Source: https://www.scribd.com/doc/55930220/Programacion-Lineal
Timestamp: 2017-05-24 16:01:43+00:00

Document:
ScribdExploreEXPLORE BY INTERESTSCareer & MoneyBusiness Biography & HistoryEntrepreneurshipLeadership & MentoringMoney ManagementTime ManagementPersonal GrowthHappinessPsychologyRelationships & ParentingReligion & SpiritualitySelf-ImprovementPolitics & Current AffairsPoliticsSocietyScience & TechScienceTechHealth & FitnessFitnessNutritionSportsWellnessLifestyleArts & LanguagesFashion & BeautyFood & WineHome & GardenTravelEntertainmentCelebrity Biography & MemoirPop CultureBiographies & HistoryBiography & MemoirHistoryFictionChildren’s & YAClassic LiteratureContemporary FictionHistorical FictionLGBTQ FictionMystery, Thriller & CrimeRomanceScience Fiction & FantasyBROWSE BY CONTENT TYPEBooksAudiobooksNews & MagazinesSheet MusicUploadSign inJoinOptionsJoinSign InUploadProgramacion LinealUploaded by Wilson Andres Benitez JulioLinear ProgrammingPlane (Geometry)Line (Geometry)SlopeEquations0.0 (0)DownloadEmbedView MoreCopyright: Attribution Non-Commercial (BY-NC)List price: $0.00Download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate contentINTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEALY
Recinto de Puntos factibles
Prof. ANA COLO HERRERA
Prof. HECTOR PATRITTI
PROF. ANA COLÓ HERRERA
PROF. H. PATRITTI
Esta publicación no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida por ningún medio electrónico , mecánico , de grabación , de fotocopia , de microfilmación o enotra forma, sin el previo conocimiento de los autores. Publicación inscrita en la Biblioteca Nacional el 11 de julio del 2003 en el libro No.29 con el No. 1749 habiéndose realizado los aportes legales correspondientes según Art.7º. de la le No. 9739 sobre derechos de autor.
Email: anacolo @ adinet.com.uy Telefax: 7120680 Montevideo-Uruguay
hpatritti @ yahoo.com.ar
... .. página
1 3 – 13 15 – 17 19 .............35 37 .............................. página
Ana Coló Herrera
Héctor Patritti
........................................................................................................................................................ .......................... página Capítulo 1 – Resoluciones ............... página Capítulo 2 – Resoluciones ............... página
Capítulo 2 – Enunciados .................. página Capítulo 1 – Enunciados ............Introducción a la Programación Lineal
Introducción..................................27 29 ..................................................................................................
En el Capítulo (2) los primeros ocho ejercicios se refieren a la maximización y/o minimización de funciones lineales de dos variables. mientras que del ejercicio nueve en adelante te proponemos situaciones problemáticas genuinas. En ésta . Nuestra intención es agregar a ellos un material adicional que esperamos te resulte útil durante el desarrollo del curso como también eventualmente en la preparación del examen correspondiente.
LOS AUTORES. básicamente. introductorios al tema de Programación Lineal. pero si además de ello eres capaz de resolverlos. Hemos dividido la publicación en 2 capítulos y una Introducción. enhorabuena. En modo alguno pretende sustituir los ejercicios que el docente que dicta el curso de matemática en la orientación que has elegido te proponga. Si logras convencerte que con los conocimientos adquiridos en este primer curso de Matemática de los Bachilleratos Tecnológicos estás capacitado para resolver ejercicios introductorios sobre Programación Lineal habrás dado un paso adelante. con su correspondiente resolución .Introducción a la Programación Lineal. En el Capítulo (1) te proponemos ejercicios sobre resolución de inecuaciones
lineales en dos variables y de sistemas de inecuaciones lineales en dos variables. desarrollamos con algún detalle la resolución de un ejercicio tipo a fin de que refresques aquellos conocimientos adquiridos en el curso y que deberás aplicar directamente. Prólogo
Esta publicación tiene por objetivo poner a tu disposición un conjunto de ejercicios .
En esencia trata de maximizar y/o minimizar una función lineal de dos o más variables teniendo en cuenta que las mismas deben cumplir determinadas exigencias derivadas de la escasez de recursos disponibles en la realidad. Suponiendo que todos los sillones tapizados se venden y que no existe escasez de otros elementos como hilo. mientras cada unidad de los del tipo (B) necesita 15 metros de tela y 16 horas de trabajo. 0
Una tapicería está dedicada al tapizado de dos tipos de sillones a los que denominaremos tipo (A) y tipo (B). Fue en la década de los años 40 del siglo XX que a través del trabajo de equipos formados por matemáticos. El problema de asignar convenientemente recursos escasos es un problema conocido desde la antigüedad . etc. especialmente en el mundo de la economía .
Ejercicio No. Biología . se desea saber cuántos sillones de cada tipo deben tapizarse para que la empresa obtenga máxima ganancia
. clavos . aunque una solución matemática al mismo es relativamente reciente. se sentaron las bases para la resolución de problemas de Programación Lineal y No Lineal. Los sillones del tipo (A) dan a la empresa una utilidad de $ 1500 . Sociología . tachuelas .etc. Entendemos que nada mejor para comprender la esencia del tema que plantearte un ejercicio. Dantzing . que iremos desarrollando para que recuerdes los conocimientos matemáticos necesarios para su resolución y puedas entonces dedicarte a los ejercicios que te proponemos en esta publicación. Cada unidad del sillón tipo (A) necesita 10 metros de tela de tapicería y 12 horas de trabajo . entre los cuales merece especial destaque George B. La tapicería dispone semanalmente de 300 m de tela y 336 horas de trabajo. y los del tipo (B) una utilidad de $ 2100.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
La Programación Lineal es una técnica matemática utilizada para dar solución a problemas que se plantean muy comúnmente en diversas disciplinas como Economía . Ingeniería . economistas y físicos.
Introducción a la Programación Lineal – Introducción
En todo problema de Programación Lineal encontraremos una tarea que debe realizarse con la máxima “efectividad” . limitaciones a las que denominaremos “restricciones ” y que se traducen matemáticamente por inecuaciones lineales. deberá cumplirse 10 x + 15 y ≤ 300 (1)
Por otra parte si cada sillón del tipo (A) insume 12 horas de trabajo para su tapizado y cada sillón del tipo (B) insume 16 horas deberá cumplirse: 12 x + 16 y ≤ 336 x≥0 (2) y≥0
El propio significado físico de las variables impone además que: (3) (4)
En resumen el modelo matemático adoptado para resolver el ejercicio propuesto consiste en maximizar la función G tal que G(x. tipo (B) Como las utilidades de la venta son 1500 y 2100 pesos por unidad respectivamente. A tales efectos llamaremos: x al número de unidades de sillones tapizados por semana . deberemos expresarla como función lineal de dos variables. En efecto: Si cada sillón del tipo (A) necesita 10m de tela y cada sillón del tipo (B) necesita 15m de tela. en nuestro caso los metros de tela de que dispone por semana la tapicería (300 m ) y las horas de trabajo posibles por semana (336 horas). la función G será tal que: G(x. que llamaremos G.)
La escasez de recursos. que en nuestro caso será lograr que la ganancia de la empresa expresada en $/semana sea máxima. tipo (A) y al número de unidades de sillones tapizados por semana .y) = 1500 x + 2100 y ( $ / sem. imponen limitaciones a nuestras variables. Esa ganancia .y) = 1500x + 2100y debiendo las variables cumplir con las restricciones: 10 x + 15 y ≤ 300 12 x + 16 y ≤ 336 x≥0 y≥0 (1) (2) (3) (4)
Tratemos de llevarla adelante paso a paso. en tapizar sólo ese tipo de sillones. Una vez resuelto el problema matemáticamente . Ana Coló Herrera 5 Héctor Patritti
. lo que nos daría y = 300 / 15 = 20 ya que si tomáramos y = 336 / 12 = 21 se incumpliría la restricción (1). 0) = 1500 . 10 x + 15 y ≤ 300 Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de parejas (x. Los problemas de Programación Lineal en dos variables que tratamos en esta publicación admiten una resolución gráfica sencilla . teniendo en cuenta que los sillones del tipo (B) dan mayor ganancia. Las infinitas parejas (x . siendo menor el tiempo de tapizado de los sillones tipo (A) . 20 = 42000 $ / sem. La ganancia sería entonces : G(28. según veremos a continuación . y) que cumplen la primera condición son coordenadas de los infinitos puntos de la recta de ecuación 10x + 15y = 300. En ese caso tendríamos x = 0 y deberíamos hallar el máximo valor de “y” que cumpla las restricciones dadas . Sin embargo podrías pensar que. El resultado estaría indicando que en el problema propuesto y desde el punto de vista de la ganancia de la empresa sería indiferente una u otra de las soluciones. 20) =2100 . Lo primero que debes recordar es la resolución gráfica de inecuaciones lineales en dos variables que has visto en el curso. Tomemos la restricción número (1) de nuestro ejercicio. Nos surge sin embargo la duda de si no existirá la posibilidad de tapizar ambos tipos de sillones logrando con ello una ganancia superior a 42000 $ / sem. La ganancia de la empresa sería entonces: G(0. En estas condiciones tendríamos entonces: y = 0 y deberíamos hallar el valor
máximo de “x” lo que nos conduciría a x = 336 /12 = 28. obtendremos la solución correcta. lo conveniente sería dedicarse sólo a ese tipo de sillones pues la cantidad de ellos sería mayor.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Tratando de encontrarle solución al ejercicio podrías pensar . 28 = 42000 $ / sem.y) que verifiquen la doble condición: 10x +15y = 300 10x + 15 y < 300 Consideremos un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal (XOY).
O Fig. La unión de la recta y el semiplano hallado es la solución de la restricción número (1) de nuestro ejercicio. Queda por determinar cuál de los dos es la solución.0). (3)
X Fig. Si la verifican . en caso de que no verifiquen el semiplano buscado será el opuesto. Para ello basta que tomemos un punto arbitrario del plano no perteneciente a la recta que hemos considerado y verifiquemos si sus coordenadas verifican o no la inecuación. En forma similar resolvemos las restantes restricciones. (1)
O Fig.(0) = 0 < 300. Tendremos entonces: 10.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Debemos ahora encontrar las infinitas parejas que verifican la segunda condición. El origen de coordenadas verifica pues la desigualdad y el semiplano que lo contiene representará gráficamente la solución buscada.
Y 20 21 Y
O Fig. (4)
. Si nuestra recta no pasa por el origen de coordenadas el punto más sencillo para efectuar el tanteo es justamente el (0.(0) +15. La recta anterior divide al plano en dos semiplanos y desde el punto de vista gráfico uno de ellos es la solución de la inecuación 10x + 15y < 300 . el semiplano al cual pertenece el punto será el buscado. Las figuras siguientes nos muestran las soluciones .
Por otro lado.30) que claramente es exterior al polígono . Recuerda que las parejas (0 . Y
Fig. queriendo significar con ello que cualquier punto perteneciente a él tiene por coordenadas una pareja de números (x . Basta para ello hallar el conjunto intersección de los cuatro semiplanos que hemos representado en las figuras anteriores.(30) = 93000 $ / sem. 0) daban una ganancia mayor. y) que verifican todas las restricciones impuestas. si tomamos por ejemplo el punto (20 . 20)
Si tomamos por ejemplo el punto P (5. 30) = 1500. (5). 20) y (28 . Sin embargo la tapicería no estaría en condiciones de tapizar 20 sillones tipo (A) Ana Coló Herrera 7 Héctor Patritti
. 12) C(28 . Ello nos conduce al polígono convexo OABC de la Fig.(5) +2100 .y ) que verifican el sistema de inecuaciones formado por las restricciones. teóricamente la empresa podría obtener una ganancia de : G(20.(6) = 20100 $ /sem. En ese caso la ganancia que obtendría sería : G( 5. Si bien se trata de una opción posible para la empresa claramente no resulta
conveniente. (5)
C B(12 .0)
A (0 . al que denominaremos “recinto de puntos factibles”.6) que evidentemente pertenece al recinto podemos concluir que la empresa puede decidir tapizar 5 sillones del tipo (A) y 6 sillones del tipo B a la semana pues sus recursos escasos no se lo impiden. mientras que las
coordenadas de cualquier punto del plano no perteneciente al recinto no verifican el sistema. (20) + 2100.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Estamos ahora en condiciones de hallar las infinitas parejas de números reales (x . 0)
O (0. 6) = 1500.
30) viola las restricciones (1) y (2). y a la familia de curvas del plano XOY que cumplen que f(x . Si bien seguimos sin saber aún cuál o cuales parejas solucionan nuestro problema hemos avanzado en su resolución posibles. Desde el punto de vista matemático la pareja (20.y) = k con k ε R pues conocemos el conjunto de las parejas
En nuestro caso las curvas de nivel de la función G cumplirán: 1500 x + 2100 y = k Como puedes reconocer fácilmente se trata de una familia de rectas de coeficiente angular m = −
1500 5 k . Recuerda que llamamos curvas de nivel de una función f de variables x .Introducción a la Programación Lineal – Introducción
y 30 sillones tipo (B) a la semana pues no contaría con la tela ni con las horas de trabajo necesarias para ello.
Ana Coló Herrera 8 Héctor Patritti
. Para dar solución definitiva al ejercicio haremos uso ahora de las curvas de nivel de la función G. = − y ordenada en el origen n = 2100 7 2100
Las rectas serán por consiguiente paralelas entre sí. N Y K=45000 W S E
K=15000
K=60000
Observa que al aumentar k la recta se traslada en la dirección noreste alejándose del origen de coordenadas. En la figura (6) representamos algunas de ellas para distintos valores de k.
Podemos preguntarnos porqué utilizar el concepto de curvas de nivel en la resolución de nuestro ejercicio. Cualquier punto de esa recta tiene por coordenadas parejas de números reales (x. la conclusión es que si la empresa tapizara un número x de sillones del tipo (A) e y sillones del tipo (B) siendo la pareja (x . es una “recta de ganancia constante” y la ganancia está dada justamente por el valor de k. y) coordenadas de un punto cualquiera de esa recta . ¿Qué propiedad tienen las curvas de nivel que vuelve pertinente su aplicación? Considera por ejemplo la recta de la fig. Si observas la recta de k = 30000 podrás concluir que para obtener esa ganancia semanal la empresa sólo podrá trabajar en puntos del segmento MN . Pues porque no debemos olvidarnos del “recinto de puntos factibles” que ya teníamos determinado.y) que verifican la ecuación de la misma . (5) correspondiente a K=30000. no pudiendo en cambio trabajar en ningún punto de la recta de k = 60000 ya que ésta no contiene ningún punto del recinto. por lo menos teóricamente . En este sentido podríamos decir que cada curva de nivel . En la fig. Permitiéndonos cierta libertad en el lenguaje podemos afirmar que la empresa no tendrá la opción de elegir cualquier recta de nivel para trabajar sino sólo aquellas que contengan puntos del recinto de puntos factibles.(6) K=60000
O Ana Coló Herrera
X Héctor Patritti
. Cada una de las recta está indicando entonces una posible ganancia a obtener por la empresa . Como el primer miembro de la ecuación es la expresión analítica de la función ganancia G. es decir la ecuación : 1500x + 2100y = 30000. Y
A K=30000 M B Fig. Porqué afirmamos “por lo menos teóricamente”. la ganancia que obtendría sería de 30000 $ / sem. en nuestro caso cada recta. (6) hemos graficado dos rectas de distinta ganancia.
.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Estamos a un paso de hallar la solución del ejercicio planteado y seguros estamos que ya has deducido como encontrarla. vértice cuyas coordenadas eran (12 . Deberemos buscar la recta de nivel correspondiente al mayor valor de k que contenga algún punto del recinto de puntos factibles.12)
K=0 Hemos alcanzado finalmente la solución a nuestro ejercicio: la empresa deberá
tapizar 12 sillones del tipo (A) y 12 sillones del tipo (B) y obtendrá por ello una ganancia de
1500. En la Fig. (6) hemos representado la recta de nivel que nos da la solución buscada.
A B (12.(12) = 43200 $ / sem. por ejemplo la correspondiente a k=0 que obviamente pasará por el origen de coordenadas.
En resumen. y luego trasladarla en la dirección y sentido correctos (en nuestro caso en la dirección noreste) hasta encontrar el punto buscado. Obtenemos así el vértice B del polígono de puntos factibles. 12). Para lograrlo te sugerimos dibujar alguna de ellas.(12) + 2100. para resolver los problemas de Programación Lineal que te proponemos en esta publicación deberás: 1) Elegir las incógnitas del problema y hallar la expresión analítica de la función que se te pide maximizar y/o minimizar que en todos los casos será una función lineal de dos variables.
Cuando la pendiente de las curvas de nivel de la función coincida con la pendiente de uno de los lados del recinto de puntos factibles la función se maximizará o minimizará en todos los puntos de ese lado. Muchas veces esas pendientes son muy cercanas y exigen especial atención. 5) Usando las coordenadas del punto hallado calcular el valor funcional correspondiente si el problema lo requiere. Entre los ejercicios que te proponemos encontrarás alguno en que este hecho se produce. 3) Resolver gráficamente el sistema de inecuaciones formado. Cualquier error o falta de precisión en la representación puede provocar un cambio en las pendientes de las rectas y conducirte a un vértice equivocado.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
2) Deberás expresar en forma de inecuaciones las limitaciones a que quedarán sometidas las variables sea por su propio significado como por la escasez de recursos disponibles.
El hecho de que la función ganancia de nuestro ejercicio se maximizara en un vértice del polígono de puntos factibles no ha sido casual. 4) Utilizar las rectas de nivel de la función en cuestión para hallar el vértice (o lado) del recinto de puntos factibles donde se produce el máximo y/o mínimo buscado. sean lados del recinto de puntos factibles como curvas de nivel de la función. Recuerda del curso que es posible demostrar la siguiente proposición: “ El valor máximo y/o mínimo de la función objetivo.
Aceptando la proposición que hemos enunciado líneas arriba podemos resolver nuestro ejercicio sin recurrir al método gráfico.0 sin recurrir a la representación gráfica.
Resolvamos ahora nuevamente el ejercicio No. Ana Coló Herrera
. obteniendo así el recinto de puntos factibles. Esta forma de resolución la utilizaremos en algunos de nuestros ejercicios. ocurre siempre en uno de los vértices o lado del recinto poligonal convexo de puntos factibles.
La resolución gráfica que hemos desarrollado exige de tu parte especial cuidado a la hora de representar las rectas involucradas en el problema. sea este recinto acotado o no acotado”. en un problema de programación lineal de dos variables.
Observaciones. Debemos en primer lugar determinar los vértices del recinto de puntos factibles. Las inecuaciones serán siempre lineales.
Viola restricción Vértices
Ninguna B
(0. 20)
(30. Estos últimos serán los puntos de intersección cuyas coordenadas verifiquen todas las restricciones impuestas.5/7.0)
Comparando los valores funcionales concluímos que el máximo se produce en el vértice B o sea que la solución de nuestro problema es : x = 12 y = 12 y la
ganancia de la empresa alcanza a 43200 ($ / sem) resultado al que habíamos llegado anteriormente. 0)
(0. Observa en el cuadro que los vértices A y C corresponden a iguales ganancias lo que indica que ambos pertenecen a una misma curva de nivel de la función G y ello ocurre porque los coeficientes angulares de la recta AC y de las rectas de nivel son iguales como fácilmente puedes comprobar. Una vez determinados los vértices sólo restará hallar los valores funcionales de la función objetivo y decidir entonces cual o cuales corresponden a las solución buscada. 21)
(28. En el cuadro siguiente sintetizamos todos los cálculos necesarios.
10x+15y=300 12x+16y=336 10x+15y=300 x=0 10x+15y=300 y=0 12x+16y=336 x=0 12x+16y=336 y=0 x=0 y=0
(12. Como comentario final de esta introducción mencionaremos que los problemas de programación lineal suelen ser generalmente de más de dos variables y con un número de restricciones que suelen superar a veces largamente las cuatro que hemos utilizado en nuestros ejercicios Ana Coló Herrera
. El valor común es m = .Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Los vértices del recinto serán puntos de intersección de rectas definidas por las restricciones aunque no todos los puntos de intersección serán vértices. 0)
. Los ejercicios que te proponemos son sólo una introducción al tema. por lo que aparecen nuevos métodos que resuelven esos problemas pero que están fuera de lo pretendido por el programa de la asignatura. se vuelve inconveniente (debemos trabajar en el espacio en lugar del plano) y para un número mayor de variables obviamente deja de tener sentido. El método de cálculo al que recurrimos como segunda alternativa se vuelve extremadamente laborioso. si bien es aplicable. Es posible que en cursos posteriores o por interés personal desees profundizar sobre programación lineal y no lineal por la relevancia que el tema posee.Introducción a la Programación Lineal – Introducción
Ya para tres variables el método gráfico.
Ejercicio No.5 (Resolución pag.1 (Resolución pag.Capítulo 1 .3 (Resolución pag. 20)
Resolver gráficamente las siguientes inecuaciones: a) b) x >2 y≤3 (Resolución pag.Programación Lineal .2 (Resolución pag.4
Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones: x<3 a) x–3y >6 b) 3x+y>6 y≥0
Ejercicio No.Enunciados
Ejercicio No.19)
Resolver gráficamente las siguientes inecuaciones: a) b) 2x–y >4 2x–y ≥4
Resolver gráficamente las siguientes inecuaciones: a) b) 2x+4y >2 2x+4y≥2
Ejercicio No. 22)
Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones: x –y ≥ 2 a) 2x+y>4 b) -6 x + 3y ≤ 3 -2 x + y ≥ 1 c) -x+2y<0 x+y ≥0
7 (Resolución pag. 24)
Resolver gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones 5 x + 6 y ≤ 2400 3 x + y ≤ 900 x≥0 y≥0
Ejercicio No.8 (Resolución pag. 23)
Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones: x +3 y ≤ 6 a) x–y ≤ 2 x≥0 b) x–y≤2 x+3y≤6 x≥0 y ≥ 0
Ejercicio No. 25)
Resolver gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones: 5 x +5 y ≤ 60 2 x + 10 y ≤ 40 x ≥ 0 y ≥0
.Introducción a la Programación Lineal .Capítulo 1 .6 (Resolución pag.
Introducción a la Programación Lineal . 25)
Resolver gráficamente el siguiente sistema de inecuaciones: 3 x + y –10 ≥ 0 x≥2 y≥1
Ejercicio No.11 (Resolución pag. 26)
Repite el ejercicio anterior con la recta:
4x+2y=n
.10 (Resolución pag. 26)
Graficar las rectas de ecuación: 3 x + 6 y = n en un mismo sistema de ejes para: a) b) c) d) n=0 n=1 n=5 n=8
¿ Qué particularidad presentan las rectas que has graficado ?
Graficar las rectas de ecuación: 2 x – y = n a) b) c) d) e) n=0 n=1 n=3 n = -1 n = -2 en un mismo sistema de ejes para
Ejercicio No.12 (Resolución pag.9 (Resolución pag.Capítulo 1 .
a) La solución es uno de los semiplanos determinados por la recta de ecuación 2x – y = 4. 2
Razonando en forma similar al ejercicio anterior las soluciones son:
a) ½ 2x + 4y = 2
. concluimos que la solución es el semiplano que no contiene al origen de coordenadas
2x –y = 4 ( se excluye )
b) La única diferencia con la parte a) es que en este caso la recta 2x – y = 4 es parte del conjunto solución. Y 2x – y = 4
Ejercicio No.Introducción a la Programación Lineal -Capítulo 1 . Probando en la desigualdad dada con cualquier punto del plano no perteneciente a la recta.Resoluciones
a) Para resolver el sistema representaremos separadamente ambas inecuaciones y luego en un mismo sistema de ejes buscaremos la intersección de ambos conjuntos solución. 3
a) Se deduce fácilmente que la solución es la indicada. Y x=2
b) Idem 3
Y y =3
Ejercicio No. (2) Fig. (1) Y
0 3 Y x – 3y =6
Ejercicio No.Introducción a la Programación Lineal -Capítulo 1 – Resoluciones
b) La misma solución incluyendo la recta 2x + 4y = 2 .
De las soluciones anteriores concluyes que la solución del sistema es la indicada en la figura (3). -1) b) y
3x + y > 6
.Introducción a la Programación Lineal -Capítulo 1 .2
Punto P(3. Y
a) x–y≥2 y=x – 2 y 2x + y = 4 0
2x + y > 4 y
fig (1).Resoluciónes
fig. (3) La solución del sistema planteado es la indicada en la fig. (3).Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 . b) y y -6x + 3y = 3 1 -2x + y = 1 1
Como ambas rectas son coincidentes (coeficientes proporcionales). la solución está expresada gráficamente por la recta.
x + 2y = 0 x
a) x + 3y ≤ 6 y
2 x + 3y = 6
x–y≤2 y
La solución gráfica del sistema está dada por el triángulo de la figura.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 .Resoluciónes
c) La solución gráfica del sistema de inecuaciones será: yyyyyyyy lkgklgk y yyyyy
x+y=0 0 yyyy 0
B 0 C X
Los vértices tienen por coordenadas : O(0.0) A(0.
Ejercicio No.0) .1) C(2.2) B( 3.Resoluciónes
x–y ≤ 2
y x – y =2
2 0 -2 0 6x 2 x
La intersección de los cuatro semiplanos nos da el cuadrilátero convexo de la figura.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 . solución del sistema.
3x +y –10= 0
Ejercicio No.Resoluciónes
La solución gráfica del sistema está dada por el cuadrilátero convexo OABC de la figura cuyos vértices tienen por coordenadas : O (0. 8
La solución gráfica del sistema está representada por los puntos del cuadrilátero convexo OABC de la figura. y ) = 2x – y. que es un haz de rectas paralelas. En este ejercicio te estamos pidiendo que grafiques algunas de sus curvas de nivel.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1. 400) B(
3000 2700 ) .4)
B(10. 13 13
C (300.
. Repara en el hecho que se trata de un recinto no acotado. 10
Considera la función f : f(x . Y
A 0 Los vértices tienen por coordenadas: O(0. 9
La solución es la zona sombreada de la figura.0)
Ejercicio No.2) C(12.0) A ( 0 .0) A( 0.
. curvas de nivel de la función f: f (x. 11
Este ejercicio es completamente similar al anterior.y) = 4x + 2y tienen pendiente igual a -2.12
Las rectas paralelas . Y
0 n=0 n=1 n=5 n=8
Ejercicio No.n
Ejercicio No. Las ecuaciones de esas rectas están dadas por la ecuación : y = 2x . Obtendrás rectas paralelas con pendiente negativa igual a -1/2.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 .
Y n=0
n=1 n=8
.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 1 .
(x .0) a) Representa el polígono de puntos factibles. B (6. 38)
f(x.Enunciados
Ejercicio No.4) . A(0.1 (Resolución pag. C(7.y) = 4 x + 5 y
x+2y≤6 x+y≤4 x≥0 y≥0
Ejercicio No. y) = 10 x + 10 y
Si el polígono de puntos factibles tiene por vértices los puntos: O(0. D(8.Introducción a la Programación Lineal .3
Minimizar la función
(Resolución pag.0) . 37)
f (x .3) . b) Maximiza la función si se admiten como soluciones valores necesariamente enteros . 40)
f(x. y) no te pedimos:
Ejercicio No.6) .2 (Resolución pag.Capítulo 2 . c) ¿Cuántas soluciones con (x ) e ( y ) enteros crees que existen? Indícalas.y)= 12 x + 8 y
3x+2y≥1 4x+y ≥1 x≥0 y≥0
y) = 3 x +4 y
x+y≤4 2x+y≤5 x≥0 y≥0
b) Con las mismas restricciones que en la parte a) maximizar ahora la función:
f (x. c) Maximiza la función “f ” sujeta a las restricciones dadas. 42)
Dada la función “f ” tal que
f(x. b) Determina las coordenadas de cada vértice y el correspondiente valor de la función “f ”.Enunciados
Ejercicio No.y) = 5 x + 10 y
Repite el ejercicio anterior con la función restricciones: 5 x +5 y ≤ 60 2 x + 10 y ≤ 40 x≥0 y≥0 Ana Coló Herrera 30
f(x.y) = 4 x + 3 y
Ejercicio No.x +y ≤ 8 x≥0 y≥0
a) Representa el polígono de puntos factibles.Introducción a la Programación Lineal .Capítulo 2 . 41)
a) Maximizar la función
f(x.y) = 4 x +4 y
2x +3y ≤ 12 2.4 (Resolución pag.5 (Resolución pag.6
(Resolución pag.
25 horas de otra máquina M2.
x+y≥5 2x+3y≤6 x≥0 y≥0
Ejercicio No.y) = 5 x + y Restricciones: x+y≥5 3x+y≥6 x≥0 y≥0
Ejercicio No. 44)
Muestra que el siguiente problema de maximización no tiene solución e indica porqué.8 (Resolución pag. 44)
Muestra que el siguiente problema de maximización no tiene solución e indica porqué. El juguete del Tipo (II) necesita 1 hora de M1 y 1 hora de M2 .Introducción a la Programación Lineal . Función “f ”: f(x.(Resolución pag.Enunciados
Ejercicio No.9 – Fabricación de juguetes . Función “f ” : f(x.
.y) = a x + b y Restricciones con (a) y (b) números reales positivos.5 horas de trabajo de una máquina M1 y 0. La fabricación de cada unidad del juguete Tipo (I) necesita 0.7 (Resolución pag. El orden en que se efectúan las operaciones en las máquinas es indiferente. 44)
Una empresa está dedicada a la fabricación de juguetes de plástico de dos tipos diferentes que llamaremos Tipo (I) y Tipo (II).Capítulo 2 .
de plástico y 1.5 U$S por unidad . 25 horas por semana.(2).5 Kg. por día.Introducción a la Programación Lineal . de materia prima y cada unidad del artículo (B) 3 Kg. de aluminio. El artículo (A) necesita 2 horas de trabajo en máquina.Capítulo 2 . La fábrica tiene asegurada una existencia de materia prima de 12 Kg. El empresario está fabricando 3 unidades por día del artículo (A) y 2 unidades por día del artículo (B) y te consulta si está trabajando adecuadamente para obtener máxima ganancia. ¿ Qué le contestarías al empresario?
Ejercicio No. Cada unidad del juguete Tipo (I) dá una ganancia o utilidad de U$S 10 y cada unidad del juguete Tipo (II) dá una ganancia de U$S 30.Enunciados
La máquina M1 está disponible 40 horas por semana y la máquina M2 .(1) necesita 1 Kg. mientras que el artículo (B) necesita 1 hora. Determina las cantidades a fabricar por semana de cada tipo de artículo para obtener máxima ganancia si: Ana Coló Herrera 32 Héctor Patritti
Ejercicio No. El fabricante dispone semanalmente de 50 Kg de plástico y 60 Kg. El Art. se desea saber cuántas unidades deben fabricarse por semana de cada uno de los tipos de juguetes para que la empresa obtenga máxima ganancia. Cada unidad del artículo (A) insume 2 Kg.5 Kg. mientras que el Art. de aluminio. La máquina está disponible 8 horas al día. Si se sabe que todos los juguetes fabricados serán vendidos. 47)
Una empresa está fabricando dos tipos de artículos que llamaremos Art. 11 – Ganancia de empresa
(Resolución pag. El artículo (A) dá una ganancia de 2.5 Kg. (2) necesita 1. de plástico y 1. y el artículo (B) de 5 U$S por unidad.(1) y Art. de aluminio. 46)
Una pequeña empresa está fabricando dos tipos de artículo que llamaremos (A) y (B). 10 – Ganancia de empresa (Resolución pag.
Introducción a la Programación Lineal - Capítulo 2 - Enunciados
a) El artículo (1) dá una ganancia por unidad de U$S 4 y el artículo (2) de U$S 5. b) ¿Qué ocurre si las utilidades cambian a: 6 U$S por unidad para el Art.(1) y 5 U$S por unidad para el Art.(2)?
Ejercicio No. 12 – Armado de computadoras
(Resolución pag. 49)
Un taller de armado de computadoras produce dos modelos de las mismas que llamaremos Mod. (I) y Mod. (II). El Mod.(I) requiere 1 horas de mano de obra especializada y 2 hora de mano de obra no especializada. El Mod (II) requiere 1 hora de mano de obra especializada y 1 hora de no especializada . Se disponen de 120 horas de mano de obra especializada y 200 horas de mano de obra no especializada por semana. El Mod.(I) produce una utilidad de 60 U$S por unidad y el Mod. (II) de 30 U$S por unidad. a) Si sólo se admiten soluciones enteras, ¿ cuántas posibilidades de obtener máximas utilidades existen? b) ¿ Cuál es el menor número de unidades del modelo (I) y el correspondiente número de unidades del modelo (II) que deben armarse por semana para obtener máximas utilidades? c) Cuál es el mayor número de unidades del modelo (I) y el correspondiente número de unidades del modelo (II) que deben armarse por semana para obtener máximas utilidades?
Ejercicio No. 13 – Costo de Dieta (Resolución pag. 51)
Una persona debe cumplir una dieta que le exige consumir por semana al menos 1 Kg. de carbohidratos y ½ Kg. de proteínas. Para ello cuenta con dos alimentos que llamaremos (A) y (B) que están constituídos exclusivamente por carbohidratos y proteínas.
Introducción a la Programación Lineal - Capítulo 2 - Enunciado
El alimento (A) contiene 90% (en peso) de carbohidratos y el resto de proteínas, mientras que el alimento (B) contiene 60% de carbohidratos y el resto de proteínas. El alimento (A) cuesta 20 $ / Kg. y el alimento (B), 40 $ / Kg. ¿Qué cantidad de cada alimento deberá consumir la persona para que el costo de su dieta sea mínimo?
Ejercicio No. 14 – Confección de prendas (Resolución pag. 52)
Una empresa que confecciona ropa está dedicada a la fabricación de dos tipos de prendas de vestir que denominaremos (I) y (II). Ambas prendas requieren el uso de dos máquinas M1 y M2, siendo indiferente el orden en que se realizan ambas operaciones. Cada prenda del tipo (I) debe permanecer 5 minutos en la máquina M1 y 3 minutos en la máquina M2. Cada prenda del tipo (II) debe permanecer 6 minutos en M1 y 2 minuto en M2. La máquina M1 está disponible 40 horas a la semana y la máquina M2 15 horas por semana. Si cada prenda del tipo (I) produce una utilidad de $40 y cada prenda del tipo (II) una utilidad de $ 50, te pedimos: ¿ Cuántas unidades de ambas prendas deben confeccionarse semanalmente para que la empresa obtenga máxima ganancia? )
Ejercicio No. 15 – Fabricación de bibliotecas (Resolución pag. 53)
Una empresa fabrica dos tipos distintos de bibliotecas metálicas que denominaremos como Tipo (I) y Tipo (II). Ambas requieren la utilización de piezas de dos metales diferentes a las que llamaremos piezas (A) y piezas (B). Cada unidad de la biblioteca tipo (I) requiere 3 unidades de las piezas (A) y 7 unidades de las piezas (B), mientras que cada unidad de las del Tipo (II) requiere 5 unidades de las piezas (A) y 1 unidad de la pieza (B).
Se dispone en total de 25 unidades de la pieza (A) y 21 unidades de la pieza (B) por semana. Las bibliotecas del tipo (I) dan una utilidad de U$S 20 y las del tipo (II) de U$S 25. a) Considerando admisibles soluciones fraccionarias, ¿cuántas bibliotecas de cada tipo se deben fabricar para tener utilidad máxima? Calcular esa utilidad. b) Calcular una solución entera redondeando la solución fraccionaria obtenida en a). c) Calcular la utilidad en todos los vértices del polígono de soluciones factibles. ¿ Es la solución redondeada de la parte b) la que dá máxima utilidad?.
Ejercicio No. 16 – Ganancia de empresa
(Resolución pag. 54)
Después de graficar las restricciones en un problema de programación lineal , se obtiene la región de puntos factibles que se indica en la figura. y A B C O ( 0,0) , A (0,3), B (1,4), C (3,3) , D(4,1) , E(3,0). D
La función ganancia a maximizar es:
G (x,y) = 40 x + 10 y
a) Determina el valor máximo de la función (G) , hallando el valor de la misma en cada vértice del polígono. b) ¿ Cuál es la pendiente de las rectas de nivel de la función (G)? c) ¿ Entre qué valores puede variar la pendiente de las rectas de la parte anterior para que la solución óptima siga correspondiendo al vértice hallado en la parte a) ?
(3) = 100
.4) .(6) + 10.3) .(4) = f(7. y A a B C
kmax.El valor máximo de la función es: f(6. A (0.y) = 10x + 10y
las curvas de nivel de la función “f” son rectas
paralelas de pendiente m = .3) = 10.
De las infinitas parejas (x .6) .1 y de ecuación 10x + 10y = k.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Ejercicio No. 4) y ( 7 .1
a) Representamos los vértices dados O(0. B (6.0) obteniendo el polígono convexo de la figura.0) .(7) +10. Dado que el lado BC del polígono de puntos factibles también tiene pendiente m = . polígono de puntos factibles.
f(x . D (8.4) = =10. C(7. EL máximo valor de “ f ” se produce entonces en cualquier punto del segmento BC. 3 ). Siendo x = 6 la abscisa del punto B y x = 7 la abscisa del punto C concluímos que las únicas soluciones enteras posibles son : ( 6 .y) que corresponden a puntos del segmento BC debemos encontrar aquellas que tienen componentes enteras.1 la recta ( a ) que corresponde al máximo valor de k que contiene algún punto del recinto coincide con el lado BC.
C(4.0). x + 2y ≤ 6 x+y≤4 x≥0 y≥0 (I) (II) (III) (IV)
C 0 4 6 x
Obtenemos el polígono convexo OABC de la figura.
.2) . Representando la recta correspondiente a k = 0 .y) = 4x + 5y tiene por curvas de nivel rectas de pendiente .3) . 2 ) y su valor máximo es f(2.2
Comencemos por encontrar la solución gráfica del sistema de inecuaciones formado por las restricciones impuestas.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Ejercicio No. y ) = ( 2 . siendo A(0. La función a maximizar f / f(x. B(2. En conscuencia la función se maximiza para ( x .2) =4 (2) +5 (2) =18.4/5 y de ecuación 4x +5y = k. vemos que la recta correspondiente al máximo de la función es la que contiene al vértice B. Y
4x +5y = 0
4x +5y = Kmax.
(4. resultado al que habíamos llegado gráficamente. Intersección
Viola restricción
Vértice Valor func. bastará que calculemos el valor de la función problema en cada uno de los vétices para luego decidir cuál es la solución buscada. Debemos entonces : 1ro.0)
El máximo se produce en el punto (2.2) y vale 18. Para encontrar los vértices deberemos hallar los puntos de intersección de las rectas definidas por cada una de las restricciones tomadas por parejas y comprobar posteriormente cuales de esos puntos son realmente vértices del polígono de puntos factibles teniendo en cuenta que para serlo deberán verificar cada una de las restricciones dadas.0)
(0.) Hallar todos los vértices del polígono de puntos factibles.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Como te indicábamos en la INTRODUCCION puedes resolver estos ejercicios sin necesidad de recurrir a la representación gráfica. En nuestro ejercicio tendremos:
Rectas x + 2y = 6 x+ y=4 x + 2y = 6 x=0 x + 2y = 6 y=0 x+y=4 x=0 x+y=4 y=0 x=0 y=0
Pto. Admitiendo que los máximos (mínimos) se producen en los vértices o
eventualmente lado del polígono convexo de puntos factibles.
(0.) Calcular el valor funcional en cada uno de ellos.2)
(6. 2do.
Como puedes observar la recta de nivel que corresponde al valor mínimo de la funcion “f” es la recta BC . como así también que el recinto de puntos factibles es un recinto no acotado. Puedes pensar en este caso qué contestarías si se te pidiéramos que investigaras
.0) (I) y (II) -------(¼. ½ ) (II) -------(1/5 .3
En este ejercicio se te pide minimizar la función f(x.0) (I) -------(0. En la figura representamos ese recinto pudiéndose comprobar que la pendiente de las curvas de nivel de la función “f” cuyo valor es –12 / 8 = .3 / 2 coincide con la pendiente del lado BC.1) Ninguna A 8 (1 / 3 . 1/5) Ninguna B 4 Intersección Viola restricción Vértice Valor funcional
El valor mínimo de la función es entonces 4 y como ese valor se produce en los vértices B y C ello indica que se producirá en todos los puntos del lado BC del recinto de puntos factibles. 0 ) Ninguna C 4 (0 .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
Ejercicio No.y) = 12x + 8y sujeta a las restricciones: 3x +2y ≥ 1 4x + y ≥ 1 x≥0 y≥0 (I) (II) (III) (IV)
Tendremos entonces: Rectas 3x +2y=1 4x+y=1 3x+2y=1 x=0 3x+2y=1 y=0 4x+y=1 x=0 4x+y=1 y=0 x=0 y=0 (0.
4x +y = 1 1/2 12x + 8y = 0
B (1/5.0)
(0.25 1/3 X
Ejercicio No.y) = 3x + 4y (IV) y ≥ 0 Restricciones: (I) x + y ≤ 4 (II) 2x + y ≤ 5
Rectas x +y =4 2x + y = 5 x+y=4 x=0 x+y=4 y=0 2x + y = 5 x=0 2x +y = 5 y=0 x=0 y=0
(0.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
sobre el valor máximo de la función sujeta a las restricciones dadas.4
a) f (x.4)
C 0 0.3)
(5/2 .
0) Valor funcional f(0.4) y su valor es 16.3) Pto. 0) Pto. Y
recta de nivel correspondiente al máximo
El recinto de puntos factibles es el mismo que en la parte a) del ejercicio.4) = 12 f(1. 0) = 10 f(0.4) Pto. C (5/2 .4 / 3. A efectos de que lo visualices te mostramos en la figura el polígono de puntos factibles y la recta de nivel que corresponde al máximo de la función.0) = 0
El máximo se produce entonces ahora en el vértice B y su valor es 13.3) = 13 f(5/2 .
Ejercicio No.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
De acuerdo a los cálculos el máximo de la función se produce en el vértica A (0. La nueva pendiente de las rectas de nivel de la función vale ahora . cambiando solamente la función a maximizar. B (1. A (0.5
A B 2x+3y=12 0 C X
. O (0. Calculemos la función en los vértices: Pto.
2) =70. 0)
Valor funcional 0 40 70 60
c) De acuerdo a los resultados obtenidos el máximo se produce en el vértice B y su valor es f(10 .y) = 5x + 10y Restricciones: 5x +5y ≤ 60 (I) a) y 2x +10y ≤ 40 (II) x ≥ 0 (III) y≥0 (IV)
5x +5y = 60 A B 2x + 10y = 40
Vértices O(0 . 6
f(x. Ana Coló Herrera 43 Héctor Patritti
. 2) C(12 . 0) A(0 .
Ejercicio No.0) A(0.4) B(3. .2) y vale 20.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
b) Vértices O(0.0) Valor funcional 0 16 20 16
b) De acuerdo a los valores obtenidos el máximo de la función se produce en el punto (3.2) C(4. 4) B(10 .
. como te decíamos en la introducción. Comencemos: la función a maximizar es la ganancia de la empresa .y) = ax + by Restricciones: x + y ≥ 5 (I) 2x + 3y ≤ 6 (II) x ≥ 0 (III) y ≥ 0 (IV)
Al intentar resolver el sistema de inecuaciones dadas comprobarás que el conjunto de puntos factibles es el conjunto vacío por lo que el problema planteado no admite solución. y
La pendiente de las rectas de nivel de la función es acotado la función no tiene máximo. Una vez logrado esto. debes encontrar el sistema de inecuaciones que traduce las restricciones impuestas.y) = 5x + y Restricciones : x + y ≥ 5 (I) 3x + y ≥ 6 (II) x ≥ 0 (III) y≥0 (IV)
El conjunto de puntos factibles es el indicado en la figura.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2– Resoluciones
f(x. En primer lugar debes tratar de identificar y luego hallar la expresión analítica de la función a maximizar. 8
f (x. trabajar ordenadamente por la cantidad de datos que el problema involucra. Como el recinto es no
. En este tipo de ejercicio es conveniente. 9
En este ejercicio te pedimos que determines el número de unidades de cada tipo de juguete que se debe fabricar por semana para obtener máxima ganancia. notémosla con “G”.
5 x horas de máqina.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 – Resoluciones
Intentemos ahora hallar su expresión analítica.5 x + 1 y ≤ 40 0.y horas de máquina.x U$S / sem.y) = 10x + 30y Dediquémonos ahora a las restricciones. Para ello llamemos: (x) al número de unidades / semana del juguete tipo (I) que se fabrican .y U$S/ sem. En forma análoga las “y” unidades del juguete del tipo (II) necesitarán 1.5 horas de máquina y se fabrican “x” unidades. (y) al número de unidades / semana del juguete tipo (II) que se fabrican. En forma similar la ganancia para el juguete tipo (II) será de 30. La función ganancia total G tendrá entonces la siguiente expresión analítica: G(x. Puedes optar por la resolución gráfica utilizando curvas de nivel o calculando los valores de la función ganancia en los vértices del recinto de puntos factibles. Las horas totales de utilización de la máquina M1 no podrán superar las 40 por lo que podremos escribir: 0.
. A efectos de que visualices el recinto te lo indicamos en la figura. Si cada unidad del juguete (I) necesita 0.25 x + 1 y ≤ 25 Obviamente además deberán ser: x≥0 (1)
Razonando en forma completamente similar para la máquina M2 concluirás que: (2) (3) y ≥ 0 (4)
Las restricciones serán entonces las inecuaciones numeradas del (1) al (4). se necesitarán 0. A partir de este momento la resolución del problema es similar a los ejercicios que has resuelto con anterioridad. Tenemos la restricción de que la cantidad de horas disponibles para la máquina M1 es de 40 horas semanales. Como cada unidad del juguete tipo (I) da una ganancia de 10 U$S la fabricación de x unidades por semana dará una ganancia de 10.
Si cada unidad del artículo (A) da una ganancia de U$S 2.25x + y =25 y=0 x=0 y=0
( 60.40)
( 80. por día de materia prima deberá cumplirse que: 2x +3y ≤ 12 (1)
Como el artículo (A) necesita 2 horas de trabajo de máquina y el artículo (B) necesita 1 hora y disponiéndose de la máquina sólo 8 horas diarias deberá cumplirse que: 2x + 1y ≤ 8 (2) Evidentemente además deberán ser : x≥0 (3) y ≥ 0 (4).Resoluciones
0. 3Kg.25x + y =25 x=0 0. 10
Llamemos x al número de unidades del artículo (A) e y al número de unidades del artículo (B) que se fabrican por día. de materia prima y cada unidad del artículo (B) .5x + y = 40 y=0 0. y ) = 2. la ganancia diaria total será: G ( x .5x + 5y Como cada unidad del artículo (A) insume 2 Kg.0 )
El máximo se produce en el vértice B ( 60.5x + y = 40 0. de materia prima y disponiendo la empresa de un máximo de 12 Kg.5x + y = 40 x=0 0.5 y cada unidad del artículo (B) una ganancia de U$S 5.
.10 ) y la ganancia máxima es entonces de 900 U$S / semana. 25 )
( 100. Deberán fabricarse 60 unidades del juguete Tipo (I) y 10 unidades del juguete Tipo (II) semanalmente.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .0 )
Ejercicio No.0 )
( 0 .10 )
( 0.25x + y =25 0.
y al número de unidades del artículo (2) fabricados por semana.4). 11
Llamemos: x al número de unidades del artículo (1) fabricados por semana.5 U$S / día mientras que si fabricara únicamente 4 unidades del artículo (B) obtendría una ganancia de 20 U$S / día.
Ejercicio No. a) Siendo la ganancia por unidad de 4 U$S y 5 U$S respectivamente. Seguramente tu respuesta sería: “ Deje de fabricar el artículo (A) y fabrique 4 unidades del artículo (B)”.Resoluciones
Tenemos ya todos los elementos necesarios para resolver el problema y poder dar contestación a la pregunta del empresario.0)
Rectas 2x +3y = 12 2x + y = 8 2x +3y = 12 x=0 2x + 3y = 12 y=0 2x + y = 8 x=0 2x + y = 8 y=0 x=0 y=0
Interseccion (3.2)
Viola restricción Ninguna
Valor funcional 17.0)
(0. Trata de llegar a esta misma conclusión haciendo la representación gráfica del recinto de puntos factibles y utilizando las curvas de nivel de la función ganancia.8)
(6. la función Ana Coló Herrera 47 Héctor Patritti
El máximo de la función es 20 y se produce en el punto de coordenadas (0.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 . El empresario no está entonces trabajando en forma conveniente ya que al producir 3 unidades del artículo (A) y 2 unidades del artículo (B) obtiene una ganancia de 17.
La empresa deberá entonces fabricar 20 artículos de cada tipo semanalmente obteniendo una ganancia de U$S 180.y) = 4x + 5y 1. A. 20) = 220 y finalmente
. la nueva función ganancia será: G(x.5y = 60 x=0 1.Resoluciones
ganancia (G) será:
G(x. 100 /3) = 500 /3 G(20 .5 y ≤ 50 1. b) Siendo ahora la utilidad del artículo (A) de 6 U$S por unidad y de 5 U$S por unidad la del artículo (B) .5 x + 1.5y =50 1. 20)
Valor funcional 180
(0.5y =60 y=0 x=0 y=0
Intersección (20 . 0) = 240. 40 )
(40 .5x +1. Tendremos: G(0.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 . 0)
(0 . B y C.x + 1.5y =60 x=0 x + 1.y) = 6x +5y Como las restricciones no han variado el polígono de puntos factibles sigue siendo el mismo. 0)
500 / 3 -------
(0 . G( 0 .5 y ≤ 60 x≥0 y≥0 (3) (4)
Las restricciones serán: Restricción para el plástico Restricción para el aluminio Obviamente además será (1) (2)
Rectas x + 1. Basta que calculemos los nuevos valores funcionales en los vértices O. 50/1.5x + 1.0) = 0 G(40 .5y =50 x + 1.5y = 50 y=0 1.5) (50 .5x +1.
O Recta de pendiente .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .8 siendo por tanto el vértice B el correspondiente al máximo.6 /5 = .
Ejercicio No. El recinto de puntos factibles es el mismo en ambos casos y es el indicado en la figura. 12
Llamemos : x número de computadoras del modelo (I) fabricadas por semana.y) = 60x + 30y 1.y ≤ 120 2.1.4 /5 = . En la parte a) del ejercicio el máximo de la función ganancia se produjo en el vértice B mientras que en la parte b) se produjo en el vértice C. y
A B Recta de pendiente .2
En el caso a) la pendiente de las rectas de nivel de la función ganancia es igual a .0.0. y número de computadoras del modelo (II) fabricadas por semana. Tratemos de interpretar gráficamente la razón de ello. siendo la misma de U$S 240 semanales.y ≤ 200 Se cumplirá además: x≥0 y ≥0 Ana Coló Herrera (3) (4) 49 Héctor Patritti
Restricción debida a la disponibilidad de mano de obra especializada : (1)
Restricción debida a la disponibilidad de mano de obra no especializada: (2)
.2 lo que hace que sea el vértice C el correspondiente al máximo.Resoluciones
La ganancia máxima se obtiene entonces fabricando 40 unidades del artículo (A) y ninguna del artículo (B).x + 1.x + 1. En el caso b) la pendiente de las rectas de nivel de la función ganancia es en cambio igual a . Como las utilidades de cada modelo son 60 y 30 U$S / unidad respectivamente. la función ganancia será: G(x.1.
o bien 85 del modelo (I) y 30 del modelo (II) .0)
(0. es -2. lado del polígono de puntos factibles. 90 del modelo (I) y 20 del modelo (II) .000
(0. La respuesta a la pregunta es entonces : existen 21 posibilidades de fabricación que darán la ganancia máxima de 6000 U$S por semana.120)
3.40) y C (100.0)
(0.0) bastará encontrar la cantidad de números enteros comprendidos entre 80 y 100 inclusives. como puedes verificar. es decir el armado de las computadoras completas. La ecuación de la recta BC ( y= . Debemos hallar entonces aquellos puntos del segmento BC cuyas coordenadas sean números enteros.600
Como puede deducirse del cuadro la ganancia máxima de 6000 U$S por semana corresponde a los vértices B y C del polígono de puntos factibles . Esto significa que la función ganancia se maximiza en cualquier punto del segmento BC .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .
. como podrían ser . Ello ocurre porque las rectas de nivel de la función G y la recta BC tienen la misma pendiente cuyo valor. por ejemplo.Resoluciones
Rectas x+y =120 2x+y =200 x+y =120 x=0 x+y=120 y=0 2x+y=200 x=0 2x+y=200 y=0 x=0 y=0
Intersección (80.40)
Valor funcional 6. Siendo B (80. etc.2x+200) asegura que siendo x entero lo será también y . a) En esta parte del ejercicio se nos exigen soluciones enteras.200)
por semana del alimento (B) Determinemos la función Costo (C) de la dieta.6y ≥ 1 Restricción por proteínas: 0. y
0. de carbohidratos y ½ Kg.
. de proteínas.9x + 0.4y ≥ 0.4y = 0.5 Se cumplirá además naturalmente que : x≥0 (3) y≥0 (4) (2) (1)
Representemos gráficamente el recinto de puntos factibles. tendremos: C(x.5y =1 B
O 0.y) = 20x + 40y ( $ / semana )
Veamos las restricciones impuestas por la exigencia de la dieta que obliga a la persona a consumir por lo menos 1 Kg.
Ejercicio No.9x+0. c) El mayor número de unidades del modelo (I) será de 100 unidades semanales no debiéndose.Resoluciones
b) El menor número de unidades del modelo (I) será de 80 unidades semanales y del modelo (II) 40 unidades semanales.1x+0.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 . en este caso. por semana del alimento (A) y a la cantidad de Kg.1x + 0.5
Recta de nivel correspondiente a costo mínimo. Como el alimento (A) cuesta 20 $ / Kg y el alimento (B) 40 $ /Kg. 13
Llamemos: x a la cantidad de Kg. armar ninguna unidad del modelo (II). Restricción por carbohidratos: 0.
De la resolución gráfica deducimos que el mínimo de la función costo se produce en el punto B. 0) (0 .y) = 40x + 50y
Como restricciones tendremos. trabajando en minutos: Restricción por uso de la máquina M1 Restricción por uso de la máquina M2 En consecuencia: Rectas 5x+6y=2400 3x+2y=900 5x+6y=2400 x =0 5x+6y=2400 y=0 3x+2y=900 x=0 3x+6y=900 y=0 x=0 y=0 (0 . 0) (0 . La resolución del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las rectas AB y BC indica que las coordenadas del vértice B son: (
1 7 ). 675 ) 2 Viola restricción Ninguna Vértice B Valor funcional 19875
5x + 6y ≤ 2400 3x +2y ≤ 900
.3 3 6 3 sem. 0) Ninguna (2) (1) Ninguna Ninguna A ----C O 20000 ------------12000 0 Intersección (75 . del alimento (A) y 7/6 Kg. . + 40.14
Sean: x número de prendas fabricadas por semana del tipo (I)
y número de prendas fabricadas por semana del tipo (II)
De acuerdo a las utilidades que producen las ventas de ambos tipos de prendas. del alimento (B) por semana.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .
Ejercicio No. la función ganancia G será:
G(x. 400) (480 . 450) (300 . 3 6
El costo mínimo de la dieta será: 1 7 160 $ Cmin = 20. = ≅ 53. La persona deberá consumir 1/3 Kg.
Fabricando semanalmente 400 de ellas se obtendrá la máxima ganancia que asciende a $ 20000 por semana.15
Sean: x el número de bibliotecas del tipo (I) fabricadas por semana
y el número de bibliotecas del tipo (II) fabricadas por semana. 0) 3 (2) ------Ninguna A 125
.Resoluciones
De acuerdo a lo indicado en el cuadro anterior solamente deberán prendas del modelo (II). 5)
137. 21) (1) ------( 25 . 0) Ninguna C 60 (0 . 0) Ninguna O 0 (3 .50
7x+y = 21 3x+5y=25 x=0 3x+5y=25 y=0 7x+y = 21 x=0 7x+y = 21 y=0 x=0 y=0 (0 .y ≤ 21 Se cumplirá además: Tendremos entonces: Rectas 3x+5y=25 Intersección Viola restricción Vértice Valor funcional
5 7 ( .Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 .y) = 20x + 25y
Las restricciones generadas por la existencia de los materiales necesarios serán: Restricción debida a la existencia de piezas (A): 3x +5y ≤ 25 Restricción debida a la existencia de piezas (B): 7x + 1. ) 2 2 (0 .
De acuerdo a las utilidades que produce la venta delas bibliotecas la función ganancia será:
La exigencia de soluciones enteras nos cambia la solución de un vértice a otro del polígono de puntos factibles en nuestro caso.3) = 210 G(4.1) . si violan o no alguna de las restricciones del problema. B(1.
b) Redondearemos la solución fraccionaria hallada.5 bibliotecas del tipo (I) y 3. es decir.50. Resumimos las distintas posibilidades en el cuadro siguiente.
Ejercicio No. Exterior al polígono Pto.0) = 0 G(0.3) . Obtendremos un conjunto de puntos (x. E(3.0) y la función
ganancia G(x. Por tanto resulta más conveniente que la situación generada por el redondeo de la parte b) .4) . De él podemos concluir que si la empresa trabaja fabricando 5 unidades de la biblioteca tipo (II) ( Pto.5
y = 3.1) = 190 G(3.5
Podemos pensar en redondear por exceso y por defecto. A(0.y) = 40x + 30y tendremos: G(0. Exterior al polígono Punto interior al polígono
La solución redondeada consistiría entonces en fabricar 2 unidades de la biblioteca tipo (I) y 3 unidades de la biblioteca tipo (II) lo que generaría una ganancia semanal de U$S 115.
x 3 3 2 2
y 4 3 4 3
Viola restricción (1) y (2) (2) (1) Ninguna
Ganancia en U$S -------------115
Observación Pto.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 . C(3.3) = 90 G(1.4) = 160 G(3.
x = 2. la ganancia obtenida será de 125 U$S / sem. Exterior al polígono Pto.
c) Para dar respuesta a la pregunta planteada remitámonos al cuadro del comienzo
del ejercicio.y) con coordenadas enteras que es necesario verificar si pertenecen o no al recinto de puntos factibles.0) .3) . D(4.Resoluciones
a) Como se admite soluciones no enteras el máximo de ganancia se obtendría
fabricándose 2. A del polígono de puntos factibles) y ninguna unidad de las bibliotecas tipo (I). 16
a) Siendo los vértices O(0.0) = 120
.5 bibliotecas del tipo (II) por semana obteniéndose una ganancia de U$S 137.
½ Pendiente de la recta CD: mCD = .Resoluciones
El valor máximo de la función es entonces 210 y se produce en el punto C(4.2 En consecuencia debe cumplirse que :
− 2 ≤ m ≤ -½
Gráficamente la recta de nivel que pasa por el vértice C deberá estar incluída en la zona indicada. y
Polígono de puntos
factibles zona a la que debe pertenecer la recta de nivel que pasa por C
.Introducción a la Programación Lineal – Capítulo 2 . Pendiente de la recta BC : mBC = .
b) Siendo la ecuación de las rectas de nivel de la función G:
40x + 30y = K la pendiente será : m = − 40 4 =− 30 3
( K constante)
c) Observando el recinto de puntos factibles dado en el ejercicio puedes concluir que
el máximo de la función G seguirá produciéndose en el vértice C mientras la pendiente (m) de las rectas de nivel de la función ganancia se encuentre comprendida entre las pendientes de las rectas BC y CD.1).
Documents Similar To Programacion LinealSkip carouselProgramacion LinealEJEMPLOS de Programacion LinealProgramacion LinealProgramación LinealIntroducción a la programación lineal y modelamiento MatemáticoProgramacion LinealProgramación LinealProgramación LinealFormato Trabajo FinalProgramación LinealProg LinealProgramacion Lineal-programacion LinealProg LinealEjercicios Resueltos Programacion LinealProgramacion Lineal Ejercicios ResueltosElon Lages Lima Analisis español!!!!vol1M ComputacionGrafica14 Unidadinecuaciones_lineales_regiones del plano_13_14.pdfClases 9-17 Simplex IOP.pdfejercicios bloque geometriaMat II Tema 05 Geo Puntos Rectas y PlanosDummie Test Precalculo I Examen 3 Parte IIalgtp32009Trabajo AplicacionesLaboratorio 06 - Modelos de Transporte y Asignaciónantecedente gestionInecuaciones Arial NarrowAct 3 Reconocimiento Unidad 1 PLCampus12 2014-1 Quiz 1More From nicortele2390Skip carouselCapítulo 10 Microcomputadores e microprocessadores Malvino.pdfUnidade II Sap1 ArquiteturaInterpolação Bidimensional8051-Aula38051-Aula12015_Raspberry Pi 2 - Tony BriansonProjeto Física Experimental IIIApostila_Fisica2Algoritmo Generador de Llaves de Cifrado a Partir de Señales ElectroencefalográficasBRING YOUR OWN DEVICE Oportunidades, Retos y Riesgos en Las OrganizacionesWangMatlab FemAFirstCourseInFiniteElements-Ch12-MATLABCh3femcode_programming of Finite Element Methods in MatlabPIC 16F877 Resumen TecnicoIFEM.Ch02Apostila7-CriptografiaQuerido Hijo_ Estamos en Huelga - Jordi Sierra i FabraQuerido Hijo_ Estamos en Huelga - Jordi Sierra i Fabra0063DSP for MATLAB™ and LabVIEW™ I Fundamentals of Discrete Signal ProcessingMatlab Graf 3dVisio 2010 Basic Student Manualfisica3Pic16f877-Guia Detallada Parte2Manual or C CCS101179-pic16f877-en-espanol2At Mega 8

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución