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Timestamp: 2018-04-24 13:08:04+00:00

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UNIDAD DIDACTICA II. ECUACIONES e INECUACIONES - PDF
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Daniel Rivas Carrizo
1 UNIDAD DIDACTICA II ECUACIONES e INECUACIONES Temario: Resolución de ecuaciones en una variable. Resolución de inecuaciones en una variable. Ecuaciones e inecuaciones usando valor absoluto. Ecuación de la recta, elementos, representación geométrica. Ecuación de una recta conocido un punto su pendiente. Ecuación de una recta conocidos dos puntos. Paralelismo perpendicularidad de rectas. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Conjunto solución. Sistemas equivalentes. Sistemas compatibles determinados e indeterminados. Sistemas incompatibles. Interpretación geométrica. Resolución por método de sustitución, igualación. Aplicaciones a la geometría. Ejercitación problemas. Introducción Para resolver problemas de cualquier índole, de la vida cotidiana, de las ciencias, de ingeniería, de ciencias sociales, generalmente se utilizan herramientas de modelización matemática. Pero, cuál es el significado de modelizar matemáticamente una situación problemática? Un modelo es una representación selectiva simplificada de la realidad. El modelo es una representación porque sustitue a la realidad. Se construe primero en la mente de la persona, a partir de la percepción del sistema real. Luego puede volcarlo a un esquema, una maqueta, fórmulas matemáticas, enunciados verbales, entre otros. La representación es selectiva simplificada, porque no toma todos los elementos de la realidad, sino sólo los que nos parecen importantes. Generalmente luego de modelizar un problema de ingeniería, se utilizan las ecuaciones, las funciones, la geometría, como una herramienta para hallar las posibles soluciones. Es importante la etapa de validación o comprobación de las soluciones halladas en el problema real. Ecuación Lineal Qué es una ecuación? Es una propuesta de igualdad en donde pueden aparecer una o más incógnitas involucradas en una epresión algebraica. Dependiendo del tipo de epresión algebraica que aparezca en la igualdad será el tipo de ecuación, el camino a seguir para resolverla. Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores de la o las variables (si es que eisten) que hagan que la igualdad sea válida. Ecuación lineal: es una propuesta de igualdad en donde la incógnita aparece en una epresión elevada a la potencia uno. Ejemplo: (ecuación lineal con una incógnita) + = 5 Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Por ejemplo -7= 5-=66- son equivalentes pues ambas tienen como solución a =0
2 Transformaciones que mantienen la equivalencia: Sumar o restar la misma epresión en los dos miembros de la igualdad. Multiplicar o dividir los dos miembros de la igualdad por el mismo número distinto de cero. Siempre es posible calcular la solución de una ecuación? las soluciones son únicas? Halla, si eiste, la solución de la ecuación.+ = 5. Para resolver la ecuación dada anteriormente, se suma a ambos miembros el opuesto de (con esta operación no se modifica el conjunto solución de la ecuación) ++(-)=5+(-) = Multiplicando por el inverso en ambos términos de manera conveniente, no se modifica el conjunto solución de la ecuación = = Halla, si eiste, la solución de la ecuación.- =. En este ejemplo, habrán obtenido 0. = 0. Cuántas soluciones tiene esta ecuación? Halla, si eiste, la solución de la ecuación + 5 = En este ejemplo, habrás obtenido 5 = 0. Cuántas soluciones tiene esta ecuación? En el siguiente espacio, resume en cuanto al tipo de soluciones que puede tener una ecuación lineal: Realiza los siguientes ejercicios: ) Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones lineales verifica. a). ( + ) =. ( ) b) 6 = + 9 c) d). ( ) = +6 e) 0,9 t = 0, 0, t
3 f) 8 ( + ) = 0 g) h) 5 ( ) = 0 ) Epresa en símbolos: a) Un número disminuido en 5... b) Un número aumentado en... c) El doble de un número... d) La mitad de un número... e) El consecutivo de un número... f) El anterior de un número... g) Un número par... h) Un número impar... i) El consecutivo par de un número par... j) El triple del anterior de un número... k) El cuádruplo del consecutivo de un número... l) El siguiente del doble de un número... m) El anterior del triple de un número... n) El 0 % de una cantidad... o) Si una tarifa está dada por, una tarifa media será... p) El perímetro de un cuadrado de lado... q) El perímetro de un rectángulo de ancho alto... r) El área de un rectángulo de ancho alto... s) Si el costo de fabricar una máquina es de $ 50, indica el costo de fabricar máquinas... t) La cantidad supera a la cantidad en... u) Juan recibirá ¾ de lo que recibió Ana ( indique con la cantidad recibida por Ana) v) Luis recibirá la mitad de lo que recibió Juan... ) Plantea resuelve los siguientes problemas: a) Luis ha resuelto + ejercicios, Ana resolvió 5 Juan resolvió +. Si en total han resuelto 7 ejercicios, cuántos resolvió cada uno? b) Carlos obtuvo calificaciones en los eámenes parciales de 80, 8, 7, Va a presentar un último eamen que cuenta como dos eámenes parciales, es decir su nota se repetirá. Cuánto necesita obtener en dicho eamen para alcanzar un promedio de 80? c) La suma de tres números consecutivos es igual a 6. Cuáles son dichos números? d) Al aumentar en cm el lado de un pentágono, su perímetro resulta 5,5cm. Cuál era el lado del pentágono inicial? e) La suma de tres números consecutivos es igual a 6. Cuáles son dichos números? f) Un distribuidor de automóviles, en una liquidación, reduce el precio de lista de los modelos del año anterior en un 0%. Si cierto modelo tiene un precio rebajado de $ 8000, cuál era su precio original?
4 g) Si en el seminario universitario de Matemática se eige el 75% de asistencia, se cuentan con semanas de clase. A cuántas clases debe asistir un alumno para no quedar libre? h) Cortando un cuadrado de 0 cm de perímetro por una paralela a uno de los lados, se obtienen dos rectángulos. El perímetro de uno de ellos es de cm. Cuál es el perímetro del otro?. Realiza un esquema de la situación. i) Un fabricante de casas rodantes reduce el precio de un modelo en un 0 %. Si el precio rebajado es de $5000, cuál era su precio original? j) Una herencia de $ deberá repartirse entre Kat, Miguel Daniel de la siguiente manera: Miguel recibirá ¾ de lo que obtenga Kat, mientras que Daniel obtendrá la mitad de lo que reciba Kat. Cuánto recibirá cada uno? k) Una molécula de azúcar tiene el doble de átomos de hidrógeno que de oígeno un átomo más de carbono que de oígeno. Si una molécula de azúcar tiene un total de 5 átomos. Cuántos átomos de carbono, cuántos de oígeno cuántos de hidrógeno ha en una molécula de azúcar? l) Al cerrar la caja de un comercio, se totaliza $ 060. El cajero observa que la cantidad de billetes de $ 50 es la mitad de la cantidad de billetes de $ 00, la cantidad de billetes de $ 5 es el triple de la cantidad de billetes de $ 50 que la cantidad de monedas $ es un cuarto de la cantidad de billetes mencionados al principio. Cuántos billetes de cada denominación ha? m) En una planta de tratamiento de alcohol, se disponen de dos máquinas embotelladoras. La primera llena 00 botellas por hora la segunda 500 botellas a la hora. Cuánto tiempo tardará en preparar un pedido de 0000 botellas? n) Por cada hora etra un trabajador recibe un 50% más que por cada hora básica. Si por 8 horas de trabajo (de las cuales 0 fueron horas básicas) recibió un salario de $ 88,. Cuál es el salario por hora básica por hora etra? o) En un juego de básquetbol, un equipo anotó 70 puntos la cantidad de canastas que se hizo fue el triple que la cantidad de tiros libres. Cuántas canastas anotó? (Cada canasta vale puntos cada tiro libre un punto) p) Se van a plantar árboles, a distancias regulares, a uno de los lados del camino que une dos casas. Si se plantan cada 0 m, se necesitan 8 árboles menos que si se plantan cada 5 m. Cuál es la distancia entre las casas? q) En las elecciones para presidente, el candidato A obtuvo 599 votos más que el candidato B. Si entre ambos hubo un total de 865 votos. Cuántos votos obtuvo cada uno? ) Inventa una ecuación que tenga como única solución a =. Y otra que tenga infinitas soluciones. 5) Inventa un problema que se resuelva con una ecuación. Pásalo a un compañero para que lo resuelva.
5 Ecuaciones con Valor Absoluto Ecuación modular o con valor absoluto: es una ecuación en donde las variables se ven afectadas por valor absoluto. En este caso ha que distinguir las distintas posibilidades de la epresión afectada por el valor absoluto, para poder plantear las ecuaciones equivalentes para hallar todas las posibles soluciones. Por ejemplo, si la ecuación es = entonces = o bien = - Por ejemplo, si la ecuación es entonces: 5+ = 5+ = o bien 5+ = - Y luego se resuelven ambas ecuaciones así se encuentran las soluciones posibles para dicha ecuación. Realiza los siguientes ejercicios: 6) Halla, si eisten, el o los valores que verifican cada una de las siguientes ecuaciones: a) + = 8 b) +8 = c) v- = d) 0 - = 5 e) 6 -t = f) +8 = 0 g) - = ,5 h) - = - i) - r = -6+ r Inecuaciones Lineales Es una propuesta de desigualdad vinculada a los valores maores o menores que otro, que tiene como solución (si es que eiste) uno o más intervalos reales. Inecuaciones equivalentes: dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Por ejemplo <0 <0 son equivalentes pues ambas tienen el mismo conjunto solución. Transformaciones que mantienen la equivalencia: Sumar o restar la misma epresión en los dos miembros de la desigualdad. Multiplicar o dividir los dos miembros de la desigualdad por el mismo 5
6 número positivo distinto de cero. Ejemplo : Desigualdad lineal + < 6 Para resolver: sumamos el opuesto de en ambos miembros de la desigualdad + < 6 < Multiplicamos por inverso de en ambos miembros Conjunto solución: S= (-, ) < < Ejemplo : - + < 6 Para resolver: sumamos el opuesto de en ambos miembros de la desigualdad -+ - < 6 - < Multiplicamos por el inverso de - en ambos miembros Al multiplicar por un número negativo, cambiamos el signo de ambos miembros de la desigualdad, por lo que se invierte la relación de desigualdad. (-) > > S= (, ) Ejemplo : Para resolver la siguiente inecuación: < < 7 Trabajamos simultáneamente en los tres miembros de la desigualdad +<-+<7+ 5< < 8 S= 5 < <8 < < Grafica como un intervalo el conjunto solución anterior. 6
7 Ejemplo : Para resolver la siguiente inecuación: + 5 Agrupamos los términos con de un mismo lado de la desigualdad S=[-8/; ) /5 Desigualdades con valor absoluto: Por ejemplo: < se resuelve planteando que - < < S= (-,) 5 7 se resuelve planteando la desigualdad que surge a partir de la definición de valor absoluto luego operando S=[,6] (-) - 6 > 5 se resuelve planteando que < -5 o bien >5 S= (-, -5)U(5, ) 5 > 7 se resuelve planteando que -5 < -7 o bien -5> 7-5 < < < - / <-/ <- S =(-, -) 7
8 S = (6, ) -5 > > 7 +5 > / >/ > 6 Luego el conjunto solución es S, siendo S = S U S = (-, -)U(6, ) Realiza los siguientes ejercicios: 7) Resuelve las siguientes inecuaciones: a) + 6 b) c) d) <- 6 e) - < -9 - f) - > 6 g) - (5-)< h) 5 i) + 5 j) > k) + < l) + (-). m) (-).(+5) > 9 (-) n) 5 -< 5 o) + > + + 8) Resuelve los siguientes problemas: a) Determina el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a sea maor o igual que. b) Determina el conjunto de todos los números reales tales que su distancia a - sea menor a 5. c) La carga máima que puede transportar un camión es de 500 kg. Si se sabe que en cada viaje transporta como mínimo 800 kg, cuántos paquetes de 70 Kg puede transportar en cada viaje? d) Con, litros de agua alcanza sobra para llenar 7 botellas iguales pero no para llenar 8 de esas botellas. Mediante inecuaciones indicar entre qué valores se halla la capacidad de las botellas. e) El peso máimo que soporta un ascensor es de 5 kg. Un hombre de 7 8
9 kg, transporta consigo baúles los cuales pesan cada uno,75 kg. Cuántos baúles puede transportar? f) En un ascensor se cargan cajas de igual peso más un bulto de 5 kg. Se sabe que la carga máima que soporta el ascensor es de 0 kg. Utilizando una inecuación encontrar el conjunto de valores (en kg) que pueden tener las cajas. g) En una camioneta se cargan cajas de igual peso otro bulto de 00 kg. Plantee una inecuación halle entre qué valores puede oscilar el peso de cada caja sabiendo que la carga máima de la camioneta no puede superar los 500 kg. h) En una plaa de la costa marplatense alquilan motos acuáticas cobran $50 más $ por kilómetro recorrido. En una plaa en Miramar cobran sólo $6 por kilómetro recorrido. Utilizando una inecuación, responde a partir de cuántos kilómetros conviene alquilar en Mar del Plata. ECUACIONES DE LA RECTA La ecuación de una recta a partir de la pendiente e intersección con el eje, está definida por la siguiente epresión: = m. + b siendo m b números reales. m: es la pendiente de la recta b: es la ordenada al origen Observa las siguientes gráficas: En la primera gráfica, la recta tiene pendiente positiva a que el ángulo determinado por la recta el eje, es menor de 90º. En la segunda gráfica, la recta tiene pendiente negativa, a que el ángulo determinado por la recta el eje, es maor de 90, mientras que en la tercera, la recta tiene pendiente nula, es paralela al eje. Si la recta es paralela al eje (cuarta gráfica), el ángulo que forma con el eje es igual a 90, el valor de la pendiente se hace etremadamente grande (infinito). Cómo se determinan el valor de m de b? Lo desarrollaremos a partir del siguiente problema: 9
10 Un resorte está sujeto al techo de una casa. El resorte mide 5 cm. Por cada kg de masa colgada se estira cm. Si se cuelga un cuerpo de masa kg se calcula de la siguiente manera: 5 Bajo estas mismas condiciones, cuál es la longitud del resorte si se cuelga un cuerpo de masa 6kg? si es de 8 kg? Esta situación se puede epresar mediante una epresión que vincula la longitud del resorte con la masa del cuerpo colgada en él. Para seguir avanzando en este estudio, recordemos lo que estudiamos con ecuaciones. Si se simboliza con la longitud del resorte, con la masa del cuerpo sujeto al resorte, qué epresión se obtendrá? Esta epresión permite calcular cuál es la longitud del resorte según la masa sujeta a él. Para la representación de los puntos de coordenadas (,) que satisfacen esta ecuación que relaciona las variables antes indicadas, se sugiere completar la siguiente tabla luego ubicar dichos puntos en un sistema de coordenadas: (cantidad de masa en kg) (longitud del resorte en cm). 0. 0, Como la epresión algebraica que se obtuvo anteriormente fue: 5, seguramente la gráfica tiene las siguientes características: Al observar que la gráfica obtenida está dada por puntos alineados que pertenecen a una misma recta, se podrían plantear los siguientes interrogantes: 0
11 La recta a la cual pertenecen los puntos representados pasa por el punto (0;0) -origen del sistema de coordenadas-? Por qué? Si se piensa en términos de la situación, se dirá que si no se cuelga ningún peso en el resorte, este mide 5 cm, por lo que la recta no pasa por el origen de coordenadas. Es decir, que el punto de coordenadas (0, 5) pertenece a la recta representada. Como se ha dicho, la ordenada al origen es la intersección con el eje, por lo que el valor de la abscisa es 0, entonces basta calcular el valor numérico que toma la variable para = 0 el resultado es el valor numérico es la ordenada al origen. DETERMINACIÓN GRÁFICA DE LA PENDIENTE - INCREMENTOS Vimos que para determinar el valor de la ordenada al origen teníamos que ubicar sobre el eje el valor del coeficiente b. Dicho de otro modo, la ordenada al origen está representada por la intersección de la recta con el eje, es decir, para = 0. En cambio para obtener el valor de la pendiente a solamente hemos podido determinar con eactitud su signo: será positivo cuando el ángulo < 90º, será negativo cuando > 90º. Veremos ahora cómo hacer para determinar con eactitud su valor. Definiremos el valor de la pendiente como el cociente entre la variación de ordenadas la variación de abscisas. a Para tener en cuenta el signo, que debe coincidir con lo que a sabemos, se consideran dos puntos cualesquiera de la recta se los une recorriendo las proecciones sobre los ejes. Si el recorrido en se hace hacia arriba se considera positivo; si se realiza hacia abajo se considera negativo. Para el eje si el recorrido se hace a la derecha será positivo; si se hace hacia la izquierda se considerará negativo. Como la pendiente es un cociente, se aplica la regla de los signos. Realiza el siguiente ejercicio: 9) Dadas las gráficas de rectas en un diagrama cartesiano sus intersecciones con los ejes, determine las ecuaciones de dichas rectas con el procedimiento anterior. Es conveniente comenzar con el valor de ordenada al origen b luego utilizar las variaciones, respetando los signos, para hallar un segundo punto de la recta.
12 + Y - X + X - Y = = = = RECTAS HORIZONTALES Y RECTAS VERTICALES Para describir una recta horizontal, sabemos que la pendiente es NULA su ecuación entonces es de la forma = b. =b Para describir los puntos de una recta vertical, en cambio se dice que la pendiente es indefinida su ecuación entonces es de la forma =a. =a
13 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Para determinar la distancia entre dos puntos p p, de los cuales se conocen sus coordenadas p ( ; ) p ( ; ), bastará con aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por las variaciones de abscisas (Δ) ordenadas (Δ) como catetos calcular el valor de la hipotenusa que es la distancia entre dichos puntos. d siendo Se observa lo dicho en el siguiente gráfico: Sean p (-, ) p (0, ) dos puntos entre los que se quiere medir la distancia. Se calcula las variaciones en cada eje: = = 0 - (-) = = = = - d ( ) Observación: Calcular o llevará al mismo resultado por el hecho de estar elevados al cuadrado las variaciones tanto de como de. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Para determinar rectas paralelas perpendiculares realizaremos las siguientes representaciones en un mismo gráfico, con un color las primeras con otro las segundas: a) b)
14 c) Cómo son entre sí las rectas de cada grupo? d) Qué tienen en común sus ecuaciones? e) Cómo son las rectas de un grupo con respecto a las del otro? f) Cómo son los coeficientes de (pendiente) en la primera familia de rectas con respecto a los coeficientes de en la segunda familia? g) Enuncia conclusiones: Si dos rectas son paralelas, los coeficientes de (sus pendientes, los valores de a) son Si dos rectas son perpendiculares, los coeficientes de (sus pendientes, los valores de a) son Cuando se habla de rectas paralelas, se está haciendo referencia a rectas que tienen la misma inclinación, formando con el eje el mismo ángulo de inclinación; de acuerdo a lo que se visto, esto es sinónimo de decir que tienen la misma pendiente a. Obsérvese que para que las rectas sean paralelas no coincidentes, el punto de intersección con el eje debe cambiar, o sea que la ordenada al origen b debe ser distinta. Por lo tanto: Dos o más rectas son paralelas no coincidentes si sólo si tienen la misma pendiente la ordenada al origen es distinta. En el ejemplo anterior: R : = + R : = R : = Simbólicamente: R R R se lee: R es paralela a R, paralela a R Se observa que si la ordenada al origen es la misma tienen la misma pendiente, se dice que las rectas son paralelas coincidentes. En cambio si se habla de rectas perpendiculares, el ángulo que forman dichas rectas es de 90º, por lo que los ángulos de inclinación de cada recta respecto del eje, difieren en 90. Es decir: si una recta R (de pendiente m ) forma un ángulo con el eje, una recta R (de pendiente m ), perpendicular a ella formará un ángulo (90º+). Esto provoca que las pendientes sean opuestas recíprocas. Aunque más adelante se tratará este tema, analizándolo según los ángulos, las pendientes de rectas perpendiculares serán: Por lo que: a = tg a = tg (90º + ) a a
15 En conclusión: Dos rectas son perpendiculares sí sólo si sus pendientes son opuesta recíprocas. En el ejemplo: R : = + R : = + Simbólicamente: R R se lee: R es perpendicular a R. ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Dado un determinado punto p de coordenadas ( ; ) se trata de determinar la epresión que represente a una recta que pasa por ese punto. Como geométricamente por un punto pueden pasar infinitas rectas, para determinar eclusivamente una de ellas, habrá que conocer su dirección, es decir el valor de la pendiente a. La situación se puede epresar de la siguiente manera: Datos p ( ; ) a (pendiente) Inc. b (ordenada al origen) Se recuerda que la pendiente de una recta, informa la inclinación de la recta respecto al eje, por lo que se involucra un ángulo. Dado un punto p de coordenadas ( ; ), la pendiente se calcula como la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación: a = tg Como la tangente se calcula como el cociente entre el cateto opuesto el adacente (como se verá más adelante), entonces se observa el gráfico p (, ) p(,) 5
16 Luego: a = tg = cateto opuesto cateto adacente En tal caso, para resolver el problema se utiliza la denominada ecuación de la recta que pasa por p = ( ; ) tiene pendiente a: Ejemplo: = a ( ) Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto p (-;) tiene pendiente a=-/ luego represéntela. Datos = - ; = a = -/ ( ) ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Dados dos puntos p p de coordenadas ( ; ) ( ; ) se trata de determinar la epresión que represente a una recta que pasa por esos puntos. Como geométricamente por dos puntos pasa una sólo una recta, su dirección, es decir el valor de la pendiente a estará determinada por las diferencias de ordenadas abscisas de los puntos conocidos. La situación se puede epresar de la siguiente manera: Datos p ( ; ) p ( ; ) Inc. a (pendiente) b (ordenada al origen) En tal caso, para resolver el problema se utiliza la ecuación de la recta que pasa por un punto como en el caso anterior (por cualquiera de ellos), para determinar la pendiente recordaremos la epresión - que provenía de la definición de pendiente-: a 6
17 7 que reemplazándola en la epresión de una recta que pasa por un punto, nos queda: Ejemplo: Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos p (-;) p (;-) luego representarla. Datos Primeramente determinamos el valor de la pendiente de la recta: 6 ) ( a Y ahora reemplazamos todos los valores en la epresión correspondiente: ) ( ECUACIÓN DE UNA RECTA A PARTIR DE LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS Consideremos una recta de la cual se conocen los puntos de intersección con cada uno de los ejes. La intersección con el eje la denominamos ordenada al origen b, en este caso el punto (0;). La intersección con el eje la denominaremos 0 que corresponde al punto (-;0). En principio se trata de un caso similar al anterior, por lo que se aplica directamente la ecuación de una recta que pasa por dos puntos: ) ( 0 0 a ) ( 0 = - ; = = ; = - ( ) 0 = - b = (-;0) (0;)
18 Cuando se presenta una situación como la anterior, es posible utilizar otra forma o epresión de la recta denominada forma segmentaria que tiene en cuenta solamente los valores de intersección de la recta con los ejes: 0 b Si ahora reemplazamos los valores de b, 0 resolvemos algebraicamente, llegaremos a la misma epresión que obtuvimos anteriormente: Realiza los siguientes ejercicios: 0) Para cada caso, encuentra la ecuación de la recta grafique: a) tiene pendiente m = - 5 ordenada al origen b = -. b) tiene pendiente m = - pasa por el punto de coordenadas (0;-). c) es paralela a la recta = - + contiene al punto p(-;). d) es perpendicular a la recta = -5 + pasa por el origen de coordenadas. e) pasa por los puntos p(-;) q(0;). f) pasa por los puntos r(;-) s(-;-5). g) que pasa por el punto p(;) es paralela a la recta que contiene a los puntos r(0;) q(;5). ) Un ingeniero debe comprar una maquinaria para elaborar determinados artículos para su empresa, cuo costo fijo es de $5.5. Si cada artículo tiene un costo de $7 entre mano de obra material se deben vender a $58. a) Determina si gana o pierde cuánto, si vende artículos. b) Si se desea una utilidad de $.56, cuántos artículos debe vender? ) Se desea cercar un parque de forma rectangular cuo perímetro es de 0m. Cuáles deben ser las medidas de los lados, si se quiere que el largo supere al ancho en m? Se necesita cercar colocando postes cada m. Cuánto gastará en cercar si el metro lineal de cerca le cuesta $5 entre material mano de obra los postes tienen un costo de $ cada uno? 8
19 ) Una empresa A de alquiler de vehículos para uso particular, cobra $5 fijos más $ por kilómetro recorrido, mientras que la empresa B cobra sólo el kilometraje recorrido a $7 cada uno. a) Determina la situación para la cuál es indistinto contratar una u otra empresa b) Indica cuándo le conviene más una empresa que la otra por qué. c) Grafica en un sistema de ejes coordenados las rectas que modelan la situación. ) Desde el primero de enero de este año a la fecha, el precio de la harina a aumentado a un ritmo constante de pesos por mes. El día de agosto, el precio alcanzó el precio de $.0 por kilo. a) Escribe la epresión que coloca al precio en función del tiempo medido en meses. b) Determina el precio a fin del año. 5) Tres operarios trabajan una cierta cantidad total de horas semanales en la supervisión del ensamblado de teléfonos satelitales. El tiempo dedicado por el primero de ellos, es igual a /5 del tiempo empleado por el segundo éste emplea 5/8 del dedicado por el tercero. a) Determina la epresión que coloca el número total de horas en función del tiempo. b) Cuántas horas semanales permanece en la supervisión el primer operario, si el tiempo total de trabajo es de 96 horas? 6) Se coloca, sobre el fuego, un recipiente con agua que está a 0ºC de temperatura. La temperatura aumenta a razón de 5ºC por minuto al llegar a 00ºC, que es su punto de ebullición, se mantiene a esa temperatura hasta su total ebullición. a) Escribe la epresión de la temperatura en función del tiempo transcurrido. b) Determina en qué momento alcanza el punto de ebullición. c) Indica qué temperatura tiene el agua a los a los 0 minutos. 7) Se desea construir un rectángulo cuos vértices son los puntos p(-;), q(;-), s( ; ) r( ; ). Los puntos p q son vértices opuestos. Determina las coordenadas de los puntos s r. 8) Si s(t)= t + describe el espacio recorrido por un móvil que se desplaza con MRU (t en segundos s en metros). Determina: a) El espacio recorrido a los 5 segundos, a los 0 segundos a los 5 segundos. b) La ecuación que describe el espacio recorrido por otro móvil que se desplaza a igual velocidad que está metros adelantado con respecto al primero. c) La ecuación que describe el espacio recorrido por otro móvil que se desplaza al doble de velocidad en el instante t=0 se encuentra en el mismo punto que el primero. 9
20 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Hagamos un poco de historia Los babilonios (5000 a.c. 600 a.c.) a presentaban, su gran desarrollo algebraico, pero inclusive antes que en ellos, se ha podido encontrar el cálculo de áreas de polígonos regulares, su relación con los lados hasta el uso de un valor bastante aproimados para el número. Muchos problemas encontrados en tetos babilonios se resuelven con un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por ejemplo: / anchura + longitud = 7 manos, longitud + anchura = 0 manos, se supone que longitud, área, anchura volumen eran usadas a modo de incógnitas, a que aún no se inventaba el alfabeto para usar letras tal como ho se hace Se debe destacar la importancia de los sistemas, pues en la vida diaria, en resolución de problemas en el campo de cualquier ciencia, surge la necesidad del planteo de trabajar con más de una ecuación más de una incógnita. En la sección anterior, se ha estado trabajando con las ecuaciones de la recta sus aplicaciones, analizando, fundamentalmente su representación gráfica. Esto se debe a que el lenguaje gráfico auda a conceptualizar a veces también permite resolver una situación. Se enfrentará en esta sección a problemas que requieren el planteo de ecuaciones que presentan dos incógnitas situaciones que presentan dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a lo cual se le denomina sistemas de ecuaciones lineales. Introducción Vamos a comenzar proponiéndote situaciones que se resuelven con el concepto de sistemas de ecuaciones lineales. ) Juan le hizo las compras en la verdulería a su mamá dos días seguidos. Su mamá le preguntó cuánto cuesta el kg de naranjas el kg de peras. Juan no lo recuerda pero si recuerda que el primer día gastó $ 6,50 trajo kg de naranjas kg de peras, que el segundo día trajo 5 kg de naranjas 0 kg de peras gastó $ 7,50. Se puede conocer el precio de cada fruta con esos datos? Cómo se resuelve? ) Una persona dispone de $ 00 para gastar entre alimentos transporte. A gastos de transporte debe destinar a lo sumo un tercio del total. Hallar las posibles soluciones que cumplan con las condiciones dadas. Para poder resolver las situaciones anteriores, se deberá tener algunos conceptos previos que se trabajarán a continuación. 0
21 ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS Al estudiar la ecuación de la recta, se epresó en forma eplícita como: a b En cualquiera de los casos, las epresiones analizadas como ecuaciones, representan ecuaciones lineales o de primer grado, a que ambas variables están elevadas a la primera potencia, con dos incógnitas ( e ). Desde el punto de vista de las ecuaciones, al tratarse de una sola ecuación con dos incógnitas, posee infinitas soluciones, que gráficamente representan los infinitos puntos que constituen una recta en el plano cartesiano. Simbólicamente una ecuación con dos incógnitas presenta: Coeficiente de a. + b. = c Coeficiente de Término independiente Siendo a, b c números reales Se analiza el siguiente ejemplo: En una tabla que registra la relación entre la cantidad de kg de un paquete de azúcar con el precio que tiene el mismo: Cantidad de kg del paquete Precio ($) (en kg) 7,90 5,80,70,6 8,,5 5,55 Se puede describir la situación como = 7,90. ; teniendo una ecuación con dos incógnitas, que como se sabe que representa a una recta, se tendrán infinitos pares de números (, ) que son solución para esta ecuación. Entonces los pares de valores mostrados en la tabla representan algunos de esos infinitos puntos. Se pueden obtener nuevas soluciones asignando a cualquier valor numérico adecuado calculando el correspondiente valor de. Si en lugar de tener una recta en el plano, se tiene dos rectas en el mismo plano, se está en presencia de lo que se denomina sistema de dos
22 ecuaciones lineales con dos incógnitas, cua solución se interpretará gráficamente. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Cada ecuación lineal en dos variables se representa gráficamente mediante una recta en el plano. Por lo tanto, una forma de encontrar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales es graficar las rectas correspondientes a cada ecuación determinar los puntos de intersección si eisten. Puede ocurrir que las rectas tengan o no puntos en común. Si los tiene, es porque ha solución para el sistema se indica que el sistema es compatible o consistente. Pero dependiendo de cuántos puntos sean comunes, se puede encontrar con las siguientes situaciones: a) Las rectas se intersecan en un único punto: en este caso eiste solución única, se dice que el sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado (SCD). b) Las rectas sean paralelas coincidentes: en este caso eisten infinitas soluciones, se dice que el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado (SCI). c) Las rectas sean paralelas no coincidentes, en este caso no eiste ningún punto de intersección, se dice que el sistema de ecuaciones lineales es incompatible o inconsistente (SI). Si se recuerde las posiciones relativas de dos rectas en el plano, se puede interpretar clasificar los sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L.) según se muestra en la tabla: Rectas Secantes Tiene un punto de intersección Sistema Compatible Determinado Posee solución única: las coordenadas (; ) del punto de intersección. Paralelas No Coincidentes No tienen ningún punto común o de intersección. Sistema Incompatible El conjunto solución es vacío. Rectas Paralelas Coincidentes Tienen todos sus puntos comunes. Sistema Compatible Indeterminado Tiene infinitas soluciones. Se verá la siguiente aplicación: En una tienda de artículos para limpieza, Cristina compra litros de detergente 5 litros de lavandina por un total de 5 unidades monetarias. Su amiga Liliana compra litros de detergente 0 litros de lavandina del mismo tipo pagó
23 Y:Precio lavandina en total 6 unidades monetarias. Cuál es el precio en unidades monetarias de cada litro de detergente de cada litro de lavandina? En primer lugar, se planteará la situación en una tabla, llamando al número de escobillones e al número de trapos de piso comprados Simbólicamente: + 5 = =6 Litros de detergente Litros de lavandina Precio pagado (unidades monetarias) Cristina 5 5 Liliana 0 6 Se observa que cada ecuación representa la ecuación de una recta en el plano. Hallar la solución del sistema planteado significa encontrar los valores de de que satisfacen simultáneamente las ecuaciones, lo que gráficamente indica encontrar el punto de intersección entre ambas rectas. Como no se tiene herramientas para hallar una solución analítica, se resolverá en forma gráfica. La forma eplícita de las ecuaciones anteriores es: 5 = - (Cristina) = - (Liliana) 0 0 cua representación es: X: Precio detergente
24 Las rectas se cortan en un único punto, de coordenadas = 8 e =, como se observa en la gráfica. Se dice que el punto del plano (8, ) es la solución del sistema, a que si se reemplaza dichos valores en las ecuaciones, se verifica la igualdad: = + 0 = = + 0 = 6 Entonces, se dirá que: Un par de números reales (, ) es solución de un sistema de ecuaciones, si al sustituir las incógnitas por dichos números convierte dichas ecuaciones en igualdades numéricas. Normalmente, al resolver ecuaciones, se le llama conjunto solución al conjunto formado por todos los valores posibles que satisfacen dicha ecuación. 8, En nuestro problema el conjunto solución es: S = SISTEMAS EQUIVALENTES Se considera el sistema: 8 5 Es fácil de observar, que la solución del sistema es el par = 0 e =. Al verificar: 0 = 8; 0 = 5. La solución del sistema dado es única, por lo tanto, el conjunto solución es: S = {(0, )} Si se toma ahora el sistema: 8 Y se reemplaza a por 0 a por, se observa que se verifican las igualdades, por lo que también es solución de este sistema, o sea que ambos sistemas presentan la el mismo conjunto solución. En este caso, se dice que los sistemas son equivalentes. Dos sistemas del mismo número de incógnitas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. RESOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. El concepto de ecuaciones equivalentes es útil para resolver algunos sistemas. Esto se logra haciendo algunas transformaciones como las siguientes: o Si en un sistema de ecuaciones se permutan dos ecuaciones, se obtiene un sistema equivalente al primero.
25 o Si una ecuación de un sistema se multiplica por un número real no nulo, se obtiene un sistema equivalente al primero. o Si una ecuación de un sistema se sustitue por la suma de ella con otra ecuación del sistema, multiplicada por un número no nulo, se obtiene un sistema equivalente al primero. En la resolución de sistemas se buscan sistemas equivalentes al dado que sean más fáciles de resolver, por ejemplo, uno donde una incógnita esté despejada. Ejemplo: 5 Multiplicando por la primera ecuación 5 Sumando ambas ecuaciones colocando su resultado en la segunda ecuación 8 Con lo que resulta: El sistema obtenido es equivalente al dado en él tenemos que el valor de es. Con ese valor reemplazamos en la otra ecuación para obtener, como se hace a continuación:. 6 Con lo cual la solución del sistema es = e =. Se puede comprobar que los sistemas escritos en cada paso son equivalentes reemplazando en ellos e por los números hallados. El conjunto solución del sistema es: S = {(, )} MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un S.E.L. es determinar el conjunto solución del mismo, para lo cual primero se determina qué tipo de sistema es (SCD, SCI, SI). Para ello se emplean distintos métodos que se puede clasificar como sigue: Método Gráfico Métodos Analíticos: o Igualación o Sustitución o Reducción por Sumas Restas o Determinantes Se debe recordar que los distintos métodos, son distintas maneras de llegar al conjunto solución. 5
26 De los métodos analíticos sólo se desarrollarán el de igualación sustitución. Método Gráfico El método gráfico consiste en representar en un plano las dos rectas que forman el sistema, como se vio en el ejemplo anterior. Se utiliza las ecuaciones eplícitas de las rectas, es decir, = f(), se representa haciendo uso de las ordenas al origen las pendientes. Por ejemplo: 7 Despejando la variable para obtener la ecuación de las rectas: 7 Representando ambas ecuaciones en el plano cartesiano, se obtiene las rectas de la siguiente figura: = (, ) = El punto de coordenadas (, ) representa la solución del sistema, a que es el punto de intersección de ambas rectas, es decir, que: S = {(, )} 6

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