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Timestamp: 2016-07-24 22:45:58+00:00

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ρ = Después de la deformación: ) 2 (
ρ Donde Δr es la disminución del radio del hilo de la banda, debida al alargamiento. Dividiendo la ecuación (2) por la (1), se tiene: 2
Lo que se ha de cumplir si ρ es constante y se considera que no varía con la deformación. Por otra parte, sabemos que la variación unitaria de Δr/r, tomada en la dirección perpendicular a Δl/l, guarda la relación: l
ν Entonces la ecuación (3), la podemos poner de la forma: 1
De donde: l
Que es el valor de la constante de proporcionalidad entre la variación de la resistencia y la deformación y se conoce con el nombre de “coeficiente de sensibilidad de la banda extensométrica”. Puesto que el valor de Δl/l es muy peque ño (deformación elástica), la ecuación anterior se puede reducir a: 66 , 1 2 1 = + =
K Lo que indica, que el orden de K es de las unidades, para un valor estadístico medio del coeficiente de Poisson de ν = 0,33. Puesto que los coeficientes de sensibilidad varían desde -12,0 (caso del níquel) a +5,1 (caso del platino con un 5% de iridio), hay que pensar que existen otros factores que le afectan, uno de ellos es que la resistividad varía con la deformación. Swainger utilizó un hilo de 0,025 mm de diámetro minalpha (85% Cu, 12% Mn y 3% Ni), encontrando la función de variación del coeficiente de sensibilidad con el grado de deformación (figura 2). Fig. 2. Variación del coeficiente de sensibilidad con el grado de deformación. A la vista de los resultados, propuso someter al alambre a una deformación previa del 2%, de forma que luego el alambre de esta aleación respondiera con un valor de K constante (desde A hasta B), obsérvese que la función en este intervalo es casi constante. 2. Características eléctricas: sensibilidad. Anteriormente se ha definido un coeficiente de proporcionalidad entre la variación de la resistencia y la deformación denominado coeficiente se sensibilidad (K), de la forma: l
Se puede deducir una expresión más exacta para K, teniendo en cuenta que la resistividad varía con la deformación. Para ello, se parte de la expresión que da la resistencia del hilo sin deformar y se calcula la derivada logarítmica que da directamente las variaciones unitarias, es decir: S
R ρ = S l R log log log log − + = ρ Como S = πr
y log S = log π+2log r. Entonces: r l R log 2 log log log log − − + = π ρ Diferenciando, se tendrá: ) 4 ( 2
Para hilos cilíndricos: r
La ecuación anterior quedará de la forma: ) 2 1 ( 2 ν
Bridgman (1929), encontró que para un metal sometido a un sistema hidrostático, la variación de la resistividad venía expresada de la forma: V
Si se considera válida esta relación lineal para la variación de la resistividad del hilo de la banda extensométrica y, recordando que: x z y
ν − = =
Se tendrá que: ) 2 1 ( ) 2 1 ( ν ν − = − =
Y, por tanto: ) 5 ( ) 2 1 (
− = El valor experimental hallado por Bridgman fue C = 1,13 (para el constantan) y, tomando como valor para ν = 0,3, resulta: K = 2,11 Estando el valor medio entre 2 y 2,1. 3. Coeficiente de sensibilidad transversal. El coeficiente de sensibilidad fue definido anteriormente para la dirección x (dirección preferente del devanado) (figura 3). Fig. 3. Bucle en el devanado de la banda. Ocurre que en los extremos de los bucles hay un trozo de hilo dispuesto en la dirección y (figura 3) y que, por tanto, es sensible a la deformación e
siendo preciso conocer tal influencia. Si una banda extensométrica presenta unas respuestas lineales, su sensibilidad dependerá de la dirección, por tanto: x y x y y x x
e K K e K e K
) ( ν − = + =
ν ν − = − = =
, es del orden del 2,5%, por lo que K es un 0,7% más pequeño que K
. En realidad el verdadero valor de K exige el conocimiento de K
, para lo cual es necesario cementar una banda y medir: y
= 4. Influencia de la temperatura. La variación de la temperatura afecta a la banda extensométrica a través de dos efectos: a. Variando la resistividad del material metálico del hilo. b. Mediante un efecto diferencial de dilatación entre el hilo de la banda y la del material estructural sobre la que está cementado. Para analizar estos dos efectos, consideremos que: β – Coeficiente de variación de la resistencia de la banda con la temperatura. α
– Coeficiente de dilatación térmico del hilo de la banda. α
– Coeficiente de dilatación térmico del material soporte. Se pretende encontrar una relación sencilla, que proporcione: t
α Donde α
es un coeficiente global cuyo valor es: ) ( ) )( (
α α β α σ β α
− + = − + + =
K K K Siendo K
y K los coeficientes de sensibilidad longitudinal, transversal y global. Influencia de la dilatación del hilo y su influencia en la resistividad. Cuando se eleva la temperatura del hilo de la banda, éste aumenta su longitud y su diámetro en la misma proporción y los nuevos valores, serán: t
Teniendo en cuenta la ecuación de Bridgman, que es: t C
C ∆ =
Ya que ΔV/V = 3α
. Si sustituimos Δl/l
y Δρ/ρ en la ecuación que da la variación unitaria de la resistencia: r
Resultando: ) 5 ( ) 1 3 (
t t C t t t C
∆ − ∆ = ∆ − ∆ + ∆ =
Efecto diferencial de dilatación. La longitud final del hilo con la dilatación, será: ) 1 (
t l l ∆ + = α La longitud final del metal soporte con la dilatación, será: ) 1 (
∆ + = α Si se verifica que: '
l l l ∆ + = En este caso, el metal soporte arrastrará a la banda cementada en una longitud Δl’, y su valor será: ) 1 ( ) 1 ( '
t l t l l l l
∆ + − ∆ + = − = ∆ α α Puesto que 0
l l = , entonces: t
Y de: l
Se deduce: ) 6 ( ) )( ( ) (
∆ − + = ∆ − =
α α α α Comparando las ecuaciones (5) y (6), se tendrá: ) )( ( ) 1 3 (
K K C Expresión para el coeficiente global de temperatura que engloba los dos efectos de la temperatura. 5. Compensación del efecto de la temperatura. Puesto que la modificación de la resistencia de una banda puede ser fácilmente medida y la sensibilidad la proporciona el fabricante, se puede conocer la deformación del soporte de la banda mediante: R
Esto se puede hacer, también, mediante un puente de Wheatstone siempre que la banda sea una de las ramas activas del puente. La variación de resistencia desequilíbrale puente cuando se produce una deformación del material soporte (figura 4). Fig. 4. Puente de Wheatstone con un extensímetro como rama activa. Si la deformación es aparente y debida a la temperatura, se puede corregir este efecto utilizando una segunda banda cementada sobre una chapa del mismo material, pero que no esté sometida a carga (en la que se de la misma temperatura). Esta segunda banda, formará parte del puente pero de forma que su efecto sea contrario al de la primera banda. Otra forma de compensar el efecto de la temperatura es construir la banda con hilos de dos aleaciones cuyos coeficientes de dilatación se compensen. En la figura 5 se aprecia como se compensan los dos hilos. Fig. 5. Compensación del efecto de la temperatura con bandas autocompensadas. 6. Efecto termoeléctrico y desensibilidad de línea. Efecto del espesor y otros efectos. La diferencia de temperatura que se puede dar entre los extremos de la banda y el cable de conducción que la une al equipo de medida, puede dar lugar a una fuerza electromotriz que desequilibra el puente y da lugar a deformaciones ficticias. Desensibilidad de línea. Puesto que la banda ha de estar conectada al equipo de medida, si se trata de un conjunto de bandas que se conmutan para conocer la evolución de las tensiones en una estructura, la banda de resistencia R que estará unida al equipo de medida mediante un conductor de resistencia r, lo que se mide no es ΔR/R sino ΔR/(R+r) = m. Ya que la resistencia original es R + r, y con la deformaci ón solamente variará R, entonces: ) ( r R m R + = ∆ Dividiendo por R, resulta: ) 1 (
Naturalmente, la necesidad de efectuar esta como otras correcciones depende del grado de error con que se trabaje. El error absoluto será, en este caso: m
= Y el relativo: R
1 % ε Efecto del espesor. El efecto del espesor se ve fácilmente cuando se desea medir la deformación en un elemento a flexión (figura 6). Fig. 6. Efecto del espesor en las medidas extensométricas. Es evidente que a medida que aumenta el espesor del cemento, nos separamos de la línea neutra y, por tanto, la deformación que registrará la banda cada vez será mayor. 7. Elección de bandas óhmicas. Es evidente que el tamaño de una banda depende de la resistividad de su aleación, ya que de tener del orden de 100 Ω, para no forzar demasiado la sensibilidad de los equipos de medida. Con aleaciones de alta resistividad, se tendrán bandas extensométricas pequeñas y de buena sensibilidad. Este tipo de banda se utilizará, sobre todo, en pequeños componentes o partes de la estructura en los que se den fuertes gradientes de tensión o de deformación. Por otra parte, la elección de una banda plantea, a veces, una situación de compromiso entre diversos factores y la aplicación a la que se va a destinar una banda. Para ensayos dinámicos, transitorios de elevada frecuencia, etc., no será importante, por ejemplo, tener en cuenta el coeficiente de temperatura, ya que la medida dura una milésima de segundo o menos, y en este tiempo no se producen cambios de temperatura. Resumiendo estos dos aspectos, diremos que en medidas estáticas hay que sacrificar sensibilidad para ganar estabilidad de la resistencia como función de la temperatura, mientras que en ensayos dinámicos se puede soslayar este efecto y ganar máxima sensibilidad. Todos los fabricantes de bandas proporcionan datos de las bandas y la elección es sencilla. Los límites de la mínima deformación medible no depende de los equipos eléctricos o electrónicos usados, sino del empleo de las bandas. Con buenos equipos, el límite inferior o umbral de medida es de Δl/l = 10
, sin embargo, conviene reparar que supone un alargamiento de 10 Ǻ en un mm, y que habrá que tomar muchas precauciones. El límite superior está determinado por el límite elástico del alambre y es del orden de 5.10
. o sea, un alargamiento de 5 μm en 1 mm. Para tensiones uniaxiales, los umbrales de medida equivalen para el acero (E = 21000 kg/mm
), desde 21 gr/mm
a 105 kg/mm
. Para un duraluminio, las tensiones medibles estarían entre 7 ge/mm
hasta 35 kg/mm
. Finalmente, hay que tener en cuenta dos hechos tan sencillos como fundamentales: 1. Las bandas óhmicas sólo miden deformaciones superficiales a partir de las cuales se pueden conocer las tensiones superficiales (estados de tensión planos). 2. Puesto que las bandas no son puntuales, estas integran las deformaciones a lo largo de su longitud sensible, dando una señal integrada de la deformación en una longitud igual a la activa de la banda, por lo que hay que tener en cuenta que cuando en una superficie pequeña de una pieza hay fuertes gradientes de tensiones, la banda ha de ser lo más pequeña posible. 8. Determinación de tensiones: Tensión uniaxial. En general, después de cementada la banda y sometido a tensiones el metal soporte, esta experimenta una variación de resistencia. La deformación vendrá dada por: R
El problema que se plantea es la media de ΔR/R con equipos calibrados. El empleo de una sola banda, sólo tiene sentido cuando se conoce una dirección principal de deformación por consideraciones de simetría de la pieza y de la carga aplicada. Entonces, la banda registrará el valor de ε
, pero no el valor de ε
., que serán: R
Si el estado de tensión es uniaxial. R
ε σ Naturalmente, en el caso de que se desconozcan las direcciones principales, habrá que averiguar 3 datos: ε
1 – Deformación principal máxima. ε
– Deformación principal mínima. θ – Ángulo que forma el eje activo de la banda con la dirección principal 1. 9. Interpretación de las lecturas de extensímetros eléctricos. Deformaciones principales: Método algebraico. Veamos como se pueden calcular las deformaciones principales y sus direcciones a partir de las deformaciones medidas por los extensímetros cementados en direcciones cualesquiera. Puesto que se trata de averiguar tres incógnitas ε
y θ, será necesario el planteamiento de tres ecuaciones y el uso de tres extensímetros, que proporcionarán tres medidas de deformación ε
en direcciones conocidas (figura 7). Fig. 7. Bandas extensométrica cementadas en tres direcciones cualesquiera. Sea una roseta cualquiera (roseta, conjunto de tres extensímetros montados sobre un mismo soporte), con tres bandas formando ángulos α y β entre si. En el caso más general, α y β son conocidos y su valor depende del tipo de roseta empleado, sin embargo, se desconoce θ. Partiendo de una ecuación básica para estados de deformación planos: ) cos ( 2 2
Como θ = 90 – φ, expresando la última ecuación en función del ángulo doble, se tendrá: ( ) ( ) | | θ ε ε ε ε ε 2 cos
Y análogamente: ( ) ( ) ( ) | |
( ) ( ) ( ) | | θ β ε ε ε ε
θ α ε ε ε ε ε
La resolución de este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas da ε
y θ. Analizaremos, a continuación, dos casos concretos: 1. Rosetas rectangulares (rosetas a 45º). 2. Rosetas equiangulares o en delta (rosetas a 120º). Rosetas rectangulares. º 90 º 45 = = β α Las ecuaciones que relacionan las deformaciones dadas por las tres bandas, con las deformaciones principales y las direcciones principales, son: ) 90 ( 2 cos ) (
) 45 ( 2 cos ) (
La solución del sistema es: ( ) ( ) | |
Y las direcciones principales, son: c a
Rosetas a 120º. º 240 º 120 = = β α Para este caso particular, las ecuaciones que relacionan las medida obtenidas en las bandas, con las deformaciones principales y las direcciones principales, son: ( ) ( )
( ) ( ) ) 240 ( 2 cos
) 120 ( 2 cos
Y la solución del sistema de ecuaciones es: ( ) ( ) ( ) ( ) | |
− + − + − − + + =
− + − + − + + + =
10. Métodos geométricos en extensometría eléctrica. Existen varios métodos que tratan de evitar los laboriosos cálculos que plantean la aplicación de rosetas y la resolución de las ecuaciones, para conocer las deformaciones y direcciones principales. Estos métodos los podemos clasificar en tres grupos: a. Métodos algébricos. b. Métodos geométricos. c. Métodos tabulares. Los métodos algébricos ya los hemos visto y a continuación veremos los métodos geométricos, que son de una aplicación mucho más sencilla. Construcción gráfica para rosetas equiangulares. La construcción geométrica para rosetas equiangulares es la siguiente: 1. Se traza una recta que represente a la dirección A de la banda correspondiente. Desde un punto arbitrario O se lleva el valor e
y se encuentra el punto M (figura 8). 2. Desde M y en la dirección B se lleva e
, encontrándose el punto N. 3. Desde N y en la dirección C se lleva e
encontrándose el punto P. Se une O con P y el ángulo POM = 2θ. La dirección principal 1 se encuentra llevando el valor de θ desde e
en el sentido de las agujas del reloj. Además se tiene: 3 2
ε ε ε + +
= = Con estos últimos valores se puede calcular ε
y construir la circunferencia de Mohr. R C
Fig. 8. Representación geométrica para rosetas equiangulares. Construcción gráfica para rosetas a 45º. Para obtener las deformaciones principales y direcciones principales gráficamente se debe proceder según los siguientes pasos: 1. Se trazan tres ejes paralelos equidistantes A, B y C a partir de un eje OY ortogonal a ellos (figura 9). 2. Se llevan los valores de ε
sobre los tres ejes anteriores y se obtienen los puntos P, Q y R. Se unen mediante una recta los puntos P y R, obteniéndose el punto S. 3. Se traza una paralela a OY por P, encontrándose el punto T. 4. Desde T se lleva la longitud SQ, encontrándose el punto U. SU es el radio de la circunferencia de Mohr. 5. Se traza la circunferencia de Mohr y se pueden obtener directamente las deformaciones principales y las direcciones principales. 11. Método tabular. Es un método rápido y sencillo para determinar las deformaciones y direcciones principales, haciendo uso de tablas. Funciones tabulares para rosetas equiangulares Como hemos visto anteriormente, las ecuaciones que relacionan las lecturas con las deformaciones principales y direcciones principales para una roseta equiangular, son: Fig. 9. Determinación gráfica de las deformaciones y direcciones principales para rosetas rectangulares. ( ) ( )
Donde θ es el ángulo que forma la dirección principal 1 con la dirección A de una de las bandas. Las ecuaciones anteriores se pueden reducir si se las expresa en función del centro y radio de Mohr, de la forma: ) 240 ( 2 cos
Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones anteriores, resulta: 3
= Haciendo p = cos 2θ, el sistema de ecuaciones anterior, queda de la forma: (
Combinando las dos últimas ecuaciones y eliminando p con la primera, se llega a la expresión: ( ) ( ) ( ) | |
9 2 R
= − + − + − ε ε ε ε ε ε En esta última ecuación, sacando factor común la diferencia mayor, se obtiene: ( ) 1
+ − − = x x R
Donde la variable de entrada es: b a
= En la función que da el radio, lo que se tabula es: 1
+ − x x Para valores de la variable comprendidos ente 0 ≤ x ≤ 1 a intervalos de Δx = 0,001. Aprovechando que la función tabular es simétrica, es posible presentarla mediante entrada de doble columna (Tabla 1). x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0,666666 6333 6001 5668 5337 5006 4675 4345 4016 3687 0,663358 0,99 0,01 3358 3030 2702 2375 2049 1723 1397 1072 0748 0424 0101 0,98 0,02 0101 9778 9455 9133 8812 8491 8171 7851 7532 7213 0,656895 0,97 0,03 0,656895 6577 6260 5943 5627 5311 4996 4681 4367 4054 3741 0,96 0,04 3741 3428 3117 2805 2494 2184 1874 1565 1256 0948 0640 0,95 0,05 0640 0333 0027 9721 9415 9110 8806 8502 8198 7896 0,647593 0,94 0,06 0,647593 7292 6991 6690 6390 6090 5791 5493 5195 4898 4601 0,93 0,07 4601 4305 4009 3714 3420 3126 2839 2539 2247 1955 1664 0,92 0,08 1664 1373 1083 0794 0505 0217 9929 9641 9355 9069 0,638783 0,91 0,09 0,638783 8498 8214 7930 7647 7364 7082 6800 6519 6239 5959 0,90 0,10 5959 5680 5401 5123 4845 4569 4292 4016 3741 3467 3193 0,89 0,11 3193 2919 2646 2374 2102 1831 1561 1291 1021 0753 0484 0,88 0,12 0484 0217 9950 8683 9418 9152 8888 8624 8360 8098 0,627835 0,87 0,13 0,627835 7574 7313 7052 6792 6533 6275 6017 5759 5502 5246 0,86 0,14 5246 4991 4736 4481 4227 3974 3722 3470 3218 2968 2718 0,85 0,15 2718 2468 2219 1971 1723 1476 1230 0984 0739 0434 0250 0,84 0,16 0250 0007 9764 9522 9218 9040 8800 8560 8321 8083 0,617845 0,83 0,17 0,617845 7608 7372 7136 6901 6666 6432 6199 5966 5734 5503 0,82 0,18 5503 5272 5042 4813 4584 4356 4128 3901 3675 3449 3224 0,81 0,19 3224 3000 2776 2553 2331 2109 1888 1667 1447 1228 1010 0,80 0,20 1010 0792 0575 9358 0142 9927 9712 9498 9285 9072 0,608860 0,79 0,21 0,608860 8649 8438 8228 8019 7810 7602 7394 7188 6982 6776 0,78 0,22 6776 6571 6367 6164 5961 5759 5558 5357 5157 4957 4758 0,77 0,23 4758 4560 4363 4166 3970 3775 3580 3386 3193 3000 2808 0,76 0,24 2808 2616 2426 2236 2046 1558 1670 1483 1296 1110 0925 0,75 0,25 0925 0740 0556 0373 0191 0009 9828 9617 9467 9288 0,599110 0,74 0,26 0,599110 8932 8755 8579 8403 8228 8054 7881 7708 7536 7364 0,73 0,27 7364 7193 7023 6854 6685 6517 6350 6183 6017 5852 5682 0,72 0,28 5682 5524 5361 5198 5037 4876 4716 4556 4397 4239 4081 0,71 0,29 4081 3925 3769 3613 3459 3305 3152 2999 2847 2696 2546 0,70 0,30 2546 2396 2247 2099 1952 1805 1659 1513 1369 1225 1081 0,69 0,31 1081 0939 0797 0656 0516 0376 0237 0099 9962 9825 0,589689 0,68 0,32 0,589689 9553 9419 9285 9152 9019 8888 8757 8627 8497 8368 0,67 0,33 8368 8240 8113 7986 7860 7735 7611 7487 7364 7242 7121 0,66 0,34 7121 7000 6880 6761 6642 6524 6407 6291 6175 6060 5946 0,65 0,35 5946 5833 5720 5608 5497 5386 5277 5168 5059 4952 4845 0,64 0,36 4845 4739 4634 4529 4426 4323 4220 4119 4018 3918 3818 0,63 0,37 3818 3720 3622 3525 3428 3338 3238 3144 3051 2958 2866 0,62 0,38 2866 2775 2685 2595 2506 2418 2330 2244 2158 2073 1988 0,61 0,39 1988 1905 1822 1740 1658 1578 1498 1419 1341 1263 1186 0,60 0,40 1186 1110 1035 0960 0888 0813 0741 0669 0598 0528 0459 0,59 0,41 0459 0391 0323 0256 0190 0124 0059 9995 9932 9870 0,579808 0,58 0,42 0,579808 9747 9687 9627 9569 9511 9454 9397 9342 9387 9233 0,57 0,43 9233 9179 9127 9075 9024 8974 8924 8875 8827 8780 8734 0,56 0,44 8734 8688 8643 8599 8556 8513 8471 8430 8390 8350 8311 0,55 0,45 8311 8273 8236 8199 8164 8129 8095 8061 8028 7996 7965 0,54 0,46 7965 7935 7905 7877 7848 7821 7795 7769 7744 7720 7696 0,53 0,47 7696 7673 7652 7630 7610 7590 7571 7553 7536 7520 7504 0,52 0,48 7504 7489 7475 7461 7448 7436 7425 7415 7405 7396 7388 0,51 0,49 7388 7381 7374 7369 7364 7359 7356 7353 7351 7350 7350 0,50 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x Tabla 1. La función tabular para el cálculo de la tabla que permite el conocimiento del ángulo θ, se puede determinar también a partir de las ecuaciones anteriores restando a la tercera de las ecuaciones la segunda: θ ε ε 2 3Rsen
= − Despejando θ y sustituyendo el valor del radio por su función, resulta: 1
sen arc θ Cuya función se encuentra tabulada en la tabla 2 para incrementos de la variable Δx = 0,01en el mismo campo de valores de 0 ≤ x ≤ 1. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0º00’ 0º15’ 0º30’ 0º45’ 1º00’ 1º16’ 1º32’ 2º06’ 2º14’ 2º20’ 0,1 2º36’ 2º53’ 3º01’ 3º26’ 3º43’ 4º00’ 4º17’ 4º35’ 4º52’ 5º09’ 0,2 5º27’ 5º45’ 6º03’ 6º21’ 6º39’ 6º57’ 7º15’ 7º32’ 7º52’ 8º11’ 0,3 8º30’ 8º49’ 9º08’ 9º27’ 9º50’ 10º05’ 10º25’ 10º44’ 11º04’ 11º29’ 0,4 11º42’ 12º02’ 12º21’ 12º41’ 13º01’ 13º21’ 13º41’ 14º05’ 14º20’ 14º40’ 0,5 15º00’ 15º20’ 15º39’ 16º00’ 16º19’ 16º39’ 16º59’ 17º19’ 17º38’ 17º58’ 0,6 18º18’ 18º37’ 18º57’ 19º16’ 19º35’ 19º55’ 20º14’ 20º33’ 20º52’ 21º11’ 0,7 21º30’ 21º49’ 22º08’ 22º26’ 22º45’ 23º03’ 23º21’ 23º40’ 23º58’ 24º15’ 0,8 24º33’ 24º51’ 25º06’ 25º26’ 25º43’ 26º02’ 26º17’ 26º34’ 26º51’ 27º07’ 0,9 27º17’ 27º24’ 27º40’ 28º12’ 28º28’ 28º44’ 28º59’ 29º15’ 29º30’ 29º45’ Tabla 2. En la figura 10 se presentan las funciones tabulares para R y θ. Puede apreciarse que de la forma de la curva (2), la variación del ángulo es casi lineal según θ ≈ 30x. Fig. 10 Representación de la función para el cálculo del radio de Mohr y orientaciones principales. Funciones tabulares para rosetas rectangulares. En este caso, las ecuaciones que relacionan las deformaciones medidas con las deformaciones principales y direcciones principales, son: θ ε ε ε ε ε
sen Expresando nuevamente el sistema en función del centro y radio de Mohr, resulta: θ ε
Rsen C
Sumando la primera y tercera de las ecuaciones, se obtiene: 2
ε ε +
= Haciendo q = cos 2θ, las tres ecuaciones anteriores, se pueden escribir: Rq C
1 Eliminando q en el sistema, resultará: ( ) ( ) | |
= − + − ε ε ε ε Sacando factor común la diferencia mayor, se tiene: ( )
+ − = ε ε Donde la variable de entrada es: a b
= De esta función, que nos proporciona el radio de Mohr, la parte que se tabula es: 2
y + El intervalo de valores es 0 < y < 1 y con incrementos de Δy = 0,001, y cuyos resultados de presentan en la tabla 3. y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0,707106 7107 7108 7110 7112 7115 7119 7124 7129 7135 0,01 7142 7149 7157 7167 7176 7186 7197 7209 7221 7234 0,02 7248 7262 7277 7293 7310 7327 7345 7364 7383 7404 0,03 7424 7446 7468 7491 7515 7539 7564 7590 7617 7644 0,04 7672 7700 7730 7760 7790 7822 7854 7887 7920 7955 0,05 7990 8025 8062 8099 8137 8175 8214 8254 8295 8336 0,06 8378 8421 8464 8508 8553 8599 8645 8692 8739 8788 0,07 8837 8886 8937 8988 9040 9092 9146 9199 9254 9309 0,08 9365 9422 9480 9538 9597 9656 9716 9777 9839 9901 0,09 9964 0028 0093 0158 0223 0290 0357 0425 0494 0563 0,10 0,710633 0704 0775 0847 0920 0994 1068 1143 1218 1294 0,11 1271 1449 1527 1607 1686 1767 1848 1930 2012 2095 0,12 2179 2264 2349 2435 2522 2609 2697 2786 2875 2966 0,13 3056 3148 3240 3333 3426 3521 3616 3711 3808 3905 0,14 4002 4101 4200 4300 4400 4501 4603 4705 4809 4912 0,15 5017 5122 5228 5335 5442 5550 5659 5768 5878 5989 0,16 6100 6212 6325 6438 6552 6667 6783 6899 7016 7133 0,17 7251 7370 7490 7610 7731 7852 7974 8097 8221 8345 0,18 8470 8596 8722 8849 8977 9105 9234 9364 9494 9625 0,19 9756 9889 0022 0155 0290 0425 0560 0697 0834 0971 0,20 0,721110 1249 1388 1529 1670 1812 1954 2097 2241 2385 0,21 2530 2675 2822 2969 3116 3265 3414 3563 3714 3865 0,22 4016 4168 4321 4475 4629 4784 4940 5096 5253 5410 0,23 5568 5727 5887 6047 6208 6369 6531 6694 6857 7021 0,24 7186 7351 7517 7684 7851 8019 8188 8357 8527 8697 0,25 8869 9040 9213 9386 9560 9734 9908 0085 0261 0438 0,26 0,730616 0794 0973 1152 1333 1513 1695 1877 2060 2248 0,27 2427 2612 2797 2983 3169 3357 3544 3733 3922 4112 0,28 4302 4493 4685 4877 5070 5263 5457 5652 5847 6043 0,29 6240 6437 6635 6834 7033 7233 7433 7634 7836 8038 0,30 8241 8444 8648 8853 9058 9264 9417 9678 9886 0094 0,31 0,740304 0513 0724 0934 1146 1358 1571 1784 1998 2213 0,32 2428 2644 2850 3077 3295 3532 3751 3951 4172 4392 0,33 4614 4835 5058 5281 5505 5729 5954 6170 6406 6632 0,34 6860 7088 7316 7545 5775 8005 8236 8468 8700 8932 0,35 9166 9400 9634 9869 0105 0341 0578 0815 1053 1292 0,36 0,751531 1771 2012 2262 2494 2736 2979 3222 3466 3711 0,37 3956 4201 4448 4695 4942 5190 5438 5688 5937 6188 0,38 6439 6690 6942 7195 7448 7702 7956 8211 8466 8722 0,39 8979 9236 9494 9752 0011 0271 0531 0792 1053 1315 0,40 0,761577 1840 2103 2357 2632 2897 3163 3429 3695 3963 0,41 4231 4500 4769 5038 5309 5579 5851 6123 6395 6668 0,42 6942 7216 7490 7765 8041 8318 8594 8872 9150 9428 0,43 9707 9987 0267 0548 0829 1111 1393 1676 1959 2243 0,44 0,772528 2813 3099 3385 3671 3959 4246 4535 4823 5113 0,45 5403 5693 5984 6276 6568 6860 7153 7447 7741 8036 0,46 8331 8627 8923 9220 9517 9815 0114 0413 0712 1012 0,47 0,781313 1614 1915 2217 2520 2823 3127 3431 3735 4041 0,48 4346 4653 4959 5267 5574 5883 6192 6501 6811 7121 0,49 7432 7743 8055 8368 8681 8994 9308 9623 9938 0253 0,50 0,790569 0885 1202 1520 1838 2156 2475 2795 3115 3435 0,51 3756 4078 4400 4722 5045 5369 5693 6017 6342 6668 0,52 6994 7320 7647 7975 8303 8631 8960 9290 9619 9950 0,53 0,800281 0612 0944 1276 1609 1943 2276 2611 2945 3281 0,54 3616 3953 4289 4626 4964 5302 5641 5980 6320 6660 0,55 7000 7341 7683 8025 8367 8710 9053 9397 9741 0086 0,56 0,810432 0777 1123 1470 1817 2165 2513 2861 3210 3560 0,57 3910 4260 4611 4962 5314 5666 6019 6372 6726 7080 0,58 7435 7790 8145 8501 8857 9214 9571 9920 0287 0646 0,59 0,821005 1365 1725 2085 2446 2807 3169 3531 3894 4257 0,60 4621 4985 5399 5714 6097 6445 6811 7178 7545 7913 0,61 8281 8649 9018 9388 9757 0128 0498 0869 1241 1613 0,62 0,831935 2358 2731 3105 3479 3854 4229 4604 4980 5356 0,63 5733 6110 6487 6865 7244 7623 8002 8382 8762 9142 0,64 9523 9905 0286 0669 1051 1434 1818 2202 2586 2971 0,65 0,843356 3742 4128 4514 4901 5288 5676 6064 6452 6841 0,66 7230 7620 8010 8401 8792 9183 9575 9967 9359 0752 0,67 0,851146 1540 1934 2328 2723 3119 3515 3911 4307 4704 0,68 5102 5500 5898 6297 6696 7095 7495 7895 8296 8697 0,69 9098 9500 9902 0304 0707 1111 1514 1919 2323 2728 0,70 0,863133 3539 3945 4352 4758 5166 5573 5981 6390 6799 0,71 7208 7610 8027 8438 8848 9256 9671 0083 0495 0907 0,72 0,871320 1734 2147 2562 2976 3391 3806 4222 4638 5054 0,73 5471 5883 6305 6723 7141 7560 7979 3398 8818 9238 0,74 9659 0079 0501 0922 1344 1766 2189 2612 3035 3459 0,75 0,883883 4307 4732 5157 5583 6009 6435 6862 7289 7716 0,76 8144 8572 9000 9429 9858 0287 0717 1147 1578 2009 0,77 0,892440 2872 3304 3736 4168 4601 5035 5468 5902 6337 0,78 6772 7207 7642 8078 8514 8950 9387 9824 0262 0700 0,79 0,901138 1576 2015 2454 2894 3334 3774 4214 4655 5097 0,80 0,905538 5980 6422 6865 7308 7751 8194 8638 9083 9527 0,81 9972 0417 0863 1309 1755 2202 2648 3096 3543 3991 0,82 0,914439 4888 5337 5786 6235 6685 7135 7586 8037 8488 0,83 8939 9391 9843 0295 0748 1201 1655 2108 2561 3017 0,84 0,923471 3926 4382 4837 5293 5749 6206 6662 7120 7577 0,85 8035 8493 8952 9410 9869 0329 0788 1248 1709 2169 0,86 0,932630 3091 3553 4015 4477 4939 5402 5865 6329 6792 0,87 7256 7720 8185 8650 9115 9581 0046 0512 0979 1446 0,88 0,941912 2389 2847 3315 3783 4252 4721 5190 5659 6129 0,89 6599 7069 7540 8010 8481 8953 9425 9897 0369 0842 0,90 0,951314 1788 2261 2735 3209 3683 4158 4633 5108 5583 0,91 6059 6535 7012 7488 7965 8442 8920 9398 9876 0354 0,92 0,960833 1311 1791 2270 2750 3230 3710 4191 4272 5153 0,93 5634 6116 6598 7080 7562 8045 8528 9012 9495 9979 0,94 0,970463 0948 1433 1917 2403 2888 3374 3860 4347 4833 0,95 5320 5807 6295 6782 7270 7758 8247 8736 9225 9714 0,96 0,980204 0693 1184 1674 2165 2655 3247 3638 4130 4622 0,97 5114 5606 6009 6592 7085 7579 8072 8566 9061 9555 0,98 0,990050 0545 1040 1536 2032 2528 3034 3521 4018 4515 0,99 5012 5510 6005 6506 7004 7503 8002 8501 9000 9500 Tabla 3 El ángulo en función de la variable y, se halla a partir de la segunda de las ecuaciones en función del centro y radio de Mohr. R
θ 2 Introduciendo en esta última ecuación las funcionesn del radio, se tiene: 2
= θ En la tabla 4 se da el valor de los ángulos para el intervalo de valores comprendido entre -1 < y <1 y para incrementos de Δy = 0,01. y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1,0 0º0’ -0,9 1º30’ 1º21’ 1º12’ 1º02’ 0º53’ 0º44’ 0º35’ 0º26’ 0º17’ 0º09’ -0,8 3º11’ 3º00’ 2º50’ 2º39’ 2º29’ 2º19’ 2º09’ 1º59’ 1º50 1º40’ -0,7 5º00’ 4º49’ 4º37’ 4º26’ 4º15’ 4º04’ 3º53’ 3º42’ 3º31’ 3º21’ -0,6 7º01’ 6º49’ 6º36’ 6º24’ 6º11’ 5º59’ 5º47’ 5º35’ 5º24’ 5º12’ -0,5 9º13’ 8º59’ 8º46’ 8º32’ 8º19’ 8º06’ 7º53’ 7º40’ 7º27’ 7º14’ -0,4 11º36’ 11º21’ 11º07’ 10º52’ 10º38’ 10º23’ 10º09’ 9º55’ 9º41’ 9º27’ -0,3 14º09’ 13º56’ 13º38’ 13º22’ 13º07’ 12º51’ 12º36’ 12º21’ 12º06’ 11º51’ -0,2 16º51’ 16º34’ 16º18’ 16º01’ 15º45’ 15º29’ 15º13’ 14º57’ 14º41’ 14º25’ -0,1 19º39’ 19º22’ 19º05’ 18º48’ 18º31’ 18º14’ 17º57’ 17º41’ 17º24’ 17º07’ -0,0 22º30’ 22º13’ 21º58’ 21º39’ 21º21’ 21º04’ 20º47’ 20º30’ 20º15’ 19º56’ +0,0 22º30’ 22º47’ 23º04’ 23º22’ 23º39’ 23º56’ 24º13’ 24º30’ 24º49’ 25º04’ +0,1 25º21’ 25º38’ 25º55’ 26º12’ 26º29’ 26º46’ 27,03’ 27º19’ 27º36’ 27º53’ +0,2 28º09’ 28º26’ 28º42’ 28º59’ 29º15’ 29º31’ 29º48’ 30º03’ 30º19’ 30º35’ +0,3 30º51’ 31º07’ 31º22’ 31º38’ 31º53’ 32º09’ 32º24’ 32º39’ 32º54’ 33º09’ +0,4 33º24’ 33º39’ 33º54’ 34º08’ 34º23’ 34º37’ 34º41’ 35º05’ 35º19’ 35º33’ +0,5 35º47’ 36º01’ 36º14’ 36º28’ 36º41’ 36º54’ 37º07’ 37º21’ 37º33’ 37º46’ +0,6 37º59’ 38º12’ 38º24’ 38º36’ 38º49’ 39º01’ 39º13’ 39º25’ 39º37’ 39º48’ +0,7 40º00’ 40º11’ 40º23’ 40º34’ 40º45’ 40º56’ 41º07’ 41º18’ 41º29’ 41º39’ +0,8 41º50’ 42º00’ 42º11’ 42º21’ 42º31’ 42º41’ 42º51’ 43º01’ 43º10’ 43º20’ +0,9 43º30’ 43º39’ 43º48’ 43º58’ 44º07’ 44º16’ 44º25’ 44º34’ 44º43’ 44º51’ +1,0 45º00’ Tabla 4 En la figura 11 se muestran las curvas correspondientes a las funciones tabulares anteriormente calculadas. Fig. 11. Función para el radio de Mohr y para las orientaciones principales. Capítulo 7 Análisis experimental de tensiones: Fotoelasticidad. 1. Ecuación del movimiento ondulatorio sinusoidal. Es evidente que los aspectos que sobre la naturaleza de la luz que aquí se presentan están orientados a la comprensión de los fenómenos fotoelásticos, de gran importancia para el análisis de tensiones en el campo de comportamiento elástico. Considerando a una onda luminosa como una vibración armónica transversal, la ecuación general de su movimiento ondulatorio será del tipo: ) 1 ( . t sen a y ω = Y que ha de expresar dos hechos: a. Ha de ser una función que proporcione la amplitud de la vibración en función del recorrido (x), en un instante de tiempo (t) dado. Es decir: y = f(x)
. b. Dicha función ha de reflejar la naturaleza periódica del movimiento como una función del tiempo y para un recorrido dado (x). Es decir: y = f(t)
. La amplitud (y) de la vibración, se puede considerar como la proyección de un movimiento circular uniforme de velocidad o pulsación constante, ω =cte., (figura 1). Fig. 1. Vibración como proyección de un movimiento circular. Se denomina período (T) al mínimo intervalo de tiempo en el que la función (y) toma el mismo valor. Se denomina longitud de onda (λ), al mínimo recorrido en el que la función (y) toma el mismo valor. Algunas relaciones entre T, λ, ω, f y v, se dan a continuación: λ
Si la oscilación comienza a considerarse en un instante tal que la fase inicial es φ, la amplitud vendrá dada para un momento posterior (t), por la ecuación: ( ) ) 2 ( . ϕ ω + = t sen a y Si se considera un punto (x) en cualquier lugar sobre el diagrama, se aplicará la misma ecuación del movimiento sólo que empezará un tiempo x/v más tarde, que es el tiempo que tardará el movimiento de la onda en alcanzar ese punto. Así, la ecuación del movimiento en el punto (x), será: ) 3 ( .
+ = ϕ ω
t sen a y Podemos comprobar, efectivamente, que el período T = 2π/ω, ya que los valores de (y) se repiten cuando: ω
Se puede comprobar que la ecuación (3) cumple el criterio general de onda, es decir: a. Para x = cte., la ecuación nos da el movimiento de un punto para este valor particular de x. b. Para t = ct., la ecuación nos da la onda en ese instante. Estos dos casos se deducen de la propia ecuación (3), para el caso (a), se ve claramente que para x = cte., la función (y) depende de la variable tiempo. Lo mismo ocurre para el caso t = cte., en que la función de amplitud vendrá dada como una función del espacio recorrido hasta ese instante. Definición de diferencia de marcha. Consideremos dos movimientos con la misma amplitud pero con fases distintas (ωt) y (φ + ωt) siendo, por tanto, la diferencia de fase entre ambos movimientos φ. Esta diferencia de fase se puede poner de la forma: λ
0 = δ es a lo que se llama diferencia de marcha y se representa por δ. A partir de este valor de la diferencia de marcha, podemos definir lo que se entiende por ondas en fase total y en oposición de fase. Diremos que dos ondas están en fase total, cuando la diferencia de marcha sea un número entero de longitudes de onda, es decir: ) 4 ( λ δ n = Donde n = 1, 2, 3,…… Diremos, por el contrario, que dos ondas están en oposición de fase cuando la diferencia de marcha sea un número no entero de semilongitudes de onda, es decir: ) 5 (
δ + = n 2. Composición de vibraciones: luz elíptica, circular y natural. A diferencia fundamental de la onda contenida en un plano, cuya ecuación fundamental se acaba de comentar, la luz está compuesta de un gran número de ondas que vibran en diferentes planos cuya intersección determina una línea común que es la dirección de propagación. Cuando por un procedimiento cualquiera se logra artificialmente obtener un haz de luz que vibra sólo en un plano, se dice que la luz se ha polarizado (figura 2), y el plano de polarización es normal al de vibración. Las intersecciones de los planos de vibración y de polarización con el plano del polarizador, determina los ejes de transmisión del polarizador. Fig. 2. Luz polarizada artificialmente. La polarización se consigue artificialmente con láminas de polaroid, formadas por finos cristales de perioduro de quinina, sulfato de idioquinina, etc, con sus ejes ópticos orientados en al misma dirección y unidos por una doble capa de acetato de celulosa a dos celuloides neutros. Al conjunto formado por dos polaroides, entre los cuales se examina un cuerpo, se denomina polariscopio (figura 3). Fig. 3. Polariscopios con sus ejes de transmisión paralelos y cruzados. Las observaciones a través del polariscopio dependerán de la orientación de los ejes de transmisión del polarizador y analizador y de la naturaleza del cuerpo que se interpone entre ambos, es decir: 1. Si los ejes del polarizador y analizador están paralelos ( α = 0) . La intensidad del haz emergente que viene dada por: ) 6 ( cos
α E E = Será máxima. 2. Si los ejes de transmisión están cruzados (α = 90º), la intensidad transmitida será: 0 cos
= = α E E Habrá extinción total. 3. Cuando entre polarizador y analizador se interpone un cuerpo con birrefrigencia natural o accidental (debida a tensiones), la intensidad de la luz transmitida será parcial. 3. Composición de vibraciones. Dos vibraciones rectilíneas (con la misma longitud de onda), pueden componerse en el tiempo y en el espacio, ya que la vibración depende de estas dos variables. La composición de dos vibraciones la podemos entonces considerar referida a dos casos: a. Composición en función del tiempo (para recorridos constantes) de dos vibraciones del mismo período y paralelas. En este caso, la composición consiste en la suma vectorial de los vectores (y
), para dar lugar a un vector vibración resultante. b. La composición en función del espacio o recorrido (en un determinado instante de tiempo), da lugar a interferencias, con lo que la luz no aparece uniformemente distribuida en un plano normal al de propagación. El caso que interesa considerar es el de la composición en función del tiempo de dos vibraciones perpendiculares entre si, de igual longitud de onda, propagándose paralelamente en el mismo sentido. Sean las ecuaciones de estas dos vibraciones, las siguientes: ) 8 ( ) cos(
) 7 ( cos
El caso general será en el que a ≠ b. Las vibración resultante será (y + z) = OP’, cuya vibración y amplitud variarán con el tiempo, tal como se observa en la figura 4, para el vector OP’ → OP. Entonces, el extremo del vector OP resultante gira en una elipse con una amplitud variable. Fig. 4. Composición de vibraciones: luz elíptica, circular y rectilínea. Para comprobar que gira en una elipse y el sentido de giro, se parte de las ecuaciones (7) y (8) anteriores y se tendrá: ϕ ω ϕ ω ϕ ω
tsen sen t
Restando estas dos últimas ecuaciones, resulta: ϕ ω ϕ tsen sen
= − cos Elevando al cuadrado esta última ecuación y la ecuación que resulta al multiplicar y/a =cos ωt por sen φ, se obtiene: ϕ ϕ
ϕ ω ϕ ϕ
tsen sen
Que es la ecuación de una elipse de ejes 2a y 2b. Los puntos de tangencia como el P’, se obtienen de: ) cos(
Para t = 0, se tiene: ϕ ϕ cos ) cos( b b z
El sentido de giro del vector vibración resultante, viene dado por el signo de sen φ en la ecuación z = bcos (ωt – φ) | | ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω sen b sen b t sen b
Si sen φ es negativo, el giro es levógiro 0 ≤ φ ≤ π. Si sen φ es positivo, el giro es dextrógiro 2π ≥ φ ≥ π. La composición de vibraciones puede examinarse con las diferencias de fase o con las diferencias de marcha. 1. Caso general a ≠ b. a. Las vibraciones están en fase: φ = (2π)n con n = 0, 1, 2, …… 1 ) 2 cos( cos = = n π ϕ 0 ) 2 ( = = n sen sen π ϕ Entonces la ecuación de la elipse queda de la forma: b
− → = − + 0 0 0
Que es la ecuación de una recta, y esto quiere decir que la amplitud resultante vibra en un plano diagonal. b. Las vibraciones no están en fase: φ = (2n + 1)π/2 con n = 0, 1, 2, …. 0 ) 1 2 (
1 ) 1 2 cos( cos
n sen sen
la ecuación general de la elipse quedará de la forma: b
= + → = + + 0 0
Que nuevamente es la ecuación de una recta. c. Las vibraciones no están en fase ni en oposición de fase φ = (2n + 1)π/2 con n = 0, 1, 2, 3,….. 1
) 1 2 cos( cos
± = + =
La ecuación de la elipse, será: 1
Que es la ecuación de una elipse. 2. Caso general a = b. En este caso, la ecuación de la elipse se puede simplificar multiplicando por a
, ambos miembros de dicha ecuación: ϕ ϕ
cos 2 sen a zy z y = − + Que es la ecuación de una elipse inscrita en un cuadrado de lado 2a = 2b a. Caso de vibraciones en fase φ = 2πn con n = 0, 1, 2, ….. 0 2
La ecuación de la elipse, será: z y z y zy z y = → = − → = − + 0 0 2
Que es la ecuación de una recta b. caso de vibraciones en oposición de fase φ = (2n+1)π. 0 ) 1 2 (
La ecuación de la elipse, será: z y z y zy z y − = → = + → = + + 0 0 2
Que es, también, la ecuación de una recta. c. Caso de vibraciones que no están en fase ni en oposición de fase φ = (2n+1)π/2 con n = 0, 1, 2, …. 1
La ecuación de la elipse será: 2 2 2
a z y = + Que es la ecuación de una circunferencia de radio (a) y, por tanto, la vibración resultante tiene amplitud constante. En resumen, siempre que se componen dos vibraciones arbitrarias y de la misma frecuencia o manantial luminoso, su composición dará lugar a una vibración cuyo vector extremo gira en una elipse o en una de sus curvas degeneradas, como la circunferencia o la recta. 4. Examen de un cuerpo birrefringente con luz monocromática. Existen diversos cuerpos cristalinos y anisótropos tales que si la luz incidente no coincide con el eje óptico del cristal, el rayo incidente da lugar a dos rayos refractados, fenómeno que se conoce como doble refracción o birrefringencia. Uno de los dos rayos, continua en el plano de incidencia (rayo ordinario) y, el otro, no (rayo extraordinario). En ambos planos de vibración los índices de refracción son diferentes y, por tanto, la luz emerge del cristal con una diferencia de marcha: e n n
) ( − = δ Donde: n
– Índice de refracción en la dirección del rayo extraordinario. n
– Índice de refracción en la dirección del rayo ordinario. e – Espesor del cristal. La diferencia de fase correspondiente a la diferencia de marcha, será: e
= = 2 2 Este fenómeno natural de la birrefringencia se puede provocar en cuerpos isótropos y transparentes cuando se les somete a estados de tensión planos. Entonces, estos cuerpos se convierten en birrefringentes y este fenómeno se conoce con el nombre de birrefringencia accidental o debida a tensiones. Consideremos un cuerpo birrefringente de espesor constante entre dos polaroides. A la lámina birrefringente llega una luz polarizada de ecuación de movimiento: t a y
ω cos = Sean: α – Ángulo que forma el eje del polarizador con el primer eje óptico de la lámina birrefringente (figura 5). β – Ángulo que forma el eje del analizador con el primer eje óptico de la lámina. γ = α – β, ángulo que forma el eje de transmisión del analizador con el eje de transmisión del polarizador. Fig. 5. Descomposición de la luz polarizada debido a la birrefringencia accidental. Se puede demostrar que la intensidad de la luz emergente del analizador E, que es función de la luz incidente en el polarizador, se puede escribir: (
π β α γ
. 2 . 2 cos sen sen sen E E
Que permite discutir los casos posibles de interferencias. Se estudiarán, a continuación, dos casos posibles de interferencias: 1. Polariscopio con ejes de polarizador y analizador cruzados (γ = π/2). 2. Polariscopio con ejes de polarizador y analizador paralelos (γ = 0). Nota. En ambos casos, los ejes del analizador y polarizador pueden girar solidariamente manteniéndose cruzados o paralelos. 1. Caso (γ = π/2) y, por tanto, cos γ = 0. En este caso, la ecuación anterior, quedará: (
. 2 . 2 sen sen sen E E
Como α – β = π/2, α = π/2 + β, se tendrá: α π α β
Con lo que la ecuación anterior quedará: λ
. 2 sen sen E E
= Que se conoce como ecuación de Neumann. 1.1. Si el eje del polarizador coincide con uno de los ejes ópticos de la lámina (estando los polaroides cruzados), α = 0, y en este caso de α = 0 y α = nπ/2 ó 2α =nπ, donde n = 0, 1, 2, …., entonces sen
2α = 0 y E = 0, es decir, no hay luz emergente del analizador, hay extinción. Si el eje del polarizador no coincide con ninguno de los ejes ópticos de la lámina, que es el caso más general, emerge luz del analizador y la intensidad de la luz emergente será máxima cuando: 1
) 1 2 ( 2 = + = + =
α n sen sen que ya n 1.2. De la ecuación de Neumann se deduce que, cuando la diferencia de marcha de los rayos refractados (ordinario y extraordinario) sea un múltiplo entero de λ, el término sen
πδ/λ = 0, y, por tanto, en este caso, habrá extinción. 2º Caso. En este segundo caso (γ = 0), el analizador y polarizador tienen los ejes de transmisi ón paralelos y ambos pueden girar solidariamente manteniendo el paralelismo entre sus ejes de transmisión En este caso (γ = 0, α = β), la ecuación de Neumann queda de la forma: (
. 2 1 sen sen E E En este caso se pueden dar los siguientes subcasos: Si el eje del polarizador coincide con uno de los ejes ópticos de la lámina, entonces α = 0 y sen
2α = 0, y de la ecuación anterior se deduce que: 0
E E = Es decir, emerge toda la luz a través del analizador. En el caso más general de que el eje del polarizador no coincida con el eje óptico de la lámina, aparecen franjas de interferencia, es decir, aparece una extinción parcial, que será máxima cuando: 2
β α + = = n De la ecuación anterior, se deduce que cuando la diferencia de marcha δ sea un número entero de veces la longitud de onda, el paso de luz a través del analizador será máximo, es decir: 0
sen sen que ya E E Sin embargo, los modelos pueden ser observados con dos tipos de fuentes luminosas: a. Fuente de luz monocromática. b. Fuente de luz blanca Cuando se usa luz blanca, al extinguirse un color de los que la componen, por el analizador emergerá una luz blanca a la que le falta uno de los colores que la componen. A esa luz sin un solo color se la llama color complementario. La tabla 1 que a continuación se presenta, muestra los diferentes colores complementarios. Luz blanca menos un color Color complementario Luz blanca – rojo Luz blanca- naranja Luz blanca – amarillo Luz blanca – verde Luz blanca – azul Luz blanca - violeta Verde Azul Violeta Rojo Naranja Amarillo Tabla 1. Tabla de colores complementarios. La extinción de determinados colores de la luz blanca al atravesar un modelo sometido a tensiones, depende del estado de tensión que se da en cada punto, por tanto, tensiones distintas produce diferencias de marcha distintas y, como consecuencia, interferencias con extinciones de diferentes colores. El modelo se observará coloreado. El fenómeno de la aparición de una serie de colores en un modelo, se discute mediante la expresión que da la intensidad luminosa que emerge del analizador: (
sen sen sen E E
. 2 . 2 cos
β α γ Donde: α – Ángulo que forma el primer eje óptico de la lámina o σ
de la lámina con el eje de transmisión del polarizador. β – Ángulo que forma el primer eje óptico de la lámina o σ
con el eje de transmisión del analizador. γ = β – α – Ángulo que forman los ejes de transmisión de analizador y polarizador. El término cos
γ en la ecuación anterior depende solamente del ángulo que formen los ejes de transmisión de polarizador y analizador. Entonces, según que estos ejes estén paralelos (γ = 0) o cruzados (γ = π/2), habrá paso de luz blanca o ex tinción, independientemente de los colores que pasen debido al segundo término, que depende de ( λ
), es decir, de las diferentes interferencias de los colores de la luz blanca, por ello, a: cos
γ = Término blanco. sen 2
πδ/λ = Término coloreado. Consideremos la ecuación anterior y supongamos que se trabaja con: a. Con luz monocromática. b. Con luz blanca. Además, se pueden plantear dos series de observaciones: Serie 1: Examen con polaroides cruzados (γ = π/2). Serie 2: Examen con polaroides paralelos (γ = 0). Serie 1 (polaroides cruzados). El término blanco cos
γ = 0 y la ecuación queda de la forma: i
sen sen E E
. 2 . = Ya que β – α = π/2 → 2β = 2α + π → sen 2α = sen 2β y λ
= Cte. Serie 2 (polaroides paralelos) En este caso, α = β ; γ = 0 → sen 2α = sen 2β ; cos
γ = 1. Por tanto, la ecuación quedará de la forma: (
. 2 1 Donde λ
= Cte. Conviene ahora tener presente que el polarizador y analizador pueden girar simultáneamente manteniendo en el giro sus ejes paralelos o cruzados. En la serie 1, se pueden dar los subcasos siguientes: 1. 0 2 2
= = = α π α
α sen n n La ecuación correspondiente, quedará: ) ( 0
extinción hay E = 2. 1 2
= + = + = α
α sen n n La ecuación correspondiente, quedará: i
= El término coloreado proporciona dos posibilidades más: Con luz monocromática (δ = kλ), donde k = 0, 1, 2, …. Y la ecuación anterior quedará ) ( 0
total extinción hay E = Con luz blanca se extinguirá solamente uno de los colores y se observará el color complementario. En la serie 2 se dan, también, dos subcasos. 1. 0 2 2
α sen n n La ecuación quedará de la forma E
(hay paso total de luz) 2. 0 2
α sen n n La ecuación quedará E
[1 – sen
πδ/λ] y de está ecuación se pueden sacar dos subcasos: 2.1. Si δ = kλ sen
πδ/λ = sen
kπ = 0 La ecuación general quedará: E
(hay paso total de luz). 2.2. Para los distintos valores de δ, se producirán interferencias. Si ahora consideramos el polariscopio con los polaroides cruzados y utilizamos luz blanca, el término blanco cos
γ es nulo y, por tanto, no hay paso de luz blanca. Pero cuando la luz blanca sale del modelo, puede haber uno de los colores que interfiera, con lo que se extingue ese color y, a la salida del analizador se observa el color complementario, que en este caso se denomina “color saturado” por no llevar superpuesta luz blanca. En el caso de utilización de luz blanca y polaroides cruzados (γ = π/2), sen
2α = sen
2β y, por tanto, la ecuación quedará de la forma: ∑
π α Donde las λ
son todas las longitudes de onda del espectro visible y, que van del: Violeta → 3800 Ẩ Rojo → 7000 Ẩ Por tanto, si una lámina sometida a tensiones se examina en un polariscopio con polaroides cruzados, puede ocurrir: 1. Que la birrefringencia debida a tensiones sea muy pequeña, por serlo las tensiones, y si la diferencia de marcha es muy pequeña, inferior a una semilongitud de onda del violeta, que es la longitud de onda más pequeña del espectro visible, ocurrirá que no se apreciarán interferencias y del analizador no emergerá luz alguna. 2. Si se aumenta la magnitud de las tensiones y aumenta la birrefringencia del modelo, aumenta la diferencia de marcha y, cuando su valor sea de unos 4000 Ẩ, se extinguirá el color violeta y por el analizador emergerá el amarillo, que es el color complementario. Esto quiere decir que, todas las zonas del modelo en las que se den estas condiciones, estarán cubiertas con un color amarillo. 3. A medida que se aplican tensiones crecientes al modelo, o si en diferentes partes del modelo hay fuertes gradientes de tensiones, en las distintas zonas del modelo habrá extinciones de diferentes colores y, por el analizador, se observará esta distribución de colores. 5. Escala de Newton. Consideremos, de nuevo, el caso de una luz monocromática (amarilla de sodio de 6000 Ẩ) y polaroides cruzados. La luz emergente vendrá dada por la ecuación: Na
= Donde se ha considerado que sen
2α = 1 para que se de máximo contraste. Entonces, a medida que aumenta la tensión o a medida que en una lámina sometida a flexión, se consideran puntos del modelo que están a tensiones 0, σ, 2σ, 3σ, ……… (figura 6), las diferencias de marcha son también crecientes y que dan lugar a sucesivas extinciones y, para el caso de una luz monocromática, se dan franjas oscuras y entre ellas paso de luz parcial. Fig. 6. Escala de Newton. Sin embargo, en el caso de utilizar luz blanca, la extinción es siempre de una de las longitudes de onda que la componen, por consiguiente, para el caso de la lámina sometida a flexión, se producirán extinciones distintas a medida que aumenta el valor de la tensión. 7. Compensadores. Para la medida de la diferencia de marcha se puede utilizar un interferómetro. Sin embargo, en la actualidad se ha generalizado la utilización de compensadores (figura 7), que son instrumentos capaces de introducir diferencias de marcha variables y conocidas. En esta sección describiremos el compensador de Soleil-Babinet. Consta de: a. Dos cuñas de cuarzo talladas con un mismo ángulo θ. b. Están talladas de forma que sus ejes ópticos sean perpendiculares entre sí. c. Están montadas de forma que constituyen un conjunto plano paralelo y una de las cuñas puede desplazarse sobre la otra mediante un tornillo micrométrico graduado en longitudes de onda de la luz utilizada. Nota. Se entiende por eje óptico a la única dirección de máxima simetría en la que no se presenta la doble refracción, o lo que es lo mismo, el cristal es monorrefringente. Cuando el haz de luz polarizado incide en un punto del compensador, sufre efectos contrarios que dependen del espesor atravesado de cada una de las cuñas. En la línea media, los espesores son iguales (OR 0 RT) y, por tanto, el efecto sobre los dos rayos birrefractados es nulo. Consideremos ahora dos rayos: el SOT y S
. El primero (SOT), atraviesa espesores iguales OR = OT en las dos cuñas, mientras que el segundo (S
), atraviesa espesores diferentes O
N ≠ NT
en las dos cuñas. Como el ángulo θ es muy peque ño, los espesores pueden considerarse como espesores planoparalelos. Fig. 7. Compensador de Soleil-Babinet. Entonces a: 1
' NT e
Supongamos, que la primera cuña retrase las vibraciones paralelas a OY, y la segunda a OZ. La diferencia de marcha del haz ordinario y extraordinario que están contenidos en los planos OY y OZ, será una función de la diferencia de caminos ópticos, es decir: ) ' )( ( e e n n
− − = δ Pero: θ tag a MN y MN e e . 2 ) ' ( = = − De donde: a n n tag
). ( 2 . 2 − = θ δ Con lo que la diferencia de marcha que introduce el compensador, es proporcional a la distancia (a) del haz a la línea media de espesores iguales del compensador, es decir, que a medida que se gira el tornillo micrométrico y se acerca un extremo de la cuña a la línea de paso de luz, se van introduciendo diferencias de marcha crecientes y continuas. 8. Teorías del efecto fotoelástico: leyes de Neumann y Maxwell. En 1841, Franz Neumann presentó el primer intento para explicar el efecto fotoelástico. Cuando un rayo de luz polarizado vibrando en el plano OP, paralelo a (x), atraviesa la lámina (L) (figura 8), que al estar sometida a tensiones presenta el fenómeno de birrefringencia accidental, se desdobla en dos componentes ortogonales, polarizadas también, y en dos direcciones que coinciden con las de las tensiones en cada punto. Neumann, supuso que las cargas aplicadas a la lámina producían cambios en el agrupamiento de sus moléculas y, por ello, basó su teoría en las deformaciones que experimentaba la lámina. Comenzó suponiendo que las velocidades de la luz (v
) paralelas a cada una de las tres deformaciones ortogonales del medio eran proporcionales a dichas deformaciones, es decir: Fig. 8. Efecto fotoelastico debido a Neumann. y x z o c
x z y o b
ε γ ε β ε α
) 7 ( . . .
es la velocidad de la luz en el medio no deformado. Entonces: ) ( ) ( ) ( β γ ε α β ε γ α ε − + − + − = −
z y x b a
v v Pero sus resultados experimentales le llevaron a que (v
) eran independientes de ε
, con lo que (β = γ), y: ) 8 ( ) )( (
ε ε β α
ε α β ε β α
Reduciéndose las ecuaciones (7) a: ) ( .
) 9 ( ) ( .
y x z o c
ε ε β ε α
Es concebible, que en la elasticidad lineal, en la que las tensiones y deformaciones se relacionan linealmente a través de dos constantes del medio, se pueden expresar las ecuaciones (9) en función de las tensiones, y Maxwell encontró que las diferencias de velocidades de los dos rayos polarizados ortogonalmente eran proporcionales a la diferencia de tensiones, usando como Neumann dos constantes, según: ) ( .
) 10 ( ) ( .
Siendo: ) 11 ( ) (
Se desconoce si el efecto óptico es directamente proporcional a un estado de tensión, pero más delante se discutirá al hablar de los materiales fotoelásticos. Examinando las relaciones fotoelásticas de Maxwell, se vio que al comparar el elipsoide de Fresnel (superficie donde se encuentran los inversos de los índices de refracción en todas las direcciones), con la cuádrica de tensiones, de : 1
= + + z v y v x v
Dividiendo por v
los dos términos de la ecuación, resulta: 2
= + + Y aproximadamente se puede escribir: z
La ecuación anterior, quedará: ) 12 ( 1
σ σ σ Se observa que las tensiones no deberían ser proporcionales a las velocidades sino al cuadrado de las velocidades, por tanto, se tendría que comenzar con las expresiones: ) (
) 13 ( ) (
Sumando y restando a las ecuaciones (13) el término C
, resulta: z z y x o c
y z y x o b
x z y x o a
C C C v v
) 14 ( ) ( ) (
Si se introducen estas ecuaciones anteriores en el elipsoide de Fresnel, resulta: | |( ) ( )( ) ) 15 ( 1 ) (
= + + − + + + + + +
z y x z y x o
z y x C C z y x C v σ σ σ σ σ σ Y dividiendo por (x
), que es una diagonal paralepipédica o radio R, resulta: ( )( ) ) 16 ( ) (
n m l C C C v
σ σ σ σ σ σ + + − + + + + = =
Donde R es el radio vector desde el centro del elipsoide de Fresnel en la dirección dada (l, m, n), por lo que se deduce la primera ley de Maxwell. 1. Las direcciones de polarización son las direcciones principales. Si el estado de tensión es plano y viene dado por las tensiones principales σ
, se tiene: 2
Restando las dos ecuaciones, resulta: ) 17 ( ) )( (
σ σ − − = − C C
Pero de la ecuación del elipsoide de Fresnel, sabemos: 2
= = Siendo v
las velocidades de los haces polarizados en las direcciones principales, por tanto, en la ecuación (17) , se tiene: ( ) ( ) ) ( ) (
σ σ − − = − + = − C C v v v v v v Haciendo: o
= + Quedará: ) ( ) (
) )( ( ) ( 2
Que expresa la segunda ley de Maxwell. 2. La diferencia de velocidades de los dos haces polarizados es proporcional a la diferencia de las tensiones principales, aunque el enunciado exacto debería ser la diferencia del cuadrado de las velocidades es proporcional a la diferencia de las tensiones principales, aunque no se ha encontrado un material con un efecto fotoelástico suficientemente fuerte como para poder diferenciar estos dos aspectos, por lo que se considera válida la proporcionalidad entre velocidades y tensiones. 9. Ecuaciones de Maxwell-Wertheim y de Faure. Mientras no se sobrepase el límite elástico de un modelo con birrefringencia accidental, existe entre las leyes de Maxwell, Neumann y la doble refracción, una proporcionalidad que para la fotoelasticidad bidimensional nos permite escribir: ) 18 (
tienen las dimensiones de mm
/kg.seg. y sólo dependen de la naturaleza del material birrefringente y, en menor grado, de la longitud de onda empleada. Dividiendo cada una de las ecuaciones (18) por v
/d, podemos expresar los caminos ópticos en unidades de longitud, siendo v
la velocidad de la luz en el material no sometido a tensiones y (d) el espesor de la lámina birrefringente, podremos entonces escribir: ( )
óptico o ca d
d C C v
La diferencia de marcha entre los dos rayos polarizados se obtendrá restando los caminos ópticos: ) 19 ( ) (
2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1
σ σ δ
O también: ) 20 ( ) (
d C σ σ δ − = Donde: o
= Las diferencias de marcha de cada haz con un rayo que atravesara la lámina sin tensiones, serían: d
Si hacemos: o
Entonces se verificará que (a – b) = C, y: d b a
Que son las ecuaciones de Faure. Restando ambas ecuaciones, resulta: d C
Donde: C – Constante fotoelástica absoluta. a y b – Constantes fotoelásticas relativas. 10. Examen con luz polarizada de una lámina sometida a tensiones. Consideremos un haz polarizado monocromático plano y horizontal (figura 9), tal como se representa por OA en el modelo vectorial y que incide en un punto de una lámina de espesor (d) en el que se dan las tensiones (σ
). Fig. 9. Examen de una lámina sometida a tensiones. La luz incidente vibra según: ) 21 ( cos . t a y
ω = Al entrar en la lámina se desdobla en dos rayos refractados polarizados (OC) y (OD), según: ) 22 ( cos
t asen y
Donde α es el ángulo entre el eje del polarizador y la dirección principal 1. Estas dos ondas viajan a través de la lámina con velocidades (v
) y, después de atravesar su espesor, emergen con una diferencia de marcha, tal que: ) 23 ( ) ( cos
Si el analizador se encuentra cruzado con el polarizador, pasarán las componentes de y
que sean paralelas al eje de transmisión del analizador, o sea OF y OE, resultando: ) 24 ( cos cos cos cos
t asen y sen y y ω ω α α α α Que puede escribirse de la forma: ) 25 (
sen asen y ω ω α Ecuación que es de la forma: ) ( B t Asen y − = ω Donde: A – Amplitud del movimiento. B - Fase del movimiento. La intensidad que emerge del analizador es proporcional al cuadrado de la amplitud y, por tanto, será proporcional al término: |
α α Llamando a: sen
2α – Primer factor. sen
ω[(d/2v
) – (d/2v
)] – Segundo factor. Considerando el primer factor de esta expresión, se deduce que: 1. Si las direcciones de σ
varían en la superficie de la lámina, varía α y también variará la intensidad luminosa en cada punto. Si las tensiones σ
forman un ángulo α = 0 ó α = 90º. ) ( 0 2
extinción hay sen = α Si con los polaroides cruzados crece α de 0 a 45 º , 2α = 90º y sen
2α = 1, habr á iluminación máxima. Al aumentar α desde cero, sen
2α crece muy lentamente y las zonas oscuras se ensanchan y tienen bordes difusos. Cuando detengamos el giro en un ángulo α = φ, habrá un conjunto de curvas o franjas oscuras con intensidad luminosa nula, que corresponden al lugar geométrico de los puntos del modelo en que las direcciones principales coinciden con los ejes del polarizador y analizador. A estas curvas se las llama isoclinas. El conjunto de isoclinas observadas a un ángulo φ se denominan isoclinas de par ámetro φ, ya que a otro ángulo φ
, se observará un conjunto de isoclinas diferentemente dispuestas. La posición de las isoclinas es independiente de la mayor o menor cuantía de las tensiones, sólo depende de su dirección. Por otra parte, con luz monocromática o con luz blanca, las isoclinas son negras, ya que el término sen
2α no depende de la longitud de onda de la luz utilizada en la observación. Si se fotografían un conjunto de isoclinas correspondientes a giros discretos de 5 ó de 10 en 10º, el conjunto de todas ellas para diversos valores de φ, constituye la denominada red de isoclinas. 2. Análisis del segundo factor. d
Donde v es la velocidad de la luz y d
es la diferencia de caminos ópticos o diferencia de marcha δ, ya que v/v
y v/v
, δ = (n
)d = C(σ
d C d n n
σ σ δ Este segundo factor se anula cuando la diferencia de marcha sea nula, es decir, cuando sean iguales a cero (isocroma de orden cero, extinción de todas las longitudes de onda, por tanto, aparece siempre negra. Cuando d
sea un múltiplo de la longitud de onda π λ
2 kπ = 0. Entonces en: d C k ) (
σ σ λ δ − = = A medida que en la lámina haya puntos que difieran gradualmente en valores de ( σ
) habrá puntos que den lugar a que su C( σ
)d = kλ, de lugar a extinciones, y el lugar geométrico de estos puntos de igual valor de ( σ
), dará franjas de intensidad nula con luz monocromática. A estas franjas se las denomina isocromas y al conjunto de lugares geométricos en los que ( σ
) dan múltiplos de λ con extinciones, se denomina red de isocromas. Las isocromas se distinguen de las isoclinas en que no están afectadas por el giro de los polaroides cruzados, ya que no dependen de α, y s ólo dependen de los valores de ( σ
) que dan múltiplos de λ, y puesto que: cd
τ σ σ = = − 2
Para cada valor de k = 0, 1, 2, …… existe una isocroma, se dice, entonces, que tal isocroma es de orden k. Si se utiliza luz blanca, se extinguirá solamente las frecuencias visibles que cumplan la ecuación d C k ) (
σ σ λ δ − = = , con lo que aparecen franjas monocolores y, de aquí, procede el nombre de estas franjas siguiendo la secuencia ya estudiada de la escala de Newton. Sin embargo, el problema que se plantea es la separación de las isoclinas e isocromas, es decir, como se pueden observar independientemente unas de otras sin que interfieran. 1. Se puede hacer uso de la característica que las distingue. Girando los polaroides cruzados, las isoclinas varían rápidamente, ya que dependen de α, mie ntras que las isocromas permanecen inmóviles, sin embargo, este método no es muy recomendable. 2. Generalmente, se separan con luz blanca circularmente polarizada. En este último caso se procede como sigue: Se coloca la lámina cuarto de onda con su eje óptico a 45º del eje del polarizador y, la lámina cuarto de onda analizadora, cruzada con la primera y, por tanto, a 45º del eje del analizador que está cruzado con el polarizador. Al introducir el modelo libre de tensiones, el campo debe permanecer oscuro. Al comenzar a cargar el modelo, éste se ilumina, apareciendo las isocromas de orden cero (de color negro), si se aumenta la carga aparece el amarillo 1, rojo 1, etc. Las cuatro curvas más importantes, son: a. Isoclinas b. Isocromas. c. Isostáticas. d. Isopacas. Las dos últimas son curvas teóricas y las dos primeras experimentales. Capítulo 8 Análisis experimental de tensiones: fotoelasticidad. 1. Representación de las redes de isoclinas e isostáticas. Puntos isotrópicos u cúbicos. Una vez que el modelo se ha sometido a carga en un banco fotoelástico con polaroides cruzados y enrasado a cero el analizador, estamos en condiciones de comenzar la observación de las isoclinas, o lugares geométricos de puntos del modelo en los cuales las direcciones de las tensiones principales son constantes. Supongamos que el modelo es una arandela (figura 1), y veamos que le ocurre a la zona rallada MN. Lo primero que se verá son las franjas de extinción de parámetro 0º. Fig. 1. Arandela circular sometida a compresión diametral. A continuación, se giran los dos polaroides (manteniéndolos siempre cruzados) ángulos discretos de 5 ó 10º, según la precisión que se desee. En la figura 1, se giran de 10 en 10º y siempre en el mismo sentido. Girados los primeros 10º, lo que se observa es otro conjunto de isoclinas y así sucesivamente. El conjunto de todas las franjas para cada una de las posiciones, constituye la red de isoclinas. Las direcciones de las tensiones principales coinciden, en todos los casos, con los ejes de transmisión de polarizador y analizador, con lo que para cada parámetro de isoclina se conocen las direcciones de las tensiones principales. Trazado de las isostáticas. Puesto que cada cruz sobre cada isoclina indica las direcciones de σ
, se pueden trazar otras curvas que sean tangentes a cada dirección principal. Por tanto, estas curvas nos indican, por sus tangentes, como van variando las direcciones principales. Al conjunto de estas dos familias de curvas ortogonales se denomina red de isostáticas. En la figura 1 se observa, también, la red de isostáticas del modelo que se está considerando. Puntos isotrópicos y cúbicos. Se puede observar en la figura 1, que hay un punto, el C, por el que pasan las isoclinas observadas a cualquier ángulo, y esto sólo ocurre cuando se cumplen las siguientes dos condiciones: 1. Que en el punto C las tensiones principales sean iguales pero no nulas (σ
≠ 0). En este caso, a este tipo de puntos se les denomina puntos isotrópicos. 2. Que en el punto C las tensiones principales sean iguales, por ser las dos nulas. En este caso se denominan puntos singulares, que es un caso particular de punto isotrópico. 3. Otro punto de interés es el denominado punto cúbico, que está determinado por la intersección de una isostática y por la isostática ortogonal, como es el caso del punto D en la figura 1. En estos puntos es máxima σ
y, en él, coinciden una isoclina y una isostática, y si σ
son máximas o mínimas, la isoclina arranca y termina en la superficie del modelo, ya que allí, son nulas las tensiones, con lo que entre dos valores nulos ha de existir un máximo o un mínimo. Para precisar bien los puntos singulares, se fotografían dos isoclinas a 45º entre si y cuya intersección es lo que mejor define estos puntos isotrópicos. 2. Orden de franja: calibrado de modelos. Para determinar el orden de franja en las isocromas, lo más conveniente es eliminar las isoclinas usando luz blanca o monocromática circularmente polarizada. La determinación se efectúa colocando el modelo en el banco de carga y paulatinamente se va sometiendo a cargas crecientes. Las isocromas empiezan a aparecer en los puntos de mayor tensión cortante o ) (
σ σ − . Si se emplea luz monocromática circularmente polarizada, se hace uso de isocromas que pasan por puntos singulares en los que (σ
) = 0 por ser σ
= 0, y a uno y otro lado se empiezan a numerar las isocromas con ordenes de franja 1, 2, 3, …etc, y que se corresponden con franjas de extinción en las que la diferencia de marcha es λ, 2λ, 3λ…etc., respectivamente (cuando se utilizan polaroides cruzados). Con el empleo de luz blanca circularmente polarizada, las franjas negras se corresponden con isocromas de orden cero, y la sucesión de colores sensibles de la escala de Newton nos indica el orden de franja de las sucesivas extinciones coloreadas. De esta manera, se conoce el orden de franja de cada punto del modelo, lo que luego es necesario para el cálculo de las tensiones en cada punto del modelo. A modo de resumen. 1. Se eliminan las isoclinas utilizando luz circularmente polarizada. 2. La determinación del orden de franja, se efectúa del modo siguiente: Con luz blanca, se tiene la ventaja de que la isocroma de color negro es de orden cero, la violeta de orden 1, la rosa de orden 2, etc. Entre dos tintes sensibles, por ejemplo el k = 1 y k = 2, hay franjas sensibles monocolores que tienen ordenes de franja fraccionarios. Con luz monocromática, se ve la red de isocromas con extinciones negras entre las que hay paso parcial de luz. Hay que elegir una isocroma que pasa por un punto singular (k = 0), y luego se numeran a uno y otro lado (ver figura 1). Calibrado de modelos. El propósito del calibrado es determinar la tensión en kg/mm
, necesaria para producir un orden de franja unidad en un modelo, es decir, para pasar de un orden de franja k = n a un orden k = n + 1, en otras palabras, el Δ(σ
) = Δ2τ necesario para pasar de una isocroma a la siguiente. El calibrado, que naturalmente se hace con el material fotoelástico con el que se va a construir el modelo objeto de estudio, se practica eligiendo modelos de calibrado para los que hay soluciones teóricas sencillas y exactas y así conocer la tensión en cualquier punto. El calibrado, además, permite comparar la sensibilidad fotoelástica de diversos materiales y, por tanto, su adecuabilidad a cada caso. De los procedimientos más comunes de calibrado, tales como: a. Tracción pura. b. Flexión pura. c. Arandela a compresión diametral. Sólo se comentarán las dos primeras. Calibrado mediante probetas a tracción. Este método hace uso de una probeta plano paralela de tracción (figura 2), construida con el material fotoelástico que se somete en el banco de carga a una fuerza P que da lugar a la tensión σ
= P/b.e. Puesto que σ
= 0, (σ
) = P/b.e y comparando esta ecuación con la ley de Maxwell-
Werthein: Ce k e C k / ) ( ) (
λ σ σ σ σ δ λ = − → − = = Resulta: P
= Y como, además, resulta que (σ
) es conocida mediante el calibrado y tiene por valor P/b.e, podemos conocer la constante fotoelástica C (conociendo λ
). C se mide en Brewsters. Generalmente, con fines prácticos, lo que se calcula en el calibrado es el cociente: e C
= Fig. 2. Probeta de tracción para el calibrado. Donde f se denomina “valor de franja por unidad de espesor del modelo”. Se define el valor de franja F, como: e f F . = Cada material fotelástico tiene su valor de franja F característico. Entonces, conocido (σ
) = P/b.e, resultará: ( ) kf
El calibrado de modelos se puede realizar con luz monocromática por más fácil utilización que la luz blanca y, por las razones que a continuación se enumeran: 1. El modelo sin carga entre los dos polaroides, estará cubierto por una isocroma de orden cero (si el modelo no presenta tensiones residuales). 2. A media que aumenta la carga de tracción, a través de la probeta pasará luz parcial hasta un valor de la carga que oscurece, nuevamente, la probeta (isocroma de orden 1). 3. La carga P que produce la primera extinción se denomina carga de calibrado. 4. Con la carga de calibrado y conociendo la longitud de onda de la luz monocromática utilizada para el calibrado, se procede al cálculo de la constante fotoelástica del material. Calibrado a flexión pura. Se prepara un probeta modelo y se somete a un momento flector M = P.h, figura 3. Fig. 3. Probeta para calibrado a flexión. Examinándola con luz circularmente polarizada aparecen isocromas paralelas distribuidas por encima y por debajo de la fibra neutra. Puesto que las fibras superiores del modelo están sometidas a tracción y σ
≠ 0 y σ
= 0 la tensión de tracción tiene por valor: f k
σ σ σ Donde: p.h = Momento flector. I = Momento de inercia transversal polar del punto que se esté considerando. e = Espesor de la probeta. y = Distancia de la isocroma de orden cero (línea neutra) a una isocroma por encima. 3. Separación de tensiones: Método del extensímetro lateral y métodos de integración. Una vez que se han efectuado las observaciones fotoelásticas, se dispone de la siguiente información: a. Se dispone de una red de isostáticas (es decir, se conocen las direcciones de las tensiones principales en cualquier punto del modelo). b. Se conoce el valor de σ
en cualquier punto del modelo. c. Puesto que una de las dos tensiones, es decir, la tensión normal a las superficies libres de carga, es nula, los valores de σ
serán iguales a las tensiones tangenciales en los puntos de la superficie del modelo. Generalmente, esta información es más que suficiente en una gran mayoría de problemas. Si se desea practicar un examen completo de un modelo, sólo resta separar los valores de las tensiones principales. Para ello, se pueden utilizar diferentes métodos, como: 1. Método del extensímetro lateral. 2. Método de Filón de integración a lo largo de isostáticas. 3. Método de L’aplace. De los métodos relacionados anteriormente, examinaremos el primero y tercero. Método del extensímetro lateral. Supongamos un modelo en forma de disco que está sometido a las tensiones σ
, y que, por ello, experimenta una contracción en la dirección del espesor ( Δd). Entonces, la deformaci ón en la dirección del espesor, será: d
ε Y, teniendo en cuenta las relaciones tensión deformación, se tiene: ( ) | |
σ σ ν ε + − =
Y la contracción, será: ( )d
+ − = ∆ Donde: d – Espesor del modelo. Δd – Medida que efectúa el extensímetro cementado con su devanado activo en la dirección del espesor: ν y E – Constantes elastomecánicas del material con el que está construido el modelo. La ecuación anterior y la que proporciona σ
= kf, constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya resolución proporciona el valor de las tensiones principales. Método de L’aplace. Este método es, generalmente, el más usado y está basado en una ecuación de compatibilidad para los estados planos de tensión, según: ( ) 0 ) (
= + ∇ σ σ σ σ
Haciendo: ( ) S = +
σ σ Y, por tanto: 0
= ∇ S Esta ecuación se puede resolver por diferencias finitas para conocer el valor de S = ( )
σ σ + , que juntamente con el valor de la diferencia de tensiones principales que proporciona la red de isocromas, tenemos un sistema que permite conocer cuanto valen las tensiones principales por separado. Desarrollando la función S(x,y) en serie de Taylor entorno de un punto O, se tiene: ...... ) (
S S Considerando el pequeño intervalo ± h: h x x h x x − = + =
De donde: .......
h S S Y: .......
h S S Se desprecian los términos de orden superior, por ser muy pequeños. Sumando las dos últimas expresiones, resulta: 0
h S S S Por tanto, el primer término de la laplaciana vale: 2
S d − +
Análogamente, para la dirección y, el segundo término de la laplaciana valdrá: 2
Sumando ambos términos, se obtendrá: 0
Lo que exige que el numerador sea nulo y, por tanto, se tendrán finalmente: 2 1
4 σ σ + =
S y S S S S S 4. Transferencia de los resultados del modelo al prototipo real. Limitaciones del método fotoelástico. La gran ventaja que posee el método fotoelástico, estriba en que puede analizar tensiones puntuales mientras que, por ejemplo, los métodos extensométricos dan valores medios integrados de la deformación que se produce debajo del devanado activo. En general, no se podrá examinar un modelo fotoelástico del mismo tamaño que la pieza o estructura en estudio, salvo para piezas pequeñas, lo que exige entonces la preparación de un modelo a escala reducida (1:L). Por otra parte, el modelo, dadas sus constantes elásticas, tampoco puede soportar las tensiones que soporta el prototipo metálico en la realidad por lo que, también, es necesario elegir una escala arbitraria para reducir las fuerzas aplicadas al modelo (1-M), y la elección de este valor tiene que conducir a tensiones en el modelo inferiores a su límite elástico, conservando una semejanza rigurosa entre el prototipo y el modelo en ambos aspectos, el de la forma y dirección de aplicación de las fuerzas. Entonces: 1. La red de isoclinas es una representación exacta de las direcciones de las tensiones principales a la escala utilizada. 2. La magnitud de las tensiones en el prototipo real se deduce de las tensiones en el modelo, según: µ
= Donde: σ es la tensión en el componente real. σ
μ es la tensión en el modelo. L escala del modelo. M escala de las fuerzas aplicadas. Las limitaciones más importantes del método fotoelástico, son: a. La fotoelasticidad sólo puede resolver problemas en el campo elástico y para estados de tensión planos. b. Por tratarse de estados de tensión planos, en principio no importa el espesor del modelo. Sin embargo, conviene que el espesor sea lo más pequeño posible para tener máximo contraste. c. Dado que el modelo es pequeño, las deformaciones que experimenta en los puntos de aplicación de las cargas, son mayores que en el prototipo real, lo que puede dar lugar a una distribución de tensiones en estas zonas, que son diferentes a las del prototipo. d. Los materiales utilizados para los modelos son perfectamente elásticos, mientras que los materiales metálicos, aun trabajando por debajo del límite elástico, pueden presentar heterogeneidades locales que alteren la distribución de tensiones. Esto ocurre, todavía, con mayor influencia en materiales como el hormigón. e. El coeficiente de Poisson de los modelos respecto al acero, puede variar de 0,4 a 0,26 respectivamente. Esto supone hacer ciertas correcciones que pueden dar lugar a errores de hasta el 7%. 5. Recubrimientos fotoelásticos: Fotoelasticidad por reflexión. La idea original de la medida de tensiones en la superficie de una estructura mediante el empleo de un recubrimiento fotoelático, se atribuye a Mesnager (1930), que no consiguió materiales adecuados para estos recubrimientos. Zandman lo consiguió en 1956 desarrollando procedimientos para recubrir superficies curvas. En la figura 4 se presenta esquemáticamente un polariscopio de reflexión con láminas cuarto de onda en el que la luz pasa dos veces por el material fotoelástico con lo que el efecto, con ser delgado el recubrimiento, es doble. Las láminas cuarto de onda pueden ser usadas o retiradas. Fig. 4. fotoelasticímetro de reflexión Puesto que la distancia de observación (L) es grande, la oblicuidad α se conside ra despreciable y la compensación se puede realizar por los métodos tradicionales. La forma de transmitirse las tensiones de la estructura o componente al recubrimiento, recordemos las expresiones: d C
σ σ δ − = O, también: d k
ε ε δ − = Donde: C – Constante fotoelástica del material. k – Coeficiente óptico de deformación. d – Espesor del recubrimiento. δ – Diferencia de marcha. El subíndice r indica que las expresiones se refieren al recubrimiento y el s a la estructura. Para un estado plano de tensiones, se tiene: ) (
Donde: ) )( 1 (
σ σ ν ε ε
νσ σ νσ σ ε ε
Por tanto, se puede escribir: r
Y como en el recubrimiento, el camino de la luz es doble del espesor (d), se tendrá: d k
Que dan la diferencia de marcha en el recubrimiento. Puesto que el recubrimiento está cementado a la estructura, las deformaciones de ambos serán iguales, es decir:
ε ε ε ε = = Entonces, en la estructura se tendrá: s
Y en el recubrimiento, las tensiones serán: r
Eliminando en estas últimas ecuaciones los valores de ε
1r y ε
, que son iguales a ε
, de las ecuaciones que dan estos últimos valores, se tiene: ( ) ( )
s r s s r s
s r s s s r s
ν ν σ ν ν σ
ν ν σ σ ν ν σ
σ ν σ
Sustituyendo los valores de σ
en la ecuación d C
σ σ δ − = , resulta: | | ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 (
s r s s r s s r s s r s
C ν ν σ ν ν σ ν ν σ ν ν σ
δ − − − − − + −
= Operando, se llega a: d
= Que da la diferencia de marcha en el recubrimiento como una función de las tensiones de la estructura y en función de dos constantes de la estructura y dos del recubrimiento (E
). Finalmente en la práctica se hace uso del coeficiente óptico de deformación, por lo que eliminando C en función de k en la ecuación correspondiente, resulta: r
) 1 ( ν +
= Que introducida en la ecuación anterior, da: d
La técnica de los recubrimientos fotoelásticos conduce a una serie de problemas que pueden dar lugar a errores al examinar las estructuras. De entre ellos, los más importantes, son: 1. Efecto de borde del recubrimiento. 2. Efecto del coeficiente de Poisson. 3. Efecto del refuerzo de la estructura. Efecto de borde. El efecto de borde del recubrimiento se pone de manifiesto, debido a que la estructura transmite sus deformaciones al recubrimiento a través de tensiones cortantes, que tienen lugar en la interfase estructura-recubrimiento, y esta tensión cortante es nula en los extremos del recubrimiento, no obstante, a una distancia de este borde de unos 3 ó 4 espesores de recubrimiento, se ha comprobado que ya existe el mismo estado de tensión plano en la estructura y en el recubrimiento, por lo que no tienen validez las lecturas en estos extremos. Sin embargo, cuando en la estructura existe un orificio, entonces se tiene, que en el borde del orificio, la tensión cortante es nula en la estructura y, por lo tanto, no da lugar a efectos erróneos en el recubrimiento. Efecto del coeficiente de Poisson. La contracción lateral que experimenta el recubrimiento fotoelástico, raramente conducen a errores superiores al 4%, ya que se eligen de forma que su coeficiente de Poisson sea lo más próximo posible al del material metálico. l + ∆l l + ∆l R + ∆R l = l = 2 l R  r + ∆r  ρ   π r2  r 
∆l l+ ∆R l −1 = 2 R  ∆r   1 + r  
Lo que se ha de cumplir si ρ es constante y se considera que no varía con la deformación. Por otra parte, sabemos que la variación unitaria de Δr/r, tomada en la dirección perpendicular a Δl/l, guarda la relación:
∆r ∆l = −ν r l
Entonces la ecuación (3), la podemos poner de la forma:
∆l ∆l 1+ ∆R l −1 l = = ∆l 2 ∆l R (1 − ν ) 1 − 2ν l l 1+
∆R ∆l 1 + 2ν = ∆l R l 1 − 2ν l
∆R 1 + 2ν K= R = ∆l ∆l 1 − 2ν l l
Que es el valor de la constante de proporcionalidad entre la variación de la resistencia y la deformación y se conoce con el nombre de “coeficiente de sensibilidad de la banda extensométrica”. Puesto que el valor de Δl/l es muy peque (deformación elástica), la ecuación anterior se ño puede reducir a:
∆R K = R = 1 + 2ν = 1,66 ∆l l
Lo que indica, que el orden de K es de las unidades, para un valor estadístico medio del coeficiente de Poisson de ν = 0,33.
Puesto que los coeficientes de sensibilidad varían desde -12,0 (caso del níquel) a +5,1 (caso del platino con un 5% de iridio), hay que pensar que existen otros factores que le afectan, uno de ellos es que la resistividad varía con la deformación. Swainger utilizó un hilo de 0,025 mm de diámetro minalpha (85% Cu, 12% Mn y 3% Ni), encontrando la función de variación del coeficiente de sensibilidad con el grado de deformación (figura 2).
Fig. 2. Variación del coeficiente de sensibilidad con el grado de deformación. A la vista de los resultados, propuso someter al alambre a una deformación previa del 2%, de forma que luego el alambre de esta aleación respondiera con un valor de K constante (desde A hasta B), obsérvese que la función en este intervalo es casi constante. 2. Características eléctricas: sensibilidad. Anteriormente se ha definido un coeficiente de proporcionalidad entre la variación de la resistencia y la deformación denominado coeficiente se sensibilidad (K), de la forma:
Se puede deducir una expresión más exacta para K, teniendo en cuenta que la resistividad varía con la deformación. Para ello, se parte de la expresión que da la resistencia del hilo sin deformar y se calcula la derivada logarítmica que da directamente las variaciones unitarias, es decir:
log R = log ρ + log l − log S
Como S = πr2 y log S = log π+2log r. Entonces:
log R = log ρ + log l − log π − 2 log r
Diferenciando, se tendrá:
dR dρ dl dr = + −2 r R ρ l
Para hilos cilíndricos:
dl l dl dr = l r
e y = −ν
La ecuación anterior quedará de la forma:
dR dρ dl dl dρ dl = + + 2ν = + (1 + 2ν ) R l l l ρ ρ
Bridgman (1929), encontró que para un metal sometido a un sistema hidrostático, la variación de la resistividad venía expresada de la forma:
Si se considera válida esta relación lineal para la variación de la resistividad del hilo de la banda extensométrica y, recordando que:
dV = ex + e y + ez V e y = e z = −νe x
dV dl = e x (1 − 2ν ) = (1 − 2ν ) V l
= C (1 − 2ν )
El valor experimental hallado por Bridgman fue C = 1,13 (para el constantan) y, tomando como valor para ν = 0,3, resulta: K = 2,11 Estando el valor medio entre 2 y 2,1. 3. Coeficiente de sensibilidad transversal. El coeficiente de sensibilidad fue definido anteriormente para la dirección x (dirección preferente del devanado) (figura 3).
Fig. 3. Bucle en el devanado de la banda. Ocurre que en los extremos de los bucles hay un trozo de hilo dispuesto en la dirección y (figura 3) y que, por tanto, es sensible a la deformación ey siendo preciso conocer tal influencia. Si una banda extensométrica presenta unas respuestas lineales, su sensibilidad dependerá de la dirección, por tanto:
∆R = K x e x + K y e y = ( K x − νK y )e x R
∆R R = K = ( K − νK ) = K (1 − ν K y ) x y x ex Kx
La relación Ky/Kx, es del orden del 2,5%, por lo que K es un 0,7% más pequeño que Kx. En realidad el verdadero valor de K exige el conocimiento de Kx y Ky, para lo cual es necesario cementar una banda y medir:
 ∆R   R    e y =0 ex
 ∆R   R    ex =0 ; Ky = ey
La variación de la temperatura afecta a la banda extensométrica a través de dos efectos: a. Variando la resistividad del material metálico del hilo. b. Mediante un efecto diferencial de dilatación entre el hilo de la banda y la del material estructural sobre la que está cementado. Para analizar estos dos efectos, consideremos que: β – Coeficiente de variación de la resistencia de la banda con la temperatura. αo – Coeficiente de dilatación térmico del hilo de la banda. αm – Coeficiente de dilatación térmico del material soporte. Se pretende encontrar una relación sencilla, que proporcione:
∆R = α θ ∆t R
Donde αθ es un coeficiente global cuyo valor es:
Cuando se eleva la temperatura del hilo de la banda. éste aumenta su longitud y su diámetro en la misma proporción y los nuevos valores. Influencia de la dilatación del hilo y su influencia en la resistividad. será:
' ∆l ' = l m − l = l 0 (1 + α m ∆t ) − l 0 (1 + α 0 ∆t )
∆V = 3Cα 0 ∆t V
Si sustituimos Δl/l0 y Δρ/ρ en la ecuación que da la variación unitaria de la resistencia:
∆R ∆ρ ∆l ∆r = + −2 R l ρ r
∆R = 3α 0 C∆t + α 0 ∆t − 2α 0 ∆t = 3α 0 C∆t − α 0 ∆t R ∆R (5) = α 0 (3C − 1)∆t R
Efecto diferencial de dilatación. será:
' l m = l 0 (1 + α m ∆t )
' l 0 = l + ∆l '
En este caso. será:
l = l 0 (1 + α 0 ∆t )
La longitud final del metal soporte con la dilatación. transversal y global. La longitud final del hilo con la dilatación. que es:
Ya que ΔV/V = 3α0 . el metal soporte arrastrará a la banda cementada en una longitud y su valor Δl’. serán:
l = l 0 (1 + α 0 ∆t ) .α θ = β + ( K x + K y )(σ m − α 0 ) = β + K (α m − α 0 )
Siendo Kx. Ky y K los coeficientes de sensibilidad longitudinal.
∆l = α 0 ∆t l0
 ∆l  ∆r   =   = α 0 ∆t   l   0  ∆t  r  ∆t
Teniendo en cuenta la ecuación de Bridgman.
se puede conocer la deformación del soporte de la banda mediante:
1 ∆R Kx R
Esto se puede hacer. pero que no esté sometida
. mediante un puente de Wheatstone siempre que la banda sea una de las ramas activas del puente. también. Puente de Wheatstone con un extensímetro como rama activa. Puesto que la modificación de la resistencia de una banda puede ser fácilmente medida y la sensibilidad la proporciona el fabricante. entonces:
∆l ' = l 0 (α m − α 0 )∆t ∆l ' = (α m − α 0 )∆t l0
∆R = K (α m − α 0 )∆t = ( K x + K y )(α m − α 0 )∆t R
Comparando las ecuaciones (5) y (6). La variación de resistencia desequilíbrale puente cuando se produce una deformación del material soporte (figura 4). se puede corregir este efecto utilizando una segunda banda cementada sobre una chapa del mismo material.Puesto que l 0 = l 0 . 5.
Fig. 4. Compensación del efecto de la temperatura. se tendrá:
α θ = α 0 (3C − 1) + ( K x + K y )(α m − α 0 )
Expresión para el coeficiente global de temperatura que engloba los dos efectos de la temperatura. Si la deformación es aparente y debida a la temperatura.
Compensación del efecto de la temperatura con bandas autocompensadas.a carga (en la que se de la misma temperatura). La diferencia de temperatura que se puede dar entre los extremos de la banda y el cable de conducción que la une al equipo de medida. y con la deformacisolamente ón variará R. Ya que la resistencia original es R + r. Efecto termoeléctrico y desensibilidad de línea. En la figura 5 se aprecia como se compensan los dos hilos. 6. Puesto que la banda ha de estar conectada al equipo de medida. El error absoluto será. resulta:
∆R r = m(1 + ) R R
Naturalmente. la banda de resistencia R que estará unida al equipo de medida mediante un conductor de resistencia r. lo que se mide no es ΔR/R sino ΔR/(R+r) = m. si se trata de un conjunto de bandas que se conmutan para conocer la evolución de las tensiones en una estructura. en este caso:
∆R −m R
∆R −m mR R = ε% = 1− ∆R ∆R R
. formará parte del puente pero de forma que su efecto sea contrario al de la primera banda. Otra forma de compensar el efecto de la temperatura es construir la banda con hilos de dos aleaciones cuyos coeficientes de dilatación se compensen. 5. entonces:
∆R = m( R + r )
Dividiendo por R. Efecto del espesor y otros efectos. Esta segunda banda. Desensibilidad de línea. puede dar lugar a una fuerza electromotriz que desequilibra el puente y da lugar a deformaciones ficticias. la necesidad de efectuar esta como otras correcciones depende del grado de error con que se trabaje.
dando una señal integrada de la deformación en una longitud igual a la activa de la banda. y que habrá que tomar muchas precauciones. los umbrales de medida equivalen para el acero (E = 21000 kg/mm2). sino del empleo de las bandas. ya que de tener del orden de 100 Ω. ya que la medida dura una milésima de segundo o menos. un alargamiento de 5 μm en 1 mm. por lo que hay que tener en cuenta que cuando en una superficie
. las tensiones medibles estarían entre 7 ge/mm2 hasta 35 kg/mm2. la elección de una banda plantea. para no forzar demasiado la sensibilidad de los equipos de medida. Las bandas óhmicas sólo miden deformaciones superficiales a partir de las cuales se pueden conocer las tensiones superficiales (estados de tensión planos). Es evidente que el tamaño de una banda depende de la resistividad de su aleación. en pequeños componentes o partes de la estructura en los que se den fuertes gradientes de tensión o de deformación. Los límites de la mínima deformación medible no depende de los equipos eléctricos o electrónicos usados. Con aleaciones de alta resistividad. desde 21 gr/mm2 a 105 kg/mm2.
Fig. Para un duraluminio. hay que tener en cuenta dos hechos tan sencillos como fundamentales: 1. tener en cuenta el coeficiente de temperatura. no será importante. El efecto del espesor se ve fácilmente cuando se desea medir la deformación en un elemento a flexión (figura 6). Finalmente. Es evidente que a medida que aumenta el espesor del cemento. 2.10-3. por tanto.Efecto del espesor. Todos los fabricantes de bandas proporcionan datos de las bandas y la elección es sencilla. Por otra parte. Resumiendo estos dos aspectos. 7. o sea. conviene reparar que supone un alargamiento de 10Ǻ en un mm. estas integran las deformaciones a lo largo de su longitud sensible. y en este tiempo no se producen cambios de temperatura.. nos separamos de la línea neutra y. por ejemplo. 6. transitorios de elevada frecuencia. Para tensiones uniaxiales. El límite superior está determinado por el límite elástico del alambre y es del orden de 5. Puesto que las bandas no son puntuales. Para ensayos dinámicos. a veces. mientras que en ensayos dinámicos se puede soslayar este efecto y ganar máxima sensibilidad. Con buenos equipos. el límite inferior o umbral de medida es de Δl/l = 10-6. sobre todo. diremos que en medidas estáticas hay que sacrificar sensibilidad para ganar estabilidad de la resistencia como función de la temperatura. una situación de compromiso entre diversos factores y la aplicación a la que se va a destinar una banda. sin embargo. Elección de bandas óhmicas. etc. se tendrán bandas extensométricas pequeñas y de buena sensibilidad. Este tipo de banda se utilizará. Efecto del espesor en las medidas extensométricas. la deformación que registrará la banda cada vez será mayor.
la banda registrará el valor de ε1.
. Interpretación de las lecturas de extensímetros eléctricos.pequeña de una pieza hay fuertes gradientes de tensiones. 8. Determinación de tensiones: Tensión uniaxial. εb y εc en direcciones ε conocidas (figura 7). en el caso de que se desconozcan las direcciones principales. será necesario el planteamiento de tres ecuaciones y el uso de tres extensímetros. Deformaciones principales: Método algebraico. la banda ha de ser lo más pequeña posible. sólo tiene sentido cuando se conoce una dirección principal de deformación por consideraciones de simetría de la pieza y de la carga aplicada. pero no el valor de ε2 y ε3. después de cementada la banda y sometido a tensiones el metal soporte.. Veamos como se pueden calcular las deformaciones principales y sus direcciones a partir de las deformaciones medidas por los extensímetros cementados en direcciones cualesquiera. ε2 y θ. θ – Ángulo que forma el eje activo de la banda con la dirección principal 1. que proporcionarán tres medidas de deformación a. Entonces. Puesto que se trata de averiguar tres incógnitasε 1. habrá que averiguar 3 datos: ε1 – Deformación principal máxima. 9. que serán:
ε 2 = −νε 1 ε 3 = −νε 1 ε1 = −
Si el estado de tensión es uniaxial. esta experimenta una variación de resistencia. ε2 – Deformación principal mínima. El empleo de una sola banda. En general.
1 ∆R K R
σ 1 = ε1E =
E ∆R K R
Naturalmente. La deformación vendrá dada por:
∆l 1 ∆R =e= l K R
El problema que se plantea es la media de ΔR/R con equipos calibrados.
Fig. α y β son conocidos y ás su valor depende del tipo de roseta empleado. son:
1 (ε a − ε b )2 + (ε b − ε c )2 2 1 (ε a − ε b )2 + (ε b − ε c )2 2
. con tres bandas formando ángulos α y β entre si. Analizaremos. a continuación. Rosetas equiangulares o en delta (rosetas a 120º). Rosetas rectangulares. Rosetas rectangulares (rosetas a 45º).
α = 45º β = 90º
Las ecuaciones que relacionan las deformaciones dadas por las tres bandas. ε2 y θ. 7. con las deformaciones principales y las direcciones principales. En el caso m general. Partiendo de una ecuación básica para estados de deformación planos:
ε a = ε 1 sen 2ϕ + ε 2 cos 2 ϕ
2ε a = 2(ε 1 cos 2 ϕ + ε 2ϕ )
Como θ = 90 – φ. Sea una roseta cualquiera (roseta. sin embargo. expresando la última ecuación en función del ángulo doble. son:
1 1 (ε1 + ε 2 ) + (ε1 − ε 2 ) cos 2θ 2 2 1 1 ε b = (ε1 + ε 2 ) + (ε1 − ε 2 ) cos 2(45 − θ ) 2 2 1 1 ε c = (ε1 + ε 2 ) + (ε1 − ε 2 ) cos 2(90 − θ ) 2 2
ε 1 = (ε a + ε b ) + ε 2 = (ε a + ε b ) −
Y las direcciones principales. conjunto de tres extensímetros montados sobre un mismo soporte). 2. se tendrá:
1 [(ε 1 + ε 2 ) + (ε 1 − ε 2 ) cos 2θ ] 2
1 [(ε 1 + ε 2 ) + (ε 1 − ε 2 )cos 2(α − θ )] 2 1 ec = [(ε 1 + ε 2 ) + (ε 1 − ε 2 ) cos 2(β − θ )] 2
La resolución de este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas da ε1. dos casos concretos: 1. Bandas extensométrica cementadas en tres direcciones cualesquiera. se desconoce θ.
b. Desde N y en la dirección C se lleva ec encontrándose el punto P. Métodos tabulares. Construcción gráfica para rosetas equiangulares. 2. 3. para conocer las deformaciones y direcciones principales. c. Métodos algébricos. que son de una aplicación mucho más sencilla. Estos métodos los podemos clasificar en tres grupos: a.
. Desde M y en la dirección B se lleva eb. con las deformaciones principales y las direcciones principales. Los métodos algébricos ya los hemos visto y a continuación veremos los métodos geométricos. las ecuaciones que relacionan las medida obtenidas en las bandas. Métodos geométricos en extensometría eléctrica.
α = 120º β = 240º
Para este caso particular. Se traza una recta que represente a la dirección A de la banda correspondiente. La construcción geométrica para rosetas equiangulares es la siguiente: 1.tag 2θ = 1 2
2ε b − (ε a + ε c ) εa −εc 2ε b − (ε a + ε c ) εa −εc
Rosetas a 120º. son:
1 (ε1 + ε 2 ) + 1 (ε1 − ε 2 ) cos 2θ 2 2 1 1 ε b = (ε1 + ε 2 ) + (ε1 − ε 2 ) cos 2(120 − θ ) 2 2 1 1 ε c = (ε1 + ε 2 ) + (ε1 − ε 2 ) cos 2(240 − θ ) 2 2
Y la solución del sistema de ecuaciones es:
1 (ε a + ε b + ε c ) + 1 2 (ε a − ε b )2 + (ε b − ε c )2 + (ε c − ε a )2 3 3 1 1 2 2 2 2 (ε a − ε b ) + (ε b − ε c ) + (ε c − ε a ) ε 2 = (ε a + ε b + ε c ) − 3 3 3 (ε b − ε c ) tag 2θ = 2ε a − (ε b + ε c )
10. Desde un punto arbitrario O se lleva el valor ea y se encuentra el punto M (figura 8). encontrándose el punto N. Existen varios métodos que tratan de evitar los laboriosos cálculos que plantean la aplicación de rosetas y la resolución de las ecuaciones. Métodos geométricos.
Se unen mediante una recta los puntos P y R. las ecuaciones que relacionan las lecturas con las deformaciones principales y direcciones principales para una roseta equiangular. 2. B y C a partir de un eje OY ortogonal a ellos (figura 9). SU es el radio de la circunferencia de Mohr. 3.Se une O con P y el ángulo POM = 2θ. Funciones tabulares para rosetas equiangulares Como hemos visto anteriormente. Además se tiene:
Con estos últimos valores se puede calcular ε 1 y ε2 y construir la circunferencia de Mohr. Se traza la circunferencia de Mohr y se pueden obtener directamente las deformaciones principales y las direcciones principales. encontrándose el punto U. Método tabular. Se trazan tres ejes paralelos equidistantes A. Se llevan los valores de εa. encontrándose el punto T. Representación geométrica para rosetas equiangulares. 5.
Construcción gráfica para rosetas a 45º. haciendo uso de tablas.
ε1 = C + R ε2 = C − R
Fig. Q y R. Se traza una paralela a OY por P. 8. 4. εb y εc sobre los tres ejes anteriores y se obtienen los puntos P. 11. Es un método rápido y sencillo para determinar las deformaciones y direcciones principales. La dirección principal 1 se encuentra llevando el valor de θ desde ea en el sentido de las agujas del reloj. son:
. Desde T se lleva la longitud SQ. Para obtener las deformaciones principales y direcciones principales gráficamente se debe proceder según los siguientes pasos: 1. obteniéndose el punto S.
1 (ε 1 + ε 2 ) + 1 (ε 1 − ε 2 )cos 2θ 2 2 1 1 ε b = (ε 1 + ε 2 ) + (ε 1 − ε 2 ) cos 2(120 − θ ) 2 2 1 1 ε c = (ε 1 + ε 2 ) + (ε 1 − ε 2 ) cos 2(240 − θ ) 2 2
Donde θ es elángulo que forma la dirección principal 1 con la dirección A de una de las bandas. se llega a la expresión:
2 (ε a − ε b ) + (ε a − ε c ) + (ε b − ε c ) = 9 R 2
ε a = C + R cos 2θ ε b = C + R cos 2(120 − θ ) ε c = C + R cos 2(240 − θ )
Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones anteriores. Las ecuaciones anteriores se pueden reducir si se las expresa en función del centro y radio de Mohr.Fig. queda de la forma:
ε a = C + Rp
 p  3 1− p2  − 2  2   p  3 1− p2  ε c = C + R − + 2  2 
ε b = C + R −
Combinando las dos últimas ecuaciones y eliminando p con la primera. resulta:
Haciendo p = cos 2θ. Determinación gráfica de las deformaciones y direcciones principales para rosetas rectangulares. el sistema de ecuaciones anterior. 9.
.94 0.11 0.07 0.93 0.663358 0424 0101
7213 0.001.627835 5246 2718 0250 0.82 0.16 0.88 0.647593 4898 1955 4601 1664
9069 0.617845 5503 3224 1010 1 6333 3030 9778 6577 3428 0333 7292 4305 1373 8498 5680 2919 0217 7574 4991 2468 0007 7608 5272 3000 0792 2 6001 2702 9455 6260 3117 0027 6991 4009 1083 8214 5401 2646 9950 7313 4736 2219 9764 7372 5042 2776 0575 3 5668 2375 9133 5943 2805 9721 6690 3714 0794 7930 5123 2374 8683 7052 4481 1971 9522 7136 4813 2553 9358 4 5337 2049 8812 5627 2494 9415 6390 3420 0505 7647 4845 2102 9418 6792 4227 1723 9218 6901 4584 2331 0142 5 5006 1723 8491 5311 2184 9110 6090 3126 0217 7364 4569 1831 9152 6533 3974 1476 9040 6666 4356 2109 9927 6 4675 1397 8171 4996 1874 8806 5791 2839 9929 7082 4292 1561 8888 6275 3722 1230 8800 6432 4128 1888 9712 7 4345 1072 7851 4681 1565 8502 5493 2539 9641 6800 4016 1291 8624 6017 3470 0984 8560 6199 3901 1667 9498 8 4016 0748 7532 4367 1256 8198 5195 2247 9355 6519 3741 1021 8360 5759 3218 0739 8321 5966 3675 1447 9285 9 3687 0.12 0.87 0.05 0.98 0.09 0.85 0.81 0. lo que se tabula es:
εc − εb εa − εb
2 2 x − x +1 3
Para valores de la variable comprendidos ente 0 ≤ x ≤ 1 a intervalos de Δx = 0.656895 4054 0948 3741 0640
7896 0. es posible presentarla mediante entrada de doble columna (Tabla 1).08 0.96 0.20 0 0.97 0.627835 5502 2968 0434 5246 2718 0250
8083 0.638783 6239 3467 0753 5959 3193 0484
8098 0.84 0.89 0.00 0.
x 0.19 0.80 0.18 0.14 0. sacando factor común la diferencia mayor.647593 4601 1664 0.617845 5734 3449 1228 5503 3224 1010
9072 0.83 0.92 0.02 0.15 0. se obtiene:
Donde la variable de entrada es:
2 (ε a − ε b ) x 2 − x + 1 3
En la función que da el radio.17 0.91 0.10 0.13 0.638783 5959 3193 0484 0.03 0. Aprovechando que la función tabular es simétrica.En esta última ecuación.99 0.86 0.95 0.04 0.90 0.06 0.656895 3741 0640 0.01 0.666666 3358 0101 0.
589689 8497 7242 6060 4952 3918 2958 2073 1263 0528 8368 7121 5946 4845 3818 2866 1988 1186 0459
9870 0.52 0.51 0.65 0.40 0.61 0.33 0.64 0.38 0.71 0.78 0.45 0.72 0.75 0.599110 7536 5852 4239 2696 1225 7364 5682 4081 2546 1081
9825 0.28 0.30 0.29 0. La función tabular para el cálculo de la tabla que permite el conocimiento del ángulo θ.24 0.54 0.59 0.58 0.49 0.50 x
0.47 0.41 0.66 0.62 0.60 0.67 0.69 0.26 0.43 0.42 0.23 0.36 0.25 0.70 0.35 0. se puede determinar también a partir de las ecuaciones anteriores restando a la tercera de las ecuaciones la segunda:
.589689 8368 7121 5946 4845 3818 2866 1988 1186 0459 0.77 0.34 0.56 0.48 0.63 0.76 0.74 0.37 0.599110 7364 5682 4081 2546 1081 0.21 0.53 0.73 0.579808 9387 8780 8350 7996 7720 7520 7396 7350 1 9233 8734 8311 7965 7696 7504 7388 7350 0
Tabla 1.39 0.79 0.27 0.55 0.0.608860 6776 4758 2808 0925 0.57 0.31 0.32 0.44 0.68 0.46 0.579808 9233 8734 8311 7965 7696 7504 7388
8649 6571 4560 2616 0740 8932 7193 5524 3925 2396 0939 9553 8240 7000 5833 4739 3720 2775 1905 1110 0391 9747 9179 8688 8273 7935 7673 7489 7381 9
8438 6367 4363 2426 0556 8755 7023 5361 3769 2247 0797 9419 8113 6880 5720 4634 3622 2685 1822 1035 0323 9687 9127 8643 8236 7905 7652 7475 7374 8
8228 6164 4166 2236 0373 8579 6854 5198 3613 2099 0656 9285 7986 6761 5608 4529 3525 2595 1740 0960 0256 9627 9075 8599 8199 7877 7630 7461 7369 7
8019 5961 3970 2046 0191 8403 6685 5037 3459 1952 0516 9152 7860 6642 5497 4426 3428 2506 1658 0888 0190 9569 9024 8556 8164 7848 7610 7448 7364 6
7810 5759 3775 1558 0009 8228 6517 4876 3305 1805 0376 9019 7735 6524 5386 4323 3338 2418 1578 0813 0124 9511 8974 8513 8129 7821 7590 7436 7359 5
7602 5558 3580 1670 9828 8054 6350 4716 3152 1659 0237 8888 7611 6407 5277 4220 3238 2330 1498 0741 0059 9454 8924 8471 8095 7795 7571 7425 7356 4
7394 5357 3386 1483 9617 7881 6183 4556 2999 1513 0099 8757 7487 6291 5168 4119 3144 2244 1419 0669 9995 9397 8875 8430 8061 7769 7553 7415 7353 3
7188 5157 3193 1296 9467 7708 6017 4397 2847 1369 9962 8627 7364 6175 5059 4018 3051 2158 1341 0598 9932 9342 8827 8390 8028 7744 7536 7405 7351 2
6982 4957 3000 1110
6776 4758 2808 0925
9288 0.22 0.
En la figura 10 se presentan las funciones tabulares para R y θ.7 0. 10 Representación de la función para el cálculo del radio de Mohr y orientaciones principales.
Fig.2 0. la variación del ángulo es casi lineal según θ ≈ 30x. resulta:
θ = arc.1 0. Funciones tabulares para rosetas rectangulares.ε c − ε b = 3Rsen2θ
Despejando θ y sustituyendo el valor del radio por su función. Puede apreciarse que de la forma de la curva (2). las ecuaciones que relacionan las deformaciones medidas con las deformaciones principales y direcciones principales.9 0 0º00’ 2º36’ 5º27’ 8º30’ 11º42’ 15º00’ 18º18’ 21º30’ 24º33’ 27º17’ 1 0º15’ 2º53’ 5º45’ 8º49’ 12º02’ 15º20’ 18º37’ 21º49’ 24º51’ 27º24’ 2 0º30’ 3º01’ 6º03’ 9º08’ 12º21’ 15º39’ 18º57’ 22º08’ 25º06’ 27º40’ 3 0º45’ 3º26’ 6º21’ 9º27’ 12º41’ 16º00’ 19º16’ 22º26’ 25º26’ 28º12’ 4 1º00’ 3º43’ 6º39’ 9º50’ 13º01’ 16º19’ 19º35’ 22º45’ 25º43’ 28º28’ 5 1º16’ 4º00’ 6º57’ 10º05’ 13º21’ 16º39’ 19º55’ 23º03’ 26º02’ 28º44’ 6 1º32’ 4º17’ 7º15’ 10º25’ 13º41’ 16º59’ 20º14’ 23º21’ 26º17’ 28º59’ 7 2º06’ 4º35’ 7º32’ 10º44’ 14º05’ 17º19’ 20º33’ 23º40’ 26º34’ 29º15’ 8 2º14’ 4º52’ 7º52’ 11º04’ 14º20’ 17º38’ 20º52’ 23º58’ 26º51’ 29º30’ 9 2º20’ 5º09’ 8º11’ 11º29’ 14º40’ 17º58’ 21º11’ 24º15’ 27º07’ 29º45’
Tabla 2.sen
x x2 − x +1
Cuya función se encuentra tabulada en la tabla 2 para incrementos de la variable = 0.0 0. son:
x 0.01en el mismo Δx campo de valores de 0 ≤ x ≤ 1. En este caso.4 0.3 0.8 0.5 0.
las tres ecuaciones anteriores. se pueden escribir:
ε a = C + Rq εb = C + R 1− q ε c = C − Rq
Eliminando q en el sistema. se tiene:
1 (ε b − ε a ) 2 + 2 y 2 2
εb − εc εb − εa
De esta función.707106 7142
1 7107 7149
2 7108 7157
3 7110 7167
4 7112 7176
5 7115 7186
6 7119 7197
7 7124 7209
8 7129 7221
y 9 0.1 1 2 2 1 1 ε b = (ε 1 + ε 2 ) + (ε 1 − ε 2 ) senθ 2 2 2 1 1 ε c = (ε 1 + ε 2 ) − (ε 1 − ε 2 ) cos 2θ 2 2
ε a = (ε 1 + ε 2 ) + (ε 1 − ε 2 ) cos 2θ
Expresando nuevamente el sistema en función del centro y radio de Mohr.00 7135 0. que nos proporciona el radio de Mohr. resulta:
ε a = C + R cos 2θ ε b = C + Rsen2θ ε c = C − R cos 2θ
Sumando la primera y tercera de las ecuaciones. la parte que se tabula es:
1 2 + 2y2 2
El intervalo de valores es 0 < y < 1 y con incrementos de Δy = 0. resultará:
2 (ε b − ε a ) + (ε b − ε c ) = 4 R 2
Sacando factor común la diferencia mayor. se obtiene:
εa + εc 2
Haciendo q = cos 2θ. y cuyos resultados de presentan en la tabla 3.01
15 5989 0.04 7955 0.710633 1271 2179 3056 4002 5017 6100 7251 8470 9756 0.06 8788 0.7234 0.11 2095 0.19 0971 0.13 3905 0.32 4392 0.721110 2530 4016 5568 7186 8869 0.27 4112 0.33 6632 0.31 2213 0.12 2966 0.28 6043 0.14 4912 0.10 1294 0.08 9901 0.22 5410 0.20 2385 0.34 8932
7248 7424 7672 7990 8378 8837 9365 9964 0.26 2248 0.30 0094 0.29 8038 0.02 7404 0.09 0563 0.16 7133 0.03 7644 0.21 3865 0.24 8697 0.05 8336 0.23 7021 0.25 0438 0.18 9625 0.17 8345 0.07 9309 0.740304 2428 4614 6860
7262 7446 7700 8025 8421 8886 9422 0028 0704 1449 2264 3148 4101 5122 6212 7370 8596 9889 1249 2675 4168 5727 7351 9040 0794 2612 4493 6437 8444 0513 2644 4835 7088
7277 7468 7730 8062 8464 8937 9480 0093 0775 1527 2349 3240 4200 5228 6325 7490 8722 0022 1388 2822 4321 5887 7517 9213 0973 2797 4685 6635 8648 0724 2850 5058 7316
7293 7491 7760 8099 8508 8988 9538 0158 0847 1607 2435 3333 4300 5335 6438 7610 8849 0155 1529 2969 4475 6047 7684 9386 1152 2983 4877 6834 8853 0934 3077 5281 7545
7310 7515 7790 8137 8553 9040 9597 0223 0920 1686 2522 3426 4400 5442 6552 7731 8977 0290 1670 3116 4629 6208 7851 9560 1333 3169 5070 7033 9058 1146 3295 5505 5775
7327 7539 7822 8175 8599 9092 9656 0290 0994 1767 2609 3521 4501 5550 6667 7852 9105 0425 1812 3265 4784 6369 8019 9734 1513 3357 5263 7233 9264 1358 3532 5729 8005
7345 7564 7854 8214 8645 9146 9716 0357 1068 1848 2697 3616 4603 5659 6783 7974 9234 0560 1954 3414 4940 6531 8188 9908 1695 3544 5457 7433 9417 1571 3751 5954 8236
7364 7590 7887 8254 8692 9199 9777 0425 1143 1930 2786 3711 4705 5768 6899 8097 9364 0697 2097 3563 5096 6694 8357 0085 1877 3733 5652 7634 9678 1784 3951 6170 8468
7383 7617 7920 8295 8739 9254 9839 0494 1218 2012 2875 3808 4809 5878 7016 8221 9494 0834 2241 3714 5253 6857 8527 0261 2060 3922 5847 7836 9886 1998 4172 6406 8700
.730616 2427 4302 6240 8241 0.
52 9950 0.47 4041 0.63 9142 0.40 3963 0.46 1012 0.42 9428 0.44 5113 0.51 6668 0.851146 5102
9400 1771 4201 6690 9236 1840 4500 7216 9987 2813 5693 8627 1614 4653 7743 0885 4078 7320 0612 3953 7341 0777 4260 7790 1365 4985 8649 2358 6110 9905 3742 7620 1540 5500
9634 2012 4448 6942 9494 2103 4769 7490 0267 3099 5984 8923 1915 4959 8055 1202 4400 7647 0944 4289 7683 1123 4611 8145 1725 5399 9018 2731 6487 0286 4128 8010 1934 5898
9869 2262 4695 7195 9752 2357 5038 7765 0548 3385 6276 9220 2217 5267 8368 1520 4722 7975 1276 4626 8025 1470 4962 8501 2085 5714 9388 3105 6865 0669 4514 8401 2328 6297
0105 2494 4942 7448 0011 2632 5309 8041 0829 3671 6568 9517 2520 5574 8681 1838 5045 8303 1609 4964 8367 1817 5314 8857 2446 6097 9757 3479 7244 1051 4901 8792 2723 6696
0341 2736 5190 7702 0271 2897 5579 8318 1111 3959 6860 9815 2823 5883 8994 2156 5369 8631 1943 5302 8710 2165 5666 9214 2807 6445 0128 3854 7623 1434 5288 9183 3119 7095
0578 2979 5438 7956 0531 3163 5851 8594 1393 4246 7153 0114 3127 6192 9308 2475 5693 8960 2276 5641 9053 2513 6019 9571 3169 6811 0498 4229 8002 1818 5676 9575 3515 7495
0815 3222 5688 8211 0792 3429 6123 8872 1676 4535 7447 0413 3431 6501 9623 2795 6017 9290 2611 5980 9397 2861 6372 9920 3531 7178 0869 4604 8382 2202 6064 9967 3911 7895
1053 3466 5937 8466 1053 3695 6395 9150 1959 4823 7741 0712 3735 6811 9938 3115 6342 9619 2945 6320 9741 3210 6726 0287 3894 7545 1241 4980 8762 2586 6452 9359 4307 8296
.800281 3616 7000 0.821005 4621 8281 0.48 7121 0.790569 3756 6994 0.38 8722 0.60 7913 0.36 3711 0.843356 7230 0.781313 4346 7432 0.45 8036 0.50 3435 0.41 6668 0.65 6841 0.56 3560 0.35 1292 0.61 1613 0.772528 5403 8331 0.751531 3956 6439 8979 0.49 0253 0.64 2971 0.57 7080 0.59 4257 0.58 0646 0.68
9166 0.810432 3910 7435 0.55 0086 0.66 0752 0.67 4704 0.54 6660 0.761577 4231 6942 9707 0.62 5356 0.37 6188 0.53 3281 0.831935 5733 9523 0.0.43 2243 0.39 1315 0.
72 5054 0.99 9500
9098 0.74 3459 0.98 4515 0.71 0907 0.863133 7208 0.923471 8035 0.932630 7256 0.970463 5320 0.86 6792 0.83 3017 0.91 0354 0.8697 0.75 7716 0.87 1446 0. se halla a partir de la segunda de las ecuaciones en función del centro y radio de Mohr.90 5583 0.980204 5114 0.892440 6772 0.70 6799 0.951314 6059 0.94 4833 0.960833 5634 0.73 9238 0.941912 6599 0.871320 5471 9659 0.901138 0.97 9555 0.82 8488 0.905538 9972 0.96 4622 0.76 2009 0.92 5153 0.80 9527 0.77 6337 0.84 7577 0.883883 8144 0.88 6129 0.78 0700 0.89 0842 0.
.95 9714 0.914439 8939 0.85 2169 0.69 2728 0.93 9979 0.79 5097 0.990050 5012
9500 3539 7610 1734 5883 0079 4307 8572 2872 7207 1576 5980 0417 4888 9391 3926 8493 3091 7720 2389 7069 1788 6535 1311 6116 0948 5807 0693 5606 0545 5510
9902 3945 8027 2147 6305 0501 4732 9000 3304 7642 2015 6422 0863 5337 9843 4382 8952 3553 8185 2847 7540 2261 7012 1791 6598 1433 6295 1184 6009 1040 6005
0304 4352 8438 2562 6723 0922 5157 9429 3736 8078 2454 6865 1309 5786 0295 4837 9410 4015 8650 3315 8010 2735 7488 2270 7080 1917 6782 1674 6592 1536 6506
0707 4758 8848 2976 7141 1344 5583 9858 4168 8514 2894 7308 1755 6235 0748 5293 9869 4477 9115 3783 8481 3209 7965 2750 7562 2403 7270 2165 7085 2032 7004
1111 5166 9256 3391 7560 1766 6009 0287 4601 8950 3334 7751 2202 6685 1201 5749 0329 4939 9581 4252 8953 3683 8442 3230 8045 2888 7758 2655 7579 2528 7503
1514 5573 9671 3806 7979 2189 6435 0717 5035 9387 3774 8194 2648 7135 1655 6206 0788 5402 0046 4721 9425 4158 8920 3710 8528 3374 8247 3247 8072 3034 8002
1919 5981 0083 4222 3398 2612 6862 1147 5468 9824 4214 8638 3096 7586 2108 6662 1248 5865 0512 5190 9897 4633 9398 4191 9012 3860 8736 3638 8566 3521 8501
2323 6390 0495 4638 8818 3035 7289 1578 5902 0262 4655 9083 3543 8037 2561 7120 1709 6329 0979 5659 0369 5108 9876 4272 9495 4347 9225 4130 9061 4018 9000
Tabla 3 El ángulo en función de la variable y.81 3991 0.
2 14º25’ -0.
.8 1º40’ -0.0 -0.0 19º56’ +0.4 9º27’ -0.
y 9 -1.sen2θ =
εb − C
Introduciendo en esta última ecuación las funcionesn del radio.6 5º12’ -0.6 39º48’ +0.0 25º04’ +0.7 3º21’ -0.4 35º33’ +0.9 0º09’ -0.5 7º14’ -0.5 37º46’ +0.8 43º20’ +0.2 30º35’ +0.3 11º51’ -0.1 17º07’ -0.01.sen 2 2 + 2y2
En la tabla 4 se da el valor de los ángulos para el intervalo de valores comprendido entre -1 < y <1 y para incrementos de Δy = 0.3 33º09’ +0.0 0 0º0’ 1º30’ 3º11’ 5º00’ 7º01’ 9º13’ 11º36’ 14º09’ 16º51’ 19º39’ 22º30’ 22º30’ 25º21’ 28º09’ 30º51’ 33º24’ 35º47’ 37º59’ 40º00’ 41º50’ 43º30’ 45º00’ 1 2 3 4 5 6 7 8
1º21’ 3º00’ 4º49’ 6º49’ 8º59’ 11º21’ 13º56’ 16º34’ 19º22’ 22º13’ 22º47’ 25º38’ 28º26’ 31º07’ 33º39’ 36º01’ 38º12’ 40º11’ 42º00’ 43º39’
1º12’ 2º50’ 4º37’ 6º36’ 8º46’ 11º07’ 13º38’ 16º18’ 19º05’ 21º58’ 23º04’ 25º55’ 28º42’ 31º22’ 33º54’ 36º14’ 38º24’ 40º23’ 42º11’ 43º48’
1º02’ 2º39’ 4º26’ 6º24’ 8º32’ 10º52’ 13º22’ 16º01’ 18º48’ 21º39’ 23º22’ 26º12’ 28º59’ 31º38’ 34º08’ 36º28’ 38º36’ 40º34’ 42º21’ 43º58’
0º53’ 2º29’ 4º15’ 6º11’ 8º19’ 10º38’ 13º07’ 15º45’ 18º31’ 21º21’ 23º39’ 26º29’ 29º15’ 31º53’ 34º23’ 36º41’ 38º49’ 40º45’ 42º31’ 44º07’
0º44’ 2º19’ 4º04’ 5º59’ 8º06’ 10º23’ 12º51’ 15º29’ 18º14’ 21º04’ 23º56’ 26º46’ 29º31’ 32º09’ 34º37’ 36º54’ 39º01’ 40º56’ 42º41’ 44º16’
0º35’ 2º09’ 3º53’ 5º47’ 7º53’ 10º09’ 12º36’ 15º13’ 17º57’ 20º47’ 24º13’ 27.7 41º39’ +0. se tiene:
1 1+ y arc.03’ 29º48’ 32º24’ 34º41’ 37º07’ 39º13’ 41º07’ 42º51’ 44º25’
0º26’ 1º59’ 3º42’ 5º35’ 7º40’ 9º55’ 12º21’ 14º57’ 17º41’ 20º30’ 24º30’ 27º19’ 30º03’ 32º39’ 35º05’ 37º21’ 39º25’ 41º18’ 43º01’ 44º34’
0º17’ 1º50 3º31’ 5º24’ 7º27’ 9º41’ 12º06’ 14º41’ 17º24’ 20º15’ 24º49’ 27º36’ 30º19’ 32º54’ 35º19’ 37º33’ 39º37’ 41º29’ 43º10’ 44º43’
Tabla 4 En la figura 11 se muestran las curvas correspondientes a las funciones tabulares anteriormente calculadas.1 27º53’ +0.9 44º51’ +1.
Fig. Función para el radio de Mohr y para las orientaciones principales. Ecuación del movimiento ondulatorio sinusoidal.senωt
Y que ha de expresar dos hechos:
Capítulo 7 Análisis experimental de tensiones: Fotoelasticidad. b. Ha de ser una función que proporcione la amplitud de la vibración en función del recorrido (x). 11.. Es decir: y = f(t)x. la ecuación general de su movimiento ondulatorio será del tipo:
y = a. Es evidente que los aspectos que sobre la naturaleza de la luz que aquí se presentan están orientados a la comprensión de los fenómenos fotoelásticos.
. Considerando a una onda luminosa como una vibración armónica transversal. Es decir: y = f(x)t. (figura 1). La amplitud (y) de la vibración. 1. se puede considerar como la proyección de un movimiento circular uniforme de velocidad o pulsación constante. ω =cte. de gran importancia para el análisis de tensiones en el campo de comportamiento elástico. en un instante de tiempo (t) dado. Dicha función ha de reflejar la naturaleza periódica del movimiento como una función del tiempo y para un recorrido dado (x).
sen ω  t +  v i  
   + ϕ   
Podemos comprobar. que el período T = 2π/ω. b.. por la ecuación:
y = a. ω. f y v. es decir: a. la ecuación nos da el movimiento de un punto para este valor particular de x. Vibración como proyección de un movimiento circular. se dan a continuación:
f .sen(ωt + ϕ )
Si se considera un punto (x) en cualquier lugar sobre el diagrama. será:
  x y = a. Para t = ct.λ = v w= 2πv
Si la oscilación comienza a considerarse en un instante tal que la fase inicial es la amplitud φ. Algunas relaciones entre T.
. que es el tiempo que tardará el movimiento de la onda en alcanzar ese punto. 1.Fig. Para x = cte. efectivamente. la ecuación nos da la onda en ese instante. al mínimo recorrido en el que la función (y) toma el mismo valor.
Se denomina período (T) al mínimo intervalo de tiempo en el que la función (y) toma el mismo valor. se aplicará la misma ecuación del movimiento sólo que empezará un tiempo x/v más tarde. vendrá dada para un momento posterior (t).. la ecuación del movimiento en el punto (x). ya que los valores de (y) se repiten cuando:
 x nω  t +  v i 
  = nωT = 2πn  
Se puede comprobar que la ecuación (3) cumple el criterio general de onda. Se denomina longitud de onda (λ). λ. Así.
podemos definir lo que se entiende por ondas en fase total y en oposición de fase. circular y natural. = = λ vi λ λ
Donde x0 = δ es a lo que se llama diferencia de marcha y se representa por δ. Esta diferencia de fase se puede poner de la forma:
ϕ = ωt 0
t0 = x0 vi
2πvi
2πvi x0 2πx0 2πδ . 2. en que la función de amplitud vendrá dada como una función del espacio recorrido hasta ese instante. es decir:
δ = (2n + 1)
. Consideremos dos movimientos con la misma amplitud pero con fases distintas (ωt) y (φ + ωt) siendo.
Fig. A diferencia fundamental de la onda contenida en un plano. Luz polarizada artificialmente. Diremos que dos ondas están en fase total. y el plano de polarización es normal al de vibración. se ve claramente que para x = cte. se dice que la luz se ha polarizado (figura 2). la luz está compuesta de un gran número de ondas que vibran en diferentes planos cuya intersección determina una línea común que es la dirección de propagación. para el caso (a). Composición de vibraciones: luz elíptica.. 3. Cuando por un procedimiento cualquiera se logra artificialmente obtener un haz de luz que vibra sólo en un plano. Las intersecciones de los planos de vibración y de polarización con el plano del polarizador. por tanto.. es decir:
δ = nλ
Donde n = 1. cuando la diferencia de marcha sea un número entero de longitudes de onda. que dos ondas están en oposición de fase cuando la diferencia de marcha sea un número no entero de semilongitudes de onda. Lo mismo ocurre para el caso t = cte. por el contrario. cuya ecuación fundamental se acaba de comentar.……
Diremos. Definición de diferencia de marcha. 2. A partir de este valor de la diferencia de marcha.Estos dos casos se deducen de la propia ecuación (3). la diferencia de fase entre ambos movimientos φ. determina los ejes de transmisión del polarizador. la función (y) depende de la variable tiempo.
Si los ejes de transmisión están cruzados (α = 90º). En este caso. da lugar a interferencias. la intensidad de la luz transmitida será parcial. Composición en función del tiempo (para recorridos constantes) de dos vibraciones del mismo período y paralelas. Sean las ecuaciones de estas dos vibraciones. 3.
2. formadas por finos cristales de perioduro de quinina. con sus ejes ópticos orientados en al misma dirección y unidos por una doble capa de acetato de celulosa a dos celuloides neutros. La composición en función del espacio o recorrido (en un determinado instante de tiempo). es decir: 1. la intensidad transmitida será:
E = E 0 cos 2 α = 0
Habrá extinción total.La polarización se consigue artificialmente con láminas de polaroid. Si los ejes del polarizador y analizador están paralelos= 0) . α ( emergente que viene dada por: La intensidad del haz
E = E 0 cos 2 α
Será máxima. pueden componerse en el tiempo y en el espacio. etc. b. con lo que la luz no aparece uniformemente distribuida en un plano normal al de propagación. Al conjunto formado por dos polaroides. Las observaciones a través del polariscopio dependerán de la orientación de los ejes de transmisión del polarizador y analizador y de la naturaleza del cuerpo que se interpone entre ambos. 3. Cuando entre polarizador y analizador se interpone un cuerpo con birrefrigencia natural o accidental (debida a tensiones). sulfato de idioquinina. Polariscopios con sus ejes de transmisión paralelos y cruzados. para dar lugar a un vector vibración resultante. las siguientes:
Fig. Dos vibraciones rectilíneas (con la misma longitud de onda). Composición de vibraciones. entre los cuales se examina un cuerpo. 3. El caso que interesa considerar es el de la composición en función del tiempo de dos vibraciones perpendiculares entre si. la composición consiste en la suma vectorial de los vectores (yi). se denomina polariscopio (figura 3). propagándose paralelamente en el mismo sentido. ya que la vibración depende de estas dos variables. La composición de dos vibraciones la podemos entonces considerar referida a dos casos: a. de igual longitud de onda.
se parte de las ecuaciones (7) y (8) anteriores y se tendrá:
y y = cos ωt → cos ϕ = cos ωt cos ϕ a a z z = cos(ωt − ϕ ) → = cos ωt cos ϕ + senωtsenϕ b b
Restando estas dos últimas ecuaciones.
Fig. Para comprobar que gira en una elipse y el sentido de giro. Entonces. ωt se obtiene:
. circular y rectilínea. resulta:
z y − cos ϕ = senωtsenϕ b a
Elevando al cuadrado esta última ecuación y la ecuación que resulta al multiplicar y/a =cos por sen φ. el extremo del vector OP OP’ resultante gira en una elipse con una amplitud variable. cuya vibración y amplitud variarán con el tiempo. tal como se observa en la figura 4. Las vibración resultante será (y + z) = OP’.(7 ) y = a cos ωt (8) z = b cos(ωt − ϕ )
El caso general será en el que a ≠ b. Composición de vibraciones: luz elíptica. 4. para el vector → OP.
2. viene dado por el signo de sen la φ en ecuación z = bcos (ωt – φ)
 ∂z    = [bωsen(ωt − ϕ )]t =0 = bωsen(−ϕ ) = −bωsenϕ  ∂t  t =0
Si sen φ es negativo. a.2 zy z  y 2 cos ϕ = sen 2ωtsen 2ϕ   +   cos ϕ − b a ba 
 y 2 2 2   sen ϕ = cos ωtsen ϕ a z 2 y 2 2 zy cos ϕ = sen 2ϕ + 2 − 2 ba b a
Que es la ecuación de una elipse de ejes 2a y 2b. Los puntos de tangencia como el P’. La composición de vibraciones puede examinarse con las diferencias de fase o con las diferencias de marcha. b. Caso general a ≠ b. se tiene:
y=a z = b cos(−ϕ ) = b cos ϕ
El sentido de giro del vector vibración resultante. 2. Las vibraciones están en fase: φ = (2π)n con n = 0. Las vibraciones no están en fase: φ = (2n + 1)π/2 con n = 0. 1. el giro es dextrógiro 2π ≥ φ ≥ π.
. 1. …. 1. Si sen φ es positivo. se obtienen de:
y = a cos ωt z = b cos(ωt − ϕ )
Para t = 0. y esto quiere decir que la amplitud resultante vibra en un plano diagonal. ……
cos ϕ = cos(2π )n = 1 senϕ = sen(2π )n = 0
Entonces la ecuación de la elipse queda de la forma:
y 2 z 2 2 yz y z  y z + 2 − =0 →  −  =0→ − =0 2 ab a b a b a b z y=a b
Que es la ecuación de una recta. el giro es levógiro 0 ≤ φ ≤ π.
Caso de vibraciones en fase φ = 2πn con n = 0. 1. 2. 1. será:
=0 = ±1
y2 z2 + = ±1 a2 b2
Que es la ecuación de una elipse. será:
y 2 + z 2 − 2 zy = 0 → y − z = 0 → y = z
Que es la ecuación de una recta b. En este caso. será:
. ambos miembros de dicha ecuación:
y 2 + z 2 − 2 zy cos ϕ = a 2 sen 2ϕ
Que es la ecuación de una elipse inscrita en un cuadrado de lado 2a = 2b a. Las vibraciones no están en fase ni en oposición de faseφ = (2n + 1)π/2 con n = 0.. c. 2.….. ….cos ϕ = cos(2n + 1)π = −1 senϕ = sen(2n + 1)π = 0
la ecuación general de la elipse quedará de la forma:
y 2 z 2 2 zy y z + 2 + =0→ + =0 2 ab a b a b z y = −a b
Que nuevamente es la ecuación de una recta. la ecuación de la elipse se puede simplificar multiplicando por a2 = b2. caso de vibraciones en oposición de fase φ = (2n+1)π.
cos ϕ = cos 2πn = 1 senϕ = sen2πn = 0
La ecuación de la elipse. 3.
cos ϕ = cos(2n + 1)π = −1 senϕ = sen(2n + 1)π = 0
La ecuación de la elipse. 2.
cos ϕ = cos(2n + 1) senϕ = sen(2n + 1)
La ecuación de la elipse. Caso general a = b.
En resumen. la ecuación de una recta. 4. A la lámina birrefringente llega una luz polarizada de ecuación de movimiento:
y o = a cos ωt
. …. Consideremos un cuerpo birrefringente de espesor constante entre dos polaroides. el otro. fenómeno que se conoce como doble refracción o birrefringencia. Uno de los dos rayos. como la circunferencia o la recta. el rayo incidente da lugar a dos rayos refractados. Caso de vibraciones que no están en fase ni en oposición de fase φ = (2n+1)π/2 con n = 0. Examen de un cuerpo birrefringente con luz monocromática.y 2 + z 2 + 2 zy = 0 → y + z = 0 → y = − z
Que es. En ambos planos de vibración los índices de refracción son diferentes y. la vibración resultante tiene amplitud constante. por tanto. no – Índice de refracción en la dirección del rayo ordinario. 2. c. será:
n − no δ = 2π e e λ λ
Este fenómeno natural de la birrefringencia se puede provocar en cuerpos isótropos y transparentes cuando se les somete a estados de tensión planos.
y2 + z2 = a2
Que es la ecuación de una circunferencia de radio (a) y. e – Espesor del cristal. continua en el plano de incidencia (rayo ordinario) y. por tanto. Existen diversos cuerpos cristalinos y anisótropos tales que si la luz incidente no coincide con el eje óptico del cristal. siempre que se componen dos vibraciones arbitrarias y de la misma frecuencia o manantial luminoso. su composición dará lugar a una vibración cuyo vector extremo gira en una elipse o en una de sus curvas degeneradas. la luz emerge del cristal con una diferencia de marcha:
δ = ( n e − n o )e
Donde: ne – Índice de refracción en la dirección del rayo extraordinario. no (rayo extraordinario). 1. estos cuerpos se convierten en birrefringentes y este fenómeno se conoce con el nombre de birrefringencia accidental o debida a tensiones. La diferencia de fase correspondiente a la diferencia de marcha. Entonces. también.
cos γ = 0.sen2 β . Descomposición de la luz polarizada debido a la birrefringencia accidental. por tanto.sen2 β . Nota. los ejes del analizador y polarizador pueden girar solidariamente manteniéndose cruzados o paralelos. Se estudiarán. β – Ángulo que forma el eje del analizador con el primer eje óptico de la lámina. γ = α – β. Polariscopio con ejes de polarizador y analizador paralelos (γ = 0). se puede escribir:
δ  E = E o cos 2 γ − sen2α . α = π/2 + β. la ecuación anterior. quedará:
Como α – β = π/2.α – Ángulo que forma el eje del polarizador con el primer eje óptico de la lámina birrefringente (figura 5).sen 2π  λ 
+ β ) = senα
β =α −
2 sen2 β = sen(2α − π ) = − sen2α
Con lo que la ecuación anterior quedará:
Fig. 2. Caso (γ = π/2) y. Polariscopio con ejes de polarizador y analizador cruzados (γ = π/2). Se puede demostrar que la intensidad de la luz emergente del analizador E. dos casos posibles de interferencias: 1. En este caso. ángulo que forma el eje de transmisión del analizador con el eje de transmisión del polarizador. se tendrá:
δ  E = E o − sen2α . 1.sen 2π  λ 
Que permite discutir los casos posibles de interferencias. que es función de la luz incidente en el polarizador. En ambos casos. 5.
en este caso. En este segundo caso (γ = 0). aparece una extinción parcial. es decir. α = β). la ecuación de Neumann queda de la forma:
δ  E = E 0 1 − sen 2 2α . y en este caso de α = 0 y α = nπ/2 ó 2α =nπ. Fuente de luz blanca
Cuando se usa luz blanca. emerge toda la luz a través del analizador.sen 2π  λ 
En este caso se pueden dar los siguientes subcasos: Si el eje del polarizador coincide con uno de los ejes ópticos de la lámina. Si el eje del polarizador coincide con uno de los ejes ópticos de la lámina (estando los polaroides cruzados). 2. Si el eje del polarizador no coincide con ninguno de los ejes ópticos de la lámina. habrá extinción. 1. se deduce que cuando la diferencia de marchasea un n δ úmero entero de veces la longitud de onda. α = 0. 2º Caso. y. no hay luz emergente del analizador. A esa luz sin un solo color
. los modelos pueden ser observados con dos tipos de fuentes luminosas: a. aparecen franjas de interferencia. …. es decir. b. el analizador y polarizador tienen los ejes de transmisi n paralelos ó y ambos pueden girar solidariamente manteniendo el paralelismo entre sus ejes de transmisión En este caso (γ = 0.. por tanto. cuando la diferencia de marcha de los rayos refractados (ordinario y extraordinario) sea un múltiplo entero deλ. el paso de luz a través del analizador será máximo. que será máxima cuando:
α = β = (2n + 1)
De la ecuación anterior. es decir:
E = E 0 ya que sen 2π
nλ δ = sen 2π =0 λ λ
Sin embargo. y de la ecuación anterior se deduce que:
Es decir. entoncesα = 0 y sen 22α = 0. entonces sen2 2α = 0 y E = 0. al extinguirse un color de los que la componen. En el caso más general de que el eje del polarizador no coincida con el eje óptico de la lámina.sen 2π
Que se conoce como ecuación de Neumann. donde n = 0. por el analizador emergerá una luz blanca a la que le falta uno de los colores que la componen.
1. Fuente de luz monocromática. De la ecuación de Neumann se deduce que. emerge luz del analizador y la intensidad de la luz emergente será máxima cuando:
2α = (2n + 1)
ya que sen2α = sen(2n + 1)
1. que es el caso más general. el término sen 2πδ/λ = 0.2.E = E o sen 2 2α . hay extinción.1.
Serie 2: Examen con polaroides paralelos (γ = 0). a: cos2 γ = Término blanco. por ello. que depende de λ i). Color complementario Verde Azul Violeta Rojo Naranja Amarillo
La extinción de determinados colores de la luz blanca al atravesar un modelo sometido a tensiones. El modelo se observará coloreado. según que estos ejes estén paralelos ( = 0) o cruzados γ (γ = π/2). γ = β – α – Ángulo que forman los ejes de transmisión de analizador y polarizador. como consecuencia.sen 2π
δ λi
. habr paso de luz blanca o ex tinción. Consideremos la ecuación anterior y supongamos que se trabaja con: a. de las diferentes interferencias de los colores de la luz ( blanca. Luz blanca menos un color Luz blanca – rojo Luz blanca. Entonces. Con luz blanca. El fenómeno de la aparición de una serie de colores en un modelo.se la llama color complementario. independientemente de los colores que pasen debido al á segundo término. tensiones distintas produce diferencias de marcha distintas y. se pueden plantear dos series de observaciones: Serie 1: Examen con polaroides cruzados (γ = π/2). b. El término blanco cos2 γ = 0 y la ecuación queda de la forma:
E1 = E 0 .violeta Tabla 1.sen2 β . es decir.sen 2 2α . La tabla 1 que a continuación se presenta.
de la lámina con el eje de
con el eje de transmisión del
Además.naranja Luz blanca – amarillo Luz blanca – verde Luz blanca – azul Luz blanca . sen 2 πδ/λ = Término coloreado. interferencias con extinciones de diferentes colores. Tabla de colores complementarios. muestra los diferentes colores complementarios. depende del estado de tensión que se da en cada punto. se discute mediante la expresión que da la intensidad luminosa que emerge del analizador:
n  πδ  E = E 0 cos 2 γ − ∑ sen2α . β – Ángulo que forma el primer eje óptico de la lámina o σ analizador. por tanto. Con luz monocromática. Serie 1 (polaroides cruzados).sen 2 λi  i =1  
Donde: α – Ángulo que forma el primer eje óptico de la lámina o σ transmisión del polarizador. El término cos2 γ en la ecuación anterior depende solamente del ángulo que formen los ejes de transmisión de polarizador y analizador.
la ecuación quedará de la forma:
 δ E 2 = E 0 1 − sen 2 2α . quedará:
E1 = E 0 sen 2π
El término coloreado proporciona dos posibilidades más:
Con luz monocromática (δ = kλ). γ = 0 → sen 2α = sen 2β .
α = 2n
2α = nπ
sen 2 2α = 0
La ecuación correspondiente. En la serie 1. Serie 2 (polaroides paralelos) En este caso. donde k = 0.
La ecuación quedará de la forma E2 =E0 (hay paso total de luz) 2.
α = (2n + 1)
sen 2 2α = 1
La ecuación correspondiente. quedará:
E1 = 0 (hay extinción)
2. Por tanto. Conviene ahora tener presente que el polarizador y analizador pueden girar simultáneamente manteniendo en el giro sus ejes paralelos o cruzados.sen 2π  λi  
Donde λi = λNa = Cte. 1. se pueden dar los subcasos siguientes: 1. también. Y la ecuación anterior quedará
E1 = 0 (hay extinción total )
Con luz blanca se extinguirá solamente uno de los colores y se observará el color complementario. 1.Ya que β – α = π/2 → 2β = 2α + π → sen 2α = sen 2β y λi = λNa = Cte. cos2 γ = 1.
. dos subcasos. 2. …. En la serie 2 se dan. α = β .
se dan franjas oscuras y entre ellas paso de luz parcial. de nuevo. Si ahora consideramos el polariscopio con los polaroides cruzados y utilizamos luz blanca. si una lámina sometida a tensiones se examina en un polariscopio con polaroides cruzados. se producirán interferencias.sen 2π
Donde las λi son todas las longitudes de onda del espectro visible y. puede ocurrir: 1. Si se aumenta la magnitud de las tensiones y aumenta la birrefringencia del modelo.2. el término blanco cos2 γ es nulo y. marcha son también crecientes y que dan lugar a sucesivas extinciones y. Consideremos. con lo que se extingue ese color y. La luz emergente vendrá dada por la ecuación:
E e = E 0 sen 2π
δ λ Na
Donde se ha considerado que sen2 2α = 1 para que se de máximo contraste.
. sen 2 2α = sen2 2β y. por serlo las tensiones. por tanto. por el analizador. puede haber uno de los colores que interfiera.La ecuación quedará E2 = E0[1 – sen2 πδ/λ] y de está ecuación se pueden sacar dos subcasos: 2. las diferencias de σ. Entonces.1. para el caso de una luz monocromática. que en este caso se denomina “color saturado” por no llevar superpuesta luz blanca. en las distintas zonas del modelo habrá extinciones de diferentes colores y. A medida que se aplican tensiones crecientes al modelo.
2. Pero cuando la luz blanca sale del modelo. y si la diferencia de marcha es muy pequeña. se consideran puntos del modelo que están a tensiones 0. En el caso de utilización de luz blanca y polaroides cruzados (γ = π/2). la ecuación quedará de la forma:
E = E 0 ∑ sen 2 2α . que es la longitud de onda más pequeña del espectro visible. que es el color complementario. se extinguirá el color violeta y por el analizador emergerá el amarillo. aumenta la diferencia de marcha y. ocurrirá que no se apreciarán interferencias y del analizador no emergerá luz alguna. estarán cubiertas con un color amarillo. se observará esta distribución de colores. Esto quiere decir que. a medida que aumenta la tensión o a medida que en una lámina sometida a flexión. cuando su valor sea de unos 4000 Ẩ. o si en diferentes partes del modelo hay fuertes gradientes de tensiones. 2σ. no hay paso de luz blanca. 3σ. el caso de una luz monocromática (amarilla de sodio de 6000 y Ẩ) polaroides cruzados. todas las zonas del modelo en las que se den estas condiciones. inferior a una semilongitud de onda del violeta. a la salida del analizador se observa el color complementario. ……… (figura 6). Para los distintos valores de δ. que van del: Violeta → 3800 Ẩ Rojo → 7000 Ẩ Por tanto. 2. Si δ = kλ sen2 πδ/λ = sen2 kπ = 0
La ecuación general quedará: E2 = E0 (hay paso total de luz). Escala de Newton. Que la birrefringencia debida a tensiones sea muy pequeña. por tanto.
sufre efectos contrarios que dependen del espesor atravesado de cada una de las cuñas. Escala de Newton. Consideremos ahora dos rayos: el SOT y S1O1T1. por tanto. en el caso de utilizar luz blanca. en la actualidad se ha generalizado la utilización de compensadores (figura 7). Para la medida de la diferencia de marcha se puede utilizar un interferómetro. el cristal es monorrefringente. Dos cuñas de cuarzo talladas con un mismo ángulo θ. El primero (SOT). los espesores son iguales (OR 0 RT) y. Consta de: a. Sin embargo. por consiguiente. la extinción es siempre de una de las longitudes de onda que la componen. o lo que es lo mismo. Se entiende por eje óptico a la única dirección de máxima simetría en la que no se presenta la doble refracción. atraviesa espesores iguales OR = OT en las dos cuñas. En la línea media.
Nota. atraviesa espesores diferentes O1N ñ ≠ NT1 en las dos cuñas.Fig. los espesores pueden considerarse como espesores planoparalelos. En esta sección describiremos el compensador de Soleil-Babinet. Cuando el haz de luz polarizado incide en un punto del compensador. se producirán extinciones distintas a medida que aumenta el valor de la tensión. b. c. 6. mientras que el segundo (S1O1T1). Sin embargo. Compensadores. Están talladas de forma que sus ejes ópticos sean perpendiculares entre sí. para el caso de la lámina sometida a flexión.
. Están montadas de forma que constituyen un conjunto plano paralelo y una de las cuñas puede desplazarse sobre la otra mediante un tornillo micrométrico graduado en longitudes de onda de la luz utilizada. que son instrumentos capaces de introducir diferencias de marcha variables y conocidas. Como el ángulo θ es muy pequeo. el efecto sobre los dos rayos birrefractados es nulo. 7.
por ello. que al estar sometida a tensiones presenta el fenómeno de birrefringencia accidental. se desdobla en dos componentes ortogonales. y en dos direcciones que coinciden con las de las tensiones en cada punto.vc) paralelas a cada una de las tres deformaciones ortogonales del medio eran proporcionales a dichas deformaciones. vb. Comenzó suponiendo que las velocidades de la luz (va. La diferencia de marcha del haz ordinario y extraordinario que están contenidos en los planos OY y OZ. que la primera cuña retrase las vibraciones paralelas a OY.
8. se van introduciendo diferencias de marcha crecientes y continuas.tag 2θ (ne − no ). es decir:
. 7. Neumann. es decir. atraviesa la lámina (L) (figura 8). Teorías del efecto fotoelástico: leyes de Neumann y Maxwell. Compensador de Soleil-Babinet. supuso que las cargas aplicadas a la lámina producían cambios en el agrupamiento de sus moléculas y. será una función de la diferencia de caminos ópticos.Fig.
En 1841. Cuando un rayo de luz polarizado vibrando en el plano OP. es decir:
δ = (ne − no )(e − e' )
(e − e' ) = 2 MN
MN = a. basó su teoría en las deformaciones que experimentaba la lámina. que a medida que se gira el tornillo micrométrico y se acerca un extremo de la cuña a la línea de paso de luz.tagθ
δ = 2. Entonces a:
e = O1 N e' = NT1
Supongamos. polarizadas también. es proporcional a la distancia (a) del haz a la línea media de espesores iguales del compensador.a
Con lo que la diferencia de marcha que introduce el compensador. y la segunda a OZ. Franz Neumann presentó el primer intento para explicar el efecto fotoelástico. paralelo a (x).
ε y + β (ε z + ε x ) vc = vo + α . según:
v a = v o + C1 . usando como Neumann dos constantes. Entonces:
v a − vb = ε x (α − γ ) + ε y ( β − α ) + ε z (γ − β )
Pero sus resultados experimentales le llevaron a que (va – vb) eran independientes de εz.
v a = vo + α .ε y + γ .Fig. se pueden expresar las ecuaciones (9) en función de las tensiones.σ z + C 2 (σ x + σ y ) (10)
. con lo que (β = γ). que en la elasticidad lineal.ε x vc = vo + α .ε x + γ .ε x + β .σ x + C 2 (σ y + σ z ) vb = vo + C1 .ε z vb = vo + α . en la que las tensiones y deformaciones se relacionan linealmente a través de dos constantes del medio.ε z + γ .ε y
Donde vo es la velocidad de la luz en el medio no deformado.ε x + β (ε y + ε z ) vb = vo + α . y:
v a − vb = (α − β )ε x + ( β − α )ε y v a − vb = (α − β )(ε x − ε y )
Reduciéndose las ecuaciones (7) a:
v a = vo + α . Efecto fotoelastico debido a Neumann. 8.σ y + C 2 (σ z + σ x ) vc = vo + C1 .ε y + β .ε z + β (ε x + ε y )
Es concebible.ε z + β . y Maxwell encontró que las diferencias de velocidades de los dos rayos polarizados ortogonalmente eran proporcionales a la diferencia de tensiones.
2 2 v a 2 vb 2 vc2 2 1 x + 2 y + 2z = 2 2 vo vo vo vo
Y aproximadamente se puede escribir:
2 va =σx 2 vo 2 vb =σy 2 vo
vc2 =σz 2 vo
La ecuación anterior. Examinando las relaciones fotoelásticas de Maxwell. de :
2 2 v a x 2 + vb y 2 + vc2 z 2 = 1
Dividiendo por v02 los dos términos de la ecuación. por tanto. resulta:
. se tendría que comenzar con las expresiones:
2 2 ' v a = v o + C1'σ x + C 2 (σ y + σ z ) 2 2 ' vb = v o + C1'σ y + C 2 (σ z + σ x ) 2 ' v c2 = v o + C1'σ z + C 2 (σ x + σ y )
C1' = 2vo C1
' C 2 = 2vo C 2
Sumando y restando a las ecuaciones (13) el término C2’σx .Siendo:
v a − vb = (C1 − C 2 )(σ x − σ y ) v a − vb = C (σ x − σ y ) (11)
Se desconoce si el efecto óptico es directamente proporcional a un estado de tensión. se vio que al comparar el elipsoide de Fresnel (superficie donde se encuentran los inversos de los índices de refracción en todas las direcciones). pero más delante se discutirá al hablar de los materiales fotoelásticos. quedará:
σ x x2 + σ y y2 + σ z z2 = 1
Se observa que las tensiones no deberían ser proporcionales a las velocidades sino al cuadrado de las velocidades. C2’σy y C2’σz. con la cuádrica de tensiones.
2 ' 2 ' v a = v o + C 2 (σ x + σ y + σ z ) + (C1' − C 2 )σ x 2 2 ' ' vb = vo + C 2 (σ x + σ y + σ z ) + (C1' − C 2 )σ y 2 ' ' vc2 = vo + C 2 (σ x + σ y + σ z ) + (C1' − C 2 )σ z
Si se introducen estas ecuaciones anteriores en el elipsoide de Fresnel. en la ecuación (17) .
Si el estado de tensión es plano y viene dado por las tensiones principales σ 1 y σ2. 1. resulta:
1 1 ' − 2 = (C1' − C 2 )(σ 1 − σ 2 ) (17) 2 R1 R2
Pero de la ecuación del elipsoide de Fresnel. se tiene:
2 ' v12 − v 2 = (v1 + v 2 )(v1 − v 2 ) = C1' − C 2 (σ 1 − σ 2 )
v1 + v 2 = 2vo
' 2vo (v1 − v 2 ) = (C1' − C 2 )(σ 1 − σ 2 )
(v1 − v 2 ) =
' C1' − C 2 (σ 1 − σ 2 ) 2v o
(v1 − v 2 ) = C (σ 1 − σ 2 )
1 2 ' ' = vo + C 2 (σ 1 + σ 2 ) + (C1' − C 2 )σ 1 2 R1 1 2 ' ' = vo + C 2 (σ 1 + σ 2 ) + (C1' − C 2 )σ 2 2 R2
Restando las dos ecuaciones. resulta:
' ' + C 2 (σ x + σ y + σ z ) x 2 + y 2 + z 2 + C1' − C 2 x 2σ x + y 2σ y + z 2σ z = 1
Y dividiendo por (x2 + y2 + z2). m. resulta:
1 1 2 ' ' = 2 = vo + C 2 (σ x + σ y + σ z ) + C1' − C 2 l 2σ x + m 2σ y + n 2σ z 2 2 x +y +z R
Donde R es el radio vector desde el centro del elipsoide de Fresnel en la dirección dada (l. n). sabemos:
1 = v1 R1
1 = v2 R2
Siendo v1 y v2 las velocidades de los haces polarizados en las direcciones principales. que es una diagonal paralepipédica o radio R. Las direcciones de polarización son las direcciones principales. por tanto. por lo que se deduce la primera ley de Maxwell.
9. Ecuaciones de Maxwell-Wertheim y de Faure. Dividiendo cada una de las ecuaciones (18) por vo/d. aunque el enunciado exacto debería ser la diferencia del cuadrado de las velocidades es proporcional a la diferencia de las tensiones principales. aunque no se ha encontrado un material con un efecto fotoelástico suficientemente fuerte como para poder diferenciar estos dos aspectos. Mientras no se sobrepase el límite elástico de un modelo con birrefringencia accidental. podemos expresar los caminos ópticos en unidades de longitud.Que expresa la segunda ley de Maxwell. serían:
. siendo vo la velocidad de la luz en el material no sometido a tensiones y (d) el espesor de la lámina birrefringente.seg. por lo que se considera válida la proporcionalidad entre velocidades y tensiones. una proporcionalidad que para la fotoelasticidad bidimensional nos permite escribir:
v1 = vo + C1σ 1 + C 2σ 2 v 2 = vo + C1σ 2 + C 2σ 1 (18)
Donde C1 y C2 tienen las dimensiones de mm3/kg. en menor grado. Neumann y la doble refracción. podremos entonces escribir:
(vo + C1σ 1 + C 2σ 2 )d (vo + C1σ 2 + C 2σ 1 )d
v1 d 1er ca min o óptico vo v2 d vo 2 o ca min o óptico
La diferencia de marcha entre los dos rayos polarizados se obtendrá restando los caminos
δ = 1 + 
 (C − C 2 )σ 1 − (C1 − C 2 )σ 2 C1σ 1 + C 2σ 2 C σ + C 2σ 1  d =  1 −1− 1 2   vo vo vo    C − C2 (σ 1 − σ 2 )d (19) δ= 1 vo 
 d  
δ = C (σ 1 − σ 2 )d
C1 − C 2 vo
Las diferencias de marcha de cada haz con un rayo que atravesara la lámina sin tensiones. y sólo dependen de la naturaleza del material birrefringente y. La diferencia de velocidades de los dos haces polarizados es proporcional a la diferencia de las tensiones principales. de la longitud de onda empleada. 2. existe entre las leyes de Maxwell.
tal como se representa por OA en el modelo vectorial y que incide en un punto de una lámina de espesor (d) en el que se dan las tensiones (σ1 y σ2) (σ1 ≠ σ2). y:
C1 vo C2 vo
δ 1 = ( aσ 1 + bσ 2 ) d δ 2 = (aσ 2 + bσ 1 )d
Que son las ecuaciones de Faure.
Fig. 10. La luz incidente vibra según:
y o = a.δ1 = δ2 =
C1σ 1 + C 2σ 2 d vo C1σ 2 + C 2σ 1 d vo
Entonces se verificará que (a – b) = C. cos ωt
. a y b – Constantes fotoelásticas relativas. Consideremos un haz polarizado monocromático plano y horizontal (figura 9). Examen de una lámina sometida a tensiones. resulta:
δ = (a − b)(σ 1 − σ 2 )d δ = C (σ 1 − σ 2 )d
Donde: C – Constante fotoelástica absoluta. Examen con luz polarizada de una lámina sometida a tensiones. 9. Restando ambas ecuaciones.
sen 2  2v − 2v  λ  1 2 
sen2 2α – Primer factor. después de atravesar su espesor. o sea OF y OE.Al entrar en la lámina se desdobla en dos rayos refractados polarizados (OC) y (OD). pasarán las componentes de y1’ e y2’ que sean paralelas al eje de transmisión del analizador. Si las direcciones de σ1 y σ2 varían en la superficie de la lámina. resultando:
   d d ' y = y1' senα + y 2 cos α = asenα cos α cos ω  t −  − cos ω  t −  v  v  1  2   
  (24)  
 d d y = asen2α . varía α y también variará la intensidad luminosa en cada punto. Si las tensiones σ1 y σ2 forman un ángulo α = 0 ó α = 90º. emergen con una diferencia de marcha. por tanto.sen 2  −  2v1 2v 2
 2πv  d d   = sen 2 2α . según:
y1' = a cos α cos ωt
' y 2 = −asenα cos ωt
Donde α es el ángulo entre el eje del polarizador y la dirección principal 1. tal que:
y1' = a cos α cos ω (t −
d ) v1 d ) v2 (23)
' y 2 = −asenα cos ω (t −
Si el analizador se encuentra cruzado con el polarizador.Fase del movimiento. B . La intensidad que emerge del analizador es proporcional al cuadrado de la amplitud y. Considerando el primer factor de esta expresión.
. Estas dos ondas viajan a través de la lámina con velocidades (v1) y (v2) y. sen2 ω[(d/2v1) – (d/2v2)] – Segundo factor. se deduce que: 1. será proporcional al término:
 d d  sen 2 2α .senω   2v − 2v 2  1
Ecuación que es de la forma:
  d d  senω  t −  2v − 2v  1 2  
  (25)  
y = Asen(ωt − B )
Donde: A – Amplitud del movimiento.
por tanto. ya que a otro ángulo φi. El conjunto de isoclinas observadas a un ángulo se denominan isoclinas de par φ ámetro φ. dará franjas de intensidad nula con luz ( monocromática. Al aumentar α desde cero. y el lugar geométrico de estos puntos de igual valor de σ 1 – σ2). extinción de todas las longitudes de onda. sólo depende de su dirección. se denomina red de isocromas. La posición de las isoclinas es independiente de la mayor o menor cuantía de las tensiones. ya que el término sen2 2α no depende de la longitud de onda de la luz utilizada en la observación. cuando sean iguales a cero (isocroma de orden cero. sen2 2α crece muy lentamente y las zonas oscuras se ensanchan y tienen bordes difusos. δ = (n1 – n2)d = C(σ1 – σ2)d
δ = (n1 − n2 )d = C (σ 1 − σ 2 )d =
πv v  − d λ  v1 v 2   
Este segundo factor se anula cuando la diferencia de marcha sea nula. ya que v/v1 = n1 y v/v2 = n2. aparece siempre negra. 2. es decir. A estas curvas se las llama isoclinas. Análisis del segundo factor. A estas franjas se las denomina isocromas y al conjunto de lugares λ geométricos en los que σ( 1 – σ2) dan múltiplos de con extinciones. α º máxima. habrá un conjunto de curvas o franjas oscuras con intensidad luminosa nula. Si se fotografían un conjunto de isoclinas correspondientes a giros discretos de 5 ó de 10 en 10º. que corresponden al lugar geométrico de los puntos del modelo en que las direcciones principales coinciden con los ejes del polarizador y analizador.
. las isoclinas son negras. con luz monocromática o con luz blanca. Por otra parte. Cuando
v v   − d sea un múltiplo de la longitud de onda v v  2   1
π   kλ = kπ y sen2 kπ = 0. constituye la denominada red de isoclinas. de lugar a extinciones.
Cuando detengamos el giro en un ánguloα = φ. se observará un conjunto de isoclinas diferentemente dispuestas. habr iluminación á Si con los polaroides cruzados crece α de 0 aº 452 = 90 y sen . λ
δ = λk = C (σ 1 − σ 2 )d
A medida que en la lámina haya puntos que difieran gradualmente en valoresσde ( 1 – σ2) habrá puntos que den lugar a que suσC( 1 – σ2)d = kλ. el conjunto de todas ellas para diversos valores de φ.sen 2 2α = 0 (hay extinción)
2 2α = 1.
v v   − d es la diferencia de caminos ópticos o v v  2   1
Donde v es la velocidad de la luz y
diferencia de marcha δ.
son: a. a 45º del eje del analizador que está cruzado con el polarizador. si se aumenta la carga aparece el amarillo 1. se extinguirá solamente las frecuencias visibles que cumplan la ecuación δ = λk = C (σ 1 − σ 2 ) d . Se puede hacer uso de la característica que las distingue. el problema que se plantea es la separación de las isoclinas e isocromas. ya que no dependen de α.
.de mie ntras que las isocromas permanecen inmóviles. Las cuatro curvas más importantes.
Las dos últimas son curvas teóricas y las dos primeras experimentales. se separan con luz blanca circularmente polarizada. …… existe una isocroma. Isopacas. las isoclinas varían rápidamente. y puesto que:
σ 1 − σ 2 = 2τ =
kλ cd
Para cada valor de k = 0. procede el nombre de estas franjas siguiendo la secuencia ya estudiada de la escala de Newton. 1. Al introducir el modelo libre de tensiones. Girando los polaroides cruzados. apareciendo las isocromas de orden cero (de color negro). como se pueden observar independientemente unas de otras sin que interfieran. Isostáticas. por tanto. cruzada con la primera y. el campo debe permanecer oscuro. Al comenzar a cargar el modelo. 2. éste se ilumina. sin embargo. la lámina cuarto de onda analizadora. este método no es muy recomendable. Generalmente. 1. etc. de aquí. b. con lo que aparecen franjas monocolores y. ólos dependen de los valores de ( y σ 1 – σ2) que dan múltiplos de λ. Sin embargo. es decir.
2. que tal isocroma es de orden k. Isoclinas Isocromas. d. se dice. entonces. ya que dependenα. Si se utiliza luz blanca. c. rojo 1.Las isocromas se distinguen de las isoclinas en que no están afectadas por el giro de los polaroides cruzados.
En este último caso se procede como sigue: Se coloca la lámina cuarto de onda con su eje óptico a 45º del eje del polarizador y.
Que en el punto C las tensiones principales sean iguales pero no nulas (σ1 = σ2 ≠ 0). se giran los dos polaroides (manteniéndolos siempre cruzados) ángulos discretos de 5 ó 10º. Puntos isotrópicos u cúbicos. que hay un punto. Una vez que el modelo se ha sometido a carga en un banco fotoelástico con polaroides cruzados y enrasado a cero el analizador. o lugares geométricos de puntos del modelo en los cuales las direcciones de las tensiones principales son constantes. estamos en condiciones de comenzar la observación de las isoclinas. lo que se observa es otro conjunto de isoclinas y así sucesivamente. por ser las dos nulas. por sus tangentes. 2. En la figura 1 se observa. también. Que en el punto C las tensiones principales sean iguales. Supongamos que el modelo es una arandela (figura 1). estas curvas nos indican. la red de isostáticas del modelo que se está considerando. en todos los casos. como van variando las direcciones principales. El conjunto de todas las franjas para cada una de las posiciones. Al conjunto de estas dos familias de curvas ortogonales se denomina red de isostáticas.Capítulo 8 Análisis experimental de tensiones: fotoelasticidad. 1. Por tanto. se pueden trazar otras curvas que sean tangentes a cada dirección principal. con lo que para cada parámetro de isoclina se conocen las direcciones de las tensiones principales. 1. En este caso se denominan puntos singulares. Representación de las redes de isoclinas e isostáticas. Girados los primeros 10º.
. y veamos que le ocurre a la zona rallada MN. el C. que es un caso particular de punto isotrópico. y esto sólo ocurre cuando se cumplen las siguientes dos condiciones: 1. Arandela circular sometida a compresión diametral. a este tipo de puntos se les denomina puntos isotrópicos. Se puede observar en la figura 1. Trazado de las isostáticas. En este caso. A continuación. Puntos isotrópicos y cúbicos. Las direcciones de las tensiones principales coinciden. según la precisión que se desee. constituye la red de isoclinas. por el que pasan las isoclinas observadas a cualquier ángulo. se giran de 10 en 10º y siempre en el mismo sentido. En la figura 1. Lo primero que se verá son las franjas de extinción de parámetro 0º. con los ejes de transmisión de polarizador y analizador.
Fig. Puesto que cada cruz sobre cada isoclina indica las direcciones de σ1 y σ2.
Si se emplea luz monocromática circularmente polarizada. Para determinar el orden de franja en las isocromas. para pasar de un orden de franja k = n a un orden k = n + 1. permite comparar la sensibilidad fotoelástica de diversos materiales y. A modo de resumen. necesaria para producir un orden de franja unidad en un modelo. y que se corresponden con franjas de extinción en las que la diferencia de marcha es λ. La determinación del orden de franja. Entre dos tintes sensibles. son nulas las tensiones. se tiene la ventaja de que la isocroma de color negro es de orden cero. El calibrado. la rosa de orden 2. 2. por ejemplo el k = 1 y k = 2. en él. Orden de franja: calibrado de modelos. su adecuabilidad a cada caso. 3. respectivamente (cuando se utilizan polaroides cruzados). se ve la red de isocromas con extinciones negras entre las que hay paso parcial de luz. ya que allí. se fotografían dos isoclinas a 45º entre si y cuya intersección es lo que mejor define estos puntos isotrópicos. se conoce el orden de franja de cada punto del modelo. etc. Calibrado de modelos. además. El propósito del calibrado es determinar la tensión en kg/mm2. 3λ…etc. y siσ 1 o σ2 son máximas o mínimas. con lo que entre dos valores nulos ha de existir un máximo o un mínimo. se practica eligiendo modelos de calibrado para los que hay soluciones teóricas sencillas y exactas y así conocer la tensión en cualquier punto. Las isocromas empiezan a aparecer en los puntos de mayor tensión cortante o (σ 1 − σ 2 ) . 2. 1. en otras palabras. como es el caso del punto D en la figura 1. Hay que elegir una isocroma que pasa por un punto singular (k = 0). que naturalmente se hace con el material fotoelástico con el que se va a construir el modelo objeto de estudio. se efectúa del modo siguiente: Con luz blanca. que está determinado por la intersección de una isostática y por la isostática ortogonal. Se eliminan las isoclinas utilizando luz circularmente polarizada. En estos puntos es máxima 2 o σ1 y. tales como:
. y luego se numeran a uno y otro lado (ver figura 1). lo que luego es necesario para el cálculo de las tensiones en cada punto del modelo. La determinación se efectúa colocando el modelo en el banco de carga y paulatinamente se va sometiendo a cargas crecientes. es decir. por tanto. las franjas negras se corresponden con isocromas de orden cero. 2. 2λ..
Con el empleo de luz blanca circularmente polarizada. y la sucesión de colores sensibles de la escala de Newton nos indica el orden de franja de las sucesivas extinciones coloreadas. hay franjas sensibles monocolores que tienen ordenes de franja fraccionarios. Con luz monocromática. y a uno y otro lado se empiezan a numerar las isocromas con ordenes de franja 1. el Δ(σ1 – σ2) = Δ2τ necesario para pasar de una isocroma a la siguiente.
Para precisar bien los puntos singulares. …etc. la violeta de orden 1. De los procedimientos más comunes de calibrado. El calibrado. De esta manera. lo más conveniente es eliminar las isoclinas usando luz blanca o monocromática circularmente polarizada.3. la isoclina arranca y termina en la superficie del modelo.
Otro punto de interés es el denominado punto cúbico. coinciden una isoclina y una σ isostática. se hace uso de isocromas que pasan por puntos singulares en los que (σ1 – σ2) = 0 por ser σ1 = σ2 = 0.
con fines prácticos. Calibrado mediante probetas a tracción.b P
Y como. b. construida con el material fotoelástico que se somete en el banco de carga a una fuerza P que da lugar a la tensión σ 1 = P/b. Este método hace uso de una probeta plano paralela de tracción (figura 2).e. Arandela a compresión diametral. resulta que (σ 1 – σ2) es conocida mediante el calibrado y tiene por valor P/b. Flexión pura. podemos conocer la constante fotoelástica C (conociendo λNa). Puesto que σ2 = 0.e y comparando esta ecuación con la ley de MaxwellWerthein:
kλ = δ = C (σ 1 − σ 2 )e → (σ 1 − σ 2 ) = kλ / Ce
kλ Na . Probeta de tracción para el calibrado.
. lo que se calcula en el calibrado es el cociente:
Tracción pura.e. 2. Generalmente.e
Fig.a. (σ1 – σ2) = P/b. C se mide en Brewsters. c. además.
Sólo se comentarán las dos primeras.
Cada material fotelástico tiene su valor de franja F característico. Puesto que las fibras superiores del modelo están sometidas a tracción y σ 1 ≠ 0 y σ2 = 0 la tensión de tracción tiene por valor:
σ1 − σ 2 = σ1 =
p.Donde f se denomina “valor de franja por unidad de espesor del modelo”.e Ce
El calibrado de modelos se puede realizar con luz monocromática por más fácil utilización que la luz blanca y. se procede al cálculo de la constante fotoelástica del material.h = Momento flector.
Calibrado a flexión pura. nuevamente. Se define el valor de franja F. Examinándola con luz circularmente polarizada aparecen isocromas paralelas distribuidas por encima y por debajo de la fibra neutra.
p. 4. Se prepara un probeta modelo y se somete a un momento flector M = P.h. 3. como:
F = f . resultará:
(σ 1 − σ 2 ) =
p. por las razones que a continuación se enumeran: 1. El modelo sin carga entre los dos polaroides. e = Espesor de la probeta.
. 2. 3. kλ = = kf b. figura 3. Con la carga de calibrado y conociendo la longitud de onda de la luz monocromática utilizada para el calibrado. Entonces. A media que aumenta la carga de tracción. f I C. estará cubierto por una isocroma de orden cero (si el modelo no presenta tensiones residuales). a través de la probeta pasará luz parcial hasta un valor de la carga que oscurece. Probeta para calibrado a flexión. I = Momento de inercia transversal polar del punto que se esté considerando. la probeta (isocroma de orden 1). conocido (σ1 – σ2) = P/b.h kλ y= = k.e. La carga P que produce la primera extinción se denomina carga de calibrado.
Método del extensímetro lateral. es decir. constituyen un sistema de dos σ ecuaciones con dos incógnitas cuya resolución proporciona el valor de las tensiones principales. Separación de tensiones: Método del extensímetro lateral y métodos de integración.
. 3. examinaremos el primero y tercero. como: 1. esta información es más que suficiente en una gran mayoría de problemas. es nula. la deformaci en la Δd). se tiene:
Y la contracción. Supongamos un modelo en forma de disco que está sometido a las tensiones σ 1 y σ2. Se dispone de una red de isostáticas (es decir. Método del extensímetro lateral. será:
Y. La ecuación anterior y la que proporciona 1 – σ2 = kf. 2. por ello. se conocen las direcciones de las tensiones principales en cualquier punto del modelo). ón dirección del espesor. c.
Método de L’aplace. Puesto que una de las dos tensiones. Δd – Medida que efectúa el extensímetro cementado con su devanado activo en la dirección del espesor: ν y E – Constantes elastomecánicas del material con el que está construido el modelo. Método de L’aplace.y = Distancia de la isocroma de orden cero (línea neutra) a una isocroma por encima. teniendo en cuenta las relaciones tensión deformación. b. Para ello. Una vez que se han efectuado las observaciones fotoelásticas. sólo resta separar los valores de las tensiones principales. 3. será:
1 [− ν (σ 1 + σ 2 )] E
∆d = −
(σ 1 + σ 2 )d
d – Espesor del modelo. Se conoce el valor de σ1 – σ2 en cualquier punto del modelo.
De los métodos relacionados anteriormente. y que. Si se desea practicar un examen completo de un modelo. Método de Filón de integración a lo largo de isostáticas. experimenta una contracción en la dirección del espesor ( Entonces. se pueden utilizar diferentes métodos.
Generalmente. la tensión normal a las superficies libres de carga. se dispone de la siguiente información: a. los valores de σ1 – σ2 serán iguales a las tensiones tangenciales en los puntos de la superficie del modelo.
.. que juntamente con el valor de la diferencia de tensiones principales que proporciona la red de isocromas. generalmente.  dx   0
Se desprecian los términos de orden superior..... el más usado y está basado en una ecuación de compatibilidad para los estados planos de tensión.. tenemos un sistema que permite conocer cuanto valen las tensiones principales por separado.y) en serie de Taylor entorno de un punto O. el primer término de la laplaciana vale:
 d 2S  S + S 3 − 2S 0  2 = 1  dx  h2  0
... por tanto:
∇2S = 0
Esta ecuación se puede resolver por diferencias finitas para conocer el valor de S = σ 1 + σ 2 . se tiene:
1  d 2S   dS  S = S 0 +   ( x − x0 ) +  2  ( x − x0 ) 2 + .. por ser muy pequeños. según:
 ∂2 ∂2 ∇ 2 (σ 1 + σ 2 ) =  2 + 2  ∂x ∂y 
 (σ 1 + σ 2 ) = 0  
(σ 1 + σ 2 ) = S
Y.Este método es...  dx   0
h2  dS  S 3 = S 0 − h  +  dx  0 2
 d 2S   2  − . resulta:
 d 2S  S1 + S 3 = 2 S 0 + h 2  2   dx   0
Desarrollando la función S(x.. 2!  dx  0  dx  0  
Considerando el pequeño intervalo ± h:
x = x0 − h
h2  dS  S1 = S 0 + h  +  dx  0 2
 d 2S   2  + .. Sumando las dos últimas expresiones...
el de la forma y dirección de aplicación de las fuerzas. es necesario elegir una escala arbitraria para reducir las fuerzas aplicadas al modelo (1-M). conviene que el espesor sea lo más pequeño posible para tener máximo contraste.Análogamente. 2. lo que exige entonces la preparación de un modelo a escala reducida (1:L). no se podrá examinar un modelo fotoelástico del mismo tamaño que la pieza o estructura en estudio. M escala de las fuerzas aplicadas. σμ es la tensión en el modelo. por ejemplo. se tendrán finalmente:
S1 + S 2 + S 3 + S 4 = 4 S 0
y S0 =
S1 + S 2 + S 3 + S 4 = σ1 + σ 2 4
4. La gran ventaja que posee el método fotoelástico. el modelo. Por tratarse de estados de tensión planos. La red de isoclinas es una representación exacta de las direcciones de las tensiones principales a la escala utilizada. La magnitud de las tensiones en el prototipo real se deduce de las tensiones en el modelo.
M σµ L2
Las limitaciones más importantes del método fotoelástico. Entonces: 1. b. y la elección de este valor tiene que conducir a tensiones en el modelo inferiores a su límite elástico. el segundo término de la laplaciana valdrá:
 d 2S  S + S 4 − 2S 0  2 = 2  dy  h2  0
Sumando ambos términos. Limitaciones del método fotoelástico. para la dirección y. tampoco puede soportar las tensiones que soporta el prototipo metálico en la realidad por lo que. En general.
. por tanto. Sin embargo. La fotoelasticidad sólo puede resolver problemas en el campo elástico y para estados de tensión planos. salvo para piezas pequeñas. Transferencia de los resultados del modelo al prototipo real. en principio no importa el espesor del modelo. dadas sus constantes elásticas. también. según:
Donde: σ es la tensión en el componente real. estriba en que puede analizar tensiones puntuales mientras que. se obtendrá:
 d 2S   d 2S  S + S 2 + S 3 + S 4 − 4S 0  2  + 2  = 1 =0  dx   dy  h2  0  0
Lo que exige que el numerador sea nulo y. Por otra parte. son: a. conservando una semejanza rigurosa entre el prototipo y el modelo en ambos aspectos. L escala del modelo. los métodos extensométricos dan valores medios integrados de la deformación que se produce debajo del devanado activo.
se atribuye a Mesnager (1930). que son diferentes a las del prototipo. que no consiguió materiales adecuados para estos recubrimientos.4 a 0. fotoelasticímetro de reflexión Puesto que la distancia de observación (L) es grande.26 respectivamente.
e. Recubrimientos fotoelásticos: Fotoelasticidad por reflexión.
Fig. aun trabajando por debajo del límite elástico. con mayor influencia en materiales como el hormigón. la oblicuidad α se conside ra despreciable y la compensación se puede realizar por los métodos tradicionales. Esto supone hacer ciertas correcciones que pueden dar lugar a errores de hasta el 7%. pueden presentar heterogeneidades locales que alteren la distribución de tensiones. Esto ocurre. Zandman lo consiguió en 1956 desarrollando procedimientos para recubrir superficies curvas.
5. son mayores que en el prototipo real. La idea original de la medida de tensiones en la superficie de una estructura mediante el empleo de un recubrimiento fotoelático. también:
δ = k (ε 1 − ε 2 ) r d
. recordemos las expresiones:
δ = C (σ 1 − σ 2 ) r d
O. La forma de transmitirse las tensiones de la estructura o componente al recubrimiento.c. con ser delgado el recubrimiento. las deformaciones que experimenta en los puntos de aplicación de las cargas. todavía. mientras que los materiales metálicos.
d. Los materiales utilizados para los modelos son perfectamente elásticos. En la figura 4 se presenta esquemáticamente un polariscopio de reflexión con láminas cuarto de onda en el que la luz pasa dos veces por el material fotoelástico con lo que el efecto. puede variar de 0. El coeficiente de Poisson de los modelos respecto al acero.
Dado que el modelo es pequeño. Las láminas cuarto de onda pueden ser usadas o retiradas. es doble. lo que puede dar lugar a una distribución de tensiones en estas zonas. 4.
Para un estado plano de tensiones. k – Coeficiente óptico de deformación. el camino de la luz es doble del espesor (d). en la estructura se tendrá:
(ε 2 )r = (ε 2 )s
ε 1s = ε 2s =
1 (σ 1 − νσ 2 ) s Es 1 (σ 2 − νσ 1 ) s Es
. δ – Diferencia de marcha. es decir:
(ε 1 )r = (ε 1 )s
Entonces. se tendrá:
δ = 2C (σ 1 − σ 2 ) r d δ = 2k (ε 1 − ε 2 ) r d
Que dan la diferencia de marcha en el recubrimiento. las deformaciones de ambos serán iguales. Puesto que el recubrimiento está cementado a la estructura. El subíndice r indica que las expresiones se refieren al recubrimiento y el s a la estructura. se tiene:
1 (σ 1 − νσ 2 ) E 1 ε 2 = (σ 2 − νσ 1 ) E
ε1 − ε 2 =
1 (σ 1 + νσ 1 − σ 2 − νσ 2 ) E 1 ε 1 − ε 2 = (1 + ν )(σ 1 − σ 2 ) E
Por tanto. d – Espesor del recubrimiento. se puede escribir:
CE r (σ − σ 2 ) r Cd Er k = 1 = = →k = δ C 1 +ν r (ε 1 − ε 2 ) r 1 +ν r kd
Y como en el recubrimiento.Donde: C – Constante fotoelástica del material.
y ε2r. resulta:
Que introducida en la ecuación anterior. Finalmente en la práctica se hace uso del coeficiente óptico de deformación. Efecto de borde del recubrimiento. se llega a:
δ = 2C
Que da la diferencia de marcha en el recubrimiento como una función de las tensiones de la estructura y en función de dos constantes de la estructura y dos del recubrimiento (Er. de las
σ 1r = σ 1r = σ 1r = σ 2r =
Er 1 − ν r2
1  νr (σ 2 s − ν sσ 1s )  (σ 1s − ν sσ 2 s ) + Es  Es 
Er [(σ 1s − ν rν sσ 1s ) + σ 2 s (ν r − ν s )] E s (1 − ν r2 ) Er [σ 1s (1 − ν rν s ) + σ 2 s (ν r − ν s )] E s (1 − ν r2 ) Er [σ 2 s (1 − ν rν s ) + σ 1s (ν r − ν s )] E s (1 − ν r2 )
Sustituyendo los valores de σ1r y σ2r en la ecuación
δ = 2C (σ 1 − σ 2 ) r d . son: 1.s y νr. da:
k (1 + ν r ) Er
k (1 + ν r ) E r  1 + ν s  Er Es  1 +ν r  1 +ν δ = 2k (σ 1s − σ 2 s )d Es
 (σ 1s − σ 2 s )d  
La técnica de los recubrimientos fotoelásticos conduce a una serie de problemas que pueden dar lugar a errores al examinar las estructuras. resulta:
Er [σ 1s (1 − ν rν s ) + σ 2 s (ν r − ν s ) − σ 2 s (1 − ν rν s ) − σ 1s (ν r − ν s )] E s (1 − ν r2 )
Er Es  1 +ν s   1 +ν r   (σ 1s − σ 2 s )d  
Operando. por lo que eliminando C en función de k en la ecuación correspondiente.
. las tensiones serán:
σ 1r = σ 2r =
Er (ε 1 + νε 2 ) r 1 − ν r2 Er (ε 2 + νε 1 ) r 1 − ν r2
Eliminando en estas últimas ecuaciones los valoresε de ecuaciones que dan estos últimos valores.Y en el recubrimiento. que son iguales a ε1s y ε2s. De entre ellos. los más importantes.s).
que en el borde del orificio. no obstante. la tensión cortante es nula en la estructura y. Efecto del coeficiente de Poisson.
. 3. raramente conducen a errores superiores al 4%.2. que tienen lugar en la interfase estructura-recubrimiento. Sin embargo. por lo tanto. El efecto de borde del recubrimiento se pone de manifiesto. entonces se tiene. se ha comprobado que ya existe el mismo estado de tensión plano en la estructura y en el recubrimiento. y esta tensión cortante es nula en los extremos del recubrimiento. a una distancia de este borde de unos 3 ó 4 espesores de recubrimiento. Efecto del refuerzo de la estructura. no da lugar a efectos erróneos en el recubrimiento. Efecto del coeficiente de Poisson. cuando en la estructura existe un orificio. debido a que la estructura transmite sus deformaciones al recubrimiento a través de tensiones cortantes. Efecto de borde. ya que se eligen de forma que su coeficiente de Poisson sea lo más próximo posible al del material metálico. por lo que no tienen validez las lecturas en estos extremos. La contracción lateral que experimenta el recubrimiento fotoelástico.
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