Source: https://icipriano.org/edo/
Timestamp: 2019-05-24 23:27:18+00:00

Document:
Non lineal autonomous systems
Raul Manasevich T.
Axel Osses A.
Gino Montecinos G.
Italo Cipriano J.
Cristóbal Bertoglio B.
Starts: March 2017, Ends:July 2017.
Course of 29 lectures of 1.5 hours each.
Alternative Final Exam (PDF)
Alternative Final Exam Solutions (PDF)
Lectures (in Spanish):
Motivación de EDO mediante 2a Ley del movimiento de Newton
Definición de EDO y solución
Ejemplos de EDO
EDO de primer orden y diagrama de trayectorias
Resolución de EDO de primer orden elementales
Solución general de EDO lineal de primer orden
Teorema de existencia y unicidad para solución de EDO lineal de primer orden
Representación implicita de solución de EDO de variables separables
Problema de EDO lineal de primer orden y problemas de EDO de variables separables, incluyendo diagrama de trayectorias y problema de condición inicial
CLASE 3 [ec. Bernoulli]
Recuerdo clases 1 y 2: EDO lineal primer orden y de variable separables
Aplicación al mundo real: Ley del enfriamiento de Newton
Ecuación de Bernoulli, y un ejemplo
Ecuación homegénea de grado 0, y un ejemplo
CLASE 4 [ec. Exactas]
Continuidad en R^2
Propiedad de caracterización de soluciones de ecuaciones exactas
CLASE 5 [ec. Ricatti]
Recuerdo clases 4: ec. exactas y criterio de exactitud
Factor integrante: transforma ec M+Ny´=0 no exacta en qM+qNy´=0 ec exacta con q\neq 0. Solo en casos q(x,y)=q(x) o q(x,y)=q(y), se encontró q explicitamente.
Ecuación de Ricatti, y un ejemplo
Esquema resumen de ecs de primer orden que hemos estudiado
Enunciados de teoremas de Picard-Lindelof (existencia y unicidad global o TEU global) y Peano-Cauchy (existencia global o TE global)
CLASE 6 [Demostración TEU global]
Definición de espacio vectorial métrico (E,d)
Ejercicios (ejemplos) de espacios vectoriales métricos
Ejercicio: las funciones continuas de [0,1] en los reales es métrico completo para una métrica d_k definida en clases
Escritura equivalente de la solución al problema de Cauchy, e introducción de un operador T para el cual Ty=y ssi y es solución del problema de Cauchy
Definición de operador contractivo en (E,d)
Teorema del punto fijo de Banach con demostración
Demostración del Teorema de Picard-Lindelof (quedó como ejercicio demostrar que T es continuo), se demostró que el operador T es contracción con respecto a d_k (para k grande)
Método de Picard y un ejemplo
Ejercicios propuestos de aplicación de los teorema de Picard-Lindelof y Peano-Cauchy
CLASE 7 [TEU-TE locales y soluciones maximales]
Recuerdo clases 6: TEU y TE locales
TEU local en un intervalo explícito en función de la condición inicial y la función f
Soluciones maximales y prolongaciones de soluciones
TEU local maximal
Aplicaciones de los teoremas (TEU-TE global, TEU-TE local y TEU-maximal) a problemas de Cauchy y análisis de un caso en que ningún teorema aplica
CLASE 8 [Métodos numéricos] (clase basada en apunte de A. Osses: Capítulo 2, Sección 4)
Motivación de métodos numéricos (uso del operador de Picard)
Método de Euler progresivo
Método de Euler retrogrado
Método de Runge-Kutta de orden 4 (sin justificación)
Error global/local y orden del método
Estabilidad: Estable, Condicionalmente Estable e Inestable
CLASE 9 [Error del método de Euler] [URL youtu.be/X2mwqujj6-A]
Recuerdo Algoritmo de Euler progresivo
Teorema del error (para Euler progresivo)
CLASE 10 [Aplicaciones] [URL youtu.be/eyhfo8SWnm0]
El problema del resorte
Idea útil: transformar ecuación de segundo orden en sistema de ecuaciones de primer orden
Resolución numérica del problema del resorte con Algoritmo de Euler, tanto en Octave como en Matlab
Resolución numérica del Atractor de Lorentz con algoritmo de Runge-Kutta de orden 4, tanto en Octave como en Matlab
CLASE 11 [La ecuación del péndulo]
Segunda Ley de Newton aplicada al problema del péndulo
La ecuación del péndulo en coordenadas cartesianas
Solución numérica mediante reducción a sistema de ecuaciones de primer orden
Solución implícita con coordenadas cartesianas
La ecuación del péndulo en coordenadas polares
Solución implícita con coordenadas polares
Ecuación del péndulo con condiciones iniciales
Diagrama de Fase para la solución implícita
Equilibrios estables, equilibrios inestables y período de oscilaciones
Problema: Demostrar que todas las soluciones de la ec y´=-y son de la forma Ccos(x)+Dsin(x)
CLASE 12 [Ec Lineal de Segundo Orden]
Todas las soluciones de la ec y´=y son de la forma Cexp(x)+Dexp(-x)
Definición de Ec Lineal de Segundo Orden y la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea
Teorema de existencia y unicidad de la solución de Ec Lineal de Segundo Orden con condiciones iniciales (sin demostración)
Definición del Wronskiano y de un conjunto fundamental
Teorema del Wronskiano para determinar si un conjunto es fundamental
Solución general de la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea
Demostración que todas las soluciones de la ec y´=-y son de la forma Ccos(x)+Dsin(x)
Fórmula de la reducción de orden (para obtener conjunto fundamental a partir de una solución de la Ec Lineal de Segundo Orden homogénea)
Solución general de la Ec Lineal de Segundo Orden (sin demostración)
CLASE 13 [Resolución ecuaciones lineales de segundo orden]
Fórmula para el Wronskiano
Fórmula de variación de parámetros
Fórmula para el conjunto fundamental de la ecuación con coeficientes constantes
CLASE 14 [Resolución ecuaciones lineales de grado superior]
CLASE 15 [Transformada de Laplace]
Transformadas Elementales: exp(ax), x^n, sin(ax), cos(ax)
Propiedades de la transformada: Linealidad, transformada de la derivada, derivada de la transformada y translación (1er teorema)
Definición de la anti-transformada
Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial
CLASE 16 [Aplicaciones de la Transformada de Laplace]
Cálculo de anti-transformadas
Definición de la función indicatriz
Segundo teorema de translación
Cálculo de la transformada de funciones continuas por tramos
Aplicación a la resolución de EDOs con condición inicial y lado derecho continuo por tramos
CLASE 17 [Sistemas Lineales de Primer Orden, Clase 1/2]
Teorema de Convolución con demostración
Aplicación de la transformada al cálculo de integrales impropias (fin de capítulo de Laplaces)
Definición de Sistemas lineales de primer orden x`(t)=A(t)x(t)+b(t) (Inicio de capítulo de Sistemas Lineales)
Ecuaciones lineales de orden N pueden escribirse como un sistemas lineal de primer orden (y al revés: propuesto)
Teorema fundamental de existencia y unicidad para el problema con condición inicial x`(t)=A(t)x(t)+b(t), x(t_0)=gamma
Definición de Wronskiano y conjunto fundamental para Sistemas Lineales de Primer Orden homogéneo x`(t)=A(t)x(t)
La matriz exponencial (o exponencial de una matriz) exp(A) o e^A.
Derivada de la matriz exponencial
Solución de Sistema Lineal de Primer Orden Homogéneo en caso A de coeficientes constantes x`(t)=Ax(t), tiene solución x(t)=exp(tA)c con c contante en R^(numero filas de A)
CLASE 18 [Sistemas Lineales de Primer Orden, Clase 2/2]
Matriz fundamental X(t) de un sistema lineal homogéneo x`(t)=A(t)x(t)
exp(A+B)=exp(A)exp(B) si AB=BA
exp(tA)=exp(t lambda)exp(t(A-lambda I))
exp(tA)u=exp(t lambda)u si Au=lambda u
Matrices diagonalizables A=PDP^{-1} y teorema de descomposición de Jordan A=PJP^{-1}
Cálculo de la exponencial de una matriz diagonal e^D
Cálculo de la exponencial de una matriz de Jordan e^J
Fórmula explícita de la matriz fundamental en el caso de un sistema lineal homogéneo x`(t)=Ax(t) con A de coeficientes constantes (caso A diagonalizable y caso A no diagonalizable)
Sistemas Lineales de Primer Orden no homogéneos x`(t)=A(t)x(t)+b(t)
Fórmula de variación de parámetros x_p=X(t) \int X(t)^{-1}b(t)dt
Observación: Fórmula de variación de parámetros válido para el caso A(t) no constante, sin embargo, enunciamos fórmula para encontrar la matriz fundamental solo en el caso A constante
CLASE 19 [Sistemas Lineales de Primer Orden, ejercicios resueltos 1/2]
Recuerdo de: sistemas lineales de primer orden, matriz fundamental, solución en el caso homogéneo, solución del caso homogéneo con condición inicial, caso no homogéneo y formula de variación de parámetros, y teorema fundamental
Ejemplo 1: x´=Ax, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios reales distintos.
Ejemplo 2: x´=Ax, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios complejos conjugados.
CLASE 20 [Sistemas Lineales de Primer Orden, ejercicios resueltos 2/2]
Ejemplo 3: x´=Ax, con A de 3x3 diagonalizable con valores propios reales no necesariamente distintos.
Ejemplo 4: x´=Ax, con A de 3x3 no diagonalizable con valores propios reales no necesariamente distintos.
Ejemplo 5: x´=Ax+b, con A de 2x2 diagonalizable con valores propios reales distintos, solución particular con variación de parámetros.
CLASE 21 [Aplicación de transformada de Laplace a Sistemas Lineales de Primer Orden]
Definición de Delta de Dirac y sus propiedades
Teorema de Lerch
Definición de función pulso
Recuerdo: Transformada de Laplace, Tabla de Transformadas, propiedades, antitransformada
Ejemplo: resolución de Sistema Lineal de Primer Orden de 3x3 con condición inicial usando transformada de Laplace
Algunas herramientas para ''agilizar'' cálculos (fracciones parciales!)
CLASE 22 [Sistemas Autónomos]
Ejemplo: x´=Ax, caso A equivalente a un bloque de Jordan de 3x3.
Introducción a los Sistemas Autónomos ''cualitativo en vez de cuantitativo''
Definición de Sistemas Autónomos, ejemplo y contraejemplo
Ejemplo: 2a Ley de Newton
Definición de : equilibrio o estado estacionario y trayectoria
Teorema: Sistemas Autónomos (con f C1) con condición inicial admite a lo más una solución
Trayectorias asociadas a soluciones distintas no se intersectan
Si una trayectoria se autointersecta debe ser cerrada
Trayectorias homoclínicas y heteroclínicas
Ejemplo: Análisis de las trayectorias mediante aproximaciones lineales en los equilibrios
CLASE 23 [Sistemas Autónomos: Análisis Cualitativo de Sistemas Lineales]
Caracterización geométrica de las soluciones de sistemas lineales x´=Ax, con A matriz de 2x2 a coeficientes reales
Tabla de valores propios, tipo de equilibrio, estabilidad
CLASE 24 [Sistemas Autónomos: Análisis Cualitativo de Sistemas Casi-Lineales]
Finalización de Tabla de clase anterior
Definición de Sistemas Autónomos Casi-Lineales
Teorema de Sistemas Autónomos Casi-Lineales (tabla similar al caso de sistemas lineales)
Criterio equivalente para determinar casi-linealidad de un sistema
Ejemplo: Determinar si una ecuación de 2o orden se puede escribir como un sistema casi lineal y analizar cualitativamente las soluciones
CLASE 25 [Análisis cualitativo de modelos no-lineales 1/2]
Definiciones generales de equilibrio asimptóticamente estable, equilibrio estable y equilibrio inestable. Ejemplos: péndulo amortiguado en ángulo 0 (vertical hacia abajo), péndulo no amortiguado en ángulo 0 (vertical hacia abajo) y péndulo amortiguado o no amortiguado en ángulo [\pi] (vertical hacia arriba), respectivamente
Modelo de especies competidoras dado por sistema autónomo de ecuaciones
CLASE 26 [Análisis cualitativo de modelos no-lineales 2/2]
Resolución problemas clase 25
Modelo de predador-presa o ecuaciones de Lotka-Volterra
CLASE 27 [Método de Lyapunov 1/2]
Resolución problemas de modelo depredador-presa de clase 26 y análisis cualitativo del diagrama de fase
Motivación al método de Lyapunov: determinar el tipo de equilibrio en casos en que ecuación no hereda tipo de equilibrio del sistema linealizado y en general estudiar atractores
El método de Lyapunov generaliza dos conceptos físicos: un sistema es estable si se encuentra en u mínimo de energía potencial, y la energía total se preserva en cualquier movimiento.
Ejemplo del péndulo para motivar el método de Lyapunov usando la Energía total del sistema, en este caso la función de Lyapunov corresponde a la energía total del sistema en el péndulo para el ángulo 0, para el ángulo [\pi] consideramos una función distinta
CLASE 28 [Método de Lyapunov 2/2]
Definición de función de Lyapunov
Definición de definido/semidefinido positivo/negativo
Enuncidado de los teoremas de Lyapunov para determinar el tipo de equilibrio de sistemas
Un teorema útil para encontrar funciones de Lyapunov
Ejemplo de aplicación del método de Lyapunov para el estudio de los tipos de equilibrio del péndulo
CLASE 29 [Ejemplos de aplicación del Método de Lyapunov]
Recuerdo del método de Lyapunov
Dos problemas de aplicación del método de Lyapunov para demostrar que un equilibrio es asintóticamente estable
Resumen del contenido del curso, resultados más importantes
Fin del curso cualquier duda pueden escribirme a [email protected]
Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Gerald Teschl,
Classics (and old) ;
Cauchy’s introductory course in differential equations (reprinted by Springer on the anniversary of Cauchy’s death)
A Treatise on Differential Equations, de George Boole, (reprinted by Cambridge University Press Book DOI: doi.org/10.1017/CBO9781107049550)
Ordinary Differential Equations, Amann
Ordinary Differential Equations with Applications, C. Chicone
Ordinary Differential Equations, I.G. Petrovski and R. A. Silverman
Ordinary Differential Equations, Arnold's and Pontryagin's
Well motivated:
Differential Equations With Applications and Historical Notes, George Simmons
Ordinary Differential Equations, Garrett Birkhoff and Gian-Carlo Rota
Spanish written:
Ecuaciones diferenciales, M. Molero, A. Salvador, T. Menarguez, L. Garmendia
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoría de estabilidad y control, M. Gúzman
Ecuaciones diferenciales II, C. Férnandez y J.M. Vegas
Selected of the course (in Spanish):
G.F. Simmons, Ecuaciones diferenciales ordinarias (con aplicaciones y notas históricas), MacGraw & Hill, 1993 (versión en Castellano).
Edwards, Penney: Ecuaciones Diferenciales. Prentice-Hall, Parson Educación, 2001.
D. Zill, F. Sánchez Fragosos, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning Editores, 2006.
D. Kreider, R. Kuller, D. Ostberg, Ecuaciones Diferenciales, Fondo Educativo. Interamericano, 1973.
A. Osses, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, CMM, Universidad de Chile, 2013
Find this course and similar ones here http://shtuka.cl/ecuaciones-diferenciales-ordinarias/
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Italo Cipriano​​
Top upcoming events in Chile
I am in charge of the seminar of Dynamical Systems in Santiago . Details of each seminar 2019 are available here. ​ Seminars 2018 are available here .​
I am a postdoctoral fellow supported by CONICYT PIA ACT172001 at Pontificia Universidad Católica de Chile. My research is in Dynamical Systems and I am primarily interested in Thermodynamic Formalism.
Time change for flows and thermodynamic formalism (with Godofredo Iommi). (2019) (accepted in Nonlinearity).
Stationary measures associated to analytic iterated function schemes (with Mark Pollicott). Math. Nachr. 291 (2018), no. 7, 1049–1054.
Entry time statistics to different shrinking sets, Stoch. Dyn., 17 (2017), no. 3, 314–323.
Continuous coboundaries of the product of smooth functions (with Ryo Moore). (arXiv).
The Wasserstein distance between stationary measures associated to iterated function schemes on the unit interval. (arXiv).
The smoothness of the stationary measure. (arXiv).
A Large deviation and an escape rate result for special semi-flows. (arXiv).
Escape rate for special semi-flows over non-invertible subshifts of finite type. (arXiv).
Fall 2019. Dynamical Systems, Universidad Técnica Federico Santa María.
Fall and Spring 2017. Differentiation and Integration, Universidad Técnica Federico Santa María.
Fall and Spring 2017. Introduction to Calculus, Universidad Técnica Federico Santa María.
Fall 2017. ODE, Facultad de Ciencias Física y Matemáticas.
Fall 2017. Foundations, Universidad Adolfo Ibáñez.
Spring 2016. Linear Algebra, Universidad Adolfo Ibáñez.
Dynamical systems in Chile

References: Resolución 

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