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Timestamp: 2019-03-21 12:42:18+00:00

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“Ejercicios anticipados” y “zona de desarrollo próximo”: comportamiento estratégico y lenguaje comunicativo en actividad de resolución de problemas
D’Amore B., Fandiño Pinilla M.I., Marazzani I. (2004). “Ejercicios anticipados” y “zona de desarrollo próximo”: comportamiento estratégico y lenguaje comunicativo en actividad de resolución de problemas. Epsilon. [Sevilla, Spagna]. 57, 357-378.
Bruno D’Amore, Martha Isabel Fandiño Pinilla, Ines Marazzani
Núcleo de Investigación en Didáctica de la Matemática
Departamento de Matemática - Universidad de Bologna – Italia
Abstract. This study investigates the idea of “in advance exercise”, based on specific stimulus texts in situations of autonomous and collaborative problem-solving, as defined by Vygotsky, within the zones of proximal and potential development, with a view to identifying types of behavioural strategies linked to a range of variables. Resumen. En este trabajo se estudia la idea de “ejercicio anticipado”, es decir, de particulares textos - estímulos en situación de resolución de problemas, autónoma y colaboradora, según las definiciones de Vygotskij, en el ámbito de las zonas de desarrollo próximo y potencial, con el fin de conocer tipologías estratégicas de comportamiento sobre la base de diversas variables. Resumé. Dans ce travail on étudie l’idée de “exercice anticipé”, c’est à dire de textes-stimulations particuliers en situation de résolution de problèmes, autonome et en collaboration, selon la définition de Vigotsky, dans le cadre des zones de développement proche et potentiel, au but de connaître les typologies stratégiques de comportement sur la base de différentes variables. Sunto. In questo lavoro si studia l’idea di “esercizio anticipato” cioè di particolari testi-stimolo in situazione di problem solving, autonomo e collaborativo, secondo le definizioni di Vygotskij, nell’àmbito delle zone di sviluppo prossimale e potenziale, allo scopo di conoscere tipologie strategiche di comportamento in base a diverse variabili.
El presente trabajo se desarrolló en el ámbito del Proyecto de Investigación de la Unidad de Bologna: «Investigación sobre el funcionamiento del sistema: alumnomaestro-saber», dentro del Programa de Investigación Nacional: «Dificultad en matemática: instrumentos para observar, interpretar, intervenir», co-financiado con fondos del M.I.U.R. (Ministerio de la Instrucción, de la Universidad y de la Investigación, Italia).
1. Marco teórico en el cual se sitúa nuestra investigación
Delinearemos en cinco puntos, del 1.1. a 1.5, el marco teórico en el que se sitúa nuestra investigación. Daremos a continuación algunas definiciones que serán útiles. 1.1. La “zona de desarrollo próximo” Debemos a Vygotsky (1931-80) una distinción, al día de hoy considerada clásica, entre dos ideas concernientes al desarrollo individual: • “nivel efectivo de desarrollo”: se trata de un modo de expresar en forma esquemática la idea de competencia efectivamente adquirida en un determinado momento del desarrollo cognitivo de un individuo; la “zona” en la cual se sitúa este nivel se llama “zona efectiva”; • “nivel potencial de desarrollo”: análogo, para las competencias que potencialmente en un futuro próximo un individuo puede adquirir; la “zona” en la cual se sitúa este nivel se llama “zona potencial”. La actividad didáctica tiene, por razones opuestas, poco sentido en cada una de estas “zonas”: • en la primera, sólo puede confirmar los conocimientos ya adquiridos; • en la segunda, no puede producir competencia o construcción de conocimiento, dado que quien está en fase de aprendizaje (el aprendiz) no tiene aún la competencia necesaria para entender lo que se le está proponiendo. Por tanto, la actividad didáctica se debe jugar toda entre la zona de desarrollo efectivo y la zona de desarrollo potencial, en aquella que se llama “zona de desarrollo próximo”, es decir «la distancia entre el
El nivel efectivo de desarrollo caracteriza el desarrollo mental retrospectivamente. Por tanto. comprendida entre estas dos zonas: • lo que un individuo sabe hacer autónomamente pertenece a la zona efectiva. funciones que madurarán mañana pero que en el momento actual están en estado embrionario. Vygotsky hizo experimentos con los cuales demostró que «aquello que hoy está en la zona de desarrollo próximo será el nivel de desarrollo efectivo mañana». que efectivamente podían 3 . según Vygotsky. sino a situaciones de resolución de problemas (problem solving) y distingue dos formas de esta actividad: • problem solving autónomo. es decir aquella zona donde el aprendiz puede construir conocimiento. es decir afrontado por el aprendiz autónomamente. pero antes de la potencial. publicados en los años 30’. • problem solving colaborativo. en el momento de presentar esta distinción.nivel efectivo de desarrollo (…) y el nivel de desarrollo potencial (…)». consideró también los estudios de McCarthy. Escribe el mismo Vygotsky: «La zona de desarrollo próximo define aquellas funciones que no son aún maduras pero que están en proceso de maduración. sirve para definirla y reconocerla (más aún. está. mientras la zona de desarrollo próximo caracteriza el desarrollo mental prospectivamente». la situación es un poco más sutil. Vygotsky se refiere explícitamente no a genéricas actividades didácticas de aprendizaje. pero. Con el fin de testimoniar lo antes descrito. con este objetivo. • lo que un individuo hace en colaboración podría no ser del todo adquirido en modo autónomo. En el texto al cual hacemos referencia. en actividad de problem solving. si dicha colaboración se dio. los resultados del problem solving en colaboración podrían revelar más elementos relacionados con las competencias individuales que no el llamado autónomo). la zona operativa de la didáctica es más allá de la zona efectiva. por tanto. es decir afrontado por el aprendiz bajo la guía de un adulto o en colaboración con un coetáneo que ha alcanzado un mayor éxito en la actividad. En realidad. como lo dice el mismo Vygotsky en el texto citado. La zona de desarrollo próximo. por lo menos. entonces su hacer forma parte de la zona potencial o.
y siguientes]. Por tanto. Es por demás obvio que. en esta distinción. En la colaboración entre aprendiz y adulto o coetáneo más hábil. dependiendo del ámbito en el cual viene propuesto (por ejemplo. por su misma naturaleza. se trata de un verdadero y propio acto creativo. Un texto – estímulo puede ser al mismo tiempo un ejercicio o un problema. véase D’Amore (1997). entendida no solo como pasividad repetitiva. • por su misma definición. sobre la base de sus propias competencias. Sirve aquí recordar solamente que: • la realización de un ejercicio implica. 1931-80). 1. reviste seguramente un papel de extraordinaria importancia el aprendizaje por imitación. debe saber organizarlas con el fin de idear una solución o usar una determinada estrategia que antes no ha sido experimentada. por lo cual. sino como la activación de mecanismos autónomos sobre la base de un modelo comportamental exitoso que le ha sido propuesto. 2. según el nivel escolar). Sobre la profunda diferencia de las funciones didácticas de ejercicios y problemas ya se ha escrito bastante. tanto que no consideramos necesario aportar citas bibliográficas.demostrar esta afirmación [para tener más detalles.4. un papel central le espera a los miembros de una sociedad en el interior de la cual quien aprende está inserto: «El aprendizaje humano presupone una naturaleza social específica y un proceso a través del cual los niños se integran gradualmente a la vida intelectual de aquellos que los circundan» (Vygotsky. Expliquémoslo mejor. se puede ver por ejemplo D’Amore (1997). no se requiere ningún acto creativo. la resolución de un problema implica poner en juego actividades creativas: el estudiante. la naturaleza de un texto – estímulo es en un cierto sentido neutral. Los ejercicios “anticipados” Es bien conocida por quienes se ocupan de didáctica de la matemática la distinción entre “ejercicio” y “problema”. apartado 4. una actividad no creativa en la cual se emplean competencias ya adquiridas: efectuando un ejercicio el estudiante pone en juego sólo saberes ya adquiridos. 4 . en cambio.
14. como preliminares a una investigación. Entonces. elocuente según nuestro parecer. de uso y consumo rutinario en la escuela. en un cierto punto • 5 . por así decirlo. Uno de los autores de este artículo hizo algunas pruebas sobre este texto en Argenta. 1993) juega un papel de extraordinaria importancia. es el siguiente. con el único fin de recoger indicios).Un ejemplo. analizando el comportamiento de los niños. el proceso de volición. ¿qué es lo que distingue un problema de un ejercicio anticipado?. ya presentado en D’Amore 1992. esperamos que el estudiante tome la medida del diámetro en cm (a lo sumo después de haberlo trazado) y después calcule la medida de la circunferencia multiplicando la medida del diámetro por 3. Es sólo. la naturaleza escolar – práxica del texto: nosotros pedimos que el ejercicio anticipado sea un ejercicio estándar. provincia de Ferrara. • Si este estímulo viene propuesto en el 3° grado de escuela primaria. no nos detendremos aquí. las pruebas fueron efectuadas. Es necesario testimoniar que se revela de importancia estratégica el desear proceder en la resolución: la pareja de procesos motivación – volición (Pellerey. por sí mismo. los resultados son extremamente diferentes. entre 1990 y 1991. de manera no sistemática. Se considera el siguiente test: en una hoja de papel blanco sin líneas se dibuja una circunferencia y se invita al estudiante a medirla en cms: ¿Cuántos cms mide? Si este estímulo viene dado en el 3° grado de escuela media (niños de 11-14 años). a nivel de escuela primaria es más fácil llevar a cabo un proceso de motivación con el fin de que el estudiante active. (Sobre tales comportamientos. Se sabe también que.
su anticipación produce resultados cognitivos nulos y una actividad resolutiva (sensata) inexistente. precisamente.estímulo contenido en un ejercicio anticipado no debe contener símbolos formales desconocidos o.del itinerario escolar. Es obvio que el texto . Aún más en general: el ejercicio anticipado se elige de forma tal que quien lo recibe este en situación de entender el sentido del texto escrito y el sentido de la pregunta. • si. Esta consideración nuestra. La idea de “distancia” Podemos por tanto afirmar. pero está demasiado lejos de la zona efectiva. en el caso de la medida de la circunferencia. sobre la base de lo expuesto hasta aquí. más en general. transportado algún tiempo antes. la hacemos explícita de una vez por todas y no se repetirá en las líneas siguientes. con respecto a las competencias necesarias para resolver un cierto problema. 6 . Es por tanto intuitivo lo que sigue: • si un ejercicio forma parte de la zona potencial. términos u otros aspectos incomprensible. [Como ejemplo concreto. a la cual no podemos renunciar. entonces podrían producirse resultados cognitivos interesantes. por así decirlo. mientras el ejercicio anticipado no es otra cosa que un ejercicio de la zona de desarrollo potencial pero. anticipado. con la suficiente motivación para sumergirse en el intento de resolución y el deseo de enfrentarlo verdaderamente. Ejercicios anticipados y zona de desarrollo. solo que dicho texto – estímulo viene propuesto antes de aquel momento. tomamos en examen alumnos de 3° grado de primaria y les dimos como problema un ejercicio del 3° grado de la escuela media]. 3. y la zona potencial en la cual dicho texto debe ser considerado sólo un ejercicio. 1. dándola por descontada. el sujeto entiende el sentido de la solicitud. En líneas anteriores hicimos referencia a la mayor o menor “distancia” entre la zona efectiva en la cual se encuentra un individuo. que el ejercicio se juega todo en la zona efectiva. por el contrario. como parte de la definición misma de “ejercicio anticipado”.
sin embargo. es bastante probable que dicho estudiante no afronte la actividad que reconoce 7 . 13° para el último grado de la escuela superior. 1. 4. suponiendo que los alumnos a quienes se les propuso este texto tenían las competencias exigidas. (Si q-p=0. es decir. …. [En el caso de la medida de la circunferencia. es obvio que las definiciones de zona efectiva. Por “grado qésimo” entendemos banalmente: 1° para el primer curso de la escuela primaria. 2° para el segundo curso. Si A cursa el grado pésimo y E pertenece como ejercicio al grado qésimo. definimos la idea de “distancia” entre la zona efectiva de un determinado individuo A. es un hecho puramente individual y relacionado con el objeto específico de aprendizaje. la “distancia” se determinó genéricamente como 5. entonces el alumno pone en juego todas sus estrategias para dar una solución. con p<q. • si tales condiciones no fueron creadas o no produjeron ningún efecto sobre un alumno en particular. con el único objetivo de hacer comprensibles los procesos de investigación. zona potencial y zona próxima. según la tradición difusa y compartida por los maestros (como “jueces” de estos tipos de pertenencias. a quien se le ha dado para resolver un ejercicio anticipado E. consideramos siempre el juicio de maestros basándonos en su experiencia y en su criterio). siguiendo el criterio de maestros expertos.Ahora bien. Supongamos que solo nos interese el ambiente escolar y fijemos las ideas sobre la organización escolar italiana. tanto para el grado que estaban cursando como en relación con la temática involucrada]. E es un ejercicio para A). podemos suponer desde ya que se pueden encontrar dos macro-tipo de respuesta actitudinal: • si existen las condiciones para que el alumno desee a cualquier costo dar una respuesta (por ejemplo: porque se crearon las bases de una verdadera motivación). entonces.… 6° para la primer grado de escuela media. y la zona potencial a la cual E pertenece por derecho como ejercicio. decimos que la distancia de E para A es el valor q-p. Los ejercicios anticipados como ocasión de actividad Si a un alumno en particular (SITUACIÓN AUTÓNOMA: SA) se le propone un ejercicio anticipado. están ligadas a cada individuo. … 8° para el tercer grado de la escuela media.
gracias a una regla. los alumnos que enfrentaron este ejercicio operaron concretamente. los alumnos operaban correctamente: hubo quien intentó medir con la regla. aunque por razones diversas. Definimos la primera de estas condiciones: • SA con motivación y volición positivas (SAm). el estudiante recurre a una práctica operativa concreta. el lenguaje adquiere un peso significativo.como nueva. para trazar después. dado que no tiene los instrumentos cognitivos. otros extendieron papel o hilo a lo largo de la circunferencia. Por tanto. Ejercicios anticipados y lenguaje Tanto en las situaciones SA como en las SC. aquella que 8 . podemos suponer también en este caso. En todos los casos de SAm. Si a un alumno se le propone un ejercicio anticipado. Nuestra prueba fue presentada en situación SA y el mayor número de los comportamientos actitudinales fueron SAm y (casi) ningún SAn. mientras definimos la segunda: • SA con motivación y volición deficientes (SAn). no congruente con sus propias competencias. en el mismo tiempo. un segmento de igual longitud (la circunferencia rectificada … en el mismo tiempo). pero se le asigna un adulto o un compañero que ha afrontado la actividad con éxito (SITUACIÓN COLABORATIVA: SC). deslizándola a lo largo de la circunferencia. volvamos al test de la circunferencia presentado líneas arriba. 1. Iniciemos con las SA. en todos los casos de SAm. dos macro-tipo de respuestas actitudinales análogas: SCm y SCn. otros intentaron con el transportador. se encontró también el caso de un niño que intentó cronometrar el tiempo que empleaba la punta de un compás en diseñar la circunferencia. Se puede pensar que. 5. pensándolo como una… regla curva apta para medir la circunferencia. Para dar una explicación concreta de lo que entendemos con la precedente afirmación. nunca antes afrontada.
En este caso. heurístico: la explicación de aquello que él hizo. Los dos usos del lenguaje externo son en ambos casos de la categoría diversas formas de discurso. él. se pedía siempre al alumno que explicara cual había sido su estrategia resolutiva. Vygotsky contrapone un lenguaje interior que no tiene función comunicativa y que es por tanto perceptible sólo por quien lo usa. solicita etc. el lenguaje externo es usado al final del proceso resolutivo para comunicar al adulto entrevistador cual fue la modalidad seguida para la resolución. una de las cuatro categorías en las cuales 1 A tal lenguaje externo. con voluntad comunicativa explícita. destinado a otra persona con la intención de hacerle entender):1 • en la situación SAm. estamos de frente a lo que Vygotsky llama lenguaje externo (con función de comunicación y. el lenguaje externo permite un intercambio entre alumno y adulto o coetáneo más hábil. Frente a la propuesta de ejercicio anticipado.parece estar dominada por la praxis y no por las competencias teóricas (que se da cuenta de no poseer). por tanto. en relación con el lenguaje. el alumno debe entrar en sintonía comunicativa con el adulto o con el compañero más hábil que le ha sido asignado como colaborador. Este último asume el papel de guía y arrastra consigo al menos experto. Al terminar la resolución del ejercicio anticipado en el caso de la circunferencia. recurriendo a una explicación del proceso de solución que es en general afrontada simultáneamente. (casi) siempre de tipo práctico. • en la situación SCm. aspecto que también Vygotsky (1931-80) estudió ampliamente. Veamos ahora por qué el lenguaje es importante en situaciones SC. 9 . el segundo da indicaciones al primero y el primero comenta. adquiere gran importancia el lenguaje como intercambio social. dando ampliamente razón a Vygotsky (1931-80): «El lenguaje y la acción forman parte de una única y compleja función psíquica. En las dos situaciones SA y SC. dirigida a la solución de los problemas (…)». exponía en realidad lo que había hecho.
[Somos conscientes del hecho que para declarar “positiva” la presencia de procesos de motivación – volición se necesitarían definiciones objetivas. Sigamos enumerando los problemas de investigación: 2 Las otras son: lengua (sistema semiótico con funcionamiento propio). entonces los porcentajes de SAm y de SCm superan ampliamente aquellos de SAn y de SCn respectivamente?. de un objeto. más en modo cualitativo que cuantitativo. por lo menos para nosotros. de un proceso.2 Las diversas formas de discurso son. Problemas de investigación Antes de continuar. parte de los resultados de la investigación pueden cambiar. según Duval. conversación. Uno de los objetivos de esta investigación (si queremos. solicitud de explicación.Duval (1996-97) categoriza el término “lenguaje”. secundario) era el de proponer ejercicios anticipados a distancias diversas solo para recoger tipologías de comportamiento resolutivo en el ámbito de problem solving en este tipo de situación. por ejemplo: narración. hicimos siempre la elección de proponer como colaborador del alumno que participaba en la investigación no un adulto. declaramos que. en el caso del problem solving colaborativo (SC). definir la “medida” de dicha “positividad”: nos limitamos a evidenciar este aspecto gracias a las entrevistas efectuadas antes. ¿Es verdad que si existe una presencia positiva de procesos de motivación – volición. explicación. durante y después de las pruebas. actualmente. función general de comunicación. El primer problema de investigación que nos pusimos fue el siguiente: P1. … Nosotros agregamos: descripción de un hecho. … 2. 10 . uso de (cualquier) código. cambiando esta variable. pensamos que. Es presumible que. sino un compañero que había alcanzado éxito en la actividad. es imposible. Daremos algunos ejemplos].
P2. P3. Dado que el ejercicio anticipado conserva su naturaleza de ejercicio y el estudiante entiende (por definición) el texto (o por lo menos el sentido) y la pregunta (o por lo menos el sentido). ¿Es posible caracterizar dicho lenguaje de alguna forma? P6. SCm. En este punto le proponemos un ejercicio anticipado del mismo tipo. 11 . le corresponde menor empeño?. Si así fuese. SCn?. pero en situación autónoma SA. se haga una pregunta de carácter metacognitivo de este tipo. ¿Qué tipo de intercambios lingüísticos comunicativos existen entre un alumno y su colaborador (compañero más hábil) en situación SCm?.»?. SAn. ¿está en grado de preguntarse: «¿Qué es lo que no sé?. ¿para la competencia en juego la zona potencial se ha convertido en efectiva? Se decidió hacer la investigación solo con niños de tercero de primaria considerándolos suficientemente competentes para saber leer un texto en forma autónoma y poseedores de competencias matemáticas básicas sobre las cuales sustentar la propia actividad resolutiva. al final haya obtenido éxito. ¿Qué es lo que debería saber para poder resolver este problema?. relativamente al ejercicio anticipado propuesto?. podría suceder que el estudiante. P5. Es decir: ¿es verdadero (o falso) que a mayor distancia. ¿Se puede confirmar en modo significativo que. ¿Qué influencia tiene la distancia sobre el hecho de que el resolutor pertenezca a una de las tipologías SAm. aquí más que en otra situación. después de una situación SCm. P4. Esta pregunta de investigación tiene un sentido específico. dicho en otras palabras. se den en preponderancia explicaciones lingüísticas de tipo operativo. al final de las respuestas en el ámbito SAm. Si ante una situación SAm y SCm el individuo encuentra alguna dificultad. ¿la distancia se ha anulado?. Nos preguntamos: ¿un resultado positivo en colaboración puede ser considerado como la base de un aprendizaje autónomo?. Supongamos que el estudiante considerado menos capaz. por lo menos para la competencia en juego.
aspecto al cual nos comprometemos nosotros mismos. sin embargo. incluso modificarlos. H3. Por ejemplo. se suponía que se hubiesen creado procesos de volición tales de impulsar los sujetos examinados a asumir actitudes de resolución y a no rechazar la propuesta de los ejercicios anticipados solo porque presentaban cuestiones aún no asumidas en el trabajo de aula. pero. a la pregunta del investigador sobre cómo fue encontrada la solución. la respuesta que esperábamos era positiva: a mayor distancia mayor es la renuncia a seguir el ejercicio anticipado. y que. teníamos la convicción que un ambiente positivamente motivador habría podido reducir la entidad de tal renuncia. En relación con el problema de investigación P3.Además. en consecuencia. y no formal. estabamos convencidos que el trabajo autónomo sobre un ejercicio anticipado en buenas condiciones motivadores produjera básicamente trabajo operativo concreto. los sujetos respondieran en un gran porcentaje simplemente reproduciendo su “hacer” en forma lingüística. salvo que otros investigadores deseen asumirse el trabajo. la edad de los niños de este grado es tal que resulta bastante fácil crear situaciones motivadoras que permitan inducir procesos de volición. 12 . nuestras expectativas eran decididamente positivas. Es presumible que una elección diversa de la variable edad pueda condicionar los resultados de la investigación. En relación con el problema de investigación P2. En situación motivadora. En relación con el problema de investigación P1. En resumen. Resta por tanto la necesidad de efectuar pruebas con alumnos de grados superiores. gracias a una buena motivación. 3. nos dicen los colegas maestros de escuela media y superior (alumnos de 14-19 años) que es más complejo motivar estudiantes de secundaria a asumir actividades que no pertenezcan a las normales rutinas de clase. Hipótesis de la investigación H1. de alguna forma. H2. tal renuncia no fuera tan evidente. esperábamos que.
al menos en parte. en el interior de una situación colaboradora. Ahora bien. no parece del todo posible poder declarar en modo riguroso que. en negativo) en el momento en el cual asumió la responsabilidad del proceso de resolución. La idea base era la siguiente: intentar de hacer emerger en forma autónoma declaraciones sobre preguntas que el resoludor se hubiera planteado acerca de su propio conocimiento (en positivo o. Esperábamos que se pudiese caracterizar este lenguaje como “colaborador” en el sentido que los dos dialogantes habrían mostrado. transformándola en efectiva. En relación con el problema de investigación P4. influenciados a lo sumo por el coloquio con el investigador. mejor aún. es decir. qué te has preguntado?». o: «¿Por qué no sabrías responder?». con una buena comunicación. H5. esperábamos que estos intercambios estuvieran caracterizados por preguntas del segundo al primero y de explicaciones (es decir afirmaciones) del primero. H6. los dos estudiantes (el experto y el menos experto) habrían tenido intercambios lingüísticos interesantes. teníamos la certeza que. es decir en situación Sam. En relación con el problema de investigación P5. en su actitud lingüística. por tanto. nuestra expectativa era a favor de una cierta presencia de aspectos metacognitivos. a través SCm. se anticipe una parte cognitiva de la zona potencial. 4. exactamente los papeles que nosotros les habíamos asignado. y sin embargo. ésta era nuestra expectativa. nuestra expectativa era positiva.H4. esperábamos tener una explícita confirmación empírica de la hipótesis según la cual un aprendizaje colaborador subordinado en una situación SCm produce aprendizaje autónomo. quien hubiera podido hacer directamente preguntas del tipo: «¿Cuando has leído el texto. En relación con el problema de investigación P6. Metodología de la investigación 13 . de la categoría “diversas formas del discurso” de Duval.
como en un desafío importante. un ejercicio. para conocer las motivaciones que los habían llevado a hacer esta elección y para tener informaciones sobre el ambiente de motivación creado.Fueron elaborados algunos textos. el ambiente motivador fue alcanzado (más adelante veremos la confirmación de esta afirmación con declaraciones elegidas entre aquellas expresadas por los niños durante las entrevistas). en el ámbito al cual se refería. Tal verificación fue hecha en la totalidad de los 48 alumnos (de ellos. según nuestra opinión. Todas las pruebas fueron realizadas en clases donde la titularidad no era de las maestras que realizaban la prueba. Se disponían de los textos que ilustraremos más adelante. con la importante ayuda de colegas maestros de escuela elemental y media. éstos eran distribuidos en forma aleatoria a los estudiantes. Las pruebas fueron efectuadas en la escuela elemental “Villaggio Kennedy” de Perugia por Ines Marazzani y en la escuela elemental “Iqbal Masih” de Lido Adriano (Ra) por Giuliana Liverani (a quienes les agradecemos su gran profesionalidad). lo que cuenta es que. En cada clase. La verificación de P1 [¿Es verdad que si existe una presencia positiva de procesos de motivación – volición. Se entrevistaron los niños. los niños eran invitados a resolver un ejercicio anticipado. Después se creó un ambiente de fuerte motivación para buscar una solución del ejercicio “de los niños más grandes”. 14 . Se empleó en cada caso todo el tiempo necesario para entrar en sintonía con los alumnos y crear un clima de confianza. un solo alumno ha declarado de no desear participar en las pruebas y se excluyó personalmente). pero durante los días destinados a las prueba 3 estaban ausentes). La metodología adoptada fue la siguiente. Tomamos como grupo de trabajo 3 cursos de tercero de primaria. entonces los porcentajes de SAm y de SCm supera ampliamente aquellas de SAn y de SCn respectivamente?] fue hecha simplemente contando los casos de aceptación de la tarea y los casos de rechazo. nivel que venía confirmado por los mismos colegas. cada texto debía representar. cada uno de los cuales elegido en un determinado nivel escolar. No entramos en detalles sobre “cómo” esto fue posible. para un total de 48 niños (en realidad se trataba de un total hipotético de 51 niños.
que a mayor distancia le corresponde menor empeño?] se obtenía por confrontación con el análisis precedente. caracterizar de 15 . La verificación de P4 [en el cual nos interrogábamos sobre consideraciones de carácter metacognitivo de parte del estudiante] se obtenía. para un determinado ejercicio anticipado. por tanto. se daban resultados positivos (el estudiante había afrontado de alguna forma el problema) o negativos (el estudiante después de algunas pruebas. gracias a entrevistas individuales efectuadas a estudiantes que habían trabajado ya sea en forma autónoma. Tal verificación fue hecha entrevistando los 4 alumnos “menos capaces” de las 4 parejas precedentes. La verificación de P3 [¿Se puede confirmar de forma significativa que. elegido porque había afrontado correctamente el mismo ejercicio. o que no había logrado dar una respuesta. eligiendo aquellos estudiantes que. o no. dando respuestas de un cierto interés. habían manifestado dificultad. mientras logramos analizar sólo 4 casos de SC (4 parejas. abandonaba). Varias de las otras parejas que habíamos formado o no llevaron a terminó la tarea o se alejaron de ésta. Tal verificación fue hecha entrevistando 30 alumnos. al menos al inicio. se den en preponderancia explicaciones lingüísticas de tipo operativo.La verificación de P2 [¿Es verdad. Se pasaba. es decir 8 alumnos). y un compañero más hábil. pudimos analizar 47 casos de SA. Cuando los estudiantes terminaban su trabajo. La verificación se hizo sobre 47 alumnos.. En este punto se formaban parejas de un alumno que había renunciado. en la fase final de las respuestas en ámbito SAm. relativamente al ejercicio anticipado propuesto?] se obtenía gracias a entrevistas individuales efectuadas sobre estudiantes que habían trabajado de forma autónoma. La verificación de P5 [donde se buscaba analizar los diferentes tipos de intercambios lingüísticos comunicativos entre el alumno y su colaborador más hábil en situación SC y. Como habíamos dicho. se verificaba si. si es posible. de situación SA a SC. ya sea en forma colaboradora.
trabajaron en situación SC otras parejas. algunas de estas contribuyeron a dar una respuesta a la pregunta de investigación P6 y por tanto estas informaciones serán utilizadas]. Sin embargo. ¿para dicha competencia en juego. Se hicieron por tanto 3 pruebas seguidas siempre de entrevistas. consideramos que 3 casos se podrían determinar como positivos. pero con la misma distancia y del mismo tipo [para esta elección. pero. a los tres alumnos “menos capaces” de cada pareja. presentados en distancia creciente. dado que algunas de estas se dispersaron en el proceso. la zona potencial se ha convertido en efectiva?] fue hecha como a continuación se describe. además de las 4 parejas que definimos precedentemente como “analizadas con mucho rigor”. Test 1. si desea una ganancia de 40 euros. Test Ejercicios anticipados de distancia 1 respecto al 3° grado de escuela primaria. [En realidad. diferente de aquel que había sido objeto de trabajo con el compañero más hábil. seguimos las indicaciones de los maestros expertos.alguna forma dicho lenguaje] fue hecha registrando todos los 4 coloquios SC y después escuchándolos y analizándolos cuidadosamente. Entregamos entonces. 16 . De las 4 parejas que trabajaron en situación SC. La verificación de P6 [¿Un resultado positivo colaborador SCm puede ser considerado como la base de un aprendizaje autónomo? Por tanto. un ejercicio anticipado. no las estudiamos en forma científicamente atendible. algunos de los ejercicios propuestos están reportados más adelante].1 Un comerciante compra mercancía y gasta 100 euros. ¿a cuánto debe revender la mercancía?. Los textos de los ejercicios anticipados que habíamos usado son los siguientes.
17 . sin embargo no se excluye el hecho que algún niño pueda intuir el orden de las operaciones. hacemos notar que se evitaron los casos en los cuales se debe establecer la prioridad entre operaciones sin paréntesis]. más por la concatenación de los paréntesis que no por la prioridad establecida universalmente.2 8 cm 4 cm 12 cm [Dicha figura estaba realizada en papel blanco y las medidas aquí indicadas eran exactamente iguales a las presentadas en el dibujo.Ejercicios anticipados de distancia 2 respecto al 3° grado de escuela primaria. Test 2. Test 2.1 ¿Cuántos cms mide el contorno de la figura?. Test 2.3 Calcula cuánto vale la siguiente expresión: [(5-2)×3]+[2×(3-1)] [Es verdad que en tercero de primaria los alumnos aún no conocen la sintaxis de la escritura aritmética. Test 2. Además.4 ¿Cuánto mide la superficie?. esto se hizo así porque entre las estrategias esperadas estaba precisamente el que los alumnos hicieran la cuadratura de la superficie para luego contar los cuadrados internos].
pero se vende con el 25% de descuento. ¿Cuánto se debe pagar para comprar dicho televisor?. ¿Cómo se puede demostrar que los ángulos Â y Ê son iguales?. si debe pegar 300 baldosas?. Test 6. Ejercicios anticipados de distancia 6 respecto al 3° grado de primaria. es decir por cada 100 euros se ahorran 25 euros. 10 cm Test 2.5 Un televisor cuesta 400 euros.1 Para pegar 100 baldosas un albañil emplea 6 horas. ¿cuántas horas empleará.1 C Los lados AC y EC son iguales. Test 5.Mide el área de este triángulo que tiene todos los lados iguales. A E 18 . Ejercicios anticipados de distancia 5 respecto al 3° grado de primaria.
la 8 cm 19 . ¿Cuánto mide la circunferencia que ha dibujada Lucas?. Test de control para 2. Test de control para 1.Ejemplo de test de control. ¿Cuántos centímetros de hilo se necesitan para delinear el borde?.1 Para surtir una floristería se compran rosas por 120 euros.2 10 cm ¿Cuánto mide superficie?.1 Lucas. ¿A cuánto se deben vender si se desea obtener una ganancia de 20 euros?. Una modista debe bordar el centro de raso de la forma dibujada. siguiendo el borde de un vaso con el lápiz ha dibujado en su cuaderno la circunferencia que te presentamos. (Se le entrega una hoja con el dibujo de una circunferencia). ¿A cuánto debe vender las cajas de fresas si desea una ganancia de 200 euros? Test de control para 2. Un vendedor de fruta adquiere cajas de fresas por 150 euros.
10 cm 12 cm Mide el área de este triángulo que tiene los tres lados de diferente medida. la Test de control para 2. 20 .2 10 cm ¿Cuánto mide superficie?.3 Calcula la siguiente expresión [(11 × 3) – 5] + [ (4 + 3) × 2] Calcula la siguiente expresión [(24 ÷ 6) + 4] × [(42 ÷ 7) – 5] Test de control para 2.4 Mide el área de este paralelogramo.10 cm Test de control para 2.
si debe preparar 400 pasteles. Bajo estas condiciones.1 Marcos se entrena todos los días en atletismo. ¿cuántos segundos empleará para correr 400 metros. pero se vende con el 50% de descuento. pero se vende con el 15% de descuento. es decir.Test de control para 2.5 Una falda cuesta 100 euros. por cada 100 euros el cliente se ahorra 50. ¿cuánto debe pagar el cliente que compra esta bicicleta? Test de control para 5. es decir. para correr 100 metros emplea 20 segundos. ¿Cuánto debe pagar quien compra esta falda?. ¿cuántas horas empleará? Test de control para 6.1 A D Los lados AB y CD son iguales. B C 21 . Una bicicleta cuesta 200 euros. un pastelero emplea 2 horas. ¿Cómo se puede demostrar que ˆ ˆ los ángulos A y D son iguales?. suponiendo que vaya con la misma velocidad por todo el trayecto? Para preparar 50 pasteles a la crema. por cada 100 euros el cliente se ahorra 15.
solo una única y simple repetición de las fases de ejecución. Con respecto a P2. Resultados de la investigación. en su conjunto. Esto confirma completamente nuestra hipótesis H3. oportunamente involucrados. «Mire. «Así fue como lo hice». 22 . por tanto. los comentarios de los alumnos en lo relacionado con la realización de las pruebas son del todo operativas: «Mire como lo hice». lo que hice fue…». reduciéndolo. Su declaración fue la desconfianza en sus propias posibilidades para afrontar tareas presentadas como pertenecientes a clases sucesivas. en varias ocasiones pidieron continuar avanzando.5. solo 1 ha rechazado la invitación a participar (aunque por todo el tiempo estuvo observando lo que sucedía a su alrededor). es más. Por tanto 47 niños. … No existe por tanto forma alguna de generalización en lo que respecta a la ejecución. se tiene la seguridad que una buena motivación garantizó la aceptación del desafío. Así fue. tanto en la situación SA como en la situación SC. Por tanto. fue desmentida en su posición objetiva. la respuesta a la pregunta de investigación P1 es positiva y coincide con nuestras expectativas. Nuestra hipótesis H2. discusión de los resultados y respuestas a las preguntas de investigación En relación con la pregunta de investigación P1. Esto. gracias ciertamente al óptimo trabajo de las dos investigadoras que condujeron la prueba. pasando de la motivación a la volición. Con respecto a P3. se empeñaron (con mayor o menor éxito) en el proceso de solución de problemas que están fuera de su labor escolar cotidiana y que pertenecen por derecho a ejercicios de niveles escolares posteriores. los 47 niños involucrados mostraron explícitamente el gusto de afrontar pruebas que están más allá de sus competencias. de los 48 alumnos involucrados en la actividad. pero confirmada donde suponíamos que una buena motivación habría podido remediar el temor.
o lo confirma. una comunicación con el adulto lo lleva a atrincherarse detrás de razones banales. si el ejercicio anticipado era resuelto (bien o mal. Con respecto a P6. «Era fácil». En situación SA. 23 . en general. en prospectiva metacognitiva. Con respecto a P5. escapa a esta modalidad y se refugia detrás de un simple «No lo supe hacer». deseamos confirmar la gran volición de parte de los niños tanto en situación SA como en situación SC para afrontar las tareas propuestas. En el caso del contacto con el compañero.. en varias ocasiones. el estudiante no se plantea problemas de tipo metacognitivo y. que la solución no era correcta. por el contrario. si se enfrenta a la pregunta del entrevistador. se tiene la clara impresión que el menos capaz desee justificar su propio fracaso dándole un motivo. o lo confiesa.5. el lenguaje usado entre el menos y el más capaz. El estudiante se interroga sobre qué (o qué no) ha funcionado y. el estudiante no se pone. en las parejas. parece que esto no tenga importancia. Antes de seguir. …). necesitamos hacer una profunda distinción que no habíamos previsto .«No sabía qué hacer». incluso una vez visto. las pruebas hechas fueron demasiado pocas para poder afirmar con seguridad que el haber hecho una tarea en situación SC. es absolutamente caracterizable a la Duval (1996 –7) según la tipología “diversas formas de discurso” ya descritas por nosotros al final del apartado 1. Una comunicación entre pares favorece ampliamente la disponibilidad del alumno a plantearse problemas metacognitivos. incluso de forma autónoma. lo pide él mismo al propio compañero más hábil. La cuestión es de una evidencia total y se verifica también en lo que tiene que ver con sujetos poco propensos a esta forma de intercambio lingüístico en general. esto poco importa) entonces era simple («Lo puede hacer».… incluso si. con el entrevistador. en modo colaborador. en fin. La situación SC cambia completamente las cosas. de parte de un alumno que antes no había tenido éxito. una respuesta (aunque errada) había sido dada. como nos aseguran los maestros titulares de las clases.Con respecto a P4. en el caso del contacto con el adulto.
las pruebas positivas fueron más de las 4 aquí descritas. De estas pruebas resulta más que evidente que se necesita analizar las unilaterales metodologías didácticas maestro–alumno. si el motivo de este temor esta ligado a la posible desilusión del estudiante que no alcanza el éxito esperado. Conclusiones y notas didácticas El fin último de la investigación empírica es. intentar de aprovechar los resultados para modificar o al menos influenciar la práctica de aula en sentido positivo. no como aquellos de la escuela que no los entiendo. parece ser injustificado. sin embargo. Además. Me divertí tanto porque son ejercicios difíciles. pero esta vez ¡entendí todo!. yo vengo de Ecuador y muchas veces aún no entiendo. conducidos de la mano en SC. he aquí lo que dice un niño de los 3 que consideramos anteriormente: Diego: «Es fácil. aprovechando aún más la colaboración entre compañeros. entendí todo. fueron más del 75%). siente que puede pertenecer al grupo de “compañero más capaz”. 24 . haya creado conocimiento. como lo habíamos ya dicho. aquí puedo hacer como quiero yo». 6. según nuestra opinión. se ofrece para ayudar a una niña (perteneciente a otra pareja) que no había logrado resultado positivo: en este punto. De cierto. el temor que tienen a veces los maestros de proponer tareas que podrían no ser resueltas positivamente por parte de los alumnos. 3 niños de los 4 que participaron correctamente en la prueba. después de no haber tenido éxito en situación SA.en compañía con un compañero más capaz que antes había obtenido un resultado positivo. Aquí debo pensar y no hacer solo lo que la maestra me dice. (En realidad. obtuvieron resultados positivos. los resultados “clamorosos” de niños que. maestra. supieron realizar con evidente y total seguridad un nuevo ejercicio anticipado de tipo análogo al que antes no había obtenido éxito. Sabe. pero no podemos tenerlas en cuenta ya que las fases previstas y descritas por nosotros no fueron seguidas del todo correctamente. Como una forma de confirmación de lo anteriormente dicho. después de esta declaración.
Test 1. Naturalmente esta elección metodológica debe modificar ciertas convicciones del maestro sobre el currículo y sobre la evaluación. parece tener un papel teórico excelente el análisis de la situación de aula. 2004. como. sino como un precio a pagar por la construcción del conocimiento. de otra parte. sin embargo. 2002). 2002). no lograr éxito en una tarea no se consideraría como algo negativo. casi todos los que se equivocaron. efectúan la 25 . Por lo que respecta a la evaluación. que parten del triángulo de la didáctica y de las reflexiones más maduras posibles al respecto (D’Amore. Haremos por tanto un rápido recorrido con el único fin de satisfacer esta curiosidad. 2002). cuanto menos (Fandiño Pinilla. D’Amore. En todo esto. Cómo los niños resuelven los ejercicios anticipados propuestos Nada tiene que ver con la investigación. que se adecue a las elecciones de aula y no. para construir conocimiento. Fandiño Pinilla.1. No lograr resolver un problema difícil no es visto como un resultado negativo y puede ser el estímulo para trabajar en pareja. se necesita que sea considerado como un instrumento dúctil. al contrario. 7. Muchas fueron las respuestas equivocadas. que las condicionen. sugieren los estudios más modernos (Fandiño Pinilla. en lugar de hacer la adición 100+40. sobre el proceso de motivación y de volición. podría despertar curiosidad en algún lector saber cómo los alumnos resolvieron los test propuestos. ampliándola no solo al alumno. Por lo que respecta al currículo. como aquí se ha mostrado. es la mejor forma para cambiar la idea de evaluación. sino al currículo y a la eficacia de la acción del maestro.basta intervenir.
quienes hicieron 100÷40. Hubo quien traza dos diámetros perpendiculares y da la medida de “ancho” y “largo” (con poca relación con la realidad. En un caso. La prueba fue superada (de alguna forma) por la mitad o poco menos de los alumnos. Test 2. Hay quien recuerda de haber usado la imagen del círculo para introducir las fracciones y afirma que la circunferencia mide 2/3. tanto que un niño declara que estas medidas son respectivamente 2 y 3 kilómetros). En varios casos el carácter abstracto de la mercancía se concretiza. La mayor parte extiende un hilo y después lo mide rectificándolo (obteniendo todo tipo de resultados). tenemos 3 dibujos (sobre 47 alumnos) de personajes y de casas (!). Hubo quien cuenta cuantas veces la punta del lápiz está sobre la circunferencia. cuadriculando de cualquier forma la parte de la hoja contenida dentro de la figura. Pocos fueron los niños que contaron los cuadrados. el mayor porcentaje de errores se concentró en una clase en la cual rige el contrato explícito de resolver problemas atendiendo a formalidades. Pero. dibuja. por tanto el comerciante vende y compra artículos bien precisos. Y así muchos otros casos. al contrario.sustracción. por ejemplo subdividiendo la circunferencia en partes para después simplemente contarlas. sin embargo. Este fue uno de los test que causó mayor dificultad.1. Una nota. La concentración de los niños se centra toda en este aparato “formal” y deja de lado el sentido lógico de lo que se debería hacer (y por lo cual su trabajo será evaluado). no faltaron.2. pero de estos casi todos dejaron de considerar las secciones donde no había un cuadrado completo o. Test 2. Muchos fueron quienes midieron sin ningún criterio. las contaban como si fueran completas. 26 . el resultado 140 indica «las personas que deben comprar». Quien no sabe qué hacer. incluso cuando los niños se comportaron según nuestras previsiones. una confirmación más del daño que este tipo de obligación poco natural crea en el alumno. escribiendo primero los datos “útiles” y después los datos “superfluos” (que un niño escribe: “superfilos”). en el sentido que ellos “inventan” alguna modalidad para efectuar la medida de la circunferencia. las medidas efectuadas y/o declaradas parecen ser casuales.
Los errores de solución van del «No entiendo». lo que significa que se inclinan por un razonamiento intuitivo más que por el cálculo. quienes se agarran a las formalidades para evidenciar datos y cosas del mismo estilo. Hay quien intenta explicar el razonamiento. Totalmente fuera del alcance de los niños del 3° grado de primaria.3. (la superficie es.4. El error más difundido es que. Test 2. Paradójicamente. por ejemplo. Test 5. Solo un niño de todos los 47 declara no entender que debe hacer y que «los números son demasiado difíciles». quien hace 25×4 y después lo resta de 400. que usa convenciones aún no conocidas en la escuela primaria. quien resta de 100 el descuento de 25 4 veces. obtenida multiplicando 6 por 3. Test 2. Test 2.la idea de superficie es muy distinta de aquella de perímetro. hay quien resta 25 4 veces partiendo de 400. en suma. fue objeto de atracción y de curiosidad y. al 400+25 etc. Entre las respuesta se encontró de todo. obteniendo 75. al «400 euros». este test. Porcentaje muy bajo de repuestas exactas.5. tuvo una aproximación nada negativa. en el primer sumando las cosas proceden bien: 5-2=3 3×3=9 pero después. 27 . Es frecuente la respuesta correcta 18. De hecho. Entre estas. Muchos fueron los niños que midieron los lados del cuadrilátero e hicieron la suma. no resuelve el problema y efectúa cálculos al azar. al dibujo de un televisor. a este 9 se le suma el 2 y no se efectúa el calculo análogo dentro del paréntesis cuadrado del segundo sumando. que después multiplica por 4. «la parte que está dentro»). calculadas de diversas formas.1. aunque la terminología no es exacta.
«Novità nella didattica della matematica».Todos los niños que tienen la tendencia a trabajar siguiendo formalidades no logran un resultado positivo. pero sí un gran número de niños intentan explicar cómo podría justificarse tal afirmación: midiendo los ángulos (especialmente en centímetros. no presentamos los test que fueron necesarios para responder P6. Problemas. 11-13 abril 1991]. de forma bastante correcta. Síntesis. No entendemos cómo se pueda responder a una pregunta hecha de esta forma. Por lo que respecta a los test de control. la palabra “demostrar” se interpreta. como la efectuada por el autor en el VI Incontro Internuclei della Scuola Elementare. [Primeras comunicaciones sobre el tema de los “ejercicios anticipados” son precedentes. Madrid (España). Test 6. 28 . Bibliografía D’AMORE B. (1997). Por último. Pedagogía e psicología de la matemática en la actividad de problem solving. es: «(¿Cuáles son los) Datos que faltan?». cierto NO se encuentra ninguna demostración en el sentido adulto. midiendo los lados. (1992).1. porque fueron del todo análogos a los ya reportados. 4. [La primera edición de este libro en italiano es del 1993]. Garda. dada la frecuencia con la que aparece en todos los alumnos. es decir si el haber trabajado en situación SC produjo aumento del conocimiento. Contrariamente a lo que podríamos esperar. calculando etc. 62-67. evidentemente establecida por contrato explícito. pero también en grados). Una de las preguntas que se ponen siempre por escrito dentro de la casilla coloreada. los resultados positivos son mucho más altos. como una “justificación”. D’AMORE B. L’educatore. de otra parte la pareja esta dirigida por un niño que ya había logrado dar una respuesta correcta en la tarea.
FANDIÑO PINILLA M. FANDIÑO PINILLA (2002). (México). 1. (1993). I. «Volli.R. (1931-1980). Séminaire U. (1977). et F. México D. «Représentation et représentations». Los autores agradecen al Colega y Amigo Juan Diaz Godino por su lectura crítica hecha a este trabajo antes de su edición. Torino (Italia). Pitagora. Il processo cognitivo.D’AMORE B.D.. sempre volli. I. Pensamiento y Lenguaje. Bologna (Italia). [La primera edición de este libro en italiano es del 1999]. 29 . VYGOTSKY L. D’AMORE B. (2004). Grupo Editorial Iberoamérica. Elementos de didáctica de la matemática. 48-61. 14. Buenos Aires (Argentina). (1996-97). «Un acercamiento analítico al “triángulo de la didáctica”». Boringhieri. DUVAL R. La rinascita della pedagogia della volontà». 6. En español: Vygotsky L. 1005-1017. Orientamenti pedagogici. La Pléyade. M.S.F. Curricolo e valutazione in matematica.F. PELLEREY M.S. Educación Matemática. No publicada. fortissimamente volli. (2002).
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