Source: https://es.scribd.com/doc/153450707/Unidad-3-Matematica-4to-Basico
Timestamp: 2017-04-23 12:04:35+00:00

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I	Presentación	II	Esquema	III	Orientaciones para el docente: estrategia didáctica	IV	Planes de clases	V	Prueba y Pauta	VI	Espacio para la reflexión personal	VII	Glosario	VIII	Fichas y materiales para alumnas y alumnos	6 16 18 48 54 57 58 61
profundizan aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver problemas y la formulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos. •	Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones aso	ciadas.
•	Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias. •	Restan utilizando un procedimiento convencional.
. multiplicación y división (Aprendizaje esperado 7. segundo semestre).
•	Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas •	Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún procedimiento de cálculo. profundizan aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver el problema y la formulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos (Aprendizaje esperado 10. sustracción. •	Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes (Aprendizaje esperado 5. •	En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad. segundo semestre). •	Establecen diferencias y semejanzas entre las características asociadas a las operaciones de adición. segundo semestre).Cuarto básico
•	Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias (Aprendizaje esperado 4. •	Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes. •	En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad. estableciendo semejanzas y diferencias entre ellos y distinguiendo la operación que los resuelve e interpretando el significado de los datos y la incógnita. de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. •	Utilizan procedimientos resumidos para resolver problemas de reparto equitativo. segundo semestre).
el cuociente es un número de una o dos cifras. la cantidad de grupos que la conforman y la medida de cada grupo. de reparto equitativo y de agrupamiento en base a una medida.I
sta Unidad gira en torno a la resolución de problemas multiplicativos que involucran una relación de proporcionalidad directa y el desarrollo de técnicas para dividir con el fin de resolver los problemas planteados. de reparto equitativo y de iteración de una medida. aprenden procedimientos para dividir. Las cantidades involucradas en las actividades propuestas en la unidad corresponden a números menores que mil. Tareas Matemáticas
Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes esperados de esta unidad son: •	Resuelven problemas asociados a una relación de proporcionalidad directa. •	Calculan divisiones cuyo dividendo tiene hasta tres cifras y el divisor una. y en el caso de los problemas que se resuelven con una división. El estudio de la división se realiza a partir de los conocimientos que niñas y niños ya tienen sobre la multiplicación. problemas de iteración de una medida. el total de una colección. •	Resuelven problemas inversos de proporcionalidad directa en los que se efectuó una acción de reparto equitativo o agrupamiento en base a una medida. explican sus procedimientos y elaboran problemas. pero que se resuelven efectuando una multiplicación. los niños construyen una noción amplia y significativa de la división y profundizan la de multiplicación. este tipo de problemas se caracterizan por involucrar tres cantidades. Tanto los problemas de agrupamiento en base a una medida. esto es. pertenecen a este tipo de problemas. A partir de la relación inversa que existe entre ambas operaciones. el cuociente y el resto. •	Comprueban el resultado de una división estableciendo la relación entre el dividendo y el divisor.
. A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta unidad:
1. Tal y como se vio en la Cuarta Unidad Didáctica de Tercero Básico. ya que se itera una medida. siendo esta última medida igual para todos los grupos. Los niños avanzan en la apropiación de una estrategia de resolución de problemas multiplicativos identificando qué operación hay que realizar para resolver un determinado problema.
000. Variables didácticas
Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las tareas matemáticas que niñas y niños realizan son: 	Ámbito numérico: hasta 1. Uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100. mayor que 10 y menor que 99 (dos cifras). Cuociente: menor que 10 (una cifra). 	Características de los objetos de las colecciones: manipulables y no manipulables. igual a 10. mayor que 99 y menor 1000 (tres cifras). Un factor es un número de dos cifras y el otro un número de hasta tres cifras. 	Tipo de problemas: directos e inversos. 	Tipo de acción involucrada en el enunciado del problema: del tipo agrupar (problemas de agrupamiento en base a una medida). de reparto equitativo o de agrupamiento en base a una medida a partir de información numérica y un contexto dado.
2. agrupar en base a una medida e iterar una medida asociando las dos primeras acciones a una división y la tercera a una multiplicación. Ámbito numérico del divisor: una o dos cifras. repartir en partes iguales (problemas de reparto equitativo) o iterar (problemas de iteración de una medida).
•	Realizan acciones de repartir en partes iguales.
	Relaciones entre los números en la división: •	•	•	•	Ámbito numérico del dividendo: números de dos y tres cifras. que les permite obtener nueva información a partir de información disponible. 	Relaciones entre los números en la multiplicación: •	•	•	Uno de los factores es un número de una cifra y el otro puede ser un número de hasta tres cifras. •	Elaboran problemas de iteración de una medida. Relación entre el dividendo y el divisor: Dividendo múltiplo y no múltiplo del divisor. 	Disponibilidad de las colecciones: disponibles y no disponibles.
Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de cuocientes. Realizar la operación. Cuando uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100. Procedimientos
Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son: 	En la resolución de problemas: Se apropian gradualmente de una estrategia de resolución de problemas que incluye las siguientes fases: •	Reconocer el contexto en que se presenta el problema: relacionan la acción involucrada en el problema con repartir en partes iguales. ¿Qué nos dice el problema? ¿Qué nos pide averiguar? Reconocer la relación aritmética entre datos e incógnitas para decidir si la operación que resuelve el problema es una multiplicación o una división.
•	•	•	•		En las técnicas para multiplicar recurren a distintos procedimientos estudiados en tercero básico. ampliándolos según la relación entre los números: •	•	•	Cuando el divisor es de una cifra. Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100. los descomponen canónicamente y multiplican cada sumando por el número de una cifra. estudiados en tercero básico. extienden las combinaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10 y 100. agrupar en base a una medida o iterar una medida.Presentación
3. según la relación entre los números: •	•	•	Números de una cifra. Identificar los datos y la incógnita. Interpretar el resultado obtenido en el contexto del problema. utilizan las combinaciones multiplicativas básicas o la tabla pitagórica. Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de productos.
•		En las técnicas para dividir recurren a distintos procedimientos. recurren a las combinaciones multiplicativas básica y/o a la tabla pitagórica extendida. sumando finalmente cada producto.
. Cuando uno de los factores es un número de dos o tres cifras.
de forma que podemos decir que:
número de grupos x medida de grupo = cantidad total
Tanto los problemas de iteración de una medida. 	Por cada grupo de a unidades que formo me quedan a unidades menos en la colección. jugando el rol de la constante de proporcionalidad.Presentación
4. Como tengo a grupos. buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida a para acercarme lo más posible a la cantidad total de mi colección sin pasarme. puedo formar tantos grupos como número de veces está contenido el valor a en el total de la colección.
	En los problemas de iteración de una medida directos se tienen como datos la medida que debe tener cada grupo (en el entendido que esa medida es la misma para todos los grupos) y el número de grupos. La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos. como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas. por tanto. entonces en cada ronda reparto un total de a unidades (una unidad por cada gru
. 	En los problemas de agrupamiento en base a una medida directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y la medida que tiene cada grupo que hay que formar. entonces puedo repartir las unidades por “rondas” dando una unidad a cada grupo en cada ronda. siendo la medida de los grupos la incógnita del problema. 	En los problemas de reparto equitativo directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y el número de grupos que se deben formar. La cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse a través de una división. siendo la cantidad total la incógnita del problema. 	Dado que la cantidad total equivale a repetir tantas veces como grupos la cantidad de medida de cada grupo. Fundamentos centrales
	Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abordados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total). siendo el número de grupos que se pueden formar la incógnita del problema. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por el número de grupos. 	Si tengo que repartir t unidades entre a grupos de forma que le correspondan la misma cantidad de unidades a cada grupo. la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de elementos que tiene cada grupo (que denominaremos como medida de grupo).
a la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto. Nuevamente.Presentación
po). en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento. De ese modo. Una vez determinado. la cantidad de elementos que hay en cada grupo una vez finalizado el reparto coincide con la cantidad de rondas efectuadas. dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el dividendo. 	En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo. se representa por la expresión:
número de grupos x medida de grupo + cantidad que queda = cantidad total inicial
La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como:
divisor x cuociente + resto = dividendo
Esta expresión permite comprobar el resultado de una división. se efectúa la resta entre la diferencia y dicho producto. la cantidad de elementos que tiene cada grupo coincide con la cantidad de rondas efectuadas. El cuociente se obtiene a partir de sumar los tres cuocientes parciales anteriores: el múltiplo de las centenas. Luego se calcula la diferencia entre el dividendo y el resultado de dicho producto. Finalmente. dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el problema es de reparto equitativo o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida. o sea. siendo el cuociente de esa división igual a la cantidad de unidades que corresponden a cada grupo. Para ello. que multiplicado por el divisor da una cantidad lo más cercana posible al dividendo sin pasarse. la relación entre datos e incógnitas cuando la cantidad total no es múltiplo del número de grupos o de la medida. se determina el factor de una cifra que multiplicado por el divisor se acerca más al resultado obtenido en la última resta. para poder anticipar para cuantas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que le puedo quitar a unidades al total t. y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el divisor. Sea como sea. se empieza buscando cuál es el mayor múltiplo de 100. Durante el reparto. Dicho cálculo corresponde a la división t : a. 	El cuociente de una división se puede determinar a través de la suma de cuocientes parciales. se busca cuál es el mayor múltiplo de 10 que multiplicado por el divisor se acerca mas a esa diferencia. más el múltiplo de las decenas. a lo que hemos llamado medida de grupo. Entonces.
. 	En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo. más las unidades.
son problemas donde la operación que resuelve el problema es la misma con la que se modeliza la acción descrita en el enunciado. formulan problemas de iteración y de agrupamiento en base a una medida y luego los resuelven. multiplicado por el cuociente. a su vez. entendidos estos como procedimientos con pocos pasos y en los que se utilizan cálculos sencillos. La clase termina sistematizando la estrategia de resolver la división a partir de la búsqueda del factor que. En esta clase. resuelven una serie de problemas que están en el mismo contexto que la actividad inicial. se acerca más al dividendo sin pasarse. puesto que dependiendo de la pregunta del problema. se enfrenten ante la necesidad de buscar procedimientos de cálculo más eficaces. La quinta clase es esencialmente una clase de ejercitación y sistematización del trabajo desarrollado en las clases anteriores. Finalmente. En las primeras 4 clases se plantean actividades que constituyen elementos de un proceso graduado frente al cual los niños tendrán la posibilidad de avanzar y sistematizar sus conocimientos sobre la resolución de problemas multiplicativos con la orientación del profesor(a). cuando este tiene dos cifras y. y desarrollen herramientas para comprobar y justificar sus procedimientos. sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa? O bien: Si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lenteja ¿cuántas semillas ha ocupado sabiendo que en cada bolsa ha echado 10 semillas? Interesa que los niños se familiaricen con este tipo de actividad. Por ello. mediante el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” se pretende que los niños desarrollen procedimientos abreviados para calcular el cuociente de una división. En esta etapa interesa que los niños y niñas se familiaricen con este tipo de problemas y adquieran seguridad a la hora de resolverlos. El proceso parte en la primera clase proponiendo a niñas y niños actividades que involucran problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida como por ejemplo: Si el jornalero tiene 40 porotos ¿cuántas bolsas necesita. Descripción global del proceso
Durante las seis clases la intención está puesta en que los alumnos estudien problemas multiplicativos de proporcionalidad. identificando la o las operaciones que los resuelven. la sexta corresponde a una clase de evaluación.Presentación
	Los Problemas directos de proporcionalidad directa. Luego. son problemas donde la operación que resuelve el problema es distinta a la que modeliza la acción descrita en el enunciado. De hecho. En la segunda clase el proceso avanza de forma que son los niños los que.
5. profundicen en el significado de los distintos datos en los problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. las nuevas condiciones en las que se plantean los problemas hacen que los procedimientos de la clase anterior
. surge la multiplicación o la división como operación que resuelve el problema. dada una determinada situación. pese a que los niños sean capaces de anticipar el resultado del problema es importante que tengan la oportunidad de comprobarlo realizando la acción concreta. Los problemas inversos.
se sistematiza la estrategia que permite decidir la operación que resuelve el problema en función del significado de los diferentes datos. se les añaden los problemas de reparto equitativo. La quinta clase tiene como propósito principal trabajar lo estudiado en las clases anteriores. En esos cálculos se propicia que el alumno.
. de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los conocimientos construidos. como Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. En la tercera clase se sigue trabajando con problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Se espera que los alumnos utilicen combinaciones básicas de múltiplos de 10 para obtener el resultado. en los que el ámbito numérico de las cantidades involucradas varía entre uno y tres dígitos. Una vez hechos los cálculos. a múltiplos de 100. así como de establecer la operación que relaciona los datos con la incógnita. En esta clase se proponen problemas muy similares a los estudiados en la clase anterior. pero en este caso los cuocientes pueden ser cantidades de hasta tres cifras. De ese modo se propone ampliar la técnica de acercarse al dividendo mediante múltiplos de 10.Presentación
fracasen. La clase se inicia con una situación en la que los alumnos deben formular tres problemas distintos y resolverlos recordando lo estudiado en la clase anterior. En este sentido. En la cuarta clase a los problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida. Mediante la actividad de “Formulando Problemas” se desarrolla la habilidad de reconocer el rol de cada uno de los datos y de la incógnita dentro de los problemas multiplicativos de proporcionalidad. Al final de la clase. en esta clase aparece algún problema inverso. Nuevamente se amplía el ámbito numérico. Es precisamente en estos casos donde el uso de los esquemas aparece como una herramienta especialmente útil a la hora de poder determinar y justificar la operación que resuelve el problema. En la sexta clase se aplica una prueba de la unidad que permite verificar los aprendizajes matemáticos logrados por cada niño y los que habrá que retomar. más que en el cálculo. se propone que resuelvan un conjunto de cuatro problemas multiplicativos entre los que hay un problema inverso. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? De forma que los niños vivan la experiencia de que no es suficiente con identificar la acción involucrada en el problema para resolverlo. además de practicar los procedimientos desarrollados en la segunda y tercera clase. Si bien el trabajo central en la clase anterior era el de desarrollar un procedimiento para dividir. Luego se propone que los alumnos efectúen un conjunto de cálculos que incluyen multiplicaciones y divisiones. Esta situación pone en juego la habilidad para interpretar correctamente el rol que puede jugar cada uno de los datos en los distintos problemas. debido fundamentalmente a la ampliación del ámbito numérico. independientemente de la acción formulada en el problema. adquiera destreza en comprobar los resultados obtenidos en las divisiones. La clase termina con una síntesis de las principales nociones estudiadas en la unidad. en esta clase el énfasis esta puesto en el planteo y la resolución de problemas.
Para cerciorarse que los niños y niñas disponen de dichos conocimientos. La Tabla Pitagórica permite encontrar los productos de las combinaciones multiplicativas básicas. En la siguiente Tabla Pitagórica se señala el procedimiento seguido para obtener el producto buscado (48). El procedimiento es el siguiente: para obtener. por ejemplo. con 8 zanahorias cada uno. En la intersección de esa fila con esa columna se encuentra el producto buscado. proponga problemas multiplicativos de proporcionalidad directa. ¿Cuántas zanahorias tiene? Si se detecta que no hay dominio o estabilidad en la evocación de las combinaciones multiplicativas básicas. en que los números involucrados sean de una cifra. es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. el producto de 6 y 8. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes esperados en ella. como la operación que permite resolverlos en forma simple y eficaz. X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
8 16 24 32 40 48 48 56 64 72 80
. por ejemplo: Don Raúl tiene 6 paquetes de zanahorias. se sugiere introducir la “Tabla Pitagórica”. Sugerencias para trabajar los Aprendizajes Previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad. Lo importante es asegurarse que los alumnos asocien a este tipo de problemas la multiplicación. se ubica uno de los factores en la primera fila y el otro factor en la primera columna de la tabla.Presentación
6. El profesor debe asegurarse que todos los niños: •	Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas
•	Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún procedimiento de cálculo.
se espera que los niños puedan responder el problema recíproco. si se encuentran agrupados de a 10 y 100. Por ejemplo. Dado que dicho cuociente es el factor que multiplicado por 8 se acerca lo más posible a 50 sin pasarse. Si se desea obtener el resto basta con calcular la diferencia entre el dividendo. Luego una vez encontrada. de manera de ampliar el ámbito numérico de las combinaciones multiplicativas que aparecen más allá de las combinaciones básicas.Presentación
La Tabla pitagórica también permite determinar el cuociente de una división. X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
La Tabla pitagórica extendida es una Tabla Pitagórica en la que se han incluido más filas y columnas. Rodrigo tiene $800 solo en monedas de a $100. entonces nos situamos sobre la columna del 8 y dentro de ella buscamos la cantidad más cercana a 50 pero sin pasarse. apóyelos proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Segunda Unidad de Tercero Básico. identificamos la fila en la que se encuentra el 48. ¿Cuánto dinero tiene? Igualmente. o sea 50 y el producto seleccionado de la tabla. Finalmente podemos establecer que el cuociente de la división es 7 ya que 7 x 8 es 48. Rodrigo tiene 8 monedas de $100. ¿Cuántas monedas tiene? A quienes tienen dificultad para cuantificar colecciones de objetos agrupadas de a 10 ó 100. siempre y cuando dicho cuociente y el divisor estén dentro del ámbito numérico de los factores representados en la tabla.
. que suelen ser del 1 al 10. de forma que el resto es 2. Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones asociadas Presentar a los niños situaciones en que tengan que determinar la cantidad de dinero u objetos. o sea 48. queremos calcular el cuociente de la división 50 : 8. Veamos un ejemplo de ello. o sea el 7. esto es 48.
Restan utilizando un procedimiento convencional Utilizan procedimientos resumidos para resolver restas de números de hasta tres cifras. A quienes tienen dificultad para determinar la diferencia entre dos números. apóyelos proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Tercera Unidad de Tercero Básico.
745 : 20. 100 x 4. 32 x 10.
•	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. •	Identifican el rol de cada dato de un problema y el rol de la incógnita.
•	Utilizan la tabla pitagórica extendida para determinar el producto de dos factores o. •	Comprobar el resultado de la división. •	En los problemas multiplicativos de proporcionalidad directa.
•	Plantear y resolver problemas de reparto equitativo. •	Problemas en que la acción enunciada no se asocia con la operación que lo resuelve (inversos) •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos o tres cifras. la relación que se da es: Total unidades = N°grupos × unidades/grupos + unidades sin agrupar •	Esta relación permite establecer la operación que hay que efectuar para responder al problema una vez identificados los datos y la incógnita y a su vez permite comprobar el resultado de una división. •	Divisor de una o dos cifras. •	En los problemas de reparto equitativo y/o de agrupamiento en base a una medida la cantidad a repartir/agrupar debe ser mayor a los participantes/unidades de cada grupo.II
•	Evaluación de los aprendizajes esperados de la Unidad mediante una prueba escrita. 305 x 15. •	Comprueban el resultado de una división multiplicando el divisor por el cuociente y añadiendo el resto. •	Resto igual o distinto de cero (dividendo múltiplo o no del divisor).
•	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. dado un factor y el producto. dado un factor y el producto determinar el otro factor. •	Utilizan esquemas para justificar sus procedimientos en la resolución de problemas inversos. se repasan los fundamentos centrales en todas las clases anteriores. la cantidad de unidades que corresponden a cada grupo equivale al número de rondas que se pueden efectuar en el reparto. 56 x 12. 143 : 25
. 150 : 40
•	Utilizan la tabla pitagórica extendida para determinar el producto de dos factores o. •	Calcular cuocientes y productos. •	Resto igual o distinto de cero (dividendo múltiplo o no del divisor) •	Multiplicaciones del tipo: 150 x 40.
•	En los problemas de reparto equitativo. Dicha cantidad puede obtenerse dividiendo la cantidad total de unidades a repartir entre el número de grupos/personas en las que hay que distribuir las unidades. 143 x 5 •	Divisiones del tipo: 315 : 12. •	Divisiones del tipo: 620 : 6. •	Comprueban el resultado de una división multiplicando el divisor por el cuociente y añadiendo el resto. determinar el otro factor. 10 x 32. •	Utilizan esquemas para justificar sus procedimientos en la resolución de problemas inversos.
•	Plantear y resolver problemas de reparto equitativo. De lo contrario el problema no tiene solución puesto que no hay suficientes unidades como para poder iniciar el reparto/agrupamiento. •	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100. •	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100. •	Problemas en que la acción enunciada no se asocia con la operación que lo resuelve (inversos) •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos o tres cifras. dado que en cada ronda se reparten tantas unidades como cantidad de grupos/ personas participan del reparto. agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida directos e inversos. 300 : 50. 198 : 7. en base a una medida y de iteración de una medida directos e inversos. Comprobar el resultado. 346 : 6. 250 : 6. •	Divisor de una o dos cifras. 500 x 12. •	Identifican el rol de cada dato de un problema y el rol de la incógnita. •	Multiplicaciones del tipo: 150 x 40.
•	De manera sintética y organizada.
•	Resto igual o distinto de cero. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por la cantidad de grupos. De ese modo la cantidad total equivale a repetir tantas veces como número de grupos la cantidad de medida de cada grupo. •	Resto igual o distinto de cero. •	Divisor de una cifra. 50 x 9. 30 x 4 •	Divisiones tipo: 70 : 7. •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos cifras. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por la cantidad de grupos. 45 : 4.
•	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados.
•	En los problemas directos de iteración de una medida. 5 x 9. gracias a la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. la cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. •	Divisor de una cifra. la cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. por ello para resolverla hay que determinar el factor que multiplicado por el divisor se acerca más al dividendo sin pasarse. 70 : 6. •	En los problemas de Agrupamiento en base a una medida. 270 : 9
•	Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. •	La división entre dos números nos permite calcular cuantas veces cabe el divisor en el dividendo. •	Evocan combinaciones multiplicativas básicas o recurren al uso de tabla pitagórica.
•	En los problemas directos de iteración de una medida. •	En los problemas de Agrupamiento en base a una medida. •	Comprueban el resultado de divisiones. sumando el resultado con el producto de los dos números de una cifra. •	Multiplicaciones tipo: 6 x 8. sumando el resultado con el producto de los dos números de una cifra. •	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. la cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. 832 : 9. •	La división entre dos números nos permite calcular cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. 105 : 2.
•	Utilizan el conteo mediante la multiplicación a medida que van formando los grupos. •	Multiplicaciones tipo: 6 x 8. •	Cuociente de dos dígitos o tres dígitos. 86 : 8.
•	Problemas presentados a través de una situación concreta y a través de enunciados. •	La determinación del cuociente de una división puede hacerse mediante la suma de productos parciales donde uno de los factores es el dividendo. por ello para resolverla hay que determinar el factor que multiplicado por el divisor se acerca más al dividendo sin pasarse. •	Resto igual o distinto de cero. De ese modo la cantidad total equivale a repetir tantas veces como número de grupos la cantidad de medida de cada grupo. De ese modo la cantidad total equivale a repetir tantas veces como número de grupos la cantidad de medida de cada grupo. •	Cuando uno de los factores es de dos cifras lo descomponen en forma canónica y multiplican el múltiplo de 10 por el factor de una cifra. 56 : 4. 28 : 2
•	Extienden combinaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10.
•	En los problemas directos de iteración de una medida. El cuociente es un número entre 10 y 40. •	El cuociente es menor que 10. la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por la cantidad de grupos. •	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10.
•	Posibilidad de efectuar el agrupamiento o iteración en forma concreta. •	Cuando uno de los factores es de dos cifras lo descomponen en forma canónica y multiplican el múltiplo de 10 por el factor de una cifra. 300 : 3 : 8. 200 x 4 •	Divisiones tipo: 542 : 6. •	Multiplicaciones tipo: 86 x 8. •	La relación entre números es: •	Dividendo de tres cifras. 12 x 5. •	Resta reiterada de la medida en la que se agrupan los objetos.
•	Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida.Clase 3
•	Extienden combinaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10 y 100. 8 x 10.
•	Resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. •	En los problemas de Agrupamiento en base a una medida. 45:8. 5 x 9 •	Divisiones tipo: 56:8. 28:3
.132 x 6. •	La relación entre números es: •	Dividendo de dos cifras. •	Divisor de una cifra. •	Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 100 y 10. 15 x 4.
Pedro repartió equitativamente 56 zanahorias entre sus 7 amigos.III
La estrategia didáctica consiste en generar un proceso acotado en seis clases. de forma que podemos decir que:
Expresión [1]
Tanto los problemas de iteración de una medida.
Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa
Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abordados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total). ¿Cuántos paquetes obtuvo?
.	Pedro tenía un saco con 56 zanahorias e hizo paquetes de 8 zanahorias cada uno. la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de elementos que tiene cada grupo (que denominaremos como medida de grupo). de manera de enfrentarlos a situaciones que les permitan afianzar estrategia para resolver problemas multiplicativos y consolidar procedimientos para multiplicar y avanzar en desarrollar la adquisición de procedimientos para dividir.	Pedro compró 7 paquetes de 8 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias compró en total? Problema 2. La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos. como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas. jugando el rol de la constante de proporcionalidad. ¿Cuántas zanahorias le tocaron a cada amigo? Problema 3. en las cuales se propone a los niños y niñas un conjunto de tareas matemáticas con distintas condiciones de realización. Veamos un ejemplo de cada uno de ellos: Problema 1.
esto es. o sea. dado que podemos plantear:
número de grupos	7 grupos	x	medida de grupo	8 zanahorias	=	cantidad total ? zanahorias
El Problema 2 se enmarca en el contexto de reparto equitativo. y la incógnita es la cantidad total.
. lo que resulta 7 x 8 = 56
Lo que da un total de 56 zanahorias. dado que corresponde a las zanahorias que le tocan a cada uno. mientras que la incógnita es el número de grupos. mientras que en el Problema 2 los datos son la cantidad total y el número de grupos y la incógnita pasa a ser la medida del grupo. En el Problema 1. los tres pueden ser planteados utilizando la expresión [1]. en el Problema 3 los datos son la cantidad total y la medida del grupo. los datos son el número de grupos y la medida de grupo. mientras que el número de personas se puede identificar con el número de grupos que se forman. se tiene que calcular el resultado de repartir una determinada cantidad entre un determinado número de personas. Para resolver el problema podemos recurrir a la utilización de esquemas o dibujos. la cantidad de zanahorias que va a haber en cada grupo. la relación de este problema con la expresión [1] es evidente. pero en cada uno de ellos la incógnita es distinta. pensando que a cada persona le corresponderá un grupo de zanahorias. se tiene que calcular el resultado de iterar una determinada medida una cantidad de veces. El resultado del reparto se puede identificar con la medida de grupo. la cantidad que se reparte podemos identificarla claramente con la cantidad total. En ese sentido. El Problema 1 se enmarca en el contexto de iteración de una medida. En este caso. Finalmente. de forma que el problema podría plantearse:
7 paquetes de
Un paquete tiene 8 zanahorias
Entonces el total de zanahorias se puede calcular a partir de 7 veces 8 zanahorias.Orientaciones
Pese a que los tres problemas son claramente distintos. esto es.
es decir. La cantidad de amigos corresponde al número de grupos que se deben formar.. poniendo en cada ronda una zanahoria en cada bolsa. en cada ronda reparto siete zanahorias. Dado que ese procedimiento es una resta iterada (descontar de 7 en 7. número de grupos	7 grupos	=	medida de grupo	? zanahorias	20
cantidad total 56 zanahorias
cantidad total	56 zanahorias	:	número de grupos	7 grupos	=	medida de grupo ? zanahorias
En este caso la relación de este problema con la expresión [1] no es tan evidente dado que la incógnita no es la cantidad total. reparto las zanahorias por “rondas”. para anticipar para cuántas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que puedo quitarle siete a la colección de zanahorias. 49-7. por tanto. Luego.. sino que es la medida de cada grupo. Siempre la cantidad de zanahorias que hay en cada bolsa corresponde a la cantidad de rondas que he efectuado. Como hay siete bolsas. 56-7. las veces que cabe el 7 en el 56.) entonces la operación que resuelve el problema es 56 : 7.. mientras que la cantidad de zanahorias a repartir corresponde a la cantidad total y la cantidad de zanahorias que le toca a cada uno corresponde a la medida de grupo. De ese modo. la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno coincide con el total de “rondas” efectuadas una vez finalizado el reparto. 42-7.. correspondiendo cada vez a una ronda. los alumnos pueden desarrollar la siguiente argumentación para deducir el cálculo que resuelve el problema: Para repartir equitativamente las zanahorias entre mis 7 amigos voy a hacer una bolsa para cada amigo.Orientaciones
Para resolver el problema podemos recurrir a un dibujo como el siguiente:
Por ronda 7 zanahorias Cantidad de zanahorias en cada bolsa = número de rondas A partir del dibujo.
la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno se puede calcular mediante un producto determinado el factor que repetido siete veces da un total de 56. Bajo este punto de vista. de ese modo si se utiliza la expresión [1] para plantear el problema. Como se puede apreciar. En este caso. cantidad total y cantidad de grupos.Orientaciones
Esta forma de plantear el Problema 2 hace explícita la relación entre los problemas de reparto equitativo y los de iteración en base a una medida. 56 es la cantidad total de la colección zanahorias. El Problema 3 se enmarca en el contexto de agrupamiento en base a una medida. en los problemas de reparto equitativo resulta relativamente complejo desarrollar una argumentación de por qué la división permite anticipar el resultado del reparto. dado que en ambos casos aparecen explícitamente las nociones de medida. En este tipo de problemas se da la cantidad total de elementos de una colección y la medida de los grupos que hay que formar y la incógnita es la cantidad de grupos que se puede formar. tendríamos que:
número de grupos	? grupos	=	medida de grupo	8 zanahorias	=	cantidad total 56 zanahorias
De tener representada la colección. 8 zanahorias por paquete es la medida de grupo y el número de paquetes que se pueden formar corresponde al número de grupos que es la incógnita. Para resolver el problema podemos recurrir a agrupar las zanahorias. La operación que permite resolver el problema es:
cantidad total	56 zanahorias	=	medida de grupo	número de grupos 8 zanahorias	=	? grupos
La relación entre los problemas de agrupamiento en base a una medida y los de iteración de una medida es bastante evidente. tal y cómo muestra el dibujo siguiente:
El rol del resto en los problemas multiplicativos Recordemos la expresión [1]. Es importante hacer notar la diferencia entre este dibujo y el dibujo del Problema 2. Así como en el Problema 2 lo que se hacía era distribuir las zanahorias entre las 7 bolsas. mientras que en el Problema 3 la división 56 : 8 significa 56 zanahorias que se agrupan en grupos de 8 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias le tocarán a cada amigo? Problema 5. ¿qué sucede con aquellos problemas en los que la división planteada no es exacta? ¿Qué rol juega el resto de la división en la expresión [1]? En este punto trataremos de abordar estas cuestiones. En primer lugar. Cuando el total no es múltiplo de la medida de grupo y/o del número de grupos. dado que las acciones de repartir y agrupar que están involucradas son muy distintas y. hasta que ya no sea posible formar ninguno más. de hecho. como ya se discutió en el punto anterior. No es de extrañar que a los alumnos les cueste entender que la operación que soluciona ambos problemas es una división. siendo el resultado de la división el número de grupos que se obtienen. sirve para esquematizar cualquier problema multiplicativo de proporcionalidad directa. son acciones casi antagónicas. para poder comprender bien los problemas de agrupamiento en base a una medida y de reparto equitativo creemos que es necesario profundizar sobre el significado de cada una de las dos divisiones. es hasta que queden menos de 8 zanahorias. En este sentido. ¿Cuántos paquetes obtuvo?
.	Pedro tenía un saco con 58 zanahorias e hizo paquetes de 8 zanahorias cada uno. hay que aclarar que la cantidad total a la que hace referencia la expresión [1] es la cantidad total efectivamente repartida o bien agrupada y no a la cantidad total que se desea repartir o agrupar. en este caso lo que se hace es agruparlas en grupos de 8.Orientaciones
Aquí se van formando sucesivos grupos de 8 zanahorias cada uno. Veamos dos ejemplos de ello: Problema 4. número de grupos x medida de grupo = cantidad total
Expresión que. Ahora bien. esto.	Pedro quiere repartir equitativamente 58 zanahorias entre sus 7 amigos. En el Problema 2 la división 56 : 7 significa 56 zanahorias que se reparten equitativamente en 7 grupos siendo el resultado de la división la cantidad (o medida) de zanahorias que corresponden a cada paquete.
tocando 8 zanahorias a cada amigo y quedando 2 sin repartir. ¿qué respuesta se puede dar entonces a los problemas 4 y 5? La respuesta a esta pregunta está en considerar que tanto en el reparto equitativo. se reparten o se agrupan la máxima cantidad posible de objetos de la colección. De ese modo. no tienen solución en los números naturales. cantidad que no necesariamente coincide con el total a repartir o agrupar. Ahora bien. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el cuociente. A la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto.
cantidad total repartida número de grupos	7 grupos	medida de grupo	x	? zanahorias	+	zanahorias que quedan	=	58 zanahorias cantidad por repartir
Si se desea. Si queremos formular una expresión que relacione la cantidad total repartida con la cantidad a repartir. así como en el agrupamiento en base a una medida. formalmente. porque no hay ningún número natural que multiplicado por 7 dé como resultado 58. 58 : 7 no tiene solución. Lo mismo sucede con la división 58 : 8.Orientaciones
Ambos problemas plantean divisiones que. en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento. y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. dado que no hay ningún número natural que multiplicado por 8 dé como resultado 58. o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida. también es posible incorporar el resto al esquema. Sea como sea. Veamos un ejemplo:
7 veces	¿qué medida?	da un total de 58 zanahorias Total 58 zanahorias
? zanahorias
Total zanahorias repartidas (múltiplos de 7)
zanahorias sin repartir
. de forma que el esquema refleje tanto la cantidad por repartir como la cantidad repartida. en el Problema 4 podemos considerar como solución que la cantidad de zanahorias repartidas entre los 7 amigos es 56. dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el problema es de reparto equitativo. basta que a la primera le añadamos el resto para obtener la segunda.
de forma que podemos plantear el problema así:
cantidad total agrupada número de grupos	? grupos	medida de grupo	x	8 zanahorias	+	zanahorias que quedan	=	58 zanahorias cantidad por repartir
Al igual que sucedía con el Problema 4. De ese modo. ya que dicho producto representa la cantidad efectivamente repartida/agrupada. dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el dividendo.Orientaciones
Lo mismo sucede en el Problema 5. en esos casos resulta más útil modificar la expresión [1] de modo que la cantidad total que aparezca en la expresión sea el total por repartir o agrupar.
. de forma de representarlo:
¿cuántas veces?	8 zanahorias	da un total de 58 zanahorias
Total 58 zanahorias por agregar
Total zanahorias repartidas (múltiplos de 8)
En los problemas en que aparece como dato la cantidad por repartir o por agrupar. cantidad que solo es conocida una vez realizada la división. la expresión [1] no es demasiado útil. la expresión [1] modificada queda de la forma:
La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como divisor x cuociente + resto = cantidad total
Expresión [2]
expresión que permite comprobar el resultado de una división. Así pues. donde la cantidad total de zanahorias agrupada es 56 quedando 2 sin agrupar. Esto se logra añadiendo el resto de la división al resultado obtenido del producto de la medida por la cantidad de grupos. puesto que en dicha expresión la cantidad total indica la cantidad que efectivamente se reparte o agrupa. en el Problema 5 también se puede añadir al esquema el resto.
lo que da un total de 889. y el segundo es utilizar la relación señalada en la expresión [1].	Discute cuál de los siguientes resultados corresponde a la división 879 : 7 a)	Cuociente 125 y resto 4 b)	Cuociente 127 y resto 0 c)	Cuociente 127 y resto 4 d)	Cuociente 125 y resto 8
Para resolver el Problema 6. y vamos a verificarla:
7 x 125 + 4 = 879
de manera que podemos asegurar que la respuesta correcta es la a). Una posible actividad es “Bolsas de semillas”. Problema 6. el primero es hacer la división. En esta actividad niñas y niños tienen que agrupar objetos diferentes teniendo en cuenta distintas medidas. cantidad que es mayor que 879 de manera que podemos descartar las respuestas b) y c).
Se comienza trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. Asimismo.
. Utilizando esa expresión podemos descartar inmediatamente la opción d) dado que el resto debe ser menor al divisor. hay dos caminos.Orientaciones
Veamos un ejemplo de cómo utilizar la expresión [2] para comprobar el resultado de una división. pues de lo contrario se puede seguir repartiendo o agrupando. En esta primera clase los problemas planteados a los niños se proponen teniendo como referencias situaciones de agrupamiento concreto de objetos.
Proponer una actividad que permita a los niños encontrarse con la necesidad de realizar un problema de agrupamiento en base a una medida en la que se conozca la cantidad total de objetos y la medida de cada grupo. se espera que niñas y niños reconozcan el carácter anticipatorio de la operación respecto a la acción. La respuesta correcta por tanto debería ser la a). debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven. Para seguir descartando calculamos entonces el producto 127 x 7. con la acción involucrada en el problema.
Para buscar el número de paquetes multiplicar por 10 o múltiplos de 10 la medida de cada paquete hasta encontrar la cantidad que más se acerque a la cantidad de objetos de los que se dispone. En este caso sería ¿qué múltiplo de 10 multiplicado por 3 se acerca (por abajo) o es igual a 48? Es decir: ? ∙ 3 = 48	10 • 3 = 30 20 • 3 = 60
En el momento del cierre sistematice las siguientes ideas:
a) Los problemas en los que los datos son el número de paquetes y la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida). 4 x 6
La cantidad total de cuchuflíes se calcula realizando la multiplicación entre el número de bolsas y las unidades que tiene cada paquete. siendo la incógnita del problema. b) Los problemas en los que los datos son la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida) y la cantidad total de unidades de la colección. siendo la cantidad de paquetes que se pueden formar. ¿cuántos paquetes con 8 zanahorias cada uno se pueden formar? La situación se puede representar a través del siguiente esquema:
¿cuántas veces?	8 zanahorias	Total 56 zanahorias
da un total de 56 zanahorias
. Por ejemplo. El resultado de la multiplicación es justamente la cantidad total de unidades. la situación se representa por el siguiente esquema:
Total cuchuflíes
bolsa bolsa bolsa bolsa
6 cuchuflíes
Se repite 4 veces 6. Por ejemplo. con 56 zanahorias. la incógnita del problema. la cantidad total de unidades. es decir. si una bolsa trae 6 cuchuflíes y Hugo tiene 4 bolsas y se quiere saber cuántos cuchuflíes tiene Hugo.
se espera que los niños reconozcan el carácter anticipatorio de la multiplicación y la división respecto a las acciones de iterar una medida y de agrupar en base a una medida. podemos determinar la cantidad de grupos o paquetes que se forman mediante una división.
56	: 4 = 10 –	40 16 16	: 4 = 4
porque 10 • 4 = 40
porque 4 • 4 = 16
Se pueden hacer: 10 + 4 = 14 pilas de ajos. si cada pila tiene 4 ajos? La división 56 : 4 que resuelve el problema. Por ejemplo: ¿Cuántas pilas de ajos se pueden hacer con 56 ajos. cuando el resto (cantidad de objetos que quedan) es menor que el divisor (cantidad de objetos para formar un paquete).
Una división está terminada. debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven. se puede calcular si nos hacemos la pregunta: ¿Cuántas veces tengo que repetir el 4 para llegar lo más cerca posible de 56 sin pasarme?
? • 4 = 56
Dicho factor (cuociente de la división) se puede determinar a través de aproximaciones sucesivas.Orientaciones
La cantidad final de paquetes que se pueden formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida.
En esta clase se sigue trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. ? paquetes • 8 zanahorias por paquete = 56 zanahorias
c) Ya que la división es la operación inversa de la multiplicación. siendo las prioritarias las que se acercan al dividendo. Asimismo. para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme. con la acción involucrada en el problema. 8 zanahorias.
. multiplicando el divisor por un múltiplo de 10.
para activar los conocimientos previos de los niños y niñas. contextualizados en la venta de verduras en la feria. En el juego. En los primeros problemas de agrupamiento en base a una medida proponemos que la cantidad total de objetos sea múltiplo de la medida. Se sugiere plantearlos en forma oral o. Las instrucciones para jugarlo forman parte del material que se entrega a los niños (ver material anexo). los alumnos deberán formular una pregunta que incorpore la interrogante: ¿cuántos paquetes? O bien ¿Cuántas unidades? Por ejemplo. propóngales problemas similares a los realizados en la clase anterior.Orientaciones
En el momento inicial de la clase. ¿cuántas zanahorias tengo? Una vez planteada la pregunta los niños tratan de resolverla en su cuaderno. escritos en la pizarra. El primer jugador que llega a la solución dice.
En el momento de desarrollo de la clase. pues es un buen contexto para formular problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. ¿cuántos paquetes de 5 pueden hacer? Mientras que si les salen las tarjetas
Podrán preguntar: Si tengo 6 paquetes de 8 zanahorias. si les salen las tarjetas:
5 betarragas tiene un paquete
Podrán preguntar: Con 56 betarragas. Se trata de generar un trabajo ágil. si es necesario. se propone que jueguen “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?”. Además. ¡alto! y les cuenta a sus compañeros cómo re32
. centrado en la utilización de las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas para obtener el resultado de la operación que resuelve el problema. es un contexto familiar para la mayoría de quienes cursan 4° básico. a partir de una información presentada en dos tarjetas que se eligen al azar.
Las cartas se retiran. un representante de cada grupo sale al pizarrón a explicar cómo han resuelto el problema. Además. Durante la actividad es importante que el profesor(a) ponga atención para apoyar a los grupos que tienen dificultad o no entienden cómo formular la pregunta.Orientaciones
solvió el problema. Si la palabra que aparece en la tarjeta sacada del mazo de los números es paquetes. Los problemas de esta ficha tienen el propósito de que los niños se enfrenten a problemas de iteración de una medida y agrupamiento en base a una medida. de forma que todos entiendan lo que hizo y por qué lo hizo. El juego termina cuando uno de los jugadores logra reunir 3 tarjetas con productos distintos. Con las posibles combinaciones de tarjetas que permite el juego. entonces el problema que se puede formular es de iteración de una medida. Se propone que niñas y niños. organizados en grupos. se dejan a un lado y se sacan nuevas tarjetas. En ambos casos la medida está determinada por la segunda carta donde aparece la cantidad de unidades que tiene el paquete.
. Al finalizar el juego se hace una breve puesta en común de aquellos problemas que no se han sabido resolver. Luego. Si en algún problema sale una operación que no saben resolver en el grupo. promueva que comparen las preguntas formuladas y los procedimientos utilizados para resolverlos. De lo contrario. compartiendo los procedimientos con todo el curso. anotándolos en el pizarrón por grupos. en forma individual o en parejas. no se lleva las tarjetas en juego y se devuelven al mazo. jueguen una vez el juego. debe identificar aquellos alumnos que no son capaces de discernir la operación que resuelve el problema para apoyarlos e insistir en que el alumno que resuelve el problema tiene que explicar a todos los compañeros del grupo cómo lo resolvió. Una vez que hayan respondido al menos las dos primeras preguntas. en el contexto del juego. Posteriormente. los de iteración de una medida y los de agrupamiento en base a una medida. Si todos están de acuerdo con la respuesta. con la finalidad que expliciten las preguntas que formulan a partir de los datos y las resuelvan recurriendo a la multiplicación o división. la dejan anotada en el cuaderno como sin resolver. se obtienen dos tipos de problemas. los alumnos resuelven los problemas de la Ficha 2. mientras que si aparece la palabra unidades el problema que se puede formular es de agrupamiento en base a una medida. entonces el jugador que llega a la solución se lleva las tarjetas con el dibujo. cada grupo elige uno distinto y tratan de resolverlo.
si los datos son la medida y la cantidad total de unidades.
. resulta o se acerca a 96. de manera que como la multiplicación es una suma iterada. Es posible calcular el cuociente de una división a partir de buscar aquella cantidad que multiplicada por el divisor se acerca lo más posible (sin pasarse) al dividendo. dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete.Orientaciones
El docente debiera procurar que los niños transiten desde los procedimientos rudimentarios como es la suma y/o resta iterada. d) Para calcular la división se recurre a la relación inversa entre la división y la multiplicación. la pregunta que se puede formular es ¿cuántos paquetes puedo formar? En ese caso dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete. en la que es necesario determinar cuánto es 36 veces 4. es decir: ? Paquetes • 3 cebollines por paquete = 96 cebollines
Asociando la división con la resta reiterada. Por ejemplo para resolver el problema 1 de la Ficha 2. hacia procedimientos más resumidos como son la multiplicación y/o la división para calcular el resultado. sin pasarse. la división es una resta iterada.
En el momento de cierre se sistematizan las siguientes ideas:
a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10. como por ejemplo del problema 3 de la Ficha 2. se busca qué múltiplo de 10 multiplicado por 3 se acerca más a 96. b) Para resolver problemas de iteración de una medida. es necesario hacerse la pregunta qué número de veces 3 cebollines. los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 36 x 4. Para realizarla se puede descomponer el 36 canónicamente e interpretar:
36 veces 4 como 30 veces 4 más 6 veces 4
Cálculos que para los niños son conocidos: 30 x 4 = 120 y 6 x 4 = 24 Luego 36 x 4 = 120 + 24 = 144 c) Por otra parte. la pregunta se puede formular de distintas maneras. pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades.
En el momento inicial se retoma el trabajo realizado en la segunda clase para afianzar la estrategia propuesta para resolver problemas multiplicativos y determinar el cuociente y/o resto en una división.
El momento de desarrollo de la clase. Para ello.6 0 32
10 · 3 = 30 si se hacen 10 paquetes se ocupan 30 cebollines 20 · 3 = 60 si se hacen 20 paquetes se ocupan 60 cebollines 30 · 3 = 90 si se hacen 30 paquetes se ocupan 90 cebollines No alcanza para 40 paquetes por que se necesitan 40 • 3 = 120 que es más que los cebollines que se tienen. la escriba en la pizarra y que cada alumno en su cuaderno escriba la operación que resuelve el problema y calcule el resultado. Posteriormente. En esta primera parte se debe recordar un conocimiento previo. Al término de este primer momento.Orientaciones
96 : 3 = 30 . 100 y las divisiones asociadas. tiene dos partes en esta tercera clase. Para jugar colectivamente a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” se debe generar una dinámica de trabajo a partir de presentarles dos tarjetas a los niños. se hace una nueva división donde el dividendo es 6 2 • 3 = 6 si se hacen 2 paquetes se ocupan los 6 cebollines que quedaban. como es la multiplicación de números de una cifra por múltiplos de 10. donde la división sea inexacta y tenga por cuociente una cantidad de dos cifras. Pida que un niño formule una pregunta. la profesora dirige colectivamente el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando los set de tarjetas con número con la palabra unidades y paquetes y las tarjetas con los dibujos de verduras con que se trabajo en la segunda clase. confronte los diferentes procedimientos utilizados para resolver la multiplicación o la división. Para averiguar cuántos. Se debe cuidar que los pares de tarjetas elegidos permitan el planteamiento de problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Respuesta: se pueden formar 32 paquetes de cebollines. A partir de
.90 6 :3= 2 . se pueden hacer otros paquetes. afiance los procedimientos sistematizados al finalizar la segunda clase. Con los 6 cebollines que quedan.
extendiendo las combinaciones multiplicativas básica a los múltiplos de 100. una de números con la palabra unidades y otra de verdura y pida que formulen una pregunta que relacione ambos datos. Si detecta algunas dificultades en el dominio de la multiplicación por múltiplos de 100 y las divisiones asociadas. Para activar dichos conocimientos se propone continuar jugando a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando ahora solo algunas tarjetas del segundo set de números. por ejemplo: 800 con betarragas. cuando cuantificaron colecciones de objetos agrupados de a 100. Posteriormente.Orientaciones
este conocimiento. ¿cuántos paquetes de 5 betarragas se pueden hacer? Para responder las preguntas directamente. un procedimiento abreviado es el siguiente:
. La validez y justificación de esta extensión. escoja un par de tarjetas. Material 11). que dará origen a preguntas del tipo: Con 800 betarragas. por ejemplo: 200 con ajos. los niños y niñas irán adaptando los procedimientos aprendidos a números mayores. y pida a niñas y niños que formulen una pregunta que relacione ambos datos. así como lo hicieron cuando las extendieron a los múltiplos de 10. se sugiere poner a disposición del curso tablas con la generalización de las combinaciones multiplicativas básicas (ver Cuadro de Productos. para calcular 800 : 5. se necesita recurrir a los conocimientos previos señalados. escoja un par de tarjetas. En este momento debieran recurrir a argumentos como. ya que 2 x 4 = 8. Así. que llevará a que los niños formulen preguntas del tipo: ¿Cuántos ajos tengo en 200 paquetes. Para lograr el propósito planteado seleccione las tarjetas:
Inicialmente. con 4 ajos cada uno? La multiplicación que resuelve este problema es 200 x 4 y se espera que la respondan. y 20 x 4 = 80 entonces 200 x 4 = 800. los niños deben haberla realizado en 3º básico. una con números y la palabra paquetes y otra de verduras.
. lo que exigirá adaptar la técnica que vienen usando a esta nueva situación. se pueden formar otros paquetes. 10 ∙ 5 = 50. luego con 20 y así. se propone continuar con la dinámica del juego. Para averiguar cuántos. trabajando ya sea individualmente o en pareja. comparen sus procedimientos con otros compañeros. se utilizan 100 • 5 = 500 betarragas -	500 Si se hacen 200 paquetes.000 betarragas. por ejemplo. 50 • 5 = 250. calculen cuocientes parciales a través de multiplicar el divisor por múltiplos de 10 ó 100. pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades. utilicen la relación inversa entre la multiplicación y la división. Escoja. para que los niños. 300
cantidad que excede a la cantidad de betarragas de que se dispone. En la medida que tengan claro que deben encontrar un procedimiento que les permita en pocos pasos encontrar el cuociente. Pida que un niño formule una pregunta. 30 • 5 = 150 40 ∙ 5 = 200. Con esta actividad se pretende enfrentar a los niños a un problema similar a los que ya han resuelto. escriba la división respetiva en la pizarra y que los niños y niñas trabajando en pareja.Orientaciones
800	:	5	=	100 Porque para hacer 100 paquetes de 5 betarragas cada uno. 60 • 5 = 300
Se pueden hacer: 100 + 60 = 160 paquetes de betarragas y no queda ninguna betarraga. busquen la forma más económica de determinar el cuociente. El trabajo con la Ficha 3 debe ser planteado como una extensión de la actividad anterior. las tarjetas “252 unidades” y la palabra unidades y “cebollines”. De los procedimientos utilizados por ellos. pero en este caso jugando con todas las tarjetas. la pregunta se puede formular de distintas maneras. podrán reconocerlo en los procedimientos que esté usando alguno de ellos.
300	:	5	=	60 -	300 0
Como quedan 800 – 500 = 300 betarragas. se utilizan 200 • 5 = 1. ponga en común aquellos que buscan el cuociente ampliando lo aprendido.
a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. 20 • 5 = 100.
En la segunda parte del momento de desarrollo. hasta encontrar una cantidad con la que se ocupe la mayor cantidad posible de betarragas. dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete. comenzar probando con 10 paquetes. es decir.
10 x 6 = 60 y 2 x 6 = 12 Luego 312 x 6 = 1800 + 60 + 12 = 1872 c) Por otra parte.
808	:	3	=	200 -	600 208	:	3	=	60 -	180 28	:	3	= 9 -	27 1
. esta vez dividiendo 28 entre 3. d) Respecto a resolver divisiones cuando el dividendo es un número de tres cifras. la pregunta que se puede formular es: ¿Cuántos paquetes puedo formar? En ese caso. luego de 10 y números de una cifra. se prueba con el siguiente múltiplo de 100 300 • 3 = 900 > 808 entonces el cuociente se encuentra entre 200 y 300 Se utiliza como estrategia multiplicar el divisor por múltiplos de 10: 10 • 3 = 30 < 208. se debe comenzar multiplicando el divisor por un múltiplo de 100. sistematice que entre los procedimientos que hay para calcular el cuociente y/ o resto. Destaque que la clave está en la estrategia de búsqueda. se probará con otro múltiplo de 10 mayor 60 • 3 = 180 < 208 70 • 3 = 210 > 208 entonces el cuociente se encuentra entre 260 y 270 Como 28 es mayor que 3. Para realizarla se puede descomponer el 312 canónicamente e interpretar:
312 veces 6 como 300 veces 6 más 10 veces 6 más 2 veces el 6
Cálculos que para los niños son conocidos: 300 x 6 = 1800. en la que es necesario determinar cuánto es 312 veces 6. continuamos aproximándonos al cuociente. cuando el dividendo es un número de 3 cifras. hay algunos que son más eficaces. se probará con un múltiplo de 10 mayor 40 • 3 = 120 < 208 . dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete. se comienza multiplicando el divisor por múltiplos de 100: 100 • 3 = 300 < 808. si los datos son la medida y la cantidad total de unidades. los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 312 x 6. Por ejemplo. Se pueden hacer 200 + 60 + 9 = 269 paquetes de cebollines y queda un cebollín.Orientaciones
b) Para resolver problemas de iteración de una medida. se debe calcular la división 808 : 3
Procedimiento Argumento Como el dividendo es un número de 3 cifras. se prueba con el siguiente múltiplo de 100 200 • 3 = 600 < 808. como por ejemplo del problema 3 de la Ficha 3. para resolver el problema 1 de la ficha 3.
porque así los niños y niñas controlan sus procedimientos y. Utilizar Ficha 4.
En el momento inicial de la clase se propone empezar jugando el juego “Planteando problemas” en grupos de 3 a 4 alumnos. en algunos casos. Veamos un ejemplo del juego.
En esta clase se pretende que los niños y niñas sepan formular y resolver problemas multiplicativos de iteración de una medida. enfatizan la relación inversa entre la multiplicación y la división. a resultados errados que podrán reconocer si comprueban la división. Es probable que quienes utilicen el algoritmo tradicional de la división lleguen. medida de grupo. que interpreten correctamente el resto y que utilicen la calculadora para calcular productos y divisiones. se espera que sean capaces de distinguir claramente el rol que juega cada uno de los datos y la incógnita en el problema (número de grupos. sino que basta con plantear correctamente la operación que los resuelve. Actividad 1. con estas tarjetas y ese tablero los problemas con solución que se pueden plantear son:
cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas
Problema 1	100
. Supongamos que nuestro tablero es el siguiente y que al sacar las cartas de los mazos salen los números 100 y 8. Además.Orientaciones
Es importante formar el hábito de comprobar los resultados obtenidos. Es importante que cada docente se asegure de que los alumnos entienden bien las instrucciones y que haga especial énfasis en que en los problemas formulados la pregunta debe ser clara y se deben incorporar todos los datos en el problema. cantidad total de unidades). Además. además. reparto equitativo y agrupamiento en base a una medida. que no es necesario resolverlos. Formulando problemas con caramelos
cantidad total de caramelos caramelos en cada bolsa número de bolsas Tarjetas que salieron
. Eso se debe a que la cantidad total de unidades debe ser mayor que la cantidad de unidades en cada bolsa (o sea que la medida). manzanas en cada bandeja. y que la cantidad de bolsas (o sea que la cantidad de veces que se repite la medida). Por ejemplo. además de plantear problemas. Se espera que alumnas y alumnos sean capaces de plantear la operación que resuelve el problema planteado especificando qué representa cada dato y qué representa la incógnita. Luego del momento del inicio. En esta actividad no se pretende que realicen la división o el producto. En ese caso es bueno abrir la discusión de por qué ese problema “no sirve” y tratar de que emerja por parte de los alumnos que la cantidad total de unidades tiene que ser mayor que la cantidad de grupos que se deben formar o la cantidad de unidades que tiene cada grupo. De los cuatro problemas que pueden aparecer en el juego con solución. siendo 24 y 6 las dos tarjetas. el Problema 1 corresponde a un agrupamiento. 8 los caramelos que hay en cada bolsa y el resultado de la operación sería la cantidad de bolsas que puedo formar. siendo 100 la cantidad total de caramelos. el profesor plantea una situación análoga a la actividad 1. ¿cuántas bolsas se pueden formar? La operación que resuelve el problema sería 100 : 8.Orientaciones
cantidad total de caramelos
caramelos en cada bolsa
Problema 3	?
ya que los problemas que aparecen al ubicar el 8 en el total de caramelos no tienen solución. el profesor(a) selecciona tres problemas que hayan planteado distintos grupos en que uno sea de agrupamiento. otro de iteración y otro de reparto equitativo y se hace una breve puesta en común sobre estos tres problemas. la formulación del Problema 1 podría ser: Si tenemos 100 caramelos y los agrupamos en bolsas de a 8. y el número de bandejas. en el pizarrón. mientras que los Problemas 3 y 4 corresponden a la iteración en base a una medida. el Problema 2 a un reparto equitativo. con un tablero donde figuran la cantidad total de manzanas. así como del resultado. Con esta actividad se espera lograr que los alumnos sean capaces de. especificar la operación que los resuelve y el significado de cada dato. basta con que lo planteen.
En el momento de desarrollo de la clase. Hay que tener presente que en la actividad es posible que los alumnos planteen algunos problemas que no tienen solución. El profesor guía la discusión y anota en el pizarrón tanto los problemas planteados como las operaciones planteadas por el curso e identifica el significado de cada dato y el significado del resultado.
mientras que en (p3) se tienen 24 bandejas con seis manzanas en cada bandeja. o en parejas y en sus cuadernos tratan de plantear los problemas a partir de las diversas combinaciones que el profesor(a) escribe en el pizarrón.Orientaciones
Alumnas y alumnos trabajan en forma individual. Una vez que han resuelto los cuatro problemas. Hay que tener presente que tanto (p1) como (p6) no tienen solución. agrupar o repartir a cada problema resuelto según sea la acción involucrada para resolverlo. ambos son problemas distintos. También es importante reflexionar que si bien el cálculo implicado en los problemas (p2) y (p3) es el mismo. así que podrían considerarse como problemas mal formulados. En (p2) se tienen seis bandejas con 24 manzanas en cada bandeja. Actividad 2
cantidad total de manzanas manzanas en cada bandeja número de bandejas cantidad total de manzanas manzanas en cada bandeja número de bandejas
cantidad total de manzanas
manzanas en cada bandeja
Los alumnos deben formular y resolver cada problema. el docente pide a los alumnos que asocien la palabra repetir. agrupar o repartir. especificando en cada caso la cantidad que hay que repetir. la medida 4 manzanas por bandeja) (p6)	Sin solución. (p1)	sin solución (p2)	Se repite seis veces la bandeja de 24 manzanas (de iteración. la medida 6 manzanas por bandeja) (p4)	Se agrupan 24 manzanas en bandejas de a seis manzanas cada una (de agrupamiento. la medida 24 manzanas por bandeja) (p3)	Se repite 24 veces la bandeja de 6 manzanas (de iteración.
. la medida 6 manzanas por bandeja) (p5)	Se reparten 24 entre seis bandejas (de reparto equitativo.
Lleno 4 cajas más (4 x 12 = 48). la operación y la respuesta y los anota en la pizarra. es decir formo 20 cajas y todavía me quedan 75 botellas. corrigiéndolos en caso que sea necesario. los procedimientos aprendidos les permiten resolverlos. ¿Cuántas cajas usó? Para resolverlo se tiene que averiguar cuántos grupos de a 12 bebidas puedo formar. 20 x 12 = 240 315 – 240 = 75. independiente del contexto. La intención didáctica de estas actividades es que niñas y niños comparen los procedimientos utilizados para resolver distintos problemas de división y puedan concluir que. El primer problema de la ficha plantea una situación de agrupamiento en base a una medida. El procedimiento desarrollado de la división podría ser:
315	: 12 =	20 –	240 5 75 +	1 –	60 26 15 –	12 3
20	x 12	=	240 5	x	12	=	60 1	x	12	=	12
Resultado 26 cajas y quedan 3.Orientaciones
Una vez los niños han formulado y resuelto los problemas. el profesor escribe en el pizarrón y pide voluntarios que le dicten el problema que han formulado. en la Actividad 3 se propone trabajar en forma individual (o por parejas) los problemas propuestos en la Ficha 5. de manera que hay que dividir 315:12. Vuelvo a llenar dos cajas y me sobran 3 botellas. con lo que me quedan 75 – 48 = 27 botellas. Mireya tenía que poner 315 bebidas en cajas de a 12. ? cajas • 12 botellas = 315 botellas
Acá pueden proceder de la siguiente forma 10 x 12 = 120. Comprobación:
26	x 12	=	312 312	+	3	=	315
. o buscar qué cantidad multiplicada por 12 se acerca más a 315 sin pasarse. De forma que el resultado es 20 + 4 + 2 = 26 cajas y quedan 3 botellas. Luego.
Un esquema para este problema podría ser:
Resultado 10 + 10 + 5 + 1 = 26 cajas y quedan 3 botellas sueltas
El segundo problema de la ficha. la operación sugerida por el problema es la división:
¿Total de dulces? : 5 amigos = 20 dulces c/amigo
Un esquema para representar este problema y que podría ayudarnos a resolverlo sería:
¿Total caramelos?
20 dulces
. sino que sean capaces de interpretar el rol de cada uno de los datos en el problema y puedan resolverlo. en este sentido. Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. el problema se resuelve mediante un producto. que pese a que la acción efectuada en el problema fue un reparto equitativo. se podría clasificar este problema como inverso. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? Este problema pone de manifiesto la necesidad de que los alumnos no se guíen exclusivamente por palabras clave a la hora de resolver los problemas. En este caso. pese a que la acción efectuada por Luz fue un reparto equitativo. pero sin embargo se resuelve con un producto. los datos del problema son la cantidad de amigos (o sea la cantidad de grupos) y los caramelos que le tocan a cada amigo (o sea la medida) y la pregunta hace referencia al total de caramelos. siguiendo la nomenclatura utilizada en el campo de problemas aditivos. dado que la incógnita del problema son los dulces que repartió. dado que la acción del problema involucra una división. De ese modo.
se resuelve con una multiplicación (para ello los datos del problema deben ser la cantidad de personas participantes del reparto y la cantidad que le toca a cada uno. y sobre ellos analice en voz alta junto con los alumnos el significado de cada dato. y el resultado del problema. en que la acción involucrada en el problema es un reparto. en ese caso es bueno insistir en que traten de reconocer el rol de los datos y la pregunta que plantea el problema.	Repartí 24 manzanas entre sus seis amigos.	Tengo 24 bandejas de 6 manzanas cada una. ¿Cuántas bandejas puedo formar? P5. agrupamiento. Los problemas planteados podrían ser: P3. De ese modo. que se resuelve mediante el producto entre los dos datos. dado que los datos son el número de veces que se itera (18) y la medida (20 hamburguesas) y la pregunta es la cantidad total. Para ello sugerimos que el profesor retome los problemas 3. ya que la operación que lo resuelve no solo depende de la acción realizada (reparto. iteración). podemos pensar el problema como de iteración de una medida para resolverlo.Orientaciones
Ahora bien. ¿Cuántas manzanas le tocaron a cada amigo? Luego.
Al cierre de esta clase se enfatiza la importancia que tiene a la hora de resolver problemas identificar el papel de cada uno de los datos dentro del problema y el significado de la respuesta. 4 y 5 planteados por los alumnos en la Actividad 2. y sin embargo. de la Actividad 3.
. Sugiera que propongan un ejemplo similar. la operación que lo resuelve. mientras que la pregunta debe ser la cantidad repartida). se propone recordar que no siempre que sale la palabra agrupar o repartir tengo que dividir para resolver el problema. tal y como sucedía en el Problema 2. De ese modo la operación que lo resuelve sería: 5 amigos x 20 dulces c/amigo = Total de dulces No es de sorprender que la mayoría de alumnos responda erróneamente el problema. para poder obtener la cantidad total de dulces basta con interpretar correctamente el significado de cada dato. 20 dulces es la medida que le toca a cada amigo y dado que eran cinco amigos.	Tengo 24 manzanas y las agrupo en bandejas de a 6. El problema 3 de la Ficha 5 es un problema donde se itera una medida (la cantidad de hamburguesas de una caja). ¿Cuántas manzanas tengo en total? P4. sino también de cuáles son los datos del problema.
planteen tres problemas distintos y los resuelvan. y todavía sobran 30 unidades. Entonces 3 veces 40 más los 30 que me sobran debería ser igual a los 150 que es la cantidad total.Orientaciones
En esta clase se pretende que los niños y niñas usen los procedimientos estudiados para plantear y resolver problemas multiplicativos de proporcionalidad y sean capaces de comprobar el resultado de una división. donde se les plantea a los alumnos que con las tarjetas 150 y 40 y el Tablero de Fósforos. Comprobación:
3	x 40	=	120 120	+	30	=	150
. por parejas traten establecer un procedimiento para comprobar el resultado de las divisiones que hayan efectuado. Una vez resueltos los problemas planteados. se pide a los alumnos que. esta clase tiene el propósito principal de trabajar lo estudiado en las clases anteriores. Utilizar Ficha 6.
En el momento inicial de la clase se propone empezar con un Actividad similar a la Actividad 2 de la clase anterior. Veamos un ejemplo de cómo podría ser el proceder de algún alumno(a):
150	: 40 = 2 –	80 +	1 70 3 –	40 30
40	x 2	=	80 40	x	1	=	40
Resultado 3 y sobran 30. de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los conocimientos construidos. si bien está permitido consultar al compañero en caso de tener dudas. Si el resultado de la división 150 : 40 me ha dado 3 y sobran 30. es que me he equivocado al dividir. La actividad se realiza individualmente. Un razonamiento que podrían establecer para elaborar un procedimiento de comprobación es el siguiente. También se espera trabajar los procedimientos para dividir surgidos de las clases 2 y 3. De lo contrario. Así. El resultado de la división que van a tener que comprobar es 150 : 40. eso significa que el 40 cabe (está contenido) tres veces dentro del 150.
1. dos de ellas son conocidas y la tercera desconocida. En ese sentido.
. En este aspecto. dado que es un problema inverso. proceden a resolver individualmente los problemas planteados en la Actividad 3. La actividad 2 es una actividad centrada en el cálculo.
En el momento de desarrollo de la clase se propone que los alumnos trabajen individualmente en las Actividades 2 y 3 de la Ficha 7. para resolverlo hay que realizar el producto entre los dos datos. 2. en los problemas estudiados tenemos tres cantidades distintas: la cantidad de unidades que tiene cada grupo. Una vez resueltos los problemas. comentan los resultados de cada cálculo para que puedan darse cuenta de los errores cometidos y corregirlos. junto con su curso. con el propósito de que los alumnos practiquen las técnicas de cálculo que han aprendido en esta unidad y en unidades anteriores. el número de grupos y el total de unidades.
En el momento de cierre se propone que el profesor(a). Luego. En los problemas estudiados (sugerimos tomar como referencia los problemas propuestos en la Actividad 3). Pese a que la acción del problema es de agrupar. A su vez se pretende que practiquen la técnica de comprobación de la división vista en el momento inicial. Es probable que bastantes alumnos se equivoquen en la resolución del Problema 1.Orientaciones
El momento inicial se cierra con una pequeña puesta en común de los resultados obtenidos en los problemas planteados y de lo que hay que hacer para comprobar el resultado de la división 150 : 40. comparan los resultados obtenidos con los obtenidos por su compañero(a). En la corrección es recomendable dejar espacio a los alumnos para que puedan comentar entre ellos las dudas que tengan al respecto de la solución de los problemas y plantearle al profesor las cosas que no entienden. de forma que les pueda ayudar a deducir la operación que lo resuelve. La importancia de entender bien el significado de cada dato y de la incógnita en un problema antes de resolverlo. sistematicen lo más importante de lo que han estudiado en la unidad. Una vez que la mayoría haya finalizado la Actividad 2. se puede pedir que representen los datos del problema utilizando un esquema. por parejas.
Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase.Orientaciones
• Si nos dan como datos la cantidad total y la cantidad de unidades que tiene cada grupo. preguntando a niños y niñas los procedimientos que utilizaron. la pregunta del problema hace referencia al número de grupos que se pueden formar y se resuelve dividiendo el total entre la cantidad de unidades que tiene cada grupo. Incluimos. 3. que permite organizar el trabajo del profesor(a) en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. el resultado es correcto (Aquí sugerimos comprobar el cálculo que los alumnos hayan realizado en el Problema 4 de la Actividad 3). • Si nos dan como dato el número de grupos y la cantidad de unidades que tiene cada grupo. averiguar por qué los cometieron. • Si nos dan como datos la cantidad total y el número de grupos. En la segunda parte de la clase.
. Para comprobar el resultado de una división hay que multiplicarlo por el divisor y a ese producto añadirle el resto. Si ese cálculo coincide con el dividendo. Si hubo errores. se sugiere que el profesor(a) realice una corrección de la prueba en la pizarra.
En la primera parte de la clase. se aplica la Prueba de la unidad. la pregunta hace referencia a la cantidad que tiene cada grupo y se resuelve dividiendo el total entre el número de grupos. una pauta de corrección. En la aplicación se recomienda a profesoras y profesores leer las preguntas y cerciorarse de que todos los alumnos y alumnas comprendan lo que se les solicita. la pregunta del problema hace referencia a la cantidad total y se resuelve multiplicando el número de grupos por las unidades que tiene cada grupo. sin entregar información adicional a la planteada en los problemas. destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la unidad y señale que estos se relacionan con aprendizajes que se trabajarán en unidades posteriores. Para finalizar. además de la prueba.
n	Momento de cierre: El profesor (a) plantea preguntas a niños y niñas para que reconozcan los aspectos medulares estudiados en la clase: ¿Cómo saber a partir de datos e incógnitas cuál es la operación que resuelve un problema? ¿Cómo calculan 5 x 6 y 10 x 7?	¿Cómo dividen 56 : 8 y 78 : 9 ? Finalice sistematizando la siguiente idea para el caso de la división: Una buena estrategia para resolver la división comienza por preguntarse qué número multiplicado por 9 es o se aproxima a 78. y la resta iterada y división con los segundos.
Evalúe la comprensión que tienen niños y niñas sobre la acción involucrada en los problemas. pida que anticipen el resultado de la cantidad de bolsas o semillas. Para buscar dicho número (que corresponde a la cantidad de paquetes) se puede utilizar la Tabla Pitagórica.
. (Tabla Pitagórica)
Observe las estrategias que utilizan niños y niñas para anticipar la cantidad total de semillas o la cantidad de bolsas. para ello presenta problemas frente a los cuales deberán establecer la relación entre datos e incógnita. pídales que comprueben su resultado realizando la acción concretamente.
n	T M*
n	• Resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. valorando aquellos que permitieron encontrar la respuesta al problema. sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa? Si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lenteja.
n	Propicie que comparen los procedimientos que utilizan para: •	Determinar la operación que resuelve el problema. relacionando la suma repetida y multiplicación con los primeros. Por ejemplo: Si el jornalero tiene 40 porotos. Para ganar tiempo en la siembra.
n	Momento de desarrollo: El profesor (a) propone una actividad que permita a los niños progresar en los procedimientos utilizados en el momento inicial. Conduce una discusión sobre la manera en que resolvieron las operaciones en función de su eficacia. ¿cuántas bolsas necesita. mientras que los garbanzos de a 3 y las lentejas de a 10. una vez que los niños hayan anticipado la cantidad de bolsas o semillas.
* Tareas matemáticas. Los porotos se siembran de a 5 en cada macetero. Posteriormente. el jornalero prepara el día anterior bolsas con la cantidad de semillas justas que hay que poner en cada macetero. garbanzos y lentejas en maceteros para que broten. garbanzos y lentejas. El profesor (a) contextualiza la actividad explicando que un jornalero tiene que sembrar semillas de porotos.
Momento de inicio: El profesor (a) presenta a la clase una actividad que permitirá que niños y niñas se encuentren con la necesidad de resolver problemas de iteración de una medida y problemas de agrupamiento en base a una medida. Actividad: El profesor (a) propone que resuelvan los problemas de la Ficha 1. si lo considera necesario realícela concretamente o represéntela mediante un esquema. Actividad: “Bolsas de semilla”. Realiza preguntas que los lleven a distinguir las diferencias entre los problemas de iteración de una medida y agrupamiento en base a una medida. Plantee a los niños que ellos deberán ayudar al jornalero y para ello deberán resolver algunos problemas. •	Resolver una multiplicación •	Resolver una división. Promueva que comparen sus procedimientos. y ½ kilo de porotos. Ficha 1 y Tabla con combinaciones multiplicativas básicas. justificar la elección de la operación que los resuelve y realizarla. ¿cuántas semillas ha ocupado? En ambos tipos de problemas.IV
n	Plan de la Primera clase Materiales: 1000 bolsas chicas de plástico para el curso.
Y estableciendo similitudes y diferencias entre ellos.
Momento de inicio: El profesor (a) propone problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Los problemas de esta ficha están en el contexto del juego. •	Registre aquellos pares de tarjetas donde los niños no saben resolver el problema enunciado. c)	¿Cómo multiplicar 30 x 4 ó 43 x 5? d)	¿Cómo dividir 96 : 3?
Verifique que la estrategia de búsqueda del cuociente en las divisiones la realiza partiendo de la multiplicación entre un múltiplo de 10 y la medida del grupo.
• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida. b)	Por otra parte. con la finalidad que expliciten las preguntas que formulan a partir de los datos y la resuelvan recurriendo a la multiplicación o división. en forma individual o en parejas resuelven los problemas de la Ficha 2. si los datos son la medida y la cantidad total de unidades. escritos en la pizarra. Actividad: Niños y niñas. es decir. y que la relación entre los números involucrada en ambas situaciones los desafíe a progresar en sus procedimientos de cálculo. •	Que el niño que dice ¡alto!.Plan de la Segunda clase Materiales: Instrucciones del juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” y las de tarjetas que se utilizan para jugarlo. para evidenciar el progreso de las estrategias de resolución de problemas y de cálculos de multiplicaciones y divisiones. Se trata de generar un trabajo ágil.
n	Identificar a los niños que tienen dificultades para reconocer la operación que resuelve el problema y aquellos que no se saben las combinaciones aditivas básicas. un niño que tenga 4 tarjetas con verduras distintas. explica el procedimiento utilizado para encontrar la respuesta. la pregunta que se puede formular es ¿Cuántos paquetes puedo formar? Y en ese caso dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete. si es necesario. La Ficha 2. Actividad: Juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” En grupos y siguiendo las instrucciones dadas y las señaladas en el instructivo del juego.
. la pregunta se puede formular de distintas maneras. 3 y 4). centrado en la utilización de las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas para obtener el resultado de la operación que resuelve el problema.
n	Compruebe que los niños comprenden la relación entre los datos y la incógnita para determinar si la operación que resuelve el problema es una división o una multiplicación. pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades y dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete. Actividades
n	recortadas (Material 1.
Momento de desarrollo: El profesor(a) plantea una actividad en que los niños tengan que formular preguntas en situaciones en las que se repita una medida o se agrupen colecciones de objetos en base a una medida. similares a los estudiados en la clase anterior. los niños juegan hasta que en cada grupo resulte un ganador.
n	Momento de cierre: El profesor(a) sistematiza las siguientes ideas: a)	Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. para apoyarlos.
Cerciórese que durante el desarrollo del juego: •	Por turnos los niños dan vuelta dos cartas y formulan una pregunta que relaciona ambos datos. Se sugiere plantearlos en forma oral o.
. Se debe cuidar que los pares de tarjetas elegidas permitan el planteamiento de problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. c)	¿Cómo multiplicar 300 x 3 ó 312 x 6? d)	¿Cómo dividir 808 : 3?
Verifique que utilizan procedimientos económicos para multiplicar y dividir. • Comprobar el resultado de la división.
Cerciórese que durante el desarrollo del juego: •	Los niños formulan bien la pregunta. Actividad: Niños y niñas. Según como estime conveniente organice a los niños para que jueguen. que se utilizan para jugarlo. La Ficha 3. si los datos son la medida y la cantidad total de unidades. Actividad: Juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?”. la pregunta que se puede formular es ¿Cuántos paquetes puedo formar? Dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de unidades por paquete.
n	Momento de desarrollo: El profesor(a) plantea una actividad en que los niños tengan que formular preguntas en situaciones en las que se repita una medida o se agrupen colecciones de objetos en base a una medida. Actividades
Cuide que la formulación de la pregunta relaciona bien los datos proporcionados por las tarjetas. pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades y dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete.
Compruebe que la estrategia de búsqueda del cuociente en las divisiones la realiza partiendo de la multiplicación entre un múltiplo de 10 ó 100 y la medida del grupo. explica el procedimiento utilizado para encontrar la respuesta. Las tarjetas con números de la clase 3 (Material 5 y 6). de manera que recuerden la multiplicación con dichos números. Verifique que cada niño identifica la operación que resuelve el problema. recortadas. Que interpretan el resultado en función de la pregunta. resuelven los problemas de la Ficha 3. Que todos resuelven la operación. donde la división sea inexacta. que es un conocimiento base para dividir cuando el dividendo es un número de tres cifras.
n	Momento de cierre: El profesor(a) sistematiza las siguientes ideas: a)	Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes. Posteriormente. confronte los diferentes procedimientos utilizados para resolver la multiplicación o la división.
n	n	• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida. introduzca el resto de las tarjetas que conforman el set para esta tercera clase y organice a los niños para jueguen una vez en grupos. que la escriba en la pizarra y que cada alumno en su cuaderno escriba la operación que resuelve el problema y calcule el resultado.
n	n	Momento de inicio: El profesor (a) plantea una actividad que permite afianzar lo aprendido las clases anteriores. b)	Por otra parte. identificando la operación que los resuelve y buscando procedimientos más económicos para dividir. Pida que un niño formule una pregunta. •	El niño que dice ¡alto!. Dirige colectivamente el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando los set de tarjetas con número con la palabra unidades y paquetes y las tarjetas con los dibujos de verduras con que se trabajó en la segunda clase. la pregunta se puede formular de distintas maneras. recortada. utilizando solo tarjetas múltiplo de 10 o 100. en forma individual o en parejas. y que la relación entre los números involucrada en ambas situaciones los desafíe a progresar en sus procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones. Se debe generar una dinámica de trabajo a partir de presentarles dos tarjetas a los niños.
n	Compruebe que los niños comprenden la relación entre los datos y la incógnita para determinar si la operación que resuelve el problema es una división o una multiplicación. Posteriormente.Planes de clases
Plan de la Tercera clase Materiales: Instrucciones del juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” y las tarjetas de la clase 2.
n	Recordar que no siempre que sale la palabra agrupar o repartir tengo que dividir para resolver el problema. n	Que los niños reconocen aquellos casos en los que no es posible formular un problema que tenga solución. en que la acción involucrada en el problema es un reparto y. Actividades
Momento de inicio: El profesor(a) dirige colectivamente el juego “Formulando Problemas”.
‘Momento de desarrollo: Actividad 2: El profesor(a) plantea una situación análoga a la Actividad 1. utilizando un tablero de juego ”Formulando Problemas” y los dos mazos de números. Los alumnos trabajan en forma individual. organice a los niños para que jueguen en grupos. Luego. así como las operaciones planteadas por los alumnos e identifica el significado de cada dato y el significado del resultado. Resuelven los problemas identificando la operación que los resuelve y buscando procedimientos para realizar el cálculo. Según como estime conveniente. los mazos 1 y 2 (Material 7) del juego y los tres tableros del juego recortados. Guía la discusión y anota en el pizarrón tanto los problemas. n	Los alumnos proponen un ejemplo similar. • Comprobar el resultado de la división. Propone que calculen las operaciones utilizando la Tabla Pitagórica Extendida. •	Que el niño que dice alto.
Momento de cierre: El profesor (a) sistematiza las siguientes ideas: La importancia que tiene a la hora de resolver problemas identificar el papel de cada uno de los datos dentro del problema y el significado de la respuesta. iteración). uno con números hasta el 20 y otro con números del 25 hasta el 900. una de cada mazo y dibuja un tablero en el pizarrón con la tarjeta mayor en la posición del total y la menor en la posición del número de grupos y les pide a los alumnos que formulen una pregunta y la operación que la resuelve. Haga énfasis en que la pregunta debe ser clara y se deben incorporar todos los datos en el problema. ya que la operación que resuelve el problema no solo depende de la acción realizada (reparto. explica el procedimiento utilizado para encontrar la respuesta. en el pizarrón. Selecciona tres problemas que hayan planteado distintos grupos. otro de iteración y otro de reparto equitativo y se hace una breve puesta en común sobre estos tres problemas. iteración de una medida.
n	Cuide de que los alumnos entienden bien las instrucciones. sin embargo.
• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida.
. Actividad: Juego ”Formulando Problemas”. Instrucciones del juego “Formulando Problemas”. n	Verifique que cada niño identifica la operación que resuelve el problema y que interpretan el significado del resultado. Para contar las instrucciones el profesor escoge dos tarjetas. y de reparto equitativo. Actividad 3: Niños y niñas en forma individual o en parejas resuelven los problemas de la Ficha 5.
Cerciórese que durante el desarrollo de la actividad los alumnos son capaces de formular los problemas e identificar la operación que los resuelve. cuidando que uno sea de agrupamiento. n	Por turnos los niños dan vuelta dos cartas y formulan una pregunta que relaciona ambos datos. La Ficha 5. agrupamiento. con un tablero de las manzanas y las tarjetas 24 y 6. n	Verificar que en el Problema 2 de la Ficha interpretan correctamente el significado de cada dato y la pregunta. utilizando los set de tarjetas con números de tres cifras y números de una o dos cifras y los tableros de juego.Plan de la Cuarta clase Materiales: Ficha 4. o en parejas y en sus cuadernos tratan de plantear los problemas a partir de las seis posibles combinaciones que el profesor escribe en el pizarrón. sino también de cuáles son los datos del problema. se resuelve con una multiplicación. pone en común las respuestas.
n	Si los datos son la cantidad total y la cantidad de unidades que tiene cada grupo.
Momento de cierre: El profesor(a) sistematiza las principales ideas estudiadas en la unidad: 1. Una vez resueltos los problemas. por parejas. se pide que. El profesor dirige una breve puesta en común de los resultados obtenidos en los problemas planteados y de lo que hay que hacer para comprobar el resultado de la división 150 : 40.
n	n	Momento de desarrollo: Actividad 2: Los niños resuelven individualmente los cálculos planteados en la Ficha 6 y comprueban los resultados de las divisiones. la pregunta del problema hace referencia al número de grupos que se pueden formar y se resuelve dividiendo el total entre la cantidad de unidades que tiene cada grupo. n	Si nos dan como dato el número de grupos y la cantidad de unidades que tiene cada grupo.	En los problemas estudiados (sugerimos tomar como referencia los problemas propuestos en la Actividad 3). Actividades
Cuide que los alumnos traten de formular los problemas por sí mismos y que los problemas que formulan sean distintos. Ponga especial atención a cómo los niños plantean el Problema 1. la pregunta del problema hace referencia a la cantidad total y se resuelve multiplicando el número de grupos por las unidades que tiene cada grupo. 5. Los alumnos comentan los resultados de cada cálculo para que puedan darse cuenta de los errores cometidos y corregirlos.	La división entre dos números nos permite calcular cuántas veces cabe el divisor en el dividendo. • Comprobar el resultado de la división. Si ese cálculo coincide con el dividendo el resultado es correcto (Sugerimos comprobar el cálculo que hayan realizado en el Problema 4 de la Actividad 3). Actividad 3: Niños y niñas en forma individual o en parejas resuelven los problemas de la Ficha 7. el resultado es 28 y quedan 2 unidades. traten de establecer un procedimiento para comprobar el resultado de las divisiones que hayan efectuado. por parejas. Verifique que los alumnos logren establecer un procedimiento para comprobar la división. 2. Una vez resueltos los problemas planteados. por ejemplo 198 : 7 se trata de buscar qué número multiplicado por 7 se acerca más a 198 sin pasarse.
n	• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida. la pregunta hace referencia a la cantidad que tiene cada grupo y se resuelve dividiendo el total entre el número de grupos. por eso decimos que al igual que la multiplicación representa una suma iterada. 4. 3. En la corrección deje espacio a los alumnos para que comenten entre ellos las dudas respecto de la solución de los problemas. Pedir que representen los datos del problema utilizando un esquema. La actividad se realiza individualmente. dado que se trata de un problema inverso. n Si nos dan como datos la cantidad total y el número de grupos. Para comprobar el resultado de una división hay que multiplicarlo por el divisor y a ese producto añadirle el resto. de forma que les pueda ayudar a justificar la operación que lo resuelve. 140+56 = 196.Planes de clases
Plan de la Quinta clase Materiales: Ficha 6 y 7. la división representa una resta iterada.
. 20 x 7 = 140. el número de grupos y el total de unidades. Este se puede obtener mediante la suma de varios productos.	La importancia de relacionar en los problemas los datos y la incógnita con la cantidad de unidades que tiene cada grupo. iteración de una medida.	Para calcular el resultado de una división.
Momento de inicio: Se propone empezar con la Actividad 1 donde se propone a los alumnos que con las tarjetas 150 y 40 y el Tablero de Fósforos. pues se resuelve mediante un producto pese a que se efectuó un agrupamiento. y para que planteen las cosas que no entienden. 8 x 7 = 56. planteen tres problemas distintos y los resuelvan. y de reparto equitativo. comparan los resultados obtenidos con los obtenidos por su compañero.
Plan de la Sexta clase Materiales: Prueba de la unidad para los niños.
n	Pregúnteles cómo contestaron. En la segunda parte de la clase. preguntando a niñas y niños los procedimientos que utilizaron.
Corrección de la prueba. y qué dificultades encontraron. confrontando las diferentes respuestas en el caso de haberlas. Analice una a una las respuestas que dieron.
. ¿En qué se equivocaron?
Cierre de la unidad didáctica Converse con niños y niñas sobre cómo les fue en la prueba. sin entregar información adicional a la planteada en los problemas. Actividades
Aplicación de la prueba. se sugiere realizar una corrección de la prueba en la pizarra. Pauta de corrección para el profesor. En la aplicación se recomienda a los profesores (as) que lean las preguntas y se cercioren de que todos comprendan lo que se les solicita.
1. Quiere hacer paquetes con 3 cebollines cada uno.
¿Cuántos ajos deberá echar en cada bolsa si tiene 58 ajos?
¿Cuántos ajos le quedan sin repartir?
2. pregunta por pregunta. señalando los espacios en que se debe responder y cuidando de no dar información adicional.	Don Raúl desea echar la misma cantidad de ajos en 4 bolsas.
.	La señora Marta tiene 960 cebollines.V
Prueba de la tercera unidad didáctica matemática • cuarto año Básico
Indicaciones para el profesor (a): Leer la prueba completa.
cantidad total de tomates tomates en cada bandeja número de bandejas
5.	Antonia tiene 43 sobres con 6 láminas en cada sobre.
¿Cuántas láminas tiene Antonia?
4.3.	Resuelve las siguientes operaciones:
726 : 7 =
87 x 5 =
. resuélvelo a partir de los datos que presenta el siguiente tablero y comprueba el resultado.	Formula un problema.
Responde 320 paquetes. Responde 14 paquetes. Resuelven una multiplicación. Resuelven un problema de agrupamiento en base a una medida. Responde 320 paquetes. Formulan y resuelven un problema teniendo como datos la cantidad total de objetos y la medida de cada grupo. por ejemplo: Si tengo 105 tomates y los quiero agrupar en bandejas de a ocho ¿cuántas bandejas puedo formar? Escriben la división 105 : 8 Escriben 13 como el cuociente de la división. Formulan un problema del tipo de reparto equitativo. sin utilizar la relación inversa entre la multiplicación y la división (dibujan.
. suman o restan).
Pregunta Tareas matemáticas Cantidad de alumnos que respondió bien % de logro
Resuelven un problema de reparto equitativo distinguiendo la cantidad de objetos que recibe cada grupo y los objetos que quedan sin repartir. Responde que quedan 2 ajos sin repartir. Comprueban el resultado verificando que 13 x 8 +1 = 105 a) Resuelve la división 726 : 7 y escribe 103 de cuociente y 5 de resto b) Resuelve la multiplicación 87 x 5 y escribe 435. respectivamente. utilizando el algoritmo convencional o el procedimiento de los cuocientes parciales multiplicando por 300 y 20. utilizando como procedimiento para buscar el cuociente multiplicar por 10 y luego por 4 o el algoritmo convencional. utilizando como procedimiento la búsqueda de cuocientes parciales multiplicando por números distintos a 300 y 20. utilizando como procedimiento la suma de 43 seis veces. Resuelven una división con el dividendo de tres cifras. Resuelven un problema de iteración en base a una medida. sin utilizar la relación inversa entre la multiplicación y la división (dibujan. Comprueban el resultado de una división. donde la cantidad total de objetos es un número de tres cifras. Responde 258 láminas. el mayor múltiplo de 100 y el mayor múltiplo de 10. suman o restan). Responde 14 paquetes.
Puntos 3 2 1 1 3 2 1 3 2 2 1 1 1 3 2 4
Puntaje máximo	20
Si al corregir la prueba con la pauta sugerida. utilizando como procedimiento para buscar el cuociente multiplicar por un número cualquiera. encuentra algunas respuestas ambiguas de los niños.Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad
Pregunta Respuesta	Responde 14 ajos en cada bolsa. Responde 258 láminas. Responde 320 paquetes. utilizando el algoritmo convencional o el procedimiento basado en la descomposición canónica de 43. se sugiere que los entreviste solicitando que frente a la pregunta en cuestión puedan explicar sus respuestas.
el o los fundamentos centrales de la unidad con el cual se corresponde:
•	Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en que
puede utilizarlos en la planificación de sus clases:
•	Busque en el momento de cierre de cada uno de los planes de clase.
en cuyo enunciado aparecen solo dos datos y una incógnita. ¿Cuántos tomates compró?
Problemas simples :
Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa :
Problemas inversos :
Problemas multiplicativos de iteración de una medida :
. Si tenemos 12 pocillos. Algunos problemas de iteración de una medida son: •	En cada pocillo ponemos 6 castañas. salvo en el caso de divisiones inexactas en que aparecen dos incógnitas: el cuociente y el resto. Problemas del campo multiplicativo en los que la relación de proporcionalidad directa existente ente datos e incógnita es la que permite resolverlos. Los problemas de esta unidad son todos de este tipo. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? Aquellos en los que se tiene una determinada medida que se repite una cantidad de veces y la incógnita suele ser la cantidad total. Número de veces x Medida = Total Un problema multiplicativo es inverso cuando la acción presente en el enunciado no se asocia con la operación que debe efectuarse para resolverlo.VII
Campo de problemas multiplicativos : Incluye todos aquellos problemas aritméticos que se resuelven mediante un producto y/o cuociente entre los datos. Un ejemplo de problema inverso es: •	Anita repartió todos los dulces de una bolsa entre sus 5 amigos y le tocaron 20 dulces a cada uno. ¿cuántas castañas necesitamos? •	Joan compró ocho bandejas de 6 tomates cada una. Problemas de cálculo aritmético.
Algunos problemas de agrupamiento en base a una medida son: •	Nora compró un saco con 238 betarragas. ¿Cuántos paquetes obtuvo? •	Pablo tiene que poner 256 bebidas en cajas. ¿Cuántas cartas le tocaron a cada amigo? ¿Le quedaron cartas por repartir?
Problemas multiplicativos de reparto equitativo :
.Problemas multiplicativos de agrupamiento en base a una medida :
Aquellos en los que se tiene una determinada cantidad total que hay que agrupar en una determinada medida y la incógnita suele ser la cantidad de grupos que se pueden formar. Un problema de reparto equitativo es: •	José repartió equitativamente un mazo de 62 cartas de Mitos y Leyendas entre sus 7 amigos. Si en cada caja caben 12 bebidas. ¿cuántas cajas necesita? Aquellos en los que se tiene una determinada cantidad total que hay que repartir equitativamente en una determinada cantidad de grupos o personas siendo la incógnita la medida (o cantidad) que le toca a cada grupo o persona. Luego formó paquetes de 5 betarragas para venderlos en la feria.
¿Cuántas zanahorias ha vendido? Resuelve el problema en tu cuaderno. Para venderlos. le quedaron luego de un día de venta. ¿Cuántas zanahorias le quedan? Resuelve el problema en tu cuaderno.Ficha 1
1)	En la feria se venden algunas verduras en paquetes. ¿Cuántos paquetes de cebollines puede hacer?
Resuelve el problema en tu cuaderno. Por ejemplo. 9 paquetes de zanahorias. quien también vende en la feria.
4)	Don Matías está haciendo paquetes de betarragas para venderlas. las zanahorias se venden en paquetes de a 8.
3)	A don Matías. Doña María tiene un puesto de verduras y ha vendido 6 paquetes de zanahoria. ¿cuántos paquetes podrá formar? Resuelve el problema en tu cuaderno.
. ella hace paquetes de a 3 cebollines.
2)	Doña María tiene 24 cebollines. Si tiene 45 betarragas.
	Responde la pregunta que te hiciste.Ficha 2
1)	Si en el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” das vuelta 2 tarjetas y te salen:
Los cebollines se venden en paquetes de 3
	Escribe en tu cuaderno una pregunta que relacione ambos datos.
4)	Don Matías tiene 72 betarragas y va a hacer paquetes de 5. ¿Cuántos paquetes puede hacer? Resuelve el problema en tu cuaderno.
2)	Si en el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” das vuelta 2 tarjetas y te salen:
	Responde la pregunta que te hiciste.
10 alcachofas tiene un paquete
. ¿Cuántos ajos tiene.
3)	Doña María tiene 36 paquetes de ajos. si en cada paquete hay 4 ajos? Resuelve el problema en tu cuaderno.
con 6 huevos cada una. ¿Cuántas bandejas debe comprar?
3)	En un criadero de aves se recogió al final del día.Ficha 3
Resuelve los problemas en tu cuaderno.
	Escribe en tu cuaderno una pregunta que relacione ambos datos. los huevos que pusieron las gallinas y con ellos hizo 312 cajas de huevos. Para venderlos a mejor precio los envasa en bandejas de 6 tomates cada una. ¿Cuántas bolsas necesita la señora Berta?
2)	Don Fermín recogió 343 tomates. 1)	Si en el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” das vuelta 2 tarjetas y te salen:
	Responde la pregunta que te hiciste. Quiere ponerlos en bolsas de 7 cuchuflíes cada una. ¿Cuántos huevos pusieron las gallinas en ese día? 4)	La señora Berta compró un paquete con 500 cuchuflíes.
•	Tablero. 	Luego otro niño o niña saca dos nuevas tarjetas de los mazos y se repite el proceso. Si crees que no tiene solución escribe: “no tiene solución”. •	Cada alumno debe tener su cuaderno y lápiz.
. 	El proceso se repite hasta que se hayan formulado tres problemas distintos usando un mismo par de tarjetas. 	El primer compañero de juego que plantea la operación que resuelve el problema dice ¡Alto! y la comparte con el resto de sus compañeros. una de cada mazo.
Resuelve en tu cuaderno cada uno de los problemas que se pueden plantear con cada pareja de datos del pizarrón.Ficha 4
Actividad 1. 	Ubicar las tarjetas de forma que tapen dos de los interrogantes del tablero y usando todos los datos del tablero formula un problema a tus compañeros. Planteando Problemas
Materiales: •	Dos set de 24 tarjetas con números. 	El compañero que ha planteado la operación mueve una o las dos tarjetas cambiando su posición en el tablero y formula un nuevo problema a sus compañeros.
	Por turnos saca dos tarjetas.
	Actividad 3: Resuelve los problemas en tu cuaderno. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa?
3)	Pablo compró 18 cajas de hamburguesas para vender en su carnicería. Si cada bandeja trae 20 hamburguesas.
1)	Mireya tenía que apilar 315 bebidas en cajas de a 12. ¿cuántas hamburguesas compró Pablo?
. ¿Cuántas cajas usó?
2)	Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo.
. plantea tres problemas distintos que tengan
cantidad de fósforos fósforos cada caja número de cajas
solución y escribe la operación que resuelve cada uno de ellos.Ficha 6
	Actividad 1: Con las tarjetas 150 40 y el tablero siguiente.
¿Cuántos caramelos le tocaron a cada uno? ¿Sobró algún dulce?
Problema 3: ¿Cuántos huevos hay en 35 docenas?
Problema 4: Manuel compró 250 bombones al por mayor para ponerlos en cajitas y venderlos. a)
305 x 15 =
745 : 20 =
56 x 12 =
198 : 7 =
	Actividad 3: Resuelve los problemas siguientes: Problema 1: David agrupó las zanahorias de un saco en paquetes de a 10. ¿Cuántas zanahorias había en el saco?
Problema 2: Anita repartió una bolsa de 100 caramelos entre sus ocho amigos.Ficha 7
	Actividad 2: Realiza en tu cuaderno los siguientes cálculos y en el caso de las divisiones comprueba el resultado. ¿podrías comprobar tu resultado?
. Si pone 6 bombones en cada cajita. ¿cuántas cajitas necesita comprar?. Obtuvo 32 paquetes y le sobraron 3.
	Gana aquel jugador que primero reúne 4 tarjetas de verduras distintas.
. 	Poner sobre la mesa dos mazos de tarjetas boca abajo: las tarjetas con números y las tarjetas con los dibujos de verduras. 12 que tienen la palabra unidades más 12 tarjetas que tienen la palabra paquetes.
	Pueden jugar de 3 a 5 niños y niñas. 	Por turno. se deberá comprobar que el procedimiento utilizado está correcto. El primero en encontrarla dice ¡Alto! 	Muestra su respuesta y la explica a sus compañeros de juego. Por ejemplo. Si hay cualquier duda o desacuerdo. 	El jugador que da vuelta las cartas tiene la misión de plantear en forma oral una pregunta que relacione ambas tarjetas volteadas. el jugador se queda con la tarjeta de la verdura. •	Un set de 12 tarjetas con dibujo de paquetes de verduras. ¿cuántos paquetes de 5 puedo formar? 	Los jugadores buscan la respuesta individualmente. un jugador saca una carta de cada mazo y las da vuelta para que las puedan observar todos los jugadores.Material 1
Juego: ¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?
Materiales: •	Un set de 24 tarjetas con números. para estas tarjetas se puede formular la siguiente pregunta:
Si tengo 56 betarragas. •	Cada jugador debe tener su cuaderno y lápiz. 	Si la respuesta es correcta.
5 10 15 6
. (Recortar las tarjetas).Material 2
Set de tarjetas con números para segunda clase.
4 ajos tiene un paquete
6 tomates en una bandeja
10 alcachofas tiene 10 alcachofas tiene un paquete un paquete
.Material 3
Tercera Unidad Clase 2 y 3
Set de tarjetas con dibujos de paquetes de verduras. (Recortar las tarjetas).
35 40 48 50
56 66 68 72
75 81 85 96
. (Recortar las tarjetas).Material 4
Set de tarjetas con números para primera clase.
540 252 766 153
808 316 407 960
. (Recortar las tarjetas).Material 5
Set de tarjetas con números para tercera clase.
86 200 30 60
50 64 58 71
100 120 132 140
.Material 6
Set de tarjetas con números para la tercera clase. (Recortar las tarjetas).
5 20 10 8 12 15 6 25 7 14 18 22 300 500 600 143 540 50 264 60 96 120 360 960
Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase. Mazo 2
Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase. Mazo 1
cantidad total de lápices
número de estuches
lápices en cada estuche
cantidad total de zanahorias
zanahorias en cada paquete
.Material 8
Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase.
Tabla Pitagórica Extendida
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