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Timestamp: 2017-08-20 17:06:39+00:00

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ACTUALIZACIÓN FORTALECIMIENTO CURRICULAR BÁSICA
8.º, 9.º y 10.º años
Área de Matemática ACTUALIZACIÓN Y FORTALECIMIENTO CURRICULAR DE LA EDUCACIÓN BÁSICA 2010 8.º, 9.º y 10.º años
Equipo Técnico: René Cortijo Jacomino María Cristina Espinosa Salas Angelina Gajardo Valdés Martha Alicia Guitarra Santacruz Luis Hernández Basante Ivanna López Ampuero Freddy Peñafiel Larrea Mariana Pérez Flores Miguel Pérez Teca Juan Diego Reyes Villalva Nancy Romero Aguilar Pilar Tamayo Aroca Alba Toledo Delgado Coordinación editorial: Martha Alicia Guitarra Santacruz Diseño y diagramación: Susana Zurita Becerra José Hidalgo Cevallos Francisco Veintimilla Romo Corrección de estilo Ligia Sarmiento De León Impresión: © Ministerio de Educación del Ecuador Noviembre de 2009 Quito – Ecuador .
Antecedentes La nueva Constitución de la República El Plan Decenal del Ministerio de Educación La Reforma Curricular vigente y su evaluación La elevación de los estándares de calidad de la Educación Básica 2. Bases pedagógicas del diseño curricular El desarrollo de la condición humana y la preparación para la comprensión Proceso epistemológico: Un pensamiento y modo de actuar lógico. Indicadores esenciales de evaluación 36 37 39 40 40 42 45 45 47 27 31 32 9 10 10 10 11 11 12 12 13 14 17 17 17 17 18 18 18 18 18 19 19 20 22 22 22 23 23 pROYECCIÓN CURRICULAR DE NOVENO AÑO 1. 3. La estructura curricular: Sistema de conceptos empleados Perfil de salida Objetivos educativos del área Mapa de conocimientos Objetivos educativos del año Eje curricular integrador del área Ejes del aprendizaje Bloques curriculares Destrezas con criterios de desempeño Precisiones para la enseñanza y el aprendizaje Indicadores esenciales de evaluación 4. Objetivos educativos planificación por bloques curriculares precisiones para la enseñanza y el aprendizaje Bloque: Relaciones y funciones Bloque: Numérico Bloque: Geométrico Bloque: Medida Bloque: Estadística y probabilidad 4. 2. El perfil de salida de los estudiantes de la Educación Básica Los ejes transversales dentro del proceso educativo Formación ciudadana y para la democracia Protección del medioambiente El correcto desarrollo de la salud y la recreación de los estudiantes La educación sexual en la niñez y la adolescencia Área de Matemática La importancia de enseñar y aprender Matemática Perfil de salida del área Objetivos educativos del área pROYECCIÓN CURRICULAR DE OCTAVO AÑO 1. 5. 2. Objetivos educativos planificación por bloques curriculares 50 51 .CONTENIDO Introducción 1. crítico y creativo Una visión crítica de la Pedagogía: Un aprendizaje productivo y significativo 3.
2. Indicadores esenciales de evaluación Bibliografía Mapa de conocimientos . Indicadores esenciales de evaluación pROYECCIÓN CURRICULAR DE DÉCIMO AÑO 1. 3. Objetivos educativos planificación por bloques curriculares precisiones para la enseñanza y el aprendizaje Bloque: Relaciones y funciones Bloque: Numérico Bloque: Geométrico Bloque: Medida Bloque: Estadística y probabilidad 68 69 71 73 77 77 78 79 80 81 83 4. precisiones para la enseñanza y el aprendizaje Bloque: Relaciones y funciones Bloque: Numérico Bloque: Geométrico Bloque: Medida Bloque: Estadística y probabilidad 53 56 59 60 62 62 65 4.3.
un proceso educativo inclusivo de equidad con el propósito de fortalecer la formación ciudadana para la democracia. sobre todo.aprendizaje. Una tarea de alta significación es la realización del proceso de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica. A continuación se presenta el resultado de la Actualización y Fortalecimiento Curricular/2010. 9 . con el fin de lograr los siguientes objetivos: • Potenciar. a fin de contribuir al perfeccionamiento profesional docente. emprende diversas acciones estratégicas derivadas de las directrices de la Constitución de la República y del Plan Decenal de Educación. recogiendo el criterio de especialistas y de docentes ecuatorianas y ecuatorianos del primer año y de las cuatro áreas fundamentales del conocimiento en la Educación Básica: Lengua y Literatura. el estudio de modelos curriculares de otros países y. desde la proyección curricular.Introducción El Ministerio de Educación tiene entre sus objetivos centrales el incremento progresivo de la calidad en todo el sistema educativo. Ofrecer orientaciones metodológicas proactivas y viables para la enseñanza . para ello. en el contexto de una sociedad intercultural y plurinacional. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • • El proceso de Actualización y Fortalecimiento Curricular se ha realizado a partir de la evaluación y las experiencias logradas con el currículo vigente. Estudios Sociales y Ciencias Naturales. Ampliar y profundizar el sistema de destrezas y conocimientos a concretar en el aula. Matemática. el que será el referente principal para conducir la EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA ECUATORIANA. Precisar indicadores de evaluación que permitan delimitar el nivel de calidad del aprendizaje en cada año de Educación Básica.
En este plan se precisa. En el artículo No. El sistema tendrá como centro al sujeto que aprende. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 El plan Decenal de Educación El Ministerio de Educación. la generación y la utilización de conocimientos. entre una de sus políticas. Mejoramiento de la calidad y equidad de la educación e implementación de un sistema nacional de evaluación y rendición social de cuentas del sector.1 Antecedentes La nueva Constitución de la República En la actual Constitución de la República aprobada por consulta popular en 2008. aprobó el Plan Decenal de Educación 2006 . asegurar el mejoramiento permanente de la calidad. el mejoramiento de la calidad de la educación. entre otras directrices: • • Universalización de la Educación General Básica de primero a décimo. la ampliación de la cobertura. eficaz y eficiente”. Revalorización de la profesión docente y mejoramiento de la formación inicial. 343 de la sección primera de educación. en el artículo No. en noviembre de 2006. que posibiliten el aprendizaje. técnicas. se establece lo siguiente: “Será responsabilidad del Estado fortalecer la educación pública y la coeducación. mediante Consulta Popular. para convertirla en el eje central del desarrollo de la sociedad ecuatoriana. numeral 1. condiciones de trabajo y calidad de vida. desarrollo profesional. artes y culturas. y funcionará de manera flexible y dinámica. • 10 . de la misma sección. Estos principios constituyen mandatos orientados a la calidad de la educación nacional. definiendo. incluyente. saberes. la infraestructura física y el equipamiento necesario de las instituciones educativas públicas”. 347.2015. se expresa: “El sistema nacional de Educación tendrá como finalidad el desarrollo de capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la población.
cultural como pedagógica. se realiza la Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación General Básica como una contribución al mejoramiento de la calidad. tanto en la proyección científica . determinando los logros y dificultades. se han diseñado diversas estrategias dirigidas al mejoramiento de la calidad educativa. El diseño que se presenta de la Actualización y Fortalecimiento Curricular va acompañado de una sólida preparación de los docentes. así como de las experiencias logradas en la Reforma Curricular de 1996. diferentes programas y proyectos educativos fueron implementados con el objetivo de mejorar la educación y optimizar la capacidad instalada en el sistema educativo. así como a la elaboración de textos escolares y guías para docentes que permitan una correcta implementación del currículo. la insuficiente precisión de los conocimientos a tratar en cada año de estudio. de igual forma. Esta evaluación intentó comprender algunas de las razones que argumentan los docentes en relación con el cumplimiento o incumplimiento de los objetivos de la Reforma: la desarticulación entre los niveles. fundamentada en el desarrollo de destrezas y el tratamiento de ejes transversales. la Dirección Nacional de Currículo realizó un estudio a nivel nacional que permitió comprender el proceso de aplicación de la Reforma de la Educación Básica y su grado de presencia en las aulas. propuestas metodológicas de cómo llevar a cabo la enseñanza y el aprendizaje.A partir de este documento. Para valorar el grado de aplicación de la Reforma Curricular y su impacto. se apoyará en un seguimiento continuo por parte de las autoridades de las diferentes instituciones educativas y supervisores provinciales de educación. las limitaciones en las expresiones de las destrezas a desarrollar y la carencia de criterios e indicadores de evaluación. las escuelas y los niveles de supervisión. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 La elevación de los estándares de calidad de la Educación Básica Considerando las directrices emanadas de la Carta Magna de la República y del Plan Decenal de Desarrollo de la Educación. La Reforma Curricular vigente y su evaluación En el año de 1996 se oficializó la aplicación de un nuevo diseño curricular llamado “Reforma Curricular de la Educación Básica”. Además. científica y cultural. consolidando un sistema que desarrolle ciudadanas y ciudadanos con alta formación humana. una de las estrategias se refiere a la actualización y fortalecimiento de los currículos de la Educación Básica y de Bachillerato y a la construcción del currículo de Educación Inicial. con orientaciones más concretas sobre las destrezas y conocimientos a desarrollar. tanto técnicas como didácticas. El Ministerio de Educación. realizará procesos de monitoreo y evaluación periódica para garantizar que las concepciones educativas se concreten en el cumplimiento del perfil de salida del estudiantado al concluir la Educación General Básica. 11 . del mismo modo que la precisión de los indicadores de evaluación en cada uno de los años de Educación Básica. Durante los trece años transcurridos hasta la fecha.
en especial. dentro de variadas estructuras metodológicas del aprendizaje. con el predominio de las vías cognitivistas y constructivistas. para lo cual el accionar El desarrollo de la condición humana y la preparación para la comprensión Jerarquización de la formación humana en articulación con la preparación científica y cultural La comprensión entre los seres humanos Respeto.2 Bases pedagógicas del diseño curricular Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 La Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica .2010 se sustenta en diversas concepciones teóricas y metodológicas del quehacer educativo. del saber hacer y el desarrollo humano. Estos referentes de orden teórico se integran de la siguiente forma: El desarrollo de la condición humana y la preparación para la comprensión El proceso de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica se ha proyectado sobre la base de promover ante todo la condición humana y la preparación para la comprensión. se han considerado los fundamentos de la Pedagogía Crítica que ubica al estudiantado como protagonista principal en busca de los nuevos conocimientos. solidaridad y honestidad Interculturalidad plurinacionalidad Inclusión 12 .
en la concreción de los objetivos educativos con su sistema de destrezas y conocimientos. En general. dentro de los principios del buen vivir. Indagar.educativo se orienta a la formación de ciudadanas y ciudadanos con un sistema de valores que les permiten interactuar con la sociedad demostrando respeto.casos . valorar. proceso epistemológico: un pensamiento y modo de actuar lógico. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • La proyección epistemológica se refleja en el gráfico siguiente: La sociedad .la naturaleza . relaciones lógicas y generalizaciones de las ideas. buscando aspectos comunes. crítico y creativo. generar.problemas a resolver .la comunicación e interacción entre los seres humanos Los objetivos educativos Destrezas y conocimientos a desarrollar Lectura . elaborar. a través del enfrentamiento ante situaciones y problemas reales de la vida y de métodos participativos de aprendizaje. Esto implica: • Observar. es decir. ordenar. Reflexionar. El desarrollo de la condición humana se concreta de diversas formas. responsabilidad. comparar. los cuales se precisan en las clases y procesos de aulas e incluso en el sistema de tareas de aprendizaje.producciones Resultados del aprendizaje con proyección integradora en la formación humana y cognitiva 13 .comprensión Situaciones . criticar y argumentar sobre conceptos. producir soluciones novedosas. entre ellas: en la comprensión entre todos y con la naturaleza. el proceso de construcción del conocimiento se orienta al desarrollo de un pensamiento y modo de actuar lógico. para conducir al estudiantado a alcanzar los logros de desempeño que demanda el perfil de salida de la Educación Básica. hechos y procesos de estudio. crítico y creativo La dimensión epistemológica del diseño curricular. la condición humana se expresa a través de las destrezas y los conocimientos a desarrollar en las diferentes áreas y años de estudio. nuevas alternativas desde variadas lógicas de pensamiento y formas de actuar. analizar. entramar y graficar las ideas esenciales y secundarias interrelacionadas entre sí. con diversas estrategias metodológicas y de evaluación. honestidad y solidaridad.
En esta perspectiva pedagógica. en el incremento del protagonismo de las alumnas y los alumnos en el proceso educativo. con diversos niveles de integración y complejidad. y en el concepto curricular realizado se le ha añadido criterios de desempeño. Las destrezas con criterios de desempeño constituyen el referente principal para que el profesorado elabore la planificación microcurricular con el sistema de clases y tareas de aprendizaje.Una visión crítica de la pedagogía: un aprendizaje productivo y significativo Esta proyección epistemológica tiene el sustento teórico en las diferentes visiones de la Pedagogía Crítica. Caracteriza el “dominio de la acción”.cultural. con la interpretación y solución de problemas en contextos reales e hipotéticos. 14 . temporales. que se fundamenta. se graduarán de forma progresiva y secuenciada los conocimientos conceptuales e ideas teóricas. los que orientan y precisan el nivel de complejidad sobre la acción: pueden ser condicionantes de rigor científico . para llegar a la “meta cognición” por procesos tales como: pROCESOS pRODUCTIVOS Y SIGNIFICATIVOS Comprender textos Ordenar ideas Comparar Experimentar Conceptualizar Resolver Argumentar Debatir Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Resumir Elaborar mapas de la información interpretada Investigar y resolver problemas proponer nuevas alternativas El desarrollo de destrezas con criterios de desempeño La destreza es la expresión del saber hacer en los estudiantes. participando activamente en la transformación de la sociedad. en lo esencial. De acuerdo con su desarrollo y sistematización. la actividad de aprendizaje debe desarrollarse esencialmente por vías productivas y significativas que dinamicen la actividad de estudio. de motricidad y otros. espaciales.
televisión. pero los docentes las aplicarán en los momentos que consideren necesario y siempre y cuando dispongan de lo indispensable para hacerlo. que deben proyectarse a partir de los indicadores esenciales de evaluación planteados para cada año de estudio. Simulación de procesos o situaciones de la realidad. se hacen sugerencias sobre los momentos y las condicionantes para el empleo de las TIC. Visualización de lugares. al seleccionar las técnicas evaluativas. de forma progresiva. aulas virtuales. de videos. hechos y procesos para darle mayor objetividad al contenido de estudio. ya que es necesario valorar el desarrollo y cumplimiento de los objetivos a través de la sistematización de las destrezas con criterios de desempeño. cómo son capaces de ir generalizando en la diversidad de situaciones de aprendizaje. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 La evaluación integradora de los resultados del aprendizaje La evaluación del aprendizaje constituye el componente de mayor complejidad dentro del proceso educativo. a fin de adoptar las medidas correctivas que requieran la enseñanza y el aprendizaje. Se requiere de una evaluación diagnóstica y continua que detecte a tiempo las insuficiencias y limitaciones de las alumnas y los alumnos. dentro del proceso educativo. computadoras. Evaluación de los resultados del aprendizaje. cómo interpretan lo estudiado. En las precisiones de la enseñanza y el aprendizaje. simuladores y otras alternativas que apoyan la enseñanza y el aprendizaje en procesos como: • • • • • Búsqueda de información con inmediatez. Participación en juegos didácticos que contribuyan de forma lúdica a profundizar en el aprendizaje. Internet. es decir. para ver cómo piensan. dentro de la estructura curricular desarrollada. cómo expresan sus ideas. Es de alta trascendencia. Como parte esencial de los criterios de desempeño de las destrezas están las expresiones de desarrollo humano integral. combinar la producción escrita de los estudiantes articulada con la argumentación. para hacerlo. situaciones que incrementen el nivel de complejidad y la integración de los conocimientos que se van logrando. Los docentes deben evaluar de forma sistemática el desempeño (resultados concretos del aprendizaje) del estudiantado mediante las diferentes técnicas que permitan determinar en qué medida hay avances en el dominio de la destreza.El empleo de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Otro referente de alta significación de la proyección curricular es el empleo de las TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación). es muy importante ir planteando. que deben alcanzarse en 15 .
a través de la realización de las tareas curriculares del aprendizaje. la cultura y actividades comunitarias. 16 . con el planteamiento de diferentes puntos de vista al argumentar sobre conceptos. La producción escrita que refleje ideas propias de los estudiantes. lo cual debe expresarse en las “calificaciones o resultados” que se registran oficialmente y que se dan a conocer a los estudiantes.el estudiantado. ideas teóricas y procesos realizados. así como en el deporte. Para evaluar el desarrollo integral debe considerarse en forma prioritaria aspectos como: • La observación directa del desempeño de los educandos para valorar el desarrollo de las destrezas con criterios de desempeño. • • • • • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Se concibe que en todo momento se aplique una evaluación integradora de la formación cognitiva (destrezas y conocimientos asociados) con la formación de valores humanos. y además para emitir juicios de valor. La solución de problemas con diversos niveles de complejidad. La realización de pruebas sobre el desarrollo de procesos y al cierre de etapas o parciales académicos. haciendo énfasis en la integración de conocimientos y la formación humana. La defensa de ideas. y que tienen que ser evaluadas en el quehacer práctico cotidiano y en el comportamiento crítico-reflexivo de los estudiantes ante diversas situaciones del aprendizaje. nuevas ideas en la reconstrucción y solución de problemas. El planteamiento y aplicación de nuevas alternativas.
desde 1ero.3 La estructura curricular: sistema de conceptos empleados El nuevo referente curricular de la Educación Básica se ha estructurado sobre la base del sistema conceptual siguiente: perfil de salida Desempeños que debe demostrar el estudiantado al concluir el décimo año de estudio. conformando un sistema coherente. los conocimientos esenciales (nucleares) que deben saber las alumnas y los alumnos. Este desempeño debe reflejarse a través de las destrezas de mayor generalización (saber hacer). 17 . ¿pARA QUÉ? Contextualización con la vida social y personal. por años de estudio. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Objetivos educativos del área Orientan el alcance del desempeño integral que deben lograr los estudiantes en el área de estudio durante todo el proceso de la Educación Básica. hasta 10mo. año. con una lógica ascendente en nivel científico y complejidad. Mapa de conocimientos Esquema general que distribuye. Los objetivos responden a las interrogantes siguientes: • • • zar los estudiantes? ¿QUÉ ACCIÓN o ACCIONES de alta generalización deberán reali¿QUÉ DEBE SABER? Conocimientos asociados y cuáles son los logros de desempeño esperados. con un grado de generalización de las destrezas y conocimientos especificados en el currículo de Educación Básica. de los conocimientos (saber) y de los valores humanos (ser).
sirven de base para articular los bloques curriculares. los conocimientos y las expresiones de desarrollo humano integral. Estudios Sociales: comprender el mundo donde vivo y la identidad Ciencias Naturales: comprender las interrelaciones del mundo natural y sus cambios. ecuatoriana. A partir de él se generan las destrezas. producción y práctica de valores. Destrezas con criterios de desempeño Expresan el “saber hacer”. Los ejes curriculares integradores correspondientes a cada área son los siguientes: • • • • racción social. Eje curricular integrador del área Idea de mayor grado de generalización del conocimiento de estudio que articula todo el diseño curricular en cada área. Lengua y Literatura: escuchar. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Ejes del aprendizaje Se derivan del eje curricular integrador en cada área de estudio. siguiendo una determinada lógica de ciencia. Las destrezas con criterios de desempeño se expresan respondiendo a las siguientes interrogantes: 18 . con una o más acciones que deben desarrollar los estudiantes. hablar. Bloques curriculares Articulan e integran un conjunto de destrezas con criterios de desempeño alrededor de un tema central. Macrodestrezas Nivel máximo de pensamiento que integra e interrelaciona diferentes destrezas de comprensión. Tienen la misma estructura que los objetivos del área. asociadas a un determinado conocimiento teórico y dimensionadas por niveles de complejidad que caracterizan los criterios de desempeño.Objetivos educativos del año Expresan las máximas aspiraciones a lograr en el proceso educativo dentro de cada año de estudio. leer y escribir para la inteMatemática: desarrollar el pensamiento lógico y crítico para interpretar y solucionar problemas de la vida. constituyendo la guía principal del proceso educativo.
precisan el desempeño esencial que debe demostrar el estudiantado.• • • ¿Qué tiene que saber hacer? ¿Qué debe saber? Destreza Conocimiento ¿Con qué grado de complejidad? Precisiones de profundización precisiones para la enseñanza y el aprendizaje Constituyen orientaciones metodológicas y didácticas para ampliar la información que expresan las destrezas con los conocimientos asociados a éstas. Se estructuran a partir de las preguntas siguientes: • • • ¿QUÉ ACCIÓN o ACCIONES SE EVALÚAN? ¿QUÉ CONOCIMIENTOS SON LOS ESENCIALES EN EL AÑO? Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 ¿QUÉ RESULTADOS CONCRETOS EVIDENCIA EL APRENDIZAJE? Evidencias concretas del aprendizaje al concluir el año de estudio 19 . Indicadores esenciales de evaluación Son evidencias concretas de los resultados del aprendizaje. a la vez. se ofrecen sugerencias para desarrollar diversos métodos y técnicas para conducir su desarrollo dentro del sistema de clases y fuera de él.
Reconocerse como un ciudadano universal con capacidades de comprensión y acción sobre problemas mundiales. Este subsistema educativo ofrece los fundamentos científicos y culturales que permiten al estudiantado interpretar. desde la formación inicial. como seres humanos responsables. producir y resolver problemas de la comunicación. Disfrutar y comprender la lectura. Valorar la identidad cultural nacional. Hacer buen uso del tiempo libre con actividades culturales.social. intercultural y plurinacional. solidarios y proactivos. de convivir y participar activamente en una sociedad diversa. psicológicos y sexuales. Demostrar un pensamiento lógico. • • • • • • 20 . Los jóvenes que concluyen los estudios de la Educación Básica serán ciudadanos y ciudadanas capaces de: • Expresarse libremente como individuos orgullosos de ser ecuatorianas y ecuatorianos. crítico y creativo en el análisis y resolución eficaz de problemas de la realidad cotidiana. la vida natural y social. conscientes de su rol histórico como ciudadanas y ciudadanos ecuatorianos. Valorar y proteger la salud humana en los componentes físicos. con niñas y niños de cinco años de edad hasta completar el décimo año con jóvenes preparados para continuar los estudios de bachillerato y listos para participar en la vida política . artísticas y recreativas que los lleven a relacionarse con los demás y su entorno. deportivas. conocida como prebásica o primero de básica. desde una perspectiva crítica y creativa.4 El perfil de salida de los estudiantes de la Educación Básica Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 La Educación Básica en Ecuador abarca 10 niveles de estudio. los símbolos y valores que caracterizan a la sociedad ecuatoriana.
literarias y lógica . Aplicar las tecnologías de la información y la comunicación en la solución de problemas prácticos. solucionar problemas y producir textos que reflejan la realidad sobre la base de fundamentos científicos y prácticos en las dimensiones lingüísticas.• Valorar. • • • 21 Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 . Interpretar y aplicar a un nivel básico un idioma extranjero en situaciones comunes de comunicación. Demostrar sensibilidad y comprensión acerca de obras artísticas de diferentes estilos y técnicas. potenciando el gusto estético.matemática. además la integración y evolución del mundo natural y social.
el respeto a los símbolos patrios. En una perspectiva integradora. La protección del medioambiente 3. la identidad ecuatoriana. a las ideas de los demás y a las decisiones de la mayoría. estrategias de conservación y protección. abarcan temáticas como: Formación ciudadana y para la democracia El desarrollo de valores humanos universales. la convivencia dentro de una sociedad intercultural y plurinacional. la interrelación del ser humano con la naturaleza.5 Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Los ejes transversales dentro del proceso educativo Los ejes transversales constituyen grandes temáticas que deben ser atendidos en toda la proyección curricular. La educación sexual en la niñez y la adolescencia Estos ejes. entre los ejes transversales de Educación General Básica estarán: 1. la significación de vivir en paz por un proyecto común. con actividades concretas integradas al desarrollo de las destrezas y conocimientos de cada área de estudio. en sentido general. protección del medioambiente Interpretación de los problemas ambientales y sus implicaciones en la supervivencia de las especies. 22 . El correcto desarrollo de la salud y la recreación de los estudiantes 4. La formación ciudadana y para la democracia 2. los deberes y derechos de todo ciudadano.
los impactos psicológicos y sociales.El correcto desarrollo de la salud y la recreación de los estudiantes El desarrollo biológico y psicológico acorde con las edades y el entorno socioecológico. los hábitos alimenticios y de higiene. _________________________________________ La atención a estas temáticas será planificada y ejecutada por las profesoras y los profesores al desarrollar el sistema de clases y las diversas tareas de aprendizaje. con el apoyo de actividades extraescolares de proyección institucional. La educación sexual en la niñez y la adolescencia El conocimiento y respeto de su propio cuerpo. el uso indebido de sustancias tóxicas. el desarrollo y estructuración de la identidad y madurez sexual. el empleo del tiempo libre. la responsabilidad de la paternidad y maternidad. 23 Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 .
ÁREA DE MATEMÁTICA .
escoger la mejor alternativa de compra de un producto. el pensamiento lógico. por con- 27 Área de Matemática . como por ejemplo. La necesidad del conocimiento matemático crece día a día al igual que su aplicación en las más variadas profesiones. El saber Matemática. tanto el aprendizaje como la enseñanza de la Matemática deben estar enfocados en el desarrollo de las destrezas necesarias para que el estudiantado sea capaz de resolver problemas cotidianos. desarrolla destrezas esenciales que se aplican día a día en todos los entornos. entender los gráficos estadísticos e informativos de los periódicos. tales como el razonamiento. Por esta razón. Siendo la educación el motor del desarrollo de un país.La importancia de enseñar y aprender Matemática La sociedad del tercer milenio en la cual vivimos es de cambios acelerados en el campo de la ciencia y la tecnología: los conocimientos. el aprendizaje de la Matemática es uno de los pilares más importantes ya que además de enfocarse en lo cognitivo. además de ser satisfactorio. es extremadamente necesario para poder interactuar con fluidez y eficacia en un mundo “matematizado”. obras de arte. El aprender cabalmente Matemática y el saber transferir estos conocimientos a los diferentes ámbitos de la vida del estudiantado. o decidir sobre las mejores opciones de inversión. la argumentación fundamentada y la resolución de problemas. al igual que interpretar el entorno. La mayoría de las actividades cotidianas requieren de decisiones basadas en esta ciencia. El tener afianzadas las destrezas con criterio de desempeño matemático. los objetos cotidianos. dentro de ésta. entre otras. lo cual les permitirá cumplir sus ambiciones personales y sus objetivos profesionales en la actual sociedad del conocimiento. a la vez que se fortalece el pensamiento lógico y crítico. las herramientas y las maneras de hacer y comunicar la matemática evolucionan constantemente. y más tarde de los profesionales. el pensamiento crítico. además de aportar resultados positivos en el plano personal. facilitan el acceso a una gran variedad de carreras profesionales y diferentes ocupaciones que pueden resultar muy especializadas. genera cambios importantes en la sociedad. Nuestros estudiantes merecen y necesitan la mejor educación posible en Matemática. a través de establecer concatenaciones lógicas de razonamiento.
debe buscar conjeturas. argumentos y justificaciones propios para cada Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 28 . Es por esto que el eje integrador del área de Matemática es “DESARROLLAR EL PENSAMIENTO LÓGICO Y CRÍTICO PARA INTERPRETAR Y RESOLVER PROBLEMAS DE LA VIDA”. es un currículo coherente. Así. bien alineado y concatenado entre año y año. tanto para el que enseña el área como para el que aprende. Existen diversos entornos virtuales de aprendizaje que posibilitan mejorar los procesos de abstracción. todos los estudiantes con diferentes habilidades podrán trabajar con profesores y profesoras calificados en la materia. En estos espacios. sino que requiere que se les provea de las mismas oportunidades y facilidades para aprender conceptos matemáticos significativos y lograr los objetivos propuestos en esta materia. es decir. la evaluación se convierte en una herramienta remedial del proceso educativo. siendo necesario que el par enseñanza y aprendizaje de Matemática represente un desafío tanto para docentes como para estudiantes y que se base en un principio de equidad. sin un análisis que permita generar otros conocimientos. como tal. cada año de la educación general básica debe promover en los estudiantes la habilidad de plantear y resolver problemas con una variedad de estrategias. en lo que debe saber y en lo que debe ser capaz de hacer. estudiantes y docentes trabajen conjuntamente creando los espacios apropiados para la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática. La demostración matemática es la manera “formal” de expresar tipos particulares de razonamiento. es necesario que todas las partes interesadas en la educación como autoridades. metodologías activas y recursos que constituyen la base del enfoque general a trabajar. respondiendo a un proceso coherente y sistemático en el que sus resultados proporcionen una retroalimentación para el docente y para el estudiante. Se recomienda el uso de la tecnología para la enseñanza de Matemática. es decir. Lo importante es evitar que la resolución de problemas se convierta en un simple proceso a seguir. y entre ciclos. ya que resulta una herramienta útil. La evaluación es un elemento clave del proceso de enseñanza-aprendizaje centrado en el estudiante. equidad no significa que todos los estudiantes deben recibir la misma instrucción. demostración. debe ser desarrollado mediante un uso coherente de la capacidad de razonar y pensar analíticamente. enfocado en los principios matemáticos más relevantes. en diversos contextos ya sean reales o hipotéticos. El eje integrador del área se apoya en los siguientes ejes del aprendizaje: razonamiento. transformación y demostración de algunos conceptos matemáticos. Se puede usar uno de estos ejes o la combinación de varios de ellos en la resolución de problemas. conexiones y representación. Recordemos que un factor fundamental en el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática. En este caso. comprender y aprender importantes conceptos matemáticos.siguiente. patrones. El razonamiento matemático es un hábito mental y. regularidades. comunicación. consistente en cada año de básica. padres de familia. A medida que los estudiantes presentan diferentes tipos de argumentos van incrementando su razonamiento.
En consecuencia. Es indispensable que los docentes trabajen conjuntamente. Este proceso debe ser empleado tanto por estudiantes como por docentes. es la capacidad de realizar conjeturas. El eje de comunicación no solo se centra en los estudiantes sino también en los docentes. por lo cual es necesario que exista una estrecha relación y concatenación entre los conocimientos de año a año respetando la secuencia. la construcción de conceptos se consolida a lo largo de los diferentes años de estudio. o comunicación de situaciones e ideas matemáticas. Es esencial que los estudiantes desarrollen la capacidad de argumentar y explicar los procesos utilizados en la resolución de un problema. El seleccionar el método adecuado de demostración de un argumento matemático ayuda a comprender de una mejor forma los hechos matemáticos. teoremas y/o fórmulas. el primero es que el estudiante debe conectar ideas matemáticas. algoritmos y sus aplicaciones. se recomienda crear un espacio permanente de diálogo entre docentes de año a año de básica. comprensión de reglas. así como docentes del mismo año.año de Básica. semiconcreto. un verdadero aprender a aprender. determinen dentro de su planificación los temas y las destrezas a trabajar. Esta conexión o interacción debe analizársela desde los temas matemáticos en contextos que relacionen el área con otras disciplinas. La representación se efectúa a través de la selección. con el propósito de construir un pensamiento lógico-crítico en los estudiantes. organización. teoremas. y dentro de los conocimientos planteados en los bloques curriculares. En consecuencia se han reorganizado los contenidos tomando en cuenta el grado de complejidad en cada año de estudio. y de interpretar fenómenos y situaciones cotidianas. con la finalidad de lograr una sólida base de conocimientos matemáticos que les permitan transpolar situaciones cotidianas a lenguaje matemático y viceversa. Dentro de este ámbito. ya que de esta manera se promoverá un mismo lineamiento que permita al estudiante crecer en su saber hacer matemática. es decir. virtual o de modelos matemáticos. para que los estudiantes apliquen los conocimientos previos en la construcción de nuevos aprendizajes. descubrir y comunicar ideas. En Matemática. de los diferentes años de Básica contiguos. El currículo de Matemática de Educación Básica está enfocado al desarrollo de las destrezas necesarias para la resolución de problemas. La comunicación se debe trabajar en todos los años. aplicar la información. y al mismo tiempo interactuar con flexibilidad y seguridad en un mundo extremadamente competitivo y cambiante. Todo esto genera una comprensión más profunda y duradera. El documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación General Básica plantea tres macrodestrezas: Área de Matemática 29 . entre los propios intereses y experiencias del estudiantado. registro. se requiere que los que imparten Matemática. El docente debe comprobar que sus estudiantes hayan comprendido los conceptos. de demostrar su pensamiento lógico-matemático. mediante el uso de material concreto. Las conexiones deben tomarse desde dos puntos de vista.
sistemas y procesos de medición y la aplicación de técnicas. propiedades o códigos matemáticos en la aplicación de cálculos rutinarios y operaciones simples aunque no elementales. Bloque numérico. potenciando así un desarrollo de la visualización. contribuyendo a un desarrollo del razonamiento lógico y comunicabilidad matemática. Este trabajo con patrones. comprender el significado de las operaciones y cómo se relacionan entre sí. especificar localizaciones. Bloque geométrico. a la deducción de fórmulas y al empleo de teoremas. En este bloque se analizan los números. (C) Conocimiento de procesos: uso combinado de información y de conocimientos interiorizados para comprender. entender y aplicar conceptos básicos de probabilidades. además de desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas. permite fundamentar los conceptos posteriores de funciones. cada año con diferente nivel de complejidad hasta que los estudiantes sean capaces de construir patrones de crecimiento exponencial.• Comprensión de Conceptos: conocimiento de hechos y/o conceptos. (A) • • Cada macrodestreza abarca un conjunto de destrezas con criterio de desempeño agrupadas en bloques curriculares. Posteriormente se trabaja con la identificación de regularidades. Este bloque se inicia en los primeros años de Básica con la reproducción. las formas de representarlos. ecuaciones y sucesiones. el reconocimiento de un mismo patrón bajo diferentes formas y el uso de patrones para predecir valores. apelación memorística pero consiente de elementos. el razonamiento espacial y el modelado geométrico en la resolución de problemas. para posteriormente comprender las unidades. emplear modelos matemáticos y resolver problemas que involucren situaciones reales o hipotéticas. describir relaciones espaciales. desde los primeros años. interpretar. Bloque de medida. leyes. herramientas y fórmulas para determinar medidas y resolver problemas de su entorno. organizar en diferentes diagramas y mostrar los datos pertinentes para responder a las interrogantes planteadas. las relaciones entre los números y los sistemas numéricos. recopilar. En este bloque se busca que los estudiantes sean capaces de formular preguntas que pueden abordarse con datos. construcción de patrones de objetos y figuras. convirtiéndose Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • • • 30 . capacidad y peso desde los primeros años de Básica. descripción. El bloque de medida busca comprender los atributos medibles de los objetos tales como longitud. ( P) Aplicación en la práctica: proceso lógico de reflexión que lleva a la argumentación y demostración de diferentes estrategias de solución. Se analizan las características y propiedades de formas y figuras de dos y tres dimensiones. aplicar transformaciones y utilizar simetrías para analizar situaciones matemáticas. Bloque de estadística y probabilidad. además de calcular con fluidez y hacer estimaciones razonables. El área de Matemática se estructura en cinco bloques curriculares que son: • Bloque de relaciones y funciones. además de desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en datos.
el área de Matemática busca formar ciudadanos que sean capaces de argumentar y explicar los procesos utilizados en la resolución de problemas de los más variados ámbitos y. deberán aprender a ser buenos ciudadanos en este nuevo milenio—. los educandos aprenderán valores muy necesarios para su desempeño en las aulas y. geométricos y de medidas sobre la base de un pensamiento crítico.en una herramienta clave para la mejor comprensión de otras disciplinas y de su vida cotidiana. creativo. Después de los diez años de Educación General Básica. las operaciones aritméticas. argumentar y aplicar la solución de problemas a partir de la sistematización de los campos numéricos. se espera que el estudiantado desarrolle la capacidad de comprender una sociedad en constante cambio. a explicar los procesos utilizados y a justificarlos—. perfil de salida del área Durante los diez años de Educación General Básica. limpieza —los estudiantes deben aprender a mantener sus pertenencias. Aplicar las tecnologías de la información y la comunicación en la solución de problemas matemáticos en relación con la vida cotidiana. como profesionales y ciudadanos. como a sus compañeros. Estos valores son rigurosidad —los estudiantes deben acostumbrarse a aplicar las reglas y teoremas correctamente. más adelante. compañeras y a los espacios físicos—. Finalmente. los modelos algebraicos. y conciencia social –los estudiantes deben entender que son parte de una comunidad y que todo aquello que ellos hagan afectará de alguna manera a los demás miembros de la comunidad. y que puedan usar y aplicar de forma flexible las reglas y modelos matemáticos. recordemos que a través del estudio de la Matemática. con las otras disciplinas científicas y con los bloques específicos del campo matemático. trabajos y espacios físicos limpios— respeto —tanto a los docentes. Teniendo como base el pensamiento lógico y crítico. autoridades. sobre todo. reflexivo y lógico en vínculo con la vida cotidiana. por lo tanto. queremos que los estudiantes sean comunicadores matemáticos. con relación a la vida cotidiana. es decir. Área de Matemática • 31 . con las otras disciplinas científicas y con los bloques específicos del campo matemático. organización —tanto en los lugares de trabajo como en sus procesos deben tener una organización tal que facilite su comprensión en lugar de complicarla–. los educandos poseerán el siguiente perfil de salida en el área de Matemática y que ha sido resumido en los siguientes puntos: • Resolver.
Objetivos educativos del área Los objetivos generales del área de Matemática son: • Demostrar eficacia. respeto y capacidad de transferencia al aplicar el conocimiento científico en la solución y argumentación de problemas por medio del uso flexible de las reglas y modelos matemáticos para comprender los aspectos. perseverancia. capacidades de investigación para desarrollar el gusto por la Matemática y contribuir al desarrollo del entorno social y natural. • • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 32 . para la resolución de problemas de la vida cotidiana. eficiencia. Valorar actitudes de orden. cultural y natural. Crear modelos matemáticos. con el uso de todos los datos disponibles. conceptos y dimensiones matemáticas del mundo social. contextualización.
33 Área de Matemática .
pROYECCIÓN CURRICULAR DE OCTAVO AÑO .
Aplicar conceptos de proporcionalidad a través del cálculo de perímetros. para fomentar y fortalecer la apropiación de los bienes del país. Reconocer las diferentes líneas particulares de un triángulo. Analizar. Operar con números enteros. comprender. mediante representaciones gráficas y la aplicación de sus propiedades en la resolución de problemas. áreas y volúmenes de figuras y de cuerpos (prismas y cilindros) semejantes para resolver problemas.1 • Objetivos educativos Reconocer las variables como elementos necesarios de la Matemática. representar y expresar informaciones nacionales en diversos diagramas mediante el cálculo de frecuencias absolutas y acumuladas. • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • • 36 . mediante la generalización de situaciones para expresar enunciados simples en lenguaje matemático. a través de la aplicación de las reglas y propiedades de las operaciones en el conjunto Z y aplicarlos en la resolución de problemas.
multiplicación y división exacta con números enteros. (C. (C. mediatrices. (A) • Reconocer la congruencia y la semejanza de triángulos en la resolución de problemas. (P. sustracción. P) • Reconocer y agrupar monomios homogéneos. Numérico 3. incentro y circuncentro de un triángulo en gráficos. (C). A) • Aplicar el teorema de Thales en la resolución de figuras geométricas similares. (A) Leer y escribir números enteros. P) • Determinar el baricentro. (C. A) • Resolver las cuatro operaciones de forma independiente con números enteros. Geométrico 37 Área de Matemática . P. (P. A) • • • • • Construir figuras geométricas con el uso de la regla y el compás siguiendo pautas específicas. P) • Resolver operaciones combinadas de adición. (C) • Definir y representar medianas. (C. (P. (C. (C) Simplificar expresiones con números enteros con la aplicación de las operaciones básicas. • Expresar un enunciado simple en lenguaje matemático. P) Ubicar números enteros en la recta numérica. P) • Deducir y aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de prismas y de cilindros. P. A) • Simplificar expresiones de números enteros con la aplicación de las reglas de potenciación y de radicación. (C. alturas y bisectrices de un triángulo en gráficos. (A) • Reconocer pares ordenados con enteros y ubicarlos en el plano cartesiano. (A) Bloques curriculares 1. A) Ordenar y comparar números enteros. ortocentro. (C.2 planificación por bloques curriculares Destrezas con criterios de desempeños • Generar sucesiones con números enteros. Relaciones y funciones 2. (C) • Determinar el factor de escala entre dos triángulos semejantes.
A) • Calcular y contrastar frecuencias absolutas y acumuladas de una serie de datos gráficos.4. A) Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 38 . Estadística y probabilidad • Determinar la escala entre figuras semejantes con la aplicación de Thales. (P. Medida 5. (P.
no empiece por el bloque numérico para luego pasar al bloque de relaciones y funciones. trabaje con los bloques Área de Matemática 39 . se explicará en detalle algunos métodos que se pueden utilizar para iniciar el trabajo en el aula. Recuerde que es necesario tener una base de actividades y conceptos desarrollados de manera concreta antes de pasar a actividades y conceptos abstractos. Más adelante. en la resolución de los problemas propuestos en el aula o en los problemas enviados a casa como tarea. en especial con los enteros negativos. Tome en cuenta que al momento de planificar las unidades didácticas. es decir. televisión. procesos y metodología para operar adecuadamente con los mismos. no es conveniente hacerlo por bloques. Acuérdese que es esencial continuar con una estrecha conexión entre las actividades de clase y los problemas planteados en el aula. y si le queda tiempo al final trabajar en la geometría. formal y crítico. ya que al hacerlo ayudaremos a desarrollar un pensamiento lógico. Apoye su labor docente con el empleo de diversos tipos de materiales. sean textos de consulta. En este año es muy importante que se enfatice en la utilización de reglas para justificar los procesos utilizados. es necesario que el estudiantado utilice reglas. Una buena fluidez en las operaciones básicas ayuda a que se desenvuelvan en el estudio de la Matemática y. en caso de disponer de ellos. lo cual facilita que sus estudiantes afiancen sus conocimientos y entiendan mejor los procesos. Estos números tienen un gran componente abstracto y requieren de parte del estudiantado un entendimiento de reglas. Al contrario.3 precisiones para la enseñanza y el aprendizaje En este año de Educación Básica. con el entorno y los intereses del estudiantado. teoremas y propiedades de los números para argumentar y justificar sus procesos. Esta relación con su vida y con sus intereses los ayudará a visualizar aplicaciones inmediatas de los conceptos estudiados en el aula y conseguirán entender con mayor rapidez los conceptos estudiados. un tema trascendental del área de Matemática es el trabajo con los números enteros. actualmente existe una variedad de programas educativos para computadora que también pueden ser empleados. además. por lo tanto. es posible trabajarlos de forma concreta. a pesar de que los números negativos pueden resultar muy abstractos. videos. en las precisiones por bloque.
con los enteros negativos. así se podrá aplicarlos a los pares ordenados. comprenden todos los enteros. En este nivel se introducen los números enteros y se aprenden las reglas para operar con dichos números. por lo tanto. Una vez que el estudiantado entienda esta relación. Bloque: Relaciones y funciones Para un mejor aprovechamiento de los contenidos de este bloque. Por ejemplo. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Bloque: Numérico La mayor dificultad que el estudiantado enfrentará este año de estudio es con los números enteros y. tanto positivos como negativos y el 0. En el séptimo año de Básica. todos los anteriores se ubican en el primer cuadrante y al utilizar valores negativos tanto para las abscisas como para las ordenadas. la ubicación en el plano cartesiano de pares ordenados con números enteros y más adelante con números reales. al contrario. se sugiere considerar los preconceptos cuando se planifique. en el área de álgebra. ampliando de este modo el sistema de ejes coordenados a todos los cuadrantes. en el aula se ha trabajado con los números naturales (que son los enteros positivos). el estudiantado trabajó en el aula con pares ordenados con números naturales. no presentará mayores dificultades.intercalados. se presentan las recomendaciones metodológicas para trabajar en algunos de los temas relevantes de este año de estudio. será una etapa fundamental en el aprendizaje de funciones y de sus variaciones. entenderlas y aplicarlas correctamente en las más variadas situaciones. por tal motivo es necesario estudiar un nuevo grupo de reglas. ya que con ello se incrementa la posibilidad de que sus estudiantes establezcan conexiones entre los mismos y fluyan cómodamente entre ellos. sobre todo. un par ordenado que se ubique en el segundo cuadrante deberá tener una abscisa negativa y una ordenada positiva. en especial en lo relativo a los números enteros. ampliamos el sistema coordenado a todo el plano. Tenga presente que las reglas y los conceptos que se estudian en el bloque numérico tienen aplicaciones inmediatas en el bloque de relaciones y funciones. sobre todo al momento de trabajar con polinomios. analice con sus estudiantes los signos de las abscisas y de las ordenadas en función del cuadrante en el cual se los quiere ubicar. 40 . específicamente. adicionales a las ya estudiadas en años anteriores. conocidos como el conjunto Z. Hasta este momento. A continuación. es una destreza muy necesaria e importante que se aplicará posteriormente al trabajar en funciones y en las razones trigonométricas. fracciones y decimales todos positivos. Antes de iniciar con la ubicación de pares ordenados con enteros en el sistema de ejes coordenados. por lo cual es imprescindible que estas reglas estén bien comprendidas. se recomienda trabajar previamente en el bloque numérico. Recuerde que los números enteros. decimales y fracciones. Todas las reglas que se aprenden en este año son aplicadas en los años siguientes. Por esta razón. El establecer la relación entre los signos de las coordenadas y el cuadrante en el cual se ubican.
en consecuencia. consta una representación del conjunto de los enteros en la recta numérica. empezar a establecer una relación de orden entre estos dos números negativos. un piso más abajo de la planta baja. Una manera de presentar los números negativos es utilizar cualquiera de los ejemplos anteriores. entonces el número a es inferior al número b o el número b es mayor que el número a. Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo. como recurso de apoyo evaluativo. A partir de estos dos pisos. Una vez que se haya entendido qué representa el piso -1. menor será. es decir. Si este es el caso. se les puede pedir que ubiquen un grupo de números enteros en la recta numérica. entre otros. Área de Matemática Como un ejercicio de evaluación de esta regla. ya que el orden de los números negativos es inverso al de los números positivos. Puede solicitar que señalen o escriban el anterior y el sucesor de un número entero negativo. en medidas de temperatura (a través de la televisión). En este caso.con la introducción de este conjunto. El número cero es mayor que cualquier número negativo. pues -2 < -1. Este ejercicio le permitirá al docente observar el desempeño de cada uno y detectar las dificultades que experimentan en la aplicación de esta regla de ordenamiento de los enteros. Por la interacción con su entorno. entre otras. como por ejemplo. posiblemente ya poseen cierto conocimiento sobre los enteros negativos a través de hechos concretos como. De esta regla se pueden deducir muchas otras que se aplican al conjunto de los enteros y. – 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Es importante que los estudiantes reconozcan el uso de los números enteros negativos en situaciones cotidianas. al conjunto de los racionales y de los números reales. en un ascensor para representar los pisos de los diferentes subsuelos o en tablas de los goles diferencia de los equipos de fútbol. El concepto de orden en los negativos es muchas veces confuso para el estudiantado. el -1 o el -2. se considera el ejemplo del ascensor para preguntar a sus estudiantes qué entienden por el piso -1. mientras más a la izquierda esté un número. preguntar qué representa el piso -2. determinar cuál de los dos números es inferior. Es posible que la mayoría le responda que es el primer subsuelo. 41 . es decir. por ejemplo. Esta regla es la siguiente: Si un número a se encuentra en la recta numérica a la izquierda de otro número b. Una regla muy simple que es importante recalcar es que el orden de los números puede ser establecido por su posición relativa en la recta numérica y funciona tanto para los positivos como para los negativos. se extiende la semirrecta numérica a todos los valores negativos. A continuación. aproveche estas experiencias para introducir el tema directamente conectado con el entorno y con estas vivencias. más adelante. que: • • • El número cero es menor que cualquier número positivo. pero al relacionarlo con los pisos del ascensor es más fácil entenderlo.
se lo irá eliminando hasta llegar a realizar las operaciones solamente de forma simbólica. no puede ser negativo. Al ser el valor absoluto equivalente a una distancia. equivalente a –1. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Bloque: Geométrico Uno de los temas críticos en este bloque es el cálculo de volúmenes de prismas y de cilindros. la suma de (+5) + (–6) = –1. es decir (+2) + (–2) = 0. la operación (+4) – (–3) es equivalente a la operación (+4) + (+3). Una vez que el estudiantado entienda que la suma de un número y su opuesto es igual a cero. ya que si se quiere representar la suma de (+5) + (–6). las fichas verdes representan números positivos y las fichas rojas. que no es más que la distancia de un número al cero. Si los estudiantes tienen dificultad en entender esta regla. en lugar de simplemente dar la fórmula a los estudiantes y esperar que la apliquen correctamente en la resolución de problemas.Una vez que el estudiantado entienda el concepto de números enteros negativos. por ende. Además. Un material concreto muy simple de usar para introducir las operaciones de suma y resta con los números enteros es tener fichas u objetos iguales pero de dos colores diferentes. números negativos. tome en consideración que estas son algunas recomendaciones de trabajo para los números enteros. De nuevo es necesario pasar por el proceso de la determinación de las fórmulas para el cálculo de estos volúmenes. A través de la práctica con material concreto. En este punto es posible trabajar con material concreto. se establecen las reglas para sumar y restar enteros y. es decir. la representación de las sumas con las fichas se simplifica. Más adelante. poco a poco. se lo hará con 5 fichas verdes y 6 rojas. la multiplicación y la división de enteros se pueden enfocar de la misma manera. El siguiente paso en el estudio del conjunto de los números enteros es iniciar con las operaciones de suma y resta. llego al piso 0 o planta baja. se puede empezar a trabajar con el concepto de valor absoluto. nuevamente referirse a los ascensores: un número positivo significa subir esa cantidad de pisos y un número negativo significa bajar ese número de pisos. ya que en este año. lo cual ayuda a que los estudiantes visualicen los procesos y luego puedan generalizar las reglas de las operaciones con enteros. simplemente a partir de la regla: restar un número entero equivale a sumar su opuesto. usted deberá trabajar también con los números racionales. por lo tanto. Cuando los estudiantes comprendan las reglas para cada una de las operaciones básicas. Por ejemplo. trabaje con ellos en la simplificación de expresiones de números enteros con la aplicación de las operaciones básicas. nos queda una ficha roja. Para comenzar con las sumas y las restas es importante que los educandos sepan una regla básica: un número positivo sumado a su opuesto (el mismo número pero de signo contrario) se cancelan. si estoy en el piso 2 y bajo dos pisos. La diferencia entre tener la 42 . Al cancelar las 5 fichas verdes con 5 fichas rojas. con lo cual se convierten las restas de enteros en sumas y se puede operar con las reglas deducidas para la suma. ya que en la medición de distancia la posición relativa entre los límites a medir no modifica el resultado final. Para la resta se puede operar de la misma manera.
por lo tanto. el volumen de un prisma rectangular se obtiene de multiplicar el área de la base por la altura. cuestione a los estudiantes si creen que esta fórmula funciona para un prisma triangular. para este ejercicio es necesario redondearlas al entero inmediato inferior. Una manera de deducir la fórmula del volumen de un prisma es utilizando cajas de mercancías comunes como de pastas de dientes. A partir de esta nueva constatación. pídales que calculen el área de la misma. Al hacerlo. con lo cual la fórmula generalizadora para este cálculo es la siguiente: V = B x h (B = área de la base y h = altura) Pregunte a sus estudiantes si esta generalización funciona para su prisma. cortado en dos por medio de una diagonal. es posible ya generalizar la fórmula de cálculo del volumen de cualquier prisma a la siguiente: V = B x h con B igual al área de la base y h representando la altura del prisma. podemos pasar a la generalización de la fórmula para cualquier prisma rectangular. de cereal o cualquier otro producto de fácil acceso en la zona y que tenga la forma de un prisma rectangular. posiblemente se convendrá en que solo tres medidas son necesarias. Después se hace con prismas cuyas bases sean figuras diferentes a rectángulos. Una vez que tenga la medida del área de la base. el ancho y el largo de la base y la altura de la caja. Con las medidas de la base. 43 Área de Matemática . El siguiente paso es utilizar otra de las caras del prisma como base y repetir el proceso. Una vez que hayan determinado la cantidad de cubos que cubran el primer piso. cuyos volúmenes serán la mitad del volumen del prisma rectangular de origen. Es conveniente pedir que verifiquen que la altura de los nuevos prismas no cambió y que la base fue reducida a su mitad. Luego de realizar algunas mediciones. y si son diferentes mejor. y la altura de la caja establece el número de pisos que entran en la caja. la fórmula anterior también funciona para los prismas triangulares. se solicita a los estudiantes que calculen cuántos cubos de 1 cm3 de volumen entrarían en el primer piso de su caja. ya que con ello lograremos que la generalización provenga de una diversidad de tamaños. Esta tarea no debería presentar ninguna dificultad puesto que este es un concepto tratado en años anteriores. Primero. Si es el caso.fórmula y deducirla está en que en el primer caso realizarán un uso mecánico de la misma. Cada estudiante debe tener una caja. en cm2. por lo tanto. El área de la base determina el número de cubos que caben por piso. se le solicita a cada educando que mida las dimensiones de su caja con el uso de una regla. pero de todas maneras es una buena oportunidad para revisarlo. Verificar si la fórmula deducida anteriormente funciona. preguntar cuántos cubrirían el segundo piso y luego. Una manera de comprobarlo es pedirles que imaginen que la base de su prisma es la mitad de un rectángulo. Recuerden que si las medidas de las cajas no son enteros. aquí hay que proponerles cuáles son las medidas que ellos creen que se necesita obtener. cuántos pisos iguales a los dos anteriores se requieren para completar la caja. Posteriormente. mientras que al deducirla entenderán el proceso que se utiliza para generar estas fórmulas y al aplicarlas sabrán exactamente lo que cada una de las variables de la fórmula representa. obtendremos dos prismas triangulares congruentes.
Para hacerlo. el área de las bases y el volumen del prisma. A continuación. es a través de la medición. y que reflexionen en dónde cometieron el error en la estimación. ya que al realizar mediciones siempre existe un margen de error. solicitarles que calculen el área y que contrasten esta medida con su estimación. Una manera de comprobar que esta fórmula funciona también para cilindros. cada uno rellenará su cilindro hasta el borde con arena y con cuidado. ya que en él calcularemos el volumen que ocupa la arena. Después. al estudiantado que esta fórmula no solo funciona para los prismas sino que es la misma para los cilindros. áreas y volúmenes en figuras semejantes. Pedirles luego que reflexionen un momento sobre estos dos factores: si las dimensiones son el doble. tanto la altura como el diámetro de la base. pasará esta arena a su prisma rectangular. necesitaremos un cilindro y un prisma rectangular un poco mayor al cilindro por cada estudiante. Nuevamente podemos trabajar con los prismas originales de los cuales ya conocemos las dimensiones de los lados. Se pide a cada uno que selle uno de los lados de su cilindro. la diferencia es que la base de un cilindro no es un polígono sino un círculo. en caso de existir una diferencia entre el cálculo y la estimación realizada. Difícilmente en este ejercicio los dos resultados serán exactamente iguales. aplicar estas fórmulas en la resolución de problemas. Como cilindro se puede usar aquel en el cual viene enrollado el papel higiénico y podremos utilizar los prismas usados en la primera parte de este ejercicio. Otro tema importante en este bloque es la aplicación de Thales en el cálculo de longitudes. sugiérales que usando este rectángulo como base. el resultado que cada estudiante debe tener para el área de este nuevo rectángulo será de cuatro veces el área de la base del prisma original. aplicando la fórmula del volumen de prismas. con lo cual se verifica que la fórmula V = B x h también funciona para cilindros. Registraremos esta medida para compararla con el volumen calculado del cilindro. cuya base tenga dimensiones exactamente iguales al doble de las de la base de su prisma. además. Solicite a sus estudiantes que representen de forma gráfica un rectángulo. A continuación.Recuérdeles que la base de un prisma es una de las dos caras iguales y paralelas. Motívelos a que estimen la relación del área de este rectángulo con respecto del área de la base del prisma original. El valor obtenido debe ser muy similar al valor conseguido antes para el volumen de la arena en el prisma. Algunos prismas pueden tener más de una base. El siguiente paso es decirles que midan las dimensiones de su cilindro. Finalmente. calcular el volumen de este nuevo prisma y contrastarlo con su estimación. luego multiplicar este resultado por la altura del cilindro. Con este diámetro calcular el área de la base (B = π · r 2 ó B = π · d 2 /4). mientras que otros solamente tendrán un par de bases. Paso seguido. El resultado será de ocho veces más el volumen original. Si sus cálculos no son erróneos. imaginen un prisma de doble altura con respecto del prisma original y que otra vez estimen el volumen de este nuevo cuerpo en relación con el volumen del prisma original. ¿por qué el área es cuatro veces mayor y por qué el volumen es ocho veces mayor? La explicación es muy Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 44 . Explique. sin regar nada. pero sí deberán obtener una buena aproximación. El prisma rectangular servirá como la medida de referencia.
podemos usar el análisis y resolución de problemas. l es el largo de la base y h es la altura del prisma. de modo que las medidas tanto del área de la base y del volumen serán las siguientes: B = 2a x 2l = 4 a x l y V = 4a x l x 2h = 8 a x l x h. Las dimensiones serán para el área de la base B = a x l y para el volumen V = a x l x h. la relación de áreas será de 12 a 22 (o de 1 a 4) y de volúmenes será de 13 a 23 (o de 1 a 8). Utiliza la fórmula. Entrega resultados correctos para las dimensiones de los cuerpos. Para el nuevo prisma. Si los valores son de áreas. el factor de escala sale directamente de la razón de las medidas. Acuérdese que estas respuestas deben estar fundamentadas. se aplica la relación entre medidas estudiadas en el bloque anterior y estableceremos el factor de escala. Algunos indicadores pueden ser: • • • • • • Reconoce el volumen del cuerpo. Bloque: Medida En este bloque. En medida es importante que los estudiantes puedan establecer el factor de escala entre dos figuras o cuerpos semejantes. los cuales deben abarcar el cálculo y comparación de volúmenes y de áreas laterales de diferentes cuerpos geométricos. Para evaluar los conocimientos adquiridos en este bloque. área de una cara o volumen del sólido) y su correspondiente medida en la otra figura o sólido. una gran parte de lo que se estudia en este año de Básica ya ha sido explicado en el bloque geométrico. Para determinar este factor de escala. Recuerde que si las medidas son longitudes. Esta relación de potenciación se mantiene independientemente del factor de escala usado. la razón será el cuadrado del factor de escala y si son volúmenes. En función de la medida que se tenga. Como conclusión podemos determinar que si el factor de escala entre dos cuerpos es de 1 a 2 en sus dimensiones lineales. Analiza el proceso empleado. Argumenta su resultado de forma razonable. las dimensiones serán 2a x 2l x 2h. 45 Área de Matemática . Busca las distintas posibilidades de valores que pueden tomar la altura y el área de la base. es necesario conocer una de las medidas en una de las figuras o sólidos (longitud de un lado. ya que cada una de las dimensiones fue duplicada. la razón de medidas nos dará el cubo del factor de escala entre los sólidos. Recuerde que estos son solo algunos indicadores de evaluación y deben cambiar de acuerdo con el trabajo en el aula y con los estudiantes.simple: supongamos que las dimensiones del prisma original son a x l x h en donde a es el ancho de la base.
Si este es el caso. que se encuentran en diferentes revistas. deben tener contacto con las nuevas tecnologías. Nuestros estudiantes.Para la evaluación. Use diagramas de barras con las categorías debidamente identificadas y con las frecuencias de cada una muy bien establecidas. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 La evaluación debe consistir en medir si los estudiantes son capaces de leer gráficos de barras. 46 . al igual que en otros bloques podremos trabajar a base de la solución de problemas y su fundamentación. Para la recolección de datos puede ayudarse de datos reales. periódicos o medios de comunicación. además de la respuesta correcta. y calcular probabilidades simples en gráficos con el uso de las fracciones. una forma de reforzar su labor docente es proponerles que el registro y/o análisis de datos se haga en cualquiera de las diversas hojas de cálculo disponibles. los cuales pueden estar listados o representados en forma gráfica. a la vez que se trabaja en un conocimiento de Matemática y se les acerca. Bloque: Estadística y probabilidad El estudio en este año se enfocará en la determinación de frecuencia absoluta y frecuencia acumulada de una serie de datos estadísticos. y las frecuencias acumuladas son la combinación de las frecuencias de las categorías solicitadas conjuntamente. a la realidad nacional. poco a poco. calcular frecuencias absolutas y acumuladas. Las frecuencias absolutas son las frecuencias de cada una de las categorías representadas. el estudiantado debe determinar el factor de escala entre dos figuras semejantes. en la medida de lo posible.
• • • • • 47 Área de Matemática .4 • • • • Indicadores esenciales de evaluación Ubica pares ordenados con enteros en el plano cartesiano. Calcula y contrasta frecuencias absolutas y frecuencias acumuladas de una serie de datos gráficos y numéricos. Aplica las propiedades de congruencia y semejanza de las medianas. Utiliza el teorema de Thales en la resolución de problemas. Opera con las cuatro operaciones básicas en el conjunto de los números enteros. Utiliza variables para expresar enunciados simples en lenguaje matemático. nombra y representa las líneas particulares de un triángulo. Calcula el volumen de prismas y cilindros con varios métodos. mediatrices. Reconoce. y de las reglas de potenciación y radicación. alturas y bisectrices de triángulos en la resolución de problemas. Simplifica expresiones de enteros negativos y números fraccionarios con el uso de las operaciones básicas.
pROYECCIÓN CURRICULAR DE NOVENO AÑO .
de sectores circulares. representar y analizar datos estadísticos en diagramas de tallo y hojas. Recolectar. pirámides y cilindros. Factorizar polinomios y desarrollar productos notables para determinar sus raíces a través de material concreto. racionales e irracionales para desarrollar un pensamiento crítico y lógico. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos para el cálculo de perímetros y áreas. mediana. Resolver problemas de áreas de polígonos regulares e irregulares. áreas laterales y de volúmenes de prismas. las cuatro operaciones básicas y la potenciación para la simplificación de polinomios a través de la resolución de problemas. para calcular la media. la radicación y la potenciación en la resolución de problemas con números enteros.1 • Objetivos educativos Reconocer y aplicar las propiedades conmutativa. Aplicar las operaciones básicas. y analizar sus soluciones para profundizar y relacionar conocimientos matemáticos. procesos algebraicos o gráficos. asociativa y distributiva. Aplicar y demostrar procesos algebraicos por medio de la resolución de ecuaciones de primer grado para desarrollar un razonamiento lógico matemático. moda y rango. • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • • • • 50 .
(P. multiplicación y división exacta con números irracionales. A) • Resolver operaciones combinadas de adición. (P. (P. Numérico 51 Área de Matemática . Relaciones y funciones 2. A) • Graficar patrones de crecimiento lineal a partir de su tabla de valores. (P. A) • Leer y escribir números racionales e irracionales de acuerdo con su definición. (P. A) • Reconocer si dos rectas son paralelas o perpendiculares según sus gráficos. A) Bloques curriculares 1.2 planificación por bloques curriculares Destrezas con criterios de desempeños • Reconocer patrones de crecimiento lineal en tablas de valores y gráficos. A) • Resolver operaciones combinadas de adición. A) • Resolver las cuatro operaciones básicas con números reales. (P. (P. (C. (P. A) • Resolver ecuaciones de primer grado con procesos algebraicos. A) • Simplificar expresiones de números reales con exponentes negativos con la aplicación de las reglas de potenciación y de radicación. P) • Simplificar polinomios con la aplicación de las operaciones y de sus propiedades. (P. A) • Ordenar. (P. sustracción. multiplicación y división exacta con números racionales. A) • Simplificar expresiones de números racionales con la aplicación de las reglas de potenciación y de radicación. A) • Ordenar y comparar números racionales. (P. A) • Factorizar polinomios y desarrollar productos notables. (C) • Simplificar expresiones de números reales con la aplicación de las operaciones básicas. A) • Representar números racionales en notación decimal y fraccionaria. sustracción. (P. (P. (P) • Representar gráficamente números irracionales con el uso del teorema de Pitágoras. (P) • Representar polinomios de hasta segundo grado con material concreto. comparar y ubicar en la recta numérica números irracionales con el uso de la escala adecuada. (P. (C. A) • Resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita con procesos algebraicos.
A) 4. (C. (P. P. A) • Deducir las fórmulas para el cálculo de áreas de polígonos regulares por la descomposición en triángulos. moda y rango de un conjunto de datos estadísticos mediante el uso de los problemas correspondientes. Medida 5. A) • Aplicar las fórmulas de áreas de polígonos regulares en la resolución de problemas. (A) • Reconocer líneas de simetría en figuras geométricas. (C. Estadística y probabilidad Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 52 . Geométrico • Construir pirámides y conos a partir de patrones en dos dimensiones. (C. (A) • Reconocer medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes con el uso de instrumental geométrico. (A) • Calcular áreas laterales de prismas y cilindros en la resolución de problemas. A) • Utilizar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos. (P. P) • Calcular la media. P) • Representar datos estadísticos en diagramas de tallo y hojas.3. A) • Aplicar criterios de proporcionalidad en el cálculo de áreas de sectores circulares. mediana. (C. (P.
En esta resolución de problemas es muy importante que los estudiantes utilicen las reglas. con un poco de compromiso y dedicación de su parte. Si no se incrementa el grado de dificultad de los problemas en forma progresiva. todavía continúa. Mientras mayores conexiones encuentren entre las actividades de la clase y su realidad geográfica. teoremas y propiedades de los números para justificar sus procesos. relativas al proceso de abstracción y generalización. climática. más motivados estarán para aprender ya que verán plasmado su esfuerzo en realizaciones inmediatas en sus vidas y el aprendizaje se verá sólidamente favorecido. pasando por sus operaciones y simplificaciones hasta llegar a sus aplicaciones. incrementar el grado de dificultad hasta el punto donde los problemas se vuelven un desafío para ellos y. los resolverán.3 precisiones para la enseñanza y el aprendizaje La Matemática en este año puede ser aplicada a la resolución de problemas cotidianos y. desde su concepto. social y otras. poco a poco. durante este ciclo. es necesario que estas estén directamente relacionadas con los intereses de sus estudiantes y su entorno. solamente se logrará frustrarlos y perderán el interés por la asignatura. Recuerde que en este año el proceso de construcción y adquisición de habilidades intelectuales. Este nivel completa el estudio del conjunto de los números reales con el manejo de los números racionales como de los irracionales. A través del estudio de los polinomios. Es necesario tomar en cuenta que aún es importante tener una buena base concreta para luego pasar a lo abstracto. • 53 Área de Matemática . por lo que se sugiere lo siguiente: • Al realizar las actividades educativas en el salón de clase. dentro de un mismo tema. Recuerde que es necesario. ir de forma ascendente en cuanto a la dificultad de las tareas asignadas. Es siempre necesario y motivador para los jóvenes empezar por problemas que se pueden resolver y. desarrollar en el estudiantado un pensamiento lógico y ordenado. a partir de ellos. se trabaja la totalidad de los polinomios. los educandos llegarán a desarrollar un pensamiento abstracto. En el bloque de relaciones y funciones.
La repetición en el aprendizaje de las matemáticas es esencial. de modo que todos trabajen de forma cooperativa. y los problemas que demandan esfuerzo de parte de ellos son una buena fuente para lograr desarrollar estas destrezas. y la creatividad de los educadores es fundamental para poder encontrar estas aplicaciones. úselo regularmente con sus alumnas y alumnos. El edu- • • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • • 54 . les permitirá entender diferentes estrategias y. aprender a escuchar. Es mejor corregir en sus estudiantes errores de cálculo que errores de razonamiento. En este nivel. Recuerde que las destrezas que el estudiantado desarrollará a través del trabajo en equipo son: procesar información. por lo tanto. Además. Un método que da buenos resultados es el de verbalizar estos procesos ya que para hacerlo. todos aportan. es considerable pasar a la aplicación de los resultados obtenidos y no al cálculo en sí de los mismos. Si tiene acceso a Internet o a software especializado. los estudiantes deben reflexionar sobre lo que hicieron y esto les ayudará a construir procesos lógicos de razonamiento. cree espacios para que el trabajo en grupos y la resolución de problemas sean en equipo. Las discusiones generadas en estos espacios refuerzan los aprendizajes y ayudan a los estudiantes con dificultades a procesar de mejor manera la información. cada integrante del grupo debe ser capaz de explicar los pasos seguidos para la resolución del problema y la argumentación de este proceso. por lo que es necesario guiarlos para que expliquen de manera suficiente los procesos seguidos.• El entorno de su establecimiento le ofrece un sinnúmero de oportunidades y de materiales para trabajar en la resolución de problemas. En las clases. El resultado es importante. y debatir con argumentos apegados a las reglas y conceptos matemáticos utilizados para la resolución del problema propuesto. de pronto. es decir. a reflexionar sobre los mismos y entender el porqué de estos procesos. tratar de entender diferentes puntos de vista. y a aquellos que son muy apegados a los procesos memorísticos. la resolución de problemas y ejercitación no debe ser solo abstracta. pero el proceso seguido para llegar al mismo y sus justificativos lo son más. opinan y se esfuerzan por entender lo que hicieron. pero lo es más aún el acrecentar en el estudiantado un pensamiento crítico y reflexivo. Muchas de las aplicaciones que se encuentran en este medio sirven como refuerzo de los conceptos estudiados e incentivan la búsqueda de estrategias para su resolución. Es importante también acordarse que los problemas propuestos no deben ser solamente aquellos en los que se aplique una regla de manera mecánica. Hay muchos de los conceptos que pueden ser fácilmente conectados con el entorno e intereses estudiantiles. adoptar aquellas que les resulte más interesantes o lógicas. En este nivel de estudios probablemente el uso de calculadoras sea más frecuente. En la resolución de problemas en equipo.
se sugiere trabajar con los bloques intercalados. las cuales se sugiere sean especializadas y confiables. No se olvide de incluir en los problemas la diversidad étnica. climática. alguno de los contenidos dentro de cualquiera de los cinco bloques puede ser enfocado desde aplicaciones de los otros cuatro. y al pedirles que realicen exposiciones sobre temas muy concretos. de dar explicaciones o de justificar procedimientos. para que el estudiantado vea el progreso de su aprendizaje en la materia y también es necesario relacionarlos con las demás áreas del saber. más podemos aprender ya que el aprendizaje se da al crear relaciones con otros conocimientos. es decir. relacionándolas con conocimientos matemáticos. a los materiales y a las indicaciones impartidas. Al igual que en otros niveles.cando aprende mucho más a través de problemas aplicables a lo que conocen. mayor es la posibilidad de relacionarla con nueva información. es fundamental guiarlos en las fuentes de investigación. no empezar por el bloque numérico para luego pasar al de relaciones y funciones y. no hacerlo por bloques. donde ellos son quienes definen los límites de su indagación. La investigación y la lectura son también muy importantes en la Matemática. el respecto a las personas. Al momento de planificar las unidades. ya que con ello se da la posibilidad a los estudiantes de establecer conexiones entre los mismos y fluir cómodamente entre ellos. la mayoría de las operaciones en el sistema numérico pueden ser enfocadas desde una perspectiva geométrica. si le queda tiempo. además. Además. • • 55 Área de Matemática . cultural. se sugiere que los instrumentos de evaluación de las mismas sean muy claros y conocidos por los estudiantes. mientras más información poseemos. El uso del lenguaje debe ser adecuado y preciso al momento de relatar presentaciones. entre bloques y entre asignaturas potencian las conexiones en el cerebro y permiten al estudiante incrementar su capacidad de aprender. como aplicaciones directas de lo aprendido. es imprescindible relacionar siempre todos los contenidos estudiados en este año con aquellos aprendidos en años anteriores. • A través de las actividades de clase. Por ejemplo. Estas conexiones entre diferentes conocimientos. es decir. que repitiendo de foma mecánica procesos y reglas totalmente desconectados de su mundo. que nuestro país posee. regional y demás. se enfrentan con la materia en un entorno diferente al aula de clase. es necesario reforzar los valores relacionados con el orden. Al contrario. pues mientras más sabemos. la limpieza. Para que las indagaciones y las exposiciones sean eficaces. finalmente trabajar en geometría. la que en muchos casos ayuda a visualizar los procesos y refuerza el aprendizaje.
La resolución de la ecuación significa encontrar el valor numérico de la incógnita que hace que la igualdad propuesta sea verdadera. Por lo tanto. continuaremos con la aplicación de las reglas utilizadas para el cálculo con los números enteros. acostumbrar a los educandos a que traduzcan la ecuación a una situación familiar para ellos y que luego piensen en las acciones que pueden tomar para llegar a su resolución. se propone revisar las destrezas y contenidos esperados para planificar su concatenación en función de ellos y del nivel de los estudiantes. tanto en las ecuaciones como en los polinomios. Por consiguiente. Un número significativo de estudiantes. no se requiere aplicar ningún proceso memorístico para despejar la incógnita. si la ecuación a resolver es x + 8 = 5. Recuerde. la cual es conocida como la incógnita. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 56 . la mayoría de estudiantes despejará la incógnita “cambiando” de lado al 8 por la aplicación de las propiedades para así obtener la expresión numérica de x. Se sugiere trabajar con sus estudiantes en la capacidad de buscar mentalmente el valor que resuelve la ecuación. Los métodos para resolver una ecuación pueden ser muy variados. Bloque: Relaciones y funciones En este bloque. además. es importante explicarles que las ecuaciones pueden ser vistas como una balanza equilibrada por el signo igual. es decir. como se dijo antes. es necesario conectar las ecuaciones con situaciones reales. solamente quiere replicar los procesos que utilizan sus profesores y profesoras en la clase. es importante que tanto las ecuaciones como los polinomios se presenten utilizando material concreto como las fichas algebraicas. realizan procesos erróneos y llegan a resultados equivocados. Las ecuaciones no son más que igualdades matemáticas en las que aparece una variable. se presentan varias recomendaciones metodológicas para trabajar en algunos de los temas relevantes de este año lectivo. sino simplemente emplear las reglas de la suma y de la resta con números enteros revisados en el bloque numérico. sin ningún orden cronológico establecido. Estas recomendaciones están presentadas por bloque.A continuación. ya que ello les ayuda a entender lo que están haciendo y desarrollar su pensamiento lógico. Para estos dos casos anteriores. en la cual cada lado de la ecuación representa lo mismo. caja de polinomios o a través de situaciones que sean familiares para ellos. pero muy pocos pensarán en “¿qué valor de x sumado al 8 me da 5?” Al hacerlo de esta manera. y al confundir las reglas aprendidas de memoria. desde el de prueba y error hasta el de la aplicación de las propiedades de los números para despejar la incógnita. Con el fin de evitar que la resolución de ecuaciones se convierta únicamente en un proceso mecánico de aplicación de reglas. Por ejemplo. los nudos críticos de este año de Educación Básica son la resolución de ecuaciones de primer grado y la simplificación de polinomios. al momento de resolver ecuaciones. que la introducción de variables. Al llegar a la explicación de la resolución de ecuaciones por medio de reglas y propiedades que permiten despejar la incógnita. genera muchas dificultades si trabajamos desde la abstracción e ignoramos la parte concreta provocando en sus estudiantes un bloqueo de sus procesos de razonamiento.
conoce el proceso y evidencia una lógica en él. y así con todos los términos y las operaciones. pero al momento de realizar la operación inversa no la ejecuta de la forma adecuada. qué significa o representa cada elemento. es decir. Es también importante que cada una de las fichas algebraicas se hagan en dos colores diferentes. como en el ejemplo siguiente. las acciones deben ser tomadas por igual a los dos lados. ya que en varias ecuaciones los estudiantes deben simplificar los términos con la variable antes de resolverla. además. en tal caso. antes de usarlo. que tanto la resolución de ecuaciones como la simplificación de polinomios van de la mano. Plantean el problema presentado como una ecuación. No es necesario tener material costoso ni prefabricado. Al momento de evaluar la resolución de una ecuación. detectar el error y dar retroalimentación.y todo aquello que se haga a un lado de la ecuación va a afectar al otro lado. y no los junten como si se trataran de lo mismo. el monomio es de otra naturaleza y solamente podrá simplificarse con otros monomios de la misma potencia. El material concreto. Será más beneficioso si sus estudiantes lo crean pues con ello estarán determinando. por lo tanto. Tome en cuenta que un gran número de estudiantes plantea una ecuación. sino que se hace la operación inversa. debemos considerar si los estudiantes: • • • • Reconocen el término desconocido (la incógnita). Las fichas algebraicas pueden ser fácilmente fabricadas con cartulina. y los valores negativos que son rojos. así se logrará una evaluación para corregir errores y evitar mayores complicaciones a futuro. al “cambiarlo” de lado pasará restando. cartón o cualquier otro material reciclado del que disponga o pueda conseguir con facilidad. fómix (goma eva). reconoce la incógnita. los ayudan a visualizar esta diferencia y a entender que si la potencia de la variable cambia. es esencial asegurarse que sus estudiantes comprenden la diferencia entre un monomio con la variable x y un monomio con la variable x2 . para representar los valores positivos. una estrategia es hacerlo desde la resolución de problemas y. Uno de los errores más comunes al resolver ecuaciones es aquel de cambiar el signo del valor que se cambia de lado. si un término está sumando a la variable. ya que de 57 Área de Matemática . el que no puede ser resuelto si todas las expresiones con la variable no se simplifican primero: 3x – 5 = 2x + 8 Al iniciar con la simplificación de polinomios. madera. ya que funciona con los términos que están sumando y restando pero no con los términos que se multiplican o dividen. los cuales son verdes. Resuelven correctamente la ecuación. Las medidas de las fichas pueden variar. específicamente las fichas algebraicas. por esto debe tener cuidado al momento de evaluar. sin alterar su igualdad. Recuerde. pero es mejor que todos en el aula utilicen las mismas medidas. La regla general no es que se cambia de signo. Este ejercicio los ayudará a entender el proceso de resolución de ecuaciones y no solo a poder aplicarlo. Explican el procedimiento seleccionado. Este es el principio por el cual podemos “mover” términos de un lado al otro de la ecuación.
A continuación. es decir. le presentamos una muestra de este material. Este polinomio puede representarse de esta manera: V V V R V V R R V V V R V V R V V V R R R R R R R V V V V V V V V= Verde R= Rojo 58 . lo cual resulta más complicado y además no muy necesario. + x2 – x2 +x –x +1 V –1 R V R V R V= Verde R= Rojo Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Como se observa en las figuras. pero se requiere fabricar cubos. le presentamos un ejemplo de simplificación de un polinomio. hasta cuadrados. Fíjese también que las fichas verdes son positivas y las rojas son negativas y existe una total analogía con las fichas utilizadas en el bloque numérico para introducir las operaciones con los números enteros. con el uso de las fichas algebraicas se representan solo monomios hasta la segunda potencia. como se comentó anteriormente.esta manera podrán intercambiar y compartir el material en caso de necesidad. puede ser sencillo crearlo por el estudiantado con material reciclado y a bajo costo. estas se pueden transferir muy fácilmente a otras potencias. no podremos sumar entre sí fichas cuadradas (x2) con fichas rectangulares (x). Simplificar el polinomio 3x2 + 6x – 2x2 + 4x – 8 + 7 . ya que una vez que visualizan la diferencia entre x2 y x. es decir. Las reglas para simplificar polinomios son las mismas que para simplificar expresiones de números enteros: una ficha positiva con una ficha negativa se cancelan y solamente es posible operar con fichas de la misma naturaleza. Se pueden representar monomios cúbicos. A continuación. con el uso de las fichas algebraicas. y crear un inventario de material uniforme para tenerlo en el aula y usarlo cuando sea requerido.2x. paso a paso.
Al trabajar con los números racionales e irracionales. con la expresión a la izquierda del signo igual para obtener la expresión a la derecha y expresaremos entre paréntesis la propiedad que nos permite realizar la operación utilizada: 3x2 + 6x – 2x2 + 4x – 8 + 7 – 2x = x2 + 8x – 1 3x2 – 2x2 + 6x + 4x – 8 + 7 – 2x = x2 + 8x – 1 (conmutativa) 2 2 x + 10x – 1 – 2x = x + 8x – 1 (suma y resta de enteros) 2 2 x + 10x – 2x – 1 = x + 8x – 1 (conmutativa) x2 + 8x – 1 = x2 + 8x – 1 Queda demostrada la simplificación anterior. es la representación gráfica de los polinomios para finalmente pasar a la resolución netamente algebraica. después de las fichas algebraicas. Trabajaremos. al hacerlo. exclusivamente. pero de color diferente. ya que todos los monomios son distintos entre sí y el resultado es finalmente: x2 + 8x – 1. El segundo paso. dos fichas cuadradas grandes verdes se eliminarán con dos fichas cuadradas grandes rojas. se completa el trabajo en los números reales. diferencien los monomios homogéneos. los estudiantes podrán seguir los procesos de simplificación. Bloque: Numérico Es importante revisar los conocimientos previos de sus estudiantes acerca de las propiedades de los números enteros y sus operaciones. Se aconseja trabajar con las fichas algebraicas hasta que el estudiantado pueda transferir los conocimientos de las operaciones con los números enteros a los polinomios y. y utilizar las propiedades y las operaciones de manera flexible. tendremos que: 3x2 + 6x . y siete cuadrados verdes pequeños se irán con siete cuadrados pequeños rojos. por lo tanto. al igual que las operaciones con los mismos.2x2 + 4x – 8 + 7 – 2x = x2 + 8x – 1 Verifiquemos este resultado de forma algebraica y.El siguiente paso es juntar las fichas iguales. y al concatenar este contenido con el correspondiente al noveno año de Educación Básica. quedando lo siguiente: R V V V V V V V V V V= Verde R= Rojo Al llegar a esta expresión podemos ver que no es posible simplificarla más. para cancelarlas entre sí. por lo tanto. dos rectángulos verdes se irán con dos rectángulos rojos. en especial de los decimales repetitivos e infinitos. Las dificultades que con frecuencia se encuentran los estudiantes con los números racionales es la expresión de estos en notación fraccionaria. revisamos los números racionales e irracionales. El proceso de conversión de racionales repetitivos e infinitos de notación decimal a notación fraccionaria requiere del uso de va- 59 Área de Matemática . veremos que el proceso es exacto al mismo que utilizamos con las fichas. además. Una vez que se llegue a esta tercera etapa.
usando ahora el mismo polígono regular pero de diferentes medidas. Una vez que la fórmula haya sido deducida. Asegúrese que los estudiantes puedan determinar la longitud de cada lado de cada polígono. cuyos vértices coincidan con las intersecciones de la cuadrícula. solamente la aplicarán de un modo memorístico y no entenderán la razón por la cual la fórmula funciona para una figura y es diferente al cambiar de figura. Establecer que cada cuadrado de la cuadrícula mide una unidad cuadrada. Luego. en los cuales podrán determinar las medidas de la base y de la altura. Es muy importante que sus estudiantes entiendan el origen de la fórmula ya que si no lo hacen. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 60 . sobre todo de los irracionales con radicales como la raíz cuadrada de dos. no será posible hacerlo antes de que el estudiantado maneje la resolución de ecuaciones y el trabajo con polinomios. Como una extensión a este aprendizaje. Solicíteles que estimen las áreas de los polígonos utilizando la cuadrícula como referencia y descomponiendo los polígonos en triángulos. al igual que las alturas de los triángulos en los cuales descompusieron los polígonos. Una extensión a esta actividad es la de ubicar ahora los polígonos en un plano cartesiano y que los vértices coincidan con intersecciones enteras de abscisas y ordenadas. para hacerlo. Bloque: Geométrico Para el cálculo de áreas de polígonos regulares se sugiere. Otro tema relevante en el bloque numérico de este año de Educación Básica es la graficación de números irracionales. por esta razón. Una actividad de inicio puede ser la siguiente: representar en una cuadrícula varios polígonos regulares similares. Se sugiere que la evaluación sea constante y permita identificar cuáles son las dificultades de estimación y cálculo de áreas de polígonos regulares antes de iniciar con el proceso de enseñanza . pero de tamaño diferente.aprendizaje de los polígonos irregulares. es necesario aplicarla en varios ejercicios en los cuales el área de los polígonos sea un paso intermedio para resolver los problemas. De nuevo pídales que descompongan estos polígonos en triángulos y que determinen sus bases y sus alturas. con el objetivo de establecer la fórmula que nos generalizará este trabajo. antes de darles la fórmula y pedirles que reemplacen los valores correspondientes en la misma. que descompongan los polígonos regulares en triángulos cuyas áreas puedan calcular. el estudiante requiere haber aprendido el teorema de Pitágoras que está detallado en el bloque de geometría. decirles que calculen sus áreas y busquen una generalización de la forma de calcularlas. repetir los procesos anteriores. de tres o de cinco. se puede incluir un polígono irregular posible de descomponer fácilmente en triángulos y solicitarles que calculen su área. Sin embargo. proponer situaciones donde los estudiantes necesiten transferir este conocimiento y aplicarlo.riables. el estudiantado podrá constatar que en este caso no se puede deducir una fórmula general sino que hay que calcular para cada caso. Al repetir este proceso con otro polígono irregular de igual forma que el anterior. y a su vez calculen el área del cada polígono. Es decir.
utilizarla para el cálculo de la longitud de la hipotenusa conociendo la longitud de los catetos. de obtener la raíz cuadrada de un número y determinar el área de un cuadrado en una cuadrícula. usando la cuadrícula. catetos. los que serán usados con frecuencia en esta unidad: triángulo rectángulo. tales como rectángulos. deberán entender y manejar las operaciones de elevar un número al cuadrado. La relación será el enunciado del teorema de Pitágoras. Una vez que se ha demostrado y deducido esta relación. sabiendo las longitudes del otro cateto y de la hipotenusa. o de la longitud de uno de los catetos. Es decir. el área de cada cuadrado y buscar una relación entre estas medidas. cuadrados y triángulos. los estudiantes pueden determinar. cada educando dibujará los cuadrados procedentes de los lados de su triángulo (ver diagrama). es decir. siempre que sea posible. Motívelos para que verifiquen y comparen entre sí que la relación se cumple para todos los triángulos rectángulos. usando las líneas de la cuadrícula para representar los catetos. no es necesario que la descomposición deba ser hecha en triángulos exclusivamente. Además. Una vez que el triángulo rectángulo esté representado. y no aprendido de memoria sin entender lo que significa. Una manera de constatar el teorema de Pitágoras. Los prerrequisitos para que los educandos no tengan dificultades en este contenido son los siguientes conceptos. hipotenusa y su representación gráfica. c2 = a2 + b2. sino que se pueden descomponer los polígonos en figuras familiares y simples. el área del cuadrado relacionado a la hipotenusa debe ser exactamente igual a la suma del área de los cuadrados vinculados a los dos catetos. La medida de cada cateto la definirá cada estudiante. c2 a2 b2 A continuación. 61 Área de Matemática . de este modo se obtendrá una variedad de triángulos rectángulos. tanto regulares como irregulares.Es pertinente recordar a los jóvenes que para el cálculo de áreas de polígonos. Recuerde que el enunciado del teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos” debe ser entendido y deducido por sus estudiantes. Otro de los temas sobresalientes de este año es el estudio del teorema de Pitágoras. un cateto será horizontal y el otro vertical. es pedir a cada estudiante que dibuje en el centro de una hoja cuadriculada un triángulo rectángulo. o de forma matemática expresado.
a partir de un círculo de cualquier radio. Se comienza el trabajo con el ángulo de 90° y con sus múltiplos. el cual será usado como la referencia para la medida de los ángulos. se obtiene una representación gráfica de un número irracional. 43. a pesar de estar representados con sectores circulares de diferentes radios.En este año. 29. cada uno con un ángulo de 45° y al segundo se lo recortará en sectores circulares de 30° cada uno. si se quiere representar la raíz cuadrada de cinco por medio de un segmento. 15 62 . 12. se lo extrapola a los demás cuadrantes. 8. trace un círculo en el pizarrón y divídalo en cuatro sectores circulares iguales por medio de dos rectas perpendiculares que se intersectan en el centro del círculo. 12. de esta manera. por lo que al sumarlos obtendremos los 360° de una rotación completa. escribir en la pizarra una serie de datos o valores que se encuentren en la primera centena y pedir a los estudiantes que los ordenen en forma ascendente. 36. 9. Los estudiantes de noveno año de Básica deben reconocer que una rotación completa equivale a un ángulo de 360°. Este es un diagrama que tiene la ventaja de permitir una visualización rápida de las diferentes categorías de una serie de datos numéricos. Bloque: Medida En este año se inicia con la medida de ángulos notables en los cuatro cuadrantes y se introduce a través de la proporcionalidad en el primer cuadrante. recortados en cartulina. Para iniciar con la explicación de este diagrama. La hipotenusa de este triángulo medirá 22 + 13 = 5 y. 43. 57. al ángulo de 30° y sus múltiplos. respectivamente. 8. por ejemplo. después se pasa al ángulo de 45° y sus múltiplos y. finalmente. 42. 62. Estas forman cuatro ángulos rectos entre sí. Al primer círculo se lo recortará en ocho sectores circulares congruentes. que es conocido como el “Diagrama de tallo y hojas”. 35. Este contenido se presta mucho al trabajo con material concreto. y si algunos de sus estudiantes no están seguros de esta medida. La forma más fácil de introducir estas medidas es por medio de una circunferencia con centro en el origen. 6. los estudiantes podrán combinarlos y formar los ángulos notables en los cuatro cuadrantes. se puede hacer en una cuadrícula. utilizando un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 y 2 unidades. las aplicaciones de este teorema serán únicamente en el cálculo de longitudes de lados de triángulos rectángulos y en la representación gráfica de números irracionales. 36. luego. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Bloque: Estadística y probabilidad En este año se introducirá un nuevo diagrama para representar datos estadísticos. Se puede pedir al estudiantado que cada uno elabore dos círculos del mismo radio. Es importante pedirles que comparen si todos los ángulos de 60° son congruentes. 65. Con estos dos tipos de sectores circulares. Se puede repetir este proceso para otros números irracionales. 4. con su centro claramente marcado y con un diámetro representado. 89. como por ejemplo los siguientes: 25.
Estos valores ordenados quedarían de de esta manera: 4, 6, 8, 8, 9, 12, 12, 15, 25, 29, 35, 36, 36, 42, 43, 43, 57, 62, 65, 89 A continuación, explicar a los estudiantes que se va a trabajar en un nuevo método de representar datos estadísticos conocido como “Diagrama de tallo y hojas”, para lo cual haremos una analogía con el sistema numérico y el valor posicional, es decir, vamos a representar cada uno de los datos numéricos anteriores dentro de la categoría correspondiente a su decena. La tarea de los estudiantes es la de organizar los valores ordenados anteriormente por decenas y que representen cada decena en una fila; así tendremos en la primera fila los valores del 0 al 9; en la segunda fila, los valores del 10 al 19 y así, sucesivamente, como se detalla a continuación: 4, 6, 8, 8, 9 12, 12, 15, 25, 29, 35, 36, 36, 42, 43, 43 57 62, 65 89 A partir de este ordenamiento, se puede explicar que en este diagrama a cada decena se le considera el “tallo” y a cada unidad, dentro de cada decena, se le llama la “hoja” con lo cual la representación sería la siguiente:
Decena 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Unidad 4, 6, 3, 3, 9 2, 2, 5 5, 9 5, 6, 5 2, 3, 3 7 2, 6
Es importante aclararles que este diagrama es una manera de simplificar la escritura de los datos, ya que en este caso podemos usar solamente las “hojas” para determinar las medidas de tendencia central y, al hacerlo, relacionarlas con el “tallo” al que corresponden. En este ejemplo, en particular, la media está entre el 9 de la segunda decena y el 5 de la tercera decena, es decir, la media está entre 29 y 35; por lo tanto, es igual a 32. Practicar esta representación de datos con otros valores, los cuales pueden ser generados por una encuesta verdadera o a partir de valores solicitados a los estudiantes, con las debidas restricciones, como por ejemplo: valores entre 50 y 200, o la talla del calzado de ellos y de sus familiares directos
o datos obtenidos de las edades de cuatro personas que conformen sus familias, etc.. Al finalizar este año, los educandos deben ser capaces de representar cualquier grupo de datos estadísticos en este tipo de diagrama y deben tener muy claro cómo establecer los tallos y las hojas. Pero, sobre todo, los estudiantes deben tener muy en cuenta que al trabajar con las hojas, para determinar diferentes valores solicitados como media, mediana o rangos, siempre es necesario considerar el tallo al cual estas hojas están relacionadas; de lo contrario, los valores obtenidos estarán totalmente desconectados de los valores con los cuales están trabajando. Se recomienda que la evaluación del aprendizaje sea un proceso continuo y variado en su forma. Es imprescindible que las evaluaciones se presenten en diferentes formatos, no solo en cuestionarios de selección múltiple o la resolución de problemas, ya que al variar estos métodos ayudaremos a los estudiantes a familiarizarse con distintas formas de evaluación. La observación es una gran herramienta de evaluación, pues logra corregir errores en el proceso y permite evaluar aspectos diversos a los netamente cognitivos como son las actitudes, el orden y la rigurosidad en los justificativos, entre otros.
Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 64
Simplifica polinomios con la aplicación de las operaciones básicas y de las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Factoriza polinomios y desarrolla productos notables. Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Aplica las operaciones con números reales en la resolución de problemas. Aplica las reglas de potenciación y radicación en la simplificación de expresiones numéricas y de polinomios con exponentes negativos. Aplica el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos. Deduce las fórmulas del área de polígonos regulares y las aplica en la resolución de problemas. Calcula áreas laterales de prismas, cilindros y sectores circulares. Reconoce medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes. Representa un conjunto de datos estadísticos en un diagrama de tallo y hojas; además calcula la media, la mediana, la moda y el rango.
pROYECCIÓN CURRICULAR DE DÉCIMO AÑO .
determinar los otros dos para comprender y predecir variaciones constantes. Realizar conversiones con unidades de medida del SI y con otros sistemas a través de la comparación y del cálculo. Contrastar la función lineal con la función exponencial para comprender las diferencias entre variaciones constantes y variables. Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a través de gráficos y algebraicamente para aplicarlos en la solución de situaciones concretas.1 • Objetivos educativos Reconocer una función lineal por medio del análisis de su tabla de valores. • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • • • • 68 . áreas. Aplicar el teorema de Pitágoras para deducir y entender las funciones trigonométricas y las fórmulas usadas en el cálculo de perímetros. para comprender las equivalencias con unidades usadas comúnmente en nuestro medio. volúmenes. gráfico o ecuación y conociendo uno de los tres modelos anteriores. para fomentar y fortalecer la apropiación y cuidado de los bienes culturales y patrimoniales del Ecuador. Recolectar. ángulos de cuerpos y figuras geométricas con el propósito de alcanzar un mejor entendimiento de su entorno. representar y analizar datos estadísticos y situaciones probabilísticas relacionadas con lugares históricos. Aplicar el patrón de la función lineal y sus valores relevantes en la resolución de problemas de la vida cotidiana. turísticos y bienes naturales.
(C. A) • Transformar cantidades expresadas en notación decimal a notación científica con exponentes positivos y negativos. (P. su gráfico o dos puntos de esta función son conocidos. (P) • Evaluar y simplificar potencias de números enteros con exponentes fraccionarios. multiplicación. (C. (P. A) • Reconocer ángulos complementarios. (C. gráfico o ecuación. (P. P) • Reconocer una función exponencial con la base en su tabla de valores. Geométrico 69 . P) • Evaluar si una función exponencial es creciente o decreciente. P) • Simplificar expresiones de números reales con exponentes fraccionarios con la aplicación de las reglas de potenciación y radicación. Numérico Área de Matemática 3. A) • Calcular volúmenes de pirámides y conos con la aplicación del teorema de Pitágoras. P) • Operar con números reales aplicados a polinomios. (P. (C) • Determinar la ecuación de una función lineal si su tabla de valores. A) • Calcular medidas de ángulos internos en polígonos regulares de hasta seis lados para establecer patrones. (P. Relaciones y funciones 2. división. coterminales y de referencia en la resolución de problemas. potenciación y radicación con números reales. (P. suplementarios.2 planificación por bloques curriculares Destrezas con criterios de desempeños • Construir patrones de crecimiento lineal con su ecuación generadora. sustracción. A) • Calcular áreas laterales de conos y pirámides en la resolución de problemas. con gráficos y algebraicamente. A) • Racionalizar expresiones algebraicas y numéricas. (P. (A) Bloques curriculares 1. A) • Resolver operaciones combinadas de adición. A) • Representar y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. (P. A) • Aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de áreas y volúmenes. (P. (C. A) • Evaluar si una función lineal es creciente o decreciente en la base de su tabla de valores. (C.
(C. A) • Realizar reducciones y conversiones de unidades del SI y de otros sistemas en la resolución de problemas. Medida 5. (P. (A) 4. (C. A) • Reconocer medidas en radianes de ángulos notables en los cuatro cuadrantes. P) • Realizar conversiones de ángulos entre radianes y grados. (C. Estadística y probabilidad Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 70 . P) • Calcular probabilidades simples con el uso de fracciones.• Definir las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. P) • Calcular media aritmética de una serie de datos reales. (C. (C) • Aplicar las razones trigonométricas en el cálculo de longitudes de lados de triángulos rectángulos.
Es por esto que le sugerimos que: • Al realizar las actividades educativas en el salón de clase. 71 Área de Matemática . reflexivas y de análisis. todavía continúa. y se recomienda el uso de situaciones que son familiares al estudiantado pues esto les brinda la oportunidad de demostrar sus talentos matemáticos. el profesorado debe buscar la motivación de los estudiantes. Es necesario recordar que los problemas iniciales no deben ser muy complicados. es por esta razón que el programa de décimo año de Educación Básica en el área de Matemática busca desarrollar la capacidad de pensar matemáticamente y de interpretar fenómenos y situaciones cotidianas. es una disciplina cuyo desarrollo responde a la necesidad y deseo de resolver situaciones provenientes de los más variados ámbitos. Pida a sus estudiantes que verbalicen estos procesos y promueva discusiones acerca de las diferentes estrategias utilizadas para que constaten que existen diferentes formas de hacer y de resolver problemas.3 precisiones para la enseñanza y el aprendizaje La Matemática forma parte esencial de nuestra sociedad. facilitando la comprensión de una sociedad y de una naturaleza en constante cambio. pero todas igualmente válidas. incluyendo sus intereses y las relaciones con las otras áreas del saber. es el razonamiento y las estrategias que utilizan para su resolución. algunas más efectivas que otras. Es imprescindible enfatizar que los problemas propuestos deben desarrollar actitudes críticas. relativas al proceso de abstracción y generalización. Más importante que el resultado mismo del problema. el estudiantado pierde interés y puede causar reacciones negativas hacia la materia. Recuerde que en este año el proceso de construcción y adquisición de habilidades intelectuales. ya que si les resulta imposible resolverlos. La creatividad es importante a la hora de presentar un problema. de manera que despierten la curiosidad y que representen un desafío para ellos.
tanto interactivas como de videos o de hojas de trabajo impresas. y deben ser capaces de defender sus procedimientos y estrategias de resolución. ya que el debatir permite lograr una mayor comprensión y sistematización de los temas estudiados. como la calculadora (básica o científica) o un software de cálculo. formaremos estudiantes que sean comunicadores matemáticos. además de una flexibilidad de pensamiento. a clasificar y organizar la información buscada. de • • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • 72 . argumentar y demostrar procesos lógicos de razonamiento en cualquier área del conocimiento. la justificación y utilidad del lenguaje numérico y algebraico en la resolución de problemas o situaciones cotidianas. recuerde que la lectura. Para trabajar con la proposición de encadenamientos argumentativos. y utilicen y analicen modelos que permitan describir y predecir el comportamiento de algunos fenómenos en diversos contextos. divididas por niveles de educación. y a redactar en forma original la presentación en función de la audiencia escogida. su aplicación. la precisión. propongan encadenamientos argumentativos. muy usada en las áreas de Lengua y Estudios Sociales. en donde encontrará varias páginas especializadas en el área de la Matemática. con diversas opciones. tales como la utilidad de dicho conocimiento. Al momento de proponer un problema matemático. capaces de resolver. cree espacios para que los estudiantes formulen conjeturas. indagación específica y exposición sobre temas relacionados con la Matemática son otro tipo de actividades que también apoyan el aprendizaje y la aplicación de los conocimientos. Como resultado. Todas sus respuestas deben ser argumentadas mediante la descripción o la explicación. Esta práctica. se recomienda que motive a sus educandos a formular y a responder preguntas que nazcan del trabajo en grupo o que sean planteadas por el docente. trate de escoger aquellos que estén relacionados con temas sensibles y/o críticos de la actualidad nacional o en contexto con el medio en el que los alumnos y alumnas se desenvuelven. Muchas de estas páginas de Internet incluyen también estrategias y metodologías para abordar ciertos temas. Es esencial que utilice varios recursos para el trabajo con sus educandos. Es importante también que aprendan a escuchar argumentos contrarios a los suyos y que desarrollen la capacidad de contraargumentar. la organización. es decir. La resolución de problemas y ejercitación no son las únicas actividades que se solicita realizar a los estudiantes. Guíe y asesore en las indagaciones y las exposiciones para que sean eficaces. promueva algunas actitudes relacionadas directamente con el área de Matemática. Es conveniente que en su trabajo diario con los estudiantes. y se recomienda que usted oriente al estudiantado a buscar en fuentes especializadas y confiables.• En las clases. ayuda ampliamente en el área de Matemática. geometría o estadística. puede usar algunos programas de acceso libre en Internet. Si el centro educativo no dispone de estos recursos.
le sugerimos ciertas estrategias metodológicas para el trabajo de algunos contenidos clave en este año de Básica. que a la vez nos servirá para el trabajo con funciones cuadráticas o para la resolución de ecuaciones de segundo grado. y no solamente del área de Matemática sino de todas las otras áreas. en conversiones. Es muy importante hacer hincapié en esas relaciones. Además. los estudiantes encuentran aplicaciones inmediatas del conocimiento y su utilidad. como son el sistema de funciones y relaciones. efectivamente. todo lo aprendido acerca del sistema numérico y sus operaciones. tanto del año en curso como de los años anteriores. Se aconseja que para empezar con las funciones lineales. Bloque: Relaciones y funciones En este año y en este bloque. La función lineal es la más simple de las funciones y a través de su estudio se desarrollan destrezas que serán después aplicadas al estudio de funciones más complejas. se ve manifestado en la aplicación del teorema de Pitágoras. Al igual que en otros niveles. es fundamental fomentar la confianza del estudiantado en sus propias capacidades para afrontar problemas en cálculos y estimaciones. y tienen dificultad en transferir y aplicar los conocimientos de forma integrada. así como el respeto a puntos de vista o procedimientos de otros estudiantes.este modo no solo se analizará la parte matemática en forma crítica sino que. el numérico. Al igual que en los años anteriores. la prevención de catástrofes naturales y cómo estos se relacionan con los conocimientos matemáticos esperados. se abre la posibilidad de entablar debates sobre temas tales como la protección del ambiente. De la misma forma. y el estadístico y probabilidad. De igual manera. A continuación. es necesario que los educandos relacionen las representaciones concretas o gráficas que están desarrollando con tablas de valores. todo lo que se ve en el sistema de funciones como el simplificar. el nudo crítico más importante es el estudio de la función lineal y su comparación con lo que más adelante aprenderán como la función exponencial. Por ejemplo. en el cálculo de medias aritméticas o geométricas. se recomienda trabajar siempre relacionando todos los contenidos estudiados. ordenar y combinar polinomios y productos notables por el uso de las operaciones básicas. se ve reflejado al momento de trabajar en otros contenidos como la factorización. de medida. en las cuales sus 73 Área de Matemática . además de realizar conexiones entre las diferentes asignaturas y comprender que todas ellas están relacionadas entre sí. con el uso de material concreto o con representaciones gráficas. o en el cálculo de probabilidades. en el cálculo de perímetros y áreas. ya que a menudo el estudiantado ve a cada uno de los bloques del currículo como secciones aisladas entre sí. La perseverancia y flexibilidad son otros de muchos ejes transversales a desarrollar en Matemática. se permita a los estudiantes deducir el patrón generador de las mismas a partir de varios ejemplos. el geométrico. Al establecer estas relaciones. se sugiere trabajar en cada una de las unidades usando todos los bloques del currículo.
cómo pasamos de una figura a la siguiente. La razón de hacerlo así es para que los estudiantes utilicen las cinco primeras figuras para entender el patrón generador y luego. La fórmula que determinen debe funcionar para todas y cada una de las “eles” y es la base de la ecuación de la función. No. cuadrados 1 3 2 5 3 7 4 5 10 25 X Como se ve. con lo cual se relacionará a la variable x (número de la figura) con la variable y (cantidad de cuadrados de la figura correspondiente). o sea que asocien el número de orden de cada figura con el número de cubos que la componen. en este caso. Si se analiza la relación anterior. El siguiente ejemplo permite desarrollar una función lineal a partir de construcciones con cubos o de representaciones gráficas en las cuadrículas de sus cuadernos. y para empezar a crear la función y relacionar dos variables. lo que significa ir aumentando dos cuadrados. Al mismo tiempo. El objetivo es que los educandos unan estas variables por medio de una fórmula. las dos siguientes. sucesivamente.datos se verán más organizados. se puede determinar que la fórmula es la siguiente: Número de cuadrados = 2 (número de figura) + 1 74 . 2 Fig. decirles que representen la figura que sigue y. luego. aumentando un cuadrado a cada extremo. 1 Fig. a partir de este patrón. a las cuales llamaremos las “eles” crecientes: Fig. En la última columna se espera que lleguen a la fórmula generadora de estas “eles”. es decir. Pídales que construyan con cuadrados y que representen en sus cuadernos las siguientes figuras. la 2 con 5 cuadrados y así. deducir los valores que completan la tabla. en el cuadro anterior existe una secuencia en las abscisas hasta la quinta figura. 3 Una vez que hayan construido y representado las tres eles anteriores. se espera que el estudiantado comprenda el patrón que genera las figuras. solicitarles que completen la tabla dada a continuación. mientras que otros necesitarán tener más bases concretas. Muchos estudiantes podrán hacerlo directamente de forma abstracta. En este caso deberán relacionar la figura 1 con 3 cuadrados. pídales que relacionen los valores en forma vertical. Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Fig. en la cual la variable independiente (x) es el número de figura y la variable dependiente (y) es la cantidad de cuadrados necesarios para construir cada una. después nos saltamos a la décima figura y nuevamente saltamos a la figura 25. Después de llenar los tres primeros cuadros. A continuación.
representada en la fórmula por la variable b. se puede pasar a analizar la posición y la tendencia de la recta en función del signo y del valor tanto de la pendiente como de la intersección con el eje y. se determinó la ecuación. con diferentes pendientes y con distintas intersecciones con el eje y. Al final de este año escolar se espera que los escolares manejen con fluidez las funciones lineales y tengan la capacidad de generar la tabla de valores. igual que para la pendiente. la ecuación o el gráfico a partir de cualquiera de ellas. Uno de ellos es darles una serie de rectas en un sistema coordenado de ejes. En la tabla. la fórmula. Es importante también graficar esta relación en un plano cartesiano y constatar que el gráfico que se obtiene es una recta. en la tabla de valores y en la ecuación.En la condición anterior. la cual se evidencia. la pendiente es la diferencia entre dos ordenadas consecutivas y en la ecuación es el coeficiente de la variable x. pero sin valores. De todo lo anterior. Una vez que sus estudiantes entiendan la relación entre el gráfico. y el estudiantado debe identificar qué ecuación corresponde a cuál recta solamente por la aplicación de las características. Algunas de las rectas son crecientes y otras decrecientes. sumamos o restamos la misma cantidad para pasar de un valor al siguiente. la función se llama función lineal. es decir. la cual se puede expresar algebraicamente como y = 2x + 1. En el gráfico de la función. La función lineal. Posiblemente no todo el estudiantado verá la relación de igual manera. Para evaluar el aprendizaje de esta sección. es necesario darles las ecuaciones de las mismas. en la tabla de valores correspondiente al valor de la ordenada cuando x = 0 y en la ecuación expresada en la forma y = mx + b es el valor independiente de x. la fórmula se visualiza como un cuadrado en la esquina y el número de la figura tanto al costado de este cuadrado como encima del mismo. condición necesaria y única para que la función sea lineal. repita el proceso con cualquier otra figura creciente en la cual el cambio sea constante. en el gráfico. La relación anterior es la ecuación de la función. De acuerdo a la actividad inicial. sin embargo. Además del gráfico con las rectas. En el gráfico es el valor en el cual la recta corta el eje y. El otro valor importante en una función lineal es la intersección con el eje y. Para afianzar este aprendizaje. existen varios métodos que son muy eficaces. por lo tanto. será equivalente a la anterior. podemos concluir que para generar una función lineal necesitamos solamente un valor inicial y un cambio constante para generar los valores hacia adelante o hacia atrás. la tabla de valores y la ecuación de una función lineal. Este cambio constante se conoce como pendiente y se representa con la letra m. la tabla de valores y el gráfico de una función lineal. la pendiente es la relación del cambio en y sobre el cambio en x y al ser constante obtenemos una recta. Un ejemplo de este ejercicio se presenta a continuación: 75 Área de Matemática . Precisar que si el gráfico es una recta. una vez simplificada. no es más que un patrón sumativo.
se puede introducir a los estudiantes en un patrón creciente o decreciente pero multiplicativo. es pertinente revisar con el estudiantado ciertos conocimientos importantes de la función lineal. 162. 18. y = – 2x – 3 2. la pendiente. Al iniciar con la función exponencial. la representación gráfica no tiene una pendiente constante y no obtendremos una recta sino una curva. presénteles un patrón multiplicativo. como el siguiente: 2. y = 3x + 3 5. Explicar que cuando el cambio ya no es sumativo sino multiplicativo y siempre en el mismo factor. por consiguiente. ya que a partir de ésta se puede construir el concepto de la función exponencial. revisado en la función lineal. 6.5x + 1 Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 Como un elemento de comparación. es decir. pregúnteles si esta función puede ser considerada una función lineal e inicie una discusión en cuanto a las similitudes y las diferencias con la misma. y = 2x + 3 3. Para iniciar con la función exponencial. A estas alturas. Este patrón multiplicativo se conoce como la función exponencial. y= – 1.. estamos representando una función conocida como 76 . que determinen los dos siguientes valores y que los representen gráficamente. un patrón que aumente ya no en la misma cantidad (lineal) sino en igual proporción. la mayoría de los estudiantes habrán descifrado el patrón y entenderán que el cambio de un valor a otro no es constante. . a diferencia del sumativo.. 54.a d b e c 1. Los temas importantes a revisar son el patrón generador de la función lineal (patrón sumativo). la intersección con el eje Y y su representación gráfica. utilizando esta tabla de valores: x y 1 2 2 6 3 18 4 54 5 162 6 7 A partir del gráfico. Dígales que expliquen el patrón. y = x – 3 4.
Antes de empezar con este tema. pero cuantitativamente el doble de 10 es mayor que el doble de 4). comprobamos que aplican las reglas de las operaciones de los números reales en los polinomios. además. el crecimiento es cada vez mayor (proporcionalmente el doble de 4 y el doble de 10 son iguales. tanto enteras como fraccionarias. y deducir la regla. También se espera que pue- 77 Área de Matemática . Bloque: Geométrico En este bloque se estudian las aplicaciones del teorema de Pitágoras que ya fue introducido y tratado en el año escolar anterior. en unidades de medida. Proceder a expresar las reglas con potencias racionales y realizar simplificaciones de valores y de polinomios con estas potencias. Repetir el proceso con otros números cuadrados y no cuadrados. tanto con valores negativos como con valores positivos. y que logren aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas de la vida cotidiana. están trabajando en los bloques de relaciones y funciones. y en el numérico. el estudiantado debe tener la capacidad de operar con fluidez dentro del conjunto de los números reales. racionales e irracionales) y de las operaciones con los mismos. incluyendo las operaciones de potenciación y radicación. Esta función se estudia con mayor detalle en el bachillerato. Los educandos. en el trabajo con potencias fraccionarias y en la simplificación de expresiones numéricas con radicales o con potencias racionales. por lo tanto. en este nivel de estudios. Se enfatiza. Al finalizar este año de estudios. ya que a pesar de que la razón es constante. como 91/2 y utilizar la calculadora para evaluar esta cantidad. expresarla explícitamente y enfatizar la igualdad a1/2 = a . al simplificar expresiones algebraicas. Esto hace que el cambio de un valor al siguiente en una función exponencial crezca o decrezca. es necesario hacer una revisión de las reglas de potenciación y de radicación estudiadas en años anteriores. Extender esta regla a cualquier potencia racional con denominador diferente de 2 y después repetir el proceso con potencias racionales con numerador diferente de 1. sobre todo. La notación científica es muy utilizada en aplicaciones de la física.función exponencial. Otro tema a ser tratado en este bloque es la conversión entre notación decimal y notación científica con exponentes positivos y negativos. Luego de discutir las reglas propuestas por los estudiantes. De esta manera. el manejo fluido de este lenguaje es una destreza necesaria para el futuro buen desempeño de los estudiantes en otras áreas del saber. Introducir luego la notación de un número entero (preferiblemente un cuadrado) con una potencia racional igual a ½. En este nivel se espera que los estudiantes ya manejen con facilidad el teorema y puedan determinar la longitud del lado de un triángulo rectángulo conociendo las longitudes de los otros dos lados. Bloque: Numérico En este bloque se realiza una revisión completa de las propiedades de los números reales (naturales. enteros.
Los estudiantes de décimo año de Básica deben conocer que una rotación completa equivale a un ángulo de 360°. es pedirles que escriban un problema relacionado con su entorno. Para que sus estudiantes puedan entender de dónde vienen los radianes. Si algunos de sus estudiantes no están seguros de esta medida. 45°. las medidas en radianes de cualquier ángulo expresado en grados. Bloque: Medida En este año se inicia con la medida de ángulos en radianes. La forma más fácil de introducir esta unidad de medida es por medio de la circunferencia. Una manera interesante de evaluar si entendieron este teorema y sus aplicaciones en la vida cotidiana. es posible determinar. simplemente se introducirá a través de la proporcionalidad. En este punto. El teorema de Pitágoras tiene muchísimas aplicaciones prácticas. combinado con las razones trigonométricas. por lo tanto. por lo pronto. lo cual permite trabajar con el estudiantado en la resolución de problemas aplicados a su realidad. las cuales se estudiarán recién el próximo año y ciertas identidades trigonométricas. en el cual se requiera la aplicación de esta regla para su solución. y se puede aplicar en muchas situaciones prácticas como por ejemplo: determinar si un ángulo es recto. 60° y 90°. ya tenemos una equivalencia entre grados y radianes: 360° = 2π radianes o 180° = π radianes Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 De acuerdo a esta equivalencia. sin tener la necesidad de medirlo con un graduador o con una escuadra. Al finalizar este año. es una herramienta muy importante en la determinación de distancias y de ángulos. El teorema de Pitágoras. en este año solo hablaremos del radián como una unidad alternativa de medir ángulos. para no confundirlos. y aplicarlos a la resolución de problemas como el siguiente: calcular a qué altura de un árbol llega la parte superior de una escalera de 3 m de longitud. necesitan conocer las razones trigonométricas. de fracciones y de expresar valores en función de otros. trace un círculo en el pizarrón y divídalo en cuatro sectores circulares iguales trazando dos rectas perpendiculares que se intersecan en el centro del círculo. las cuales se verán en el bachillerato. es decir.dan usarlo en nuevos conocimientos relacionados con la trigonometría y con la geometría. El convertir grados en radianes es una buena práctica de proporciones. si su base es colocada a 1 m de la base del árbol. Esta misma rotación equivale a 2π radianes. sabrán las medidas en radianes de los ángulos de 30°. 78 . no se convierte el valor π en su equivalente decimal sino que todos los valores en radianes de los ángulos se expresan como una función de π. Estas forman cuatro ángulos internos iguales entre sí y además cada uno igual a 90°. por lo que al sumarlos obtendremos los 360° de una rotación completa. los estudiantes deberán conocer las medidas de los ángulos de referencia del primer cuadrante en radianes. pero debido a que el estudiantado aún no tiene los conocimientos necesarios para entender la deducción de esta unidad. Es necesario recalcar que cuando se trabaja en radianes. es importante su creatividad y su conocimiento de las necesidades de los estudiantes. por medio de proporciones.
Bloque: Estadística y probabilidad Concerniente a este bloque tenemos que calcular medias aritméticas. o el cálculo de cuántos puntos necesita sacar un estudiante en la próxima evaluación para subir su promedio en un determinado número de puntos. es capaz de traducir el problema. primero. Esta destreza será ampliamente aplicada en Física. en este año y en el bloque de medida.aprendizaje. recuerde que la evaluación es parte del proceso de enseñanza . y en este año debe practicarse con la mayor cantidad de unidades. A continuación. fórmulas o formas para realizar determinados cálculos y transformaciones. por lo cual es de mucho interés para el estudiantado y puede aplicarse en situaciones muy recientes de la clase. La fórmula de la media aritmética permite no solamente calcular la media. Para este tema. diseña alternativas o estrategias de solución. y demostrar las mismas. concepto estudiado en años anteriores. algebraicas o geométricas. los cuales pueden abarcar desde las reglas. Desarrolla habilidades de razonamiento matemático. Finalmente. sea en forma grafica. es la reducción y conversión de unidades del Sistema Internacional. como el cálculo de promedios. ya que se espera que conozcan y manejen con fluidez el cálculo de la media aritmética. Analiza e interpreta gráficos. retroalimentar y orientar actividades futuras. 79 . fórmulas. En este punto es importante considerar si: reconoce la interrogante planteada. relaciones o procedimientos. La otra destreza crítica. Comprende y aplica procedimientos. en el bachillerato. le presentamos algunos criterios para la evaluación: • Resuelve problemas en los cuales se involucran las relaciones matemáticas. sin necesidad de convertirlos a grados. organizar y encadenar argumentos matemáticos con base en procedimientos. sino establecer la suma de una serie de números y aplicarla a diferentes problemas muy prácticos.La evaluación de este aprendizaje consistirá en solicitar a los educandos que realicen conversiones entre grados y radianes de diferentes ángulos en el primer cuadrante. es decir. Se aconseja que se evalúen diversos aspectos del proceso. Área de Matemática • • • Estas son solo algunas alternativas para el trabajo con los estudiantes del décimo año de Educación Básica. y es capaz de demostrar y argumentar su respuesta. dentro del Sistema Internacional y luego. por tal razón no sólo considere los resultados de los diversos ejercicios. la originalidad y flexibilidad del pensamiento. también debe evaluar el proceso. simbólica o a través del lenguaje. Este concepto está muy relacionado con la vida estudiantil. algoritmos. ampliado a otros sistemas y unidades de uso común en nuestro medio. ya sean numéricas. Otra posible evaluación es pedirles que ordenen de mayor a menor varios ángulos expresados en radianes. teoremas. observar el razonamiento empleado. la capacidad de hacer conjeturas. es imprescindible que inicie indagando los conocimientos del estudiantado. el cual debe ser aprovechado para continuar. corregir. cuadros.
Resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por medio de gráficos o de procesos algebraicos. la ecuación de una recta paralela o de una recta perpendicular a ella. áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. de la tabla de valores y de la ecuación. Reconoce y aplica las razones trigonométricas en la resolución de problemas. a partir de una de ellas. a partir de la ecuación de una recta. Diferencia una función lineal de una función exponencial por medio de su gráfico. Determina.4 • Indicadores esenciales de evaluación Reconoce una función lineal a partir de su ecuación. tabla de valores y gráfico. además. • Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • • • • • • • • • 80 . Opera con números reales. Aplica el teorema de Pitágoras a la resolución de problemas. Realiza conversiones dentro del Sistema Internacional de medidas y con otros sistemas de uso común en nuestro medio. Opera con polinomios. Calcula perímetros. determinar las otras dos. Calcula medias aritméticas y probabilidades simples. los factoriza y desarrolla productos notables.
El juego trabajo. Logros . Oficina Regional de Educación para América Latina y el Caribe. UNESCO. (2003). y Saiz. Técnicas creativas para la resolución de problemas matemáticos. M. y otros (2006). aportes y reflexiones. La evaluación como experiencia total.procesos competencias y desempeño. (2008). V. Haciendo números. Madrid: Editorial Narcea. Didáctica de las matemáticas. (2005). Con niños de 0 a 6 años. (2000). (1990). Argentina: Editorial Paidós. • Laboratorio latinoamericano de evaluación del la calidad de la educación XVII. los proyectos y las secuencias didácticas. Bogotá: Cooperativa Editorial Magisterio. • Parra. Praxis. Ecuador: Autor. • Pitluk. • Fernández. Bilbao: Col. Las notaciones numéricas vistas desde la psicología. (2009). I. L. Principles and Standars for School Mathematics. United States of America: Autor. • Confederación Ecuatoriana de Establecimientos de Educación Católica (1999). El niño y la aritmética. 81 Área de Matemática . (SERCE . H. Argentina: Ediciones HomoSapiens. C. Argentina: Ediciones HomoSapiens. Actividades matemáticas.A.LLECE). Las unidades didácticas. Monografías Escuela española. M. Argentina: Editorial Paidós.objetivos . Instrucción y construcción de las primeras nociones aritméticas. Técnicas activas generadoras de aprendizajes significativos. y Brizuela B. Enseñar aritmética a los más chicos. Argentina: Editorial Paidós. (2000). Argentina: Editorial Paidós. • Bermejo. reunión de coordinadores nacionales (2009). • Cerda.BIBLIOGRAFÍA • Alvarado. C. • National Council of Teachers of Mathematicas (2000). y Saiz. I. (2006). • Panizza. • Parra. la didáctica y la historia. La planificación didáctica en el Jardín de Infantes. J. Enseñar matemática en el Nivel Inicial y el Primer ciclo de la EGB. • Lahora. C. S. Habilidades para la vida en las evaluaciones de matemática.
100 y 1 000 • Términos de la multiplicación • Propiedades de la multiplicación (conmutativa y asociativa) • Memorización de las combinaciones multiplicativas (tablas de multiplicar) • Números naturales hasta el 9 999 • Valor posicional: unidades. centenas y unidades de millar • Relación de orden • Adición y sustracción con reagrupación • Noción de división: (repartir en grupos iguales) • Resolución de problemas • Números naturales del 0 al 99 • Noción de conjuntos. elementos y subconjunto • Valor posicional • Relación de orden • Noción de adición sin reagrupación • Noción de sustracción sin reagrupación • Combinaciones de 10 • Resolución de problemas con estrategias simples • Números ordinales: primero al décimo Área de Matemática 83 .Mapa de conocimientos de Matemática Contenidos TERCERO BLOQUE DE RELACIONES Y FUNCIONES • patrones numéricos decrecientes • Sumas y restas • Relación de correspondencia • patrones numéricos crecientes • Suma y multiplicación • Relación de correspondencia SEGUNDO CUARTO • patrones de objetos y figuras • Con dos atributos • Relación de correspondencia BLOQUE NUMÉRICO • Números naturales del 1 al 999 • Numeración • Noción y presentación de subconjuntos • Secuencia y orden • Valor posicional • Números pares e impares • Unión de conjuntos en forma gráfica • Adición y sustracción con reagrupación • Operadores de suma y de resta en diagramas • Números ordinales: primero al vigésimo • Noción de multiplicación • Patrones de sumandos iguales • Tantas veces tanto • Series numéricas • Resolución de problemas aditivos con estrategias desarrolladas en el año • Multiplicación • Modelo lineal • Modelo grupal • Modelo geométrico • Multiplicación por 10. decenas.
cm. meses. segmento y ángulo • Clasificación de ángulos por amplitud: recto. exterior y frontera de las figuras geométricas • Figuras geométricas: cuadrados. prisma rectangular • Propiedades • Cuadrados y rectángulos • Perímetro de cuadrados y rectángulos • Noción de semirrecta. horas y minutos • Lectura en el reloj análogo de horas y minutos • Medición de capacidades • Litro • Medición de peso • Libra • Medidas monetarias • Unidades monetarias • Conversiones • Medidas de tiempo • Conversiones simples de medidas de tiempo (de horas a minutos) • Medidas de longitud • Unidades no convencionales • Medición de capacidades • Unidades no convencionales • Medición de peso • Unidades no convencionales • Medidas monetarias • Unidades monetarias • Medidas de tiempo • Días de la semana • Meses del año . esfera.Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 • Operadores: aditivos (+). mm) • Estimaciones y mediciones • Conversiones simples del metro a submúltiplos • Medición de capacidades • Unidades no convencionales • Medición de peso • Unidades no convencionales • Medidas monetarias • Unidades monetarias • Conversiones • Medidas de tiempo • Conversiones usuales entre medidas de tiempo: años. pirámide de base cuadrada. semanas. curvas y vértices • Lados. días. rectángulos y círculos BLOQUE DE MEDIDA • Medidas de longitud • Unidades no convencionales • Medición de contornos • Medidas de longitud • El metro y submúltiplos (dm. formas y figuras según propiedades propuestas • Lado. cono. interior. triángulos. cubo. agudo y obtuso • Clasificación de objetos. vértices y ángulos • Cuerpos geométricos • Cilindro. sustractivos (–) y multiplicativos (x) • Resolución de problemas 84 BLOQUE DE GEOMETRÍA • Líneas rectas.
5. 4. 3. 100 y 1 000 • Propiedad distributiva Definición Descomposición en factores primos Máximo común divisor (MCD) Mínimo común múltiplo (mcm) Área de Matemática 85 . 6. 9 y 10 • Múltiplos y divisores • Potenciación (cuadrados y cubos) • Radicación como operación inversa de potenciación • Números naturales hasta seis cifras • Numeración • Secuencia y orden • Valor posicional • Adiciones y sustracciones • Resolución de problemas con operaciones combinadas • Números primos y compuestos • potenciación y radicación • Estimación de cuadrados y cubos para números inferiores a 20 • Cálculo de cuadrados y cubos con calculadora • Estimación de raíces cuadradas y cúbicas de números menores a 100 • Ubicación de raíces cuadradas y cúbicas con descomposición en factores primos • División • Entre un número natural y un número decimal y viceversa • Multiplicación de números naturales • De hasta tres cifras • • • • • Producto de un número natural por 10.BLOQUE DE ESTADÍSTICA Y pROBABILIDAD • pictogramas • Frecuencias simples • Diagramas de barras • Recolección • Representación • Combinaciones • Combinaciones simples de tres por tres • pictogramas • Recolección • Representación • Combinaciones • Combinaciones simples de dos por dos Contenidos SEXTO BLOQUE DE RELACIONES Y FUNCIONES • Sucesiones • Con sumas y restas • pares ordenados • Plano cartesiano con números naturales • Sucesiones • Con multiplicaciones y divisiones QUINTO SÉpTIMO • patrones numéricos decrecientes • Restas sucesivas • Divisiones sucesivas • pares ordenados • Plano cartesiano con decimales • Plano cartesiano con fracciones • Cuadrícula • Coordenadas • Ubicación en una cuadrícula BLOQUE NUMÉRICO • Números naturales • Criterios de divisibilidad por 2.
• División de números naturales • Divisor de dos cifras • División entre un número natural y un número decimal • División • Resolución de operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación • Números decimales • Razones y proporciones • Directa • Inversa • Resolución de problemas • Redondeo • Décimas, centésimas y milésimas • Multiplicación por 10, 100 y 1 000 • Divisiones para 10, 100 y 1 000 • Transformación a porcentajes (10%, 25% y sus múltiplos) • Resolución de operaciones combinadas con naturales • Fracciones • Relaciones de orden • Adición y sustracción • Transformación a porcentajes (10%, 25% y sus múltiplos) • porcentajes • Representación en diagramas circulares • Expresión en fracciones • Expresión en decimales • Aplicaciones cotidianas • Multiplicación • Orden entre fracciones, decimales y naturales • Fracciones
• proporcionalidad directa • Entre dos magnitudes medibles • Números romanos • Lectura y escritura
• División de números naturales
• Divisor de una cifra y con residuo
• División de un número natural por 10, 100 y 1 000
• Números decimales
• Relación de orden
• Ubicación en la semirrecta numérica
• Transformación a fracciones con denominadores de 10, 100 y 1 000
• Adiciones, sustracciones y multiplicaciones
• Redondeo
• Fracciones
• Definición y notación
• Medios, tercios, cuartos, quintos y octavos
• Décimos, centésimos y milésimos
• Comparación de fracciones con ½ y con 1
• proporcionalidad directa
• Triángulo • Construcción con regla y compás • Área • polígonos regulares • Clasificación • Perímetro • Rectas • Posición relativa • Graficación • polígonos irregulares • Clasificación según sus lados • Clasificación según sus ángulos • Perímetro
• Rectas paralelas, perpendiculares y secantes
• Reconocimiento en figuras geométricas
• paralelogramos y trapecios
• perímetro • Área • Deducción de fórmulas • Área
• polígonos regulares
• De triángulos
• De paralelogramos
• De trapecios • prismas y pirámides • Características • Elementos • Fórmula de Euler • Círculo • Graficación • Elementos • Circunferencia • Trazar • Paralelogramos y trapecios
• Triángulos
• Clasificación por sus lados
• Clasificación por sus ángulos
BLOQUE DE MEDIDA
• Metro cuadrado y cúbico • Submúltiplos • Metro cuadrado y cúbico • Múltiplos
• Medidas de longitud
• El metro
• Múltiplos
• Conversiones • peso • Kilogramo y gramo: conversiones a otros sistemas (de la localidad) • Medidas de superficie agrarias • Hectárea • Área • Centiárea • Relación con las medidas de superficie • Ángulos • Medición con graduador • Sistema sexagesimal • Conversión a grados y minutos
• Medidas de área y volumen
• Metro cuadrado
• Kilogramo
• Gramo
• Diagramas • Barras • Circulares • Poligonales • Tablas • Medidas de tendencia central • Media, mediana y moda • probabilidad • Representación gráfica con fracciones • Medidas de tendencia central de datos discretos • Media, mediana y moda • probabilidad • Representaciones gráficas • Recolección • Diagramas de barras y circulares • Datos discretos
• Ángulos
• Agudos
• Obtusos
• Medición con plantillas de 10 en 10
• Medida de tiempo
• Década
• Siglo
• Diagramas de barras
• Combinaciones
• De hasta tres por cuatro
Contenidos NOVENO BLOQUE DE RELACIONES Y FUNCIONES
• patrones de crecimiento lineal • Patrones crecientes y decrecientes por suma o resta • Tablas de valores • Gráficos de crecimiento lineal • Función lineal • Patrón creciente o decreciente • Tabla de valores • Grafica • Ecuación
• Sucesiones con números enteros
• Sucesiones con sumas y restas
• Sucesiones con multiplicación y división
• Sucesiones con operaciones combinadas
multiplicación y división exacta • Potenciación y radicación • Números reales • Resolución con las cuatro operaciones básicas • Exponentes negativos • Simplificación expresiones • Números reales • Resolución con operaciones combinadas de adición. sustracción. división. comparación y ubicación en la recta numérica • Resolución con operaciones combinadas de adición. multiplicación.• pares ordenados con enteros • Representación concreta (hasta grado 2) • Simplificación • Factorización y productos notables • Ecuaciones e inecuaciones de primer grado • Planteamiento • Representación gráfica • Resoluciones algebraicas • polinomios • Operaciones con números reales • Resolución • Tendencia creciente o decreciente • Patrón generador • polinomios • Función exponencial • Ubicación en el plano cartesiano • Monomios • Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas • Representación concreta (hasta grado 2) • Agrupación de monomios homogéneos • Expresión de un enunciado simple en lenguaje matemático • Uso de variables para representar incógnitas BLOQUE NUMÉRICO • Números racionales • Orden y comparación • Representación decimal y fraccionaria • Ubicación en la recta numérica • Resolución de operaciones combinadas de adición. potenciación y radicación • Exponentes fraccionarios • Expresiones algebraicas y numéricas • Simplificación • Racionalización • Notación científica • Expresión decimal con exponentes positivos y negativos • Números enteros • Orden y comparación • Ubicación en la recta numérica • Resolución de las cuatro operaciones básicas • Resolución de operaciones combinadas de adición. multiplicación y división exacta • Potenciación y radicación Área de Matemática 89 . multiplicación y división exacta • Potenciación y radicación. sustracción. sustracción. sustracción. • Números irracionales • Representación gráfica • Orden.
Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 2010 BLOQUE DE GEOMETRÍA • pirámides y conos • Construcción a partir de patrones en dos dimensiones • Resolución de problemas • Reconocimiento de líneas de simetría en figuras geométricas. coterminales y de referencia • Teorema de pitágoras • Resolución de triángulos rectángulos • Definición • Aplicación a la resolución de triángulos rectángulos • Resolución de problemas • Razones trigonométricas • Figuras geométricas • Construcción con el uso de regla y compás • Triángulos • Congruencia y semejanza • Factor de escala entre dos triángulos semejantes • Medianas. ortocentro. incentro y circuncentro • Volumen de prismas y de cilindros • Deducción de fórmulas • Resolución de problemas • Teorema de Thales: • Figuras geométricas semejantes • Círculo • Área BLOQUE DE MEDIDA • Ángulos notables • Medidas en grados en los cuatro cuadrantes • Conversiones • Entre unidades del Sistema Internacional de medidas • Otros sistemas • Ángulos notables • Medidas en radianes en los cuatro cuadrantes • Conversiones de ángulos entre radianes y grados • Teorema de Thales • Factor de escala entre figuras semejantes . suplementarios. mediatrices. • Volumen • Áreas laterales • pirámides y conos • Aplicaciones en áreas y volúmenes • Teorema de pitágoras 90 • Áreas de polígonos regulares • Deducción de fórmulas por descomposición en triángulos • Aplicación de fórmulas en la resolución de problemas • Áreas laterales de prismas y cilindros • Áreas de sectores circulares • Ángulos • Internos en polígonos regulares • Complementarios. alturas y bisectrices • Baricentro.
mediana y moda • Rango • Cálculo • Representaciones gráficas • probabilidades simples Área de Matemática 91 .BLOQUE DE ESTADÍSTICA Y pROBABILIDAD • Diagramas de tallo y hojas • Representación • Análisis • Resolución de problemas • Cálculo • Media aritmética • Frecuencias absolutas y acumuladas • Cálculo • Contraste • Analisis • Medidas de tendencia central • Media.
Inés López Sonia López Luis Lozada Arturo Macías Edison Madrid Humberto Maldonado Elaynes Maffare Elva Marchena Carmen Martínez Zoila Marín Kleber Mariño Concepción Márquez Isaías Mayorga Mercy Mena Rodrigo Meneses Mariana Meneses Denny Merchán Miguel Merchán Oscar Meza Patricio Meza Mariela Mier Julia Moncayo Wilson Montenegro Nelson Morales Luis Morán Rosario Morán Eudolifo Moreira Harol Mosquera Mariana Moya Silvia Moya Alicia Muñoz Irma Muñoz Blanca Nájera Jaime Naranjo Abraham Naranjo Mirella Navarrete Enzo Neira Rómulo Ninacuri Edison Noguera Camilo Noriega Eva Oña .EQUIpO DE pROFESIONALES DE LA EDUCACIÓN QUE VALIDARON ESTE DOCUMENTO CURRICULAR: María Acosta Héctor Alcívar Jorge Alcívar Magdalena Almeida Mónica Ambrossi Ángel Anchundia Marcia Andino Consuelo Andrade Rugero Aguiar César Aguilar Rodrigo Aguilar René Aguirre Amanda Aponte Carlos Argüello Gladys Argüello Abdón Armijos Eladio Armijos Ermel Arteaga Germán Arteaga Nuvia Arteaga Mariana Astudillo Antonio Araujo Linda Banegas Fausto Baño Elsa Barrera Alicia Bastidas Isabel Bastidas Roberto Bastidas César Bautista Guido Benavides Edgar Betancourt Luisa Blacio María Borja Elena Borja Gladys Bravo Jorge Bravo Mercy Bravo Susana Bravo Silverio Briones Julia Brito Luis Cabadiana Mariana Cabrera Manuel Calle Luis Camacho Nelson Campoverde Luis Cando Norma Cando Mario Cantos Amalia Carpio Mercedes Carrillo Yolanda Carrillo Luis Castillo Luisa Castillo Juana Castro Guadalupe Catota Fabián Cerda Carmen Cevallos Denny Cevallos Elva Cisneros Elicio Conlago Inés Constante Luis Coque Cléver Coronel Libertad Coronel Matilde Coronel Doris Cortez Lorena Costa Bolívar Costales Gloria Criollo Esman Cueva Martha Cuzco Rosa Chafla Sonia Chamorro Nancy Chanalata Liamela Chang Jairo Chávez Rosa Chávez Willian Chávez Laura De Mora Margarita Del Pezo César Delgado Enrique Díaz Rosa Díaz Nastha Doumet Carlos Duarte Manuel Dután Washington Espinoza Carmela Estrella Silvia Fabara July Fabre María Feijoó Mariana Feijóo Patricia Flores Abdón Fogacho Héctor Franco Vicente Gaibor Cristóbal Gaibor José Gaibor Patricio Gallardo Geovani Gallegos Marieta Gallegos Mery García Mariana Garzón Enith González Rosa González Agustín Granda Sonia Gualpa Carlos Guallpa Giovanny Guamán Patricia Guanochanga Luis Guapulema Martha Guerra Rosario Guerra Pilar Guerrero Estilita Guevara Glenda Guevara Nelly Guevara Wilson Guevara Alexandra Haro Martha Heras Jorge Hernández Gladys Hidalgo Hugo Horna María Huertas Janeth Jaramillo Manuel Jaramillo Marcelo Jaramillo David Jimbo Lidia Jimbo Paco Lamar María Lara Raquel Larrea Matilde León Estela Llerena Luis Llivicura Rolando Lomas Elena Loaiza Gloria López Laura López Ma.
María Ochoa Wagner Olarte Marlene Olmedo Cecilia Palacios Lindon Palacios María Palacios Norma Parra Janeth Palma Salín Pastrana Elio Peña Irma Pérez William Pazmiño Marcos Peralvo Miguel Pinto Luisa Ponce Susana Ponce Miriam Portilla Maribel Pozo Juan Quezada Luisa Quiñónez Raquel Quiñónez Adela Reyes Euclides Rivadeneira Cecilia Romero Francisca Romero Milton Romero Patricia Robles Roberto Robles Irma Rodríguez Segundo Ruano Jaime Ruiz Norma Saldarriaga Laura Salazar Luis Salazar Sandra Salazar Susana Salazar María Salcedo Miriam Salvador Fabián Sánchez Nelly Sánchez Rosa Sánchez Enma Sanmartín Flavio Santamaría Edison Sarango Beatriz Saritama Mirtha Segarra José Solórzano Dolores Solís Fernando Solís Juan Solís Nelly Suárez Carlos Tamayo Elena Tapia Mariana Tinizaray Wilson Tinoco Elvia Trilles Luis Tomalá Luis Togra Mercy Trujillo Luis Ulloa Ruth Urgilés Aurelio Valdivieso Concepción Vásquez Marco Vásquez Alba Velasco Maura Vélez Germania Vera Mercedes Villacrés Ángel Villarroel Francisco Vinueza Jenny Vivar Anita Vizcaíno Holger Yánez Colombia Yépez Honorio Zambrano Jorge Zambrano Mirian Zambrano Marisol Zambrano Martha Zambrano Verónica Zambrano Ruth Zaruma Gloria Zarzosa Eduardo Zurita Elvia Zurita Mariana Zurita AGRADECEMOS LA pARTICIpACIÓN DURANTE EL pROCESO DE ELABORACIÓN DE ESTE DOCUMENTO A: José Cumbal Andrés Delich Jorge Fasce Silvia Finoccio Tomás Fleisher Gustavo Iaies Enna Nuques Ma. Gabriela Mena Pedro Montt Graciela Piantanida Sonia Salazar Elsa Serna Violeta Villarroel .
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