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Timestamp: 2020-02-21 19:19:48+00:00

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Recta de Euler wikipedia, lookup
Incentro wikipedia, lookup
Proyecto: Ley de Benford en el censo de población y aplicación
del análisis de frecuencias en el descifrado de códigos
Sitúate ante el trabajo a realizar
Comprende las unidades didácticas
Formad grupos de cinco personas:
a) Comprobad que tenéis conexión a Internet.
b) Repasad cómo realizar diagrama de sectores y barras con Excel.
c) Buscad un mapa identificador de la comunidades autónomas.
d) Repasad el proyecto del bloque I.
Ley de Benford en el censo de población y aplicación del análisis
de frecuencias en el descifrado de códigos
A lo largo del libro se trabajan cuatro proyectos. Cada doble página dedicada al proyecto comienza con un texto introductorio
y tres apartados: Sitúate ante el trabajo a realizar plantea una
serie de cuestiones sobre el texto que llaman a la reflexión, Lo
que tienes que hacer muestra lo que harás durante el desarrollo
del proyecto y el objetivo perseguido y, por último, Pasos a seguir,
señala cuáles son los pasos que tendrás que dar por unidad.
e) Recordad cómo se hacía el cifrado César.
f) Reconstruid el procedimiento de descifrado de los códigos explicado en la unidad 1.
El azar ha estado siempre presente en el ser humano por razones religiosas o mundanas como el juego.
Todas las civilizaciones han ido dejando señales del uso de distintos juegos de azar con huesos de astrágalo o dados. El origen de la probabilidad se encuentra en la correspondencia que mantienen en el siglo
xvii Fermat y Pascal con motivo del problema de azar planteado por el caballero De Méré. Posteriormente Huygens publicó el primer libro sobre probabilidad aceptando de forma intuitiva el concepto de equiprobabilidad, sin el cual no se podría definir la probabilidad con la ley de Laplace.
g) Repasad cómo realizar una tabla de frecuencias.
h) Revisad la ley de los grandes números.
En este proyecto comprobarás cómo la ley de los grandes números nos da aproximaciones de frecuencias de los distintos números y letras en cualquier documento.
En el siglo xviii el cálculo de probabilidades se desarrolla gracias a De Moivre, y Gauss y Laplace los que
empiezan a dar forma a dicha teoría. A principios del siglo xx Kolmogórov define la probabilidad de forma
axiomática y establece las bases para la actual teoría de probabilidades.
La estadística es más antigua que la probabilidad. Ya en el libro de los Números aparece el censo de las tribus
de Israel realizado por Moisés. El origen de la palabra estadística procede de Estado, y un estado necesita conocer cuáles son los recursos de los que dispone tanto en el ámbito personal como material. Con Galton y
Pearson aparece la estadística inferencial. Fisher fijó los fundamentos de la estadística y sus aplicaciones para
la agricultura y la genética. En el siglo xx la estadística moderna, potenciada por la computación, ha permitido
un gran avance en ramas como la econometría, la psicometría, la investigación operativa, la medicina e incluso en problemas de origen militar. Hoy en día en España el organismo que se encarga de elaborar y distribuir
las estadísticas es el INE (Instituto Nacional de Estadística); visitaremos su página web para realizar nuestro
proyecto. También comprobaremos la ley de Benford, que asegura que la aparición de números que se encuentren en primera posición en las mediciones de la vida real no es equiprobable: siendo la primera cifra la de
mayor frecuencia, disminuyendo ésta a medida que aumenta el valor del dígito.
La ley de Benford indica la relación existente entre la primera cifra de distintas mediciones como
longitud de los ríos, numeración de los portales de una calle o los datos de un informe fiscal. Estos
datos no son equiprobables ni 100 % aleatorios. En la unidad 12 verificarás de forma empírica si el
censo de tu comunidad autónoma cumple la ley de Benford y su utilidad en la vida real. En la unidad
13 volvemos a usar la criptografía que ya estudiamos en los temas 1 y 2. En pequeños grupos debéis
encriptar una frase usando el cifrado César. La labor de investigación consiste en hacer un análisis de frecuencias de todas las letras que aparecen en
Para realizar este proyecto,
nuestro abecedario usando artículos de periódicos, mensajes de texto o cualdeberás utilizar una hoja de
quier página de un libro. El objetivo fundamental es descifrar el mensaje secálculo.
creto antes que nuestros compañeros, por lo que es muy importante saber
trabajar en equipo y repartirse las responsabilidades para ser efectivos.
Para realizar este proyecto, lo importante es ir paso a paso:
12. Estadística. Paso 1: Estudio estadístico de la ley de Benford en el censo de población de tu comunidad autónoma.
13. Probabilidad. Paso 2: Descifrado mediante el análisis de frecuencias.
3E MatematicasAplicadas_Proyecto_04.indd Todas las páginas
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La astronomía es la ciencia que estudia los cuerpos celestes del
universo, entre los que se encuentran los planetas y sus satélites,
los cometas, las estrellas y las galaxias.
En los últimos años esta disciplina ha desarrollado un gran avance
tecnológico de gran utilidad en la vida cotidiana, como por ejemplo
el desarrollo de los detectores optoelectrónicos, dispositivos que
se utilizan en las cámaras digitales.
Los satélites artificiales nos permiten, entre otras cosas, estudiar
las borrascas, de las que averiguaremos la velocidad a la que avanzan, para conocer la hora exacta a la que llegarán a una localidad
concreta. Evidentemente, esto ha supuesto una mejora en la predicción meteorológica, lo que permite decretar las alertas por
fuertes lluvias o calor en cada caso concreto. Su incidencia en la
agricultura o en la pesca (refugiarse en puerto seguro) es crucial.
Para llegar a este punto de desarrollo espacial, han sido necesarios
muchos siglos de estudio por parte de físicos y matemáticos. Una
de las primeras cuestiones que se plantearon en el desarrollo de
esta ciencia es la medida de las distancias. Se observó que las
medidas utilizadas en la Tierra (sistema métrico decimal) no servían para las distancias siderales. Entonces se utilizó como unidad
de distancia año luz, que es la distancia recorrida por la luz en un
año. Se sabe que la luz recorre 300 000 km por segundo.
La doble página inicial de la unidad presenta una tabla que relaciona lo que vas a aprender con las competencias que vas a
trabajar a lo largo de la unidad, un sumario de contenidos, un
texto introductorio y el apartado La matemática a nuestro alrededor, donde podrás darte cuenta de la utilidad de lo que vas
2. Notación científica. Uso de la calculadora
3. Introducción al número real. La raíz cuadrada
4. Redondeo de números decimales
5. Propagación de errores
La matemática a nuestro alrededor
Vamos a aprender a...
–Conocer el concepto de potencia e identificar su base y exponente.
–Conocer y aplicar las propiedades de las potencias, cuyo exponente
sea un número natural, entero o racional.
–Respetar la jerarquía de las operaciones.
–Expresar y operar en notación científica, tanto en cálculo manual
como con la calculadora.
–Conocer los números irracionales y los números reales.
–Aplicar el concepto de raíz n-ésima.
–Conocer los números reales y calcular el error relativo.
–Las matemáticas en Babilonia. Su importancia en el desarrollo de la
sociedad de su tiempo.
CEC, CCL
–Realizar con el programa WIRIS cálculo simbólico con radicales.
–Realizar con WIRIS operaciones con notación científica.
CD, CMCT
–Relacionar la aritmética y la geometría.
CMCT, CPAA
–Conocer la notación científica resulta fundamental en todas las ramas de
Claves secretas y
encriptamiento de
–Desencriptar códigos RSA.
CMCT, CD, CPAA, CCL,
Calcula la distancia que recorre la luz en un minuto, una hora, un
día y, finalmente, en un año.
Expresa los resultados obtenidos en notación científica.
Nota: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), competencia en comunicación lingüística (CCL),
competencias sociales y cívicas (CSC), competencia para aprender a aprender (CPAA), competencia digital (CD), sentido de la iniciativa y
espíritu emprendedor (SIE), conciencia y expresiones culturales (CEC).
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3. Introducción al triángulo
4. Puntos notables del triángulo
4.1. Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el punto donde se cortan las
mediatrices de sus lados.
3.1. Clasificación de los triángulos
A continuación comienza el desarrollo de contenidos explicado
con un lenguaje sencillo, comprensible y riguroso, y acompañado
de ejemplos, fotografías y gráficos para mejorar la comprensión.
Para aclarar las posibles dudas surgidas se intercalan numerosos
ejercicios y actividades resueltos. A lo largo del texto se plantea
un gran número de ejercicios y actividades que sirve para comprobar, comprender y afianzar los contenidos desarrollados y conocer su aplicación en la vida cotidiana.
CLASIFICACIÓN EN FUNCIÓN DE LOS LADOS
Sus tres lados son
Al menos dos lados son
4.2. Incentro
Tiene todos los lados
Los tres ángulos son
Uno de sus ángulos es
Un ángulo es obtuso
El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el
El incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las bisectrices de sus ángulos.
CLASIFICACIÓN EN FUNCIÓN DE LOS ÁNGULOS
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia que pasa por sus tres
El ortocentro, el circuncentro y
el baricentro están alineados en
una misma recta que se llama
4.3. Ortoncentro
Llamamos altura de un triángulo al segmento perpendicular a un lado
que pasa por el vértice opuesto.
3.2. Suma de los ángulos de un triángulo
El ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan sus alturas.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
4.4. Baricentro
Llamamos mediana de un triángulo al segmento que une un vértice
con el punto medio del lado opuesto.
El baricentro de un triángulo es
su centro de gravedad. Esto significa que si se apoya el triángulo en ese punto (sobre un lápiz, por ejemplo), se mantiene en
El baricentro de un triángulo es el punto donde se cortan sus medianas.
1. Indica qué tipos de triángulos son los siguientes:
2. ¿Cuánto mide el ángulo que falta en los siguientes triángulos?
a) Â = 35o, B̂ = 45o, Ĉ = ?
c) Â = 42o, B̂ = 65o, Ĉ = ?
b) Â = ?, B̂ = 23o, Ĉ = 87o
d) Â = 66o, B̂ = ?, Ĉ = 34 o
3. Calcula el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro de un triángulo rectángulo.
Repite el ejercicio en un triángulo equilátero.
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Calculamos con la herramienta Geogebra los puntos y rectas notables de un triángulo. En primer
lugar construimos un triángulo arbitrario. Para ello, hacemos clic en la
diente a Vista Algebraica
de la imagen correspon-
y en el icono Mostrar/ocultar los ejes
con lo que tenemos el escritorio preparado para trabajar. Con el icono
triángulo obtusángulo. Haciendo clic con el botón derecho sobre cada punto, pulsaremos en
para poder nombrar los puntos. Con el icono
calculamos las media-
trices de todos los lados. Después de pulsar sobre el icono
, hacemos clic sobre las
mediatrices, obteniendo el circuncentro, que renombraremos C. Con el icono
ocultamos las mediatrices. Calculamos el punto medio de cada lado con
unimos los vértices del triángulo con dichos puntos, obteniendo así el
baricentro, que renombramos con la letra B. Para calcular el ortocentro O, aplicamos la definición
y con el icono
calculamos las rectas perpendiculares a cada lado que pasen por
su vértice opuesto. Su intersección nos proporciona el ortocentro.
En este apartado se explica cómo utilizar distintas aplicaciones
informáticas, seleccionadas de entre las más útiles y empleadas. Además, puedes descargarte las app de Matemáticas de
Editex, te servirán de gran ayuda para trabajar los ejercicios.
Para descargarte estas app, regístrate en la zona de usuarios
en <www.editex.es> e introduce el código MATE3-2015.
trazamos la recta de Euler y así comprobamos que el ortocentro, bari-
centro y circuncentro se encuentran alineados. Haciendo centro en C y radio en cualquier vértice
del triángulo, observamos que el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo. Si intersecamos las bisectrices, previamente trazadas con el icono
, obtene-
mos el incentro, que denotaremos con la letra I. Comprobamos que el incentro es la circunferencia inscrita en el triángulo.
Basta con que modifiquemos los puntos X, Y, Z iniciales para convertir el triángulo inicial en acutángulo. Observamos, en este caso, que el ortocentro y el circuncentro quedan dentro del triángulo. Finalmente, observa su comportamiento cuando el triángulo es rectángulo.
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EJERCICIOS Y ACTIVIDADES RESUELTOS
1. Indica cuál de los siguientes poliedros es cón-
5. El tronco de pirámide es el cuerpo geométrico
cavo o convexo y razónalo:
resultante al cortar la pirámide por un plano paralelo a la base. Calcula la apotema de un tronco
de pirámide.
Observemos la figura.
a) La figura es cóncava, ya que no se pueden apoyar todas sus caras en un plano.
b) La figura es convexa porque se pueden apoyar
todas sus caras en un plano.
2. Expresa el área de un cubo en función de su
A = 6L2
V = L3 = L⋅L2 ⇒ L2 =
A = 6⋅
Sean aps la apotema de la base superior, b la diferencia de la apotema de la base inferior api menos
la apotema de la base superior aps ⇒ b = ap i - aps.
Por el teorema de Pitágoras tenemos ap2 = h2 + b2
3. Calcula la superficie del tetraedro regular en
función de su arista.
ap2 = h2 + api − aps
La superficie total es cuatro veces la superficie de
cada una de sus caras. Como estas son triángulos
equiláteros, si a es la longitud de la arista, tenemos:
Además de los numerosos ejemplos y ejercicios y actividades resueltos que puedes
encontrar a lo largo de la unidad, en esta página se resuelven otros tantos, representativos de las tipologías fundamentales de la unidad.
⇒ ap = h2 + api − aps
mide hexagonal de 10 cm de lado básico y 12 cm
Auna cara
a2 3a2
a2 = ⎜ ⎟ + h2 ⇒ h2 = a2 −
a⋅h a
= ⋅h = ⋅
3 unidades de superficie (u. d. s.)
Auna cara =
La apotema de la base es la altura del triángulo
equilátero dado. Aplicando el teorema de Pitágoras,
Atetraedro = 4 ⋅ Auna cara = 4 ⋅
6. Calcula el área total y el volumen de una pirá-
100 = ap2 + 25 ⇒ ap2 = 75 ⇒ ap = 5 3 cm
Observando el triángulo amarillo, tenemos:
4. Calcula la diagonal de un cubo en función de
( ) ⇒ A = 219 ⇒ A ≅ 14,8 cm
Ap2 = 122 + 5 3
A base=
La diagonal de un ortoedro de aristas a, b y c es:
d = a 2 + b2 + c 2
6⋅10⋅5 3
= 150 3 ⇒ A base≅ 259,8 cm2
A lateral = 6
Un cubo es un ortoedro en el que a = b = c:
10⋅14,8
= 444 ⇒ A lateral ≅ 444 cm2
ATotal ≅ 259,8 + 444 ≅ 703,8 cm2
d = a2 + a2 + a2 = 3a2 =
= 3a unidades de longitud (u. d. l.)
A ⋅ altura = ⋅ 259,8 ⋅ 12 ⇒ V ≅ 1039,2 cm3
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EJERCICIOS Y ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN
1. Calcula las siguientes potencias:
d) –2–5
e) (–2)–5
h) 5(–2)
f) 2–5
8. Efectúa las siguientes operaciones en notación
c) (3,24 · 1012) : (1,2 · 108)
⎛⎛ ⎞3 ⎞
d) ⎜⎜ 4 ⎟ ⎟
⎜⎝ 27 ⎠ ⎟
b) −35
Al finalizar la unidad y para que compruebes si has afianzado los conocimientos, se plantean ejercicios y problemas agrupados por contenidos.
f) ⎜
Número real. Raíces
b) 5,121212...
c) 1,618033988...
d) 6,092323...
⎛⎛ ⎞−1 ⎞
c) ⎜⎜− ⎟ ⎟
⎜ 7 ⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠
e) 1–1
g) –1–1
d) (3 – 2a)0
f) –11
h) 11667
Las actividades están clasificadas en tres niveles de dificultad mediante los
d) 4 ·
(x ) · y
x ·(y )
58 · 35 · 62
157 · 4 −2
⎧⎛ 1 ⎞ 3 4 19 5 ⎫
⋅ ⎬
b) ⎨⎜ ⎟ ⋅ −
⎝ 2 ⎠ 9 15 6 ⎪
 2 5
a + b
5 6 ⎛ 7 ⎞
· ⎜ ⎟
8 15 ⎝ 12 ⎠
22. Expresa en notación científica la distancia en kilómetros de un año luz.
d) ⎜ a ⋅ a 2 ⎟
23. Calcula la longitud del ecuador en la Luna sabiendo que su radio es de 1,74 · 106 m.
11. Realiza las siguientes operaciones:
6. Expresa en notación científica:
a) 320 · 10 –4
b) 875 · 1012
d) 1275 · 1012
31. Calcula las dimensiones de un terreno rectangular
de 1 024 m2 sabiendo que su anchura es la cuarta parte de su longitud.
25. Si la masa de Plutón es de 1,36 · 1022 kg y la de la
Tierra es de 5,983 · 1024 kg, calcula la diferencia de la
masa de la Tierra respecto de la masa de Plutón y da
el resultado en gramos.
c) 9 625 256
26. Si los hogares españoles consumieron 1230,4 millones de kilos de pescado y gastaron 9 001,4 millones
de euros en este producto durante 2011, calcula su
e) 7,6 · 10 –7
d) 3a2 + 11a4 + 625a8
f) 0,0097 · 106
27. En 2013 se vendieron mil millones de smartphones
en todo el mundo a un precio medio de 276 dólares
estadounidenses. Si al cambio actual 1 euro equivale
a 1,26061 dólares estadounidenses, calcula en euros
el volumen de dichas ventas en todo el mundo.
24. Si el tamaño de un virus es de 2 · 10 –8 centímetros,
calcula cuántos son necesarios para alcanzar la misma longitud que el ecuador de la Luna.
21a3 + 36a6
b) 9 − 29 − 13 + 9
c) 4,235 · 10 –8
d) 79,834289
30. Un terreno en forma de cuadrado tiene una superficie de 361 metros cuadrados. ¿Cuánto nos costará cercarlo si está a 7,5 € el metro lineal?
1 ⎞
51 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛
c) 6 ⎜4 − ⎟ ⎜21− ⎟⎜1− ⎟
11 ⎠⎝ 11 ⎠
3 ⎠ ⎝
c) 0,032459
b) 3,896876
consumo y gasto per cápita (por habitante) considerando que la población española es de 46,5 millones
29. Si un cubo tiene un volumen de 8 cm3, ¿cuánto mide
su arista?
a) a 3 : a 3
d) 7,002318432
a) 9,141415
28. Calcula la longitud del lado de un cuadrado si su
área es de 5 metros cuadrados.
10. Expresa en forma de raíz las siguientes expresiones:
5. Simplifica las siguientes expresiones y expresa el
resultado como potencia:
c) 80,123776702
b) 0,134419909
19. Aproxima 11 con un error menor que una milésima.
20. Calcula el error absoluto cometido si redondeamos
los siguientes números con tres cifras decimales:
a) 2,718281828...
⎛ 2 ⎞
b) ⎜ ⎟
⎝ 9 ⎠
a) 13,134151351
13. Comprueba si es cierto que 100 + 25 = 100 + 25 .
14. Comprueba si es cierto que 100· 25 = 100· 25 .
21. Sabiendo que la velocidad de la luz es de 299 800
km/s y que esta tarda 8 minutos y 20 segundos en
llegar a la Tierra, calcula la distancia de la Tierra al
Sol. Expresa el resultado en notación científica.
9. Indica si los siguientes números son racionales o
7 ⎞
2 ⎟
18. Calcula la aproximación, por truncamiento y redondeo con 5 cifras decimales de los siguientes números:
16. Comprueba si es cierto que 100 : 25 = 100 : 25 .
d) (–5,2 · 10 –6)3
⎛ 1 ⎞
g) ⎜⎜ a 2 ⎟⎟
4. Calcula el valor de las siguientes potencias:
15. Comprueba si es cierto que 100 − 25 = 100 − 25.
b) (3,24 · 1012) : (1,2 · 108)
⎛⎛ ⎞−4 ⎞
e) ⎜⎜− 1 ⎟ ⎟
⎜ 2 ⎟
como 0,42. Indica el error abso7
luto y el error relativo cometido.
17. Aproximamos
a) 5,25 · 10 –4 – 4,16 · 10 –4
d) 2.5·10 : 0.5·10
0.3·102 6·10−5
266 ⋅ 10−13 2 −4
19 ⋅ 10−15 7
f) (936 · 10 –14) : (1,3 · 10 –10)
g) (25,5 · 1012) : (1,7 · 10 –6)
c) ⎜⎜9 2 ⎟⎟
⎝ ⎠
e) (8 · 1012) · (1,3 · 1010)
3. Calcula las siguientes potencias y exprésalas de
la forma más simplificada posible:
d) 387,34 · 10 –9 – 12,4 · 10 –12
Números reales y potencias
12. Realiza las siguientes operaciones:
c) 2 · 10 –5 – 12,19 · 10 –7
l) ⎜− ⎟
⎝ 5 ⎠
) : (−5,987 )
⎡⎛ 1 ⎞ 3 8
c) ⎢⎜ − ⎟ ⋅ ⋅ −14 ⎥
⎢⎝ 4 ⎠ 7
7. Realiza las siguientes operaciones expresando el
resultado en notación científica:
a) 6,34 · 105 + 324,5 · 107
b) 9,23 · 10 –4 + 6,12 · 10 –3
⎛ 1 ⎞2
k) ⎜ ⎟
b) −5,987
c) –2 5
2. Reduce las siguientes expresiones a una sola potencia:
3 ⎫
2 ⎤ ⎪
⎪⎧⎡
a) ⎨⎢ −0,01 ⎥ ⎬
⎦ ⎭⎪
⎩⎪⎣
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Tras la lectura del texto anterior, realiza las siguientes actividades:
Un instituto de Málaga va a realizar un intercambio con un instituto de Agadir, ciudad situada en la
costa marroquí, a 600 km al sur de Rabat y a 440 km al sur de Casablanca. Rabat es la capital de
Marruecos y se encuentra aproximadamente a 1 000 km de Madrid. Su población actual es aproximadamente de 750 000 habitantes. Los 15 alumnos que participarán en el intercambio se desplazarán en avión, lo que supone un desembolso de 300 € por alumno, ida y vuelta. Se quedarán
en casa de las familias de los alumnos marroquíes y se procederá a la inversa cuando los alumnos
marroquíes se desplacen a Málaga. Los parámetros climáticos promedio de Agadir vienen dados
A través de la lectura de un texto motivador y relacionado con la
aplicación de la matemática en la sociedad, se plantean actividades
donde hay que poner en acción la comprensión del citado texto. El
diseño de estos «desafíos » está inspirado en las pruebas PISA.
Temperatura máxima media (oC)
Días de precipitaciones (≥)
Temperatura mínima media (oC)
Conjuntos numéricos: N, Z y Q
Fuente: NOAA Station ID: FM60250 Latitude: 30 23’N Longitude: 9 34’W Elevation: 23m
Actividad 1: ¿Cuál es la distancia de Málaga a Agadir?
Actividad 2: ¿Cuánta es la diferencia de población entre Málaga y Agadir?
–180 000 habitantes
180 000 habitantes
570 000 habitantes
Actividad 3: Indica el precio que pagó el grupo de españoles por el avión si los acompañaron 2 profesores.
Actividad 4: Cuando los marroquíes realizan el viaje a Málaga, un alumno se encuentra indispuesto, con lo que
no realiza el viaje. Calcula el desembolso que realizan en dírhams si también los acompañan 2 profesores.
Málaga se encuentra en el sur de España, a 535 km de Madrid. Su población actual es de 570 000
habitantes y los parámetros climáticos promedio de Málaga son los siguientes:
9 000 dírhams
4 800 dírhams
56 558,4 dírhams
Actividad 5: En una excursión por Agadir cada alumno se gastó 40 dírhams en la comida, 2 refrescos
a 8 dírhams cada uno. El billete de autobús urbano costó 3,5 dírhams y la visita al museo, 15 dírhams.
Si llevaban 20 €, ¿cuánto dinero les sobró?
Actividad 6: Escribe la diferencia de precipitaciones en ml entre Málaga y Agadir los meses que no tienen r.
Fuente: Organización Meteorológica Mundial, Agencia Estatal de Meteorología
La moneda marroquí se llama dírham y el cambio actual es de 1 euro = 11,783 dírhams.
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28/04/15/martes 15:12
Paso 1: Cálculo del número áureo a partir de un pentágono regular
Construye un pentágono con el programa GeoGebra y traza todas sus diagonales como en la figura.
El número áureo aparece en el pentágono en la relación
Construye un rectángulo áureo con las medidas resultantes del pentágono.
Paso 2: Cálculo del número de plata
Dibuja un cuadrado y proyecta la diagonal AB sobre la prolongación del lado AC, como en la figura de
arriba. Así obtienes un rectángulo ADEF cuya proporción entre sus lados es 2 . Ahora traza el simétrico del cuadrado inicial ACEB sobre el lado AE, construyendo un nuevo rectángulo HDFG. La relación
entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo HDFG es una constante matemática δ A llamada
número de plata. Comprueba que δ A = 1+ 2 = 2,41.
Paso 3: El octógono regular en el cálculo del número cordobés y del número de plata
Construye un octógono regular. De cada uno de sus vértices traza segmentos con un ángulo central
de 45o. Divide el radio de la circunferencia circunscrita entre su lado y obtendrás el número cordobés
y comprueba que obtienes nuevamente
c =  1,306 o de la proporción humana. Realiza el cociente
el número de plata: δ A = 1+ 2 .
A través de un texto se contextualiza la tarea que hay que realizar
en la unidad con relación al proyecto. Estas tareas te ayudarán a
experimentar y reflexionar sobre los diferentes tipos de métodos
e instrumentos de trabajo, no solo en relación con el desarrollo
de la unidad, sino también en otros contextos en los que puedan
ser relevantes el conocimiento científico y su utilización.
Un ejemplo a un clic:
<http://bit.ly/1xDUIJj>
<http://bit.ly/1wFuDvk>
3E MatematicasAplicadas_Unidad 03.indd 60
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1. Rodea con un círculo las relaciones de los conjuntos siguientes que sean funciones:
2. Calcula el dominio de la función f ( x ) =
a) b) \ {–3}
c) \ {3}
4. Indica qué rectas son paralelas entre sí:
f(x) = 2x – 4
h(x) = 2x + 3
a) f(x) y g(x)
d) [–3, ∞)
c) g(x) y h(x)
6. El vértice de la parábola x2 – 14x + 58 = 0 es:
3. Indica qué número no pertenece al intervalo
(–1, 5]:
b) f(x) y h(x)
5. Señala la simetría de la siguiente función:
f ( x ) = x3 − .
a) Impar b) Creciente c) Par d) Continua
b) (3, 8)
c (–12, 17)
d (7, 9)
7. La ecuación continua de la recta que pasa por
el punto A(2, –5) y tiene por vector director
u = (1, 6) es:
x −2 y+5
x −5 y−2
x+5 y−2
Soluciones: 1. a, d - 2. b - 3. a - 4. b - 5. a - 6. d - 7. c
Al término de cada unidad didáctica, en el apartado Evalúate, se vinculan los contenidos
y las actividades realizadas en dos secciones. En Autoevaluación se plantean diversas
preguntas tipo test centradas en los conocimientos explicados en la unidad cuya solución
se muestra en la misma página. En el apartado Mis progresos se incorporan unas rúbricas
finales de autoevaluación para que reflexiones sobre tus progresos.
¡Soy muy competente!
¡Debo esforzame mucho más!
¿Sé aplicar lo
Diferencio correspondencia y
función. Conozco los diferentes
tipos de intervalos. Defino el
dominio de una función. Distingo
si una función es continua,
creciente, su simetría y
periodicidad. Represento la
cuadrática y de proporcionalidad
inversa. Calculo el vértice de
una parábola. Deduzco las
ecuaciones de la recta e
identifico su pendiente.
Conozco los diferentes tipos
de intervalos. Defino el
Distingo si una función es
continua, si es creciente y su
simetría. Represento la
gráfica de la función lineal y
cuadrática. Deduzco las
Identifico la pendiente de una
de intervalos. Distingo si una
función es continua y si es
creciente. Represento la
gráfica de la función lineal.
Sé hacer...
función. Identifico los diferentes
tipos de intervalos y sus
elementos. Defino el dominio de
una función. Decido si una
función es continua, creciente,
su simetría y periodicidad.
Represento la gráfica de la
función lineal cuadrática y de
Calculo el vértice de una
parábola. Deduzco las
ecuaciones de la recta. Identifico
la pendiente de una recta.
de intervalos y sus elementos.
Defino el dominio de una
función. Decido si una función
es continua, creciente y su
Decido si una función es
continua o creciente.
Deduzco las ecuaciones de la
recta. Identifico la pendiente
Represento con GeoGebra la
cuadráticas y de
proporcionalidad inversa. Soy
capaz de crear un deslizador
para realizar traslaciones de
Represento con el programa
GeoGebra la gráfica de
cuadráticas. Soy capaz de
realizar traslaciones de
parábolas con GeoGebra.
¿Sé trabajar
Asumo mi rol sin interferir en
el trabajo de los demás y
Asumo mi rol, aporto ideas al
grupo, pero suelo interferir en
el trabajo de los demás.
al grupo e interfiero en el
No asumo mi rol e interfiero
en el trabajo de los demás sin
aportar ideas al grupo.
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3E Matematicas Aplicadas - organiz unidad.indd 5
2. Resolución de ecuaciones de primer grado
4. Resolución de problemas con
5. Método geométrico de Al-Khwarizmi de resolución de ecuaciones
–Identificar ecuaciones equivalentes.
–Aprender el primer principio de equivalencia de ecuaciones.
–Aprender el segundo principio de equivalencia de ecuaciones.
–Resolver ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis.
–Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.
–Resolver ecuaciones de segundo grado: caso general.
–Estudiar el discriminante de ecuaciones de segundo grado: número de
–Aplicar las ecuaciones de primer grado en la resolución de problemas
–Aplicar ecuaciones de segundo grado en la resolución de problemas
–Aplicar el método de Al-Khwarizmi de reducción de ecuaciones de
–Conocer la historia de las matemáticas en China y el origen de los
–Usar el programa WIRIS como herramienta de resolución de
CMCT, CD
–Estudiar los números poligonales.
CPAA, CMCT
–Entender la importancia del álgebra en el desarrollo de la civilización
CSC, CMCT
–Obtener números metálicos como soluciones de ecuaciones de
segundo grado y las fracciones continuas asociadas a ellos.
CMCT, CPAA, CD, CCL,
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29/04/15/miércoles 11:01
Las ecuaciones a lo largo de la historia
Desde el siglo xvii a. C. los matemáticos mesopotámicos y babilónicos resolvían ecuaciones de segundo grado. En el siglo xvi a. C.
los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental. En el siglo iii
d. C. el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética, en la cual se trataron de forma rigurosa las ecuaciones de
primer grado. El matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598670 d. C.) fue el primero en referirse explícitamente a los números
negativos como solución de las ecuaciones.
Al-Khwarizmi determinó las primeras reglas del cálculo algebraico:
la transposición de los términos de uno a otro miembro de una
ecuación, previo cambio de signo, y la anulación de términos idénticos en ambos miembros, así como la resolución de las ecuaciones de segundo grado por métodos geométricos.
El siguiente epigrama algebraico propuesto por un discípulo de
Diofanto explica cuántos años vivió este sabio griego. Intenta
«¡Transeúnte!, en esta tumba yacen los restos de Diofanto. De la
lectura de este texto podrás saber un dato de su vida. Su infancia
ocupó la sexta parte de su vida, después transcurrió una doceava
parte hasta que su mejilla se cubrió de vello. Pasó aún una séptima
parte de su existencia hasta contraer matrimonio. Cinco años más
tarde tuvo lugar el nacimiento de su primogénito, que murió al
alcanzar la mitad de la edad que su padre llegó a vivir. Tras cuatro
años de profunda pena por la muerte de su hijo, Diofanto murió.
De todo esto, dime cuántos años vivió Diofanto».
3E MatematicasAplicadas_Unidad 04.indd 63
La suma de tres números consecutivos es 15. ¿De qué números se
Para resolver este problema, tenemos que interpretar algebraicamente lo que nos preguntan y plantear una ecuación que se corresponda con el enunciado. Tomamos un número desconocido,
al que llamaremos x, el número anterior, que será (x – 1), y el posterior, que será (x + 1). Así, la ecuación que plantearemos será la
(x – 1) + x + (x + 1) = 15
Resolviendo la ecuación, averiguaremos el valor de x, que junto con
el anterior y el posterior nos dará los tres números buscados.
Una ecuación es una igualdad que se cumple para determinados
valores de las letras llamadas incógnitas.
Soluciones o raíces de una ecuación son los valores de la incógnita que la verifican.
y actividades resueltos
Resuelve las ecuaciones
utilizando principios de
• x + 7 = 11
Por el primer principio,
sumamos –7 a ambos
lados de la igualdad y
obtenemos una ecuación equivalente:
En una ecuación llamaremos primer miembro a la parte izquierda
del signo igual y segundo miembro a la parte derecha del signo
1.1. Equivalencia de ecuaciones
x + 7 – 7 = 11 – 7
Llamaremos ecuaciones equivalentes a aquellas que tienen las
■ Las ecuaciones x + 3 = 8, 5x + 15 = 40 son equivalentes porque
ambas tienen 5 como solución.
• 3x = 12
Primer principio de equivalencia: si en una ecuación sumamos o
restamos la misma cantidad o expresión en los dos miembros, obtenemos otra ecuación equivalente.
Segundo principio de equivalencia: si en una ecuación multiplicamos o dividimos los dos miembros por un mismo número (que no
sea cero), obtenemos otra ecuación equivalente a la dada.
Por el segundo principio, multiplicamos por
o dividimos entre 3
los dos lados de la igualdad y obtenemos una
ecuación equivalente:
⋅3x = ⋅12 ⇒ x = 4
1. Teniendo en cuenta el primer principio de equivalencia, resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5 + x = 13
b) −3 − x = 18
c) 11 − x = 23
d) 3 + x = 14
2. Teniendo en cuenta el segundo principio de equivalencia, resuelve las siguientes ecuaciones:
c) 2 x + 4 x − 6 − = 8
b) 5 + = 17
d) + 5 = 2 x − 3
a) = 14
3. Teniendo en cuenta los dos principios de equivalencia, resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 6 + 2 x = 9 x − 5
b) 7 x − 12 = 12 x − 7
c) 2 − x + 4 + 5 x = 2 x + 19
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Para resolver una ecuación, solemos seguir estos pasos:
1. Eliminar los paréntesis, si los hubiera.
2. Eliminar los denominadores, si los hubiera.
3. Reducir los términos semejantes.
4. Despejar la x.
3 x − 2 5 x − 12 7 x + 6
Eliminamos denominadores. Para ello, multiplicamos la ecuación
por el mínimo común múltiplo de los denominadores (en adelante, denominador común).
5 x − 12
−4⋅
− 4 ⋅4x
(mcm = 4) ⇒ 4 ⋅
3 x − 2 − 2 ⋅ (5 x − 12) = 2 ⋅ (7 x + 6) − 16x
Eliminamos los paréntesis →
3 x − 2 − 10x + 24 = 14 x + 12 − 16 x
Reducimos términos semejantes → −7 x + 22 = −2 x + 12
Pasamos la x al segundo término →
22 − 12 = −2 x + 7 x
Reducimos términos semejantes →
Despejamos la x →
Una ecuación es de primer
grado cuando está formada
por expresiones polinómicas
2(3 x + 5) − 6(4 x − 5) = 2(10x + 1)
Para eliminar los denominadores de una ecuación, multiplicamos los dos miembros de la
ecuación por el mcm de los denominadores, que llamaremos
6 x + 10 − 24 x + 30 = 20x + 2
Reducimos términos semejantes → −18 x + 40 = 20x + 2
−18 x − 20x = −40 + 2
Pasamos la x al primer término →
−38 x = −38
4. Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:
a) x + (2 x − 1) = 8
c) 2( x − 2) + 3( x − 3) = x + 2
b) 6( x − 2) + 3 x = 5 x + 4
d) 12( x + 1) + 10(2 x − 5) = 3( x − 3)
x −4 x −8 x −3 5
2 ⋅ ( x + 5) 5 ⋅ (4 x − 7) x
7 ⋅ ( x + 1) 14 ⋅ (2 x − 1)
5·( x + 1) 4 x − 1 1
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Fernando tiene dos amigos: Juan y Pedro. Juan es un año mayor que
Fernando, mientras que Pedro es un año menor. Calcula la edad de los
tres amigos sabiendo que el producto de las edades de Juan y Pedro
Para resolver el problema, llamamos x a la edad de Fernando, (x – 1) a
la edad de Pedro y (x + 1) a la edad de Juan. Si planteamos algebraicamente la situación, nos encontramos con la siguiente ecuación:
(x − 1)⋅(x + 1) = 80
x 2 − 1 = 80 ⇒ x 2 = 81 ⇒ x = ± 81 ⇒ x = 9
(La raíz negativa no tiene sentido en el problema, ya que nadie tiene
–9 años).
Así que las edades son estas: Fernando, 9; Juan, 10; y Pedro, 8 años.
En el problema anterior nos encontramos con una ecuación en la que
aparece un polinomio de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado es una igualdad en la que aparecen
polinomios de segundo grado.
Vamos a estudiar algunos tipos particulares de ecuaciones de segundo grado.
3.1. Ecuaciones incompletas del tipo ax2 + c = 0
Resuelve la siguiente ecuación del tipo ax2 + c = 0:
7x 2 − 63 = 0
Su solución es sencilla, como vemos a continuación:
ax 2 + c = 0 ⇒ ax 2 = −c ⇒ x 2 = − ⇒ x = ± −
x = ± − ⎜ − > 0 porque en otro caso no tendría solución⎟
a ⎝ a
3.2. Ecuaciones incompletas del tipo ax2 + bx = 0
La solución se obtiene sacando factor común a x:
⎧x = 0
ax 2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ ⎨
⎪ax + b = 0 ⇒ ax = −b ⇒ x = −
Soluciones: x1 = 0, x2 = −
x =9⇒ x = ± 9
7x 2 = 63 ⇒ x 2 =
ecuación del tipo ax2 + bx
5x 2 −15x =0
⎧⎪5x =0⇒x =0
5x(x −3)=0⇒ ⎨
⎩⎪ x −3=0⇒ x =3
x1 =0, x2 =3
6. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x 2 − 81 = 0
c) 12 x 2 − 500 = 7 x 2
e) 5 x 2 − 11 = 2 x 2 + 16
b) x 2 − 64 = 0
d) 7 x 2 − 6 = x 2 + 210
f) 27 x 2 − 86 = 23 x 2 + 110
a) 13 x 2 + 5 x = 0
c) 9 x 2 − 18 x = 0
e) 14 x 2 − 5 x = 9 x
b) 2 x 2 + 7 x = 0
d) 16 x 2 − 32 x = 0
f) 45 x 2 − 17 x = 20x 2 + 58 x
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3.3. Ecuaciones completas. Caso general
Queremos calcular cuánto mide un rectángulo de 420 m2 de área sabiendo que sus medidas vienen dadas por dos números naturales consecutivos.
Observemos el rectángulo de la figura al margen. Como su área es 420 m2,
el planteamiento del problema viene dado por la siguiente ecuación:
x ⋅(x + 1) = 420 ⇒ x 2 + x = 420 ⇒ x 2 + x − 420 = 0
La ecuación anterior es una ecuación completa de segundo grado.
Estas ecuaciones se expresan, de forma general, de la siguiente manera:
ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
La fórmula para obtener las soluciones de las ecuaciones de segundo
− b ± b2 − 4 ac
Aplicando la fórmula anterior, resolvemos la ecuación de segundo
grado que hemos planteado:
−1± 1 −4 ⋅ 1⋅(−420) −1± 1681 −1±41
−1+ 41 40
−1− 41
= 20, x2 =
= −21
x 2 + x −420 = 0 ⇒ x =
Como la longitud de un lado no puede ser negativa, la solución válida es
x = 20, por lo que un lado del rectángulo mide 20 m y el otro mide 21 m.
3.4. Número de soluciones
Dada una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, decimos que su
discriminante es la expresión ∆ = b2 – 4ac.
Mediante el estudio del signo del discriminante podemos saber el
número de soluciones que tiene la ecuación:
Si ∆ > 0, la ecuación posee dos soluciones reales y distintas:
− b + b2 − 4 ac
− b − b2 − 4 ac
Si ∆ = 0, la ecuación posee una única solución llamada raíz doble:
Si ∆ < 0, la ecuación no tiene solución real, ya que en este caso Δ
x 2 − 7 x + 12 = 0
Comparándola con la fórmula del caso general, tenemos:
a = 1, b = –7, c = 12
−(−7) ± (−7)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 12
7 ± 49 − 48
7 ± 1 7 ±1
7−1 6
¿Cuántas raíces tienen las
siguientes ecuaciones?
Estudiando el discriminante:
∆ = (–7)2 – 4 · 1 · 12 =
49 – 48 = 1
∆ > 0 ⇒ Tiene dos soluciones.
6x2 – 3x + 1 = 0
∆ = (–3)2 – 4 · 6 · 1 =
9 – 24 = –15
∆ < 0 ⇒ No tiene solución.
8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 2 x 2 + 4 = 9 x
c) 7 x 2 + 6 x − 1 = 0
e) 15 x 2 + 2 x − 1 = 0
b) 5 x 2 − 14 x = 3
d) 18 x 2 + 7 x − 1 = 0
f) x 2 − 9 x − 22 = 0
9. Calcula el número de raíces de las siguientes ecuaciones sin resolverlas previamente:
a) 2 x 2 + x + 3 = 0
c) x 2 + 12 x + 3 = 0
e) x 2 + 12 x + 2 = 0
g) x 2 + 4 x + 4 = 0
b) x 2 + 18 x + 12 = 0
d) 3 x 2 − 12 x + 2 = 0
f) 2 x 2 − 4 x + 1 = 0
h) 5 x 2 − 6 x + 1 = 0
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4.1. Resolución de problemas con ecuaciones
Calcula un número tal que su triple menos 2 sea igual a 13.
Sea x el número buscado. El planteamiento es:
3x − 2 = 13 ⇒ 3x = 15 ⇒ x =
⇒x=5
Un galgo observa una liebre que se encuentra a 300 m de distancia. Si
el perro se lanza en su persecución a una velocidad constante de 12 m/s,
¿cuánto tiempo tardará en alcanzarla si la liebre corre a una velocidad
de 7 m/s? ¿Qué distancia recorrerá cada uno?
Sea x el tiempo en segundos que tarda el galgo en alcanzar a la liebre.
En este tiempo el galgo recorre 12x m y la liebre, 7x m. Además, el
galgo tiene que recorrer 300 m más que la liebre. Así, la ecuación
300 = 12x – 7x ⇒ 300 = 5x ⇒ x =
Las ecuaciones nos permiten resolver una gran cantidad de problemas. Lo más importante es
saber trasladar al lenguaje algebraico el enunciado del problema:
es lo que se llama planteamiento
del problema. Después, resolveremos la ecuación que resulte y
finalmente retornaremos a los
datos del problema para interpretar correctamente el resultado.
El galgo alcanza a la liebre en 60 s. En este tiempo, el galgo ha
recorrido 12 · 60 = 720 m y la liebre ha recorrido 7 · 60 = 420 m.
Un bodeguero tiene vino a 7 e/L y otro de menos calidad, a 4 e/L. ¿Cuántos litros de cada clase ha de mezclar para obtener 150 L a 5 e/L?
Para hacer la mezcla, añade x L de más calidad y 150 – x de menor
calidad para tener en total los 150 L. La mezcla le costará 5 · 150 e y
tendrá x litros de mayor calidad a 7 e/L y 150 – x litros de menor calidad a 4 e/L. La ecuación algebraica que representa lo anterior es:
4 ⋅(150 − x) + 7x = 5 ⋅ 150 ⇒ 600 − 4 x + 7x = 750
3x = 750 − 600 ⇒ 3x = 150 ⇒ x = 50
Por lo tanto, el bodeguero mezclará 50 L de mayor calidad a 7 e/L con
150 – 50 = 100 L a 4 e/L.
10. Calcula la suma de tres números pares con consecutivos cuya suma sea 84.
11. Una madre reparte 18 € entre sus tres hijos. Si al mayor le asigna el doble que al pequeño y
el mediano recibe la mitad de lo que reciben el mayor y el pequeño juntos, ¿cuánto recibió
cada hijo?
12. Un corredor parte de Aranjuez hacia Toledo con una velocidad media de 12 km/h. Desde
Toledo sale otro corredor hacia Aranjuez con una velocidad media de 11 km/h. Si la distancia entre ambas localidades es de 46 km, ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que se
encuentren? ¿En qué punto del recorrido se encontrarán? ¿Cuántos km habrá recorrido
cada corredor?
13. En la contrarreloj de la Vuelta Ciclista a España, un ciclista A corre con una velocidad media
de 30 km/h y otro ciclista B, a 40 km/h. Si el ciclista B sale 10 minutos más tarde que el ciclista A, ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar a su compañero y cuántos km recorre?
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4.2. Resolución de problemas con ecuaciones
La diferencia de dos números es 4 y su producto es 320. Calcula dichos
Sea x uno de los números buscados. Como la diferencia entre ellos es
4, el otro número será x + 4. Si su producto es 320, la ecuación es la
x ⋅(x + 4) = 320 ⇒ x 2 + 4 x − 320 = 0
−4 ± 16 + 1280 −4 ± 1296 −4 ± 36
x1 = 16; x2 = –20
Si x = 16, el otro número será x + 4 = 20.
Si x = –20, el otro número será x + 4 = –16.
Así, los números buscados pueden ser 16 y 20 o –16 y –20.
Calcula las longitudes de una plancha de acero sabiendo que su área
es de 48 dm2 y que mide de ancho
de lo que mide de largo.
En este tipo de problemas geométricos es muy conveniente hacerse un
dibujo que represente esquemáticamente el problema.
Puedes ayudarte de la app
Ecuaciones de 1º y 2º grado de
EDITEX para comprobar si has
realizado de forma correcta los
Como su área es 48 dm2, planteamos la siguiente ecuación:
= 48 ⇒
= 48 ⇒ x 2 = 144
⇒ =4
Así, las medidas de la plancha son 12 dm de largo y 4 dm de ancho.
14. Calcula un número que multiplicado por su triple nos dé
15. El producto de dos números consecutivos es 240. Calcula dichos números.
16. Para vallar una finca rectangular de 165 m2, se han utilizado 52 m de cable. Calcula las dimensiones de la finca.
17. La suma de dos números es
y su producto,
. Cal18
cula dichos números.
3E MatematicasAplicadas_Unidad 04.indd 69
5. Método geométrico de
Al-Khwarizmi de resolución
de ecuaciones de segundo grado
En el siglo ix el matemático árabe Al-Khwarizmi ideó un método
geométrico para la resolución de ecuaciones de segundo grado. En
aquella época Bagdad había sustituido a Alejandría como centro del
saber y es en esta ciudad donde desarrolló su ciencia. Veamos algunos
■ Resolución de la ecuación x2 + x – 1 = 0.
Construimos un cuadrado ABCD de lado x, que coloreamos de
El área de este es x2 unidades de superficie, en adelante, u2.
Prolongamos 0,5 cm los lados AD y DC, y construimos los rectángulos ABEJ y BCGI.
El área de cada uno de estos rectángulos de color verde es
0,5x u 2 .
Finalmente, el área del cuadrado de color rojo BIHJ es
0,5 2 u 2 = 0,25 u 2 .
Todas las figuras del dibujo de arriba constituyen el nuevo cuadrado DEHG.
El área de este nuevo cuadrado es lado al cuadrado, esto es,
(x + 0,5)2 u 2 .
Por otra parte, teniendo en cuenta la gráfica anterior, tenemos:
(x + 0,5)2 = x2 + 0,5x + 0,5x + 0,25
Como la propia ecuación nos indica, x2 + x = 1, resulta que:
( x + 0,5)
= x 2 + x + 0,25 = 1+ 0,25 = 1,25 ⇒ x + 0,5
= 1,25 ⇒
x + 0,5 = 1,25 ⇒ x + 0,5 = 1,18 ⇒ x = 1,18 − 0,5 ⇒
x = 0,618 u2
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■ Resolución de la ecuación x2 + 8x – 20 = 0.
rojo. El área de este es x2.
Hacia el 400-200 a. C. se escribe el primer libro matemático chino que se conoce: Zhou bi
Suanjing.
Prolongamos 4 cm los lados AD y DC, y construimos los rectángulos ABEJ y BCGI.
4x u 2 .
Finalmente, el área del cuadrado de color rojo BIHJ es 42 = 16.
(x + 4)2 u 2 .
(x + 4)2 = x2 + 4x + 4x + 16
Como la propia ecuación nos indica, x2 + 8x = 20, de donde resulta que:
(x + 4)2 = x 2 + 8x + 16 = 20 + 16 = 36 ⇒ (x + 4)2 = 36 ⇒
x + 4 = 36 ⇒ x + 4 = 6 ⇒ x = 6 − 4 ⇒
x = 2 u2
Observa que este método solo proporciona la solución positiva
de las ecuaciones, ya que estima que su solución es la medida
de una longitud y esta no puede ser negativa. Si en la raíz cuadrada consideramos la solución negativa, obtenemos la otra solución algebraica de la ecuación, que, en este caso, al ser una
solución geométrica, no se tiene en cuenta.
Hacia el 200 a. C. aparece el
texto El arte matemático en nueve capítulos (Jiuzhang Suanshu),
de Yang Hui, el libro más importante de las matemáticas chinas
de la Antigüedad, formado por
246 problemas con sus soluciones explicadas. En él se reflejan,
entre otras cosas, su conocimiento de la regla de tres, directa e inversa, y su capacidad
para calcular raíces cuadradas
y cúbicas y resolver sistemas lineales de más de una incógnita.
Para operar, utilizaban varas de
cálculo y su sistema de numeración era decimal y posicional.
Conocen el cálculo de fracciones y la disposición de los cálculos en forma de matriz desde
la Antigüedad, cosa que en Europa se hace en el siglo xix. El
teorema de kou-ku (nuestro teorema de Pitágoras) ya lo utilizaban hacia el 1000 a. C.
Como los chinos no conocían
los números enteros, señalaban
los negativos escribiendo cifras
en color rojo. Actualmente se
conserva esa notación. Al decir
que una cuenta bancaria está en
números rojos, indicamos que
hay un saldo negativo.
18. Resuelve la ecuación x2 + 6x = 7 por el método de AlKhwarizmi.
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Resolver ecuaciones con WIRIS
En este apartado trabajaremos la resolución de las ecuaciones con el programa WIRIS.
Cuando resolvemos una ecuación con WIRIS, lo primero que va a intentar el programa es devolvernos una solución exacta.
Por ejemplo, para resolver la ecuación x2 – x – 12 = 0.
Escribimos la ecuación y pulsamos sobre el signo
que puedes ver en la imagen siguiente:
para obtener de forma inmediata la solución,
En esta ocasión las raíces son números enteros.
En otras ocasiones, las raíces son números reales.
Por ejemplo, al resolver la ecuación x2 – 2 = 0, el programa nos devuelve las raíces en forma de
Si quisiéramos obtener un valor aproximado de las raíces, bastará con añadir un punto al final de
Observa el ejemplo. Después del 0 añadimos un punto y WIRIS nos proporciona de forma automática una aproximación decimal de las soluciones.
19. Resuelve las ecuaciones de segundo grado propuestas en la actividad 8 con ayuda del programa informático WIRIS.
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5x + 7 – 3(x – 2) = 11
35x2 – 12x + 1 = 0
5x + 7 − 3 x − 2 = 11⇒ 5x + 7 − 3x + 6 = 11⇒
2x + 13 = 11⇒ 2x = 11− 13 ⇒ 2x = 2 ⇒ x =
35x 2 − 12x + 1 = 0
11· x − 3
− 4·35·1
12 ± 144 − 140
12 + 2 14 1
12 ± 4 12 ± 2 ⎪⎪ 1
⎪ x = 12 − 2 = 10 = 1
0,2 x + 1,4
( ) ( −12)
− −12 ±
0,2x + 1,4
= 0,2 ⇒ 0,2x + 1,4 = 2,2⋅ x − 3 ⇒
11⋅ x − 3
0,2x + 1,4 = 2,2x − 6,6 ⇒ 2,2x − 0,2x = 1,4 + 6,6 ⇒
2x = 8 ⇒ x = ⇒ x = 4
−1± 12 − 4·1· −156
) = −1±
−1+ 25 24
−1± 625 −1± 25 ⎪⎪ 1
⎪ x = −1− 25 = −26 = −13
5x + 4 2x + 5 2x + 1
3⋅ 5x + 4 + 5⋅ 2x + 5 − 2x + 1 = 7 ⋅15
Sean x y x + 1 los números buscados. Del enunciado se deduce la siguiente ecuación:
5 x + 4 2x + 5 2x + 1
ducto es 156.
x· x + 1 = 156 ⇒ x 2 + x − 156 = 0 ⇒
6. Calcula dos números consecutivos cuyo pro-
15x + 12 + 10x + 25 − 2x − 1 = 105 ⇒
23x + 36 = 105 ⇒ 23x = 105 − 36 ⇒
23x = 69 ⇒ x =
7. Si una caña de 0,3 m que está apoyada en la
pared resbala y desciende 0,06 m, ¿cuánto se ha
alejado de la pared? Este problema fue encontrado en una tablilla babilónica.
4. Pablo tiene 13 años y su hermana Juana, 15.
Si su padre tiene 48, ¿cuántos años han de
transcurrir para que la edad del padre sea la
suma de las edades de sus hijos? ¿Qué edad
tendrán entonces?
Sea x el número de años que han de transcurrir.
Las edades vienen dadas en el siguiente cuadro:
EN x AÑOS
Edad del padre = suma de las edades de los hijos
48 + x = 13 + x + 15 + x ⇒ 48 + x = 28 + 2x ⇒
48 – 28 = 2x – x ⇒ x = 20.
Han de transcurrir 20 años. Pablo tendrá 33 años;
Juana, 35 años, y su padre, 68 años.
Como el ángulo ^
CAB es recto:
0,32 = 0,24 2 + x 2 ⇒ x 2 = 0,09 − 0,0576 ⇒
x 2 = 0,0324 ⇒ x = 0,0324 ⇒ x = 0,18m
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1. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:
a) 5 x +
− =3
b) 4 x + 15 =
12 x 2 x 101
c) 5 −
d) 7 x − −
− 7 = 11
f) 5 x −
= 7x − 3
g) 7 x − − 1 = 11x + 3
h) 7 x −
− 12 = 14 x + 7
i) x +
x−5 x−4
j) 3 +
2. Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:
4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
a) x 2 − 4 = 0
b) x 2 − 43 = 126
c) x 2 = 81
d) 2 x 2 − 17 = x 2 − 1
e) x 2 = 144
f) 5 x 2 − 19 = 3 x 2 + 31
g) x 2 − 121 = 0
h) 7 x 2 + 151 = 11x 2 − 45
i) x 2 − 15 = 85
j) 27 x 2 − 43 = 4 x 2 + 164
5. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
a) x 2 − 5 x = 0
b) 5 x 2 − 127 x = 2 x 2 + 14 x
c) x 2 − 127 x = 0
a) (x – 1) + 5(x – 2) – 6(x – 3) = 24
d) 17 x 2 − 29 x = 2 x 2 + x
b) 2 · (4 – x) + 3 · (2x – 5) = 2x – 1
e) 4 x 2 − 17 x = 0
c) 10 + 35x = 5(x – 10)
d) 3( x − 3) + 2 x − 3 = 11
e) 2( x − 4) + 5( x − 2) = 12 x + 7
f) 5(3 − x ) + 4(3 x − 2) = 3 x − 2
g) 6(2 x − 5) + 3(4 x − 8) = 6( x − 3)
h) 7(3 x − 5) − 6 = 4( x − 6)
3. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores y paréntesis:
a) 2(3 − x ) +  x +  = 7
5
x − 2 − 2x + 6 + x = −
19 x − 5 2( x − 2)
5 − 2( x + 2)
3 2x − 1 5x + 6
e) 4 +
c) 5( x − 2) +
x − x=
g) 13 x 2 − 19 x = 0
h) 12,3 x − 15,6 x = 4,4 x − 2,7 x
6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado haciendo uso de las identidades notables:
b) ( 2 x − 7 ) = 121
c) ( 12 x + 5 )( 12 x − 5 ) = 1271
a) 5 x + 3
d)  5 x −
e)  7 x −  =
f)  4 x −
7  
1  195
7  49
x − 7 2( x − 3) 3( x + 1)
 x 2
1 1
5 
x−  + x−  =
2 3
6  27 
) = 10,89
i) ( x − 1,4 ) = 1,21
j) ( 2 x − 7 )( 2 x + 7 ) = 287
4
2 5 
1 3 
4 5
h)  x +  −  x +  =  x +  −
3 6
3 4 
3 9
h) 1,7 + x
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Estudio del discriminante
7. Calcula el número de raíces de las siguientes ecuaciones sin resolverlas previamente.
a) x 2 − 10 x + 25 = 0
e) 2 x 2 − 3 x − 3 = 0
b) x 2 + 4 x − 5 = 0
f) 2 x 2 + 3 x + 3 = 0
c) x + 4 x + 5 = 0
d) 2 x + 3 x − 3 = 0
g) 2 x − 3 x + 3 = 0
h) 64 x 2 − 16 x + 1 = 0
8. Resuelve por el método de Al-Khwarizmi las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) x 2 + 2 x = 8
c) x 2 + x = 12
b) x 2 + 5 x = 6
d) x 2 + 6 x = 40
Ecuaciones con simplificaciones previas
9. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado realizando las simplificaciones necesarias.
x + 11 = 0
a) x2 – 5,2x – 17,25 = 0
c) 0,66x2 + 7,76x + 0,7 = 0
b) 2,5x + 7x – 12 = 0
d) 3,9x2 – 5,4x + 1,5 = 0
11. Resuelve las siguientes ecuaciones. Para ello cambia los signos que consideres necesario:
a) –x2 + 5,1x – 4,4 = 0
x −6= 0
c) − x 2 +
b) –x2 + 10x – 16 = 0
d) –2,25x2 + 9,75x – 3 = 0
a) 3 x 2 +
10. Resuelve las siguientes ecuaciones con decimales:
d) x 2 − x −
12. Expresa las siguientes ecuaciones de segundo grado como cuadrado de una suma o una diferencia y obtén su solución sin aplicar la fórmula.
a) x 2 −
c) 16 x 2 + 16 x + 4
13. Expresa las siguientes ecuaciones en forma de identidad notable y obtén su solución sin aplicar la fórmula.
b) 9 x 2 − 36 x + 36
b) 25 x 2 − 9
a) 4 x 2 −
c) 9 x 2 − 4 y 2
d) 9 x 2 +
d) 49 x 2 + 2 x +
e) 49 x 2 − 9 y 2
f) 36 y 2 − 4 z 2
14. Calcula los números tales que su cuadrado mas su
cuádruple sea 32.
15. Calcula tres números impares consecutivos tales
que la suma de sus cuadrados es 251.
16. Calcula las dimensiones de la hoja de un libro miniatura, sabiendo que tiene 24 cm2 de superficie y mide
2 cm más de largo que de ancho.
21. María tiene 3 años más que Pablo, pero el próximo
año tendrá el doble. Calcula las edades de María y
22. Un grifo tarda en llenar un depósito 12 horas y
otro grifo tarda en llenarlo 4 horas. Calcula el tiempo necesario en llenar el depósito si abrimos los dos
grifos a la vez.
17. Calcula dos números impares consecutivos tales
que la suma de sus cuadrados es 290.
18. Calcula tres números impares consecutivos cuya
suma sea 45.
. Cal19. La suma de un número y su inverso es
cula de qué número se trata.
20. Mezclamos aceite de 6 €/L con otro de inferior calidad
de 2 €/L y obtenemos 80 L de mezcla a 4 €/L. Calcula la
cantidad de litros de cada clase que hemos mezclado.
23. La diferencia de los catetos de un triángulo rectángulo es de 8 cm. Calcula su longitud sabiendo que
la hipotenusa mide 40 cm.
24. Calcula las dimensiones de un rectángulo de 18
m2 de superficie si uno de sus lados mide la mitad que
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Un número poligonal es un número natural que puede estructurarse en forma de polígono regular.
Los pitagóricos solían representar los números mediante piedras en la arena (calculus dirán los
latinos) o puntos en un pergamino y los clasificaban según las formas poligonales, es decir, asociaban los números a figuras geométricas que iban apareciendo por la disposición regular de los
En general, los números poligonales forman parte de las raíces históricas de la teoría de números
n((l − 2)n − (l − 4))
, donde l es el número de lados de un polígono y n, el n-ésimo
número poligonal de l lados.
y son enteros del tipo
P O L I G O N A L E S
Para l = 1, tenemos números triangulares; para l = 2, cuadrados; para l = 3, pentagonales.
Representación de los números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales.
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Actividad 1: ¿Cuál es el número triangular de orden 9?
Actividad 2: ¿Cuál es el número cuadrado de orden 8?
Actividad 3: ¿Cuál es el número pentagonal de orden 7?
Actividad 4: ¿Cuál es el número hexagonal de orden 6?
Actividad 5: ¿Cuál es el número heptagonal de orden 5?
Actividad 6: ¿Cuál es el número octogonal de orden 4?
Actividad 7: ¿Cuál es el número nonagonal de orden 3?
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Paso 4: Construcción algebraica de los números metálicos
En esta unidad continuamos con los números metálicos y los estudiamos desde el punto de vista
algebraico. Deberás saber muy bien las fracciones de la unidad 1, así como los radicales de la unidad
2 y las ecuaciones de segundo grado. La construcción algebraica parte toda ella de las soluciones
positivas de las ecuaciones cuadráticas del tipo x 2 – px – q = 0, donde tanto p como q son números
naturales. También obtendremos las fracciones continuas de dichos números.
Obtención de números metálicos como solución de una ecuación de segundo grado
Sustituye en la ecuación x 2 – px – q = 0 el par (p, q) y obtendrás los números metálicos. Para
obtener el número de oro debes sustituir el par (p, q) por (1, 1). En este caso resuelve la ecuación
El número de plata lo obtendrás sustituyendo el par (p, q) por (2, 1).
x2 – x – 1 = 0 y obtendrás como raíz positiva φ =
El número de bronce lo obtendrás sustituyendo el par (p, q) por (3, 1).
El número de cobre lo obtendrás sustituyendo el par (p, q) por (1, 2).
El número de níquel lo obtendrás sustituyendo el par (p, q) por (1, 3).
El número de latino lo obtendrás sustituyendo el par (p, q) por (2, 2).
Obtención de números metálicos como fracción continua
Despeja y divide por x y se obtiene x 2 − px − q = 0 ⇒ x 2 = px + q ⇒ x = p +
Reemplazamos infinitamente x por el valor obtenido.
x = p+
Para calcular el número de oro, hacemos φ = ⎡⎣1, 1, 1, 1... ⎤⎦ =
= ... = ⎡⎣ p, p, p, p, p... ⎤⎦
<http://bit.ly/1z0T9rj >
Cuando se detiene el proceso, se obtiene una aproximación de φ, que será más fina cuantas más
iteraciones realices en la fracción continua.
Por este método puedes calcular las fracciones continuas del resto de los números metálicos y
aproximar 4 decimales. Puedes hacer uso del programa WIRIS para realizar los cálculos.
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1. La solución de
5 x − 0,4 4 x − 0,2
= 0,5 es:
2. Determina el número de raíces de x 2 + 3 x + 3 = 0:
5. Dos trenes circulan en sentido contrario desde
dos ciudades que distan entre sí 480 km. El que
sale de la ciudad A circula a 90 km/h y el que
sale de la ciudad B circula a 70 km/h. Calcula
el tiempo y el lugar en donde se cruzarán.
a) 3 horas a 270 km de A
a) Dos raíces reales y distintas
b) 2 horas a 180 km de A
b) Raíz doble
3. Las soluciones de la ecuación
(x − 2)⋅(x + 3) = x + 3
c) 11 y
b) –3 y 10
b)  2 x + 
y –3
b) 18 480 €
c) 16 420 €
7. Los lados de un triángulo miden 16, 33 y 41 cm.
Calcula la cantidad que hay que sumar a la longitud de los lados para que el triángulo sea
4. El polinomio 16 x + 4 x + se puede expresar:
a) 24 098 €
a)  x + 
6. Vendemos un terreno en forma rectangular, a
10 €/m2, que tiene 178 m de perímetro y cuya
diagonal mide 65 m. El beneficio de la venta es:
c)  4 x + 
8. Calcula un número no nulo que sumado al producto de este por su tercera parte es igual a
seis veces dicho número.
Soluciones: 1. c - 2. c - 3. d - 4. c - 5. a - 6. b - 7. d - 8. c
Resuelvo ecuaciones de 1.º y 2.º
grado completas e incompletas
y por el método geométrico.
Calculo el n.º de soluciones de
la ec. de 2.º grado estudiando ∆.
Aplico las ecuaciones
algebraicas para plantear y
Resuelvo ecuaciones de 1.º y
2.º grado completas e
incompletas. Calculo el n.º de
soluciones de una ec. de 2.º
grado estudiando ∆. Aplico las
ecuaciones algebraicas para
grado estudiando ∆.
soluciones de la ec. de 2.º
Resuelvo ecuaciones de
primer y segundo grado con
WIRIS, de forma algebraica y
numérica, con raíces reales.
WIRIS de forma algebraica y
numérica con raíces enteras.
Resuelvo algebraicamente
segundo grado con WIRIS.
con WIRIS.
3E MatematicasAplicadas_Unidad 04.indd 79
soluciones algunos problemas ecuaciones y sistemas
Claves secretas y encriptamiento de códigos
Trabajo Práctico de Ecuaciones Ejercicio 1: Resuelve en R , en
Descargar - Telesecundaria - Secretaría de Educación Pública
Sin título-1 - epja
Wiris como herramienta para facilitar el chat en cursos de
álgebra - IES Arroyo de la Miel
y funciones trigonométricas.
Repaso de álgebra - Matemáticas Online
18 7 2 = + XX - prescott.edu.pe
Solución del Tema 3
y=10 Este valor de y lo sustituimos en (2) para hallar el valor
9 81 y8 64 = =

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 Resolución 
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