Source: https://unybook.com/apuntes/file-b31f0c758bb498b5d56b5fea80f313a7/policia-cientifica/ejercicios-resueltos-de-esta-asignatura
Timestamp: 2018-08-18 17:52:59+00:00

Document:
Ejercicios Resueltos de policía científica [12698] | Policía Científica (UC3M) | Unybook
Ejercicios Resueltos de policía científica (2014)
fmarquezsolaz
Ejercicios Resueltos de policía científica
Grado Ingeniería en Tecnologías Industriales - 4º curso
Asignatura Policía Científica
Ejercicios de señales resueltos.
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID TRABAJO DE TECNOLOGÍAS APLICADAS A LA INVESTIGACIÓN I POLICIA CIENTÍFICA Curso 2013/2014 Policía científica Este manual comprende ÚNICAMENTE los dos primeros temas de la asignatura, correspondientes a los diferentes problemas.
1 Policía científica Índice TEMA 1: SEÑALES ................................................................................................................ 4 Definición y clasificación…………………………………………………………..5 Operaciones básicas………………………………………………………………..8 Reflexión……………………………………………………...8 Desplazamiento temporal……………………………………..9 Escalado en el tiempo…………………………………………9 Interpolación…………………………………………………10 EJERCICIOS………………………………………………...11 Propiedades de las señales……………………………………………………….20 Periodicidad…………………………………………………20 Simetría……………………………………………………...20 Real/Imaginaria…………………………………………...…22 Hermiticidad………………………………………………...22 EJERCICIOS………………………………………………..22 Caracterización……………………………………………………………………27 Valor medio…………………………………………………27 Energía………………………………………………………27 Potencia o Energía Media……………………………………27 Señales elementales……………………………………………………………….28 Señales de tiempo discreto………………………………….28 Señales de tiempo continuo…………………………………30 EJERCICIOS………………………………………………..31 TEMA 2: SISTEMAS ............................................................................................................ 32 Definición…………………………………………………………………………33 Interconexión……………………………………………………………………..34 Propiedades……………………………………………………………………….34 EJERCICIOS……………………………………………………………………...37 Sistemas LTI………………………………………………………………………41 Propiedades …………………………………………………44 EJERCICIOS………………………………………………..44 EJERCICIOS………...……………………………………………………………68 EJERCICIOS……………………………………………………………………...74 2 Policía científica 3 Policía científica TEMA 1 Señales 4 Policía científica 1. Señales 1.1 Definición y Clasificación Definición: Funciones con las que representamos variaciones de una magnitud física. (Por ejemplo señal acústica, intensidad de los píxeles de una imagen, voltaje, temperatura, posición) Imagen 1: Ejemplo de señal acústica Clasificación Por la naturaleza de la variable independiente Tiempo continuo (Ejemplo: Temperatura) Imagen 2: Señal en tiempo continuo Tiempo discreto (Ejemplo: Índice económico) Imagen 3: Señal en tiempo discreto 5 Policía científica Por la naturaleza de la variable dependiente Analógico Imagen 4: Ejemplo de señal analógica Digital Imagen 4: Ejemplo de señal analógica Por el número de variables Unidimensional (Ejemplo: Voltaje) Imagen 5: Ejemplo de señal unidimensional Bidimensional (Ejemplo: Imagen) Imagen 6: Ejemplo de señal bidimensional 6 Policía científica Por la naturaleza de la función Real Imagen 7: Ejemplo de señal real Compleja Imagen 8: Ejemplo de señal compleja Por su comportamiento estadístico Deterministas (Ejemplo: Voltaje) Imagen 9: Ejemplo de señal determinista Aleatorias (Ejemplo: Ruido) Imagen 10: Ejemplo de señal aleatoria 7 Policía científica 1.2 Operaciones básicas 1.2.1 Reflexión Se consigue mediante un cambio de signo en la variable independiente.
Imagen 11: Ejemplo de la reflexión de una señal Imagen 12: Ejemplo de la reflexión de una señal Imagen 13: Ejemplo de la reflexión de una señal 8 Policía científica 1.2.2 Desplazamiento temporal También se conoce como transformaciones (lineales) de la variable independiente.
Imagen 14: Ejemplo de un desplazamiento temporal. Nótese que cuando el desplazamiento tiene el signo `+` la señal se desplaza hacia la izquierda, así como también ocurre cuando el desplazamiento tiene el signo ‘-’, en cuyo caso la señal se desplaza hacia la derecha.
1.2.3 Escalado en tiempo (señales de tiempo continuo) Imagen 15: Ejemplo de una compresión y una expansión de una señal.
1.2.4 Escalado en tiempo (señales de tiempo discreto) 1.2.4.1 Diezmado Si de cada M muestras tan solo cogemos una, es como si pasáramos de un período de muestreo T a uno M veces mayor (T’ = MT), lo que equivale a una disminución (o compresión) de la frecuencia de muestreo (w’S = wS/M).
9 Policía científica Imagen 16: Ejemplo del diezmado de una señal Imagen 17: Ejemplo del diezmado de una señal 1.2.4.2 Interpolación Esta situación es contraria al caso anterior. Ahora se pasa a un período de muestreo T a uno L veces menor (T’ = T/L), lo que equivale a un aumento (o expansión) de la frecuencia de muestreo (w’S = wS.L) Imagen 17: Ejemplo de interpolación de una señal Imagen 18: Ejemplo de diezmado e interpolación de una señal 10 Policía científica 1.2.5 Ejercicios de Operaciones básicas 1.2.5.1 Dada la siguiente señal, calcula: Imagen 19: Respuesta apartado 1. Se trata de un desplazamiento temporal sin escalado en tiempo. El signo positivo indica desplazamiento hacia la izquierda. Únicamente se trata de desplazar la señal una posición a la izquierda. (La “t” sin números indica que no ha compresión ni expansión, y el “1” indica el número de posiciones a desplazar) Imagen 20: Respuesta apartado 2. Se trata de un desplazamiento temporal con escalado en tiempo. El signo positivo indica desplazamiento hacia la izquierda. Nos encontramos con una compresión. (La “t” con el factor “(3/2)” indica compresión, y el “1” indica el número de posiciones a desplazar) La señal se reduce haciendo 1/(3/2)=(2/3), lo que quiere decir que donde antes había “1”, ahora deberá haber “2/3” 1.2.5.2 Dada la siguiente señal, calcula: 11 Policía científica 1) x(t-2) Imagen 21: Respuesta apartado 1. Se trata de un desplazamiento temporal sin escalado en tiempo. El signo negativo indica desplazamiento hacia la derecha. (La “t” sin números indica que no ha compresión ni expansión, y el “2” indica el número de posiciones a desplazar) 2) x(t+2) Imagen 22: Respuesta apartado 2. Se trata de un desplazamiento temporal sin escalado en tiempo. El signo positivo indica desplazamiento hacia la izquierda. (La “t” sin números indica que no ha compresión ni expansión, y el “2” indica el número de posiciones a desplazar) 1.2.5.3 Dada la siguiente señal, calcula: 1) 2x (n+1) Imagen 23: Respuesta apartado 1. Se trata de un desplazamiento temporal con escalado en tiempo. El signo positivo indica desplazamiento hacia la izquierda. El “2” en la “x” indica que los valores en el eje de la x se expandirán el doble. El “1” indica el número de posiciones a desplazar 12 Policía científica 1.2.5.4 Dada la siguiente señal, calcula: 1) x (-t) Imagen 24: Respuesta apartado 1. Se trata de un ejercicio de reflexión (en t=0).
2) x (2- t) Para hacer este apartado tendremos que hacer dos pasos: • Primero, hacemos la reflexión (x -t): • Ahora hacemos el desplazamiento (+2) Imagen 25 y 26: Respuesta apartado 2. Se debe hacer en dos pasos en el orden especificado. IMPORTANTE: El “+2” indica ahora desplazamiento hacia la derecha dado que la señal ha sido volteada.
13 Policía científica 3) x (2t) Imagen 27: Respuesta apartado 3. Ejercicio de compresión 4) x (t/2) Imagen 28: Respuesta apartado 4. Ejercicio de expansión.
5) x (1- (t/2)) Para la resolución de este problema, tenemos que dividirlo en 3 pasos: Reflexión, desplazamiento y cambio de escala.
• Primero hacemos la reflexión (-t): • Ahora el desplazamiento (+1): 14 Policía científica • Finalmente el cambio de escala (t/2) Imagen 29, 30 y 31: Respuesta apartado 5. Hay que hacer el proceso en el orden seguido para no cometer errores. Tener en cuenta que en el momento se hace reflexión, el signo “+” del desplazamiento quiere decir hacia la derecha.
1.2.5.5 Dada la siguiente señal, calcula: 1) x (3n) Imagen 32. Respuesta apartado 1. Ejemplo de diezmado. Cuando son señales de tiempo discreto hablamos de diezmado e interpolación. En el caso de señales de tiempo continuo hablamos de compresión y expansión, aunque coloquialmente podríamos decir que se trata de lo mismo.
2) x (n/3) Imagen 33. Respuesta apartado 2. Ejemplo de interpolación. Cuando son señales de tiempo discreto hablamos de diezmado e interpolación. En el caso de señales de tiempo continuo hablamos de compresión y expansión, aunque coloquialmente podríamos decir que se trata de lo mismo.
15 Policía científica 1.2.5.6 Dada la siguiente señal, calcula: 1) x (t-1) Imagen 34. Respuesta apartado 1. El signo “-” indica desplazamiento hacia la derecha 2) x (2-t) • Primero hacemos la reflexión (-t) 16 Policía científica • Ahora hacemos el desplazamiento (+2) Imagen 35. Respuesta apartado 2. El signo “-” indica desplazamiento hacia la derecha 3) x (2t+1) • Primero hacemos el desplazamiento (+1) 17 Policía científica • Después hacemos la compresión (2t). Esto quiere decir que lo que en la señal original ocupaba una posición, pasará a ocupar media.
Imagen 36 y 37. Respuesta apartado 3. Se debe recordar que cuando el valor que acompaña a la t es mayor de “1” se tratará de una compresión, mientras que en caso contrario, de una expansión.
4) x (1 – (3/2)t) • Primero hacemos la reflexión (-t) 18 Policía científica • Seguidamente el desplazamiento: • Finalmente la compresión: El valor de compresión que tenemos es (3/2), o sea, 1,5. La correspondencia para hacer la compresión será .
, es decir . Por tanto todo lo que ocupaba una posición, ocupará ahora .
Imagen 38, 39 y 40. Respuesta del apartado 4 del ejercicio.
19 Policía científica 1.3 Propiedades de las señales 1.3.1 Periodicidad Una señal en tiempo continuo es periódica si: x(t) = x(t+T) ∀t.
Imagen 41. Periodicidad de una señal en tiempo continuo.
Una señal en tiempo discreto también se definen como periódicas si: x[n] = x[n+ N] ∀n N ∈ Z Imagen 42. Periodicidad de una señal en tiempo discreto.
1.3.2 Simetría Si una función f verifica que f(x)=f(-x) se dice que la función es par. Por otro lado si una función verifica que f(x)= -x(-f) o f(-x) = -f(x), se dice que la función es impar. Cualquier señal puede ser descompuesta en sus partes par e impar.
Imagen 43. Definición de función par e impar 20 Policía científica Imagen 44. Toda señal puede ser descompuesta en sus partes par e impar Imagen 45. Ejemplos de señales pares Imagen 46. Ejemplos de señales impares 21 Policía científica 1.3.3 Real/Imaginaria 1.3.4 Hermiticidad 1.3.5 Ejercicios de propiedades de las señales 1.3.5.1 Calcular la parte par e impar de: • Primero necesitamos la función x(-t).
Imagen 47. Reflexión de la señal.
22 Policía científica • Ahora sumamos las dos partes para obtener la parte par de la señal y lo multiplicamos por : Imagen 48. Parte par de la señal • Ahora restamos la parte reflejada a la primera, volviendo a multiplicar por obteniendo: Imagen 49. Parte impar de la señal • Para comprobar que lo hemos hecho bien, sumamos la parte par e impar, debiendo obtener la señal inicial.
1.3.5.2 Calcular la parte par e impar de: 23 , Policía científica Imagen 50. Resolución del segundo ejercicio.
1.3.5.3 Calcular la parte par e impar de: 24 Policía científica • Primero necesitamos la función x(-t).
Imagen 51. Reflexión de la señal • Ahora sumamos las dos partes para obtener la parte par de la señal y lo multiplicamos por : Imagen 52. Parte par de la señal • Ahora restamos la parte reflejada a la primera, volviendo a multiplicar por obteniendo: Imagen 53. Parte impar de la señal • Para comprobar que lo hemos hecho bien, sumamos la parte par e impar, debiendo obtener la señal inicial.
25 , Policía científica 1.3.5.4 Calcular la parte par e impar de: • Primero necesitamos la función x(-t).
Imagen 54. Reflexión de la señal.
• Ahora sumamos las dos partes para obtener la parte par de la señal y lo multiplicamos por : Imagen 55. Parte par de la señal 26 Policía científica • Ahora restamos la parte reflejada a la primera, volviendo a multiplicar por obteniendo: Imagen 56. Parte impar de la señal 1.4 Caracterización 1.4.1 Valor Medio 1.4.2 Energía 1.4.3 Potencia o Energía media 27 , Policía científica 1.5 Señales elementales 1.5.1 Señales de tiempo discreto • Impulso Unitario Propiedad: Cualquier señal definida sobre tiempo discreto puede representarse como una suma de impulsos escalados y desplazados.
• Escalón unitario • Exponenciales complejas • Exponencial periódica compleja Imagen 57. Ejemplo de señal exponencial periódica compleja 28 Policía científica Imagen 58. Ejemplo de señal exponencial periódica compleja en tiempo discreto.
Imagen 59. Ejemplos de señales exponenciales periódicas compleja en tiempo discreto.
29 Policía científica 1.5.2 Señales de tiempo continuo • Impulso unitario • Escalón unitario • Exponencial periódica completa • Exponenciales complejas Imagen 60. Ejemplo de señal exponencial periódica compleja en tiempo continúo.
30 Policía científica Imagen 61. Ejemplos de señales exponenciales periódicas compleja en tiempo continuo.
1.5.3 Ejercicios de Señales elementales 1.5.3.1 A partir de las siguientes funciones, ¿Las señales son periódicas? ¿Cuál es su período fundamental? Las cuatro señales son periódicas porque tienen período fundamental. Cualquier señal que cumple con la condición x( t ) = x( t + nT ), con n = 1, 2, 3, ... donde T es una constante conocida como período fundamental, es clasificada como una señal periódica.
El período fundamental será pues 8, 16, 14 y 6 respectivamente ya que buscamos que tenga el valor “2π” la parte de la variable con ‘t’ o ‘n’.
31 Policía científica TEMA 2 Sistemas 32 Policía científica 2.1 Definición Un sistema responde con una determinada señal de salida a la acción de otras señales de entrada. Un sistema transforma señales y pueden modelar el comportamiento de, por ejemplo: Una planta química, un sistema hidráulico, un circuito eléctrico, un canal de comunicaciones….
Imagen 62. Ejemplo de sistema.
Imagen 63. Ejemplo de sistema.
33 Policía científica 2.2 Interconexión de sistemas • Serie (Cascada) Ejemplo: Móvil + telefonía + Móvil.
• Paralelo Ejemplo: Tratamiento del audio y vídeo por separado de una película.
• Realimentado Ejemplo: Control de velocidad del coche.
2.3 Propiedades de los sistemas • Memoria: Sin memoria si la salida, para cada instante de tiempo, no depende de valores pasados ni futuros, únicamente depende de la entrada en ese mismo instante de tiempo.
Con memoria si se incumple esta propiedad 34 Policía científica • Causalidad: Será causal si la salida sólo depende de valores pasados y/o presentes Será no causal si se incumple esta propiedad Imagen 64. Ejemplos de causalidad.
• Invertibilidad: Será invertible si es posible recuperar la entrada al sistema conociendo la salida.
Imagen 65. Ejemplo y explicación de invertibilidad Ejemplos de funciones invertibles 35 Policía científica Por ejemplo, , es invertible puesto que su sistema inverso es • Estabilidad: Se dice que un sistema es estable si para cualquier entrada acotada, la salida es también acotada.
Ejemplo de sistema estable: y[n]= 2x [n -1] Ejemplo de un sistema no estable: y[n]=nx[n] • Invarianza: Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si el comportamiento del sistema no depende del instante en el que se aplique la excitación (interruptor de luz).
¿Cómo reconocer si un sistema es invariante? 1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t) 2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t) 3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t) SÍ NO • Invariante Variante en el tiempo Linealidad Un sistema es lineal si cumple con la propiedad de superposición (aditividad y escalado) Imagen 66. Ejemplo claro de la diferencia entre un sistema lineal y uno no lineal 36 Policía científica 2.3.1 Ejercicios de propiedades de los sistemas 2.3.1.1 Determine qué propiedades cumplen (sin memoria, causal, invertible, estable, invariante en el tiempo, lineal) a) y(t) = [cos(3t)]x(t) b) y[n] = t × x(t / 3 + 4) c) y[n] = x[3- n]+ 5 d) y(t) = x[n- 2]- 2x[n- 8] e) y(t) = x(4t +1) Para la correcta resolución de este ejercicio, debemos recordar: ¿Sin memoria? La salida para cada valor de la variable independiente es función exclusivamente del valor de la entrada para dicho valor de la variable. Sin memoria si la salida, para cada instante de tiempo, no depende de valores pasados ni futuros, únicamente depende de la entrada en ese mismo instante de tiempo.
¿Causal? Un sistema es causal si su salida para cualquier valor de la variable independiente depende únicamente del valor de la entrada correspondiente a dicho valor. Todos los sistemas sin memoria son causales ¿Invertible? Se dice que un sistema es invertible si distintas entradas producen distintas salidas. Dicho de otra forma, un sistema es invertible si al observar su salida podemos determinar la entrada ¿Estable? Intuitivamente, un sistema estable es aquel en el que entradas pequeñas conducen a respuestas que no divergen. Es decir, si la entrada a un sistema es limitada, entonces la salida debe ser también limitada y por tanto no debe divergir. Se dice que un sistema es estable si para cualquier entrada acotada, la salida es también acotada ¿Invariante en el tiempo? Un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento en tiempo de la señal de entrada causa un desplazamiento en tiempo de la señal de salida. Se dice que un sistema es invariante en el tiempo si el comportamiento del sistema no depende del instante en el que se aplique la excitación.
¿Cómo reconocer si un sistema es invariante? 1. Definir x1(t) . Obtener la salida y1(t) 2. Definir x2(t)=x1(t-t0) . Obtener la salida y2(t) 3. Comprobar si y1(t-t0) es igual a y2(t) SÍ NO Invariante Variante en el tiempo 37 Policía científica ¿Lineal? Un sistema lineal en tiempo continuo o tiempo discreto, es aquel que posee la importante propiedad de superposición: Si una entrada consiste de la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es sólo la superposición, esto es, la suma ponderada de las respuestas del sistema a cada una de estas señales. Un sistema es lineal si cumple con la propiedad de superposición (aditividad y escalado) (Véase imagen 66) A) y(t) = [cos(3t)]x(t) • ¿Sin memoria? Sí. La salida no depende de valores pasados ni de futuros.
(Depende de valores pasado o futuros cuando hay un “+” “-” algo dentro de la x) • • ¿Causal? Sí, por definición siempre que un sistema sea sin memoria, será también causal.
¿Invertible? No. Viendo solo la salida no podemos obtener la entrada. (Si existe una multiplicación NUNCA será invertible) • ¿Estable? Si. Para cualquier entrada acotada, la salida también será acotada porque se puede encontrar una cota superior menor que infinito.
• ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) [cos(3t)]x(t-t0) o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) [cos(3t-t0)x(t-t0)] o Comparamos: ¿[cos(3t)]x(t-t0) = [cos(3t-t0)x(t-t0)]? No • ¿Lineal? ¿Cos(3t)*x1(t) + cos(3t)*x2(t)= cos(3t)[x1(t)+x2(t)]? Sí B) y[n] = t *x(t / 3 + 4) • ¿Sin memoria? No. El sistema tiene memoria ya que la salida depende de valores futuros. (el “+4” es lo que indica el futuro) • ¿Causal? Para que sea causal no debe de depender de valores futuros. En este caso el “+4” indica que si depende de valores futuros luego no es causal.
• ¿Invertible? No. Viendo solo la salida no podemos obtener la entrada. Esto pasa SIEMPRE que algo multiplique a la x.
• ¿Estable? No. No se puede encontrar una salida acotada ya que el parámetro n no está a la derecha de la igualdad.
• ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) t*x(t/3 +4 –t0) o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) (t-t0)*x[ (t-t0)/3 + 4] o Comparamos: ¿ t*x(t/3 +4 –t0) = t*x(t/3 +4 –t0) No • ¿Lineal? ¿t*[x1(t/3+4)+x2(t/3+4)] = t*x1(t/3 +4) + t*x2(t/3 + 4)]? Sí.
38 Policía científica C) y[n] = x[3- n]+ 5 • ¿Sin memoria? No. El sistema tiene memoria ya que la salida depende de valores futuros. (el “+3” es lo que indica el futuro) • ¿Causal? Para que sea causal no debe de depender de valores futuros. En este caso el “+3” indica que si depende de valores futuros luego no es causal.
• ¿Invertible? Sí. Teniendo la salida podemos obtener la entrada (no hay ninguna multiplicación/división que es lo que puede indicar que no sea invertible) • ¿Estable? Si. Para cualquier entrada acotada, la salida también será acotada porque se puede encontrar una cota superior menor que infinito.
• ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) x[3-n-n0] + 5 o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) x[3-(n-n0)]+5 o Comparamos: ¿ x[3-n-n0] + 5 = x[3-(n-n0)]+5? No • ¿Lineal? ¿[x1 [3-n]+x2[3-n]] +5 = [x1[3-n] +5 + x2[3-n] +5]? No.
D) y(t) = x[n- 2]- 2x[n- 8] • ¿Sin memoria? No. El sistema tiene memoria ya que la salida depende de valores pasados. (el “-2” y el “-8” es lo que indica el pasado).
• ¿Causal? Para que sea causal no debe de depender de valores futuros. En este caso el sistema sólo depende de valores pasados (-2 y -8) por lo que sí es causal.
• ¿Invertible? No. SIEMPRE que un sistema dependa de dos valores no es invertible. (Los valores en este sistema son “[n-2]” y [n-8]) • ¿Estable? Si. Para cualquier entrada acotada, la salida también será acotada porque se puede encontrar una cota superior menor que infinito.
• ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) o x[n-2-n0]-2x[n-8-n0] o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) x[-2+ (n-n0) -2x[-8 +(n-n0)]] o Comparamos:¿ x[n-2-n0]-2x[n-8-n0] = x[-2+ (n-n0) -2x[-8 +(n-n0)]]? Si • ¿Lineal? ¿x1[n-2] -2x1[n-8] +x2[n-2] – 2x2[n-8] = ([n-2] -2[n-8]) * (x1+x2)? 39 Sí Policía científica E) y(t) = x(4t +1) • ¿Sin memoria? No. El sistema tiene memoria ya que la salida depende de valores futuros. (el “+1” es lo que indica el futuro).
• Para que sea causal no debe de depender de valores futuros. En este ¿Causal? caso el “+1” indica que si depende de valores futuros luego no es causal.
• ¿Invertible? Sí. Teniendo la salida podemos obtener la entrada (no hay ninguna multiplicación/división que es lo que puede indicar que no sea invertible) • ¿Estable? • ¿Invariante en el tiempo? Si. Para cualquier entrada acotada, la salida también será acotada.
o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) x(4t +1-t0) o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) x (4(t-t0) + 1) o Comparamos: ¿ x (4t+1-t0) = x (4(t-t0) + 1) ? No • ¿Lineal? ¿ [x1 (4t+1)] + [x2 (4t+1)] = [(4t+1)* (x1+x2)] ? RESUMEN Sin memoria Causal Invertible Estable A B C D E SI NO NO SI NO NO NO SI NO SI SI NO SI SI SI SI NO NO NO NO Sí.
Invariante en el tiempo NO NO NO SI NO 40 Lineal SI SI NO SI SI Policía científica 2.4 Sistemas LTI • Lineal: • Invariante en el tiempo: Las ventajas que presentan los sistemas LTI son que la mayoría de sistemas del mundo real pueden ser modelados como LTI ya que es fácil determinar la salida del sistema con una entrada arbitraria, mediante una operación llamada convolución.
Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo, es suficiente conocer su respuesta al impulso unitario para conocer su respuesta a cualquier entrada.
41 Policía científica • Propiedades de la convolución: 42 Policía científica 43 Policía científica 2.4.1 Propiedades de los sistemas LTI 2.4.2 Ejercicios Propuestos 2.4.2.1 Considere un sistema LTI cuya respuesta a la señal x1(t) sea la señal y1(t) Determine la salida del sistema a las entradas x2(t) y x3(t) 44 Policía científica X2 X2(t)=X1(t)-X1(t-2) Y2(t)=X2(t)*h(t)= [X1(t)-X1(t-2)]*h(t)=X1(t)*h(t)-X1(t-2)*h(t)= Y2(t)=Y1(t)-Y2(t-2) Imagen 67. Resolución gráfica del ejercicio X3 X3(t)=X1(t+1)+X1(t) Y3(t)=X3(t)*h(t) =[X1(t+1)+X1(t)]*h(t)=X1(t+1)*h(t)+X1*h(t)=Y3(t)=Y1(t+1)+Y(t) Imagen 68. Resolución gráfica del ejercicio 45 Policía científica 2.4.2.2 Calcule la convolución de x[n]*y[n] En primer lugar deberemos representar los sistemas: Imagen 69. Representación de los sistemas x e y.
Ahora antes de hacer la convolución, tenemos que hacer el inverso de cualquiera de ellos, así que cogeremos, por ejemplo, el sistema y: Imagen 70. Inversa del sistema ‘y’. Nótese que la inversa de un sistema es el “espejo” del mismo.
Seguidamente ponemos un sistema encima del otro y tendremos que hacer diversas operaciones. Cada operación realizará un desplazamiento de todos los valores hacia la derecha (menos la primera) del sistema que hemos invertido, y se deberán hacer tantos desplazamiento hasta que el valor más lejano (por la parte izquierda), coincida con el valor más lejano (el de la derecha) del sistema que no hemos invertido. El resultado de cada operación se situará en el eje de las abscisas empezando desde la posición 0 y por cada operación, se irá incrementando en 1 la posición donde colocaremos el resultado.
Lo mejor para entender este tema tan abstracto es remitirse a uno de los diversos ejercicios resueltos en este manual.
OJO Existe una excepción cuando un sistema tiene un valor negativo, la convolución se empezará desde ese valor y no desde la posición 0.
46 Policía científica Atendiendo a la imagen 70, podemos observar como en este caso hacen falta cuatro operaciones.
OPERACIÓN 1 Imagen 71. Operación 1. Debemos multiplicar los valores del sistema inverso que estén desde el eje (incluido) hacia la derecha. En este caso hay un valor (el 0,0), por lo que la única operación que debemos de realizar es: 1*1=1 que será el valor de la posición (0,0) de la gráfica resultante, tal y como se puede ver en la ilustración.
OPERACIÓN 2 Imagen 72. Operación 2. Debemos multiplicar los valores del sistema inverso que estén desde el eje (incluido) hacia la derecha. En este caso hay dos valores. La operación a realizar será (1*-2)+(1*2)=0, valor que como se puede observar, se sitúa en la siguiente (posición 1,0) 47 Policía científica OPERACIÓN 3 Imagen 73. Operación 3. . Debemos multiplicar los valores del sistema inverso que estén desde el eje (incluido) hacia la derecha. En este caso hay tres valores. La operación a realizar será (1*1) + (-2*2) + (2*0) = -3, valor que como se puede observar, se sitúa en la siguiente (posición 2,0) OPERACIÓN 4 Imagen 74. Operación 4 y última. . Debemos multiplicar los valores del sistema inverso que estén desde el eje (incluido) hacia la derecha. En este caso hay tres valores. La operación a realizar será (1*2) + (-1*0) + (1*0) = 2, valor que como se puede observar, se sitúa en la posición (posición 3,0) 48 Policía científica 2.4.2.3 Calcule la convolución del siguiente par de señales Antes de hacer la convolución, tenemos que hacer el inverso de cualquiera de los sistemas, en este caso, por la facilidad al ser más corto, cogeremos el ‘x’: Imagen 75. Inversa del sistema ‘x’. Nótese que la inversa de un sistema es el “espejo” del mismo.
OPERACIÓN 1 Imagen 76. Operación 1. El resultado de la posición 0 corresponde con la operación 1*0 = 0.
49 Policía científica OPERACIÓN 2 Imagen 77. Operación 2. El resultado de la posición 1 corresponde con la operación (1*0) + (1*0) = 0.
OPERACIÓN 3 Imagen 78. Operación 3. El resultado de la posición 2 corresponde con la operación (1*0) + (1*0) + (1*1) = 1.
OPERACIÓN 4 Imagen 79. Operación 4. El resultado de la posición 3 corresponde con la operación (1*0) + (1*0) + (1*1) +(1*1) = 2.
50 Policía científica OPERACIÓN 5 Imagen 80. Operación 5. El resultado de la posición 4 corresponde con la operación (1*0) + (1*0) + (1*1) +(1*1) +(1*1)= 3.
OPERACIÓN 6 Imagen 81. Operación 6. El resultado de la posición 5 corresponde con la operación (1*0) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*1)= 4.
OPERACIÓN 7 Imagen 82. Operación 7. El resultado de la posición 6 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*1)= 5.
51 Policía científica OPERACIÓN 8 Imagen 83. Operación 8. El resultado de la posición 7 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*1)= 5.
OPERACIÓN 9 Imagen 84. Operación 9. El resultado de la posición 8 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*0)= 4.
OPERACIÓN 10 Imagen 85. Operación 10. El resultado de la posición corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*0) + (1*0)= 3.
52 Policía científica OPERACIÓN 11 Imagen 86. Operación 11. El resultado de la posición 10 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*0) +(1*0) + (1*0)= 2.
OPERACIÓN 12 Imagen 87. Operación 12. El resultado de la posición 11 corresponde con la operación (1*1) + (1*0) +(1*0) +(1*0) + (1*1)= 2.
OPERACIÓN 13 Imagen 88. Operación 13. El resultado de la posición 12 corresponde con la operación (1*0) + (1*0) +(1*0) +(1*1) + (1*1)= 2.
53 Policía científica OPERACIÓN 14 Imagen 89. Operación 14. El resultado de la posición 13 corresponde con la operación (1*0) + (1*0) +(1*1) +(1*1) + (1*1)= 3.
OPERACIÓN 15 Imagen 90. Operación 15. El resultado de la posición 14 corresponde con la operación (1*0) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*1)= 4.
OPERACIÓN 16 Imagen 91. Operación 16. El resultado de la posición 15 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*1)= 5.
54 Policía científica OPERACIÓN 17 Imagen 92. Operación 17. El resultado de la posición 16 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*1)= 5.
OPERACIÓN 18 Imagen 93. Operación 18. El resultado de la posición 17 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*1) + (1*0)= 4.
OPERACIÓN 19 Imagen 94. Operación 19. El resultado de la posición 18 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*1) +(1*0) + (1*0)= 3.
55 Policía científica OPERACIÓN 20 Imagen 95. Operación 20. El resultado de la posición 19 corresponde con la operación (1*1) + (1*1) +(1*0) +(1*0) + (1*0)= 2.
OPERACIÓN 21 Imagen 95. Operación 21. El resultado de la posición 20 corresponde con la operación (1*1) + (1*0) +(1*0) +(1*0) + (1*0)= 2.
56 Policía científica 2.4.2.4 Dado el siguiente sistema: Encuentre la respuesta total del sistema al impulso: Nos están pidiendo h1*h2*h2.
Lo primero que tenemos que hacer es representar h1 y h2.
Imagen 96. Sistema h1.
h2= u[n]-u[n-2]. Para esto necesitamos saber que es u[n] y que es u[n-2]: Imagen 97 y 98. Representación de u[n] y u[n-2] Y la resta de ambos sistemas, h2, es: Imagen 99. Representación de la resta de los sistemas de la imagen 97 y98.
57 Policía científica Ahora lo mejor es que vayamos de derecha a izquierda por lo que lo primero será hacer h2*h2, para ello necesitamos el inverso de h2: Imagen 100. H2[-n] Ahora procedemos a hacer la convolución: OPERACIÓN 1 Imagen 101. Operación 1. El resultado obtenido en la posición 0 proviene de la operación (1*1)=1.
OPERACIÓN 2 Imagen 102. Operación 2. El resultado obtenido en la posición 1 proviene de la operación (1*1) + (1*1) =2.
58 Policía científica OPERACIÓN 3 Imagen 103. Operación 3. El resultado obtenido en la posición 2 proviene de la operación (1*1)=1.
Ahora tenemos que hacer h1* el resultado. Haremos por ejemplo el inverso del resultado obtenido, resultando: Imagen 104. Inverso del apartado anterior.
Procedemos a hacer la convolución: OPERACIÓN 1: Imagen 105. Operación 1. El resultado obtenido en la posición 0 proviene de la operación (1*1)=1.
59 Policía científica OPERACIÓN 2 Imagen 106. Operación 2. El resultado obtenido en la posición 1 proviene de la operación (3*1) + (2*1)=5.
OPERACIÓN 3 Imagen 107. Operación 3. El resultado obtenido en la posición 2 proviene de la operación (1*1) + (2*3) + (1*3)=10.
60 Policía científica OPERACIÓN 4 Imagen 108. Operación 4. El resultado obtenido en la posición 3 proviene de la operación (1*3) + (2*3) + (1*2)=11.
OPERACIÓN 5 Imagen 109. Operación 5. El resultado obtenido en la posición 4 proviene de la operación (1*3) + (2*2) + (1*1)=8.
61 Policía científica OPERACIÓN 6 Imagen 110. Operación 6. El resultado obtenido en la posición 5 proviene de la operación (1*2) + (2*1) =4.
OPERACIÓN 7 Imagen 111. Operación 7. El resultado obtenido en la posición 6 proviene de la operación (1*1) =1.
62 Policía científica Encuentre la respuesta del sistema total a la entrada: Nos están pidiendo la convolución entre el resultado anterior y x[n]. Para ello primero representamos x[n]: Imagen 112. Representación de x[n].
Cuyo inverso es: Imagen 112. Representación de x[-n].
Procedemos pues a hacer la convolución: OPERACIÓN 1 Imagen 113. Operación 1. El resultado obtenido en la posición 0 proviene de la operación (1*1) =1.
63 Policía científica OPERACIÓN 2 Imagen 114. Operación 2. El resultado obtenido en la posición 1 proviene de la operación (-1*1)+(1*5) =1.
OPERACIÓN 3 Imagen 115. Operación 3. El resultado obtenido en la posición 3 proviene de la operación (-1*5)+(1*10) =5.
64 Policía científica OPERACIÓN 4 Imagen 116. Operación 4. El resultado obtenido en la posición 4 proviene de la operación (-1*10)+(1*11) =1.
OPERACIÓN 5 Imagen 117. Operación 5. El resultado obtenido en la posición 4 proviene de la operación (-1*11)+(1*8) =-3.
65 Policía científica OPERACIÓN 6 Imagen 118. Operación 6. El resultado obtenido en la posición 5 proviene de la operación (-1*8)+(1*4) =-4.
OPERACIÓN 7 Imagen 119. Operación 7. El resultado obtenido en la posición 6 proviene de la operación (-1*4)+(1*1) = -3.
66 Policía científica OPERACIÓN 8 Imagen 120. Operación 8. El resultado obtenido en la posición 7 proviene de la operación (-1*1)+(1*0) = -1.
67 Policía científica 2.5 PROBLEMAS SISTEMAS 2.5.1 Problema 1 Una señal continua x(t) se muestra en la siguiente figura. Dibuje y marque cuidadosamente cada una de las siguientes señales: A) x(t+2) Imagen 121. Solución del apartado A. El “+2” nos indica que debemos de mover la señal dos posiciones hacia la izquierda.
B) [x(t)+x(-t)]u(t) En primer lugar hacemos x(-t): Seguidamente le sumamos x(t), para ello solo tenemos que sumar valor por valor, obteniendo: 68 Policía científica A continuación lo multiplicamos por u(t), o sea por el escalón unitario. Esto hace que todos los valores negativos desaparezcan y únicamente queden los positivos: 2.5.2 Problema 2 Una señal discreta se muestra en la siguiente figura. Dibuje y marque cuidadosamente cada una de las siguientes señales: A) x[n-4] B) x[3n+1] Primero haremos el desplazamiento: Imagen 122. Desplazamiento de la señal. El “+1” indica desplazamiento hacia la izquierda 69 Policía científica A continuación haremos el diezmado: Imagen 123. Diezmado de la señal. El “3n” indica que partiendo de la señal del eje, cogeremos solo aquellas múltiples de 3 y la del mismo eje.
C) x[n-2] δ [n-2] Primero hacemos el x [n-2] : Ahora dibujamos δ [n-2]: Imagen 124. Representación de δ [n-2] Y hacemos la multiplicación (únicamente nos interesa el valor 2 de cada sistema ( [1*1=]) en la posición 2) Imagen 125. Resultado 70 Policía científica 2.5.3 Problema 3 Dadas las siguientes señales: x[n] y su parte par xp[n], calcule la parte impar xi[n].
Este ejercicio es similar al que ya se explicó en la página 24.
Para que no haya confusiones, este tipo de ejercicios lo haremos siempre empleando el mismo patrón. Aunque por ejemplo, en el caso pedido bastaría con hacer la resta de las dos señales, se hará el ejercicio como si no tuviéramos la parte par.
• Primero necesitamos la función x(-t).
71 Policía científica • Ahora sumamos las dos partes (la reflejada y la normal) para obtener la parte par de la señal • Y lo multiplicamos por : De esta manera obtenemos la parte par (obteniendo el mismo resultado que el enunciado) • Ahora restamos la parte reflejada a la primera, 72 Policía científica • Y multiplicamos por , para obtener la parte impar: • Para comprobar que lo hemos hecho bien, sumamos la parte par e impar, debiendo obtener la señal inicial.
73 Policía científica 2.6 PROBLEMAS SISTEMAS 2.6.1 Problema 1 Determine para cada uno de los siguientes sistemas qué propiedades se cumplen y cuáles no (Memoria, Causalidad, Invertibilidad, Estabilidad, Invarianza temporal, Linealidad), justificando sus respuestas: a. y[n]=x[-n] • ¿Con memoria? Sí. La salida depende de valores pasados o futuros. (El “-n” indica valores pasados o futuros) • ¿Causal? Para que sea causal no debe de depender de valores futuros. En este caso, el sistema únicamente puede depender de valores futuros, por lo que no que es causal.
• ¿Invertible? Sí. (No existe ninguna multiplicación/división que es lo que puede indicar que no sea invertible.) • ¿Estable? Sí. Para cualquier entrada acotada, la salida será acotada puesto que se puede encontrar una cota igual a infinito. Este es el ejemplo más crítico. Este sistema es lineal y la salida siempre estará acotada al ser el negativo del valor inicial.
• ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) x [-n-n0] o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) x [-(n-n0)] o Comparamos: ¿ x [-n-n0] = x [-(n-n0)]? No.
• ¿Lineal? ¿ x1[-n] + x2 [-n] = (x1+x2)[-n] ? Sí b. y[n] =x[n-2]–2x[n-17] • ¿Con memoria? Sí. La salida depende de valores pasados. (El “-2” y el “-17” son los valores pasados) • ¿Causal? Para que sea causal no debe de depender de valores futuros. En este caso, el sistema únicamente depende de valores pasados, por lo que sí que es causal.
• ¿Invertible? No. SIEMPRE que un sistema dependa de dos valores no es invertible. (Los valores en este sistema son “[n-2]” y “[n-17]”) • ¿Estable? Sí. Para cualquier entrada acotada, la salida será acotada puesto que se puede encontrar una cota inferior a infinito.
74 Policía científica • • ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) o x [n-2-n0] -2x[n-17-n0] o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) x [(n-n0)-2] -2x[(n-n0)-17] o Comparamos: ¿x [n-2-n0] -2x[n-17-n0] = x [(n-n0)-2] -2x[(n-n0)-17]? Sí.
¿Lineal? Sí ¿ x1[n-2]-2x1[n-17]+x2[n-2]-2x2[n-17] =(x1+x2)*[n-2+-2(n-17)]? c. y(t) =x(t-1) –x(1-t) • ¿ Con memoria? Sí. Esta función depende de valores pasados. (“-1” y “-t” son los valores pasados) • ¿Causal? • ¿Invertible? No. SIEMPRE que un sistema dependa de dos valores no es invertible. (Los valores en este sistema son “[t-1]” y “[1-t]”) • • No. El sistema puede tomar valores futuros por lo que no es causal.
¿Estable? Sí. Para cualquier entrada acotada, la salida será acotada puesto que se puede encontrar una cota inferior a infinito.
• ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) x(t-1-t0)-x(1-t-t0) o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) x((t-t0)-1)-x(1-(t-t0)) o Comparamos: ¿ x(t-1-t0)-x(1-t-t0) = x((t-t0)-1)-x(1-(t-t0))? No.
• ¿Lineal? ¿x1 (t-1) –x1 (1-t) + x2(t-1) –x2(1-t) = (x1+x2)* [(t-1) -(1-t)]? Sí d. y(t) =[sen(6t)]x(t) • ¿Con memoria? No. La salida no depende de valores pasados ni de futuros.
(Depende de valores pasados o futuros cuando hay un “+” o un “-” dentro de la x) • ¿Causal? causal.
• ¿Invertible? No. Teniendo la salida no podemos obtener la entrada porque hay una multiplicación.
• ¿Estable? Sí. Para cualquier entrada acotada, la salida será acotada puesto que se puede encontrar una cota inferior a infinito. (En este caso es el seno el encargado de esto) • ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) [sen(6t)x(t-t0)] o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) [sen(6t-t0)x(t-t0)] o Comparamos: ¿ [sen(6t)x(t-t0)] = [sen(6t-t0)x(t-t0)] No.
Sí. Por definición, siempre que un sistema no tenga memoria, será 75 Policía científica • ¿Lineal? ¿sen(6t)*x1 + sen(6t)*x2 = sen(6t)*[x1+x2]? Sí.
e. y[n] =nx[n] • ¿Con memoria? No. La salida no depende de valores pasados ni de futuros.
• ¿Estable? No. Para cualquier entrada acotada, la salida no será acotada puesto que NO se puede encontrar una cota inferior a infinito.
• ¿Invariante en el tiempo? o Definimos x2(t)=x1(t-t0) y obtenemos la salida y2(t) nx[n-n0] o Comprobamos si y1(t-t0) es igual a y2(t) (n-n0)x[n-n0] o Comparamos: ¿ nx[n-n0] = (n-n0)x[n-n0] ? No.
• ¿Lineal? Sí. Por definición, siempre que un sistema no tenga memoria, será ¿nx1[n] + nx2[n] = (x1+x2)*n[n]? Sí RESUMEN Con memoria Causal Invertible Estable A B C D E NO SI NO SI SI SI NO NO NO NO SI SI SI SI NO SI SI SI NO NO Invariante en el tiempo NO SI NO NO NO 76 Lineal SI SI SI SI SI Policía científica 2.6.2 Problema 2 Sea el siguiente sistema: Calcule y haga la gráfica de cada una de: a. y1[n]=x[n]*h1[n] b. h3[n]=h2[n]*h1[n] c. La respuesta total del sistema h[n] al impulso d. La respuesta total del sistema h[n] a la entrada x[n] o y[n] = x[n] *h[n] Lo primero que tenemos que hacer es representar las señales: a. y1[n]=x[n]*h1[n] Antes de hacer la convolución, tenemos que hacer la reflexión de cualquiera de ellos, así que cogeremos, por ejemplo, el sistema x: 77 Policía científica Procedemos a la resolución de la convolución atendiendo a los criterios explicados en temas anteriores.
OPERACIÓN 1 Imagen 126. Operación 1. Este es el tipo de convolución donde se ha de tener cuidado ya que existe un valor negativo, por tanto se empezará a partir de ese valor (Como se puede apreciar en la imagen x[-n] el último valor está en la posición “-1” y no en la “0”). El resultado se sitúa en la posición -1 como resultado de la operación (1*2)=2.
OPERACIÓN 2 Imagen 125. Operación 2. El resultado obtenido en la posición 0 proviene de la operación (1*0)+(2*2) = 4.
78 Policía científica OPERACIÓN 3 Imagen 126. Operación 3. El resultado obtenido en la posición 1 proviene de la operación (1*3)+(2*0) = 3.
OPERACIÓN 4 Imagen 127. Operación 4. El resultado obtenido en la posición 2 proviene de la operación (1*0)+(2*3)+(1*2) = 8.
79 Policía científica OPERACIÓN 5 Imagen 128. Operación 5. El resultado obtenido en la posición 3 proviene de la operación (1*0)+(2*0)+(1*0) = 0.
OPERACIÓN 6 Imagen 129. Operación 6. El resultado obtenido en la posición 4 proviene de la operación (1*0)+(2*0)+(1*3) = 3.
80 Policía científica b. h3[n]=h2[n]*h1[n] Antes de hacer la convolución, tenemos que hacer la reflexión de cualquiera de ellos, así que cogeremos, por ejemplo, el sistema h2: Procedemos a la resolución de la convolución atendiendo a los criterios explicados en temas anteriores.
OPERACIÓN 1 Imagen 130. Operación 1. El resultado obtenido en la posición -1 proviene de la operación (1*2)=2.
81 Policía científica OPERACIÓN 2 Imagen 131. Operación 2. El resultado obtenido en la posición 0 proviene de la operación (1*0)+(1*2)=2.
OPERACIÓN 3 Imagen 132. Operación 3. El resultado obtenido en la posición 1 proviene de la operación (1*3)+(1*0)+(2*2)=7.
82 Policía científica OPERACIÓN 4 Imagen 133. Operación 4. El resultado obtenido en la posición 2 proviene de la operación (1*0)+(1*3)+(2*0)=3.
OPERACIÓN 5 Imagen 134. Operación 5. El resultado obtenido en la posición 3 proviene de la operación (1*0)+(1*0)+(2*3)=6.
83 Policía científica c. La respuesta total del sistema h[n] al impulso Lo que se nos pide es: hT[n]=h1[n]-h3[n] d. La respuesta total del sistema h[n] a la entrada x[n] o y[n] = x[n] *h[n] Nos piden la convolución entre x[n] y el resultado obtenido en el apartado 3.
Antes de hacer la convolución, tenemos que hacer la reflexión de cualquiera de ellos, así que cogeremos, por ejemplo, el sistema x[n].
Procedemos a la resolución de la convolución atendiendo a los criterios explicados en temas anteriores.
84 Policía científica OPERACIÓN 1 OPERACIÓN 2 85 Policía científica OPERACIÓN 3 OPERACIÓN 4 86 Policía científica OPERACIÓN 5 OPERACIÓN 6 87 Policía científica OPERACIÓN 7 88 Policía científica FIN 89 ...
Electrotecnia - Ejercicios de trifásica resueltos paso a paso (2014) Apunte
Electrotecnia - Ejercicios de circuitos resueltos paso a paso (2014) Apunte
electrotecnia - Ejercicios resueltos paso a paso de corriente continua (2014) Apunte
electrotecnia - Ejercicios de corriente alterna resueltos paso a paso (2015) Apunte
Marco Jurídico de la Seguridad - Apuntes sobre Marco Jurídico (2015) Apunte

References: resolución 
 Resolución 
 resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución