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Módulo Nº 3: Números decimales. MATEMÁTICA Guía didáctica. 5 o - PDF
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Natalia de la Cruz Godoy
1 Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía didáctica 5 o
2 Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía didáctica NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA División de Educación General Ministerio de Educación República de Chile 2013
3 Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía Didáctica 5 o MINISTERIO DE EDUCACIÓN NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA 2013
5 MÓDULO Nº 3: NÚMEROS DECIMALES PRESENTACIÓN En el marco del mejoramiento continuo de las escuelas el Nivel de Educación Básica pone a disposición del sistema escolar una serie de módulos didácticos para apoyar la implementación curricular en diversos cursos y asignaturas de la educación básica. Los módulos didácticos constituyen un recurso pedagógico orientado a apoyar la labor de la escuela en las prácticas de planificación y evaluación escolar, modelando la implementación efectiva de las Bases Curriculares, fomentando un clima escolar favorable para el aprendizaje y monitoreando permanentemente el proceso de aprendizaje de los estudiantes. Los módulos didácticos presentan la siguiente estructura: Guía didáctica: consiste en un recurso para el docente que contiene orientaciones didácticas y propuestas de planes de clases en las que se describen actividades a realizar con las y los estudiantes para los momentos de inicio, desarrollo y cierre de clases. Además, aporta sugerencias para monitorear el aprendizaje, organizar el trabajo colectivo e individual, y recomienda tareas. Cuaderno de trabajo para el estudiante: desarrollan algunas de las actividades señaladas en los planes de clases de los docentes, y dan cuenta de una forma de presentar los desafíos y tareas pertinentes para avanzar hacia el logro de los objetivos de aprendizaje propuestos para el módulo. Evaluación: consiste en instrumentos de evaluación con sus respectivas pautas de corrección y orientaciones que evalúan los objetivos de aprendizaje desarrollados en el módulo. Cabe señalar que los módulos propuestos constituyen un modelo de implementación y no dan cuenta por sí mismos de la totalidad de los objetivos de aprendizaje propuestos para cada curso. Los materiales presentan una cobertura curricular parcial, que los(as) docentes deberán complementar con sus propias planificaciones y propuestas didácticas. De este modo a través de los recursos pedagógicos mencionados, el Nivel de Educación Básica espera contribuir a la labor de equipos de liderazgo pedagógico, docentes y estudiantes de establecimientos de educación básica en el proceso de implementación curricular en vistas al mejoramiento de la calidad de la educación. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 3
7 MÓDULO Nº 3: NÚMEROS DECIMALES DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO Este Módulo aborda objetivos de aprendizaje correspondiente a la Unidad 3 del Programa de estudio de Quinto Básico. En este Módulo se trabajan los números decimales, su estructura y relación con las fracciones decimales, las operaciones de adición y sustracción con estos números y la resolución de problemas aditivos. La construcción conceptual de números decimales se realiza a partir de las fracciones decimales, empleando como recurso la cuadrícula del Sistema de Numeración Decimal, para cuya extensión del sistema se agregan paulatinamente las posiciones décimos, centésimos y milésimos que permitirán expresar cantidades menores que la unidad. Para introducir la adición y sustracción de números decimales se usan inicialmente técnicas basadas en la descomposición de los números a partir del valor posicional de sus dígitos, luego se incorpora el uso de la cuadrícula y finalmente se aborda el algoritmo convencional. Se evalúan posibles errores y se trabaja la estimación de sumas y restas con números decimales. La resolución de problemas se trabaja con el apoyo de diagramas de barra, que permitirán a niños y niñas establecer las relaciones entre datos e incógnita y con ello, determinar la operación que los resuelve. Los objetivos de aprendizaje del currículum que se abordan en el Módulo, son los siguientes: Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10 (OA10). Comparar y ordenar decimales hasta la milésima (OA11). Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12). Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima (OA13). Los conocimientos previos que niños y niñas deben tener para abordar la unidad, tienen relación con el trabajo con fracciones, esto es: estudio de Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 5
8 MATEMÁTICA / 5 BÁSICO las fracciones a partir del modelo parte-todo y del modelo como medida; comparación y orden de fracciones, suma y resta de fracciones. La mayoría de estos contenidos han sido abordados a partir de 3 básico. Sin embargo, se espera que hayan sido estudiados con profundidad en esta misma unidad del programa. Sugerimos que cada docente incorpore de manera articulada el presente Módulo, a la planificación que haya realizado en esta parte del programa de estudio. Para alcanzar estos objetivos las tareas matemáticas que principalmente desarrollan los estudiantes son: Escribir números decimales a partir de representaciones pictóricas o fracciones decimales dadas. Relacionar números decimales y fracciones decimales. Describir el valor posicional de los dígitos en un número decimal. Comparar, ordenar e intercalar números decimales usando diversas estrategias. Establecer equivalencias entre la representación de cantidades usando números decimales, cuando se agregan ceros en las cifras decimales, por ejemplo: 2,3 y 2,30. Sumar y restar números decimales, y evaluar errores asociados a los cálculos. Resolver problemas de adición y sustracción con números decimales, y evaluar las soluciones obtenidas. Estimar el resultado de una adición o una sustracción con números decimales. Para variar el nivel de complejidad de las actividades que se abordan en el Módulo, se ha considerado el tipo de números involucrados en los problemas, los que pueden ser decimales, fracciones decimales o fracciones comunes; la cantidad de cifras decimales que presentan los números que pueden ser hasta los décimos, hasta los centésimos, hasta los milésimos. Asimismo, en las actividades se van usando registros pictóricos y simbólicos, para apoyar el desarrollo de cálculos o resolución de problemas. 6 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
9 MÓDULO Nº 3: NÚMEROS DECIMALES Por otra parte, en la resolución de problemas aditivos se han incorporado problemas simples y problemas que requieren realizar más de una operación para resolverlos. En el cálculo de adiciones y sustracciones se han graduado las técnicas desde las que se basan en una descomposición de los números hasta llegar al algoritmo convencional. La relación entre los números involucrados en los cálculos varía, presentando inicialmente sumas y restas sin reserva, y luego con reserva. Finalmente, es importante mencionar que en la unidad se trabajan las cuatro habilidades propuestas en el currículum para el aprendizaje de la matemática. La resolución de problemas no solo se aborda con el estudio de la adición y sustracción, sino también con el estudio de la comparación y orden de números decimales. Representar se aborda al establecer relaciones entre decimales y fracciones decimales, al usar registros pictóricos y otras instancias. La modelización viene de la mano de la resolución de problemas, incorporando el uso de diagramas como paso previo a establecer la frase numérica que permite llegar a solucionar un problema. Argumentar y comunicar se trabaja durante toda la unidad, y para hacerlo explícito, se han incorporado secciones en que niños y niñas deben escribir estrategias y conclusiones relacionadas con los contenidos abordados en algunas de las clases. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 7
10 Programación Módulo 3 Matemática 5º Básico CLASE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE BCEB INDICADORES DE EVALUACIÓN 1 Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10 (OA10). Escriben el decimal que corresponde a una representación pictórica de una parte de una superficie en cuadrículas, de ángulos en círculos, de una parte de una superficie en círculos y de una parte de la recta numérica. Describen el valor de cada cifra en un decimal dado. 2 Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10 (OA10). Escriben el decimal que corresponde a una representación pictórica de una parte de una superficie en cuadrículas, de ángulos en círculos, de una parte de una superficie en círculos y de una parte de la recta numérica. Describen el valor de cada cifra en un decimal dado. Expresan una representación pictórica en forma decimal y fraccionaria. 3 Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10 (OA10). Representan de manera pictórica decimales asociados a fracciones de denominador 2, 4, 5 y 10. Por ejemplo, representan los decimales asociados a las fracciones 1/2, 1/4 y 2/5 de manera pictórica. Escriben en forma de decimal números dados en forma fraccionaria con denominadores 2, 4, 5 y Comparar y ordenar decimales hasta la milésima (OA11). Ordenan decimales hasta la cifra de las décimas en la recta numérica. Ordenan números decimales, aplicando la estrategia del valor posicional. 5 Comparar y ordenar decimales hasta la milésima (OA11). Explican por qué son iguales los decimales cuyas cifras de las décimas son iguales y distintas de cero, y cuyas cifras de las centésimas y milésimas son cero. Por ejemplo, por qué son iguales 0,4; 0,40; 0,400 Ordenan números decimales, aplicando la estrategia del valor posicional. 8 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
11 EJEMPLOS DE PREGUNTAS REFERENCIAS AL TEXTO ESCOLAR REFERENCIA A OTROS RECURSOS Considera que el rectángulo corresponde a 1 unidad. El decimal que corresponde a la parte pintada en la figura es: A. 8,2 B. 2,8 C. 0,8 D. 0,2 Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Interactivo que aborda la extensión del sistema de numeración decimal a las posiciones decimales: averroes/carambolo/web%20 JCLIC2/Agrega/Matematicas/ Fraccion_y_numero_decimal- CONTENIDOS/contenido/mt10_ oa04_es/index.html El valor del dígito subrayado en el número decimal 54, 017 es: A B C. 1 D. 10 El número decimal 5 que corresponde a la fracción 4 es: A. 5,4 B. 4,5 C. 1,25 D. 0,25 Un número mayor que 0,53 y menor que 0,54 es: A. 0,5 B. 0,513 C. 0,531 D. 0,530 Un número decimal que representa la misma cantidad que 2,3 es: A. 0,23 B. 2,30 C. 2,03 D. 23,0 Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Interactivo que aborda la extensión del sistema de numeración decimal a las posiciones decimales: digitales/odas_matematicas/11_ interpretando_cifras_decimales/ LearningObject/index.html Página web que contiene pequeños test interactivos sobre el valor posicional en números decimales: decimales/decima01.htm Página web con recursos interactivos para el estudio de los números decimales: com/p/numeros-decimales.html Página web con recursos interactivos para el estudio de los números decimales: com/p/numeros-decimales.html Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 9
12 CLASE OBJETIVOS DE APRENDIZAJE BCEB INDICADORES DE EVALUACIÓN 6 Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12). Explican por qué se debe mantener la posición de las cifras decimales en sumas y restas de decimales. 7 Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12). Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima (OA13). Resuelven problemas que involucran adiciones y sustracciones de fracciones hasta el centésimo. Resuelven problemas que involucran adiciones y sustracciones de decimales hasta el centésimo. 8 Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12). Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima (OA13). Corrigen errores en la ubicación de decimales en sumas y restas de ellos. Por ejemplo, ubican de manera correcta las cifras de las décimas y centésimas en sumas y restas de decimales. Evalúan las soluciones de los problemas en función del contexto. 9 Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima (OA12). Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima (OA13). Usan estrategias de estimación para predecir sumas y restas de decimales. Distinguen entre problemas rutinarios y no rutinarios que involucran fracciones o decimales y dan ejemplos de cada uno de ellos. 10 Prueba del Módulo. Todos los indicadores del Módulo. 11 Reforzamiento. Todos los indicadores del Módulo. 10 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
13 EJEMPLOS DE PREGUNTAS REFERENCIAS AL TEXTO ESCOLAR REFERENCIA A OTROS RECURSOS El resultado de 3,4 + 1,53 es: A. 4,57 B. 1,87 C. 4,93 D. 1,97 Luis mide 1,45 metros. Él mide 0,3 metros menos que su hermana Sofía. Cuánto mide Sofía? A. 1,15 m B. 1,42 m C. 1,48 m D. 1,75 m Carlos suma 2,3 + 0,12 y obtiene 2,15. Cuál es el error de Carlos? A. No considerar la reserva de B. Sumar sin considerar la posición de dígitos. C. No poner bien la coma en el resultado. D. No poner un cero al final del resultado. Una buena estimación para el resultado de la resta 19,98 10,001 es: A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Revise las actividades que corresponden a los contenidos abordados en la clase. Interactivos de suma y resta: decimales/decima04.htm Resolución de problemas con números decimales: LObjects/summ_decimals/index.html Página web con preguntas sobre errores en la suma de números decimales: decimales/decima03.htm Animación sobre redondeo de números decimales: eos/materialeseducativos/ mem2008/visualizador_decimales/ aproximaciondecimales.html Ejercicios con números decimales: org/educacion/3/webc/eltanque/ pizarradigital/numdec5/ actividades_p.html Autoevaluación números decimales: net/5ep_mate_cas_ud6_ Autoevaluacion_1.html Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 11
14 PLAN DE CLASE Nº 1 Tiempo: 90 minutos Objetivos de aprendizaje: Escribir decimales presentados en forma pictórica en una cuadrícula del Sistema de Numeración Decimal. INICIO / 15 minutos La Actividad 1 busca activar los conocimientos previos relacionados con el estudio de fracciones decimales, en particular, de los décimos. Pida que la desarrollen en forma individual, ya que así podrá observar quiénes aún tienen dificultades para comprender este tipo de fracciones y apoyarlos antes de estudiar los contenidos propuestos para el resto de la unidad. En la parte a) deben producir la fracción 10 1 sobre una barra dibujada en el cuaderno de matemática. Se espera que midan, con su regla, la longitud de la barra (10 centímetros) y la dividan en 10 partes de igual tamaño. Luego se pide que corten un trozo de papel (o cartulina) del mismo tamaño de la parte pintada y dibujen en su cuaderno, usando este trozo, una barra igual a la inicial. Plantee preguntas que permitan a los estudiantes retomar la definición de 10 1 como: Cuántas veces iteraron el trozo de papel para formar la barra? Qué parte de la barra que dibujaron corresponde al trozo de papel? 1 Destaque con sus estudiantes que la fracción 10 representa una cantidad de medida que al iterarla 10 veces permite formar una unidad. En la parte b) deben formar otras fracciones sobre barras, usando una pieza similar a la que debieron haber formado en la parte a). Así, para formar 10 7 deben iterar 7 veces el trozo P, y para formar 12 deben iterarlo veces. En esta última fracción que formaron, es importante destacar que como el numerador es mayor que 10, se forma 1 barra completa y dos partes de una segunda barra. Se espera que concluyan que las fracciones del tipo a 10 corresponde a a veces El uso de distintas representaciones para trabajar con fracciones (concretas, pictóricas y simbólicas) permite desarrollar habilidades como representar. Además, es una buena herramienta para comprender de forma efectiva la noción de fracción. DESARROLLO / 55 minutos Invite a desarrollar la Actividad 2, que propone una situación en que deben recordar la estructura del sistema de numeración decimal estudiado en cursos anteriores. Para ello se plantea que Claudio representa el número 23 a partir de palos de helados que agrupa de 10, dejando 3 sueltos. Se espera que concluyan que 1 decena de objetos está formada por 10 unidades de dicho objeto, 1 centena por 10 decenas, una unidad de 1000 por 10 centenas. Se pide que escriban una conclusión respecto a las relaciones de las posiciones en el sistema de numeración decimal. Pida que escriban esta conclusión en sus cuadernos de trabajo, usando sus propias palabras. Una vez que la mayoría de las parejas haya escrito sus conclusiones, comparta con todo el curso sus respuestas y genere en conjunto una conclusión común. 12 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
15 Destaque que: Las posiciones del sistema de numeración decimal se relacionan de 10 en 10. Si consideramos 1 unidad, para formar la siguiente posición, 10 decenas, se agrupan 10 unidades. Luego, para formar la siguiente posición se agrupan 10 decenas. En forma inversa, 1 decena se puede descomponer en 10 unidades, 1 centena en 10 decenas, etc. La segunda parte tiene el propósito de introducir los décimos como una nueva posición en el sistema de numeración. Para ello, se les pide representar en la cuadrícula una barra y un trozo equivalente a A continuación de las unidades se ha dejado una posición en blanco, y se espera que en ella introduzcan esta nueva posición. Dé un tiempo para que, en parejas, establezcan conclusiones sobre cómo representar la barra y el trozo de barra en la cuadrícula. Oriente señalando que la posición que se agregue debe seguir cumpliendo con la relación que existe entre las posiciones del sistema de numeración; como con 10 unidades se forma 1 decena, con 10 de esta posición se debe formar 1 unidad. Por el trabajo previo realizado con fracciones decimales, se espera que sean los mismos estudiantes quienes concluyan que el valor de esta nueva posición es Lea con ellos la información que aparece al final de la actividad, que le puede servir como guía para sistematizar los contenidos abordados hasta el momento. La Actividad 3 tiene 4 partes. En la primera deben completar información para sistematizar los contenidos abordados en la actividad anterior. En la segunda parte se espera que escriban sobre una cuadrícula cantidades representadas usando barras. Sin embargo, esta vez las cuadrículas vienen vacías, por tanto también deberán completar el valor de posición en ellas. La tercera parte propone otras figuras, esta vez con mallas divididas en 100 partes, lo que les permitirá representar centésimos. En la última parte las fracciones que deben representar están dadas en forma simbólica, de tal manera que al representar, por ejemplo, deberán fijarse 1000 en el denominador de la fracción. Es probable que algunos estudiantes tengan dificultades para representar ya que el numerador es mayor que el denominador. En este caso es conveniente que descompongan la fracción de la forma: = = Entonces, podrán ver claramente la forma de ubicarla en la cuadrícula. Motive a sus estudiantes a argumentar las conclusiones que elaboren al ir desarrollando la actividad. Es importante que usen los conocimientos previos y conecten nociones y conceptos matemáticos para elaborar sus argumentos. CIERRE / 15 minutos Destaque con sus estudiantes que: En el Sistema de Numeración Decimal, las posiciones se relacionan de 10 en 10, por ejemplo 10 unidades forman 1 decena. Este sistema se puede extender agregando posiciones a la derecha que nos permitan expresar cantidades menores que la unidad. Para ello, la primera posición que se agrega son los décimos, que cumplen con la regularidad de que 10 décimos forman 1 unidad. Luego se agregan los centésimos, milésimos, etc., todos manteniendo la relación de 10 en 10. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Cuántos centésimos forman 1 unidad? Explica tu respuesta. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 13
16 PLAN DE CLASE Nº 2 Tiempo: 90 minutos Objetivos de aprendizaje: Representar el decimal que corresponde a una figura dada y viceversa, y explicar el valor de posición de los dígitos en un número decimal. INICIO / 15 minutos Revise la tarea. En la clase anterior las relaciones que se abordaron entre una posición de un dígito y otra siempre se hicieron considerando posiciones consecutivas. Con la tarea, se espera que establezcan también otras relaciones. Para ello se pueden apoyar en una malla con 100 cuadrados, como las vistas en la clase anterior. Si el cuadrado corresponde a 1 unidad, y cada cuadrado pequeño a 1 se puede establecer directamente que 100 centésimos 100 corresponde a 1 unidad. Aproveche la instancia de revisión de la tarea para recordar los contenidos abordados en la clase anterior. Además, puede pedir que establezcan otras relaciones entre las posiciones del sistema de numeración, por ejemplo: Cuántos milésimos forman 1 unidad? Cuántos décimos forman una decena? Etc. DESARROLLO / 55 minutos Desarrollan la Actividad 1, que tiene el propósito de introducir la notación decimal a partir de la cuadrícula que han venido usando desde la clase anterior. Comprender el rol de la coma es fundamental, ya que puede evitar errores que se generan al comparar o sumar números decimales. Para ello se propone una situación en que Camila escribe la representación de una fracción en una cuadrícula (esta vez usando figuras circulares), y luego señala que corresponde a 1,4. Invite a los estudiantes a leer la situación y responder las preguntas que aparecen a continuación. Es importante orientar a los estudiantes para que concluyan que la representación que hizo Camila corresponde a 1 unidad y 4 décimos. Si se representa en cifras dicha cantidad, podría escribirse como 14 estableciendo una confusión pues para ello se necesitarían 14 unidades y la figura solo muestra 1 completa. Destaque con los estudiantes que: la coma es un signo que permite escribir números decimales. Con este signo se identifica dónde está la posición de las unidades, ya que siempre se coloca a la derecha de esta posición. De esta forma se evitan confusiones en la escritura, ya que se establece claramente la diferencia entre cantidades como 13 y 1,3, donde la primera corresponde a 13 unidades y la segunda a 1 unidad y 3 décimos. A continuación en esta misma actividad se proponen tres situaciones en que deben escribir la cantidad pintada en figuras como fracciones y como números decimales. Para ello se ha incluido además una cuadrícula en blanco que permitirá apoyar a quienes aún tienen dificultades para comprender la relación de representación entre estos tipos de números. La Actividad 2 parte sistematizando los contenidos abordados hasta el momento en la clase, invite a leer esta información y reflexione con su curso acerca de las formas de representar una cantidad menor que 1 unidad. Estas representaciones son: como fracción o como número decimal. La cuadrícula que se incluye es un buen dispositivo para explicar estas relaciones. 14 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
17 La parte a) es similar a la anterior, y deben escribir como fracción y como decimal la parte pintada de una figura, pero esta vez no tendrán el apoyo de la cuadrícula. La parte b) propone una tarea distinta, que es ubicar números decimales en una recta numérica. En el primer caso el segmento de la recta que se muestra es de 0 a 1, por tanto deben ubicar décimos. En el segundo caso es de 0 a 10 1, por tanto los puntos que se representan con las marcas corresponden a centésimos. Y en el último el 1 segmento va de 0 a 100, por tanto deberán identificar milésimos. La Actividad 3 propone cuatro tipos de tareas. En la primera se dan fracciones decimales y se espera que las escriban como números decimales. En la segunda parte aparecen varios números decimales que tienen marcado uno de sus dígitos y se pide determinar el valor de dichos dígitos según la posición en que se encuentran, así por ejemplo: 653,5242 corresponde a En la parte c) se propone descomponer números decimales, según el valor posicional de los dígitos, por ejemplo: 0,63 se descompone como La parte d) propone dos problemas en que se ponen en juego los contenidos abordados en la clase. El primero corresponde a un problema en que deben identificar el número decimal que corresponde a una fracción decimal dada. En el segundo, se espera que comparen dos cantidades, una expresada usando fracciones decimales y la otra usando números decimales. Si bien la comparación y orden es un tema que se abordará en clases posteriores, se espera que escriban ambas cantidades como fracción y luego comparen. CIERRE / 15 minutos Destaque que: Los números decimales, al igual que las fracciones, permiten expresar cantidades menores que la unidad. Para representar cantidades a través de los números decimales, se utiliza una coma que separa la parte entera de un número de la parte decimal. De esta forma se evitan errores de escritura. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Indicar el valor del dígito 5 en cada uno de los siguientes números: 3,45 54,6 0,5 13,765 En la siguiente clase revisen la tarea Resguarde que expliquen las relaciones entre las distintas formas de representación de fracciones decimales y números decimales que se han visto en la clase. De esta forma podrán comprender el significado y estructura de los números decimales, fundamental para estudiar más adelante las operaciones entre estos números. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 15
18 PLAN DE CLASE Nº 3 Tiempo: 90 minutos Objetivos de aprendizaje: Escribir como números decimales fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10. INICIO / 15 minutos Revise la tarea de la clase anterior. Retome con sus estudiantes el valor posicional de los dígitos en un número decimal. Es importante destacar que si bien el dígito en los distintos números es el mismo, como se encuentra en posiciones distintas, su valor varía dependiendo de dichas posiciones. Por ejemplo, en el número 3,45 el 5 tiene un valor de 5 centésimos, mientras que en el número 54,6 el 5 corresponde a 5 decenas, es decir, a 50. Pida que justifiquen sus respuestas al revisar la tarea. Puede apoyarse en el uso de una cuadrícula para orientar a quienes respondieron de forma incorrecta la tarea. Contrastar los procedimientos de las y los estudiantes es una estrategia eficaz para que se den cuenta de sus errores. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 plantea una situación en que Jorge y Beatriz, usando fracciones y decimales, representaron la parte pintada en una figura. Las respuestas que dieron son las siguientes: Respuesta de Jorge Respuesta de Beatriz 5 10 = 0,5 Invite a observar estas respuestas y a contestar las preguntas que aparecen a continuación. Es importante generar una discusión en el curso, ya que algunos señalarán que la respuesta de Beatriz es incorrecta, pues el entero está dividido en 10 partes de igual tamaño. Pregunte: Las partes pintadas cubren la mitad del entero? Entonces 1 2 y 5 representan la misma cantidad? 10 Pida que lean la información que aparece después de la actividad y destaque que las fracciones permiten representar la misma cantidad de varias formas distintas usando fracciones equivalentes ; es así como 1 es equivalente a de una misma unidad. Por esa razón las fracciones decimales no siempre aparecen escritas con denominadores 10, 100, 1000, etc., sino que pueden aparecer otros números en el denominador. Pida que realicen la parte a) en parejas, que busca que reconozcan los denominadores de fracciones que permiten obtener números decimales. Se espera que concluyan que 1 2 y 1 5 se pueden escribir como fracción decimal, es decir, 1 2 como 10 5 y como, porque ambos pares de fracciones son equivalentes. 10 Es importante destacar que si bien se observa solo el denominador de la fracción para determinar si corresponde a una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.), para obtener una fracción equivalente con denominador 10, se debe multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción por un mismo número. Ejemplo, = Para marcar las fracciones decimales que aparecen en las tarjetas, se espera que usen el procedimiento que se basa en el análisis de los denominadores de la fracción. Así, si el denominador es 2 o 5 pueden decir directamente que es decimal, ya que bastará multiplicar por 5 o 2 respectivamente para obtener la fracción equivalente con denominador / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica 1 2 = 0,5
19 En la parte b) se realiza un trabajo similar, pero esta vez deben determinar las fracciones que se pueden escribir con denominador 100. En este caso, los denominadores de las fracciones deben ser 4 o 2, 5 y 10 que, como ya se sabe, se pueden representar con denominador 10, por tanto, también se podrá representar con denominador 100, ya que solo basta amplificar por 10 el numerador y denominador de la fracción ya escrita de la forma a 10. En la Actividad 2 se pide que representen como número decimal la parte pintada de figuras, pero a diferencia de clases anteriores, las figuras están divididas en 2, 4, 5 o 10 partes iguales. Se espera que reconozcan primero la fracción común correspondiente, la representen como fracción decimal y luego como número decimal D U d 7 c 5 En la parte b) la tarea cambia y se pide representar pictóricamente números decimales dados, como 0,75. Un procedimiento que se espera que utilicen es escribir el decimal como fracción decimal y luego, como fracción irreductible. De esta forma, el proceso de reflexión de niños y niñas en esta parte es inverso al que muestra la figura anterior. La parte c) propone 4 fracciones presentadas en forma simbólica, que deben escribir como número decimal. Pida justificar y explicar las representaciones que realizan para los decimales de la parte b). De esta forma deberán explicitar las relaciones entre fracciones comunes y números decimales. CIERRE / 15 minutos Destaque que: Las fracciones decimales no siempre aparecen escritas con denominador 10, 100, 1000 etc., ya que pueden estar presentadas con fracciones equivalentes a ellas que tienen denominadores 2, 4, 5. Por lo anterior, las fracciones con denominador 2, 4, 5, también se pueden representar como un número decimal. Por ejemplo, las fracciones comunes como 1 2 = 0,5; 1 4 = 0,25; 3 4 = 0,75. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos 6 Escribir la fracción 5 y 3 2 como número decimal. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 17
20 PLAN DE CLASE Nº 4 Tiempo: 90 minutos Objetivos de aprendizaje: Comparar y ordenar números decimales hasta la centésima. INICIO / 15 minutos Revise la tarea de la clase anterior. Invite a uno o más estudiantes a la pizarra a compartir sus respuestas. Es probable que algunos niños o niñas hayan tenido dificultades para escribir 3 como número decimal. En dichos 2 casos, descomponer la fracción permite determinar con mayor facilidad el decimal que corresponde. Al momento de revisar la tarea recoja todos los procedimientos que pueden haber surgido, contraste dichos procedimientos destacando aquellos que son más eficientes para escribir una fracción como un número decimal. DESARROLLO / 55 minutos Invite a desarrollar la Actividad 1, que plantea una situación en el contexto de una carrera de atletismo en que se muestra el recorrido que han realizado tres corredores en un instante de la competencia. Las distancias recorridas se entregan a través de fracciones decimales, con el propósito de que los estudiantes las ordenen en una recta numérica. Dé un tiempo para que ubiquen las fracciones en la recta numérica y luego revise en conjunto sus respuestas. Destaque que: la recta numérica es un recurso que nos permite visualizar en forma ordenada números enteros, fracciones y, más adelante, números decimales. Al ubicar las fracciones decimales en la recta podemos saber directamente cuál es mayor o menor entre ellas. La parte b) tiene el propósito de que representen las fracciones decimales, correspondientes al recorrido de los tres corredores, como números decimales. Se sugiere que la desarrollen en forma individual, de esta forma podrá observar quiénes aún tienen dificultades para representar fracciones decimales como números decimales. Si observa que hay niños o niñas con dificultades para desarrollar la tarea, se sugiere el uso de la cuadrícula del sistema de numeración decimal para establecer las relaciones entre estos dos tipos de números. Una vez que la mayoría haya completado la tabla, invite a representar estos números decimales en la recta numérica y escribir una estrategia que les permita comparar los decimales prescindiendo de la recta. Es importante destacar que al escribir la estrategia sus estudiantes estarán desarrollando la habilidad de argumentar y comunicar su pensamiento matemático. Concluya con los estudiantes que: para comparar y ordenar décimos se deben observar los dígitos que se encuentran en esta posición, y establecer que mientras mayor es el dígito, el número es mayor y expresa una mayor cantidad. La Actividad 2 propone dos ejercicios en que deben ordenar números decimales (hasta los décimos) utilizando una recta numérica. Se espera que ubiquen estos números en la recta y, a partir de esta representación de los números, los escriban ordenados de menor a mayor. En la parte a) los decimales que deben ordenar están entre 0 y 2, y la recta contiene marcas con una escala de 0,2. Este último aspecto podría traer dificultades a los estudiantes, por ejemplo, podrían presentar errores al ubicar algunos de estos números, como ubicar el 0,9 de la siguiente forma: 0 1 0, / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
21 Este error se debe principalmente a que cuentan las marcas de la recta de 1 en 1, y asumen que la escala es 0,1 (de esta forma cuentan 9 marcas para ubicar el 0,9). Frente a este tipo de errores pregunte: 9 décimos es más que 1 unidad? Si no es menor a una unidad, puede estar ubicado más allá del 1 en la recta? En la parte b) la tarea es similar, pero esta vez los números dados están entre 5 y 7, y en la recta no aparecen marcados los extremos. Observe si son capaces de establecer que para ubicar los decimales pueden considerar solo un intervalo de la recta. Es probable que muchos estudiantes comiencen ubicando el 0, en dicho caso la escala deberá ser al menos 0,5. Oriéntelos para que consideren solo el intervalo entre 5 y 7 al ubicar los números en la recta. La última parte de la actividad incluye una sección Lee con atención que busca que escriban los números que ordenaron anteriormente usando la recta en una cuadrícula del sistema de numeración decimal. Invite a responder las preguntas y establezca con ellos que: para ordenar números decimales hasta los décimos, es importante observar primero la posición de las unidades y luego la posición de los décimos, comparando los dígitos en cada posición. Si bien con la última parte de la Actividad 2 hay un acercamiento a establecer una forma de comparar y ordenar números decimales a partir de la noción valor posicional, la Actividad 3 tiene el propósito de que construyan una estrategia basada en el valor posicional para comparar números decimales. Motive a los estudiantes a leer la parte a) en parejas, y responder las indicaciones que aparecen en ella. La primera parte muestra dos respuestas, de Lucía y Alejandro, para comparar los números 0,37 y 0,19. La respuesta de Alejandro no es correcta, ya que él mira solo la posición de los centésimos para comparar los decimales, mientras que Lucía lo hace correctamente y comienza comparando los décimos. El error que se grafica en la actividad es habitual entre los estudiantes, pues suman, restan y multiplican partiendo por el dígito en la posición de menor valor y, por ende, les resulta natural partir comparando también por esta posición. Invítelos a representar en forma pictórica ambos decimales y a comparar las partes pintadas. Una vez que la mayoría haya sacado sus conclusiones acerca de la forma de comparar decimales, genere un momento de reflexión. Destaque con ellos que: para comparar números decimales, al igual que como en los números enteros, se debe partir comparando los dígitos de la posición de mayor valor, es decir, se debe comenzar comparando por las cifras que están a la izquierda. Para terminar la clase, pida que ordenen el primer grupo de decimales de la parte b), y revise sus respuestas en el momento de cierre. Al representar pictóricamente los números decimales que se comparan en la primera parte de la actividad 3, los estudiantes podrán determinar visualmente cuál de ellos es mayor, y establecer que para comparar números decimales se debe comenzar por la posición de mayor valor. Usar distintos tipos de registro en el aprendizaje de la matemática (en este caso pictórico y simbólico) permite que niños y niñas vayan desarrollando habilidades como representar. CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: La recta numérica es un recurso que permite representar números decimales y fracciones en forma ordenada, es decir, a partir de esta representación se puede establecer directamente cuándo un número decimal o una fracción es mayor o menor que otra. Para comparar números decimales se debe comenzar comparando las cifras de izquierda a derecha, es decir, de la posición que tiene un mayor valor. Revise la parte b) como ejemplo. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Ordenar el segundo grupo de decimales de la parte b) de la Actividad 3. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 19
22 PLAN DE CLASE Nº 5 Tiempo: 90 minutos Objetivos de aprendizaje: Explicar la igualdad entre decimales cuyas cifras de las décimas son iguales y distintas de cero, y cuyas cifras de las centésimas y milésimas son cero. INICIO / 15 minutos Revise la tarea de la clase anterior. En esta clase se retomará el estudio de un algoritmo que permita comparar y ordenar números decimales a partir de la noción de valor posicional. Por lo anterior, es importante que al revisar la tarea se aborden los contenidos vistos en la clase anterior. Destaque que para ordenar los números decimales como los del ejercicio de tarea (hasta los décimos) debemos comparar primero el dígito de la posición de las unidades; si son iguales, comparar los dígitos en la posición de los décimos. DESARROLLO / 55 minutos La Actividad 1 tiene cuatro partes; con el propósito de construir en conjunto con los estudiantes una estrategia basada en la noción de valor posicional para comparar números decimales, se sugiere que sea trabajada en parejas. En la parte a) se espera que recuerden la estrategia que usaban para comparar números enteros (en particular de tres cifras); para ello se presentan dos números sobre la cuadrícula del sistema de numeración decimal y se entrega la descripción de cómo compararlos. Luego se hacen dos preguntas que permitirán que reflexionen por qué se comienza comparando por la posición de mayor valor. Es importante destacar la estrategia para comparar números enteros, haciendo énfasis en que no es posible partir por cualquier cifra comparando los dígitos que conforman los números, sino que siempre se debe hacer por la de mayor valor. En la parte b) se entregan dos números decimales (con cifras hasta los centésimos) y una cuadrícula del sistema de numeración decimal vacía. Se espera que niños y niñas escriban ambos números sobre la cuadrícula y a partir de ella comparen estas dos cantidades. Destaque que: para comparar dos números decimales debemos comparar los dígitos que corresponden a la misma posición, partiendo siempre por la posición de mayor valor. Si en dicha posición los dígitos son iguales seguimos comparando la posición inmediatamente menor, y así sucesivamente. En la parte c) aparecen dos grupos con números decimales que se espera que comparen usando la estrategia sistematizada en la actividad anterior. Si observa que aún hay estudiantes con dificultades para comparar y ordenar números decimales, disponga de cuadrículas que les permitan ordenar los números según el valor posicional de los dígitos antes de compararlos. Es probable que tengan dificultades al comparar: 0,56 y 0,506, ya que como ambos tienen igual parte entera (un 0 en las unidades) los estudiantes tienden a comparar la parte decimal como si fuera un número separado del anterior y en dicho caso 506 > 56. Contrastar las respuestas y procedimientos puede ser una buena forma para que ellos mismos corrijan sus errores. En la parte d) cambia la tarea y se pide intercalar un decimal entro otros dos dados, por ejemplo: entre 3,4 y 3,5. Para desarrollar este tipo de tarea, una forma eficaz de encontrar uno o más números que estén entre ellos, es ubicando dichos números sobre la cuadrícula del sistema de numeración; de esta forma se puede ver fácilmente que al agregar cifras decimales (en este caso llegando hasta los centésimos) se pueden definir varios decimales entre ellos dos. 20 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
23 Destaque con los estudiantes que: en los números decimales el concepto de antecesor o sucesor no tiene sentido. Por ejemplo, si dijéramos que 3,5 es sucesor de 3,4 el número 3,41 podría ser también el sucesor de 3,4?, y el 3,401?, y el 3,4001?... Es así que la noción de sucesor no tiene sentido en este conjunto, pues tendríamos infinitos sucesores para cada decimal. La Actividad 2 tiene el propósito de estudiar equivalencias en la representación de números decimales, es decir, que los estudiantes establezcan que 2,3 = 2,30. Para ello, se presenta el razonamiento de un niño que señala que 1,40 > 1,4, pues 40 >4. Es probable que este error haya sido observado en alguno de sus estudiantes al desarrollar la parte c) de la actividad anterior. En dicho caso esta es una buena oportunidad para retomar el análisis de la situación. Desarrollan esta Actividad en parejas y discuten sobre el razonamiento de Claudio; luego representan ambos números en mallas de cuadrados de 10 x 10. Una vez que la mayoría haya desarrollado esta parte, invítelos a reflexionar en conjunto acerca de que al representar la parte que corresponde a cada número decimal en la malla, es fácil darse cuenta que corresponden a la misma cantidad (40 centésimos es equivalente a 4 décimos) y por tanto hay dos formas de representar. Pregunte: En qué se diferencian estas dos formas de representación? Será lo mismo que 1,400? Para qué servirá distinguirlas? Invite a sus estudiantes a leer la información que aparece a continuación, en la que se abordan estas equivalencias y se establece la utilidad de distinguir 3,5 y 3,50 en la medición de cantidades. La parte b) propone una situación para que puedan medir con diferentes precisiones una cinta que aparece en el Cuaderno de trabajo. Para realizar esta parte necesitarán contar con una regla graduada en centímetros y milímetros. Se espera que registren sus respuestas de la siguiente forma: Al medir solo hasta los centímetros, se deben fijar en las líneas de mayor longitud (pues esa es la precisión que están usando) y escribir 6 cm. Al medir hasta los décimos de centímetro, deben fijarse en las líneas de mayor y menor longitud, y escribir 6,0 cm, pues la precisión que están usando es hasta el décimo. La Actividad 3 propone 4 ejercicios relacionados con comparar y ordenar números decimales, intercalar un número decimal entre dos dados y establecer equivalencias entre las formas de representar una cantidad usando números decimales. Invite a desarrollar la actividad hasta la parte c), y revise en conjunto sus respuestas. Al revisar las respuestas contraste los distintos procedimientos que pueden haber surgido para ordenar e intercalar números decimales. El uso de la cuadrícula del sistema de numeración decimal puede ser un dispositivo eficaz para guiar a aquellos estudiantes que muestren dificultades. CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: Para comparar números decimales se debe comenzar comparando las cifras de izquierda a derecha, es decir, de la posición que tiene un mayor valor. Al agregar 0 en las cifras decimales de un número decimal dado, las cantidades representadas son equivalentes en cuanto a la medida que representan, por ejemplo, 4,10 es equivalente con 4,100. Sin embargo, en el contexto de la medición están expresando que dicha medición se realizó con distinta precisión: la primera hasta el centésimo de unidad y la segunda hasta el milésimo de unidad. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Resolver la parte d) de la Actividad 3. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 21
24 PLAN DE CLASE Nº 6 Tiempo: 90 minutos Objetivos de aprendizaje: Calcular sumas y restas con números decimales explicando por qué se debe mantener la posición de las cifras decimales. INICIO / 15 minutos Revise la tarea de la clase anterior. En el problema de la parte d) se pone en juego la equivalencia entre la escritura de números decimales. Destaque con ellos que si bien 10,7 cm y 10,70 cm están expresando la misma cantidad (porque en ambos casos se refiere a cuánto creció la planta hasta el día 20 del experimento), en el primer caso la precisión con que se midió el crecimiento es hasta el décimo de centímetro, en el segundo caso es hasta el centésimo de centímetro. Aproveche la revisión de la tarea dada en la clase anterior para generar un momento de reflexión con los estudiantes en torno a que a veces es importante considerar una mayor precisión a la hora de medir, por ejemplo, cuando se está desarrollando un experimento. Sin embargo, si se quiere medir la estatura de una persona, tener una precisión hasta el centésimo de centímetro no sería eficaz, ya que es una unidad tan pequeña que para el ojo humano es poco probable de utilizar. DESARROLLO / 55 minutos Desarrollan la Actividad 1, que presenta dos procedimientos (de Carolina y Matías), quienes resuelven el cálculo 23,7 + 12,13. La respuesta de Carolina presenta un error, ya que suma por separado las cifras enteras de las cifras decimales, sin considerar el valor posicional de cada una, lo que hace que el resultado obtenido sea incorrecto. Este error es frecuente cuando los estudiantes comienzan a sumar números decimales; por ejemplo, suman = 35 y por separado = 20, lo que genera que hayan agregado a los 3 centésimos del segundo sumando 7 décimos. Dé un tiempo para que analicen y discutan los procedimientos en parejas y luego genere un momento de discusión para que comenten sus respuestas. En este momento de la clase no es necesario que sistematicen la forma correcta de sumar decimales, ya que se espera que con el resto de las actividades de la clase la construyan. A continuación se presenta la misma suma, pero con los números decimales descompuestos en fracciones decimales; con ello se pretende que calculen sumando por separado los múltiplos de 10, los dígitos, las fracciones con denominador 10 y las fracciones con denominador 100: 23, ,13 = ( ) + (3 + 2) + ( ) = El resultado que se obtiene al sumar los números de esta forma permite establecer directamente que el resultado es 35,83, ya que basta con componer a partir de la noción de valor posicional el decimal que corresponde al resultado. Es importante destacar que: al descomponer los números decimales según el valor posicional de sus dígitos, se puede establecer que para sumarlos se consideran decenas con decenas, unidades con unidades, décimos con décimos y centésimos con centésimos. La parte b) propone la descomposición de los mismos números, pero esta vez usando notación decimal. De esta forma se espera que sumen los números decimales de la siguiente forma: 23,7 + 12,13 = ( ) + (3 + 2) + (0,7 + 0,1) + 0,03 = ,8 + 0,03 22 / Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica
25 Nuevamente, para obtener el resultado de la suma basta con componer el número decimal que resulta. Destaque que para sumar ambos decimales es necesario sumar los dígitos correspondientes a cada posición del sistema de numeración. La parte c) propone sumar ambos números, pero esta vez apoyados con la cuadrícula del sistema de numeración decimal. Como en la actividad no se señala la forma de sumar con la cuadrícula, oriente para que deduzcan que como se suman los dígitos de la misma posición (según lo realizado en a) y b), al utilizar la cuadrícula deben sumar los dígitos por posición en forma vertical. Invite a buscar una forma para calcular 3,45 2,1. Pueden seguir los mismos pasos realizados en la suma, esto es: primero sumar descomponiendo en fracciones decimales, luego en notación decimal y finalmente, usando la cuadrícula. La Actividad 2 propone varios ejercicios de suma y resta que se espera resuelvan usando procedimientos basados en una descomposición de los números según el valor posicional de sus dígitos, ya sea usando fracciones decimales o notación decimal. Se sugiere que esta actividad la desarrollen en parejas, guiándose por los ejemplos. La Actividad 3 tiene el propósito de sistematizar el algoritmo para sumar y restar números decimales. Invite a leer en parejas la información y luego genere un ambiente de reflexión en torno a los ejemplos. Destaque que: para sumar o restar decimales se requiere hacerlo en forma ordenada considerando el valor de posición de los dígitos que conforman los números. Un dispositivo que permite esto es la cuadrícula. Sin embargo, basta con escribir en forma ordenada y alineando ambos números según las posiciones del sistema de numeración para efectuar la suma o la resta. Una forma de alinear los números es a través de la coma, que en cualquier número decimal indica que a la izquierda de ella está la posición de las unidades. Al momento de sistematizar el algoritmo de la adición y sustracción de números decimales, se sugiere recordar la forma en que sumaban números enteros. Los números decimales son una extensión del sistema de numeración decimal que permite representar los números naturales, por lo que activar sus conocimientos previos puede resultar un apoyo para la comprensión. CIERRE / 15 minutos Destaque con los estudiantes que: Los números decimales se pueden descomponer como suma de otros usando fracciones decimales o notación decimal. Este proceso permite efectuar la suma o resta entre dos números decimales. Para sumar o restar decimales se deben escribir en forma ordenada los números que corresponden al cálculo a realizar, alineando los números según las posiciones del sistema de numeración. Una forma de alinearlos es a través de la coma, que en cualquier número decimal indica que a la izquierda de ella está la posición de las unidades. TAREA PARA LA CASA / 5 minutos Resolver la parte b) de la Actividad 3. En la siguiente clase revisen la tarea. Módulo Nº 3: Números decimales / Matemática / 5 básico / Guía Didáctica / 23
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