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Timestamp: 2019-04-22 16:09:18+00:00

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tarea optimizacion simplex
Optimizacion de Redes Linda Terminado
Modelosdeprogramacionlinealymodelosdinamicos2 150716202619 Lva1 App6891
1.Introduccion Io2-2016i
Ensayo PL
Actividades Análisis de Decisiones I TecMilenio
Programa Modelos Cuantitativos Para La Toma de Decisiones
Syllabus Del Curso Métodos Determinísticos
Tarea N o1
Profesor: Profesor: Alvaro Luzzi
Ayudante: María José Astudillo N.
César Guerrero 201023055-4
Cristian Knuckey 201002001-0
de Inv. . . 2. . . .3. . . . . . . . . .1. Análisis de sensibilidad 7 2. . . 3. Resolución mediante el método Simplex. . . . . . .2.4. . . .Programación Lineal 2.2. El valor de la tercera restricción pasa a ser 15. . . . . . . 3. .Fund. Modelamiento . . . . .¾Cambia esto la base? . . .1. . . . . . . . . . . . . . ¾Qué valores debería tomar el coeciente de x4 para que salga de la base? . . . . Considere que el coeciente de x1 aumenta en 12 . Resolución mediante el software LPSolve . . . . 3. 3. Primer semestre 2016 4 5 7 7 8 8 8 2 . . . . . Se dene una nueva restricción x1 + x4 + 4x5 ≤ 20 y otra x3 − x5 + x4 ≥ 67 2 . . . . . ¾Cómo cambia esto la solución óptima? ¾Como varían la base si b04 = b24 ?¾Cuáles son los nuevos valores? . .5. . . . . . . Resolución de modelos 3 3 3. . de Operaciones ILI281 Par: 1 UTFSM Índice 1. . . . . . . . Determine qué efecto tiene cada una en la base del problema. 3. . . . . . . . . . . .
RT : Cantidad producida del producto R hecho del material T.Programación Lineal Variables: RK : Cantidad producida del producto R hecho del material K. de Operaciones ILI281 Par: 1 1.6 |{z} =7 1. RT . Función objetivo: GRK = 10 |{z} − 10 |{z} − precio venta GRT = 12 |{z} 12 |{z} 0. TC : Cantidad producida del producto T hecho de la fundición comprada de T .4 |{z} − − 6 |{z} − precio venta 0.4 costo maquina costo maquina = 4. TC . TK ≥ 0 Primer semestre 2016 cantidad disponible de L naturaleza de las variables 3 .4 |{z} 1 |{z} − 1.8 costo maquina − costo materia prima − costo f undicion costo materia prima − 1 |{z} costo f undicion costo materia prima precio venta GTK = − costo materia prima precio venta GTC = 1 |{z} 1 |{z} costo f undicion − costo maquina max z = GRK RK + GRT RT + GTC TC + GTK TK Restricciones: 4RL ≤ 2000 5RK + 2TK ≤ 10000 RK + RT + TK ≤ 3000 10RK + 8RL + 6TC + 6TK ≤ 12000 cantidad disponible de K capacidad de f undicion disponibilidad tiempo de maquina RK + RT ≤ 2000 capacidad de ensamble de R TC + TK ≤ 4000 capacidad de ensamble de T RK . de Inv.2 |{z} = 9.Fund.2 |{z} 2 |{z} =6 1. TK : Cantidad producida del producto T hecho del material K. UTFSM Modelamiento .
0 0.0 1.0 0.7 -0. Tabla 1: Tableau inicial para el método Simplex.3 1.8 2 -0.3 -1.1M + 1.3 3.3 3 2.3 -46.0 0 0.7 1.2 0.7 40.3 0.2 -0.Fund.6 3.0 -1.1 0.1 -22.7 2.5 14.3M-2 2.3 -3. mientras que el menor Cbijj con respecto a los coecientes de esta variable pertenece a la variable basal a3 . de Inv.7 2.0 0.3 0.1 0.2 -0.0 1.3M + 2 -3.0 0.0 bj cij bj 16.3 9. encuentre el valor que permita maximizar la función objetivo: M ax Z = 6x1 + 8x2 + 4x3 + 6x4 + 3x5 + 2x6 (1) x1 + 2x2 + 2x4 + 3x5 ≤ 20 (2) S.3 -2.0 1.3 M -M -M -M -M 0 0 0 -80M También se observa en tabla 1 que el mayor precio sombra pertenece a la variable x1 .3M + 4 4M + 6 -0.3 -2.6M + 4.0 - 26.0 0 0 0.7M + 2 2.1M-1.0 0.0 0.3 1.3 1. mientras que el menor Cbijj con respecto a los coecientes de esta variable pertenece a la variable basal a1 .2M-0.7 3.0 0.0 0.3 -1.0 Se observa en tabla 2 que el mayor precio sombra pertenece a la variable x3 .0 0.0 -M -0.7 0 1.9 -M 0.7 1. Base Cj s1 a1 a2 s3 x1 0 x1 x2 6 0. Base Cj s1 x3 a2 s3 x1 0 4 -M 0 6 Zj C j -Z j x1 x2 6 0.0 0 -0.0 0.0 0 0 0.7 -M 0 1.0 8 1.2 Primer semestre 2016 x3 x4 6 1.3 0.0 0.3M + 4 0.0 -M 0 -1.7M + 2 3.0 0 0.0 0.9 1. Tabla 3: Segunda iteración del método Simplex.3 0.4M + 2.6 0 0 -0.7 -1.2M + 0.0 0.0 0.0 -M -0. Resolución mediante el método Simplex. x1 6 0 1 -M 3 -M 4 0 1 -M 3 Zj -10M Cj -Zj 10M + 6 Base Cj s1 a1 a2 s3 a3 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 a1 8 2 2 3 0 4 0 4 2 3 6 2 1 4 3 3 3 1 2 0 2 0 3 2 2 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -M -M -M 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 M -M 0 0 1 1 2 3 2 -6M -7M -7M -6M -7M 6M + 8 7M + 4 7M + 6 6M + 3 7M + 2 a2 a3 bj 20 30 40 50 0 0 0 -1 0 0 1 bj cij 20 10 10 50 10 3.3M + 2 1.0 M -M 0.7 22.7 -M 0.6 1.1 -0.4 -1.0 0.7 -1.7 -0.0 1.A.0 0.9M-2.9 0 0.0 1. La representación del desarrollo por método simplex para el problema se encuentra en tabla 1.0 0.0 0.7M + 20 6.9M + 4.7 0.7 0.9 0.1 -1.4 4 .3 0 1.0 1.0 1.5 10.2 6 0 -1.0 6 0 1.3 -2.0 1.4 -0.4 -0.3 -M 0.6 0.0 0 0.9 6.8 0.7M + 2 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 a1 a2 a3 6 1.0 2 -0.3M + 2 -4M-3 0.7M + 6 4 -0.0 17.0 0.1 0. Por tanto entra como variable basal x1 y sale a3 .0 0.0 0.7 0.0 0.6M-1.0 1.3 0.3 -0.3 2.0 0.0 0.7 4 0.6M + 2.6 0.0 0 0 -0.7 -1.6M + 3.1M + 1.1M-1.3 1.2M + 33.7 46.3 0.4 0 1.0 1.0 -M 0. Por tanto entra como variable basal x3 y sale a1 .6 -M 0.3 -1.0 0.0 0 0.0 -0. de Operaciones ILI281 Par: 1 2.7 1.0 -1. UTFSM Resolución de modelos Usando el siguiente modelo de costos y el método Simplex.0 1.0 0. Tabla 2: Primera iteración del método Simplex.0 8 1.0 x3 1.4 0.1.4M + 5.7 -0.0 0.0 -M 0 1.3 bj cij 15.2 0.2M-0.0 -M 0 6 Zj C j -Z j 0.0 0.3 -2. 3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + x5 + 3x6 ≥ 30 (3) 4x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 + 2x5 + 2x6 = 40 (4) x1 + 3x3 + 3x4 + 2x6 ≤ 50 (5) 3x1 + x2 + x3 + 2x4 + 3x5 + 2x6 ≥ 10 (6) 2.1 -0.0 x5 x6 s1 s2 s3 s4 a1 a2 a3 3 1.3 -0.7 0.0 0.8 4 -1.3M-2 20.4 bj 18.0 -2.0 0.2 28.8 -0.3 -0.7 0.3 -0.2 0.3M-2 0.3 1.2M + 0.3 0.
0 0.5 0.3 0.7 0 -0.0 0.4 -M + 3.0 0.0 10.5 -2.3 0.0 3.0 2.0 0.0 11.8 -1.3 0 0.0 2.5 -1. mientras que el menor Cbijj con respecto a los coecientes a asociados a esta variable pertenece a la variable basal a2 .2 -0.1 -0.0 -0.7 0 0.0 -2.7 10.0 4.0 0.0 0.7 -0.1 -2.0 0.0 -M 0 -1.9 20.7 0.0 1.6 0.6 0.3 1.1 1.3 1.1 0.2 0.1 0.0 100.8 -0.0 0. Tabla 7: Sexta iteración del método Simplex.7 6.0 0.0 -2.0 -0.0 5.0 24.0 4.0 86.0 20.0 4 0.0 -1.0 -2.0 0.0 6.0 0.0 0.6 3.0 -1.4 -2M-3.0 0.0 -0.1 -0.7 0.0 -1.1 7.0 1.0 0.9 -2.0 -0.8 3.0 -M 0.3 1.0 -1.1 -2. Tabla 5: Cuarta iteración del método Simplex.0 -0.0 Finalmente se puede observar en tabla 7 que todos los precios sombra son menores o iguales a cero.0 bj 17.0 0.4 4 0.1 0 0 -0.0 3.0 1.0 0.9 1.6 -4M-5.0 1. Por tanto entra como variable basal s2 y sale x4 .0 2.3 -2.7 16.0 1.3 0.4 -0.0 bj cij 40.0 0.0 -0.3 8 1.0 0.0 0.6 -4.5 0.0 -0.0 0.0 0.0 0.0 0.3 -1.4 M + 4.0 0.0 0.0 0.0 1. Tabla 6: Quinta iteración del método Simplex.4 0.0 0.0 0.0 10.0 0 -0.5 0.0 0.0 0.6 0 -0.0 0.8 -3.4 -M Se observa en tabla 5 que el mayor precio sombra pertenece a la variable x2 .0 0.7 -1.0 0 -4 -4 -2 -1 0 x4 x5 x6 s1 0 0.0 35.3 0.7 3.4 8 1.0 0.5 0.9 2M + 6.8 -1.0 0.7 0.0 0.0 2.3 6 Zj C j -Z j a2 a3 -M -0. Por tanto entra como variable basal x2 y sale s1 .Fund.1 0.7 Se observa en tabla 6 que el mayor precio sombra pertenece a la variable s2 .0 4 0 0.0 2.0 1.7 30.0 -0.3 0.3 0 0 -0.2 0.0 -3 8 1. de Operaciones ILI281 Par: 1 UTFSM Se observa en tabla 3 que el mayor precio sombra pertenece a la variable x4 .0 18.1 0.3 10.3 2 -0.0 0.3 0.0 0. de Inv.0 -1.86 -3M-2.0 -1.0 6 0 -2.3 2M + 9. Base Cj x2 x3 s4 s3 x4 8 4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 6 -0.8 -1.0 -4.0 1.8 0.0 0 0 -M -M -M 0.4 0.5 0 1.3 1 0 0 0 -8 -0.0 -1.0 0.3 5.0 0.5 -M 0.0 0.3 -0.3 1. mientras que el menor Cbijj con respecto a los coecientes asociados a esta variable pertenece a la variable basalx4 .0 0.0 0.0 1.0 0.5 -0.0 12.5 1.5 -1.0 5.0 10.0 9.1 2 -1.0 1.0 0.3 0.7 3.5 1.3 0.0 0 4 6 3 2 0 0 0.29 -M-0.7 4M + 8.0 0.0 0.0 0.0 1.2 0.1 0.0 -3.0 50.0 -0.9 - Se observa en tabla 4 que el mayor precio sombra pertenece a la variable s4 .0 0.0 4.0 0.0 0.0 0.6 0.0 8.1 0.1 0.0 6.0 0. Por tanto entra como variable basal x4 y sale x1 .3 1.0 5.4 0 -M-0.0 1.0 0.0 0.9 0.6 a1 a2 a3 -M 0.3 0.0 0.0 0.5 0.1 0.4 -0.0 0.7 -3.0 1.9 -2.0 11.0 6 0.3 bj bj cij 5.0 0 -M -M-2 -M a1 a2 a3 bj 10.8 0.1 bj cij 15.0 0.0 0.3 -M-1.3 -1. Base Cj x2 x3 s4 s3 s2 8 4 0 0 0 Zj C j -Z j x1 x2 x3 s2 s3 s4 6 0.3 0 -2M-2.5 -1.0 1.0 bj cij 40.6 2M + 2.3 -0.4 0.9 -2M-4.3 0.8 -0.0 0. es decir no se puede seguir maximizando la función objetivo.1 -0.0 0.0 0.9 4 6 3. mientras que el menor Cbijj con respecto a los coecientes de esta variable pertenece a la variable basal x1 .0 8.7 0.4 7.0 1.4 -20M + 37.0 -0.0 1.0 10.0 1.9 0 0.2 -0.7 -M + 0.5 1.3 5.3 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.7 1.4 1.0 7. Al no existir variables no-basales Primer semestre 2016 5 . Tabla 4: Tercera iteración del método Simplex.8 -4.3 s2 s3 s4 a1 0 0 0 -M -0.0 0.0 1.6 0.4 1.1 0.3 -M 0. Base Cj s1 x3 a2 s3 x4 0 4 -M 0 6 Zj C j -Z j x1 x2 x3 x4 x5 x6 6 -1.6 0.0 0.4 1.0 0.0 0.0 -4.0 3 2.6 4.0 0.0 0.0 6 0.3 6.6 0. Por tanto entra como variable basal s4 y sale a2 .0 0.0 0.0 -0.0 0.1 65.0 0.3 0.3 -0.0 0.0 0.3 -0.0 2.5 -0.0 0.0 0.0 -M -1.7 0.0 s4 0 1.3 0 2M + 2.0 1.7 bj 6.0 0.6 0.0 -0.3 0.0 0.1 -1.0 0.8 -2. mientras que el menor Cbijj con respecto a los coecientes asociados a esta variable pertenece a la variable basal s1 .0 - 0.3 0 0 -M-1.3 0 0 6 0 Zj C j -Z j a1 a2 a3 -M -M -M 0.6 0.4 -0.1 3.2 0.4 0.6 3.1 0. x1 Base Cj s1 x3 s4 s3 x4 4 0 0 6 x2 x3 x4 x5 x6 s1 s2 s3 s4 8 4 6 3 2 0 0 0 0 -0.0 3 -0.0 0.0 s1 s2 s3 0 1.7 0.5 3.
Figura 1: Resolución del problema de optimización mediante el software LPSolve.0 a1 0. Tabla 8: Resultado nal x6 0. Resolución mediante el software LPSolve Mediante el software propuesto se modela el sistema y se obtienen los resultados en guras 1(a) y 1(b). x1 0. de Operaciones ILI281 Par: 1 con precio sombra cero.Fund.2. de Inv.0 2.0 s2 10.0 x2 10.0 a3 0. toma seis iteraciones.0 s4 5.0 a2 0.0 x3 5.0 z 100. (b) Resultados obtenidos en LPSolve.0 x5 0.0 s1 0. para luego optimizar el problema en cuatro iteraciones.0 UTFSM no existen óptimos alternativos. este utiliza un método para revisar la factibilidad de la optimización(dual simplex) que ocupa dos iteraciones. se puede decir que Los resultados se encuentran en tabla 8. por método Simplex. (a) Formulación del problema en LPSolve.0 s3 35. Si bien el resultado es el mismo ya sea por cálculo propio o utilizando el software. Primer semestre 2016 6 .0 x4 0. Mientras que con el cálculo propio.
3. UTFSM Análisis de sensibilidad Considere el siguiente modelo de programación lineal: 3. Considere que el coeciente de x1 aumenta en 12 . esto dado que para que otras variables entren a la base su precio sombra tendrá que ser el mayor mas positivo(maximización). Al aumentar el coeciente el precio sombra de x1 se ve modicado a c1 − z1 = − 53 + 12 = − 76 . de Inv. Para que x4 salga de la base solo se permitirían cambios con x5 y con s3 . siendo este un valor aún negativo. de estos se desprenden limitaciones en ecuaciones (7) y (8). de Operaciones ILI281 Par: 1 3. Desde donde se obtiene que x4 sale de la base si cx4 6 − 14 . por tanto no cumple la condición para entrar a la base.Fund.2. − 11 12 11 − 4∆cx4 ≥ 0 3 ⇒ ∆cx4 ≤ − −1 − ∆cx4 ≥ 0 ⇒ ∆cx4 ≤ −1 (7) (8) Por tanto la condición mas inclusiva para que x4 salga de la base se encuentra en inecuación (7).¾Cambia esto la base? El aumento del coeciente de x1 no consigue cambiar la base del problema. ¾Qué valores debería tomar el coeciente de x4 para que salga de la base? Al tener en cuenta los coecientes cbijj .1. Primer semestre 2016 7 .
Se analiza cada restricción evaluando si se cumplen o no para los valores dados por la solución óptima. entonces se tiene que esta restricción es no activa.         10 0 x2nuevo 10 −1  5  x3nuevo  10         x4nuevo  = 20 + 5  1  = 25         −2 40  s4nuevo  50 60 0 s5nuevo 60 (10) 5 1 2 1 5 1 2 1 95 Z = x1 + x2 − x3 + x4 + x5 = 0 + · 10 − · 5 + · 25 + · 0 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (11) 3. Luego se obtiene los resultados para las variables optimas en ecuación (10). y queda determinado por: b4 − s4 ≤ b04 ≤ ∞ 60 − 50 ≤ 10 ≤ b04 b04 ≤∞ ≤∞ (12) (13) (14) Dado que b04 = 60 2 = 30. 67 2 . Mientras que el resultado optimizado se encuentra en ecuación (11). Por lo tanto. Primer semestre 2016 8 . se tiene nalmente que la base de la solución no se modica y solo se ve alterado el valor nal de la variable s4 . ¾Como varían la base si b04 = b24 ?¾Cuáles son los nuevos valores? Como la variable articial s4 asociada a la 4ta restricción tiene un valor distinto de cero. 3. el resto de valores se mantienen igual.5. entonces dado que este pertenece al conjunto denido en (14).4. cambiando de 50 a b04 − x4 + x3 − x5 = 20. Se dene una nueva restricción x1 + x4 + 4x5 ≤ 20 y otra x3 − x5 + x4 ≥ Determine qué efecto tiene cada una en la base del problema. esta opción no cambia a base. existe un rango de valores posibles para la variable articial s4 en el cual no hay cambio en la base de la solución óptima.       0 10 x2nuevo −1 x3nuevo  10   −     x4nuevo  = 20 + ∆b3  1  ≥ → 0       −2  s4nuevo  50 0 60 s5nuevo (9) De ecuación (9) se desprende que la base del problema no se altera si −20 ≤ ∆b3 ≤ 10. Como la restricción es activa es necesario considerar el rango de variación para esta restricción. ¾Cómo cambia esto la solución óptima? Primero es necesario conocer la naturaleza de la restricción. de Inv. de Operaciones ILI281 Par: 1 UTFSM 3. Como el ∆b3 propuesto es 5. El valor de la tercera restricción pasa a ser 15. visto en el tableu nal. Sin embargo el resultado de las variables óptimas y la función objetivo maximizada se alteran.3.Fund.
Fund. x3 − x5 + x4 ≥ 67 2     10 x3 Dado que  x4  =  20  se tiene que la nueva restricción no se cumple (30 ≥ 33. de Operaciones ILI281 Par: 1 UTFSM x1 + x4 + 4x5 ≤ 20     0 x1 Dado que  x4  =  20  se tiene que la nueva restricción si se cumple (20 ≤ 20). de Inv. Primer semestre 2016 9 . es necesario analizar y rehacer las iteraciones anteriores en el momento en que en alguna de ellas se logre incorporar a la nueva variable auxiliar correspondiente a la nueva restricción a la base del problema. 0 x5 el valor de s6 sería 0. 0 x5 Como esta nueva restricción no se cumple para el valor de la solución. por lo que no habría un cambio en la base del problema.5). además.
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