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PROGRAMA ANALITICO CALCULO III (MAT 204) - PDF
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María del Rosario Montoya Luna
1 PROGRAMA ANALITICO CALCULO III (MAT 204) 1. IDENTIFICACION Asignatura CALCULO III Código de asignatura(sigla) MAT 204 Semestre 3 Prerrequisitos MAT 102 Horas semanal (HS) HT 3 HP 2 LAB 0 THS 5 Créditos (CR) 3 Período académico II/2011 Docente DPTO. MATEMÁTICA 2. JUSTIFICACION El Cálculo de las funciones complejas es una de las más poderosas herramienta teórica y práctica de la Matemática. Su aprendizaje y utilización es fundamental, puesto que gracias a ella, es posible la simulación de modelos matemáticos cada vez más reales, haciendo posible la ampliación del razonamiento lógico, visión y comprensión del mundo que nos rodea y su aplicación en el aprendizaje de otras materias específicas de las carreras de ingeniería. En la actualidad, por efecto de la globalización el papel y la práctica de las Matemáticas está sufriendo un cambio profundo principalmente por la influencia de la aplicación de programas computacionales como el Derive, Matlab, Maple, Mathemática, etc. Es por ello que su aplicación en la resolución de problemas de la vida real relacionados con otras materias específicas de las carreras de ingeniería se vuelve el objetivo principal del proceso enseñanza- aprendizaje del Cálculo en Varias Variables. 3. OBJETIVOS GENERALES Analizar una función compleja, para su aplicación a las matemáticas puras y aplicadas. Interpretar integrales en el plano complejo. Interpretar en el plano complejo las series de potencias para su aplicación. Cálculo de integrales Reales mediante el uso de la Teoría de Residuos y de las integrales de contorno. GENERAL El desarrollo del contenido del programa analítico de la materia, para mejor seguimiento secuencial por parte del estudiante, sigue el mismo de los contenidos de cálculo I y cálculo II, es decir: Se establece una introducción conceptual y práctica de los números
2 complejos operaciones, funciones, límites, derivadas de funciones complejas, y finalmente el cálculo de integrales complejas de línea y su relación con las integrales reales de línea. 4. TEMÁTICO UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS Y OPERACIONALES CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS TIEMPO: 20 HORAS OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Conocer conceptos básicos de los números complejos. Aplicar operaciones algebraicas y distintas formulas sobre los números complejos. Aplicar operaciones algebraicas y distintas formulas sobre los números complejos. 1. NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. Conceptos básicos 1.2. Sistema numéricos real 1.3. Representación gráfica de los números reales 1.4. Sistema de los números complejos 1.5. Definición, algebra, igualdad, conjugado complejo 1.6. Representación geométrica Cartesiana, polar Complejo Conjugado, valor absoluto 1.8. OPERACIONES Suma y resta, multiplicación y división Formula de Moivre Formula de Euler 1.9. APLICACIONES Raíces de la unidad de un número complejo Ecuaciones polinómicas Conjunto de puntos (regiones del plano z) Ejercicio, problema del reloj Desigualdades, cónicas UNIDAD II: FUNCIONES, LIMITES TIEMPO: 16 HORAS OBJETIVOS ESPECIFICOS: Desarrollar las definiciones de variables y funciones univocas y multivocas. Desarrollar funciones polinomiales, exponenciales, funciones hiperbólicas y funciones logarítmicas. Aplicar definición, teorema sobre límites y continuidad.
3 2. FUNCIONES 2.1. Definiciones de variables y funciones 2.2. Funciones unívocas y multívocas 2.3. Funciones analíticas 2.4. Ramas de una función 2.5. Funciones inversa Trasformaciones 2.7. Coordenadas curvilíneas 2.8. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS Funciones polinomiales Funciones algebraicas racionales Funciones exponenciales Funciones trigonométricas circulares Funciones (trigonométricas) hiperbólicas Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas Inversas Funciones hiperbólicas Inversas LIMITES Definición Teorema sobre límites Continuidad UNIDAD III: DERIVADAS Y SUS APLICACIONES TIEMPO: 25 HORAS OBJETIVOS ESPECIFICOS: Desarrollar conceptos y definiciones de las derivadas y funciones analíticas. Determinar las ecuaciones de Cauchy-Reimann, las relaciones con las funciones analíticas y aplicaciones lineales. Desarrollar que es una singularidad aislada, singularidad esencial y singularidad en el infinito. 3. DERIVADAS 3.1. Concepto y definición 3.2. Funciones analíticas ECUACIONES DE CAUCHY-REIMANN Ecuaciones de Cauchy-Reimann, Cartesiana, polar Funciones armónicas Relación con las funciones Analíticas Interpretación geométrica de la derivada Teoremas. (Propiedades de las derivadas) Diferenciales Aplicaciones lineales, especiales, conformes.
4 3.4. SINGULARIDADES Singularidad aislada Polos Puntos de ramificación Singularidad removible Singularidad esencial Singularidad en el infinito UNIDAD IV: INTEGRACION COMPLEJA TIEMPO: 25 HORAS OBJETIVOS ESPECIFICOS: Conocer las integrales complejas, sus propiedades, regiones simples y regiones múltiples. Determinar el teorema de la curva de Jordan. Integrar mediante la fórmula de Cauchy y el teorema del valor medio de Gauss. 4. INTEGRALES COMPLEJAS 4.1. Integral compleja de línea 4.2. Conexión de la integral compleja de línea con la integral real de línea Propiedades de las integrales 4.4. Regiones simples y múltiples y múltiplemente conexas Teorema de la Curva de Jordán 4.6. Convención relativa a la orientación de caminos cerrados 4.7. TEOREMAS Existencia y Cálculo Teorema Integral de Cauchy Teorema de Morera Integral indefinida Consecuencia del teorema de Cauchy 4.8. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ANALÑITICAS Formula integral de Cauchy Desigualdad de Cauchy Teorema del valor medio de Gauss 5. METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA Para el dictado de los contenidos se ha determinado los siguientes métodos de enseñanza: a) Clases de carácter teórico-conceptual: Clases a cargo del profesor, a modo orientador, presentando los temas para situar intelectualmente a los alumnos en el desarrollo de su razonamiento lógico. Su desarrollo se basará en el uso de elementos auxiliares para la enseñanza, como pizarra, proyector de multimedia. b) Desarrollo de Trabajos Prácticos: Los conceptos introducidos en las clases teóricas, especialmente los relativos a la solución de problemas y aplicaciones de la vida real,
5 tendrán una componente práctica basada en la propuesta y resolución de problemas, de carácter individual o grupal, así como también la investigación de tópicos referentes a las unidades programáticas. c) Prácticas de Laboratorio: Se utilizarán los Laboratorios de Matemáticas para la realización de prácticas específicas que permitan conocer el uso de sistemas de aplicación computacionales. d) Elaboración del proyecto final de la materia: El proyecto es de carácter grupal, consistente en un trabajo de investigación sobre aplicación de los problemas (Nivel conceptual, intermedio y físico) de un caso real, proporcionado por la cátedra. El proyecto deberá ser entregado en la fecha fijada por la cátedra. 6. CRONOGRAMA Tema Hrs Diagnóstico Tema I 20 Tema II 16 Tema III 25 Tema IV 25 1er Ex. Práctico 2do Ex. Práctico 1er Parcial 2do Parcial Ex. Final Semanas/días SISTEMA DE EVALUACIÓN La evaluación se realizara siguiendo los parámetros que a continuación se describen. Para tener derecho a examen final, es necesario contar con una asistencia mínima del 65% de las clases teóricas. ITEM DESCRIPCIÓN PROCENTAJE TEMAS 1 Primer examen parcial 20% Unidades 1,2 2 Segundo examen parcial 20% Unidades 3,4 3 Examen, proyecto o trabajo práctico 25 % Aplicación de la materia. 4 Examen Final 35 % Todas las Unidades 1) Primer examen parcial
6 La evaluación del primer parcial tendrá 3 componentes: a) Teórico, conceptual. b) Razonamiento lógico en la resolución de problemas reales referente al modelado de datos. c) Práctico en laboratorio de Matemáticas en lo referente a la aplicación de sistemas computacionales. 2) Segundo examen parcial La evaluación del segundo parcial tendrá 2 componentes: a) Razonamiento lógico en la resolución de problemas. b) Práctico en la resolución de ejercicios en laboratorio de Matemáticas. 3) Proyecto La evaluación del proyecto final de la materia se realizará en dos fases: Primera, será la presentación de un modelo conceptual, intermedio y físico de un problema de un caso real. Segunda, será la implementación del diseño de la primera fase en algún sistema computacional. 4) Examen final La evaluación final será teórica y se aplicará el criterio de razonamiento lógico en la resolución de problemas referente al Calculo III. 8. BIBLIOGRAFIA Nro AUTOR NOMBRE EDITORIAL 1 CHURCHIL, RUEL Variable compleja y sus McGraw-Hill aplicaciones 2 HAUSER, ARTHUR JR Variables complejas Fondo Educativo Interamericano 3 HSU, HW1P Análisis de Fourier Fondo Educativo Interamericano 4 L. VOLKOVYSKY G. Problemas sobre la teoría de MIR Moscu LUNTS LARAMANOVICH funciones de variable compleja. 5 MURRAY, SPIEGEL Teoría y problemas de variable McGraw-Hill compleja 6 POLYA Y LATTA Variable compleja. Limusa
1 Corresponde al Anexo I de la Resolución N 87/01 DEPARTAMENTO DE: Matemática ANEXO I ASIGNATURA: Análisis III - Análisis Matemático III CARRERAS - PLANES: Licenciatura en Matemática - Plan 1986. Licenciatura
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