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Timestamp: 2016-07-27 22:53:39+00:00

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Mate Ma Tic a Basic a 2
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CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS “Las matemáticas son el alfabeto con que Dios creó el Universo” Galileo. GUION DE CONFERENCIA No. 8 POLINOMIOS GENERALIDADES OPERACIONES Contenidos y Láminas No. 6.1 a 6.3 FICHAS DE ESTUDIO DE LOS POLINOMIOS I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIÓN III ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN LABORATORIOS CUESTIONARIO No. 8 RESPUESTAS www.matelandia.org 142
UNIDAD 6: GUION DE CONFERENCIA No. 8 LOS POLINOMIOS TEMA: POLINOMIOS GENERALIDADES OPERACIONES CONTENIDO: * Polinomios y sus características * Operaciones con Polinomios. * División Euclídea en los Polinomios. DESARROLLO. RECURSO 1. POLINOMIOS. * Expresión algebraica: + Características: variable, constante y símbolos operatorios. + Clasificación de las expresiones algebraicas * Polinomios: + Monomios y sus características. + Polinomios y sus características. Lámina 6.1 2. Operaciones con Polinomios. * Suma. Propiedades de la suma. * Multiplicación. Propiedades de la multiplicación. * Productos notables. Lámina 6.2 3. División Euclídea en los Polinomios. * Factorización de Polinomios. * Algoritmos de la División. * División sintética. Lámina 6.3 www.matelandia.org 143
LÁMINA DE PRESENTACIÓN CONFERENCIA No. 8 UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS CONTENIDO: * Polinomios y sus características * Operaciones con Polinomios. * División Euclídea en los Polinomios. www.matelandia.org 144
LÁMINA 6.1 1. EXPRESION ALGEBRAICA: Combinación de números y letras ligados con signos de operaciones algebraicas. Ejemplos: A = π r5, x5/(1 + x
), z = 2 2
y x + Observaciones: los números son las constantes, 2, π; las letras son las variables, indeterminadas o incógnitas, r, x, y; y las operaciones algebraicas están representadas por: +, -, H, ÷, . No son expresiones algebraicas: x
, log (sen x/6) En las expresiones algebraicas racionales o irracionales, la más simple es la llamada monomio, como π r5. 2. MONOMIO: es la expresión algebraica de la forma ax6, donde a ε ℜ es el coeficiente, y x6 es la parte literal en la indeterminada x con exponente n ε N, que indica el grado del monomio igual a n. 3x
es un monomio de grado 5, pero x5y
también es un monomio de grado 5. 2 es un monomio de grado 0. Toda constante no cero tiene grado cero. 3. MONOMIOS SEMEJANTES: cuando tienen la misma parte literal. 3x
, - (2/3)x
son monomios o términos semejantes y pueden reducirse a un solo monomio: 3x
- (2/3)x
= (7/3)x
4. POLINOMIOS: suma de monomios. Cada monomio es un término del polinomio. BINOMIO: 5x
- 3x TRINOMIO: 5x
- 3x + 7 La representación normal o canónica de un polinomio en x sobre ℜ, se simboliza por: p(x) = a
1 x + a
εℜ, a
≠ 0. Generalidades: El gr[p(x)] = n. a
es el término principal y a
es el coeficiente principal. Si a
= 1, entonces el polinomio es mónico. a
es el término independiente o constante y su grado es cero. Si p(x) = - 5x
+ 6, entonces gr[p(x)] = 3, coeficiente principal a
= - 5, p(x) no es mónico, a
= -3, a
= 6. El polinomio está en forma canónica. Un polinomio se dice que está en forma canónica o normal si: 1o. está ordenado decreciente con respecto a los exponentes de sus términos. 2o. se reducen los términos semejantes y se omiten los términos con coeficiente cero. Cuando estos se escriben se dice polinomio completo. Nota: En los polinomios no existe la relación de orden > ó <, pero si es importante el grado del polinomio. Dos polinomios son iguales si tienen los mismos términos. www.matelandia.org 145
LÁMINA 6.2 1. SUMA DE POLINOMIOS: se reducen sus términos o monomios semejantes y se copian los demás términos. Para la resta de polinomios se cambian los signos de los términos del sustraendo y se suman al sustraendo. Ejemplos: Si p(x) = 3x
- 4, g(x) = -7x
+ 3x - 2, entonces: p(x) = 3x
+ 0x - 4 p(x) = 3x
+ 0x - 4 g(x) = -7x
+ 3x - 2 - g(x) = 7x
- 3x + 2 p(x)+g(x) = -4x
+ 3x - 6 p(x) - g(x) = 10x
- 3x - 2 gr[p(x) ± g(x)] ≤ Máx. gr [p(x), g(x)] 2. PROPIEDADES: Las mismas de los enteros, como las de cierre, asociativa, conmutativa. El elemento neutro es el polinomio cero, p(x) = 0 (sin grado): p(x) + 0 = 0 + p(x) = p(x) 3. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS. Empecemos por la multiplicación de monomios: ax
H bx
= ab x n+m Multiplicación de polinomios: cada término del primer factor se multiplica por todos los términos del segundo factor y al final se reducen los términos semejantes: (3x
- x) = 6x
gr [p(x) g(x)] = gr [p(x)] + gr [g(x)] PROPIEDADES: Cierre, asociativa, conmutativa. Elemento neutro: polinomio p(x) = 1, de grado cero. Los polinomios de grado mayor que cero no tienen inverso. Sólo los polinomios de grado cero, es decir los números reales no nulos, tienen inverso. Los reales son las unidades de los polinomios como 1 y -1 son las unidades de los enteros. Propiedad distributiva: 3x5(2x
- 5x) = 6x
4. PRODUCTOS NOTABLES: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + (ad + bc) + bd (a + b)(a - b) = a5 - b5 (a + b)(a + b) = (a + b)5 = a5 + 2ab + b5 (a - b)(a - b) = (a - b)5 = a5 - 2ab + b5 (a + b)(a + b)5= (a + b)
(a - b)(a - b)5= (a - b)
(a + b)(a5 - ab + b5) = a
(a - b)(a5 + ab + b5) = a
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LÁMINA 6.3 1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Para dividir polinomios se emplea el algoritmo de Euclides y se tiene que dados el dividendo D(x) y el divisor d(x), se obtiene el cociente q(x) y el residuo r(x) tales que: D(x) = d(x) q(x) + r(x) tal que r(x) = 0 ó gr [r(x)] < gr [d(x)] 1. Si r(x) = 0, entonces la división es exacta. 2. Si r(x) ≠ 0, entonces la división es inexacta. En algunos casos se puede saber cuando un polinomio es divisor o factor de otro. Tampoco es fácil declarar un polinomio como primo o compuesto, pero no hay duda de que un polinomio de primer grado es primo como también una suma de cuadrados. 3x + 1 , x5 + 4 son primos. Las reglas para factorizar polinomios no son tan prácticas como las dadas en los enteros. Aquí se usa mucho el "tanteo" y la habilidad se desarrolla haciendo muchos ejercicios. ab + ac = a(b + c) a5 - b5 = (a + b)(a - b) a5 + 2ab + b5 = (a + b)5 a5 - 2ab + b5 = (a - b)5 a
= (a - b)
= (a + b)(a5 - ab + b5) a
= (a - b)(a5 + ab + b5) Ejemplo: Factorice 1. 3m5 + m = m(3m + 1) 2. 3m + 1 = 3(m + 1/3) 3. x
+ x5y5 + y
+ 2x5y5 + y
4 - x5y5 = (x5 + y5)
- x5y5 = [x5 + y5 + xy] [x5 + y5 - xy] 2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS: Tanto el dividendo como el divisor deben estar ordenados y se procede en forma semejante a la división de enteros; el residuo debe tener grado menor que el del divisor. Ejemplo: Dividir D(x) = 5x
+ 3x - 2 entre d(x) = 2x5 + 3x -1 5x
+ 0 x5 + 3 x - 2 2x5 + 3x -1 -5x
- 15/2 x5 + 5/2 x 5/2 x - 15/4 - 15/2 x5 + 11/2 x - 2 + 15/2 x5 + 45/4 x - 15/4 67/4 x - 23/4 residuo Entonces D(x) = d(x)[(5/2) x - 15/4 ] + [(67/4)x - 23/4] www.matelandia.org 147
3. DIVISIÓN SINTÉTICA (o regla de Ruffini): Es el método para abreviar la división de un polinomio entre otro de primer grado y mónico. Dividir D(x) = 2x
+ 6x - 5 entre d(x) = x - 3, entonces 2 0 -17 6 - 5 6 18 3 27 3 2 6 1 9 22 residuo q(x) = 2x
+ x + 9, r = 22 Se puede dividir entre un divisor no mónico, dividiendo el divisor y el cociente por su coeficiente. 4x
- 2 entre 2x + 3, entonces 4 4 0 - 2 - 6 3 - 9/2 - 3/2 4 - 2 3 -13/2 q(x) = 2x
- x + 3/2, r = -13/2 www.matelandia.org 148
FICHA DE ESTUDIO No.6 UNIDAD 6: EL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS Lámina 6.1 Expresión Algebraica: Polinomio NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Determinar expresiones algebraicas y sus elementos. 2. Determinar monomios semejantes y efectuar reducciones de los mismos. 3. Comprender lo que es un polinomio, sus características y sus elementos. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Expresión algebraica: variable y constante. * Definición de monomio e identificación de sus términos o elementos. * Monomios semejantes y la reducción de monomios semejantes. * Definición de polinomio y su forma normal o canónica. * Definiciones del grado y elementos de un polinomio. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Escribe cada proposición como una expresión algebraica utilizando el signo igual y las variables apropiadas: a) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 66. b) Cierto número menos 6 es igual a 5 veces otro número que es igual a 7 más el primero. c) El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el doble producto del primero multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo número. www.matelandia.org 149
2. Escriba las siguientes expresiones como una proposición, donde a y b son números reales: a) (a - b)5 = a5 - 2ab + b5 b) a5 - b5 = (a + b)(a - b) c) (a + b)
+ 3a5b + 3ab5 + b
3. Con las siguientes expresiones: a) x
2 - 3 + 5x - 1 + 3x
2 - x c) log x d) 1
e) 1 - 3x
Contesta: i) )Cuáles son expresiones algebraicas y cuáles no lo son? ii) )Cuáles son constantes y cuáles son variables de las expresiones algebraicas? iii) )Cuáles son monomios? iv) )Cuáles son polinomios? v) Expresa los polinomios en forma normal o canónica. vi) Indica el grado de cada polinomio. vii) Indica los polinomios mónicos. viii) Indica el coeficiente principal y el término independiente de cada polinomio. 4. )Por qué los números reales se consideran como polinomios? 5. )Cuál es el grado del polinomio cero? 6. Encuentra el valor de k si x
- 3x + 2 = x
+ (k - 1) x + 2. 7. Define los conjuntos Q[x] y Z[x] de polinomios. www.matelandia.org 150
Lámina 6.2 (A) Operaciones con polinomios NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Efectuar operaciones con polinomios. 2. Identificar la estructura operatoria de los polinomios. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La suma de polinomios y el grado de una suma. * Las propiedades de la suma y la definición de resta de polinomio. * Multiplicación de polinomios y el grado del producto. * Propiedades de la multiplicación. * Determinar los reales no ceros como las unidades de los polinomios. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Opera y reduce términos semejantes: a) 3x - [y - (x - 2y)] - [2x - (y - 2x)] b) 6 - 5 {a + 2 [3b - 2(a -1)] + 2(a -b) - 1} c) 3x
- 2 {x - x [x + 4(x - 3)] - 5} d) -2
e) (2ab)
2 - (-3a
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2. Con los polinomios siguientes: P(x) = x
2 - 1 Q(x) = - 3x
- x - 2 R(x) = 4x - 1 Efectúa las operaciones indicadas: a) P(x) + [Q(x) + R(x)] b) 2@P(x) + 3@R(x) c) P(x)[-R(x)] 3. Compara las propiedades de la suma de polinomios con las propiedades de la suma de enteros. 4. Compara las propiedades de la multiplicación de polinomios con las propiedades de la multiplicación de enteros. 5. Con los mismos polinomios del ejercicio 2, verifica que: P(x)@[Q(x) + R(x)] = P(x)@Q(x) + P(x)@R(x) 6. Multiplica [(3x -2)/4 - (2x - 1)/6] por 12 y reduce términos semejantes. 7. Efectúa a) (3x - 2)
= b) (2a + 1/3)
= 8. La altura de un rectángulo mide 5 metros menos que su base. Si x es la base del rectángulo, escribe: a) una expresión algebraica que represente el perímetro p del rectángulo y simplifica la expresión; y b) otra expresión que represente su área A. 9. Un conjunto de monedas está formado por monedas de 5, 10 y 20 centavos. Hay 5 monedas de 10 centavos menos que las monedas de 5 centavos, 2 monedas más de 20 centavos que las de 10. Si x es el número de monedas de 5 centavos, escriba una expresión que represente el valor en centavos de las monedas. Simplifique la expresión. www.matelandia.org 152
Lámina 6.2 (B) Productos Notables y Factorización NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Utilizar algunas reglas para obtener el producto de ciertos factores por simple inspección. 2. Utilizar el proceso inverso para obtener los factores de algunas expresiones. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La propiedad distributiva y el factor común. * Reglas para multiplicar binomios de primer grado. * Factorización de trinomios cuadrados por "tanteo". * Teorema del Binomio, en especial al cuadrado y al cubo. * Factorización de trinomios cuadrados perfectos. * Factorización de diferencia de cuadrados y de suma y diferencia de cubos y otros casos particulares. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Si a(b +c) = ab + ac, pruebe que a(b + c + d) = ab + ac + ad 2. Efectúe por simple inspección: a) 3x
(2x - 1) b) - 2x (- 3x
+ x - 1) 3. A partir de la fórmula ab + ac = a(b + c), factorice: a) 6x
2 - 15x b) 5x(x - 1) - (x - 1) c) 9x
y - 6x
d) (2y
2 - 10y) - (3y - 15) www.matelandia.org 153
4. Efectúa la multiplicación y factorizando, comprueba que: (ax + b)@(cx + d) = acx
+ (ad + bc)x + bd 5. Escribe la fórmula del ejercicio anterior, si a = c = 1 6. Efectúa por simple inspección: a) (x - 2)(x + 3) b) (2x - 5)(3x - 1) 7. Analiza los trinomios de segundo grado de acuerdo a la fórmula de los factores: a) x
2 + bx + c b) ax
2 + bx + c 8. Factoriza: a) x
+ 8x - 9 b) x
- 32 - 4x c) x
2 + 18xy + 72y
2 - 11xy - 42y
2 e) 6x
2 + 24x + 18 f) 3x
2 - 24x + 21 g) 3x
2 + 11xy + 6 h) 4x
2 - 21xy - 18 9. Encuentra todo entero b, tal que la expresión x
+ bx + 12 sea factorizable. 10. Aplica la fórmula del binomio al cuadrado, para obtener el resultado de: a) (2a + 5b)
= b) (2a - 2)
2 = 11. Analiza las características del trinomio cuadrado perfecto. www.matelandia.org 154
12. Obtén por simple inspección el resultado de: a) (3a +2)(3a -2) = b) (3/4 - 2m)(3/4 + 2m) = 13. Factoriza completamente: a) 4x
2 - 9 b) x
4 - 16 c) 4x
2 - 20x + 25 - y
2 + 1 14. Encuentre, por simple inspección, el producto de: a) (2x + 3)
- 2y)
c) (3x + 2)(9x
- 6x + 4) d) (x
+ 5x + 25)(x - 5) 15. Factoriza: a) 8x
+ 6x + 1 b) 27x
3 - 54x
+ 36x - 8 c) 27x
- 64y
d) 64x
+ 8 www.matelandia.org 155
Lámina 6.3 División de Polinomios NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Determinar el cociente y el residuo en la división Euclídea de polinomios. 2. Aplicar el algoritmo de la división sintética. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * División de dos monomios y repaso de las propiedades de los exponentes. * Definición de división Euclídea de dos polinomios y sus términos. * Propiedades de los factores de un polinomio y definición de unidades y polinomios primos. * El algoritmo de la división de polinomios. * Regla para la división sintética. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. A partir de los ejercicios 3, 8, 13 y 16 de la ficha de estudio anterior, indica los polinomios que son factores o divisores del polinomio dado. 2. Compara los conceptos de factor y de múltiplo con lo estudiado en los enteros. 3. Utiliza la notación D(x) = d(x)@q(x). www.matelandia.org 156
4. )Cuándo sucede que D(x) = d(x)@q(x) + r(x) donde r(x) ≠ 0? 5. )Por qué todo número real no cero es factor de un polinomio? Escribe p(x) = 2x5 - 5x + 8 como producto de a) 2 por otro polinomio b) 3 por otro polinomio 6. Efectúa la división y expresa el resultado en la forma D(x) = d(x)@q(x) + r(x) a) 6bx entre -2b b) x
c) (x - 5)
3 entre (x - 5)
2 - 5x entre 2x e) x
- 4x - 2x
+ 8 entre x - 4 f) 6x
- 14x - 2 entre 2x - 5 7. Aplica el algoritmo de la división sintética para obtener: a) x
+ 8 entre x - 4 b) 6x
- 14x - 2 entre x - 5/2 8. )Cómo se relaciona el cociente del ejercicio 6 f) con el cociente del ejercicio 7 b)? )Cómo son sus residuos? 9.)Cómo se relaciona el cociente de D(x) entre ax + b y el cociente de D(x) entre x + b/a? 10. Utiliza la división sintética para dar el cociente y el residuo de 3x
3 - 6x + 5 entre a) 2x - 1 b) 3x + 4 www.matelandia.org 157
LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 8 UNIDAD 6 Examen de Fichas sobre Láminas 6.1 a 6.4 POLINOMIOS Conferencia No. 8 CALIFICACIÓN: DESARROLLO CORRECCION I Escriba su respuesta en el espacio dado (3% c/u) 1. Si el polinomio p(x) = 5x5 - x
- 2x - 2 + 3, entonces a) la forma canónica de p(x) = b) el gr [p(x)] = c) el coeficiente a
= d) el coeficiente a
= e) p(x) está definido sobre f) el término principal es g) el término independiente es 2. El grado del término 3x
z es 3. Si q(y) = 3xy
+ 5, su coeficiente principal es y su indeterminada es II Operaciones con polinomios (10% c/u) 1. Si p(x) = 3x
+ 4x - 5 y q(x) = x
– 1, entonces a) p(x) - x q(x) = b) p(x) ÷ q(x) = www.matelandia.org 158
III Productos Notables. Dé el resultado por simple inspección (5% c/u) a) (2x - 0.5)5 = b) (0.3x + 0.1)(0.3x - 0.1) = c) (2x - 3)(5x + 4) = d) (x + 2) (x5 - 2x + 3) = e) (2x + 2)
= IV Factorice las siguientes expresiones (5% c/u): a) x5 - x + 3 = b) 8x
+ 1 = c) 6x
- 11x - 10 = d) x
- x + 1 = e) x
+ 1 = www.matelandia.org 159
RESPUESTAS UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS. Lámina 6.1 1. a) 2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 66 b) x – 6 = 5y, donde y = 7 + x c) (x + y)
. 2. a) El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble producto del primero por el segundo número más el cuadrado del segundo. b) La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de la suma de los números por su diferencia. c) El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo número más el cubo del segundo número. 3. i) Excepto c), las demás son algebraicas ii) Todos los números son constantes y las letras son variables iii) f) iv) b), e), f) v) b) 4x
+ 4x – ( 3 + 1) e) x
+ 1 vi) b) 2 e) 4 f) 5 vii) e) f) viii) b) 4, - ( 3 + 1) e) 1, 1 f) 1, 0. 4. Son polinomios de grado cero, excepto el cero. 5. El cero se define como un polinomio sin grado. 6. k = - 2 7. Q[x] : conjunto de polinomios con coeficientes racionales y Z[x]: polinomios con coeficientes enteros. Lámina 6.2 (A) 1. a) – 2y b) 21 + 5a – 20b c) 13x
- 26x + 10 d) – 4a
e) 43a
2. a) – 3x
+ 3x – 4 b) 2x
+ 12x – 5 c) – 4x
+ 4x – 1. 3. Tienen las mismas propiedades: Asociativa, conmutativa, elemento neutro: 0, opuesto o negativos de los coeficientes. 4. Igual para la multiplicación. 5. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. 6. 5x – 4 7. a) 9x
- 12x + 4 b) 8a
+ 2/3 a + 1/27. 7. a) p = 4x – 10 b) A = x
- 5x 9. S = 35x – 110. Lámina 6.2 (B) 1. Propiedad distributiva. 2. a) 6x
+ 2x 3. a) 3x (2x – 5) b) (x – 1) (5x – 1) c) 3x
- 2xy – 2y
) d) (y – 5) (2y – 3). 4. Efectúe. 5. (x + b) (x + d) = x
+ (b + d) x + bd 6. a) x
+ x – 6 b) 6x
- 17x + 5 7. Infórmate en un Texto. 8. a) (x + 9) (x – 1) b) (x – 8) (x + 4) c) (x + 12y) (x + 6y) d) (x – 14y) (x + 3y) e) 6(x + 1) (x + 3) f) 3(x – 7) (x – 1) g) (3xy + 2) (xy + 3) h) (4xy + 3) (xy – 6). 9. b = 13, 8 ó 7 10. a) 4a
+ 20ab + 25b
- 2a + 4
11. Tiene tres términos, dos de ellos son positivos y cuadrados perfectos (por lo general se escriben en el primer y tercer lugar) y el otro término es el doble producto de las raíces de los cuadrados. 12. a) 9a
13. a) (2x + 3 (2x – 3) b) (xy
+ 4) (xy
- 4) c) (2x – 5 + y) (2x – 5 – y) d) no es factorizable o sea que es primo. 14. a) 8x
+ 54x + 27 b) x
c) 27x
+ 8 d) x
- 125. 15. a) (2x + 1)
b) (3x – 2)
c) (3x – 4y
) (9x
+ 12xy
) d) (4xy
+ 2) (16x
+ 4). www.matelandia.org 160
Lámina 6.3 1., 2., 3., Son de análisis. 4. Cuando d(x) y q(x) no son factores de D(x). 5. a) 2(x
x + 4) b) 3(
) 6. a) (-2b) (-3x) b) (2x
x) c) (x – 5)
(x – 5) d) 2x(
) e) (x – 4) (x
+ 2x + 4) + 24 f) (2x – 5) (3x
. 7. a) (x – 4) (x
+ 2x + 4) + 24 b) (x - 2
) (6x
+ 15x + 2
. 8. El cociente de 6f) es la mitad del 7b). Los residuos son iguales. 9. El cociente de D(x) entre ax + b es igual al cociente de D(x) entre x + b/a divido por a. 10. a) 2 (x –
b) 3(x +
. Respuestas Cuestionario No. 8 I. 1. a) p(x) = 3x
x + (3 - 2) b) 5 c) – 1 d) 0 e) ℜ f) 3x
g) (3 - 2) 2. 6 3. 3x, y II. a) 2x
+ 3x - 5 b) 3x, residuo 7x – 5. III. a) 4x
- 2x + 0.25 b) 0.09x
- 0.01 c) 10x
- 7x - 12 d) x
. IV. a) (x - 2
b) (2x
+ 1) (4x
+ 1) c) (3x + 2) (2x – 5) d) (x – 1)
(x + 1) e) es primo. www.matelandia.org 161
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA UNIDAD 7: ECUACIONES E INECUACIONES POLINÓMICAS “El hombre sabio eclipsará la fama si propone problemas algebraicos, y más aún, si los resuelve”. Brahmagupta. GUION DE CONFERENCIA No. 9 VALOR NUMERICO ECUACIONES FACTORES Y CEROS DE UN POLINOMIO RESOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES Contenidos y Láminas No. 7.1 a 7.8 FICHAS DE ESTUDIO DE LOS POLINOMIOS I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIÓN III ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN LABORATORIOS CUESTIONARIO No. 9 RESPUESTAS www.matelandia.org 162
UNIDAD 7: GUION DE CONFERENCIA No. 9 ECUACIONES E INECUACIONES POLINOMICAS TEMA: VALOR NUMERICO ECUACIONES FACTORES Y CEROS DE UN POLINOMIO RESOLUCION DE ECUACIONES E INE-
CUACIONES CONTENIDO: * Valor Numérico de un Polinomio * Ecuaciones Polinómicas y equivalentes * Ecuaciones de grado Cero. Primer grado * Ecuaciones de Segundo grado. * Factores de un polinomio y sus ceros. * Ecuaciones de grado mayor que dos. * Inecuaciones polinómicas. DESARROLLO. RECURSO 1. VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO. * Teorema del residuo. * Ecuaciones polinómicas. Generalidades. + Soluciones o raíces de una ecuación. + Ecuaciones equivalentes. + Propiedades de Uniformidad y principios de transposición Lámina 7.1 2. ECUACIONES DE GRADO CERO Y DE PRIMER GRADO. * Grado de una Ecuación. Identidades y Contradicciones * Ecuaciones de Primer Grado. + Resolución y aplicaciones. Lámina 7.2 3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. * Métodos de resolución. * Aplicaciones. Lámina 7.3 y 7.4 4. FACTORES DE UN POLINOMIO Y SUS CEROS. * Teorema del Factor. * Factores polinómicos primos. + Máximo común divisor. + Mínimo común múltiplo. * Ecuaciones de grado mayor que dos. Lámina 7.5 y 7.6 5. INECUACIONES POLINOMICAS. * Inecuaciones equivalentes. + Propiedades de monotonía y principios de transposición. * Resolución de Inecuaciones de Primer Grado. Lámina 7.7 6. RESOLUCION DE INECUACIONES DE GRADO MAYOR O IGUAL A DOS. * Aplicaciones. Lámina 7.8 www.matelandia.org 163
LÁMINA DE PRESENTACIÓN CONFERENCIA No. 9 UNIDAD 7: ECUACIONES E INECUACIONES POLINÓMICAS CONTENIDO: * Valor Numérico de un Polinomio * Ecuaciones Polinómicas y equivalentes * Ecuaciones de grado Cero. Primer grado * Ecuaciones de Segundo grado. * Factores de un polinomio y sus ceros. * Ecuaciones de grado mayor que dos. * Inecuaciones polinómicas. www.matelandia.org 164
LÁMINA 7.1 1. VALOR NUMERICO: Si p(x) = 3x5 + 2x - 5 es un polinomio en la indeterminada x, entonces cuando se sustituye la x por -3 y se efectúan las operaciones indicadas en p(x) se tiene p(-3) = 3 (-3)5 + 2(-3) - 5 = 27 - 6 - 5 = 16 y se dice que 16 es el valor numérico de p(x) cuando x = - 3 p(0.4) = 3(0.4)5 + 2(0.4) - 5 = - 3.72 valor numérico de p(x) en x =0.4 2. TEOREMA DEL RESIDUO: El valor numérico de p(x) para x = c es p(c), tal que p(c) es igual al residuo de dividir p(x) entre x -c. Porque p(x) = q(x) (x - c) + r, por el algoritmo de la división, y p(c) = q(c) (c - c) + r, de donde p(c) = r. Si p(x) = 3x5 + 2x - 5 entonces el valor numérico para: x = -3 es p(-3) = 16 igual al residuo de dividir p(x) entre x + 3. 3 2 - 5 -9 21 -3 3 -7 16 = P(-3) x = 0.4 es p(0.4) = -3.72 igual al residuo de dividir p(x) entre x - 0.4. 3 2 - 5 1.2 1.28 0.4 3 3.2 -3.72 = P(0.4) El valor numérico de un polinomio p(x) en x = c, se puede obtener: 1. Sustituyendo la x por el valor c y efectuando las operaciones. 2. Hallando el residuo de dividir p(x) entre x - c. 3. ECUACION POLINOMICA. Una ecuación es el problema planteado al revés: dado el v.n. del polinomio buscar el valor de x o incógnita de la ecuación. Si se sabe que 3x5 + 2x - 5 = 16, entonces un valor de la x es -3, pero también se cumple cuando x = 7/3. Conclusión: La igualdad 3x5 + 2x - 5 = 16 es una ecuación polinómica de Segundo Grado y sus soluciones o raíces son - 3 y 7/3. 4. PROPIEDAD DE UNIFORMIDAD O PRINCIPIO DE TRANSPOSICION: La ecuación 3x5 + 2x - 5 = 16 equivale a 3x5 + 2x - 21 = 0 por la propiedad de uniformidad de la suma o bien por transposición de 16 al primer miembro con el signo contrario. La ecuación 3x5 + 2x - 21 = 0 equivale a x5 + 2/3 x - 7 = 0 por la propiedad de uniformidad de la multiplicación. Conclusión: La ecuación polinómica hereda el grado del polinomio y se dice que está en forma canónica o normal si el polinomio está ordenado e igualado a cero, o sea p(x) = 0. www.matelandia.org 165
LÁMINA 7.2 1. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones o conjunto solución. Ejemplos: Las ecuaciones 2x + 5 = 11 y 3x - 2 = 7 son equivalentes, porque x = 3 es la raíz o solución de ambas ecuaciones. En cambio, x5 + x = 0 y x + 1 = 0 no son equivalentes. El conjunto solución de la primera es S
= {0, -1} y para la segunda S
= {-1}. Toda ecuación es equivalente a su forma canónica. 2. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN. Una ecuación de segundo grado tiene a lo más dos soluciones o raíces. Una ecuación de primer grado tiene a una raíz o solución. En general, una ecuación de grado n tiene a lo más n-raíces reales. El conjunto solución de (x + 1)5 = x5 + 2x + 1 es el conjunto de los reales, S = R. Esta expresión se llama una identidad por cumplirse para todo número que sustituya a x. Al escribir su forma canónica resulta 0 = 0. En cambio el conjunto solución de x5 + 1 = (x + 1)(x - 1) es el vacío, no existe ningún número que cumpla esa relación y al escribirla en forma canónica se tiene x5 + 1 = x5 - 1, o sea 2 = 0 que no puede ser y de ahí su nombre de contradicción. Tanto en las identidades como en las contradicciones al escribirlas en forma canónica desaparece la incógnita, por lo que se consideran ecuaciones de grado cero. 3. ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Su forma canónica es ax + b = 0 y su solución -b/a se obtiene aplicando la propiedad uniforme o el principio de transposición: Propiedad Uniforme: ax + b + (-b) = 0 + (-b) ax = -b (1/a) ax = (1/a) (-b) x = - b/a Propiedad de transposición ax + b = 0 ax = -b x = -b/a Ejemplo: Para resolver la ecuación x(x + 5) = (x + 3)(x - 2) se efectúan las operaciones x5 + 5x = x5 + x - 6 se transponen los términos x5 + 5x - x5 - x = -6 y se reducen los términos semejantes 4x = -6 de donde x = -3/2 Aplicación: El total de la factura incluido el 7% de impuesto fue por L 314.50 ) Cuál es el precio de costo del artículo? www.matelandia.org 166
Planteamiento: Sea x el precio de costo, entonces x + 0.07x = 314.50 Resolución: x + 0.07x = 314.50 1.07x = 314.50 x = 293.93 Comprobación: Costo L 293.93 7% Impto. L 20.57 Total L 314.50 LÁMINA 7.3 1. ECUACION DE SEGUNDO GRADO. Su forma canónica es ax5 + bx + c = 0, donde a … 0 La ecuación puede ser: i) Completa, si b, c no son ceros: 3x5 - 8x + 7 = 0 ii) Incompleta si b = 0 ó c = 0: 2x5 - 5 = 0, 3x5 - 2x = 0 2. METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Una ecuación de segundo grado tiene a lo mas dos soluciones o raíces, o bien una sola solución de multiplicidad dos o ninguna solución real. Para resolver una ecuación de segundo grado se emplean varios métodos: * Por factorización, en el caso de que sea posible: ax5 + bx + c = 0, entonces a(x - r
)(x - r
) = 0 aplicando la recíproca de la propiedad absorbente del cero, se tiene que x - r
= 0 ó x - r
= 0, de donde x = r
, x = r
, o sea S = {r
} Ejemplo: Completa x5 + 3x + 2 = 0 entonces (x + 2)(x + 1) = 0 x + 2 = 0, x + 1 = 0 x = - 2 ó x = - 1 Incompletas: x5 + 3x = 0 x5 - 4 = 0 x(x + 3) = 0 (x + 2)(x -2) = 0 x = 0, x = -3 x = -2, x = 2 Cuando b = 0, ax5 + c = 0, para poder factorizar, c debe ser negativa. * Por completación de cuadrados. Resolver por completación de cuadrados: x5 + 3x - 10 = 0 Transponiendo se tiene: x5 + 3x = 10 Convirtiendo el 1er. miembro en cuadrado: x5 + 3x + 9/4 = 10 + 9/4 Reduciendo (x + 3/2)5 = 49/4 Extrayendo raíz cuadrada x + 3/2 = ± 7/2 Resolviendo las ecuaciones x = - 3/2 ± 7/2 Entonces, S = {2, - 5} www.matelandia.org 167
LÁMINA 7.4 * Por la fórmula de la cuadrática. La ecuación ax5 + bx + c = 0, se resuelve con la fórmula a
= que se obtiene completando el cuadrado así: Transponiendo y dividiendo por a: x5 + b/a x = - c/a Completando el cuadrado x5 + b/a x + b5/4a5 = - c/a + b5/4a5 Operando (x + b/2a)5 = (b5 - 4ac)/4a5 Extrayendo raíz x + b/2a = ± (b5 - 4ac)
/2a De donde x = [-b ± (b5 - 4ac)
]/2a Ejemplo: Resuelva con la cuadrática la ecuación 3x5 - 10x - 8 = 0, donde a = 3, b = - 10 y c = - 8, entonces 6
) 8 )( 3 ( 4 ) 10 ( ) 10 (
de donde 4
= x , 3
Luego el conjunto solución, S = {4, -2/3}. En la fórmula de la cuadrática al radicando se le llama discriminante y se representa por ∆ = b5 - 4ac. Si ∆ > 0, entonces hay dos soluciones reales diferentes. Si ∆ = 0, entonces hay una solución real de multiplicidad dos. Si ∆ < 0, entonces no hay soluciones reales. 3. APLICACIONES: El grifo A tarda en llenar una pila 2 horas más que el grifo B. Los dos grifos juntos llenan la pila en 2 horas y 24 minutos. )En cuánto tiempo la llena cada grifo por separado? Planteamiento Sea x horas que tarda B (x + 2) horas tarda A. En 1 hora, B hace 1/x de pila A hace 1/(x + 2) de pila. En una hora, juntos hacen 1/x + 1/(x + 2) Entonces,
Resolución 2.4
2) + x(x
x + 2 + x
Entonces 2.4(2x + 2) = x(x + 2) Se reduce a 5x5 - 14x - 24 = 0 que tiene las raíces x = 4, x = -6/5 La solución es x = 4 h. Comprobación B la llena en 4 hrs. A la llena en 6 hrs. Juntos en 1 hora hacen 1/4 + 1/6 = 5/12 de pila. La pila la llenan en 12/5 de hora o sea en 2.4 h igual a 2:24 h. www.matelandia.org 168
LAMINA 7.5 1. FACTORES DE UN POLINOMIO. Dado un polinomio p(x), en algunos casos, es posible escribirlo como producto de factores de primer grado (factores lineales). El polinomio p(x) = 2x
+ x5 - 7x - 6 se escribe como p(x) = (2x + 3)(x - 2)(x + 1) entonces 2x + 3, x - 2, x + 1 son sus factores de 1er. grado. además x = -3/2, x = 2, x = -1 son los ceros de p(x) porque p(-3/2) = 0, p(2) = 0, p(-1) = 0 NOTA: Teorema del Residuo: "El valor p(c) es el residuo de dividir p(x) entre (x - c)." TEOREMA DEL FACTOR: "x - c es un factor de p(x) si al dividir p(x) por x - c su residuo es cero, o sea si p(c) = 0". Si p(x) = a(x - c
)(x - c
) ... (x - c
), entonces (x - c
), (x - c
),..., (x - c
) son factores de p(x), y c
son sus ceros. Un polinomio de grado no cero es primo si no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado mayor que cero. Los polinomios de primer grado son primos. 2. DESCOMPOSICION DE UN POLINOMIO EN FACTORES PRIMOS. Para descomponer en factores los polinomios no primos de grado dos se puede recurrir al tanteo o la cuadrática. Así: 4x5 + 5x - 6 = (4x - 3)(x + 2) = 4(x - 3/4)(x + 2). Los polinomios de segundo grado con discriminante negativo son primos. Para descomponer en factores los polinomios no primos de grado mayor que dos se buscan los ceros aplicando los teoremas del residuo y del factor y además el teorema de los posibles ceros racionales r/s, donde r es un factor del término independiente y s del coeficiente principal. Si p(x) = 2x
+ x5 - 7x - 6 sus posibles ceros son los cocientes r/s, donde r = ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, y s = ± 1, ± 2, entonces se forman ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± a, ± 3/2. 2 1 -7 -6 2 1 -7 -6 2 1 -7 -6 -3 3 6 -3/2 -2 1 6 -1 4 10 6 2 2 -2 -4 0 2 -1 -6 0 2 5 3 0 p(x) = (x + 3/2)(2x5 -2x -4) = (x + 3/2)(2)(x5 - x - 2) = (2x + 3)(x - 2)(x -1) Nota: Si el polinomio es de grado tres, al encontrar un cero se tiene el factor o divisor de p(x) y un cociente de grado dos, al que se aplica lo pertinente a los polinomios de segundo grado. www.matelandia.org 169
LÁMINA 7.6 1. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO PARA POLINOMIOS: su definición es semejante a la dada para los números naturales. Nota: El m.c.d y el m.c.m deben ser polinomios mónicos. Ejemplo: Si p(x) = x
+ 4x5 + 4x = x(x + 2)5 y q(x) = x5 - 4 = (x + 2)(x - 2) entonces m.c.d[p(x), q(x)] = (x + 2) y m.c.m[p(x),q(x)] = x(x + 2)5(x - 2) 2. ECUACION DE GRADO MAYOR DE 2. La expresión p(x) = 0 se dice que es una ecuación polinómica de grado igual al del polinomio, la indeterminada x del polinomio se llama la incógnita de la ecuación y sus valores son las raíces o soluciones de la ecuación, lo que equivale a los ceros del polinomio. Si p(x) es un polinomio, entonces p(x) = 0 es una ecuación polinómica. Si x = r hace que p(r) = 0, entonces r es un cero del polinomio o bien r es una raíz o solución de la ecuación polinómica. Para resolver una ecuación de grado mayor que dos se tantean las fracciones r/s, y si se obtiene algún valor c
que la verifique, entonces la ecuación se escribe como: (x - c
(x) = 0 se busca otro cero c
(x) y se tiene: (x - c
(x) = 0 hasta que q
(x) sea cuadrático y se le pueda aplicar la respectiva fórmula. Ejemplo: Resolver x
= 4x5 + 2x - 3 La ecuación en forma canónica es x
- 4x5 - 2x + 3 = 0 y las posibles raíces son ± 1, ± 3 y obteniendo: (x + 1)(x
+ x5 - 5x + 3) = 0, entonces (x + 1)(x + 3)(x5 - 2x + 1) = 0 De donde: (x + 1)(x + 3)(x - 1)5 = 0. Entonces las raíces son x = -1, -3 y 1 de multiplicidad 2. S = {-1, -3, 1} En algunos casos no es posible hallar soluciones racionales. Por ejemplo: Resolver la ecuación 2x
+ 2x - 5 = 0 Al probar las posibles soluciones x = ± 1, ± 5, ± 1/2, ± 3/2 con la regla de Ruffini el residuo no es cero para ningún caso. Entonces esta ecuación no tiene soluciones racionales. Hay un teorema que no trataremos, que asegura que si el grado de la ecuación es impar tiene al menos una solución real. www.matelandia.org 170
Para evitarnos algunos cálculos, nos auxiliamos de la "regla de las cotas" que nos indica no probar con los siguientes números positivos si son positivos todos los términos del tercer renglón de la regla de Ruffini, y con los números negativos anteriores si se alternan los signos de los términos del tercer renglón en la división sintética. Así para la ecuación anterior: 2 0 2 -5 2 0 2 - 5 5 2
No es necesario probar 5. No es necesario probar -5/2, -5. LÁMINA 7.7 1. INECUACIONES POLINOMICAS: Una inecuación polinómica en forma canónica se representa por p(x) > 0 o bien p(x) < 0. Ejemplo de inecuación es x
+ 2x5 ≥ 0 2. Resolver una inecuación es hallar un subconjunto de los reales representado por un intervalo. Al resolver el ejemplo x5(x + 2) ≥ 0 se obtiene el conjunto solución S = [-2, 4[ ! -2 Si se toma – 5∉S no verifica la desigualdad porque (-5)5 (- 5 + 2) = - 75 < 0 3. INECUACIONES EQUIVALENTES son las que tienen el mismo conjunto solución. Ejemplo: Son equivalentes las inecuaciones x
+ 2x5 ≥ 0 y x5(x + 2) ≥ 0 Ambas tienen el mismo conjunto solución S = [-2, 4[ 4. INECUACIONES DE PRIMER GRADO: Para resolver estas inecuaciones se tendrán que aplicar las propiedades de monotonía o bien los principios de transposición. Ejemplo: Para resolver x(x + 3) > x5 + 7x + 5 debe efectuar las operaciones antes de hacer las transposiciones o aplicar las propiedades de monotonía: x5 + 3x > x5 + 7x + 5 3x - 7x > 5 - 4x > 5 x < -5/4 S = ] -4, -5/4[ -5/4 Comprobación: Se toma algún valor del conjunto solución S para verificar la respuesta, por ejemplo x = -2 y se sustituye en la inecuación dada. (-2)(-2 + 3) > (-2)5 + 7(-2) + 5 y se cumple porque -2 > -5 En cambio si se sustituye x = 2, no se cumple la desigualdad porque 2 (2 + 3) Ý 25 + 7(2) + 5 resultando 10 < 23 www.matelandia.org 171
LÁMINA 7.8 1. INECUACIONES DE GRADO DOS O MAYOR QUE DOS. Las incuaciones p(x) ≥ 0 o bien p(x) ≤ 0, son de grado dos o mayor que dos si ese es el grado del polinomio correspondiente. 2. PARA RESOLVER INECUACIONES DE GRADO DOS O MAYOR QUE DOS se siguen los siguientes pasos: i) La inecuación se escribe en forma canónica. ii) Se expresa como producto de factores primos. iii) Luego, se analiza la variación del signo de cada factor y de su producto. iv) La solución será el conjunto de valores donde el producto sea positivo ( >, ≥ 0) o donde sea negativo ( < 0) 3. EJEMPLOS: 1. Resolver x5 - 1 < 3(x + 1). La inecuación equivalente en su forma canónica es x5 - 3x - 4 < 0 y factorizada: (x - 4)(x + 1) < 0 Tabla de variación de signos -1 4 x – 4 x + 1 - - o + - o + + P(x) + o - o + S = ] -1, 4 [ -1 4 Comprobación Si x = 0 ε S, entonces 0 - 1 < 3(0 + 1) - 1 < 3, la verifica. En cambio, para x = 5 ∉ S se tiene 55 - 1 Û 3(5 + 1) porque 24 > 18 2. Resolver (3 - x)(x5 + 1)(2x + 5) ≤ 0 Tabla de variación de signos -5/2 3 3 – x x5 + 1 2x + 5 + + o - + + + - o + + P(x) - ! + ! - S =] - ∞, -5/2] ∪[3, ∞[ = ℜ- ] -5/2, 3[ -5/2 3 Comprobación Se verifica para x = - 7 ∈S, porque (3 + 7)(75 + 1)(2×(-7) + 5) ≤ 0 10×50×(-9) ≤ 0 No se verifica para x = 1 ∉S, porque (3 – 1)(1 + 1)(2 + 5) Û 0 2×2×7 > 0 www.matelandia.org 172
FICHA DE ESTUDIO No. 7 UNIDAD7: ECUACIONES E INECUACIONES Lámina 7.1 Valor numérico y Ecuaciones Polinómicas NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Encontrar el valor numérico de un polinomio. 2. Aplicar el teorema del residuo para calcular el valor numérico de un polinomio. 3. Interpretar una solución de una ecuación como un número que transforma la ecuación en una identidad numérica. 4. Determinar las propiedades de las ecuaciones polinómicas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * El valor numérico de un polinomio. * Conceptos de variable y de dominio de la variable * Teorema del residuo y su aplicación para calcular el valor numérico de un polinomio. * Ecuación polinómica y su aplicación en la resolución de problemas. * Propiedades de uniformidad y principios de transposición. * La forma canónica de una ecuación. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Dado el polinomio P(x) = 3x - x
, obtenga P (-2): a) Por sustitución directa b) Por el teorema del residuo. www.matelandia.org 173
2. Si p(x) = 2x5 - 5x + 3, y c = 1 - 2 3 , entonces calcula p(c): p(c) = 3. Halla el valor de k si p(x) = x
- 5x5 + kx - 3, y p (3) = 5. 4. Indica la propiedad aplicada en cada caso: a) x = -4 equivale a x - 7 = - 11 b) x = -3 equivale a -5x = 15 c) x = 8 equivale a 2x = 4 5. )Existe alguna restricción para las propiedad de uniformidad? 6. A partir de las propiedades de uniformidad, deduce los principios de transposición. 7. Escribe dos ecuaciones equivalentes a 3x5 = 12. 8. Escribe en forma canónica e indica el grado de las ecuaciones: a) 5x
- 3x = 6x5 + 3x
- 6 b) 4x - 3 + x
= 4x5 - 7 www.matelandia.org 174
Láminas 7.2, 7.3 y 7.4 Ecuaciones de Grados Cero, Uno y Dos NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Resolver cualquier ecuación de grado cero interpretándola como una identidad o como una contradicción. 2. Resolver cualquier ecuación de primer grado. 3. Resolver cualquier ecuación de segundo grado. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La ecuación de grado Cero: la identidad y la contradicción. * La ecuación de primer grado y su método de solución. * Aplicaciones de ecuaciones de primer grado a la resolución de problemas. * La ecuación de segundo grado y sus características. * Métodos de solución de la ecuación de Segundo Grado: a) Factorización, b) Completación de cuadrado, c) Fórmula de la cuadrática. * Propiedades de uniformidad y principios de transposición. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. )Por qué en la ecuación de primer grado, en forma canónica, ax + b = 0, a debe ser diferente de cero? 2. Verifica, utilizando los principios de transposición, que toda ecuación ax + b = 0, tiene como solución x = -b/a. 3. Dada la ecuación 3x + 5 = 0, encuentra cuatro ecuaciones equivalentes a ella. www.matelandia.org 175
4. Verifica que las ecuaciones siguientes son identidades: a) (3x + 1)
= 6x + 1 b) (4x - 5)(3x + 2) + 7x = 12x
2 - 10 5. Dadas las fórmulas siguientes, despeja la variable indicada: a) c = 2πr, para r. (Longitud de la circunferencia). b) p = 2a + 2b, para a. (Perímetro del rectángulo). c) a
1 + (n - 1)d, para n. (Progresión aritmética). 6. Encuentra los valores de a y b, tales que 5/3 es una solución de la ecuación ax + b = 0. 7. )Por qué en la ecuación ax
+ bx = 0, una de las soluciones siempre es cero? 8. )Cuándo la ecuación ax
2 + c = 0, tiene soluciones reales? 9. Completa el cuadrado en el primer miembro de las siguientes ecuaciones: a) x
+ 3x = 3 b) 2x
- 5x = 9 10. Dada la ecuación 4x
- 4xy + 1 - y
= 0, aplica la fórmula de la cuadrática para encontrar: a) x en términos de y b) y en términos de x 11. Verifica que si r
son las raíces de la ecuación ax
2 + bx + c = 0, entonces: a) a
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Láminas 7.5, 7.6 Factores de un Polinomio y Ceros de una Ecuación NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Relacionar los ceros de un polinomio con sus factores de primer grado. 2. Extender el Teorema Fundamental de la Aritmética a los polinomios. 3. Resolver ecuaciones de grado mayor que dos. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Los ceros de un polinomio. * Teorema del factor. Factores de un polinomio. Ceros de un polinomio. * Polinomio primo. Teorema Fundamental de la Aritmética extendido a los polinomios y sus aplicaciones: m.c.d y m.c.m. * Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos. Las raíces o soluciones de una ecuación. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Encuentra la relación entre el Teorema del Residuo y el Teorema del Factor. 2. )Por qué es importante conocer los ceros de un polinomio? 3. Prueba que el segundo polinomio es un factor del primero y encuentra el otro factor: a) 2 ; 16 16
− − − + x x x x b) 2 ; 32
+ + x x c) 2 ; 10 12 3 6
− − + + − x x x x x www.matelandia.org 177
4. Encuentra el valor de k tal que el segundo polinomio sea un factor del primero: a) 4 ; 10
− + − + x k x x x b) 2 ; 10
+ + + x kx x 5. En los siguientes polinomios, verifica que c = 1 es un cero. Encuentra los otros ceros, si son reales: a) 4 9 7 2
− + − x x x b) 1 6 4 3
− − + x x x 6. Muestra que 1 es un cero de multiplicidad 3, del polinomio mónico 6. - 13x +
Encuentra los ceros restantes y la factorización completa. 7. )Por qué un polinomio de grado n, no puede tener mas de n ceros diferentes en ℜ? 8. Utiliza el Teorema del Binomio para construir un polinomio que tiene c = 2/3 como único cero de multiplicidad 5. 9. Utiliza el Teorema del Factor para probar que x - y es un factor de x
para cualquier entero positivo n. 10. )Por qué los polinomios de grado cero (números reales), no son polinomios primos? 11. Muestre que el polinomio 3x
+ 5 no tiene factores de la forma x - c, donde c es un número real. 12. Halla un polinomio mónico de quinto grado tal que -2 sea un cero de multiplicidad 3 y 4 un cero de multiplicidad 2. 13. Halla un polinomio mónico P(x) de grado 3 tal que los tres ceros son 5, -2, -3. www.matelandia.org 178
14. Para las ecuaciones que se dan a continuación indica las posibles raíces racionales. 0 = 2 + 2x +
0 = 16 + 20x -
0 = 6 - 11x +
15. En las ecuaciones del ejercicio anterior prueba las posibles raíces racionales y resuelva la ecuación con soluciones en el conjunto Q de los racionales. 16. Muestra que x = 2 es una solución de multiplicidad 3 de la ecuación 0. = 24 + 4x +
Resuelve la ecuación. 17. Prueba que las ecuaciones siguientes no tienen soluciones racionales: 0 = 7 +
2 b) 0 = 6 + 4x -
18. Un triángulo rectángulo tiene un área de 30 cm
y su hipotenusa es 1 cm más larga que uno de los catetos. a) Si x representa la longitud de ese cateto, muestra que 2x
- 3600 = 0 b) Prueba que la ecuación anterior sólo tiene una raíz positiva. c) Encuentra las dimensiones del triángulo. www.matelandia.org 179
Láminas 7.7 y 7.8 Inecuaciones Polinómicas y Aplicaciones NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Interpretar una desigualdad y su solución como valores numéricos que se satisfacen en determinados intervalos reales. 2. Resolver inecuaciones polinómicas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La inecuación y su solución. * Propiedades de monotonía y principios de transposición. * Resolución de inecuaciones de primer grado y aplicaciones. * Resolución de inecuaciones de segundo grado y aplicaciones. * Resolución de inecuaciones de grado mayor de dos y aplicaciones. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Representa gráficamente en la recta real, los intervalos siguientes: a) x > 2 y x ≤ 3 b) x ≤ -1 y x ≥ -1 c) x > -1 ó x ≤ -3 d) x < 2 ó x > 2 2. Indica la propiedad utilizada en cada caso: a) a > b y b > c entonces a > c b) a > b entonces a - c > b - c c) a > b y c < 0 entonces ac < bc www.matelandia.org 180
3. Resuelve la inecuación ax + b > 0, si a ≠ 0. 4. Resuelve la inecuación 1
− ≥ − x x
5. Escribe tres inecuaciones equivalentes a la inecuación 2. + x
6. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) (2x - 1)(x + 3) ≤ 0 b) (1 - x)(x - 2) ≥ 0 7. )Por qué la inecuación x5 + 2x < -1 no tiene solución en los reales? 8. )Para qué valores de x, 2 + 3x -
es un número real? 9. Da el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y represéntalo en la recta real: a) (2x - 1)(2 - x)(3x - 2)(4x - 1) < 0 b) x5(x + 2)(2 - 3x)(4x - 1) ≤ 0 10. Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x5 ≥ x b) x5 ≤ 1 c) x
3 < 1 www.matelandia.org 181
LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 9 UNIDAD 7 Examen de Fichas sobre Láminas7.1 a 7.8 Ecuaciones e Inecuaciones Conferencia No. 9 CALIFICACION DESARROLLO CORRECCION I Escriba su respuesta en el espacio dado (4% c/u) 1. El residuo de dividir p(x) = x
- 7x + 4 entre d(x) = x + 1 es 2. Si x = a es una raíz de p(x) = 0, entonces x - a es de p(x). 3. El conjunto solución de x
+ 1 > 0 es 4. El conjunto solución de x
- x > x - 1 es 5. Si x + 5 es un factor de x
+ bx + c tal que a, b, c ε Z entonces c debe ser múltiplo de -5. 6. Si x + 3 es factor de p(x) entonces x = es un cero de p(x). 7. Si p(x) = x
- mx + 4 tiene un cero en x = - 2, entonces m = 8. Si p(x) tiene los ceros 3, -2, 3/2 y coeficiente principal 4, entonces p(x) = 9. Si p(x) = x
+ x - 1, entonces por el teorema del residuo p(-2) = 10. La ecuación 2x
- 6 = 0 tiene como posibles soluciones racionales a www.matelandia.org 182
II. Resuelva los siguientes problemas (15%) 1. Resuelva la ecuación x
(3x + 5) = 4x + 4 2. Halle k tal que las raíces de la ecuación x
+ 2x + k + 3 = 0, sean reales. 3. Con un cartón cuadrado se construye una caja cortando en cada esquina un cuadrado de 2 pulgadas de lado y doblando los lados. Si el volumen de la caja es de 128 pulgadas
, halle la longitud del lado del cartón dado. 4. La base de un rectángulo es el doble de la altura disminuida en 3. Su perímetro es mayor o igual que 42. Encuentre las posibles dimensiones del rectángulo. www.matelandia.org 183
RESPUESTAS UNIDAD 7: ECUACIONES E INECUACIONES. Lámina 7.1 1. P (-2) = - 26 2. 24 + 2 3 3. 3k – 21 = 5, entonces k = 26/3 4. Uniforme: a) suma – 7 a ambos lados de la igualdad b) multiplica por – 5 c) divide por 2. 5. No se puede dividir por cero. 6. Aplica la propiedad de uniformidad 7. a) x
= 4 b) x = ± 2 8. a) 2x
- 3x + 6 = 0, ecuación polinómica de grado 3 b) x
+ 4x + 4 = 0, ecuación polinómica de grado 4. Láminas 7.2, 7.3 y 7.4 1. Porque no se puede dividir por cero. 2. ax = - b, entonces x = - b/a 3. a) 3x = -5 b) x = - 5/3 c) x + 2 = 1/3 d) 3x + 6 = 1. 4. a) (9x
+ 6x + 1) – 9x
= 6x + 1 b) 12x
- 7x – 10 + 7x = 12x
- 10. 5. a) π 2
b) a = (p – 2b)/2 c) 1
6. 5a + 3b = 0. 7. Porque x (ax + b) = 0, implica x = 0 ó ax + b = 0 8. Cuando c ≤ 0. 9. a) x
+ 3x + 9/4 = 3 + 9/4 o sea (x + 3/2)
= 21/4 b) 2(x
- (5/2)x + 25/4) = 9 + 25/2 o sea 2(x – 5/2)
= 43/2 10. a) 2
) 1 ( 16 16 4
b) 1 8 2
) 4 1 ( 4 16 4
+ ± − =
+ + ± −
= , verifica a) y b). Láminas 7.5 y 7.6 1. Cuando el residuo es cero, el divisor es factor del dividendo. 2. Porque son las raíces o soluciones de la ecuación polinómica. 3. a) (x – 2) (x
+ 12x + 8) b) (x + 2) (x
- 8x + 16) c) (x
- 2) (x
- 6x + 5) 4. a) - 40 b) – 13. 5. a) (x – 1) (2x
- 5x + 4), el segundo factor es una cuadrática sin ceros reales: ∆ < 0 b) (x – 1) (3x
+ 7x – 1), los ceros del segundo factor son, aproximadamente, - 2.18, - 0.15. 6. Los ceros son: 1 de multiplicidad 3, - 2, - 3, o sea (x – 1)
(x + 2) (x + 3) = p(x) = 0. 7. Porque su máximo número de factores lineales es n. 8. (x – 2/3)
+ - 27
x - 243
. 9. Si P(x, y) = x
, entonces P(x, x) = P(y, y) = 0, o sea que x – y es factor de P(x, y). 10. Un polinomio de grado mayor que cero se dice primo si no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado también mayor que cero. Los números reales de grado cero no son polinomios primos. Son ejemplos de polinomios primos, los de primer grado y los de segundo grado con discriminante negativo. 11. El polinomio no se anula para todo valor de c, porque con sus exponentes positivos se obtienen cantidades positivas. 12. P(x) = (x + 2)
+ 128x + 128. 13. P(x) = (x – 5) (x + 2) (x + 3) = x
- 19x – 30. 14. a) ± 1, ± 2 b) ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, ± 16, ±
c) ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ±
. 15. a) no tiene soluciones racionales b) 1, - 2, 2/3, - 4/3 www.matelandia.org 184
c) – 1 de multiplicidad 2, 2, 3, 1/3. 16. (x – 2)
(2x + 1) (x – 3) = 0, las otras raíces son – ½ y 3. 17. a) no son soluciones: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 b) ni ± 1, ± 7, ± 1/2, ± 7/2. 18. a) x 1 2 + x /2 = 30 b) 12 (sólo hay un cambio de signo) c) los catetos: 12, 5 cm. Láminas 7.7 y 7.8 1. a) ]2, 3] b) {- 1} c) ]- ∞, - 3] ∪ ]- 1, ∞[ d) ℜ - {2} 2. a) transitiva b) monótona (suma) c) monótona (multiplicación por un número negativo). 3. a) x > - b/a, si a > 0 b) x < - b/a, si a < 0. 4. x ≥ - 6 5. a) 3
x b) (
)x ≤ 3 c) 2
x ≤ 3. 6. a) - 3 1/2 2x – 1 x + 3 - - o + - o + + + o - o + S = [- 3, ½] b) 1 2 1 – x x - 2 + o - - - - o + - o + o - S = [1, 2] 7. Porque equivale a (x + 1)
< 0, y un cuadrado siempre es positivo. 8. Cuando x
- 3x + 2 ≥ 0, con solución S =]- ∞, 1] ∪ [2, ∞[ 9. a) S =]- ∞, ¼[ ∪ ]1/2, 2/3[ ∪ ]2, ∞[ b) S = [- 2, ¼] ∪ [2/3, ∞[ 10. a) x(x – 1) ≥ 0, S = ℜ - ]0, 1[ b) (x + 1) (x – 1) ≤ 0, S = [- 1, 1] c) (x – 1)(x
- x + 1) < 0, S =]- ∞, 1[ CUESTIONARIO: I. 1. p(-1) = - 1 + 7 + 4 = 10 2. factor 3. ℜ 4. ℜ - {1} 5. c 6. – 3 7. – 4 8. 4(x – 3) (x + 2) (x – 3/2) 9. – 3 10. ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 1/2, ± 3/2. II. 1. 1, - 2/3, -2. 2. El discriminante ∆ ≥ 0: - 4k – 8 ≥ 0 es k ≤ - 2 3. 12 4. altura x ≥ 8, base 2x – 2 ≥ 13. www.matelandia.org 185
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS “Reducir cualquier problema a un problema matemático; éste a uno algebraico y éste, a resolver una sola ecuación”. Descartes. GUION DE CONFERENCIA No. 10 DEFINICIONES ESTRUCTURA ALGEBRAICA ECUACIONES E INECUACIONES Contenidos y Láminas No. 8.1 a 8.4 FICHAS DE ESTUDIO DE LAS EXPRESIONES RACIONALES. I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIÓN III ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN LABORATORIOS CUESTIONARIO No. 10 RESPUESTAS www.matelandia.org 186
UNIDAD 8: GUION DE CONFERENCIA No. 10 EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS TEMA: DEFINICIONES. ESTRUCTURA ALGEBRAICA. ECUACIONES E INECUACIONES. CONTENIDO: * Generalidades de las expresiones racionales algebraicas. * Operaciones. * Ecuaciones con expresiones racionales. * Inecuaciones. DESARROLLO. RECURSO 1. GENERALIDADES DE EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS. * Definición. * Expresiones racionales algebraicas equivalentes y reducibles. * Conversión de fracciones algebraicas a un común denominador. Lámina 8.1 2. OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAI-
CAS: ESTRUCTURA ALGEBRAICA. * Suma de fracciones: + Fracciones con un mismo denominado y con distinto + Propiedades. * Multiplicación y propiedades. * División Lámina 8.2 3. ECUACIONES RACIONALES ALGEBRAICAS * Valor numérico de una expresión racional algebraica * Dominio. * Ecuación Racional Algebraica: + Forma canónica + Método de resolución + Aplicaciones. Lámina 8.3 4. INECUACIONES RACIONALES ALGEBRAICAS. * Forma canónica de una inecuación racional. * Tabla de Variación del signo. * Conjunto Solución y Comprobación. Lámina 8.4 www.matelandia.org 187
LÁMINA DE PRESENTACIÓN CONFERENCIA No. 10 UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS CONTENIDO: * Generalidades de las expresiones racionales algebraicas. * Operaciones. * Ecuaciones con expresiones racionales. * Inecuaciones. www.matelandia.org 188
LÁMINA 8.1 1. Expresión Racional Algebraica es el cociente de dos polinomios tal que ) (
x = α , donde q(x) … 0 Ejemplo: 5
x α es una expresión racional algebraica y x5 + 3 y x
- 5 son los términos de la expresión racional. Recuerde que si x … 0, entonces las bases elevadas a exponentes negativos indican expresiones racionales algebraicas, como: ( ) ( )
n - 1 -
Todo polinomio, considerado como 1
x p = es una expresión racional algebraica. 2. Se llama expresión racional algebraica reducida a la expresión cuyos términos son primos entre sí. Ejemplo: Dada la expresión 9
se reduce cancelando factores iguales en ambos términos. 3 - x
3) - (x 3) + (x
4) + (x 3) + (x
12 + 7x +
es la reducida. 3. Varias fracciones algebraicas pueden reducirse a un común denominador. Ejemplo: Las expresiones 1
se reducirán al común denominador x5 - 1, obteniéndose 1 -
) 1 + (x
1) + (x x
expresiones racionales equivalentes a las expresiones dadas. www.matelandia.org 189
LÁMINA 8.2 Operaciones con Expresiones Racionales Algebraicas: 1. Suma de Expresiones Racionales Algebraicas: a) Con el mismo denominador, como por ejemplo 1) +
1 + 3x +
b) Con distinto denominador, se da el ejemplo: 1 +
3 + 2x +
1) + x -
( ) 1 + (x
2 + 3x +
+ 1 + x -
1 + x -
2. Propiedades de la suma: Cierre, conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro (la fracción de numerador cero pero denominador no cero), existencia de opuesto para toda fracción (cambiando el signo del numerador). Resta de expresiones racionales algebraicas: sumándole al minuendo el opuesto del sustraendo. 2) - (x 3) - (x
4 + 2x +
2) - (x ) 3 - (x
6 + x +
3. Multiplicación. La regla es la misma dada para los números racionales: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y si es posible se simplifica el resultado. 2 + 5x +
1) + (x 2) - (x
1) + (x 2) + (3x
2) - (x ) 2 + (x
Propiedades: Cierre, asociativa, conmutativa, elemento neutro (el número 1), e inverso multiplicativo para toda fracción no cero. 1 + 2x +
4 + 4x +
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LÁMINA 8.3 Ecuaciones Racionales. 1. Valor numérico de una expresión racional algebraica: Si 9
x α entonces α(2) = 5/(-5) = -1, α(1) = - 1/4, α(3) = 8/0 no está definido. Observe que para esta expresión los valores prohibidos para la x son 3 y -3 porque anulan al denominador y se sabe que no está definida la división por cero. 2. Dominio de la variable x en una expresión racional algebraica son los valores permitidos para la x, o sean los valores que no hacen cero al denominador. Ejemplo: Si 4 3
x α entonces los valores permitidos o dominio de la x es D(x) = {x ε R | x ≠ 1, x ≠ - 4} 3. Ecuación Racional: La forma canónica de la ecuación racional es 0
, donde p(x) y q(x) son polinomios canónicos. Resolver 0
equivale a resolver p(x) = 0, siempre que los ceros de p(x) no anulen a q(x). Ejemplo: Resolver 0
equivale a resolver 3x5 -12 = 0, o sea x = " 2. Comprobación: Si x = 2, entonces 0
Igual resultado para x = - 2. 4. Problema de Aplicación: Un hombre y su hijo juntos pueden pintar su casa en 4 días. El padre solo puede hacer el trabajo en 6 días menos del tiempo en que lo puede hacer el hijo. ) Cuánto tiempo le toma a cada uno hacerlo solo? Planteamiento Sea x el tiempo del hijo, x - 6 el del padre En 1 día hacen 1/x y 1/(x-6) respectivamente. En un día, juntos pintan 1/x + 1/(x-6). Luego, 4[1/x + 1/(x-6)] = 1 Solución 4
x5 - 14x + 24 = 0 (x - 12)(x - 2) = 0 x = 12, x = 2. El hijo pinta la casa en 12 días y el padre en 6. Comprobación En 1 día, el hijo pinta 1/12 y el padre 1/6 de la casa. Juntos lo hacen en 4 días, o sea que | | 1 = + 4
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LÁMINA 8.4 1. Inecuación Irracional: es una desigualdad con expresiones racionales algebraicas. Su forma canónica está dada por 0
, donde p(x) y q(x) están en forma canónica. 2. Para resolver estas inecuaciones se aplican las tablas de variación de signos de los términos de la fracción. Ejemplo: Para resolver x x +
se debe escribir en su forma canónica: 0
que equivale a 0
Tabla de variación de signos -1 0 2 1 - 2x x 1 + x + + + o - - - o + + - o + + + α(x) + - + ! - S = ] -1, 0 [ ∪ [2, ∞[ -1 0 2 Comprobación Si x = - 2 ε S, entonces 0
(-1/2)) + (1 1/2) (-
1/2) 2(- - 1
es menor que cero, y la verifica. En cambio, para x = - 5 ó S se tiene "mayor que cero" 0 >
5)) (- + (1 5) (-
5) 2(- - 1
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FICHA DE ESTUDIO No.8 UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICA Lámina 8.1 Generalidades de las Expresiones Algebraicas NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Definir una expresión racional algebraica. 2. Simplificar expresiones racionales algebraicas. 3. Reducir a un común denominador expresiones racionales algebraicas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Expresión racional algebraica: sus términos. * Expresiones racionales equivalentes. * Expresión racional reducida. * Conversión de fracciones algebraicas a un mismo denominador. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Indica cuales de las siguientes expresiones son racionales algebraicas (o fracciones algebraicas). a) (x
+ 3)/2 d) ( x + 1)/3x www.matelandia.org 193
2. Simplifica o reduce a su mínima expresión: a)
0.04 - x
0.008 - x
3 - 8x + x
14 + 6x -
4 - 196x
3. Expresa cada fracción como equivalente a otra de denominador dado: a)
6 - x -
4 + 4x -
4. Reduce a un común denominador las expresiones racionales dadas: a) x - 2
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Lámina 8.2 Operaciones con Expresiones Racionales Algebraicas NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Definir la suma y la multiplicación de expresiones racionales algebraicas. 2. Identificar las propiedades de las operaciones algebraicas. 3. Efectuar operaciones combinadas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La suma y resta de expresiones racionales algebraicas: sus propiedades. * La multiplicación y división de expresiones racionales algebraicas: sus propiedades. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Efectúe las operaciones indicadas. a) 2 + 2x
b) 1 - y 2 + y 8
y 8 - 2y 1 - 2 -
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2. Escribe tres formas equivalentes para la fracción b a
cambiando el signo o signos del numerador, denominador o de la fracción en sí. 3. Simplifica: a) x + 1
4. Reduce: a)
) h + x 2(
) h + x (
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Láminas 8.3 y 8.4 Ecuaciones e Inecuaciones Racionales Algebraicas NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Determinar el valor numérico de una expresión racional algebraica y cuales valores están permitidos. 2. Resolver ecuaciones e inecuaciones con expresiones racionales algebraicas. 3. Aplicar las ecuaciones e inecuaciones a la resolución de problemas prácticos. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * El valor numérico de una expresión racional algebraica y su dominio. * Forma canónica de una ecuación racional algebraica y su solución. * Forma canónica de una inecuación racional algebraica y su solución. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Si 5 4
x α entonces halla su valor numérico para x = -2, -1, 0, 2, 3. Además, da el otro valor no permitido para x. 2. Indica los valores prohibidos para la variable x en: a) 3 + x
c) 10 - 3x + x
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3. )Está la fracción (x - 2)/(1 + x
) definida para todos los valores x ε ú? )Para qué valores de x la fracción se anula? )es positiva? )es negativa? 4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la respuesta: a) 3 =
b) 0 = 2 +
) 2 + x (
5. Resuelve y representa en la recta numérica, la solución de las inecuaciones siguientes: a) 4 <
6. Muestre que la suma de cualquier número estrictamente positivo y su recíproco es mayor o igual a 2. 7. Un hombre y su hijo trabajando juntos pueden pintar su casa en cuatro días. El hombre puede hacerlo solo en 6 días menos que en lo que puede hacerlo el hijo. )En cuánto tiempo pinta la casa cada uno por separado? 8. Dos números están en la razón de 6:11. Si el primer número es disminuido en 4 y el segundo aumentado en 6, los dos números resultantes están 4:9. Halle los números. 9. Un carpintero puede hacer un mueble en 6 horas, pero su ayudante necesita 16 horas para hacer el mismo trabajo. Cuando ellos lo hacen juntos, el ayudante trabaja 5 horas más que el carpintero )cuánto tiempo le toma a cada uno cuando trabajan juntos? www.matelandia.org 198
LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 10 UNIDAD 8 Examen de Fichas sobre Láminas8.1 a 8.4 Expresiones Racionales Conferencia No. 10 CALIFICACION DESARROLLO CORRECCION I Escriba su respuesta en el espacio dado (5% c/u) 1. La fracción (x - y)
es negativa si 2. Si se asigna el signo negativo al numerador de la fracción x
3 4 −
− , entonces equivale a 3. La condición para que p(x) /(x
- 6x + 8) esté definida es 4. La expresión simplificada de ) 4 6 (
es 5. Una persona realiza un trabajo en x horas, la parte de trabajo que hace en 3 horas es II. Resuelva los problemas siguientes (15%): 1. Opere: x -
www.matelandia.org 199
2. Escriba como una fracción simple: =
3. La tercera parte de un número es 7 unidades menos que el mismo. Halle el número. 4. Halle el conjunto solución de: 2 >
5. Si A, B y C hacen un trabajo solos en 4, 3 y 6 horas respectivamente. )En cuánto tiempo lo hacen trabajando los tres juntos? www.matelandia.org 200
RESPUESTAS UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS. Lámina 8.1 1. a) y c) 2.a) 02 . 0
04 . 0 2 . 0
) 7 ( 2
4. a) Denominador común: D = x
(x + 3) (x – 2) y los respectivos numeradores son: 3x, 2(x -2), - 5x
(x + 3). b) D = x
(x + 1) y los numeradores son: 3(x
- 1), 2x
(1 – x), 2x(x + 1), x(x – 1)
(x + 1). Lámina 8.2 1. a) 2
b) ) 2 ( 2
2. b a a b a b −
3. a) x
− 4. a) ) ( 2
h x x +
. Láminas 8.3 y 8.4 1. α (- 2) = 1/7, α (- 1) no existe, α (0) = - 3/5, α (1/2) = - 14/27, α (3) = - ¾. Los valores prohibidos son – 1 y 5. 2. a) – 3 b) ½ c) -5, 2. 3. Está definida para todo valor real de x. Se anula cuando x = 2. Es positiva si x ≥ 2, y negativa si x < 2 (el signo depende sólo del numerador. 4. a) – 2/3, 6 b) – 4/5, - ½ 5. a) S =] - ∞, - 8/3[ ∪ ]- 2, ∞[ b) S =] - ∞,0[ ∪]2, 4], son valores prohibidos 0, 2. 6. Resuelve x + x
≥ 2 con S =]0, ∞[ 7. La ecuación 4
, de donde las respuestas son 12 y 6 días. 8. 36, 66. 9. La ecuación 1
, entonces las respuestas son 3 y 8 horas. CUESTIONARIO. I. 1. x < y 2. x
3. x ≠ 2, x ≠ 4. 4. 2
II. 1. ) 1 (
3. x = 21/2 4. S =]1, 2[ 5. 4/3 h. www.matelandia.org 201
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA: ÁLGEBRA UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS “La matemática es la reina de las ciencias”. Gauss. GUION DE CONFERENCIA No. 11 EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS. EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO. Contenidos y Láminas No. 9.1 a 9.4 FICHAS DE ESTUDIO DE LAS EXPRESIONES RACIONALES. I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIÓN III ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN LABORATORIOS CUESTIONARIO No. 11 RESPUESTAS www.matelandia.org 202
UNIDAD 9: GUION DE CONFERENCIA No. 11 EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS Y EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO TEMA: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS. EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO. CONTENIDO: * Generalidades de las expresiones irracionales algebraicas * Operaciones. * Ecuaciones e Inecuaciones con expresiones irracionales algebraicas. * Expresiones algebraicas con Valor Absoluto. DESARROLLO. RECURSO 1. GENERALIDADES DE EXPRESIONES IRRACIONALES ALGE-
BRAICAS. * Definición e interpretación del Índice de la raíz. * Igualdad y semejanza de expresiones irracionales. * Simplificación o reducción de expresiones irracionales algebraicas. Lámina 9.1 2. OPERACIONES CON EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS * Suma de expresiones con radicales semejantes. * Multiplicación y propiedades. * División y racionalización de denominador. Lámina 9.2 3. ECUACIONES E INECUACIONES DE IRRACIONALES ALGEBRAICAS * Valor numérico de una expresión irracional algebraica y dominio de la variable. * Ecuación Irracional Algebraica: + Forma canónica + Método de resolución * Inecuación Irracional Algebraica. + Forma canónica + Tabla de variación del signo de los términos. Lámina 9.3 4. EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO * Definición e interpretación geométrica. * Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones. * Conjunto Solución y Comprobación. Lámina 9.4 www.matelandia.org 203
LÁMINA DE PRESENTACIÓN CONFERENCIA No. 11 UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS Y EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO CONTENIDO: * Generalidades de las expresiones irracionales algebraicas. * Operaciones. * Ecuaciones e Inecuaciones con expresiones irracionales algebraicas. * Expresiones algebraicas con Valor Absoluto. www.matelandia.org 204
LÁMINA 9.1 1. DEFINICION: Se llama expresión irracional algebraica a toda expresión algebraica con radical. La forma normal es n
x a ) ( α , donde a es el coeficiente y n
x) ( α es la parte radical, con índice n ε N y radicando α(x) es una expresión racional algebraica . Ejemplo: 7 2
, 5x es el coeficiente y 7 2
es la parte radical. 2. Recordemos: i) la definición de x y y x
= ⇔ = ii) Propiedades de los exponentes: * a
* (ab)
)m = a
iii) La interpretación del índice de la raíz como exponente: x
Ejemplo: 3 3 ) 3 ( 81 81
= = = = , porque 3
= 81 Nota: Sólo hay raíz de índice par para radicandos positivos: 0 x si x =
3. Simplificada: Una expresión irracional algebraica está simplificada cuando los exponentes de los factores del radicando son menores que el índice de la raíz. Ejemplo: Para simplificar 3
y x 5 =
www.matelandia.org 205
LÁMINA 9.2 OPERACIONES CON RADICALES: No siempre son posibles, la mayoría de las veces quedarán indicadas. 1. Términos Semejantes: Si las expresiones irracionales simplificadas tienen la misma parte radical, se dicen semejantes y pueden reducirse a un solo término. Ejemplo: Reducir los términos semejantes: 3
x ) y
5 + (3x = x y
5 + x 3x = y
2. Suma y Resta: Sino se pueden reducir términos semejantes, sólo se dejarán indicados. Ejemplo: Operar en: 5 2 5 2 5 2 5 2 5 5 2 5 7 5 6
x + x )
- (3x = x x
x + x 3x = x x
3. Multiplicación: Se pueden multiplicar expresiones cuando tengan el mismo índice de raíz, o bien cuando tienen las mismas indeterminadas en el radicando. a) Efectuar: 4
42 = ay 14 x
b) Efectuar: 10 9 5 2
4. División: Cuando es posible, lo que procede es la racionalización del denominador: a) Efectuar: 3
= = × = , si x ≠ 0 b) Efectuar:
) 2 3 ( 5
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LÁMINA 9.3 ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES CON IRRACIONALES ALGEBRAICAS I. Valor Numérico de una expresión irracional algebraica: es el resultado de la expresión al sustituir la variable x por valores que permitan la existencia de la raíz indicada. Ejemplo: 4 ) (
− = x x α entonces α (3) = 5 , α (-4) = 12 pero α (1) = ) 3 (− no está definida II. Dominio de una expresión irracional algebraica es el conjunto de los números reales permitidos para la variable. Ejemplo: Si 4 ) (
− = x x α entonces su dominio, D = {x ε R | x5 - 4 ≥ 0} =]- ∞, -2[ c ]2, ∞[. Nota: Si el radical tiene índice par, el radicando debe ser positivo. III. Ecuaciones Irracionales Algebraicas (Ecuaciones con radicales). Ejemplo: Resolver x - 2 = 2x - 7
Para resolver x - 2 = 2x - 7
, se eleva al cuadrado ambos lados: 7 - 2x = 4 - 4x + x5 x5 - 2x - 3 = 0 entonces (x - 3)(x + 1) = 0 , donde x = -1, 3. La verificación sólo se da para x = - 1 porque 9 = 2 – (- 1) = 3, pero no la satisface x = 3, porque 3 2 7 × − ≠ 2 - 3 = -1 Luego S = {-1}. Para resolver una ecuación con radicales se siguen los pasos: 1. La expresión radical mas complicada se deja en un solo lado de la ecuación. 2. Ambos miembros de la ecuación se elevan al exponente que racionaliza el índice de la raíz. 3. Si quedan otros radicales, se repite el proceso hasta racionalizar completamente la ecuación. 4. Las ecuaciones obtenidas en cada paso no siempre son equivalentes, al calcular una potencia, si el exponente es par, se tienen soluciones positivas y negativas, que en algunos casos no verifican la ecuación dada al principio. 5. Por la consideración anterior siempre es necesario comprobar las soluciones y descartar las soluciones "extrañas". www.matelandia.org 207
IV. Inecuaciones con radicales: Para estas inecuaciones se deberá ser muy cuidadoso en que el conjunto solución verifique la desigualdad y también el dominio de la variable x. Ejemplo: Para resolver x - 3 > 1 − x se elevan al cuadrado ambos lados: x5 - 6x + 9 > x – 1, entonces x5 - 7x + 10 > 0 equivale a (x - 5)(x - 2) > 0 con solución ]- ∞, 1[ c ]5, ∞[, pero que no es solución de la inecuación dada que sólo admite S = ]5, ∞[. LÁMINA 9.4 EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO. Recordemos: Definición: Valor absoluto de todo número real x, es x, si x ≥ 0 | x | = -x, si x < 0 Propiedades : | x | ≥ 0 | x | = | -x | | x y | = | x | | y | | x + y | ≤ | x | + | y | 2. Interpretación geométrica: El valor absoluto |x – y | se interpreta como la distancia de x a y: d(x, y). d(x, y) = | y – x | = | x – y | = d(y,,x) x y Ejemplo: Distancia entre -2 y 3 es d (-2, 3) = | 3 - (-2) |= | -2 – 3 | = 5 -2 3 3. Ecuación. La ecuación | x – 3 | = 4 se interpreta como la distancia de x a 3 es 4, D (x, 3) = 4 -1 3 7 www.matelandia.org 208
Para resolver | x – 3 | = 4 se consideran x - 3 = 4 ó x - 3 = - 4, luego S = {7, -1} Ejemplo: Resolver | x(x - 5) | = 6, entonces se tienen las ecuaciones: x5 - 5x = 6 ó x5 - 5x = - 6, x5 - 5x - 6 = 0 ó x5 - 5x + 6 = 0 (x - 6)(x + 1) = 0 ó (x - 2)(x - 3) = 0 ⇒ S = { 6, -1, 2, 3 } 4. Inecuaciones Su resolución se basa en las propiedades: i) | x | ≤ a es - a ≤ x ≤ a -a a ii) | x | ≥ a es x ≥ a ó x ≤ - a -a a Resolver 3
Ahora se tienen que intersecar las soluciones de las dos inecuaciones: i) 1
con solución S
= ]- ∞, -1[ ∪] -1/4, ∞[ ii) 3
= ]- ∞, -5/2[ ∪]-1, ∞[ De donde S = S
=]- ∞, -5/2[ ∪] -1/4, ∞[ 5. Otra definición equivalente de valor absoluto es: | x | = 2
x . Entonces las ecuaciones anteriores se pueden resolver así: Para resolver | x – 3 | = 4 se considera 4 ) 3 (
= − x , entonces x
- 6x + 9 = 16 es x
- 6x - 7 = 0 con soluciones S = {7, -1} Para resolver | x(x - 5) | = 6, se considera | | 6 ) 5 (
= − x x , entonces x
- 36 = 0, tiene como soluciones S = { 6, -1, 2, 3 } www.matelandia.org 209
FICHA DE ESTUDIO No. 9 EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO Lámina 9.1 Generalidades de las Expresiones Irracionales Algebraicas NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Definir una expresión irracional algebraica. 2. Determinar cuando dos expresiones irracionales son iguales. 3. Simplificar expresiones irracionales algebraicas y reducirlas cuando proceda. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Definición y notación de expresión irracional algebraica. * Condiciones de las raíces reales. Análisis del índice del radical. * Simplificación de raíces y reducción de raíces semejantes. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Dada 3
, entonces escribe otras expresiones equivalentes: 3
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2. Escribe una expresión equivalente usando el exponente fraccionario positivo y en mínimos términos: a)
y + x 0.01
3. Calcula las siguientes raíces: a)
y 9 + y
4. Indica para que valores de x existen las raíces siguientes: a) 2x - 1
c) x - 1
5. Efectúa y escribe en la forma más simple: a)
) y 7 - x (5 y x
b) ) 3 + x )( 3 2 - x (
6. Escribe la expresión bajo un solo radical: a) 5 3
x x x c) 3 4
www.matelandia.org 211
Lámina 9.2 Operaciones con las Expresiones Irracionales Algebraicas NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Efectuar operaciones con expresiones irracionales algebraicas. 2. Interpretar el índice de la raíz como el denominador del exponente fraccionario del radicando. 3. Racionalizar denominadores. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Interpretación del radical como exponente fraccionario. * Propiedades de los exponentes aplicadas a los radicales. * Racionalización. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Simplifica y reduce, si es posible: a) b
2. Escribe con un solo radical: a)
www.matelandia.org 212
3. Racionaliza el denominador de: a)
4. Racionaliza el numerador de: a) h
2x - h) + 2(x
5. Simplifica: a)
y x 27
6. Indica si es verdadera o falsa cada una de las proposiciones siguientes: a) y + x = y + x
, para x, y $ 0 b) x =
, para cualquier número real x c) ( )
, para cualquier número real x d) Si n es impar x =
, para cualquier número real x e) Si n es par x =
, para cualquier número real x www.matelandia.org 213
Lámina 9.3 Ecuaciones e Inecuaciones de Expresiones Irracionales NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Calcular el valor numérico de una expresión irracional algebraica. 2. Resolver ecuaciones donde intervengan expresiones irracionales algebraicas. 2. Resolver inecuaciones donde intervengan expresiones irracionales algebraicas. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * El dominio de la variable en una expresión irracional algebraica. * La solución de ecuaciones con expresiones irracionales algebraicas. * La solución de inecuaciones con expresiones irracionales algebraicas. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Calcula el valor de 3x + x
para x igual a: a) 3 b) 1 - 2 c) (3 + 2 )/2 2. )Cuáles son los valores permitidos para el radicando dado en el ejercicio anterior? 3. Resuelve la ecuación y comprueba su conjunto solución: a)
3 - 7x = 3 - 2x
2 + x = 2 + x
1 - x = x + 5
www.matelandia.org 214
4. Escribe el resultado en la forma de una ecuación: a)
g para ,
= P π
= y para x 5. Halla la medida de la circunferencia de un círculo de área 128 cm
. 6. Halla el radio de la base de un cono recto con altura de 6 cm. y volumen de 201 cm
. 7. Halla el volumen del cubo circunscrito a una esfera de volumen igual a 1000 cm
. 8. Resuelve, comprueba y grafica la solución de: a)
x > 3 + 2x
9. Comprueba que: a) si 0 < x < 1, entonces x > x. b) si x > 1, entonces x < x. www.matelandia.org 215
Lámina 9.4 Expresiones con Valor Absoluto NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS: Al concluir esta guía podrás: 1. Interpretar geométricamente el valor absoluto. 2. Resolver ecuaciones e inecuaciones donde intervengan el valor absoluto. II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Definición de valor absoluto y sus propiedades. * Interpretación geométrica en la recta numérica. * La solución de ecuaciones con valor absoluto. * La solución de inecuaciones con valor absoluto. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 1. Halla el resultado exacto de las expresiones siguientes: a) | 3 – π | b) | 2 - 3 | c) | 2 – 2
2. Halla el conjunto de todas las x ε R que satisfacen: a) | 3x – 2 | = 7 b) | x
– 3| = 1 c) | x – 1 | = |2x – 1| 3. Grafica y escribe en notación de intervalo los siguientes conjuntos: a) | x | ≤ 4 b) | x – 3 | ≤ 2 c) | x + 2 | > 5 www.matelandia.org 216
4. Escribe los siguientes intervalos en la forma | x – a | ≤ b: a) ]-3, 3[ b) [-2, 4] c) ]- ∞, -2] c [2, ∞ [ 5. Compruebe que el punto medio del intervalo [a, b] es 2(a + b). 6. Dé el conjunto solución de las x ε R en notación de intervalo y su respectiva gráfica: a) | 3 - 2x | ≤ 1 b) | x/(x + 3) | ≤ 1 c) | x
+ 3x | > 4 d) | x
– 4 | ≥ 5 7. Comprueba con números las propiedades siguientes: a) | x + y | ≤ | x | + | y | b) | x + y | ≥ |x | - | y | c) | x – y | ≤ | x | + | y | d) | x – y | ≥ | x | - | y | 8. Ilustra las propiedades anteriores con la relación que existe entre un lado de un triángulo y los dos restantes. www.matelandia.org 217
LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 11 UNIDAD 9 Examen de Fichas sobre Láminas 9.1 a 9.4 Expresiones Irracionales y Expresiones con V. Absoluto Conferencia No. 11 CALIFICACION DESARROLLO CORRECCION I Escriba su respuesta en el espacio dado (5% c/u) 1. Factorice x
( ) 2. Escriba con un solo radical = x x
3. Escriba con un solo radical = x x
4. La expresión x -
existe si x 5. El conjunto solución de |1 – x | > 2 es II. Ejercicios (15%): 1. Opere: =
www.matelandia.org 218
2. Racionalice el denominador de: y - x + y + x
y - x - y + x
3. Resuelva 1 - x = x + 5
4. Halle el conjunto solución de: 5 x
5. Resuelva 2x > 3x +
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RESPUESTAS UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS Y VALOR ABSOLUTO. Lámina 9.1 1. a) 6 2
x b) 9 3
x 2. a) 2x
b) – 3(x
) 01 . 0 (
3. a) 2 2
3 2 y x − b) 0.1x
4. a) x≤
b) ℜ- {0} c) ]1, 3/2] 5. a) 5x y - 7y x b) x - x 3 - 6 c) 3
6. a) 10
2187 y x b) 12 7
x c) 24
y x . Lámina 9.2 1. a) ) 1 (
2.a) 3 2
x b) 6
3.a) 9
4.a) x h x 2 ) (( 2
b) ) (
h x x xh x + + +
5. a) 15 8
6. a) Falsa, sólo es verdadera si x = 0, y = 0. b) Falsa, sólo es verdadera si x x =
c) Falsa, sólo es verdadera si x ≥ 0. d) Verdadera e) Falsa, sólo es verdadera si x x
. Lámina 9.3 1. a) 3 3 3 +
b) 2 5 6 − no es real c) 2 10
2. ]- ∞, - 3] ∪[0, ∞[. 3. a) x = 4, porque x = ¾ es solución “extraña” b) x = 0 c) x = 16, porque x = 1 es solución “extraña”. 4. a) 2
5. C = 2π r = 16 π 2 6. π 2
7. 6000/ π 8. a) ]- 1, 3[ b) [0, ∞[ 9. a) La inecuación x
- x < 0, tiene como solución ]0, 1[ b) La inecuación x
- x > 0, tiene como solución ]1, ∞[. Lámina 9.4 1. a) π - 3 b) 2 3 − c) 1
− 2. a) {3, - 5/3} b) { ± 2, 2 ± } c) {0, 2/3}. 3. a) [- 4, 4] b) [1, 5] c)]- ∞, - 7[ ∪]3, ∞[. 4. a) 3 < x b) 3 1 < − x c) 2 ≥ x . 5. d(a, 2
(a + b)) = ) ( ) (
b a a b − = − = d(b, 2
(a + b)) 6. Las inecuaciones pueden resolverse aplicando la propiedad a x a a x ≤ ≤ − ⇔ ≤ o bien la definición a x a x ≤ ⇔ ≤
. Entonces: a) 1 2 3 1 1 2 3 ≤ − ≤ − ⇔ ≤ − x x cuya solución S = [1, 2], o bien 1 ) 2 3 (
≤ − x que equivale a resolver x
- 3x + 2 ≤ 0 con la misma solución S = [1, 2]. www.matelandia.org 220
b) Equivale a resolver 1
que se desdobla en 0
con solución S = [ , [
∞ − , o bien 1
desarrollada como 0
∞ − . c) Equivale a resolver x
+ 3x > 4 unida a x
+ 3x < - 4 con solución S =]- ∞, - 4[ ∪]1, ∞[. O bien (x
>16 o sea x
- 16 > 0 con solución S =]- ∞, - 4[ ∪]1, ∞[. d) Equivale a resolver x
- 4 ≥ 5 unida a x
- 4 ≤ - 5 con solución S =]- ∞, - 3[ ∪]3, ∞[. O bien (x
≥ 25 o sea x
- 9 ≥ 0 con solución S =]- ∞, - 3[ ∪]3, ∞[. 7. y 8. Quedan al lector. CUESTIONARIO. I. 1. (1 + x) 2. x 3. 6 5
x 4.]- ∞, 0[ ∪]1, ∞[ 5.]- ∞, - 1[ ∪]3, ∞[ II. 1. – (1 + x ) 2. y
3. x = 16, pero x = 1 no la cumple. 4. S =]- ∞, - 1/6[ ∪]1/4, ∞[ 5.]0, 1[. 141
UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS
“Las matemáticas son el alfabeto con que Dios creó el Universo” Galileo.
GUION DE CONFERENCIA No. 8
POLINOMIOS GENERALIDADES OPERACIONES
Contenidos y Láminas No. 6.1 a 6.3
FICHAS DE ESTUDIO DE LOS POLINOMIOS
I OBJETIVOS II ACTIVIDADES DE PREPARACIÓN III ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
GUION DE CONFERENCIA No. 8 UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS
TEMA: POLINOMIOS GENERALIDADES OPERACIONES
CONTENIDO: * Polinomios y sus características * Operaciones con Polinomios. * División Euclídea en los Polinomios.
DESARROLLO. 1. POLINOMIOS. * Expresión algebraica: + Características: variable, constante y símbolos operatorios. + Clasificación de las expresiones algebraicas * Polinomios: + Monomios y sus características. + Polinomios y sus características. 2. Operaciones con Polinomios. * Suma. Propiedades de la suma. * Multiplicación. Propiedades de la multiplicación. * Productos notables.
3. División Euclídea en los Polinomios. * Factorización de Polinomios. * Algoritmos de la División. * División sintética. Lámina 6.3
CONFERENCIA No. 8
* Polinomios y sus características
* Operaciones con Polinomios.
* División Euclídea en los Polinomios.
donde an. MONOMIOS SEMEJANTES: cuando tienen la misma parte literal. por: +. y. Un polinomio se dice que está en forma canónica o normal si: 1o. pero x5y3 también es un monomio de grado 5. y las operaciones algebraicas están representadas .
. x. a0 ε ℜ . Generalidades: El gr[p(x)] = n. 2o. an-1.144 LÁMINA 6. está ordenado decreciente con respecto a los exponentes de sus términos. Si p(x) = . entonces el polinomio es mónico.. 2. entonces gr[p(x)] = 3. No son expresiones algebraicas: x .
3.3x2 + 6. a0 es el término independiente o constante y su grado es cero. Cada monomio es un término del polinomio.5x3 .5. TRINOMIO: 5x3 . coeficiente principal an = . las letras son las variables.org
1. p(x) no es mónico. a1 = 0. r. se reducen los términos semejantes y se omiten los términos con coeficiente cero.3x La representación normal o canónica de un polinomio en x sobre ℜ . an ≠ 0. Cuando estos se escriben se dice polinomio completo. Dos polinomios son iguales si tienen los mismos términos. a0 = 6. H. El polinomio está en forma canónica.3x + 7 BINOMIO: 5x3 . donde a ε ℜ es el coeficiente...(2/3)x4 = (7/3)x4 4. se simboliza por: p(x) = an xn + an-1xn-1 + . π. MONOMIO: es la expresión algebraica de la forma ax6. -. . 3x5 es un monomio de grado 5. log (sen x/6) En las expresiones algebraicas racionales o irracionales.. EXPRESION ALGEBRAICA: Combinación de números y letras ligados con signos de operaciones algebraicas. . 3x4 . pero si es importante el grado del polinomio. que indica el grado del monomio igual a n. + a2 x2 + a1 x + a0. Si an = 1. 2.1
www. anxn es el término principal y an es el coeficiente principal. a2 = -3.. POLINOMIOS: suma de monomios. y x6 es la parte literal en la indeterminada x con exponente n ε N. la más simple es la llamada monomio. Ejemplos: A = π r5. z=
Observaciones: los números son las constantes. x5/(1 + x3). Toda constante no cero tiene grado cero. indeterminadas o incógnitas. ÷ .
2 es un monomio de grado 0. Nota: En los polinomios no existe la relación de orden > ó <.(2/3)x4 son monomios o términos semejantes y pueden reducirse a un solo monomio: 3x4 . como π r5.matelandia.
PRODUCTOS NOTABLES: a(b + c) (a + b)(c + d) (a + b)(a .2x2 . de grado cero.3x6 .3a2b + 3ab2 .2
www. MULTIPLICACION DE POLINOMIOS. conmutativa.b) = (a .2x2 + 0x . es decir los números reales no nulos.b5 = a5 + 2ab + b5 = a5 .g(x) = 10x3 . Ejemplos: Si p(x) = 3x3 . como las de cierre.2
gr[p(x) ± g(x)] ≤ Máx.2x2 + 0x . PROPIEDADES: Las mismas de los enteros. entonces: p(x) = 3x3 .ab + b5) (a . SUMA DE POLINOMIOS: se reducen sus términos o monomios semejantes y se copian los demás términos. g(x)] 2.3x + 2 p(x) .b)(a5 + ab + b5)
= ab + ac = ac + (ad + bc) + bd = a5 .b3 = a3 + b3 = a3 . tienen inverso.b)3 (a + b)(a5 . g(x) = -7x3 + 3x .2x2 .6 p(x) = 3x3 . asociativa. Empecemos por la multiplicación de monomios: axn H bxm = ab x n+m Multiplicación de polinomios: cada término del primer factor se multiplica por todos los términos del segundo factor y al final se reducen los términos semejantes: (3x5 .4 g(x) = -7x3 + 0x2 + 3x . Los reales son las unidades de los polinomios como 1 y -1 son las unidades de los enteros.2ab + b5 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 .b)(a . Elemento neutro: polinomio p(x) = 1.2.12x5 + 6x3 gr [p(x) g(x)] = gr [p(x)] + gr [g(x)] PROPIEDADES: Cierre. asociativa. Propiedad distributiva: 3x5(2x4 . gr [p(x).3x . p(x) = 0 (sin grado): p(x) + 0 = 0 + p(x) = p(x) 3.6x2)(2x3 .5x) = 6x6 .b)(a . El elemento neutro es el polinomio cero.4. Los polinomios de grado mayor que cero no tienen inverso.2 p(x)+g(x) = -4x3 + 2x2 + 3x .4 .b3
.matelandia.b)5= (a .g(x) = 7x3 + 0x2 . conmutativa.15x3 4.145
LÁMINA 6.b) (a + b)(a + b) = (a + b)5 (a .x) = 6x8 . Para la resta de polinomios se cambian los signos de los términos del sustraendo y se suman al sustraendo. Sólo los polinomios de grado cero.org
1.b)5 (a + b)(a + b)5= (a + b)3 (a .
Las reglas para factorizar polinomios no son tan prácticas como las dadas en los enteros.b)5 = (a + b)3 = (a . Aquí se usa mucho el "tanteo" y la habilidad se desarrolla haciendo muchos ejercicios. Tampoco es fácil declarar un polinomio como primo o compuesto.15/4 -5x3 .ab + b5) = (a . x5 + 4 son primos. el residuo debe tener grado menor que el del divisor. entonces la división es exacta.2 + 15/2 x5 + 45/4 x .org
1.matelandia.xy]
2. Si r(x) = 0.2 5/2 x .2ab + b5 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 .15/4 67/4 x .b)3 = (a + b)(a5 . En algunos casos se puede saber cuando un polinomio es divisor o factor de otro.146
LÁMINA 6. 2. 3m5 + m 2.3
www. entonces la división es inexacta.b3 a3 + b3 a3 . se obtiene el cociente q(x) y el residuo r(x) tales que: D(x) = d(x) q(x) + r(x) tal que r(x) = 0 ó gr [r(x)] < gr [d(x)] 1. 3m + 1 = m(3m + 1) = 3(m + 1/3)
3. pero no hay duda de que un polinomio de primer grado es primo como también una suma de cuadrados.23/4]
.3a2b + 3ab2 . Para dividir polinomios se emplea el algoritmo de Euclides y se tiene que dados el dividendo D(x) y el divisor d(x). ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS: Tanto el dividendo como el divisor deben estar ordenados y se procede en forma semejante a la división de enteros. Si r(x) ≠ 0. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.b)(a5 + ab + b5) Ejemplo: Factorice 1.15/4 ] + [(67/4)x . ab + ac a5 .b) = (a + b)5 = (a . x4 + x5y5 + y4 = x4 + 2x5y5 + y4 . 3x + 1 .b3 = a(b + c) = (a + b)(a .x5y5 = (x5 + y5)2 .b5 a5 + 2ab + b5 a5 .x5y5 = [x5 + y5 + xy] [x5 + y5 .23/4 residuo Entonces D(x) = d(x)[(5/2) x . Ejemplo: Dividir D(x) = 5x3 + 3x .15/2 x5 + 5/2 x .15/2 x5 + 11/2 x .2 entre d(x) = 2x5 + 3x -1 2x5 + 3x -1 5x3 + 0 x5 + 3 x .
3/2 4 .147
www. 4x3 + 4x2 . entonces 4 4 0 -2 . r = -13/2
.2 entre 2x + 3. dividiendo el divisor y el cociente por su coeficiente.matelandia.9/2 .17x + 6x .5 entre d(x) = x .x + 3/2.6 3 .5 6 18 3 27 3 2 6 1 9 22 residuo q(x) = 2x3 + 6x2 + x + 9.2 3 -13/2 q(x) = 2x2 .org
3. entonces 2 0 -17 6 . DIVISIÓN SINTÉTICA (o regla de Ruffini): Es el método para abreviar la división de un polinomio entre otro de primer grado y mónico.3. r = 22
Se puede dividir entre un divisor no mónico.
Dividir D(x) = 2x .
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.148 FICHA DE ESTUDIO No. Determinar expresiones algebraicas y sus elementos. * Definición de polinomio y su forma normal o canónica. más el cuadrado del segundo número. Comprender lo que es un polinomio. Determinar monomios semejantes y efectuar reducciones de los mismos. Estudia en un Texto lo siguiente: * Expresión algebraica: variable y constante. * Definiciones del grado y elementos de un polinomio. 2.1
www. Escribe cada proposición como una expresión algebraica utilizando el signo igual y las variables apropiadas: a) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 66. c) El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número. 2.6 UNIDAD 6: EL CONJUNTO DE LOS POLINOMIOS Lámina 6. sus características y sus elementos. * Definición de monomio e identificación de sus términos o elementos.
Expresión Algebraica: Polinomio
NOMBRE______________________________________FECHA_____________________ I OBJETIVOS:
Al concluir esta guía podrás: 1.
1. más el doble producto del primero multiplicado por el segundo.
1. * Monomios semejantes y la reducción de monomios semejantes. b) Cierto número menos 6 es igual a 5 veces otro número que es igual a 7 más el primero. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION.matelandia.
1) x + 2. vi) Indica el grado de cada polinomio. Escriba las siguientes expresiones como una proposición.b5 = (a + b)(a .b) c) (a + b)3 = a3 + 3a5b + 3ab5 + b3 3.2ab + b5 b) a5 . Define los conjuntos Q[x] y Z[x] de polinomios.
.1 + 3x2 . )Por qué los números reales se consideran como polinomios?
5. donde a y b son números reales: a) (a .b)5 = a5 .3x3 + x4 f) x2y3
Contesta: i) )Cuáles son expresiones algebraicas y cuáles no lo son? ii) )Cuáles son constantes y cuáles son variables de las expresiones algebraicas? iii) )Cuáles son monomios? iv) )Cuáles son polinomios? v) Expresa los polinomios en forma normal o canónica. vii) Indica los polinomios mónicos.org
2. 4. viii) Indica el coeficiente principal y el término independiente de cada polinomio.x x x 2 + 3x − 5 c) log x d) x −1 e) 1 . Encuentra el valor de k si x3 . )Cuál es el grado del polinomio cero?
www. Con las siguientes expresiones: 1 a) b) x2 .3x + 2 = x3 + (k .3 + 5x .
7.matelandia.
3)] . 2.2y)] . * Propiedades de la multiplicación. Identificar la estructura operatoria de los polinomios.2(a -1)] + 2(a -b) .matelandia.5 {a + 2 [3b .
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.x [x + 4(x .[y . Efectuar operaciones con polinomios. * Multiplicación de polinomios y el grado del producto.[2x . Estudia en un Texto lo siguiente: * La suma de polinomios y el grado de una suma.(x . 2.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION.2x)] b) 6 .2 (A) Operaciones con polinomios
www. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.150 Lámina 6. * Las propiedades de la suma y la definición de resta de polinomio.
1.(-3a2)3(a2b3)2
Al concluir esta guía podrás: 1.(y .
1. * Determinar los reales no ceros como las unidades de los polinomios. Opera y reduce términos semejantes: a) 3x .1} c) 3x2 .5} d) -22a3(ab3)2 e) (2ab)4(-a3b)2 .2 {x .
10 y 20 centavos. 2 monedas más de 20 centavos que las de 10.org
2.1)/6] por 12 y reduce términos semejantes.1 Q(x) = .x . La altura de un rectángulo mide 5 metros menos que su base. Hay 5 monedas de 10 centavos menos que las monedas de 5 centavos. verifica que: P(x)@[Q(x) + R(x)] = P(x)@Q(x) + P(x)@R(x) 6.
. escribe: a) una expresión algebraica que represente el perímetro p del rectángulo y simplifica la expresión.1
Efectúa las operaciones indicadas: a) P(x) + [Q(x) + R(x)] b) 2@P(x) + 3@R(x) c) P(x)[-R(x)] 3. Compara las propiedades de la suma de polinomios con las propiedades de la suma de enteros. y b) otra expresión que represente su área A. Un conjunto de monedas está formado por monedas de 5.2)2=
b) (2a + 1/3)3 =
8. Multiplica [(3x -2)/4 . 7.3x3 +4x2 . Si x es el número de monedas de 5 centavos. Con los polinomios siguientes: P(x) = x2 . escriba una expresión que represente el valor en centavos de las monedas.
9. Si x es la base del rectángulo.2 R(x) = 4x .
5. Simplifique la expresión. Compara las propiedades de la multiplicación de polinomios con las propiedades de la multiplicación de enteros.151
www.(2x . Efectúa a) (3x .matelandia. 4. Con los mismos polinomios del ejercicio 2.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION. * Factorización de trinomios cuadrados por "tanteo".6x3y .6x2y2 b) 5x(x . * Factorización de trinomios cuadrados perfectos.(x . Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.15)
. A partir de la fórmula ab + ac = a(b + c). factorice: a) 6x2 .2x (. Utilizar algunas reglas para obtener el producto de ciertos factores por simple inspección. 2.
1. 2.152 Lámina 6.3x2 + x .1) . * Teorema del Binomio. * Reglas para multiplicar binomios de primer grado.1)
3. en especial al cuadrado y al cubo.
1.15x c) 9x4 . Estudia en un Texto lo siguiente: * La propiedad distributiva y el factor común. * Factorización de diferencia de cuadrados y de suma y diferencia de cubos y otros casos particulares.1) b) . pruebe que a(b + c + d) = ab + ac + ad 2.(3y . Efectúe por simple inspección: a) 3x2(2x . Utilizar el proceso inverso para obtener los factores de algunas expresiones.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION.org
Al concluir esta guía podrás: 1.matelandia.1) d) (2y2 . Si a(b +c) = ab + ac.10y) .
Analiza los trinomios de segundo grado de acuerdo a la fórmula de los factores: a) x2 + bx + c b) ax2 + bx + c
8.21xy . tal que la expresión x2 + bx + 12 sea factorizable.1)
10. Escribe la fórmula del ejercicio anterior.
. si a = c = 1
6.42y2 f) 3x2 .2)(x + 3)
b) (2x .18
4. Encuentra todo entero b.5)(3x .32 .9 c) x2 + 18xy + 72y2 e) 6x2 + 24x + 18 g) 3x2y2 + 11xy + 6 b) x2 . Aplica la fórmula del binomio al cuadrado.153
www. Efectúa la multiplicación y factorizando. Efectúa por simple inspección: a) (x . Analiza las características del trinomio cuadrado perfecto. Factoriza: a) x2 + 8x .24x + 21 h) 4x2y2 .matelandia.4x d) x2 . comprueba que: (ax + b)@(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd 5. para obtener el resultado de: a) (2a + 5b)2 = b) (2a .11xy .2)2 =
Obtén por simple inspección el resultado de: a) (3a +2)(3a -2) = b) (3/4 .matelandia. por simple inspección.org
12. Factoriza: a) 8x3 + 12x2 + 6x + 1 b) 27x3 .154
www.20x + 25 . Encuentre.5)
c) 4x2 .2y)3
c) (3x + 2)(9x2 . Factoriza completamente: a) 4x2 .54x2 + 36x .64y6 d) 64x3y6 + 8
.2m)(3/4 + 2m) =
13.8 c) 27x3 .y2
d) x4 + x2 + 1
14.6x + 4)
d) (x2 + 5x + 25)(x . el producto de: a) (2x + 3)3 b) (x2 .9 b) x2y4 .
2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. A partir de los ejercicios 3. 13 y 16 de la ficha de estudio anterior.
1. * Regla para la división sintética. * Propiedades de los factores de un polinomio y definición de unidades y polinomios primos.matelandia. Utiliza la notación D(x) = d(x)@q(x). Aplicar el algoritmo de la división sintética. * El algoritmo de la división de polinomios. Compara los conceptos de factor y de múltiplo con lo estudiado en los enteros. 8.org
. Determinar el cociente y el residuo en la división Euclídea de polinomios.
3. * Definición de división Euclídea de dos polinomios y sus términos.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION. Estudia en un Texto lo siguiente: * División de dos monomios y repaso de las propiedades de los exponentes.155 Lámina 6. indica los polinomios que son factores o divisores del polinomio dado.3 División de Polinomios
14x .matelandia.5
7.4 b) x3y 4 entre 2x2y4 d) 3x2 .)Cómo se relaciona el cociente de D(x) entre ax + b y el cociente de D(x) entre x + b/a?
8.5)2 e) x3 .4x . Utiliza la división sintética para dar el cociente y el residuo de 3x3 . )Por qué todo número real no cero es factor de un polinomio? Escribe p(x) = 2x5 .5x entre 2x f) 6x3 .5)3 entre (x . Efectúa la división y expresa el resultado en la forma D(x) = d(x)@q(x) + r(x) a) 6bx entre -2b c) (x .14x .5x + 8 como producto de a) 2 por otro polinomio b) 3 por otro polinomio
6. )Cómo se relaciona el cociente del ejercicio 6 f) con el cociente del ejercicio 7 b)? )Cómo son sus residuos?
9.2x2 + 8 entre x .2 entre x .1 b) 3x + 4
.2 entre 2x . Aplica el algoritmo de la división sintética para obtener: a) x3 . )Cuándo sucede que D(x) = d(x)@q(x) + r(x) donde r(x) ≠ 0?
4.2x2 + 8 entre x .156
www.6x + 5 entre a) 2x .4 b) 6x3 .4x .
UNIDAD 6 Examen de Fichas sobre Láminas 6. entonces a) p(x) . su coeficiente principal es y su indeterminada es
II Operaciones con polinomios (10% c/u)
1.matelandia. Si p(x) = 3x3 + 4x .org
Conferencia No.x q(x) = b) p(x) ÷ q(x) =
1. Si q(y) = 3xy4 + 5.1 a 6. Si el polinomio p(x) = 5x5 .2x a) la forma canónica de p(x) = b) el gr [p(x)] = c) el coeficiente a3 = d) el coeficiente a4 = e) p(x) está definido sobre f) el término principal es g) el término independiente es 2. 8
www.4 CALIFICACIÓN:
DESARROLLO I Escriba su respuesta en el espacio dado
(3% c/u)
2 + 3.157 LABORATORIO: CUESTIONARIO No. El grado del término 3x2y3z es 3.5 y q(x) = x2 – 1.x3 + 3x5 .
1)(0.0.matelandia.10 =
d) x3 .0.5)5 = b) (0.11x .
Dé el resultado por simple inspección (5% c/u) a) (2x .1) = c) (2x .3)(5x + 4) = d) (x + 2) (x5 .x + 3 =
b) 8x6 + 1 =
c) 6x2 .x + 1 =
e) x4 + x2 + 1 =
.3x + 0.2x + 3) = e) (2x + 2)3 =
IV Factorice las siguientes expresiones (5% c/u):
a) x5 .3x .158 III Productos Notables.x2 .
a) – 3x 3 + 5x 2 + 3x – 4 3. k = .4m 2 13. 8.1
1. dos de ellos son positivos y cuadrados perfectos (por lo general se escriben en el primer y tercer lugar) y el otro término es el doble producto de las raíces de los cuadrados. 2. a) 9x 2 . Propiedad distributiva. a) p = 4x – 10 b) A = x . 4. 2 9.2 (A)
d) – 4a 5 b 6 e) 43a 10 b 6 1. 15. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. a) 3x (2x – 5) 1.1 4 c) (2x – 5 + y) (2x – 5 – y) d) no es factorizable o sea que es primo. Efectúe.2xy – 2y ) d) (y – 5) (2y – 3). Igual para la multiplicación. 6.3x 2 2 2 2 b) (x – 1) (5x – 1) c) 3x (3x . a) x + x – 6 b) 6x 2 . las demás son algebraicas ii) Todos los números son constantes y las letras son 2 variables iii) f) iv) b). 4.2 (B)
b) 6x 3 . a) – 2y b) 21 + 5a – 20b c) 13x 2 . conmutativa. opuesto o negativos de los coeficientes.
.2a + 1 4 11. 2 2 6. Q[x] : conjunto de polinomios con coeficientes racionales y Z[x]: polinomios con coeficientes enteros. i) Excepto c). b) La diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de la suma de los números por su diferencia. Son polinomios de grado cero. a) 9a 2 . donde y = 7 + x c) (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 . más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo número más el cubo del segundo número. 8 ó 7 10. f) v) b) 4x + 4x – ( 3 + 1) e) x 4 . elemento neutro: 0. a) (2x + 3 (2x – 3) b) (xy 2 + 4) (xy 2 . 5x – 4 7. 7.matelandia. e). a) (2x + 1) 3 b) (3x – 2) 3 c) (3x – 4y 2 ) (9x 2 + 12xy 2 + 16y 4 ) d) (4xy 2 + 2) (16x 2 y 4 .6x 4 y + 12x 2 y 2 .8y 3 c) 27x 3 + 8 d) x 3 .17x + 5 5. 5. 5. a) 6x 3 . a) (x + 9) (x – 1) b) (x – 8) (x + 4) c) (x + 12y) (x + 6y) d) (x – 14y) (x + 3y) e) 6(x + 1) (x + 3) f) 3(x – 7) (x – 1) g) (3xy + 2) (xy + 3) h) (4xy + 3) (xy – 6).8xy 2 + 4).125.5x
Lámina 6. 2. Tienen las mismas propiedades: Asociativa. 6. 0.
Lámina 6. a) El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos el doble producto del primero por el segundo número más el cuadrado del segundo. Infórmate en un Texto. 3 2 14.12x + 4 b) 8a 3 + 4a 2 + 2/3 a + 1/27. 3.2 7.3x 3 + 1 vi) b) 2 e) 4 f) 5 vii) e) f) viii) b) 4. .( 3 + 1) e) 1.159
www. (x + b) (x + d) = x + (b + d) x + bd 7.26x + 10 b) 2x 2 + 12x – 5 c) – 4x 3 + x 2 + 4x – 1.2x 2 + 2x 3. b = 13. 9 b) 16 .4) 12. c) El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número más el triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo. El cero se define como un polinomio sin grado.org
RESPUESTAS UNIDAD 6: LOS POLINOMIOS. 9. 4. excepto el cero. S = 35x – 110. a) 4a 2 + 20ab + 25b 2 b) 4a 2 . a) 2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 66 b) x – 6 = 5y. a) 8x + 36x + 54x + 27 b) x 6 . 1 f) 1. Tiene tres términos. 2.
Los residuos son iguales.
. 4. El cociente de D(x) entre ax + b es igual al cociente de D(x) entre x + b/a divido por a.
Respuestas Cuestionario No.org
1. residuo 7x – 5. 3x. 3. y 3 II.x 3 + 5x 2 1 2
x + (3 .. a) (-2b) (-3x)
b) (2x 2 y 4 ) ( 1 x) 2
c) (x – 5) 2 (x – 5)
e) (x – 4) (x 2 + 2x + 4) + 24
f) (2x – 5) (3x 2 +
x + 47 ) + 4
b) (x .21 ) + 19 2 2 4 8 8 b) 3(x + 4 ) (x 2 3
. 5. a) 2 (x – 1 ) ( 3 x 2 + 3 x . El cociente de 6f) es la 7. a) (x ) e) es primo.2 ) 2. a) 2(x 2 b) 3( 2 x 2 3 d) 2x( 3 x 2
x + 4)
x+ )
6.5 b) 3x. 9. 2. 10.12 c) (3x + 2) (2x – 5)
d) x 3 +
e) 8x 3 + 6x 2 +
IV. b) 0.2x 2 + 1)
www. 1..5 ) (6x 2 + 15x + 47 ) + 227 .25
c) 10x 2 . a) 2x + 3x .09x 2 . 6 3. 8.160 Lámina 6.. a) 4x 2 . 8
I.2x + 0.matelandia. Cuando d(x) y q(x) no son factores de D(x). a) p(x) = 3x 5 .2 )
e) ℜ
f) 3x 5
g) (3 .
d) (x – 1) 2 (x + 1)
b) (2x + 1) (4x 4 . a) (x – 4) (x 2 + 2x + 4) + 24 2 2 4 mitad del 7b).01 III. Son de análisis.7x .
Brahmagupta.matelandia. 9
UNIDAD 7: ECUACIONES E INECUACIONES POLINÓMICAS
“El hombre sabio eclipsará la fama si propone problemas algebraicos. si los resuelve”. 7. 9
VALOR NUMERICO ECUACIONES FACTORES Y CEROS DE UN POLINOMIO RESOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES
Contenidos y Láminas No. y más aún.8
CUESTIONARIO No.161
GUION DE CONFERENCIA No.1 a 7.
* Inecuaciones polinómicas. Primer grado * Ecuaciones de Segundo grado. + Máximo común divisor. * Ecuaciones de grado mayor que dos.1
Lámina 7.5 y 7. RECURSO
1. + Resolución y aplicaciones. RESOLUCION DE INECUACIONES DE GRADO MAYOR O IGUAL A DOS. + Propiedades de Uniformidad y principios de transposición 2. * Resolución de Inecuaciones de Primer Grado. * Teorema del Factor. 6. * Aplicaciones. DESARROLLO. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.162
www. + Soluciones o raíces de una ecuación.org
TEMA: VALOR NUMERICO ECUACIONES FACTORES Y CEROS DE UN POLINOMIO
RESOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES
GUION DE CONFERENCIA No. * Inecuaciones equivalentes. * Aplicaciones. INECUACIONES POLINOMICAS.
Lámina 7. + Propiedades de monotonía y principios de transposición. VALOR NUMERICO DE UN POLINOMIO. + Mínimo común múltiplo.7
Lámina 7.6
Lámina 7. 3.2
Lámina 7.3 y 7. + Ecuaciones equivalentes. ECUACIONES DE GRADO CERO Y DE PRIMER GRADO. 4.matelandia. * Factores polinómicos primos. * Factores de un polinomio y sus ceros. * Grado de una Ecuación. * Métodos de resolución. 5.4
Lámina 7. * Teorema del residuo. Identidades y Contradicciones * Ecuaciones de Primer Grado. 9 ECUACIONES E INECUACIONES POLINOMICAS CONTENIDO:
* Valor Numérico de un Polinomio * Ecuaciones Polinómicas y equivalentes * Ecuaciones de grado Cero.8
. Generalidades. FACTORES DE UN POLINOMIO Y SUS CEROS. * Ecuaciones polinómicas. * Ecuaciones de grado mayor que dos.
ECUACIONES E INECUACIONES POLINÓMICAS
* Valor Numérico de un Polinomio * Ecuaciones Polinómicas y equivalentes * Ecuaciones de grado Cero. * Inecuaciones polinómicas.
.matelandia. * Factores de un polinomio y sus ceros.org
CONFERENCIA No. * Ecuaciones de grado mayor que dos. Primer grado * Ecuaciones de Segundo grado.163
La ecuación 3x5 + 2x .matelandia. Conclusión: La igualdad 3x5 + 2x . Una ecuación es el problema planteado al revés: dado el v.4)5 + 2(0. 3. Si se sabe que 3x5 + 2x .4
2.72 igual al residuo de dividir p(x) entre x .n. 3 2 -5 -9 21 -3 3 -7 16 = P(-3) x = 0.3.c) + r.5 = 16. de donde p(c) = r.
. ECUACION POLINOMICA.0.4) . pero también se cumple cuando x = 7/3. 2.4) = -3.5 = 16 equivale a 3x5 + 2x . entonces un valor de la x es -3.28 0. del polinomio buscar el valor de x o incógnita de la ecuación.4. por el algoritmo de la división.1 1.4) = 3(0.6 .c.4 3.5 = .21 = 0 equivale a x5 + 2/3 x .72 = P(0.org
LÁMINA 7.2 1.2 -3. PROPIEDAD DE UNIFORMIDAD O PRINCIPIO DE TRANSPOSICION: La ecuación 3x5 + 2x .5 = 16 es una ecuación polinómica de Segundo Grado y sus soluciones o raíces son . Hallando el residuo de dividir p(x) entre x . Porque p(x) = q(x) (x .3 y 7/3.164
www. tal que p(c) es igual al residuo de dividir p(x) entre x -c.c) + r. Si p(x) = 3x5 + 2x .72 valor numérico de p(x) en x =0.7 = 0 por la propiedad de uniformidad de la multiplicación.5 es un polinomio en la indeterminada x. o sea p(x) = 0.4 es p(0.5 entonces el valor numérico para:
x = -3 es p(-3) = 16 igual al residuo de dividir p(x) entre x + 3. se puede obtener: 1. entonces cuando se sustituye la x por -3 y se efectúan las operaciones indicadas en p(x) se tiene
p(-3) = 3 (-3)5 + 2(-3) . VALOR NUMERICO: Si p(x) = 3x5 + 2x . y p(c) = q(c) (c . Sustituyendo la x por el valor c y efectuando las operaciones. TEOREMA DEL RESIDUO: El valor numérico de p(x) para x = c es p(c).3 p(0.5 = 27 .21 = 0 por la propiedad de uniformidad de la suma o bien por transposición de 16 al primer miembro con el signo contrario. 3 3 2 -5 1.4)
El valor numérico de un polinomio p(x) en x = c. Conclusión: La ecuación polinómica hereda el grado del polinomio y se dice que está en forma canónica o normal si el polinomio está ordenado e igualado a cero.5 = 16 y se dice que 16 es el valor numérico de p(x) cuando x = . 4.
50 ) Cuál es el precio de costo del artículo?
. por lo que se consideran ecuaciones de grado cero.1) es el vacío. 3. Ejemplos: Las ecuaciones 2x + 5 = 11 y 3x .b/a Propiedad de transposición ax + b = 0 ax = -b x = -b/a
Ejemplo: Para resolver la ecuación x(x + 5) = (x + 3)(x .1. Toda ecuación es equivalente a su forma canónica.165
LÁMINA 7. CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN. 2. no existe ningún número que cumpla esa relación y al escribirla en forma canónica se tiene x5 + 1 = x5 . El conjunto solución de (x + 1)5 = x5 + 2x + 1 es el conjunto de los reales.x5 . ECUACIONES DE PRIMER GRADO. En cambio. En general. x5 + x = 0 y x + 1 = 0 no son equivalentes. porque x = 3 es la raíz o solución de ambas ecuaciones.x = -6 4x = -6 y se reducen los términos semejantes de donde x = -3/2 Aplicación: El total de la factura incluido el 7% de impuesto fue por L 314.6 se transponen los términos x5 + 5x . Una ecuación de primer grado tiene a una raíz o solución. En cambio el conjunto solución de x5 + 1 = (x + 1)(x .org
1. una ecuación de grado n tiene a lo más n-raíces reales. Al escribir su forma canónica resulta 0 = 0. o sea 2 = 0 que no puede ser y de ahí su nombre de contradicción. -1} y para la segunda S2 = {-1}.2 = 7 son equivalentes. Una ecuación de segundo grado tiene a lo más dos soluciones o raíces. Tanto en las identidades como en las contradicciones al escribirlas en forma canónica desaparece la incógnita.2
www. S = R. El conjunto solución de la primera es S1 = {0. ECUACIONES EQUIVALENTES: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones o conjunto solución. Su forma canónica es ax + b = 0 y su solución -b/a se obtiene aplicando la propiedad uniforme o el principio de transposición: Propiedad Uniforme: ax + b + (-b) = 0 + (-b) ax = -b (1/a) ax = (1/a) (-b) x = .2) se efectúan las operaciones x5 + 5x = x5 + x . Esta expresión se llama una identidad por cumplirse para todo número que sustituya a x.matelandia.
c no son ceros: 3x5 .07x = 314. Para resolver una ecuación de segundo grado se emplean varios métodos: * Por factorización. entonces a(x . x = 2
Cuando b = 0. donde a … 0 La ecuación puede ser: i) Completa.5}
. c debe ser negativa.07x = 314. ax5 + c = 0. ECUACION DE SEGUNDO GRADO.2x = 0 2. para poder factorizar. S = {2. si b.93
www.50 1.8x + 7 = 0 ii) Incompleta si b = 0 ó c = 0: 2x5 .07x = 314. de donde x = r1. miembro en cuadrado: x5 + 3x + 9/4 = 10 + 9/4 Reduciendo (x + 3/2)5 = 49/4 Extrayendo raíz cuadrada x + 3/2 = ± 7/2 Resolviendo las ecuaciones x = . METODOS DE RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. r2} Ejemplo: Completa x5 + 3x + 2 = 0 entonces (x + 2)(x + 1) = 0 x + 2 = 0. Resolver por completación de cuadrados: x5 + 3x . o bien una sola solución de multiplicidad dos o ninguna solución real. se tiene que x .4 = 0 (x + 2)(x -2) = 0 x = -2.org
Comprobación: Costo L 293. L 20. en el caso de que sea posible: ax5 + bx + c = 0.matelandia. x = -3 x5 . 3x5 .50
LÁMINA 7. x = r2.166
Planteamiento: Sea x el precio de costo. * Por completación de cuadrados.50 x = 293.3 1.r1 = 0 ó x .57 Total L 314.5 = 0.r1)(x . Una ecuación de segundo grado tiene a lo mas dos soluciones o raíces.r2 = 0.3/2 ± 7/2 Entonces.r2) = 0 aplicando la recíproca de la propiedad absorbente del cero. Su forma canónica es ax5 + bx + c = 0.93 7% Impto. .50 Resolución: x + 0. x + 1 = 0 x=-2 ó x=-1 Incompletas: x5 + 3x = 0 x(x + 3) = 0 x = 0. entonces x + 0.10 = 0 Transponiendo se tiene: x5 + 3x = 10 Convirtiendo el 1er. o sea S = {r1.
LÁMINA 7. entonces hay una solución real de multiplicidad dos.8. Los dos grifos juntos llenan la pila en 2 horas y 24 minutos. )En cuánto tiempo la llena cada grifo por separado? Planteamiento Sea x horas que tarda B (x + 2) horas tarda A. B hace 1/x de pila A hace 1/(x + 2) de pila.org
Transponiendo y dividiendo por a: x5 + b/a x = . Juntos en 1 hora hacen 1/4 + 1/6 = 5/12 de pila.10x .4
Entonces 2. entonces hay dos soluciones reales diferentes.10 y c = . donde a = 3.4ac)1/2]/2a Ejemplo: Resuelva con la cuadrática la ecuación 3x5 .
x+2+ x 1 = x(x + 2) 2.8 = 0. x2 = = − 6 6 3 Luego el conjunto solución. entonces de donde
x = − ( − 10 ) ± ( − 10 ) 2 − 4 ( 3 )( − 8 ) 10 ± = 2 (3) 100 + 96 10 ± 14 = 6 6
10 + 14 10 − 14 2 = 4 . Si ∆ > 0. APLICACIONES: El grifo A tarda en llenar una pila 2 horas más que el grifo B.4ac)1/2/2a De donde x = [-b ± (b5 . 1  24  1  +  2 +  =1 60   x x + 2  Resolución Comprobación B la llena en 4 hrs.c/a + b5/4a5 Operando (x + b/2a)5 = (b5 . La ecuación ax5 + bx + c = 0.4 h igual a 2:24 h. se resuelve con la fórmula x = que se obtiene completando el cuadrado así:
www.4(2x + 2) = x(x + 2) Se reduce a 5x5 . x = -6/5 La solución es x = 4 h.
. entonces no hay soluciones reales.c/a Completando el cuadrado x5 + b/a x + b5/4a5 = .4 * Por la fórmula de la cuadrática.4ac)/4a5 Extrayendo raíz x + b/2a = ± (b5 .matelandia.14x . 3. La pila la llenan en 12/5 de hora o sea en 2.24 = 0 que tiene las raíces x = 4. Si ∆ < 0. juntos hacen 1/x + 1/(x + 2) Entonces.4ac. b = . x1 =
En la fórmula de la cuadrática al radicando se le llama discriminante y se representa por ∆ = b5 . En 1 hora. Si ∆ = 0. S = {4. En una hora. A la llena en 6 hrs. -2/3}.
± 6.matelandia.2) = (2x + 3)(x . cn son sus ceros. entonces (x . c3. ± 2. ± 3. ± 2. x = 2. ± 3...6 p(x) = (2x + 3)(x .c1)(x .2. al encontrar un -3 3 6 -3/2 -2 1 6 -1 4 10 6 2 cero se tiene el factor o 2 -2 -4 0 2 -1 -6 0 2 5 3 0 p(x) = (x + 3/2)(2x5 -2x -4) = (x + 3/2)(2)(x5 . Para descomponer en factores los polinomios no primos de grado mayor que dos se buscan los ceros aplicando los teoremas del residuo y del factor y además el teorema de los posibles ceros racionales r/s. (x .. c2.cn).6 sus posibles ceros son los cocientes r/s..c2) . (x . x = -1 son los ceros de p(x) p(-3/2) = 0.c1).. x .. o sea si p(c) = 0". donde r = ± 1. x + 1 son sus factores de 1er.7x . Nota: Si el polinomio es de 2 1 -7 -6 2 1 -7 -6 2 1 -7 -6 grado tres. y s = ± 1.. y c1. (x .c2). Para descomponer en factores los polinomios no primos de grado dos se puede recurrir al tanteo o la cuadrática.3/4)(x + 2). grado.3)(x + 2) = 4(x . ± a. FACTORES DE UN POLINOMIO. DESCOMPOSICION DE UN POLINOMIO EN FACTORES PRIMOS.c es un factor de p(x) si al dividir p(x) por x . Los polinomios de segundo grado con discriminante negativo son primos. Si p(x) = 2x3 + x5 . Así: 4x5 + 5x .c). El polinomio se escribe como entonces además porque p(x) = 2x3 + x5 ..
www. p(-1) = 0
NOTA: Teorema del Residuo: "El valor p(c) es el residuo de dividir p(x) entre (x . ± 3/2.5 1.2)(x -1)
divisor de p(x) y un cociente de grado dos. Los polinomios de primer grado son primos. p(2) = 0. Si p(x) = a(x .6 = (4x .cn) son factores de p(x). Un polinomio de grado no cero es primo si no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado mayor que cero.org
Dado un polinomio p(x).. en algunos casos. entonces se forman ± 1.c su residuo es cero. al que se aplica lo pertinente a los polinomios de segundo grado.7x .. x = -3/2. ± 6.168
LAMINA 7.2)(x + 1) 2x + 3." TEOREMA DEL FACTOR: "x . 2. ± 2.x .
. donde r es un factor del término independiente y s del coeficiente principal. es posible escribirlo como producto de factores de primer grado (factores lineales).
-3 y 1 de multiplicidad 2.2)
2. entonces p(x) = 0 es una ecuación polinómica. ± 5. ± 1/2.c.c2) q2(x) = 0 hasta que q2(x) sea cuadrático y se le pueda aplicar la respectiva fórmula. entonces r es un cero del polinomio o bien r es una raíz o solución de la ecuación polinómica. la indeterminada x del polinomio se llama la incógnita de la ecuación y sus valores son las raíces o soluciones de la ecuación.matelandia.
En algunos casos no es posible hallar soluciones racionales. ECUACION DE GRADO MAYOR DE 2.2) entonces m. y si se obtiene algún valor c1 que la verifique.c.4x5 .m[p(x). Nota: El m. q(x)] = (x + 2) y m.org
1. lo que equivale a los ceros del polinomio. Si x = r hace que p(r) = 0.m deben ser polinomios mónicos.c1) q1(x) = 0 Ejemplo: Resolver x4 + 2x3 = 4x5 + 2x .c1)(x . La expresión p(x) = 0 se dice que es una ecuación polinómica de grado igual al del polinomio.5 = 0 Al probar las posibles soluciones x = ± 1.1)5 = 0.2x + 3 = 0 y las posibles raíces son ± 1.169
LÁMINA 7. Por ejemplo: Resolver la ecuación 2x3 + 2x . entonces la ecuación se escribe como: (x . Ejemplo: Si p(x) = x3 + 4x5 + 4x = x(x + 2)5 y q(x) = x5 .c.4 = (x + 2)(x . MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO PARA POLINOMIOS: su definición es semejante a la dada para los números naturales.
.5x + 3) = 0.q(x)] = x(x + 2)5(x . Entonces las raíces son x = -1. Hay un teorema que no trataremos. ± 3 y obteniendo: (x + 1)(x3 + x5 . que asegura que si el grado de la ecuación es impar tiene al menos una solución real.6
www. Si p(x) es un polinomio.d y el m. 1}
se busca otro cero c2 para q1(x) y se tiene: (x . -3. S = {-1. entonces (x + 1)(x + 3)(x5 .2x + 1) = 0 De donde: (x + 1)(x + 3)(x . ± 3/2 con la regla de Ruffini el residuo no es cero para ningún caso.c.d[p(x).3 La ecuación en forma canónica es x4 + 2x3 . Entonces esta ecuación no tiene soluciones racionales. Para resolver una ecuación de grado mayor que dos se tantean las fracciones r/s.
75 < 0
Para evitarnos algunos cálculos. x5 + 3x > x5 + 7x + 5 (-2)(-2 + 3) > (-2)5 + 7(-2) + 5 y se 3x . y con los números negativos anteriores si se alternan los signos de los términos del tercer renglón en la división sintética.7 1. -5/4[ 2 (2 + 3) Ý 25 + 7(2) + 5 resultando 10 < 23 -5/4
. INECUACIONES EQUIVALENTES son las que tienen el mismo conjunto solución. 4[ ! -2
Si se toma – 5 ∉ S no verifica la desigualdad porque (-5)5 (.4x > 5 x < -5/4 En cambio si se sustituye x = 2. Al resolver el ejemplo x5(x + 2) ≥ 0 se obtiene el conjunto solución S = [-2. Ejemplo de inecuación es x3 + 2x5 ≥ 0 2. no se cumple la desigualdad porque S = ] -4.matelandia. INECUACIONES DE PRIMER GRADO: Para resolver estas inecuaciones se tendrán que aplicar las propiedades de monotonía o bien los principios de transposición. 4[ 4.5 + 2) = .
www. nos auxiliamos de la "regla de las cotas" que nos indica no probar con los siguientes números positivos si son positivos todos los términos del tercer renglón de la regla de Ruffini.7x > 5 cumple porque -2 > -5 . Ejemplo: Son equivalentes las inecuaciones x3 + 2x5 ≥ 0 y x5(x + 2) ≥ 0 Ambas tienen el mismo conjunto solución S = [-2. -5.org
Así para la ecuación anterior:
2 0 -5 2 0 2 -5 145 5 5 -1 1 − 5 − 1 4 2 2 4 2 125 5 29 25 2 5 2 -1 − 4 2 2 4 No es necesario probar 5. INECUACIONES POLINOMICAS: Una inecuación polinómica en forma canónica se representa por p(x) > 0 o bien p(x) < 0. No es necesario probar -5/2. Ejemplo: Para resolver x(x + 3) > x5 + 7x + 5 Comprobación: Se toma algún valor del debe efectuar las operaciones antes de conjunto solución S para verificar la hacer las transposiciones o aplicar las respuesta. Resolver una inecuación es hallar un subconjunto de los reales representado por un intervalo. 2 25 2
LÁMINA 7. por ejemplo x = -2 y se sustituye propiedades de monotonía: en la inecuación dada.
3x . PARA RESOLVER INECUACIONES DE GRADO DOS O MAYOR QUE DOS se siguen los siguientes pasos: i) La inecuación se escribe en forma canónica. son de grado dos o mayor que dos si ese es el grado del polinomio correspondiente.] -5/2. -5/2] ∪ [3. INECUACIONES DE GRADO DOS O MAYOR QUE DOS. 4 [
2. se analiza la variación del signo de cada factor y de su producto. La inecuación equivalente en su forma canónica es x5 .4)(x + 1) < 0 Tabla de variación de -1 x–4 x+1 o P(x) + o S = ] -1.matelandia.1 Û 3(5 + 1) porque 24 > 18
Comprobación Se verifica para x = . Resolver (3 . iii) Luego.org
Las incuaciones p(x) ≥ 0 o bien p(x) ≤ 0.1 < 3(0 + 1) . la verifica.1 < 3(x + 1). entonces 0 . En cambio.8 1. porque (3 + 7)(75 + 1)(2 × (-7) + 5) ≤ 0 10 × 50 × (-9) ≤ 0 No se verifica para x = 1 ∉ S. ii) Se expresa como producto de factores primos.4 < 0 y factorizada: (x .1 < 3.
www. 3[
-5/2 3
Comprobación Si x = 0 ε S. EJEMPLOS: 1. para x = 5 ∉ S se tiene 55 . porque (3 – 1)(1 + 1)(2 + 5) Û 0 2× 2× 7 > 0
. iv) La solución será el conjunto de valores donde el producto sea positivo ( >.x)(x5 + 1)(2x + 5) ≤ 0 Tabla de variación de signos -5/2 3–x x5 + 1 2x + 5 P(x) + + + + + + 3 o
signos 4 o + o
S =] .7 ∈ S. ∞ [ = ℜ . Resolver x5 .∞ .171
LÁMINA 7. 2. ≥ 0) o donde sea negativo ( < 0) 3.
172 FICHA DE ESTUDIO No. * La forma canónica de una ecuación. 7 UNIDAD7: ECUACIONES E INECUACIONES Lámina 7. Dado el polinomio P(x) = 3x .
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. Aplicar el teorema del residuo para calcular el valor numérico de un polinomio. Determinar las propiedades de las ecuaciones polinómicas. 3. Interpretar una solución de una ecuación como un número que transforma la ecuación en una identidad numérica.matelandia. Encontrar el valor numérico de un polinomio.x2 + 2x3.
. Estudia en un Texto lo siguiente: * El valor numérico de un polinomio. * Ecuación polinómica y su aplicación en la resolución de problemas.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.1
Valor numérico y Ecuaciones Polinómicas
Al concluir esta guía podrás: 1. obtenga P (-2): a) Por sustitución directa b) Por el teorema del residuo. * Propiedades de uniformidad y principios de transposición. * Conceptos de variable y de dominio de la variable * Teorema del residuo y su aplicación para calcular el valor numérico de un polinomio. 4. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. 2.
Indica la propiedad aplicada en cada caso: a) x = -4 equivale a x .matelandia. Escribe en forma canónica e indica el grado de las ecuaciones: a) b) 5x3 .
4.3x = 6x5 + 3x3 . Si p(x) = 2x5 .3 + x4 = 4x5 .
. y p (3) = 5.5x5 + kx . )Existe alguna restricción para las propiedad de uniformidad?
7.6 4x .3.11 b) x = -3 equivale a c) x = 8 equivale a -5x = 15
5. entonces calcula p(c): p(c) = 3. Halla el valor de k si p(x) = x3 .173
www.2 3 .org
2.7 = . A partir de las propiedades de uniformidad. Escribe dos ecuaciones equivalentes a 3x5 = 12. deduce los principios de transposición. y c = 1 .5x + 3.
b) Completación de cuadrado. tiene como solución x = -b/a. 3. Uno y Dos
Al concluir esta guía podrás: 1. Resolver cualquier ecuación de grado cero interpretándola como una identidad o como una contradicción. 2. Estudia en un Texto lo siguiente: * La ecuación de grado Cero: la identidad y la contradicción. 7.matelandia. Resolver cualquier ecuación de segundo grado. encuentra cuatro ecuaciones equivalentes a ella. * La ecuación de segundo grado y sus características. * Propiedades de uniformidad y principios de transposición.2.4
www. Dada la ecuación 3x + 5 = 0. * Métodos de solución de la ecuación de Segundo Grado: a) Factorización. Resolver cualquier ecuación de primer grado. * La ecuación de primer grado y su método de solución.org
Ecuaciones de Grados Cero.
. c) Fórmula de la cuadrática. Verifica. 3. * Aplicaciones de ecuaciones de primer grado a la resolución de problemas. ax + b = 0. que toda ecuación ax + b = 0. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.3 y 7.
1. )Por qué en la ecuación de primer grado.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. en forma canónica. 2. utilizando los principios de transposición.174 Láminas 7. a debe ser diferente de cero? 2.
5)(3x + 2) + 7x = 12x2 .10 5. Encuentra los valores de a y b. aplica la fórmula de la cuadrática para encontrar: a) x en términos de y b) y en términos de x
11. )Cuándo la ecuación ax2 + c = 0. tiene soluciones reales?
9.9x2 = 6x + 1 b) (4x . b) p = 2a + 2b.5x = 9
10. Dada la ecuación 4x2 . Completa el cuadrado en el primer miembro de las siguientes ecuaciones: a) x2 + 3x = 3 b) 2x2 . 7. (Longitud de la circunferencia). una de las soluciones siempre es cero? 8.175
www. tales que 5/3 es una solución de la ecuación ax + b = 0.org
4. c) an = a1 + (n . Verifica que si r1 y r2 son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0. para n.matelandia. para a.y2 = 0. entonces: r1 r 2 = c a r1 + r 2 = b a
.1)d. )Por qué en la ecuación ax2 + bx = 0. Dadas las fórmulas siguientes. para r. (Perímetro del rectángulo). 6. Verifica que las ecuaciones siguientes son identidades: a) (3x + 1)2 . despeja la variable indicada: a) c = 2πr.4xy + 1 . (Progresión aritmética).
www.m.matelandia. x 2 − 2
. Ceros de un polinomio.c. * Teorema del factor.org
Factores de un Polinomio y Ceros de una Ecuación
Al concluir esta guía podrás: 1. Las raíces o soluciones de una ecuación. Prueba que el segundo polinomio es un factor del primero y encuentra el otro factor: a) x 5 + x 4 − 16 x − 16. 2. Estudia en un Texto lo siguiente: * Los ceros de un polinomio. 7. Factores de un polinomio. 2.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. x + 2 c) x 4 − 6 x 3 + 3x 2 + 12 x − 10. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. Resolver ecuaciones de grado mayor que dos. x − 2 b) x 5 + 32. Teorema Fundamental de la Aritmética extendido a los polinomios y sus aplicaciones: m. )Por qué es importante conocer los ceros de un polinomio? 3. Extender el Teorema Fundamental de la Aritmética a los polinomios.5. Relacionar los ceros de un polinomio con sus factores de primer grado. Encuentra la relación entre el Teorema del Residuo y el Teorema del Factor.c. * Polinomio primo.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.d y m.
1. 3. * Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos.176 Láminas 7.
13. donde c es un número real. Encuentra los ceros restantes y la factorización completa. Halla un polinomio mónico P(x) de grado 3 tal que los tres ceros son 5.c. Utiliza el Teorema del Binomio para construir un polinomio que tiene c = 2/3 como único cero de multiplicidad 5. )Por qué un polinomio de grado n.
12. Encuentra el valor de k tal que el segundo polinomio sea un factor del primero: a) x 3 + x 2 − 10 x + k .4 x + 13x . si son reales: b) 3x 3 + 4 x 2 − 6 x − 1 a) 2 x 3 − 7 x 2 + 9 x − 4
www. -2.
9. no puede tener mas de n ceros diferentes en ℜ ?
10. 7. no son polinomios primos?
11.yn para cualquier entero positivo n.6. Utiliza el Teorema del Factor para probar que x . del polinomio mónico 5 4 3 2 x + 2 x . verifica que c = 1 es un cero. Encuentra los otros ceros. )Por qué los polinomios de grado cero (números reales).6 x . -3. Muestra que 1 es un cero de multiplicidad 3. Halla un polinomio mónico de quinto grado tal que -2 sea un cero de multiplicidad 3 y 4 un cero de multiplicidad 2.
. x − 4 b) x 4 + kx + 10 .y es un factor de xn . Muestre que el polinomio 3x4 + x2 + 5 no tiene factores de la forma x .org
4. x + 2 5. En los siguientes polinomios.matelandia.
15.3 x2 + 2x + 2 = 0 b) 9 x4 + 15 x3 . c) Encuentra las dimensiones del triángulo.178
www.17 x4 + 51 x3 .20x + 16 = 0 c) 3 x5 .
17.6 x3 + 24 x 2 + 11x . Resuelve la ecuación.58 x 2 + 4x + 24 = 0.org
14.4x + 6 = 0 b) 2 x5 + 3 x3 + 7 = 0
18. Prueba que las ecuaciones siguientes no tienen soluciones racionales: a) x3 + 3 x 2 . En las ecuaciones del ejercicio anterior prueba las posibles raíces racionales y resuelva la ecuación con soluciones en el conjunto Q de los racionales. Un triángulo rectángulo tiene un área de 30 cm2 y su hipotenusa es 1 cm más larga que uno de los catetos.20 x 2 .
. Muestra que x = 2 es una solución de multiplicidad 3 de la ecuación 2 x5 . muestra que 2x3 + x2 .3600 = 0 b) Prueba que la ecuación anterior sólo tiene una raíz positiva.10 x4 . a) x3 . Para las ecuaciones que se dan a continuación indica las posibles raíces racionales. a) Si x representa la longitud de ese cateto.matelandia.
2. * Propiedades de monotonía y principios de transposición.matelandia. * Resolución de inecuaciones de grado mayor de dos y aplicaciones.179 Láminas 7. Indica la propiedad utilizada en cada caso: a) a > b y b > c entonces a > c b) a > b entonces a . Resolver inecuaciones polinómicas. Representa gráficamente en la recta real.c c) a > b y c < 0 entonces ac < bc b) x ≤ -1 y x ≥ -1 d) x < 2 ó x > 2
.7 y 7.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. Interpretar una desigualdad y su solución como valores numéricos que se satisfacen en determinados intervalos reales. los intervalos siguientes: a) x > 2 y x ≤ 3 c) x > -1 ó x ≤ -3 2.c > b . * Resolución de inecuaciones de primer grado y aplicaciones.org
Inecuaciones Polinómicas y Aplicaciones
Al concluir esta guía podrás: 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * La inecuación y su solución.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno. * Resolución de inecuaciones de segundo grado y aplicaciones. 2.
1 ≤ x + 2. si a ≠ 0.1) ≤ 0
10. )Por qué la inecuación x5 + 2x < -1 no tiene solución en los reales?
8. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado: a) (2x .180
www. 3 6 6. Resuelve la inecuación
x − 1 x ≥ −1 3
2 x .org
3.1) < 0 b) x5(x + 2)(2 .2) ≥ 0
7.3x + 2 es un número real?
9.1)(x + 3) ≤ 0 b) (1 .3x)(4x . Resuelve las siguientes inecuaciones: a) x5 ≥ x b) x5 ≤ 1 c) x3 < 1
. )Para qué valores de x. Da el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y represéntalo en la recta real: a) (2x . Escribe tres inecuaciones equivalentes a la inecuación 2 1 x .matelandia.
4.2)(4x .x)(x .x)(3x .1)(2 . Resuelve la inecuación ax + b > 0.
-2.mx + 4 tiene un cero en x = .
7.6 = 0 tiene como posibles soluciones racionales a
.x2 . Si x + 3 es factor de p(x) entonces x = es un cero de p(x). La ecuación 2x3 . entonces por el teorema del residuo p(-2) = 10.x > x .1 a 7.8 CALIFICACION
(4% c/u)
1. 3/2 y coeficiente principal 4. El conjunto solución de x2 . El conjunto solución de x2 + 1 > 0 es 4.org
Conferencia No.a es de p(x). entonces m= 8. 9
UNIDAD 7 Examen de Fichas sobre Láminas7.1.181 LABORATORIO: CUESTIONARIO No. 3. 6. Si p(x) = x3 + 3x2 . entonces p(x) = 9. Si x + 5 es un factor de x3 + ax2 + bx + c tal que a. entonces x . 9
www.2. b. Si p(x) tiene los ceros 3.1 es 5. c ε Z entonces c debe ser múltiplo de -5. Si x = a es una raíz de p(x) = 0. El residuo de dividir p(x) = x23 . Si p(x) = x3 + 2x2 + x .7x + 4 entre d(x) = x + 1 es 2.matelandia.
4. halle la longitud del lado del cartón dado. Su perímetro es mayor o igual que 42. Encuentre las posibles dimensiones del rectángulo.matelandia. Halle k tal que las raíces de la ecuación x2 + 2x + k + 3 = 0.
3. Resuelva la ecuación x2(3x + 5) = 4x + 4
2. Resuelva los siguientes problemas (15%)
www. La base de un rectángulo es el doble de la altura disminuida en 3. Con un cartón cuadrado se construye una caja cortando en cada esquina un cuadrado de 2 pulgadas de lado y doblando los lados.org
1.182 II. Si el volumen de la caja es de 128 pulgadas3.
www. P(x) = (x – 5) (x + 2) (x + 3) = x 3 . ± 4 . o sea (x – 1) 3 (x + 2) (x + 3) = p(x) = 0. Cuando c ≤ 0. Cuando el residuo es cero. P (-2) = . Son ejemplos de polinomios primos. a) (x – 2) (x + 3x + 6x 2 + 12x + 8) soluciones de la ecuación polinómica. y). (x – 2/3) 5 = x 5 .1
1. ± 3.5 y 7. ± 1 . ± 2 b) ± 1.5x + 4). . 3 9 27 81 entonces P(x.40 b) – 13. Lámina 7. ± 2. y) = x n . Porque su máximo número de factores lineales es n. ± 6.7x – 10 + 7x = 12x 2 .26 2.5/3 c) x + 2 = 1/3 d) 3x + 6 = 1. a) . 12.10 x 4 + 40 x 3 + .2x + 4x .18. a) r = c b) a = (p – 2b)/2 b) 12x 2 . porque con sus exponentes positivos se obtienen cantidades positivas. Si P(x. a) 2x 3 . 32 9. 5a + 3b = 0.6x 2 . 11. ± 9 .4
15. ± 9 . ±
.y n . a) (9x 2 + 6x + 1) – 9x 2 = 6x + 1 5. 2 4 ± 16. El polinomio no se anula para todo valor de c. r2 = . Aplica la propiedad de uniformidad 7. ± 8 . ± 2. .15. 2. 2.(5/2)x + 25/4) = 9 + 25/2 o sea 2(x – 5/2) 2 = 43/2
2 2 10. ± 16 3 3 3 3 3 9 9 9
c) ± 1. ± 2 .
7. aproximadamente. los ceros del segundo factor son. ± 4.2. x) = P(y. Porque no se puede dividir por cero. a) 3x = -5 b) x = . ecuación polinómica de grado 3 b) x = ± 2 4 2 b) x .4/3
. Los ceros son: 1 de multiplicidad 3. a) x = 4 y ± 16 y − 16 (1 − y ) = 4 y ±
y± 32 y 2 − 16 4y ± 4 2y2 −1 = = 8 8
32 x 2 + 4 − 4x ± 2 8x 2 + 1 = = −2 x ± 2 2
2y2 −1 2
8x 2 + 1
− 4x ±
16 x 2 + 4 (1 + 4 x 2 ) − 4x ± = 2
11. 9. Un polinomio de grado mayor que cero se dice primo si no se puede expresar como el producto de dos polinomios de grado también mayor que cero. 3k – 21 = 5. el segundo factor es una cuadrática sin ceros reales: ∆ < 0 b) (x – 1) (3x 2 + 7x – 1).0. 6.10. 10. y) = 0. No se puede dividir por cero. Porque x (ax + b) = 0.6
1. Uniforme: a) suma – 7 a ambos lados de la igualdad b) multiplica por – 5 c) divide por 2. ± 8. entonces x = . 13. r1 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac .80 x 2 + 80 x . 2a 2a
Láminas 7.
Láminas 7.3.3 y 7. 5. ecuación polinómica de grado 4. . ax = . 7.2. Porque son las raíces o 4 3 3.org
UNIDAD 7: ECUACIONES E INECUACIONES. 8. verifica a) y b). . . a) x 2 = 4 8. ± 1 . ± 8 .243 . 4 3 2 c) (x 2 .2) (x 2 .4x + 4x + 4 = 0.2.20x 3 + 32x 2 + 128x + 128. el divisor es factor del dividendo. 6. o sea que x – y es factor de P(x. . entonces k = 26/3 4.3x + 6 = 0.19x – 30. Los números reales de grado cero no son polinomios primos. los de primer grado y los de segundo grado con discriminante negativo. 2/3.matelandia.6x + 5) b) (x + 2) (x . a) x 2 + 3x + 9/4 = 3 + 9/4 o sea (x + 3/2) 2 = 21/4 b) 2(x 2 . 2 5. ±
. 24 + 2 3 3. a) no tiene soluciones racionales
b) 1. 7. 14. ± 16 .2. P(x) = (x + 2) 3 (x – 4) 2 = x 5 .b/a 3. 4.8x + 16) 4.
c) n = ( a n − a 1 ) + 1 d
6. a) ± 1. a) (x – 1) (2x .2x 4 . implica x = 0 ó ax + b = 0
b) 12 (sólo hay un cambio de signo) c) los catetos: 12. 2.∞ . 18.b/a. ½]
1–x x . 2]
7.3. ∞ [ b) S = [. 8.{1} 5. 1.7 y 7. .1} c) ]. a) 2x – 1 x+3
Láminas 7. 2. ¼] ∪ [2/3. ℜ . ± 1/2.b/a. 5 cm. a) no son soluciones: ± 1. a) ]2. S = ℜ . 1/3.{2} 2. p(-1) = . las otras raíces son – ½ y 3. ± 3/2. 4(x – 3) (x + 2) (x – 3/2) 9. -2.2 3. S = [.3] ∪ ]. . ± 6. ℜ 4.2 S = [1. ± 7/2.
.∞ .org
c) – 1 de multiplicidad 2. b)
+ S = [. si a > 0 b) x < . base 2x – 2 ≥ 13. con solución S =].6 5. ¼[ ∪ ]1/2. ∞ [ 9.]0. 17.∞ .4k – 8 ≥ 0 es k ≤ . – 3 10. 1] c) (x – 1)(x 2 . 3] b) {. a) x(x – 1) ≥ 0. 1.8
)x ≤ 3
x ≤ 3. ± 7. II. ± 1/2.1.184
www. a) transitiva b) monótona (suma) c) monótona (multiplicación por un número negativo). ± 1. 1[ b) (x + 1) (x – 1) ≤ 0. c 6. si a < 0.1. factor 3. ± 6 b) ni ± 1. ± 2. ∞ [ 10. El discriminante ∆ ≥ 0: .x + 1) < 0.3x + 2 ≥ 0. S =].matelandia. 16.1 + 7 + 4 = 10 2. 1] ∪ [2. altura x ≥ 8. ± 2. – 4 8. 4. 1[
I. – 3 7. Porque equivale a (x + 1) 2 < 0. (x – 2) 3 (2x + 1) (x – 3) = 0. y un cuadrado siempre es positivo. 12 4. 1.2.∞ . 3. a) x 2 x + 1 /2 = 30
1. a) x > . x ≥ . ± 3. 3.2/3. 2/3[ ∪ ]2. Cuando x 2 . a) 2 x 3
b) ( 2 3 6. ± 3. a) S =]. ∞ [ d) ℜ .
a resolver una sola ecuación”. Descartes.
CUESTIONARIO No.1 a 8.org
UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS
“Reducir cualquier problema a un problema matemático.4
FICHAS DE ESTUDIO DE LAS EXPRESIONES RACIONALES. 10
DEFINICIONES ESTRUCTURA ALGEBRAICA ECUACIONES E INECUACIONES
Contenidos y Láminas No. éste a uno algebraico y éste.185
www.matelandia.
GUION DE CONFERENCIA No. 8.
* Expresiones racionales algebraicas equivalentes y reducibles. * Conjunto Solución y Comprobación.
Lámina 8. GENERALIDADES DE EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS.4
. INECUACIONES RACIONALES ALGEBRAICAS.3
Lámina 8. * Conversión de fracciones algebraicas a un común denominador. ECUACIONES E INECUACIONES. * Tabla de Variación del signo. ECUACIONES RACIONALES ALGEBRAICAS * Valor numérico de una expresión racional algebraica * Dominio. OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS: ESTRUCTURA ALGEBRAICA.2
* Generalidades de las expresiones racionales algebraicas. 10 EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS
DEFINICIONES.matelandia. * Ecuaciones con expresiones racionales. * Suma de fracciones: + Fracciones con un mismo denominado y con distinto + Propiedades. 4. * Definición.org
GUION DE CONFERENCIA No. * Operaciones. * Multiplicación y propiedades. * Ecuación Racional Algebraica: + Forma canónica + Método de resolución + Aplicaciones. * Forma canónica de una inecuación racional. 1.186
DESARROLLO. ESTRUCTURA ALGEBRAICA. * División 3. * Inecuaciones.1
CONFERENCIA No.
.matelandia.187 LÁMINA DE PRESENTACIÓN
EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS
* Generalidades de las expresiones racionales algebraicas.
* Inecuaciones.
* Ecuaciones con expresiones racionales.
x . Varias fracciones algebraicas pueden reducirse a un común denominador. Expresión Racional Algebraica es el cociente de dos polinomios tal que
2. x . 2 .1. entonces las bases elevadas a exponentes negativos indican expresiones racionales algebraicas.3 es la reducida. donde q(x) … 0 q( x)
α ( x) =
x5 + 3 y x3 .1 1. x -9
3.n = ( x n x x
Todo polinomio.1 ) = n .
. Ejemplo: Las expresiones
se reducirán al común denominador x5 .
x2 + 3 es una expresión racional algebraica y x3 − 5
Recuerde que si x … 0.org
p ( x) .3) x .
x 2 + 7 x + 12 se reduce cancelando factores iguales x2 − 9
2 x + 7x + 12 (x + 3) (x + 4) x + 4 = = 2 (x + 3) (x . 2 . considerado como p ( x) =
p ( x) es una expresión racional algebraica. Se llama expresión racional algebraica reducida a la expresión cuyos términos son primos entre sí. como:
-1 x =
1 1 n . 2 2 x -1 x -1 x -1
x x2 x +1 . obteniéndose
2 (x + 1 )2 x (x + 1) x .5 son los términos de la expresión racional.matelandia. x −1 x −1 x −1
expresiones racionales equivalentes a las expresiones dadas.188
LÁMINA 8.n = (x . Ejemplo: Dada la expresión en ambos términos.
3) (x .
1 x + 2 x .2) (x .2 Operaciones con Expresiones Racionales Algebraicas: 1.2 . existencia de elemento neutro (la fracción de numerador cero pero denominador no cero).x2 + x + 6 . Resta de expresiones racionales algebraicas: sumándole al minuendo el opuesto del sustraendo.x+1 x +1
2.x 2 + 2x + 4 = = x-3 x-2 (x .2)
3.2) (x + 1) x -4
Propiedades: Cierre.
 x+1   x + 2  x2 + 4x + 4   =  = 2  x+2   x + 1  x + 2x + 1
. y si es posible se simplifica el resultado. asociativa.
3x + 2 x+2 3x + 2 x+2 1 = = • • 2 2 3 x + 5x + 2 (x + 2 ) (x .2) (3x + 2) (x + 1) (x . se da el ejemplo:
2 2 2 1 x+2 x . como por ejemplo
3 3 3 2 3 x2 + 1 3x x x + 3 x + 3x + 1 (x + 1 ) + 3 + 3 = = 3 3 3 x +1 x +1 x +1 x +1 x + 1)
www. existencia de opuesto para toda fracción (cambiando el signo del numerador). Suma de Expresiones Racionales Algebraicas: a) Con el mismo denominador. asociativa. e inverso multiplicativo para toda fracción no cero.matelandia.189
LÁMINA 8. elemento neutro (el número 1).org
b) Con distinto denominador. Propiedades de la suma: Cierre. conmutativa.x + 1 + x + 3x + 2 2 x + 2x + 3 = + 2 = 3 (x + 1 ) ( x2 .3 ) (x .x + 1) x+1 x . conmutativa. La regla es la misma dada para los números racionales: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Multiplicación.
El hijo pinta la casa en 12 días y el padre en 6. Resolver
3 x 2 − 12 = 0 equivale a 5x − 1
resolver 3x5 -12 = 0. x . Dominio de la variable x en una expresión racional algebraica son los valores permitidos para la x. Luego.14x + 24 = 0 (x . siempre que los ceros de p(x) no anulen a q(x).org
3x − 1 entonces α(2) = 5/(-5) = -1.
Igual resultado para x = . Comprobación: Si x = 2.3 Ecuaciones Racionales. Valor numérico de una expresión racional algebraica: Si α ( x ) =
www. el hijo pinta 1/12 y el padre 1/6 de la casa.190
LÁMINA 8. El padre solo puede hacer el trabajo en 6 días menos del tiempo en que lo puede hacer el hijo.12)(x . o sea que
1 [12 + 61 ]= 1
. x ≠ .1/4. x = 2. o sean los valores que no hacen cero al denominador. 2. donde p(x) y q(x) son polinomios q( x)
canónicos. Ecuación Racional: La forma canónica de la ecuación racional es
5x − 1 entonces los valores permitidos o dominio de la x es x + 3x − 4
p ( x) = 0 .
Comprobación En 1 día. juntos pintan 1/x + 1/(x-6). 4[1/x + 1/(x-6)] = 1 Solución
1 1 1 + = x x−6 4
x5 . x2 − 9
Observe que para esta expresión los valores prohibidos para la x son 3 y -3 porque anulan al denominador y se sabe que no está definida la división por cero. entonces
p ( x) = 0 equivale a resolver q( x)
p(x) = 0. 1.2. o sea x = " 2. Juntos lo hacen en 4 días. α(1) = . Ejemplo: Si α ( x ) =
D(x) = {x ε R | x ≠ 1.
3 × 4 − 12 0 = =0 5× 2 −1 9
4. En un día. ) Cuánto tiempo le toma a cada uno hacerlo solo? Planteamiento Sea x el tiempo del hijo.4} 3.2) = 0 x = 12.6 el del padre En 1 día hacen 1/x y 1/(x-6) respectivamente.matelandia. Problema de Aplicación: Un hombre y su hijo juntos pueden pintar su casa en 4 días. α(3) = 8/0 no está definido.
Inecuación Irracional: es una desigualdad con expresiones racionales algebraicas. Ejemplo: Para resolver
1 3 se debe escribir en su forma canónica: ≤ x 1+ x 1 3 1 − 2x − ≤ 0 que equivale a ≤0 x 1+ x x(1 + x)
Tabla de variación de signos -1 1 . ∞ [ -1 0 2
www.matelandia.2(. y la verifica. Su forma canónica está dada por forma canónica. En cambio.
p ( x) p ( x) ≤0 ó ≥ 0 . para x = .2 ε S. entonces + + -
1.5) 11 = >0 (. Para resolver estas inecuaciones se aplican las tablas de variación de signos de los términos de la fracción.5)) 20
. donde p(x) y q(x) están en q( x) q( x)
2.1/2) 2 ≤0 = (.5) (1 + (.1/4
es menor que cero.2x x 1+x α(x) + + + + 0 o 2 + o + + + !
Comprobación Si x = .1/2) (1 + (-1/2)) .191
LÁMINA 8. 0 [ ∪ [2.2(.5 ó S se tiene "mayor que cero"
S = ] -1.
www. Reducir a un común denominador expresiones racionales algebraicas.
1. * Expresiones racionales equivalentes. 3.1 Generalidades de las Expresiones Algebraicas
Al concluir esta guía podrás: 1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Expresión racional algebraica: sus términos. Simplificar expresiones racionales algebraicas.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.192 FICHA DE ESTUDIO No. 2. * Expresión racional reducida. a) (x2 + 3)-2 c) (x2 + 3)/2 b) (x2 + 3)-2 d) ( x + 1)/3x
. * Conversión de fracciones algebraicas a un mismo denominador.matelandia. Indica cuales de las siguientes expresiones son racionales algebraicas (o fracciones algebraicas).org
UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICA Lámina 8. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. Definir una expresión racional algebraica. 2.
3 .x x2 .0.x x .matelandia. Simplifica o reduce a su mínima expresión:
2 ? = 2 . 2 2 2 b) x . Reduce a un común denominador las expresiones racionales dadas: 3 2 5 .2 x . 3 2 2 a) x + x .x 1 .2 x + x x
3 2x 2 1 . 3 .0.x .6x + 14 x .04 9 x3 .193
www.4 b)
2x . .org
2. Expresa cada fracción como equivalente a otra de denominador dado:
3 ? = 2 a) x + 2 x .4x + 4
4.3 196x .42
3.1 ? = 2 c) x .6x x + 3 x 2 .008 2 a) x .x 2 b) 3 x + 8x .4 x3 3 2 c) 2 x .
8 y . 2.
x+5 3 5 + + 2 a) 2 x . 2. Definir la suma y la multiplicación de expresiones racionales algebraicas. Estudia en un Texto lo siguiente: * La suma y resta de expresiones racionales algebraicas: sus propiedades.
1. * La multiplicación y división de expresiones racionales algebraicas: sus propiedades.1 -2 -1 b) 8 y + 2 y .x 2x + 2 2y .
II ACTIVIDADES DE PREPARACION.y + y   2 .
ACTIVIDADES DE EVALUACION.matelandia.y2 + x + y   x c) 
www. Efectúe las operaciones indicadas.
 x + y x   xy x     x .org
Operaciones con Expresiones Racionales Algebraicas
Al concluir esta guía podrás: 1. Identificar las propiedades de las operaciones algebraicas. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.2 1 .194 Lámina 8. Efectuar operaciones combinadas.
denominador o de la fracción en sí.
1 . Reduce: 1 1 2( x + h ) 2x h a)
1 1 . Escribe tres formas equivalentes para la fracción del numerador.x 1.2 2 ( x+h ) x h b)
www. a ≠ b cambiando el signo o signos a−b
3.matelandia.org
2. Simplifica: 1+ x x + x 1.x x + x 1+ x a)
x x+1 x-1 x x 1x -1 b)
III ACTIVIDADES DE EVALUACION. Resolver ecuaciones e inecuaciones con expresiones racionales algebraicas.
x+3 entonces halla su valor numérico para x = -2. 0.1 2 .
1. * Forma canónica de una inecuación racional algebraica y su solución. Aplicar las ecuaciones e inecuaciones a la resolución de problemas prácticos. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.matelandia. * Forma canónica de una ecuación racional algebraica y su solución. 3.2x a) x + 3
5 c) x + 3x . -1. Determinar el valor numérico de una expresión racional algebraica y cuales valores están permitidos.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION.10
. 2. Además.3 y 8.4
www. 3. Indica los valores prohibidos para la variable x en: 3x . Estudia en un Texto lo siguiente: * El valor numérico de una expresión racional algebraica y su dominio.org
Ecuaciones e Inecuaciones Racionales Algebraicas
Al concluir esta guía podrás: 1. 2. Si α ( x) =
2. x − 4x − 5 da el otro valor no permitido para x.x b) 1 .196 Láminas 8.
los dos números resultantes están 4:9.2
5. El hombre puede hacerlo solo en 6 días menos que en lo que puede hacerlo el hijo.matelandia.197
www. pero su ayudante necesita 16 horas para hacer el mismo trabajo.2 x a) x + 2
6. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la respuesta: 9 x2 9x 8 8 + + 2=0 + =3 2 b) ( x + 2 ) x + 2 a) x + 2 x . Halle los números. )Está la fracción (x . Muestre que la suma de cualquier número estrictamente positivo y su recíproco es mayor igual a 2. Un carpintero puede hacer un mueble en 6 horas. Dos números están en la razón de 6:11. el ayudante trabaja 5 horas más que el carpintero )cuánto tiempo le toma a cada uno cuando trabajan juntos?
.2)/(1 + x2) definida para todos los valores x ε ú? )Para qué valores de x la fracción se anula? )es positiva? )es negativa?
4. Un hombre y su hijo trabajando juntos pueden pintar su casa en cuatro días.
9. Resuelve y representa en la recta numérica. Si el primer número es disminuido en 4 y el segundo aumentado en 6. Cuando ellos lo hacen juntos.org
3. la solución de las inecuaciones siguientes: x 2 4 <4 ≥ b) x . )En cuánto tiempo pinta la casa cada uno por separado?
la parte de trabajo que hace en 3 horas es
II. La fracción (x . 10
UNIDAD 8 Examen de Fichas sobre Láminas8.1 a 8.6x + 8) esté definida es 4. 10
www. entonces equivale a 2x 3.1 x + x+1 x .2 x .y)-1 es negativa si 2.4 CALIFICACION
(5% c/u)
1. Resuelva los problemas siguientes (15%):
1. La expresión simplificada de
x 2 (2 x − 3) es x (6 − 4 x )
.matelandia. Si se asigna el signo negativo al numerador de la fracción 4 − 3x − . Opere: x x+1 1. La condición para que p(x) /(x2 .198 LABORATORIO: CUESTIONARIO No.org
Conferencia No.x + 2 . Una persona realiza un trabajo en x horas.
2. Escriba como una fracción simple: 1 = 1 x+ 1 x+ x
3. Si A. B y C hacen un trabajo solos en 4.199
www.matelandia. Halle el número. La tercera parte de un número es 7 unidades menos que el mismo. 3 y 6 horas respectivamente.
4. Halle el conjunto solución de: 6 5 >2 x-1 x-2
5. )En cuánto tiempo lo hacen trabajando los tres juntos?
¾. . 2x(x + 1).org
UNIDAD 8: EXPRESIONES RACIONALES ALGEBRAICAS. 3. 8. a) −
1 2 x( x + h)
2x + h .½ 5.1) no existe. . x + 3 x + x − x − 1 x ( x 3 − 1)
3. ∞ [ x 1 1 1 7. a) 1 + x
3x − 9 x − x − 6
2 2. La ecuación + = 1 . Se anula cuando x = 2. x(x – 1) 2 (x + 1).3 y 8. x = 21/2
4. S =]1. 04
x + 0 . Es positiva si x ≥ 2. a) Denominador común:
D = x 2 (x + 3) (x – 2) y los respectivos numeradores son: 3x. ∞ [ b) S =] . 2(x -2). 02
2x + 4 4 − x2
2x2 x2 − 4x + 4
b) x ( 3 x + 1) c) 2 x (27 − x ) x+3 x −3 − 5x + 2 4. α (. a) S =] .3/5. 1. x 2 ( x + h) 2
1. de donde las respuestas son 12 y 6 días. . Resuelve x + 1 ≥ 2 con S =]0.1). Lámina 8.∞ . x < y
2.8/3[ ∪ ]. α (1/2) = . 66. a) – 3 b) ½ c) -5. α (.14/27.4
CUESTIONARIO. a)
3 1− x2 1− x
4− y 2 y ( y − 2)
2 2 c) ( x + y 2 )( x + y )
2. 4/3 h.2) = 1/7. a) y c) 3. 6. a) – 2/3. 1. − x
5. Los valores 2.2
1. x ≠ 2. 2x 3 (1 – x).
Láminas 8. 4. 2 x + 0 .
−1 1 −1 = − = − b−a b−a a−b
3. α (0) = . 6 b) – 4/5. y negativa si x < 2 (el signo depende sólo del numerador. 2[
x +1 x3 + 2x
4. x ≠ 4.matelandia.1
1. 2. Está definida para todo valor real de x.5x 2 (x + 3). La ecuación + = . son valores prohibidos 0.a) x + 0 .
Lámina 8. 4]. 3 x − 4
II.2. entonces las respuestas son 3 y 8 horas. x x−6 4 x x+5 9. 2. b) D = x 2 (x – 1) 2 (x + 1) y los numeradores son: 3(x 2 . 2. α (3) = .
I. 36. prohibidos son – 1 y 5.0[ ∪ ]2.200
www.∞ .
EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO.4
FICHAS DE ESTUDIO DE LAS EXPRESIONES RACIONALES.1 a 9.matelandia. Gauss.201
EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS. 9.
Contenidos y Láminas No.org
UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS
“La matemática es la reina de las ciencias”. 11
GUION DE CONFERENCIA No.
* Igualdad y semejanza de expresiones irracionales.
* Generalidades de las expresiones irracionales algebraicas * Operaciones. * Definición e interpretación del Índice de la raíz.2
Lámina 9. 3. * Multiplicación y propiedades. * Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones. + Forma canónica + Tabla de variación del signo de los términos. EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO * Definición e interpretación geométrica. * Ecuaciones e Inecuaciones con expresiones irracionales algebraicas. OPERACIONES CON EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS * Suma de expresiones con radicales semejantes.3
Lámina 9. * Conjunto Solución y Comprobación. * División y racionalización de denominador. * Ecuación Irracional Algebraica: + Forma canónica + Método de resolución * Inecuación Irracional Algebraica. ECUACIONES E INECUACIONES DE IRRACIONALES ALGEBRAICAS * Valor numérico de una expresión irracional algebraica y dominio de la variable.1
DESARROLLO.matelandia.
Lámina 9. 11 UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS Y EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO CONTENIDO:
EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS. * Expresiones algebraicas con Valor Absoluto. 1.4
. EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO. 4. GENERALIDADES DE EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS. * Simplificación o reducción de expresiones irracionales algebraicas.org
GUION DE CONFERENCIA No.202
EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS Y EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO
* Generalidades de las expresiones irracionales algebraicas.
* Ecuaciones e Inecuaciones con expresiones irracionales algebraicas.matelandia.org
CONFERENCIA No.203 LÁMINA DE PRESENTACIÓN
* Expresiones algebraicas con Valor Absoluto.
4 6 2 3 Ejemplo: Para simplificar 5 x y z = 5 x y z 5 3
.2x .matelandia. La forma normal es a n α ( x) . 5x es el coeficiente y
3 x 2 .2x es la parte radical.204
LÁMINA 9. porque 34 = 81
Nota: Sólo hay raíz de índice par para radicandos positivos:
n n x = x si x ≥ 0
3. Ejemplo: 5x
3 x 2 . Simplificada: Una expresión irracional algebraica está simplificada cuando los exponentes de los factores del radicando son menores que el índice de la raíz. donde a es el coeficiente y
α ( x) es la parte radical. DEFINICION: Se llama expresión irracional algebraica a toda expresión algebraica con radical. Recordemos: i) la definición de
x = y ⇔ yn = x
ii) Propiedades de los exponentes: * an am = an+m * (ab)n = an bn * (an)m = anm
iii) La interpretación del índice de la raíz como exponente:
81 = 81 4 = (3 4 ) 4 = 3 4 = 3 .1
con índice n ε N y radicando α(x) es una expresión racional algebraica .
División: Cuando es posible. Multiplicación: Se pueden multiplicar expresiones cuando tengan el mismo índice de raíz. si x ≠ 0
b) Efectuar:
5x 3 + 2x
3 − 2x 3 − 2x
5 x( 3 − 2 x ) 3 − 2x
. lo que procede es la racionalización del denominador: a) Efectuar:
3x3 4 x = 2x
1. se dicen semejantes y pueden reducirse a un solo término.matelandia.2
www. Suma y Resta: Sino se pueden reducir términos semejantes. Ejemplo: Reducir los términos semejantes:
3 3 x4 + 5 3 x7 y6 = 3x
x + 5 x2 y 2
x = (3x + 5 x2 y 2 ) 3 x
2. la mayoría de las veces quedarán indicadas. sólo se dejarán indicados. Ejemplo: Operar en:
6 7 2 x +5 x .org
OPERACIONES CON RADICALES: No siempre son posibles. Términos Semejantes: Si las expresiones irracionales simplificadas tienen la misma parte radical. a) Efectuar: 3 b) Efectuar: 2
4 3 x • 14 4
ay = 42
3 ax y
x • 3
2 x = 6 x 2 x 5 = 6 x 10 = 6
2 2 x -x
x = (3x . o bien cuando tienen las mismas indeterminadas en el radicando.205
LÁMINA 9.x 2 )5 x + x
-2[ c ]2. 3.1 porque
Para resolver una ecuación con radicales se siguen los pasos: 1.3 = 0 entonces (x . Ambos miembros de la ecuación se elevan al exponente que racionaliza el índice de la raíz. Si quedan otros radicales. se eleva al cuadrado ambos lados: 7 . Valor Numérico de una expresión irracional algebraica: es el resultado de la expresión al sustituir la variable x por valores que permitan la existencia de la raíz indicada. ∞ [. porque
7 − 2 × 3 ≠ 2 . Ecuaciones Irracionales Algebraicas (Ecuaciones con radicales).
Nota: Si el radical tiene índice par.∞ . que en algunos casos no verifican la ecuación dada al principio.2x = 2 . D = {x ε R | x5 . Dominio de una expresión irracional algebraica es el conjunto de los números reales permitidos para la variable.2x = 4 .
pero no la satisface x = 3. α (-4) = 12
(−3) no está definida
II.2x = 2 .
9 = 2 – (.1) = 3.matelandia. se repite el proceso hasta racionalizar completamente la ecuación. Ejemplo: Si α ( x ) =
x 2 − 4 entonces su dominio.3 = -1
Luego S = {-1}. si el exponente es par.x .4 ≥ 0} =].3)(x + 1) = 0 . Ejemplo: Resolver
7 . Por la consideración anterior siempre es necesario comprobar las soluciones y descartar las soluciones "extrañas". 4.4x + x5 x5 . se tienen soluciones positivas y negativas.3
ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES CON IRRACIONALES ALGEBRAICAS I.x
Para resolver 7 . 5. III. 3. Las ecuaciones obtenidas en cada paso no siempre son equivalentes. donde x = -1. La verificación sólo se da para x = . Ejemplo: α ( x ) =
entonces α (3) = pero α (1) =
LÁMINA 9.2x . 2. el radicando debe ser positivo. La expresión radical mas complicada se deja en un solo lado de la ecuación. al calcular una potencia.
∞ [. si x ≥ 0 |x|= -x. ∞ [. 3) = 4 -1 3 7
. y) = | y – x | = | x – y | = d(y.∞ .(-2) |= | -2 – 3 | = 5
-2 3 3. pero que no es solución de la inecuación dada que sólo admite S = ]5.5)(x .2) > 0 con solución ]. Inecuaciones con radicales: Para estas inecuaciones se deberá ser muy cuidadoso en que el conjunto solución verifique la desigualdad y también el dominio de la variable x. si x < 0 |x+y| ≤ |x|+|y| | x | = | -x | |xy|=|x||y|
2. 1[ c ]5.x) x y
Ejemplo: Distancia entre -2 y 3 es d (-2. Ecuación. Interpretación geométrica: El valor absoluto |x – y | se interpreta como la distancia de x a y: d(x. D (x.4 EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO. d(x. entonces x5 .7x + 10 > 0 equivale a (x . es x.matelandia.3 >
x − 1 se elevan al cuadrado ambos lados:
x5 .6x + 9 > x – 1. Ejemplo: Para resolver x .207
www. La ecuación | x – 3 | = 4 se interpreta como la distancia de x a 3 es 4.org
IV. y). 3) = | 3 .. Recordemos: Propiedades : | x | ≥ 0 Definición: Valor absoluto de todo número real x.
[x( x − 5)]2
= 6 . entonces
x 2 .6 = 0 ó x5 .3 = 4 ó x .5x + 6 = 0 S = { 6. Entonces las ecuaciones anteriores se pueden resolver así: Para resolver | x(x . x5 .∞ . ∞ [
S = S1 ∩ S 2 =]. -5/2[ ∪ ] -1/4.7 = 0 con soluciones S = {7. 2.36 = 0. entonces
x 4 . 2.a
x−2 x−2 < 3 .10x 3 + 25x 2 .5x .2)(x .6x .5) | = 6.a ≤ x ≤ a
www. 3 }
ii) | x | ≥ a es x ≥ a ó x ≤ . Otra definición equivalente de valor absoluto es: | x | = x 2 . 3 } (x .6. ∞ [
Para resolver | x – 3 | = 4 se considera
( x − 3) 2 = 4 . -1.5) | = 6.3) = 0 ⇒ 4.∞ . Inecuaciones Su resolución se basa en las propiedades: i) | x | ≤ a es . -1} Ejemplo: Resolver | x(x . -1[ ∪ ] -1/4.∞ . entonces se tienen las ecuaciones: x5 . luego S = {7. -5/2[ ∪ ]-1.6)(x + 1) = 0 ó (x . ∞ [ De donde
con solución S2 = ].3 = .6x + 9 = 16 es x 2 . -1. tiene como soluciones S = { 6.4.5x = .matelandia.208
Para resolver | x – 3 | = 4 se consideran x . que equivale a − 3 < <3 x +1 x +1
Ahora se tienen que intersecar las soluciones de las dos inecuaciones: i) − 3 <
x−2 4x + 1 o sea >0 x +1 x +1
x−2 2x + 5 < 3 o sea >0 x +1 x +1
con solución S1 = ].5x = 6 ó x5 .
Generalidades de las Expresiones Irracionales Algebraicas
1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Definición y notación de expresión irracional algebraica. 2.org
Lámina 9. * Simplificación de raíces y reducción de raíces semejantes. 2. entonces escribe otras expresiones equivalentes:
. * Condiciones de las raíces reales. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.matelandia. Simplificar expresiones irracionales algebraicas y reducirlas cuando proceda. Determinar cuando dos expresiones irracionales son iguales.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION. 9 EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS EXPRESIONES CON VALOR ABSOLUTO
x .209 FICHA DE ESTUDIO No. Análisis del índice del radical. Definir una expresión irracional algebraica.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. 3.
matelandia.y
2 c) 0. Escribe una expresión equivalente usando el exponente fraccionario positivo y en mínimos términos: 1
2 3 a) 8 x 2 3 b) .01 x
4 x-10 25
b) ( x .3 x .2 3 )( x +
  3   
3   x 
6.01 x + y
3.x x
2x .2x
4 .12 x y + 9 y
4 b) 0. Calcula las siguientes raíces:
4 4 2 2 a) 4 x . Indica para que valores de x existen las raíces siguientes: a) 1 . Efectúa y escribe en la forma más simple: a) x y (5 x .3 1.org
2. Escribe la expresión bajo un solo radical: a)
9 27 x3 y
211 Lámina 9.2
Operaciones con las Expresiones Irracionales Algebraicas
Al concluir esta guía podrás: 1. Efectuar operaciones con expresiones irracionales algebraicas. 2. Interpretar el índice de la raíz como el denominador del exponente fraccionario del radicando. 3. Racionalizar denominadores.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION.
1. Estudia en un Texto lo siguiente: * Interpretación del radical como exponente fraccionario. * Propiedades de los exponentes aplicadas a los radicales. * Racionalización. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.
1. Simplifica y reduce, si es posible:
5 a a b b 4 a ab a -3 5 -3 2 b b b
2. Escribe con un solo radical:
3. Racionaliza el denominador de:
x a) x + 3 5
1 c) x 3
4. Racionaliza el numerador de: a)
2(x + h) h 2x
b)  1 - 1  ÷ h   x  x+h 5. Simplifica:
1  1 y2  x3  x- 1 y - 2 a) 
1  - 1 y4  x2  27 x y 2 b) 
3   
6. Indica si es verdadera o falsa cada una de las proposiciones siguientes: a) b) c)
x + y = x + y , para x, y $ 0
2 x = x , para cualquier número real x
) = x , para cualquier número real x
n n x = x , para cualquier número real x
d) Si n es impar e) Si n es par
n x = x , para cualquier número real x
213 Lámina 9.3
Ecuaciones e Inecuaciones de Expresiones Irracionales
Al concluir esta guía podrás: 1. Calcular el valor numérico de una expresión irracional algebraica. 2. Resolver ecuaciones donde intervengan expresiones irracionales algebraicas. 2. Resolver inecuaciones donde intervengan expresiones irracionales algebraicas.
1. Estudia en un Texto lo siguiente: * El dominio de la variable en una expresión irracional algebraica. * La solución de ecuaciones con expresiones irracionales algebraicas. * La solución de inecuaciones con expresiones irracionales algebraicas. 2. Desarrolla los ejercicios en tu cuaderno.
1. Calcula el valor de a) 3
2 x + 3x para x igual a:
b) 1 -
c) (3 +
2. )Cuáles son los valores permitidos para el radicando dado en el ejercicio anterior? 3. Resuelve la ecuación y comprueba su conjunto solución: a) 2x - 3 =
7x - 3 b) x +
c) 5 +
e , para g g
1 1 - x para x
5. Halla la medida de la circunferencia de un círculo de área 128 cm2.
6. Halla el radio de la base de un cono recto con altura de 6 cm. y volumen de 201 cm3.
7. Halla el volumen del cubo circunscrito a una esfera de volumen igual a 1000 cm3.
8. Resuelve, comprueba y grafica la solución de: a)
2x + 3 > x
9. Comprueba que: a) si 0 < x < 1, entonces
x > x.
b) si x > 1, entonces
x < x.
1. Resolver ecuaciones e inecuaciones donde intervengan el valor absoluto. * La solución de inecuaciones con valor absoluto. Estudia en un Texto lo siguiente: * Definición de valor absoluto y sus propiedades. * La solución de ecuaciones con valor absoluto. Halla el conjunto de todas las x ε R que satisfacen: a) | 3x – 2 | = 7 b) | x2 – 3| = 1 c) | x – 1 | = |2x – 1|
3.215 Lámina 9. 2. Halla el resultado exacto de las expresiones siguientes: a) | 3 – π | b) | 2 3 | c) | 2 – 2 −1 |
2. Grafica y escribe en notación de intervalo los siguientes conjuntos: a) | x | ≤ 4 b) | x – 3 | ≤ 2 c) | x + 2 | > 5
. * Interpretación geométrica en la recta numérica.4
Expresiones con Valor Absoluto
III ACTIVIDADES DE EVALUACION.matelandia.
II ACTIVIDADES DE PREPARACION. Interpretar geométricamente el valor absoluto.
-2] c [2.216
www.| y |
c) | x – y | ≤ | x | + | y |
d) | x – y | ≥ | x | . Escribe los siguientes intervalos en la forma | x – a | ≤ b: a) ]-3.∞ .
6. 3[ b) [-2. 4] c) ]. Dé el conjunto solución de las x ε R en notación de intervalo y su respectiva gráfica: a) | 3 . ∞ [
5. Ilustra las propiedades anteriores con la relación que existe entre un lado de un triángulo y los dos restantes. Comprueba con números las propiedades siguientes: a) | x + y | ≤ | x | + | y | b) | x + y | ≥ |x | .2x | ≤ 1 b) | x/(x + 3) | ≤ 1
c) | x2 + 3x | > 4
d) | x2 – 4 | ≥ 5
. Compruebe que el punto medio del intervalo [a.matelandia.org
4.| y |
8. b] es 2(a + b).
UNIDAD 9 Examen de Fichas sobre Láminas 9. El conjunto solución de |1 – x | > 2 es
II. Opere:
1 x= 1. Escriba con un solo radical 3.1 a 9.x x x-
. Escriba con un solo radical 4. Absoluto
www.217 LABORATORIO: CUESTIONARIO No.org
Conferencia No. 11 Expresiones Irracionales y Expresiones con V. La expresión
2 x -x 3
existe si x
5.4 CALIFICACION
1. Factorice x-3/2 + x-1/2 = x-3/2( 2. Ejercicios (15%):
1.matelandia.
y x+ y + x . Halle el conjunto solución de:
x+1 ≤5 x
2 x + 3x > 2x
x+ y .x . Resuelva
5+ x = x -1
4. Racionalice el denominador de:
www.matelandia.218
3/2]
1. 3[
b) [0.3x + 2 ≤ 0 con la misma solución S = [1. a)
2187 x 3 y
x 7 y 10 . a) π . a) x < 3 b) x − 1 < 3 c) x ≥ 2 . 4] 5. porque x = ¾ es solución “extraña” b) x = 0 c) x = 16. porque x = 1 es solución 2 2 b) x = y − 1 “extraña”. C = 2 π r = 16 2π
xn = x . a)
1 x 8 y 15
x ( x − 3) x−9
−1 x + h)
3 b) 5 4 x
xy + x− y
Lámina 9.6
x2 -2+ 9
6.{0}
c) ]1. c)]. a) 2x 3
2 5 x5
b) – 3(x 2 . r =
67 2π
7. a) x = 4.
(b − a ) = 1 (a − b) = d(b.
b) [1. 2]. y = 0.1. a) {3. a)
c) 12 x 4 b) 0. a) g = π e 5.
9 y6 x2 y
(3 − 2 x) 2 ≤ 1 que
1. .01 x + y 2 ) 2
3. o bien equivale a resolver x 2 . . 2
(a + b))
6.matelandia. sólo es verdadera si x = 0. a) [. d(a.3] ∪ [0. ± 2 } c) {0.org
RESPUESTAS UNIDAD 9: EXPRESIONES IRRACIONALES ALGEBRAICAS Y VALOR ABSOLUTO. ∞ [.a)
2 c) 3 x y
3. ∞ [. a) ].
Lámina 9. 4.x > 0.
Lámina 9.a)
2 2 (( x + h ) + 2x
x + xh ( x +
5. 2].3 3. 2/3}.y) 3
1 ( 0 . a) Falsa.4
1. ∞ [. ].4. ∞ [
9.7[ ∪ ]3.x < 0.
Lámina 9. tiene
como solución ]0.5/3} b) { ± 2. 6000/ π
8.7y x
b) x -
3x . sólo es verdadera si x ≥ 0.
x2 ≤ a .∞ . 4. a) La inecuación x 2 . Las inecuaciones pueden resolverse
aplicando la propiedad x ≤ a ⇔ − a ≤ x ≤ a o bien la definición x ≤ a ⇔ Entonces: a) 3 − 2 x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 3 − 2 x ≤ 1 cuya solución S = [1. sólo es verdadera si e) Falsa.3
1.1x 2 c)
www. a) 5x
y . tiene como solución ]1. 1[
b) La inecuación x 2 . . a) 2 x 2 − 3 y 2
4. a) x ≤
b) ℜ . sólo es verdadera si
c) Falsa. a)
a (1 − a 2 ) b
b) − a b
2.∞ . 5]
2 − 2 −1 2.
4 ≥ 5 unida a x 2 . ∞ [.∞ .3[ ∪ ]3.1/6[ ∪ ]1/4. 7.1[ ∪ ]3. ∞ [. .16 > 0 con solución S =]. 1.matelandia.4[ ∪ ]1.3[ ∪ ]3. ∞ [. .4) 2 ≥ 25 o sea x 4 .4 con solución S =].∞ . pero x = 1 no la cumple. Quedan al lector. .∞ .∞ . O bien (x 2 + 3x) 2 >16 o sea x 4 + 6x 3 + 9x 2 . . .∞ . 0[ ∪ ]1.
I.]. x = 16. . y 8.
4.4[ ∪ ]1.
3. d) Equivale a resolver x 2 . O bien (x 2 . ∞ [.]0.∞ .∞ . o bien   ≤ 1 desarrollada como 2 ( x + 3) 2  x + 3
c) Equivale a resolver x 2 + 3x > 4 unida a x 2 + 3x < .
2. 1[. ∞ [
II.8x 2 . S =]. ∞[ . ∞[ .org
x 2x + 3 3 ≤ 1 que se desdobla en ≥0 y ≥ 0 con solución x+3 x+3 x+3 2 2x + 3  x  3 ≥ 0 con solución S = [− 3 .4 ≤ . ∞ [
b) Equivale a resolver − 1 ≤
www.9 ≥ 0 con solución S =]. 1.]. (1 + x)
2. S = [− 2 .
3.5 con solución S =]. – (1 + x )
4. ∞ [
x −y y 5.
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