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Mecanique des milieux continus. Milieux curvilignes | Salencon J. | download
Principal Mecanique des milieux continus. Milieux curvilignes
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MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS II. Elasticité-Milieux curvilignes Jean Salencon W ECOLE POLYTECHNIQUE
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS TOME II Elasticité - Milieux curvilignes Jean SALENÇON Professeur à l'École Polytechnique et à l'École Nationale des Ponts et Chaussées
Illustration de couverture : traitement d'image en photoélasticimétrie. (Document communiqué par MATRA). La loi du 11 mars 1957 n'autorise que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective". Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'éditeur, est illicite. © COPYRIGHT 1988 EDITION MARKETING EDITEUR DES PREPARATIONS GRANDES ECOLES MEDECINE 32, rue Bargue 75015 PARIS ISBN 2-7298-8863-2
TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE VII- COMPORTEMENT THERMOELASTIQUE 5 1 - De l'expérience à la formulation de la loi de comportement 8 2 - Constatations expérimentales 8 3 - Éléments de thermodynamique des milieux continus 12 4 - Loi de comportement thermoélastique 18 5 - Thermoélasticité linéaire 24 6 - Aperçu historique 37 CHAPITRE VIII -PROBLÈMES D'ÉQUILIBRE THERMOÉLASTIQUE LINÉARISÉS 45 1 - Équilibre et thermoélasticité 48 2- Linéarisation du problème d'équilibre élastique 51 3 - « Principe » de superposition 58 4 - La résolution des problèmes d'équilibre élastique linéarisés 60 5 - Méthode des déplacements pour la résolution du problème d'équilibre élastique linéarisé 62 6 - Méthode des contraintes pour la résolution du problème d'équilibre élastique linéarisé 67 7 - Exemple d'application : torsion élastique d'une barre cylindrique 72 8 - Principe de Saint Venant 84 CHAPITRE IX - QUELQUES PROBLÈMES CLASSIQUES D'ÉLASTICITÉ TRIDIMENSIONNELLE 93 1 - Présentation générale 96 2 - Traction-compression d'une barre cylindrique 96 3 - Flexion normale d'une barre cylindrique 103 4 - Flexion déviée d'une barre cylindrique 110 5 - Flexion composée d'une barre cylindrique 113 6 - Équilibre élastique d'une sphère creuse sous pression 114 7;  - Équilibre élastique d'un tube cylindrique sous pression 118
-4- CHAPITREX- L'APPROCHE VARIATIONNELLE EN THERMOELASTICITE 131 1 - Présentation 135 2 - Principe de minimum pour les déplacements ; minimum de l'énergie potentielle 140 3 - Principe de minimum pour les contraintes ; minimum de l'énergie complémentaire 144 4 - Commentaires 148 5 - Résultats spécifiques au cas de l'équilibre isotherme en élasticité linéaire à partir de l'état initial naturel 151 6 - Inconnues hyperstatiques. Théorème du potentiel minimum 158 7 - Paramètres de chargement 161 8 - Théorèmes de l'énergie pour les problèmes d'équilibre élastique dépendant d'un nombre fini de paramètres de chargement 167 9 - Pour conclure... 174 10- Note historique 175 CHAPITRE XI - STATIQUE DES MILIEUX CURVILIGNES 191 1 - Une modélisation unidimensionnelle ? 195 2 - Statique des fils 197 3 - Statique des poutres et des arcs 207 4 - Étude des structures constituées de milieux curvilignes 223 CHAPITRE XII- STRUCTURES CONSTITUÉES DE MILIEUX CURVILIGNES ÉLASTIQUES 251 1 - Position du problème 254 2 - Comportement élastique du milieu curviligne 254 3 - Équilibre élastique linéarisé des structures constituées de milieux curvilignes 263 4 - Exemples d'applications 268 5 - Conclusion 273 ANNEXE III - ÉLÉMENTS DÉLASTICITÉ PLANE 287 1 - Problèmes plans 290 2 - Problèmes d'équilibre élastique en déformation plane 290 3 - Problèmes d'équilibre élastique en contrainte plane 298 Glossaire français-anglais 305 Bibliographie sommaire 309 Index alphabétique 311
Chapitre VII Le comportement thermoélastique MOTS CLÉS. Loi de comportement. Principe d'action locale. Energie interne. Equation de l'énergie. Entropie. Energie libre. Inégalité de Clausius- Duhem. Dissipation. Potentiel thermodynamique. Symétries de la matière. Isotropie. Linéarisation. Coefficients de Lamé. Module de cisaillement. Module de Young. Coefficient de Poisson- Etat initial naturel. Etat initial précontraint.
vn -6- Principales notations Notation E o Q r e(x) q(x) T S s * O ** A k T X,u H,(G) E V a K Signification énergie interne du système taux de chaleur reçue densité volumique de chaleur reçue énergie interne massique courant de chaleur sortant température absolue entropie du système entropie massique énergie libre massique dissipation volumique transformée de Legendre de ty tenseur des modules d'élasticité tenseur des coefficients thermiques variation de température coefficients de Lamé module de cisaillement module de Young coefficient de Poisson coefficient de dilatation thermique linéique module élastique de compression lère formule (3.1) (3.1) (3.5) (3-7) (3.12) (3.15) (3.15) (3.19) (3.19) (3.21) (4.8) (5.3) (5.3) (5.3) (5.13) (5.13) (5.15) (5.15) (5.15) (5.29)
-7- 1. De l'expérience à la formulation de la loi de comportement. 2. Constatations expérimentales. 2.1 - Généralités. 2.2 - Expérience de traction simple. 2.3 - Autres résultats expérimentaux. 3. Eléments de thermodynamique des milieux continus. 3.1 - Premier principe ; équation de l'énergie. 3.2 - Deuxième principe ; inégalité fondamentale. 3.3 - Expressions lagrangiennes. 4. Loi de comportement thermoélastique. 4.1 - Hypothèses de l'élasticité. 4.2 - Obtention de la loi de comportement. 4.3 - Cas du matériau avec liaisons internes. 4.4 - Invariance tensorielle et objectivité de la loi de comportement thermoélastiq 4.5 - Respect des symétries de la matière. 4.6 - Matériau thermoélastique isotrope dans la configuration de référence. 5. Thermoélasticité linéaire. 5.1 -Présentation. 5.2 - Linéarisation physique. 5.3 - Matériau thermoélastique linéaire isotrope. 5.4 - Hypothèse de la transformation infinitésimale ; formulation eulérienne. 5.5 - Stabilité du matériau thermoélastique. 5.6 - Quelques valeurs typiques. 5.7 - Exemples de matériaux thermoélastiques anisotropes. 6. Aperçu historique.
VII. 1 -8- LE COMPORTEMENT THERMOÉLASTIQUE 1. DE L'EXPÉRIENCE À LA FORMULATION DE LA LOI DE COMPORTEMENT. Le comportement thermoélastique des solides nous est révélé par des expériences quotidiennes : dilatation ou contraction linéiques et volumiques sous l'effet de variations de température, utilisation des propriétés élastiques des métaux, mais aussi de polymères, pour la fabrication de ressorts, clavettes et « clips » en tous genres... L'objet du présent chapitre est, dans le cadre de la modélisation du milieu continu classique construite dans les chapitres précédents, de formuler les relations existant localement entre le champ de déformation, le champ des efforts intérieurs et le champ de température, lorsque le matériau considéré est élastique. En d'autres termes on se propose d'écrire la loi de comportement du matériau thermoélastique. On aura l'occasion dans la suite de ce chapitre de revenir sur les principes généraux régissant l'écriture des lois de comportement qui ont déjà été évoquées au chapitre VI (§ 4.2) : objectivité, respect des symétries de la matière ; mais l'énoncé ci-dessus illustre aussi un principe essentiel, le principe d'action locale : les efforts intérieurs représentés dans la modélisation par les contraintes, qui correspondent à des actions purement locales (cf. chapitre V , § 3.4), ne seront reliés par la loi de comportement thermoélastique qu'à des grandeurs qui ne font intervenir que la « particule » considérée et les « particules » voisines. En outre il va de soi que la formulation de la loi de comportement thermoélastique, comme celle de toute loi de comportement, devra être en accord avec les principes de la thermodynamique, c'est-à-dire avec l'inégalité introduite par le second principe ; pour mettre à profit cette information nous introduirons quelques notions sur la thermodynamique des milieux continus. 2. CONSTATATIONS EXPÉRIMENTALES. 2.1 - Généralités. Même si, comme nous venons de le rappeler, elle doit obéir à des principes généraux qui en codifient, en quelque sorte, l'écriture, une loi de comportement est avant tout issue de constatations expérimentales. Plus que d'une détermination, il s'agit de l'identification d'une loi locale dans le cadre d'une modélisation géométrique et mécanique à partir de résultats d'expériences qui présentent nécessairement un caractère global. Pour cela on cherche en général à réaliser des expériences où l'on puisse retenir l'hypothèse d'homogénéité des champs concernés, l'homogénéité du matériau constitutif de l'éprouvette devant évidemment être assurée.
-9- VII.2 Mais il est clair que les conditions expérimentales extérieures ne sauraient suffire à atteindre un tel objectif: pour le champ de contrainte a par exemple, on a vu au chapitre V (§ 3.3) que les équations de la dynamique s'écrivent comme : • trois équations aux dérivées partielles du 1er ordre pour les équations de champs, • trois conditions au contour pour les conditions aux limites, alors que la détermination de g correspond à la détermination de six champs scalaires indépendants (composantes indépendantes de £ (x) symétrique). On voit que ces équations, en supposant les champs F, x, ï connus, par exemple dans le cas de la statique (ou quasi-statique) où X (x) = 0 V x e îî,, ne permettent pas de déterminer a : le problème n'est pas statiquement déterminé. Aussi tente-t-on de concevoir des expériences dans lesquelles les conditions au contour soient suffisamment contraignantes, notamment par la géométrie choisie pour l'éprouvette essayée supposée de constitution homogène, pour que l'on puisse espérer qu'elles imposent l'homogénéité du champ de contrainte et du champ de déformation, ou du moins qu'elles ne laissent à ceux-ci qu'une faible latitude par rapport à l'homogénéité. Par exemple, dans cet esprit, de nombreuses expériences classiques essaient de réaliser des champs de contraintes homogènes dans lesquels l'état de contrainte en chaque point est un des états simples étudiés au chapitre VI (§ 3.5) : expériences de traction simple, de compression simple, de cission simple... L'expérience de torsion d'un tube mince (figure 1) vise, quant à elle, à réaliser en chaque point de l'éprouvette un état de cission simple dont les composantes dans la base orthonormée des coordonnées cylindriques soient constantes'". Des champs de contrainte plus généraux peuvent aussi être obtenus : expérience de traction-torsion d'un tube mince par exemple. A noter .que l'on doit, dans toutes ces expériences, porter attention aux conditions thermiques. En règle générale on considère que les expériences sont faites à température constante dans le temps (et, évidemment, homogène dans l'éprouvette). I Figure 1 - Torsion d'un tube mince. (I) Une telle expérience devra toutefois être analysée très précisément en fonction des propriétés de symétrie (isotropie, anisotropie, cf. § 5.7) du matériau constitutif.
VII.2 -10- 2.2 - Expérience de traction simple. La figure 2 représente une eprouvette typique pour une expérience de traction simple sur un métal, caractérisée par : • des extrémités surdimensionnées (pour éviter les «effets d'extrémités ») • des congés de raccordement entre la partie médiane et les extrémités (pour éviter les effets de concentration de contrainte que provoquent les angles vifs) • une partie médiane cylindrique dans laquelle le champ de contrainte est supposé homogène, de traction simple parallèlement à l'axe de l'éprouvette supposée elle-même de constitution homogène(l). F/S„en 10:MPa A (A. 1x10' 5x10" Figure 2 - Eprouvette pour une expérience de traction. Figure 3 - Diagramme de traction pour un acier inox. L'expérience dans sa forme la plus simple consiste à enregistrer, en fonction de l'allongement relatif de la longueur initiale C0 marquée sur la partie utile de l'éprouvette ( e - c0 ) / e0 = a c / e0, l'évolution de la force de traction F ou du rapport F/S0, où S0 désigne l'aire initiale de la section médiane. La figure 3 donne un exemple d'un tel enregistrement réalisé pour un acier inox, à propos duquel on observe, en première analyse, les propriétés suivantes : a) indépendance du diagramme vis-à-vis de la vitesse de chargement, c'est-à-dire de (A C/C0) b) « réversibilité » de la partie OA du diagramme de charge : dans une décharge totale ou partielle effectuée après une charge jusqu'à un niveau inférieur au seuil a0 correspondant au point A sur la courbe, on parcourt, dans le sens inverse, le même segment de la partie OA du diagramme de charge c) linéarité de cette partie « réversible » du diagramme ( 1 ) Le matériau est, quant à lui, supposé isotrope. Pour les matériaux anisotropes l'expérience de traction simple « hors axes » nécessite des précautions particulières concernant notamment le montage de l'éprouvette.
-11- Vll.Z d) au delà du seuil a0, c'est-à-dire lorsque la charge initiale dépasse le point A, la décharge ultérieure est représentée sur le diagramme de charge par une courbe différente de la courbe de charge : courbe OAB à la première charge, courbe BC à la décharge ; notamment après décharge totale, c'est-à-dire lorsque F est ramenée à zéro, l'éprouvette présente un allongement rémanent. La partie « réversible » du diagramme de traction est, par définition, représentative du comportement élastique du matériau. Le point A et la valeur a0 correspondent à la limite d'élasticité initiale dans cette expérience (cf. chapitre VI, § 4.1). La linéarité observée pour le segment OA caractérise le comportement élastique linéaire. Une autre constatation expérimentale doit également être rapportée qui n'apparaît pas sur le diagramme de la figure 3 : au cours de la traction on observe une réduction de la section de l'éprouvette, qui évolue linéairement quand on parcourt le segment OA du diagramme de charge ; cette variation de la section est elle-aussi « réversible » sur OA. 2.3 -Autres résultats expérimentaux. D'autres expériences mettent en évidence les mêmes caractéristiques de comportement : la compression simple d'une éprouvette ou la torsion simple d'un tube mince, pour citer des exemples où le chargement ne dépend que d'un paramètre (force ou couple). Dans la traction- torsion d'un tube mince le chargement dépend de deux paramètres (force et couple simultanément) et induit dans l'éprouvette un champ de contrainte dont les composantes dans la base orthonormée des coordonnées cylindriques sont supposées de la forme : aM = Cte ¢^ = ^ = Cte , autres aa nulles ; on y met en évidence le domaine d'élasticité initiale du matériau (cf. chapitre VI, § 4.1) à l'intérieur duquel il y a « réversibilité » des déformations subies par l'éprouvette ; la figure 4 donne un exemple de domaine ainsi déterminé (expérience de traction-compression et torsion). CUIVRE 99,95 Figure 4 - Traction-compression et torsion d'un tube mince • exemple de domaine d'élasticité initiale déterminé expérimentalement (H.D. Bui 1969).
VII.3 -12- 2.4 - Commentaires. Historiquement la découverte du comportement élastique linéaire est attribuée à Robert Hooke (mécanicien, physicien, astronome et naturaliste anglais, 1635-1703) dans les années 1660, à partir d'expériences sur des ressorts à boudin et spirales et sur la traction d'un fil métallique. « Ut tensio sic vis » est la phrase, justement célèbre, par laquelle Hooke énonça cette propriété dans un ouvrage paru en 1678 (I>. Il convient aussi à ce propos de citer Edme Mariotte (abbé, physicien français, 1620- 1684) plus célèbre dans le domaine des fluides, mais qui fit la même découverte que Hooke, indépendamment de celui-ci, vers 1680. 3. ÉLÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 3.1 - Premier principe ; équation de l'énergie. On considère un système S occupant, dans la configuration actuelle k, , le domaine 3) de volume fi, et de frontière d fi,, transportés convectivement de 3>0, fi0, d fi0 dans la configuration de référence Ko. On suppose l'état thermodynamique de ce système déterminé par la connaissance de certains champs définis sur k, (ou sur k0). Pour simplifier l'exposé on se restreint au cas où le système S n'échange avec l'extérieur que du travail et de la chaleur. Le premier principe de la thermodynamique postule l'existence d'une fonction de l'état thermodynamique du système, appelée énergie interne, notée E , ayant la dimension d'un travail telle que : à chaque instant, la somme de la dérivée particulaire de l'énergie interne E de S, et de la dérivée particulaire de Y énergie cinétique K de S, est égale à la somme de la puissance des efforts extérieurs exercés sur le système dans le mouvement réel, SM (U) , et du taux de chaleur o reçue par le système, Q : (3-1) E + K = *w ( U ) + Q Cet énoncé est également valable pour tout sous-système S' c S : (3.2) E' +K' =S'(e)(U) + ê'. (1)11 semble que R. Hooke ait découvert cette loi en 1660; il la publia sous la forme d'un anagramme «ceiii nosssttuu» en 1676 et ne la dévoila qu'en 1678 accompagnée de sa formulation en anglais : « the Power of any spring is in the same proportion with the Tension thereof ». R. Hooke est aussi considéré comme le premier à avoir conçu l'idée d'utiliser le mouvement d'un pendule pour déterminer la valeur de l'accélération de la pesanteur.
-13- VII.3 Dans les formules (3.1) et (3.2) le signe « c » pour le taux de chaleur reçue indique que cette grandeur n'est pas la dérivée particulaire au sens du chapitre III (section 4) d'une fonction quantité de chaleur reçue qui serait définie explicitement ; ou encore que dans l'écriture différentielle, peut-être plus familière au lecteur, (3.1) se traduit par : AE + àK= d'W + à'Q (W désignant le travail), où les deux termes du second membre ne sont pas des différentielles exactes. Pour le milieu continu tridimensionnel, la description des efforts extérieurs a été donnée au chapitre V (§ 2.2 et 3.1), en supposant que les éléments du système (particules) n'exercent pas entre eux d'action à distance : • forces de volume définies par une densité massique F (x) , • forces de surface s'exerçant sur le contour de S, ou de S' , et définies par une densité surfacique T (x, n (x)) . On en a déduit l'expression de la puissance virtuelle des efforts extérieurs, en sorte que pour le mouvement réel on a : (3.3) »'w (U) = f p F . U dfit + f T (n) . U da <'>. L'énergie cinétique a l'expression donnée au chapitre IV (section 7) : (3.4) K' =Jfi>|pU2dnt. o Pour le taux de chaleur reçue Q' on fait une hypothèse semblable à celle faite à propos des efforts extérieurs en excluant les échanges de chaleur à distance entre les éléments du système. Cette grandeur, qui représente la quantité de chaleur reçue « pendant l'unité de temps » par le sous-système S' ç S, se compose : • d'un terme de conduction à la frontière dCl't de S' , dont la contribution se traduit par l'intégrale de surface sur dCl't d'une densité h (x, n (x)) • d'un terme de volume sur fi't dont la contribution est l'intégrale de volume d'une densité volumique r (x), qui correspond au taux de chaleur fournie aux éléments de S par l'extérieur de S. On écrira ainsi : ,,<v Q' =| h(n)da +j" rdfi,<'> . (3.5) ^ Jan; Ja\ On suppose l'additivité de l'énergie interne E. Plus précisément on suppose que pour deux sous-systèmes S', et S' 2, complémentaires dans S, on a : (3.6) E\+E'2 = E que l'on écrit aussi : £", + E'2 = E puisque seules les variations (ici dérivées particulaires) interviennent dans les formules<2). (1) Afin de simplifier l'écriture des formules on a supprimé, sous les signes « intégrales », les dépendances des diverses grandeurs en fonction de x et de t. (2) Compte tenu des hypothèses faites, qui excluent à la fois les actions à distance entre les éléments de S et les échanges de chaleur à distance entre ces mêmes éléments, l'additivité de l'énergie interne n'introduit en fait qu'une hypothèse supplémentaire qui concerne la puissance des actions intérieures de contact entre éléments du système : on suppose que cette puissance, développée dans une discontinuité éventuelle du champ de vitesse réel, est compensée localement par un taux de chaleur équivalent reçu par les deux sous-systèmes.
VII.3 -14- On introduit alors la densité massique d'énergie interne e (x), appelée aussi énergie interne spécifique, et l'on a : (3.7) £'=f pedfi, et E' = \ p è dfi,. La formule (3.2) s'explicite alors en : V S' ç S (3.8) { ^lfi,P^ + y)da = |fi.i(pF.U + r)dni + J (ï (n) • U + h (n)) da Si le champ de vitesse réel U est continu et différentiable on peut, dans (3.1) et (3.2), appliquer le théorème de l'énergie cinétique (chapitre IV , § 5.5), qui s'écrit : i V S' e S ( s'(e)(U) + r(i)(U) = À:' d'où, par substitution dans (3.1) et (3.2) : (3.9) E = Q - *«, (U) (3.10) E' = Q' - *'m (U). On peut alors remplacer ô?(i) (U) par son expression au moyen de la représentation des efforts intérieurs par les contraintes de Cauchy et l'on obtient : VS'çS (3U) ) f pëdfi,= f (a:d + r)dfi,+ f h (n) da r •> ri'. •> ri'. — ^ Jflo-. La formule (3.8) (ou (3.11) à travers le théorème de l'énergie cinétique), exprime le premier principe de la thermodynamique sous forme globale (équation de bilan). A partir de (3.11) on peut obtenir la forme locale du premier principe en s'appuyant sur le fait que (3.11) est vraie V S' ç S. On peut en effet démontrer que, puisque (3.11) est vraie V fi',, la densité surfacique h (x, n (x)) a nécessairement la forme d'un flux que l'on écrit : (3.12) h(x,n(x)) = -q(x).n(x); £ (x) est le vecteur courant de chaleur sortant au point M(l). (1) L'adjectif « sortant » veut rappeler que h correspond à la chaleur reçue par le système de normale extérieure n et que (3.12) comporte un signe « - » . Cette convention est habituelle.
-15- VII.3 forme : Ainsi, en conséquence du premier principe, Q' donné par (3.5) est nécessairement de la (3.13) Q' = -\ fl . n da + [ r dfi, Par application de la formule de la divergence, la dernière intégrale de (3.11) est transformée en une intégrale sur fi',(1). On en déduit l'expression locale du premier principe de la thermodynamique en représentation eulérienne : (3.14) pe = çr:d + r — div <j Cette formule est appelée : équation de l'énergie. 3.2 - Deuxième principe ; inégalité fondamentale. Le deuxième principe de la thermodynamique des milieux continus postule l'existence d'un repérage universel de température, appelé température absolue notée T, positive, et d'une fonction de l'état thermodynamique du système, additive, appelée entropie, notée S, tels que : à chaque instant, pour le système S, et pour tout sous-système S' s S on a les inégalités fondamentales : (3.15) et (3.16) dS dt J"'T Jsa, T V S' c S S>>\ ^dfi,-J ^da. Ja\ T jjo', 1 On désigne par s l'entropie massique (ou spécifique), d'où : S' = \ ps&CK et S' = \ p s dîî,. Jn'i J n'i Par application du théorème de la divergence, (3.15) et (3.16) se transforment en : V S' £ S J (p s + div (g/T) - r/T) dîî, > 0 dont on déduit la forme locale de l'inégalité fondamentale : (3.17) p s + div (|) - ^ > 0 (i)La démonstration ci-dessus s'articule donc de la façon suivante: à partir de l'hypothèse d'additivité de l'énergie interne on montre que, pour que (3.11) soit vraie VS' sS,h(x,n(x))a nécessairement la forme (3.12) d'un flux qui permet la transformation de l'intégrale de surface par la formule de la divergence. On pourrait aussi poser au départ la forme (3.12) pour h(x,n(x) ) dont on déduirait l'additivité de l'énergie interne puis l'équation de l'énergie en écrivant le premier principe pour tout sous-système S' £ S .
VII.3 -16- En tenant compte, dans cette formule, de l'équation de l'énergie (3.14) on obtient (puisque T > 0) : (3.18) a:d + p(Ts-e)-|.gradT > 0 Cette inégalité essentielle peut être transformée en introduisant la fonction thermodynamique appelée énergie libre ; l'énergie libre massique ^ est définie par : (3.19) * = c-Ts. On obtient ainsi l'inégalité de Clausius-Duhem™ : (3.20) g:^-p(t|/ + jT)-Ç. grad T > 0 Le premier membre de (3.18) et (3.20) est souvent noté O; c'est la dissipation volu- miquei2). On la décompose sous la forme : (3.21) où (3.22) et (3.23) ¢, = g:^ - p (ty + sT) est la dissipation intrinsèque volumique(l), ¢2 = - | • giad T la dissipation thermique volumique(2). L'inégalité fondamentale s'énonce donc : la dissipation volumique est non-négative. On définit la réversibilité thermodynamique d'une évolution du système S : à tout instant, pour toute particule du système, on a : (3.24) ¢, = 0 et 02 = 0. On remarquera que • pour les évolutions adiabatiques, où £ = 0 en tout point et à chaque instant, • pour les évolutions isothermes où T = cte dans le système et dans le temps, on a $2 = 0 . (Ce ne sont évidemment pas les seuls cas où 02 = 0) . (1) R. Clausius (1822 - 1888) ; P. Duhem (1861 - 1916) (2) Dans la configuration actuelle.
-17- VII.3 3.3 - Expressions lagrangiennes. Tous les raisonnements des paragraphes précédents ont été menés sur la configuration actuelle k, . Les formules (3.14) et (3.18), ou (3.20), sont des expressions locales, eulériennes du premier et du deuxième principe de la thermodynamique des milieux continus. Les grandeurs ct , d, p, q, grad T, sont définies sur k, et sont eulériennes ; les densités massiques e, s, ty d'énergie interne, d'entropie et d'énergie libre, définies sur k, , demeurent inchangées en représentation lagrangienne compte tenu de la conservation de la masse. Il est intéressant pour la suite d'écrire l'inégalité fondamentale de la formule (3.18) en représentation lagrangienne. On rappelle que l'on a établi au chapitre V (§ 4.1), la correspondance entre les tenseurs des contraintes de Cauchy et de Piola-Kirchhoff, en se fondant sur l'égalité : ou encore : ( a : d ) dïî, = ( rc : é. ) dO„ (£:d)/p = (rç:éj/p0. D'autre part, la correspondance entre le gradient lagrangien V T et le gradient eulérien gradT a été donnée au chapitre II (§ 5.3) et s'écrit ici : V T = grad T . F . Ceci permet d'obtenir la forme lagrangienne de (3.18) ; en effet, par multiplication de (3.18) par p0/p , il vient : (3.25) n:'ç + Po(Ts-'e)-^^.(lT.F-1) > 0. - - p T - En posant : (3.26) la formule (3.25) devient : (3.27) P ~ £:g+Po(T*-e)-ijj.VT > 0 qui est la forme lagrangienne de l'inégalité fondamentale. q0 peut s'interpréter comme le vecteur courant de chaleur rapporté à la configuration de référence k0 ; en effet la formule de transport d'une surface orientée (chapitre II, § 4.2) s'écrit : da = J'F"1. dA = -'£-'. dA p - (3.28) et l'on vérifie, en combinant (3.26) et (3.28), que l'on a : q . da = q0. d A . De même l'expression lagrangienne de (3.20) s'écrit : (3.29) flo œ:ê-Po(* + *T)-^.VT>0
VII.4 18 4. LOI DE COMPORTEMENT THERMOELASTIQUE. 4.1 - Hypothèses de l'élasticité. Du point de vue thermodynamique on définit, en représentation lagrangienne, le matériau thermoélastique par la propriété suivante : (4.1) les fonctions thermodynamiques e et s (énergie interne et entropie massiques) et le tenseur des contraintes de Kirchhoff n sont des fonctions univoques des seules variables T et e 4.2 - Obtention de la loi de comportement. Potentiel thermodynamique. On reprend l'inégalité fondamentale sous la forme (3.29) en tenant compte de (4.1). On remarque qu'en conséquence de cette hypothèse, seul le dernier terme de (3.29) dépend de V T(l). Puisque V T peut prendre une valeur quelconque, l'inégalité (3.29) demeurant vérifiée, on en déduit (en faisant V T = 0) que : (4.2) rç : e - p0 (ty + .s T) > 0, c'est-à-dire que la dissipation intrinsèque volumique dans la configuration de référence doit être non négative (le résultat est évidemment conservé dans la configuration actuelle). La dérivée particulaire de ty (T, e) s'explicite en : (4.3) Y dT de = qui définit, par dualité, le tenseur — d'ordre deux (cf. Annexe I, § 4.4). d e Il vient alors à partir de (4.2) : (4.4) (S - PoT^) : e - Po (s + -¾ T > 0 — a e o 1 dans laquelle e et T sont les dérivées particulaires des variables indépendantes e et T (2). (1) Cf. l'expression (4.3) de la dérivée particulaire \|/. (2) Ce résultat met bien en évidence l'intérêt qu'il y a à raisonner en représentation lagrangienne ; en effet l'inégalité (3.20) en représentation eulérienne ne permettrait pas d'aboutir à une expression telle que (4.4) en raison de l'intervention de grad T dans l'expression eulérienne de x|/ et du fait que d n'est pas une dérivée particulaire.
-19- V1I.4 L'inégalité (4.4) doit ainsi être vraie pour T quelconque et, si le matériau ne possède pas de liaison interne c'est-à-dire si ses déformations ne sont soumises à aucune restriction (telle que l'incompressibilité par exemple), pour e tenseur symétrique du second ordre quelconque. On en déduit : • en prenant e = 0 et T arbitraire, (4-5) • en faisant T = 0 et e symétrique arbitraire.et compte tenu de ce que n est symétrique a=P.(§fHJtf+^)] «. Cette formule doit évidemment être rapprochée du fait que e étant un tenseur euclidien du second ordre symétrique, l'écriture de \J/ comme une fonction d'un tenseur euclicien du second ordre quelconque est arbitraire (fonction de 6 variables scalaires indépendantes écrite comme une fonction de 9) : cet arbitraire se retrouve pour — , mais la partie symétrique de —— est, elle, o e o g bien définie par (4.3). Afin d'éviter toute complication pratique on conviendra dans l'écriture de ty en fonction de e, tenseur euclidien du second ordre quelconque, d'adopter une forme symétrique, c'est-à- dire telle que : Ve , *(T,e) = i|r(TVe) (en fonction des composantes de e , cela signifie que ey et e^ considérées comme distinctes pour i / j jouent le même rôle). On a alors : V de\ de/ Avec cette convention on écrira donc (4.6) sous la forme : (4.7) Ces formules (4.5) et (4.7) montrent que, à partir des hypothèses (4.1), la connaissance de la fonction ty définit la loi de comportement du matériau thermoélastique. Par leur forme elles justifient le nom de potentiel thermodynamique souvent donné à ty. On remarque qu'elles impliquent que l'inégalité (4.2) est en fait une égalité: la dissipation intrinsèque volumique est nulle. Il s'ensuit que les évolutions adiabatiques ou isothermes (cf. § 3.2) du matériau thermoélastique sont thermodynamiquement réversibles. (!)( — ) est la partie symétrique du tenseur — (cf. Annexe I, § 3.4).
VII.4 -20- On verra au paragraphe 5.5, sur le cas du matériau thermoélastique linéaire, que la stabilité du matériau implique que la fonction ty est strictement convexe0» par rapport à e . Cette stricte convexité entraîne qu'à T fixé la correspondance entre e. et Jt est biunivoque, d'où la « réversibilité des déformations » au sens indiqué dans l'analyse du diagramme de la figure 3. Transformation de Legendre-Fenehel. Ce résultat permet d'introduire la fonction transformée ty* définie par la transformation de Legendre-Fenehel : (4.8) ty* = — Jt : e - ty Po~ ~ dans laquelle e , Jt et T sont liées par la loi de comportement thermoélastique. Il vient alors par dérivation : 1 • 1 • • ty* = — n:e + — n : e — ty Po~ ~ Po- ~ d'où par (4.3), (4.5) et (4.7) ; 1 ty* = sT + — e : Jt . Po- ~~ Cette formule montre que si l'on définit l'état thermodynamique par T et Jt on a, avec ty* (T, n) , les formules homologues de (4.5) et (4.7) qui s'écrivent : S= Tf(T'S> (4.9) * e = P»T^(T'^ - O Jt — ty* est d'ailleurs elle-même convexe en Jt comme on le démontrera au chapitre X (§1.5). Symétrie. Sous forme explicite, en composantes, la formule (4.7) s'écrit : ^ = Po^(T,e) = p0^(T,e). deji - dey Il s'ensuit que l'on a la formule de symétrie remarquable : (4.10) -—(T,e) =-— (T,e) . deu - Se, (l)Cf. chapitre X (§ 1.5) pour la définition de la convexité. (2) Même convention pour l'écriture symétrique de \|/* en fonction de 7t, que pour \|/ en fonction de e .
-21- VII.4 4.3 - Cas du matériau avec liaisons internes. On dit que le comportement du matériau est assujetti à des liaisons internes si le tenseur taux de déformation lagrangien, dans les transformations réelles à partir d'un état donné, ne peut être symétrique quelconque et est astreint à satisfaire une ou plusieurs relations (en nombre inférieur ou égal à 6). On supposera ici plus particulièrement que les liaisons internes se traduisent par des relations portant sur e du type : (4.11) <PP(|) = 0 p= l,..,n (1 < n < 6) ce qui impose au taux de déformation e les conditions linéaires : (4.12) ^(e):e = 0 p = 1,.., n (1 < n < 6) de - - (on convient, comme pour \|/, d'adopter, pour l'écriture des <pp, des formes symétriques, de telle sorte que les tenseurs —-™ sont symétriques). de Un exemple d'une telle liaison interne est l'incompressibilité. Un autre pourra être l'inextensibilitê dans une (ou plusieurs) direction donnée. On doit alors, pour l'obtention de la loi de comportement thermoélastique, reprendre le raisonnement du paragraphe 4.2. L'état considéré doit évidemment satisfaire les relations (4.11). Les conditions (4.12) permettent de prendre e = 0 dans (4.4). Il en résulte que (4.5) est inchangée et l'on obtient donc : (4.13) (4 14) (4.15) ôT <P„ (S) = 0 p = 1,.. n (1 < n < 6) . On doit ensuite faire, dans (4.4), T = 0 d'où : V e symétrique, vérifiant (4.12) (s-po^'îOîé > 0 — de - On en déduit les relations de comportement homologues de (4.7) : -de àe <p„(|) = 0 , p = 1,.., n 1 < n < 6 où les Xp sont n scalaires arbitraires. On voit ainsi que 7t est indéterminé par les n termes de Xp ——*, qui sont n tenseurs symétriques qui viennent en quelque sorte compenser, au niveau des contraintes, les restrictions imposées au niveau des déformations : n n'est en conséquence soumis à aucune restriction du fait des liaisons internes. (1) Sommation sur l'indice « muet » p .
VII.4 -22- Si l'on considère deux tenseurs W® et Jt® satisfaisant à la loi de comportement (4.15) pour les mêmes valeurs de T et de e , et un taux de déformation e satisfaisant les liaisons internes (4.12), on a évidemment : Ea,(T,e):£ = Sa,(T,|):e;; autrement dit les puissances des efforts intérieurs dans un taux de déformation compatible avec les liaisons internes sont identiques. Le tenseur (w® — jf) est un tenseur inopérant dans les liaisons internes. On dit aussi que celles-ci sont parfaites. Le fait que les liaisons internes soient parfaites apparaît ici comme une conséquence des hypothèses d'élasticité. Dans la construction d'autres lois de comportement pour des matériaux avec liaisons internes, on fera souvent l'hypothèse des liaisons internes parfaites. On remarque aussi que, comme au paragraphe 4.2, les relations (4.13) et (4.15) impliquent que la dissipation intrinsèque volumique est nulle. 4.4 - Invariance tensorielle et objectivité de la loi de comportement thermoélastique. Telle qu'elle est écrite en (4.5, 4.7) par exemple, la loi de comportement thermoélastique satisfait évidemment au principe d'invariance tensorielle, c'est-à-dire qu'elle est invariante par changement de repère dans un référentiel donné : ceci est assuré par l'écriture tensorielle intrinsèque. L'objectivité, c'est-à-dire l'invariance par changement de référentiel (ou « d'observateur »), est assurée par l'écriture purement lagrangienne de cette loi de comportement. 4.5 - Respect des symétries de la matière. On a déjà eu l'occasion d'évoquer au chapitre VI (§ 4.2) le principe du respect des symétries de la matière dans la description du comportement des matériaux : toute loi de comportement, toute relation, toute fonction, caractérisant une propriété physique d'un matériau doit être invariante, par toute transformation appartenant au groupe des symétries du matériau dans une configuration donnée. Désignons par ë le groupe des symétries du matériau étudié, dans la configuration de référence k0 . On peut caractériser ë par deux énoncés équivalents : • il n'est pas possible, dans la configuration k0 , de discerner deux éléments qui se déduisent l'un de l'autre par une isometrie appartenant au groupe ë ; ils réagissent identiquement l'un et l'autre, sous une sollicitation quelconque ; • si l'on applique à un élément donné deux sollicitations distinctes déduites l'une de l'autre au moyen d'une isometrie du groupe ë, les réponses sont distinctes mais se déduisent l'une de l'autre au moyen de la même isometrie. Considérons alors, pour le matériau thermoélastique, deux tenseurs des déformations lagrangiens e et e' , déduits l'un de l'autre au moyen d'une isometrie de ë ; on désigne par a le tenseur euclidien associé à cette isometrie, et on écrit, par extension, a e ë. La correspondance entre e et e' est donnée par :
-23- VII.4 En application du second énoncé ci-dessus, la fonction scalaire ty doit prendre des valeurs égales pour les valeurs e et e' de son argument, soit : Vg.Vgeë , <|/(T,eJ = ty(T,g) ou encore !V| , Vgeë «KT,Ê) = «KT,g.|.'a). ty doit donc être invariante dans les isométries du groupe ë. On vérifie alors que, par (4.7), on a bien en conséquence de (4.17), la relation (4.18) n' = a . g . 'g pour les tenseurs des contraintes associés par la loi de comportement thermoélastique à T et e' d'une part, T et e de l'autre. Selon les cas il sera commode pour exprimer et exploiter le principe du respect des symétries de la matière, soit de raisonner sur la fonction ty et d'appliquer (4.17) comme on le fera au paragraphe 4.6, soit d'écrire (4.16) et (4.18) au niveau des tenseurs des déformations et des contraintes (cf. § 5.7). 4.6 - Matériau thermoélastique isotrope dans la configuration de référence. Pour le matériau isotrope (au sens de Cauchy) dans la configuration de référence, le groupe ë est le groupe de toutes les isométries, directes et indirectes. Cela signifie que l'on ne peut distinguer par leurs réponses à des sollicitations identiques, ni deux éléments d'orientations différentes, ni un élément et son image dans une glace. Cela signifie aussi qu'il n'existe dans l'espace euclidien aucune direction ni aucun repère privilégiés en ce qui concerne le comportement du matériau. L'argumentation concernant l'écriture de \|/ est alors identique à celle développée au chapitre VI (§ 4.2) à propos de la formulation du critère de limite d'élasticité pour un matériau isotrope en fonction du tenseur des contraintes de Cauchy a : i|/ s'exprime nécessairement comme une fonction de T et des invariants du tenseur g. On pose (Annexe I, § 4.5) : (4.19) I',=trg r2 = ^trg2 r3=-trg3 et i|a s'écrit : (4.20) i|/(T,e) = i|/(T,r,,r2,r3) On comprend mieux ici la signification du mot «exploiter» employé à la fin du paragraphe 4.5 : le principe de respect des symétries de la matière permet de préciser la forme qu'a nécessairement la fonction i|a et, comme on le verra à la section 5, permet de réduire a priori le nombre des « coefficients » caractérisant le comportement du matériau. L'isotropie correspondant évidemment au groupe de symétries matérielles le plus vaste (toutes les isométries), (4.20) représente la forme la plus réduite possible pour i|/ (sans l'introduction d'hypothèses supplémentaires).
VII.5 -24- On déduit sans difficulté de (4.19) les formules suivantes : dl\ , dl'2 3l's 2 <*21> 17-i - 77 = ^ ' 77-^-s-ê d'où par (4.7) : (4.22) i = p°^i+^;§ + ^;s2J dans laquelle —— , ——-, —— sont des fonctions de T, I',, I'2,1'3. 31 ! 5 1 2 O l 3 On notera aussi que, de façon équivalente à (4.20), on pourrait énoncer que »|/ est une fonction de T et une fonction symétrique des valeurs principales de e. Ceci montre également comment le raisonnement aurait pu être mené à partir de (4.17) : en effet, a correspondant à une isométrie quelconque, a. e. ' a décrit tous les tenseurs ayant les mêmes valeurs principales que e. 5. THERMOELASTICITE LINEAIRE. 5.1 - Présentation. Les constatations expérimentales évoquées dans la section 2 de ce chapitre ont mis en évidence deux points essentiels : • la « réversibilité » du diagramme de charge, (ou des déformations) • la linéarité du diagramme de charge dans tout ou partie de la phase élastique (§ 2.2). On a vu au paragraphe 4.2 que la loi de comportement (4.7) rend compte de façon précise de la « réversibilité » : elle en donne la formulation exacte avec des variables lagrangiennes proprement définies. On se propose maintenant d'examiner la linéarisation de cette loi, de façon à rendre compte aussi de la linéarité observée. 5.2 - Linéarisation physique. Ecriture de la loi de comportement linéarisée. On prend comme configuration de référence la configuration dite initiale k0 , à partir de laquelle on se restreint à l'étude des déformations infinitésimales (chapitre II § 7.1) (5.1) Il e || « 1 et des « petites variations de température » : (5.2) t = T - T0. L'idée est alors que, sous ces hypothèses, il est légitime de linéariser la loi de comportement (4.7), c'est-à-dire de limiter le développement de »|/ (T, e) au second ordre en fonction de t et de e .
-25 VII.5 A une constante additive près, sans importance pour la suite puisque \|/ n'intervient que par ses dérivées dans l'expression de la loi de comportement, ty apparaît donc sous la forme d'une fonction scalaire du second degré par rapport à e et à t . On doit de plus respecter la convention d'écriture symétrique indiquée au paragraphe 4.2. D'où, avec des notations dont l'intérêt apparaîtra dans la suite, l'expression : (5.3) Po»l' = 2C:£-PosoT + 2 = : = : = - = : = T-2PobT2 Dans cette formule, s0 et b sont des constantes scalaires. n° et k sont des tenseurs euclidiens du second ordre constants (ils sont 2-contravariants par nature puisque définis (l) par dualité (cf. Annexe I § 4.4) avec e 2-covariant) ; de plus, pour satisfaire la condition d'écriture symétrique de »|/, les tenseurs n° et k sont choisis symétriques. Le terme quadratique par rapport à e , noté — e : A : e, s'explicite comme suit : A est un tenseur euclidien du quatrième ordre, constant. — e : A : e représente la contraction totale, sur les indices 1 et 4, 2 et 3, 5 et 8, 6 et 7, du produit tensoriel -e® A ® e . A ainsi défini par dualité est donc, par nature, 4-contravariant. En composantes, le terme quadratique s'écrit : -e:4:e = -eji A'^'e,,, ; en base orthonormée, notation conservée dans toute la suite : <5-4) ^|:â:£ = ôeiiAiik«e«k • De plus, e étant symétrique, A n'est défini que module» un tenseur du 4ème ordre « antisymétrique » sur les indices (i, j) et sur les indices (k , C). Pour respecter la convention d'écriture symétrique dety ,on choisit pour A la définition symétrique sur les indices i et j d'une part, k et C de l'autre : (5-5) Aijkl = Ajikl = Aijlk = Aji, Enfin, dans l'écriture du terme quadratique, on a procédé au dédoublement des « termes rectangles » en distinguant un terme en e^ AiJkf e,k et un terme en e,k Ak(lJ ej, de façon à aboutir à une forme de produit doublement contracté ; ce dédoublement des termes signifie que seule la somme (Aijkf + Ak(lj) est définie, aussi pose-t-on : (5.6) A,-jii[ — AkeiJ- c'est-à-dire qu'il y a symétrie entre les groupes d'indices (i, j) et (k, E). (1) A un tenseur antisymétrique près puisque e est symétrique.
VII.5 -26- Ainsi le tenseur A, du 4ème ordre sur 1R3, qui compte 81 composantes, ne dépend-il plus, compte tenu de (5.5) et (5.6), que de 21 paramètres indépendants (c'est bien le nombre de termes distincts que peut comporter une forme quadratique définie sur les tenseurs du second ordre symétriques). La loi de comportement thermoélastique linéaire s'obtient en appliquant (4.5) et (4.7) à ty exprimé par (5.3), où l'on remarque que, compte tenu de (5.6), on a la formule simple : (5.7) il vient alors : (5.8) (5.9) ou, en composantes : (5.10) 7~ fc e : A : e) = A : e de L Jt = s = = E° + A : s0+ — k e : e -ki + bi "■i ~ n >j ■*■ Ajjk[eek kjj t s = s0 + — kjjCji + bi Po Interprétation physique des coefficients. Ces formules permettent d'interpréter physiquement les constantes introduites dans (5.3), et de préciser la notion de « petites variations de température ». • Le tenseur symétrique n° apparaît comme le tenseur des contraintes initiales : ce sont les contraintes qui correspondent à une déformation nulle et à un écart de température nul par rapport à la configuration de référence. • s0 est l'entropie massique initiale définie de la même manière. • A est le tenseur des modules d!élasticité, liant, à température constante, les contraintes aux déformations; le décompte effectué plus haut montre que, dans le cas le plus général d'élasticité linéaire, il y a 21 coefficients d'élasticité. Ces coefficients, ou modules, d'élasticité ont les dimensions d'une contrainte; ils s'expriment donc en Pascal, mais pour les matériaux courants on préférera le Mégapascal (MPa). • On a évidemment, à partir de (5.9) : 1 (5.11) Ts=-Tk:e+Tbi Pc - - Le premier membre de cette égalité, qui a les dimensions d'une puissance massique, apparaît, irréversibilités thermiques mises à part, comme le taux massique de chaleur reçue pour des vitesses de déformation et d'écart de température e et t ; ainsi : — T k est le tenseur des chaleurs latentes massiques de déformation Po - (6 coefficients indépendants) T b est la chaleur massique à déformation constante.
-27- VII.5 • La notion de « petite variation de température » peut être précisée à partir de (5.8) : les contraintes k t engendrées par la variation de température t doivent être du même ordre de grandeur que des contraintes A : e engendrées par une déformation e vérifiant (5.1). • Enfin on remarque que l'écriture en composantes (5.10) satisfait bien l'égalité (4.10). Le tableau exprimant les composantes n^ en fonction des composantes e*, (pour jt° = 0 et t = 0) est symétrique par rapport à sa diagonale. 5.3 - Matériau thermoélastique linéaire isotrope. La loi de comportement du matériau thermoélastique linéaire, isotrope dans la configuration de référence s'obtient en combinant les résultats des paragraphes 4.6 et 5.2. Le développement limité au second ordre de i|/, ne doit plus faire intervenir que les invariants de e définis par (4.19); d'où compte tenu de l'ordre de I',, I'2,1'3, l'expression la plus générale de i|/ pour le matériau thermoélastique linéaire isotrope : (5.12) X 1 p0i|/ = jt°r, - Poi0i + -r,2 + 2|ir2-kr1T--p0bi2 On remarque que dans cette formule n° , s0, X , u, k et b sont toutes des constantes scalaires. On en déduit, par application de (4.5), (4.7) et (4.22) : (5.13) z = n°l+Xril+2\ie-k-cl (5.14) ou encore : (5.13) (5.14) s = s0 + — kl', +bi Po l = jt°I + X(tre)I + 2ne-kTl s = s0 + — ktre + bi Po On voit sur cette loi de comportement que le tenseur des contraintes initiales n° de (5.8) est ici nécessairement, en raison de l'hypothèse d'isotropie du matériau, un tenseur isotrope quelconque : n° = n° l_ . Quant au tenseur A des modules d'élasticité, il ne dépend plus que de deux paramètres indépendants (l) : il y a 2 coefficients d'élasticité. Les coefficients X et u de (5.12) et (5.13) sont appelés coefficients d'élasticité de Lamé(2) ; en particulier u est le module de cisaillement. (1) On a : Aij,,, = X (5,, 5k() + u (S-,,, 5j, + 5i( 5jk) (2) G. Lamé (1795-1870). Dans la littérature anglosaxonne notamment, le module de cisaillement \i est souvent noté G , et X porte le nom de « constante de Lamé ».
VII.5 -28 Enfin on remarque que le tenseur k est lui aussi nécessairement isotrope : k = k ^ . Il n'y a donc plus qu'ww seul coefficient thermique dans le passage de (5.8) à (5.13). L'inversion de la loi de comportement (5.13), exprimant e en fonction de n et t, est aisée. Il est d'usage de mettre la formule inverse sous la forme : (5.15) 1 + v v (e - g°) = —— 5 - - (tr g) l + a t I qui fait intervenir 3 coefficients élastiques et thermiques E, v, a . E est le module d'élasticité de Young qui a les dimensions d'une contrainte"», v est le coefficient de Poisson, nombre sans dimension'2», a est le coefficient de dilatation thermique linéique. e° apparaît comme la déformation dans l'état de contrainte nulle (n = 0) et pour un écart de température nul, par rapport à la configuration (ou état) de référence. Elle vaut : (5.16) 1 -2v Jt° 1 et est donc nécessairement un tenseur isotrope. Il est utile d'écrire les formules permettant de passer des coefficients d'élasticité de Lamé au module de Young et au coefficient de Poisson : (5.17) et aussi : (5.18) k = Eot 1 -2v (3X + 2u) ^ (X + u) X = E (1 + v) (1 - 2 v) À. V ~ 2 (X + u) E * ~ 2 (1 + v) a = 3X + 2u 5.4 - Hypothèse de la transformation infinitésimale ; formulation eulérienne. On a vu au chapitre II (§ 5.2 et 5.3) que dans l'hypothèse de la transformation infinitésimale définie par : (5.19) Il 11 II « 1 (1) T. Young (1773-1829) physicien, médecin et égyptologue, (franges de Young, étude de la pulsation artérielle, contestation avec Champollion sur le déchiffrement des hiéroglyphes,...). (2)D. Poisson (1781-1840).
-29- VII.5 on peut, en négligeant les termes du second ordre, écrire e sous la forme linéarisée § et, dans l'écriture de celle-ci, confondre le gradient lagrangien du déplacement 7£ avec le gradient eulérien eradS: (5.20) g = - (grad l + ' grad l) De plus on a, sous la même hypothèse : (5.21) p/p0 = dfydQt ~ (1 H-tri)"1 =* 1 - trg. Comme on l'a dit (chapitre II, § 7.1) l'hypothèse de la transformation infinitésimale implique que la déformation est, elle-aussi, infinitésimale et permet donc, dans le cas présent, la linéarisation de la loi de comportement lagrangienne sous la forme générale (5.8). On rappelle la correspondance entre les contraintes de Cauchy et de Piola-Kirchhoff (chapitre V § 4.1): (5.22) Ç = — f.jt.'F avec E = (I + V_£) ■ - Po- - - -~ — Avec la loi de comportement linéarisée (5.8) et en ne conservant que les termes du premier ordre, on obtient compte tenu de (5.20, 5.21, 5.22) : (5.23) a = n° (1 - tr e) + grad £ . n° + n° . ' grad £ + A : e - k t initiales. Cette formule peut alors être simplifiée suivant les caractéristiques des contraintes Etat initial naturel L'état initial, pris comme état de référence, est dit naturel si le tenseur des contraintes initiales n° est nul. On a alors, de façon cohérente, la loi de comportement linéarisée écrite en représentation eulérienne : (5.24) et pour le matériau isotrope : (5.25) a = A : e — k t a = X (tr e) I + 2u e - k t l inversée en (5.26) 1 + v v , | = —7T- g - — (tr a) I + a t ^ Ces formules sont donc identiques, au changement de notations près, aux expressions lagrangiennes (5.8), (5.13) et (5.15), avec n° = 0 et e° = 0 .
VII.5 -30- On remarque que l'on tire de (5.25) et (5.26) les relations 1 3ki (5.27) tfg=^ ^-, trg + 3X + 2\i = 3X + 2u et 1 - 2v (5.28) tr§ = —-—ira+ 3 ai. — fc/ — On rappelle que, d'après (5.21), tr e représente la déformation volumique linéarisée : dfi, - d£2o tr e ~ — . dîio En posant (5.29) 3K=3X + 2u= E/(l - 2v) on voit, à partir de (5.28), que la déformation volumique élastique dans une expérience de compression uniforme isotherme où a = - p \ , est égale à : trs = trg/3K = - p/K. Le coefficient K défini par (5.29) est appelé module élastique de compression (ou encore module de rigidité à la dilatation). Etat initial quasi-naturel. Dans l'état initial quasi-naturel, on suppose jt° infiniment petit ; plus précisément on suppose que : || nc || est au plus de l'ordre de || A : e || . (5.23) se réduit alors au premier ordre à : e = Sc + A:e-kt où jjc apparaît comme la contrainte initiale eulérienne oc , d'où l'écriture : (5.30) g=S°+A:e-ix et pour le matériau isotrope : (5-31> g = o°I + X(tr|)i + 2u£-kxl inversée en : (5.32) §-§° =—=-^o-^ (tro)I + txxi avec e° = - ' ~ 2v a" 1 -- t — b, — — — = £ = Etat de référence précontraint. Il arrive souvent dans la résolution de problèmes d'élasticité que l'on soit conduit à changer de configuration de référence. Etant donnée une configuration initiale Ko, dans laquelle l'état (initial) est naturel (ou quasi-naturel), on effectue à partir de celle-ci une transformation infinitésimale amenant à une configuration « précontrainte » kp , dans laquelle le tenseur des contraintes de Cauchy est ap et l'écart de température par rapport à Ko est tp .
-31- VII.5 Il est alors immédiat, par la linéarité des formules (5.24, 5.25, 5.30, 5.31), de voir que si l'on prend cette configuration kp comme nouvelle configuration de référence, les formules eulériennes (5.24 à 5.26) et (5.30 à 5.32) demeurent valables pour toute transformation infinitésimale effectuée à partir de kp : les déformations linéarisées g' et les variations de température t' sont rapportées à la configuration kp et l'on peut écrire : (5.33) a = ap + A : e' - k t' et pour le matériau isotrope : (5-34) (5.35) en posant : a = compte ê' = gp + Mtr£')I + 2ue' tenu de (5.17), en : -4¾-!«,*)! - ki + ai' l I a' = a - a* On notera que la formule (5.33) écrite à partir de l'état précontraint sous les hypothèses indiquées de transformations infinitésimales n'impose aucune condition sur l'ordre de grandeur de || a" || comparé à celui de II A : e' || . Commentaires. L'essentiel des applications qui seront faites dans le cadre de ce cours à la résolution de problèmes d'élasticité, concernera les matériaux isotropes dans l'hypothèse de la transformation infinitésimale. Nous regroupons ci-après les formules essentielles correspondantes. A signaler que l'interprétation physique des coefficients E, v, X et u , apparaîtra dans les chapitres suivants à l'occasion de la résolution des problèmes d'élasticité qui modélisent les essais classiques (chapitre VIII, § 7.3 et chapitre IX , § 2.3).
VII.5 -32- a = o° ± + X(tT$l + 2ui_ kTI ... 1 + v v ,. _ e = e i + —=— o - ~ (tr a) l +au - — fc, — E — — — (3X + 2u) X * (X + u) V 2(X + u) "" i r v u E '" " (1 + v) (1 - 2v) p 2 (1 + v) 1 - 2v „ E =" E °° a = a» + X (tr e') 1 + 2\ie' -kz' l 1 + V V p' = rs' (tT rr'ï 1 + r» t' 1 k (3X + 2u) k a E k_a(l-2v) E = Ev = - a' = a - ap 5.5 - Stabilité du matériau thermoélastique. On considère un élément de matériau thermoélastique dans son état naturel pris comme état initial. Etudier la stabilité du matériau, c'est examiner si cet élément, en l'absence de sollicitations extérieures (forces, écarts de température) a tendance à évoluer spontanément ou au contraire à demeurer dans son état initial. Nous admettrons qu'une condition nécessaire de stabilité isotherme du matériau thermoélastique linéaire est que le terme quadratique figurant dans (5.3) soit défini positif: (5.36) - e : A : £ défini positif Pour le matériau thermoélastique linéaire isotrope on a : (5.37) \g-à:% = \l\2 + 2ul'2. Il est commode pour obtenir les conditions pour que ce terme soit défini positif, d'exprimer I', et I'2 en fonction des valeurs principales de e, soit e,, e2 et e3. En effectuant les calculs, on met (5.37) sous la forme (par exemple) : - If + 2u I'2 = ( - + H ) (e, + e2 + e3)2 + H (e, - e2)2 + £ (2 e3 - e, - e,)2 somme des carrés de trois formes linéaires indépendantes en e,, e2, e3.
33 VII.5 On en déduit les conditions nécessaires de stabilité exprimant (5.36), qui imposent donc des limitations aux valeurs des coefficients d'élasticité de Lamé : (5.38) yk + 2u > o u > 0 Si l'on utilise le module de Young et le coefficient de Poisson, les conditions (5.38) sont équivalentes, par (5.17), à : (5.39) E > 0 - 1 < v < - 2 L'expérience montre d'ailleurs que v est toujours positif. La condition de stabilité (5.36) ayant été posée a priori, il est intéressant d'examiner la signification physique des restrictions (5.38) et (5.39). Ainsi : • E > 0 veut dire par (5.24) que, dans une expérience où a est uniaxial (cf. chapitre VI, § 3.5), sa seule composante non nulle aXil étant, par exemple, positive (traction), e„ est elle aussi positive si t = 0 : « le matériau s'allonge si l'on effectue une traction isotherme » • par (5.27 à 5.29) on voit que v < 1/2 (avec E > 0) veut dire que, si t = 0, tr a et tr e sont de même signe ; en particulier si a est une compression isotrope o= — pi tr e = - p/K est négatif : «le matériau diminue de volume si l'on effectue une compression isotrope et isotherme ». • v > - 1 (avec E > 0) signifie que u > 0 : en cission simple, la direction de la contrainte principale de traction coïncide avec la direction principale d'extension maximale. Remarquons enfin que la condition de stabilité (5.36) permet d'affirmer que la loi de comportement élastique linéaire (5.8), dans une évolution isotherme, est une correspondance biunivoque entre e d'une part et la contrainte n de l'autre. Ceci implique notamment que, dans une telle évolution, il y a « réversibilité » des déformations comme on l'a indiqué dans la section 2 à propos des constatations expérimentales. Plus généralement le même résultat est assuré en élasticité non-linéaire dès que ty est une fonction convexe a) de e . (1) Cf. chapitre X (§ 1.5).
VII.5 - 34 - 5.6 - Quelques valeurs typiques. Le tableau ci-dessous donne les ordres de grandeur des valeurs de E, v et a pour quelques matériaux. Matériau Acier doux Acier invar (64% Fe,36% Nj) Aluminium Argent Béton Bronze Cuivre Fonte Granité Laiton Or Platine Plomb Verre E en MPa 2 x 105 1,4 x 105 7,4 x 104 8,5 x 104 3,5 à 4,5 x 104 1 x 105 1,2 x 105 8 x 104 8 x 104 9,2 x 104 8 x 104 1,5 x 105 1,7 x 104 7 x 104 V 0,25-0,30 0,34 0,39 0,2 0,31 0,34 0,36 0,27 0,33 0,42 0,38 0,45 0,22 à 0,31 a en 10"6 K"' 12 a: 0 22 19 10 17 à 19 17 10 9 18 14 9 29 6 à 10 La limite d'élasticité en traction simple de l'acier doux est de l'ordre de 240 MPa, celle d'un acier à haute résistance de 1 000 MPa. 5.7 - Exemples de matériaux thermoélastiques anisotropes. Compte tenu de l'importance de ces considérations dans les applications pratiques actuelles (matériaux naturels, et matériaux composites fabriqués) il nous paraît utile de donner, sans démonstration détaillée, les résultats concernant l'écriture de la loi de comportement thermoélastique pour deux types de matériaux anisotropes fréquemment rencontrés : • matériau orthotrope • matériau orthotrope de révolution, ou transversalement isotrope. D'une façon générale, dire que ces matériaux sont anisotropes implique l'existence, dans l'espace euclidien, de directions ou de repères privilégiés relativement à leur comportement. La méthode d'étude suivie (mais il en existe d'autres) consiste à abandonner l'écriture intrinsèque tensorielle de la loi de comportement pour l'écriture matricielle en se plaçant dans une base privilégiée, et à appliquer alors (4.16) et (4.18). • Matériau orthotrope dans la configuration de référence. Un matériau est orthotrope dans la configuration de référence s'il possède, dans cette configuration, trois plans de symétrie orthogonaux entre eux; ceci définit le groupe 3 des symétries du matériau pour l'application de (4.16) et (4.18).
-35- VII.5 (5.40) (5.41) On utilise (figure 5) une base orthonormee dirigée suivant les intersections de trois plans de symétrie du matériau ; on explicite la loi de comportement en composantes dans cette base ; on en écrit l'invariance par changement d'orientation des vecteurs de la base. b f.tt s Figure S - Matériau orthotrope. On obtient la loi de comportement du matériau thermoélastique orthotrope, dans sa base privilégiée notée (â.fe.ç): K. = i°o + A„ e„ + A12 en, + A13 e^ - k, x "w. = tcbb + A12 e„ + Aji e» + AM e„. - k2 x «« = it°«c + A13 e„ + AM e» + A„ e^ - k3 x Kbc = Am Cfr ^«e ~ Ass eac ''•b = "« e.b Il y a donc 9 coefficients d'élasticité et 3 coefficients thermiques ; de plus, le tenseur des contraintes initiales est nécessairement diagonal. On a coutume de transformer (5.40) en introduisant des « modules de Young » et des « coefficients de Poisson », et l'on écrit, dans le cas isotherme et à partir de l'état naturel, pour simplifier : eaa p "M p ftbb p "ce Gtib p "m + p "bb p Ace „ _ _ Vjj _ V23 1 ecc ~ p M p bb P ^ 2 ebc = 77- "bc 2 e„ = — 7t„ 2 e.b = —- 7t.,, <-»23 0„ 012 On prendra garde qu'il n'y a pas de symétrie des « coefficients de Poisson », mais symétrie du tableau (5.41) comme indiqué au paragraphe 5.2, c'est-à-dire : v2, E, = v,2 E2 v,2 E, = v2, E, v„ E, = v„ E3 .
VII.5 -36- > Matériau orthotrope de révolution dans la configuration de référence. Un matériau est orthotrope de révolution dans la configuration de référence s'il possède, dans cette configuration, un axe de symétrie de révolution et admet pour plans de symétrie tout plan passant par cet axe et un plan perpendiculaire à cet axe. On dit aussi d'un tel matériau qu'il est transversalement isotrope autour de l'axe indiqué. On utilise (figure 6) une base orthonormée constituée de deux vecteurs a et b situés dans le plan de symétrie orthogonal à l'axe et d'un vecteur ç selon Taxe de symétrie de révolution. On explicite la loi de comportement en composantes dans cette base ; on en écrit l'invariance par changement d'orientation des vecteurs de base et par rotation de la base autour de l'axe de symétrie. Figure 6 - Matériau orthotrope de révolution. (5.42) On obtient la loi de comportement du matériau thermoélastique orthotrope de révolution dans la base â. fe, ç (ou toute base équivalente) : 7t„ = 7t° + A„ e„ + A12 en, + A13 e« - k x i» = «° + A12 e„ + A„ en, + A13 e« - k x n^ = 7t°« + A13 e„ + A13 e» + A33 e« - k31 Ttbc = A44 e^ i.t = (A„ - A12) e.„ Il y a donc 5 coefficients d'élasticité et 2 coefficients thermiques. (5.43) De plus, le tenseur des contraintes initiales est nécessairement diagonal et « de révolution » autour de l'axe de symétrie du matériau. On peut aussi introduire des « modules de Young » et des « coefficients de Poisson ». Dans le cas isotherme à partir de l'état naturel on écrira : 1 v v' e- - g "" _ £ "bb - ^7 "ce _ V 1 v' ekb~~£,t"+£,tl>b~p7tcc v' v' 1 e« gT n" ~ gT "bb + £7 "ce 2 e^ = — Tt^ 2 e« = — 71« 2 (1 + v) 2 e„ = tc„
-37- VII.6 6. APERÇU HISTORIQUE Sans viser à l'exhaustivité il paraît utile de situer ici, du point de vue historique, l'apparition des principaux concepts évoqués dans ce chapitre consacré au comportement élastique, en donnant les indications essentielles sur les démarches suivies dans les travaux correspondants. Le lecteur soucieux d'approfondir cette question se reportera avec grand profit à l'introduction historique et aux annexes du livre déjà cité de A.E.H. Love A treatise on the mathematical theory of elasticity. • Elasticité uniaxiale. Comme indiqué au paragraphe 2.4 la loi de comportement élastique uniaxiale reliant l'extension d'un solide élastique à la force de traction qui lui est appliquée fut découverte et énoncée indépendamment par Hooke et Mariotte. L'application en fut faite essentiellement pour l'étude des poutres. Mariotte lui-même reprit ainsi le problème posé par Galilée (1638) qui tentait d'évaluer la capacité portante d'une poutre console. Pour l'étude de Velastica (ligne élastique qui se déforme en flexion) Jacques Bernoulh'"' associa la résistance opposée par une tige à la flexion à l'extension et à la contraction de ses fibres longitudinales, aboutissant ainsi pratiquement à un moment de flexion proportionnel à la courbure correspondante de la tige. Ce problème de Velastica fut étudié entre autres par Euler, Lagrange, Daniel Bernoulli'"- conduisant notamment aux premiers travaux sur la stabilité élastique (cf. chapitre XII, § 3.1). Pour les poutres de section finie c'est Coulomb'2' qui. à partir de la loi de Hooke appliquée aux fibres longitudinales, proposa une théorie de la flexion. Milieu continu et élasticité tridimensionnelle. Thomas Young fut le premier à reconnaître le cisaillement comme une déformation élastique (Coulomb ne l'avait considéré qu'en relation avec la rupture). Il fit la remarque que la résistance élastique au cisaillement et la résistance élastique à la traction compression d'un même corps sont en général différentes. Il introduisit le concept de « module d'élasticité d'une substance » dont est issu l'actuel module de Young(3). Naviei*" rechercha les équations d'équilibre des solides élastiques à travers une « théorie moléculaire ». Considérant la matière comme constituée de molécules ponctuelles (points matériels) qui exerçaient entre elles des forces axiales, il obtenait les forces élastiques comme résultat des variations de ces forces « moléculaires » liées aux déplacements relatifs des molécules. En supposant le matériau isotrope Navier aboutissait à des équations d'équilibre du solide élastique, exprimées en termes de déplacements des points matériels, mais qui ne faisaient intervenir qu'une seule constante liée au matériau, semblable au module de Young'5'. On a déjà évoqué au chapitre V (§ 3.6) le mémoire communiqué à l'Académie des sciences en septembre 1822 par Cauchy. Outre l'introduction du concept de contrainte comme on l'a mentionné précédemment, ce mémoire explicitait aussi clairement la notion de déformation caractérisée par ses 6 composantes ou par les axes principaux des déformations et les extensions principales correspondantes. A partir des équations d'équilibre écrites en contraintes, Cauchy souhaitait aboutir aux équations en déplacements régissant l'équilibre du solide élastique. Il utilisait pour cela la relation contrainte-déformation qu'il obtenait, pour les matériaux isotropes, en supposant d'une part la linéarité et d'autre part la coïncidence des directions principales des contraintes et des déformations. Introduisant ainsi 2 constantes matérielles Cauchy aboutissait aux équations d'équilibre pour un solide élastique exprimées en termes de déplacements'6'. (1) Jacques (1") Bernoulli (1654-1705); Daniel Bernoulli (1700-1782). (2)Ch. A. Coulomb (1736-1806). (3) Selon Love : He defined « the modulus of elasticity of a substance » as « a column of the same substance capable of producing a pressure on its base which is to the weight causing a certain degree of compression, as the length of the substance is to the diminution of its length ». (4)C. Navier (1785-1836) : mémoire lu à l'Académie des Sciences en 1821, publié en 1827. (5) L'équation obtenue n'est pas celle donnée au chapitre VIII (§ 5.3). (6) Equations exactes données au chapitre VIII (§ 5.3).
VII.6 -38- Dans une extension ultérieure Cauchy s'intéressa aux solides cristallins en faisant l'hypothèse de points matériels interagissant par des forces d'attraction et de répulsion. Dans un premier mémoire sur ce thème Cauchy put notamment retrouver par cette /oie les équations du cas isotrope qu'il avait obtenues antérieurement (avec 2 constantes matérielles). Dans un second mémoire, immédiatement postérieur, il aboutissait à une relation contrainte-déformation avec un seul coefficient d'élasticité dans le cas isotrope et am équations trouvées par Navier ; pour le matériau anisotrope le plus général Cauchy trouvait 21 constantes matérielles, dont 6 représentaient les contraintes initiales, d'où seulement 1S coefficients d'élasticité. On doit aussi mentionner les mémoires de Poisson à l'Académie des sciences, fondés sur une théorie moléculaire, qui retrouvaient les équations obtenues par Navier. • L'approche énergétique. C'est à Green1" qu'il revient d'avoir obtenu les équations de l'élasticité à partir de considérations énergé tiques. « Quelle que soit la façon dont les éléments d'un système matériel interagissent, si l'on multiplie les forces intérieures par les déplacements élémentaires dans leurs directions respectives la somme ainsi obtenue pour toute partie du système sera la différentielle exacte d'une fonction... » En supposant que cette fonction pouvait être développée en puissances et produits des composantes de la déformation, et en se restreignant au second ordre pour les petites déformations, Green obtenait les équations du comportement élastique linéaire avec les 21 coefficients d'élasticité dans le cas anisotrope général (cf. § 5.2 ci-dessus). A noter que la question du nombre des coefficients d'élasticité (1 ou 2 pour le matériau isotrope? 15 ou 21 dans le cas le plus général ?) fut pendant longtemps un sujet de controverse, jusqu'à ce que des résultats expérimentaux indiscutables, et des considérations théoriques, conduisent à rejeter définitivement la thèse du nombre réduit de coefficients : c'est ainsi par exemple que, dans le cas isotrope, la théorie moléculaire de Navier conduirait à l'unique valeur 0,25 (retrouvée par les théories de Cauchy, Poisson,...) pour le coefficient de Poisson, qui est en désaccord avec l'expérience pour un très grand nombre de matériaux. (i)G. Green (1793-1841).
-39- vn.R Récapitulatif des formules essentielles • Premier principe. E + K = Slc) (U) + Q E = Q- gm (U) Q = - f g . n da + f rdîi Equation de l'énergie pe = a:d. + r-divçi • Deuxième principe Inégalité fondamentale pj + div(^)-^ > 0 o:d + p(Ti-e)-â. grad T > 0 g-.d-pW + sT)-^.. grad T > 0 1 : £ - po (i + * T) - =j? . V T > 0 • Loi de comportement thermoélastique * 3T d»|/(T,e) S = Po 77 ~ — ce fl^(T,g) = fln>f(T,|) 5 eM 5 ey
VII.R -40- Linéarisation physique jt = 7t° + A : e - k x n<i = n "j + Aijke Gik ~ k;j X AijK = A;jjk = Ajlfl = Akeij ; jt jj = Jt j; Isotropie jt = Jtc:l= + X(tre)I + 2ne-kTl • Transformation inTmitesimale, matériau isotrope a = X(tr£)J_ + 2u£-kT^ 1 + v v . e - „ a (tr a) 1 + a x 1 - E, — C, — — — (3X + 2u) X * (x + ii) v 2a + n> a X ■ E V E (1 + v)(l - 2v) K 2(1+ v) fV -11 i t „ 3K-3X + 2u-(1_2v) ç = gj' + X(tiE')l + 2\ie' - kx' ^ 1 + V V i' =~ir= ~g^tr£'U+aT'i= a' = a - ap 3X + 2u > 0 u > 0 E>0 - 1 < v < - 2 » ^ j j Kj ; k (3X + 2u) k-« E k-ad-2v)
-41 - VII.Ex Exercices VII. 1 - Elasticité du second ordre. On considère un matériau élastique, isotrope dans la configuration de référence, qui n'est assujetti à aucune liaison interne. Expliciter la loi de comportement thermoélastique de ce matériau en élasticité du second ordre. Eléments de réponse. Développement de p0 i]r au 3e"™ ordre, compte tenu de Pisotropie : X 1 po* =*°r. -Pos0T + -(r,)2 + 2ur2-kr,T--p0bT2 + |(i'.)3 + pr, r2 +yT, + 5(r,)2T + er2T + q>r, t' + nt1 D'où: h =(ito + xr, - kT + tx(r,)2 + pr2 + 5r,T+ (pt2)! + (2u + pi', + et)| + yf • Il y a 9 coefficients de thermoélasticité du second ordre pour ce matériau isotrope, dont 5 coefficients d'élasticité isotherme. VII.2 - Matériau « incompressible ». Etude de la liaison interne « invariance du volume » (on dit aussi matériau « incompressible ») : expression de <p (e), tenseurs inopérants. Eléments de réponse. • Expression de ip (e) : la restriction sur les déformations s'écrit det F = 1 en utilisant l'expression de (det F)2 donnée au chapitre II (§ 3.3) on trouve pour la liaison interne <P(ê) = I', + (1\)2 - 2 F2 + | (I',)3 - 4 F, I'2 + 4I', = 0 • Tenseurs inopérants : en représentation eulérienne la liaison « invariance du volume » s'écrit : tr d = 0 d'où en représentation lagrangienne (i + 2|)':£ = 0; — = {l + 2 e)" ' (peut aussi s'obtenir directement à partir de <p (e)et du théorème de Cayley-Hamilton). de - - - Tenseurs inopérants : en représentation lagrangienne, X (1 + 2 e)" ' en représentation eulérienne, X ]_ X scalaire arbitraire.
VII.Ex -42- VII.3 - Elasticité linéaire du matériau « incompressible ». Comportement thermoélastique linéaire pour un matériau, isotrope dans la configuration de référence, et incompressible. Eléments de réponse. La liaison interne a été étudiée dans Ex.VII.2. Elle implique que I', est du second ordre en ||e|| ce qui d\|/ du> ~ doit être pris en compte pour ne retenir que les termes du 1" ordre dans 7t = p0 — + \ — (\ arbitraire). - de de D'où : 7t = itoi + 2ue-kTl + X(i + 2|)-' (le tenseur inopérant correspond à un tenseur isotrope en représentation eulérienne). En transformation infinitésimale, dans le cas de l'état initial naturel par exemple, on obtient o = 2ue + co_l (to arbitraire), avec tr e = 0 . Commentaire. La comparaison avec (S.2S) montre que le terme du module de cisaillement u est inchangé. On a v = 1/2 et a = 0 dans (5.28) ; ceci correspond à X -» co dans (5.17) . E = 3 u. Le terme col (<• arbitraitre) s'interprète comme résultant de l'indétermination du terme X (tr e) l_ dans (5.25). a VII.4 - Inextensibilité. On considère un matériau dont la microstructure impose l'invariance des longueurs (on dit aussi « l'inextensibilité ») dans une direction matérielle donnée. Etudier cette liaison interne. Eléments de réponse. La liaison interne est définie en représentation lagrangienne ; x désignant la direction concernée : <p (|) = 0 o e„ = 0 Les tenseurs inopérants sont de la forme dtp X — = X. e_ ® e, , X scalaire arbitraire. de ~" VII.5 - Symétrie hexagonale. Soit R = (O, e,, e^, e3 ) un repère orthonormé. On considère un matériau élastique linéaire dont la microstructure induit, dans la configuration de référence, les symétries matérielles suivantes : symétrie par rapport au plan (e, , e^ ), isométries du groupe d'invariance d'un hexagone régulier dans le plan (e,, e^). Déterminer le nombre de coefficients de thermoélasticité linéaire de ce matériau. Eléments de réponse. Le matériau est orthotrope a, b, Çj définissant ies intersections des plans d'orthotropie : a rayon de l'hexagone, b apothème orthogonal. Il faut exploiter la symétrie ternaire pour réduire encore le nombre de coefficients. On exprime, dans la base (a, b, Çj) par commodité, que pour une isométrie du type « rotation d'angle <p = 2n/3 autour de Çj » représentée par le tenseur euclidien a on a : Ve 7t = A:e o tx:7t:'a = A:tx:e:1a
-43- VILEx On obtient, après calculs, les relations supplémentaires : A, 3 = A23 , An = A22 , A^ — A55 , An — A] 2 = A^ ki = k2 , qui sont identiques à celles obtenues pour le matériau transversalement isotrope : 7 coefficients de thermoélasticité linéaire indépendants (S constantes élastiques et 2 thermiques). Commentaire. Bien que l'hypothèse initiale soit plus faible que celle de l'isotropie transversale il se révèle que le matériau élastique linéaire étudié est transversalement isotrope. Ce résultat n'est pas généralisable à d'autres types de lois de comportement. VII.6 - Symétries « d'un carré ». R = (O, a, b, ç) est un repère orthonormé. On considère un matériau élastique linéaire dont les symétries dans la configuration de référence sont : symétrie par rapport au plan (a , b), isométries du groupe d'invariance d'un carré de côtés a et b dans le plan (a , b). Déterminer le nombre de coefficients de thermoélasticité linéaire de ce matériau. Eléments de réponse. Le matériau est orthotrope : plans (a , b) , (b, ç) , (ç, a). Il faut exploiter les autres propriétés d'invariance du carré : invariance par rotation ip = k n/2 et symétries par rapport aux diagonales ; une rotation ou une symétrie suffit. On exprime, dans la base (a, b, ç), que pour une telle isométrie on a : V e n = A:e o a : 5 : ta = A : g : e : ta ; relations supplémentaires obtenues : A13 = A23 , An — A22 , A^ = A55 K, = k2 Il reste donc 8 coefficients de thermoélasticité linéaire indépendants : 6 constantes élastiques et 2 thermiques. Commentaire. On remarque que, à la différence du cas de l'isotropie transversale (orthotropie de révolution), le module de cisaillement dans le plan (a, b) demeure un coefficient élastique indépendant. VII.7 - Symétrie cubique. R = (O, a, b, ç) désignant un repère orthonormé, on considère un matériau élastique linéaire dont la microstructure induit, dans la configuration de référence, les symétries matérielles suivantes : isométrie du groupe d'invariance du cube de côtés a, b, ç. Déterminer le nombre de coefficients de thermoélasticité linéaire de ce matériau. Eléments de réponse. En poursuivant le raisonnement mis en œuvre dans Ex.VII.6 et en l'appliquant aux carrés de côtés (b, ç) ou £a, ç), on obtient, par rapport au matériau orthotrope, les relations supplémentaires : A,, = Aï; = A33 , A,; = A13 = A23 , Au = A55 = Am , k, = k2 = k3 . Il y reste donc 4 coefficients de thermoélasticité linéaire indépendants : 3 constantes élastiques et 1 thermique. Commentaire. Du point de vue « thermique » le matériau apparaît comme isotrope. Par contre il reste 3 constantes d'élasticité isotherme au lieu de 2 pour le matériau isotrope ; celui-ci correspond à la relation supplémentaire An = (A„ - A12) obtenue comme pour le matériau orthotrope de révolution (formule 5.42).
Chapitre VIII Problèmes d'équilibre thermoélastique linéarisés MOTS CLÉS. Linéarisation. « Petits » déplacements. Hypothèse des petites perturbations (H.P.P.). Conditions aux limites. « Principe » de superposition. Méthode des déplacements. Champs cinéma- tiquement admissibles. Equation de Navier. Méthode des contraintes. Champs statique- ment admissibles. Equations de Beltrami. Torsion. Fonction de gauchissement. Inertie de torsion. Rigidité à la torsion. Fonction de contrainte. Lignes de cisaillement. Principe de Saint Venant.
VIII -46- Principales notations. Notation K T,d 2 sTi s. K 9f (x) e <P (x, y) a d n J ^. (x, y) Signification tenseur de conduction thermique valeur donnée d'une composante de T valeur donnée d'une composante de § portion du contour où Tj est donnée portion du contour, où Çs est donnée coefficient de conduction thermique (matériau isotrope) potentiel des forces de masse couple de torsion fonction de gauchissement rotation différentielle symbole de la « dérivée normale » inertie de torsion fonction de contrainte (en torsion) lére formule (1-7) (2.8) (2.8) (2.8) (2.8) ( 2.23 ) (5.14) §7.1 (7.1) (7.1) (7.6) (7.9) (7.26)
-47- VIII 1. Équilibre et thermoélasticité. 1.1 - Rôle de la loi de comportement. 1.2 - Position du problème d'équilibre thermoélastique. 2. Linéarisation du problème d'équilibre élastique. 2.1 - Hypothèses. 2.2 - Linéarisation des équations. 2.3 - Conditions aux limites : forme classique. 2.4 - Commentaires sur les conditions aux limites. 2.5 - Récapitulatif des hypothèses de linéarisation et des équations du problème d'équilibre élastique linéarisé. 2.6 - Remarque sur l'équation thermique. 3. « Principe » de superposition. 3.1 - Enoncé. 3.2 - Etat initial préchargé. 3.3 - Etat initial précontraint quelconque. 4. La résolution des problèmes d'équilibre élastique linéarisés. 5. Méthode des déplacements pour la résolution du problème d'équilibre élastique linéarisé. 5.1 - Le problème posé. 5.2 - Principe de la méthode des déplacements. 5.3 - Equation de Navier. 5.4 - Fonction de déplacement ; champ de déplacement irrotationnel. 6. Méthode des contraintes pour la résolution du problème d'équilibre élastique linéarisé. 6.1 - Principe de la méthode des contraintes. 6.2 - Equations de Beltrami. 6.3 - Commentaire. 7. Exemple d'application : torsion élastique d'une barre cylindrique. 7.1 - Position du problème. 7.2 - Résolution du problème : méthode des déplacements. 7.3 - Commentaires. 7.4 - Cas de la barre de section circulaire. 7.5 - Résolution du problème par la méthode des équations de Beltrami. 7.6 - Limite d'élasticité initiale de la barre en torsion. 8. Principe de Saint Venant.
VIII. 1 -48- PROBLÈMES D'ÉQUILIBRE THERMOÉLASTIQUE LINÉARISÉS 1. ÉQUILIBRE ET THERMOÉLASTICITÉ. /./ - Rôle de la loi de comportement. On a déjà noté à deux reprises (chapitre V, § 3.4 et chapitre VII, § 2.1) que les équations de la dynamique (1.1) représentent un système de trois équations aux dérivées partielles du 1er ordre pour le champ tensoriel a, c'est-à-dire pour les six champs scalaires, composantes de a symétrique, fonctions des trois variables d'espace, à chaque instant t : (1.1) div[g(x,t)] +p(x,t)[F(x,t)-i(x,t)] =0 . Il en résulte que, quelles que soient les conditions au contour imposées à un système $ et les données sur les forces de masse et sur les accélérations supposées connues (par exemple, dans le cas de l'équilibre : i (x, t) = 0) , il n'est pas possible, au moyen des seules équations (1.1) de déterminer le champ des efforts intérieurs (contraintes a) dans S. Le problème n'est pas statiquement déterminé. D'autre part, et de façon plus générale, si l'on considère un système S dans un état initial pris comme état de référence, auquel on impose jusqu'à l'instant t une histoire de sollicitation par la donnée de forces surfaciques ou de déplacements imposés au contour, et de forces de masse, la détermination de l'évolution du système S s'appuie, dans le formalisme du milieu continu, en ce qui concerne les équations de champs, sur : • l'équation de conservation de la masse (ou équation de continuité) (1.2) ^(x.ti + divIp&.tfLKx.t)] =0 a t • les équations de la dynamique (1.1). Ces équations se révèlent encore insuffisantes puisqu'elles constituent un système de quatre équations aux dérivées partielles pour dix fonctions scalaires inconnues, à savoir. 6 composantes de a , 3 composantes du déplacement £ (ou de la vitesse U), p masse volumique. Ces constatations mettent en lumière la nécessité de faire intervenir le comportement du matériau. En effet, dans le cas général, la loi de comportement d'un matériau s'écrit comme une relation (fonctionnelle) entre l'histoire des déformations et l'histoire des contraintes pour l'élément de matière ; elle fournit donc six équations (intégro-différentielles) supplémentaires qui complètent ainsi à dix le système disponible pour la résolution du problème d'évolution posé ci-dessus, permettant de déterminer les champs a, §, et p (par exemple). Suivant le modèle adopté pour représenter le comportement du matériau, la loi de comportement s'exprime par une formule mathématique plus ou moins compliquée : l'élasticité constitue l'exemple le plus simple où la loi de comportement s'exprime sous la forme explicite d'une relation biunivoque entre contraintes et déformations au même instant. Les problèmes correspondants seront étudiés dans le présent chapitre.
-49- VIII. 1 D'autres modèles de comportement peuvent être adoptés pour les solides : élastoplasti- cité, viscoélasticité, élasto-visco-plasticité. Chacun donne lieu à des problèmes dont les techniques de résolution présentent des particularités et dans lesquels le comportement du système étudié manifeste certains traits caractéristiques. Toutefois ce qui sera dit dans le présent chapitre concernant la façon de poser les problèmes (en particulier à propos des conditions aux limites) et la façon dont interviennent, dans leur résolution, les équations de la dynamique, les relations de comportement, et les équations géométriques, aura un caractère général. Dans tout ce qui précède on a implicitement supposé la répartition de température connue et maintenue constante dans le temps. Le cas où la répartition de température dans le système est connue mais variable dans le temps ne modifie ce qui a été dit plus haut que par l'intervention explicite de T dans la loi de comportement. Dans le cas où le champ T constitue une inconnue supplémentaire du problème, une onzième équation doit également être écrite : l'équation thermique (cf. par exemple § 1.2). On remarque enfin que, du point de vue physique, il est on ne peut plus naturel que l'on doive faire intervenir la loi de comportement du matériau pour résoudre le problème du mouvement d'un système : l'expérience montre couramment par exemple que deux systèmes géométriquement identiques, soumis aux mêmes sollicitations, constitués de matériaux élastiques différents, se déforment différemment ; par contre il n'est peut-être pas aussi évident que la répartition des efforts intérieurs dépende elle aussi, en règle générale, de la loi de comportement du matériau constitutif, et il est important de conserver cette idée présente à l'esprit. 1.2 - Position du problème d'équilibre thermoélastique. Les problèmes étudiés dans le cadre de ce chapitre sont des problèmes d'équilibre. L'équilibre d'un système matériel dans un référentiel à un instant donné est défini par la condition que l'accélération x (x, t) est nulle en tout point du système à cet instant. Cela implique évidemment (cf. chapitre IV, § 5.2) que les efforts extérieurs appliqués au système à cet instant soient en « équilibre global » c'est-à-dire vérifient : [ 5e ] = 0 ; (il en va de même pour tout sous-système du système considéré). Soit alors un système constitué d'un matériau élastique. L'état initial d'équilibre de ce système est supposé naturel : le champ de contrainte initial y est nul. A partir de cet état initial, évidemment non chargé, on impose progressivement* ° au système certaines forces surfaciques au contour, certaines forces de masses. Sous ces sollicitations, sous réserve que les efforts extérieurs qui lui sont ainsi appliqués soient en équilibre global<2), le système atteint un nouvel état d'équilibre. Le problème consiste à déterminer, dans cet état, appelé état d'équilibre élastique : - les déplacements par rapport à l'état initial : champ £, - les contraintes dans le solide : champ a (par exemple), - la répartition de température : champ T. Des exemples pratiques de tels problèmes sont fournis pour des ouvrages ou des structures soumises à des charges constantes ou variables dans le temps de façon suffisamment lentes, des pièces de machines, des composants d'installations industrielles, etc. (1) Pour ne pas avoir à prendre en compte les phénomènes de propagation. (2) Cette condition se révèle en effet suffisante pour l'existence de l'état d'équilibre élastique du système si la forme des données aux limites est convenable (cf. § 2.3), lorsque le comportement du matériau constitutif est purement élastique sans limitations.
VIII. 1 -50- Les équations de champs pour la résolution d'un problème d'équilibre élastique sont les suivantes. • L'équation de la dynamique écrite pour l'équilibre dans la configuration actuelle (1.3) div g (x) + p (x) F (x) = 0 (,) • L'équation de continuité (conservation de la masse) entre l'état initial et l'état actuel (1.4) Po(X)/p(x) = detF(X) • La loi de comportement thermoélastique en chaque point du solide (1.5) n = Po — — a e avec les formules « géométriques » : x=X+£ F = r+ VJ n = ^ F" • . a . ' F" • = p - - = • L'équation thermique qui s'obtient à partir de l'équation de l'énergie (chapitre VII, § 3.1): p e - a : d + div q = 0 <2) d'où, dans l'état d'équilibre actuel (e = 0 et d= 0) : div g = 0 qui, avec la loi de conduction de Fourier (1.7) q = - K . grad T s'écrit : (1.8) div (K. grad T) = 0 U) Les données concernent : • les forces de masse F (x) dans (1.3) qui sont données dans la configuration actuelle, • au contour du solide, dans la configuration actuelle, - la température, - les efforts surfaciques ou des composantes de ceux-ci, - les déplacements ou des composantes de ceux-ci. (1) On convient de ne plus expliciter la dépendance en t. (2) On suppose ici que r = 0. (3) Aucune confusion possible entre le tenseur K de conduction thermique pour un matériau anisotrope et le tenseur K (t) du chapitre III (§ 2.2). ""
-51- VIII.2 Sur un tel problème le concept de linéarité se réfère à la correspondance entre les données (c'est-à-dire la sollicitation) et la solution (c'est-à-dire la réponse) ; il suppose évidemment que pour celles-là et pour celle-ci on ait pu, au préalable, définir des structures d'espaces vectoriels afin que la notion de combinaison linéaire ait un sens à leur propos. Dans la mesure où les données se réfèrent à la configuration actuelle, ceci se révèle impossible puisque celle-ci dépend de la solution même du problème en règle générale. La linéarisation du problème d'équilibre élastique comprendra donc des hypothèses relatives à cette condition préalable. Elle portera ensuite sur les équations du problème qui devront être linéaires, rapportées à une même configuration fixe. 2. LINÉARISATION DU PROBLÈME D'ÉQUILIBRE ÉLASTIQUE. 2.1 - Hypothèses. Les hypothèses faites pour linéariser le problème d'équilibre élastique posé au paragraphe 1.2 sont les suivantes. • Hypothèse de la transformation infinitésimale entre l'état d'équilibre initial et l'état d'équilibre actuel (2.1) HV|||«1 . On rappelle que cette hypothèse implique celle des déformations infinitésimales1" : (2.2) l|e||«l . • Hypothèse des petites variations de températures entre les états d'équilibre initial et actuel (cf. chapitre VII, § 5.2). • Hypothèse des petits déplacements. Cette hypothèse est nouvelle. Elle doit, comme la précédente au chapitre VII, être précisée, puisque le déplacement est une grandeur dimensionnée. On sait que dans l'hypothèse de la transformation infinitésimale on peut confondre les gradients lagrangien et eulérien ; par exemple VJî et gradS. Mais il est essentiel de se remémorer . la signification précise des notations employées (cf. chapitre II § 5.3). V et grad sont les opérateurs gradients en des points homologues des configurations initiale et actuelle ; on ne confond pas les coordonnées de ces points c'est-à-dire les variables X et x ! L'hypothèse des petits déplacements a pour but d'assurer que l'on puisse confondre dans la position du problème, au même ordre d'approximation que celui accepté par les hypothèses précédentes, la géométrie actuelle du solide avec sa géométrie initiale : • on écrira les données du problème sur la géométrie initiale fixe ; ceci conduira à estimer les « petits » déplacements en se référant aux variations qu'ils induisent sur ces données ; • on confondra coordonnées actuelles et initiales dans l'écriture des divers champs, c'est- à-dire confondre les variables X et x ( Il ^ Il petite devant une dimension linéaire caractéristique du système). (i) On dit aussi : « petite transformation » et « petites déformations ».
VIII.2 -52- En règle générale les trois niveaux d'hypothèses énoncés ci-dessus vont de pair et sont regroupés sous le nom d'hypothèse des petites perturbations (H.P.P.) autour de l'état d'équilibre initial Néanmoins on rencontre certains problèmes, c'est le cas notamment pour les «corps minces», pour lesquels l'hypothèse de la transformation infinitésimale est satisfaite sans que l'hypothèse des petits déplacements ne le soit. On notera aussi que, a priori, l'hypothèse des petits déplacements n'implique pas celle de la transformation infinitésimale. 2.2 - Linéarisation des équations. Les hypothèses du paragraphe 2.1 ont les conséquences suivantes sur les équations de champs écrites au paragraphe 1.2. A partir des deux premiers niveaux on obtient : • la linéarisation physique de la loi de comportement thermoélastique (2.3) ïï = â:B~hz • la linéarisation géométrique de cette loi a =^ g = A : ç-ki (Z4> Xt JtA, A*\ | = - (grad % + « grad Ç) • la linéarisation de l'équation de continuité (2.5) p = p0(l-tr|). A partir du troisième niveau : • l'écriture des équations d'équilibre et de l'équation thermique dans la géométrie initiale fixe sous la forme : (2.6) divg + poF = 0 (2.7) div ( K . grad T) = 0 . Pour simplifier l'écriture des formules on convient dans toute la suite de conserver les notations eulériennes(l). On se rappellera toutefois les hypothèses sous-jacentes à la linéarisation. Les conditions au contour du solide sont, elles aussi, écrites sur la géométrie initiale fixe : donnée de la température ou de l'écart de température t , et donnée de composantes du déplacement et de la force surfacique dont on va examiner la forme plus en détail au paragraphe suivant. 2.3 - Conditions aux limites : forme classique. Les données au contour constituent les « conditions aux limites » du problème posé. L'étude qui va en être faite rapidement, n'est pas liée au comportement élastique du matériau (1) En particulier, dans (2.6), on écrira p et non plus p0.
-53- VIII.2 constitutif du système ou du solide étudié et a une portée générale pour tous les problèmes de mécanique des milieux continus tridimensionnels. Elle n'a aucune prétention à l'exhaustivité et vise à dégager les cas essentiels rencontrés dans la pratique. En ce qui concerne la température la forme des données est simple : la température, ou l'écart de température par rapport à la configuration de référence, est donnée sur tout le contour dQ. du solide étudié. Pour le reste les données aux limites ont classiquement la forme suivante : donnée en chaque point du contour dQ du solide étudié, de trois composantes, orthogonales entre elles, pour l'ensemble des deux vecteurs : contrainte T (n) et déplacement §. On désigne par un indice i, (i = 1, 2, 3), les trois directions, éventuellement variables d'un point à l'autre de dQ, de ces composantes orthogonales, et on repère par un exposant «d », les composantes données. Les conditions aux limites se formulent ainsi : arj ng (= T,) = T? sur ST, £ = Ç; sur S6l avec SÇi \j STi = dQ et V i = 1, 2, 3 SÇi n ST| = 0 . où les n, (j = 1.2, 3) sont les composantes du vecteur normal unitaire n à dQ au point considéré. Les directions i (= 1, 2, 3) correspondent en général à des axes qui ont une « signification » vis-à-vis du contour dQ au point considéré : le plus souvent ce seront deux directions du plan tangent à dQ et la direction de la normale extérieure à dQ (figure 1 ) Figure 1 - Conditions aux limites. On peut citer quelques exemples courants de telles conditions aux limites.
VIII.2 -54- a) Une partie S de dQ. sur laquelle le solide S a son déplacement imposé en tout point : S est une surface SÇi pour i = 1, 2, 3. Les données sont les Çf en tout point de S et les conditions aux limites s'écrivent : Ç, = £ i = 1, 2, 3 sur S (2.9) ou encore £ = £d sur S . En particulier si un solide S esl fixé sur une partie S de son courtout d il, Cela signifie que le déplacement y est imposé nul et la condition aux limites s'écrit : (2.10) £ = 0 sur S. b) Une partie S de dQ. sur laquelle le vecteur contrainte est imposé : S est une surface Sr, pour i = 1, 2, 3. Les données sont les Tf en tout point de S et les conditions aux limites s'écrivent : o,j nj (= T,) = T? i = 1, 2, 3 sur S (2.11) { ou encore S . n = I" sur S Par exemple, la force surfacique peut être une pression normale imposée p. En prenant les axes locara comme indiqué sur la figure 1, les conditions aux limites s'écrivent : (2.12) o,j nj = 0 , o2J n, = 0 , o3J n,- = - p sur S. On rencontre aussi le cas où la force surfacique est imposée nulle : la surface S correspondante est dit: libre de contrainte ; les conditions aux limites s'écrivent : (2.13) g.n = 0 sur S. c) Une partie S de dQ sur laquelle deux composantes tangentielles de T et la composante normale de £ sont imposées : Avec les axes locaux de la figure 1, S est une surface STl pour i = 1, 2 et SÇl pour i = 3 et l'on a : 2 sur S (Oij ^ = T? i = 1, : 6. = 8 (2.14) sur S d) Une partie S de diï sur laquelle S est en contact sans frottement avec une paroi indéformable (fixe ou mobile). On désigne par §p le déplacement de la paroi au point considéré, et on choisit les axes locaux comme indiqué sur la figure 1. On suppose d'abord (hypothèse d'école) que la liaison est bilatérale. Les conditions aux limites sont alors du type (2.8) : S est surface Sr, pour i = 1, 2 ; les composantes T, et T2 de T sont données, nulles, en raison de l'absence de frottement : (2.15) Tf = 0 TS = 0;
-55- VIII.2 S est surface SÇi pour i = 3 ; la composante a de £ est donnée, égale à la composante a du déplacement de la paroi, en raison de l'hypothèse de liaison bilatérale : (2.16) a = a- Les conditions aux limites s'écrivent : sur S sur S. (2.17) Ioy nj = 0 , o2J nj = 0 a = a Si l'on suppose la liaison unilatérale, ce qui est physiquement plus réaliste, elle ne rentre plus dans le cadre de la formulation (2.8). Son analyse nécessite de distinguer les deux cas complémentaires suivants.- La liaison unilatérale est persistante : £, devient alors une donnée égale à {$ et (2.16) demeure valable. Ceci implique que la composante T3 de T est négative, c'est-à-dire compressée, (ou nulle). La liaison unilatérale est rompue : Si la composante a de £ est inférieure à {$ c'est-à-dire, puisque la direction 3 est normale extérieure à S, s'il y a séparation entre le solide et la paroi, c'est T3 qui est fixée égale à zéro. Les conditions sur T, et T2 sont inchangées. La surface devient alors une surface libre. Les conditions aux limites pour une liaison unilatérale s'écrivent ainsi : o.j ns = 0 , orj n} = 0 , %3 < g et • g = g => o3j 1¾ < 0 , • a < a =* o3j n; = 0 , sur S . (2.18) (2.19) On a aussi la formulation globalement'" équivalente à (2.18) : o,j ns = 0 , orj n, = 0 , o3j n, < 0 et • °3j ni < o => a = a, • o3j n, = 0 => a < a . sur S . On constate bien que (2.18) ou (2.19) ne sont pas de la forme (2.8). L'écriture suivante (2.20) des conditions aux limites pour la liaison unilatérale, quoiqu'incorrecte puisqu'elle omet le cas « frontière » où o3j nj = 0 et a = a, se révèle souvent utile ; elle se ramène en quelque sorte à l'écriture de deux conditions du type (2.13) et (2.14) : ou 1¾ = 0 , o,, n, = 0 , a3j n, < 0 , a < g et (2-20) ^ . o3J n, < o => a = a. • a < a (1) Les « • » de (2.19) pourraient aussi servir de bases à des définitions de la liaison persistante et de la liaison rompue ; celles-ci ne seraient pas équivalentes aux précédentes qui nous paraissent « plus physiques ».
VIII.2 -56- 2.4 - Commentaires sur les conditions aux limites. Il est essentiel, pour le caractère linéaire du problème étudié, que ces conditions aux limites soient indépendantes de la solution du problème : en particulier, les directions i, la nature des données Ç? ou Tf, c'est-à-dire les surfaces Sy, et SÇi, doivent être prescrites et invariables. S'il en est ainsi les conditions aux limites de la forme (2.8) sont linéaires : on peut effectivement définir des combinaisons linéaires sur les données (T,d, Ç-1) et les relations entre les champs inconnus a et § et les données écrites dans (2.8) sont linéaires. Ainsi les conditions aux limites (2.9) à (2.17) sont linéaires. Par contre la liaison unilatérale ne conduit pas à des conditions aux limites linéaires. Un exemple, voisin, de conditions aux limites non linéaires est fourni par le problème de Hertz : contact d'une sphère élastique sur un demi-espace indéformable (figure 2). Le problème est posé en écrivant que le contact se fait sur une aire S qui dépend de l'intensité de la force <Si avec laquelle la sphère est appliquée contre le demi-espace et n'est donc pas déterminée à l'avance. Figure 2 - Problème de Hertz. On ne cherchera pas à justifier ici la forme classique des données aux limites telle qu'elle a été introduite au paragraphe 2.3. Signalons toutefois qu'avec les conditions aux limites (2.8) qui en sont issues, on peut démontrer l'existence (elle sera admise dans le cadre de ce cours) et l'unicité de la solution du problème d'équilibre élastique linéarisé (il en va d'ailleurs de même avec d'autres comportements) : on dit que ces conditions aux limites correspondent à un problème bien posé ou régulier. 2.5 - Récapitulatif des hypothèses de linéarisation et des équations du problème d'équilibre élastique linéarisé. Hypothèses. Transformation infinitésimale (2.D l|V|||«l => llf||«l « Petits » déplacements Toutes les équations sont écrites sur la géométrie fixe de la configuration initiale prise comme référence. (Les notations sont eulériennes).
- 57 - VIII2 Eqnations de champs. (2.6) div a + p F = 0 (2.4) g = A : e - k t état initial naturel (2.21) e = -^(grad£ +-grade) (2.7) div (K . gradT) = 0 (avec la loi de Fourier) Conditions anx limites. (2-8) a.j a-, = T? sur ST. V i = 1,2, 3 Ç, = £ sur SÇi avec S^- u STi = dQ. et SÇi n STi = 0 . Les S4i et STi sont définies et invariables sur la géométrie fixe de la configuration initiale. (2.22) T = Td (ou t = id) sur dCl. 2.6 - Remarque sur l'équation thermique. Pour le matériau isotrope le tenseur K intervenant dans (2.7) est de la forme : (2.23) K = K 1 <'> et l'équation (2.7) devient (2.24) div (K gradT) = 0 Si, par exemple, le solide est constitué d'un matériau homogène, K est constant et (2.24) devient : AT = 0 . On a alors à résoudre une équation de Laplace avec les conditions aux limites (2.22) sur le contour d fi. Ainsi la détermination du champ T (et donc du champ t) peut être faite indépendamment de, et préalablement à, celle des champs a et §. La figure 13 donne un exemple de champ T ainsi déterminé numériquement. Il en va de même dans le cas général du matériau anisotrope et hétérogène. Dans la suite, on pourra donc considérer que le champ des écarts de température t est connu dans S. (1) Pas de confusion possible avec le module élastique de compression introduit au chapitre VII (§ 5.4).
VIII.3 -58- 3. « PRINCIPE » DE SUPERPOSITION. 3.1 - Enoncé. On rappelle que l'état initial du système est naturel, c'est-à-dire que les contraintes y sont nulles en tout point Compte tenu du paragraphe 2.6 le champ des écarts de température t est considéré comme une donnée. Alors, le problème défini par les équations du paragraphe 2.5 est linéaire. Enoncer le « principe de superposition » pour les problèmes d'équilibre élastique linéarisés, n'est autre qu'écrire la définition de la linéarité pour un tel problème : il y a correspondance linéaire entre les données (T?, gf, champ F , champ t) et la solution (champs a et Q. De façon explicite : Soit ct1 , g1 la solution d'un problème défini au paragraphe 2.5 avec les données (T?)1 , (¾1)1 , F , t1 ; soit g2, g2 la solution du même problème avec les données {Tf)2, (¾1)2, F2, t2 ; alors V X{ , V X2, les champs g = X1 g1 + X2 g2 et g = X' £> + X2 g2 fournissent la solution du même problème avec les données T? = X' (T?)1 + X2 (T?)2 , % = V (¾)1 + ^ m2 F = A,1 F1 + A2 F2 ■ , t = V t1 + X2 t2 . 3.2 - Etat initial préchargé. Une application importante du principe de superposition concerne le cas où l'on utilise un état initial de référence préchargé. On considère un système qui, à partir de l'état initial naturel, subit un préchargement correspondant au problème d'équilibre élastique linéarisé (§ 2.5) défini par les données : F , Tf , % , t» . On se propose d'étudier ensuite les équilibres élastiques linéarisés de ce système à partir de cet état préchargé, c'est-à-dire en prenant cet état préchargé, où le champ de contrainte est ap, comme état initial de référence. Par application du principe de superposition on voit que les équations du problème à partir de l'état initial préchargé sont encore celles du paragraphe 2.5 avec les données : (3-1) \
-59- VIII.3 pour les champs : (3.2) a' = a - ap et §' = § - §p . Autrement dit les données sont les accroissements des grandeurs concernées par rapport à leurs valeurs dans l'état préchargé, le champ de contrainte a' est l'accroissement par rapport à ctp , tandis que §' est le déplacement à partir de l'état préchargé et e' la déformation linéarisée correspondante. (On notera la similitude de cette approche avec celle du chapitre VII (§ 5.4) pour l'état de référence précontraint). La figure 3 schématise le résultat énoncé ci-dessus. données : F, T?, Ç?, t champs : ct , § Préchargement *« éq- § 2.5 données : champs : o", §p i" NOUVEL état initial PRECHARGE champs : a' , §' Figure 3 - Préchargement d'un système. 3.3 - Etat initial précontraint quelconque. Le cas étudié au paragraphe précédent constitue un exemple particulier d'état de référence précontraint. Le cas général est celui où il existe, dans l'état initial de référence un état de contrainte non nul ct° d'origine quelconque. Pratiquement il est courant, pour les problèmes d'équilibre élastique, d'évoluer au voisinage d'un état initial pré

References: § 3
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