Source: http://docplayer.es/53897699-Iterativos-y-directos-para-sistemas-lineales-ayudante-rodrigo-torres-aguirre-ejercicios.html
Timestamp: 2018-11-19 19:06:03+00:00

Document:
ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES. Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios: - PDF
ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES. Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios:
Download "ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES. Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios:"
José María Figueroa Escobar
1 Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación MÉTODOS ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios: ) Considere el siguiente sistema lineal: 3 3 a) Muestre que el algoritmo de Gauss- Jacobi es convergente. b) Muestre que el algoritmo de Gauss-Seidel es convergente. (indicación: Muestre que A es e.d.d. y que ). c) Considere () ( ) como vector de inicio. Calcule el vector () para el método de Gauss-Jacobi. d) Calcule el vector () para el método de Gauss-Seidel. Sol: a) Para que la matriz A sea estrictamente diagonal dominante (e.d.d.) se debe cumplir que: Entonces: 3 ; 3 3 ; 3 Por lo tanto A es e.d.d., entonces existe su inversa ; El sistema lineal se puede escribir de la forma A*b, siendo A (DEF), donde: D: Matriz Diagonal de A. E: Matriz Triangular Inferior de A, con su Diagonal Nula. F: Matriz Triangular Superior de A, con su Diagonal Nula. Entonces: (DEF)b D (EF)b /* () (EF) () () () con (EF) y. Para que el algoritmo de Jacobi sea convergente. (Norma inducida { ó }) Entonces se tiene que:
2 3 /3 3 ; /3 ; ; ; b= / /3 /3 / /3 /3 /3 / Las Normas son: Como, entonces el algoritmo de Jacobi es convergente. b El sistema lineal se puede escribir de la forma A*b, siendo A DEF, donde: Entonces: DEFb DE Fb /* F ; con y. Para que el algoritmo de Seidel sea convergente. Norma inducida { ó } Entonces se tiene que: 3 /3 3 ; /9 /3 ; ; b= /9 /6 / /3 /9 /3 * /9 /6 / /3 /3 /9 /9 /9 /9 Las Normas son: Como, entonces el algoritmo de Seidel es convergente.
3 c Para calcular la segunda iteración vector del método de Gauss-Jacobi con, se debe ocupar el algoritmo: EF b Sin Calcular la inversa de D ó EF Con el cálculo de la inversa de D Aplicaremos los casos. Para el Caso: () = (E+F) () + b, se tiene que: 3 3 (+) = + () (+) = () + Con k=; 3 3 () = () + ; Con () = 3 3 () = () = /3 () = Con k=; 3 3 () = () /3 + ; Con () = 3 3 () /3 = () =/3 () =/9 Vector buscado. Para el Caso: () = (E+F) () +, se tiene que: 3 3 () = 3 + () + 3 /3 /3 () = /3 () + /3 / /
4 Con k=; /3 /3 /3 =/3 ; Con = / /3 /3 /3 =/3 / /3 = Con k=; /3 /3 /3 /3 =/3 ; Con = / /3 /3 /3 /3 =/3 / =/9 Vector buscado. d Para calcular la segunda iteración vector del método de Gauss-Seidel con =, se debe ocupar el algoritmo: DE = Sin Calcular la inversa de DE ó = F Con el cálculo de la inversa de DE Aplicaremos los casos. Para el Caso: DE =, se tiene que: 3 3 = Con k=; 3 3 = ; Con = 3 3 = 3 3 = /3 =/9 /9
5 Con k=; 3 3 = () /3 + ; Con =/9 /9 3 3 /3 = /9+ /9 3 3 /9 = /7 =/8 Vector buscado. 8/8 Para el Caso: = F, se tiene que: 3 3 = 3 () = 3 () + 3 /3 /3 /3 = /9 /9 () +/9 /9 /9 /9 Con k=; /3 /3 /3 () = /9 /9 () +/9 ; Con () = /9 /9 /9 /3 /3 /3 () = /9 /9 +/9 /9 /9 /9 /3 () =/9 /9 Con k=; /3 /3 /3 /3 () = /9 /9 () +/9 ; Con () =/9 /9 /9 /9 /9 /3 /3 /3 /3 () = /9 /9 /9+/9 /9 /9 /9 /9 /7 () =/8 Vector buscado. 8/8
6 ) Obtener las factorizaciones de Doolittle, Crout y Cholesky para la matriz A=, en donde a es una constante,. Sol: La Factorización o descomposición L*U de A, es la multiplicación entre matriz, siendo L la matriz triangula inferior de A, y U la matriz superior de A. En la Factorización de Doolittle la diagonal de L es, es decir: = = (Descomposición de Doolittle) * = = = = * * = = + = = Entonces La descomposición LU según Doolittle es: A= =L*U En el Factorización de Crout la diagonal de U es, es decir: = Descomposición de Crout = = = = = = + = = Entonces La descomposición LU según Crout es: A= =L*U En el Factorización de Cholesky la matriz A debe ser simétrica A= y definida positiva, entonces A tendrá una única factorización de la forma A=L*, donde L es la matriz triangular inferior, es decir: = (Descomposición de Crout) Se debe comprobar que A es positiva definida (los sub-determinantes de al matriz son mayores a ): Det ( )= Det ()=, Que una matriz sea positiva definida (d.p.) o estrictamente diagonal dominante (e.d.d.), significa que existe la inversa de esa matriz. La matriz A no es simétrica pues A, por lo que la factorización de Cholesky no puede realizarse. Para comprobar que el método no se puede aplicar, se tendrá que:
7 += = ; ; ; Se tiene una contradicción, ya que el despeje arroja que,. Queda comprobado que la matriz A, al ser positiva definida y no ser simétrica, no se puede aplicar Cholesky. 3) Dada A,. a) Obtener los valores de a de modo que la matriz A sea definida positiva. b) Obtener las factorizaciones de Doolittle, Crout y Cholesky para la matriz A. Sol: a) Para que A sea positiva definida, los sub determinantes tienen que ser mayores a, entonces: Det (-) La matriz A no es positiva definida. b) Para obtener la factorización de Doolittle, la diagonal de L debe ser, entonces queda: ( ) La factorización Doolittle es: L U A
8 Para obtener la factorización de Crout, la diagonal de U debe ser, entonces queda: = + + = = = = = = =+ =+ = + += =+ (+ ) = La factorización Crout es: + = + L U A Para obtener la factorización de Cholesky, la matriz A debe ser simétrica y definida positiva, pero como el primer sub determinante es menor que cero, no se puede aplicar la descomposición de Cholesky en la matriz A, porque esta no es positiva definida.
9 4) Al aproximar una función,,,, por un polinomio de la forma, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes está dada por: a Obtener la factorización de Cholesky de A, y usarla para calcular. b Para resolver el sistema Axb por el método de Cholesky y de Crout, imponiendo las restricciones que considere apropiadas. Sol: a Matriz A es simétrica, ya que A. Para obtener la factorización de Cholesky, se necesita que la matriz A sea simétrica y Positiva definida. Para que la matriz A sea positiva definida, los sub determinantes tienen que ser mayores a, entonces:, 4 3, 3 35, Con la condición de que a tiene que ser mayor a, se tendrá que:
10 L A b Para resolver el sistema Axb por el método de Cholesky, se tiene la descomposición ya realizada, por lo tanto solo se tiene que calcular por partes. Sea Entonces *XZ Z Luego se reemplaza en L*Zb Z Se tiene que calcular por sustitución hacia adelante *X La solución al sistema de ecuaciones es: X
11 Para resolver el sistema Axb por el método de Crout, se tiene la descomposición; 3 Entonces queda Reemplazando en el sistema AXb LU*Xb 3 Z Luego; Z
Métodos iterativos de solución de SEL
Métodos iterativos de solución de SEL Método de Gauss-Seidel MAT-251 Dr. CIMAT A.C. e-mail: alram@cimat.mx web: http://www.cimat.mx/~alram/met_num/ Dr. Salvador Botello Rionda CIMAT A.C. Descomposición
Práctica: Métodos de resolución de ecuaciones lineales.
Práctica: Métodos de resolución de ecuaciones lineales. Objetivo: Aplicar dos técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Un método finito basado en la descomposición LU de la matriz de
EXAMEN PARCIAL DE METODOS NUMERICOS (MB536)
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA P.A. - FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA // EXAMEN PARCIAL DE METODOS NUMERICOS (MB536) DURACION: MINUTOS SOLO SE PERMITE EL USO DE UNA HOJA DE FORMULARIO ESCRIBA CLARAMENTE
Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Descomposición LU
Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Descomposición LU Ing. Jesús Javier Cortés Rosas M. en A. Miguel Eduardo González Cárdenas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM * 2006
Métodos Numéricos para Sistemas de Ecuaciones Lineales
Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Matemática Cálculo Numérico MA-33A Métodos Numéricos para Sistemas de Ecuaciones Lineales Gonzalo Hernández Oliva GHO SEL - MA33A 1 MN para SEL: Temario
a a a Sesión 13 Unidad VI Matrices y determinantes. A. Conceptos sobre las matrices. 1.- La matriz de orden 2 es aquella que:
Sesión Unidad VI Matrices y determinantes. A. Conceptos sobre las matrices..- La matriz de orden es aquella que: Tiene variables B) Tiene elementos Tiene columnas y n renglones Tiene renglones y columnas
PRÁCTICA N 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
PRÁCTICA N 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Usa el método de Eliminación de Gauss para resolver en EXCEL los siguientes sistemas lineales, si es posible. Realizando, si es necesario, intercambio de
Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales
Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales María González Taboada Departamento de Matemáticas Febrero de 2008 Esquema: 1 Descripción del problema 2 Algunas definiciones y propiedades 3 Condicionamiento
Métodos directos de resolución de sistemas lineales
Tema 4 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 1 Introducción En este tema se estudian algunos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que
Para verificar que el sistema converge se deberán cumplir con las siguientes condiciones en las formulas con derivadas parciales: + 1
MAT 5 B Sistemas de ecuaciones no lineales EJERCICIOS RESUELTOS. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el método de punto fijo multivariable: x cos x x SOLUCIÓN x 8 x +. +
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TEPOSCOLULA CARRERA: INGIENERIA SISTEMAS COMPUTACIONALES CATEDRATICO: ING. MARCO ANTONIO RUIZ VICENTE
INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TEPOSCOLULA CARRERA: INGIENERIA SISTEMAS COMPUTACIONALES 2 SEMESTRE MATERIA: ALGEBRA LINEAL CATEDRATICO: ING. MARCO ANTONIO RUIZ VICENTE NOMBRE DEL ALUMNO: FERNANDO LUZ
Contenido. Agradecimientos... Prólogo...
Contenido Agradecimientos... Prólogo...... XIII XV PARTE I MATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTES CAPÍTULO 1 Matrices y sistemas lineales... 3 1 1.1 Matrices... 3 1 1.1 1.1.1 Definicionesyejemplos... 3 1 1.1
Separar en intervalos de la forma [m, m + 1], con m Z, las raíces de la ecuación: F (x) = x 3 + 3x 2 1 = 0
METODOS NUMERICOS. E.T.S.I. Minas. Boletín de problemas propuestos. 1. Localizar las raíces de la ecuación F (x) = : (a) F (x) = x tg(x). (b) F (x) = sen(x) x +. (c) F (x) = x + e x. (d) F (x) =.5 x +.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Usa el método de Eliminación de Gauss para resolver en EXCEL los siguientes sistemas lineales, si es posible. Realizando, si es necesario, intercambio de filas. 2.-
Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales Natalia Boal - Manuel Palacios - Sergio Serrano Departamento de Matemática Aplicada Obetivos Trabaar con los métodos iterativos habituales (Jacobi,
Matrices y sistemas lineales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza Matrices elementales En esta sección vamos a crear funciones en MATLAB que nos permitan construir matrices elementales.
Sistemas lineales de ecuaciones
Sistemas lineales de ecuaciones Conceptos previos a) Sistemas de ecuaciones lineales. b) Solución de un sistema. c) Sistemas triangulares. Resolución de sistemas Métodos directos a) Método de eliminación

References: resolución 
 resolución 
 resolución 

Resolución 

Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución