµµ Ü. se dice que Ì es regular o invertible.
. Si Ì ´Ì· µ´Üµ
´Üµ Ü ¾ µ. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Si Ì es un operador lineal en Î tal que: (i) es uno a uno y (ii) aplica Î sobre Î . de tal modo que Ü Ý ¾ Î y
· ÝÞ. incluso cuando
µ. y en términos de tal producto se puede también deﬁnir longitud y ángulo. Sea Ã ¾Ã par ordenado de vectores Ü Ý de Î un escalar Ü Ý de Ã .
µ el conjunto de todas las transformaciones lineales del espacio vectorial ¾ Ä´ µ y son escalares. Además.2. Obsérvese que la desigualdad
. La noción general de ángulo se restringirá al concepto de ortogonalidad de vectores.
A las transformaciones lineales de Î en Î se les llama frecuentemente operadores lineales en Î .
Ì no es necesariamente igual. si Ì
.2 Espacios con producto interno
Un producto interno sobre un espacio vectorial es una función con propiedades similares a las del producto escalar en ¿ . se deﬁne Ì · por espacio vectorial . Deﬁniciones: 1. Un producto interno sobre Î es una función que asigna a cada Deﬁnición 9. Para Ì ¾ Ä´ Ò Ñ µ se deﬁne la norma Ì Ü .
Ó y Î ´Ã µ. entonces
el espacio de las matrices Ò ¢ Ò sobre Ã . ÜÝ
Obsérvese que (a).2. Para deﬁnirla Õ Ü Ü . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
ÜÝ.2. (b) y (c) implican: (e) Ü Ý · Þ Es claro que si Ã Ejemplo 13.
. La se representa primero la norma o longitud de Ü respecto al producto interno por Ü forma cuadrática determinada por el producto es la función que asigna a cada vector Ü el escalar Por las propiedades del producto interno se sigue:
Ü ¾. En Î se deﬁne el producto interno
En el espacio de funciones reales se omite la conjugación. Es útil saber que un producto interno sobre un espacio vectorial.
Cuando Ã 2. donde £
. MV es isomorfo a Ã Ò . 1. la llamada forma cuadrada determinada por el producto interno.
Ã Ò¢Ò . Además. En Ã Ò se deﬁne el producto interno canónico sobre Ü
· ÜÞ. ¼ si Ü ¼ . este producto interno se puede expresar mediante
3. está determinado por otra función.
ÜÝ. donde el super-rayado denota conjugación compleja. si se introduce la matriz
£ . ¼ Ø ½. luego È deﬁne un producto interno sobre Î . Sea . Sea Î el espacio vectorial de las funciones continuas de valor complejo en el intervalo unitario. real o complejo. Ü Ý .
Espacio producto interno. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Estas igualdades se llaman identidades de polarización. Un espacio con producto interno complejo se llama espacio unitario. 3. 3.
Ü . espacio de funciones continuas de valor complejo o real en el intervalo
Ü Ý .
Ë es un conjunto ortogonal siempre que todos los pares distintos de Ë sean ortogonales. 4.2. Un conjunto ortonormal es un conjunto ortogonal Ë tal que Ü
Ejemplo 14. El vector ´Ü 4.2. 1. Entonces Ü es ortogonal a Ý si ÜÝ ¼. Sea
Deﬁnición 11. y se dirá que Ü e Ý son ortogonales.
¼ . El vector cero es ortogonal a todo vector de Î y es el único vector con esa propiedad. Si Î es un espacio producto interno. Si Ë Î es un conjunto de vectores. 2. Es un espacio real o complejo junto con un producto
interno deﬁnido en ese espacio. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Ü
. 2. Teorema 7. se dice que
. La base canónica en co (pic). Deﬁnición 10. Un espacio producto interno real de dimensión ﬁnita se llama espacio euclideano. entonces 1. para Ü ¼.
´ ¼ ½ µ. Sea Î un espacio producto interno y sean Ü Ý ¾ Î .
La extensión de este resultado a cualquier espacio vectorial Î
Teorema 8. sin embargo tiene un sencillo signiﬁcado en espacios ﬁnito dimensionales.
Demostración. Esta es la raíz del error cuadrático. un par de vectores ortogonales unitarios en ¿ . Tomamos como error de ½ Ü Ý Ü Ý Ü Ý ¾ . ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO
Ô Ô ¾ Ó×´¾ ÒÜµ y Ò´Üµ ¾× Ò´¾ ÒÜµ. [DET75]
. Por tanto la mejor aproximación Ý . El problema de aproximación tiene una importante signiﬁcación en espacios de dimensión inﬁnita. Si
6. y sea Ü ¾ ¿ otro vector cualquiera. Queremos aproxi-
marlos a Ü por una combinación lineal Ý ½ Ù½ · ¾ Ù¾ . entonces
5. La aproximación ha de encontrarse en el plano que pasa por el origen y está determinado por los vectores Ù½ y Ù¾ . Si
¼. entonces el conjunto de funciones ½
es un conjunto inﬁnito ortonormal.
Ü Ù . Esta distancia Ü Ý se minimiza tomando como aproximación Ý . Un conjunto ortogonal de vectores no nulos es l.2.2. En el caso complejo se pueden formar combinaciones de la forma
son ortogonales. y la mejor la aproximación aproximación Ý es la que minimiza el error.
se obtiene tomando es directa. El número real
es la norma de . Sean Ù½ Ù¾ . y con
. la proyección ortogonal de Ü sobre el plano.i.
luego tenemos que restringir las sucesiones en alguna forma. Si
La veriﬁcación de los otros axiomas se hace por cálculo directo. al espacio de sucesiones inﬁnitas de números reales. Como se ha impuesto una restricción. es necesario las sucesiones a aquellas tales que ½ ½ Ü¾ veriﬁcar los axiomas de espacio vectorial. Sólo veriﬁcaremos cerradura de la suma. el espacio de n-tuples de números reales. Si Ü ´Ü½ Ü¾ µ e Ý ´Ý½ Ý¾ µ son sucesiones inﬁnitas de números reales . diremos que Ü Ý si Ü Ý ¾ . tenemos que
.2. Pretendemos tener un producto interno en espacio.3. El conjunto de estas sucesiones forma un espacio vectorial con la adición y multiplicación por un escalar conocidas. Deseamos deﬁnir el producto interno
Como ahora estamos tratando con sucesiones inﬁnitas.3 Espacios Vectoriales de Dimensión Inﬁnita
Una de las formas más fáciles de obtener un espacio vectorial de dimensión inﬁnita es prolongando . para asegurar la convergencia restringiremos È ½. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
2. consideremos
. Para el producto interno tenemos
Î es un espacio de dimensión inﬁnita con su norma. Las cinco propiedades del producto interno son fáciles de veriﬁcar. Así mostramos que el conjunto de sucesiones es un espacio vectorial real con producto interno. Deﬁnición 11. Entonces ½
converge. Esta es una serie
inﬁnita de vectores. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
converge absolutamente. tenemos que Ü
. así que debemos deﬁnir lo que entendemos por convergencia de una de tales series. una sucesión de vectores
Deﬁnición 12. Consideremos el conjunto inﬁnito de vectores ´
µ. Si Î es un espacio de dimensión inﬁnita con un producto interno.
Æ . entonces es una base ortonormal si: 1.
Ü ¾ Î . donde Ü Ü Ú es la coordenada de Ü respecto a Ú .3. Sea ÜÒ el vector de la suma parcial ÜÒ
½ Ü .2.
Deﬁnición 13. El inverso de este teorema no es. el espacio se llama espacio de Hilbert. Î es un espacio completo si toda sucesión de Cauchy en Î converge a un vector en Î . Teorema 11.
Ü· . Si la norma es derivada de un producto interno. El espacio Ð¾ ´ es completo. Los espacios en que toda sucesión de Cauchy converge a un vector en el espacio se llaman espacios completos. Encontrar un conjunto de polinomios ortonormales en
. Un espacio vectorial normado y completo se llama espacio de Banach. Demostración. ½
En espacios de dimensión inﬁnita.3.2. o en otra forma. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
. entonces la sucesión es una sucesión de Cauchy. Si una sucesión de vectores ÜÒ ½ ½ Ò converge a Ü en Î .
. Sea Î ´Ã µ con ÑÎ ½ con una norma.
. se pueden encontrar inﬁnitos conjuntos de funciones ortonormales. Ejemplo 15. con un producto interno
½ ÜÝ. El producto escalar es
Solución. Sea Î un espacio vectorial con una norma. verdadero. si
Teorema 10. en general.
Esta última ecuación se conoce como Desigualdad deBessel.2. En el n-ésimo paso hay Ò constantes por determinar de Ò ½ condiciones de ortogonalidad más una condición de normalización. La aproximación Ò ½ se llama n-ésima aproximación de Fourier. donde ÈÒ ´Üµ es el polinomio de Legendre dado por
Teorema 9. De donde
. Como ortonormal ½ ¾
´ µ ¼ es no creciente. Si
es una base ortonormal. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
Este proceso se puede continuar indeﬁnidamente. entonces la mejor aproximación
Los coeﬁcientes se llaman coeﬁcientes de Fourier de con respecto a la sucesión È . El polinomio general es
. Ð Ñ
ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
Ejemplo 15. Calculese la raíz del error cuadrático medio. y la mejor aproximación cuadrática media de grado 4 es
Ò polinomios de Legendre.3. Determine la mejor aproximación cuadrática media de sobre el intervalo
Solución. sigue que la mejor aproximación cuadrática media de Ü de grado Ò sobre
Probar que el conjunto
es ortogonal. Obtenga una base ortonormal a
.2. Solución. El producto interno de dos funciones se deﬁne como: en el intervalo
´Øµ y ´Øµ se dicen ortogonales entre sí. partir de esta. Esto puede ser expresado como:
Similarmente. y la norma de cada uno de ellos es igual a uno. ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN INFINITA
Sean dos funciones ´Øµ ´Øµ ¾ Ä¾ (conjunto de funciones reales cuyo cuadrado es integrable ).3. y además
Ejemplo 16. si todos los vectores de este
conjunto son ortogonales entre sí. si su producto interno es: ´Øµ ´Øµ
ÚÒ se dice que es ortonormal. un conjunto de funciones ortonormal si:
Ð (condición de ortogonalidad).
ninguna de estas bases cumple con tener norma igual a uno. de la forma
. Ahora debemos obtener una base ortonormal a partir del conjunto anterior. La característica de ortonormalidad de las funciones ayuda en esta tarea.4. por lo que un método con estas caracterísnos será de gran ticas debe implementarse.
. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES
lo que prueba la ortogonalidad entre estos dos vectores. Sea
Ä¾ ´ µ. pero si expresamos ambos vectores como una combinación lineal de otros vectores.2. pues remitirá el cálculo a una integral.4 Cálculo de los coeﬁcientes
El cálculo de los coeﬁcientes debe ser rápido y eﬁciente.
que dice que la norma de la energía puede ser particionada en términos de la expansión de coeﬁcientes [BUR98].2. lo que se expresa matemáticamente como sigue
Entonces se deduce que cualquier señal de energía ﬁnita puede ser descompuesta en un conjunto de coeﬁcientes asociados a una función base.2)
´Øµ ´Øµ.4.1)
así el producto interno entre la función coeﬁciente .1) en
(2. Si reemplazamos (2.
. sólo uno de los inﬁnitos productos
además este conjunto de funciones es ortonormal por lo que (2. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES
es ortogonal. Esto es el fundamento del teorema de
(3. También es posible describir el mismo proceso en el dominio de la frecuencia mediante una serie de amplitudes representadas por como función de la frecuencia. o cualquier otro.
3. Esta serie toma el nombre de serie de Fourier cuando es posible y
(3. La idea básica de las series de Fourier es que una función periódica (Esta condición es primordial) puede ser representada como una suma ponderada de senos y cosenos.2)
Un proceso físico puede ser descrito en el dominio del tiempo mediante valores representados por una cantidad como función del tiempo.1)
es denominada serie trigonométrica. tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia.2 Series de Fourier
Estas series tienen su origen en el siglo IXI y deben el nombre a su creador Joseph Baptiste Fourier. Esto hace que la Transformada de Fourier sea ampliamente utilizada en aplicaciones en el campo de la ciencia e ingeniería.Capítulo 3 Teoría de Fourier
3. La transformada de Fourier es una herramienta con la capacidad de representar este proceso.
(3.1: (a) Función seno de período T=¾ . es decir. la función debe ser periódica (Para este caso
´Øµ Ø utilizando (3. Lo anterior se puede resumir de la siguiente manera
(3.2. El intervalo ¼ ¾ fue seleccionado debido a que corresponde al período de las funciones seno y coseno.
´Øµ. (b) Función coseno de período T=¾
La obtención de los coeﬁcientes de la forma en que se expresa la ecuación (3.4)
Además es necesario cumplir con la condición de que la norma de la función analizada sea integrable y esa integral sea ﬁnita. es decir.2)
.3. lo cual no necesariamente debe ser) ya que las funciones de expansión seno y coseno son periódicas.2) es posible gracias a la ortogonalidad existente entre las funciones cosenos y seno y entre si mismas para valores de Ò diferentes. SERIES DE FOURIER
Figura 3. es
La aproximación de la serie de Fourier para distintos Ò se puede observar en la ﬁgura (3.
´ Øµ.1 Series de Seno y Coseno
De la ecuación (3. N=4.
. Si es par.1) podemos distinguir dos series levemente diferentes. N=8 y N=16.2)
3. lo que dependerá de la función con la que se trabaje.
. Más especiﬁcamente podemos dividir la serie de Fourier completa en una serie de senos y otra serie de cosenos. 1.3.2.2.2: Expansión de
Ø en series de Fourier para N=2. su serie de Fourier contendrá sólo términos de cosenos.
(3. Si es impar. Utilizaremos dos maneras útiles a través de las cuales obtendremos una extensión periódica de período ¾ de dicha función. su serie de Fourier contendrá sólo términos de senos. Se puede observar que la expansión
.3. Supongamos ahora que tenemos una función deﬁnida sobre como la que se ilustra en la ﬁgura (3. como se ilustra en la ﬁgura (3.7)
Ó×´ ÒØµ.3).8)
Con lo que obtenemos dos nuevas series las que conoceremos como serie cosenoidal de Fourier y serie senoidal de Fourier respectivamente.3: función entre 2.6)
´Øµ ´ Øµ.2.5)
(3. descompone o expande una señal o función en senos y cosenos de diferentes frecuencias cuya suma corresponde a la señal original. en esencia.8b).4: (a) es par y de período ¾ . como consecuencia de que una función sea par o impar. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Figura 3.4b). (b) es impar y de período ¾ en series de Fourier de la función de la ﬁgura (3. es decir. los coeﬁcientes se calculan integrando sobre la mitad del período de la función y multiplicando por 2.9)
De manera análoga la función de la ﬁgura (3.3 La Transformada de Fourier
La transformada de Fourier.4a) contendrá sólo términos cosenoidales por lo que podemos aproximar esta función mediante (3.8a).10)
Además. lo que en términos de cálculo puede ahorrar tiempo en forma considerable. contendrá sólo términos senoidales por lo que podemos aproximar esta función mediante (3. es capaz de distinguir las
(3.3.3.
3. en vez de integrar sobre el intervalo completo.
. La relación existente entre la representación de la señal original a través de funciones senoidales y cosenoidales y la exponencial que se observa en (3.12)
De acuerdo con lo dicho anteriormente la transformada de Fourier puede obtener un representación en el dominio de la frecuencia de una señal que se encuentra originalmente en el dominio del tiempo.15)
Estas funciones exponenciales pueden ser referidas como las funciones bases de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una función del tiempo
(3. y por lo tanto podemos descomponer o expandir la señal original (en
(3. es posible obtener los valores o coeﬁcientes Ò como términos de semejanza entre la señal original y la función exponencial
Ø¼ · Ì µ.3. y debido a su propiedad de ortogonalidad1.12) proviene de la deﬁnición de la identidad de Euler
(3.11) y (3.11)
y la transformada inversa de Fourier. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
diferentes componentes de frecuencia de la señal. y sus respectivas amplitudes. como
una combinación linear de todas las componentes de frecuencia presentes en la señal ´Øµ. de aquí en adelante trabajaremos con las funciones seno y coseno ya que desde un punto de vista físico.5: (a) Señal original.3. la amplitud de cada onda es lo que representa la transformada de Fourier.
(3. (b) Descomposición en series de Fourier. es posible realizar una transformación de (3.15) a la siguiente forma
(3. Por lo tanto.3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Figura 3. Aunque matemáticamente la función exponencial resulta más fácil de manipular.5).19)
. resulta más fácil comprender el paso de la señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y en forma inversa. donde los coeﬁcientes Ò y Ò representan la cantidad de energía que aporta cada componente de frecuencia a la señal original como se puede observar en la ﬁgura (3.
que dice que la energía de la señal es siempre la misma sin depender de si se encuentra en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia
Teorema de Parseval.3.6))
Debemos reemplazar la función en (3.3.11)
Obtener la Transformada de Fourier de la siguiente función (ver ﬁgura (3.21)
ya que el tipo de valores que entrega para un intervalo de exponentes de 1 hasta 4 se repite en forma periódica
(3. A simple vista esta matriz no parece A esta nueva matriz la denominaremos Ñ ØÖ Þ de mucha utilidad ya que sus componentes no se comportan siguiendo algún patrón (lo que es indispensable en la elaboración de algún algoritmo computacional). si dejamos de la misma
forma la primera columna y la primera ﬁla y nos concentramos en el número complejo .33)
ÓÙÖ Ö. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
(3. Sin embargo.31)
(3. podremos observar que el resto de los componentes de la matriz de Fourier es posible escribirlos como potencias de .3.4.34)
es decir.Cambridge Press. por ej. de tal manera que teniendo los coeﬁcientes de Fourier podemos reconstruir la señal original de la siguiente forma
(3. todos sus elementos son distintos cero. Se deben evaluar Æ términos de series de Fourier sobre Æ puntos.2.3. Por lo tanto. STRANG.. Introduction to Linear Algebra.8 y 3.9) se observa una representación sampleada de la función o señal deﬁnida en el ejemplo 1. 1998. es decir.4. y de una forma más generalizada a
Esto puede ser corroborado consultando cualquier texto o libro de Algebra Lineal. En las ﬁguras (3.28) quedan ÏÆ
.8: Representación de una onda cuadrada con Æ
ortogonalidad entre el seno y el coseno). de tal manera que (3. es de Æ ¾ multiplicaciones. cambiamos el ¾ Ò Ò Æ .36)
La matriz de Fourier es completa.26) y (3.
. el número de multiplicaciones que se deben realizar para la obtención de la DFT de una señal de longitud Æ . TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)
Figura 3. por lo que su inversa es igual a su transpuesta conjugada2. y su respectiva DFT. G. Por lo tanto si nosostros podemos realizar la transformada rápidamente también podemos obtener la inversa en forma rápida entre los coeﬁcientes y los valores de la función. Wellesley . aÏ comportamiento.35)
El punto importante aquí es que ambas matrices tienen la misma forma con la única diferencia de un cambio de signo.
El principio de la FFT se basa en el método denominado “divide y conquista” [PRO98]. ya que divide la señal de Æ puntos en dos secuencias de datos de
puntos. Estas propiedades son:
(3.1 FFT de diezmado de tiempo
El algoritmo de diezmado en tiempo toma la totalidad de los datos de entrada y los separa en sus muestras pares y sus muestras impares.W Cooley y J. disponible en el Instituto de Acústica.3.5. según el tipo de algoritmo. Otro punto importante es que el algoritmo FFT trabaja en forma más eﬁciente cuando lo hace sobre una señal donde el número de sampleos Æ es una potencia de ¾. la señal de entrada o salida respectivamente.8).5 Transformada rápida de Fourier (FFT)
Con el ﬁn de implementar en forma práctica la Transformada Discreta de Fourier mediante el uso de computadores. Diezmado en el dominio del tiempo. cada una con una longitud igual a la mitad de la longitud de la señal original. Para la obtención de la DFT se realizaron ¼ operaciones de multiplicación. 2.37)
Existen básicamente dos tipos de algoritmos FFT3 : 1.
3. La FFT elimina información redundante que existe en la DFT.
3.5. Diezmado en el dominio de la frecuencia.W Tukey desarrollaron un algoritmo denominado la Transformada rápida de Fourier (FFT). ya que está explota las propiedades de periodicidad y simetría del factor de fase ÏÆ . La demostración es de la siguiente manera:
Para mayor información sobre otros tipos de algoritmos FFT se recomienda consultar el libro “Tratamiento Digital de Señales” de John Proakis y Dimitris Manolakis [PRO98]. a mediados de la década del sesenta J.
.9: Transformada Discreta de Fourier de la onda cuadrada ilustrada en la ﬁgura (1. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
Operaciones de multiplicación y suma sobre los datos invertidos.39)
denota el Ò × ÑÓ componente de la transformada de longitud Æ proveniente de los com¾ Ó ponentes pares de la señal original . re-
. el algoritmo de diezmado de tiempo se realiza en dos partes: 1.
3. mientras que Ò es la transformada de Fourier de longitud Æ ¾
correspondiente a los componentes impares de la señal ¾ operaciones de multiplicación de Æ ¾ a ¾ Æ . entregando los datos de salida en orden natural. Otro punto importante reside en el orden de la secuencia de entrada después de que han sido diez-
¾Ö .38)
Ï ÆÒ.3. ¾ como se observa en la ﬁgura madas ´Ö ½µ veces. para una señal donde
ÐÓ ¾ Æ veces.2 FFT de diezmado de frecuencia
El algoritmo de diezmado en frecuencia al igual que el diezmado en tiempo separa la señal original de longitud Æ en dos secuencias con una longitud igual a Æ . 2.5. Supongamos una señal con una longitud Æ (3. Además en cada etapa de diezmado se realizan Æ operaciones de ¾
multiplicación.5. la diferencia con el diezmado en tiempo ¾ ¼ ½ Æ ½) y la otra reside en que una secuencia contiene la primera mitad de las muestras ( ¾
. ya que en este punto la transformada de el proceso de diezmado se puede repetir Ö Fourier obtenida es de longitud ½. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
(3. En resumen. De esta manera el algoritmo FFT de diezmado de tiempo logra reducir el número de multiplicaciones de Æ ¾ a Æ ÐÓ ¾ Æ . ¾
. Si representamos estos datos en su forma binaria nos daremos cuenta que podemos obtener la secuencia de los datos de entrada diezmados leyendo la representación binaria de en forma inversa. Inversión binaria de los datos de entrada.10). Por lo tanto. entonces
Figura 3.43)
ÏÆ .10: Inversión binaria para una señal con Æ secuencia contiene la otra mitad (
Æ ).41)
en sus muetras pares e impares respectivamente.5. La demostración es de la siguiente manera: ÏÆÒ ·
´ ½µÒ . entonces
(3. con
3. El proceso completo implica ÐÓ ¾ Æ etapas de diezmado. requiere Æ ÐÓ ¾ Æ ¾
multiplicaciones [PRO98]. TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT)
(3. el algoritmo de diezmado de tiempo se realiza en dos partes: 1. En resumen. donde para cada diezmado implica Æ multiplicaciones.44)
Este procedimiento también es recursivo de tal manera que pueden volver a diezmarse las DFTs de puntos a DFTs de Æ puntos.
. Inversión binaria de los datos de salida (Transformada).5. al igual que el diezmado de tiempo. Operación de multiplicación y suma sobre los datos de entrada en orden natural. Por lo tanto. el cálculo ¾ de la DFT de Æ puntos por medio del algoritmo FFT de diezmado de frecuencia. 2.
. Con la función
ventana encuadramos la señal alrededor de un instante de tiempo y calculamos su transformada de Fourier. luego trasladamos la función ventana hasta que no se sobrepone con la anterior cubriendo una nueva porción de la señal a la que volvemos a calcular su transformada de Fourier.Capítulo 4 Analisis Tiempo . es decir.1 La Transformada corta de Fourier (STFT) 1
Como ya es sabido.estacionarias o no estacionarias cuyo contenido espectral varía con el tiempo. En otras palabras. la transformada de Fourier posee una muy pobre resolución en tiempo. Todo lo anterior se puede resumir diciendo que la transformada de Fourier tiene una perfecta resolución en frecuencia lo que la hace una herramienta muy útil para el análisis de señales estacionarias . En un esfuerzo por resolver el problema de resolución en tiempo de la transformada de Fourier.Frecuencia
4. podemos conocer todas las componentes de frecuencia existentes en la señal y sus respectivos aportes energéticos. la transformada de Fourier constituye una herramienta mediante la cual podemos obtener información sobre como está distribuida la energía de una señal a través de sus distintas componentes de frecuencia. La forma de dividir la señal se realiza mediante lo que llamaremos una ÙÒ ÓÒ Ø ÑÔÓ Ú ÒØ Ò ´Øµ cuyo ancho o soporte corresponde a la longitud de cada segmentación de la señal. Denis Gabor (1946) adaptó la transformada utilizando un procedimiento llamado Ú ÒØ Ò Ñ ÒØÓ2 . ella no puede ser aplicada con el objeto de obtener información precisa de cuando o donde las diferentes componentes de frecuencia se encuentran en la señal como es el caso de señales quasi . Sin embargo. Este proceso es repetido hasta que se ha cubierto la totalidad de la señal. Este
procedimiento consiste en dividir una señal Ü´Øµ en pequeños segmentos a través del tiempo de tal manera que podamos asumir que para cada segmento la señal es estacionaria y así calcular la Transformada de Fourier clásica para cada porción de la señal.
4.1. el soporte de la ventana constituye un parámetro de gran importancia ya que a través de este podemos establecer el grado de resolución tanto de tiempo como de frecuencia que deseemos. lo que nos da
(4. Si nuestra ventana es muy angosta analizaremos una porción muy pequeña de la señal lo que nos permite
Ahora bien.1)
(4.2) localiza la señal Ü´Øµ cerca de Ø
.1) nos queda
(4. la correspondiente función frecuencia-ventana
función frecuencia-ventana À ´ en (4. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
´Øµ como una función ventana de valores sólo reales no complejos de tal £ ´Øµ entonces (4.1.2)
que calcula el producto interno entre la señal y la función tiempo-ventana trasladada y modulada.3) localiza el espectro
µ. De acuerdo con las propiedades de la transformada de Fourier de translación en tiempo y frecuencia
y utilizando el teorema de Parseval [CHU97] podemos expresar también la STFT en términos de la transformada de Fourier de la señal y la transformada de Fourier de la función tiempo ventana.4.3)
en (4.1 Resolución Tiempo .
Por lo tanto un defecto de la STFT es que no puede entregar una buena resolución tanto en tiempo como en frecuencia de manera instantánea ya que el soporte de la ventana es ﬁjo.1: Señal Ü´Øµ y función tiempo-ventana centrada en tener una buena resolución en tiempo pero una mala resolución en frecuencia ya que conoceremos sólo una mínima fracción del espectro total existente en la señal. Primero supongamos que tenemos una señal Ü´Øµ dentro de un intervalo de tiempo igual a una décima de segundo.
. una correspondiente a 250 Hz y la otra correspondiente a 500 Hz
(4.2) la transformada de Fourier nos entrega una resolución perfecta en frecuencia de dicha señal. La raíz de este problema se basa en el principio de incertidumbre de Heisenberg3 [PED99] [POL96] el cual establece que es imposible conocer una representación exacta tiempo . como era de esperarse. Ahora. sólo podemos conocer que componentes de frecuencia existen dentro de un intervalo de tiempo determinado. supongamos que tenemos otra
La aplicación original de este principio es sobre el momentum y ubicación de partículas en movimiento. no podemos saber que valor de frecuencia existe en un instante de tiempo determinado.4)
señal Ü½ ´Øµ con las mismas componentes de frecuencia sobre el mismo intervalo de tiempo. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4. i.4. si nuestra ventana en muy ancha tendremos una buena resolución en frecuencia pero una mala resolución en tiempo.frecuencia de una señal.1. es decir. Con el ﬁn de dejar más claro el concepto de resolución tiempo frecuencia utilizaremos un ejemplo. Por otro lado. Esta señal esta compuesta por sólo dos frecuencias.e una ventana de ancho inﬁnito es nada más y nada menos que la transformada de Fourier clásica. pero con la diferencia que las primeras 5 centésimas de segundo contienen a la frecuencia de 250 Hz y las otras 5
Como podemos observar en la ﬁgura (4.
(4. Al ser angosta la ventana utilizada podemos observar que la resolución en el tiempo es buena ya que se diferencia claramente la posición en el tiempo de cada componente de
.1. y la función tiempo .5)con la transformada corta de Fourier (STFT).2: (a) Representación de la señal Ü´Øµ . Esta información errónea se debe a que la transformada de Fourier. Debido a esto vamos a volver a analizar la señal de (4.4.6)
donde es el factor que controla el ancho o soporte de . no puede determinar en que momento dentro de la señal se encuentra una respectiva componente de frecuencia. lo que se deﬁne como
¼ × Ò´¾ ¾ ¼Øµ ¼ Ø ¼ ¼ (4.3).5) × Ò´¾ ¼¼Øµ ¼ ¼ Ø ¼ ½ Si aplicamos la Transformada de Fourier sobre Ü ´Øµ observamos que también podemos obtener las
frecuencias existentes de la señal pero con una amplitud igual a la mitad de la amplitud real debido a que cada componente de frecuencia se encuentra sólo la mitad del tiempo de análisis de la señal como se ilustra en la ﬁgura (4. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4. El primer análisis para un valor de
se ilustra en la ﬁgura (4. (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la transformada rápida de Fourier centésimas de segundo restante contienen a la frecuencia de 500 Hz.4). como se expresó en un principio.
Por otro lado la resolución en tiempo se ha empobrecido producto de la mejora en la resolución en frecuencia ya que no se observa una clara separación de la ubicación de cada componente en su respectivo intervalo de tiempo.4.ventana es más ancha y por lo tanto hemos mejorado nuestra resolución en frecuencia ya que el ancho de banda de cada componente ha disminuido permitiéndonos identiﬁcar claramente cada frecuencia. ya que una situación ideal de análisis sería tener una buena resolución en tiempo para frecuencias altas y una buena resolución en frecuencia frente a contenido de frecuencias bajas. El segundo análisis se efectúa para un valor de signiﬁca que nuestra función tiempo .3: (a) Representación de la señal Ü½ ´Øµ . es decir. Este aumento de
¾ ¼ y se ilustra en la ﬁgura (4. se observa que las amplitudes de ambas componentes han disminuido a la mitad de su valor real frecuencia. LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4. (b) Contenido espectral de la señal obtenido mediante la FFT.1. la resolución en frecuencia es bastante pobre ya que para cada componente se observa un ancho de banda amplio lo que impide una detección precisa del valor real de la frecuencia existente en el intervalo de tiempo donde se encuentra. Mediante este ejemplo se ha podido demostrar el problema implícito de resolución de la STFT lo que crea la interrogante ¿Es posible que la función ventana tenga un soporte dinámico y no estático?.5). una función ventana que tenga la capacidad de cambiar su soporte en forma automática dependiendo del contenido espectral del segmento de la señal analizado. el desarrollo teórico y práctico de esta herramienta constituye el foco principal de la siguiente sección. Sin embargo. Para la resolución de este problema existe una herramienta matemática denominada la transformada continua wavelet que fue desarrollada como una alternativa de análisis frente a la STFT.
Figura 4.5: Representación tiempo .frecuencia con buena resolución en tiempo y mala resolución en frecuencia.4: Representación tiempo . LA TRANSFORMADA CORTA DE FOURIER (STFT)
Figura 4.frecuencia con buena resolución en frecuencia y mala resolución en tiempo.1.
4. para que este análisis sea posible y además para poder lograr una perfecta recon-
. entonces podemos deﬁnir
(4.7) en términos de la Transformada de Fourier de Ü´Øµ y como ÏÌ´
(4. Ahora bien. Asumiendo que tanto la señal como la nueva función ´Øµ son de energía ﬁnita. esta transformada utiliza una función ventana que encuadra una señal dentro de un intervalo y focaliza el análisis sólo en ese segmento de la señal.4.7) y (4.6: Función wavelet correspondiente a la familia Daubechies 4 (ver Apéndice). Al igual que la STFT.2 Transformada Continua Wavelet (CWT)
La transformada wavelet constituye una técnica relativamente nueva que ha sido propuesta por los investigadores como una poderosa herramienta en el análisis sobre el comportamiento local de una señal. Ahora utilizando el teorema de Parseval podemos como la Ì Ö Ò× ÓÖÑ escribir (4.8) arriba han aparecido dos nuevas variables y .7)
ÓÒØ ÒÙ Ï Ú Ð Ø. La transformada continua wavelet intenta expresar una señal Ü´Øµcontinua en el tiempo. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
Figura 4. y la variable nos da la ubicación en el dominio del tiempo de . mediante una expansión de términos o coeﬁcientes proporcionales al producto interno entre la señal y diferentes
versiones escaladas y trasladadas de una función prototipo ´Øµ más conocida como Û Ú Ð Ø Ñ Ö .8)
Como se puede observar (4. La variable controla el ancho o soporte efectivo de la función .2.
para valores pequeños de la CWT obtiene información de Ü´Øµ que está esencialmente localizada en el dominio del tiempo mientras que para valores grandes de la CWT obtiene información de ´ µ que está localizada en el dominio de la frecuencia. la función
(4.frecuencia.2. Aunque la CWT trabaja con el término escala en vez de frecuencia. y esto es el porque de su nombre Û Ú Ð Ø o ondita. lo que nos hace pensar que es una función ventana pasabanda en el dominio de la frecuencia ( ya que al menos en la frecuencia ¼ se detiene).
ÓÒ en unidades de frecuencia (tal como Hz). TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
strucción de la señal a partir de la transformada. es una onda deﬁnida sobre un intervalo de tiempo ﬁnito. Con este cambio de variable podemos observar que la CWT localiza tanto la señal Ü´Øµ en el dominio
´ µ en el dominio de la frecuencia en forma simultánea. El cumplimiento de esta condición signiﬁca que el valor medio de es igual a ¼. es decir. lo que a su vez implica obligatoriamente que tenga valores tanto positivos como negativos. para escalas pequeñas la CWT nos entrega una buena resolución en el dominio del tiempo mientras que para escalas grandes la CWT nos entrega una buena resolución en el dominio de la frecuencia. que sea una onda. En particular.10)
´Øµ. es decir.
4. lo que nos dará el grado de resolución con el cual estemos analizando la señal. En lo anteriormente dicho se encuentra la diferencia principal entre la CWT y la STFT. Además como es una función que “ventaniza” la señal sobre un intervalo de tiempo dado por alrededor de un punto Ø se observa intuitivamente que es de soporte compacto. Cuando cambia. En otras palabras.
. ya que la primera ocupa ventanas de corta duración para altas frecuencias y ventanas de larga duración para bajas frecuencias mientras que la STFT ocupa una sola ventana con la misma duración tanto para altas frecuencias como para bajas frecuencias. es posible mediante una con¼ realizar un cambio de variable de una escala a una frecuencia de la forma stante (4.escala que una representación tiempo . tanto la duración como el ancho de banda de la wavelet cambian pero su forma se mantiene igual.2. El hecho que se cumpla (4.1 Variables de escala
Por deﬁnición la Transformada Continua Wavelet es mas una representación tiempo .4.9)
donde © ©´ µ corresponde a la transformada de Fourier de ´Øµ.9) signiﬁca implícitamente que ©´ µ debe tener un rápido decaimiento cuando tiende a ¼.
lo que implica mayor resolución en tiempo.
.2. para una escala grande la wavelet ocupa un mayor segmento de la señal y por lo tanto tiene mejor resolución en frecuencia mientras que para una escala más pequeña el intervalo de tiempo bajo el que se analiza la señal es menor. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
Figura 4.4.7: Se observa el proceso de escalamiento y traslación.
7). en términos de cálculo computacional es imprescindible discretizar la transformada. de tal manera que el conjunto de funciones
(4. Un punto importante es que la función
wavelet se traslada cubriendo toda la señal para cada valor de .4. Por lo tanto. Adelantándonos un poco a lo que es la Transformada Discreta Wavelet. la variable dominio del tiempo.11)
¾ Ø (4. la forma más ¾ común de discretizar los valores de y es utilizar una red diádica[BUR98] [CHU97].12)
que corresponde a la versión diádicamente discretizada de la función wavelet . es decir. esto se esquematiza en la ﬁgura (4. si la escala escogida es pequeña habrán más traslaciones de que si la escala escogida es grande. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
´Øµ sobre el intervalo de tiempo en el que se haya deﬁnido Ü´Øµ. nos da la cantidad por la cual
La continuidad de la CWT reside en que tanto la variable de escala como la variable de traslación varían en forma continua. es decir. y la suposición más lógica es que tanto los valores de escala como traslación sean discretos.
.2. Sin embargo. y
Se observa como cumplen con la condición de admisibilidad al tener un rápido decaimiento a medida que la frecuencia tiende a ¼. TRANSFORMADA CONTINUA WAVELET (CWT)
Figura 4.9: Diferencia tiempo .8: Función Wavelet Mexican Hat y Morlet con sus respectivas Transformadas de Fourier (gráﬁcos de la izquierda).
.frecuencia v/s tiempo -escala entre la STFT y la CWT.
Figura 4.2.4.
llamada wavelet madre o wavelet generadora. mediante una de las funciones o mediante ambas. Con estas dos funciones podremos aproximar cualquier función o señal ´Øµ ¾ Ä¾ ´Êµ.1 Características de sistemas wavelet
El set de expansión wavelet no es único. probaremos que es un “buen” sistema wavelet y dejaremos ver ventajas y desventajas de esta wavelet. que da a luz a una familia de funciones de la forma:
(5. Deﬁniremos la función escala y la wavelet. Luego analizaremos el sistema Haar. que es la más antigua y simple de todas.
(5. daremos exigencias para estas y demostraremos sus propiedades.
5. pero todos tienen las siguientes características (adaptadas de [TAM99]): 59
5.Capítulo 5 Sistemas Wavelet.1 Sistemas wavelet de primera generación
Los sistemas wavelet de primera generación son todos aquellos que sean generados sólo por traslaciones enteras y escalamientos de una única función wavelet ´Øµ.1)
donde el factor ¾ ¾ mantiene una norma constante independiente de la escala . La wavelet madre ´Øµ.
En este capítulo estudiaremos los sistemas wavelets de primera generación.1. trae siempre asociada consigo una función escala ´Øµ. existen muchos y muy diferentes sistemas wavelet. de la forma Esta familia de funciones es llamada el set de expansión wavelet.
mediante un algoritmo en forma de árbol. que suele ser una base para alguna clase de señal de una o más dimensiones. Debido a que existen muchos wavelet. donde la localización y forma de la ﬁgura musical nos dice cuando ocurre el tono y cual es su frecuencia. si el set de expansión esta dado por
. un coeﬁciente de expansión wavelet representa un componente bien deﬁnido en un intervalo de tiempo.
(5. 4. 5. 3. Este conjunto es una expansión bi-dimensional. Los wavelets son ajustables y adaptables. una expansión lineal puede ser
para algún conjunto de coeﬁcientes . como un conjunto de ladrillos (que para cada sistema pueden tener diferente forma) que sirven para reconstruir o representar una señal o función. El tamaño de los coeﬁcientes de expansión wavelet disminuye rápidamente con y . pues como veremos más tarde estos cálculos se remiten sólo a multiplicaciones y sumas.1. llamado banco de ﬁltros.
Debido a esto wavelet es una efectiva herramienta en compresión y denoising(limpieza) de señales. La expansión wavelet entrega una localización tiempo-frecuencia instantánea de la señal.1 6. La generación de wavelets y el cálculo de la Transformada Discreta Wavelet es bien realizada por una computadora. Un sistema wavelet puede describirse de una manera “amigable”. un conjunto conjunto de señales puede ser representado por una suma de ´Ø µ más amplio de señales (que incluye el conjunto original) puede ser representado por una suma ´¾Ø µ ¾ . Esto signiﬁca que si un ¾ . estos pueden ser diseñados para adaptarse a una aplicación particular. Esto quiere decir que . 7. esto es. representación que puede explicarse como un pentagrama musical. Los coeﬁcientes de más baja resolución pueden ser calculados a partir de los coeﬁcientes de más alta resolución.3)
2. la mayor parte de la energía de la señal es bien representada por unos pocos coeﬁcientes Mientras un coeﬁciente de Fourier representa un componente que dura todo el tiempo en que se extiende la señal. Esto permite un muy eﬁciente cálculo de los coeﬁcientes de expansión (también conocida como la Transformada Discreta Wavelet).
. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
1. un coeﬁciente wavelet es en sí bien localizado en el tiempo. En otras palabras. Los sistemas wavelet satisfacen las condiciones de multi-resolución.5.
lo que nos entrega
. una función escala. lo que nos entre ½ ½´Øµ
esta última ecuación se demuestra multiplicando vectorialmente (5. y uno de ellos es ser ortonormal.1.1. que trasladada y escalada genera una familia de funciones ´Øµ ¾ deﬁnida como:
(5.5) por ga:
pero como veremos luego. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
5.2 Función escala
´Øµ ¾ Ä ´Êµ.4)
½).5.5)
´Øµ ´Øµ Ø ´Øµ . la función escala debe cumplir con ciertos requisitos.
SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
5. existe un subconjunto del dominio de ´Øµ
donde esta no es cero. Una función ´Øµ ¾ Ä¾ ´Êµ es considerada como una “buena” función de escala si cumple con las siguientes condiciones (tomadas de [BUR98]): 1.1. La función
´Øµ tiene soporte compacto. ×ÙÔ Ü¾ ´Üµ ¼ .
2.1 Características de una función escala. La normalidad exigida en la condición 1 se demuestra como:
. i.2. Para cada
.5. o sea
Ä¾ ´Êµ. Los subespacios Î están anidados. Esto es.e.
6)). ple. comenzando por la más sim-
Î ·½ µ ´Øµ ¾ Î (primera implicación de (5. debería darse que ¼ ¼ ´Øµ tenemos que Î
Î ·½ (segunda implicación de (5.
´Øµ ¾ Î . Como
(5.6)).1. o lo que es lo mismo ´Øµ ¾ Î ¸ ´Øµ
. ´Øµ ¾ Î¼ y como por hipótesis Î¼ Î½ .5. El anidamiento de los espacios se puede expresar como:
Proposición 1. SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
La condición 2 nos dice que los subespacios Î incluyen más funciones de Ä¾ ´Êµ a medida que crece.6)
como veremos más tarde. llamados Ô coeﬁcientes de función escala (o ﬁltro de escalamiento o vector de escalamiento) y la ¾ mantiene la
llamada ecuación básica de recursión o ecuación de escala.7)
´Øµ tiene soporte compacto sobre ¼ Ø Æ ½. entonces ´Òµ también tiene sobre ¼ soporte compacto sobre ¼ Ø Æ ½.
´Øµ es una función escala como se deﬁne en (5. por lo que la máxima longitud de la secuencia ´Òµ es Æ
Proposición 2.5. tal que una suma de ´¾Øµ ajustada y trasladada como
(5. sólo un número ﬁnito de términos en la sumatoria son distintos de cero. Si
.1.7). que tiene soporte compacto Ø Æ ½ y ´¾Ø µ ¾ es base ortonormal para Î . intercambiamos sumatorias en la ultima expresión
lo que implica que existen coeﬁcientes ´Òµ Ò¾ . SISTEMAS WAVELET DE PRIMERA GENERACIÓN
debido a que. donde normalidad de la función escala en Î½ . los coeﬁcientes ´Òµ pueden ser una secuencia de números reales o complejos.
por lo que podemos intercambiar la sumatoria con la integral
por lo que queda demostrada la proposición 2.1.1. Tenemos entonces por (5.7) que
como por hipótesis ´Øµtiene soporte compacto.3 Función Wavelet
como el complemento ortogonal de Î en Î ·½ . entonces quedaría
y como por hipótesis la integral de la derecha es cero para Ò demostrado que ´Òµ tiene soporte en ¼ Ø Æ ½. Mostraremos que
´Øµ ´¾Ø Òµ Ø ¼ y Ò Æ ½. sólo ﬁnitos coeﬁcientes son no nulos. esto signiﬁca que todos los miembros de ortogonales a todos los miembros de Ï .
5. Entonces se requiere que
Demostración.5.
´Øµ ´Øµ ¾ Ï .5. entonces ´Øµ ¾ Î . ´Øµ.1. y como Î Î Ï .8)
. que llamaremos Û Ú Ð Ø Ñ Ö se puede representar como Ô ´Øµ ¾ ´Òµ ´¾Ø µ
Ä¾ ´Êµ. calcularemos sus coeﬁcientes y luego
6.1 Función Haar Escala
´Øµperteneciente a Ä ´Êµ.1).1)
Esta función la denominaremos función de escalamiento. esto es. 67
.1: Función Haar de escalamiento.Capítulo 6 Wavelet Haar
Comenzaremos este capítulo desarrollando la teoría wavelet en tiempo continuo para la wavelet Haar. descompondremos una función continua ´Øµ ¾ la reconstruiremos en diferentes grados de resolución. deﬁnida de la siguiente forma:
(6. Deﬁnimos entonces un conjunto de funciones de escalamiento en términos de traslaciones enteras de la función básica de escalamiento ´Øµ:
Figura 6. que gráﬁcamente es representada como se muestra en la Figura (6.
6.5) debe ser cero para cumplir con la condición de ortogonalidad.2) y (6. El superrayado denota clausura. es decir
(6. Para un rápido cálculo de estos coeﬁcientes es necesario que cuestión. deﬁniremos
´Øµ sea ortonormal.4)
o sea.5) están deﬁnidas en distintos intervalos de tiempo. entonces tenemos
(6. Para probar esta propiedad de la familia de funciones en ´Ø Ñµ ½ × Ø Ñ Ø Ñ·½ Ø ¼ ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó
desde ½ a ½ . cualquier función ´Øµ que esté en ¼ puede ser representada por una combinación lineal del conjunto de funciones ´Øµ con sus respectivos coeﬁcientes . esto signiﬁca que
(6.2) y (6.5)
entonces el producto punto entre (6.2)
esto es fácilmente demostrable ya que (6. FUNCIÓN HAAR ESCALA
Ø¾ deﬁnida sobre el intervalo [-3.1.
(6. Sea entonces
por (6. mediante la función de escalamiento ´Øµ ÓÒ Ø ¾
´Øµ Ø .3]. como una combinación lineal de la forma
´Øµ ´Øµ Ø ´Øµ.2)
(6.con lo que sólo nos resta demostrar la
normalidad de este conjunto de funciones.10)
Representar la función ¿ ¾ .
¿ ¿ .6.
´Øµes ortogonal. FUNCIÓN HAAR ESCALA
Ahora calcularemos el coeﬁciente ¿ para lo que haremos la multiplicación vectorial de por (6.16)
(6. por lo que todos los productos puntos de la parte derecha de (6.13) serán cero.17)
donde los límites de integración fueron calculados a partir de (6.1.13)
como demostramos anteriormente.11)
(6. excepto ¿ ´Ø · ¿µ ´Ø · ¿µ
(6.1. por lo que todos los productos puntos de la parte derecha de (6.21) serán cero.25)
.6.20)
´Øµes ortogonal.2)
´Ø · ¿µestá deﬁnida sólo en [-3.23)
donde los límites de integración fueron calculados a partir de (6. excepto ´Ø · ¾µ ´Ø · ¾µ
como demostramos anteriormente.
´Øµ ¾ Ä ´Êµ y ´Øµ sea ortonormal.
de escalamiento. Calcularemos entonces los coeﬁcientes restantes
.27) puede ser calculado (6.33)
en la tabla (6. podemos reconstruir lo que nos entrega la gráﬁca mostrada en la Figura (6. FUNCIÓN HAAR ESCALA
´Ø · ¾µesta deﬁnida sólo en [-2.1) se encuentran todos los coeﬁcientes calculados Ahora que tenemos los seis coeﬁcientes buscados.6. que además de tener las capacidad de trasladarse.31)
(6. debemos ser capaces de crear una nueva familia de funciones.26)
(6.1) Para una mejor representación de cualquier señal perteneciente a mediante (6.1.28)
siempre que ocupando (6.11). puedan también ser escaladas para lograr así una mejor resolución.
Figura 6.1: Coeﬁcientes de reconstrucción para la función de escalamiento.33 0.3: En esta ﬁgura apreciamos que la aproximación realizada por la función de escalamiento es bastante burda.33 0.
.33 2. debido al espacio en que trabajamos.1.33
Tabla 6.33 6.6. FUNCIÓN HAAR ESCALA
valor obtenido 6.
12) a (6.1.6. y
¿ ¿ .34)
ËÔ Ò Ä ´Êµ generado por (6.
(6.34).
donde los límites de integración están dados por (6. mediante la familia de funciones
´Øµ. o lo que es lo mismo. ½.35) es un subespacio de
´Øµ es la función básica de escalamiento trasladada y escalada.34)
de manera análoga al ejemplo 1 (revisar desde la ecuación (6.
08 0.2) en la ﬁgura (6. Demostraremos ahora que esto no ocurre solo en ½ .36)
(6.6.37)
Tabla 6.58 1.4) se muestra la reconstrucción de usando
6.08 5.1.58
Ø¾ .2: Coeﬁcientes de reconstrucción para
los demás coeﬁcientes serán calculados de la misma forma.1.58 0.58 3.58 5.1 Relación ortogonalidad y normalidad
Del ejemplo anterior se puede observar que para ½ los coeﬁcientes quedaban divididos por 2. lo que indica que las funciones de escalamiento de este subespacio no son ortonormales.08 1. utilizando utilizando la función de escalamiento en ½ . estos son mostrados en la tabla (6.08 0.58 0. si no que en todo
(6.08 3. FUNCIÓN HAAR ESCALA
coeﬁcientes valores obtenidos 7.08 7.
4: En esta ﬁgura se presenta una clara mejoría en la resolución de la representación de la función cuadrática. Con esta mejora de
queda demostrada entonces la no normalidad de esta familia de funciones. para multipliquemos las funciones base por un número cualquiera Ö
con lo que obtenemos lo que denominaremos la constante de normalización.
¼.6. por lo tanto debemos encontrar una constante que nos permita hacer estas funciones ortonormales. FUNCIÓN HAAR ESCALA
Figura 6. entonces.38)
´Øµ.6.39)
se escogen ½ ¼ ´Øµ y ½ ½ ´Øµ ya que necesitamos cumplir con el intervalo de tiempo en que está deﬁnida ´Øµ. esto es. Calculemos
calada y trasladada. estaremos hablando de (6.1. y de acuerdo con () una combinación lineal de ella misma. es que puede ser representada por Una importante propiedad de la función de escalamiento ½.40)
(6. como se muestra en (6.34). FUNCIÓN HAAR ESCALA
´Øµ. Si elegimos
(6. trasladada y escalada. ½ ¼ ´Øµesta deﬁnida en Ø ¾ ¼ ¼ µ y ½ ½ ´Øµ esta deﬁnida Ø ¾ ¼ ½µ. como sigue
entonces tenemos que la función básica de escalamiento puede ser representada por sí misma.
Î¼ . tal que
6.2 Función Haar Wavelet
Como se observó en la sección anterior.6.45)
respectivamente.46)
Como ya sabemos que los espacios Î¼ y Î½ son ortogonales y por lo tanto cualquier espacio Î con ¼ ¦½ ¦¾ también lo es. no incrementado el tamaño del espacio de las funciones escalamiento. Ahora bien. y calculando los coeﬁcientes
funciones levemente diferentes a las funciones escalamiento. puede ser representada
Ô Ô ´½µ ¾ ´¾Øµ · ´¾µ ¾ ´¾Ø ½µ (6. y se deﬁne de la forma
´Øµ.44)
(6. que representen la diferencia que existe entre un espacio Î y un espacio Î ·½ . se obtiene una mejor aproximación de la señal utilizando las funciones de escalamiento que ocupan el espacio Î½ que utilizando la función escalamiento que
ocupa el espacio Î¼ .41)
por lo que ya estamos en condiciones de decir que el espacio Ï¼ corresponde al complemento del espacio Î¼ en el espacio Î½ . la función que expande el espacio Ï¼ se conoce como función wavelet.
.43) por ¾ ´¾Øµ y luego por ¾ ´¾Ø ½µ. las características de una señal pueden ser mejor descritas. Sin embargo.43) Ô Ô de tal manera que al realizar el producto interno de (6.
.2. al igual que con la función escalamiento.48)
que corresponde a la misma función pero desplazada en el tiempo por una constante . es posible obtener una representación de la diferencia que existe entre aproximar una señal con un nivel de resolución y aproximar la
(6. puede ser demostrada en forma análoga a como se demostró con la función de escalamiento.5: Función wavelet en Ï¼ como combinación lineal de las funciones escalamiento que expanden Î½ y Î¼ .49)
con lo que se da por ﬁnalizada la demostración. Si nos deﬁnimos la función wavelet como
ortogonal.entonces realizando el producto punto deﬁnimos de la misma forma otra función Ñ ´Øµ con Ñ entre ellas de la forma
(6.6. Por lo tanto. mediante el producto interno de esta señal con un set de funciones que expandan el espacio Ï donde será elegido de acuerdo al grado de aproximación que se desee.
misma señal con un nivel de resolución · ½.La propiedad de ortogonalidad de Ï¼ y por ende de la función wavelet ´Øµ. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Figura 6. y nos .
(6.56) nos entregan dos coeﬁcientes. La resolución de las integrales de (6.50)
ahora. para calcular el primer coeﬁciente
´Ø · ¿µ con (6.
¾ ¿ ¾µ.56)
.2.55)
y para ´Øµ ¼ la solución es trivial.52) serán cero.55) y (6. todos los productos puntos de ´Ø · ¿µ .54)
(6. y por lo tanto
(6. por lo tanto la parte derecha de (6. los cuales son
entonces. excepto ½ ´Ø · ¿µ
(6. como demostramos anteriormente que ´Øµes ortogonal. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Aproximar la función función escalamiento.51)
Realizando el cálculo de los otros coeﬁcientes en forma análoga. observamos sus resultados en la tabla (6.3: Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï¼ .6). donde
haar y la parte negativa de la función wavelet haar respectivamente (ﬁgura (6.5
Tabla 6. mediante la familia de funciones
Representar esta función Ø¾ para ½. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Coeﬁcientes Valores Obtenidos 2.
½. signiﬁca que obtendremos una aproximación de ella en el subespacio Î½ .3) y en la ﬁgura (6. por lo tanto la representación de ´Øµ Ø¾ mediante la combinación lineal de ½ ´Øµ.5 -2.5 0.5 -0.
¾ ¿ ¿ .5 1.6.2)).6: Aproximación de la señal Ø¾ mediante las función wavelet del espacio Ï¼ .5 -1.
(6.51). entonces.4)) que corresponden al doble de coeﬁcientes obtenidos en el ejemplo anterior. y que para Ï½ los coeﬁcientes quedaban divididos por 4.60)
El resto de los coeﬁcientes se calcula en forma análoga. el valor Ô de Ö debe ser ¾ y el valor de Ö debe ser ¾.53)).6.61) debe dar 1 para que ´Øµ y ´¾Øµ sean ortonormales.2.2.52) y (6.58)
el cálculo de los coeﬁcientes se realiza de forma análoga al ejemplo anterior (ver (6.
6. Por lo tanto debemos encontrar una constante que nos permita hacer estas funciones ortonormales. para Ï¼ multipliquemos las funciones base por un número cualquiera Ö¼ y de forma análoga llevémoslo a cabo para Ï½ con Ö½ .59)
(6. podemos observar que es posible escribir Ö en
. La representación de la función original a través de estos coeﬁcientes puede observarse en la ﬁgura (6. de tal manera que
¦ (6.7). obteniéndose al ﬁnal una cantidad de 12 coeﬁcientes (tabla (6. lo que indica que las funciones wavelets de estos subespacios no son ortonormales. FUNCIÓN HAAR WAVELET
(6. de tal manera que nuestro primer coeﬁciente lo podemos expresar como
(6. Además.1 Relación ortogonalidad y normalidad
De los ejemplos anteriores hay que observar que para Ï¼ los coeﬁcientes quedaban divididos por 2.61) ¦ entonces como sabemos que (6.
13 -0.87 -1.
.6.13 0. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Valores Obtenidos 1.13 -0.37 0.37 -0.2.4: Coeﬁcientes obtenidos para la representación de la señal Ø¾ con la Haar Wavelet en el espacio Ï½ .87 0.37
Tabla 6.63 0.7: Representación de la función
Ø¾ en el subespacio Ï½ .37 1.63 -0.
Figura 6.13 -1.
. De esta manera. y Ï es un subespacio de Ä¾´Êµ generado por (6.62).63)
donde ´Øµ es la función wavelet base trasladada y escalada. Por lo tanto para un subespacio Ï podemos establecer que Ô Ô Ô Ô ¾ £ ¾ £ ¾ ×Ø Ð × Ñ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÔÓÖ ¾
con lo que obtenemos lo que denominaremos la constante de normalización. FUNCIÓN HAAR WAVELET
Ô Ô ¾ £ ¾. ya estamos en condiciones de deﬁnir un set de funciones bases ortonormales mediante escalamiento y traslación de la forma
(6. al igual que las funciones escalamiento.62)
o lo que es lo mismo. como condiciones para una “buena” función escala. ´Øµ
Esta función esta bien localizada tanto en tiempo como en frecuencia.1 Principios de Multi-Resolución
El análisis multi-resolución consiste básicamente en aproximar una función ´Øµ en distintos niveles de . que expande ´Øµ como: de ella misma. Ahora los daremos como requerimientos básicos para este tipo de análisis.Capítulo 7 Análisis Multi-Resolución
7. y translaciones y escalamientos ´Øµ ¾ . lo que nos entrega una descomposición multi-escala de la forma: resolución ½ ´Øµ ¾ ´Øµ ¿ ´Øµ
donde cada ´Øµ ´Øµ representa el error en que se incurre al aproximar ·½ ´Øµ mediante ´Øµ. la ﬂuctuación entre dos niveles sucesivos de resolución. de la forma:
. Un análisis multi-resolución requiere un anidamiento de los espacios generados por las funciones escala. generan una base
son coeﬁcientes escalares llamados coeﬁcientes wavelet. En este análisis empleamos una función
´Øµ cuidadosamente escogida según la señal a analizar.
7).1) queda como
. Así tenemos que
esta ecuación puede verse de otra forma aplicando (5.1)
entonces (7.1. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
Así el espacio que contiene las señales de más alta resolución contiene también las de más baja resolución. Como una forma práctica de mostrar esta propiedad representaremos la función escala de Haar mediante versiones escaladas y trasladadas de ella misma. Debido a la deﬁnición de [BUR98]
Î . estos espacios cumplen con la siguiente condición de escalamiento
lo que nos asegura que los elementos de un espacio son simplemente versiones escaladas de los elementos del siguiente espacio.7. entonces
escalada más otra versión de ella misma escalada y trasladada. Î¾ . No obstante una mejor representación de la señal es obtenida. llamado espacio wavelet. Lo anterior puede expresarse de la siguiente
de otra forma. Ï½ y Ï¾ .1: Espacios anidados generados por la función escala. como el complemento ortogonal de Î en Î forma
. donde podemos apreciar que dentro del espacio Î¿ se encuentran contenidos Ï¾ . Ï¼ .7. Î½ y Î¼ .3). Î¿ esta conformado por Î¼ .
Esta residencia de los espacios wavelet en los espacios de escalamiento se muestra en la ﬁgura(7. Así la familia de funciones
donde el super-rayado denota clausura. función ´Øµ. En la ﬁgura (7.1. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
Figura 7. o dicho Debido a esto el espacio Î¿ puede ser representado de la forma
. si no que al deﬁnir un nuevo espacio Ï .1) se muestra la relación entre los espacios expandidos por las funciones escala en sus distintos niveles de resolución. como se muestra en la ﬁgura (7. no mediante el aumento de .2).
1.3: Espacios wavelet. por la función escala en distintos espacios.
Figura 7.2: Representación de la función sin(t). PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
escalas más gruesas entrarían en juego. la resta tendera a cero. lo que nos lleva a la siguiente ecuación
Esto nos muestra de nuevo que podemos escoger cualquier resolución para nuestro espacio inicial.3)
´Øµ. como
Como podemos ver en (7. Ahí se puede observar que a partir del espacio Ï¿ los coeﬁcientes wavelet se concentran en puntos donde la función tiene pendiente distinta de cero. junto con la amplitud del coeﬁciente wavelet. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
Lo que se puede hacer extensible a todos los espacios siguientes. donde
(7. En la ﬁgura (7.1. Como Ï¼ Î½. por lo que la función escala puede Ô ´Òµ ¾ ´¾Ø Òµ Ò¾ (7.7. por ejemplo
Î¼ es el espacio inicial. la función La función que expande el espacio Ï es la wavelet madre wavelet ´Øµ puede ser representada por una suma de funciones escala. dependiendo su elección del análisis que se realize y de la señal en cuestión.2) hemos representado el espacio Ä¾ solo con espacios wavelet. el detalle. escaladas y trasladadas. que como veremos más tarde se obtiene de la resta de dos muestras sucesivas de la función discreta.4)
. y los espacios Ï
irán entregando información más detallada de la señal a medida que crece.
´Øµ. Esto se debe a que los wavelet detectan los cambios de la función. Al tomar j=-½ tenemos
De esta manera podemos tomar una escala negativa para el espacio inicial. La escala que se use para expandir el espacio inicial será una decisión del ingeniero. de la
(7. expandido por la función escala
´Ø µ. por lo que en los puntos donde la pendiente es más suave.4) vemos proyecciones de una función en diferentes espacios wavelet. Así podemos representar nuestro espacio Ä¾ partiendo de una . como
¨Ï ¨Ï ¨ ½. ya que Î Î . lo que nos entregaría resolución más alta.
. usando el sistema Haar. PRINCIPIOS DE MULTI-RESOLUCIÓN
Figura 7.4: Proyección de una función en diferentes espacios wavelet.1.
la variable nos dirá en que espacio wavelet esta trabajando nuestra función madre.
7. El detalle en los distintos espacios wavelet se muestra en la ﬁgura (7. si no que al combinar con la función escala una función Wavelet . ¾Æ es la longitud de la señal ´Òµ.1.2 Transformada Discreta Wavelet (DWT)
Hemos dicho ya que una mejor representación de una señal se obtiene no mediante un aumento del espacio Î . Esto es análogo para la función escala. que se observa en (7. es la traslación en Ø y ¾ mantiene constante la norma de la wavelet en difer¾ ¾
entes escalas. los coeﬁcientes
Por ejemplo.5) donde ¾ es la escala de Ø. Como podemos observar.7. cuestión de suma importancia en el momento de hacer una descomposición eﬁciente. ya que no tiene sentido representar una señal que se encuentra en un espacio Î Ò en el mismo espacio. y dependiendo de este ¼ es que el resto de los índices seguirán corriendo.2) con una correcta notación para y
(7.6). La ecuación llamada transformada discreta wavelet (DWT). ecuación que no muestra ningún método para hacer correr las sumatorias involucradas.6)
son los coeﬁcientes de escala. con todas las características que se enuncian en la sección 7. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
Esta última ecuación es la ecuación de recursión que vimos en el capitulo 5 en (5.2. no es más que (5. tenemos
´Øµ ¾ ´¾ Ø µ (7.2).7).5) podemos ver más claramente como mejora la resolución de una representación al cambiar a un espacio escala más grande o de más alta resolución. Esta longitud limitará el nivel de descomposición de una señal. En la ﬁgura (7.
espacio inicial ÎÂ¼ que será el espacio de menor resolución.6). Deﬁnimos antes (5.
. para una función ﬁnita de largo Æ .
Figura 7.2.5: Al lado izquierdo vemos la representación de una función mediante el sistema Haar en distintos espacios Î .
. De abajo hacia arriba tenemos desde el espacio Î¼ hasta el Î . y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama.
Figura 7. y al lado derecho vemos representados estos espacios por la parte sombreada del diagrama.6: Al lado izquierdo vemos el detalle de una función.2. obtenido mediante el sistema Haar en distintos espacios
Ï . De abajo hacia arriba tenemos desde el espacio Ï½ hasta el Ï .
intervalo que trasladaremos a ¼ ½ con el ﬁn de trabajar en el mismo dominio de la función escalamiento y la wavelet haar.11)
. como una forma de hacer ver la diﬁcultad de realizar este cálculo a mano. están deﬁnidas de la siguiente forma:
(7. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
Desarrollaremos ahora la DWT para el sistema Haar. la cual al ser sampleada a una frecuencia de ¾ ÀÞ se transforma en la función por tramos con Ø ¾ ¼ ¾ . ¾¿ Tomemos la función ´Øµ × Ò´Øµ.9) y (7. funciones que utilizaremos para descomponer y luego reconstruir la señal ´Øµ. la Haar y su función de escalamiento.8)
(7.6) y desarrollamos la sumatoria para
(7.7. y luego entraremos en la teoría de banco de ﬁltros que aliviará en forma sustancial el trabajo realizado.2.10)en (7. La wavelet más antigua y simple.10)
ahora si reemplazamos (7.9)
Ahora que tenemos la ecuación matricial (7.13) podemos obtener el valor de los coeﬁcientes que nos ayudarán a reconstruir la señal original.11) . y cada ﬁla representa cada uno de los intervalos de tiempo en
que la función ´Øµ esta descompuesta.7. i. Ahora este mismo coeﬁciente en la ﬁla 2 es ¾¼ ´Øµ ¾ en Ø ¾ ¼ ½¾ ¼ ¾ . en la ﬁla 1 tenemos el valor de cada uno de los coeﬁcientes en Ø ¾ ¼ ¼ ½¾ . ¾¼ ´Øµ ¾´¾ ¾µ ´¾¾ Ø ¼µ ¾ ´¾Ø ¼µ ¾ en Ø ¾ ¼ ¼ ½¾ . ya
donde los componentes de cada ﬁla de la matriz 8x8 representan los valores de ¼¼ ´Øµ y ´Øµ en el mismo orden en que aparecen en (7. y en todas las otras ﬁlas ¾¼ ¼.e .2. esto es.13)
(7.g. e.
Esto será de gran importancia en la limpieza y compresión de señales.12) y
¼. como lo veremos en el capítulo siguiente. y el resto sólo coeﬁcientes wavelet.7. Ahora que conocemos el procedimiento para calcular los coeﬁcientes. TRANSFORMADA DISCRETA WAVELET (DWT)
donde es la matriz 8x8 de la ecuación (7. así tenemos que
Hemos logrado aquí descomponer la señal discreta hasta ser representada sólo por un coeﬁciente escala o de aproximación.16)
(7. descompondremos la señal para distintos espacios iniciales Î ¼ :
3. Como podemos observar la última descomposición nos entregará una reconstrucción perfecta de la señal original. es que permite el diseño y aplicación de rápidos algoritmos para el cálculo computacional.3.17)
en el cual reside la señal original.18)
. Sin embargo. Supongamos que tenemos una señal ´Øµ ¾ Ä¾ conocida para todo Ø (o para una discretización en el dominio del tiempo lo suﬁcientemente densa). TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
(7. debido a que fue representada sólo con funciones escala pertenecientes al espacio al cual pertenece la señal original. hasta llegar a representar la señal original solo con coeﬁcientes escala. El gran tamaño de los cálculos matemáticos hace necesario buscar una manera eﬁciente de realizar la DWT. entonces de acuerdo con la propiedad de MRA1
(7.7. se aplica sobre muestras de datos digitales de una señal perteneciente al dominio análogo.1 Representación de señales
El análisis de señales mediante la transformada continua wavelet (CWT) está deﬁnido sobre señales análogas de energía ﬁnita.
7. tal como su nombre lo indica.
estaremos disminuyendo los coeﬁcientes wavelet. el procesamiento digital de señales.3 Transformada rápida Wavelet (FWT) y banco de ﬁltros
Una de las principales razones por las cuales la transformada wavelet es una potente herramienta matemática para el análisis de señales. es por eso que debemos conocer la teoría de banco de ﬁltros que nos guiará a la obtención de la transformada rápida wavelet (FWT).
En otras palabras.7: (a) Señal original. De hecho. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7.2 Descomposición de señales unidimensionales (Análisis)
El principal objetivo de la descomposición de una señal mediante la DWT se basa en que. (c) Modelo en el dominio análogo. la importancia de la representación de señales mediante funciones escala es que los algoritmos diseñados para la transformada discreta wavelet se aplican a datos de entrada que han sido modelados mediante una función escala.
es posible aproximar tan cerca como se desee mediante un modelo Ò ¾ ÎÒ con Ò ¾ Ê.3. es decir
Uno de los métodos más efectivos para realizar este modelamiento es la que consiste en que los coeﬁcientes Ò sean escogidos de tal manera que representación discreta ´ ¾Ò µ para Ø ¾Ò .7.19)
creto o digital. un modelo Ò de una señal análoga correspondera a un set de valores discretos cuya longitud será de Æ ¾Ò. de acuerdo a lo expuesto en la sección anterior.3. siendo el modelo Ò ¾ ÎÒ una representación de la señal original
. son aplicados sobre el set de coeﬁcientes
(7. es decir. (b) Modelamiento de sampleos digitales mediante la función Haar escala con una longitud
. ya que el intervalo de tiempo dado para cada sampleo está controlado por una potencia de 2.21)
(7.7.23)
(7.21) podemos representar una señal unidimensional de energía ﬁnita mediante los coeﬁcientes Ò como
De la ecuación básica de recursión (5. Utilizando (7. sino más bien con los coeﬁcientes relacionados a estas funciones.30)
. es posible escribir
Ahora bien el desarrollo de bancos de ﬁltros y el diseño de rápidos algoritmos no se relaciona en forma directa con las funciones escala y wavelet.22)
(7.19) y (7.7) podemos obtener una representación tanto para como para ´¾Ò ½ Ø µ
(7. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
mediante funciones escala solamente (apropiadas para un análisis multi-resolución). Entonces. el primer paso en la descomposición es poder encontrar los coeﬁcientes Ò ½ y en términos de Ò .
(7. las integrales son idénticas y corresponden al coeﬁciente Ò Ñ .36)
La operación realizada por (7.35) y (7.34). si tenemos una señal de 1024 muestras obtendremos una aproximación y un detalle de la señal original.27) y (7. y por otro lado el detalle de la señal representado por los coeﬁcientes wavelet reescribir (7.3. En otras palabras.28) y haciendo un cambio de variable Ñ nos da
(7. cada uno con una longitud
.36) corresponde a una convolución discreta [CHU97].31)
(7.26) de la forma
. nos daremos cuenta que nuestros datos de salida estarán comprendidos por el doble de datos de entrada. podemos
(7.33) y (7. al aplicar esta operación sobre una señal digital real. Por lo tanto. Más especiﬁcamente corresponde a un ﬁltro pasa-bajo y ½ a un ﬁltro pasa-banda.7.34)
Podemos observar que en las ecuaciones (7.37)
El hecho de que los coeﬁcientes escalares representen la forma general de la señal original y los coeﬁcientes wavelets el detalle se debe a que los coeﬁcientes y ½ actúan como ﬁltros digitales.32)
(7. La secuencia de entrada dada por Ò es convolucionada con y ½ para obtener por una lado una representación más “suave” de la señal original caracterizada por los coeﬁcientes escala Ò ½ . TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
que reemplazando en las integrales de (7.35)
(7. Sin embargo. de tal manera que hemos logrado establecer la representación de los coeﬁcientes escala y wavelets en un nivel de resolución más bajo en términos de los coeﬁcientes escala en un nivel de resolución más alto
La otra mitad de la historia consiste en como recuperar la señal original sin pérdida de información a partir de las componentes obtenidas durante el análisis. una vez realizada la convolución discreta sobre el set de datos de entrada se aplica una operación denominada ×Ù × ÑÔÐ Ó2 que realiza un diezmado
Ü¾Ò . es decir. lo que se desea hacer es poder representar los coeﬁcientes escala en un nivel de resolución más alto mediante una combinación de los coeﬁcientes escala y wavelets en un nivel de resolución más bajo.37) obtenemos una nueva expresión para de la forma
7.8). de 1024 datos también. En otras palabras. A este proceso de reconstrucción se le denomina síntesis y corresponde a la inversa de la transformada discreta wavelet (IDWT). Para lograr esto observemos que si utilizamos la ecuación de recursión (5.3. toma una señal ÜÒ y produce una salida ÝÒ los valores de índice impar.38)
.8: Descomposición wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia abajo representa la operación de subsampleo.3 Reconstrucción de señales unidimensionales (Síntesis)
Hemos visto como trabaja la DWT para analizar o descomponer una señal. Para resolver este problema. Una descripción esquemática de lo anteriormente expuesto se ilustra en la
Figura 7.7. descargando todos de la señal original.7) para reemplazar ´¾Ò ½ Ø Ñµ y ´¾Ò ½ Ø Ñµ en (7.
(7.Síntesis
Los procesos explicados en las dos secciones anteriores. en la síntesis se realiza un ×ÙÔ× ÑÔÐ Ó3 y posteriormente un ﬁltrado. el de análisis y síntesis. El supsampleo es una operación que inserta ceros entre cada sampleo con el ﬁn de aumentar al doble la longitud de las componentes de entrada (coeﬁcientes de aproximación o escala y coeﬁcientes de detalle o wavelet) de tal manera que la señal obtenida después del ﬁltrado tenga la misma longitud que la señal original.42)
Así como en el análisis se hace un ﬁltrado y un subsampleo.
entonces de acuerdo con (7. Este proceso se puede observar en la ﬁgura (7.39)
7.4 Múltiples Niveles Análisis .3.7.3.41)
(7.39) se tiene que
(7. constituyen lo que se denomina un sistema de banco de ﬁltros de 2 canales.40)
(7. Estos procesos son iterativos de tal manera que en
.9) .
10).3. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Figura 7.7. obteniéndose como resultado una mejor aproximación a la señal correspondiente al primer nivel de reconstrucción. lo que signiﬁca que el número de iteraciones posibles de realizar es de Ò ÐÓ ¾ Æ . A este conjunto de coeﬁcientes se le denomina Î
ØÓÖ Ï Ì . tienen una longitud de ½ ¾¼ .
A modo de ejemplo mostraremos una descomposición y reconstrucción utilizando la Haar wavelet. Lógicamente el número de veces que se realiza este proceso hasta llegar nuevamente a la señal original depende del grado de descomposición al que se llegó en el análisis. como se observa en la ﬁgura (7. Este procedimiento se vuelve a repetir
hasta que la aproximación y el detalle están representados por un sólo coeﬁciente. es decir.11).9: Reconstrucción Wavelet donde el dos con la ﬂecha hacia arriba representa la operación de supsampleo. teoría pueden repetirse en forma inﬁnita con la salvedad que el proceso de síntesis depende del análisis. luego la aproximación de longitud igual a ¾Ò ½ es nuevamente dividida obteniendo una nueva aproximación y detalle correspondientes a un segundo nivel de descomposición. Obviamente en la práctica estos procesos no pueden repetirse en forma inﬁnita. aumenta su longitud al doble mediante el supsampleo y realiza la convolución discreta con los respectivos ﬁltros.
La síntesis por su lado toma la aproximación y el detalle. Como vimos en el capítulo 6. siendo el nivel de resolución de la señal original el que pone el límite. Una explicación más detallada puede expresarse de la siguiente manera: Supongamos una señal con una longitud Æ ¾Ò . los coeﬁcientes y ½ corresponden a
. en el análisis dividimos la señal original en una aproximación y un detalle correspondientes al primer nivel de descomposición. De esta forma se obtiene un vector de longitud Æ que contiene un sólo término encargado de representar la forma general de la señal (coeﬁciente escala) y todos los otros términos con información sobre el detalle obtenido en los diferentes niveles de descomposición (coeﬁcientes wavelets) como se ilustra en la ﬁgura (7.
11: Estructura de una reconstrucción multiresolución. (b) Vector .
Figura 7.7.3.10: (a) Estructura de una descomposición multiresolución.DWT obtenido de la descomposición.
En la ﬁgura (7. uno encargado de la aproximación a la señal original y el otro encargado del detalle. El paso siguiente es mantener el detalle y volver aplicar el algoritmo a los coeﬁcientes de aproximación dando como resultado una nueva aproximación más general y un nuevo detalle. ambos de longitud ¾.44) obtenemos las expresiones
(7. los datos de entrada.46)
permitiéndonos una reconstrucción perfecta de la señal. Aplicando el algoritmo de descomposición se puede ver en la ﬁgura (7.13) se puede ver como se realiza el proceso de supsampleo y posterior convolución para reconstruir la señal en forma perfecta mediante la suma de los coeﬁcientes de reconstrucción escala y wavelet como se ilustra en la ﬁgura (7. ¾Â es la En otras palabras Â es el nivel de resolución más alto con el cual se puede trabajar y Æ
y el posterior subsampleo de tal forma que se obtienen dos set de coeﬁcientes. Este proceso se puede repetir una vez más ya que tanto la longitud de la nueva aproximación como del nuevo detalle será igual a ½.42).45)
(7.36) podemos obtener nuestra primera descomposición de la forma
(7.7.35) y (7. Las ecuaciones arriba también pueden ser deducidas a partir de (7.43) y (7. TRANSFORMADA RÁPIDA WAVELET (FWT) Y BANCO DE FILTROS
Como la aproximación está relacionada con un promedio y el detalle con diferencias. supongamos una señal con una longitud Æ deﬁnida como ¾ ½ ½ ¿ . Para reconstruir la señal a partir de los coeﬁcientes escala y wavelet pertenecientes al primer nivel de descomposición observamos que si sumamos y restamos (7. entonces de acuerdo con (7.3.43)
(7. es decir.
.14). De esta forma. ambos de longitud .44)
¾¿ longitud de la señal original.12) como se realiza la convolución discreta entre los ﬁltros y ½ con la señal original
donde los Â son los coeﬁcientes correspondientes a la señal original.
Figura 7. Ambos procesos se realizan en forma paralela.7.12: Se observa la aplicación del algoritmo sobre una señal de longitud Æ para obtener (a) Los coeﬁcientes de aproximación y (b) los coeﬁcientes wavelet.3.
Figura 7.7.13: Esquema de reconstrucción a partir de un nivel de descomposición.
1. acústica. Wavelets ha sido aplicado a una gran cantidad de problemas relacionados con el procesamiento de señales: detección [SAP98].frecuencia [PED99].
Para mayor información puede consultar la dirección internet http://www. El desarrollo de este capítulo se centrará en otorgar una explicación general de algunas aplicaciones (quizás las con mayor investigación y/o cobertura) donde se utilize wavelets. La propiedad de localización de la Transformada Wavelet es particularmente atractiva. Wavelet ha sido también utilizada en la detección de microcalciﬁcaciones en mamogramas y el procesamiento de tomografías e imágenes de resonancia magnética1 . etc. especialmente en problemas concernientes a la extracción de características o detección de comportamientos en señales durante pequeños intervalos de tiempo. análisis de transientes. En este campo la transformada wavelet ha sido utilizada para el análisis de electrocardiogramas con el objeto de poder diagnósticar desórdenes cardiovasculares. tales como detección seizure o análisis de potencial evocado para la detección de la enfermedad de Alzheimer [POL97].Capítulo 8 Aplicaciones
Ya en este punto hemos desarrollado un completo marco teórico sobre wavelets por lo que estamos en condiciones de aplicarlo al procesamiento de señales acústica. robótica. en variadas disciplinas tales como medicina. compresión [TAM99]. estadística.iastate. también ha sido utilizada en electroencefalogramas para el diagnóstico de desórdenes neuroﬁsiológico.public. criminología. clasiﬁcación.1 Biomedicina
Debido a la naturaleza no estacionaria de la mayoría de las señales biológicas. análisis tiempo . sismología.
8. limpieza de Ruido [SAP95]. wavelet ha tenido un gran éxito en el campo de la Ingeniería Biomédica.
8.edu/˜rpolikar
.1 Análisis de transientes
La transformada wavelet ha emergido como una efcetiva herramienta para el análisis de señales transientes o no estacionarias.
lanl.2. COMPRESIÓN
8.1 Compresión de Imágen
En la compresión de imágen. Esto sugiere que pueden eliminarse o hacerse cero los coeﬁcientes pequeños y la señal sintetizada o reconstruída no variará mucho. que un sistema wavelet multinivel puede ser utilizado en reeemplazo del sistema de banco de ﬁltros de 32 bandas [CHU97]. Proyectar la señal original a un subespacio multi-resolución grande.
8. entonces se puede observar. Este algoritmo comprime señales de audio de 700 Kbits/sec (calidad de CD por ej. Ahora bien ya que el algoritmo de descomposición utilizado por la transformada discreta wavelet es análogo a un sistema banco de ﬁltros de dos bandas. El algoritmo utilizado por el FBI se conoce como Ï Ú Ð Ø Ë Ð Ö
ÉÙ ÒØ Þ Ø ÓÒ o Ï ËÉ2 [BRA93].2% (se eliminan los coeﬁcientes wavelet menores al 0. estudios han demostrado por ejemplo que al procesar una imágen de 512x512 pixels utilizando el sistema wavelet Daubechies 4 (ver apéndice) con un umbral del 0.2 Compresión de Audio
En la compresión de Audio uno de los algoritmos de codiﬁcación más conocidos corresponde al MPEG audio.2% del máximo coeﬁciente) es posible lograr un radio de compresión de 11:1 [TAM99].
8. 3.2.html
.2. Un ejemplo sobre este uso es el standard MPEG layer 3 más conocido como MP3. Establecer un esquema de cuantización. 2.2 Compresión
La base o principio en la utilización de wavelets en compresión es aprovechar que los coeﬁcientes en los espacios Ï son ’pequeños’ si la señal analizada se comporta en forma suave y ’grandes’ si la señal a analizar varía en forma notoria.
Para mayor información puede consultar la dirección internet http://www. Existen tres pasos fundamentales en el proceso de compresión con wavelets: 1. es el proyecto llevado a cabo por el FBI para el diseño de un standard de compresión en la digitalización de su base de datos correspondiente a imágenes de huellas digitales. Aplicar el algoritmo de descomposición wavelet.8. Uno de los grandes logros es la implementación de wavelets.) a 128 Kbits/sec en mono y a 256 Kbits/sec en stereo. Este algoritmo utiliza un sistema de banco de ﬁltros de 32 bandas en conjunto con la FFT como analizador de espectro para calcular la ’curva de enmascaramiento’ que se utiliza como umbral (Basado en la percepción auditiva del oído humano) dejándo pasar sólo las componentes de frecuencia dominantes.gov/˜brislawn/FBI/FBI.c3.
entonces. si nosotros establecemos un umbral sobre los coeﬁcientes wavelet con el ﬁn de reducir su número eliminando los coeﬁcientes de valores pequeños (considerados como ruido) y dejando sólo aquellos coeﬁcientes considerados como signiﬁcativos de acuerdo a un cierto criterio. desviación media absoluta. Además. LIMPIEZA DE RUIDO
8. Umbral Duro: Si el valor absoluto del coeﬁciente es mayor que el umbral seleccionado. el hecho de establecer un umbral signiﬁca que todos los coeﬁcientes wavelet.8. sea la señal original con ruido y la señal obtenida después de establecer un umbral.3.1 Criterios de umbral
Profundizando lo mencionado anteriormente. que resulten ser menores que el valor del umbral serán igualados a cero ya que ellos pueden ser omitidos sin afectar en forma substancial las características principales de los datos de entrada. se
. o pertenecientes al detalle de la señal. la idea es que una versión más clara de la señal original resulte cuando sólo las componentes más signiﬁcativas son retenidas.3 Limpieza de Ruido
Gracias al análisis multiresolución se vió que podíamos separar el comportamiento general y el detalle de una señal y luego reconstruir en forma perfecta la señal original a partir de la descomposición wavelet. Con respecto a los coeﬁcientes wavelet cuyo valor absoluto resulte mayor que el umbral establecido. Ahora bien.1)
(8. etc.3. al realizar una reconstrucción sólo obtendremos una aproximación de la señal original.1: Efecto del umbral duro y suave aplicado sobre un conjunto de coeﬁcientes. existen dos formas de ser procesados: 1.
se modiﬁca el coeﬁciente restando el umbral a su valor absoluto.
(8. En otras palabras. entonces
mantiene el coeﬁciente y en caso contrario se iguala a cero.1) el umbral duro produce discontinuidad en con el umbral suave.7)
Ya con estos datos estamos en condiciones de hacer nuestro análisis wavelet. en caso contrario se iguala el coeﬁciente a cero al igual que el umbral duro.
8.3. Variados estudios han determinado que la elección del umbral depende directamente del nivel de ruido de los datos de entrada. con unas pocas excepciones. Este método propone que el nivel de ruido de los datos de entrada se calcule como la media absoluta de los coeﬁcientes wavelet obtenidos en el primer nivel de descomposición dividida por ¼ . sea del umbral establecido y los coeﬁcientes wavelet.5)
Como se observa en la ﬁgura (8. entonces
(8. esencialmente puro ruido. Umbral Suave: Si el valor absoluto del coeﬁciente es mayor que el umbral seleccionado.2)
(8.2 Desarrollo experimental con datos ﬁcticios
El primer paso en el proceso de limpieza de una señal es obtener el umbral a utilizar. El primer análisis lo
. sea establecido y los coeﬁcientes wavelet. En otras palabras.8. El tipo de umbral seleccionado se calculó de acuerdo con la siguiente fórmula:
con Æ igual a la longitud de la señal original. La elección del umbral se realizó utilizando un método propuesto por Donoho y Johnstone [SAP95].3.6)
ya que los coeﬁcientes wavelet en este nivel son.4)
Figura 8.3: Descomposición wavelet realizada con la Daubechies 2 (Lado izquierdo).2: Señal que representa un efecto doppler con un nivel de ruido bastante notable (1024 muestras). LIMPIEZA DE RUIDO
.8. Coeﬁcientes obtenidos después de haber sido comparados con el umbral (Lado derecho).
se prosiguió a analizar una señal real la que se ilustra en la ﬁgura (8. Esta señal corresponde a vibraciones de un motor rotatorio las cuales fueron tomadas con un medidor de vibraciones Bruel & Kjaer modelo 2513. Aplicación de umbral suave sobre los coeﬁcientes wavelet obtenidos en cada nivel de descomposición (ver ﬁgura (8. Cálculo del umbral
3. como se observa en la ﬁgura (8.3.3)). La wavelet utilizada para este análisis fue la Daubechies 4 (ver apéndice). 4.3.3.8.3)). Obtención del error cuadrático medio
7. y al igual que para los Æ ½ Æ ). compuesta de 1024 muestras lo que nos permite realizar hasta diez descomposiciones.4)). Reconstrucción de la señal con los nuevos coeﬁcientes wavelet (ver ﬁgura (8. 6. Cálculo del nivel de ruido
8.2).3. El umbral utilizado datos artiﬁciales.6). Descomposición de la señal hasta el quinto nivel ( ver ﬁgura (8. El software utilizado fue Matlab en conjunto con el toolbox de wavelet cuyo uso fue exclusivamente para corroborar resultados (ﬁgura (8.1 Tratamiento de señales reales obtenidas de las vibraciones de un motor Una vez comprobado el método de limpieza de ruido con datos artiﬁciales.3 Desarrollo Experimental con señales reales
8. Obtención del porcentaje de energía retenido
donde ×½ corresponde a la señal reconstruida y × a la señal original. se realizaron cinco descomposiciones (
.5)). La secuencia de trabajo se resume de la siguiente manera: 1. La función wavelet madre a utilizar será la Daubechies 2 (ver apéndice) y la descomposición se realizará hasta el quinto nivel. LIMPIEZA DE RUIDO
realizaremos con una señal artiﬁcial correspondiente a un efecto doppler con ruido. 5.
.8 %.5: Comparación visual entre la señal original y la señal reconstruida. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8.4: Señal reconstruida utilizando los coeﬁcientes wavelet procesados mediante umbral suave. El porcentaje de energía conservado fue
de 93.3.
¿ Que ocurre si el ruido es de baja frecuencia
.6: Señal correspondiente a vibraciones de un motor rotatorio (Arriba). entregó un valor de ¼ ¼½ lo que causó la eliminación total de los primeros 4 niveles de descomposición. se mantienen las componentes de frecuencia con mayor contenido energético. que para el caso corresponden a frecuencias bajas.3.8. Para una visualización más clara. Esto nos lleva a pensar que el método elimina ÖÙ Ó el comportamiento suave de la señal el cual está asociada a componentes de baja frecuencia. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8. Si obtenemos los espectros de Fourier tanto de la señal real como de la señal limpia (ﬁgura (8. nos podemos dar cuenta que después de la aplicación del método. dejando sólo algunos coeﬁcientes wavelet pertenecientes al quinto nivel de descomposición como se observa en la ﬁgura (8. El error cuadrático medio y el porcentaje de energía retenido fueron de:
Se observa para este caso que el nivel de ruido de la señal es totalmente identiﬁcable y notoriamente diferenciable del comportamiento suave de la señal. Señal después de haber sido procesada (Abajo).8)). Este supuesto genera casi en forma autómatica la inquietud :. eliminándose las componentes de frecuencia que portan menos ÐØ Ö Ù Ò ya que mantiene energía.7). sólo los primeros 2500 sampleos se graﬁcaron.
y la señal que queremos obtener es de alta frecuencia?.9).3. Esta señal se ilustra en la ﬁgura (8.7: Coeﬁcientes de descomposición wavelet obtenidos utilizando la Daubechies 4 (lado derecho). Con el ﬁn de tratar señales reales al aire libre y analizar la inquietud nacida del caso anterior. Como el método explicado en la sección anterior asume que el ruido en una señal es de componentes de alta frecuencia.3. La percepción auditiva de esta nueva señal no fue
.1 KHz.8.2 Tratamiento de señales reales obtenidas al aire libre. Mediante una percepción auditiva de la señal original nos dimos cuenta que el sonido de los pájaros estaba compuesto por frecuencias notoriamente más altas que el ruido de fondo. El objetivo de este tratamiento se centró en aislar el trinar de los pájaros del ruido de fondo utilizando un análisis multi-resolución con la wavelet Daubechies 4 (ver apéndice). Coeﬁcientes Wavelet obtenidos después de haber sido comparados con el umbral seleccionado (Lado izquierdo). Se realizaron hasta cinco niveles de descomposición los que se ilustran en la ﬁgura (8.3.10).P1. a una tasa de muestreo de 44. 8. paso de vehículos y ruidos característicos de la urbe. lo que como pensábamos nos entregó el sonido de los pájaros más componentes de ruido de alta frecuencia (Hiss). una cuantización de 16 Bit y utilizando un canal del Dat. se obtuvo un set de datos correspondiente a sonidos de pájaros con alto nivel de ruido de fondo proveniente de faenas constructoras. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8. se procedió a restar a la señal original el resultado obtenido de la limpieza. Los datos fueron tomados utilizando un micrófono condensador omnidireccional Audio Technica y un Dat Portátil Tascam DA .
El espacio .11). El nuevo criterio fue escuchar cada espacio wavelet y seleccionar aquellos espacios en los cuales el sonido de los pájaros fuera más claro y nítido.
satisfactoria ya que subjetivamente cambiaba el espectro del sonido de los pájaros. Repetimos la experiencia cambiando el umbral en los distintos espacios wavelet lo que no nos entregó mejores resultados auditivos que el anterior. Debido a esto se decidió aplicar otro criterio para lograr nuestro objetivo. ¿ y ¿ logramos una buena aislación del cantar . contenía cierta información de interés. Al reconstruir de los pájaros. que se ilustra en la ﬁgura (8. eliminándose en su totalidad los coeﬁcientes correspondientes a los espacios ½ y . correspondientes al ¿ y al componentes de interés. pero incluimos un poco de ruido. la que se realizó utilizando la wavelet Daubechies 6 (ver apéndice) en cinco niveles. que no aportaban componentes de frecuencia en el rango buscado. por lo que se decidió hacer una nueva descomposición sobre este espacio.8: Representación del espectro de la señal original y de la señal limpia. debido a que estas se concentraron auditiva. pero perdimos algunas frecuencias que se encuentran en el espacio
conservamos prácticamente todas las componentes de frela señal con los espacios ¾. Al reconstruir la señal con los espacios ¾. El primero de estos espacios contenía sólo mente en dos espacios.8. además de ruido. Esta descomposición. Mediante este método se conservó el espacio ¾ y ¿. ¿ . La diferencia en las componentes
. mientras que el segundo además de contener componentes de interés presentaba ruido. ¿ y cuencia del cantar de los pájaros.3. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8. nos permitió aislar más componentes pertenecientes al trinar de los pájaros.
y una visualización tiempo .
. Más nuestro punto de vista es tomar el análisis Wavelet como una alternativa a estos procedimientos.
componentes de frecuencias bajas.8.3. alternativa que ha probado su eﬁcacia y potencialidad. en su mayoría.13).grabación. ¿ y Como podemos observar en la ﬁgura (8. ¿ .13) el análisis realizado permitió eliminar.frecuencia de la señal original y la reconstrucción empleando los espacios ¾. trabajo que podría haber sido realizado por un ﬁltro pasa altos al momento de grabar o por un ecualizador en un proceso post . se observa en la ﬁgura (8.12). de frecuencia de estas dos últimas reconstrucciones se pueden apreciar en la ﬁgura (8.9: Señal original. LIMPIEZA DE RUIDO
.10: Descomposición de la señal original realizada con la wavelet Daubechies 4.3. LIMPIEZA DE RUIDO
Figura 8.11: Descomposición de los coeﬁcientes d4 usando la wavelet Daubechies 6.
¿. En rojo: mediante los espacios
¿.8.12: Transformada de Fourier de las reconstrucciones de la señal original.
.3. LIMPIEZA DE RUIDO
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Información útil sobre procesamiento de señales digitales mediante wavelets. http://www.oslo. http://www.html
Articulos y papers de wavelet aplicado a problemas de estadística principalmente.rice. http://www.html
Descripción y Teoría sobre Análisis Multi . http://www.cosy.html
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Introducción a la Transformada de Fourier.uk/IMS/statistics/people/T.spd.spd. con tópicos tales como: análisis de frecuencia.syr. http://www.html
Lista de direcciones online dedicadas a diferentes aplicaciones que utilizan tanto teoría de Fourier como de wavelets. cuyas áreas de interés son: Teoría y aplicacion de wavelets en el análisis estadístico de señales de tiempo.wavelet. cuya principal campo de investigación es limpieza de ruido utilizando métodos estadísticos en conjunto con wavelets.html
Información sobre wavelet y Fourier.edu/JPNM/physics/didactics/improc/intro/fourier1.
15.com/wavelets. wavelets diádicas y ﬁltrado discreto.
Completa página con links a software.ac.edu/˜donoho/
Página de Dave Donoho.uk/˜ball0597/Fourier/
Información variada sobre análisis de Fourier.html
Información sobre Fourier y Wavelet. http://cas.
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Página de Ingrid Daubechies.edu/topics/fourierAnalysis.eee. http://www.
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Página de Teophanis Sapatinas.math. http://www-stat.org
Completa página sobre el tema. http://www.fr/˜chaplais/Wavetour_presentation/Wavetour_presentation_US.ac. http://www.
12. http://archives. entre otros.strath.
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http://www.uniandes.public.html Práctico tutorial wavelet. http://euclides. 27. 28.co/˜wavelets/ Página de la Universidad de los Andes.edu/˜rpolikar/WAVELETS/WTtutorial. 26.edu/˜harry/ Wavelets y procesamiento digital de señales.rice. con información teórica sobre wavelets.
. Colombia.iastate.edu.133
imágen. http://www-dsp.
a=x(:.2:2:ls). if s1 > s2 x=x’ end ls=length(x). %************************************************* % supsampleo(X) inserta ceros entre los coeﬁcientes % del vector X. % dependiendo si la longitud original es par o impar. aumentando la longitud del vector al % doble más uno. % % VER supsampleo %************************************************* function a=subsampleo(x) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).Apéndice B Rutinas programadas en MATLAB
Rutinas para Matlab utilizadas tanto para descomposición como reconstrucción de señales utilizando el sistema Wavelet Daubechies: %************************************************* % subsampleo(X) elimina todos los coeﬁcientes de % índice impar pertenecientes al vector X. 134
. Disminuyendo % la longitud de X a la mitad o a la mitad menos 1/2. end [s1 s2]=size(x).
V=keep(S.N) % crea un vector V de longitud N. extrayendo en forma % alternada elementos de ambos extremos del vector S. end %*********************************************************************** % Rutina que realiza el primer nivel de descomposición % de una señal utilizando el sistema Wavelet Daubeuchies. end [s1 s2]=size(x). else v=s(lsh-n1:1:lsh+n1). %********************************************************************** function v=keep(s. % SINTAXIS: [ca1 cd1]=analisisdb(X.n) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).ls)./2.M). donde X es la señal
. end lsh=length(s). y(2:2:ls)=x. y=zeros(1. if s1 > s2 x=x’ end ls=2*length(x)+1.2)==0 v=s(lsh-n1+1:1:lsh+n1). n1=ﬂoor(n.135 % % VER subsampleo %************************************************* function y=supsampleo(x) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’). if mod(n. %********************************************************************* % Rutina que mantiene parte de un vector./2).
4. ﬁltro_escala=s(1.136 % de entrada. end tx=size(x). ﬁltro_wavelet=s(2. ﬁltro_escala=s(1. s=daub3.2.7. s=daub2. ﬁltro_wavelet=s(2. case 5 load daub5.m) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).dat.dat./sqrt(2)]. case 6 [1. ﬁltro_wavelet=s(2.dat.5. end switch m case 1 ﬁltro_escala=[1. % M puede tomar los siguientes valores: % % % VER sintesisdb %************************************************************************ function [c.:).:).:). case 3 load daub3. if tx(1)>1 x=x’.d]=analisisdb(x.:). s=daub4. s=daub5. ﬁltro_escala=s(1./sqrt(2) 1.dat. ﬁltro_wavelet=s(2.:). %Filtro Pasabajo de Descomposición ﬁltro_wavelet=[-1. ﬁltro_escala=s(1.:). y M es un entero positivo que especiﬁca el % sistema Daubeuchies utilizado./sqrt(2) 1.:). case 4 load daub4.:).6. %Filtro Pasaalto de Descomposición case 2 load daub2./sqrt(2)].3.8]
%Cálculo de los coeﬁcientes de detalle d=subsampleo(conv(x.7.:). ﬁltro_wavelet=s(2. s=daub6. % SINTAXIS: [C D]=sintesisdb(ca. %************************************************************************ % Rutina que realiza la reconstrucción de la señal % original a partir del primer nivel de descomposición % de una señal utilizando el sistema Wavelet Daubeuchies.2.6.dat. donde ca y cd son % los coeﬁcientes de aproximación y detalle respectivamente. % M puede tomar los siguientes valores: % % % VER analisisdb %************************************************************************ function [C.:).dat.137 load daub6.ﬁltro_escala)). % y M es un entero positivo que especiﬁca el sistema Daubechies % utilizado para la reconstrucción.cd.:). otherwise errargt(mﬁlename.ﬁltro_wavelet)).dat. ﬁltro_wavelet=s(2. s=daub8. end [1.m) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).3. case 7 load daub7.M). ﬁltro_escala=s(1. ﬁltro_escala=s(1.D]=sintesisdb(ca. ﬁltro_escala=s(1.’msg’).8]
. end %Cálculo de los coeﬁcientes de aproximación c=subsampleo(conv(x.:).:). s=daub7.4.’argumento no válido’. error(’*’).5. case 8 load daub8.cd. ﬁltro_wavelet=s(2.:).
:). %Inserción de ceros entre los coeﬁcientes de detalle (supsampleo) Dtemp=supsampleo(cd). ﬁltro_wavelet=s(4. %Filtro Pasaalto de Descomposición case 2 load daub2. ﬁltro_escala=s(3./sqrt(2)].:). case 6 load daub6.dat.:)./sqrt(2) 1.:). ﬁltro_wavelet=s(4.dat./sqrt(2) -1. case 3 load daub3./sqrt(2)].:). case 7 load daub7. s=daub8. ﬁltro_escala=s(3. ﬁltro_escala=s(3. s=daub2. case 5 load daub5. s=daub6.dat.:).:). ﬁltro_wavelet=s(4. ﬁltro_escala=s(3.:). switch m case 1 ﬁltro_escala=[1. s=daub3.
. ﬁltro_wavelet=s(4.dat.:). ﬁltro_escala=s(3. ﬁltro_wavelet=s(4. ﬁltro_escala=s(3.:).:). ﬁltro_wavelet=s(4. case 8 load daub8.:). ﬁltro_escala=s(3.138 %Inserción de ceros entre los coeﬁcientes de aproxiamción (supsampleo) Ctemp=supsampleo(ca). s=daub5. ﬁltro_wavelet=s(4.:). case 4 load daub4.dat. s=daub4.dat. s=daub7.:). %Filtro Pasabajo de Descomposición ﬁltro_wavelet=[1.dat.
end if ((round(n)-n)˜=0) error(’N debe ser un número entero’). D=Dtemp(:.m.N).ﬁltro_wavelet). M puede tomar los siguientes valores: [1. error(’*’). l=[length(x)]. end tx=size(x).8]
%**************************************************************** function [c. %Reconstrucción de la aproximación Ctemp=conv(Ctemp.’msg’).’argumento no válido’. end c=[]. for i=1:n
.M. C=Ctemp(:.n) if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’). %*************************************************************** % Rutina que realiza una descomposición multinivel % sobre una señal unidimensional utilizando el sis% tema Wavelet Daubechies. N es el nivel de descomposición deseado y M es un entero que especiﬁca el sistema Daubechies utilizado.7. %Reconstrucción del detalle Dtemp=conv(Dtemp.3.2.4.lf:1:length(Dtemp)-lf+1). end lf=length(ﬁltro_escala). % SINTAXIS: [C L]=dbdesc(X.6.l]=dbdesc(x. if tx(1)>1 x=x’.139 otherwise errargt(mﬁlename.5.lf:1:length(Ctemp)-lf+1). donde X es la señal de % % % % % entrada.ﬁltro_escala).
ﬁltro_escala=s(3./sqrt(2) -1. %Matriz wavelet %********************************************************************** % Rutina que realiza una reconstrucción multinivel % sobre una señal unidimensional utilizando el sis% tema Wavelet Daubechies. donde C corresponde a % % % % % la matriz wavelet. L corresponde a los niveles de descomposición y M es un entero que especiﬁca el sistema Daubechies utilizado. if (nargin == 0) error(’Debes ingresar los datos de entrada’).2. s=daub2. %Filtro Pasabajo de Descomposición ﬁltro_wavelet=[1. %Filtro Pasaalto de Descomposición case 2 load daub2. end c=[x c].dat. ﬁltro_escala=s(3. case 3 load daub3. ﬁltro_wavelet=s(4. s=daub3. % SINTAXIS: S=dbdesc(C.m).dat. s=daub4.
. case 4 load daub4.4.:).6.5.L.7. M puede tomar los siguientes valores: [1. %Proceso de descomposición c=[d c].m).dat./sqrt(2)].l. ﬁltro_escala=s(3.3./sqrt(2) 1.:).140 [x d]=analisisdb(x.:)./sqrt(2)]. ﬁltro_wavelet=s(4.M). end switch m case 1 ﬁltro_escala=[1.:).8] %Guarda las longitudes correspondientes a cada descomposición
%********************************************************************** function s=dbrec(c.:). l=[length(d) l].
ﬁltro_escala=s(3.:).dat. case 8 load daub8.’msg’).’argumento no válido’. ﬁltro_escala=s(3. ﬁltro_wavelet=s(4.:). for i=1:(length(l)-1) ld=l(i)+ld.l(i+1)). ﬁltro_wavelet=s(4. s=daub5. %Coeﬁcientes escala de la última descomposición ld=1. ﬁltro_wavelet=s(4.:).dat. end s=c(1:l(1)). % ciones. case 6 load daub6. % % Reconstrucción de
d=c(ld:ld-1+l(i)). s=daub6.l(i+1)).:). error(’*’). % s=C+D. D=keep(conv(supsampleo(d).:). % end
.:).dat. ﬁltro_escala=s(3.:).dat.ﬁltro_escala). % las descomposiC=keep(conv(supsampleo(s).141 ﬁltro_wavelet=s(4. s=daub7. s=daub8.:). ﬁltro_wavelet=s(4. % ld=ld-(l(i+1)-l(i)).:).ﬁltro_wavelet). otherwise errargt(mﬁlename. ﬁltro_escala=s(3. case 7 load daub7. case 5 load daub5.
87034e-001 3.28830e-002 -1.82962e-001 8.30880e-001
-1.35011e-001 -2.05974e-002 -
.06891e-001 4.24143e-001 -
Daubechies 3 3.32670e-001 8.52262e-002 3.59877e-001
Daubechies 4 2.14846e-001 6.54412e-002 -1.79837e-002 -8.
Daubechies 1 14.36516e-001 2.Apéndice A Wavelet Daubechies
Tabla con los coeﬁcientes ﬁltros de descomposición y reconstrucción correspondientes a la Familia Wavelet Daubechies (1-8).29409e-001 -1.30377e-001 7.08413e-002 3.14213e-001 -
Daubechies 2 4.14213e-001 14.
75016e-002 2.80164e-003 -4.87035e-003
.65745e-002 -4.38428e-001 Daubechies 6 1.25807e-002 -3.73693e-002 -1.17476e-004
-1.42294e-001 -2.143 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Daubechies 5 1.40882e-002 1.29132e-001 4.22448e-002 -1.53842e-004 4.39810e-002 8.24308e-001 1.91740e-004 6.29577e-004 3.26264e-001 -1.13092e-002 8.85354e-001
-2.33572e-003 9.25509e-002 4.06126e-002 4.28747e-001
-1.94623e-001 7.15820e-002 -3.96539e-001 7.84015e-001 7.24036e-001 -2.75714e-002 -6.44158e-002 3.78520e-002 3.75228e-002 5.69782e-001 Daubechies 8 5.72484e-004 1.75449e-004 -1.29766e-001 -2.11540e-001 4.51133e-001 3.77725e-003 -1.15250e-001 Daubechies 7 7.58291e-002 -3.07730e-003 7.80299e-002 -1.12871e-001 6.53713e-004 1.60102e-001 6.24149e-003 3.43906e-001 -1.74609e-003 -3.75630e-001 5.03829e-001 7.
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