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Timestamp: 2019-04-22 14:29:41+00:00

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Interpretación de Planos y Manuales
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u1 b Primero
FASES PARA LA ELABORACIÓN DE MANUAL
LP1 - TP 3 - 2011 clases 15 a 17
Cntl de Gdes Gpos
tallerrr de problemáticas contemporaneas del N.I...ruralidad, cultura aborígen
La instrucción en PAEV: Marcos, ideas y sugerencias ...................................................1 Introducción.........................................................................................................1 Modos de actuación ...........
..................................................................................2 Análisis del contenido: un ejemplo de actuación local y de alternativas para actuaciones puntuales. ..................................................3 Representaciones y ayudas visuales ....................................................................7 Dibujos en el libro de texto......................................................................8 Traducción entre representaciones ..........................................................9 Producciones gráficas en el curso de la solución.....................................10 Criterios para el uso de representaciones.................................................11 Representaciones que incluyen aspectos procesuales..............................12 Sobre los datos de un problema ...........................................................................15 Clasificación de los datos de un problema. .............................................16 Tipos de datos e instrucción ....................................................................19 Más sobre problemas con enunciado incompleto....................................22 El maestro pensando y en acción.........................................................................24 Pensando ..................................................................................................24 En acción .................................................................................................27 Los problemas aritméticos y los currículos de matemáticas ...............................29 Sobre qué tener en cuenta para la instrucción. ....................................................33
En contraste con la epigénesis y la tautología, que constituyen los mundos de la replicación, está el reino de la creatividad, el arte, el aprendizaje y la evolución, en el que los procesos ininterrumpidos de cambio se alimentan de azar. La esencia de la epigénesis es la repetición predecible; la esencia del aprendizaje y la evolución es la exploración y el cambio. Gregory Bateson, Mind and Nature
En los capítulos anteriores hemos tratado varios aspectos de los PAE y desde varios puntos de vista. Sin embargo, aunque, como en todo estudio que tiene que ver con la educación, las implicaciones para la práctica pueden encontrarse subyacentes a lo dicho, y aunque en ocasiones hayamos hecho mención explícita de las consecuencias que conllevaban para el aula algunos de los análisis efectuados de los problemas y de su proceso de resolución, o los resultados de las investigaciones presentados, hemos querido dejar para este capítulo todo aquello que expresamente tiene que ver con la instrucción en PAE. En algún momento de la redacción de este libro pensamos en que cada capítulo iría acompañado de las correspondientes sugerencias para la instrucción en la clase de problemas que en él se tratara; sin embargo, esto nos conducía a que cada párrafo de sugerencias quedaba reducido a un conjunto de reglas o pautas de conducta que el profesor podría seguir cuando tratase esos problemas en el aula y a que cada uno estuviera desconectado de los demás y demasiado ligado al tipo particular de problemas que se estaba tratando. Con ese estilo de presentación de las sugerencias, no nos parecía que pudiera comprenderse su sentido global al carecer de un discurso para la instrucción en PAE, ni entender cómo las sugerencias particulares para un tipo de PAE encajaban en el conjunto de estrategias de instrucción en cualquier tipo de PAE, ni, mucho menos, cómo los PAE pueden desempeñar un papel importante en la instrucción en resolución de problemas de matemáticas en general. Al hablar de marcos o ideas que impliquen actuaciones prácticas y de las sugerencias que pueden hacerse, hay que tener en cuenta en primer lugar desde dónde se hacen y para quién. Los destinatarios pertenecen a dos grupos de profesionales diferentes: los que trabajan en la estructura de apoyo a la enseñanza y los que enseñan directamente, esto es, los que diseñan el currículo, los que lo desarrollan, los profesores de apoyo (desde centros de profesores u otro tipo de centros), los
un recurso particular o un método. De ahí se deduce inmediatamente algunas dificultades que siempre van a aparecer a la hora de elaborar sugerencias –y a la hora de enunciarlas explícitamente– : primero. y puntual cuando se refiere a un problema.e. o introducir el estudio de una herramienta heurística o la práctica de destrezas asociadas al proceso de resolución de . o estrategias. por tanto. y. El establecimiento de objetivos de resolución de problemas –en el currículo que los tiene– pertenece asimismo al modo global de actuación. por decirlo en dos palabras. y los profesores en contacto directo y cotidiano con los alumnos. de distribuir los problemas en clases. o si. También es de orden global la decisión de situar los problemas antes o después de los recursos matemáticos. etc. que hemos llamado global. en lo que atañe a los profesores. el profesor pensando o el profesor en acción. es menester distinguir al menos entre tres modos de actuación. La estrategia global se ocupa de adecuar los problemas a los objetivos generales del currículo. local cuando considera una clase de problemas. 6. pg. de si los recursos matemáticos necesarios para la resolución de un problema han de estar tratados previamente a que éste se plantee en la secuencia que marca el currículo. en lo que atañe al diseño del currículo. y. La actuación o la estrategia es global cuando se refiere al conjunto del currículo de matemáticas. el profesor organizando o planificando su curso o alguna de sus horas de clase. En este caso. segundo. los profesores en formación. de distribuir estas clases por cursos o ciclos. local y puntual. será preciso distribuir éstos por niveles y decidir qué clase de problemas es más adecuada para cada objetivo si ello es posible. Además de indicar qué problemas parecen más adecuados para tratar un método general de resolución. los alumnos.Cap. o el profesor enfrentándose a una situación concreta con un problema particular o con un grupo de problemas. los resultados de los investigadores y los marcos teóricos construidos por éstos. leerse después– de forma distinta según su destinatario y el grado de globalidad que expresan. las sugerencias deberían elaborarse y enunciarse –y. por el contrario. MODOS DE ACTUACIÓN Para poder tomar en consideración de forma sistemática el conjunto de puntos de vista que traen a la instrucción en resolución de problemas cada uno de los destinatarios potenciales de las sugerencias que pueden hacerse. 2 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán formadores de nuevos profesores. Es decir. y de adecuar los problemas a la complejidad psicológica de los alumnos. al menos su estilo y sus finalidades. un profesor y unos alumnos concretos. los problemas se van a plantear para la introducción a partir de ellos de los distintos conceptos matemáticos contemplados en el currículo. esto es.. árboles o circuitos como problemas de multiplicación. el análisis didáctico realizado. o si se van a incluir problemas con la finalidad de ampliar el campo semántico de los conceptos –p.. last but not least.
pg. ejecución– y la necesidad de una buena gestión del proceso. su lectura comprensiva y el análisis de su contenido. pero no en el otro. Para ejemplificar el modo local de actuación. sin que en ninguno de los dos casos se haya comprendido en realidad nada. ANÁLISIS DEL CONTENIDO: UN EJEMPLO DE ACTUACIÓN LOCAL Y DE ALTERNATIVAS PARA ACTUACIONES PUNTUALES. Para que haya comprensión se requiere un pequeño análisis que descomponga el texto y permita descubrir al menos de quién se habla. Su hermana tiene 15 años y es 5 años más joven que su hermano. tal como lo hemos descrito. o qué clase de problemas ponen mejor en evidencia las grandes tareas generales –planificación. El modo global. En el problema 1: — Se habla de la hermana y el hermano de Juan.). En los PAEV el camino hacia la comprensión incluye la aprehensión de la estructura de un texto como problema. ¿Qué edad tiene su hermano? Problema 2 Juan tiene una hermana y un hermano. cuándo y cómo se engarzan en el plan general. Estrategias locales.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. también apunta que algún modo puntual de actuación está más adecuado a los objetivos generales del currículo que otros. Problema 1 Juan tiene una hermana y un hermano. 6. Así por ejemplo. que aplicado a los dos problemas anteriores da la solución correcta en un caso. el modo de actuación global indicará que algo hay que hacer para lograr una lectura comprensiva o la comprensión del problema. señalando para qué. una situación problemática. etc. ¿Qué edad tiene su hermano? Si la lectura del texto se limita a fijarse en las palabras clave –en este caso “más joven”–. un ejercicio algorítmico. deja indicado que es preciso tener estrategias locales para cada una de las cosas que distribuye. qué se dice y qué se desea saber. El trabajo que hay que realizar en este sentido depende del tipo de problema (problemas de encontrar o de probar. vamos a considerar una clase de problemas de una etapa que en el capítulo 3 vimos que son los más difíciles. Su hermana tiene 15 años y su hermano es 5 años más joven que ella. he de de restar”. 3 problemas. se pueden utilizar para analizar el contenido de distintas clases de problemas. Nos referimos a los problemas de comparar. . como simulación de las acciones o uso de representaciones. un problema de aplicación. los alumnos asociarán “más joven” con “menos edad” y acabarán consolidando esquemas de acción del tipo “cuando me encuentre con ‘más joven’.
u otras con “ancho”. — Se dice que el hermano es 5 años más joven que ella. “más lejos”. — Se dice que la hermana tiene 15 años.Cap. “lento”. en el problema 2: — Se habla de la hermana y el hermano de Juan. Luego. etc. En ambos casos. — Se dice la edad de la hermana. . La tarea del profesor es organizar el modo en que este análisis puede llevarse a efecto. “rápido”. Por su parte. con las expresiones análogas “más cerca”. el profesor selecciona un contexto en el cual va a enunciar los problemas de comparar. — Se dice que la hermana es 5 años más joven que su hermano. “largo”. los problemas 1 y 2 pueden ir acompañados de la siguiente lista de preguntas: 1 Desde el punto de vista de la estructura semántica. el profesor decide los materiales que acompañarán al enunciado del problema. El contexto elegido para los dos ejemplos anteriores es el de la edad y la expresión “más joven que”. Así. — Se desea saber la edad del hermano. Para empezar. “más caro”. “más barato” (y las correspondientes con “menos”). y el modo de organización del trabajo en clase. — Se desea saber la edad del hermano. 6. — Se dice la edad de la hermana. y otra en que el profesor dirige un diálogo con el conjunto de la clase. pg. Con este análisis no se ha hecho más que separar la información de la cuestión y aislar las frases que señalan la diferencia entre ambos problemas1. pensemos en una situación con los alumnos trabajando individualmente con fichas. Por poner dos ejemplos de estilo de trabajo. Otros contextos adecuados para los problemas de comparar son distancias o precios. el profesor desea que los alumnos realicen un análisis del contenido del problema: tendrá que presentar pues el enunciado del problema acompañado de una lista de preguntas que guíen dicho análisis o conducir un diálogo en el que dichas preguntas vayan apareciendo. el problema 1 es Comparar 3 y el problema 2 es Comparar 5. 4 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán — Se dice que la hermana tiene 15 años.
pg. hubiese sido más adecuado utilizar la secuencia de problemas que propone Freudenthal (1963): — Juan tiene 10 años. ¿Cuántos años han pasado desde que Pedro tuvo la edad de Juan? — Juan tenía 10 años en 1916. ¿Cuántos años tardará Juan en tener la edad que tiene ahora Pedro? — Juan tiene 10 años y Pedro 16. tendrá que tener en su mente. como guía del diálogo. ¿Cuántos años es Juan más joven que Pedro? — Juan tiene 10 años y Pedro 16. en lugar de en la relación “más joven”. similar al siguiente: 1. ¿Cuántos años tenía en 1916? Cuando el análisis del contenido se realice con problemas de varias operaciones hay que ir más allá de separar información y cuestión y repetir por trozos el contenido del problema. 5 ¿De quién se habla en la historia? ¿Cuál es su relación? ¿Qué se nos dice de ellos? ¿De quién conocemos la edad? ¿Quién es más joven? ¿Qué nos preguntan? Y también pueden ir acompañados de una línea numérica para que se señalen en ella las edades de los protagonistas de la historia. Si el profesor ha decidido ahora hacer el análisis del contenido en forma de diálogo.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. . Si la actuación local se hubiese centrado en la operación resta en este contexto. 6. investigar cada parte.— Familiarización del contenido del problema como un todo. ¿Cuánto tardará en tener 16? — Juan tiene 16 años. un esquema que le indique los pasos del análisis. ¿Cuándo nació? — Juan nació en 1910. comparar unas partes con otras y determinar sus relaciones mutuas. ¿Cuántos años han pasado desde que tuvo 10? — Juan tiene 10 años y Pedro 16. ¿Cuántos años le lleva Pedro a Juan? — Juan tiene 10 años y Pedro 16. Será necesario descomponer en partes.
— Descomponer el problema en trozos separados. Un buen ejemplo del comportamiento de un profesor dirigiendo un diálogo con esta finalidad está narrado en Bogolyobov (1972). ¿Cuánto le devuelven? El niño ya ha leído el problema y se ha aclarado de quién se habla en el problema –de una señora que compra yogures– y qué se pregunta –cuánto le devuelven. expresiones y relaciones mutuas.— Descomponer el contenido de las diferentes partes del problema. P.— Aislar la cuestión.: Cuando se paga más de lo que vale. P.: Cuánto le devuelven. 3.: Si tengo que pagar 6 y doy 10. P.Cap.: 20. Interpretarla desde el punto de vista de su contenido matemático. El siguiente fragmento del diálogo comienza cuando se pretende aclarar el contenido de la cuestión y continúa a partir de ahí: P.: 4.: Porque paga más de lo que vale. El problema es el siguiente: Problema 3 4 yogures cuestan 12 rublos. 6 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán 2. pg. 6. P. 6. ¿cuándo le devuelven a uno dinero? A. 4. ¿cuánto paga la señora? A.: ¿La mercancía cuesta menos de cuánto? .: ¿Y qué se pregunta? A.— Determinar de quién o qué se habla en el problema y qué se dice que hace o que ocurre. P. 5. ¿cuánto me devuelven? A.: ¿Por qué piensas que a la señora le deben devolver? A. etc. Una señora compra 6 yogures y entrega 20 rublos.— Descomponer el contenido de la cuestión. Interpretar palabras.: Al comprar.: En nuestro problema.
y otro. 2. . pg. 1966.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. P.: Menos de 20. representación gráfica y notación numérica”. 3.: ¿Y qué compró? A.: Yogures. por medio del aparato simbólico. el profesor resume en la pizarra el contenido del problema comenzando por la incógnita: 1.: No.: ¿Qué más se dice en el problema del coste de los yogures? A. otro.— Compró 6 yogures. P. La resolución del problema prosigue a partir de este punto. de “correspondencias entre lenguaje verbal. No es difícil encontrar el origen de estas recomendaciones en los trabajos de Bruner.: ¿Cuántos yogures? A.— A una señora deben devolverle de 20. por ejemplo.: Seis. por medio de la manipulación y de la acción. P. por medio de la organización perceptual y la imaginaría. Los seres humanos han desarrollado tres sistemas paralelos para procesar la información y para representarla: uno. REPRESENTACIONES Y AYUDAS VISUALES Hoy en día casi cualquier currículo incluye entre sus recomendaciones metodológicas “el paso del lenguaje oral y manipulativo. e incluso cuando esta recomendación se restringe al mundo de los números suele precisarse más hablándose.: Que cuatro yogures cuestan doce. pg. al gráfico y al simbólico”.— 4 yogures cuestan 12. 7 A. 6.: ¿Pregunta el problema por el coste de los seis yogures? A. esto no se pregunta en el problema. P. (Bruner. Tras este diálogo. 28).
— Incluso puede resolver el problema gráficamente. En Polya (1957) podemos encontrar la sugerencia Haz una figura entre las sugerencias heurísticas que ayudan a concebir y elaborar un plan para la solución del problema. DIBUJOS EN EL LIBRO DE TEXTO Por lo que se refiere a los dibujos que aparecen en los libros de texto. las consideraciones con que hemos empezado este apartado están en el nivel de las teorías generales del aprendizaje y la instrucción.Cap. figuras o representaciones desempeñan un papel importante en cualquier estrategia de resolución de problemas. 8 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán De ahí surge inmediatamente la necesidad de que en educación se deba poner todo el énfasis posible en las destrezas que tienen que ver con manipular. diagramas. podría servir de puente entre lo uno y lo otro. al reunir las características de lo abstracto y lo concreto. por lo que vale la pena realizar un pequeño análisis y estudio de ellas. — Aunque finalmente resuelvas el problema de otro modo. . una figura ayuda a comprenderlo. o que el profesor hace o induce que se hagan. pg. 2) Las representaciones internas del resolutor. que lo visual. En cualquier caso está claro que dibujos. Para ello nos parece que conviene distinguir entre: 1) Los dibujos. 3) Las producciones gráficas de carácter simbólico que el resolutor hace en el curso de la resolución. En la resolución de problemas las representaciones gráficas o ayudas visuales han sido y son ampliamente utilizadas pensando. 6. 1979. ver e imaginar. sin precisar más. y realizar operaciones simbólicas. esquemas o figuras que acompañan al texto de un problema. 178) Polya y Schoenfeld están hablando en el nivel heurístico. (Schoenfeld. esquemas. Schoenfeld (1979) con el fin de ser algo más prescriptivo es mucho más explícito y detalla las consecuencias que el uso de esta sugerencia puede acarrear: Ayúdate de una figura o diagrama siempre que sea posible: — Puede sugerir ideas o respuestas plausibles.— Objeto-ilustrativos. Botsmanova (1972) los clasifica en: a. pg.
la resolución puede realizarse en el dibujo reemplazando la traducción del texto por el simple recuento de los objetos representados. entre otras cosas. Lesh y sus colegas estudiaron los siguientes tipos de traducciones: — de símbolos a lenguaje escrito. tres modos de representación que son susceptibles de ser incorporados a los libros de texto –bookables.— Diagramas abstractos y esquemas que reflejan relaciones entre los datos. Dado que en toda actividad hay traducción entre representaciones. ya que los alumnos no pueden comprenderlos sin una preparación especial. los dibujos del tipo c –que son teóricamente los más provechosos– suelen ser inútiles si aparecen sin más en el libro de texto. y que prácticamente no hay ninguno del c. — de lenguaje escrito a símbolos. Aunque no disponemos de datos precisos. han sido estudiados por éste (Lesh. únicamente aparecen los datos pertinentes. b.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. pero suele requerirse la intervención del profesor ya que se trata de representaciones abstractas. pero que por una adecuada configuración espacial dan cuenta de las relaciones numéricas entre los datos. algunos exámenes no sistemáticos de libros de texto muestran que lo más frecuente es el tipo a. Cuando hay dibujos del tipo objeto-ilustrativos. el papel que desempeñan en la resolución de problemas. TRADUCCIÓN ENTRE REPRESENTACIONES Por otro lado. el lenguaje oral. según la palabra forjada por Lesh–. Si los dibujos son objeto-analíticos. Finalmente. sirven de ayuda en los problemas fáciles. Behr & Post. 6. c.— Objeto-analíticos. Esto es. que hay pocos ejemplos del b. hace falta para que sean útiles que se organice una instrucción específica en su realización y uso. por lo que Botsmanova opina que estos dibujos no ayudan a encontrar el curso de la solución. Puede haber representaciones del material de cálculo y puede estar reflejado el resultado numérico. pg. Dibujos de objetos individuales. 9 Dibujos de objetos individuales mencionados en el problema e ilustraciones del tema del problema. . los modelos manipulativos y los dibujos. 1987) para tratar de dilucidar.
10 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán — de dibujos a dibujos. vamos a tratar de establecer criterios que. indicamos que hay representaciones que resultan más adecuadas para comprender el problema y alcanzar la solución. situados en el punto de vista de la instrucción. al tratar de los problemas multiplicativos que se pueden modelar mediante árboles. de que un problema con materiales manipulativos es siempre más fácil. pero errónea. 6. por ejemplo. De ahí la importancia de tomar en consideración las producciones gráficas que se realizan en el curso del proceso de resolución. Las representaciones transparentes son las que no contienen ni más ni menos significados que la idea que representan. La lástima –concluye Lesh– es que todas las representaciones transparentes y útiles no son susceptibles de ser integradas en un libro de texto. pg. Aquí. Problema 4 En un corral hay gallinas y conejos. PRODUCCIONES GRÁFICAS EN EL CURSO DE LA SOLUCIÓN Ya en el capítulo 2. Hay 11 animales. desde el modo de actuar global. intuitiva y sugestiva. mientras que las opacas ponen de relieve unos significados en detrimento de otros y no tiene. . Lesh pone en guardia contra la idea comúnmente aceptada. Lo que encontraron es que la traducción a dibujos es más fácil que la traducción de dibujos a otra cosa. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay? El dibujo siguiente proporciona la solución del problema de forma bella. Lo que para él es crucial es la distinción entre las representaciones que llama transparentes y las que llama opacas. Entre todos tienen 32 patas. el mismo contenido semántico que la idea que representa. el famoso problema de las gallinas y los conejos.Cap. — de lenguaje escrito a dibujos. Aparte de estos datos de facilidades de traducción. — de símbolos a dibujos. — de dibujos a lenguaje escrito. — de dibujos a símbolos. y que la traducción en la que esté involucrado el lenguaje escrito es más fácil que la que involucra símbolos. ayuden a seleccionar qué representaciones son más adecuadas y útiles. Tomemos. por tanto.
Esta representación es pues útil desde el punto de vista puntual del trabajo con un problema concreto –y el profesor puede además celebrar que un alumno la produzca para resolver ese problema e incluso crear las condiciones necesarias para que el alumno la vea como una solución legítima y de la que partir para obtener una solución más elaborada–. — Ha de tener capacidad de proliferación. 2Habría que matizar que alguna idea de las operaciones aritméticas que hay que realizar para resolver el problema podría extraerse si en la interacción alumno-profesor éste muestra explícitamente la estrategia que sigue en la distribución de las patas a la vez que realiza el dibujo. Es decir.– resolviendo primero el problema análogo con números pequeños mediante esta representación. Las características que Fischbein atribuye a los modelos con capacidad heurística son las siguientes: — Ha de ser generativo. A pesar de la innegable belleza de esta solución o de su carácter intuitivo. Más aún. usando las mismas convenciones ha de proporcionar soluciones correctas para todas las cuestiones posibles de la misma clase. ni una mejor comprensión de las relaciones entre los datos que le permitiera tener un plan para resolverlo. . no creen que sea la solución que deben presentarle al profesor (No tiene pinta de ser una solución “matemática”). ser capaz de representar correctamente un número potencialmente ilimitado de situaciones diferentes con un número limitado de elementos y reglas. 6. pero no parece que reúna todas las características deseables para que se incluya dentro de una estrategia global de instrucción. CRITERIOS PARA EL USO DE REPRESENTACIONES Fischbein (1977) arguye que la mejor estrategia para maximizar los beneficios didácticos de lo que él llama “modelos intuitivos” es que éstos tengan tanta capacidad heurística como la que tienen los modelos científicos. 11 Los alumnos se sorprenden y. Esto es. si un resolutor con recursos heurísticos atacara uno de estos problemas en que los números de patas y animales fuera elevado –pongamos 1000 animales. Esto es. En efecto. — Ha de tener consistencia interna. no podría extraer de forma inmediata de la resolución gráfica del problema más simple ni una hipótesis sobre la respuesta al problema inicial2. poco se puede hacer con ella que vaya más allá de su uso en la resolución de problemas similares con conejos y conejeras o lagartos. ni un procedimiento para resolverlo. escarabajos y gusanos. p.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. esta representación no da cuenta de la estructura del problema y es impracticable en cuanto se aumenta ligeramente el tamaño de los números. en ocasiones.e. pg. ha de ser lo suficientemente flexible para inspirar la invención de nuevos modelos relacionados con él que se adapten a nuevos tipos de problemas.
aparecen otras condiciones. que vienen determinadas por el papel que estos modelos intuitivos representan para Fischbein. En un trabajo posterior y más extenso. la capacidad heurística de un modelo depende de su autonomía respecto al original. y. En efecto. para que la solución obtenida en los términos del modelo sea equivalente a una solución expresada en los términos del original. sobre el proceso cognitivo implicado en su reconocimiento. — Las representaciones simbólicas deberían ayudar a los alumnos a diferenciar varias estructuras y clases de problemas. además. En efecto. 1987) contienen hipótesis sobre los patrones de información que los estudiantes necesitan reconocer en los textos. 12 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán — Ha de tener una estructura intrínseca. Unicamente quedaría por añadir algunos criterios de eficacia. . añade Fischbein que el modelo debe corresponder a las características de procesamiento de la información propias de los humanos. El primero es obvio. A nuestro entender éstos son los criterios globales que hay que tener presentes para poner a punto o elegir las representaciones que se utilicen de modo local con una clase de problemas. esto es. pg. y esta autonomía implica que el modelo debe poder funcionar coherentemente sobre la base de sus propias leyes. Vergnaud (1982) señala dos: — Las representaciones simbólicas deberían ayudar a los alumnos a resolver problemas que no consiguen resolver sin ellas. 6. estos modelos cognitivos (Greeno. Este último aspecto es el fundamental y describe procesos de los cuales ni profesores ni alumnos son conscientes. el segundo presenta la dificultad de su contrastación empírica. Finalmente. los modelos “constituyen un artefacto que media entre lo intelectualmente inaccesible y lo intelectualmente aceptable y manipulable”. Pero. no se puede dar por sentado que el resolutor al utilizar la representación reconocerá como distintos los problemas representados. descripciones explícitas del conocimiento de carácter tácito que ha de ser utilizado. es relativamente fácil determinar representaciones teóricas que discriminen las clases de problemas. Lo que aquí quiere decir que el modelo no ha estar construido con reglas artificiales cuyo significado sólo se encuentra en el reflejo de la situación original. Fischbein (1987). con lo que el problema se resuelve en los términos del modelo y luego ha de ser reinterpretado en los términos originales. Así que hace falta que el modelo sea fiel al original sobre la base de un isomorfismo estructural entre ambos. ahora bien. además. sin que haya que recurrir al original para dotar de sentido a lo que se produce en el modelo. REPRESENTACIONES QUE INCLUYEN ASPECTOS PROCESUALES Otra fuente de la que obtener representaciones útiles en la resolución de problemas la constituye el análisis cognitivo de los procesos y estructuras de la información implicados en la comprensión del problema y que vayan más allá de la comprensión del texto.Cap.
está reflejada de algún modo en la tabla que relaciona estrategias y estructura del problema. Las relaciones entre conjuntos están representadas en formas que corresponden a diferentes tipos de problemas aditivos3. 13 El principio de instrucción de explicitar lo implícito abogaría por la conveniencia de utilizar representaciones que incluyan los conocimientos tácitos. . Representaciones de estas características son las que Greeno (1987) describe que diseñó Lindvall para problemas verbales. que aparece en el capítulo 3. En ellas. 6.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. los puntos corresponden a los objetos del problema y están contenidos en curvas cerradas que corresponden a conjuntos. Cambio Aumentar Cambio Disminuir A J B T Combinar Separar R D Comparar L R Comparar J A Igualar Quitar S J Igualar Añadir 3Estas representaciones tratan de dar un soporte intuitivo a las estrategias que usan los niños. cuya efectividad medida en nivel de éxito. pg.
propiedades algebraicas de las 4Ver los diagramas para estas relaciones que aparecen en el capítulo 5. relaciones entre cantidades. Además de servir para reflejar la estructura del problema. Cuando se trata de diseñar una estrategia de instrucción en resolución de problemas y se piensa incluir en ella el uso de este tipo de diagrama. el diagrama puede ser útil en la instrucción ya que: — Permite “ir por partes” (ayudando en la descomposición del problema en trozos) y permite volver una y otra vez sobre el plan de solución. — En la fase de revisión. problemas con números grandes y problemas con cantidades continuas. expresiones aritméticas elementales. y. el nivel de éxito se incrementó en 3’4 problemas por término medio. pasaron un test de 20 problemas. sin que se utilicen también diagramas similares –por ejemplo. . Esto es. se aplica aquí la idea general de que nada funciona si se presenta aislado: hace falta que se organice el uso de estos diagramas por parte de los alumnos y del profesor en un modo de actuación global que integre operaciones aritméticas elementales. que describe Greeno (1987): cuando niños de 1º. Esto es. El diagrama utilizado en el capítulo 5 para dar cuenta de la estructura de los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas es también una representación que contiene aspectos procesuales. el nivel de éxito se incrementó en 4’2 problemas por término medio. en un test de transferencia de 20 problemas.Cap. pg. o como la representación de relaciones del estilo de precio unitario-cantidad-precio total4. — Sirve de gestor en cuanto refleja con claridad los avances y retrocesos que tienen lugar mientras se elabora el plan de solución. Y que también se haya utilizado una representación de este tipo como modo de organizar el orden en que deben realizarse las operaciones indicadas por medio de expresiones aritméticas complejas. 6. la eficacia y la racionalidad de la solución obtenida. el orden en que deben realizarse las operaciones entre los datos. 14 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán El apoyo experimental a la utilidad de tales representaciones lo proporciona la experiencia de Tamburino. problemas de una etapa. expresiones aritméticas complejas. diagramas de síntesis– en terrenos cercanos como problemas de una etapa. sobre todo aquellos que tienen que ver con el plan de la solución. la elección de incógnitas auxiliares. instruidos en el uso de esos diagramas. al presentar a la vista todo el problema de una vez. esto es. o la organización de la cadena deductiva. lo que para Greeno es más importante. que incluía problemas de dos etapas. el diagrama no funciona si se utiliza para la instrucción en los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas. no cabe pensar en una actuación de tipo local. facilita el examen del plan.
El que sigue es un ejemplo estupendo. unos datos y una incógnita. lo que aparece en un problema es una información y una pregunta y. Problema 5 Hay 10 personas sentadas alrededor de una mesa. el de la síntesis. si en vez de presentar enunciados de problemas se presentan situaciones problemáticas como el problema 6. hemos visto en el capítulo 5 cómo se utilizaba como táctica de instrucción algunos enunciados de problemas en los que no estaban todos los datos requeridos. la interacción resolutor-problema. Vamos ahora a volver al punto de vista desde el cual. aunque hemos hecho análisis que pueden considerarse del primer nivel. concisa y elegante. Es corriente que los problemas matemáticos se redacten de forma precisa. al menos metodológicamente. pg. siempre que se lean de arriba abajo. 6. La renta media de las 10 personas es 1 millón de pesetas. haciéndose análisis o síntesis. no hemos mirado el aspecto que tiene un problema en general. hay que tener en cuenta que los diagramas pueden hacerse o leerse de abajo arriba o de arriba abajo. como es usual. Sin embargo. SOBRE LOS DATOS DE UN PROBLEMA En el estudio de la resolución de problemas es conveniente distinguir. tres niveles de análisis: el problema aislado. y las situaciones de instrucción en las que el resolutor resuelve el problema que le ha sido propuesto por el profesor. Por otro lado. La renta de cada persona es la media de las rentas de las personas que están sentadas a su lado. Además. una de las tareas que hay que realizar es precisamente determinar aquellos datos que se consideran útiles para contestar a las preguntas que se planteen. Averiguar la renta de cada persona. lo que implica en particular que en su enunciado aparezcan únicamente los datos que son necesarios para determinar la incógnita. Ahora bien. o simplemente no había pregunta. 15 operaciones y problemas aritméticos de varias operaciones combinadas5. haciendo abstracción del contenido. Lo que hemos estado haciendo en los otros capítulos ha sido tomar en consideración el contenido del problema y analizarlo o clasificar los problemas en función de ello. colección de libros de texto en la que se usan de forma modélica estos diagramas para casi todo lo que hemos indicado es la editada hace ya algunos años por Interduc-Shroedel con el nombre El mundo del número. 5Una . por tanto. todos los diagramas que se presentan van en el mismo sentido. Desde el capítulo 1. procesos que son diferentes en cuanto a su complejidad y su posibilidad de uso en función de la edad de los alumnos.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. profesor que sigue el curso de su resolución e interviene en éste cuando lo cree conveniente.
consideremos que D es el conjunto de datos que en las condiciones C del problema permiten determinar la incógnita. — Suficientes. Ahora bien. incógnita y condición. es el conjunto de datos que aparecen en el enunciado del problema. sin precisar demasiado se suele decir de algunos de los elementos de S que son datos superfluos. S es contradictorio si en las condiciones C del problema se puede decidir acerca de la inverosimilitud de alguno de los elementos de S. insuficientes. En caso contrario S es consistente. Para precisar estas clasificaciones. La no redundancia se debe a la imposibilidad de determinar el tamaño del campo a partir de las condiciones del problema. 6Para un problema no hay únicamente un conjunto de datos suficiente en el sentido en que aquí se define: puede haber varios. (Por ejemplo “Encontrar 2 números impares cuya suma sea 7”). el conjunto S de datos {2 días. pero no redundante. 3 días. datos. subconjunto de D. 6. el dato 6Ha es pertinente. los datos que aparecen en el enunciado de un problema pueden clasificarse de varias maneras: — Contradictorios y consistentes. .Cap. 6Ha} es abundante. en el problema 7. En este caso. Cualquier superconjunto de S es abundante. La pertinencia del dato 6ha queda reflejada en la posibilidad de resolver el problema utilizándolo. Cuando se considera un problema compuesto por tres partes. Un conjunto de datos R es redundante si y sólo si contiene un subconjunto S suficiente y cualquier elemento de R\S puede ser determinado a partir de S en las condiciones C del problema. y que S. En otro caso d no es pertinente. S es suficiente si y sólo si ningún subconjunto de S permite determinar la incógnita en las condiciones C6. abundantes y redundantes. Cualquier subconjunto de S es entonces insuficiente. Por otro lado. pg. un elemento d de S es pertinente cuando la información contenida en C se refiere a él. Así. 16 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Problema 6 ¿Cuál es el mejor sitio para construir un puente entre dos ciudades separadas por un río? CLASIFICACIÓN DE LOS DATOS DE UN PROBLEMA. Lo que indica que en un conjunto de datos abundante algunos de los datos superfluos pueden ser útiles para resolver el problema. — Pertinentes y no pertinentes.
está enunciado sólo con un conjunto de datos suficiente. El problema 8. por su parte. los que quedan son suficientes para resolver el problema. modificar la estructura del problema. Antonio puede cavarlo en 2 días. pg. 6. 17 Problema 7 La superficie de un campo es de 6Ha.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. Problema 8 Un grifo llena un depósito en 10 horas y un desagüe lo vacía en 15 horas. pero la estructura del problema es distinta. si son pertinentes. Los diagramas que siguen – comunes a ambos problemas– muestran pues cómo la presencia de más datos de los suficientes pueden. pero pertinente tiempo conjunto inverso fracción conjunta +ο− fracción A inverso tiempo A fracción B inverso tiempo B . ¿Cuánto tiempo tardarán en cavarlo los dos juntos? Si se elimina el dato 6Ha. Juan en 3 días. Estando el depósito vacío y abriendo el grifo con el desagüe abierto. ¿cuánto tiempo tardaría en llenarse el depósito? Estructura sin el dato superfluo.
pero pertinente tiempo conjunto ÷ total cantidad por unidad de tiempo +ο− idem A idem B ÷ total tiempo A total ÷ tiempo B En la siguiente lista de problemas hay ejemplos de conjuntos de datos de los tipos descritos. 18 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Estructura con el dato superfluo. 6 y 2.Cap. Problema 11 Dado un triángulo de lados 3. 20 y 20. Problema 9 Un día en que la velocidad del viento es 100 km/h un avión recorre 580 km. 6. y cuya altura es 16. . pg. 12. El lector puede entretenerse en examinar qué sucede en cada caso con la estructura del problema. y al tercer día recorre 100 km menos que entre los dos anteriores. Hallar su área. Problema 12 ¿Cuántos planos determinan 5 puntos de los cuales no hay 4 coplanares ni 3 colineales? Problema 13 Hallar el área de un cuadrilátero cuyos lados miden 12. ¿Cuántos kilómetros recorrió? Problema 10 En un triángulo rectángulo isósceles se sabe que un cateto mide 3m y la hipotenusa 3 2 m. Al día siguiente recorre 380 km más que el día anterior. Hallar su área y su perímetro.
¿Cuáles son esos números? Problema 15 Los lados adyacentes de un paralelogramo miden 20 y 12. Un buen ejemplo del efecto que su uso tiene en los alumnos lo cuentan Menchinskaya & Moro (1975). lo lógico y lo ilógico. Hallar su área. Kilpatrick & Radatz (1983) lo aconsejan con una finalidad bien clara: Los profesores de matemáticas pueden plantear tales problemas insolubles a sus alumnos como medio de investigar cuán profundamente arraigado tienen el punto de vista de que los problemas escolares representan una forma especial de la realidad que no tiene relación con los problemas del mundo real. mientras que los alumnos promedio únicamente percibían la historia como un conjunto de hechos desconectados. 19 Problema 14 La suma de tres números pares consecutivos es 57. un método de conflicto cognitivo no ortodoxo– requiere situaciones o problemas que. los estudiantes pueden llegar a tener la sensación de que en matemáticas todas las tareas tienen solución. TIPOS DE DATOS E INSTRUCCIÓN Desde el punto de vista de la instrucción hay que discutir ahora la conveniencia o no de presentar problemas con unos u otros tipos de datos y qué hacen los alumnos. Por último un estilo de enseñanza basado en el análisis y la reflexión de los errores cometidos por los alumnos –esto es. Ahora bien. incluso problemas como el de La edad del capitán. Si se sigue la tradición o se tiene detrás una teoría del aprendizaje conductista en la que el niño aprende por imitación de la conducta del profesor a través de una secuencia de tareas jerárquicamente estructuradas. prevalecerá la idea de no exponer a los alumnos al riesgo de caer en el error y ni siquiera cabrá plantearse más enunciados de problemas que aquellos que tengan un conjunto de datos suficiente. ¿Cuántas manzanas tiene su abuela?”. entonces hay razones para plantearse el uso de problemas con todos los tipos de datos. Unos alumnos tuvieron una reacción tan emotiva al saber que habían cometido un error al sumar 3 y 5 para contestar al problema “Borya tiene 3 manzanas y Vera tiene 5 manzanas. sean útiles para ello. como éstos.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. . Krutetskii (1976) encontró que entre las habilidades de los mejores resolutores se encontraban las de formular una pregunta para una historia dada y distinguir problemas con distintos tipos de datos. si uno piensa que una de las tareas de la resolución de problemas consiste precisamente en distinguir entre lo razonable y lo absurdo. Si no. que a partir de ese momento le prestaron una atención especial a la pregunta del problema. pg. 6. Lo que también puede considerarse como un argumento a favor de su inclusión.
que está descrito en Puchalska & Semadeni (1987). Esto es. ¿Cuánto comen 5 conejos en una semana? En un problema en el que se trata de determinar el precio de una comida de tres platos y en el que en la carta se proporciona la información del precio de cuatro platos. únicamente el 39% de los niños de nueve años contestan correctamente. Así. por ejemplo. Las preguntas que se plantearon fueron las siguientes: ¿Qué clase de dificultades tienen los niños cuando se les proponen problemas con datos insuficientes. y es difícil si en la pregunta no hay indicación del dato que falta y. además. Para ella. . Problema 16 Un conejo come 2 libras de alimento cada semana.Cap. Un año tiene 52 semanas. En el mismo informe. mientras que los demás suman los cuatro precios. si los datos son abundantes. superfluos o contradictorios? ¿Causan estos problemas desconcierto. como es el caso del problema 16. el precio de una compra de varios artículos. Este es. por ejemplo. pero no pertinentes. 6. Kalmykova (1975) aporta la explicación de Menchiskaya de la fuente de dificultad para encontrar los datos requeridos según la estructura del problema. pg. e incluso cuando los problemas se resuelven correctamente no es fácil que los alumnos identifiquen la información extra. 20 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán De lo que hacen los alumnos al resolver problemas con distintos tipos de datos se tiene alguna información. Uno de los pocos ejemplos que conocemos de un estudio sobre este asunto es el realizado en Polonia por Puchalska con niños de 7-8 años. el caso de Polonia donde desde el primer curso se utilizan problemas con distinto tipo de datos para fomentar el desarrollo del pensamiento crítico. la información abundante suele crear problemas. se indica que únicamente el 29% de los niños de nueve años son capaces de identificar –en problemas con datos insuficientes– la información que falta para determinar. no es difícil saber qué dato falta si la pregunta del problema contiene alguna indicación de éste. Estos hechos y las ideas expuestas acerca de la conveniencia o no de la presencia de este tipo de problemas en el currículo hacen que cada vez más las recomendaciones oficiales indiquen a los profesores la necesidad de aprovechar toda oportunidad en la que puedan situar a los niños desde los primeros años escolares ante problemas de esta clase. La información de la que se dispone obtenida mediante tests o situaciones experimentales controlados es poco abundante y no dice gran cosa de lo que ocurre cuando problemas de esta clase están presentes en el currículo de modo regular o se utilizan siguiendo una estrategia concreta de instrucción. el informe del NCTM (1981) indica que los porcentajes de éxito son el 47% para los niños de 9 años y el 56% para los de 13. éste no está referido explícitamente en la condición del problema.
frustración u otros efectos negativos? ¿Se fijan los niños en el significado de la historia? ¿Cómo reaccionan ante problemas absurdos? ¿Mejoran las respuestas de los niños después de recibir instrucción en estos problemas? ¿Cuál debería ser el papel del niño –guiado por el profesor– en su intento de mejorar el enunciado del problema? ¿Cambian su opinión acerca de la posibilidad de resolver el problema después de la discusión o después de intentar resolverlo? Los problemas que utilizaron fueron los problemas 17 a 26. El lunes tenía 3 zlotys en su hucha de cerdito. El martes tenía 4 zlotys en ella. pg. 6. ¿Cuántos cerdos le quedan? Problema 21 Anna tiene 7 años y Bob 10. Joan tiene una bicicleta. ¿Cuánto dinero acumuló? Problema 20 Un granjero tenía 12 cerdos. Problema 17 Gapcio le puso a Dolly el siguiente problema: “Había gorriones en un árbol. que presentamos por grupos. un huevo costaba ayer 15 zlotys. El miércoles tenía 8 zlotys en su hucha de cerdito. ¿Cual será el precio de un huevo mañana? Problema 23 Jonny y Mike están sentados en clase. ¿Cuántos años más vieja es Anna? Problema 22 En el mercado. ¿Cuántos gorriones había en el árbol?” ¿Qué debería decirle Dolly a Gapcio? Problema 18 Mary invitó a 5 chicas y 3 chicos a su fiesta de cumpleaños. Hay chicas de pie en la pizarra. ¿Cuántas chicas hay de pie en la pizarra? Problema 24 Mike tiene una bicicleta. Yo vi 5 gorriones y Dick vio 6 gorriones. ¿Cuántas bicicletas tienen? . Jonny ve 3 chicas y Mike ve 3 chicas. Fue al mercado y vendió 4 gallinas. ¿Cuántos años cumplía? Problema 19 Cada día Olga guarda dinero en su hucha de cerdito y apunta cuánto tiene en ella.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. 21 confusión de conceptos. Tom tiene una bicicleta. Hoy un huevo cuesta 14 zlotys.
éste ha de ser local. — ante un conjunto de datos. Por tanto. aportando alguna información sobre el comportamiento y reacciones de los alumnos e indicando el marco de actuación en el que parecen más útiles. Por ejemplo. al no haberse hecho habitual el uso de problemas con datos insuficientes. . las explicaciones lógicas del profesor suelen ser menos convincentes que un estallido de risa. Desde el punto de vista del marco de actuación. MÁS SOBRE PROBLEMAS CON ENUNCIADO INCOMPLETO En el apartado anterior nos hemos centrado en el estudio del problema según el tipo de datos.Cap. y si reaccionan con sinsentidos y se desconciertan es por la misma razón. Por otro lado. se pide el enunciado de un problema. se pregunta por los datos. superfluos o contradictorios. 22 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Problema 25 Mike escribió una carta a su tío. Es importante subrayar que la influencia de los compañeros es significativa: cuando el trabajo es individual no hay discusión ni posibilidad de expresar las dudas. en unas condiciones de instrucción en la que los niños tengan oportunidad de discutir los problemas y expresar sus dudas. Joan escribió una carta a su tío. con lo que estos problemas sirven para muy poco. ¿A cuántas escuelas van? Las conclusiones de este estudio pueden ser útiles para marcar pautas de instrucción. — dada la incógnita. se induce al desconcierto. se pide elegir los datos que encajan con la pregunta del problema. ¿Cuántos tíos recibieron cartas? Problema 26 Mike va a una escuela. Puchalska indica que si los niños dan respuestas insatisfactorias o aterradoras a estos problemas es precisamente porque no han sido instruidos. Tom va a una escuela. Hay además otras clases de actividades de resolución de problemas que pueden ser eficaces y que no hemos mencionado. — ante una situación. actividades en las que: — se pide cuál podría ser la pregunta del problema. — se pide excluir o restituir datos. si se utilizan aisladamente. pg. Tom escribió una carta a su tío. y pueden contribuir así a la comprensión de lo que un problema verbal es en todas sus partes. este tipo de problemas pueden ser utilizados como medio de desarrollar el hábito de leer un texto significativa y críticamente. Joan va a una escuela. 6. Así. mientras que. porque estos problemas sólo resultan productivos cuando se ponen varios consecutivos y hay una explicación inicial apropiada.
¿Cuántos kilómetros le faltan para llegar a sus destino? El Sr. En el depósito hay todavía 30 litros. — Han sido 4500 ptas. ¿Cuáles son? Problema 32 ¿Cuánto dinero le devuelven a Ricardo? Problema 33 ¿Cuántos caramelos recibirá Juan? Problema 34 ¿Cuál ha sido el aumento de precio? Problema 35 ¿Cuántas pesetas corresponden a cada uno? Problema 36 Llegó a las 7h. Precio de la habitación. por 7 noches. En 12 minutos en depósito está lleno. 3920 ptas. por cada día de estancia en el camping. — Cuatro noches. Soler gasta 10 litros en 90 kilómetros. ¿Cuál podría ser la pregunta? Problema 29 Una niña tenía 50 ptas. 560 ptas. Están en él durante 20 días. Problema 31 — La cuenta. En el depósito entran 25 litros de agua por minuto. ¿Cuánto se gastó? Problema 28 Una niña compró un cuaderno por 50 ptas y un lápiz por 15 ptas. Precio por noche. Compró un lápiz y un cuaderno. ¿Cuántos litros caben en el depósito? ¿Cuál fue la duración del viaje? . A partir de estas tres frases dichas antes de abandonar un hotel. En el depósito hay 30 litros. 23 — ante un conjunto de datos y preguntas. Cámara salió a las 15h. Problema 27 Una niña compró un lápiz y un cuaderno. El Sr. puedes plantear tres problemas. ¿Cuánto gastó? Problema 30 La familia Soler paga 250 ptas. 6. 680 ptas. pg.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. Los problemas 27 a 36 son ejemplos de estas actividades. se pide encajarlos para formular uno o varios problemas.
— Para entrar en el análisis de las relaciones entre la incógnita y los datos del problema. en el caso concreto de los problemas de varias operaciones combinadas. 2. problemas que en el capítulo 5 llamamos de primer tipo al comentar los estudios de Kalmykova. pg. se puede señalar alguna de las tareas que debe contener cualquier estrategia de instrucción. si consideramos el problema 37. 6. Vamos a usar como ejemplo de ello cómo. el resolutor deberá empezar por aislar “12”. “por cada cuatro regalan uno”. en todo caso. 1. al estar el problema enunciado. antes de seguir adelante con la resolución del problema. De ahí que lo primero que haya que hacer sea: COMENZAR EL PROCESO DE RESOLUCIÓN CON UN ANÁLISIS DEL TEXTO DEL PROBLEMA QUE AÍSLE DATOS E INCÓGNITA DE LAS OTRAS PALABRAS Y RELACIONES QUE LOS CONECTAN. Pero. sino un proceso del tipo incógnita o datos→análisis-síntesis→problema resuelto. identificar la incógnita “¿Cuántos cromos le darán?”….Cap. EL MAESTRO PENSANDO Y EN ACCIÓN PENSANDO Antes de comenzar la instrucción en una clase de problemas es conveniente que el profesor analice teóricamente las dificultades que pueden presentarse cuando los alumnos tengan que resolverlos. éstas pueden determinarse mientras el niño lee el problema. Pero esto sólo suele ocurrir en problemas de estructura simple o familiares para el niño. Problema 37 Juan compra sobres de cromos que están de oferta.— Para empezar. 24 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Estos problemas pueden utilizarse en el mismo sentido que los problemas anteriores. . parecen imprescindibles al comienzo de cualquier estrategia de instrucción para la resolución de problemas aritméticos de varias operaciones combinadas. podemos observar que los organigramas de análisis y de síntesis (ver capítulo 5) no describen un proceso del tipo problema enunciado→análisis-síntesis→problema resuelto. ¿Cuántos le darán si compra 12? Esto indica que. con el marco teórico proporcionado por el método de análisis-síntesis. Por cada cuatro que compra le regalan uno.
el enunciado se completa con la pregunta o las preguntas “¿Cuánto dinero dio al tendero?”. Problema 39 Juan compra un cuaderno de 50 ptas. DE ENTRE LAS POSIBLES QUE PUEDEN PRESENTARSE EN UN CONTEXTO.— En la situación del problema 39. preguntar por la cantidad devuelta. . pg. etc. ¿Cuánto vale un par de medias? Ahora bien. que ya citamos en ese capítulo. elegir las incógnitas auxiliares y seleccionar las relaciones entre ésta y éstos son etapas y tareas imprescindibles en la resolución de problemas de varias operaciones combinadas. lo corriente es estar de acuerdo en que lo que aquí corresponde determinar es la cantidad dada por Juan al tendero como importe de su compra. 3. 4. ASÍ COMO SUS RELACIONES FUNCIONALES ES UNA TAREA IMPRESCINDIBLE PARA ELEGIR CON ACIERTO LAS INCÓGNITAS AUXILIARES O LOS DATOS INTERMEDIOS. y 3 monedas de 5 ptas. con lo que se procede en sentido inverso. 25 Problema 38 Mamá gasta 2000 ptas. “¿Qué monedas entregó Juan como pago de su compra?”. se ha seleccionado la cantidad que parece más interesante determinar en las condiciones descritas. De ahí que lo que haya que hacer sea: ESTUDIAR Y DESCUBRIR EL CONTENIDO DE DATOS E INCÓGNITA. De ahí que: LA SELECCIÓN DE AQUELLAS RELACIONES QUE PERMITEN DETERMINAR LA INCÓGNITA O ELEGIR LAS INCÓGNITAS AUXILIARES. si el problema es del segundo tipo como el problema 38.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. HACE NECESARIO UN EXAMEN DETENIDO DE LAS CONDICIONES PARTICULARES DEL PROBLEMA. Cuando la situación se presenta como problema. 6. preguntar por el gasto efectuado. el contenido de los datos y las relaciones entre ellos permiten comparar el coste de lápices y cuadernos. se necesita realizar un análisis más detenido de las relaciones para elegir las incógnitas auxiliares. consiste en un proceso iterativo que deja únicamente de dar vueltas con la reducción final de la incógnita a los datos iniciales o la expresión de ésta en función de ellos. y 3 lápices de 20 ptas cada uno. Esto es. El tendero le devuelve una moneda de 25 ptas. que estamos utilizando como herramienta teórica para elaborar la estrategia de instrucción. Sin embargo. Sin embargo. 800 ptas en un perfume y el resto en 3 pares de medias. en el que ni los datos ni la incógnita indican claramente en función de qué cantidades de las presentes en el problema puede ser determinada la incógnita.— Aislar datos e incógnita. no puede olvidarse que el método de análisis-síntesis.
las relaciones entre estas incógnitas auxiliares. que. que debe ser construida de modo exacto y preciso siguiendo un orden determinado. y se utilizan con la intención de indagar en la fuente de las dificultades de los problemas de varias operaciones combinadas. Finalmente. este proceso supone la ideación y creación de una cadena de relaciones entre incógnita.Cap. El resto lo quiere abonar en 6 plazos mensuales. Problema 40 Unos granjeros almacenaron heno para 57 días. 6. pero indica la naturaleza de la incógnita auxiliar. se determinan con el ánimo de encontrar el eslabón perdido. Esto indica que las máximas dificultades del análisis quizá no estén en la elección de las incógnitas auxiliares –“heno total consumido”. pg. Garrido? En la escuela. se enreda con suma facilidad en círculos viciosos. Problema 41 El Sr. en cuyo enunciado se incluye una pregunta que no da directamente el dato que es preciso utilizar. ahorraron 113 kg por día. Al recibirla paga 9050 ptas. en cada una de las oraciones. no siendo útiles para la resolución del problema y aun careciendo de sentido en ocasiones. sino en la construcción de la cadena deductiva que selecciona estas incógnitas auxiliares en el orden en que pueden ser determinadas de modo progresivo a partir de los datos. Además se procura hacer explícitas. “días de más”. Por comprar a plazos debe abonar además 1410 ptas. ¿Cuántos kilos de heno almacenaron? Cuando el resolutor se enfrenta con problemas como el problema 40. Esto último se logra gracias a la disposición de las oraciones de modo que el orden en que se sitúan en el texto del problema es un reflejo. “heno ahorrado en total”. con lo que tuvieron heno para 73 días. ¿Cuánto ha de pagar el Sr. 26 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán En la práctica. los problemas que se utilizan suelen compartir la estructura del problema 41 en el que los signos de puntuación dividen el enunciado del problema en pequeñas oraciones construidas de modo que facilitan el análisis de las relaciones entre las distintas componentes del problema y la construcción de la cadena deductiva. los . el producto 113×73–. del orden en que se disponen en la cadena deductiva las incógnitas auxiliares. Las dificultades que presenta la construcción de esta cadena son lo que conduce a lo llamamos en el capítulo 5 “síntesis superfluas” –aquí. como el heno era de mejor calidad de lo que pensaban. “heno consumido por día”…–. por ejemplo. Problemas como éste no son demasiado frecuentes en la escuela. pero. Garrido compra una lavadora automática por 27500 ptas. lo más fiel posible. incógnitas auxiliares y datos. Otro caso menos extremo lo constituía el problema 2 de ese mismo capítulo. Un caso extremo de esta estrategia se vio en el capítulo 5 cuando presentamos un diagrama de un problema cuyo enunciado daba el análisis hecho.
hay que salvaguardarse de los efectos perniciosos que vimos que pueden producir si son los únicos que se usan. esto es si uno toma en cuenta todo lo que llevamos expuesto en este libro. Un ejemplo práctico de una forma de actuar que contiene parte de todo esto y que se adecúa a los problemas aritméticos está descrito en Kalmykova (1975). el de quien muestra que siempre hay más de una forma de hacer las cosas. . EN ACCIÓN En teoría. pg. etc. en qué situación (cómo va a organizar la clase). y cómo va a acabar (proponiendo más problemas según la finalidad perseguida). el de quien está dispuesto a usar las ideas de otros. si bien. mediante sugerencias heurísticas y como gestor. pueden usarse asimismo para ayudar a la construcción de la cadena deductiva. De ahí que: PARA FACILITAR LA CONSTRUCCIÓN DE LA CADENA DEDUCTIVA QUE CONDUCE DE LOS DATOS A LA INCÓGNITA (O DE LA INCÓGNITA A LOS DATOS) SE IMPONE UN ANÁLISIS DEL TEXTO DEL PROBLEMA QUE LO DESCOMPONGA EN PARTES. con estos últimos. Petrova dedicaba mucha atención a enseñar a los niños a leer el texto del problema y les hacía observar: a) La importancia de cada palabra y cómo ésta podía cambiar el sentido del problema. cómo va a intervenir (por ejemplo. una profesora cuyos alumnos tenían muy buen rendimiento. el de quien no es infalible). que son los que siguen: 1. 27 problemas-cadena. El trabajo con el problema comienza con la lectura de su enunciado con una entonación intencionada. semánticas. para qué pretende usarlo (véase lo dicho en el apartado Modos de actuación). qué rol va a asumir (el de quien hace el problema como modelo que hay que imitar.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. teniendo en cuenta que tiene que saber por qué fase va el proceso y disponer de un diagnóstico del los atascos). En este primer paso se da la primera descomposición del texto y el aislamiento de datos e incógnita. 6. Kalmykova observó el comportamiento de Petrova. comentados también en ese capítulo. de contexto. formato de presentación. UN ESTUDIO DETALLADO DE LAS RELACIONES DE DICHAS PARTES ENTRE SÍ Y DE ÉSTAS CON LA PREGUNTA DEL PROBLEMA.— Lectura del problema. y expuso de forma sistemática los aspectos de la resolución de problemas aritméticos a los que ésta prestaba una atención especial. cuando un profesor pone cualquier problema ha pensado de antemano qué problema o qué secuencia de problemas va a plantear (y aquí es pertinente tener en cuenta lo que se sabe sobre las variables sintácticas. el análogo a un entrenador deportivo.).
caro. el problema se vuelve a enunciar de forma distinta a la verbalística que no separa el problema en sus partes constituyentes y que puede dar lugar a errores. al hacerlo. Para ello. Establecía también pequeñas competiciones y les hacía ver después que una mala lectura del problema conllevaba dificultad a la hora de explicar la solución. Se dedica una atención especial a las palabras-clave. Así. Esto ayuda a controlar la elección de la operación en función del texto. ayudas visuales. y cómo éstas ayudaban a descomponer el problema en partes. sino en la respuesta a la pregunta del . 6. 5. Aunque la primera descomposición se hace en la lectura. Se enseña a identificar o enumerar los datos y la incógnita diciendo “se conoce tal y tal cosa”. Petrova hacía leer a sus alumnos varias veces el problema de este modo y les pedía que se exigiesen unos a otros este tipo de lectura. tantos como. los datos y la incógnita del problema.Cap. barato…– reciben una atención todavía más minuciosa. cuando es preciso. Las palabras que expresan relaciones cuantitativas –más que. el asunto no acaba ahí.— Diferenciación de conceptos.— Atención a la pregunta del problema. lo que se hace aquí es intentar que los alumnos pongan el problema en sus propias palabras obligándoles a mencionar. más joven. Después de un primer período de instrucción en este tipo de descomposición y reformulación. Se aclaran sus significados y diferencias con gran detalle y se utilizan.— Substanciación. 2. haciendo que éstas se enfaticen ya desde la lectura. salvo que se esté ante un problema más difícil en que se realiza un análisis más detallado del estilo descrito en el apartado Análisis del contenido. 4. no se insiste más en ello. c) La entonación especial en la pregunta del problema. y lo hacía tanto con los datos del texto como con los datos intermedios del problema.— Descomposición del texto del problema. o “también se conoce esta otra”. menos que. Petrova enseñaba a sus alumnos y les pedía que señalaran la parte del texto que determina la operación que hay que realizar. más grande. 28 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán b) Pausas en la lectura. “lo que se desconoce es esto”. pg. Esto es. La solución del problema no consiste en las operaciones que hay que realizar para llegar al resultado numérico ni en éste. 3.
se han experimentado currículos basados totalmente en la resolución de problemas. LOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y LOS CURRÍCULOS DE MATEMÁTICAS El papel que han desempeñado los problemas en el desarrollo del pensamiento matemático ya lo hemos comentado en el capítulo1. 29 problema. En efecto. Petrova pedía a sus alumnos que realizasen varios planes de solución para el mismo problema y discutía con ellos cuál parecía más racional. y para requerir precisión en la expresión oral o escrita con ocasión de la presentación de la respuesta a la pregunta del problema o a cualquier otra pregunta que surja en el curso de la resolución. 6. En la educación matemática. pg. . 7. e incluso de las modas imperantes. Sin embargo.— Soluciones alternativas. los problemas desempeñan papeles distintos en función de los estilos curriculares.— Desarrollo del lenguaje. 8. una integración de los problemas en el currículo que responda a esa tendencia de la década no se ha realizado satisfactoriamente. en el que mencionamos en particular la parte que les ha correspondido a los problemas aritméticos. Se pide a los alumnos que localicen la parte del texto cuya mala lectura es la fuente del error y que expliquen qué relación han utilizado en lugar de la que realmente está en el texto. Por ejemplo. de las teorías del aprendizaje subyacentes.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. con la situación “Un niño tiene 20 cuadernos y da la mitad de ellos a su hermana” se pueden formular las preguntas “¿Cuántos cuadernos le quedaron?” o “¿Cuántos cuadernos dio a su hermana?” que corresponden a la misma operación.— Análisis de errores. Los problemas verbales pueden ser una ocasión para la extensión del vocabulario de los niños como cualquier otro texto propuesto para su lectura. 6. ha habido gran número de investigaciones sobre el proceso de resolución de problemas y la instrucción en resolución de problemas. En la década de los ochenta los vientos han soplado en favor de la resolución de problemas empujados por declaraciones de principios de asociaciones de profesores e instancias oficiales o paraoficiales. Se considera y evalúa cualquier solución correcta de un problema. que dependen de los intereses sociales. Petrova enseñaba a hacerse preguntas como ¿Qué se puede determinar si conocemos tal y tal cosa? o ¿Qué debemos conocer si queremos determinar esto? Además pedía en ocasiones que en una misma situación una pregunta referente a una operación se formulara de diferentes maneras.
5) En lo que atañe al ciclo medio. 3.1. parece estar claro que las características esenciales de la actividad matemática se manifiestan mientras se resuelven problemas. Y en el desarrollo de los objetivos por bloques temáticos aparece en cada uno de los bloques y niveles un objetivo cuyo enunciado está construido combinando de varias maneras las frases — Plantear y resolver problemas de la vida real — Aplicar los conocimientos del tema a… — …prácticos. — …sobre hechos y situaciones de la vida real 7O. (3. medias horas. cómo utilizarlos y cuándo utilizarlos en el currículo. apenas se ha superado el nivel de las buenas intenciones en lo que atañe al currículo y los problemas. a pesar de todo ello. 9Precisamente tres.1) — Resolver situaciones problemáticas relacionadas con la adición. 30 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán algunas de las declaraciones en su favor han tenido impacto social y se han convertido en referencias insoslayables a la hora del diseño curricular. dicho en inglés. investigar y dilucidar aspectos globales cruciales como qué se debe hacer con los problemas. (1.. cuartos de hora. se saben bastantes cosas sobre cómo actuar en aspectos concretos y particulares. tomados de la vida real. plantear y resolver problemas en los que intervengan tres9 operaciones distintas”.2. semanas y meses.4. con un currículo que tiene ya algunos años de vigencia. ser que no hay situaciones problemáticas relacionadas con la multiplicación. (3. y distintas.1. incluso. en otro.Cap. la substracción y la división8. en objetivos del ciclo inicial que parecen referirse a problemas aritméticos puede leerse: — Realizar particiones a partir de situaciones problemáticas del mundo circundante. se han puesto en práctica proyectos que tienden a desarrollar destrezas y procedimientos con la finalidad exclusiva de garantizar el éxito en la resolución de problemas. pero queda aún por debatir. en las enseñanzas mínimas se habla en un sitio de “Enunciar y resolver problemas ” y. Así. de “Enunciar.2. creemos que la resolución de problemas es un lugar privilegiado para la producción de aprendizajes significativos. twixt models and muddles. 8Parece . los problemas sólo están concebidos como refuerzo y consolidación de conceptos o como “aplicación de los conocimientos matemáticos adquiridos a situaciones de la vida real”. Dicho de otra manera.4) — Resolución de situaciones problemáticas utilizando sumas y restas combinadas.4 y 3. pg. Pues bien.5) — Resolver situaciones problemáticas a través del conocimiento de las unidades de tiempo: horas. oscilando todos los intentos entre modelos y confusiones7.4.4. (4.. e. 6. En nuestro país.
— Simplificar tareas difíciles. — Interpretar resultados. pg. — Hacer y comprobar hipótesis. 6. Dentro del apartado de estrategias generales. estructuras conceptuales. estrategias generales y apreciación) y no de temas. sino que se la resolución se enfoque del modo adecuado. aunque sólo sea por el mero hecho de que las recomendaciones están organizadas en función de las componentes de la competencia matemática (hechos. no indican exactamente qué problemas utilizar. por su parte. y cuándo –después de adquiridos los conocimientos del tema–. — Probar y refutar. le indican al profesor qué problemas tiene que hacer –problemas de aplicación–. pero les atribuyen finalidades distintas. Así. destrezas. como son las hechas por la inspección británica para toda la escolaridad obligatoria10. Estos objetivos implican que haya de plantearse problemas de varios tipos y que éstos no pueden limitarse a problemas de aplicación más o menos rutinarios. — Buscar un modelo. pero no le indican nada más. 10Cf. Otras recomendaciones de carácter curricular más recientes. aparecen los objetivos: — Seleccionar los datos apropiados. 31 — …de enunciado propuesto por el profesor o inventado por el niño… — …que implique la utilización de las propiedades estudiadas. dentro de las estructuras conceptuales. ni cuándo utilizarlos.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. Este estilo de presentación de los objetivos. La consecución de estos objetivos requiere indudablemente no sólo que se plantean problemas para que sean resueltos. en las que los objetivos no se presentan agrupados por bloques temáticos. HSMO (1985) . aparecen objetivos como: — Métodos de ensayo y error. acorde con las finalidades del currículo. — …sobre hechos que impliquen la utilización de los distintos tipos de unidades de medida. — Usar matemáticas en un contexto.
Volviendo a nuestro país. que fue la herramienta heurística más frecuente. toma de decisiones . los bloques temáticos se presentan divididos en hechos. formulación de conjeturas. elaboración de presupuestos. que pueden ponerse en relación con las estrategias generales métodos de ensayo y error y simplificar tareas difíciles. verse también en qué sentido pueden contribuir los problemas al desarrollo de las estrategias generales. 6. En el apartado procedimientos es donde aparece el tratamiento que debe darse a los problemas. para primaria se habla de: — Utilización de diferentes estrategias para resolver problemas numéricos y operatorios (reducir una situación a otra con números más sencillos. tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones. aparte de los objetivos generales. 32 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Los problemas aritméticos. comprobación de las conjeturas y resultados. distinguiendo la posible pertinencia y aplicabilidad de cada una de ellas. — Representación matemática de una situación utilizando sucesivamente diferentes lenguajes (verbal. lo que ya indica de por sí la finalidad que se les atribuye. entre otras cosas. En efecto. pg. etc. el papel que se pretende atribuir a los problemas va más allá del atribuido hasta ahora. ya que en la presentación del diseño curricular base. Puede. En él se examina. los datos obtenidos mostraron que las únicas herramientas heurísticas presentes implícitamente en esos problemas aritméticos son submetas. Esto es lo que hay hasta ahora. considerar un mismo proceso en dos sentidos –hacia adelante y hacia atrás– alternativamente. el potencial heurístico de los problemas que aparecen en los libros de texto. conceptos y principios. puede considerarse equivalente a la elección de incógnitas auxiliares en la práctica del análisis de los problemas aritméticos de varias operaciones combinadas. — Elaborar estrategias personales para la resolución de problemas cotidianos (interpretación y comprobación de facturas y recibos. valores y normas. tablas salariales. esto es. por lo que conocemos de los documentos para la actual reforma de las enseñanzas. hecho a partir de los libros de texto mayoritariamente usados para el Ciclo Medio. procedimientos. — Identificación de problemas de la vida cotidiana en los que intervienen las cuatro operaciones. consideración de un caso y ensayo y error.) en situaciones de resolución de problemas. por tanto. En particular. etc. actitudes. Para secundaria entre los objetivos generales aparecen: — Utilizar procedimientos y mostrar actitudes propias de la actividad matemática (exploración sistemática de alternativas. Submetas.) — Explicación oral del proceso seguido en la resolución de problemas numéricos u operatorios. es Cerdán y Puig (1983). realización de inferencias y deducciones. gráfico y numérico) y estableciendo correspondencias entre los mismos.Cap. pueden contribuir de algún modo al desarrollo de las tres primeras de estas estrategias generales. a partir del lugar en que los objetivos se interpretan en forma de material utilizable en el sistema escolar. un estudio sobre lo que da de sí el currículo aún vigente. aproximación mediante ensayo y error. enfocados también de manera adecuada.
manejo de tablas y gráficos) para resolver problemas de proporcionalidad. Se señala la importancia de los métodos personales. pg. etc. de los datos originales por otros más sencillos para facilitar la comprensión del mismo.Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap.) utilizando distintos métodos y recursos y analizando la coherencia de los resultados para mejorarlos si fuera necesario. organización de un espacio. Como puede verse. — Utilización del razonamiento aritmético o hacia atrás para resolver problemas numéricos. tablas y representaciones gráficas. — Formulación oral de problemas numéricos. — Utilización de distintos procedimientos (factor de conversión. el aspecto utilitario de los conocimientos matemáticos. Una relación de las tareas que convendría plantear en clase ha de contemplar todo aquello que tiene que ver con: 1. 11Aunque de ellos se dice que sirven para aproximar y no para otras cosas. 6. en un problema numérico. como ya es habitual. alternativamente–. Se cita algo que puede parecerse al método de análisis y síntesis en primaria –hacia adelante y hacia detrás. SOBRE QUÉ TENER EN CUENTA PARA LA INSTRUCCIÓN. 33 a partir de datos probabilísticos o inciertos.— Los problemas: — Problemas de una etapa: Aditivos Multiplicativos Problemas modelo de aspectos conceptuales de las operaciones aritméticas. regla de tres. tantos por algo. Y en los bloques temáticos: — Resolución de problemas numéricos aplicando las operaciones adecuadas en cada caso. La organización de la instrucción en resolución de problemas aritméticos elementales ha de contemplar como consecuencia de todo lo que hemos expuesto en las páginas precedentes un gran número de aspectos. el énfasis se pone en indicar qué procedimientos deben utilizarse para resolver los problemas aritméticos. — Sustitución. Finalmente. de los términos en que se plantean y del proceso seguido para resolverlos. Y se considera necesario que el alumno sea capaz de explicar a los demás el proceso seguido para resolver un problema. dejando el puro análisis para secundaria –sólo hacia atrás. aparece. También se indica que se debe usar métodos de tanteo11. .
Representación con objetos de los enunciados verbales. Expresión aritmética correspondiente al enunciado verbal. . 6. Problemas que se pueden resolver mediante esquemas. Producciones simbólicas de los alumnos-resolutores.— Métodos de resolución: Mediante estrategias de recuento. 34 Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán — Problemas de más de una etapa: Híbridos Iterados Problemas cadena Problemas de varias operaciones combinadas. 2.— Recursos para las destrezas. Problemas en el límite entre la aritmética y el álgebra. Listas organizadas Tablas Notaciones esquemáticas 3. Estrategias espontáneas de resolución.— Representaciones: Modelos con objetos físicos al comienzo. Línea numérica Árboles Diagramas cartesianos Esquemas de puntos Otras ayudas visuales 4. pg.Cap.
Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán Cap. pasa por momentos diferentes en los que su conducta debe ser de naturaleza distinta: comprender.— Contextos. 7. precios en la carta de un restaurante. 6. Por procedimientos no standard. Mediante procedimientos gráficos. cuando resuelve un problema.— Formato de presentación: Formulación oral. Mediante síntesis Mediante análisis Por análisis medios-fines Análisis-síntesis 5— Datos: Problemas con distintas clases de datos. 8. ejecutar y revisar.— Variables sintácticas. mientras resuelve problemas aritméticos. Historieta o tebeo. Grabado. Situaciones problemáticas. Con ayuda de material de cálculo. 35 Por tanteo. tiene que tomar conciencia de que. 6. se ha de tener en cuenta que el resolutor-alumno. Jeroglífico. ofertas en el supermercado…) Además. Problemas en los que hay que formular la pregunta. pg. . Datos presentados por tablas o similares (horarios de trenes. Problemas en los que hay que determinar los datos. planificar.
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