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Timestamp: 2017-10-24 08:19:10+00:00

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Análisis de la comprensión de Divisibilidad en el conjunto de los Números
AGRADECIMIENTOS LISTA DE TABLAS Y ESQUEMAS 1. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA
LA DIVISIBILIDAD EN N
1.1.1. Desarrollo histórico de la Divisibilidad.
1.2. CURRÍCULO DE DIVISIBILIDAD EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y
SECUNDARIA EN EL SIGLO XX
1.3. LA DIVISIBILIDAD EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA ACTUAL EN LOS LIBROS DE TEXTO 1.4. LA ³COMPRENSIÓN DE LA DIVISIBILIDAD´ COMO ÁMBITO DE
2. MARCO TEÓRICO 2.1. LA CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS MATEMÁTICOS 2.2. UNA APROXIMACIÓN PIAGETIANA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL conocimiento
2.2.1. Teoría APOS.
2.2.1.1. Las construcciones mentales. 2.2.1.2. Los mecanismos. 2.2.1.3. La descomposición genética. 2.2.1.4. Desarrollo de un esquema.
2.2.2. Potencialidad de la Teoría APOS. 2.2.3. La comprensión de la divisibilidad en N desde la Teoría APOS.
DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN 3.1. DISEÑO, APLICACIÓN Y ANÁLISIS CUANTITATIVO DEL cuestionario
3.1.1. Sujetos. 3.1.2. Identificación de los contenidos del cuestionario piloto. 3.1.3. Elaboración del cuestionario piloto. 3.1.4. Aplicación y análisis cuantitativo del cuestionario piloto:
1. Índice de Dificultad 2. Homogeneidad. 3. Índice de Discriminación (correlación biserial puntual). 4. Índice de Fiabilidad. 5. Validez. 6. Generalizabilidad.
3.1.5. Conclusiones del análisis del cuestionario piloto.
3.2. PRUEBA DEFINITIVA 3.2.1. Sujetos. 3.2.2. Instrumentos de recogida de datos. 3.2.2.1. El Cuestionario.
 Los problemas del cuestionario.  Elementos y representaciones de las nociones de divisibilidad.
3.2.2.2. Las entrevistas.  Selección de los estudiantes para las entrevistas clínicas.  Sobre el diseño de la entrevista.
3.3. PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS 3.3.1. Caracterización de las formas de conocer la divisibilidad. 3.3.2. Caracterización de los niveles de desarrollo del esquema de Divisibilidad. 3.3.3. Fases del Análisis. 4.1. ANÁLISIS CUANTITATIVO 1. Índice de Dificultad. 2. Índice de Fiabilidad. 3. Generalizabilidad. 4. Validez del Constructo.
4.2. ANÁLISIS CUALITATIVO. 4.2.1. Características de la formas de conocer los elementos matemáticos.
4.2.1.1. Forma de conocer Acción. 4.2.1.2. Forma de conocer Proceso. 4.2.1.3. Forma de conocer Objeto.
4.2.2. Caracterización de los niveles de desarrollo del esquema de Divisibilidad. 4.2.2.1. Nivel Intra. 4.2.2.2. Nivel Ínter. 4.2.2.3. Nivel Trans. 4.2.2.1. Nivel Intra. 4.2.2.2. Nivel Ínter. 4.2.2.4. Características del desarrollo del esquema de Divisibilidad en N. 4.2.3. Tematización del esquema de Divisibilidad. 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES 5.1. SOBRE LAS FORMAS DE CONOCER LOS ELEMENTOS MATEMÁTICOS DEL ESQUEMA DE DIVISIBILIDAD. 5.2. DESARROLLO DEL ESQUEMA DE DIVISIBILIDAD.
5.3. LOS MODOS DE REPRESENTACIÓN, LA UNICIDAD DE LA DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Y EL DESARROLLO DEL ESQUEMA DE DIVISIBILIDAD
5.4. LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
5.5. LIMITACIONES. IMPLICACIONES PARA FUTURAS INVESTIGACIONES
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AGRADECIMIENTOS Desde estas líneas quiero mostrar mi agradecimiento a la Directora de esta Tesis, la Dra. Dª Julia Valls González, y al Director del Departamento de Innovación y Formación Didáctica de la Universidad de Alicante, Dr. D. Salvador Llinares Císcar, por su ayuda continua, por su apoyo, por su rigor y por su Contribución científica, y sin los cuales esta Tesis no podría haber sido una realidad. Gracias por estar ahí y por enseñarme a aprender, a mejorar la práctica docente y a enseñar. Al Dr. D. Leandro Navas Martínez por sus consejos, orientaciones y ayuda para realizar el análisis Cuantitativo de los datos de la investigación. A los profesores y alumnos de los diferentes Centros educativos que colaboraron en la realización de esta investigación. su paciencia, dando siempre su ánimo para la realización y conclusión de esta Tesis. Por último, quiero dar las gracias a nuestros familiares, sobre todo a los ausentes, por su estímulo y por
CAPÍTULO 1. IDENTIFICACIÓN DEL PROBLEMA El presente trabajo trata de la comprensión de los alumnos de Educación Secundaria sobre la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. El estudio se centra en las formas de conocer y de construir el conocimiento de los conceptos de divisibilidad en el conjunto de los números naturales, en un rango de edad de 12
a 17 años. Finalizamos este capítulo exponiendo distintas aportaciones de diferentes investigadores sobre la comprensión de la divisibilidad en N.V de 5 de abril de 2002). del razonamiento. opciones CientíficoTécnica y de Humanidades y Ciencias Sociales. 4º de ESO.O. y de 1º de Bachillerato. de la resolución de problemas y situaciones que a parezcan desarrollando estrategias que les permitan formular y resolver problemas de la comunicación centran los actuales esfuerzos de las matemáticas escolares (Silver et al.O. El campo en que se ubica el trabajo realizado es el de Pensamiento Numérico.. tanto en la modalidad de la opción A como B. que generen hipótesis y analicen críticamente las estrategias más adecuadas en cada situación. se espera que los alumnos sean capaces de dar una estructura a las nuevas situaciones. sino que además es necesario que sepan aplicarlos cuando corresponda y dar sentido a las situaciones que a parezcan desarrollando estrategias que les permitan formular y resolver problemas.G. Por ello. dentro de la investigación en Didáctica de la matemática En este primer capítulo realizaremos una breve reflexión sobre la divisibilidad en el conjunto de los números naturales tanto en el currículo de la educación primaria como en el de educación secundaria.1º de Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO). La reflexión sobre la importancia del pensamiento.G.(D. Señalan estos autores que no es suficiente que los alumnos conozcan los procedimientos aritméticos básicos. y su tratamiento en los libros de texto de la educación secundaria ubicados en este momento su tratamiento en los libros de texto de la educación secundaria ubicados en este momento en el primer ciclo.V de 8 de marzo de 2002 y D. 1997). de modo que estos estudiantes lleguen a ser ciudadanos más capacitados y estén preparados para afrontar los desafíos del .
1. constituyendo aspectos de la acción humana. Los Decretos Curriculares de Educación Secundaria (Decretos 1007/1991. Todos los alumnos deben adquirir los conocimientos necesarios para desenvolverse como ciudadanos capaces de ejercer sus derechos y sus deberes en una sociedad que incorpora cada vez más a su funcionamiento. de su relación con las demás ciencias. LA DIVISIBILIDAD EN N.1. 47/1992 y 39/2002) y Bachillerato (11 78/1992. encontrándose los objetos matemáticos mediatizados por los significados institucionales. En este apartado vamos a ofrecer un breve desarrollo histórico de la Divisibilidad. 174/1994 y 50/2002) destacan la importancia de la aplicación de las matemáticas. 1996) permiten concebir el funcionamiento mental y los contextos sociales y culturales como entidades que actúan conjuntamente. 832/2003. Presentaremos el por qué de su nacimiento y su formalización a lo largo de los siglos. 1. más allá de la especialización científica.1.nuevo siglo. que ayude al alumno a comprender la realidad que le rodea. En Educación Secundaria cabe considerar la etapa obligatoria donde se han de cubrir las necesidades matemáticas básicas y proporcionar los instrumentos necesarios para posteriores estudios.1. es necesario destacar que los individuos se desarrollan en diferentes contextos cultural es e institucionales. y de su carácter instrumental. Además. El análisis histórico y el estudio de significados institucionales (Godino. . 831/2003. a sus actividades y a su lenguaje ciertos aspectos matemáticos Para encuadrar nuestra investigación sobre la comprensión de la Divisibilidad hemos realizado un análisis histórico de contenidos de la divisibilidad a partir del desarrollo del currículo y del que realizan los proyectos editoriales. Desarrollo histórico de la Divisibilidad.
1989). 1972). XVII y XVIII (Bochner. En la matemática de la Grecia clásica destacan las obras de Euclides. El estudio de los múltiplos. Los libros VII.. recoge de manera axiomatizada el saber matemático de su tiempo. Kline 1992. Arquímedes. Existía la creencia generalizada de que los objetos matemáticos nos son dados y no se tiene el poder de asignarles propiedades arbitrarias (Bourbaki. establece los conceptos de: . 1999). Desde la Antigüedad hasta principios del siglo XIX los objetos principales de las matemáticas estaban constituidos por los números. Entre los matemáticos más prominentes de la Antigüedad se encuentra Euclides de Alejandría (año 300 a. de los divisores y de la descomposición factorial de los números naturales ha constituido un capítulo fundamental de la Aritmética desde el comienzo de la Matemática. y su dependencia y relación con las estaciones climáticas y ciclos lunares que hizo que se desarrollaran distintos tipos de calendarios. Boyer. Éstas jugaron un papel relevante en la matemática de los siglos XVI. 1991. La matemática griega poseía limitaciones que impedían modelar el pensamiento científico como nosotros lo entendemos en estos momentos. es decir. Entre los hechos en los que intervenían los conceptos de divisibilidad en la Antigüedad se pueden situar las necesidades de la agricultura y de la ganadería.La organización de las relaciones existentes entre los números constituye el origen de la teoría de la divisibilidad (Sierra et al. mediante 22 definiciones.C. de las propiedades de los números enteros y de las razones entre los mismos Euclides en el libro VII. conjunto de trece volúmenes. Apolonio. y ofrecen una descripción de la Teoría de Números.). reúnen los tratados de Aritmética. en particular. VIII y IX. cuyos ³Elementos´. Ptolomeo y Diofanto. las magnitudes y las figuras.
³Un número es parte de un número. respectivamente). Consideraron razones (P : Q) entre magnitudes o genéricas. cuando mide al mayor´. Número ³compuesto´ ±es el medido por algún número´. sólido.³el medido por la sola unidad´Números ³primos entre sí´ ±³los medidos por la sola unidad como medida común´ (Definición 11 y 12. respectivamente). parmente par e impar. completa la categorización de los números definiendo número plano. cuadrado. Por último. imparmente (desde las definiciones 6 a 10). ³Número´. el menor del mayor. y estableciendo algunas relación es entre estos números. Los griegos no concibieron los números tal como hoy los concebimos. ³Múltiplo´. divisor.³cuando no lo mide´.³Y el mayor es múltiplo del menor cuando es mediddo por el menor´. tras establecer que ³un número multiplica a un número cuando el multiplicado se añade a sí mismo tantas veces como unidades hay en el otro y resulta un número ´. El ³número´  ³Parte´ (Divisor). Número ³primo´. pero conceptualmente no pudieron formar el producto P x L entre magnitudes . cubo y perfecto. múltiplo y de las distintas clases de números fueron realizadas en términos de magnitudes o proporciones. (definciones 3.Números ³compuestos entre sí´ ±son los medidos por algún número como medida común´(Definiciones 13 y 14.³Un número es una pluralidad compuesta de unidades´ (Definición 2) ³Una unidad es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay. se llama una´ (Definición 1).³Partes´ (no divisor) .  Clasifica los números en pares e impares. noción que nunca definieron proporciones. 4 y 5 respectivamente). Las definiciones de número.
el menor del mayor´ (Proposición 4) ³Si un número es parte de un número.  Proponer distintas propiedades de la divisibilidad desde la proposición VII-4 a la proposición VII11. los número os iníciales serán primos entre sí´ (Proposición 1) ³Dados dos números no primos entre sí. El libro VII se completa con 22 proposiciones que junto con las 27 del libro VIII y las 36 del libro IX constituyeron investigaciones teóricas con. hallar su medida común máxima´ (Proposición 3). si uno de los factores era una longitud y el otro un área. para calcular el máximo común divisor de dos o más números desarrollado a través de las proposiciones VII-1 a VII-3: ³Dados dos números desiguales y restando sucesivamente el menor del mayor. si el que queda no mide nunca al anterior hasta que quede una unidad. y otro es la misma parte de .Generalmente entendieron el ³producto´ de dos longitudes como un área o un volumen. llamado ³antenaresis´ y conocido actualmente como ³Algoritmo de Euclides´. Por ejemplo: ³Todo número es parte de todo número. entre otros. los siguientes objetivos:  Establecer un procedimiento. hallar su medida común máxima´ (Proposición 2) Corolario: ³Si un número mide a dos números. 1991). si bien estos ³productos´ nunca constituyeron actos reflexivos y conscientes (Bochner. entonces también mide a su medida común Máxima´ ³Dados tres números no primos entre sí.
 Clasificar los números en compuestos y primos (Proposición VII-31 y VII-32 respectivamente). Por ejemplo: ³Dado s tantos números como se quiera. las proposiciones IX-1 a IX-11. hallar el número menor al que miden´ (Proposición 36). cuadrados. ³Dados dos números. hallar el menor número al que miden´ (Proposición 34). a partir de las proposiciones IX-21 a IX-34. ³Si dos números miden a algún número. en el libro IX de Euclides encontramos. hallar los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos´ (Proposición 33). Además se . ³Dados tres números. propiedades de los números pares e impares. Por último. cubos.  Definir y establecer propiedades de los números primos entre sí a partir de las proposiciones VII-21 a VII-29.  Establecer un procedimiento para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números desarrollado a través de las proposiciones VII-33 a VII-39. donde se establecen propiedades de los ³productos´ entre números sólidos. entre las 36 proposiciones que lo conforman. el número menor medido por ellos también medirá al mismo número´ (Proposición 35). la suma será también la misma parte de la suma que el uno del otro´ (Proposición 5).  Desarrollar la teoría de las proporciones para números mediante las proposiciones VII-12 a VII-20. de los parmente pares e impares y de los imparmente pares e impares.otro.
no pudo ser concebido por los griegos. Las proposiciones IX.³Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son Continuamente proporcional es. Estos dos aspectos son necesarios para idear el Teorema Fundamental de la Aritmética.12.incluye la proposición IX. el mayor no (Proposición 13) y ³Si un número es el menor medido por números primos. y nunca llegaron a darse cuenta de que en matemáticas se puede concebir una ³existencia´ totalmente independiente de la ³contractibilidad´. junto con proposiciones próximas al Teorema Fundamental de la Aritmética. por los mismos será medido también el siguiente a la unidad ´ (Proposición 12).20. pero este teorema. por cuantos números primos sea medido el último. constituyen teoremas. no será medido por ningún otro número primo fuera de los que le medía n desde un principio´ (Proposición 14). ³Si tantos números como se quiera a partir de una unidad son continuamente proporcional es y el siguiente a la unidad es un número primo. . según Bochner (1991). Este teorema es un teorema de existencia que asegura una representación única de cualquier número en producto de factores primos para cuya construcción no existen fórmulas específicas. silogísticamente cercanos al Teorema Fundamental de la Aritmética.³Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos´que establece que el conjunto de números primos es infinito. ya que éstos no llegaron a concebir el producto de números re ales. 13 y 14 .
quien en un libro publicado en 1634.A partir del siglo XVI. en especial. el tratamiento de los números perfectos1. y debido a las necesidades tecnológicas. Hasta el siglo XIX con Gauss. Gauss también introdujo la noción de grupo abeliano y demostró que en los grupos abelianos finitos existe un elemento del grupo cuyo orden es m. encontrándose con el problema de que no es posible conservar todas las propiedades en esa extensión. la teoría de la divisibilidad se desarrolló en el campo de los números enteros. extiende el algoritmo de Euclides al cálculo del máximo común divisor de dos polinomios. Destaca en su obra sobre Teoría de Números la teoría de la divisibilidad. y tal que su re presentación es única. números amigos2 y cuadrados mágicos. En el siglo XVII Fermat consideraba la aritmética como un dominio propio y sus trabajos determinaron la dirección de la Teoría de Números hasta Gauss. en el que algunos factores pueden repetirse.c. las de la existencia del máximo común divisor y de la unicidad de la descomposición en factores primos. científicas y mercantiles. La extensión de la teoría de la divisibilidad a otros conjuntos tiene su referente histórico en Stevin. Euler en 1770 trató de ampliar el concepto de divisor más allá de los conjuntos de los números enteros y de los polinomios. En el trabajo de Gauss se incluía el Teorema Fundamental de la Aritmética para el dominio de integridad de los números enteros que indica que todo número entero puede expresarse como un producto finito de número primos. los números primos. se mejoraron y extendieron los métodos operativos.m de . En las obras de Gauss ³Disquisiciones arithmeticae´ se encuentra por primera vez el concepto de número congruente y se desarrollan las propiedades de la teoría de congruencias.
1 Un número a es perfecto cuando puede ser expresado como suma de todos sus divisores (excepto él mismo). Esta breve revisión histórica nos permite conformar la Divisibilidad en N. factor. autores como Kummer. da como resultado b. Uno de los corolarios al teorema de Euclides sobre la existencia de infinitos números primos. potencialidad. distintos de a. Dedekind y Kronecker generalizan la Teoría de Números. El álgebra conmutativa moderna empezó a formalizarse hacia 1910 y en esta década aparece la noción general de anillo debido a Fraenkel.los órdenes de todos los elementos. se encuentran los conceptos de múltiplo. 2 Dos números a y b son amigos si la suma de todos los divisores de a. en particular. divisor es y múltiplos comunes: e l máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. y en ella. en general. ser divisible y criterios de divisibilidad. del Álgebra y de la Geometría. 1941) ocupa a partir del siglo XX una posición prominente respecto de la Aritmética. lo enunció Dirichlet en este mismo siglo. La Teoría Elemental de Números abarca desde este siglo un amplio espectro en el ámbito de las Matemáticas. en tres grandes fases: tratándose de un tema de gran . divisor. Entre aquellos aspectos que cabe mencionar en el estudio de la divisibilidad en N. en particular. podemos destacar el estudio de la estructura multiplicativa y de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. número primo y número compuesto. En el siglo XIX. o el Teorema Fundamental de la Aritmética. La Teoría de Números (Rey. mediante la creación de la estructura de ideal. en particular la teoría de la divisibilidad. y la Teoría de Números.
número primos y compuesto. 1ª Fase o de conceptualización. el hoy conocido como ³Algoritmo de Euclides´. (b) no admitir una ³existencia´ independientemente de la ³construcción´.  2ª Fase o de las propiedades y procedimientos Euclides formuló propiedades y procedimientos fundamentales para la Teoría de Números. divisor. Este teorema no pudo ser enunciado por los matemáticos griegos en los términos actuales al (a) no concebir el producto entre números reales. Entre las propiedades destacamos las relativas a ³la infinitud de los números primos´ los teoremas silogísticamente próximos al Teorema Fundamental de la Aritmética. No llegaron a imaginar el producto de números reales.  2ª Fase o de las propi edades y procedimientos.  3ª Fase o de generalización La estructura del conocimiento sobre divisibilidad en los tres últimos siglos ha .  3ª Fase o de generalización. Las dos primeras debidas a Euclides y la última a matemáticos posteriores. Esta forma de pensar estos conceptos impidió que los griegos concibieran el ³producto´ entre magnitudes genéricas. de medida de una magnitud.  1ª Fase o de conceptualización La noción de número entendida como una magnitud (magnitud de un segmento) forzó a describir los conceptos de múltiplo. Euclides estableció las bases de los procedimientos de cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números y del máximo común múltiplo de dos números. en términos de ³medida´. En cuanto a los procedimientos.
permitido integrar dicho conocimiento en una configuración más amplía de estructuras algebraicas y consolidar a la Teoría de Números como un campo de investigación. Periodo 1950 a 1970 V. .con las que se inicia el estudio de la divisibilidad.2.di visor. ser divisible. múltiplo. 1999). Los manuales escolares son un instrumento transmisor de los contenidos aceptados socialmente resultando interesante su contribución en la historia de la educación matemática (Sierra et al. la hemos dividido en seis periodos marcados por las reformas educativas y acontecimientos políticos: I. La descripción de las características más importantes del tratamiento de la di visibilidad. Periodo comprendido entre 1931 y 1936 III. (c) cómo es considerada la divisibilidad: propiedad entre números y/o vinculada con la magnitud. Periodo comprendido entre 1939 y 1950 IV. CURRÍCULO DE DIVISIBILIDAD EN EDUCACIÓN PRIMARIA Y SECUNDARIA EN EL SIGLO XX. Las principales características del tratamiento curricular de la divisibilidad en estos periodos hacen referencia a (a) las acepciones léxicas. (d) el carácter procedimental o representacional del Teorema Fundamental de la Aritmética. factor. En los siguientes apartados realizamos un resumen de las adaptaciones curriculares de la Divisibilidad en N en la Enseñanza Primaria y Secundaria en nuestro país desde principios del siglo XX hasta la actualidad. Periodo de 1990 hasta la actualidad. (b) las operaciones a las que se asocian los conceptos de múltiplo y divisor. Periodo de 1970 a 1990 VI. Periodo anterior a 1931 II. 1. ejemplificadas a través de distintos proyectos editorial es..
La enseñanza primaria se convirtió en un asunto principal desde el punto de vista pedagógico aunque no político. se creó el Ministerio de Instrucción Pública y Bellas Artes y la educación dejó de depender del Ministerio de Fomento. La presencia de un alto índice (Del Valle. segunda enseñanza y superior. fue la que marcó las líneas principales de la Instrucción Pública en España hasta prácticamente la Segunda República. En esta época. con pequeños retoques a lo largo de su vigencia. destacando las aportaciones de la Institución Libre de Enseñanza (Prellezco. 1905. Hasta 1931 la Enseñanza Primaria y su organización fueron reguladas por diversos decretos . integrado por diversas materias entre las que se encontraba la Aritmética. Se instituyeron diversos organismos en su estructura funcional y se tomó como punto principal de referencia la lucha contra el analfabetismo (Samaniego. o titulaciones. con García Alix. componiéndose la segunda enseñanza de seis años de estudios generales y estudios de aplicación a profesiones industriales. una concreción curricular de los contenidos de divisibilidad en educación primaria y profesional la podemos obtener en el libro del profesor de analfabetismo entre la población española. 1994). la libertad de creación de centros. Periodo anterior a 1931. exámenes. En 1900.I. En el último tercio del siglo XIX se iniciaron las discusiones sobre educación. En la Sección I se estructuraba la enseñanza en tres niveles: primera enseñanza. refleja unas fuertes carencias de la enseñanza primaria . La metodología era decisión del maestro y el aprendizaje solía ser eminentemente memorístico. La Ley de Instrucción Pública del ministro Claudio Moyano de 1857. 1994). En 1901 se fijó el programa de la enseñanza primaria.1901. en asuntos tales como la libertad de cátedra. del 64% a comienzos del siglo XX. Esta Ley de Instrucción Pública constaba de cuatro secciones. 1994a). 1913-.
El problema 22 presenta dos procedimientos de obtención del mínimo común múltiplo de dos números. ordenado. Para el tema de divisibilidad plantea ejercicios sobre ( a) la obtención de números divisibles por otro dado. el Teorema Fundamental de la Aritmética en el cálculo del mínimo común múltiplo y en la obtención de los divisores de un número. (c) obtención de todos los divisores de un número a través de la representación factorial y (d) obtención del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo por dos métodos. metódico.Dalmáu (1899) ³Soluciones analíticas de los ejercicios y problemas de aritmética´. (b) formación de múltiplos de un número natural expresándolos como la multiplicación del número por otros números naturales. diferenciándolos explícitamente como el ³del método ordinario y el de los factor es primos´. Cálculo del mínimo común múltiplo . por ejemplo. Este hecho puede observarse en la manera en que Dalmáu (1899) usa. Estos ejercicios se plantean desde una perspectiva eminentemente procedimental. que presentaba como ³un conjunto. Por el método ordinario entiende utilizar el ³algoritmo de Euclides´ y por el de factores primos el ³Teorema fundamental de la aritmética. gradual y completo de problemas y ejercicios prácticos´ y que se enmarcaba en un movimiento de renovación pedagógica del momento.
1899. Cálculo de divisores (Soluciones analíticas. p. Los contenidos de divisibilidad formaban parte de la Aritmética y se desarrollaban en tercer curso: ³Divisibilidad. .(Soluciones analíticas. J. Números primos. respectivamente. 2000. los problemas 12 y 13 nuevamente evidencian el uso procedimental del Teorema Fundamental de la Aritmética en la obtención de divisores de un número y divisores comunes de dos números. a partir de 1901 y hasta 1914 se iniciaron distintas reformas para r eorientarla (Díaz de la Guardia. Dalmáu. Mínimo común múltiplo´. pp. La resolution del problemas número 13 esta basada en la propiedad ³los divisores comunes a dos números son todos los divisores de su máximo común divisor y sólo estos´ y en el Teorema Fundamental d e la Aritmética. Libro del profesor. J. 85) Por otra parte. Máximo común divisor. Libro del profesor. Dalmáu. con mayor o menor extension (Bruno y Martinón. Estos contenidos se mantuvieron hasta 1934. 1899. 85) En relación a la enseñanza secundaria cabe destacar que 1988). 23 y 29). p.
125 y 5n. 8 y 2 n. 100 ó 100. El cálculo del máximo común divisor de dos números se realiza a través del algoritmo de Euclides (sin citarlo) y éste se generaliza a más de dos números en virtud de la propiedad asociativa. por 11). divisores de los múltiplos de un número) y de los números primos. por 5. sin quedar ningún residuo-. (c) submúltiplo. .³Llámese múltiplo el número que contiene a otro dos ó más veces exactamente´-.³Llámese submúltiplo.³Un número es divisible p or otro cuando al partir el primero por el segundo resulta un cociente entero. (b) múltiplo. distintos criterios de divisibilidad (por 10. por 2. por 3 y por 9. 1900). Se utilizan las propiedades de los números primos para expresar un número natural como producto de factores primos. número primo. La r epresentación factorial se usa para: (a) buscar todos los divisores de un número. Todas las definiciones y propiedades se presentan a través de números concretos expresados en su representación decimal. donde se ofrecen como definiciones independientes las acepciones léxicas del concepto de divisibilidad: (a) ser divisible. factor o divisor. máximo común divisor y mínimo común múltiplo y teoremas y corolarios referentes a las propiedades de los divisores y múltiplos (divisor de una suma o de una diferencia.Un ejemplo del desarrollo curricular de estos contenidos se encuentra en el capítulo ³Propiedades de los números´ del libro ³Elementos de Aritmética con algunas nociones de álgebra´ (Bruño. junto con las definiciones de número par. otro número entero contenido exactamente en el primero dos ó más veces´-. 25. factor o divisor de un número entero. múltiplo de una suma o de una diferencia. 4.
la obtención procedimental de los divisores de un número a través de dos reglas. tiene un marcado carácter pr ocedimental como evidencia el hecho que el autor presenta. desde el epígrafe ³A plicación d e la teoría de los números primos´. A continuación mostramos una de ellas basada en la multiplicación de factores y en la representación factorial del número. como en educación primaria.(b) para obtener números. máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos Esta representación factorial. .
En 1931. formando ³parte´ del mismo. tanto en Primaria como en Secundaria. el papel que desempeña la representación factorial es eminentemente procedimental y la divisibilidad se entiende como una propiedad entre números expresados en su representación decimal. Periodo comprendido entre 1931 y 1936. En esta época. 82) En educación secundaria la representación factorial de los números naturales.M. 1900. con la llegada de la República. partiendo de la división entre los dos números y de la observación del resto que se producía al dividir.Obtención de todos los divisores de un número (Elementos de Aritmética. o bien si u n número se encuentra contenido un número de veces en otro. G. y su tratamiento procedimental y mecánico. Bruño. p. La divisibilidad se entendía como una propiedad entre los números. Estas definiciones a nuestro juicio solo permitían establecer relaciones lógicas de equivalencia entre múltiplo y divisor. se reorganizó el Consejo de Instrucción . del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo). Su estudio se inicia a través de la acepción léxica ³ser divisible´ seguida de las acepciones ³múltiplo y divisor´. se realiza a través de reglas muy estructuradas (obtención de divisores de un número. II..
en los grados elemental y medio. contenidos sobre divisibilidad en un apartado titulado ³múltiplos y divisores de las unidades de longitud. En la primera lección. En este periodo se sucedieron distintos gobiernos lo que originó una serie de programas donde primaron las ideas de la pedagogía institucionista. después de la operación división y de sus propiedades. de la enseñanza popular. 1994b). incentivando además las construcciones escolares (Samaniego. aparecen. En lo s libros del alumno de Porcel (1932. de la lucha contra el analfabetismo o de la instrucción elemental.³cuando el número es múltiplo del otro´ -. a través de las definiciones: (a) ³ser divisible´. se presenta la divisibilidad. En el grado elemental.³cuando lo contiene un número de veces´-. entendida como una propiedad de los números. 1934) se incluyen. En la Enciclopedia de Dalmáu (1932). distintos contenidos de la divisibilidad formando parte de la Aritmética. La ejemplificación de los desarrollos curriculares de los contenidos de divisibilidad en los distintos grados los encontramos en la Enciclopedia de Dalmáu (1932) y en los libros del alumno de Porcel (1932. La enseñanza primaria durante este periodo constaba de tres grados. la divisibilidad se desarrolla en diferentes lecciones.Pública y se estableció la libertad de cátedra y la escuela laica. correspondiente al grado preparatorio. formando parte de la Aritmética. la divisibilidad se muestra vinculada a la magnitud. En este grado. (b) múltiplo de un número. . pero sin conseguir un plan que estructurara definitivamente la enseñanza. el preparatorio. poniéndose en marcha una nueva política educativa articulada a través de innovaciones pedagógicas. peso y capacidad´. 1934). el elemental y el medio.
³cuando está contenido en éste un número exacto de veces´ -. y las reglas de divisibilidad por 2. reseñndose únicamente la representación decimal de los números y la relación entre ellos a través de las operaciones de multiplicación o división. No ha y ninguna mención a la representación factorial de los números naturales.(c) divisor de un número o factor. por 3 y p or 5 . .
volumen y capacidad´ de eminente uso práctico. M. Curso Superior´ de Ediciones Bruño. se habla de ³múltiplos y divisores de unidades de longitud. como podemos ver en el capítulo ³Propiedades de los números´ del libro ³Tratado teórico. se muestra la divisibilidad vinculada a la magnitud desarrollándose los conceptos de ³múltiplos y divisores referidos al sistema métrico decimal´ e incidiendo en ³los divisores y múltiplos de unidades de medida de longitud. deca. y los divisores con los prefijos deci.práctico de Aritmética razonada. de los años cuarenta y cuya primera edición es de 1932. centi o mili. En este capítulo el concepto de divisibilidad se expone a través de las acepciones léxicas: . de superficie´. En esta etapa escolar la divisibilidad se presenta con un carácter eminentemente práctico como lo demuestra el hecho que en dos de los tres grados que conforman la enseñanza primaria se vincula la divisibilidad a la magnitud.Ejemplos y programa de divisibilidad (Enciclopedia Grado Elemental. p. Por lo que respecta al grado medio. superficie.23) En leccion es posteriores. 1932. Porcel. Los múltiplos se formaban con los prefijos miria. kilo. En la enseñanza secundaria la divisibilidad se presenta como una propiedad entre los números. la divisibilidad nuevamente aparece vinculada a la magnitud. hecto.
del 4. las definiciones de máximo común divisor de dos números. del 11 y del 7). donde se expone el procedimiento de obtención del mínimo común múltiplo de dos números. Se tratan las propiedades de los múltiplos y divisores. del 8. .³un número es divisor o submúltiplo de otro si lo divide exactamente´-. del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de diversos números. la representación de los números que se utiliza a lo largo de estos capítulos es preferentemente decimal. del 125. No obstante. aunque no se le denomine explícitamente en el texto. enunciadas como teoremas sobre la suma o diferencia de múltiplos y divisores a través de números concretos. distintos criterios de divisibilidad (del 2. se presenta como un teorema de representación de un número en producto de factores primos. bajo el epígrafe ³Aplicación de la teoría de los números primos´ se hace mención expresa d e la representación factor ial de un n úmero en la obtención de todos los divisores de un número. (d) divisor común -³Un número es divisor común de otros varios cuando los divide exactamente a Cada uno de ellos. del 5. Por ultimo. Sólo en el último capítulo. del 3. como ejemplificamos en la siguiente figura. el Teorema Fundamental de la Aritmética. sus propiedades y el algoritmo de Euclides (sin citar el nombre) para su obtención.(a) múltiplo -³Múltiplo de un número es el producto de este número por otro número entero cualquiera´(b) divisor o submúltiplo . demostrados a través de números concretos. del 25. del 9. completándose cada una de ellas co n las definiciones de (c) múltiplo común -³Múltiplo común de varios números es todo número divisible por cada uno de Ellos.
Bruño G. Curso Superior. En Primaria se inicia el concepto de divisibilidad a través de la definición de ³ser divisible´ y en secundaria de ³múltiplo´. muestra diferencias significativas tanto en cuanto a las acepciones léxicas presentadas como a la manera de entender la divisibilidad.Procedimiento de obtención del mínimo común múltiplo (Tratado teórico-práctico de Aritmética razonada. 1932. el concepto de la divisibilidad. La divisibilidad en Primaria se manifiesta como una propiedad de los . en las dos etapas escolares. p. 121) En este periodo.M.
1990). En esta Ley de Educación Primaria se daban nor mas precisas sobre los cuestionarios y sobre la práctica metodológica. que permite iniciar ya en la misma escuela al futuro agricultor.´ En los manuales del alumno del primer grado y segundo grado de enseñanza primaria. como preparación del escolar en el camino del servicio de la cultura o del trabajo. Se situaba la escuela al servicio de la doctrina católica y de la patria. agravaba la delicada situación del régimen del general Franco (Navarro. Valga como ejemplo el siguiente párrafo que aparece en el Preámbulo de l a Ley. Había mucho por hacer. referente a los ejercicios que se tenían que realizar en la escuela: ³práctica de ejercicios adecuados. al obrero del taller o al comerciante. En ambas etapas escolar es la representación factorial tiene carácter procedimental y el desarrollo curricular de los contenidos no favorece que los alumnos establezcan relaciones entre las distintas acepciones léxicas del concepto de divisibilidad. en plena Segunda Guerra Mundial. La falta de legislación originó que los cuestionarios de educación primaria no estuviesen organizados por cursos. y la situación internacional.O. III. en Secundaria solo como una relación entre números. podemos observar . al pequeño industrial. Periodo comprendido entre 1939 y 1950.E de 18 de julio) se establecía la educación obligatoria hasta los doce años. siendo obligatorias las dos etapas que comprendían las edades de 6 a 12 años. el régimen del general Franco suprimió los planes de la República y definió una educación de carácter católico y nacional. La Ley de Educación Primaria estaba preparada desde 1939 y se aprobó en 1945. Una vez terminada la guerra civil.números y vinculada a la magnitud. graduada en cuatro etapas. En la Ley de Educación Primaria de 1945 (B. ni que existiera un reglamento para la Inspección educativa. usa dos en años inminentemente posteriores a 1939. que no fuera posible obtener el Certificado de Estudios Primarios.
No obstante en e l capítulo de ³ Detalles prácticos de la división´. se dice que el primero es divisible por el segundo o múltiplo del segundo. se dice que el primero es divisible por el segundo o múltiplo del segundo´-. a las definiciones y procedimientos de obtención del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor a partir del ³producto de los factores comunes elevados al menor exponente´ como podemos ver en la siguiente figura. por 6. .³Cuando la división de un número por otro es exacta. del libro ³Aritmética de segundo grado´ de la Editorial Edelvives (1945) se hace mención al concepto de divisibilidad a través de las definiciones de: (a) múltiplo -³Cuando la división de u n número por otro es exacta. A continuación se ofrecen las reglas de divisibilidad por 2. por 3.que los tópicos de matemáticas continuaban versando sobre Aritmética y Geometría. por 4. y a éste se le denomina factor o divisor´. Los siguientes apartados se dedican a la descomposición factorial de un número en sus factores primos. (b) divisor . por 8 por 9 y por 11.
permiten diferenciar los contenidos conceptuales y figura procedimentales de máximo común divisor. b es factor de a sí. Edelvives. a nuestro juicio: (a) las definiciones dadas a múltiplo y divisor podrían favorecer el establecimiento por parte del alumno de las equivalencias entre ³a es múltiplo de b sí. y sólo sí. p. y sólo sí. 81) En esta etapa es importante reseñar que. La enseñanza secundaria fue regulada por la Ley de 20 de septiembre de 1938 . tal como podemos observar en la anterior. 1945. y sólo sí a es divisible por b´. b es divisor de a sí. (b) los desarrollos curriculares realizados.Procedimiento de obtención del máximo común divisor (Aritmética de segundo grado.
1940 y 1957. La distribución de los contenidos de matemáticas se estructuraba a lo largo de los siete cursos académicos que duraba el bachillerato. 2000). En el desarrollo curricular de la divisibilidad. por lo que deducimos la vigencia del libro en la práctica de la educación secundaria durante estas tres décadas. Un ejemplo de la concreción curricular de la divisibilidad en N en la etapa de secundaria es el libro de Bruño ³Tratado teórico-práctico de Aritmética razonada. Periodo de 1950 a 1970. se observa un marcado carácter procedimental de la representación factorial de un número natural. la divisibilidad se introduce como una propiedad entre dos números y asociada a la division de ambos. no obstante. con una vision distinta de los .E de 23 de septiembre). como en épocas anteriores. como evidencia su utilización en la determinación de l as ³reglas´ (procedimientos) de obtención del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo. hacer mención al carácter practico de los problemas de Aritmética y Geometría que se solicitaba en la reforma d e 1938 (Bruno y Martinón. IV. es nombrado ministro Joaquin Ruiz Jimenez que aportó un carácter más liberal y aperturista para la época. con diferentes ediciones en los años 1932. entre otras indicaciones.(B. Curso Superior´. Al Bachillerato se accedía mediante un examen de ingreso a los 10 años de edad. En la década de los 50 el Banco Mundial emitió un informe sobre España en el que. Queremos.O. En los tres primeros cursos se desarrollaban los contenidos de Aritmética y los contenidos matemáticos en el Bachillerato se correspondían con los de la reforma de 1934. En este periodo. se sugería la necesidad de aumentar cualitativamente y cuantitativamente la educación primaria en España. En el año 1951.
sexto. En el ámbito educativo. Ley de Ordenación de la . los contenidos de divisibilidad en los Cuestionarios de 1965. En esta nueva etapa. se elaboró el primer mapa escolar español y se marcó como objetivo aumentar la calidad de la enseñanza. se desarrollaron a lo largo de tres periodos y en cinco de los nueve cursos en los que se organizó la enseñaza. séptimo y octavo. el tercer curso de enseñanza elemental. Por su parte. Las manifestaciones y protestas universitarias causaron el cambio de Ruiz Jimenez por Rubio Garcia-Mina al frente del Ministerio de Educación Nacional en 1956. En 1963 se obligó a que las escuelas comprobasen el rendimiento escolar del alumnado y organizas en la enseñanza por cursos. 1990). El analfabetismo cuando Ruiz G Jimenez llego al cargo rondaba el 17 % (Navarro. En estos años España dejó delado la autarquía y se embarcó en la época del desarrollismo económico. En educación primaria se promulgaron los Cuestionarios Nacionales de 1953 y de 1965 y en educación secundaria la Enseñanza Media (1953 y 1957). clasificados en ejercicios y adquisiciones. se distribuyeron en tres de los ocho cursos en que se organizó la enseñanza primaria. en 1962 se produjo el primer trabajo sobre planeamiento del desarrollo educativo bajo los auspicios de la UNESCO y de la OCDE. aspecto abandonado hasta el momento.problemas que incumbían a la educación. En los Cuestionarios Nacionales de Enseñanza Primaria de 1953 los contenidos de divisibilidad. el segundo de perfeccionamiento y en los tres de iniciación profesional. En los 20 años que abarca este periodo se promulgaron distintos programas ministeriales que regularon las actividades didácticas de educación primaria y secundaria. se abordó una política escolar donde se priorizó la constrcción de unidades escolares.
Los tópicos matemáticos se ofrecían mediante definiciones y reglas elementales que permitían al alumno alcanzar sólo conocimientos básicos. La divisibilidad en primer grado y en segundo . donde se trataba de todas las materias que formaban parte del currículo del alumno. la enciclopedia. 1989. con ejercicios de carácter operativo. segundo y tercer grado es un ejemplo de concreción curricular y metodológica de los Cuestionarios de 1953 en educación primaria.1 mostramos los contenidos de divisibilidad que presentaban los Cuestionarios Nacionales de 1953 y de 1965: Table ojo La concreción curricular de los cuestionarios de 1953 se efectuaba mediante un texto genérico.. el aprendizaje escalonado y la adecuación a las diferencias individuales´ (Sierra et al. p.47). Las enciclopedias estaban organizadas por ciclos y en un conjunto de textos de distintos grados. mientras que en los de 1965 se aconsejaba una enseñanza activa. En la Tabla 1. 1964) de primer.44). 1962. La E nciclopedia de Álvarez (1962. soluciones de problemas de la vida diaria y coincidían co n el Cuestionario de 1953 ³e n llegar al concepto a través de ejercicios´ (p. los ejercicios mecánicos.En los Cuestionarios de 1953 se postulaba ³la repetición.
tal como se muestra en la figura.³ 7. La representación factorial de un número se presenta bajo el epígrafe ³Descomposición factorial´. 7 x 3 «.³si un número natural es múltiplo de otro. La concreción curricular de los Cuestionarios Nacionales para la Enseñanza Primaria de 1965 se realiza a través de distintos libros de texto. junto con las propiedades de los múltiplos (la suma de dos múltiplos de un mismo número. Por ejemplo 72 es múltiplo de 8. 7 x 2. criterios de divisibilidad por 10. sin citar el Teorema Fundamental de la Aritmética. El concepto de divisibilidad en esta editorial se presenta a través de: (a) múltiplo.grado se presenta vinculada a la magnitud: ³múltiplos y divisores del sistema métrico´. la diferencias de dos múltiplos de un mismo número). primos. La Ésta se obtiene a través de . porque 72 : 8 = 9´-.³cuando lo contiene un número exacto de veces. (b) divisor. son los múltiplos de 7´. decimos también que éste es divisor del primero. submúltiplo. Una ejemplificación de estas con creciones la encontramos en el libro de 6º curso de la editorial Prima Luce (1967). por 9. por 10. La divisibilidad es entendida como una propiedad d e los números y vinculada a la magnitud sólo se desarrolla entre números con representación decimal sin mención alguna a la representación factorial de Los contenidos de divisibilidad tienen un carácter memorístico y procedimental. Por el contrario. por 2. por 100 ó por 1000´presentadas a través de ejemplos concretos. uno por materia y curso. Esto contribuye a que se ahonde mucho más en los contenidos y que los alumnos profundicen más en ellos. 7 x 1. por 5 y por 3 y la definición de números primos y compuestos. en el tercer grado la divisibilidad se presenta de manera sucinta como un a propiedad de los números a través de las acepcio ne s léxicas: múltiplo .
La representación factorial de un número tiene carácter procedimental y no se realiza ninguna aplicación posterior. a nuestro juicio. Las definiciones dadas a múltiplo y a divisor ayudan al establecimiento de relaciones de equivalencia lógica entre ambos conceptos. 1967. Prima Luce. (Matemáticas 6º curso. tal como se muestra en la figura. Descomposición factorial. el estudio de los divisores de un número representado como un producto de factores. p.distintos productos de diferentes números de factores que se van descomponiendo en otros hasta obtener la representación factorial del número en producto de factores primos. La Ley de Ordenación de la Enseñanza Media de 1953 estructuró la enseñanza secundaria en 7 cursos y tres ciclos: Bachillerato Elemental (10-14 años). Bachillerato Superior (14-16 años) y Curso Preuniversitario (Ciencias y Letras) (17 .podría favorecer.15) Esta editorial presenta la divisibilidad como una propiedad de los números. sin citar el Teorema Fundamental de la Aritmética.³los números que tienen otros divisores´. d e un número compuesto. El tratamiento dado a la descomposición factorial de un número.
años). Cálculo del máximo común divisor de dos o más números. Esta ley fue un primer intento de enseñanza obligatoria hasta lo s 14 años. presentan diferencias significativas en (a) la definición de múltiplo y divisor. (b) Criterios de divisibilidad. Una ejemp lificación d e la concreción de los contenidos de divisibilidad impartidos en educación secundaria. (b) la forma de ³entender´ el Teorema Fund amental de la Aritmética. En 1957 este plan sufrió una pequeña modificación (Decreto de 31 de mayo de 1957). 2000). Descomposición de un número en factores primos. No obstante. Propiedades. Propiedades obtención de todos los divisores. la podemos encontrar en dos libros de texto de 2º curso de Bachiller. Propiedades del mínimo común múltiplo. Divisibilidad de números descompuestos en factores p rimos. Una vez finalizada cada etapa se procedía a realizar una prueba de revalida para obtener el correspondiente título (Bruno y Martinón. (d) Divisores comunes de dos o más números. (c) Números primos y compu estos. En los dos libros de 2º curso de Bachiller se desarrollan los mismos contenidos de divisibilidad organizados de forma similar: (a) Múltiplos y divisores. Obtención de números primos. Gironza (1 960) y Segura (1966). Calculo del mínimo común múltiplo de dos o más números. . Mínimo común múltiplo. Máximo común divisor.
los conceptos de múltiplo y divisor se presentan asociados a la operación de multiplicación. En ambas definiciones se favorece el establecimiento de las relaciones de equivalencia lógica. Y el segundo. se presenta en los libros de Segura (1966) y de Gironza (1960). a es divicible por b y b es un facor de a. estos conceptos se asocian a la operación de división. descompuestos ambos en sus . después de la definición de número primo y número compuesto y sus propiedades. sin mención explicita.³Un número es divisible por otro cuando es exacta la división del primero por el segundo.³un número es múltiplo de otro si es igual al producto de éste por otro cualquiera. factor o submúltiplo d el primero´-. y que éste es un divisor o factor de aquel´ -. El Teorema Fundamental de la Aritmética. En Segura (1966). b es divisor de a. El primero de los números también se llama múltiplo del segundo. También se dice que el primero es divisible por el segundo. divisor.En el libro de Gironza (1960). A es el multiplo de b. Posteriormente. Gironza (1960) desde el epígrafe ³Divisibilidad de números descompuestos en factores primos´ muestra la ³Condición de divisibilidad de un número´ mientras que Segura (1966) lo hace directamente desde el epígrafe ³Condición de divisibilidad de un número por otro.
Como podemos observar en la figura siguiente también existen diferencias en la forma de definir y ejemplificar el concepto ³ser divisible´. Gironza (1960) ejemplifica el concepto en su ³ser divisible´ mediante números representados la factorialmente. Segura (1966) presenta los números representación factorial decimal. Por el contrario. carácter eminentemente .factores primos´. con utilizando un posteriormente representación procedimental.
par a ³reconocer más fácil si un número es divisible por otro cuando este se compone de factores primos sencillos´. también bajo el epígrafe ³Divisibilidad de números descompuestos en factores primos´. por su parte. Segura (1966). 1960. utiliza la representación de los números. para rápido los productos de dos números ³calcular mucho más fácil y y la división de ambos´. 1966. 50) Los autores n o llegan a darle un carácter representativo al Teorema Fundamental de la Aritmética. p.Condición de Divisibilidad de un número (Matemáticas 1º de Bachiller . Gironza. presenta las mismas ideas que Gironza (1960) con un carácter . 30 . como él mismo dice. p. Gironza (1960). Ecir.
p. 30 . 50) El estudio del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo desde los divisores y múltiplos comunes. La figura adjunta nos muestra las ideas descritas en este párrafo.más procedimental y bajo los epígrafes ³División de números descompuestos en factores primos´ y ³Aplicación de la divisibilidad de un número por un producto de factores´. Ecir. respectivamente. p. respectivamente. Gironza. 1960. 1966. La representación factorial (Matemáticas 1º de Bachiller . Para el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo los autores proponen una regla . permite establecer una diferenciación entre el contenido conceptual y procedimental de estos co nceptos.
desde el preescolar hasta el universitario. Villar Palasí aprobó una nueva ley de educación coy objetivo fue adapter el sistema educativo a las necessitates de una sociedad capitalist (Navarro. La demanda de profesionales más especia lizados requería una mejor instrucción. En este amplio periodo la divisibilidad en la enseñanza se mostraba como una relación entre los números. Las últimas reformas educativas si bien consiguieron la alfabetización de un amplio sector de la sociedad no formaron profesionales especializados.basada en el Teorema Fundamental de la Aritmética. La Ley General de Educación y Financiamiento de la Reforma Educativa. Periodo de 1970 a 1990. España pasa de ser un país agrícola a ser un país industrial y de servicios. promulgada siendo ministro de educación Villar Palasí. El carácter procedimental de la representación factorial de los números naturales también es utilizado para obtener todos los divisores de un número. desarrolló el sistema educativo en distintos niveles. 14/1970 de 4 de agosto. 1990). En este periodo. Cabe mencionar el uso procedimental que se hacía del Teorema Fundamental de la Aritmética para la obtención de los divisores de un número o para el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor de dos números. V. . evidenciando un cambio progresivo a lo largo de las dos décadas hacia una enseñanza activa con el empleo de situaciones más próximas a los estudiantes a través el tratamiento de problemas de aplicación real.
inicial superior y medio. los llamados Programas Renovados publicados en 1981 (ciclo inicial) y en 1982 (ciclo medio y superior). .G. (1989) en los Programas Renovados de principios de los ochenta se estructuró la E. La falta de concreción de las orientaciones pedagógicas de la Ley de 1970 creó la necesidad de elaborar unos nuevos programas.Esta Ley determine un cambia o e n los contenidos. El aprendizaje matemático debía realizarse desde dos aspectos. Las Orientaciones Pedagógicas de 1970 defendían una enseñanza activa y establecían como objetivos la adquisición de vocabulario matemático. el formativo y el instrumental. Como indican Sierra et al. Entre la Ley General de Educación y los Programa s Renovados se implantó en España la democracia. El formativo debía capacitara los a lumnos a pensar. La educación primaria en la Ley General de Educación de 1970 y en los Programas Renovados de 1981 y 1982 recibió el nombre de Educación General Básica (E. en la metodología y en la evaluación. Era obligatoria desde los 6 años hasta los 14 años y se dividió en dos eta pas organizadas en ocho cursos.B). en tres ciclos.B. a discurrir. organizados en ocho cursos escolar es.G. demostraciones matemáticas. agilidad de cálculo mental y creación de símbolos y estructuras matemáticas. En la Constitución de 1978 se establecieron principios generales de educación que supusieron la regulación de nuevas leyes educativas. el logro de mecanismos de cálculo operatorio elemental.
en 5º nivel. a utilizar la matemática como herramienta para otras áreas. En las orientaciones pedagógicas de la E. 3. la divisibilidad se programa en la primera etapa. ³Conocer y memorizar los criterios de divisibilidad por 2. ³Adquirir el concepto de máximo común divisor y mínimo común múltiplo´.permitiendo el desarrollo interdisciplinar. publicadas con posterioridad a la Ley General de Educación.G. Los diferentes proyectos editoriales concebidos para desarrollar los contenidos de matemáticas en general y la divisibilidad en particular. y m. En estos programas se señalaba que el paso de lo concreto a lo abstracto se debía realizar pasando de la etapa experimental hasta l a simbólica. ³Reconocer y definir números primos y compuestos´. que permitirá la operatividad en Q y a la resolución de problemas´ y se especifican los siguientes objetivos a conseguir: ³ Adquirir el concepto de múltiplo y divisor y saber reconocer múltiplos y divisores´. . El instrumental por su parte prepararía a los estudiantes para desenvolverse en la vida. a través de la figurative. En los Programas Renovados el estudio de la divisibilidad se pasa al Ciclo Superior con ³el objeto de llegar al estudio del m. ³Plantear y resolver problemas con máximo común divisor y mínimo común multiplo.c.m.B. y de ésta sólo se especifican los conceptos de ³múltiplo y divisor´ aunque se señala la posibilidad de ampliar y adaptar los contenidos y la metodología a la evolución de los alumnos.c.d. ³Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo´. 5. 9 y 11´.
La relación de equivalencia lógica entre ambos conceptos se muestra mediante diagramas de fleches. a través de dibujos. configuraciones puntuales. correspondencias. estuvieron ³impregnados´ de una matemática moderna que propició el uso de distintos sistemas de representación. decimos que el segundo número es divisor del primero ´. . recta numérica. En el libro de texto de 5º curso de la editorial Anaya (1981) el concepto de múltiplo.diagramas de Venn.³Múltiplo de un número es el resultado de multiplicar este n úmero por otro cualquiera´ y el de divisor .Cuando la división de un número por otro es exacta. diagramas de Venn y representaciones simbólicas. como nos muestra la figura adjunta. rescaleras con el objetivo de favorecer la comprensión de los distintos contenidos del currículo.según Ley General de Educación y Programas Renovados. se presentan.
1981. Ambient obtienen el ³divisor de un número´ mediante el reparto a través de diagramas de Venn. Or be 5´ de la editorial Vicens-Vives (1980) introduce.³un número a es múltiplo de otro b si se puede encontrar un número natural n tal que a = n. Al número de sumandos se le llama divisor. . entonces b es divisor de a´-. el proyecto editorial ³Matemáticas. Los autores. por ejemplo. 5º Primaria.Las representaciones en el aprendizaje de Múltiplo y Divisor de un número y sus relaciones (Matemáticas básicas. a través de la recta numérica como se muestra en la figura. definen ³múltiplo de un número´ asociado a la operación multiplicación intended como una sumac c reiterate de un número del que son múltiplos los números obtenidos en la sumac.174-176) Por su parte. mediante la recta numérica y la representación simbólica de los números los conceptos de múltiplo. Anaya.b´ y el concepto de divisor. pp.³Si un número a es múltiplo de otro b.
78-79) . 1980. pp. Vicens-Vives.Las representaciones y el aprendizaje de Múltiplo de un número (Matemáticas Orbe 5º EGB.
La Ley General de Educación de 1970 también produjo un cambio sustancial en la enseñanza secundaria.. La figura adjunta muestra cómo el proyecto editorial ³Matemáticas. La acción docente en el Bachillerato debía basarse en el aprendizaje del alumno y no en una enseñanza centrada exclusivamente en la explicación de la materia (Rodríguez.En este periodo de destacamos los la presencia diagramas.m.P constaba de tres cursos.U) .y sus conversiones junto a la representación decimal de objetivo de favorecer la comprensión de los diferentes conceptos de divisibilidad. bajo el epígrafe ³Determinación gráfica del m.U.U. de dos números´. escalera o redes cuadriculares par a obtener la regla de obtención del mínimo común múltiplo de dos numeros. el Teorema Fundamental de la Aritmética sigue teniendo el mismo carácter procedimental que en épocas anteriores. entre los catorce y los dieciséis años. No obstante. de múltiples representaciones éstos con el números- configuraciones puntuales. EGB´ de Vicens-Vives (1984).. El Curso de Orientación Universitaria (C. 1 977).c. En esta época. Línea 6. El B.P) o de Formación Profesional. periodo obligatorio hasta los 1 4 años. Posibilitando estudios de Bachillerato Unificado Polivalente (B. Ésta se iniciaba después de la enseñanza primaria.. utiliza con carácter procedimental la representación factorial y los Diagramas de.O. el uso de este tipo de representaciones no favoreció el estudio de la divisibilidad entre números con representación factorial.
Divisibilidad de polinomios. . específicamente en primer curso y centrada en el anillo de polinomios: ³Anillo de polinomios.era un curso más de la enseñanza secundaria y se cursaba a los diecisiete años una vez finalizado el B. La divisibilidad aparece vinculada a las representaciones de carácter gráfica que ayudan a introducir los conceptos de múltiplo y divisor.U. aunque el Teorema Fundamental continua utilizándose de forma procedimental para mostrar la descomposición de un número natural en producto de factores primos y usarlo en el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo. determinándose un cambio orientativo en los contenidos. en la metodología y en la evaluación.P o la Formación Profesional de segundo grado. Binomio de Newton. proponiendo un muestrario de propuestas pedagógicas que en las pr imeras décadas no se encontraba en la realidad de los centros.U. La divisibilidad sólo formó parte de los programas de B. Divisibilidad´. En este periodo se postula una enseñanza activa.P.
En 1988 se presentó el Libro Blanco para la Reforma del Sistema Educativo y en 1990 se aprobó la reforma educativa mediante la Ley General de Ordenación del sistema educativo (L. educación primaria.O. Periodo de 1990 hasta la actualidad.E) (1/1990.VI. educación secundaria obligatoria. de 3 de octubre) . La Ley fijó los objetivos. La educación obligatoria se amplió hasta los 16 años. Esta Ley estableció un cambio significativo en el sistema educativo de nuestro país. expresados en términos de capacidades. los contenidos y los criterios de evaluación del currículo así como los aspectos básicos que constituyeron las enseñanzas mínimas para la Educación Primaria y Secundaria (Reales Decretos 1006/1991 y 1007/91. bachillerato y formación profesional de grado medio y de grado superior. el sistema educativo se reordenó estableciendo las etapas de educación infantil. En los años ochenta se estableció un amplio debate sobre el sistema educativo. respectivamente).S. En virtud de las transferencias autonómicas las Comunidades Autónomas establecieron los Decretos 20/1992 y 47/1992 fijando los principios esenciales de la propuesta .G.
Atendiendo a las transferencias autonómicas. respectivamente. tanto de resolución de problemas.se dividió en tres ciclos de dos cursos académicos cada uno. en el apartado 6. Las matemáticas deberían presentarse en distintos contextos. considerando importante que los niños y las niñas de Primaria encontraran sentido a lo que hacían. . la metodología adecuada a cada tipo de contenido y los objetivos a alcanzar. como de juegos e investigaciones. Optaron por un currículo abierto y flexible que requería un a posterior concreción en los centros educativos a través de los proyectos curriculares de las distintas áreas. la secuenciación de los mismos. objetivos de área y criterios de evaluación de la enseñanza primaria y secundaria.de 6 a 12 años. los contenidos de divisibilidad del currículo de la Educación Primaria en la Comunidad Valenciana (Decreto 20/1992) se englobaban dentro del bloque de Números. organizada en áreas obligatorias de carácter global e integrador. bajo el epígrafe ³Relaciones entre los números´ co n los siguientes contenidos: ³Múltiplos y divisores´.educativa: objetivos generales. La Educación Primaria.
el ci clo o curso en que se debía imparter. ³Números primos y compuestos´. No se especificaba. Por ejemplo. etc. de juegos. en su libro de 6º curso de Primaria (1997) muestra los divisores de un número a partir de un contexto de reparto tal como muestra la figura adjunta. por tratarse de un currículo abierto. la editorial Santillana. En este periodo. .³Divisibilidad´. ³Composición y descomposición´. las editoriales mayoritariamente presentan los contenidos a través de distintos contextos: de resolución de problemas.
Divisores de un número natural Matemáticas 6º Primaria. a partir de la relación inversa de la divi sión y multiplicación. la presenta la editorial Marjal (1995). Una situación problemática perteneciente a un contexto de reparto sirve de referente para mostrar como sinónimos los conceptos de ³divisor divisible´ y ser . en su libro de Matemáticas de 6º. 1997. p. Santillana. 41) La relación entre ³divisor y múltiplo de un número´.
1995. otros también incluyen los de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números naturales o incluso estudian los números primos y compuestos. pp.E configuró una .S. Marjal. 38) Los distintos proyectos editoriales generalmente han situado el estudio de la divisibilidad en el último ciclo de la Educación Primaria. explicita o implícitamente. La concreción curricular de los contenidos en la s distintas editoriales presentan ciertas diferencias. La educación obligatoria establecida por la L. El Teorema Fundamental de la Aritmética no forma parte del currículo de la mayoría de los proyectos editoriales. Establecen. unos textos sólo desarrollan la divisibilidad a partir de los conceptos ³múltiplos y divisores´.G. La divisibilidad en todos ellos se entiende como una propiedad entre números con representación decimal.Relaciones de equivalencia lógica entre Múltiplo. (Matemáticas 6º Primaria. relaciones entre las distintas acepciones de la divisibilidad. divisor y ser divisible.O.
buscando la comprensión antes que la formalización. En virtud de las transferencias autonómicas. En la Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO) se estableció un aprendizaje activo de las matemáticas. La actividad matemática debía desarrollarse resolviendo problemas. entre los doce y los dieciséis años. consolidando destrezas con la convicción de que tal actividad despliega cualidades y propicia actitudes intrínsecamente interesantes y permite crear conocimientos y ampliar destrezas útiles para el individuo y para la sociedad. planteando los conceptos y procedimientos en contextos variados y próximos al entorno de relaciones y experiencias de los estudiantes.etapa de educación secundaria con identidad propia. Los contenidos de divisibilidad del . analizando juegos. presentando la temporalización de sus contenidos de man era abierta. cuyo objetivo principal fue preparar a los adolescentes para ser ciudadanos en una sociedad democrática. estructurada en dos ciclos de dos años cada uno. sin asignarlos a un curso concreto. la Generalitat Valenciana estableció el currículo de Educación Secundaria de las diferentes áreas (Decreto 1007/91). plural y tecnológicamente avanzada.
En esta etapa. sitúan a la divisibilidad en el primer ciclo y sólo en algunas de ellas aparecen referencias explícitas de la divisibilidad en el tercer curso. se vincul a a los procedi mientos de cálculo del máximo común divisor y del mínimo . tal como vemos en l a figura adjunta. máximo común divisor y mínimo común múltiplo´. Las conexiones entre las diferentes acepciones de léxicas de la divisib ili dad se muestran explícitamente. La divisibilidad en la mayoría de las editoriales consultadas es entendida como una propiedad entre números con representación decimal. bajo el epígrafe ³Relaciones entre los números´ con los siguientes contenidos: ³múltiplos y divisores. En el desarrollo curricular de la Educación Secundaria Obligatoria que ofrecen diferentes editoriales. los contenidos se desarrollan a través de distintos contextos. La descomposición factorial de los números naturales.currícu lo de la Educación Secund ari a en la Comunidad Valencian a se engloban dentro del bloque de Números. como repaso de los conceptos de cursos anteriores. al igual que en educación primaria.
Carácter procedimental de la descomposición factorial Cualidades y propicia actitudes intrínsecamente interesantes y permite crear conocimientos y ampliar destrezas útiles para el individuo y para la sociedad. la Generalitat Valenciana estableció el currículo de Educación Secundaria de las .común múltiplo de dos o más números. En virtud de las transferencias autonómicas.
Las conexiones entre las diferentes acepciones de léxicas de la divisib ili dad se . al igual que en educación primaria. como repaso de los conceptos de cursos anteriores. presentando la temporalización de sus contenidos de man era abierta. sitúan a la divisibilidad en el primer ciclo y sólo en algunas de ellas aparecen referencias explícitas de la divisibilidad en el tercer curso. Los contenidos de divisibilidad del currícu lo de la Educación Secund ari a en la Comunidad Valencian a se engloban dentro del bloque de Números. La divisibilidad en la mayoría de las editoriales consultadas es entendida como una propiedad entre números con representación decimal. máximo común divisor y mínimo común múltiplo´. sin asignarlos a un curso concreto. En el desarrollo curricular de la Educación Secundaria Obligatoria que ofrecen diferentes editoriales. En esta etapa. bajo el epígrafe ³Relaciones entre los números´ con los siguientes contenidos: ³múltiplos y divisores.diferentes áreas (Decreto 1007/91). los contenidos se desarrollan a través de distintos contextos.
p. 2000. Carácter procedimental de la descomposición factorial (Matemáticas 1º ESO. La descomposición factorial de los números naturales. Casals. tal como vemos en l a figura adjunta. se vincul a a los procedi mientos de cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de dos o más números.13 .muestran explícitamente.
Adjunta: . bajo el epígrafe ³Revisión de los conceptos de múltiplo y divisor´ y como un apartado de la ³Descomposición factorial de un número en sus factores pr imos´.No obstante. estudia. define y propone actividades sobre múltiplos y divisores entre números con representación factorial tal como muestra la figura. nos parece importante señalar que la editorial Anaya (1998).
1998. usando como nexo de unión entre ambos desarrollos el Teorema . Divisibilidad´. múltiplos comunes (máximo común divisor y mínimo común múltiplo) son definidos entre números con representación decimal y factorial. p.Divisibilidad entre números con representación factorial (Matemáticas 2º ESO. Los conceptos de múltiplo.27) Los autores d e este proyecto editorial utilizan los modos de representación de los números como organizadores de la unidad didáctica ³Números. divisor. Anaya.
unos resultados e interpretación de los mismos´ a una enseñanza de la matemática ³más práctica donde la pretensión de rigor no es una parte prioritaria´. y de divisibilidad en particular. 1. Desde estas situaciones se establecen los conceptos y relaciones entre los conceptos de divisibilidad entre números naturales con representación decimal. Consideramos que este desarrollo curricular p odría favorecer que los alumnos pensaran el Teorema Fundamental de l a Aritmética como otra forma de representar los números y.3. del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos o más números como una forma de entender y aplicar las definiciones de estos conceptos desde la representación factorial. La divisibilidad en tre números con representación factorial no forma parte de l currículo de la mayoría de los proyectos editoriales. l os llamados procedimientos de obtención de divisores de un número. en consecuencia. se presenta a través de situaciones problemáticas.Fundamental de la Aritmética. En este periodo. el desarrollo de los contenidos de matemáticas en general. LA DIVISIBILIDAD EN LA EDUCACIÓN SECUNDARIA .
integrando los recursos de las tecnologías de la información y de las comunicaciones en el aprendizaje. Esta nueva reforma del sistema educativo tiene como objetivo ad aptar la enseñanza a las características de los alumnos. enmarcados e n el bloque de Aritmética y Álgebra. se publicó la Ley Orgánica 10/2002 de Calidad de la Educación (L. En el año 2002. Este decreto fijó los contenidos mínimos del tema de divisibilidad en el primer ciclo.O.ACTUAL EN LOS LIBROS DE TEXTO. Al establecer las enseñanzas comunes de la Enseñanza Secundaria Obligatoria (ESO) para toda la Comunidad Valenciana se optó por un . favoreciendo su capacidad para aprender por sí mismos y para trabajar en equipo. y en segundo curso. El Decreto 39/2002 estableció el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria en la Comunidad Valencia na. Éstos en primer curso se presentan bajo el epígrafe de ³Divisibilidad´.E.C.). en el Boletín Oficial del estado de 24 de diciembre de 2002.primer y segundo curso-. ³Relación de divisibilidad. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números naturals ³.
contenidos que los estudiantes han trabajado en educación primaria: múltiplo y divisor de un número.currículo abierto y flexible. criterios de divisibilidad (por 2 y por 3). factorización de un número. los algoritmos correspondientes para su o btención y la aplicación de los co nceptos y algoritmos estudiados en . Se examinaron diez libros de texto. En segundo curso y en algunos casos también en primer curso. en primer curso de ESO. Los libros de texto consultados se adaptan al nuevo currículo de ESO. elegidos entre editoriales de gran difusión y otras d e menor difusión en la Comunidad Valenciana. Para obtener una aproximación de la concreci ón curricular sobre los contenidos de divisibilidad que se viene desarrollando en las au las de ES O hemos analizado distintas editoriales por ser los libros el referente fundamental de los docentes. Los textos examinados tratan la divisibilidad en el conjunto de los números naturales. desarrollan los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos n úmeros. número primo y compuesto. Ell o implicó que los currículos aprobados requiriesen poster ior es niveles de concreción por parte del profesorado y de los proyectos editoriales. reforzando y ampliando.
que lo integran nueve de los diez libros. Un primer tipo. En nueve de los diez textos seleccionados se encontró un elevado nivel de coincidencia en los contenidos de divisibilidad y en el desarrollo de los mismos. cá lculo de todos los divisores de un número. En función del desarrollo curricular que realizan y las actividades que proponen hemos clasificados los libros de texto recopilados en dos tipos. por 3 y por 5). coincidencias . cuya característica principal es introducir los conceptos y procedimientos y posteriormente proponer ejemplo s y actividades de complemento para cada uno de ellos. coincidencias de días. criterios de divisibilidad (por 2. ordenación de libros. Al finalizar cada unidad didáctica se plantean actividades y ejercicios de aplicación teórica y procedimental.la resolución de situación problemáticas reales y próximas a los estudiantes. n úmeros primos y compuestos. y problemas de aplicació n práctica en contextos cercanos (baldosas. distancias. máximo común divisor y mínimo común múltiplo. factorización de un número. concretamente en los sigui entes contenidos: múltiplos de u n número natural. Las propiedades de los múltiplos y divisores sólo son estudiadas por dos de los libros de texto examinados. divisores de un número natural.
p. Algunos de estos libros también proponen activi dades de autoevaluación.M. otros juegos y curiosidades relacionados con la divisibilidad. Procedimiento de cálculo de los divisores de un número (Matemáticas 1º ESO. 2002.). número de grupos escolares.2 presenta el desarrollo curricul ar de un texto de 1º de ESO de la editorial S. La Tabla 1. 9. S. Marfil. p. etc. 2002. (2002) como ejemplo representativo de esta primera categoría.horarias.M. (20 02) se presenta desde el epígrafe ³Descomposición de un número en factores primos´ tal como .M. 89) La representación factorial no es tratada explícitamente en la editorial Marfil ( 2002) y en la editorial S.
p.M. S. . 13) Posteriorme nte.M.muestra la figura adjunta. tal y como se describe en la figura adjunta. la descomposición factorial de un número en la editorial S. Descomposición de un número en factores primos (Matemáticas 1º ESO. (2002) es utilizada como procedimiento de cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos Números. 2002.
14) . 2002.Máximo común divisor de dos números: definición y cálculo Matemáticas 1º ESO. p. S.M.
máximo común divisor y mínimo común múltiplo. y Brown et al.que van a formar parte de nu estra investigación y seleccionar activi dades y problemas sobre los conte ni dos de divisibilidad qu e se desarrollan en la etapa. Las definiciones de las acepciones léxicas de divisibilidad múltiplo-divisor favorecen explícitamente el establecimiento por parte de los alumnos de relacio nes lógicas entre estas acepciones. con carácter procedimental. con el objetivo de realizar un cuestionario. El Teorema Fundamental de la Aritmética sigue teniendo un marcado. Podemos concluir señalando que la enseñ anza de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales en las etapas de educación . el desarrollo curricular que realizan y las actividades planteadas nos ha permitido fijar los tópicosmúltiplos y divisores de un número natural. factorización de un número (Teorema Fundamental de la Aritmética). (2002). El estudio de los contenidos sobre divisibilidad que presentan los distintos libros de textos examinados. Marfil: 2002. y su ampliaci ón y comparación con estudios como los de Zazkis y Campbell (1996a). 90-91) La divisibilidad es entendida mayoritariamente como una propiedad entre números con representación decimal. números primo s y compuestos.Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos número (Matemáticas 1º ESO. validarlo y evaluar el desarrollo de la compresión de la divisibilidad en N de los alumnos de enseñanza secundaria. pp. criterios de divisibilidad. en sus diversos ciclos. desde la per spectiva de la teoría APOS.
a partir de la . trenes) introducción de la L. Hemos podido observar cómo la divisibilidad se ha vinculado e n las primeras décadas en los primeros años de educación primaria a la magnitud.G. o representaciones de figuras de contextos cercanos (flores. hasta la época actual donde la propuesta metodológica establece un currículo flexible con la concreció n educativa en los diferentes centros educativos. dependiendo otras eventualidades de los planes de estudios establecid os por las circunstancias políticas y socials.primaria y media se ha centrad o principalmente en los alumnos comprendidos entre 10 y 14 años a lo largo de los sig los XX y XXI. hasta la propuesta de una enseñanza más activa a partir de la década de los 60. Por lo general.O. A lo largo de los periodos estudiados se ha podido ver que la divisibilidad se introduce en las primeras décadas del siglo XX.E. destacando que a para partir de 1970 los se utilizan de representaciones gráficas introducir conceptos divisibilidad. a excepción del periodo de 1931 a 1 936.S. la divisibil id ad se ha tratado tanto en educación primaria como secundaria como una propiedad entre números. hasta la década de 1990. juguetes. bien fueran diagramas o representaciones puntuales. desarrollando las capacidades pr opias de los alumnos y atendiendo a la diversidad en el aula. La evolución de los tiempos y de la sociedad ha postulado el paso d e una metodológica principalmente memorística.
principalmente. y . En las épocas estudiadas. Estas últimas definiciones favorecen el . b es divisor de a b es factor de a a es divisible establecimiento por parte del alumno de las equivalencias lógicas ³a por b´. Queremos reseñar que después de la puesta en funcionamiento de la Ley de 1970. El modo de r epresentación factorial es utilizado en los libros de texto de manera procedimental para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Por otra parte también encontramos la definición de múltiplo asociado a la operación de multiplicar o bien a la de dividir (si la división es exacta) y la definición de divisor asociada a la operación es múltiplo de b de dividir. generalmente. la mayor variedad editorial. cuando las editoriales tratan este Teorema Fundamental no esp ecifican su nombre y lo introducen. Por último. algún libro de texto presenta la definición de múltiplo a través de los puntos de una r ecta graduada y después de haber introduci do la ³relación de ser divisor´ como una rel ación de equivalencia. A partir de la década de los 60. como la descomposición en factores primos de un número natural. a través de la acepción léxica de ³ser divisible´ (formando parte del número) y a partir de la cual se definen múltiplo y divisor de un número. y bajo la influencia de las ³matemática modernas´. los libros de texto no suelen introducir el Teorema Fundamental de la Aritmética para los cursos cuyos alumnos no alcanzan los 12 años. muestra que los autores utilizan unas u otras acepciones para introducir la divisibilidad.
y  el papel que desempeñan las diferentes representaciones de los números (decimal y factorial) en la compr ensión de los contenidos de la divisibilid ad. Dos han sido los criterios de organización d e esta investigación:  las centradas básicamente en el análisis de la comprensión de las relaciones entre las diferente acepciones léxicas. Las investigaci on es sobre la comprensión de los tópicos de l a Teoría Elemental de Números revelan la existencia de dificultades en el aprendizaje y comprensión de estos conceptos y la necesidad de una mayor indagación en este campo. estas investigaciones nos aportan una información inicial para plantearnos nuestras cuestiones de investigación sobre la compre nsión de la divisibilidad en alumnos d e secundaria. Sin embargo.algunas editoriales lo emplean también para la obtención de todos los divisores de un número. La gran mayoría de las investigaciones realizadas co n estos tópico s se han planteado inicialmente con estudiantes para maestros y desde la perspectiva del análisis de la comprensión de los contenidos matemáticos qu e se deben enseñar. LA ³COMPRENSIÓN DE LA DIVISIBILIDAD´ COMO ÁMBITO DE INVESTIGACIÓN. 1.4. Zazkis y Campbell (1996a) en su estudio con estudiantes para maestros de enseñanza primari .
descomposición en factores primos. de la divisibilid ad. divisor y múltiplo. en particular. Además toma como referencia funda mental l a necesi dad de corregir las dificultades que se muestran en la comprensión de la aritmética básica y la ma ner a en que se enseña a los niños. Campbell (2000) señala la influencia de la investi ga ción en Educación Matemática en la práctica docente. Este autor subraya que las investigaciones en el aula pueden ayudar a superar determinadas dificultades de la comprensión de las nociones de la aritmética elemental y. y entre otros conceptos de la teoría elemental del número. en la Teoría Elemental de Números aplicada a futuros maestros de enseñanza primaria. mínimo común múltiplo.indican que si bien los conceptos elementales de la Teoría de Números tienen una gran importancia. En relación a la comprensión de la divisibilidad en el conjunto de los números n aturales. no han recibido la atención que requieren en las distintas investigaciones de Educación Matemática. máximo común divisor o reglas de divisibilidad. . en particular. Zazkis (2000) analiza las conexiones que efectúan los estudiantes para maestros entre los conceptos de factor. tales como factores primos.
Zazkis considera la equivalenci a de las siguientes relaciones entre dos números naturales cualesquiera:  b es un factor de a  b es un divisor de a  a es múltiplo de b con la existencia de dos formas adicionales para expresar la misma r el ación entre dos números:  b divide a a  a es divisi ble por b Para analizar qué equivalencias establecían preguntas que formuló eran del estilo: los estudiantes para profesores de enseñanza primaria realizó 19 entrevistas donde las a) Enumer a los factores primos de 117 = 32 x 13. . c) Indica l os divisores de 117 = 32 x 13. d) ¿De qu é números es múltiplo 117? e) ¿Existen factores que no sean divisores de un número? f) ¿Existen números que son múltiplos y divisores de 117? El análisis de los datos resultantes de las entrevistas realizadas a estudiantes para profesores de enseñanza primaria. efectuado desde la perspectiva d e considerar el conocimiento como una red e n la que los conceptos matemáticos se estudian aportó los siguientes resultados: relacionándose con otros. b) Indica los factores de 117 = 32 x 13.
factores. El resto de conexiones. El concepto ³ser divisible ´. la mayoría de estudiantes sólo establecían equivale ncia lógicas entre factor y divisor. pudiéndose establecer. No obstante. b es un divisor de a. c) d) el concepto de ³múltiplo´ fue el más problemático de los tres conceptos. La autora en sus conclusiones pone de manifiesto el intercambio constante e incoherente que realizan los estudiantes entre el lenguaje formal y no formal. múltiplo y divisor no fueron establecidas por ningún estudi anteEsta investigación aporta como resultado r elevante que los estudiantes a menudo asignan a los conceptos significados diferentes a los asignados por los matemáticos en el contexto de la Teoría de Números. Las conexiones entr e los conceptos de factor. La mayoría de ellos lo asociaban con la operación de multiplicación y no lo entendían como una relación entre los numeros. Los conceptos de divisibilidad también son aprehendidos a través de imágenes mentales de reparto d e objetos como es el caso del .a) la comprensión del concepto de ³factor´ parecía ser el menos problemático de los tres estudiados. entendido como un número que puede ser dividido por otro con resto cero. descomposición en factores primos. Zazkis (2002) desarrolló. una investigación sobre el uso del lenguaje en la Teoría Elemental de Números (divisibilidad. considerando que un número puede ser dividido por otro aunque el cociente no sea entero. La divisibilidad es uno de los conceptos en la Teoría de Números que presenta una amplia gama de descripciones léxicas. se reali zaban de forma errónea. b es un factor de a. y que las conexi ones que establecen entre e stos conceptos son la mayoría de las veces debiles o incompletas. b divide a a. divisores y múltiplos) con estudiantes para maestros realizando entrevistas clínicas individuals. b) el concepto de ³divisor´ resultó más problemático que el de factor. como ya se ha in dicado. a es múltiplo de b. equivale ncia lógicas entre las siguientes expresiones: a es divisible por b. a lo largo de cuatro años. lo s estudiantes tenían una comprensión incompleta del mismo. Existía una gran tendencia entre los alumnos a asociarlo con el papel que pu ede desempeñar un número en la division. Éste fue asociado a la operaci ón de multiplicación. entendido como relación entre números. por ejemplo entre factor y múltiplo. es sustituid o por ³ser dividido´.
por su parte. Los mapas conceptuales aportan a los estudiantes representaciones más completas al integrarse en ellos la representación visual y narrativa. de mapas conceptuales sobre temas de matemáticas en general. Entre las investigaciones relativas al papel de las disti ntas representaciones de los números y las dificultades que éstas generan en l a comprensión de determinados conceptos de la Teoría de Números. Zazkis (2002) demanda metodologías de enseñanza que promuevan y ayuden al uso formal y riguroso del lenguaje matemático a fin de dar sentid o al significado de los conceptos. divisor.concepto ³ser divisible´ que los estudiantes representan mentalmente como conjuntos de objetos de igual número. en sus trabajos con estu di antes para profesores y con alumnos de enseñanzas medias. Zazkis y Gadowsky (2001). debido a su organización y a la explicitación de algunas relaciones superficiales. 6 puntos so bre 10. El tipo de tareas planteadas en los cuestionarios y entrevistas permitieron analizar el papel de diferentes representaciones y la dificultad que éstas suponían para lo s alumnos. El autor pla nteó la elaboración de un mapa conceptual de los conceptos de factor. división por números primos. producto. sin observar las características de las representaciones utilizadas. La realización por parte de los estudiantes para maestros de los mapas conceptuales puso de manifiesto su comprensió n de los conceptos implicados y las conexiones que establece n entre éstos. mínimo común múltiplo. El mapa conceptual que se muestra a continuación fue calificado como débil. Igualmente. divisib le. de forma individual o colectiva. y de divisibilidad en particular. proporcionan a los profesores la oportunidad de descubrir los errores de sus alumnos y evaluar el progreso de la comprensión de los conceptos matemáticos. En este sentido cabe destacar la tendencia de los estudiantes a obtener la representación decimal de los números naturales para resolver las tareas planteadas. Este grupo de investigaciones pone de manifiesto que un aspecto a considerar en el análisis del desarrollo de la comprensión de la divisibilidad en N puede venir dado por el establecimiento de relaciones entre las distintas acepcio ne s léxicas de la divisibilidad. expone las pautas que se pueden seguir para la formalización. La combinación de elementos visuales y n arrativos de los mapas conce ptuales es considerada por el autor como beneficiosa para la construcción de conocimiento matemático. ofreciendo al final de la actividad un informe sobre las relaciones establecidas entre los conceptos por ellos. algoritmo de Euclides o máximo común divisor. compuesto. múltiplo. factori zación. Los estudiantes debían establecer y organizar las relaciones existentes entre los conceptos a través de nudos y líneas. descomposición factorial. . destacan las diferentes características de las representaciones de los números naturales en las tareas que sobre Teoría de Números fueron planteadas. primo. Bolte (1999). A través de este estudio.
Algunos estudiantes contestaron que K es múlti plo de 6 porque 6 está contenido en la representación del número mostrado.Por ejemplo. para resolver la tarea ³Dado el número K = 6 x 147 + 1. al n o considerar que 7 es un factor de M. (b) para otros era más fácil discutir la divisibilidad por 7 de M (factor que aparece en la representación factorial) que la indivisibilidad por 11 (factor que no aparece en la representació n factorial). en el segundo caso. ¿Es un cuadra do perfecto?´ presenta dificultad a los alumnos po rque la representación decimal del número no permite observar otra representación alternativa y consideran que el número es un cubo perfecto. Por ejemplo: a) La dificultad de la tarea ³El número 1215. ¿Se puede expresar como múlti pl o de 15?´ obtenían la representación decimal de A y dividían por 15. en detrimento del estudio de la estructura y de las características de las representaciones d e los números. Zazkis y Gadowsky (2001) creen que estos resultados son debidos a las experiencias previas de los alumnos en la escuela. b) Representaciones fundamentadas en el algoritmo de la division. En la escuela se da mayor preponderancia a los cálculos. ³15 x 5623 + 60 = 15 x 5623 + 1 5 x 4 = 15 x (5623 + 4)´ La resolución de otras tareas ofreció pobres respuestas por la dificultad que supuso para los estudiantes el tipo de representación utilizada. ¿es impar?´ radica en que los alumnos están acostumbrados a representar los números en el sistema de numeración decimal. c) Repre sentaciones basadas en la propiedad distrib utiva. No eran capaces de aplicar la propiedad distrib utiva para discernir que A es multiplo de 15. e incidiendo en el papel primordial que juega la unicidad de la descomposición factorial de un número (Teorema Fund amental de la Aritmética). La elección de actividades con estas características puede ayudar a los estudiantes en la comprensión de las peculiaridades de los números naturales. La mayor parte de los estudia ntes para resolver la tarea ³Considere el número A =15 x 5623 + 60. los estudiantes obtuvieron el valor de 716 y calcularon la raíz cuadrada. ¿Cuáles son el cocie nte y el resto en la división de K por 6?´. De nuevo. representado en base 6. Para analizar el uso que los estudiantes hacían de las representaciones factoriales en la identificación de cuadrados perfectos. los autores plantearon tareas del tipo: ³¿Es 712 un cuadrado perfecto? ¿Es 716 un cuadrado perfecto?´ En el primer caso. ¿M es divisible por 7?´ se destaca que la estrategia mayoritaria es la de obtención de la representación decimal de M para efectu ar la división. la prefer encia de los estudiantes fue obtener la representación decimal de K y hacer la división por 6. aunque este tipo de contestacion no fue la mayoritaria. en especial . dada la evidencia de la representación. b) La tarea ³El número 363. a) Representaciones factorials: Entre las distintas respuestas dada a la pregunta ³Dado el númer o M = 33 x 52 x 7. La importancia de las representaciones de los números debe destacarse mediante la presentación de diferentes expresiones y situaciones. sin observar que la representación dada se puede transformar en (713)2. la respuesta mayoritariamente fue correcta. estimulando a los alumnos con representaciones que excedan a las capacidades de cálcu lo de las calculadoras. Esta estrategia pone de manifiesto que ( a) para algunos alumnos era más fácil discutir la divisibilidad por 7 del número 675 x 7 que del número M.
en producto de factores primos. de la Teoría de Números. Los números primos son descritos como ³elementos constructivos´ de los números naturales. 22 x 35. su existencia es una propiedad que a menudo está dada por sentada (Zazkis y Campbell. El punto de partida de esta investigación fue entender los números primos como ideas básicas. o ³elementos constructivos´. 2268. en su investigación sobre divisibilida d. 24 x 34. Zazkis y Liljedah l (2004) estudian el papel de la representación en la comprensión de los n úmeros primos por parte de los estudiantes para maestro de escuela elemental. El término ³elementos constructivos´ podría ser visto como ³una interpretación metafórica del Teorema Fundamental de la Aritmética´. también estudi a las dificultades que tienen los estudiantes para maestros en enco ntrar múltiplos comunes entre números descompuestos en factores primos. c) Obtener los cocientes entre términos sucesivos. 23 x 34. 972. que posteriormente fue representado factorialmente. simbolizándolos posteriormente mediante su representación factorial. b) Conservar l a repr esentación factorial de los números: (a) expresando los términos siguientes de la sucesión en su representación decimal. La unicidad de la descompo sici ón en factores primos presenta un desafío para muchos alumnos. La propiedad de existencia que está detrás de la metáfora ³elementos constructivos´ es la que crea una imagen de los números compuestos como construcciones multiplicativas de números primos. (b) realizando las diferencias sucesivas entre dos términos de la sucesión a partir de su representación factorial y expresando la difere ncia en producto de factores primos 22 x 34. Brown (2002). Sugiriendo que la falta d e una representación transparente para un número primo puede ser un obstáculo para la comprensión del concepto de primalidad de los numeros. 24 x 35. 648. Los autores indicant. Brown (2002) observó que mayoritariamente los estudiantes optaban por obtener la representación decimal de los números y. 1944« A partir de esta nueva representación se obtuvo la diferencia entre términos consecutivos. 22 x 34x n. 2592 y así sucesivamente. el término que ocupaba la posición 200. 324 x n. que la representación de las propiedades de los números sirve como ³lente´ para el análisis de las respuestas dadas por los participantes. describiendo a través de la representación factorial el método de obtención del término n-ésimo.de su estrutura multiplicativa. Por su parte. No obstante. 324 y el término n-ésimo. 1996b). a partir de la cual se pidió a los estudiantes que buscarán los seis tér minos siguientes y que expresaran. Las distintas estrate gias empleadas por parte de los estudiantes en la resolución de la actividad propuesta fueron: a) Simbolizar los términos de la secuencia numérica mediante su representación decimal: 3 24. señalan los autores que el hecho de que los números primos sean una idea básica no significa que deban ser . buscaban la representación factorial para ofrecer la respuesta. 1620. 23 x 35«. L as actividades desarrolla das se basaron en la secuencia: 22 x 34. posteri ormente. 1 296.
3) Sea m(2k+1). sin demostrar empíricamente. La falta de ³representaciones transparentes´ para la primalidad es un obstáculo en la construcción de este concepto. para estab le cer la primalidad o no de éste. La importancia de la compre nsión de los números primos. Entienden por grandes números aquellos que van más allá de la capacidad de una calculadora de bolsillo. Esta sugerencia pedagógica. ¿Este número es primo? ¿Puede ser siempre un número primo? De los 116 estudiantes que participaron en la investigación. los alumnos fueron capaces de reconocer la factorización trivial y utilizarla como guía para generar ejemplos que les permitieroin dar una respuesta. (d) es necesario involucrar a los estudiantes en la consideración de grandes números. L as respuestas a la Pregunta 3 estuvieron condicionadas por la notación algebraica utilizada para representar el número. Esta definición les llevó a pensar que ³los números primos no pueden ser representados como un producto´ ignorando la posibilidad de la factorización trivial. factores. b) El pod er de convicción de los ejemplos Cuand o el número primo fue entendido como ³ aquel que tiene dos factores´. los modos de representar los números y las relaciones entre números. por ejemplo. el número 151157. (b) una forma de construir una comprensión adecuada del concepto de número primo está relacionada con la descomposición factorial de los números como demuestra las limitaciones y obstáculos que tenían los estudiantes p ara maestros para resolver tareas cuando los números estaban representados factorialmente. con m y k números enteros. ¿F es un número primo? Conteste si ó no y razone su respuesta. números compuestos. De ellos. múltiplos. (c) la existencia de una ³re presentación transparente´ para una propiedad específica de los números puede ayudar a la abstracción y generalización de esta propiedad. que para d ar su respuesta utilizaron la representación decimal de F y las reglas de divisibilidad. La comprensión de los estudiantes de los números primos está conectada a la comprensión de las relaciones multiplicativas entre números naturales. Este segundo grupo de investigaciones pone de manifiesto que un nuevo aspecto a considerar en en análisis del desarrollo de la comprensión de la divisibilidad en N p or parte de los alumnos de educación secundaria podría e star centrado en la manera en qué l as representaciones decimal y factorial de los números afecta a la compresión de la divisibilidad en N. De las preguntas que se formularon en el estudio de Zazkis y Liljedahl (2004) destacamos las que de los participantes. Plantean una posible variación de la cuestión 2 que impida a los estudiantes determinar la expre sión decimal del número. según los autores. justificaron su respuesta a partir de la definición de número primo o compuesto. . indicando que F es un número compuesto. aspectos que han sido identificadas por el Nacional Council of Te achers of Mathematics como fundamentales en los estándares de Números y Operaciones par a todos los niveles (NCTM. les hace suponer que la incap acidad de realizar calculus. 52. 2) Sea el númer o F = 151 x 157.presentados y estudiados en solitario porque la comprensión de los conceptos matemáticos presenta una compleja red de relaciones y conexiones con otros conceptos. Las respuestas incorrectas correspondieron a 42 estu di antes. y divisi bil idad. 2000). Zazkis y Liljedahl (2004) consideran que (a) conocer las definiciones de número primo no significa que los alumnos sean capaces de utilizar este conocimiento en una situación problemática. Esta notación impidió el uso de cualesquiera de los métodos algorítmicos más familiares para los participantes. está en la comprensión de los números. 74 contestaron correctamente la pregunta 2. Sin la opción de utili zar algoritmos los estudiantes centraron su atención en: a) La definición (o una interpretación de la d efinici ón) de número primo y compuesto Los alumnos que entendían los números primos como ³aquellos que sólo son d ivisib le s por 1 y por sí mismo´ tuvieron dificultades para generar una respuesta.
Sfard (1991) subraya que los conceptos matemáticos abstractos pueden ser concebidos desde dos perspectivas. y las usan a lo largo de sus estudios como herramienta complementaria de otros temas de matemáticas. (b) apoyando el pronóstico desde un carácter explicativo. algoritmos y acciones) y otra como concepciones estructurales (conceptos matemáticos considerados objetos abstractos). en particular de la divisibilidad. y a través de él dar una explicación de aquello que los estudiantes pueden haber aprendido (Dubinsky. siendo las concepciones operacionales previas a las estructurales. está claro que no habrá que recurrir a declaraciones verbales. (e) sirviendo como herramienta de análisis de los datos. y ³cómo el estudio de las normas cognoscitivas del sujeto permite llegar a l os procesos propios de la construcción del sa ber. ó (f) proveyendo La forma en que se produce por parte de un alumno la construcción mental de la comprensión de un determinado concepto matemático puede ser propuesta desde un marco teórico co ncreto. Una como concepciones operacionales (procesos. El paso de las concepciones operacionales a las estructurales se realiza a través de tres fases de evolución: interiorización. Estos procesos son oper aciones con objetos matemáticos de nivel más elemental y que se . Por tanto podemos preguntarnos ¿cómo construyen los estudiantes el conocimiento de los conceptos matemáticos. (a) sugiriendo orientaciones pedagógicas que favorezcan este proceso.13). Una teoría debe ayudar a resolver problemas. a demostrar nuevos teoremas. qué mecanismos utilizan y qué construcciones realizan? 2. CAPÍTULO 2. a realizar aplicaciones d entro las matemáticas y a proponer las construcciones mental es que puede realizar un estudiante para la comprencion de un concepto. (c) aplicándola a un amplio espectro de fenómenos.1. o para considerarlo como bien fundado´ (p. Piaget y García (1982) señalan que la construcción del conocimiento puede depender de las preguntas que se formulen en la investigación y de la epistemología de los conceptos. ni aún a un análisis de la toma de conciencia. LA CONSTRUCCIÓN DE OBJETOS MATEMÁTICOS. Una teoría de aprend izaje de las matemáticas puede proporcionar explicaciones de los fenómenos de construcción por parte de los alumnos de los conocimientos sobre los conceptos matemáticos. señalando la trascendencia de las relaciones entre los diferentes conceptos y de los modos de representación. Dado que los alumnos adquieren sus concepciones acerca de los conceptos de divisibili da d en los últimos años de la educación primaria y en el primer ciclo de la educación secundaria. 2000b). MARCO TEÓRICO La investi gación en Educación Matemática se consolida y fortalece cuando se basa en un marco teórico. es imp ortante profundizar en la comprensión que tienen los alumnos de la divisibilidad en el conjunto de los números naturales en los tres niveles educativos (1º de Educación Secundaria Obligatoria. 4º de Ense ñanza Secundaria Obligatoria y 1º de Bachi llerato) desde (a) el tipo de relaciones lógicas que establece n los alumnos entre los distintos conceptos de divisibilidad y (b) la influencia que tienen los sistemas de representación de los números en la comprensión de la divisibilidad en N por parte de los estudiantes en estos niveles.En resumen. condensación y reificación El grado de interiorización es una fase de familiarización con los procesos que darán lugar al nuevo concepto. (d) interrelacionando fenómenos. las investigaciones anteriores subrayan la importancia de la comprensión de la Teoría Elemental de Números. sino esencialmente a un análisis de lo que ³hace´ el sujeto (por oposición a lo que piensa que hace) par a adquirir y utilizar un conocimiento o un ³sab er hacer´.
a la vez que el estudiante necesita conocer el co ncepto que se quiere comprender para poder determinar los procesos matemáticos necesarios para lograr esta comprensión. Dörfler (2002) subraya que los estudiantes construyen objetos matemáticos combinando el objeto en sí mismo con las propiedades y relaciones que lo constituyen. en términos de entrada y salida. por lo que la comprensión resulta una actividad consciente de los estudiantes. 1992). configurando un todo diferente de los eleme ntos que lo constituyen. Pensar en el proceso como un objeto requiere la manipulación previa d el concepto en cuestión. La construcción de objetos matemáticos es interpretada como una decisión del estudiante por tratar algo como una entidad reificada. Estos autores proponen determi nar los procedimientos o procesos de las nocion es . En este sentido. La reificación sin embargo debe ser entendida como un salto cualitativo e instantáneo. Todo ello puede ocasionar la desmotivación del estudiante para la construcción de objetos intangibles. reconocien do la idea para poder manipularla pero sin especificar detalles. Por el contrario. para constituir constructos avanzados. El individuo piensa en el proceso como un todo. sin necesidad de considerar todos los detalles que lo componen. no significa que se haya adquirido la cap acidad de pensar sobre él como una concepción estructural.van adquiriendo de forma gradual. la concep ción como proceso implica tomarl a de forma p otencial desarrollá ndose en cada momento mediante una secuencia de acciones. Aunque un concepto haya sido bien interiorizado y condensado en una entidad propia. constituyendo un cambio gradual y cuantitativo. Otro punto de vista en la construcción de objetos matemáticos es el expuesto por Tall (1991) y Gray y Tall (1994). sin la reificación el concepto no deja de ser puramente operacio nal (Sfar d. Sfard (2000) señala que es imp ortante comunicar eficazmente los significados que han sido reificados en objetos. La reificación resulta difícil para los estudiantes. La diferencia entre condensación y reificación radica en que la condensación es un cambio técnico de aproximación que se traduce en la habilidad para trabajar con un proceso sin considerar todos los pasos. es fundamental en la formación de objetos matemáticos que la actividad matemática que realicen los estudiantes sea admitida y los motive. destacando en esta comunicación los comportamientos del individuo y los objetos que ha utilizado. S e forman como una decisión individual sobre la manera de describir y pensar en una parte de la propia experiencia del individuo. y por tanto las construcciones matemáticas tienen que ser aceptadas por los estudiantes para que puedan construirse. La concepción estructural supone considerar la idea como una e str uctura estática. se transforma de proceso a objeto abstracto desarrollado éste en un nivel superior. En esta fase se puede dar nombre al concepto que nace. Desde esta perspectiva. La reificación es el momento en el individuo es capaz de pensar en la nueva noción como un objeto en sí mismo con su s propias características En este modelo teórico una concepci ón matemática. matemáticos más Sfard y Thompson (1994) co nsideran que el mod el o de reificación es útil para la descripción de la comprensión de los conceptos matemáticos. La condensación es un periodo de cambio en el que se concentran largas secuencias de operaciones en unidades más manejables. Por ello.
realización de acciones en ellos y la reflexión sobre los mismos.. Por ejemplo. y e n las acciones en. El término ³procepto´ lo definen para referirse a la combinación de proceso y de objeto utilizando el mismo símbolo. o bien ser manipulado simbólicamente como conceptos matemáticos. La sucesión de percepción de objetos externos. que disponen de algoritmos explícitos para la obtención del resultado. Cuando se establecen conexiones entre los procedimientos que generan el . Los símbolos suelen usarse de forma idéntica para representar a un proceso o para especificar el resultado de ese proceso. El término proceso lo usan de manera general para significar un conocimiento o un proceso matemático. mientras que para construir el concepto de número y el proceso de contar la aritmética se apoya en la acción y en la manipulación simbólica. es considerada por Gray et al. 1995b. empezando el desarrollo matemático en las percepciones de. En e ste mismo sentido. el ³procepto 6´ incluye el proceso de contar 6. Los ³proceptos´ se encuentran en la base de la capacidad humana para utilizar las ideas matemáticas que requieren símbolos manipulables (Tall et al. y una colección de representaciones del mismo obj eto. obtenido a través de procesos diferentes Tall (1995a) clasifica los ³proceptos´ en tres categorías: 1) Proceptos operacionales: como los aritméticos. 2001). influenciados por la actividad desarrollada por el individuo. Estos autores distinguen entre proceso y procedimiento. basando su comprensión principalmente en la acción y en la reflexión. 3) Proceptos estructurales: como los límites. El ³procepto ´ está formado por un conjunto de ³proceptos elementales´ que tiene el mismo objeto. A estas porciones de la estructura cognitiva que se reducen a niveles manejables que contienen la información esencial sin detalles superfluos la denominan ³unidad de cognitiva´. Por ello. que contienen variabl es donde pueden evaluarse los ³proceptos´ asignando valores a las variables. Las acciones finalizan en éxito cuando se utilizan representaci ones simbólicas flexibles como ³proceptos´ (los procesos para hacer y los conceptos para pe nsar en). o no. en la construcción de conceptos geométricos es fundamental la percepción de las figuras y su forma. 2) Proceptos potenciales: como las expresion es algebraicas. de los conceptos matemáticos. objetos del entorno del individuo (Tall. que tienen un proceso asociado para obtener el resultado pero no tienen un procedimiento invariable para calcularlos.matemáticas mediante un simbolismo de naturaleza dual que sirva para referirse tanto al procedimiento como al concepto. Gray y Tall (1994) denominan ³procepto´ a la ambigüedad representada por la amalgama del proceso. Barnard y Tall (1997) consideran que la capacidad de los sujetos para concebir y manipular partes de la estructura del conocimiento es fundamental par a facilitar el pensamiento matemático. del concepto prod ucido por ese proceso y el símbolo que se utiliza para representar a ambos. la construcción del pensamiento matemático se fundamenta en dos factores: la capacidad de con densar la información de las estructuras cognitivas y la habilidad para realizar conexiones entre las ³unidades cognitivas´. 2000). Gray y Tall (1994) indican que la ambigüedad simbólica pe rmite la flexibilidad entre el proceso para llevar a cabo una tarea matemática y el concepto que se ha de manipul ar intelectualmente como parte del esquema mental del individuo. Por ejemplo. Esta dualidad del simbolismo requiere la combinación de la comprensión del proceso y del concepto. (19 99) como la actividad cognitiva fundamental que puede conducir a la comprensión. Tall et al. El término procedimiento para referirse a un algorítmico específico empleado en la realización d e un proceso.
util izándolo para realizar inferencias en las diferentes situaciones enque pueda ser requerido. está basada en una interpretación del constructivismo a partir de la adaptación de algunas ideas desarrolladas por Piaget al Pensamiento Matemático Avanzado. UNA APROXIMACIÓN PIAGETIANA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO Tzur y Simon (2004).2. 2. Teoría APOS. Para Dubinsky (2000a) el origen de la teoría APOS se encuentra en la refor mulación de la teoría piagetiana de la abstracción reflexiva para ser aplicada al pensamiento matemáticos avanzada. Dubinsky (1991) propone la ³abstracción reflexiva´ de Piaget como base teórica para el análisis de la comprensión de los conceptos matemáticos.1. Dubi nsky (1991) considera que el concepto de ³abstr acci ón reflexiva´ constituye una poder osa herramienta que dota a los investigadores de un a base teórica para la comprensión del desarrollo del Pensamiento Matemático avanzada.mismo proceso. y el análisis de los datos para probar y perfeccionar el análisis teórico inicial y la instrucción. se desarrolla el ³procepto´ y se forman ³unidades cognitivas´ más complejas. pudiendo explicar porqué los resultados proceden de la actividad. Barnard y Tall (1997) y Dörfler (2003) consideran que la dualidad proceso-objeto co nstituye el germen de teorías sobre la comprensión de los conceptos matemáticos como las de Dubinsky (1991) y Sfard ( 1991). Una de estas ideas es la de ³abstracción reflexiva´ intro ducida por Piaget para describir cómo construyen los individuos las estructuras lógico-matemáticas. En contraste.2. en la segunda fase. el estudiante usa los resultados de la actividad. El conocimiento en esta fase sólo está disponible en el contexto de la actividad. Sólo cuando se encuentran en la fase anticipadora pueden establecer el nuevo concepto como objeto. postulando qu e l a transi ción del proceso a objeto involucra dos fases de transformación conceptual: la fase participativa y la fase anticipadora. La relación ya no se limita al momento en que se desarrolla y puede ser utilizada en otras situaciones La distinción entre las dos fases surge de la observación del fracaso de los estudiantes en el uso de concepciones matemáticas que habían utilizado con éxito en ocasiones anteriores. En esta . el desarrollo de unas determinadas estrategias de enseñan za y apr endizaje. la anticipadora. desde la noción de abstracción r eflexiva de Piaget. desarr ollada por Dubinsky (1991) y un grupo de investigadores Research in Undergraduate Mathematics Educaction Community (RUMEC). Dubi nsky y colaboradores basan su trabajo en el análisis teórico de un determina do concepto matemático. La Teoría APOS. En la fase participativa los estudiantes aprenden a adelantarse a los resultados de una actividad. La perspectiva pedagógica correspondiente considera que la comprensión conceptual debe converger hacia una comprensión del formalismo matemático. Los estudiantes que se encuentran en la fase participativa no pueden construir el nuevo concepto como un objeto al ser incapaces de usarlos en ocasiones posteriores. 2. asumen que los procesos mentales son elementos constituyentes de la comprensión de un objeto.
procesos. Es una construcción i nterna. 2001). Se caracterizan las construcciones mentales como sigue (DeVries. consciente o inconscientemente. objetos y otros esquemas que están relacionados. Las construcciones mentales Según la Teoría APOS.perspectiva teórica del conocimiento matemático Dubinsky (1991. Zazkis y Campb ell (1996a) y Asiala et al. la inversión. Los mecanismos que utilizan para dichas construcciones son la interiorización. en una estructura coherente en la mente del individuo y que puede ser evocada para tratar una situació n problemática de esa área de la matemáticas.2. aprecia que la transformación (acción o proceso) puede actuar sobre él y es capaz de construir la transformación.  Acción Es la transformación de un objeto percibida por el individuo como externa. la desencapsulación y la tematización. la coordinación. las construcciones mentales que realizan los individuos para obtener significado de los problemas y de las situaciones matemáticas son: las acciones.1. . los pr ocesos. El proceso se ha ³encapsulado´ en u n objeto. Un ejemplo de acción es cuando p ara determinar si un número es divisible por otro se realiza una division. Estas construcciones mentales las denominan acciones. La última de los dos es esen cial en el progreso y desarrollo de conocimiento matemático. siendo consciente del proceso como una totalidad. Entonces el indivi duo ha reconstruido este proceso en un objeto cognitivo. Un ejemplo de proceso es cuando la actividad de división puede ser interiorizada como un proceso en el que la acción se piensa per o no se realiza. En el desarrollo del conocimiento matemático. la encapsulación. los objetos y los esquemas. no necesariamente dirigida por un estímulo externo. procesos.  ESquema Es una colección de acciones. objetos y esquemas.  Proceso Es la interiorización de u na acción. las constru cciones mentales pueden ser re construcciones exactas (correspo ndientes a la memoria y a la repetición de métodos previamente conocidos) o adaptaciones de algo previamente aprendido. En la realizació n de una tarea los estudiantes constituyen y usan sus construcciones mentales.1. 2. (1996) consideran que los individuos realizan construcciones mentales para obtener significados de los pr oblemas y situaci ones matemáticas. entre otros.  Objeto Un indivi duo refle xiona sobre accio ne s apl icadas a un proceso concreto. 2000a).
Este aspecto también es reseñado en la investigación de Asiala etal. 2000). Señalan Dubinsky y MacDonald (2001).  Coordinación Dubinsky (1991) explica la coordinación volviendo a los procesos. Un ejemplo de objeto es cuando un alumno es capaz de establecer que un número representado en factores primos es divisibl e por cualquiera de sus factores. Piaget no lo trata en el contexto de abstracción reflexiva. Un esquema se desarrolla de forma dinámica y cambiante. entre otros. 20 03). la coor dinación. lo que hace que aparezcan nuevas acciones. en la realidad. considerando el acto cognitivo de coger dos o más pr ocesos y usarlos para construir un nuevo proceso. observando el esquema como una totalidad y realizando acciones sobre él..  Inversión Una vez que el proceso existe inter namente. . la encapsu lación. al sujeto le es posible pensarlo invertido. Los mecanismos Los mecanismos para realizar las construcciones mentales se llaman abstracciones reflexivas y son la interiorización. no sucede necesariamente así. Entonces se dice que el individuo ha ³tematizado´ el esquema en un objeto. Dubi nsky (1991) lo incluye como una for ma adicional de construcción. (1996). procesos. Estos mecanismos han sido caracterizados por el grupo de investigadores RUMEC de la siguiente manera:  Interiorización Es la construcción mental de un proceso relativa a u na serie de acciones sobre objetos cognitivos.2. Los objetos se pueden transformar en un nivel superior. el in dividuo puede transformarlo en un objeto para ejecutar nuevas acciones (Baker et al.Reflexionando sobre un esquema. Otra forma de construir un objeto se da cuando el individuo reflexiona sobre un esquema. como un medio de construir un nuevo proceso que consiste en el inverso del proceso original. que aunque la sucesión acción.2.1. 2. La acción se interioriza en un proceso. la inversión. cua ndo un individuo está desarrollando la construcción d e un concepto. objeto y esquema se describe de manera lineal. la desencapsulación y la tematización. La conexión consciente o no de las diversas construcciones que en la mente del individuo pueden considerarse en un problema que implique tanto al concepto como a su coherencia puede permitir al individuo observar qué es lo que se encuentra en el esquema (Barbosa. Piaget usa ³coordinaciones de acciones´ para referirse a todas las formas de usar una o más acciones para construer nuevas acciones u objetos. proceso. en el sentido de deshacer. objetos y esquemas que permitan construir nuevos conceptos.
3. Esquema 2. entonces se dice que el esquema se ha tematizado en un objeto.4) la descomposición genética . 2001. Al proceso mental de retroceder desde un objeto al proceso d esde el cual fue encapsulado el objeto se le llama desencapsulación. Asiala et al. p. viéndolo como un ³todo´ y es capaz de realizar acciones sobre el esquema. procesos. En este caso decimos que un proceso ha sido encapsulado en un objeto. Este objeto puede ser visto como una entidad total y puede ser transformado por acciones o procesos.1. objetos y esquemas que desarrollan los estudiantes. Dubinsky.2. en forma de descomposición genética. Las descomposiciones genéticas son una manera de plantear las hipótesis de cómo se construyen los conceptos matemáticos. (1996. Es la transformación mental de un proceso en un objeto cognitivo. ofrece un conjunto de construcciones mentales que puede realizar un estudiante para comprender el concepto matemático que esta estudiando. Para el grupo RUMEC (DeVries.  Tematización Cuando un individuo reflexiona sobre la comprensión misma de un esquema. E. el desarrollo de l a comprensión de un conce pto puede explicarse desde las acciones. La descomposición genetica Desde la teoría APOS. p. 2.1. Encapsulación-Desencapsulación.7) definen la descomposición genética del co ncepto como ³conjunto de estructuras mentales que pueden describir cómo se desarrolla el concepto en la mente del indivi duo´. El análisis teórico desde APOS. Esquema del marco teórico APOS.
la divisibilidad por 3 es una acción. 4. En palabras de Dubinsky (2000a. cuando la divisibilidad por 2 y 3 se usa para inferir la divisibilidad por 6 se coordinan dos procesos. La construcción de la d ivisibilidad como un objeto conceptual comienza con ejemplos específicos. podría ser construido por un alumno: 1. la acción de dividir puede ser interiorizada como un proceso. En varios casos el análisis de los datos nos condujo a . Los pr imeros ejemplos de divisores son número s pequeños tales como 2. 3. O bien. Por ejempl o. Un alumno tiene que reali zar la división y obtener el cociente de un número entero (sin resto) para concluir a posteriori que el número es divisible por 3. se realiza la división y se discute la divisibilidad o no en la funcion del resultado. El concepto de divisibilidad es visto como propiedad de los números enteros. 2. 3. pe ro no tiene necesidad de realizarlo. de divisores. considerando además que la descomposición genética de un concepto no es unica. 6.³es el primer paso del análisis teórico de un concepto matemático en términos de las construcciones mentales que un aprendiz puede hacer en orden a de sarrollar la comprensión d el conce pto´. en térmi nos de dicotomía. Se trata de una vía para aprender un determinado concepto. La encapsulación de la divisibilidad como un objeto p odría llevar a entender el concepto de divisibilidad como una propiedad esencial de los números enteros.68) ³los resultados proporcionaron un fuerte apoyo a nuestro paradigma de investigación.. independiente de los procedimientos de la división. Inicialmente. 4 y 5. Cuando la divisibilidad se relaciona con otras estructuras cognoscitivas tales como la factorización y la descomposición en factores primos. 5. " sí o no". p. a nuestra perspectiva teórica y a nuestro acercamiento pedagógico. sabiendo que la suma de los dígitos de un númer o entero es divisib le por 3 implica que el propio número también es divisible por 3 puede invertirse y construir números divisibles por 3. 1997). la teoría APOS se probaba como una herramienta eficaz para describir y explicar el desarroll o de un concepto en la mente de los estudiantes. El estudia nte ha comprendido la idea de que es el propio procedimiento de la división el que determina si un número entero satisface o no el criterio de divisibilidad. Posteriormente. entendida como u na propiedad de los números. por ejemplo. Pueden coordinarse o invertirse procesos de divisibilidad de números particulares para crear nuevos procesos de divisibilidad. El análisis de los datos de una investigación puede ratificar una primera descomposición genética de un concepto o bien con ll evar la realización de la revisión y cambios en esa descomposición genética (Clark et al. Es decir. En muchos casos. Zazkis y Campbell (1996a) plantean una descomposición genética del co ncepto de divisibilidad través de un análisis hipotético de la manera en que la divisibilidad. se ha tematizado el esquema de divisibilidad para formar un objeto. en que la acción se piensa pero realmente no se realiza.
que casi siempre se atribuyen al concepto´ En nuestra investigación planteamos como primera descomposición genética la propuesta por Zazki y Campbell (1996a) que ha sido descrita en los párrafos anteriores. como resultado de muchos análisis específicos. p. El paso de un nivel al siguiente no se caracteriza por el aumento de los conocimientos respecto al nivel anterior. que nos condujo a revisar la teoría APOS al relacionarlo con la idea de la tríada de Piaget y García (Clark et al.1.. Incluso hubo. Piaget ha intentado dar cuenta de esta superación o aumento de con ocimi ento a través de un modelo basado en mecanismos biológicos: la . de los procesos y de los esquemas que se han incluido en los artículos que reportan los resultados´.revisar nuestra descripción teórica de dicho desarrollo. Desarrollo de un esquema. a los niveles secundarios ulteriores. Brown et al. procesos y acciones esperadas matemáticamente. propuesta por la teoría APOS. En Piaget y García (1982. La terna de l os niveles Intra. Los tres niveles de desarrollo del esquema para categorizar la comprensión de los estudiantes. una descomposición genética es una descripción idealizada de las representaciones.7) se indica que ³los mecanismos del progreso del conocimiento pueden ser aprehendidos en las transiciones que conducen de un nivel de organización de menor adaptación del sujeto al medio (en tanto medio por conocer). Los investigadores pueden desarrollar una evolución de la descomposición genética para ofrecer una nueva descomposición genética más avanzada y un conveniente tratamiento del proceso de aprendizaje. sino por una reinterpretación total de los fundamentos conceptuales..247-248) ³la descomposición genética no refleja necesariamente la manera en que un matemático en particular analizaría el concepto para formular un método y enseñar dicho concepto. permitió entender algunos co mportamientos de los alumnos basados en la inter acción de los esquemas (Baker et al. y las importancia de que los alumnos puedan explicar por qué este procedimiento genera el mínimo común multiplo. un ejemplo de esquemas en nuestras investigaciones. 2001). vínculos. Por tanto. 2000). al menos. obtuvimos las definiciones op erativas de las acciones. (2002) subrayan la facilidad con que suelen aplicar los estudiantes el algoritmo de obtención del mínimo común múltiplo de dos números naturales mediante la descomposición factorial en producto de números primos.2. Como señala Meel (2003. 2. añadiend o en la misma otros conceptos como el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Reforzar la teoría APOS con la incorporación de las tres fases de desarrollo del esque ma propuesta por Piaget y García (1982) ha conllevado el perfeccionamiento de la comprensión del desarrollo de los esquemas. Ínter y Trans permite una comprensión más profunda del desarrollo de los esquemas y una mejor explicación de los datos (Dubinsky y MacDonalds. (2002) formulan la hipótesis de que se han de coordinar los conceptos de multiplicación con el de descomposición en factores primos para construir el proceso d e generación d e un múltiplo del número en su forma de descomposición factorial.4. 1997). pp. Además. Con ello el estudiante puede inferir que la descomposición factorial de un múltiplo de un determinado número ha de contener la descomposición factorial del número. Brown et al.
Trans: se caracteriza por la necesidad de un nuevo equilibrio debido a la diversidad de subesquemas que dificultan la unidad del todo. Este mecanismo. (b) considerar el conocimiento como una relación entre el objeto y e l individuo. Piaget y García (1982) indican que la sucesión: Intra. extrayéndola é sta de las estructuras previas y ajustándolas al contenido. La asimilación consiste en (a) incorporar los objetos a los esquemas de comportamiento como una estructura de acciones que puede realizar el individuo en la realidad. no tratándose de un proceso específico del pensamiento científico. Ínter y Trans. requieren el establecimiento de vínculos entre ellas. El objeto es un contenido al que el individuo da forma. que obedece a una guía de origen endógeno. pero sin otras explicaciones que no sean locales o particulares. p. relaciones. cuyos aspectos generales son: Intra: se identifica por conducir al descubrimiento de un conjunto de propiedades en los objetos.equilibración. Las reequilibraciones pueden ser fuentes de novedades en lugar de conducir necesariamente a una homeostasis1´. Los nuevos esquemas construidos en la fase intra no pueden permanecer aislados y el proceso de asimil ación conducirá a ciertas asimilaciones de carácter recíproco. lo que es equivalente a decir que se encuentran en transformaciones de segundo nivel. Señalan Piaget y García (1982. etc. modificando el esquema asimilador a través de la acomodación mediante diferenciaciones en función del objeto que el individuo tien e que asimilar. Las razones que se establecen pueden encontrase en las relacio nes entre objetos. figuras.246) que la asimilación es ³la fuente general de los instrumentos de adquisición´ la cual se encuentra en todos los Conjuntos de fenómenos de autorregulación que conducen al mantenimiento de la constancia en la composición y propiedades del medio interno de un organismo. . Las diferenciaciones serán contrarrestadas por las tendencias integradoras. una vez descubiertas. Los individuos cuando abordan nuevos dominios de conocimiento tiene que asimilar los datos a sus propios esquemas (de acción o conceptuales). y (c) modificar la organización existente como respuesta a las demandas del medio y mediante las que el individuo se ajusta a las condiciones externas Cada vez que el individuo aborda un dominio nu evo de cognici ón. con el mismo orden establecido. que implican en su análisis la equilibración entre su asimilación a los esquemas y la acomodación de éstos a las propiedades dadas. y donde cada nivel repite en su seno las propias fases al igual que el proceso total En el trabajo de Piaget y García (1982) se detallan los niveles de desarrollo de un esquema para distintos campos. permite neutralizar las perturbaciones productoras de desequilibri os. Ínter: se caracteriza por transformaciones que. implica u na equilibración entre la asimilación de los propios esquemas y la acomodación de e stos a las propiedades dadas. y la necesidad de equilibración requerirá a los esquemas así vinculados formas más o menos estables de coordinación y transformacion. temas y en todos los n iveles. E stos datos son objetos. se da en todas las disciplinas.
Dentro del esquema gl obal. objetos. En este nivel se empiezan a agrupar las informaciones de similar naturaleza. procesos y objetos. La coherencia del esquema permite decidir qué se encuentra dentro del ámb ito del esquema y qué no.El equilibrio q ue se impone entre las diferenciaciones y la integración no podrá alcanzarse sin lograr sistemas de interacciones que produzcan que se engendren las diferenciaciones. En tales casos. En opinión de Baker et al. se ha de estar preparado para identificar esos esquemas componentes y su multidimensionalidad. el estudiante reorganiza el conocimiento adquirido durante el nivel anterior. armonizándolas internamente y sin que entren en conflicto entre sí. en la comprensión del desarrollo de un esquema global. se deben identificar no sólo los esquemas componentes del desarrollo sino también su coor dinación. Mientras el conocimiento se desarr ol la. Por consiguiente. Las estructuras logradas en este nivel dan lugar a nuevos anál isis intra que conduce n a nuevos ínter y a nuevas estructuras trans. En el proceso de aprendizaje se desarrollan diferentes esquemas y el desarrollo y cambio de cada esquema puede describirse usando la terna. en sí mismo. Ínter: se caracteriza por la construcción de relaciones entre acciones. Por lo tanto. procesos. Trans: se tiene construida una estructura subyacente completa en la que las relaciones descubiertas en el nivel Ínter son comprendidas dándose coherencia al esquema. 2004). El individuo no ha construido ninguna re lación entre ellos. los cuales cambian constantemente variando sus niveles de evolución. Esta descripción ha sido utilizada en distintas investigaciones apoyadas en la teoría APOS (Sánchez. Cada esquema. DeVries (2001) adapta los niveles de desarrollo de un esquema de la siguiente: Intra: se identifica por centr arse en los a spectos individuales aislados de otr as acciones. los sujetos construyen esquemas coexistentes. en lugar de que sean sometidas. su coordinación nos condu ce a nuevas estructuras que se construyen sobre las propiedad es de los esquemas . La progresión es gra dual y no necesariamente lineal. (2000). en algunas situaciones problemáticas una persona puede necesitar coordinar varios esquemas. un esquema puede depender mucho del desarrollo de uno o más esquemas. En particular. se compone de acciones.Matamoros. procesos y objetos de naturaleza similar. Señalan que ³en cada nivel de la terna. el uso de estos tres niveles para analizar el conocimiento de los estudiantes ayuda a los investig adores a considerar la riqueza de las situaciones y de los problemas. otros e squemas y sus transformaciones.
No obstante. 2004. Potencialidad de la Teoría APOS. Posteriormente. los estudiantes tienen dificultades (x) con el concepto formal de límite por dos razones. más o menos pr óximos al punto.. entre otras. Los resultados de esta investigación subrayaron la dificultad mostrada por los estudiantes . Una conceptualización objeto del límite requiere pensar. 2003). (b) la comprensión estática del límite en un punto podía evolucionar a la evaluación de los límites laterales o a la obtención de valores cercanos en el dominio estudiado. 199 7. La instrucción que recibieron los alumnos co nsistió en prácticas con ordenador. Desde este marco se han lleva do a cabo investigaciones sobre el concepto de límite (Cottrill et al. Cottrill et al. debates y tra ba jos de clase en grupos de 3 ó 4 alumnos. El concepto de límite se revisó a lo largo del proceso de enseñanza utilizando derivadas. y la otra se refiere al conocimiento necesario de la cuantificación para comprender el concepto de límite Señalan los autores que se puede interiorizar en un proceso el concepto de límite si l os estudiantes son capaces de evaluar el concepto d e límite en varios puntos más o menos próximos antes de dar el valor del límite. para la determi nación del proceso que permita describir que 0 < a / x . 1997) o inecuaciones (Barbosa. grupos y subgrupos (Brown et al.. 200 6) . 1996). se interioriza e n un pr oceso el concepto de límite determinando que si x a entonces f(x) L. 1997). en el límite de la combinación de dos funciones como proceso y coordinar la suma de ambas para encapsular en objeto el limite la funcion suma.. de integral definida (Czarnocha et al.2. integrals y sucesiones. Sánchez-Matamoros et al. (1 996) consideran fundamental para la comprensión del concepto de límite en un punto. se realizaron entrevistas clínicas. Esta identificación planteó problemas de comprensión cuando el límite n o existía. Los resultados obtenidos indicaron que (a) existía una fuerte tendencia por parte de los estudiantes a identificar el límite de la función en un punto con e l valor de la función en dicho punto. clases laterales y grupos cocientes (A siala et al.2. de derivada (Asiala et al.< d / L f . una es la propia coordinación de los procesos y no todos los estudiantes pueden determinarla con inmediatez.2. Sánchez-Matamoros. Cuando los estudiantes pueden dar valores en varios puntos. 2001). El estudi o se llevó a cabo con 25 estudiantes universitarios que cursa ba n la asignatura de Cálculo. Cottrill et al. la coordinación de los procesos ( x) L a y F x.< e . La descripción de las formas de conocer y los mecanismos utilizados en la comprensión de los conceptos matemáticos constituyen el eje fun da mental de estas investigaciones en el marco teórico APOS. Distintos trabajos de investigación han asumido la teoría APOS (Acción-Proceso-ObjetoEsquema) como marco teórico para analizar la comprensión que tienen los estudiantes de diferentes conceptos matemáticos. (1996) en su estudio sobre la comprensión de l esquema de límite se plantearon los siguientes o bjetivos: reinterpretar la literatura refer ente al concepto de límite. por ejemplo. describir el desarrollo de las descomposiciones genéticas planteadas y hacer propuestas pedagógicas para el aprendizaje del concepto de límite.
. (1996) destacan que la concepción dinámica del concepto de límite es más complicada que un mero proceso. el grupo que siguió una enseñanza tradicional (24 estudiantes) y el grupo C4L que recibió una instrucción experimental (17 estudiantes). Gráfica y recta tangente en el punto (5. Para los autores el concepto de límite no es estático y constituye un esquema muy complejo que es producto de aspectos dinámicos y subrayan el insuficiente tratamiento instruccional de la concepción dinámica del concepto de límite. ³la monotonía de una function a través de su derivada´ y ³que f¶(x) es la pendiente de la recta . p. Cottrill et al. La construcción del esquema de límite requiere la coordinación de procesos que impliquen fuertes concepciones así como la cuantificación del límite. sugiriendo la importancia de coordinar los procesos construidos tanto en el dominio como en la imagen de la function. 1997.4) (Asiala et al. 4) y sobre la constr ucción de funciones que cumplieran determinadas propiedades de la función y de sus dos primeras derivadas. una función en un punto se comprendiese como (a) el límite de las r ecta s secantes (modo gráfico) y (b) el límite de los cocientes incrementales de una función en un punto (modo analítico) En el estudio participaron 41 estudiantes de Ingeniería y Matemáticas di strib ui dos en dos grupos. ³una recta tangente horizontal´. La investigación también pretendía realizar un estudio comparativo entre la forma de comprensión que sobre los tópicos estudiados mostraban ambos grup os de alumnos. Para recoger los datos se realizaron entrevistas cuyas preguntas versaron sobre la gráfica y la recta tangente a una función en el p unto (5. en lugar de los e y d de la definición formal de límite que resulta inaccesib le para gran número de los estudiantes.en la comprensión del concepto de límite ya que sólo algunos estudiantes construyeron el d ominio y el conjunto imagen de la función como proceso.404) El objetivo de las preguntas de las entrevistas fue inferir información sobre cómo los estudiantes a) comprenden ³la notación y = f(x)´.
es decir. La integral definida comprende la composición de construcciones de tipo geométrico y de construcciones de tipo numérico (sucesiones infinitas y límites). Cie ncias y Matemáticas. Los estudiantes que siguieron el curso C4L alcanzaron una comprensión proceso de la función y pocos requirieron una expresión analítica de f(x) que se correspondiera con la gráfica. ³deducir información sobre f y f¶ a partir de la representación gráfica´. Según los autores. f(x)) enfatizando la comprensión de la derivada como una función e invirtiendo el concepto de derivada de una función para construir la función original. b) pueden ³trabajar con la representación gráfica de la función sin disponer de la expresión analítica f(x)´. (1997) señalan que debía reforzarse la comprensión del concepto de (x. Estas preguntas tuvieron como objetivos investigar: ¿Cuál es la relación que existe entre la descomposición genética inicial y las construcciones mentales que sobre la integral definida tienen los estudiantes? b) ¿Qué construcciones mentales no realizan lo s estudiantes? c) ¿Qué debe modificarse en la descomposición genética inicial para que los alumnos puedan realizar construcciones mentales adecu adas? El análisis de los datos de las entrevistas puso de manifie sto que (a) los alumn os que tenía n una concepción objeto de la suma de Riemann eran capaces de obtener las sumas a a) . Además.tangente a f(x) en (x. el desarrollo del esqu ema de integral definida comporta la coordinación del esquema visual de suma de Riemann y el del esquema del concepto de límite de la suce sión numérica. estos estudiantes mostraban una comprensión más completa de f y f¶ que los alumnos que seguían la instrucción tradicional. f(x))´. Asiala et al. (2001) en su investigación sobre la comprensión del concepto de integral definida. no entendían f¶ como una función. ³ser capaces de tratar f¶ sólo con la gráfica de la funció n´. La compre nsión de la derivada como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto presentó dificultades cuando los alumnos no comprendían el concepto de función como proceso. la coordinación del proceso de función y de suma de Riemann. (2001) contempla ba el concepto de función y suma de Riemann como objeto. La descomposición gen ética inicial plantead a por Czar nocha et al. y a la creació n de conexiones entre las interpretaciones an alíticas y gráficas La coordinación de esquemas también fue utilizada por Czarnocha et al. Los resultados mostraron que cuando los estudiantes trabajaban con gráficas la función era conocida como proceso. Muchos alumnos necesitaban tener una expresión analítica de f(x) que se adaptase a la representación gráfica. A partir de los resultados de la investigación. Se formularon diez preguntas sobre el concepto de integral definida en las entrevistas individuales que se realizaron. y la aplicación de l esquema de límite a las sumas de Riemann para obtener un número (integral definida) En la investigación participaron 32 estudiantes de Ingeniería. La descomposición genética inicial debía modificarse en tanto a fin de dar mayor énfasis a la concepción de fu nción que poseen los estudiantes.
de nominadas esquema. que los estudiantes pueden desarrollar para la comprensión del concepto de grupo y subgrupo. En estos estudios participaron 51 e studiantes nuevamente distribuido s en dos grupos. 5.6). 3. Los datos se recogieron mediante la realización de tres pruebas escritas y dos entrevistas individuales a lo largo del curso. n. El esquema de grupo que a su vez comprendía otros esquemas como el de conjunto. (2001) describieron las construcciones mentales realizadas por los alumnos sobre la comprensión del concepto de integral definida.suma del límite de las áreas de los rectángulos. Por . operaciones binarias y axiomas qu e podían co ord inarse e ntre sí. La descomposición genética inicial plante ad a por los autores incluyó l as operaciones binarias entendidas como funciones lo que supuso la inclusión del esquema de función previamente construido.y no como el límite de la suma de las áreas de los rectángulos. En estas investigaciones se estudió la comprensión de los estudiantes sobre operaciones binarias. En el estudio de Brown et al. 4. Desde el campo algebraico también fue investigada por Brown et al. el esquema de axioma incluía una operación binaria que podía cumplir o no una determi nada propiedad o el esquema de subgrupo que contenía los esquemas de grupo. Pr opusieron una mo dificación de la descomposición genética inicial que incluyese el concepto de medida de la distancia y la forma de conocer como objeto del concepto de límite de una sucesión.. grupos y subgrupos y sobre clases laterales. Por ejemplo. En el ámbito de instrucción.. resultando fundamental la comprensión del concepto de límite de una sucesión para que los estudiantes comprendan el concepto de integral definida como el límite d e sumas parciales En función de los resultados obtenidos Czarnocha et al. El límite de la suma de Riemann era visto como una suma infinita d e rectángulos de pe queña amplitud.. (1997) resultó de especial interés el conjunto de construcciones mentales. o bien como suma de ³líneas´.partir de particiones de distinto tamaño (2.. (c) la dificultad en la comprensión del límite de una sucesión creó problemas en la comprensión del esquema de integral definida. (b) la dificultad de la comprensión como objeto del esquema de la suma de Riemann estaba vinculada a las dificultades que los alumnos tenían con el esquema de límite. La metodología del grupo experimental se apoyó en el uso del programa informático Interative SET Language (ISETL). respectivamente. como suma de infinitos rectángulos de amplitud 0. normalidad y grupos cocientes.. (1997) y por Asila et al. El esquema del concepto de la suma de Riemann y la coordinación de este esquema y el de límite no sufrió ningún cambio. es decir. En ambos estudios se utilizó la teoría APOS para describir las formas de conocer y los mecanismos de construcción de los conceptos de álgebra que utilizaban los estudiantes. el que siguió una enseñanza experimental (31 estudiantes) y el que recibió una enseñanza tradicional (20 estudiantes). (1997) la coordinación de varios esquemas.. Las actividades que se plantearon incluían relaciones de congruencias ((x + y) mod. se sugirió que se enfatizase en los planes de estudios la comprensión de los conceptos necesarios para mejorar el conocimiento de la inte gral definida como el límite de la suma de Riemann.. permutaciones. subconjunto y función. clases modulares y grupos de simetrías Los resultados mostraron las distintas formas de comprensión de los alumnos.).
desde el punto de vista gráfico. Los resultados del estudio de Asiala et al. (1997) estudiaba la epistemología de los grupos laterales. E n la descomposición genética propuesta por estos autores el concepto de grupo lateral se comprende como una acción cuando el estudiante lo observa y lo trabaja como una situación próxima. el trabajo de Asila et a l. El esquema de interpretación es entendido como un ente matemático que se necesita describir y que se puede manipular mediante propiedades tales como operar. de operación binaria y de grupo. pudiéndose coordinar entre sí para realizar construcciones mentales específicas que puedan ser aplicadas e n el grupo cociente. Además. (1997) mostraron que la comprensión de los conceptos de álgebra era mayor en el grupo que recibió instrucción experimental. las operaciones binarias eran compre nd idas como acción cuando los alumnos no eran capaces de comprender el concepto de relación binaria con ejemplos específicos. de la no rmalidad y de los grupos cocientes. las clases laterales serán con ocidas como objeto cuando el alumno pueda pensar en cómo se forman éstas o realizar acciones sobre las mismas o bien hacer comparaciones sobre los cardinales o utilizar el teorema de Lagrange. La compresió n de la relación binaria se encontraba en un nivel superior si los alumnos la entendían como una función de dos variables. las modificaciones que sufre el conjunto solución después de las transformaciones o el procedimiento de resol ución específico que permite resolver una determinada inecuación con el menor número de operaciones. La concepción como proceso del grupo lateral permite al estudiante pensar en clases a la izquierda o en los subgrupos (p. en el producto de los elementos del subgrupo) sin realizar los cálculos. el esquema de resolución consiste en indicar las transformaciones que están permitidas. El esquema de inecuación planteado por Barbosa debía ser comprendido desde dos construcciones mentales diferentes: interpretación de inecuación y resolución d e inecuación.ejemplo. El esquema de grupo cociente lo integraban los esquemas de grupo lateral. De igual modo propusieron la descomposición genética de los conceptos de normalidad y grupos cocientes. La normalidad en este grupo fue observada mayoritariamente como una propiedad de un subgrupo que está contenido en un grupo y la comprensión de la idea de grupo fue asociada a un conjunto con ley de composición interna. este esquema de resolución comprende las funciones que pueden ser utilizadas para representar la inecuación o cuándo se ha n de comparar dos gráficas para analizar los signos de las imagenes. Otra investigación que usa el marco teórico de Acción-Proceso-Objeto-E squema es la que d esarrolló Barbosa (2003) sobre la comprensión de l concepto de inecuaci ón que tienen los estudiantes universitarios. como si estuviera descrito mediante la aplicación de una fórmula. Por último. Los alumnos de este grupo alcanzaron concepciones objeto de los esquemas de clase lateral y de normalidad. analizar. observar equivalencias o verificar conjuntos de números reales que cumplen la inecuación. Por otra parte. La composici ón de dos simetrías específicas era comprendida como proceso cuando los alumnos podían usar ejemplos concretos y generalizarlos.e. . Por otra parte.
p. Cuando la perspectiva Acción-Proceso-Objeto-ESquema precisó de nuevos elementos de . si se presenta como una r elación entre expresiones algebraicas. La investigación se llevó a cabo con 136 estudiantes universitarios de informática y matemáticas.202) ³Resolver una inecuación consiste en hallar su conjunto solución o su descripción más simple posible´. puede ser inter pretada como una r el ación entre funciones y su conjunto solución puede eventualmente ser determinado mediante gráficos´.El autor indica que para ente nder el esquema de inecuación es necesario conocer los significados dados a los términos interpretar2 y resolver2 una inecuación. Las preguntas de la investigación que se planteó Barbosa (2003) fueron: a) ¿Cuáles son los conceptos previos que se requieren para la comprensión de inecuaciones? b) ¿Cómo construye o comprende el alu mno el concepto de inecuación? c) ¿Cuáles son las estructuras mentales y las conexiones con otros conceptos matemáticos necesarios para la comprensión del concepto de inecuación? d) ¿Cómo influye la inter pretación de inecuación en la resolución de problemas que implican el concepto? La concepción acción del esquema de inecuación consistió en resolver una inecuación siguiendo los pasos de resolución de otra inecu ación o sustituyendo valores específicos de la incógnita comprobando si éstos satisfacen o no la inecuación. por otro. las puede construir y actuar en el proceso. Se comparó la comprensi ón del concepto de inecuación que tenían los estudiantes que recibían una enseñanza tradicional con l a del grupo de alumn os que seguían una metodología experimental basada en el uso de ordenadores y el lenguaje de programación ISETL. Por otra parte. porqué funcionan y son adecuadas para alcanzar la sol ución de la inecuación. tanto en el contexto algebraico como en el gráfico. cuando es capaz de analizar equivalencias entre inecuacione s utilizando propiedades de los números re ales. Si el estudiante reflexiona sobre las acciones aplicadas a un proceso específico. asimilar el significado de variable real y del conjunto solución. debe tener un esquema fuerte de interpretación´. pudiendo describir los pasos necesarios para resolver una inecuación sin ejecutar la realmente. Interiorizar una inecuación en un proceso requería que el estudiante resolviese la inecuación sin imitar necesariamente un modelo de r esolución.201) ³Interpretar una inecuación implica. para el autor (p. Barbosa (2003) indica que es necesario que los estudiantes (a) utilicen transformaciones adecuadas para hallar la solución de la inecuación. percibe sus tran sfor maciones. habrá encapsulado en un objeto el concepto de inecuación. Destaca que un ³ fuerte esquema de resolución. En las conclusiones de su investigación. Sugiere que es necesario proponer actividades basadas en el esquema de inecuación que involucren la interpretación y la resolución tanto algebraica como gráfica. Para Barbosa (2003. Por ejemplo. (b) conozcan la s condiciones y las razones de porqué se utilizan esas transformaciones. es decir. cuando era capaz de pensar en una inecuación de manera generalizada y dinámica.
interpretación de l desarrollo del esquema.. El an álisis de las entrevistas evidenció l a existencia de estudiantes que podían generalizar la r egla de la cadena desde una función concreta realizando acciones externas y poseyendo únicamente una concepción acción de la regla de la cadena. A este estudio le si guió el de Cottrill ( 1999). establecie ndo el desarrollo d el esquema de la regla d e la cadena a través de la terna -Intra . Clark et al. (2003) sobre cálculo gráfico. sin que ello suponga que establecen relaciones entre ellas. también sobre la regla de la cadena. Ínter y Trans. Estas evidencias imp ulsaron a los investigadores a utilizar nuevos el ementos de interpretación basados en la caracterización de los niveles Intra. En el nivel Intra el estudiante posee una colección de reglas de derivación para encontrar todo tipo de der ivadas incluidas la de algunos casos difíciles. (1997) analizaron la comprensión de los estudiantes de la re gla de la cadena y sus aplicaciones. el esquema de composición de funciones y el esquema de diferenciación. se incorporó para la caracterización de la construcción y desarrollo d e los esquemas de conceptos matemáticos la tríada de niveles de desarrollo del esquema propuesta por Piaget y García (1982) (Intra. En la entrevistas se les hicier on preguntas sobre la derivación de una función por métodos distintos. Ínter y Trans). Ínter y Trans. (1997) plantearon una descomposición genética inicial que describía la forma en que los estudiantes pueden llegar a comprender como objeto el esquema de función. (1997) fueron los primeros que analizaron la comprensión de los estudiantes de la regla de la cadena a través de los tres niveles de desarrollo de un esquema. y los trabajos de SánchezMatamoros (20 04) y Sánchez-Matamoros et al. La redefinición de la descomposición genética inicial del esquema de la regla de la cadena usando la caracterización de los tres niveles de desarrollo se plasmó en los siguientes términos. Clark et al. entre otros.lo que les facultó para clasificar l as respuestas dadas por los 41 alumnos que participaron en la investigación. El nivel Ínter está caracterizado por la habilidad del alumno para discriminar entre . (2006) sobr e el concepto de derivada. el de Baker et al. Estos alumnos pertenecían a un grupo experimental C4L y a un grupo de enseñanza tradicional. (2000) y el de Cooley et al. El estudio se llevó a cabo mediante entrevistas realizadas al total de participantes. También describieron cómo debían coordinarse los esquemas de composició n de funciones y de difer enciación par a desarrollar el esquema de la regla de la cadena y cómo podían aplicar la re gla de la cadena en situaciones específicas. sobre la función integral o sobre la regla d e la cadena y su comprensión. Las preguntas de investigación que se plantearon fueron: a) ¿Cómo comprende los estudiantes la regla de la cadena? b) b) ¿Cuáles son los conceptos matemáticos necesarios para la comprensión de l a regla de la cadena? c) c) ¿Cómo reconocen y aplican los estudiantes la regla de la cadena en diferentes situaciones matemáticas? Clark et al.
Los resultad os cua ntitativos mostraron que aque los estudiantes que habían recibido una enseñanzas. El objetivo er a estudiar la conceptualización de los estudiantes sobre la primera y segunda derivada. Ciencias y Matemáticas.todos los tipos de derivadas y establecer algún tipo de relaciones entre ellos. En la segunda fase se reali zó un análisis cualitativo de las 6 e ntrevista s realizadas. Estos alumnos habían realizado previamente un curso de cálculo de una variable. (2000) sobre la comprensión de los estudiantes acerca de l os conceptos de cálculo utilizados en la r esolución de un problema atípico de cálculo gr áfico (esbozar la gráfica de una función e n intervalos específicos de su d ominio conocidas distintas propiedades de la misma). El estudio realizado por Clark et al. Para ello se formularon preguntas tales como: . Las preguntas que se realizaron en las entrevistas pretendían responder a las siguientes cuestiones: a) ¿Cómo comprenden los estudiantes la regla de la cadena? b) ¿Cómo entienden los estudiantes la composición de funciones en la regla de la cadena? c) ¿El concepto de la regla de la cadena es descrito correctamente mediante un esquema?. Ínter y Trans es la que re alizaron Baker et al. ¿los resultados que se obtienen describen el esquema? (basadas en los resultados del estudio de Clark et al. Los alumnos que siguieron el curso experimental mostraron mejor comprensión del concepto de la regla de la cadena que los que recibieron la metodología estándar. Por su parte. En esta investigación partici paron 41 estudiantes de Ingeniería. La investigación se realizó en dos fases. pudiendo generalizar la regla de la cadena. En este nuevo estudio sobre la comprensión de la regla de la cadena Cottrill planteó la hipótesis de que la regla de la cadena no era difícil en sí misma sino que lo que dificultaba su comprensión por parte de los estudiantes era la composicion de funciones. Otra investigación que desde el marco teórico APOS se centra en el desarrollo del esquema a través de los niveles Intra. (c) era impr escindible que los alumnos entendiesen el concepto de composición de funciones para lograr un nivel adecuado de comprensión del concepto de regla de la cadena. (1997). la primera fase se centró en el análisis cuantitativo de los cuestionarios que se pasaron a 34 estudiantes de la asignatura de Cálculo distribuidos en dos grupos que recibían enseñanza a través de metodologías diferentes. Por último. en e l nivel Trans el estudiante constr uye el esquema subyacente de la regla de la cadena vinculando la composición de funciones y la diferenciación. tradicional obtuvieron mejores resultados en diferenciación y en la regla de la cadena que los estudiantes que siguieron el curso C4L. (b) la descomposición genética inicial formulada para el concepto de la regla de la cadena a través de los niveles de desarrol lo de esq uema era consistente. la co ntinuidad y los límites de la función y analizar la coordinación que establecían los estudiantes de los elementos anteriores cuando esbozaban la gráfica de la función correspondiente. el análisis cua litati vo de los datos mostró que (a) el tipo de instrucción era importante en la forma en que los alumnos realizaban las tareas. (1997) fue complementado por Cottrill (1999).
Así como para observar si los estudiantes eran capaces de ³tematizar´ el esquema de ³ calculo gráfico ³ El nuevo estudio se realizó a partir de los datos que proporcionaron las entrevistas realizadas a 27 estudiantes universitarios que habían seguido un curso de cálculo. límites de la función y de su derivada y continuidad de la función) y las relacionan con una propiedad gráfica de ésta. Ínter y Trans del esquema global de ³cálculo gráfico´. de continuidad e ideas de precálculo que pudieran tener los estudiantes. media nte las combinaciones duales correspondientes a los nivel es de desarrollo de los esquemas ³propiedad´ e ³intervalo´. e l llamado ³de las propiedades´ de las funciones y el l la mado ³de intervalo´ de dominio específi co de éstas. Posteriormente. la unión de intervalos contiguos y la coordinación de interval os superpuestos. Ínter y Trans de ambos esquemas por separado.a) b) c) d) ¿Los estudiantes pueden trabajar con la r epresentación gráfica de la función sin disponer de la expresión analítica f(x)? b) ¿Pueden los estudiantes visualizar las características gráficas de monotonía y concavidad de una función sin que les sean mostradas éstas? c) ¿Para los alumnos es igual de relevante la primer a derivada que la segunda? d) ¿Cómo coordinan los alumnos difere ntes características de una gráfica en un mismo intervalo? Según los autores. está caracterizado por una combinación de los niveles de desarrollo en la comprensión de los conceptos de derivada. Este último aná lisis mostró que los alumnos tenían dificultades para coordinar las propiedades de la primera y se gunda derivada a través de los intervalos. etc. este estudio fue ampliado por Cooley et al. El desarrollo del esquema ³de intervalo´ involucraba comprender la notación de los intervalos. A continuación. para interpretar el límite infinito de la función derivada en x = 0. El esquema ³de las propiedades´ implicaba entender cómo los estudiantes coordinan las condiciones analíticas de una función (primera y segunda derivada. . La descomposició n g enética inicial del esquema de cálculo gráfico se utili zó para analizar tres de las 41 entrevistas realizadas. Por tanto. La utilización de este esquema global de ³cálculo gráfico´ y el análisis a travé s del desarrollo del esquema en los tres niveles permitió a los investigadores analizar y comprender el comportamiento de algunos estudiantes. el esquema de cálculo gráfico. Los resultados de estos análisis se plasmaron en una n ueva descomposición genética a partir de la cual se analizaron las 38 entrevistas restantes. En las entrevista s se les propusieron cuestiones sobre función. para establecer conexiones entre dos gráficas cóncavas. primera y segunda derivada. según los investigadores el esquema de ³cálculo gráfico´ requería la comprensión y coordinación de dos esqu emas. para relacionar la derivabilidad y la continuidad. de límite. determinaron los tres niveles de desarrollo Intra. (2003) con el objetivo de observar si el análisis desde la perspectiva dual del e squema -³pr opiedad´ e ³intervalo´resultaba útil en otras situaciones. tal como se podía esperar q ue lo desarrollaran los estudiantes que habían realizado el curso de cálculo con una variable. Los autores describier on los niveles Intra.
Por último. Los estudiantes tuvieron dificultades para establecer relaciones entre los distintos conceptos impl icados. Los resultados mostraron qu e la comprensión de los estudiantes que participaron en esta investigación fue similar a la de los estudiantes que participaron en el estudio que realizaron los autores el año 2000 sobre ³la comprensión de los conceptos de cálculo utilizados en la resolució n de un problema atípico de cálculo gráfico´.continuidad. Resultó especialmente inter esante. Sólo dos alumnos alcanzaron la tematización del esquema. como indicador de la tematización del esquema de ³cálculo gráfico´. El esquema de ³cálculo gráfico´ fue una herramienta eficaz para estudiar la coordinación de los diferentes conceptos implicados en los problemas de cálculo gráfico en diferentes contextos de representación. Sin embargo. Los resultados obtenidos permitieron subrayar que había una construcción progresiva del esquema de derivada y que el desarrollo de éste no estaba necesariamente vinculado a conocer muchos elementos constitutivos del concepto de derivada sino al establecimiento de relaciones lógicas entre los elementos. Los elementos matemáticos que mayoritariamente eran recordados hacían referencia a la primera derivada. Su comprensión no era estable. (2006) se centran en el desarrollo de la comprensión del concepto de Derivada en estudiantes de Bachillerato y primer curso de la Licenciatura de Matemáti cas desde el desarrollo de un esquema a través de las fases Intra. Sánchez-Matamoros (2004) y Sánchez-Matamoros et al. pudiendo manifestar dificultades en un momento dado aún cuando no las hubiesen mostrado en sus respuestas iniciales. límites y sus relaciones. relaciones lógicas (conjunción lógica. Ínter y trans. El análisis de la noción de derivada se realizó estudiando los elementos matemáticos y la relaciones que la confor man. contrarrecíproco y equivalencia ló gica) que se establecen entre los elementos matemáticos cuando se resuelve un problema. Se seleccionaron 69 de los alumnos participantes a los que se les realizó la entrevista sobre la noción de derivada. La relación que presentó mayor dificultad a los estudiantes fue la equivalencia lógica. un número importante de ellos sólo eran capaces d e usar los elementos de manera aisla da o de relacionarlos con un número limitado de éstos para obtener información relevante del problema que tenían que resolver. el esquema de ³cálculo gráfico ´ requiere de técnicas que ayuden a los alumnos a la construcción de este esquema y necesita del diseño de metodologías didácticas que permitan un adecuado desarrollo del esquema. A la hora de establecer relaciones lógicas o de hacer uso de los eleme ntos . No obstante. el análisis realizado a las respuestas sobre la construcción de la gráfica de u na función a partir de determinadas características de su primera y segunda derivada. En el este estudio de Sánchez-Matamoros et al. Lo s estudiantes de 1º de Licenciatura de Matemáticas podía n conocer más elementos matemáticos del concepto de derivada que los de Bachillerato. Los participantes de cada uno de los cursos considerados respondieron a los cuestionar ios escritos qu e habían sido expresamente diseñados para ellos. Las cuestiones se presentaron en diferentes sistemas de representación. Las relaciones se e ntendieron como ³coordinación entre operaciones´. según los autores. a fin de obtener mayor información sobre la resolución de los problemas propuestos. 2º de Bachi ll erato (50) y 1º de la Licenciatura de Matemáticas (50). (2006) participaron un total de 150 estudiantes de 1º de Bachillerato (50).
b) b) ¿M es divisible por 5. etc. Contreras y Font (2002) subrayan que la te oría APOS permite observar con claridad. estos mismos autores indican que sería importante reflexionar sobre la conveniencia de trasladar al Pensamiento Matemático Avanzado las investigaciones de Piaget sobre la abstracción reflexiva realiza das con niños pequeños. 2. 9. gráfico. 2. en el desarrollo de un esquema. elementos fundamentales en la construcción del conocimiento matemático. 15? Explica.). 3. ³Ser capaces de generar información´ Las investigaciones presentadas acreditan la potencialidad del marco teórico APOS. a) ¿M es divisible por 7? Justifica. P or su parte. clasifica a los individuos en niveles de compresión de los conceptos sin asignar un papel explícito a las situaciones problemáticas que motivan la acción del sujeto y tampoco es capaz de modelizar el lenguaje (simbólico. tales como la factorización. La asunción de este marco permite a los investigadores obtener información sobre las características de los significados de los conceptos investigados y sobre las características de la evolución de los mismos (desarrollo de la comprensión). la descomposición genética de un concepto permite identificar los mecanismos y formas de conocer que presentan los estudiantes del desarrollo del esquema del concepto matemático. Describe la construcción del co nocimiento de un concepto matemático por parte del sujeto pero no da respuesta a las deficiencias de l a comprensión lograda. El tipo de relaciones lógicas que eran posibles establecer en ca da momento fueron utilizadas como indicadores para describir el comportamiento de los estudiantes en cada nivel de desarrollo así como para el paso de un nivel al siguiente.matemáticos necesarios en determinadas situaciones existía cierta influencia de los modos de representación. el Teorema Fundamental de la Aritmética ó l as reglas de divisi bil idad por 2. La identificación de los elementos matemáticos y el tipo de relaciones establecidas entre ellos permite determinar los diferentes niveles de desarrollo del esquema del concepto. descomposición en factores primos. ¿391 es divisible por 46? . 2) ¿391 es divisible por 23?. Tall (1999) señala que la teoría APOS presenta muchas aplicaciones en aritmética. No obstante. 63. Por otra parte.2. el papel de las transformaciones entre los distinto s sistemas de representación.3. Godino (2001) argumenta que el modelo teórico APOS se centra en el sujeto. Para ello formularon a los estudiantes preguntas de distinto s tipos: 1) Dado el número M = 33 x 52 x 7. Para los autores ³un estudiante pasa de un nivel d e desarrollo del esquema a otro por la manera que realiza la síntesis3 de los modos de representación´. 3 Síntesis entendida como una actividad mental del estudiante. Zazkis y Campbell (1996a) basaron su estudio en las entrevistas clínicas rea lizadas a 21 estudiantes para maestros de primaria sobre los conocimientos de divisibi li dad y la estructura multiplicativa en el conjunto de los números naturales. 5 y 9. E n este apartado completamos la revisión anterior con investigaciones sobre la comprensión de la divisibilidad que asumieron como marco teórico la teoría APOS. álgebra y cálculo siendo de menor relevancia en el estudio del espacio y de la forma. La comprensión de la divisibilidad en N desde la Teoría APOS En el Capítulo 1 hemos revisado los estudios centrados en caracterizar la compresión de la divisibilidad. 11.
La indivisibilidad require la comprensión conceptual de la unicidad de la descomposición en factores primos. Zazkis y Campbell (1996a) señalaron que ³existen fuertes evidencias de que los estudiantes para profesor concebían la divisibilidad en términos de multiplicación y división. La divisibilidad siempre puede determinarse realizan do la división pero las reglas de divisi bilidad dan la posibilidad de deducir la divisibil id ad sin realizar la división y pueden ayudar a la comprensión y a la encapsulación de la divisibilidad por un número especifico como un objeto. la d escomposición en factores primos´ (p. la construcción de conexiones con otras acciones. y por lo que se refi ere a la multiplicación. parece que la encapsulación de la ³divisibilidad por n´. la descomposición en factores primos.3) 3) Dados los números 12358 y 12368. ¿Hay un número entre estos dos que sea divisible por 7? ¿Y por 12 ? 4) a) El número 15 tiene exactamente cuatro divisores. dónde d es un númer o natural. (c) la divisibilidad se encapsula como un objeto antes que la indivisibilidad. Es decir.56 2). b: a = d. y (d) la tematización de la divisibilidad como un esquema requiere. y sólo sí. la división. En este sentido. (b) la encapsu lación de la divisibilidad involucraba la coordinación e inversión de ejemp los específicos de divisibilidad por números específicos. por lo que se refiere a la división. ¿Puedes hacer un listado de todos ellos? ¿Puedes pensar en algunos otros númer os que tengan exactamente cuatro divisores? c) El número 45 tiene exactamente seis divisores. La encapsulación de la divisib ili dad como un objeto tiene que emp ezar discerniendo entre la divisibilidad como una propiedad y la división como un procedimiento. La construcción de la conexión entre la divisibilidad y la descomposición en factores primos parece contribuir enormemente a la tematización de la divisibilidad como un esquema. Un acercamiento pedagógico progresivo con respecto a esta relación inversa parecería ser muy viable. como consecuencia. etc. pero la coordinación e inversión de dos o más procesos para construir un nuevo proceso resultó difícil para los participantes. a / b (a divide b) sí. para los autores. existe un número natural d tal que a x d = b. y sólo sí. Parece que conexiones insuficientes entre estas dos definicion es son una fuente de discor dia cognoscitiva para muchos de los participantes en este estudio. ¿Puedes hacer un listado de todos ellos? ¿Puedes pensar en varios números que tengan exactamente seis divisores? Zazkis y Campbell (1996a) observaron que: (a) un gran número de estudiantes discutieron de forma consistente la divisibilidad como una propiedad sin tener necesidad de realizar la división. necesita de un conocimiento profundo de la relación inversa entre las . donde n es un número natural. procesos y objetos que involucren a la multiplicación. resaltaría la equivalencia de factores y divisores y. a / b sí. la factorización.
operaciones de multiplicación y división. Por su parte, Brown et al. (2002) analizaron cómo los estudiantes para maestro comprendían los conceptos de divisibili da d aplicando sus co ncepciones a situaciones problemáticas. La investigación se realizó desde la caracterización de la construcción del conocimiento y desde el desarrollo de los esquemas de conceptos matemáticos. El estudio se llevó a cabo mediante entrevistas clínicas en la que partici paron de forma voluntaria 10 estudiantes para maestros de primaria. Las entrevistas constaban de un protocolo con preguntas del siguiente estilo. 1) Considere el siguiente listado de números: 1, 3, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 24, 39, 42, 48, 69, 96, 2400, 2401, 2412,« a) Los números del listado que son divisores de 24 son: b) Los números del listado que son múltiplos de 24 son: c) Los números del listado que son divisibles por 24 son: d) Los números del listado por los que 24 es divisible son: 2) Defina con sus palabras el significado de: a) divisor de un número b) múltiplo de un númer o.
3) Defina en sus propias palabras el significado de " M es divi sible por N.´ 4) Dado el número M = 33 x 52 x 7. a) ¿M es divisible por 7? Justifique. b) ¿M es divisible por 5? ¿Por 2? ¿Por 9? ¿Por 63? ¿Por 11? ¿Por 15? Justifique. c) ¿32 x 5 x 73 es un múltiplo de M? Justifique. d) ¿34 x 55 x 73x 1318 es múltiplo de M? Justifique. 5) Obtenga el número más peque ño que es múltiplo de 72 y 378. Justifiq ue. 6) Un científico empieza dos experimentos al mismo tiempo. En el primer experimento las mediciones tienen que tomarse cada 168 segundos mientras que para el segundo tienen que hacerse cada 108 segundos. ¿Después de cuántos segundos tiene el científico que realizar la medición en el mismo momento? Justifique. 7) Obtenga un par de números, más pequeños que 200, cuyo mínimo común múltiplo sea 200. Explique su respuesta. Encuentre otro par de números, distinto del primer par. Los objetivos de las cuestiones planteadas fueron (a) analizar la comprensión de las acepciones léxicas de la divisibilidad en general y su aplicación entre números con representación decimal (preguntas 2, 3 y 1); (b) observar hasta qué punto la representación factorial de los números influía en la comprensión de la estructura multiplicativa de los números naturales. Para conseguir este objetivo se hicieron las preguntas 4a y 4b (Zazkis y Campbell, 1996a) sobr e los conceptos ³ser divisible´ entre números con representación
factorial y decimal, y las preguntas 4c y 4d (diseña das por Brown et al., 2002) sobre ³múltiplo´ entre números con representación factor ia l; (c) indagar las estrateg ia s de obtención del mínimo común múltiplo, especialmente en situaciones reales (cuestiones 5 y 6) y (d) examinar en qué medida los estudiantes ³invertían´ los procesos de obtenci ón del mínimo común múltiplo para obtener números con un mínimo común múltiplo predeterminado (ítem 7). Del análisis de las respuestas ofrecidas por los estudiantes se desprende ³la fuerte tendencia a asociar los conceptos de divisor con la acción de dividir´ (p.51) así como la asociación del concepto de múltiplo con la oper ación de multiplicar. Brown et al. (2002) subrayan que la comprensión de los conceptos de la estructura multiplicativa requiere la comprensión de la descomposición única de los números natural es como pr oducto de factores primos. Esto contribuirá a que la obtención de los divisores y múltiplos de un número natural no se desarrolle únicamente procedimentalmente (acciones para obtener la representación decimal de los números y comprobación de resultados a través de la multiplicación o división). Para determinar la divisibilidad de un número por otros dados, sin necesidad de obtener la representación decimal del número, sugirieron obtener otros númer os a través de la multiplicación y la descomposición factorial de un número natural, aplicando las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. En semejantes términos, los autores plantean la comprensión del concepto de mínimo común múltiplo. La comprensión del concepto de múltiplo y de sus propiedades debe permitir a los alumnos realiza r inferencias sobre la estructura de la descomposición factorial y del mínimo común múlti pl o. Las distintas formas alternativas de o btención del mínimo común múltiplo de dos números deben posibilitar que los alumnos comprendan el procedimiento de la descomposición factorial como generador del mínimo común múltiplo de esos dos números. La estructura del esquema de Divisibilidad para Brown et al. (2002) req ui ere la comprensión de cómo se construyen los conceptos fundamentales y cómo se relacionan par a formar la estructura coherente y subyacente de un esquema. Para los autores el esquema de la estructura multiplicativa ³podría incl uir los esquemas para las operaciones aritméticas, los esquemas para sus propiedades y un esquema para la factorización de La coordinación de la teoría APOS y de la tríada de niveles utilizada en esta investigación facil itó el análisis de los datos, a la vez que permitió a los investigadores realizar difere ntes sugerencias de carácter pedagógico tales como (a) la necesidad de enfatizar el papel prioritario de la operación de multiplicar sobre el de la operación de dividir al introducir los conceptos de divisibilidad; (b) el papel fundamental de la relación inversa existente entre la multiplicación y la división en la comprensión de la divisibilidad como proceso; (c) la necesidad de establecer la equivalencia lógica de las acepciones " a es divisible por b "; " a es un múltiplo de b "; " b es un factor de a ", y "b es un divisor de a" al considerar que éstas forman parte de la concepción de la i dea de divisibilidad como un proceso. Ferrari (2002), por su parte, estudió la comprensión de la divisibilidad desde el marco teórico APOS y desde una aproximación semiótica entendida como ³la habilidad para interpretar y tratar las expresiones simbólicas y las relaci ones que aparecen en las tareas matemáticas y en los enunciados´ (p.101), asumida como instrumento para analizar y descubrir las dificultades que ocasiona un dominio insufici ente del lenguaje. En este estudio participaron 39 estudiantes de primer curso de Informática. Los datos se
obtuvieron a partir de las respuestas dadas a un cuestionario, que se pasó después de que los alumnos hubieran recibido un curso de introducción al álgebra, y de las entrevistas realizadas a la mayoría de los participantes. Las preguntas que se realizaron en la entrevista presentaron características similares a las utilizadas por Zazkis y Campbell (1996a) en su estudio. Por ejemplo, las pregunta s que se exponen a continuación (p.109): Dado el número M = 33 x 52 x 7.Conteste a las siguientes preguntas y j ustifique sus respuestas. a) ¿M es divisible por 63? b) ¿M es divisible por18? c) ¿M + 5 es divisible por10? d) ¿Existe un número entero x tal que M = x = M + 10 y 8 es divisor de x? En los dos primeros ítems se esperaba que los estudiantes relacionaran la divisibilidad con la descomposición factorial de un número. Deb ían expresar 63 ó 18 en su descomposición factorial y discutir la divisibilidad de M por estos números buscando sus factor es en la expresión de M. Esta actuación podría suponer la tematización de ³ser divisible´ en un objeto. La resolución de este ítem no implicaba ningún grado de aproximación semiótica. En la cuestión c) se esperab a qu e lo s alumnos fueran capaces de interpretar y trabajar con la expresión M + 5. Este ítem para su reso lu ción necesitaba de la coordinación de acciones y procesos. Desde la perspectiva semi ótica la representación de M + 5 debía interpretarse usand o la infor mación sobre M. De la cuarta cuestión se esperaba que el estudiante fuese capaz de construir un elemento con unas determinadas características. Para esta construcción el estudiante necesitaba ser consciente de que el número existe y que en consecuencia puede determinarse o construirse. El análisis de los resultados desde la persp ectiva semiótica mostr ó que al gunos estudiantes tenían un pobre dominio del lenguaje. Esta deficiencia lingüstica fue un obstáculo para la interiorización y tratamiento de las operaciones elemental es así como para las interpretaciones simbólicas que formaban parte de las tareas. Por ejemplo, algunos estudiantes contestaron que M + 5 no era divisible por 10 al no ser 2 un factor de M + 5. Otros realizaron operaciones i ncorrectas. Desde la teoría APOS estas respuestas evidenciaron que la comprensi ón de la divisi bilidad y de la descomposición factorial que mostraban e stos alumnos era acción. Desde la perspe ctiva semiótica podría significar que estos estudiantes no comprendían la distinción entre u n número y sus representaciones. Igualmente desde el análisis realizado a partir de la te oría APOS se observó qu e la división eu clídea y la simplificación de las descomposiciones factoriales se tematizaban como procedimientos y no como objetos al carecer los alumnos de la necesaria comprensión conceptual. En las tres investigaciones presentadas hay consideraciones que deberemos tener en cuenta en nuestra investigación.  Los conceptos matemáticos de divisibilidad objeto de investigación y los modos de representación utilizados.  Las características de la comprensión de los conceptos de divisibilidad utilizados.
3. De igual modo Brown et al. Teorema Fundamental de la Aritmética y reglas de divisibilidad por 2. La indivisibilidad requiere de la comprensión conceptu al de la unicidad de la descomposición en factores primos de los números. Ferrari (2002) también utilizó el modo de representación algebraico. descomposición factorial. destacando el papel fundamental de la relación inversa existente entre la multiplicación y la división en la comprensión de la d ivisib ilidad como proceso. Los modos de representación que utilizaron para analizar la influencia que estos ejercían sobre la construcción de los significados po r parte de los estudiantes fueron el decimal y el factorial. Zazkis y Campbell (1996a) señalan la importancia de las operaciones de multiplicar y de dividir para la tematización de la divisibilidad. di visor. usando el . (2002) estudió el concepto de mínimo común múltip lo. los objetivos de la investigación quedan concretados en los siguientes puntos: 1. Así. (2002) y Ferrari (2002) destacan la importancia de la representación factorial y Teorema Fundamental de la Aritmética en la comprensión de los conceptos del esquema de Divisibilidad. Junto con estos conceptos Brown et al. Respecto a las car acte rísticas de la comprensión de los conceptos de divisibilidad estudiados en todas estas investigaciones se subraya que l a comprensión de los conceptos de d ivisibilidad requiere la comprensión de la d escomposición única de los números naturales como producto de factores pri mos y la conexión entre los modos de representación d ecimal y factorial de los números naturales. factores primos.del Entre los investigadores también existen discrepancias en cuanto a las características de la comprensión de los conceptos de divisibilidad estudiados.3. resultando fundamental para la encapsulación de la divisibilidad como un objeto la diferenciación entre la divisibilidad como una propiedad y la división como un procedimiento.En relación a los elementos matemáticos que han sido objeto de inve stigación. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN Los objetivos planteados en esta i nvestigación van dirigidos a profundizar en la comprensión de los alumnos de Educación Secundar ia del concepto de divisibilidad en el conj unto de los números naturales. Brown etal. Para estos autores el concepto de divisibilidad se encapsula como un objeto antes que el concepto de indivisibilidad. Según estos autores la tematización de divisibilidad demanda realizar conexiones entre los divisores (factores) y la representación decimal de los números naturales. atendiendo a las formas de conocer qu e manifiestan los alumnos y al nivel de desarrollo del esquema de Divisibilidad. 2. Desde estas orientaciones nuestra investigación se va a centrar en el estudio de la comprensión por parte de los estudiantes de secundaria de los conceptos de divisibilidad tratados en las anteriores investigaciones junto con el concepto de máximo común divisor. 5 y 9. las relaciones entre los mismos y los modos de representación (decimal y factor ial). Zazkis y Campbell (1996a) señalan la dificultad que manifiestan los estudiantes en la coordinación e inversión de los procesos de divisibilidad. Zazkis y Campbell (1996a) y Ferrari (2002) estudiaron los conceptos de múltiplo. (2002) por su parte priorizan la operación de multiplicar sobre la de dividir al intr oducir los conceptos de divisibilidad. Estudiar las formas de conocer la divisibilidad en el conjunto de los números natural es y los mecanismos que utilizan los alumnos de 12 a 17 años.
. 2. 2.marco teórico constructivista APOS. Caracterizar los niveles de desarrollo del esquema de divisibilidad en el conjunto de los números naturales en alumnos de 12 a 17 años.
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