Source: http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362016000300255&lng=es&nrm=iso&tlng=es
Timestamp: 2020-08-10 09:02:35+00:00

Document:
La modelación en el desarrollo del pensamiento funcional-trigonométrico en estudiantes mexicanas de nivel medio superior
https://doi.org/10.12802/relime.13.1931
María del Pilar Beltrán Soria*
Gisela Montiel Espinosa **
*Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal Plantel Iztapalapa 1, México. pilysoria@gmail.com
**Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, México. gmontiele@cinvestav.mx
Presentamos los resultados de un estudio centrado en el papel de la modelación en el desarrollo del pensamiento funcional-trigonométrico (dpFT). Se analizó la resolución de una situación-problema fundamentada en el planteamiento teórico-didáctico de la funcionalidad-trigonométrica, construido desde la teoría socioepistemológica. Se obtuvo evidencia del dpFT en las producciones y los argumentos de las estudiantes, y se identificó a la modelación como la práctica de referencia que les permitió matematizar el movimiento del péndulo.
Palabras clave: Práctica de referencia; Epistemología de prácticas; Funcionalidad trigonométrica; Movimiento y cambio
We present the results of a study focused on the role of modeling in the development of functional-trigonometric thinking. Students’ solutions of a problem-situation, designed based on the Socioepistemologic theoretical and didactic proposal of Trigonometric-Functionality, was analyzed. Evidence was obtained in the students’ productions and arguments, and modeling was identified as the reference practice which allowed the mathematization of pendulum motion.
Keywords: Reference practice; Epistemology of practice; Trigonometric functionality; Motion and change
Apresentamos os resultados de um estudo focado no papel da modelagem no desenvolvimento do pensamento funcional-trigonométrico. A resolução de uma situação-problema, projetado com base na proposta socioepistemológica teórica e didático de Funcionalidade-Trigonométrica, foi analisada. As provas foram obtidas nas produções e os argumentos dos alunos, e foi identificado modelagem como prática de referência permitido mathematize movimento do pêndulo.
Palavras chave: Prática de referencia; Epistemologia da prática; Funcionalidade trigonométrica; Movimento e mudança
Nous présentons les résultats d’une étude centrée sur le rôle du modélisation dans le développement de la pensée fonctionnelle-trigonométrique. La résolution d’une situation-problème sur la base de l’approche théorique et didactique de la fonctionnalité-trigonométrique, à partir de l’approche théorique Socioépistémologie. La preuve de ce genre de pensée a été obtenue dans les productions et les arguments des étudiants, et nous avons identifié comme une «pratique de référence» que permis la mathématisation du mouvement pendulaire.
Mots clés: Pratique et référence; Épistémologie des pratiques; La fonctionnalité trigonométrique; Mouvement et changement
En este artículo, presentamos una investigación basada en una propuesta teórica-didáctica que asume a la experiencia de aprendizaje como la participación de prácticas donde el conocimiento se pone en uso. La funcionalidad-trigonométrica (FT) es el planteamiento de Montiel y Buendía (2013) sobre la construcción social de la función trigonométrica, y que fundamentan en investigaciones enmarcadas en la teoría socioepistemológica.
La situación-problema que diseñan las autoras en su planteamiento busca que el estudiante construya los significados que le son propios a esta función y que le den uso y sentido dentro y fuera de la matemática escolar. Esta propuesta se enmarca en el momento histórico de predicción que Montiel (2011) caracteriza haciendo uso de un modelo para la construcción social de conocimiento trigonométrico (Figura 1).
Figura 1 Modelo para la construcción social de conocimiento matemático (Montiel, 2011, p. 107)
Se identifica una clara relación entre las actividades del modelo y las actividades didácticas incluidas en la situación-problema diseñada por Montiel y Buendía (2013), con excepción de la modelación. Dado que el modelo de Montiel se desarrolla a partir del estudio de la construcción social del conocimiento trigonométrico en escenarios históricos, la modelación se reconoce como una actividad científica y no se le presenta con una caracterización explícita y detallada. Sin embargo, al transitar a un escenario escolar, reconocemos que la modelación no constituye una actividad definida y controlada por el alumno, sino que se integra en todo el proceso de enseñanza-aprendizaje y, en ese sentido, toma un carácter didáctico, no necesariamente matemático.
La FT es un planteamiento sobre la construcción social de la función trigonométrica desarrollado en el marco de la Teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa (Reyes-Gasperini y Cantoral, 2014; Cantoral, 2013; Cantoral & Farfán, 2004, 2003). Esta teoría se ocupa del estudio de fenómenos didácticos ligados al saber matemático y descansa en cuatro principios, tres de los cuales explican el porqué de los datos recolectados y su análisis a la luz de una epistemología de prácticas.
Por el principio de la “racionalidad contextualizada”, se reconoce que la racionalidad con la que se actúa depende del contexto en el que el individuo se encuentre en un momento y lugar determinado (Espinoza-Ramírez, 2009). Se asume la legitimidad de toda forma de saber, sea éste popular, técnico o culto, pues considera que, en su conjunto, constituyen la sabiduría humana (Cantoral, 2013). Por ello, se reconoce que la validez de dicho saber es relativa al individuo, como sujeto social, por lo que depende en gran medida del marco de referencia y del grupo social-cultural del cual su conocimiento emerge. Éste constituye el principio del “relativismo epistemológico” considerando entonces que el sujeto no sólo desarrolla conocimiento dentro de la escuela, sino que se encuentra en constante significación de los objetos sobre los que actúa, aun si lo hace de forma inconsciente. Esta dinámica de significación está en la base misma del desarrollo del pensamiento (Cantoral, 2013), por ello supone un principio de “resignificación progresiva”.
2.1. Funcionalidad-Trigonométrica
El uso de la unidad de medida (ángulos/radianes) es totalmente contextual y el reconocimiento de una propiedad, como la periódica, está más relacionado con el estudio y análisis del comportamiento del objeto matemático (la gráfica, por ejemplo) que con saber cómo aplicar la fórmula periódica en él. (p.76)
A partir de esto, las autoras analizan la evidencia de situaciones experimentales con estudiantes y profesores, y robustecen su propuesta con el estudio de las variaciones sucesivas en un comportamiento oscilatorio, en lo que denominarán como Funcionalidad-Trigonométrica (Montiel y Buendía, 2013). Las autoras establecen, particularmente para las funciones seno y coseno, que el estudiante construye la FT cuando:
Estudia lo trigonométrico desde un acercamiento variacional al movimiento oscilatorio, en donde se reconozca que el comportamiento trigonométrico se caracteriza y se distingue de otros comportamientos (algebraicos o trascendentes) por su variación y sus variaciones sucesivas, esto es, por cómo cambia y cómo cambian sus cambios.
Identifica una unidad mínima de análisis del comportamiento que le permite predecir al trabajar con objetos periódicos. La predicción se favorece por la distinción entre el “se repite” y el “cómo se repite”.
Reconoce lo acotado del comportamiento en el análisis de los datos en relación a las condiciones del experimento.
Hace uso de la unidad de medida adecuada a la experiencia física y la reconoce; en la relación tiempo-distancia y en la representación gráfica de los datos obtenidos del experimento.
Con base en la clasificación de las propias autoras, la situación-problema puede considerarse un diseño experimental que, al igual que la propuesta de Grabovskij y Kotel’Nikov (1971), despojaría al estudio de lo trigonométrico, en el contexto físico, de las nociones geométricas que pueden llegar a causar dificultades en los estudiantes. Sin embargo, recientes investigaciones (Weber, 2005; Moore, 2014) han mostrado que la articulación coherente entre nociones geométricas y nociones de precálculo puede generar significados más robustos de la función trigonométrica en el estudiante. Éstas últimas, junto con los resultados de la presente, están siendo consideradas en la planeación de momentos de institucionalización de futuras experiencias de investigación basada en el diseño.
Desde el enfoque teórico de la socioepistemología, se han realizado investigaciones dentro de las cuales la modelación juega un papel importante. Con los trabajos de Suárez y Cordero (2008), se inició una línea de trabajo sobre la “graficación-modelación”, donde muestran claramente el cambio de centración de los conceptos matemáticos a las prácticas, lo que implica considerar a las matemáticas como una herramienta para modelar. Por ejemplo, en esta investigación, Suárez y Cordero no declaran el estudio de los procesos de enseñanza-aprendizaje del concepto de función, sino que estudian las construcciones de los estudiantes cuando éstos modelan el movimiento en un ambiente tecnológico que favorece la toma de datos, la graficación y sus análisis. Para los autores, la modelación es “una construcción de conocimiento cuando un individuo enfrenta a una tarea matemática en la que pone en juego un saber”, perspectiva que, si bien encuadra con nuestras consideraciones teóricas de partida para la construcción de la FT, no nos permitía delimitar qué de la actividad se podría considerar modelación.
[…] el proceso de encontrarse con una situación indeterminada, problematizarla y hacer uso de la investigación, el razonamiento y estructuras matemáticas para transformar la situación. La modelación produce un resultado -el modelo- que es una descripción o una representación de la experiencia de la persona, que en sí misma ha cambiado a través del proceso de modelación.
Este programa de investigación se conduce por una propuesta metodológica (Montiel y Buendía, 2012) que se ha ido configurando al seno de la socioepistemología (Figura 2). En particular, ubicamos el presente estudio en el momento que va de la situación-problema a la construcción de conocimiento, tomando en cuenta las condiciones del escenario en donde se realizó la puesta en escena. Las situaciones-problema pueden ser entendidas como un conjunto de condiciones de un fenómeno o preguntas que propician una problematización y serán el instrumento que permita el desarrollo de acciones en el sistema didáctico (Suárez, 2008).
Figura 2 Esquema metodológico (Montiel y Buendía, 2012, p.446)
Desde su planeación y diseño, una situación-problema debe dar cuenta de la resignificación del conocimiento matemático en juego, en tanto está fundamentada en una “epistemología de prácticas” producto de un “análisis socioepistemológico”. Para llevar a cabo una experiencia didáctica con ella, buscando la construcción del conocimiento mismo, tendrá que considerarse ampliamente al escenario y a las condiciones institucionales para lograr no sólo la innovación, sino un entendimiento amplio de cómo, cuándo y por qué la innovación funciona. Esta innovación, fundamentada teóricamente, nos ayuda a entender las relaciones entre la teoría educativa, los diseños instruccionales y la práctica. En ese sentido, el diseño de la situación-problema y el análisis de su implementación son fundamentales para validar y robustecer las epistemologías de prácticas propuestas, revisando el rol de las prácticas en el entendimiento y la explicación de la problemática inicial de investigación o los fenómenos didácticos identificados.
Figura 3 Unidad de análisis (Montiel y Buendía, 2012, p. 445)
Nuestro camino metodológico comienza con la adaptación de la situación-problema de Montiel y Buendía (2013), estimando las condiciones de nuestro escenario escolar. Se conservaron las mismas actividades y preguntas, pero se decidió incluir la experimentación con el péndulo y el manejo de tecnología (calculadora de capacidad gráfica, sensor de movimiento y programa de videos), y no dejar sólo los dibujos del experimento, para que las propias tutoradas obtuvieran los datos y las gráficas incluidas en cada actividad. Para incorporar la experiencia de resolución de la situación-problema al curso de Matemáticas IV, de manera que se integrara de forma natural, fue necesario hacer una planeación cuidadosa del contenido y las estrategias didácticas de todo el semestre. Esto se logró tomando el libro de Salinas, Alanís, Pulido, Santos, Escobedo y Garza (2007) como base de las actividades de clase. Este texto propone un acercamiento al precálculo con el estudio de fenómenos de cambio, se identifica y se analiza cómo se relacionan las cantidades en problemas particulares de cambio y variación.
Figura 4 Montaje del péndulo
Se filmaron los momentos de experimentación y resolución de la situación-problema en las sesiones de tutoría y en el momento de apoyo al grupo completo. En total, se obtuvieron 14 horas de videograbación para analizar el papel de la modelación en la actividad de este pequeño grupo.
Se prepararon hojas de trabajo con la situación-problema que incluían la descripción de la experimentación con el péndulo de donde se tomaron los datos, las gráficas obtenidas (aunque hechas con otro programa de cómputo para tener una mejor resolución de la imagen) y espacio suficiente para los procedimientos, los dibujos, las respuestas y los argumentos verbales solicitados para dar respuesta a las preguntas de cada actividad. Debido a la dinámica escolar de trabajo con el grupo de tutoría, se espera que lo plasmado por las estudiantes en las hojas de trabajo sea muy similar porque trabajaron en equipo, sin embargo, se analizan como registros personales porque se asume que al plasmarlo en las hojas personales están de acuerdo en que ésa es la forma correcta de presentar lo trabajado como grupo.
Para transformar los registros en datos, se construyó una tabla que organizaba por actividad de la situación-problema lo siguiente:
- Elemento de la FT;
El pensamiento funcional trigonométrico es un tipo particular del pensamiento matemático, entendido éste como todas las formas posibles de construir ideas matemáticas, incluyendo procesos avanzados del pensamiento como la abstracción, justificación, visualización, estimación y razonamiento bajo hipótesis (Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez y Garza, 2005). En consecuencia, y como plantean Montiel y Buendía (2013), es necesario poner atención en las argumentaciones, los procedimientos y las explicaciones que el alumno configura, en forma escrita, icónica, corporal o verbal para responder a una tarea específica y que son vistos como los artefactos clave que señalan Confrey y Maloney (2007). Esto es visto como la actividad de las estudiantes que, en interacción con la situación -problema, su intencionalidad y la organización didáctica (polo de transmisión del saber), y la FT (polo del saber matemático a construir), constituye nuestra unidad de análisis dentro del escenario escolar del IEMS-DF y el contexto de estudio del cambio, y la variación del movimiento del péndulo.
Se distinguen dos momentos en el análisis de la experiencia didáctica. El primero consiste en la resolución de la situación-problema por parte de las tutoradas y, el segundo, de su participación como apoyo en la puesta en escena con el grupo completo. En cada momento, se organizan y analizan las producciones (qué hacen) escritas y verbales en relación con los cuatro elementos de la FT, tomando en consideración su intencionalidad (para qué lo hace) y las herramientas y estrategias que utiliza (cómo lo hace).
A la luz de nuestro estudio, asumimos a la matematización como la tarea de comprender e interactuar con la situación-problema. Esto implica partir de la interpretación y el lenguaje de las estudiantes, y hacer emerger, en cada actividad, significados a partir de un desarrollo de usos del conocimiento matemático en juego. En particular, se propone como la situación indeterminada o desconocida la matematización de un tipo particular de movimiento, a propósito de formar parte de un curso donde se estudiaron distintos tipos de movimiento y ello supone aprender un nuevo conocimiento con cada uno. Es importante señalar que, desde el diseño original, el estudio del movimiento del péndulo busca intencionalmente la resignificación de la función trigonométrica al seno de la matemática escolar, es decir, de aquéllo que da uso y sentido a la función. Claramente un estudio que pretenda el entendimiento del fenómeno físico al seno de la física escolar haría emerger herramientas matemáticas más complejas, de ahí la importancia de los enfoques transversales en la educación en el nivel medio superior, donde los tópicos científicos pueden abordarse de forma integral.
Considerando que “las transcripciones no son descripciones neutras, sino que se le integran supuestos teóricos sobre la naturaleza de las interacciones” (Ochs, 1979, citado en Barwell, 2009) y, como señala Barwell, “sirven para construir los estados mentales, tanto explícitos como implícitos, de los participantes de un estudio” (p. 259), realizaremos en esta sección la descripción de cómo enfrentan las tutoradas la situación indeterminada, vía la resolución de la situación-problema, como el análisis de datos que dé cuenta del desarrollo del pensamiento funcional-trigonométrico y del papel que juega un proceso de modelación. Éste podría servir también para el análisis retrospectivo del diseño y su adaptación para nuevas experiencias y escenarios educativos, pero no es el propósito del presente artículo.
Figura 5 Péndulo en reposo
Figura 6 Gráfica 1
Figura 7 Respuesta de Fer
Figura 8 Respuesta de Ana
El contexto, el diseño de las actividades, el tipo de preguntas y, en general, la organización didáctica permitieron a las tutoradas el uso de lenguajes informales, cotidianos y escolares para dar respuesta o explicación a la situación. Particularmente, en la primera actividad, para el estudio del movimiento del péndulo y sus cambios, los artefactos clave consistieron en movimientos corporales descriptivo-explicativos, bosquejos gráficos, lecturas locales de la distancia como altura, lecturas globales del comportamiento ondulado y descripciones del acercamiento-alejamiento de la bola respecto del sensor en la gráfica. Considerando el tipo de experimentación, fue natural que se pusieran en funcionamiento las unidades de medida “segundo” y “metro”. A la luz de la FT, esto constituye el “uso situado de la unidad de medida” y se manifiesta en la lectura local sobre la gráfica como una distancia entre la pelota y el sensor en un momento del tiempo durante el movimiento. El uso de esta unidad de tiempo, obviamente, se mantiene durante toda la experiencia porque no hay cambio de situación física de estudio.
Figura 9 Péndulo en movimiento
Figura 10 Gráficas 3 y 4
[2] Emi escribe: En la gráfica 3, la toma de la distancia cuando se aleja es menor y posiblemente tenga popote porque se nota cómo disminuye su movimiento, aunque se tomaron en el mismo momento y con la misma distancia.
Figura 11 Respuesta de Sara
La actividad se concluye con la pregunta: En las gráficas 3 y 4, ¿cómo determinas si la bola se aleja o se acerca del sensor? Esto con la intención de generar el análisis de los datos respecto de las condiciones del experimento, en particular, para relacionar el alejamiento/acercamiento con las zonas identificadas anteriormente.
En sus respuestas, las tutoradas muestran una asociación correcta entre el alejamiento/acercamiento en el experimento y el crecimiento/decrecimiento en la gráfica, aunque de manera implícita, por ejemplo:
Sólo Sara alude explícitamente a las gráficas y dibuja, a un lado de su respuesta, una sección de la curva para ejemplificar el momento de alejamiento/ acercamiento (Figura 12). Sin embargo, aún en este caso, no se observa que lo identifique como un intervalo de crecimiento/decrecimiento.
Figura 12 Respuesta de Sara
Aunque ya se había identificado un significado gráfico al “va y viene” del movimiento, en esta actividad no se hace mención a la “repetición” de zonas de “crecimiento-decrecimiento”, o lo que en términos de la FT se caracteriza como identificar “qué se repite” y “cómo se repite” en el comportamiento en estudio.
Figura 13 Péndulo en reposo (60 cm)
Figura 14 Gráfica 5
Figura 15 Gráfica 6
Figura 16a Sara simulando el péndulo con dos lápices para representar el cordón más largo
Figura 16b Fer mostrando cómo al moverse más rápido, la distancia entre la bola y el sensor es mayor, y viceversa
En esta actividad, los aparatos clave previos se conservan y aparecen algunos como el uso de términos escolares, la simulación-corporización y un síntoma de “lectura continua” de la gráfica, cuando se dice que “va yendo” o cuando se identifica la concavidad. El elemento de la FT que más resalta es el uso de la condición acotada de la gráfica al identificar la longitud entre punto máximo y mínimo para explicar los cambios en las condiciones del experimento.
Esta actividad inicia con una gráfica (Figura 17) que muestra las distancias entre el sensor y la bola, obtenidas a partir de una nueva configuración (cada 0.025 segundos, durante 5 segundos) . Se les pide considerar que la bola se comporta como el péndulo de un reloj, es decir, no se detiene, y usar la gráfica 7 para responder las siguientes preguntas: ¿Cuál sería la distancia a la que se encontraría el péndulo del sensor en el segundo 60? ¿Estará alejándose o acercándose al sensor? ¿Utilizaron alguna parte de la gráfica para poder realizar la predicción? Si la respuesta a la última pregunta es positiva, se les pide señalar qué parte.
Figura 17 Gráfica 7
Figura 18 Punto utilizado para la predicción
En una discusión de sus respuestas Emi y Sara reflexionan:
Figura 19 Gráfica 8
Figura 20 Trazo de líneas guía
Debido a que los estudiantes, incluyendo a las tutoradas, ya habían cursado la asignatura de Física y abordado la velocidad en los temas previos a la experiencia didáctica, la introducción de las definiciones de velocidad promedio e instantánea, y de aceleración no supone un “tema nuevo” para ellas. En la hoja de trabajo, se les proporciona la fórmula para calcular las velocidades instantáneas en los tiempos dados en una tabla a completar, la cual incluye los datos (tiempo-distancia) obtenidos con el sensor durante 3 segundos, con un total de 60 tomas. Debido a que las tutoradas sólo tienen una calculadora, comienzan a dictar los datos a una de ellas y todas toman nota.
Tal como pide la actividad, las tutoradas ubican los puntos calculados (tiempo-velocidad instantánea) en la gráfica 9 y usan el marcatextos para señalar dónde las velocidades son positivas y dónde son negativas. Identifican que las zonas gráficas, marcadas anteriormente (crecimiento y decrecimiento de las distancias), coinciden con las marcadas ahora para velocidades positivas y negativas (Figura 21) y responden así a las preguntas planteadas:
Figura 21 Gráfica 9 con las velocidades instantáneas
De nuevo, no hay alusión explícita a intervalos de tiempo, pero se reconoce un uso de ellos cuando identifican las zonas gráficas que relacionan “velocidad positiva con alejamiento” o “velocidad negativa con acercamiento”. La pregunta final de esta actividad pide el bosquejo de la gráfica de la velocidad dada una gráfica de distancias, de una toma de datos por 15 segundos. En las respuestas se observa que no hay un trazo ondulado, pero se identifica la relación entre máximos-mínimos de la gráfica de las distancias con los “ceros” de la gráfica de velocidad y los máximos- mínimos de la gráfica de la velocidad con el punto de inflexión de la gráfica de distancias.
Figura 22 Respuesta de Ana
Figura 23 Respuesta de Luz
A lo largo de toda la experiencia, se mantuvo la lectura de las distancias como alturas, se identificaron las variables tiempo-distancia/velocidad/aceleración como las unidades de medida, según la actividad; se reconoce un uso implícito de los periodos de tiempo; la lectura de las gráficas se hace en lo global por su forma y comportamiento, y en lo local porque ello permite cuantificar las variables. Son las preguntas en cada actividad lo que permite que lo anterior se ponga en funcionamiento para identificar y usar el comportamiento periódico de la gráfica, distinguiendo no sólo la repetición, sino cómo es ésta; así como la naturaleza de este comportamiento en relación a sus variaciones.
Se agruparon las acciones de las tutoradas en acciones de socialización y actividades matemáticas, entendiendo éstas últimas como acciones intencionalmente provocadas por el diseño de la situación-problema. Las acciones de socialización se refieren a la interacción social de las tutoradas para la resolución de la situación-problema, considerando que, aun cuando entregaron sus hojas de trabajo en forma individual, interactúan como colectivo para entender los planteamientos de la situación-problema, las instrucciones y las preguntas de cada actividad, y para acordar ciertas respuestas del tipo “dar valores aproximados” o “dar argumentos y explicaciones amplias”.
Las actividades matemáticas como medir, calcular o aproximar, son solicitadas explícitamente por la situación-problema; sin embargo, identificamos otras de las que dependen las tutoradas para lograr la matematización. A éstas últimas las llamamos genéricamente como:
Los datos en cada actividad evidencian el desarrollo del pensamiento funcional-trigonométrico en las tutoradas, no sólo al nivel de haberse manifestado cada uno de sus elementos, sino de haberse utilizado como argumentos para explicar la respuesta a cada una de las preguntas.
Para validar que las tutoradas lograron la modelación, fue necesario analizar su apropiación de la situación, momento que se provocó al llevarlas como equipo de apoyo para trabajar la situación-problema con el grupo completo. En esta etapa, cada tutorada orienta a pequeños grupos de estudiantes en la toma de datos, explicándoles cómo se colocan el péndulo y los sensores, cómo se maneja la calculadora para tomar y guardar los datos, y cómo se maneja la cámara para la captura en video del movimiento del péndulo. Las tutoradas muestran control sobre el manejo de las herramientas e identifican rápidamente si las tomas hechas por los estudiantes sirven o no para la secuencia de actividades que posteriormente realizarán. Por ejemplo, determinan si debe repetirse la toma de datos o explican cómo deben lanzar la bola para que se mueva en una trayectoria lo más alineada posible y que no salga de la visión del sensor.
Figura 24 Respuesta a la pregunta 6 de la actividad 1
Figura 25 Manipulación de la gráfica para resolver la actividad 2
Analizar la actividad y la producción matemática del estudiante, reconociendo los procesos de construcción que le son propios, para reconocer su desarrollo del pensamiento matemático nos obliga a entender sus formas de explicar y argumentar. Es decir, ante un diseño didáctico no tradicional (al menos en el IEMS-DF) no podemos, ni debemos, esperar que el estudiante responda con conceptos matemáticos formales. Por ejemplo, la epistemología de prácticas de Montiel (2011) propone el manejo de una escala de tiempo infinitesimal (para lo local) - infinita (para lo global) en el estudio del movimiento oscilatorio, lo que se manifiesta explícita e intencionalmente en el diseño cuando se reducen los intervalos de tiempo en la toma de distancias entre la bola y el sensor, hasta donde lo permite la herramienta tecnológica. En la actividad y las producciones del estudiante, no se espera que éste hable de “intervalos”, ni de “infinitamente pequeños”; pero se le otorga ese significado a su expresión “… lo más curvita es por cada cuánto tomas los datos”.
Éstas son el tipo de evidencias recolectadas, organizadas y analizadas en la experiencia. Un momento de institucionalización escolar nos permitiría el paso de la construcción del estudiante al establecimiento del saber escolar que, para efectos de la investigación, no fue necesario por el objeto de estudio que se planteó de inicio. Aunado a ello, presupone establecer también procesos de institucionalización para el conocimiento físico en juego y ello puede resultar más complejo que abordar solamente la función trigonométrica. Sin embargo, una estrategia que hemos encontrado pertinente para transitar hacia una institucionalización, sólo de la matemática escolar en juego, es continuar con tareas como las que proponen Moore (2014) y Ozgün-Koca, Edwards y Meagher (2013). Éstas demandan del estudiante sólo mediciones y construcciones geométricas básicas, además, su fundamentación en el pensamiento cuantitativo y covariacional resulta significativa también para un futuro rediseño de la situación-problema, principalmente para ampliar el estudio de los cambios y las variaciones del movimiento del péndulo.
Considerando que las tutoradas no hicieron alusión a la función trigonométrica, al movimiento oscilatorio o periódico, o a algún referente de la física para abordar la situación-problema, asumimos que representaba una situación indeterminada para ellas y, con base en ello, continuamos la puesta en escena según lo planeado en la adaptación del diseño.
El diseño no pretende el aprendizaje del movimiento oscilatorio como tal, ni de la función trigonométrica, sino la construcción de aquello que le da uso y sentido a ésta. Para ello, iniciamos estudiando el movimiento del péndulo. Son necesarias otras actividades, pero sobre todo un acercamiento distinto a su estudio para hablar, en sentido estricto, del movimiento oscilatorio y del estudio de sus variaciones sucesivas. Es posible que la experiencia aquí reportada sea sólo una fase de experimentación y acercamiento al fenómeno si nuestro enfoque hubiese sido desde la didáctica de las ciencias o de la física en particular. Sin embargo, a la luz de nuestro estudio, la implementación del diseño cumplió su objetivo como un ejercicio de matematización para rediseñar el discurso trigonométrico escolar y consideramos que el aprendizaje científico que podríamos identificar es solamente aquél relacionado con la observación, la medición, la recolección de datos, la identificación y el control de variables, la experimentación y el uso de varias representaciones matemáticas, actividades que Matthews, Gauld y Stinner (2005) consideran esenciales de la investigación científica.
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Recibido: 16 de Abril de 2014; Aprobado: 15 de Junio de 2015

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