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Timestamp: 2017-09-24 01:08:35+00:00

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TecNoceMáticos: julio 2012
TecNoceMáticos
Blog de la comunidad Matemática del Colegio Nocedal... Proyecto de MatemáTICas interactivas 100% online.
Demostración del Teorema de Euclides
De Euclides (330 a.C al 227 a.C) se sabe muy poco, con certeza, acerca de su vida. Su gran reputación se debe sin duda a su obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos.
Euclides determino que:
a y b: catetos
c : hipotenusa
p y q: proyecciones de los catetos a y b respectivamente.
Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.
El triángulo de la figura 1 es rectángulo en C y h es la altura.
Referente a la altura: En todo triangulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa
Referente a los catetos: en todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
Esto se puede dar ya que:
∆ACB ~ ∆CDB, con esto podemos afirmar que:
∆ACB ~ ∆ADC, con esto podemos afirmar que:
∆ADC ~ ∆CDB, con esto podemos afirmar que:
Esto se podría demostrar de esta otra forma:
Aplicando el teorema de Pitágoras al ∆CDB y ∆ADC podemos obtener:
Como el ∆ACB es un triangulo rectángulo se puede dar que:
por Pitágoras, por tanto:
Recordando que c = q + p se puede deducir lo siguiente:
En palabras el teorema de Euclides dice que sus catetos al cuadrado son igual a la proyección de cada cateto por la hipotenusa y donde su altura es igual a la multiplicación de sus proyecciones.
Veamos ahora el siguiente video publicado por Edgard Cárcamo que encontramos en la red:
http://www.youtube.com/watch?v=lvMpnqe6Lrg
http://diccio-mates.blogspot.com/2009/08/teoremas-de-euclides.html
http://www.fmat.cl/index.php?s=&showtopic=25315&view=findpost&p=175341
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teoremas_Euclides.html
http://www.slideshare.net/marcitagarrido/demostraciones-teorema-de-euclides
Publicado por: Fabián Bello Bustamante
Curso: 3ero medio B - Telecomunicaciones
e-mail: fabb0971@hotmail.com
Etiquetas: demostración, Euclides, Geometría, Pitágoras, Teorema
“Nueva imagen para el Departamento de Matemática”
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Publicado por Tecnocemáticos Nocedal
¿Cómo saber que la Tierra es redonda?
En el tiempo actual en que vivimos, se goza de un alto grado de nivel tecnológico comparado con tiempos anteriores, como lo es en el ámbito de las comunicaciones, los celulares, internet, entre otros, y que cada vez se van actualizando y modernizando más con el transcurso del tiempo, también han habido grandes tipos de avance como en la explotación de los recursos naturales, en las industrias, lo básico para satisfacer nuestras necesidades, ya que la mayoría de las personas están preocupadas de tener un trabajo para tener ingresos y poder obtener estas tecnologías para su comodidad y para su vivencia.
Pero si nos detenemos a pensar sobre cosas básicas del por qué de algunos fenómenos que debiéramos saber, y que aparentemente son fáciles de responder, no lo sabemos, o que no sabemos explicarlo, como por ejemplo: ¿Cómo sabemos que la Tierra es redonda?
¿Cómo supimos que la Tierra es redonda?
Muchas personas atribuyen la respuesta equivocadamente al momento histórico del descubrimiento de América por Cristóbal, pero los griegos a 200 años a.C ya lo habían descubierto, y que la manera más simple de decir que la tierra aparentemente es redonda es a través de la observación, como por ejemplo: ¿qué ves primero cuando estás en una colina cerca de mar y se acerca un barco?, nos damos cuenta de que lo primero que se ve es el mástil y luego se ve la parte frontal del barco, y no al revés. Otro ejemplo sería ver el horizonte, el cual nos damos cuenta que no es perfectamente recta sino que es media curvada.
Tratando de explicarlo de la forma que hemos dado, no es claramente convincente, pero hubo una persona que lo demostró con un método matemático solo con un palo y además pudo calcular el perímetro de ésta y su diámetro, esto antes de la idea de Cristóbal Colón. Este personaje fue Eratóstenes.
Eratóstenes, nacido en Cirene el 284 a.C, fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, en su vivencia se mudó a Alejandría, donde pasó sus últimos días. Estudió en Alejandría y durante algún tiempo en Atenas. Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco. A él se le atribuye:
Conocida también con el nombre de “astrolabio esférico”, es un elemento usado en el área de la astronomía y que es modelo de la esfera celeste utilizada para mostrar el movimiento aparente de las estrellas alrededor de la Tierra o el Sol.
La “Criba de Eratóstenes” es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N. Se crea una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N y se van descartando los números que no son primos de la siguiente forma: cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N.
Otros de sus aportes fue la demostración de que la Tierra es redonda y su perímetro que se explicará a situación.
¿Cómo descubrió que la Tierra era redonda?
Eratóstenes en unas de sus investigaciones, estando su estadía en Alejandría, sabía que a una cierta hora del día en una época del año en la ciudad Egipto, “Siena”, los rayos del sol no proyectaban ninguna sombra si colocaba un palo en un suelo plano, lo que significaba que los rayos del sol estaban perpendicularmente con respecto al suelo, pero a esa misma hora la dirección de los rayos del sol eran distintos en Alejandría, por lo cual concluyó que la Tierra era redonda y al pensar esta idea, pudo aproximar su perímetro y diámetro.
Método matemático y desarrollo de la investigación
Teniendo la longitud del palo y de su sombra, calculó un ángulo de aproximadamente 7°, luego, mandó a saber por medios de terceros la distancia que había entre Alejandría y Siena, por lo que registraron 5000 estadios (unidad de medida que se utilizaba en la época, que eran cercanos a los 157,5 metros) lo que eran alrededor de 800 kilómetros.Lo que hizo Eratóstenes para llegar a sus conclusiones fue, enterró un palo recto en un suelo plano en la ciudad de Alejandría de aproximadamente 1 metro al momento en que Siena los rayos de sol eran perpendiculares con respecto al suelo, y que en ese mismo momento en Alejandría no era así, ya que el palo que enterró registraba aproximadamente una sombra de 12 centímetros, dado esos datos calculó el ángulo, todo esto sucedió el año 240 a.C.
Y a base de proporciones calculó el perímetro de la circunferencia de la Tierra de la siguiente manera:
Y por lo tanto llegó a un diámetro de 12.000 km de largo. Estos valores pueden variar según otras fuentes debido a que la forma de medir antiguamente poseía un mayor grado de error que los actuales que tienen mayor precisión, ahora las mediciones más precisas marcan 40.067 km de largo del planeta Tierra. Si podemos darnos cuenta el valor que calculó Eratóstenes es muy cercano a que se ha medido actualmente, y realizó esta investigación solo con la sombra de un palo.
Los errores que tuvo Eratóstenes al momento de realizar las mediciones fueron causados por la poca tecnología de la época como:
a. Las dos ciudades no están en el mismo meridiano, sino que difieren en unos 3º de longitud.
b. La medida exacta del ángulo de la sombra en Alejandría es: 7,08° (no 7,20° como había medido exactamente).
c. La distancia entre Asuán y Alejandría es de 729 km. (4.628 estadios); no de 787,5 km.
Como supo Eratóstenes que la Tierra era como una esfera, sabemos que es un cuerpo de revolución, el cual proviene del círculo, que si lo rotamos en torno a su diámetro, obtenemos una esfera, y a base de esto podemos conocer otros tipos de datos.
Pero se sabe que la Tierra no es una esfera perfecta dado sus relieves que se conocen actualmente.
A continuación dejamos este excelente video explicativo que encontramos en el ciberespacio:
Eratóstenes Canal Encuentro Proyecto G
Para demostrar que la Tierra es redonda, no solo podemos decir que da la “sensación de que es redonda”, también se puede demostrar, y sin la necesidad de instrumentos de medición de alto nivel u otros recursos tecnológicos o recorrerlo totalmente, solo se necesita un palo y el ingenio, que con simples cálculos se obtienen grandes resultados, esto revela la importancia de lo que es la matemática en la vida, y que está presente en cosas que no se puede uno imaginar, y que estas simples pregunta de si la Tierra es redonda o no pueden demostrarse de esta manera. La sociedad actual debiera saber este tipo de cosas, pero que, posiblemente la comodidad de ahora o los avances tecnológicos, han deteriorado un poco el razonamiento o el ingenio, y que se puede mejorar practicando y ejercitando el pensamiento en el transcurso del tiempo.
http://migueljaque.com/blog/ComoSupimos/tierra_era_redonda.html
http://www.youtube.com/watch?v=mtTSgPrzU8s
http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera_armilar
http://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Erat%C3%B3stenes
Descarga este trabajo completo
Gonzalo Bello Bustamante
Twitter: @gnoob_gold
Correo: gba741@gmail.com
Claudio Campusano Orellana
Correo: kampux.gb@hotmail.com
Curso: IV° Medio B - Telecomunicaciones
Etiquetas: demostración, Eratóstenes, Geometría, perímetro, Tierra
Cubos armados con papel lustre Parte 2
Visualización geométrica en 3 dimensiones
Segunda parte: Búsqueda de Regularidades.
En nuestra publicación anterior: Cubos armados con papel lustre Parte 1
Francisco nos explicó cómo armar cubos con papel lustre de colores, y en esta oportunidad desarrollaremos algunas de las actividades de aprendizaje que se pretende lograr con estos cubos, esperemos sea de su agrado y comprensión:
REPRESENTAR ENTIDADES MATEMÁTICAS
Incluye las tres capacidades siguientes:
• Entender y utilizar diferentes clases de representaciones de objetos matemáticos, fenómenos y situaciones.
• Utilizar y entender la relación entre diferentes representaciones de una misma entidad.
• Escoger entre varias representaciones de acuerdo con la situación y el propósito.
Actividad: Búsqueda de Regularidades
Recuerda que… el área de un cuadrado se calcula:
Ahora, considerando sólo la cara superior de los cubos encuentra la regularidad a partir de las imágenes:
Tarea 1: Construye la 4ta, 5ta y 6ta figura siguiendo el patrón y expresa su expresión numérica.
Comprueba en cada caso el valor contando la cantidad de cubos utilizados.
Tarea 2: Construye utilizando tus cubos la siguiente secuencia:
En la figura anterior se representan los tres primeros diagramas de una serie.
En cada uno de ellos, los cuadrados azules están rodeados por cuadrados blancos.
¿Cuántos cuadrados blancos habrá en el vigésimo diagrama de la sucesión anterior?
¿Cuántos habrá en el enésimo diagrama?
Recuerda que… el volumen de un cubo se calcula multiplicando el largo por el ancho por la altura.
Tarea 3: Con 9 cubos construye:
a) Un cuadrado
b) Dos cubos
Como muestra la figura:
Apoyándote en los resultados obtenidos en las Tareas 1 y 2, completa la igualdad:
Tarea 4: Con 36 cubos construye:
b) tres cubos ----à
Apoyándote en los resultados obtenidos en las Tareas anteriores, completa la igualdad:
Tarea 5: Apoyándote en los resultados obtenidos en las tareas 2 y 4, completa la igualdad:
Bien, esperemos que las actividades hayan resultado interesantes, recuerda que en caso de cualquier duda debes preguntar, siempre habrá una mano amiga para ayudarte.
Descarga Ficha de Actividad: Búsqueda de Regularidades
Nuestros agradecimientos, por sus geniales aportes al profesor:
(Área de Didáctica)
meavilla@unizar.es
Cómo evaluar las competencias [matemáticas] de nuestros alumnos de ESO
Publicado por Jmigmont
Etiquetas: Álgebra, aprendizaje, Área, cubos, cuerpos geométricos, Ficha de Actividad, Geometría, Números, papel lustre, Potencias, regularidades, Volumen
Proceso de Matematización - Resolución de Problemas
La evaluación SIMCE estudia la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicar ideas matemáticas de forma efectiva al plantear, resolver e interpretar problemas matemáticos en distintas situaciones. La solución de problemas requiere que los alumnos hagan uso de las habilidades y competencias que han adquirido a lo largo de su escolarización y a través de sus propias experiencias vitales. Este proceso fundamental que emplean los alumnos para resolver los problemas que plantea la vida real se denomina matematización.
En el apartado que se ocupaba de las bases teóricas del marco PISA de evaluación de las matemáticas se esbozaba una descripción de las matemáticas en cinco pasos. En la Figura 3.8 se recogen esos pasos, que aparecen luego en forma de lista.
Se inicia con un problema situado en la realidad.
• Se organiza de acuerdo con conceptos matemáticos y se identifican las matemáticas relevantes al caso.
• El problema se va abstrayendo progresivamente de la realidad mediante una serie de procesos, como la elaboración de supuestos, la generalización y la formalización, mediante los cuales se destacan los rasgos matemáticos de la situación y se transforma el problema del mundo real en un problema matemático que reproduce de manera fiel la situación.
• Se resuelve el problema matemático.
• Se confiere sentido a la solución matemática en términos de la situación real, a la vez que se identifican las posibles limitaciones de la solución.
La matematización comporta, en primer lugar, la traducción del problema real a términos matemáticos.
Este proceso incluye diversas operaciones, como por ejemplo:
• Identificar los elementos matemáticos pertinentes al problema situado en la realidad.
• Representar el problema de una manera distinta; lo cual comporta, entre otras cosas, organizarlo de acuerdo con los conceptos matemáticos pertinentes y plantear los supuestos adecuados al caso.
• Comprender las relaciones existentes entre el lenguaje del problema y el lenguaje formal y simbólico que se necesita para comprenderlo en términos matemáticos.
• Encontrar regularidades, relaciones y patrones.
• Reconocer los aspectos que son isomórficos respecto de otros problemas conocidos.
• Traducir el problema a términos matemáticos, es decir, a un modelo matemático (de Lange, 1987).
Una vez que el alumno ha traducido el problema a una forma matemática, el proceso puede continuarse ya dentro de un ámbito estrictamente matemático. Los alumnos se plantearán preguntas del tipo: «¿Hay...?» «En tal caso, ¿cuántos?» o «¿Cómo puedo hallar...?», recurriendo a las habilidades y conceptos matemáticos de que dispone. Tratarán de desarrollar el modelo del problema, adaptarlo, establecer regularidades, identificar conexiones y crear una buena argumentación matemática.
Esta parte del proceso de matematización suele conocerse como la parte deductiva del ciclo de construcción de modelos (Blum, 1996; Schupp, 1988). Conviene señalar, no obstante, que en esta fase pueden intervenir también otros procesos aparte del deductivo. Esta parte del proceso de matematización comporta:
• Utilizar diferentes tipos de representación e ir alternando entre ellos.
• Utilizar operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico.
• Refinar y ajustar los modelos matemáticos mediante un proceso de combinación e integración de modelos.
• Argumentar.
El último, o los últimos pasos, que han de darse para resolver el problema implican una reflexión sobre el proceso en su conjunto y sobre los resultados obtenidos. Llegados a este punto, los alumnos deben interpretar los resultados con espíritu crítico y validar la totalidad del proceso. Esta reflexión se da en todas las fases del proceso, pero tiene especial importancia en esta fase final. Algunos de los aspectos de este proceso de reflexión y validación son:
• La comprensión del alcance y los límites de los conceptos matemáticos.
• La reflexión sobre las argumentaciones matemáticas y la explicación y justificación de los resultados obtenidos.
• La comunicación del proceso y la solución.
• La crítica del modelo y de sus límites.
Esta fase aparece indicada en dos puntos de la Figura 3.8 mediante la referencia «5», que señala el momento del proceso de matematización en que se pasa de la solución matemática a la solución real y el momento en que esta última se relaciona de nuevo con el problema del mundo real.
Proceso de Matematización aplicado en un problema
Problema: “Andar”
Fuente: © OCDE 2004 Informe PISA 2003. Aprender para el mundo del mañana, pág 64.
Referencia virtual: http://www.oecd.org/dataoecd/59/1/39732493.pdf
Grupo de Competencias: Conexión
Solución – Aunando criterios mediante un método de resolución de problemas – Parte 1
La primera estructura mental que debe plantear un estudiante es la siguiente:
Puede trazar al principio una línea punteada subdividiendo el espacio para desarrollar el problema, se recomienda que después la subdivisión sea imaginaria.
Luego es importante que el docente guíe el proceso para que el estudiante comience por leer el problema e identificar los datos importantes y reconocer la pregunta. Luego dibujar esquemas o diagramas que permitan una mejor comprensión (cuando sea necesario), plantear y resolver las ecuaciones correspondientes para finalmente redactar la solución del problema guiándose por la pregunta y los resultados de los ejercicios realizados:
Es recomendable, además, siempre durante el proceso dejar claro que habilidades se pretende desarrollar, por lo que durante el apoyo personalizado, el docente mediante preguntas dirigidas, debe hacer que los jóvenes las mencionen con respuestas verbales.
Solución – Aunando criterios mediante un método de resolución de problemas – Parte 2
“Esta pregunta de respuesta abierta se sitúa en el contexto personal. La guía de codificación de esta pregunta prevé una puntuación completa y dos niveles de puntuación parcial. La pregunta trata de la relación entre el número de pasos por minuto y la longitud del paso. Pertenece al área de contenido de cambio y relaciones. La rutina matemática necesaria para resolver el problema con éxito consiste en la sustitución de una simple fórmula (álgebra) y la realización de unos cálculos no rutinarios. Para resolver el problema, los alumnos deben calcular primero el número de pasos por minuto cuando se da la longitud del paso (0,8 m). Ello requiere la sustitución y el manejo de la expresión: n/0,8 = 140 que lleva a: n = 140x0,8, que es 112 pasos por minuto. La siguiente pregunta pide la velocidad en m/minuto que implica convertir el número de pasos en una distancia en metros:112x0,80 = 89,6 metros; de modo que la velocidad del hombre en cuestión es de 89,6 m/minuto.
El último paso consiste en transformar esta velocidad en km/h, una unidad de velocidad de uso más común. Esto hace referencia a las relaciones entre unidades de conversión, que forman parte de la competencia de la medición. Resolver el problema requiere también la decodificación e interpretación de un lenguaje simbólico básico y el manejo de expresiones que contienen símbolos y fórmulas. El problema, por tanto, es bastante complejo, ya que incluye la expresión algebraica formal y la realización de una secuencia de cálculos distintos, pero conectados, que requieren la comprensión o la transformación de fórmulas y unidades de medida. El nivel más bajo de puntuación parcial de esta pregunta corresponde al grupo de competencias de conexión. El nivel más alto de puntuación parcial ilustra la parte superior del nivel 5, con una dificultad de 666 puntos. Los alumnos que alcanzan el nivel superior de puntuación parcial demuestran ser capaces de ir más allá de encontrar el número de pasos por minuto, avanzando hacia la conversión de esta cifra en una unidad de medida más estándar, como la que se les pide. Sin embargo, sus respuestas no son del todo correctas o completas. La puntuación máxima de esta pregunta ilustra la parte superior del nivel 6, ya que tiene una dificultad de 723 puntos. Los alumnos que obtienen la puntuación máxima son capaces de completar las conversiones y dar una respuesta correcta en las dos unidades de medida requeridas”.
Anexo: TAXONOMÍA REVISADA DE BLOOM (2000)
"En los años 90, un antiguo estudiante de Bloom, Lorin Anderson y David R. Krathwohl, revisaron la Taxonomía de su maestro y la publicaron en diciembre de 2000. Uno de los aspectos clave de esta revisión es el cambio de los sustantivos de la propuesta original a verbos, para significar las acciones correspondientes a cada categoría. Otro aspecto fue considerar la síntesis con un criterio más amplio y relacionarla con crear (considerando que toda síntesis es en si misma una creación); además, se modificó la secuencia en que se presentan las distintas categorías. A continuación se presentan las categorías en orden ascendente, de inferior a superior y se ilustran con la siguiente imagen:"
Descarga Ficha Técnica: Resolución de Problemas
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