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Timestamp: 2017-07-21 04:39:20+00:00

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Patricio Felmer, Premio Nacional de Ciencias Exactas 2011: LA OTRA MANERA DE ENSEÑAR MATEMÁTICA - Revista de Educación
03/11/16 por reveduc
Foto: Gentileza CEPPE UC.
“La resolución de problemas es una tremenda oportunidad para enriquecer el trabajo en las salas de clase. ¿Cómo le vamos a negar el corazón de la matemática a todos los niños y niñas de nuestro país?” Con estas palabras, Patricio Felmer abordó este tema en el “Conversatorio: Resolución de Problemas, el Corazón de la Matemática”, organizado por la Facultad de Educación de la Pontificia Universidad Católica de Chile y el Centro de Estudios de Políticas y Prácticas en Educación CEPPE UC. “En Chile, en las aulas, no hay resolución de problemas. Los niños y las niñas no resuelven problemas. Alguien podrá decir: ¡Pero cómo, si yo les doy una lista de problemas a mis alumnos! Insisto: En las aulas escolares en Chile eso no ocurre”.
Así de categórico es el ingeniero matemático Patricio Felmer[i], Premio Nacional de Ciencias Exactas 2011, quien participó recientemente en el “Conversatorio: Resolución de Problemas, el Corazón de la Matemática”, organizado por la Facultad de Educación de la Pontificia Universidad Católica de Chile y el Centro de Estudios de Políticas y Prácticas en Educación CEPPE UC.
“Detrás de mi afirmación hay artículos de investigación, pero debo confesar que son pocos y soy autor de uno de ellos; en Chile nos falta mucho en materia de investigación. También mi experiencia como estudiante y la de personas que conozco me avalan. Pero, sobre todo, juegan aquí un rol importante las salas de clase que he visitado. Eso me blinda, me hace atreverme a decir: en las aulas escolares de Chile no se resuelven problemas”.
Cómo interesar a los estudiantes
Patricio Felmer está consciente que una de las mayores dificultades que hoy tienen los profesores de matemática es la falta de motivación de los alumnos. Y hace una analogía entre esta asignatura y la música, para poner de relieve una de las causas que, en su opinión, contribuye a esa abulia.
Menciona a Paul Lockhart, matemático que por muchos años fue profesor en el colegio Saint Ann’s en Brooklyn, New York. Él escribió el artículo: “El lamento de un matemático”, que comienza así:
“Un músico se despierta de una terrible pesadilla. En su sueño se encuentra en una sociedad donde la educación musical ha sido declarada obligatoria. “Estamos ayudando a nuestros estudiantes a ser más competitivos en un mundo cada vez más repleto de sonidos”. Educadores, sistemas escolares y el Estado mismo se disponen a comandar este proyecto vital. Se encargan estudios, se forman comités, se toman decisiones —todo sin la participación o el asesoramiento de un solo compositor o músico profesional.
Ya que los músicos son conocidos por anotar sus ideas en forma de partituras, estos extraños puntos negros y rayas deben constituir el “lenguaje de la música”. Es por tanto imperativo que los estudiantes adquieran fluidez en este lenguaje si deben alcanzar algún grado de competencia musical; así, sería ridículo esperar de un niño que cantara una canción o tocara un instrumento sin tener los adecuados fundamentos en teoría y notación musical. Tocar y escuchar música, por no hablar de componer una pieza original, son consideradas cuestiones avanzadas, propias de los estudios universitarios, incluso dignas de un programa de postgrado”.
“¿Qué hay que hacer en la clase de música? ¿Qué veo en una clase de música normal? Los niños cantan, tocan instrumentos, inventan canciones. ¿Por qué hacen eso? Porque es lo natural. La música, el sonido, es lo que emociona a los músicos”, dice Felmer.
Con la matemática ocurre lo mismo. “¿Qué emociona a los matemáticos? Nosotros tenemos una hipótesis: pensamos que les produce emoción resolver problemas. Les gustan los desafíos, pero no los imposibles, sino aquellos que tienen la sensación que pueden abordar. Y jamás se entretienen con un problema que ya está resuelto o que es parecido a uno resuelto, eso les carga. Y si los matemáticos resuelven problemas, en las salas de clase los niños y las niñas deberían hacer lo mismo. Es cierto que tendrán que practicar las tablas, aprender algoritmos y otras operaciones, pero todo eso para hacer lo interesante, que es resolver problemas”.
En palabras de Felmer, una actividad matemática es un problema “cuando quien la enfrenta no conoce un procedimiento que le lleve de forma directa a la solución, en caso contrario se dice que dicha actividad matemática es un ejercicio”.
A primera vista, explica, esto pareciera contradecir el sentido mismo de la educación, donde el profesor/a usualmente explica a los niños el problema y la solución para que ellos la aprendan. Aquí la idea es al revés: los estudiantes no tienen que conocer el procedimiento que conduce a la solución.
“Lo interesante para todos son los problemas que no sabemos cómo resolver. Eso interesa a los matemáticos y también a los niños y jóvenes. Pero el reto debe ser posible de lograr. Una amiga en una charla explicó esto con un ejemplo: el arco de fútbol. Si es muy grande, no tiene gracia, el arquero no tiene cómo pescar la pelota. Si es muy chico, tampoco, no puedo meter la pelota. Por lo tanto, el problema tiene que ser desafiante y, al mismo tiempo, abordable”.
Hace unos meses visitó nuestro país el francés Cédric Villani, con motivo de la celebración de los 50 años de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chile. Él es un matemático, ganador de la Medalla Fields 2010, el premio más importante que un profesional de esta disciplina puede recibir. Patricio Felmer recuerda que lo entrevistó y le preguntó si cuando trabajaba en un problema cometía errores. Y su respuesta fue la siguiente:
“¡Por supuesto! Todos los matemáticos cometen errores cuando trabajan en problemas matemáticos. Todo el tiempo, todos los días. Nosotros cometemos errores y errores y de nuevo errores. Pensamos en ellos otra vez y los corregimos… y corregimos y corregimos hasta que obtenemos la respuesta correcta. Y la mejor manera de entrenarse para esto es hacer programas de computación, donde tú te lo pasas cometiendo errores y corrigiéndolos hasta que obtienes el resultado requerido (…) Déjame agregar que los errores son una parte normal del aprendizaje. Son también una buena forma de ver dónde están las dificultades. Los errores te muestran que no estás trabajando en un problema que es muy fácil, para saber que no estás perdiendo el tiempo. Si no cometes errores, entonces no estás trabajando en el problema correcto”.
(Cédric Villani, en www.arpamat.cl, 28 de marzo de 2016)
Felmer destaca que el ganador del premio Fields relató en el libro “Théorème Vivant” los esfuerzos que hizo para resolver el problema que lo llevó a obtener dicho reconocimiento, y reconoció que hubo momentos en que sintió desesperación, la tentación de darse por vencido y el miedo a fracasar. “Eso le pasó a un gran matemático. ¡Lo mismo les pasa a los niños! A veces dicen: “no quiero hacer esto”, porque tienen miedo a fracasar”.
Pero Cédric contó también cómo experimentó el gusto que se produce al trabajar juntos en matemática, la amistad y la camaradería. “Este libro destierra el cliché del genio matemático solitario. Se presenta el hacer matemática como un genuino esfuerzo colaborativo, no de la nada, sino creado por la pasión del trabajo duro y la suerte después de muchas, muchas, partidas en falso”, dice Felmer.
Cabe señalar que en 2014, por primera vez un latinoamericano ganó la Medalla Field. El galardón recayó en Artur Ávila, científico brasileño, por su trabajo en el área de sistemas dinámicos, que busca prever la evolución en el tiempo de los fenómenos naturales y humanos observados en las diferentes ramas del conocimiento. En esa misma ocasión, por también primera vez una mujer obtuvo ese galardón, la iraní Maryam Mirzakhani (37 años), profesora de la universidad estadounidense de Stanford.
“Nosotros sabemos que por razones culturales, la mujer no ha estado trabajando en matemática como debiera, pero aquí está demostrado que son iguales de talentosas que los hombres”, destaca Felmer.
Las habilidades matemáticas en el currículum chileno
Actualmente el currículum de esta asignatura está dividido en ejes temáticos, habilidades y actitudes. Y en cuanto a las habilidades, son básicamente cuatro: representar, comunicar y razonar, resolver problemas y modelar.
“La resolución de problemas está en el currículum escolar. ¡Cuánto ha cambiado el currículum! Antes estaban mezclados los contenidos y las habilidades, pero había un razonamiento muy interesante: cómo los vamos a separar si está todo mezclado. Finalmente quisieron separarlas (a partir de las Bases Curriculares de 2012) y pasa ahora una cosa: ¡las habilidades se ven! Se visibilizaron –dice Felmer-. Entonces, cuando alguien de un colegio dice: “En este colegio no hemos pasado resolución de problemas porque no alcanza el tiempo, tengo que cumplir con el currículum”, yo digo: “¿Cómo? Estás cumpliéndolo a medias”. La resolución de problemas está en el currículum y le da sentido a muchos contenidos. Por ejemplo, pensemos en las ecuaciones de segundo grado. Si tengo que aprenderlas, las aprendo. Pero si tengo un problema que me interesa, quiero resolverlo y para ello necesito saber ecuaciones, entonces eso cobra significado para mí”.
El experto resalta que las actividades de resolución de problemas ayudan a desarrollar las otras tres habilidades, incluso la de comunicar y razonar. Esto último se da especialmente al trabajar en grupo y al explicar la solución al profesor. También, en discusiones plenarias, donde los estudiantes exponen y discuten sobre las diferentes estrategias, los procedimientos y errores que pudieron haber cometido durante la búsqueda de la solución.
Según Felmer, la resolución de problemas no se enseña. “Lo que uno puede hacer en la clase es proponer problemas que a los niños les sean interesantes, que sean un desafío abordable”. Y esta práctica se traducirá en aprendizajes muy concretos para los estudiantes, como por ejemplo:
Mayor autonomía: Cuando los alumnos deben resolver un problema y no saben cómo hacerlo, tienen que descubrir cómo se hace. “Es similar al sudoku, de repente empieza todo a calzar. Y cuando dos o tres chicos están trabajando en eso y llegan al resultado, conversan acerca de si ése es o no, ahí tenemos autonomía. Si le preguntan todo al profesor, no la hay. ¿Cómo podría asegurarme que ese niño cuando salga de la clase y tenga que resolver un ejercicio va a saber qué hacer?”
Creatividad frente a situaciones nuevas: Hay que ofrecer a los niños oportunidades para que sean creativos. “No sirve darles sermones sobre creatividad”.
Uso flexible de los contenidos matemáticos: Los conocimientos se flexibilizan cuando los alumnos tiene que moverlos de un lado a otro, por ejemplo, si se enfrentan a un problema que parece de geometría pero al final para resolverlo deben acudir a las ecuaciones. “Se mata toda flexibilidad cuando pasamos un contenido, enseñamos un problema relativo a ese contenido, lo resuelven hartas veces y los evaluamos con una prueba. Y sólo a fin de año mezclamos los contenidos, y mezclamos cosas fáciles, porque si no no hacen nada. ¡Aquí no los estamos poniendo frente a problemas donde tengan que ser flexibles en el uso de sus conocimientos!”
Comunicación de ideas matemáticas: Los niños que trabajan en un problema que les interesa, que sienten que es un desafío y que creen que pueden resolverlo, empiezan a conversar de matemática. “Una vez una profesora le dijo a un colega mío: “Esto nunca me había pasado. Sonó la campana y salieron dos niños al recreo conversando de matemática”. ¡Se fueron interesados discutiendo de matemática! ¿Y por qué? Porque se les presentó la oportunidad de abordar un problema desafiante para ellos”.
Defender ideas, contraponer ideas: Esto dice relación con la capacidad de argumentar frente al otro. “Pareciera que la matemática es 2 + 2 igual 4 y que no hay nada que discutir. Falso. ¡Es pura discusión! Cuando hay un problema que yo no sé resolver, seguro que hay discusión. Si el mejor del curso hace el problema sin equivocarse, está perdiendo el tiempo. Porque equivocarse es la muestra de que está enfrentado a algo que no sabe hacer y el error le irá guiando por dónde hay que ir para resolverlo”.
El trabajo entre pares y la capacidad de perseverar frente a las dificultades: tratar de resolver un problema en grupo es una excelente oportunidad para aprender a trabajar en equipo. “Obviamente, al resolver el problema hay una sensación de logro que si se repite hartas veces, provocará en los alumnos ganas de seguir aprendiendo matemática. Si por el contrario, nunca pueden resolver algo, los llaman a la pizarra y los ridiculizan, sentirán frustración y nunca más querrán saber de matemática”.
Actualmente Patricio Felmer dirige ARPA, una iniciativa de investigación y desarrollo que nació al alero del Centro de Investigación Avanzada en Educación (CIAE) y el Centro de Modelamiento Matemático (CMM), ambos de la Universidad de Chile. Lo que persigue es implementar estrategias de desarrollo profesional docente que promuevan la resolución de problemas matemáticos en las salas de clase.
ARPA es el acrónimo de Activando la Resolución de Problemas en las Aulas, que recuerda que todos los seres humanos tenemos la capacidad para resolver problemas; si en nuestras aulas no se practica, es necesario activarla.
Más información: www.arpamat.cl
[i] Patricio Luis Felmer Aichele (25 de agosto de 1958) es un matemático chileno.
Estudió ingeniería matemática en la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (FCFM) de la Universidad de Chile, titulándose en 1983. Posteriormente, en 1989 obtuvo un doctorado en Matemáticas en la Universidad de Wisconsin-Madison.
En 2000 fue uno de los fundadores del Centro de Modelamiento Matemático (CMM), dependiente de la FCFM.
Fue electo presidente en 1994 de la Sociedad de Matemática de Chile por el período de un año. También fue director del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile entre 1999 y 2001 y miembro de la Academia Chilena de Ciencias durante 2005.
El 2 de septiembre de 2011 recibió el Premio Nacional de Ciencias Exactas de Chile.

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