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Timestamp: 2016-10-25 14:05:57+00:00

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Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima Primera Edición Þrlmera Ldlclón, 2013 lmagen de porLada: ©2009 !er 1horp (hLLp://www.fllckr.com/phoLos/blprnL/4218003108/) u.8. ©2013, unlversldad de Cuadala[ara CenLro unlverslLarlo de Clenclas LxacLas e lngenlerlas 8lvd. Marcellno Carcla 8arragán num. 1421, esq. Calzada ollmplca 44430 Cuadala[ara, !allsco. lS8n: 978-607-430-693-2 lmpreso y hecho en Mexlco ÞrlnLed and made ln Mexlco. Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y
Oscar Robles Vásquez y Pedro Ortega Gudiño.
1.1 Puntos y Rectas en el Plano xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Álgebra y Geometría con GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Sistemas de Ecuaciones Lineales 10
2.1 Ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Sistema de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 wxMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 2 !2 12
2.2.4 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2!2 . . . . . 14
2.2.5 Clasiﬁcación de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3 !3 . . . . . . . . . 18
2.2.7 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 3 !3 19
2.2.8 Solución Gráﬁca de sistemas de 3 !3 . . . . . . . . . . . 20
2.3 El Método de Eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Operaciones Elementales de Renglón . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Existencia de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo . . . . . . . . 33
3 Matrices y Vectores 37
3.1 Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Generación de Matrices con wxMaxima . . . . . . . . . . 39
3.2 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.1 Vector renglón y vector columna . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Vectores y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices . . . . . . . 49
3.4 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Matrices Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Inversas y Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . 57
3.4.3 Matriz Transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.1 wxMaxima y determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.2 Propiedades de los Determinantes . . . . . . . . . . . . . 64
4 Vectores en R
4.1 Vectores en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1 Vectores equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.2 Magnitud y dirección de un vector . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.3 Vectores unitarios en R
4.2 Interpretación geométrica del producto escalar . . . . . . . . . . 78
4.3 Protocolo de la Construcción en GeoGebra . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.1 Magnitud de un vector en R
4.4.2 Dirección de un vector en R
4.4.3 Vectores unitarios en R
4.5 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial . . . . . 87
4.5.2 Producto vectorial con wxMaxima . . . . . . . . . . . . . 87
4.5.3 Triple producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
La meta principal de este libro de Álgebra Lineal Básica con GeoGe-
bra y wxMaxima es desarrollar en los estudiantes la comprensión de las ideas
fundamentales del álgebra lineal a través del uso de programas computacionales
libres. Estas herramientas de trabajo le permitirán al los estudiantes interac-
tuar a través de los programas computacionales con los conceptos abstractos
del álgebra lineal. Esta interacción va enfocada a dos aspectos: la resolución
de problemas y la visualización geométrica; visualizar los conceptos del álgebra
lineal de forma inmediata le ayudara al estudiante reforzar el enfoque construc-
tivista de su aprendizaje.
La idea al utilizar Software libre en este texto se basa en las siguientes
premisas: (1) el profesor tiene la seguridad de que todos los alumnos tendrán
disponible una herramienta de trabajo, (2) los alumnos podrán utilizar el soft-
ware en cualquier sitio, (3) el profesor podra distribuir el programa legalmente;
los programas licenciados como Matlab, Maple, Mathematica, etc., no lo autor-
izan. Sobre la ﬁlosofía del movimiento de software libre, es recomendable que
el lector vea la referencia obligada: Proyecto Free Software Foundation, GNU
(http://www.gnu.org).
La selección de software libre se decidió en función de la sencillez en su
manejo, la disponibilidad para los sistemas operativos Windows y Mac, la ro-
bustez del programa, etc. En el libro se utilizan las versiones más recientes de dos
sistemas de álgebra computacional (CAS): GeoGebra (http://www.geogebra.org/)
y wxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/).
El libro está dirigido a estudiantes de ciencias básicas e ingeniería. En el
texto se hace énfasis en los aspectos geométrico y computacional para la resolu-
ción de problemas, omitiendose por completo las demostraciones. El enfoque en
cada capítulo es la presentación del concepto de forma concisa y posteriormente
la resolución de problemas a través de GeoGebra o mediante wxMaxima. El
libro cubre los temas fundamentales del álgebra lineal: sistemas de ecuaciones
lineales y matrices. El libro que tiene hoy en sus manos no pretende describir
estos temas de forma exhaustiva, sino más bien proporcionar un herramienta
útil para resolución de problemas de álgebra lineal utilizando software libre.
1.1 Puntos y Rectas en el Plano xy
1. La distancia d (P
en un plano coordenado esta deﬁnida por la ecuación (1.1)
2. La pendiente m de una recta ( P
) que pasa por los puntos P
) (Figura 1.1), esta deﬁnida por la ecuación (1.2)
"= 0 (1.2)
!" !# !$ % $ # "
Figura 1.1. Pendiente (m) de una recta.
2 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
El orden de los puntos no es importante, nótese que
!1 (y
!1 (x
La pendiente mide la proporción entre lo que se eleva en el plano xy a lo
que se avanza o recorre horizontalmente; se considera como una razón de
elevaci´ on
3. Rectas paralelas al eje-x tiene una pendiente de cero (Figura 1.2).
, y x P ( )
Figura 1.2. Recta paralela al eje-x, m=0.
4. Rectas paralelas al eje-y tienen una pendiente indeﬁnida ("), (Figura
5. Ecuación de la recta pendiente-ordenada, ecuación (1.3), ver la Figura
y = mx + b (1.3)
Donde b es la ordenada al origen, esto es, (0, b).
6. Ecuación general de una recta, ecuación (1.4):
ax + by = c con b #= 0 (1.4)
la pendiente es m =
1.1. PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO XY 3
Figura 1.3. Recta paralela al eje-y, m indeﬁnida.
!" !# !$ !% & %
( ) 0 , 3 !
( ) ( ) 3 , 0 , 0 = b
y ! mx " b
Figura 1.4. Ecuación de la recta pendiente-ordenada.
4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
7. Dos rectas son paralelas sí y sólo sí tienen la misma pendiente m
(Figura 1.5),
Figura 1.5. Rectas paralelas tienen la misma pendiente.
8. Relación de pendientes en rectas perpéndiculares, ecuación (1.5), Figura
Figura 1.6. Rectas perpéndiculares.
9. Distancia d de un punto P (x
) a una recta ax + by = c, viene dada
por la ecuación (1.6), ver la Figura (1.7),
!c|
1.2. GEOGEBRA 5
ax " by ! c
! c|
Figura 1.7. Distancia entre un punto y una recta.
1.2 GeoGebra
es un Software libre y de plataformas múltiples que se abre a la
educación para interactuar dinámicamente, en un ámbito en que se reúnen la
Geometría, el Álgebra y el Análisis o Cálculo. Por otra parte, se pueden ingre-
sar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la capacidad
de manejarse con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite
encontrar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de coman-
dos propios del análisis matemático para identiﬁcar puntos singulares de una
función, como raíces o extremos.
En la Figura (1.8) se presenta el espacio de trabajo de GeoGebra, se muestran
las partes más importantes de este programa:
1. Ventana algebraica.
2. Venta gráﬁca
4. Campo de entradas
Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes:
! : substracción
" : mutiplicación
ˆ : exponenciación
6 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Figura 1.8. Ventana de trabajo de GeoGebra.
1.3 Álgebra y Geometría con GeoGebra
Utilizaremos GeoGebra para resolver algunos ejemplos relacionados con puntos
y rectas localizados en el plano coordenado xy. Algunas funciones básicas de
GeoGebra las conoceremos a través del ejemplo siguiente.
Ejemplo 1 Utilizando GeoGebra. Graﬁque la recta L que pasa por los puntos
A(3, 6) y B(!4, !2), calcule distancia d (AB), la pendiente m y la ecuación de
la recta L.
Solución 1 Dar clic en el ícono de GeoGebra. Teclear en el campo de
1. A=(3,6) + enter
" introduce el punto A en el plano.
2. B=(-4,-2) + enter " introduce el punto B en el plano.
3. dAB=Distancia[A,B] + enter " calcula la distancia d (AB).
4. L:Recta[A,B] + enter " traza la recta L que pasa por los puntos A y B.
5. m=Pendiente[L] + enter " calcula la pendiente de la recta L.
Cada entrada introducida se despliega automáticamente en la ventana al-
gebraica, estas se muestran en la Figura (1.9).La ecuación de la recta en
Una vez que se ha tecleado la entrada correspondiente debe teclear aceptar (!!). La ﬂecha
(") indica la acción que produce.
1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA 7
Figura 1.9. Ventana algebraica de GeoGebra.
forma de pendiente-ordenada se puede obtener a partir de la ecuación
8x !7y = !18
!7y = !8x !18
y = 1.14x + 2.57
La Figura (1.10) muestra la gráﬁca de la ecuación de la línea recta.
Figura 1.10. Ventana gráﬁca de GeoGebra.
Ejemplo 2 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A(!3, 6)
y es paralela a la recta L cuya ecuación es !3x + 5y = 5.
Solución 2 Dar clic en el ícono de GeoGebra. Teclear en el campo de
1. A=(-3,6) + enter " introduce el punto A en el plano.
2. L:-3x+5y=5 + enter " traza la recta en el plano y asigna la ecuación a
3. En la barra de herramientas dar clic en , seleccionar recta
Ir a la zona gráﬁca y dar clic primero sobre la recta L y luego sobre el
punto A. En la ventana algebraica se desplegará inmediatamente:
a: 3x !5y = !39
En la ventana gráﬁca se trazará la recta paralela a la recta L.
Ejemplo 3 Encuentre la ecuación de la recta que pasa en b = !4, y es per-
péndicular a la recta L, cuya ecuación es !6x + 3y = 2.
Solución 3 En GeoGebra teclear en el campo :
1. B=(0,-4) + enter " introduce la ordenada al origen en el plano.
2. L:-6x+3y=2 + enter " introduce la ecuación de la recta L.
3. L1:Perpendicular[B,L] + enter " traza la recta que pasa por B y es per-
péndicular a la recta L.
En la ventana algebraica se desplegara inmediatamente:
L1: x+2y=-8
Ejercicio 1 Determine la ecuación de la recta en su forma general y pendiente
ordenada de la recta que:
1. Pasa por los puntos (!2, 3) y (4, 5).
2. Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (!2, 5).
3. Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4.
4. Pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta 3x !7y = 21.
5. Pasa por el punto (!5, 3) y es perpendicular a la recta y = !3x + 2.
6. Pasa por el punto (8, 2) y es paralela a la recta x = !5.
Ejercicio 2 Determine si los puntos A y B dados están o no sobre la recta
1. A(1, 7), B(!3, 1) y la recta y = 2x + 5.
2. A(2, 1), B(1, 2) y la recta y = 2.
3. A(1, !1), B(0, 3) y la recta 3x !2y = 1.
4. A(1, 5), B(2, 3) y la recta x + 2y = 1.
Ejercicio 3 Determine si las rectas dadas son perpéndiculares, paralelas u oblicuas.
1. 3x + 4 !y = 0; !3x + 9y = 18.
1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA 9
2. 4x !3y = 2; 3x + 4y = 5.
3. 2x !14y = !2; 4x !7y = 0.
Ejercicio 4 Determine la distancia d del punto P (x
) a la recta dada.
1. Punto (!3, 9), recta y = !2x + 5.
2. Punto (0, !1), recta y =
x !1.
3. Punto (2, 5), recta !3x + 7y = 14.
4. Punto (!10, !3), recta 8x + 9 !y = 0.
2.1 Ecuación lineal
Una ecuación lineal (E) con n variables o incógnitas x
= b (2.1)
) y el término constante b son números reales.
La solución de la ecuación lineal (2.1) es un conjunto de valores para las
variables o incógnitas que satisfacen la ecuación.
2.2.1 Sistema lineal
Un sistema lineal es un conjunto de m ecuaciones lineales E
(2.1). El sistema se puede representar por
A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema lineal de m ! n. Los
términos constantes b
) son números reales. Si se tiene que todos
2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 11
los términos son cero (b
, = ... = b
= 0) se dice que el sistema de
ecuaciones lineales es homogéneo.
Si el número de ecuaciones (m) es igual al de incógnitas (n) el sistema lineal
se llama cuadrado de n !n.
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales (2.2) es un conjunto de
valores para las variables, S = {x
}, tal que satisfacen a cada una de
las ecuaciones del sistema.
2.2.2 wxMaxima
es un CAS (Sistema de Álgebra Computacional, por sus siglas
en inglés). Se trata de un programa cuyo objeto es la realización de cálculos
matemáticos (tanto numéricos como simbólicos) capaz de manipular expresiones
algebraicas, derivar e integrar funciones y realizar diversos tipos de gráﬁcos.
Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes
" : substracción
# : mutiplicación
ˆ o # # : exponenciación
Utilizaremos wxMaxima version 0.8.2 para operar con sistemas de ecuaciones
lineales. En la Figura (2.1) se presenta la ventana principal de trabajo cuando se
inicia este programa en Windows donde se muestran las partes más importantes:
2. Botones de acciones frecuentes
Un documento en wxMaxima consta de varias "Celdas", estás "Celdas" son
los bloques básicos de construcción. Cada celda tiene un corchete del lado
izquierdo del documento que indica el contenido de está. Para iniciar un doc-
umento en wxMaxima dar clíc en el área de trabajo y utilizar el teclado para
introducir la instrucción, al ﬁnal oprimir la combinación de teclas shift + en-
+ %! ) o también ctrl + enter (ctrl + %! ), en la celda se desplegara
lineas numeradas, por ejemplo (%i1) y (%o1) las cuales indican la entrada (%i)
y la salida (%o) de la instrucción, respectivamente.
Ejemplo 4 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema de dos ecuaciones lin-
eales (E
) con dos incógnitas (x
encuentre la solución algebraica.
12 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Figura 2.1. Espacio de trabajo en wxMaxima
Solución 4 El sistema anterior se puede resolver con wxMaxima, en el área de
trabajo teclear secuencialmente:
1. E1: a11*x1+a12*x2=b1 oprimir
+ "! : introduce la ecuación E
2. E2: a21*x1+a22*x2=b2 oprimir
3. linsolve([E1, E2], [x1,x2]) oprimir
+ "! : resuelve el sistema de
En la Figura (2.2) se muestra el resultado de estas intrucciones.
Figura 2.2. Solución algebraica de un sistema de ecuaciones de lineales de 2 #2
con wxMaxima.
2.2.3 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales
de 2 #2
La solución que se presenta en la Figura (2.2) dada por la salida (%o3) se
reescribe en la forma siguiente
2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 13
nótese que el sistema (2.3) tiene solución única cuando el denominador de
la ecuación (2.4) sea diferente de cero, esto es,
a este producto se le conoce como determinante (det) del sistema de ecuaciones
lineales de 2 # 2, su valor diferente de cero establece la existencia de solución
única. La deﬁnición de determinante para este sistema de ecuaciones lineales se
establece con la ecuación siguiente
det Sistema (2 #2) = (a
Ejemplo 5 Determine la existencia de la solución única en los sistemas de
ecuaciones lineales dados.
= !6
Solución 5 Para cada uno de los sistemas se puede aplicar la ecuación (2.5)
det Sistema (2 #2) = (1) (1) !(!1) (1)
14 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
det Sistema (2 !2) = (1) ("4) "(2) ("2)
El sistema no tiene solución única.
det Sistema (2 !2) = (1) ("2) "("2) (1)
2.2.4 Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2!2
En los siguiente ejemplos que se presentan se resuelven sistemas de ecuaciones
lineales de 2 !2 utilizando wxMaxima y GeoGebra.
Ejemplo 6 Utilizando GeoGebra. Encuentre la solución mediante un método
gráﬁco del sistema de ecuaciones lineales de 2 !2 siguiente
: 7x "5y = 6 (2.6)
: 3x + 8y = 10
Solución 6 El valor del determinante del sistema (2.6) es
det Sistema (2 !2) = ((7) (8) "(3) ("5))
por lo tanto el sistema tiene solución única. Para gráﬁcar el sistema de ecua-
ciones lineales (2.6) en GeoGebra teclee en el campo lo siguiente
1. E1: 7x-5y=6 + enter # introduce la ecuación E1
2. E2: 3x+8y=10 + enter # introduce la ecuación E2
3. Intersect[E1,E2] + enter # encuentra el punto de intersección de las dos
rectas, está es la solución del sistema (2.6).
La solución gráﬁca es: x $ 1. 38 y y $ 0.73 y se puede apreciar en la
Figura (2.3).
Ejemplo 7 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sis-
tema (2.6).
Solución 7 En wxMaxima introducir las instrucciones siguientes
1. E1: 7*x-5*y=6 oprimir
+ &! : introduce la ecuación E
2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 15
Figura 2.3. Solución gráﬁca del sistema (2.6) con GeoGebra.
Figura 2.4. Solución algebraica del sistema (2.6) con wxMaxima.
2. E2: 3*x+8*y=10 oprimir
3. linsolve([E1, E2], [x,y]) oprimir
+ "! : resuelve el sistema lineal con
En la última celda se despliega la solución, Figura (2.4).
Ejemplo 8 Utilizando GeoGebra resuelva graﬁcamente el sistema lineal sigu-
: 3x #4y = #6 (2.7)
: 6x #8y = 8
Solución 8 El cálculo del determinante del sistema (2.7) muestra que
det Sistema = ((3) (#8) #(6) (#4))
por lo tanto, el sistema (2.7) no tiene solución única. Para gráﬁcar el sistema
de ecuaciones lineales (2.7) en GeoGebra teclear en el campo lo
1. E1: 3x-4y=-6 + enter $ introduce la ecuación E1.
16 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2. E2: 6x-8y=8 + enter ! introduce la ecuación E2.
En la Figura (2.5) se observa que ambas ecuaciones representan rectas
paralelas sin níngun punto de coincidencia.
Figura 2.5. Sistema de ecuaciones lineales de 2 "2 sin solución.
Ejemplo 9 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sis-
tema (2.7).
Solución 9 En la Figura (2.6) se presenta el resultado obtenido por wxMax-
ima para un sistema incosistente o que no tiene solución (2.7).La salida (%o3)
Figura 2.6. Resolución del Sistema (2.7) por wxMaxima.
muestra sólo [ ], lo cual indica que el sistema no tiene solución.
Ejemplo 10 Utilizando GeoGebra resuelva graﬁcamente el sistema lineal sigu-
: 3x #2y = #2 (2.8)
: 6x #4y = #4
2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 17
Solución 10 El valor del determinante del sistema (2.8) es
det Sistema = ((3) (!4) !(!2) (6))
como consecuencia el sistema (2.8) no tiene solución única. Para gráﬁcar este
sistema por medio de GeoGebra teclear en el campo lo siguiente
1. E1: 3x-2y=-2 + enter " introduce la ecuación E1.
2. E2: 6x-4y=-4 + enter " introduce la ecuación E2.
La gráﬁca del sistema (2.7) muestra que las dos rectas se sobreponen, es
decir, coinciden en un número inﬁnto de puntos en el plano xy, se dice
entonces que el sistema tiene soluciones inﬁnitas.
Figura 2.7. Sistema de ecuaciones lineales de 2 #2 con soluciones inﬁnitas.
Ejemplo 11 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sis-
tema (2.8).
Solución 11 La solución obtenida por wxMaxima se muestra en la Figura (2.8)La
salida (%o3) muestra que el sistema tiene inﬁnitas soluciones, para simpliﬁcar
la solución se hace t =%r1, donde t $ R la solución se escribe:
2t !2
La representación gráﬁca de este sistema se presenta en la Figura (2.7); las
rectas se intersectan en un número inﬁnito de pares ordenados (x, y).
2.2.5 Clasiﬁcación de Soluciones
Las soluciones encontradas en un sistema de ecuaciones lineales de 2#2 pueden
clasiﬁcarce de la forma siguiente:
18 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Figura 2.8. Resolución del Sistema (2.8) por wxMaxima con sloluciones inﬁnitas.
Solución única, det != 0.
Soluciones inﬁnitas, det = 0.
Inconsistente {Sin solución, det = 0.
esta clasiﬁcación se puede extender a sistemas de n "n.
2.2.6 Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3 "3
En el siguiente ejemplo que se presenta se resuelve un sistema de ecuaciones
lineales de 3 "3 utilizando wxMaxima.
Ejemplo 12 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema lineal de 3 ecuaciones
con 3 incógnitas:
Solución 12 El sistema (2.9) puede ser resuelto con wxMaxima. En el espacio
de trabajo introducir secuencialmente cada una de las ecuaciones del sistema
1. E1: a11*x1+a12*x2+a13*x3=b1 oprimir
+ $! : introduce la ecuación
2. E2: a21*x1+a22*x2+a23*x3=b2 oprimir
3. E3: a31*x1+a32*x2+a33*x3=b3 oprimir
4. linsolve ([E1,E2,E3],[x1,x2,x3]) oprimir
+ $! : resuelve el sistema
lineal con las variables x1, x2 y x3. La solución obtenida por wxMaxima
se presenta en la Figura (2.9).
2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 19
Figura 2.9. Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 ! 3 utilizando
2.2.7 Determinante de un sistema de ecuaciones lineales
de 3 !3
La solución del conjunto de ecuaciones (2.9) se presenta en la Figura (2.9), la
linea de salida (%4) muestra la solución general de este sistema, el denominador
de esta solución se reescribe de la forma siguiente
) "a
Este producto se le denomina determinante (det) del sistema de ecuaciones
de 3 !3 (ecuación 2.11)
det Sistema (3 !3) = a
De igual forma que se presenta en el sistema de ecuaciones de 2 ! 2, se
establece que el sistema (2.9) tiene solución única, si se cumple que
det Sistema (3 !3) #= 0
Es importante hacer notar que el determinante sólo se puede calcular para
sistemas cuadrados (n ! n). En el Capítulo 5 se tratara ampliamente el tema
de determinantes.
20 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2.2.8 Solución Gráﬁca de sistemas de 3 !3
El sistema lineal (2.9) forman un conjunto de planos que pueden intersectarse,
sobreponerse o intercalarse; la solución gráﬁca para estos sistemas se ilustra en
la ﬁguras siguientes,
1. Solución única, los tres planos se intersectan en un solo punto, ver Figura
2. Soluciones inﬁnitas, los planos se intersectan a lo largo de una recta
común, ver Figura (2.11).
3. Sin solución, se tienen planos paralelos, en este caso el sistema es inco-
sistente, ver Figura (2.12).
Figura 2.10. Solución única
Figura 2.11. Soluciones inﬁnitas.
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 21
Figura 2.12. Sin solución.
2.3 El Método de Eliminación
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales del tipo
se utiliza una generalización sitemátizada del método de eliminación. Antes
de proseguir se aclara lo relacionado con la notación utilizada.
Notación 1 En el sistema de ecuaciones (2.2) a
representa cualquier coe-
ﬁciente del sistema en la ecuación i que multiplica a la incógnita j. Así por
ejemplo, el coeﬁciente a
, se encuentra en la ecuación E2 multiplicando a la
. Por otro lado, b
identiﬁca a cualquier término constante en la
Cuando se efectúan operaciones en cada una de las ecuaciones del sistema
(2.2) sólo se afectan los coeﬁcientes a
y los términos b
, las incógnitas no se
ven afectadas, por esta razón, para evitar repetición al escribir cada una de las
ecuaciones del sistema, los coeﬁcientes a
se escriben en un
arreglo rectangular ordenado llamado matriz aumentada, de la forma siguiente
= (A|b) (2.13)
22 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La matriz aumentada se dice que es de tamaño u orden m!(n + 1), esto es,
m-renglones por (n+1)-columnas. La matriz aumentada esta formada por una
matriz de coeﬁcientes (A) de orden m!n y una matriz de términos constantes
(b) de orden m!1. La representación matricial de cada una de ellas es
Notación 2 De forma similar, los subíndices ij en los elementos a de la matriz
de coeﬁcientes (2.12) indican la ubicación del elemento en el renglon i y la
Ejemplo 13 En la matriz aumentada siguiente
"5 7 "1 2
0 5 6 "3
8 "6 10 "9
Identiﬁcar los elementos a
Solución 13 Los elementos identiﬁcados son
Es importante resaltar, que un sistema de ecuaciones lineales (2.2) puede
ser representado en forma equivalente mediante una matriz aumentada (
viceversa, una matriz aumentada tiene su sistema de ecuaciones equivalente,
este hecho se muestra en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 14 Determine
A para el sistema de ecuaciones lineales siguiente
Solución 14 La equivalencia entre el sistema de ecuaciones lineales y la matriz
aumentada es
0 2 "8
"4 5 9
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 23
Ejemplo 15 Determine el sistema de ecuaciones lineales equivalente de la ma-
triz aumentada siguiente
1 !6 0
0 3 !9
Solución 15 El sistema de ecuaciones equivalente es
! 6x
! 9x
En adelante para facilitar el manejo de una matriz aumentada en wxMax-
ima se omitirá la línea vertical, así que la última columna corresponderá a los
términos constantes (b
2.3.1 Operaciones Elementales de Renglón
En el método de eliminación se aplican sobre la matriz
A tres operaciones cono-
cidas como operaciones elementales de renglón, estas son:
1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.
2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
3. Permutar o intercambiar renglones.
Notación 3 Las operaciones elementales se pueden denotar de la forma sigu-
, c $= 0: El renglón i puede ser sustituido al multiplicar ese
renglón por una constante c $= 0.
, c $= 0: El renglón j, puede ser sustituido al sumar al
renglón j el multiplo de otro renglón i.
: Los renglones i y j pueden intercambiarse o permutar.
En los ejemplos siguientes se explicara con detalle el proceso de eliminación
sobre sistemas de ecuaciones lineales de 3%3, llevando los registros de la opera-
ciones elementales efectuadas con la notación antes mencionada.
Ejemplo 16 Describa el algorítmo del proceso de solución mediante opera-
ciones elementales de renglón de la matriz aumentada siguiente
Solución 16 Los elementos a
se identiﬁcan como elementos pivote
ubicados en los renlgones pivote, ellos forman la diagonal principal. El algoritmo
simple de este proceso es
24 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Paso 1. Hacer a
= 1 (1er. pivote).
Paso 2. Hacer "ceros" los elementos por debajo del elemento pivote a
(a) Hacer a
(b) Hacer a
Paso 3. Hacer a
= 1 (2do. pivote).
Paso 4. Hacer "ceros" los elementos por debajo y por arriba del elemento pivote
Paso 5. Hacer a
= 1 (3er. pivote).
Paso 6. Hacer "ceros" los elementos por arriba del elemento pivote a
Paso 7. ¿Tiene solución el sistema?
Ejemplo 17 Resuelva mediante el método de eliminación el sistema de ecua-
Solución 17 Aplicando operaciones elementales de renglón se tiene
3 !2 !3
hacer a11=1
hacer a21=0
0 !8 !15
!8R
hacer a31=0
0 !14 !27
hacer a22=1
+ 14R
hacer a32=0
!2R
hacer a12=0
hacer a33=1
hacer a23=0
hacer a13=0
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 25
} = {!3, !35, 19} .
El algoritmo de eliminación implementado se conoce como eliminación de
Gauss-Jordan. Note que se hacen "ceros" por arriba y "ceros" por abajo de la
diagonal principal. Si el proceso de eliminación sólo contemplara hacer "ceros"
por debajo de la diagonal principal y luego sustitución hacia atrás, se trataría
del método de eliminación gaussiana.
Ejemplo 18 Resuelva mediante el método de eliminación gaussiana el ejemplo
Solución 18 Para esto, el proceso puede continuarse a partir de la marca !
El sistema obtenido es más simple que el original, este último se puede resolver
por sustitución hacia atrás. De la ecuación E3 se tiene que
De la ecuación E2 resolvemos para x
y sustituimos x
= !35
Resolviendo de la ecuación E1 para x
y sustituyendo los valores de las incog-
nitas x
= 3 !4x
= 3 !4 (19) !2 (!35)
La solución ﬁnal es (x
) = (19, !35, !3).
26 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Operaciones Elementales de Renglón con wxMaxima
En wxMaxima una matriz se deﬁne mediante una instrucción muy simple, por
ejemplo la matriz aumentada
A de 2 !3
1 "2 "3
se puede introducir con wxMaxima con la instrucción
A: matrix ([1,-2,-3],[4,7,6]) oprimir
desplegándose en el espacio de trabajo como lo muestra la Figura (2.13).
Figura 2.13. Introducir una matriz en wxMaxima.
la introducción de matrices es por renglones entre corchetes.
Nótese que las matrices también pueden ser introducida a partir del Menú,
la secuencia de instrucciones es la siguiente:
1. % Enter Matriz...% Matriz % Aceptar %
2. Introducir matriz % Aceptar
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 27
wxMaxima permite realizar operaciones elementales de reglón mediante las
1. Función: rowop ( M,i,j,!): Si M es una matriz y un ! escalar, devuelve la
matriz que resulta de realizar la transformación R
renglones R
. Si M no tiene estos renglones, devuelve un mensaje
2. Función: rowswap ( M,i,j): Si M es una matriz, intercambia los renglones
i y j, R
. Si M carece de estos renglones, devuelve un mensaje de
Note que la operación elemental de renglones de R
, no tiene una
operación directa en wxMaxima, pero está se puede obtener mediante la op-
eracion rowop ( M, i, j, !), en el ejemplo siguiente se muestra el uso de éstas
Ejemplo 19 Resuelva mediante operaciones elementales de renglón aplicando
wxMaxima el sistema lineal siguiente
Solución 19 Una vez introducida la matriz aumentada (Figura 2.14) del sis-
tema, es importante que le asigne un nuevo nombre a cada matriz que resulte
de esa instrucción, al ﬁnal de cada instrucción oprima la combinación de teclas
+ $" .
Figura 2.14. Matriz Aumentada.
Secuencialmente introduzca las operaciones siguientes
Paso 1. A1: rowop(A,1,1,1/2): R
Paso 2. A2: rowop(A1,2,1,3): R
Paso 3. A3: rowop(A2,3,1,8): R
28 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Paso 4. A4: rowop(A3,2,2,9/8): R
Paso 5. A5: rowop(A4,3,2,-14): R
"("14) R
Paso 6. A6: rowop(A5,1,2,2): R
Paso 7. A7: rowop(A6,3,3,7/3): R
Paso 8. A8: rowop(A7,2,3,15/8): R
Paso 9. A9: rowop(A8,1,3,1/4): R
Las instrucciones que se introducen secuencialmente despliegan en wxMax-
ima las celdas siguientes:
Paso 5. Paso 6
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 29
La matriz obtenida en la salida %o10 (paso 9) es equivalente a
Una forma directa para obtener la matriz escalonada por renglones es medi-
ante la instrucción echelon de wxMaxima. La función echelon (M) devuelve la
forma escalonada de la matriz M, obtenida por eliminación gaussiana.
La aplicación de la función echelon (M) al ejemplo anterior es
a partir de matriz obtenida en la salida (%o2) se aplica sustitución hacia
atrás para obtener la solución completa.
Ejemplo 20 Encuentre la solución del sistema lineal siguiente
30 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Solución 20 La matriz aumentada del sistema es:
1 1 !1
4 !1 5
Se aplican las operaciones elementales siguientes
matriz equivalente obtenida es
el útimo renglón presenta una incosistencia, el sistema no tiene solución.
Con wxMaxima se obtiene
Ejemplo 21 Resolver el sistema lineal siguiente
Solución 21 La matriz aumentada del sistema es
Efectuando operaciones elementales de renglón se obtiene
!!!!!!!!!!!!!"
0 !5 9
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 31
Aquí R
son igulales, por lo tanto, se sustituye el renglón 3 por un renglón
de ceros, y se obtiene el último pivote en R
El proceso de operaciones elementales no puede continuar ya que no existe otro
elemento pivote. El sistema equivalente es:
Este sistema equivalente se tienen dos ecuaciones con tres incognitas, en este
caso existen soluciones inﬁnitas. El procedimiento para reportar la solución de
estos sistemas es
1. Del sistema equivalente de n ecuaciones y r variables o incógnitas deter-
mine las variables libres al calcular
variables libres = r "n
= 3 "2
2. De las tres incógnitas x
seleccionar una variable, está incógnita
será la varible libre, por ejemplo
= t, donde t # R
t es un parámetro que puede tomar cualquier valor en el conjunto de los
3. Despejar las incognitas x
en función de la variable libre:
De la ecuación E1
De la ecuación E2
32 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La solución se escribe como:
o en notación de conjunto, aquí S es el conjunto solución:
, t ; donde t " R
2.3.2 Existencia de Soluciones
Algunas conclusiones obtenidas de la resolución de sistemas de ecuaciones lin-
eales de 2 #2 y de 3 #3, se pueden generalizar a sistemas de ecuaciones lineales
de n #n y de m#n, así se tiene
1. Existe solución única sí y sólo sí el det Sistema (n #n) $= 0.
2. Existe solución única sí y sólo sí se tienen n pivotes en la matriz aumentada
de n #(n + 1).
3. Existen soluciones inﬁnitas o se presenta inconsistencia sí y sólo sí el det
Sistema (n #n) = 0
4. Existen soluciones inﬁnitas si en la matriz aumentada n#(n + 1) se tiene
por lo menos un renglón de ceros.
5. Inconsistencia se presenta en la matriz aumentada de n # (n + 1) si se
tiene un renglón de ceros sólo en la matriz de coeﬁcientes.
Ejemplo 22 Elija valores de h y k en el conjunto de los reales para los cuales
1. Solución única
3. Soluciones inﬁnitas
Solución 22 Las operaciones elementales de renglón son
!!!!!!!!!!!%
0 3 !2h
3!2h
!!!!!!!!%
note que 3!2h"=0
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 33
h(k!2)
simpliﬁcando se tiene
3!hk
1. Para que el sistema tenga solución única 3"2h $= 0, h $=
, con cualquier
valor de k. Probemos por ejemplo, h = 2 y k = 3
3!(2)(3)
3!2(2)
3!2(3)
La solución es:(x
2. Si h =
y k " 2 $= 0 ó k $= 2, al sustituir en en el sistema aumentado
obtenido en el paso A
se obtiene una inconsistencia.
3. Cuando h =
y k = 2, al sustituir en en el sistema aumentado obtenido
en el paso A
se obtiene el sistema equivalente x
= 1 que tiene por solución
= t, t % R
2.3.3 Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo
Un sistema de ecuaciones lineales homogéno es un sistema ecuaciones similar a
(2.2), donde todos los términos constantes son cero (b = 0).
Po ejemplo el sistema de ecuaciones lineales de 4&4 siguiente, es homogéneo
ya que b
= 0 para todo i.
34 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
La representación de este sistema en una matriz aumentada esta dado por:
por cuestiones prácticas la columna de "ceros" no se escribe. Para resolver un
sistema de ecuaciones lineales homogéno se recurre al algorítmo de eliminación
gaussiana o Gauss-Jordan visto anteriormente.
Para cualquier sistema lineal homogéneo com m-ecuaciones y n-incógnitas,
existen dos posibilidades de solución:
la solución única o trivial
que se presenta para un sistema de ecuaciones lineales cuadrado cuando
det Sistema (n "n) #= 0
y las soluciones inﬁnitas o no triviales.
El cálculo de determinantes de n "n se analizará en el capítulo 5.
Ejemplo 23 Utilizando wxMaxima. Resuelva el sistema homogéneo siguiente
Solución 23 La matriz aumentada del sistema
4 $1 5
en wxMaxima con las instrucciones siguientes
1. Ah: matrix ([1,1,-1],[4,-1,5],[6,1,3) oprimir
2. echelon (Ah) oprimir
2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 35
La operación elemental adicional R
produce el sistema equiv-
donde las variables libres son (r "n) = 3 " 2 = 1, si x
= t, t # R;
Ejemplo 24 Determine la solución para el sistema lineal homogéneo siguiente
"5x
Solución 24 En wxMaxima teclear secuencialmente las instrucciones siguientes
1. E1: 3*x1-7*x2+9*x3-5*x4+8*x5=0 oprimir
2. E2: -6*x3+6*x4+4*x5=0 oprimir
3. E3: 3*x1-7*x2+8*x3-5*x4+8*x5=0 oprimir
4. linsolve ([E1, E2, E3], [x1,x2,x3,x4,x5]) oprimir
La solución por wxMaxima es
[x1=%r2, x2=(9*%r2+34*%r1)/21, x3=0, x4=-(2*%r1)/3, x5=%r1]
Si t=%r2 y s=%r1 con t,s # R, la solución dada para el sistema se escribe
9t + 34s
en el Capítulo 3 se dará otra forma de escribir la solución mediante vec-
36 CAPÍTULO 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En general un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene
un número inﬁnito de soluciones.
Una Matriz es un operador matemático de m!n elementos ordenados en m-
renglones y n-columnas, se dice entonces que la matriz es de orden m! n, los
elementos de una matriz pueden ser números reales o complejos, funciones reales
o complejas, derivadas o integrales de funciones, etc.
Cualquier elemento de una matriz A
de m ! n localizado en el renglón i
y la columna j se le dedomina a
. De está manera a todos elementos de la
matriz A, ecuación (3.1), se les representa en forma compacta por A = (a
Así se tiene que la matriz A es 2 !3, mientras que B es 2 !4
9 0 "5
"2 0 1 6
7 9 3 "4
3.1.1 Matrices Especiales
Algunas matrices, en razón de sus dimensiones o de las características de los el-
ementos que la componen, reciben denominaciones particulares. A continuación
se hace mención solamente de algunas de las más comunes.
A las matrices las identiﬁcaremos con letras mayúsculas.
38 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
1. Matriz Cuadrada. Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo
número de renglones que de columnas, por ejemplo:
!1 !5 3
donde A es una matriz cuadrada de 3 "3, o simplemente de orden 3 y B
es una matriz cuadrada de 2 "2, o de orden 2.
2. Matriz diagonal, matriz triangular inferior y matriz triangular superior.
(a) La matriz diagonal D, es una matriz cuadrada de orden n, donde
cada elemento d
cumple la siguiente regla:
0 si i #= j
son matrices diagonales de orden 3 y 4, respectivamente:
(b) La matriz triangular inferior es una matriz cuadrada de orden n,
0 si i < j
si i $ j
Las matrices A y B cumplen este requisito
(c) La matriz triangular superior es una matriz cuadrada de orden n,
0 si i > j
si i % j
Matrices triangulares superiores son las siguientes:
3.1. MATRIZ 39
3. Matriz Identidad de orden n, I
La matriz Identidad de orden n tiene elementos tales que
0 si i != j
Matrices Identidad I
3.1.2 Generación de Matrices con wxMaxima
wxMaxima genera matrices cuyos elementos son calculados a partir de una fun-
ción de dos variables, por ejemplo h(i, j), g (i, j), etc.
Para generar una matriz es necesario primero deﬁnir la función; en wxMax-
ima se utiliza el operador ":=" para deﬁnir funciones, por ejemplo, la función
f(x)=sen x se escribe como
Se pueden deﬁnir funciones de dos variables, por ejemplo, la función h(i, j)
"1 + j + i
en wxMaxima es equivalente a
h[i,j]:=1/(-1+j+i)
Una vez deﬁnida la función se utiliza el comando genmatrix (h,m,n) de wx-
Maxima, h es la función deﬁnida, m y n indican el orden de la matriz. A la
matriz generada se le puede asignar un nombre para identiﬁcarla.
Ejemplo 25 Utilizando wxMaxima. Genere la matriz A de 3#4 con la función
deﬁnida por h(i, j) =
Solución 25 Para generar la matriz A siga las intrucciones
1. h[i,j]:=1/(-1+j+i) oprimir
+ %" : deﬁne la función h(i, j).
2. A=genmatrix (h,3,4) oprimir
+ %" : genera la matriz A de 3#4 cuyos
elementos son calculados mediante la función h.
En la Figura (3.1) se presenta la entrada secuencial de las instrucciones y
el resultado desplegado en wxMaxima.
40 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
Figura 3.1. Generación de Matriz la matriz A con wxMaxima.
Si la función h ha sido introducida, entonces se puede generar la matriz A
a través del menu de wxMaxima con los íconos siguientes !Generate
Matrix!..., deplegándose la ﬁgura siguiente
Ejercicio 5 Utilizando wxMaxima. Genere la matrices especiales siguientes
1. Matriz nula de orden 3, donde se cumple que a
2. Matriz simétrica de orden 3, donde se cumple que a
3. Matriz antisimétrica de orden 4, donde se cumple a
los elementos de la diagonal principal deben ser nulos, pues sólo se cumple
0 = "0.
4. Matriz de Vandermonde de orden 4 con elementos dados por
g(i, j) = x
5. Matriz A de orden 3 con elementos
a (i, j) =
i + j "1
3.2. VECTORES 41
6. Matriz B de orden 2 con elementos
i + j !1
7. Matriz A de orden 4 con elementos
a(i, j) = a
10i+j
Los vectores son una clase particular de matrices, de tal forma que el álgebra
elemental de matrices se puede aplicar a los vectores. El interés en este tema se
centra en vectores con componentes reales.
3.2.1 Vector renglón y vector columna
Se deﬁne un vector renglón de n componentes como un conjunto ordenado de
n números reales escrito de la forma siguiente
) o también como
Un vector renglón es una matriz de orden 1 "n.
Se deﬁne un vector columna de n componentes como un conjunto ordenado
de n números reales escrito de la manera siguiente
Un vector columna es una matriz de orden n "1.
Cada componente de un vector se le identiﬁca como primera componente
, segunda componente x
, sucesivamente hasta la n-ésima componente x
este curso trataremos vectores sólo con componentes reales, esto es x
Notación: Los vectores se representan con letras minúsculas en negritas;
así por ejemplo tendremos los vectores u, w, x, y, etc.
Los vectores renglón o columna con dos componentes reales pertenecen al con-
junto de vectores R
estos vectores se pueden visualizar en un plano cartesiano,
por ejemplo los vectores y, u, z # R
, estos son
42 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
De forma similar los vectores columna o renglón con tres componentes reales
pertenecen al conjunto R
, estos vectores se pueden visualizar en el espacio, por
ejemplo, los vectores a, w, b ! R
, w = (w
) , y b =
En general, un vector con n componentes reales pertence al conjunto R
3.2.2 Vectores y Matrices
Los vectores son matrices de n " 1 o 1 " n; las matrices están formadas por
vectores renglón y vectores columna, por ejemplo, la matriz A de 3 "4,
la cual se compone de los vectores columna o matrices de 3 "1 siguientes
Note que cada c
En forma similar se tiene los vectores renglón o matrices de orden 1 " 4
Note que cada r
Una representación alterna de una matriz en términos de vectores columna
o renglón es
dos vectores en R
y ! un escalar.
1. Igualdad de vectores, x = y si y sólo si
3.2. VECTORES 43
la suma se lleva a cabo sólo entre vectores renglón o vectores columna.
3. Producto de un vector por un escalar
!x = !
· · · !x
4. Producto escalar de vectores, por deﬁnición
+ · · · +x
Este producto se lleva a cabo aplicando la deﬁnición entre vectores renglón,
entre vectores columna o entre vector renglón y columna, con igual número
El producto escalar también se conoce como producto punto o producto
interno. En forma matricial el producto escalar puede llevarse a cabo como
el producto de una matriz 1 !n y una matriz de n !1
matriz de 1!n
matriz de n!1
Nótese que el resultado es un solo número y no un arreglo de números
como lo es un vector.
Sean a, b, c vectores en R
, ! y " escalares. Entonces
1. a+ 0 = a.
2. 0 a = 0, donde 0 ! R
3. a+ b = b +a (ley conmutativa).
4. (a +b) +c = a + (b +c) (ley asociativa).
5. (! +") a = !a+"a (Ley distributiva de la multiplicación por un escalar).
6. (!") a = !("a).
44 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
Vectores con wxMaxima
En wxMaxima un vector renglón o columna se deﬁne mediante una lista de
números, agrupados entre corchetes las componentes del vector separados por
comas. Así por ejemplo, los vectores renglón u y v, los vectores columna w y
z, dados por
se introducen en wxMaxima uno a uno con la instrucción
u:[3,-2,-3] oprimir
o con la instrucción
u:[3,-2,-3]; v:[4,1,5] ; w:[-5,3,1] ; z:[1,7,6] oprimir
se introducen todos a la vez.
Una vez deﬁnidos estos vectores se pueden realizar operaciones según se han
deﬁnido, por ejemplo
2. Multiplicación de vectores por un escalar
3. Producto escalar de vectores
3.2. VECTORES 45
Los operadores "!" y "." se utilizan para la mutliplicación, el operador "!"
para efectuar una multiplicación de un vector por un escalar, el operador "."
(punto) para efectuar el producto escalar entre vectores.
Como los vectores es una clase especial de matrices, entonces se pueden in-
troducir en wxMaxima mediante el comando "matrix". Así los vectores renglón
u y v serán matrices 1 "3
u:matrix([3,-2,-3]) oprimir
+ $! ; v:matrix([4,1,5]) oprimir
y los vectores columna w y z matrices de 3 "1
w:matrix([-5],[3],[1]) oprimir
+ $! ; z:matrix([1],[7],[9]) oprimir
Los vectores también pueden ser introducidos a partir del Menú, la secuencia
de instrucciones es la siguiente: % Enter Matriz...% Matriz (introducir
vector)% Aceptar.
wxMaxima puede llevar a cabo el cálculo de producto escalar mediante la
Función: dotproduct(u,v), donde u y v deben ser deﬁnidos sólo como vectores
columna, esto es como matrices de n "1.
46 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
Sean a, b y c vectores en R
, ! y " dos escalares. Entonces,
1. a· 0 = 0, donde 0 ! R
2. a · b = b · a, ley conmutativa del producto escalar.
3. a · (b +c) = a · b +a ·c.
4. (!a) · b = !(a · b) .
Ejercicio 6 Dados los vectores
2 "3 1
Efectuar las operaciones siguientes
Sean A = (a
) matrices de orden m#n y ! un escalar, deﬁnimos
la operaciones elementales siguientes
1. Igualdad: A = B si ambas matrices son del mismo orden y se cumple (a
2. Adición: C = A+ B = (a
matriz de orden m#n, de manera equivalente se deﬁne la sustracción de
matrices: A"B.
3. Multiplicación por un escalar: C = !A = !(a
) = (!a
), donde C es
una matriz de orden m#n.
Ejemplo 26 Dadas la matrices siguientes
"10 1 1
"10 5 "4
"1 "10 2
"1 "9 8
"5 10 "2
7 7 "7
Hallar B +C, B "C y 2A.
3.2. VECTORES 47
Solución 26 Las operaciones se muestran a continuación
!10 1 1
!10 5 !4
!1 !10 2
!1 !9 8
!5 10 !2
7 7 !7
!11 !8 9
!15 15 !6
6 !3 !5
B!C =
!9 10 !7
!5 !5 !2
!8 !17 9
!10 14
Algunas de las operaciones que no se pueden realizar, ya que las matrices no
son del mismo orden, son por ejemplo, A+B, A+C, A!B, A!C, etc.
Propiedades del álgebra de matrices
Sean A, B y C matrices de m"n, ! y " escalares, entonces,
1. A+ 0 = A donde 0
2. 0A = 0
donde ! = 0.
3. A+B = B +A (ley conmutativa para la suma de matrices).
4. (A+B) +C = A+ (A+B) (ley asociativa para la suma de matrices).
5. !(A+B) = !A + !B (Ley distributiva para la multiplicación por un
(I: matriz identidad de orden n o m).
7. (! +") A = !A+"A
Ejercicio 7 Sea
3 !1 3
2 !4 5
1. E +C
2. D !F
3. 2C !3E
5. 2B +F
48 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
) una matriz de orden m ! n y B = (b
) una matriz de orden
n ! q, se obtiene una matriz C = (c
) de orden m! q al efectuar el producto
matricial AB,
(m!q)
(m!n)
(n!q)
donde cada elemento de c
de C se obtiene de la operación siguiente
= (renglón i de A) · (columna j de B)
Note que el producto de dos matrices, ecuación (3.2), puede realizarse sólo
si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B; se dice
que A y B son compatibles mediante la multiplicación.
Ejemplo 27 Dadas las matrices
lleve a cabo las operaciones siguientes.
Solución 27 Las operaciones son
3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 49
2. CB =
uc +vd
3. DE =
3.3.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices
3. (AB) C = A(BC) (ley asociativa de la multiplicación).
5. (B +C) A = BA + CA (ley distributiva derecha de la multiplicación de
6. !(AB) = (!A) B = A(!B) (ley asociativa de la multiplicación de matri-
= AA· · · A
5. (AB)
50 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
1 8 !9
1. Adición de matrices, C +D.
2. Multiplicación de una matriz por un escalar, 6 " A.
5. Operaciones combinadas, 2 " (C +D) ! 3 " A.B.
1,7],[-1,3]); D:matrix([7,-4],[4,5]); al ﬁnal de la instrucción oprimir
+ $! .
3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 51
2 (C +D) !3AB = 2
!87 138
1 2 !3
1. AB +CD
5. (C +D) A
Una matriz A elevada a una potencia n, A
52 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
3.4 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente
puede ser representado en forma matricial por la ecuación (3.3)
Donde A es la matriz de coeﬁcientes de orden m ! n, x es el vector de
incognitas en R
(matriz de n ! 1) y b es el vector de términos constantes en
(matriz de m!1), así la representación del sistema de ecuaciones lineales
en su forma matricial compacta es,
Ax = b (3.4)
La utilidad de está notación abreviada la veremos en la sección siguiente.
3.4.1 Matrices Inversas
La inversa de una matriz A de n !n, es la matriz B de n !n tal que
Entonces B se le llama la inversa de A y se escribe por A
. Así se tiene que la
inversa de una matriz A cuadrada de orden n es aquella que cumple
Si una matriz tiene inversa su inversa es única, se dice entonces que la matriz
es invertible o no singular. Las matrices que no tienen inversas son llamadas
En los ejemplos siguientes utilice wxMaxima para comprobar la operación.
Ejemplo 29 Muestre que la inversa de la matriz
3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 53
Solución 29 Se debe probar AB = BA = I
se muestra entonces que A
Ejemplo 30 Cálcule la inversa de la matriz A =
Solución 30 El cálculo de su inversa implica que AA
. Suponemos
!2a + 5c !2b + 5d
3a + c 3b + d
Está igualdad matricial plantea los sistemas de ecuaciones lineales siguiente
!2a + 5c = 1
3a + c = 0
!2b + 5d = 0
3b + d = 1
Note que los sistemas aumentados tienen los mismos coeﬁcientes, de tal modo
que se pueden resolver simultáneamente en una sóla matriz aumentada:
54 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
note que del lado izquierdo aparece la matriz de coeﬁcientes A y del lado derecho
la matriz I
. Al efectuar operaciones elementales de renglón sobre el sistema
aumentado anterior se obtiene
Ahora del lado izquierdo del sistema aumentado aparace I
y del lado derecho
, está es
Existencia de la Inversa de A
El cálculo de la inversa de una matriz cuadrada se convierte en un proceso largo
a medida que el orden de la matriz es mayor que 2; así que lo mejor, primero, es
determinar si la inversa de una matriz cuadrada existe. En la determinación de
la inversa se tiene que encontrar la solución al sistema aumentado (A|I
forma que resulta práctica es recordar que el sistema aumentado representa a
sistemas de ecuaciones lineales que se resuelven simultáneamente buscando una
solución única, ya que la inversa de cualquier matriz que la tenga es única, por lo
tanto, los sistemas a resolver no debe tener soluciones inﬁnitas y mucho menos
incosistencia. En conclusión, la inversa de una matriz A de orden n existe si y
det A "= 0
Procedimiento para el cálculo de la inversa
A partir del ejemplo anterior, se puede obtener un procedimiemto general para
obtener la inversa de una matriz A de orden n, este es el siguiente
1. Determinar si se cumple det A "= 0, de ser así siga el proceso.
2. Escribir el sistema aumentado: (A|I
), donde I
de orden n.
3. Efectuar operaciones elementales de reglón.
4. En el sistema aumentado aparece I
del lado izquierdo y del lado derecho
la matriz inversa A
3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 55
Ejemplo 31 Sea A =
Solución 31 Es necesario probar que det A "= 0
= (3) (2) !(!1) (2)
Por lo tanto la inversa de A existe. El cálculo de la inversa por operaciones
elementales de renglón se puede efectuar de la siguiente manera:
Sea A y B matrices cuadradas invertibles de orden n y ! un escalar. Entonces,
4. (!A)
56 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
Inversas y wxMaxima
Si la inversa de una matriz cuadrada existe, wxMaxima puede calcularla fá-
cilmente por medio de la función invert (M), donde M es la matriz cuadrada
de orden n, la inversa es calculada por el método de las adjuntas, método que
veremos adelante. También puede ser calculada con la instrucción M^^-1.
Ejemplo 32 Utilizando wxMaxima. Dada la matriz
determine su inversa.
Solución 32 Suponga que el det A = a
"= 0, entonces la inversa
de A existe. La matriz A se introduce en wxMaxima con las instrucciones sigu-
#Enter Matriz... #Matriz (introducir los elementos) #Aceptar
El comando invert (A) y la combinación de teclas
+ %! despliega la A
como se muestra en la ﬁgura siguiente
la salida %o2 puede se reescrita de la forma dada por
de tal forma que la inversa de una matriz de 2 & 2 puede calcularse por medio
esta ecuación también se obtiene al resolver el sistema aumentado
3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 57
3.4.2 Inversas y Sistemas de Ecuaciones Lineales
La notación matricial, ecuación (3.4), es la representación algebraica símbolica
del sistema de ecuaciones lineales, ecuación (3.3).
Al multiplicar la ecuación (3.4) por la izquierda por A
lo que signiﬁca
es decir, se puede resolver un sistema de ecuaciones mediante el cálculo de
Ejemplo 33 Dado el sistema de ecuaciones lineales siguiente
Encuentre la solución aplicando la ecuación (3.5)
Solución 33 El sistema anterior en forma matricial es
3 2 !1
!3 1 3
las intrucciones en wxMaxima son
1. Introducir la matriz A, A:matrix([3,2,-1],[-1,2,3],[-3,1,3]) oprimir
+#! .
58 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
2. Introducir el vector b, b:matrix([b1],[b2],[b3]) oprimir
+ "! .
3. Calcular la matriz inversa de A, con invert(A) o con la instrucción A^^-1,
asigna la matriz inversa de A como Ainv:
Ainv:invert(A) oprimir
+"! o Ainv:A^^-1 oprimir
4. Efectúa el producto matricial Ainv.b, el producto es el vector solución x
(xsol),
3.4.3 Matriz Transpuesta
) es una matriz de m$n, la transpuesta de A, denotada por A
es la matriz de n $m, cuyos elementos A
). La propiedades de A
3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 59
2. (A+B)
4. Para cualquier escalar !, (!A)
5. Si A es una matriz diagonal, entonces A = A
6. Si A es una matriz cuadrada, entonces es simetrica si A
En wxMaxima la transpuesta de una matriz se puede determinar mediante
la función transpose (M), si M es una matriz, el valor devuelto es otra matriz N
tal que N[i,j] = M[j,i].
Ejemplo 34 Utilizando wxMaxima. Dada la matriz A =
2 !1 0
!1 2 !1
0 !1 2
determine su matriz transpuesta.
Solución 34 Introducir en wxMaxima la matriz A, mediante la instrucción
A:matrix([4,1,8],[-1,-2,7],[5,6,-2]) oprimir
o directamente en el menú, con la secuencia de instrucciones
$Enter Matriz... $Matriz $Aceptar $Introducir matriz $Aceptar
luego se calcula A
(AT) con la instrucción
AT=transpose (A)
Ejercicio 9 Utilizando wxMaxima. Sea A =
calcule AB, (AB)
60 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
El concepto de determinante fue introducido en el capítulo 2 al resolver
sistemas cuadrados de ecuaciones lineales de 2 ! 2 y 3 ! 3. Se considera que
estos sistemas tiene solución única sí y sólo si, el valor del determinate del
sistema es diferente de cero. El determinante de un sistema se calcula sólo con
la matriz de coeﬁcientes. Este concepto de determinate se puede extender a
matrices cuadradas de n !n.
El determinante es una función que asigna un valor a una matriz cuadrada;
la función asigna el valor de acuerdo a la suma de todos los productos posibles,
de tal forma que en cada uno de esos productos sólo se incluya un elemento de
cada renglón y de cada columna, con un signo positivo cuando el número de
inversiones es par y negativo en caso impar; se tiene una inversión cada que un
subíndice mayor antecede a uno menor.
Para la matriz más simple de un sólo elemento, A = (k), su determinante es
de primer orden, su valor es det A = k o también |A| = k.
Para una matriz 2 !2, dada por
su determinante es de segundo orden. Todos los productos posibles son a
, el signo se asigna dependiendo del número de inversiones; el producto
tiene 0 inversiones, por tanto signo es positivo; el producto a
una inversión, por lo tanto signo es negativo; su determinate es calculado por:
Ejercicio 10 Sea A una matriz de 3 !3,
Calcule el determinante de tercer orden de está matriz a partir de su deﬁnición
El cálculo de determinante de una matriz de n!n según la deﬁnición formal
se vuelve tedioso, está tarea se facilita con los métodos dados en adelante.
Determinante de una matriz de 2 !2 Sea A =
determinante se calcula por:
3.5. DETERMINANTES 61
Determinante de una matriz de 3 ! 3. Sea A =
una forma sencilla de recordar los productos anteriores es la siguiente
este método se conoce como desarrollo por cofactores por el primer renglón.
Dos métodos nemotécnicos
muy utilizados son los siguientes,
1. Agregar las dos primeras columnas y efectuar los productos indicados por
las ﬂechas con sus signos correspondientes
2. Calcular los productos indicados por las ﬂechas y multiplicar por +1 ó
"1, la suma de ambos productos corresponde al valor del determinante
Determinante de una matriz de n!n Un método utilizado para el cálculo
de determinantes de matrices de n ! n es el de desarrollo por cofactores. Sin
embargo, antes de describirlo es importante revisar algunos conceptos.
Sea A una matriz de n !n, entonces se tiene que:
Un método nemotécnico, es un sistema sencillo utilizado para recordar una secuencia de
datos, nombres, números, etc.
62 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
1. A la matriz M
de orden (n !1) " (n !1) obtenida al eliminar de A el
renglón i y la columna j se le llama menor ij.
2. El cofactor ij de la matriz A, denotado por A
ecuación (3.6)
= (!1)
| (3.6)
nótese que el cofactor es un número.
Ejemplo 35 Dada la matriz
!8 !1 9
2 1 !6
obtenga los cofactores A
Solución 35 Los cofactores se calculan
| = !1
!8 !1
Cálculo de determinantes mediante desarrollo por cofactores
1. El determinante de una matriz A de n " n se calcula mediante el desar-
rollando por cofactores a lo largo del renglón i por medio de
2. El determinante de una matriz A de n " n se calcula mediante el desar-
rollando por cofactores a lo largo de la columna j por medio de
El cálculo de determinates por el método de cofactores puede resultar labo-
rioso, por ejemplo, un determinante de 4
orden implica calcular cuatro cofac-
tores de tercer orden; calcular un determinante de 5
orden representa calcular
cinco cofactores de cuarto grado, luego cada uno de esos de 4
grado, implica
3.5. DETERMINANTES 63
cuatro cofactores de tercer orden, por lo tanto, deben calcularse 5!4 = 20 cofac-
tores de 3
, la tarea se vuelve agotadora. Para simpliﬁcar los cálculos un poco,
la elección del desarrollo por cofactores por columna o renglón puede hacerse en
función de la mayor cantidad de ceros que contenga.
Afortunadamente, el trabajo puede hacerse menos complicado mediante
el empleo de las propiedades de los determinantes para generar ceros, en un pro-
ceso semejante al de Gauss-Jordan, con la ventaja de que se pueden considerar
renglones y columnas.
Use una matriz de signos para determinar ("1)
+ " + · · ·
" + " · · ·
3.5.1 wxMaxima y determinantes
En wxMaxima el cálculo de un determinante se hace con la función determinant
(M), aquí M es una matriz cuadrada; la función determinant puede encontrarse
en el menú "Algebra y Determinante".
Ejemplo 36 Utilzando wxMaxima. Calcule el determinante de la matriz
"1 "2 7
5 6 "2
Solución 36 En wxMaxima se introduce la matriz A y calcula su determinante
con la secuencia siguiente
A:matrix([4,1,8],[-1,-2,7],[5,6,-2]); determinant (A)
al ﬁnal de la instrucción oprimir
+ $! , el resultado obtenido es
64 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
3.5.2 Propiedades de los Determinantes
Sea la matriz A de n !n
formada por los vectores columna,
1. Si cualquier vector columna de la matriz A es el vector cero, entonces
2. Si cualquier vector columna de la matriz A se multiplica por un escalar k,
por ejemplo kc
, entonces k |A|.
3. Si cualquier vector columna en la matriz A es multiplo escalar de otro
vector columna, por ejemplo, c
, entonces |A| = 0.
4. Si en la matriz A se tiene tiene dos vectores columna iguales, por ejemplo
5. La permutación de dos vectores columna en la matriz A, por ejemplo
, entonces ("1) |A|.
6. La suma de un multiplo escalar de un vector columna a otro vector
columna, por ejemplo, c
, no afecta el valor del determinate de
Las propiedades anteriores se aplican también a los vectores renglón que
forman la matriz A.
Factorización de Matrices y Determinantes
Cualquier representación de una matriz como un producto de dos o más matrices
se denomina factorización matricial. Por ejemplo,
es una factorización matricial, éste tipo se le llama factorización LU. Si A
es una matriz cuadrada de orden n que tiene una factorización LU entonces
3.5. DETERMINANTES 65
la matriz U es una matriz triangular superior, la cual se obtiene al efectuar
operaciones elementales de renglón sin dividir los elementos de la diagonal; la
matriz L es una matriz triangular inferior que tiene "1" en la diagonal principal.
El cálculo del determinante para matrices cuadradas que tienen la factorización
LU se reduce a,
|A| = |LU| = 1 |U|
|A| = u
esto es, al producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz U.
Ejemplo 37 Obtenga el determinante de la matriz A mediante la factorización
4 10 !4 0
!3 !2 !5 !2
!2 4 4 !7
Solución 37 Se efectuan operaciones elementales de renglón sin dividir los el-
ementos pivote, la matriz que se obtiene al ﬁnal del proceso es U.
0 4 !8 !8
0 7 6 !3
!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
0 0 0 !49
el valor del determinate es
|A| = |U| = (2) (4) (3) (!49) = !1176
Ejemplo 38 Utilizando wxMaxima. Encuentre la factorización LU para la ma-
triz A dada en el ejemplo anterior.
Solución 38 Las intrucciones secuenciales siguientes produce la factorización
LU, al ﬁnal de cada instrucción oprimir
1. A:matrix([2,3,2,4],[4,10,-4,0],[-3,-2,-5,-2],[-2,4,4,-7])
66 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
2. lu_factor (A)$
3. get_lu_factors (%)
la última instrucción produce la factorización
es la matriz identidad de orden 4.
El sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas dado por
es equivalente a la ecuación matricial siguiente
si |A| ! = 0, entonces la solución viene dada por
es la matriz obtenida al reemplazar el i-ésimo vector columna de A
por el vector de términos constantes b o matriz de n " 1. La ecuación (3.7) se
le conoce como regla de Cramer, así por ejemplo se obtienen
3.5. DETERMINANTES 67
Sea A una matriz cuadrada invertible de orden n, si el |A| ! = 0 se cumple
Antes de dar un método para el cálculo de A
sin efectuar operaciones
elementales de reglón deﬁniremos la matriz adjunta.
Sea A una matriz de n "n
y sea B su matriz de cofactores
entonces la adjunta de A, escrito Adj A, se deﬁne como la transpuesta de la
matriz de cofactores, es decir,
Adj (A) = B
la inversa de la matriz A mediante el cálculo de su adjunta viene dada por
la ecuación (3.8).
68 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
Ejemplo 39 Utilizando wxMaxima. Encuentre la inversa de la matriz A por
el método de la adjunta.
1 !3 0 2
3 !12 !2 !6
!2 10 2 5
!1 6 1 3
Solución 39 Es importante primero mostrar que el det A "= 0. Las instruc-
ciones secuenciales se listan a continuación, al ﬁnal de cada instrucción oprimir
1. A:matrix([1,-3,0,2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3])$
2. detA:determinant(A)$
3. BT:adjoint(A)
4. Ainv=BT/detA
Hechos importantes en determinantes Sean A y B matrices cuadradas
de orden n, entonces
3. |AB| = |A| |B|
3.5. DETERMINANTES 69
4. Si A es una matriz diagonal, triangular superior o inferior, entonces |A| =
, esto es, el determinante es el producto de los elementos de
5. |kA| = k
6. Advertencia: generalmente |A+B| ! = |A| + |B|.
GeoGebra y Matrices
GeoGebra también opera con matrices, representadas como una lista de listas,
que contiene los renglones de la matriz.
Por ejemplo, en GeoGebra, A={{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa la
Ejemplo 40 Utilizando Geogebra. Dadas las matrices siguientes
3 "1 3
2 "4 5
realice las operaciones siguientes: AB, A
, D(AB), C
y det C.
Solución 40 En el campo teclear secuencialmente las instruc-
1. A={{1,2,3}, {2,1,4}}
2. B={{1,0}, {2,1},{3,2}}
3. C={{3,-1,3}, {4,1,5},{2,1,3}}
4. D={{3,-2}, {2,4}}
5. E={{2,-4,5}, {0,1,4},{3,2,1}}.
La lista de comandos utilizados es
(a) AB=A*B
(b) AT=Traspone[A]
(c) DAB=D(AB)
(d) Cinv=MatrizInversa[C]
70 CAPÍTULO 3. MATRICES Y VECTORES
(e) detC=Determinante[C]
En la ventana algebraica de GeoGebra se despliegan los resultados de estas
En el capítulo 3 se estudia a los vectores desde un punto de vista no geométrico.
Los vectores son tratados como matrices de (n !1) ó (1 !n), de tal forma
que el álgebra elemental de matrices se puede aplicar a los vectores. El interés
del presente capítulo es introducir al lector el concepto de vector como una
entidad geométrica que tiene magnitud y dirección, principalmente a vectores
en el plano (R
) y en el espacio (R
). Este enfoque visual de vectores fortalecera
la compresión del estudio de espacios vectoriales que se vera en el capítulo
Geométricamente, un vector es un segmento de recta dirigido que se corre-
sponde con un desplazamiento desde un punto inicial (o cola), A = (x
un punto ﬁnal (o cabeza), B = (x
). Un vector se representa por una ﬂecha
y un segmento de línea dirigido (
AB) o bien algebraicamente como
) "(x
un par ordenado (x, y). Este par ordenado es la representación algebraica
del vector y geométricamente representa al vector con punto inicial en el origen
(0, 0) y punto ﬁnal (x, y). En adelante se hara uso de GeoGebra para mostrar
diferentes aspectos de la geometría de vectores.
Ejemplo 41 Utilizando GeoGebra. Represente geométricamente en el plano el
vector con punto incial A = (1, 3) y punto ﬁnal B = (3, 5).
Solución 41 Teclear en el campo de lo siguiente
1. A=(1, 3) + enter # introduce el punto A en el plano.
72 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
2. B=(3, 5) + enter ! introduce el punto B en el plano.
3. En elija vector entre dos puntos, seleccione primero A y luego B, se
traza el vector
AB. La instrucción Vector[A,B] muestra el mismo resul-
4. El vector
AB es equivalente algebraicamente a u
AB = (3, 5) "(1, 3) = (2, 2)
el vector u se introduce con la instrucción u=Vector[2,2], note que u es
un vector con punto inicial en el origen, Figura (4.1).
Figura 4.1. Representación geométrica de vectores en R
4.1.1 Vectores equivalentes
Si dos segmentos de rectas dirigidos
CD en R
tienen la misma magnitud
y dirección, se dicen que son equivalentes, sin importar en donde se encuentre
localizados en el plano.
Ejemplo 42 Utilizando GeoGebra. Se tienen los siguientes vectores en el plano
GH, con puntos iniciales A = (1, 1), C = (3, 1), E = (1, 6)
y G = ("2, 7); y con puntos ﬁnales B = (2, 4), D = (4, 4), F = ("4, 4) y
H = ("7, 5). Encuentre para cada vector
1. la representación algebraica
2. la representación geométrica
Solución 42 Teclear en el campo de entrada ( ) el punto inicial y
ﬁnal para cada vector, como en el ejemplo anterior.
4.1. VECTORES EN EL PLANO 73
1. la representación algebraica para cada uno de los vectores es
AB = (2, 4) !(1, 1) = (1, 3)
CD = (4, 4) !(3, 1) = (1, 3)
los vectores u y v son vectores equivalentes, así como los vectores w y z
EF = (!4, 4) !(1, 6) = (!5, !2)
GH = (!7, 5) !(!2, 7) = (!5, !2)
la representación geométrica de estos vectores se puede obtener al teclear
en el campo u=Vector[(1,3)] y w=Vector[(-5,-2)] el resultado
se presenta en la Figura (4.2).
Figura 4.2. Representación geométrica de los vectores u y v.
observándose que los vectores son trasladados al origen.
2. Los vectores trazados en el plano se presentan en la Figura (4.3).
Figura 4.3. Vectores en el plano.
74 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
4.1.2 Magnitud y dirección de un vector
La magnitud o longitud de un vector u = (a, b) se deﬁne como la longitud de
su segmento de recta
La dirección de un vector u = (a, b) se deﬁne como el ángulo !, medido
en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj, que el vector
forma con el eje positivo x (ver Figura (4.4)); donde 0 ! ! ! 2" ó 0 ! ! ! 360
para a "= 0 (4.2)
Figura 4.4. Dirección y magnitud de un vector u = (a, b) en el plano.
Para determinar en forma única el valor ! es importante establecer el cuad-
rante donde esta el vector.
Ejemplo 43 Utilizando GeoGebra. Determine la dirección y magnitud de los
vectores u = (2, 2), v = (#3.46, 2), w = (#3, #3) y z = (3, #3).
Solución 43 En GeoGebra introducir en el campo de entrada los vectores u=Vector[(2,2)],
v=Vector[(-3.46,2)], w=Vector[(-3,-3)] y z=Vector[(3,-3)]. La dirección de de
cada uno de los vectores se obtiene con u=Angulo[(u)], v=Angulo[(v)], w=Angulo[(w)],
z=Angulo[(z)]; y su magnitud con la instrucción Longitud[(u)], Longitud[(v)],
Longitud[(w)] y Longitud[(z)]. Los cálculos, aplicando las ecuaciones (4.1) y
(4.2), son
4.1. VECTORES EN EL PLANO 75
Magnitud del vector Dirección del vector
2 = 2. 83 !
("3.46)
= "0.524
= "30. 03
"30. 03
= 149. 97
+ ("3)
= 4. 24 = 0.785
= 4. 24 = "0.785
= "45
Los vectores trazados se muestran en la ﬁgura siguiente
Geometría de la operaciones elementales con vectores
Las operaciones elementales entre vectores se deﬁnieron en el Capítulo 3. En el
ejemplo siguiente se utilizara Geogebra para entender el signiﬁcado geométrico
de algunas operaciones entre vectores en R
Ejemplo 44 Utilizando GeoGebra. Sean u = (3, 1) y v = (1, 4) vectores en
, represente graﬁcamente las operaciones siguientes
76 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
Figura 4.5. Representación geométrica de la suma de vectores z = u + v.
2. !v, con ! = 3 y ! = !2.
Solución 44 Deﬁnir cada vector en GeoGebra con la instrucción Vector[(x,y)]
1. En el campo de entrada introducir secuencialmente
(a) u=Vector[(3,1)]
(b) v=Vector[(1,4)]
(c) z=Vector[u+v]; traza el vector resultante
(d) Vector[(3,1),(4,5)]; traza el vector paralelo a v
(e) Vector[(1,4),(4,5)]; traza el vector paralelo a u.
la representación geométrica se puede visualizar en la Figura (4.5),
2. La multiplicación !v tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector !
veces, la instrucción es !*Vector[(x,y)]+ enter, se tiene entonces,
(a) 3v=3*Vector[(1,4)]; la dirección de 3v es igual a la dirección v
(b) -2v=-2*Vector[(1,4)]; la dirección de !2v igual a la dirección v +!
Ejercicio 11 Utilizando GeoGebra. Sea u = (2, 4) y v = (!6, 4). Calcule y
trace las operaciones siguientes entre vectores
1. 3u
2. u + v
3. v !u
4.1. VECTORES EN EL PLANO 77
4. 2u !7u
Ejercicio 12 Utilizando Geogebra. Encuentre dos vectores u y v en R
satisfagan la desigualdad del triángulo
|u + v| " |u| + |v|
bajo las dos condiciones.
dos vectores son importantes, los vectores unitarios i = (1, 0) y j = (0, 1),
los cuales cumplen las condiciones siguientes
1. |i| = 1 y |j| = 1.
= 0 y !
, esto es, i y j son perpéndiculares entre si.
Su representación geométrica se muestra en la Figura (4.6)
Figura 4.6. Vectores unitarios i y j en el plano.
Cualquier vector en el plano se puede escribir como una combinación lineal
de estos vectores, por ejemplo, el vector u = (a, b) se escribe fácilmente como
u = (a, b) = a(1, 0) + b (0, 1) = ai + bj
note que las componentes del vector u son los escalares de esa combinación
Otra característica importante de estos vectores es que son linealmente in-
dependientes, es decir, nínguno es multiplo del otro.
Ejemplo 45 Utilizando GeoGebra. Dado el vector v = (2, 3), encuentre un
vector unitario u que tenga
1. la misma dirección de v
2. dirección v+180
78 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
Solución 45 El vector unitario se puede determinar a partir de
1. En Geogebra la instrucción es u=v/Longitud[u]. Aplicando la ecuación
La dirección se determina con la instrucción !=Angulo[u]. Calculada con
la ecuación (4.2)
! = tan
= 0.982 8
= 56.31
2. El vector unitario con dirección contraria es w = !u = !
(2, 3), de
igual forma la dirección es !=Angulo[w]. # = 56.31
= 236.31
Los ángulos de los vectores u y w se trazan (Figura (4.7)), con la instruc-
ción Angulo[u] y Angulo [w], respectivamente. Las propiedades del ángulo
se editan al dar doble clic en el ángulo de interés.
Figura 4.7. Ángulo de los vectores u y w desplegados por GeoGebra.
4.2 Interpretación geométrica del producto es-
En producto punto o escalar deﬁnido en el Capítulo 3, tiene una interpretación
geométrica. Considere dos vectores u y v en R
. El producto u · v se deﬁne
4.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR 79
como el ángulo ! no negativo más pequeño entre los dos vectores con puntos
iniciales en el origen, cuya relación viene establecida por
! se encuentra en [0, 180
] ó [0, "]
Dos vectores u y v en R
1. Paralelos si u = #v, para # > 0, ! = 0, esto es, son multiplos escalares, .
2. Colineales si u = #v, # < 0, ! = 180
("), esto es, son multiplos escalares
con direcciones contrarias.
3. Ortogonales o perpéndiculares si ! = 90
); dos vectores son ortogo-
nales si u· v = 0.
Ejemplo 46 Sean u = !2i + 5j y v =#i !2j. Determine # tal que
1. u y v sean ortogonales
2. u y v sean paralelos
3. El ángulo entre u y v sea de
Solución 46 A partir de la ecuación (4.3)
1. u y v son ortogonales si
(!2, 5) · (#, !2) = 0
!10 !2# = 0
# = !5
2. u y v son paralelos si ! es 0 ó 180
, el cos ! = ±1, sustituyendo en la
ecuación se tiene
±1 =
!10 !2#
|(!2, 5)| |(#, !2)|
(!10 !2#)
29 (#
Resolviendo para #,
100 + 40# + 4#
!16 + 40# !25#
80 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
3. u y v forman un ángulo de
!10 !2"
29 ("
(!10 !2")
284 + 160" !13"
= 13.881
= !1.574
GeoGebra tiene la capacidad de resolver el problema en forma gráﬁca me-
diante un proceso iterativo. En adelante se describira el procedimiento.
4.3 Protocolo de la Construcción en GeoGebra
GeoGebra tiene la modalidad de crear automáticamente un Protocolo de la Con-
strucción, es decir, una lista de la secuencia de instrucciones que contienen todos
los pasos de construcción de una gráﬁca, esta modalidad permite rehacer la grá-
ﬁca, paso a paso usando la barra de navegación que se encuentra en la parte
inferior de la Ventana de Dialogo del Protocolo de la Construcción. Para acceder
a esta herramienta siga la secuencia siguiente
Barra de herramientas"Ménu Vista"Protocolo de la construcción.
Ejemplo 47 Utilizando GeoGebra. Determine " mediante un procedimiento
gráﬁco tal que u = !2i + 5j y v ="i !2j sean ortogonales.
Solución 47 El valor de " es determinado mediante un proceso iterativo-gráﬁco,
el procedimiento es el siguiente se da un valor a " y se observa el ángulo que
forman estos dos vectores, cuando el ángulo formado sea de 90
resuelve. El Protocolo de la Construcción para resolver este problema se presenta
en la Figura (??). La secuencia de instrucciones es la siguiente
1. u=Vector[(-2,5)]
2. " = !5
3. v=Vector[(",-2)]
4. # =Angulo[v,u]
5. $ =Angulo[u,v]
6. Se agrega un deslizador con el icono , las condiciones se muestran
en la Figura (4.8), el deslizador puede ser manejado una vez seleccionado
con las ﬂechas de avance izquierda o derecha.
En la Figura (4.9) se presenta el resultado de esta animación.
4.3. PROTOCOLO DE LA CONSTRUCCIÓN EN GEOGEBRA 81
Figura 4.8. Propiedades del deslizador agregado en la Figura (4.9).
Figura 4.9. Determinación del ángulo entre los vectores u y v cambiando el
valor de !.
82 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
El sentido práctico de una proyección es encontrar la distancia desde un punto
P a una recta l, el problema se reduce a encontrar la magnitud del vector
perpéndicular a la recta l.
Considere dos vectores u y v en R
, la proyección de u sobre v es un vector
(Proy
u), que se deﬁne por
v (4.4)
El vector w = u!
v es ortogonal a v, la distancia perpéndicular es |w|.
La proyección de v sobre u es un vector (Proy
v), que se deﬁne por
El vector w = v!
u es ortogonal a u.
Ejemplo 48 Utilizando Geogebra. Encuentre el vector proyección de u = (1, 2)
sobre v = (3, 2) y determine la distancia perpéndicular del punto P = (1, 2) al
Solución 48 En el campo de entradas se introducen los vectores u=Vector[(1,2)],
v=Vector[(3,2)]. Aplicando la ecuación (4.4)
u = proyUv=(u*v/(v*v))*v
El vector w ortogonal a v calculado por
w=u-proyUv
la Figura (4.10) muestra los vectores.La distancia perpéndicular del punto P al
Figura 4.10. Vector proyección de u sobre v.
4.4. VECTORES EN EL ESPACIO 83
vector v es d=Longitud [(w)] o calculada
(!0.62)
= 1.109 41.
Ejercicio 13 Utilizando Geogebra. Sean P = (2, 3), Q = (5, 7), R = (2, !3) y
S = (1, 2) puntos en el plano. Determine
1. Proy!!"
2. Proy!"
4.4 Vectores en el espacio
De forma análoga a los vectores en R
, geometricamente un vector en R
segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto
inicial (o cola), A = (x
), a un punto ﬁnal (o cabeza), B = (x
su representación algebraica es u =
) !(x
esta terna ordenada (x, y, z) geometricamente representa al vector con punto
inicial en el origen y punto ﬁnal (x, y, z).
La magnitud de un vector en el espacio con punto inicial A = (x
punto ﬁnal B = (x
), es la longitud de su segmento de recta
AB la magnitud viene dada por la ecuación (4.6).
La dirección de un vector v = (x, y, z) se establece a partir de los ángulos de
dirección !, ", y #. Se deﬁne ! como el ángulo entre v y la parte positiva del
eje x, " como el ángulo entre v y la parte positiva del eje y y # como el ángulo
entre v y la parte positiva del eje z. Los ángulos de dirección se calculan a
partir del vector unitario u = (x
) que tiene la misma dirección que v a
partir de la ecuación (4.7); los ángulos están en el intervalo [0, $].
84 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
cos ! = x
cos " = y
cos # = z
Las componentes del vector unitario se calculan con la ecuación (4.8)
los ángulos directores deben satisfacer la relación (4.9)
! + cos
" + cos
# = 1 (4.9)
Ejemplo 49 Encuentre los ángulos de dirección del vector v = (!5, 6, 7).
Solución 49 Aplicando las ecuaciones (4.6, 4.8, 4.9) se tiene la magnitud de
= 10.488 1
las componentes del vector unitario
= !0.476 731 y
= 0.572 077 z
= 0.667 423
y los ángulos de dirección
! = cos
(!0.476 731) = 2.067 73
= 118.472
" = cos
(0.572 077 ) = 0.961 760
= 55.104 9
# = cos
(0.667 423) = 0.840 052
= 48.131 4
(2.067 73) + cos
(0.961 760) + cos
(0.840 052 ) = 1
Ejemplo 50 Utilizando wxMaxima. Encuentre los ángulos de dirección del vec-
tor (!5, 6, 7).
Solución 50 En wxMaxima la instrucción unitvector (v) o uvect (v), devuelve
el cociente v/|v|, esto es, el vector unitario de igual dirección y sentido que v,
para utilizar esta función es necesario cargar ("load") el paquete "eigen". La
instrucción completa es
v:matrix([-5],[6],[7]); load(eigen); unitvector(v); %,numer
4.4. VECTORES EN EL ESPACIO 85
recordar que al ﬁnal es necesario oprimir la combinación de teclas
+"! . La
instrucción %, numer da la expresión decimal del último resultado. El vector
unitario calculado es,
con las instrucciones siguientes se calcula los ángulos de dirección en grados,
alfa:acos(-0.4767312946228)*180/3.1416;
beta:acos(0.57207755354736)*180/3.1416;
gama:acos(0.66742381247191)*180/3.1416;
desplegandose en wxMaxima
se deﬁnen los vectores unitarios i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1).
De igual forma que en R
, cualquier vector en el espacio se puede escribir como
una combinación lineal de estos vectores, por ejemplo, el vector u = (a, b, c) se
u = (a, b, c) = a (1, 0, 0) + b (0, 1, 0) + c (0, 0, 1) = ai + bj +ck
note que las componentes del vector u son los escalares o constantes de esa
Las deﬁniciones establecidas en las ecuaciones (4.3), (4.4) y (4.5), también
se aplican a vectores en R
Ejemplo 51 Utilice wxMaxima. Dados los vectores u = (#5, 3, 7) y v = (#1, 2, 4)
1. u · v
2. Proy
86 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
3. Proy
Solución 51 Los vectores en wxMaxima se introducen como u:matrix([-5],[3],[7]);
v:matrix([-1],[2],[4]) recordar oprimir la combinación de teclas
1. dotproduct (u, v) o también u.v el resultado es 39
2. ProyUv:(u.v/(v.v))*v; el vector proyección es
3. ProyVu:(u.v/(u.u))*u; el vector proyección es
4.5 Producto vectorial
Considere los vectores u = (u
), el producto cruz o
vectorial se deﬁne como el vector
w = u #v
obtenido de forma fácil por el cálculo del determinate de 3 #3
w = i (u
) $j (u
) +k (u
el vector generado w es perpéndicular al vector u como a v.
4.5. PRODUCTO VECTORIAL 87
Propiedades del producto vectorial. Considere los vectores u, v y w vec-
y ! un escalar. Entonces
1. u! 0 = 0 !u = 0.
2. u !v = !(v !u), el producto cruz no es conmutativo.
3. ! u "v = !(u "v).
4. u ! (v +w) = (u !v) + (u !w), propiedad distributiva del producto
5. (u !v) · w = u· (v "w), deﬁnido como triple producto escalar de u, v y
6. u · (u !v) = v · (u !v) = 0, u !v es ortogonal tanto a u como a v.
4.5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial
El ángulo entre los vectores u y v esta relacionado por,
|u !v|
" se encuentra en [0, 180
] ó [0, #]
Los vectores u y v en R
1. Paralelos o colineales, si u! v = 0, " = 0 o " = 180
2. Ortogonales o perpéndiculares si |u| |v| = |u !v|, " = 90
4.5.2 Producto vectorial con wxMaxima
Para evaluar el producto vectorial en forma directa, es necesario primero cargar
el paquete "vect". El operador "!" es sustitutido por "~" en wxMaxima y la
instrucción "express" efectua el producto vectorial.
Ejemplo 52 Utilice wxMaxima. Considere los vectores u = (u
) y v =
), obtenga el producto vectorial mediante wxMaxima.
Solución 52 Las instrucciones secuenciales son
load(vect);[u1,u2,u3]~[v1,v2,v3];express([u1,u2,u3]~[v1,v2,v3]);
la secuencia de intrucciones se efectua en wxMaxima en un sólo paso,el resultado
88 CAPÍTULO 4. VECTORES EN R
4.5.3 Triple producto escalar.
Cuando se combinan las operaciones de producto escalar y vectorial; es impor-
tante el uso de paréntesis para mayor claridad de las operaciones. El triple
producto escalar tiene una interesante interpretación geométrica.
Considere los vectores u, v y w en R
, los cuales no estan situados en un
mismo plano, forman los lados de un paralelpípedo en el espacio, cuya base es
un paralelogramo de área |u !v| y altura h dada por
u · (v !w)
El volumen (V ol) viene dado por la ecuación (4.11)
V ol = |u · (v !w)| (4.11)
es decir, el volumen es igual al valor absoluto del triple producto escalar de
u, v y w.
El triple producto se calcula de forma fácil por el determinante (4.12)
Ejemplo 53 Calcule el área del paralelogramo con vertíces (0, 0), (u
(1, 2), (v
) = (2, 1) y (u
) = (3, 3).
Solución 53 El área viene dada por
, 0) !(v
, 0)|
el área del paralelogramo esta limitada por los dos vectores u = y v, donde
Area = |u !v|
= |"3k|
4.5. PRODUCTO VECTORIAL 89
Ejercicio 14 Utilizando wxMaxima. Considere los vectores u = (1, 2, 3), v =
, x = [(3, 2, 1) y y = (2, !1, 0); efectue las operaciones vectoriales
1. u "v "x
2. u "(v "x)
3. u "((v "x) "y)
4. (u "(v "x)) "y
Ejercicio 15 Para los vectores siguientes: u = !i!2j +3k, v = !3i+2j +5k
y w = 2i !4j +k, evalue
1. El ángulo entre los vectores
(a) u y v.
(b) v y w.
Ejercicio 16 Calcule el volumen del paralelepipedo generado por los vectores
siguientes u = !i !2j + 3k, v = !3i + 2j + 5k y w = 2i !4j +k.
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