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Timestamp: 2019-08-20 01:02:58+00:00

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01 pd | Decimal | Natural Number
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Sistemas de Numeración Conamat
Otros Sistemas de Numeració
sistemasdenumeracion-100308183904-phpapp01
PLANIFICACIONMATEMMARZO.docx
matematica sesion.docx
Presentación de la unidad •	En el repaso de las operaciones, además de practicar el cálculo
operativo, priorizamos la resolución de problemas, actividad que
•	Los números naturales no parecen obedecer a ninguna “cons-
garantiza la revisión y la mejora en la construcción de conceptos.
trucción” intelectual del hombre. Desde siempre y en todas las
culturas surgen de modo natural para contar, ordenar, medir, etc. •	Por último, se avanza en la resolución de expresiones con parén-
tesis y operaciones combinadas.
•	La unidad comienza contrastando algunos de los sistemas de nu-
meración más conocidos. Así, además de apuntar la evolución •	Los contenidos de esta unidad son de tres tipos:
histórica de los métodos de representación, se muestra que el –	Aspectos teóricos:
concepto de número natural es el mismo en todos los casos, in- •	Sistemas de numeración. El sistema de numeración decimal.
dependientemente de cómo se exprese, verbalmente o por es-
crito. •	Propiedades de las operaciones y ventajas que aportan a la
práctica del cálculo.
•	Tras revisar la estructura del sistema de numeración decimal, y
constatar sus ventajas respecto a otros sistemas de numeración, –	Cálculo:
se trabaja la lectura y la escritura de números de nueve o más ci- •	Algoritmos de las operaciones.
fras. También se recuerdan los procedimientos y las ocasionales •	Expresiones con paréntesis y operaciones combinadas.
ventajas de la aproximación por redondeo.
•	Se repasan después las operaciones básicas con números natu-
–	Utilización de la calculadora:
rales, y algunas de sus propiedades, poniendo especial empeño
en la división, en la que se detectan con frecuencia errores y la- •	Conocimiento de las técnicas básicas.
gunas, tanto conceptuales como en la mecánica del algoritmo. •	Uso adecuado.
se expresan mediante se utilizan para
CODIFICAR APROXIMAR RESOLVER
SISTEMA ROMANO mediante mediante
que utilizamos es de
EL SISTEMA que cuando se hace de
DE NUMERACIÓN una forma aproximada se SUMA DIVISIÓN
DECIMAL llama RESTA
en el que los grandes que por su resto
órdenes de unidades son pueden ser
LOS LOS DIVISIONES DIVISIONES
MILLONES BILLONES EXACTAS INEXACTAS
Conocimientos mínimos Adaptación curricular
•	Estructura del sistema de numeración decimal. En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación
•	Lectura y escritura de números grandes. curricular de esta unidad 1 del libro del alumnado, para cuya ela-
boración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que
•	Redondeo.
•	Cálculo mental y escrito con las cuatro operaciones.
•	Uso elemental de la calculadora. mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáti-
•	Resolución de expresiones sencillas con operaciones combina- cas: el práctico y el intelectual.
das. Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no
•	Resolución de problemas de una y dos operaciones. han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente
Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha su-
•	Buscar información sobre distintos sistemas de numeración (civi-
primido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigi-
lizaciones antiguas, sistema binario de los lenguajes informáti-
Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la uni-
•	Revisar la operativa con las cuatro operaciones (detección de la-
dad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de
gunas).
•	Mostrar los distintos tipos de calculadora. autoevaluación.
•	Recordar algunas estrategias y procedimientos generales para
En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensa-
miento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, el emprendimiento y la resolución de problemas.
Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad,
y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.).
APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO
Pág. 7. Actividad sugerida en esta P.D. para los Pág. 9. Actividad 2 Pág. 7. Actividad propuesta en los dos aparta-
dos apartados de la página.(*) dos de la página.(*)
Pág. 11. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 15. Actividades 15, 16 y 17 Pág. 8. Actividad propuesta en el ladillo.(*)
Pág. 18. Actividades 5 y 8 Pág. 18. Actividad 13 y actividad sugerida en
esta P.D.
Pág. 20. Actividades 27 y 31
Pág. 21. Actividades 36 y 37
INTERDISCIPLINARIEDAD EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Pág. 10. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 9. Actividad sugerida en esta Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en
P.D. este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial inte-
Pág. 18. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 13. Actividad 6 Pág. 12. Actividad 5
Pág. 24. A
 ctividad “Infórmate e investiga” Pág. 16. Actividad “¿Por qué?”(*) Pág. 17. Actividad 6 (*)
Pág. 19. Actividad 21 Pág. 21. Actividad “Aprende a resolver problemas” (*)
Pág. 20. Actividad 28 (*) Pág. 22. Actividad 54
Pág. 23. Actividad 64 (*) Pág. 23. Actividad 63
Pág. 24. Actividad “Investiga” (*) Pág. 25. Actividad “Entrénate resolviendo problemas” (*)
Así multiplicaban los antiguos egipcios
Escribían dos columnas de números siguiendo las si-
Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeración. Estos han ←• 1 ⎯→ 18 →
pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo. – En la primera, duplicaban sucesivamente 1 sin sobrepa-
←• 2 ⎯→ 36 → sar el primer factor; en nuestro caso, sin pasarse de 23.
←• 4 ⎯→ 72 → – La segunda, duplicaban sucesivamente el segundo fac-
8 144 tor, en nuestro ejemplo, 18, tantas veces como habían
←• 16 ⎯→ 288 → duplicado 1 en la primera columna.
→ 23 414 ← – Después, en la primera columna tomaban los números
2000 a.C. – Para concluir, cogían, en la segunda columna, los nú-
Mayas Egipcios
2000 a.C. Romanos 3500 a.C. 18 + 36 + 72 + 288 = 414
El resultado de la suma obtenida en la columna de la derecha era el pro-
Chinos 1 Efectua las multiplcaciones siguientes al estilo egipcio:
a) 17 × 41 b) 41 × 17
5 Así multiplicaban los antiguos hindúes
Árabes 4 – En cada casilla se pone el resultado de multiplicar los
3 2 0 4 2 dos dígitos que la determinan. Por ejemplo, en la ca-
2 silla sombreada, 4 × 7 = 28.
Sistema decimal 1 12 – Se suman los resultados en vertical. En cada columna
que usamos 9 6 solo cabe un dígito.
L os sistemas de numeración sirven para escribir números
y, así, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir, tam-
a) 208 × 34 b) 453 × 26
Por ejemplo, MCCCXLVI + DCCCXXXIV. ¿Complicado? Pues 3 Comparando estas formas de multiplicar con la nuestra, ¿cuál
imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar.
Al iniciar la unidad Aprendizaje cooperativo
•	La página presenta distintos sistemas de numeración y propone una re- Si el profesor o la profesora lo considera oportuno, estas actividades pue-
flexión sobre su utilidad, sobre sus diferencias y sobre el papel que han den realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un
desempeñado en las distintas culturas y épocas. primer tiempo, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en
•	En la idea de que los números son conceptos y los sistemas de numera- una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, reba-
ción distintas formas de expresarlos, podemos motivar el estudio de la tiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comu-
unidad proponiendo a los alumnos y a las alumnas que inventen su pro- nes.
pio sistema de numeración y, a partir de su análisis, contrastar concep-
tos como los de sistema aditivo o posicional, ventajas de utilizar un sím- Soluciones de las actividades
bolo para el cero, o de operar con unos u otros.
•	En la página de la derecha se presentan dos modelos de multiplicación,
1	a)	1	41 b) 1	17
que permiten descubrir relaciones entre cada sistema de numeración y 2	82 2	34
sus posibilidades o ventajas para el cálculo.
4	164 4	68
–	Señalaremos que en el sistema egipcio, al no ser posicional, resulta 8	328 8	136
imposible el algoritmo que nosotros aprendemos, por lo que se debe
16	656 16	272
recurrir a métodos más tortuosos, basados en la suma y en el cálculo
del doble. Los estudiantes analizarán ese proceso. 17	697 32	544
–	Sin embargo, el sistema hindú utilizaba un procedimiento muy similar 17 × 41 = 697 41	697
al nuestro, más rápido y cómodo, donde cada cifra se ubicaba en un 41 × 17 = 697
lugar determinado, consecuencia de la utilización de un sistema posi-
2	a)	8 3 b) 3 2
Cuestiones para detectar ideas previas 2 0 0 3 2 4
0 6 0 0 0 8 3 0
•	Crear un sistema de signos que sirva para codificar cualquier número 2 8
menor que 50 (o 100 o…). 0 7 0 7
•	Leer y escribir números de hasta ocho cifras.
•	Calcular con las operaciones básicas.
0 7 0 7 2 1 1 7 7 8
•	Comparar expresiones muy sencillas variando la posición del paréntesis.
•	Inventar problemas para una operación dada. 3	Respuesta libre.
El sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal. Consta de
Los números naturales (1, 2, 3, …) surgieron de la necesidad de contar, y su re- diez símbolos o cifras:
presentación evolucionó adaptándose a cada momento cultural e histórico. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Los hombres prehistóricos ya utilizaban algunas técnicas para contar: compara- Para leer y escribir números, se establecen estas normas:
ban con los dedos de sus manos, hacían muescas en un trozo de madera o arcilla, Un número se puede descomponer
según sus órdenes de unidades y se- • Se definen órdenes de unidades: unidades, decenas, centenas…
ensartaban cuentas en una cuerda, etc.
gún el valor de posición de cada cifra: • Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior.
A medida que la sociedad evolucionaba se hizo necesario manejar cantidades 27 473
grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron en distintas cul- • Cada cifra puede ocupar cualquiera de esos órdenes.
turas los sistemas de numeración. • El valor de una cifra depende del lugar que ocupe. Por eso, este sistema es de
2 DM → 20 000
Este hombre primitivo ha escri- tipo posicional.
7 UM → 7 000
to el número 47. ¿Sabrías decir el valor Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de Veamos un ejemplo:
uso, forman un sistema de numeración. 4C→ 400
de cada símbolo?
7 D → + 70
LÓ ES
3U→
Por ejemplo, los antiguos egipcios utilizaban los símbolos siguientes:
4 7 8 4 3 0 4
4 000 000 U 4 000 U 4U
palo asa cuerda flor dedo rana hombre
La norma para escribir un número era sencilla: se iban añadiendo (sumando) los
Aquí aparece escrito el número símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. Estos símbolos, junto 1. Escribe en el sistema de numeración egipcio los nú- 8. Escribe el número que es 300 decenas de millar ma-
1 333 331. con la norma anterior, forman el sistema de numeración egipcio. meros 19, 65, 34 120 y 2 523 083. yor que 23 456.
A los sistemas de numeración, como el egipcio, en que se van añadiendo símbo- 2. En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos: 9. ¿Qué número natural tiene esta descomposición?:
los y sumando su cantidad representada, los llamamos sistemas aditivos. 2 000 000 + 300 000 + 7 000 + 30 + 7
El sistema de numeración romano 1 5 10 100 10. Ordena estas matrículas de la más antigua a la más
Escribe, basándote en él, los números 18, 382 y 509. moderna (tienes que tener en cuenta primero las le-
Los romanos utilizaban como símbolos las siguientes letras: tras y luego los números):
3. Escribe en el sistema de numeración romano estas 3948 - FBG 3894 - FBG 4389 - GFB
11. Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si inter-
18 43 98 3 456
cambias las unidades con las unidades de millar, au-
1 5 10 50 100 500 1 000 4. Escribe en el sistema de numeración decimal el valor menta en 999. ¿Qué número es?
de estos números romanos: 12. ¿Verdadero o falso?
Y estas eran sus normas: cxlix cccxxvii vcccxxxi a) En el sistema de numeración egipcio, si cambias el
Aquí se ve escrito el número 1 778. normas ejemplos orden de los signos, cambia el valor del número.
5. ¿Qué valor tiene la cifra 0 si ocupa el lugar de las cen-
Las letras i, x, c y m se pueden repetir hasta tres iii → 3 xx → 20 tenas? ¿Y si ocupa el lugar de los millones? b) En el sistema decimal, si cambias de lugar las ci-
veces seguidas. ccc → 300 mm → 2 000 fras, cambia el valor del número.
6. Si añades un 0 a la derecha de un número, ¿por cuán- c) Medio millar equivale a 5 centenas.
Las letras i, x, o c a la izquierda de otra de mayor iv → 4 ix → 9 to multiplica su valor? ¿Y si lo añades a la izquierda?
valor, le restan a esta su valor. xl → 40 xc → 90 d) La cifra 6 tiene el mismo valor en el número 3 648
7. ¿Qué orden de unidad ocupa en un número la cifra 5 que en el número 3 468.
El valor de un conjunto de letras queda multipli- iv → 4 000 ixcc → 9 200
— si su valor es de 50 000 unidades? e) Mil millares hacen un millón.
cado por 1 000 al colocar sobre ellas una barra. m → 1 000 000
Sugerencias Emprendimiento
•	La utilización de distintos sistemas de numeración, ideados en diferen- Se sugiere la siguiente actividad:
tes épocas y culturas, hará valorar a los estudiantes el esfuerzo progresi- Supón que eres un agente secreto y necesitas acordar con tu compañero
vo realizado por la humanidad en la construcción de herramientas que una clave para escribir números del 1 al 30. ¿Serías capaz de hacerlo utili-
hoy utilizamos sin percibir, acaso, la dificultad del proceso, y que son zando dos dados, uno verde y otro rojo? Explícalo.
parte de la herencia cultural, en continua reelaboración, que cada gene-
ración transmite a la siguiente.
•	A la vez, se puede señalar que cada cultura ha utilizado el sistema de
numeración que se adaptaba a sus necesidades. No nos podemos ima- 1	19 = 65 =
ginar ninguna situación en la que un hombre primitivo, cazador y reco-
34 = 120 =
lector, tuviera que manejar números de, por ejemplo, siete cifras. Pero
solo tenemos que abrir un periódico, o cualquier tratado científico, para 2 523 083 =
ver que esos mismos números son imprescindibles en la sociedad ac-
tual. Es decir, los sistemas de numeración se han ido perfeccionando a 2	18 =
medida que evolucionaban las necesidades de enumerar y calcular (co- 382 =
mercio, construcción, estadística…), y, a la vez, cada avance ha permiti- 382 =
do acceder a nuevos campos de la ciencia y ha traído consigo la apari-
ción de nuevas necesidades numéricas. 3	18 = XVIII 43 = XLIII 98 = XCVIII 3 456 = MMMCDLVI
•	Para apreciar las virtudes de nuestro sistema de numeración decimal, —
4	CXLIX = 149 CCCXXVII = 327 VCCCXXXI = 5 331
conviene compararlo con otros tipos de sistemas, especialmente los
aditivos. Hágase ver la dificultad de esos últimos para representar nú- 5	Cero centenas. Cero millones.
meros grandes y números decimales y también para operar.
6	A la derecha, se multiplica por 10. A la izquierda, no varía.
Refuerzo y Ampliación 7	Decenas de millar.
Se recomiendan: 8	3 023 456
•	Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: 9	2 307 037
Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 2.
10	3894-FBG, 3948-FBG, 4389-GFB
Ampliación: Ejercicios 4 y 5 de la pág. 3.
•	Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD: 11	40 001
Refuerzo: Ejercicios 1 a 4. 12	a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Verdadero
2 Los números grandes 3
1	a)	Siete mil millones.
b)	Tres mil ciento cincuenta y tres millones seiscientos mil.
Muchas cantidades y datos superan las nueve cifras: el número de habitantes de Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para
la Tierra (7 000 000 000), los segundos que tiene un siglo (3 153 600 000), los operar. Por eso, suele convenir sustituirlo por otro más manejable de valor aproxi-
kilómetros de un año luz (9 460 800 000 000)… c)	Nueve billones cuatrocientos
mado, terminado en ceros. sesenta mil ochocientos millones.
El sistema de numeración decimal permite representar cantidades tan grandes Por ejemplo:
como deseemos. Aquí tienes algunos órdenes para números con más de 9 cifras,
junto a algunos ejemplos:
2	a)	28 350 000	b)	143 000 000
nos visitaron 86 800 000
c)	2 700 000 000	d) 16 000 000 000
58 millones billetes de 500 €.
El año tro
n nues
visitaro
963 430 ¿Cuántos miles de
… c d u
e)	1 500 000 000 000	país 57
f) 15 350 000 000 000 millones de euros serán,
1 3 8 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo.
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3	a)	… millón.
b)	… millardo.
Actividades para practicar la aproxima-
ción. c)	… millardo.	• Se sustituyen por ceros todasd)	…
las cifrasbillón.
a la derecha de dicho orden.
• Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una unidad
Aunque no es muy habitual, a los mi- a la cifra anterior.
les de millones también se les llama
4	Entre 10 y 70 billones de células.
También se designa con el prefijo
1 000 000 000 bytes = 1 gigabyte
El universo se originó
hace trece mil ochocien-
El cerebro de una persona
joven tiene unos cien mil
La Tierra tiene un volu-
men aproximado de un bi-
Aproximar el número 384 523
Diez mil billones.
a las centenas de millar, a las
CENTENAS DE MILLAR DECENAS DE MILLAR MILLARES
384523 3 8 4 5 2 3 3 8 4 5 2 3
tos millones de años. millones de neuronas. llón de kilómetros cúbicos. decenas de millar y a los milla-
•	Un millón ↔ Un 1 seguido de 6 ceros.
6	Un 1 seguido de 24+1 ceros
res. CM 8 ≥ 5
→ un billón de billones.
= DM 4 < 5 +1 UM 5 ≥ 5
400000 3 8 0 0 0 0 3 8 5 0 0 0
•	Un billón ↔ Un millón de millones ↔ Un 1 seguido de 12 ceros.
•	Un trillón ↔ Un millón de billones ↔ Un 1 seguido de 18 ceros. Piensa y practica
Piensa y practica 1. Redondea a los millares estos números: 4. A continuación puedes ver varias aproximaciones al
1. Lee las primeras líneas de esta página. Escribe cómo 3. Copia en tu cuaderno y completa.
a) 24 963 b) 7 280 precio de un piso en venta:
se leen: 100 000 €
a) Mil millares hacen un … c) 40 274 d) 99 399
a) El número de habitantes de la Tierra. b) Mil millones hacen un … 2. Aproxima a los millones por redondeo. 138 290 € 138 300 €
b) El número de segundos de un siglo. c) Un millón de millares hacen un … Tel.: 23987688
a) 24 356 000 b) 36 905 000 140 000 €
c) El número de kilómetros que tiene un año luz. d) Un millón de millones es un …
c) 274 825 048 d) 213 457 000 a) ¿Cuál es más cercana al precio real?
2. Escribe con cifras. 4. El cuerpo humano tiene entre diez y setenta millones b) ¿Cuál te parece más adecuada para una informa-
de millones de células. Expresa esas cantidades en bi- 3. Haz una tabla como esta en tu cuaderno:
ción coloquial, si no se recuerda la cantidad exacta?
a) Veintiocho millones trescientos cincuenta mil. llones.
aproximaciones c) ¿Cuál identificas con un redondeo a las centenas de
b) Ciento cuarenta y tres millones. millar?
5. ¿Cómo leerías el número expresado por un 1 seguido número
a las centenas a las decenas
c) Dos mil setecientos millones. de 16 ceros?
de millar de millar
5. Un ayuntamiento ha presupuestado 149 637 € para
d) Dieciséis gigas. rehabilitar un área deportiva.
6. Los científicos calculan que los mares y océanos de
e) Un billón y medio. la Tierra contienen tres cuatrillones de kilogramos de Complétala redondeando los siguientes números: ¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una
f ) Quince billones trescientos cincuenta mil millones. agua. ¿Qué crees que es un cuatrillón? 530 298 828 502 359 481 299 352 362 conversación informal?
•	Los números grandes (de seis, nueve, doce y más cifras) aparecen fre-
cuentemente en informaciones científicas, sociológicas, económicas
etc.; de ahí que resulten necesarios para elaborar e interpretar mensajes
relativos a medios en los que ya se mueven los escolares.
•	Los alumnos y las alumnas han de leer y escribir con agilidad los núme-
ros de muchas cifras y han de manejar con soltura los correspondientes
órdenes de unidades (millones, miles de millones, billones...) y sus equi-
•	También es aconsejable incidir en la diferencia que existe entre nuestro
término “billón” y el término “billion” que suele aparecer en los textos y
medios de comunicación norteamericanos y que, con frecuencia, da lu-
gar a errores en las traducciones. El “billion” equivale, contra lo que ca-
bría esperar, a mil millones. Y quizá, para diferenciarlo del billón, y para
tener un término equivalente en las traducciones, es por lo que se ha
acuñado el nuevo término millardo, aunque su uso no es frecuente.
•	Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
Refuerzo: Ejercicios 4 y 5 de las págs. 2 y 3.
Ampliación: Ejercicio 7 de la pág. 3.
Selecciona cuatro de los números grandes que aparecen en esta página e
indica la rama científica con la que están relacionados. Por ejemplo:
Número de habitantes de la Tierra: siete mil millones (Estadística –
Geografía humana).
•	La distancia de Sevilla a Santander.
3 Aproximación de números naturales •	El número de habitantes de Londres.
•	El consumo anual, en litros, de aceite en España.
s de Cuando un número tiene muchas cifras, es difícil de recordar e incómodo para
los operar. Por eso, suele convenir sustituirlo por otro más manejable de valor aproxi-
Redondear los datos recogidos haciéndolos manejables para, después,
mado, terminado en ceros. ponerlos en común.
ndes Por ejemplo:
En la puesta en común, contrastar las diferencias, seleccionar razonada-
mente los más fiables, etc.
país 57 ros. millones de euros serán,
u extranje aproximadamente?
0 La forma más frecuente y práctica de realizar aproximaciones es el redondeo. Soluciones de “Piensa y practica”
0 En la web Para redondear un número a un determinado orden de unidades:
ción. • Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden. 1	a)	25 000	b)	7 000
a la cifra anterior. c)	40 000	d)	99 000
Aproximar el número 384 523 CENTENAS DE MILLAR DECENAS DE MILLAR MILLARES
2	a)	24 000 000	b)	37 000 000
bi- a las centenas de millar, a las
os. decenas de millar y a los milla-
384523 384523 384523 c)	275 000 000	d)	213 000 000
res. +1 CM 8≥5 = DM 4<5 +1 UM 5 ≥ 5
400000 380000 385000
1. Redondea a los millares estos números: 4. A continuación puedes ver varias aproximaciones al a las centenas a las decenas
a) 24 963 b) 7 280 precio de un piso en venta: de millar de millar
c) 40 274 d) 99 399
138 000 € 530 298 500 000 530 000
2. Aproxima a los millones por redondeo. 138 290 € 138 300 €
a) 24 356 000 b) 36 905 000 Tel.: 23987688 140 000 € 828 502 800 000 830 000
es b) ¿Cuál te parece más adecuada para una informa- 359 481 400 000 360 000
bi- 3. Haz una tabla como esta en tu cuaderno:
aproximaciones c) ¿Cuál identificas con un redondeo a las centenas de 299 352 362 299 400 000 299 350 000
a las centenas a las decenas millar?
de rehabilitar un área deportiva. 4	a)	138 300	b)	140 000	c)	100 000
de Complétala redondeando los siguientes números: ¿Qué cifra darías para comunicar este dato en una
530 298 828 502 359 481 299 352 362 conversación informal?
5	150 000
•	Además de aprender el significado del término aproximar y de dominar
la técnica del redondeo de cantidades, el alumnado se ha de acostum-
brar a realizar esas operaciones para expresar con propiedad, recordar
o apuntar datos relativos a informaciones y resultados de cálculos que
maneja de forma cotidiana.
•	Cuando en la televisión nos dicen que “los acertantes de 14 cobrarán
119 274 euros”, recordamos y transmitimos la información: “los de 14
cobrarán 120 000 euros”. Otra cosa será cuando uno de los afortunados
vaya a hacer efectivo su premio. Ahí sí es necesaria la exactitud.
•	Para que el aprendizaje se incorpore a las competencias de los alumnos
y de las alumnas, podemos proponerles, como actividad, la elaboración
de una lista de situaciones, como la del ejemplo, en las que el redondeo
es apropiado y eficaz (precios, presupuestos, datos estadísticos de po-
blación, economía, etc.).
Refuerzo: Ejercicio 8, de la pág. 3.
Ampliación: Ejercicios 7 y 8 de la pág. 7.
•	Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
Refuerzo: Ejercicio 9.
Si la programación contempla en este momento la atención al aprendizaje
cooperativo, se sugiere la siguiente actividad:
Pedir a los estudiantes, individualmente o por grupos, la búsqueda (utili-
zando los recursos que se consideren oportunos) de varios datos concre-
tos, con distinta dificultad, como por ejemplo:
4 Operaciones básicas con números naturales
Recuerda que multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repetida
Aunque ya sabes operar con números naturales, conviene que hagamos un rápido Cálculo mental de sumandos iguales.
AFORO: 25 342 localidades repaso de algunos conceptos y de sus propiedades. 16 × 55 Por ejemplo, si una entrada para el partido de fútbol de la página anterior costaba
Localidades ocupadas
35 €, la recaudación por las 20 582 entradas vendidas sería:
Gradas este: 11 576
Gradas oeste: 9 006 8 × 2 × 5 × 11 35 + 35 + 35 + … + 35 = 35 · 20 582 = 720 370 €
Recuerda que sumar es unir, juntar, añadir. 20 582 veces
88 × 10
Por ejemplo, si queremos saber el número de espectadores que hay en el campo La multiplicación cumple las siguientes propiedades:
de fútbol que se ve en el margen, deberemos hacer una suma: 880
11 576 + 9 006 = 20 582 La propiedad asociativa nos permite •	Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los
reagrupar los términos, y la conmuta- factores.
La suma cumple las siguientes propiedades: tiva, cambiarlos de orden.
Ejemplos a·b=b·a
Propiedad conmutativa •	Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los su- •	Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente
34 + 16 = 16 + 34 mandos. de la forma en que se agrupen los factores.
a+b=b+a (a · b) · c = a · (b · c)
50 50 •	Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma •	Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta)
Propiedad asociativa en que se agrupen los sumandos. En la web es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.
(18 + 3) + 17 = 18 + (3 + 17) Actividades para practicar el cálculo men-
(a + b) + c = a + (b + c) tal con multiplicaciones. a · (b + c) = a · b + a · c a · (b – c) = a · b – a · c
21 + 17 18 + 20
La resta y sus relaciones con la suma El siguiente ejemplo te ayudará a comprender el significado de la propiedad dis-
tributiva:
Recuerda que restar es quitar, suprimir, hallar lo que falta o lo que sobra; es decir, 35 · 7 + 35 · 3 = 35 · (7 + 3) En una peña de amigos, compraron el jueves 7 entradas para el partido, y el viernes,
En la web calcular la diferencia. 3 entradas más para los rezagados. ¿Cuál fue el coste de las entradas?
Actividades para practicar el cálculo men- Por ejemplo, para saber cuántas localidades vacías hay en el partido mencionado 245 + 105 35 · 10
tal con sumas y restas.
Podemos calcular de dos formas el coste de las entradas:
antes, tenemos que realizar una resta:
350 350 gasto de 7 entradas + gasto de 3 entradas ↔ gasto de (7 + 3) entradas
Recuerda 25 342 – 20 582 = 4 760
35 · 7 + 35 · 3 = 35 · 10
25 342 ← Minuendo (M ) Observa, además, que 25 342 = 20 582 + 4 760 y que 20 582 = 25 342 – 4 760.
– 20 582 ← Sustraendo (S )
Relaciones entre la suma y la resta: M – S = D → )
M =S +D 6. Completa en tu cuaderno. 9. Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se ha-
4 760 ← Diferencia (D )
S=M –D 5 9 8 ce en los ejemplos.
× 2 × • 23 · 9 = 23 · 10 – 23 = 230 – 23 = 207
Piensa y practica 2 8 7 4 • 23 · 11 = 23 · 10 + 23 = 230 + 23 = 253
1. Calcula. 3. Transforma. 9 0
a) 12 · 9 b) 25 · 9 c) 33 · 9
a) 254 + 78 + 136 b) 340 + 255 – 429 a) Esta suma en una resta: 48 + 12 = 60 1 2 6 0 6 9 9 3 4
d) 12 · 11 e) 25 · 11 f ) 33 · 11
c) 1 526 – 831 + 63 d) 1 350 – 1 107 – 58 b) Esta resta en una suma: 22 – 2 – 6 = 14 7. Recuerda que para multiplicar por 10, por 100, por
1 000, … se añaden uno, dos, tres, … ceros. 10. ¿Cuántas vueltas da en una hora una rueda que gira
2. Estima la respuesta y compruébala después. 4. Si Alberto tuviera 15 años más, aún sería 18 años más
a) 19 · 10 b) 12 · 100 c) 15 · 1 000 a razón de 1 500 revoluciones por minuto?
Carmen compra un bolso que cuesta 167 €, una ga- joven que su tío Tomás, que tiene 51 años. ¿Cuál es la
bardina de 235 € y un pañuelo de 32 €. ¿Cuánto se edad de Alberto? d) 140 · 10 e) 230 · 100 f ) 460 · 1 000
11. Un agricultor tiene una huerta con 200 melocotone-
ha gastado? 5. Si comprara solo una lavadora, me sobrarían 246 €, 8. Expresa con una igualdad aritmética: ros. Calcula que con cada árbol llenará siete cajas de
a) Se ha gastado alrededor de 350 €. pero si comprara también un televisor, me faltarían Multiplicar un número por ocho es lo mismo que multi- cinco kilos de melocotones.
b) Se ha gastado, más o menos, 450 €. 204 €. ¿Puedes decir el precio de alguno de estos ar- plicarlo primero por diez y después restarle su doble. ¿Qué beneficio obtendrá si vende toda la produc-
tículos? ción a 2 € el kilo?
c) Se ha gastado alrededor de 550 €. ¿Qué propiedad se aplica en esta igualdad?
Sugerencias Refuerzo y Ampliación
•	Se abre aquí un espacio para consolidar aprendizajes iniciados en cur- Se recomiendan:
sos anteriores, que servirá de preparación para abordar más adelante •	Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
las operaciones con números enteros y con fracciones, donde se aplica-
Ampliación: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 8. Ejercicio 5-d) de la pág. 9.
rán técnicas similares a las que aquí se ejercitan.
•	Se revisan los algoritmos y también las propiedades y las relaciones de
la suma y la resta con un objetivo doble: Refuerzo: Ejercicios 8 y 11.
–	Su implantación automatizada y espontánea para la mejora del cálculo.
–	Su formalización teórica (expresión con letras) para que los estudian-
tes superen el ejemplo concreto y las generalicen para todos los nú- 1	a) 468	b)	166	c)	758	d)	185
2	La respuesta correcta es la b): 167 + 235 + 32 = 434
•	La comprensión de las propiedades y su implantación a nivel práctico, a
estas edades, ha de conseguirse por el camino de la experimentación y 3	a)	12	b)	22
de la práctica, más que por el del razonamiento analítico. Y, por consi-
4	18 años
guiente, la explicitación teórica será posterior a la comprensión y su-
pondrá el último paso del proceso de aprendizaje. Apoyando esa im- 5	El precio del televisor es de 450 euros.
plantación práctica, es conveniente hacer notar a los estudiantes las
ventajas que ofrece la aplicación de las propiedades para facilitar el cál- 6	4 5 9 5 8
culo de productos, especialmente en el desarrollo de estrategias de cál- × 2 8 × 7 3
culo mental, como muestran los siguientes ejemplos:
3 6 0 2 8 7 4
–	El producto 35 × 12 se puede transformar en otro más sencillo, 9 0
42 × 10, combinando las propiedades asociativa y conmutativa:
1 2 6 0 6 9 9 3 4
35 × 12 = (7 × 5) × (2 × 6) = 7 × (5 × 2) × 6 =
= 7 × 10 × 6 = 7 × 6 × 10 = 42 × 10 7	a) 190 b) 1 200 c) 15 000 d) 1 400 e) 23 000 f) 460 000
–	El producto 125 × 23 se facilita con la propiedad distributiva: 8	x · 8 = x · (10 – 2) = x · 10 – x · 2. Se aplica la propiedad distributiva.
125 × 23 = 125 × (20 + 3) = 125 × 20 + 125 × 3 = 2 500 + 375 9	a)
108	b)
225	c)
297	d)
132	e)
275	f)
•	Como ampliación de estos contenidos, se propone la extracción de fac-
10	90 000 vueltas
tor común, que es la aplicación de la propiedad distributiva en sentido
inverso a su presentación habitual: a · b + a · c = a · (b + c) 11	14 000 €
La división Una propiedad de la división
Recuerda dos de las situaciones que resuelve la división y que aparecen frecuen- Observa lo que ocurre cuando en una división multiplicamos el dividendo y el
temente en los problemas aritméticos: divisor por el mismo número:
• Se han gastado 5 625 metros cúbicos de agua para regar un parque durante 15 días. Para regar 3 arbustos, utilizamos 24 litros de agua. ¿Qué ocurre si tenemos el doble
¿Cuántos metros cúbicos se han gastado cada día? de arbustos y el doble de litros de agua?
5625 15 24 litros 48 litros
RIEGO DIARIO 112 375 ⎯→ 5 625 : 15 = 375 m3 cada día
Dividir es repartir un todo entre varios, en partes iguales, para averiguar cuán- 0 8 0 8
to le toca a cada uno. Al repartir el doble de litros entre el doble de arbustos, la cantidad que corres-
ponde a cada uno no varía.
• El riego de un parque supone un gasto diario de 375 metros cúbicos de agua. ¿Para
cuántos días hay reservas en un depósito con 5 625 metros cúbicos? Si en una división se multiplican el dividendo y el divisor por el mismo núme-
5625 375 ro, el cociente no varía.
1875 15 ⎯→ 5 675 : 375 = 15 días Piensa y practica
12. Averigua el cociente y el resto en cada división: 16. Averigua el término que falta en cada división:
Dividir es partir un todo en porciones iguales de un tamaño determinado, a) 96 : 13 b) 713 : 31 c) 5 309 : 7 dividendo 53 1 000 divisor
para averiguar cuántas porciones se obtienen. d) 7 029 : 26 e) 49 896 : 162 f ) 80 391 : 629 39 15 12 38
13. Divide mentalmente, por partes, igual que se hace 17. ¿Verdadero o falso?
División exacta y división entera en el ejemplo. a) El cociente debe ser mayor que el divisor.
En el ejemplo anterior, con 5 625 metros cúbicos se regaba el parque exactamen- • 96 8 b) El resto es siempre menor que el divisor.
te durante 15 días, y no sobraba nada de agua. :3
c) Si es exacta, al multiplicar por dos el dividendo, el
5625 375 a) 60 : 12 b) 180 : 12 c) 300 : 12 cociente se hace el doble.
1875 15 ⎯→ 5 625 = 375 · 15 d) 75 : 15 e) 90 : 15 f ) 180 : 15 d) Al multiplicar por 3 el dividendo y el divisor, el
000 Decimos que esta división es exacta. cociente aumenta al triple.
g) 180 : 30 h) 240 : 30 i) 390 : 30
Pero si en el depósito hubiera 5 700 metros cúbicos, tendría reservas, igualmente, e) La división cumple la propiedad conmutativa.
para 15 días, pero sobraría algo de agua. 14. Realiza en tu cuaderno las operaciones como se indi-
ca en los esquemas. 18. Resuelve sin lápiz ni papel.
5700 375 a) Repartimos 150 gramos de mortadela en tres bo-
(36 : 12) : 3 36 : (12 : 3)
1950 15 ⎯→ 5 700 = 375 · 15 + 75 cadillos. ¿Cuántos gramos pondremos en cada uno?
075 Decimos que esta división es entera. : : b) Colocamos 36 kilos de manzanas en 3 cestas.
¿Cuántos kilos van en cada cesta?
Una división puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto. c) Hemos recorrido, por la autopista, 240 kilóme-
•	División exacta (el resto es cero). ¿Qué observas? tros en tres horas. ¿Cuántos kilómetros por hora
D d son?
⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente. 15. Calcula y compara los resultados. Después, reflexio-
0 c na y contesta. d) ¿Cuántos minutos son 180 segundos?
D=d·c
•	División entera (el resto es distinto de cero). a) (50 : 10) : 5 50 : (10 : 5) 19. Un granjero recoge 1 274 huevos, los envasa en ban-
En la web D d b) (36 : 6) : 2 36 : (6 : 2) dejas de 30, y las bandejas, en cajas de 10.
⎯→ El dividendo es igual al divisor por el cociente más
• Actividades para practicar el cálculo r c ¿Cumple la división la propiedad asociativa? ¿Cuántos huevos quedan sin completar una bandeja?
mental con divisiones. el resto.
D=d·c+r ¿Cuántas bandejas quedan sin completar una caja?
• Actividades para practicar las divisiones.
Sugerencias •	Del cuaderno de TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD:
•	Los alumnos ya deben dominar el algoritmo de la división, aunque apro- Refuerzo: Ejercicios 6, 7 y 12.
vecharemos este epígrafe para detectar posibles lagunas en su aprendi- Ampliación: Ejercicios 14 a 19.
zaje que bloquearían la adquisición de contenidos posteriores.
•	Los conceptos de división se revisarán mediante la propuesta de activi-
dades en contextos adecuados (resolución de problemas):
–	La división como reparto: consiste en averiguar cuántos elementos
corresponden a cada parte cuando un conjunto se va a dividir en un 12	a)	c = 7; r = 5	b)	c = 23; r = 0
número determinado de partes iguales.
c)	c = 758; r = 3	d)	c = 270; r = 9
–	La división como partición: consiste en averiguar cuántas partes de un
e)	c = 308; r = 0	f )	c = 127; r = 508
determinado tamaño se pueden hacer con los elementos de un con-
junto. Este concepto requiere especial atención por presentar mayor 13	a)	5	b)	15	c)	25
d)	5	e)	6	f)	12
•	Las relaciones entre los términos de la división exacta y entera se afian-
6	h)
8	i)
zarán con su comprobación y aplicación en situaciones concretas (por
ejemplo, con la prueba de la división). 14	Los resultados son 1 y 9.
•	El epígrafe se completa con una propiedad importante de la división: Se observa que la división no cumple la propiedad asociativa.
¿Qué ocurre al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo núme-
ro? Los estudiantes pueden interiorizarlo a través de ejemplos contex- 15	a)	1; 25
tualizados y de simple operativa. Será importante responder también a b)	3; 12
la pregunta: ¿qué ocurre con el resto? La aplicación de esta propiedad
La división no cumple la propiedad asociativa.
será fundamental para justificar los algoritmos de la división con diviso-
res decimales, y enlazará con otros contenidos como la equivalencia y la 16	dividendo → 834
divisor → 26
Refuerzo y Ampliación 17	a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso e) Falso
Se recomiendan: 18	a)	50 g	b)	12 kg
•	Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: c)	80 km/h	d)	3 minutos
Refuerzo: Ejercicios 6 y 7 de la pág. 9. 19	Quedan 14 huevos sin completar una bandeja. Quedan dos bandejas
Ampliación: Ejercicios 4 y 5 de la pág. 9. sin completar una caja.
5 Expresiones con operaciones combinadas
Resolver, con una calculadora de cuatro operaciones.
a) 40 – 12 : 4 + 2 · 3
¿Por qué? Orden en que han de hacerse las operaciones
Secuencia de teclas:
Escribe un número de dos cifras, a b . Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las
Escribe el número cambiando el or-
40 ≤ 12 / 4 µ 2 * 3 ≤Ñ ⎯→ {∫∫∫∫∫∫¢«}
normas del lenguaje matemático. Estas normas aseguran que cada expresión ten-
den de las cifras, b a . ga un significado y una solución únicos. b) (40 – 12) : 4 + 2 · 3
Suma ambos números y divide el re- Observa el orden de actuación en las siguientes expresiones. Los resultados son Secuencia de teclas:
sultado entre la suma de las dos cifras,
diferentes a pesar de estar formadas por los mismos números y operaciones. 40 - 12 =/ 4 ≤ 2 * 3 ≤Ñ ⎯→ {∫∫∫∫∫∫‘«}
( a b + b a ) : (a + b) = ¿…? 48 : 3 + 5 – 2 · 3 48 : (3 + 5) – 2 · 3 48 : 3 + (5 – 2) · 3 Compruébalo.
¿Qué obtienes? Averigua por qué. 16 + 5 – 6 48 : 8 – 6 16 + 3 · 3
21 – 6 6–6 16 + 9
1. Opera como en los ejemplos. 5. Resuelve, indicando los pasos seguidos, y comprueba
15 0 25 la solución que se da a la derecha. Si no coincide, re-
• 12 – 2 · 4 = 12 – 8 = 4
pasa el ejercicio.
En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender: • (17 – 5) : 3 = 12 : 3 = 4
a) 6 · 4 – 2 · (12 – 7) ⎯→ 14
• Primero, a los paréntesis. a) 8 + 5 · 2 b) 13 – 4 · 3
b) 3 · 8 – 8 : 4 – 4 · 5 ⎯→ 2
• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones. c) 5 + 6 : 3 d) 15 – 10 : 5
c) 21 : (3 + 4) + 6 ⎯→ 9
• Por último, a las sumas y a las restas. e) 4 · 2 + 7 f ) 4 · 6 – 13
d) 26 – 5 · (2 + 3) + 6 ⎯→ 7
g) 15 : 3 + 10 h) 5 · 6 – 18
e) (14 + 12) : 2 – 4 · 3 ⎯→ 1
12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3
2. Resuelve mentalmente y compara los resultados. f ) 2 · (6 + 4) – 3 · (5 – 2) ⎯→ 11
Si un empleado eventual ha trabajado este mes 12 jornadas de 7 horas, con
tarifa normal, y 5 jornadas con 6 horas de tarifa normal y 3 de tarifa noc- a) 2 + 3 · 4 (2 + 3) · 4 g) 30 – 6 · (13 – 4 · 2) ⎯→ 0
84 + 30 + 15
turna, ¿cuántas horas ha trabajado en todo el mes? b) 6 – 2 · 3 (6 – 2) · 3 h) 3 · [13 – 3 · (5 – 2)] ⎯→ 12
129 Lo podemos resolver con dos expresiones: c) 15 – 4 · 3 (15 – 4) · 3
6. Escribe una expresión que resuelva cada enun-
en 12 en 5 d) 5 · 2 + 4 5 · (2 + 4)
12 · 7 + 5 · (6 + 3) normal nocturna jornadas jornadas ciado y calcula la solución.
12 · 7 + 5 · 6 + 5 · 3 = 12 · 7 + 5 · (6 + 3) = e) 2 · 15 – 10 2 · (15 – 10) a) Una furgoneta transporta 8 cajas de plátanos, 20 de
84 + 5 · 9
naranjas y 6 de manzanas. Las cajas de plátanos pe-
= 84 + 30 + 15 = 129 = 84 + 5 · 9 = 84 + 45 = 129 3. Calcula, siguiendo los pasos del ejemplo.
84 + 45 san 15 kilos, y las de naranjas y manzanas, 8 kilos.
Solución: Ha trabajado, en total, 129 horas. • 4 · 5 – 3 · 4 – 2 = 20 – 12 – 2 = 8 – 2 = 6 ¿Cuántos kilos de fruta transporta la furgoneta?
129 b) Un supermercado hace un pedido de 20 packs de
a) 4 · 6 + 3 · 6 – 25 b) 3 · 5 – 12 + 3 · 6
Aprende a usar la calculadora c) 6 · 3 – 4 – 7 d) 28 – 4 · 5 + 3
leche entera, 15 de leche desnatada y 10 de semi-
desnatada. Cada pack contiene seis cajas de litro.
Introduce en la calculadora esta secuencia: 2 + 3 * 4 = e) 6 · 5 – 10 + 8 : 4 f ) 19 + 10 : 2 – 8 · 3 ¿Cuántas cajas van en el pedido?
Aunque te parezca extraño, según la máquina que utilices puedes obtener en g) 15 : 3 + 4 · 2 + 3 · 4 h) 4 · 7 – 4 · 2 – 3 · 5 c) En una cafetería hay 15 mesas, 55 sillas y 12 tabu-
pantalla dos soluciones diferentes, 20 o 14. retes. ¿Cuántas patas hay en total?
4. Observa el ejemplo y calcula.
{∫“≠} → La calculadora hace las operaciones en el orden en que van entrando. (nota: las mesas y las sillas son de 4 patas, y los
• 4 · (7 – 5) – 3 = 4 · 2 – 3 = 8 – 3 = 5 taburetes, de 3).
(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20
a) 2 · (7 – 3) – 5 b) 3 · (10 – 7) + 4
{∫‘¢} → La calculadora hace primero el producto. Es decir, respeta la prioridad d) Un granjero envasa 1 500 huevos en cajas de 10
de las operaciones. c) 4 + (7 – 5) · 3 d) 18 – 4 · (5 – 2) unidades, otros tantos en cajas de 6 unidades, y
e) 8 – (9 + 6) : 3 f ) 22 : (7 + 4) + 3 una partida de 300 huevos de producción ecológi-
2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14
ca, también en cajas de 6 unidades. ¿Cuántas cajas
Como ves, no todas las calculadoras tienen la misma lógica interna. Averigua de g) 5 · 2 + 4 · (7 – 5) h) 18 : 2 – 2 · (8 – 6) ha llenado?
cuál de los dos tipos es la tuya y tenlo en cuenta cuando la utilices.
•	El lenguaje matemático, como cualquier otro lenguaje, requiere un Refuerzo: Ejercicio 10.
aprendizaje secuenciado y exige tiempo. La interpretación y la produc- Ampliación: Ejercicios 20 y 21.
ción de expresiones aritméticas con operaciones combinadas y parénte-
sis no resulta obvia para los estudiantes. Por el contrario, la experiencia
nos demuestra que se le ha de dedicar una atención especial para no
incurrir en errores de aprendizaje que perturbarán avances posteriores. Soluciones de “Piensa y practica”
•	Para analizar las distintas expresiones y contrastar sus diferencias, se re- 1	a)	18	b)	1
comienda utilizar esquemas que saquen a la luz la estructura de las mis-
c)	7	d)	13
mas, como muestran los ejemplos. Es importante que los estudiantes,
tras calcular el valor de una expresión a través del desarrollo de su es- e)	15	f )	11
tructura, se acostumbren a expresar todos los pasos mediante sucesivas g)	15	h)	12
igualdades presentadas en horizontal.
•	También resulta interesante el análisis del comportamiento de distintas 2	a)	14 y 20	b)	0 y 12	c)	3 y 33
calculadoras al realizar operaciones combinadas. Presentando dos má- d)	14 y 30	e)	20 y 10
quinas, una que respete la prioridad de las operaciones y otra, más sim-
ple, que opere en el orden de entrada, les sorprenderá observar que la 3	a)	17	b)	21
misma secuencia de teclas arroja en cada una resultados diferentes: c)	7	d)	11
–	Máquina que respeta la prioridad: 4 + 6 × 3 → 22 e)	2	f )	0
–	Máquina que opera en el orden de entrada: 4 + 6 × 3 → 30 g)	25	h)	5
La conclusión es que para utilizar con garantía una calculadora, hemos
de conocerla a fondo y tener en cuenta su modo de funcionamiento. 4	a)	3	b)	13
c)	10	d)	6
Refuerzo y Ampliación e)	3	f )	5
Se recomiendan: g)	18	h)	5
•	Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: 5	a)	14	b)	2	c)	9	d)	7
Refuerzo: Ejercicios 1, 2 y 3 de la pág. 10. Ejercicios 4, 5, 6 y 7 de la pág. e)	1	f )	11	g)	0	h)	12
Ampliación: Ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 de la pág.12. Ejercicios 6, 7, 8, 9 y 10 6	a)	328 kilos	b)	270 cajas
de la pág. 13. c)	316 patas	d)	450 cajas
Ejercicios y problemas número
a los millones
Sistemas de numeración Utilidades de los números Operaciones 21. Copia y completa en tu cuaderno.
2 830 554 2 800 000 8 5 3 000 000
1. Traduce al sistema decimal estos números del an- 9. Según publicó un periódico cairota, la población
tiguo Egipto: de la capital de Egipto, en junio del año 2013, era de Calcula.19 270 000
A B 16 794 464 habitantes. Si te preguntaran por esa cifra
19 300 000 6 19 000 000
y no te acordaras de la cantidad exacta, ¿qué respon- a) 6 070 + 893 + 527 b) 651 + 283 – 459 7
derías? 399 675 000
c) 831 – 392 – 76 d) 1 648 – 725 –399 700 000
263 400 000 000
C 10. La tabla contiene algunos datos sobre el consumo 15. Copia en tu cuaderno, calcula y completa. 22. Copia en tu cuaderno, calcula y completa.
de pescado en España durante el año 2008: a) 123 · … = 5 904 b) … · 86 = 1 548
a) 48 + … = 163 b) … + 256 = 359
peso valor 8	a) –Falso
c) 628 … = 199 b) Verdadero
d) … – 284 = 196 c) Verdadero
c) … : 57 = 26 d) Falso
d) 1 862 : …e) Verdadero
(toneladas) (miles de €)
fresco 441 696 1 087 368 16. Calcula mentalmente. 23. Calcula mentalmente.
2. Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de congelado 445 115 781 169 9	17 millones
a) 5 + 7 – 3 – 4 b) 18 – 4 – 5 – 6 a) 3 · (10 : 5) b) (4 · 6) : 8
total 886 811 1 868 537
a) 48 b) 235 c) 2 130 c) 10 – 6 + 3 – 7 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5 c) 20 : (2 · 5) d) (30 : 5) · 3
Repite la tabla, aproximando los datos a los millones 10
e) 12 + 13 + 8 – 23 f ) 40peso e) 10 : (40 : 8)
– 18 – 12aproximado
–6 euros faproximados
) (40 : 8) : 5
3. Expresa en números romanos. de kilos y a los cientos de millones de euros.
a) 87 b) 425 c) 2 600 d) 54 528
11. Esta es la matrícula de cierto coche:
17. Calcula. (millones de24.kg) Calcula (cientos deenmillones)
mentalmente, teniendo cuenta que di-
vidir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después,
a) 47 – (35 – 28) b) 52 – (36 – 27)
4. Escribe el número “cincuenta y siete” en, al me- multiplicar por 2.
nos, tres sistemas de numeración.
9900-JMA c) 128fresco
– (86 – 45 – 12) 442 000 000
d) 237 – (152 + 48 – 14) :5
a) ¿Cuál es la matrícula del coche que se matriculó • 90 18
e) 348 – (148 – 86 + 29) f ) 235 – (340 – 152 – 84)
5. ¿Cuántas cifras necesitas para escribir… inmediatamente después? ¿Y la del anterior?
445 000 000 : 10
a) … un billón? b) ¿Cuántos coches se matricularon aún con las mis-
a) 60 : 5 b) 80 : 5 c) 120 : 5
mas letras? a) 5 – [7 – (2 + 3)]
b) … un trillón?
c) Otro coche tiene esta matrícula:
total 887 000 000 d) 140 : 5 e) 1701 900 000 000
:5 f ) 200 : 5
¿Cuántos ceros son en cada caso? b) 3 + [8 – (4 + 3)]
g) 210 : 5 h) 340 : 5 i) 420 : 5
0273-JMC c) 2 + [6 + (13 – 7)]
6. Una estrella, A, está a una distancia de cinco años
luz, y otra, B, a cinco billones de kilómetros. ¿Cuál ¿Cuál de los dos es más antiguo? 11
d) 7a)	Después,
– [12 – (2 + 5)] 9901-JMA. Anterior, 9899-JMA. 25. Copia en tu cuaderno, completa y calcula.
de las dos está más lejos? ¿Cuántos coches se matricularon entre ambos? e) 20 – [15 – (11 – 9)] 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60
7. Copia en tu cuaderno y completa la tabla. 12. Estos son los números de varias habitaciones en b)	99
f ) 15 – [17 – coches.
(8 + 4)] ................. = 5 · 9 – 5 · 6 = ....
un hotel de playa: Comprueba tus resultados: (10 – 8) · 4 = ...................... = ....
a) 3;c)
b) 9900-JMA
4; c) 14; d) 2; e) es
7; f )más antiguo. 99 coches.
401 235 724 231 10 ................. = 7 · 12 – 2 · 12 = ....
número a los millones
de millar a) Una de ellas está al final del pasillo. ¿Cuál es? ¿Qué propiedad has usado?
2 830 554 b) Otra está en la última planta. ¿Qué número tiene? 12	a)	235	b)	724	26. Resuelve mentalmente. c)	235 y 231
19 270 000 c) ¿Cuáles de ellas están a la misma altura? 19. Multiplica.
399 675 000
a) En un bidón de agua caben 5 litros. ¿Cuántos bi-
a) 16 · 10 b) 128 · 10 c) 60 · 10
13. Lees, en un anuncio, que una vivienda se vende
por 293 528 €. Unos días después lo comentas con
13	La que más
d) 17 · 100
e) 85 · 100
f ) 120 · 100
dones se llenan con 100 litros?
8. ¿Verdadero o falso? b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta
un amigo, pero no te acuerdas exactamente del pre- g) 22 · 1 000 h) 134 · 1 000 i) 140 · 1 000 una bolsa de 5 kilos?
a) Un millón equivale a mil centenas. cio. ¿Cuál de las siguientes expresiones elegirías para
b) Cien millones son mil centenas de millar. 20. Calcula el cociente y el resto en cada caso: c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuán-
transmitir la información? Explica por qué.
tas botellas hay en 10 cajas?
c) Mil veces un millón hacen un giga. — Cuesta casi trescientos mil euros. ANOTACIONES
a) 2 647 : 8 b) 1 345 : 29
d) Cambiar las cuatro cubiertas de las ruedas de un
d) Cien gigas hacen un billón. — Cuesta doscientos y pico mil. c) 9 045 : 45 d) 7 482 : 174 coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado
e) Un billón tiene un millón de millones. — Cuesta doscientos noventa mil. e) 7 971 : 2 657 f ) 27 178 : 254 cada cubierta?
Describe una situación, un hecho o un objeto que sería imposible sin la
ayuda de los números y explica qué ocurriría sin su existencia.
Infórmate y responde: ¿qué es un código alfanumérico?
Escribe tres ejemplos de código alfanumérico explicando su estructura y
1	a)	57	b)	234
c)	2 540	d)	3 430 000
2	a)	b)	c)
3	a) 87 = LXXXVII	b)	425 = CDXXV
c) 2 600 = MMDC	d)	54 528 = LIV
4	Decimal: 57; Romano: LVII; Egipcio:
5	a) 13 cifras, 12 ceros	b)	19 cifras, 18 ceros
6	La estrella A está más lejos que la B.
24	a)
16	c)
28	e)
42	h)
68	i)
Operaciones 21. Copia y completa en tu cuaderno.
n Sumas y restas
25	5 · (9 – 6) = 5 · 9 – 5 · 6 = 15
e 14. Calcula. 6
- a) 6 070 + 893 + 527 b) 651 + 283 – 459 7 (10 – 8) · 4 = 10 · 4 – 8 · 4 = 8
c) 831 – 392 – 76 d) 1 648 – 725 – 263 6
(7 – 2) · 12 = 7 · 12 – 2 · 12 = 60
o 15. Copia en tu cuaderno, calcula y completa. 22. Copia en tu cuaderno, calcula y completa.
a) 48 + … = 163 b) … + 256 = 359 a) 123 · … = 5 904 b) … · 86 = 1 548 Se ha usado la propiedad distributiva.
c) 628 – … = 199 d) … – 284 = 196 c) … : 57 = 26 d) 1 862 : … = 133
16. Calcula mentalmente. 23. Calcula mentalmente. 26	a)	20 bidones	b)	60 euros	c)	240 botellas	d)	90 euros
c) 10 – 6 + 3 – 7 d) 8 + 5 – 4 – 3 – 5 c) 20 : (2 · 5) d) (30 : 5) · 3
s e) 12 + 13 + 8 – 23 f ) 40 – 18 – 12 – 6 e) 10 : (40 : 8) f ) (40 : 8) : 5 ANOTACIONES
17. Calcula. 24. Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que di-
a) 47 – (35 – 28) b) 52 – (36 – 27) vidir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, después,
c) 128 – (86 – 45 – 12) d) 237 – (152 + 48 – 14) :5
ó • 90 18
: 10 ·2
- 18. Calcula.
a) 5 – [7 – (2 + 3)]
d) 140 : 5 e) 170 : 5 f ) 200 : 5
b) 3 + [8 – (4 + 3)]
c) 2 + [6 + (13 – 7)]
d) 7 – [12 – (2 + 5)] 25. Copia en tu cuaderno, completa y calcula.
e) 20 – [15 – (11 – 9)] 6 · (8 + 2) = 6 · 8 + 6 · 2 = 60
f ) 15 – [17 – (8 + 4)] ................. = 5 · 9 – 5 · 6 = ....
Comprueba tus resultados: (10 – 8) · 4 = ...................... = ....
a) 3; b) 4; c) 14; d) 2; e) 7; f ) 10 ................. = 7 · 12 – 2 · 12 = ....
¿Qué propiedad has usado?
26. Resuelve mentalmente.
19. Multiplica.
a) 16 · 10 b) 128 · 10 c) 60 · 10 dones se llenan con 100 litros?
n d) 17 · 100 e) 85 · 100 f ) 120 · 100 b) Un kilo de almendras cuesta 12 €. ¿Cuánto cuesta
- g) 22 · 1 000 h) 134 · 1 000 i) 140 · 1 000 una bolsa de 5 kilos?
20. Calcula el cociente y el resto en cada caso: c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. ¿Cuán-
c) 9 045 : 45 d) 7 482 : 174 coche ha salido por 360 euros. ¿Cuánto ha costado
e) 7 971 : 2 657 f ) 27 178 : 254 cada cubierta?
14	a)	7 490	b)	475	c)	363	d)	660
15	a)
115	b)
103	c)
429	d)
16	a)
5	b)
d)	1	e)	10	f )	4
17	a)
40	b)
43	c)
d)	51	e)	257	f )	131
18	a)
3	b)
4	c)
19	a)	160	b)	1 280	c)	600
d)	1 700	e)	8 500	f )	12 000
g)	22 000	h)	134 000	i)	140 000
20	a)	c = 330; r = 7	b)	c = 46; r = 11	c)	c = 201; r = 0
d)	c = 43; r = 0	e)	c = 3; r = 0	f )	c = 107; r = 0
21	8 1 6 2 5 8 2 9 5 6 1 4
0 6 6 3 2 1 2 9 5 9 2 5
1 6 0 3 5
22	a)	48	b)	18	c)	1 482	d)	14
23	a)
d)	18	e)	2	f )	1
27. ¿Verdadero o falso? 32. Calcula. 36. En clase de matemáticas se acumulan puntos por 37. Lee el enunciado del problema y observa su reso-
a) Al multiplicar un número por tres obtenemos el a) 30 – 4 · (5 + 2) el trabajo realizado. lución. Después, explica el significado de cada ope-
mismo resultado que si le sumamos su doble. A: 1 punto por cada ejercicio de operaciones simples. ración y lo que se obtiene en cada resultado parcial.
b) 5 + 3 · (8 – 6)
b) Tres veces quince es lo mismo que quince veces B: 2 puntos por los de operaciones. En una granja hay caballos, vacas y gallinas. En total
c) 5 · (11 – 3) + 7 hemos contado 714 patas, 168 cuernos y 137 picos.
tres. C: 3 puntos por los ejercicios teóricos.
d) 3 · (2 + 5) – 13 ¿Cuántos caballos hay en la granja?
c) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar D: 3 puntos por cada problema.
dos veces por cinco. e) 2 · (7 + 5) – 3 · (9 – 4)
La tabla lleva la cuenta de la tarea entregada:
d) Multiplicar por diez es lo mismo que multiplicar f ) 4 · (7 – 5) + 3 · (9 – 7)
primero por cinco y después por dos. g) 3 · 5 – 3 · (10 – 4 · 2) a b c d
e) La propiedad conmutativa se cumple solo para los h) 2 · 3 + 5 · (13 – 4 · 3) luisa 5 4 6
números pares. marcos 3 4 4 5
Comprueba tus soluciones:
adela 2 2 9
28. Investiga: Si en una división multiplicas a) 2; b) 11; c) 47; d) 8; e) 9; f ) 14; g) 9; h) 11
el dividendo y el divisor por el mismo número, el co- 1.º 168 : 2 = 84 2.º 84 · 4 = 336
Escribe una expresión, combinando operaciones y
ciente no varía. Pero ¿qué le ocurre al resto? 3.º 137 · 2 = 274 4.º 336 + 274 = 610
Interpreta, describe, exprésate datos, para calcular los puntos que lleva acumulados
cada uno de esos tres alumnos. 5.º 714 – 610 = 104 6.º 104 : 4 = 26
Operaciones combinadas 33. Asocia cada enunciado con dos de las expresiones
29. Opera. de abajo:
a) 2 · (4 + 6) b) 2 · 4 + 6 I. En el autobús urbano iban 50 personas. En la
primera parada bajan 16 y suben 4. Aprende a resolver problemas
c) 8 : (7 – 5) d) 5 · 7 – 5
II. La clase de música tiene 50 alumnos matricula-
e) (5 + 6) · 4 f) 5 + 6 : 3 Un mayorista en alimentación compra 150 sacos de patatas de 30 kg por 2 000 €.
dos, pero hoy han faltado 4 y otros 16 han ido a
g) (19 – 7) : 2 h) 18 – 7 · 2 Después, al seleccionar la mercancía desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de
5 kg, que vende a 4 € la bolsa. ¿Qué ganancia obtiene?
30. Calcula. III. Ernesto compró una camiseta de 16 € y una go-
rra de 4 €, y pagó con un billete de 50 €. Comprueba que has entendido el enunciado.
a) 8 + 7 – 3 · 4 b) 8 : 4 + 7 – 3
IV. En el hotel han pernoctado 50 clientes. Hoy en- ¿Qué compra? ¿Cuánto pesa cada saco? ¿Cuánto le cuesta la compra? ¿Qué hace después?
c) 15 – 2 · 3 – 5 d) 10 – 12 : 6 – 4
tran 16 nuevos y salen 4. ¿Qué vende y a qué precio? ¿Qué preguntan?
e) 22 – 6 · 3 + 5 f ) 8 + 10 : 5 – 10
a) 50 – 16 – 4 b) 50 – 16 + 4
g) 36 – 8 · 4 – 1 h) 11 – 2 – 9 : 3 Piensa el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber?
c) 50 – (16 + 4) d) 50 – (16 – 4)
i) 4 · 7 – 13 – 2 · 6 j) 15 : 3 + 7 + 4 : 2 ¿Te vendría bien saber cuántos — Sí. Calcularé los kilos que compra y les quitaré los que desecha:
e) 50 + (16 – 4) f ) 50 + 16 – 4
k) 5 · 4 + 12 – 6 · 4 l) 12 : 4 – 1 – 6 : 3 kilos envasa? Compra: 150 sacos × 30 kilos = 4 500 kilos
m) 5 · 6 – 4 · 7 + 2 · 5 n) 9 : 3 + 8 : 4 – 7 : 7 34. ¿Con cuál o cuáles de las expresiones de abajo se Embolsa: 4 500 – 300 = 4 200 kg
calcula el decimoquinto término de esta serie?:
ñ) 8 · 8 – 4 · 6 – 5 · 8 o) 18 : 2 – 12 : 3 – 6 : 2
1 - 5 - 9 - 13 - 17 - 21 - … ¿Podría ahora calcular las bolsas — Es fácil, dividiendo los kilos entre lo que va en una bolsa:
31. Escribe, en cada caso, una expresión cuyo resulta-
1 + 15 · 4 1 + 14 · 4 15 · 4 – 3 16 · 4 – 3 que llena? Llena: 4 200 : 5 = 840 bolsas
do sea el peso de la balanza:
35. ¿Cuál o cuáles de las expresiones aritméti-
A B Y sabiendo las bolsas que llena, — Claro, 840 bolsas, a 4 euros la bolsa, son:
cas llevan a la solución de este problema?:
¿puedes calcular el dinero que Ingresa: 840 · 4 = 3 360 €
En el supermercado se han vendido esta mañana 24 ki- ingresa?
los de manzanas a 2 €/kg, 12 melones a 4 euros la pie-
za, y 13 piñas a 2 euros cada una. ¿Cuánto se ha ingre-
sado en caja por la venta de esas frutas? Por último… — ¡Ya termino yo! La ganancia es:
Ingresos – Gastos: 3 360 – 2 000 = 1 360 €
a) 24 · 12 + 4 · 13 + 2 b) 24 · 2 + 12 · 4 + 13 · 2
Solución: El mayorista obtuvo una ganancia de 1 360 euros.
c) (24 + 13) · 2 + 12 · 4 d) (24 + 13 + 2) · (2 + 4)
Soluciones de “Ejercicios y problemas” 37	1.º El número de vacas es igual a la mitad del número de cuernos:
Vacas → 168 : 2 = 84
27	a) Verdadero b) Verdadero c) Falso d) Verdadero e) Falso
2.º Patas de vaca → 84 · 4 = 336
28	El resto queda multiplicado por el mismo número.
3.º El número de patas de gallina es el doble que el de picos:
29	a)	20	b)	14	c)	4	d)	30 Patas de gallina → 137 · 2 = 274
e)	44	f )	7	g)	6	h)	4 4.º Patas de vaca + patas de gallina → 336 + 274 = 610
30	a)
6	c)
4	d)
4 5.º El número de patas de caballo es igual al total de patas menos las
de vaca y de gallina:
0	g)
3	h)
Patas de caballo → 714 – 610 = 104
i)	3	j)	14	k)	8	l)	0
6.º El número de caballos se obtiene dividiendo el dato anterior entre
m) 12	n)	4	ñ)	0	o)	2
31	a)	9 + (3 – 1) = 11 Caballos → 104 : 4 = 26
b)	9 – (3 + 1) = 5
32	a)	2	b)	11	c)	47	d)	8 Aprende a resolver problemas
e)	9	f )	14	g)	9	h)	11 En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende
ofrecer a los estudiantes modelos, estrategias y pautas para resolver pro-
33	I → b) y d) blemas:
II → a) y c) –	Detenerse en la comprensión del enunciado.
III → a) y c) Aclarar lo que se sabe y lo que se desea averiguar.
IV → e) y f) No empezar hasta haber interiorizado el enunciado.
34	1 + 14 · 4 y 15 · 4 – 3 –	Reflexionar sobre el proceso.
35	b) y c) Decidir qué datos y qué pasos intermedios son necesarios para llegar a
36	Luisa → 5 · 1 + 4 · 2 + 6 · 3 –	Describir el proceso. Explicar el significado de cada operación y del da-
Marcos → 3 · 1 + 4 · 2 + (4 + 5) · 3 to que se obtiene con ella.
Adela → 2 · 2 + (2 + 9) · 3 –	Presentar la solución.
Resuelve problemas 47. En una población de 8 400 habitantes, cuatro de 55. Utilizando solamente ceros y unos, se pueden Problemas “+”
cada cinco están en edad laboral; y de ellos, trabajan construir cuatro números diferentes de tres cifras:
38. Un camión de reparto transporta 15 cajas de re- cinco de cada siete. ¿Cuántos habitantes trabajan? 61. Cuatro amigos se pesan, por parejas, de todas las
frescos de naranja y 12 cajas de limón. ¿Cuántas bo- formas posibles y anotan desordenadamente los re-
tellas lleva en total si cada caja contiene 24 unidades? 48. Una sociedad financiera con el capital fraccio- 0 110
1 sultados obtenidos:
nado en 25 000 acciones reparte unos beneficios de 1 101
1 83 kg - 87 kg - 91 kg - 80 kg - 84 kg - 88 kg
39. En la familia Smith, el padre, Jonathan, cobra 375 000 euros. ¿Qué dividendos corresponden a un 0 100
1 940 dólares al mes. Si gana 720 dólares más que 0
inversor que posee 1 530 acciones? 1 111 El más grande pesa 46 kg. ¿Cuánto pesa cada uno por
Jon, el hijo mayor, 880 más que Cathy, la hija que si- separado?
49. Un senderista camina a un ritmo de 75 pasos por ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen solo ceros y
gue, más joven, y 280 menos que Catherine, su mu-
minuto y avanza 84 cm en cada paso. Su punto de unos? ¿Y de cinco cifras?
jer, ¿cuáles son los ingresos mensuales de la familia? 62. Se está celebrando el gran premio de motociclis-
llegada está a 4 km de la salida y pretende llegar antes 56. La carta de un restaurante ofrece cinco variedades mo en el circuito de Laguna Sosa.
de una hora. ¿Lo conseguirá? ¿Por qué? de primer plato, tres de segundo y dos de postre. ¿De La moto verde salió mal y está invirtiendo 1 minuto y
cuántas formas puede elegir su menú un cliente que 46 segundos en cada vuelta. La moto roja salió bien,
toma un plato de cada grupo? pero cada vuelta la da en 1 minuto y 48 segundos.
57. Un apicultor tiene 187 colmenas con una pro- En este momento cruza la línea de control la moto
40. Un autobús con 54 turistas a bordo sufre una ducción de dos cosechas al año, a razón de 9 kilos de roja, y 3 segundos después, la verde. Todavía queda
avería camino del aeropuerto. Como no hay tiempo, miel por colmena en cada cosecha. La miel se envasa mucha carrera por delante.
pues el avión no espera, el responsable del grupo de- en tarros de medio kilo y se comercializa en cajas de ¿Cuánto tardará la moto verde en doblar a la roja?
cide acomodar a los viajeros en taxis de cuatro plazas. 50. Una fábrica de electrodomésticos produce 250 seis tarros que se venden a 18 euros la caja. ¿Qué be-
¿Cuántos taxis necesitan? lavadoras cada día, con un coste medio de 208 € por neficio anual produce el colmenar? 63. De los alumnos y alumnas matriculados en pri-
unidad. ¿Qué ganancia obtiene, si vende la produc- mero de ESO, sabemos que:
41. En un campo rectangular de 150 m × 300 m se ción de un mes a un mayorista, por un importe glo- 58. La gráfica informa de la distribución, por colores,
van a plantar chopos, dispuestos en filas y columnas — 44 se quedan al comedor, 58 usan el transporte
bal de dos millones de euros? de los 30 690 coches fabricados en un trimestre.
paralelas a las vallas, de forma que cada línea esté a escolar y 47 están apuntados a actividades extraes-
5 metros de las contiguas o, en su caso, de los bordes. 51. Cándido tiene una granja de patos y gansos. Hoy colares.
¿Cuántos chopos albergará el campo? ha vendido 21 de sus animales por 350 euros. — 24 se quedan al comedor y a extraescolares.
Entre los animales había el doble de patos que de — 23 se quedan al comedor y usan el transporte es-
42. Un pueblo tiene dos mil habitantes, pero se es-
gansos, y un ganso vale el triple que un pato. colar; 25 usan el transporte y se quedan a extraes-
pera que en los próximos diez años aumente su po-
blación en un 50 %. ¿Qué población se espera para ¿Qué precio tiene un pato? ¿Y un ganso? colares.
GRIS BLANCO VERDE AZUL ROJO OTROS
dentro de diez años? 52. Un coche que avanza por una autovía tarda 78 — 11 usan los tres servicios, y 17, ninguno de los tres.
¿Cuántos coches rojos se han fabricado en ese periodo?
43. Una fábrica de coches ha producido 15 660 uni- segundos en atravesar un tramo de 2 km con la velo- ¿Cuántos alumnos hay matriculados en primero de
dades entre enero, febrero y marzo. ¿Cuántos coches cidad limitada a 90 km/h. ¿Crees que ha superado el 59. Para la elaboración de una estadística sobre las ESO?
saca, por término medio, cada día? límite permitido? ¿Por qué? vacaciones en una población de interior, se ha hecho ¿Te serviría uti-
53. Una compañía de telefonía móvil en expansión una encuesta que arroja los siguientes datos: lizar un gráfico COMEDOR TR. ESCOLAR
44. Un barco pesquero ha conseguido 9 100 € por como este?
ha gestionado durante el trimestre que finaliza ocho- — El 56 % ha estado en la playa.
la captura de 1 300 kg de merluza. ¿Cuánto obtendrá
otro barco que entra en puerto con 1 750 kg de mer- cientas cincuenta mil llamadas al día. En el próximo — El 47 % ha pasado unos días en el pueblo.
luza de la misma calidad? trimestre espera llegar al millón e ir aumentando — El 23 % ha disfrutado de ambos destinos.
trimestralmente en la misma cantidad durante los ACT. EXTR.
45. El sector hotelero de una localidad turística ha próximos dos años. ¿Cuántas llamadas diarias espera ¿Qué tanto por ciento no ha estado ni en la playa ni
contratado este mes a 12 845 personas. Tres de cada gestionar dentro de dos años? en el pueblo? 64. Martina ha obtenido así la suma de los 7
cinco son mujeres. ¿Cuántas mujeres han entrado a 60. Gorka y Fernando viven en el mismo portal y primeros números naturales.
trabajar en el sector? 54. Antonio, Beatriz, Cora y David acaban de entrar
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
+ 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 14
al cine. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar van al mismo colegio. Gorka, cuando va solo, tarda 8 · 7 = 56
46. Entre las 8 300 sociedades inscritas en el registro en las cuatro butacas que les corresponden? 20 minutos en el recorrido de casa a clase. Fernando,
de cierta comunidad autónoma, tres de cada cien son Haz, primero, un problema más fácil: ¿De cuántas for-
a su paso, tarda 30 minutos en el mismo trayecto. 8+8+8+8+8+8+8
organizaciones sin ánimo de lucro (ONGs). ¿Cuán- mas se podrían sentar, si Antonio ha ocupado ya la butaca Hoy, cuando sale Gorka, hace ya cinco minutos que ¿Sabrías calcular la suma de los números del uno al
tas ONGs hay registradas en la comunidad? n.º 1? se fue su compañero. ¿Cuánto tardará en alcancarle? cien?
Soluciones de “Ejercicios y problemas” 56	Puede elegir 30 posibles menús.
38	648 botellas. 57	Produce un beneficio de 20 196 €.
39	La familia ingresa, mensualmente, 6 440 euros. 58	Se han fabricado 3 960 coches rojos.
40	Necesitan 14 taxis. 59	El 20 % de la población no ha estado ni en la playa ni en el pueblo.
41	El campo albergará 1 624 chopos. 60	Gorka tarda 10 minutos en alcanzar a Fernando.
42	Se espera una población de 3 000 habitantes. 61	Pesan 46 kg, 45 kg, 42 kg y 38 kg.
43	Cada día saca 174 coches. 62	En 55 vueltas y media la moto verde doblará a la roja.
44	Obtendrá 12 250 €. 63	En 1.º de ESO hay 105 alumnos matriculados.
45	En el sector han entrado a trabajar 7 707 mujeres. 64	La suma de los números del uno al cien es 5 050.
46	Hay 249 registradas.
47	Trabajan 4 800 habitantes.
48	Le corresponden 22 950 €.
49	En una hora recorre 3 780 m. No consigue llegar a su destino.
50	Obtiene una ganancia de 440 000 €.
51	Cada pato vale 10 €, y cada ganso, 30 €.
52	En 78 segundos recorrería 1 950 m. Sí ha superado el límite de veloci-
dad permitido.
53	Espera gestionar 2 050 000 llamadas.
54	Se pueden sentar de 24 maneras diferentes.
55	Hay 8 números de cuatro cifras que solo contienen 0 y 1.
Hay 16 números de cinco cifras que solo contienen 0 y 1.
El número 100 sí es un número cuadrado.
Taller de matemáticas UNIDAD 1
Infórmate e investiga Entrénate resolviendo problemas
•	¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar
Números con geometría Reflexiona, ensaya y sé organizado utilizando solamente las cifras 1, 2, y 3?
•	Si escribes todos los números impares entre el 100 y
•	Los números 1, 3, 6 y 10 se pueden representar con una dis- •	Coloca los números del 1 al 9, uno por casilla, de
el 200, ¿cuántas veces habrás usado la cifra 6?
tribución de puntos en forma de triángulo, como puedes ver forma que todos los tríos alineados sumen 15.
a la derecha. Por eso se llaman números triangulares. ¿Cuáles
serán los tres siguientes? Dibújalos. 1 3 6 10
•	También hay números cuadrados. ¿Cuáles crees que son los
cuatro primeros? ¿Será cuadrado el número 100? ¿Por qué? •	¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de
•	¿Qué número asocias a la figura de la derecha? ¿Serías capaz
•	¿Cuántas veces utilizarás la cifra 5 si escribes todos
de dibujar alguno más del mismo tipo?
los capicúas de tres cifras?
Si más arriba has visto números triangulares y números cua-
drados, ¿cómo llamarías ahora a estos últimos?
Autoevaluación En la web Resoluciones de estos ejercicios.
•	El número
1. Completa en tu 22. Esla un
cuaderno número
siguiente tabla: pentagonal.
3. Calcula. Otros números pentagonales
a) 1 528 + 35 + 482 b) 4 321 + 189 – 1 387
Piensa y deduce son: egipcio sistemasromano
decimal c) 324 · 28 d) 3 611 : 157
Los ábacos aparecen en muchas culturas a lo largo de la historia. Los
griegos, los fenicios, los romanos y los chinos los usaban. 4. Copia en tu cuaderno y calcula los términos que fal-
El más potente de todos es el ábaco chino, como el que aparece en la tan.
ilustración de la derecha con el número 13 900. ¿Ves el número? a) 154 · = 462 b) : 27 = 98
mmcdxlviii
c) 30 275 : = 35 d) 1 508 = · 125 + 8
• ¿Qué número se ha 5. Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.
Di si cada uno de los sistemas es aditivo o posicional.
representado en cada
¿Cuál es la diferencia? a) 18 · = 180 b) · 100 = 27 000
uno de estos ábacos?
2. Observa estas cantidades: c) 4 000 : = 40 d) : 10 = 38
• La extensión de Brasil es de 8 514 877 km2. 6. Realiza las siguientes operaciones combinadas:
aprender • El caudal de este río es de 209 487 m3/s. a) 12 + 3 · 5 – 2 b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2
• Luisa ha recibido un premio de seiscientos ochenta c) 19 – 5 · (10 – 7) + 4 · 7 d) 10 · [7 · 5 – (4 + 6 · 3)]
Investiga y cinco mil cuatrocientos veintisiete euros.
Descifra los movimientos de fichas realizados para sumar en el ábaco 326 + 15. 22 35 es de veintidós millones
• La población de Australia 51
7. Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10
seiscientos ochenta y siete mil cuatrocientos veinti- céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes jun-
siete habitantes. tar un euro? Justifica tu respuesta.
a) Expresa con letras las cantidades que están dadas
8. Un hortelano tiene dos campos con 165 y 213 man-
con cifras, y viceversa.
zanos, respectivamente. Espera cosechar, por término
b) Redondea a las decenas de millar. medio, 35 kg de manzanas por árbol. Al recoger la
c) Redondea al orden de unidad que consideres más cosecha, la empaquetará en cajas de 10 kg y la ven-
• Dibuja, de la misma forma, los movimientos de estas operaciones: adecuado para que la información sea razonable e derá a un almacén que le paga a 3 € la caja. ¿Qué
a) 341 – 15 b) 563 + 361
Analizar, observar relaciones, lanzar
indica a qué orden has redondeado.
hipótesis y comprobarlas, descubrir
cantidad espera ingresar por la venta de manzanas?
leyes generales de comportamiento, son capacidades y recursos impres-
cindibles en el quehacer matemático.
Estas actividades, en las que los estudiantes se enfrentan a una dificultad
adecuada a su nivel, pero sin presentación teórica, suelen ser bien acepta-
das y se adaptan al trabajo en grupo y al aprendizaje entre iguales.
Una vez descubierto el funcionamiento del ábaco, conviene dejar cons-
Números con geometría tancia por escrito de las conclusiones.
Las relaciones entre los números naturales y la geometría siempre han des- Soluciones
pertado la curiosidad de los matemáticos. Aprovechando este hecho, se
presentan de manera informal los números triangulares, cuadrados y penta- •	Ábaco de la izquierda → 257
gonales, incitando al alumnado al descubrimiento y a la generalización. Ábaco de la derecha → 18 400
•	Los tres siguientes números triangulares son: Investiga
Para la realización de esta actividad conviene que el estudiante disponga
de un ábaco que le facilite el descubrimiento por experimentación y ensa-
yo-error.
Se recomienda la realización individual o en pequeño grupo, sin instruc-
ciones previas, con posterior puesta en común.
15 21 28 a) 3 4 1 3 3 11 3 2 6
•	Los cuatro primeros números cuadrados son:
5 6 3 5 6 4
+ 361 + 360
5 12 4 6 2 4 9 2 4
+ 300 + 300
1	El sistema de numeración decimal es posicional. Los sistemas egipcio
Entrénate resolviendo problemas y romano son aditivos.
Reflexiona, ensaya y sé organizado utilizando solamente las cifras 1, 2, y 3?
•	Coloca los números del 1 al 9, uno por casilla, de
forma que todos los tríos alineados sumen 15.
egipcio romano decimal
MMMXLII 3 042
•	¿Cuántos números capicúas de dos cifras hay? ¿Y de
MMCDXLVIII 2 448
1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: 3. Calcula. IV DXXVIII 4 528
sistemas de numeración a) 1 528 + 35 + 482 b) 4 321 + 189 – 1 387
egipcio romano decimal c) 324 · 28 d) 3 611 : 157
4. Copia en tu cuaderno y calcula los términos que fal-
tan. 2	a)	La extensión de Brasil es de ocho millones quinientos catorce mil
a) 154 · = 462 b) : 27 = 98 ochocientos setenta y siete kilómetros cuadrados.
5. Copia en tu cuaderno y rellena los huecos.
– El caudal de este río es de doscientos nueve mil cuatrocientos
¿Cuál es la diferencia? a) 18 · = 180 b) · 100 = 27 000 ochenta y siete metros cúbicos por segundo.
– Luisa ha recibido un premio de 685 427 euros.
• El caudal de este río es de 209 487 m3/s. a) 12 + 3 · 5 – 2 b) 7 · 3 – 4 · 2 + 2 – La población de Australia es de 22 687 427 habitantes.
y cinco mil cuatrocientos veintisiete euros. b)	La extensión de Brasil es de 8 510 000 km2.
• La población de Australia es de veintidós millones 7. Tienes un buen montón de monedas de 50, 20 y 10
seiscientos ochenta y siete mil cuatrocientos veinti-
siete habitantes.
céntimos. ¿De cuántas formas diferentes puedes jun-
tar un euro? Justifica tu respuesta. – El caudal de este río es de 210 000 m3/s.
8. Un hortelano tiene dos campos con 165 y 213 man- – Luisa ha recibido un premio de 690 000 euros.
– La población de Australia es de 22 690 000 habitantes.
adecuado para que la información sea razonable e derá a un almacén que le paga a 3 € la caja. ¿Qué
indica a qué orden has redondeado. cantidad espera ingresar por la venta de manzanas? c)	– La extensión de Brasil es de 8 500 000 km2 (redondeo a las cente-
nas de millar).
– El caudal de este río es de 210 000 m3/s (redondeo a las decenas
de millar).
– Luisa ha recibido un premio de 700 000 euros (redondeo a las cen-
Entrénate resolviendo problemas	tenas de millar).
– La población de Australia es de 22 700 000 habitantes (redondeo a
Se incluyen en este apartado una serie de problemas o retos, indepen-
las centenas de millar).
dientes de formulaciones teóricas y del programa de contenidos, cuyo ob-
jetivo es practicar estrategias de elaboración personal en la resolución de 3	a)	2 045	b)	3 123	c)	9 072	d)	23
problemas de lógica matemática. El estudiante recurrirá, por supuesto, a
sus conocimientos matemáticos, pero también a la experimentación, al 4	a)	3	b)	2 646	c)	865	d)	12
tanteo, al descubrimiento por ensayo-error, o a cualquier otro camino que
le lleve a la solución. Se pretende, además, ofrecer un espacio, fuera de 5	a)	10	b)	270	c)	100	d)	380
programa, en el que, mediante actividades o situaciones más distendidas,
6	a)
25	b)
15	c)
32	d)
experimentar el placer de razonar y superar retos.
Soluciones 7	De 10 formas diferentes:
•	La cifra 6 se habrá usado cinco veces (161, 163, 165, 167, 169). 50 · 2, 50 + 2 · 20 + 10, 50 + 20 + 3 · 10, 50 + 5 · 10, 20 · 5,
•	De dos cifras hay 9, y de tres cifras, 90. 20 + 4 + 10 · 2, 20 · 3 + 10 · 4, 20 · 2 + 10 · 6, 20 + 10 · 8, 10 · 10.
•	La cifra 5 se utiliza 29 veces. 8	Espera ingresar 3 969 €.
•	Hay 27 números distintos.
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