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Timestamp: 2018-05-27 09:59:58+00:00

Document:
DL | Yann ANGELI
ATS : Espaces vectoriels (5)
Mercredi 13 janvier 2016, 8h-11h.
QCM 3 : Fonctions régulières et développements limités
Cours 12 : Espaces Vectoriels
1.3. Notion de sous-espace vectoriel (d’autres exemples)
2.2. Intersection de sous espaces vectoriels (démonstration)
2.3. Somme de sous espaces vectoriels (démonstrations)
3.1 Noyau d’une application linéaire (définition et propriétés, exemples)
3.2 Image d’une application linéaire (définition, exemples et propriétés)
3.3 Applications linéaires remarquables
Mots-clefs : Dérivation, DL, Espaces vectoriels, QCM
ATS : Analyse asymptotique (4)
Mardi 17 novembre 2015, 10h-12h.
TD du Cours 7 :
exercice 7 : étude locale d’une courbe à l’aide de développements limités
exercice 4.4 : limites et développements limités
exercice 3 : calculs de développements limités
Mots-clefs : DL, Limites
ATS : Analyse asymptotique (3)
Lundi 16 novembre 2015, 13h-15h.
exercice 1 : limites et équivalents
exercice 5 : limite d’une suite
exercice 7 : limite d’une fonction
ATS : Analyse asymptotique (2)
Lundi 16 novembre 2015, 8h-11h.
Cours 7 : Analyse asymptotique
2.3 Relation d’équivalence
3.1 Définition du développement limité d’une fonction
3.2 Propriétés des développements limités (unciité, parité)
3.3 Opérations sur les développements limités
4. FORMULE DE TAYLOR
4.1 Intégrer les développements limités
4.2 Formule de Taylor Young
4.3 Dérivation des développements limités
5. APPLICATIONS DES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
5.1 Calcul de limites
5.2 Recherche d’équivalents
5.3 Continuité, dérivabilité, tangentes
5.4 Recherche d’asymptotes
Programme de colle, semaine 8 du 23-11-15 au 27-11-15
§6 Équations différentielles :
savoir résoudre des équations de la forme y’+a y=b avec a et b continues sur un intervalle I.
savoir résoudre les équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants et seconds membres (se ramenant à) des exponentielles-polynômes
§7 Analyse asymptotique : il faut
connaître absolument et sans hésiter le DL en 0 à tout ordre de 1/(1-x) et exp(x).
connaître ou savoir retrouver à l’aide de moyens mnémotechniques ou calculs les DL en 0 à tout ordre de cos(x), sin(x), ch(x), sh(x)
connaître ou savoir retrouver par intégration le DL en 0 à tout ordre de ln(1+x)
connaître ou savoir retrouver le DL en 0 à l’ordre 3 de tan (c’est le programme qui le dit)
connaître à l’ordre 2 et savoir retrouver grâce à Taylor le DL aux ordres supérieurs en 0 de (1+x)^a
savoir retrouver les DL en 0 à tout ordre de arctan, à des ordres raisonnables de arcsin, arccos, racine carrée de (1+x) etc…
calculer un DL en 0 par opérations, composition, intégration des DL de référence précédents
savoir la formule de Taylor
calculer un DL ailleurs qu’en 0 via un changement de variable
savoir utiliser les DL pour calculer une limite
savoir utiliser les DL pour faire l’étude locale d’une fonction (tangente, éventuel prolongement par continuité et dérivabilité du prolongement, position relative courbe-tangente locale)
savoir utiliser les DL pour obtenir un équivalent (et connaître la définition d’un équivalent)
savoir utiliser les DL en 1/x pour obtenir l’équation d’une asymptote, et éventuellement la position relative locale avec la courbe.
savoir la définition de u(x)=o(v(x)) au voisinage de a
ATS : Analyse asymptotique (1)
Lundi 9 novembre 2015, 8h-11h.
1.1 Limite en un réel (définitions, exemples)
1.2 Limite en l’infini (définitions, exemples)
1.3 Opérations sur les limites (tableaux, exemples de démonstrations)
1.4 Techniques pour lever les formes indéterminées (quantité conjuguée, changement d’écriture, de variable)
2.1 Inégalités et limites (théorèmes de comparaison, passage à la limite)
2.2 Relation de négligeabilité (définition, croissances comparées, opérations)
Programme de colle, semaine 7 du 16-11-15 au 20-11-15
§5 Courbes paramétrées et §4 Géométrie plane. Savoir étudier une courbe paramétrée :
recherche du domaine d’étude en étudiant les symétries
variations simultanées
trouver un vecteur tangent en un point stationnaire
trouver l’équation de la tangente ou de la normale au point de paramètre t, et, éventuellement, de la géométrie autour de cette droite.
Mots-clefs : Cours, DL, Limites
ATS : Révisions (9)
Mardi 19 mai 2015, 8h-12h.
Rappels : sur les équations différentielles du premier ordre linéaire, du second ordre linéaires à coefficients constants avec second membre exponentiel polynôme, non linéaires à variables séparables.
Exercices type oral du concours sur les équations différentielles.
Exercices type oral du concours sur les limites et développements limités.
Mots-clefs : DL, Équa. Diff., Limites
ATS : Déterminants (1)
Lundi 9 février 2015, 8h-11h.
Cours 16 : Déterminants
1. LE DÉTERMINANT : UNE FORME MULTILINÉAIRE ALTERNÉE
1.1 Notion de déterminant (développement par rapport à la première ligne, exemples)
1.2 Caractère alterné (propostion, permutations de colonnes, exemples)
1.3 Multilinéarité du déterminant (multilinéarité, dilatations et transvections)
2. DÉTERMINANT D’UN PRODUIT
2.1 Déterminants nuls (caractérisations de la nullité du déterminant, des matrices inversibles)
2.2 Multiplicativité du déterminant
2.3 Invariance par transposition
3. EXEMPLES ET APPLICATIONS
3.1 Déterminant d’une famille de vecteurs
3.2 Déterminant d’un endomorphisme
3.3 Système de Cramer
3.4 Déterminant d’une matrice bloc triangulaire
QCM 5 : Développements limités
Programme de colle, semaine [18] du 02-03 :
§15 Séries numériques : convergence des séries de Riemann et des séries géométriques. Séries à termes positifs : nature par équivalence, encadrement ou négligeabilité des termes généraux. Convergence absolue. Critère des séries alternées, critère de d’Alembert, divergence grossière. Télescopages.
§16 Déterminants : développement par rapport à une ligne ou une colonne, déterminant et opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes, reconnaître un déterminant nul, caratérisation des matrices (ou endomorphismes) inversibles, caractérisation des bases.
Mots-clefs : Cours, Déterminants, DL, QCM
ATS : Développements limités (4) et Séries (2) TD
Mardi 3 février 2015, 17h-52h.
TD du Cours 14 :
exercice 6 : asymptote et développements limités
exercice 2 (4) : limites et développements limités
exercice 7 : Développement limité de la fonction tangente
TD du Cours 15 :
exercice 4 : somme d’une série télescopique
exercice 1 (6,7,8) : nature de séries numériques
Mots-clefs : DL, Séries numériques
ATS : Développements limités (3) TD
Lundi 2 février 2015, 13h-15h.
exercice 1 (1-2-4-9) : développements limités
exercice 3 : limite d’une suite
exercice 4 : limite d’une fonction
exercice 5 : étude locale d’une fonction
Mots-clefs : DL
ATS : Développements limités (2) et Séries (1)
Lundi 2 février 2015, 8h-11h.
2.2 Formule de Taylor Young (exemples de l’exponentielle et des fonctions puissances)
2.3 Dérivation des développements limités
3. APPLICATIONS DES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
3.1 Calcul de limites (méthode, exemples)
3.2 Recherche d’équivalents (méthode, exemples)
3.3 Équation d’une tangente, position relative avec la courbe (méthode, exemples)
3.4 Recherche d’asymptote (méthode, exemples)
4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS CLASSIQUES
Cours 15 : Séries numériques
1.1 Notion de série (série, convergence, exemples)
1.2 Séries géométriques (définition, critère de convergence)
1.3 Séries de Riemann (définition, critère de convergence)
2. SÉRIES À TERMES POSITIFS
2.1 Alternative du comportement d’une série à termes positifs (converger ou diverger vers l’infini)
2.2 Comparaisons de séries à termes positifs (par négligeabilité ou encadrement)
2.3 Séries et équivalents (éqiuvalents d’une série à termes positifs)
Programme de colle, semaine [17] du 09-02 :
§14 Développements limités : développements usuels, calculs, formule de Taylor, application aux calculs de limites, de tangentes, d’asymptotes, d’équivalents…
§12 Intégration : primitives usuelles, changement de variable, intégration par parties, décomposition en éléments simples, propriétés de l’intégrale, et interprétations.
Mots-clefs : Cours, DL, Séries numériques
ATS : Développements limités (4) TD
Lundi 3 février 2014, 13h-15h.
exercice 5 : prolongement par continuité, dérivabilité, étude d’une position relative locale courbe-tangente
exercice 6 : détermination d’asymptote, étude d’une position relative locale courbe-asymptote
exercice 1 : développements limités (8-9-10)
ATS : Développements limités (3)
Mercredi 29 janvier 2014, 8h-11h.
Cours 15 : Développements limités
2.1 Intégrer les développements limités (théorème d’intégration, exemples : ln(1+x), arctan(x))
2.2 Formule de Taylor Young (et exemples : exp(x), (1+x)a)
2.3 Dériver les DL
3.1 Calcul de limite (exemples)
3.2 Recherche d’équivalent (méthode, exemple)
3.3 Équation d’une tangente et position relative avec la courbe (méthode, exemple)
3.4 Recherche d’asymptote (méthode, exemple)
exercice 7 : développement limité à l’ordre 5 en 0 de la fonction tangente
ATS : Développements limités (2) TD
Mardi 28 janvier 2014, 13h-15h.
exercice 1 : (partiel) calculs de développements limités
exercice 3 : calcul de limite
exercice 4 : calcul de limite
exercice 2 : (partiel) calculs de limites
ATS : Matrices (5) et Développements limités (1)
Lundi 27 janvier 2014, 8h-11h.
Cours 14 : Matrices
3. MATRICE REMARQUABLES
3.1 Matrices symétriques et antisymétriques (avec la transposée, ses propriétés, des exemples)
3.2 Matrices d’opérations élémentaires (opérations élémentaires, matrices, lien avec le pivot)
1.1 Définition du développement limité d’une fonction (en 0 et ailleurs, troncature, exemple « géométrique »)
1.2 Propriétés des développements limités (unicité, parité, lien avec la continuité et dérivabilité)
1.3 Opérations sur les développements limités (combinaisons linéaires, produit, composition, troncature, quotient, exemples)
Programme de colle, semaine du 3 au 7 février
§14 : Matrices : calcul matriciel (somme, produits, inverses, puissances, propriétés), coordonnées d’un vecteur dans une base, matrice d’une application linéaire dans une base, changement de base, transposition.
§15 : Développements limités : calculs plutôt en 0 pour la première semaine (sommes, produits, compositions, primitives, dérivées, quotients via la composition par 1/(1-x) : pas de division suivant les puissances croissantes). Applications aux limites, aux équivalents et continuité, dérivabilité, position relative locale courbe-tangente, asymptotes. Les DL à connaître selon le programme sont : 1/(1-x), ln(1+x), (1+x)^a, exp, cos, sin, ch, sh. Les autres peuvent être retrouvés.
Mots-clefs : Cours, DL, Matrices

References: §6

§7

§5
 §4

§15

§16

§14

§12

§14

§15