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Aporte para los profesores de la asignatura de matemática
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A Mathematician´s Miscellany).  !#"$%'&#"( )*+ ""-. 0(0211143 %'#"$%5"( 63 7#" JUEGOS MATEMÁTICOS EN LA ENSEÑANZA Miguel de Guzmán Facultad de Matemáticas Universidad Complutense de Madrid A good mathematical joke is better and better mathematics than a dozen mediocre papers (J. 10-14 Septiembre 1984 Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas Isaac Newton 1 . Littlewood./. Publicado en Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas Santa Cruz de Tenerife.E.
Notas sobre la literatura clásica sobre juegos. 5. SORPRESAS MATEMÁTICAS.Directrices heurísticas basadas en juegos 1. QUERIDO WATSON. 4. PARTIDOS MATEMÁTICOS. ANALOGÍAS ESCONDIDAS. 15. Consecuencias para la didáctica de la matemática. UTILIZACIÓN DE LOS JUEGOS EN LA ENSEÑANZA A. 3. TRAMARÉ UNA ESTRATEGIA. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN. TRATARÉ DE ENTENDER. Ejemplos B.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J Indice 1. 18. 6. PIENSA AL REVÉS. ALGUNAS INDICACIONES BIBLIOGRÁFICAS 2 . 11. 3. SACARÉ JUGO AL JUEGO. 7. 14. O VARIAS.89:. 13. 2. 16. Directrices temáticas para el uso de los Juegos 1.. 2. Matemáticas con sabor a juego. 3. HAZTE UN DIBUJO. El fundamento matemático de los juegos. 10. MIRARÉ SI MI ESTRATEGIA ME LLEVA AL FINAL. SOLITARIOS MATEMÁTICOS. FELIZ IDEA. FALACIAS. ELEMENTAL. ANTES DE HACER. UTILIZACIÓN DE COLORES. DEDUCCIÓN LÓGICA 8. INDUCCIÓN. MATEMÁTICAS Y JUEGOS Impacto de los juegos en la historia de la matemática. CUENTOS CON CUENTAS. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. 9. 12. 2. SIMETRÍA. COMENZAR POR LO FÁCIL AYUDA A RESOLVER LO DIFÍCIL. CONTAR SIN CONTAR. 4. 17.
lo cual no quiere decir que el juego sea trivial. cada vez más sofisticadas. bien determinados en su comportamiento mutuo a través de las definiciones de la teoría. estos no son muchos ni muy complicados y se adquieren bien pronto. Para muchos de los que ven la matemática desde fuera. estudia las jugadas fundamentales.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . precisamente por ese entreveramiento peculiar de juego y matemática. Cuando la teoría es elemental. ésta. trata finalmente de participar más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza del juego. participando muy activamente en ellos.89:. la matemática nunca deja totalmente de ser un juego. Cuando la teoría no es elemental es generalmente porque las reglas usuales del juego se han desarrollado extraordinariamente en número y en complejidad y es necesario un intenso esfuerzo para hacerse con ellas y emplearlas adecuadamente. tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas. Tal es. los objetos de los que se ocupa. nada tiene que ver con el juego. Las diferentes partes de la matemática tienen sus piezas. el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos. el que no depende de la fuerza o maña físicas. aunque además de ello pueda ser otras muchas cosas. mortalmente aburrida. En cambio. Las reglas válidas de manejo de estas piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de razonamiento admitidos como válidos en el campo. y que muchas de sus elucubraciones. para los más de entre los matemáticos. que a veces los hace indiscernibles. observa a fondo las partidas de los grandes jugadores. la teoría de la medida e integral de Lebesgue en el análisis superior. sus mejores teoremas. hayan dado lugar a nuevos 3 . a lo largo de los siglos. Existen problemas elementales desproporcionadamente complicados con respecto a su enunciado. experimentando en partidas sencillas. Por esto no es de extrañar en absoluto que muchos de los grandes matemáticos de todos los tiempos hayan sido agudos observadores de los juegos.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 1. Un ejemplo lo constituye el problema de averiguar el mínimo de las figuras en las que una aguja unitaria puede ser invertida en el plano por movimientos continuos. La matemática así concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. o a los problemas viejos aún abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y útil herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca a la solución del problema. suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas características son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemático. Uno aprende las reglas. MATEMÁTICAS Y JUEGOS ¿Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. El juego bueno. Elemental quiere decir cerca de los elementos iniciales y no necesariamente simple. por ejemplo. Son herramientas muy poderosas que se han ido elaborando.
tiene un cierto sabor lúdico. en una obra perdida llamada Pseudaria (Libro de Engaños). consistente en saber cómo deben ser las apuestas de dos jugadores que. Su solución 4 . un libro sobre juegos de azar.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemática profundamente seria. habiendo de alcanzar n puntos con sus dados. Euclides fue. escribió el Líber de ludo aleae. Impacto de los juegos en la historia de la matemática La historia antigua no ha sido inclinada a preservar sino los elementos solemnes de la actividad científica. como tomando parte en este espíritu lúdico. Leibniz (1646-1716) fue un gran promotor de la actividad lúdica intelectual: "Nunca son los hombres más ingeniosos que en la invención de los juegos. mejor conocido hoy y entonces como Fibonaccí. de la población estudiantil. El famoso problema del Caballero de Meré. oyó hablar del problema de los siete puentes de Königsberg. En la Edad Media Leonardo de Pisa (ca. En su tiempo. no sólo el primer gran pedagogo que supo utilizar. de Cardano mismo y otros contendientes famosos como Tartaglia y Ferrari. En 1735. con la participación masiva.1170-ca. El llamado problema bovino de Arquímedes. tuvieron lugar jugando con configuraciones diferentes que formaban con las piedras.89:.. el gran valor didáctico en matemática de la sorpresa producida por la falacia y la aporía. cultivó una matemática numérica con sabor a juego con la que. pero uno no puede menos de sospechar que muchas de las profundas cavilaciones de los pitagóricos. Sería deseable que se hiciese un curso entero de juegos. Euler (1707-1783). escribía en una carta en 1715. y más o menos deportiva. tratados matemáticamente". y lo interesante que le resulta el jugarlo al revés. En la Edad Moderna Geronimo Cardano (1501-1576). al parecer.. álgebra hecha con procedimientos rudimentarios. por ejemplo alrededor de los números. uno ha obtenido p y el otro q puntos en una primera jugada. Caballero de Meré (1610-1685) a Pascal (1623-1662). asombró poderosamente a sus contemporáneos hasta el punto de ser proclamado oficialmente por el emperador Federico II como Stupor Mundí. fue propuesto por Antoine Gobaud.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . los duelos medievales a base de lanza y escudo dieron paso a los duelos intelectuales consistentes en resolver ecuaciones algebraicas cada vez más difíciles. sobre la posibilidad de organizar un paseo que cruzase todos y cada uno de los puentes una sola vez (camino euleriano). gracias a las técnicas aprendidas de los árabes. Y en particular comenta en otra carta en 1716 lo mucho que le agrada el ya entonces popular solitario de la cruz. así como otras muchas de sus creaciones matemáticas originales. el mejor matemático de su tiempo. con el que se anticipó en más de un siglo a Pascal y Fermat en el tratamiento matemático de la probabilidad. De la correspondencia entre éste y Fermat (1601-1665) a propósito del problema surgió la moderna teoría de la probabilidad.1250).
un viaje que no repitiese visitas a ciudades circulando por los bordes del dodecaedro y volviendo al punto de partida (camino hamiltoniano). del cálculo de variaciones) Leibniz. apuntan a un hecho indudable con dos vertientes. También el espíritu matemático de la época de Euler participaba fuertemente del ánimo competitivo de la época de Cardano. que se podrían ciertamente multiplicar. Johann Bernoulli (1667-1748) lanza el problema de la braquistócrona como un reto a los mejores matemáticos de su tiempo. Según cuenta Martin Gardner. Newton y Huygens. John von Neumann (1903-1957).JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J constituyó el comienzo vigoroso de una nueva rama de la matemática. Albert Einstein (1879-1955). Esto ha dado lugar a un problema interesante en teoría de grafos que admiten un camino hamiltoniano. Se trataba de efectuar por todos los vértices de un dodecaedro regular. tenía toda una estantería de su biblioteca particular dedicada a libros sobre juegos matemáticos.89:. Por una parte son muchos los juegos con un contenido matemático profundo y sugerente y por otra parte una gran porción de la matemática de todos los tiempos tiene un sabor lúdico que la asimila extraordinariamente al juego. Los biógrafos de Gauss (1777-1855) cuentan que el Princeps Mathematicorum era un gran aficionado a jugar a las cartas y que cada día anotaba cuidadosamente las manos que recibía para analizarlas después estadísticamente. las ciudades de ese mundo. pieza fundamental para los desarrollos matemáticos sobre el comportamiento económico. 5 . escribió con Oskar Morgenstern en 1944 un libro titulado Teoría de Juegos y Conducta Económica. Hilbert (1862-1943) uno de los grandes matemáticos de nuestro tiempo es responsable de un teorema que tiene que ver con los juegos de disección: dos polígonos de la misma área admiten disecciones en el mismo número de triángulos iguales. otro de los matemáticos más importantes de nuestro siglo. En este duelo participaron con ardor nada menos que Jakod Bernoulli (creador. la teoría de grafos y con ella de la topología general.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Se cuenta que Hamilton (1805-1865) sólo recibió dinero directamente por una de sus publicaciones y ésta consistió precisamente en un juego matemático que comercializó con el nombre de Viaje por el Mundo. En él analizan los juegos de estrategia donde aparece en particular el teorema de minimax. precisamente con su solución al problema. El fundamento matemático de los juegos Estas muestras del interés de los matemáticos de todos los tiempos por los juegos matemáticos.
los unimos dos a dos. como el de las tres granjas y tres pozos. La probabilidad es. de los que precisamente nació.. transformación de configuraciones con cerillas.. el pañuelo que se arruga y se coloca sobre una réplica suya sin arrugar. como el de averiguar el número de formas distintas de plegar una tira de sellos. cambios de monedas. la base de todos los juegos de azar. el de los maridos celosos. Nació con los puentes de Königsberg. o nada) y se nombran los vértices de los triángulos de la triangulación con A.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J El primer aspecto se puede poner bien de manifiesto sin más que ojear un poco el repertorio de juegos más conocidos.. el problema del viajante. Citaré unos pocos entresacados de la matemática más o menos contemporánea. se encuentra en el juego de Hamilton. adivinación de números.. como en juegos más modernos como los relacionados con la banda de Möbius. La lógica da lugar a un sinfín de acertijos y paradojas muy interesantes que llaman la atención por su profundidad y por la luz que arrojan sobre la estructura misma del pensamiento y del lenguaje. La geometría aparece de innumerables formas en falacias. por supuesto... polinomios planos y espaciales.. importante en la teoría del punto fijo. medidas. 6 . es una herramienta importante para analizar ciertos juegos con fichas en un tablero en los que se "come al saltar al modo de las damas. la col y el lobo. nudos. en juegos emparentados con el Nim. en el problema de las ocho reinas. El teorema de Ramsey... Diversas formas de topología aparecen tanto en juegos de sabor antiguo. muchos de ellos sin resolver aún. El álgebra interviene en muchos acertijos sobre edades.. La aritmética está inmersa en los cuadrados mágicos. un vértice. en particular el grupo de Klein. problemas de coloración. La teoría elemental de números es la base de muchos juegos de adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad.. como el del pastor. El lema de Sperner. La combinatoria es el núcleo básico de todos los juegos en los que se pide enumerar las distintas formas de realizar una tarea. rompecabezas de alambres y anillas.89:. en su forma más elemental. disecciones. da la estrategia adecuada para los acertijos de cruces de ríos.. y resuelve también muchos otros más modernos como el de los cuatro cubos de la Locura Instantánea. La teoría del punto fijo es básica en algunos acertijos profundos y sorprendentes como el del monje que sube a la montaña.. La teoría de grafos es una de las herramientas que aparece más frecuentemente en el análisis matemático de los juegos. afirma que si tenemos 6 puntos sobre una circunferencia. y coloreamos arbitrariamente los segmentos que resultan de rojo o de verde. juegos sobre pesadas.. entonces necesariamente hay al final un triángulo con tales segmentos por los lados que tiene sus tres lados del mismo color... B. la oveja. aparece en juegos que implican diferentes sistemas de numeración... La teoría de matrices está íntimamente relacionada también con los grafos y juegos emparentados con ellos. afirma que si en un triángulo ABC se efectúa una triangulación (Una partición en un número finito de triángulos tales que cada dos de ellos tienen en común un lado.... en el famoso juego de los 15. La teoría de grupos. Matemáticas con sabor a juego Por otra parte resulta igualmente fácil señalar problemas y resultados profundos de la matemática que rezuman sabor a juego..< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .
el sabor a juego puede impregnar de tal modo el trabajo. con una visión más abierta y más responsable. El teorema de Helly afirma que si en un plano hay un número cualquiera de conjuntos convexos y compactos tales que cada tres tienen un punto en común. como veremos. entonces todos ellos tienen al menos un punto en común. y el juego puede. En el juego se busca la diversión y la posibilidad de entrar en acción rápidamente. complicadas. pero no hay demostración de ello. en el AC nada más que A ó C y en BC nada más que B ó C. aún sin resolver. Muchos problemas matemáticos. 7 . Consecuencias para la didáctica de la matemática La matemática es. analizarse mediante instrumento matemáticos.89:. pero la matemática no es sólo diversión. la aportación española en este campo ha sido casi nula. es claro que. incluso agradable y. que lo haga mucho más motivado. para algunos. por supuesto. Nuestros científicos y nuestros enseñantes se han tomado demasiado en serio su ciencia y su enseñanza y han considerado ligero y casquivano cualquier intento de mezclar placer con deber. ni tediosas. por analogía con el caso bidimensional.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . El siguiente problema de la aguja en un convexo tridimensional está también aún abierto: ¿Cuál es el cuerpo convexo de volumen mínimo capaz de albergar una aguja de longitud 1 paralela a cada dirección dada? Se sospecha.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J C. aprendieran a aprovechar los estímulos y motivaciones que este espíritu de juego puede ser capaz de infundir en sus estudiantes. a fin de poner más en claro las conexiones entre juegos y matemáticas. permiten también una introducción sencilla y una posibilidad de acción con instrumentos bien ingenuos. Pero. Desafortunadamente para el desarrollo científico en nuestro país. pregunta por el mínimo del área de aquellas figuras capaces de cubrir cualquier conjunto del plano de diámetro menor o igual que 1. sino ciencia e instrumento de exploración de su realidad propia mental y externa y así ha de plantearse. Por eso muchas de sus cuestiones espontáneas le estimulan a crear instrumentos sutiles cuya adquisición no es tarea liviana. juego. en gran parte. El problema de Lebesgue. aún apasionante. entonces necesariamente hay un triángulo de la triangulación que se llama ABC. especialmente en la tarea de iniciar a los más jóvenes en la labor matemática. Sin embargo. de modo que en el lado AB no haya más que las letras A ó B. Sería deseable que nuestros profesores. no las preguntas que quiere. han sido numerosos los intentos de presentar sistemáticamente los principios matemáticos que rigen muchos de los juegos de todas las épocas. estimulante. incluso algunos muy profundos. existen diferencias substanciales entre la práctica del juego y la de la matemática. Generalmente las reglas del juego no requieren introducciones largas. en muchas ocasiones. De hecho. sino las que su realidad le plantea de modo natural. que es el tetraedro regular de altura 1.
Su obra póstuma apareció en 1636 con el título Deliciae PhysicoMathematicae oder Mathematische und Philosophische Erquickstunden y la reedición de ella en 1651-1653 fue por algún tiempo la obra más completa en su género. con Fibonacci (1202). el gran primer sistematizador de donde bebieron abundantemente posteriores imitadores fue Claude-Gaspar Bachet de Méziriac.. determinación del número de pesas para pesar 1.. En 1624 un jesuíta francés. La obra de van Etten fue modelo para sus continuadores Claude Mydorge (1630).. y Daniel Schwenter. una obra.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J Notas sobre la literatura clásica sobre juegos Los datos que siguen sobre la historia de la literatura sobre recreaciones matemáticas están tomados fundamentalmente del artículo de Shaaf en la Encyclopaedia Britannica titulado Number Games and Other Mathematical Recreations. lenguas orientales y matemáticas. quien en 1612 publicó su obra de vanguardia en este campo Problémes plaisans et delectables qui se font par les nombres.. Fue seguida en 1660 por un tercer volumen Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima. en Alemania... El libro de recreaciones de Bachet estaba basado sobre todo en propiedades aritméticas y contiene los problemas más clásicos sobre juegos de cartas. 2. Jean Leurechon. alcanzando las 30 ediciones ya en 1700. pero que tuvo mucho más éxito que la de éste. profesor de hebreo... Aunque en la Edad Media y comienzos de la Moderna se dieron algunos intentos esporádicos de formalización y análisis matemático de juegos. En Inglaterra William Leybourn publica en 1694 un libro a medio camino entre el texto y la recreación. La obra de van Etten . escrita por el jesuíta Mario Bettini. 40 kilos. Mientras tanto había aparecido en Italia en 1641-1642 la obra en dos volúmenes bajo el complicado título Apiaria Universae philosophiae Mathematicae. Recreátions Mathématiques. A él mismo se debe también la publicación en francés de Diophanti. alcanzando las 30 ediciones ya en 1700. Este último. in quibus paradoxa et nova pleraque machinamenta exhiebntur. sobre todo a través de Fermat.. una obra. que contiene una excelente exposición de los juegos más significativos y de las obras más importantes..89:. problemas de cruces.. pero que tuvo más exito que la de éste. fuertemente basada en la de Bachet. en Francia. añadió gran cantidad de material copilado por él mismo. Robert Recorde (1542) y Geronimo Cardano (1545). Su título fue Pleasure with Profit: Consisting of Recreations of Divers Kinds. 3. relojes. 8 . escribió bajo el seudónimo de van Etten.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . con la intención de "apartar a la juventud de los vicios propios a los que es inclinada". Pienso que los más seriamente aficionados a los juegos matemáticos agradecerán estas breves notas y que servirán al mismo tiempo para que los más escépticos puedan comprobar al menos con qué tesón ha sido y es cultivado el campo en otros países. fuertemente basada en la de Bachet. traducción de un texto griego sobre teoría de números que ejerció un gran influjo sobre la historia de la matemática. Recréations Mathématiques.
entre otras cosas. en dos volúmenes. En la primera mitad del siglo 20 los nombres más importantes en América son los de los dos Sam Loyd. así como Wilhelm Ahrens con sus dos volúmenes Mathematische Unterhaltungen und Spiele (1904-1920).JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J La obra que realmente marca la pauta para los muchos autores que aparecerán en los siglos 18 y 19 fue la de Jacques Ozanam. Schuh.M. Conway y Guy. que por su amplitud. editor de la revista Sphinx y compilador de varios libros entre 1900 y 1942. el impacto de los juegos sobre los matemáticos y las matemáticas de todos los tiempos. obra inspirada en las de Bachet. especialista en teoría de números. Leurechon. quien en 1694 publicó Récréatiions Mathématiques et Physiques. A partir de los años 50 Martin Gardner comenzó a publicar con gran éxito su artículo mensual en las páginas de Scientific American y su nombre. a través de las numerosas notas. publicada en 1943.S. padre e hijo. Coxeter revisó en 1938 la undécima edición. De las obras más recientes hay que destacar especialmente la de Berlekamp. que en su tiempo causó un furor parecido al del cubo de Rubik en nuestros días. de sus mejores artículos. sistematización y profundidad. 9 . primera edición). titulada Winning Ways. alcanzará sin duda un gran éxito entre los aficionados más concienzudos. el autor de Alicia. El geómetra H. autores del famosísimo juego de los 15. Mathematical Recreations and Essays (1892. ocho hasta el presente.89:. En Holanda se destaca también Fred. En Alemania se destacan Hermann Schubert con sus Zwölf Gedulspiele (1907-1909) en tres volúmenes.Rouse Ball.W. que pasa a ser la obra clásica durante algún tiempo. con su obra Wonderlijke Problemen. en cuyas páginas puede apreciarse documentadamente. En Bélgica hay que destacar a Maurice Kraitchik. gran aficionado a los puzzles lógicos y juegos matemáticos quien publicó. Contemporaneo de Lucas es Lewis Carroll.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Mydorge y Schwenter. grandes especialistas en puzzles mecánicos. con gran erudición histórica. En Inglaterra se destacan Henry Dudeney (1917-1967) y sobre todo la gran obra de W. otro de los clásicos. que fue revisada más tarde por el historiador de la matemática Montucla. gracias a la difusión de esa revista y a las compilaciones sucesivas. Al final del siglo 19 aparecen los cuatro volúmenes de Edouard Lucas. Pillow Problems y A Tangled Tale (1885-1895). publicada en 1982. ha llenado con enorme éxito el campo hasta finales de los años 70. titulados Récréations mathematiques (18821894).
en cambio. Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática. el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que. es claro que existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos matemáticos de apariencia más seria. piensa-. un elemento de diversión. es una miserable pérdida de tiempo".89:. y por otras razones que señalaré a continuación. relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática. físicas. Pero es que además sucede que. UTILIZACION ENSEÑANZA DE LOS JUEGOS EN LA ¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos? Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su propia acción. sensitivas. de modo armonioso. Para lo que se pretende. En mi opinión. ¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales. Para eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. avaladas por la historia misma de la matemática y de los juegos. eso sí. ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente. se queda con el pasatiempo que. A mi parecer. el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variarían favorablemente. colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia. 10 .JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 2. en muchos casos con claras ventajas de tipo psicológico y motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemáticos. "El alumno. debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente. Por eso es natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza. le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo demás. incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza. le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. pensamos. afectivas. junto con el rollo cotidiano. por algunas de las razones apuntadas antes.
Pero. ideas para el desarrollo 11 . cómo los juegos pueden utilizarse para motivar. Es mi intención presentar a continuación dos esquemas de posible utilización de los juegos en la enseñanza. enriquecer e iluminar la ocupación con ellas. tan inteligentes como corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes. mucho más sencilla tal vez que el juego que practican. hábitos. Trataré de poner de manifiesto cómo lo que.89:. donde a absurdas preguntas iniciales totalmente inmotivadas seguían respuestas aparentemente inconexas que hacían de la matemática una madeja inextricable cada vez más absurda y complicada. a través de un listado de temas. matemáticos y no matemáticos. Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. como veremos. con razón el corazón de las matemáticas. pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos de todas las épocas. de forma natural. se mostrarían. ante la ciencia en general y ante la matemática misma en particular. actitudes y actividades matemáticas. resultan asequibles a una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone. constituye la savia de las matemáticas y la manera más efectiva de acercamiento a ellas desde el punto de vista didáctico.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida para la matemática. tiene que ver con el teorema de Pitágoras. actitudes. Bien se puede pensar que muchas de estas personas. Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo. En otros casos la solución de la impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un método. hay juegos que. Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones. puede aprovecharse de la actividad con juegos bien escogidos. la resolución de problemas. a mi parecer. tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial. El primero consiste en un ensayo de desarrollo heurístico a través de los juegos.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco difiere de la matemática. adecuadamente motivadas desde un principio. El segundo esquema presenta.
¿Puedes tratar de recorrerlo hacia atrás? ¿Puedes pensar desde aquí en alguna pista? Si hago esto. No pienses que es una observación del todo tonta. ¿Puedes usar la misma forma de proceder? ¿Puedes usar la misma idea que conduce allí a la solución? ¿Deberías introducir en éste alguna modificación que lo haga más semejante a aquél? Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil..< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . reglas. Juega un poco con las fichas o las partes del juego según las reglas para familiarizarte con su forma de actuar. La experiencia dice que son muchos los que se lanzan a hacer cosas a lo loco.89:. relacionado con éste de alguna manera? ¿Sabes algo del otro que pueda ayudarte en éste? ¿Cómo marchaba aquél? Tienes un juego semejante en el que sabes cómo actuar. en sus líneas generales. Tal vez necesitarás construirte un juego auxiliar más simple que puedas resolver. A ver si puedo transformar el juego en otro más sencillo. suponiendo por ejemplo que hubieras conseguido superar una etapa inicial? Supón que se te pide un poco menos. La elaboración de un curso completo de heurística en esta dirección sería un trabajo bien interesante que requeriría una inmersión a fondo en la abundante literatura existente a fin de analizar los juegos más apropiados para cada aspecto y para comprobar el rendimiento efectivo de esta actividad. ¿Lo has visto antes? ¿Lo has visto en forma parecida al menos? No me lo sé. Hazte una o varias figuras si te parece que te va bien.. funcionamiento de las fichas. ¿puedes entonces? Supongamos el problema resuelto.. entonces queda así. por si alguna da en el blanco por casualidad..Directrices heurísticas basadas en juegos COMO RESOLVERLO 1.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J de herramientas apropiadas. y cómo. Trataré en lo posible aquí de presentar ejemplos bien conocidos a fin de evitar introducciones que nos llevarían mucho tiempo. ilustradas aquí con algunos juegos que a mí. me han parecido adecuados. Ya me lo sé. un calco de las directrices fundamentales de la famosa obra de Polya ¿Cómo Resolverlo?.. en una palabra.. Busca conexiones con otros elementos que conozcas. Muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemáticos. Aquí tienes algunas observaciones y preguntas que te pueden ayudar en esta tarea. ¿Conoces algún juego semejante. ¿Puedes resolver al menos parte del juego? ¿Lo puedes hacer en circunstancias especiales. 2... TRAMARÉ UNA ESTRATEGIA. la vida propia de las matemáticas. espigando en la literatura. Lo que sigue viene a ser. ¿Sabes bien de qué va? ¿Cómo funcionan las diferentes partes del juego? Estúdialas una a una: forma del tablero. Al final de esta etapa deberías construirte un plan de ataque concreto.. ANTES DE HACER TRATARÉ DE ENTENDER. Introduce tú mismo modificaciones en 12 . El objetivo de este esquema consiste simplemente en tratar de poner bien patente la semejanza de actitudes que se dan en la resolución de un puzzle o un juego y en la de un genuino problema matemático. pero conozco uno que. muchos de los hábitos adecuados para la tarea matemática podría no adquirirlos igualmente bien divirtiéndose con ejemplos escogidos de juegos. efectivamente. A.
No las mezcles en un principio sin ton ni son. Si deja oveja y lobo solos a un lado. Vamos a ver si marcha. Mira si otros juegos semejantes funcionan también con el mismo principio que has encontrado. estúdiala detenidamente para convencerte de que no es por casualidad. El problema es clásico y fácil de resolver sin grandes esfuerzos sistemáticos.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Si te lleva a una situación muy complicada. por orden. Procura. Con los ojos cerrados. con una col. Míralo a fondo.. ésta será liquidada rápidamente por la oveja.. En cambio al lobo no le atrae nada la col y bien se puede quedar solo con ella. me escribo una ecuación... pruébalas una a una. Trata de encontrar pistas en la diferente función de las partes.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J las reglas. 4. ########################## A continuación trataré de ilustrar algunas de las observaciones anteriores con juegos concretos. por todos los medios a tu alcance tener un buen esquema de los puntos principales en la mente. Además con esto gano a aquel otro juego. Constrúyete un juego semejante al que has resuelto modificando sus piezas o sus reglas y mira si tu principio vale aquí también. Lo conseguí..89:. 3. Aprovecha tu solución para asimilar bien la experiencia. Veamos de nuevo. vuelve al paso segundo y busca otra estrategia. Me hago un esquema. ¿Cómo se las ingeniará para pasarlas todas? Si deja solas a un lado oveja y col. el lobo se zampará a la oveja. Trata de localizar la razón profunda del éxito de tu estrategia. a la teoría de grafos.. una oveja y un lobo (se supone que hasta cierto punto amaestrado) se encuentra a la orilla de un río que quiere atravesar.. Probablemente hay otro modo más sencillo. como sucede en muchas ocasiones en que se trata de realizar secuencialmente un conjunto de tareas. otra solución más simple. me lo pinto en colores.. ¿Por casualidad? Si te va bien con tu estrategia. Lleva adelante tu estrategia con decisión. en las condiciones. ¿Para qué son así las reglas? ¿Cuál es la mala (o buena) idea detrás de ellas? Fíjate de nuevo en la estructura del juego. Me hago otro juego. Ya tengo una idea. No nos liemos. y lo patento. Trata de poner en práctica tus planes. ¿Cómo marchaba aquél? Un pastor. a la luz de tu solución.. tratando de sacar alguna luz de estas modificaciones. No te emperres demasiado en una sola estrategia. Hay en su orilla una barca en la que cabe él y una sola de sus pertenencias al tiempo. Pero existe una solución sencilla acudiendo. No te arrugues fácilmente. sino que veo por qué va. SACARÉ JUGO AL JUEGO. No consideres que ya has terminado del todo cuando lo has resuelto. No sólo sé que va.. Si tienes varias ideas. Así 13 . qué lugar ocupan las condiciones y reglas del juego.. MIRARÉ SI MI ESTRATEGIA ME LLEVA AL FINAL. Trata de entender. Ahora veo la astucia de las reglas. Probaré otra cosa. Mira a ver si con la luz que ya tienes encuentras otra estrategia.. Apuntamos las posibles situaciones de las pertenencias del pastor en la orilla inicial I sin que le desaparezca nada.
Nada La interpretación de las operaciones que el pastor ha de hacer es clara.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J A continuación señalamos con una flecha los posibles pasos de una situación a otra según la regla del juego.PLO .L .LC .O . El problema consiste en resolver la dificultad con que se encuentran dos maridos A.B que llegan con sus respectivas esposas a. Así se obtiene el grafo que sigue. Cualquiera que haya visto esta solución y se enfrente ahora con el también clásico problema de los dos maridos celosos.PCO .< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Hay una barca en la que solo caben dos personas al tiempo. b a la orilla de u río que quieren cruzar. tendrá muy claro cómo debe de proceder.LC . En el cuadro es evidente que hay solamente dos posibilidades (1) POCL .O – Nada (2) POCL . El problema sería más fácil si no fuera porque los dos maridos son tan celosos que no pueden sufrir que la esposa esté ni un momento en compañía de otro hombre sin estar él delante.89:. ¿Cómo podrán arreglárselas? Escribimos como antes las distintas situaciones posibles y unimos con una flecha aquellas que son alcanzables desde otras según las reglas. Así 14 . Nuestro problema ahora consiste en hallar un camino de flechas desde POCL hasta Nada. es decir que en la barca sólo pueden cruzar el pastor y una sola de sus pertenencias.C .
4x4. sin pensar un poco antes. ¿Y si nos construimos uno más modesto e intentamos allí un problema semejante? Tal vez el tablero 2x2. Pero nuestros intentos sucesivos van fracasando y aconsejándonos que recapacitemos. Estos quedan muy a menudo más claros en un problema semejante más sencillo. En un tablero de ajedrez se tapan dos cuadros de los extremos de una diagonal. un escalón en el que nos podemos apoyar para resolver el problema inicial. 3x3. hay muchas posibilidades. Las dificultades provienen a menudo de la complejidad de la estructura que nos encubre los rasgos básicos. Se tienen 31 fichas de dominó o de papel. dos cuadros por tanto del mismo color. Otras veces la solución del problema sencillo es útil. 10x10. Se pide colocar. Este principio de empezar por lo fácil es de amplia aplicación... éste puede ser aplicado al caso más complicado. pero la experiencia del tablero 2x2 nos puede hacer pensar en la imposibilidad aquí también. En el conocido problema de los 15 se tiene un 15 .JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J De esta forma no sólo podemos encontrar una solución. El tablero es grande.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . La dificultad puede consistir en encontrar un problema más sencillo que el propuesto que. pronto nos encontraremos en un buen lío.. ¡Sí! En el de 4x4 se quitan dos cuadros de una diagonal. pues si se cubren 2 cuadros. porque aquí se puede efectivamente empezar a hacer cosas sin sistema y llegar bastante lejos cubriendo el tablero.. Descubierto aquí el principio. no sólo porque revele un principio que puede ser utilizado para el problema original.. Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil. con todo.. Además esto va a suceder siempre que quitemos dos cuadros del mismo color. como sucedía en el de 2x2. Pero una ficha de dominó bien colocada cubre necesariamente un cuadro blanco y otro negro. las fichas de dominó de modo que cubran exactamente los 62 cuadros del tablero. cada una capaz de cubrir dos cuadros contiguos. sino que podemos obtenerlas todas y escoger la mejor.. Quedan 8 cuadros de un color y 6 del otro. Y esto mismo sucede en el caso 8x8. En el tablero 3x3 el juego no tiene sentido. Así es imposible cubrir el tablero. Quedan 62 cuadros. En el tablero 2x2 pronto nos damos cuenta de que lo que se pide es imposible sin partir en dos una ficha. si es que hay alguna mejor.. si se puede. Si empezamos por colocar fichas al buen tuntún... sino porque constituye una parte.. quedan 7 que no pueden ser cubiertos ni con tres fichas ni con cuatro exactamente. conserve sus rasgos fundamentales. Los dos cuadros que quedan están en una diagonal y no hay forma de cubrirlos con una ficha de dominó. En el tablero 4x4 no existe este problema.89:.
Se presenta el cuadrado con los números desordenados.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . se puede uno percatar fácilmente de que el problema propuesto es a veces insoluble y trivial cuando es soluble. es decir Al acudir a un problema más sencillo. Se pide colocarlos en orden con el hueco en la esquina del SE. ¿Sabrías determinar cuáles son los problemas solubles y los insolubles? 16 . Resuelto este problema ya tenemos una estrategia para el original de los 15.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J cuadrado 4x4 en el que se pueden deslizar 15 cuadraditos 1x1 numerados del 1 al 15 utilizando el hueco restante.89:. Si acudimos al problema semejante de un rectángulo 3x2 con cinco piezas podemos encontrar fácilmente una estrategia para resolver aquí cualquier problema soluble. por ejemplo un cuadrado 2x2 con tres cuadraditos 1x1. observando que en tablero de los 15 podemos dejar fijas todas las fichas excepto las de un rectángulo 3x2 o 2x3 en el que colocamos el hueco y con esta flexibilidad resolvemos fácilmente cualquier problema soluble.
sin repetir dos líneas y saliendo y terminando en un mismo vértice? Las dos figuras se pueden trazar sin levantar el lápiz del papel. es decir. me escribo una ecuación.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J Supongamos el problema resuelto. De entre los problemas clásicos de Bachet. tal vez los más conocidos son los relativos a medidas. salimos de él por una línea distinta no recorrida antes. También en el vértice de salida tienen que concurrir un número par de arcos. 17 . ¿Cómo? Existe una representación gráfica muy útil en los problemas de este tipo. Consideremos el siguiente: Se tienen junto a una fuente una medida de 7 litros y otra de 11. Entonces. cada vez que llegamos a un vértice de paso en nuestro camino (no inicial ni final). el arco de salida. Me hago un esquema.. Pero nosotros necesitamos medir exactamente dos litros. el arco de llegada y el número par de arcos correspondientes a los pasos por él. ¿Por qué? Supongamos que en A hubiese tal camino. Una forma adecuada de representación de un juego puede dar un método para resolverlo y para resolver al tiempo muchos otros semejantes. pero A parece resistirse más a un camino que termina en el punto de partida. Así cada vértice de paso tiene que tener un número par de arcos que concurren en él.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Se dan las siguientes figuras A y B ¿Puedes trazarlas sin levantar el lápiz del papel.89:. Como A tiene los dos vértices de abajo con tres líneas concurrentes en cada una de ellos. el trazado pedido es imposible... supongamos el problema resuelto. me lo pinto en colores.
Las flechas horizontales hacia el E indican que se va llenando el recipiente de 11 litros... A. sigue la receta de arriba.. Las guindas son muy grandes para pasar por C sin romper el papel.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J Las coordenadas horizontales indican la situación del recipiente de 11 litros. Divídelo por 7.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Divide el resultado por 11. Las flechas verticales hacia el S indican que el de 7 se vacía de lo que contiene. Repítelas y forma el número de 6 cifras abcabc. Luego juega B del mismo modo. sino que veo por qué va. C. Se ponen en sistema binario los números de piedras de cada montón. puede quitar tantas piedras como quiera (siempre una o más) de uno sólo de los tres montones. Tal vez te haya contado alguien la estrategia infalible que tiene A. El rectángulo es de papel con los tres cortes indicados A. un número de tres cifras abc. sin que yo lo vea.. ¿Para qué son las reglas así? ¿Cuál es la mala o buena idea detrás de ellas? Escribe. por 13. Gana quien se lleve la última piedra. otro con 4. Fácil: abcabc=abcx1001+abc= abcx1001. te deja un poco perplejo.. Se ponen tres montones de piedrecillas. las oblicuas hacia el NO indican que del de 11 litros se va trasvasando al de 7 litros. Veamos de nuevo. La sucesión de operaciones queda bien clara por el diagrama siguiendo las flechas desde la esquina SE hasta el momento en que llegamos al otro punto gordo de la figura (el de 11 conteniendo 2 litros): Se llena el de 11 (punto gordo de salida) y se pasa todo lo que se puede al de 7 (línea NO)... Para salir de tu sorpresa. por 11. ¿Cómo separar las guindas del papel? No sólo sé que va.89:. Divide el resultado por abc. que contenía 4 (línea NO). Ahora sí que está clara la cosa. ¿Podrías inventar un juego parecido con el mismo principio? Muchos de los puzzles de alambres y cuerdas llevan en su misma estructura la pista adecuada para dar con la solución. uno con 3.. Por ejemplo el siguiente de las guindas: Las dos cuerdas están unidas por una cuerda. Lo que te resulta es 13. El número abcabc se puede dividir por 7. otro con 5. Se vacía el de 7 (linea hacia S). Juegan dos jugadores A y B. ¿Quién es abcabc? ¿Qué tiene que ver con el número 1001?. Se llena el de 11 (línea hacia E). quedando 8 en el de 11. es decir por 7x11x13=1001. Además abcabc es divisible por abc. Si alguien te hace el jueguecito y no lo conoces. Ya hemos visto también cómo los problemas clásicos sobre cruces pueden tratarse con una gráfica adecuada. El juego de Nim consiste en lo siguiente. Al empezar estos son 18 . B. Se trasvasa del de 11 al de 7. Las verticales la situación del de 7 litros. También los problemas sobre pesas admiten un tratamiento semejante. El primero en jugar. Se echan los 4 que hay en el de 11 en el de 7 (línea NO).
Gana quien se lleve la última. Es claro que así B no puede ganar. el paseo es imposible en el tablero 8x8.89:. con esto gano a aquel otro juego. En efecto la torre va recorriendo sucesivamente blanco. Los jugadores A puede quitar 1. 4. puede pensar rápidamente en aplicar el mismo principio aquí.. Por supuesto que uno piensa enseguida en lugar a lo mismo en un tablero más pequeño. tiene que ser A quien gane. ó 5 piedras. como en el juego del ajedrez recortado que hemos visto antes y así resulta fácilmente que a veces. Así si el paseo terminase en blanco. por ejemplo en un tablero 2x2 con A y B en dos esquinas diagonalmente opuestas el paseo propuesto es imposible.4.1 0 1 1------------- 1 0 1 0 El primer jugador gana necesariamente siguiendo esta misma estrategia cada vez que le toque jugar. La estrategia de A consiste en dejar.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 3------------4------------5------------. 5? Si lo averiguas no te será difícil tal vez dar con la estrategia del juego de Moore. ¿Es posible pasearse con una torre por todo el tablero comenzando en A y terminando en B? Recordemos que la torre se mueve horizontal y verticalmente.2. que es como el de Nim. Con los ojos cerrados. el número de cuadros sería impar. Ahora le toca a A.3. Si A y B son del mismo color. Consideremos ahora el juego siguiente con un montón de 40 piedras. nunca en oblicuo. En cambio será imposible el paseo en un tablero con un número impar de cuadros si A y B son de distinto color y también si son del mismo color si es que este color es el más escaso en el tablero. ¿Te has parado a pensar alguna vez por qué marcha? ¿Por qué A puede llevar a cabo su estrategia haga B lo que haga? ¿Y si los montones tienen números de piedras diferentes a 3. A partir de entonces su táctica es sencilla: si B quita m.4. aquí se pueden quitar dos piedras del montón de 3 y queda 4------------5------------. A quita 6m. pero pudiendo quitar las piedras que se quiera (siempre una o más) de uno o dos montones en cada turno.3. siempre que no se pueda llevar todas las piedras que queden. ó 5 piedras a su antojo.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .. Así mismo.. Luego B puede quitar así mismo 1.2. y como gana alguien seguro. ¿Podrías dar con un teorema general y una estrategia para hacer el paseo siempre que se pueda? 19 .. en que quita 4 piedras. blanco. En un tablero de ajedrez se señalan dos cuadros A y B. quien conozca el uso que en el otro juego hemos hecho de los colores. Así. negro. dejando 36. blanco por ejemplo. un número de piedras que sea múltiplo de 6. no le hace falta hacer cuentas más que la primera vez que juega. Una vez que A conoce la estrategia.. Y además. negro.1 0 1 1 1 0 1 0 La estrategia consiste en quitar las piedras que haga falta del montón adecuado para que los unos de cada columna de los números en sistema binario sumen un número par.
las tres bisectrices también. El campo es enormemente rico. Cap. en la literatura actual donde se puede acudir para obtener información detallada. ilustrados y enriquecidos mediante el uso de juegos. o se pueden localizar fácilmente en la bibliografía que presento en la tercera parte. estos pueden presentar aspectos de misterio que motiva fuertemente el interés por saber más para desvelarlo plenamente. Ante la imposibilidad de exponer aquí el juego por extenso he optado por indicar algún lugar. lo más asequible posible. La mayor parte de las referencias que doy se encuentran en los libros de Martin Gardner.1. ¡Ajá! Paradojas". 7. y también han sido publicados en castellano por Labor los dos libros suyos "Inspiración. Gardner 6. Pienso que sería muy útil una experimentación sistemática y de equipo con estos y otros elementos para averiguar el valor efectivo de estas ideas a fin de comunicar los temas y actitudes deseadas. puede parecer a muchos más directamente aprovechable. Las otras referencias que daré. Este ha publicado hasta el presente ocho antologías de las mejores de sus contribuciones en Scientific American.. menos elementales. teorema del hexagrama místico de Pascal (Guzmán. ¿Por qué no apoyarnos en los elementos más adecuados para ponerlo en marcha con energía? Incluso cuando se trata de hechos que no pueden ser explicados plenamente.. pienso.2.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Estas antologías serán citadas de la forma Gardner 1. Teorema de 20 . en mi opinión. Y en la bibliografía presentada en la tercera parte de mi trabajo se puede ver el título y referencia exacta. en Alianza Editorial. En él trataré de señalar mediante ejemplos concretos cómo diversos temas y actitudes que nos ocupan en nuestra enseñanza a todos los niveles pueden ser motivados. 1. La disposición de este esquema será presentada alrededor de unas cuantas actitudes y núcleos temáticos propios de la actividad matemática. simples. Dentro de lo que constituye el contenido matemático propiamente dicho. Los hay a todos los niveles. Bajo cada epígrafe concreto menciono algunos juegos que.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J B.89:. Directrices temáticas para el uso de los Juegos Me ha parecido de interés elaborar un segundo esquema de utilización de juegos que. SORPRESAS MATEMÁTICAS "Por la admiración comenzó el hombre a filosofar". 3. las tres alturas también. Teorema de Desargues. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo concurren.7). 4. serán indicadas por completo en el lugar en que aparecen. y la admiración y la sorpresa y la curiosidad siguen contándose entre los elementos motivadores más fuertes de nuestra actividad intelectual. Mirar y Ver. 8. Cualquiera de nosotros que explore un poco en el origen de nuestro interés por las matemáticas encontrará sin duda instantes de sorpresa y admiración ante ciertos hechos matemáticos que nos han llamado poderosamente la atención. elementales. pueden ayudar adecuadamente a mejor ponerlo de relieve. etc.3.. En la enseñanza la motivación es el motor esencial. He aquí algunos: 1. más sofisticados. existen multitud de hechos con carácter de sorpresa. De las antologías de Gardner han sido traducidas al castellano. 1. dijo Aristóteles. 1.
He aquí algunos temas: 2. I. Washington D. Se traza una secante S0.(Gardner 4..C. Triangulo de Pascal (Gardner 7.5. E. Cap. tangente a Cn-1.. Cn* tangente a C1*. I. E. Primero se traza una esfera cualquiera E1 tangente exteriormente a las tres (hay muchas).18). Se comienza a ponerles un collar de perlas esféricas de distinto tamaño en general del siguiente modo. 1. obtenemos asimismo una cadena C1*. obtenemos una cadena de secantes S0*S1*. E. El conjunto de palabras infinitas de dos letras no es numerable. Cap. El número Pi (Gardner 3. Cap. Continuamos con otra E3 tangente a las tres y a E2. en círculos concéntricos). sucesión de Fibonacci. existe un cuarto círculo tangente a los tres (Fácil por inversión). Teorema de Poncelet: Se dan dos círculos E. Sn-1*Sn*. 2. 1. etc. CUENTOS CON CUENTAS Existen constelaciones de hechos matemáticos que se prestan para hacer de ellos una novela bien interesante.. En cambio es imposible hacer una partición de un cubo en un número finito de cubos desiguales más pequeños (Gardner 6... I. Es posible hacer una partición de un cuadrado en cuadrados desiguales más pequeños (Gardner 2.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .. 17). 1982. E.6. I. I.. Cap. sea cual sea E1.14). I.15).7.2. 2.4.C2*. Cap..8. uno.. Sección áurea. luego otra distinta S1S2 asimismo tangente a I.. luego otro C3. Cap..1. Mathematical Time Exposures.89:. 21 . 21). Supongamos que Sn coincide son S0... El collar de las seis perlas. Cap.. Me pregunto si el tiempo malgastado en muchos de nuestros rollos magistrales en los que tanto abundamos los profesores de matemáticas de todos los niveles no podría invertirse con gran provecho en contar pausadamente alguna de estas historias apasionantes del pensamiento humano. y así hasta Cn..8). (Apesar de la semejanza con el teorema de Steiner. 13).9. Proceso diagonal de Cantor. 1. Entonces. 1. 1. luego otro C2. (La demostración resulta fácil mediante una inversión que transforme E. Hay infinitos números primos. 8).. tangente a C2. Si tres círculos del plano son tangentes dos a dos. y resulta también que Sn* coincide con S0*. Se traza un círculo C1. con I interior a E. Se tienen tres esferas tangentes dos a dos exteriormente.S1*S2*. Etc. Entonces si repetimos la operación con otro S0* inicial. 2.J.(Gardner 2. 2. tangente a C1. tangente a los dos. siempre este collar se cierra con E6 tangente a E1 (Demostración fácil por inversión). El ábaco (Gardner 4. Este es un hecho importante en la historia de la geometría algebraica) (Schoenberg I.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J Steiner: Se dan dos círculos E.. Cap. Luego trazamos otra E2 tangente exteriormente a las tres y a E1(sólo hay una).3. Supongamos que al hacerlo resulta además que Cn es tangente a C1*. The Mathematical Association of America. El conjunto de los números reales no es numerable. interior al otro. hasta obtener Sn-1Sn. el modo de demostración es distinto.S1 en E que sea tangente a I. I.4. 1.
Propiedades del retículo de enteros (Guzmán. Cap 3. Cicloide (Gardner 6. 2. Convexos. pero hay una cifra que no puedo leer. Hélice (Gardner 6. contiene muchos juegos basados en diferentes propiedades aritméticas. Cap. 4. Cap 7). Nim (Guzmán.8. 2. 10. Mirar y Ver. 6). Teorema del punto fijo y aplicaciones (Guzmán. 13). 3. Washington D.6.2. Dime lo que suman las restantes y yo te diré qué cifra es la tachada.7. Tacha una cifra cualquiera distinta de 0. Gardner 1. Cap. Multiplícalo por 9. Mirar y Ver.1). Schuh.10). Guzmán.11.9. Cap.(Guzmán. teorema de Helly. 2. Cuentos con Cuentas).2. 8. 2.. Kraitchik. Octubre 1984). 4. 4.13. 22 . Cap. Escribe un número cualquiera. O..89:. Ore. 1.1..12. Grafos (Gardner 6. Gardner 3.. Minkowski.. Propiedades de la elipse (Guzmán. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Existen muchos juegos cuya base o cuya estrategia se encuentra en una adecuada utilización de diferentes sistemas de numeración.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Cap.1).5. 1963). 8. Las torres de Hanoi y el juego icosiano (Gardner 1. 3. 2. (Fácil: Divisibilidad por 9 y por 11).1.C. ¿Puedes decirme cómo averiguar rápidamente cuál es?.5). (Fácil: Criterio de divisibilidad por 9). 3..4.4.10. Cuentos con cuentas).JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 2. Nuestra Escuela. Graphs and their Uses. Cap.3. Banda de Möbius (Gardner 8. 11). Cap. Dudeney. El computador me ha escrito 15! por extenso. Cuentos con Cuentas. Cap. 2. El teorema de los cuatro colores (Guzmán. 3. 2.. 9). Averiguar un número mediante tarjetas basadas en el sistema binario (Gardner3. NML the Mathematical Association of America. Cap. 2. Mirar y Ver. Uso del sistema ternario en juegos (Gardner 6. 3. Cap. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Los libros clásicos de Rouse Ball.
número de pelos que como mucho soporta un mortal en su cabeza. Contar. Una bandada de 17 palomas se cuela en él.1. Juega A quitando 1 y 6. 5. Gana quien se lleva la última. Divide por 7. 23 . 6.3. En cualquier momento dado hay en Madrid más de 20 personas con exactamente el mismo número de pelos en su cabellera (Hazte un palomar con 150. te encontrarás con que algún triángulo de los formados por estos segmentos tiene los tres lados del mismo color (Guzmán. 4. 5. Se colorean de rojo o verde. Juega B quitando de las que quedan entre 1 y 6. Mirar y Ver. 10). Gardner 1. INDUCCIÓN 5. Entonces. lo hagas como lo hagas. divide por 11. ¿Cuál es el número mínimo de movimientos? (Gardner 1. divide lo que queda por abc. 6. Nuestra Escuela. Cap. a pesar de su aparente trivialidad conducen a resultados verdaderamente profundos. Cuentos con Cuentas). 6. Contar. Lema de Sperner (Guzmán.5.2..4. Falsa inducción: Rana Saltarina (Guzmán. 5.3. Cuentos con Cuentas). Octubre 1984. ¿Puedes sacar alguna conclusión interesante? 6. Teorema de Euler C+V=A+2 (Guzmán. Hay unos cuantos de ellos que. Juegos de cartas con un principio aritmético (Guzmán. 6. Dos jugadores A y B con un montón de piedrecillas. (Otro juego: gana quien no se lleva la última)(La estrategia para el primer juego es dejar un número de piedras múltiplo de 7).4. Torres de Hanoi. Se trazan todos los segmentos que unen cada par de ellos.3. Cuentos con Cuentas). Mirar y Ver.89:. octubre 1984). Teorema de Ramsey (versión sencilla): Se señalan 6 puntos sobre una circunferencia. Repítelas para formar uno de 6 abcabc. Cap. y vete metiendo a cada madrileño en el agujero correspondiente a su número de pelos).2. Cap.4. Escribe un número de tres cifras abc.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .1. 5.7). Te resulta 13. Principio de Dirichlet: Un palomar tiene 16 agujeros. CONTAR SIN CONTAR Una gran porción de la matemática se reduce a encontrar trucos para obtener información cuantitativa de una situación dada de la forma más sencilla posible.6).. Nuestra Escuela. Averigua una estrategia par el siguiente juego. 5.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 4.. Guzmán. Los puentes de Köngsberg (Guzmán.000 agujeros.
Cap........... Cap. 7. como este... sin que yo lo vea..6... 7). Pinta un circuito cerrado con cruces todo lo complicado que quieras......+ 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + . pero tratando al mismo tiempo de estimular los otros muchos aspectos de la matemática.. Que no haya cruces triples.. cuádruples.. así ABUMBSP MRSAUPR al observar que cada una está una vez arriba y otra abajo excepto las cambiadas R y B......... 2. Rouse Ball.. Un truco topológico.. DEDUCCIÓN LÓGICA El esqueleto de las matemáticas está compuesto por unos cuantos axiomas que se manipulan mediante el mecanismo raciocinante del hombre. 6... intuición espacial. Has cambiado B por R) (Gardner 3.....1. Cap. actividad aventurera.......... intuición numérica...+ 101+101+101 = S 50x101 = 5050 7.89:. Está bien que se sepa y que se ejerciten nuestros alumnos en la deducción.....5. Gauss escribe inmediatamente algo así S = 1 + 2 + 3 + . en el de arriba me dices MARBSUAMUBPSRP y te adivino cuál es el cambiazo que me has dado (Me basta escribir las otras a medida que me las das una arriba y otra abajo de una raya... 9)... Pon a cada punto de cruce una letra a tu antojo........... Por ejemplo....... La historia del pequeño Gauss.. El maestro manda a su clase hallar la suma de los 100 primeros números.....+ 3 + 2 + 1 2S= 101 + 101 + 101+ ..< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN ...JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 6. fantasía... ¿Podrías construirte un cuadrado mágico 2x2? ¿Uno 3x3? Busca estrategias para construir cuadrados mágicos (Garner 1.. Cuando tú quieras cambias una vez las letras sucesivas para engañarme. 24 ... Quería tranquilidad para un rato largo..... imaginación. Ahora recorre el circuito y vas diciéndome las letras.
Trata de demostrar que en el descenso ha estado en algún mismo punto del camino exactamente a la misma hora que el día anterior (Gardner 3. Entonces. 8. Un monje budista sale de su templo a las 5´30 de la mañana por una vereda hacia la cumbre de una montaña. lo hagas como lo hagas hay un punto del alambre doblado que está donde estaba antes de empezar a plegar (Usa el teorema de Bolzano que dice esencialmente que si quieres cruzar un río y no tienes ni puente ni barca.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 7.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . tendrás que mojarte). rectos. donde llega por la tarde.3. 7.4). Toma dos alambres de la misma longitud.1. 8.4. Sin trigonometría. 7. QUERIDO WATSON He aquí algunos problemitas elementales que pueden servir para ejercitar el arte de resolver problemas de acuerdo con las normas heurísticas dadas anteriormente. Lo colocas luego doblado sobre el otro de modo que no sobresalga. sólo con geometría elemental. Uno lo pliegas como y cuantas veces quieras. Allí se queda durante toda la noche y a las 5´30 del día siguiente inicia el descenso por la misma vereda. demostrar que en la figura se tiene C=A+B Solución: Observa con atención la figura siguiente 25 . ELEMENTAL.89:. Diseña una estrategia para jugar bien al Tres en Raya. Cap. 20. Prob.2.
9. Donovan J. Wiley.1. Cap.. New York. He aquí algunos ejemplos. 8. Cap.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . y en juegos. Madrid. En el interior de un círculo se da un millón de puntos..2 Las dos rectas señaladas en la figura de abajo cortan al cuadrado en tres partes de igual área. 8. 9. ¿Cómo cortan a los lados? Sin hacer cuentas.4. 26 . 1975). 1962). Basta observar la figura auxiliar siguiente con los segmentos adicionales que se han trazado dividiendo las áreas señaladas en dos partes iguales. (Polya. En el juego de Hex se puede demostrar que el segundo jugador no puede tener una estrategia para ganar (Gardner 1.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 8. (Gardner 7. SIMETRÍA La utilización de la simetría es técnica muy frecuente en matemáticas. Cap. Demostrar que los otros tres puntos de intersección de los círculos determinan otro círculo del mismo radio R. Con ello es claro que las rectas originales van a parar a 1/3 del vértice opuesto.5. Prob.8).5. Matemáticas más fáciles con manualidades de papel.89:. Distein. Tres Círculos del mismo radio R pasan por un punto. 8). Mathematical Discovery.3.000 puntos a cada lado. 8. Teoremas geométricos obtenidos cortando y doblando papel (Gardner 3.. Demostrar que existe una recta que deja 500.
2.. Análogamente se procede con las otras pirámides..89:. Se amplía el cuadro. 5x5. ¿Sabrías dar con una estrategia para alguno de los dos jugadores que le permita ganar siempre? (Fácil: Simetría) ¿Cómo cambian las cosas si juegan en un tablero 8x7. Luego A. Así se obtiene un cuadro mágico 5x5 27 . con las pirámides que he señalado A continuación se colocan los números oblicuamente.3. en el tablero de ajedrez con 32 rectángulos de papel.e. como lo he hecho arriba. p. Consideramos el siguiente juego para dos jugadores A y B. como se indica en la figura. Pierde el primero que no pueda colocar un rectángulo que cubra dos cuadros.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .. cada uno capaz de cubrir dos cuadros del tablero. Juega A colocando un rectángulo donde quiera. cubriendo dos cuadrados. Para construir cuadrados mágicos impares hay una técnica muy sencilla y fácilmente memorizable.? 9.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 9. Luego la pirámide superior se desliza hasta abajo del cuadro donde encaja perfectamente. Luego juega B cubriendo otros dos cuadros no cubiertos..
(Gardner 4. El problema de la araña y la mosca. determinando así el comienzo de la trayectoria). Una araña en el interior de un vaso cilíndrico quiere llegar lo más rápidamente posible a una apetitosa mosca que está en el interior del vaso.89:. En un billar ¿cómo llegar con una bola a otra sin efectos después de dos reflexiones sobre dos bandas? (Se halla el simétrico del punto de destino con respecto a la última banda. Se considera la siguiente figura Los tres círculos tienen el mismo radio y cada uno pasa por el centro de los otros dos. Prob. 9.5. Cap. luego el simétrico de este punto con respecto a la primera banda que hay que tocar y este punto se une con el de partida. ¿Podrías determinar si la zona rayada mide más o menos que 1/4 del área del círculo? Sin cálculos. 9.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J ¿Sabrías demostrar por qué sale siempre bien? (Estudia la simetría de la disposición inicial y a dónde va a parar cada número después). 15. 4). ¿Le puedes indicar el recorrido que debe seguir? 28 .6.4. 9.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .
comenzando por el centro de alguna cara exterior de un cubito y moviéndose paralelamente a los ejes del cubo grande.their Uses. He aquí alguno más. Un cubo de madera 3x3 está dividido en 27 cubitos 1x1 de la forma natural.89:.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J (Desenrolla el cilindro y lo tendrás casi resuelto). Ajedrez recortado (ya citado antes) (Guzmán.. Cap. Graphs . Cap. HAZTE UN DIBUJO Un dibujo.2. Paseo del caballo por el tablero de ajedrez. Solución del puzzle de los 4 cubos de colores "Locura Instantánea" (Berlekamp y otros. algún tipo de representación adecuada. 1963).1. The Mathematical Association of America. ¿Cómo construir el triángulo de perímetro mínimo inscrito en un triangulo dado con un vértice en cada lado de él? (Guzmán. pasando siempre de un cubito a otro a través del centro de una cara común. 10. tanto de la matemática como de la vida real. 11. Cap. 12). Cap. Una termita desea penetrar hasta el cubito central después de horadar todos los demás cubitos desde el exterior. 784). 10.1. 11. 13). 11.2. (Gardner 6..4. En el tablero siguiente 29 .< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . UTILIZACIÓN DE COLORES 11.3. Diversos juegos con grafos. un problema famoso que ocupó.3.7.. Cuentos con Cuentas).. Mirar y Ver. (Ver esquema heurístico).. (Gardner 8. Washington D.. Paseos con las torres comenzando en un cierto cuadro y terminando en otro prefijado. pueden ayudar extraordinariamente a aclarar las cosas.C. 10. Ya hemos visto el uso de algunos en la sección heurística. entre otros a Euler. 11. ¿ Y si sustituimos el vaso cilíndrico por una caja de zapatos? ¿Cómo resuelves ahora el mismo problema? 9. 10. un esquema.. Cap. ¿Lo podrá hacer? ¿Cómo? (Gardner 3. 11. Por eso es natural que los grafos sean un instrumento utilísimo en tantos juegos y problemas. 2. ¡Faltaría más! ¿Puedes hacerlo si quitas las 7 fichas que tienen seis puntos? (Gardner 4. 11.6. Prob 9). Las veintiocho fichas de dominó se pueden colocar en hilera de acuerdo con las reglas del juego. Winning Ways vol. Imposibilidad de un paseo hamiltoniano por los vértices del rombo dodecaedro. 12. (Se colorean los vértices de la malla plana equivalente a la malla de vértices del rombododecaedro). permitiendo ver mejor los rasgos esenciales.5. 7). p. tener los datos pertinentes a mano. 0. Ore. etc. 10.
1). 12.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J juegan D y P. 13. 14. Cuentos con Cuentas). Puentes de Königsberg (Guzmán. Prob. (Gardner 6.2. 13. 12. Prob. 12. por ejemplo 0. Si no lo ha conseguido después de 6 turnos.1. Cap. SOLITARIOS MATEMÁTICOS 30 . Comienza con un dominó con fichas que solo tengan. El reparto de cartas interrumpido (Gardner 8.3. pierde. PIENSA AL REVÉS.1. 14. 25). 1 2. Rana Saltarina (Guzmán.89:. Cuentos con Cuentas). empezando C. mencionaré aquí rápidamente algunos más. Además de los ejemplos que vimos en el primer esquema. El jugador D trata de cazar a P y gana si lo consigue en 6 o menos turnos. 12. Prob. El ejemplo de 10. 13.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Cap.2. 3 puntos en sus caras. 19.1. COMENZAR POR LO FÁCIL AYUDA A RESOLVER LO DIFICIL Este es un principio importante en heurística que ya hemos tratado antes y que fácilmente se olvida. sobre el dominó es también utilizable en este contexto. Cap. 3). El jugador D juega con un duro que sale de D y el jugador P con una peseta que sale de P. 9. ¿Qué situación es más verosímil después de repartir las cartas en el bridge: que entre tú y tu compañero tengáis todos los tréboles o que entre tú y él no tengáis ninguno? (Gardner 8. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO Otro principio heurístico del que ya hemos visto antes algún ejemplo. Los jugadores se mueven alternativamente por las rutas señaladas.
Cap. El cubo de Rubik tiene mucha matemática en sus aristas. pero también las tienen psicoterapéuticas y no está mal que los profesores de matemáticas nos aprovechemos de unas y otras tanto para nosotros mismos como para nuestros alumnos. 14.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Winning Ways.6). El Juego de los 15. Winning Ways. Tangram. de Sam Loyd.5. como el Nim. Cap. el solitario famoso de Piet Hein (Gardner 2.8. 2. Winning Ways. Enormemente popular desde el siglo 17 (Guzmán. 14. Winning Ways..JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J Existen muchos solitarios con un claro contenido matemático. PARTIDOS MATEMÁTICOS A lo largo de lo ya expuesto hemos tenido ocasión de ver algunos juegos interesantes para dos jugadores.1. Gardner 8.3. 14. que hizo furor a principios de nuestro siglo y que ya hemos estudiado en parte antes (Gardner 6. 14. 13. He entresacado aquí algunos de ellos indicando también alguna otra referencia más asequible. 14. El solitario de la Bastilla. vol. como en nuestros días el cubo de Rubik. 18. Cap. vol. 15. 14. p. 31 .. Garner 3. adecuado para explotar el comportamiento de autómatas autorreproductores (Berlekamp y otros. Barcelona. 1981). que ya he citado varias veces.24). Prácticamente todos los solitarios tradicionales tratables matemáticamente y otros muchos de reciente invención son discutidos en: Berlekamp y otros. salen de nuevo a la popularidad viejos solitarios inventados hace siglos. Berlecamp y otros.4. Cap. He aquí unos cuantos solitarios curiosos. Cap. Cuentos con Cuentas). 784). Berlekamp y otros. Labor. 14. De vez en cuando. Una solución asequible en tres páginas bien claras puede verse en: Berlekamp y otros. Periódicamente. 25). Winning Ways. 764-766). el Hex.2. Locura Instantánea (Gardner 3. 13. Soma. 7 junto con otros puzzles famosos). Tangram.7.89:. como cometas. los matemáticos escriben unos cuantos artículos sobre él y sus variaciones y luego vuelve a dormirse en una discreta penumbra.6. Cap. 2. Conway y Guy. alguno acapara totalmente la atención. Los solitarios tienen aplicaciones pedagógicas. Cap. por supuesto. 14. 16. basados en principios nuevos. Palomino (Gardner 1. Pienso que el tratamiento más completo de juegos matemáticos se puede encontrar en la reciente obra de Berlekamp. Cap. Winnig Ways.. pero no se presta mucho a un tratamiento elemental. Cap. 15. El juego de la vida. p. Probablemente el más antiguo de este tipo de solitarios (Gardner 2. Los juegos tradicionales con sabor matemático abundan y se van creando muchos nuevos de gran interés.
Cap. 15. 19. 16). 16. el clásico juego sobre una cuadrícula completando cuadros (Berlekamp y otros. 15. 19). Tres en Raya (Gardner 1. otro juego de reglas muy sencillas sin estrategia matemática conocida..4. 7).1. en un problema equivalente de teoría de grafos. ANALOGÍAS ESCONDIDAS Como sucede en matemáticas.8). 16. 4). no se conoce estrategia completa.7.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 15.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . Cap. 15. Cap. Cap.8. también llamado Reversi.6. Nim y variaciones (Guzmán. He aquí algún ejemplo más de juegos isomorfos. como en el ajedrez. Ceros y Cruces. 15. El juego militar. un clásico juego de acorralamiento parecido al de los gatos y el ratón sobre un tablero como el de abajo (Gardner 6. Hex (Gardner 1. 6). Cap.1. donde se pueden encontrar otros juegos de tablero con estrategia. Bridgit. Cuentos y Cuentas. El juego de Moser y el Tres en Raya (Gardner 7. mediante un esquema.3.5. Es interesante sber que. (Berlekamp y otros. Cap. Go. Winning Ways. existen a veces analogías insospechadas en los juegos que uno se puede proponer. Cap. Otelo.. 15. Cap. Ya hemos visto cómo algunos juegos y puzzles se convierten. a veces incluso isomorfismos de estructura que permiten analizar varios de un golpe. Durante algún tiempo fue asignatura obligatoria en las academias de preparación militar en Japón. Cap. 16). 32 . un antiguo juego oriental de reglas muy sencillas y de gran riqueza estratégica. 15. Cap. Gardner 1. 15). 15.89:. (Gardner 3.2.(Gardner 3. 5. Juegos topológicos: Gale. Gardner1.
Cap. FALACIAS Las falacias tienen un gran valor pedagógico. Un concepto nada fácil de definir. Problemas de medidas y de reflexión en un billar (Gardner 6. Cap 4). Consideramos los dos triángulos de la figura. dedicadas a falacias aritméticas y geométricas. los Pseudaria. Cap. topológicas. Para cada de AB es claro que MN=MP.. ABC y ABD. a veces es preciso que surja en nuestra mente lo que llamamos una feliz idea. con BC=BD. Por eso no es nada despreciable esta labor preparatoria. 17. 14) 17.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN . 16. FELIZ IDEA En la resolución de juegos y acertijos.89:. Juego de cartas equivalente al cuadrado mágico 3x3 (Gardner 7. El juego icosiano y las torres de Hanoi (Gardner 1. 17. 16).4. 6). como en la resolución de problemas. Para el experto es un método de trabajo lo que para el novicio resulta una feliz idea. Así por el principio de Cavalieri.3. Con este espíritu está 33 .1.2. (Gardner 1. 18. que probablemente utilizó con gran provecho en su enseñanza.2. Especialmente recomendables son las secciones de los capítulos 2 y 3 de Rouse Ball. una especie de revelación divina que surge como un relámpago en la oscuridad y nos deja ver claro el camino a seguir.. 16. el área de ABC es igual al de ABD. Euclides escribió un libro de falacias y aporías. El examen de muchas felices ideas puede abrir en nuestro espíritu cauces que hagan surgir chispas semejantes en circunstancias parecidas. La siguiente falacia es muy antigua (Torricelli?) y viene a demostrar que el principio de Cavalieri (mal interpretado) es falso. Diversas falacias aritméticas..JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 16. Cap. Los clásicos en recreaciones matemáticas suelen tener una sección dedicada a falacias.
< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J escrito el estimulante y agradable libro de Martin Gardner "Inspiración.89:. ¡Ajá! ". 34 . que constituye toda una antología de felices ideas en diferentes campos.
89:. ALGUNAS INDICACIONES BIBLIOGRÁFICAS (Las referencias incluidas a continuación se leerán más claramente haciendo clic con el botón derecho del ratón en la región de abajo para obtener la imagen que las contiene aumentadas en otra página) 35 .< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 3.
orientada no exclusivamente hacia los juegos matemáticos. estético y lúdico de la enseñanza fue confeccionada por mi y distribuida por el ICE de la Universidad Autónoma de Madrid en 1983 a raíz de un cursillo sobre juegos matemáticos. Una bibliografía general más extensa.< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .89:. 36 . sino hacia obras adecuadas para proporcionar motivación y enriquecimiento histórico.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J A continuación me ha parecido bien indicar algunos libros que existen en castellano más o menos útiles para la finalidad que he pretendido con este trabajo.
89:.JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 37 .< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .
JJ-O/P Q(Q2RRR4S K'B#J$@KB5J(< :BA6S T@#J 38 .< => ?@A:B9CB?> ?@DEFGB9BH A> ?@F BA I!B#J$@K'L#J(< :)BAMN .89:.
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