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Timestamp: 2016-08-31 01:58:33+00:00

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Solucionario Matematica 2011 II..2pdf.unlocked
BrowseUploadSign inJoinBooksAudiobooksComicsSheet MusicWelcome to Scribd! Start your free trial and access books, documents and more.Find out moreMatemáticaPREGUNTA N.º 21
En un cono circular recto la generatriz mide 12 cm y una cuerda de la circunferencia de la base mide 16 cm. Si la distancia del centro de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm, entonces el volumen del cono (en cm3) es: A)	640 π 3 •	En el VOB: h 2 + ( 4 5 ) = 12 2
→	h=8
π (4 5 ) × 8 3
641π B)	3 C)	642π 3
640 π 3
643π D)	3 644 π E)	3
Resolución Tema: Cono de revolución Análisis y procedimiento
Se pide el volumen del cono V. V
Considere dos esferas tangentes exteriormente, cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectivamente. Calcule el volumen (en cm3) del cono circular recto circunscrito a las dos esferas. A)	B)	C)	D)	E)	80π 81π 82π 83π 84π
Resolución Tema: Esfera
B 8 M h R (I)
4 5 4 A 8
•	Se sabe que V =
πr 2h 3
•	Al trazar OM ⊥ AB → MB = MA = 8 OMB: OB = 4 5
Nos piden Vcono. V 2 1 O1 30º N r
En una pirámide regular de base cuadrangular, el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente. Calcule la altura (en u) de la pirámide. M 1 A)	6 2 B)	12 2 C)	18 2 D)	24 2 E)	34 2
O2 R 3 2
Tema: Sólidos geométricos (pirámide)
•	En todo triángulo rectángulo b h
Datos: Las esferas tangentes exteriores están inscritas en el cono de revolución. Además, r=1 y R=3 Se observa que O1O2H: Not. de 30º y 60º m HO1O2=30º
Piden OP. OP=2h P
Como O1 H // VM , entonces En m TVA=30º VTA: TA = 3 3
π (3 3 ) × 9 3
Vcono=81π
h 8 G B
6 m F C 2m D M
Como O: Centro del cuadrado ABCD → OA = 2 ( OM ) •	Se traza GE // AO y GF // OM Por teoría de la base media AO=2(EG) OM=2(GF) Si el cilindro C21 es tal que su área total es 3 veces su área lateral, entonces el área lateral de C1 es: C2 C1
•	Por relaciones métricas EGP: 1 82 1 62 = 1 h2 1 h2 + 1 πR 2
(m 2 ) 2
A)	( 2 )40
B)	( 2 )30
•	Luego 1 1 1 = + 64 h 2 2m 2 1 1 1 = + 36 h 2 m 2 (I) (II) C)	( 2 ) 20
D)	( 2 )15
•	Operando las expresiones (I) y (II) h = 12 2 E)	( 2 )10
∴ OP = 24 2
Resolución Respuesta
Área de la superficie del cilindro
En la figura, C1 es un cilindro circular recto de radio R y altura h. Si en C1 se inscribe un prisma regular cuadrangular y luego en este prisma se inscribe un cilindro circular recto C2 y así se repite el proceso obteniendo los cilindros C3, C4, C5, ...
Área total AST=2πR2+2πRh
Área de la superficie lateral Analizamos las bases. C1 R 2 R 2 2 C2 R3=R/2 R C2 R4= R 2 2
ASL=2πRh
Nos piden ASL de C1.
Del gráfico se observa que R Dato: En el cilindro 21 se tiene C1 → R1=R C2 → R2= C3 → R3= C4 → R4= C5 → R5= 	 R 2 2 R 2 R 2 4 R 4
AT(C21)=3ASL(C21)
Sea R21 el radio de la base del cilindro 21. Entonces en el dato tenemos
2π(R21) +2π(R21)h=3(2π(R21)h) R21=2h h= R21 2 (I)
Por inducción se tiene que C21 → R21 = R 210 R R = 1024 210 (IV)
Luego →	R21 = (II)
ASL(C1)=2πRh	Reemplazando (IV) en (III) se tiene que
Reemplazando (I) en (II) tenemos ASL(C1)=pR(R21)	(III)
A SL(C1 ) = πR 
 R   210  
Hallando R21 en función de R tenemos lo siguiente.
∴ A SL(C1 ) =
( 2 ) 20
Piden PF.
 = mCD  = m DE  =α •	Del gráfico m BC
•	P BCE α+ α = 90º → a=60º 2
En la figura ABCDEF.... es un polígono regular cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm).
2 3 C α 60º B 2 α 2 30º D 2 3 2 α 30º α/2 E 2 α
A •	m  CEF=90º y del PEF
C)	3 6 E)	4 6 ( PF ) 2 = 2 2 + (4 3 )
∴	PF = 2 13
A)	4 3 B)	2 13 D)	6 2 Respuesta
Recuerde que C θ B β θ A G β θ F β θ β D θ β E θ
Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O’, respectivamente, son tangentes exteriormente en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P y desde O’ se traza una tangente a C1 en Q (OP no se interseca con O’Q). Si se tiene que PQ se interseca con OO’ en T, entonces la relación de los radios de dichas circunferencias es: A)	1 3 B)	1 2 C)	1 E)	3
ABCDEFG...: polígono regular
 = m BC  = mCD  = ... m AB
D)	2	18
Circunferencias tangentes exteriores P T R Q Se cumple que  = mTP  mQT B)	A)	PREGUNTA N.º 27
En un rectángulo ABCD, M y N son puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente, tales que AM = 2 2 cm y BN = 17 cm . Si P es el punto de intersección de los segmentos AM y BN , entonces el valor de PM + PN en cm es: 2 2 + 17 5 2 2 + 2 17 5 3 2 + 17 5 2 2 + 3 17 5 3 2 + 3 17 5
Piden r R
C)	P θ α O r Q  = mTP  , tenemos Debido a la propiedad mQT m PQO’=mQPO=q r θ T R R O'
D)	E)	Resolución Tema: Semejanza de triángulos Análisis y procedimiento
Q a 2x 2b M m a 3x N C b R 2a b
En P, a+q=90º →	mQO’P=90º Luego, OPO’Q es un rectángulo →	r=R \	r =1 R B 2b A
Nos piden PM+PN
AM = 2 2; BN = 17
Se observa que T BPM y T RPA son semejantes, entonces PM=m; AP=4m
Resolución Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Recordemos el teorema de las cuerdas en la circunferencia. ab=cd
Pero AM = 2 2 m + 4m = 2 2 → m = 2 2 5
También T BPA y T NPQ son semejantes, entonces BP=2x; PN=3x Pero BN = 17 2 x + 3 x = 17 → x = 17 5
Dato abcd=1296 y R=10
Luego PN = 3 17 5 2 2 + 3 17 5 d
a x R R b c
∴	PM + PN =
2 2 + 3 17 5 Nos piden x. Por teorema de las cuerdas tenemos
(R+x)(R – x)=ac	(I)
También ac=bd
En una circunferencia de 10 cm de radio, dos cuerdas se cortan de manera que el producto de los segmentos que cada una determina sobre sí es 1296 cm4. Determine a qué distancia (en cm) del centro se halla el punto de intersección. A)	5	B)	6	D)	8	C)	7 E)	9
En el dato (ac)(bd)=1296 →	(ac)2=1296 Luego ac=36 y R=10
En (I) tenemos (10+x)(10 – x)=36
Resolviendo x=8.
8 Sea R la longitud del radio de la circunferencia circunscrita y DF=1 cm.
Por teorema del  inscrito: m AED=45º
Los diámetros AB y CD de una circunferencia son  , AE interseca a CD perpendiculares. Si E ∈ BD en el punto F y FD=1 cm, entonces la longitud de la circunferencia circunscrita al triángulo FED (en cm) es: A)	B)	C)	D)	E)	π 2 2π 2 2π 3 3π 2 3π 3
 = 90º →	m DF En el DOF: notable 45º, R = 2 2
Luego la longitud de la circunferencia es igual a  2 2π   2  
\	π 2
Resolución Tema: Circunferencia y figuras circunscritas
Se sabe que la longitud de una circunferencia de radio R es igual a 2pR.
El volumen y el área lateral de un prisma recto de base triangular son 50 m3 y 200 m2, respectivamente. Calcule el radio (en m) de la circunferencia inscrita en la base del prisma. A)	B)	C)	D)	E)	0,25 0,5 1 2 3
Nos piden la longitud de la circunferencia circunscrita al FED=2pR. Datos: C
A F 90º 1 D 45º R R O 45º R B E
Tema: Prisma recto
Se sabe que B c a+b+c 2 A a r b C
A =pr	90º
D)	5 6 E)	6 5
V=50 m2 ASL=200 m
Tema: Geometría del espacio (ángulo diedro)
Cuando se pide calcular la medida de un ángulo diedro, recuerde que podemos utilizar el teorema de las tres rectas perpendiculares, y en el caso de que dicha medida sea dato, también podemos usar el teorema.
Se pide r Del primer dato (pr)h=50 m2	(I) x 5 3 A M C •	Al trazar B’M ⊥ AC por teorema de las tres perpendiculares: BM ⊥ AC 10 37º 3 3 Piden AB. AB=x B
Del segundo dato 2ph=200 m2	(II)
Del (I)÷(II) r=0,5
En un triángulo ABC en el espacio, la altura relativa a AC es 5 3 cm. Sus vértices A y C están en un plano horizontal P y el vértice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B’ (B’ es la proyección de B sobre P) mide 37º. Si AB’=10 cm, entonces la longitud de AB (en cm) es: A)	10 B)	10,6
•	Del dato: •	•	Del mSBMB’=37º BB’M: notable de 37º y 53º MB = 5 3 → BB ' = 3 3 AB’B: x 2 = ( 3 3 ) + 10 2
\	x = 127
127 Se cumple que A×C= B×D
Nos piden A ABCD.
Las diagonales de un trapecio dividen a este en cuatro triángulos. Si las áreas de los triángulos adyacentes a las bases son A 1 y A 2, entonces el área total del trapecio en función de A 1 y A 2 es: A)	A1 + A2 + A1 A2 B)	2 A1 A2 C)	A1A2 D)	A
B A1 M O A2
•	Del gráfico
A ABO=A COD=M
E)	A1 + A2 − A1 A2
•	Entonces A ABCD=A1+A2+2M	(I)
Resolución Tema: Área de regiones cuadrangulares
Recuerde que si BC // AD
•	Luego A1×A2=M×M M= A1 × A2 (II)
•	Reemplazamos (II) en (I) A ABCD= A1
+ A2 + 2 A1 × A2 A1 + A2
\	A ABCD=
En la figura, O es el centro del círculo trigonomé3 trico. Si OA=1 u y tan θ = , calcule el área de 3 2 la región sombreada (en u ).
30º 2r
30º 30º X
7π 9 5π 6 6π 7 7π 8 8π 9
.	A)	B)	C)	D)	E)	Del dato tan θ = 3 3
→	θ=30º Si r es el radio de C 2, según el gráfico se tiene 3r=1 1 3
Resolución Tema: Área del sector circular
→	r =
A somb.=AC1 – AC2
1 2 = π (1) − π   3 = 8π 9
Además 2a a 30º a 3
En la circunferencia trigonométrica de la figura π mostrada, el arco θ ∈ ; π , calcule el área de 2 la región sombreada. → h= 1 1 − cos θ Y
 =θ AM
B M θ
θ O A X
1– h P h 45º h 45º C
A)	1  1 − cos θ    2  2 − cos θ  A
ABC=A
AOB+A
A ABC=
 2 − cos θ  B)	  1 − cos θ   C)	1  2 − cos θ    2  1 − cos θ 
1×1 1 1 + × 2 2 (1 − cos θ)
1 1  1 +  2  1 − cos θ  1  2 − cos θ    2  1 − cos θ 
1  2 + cos θ  D)	  2  1 − cos θ  1 1 − cos θ  E)	   2  2 + cos θ 
1  2 − cos θ    2  1 − cos θ 
Resolución Tema: Circunferencia trigonométrica Análisis y procedimiento
Se pide Área Del gráfico BHO ∼ CPO
 4x   3x  = a y tan   = b, entonces al Si tan   7    7  simplificar x E = (1 − a 2b 2 ) · tan( x) · tan   ; se obtiene: 7 A)	a – b	B)	a2 – b2	C)	a+b E)	a/b
− cos θ 1 − h = 1 h 1 1 − cos θ = h
D)	ab	25
Identidades trigonométricas de arcos compuestos Se sabe que tan x + tan y 1 − tan x·tan y tan x − tan y 1 + tan x tan y
Si x ∈ π; 5π , determine el rango de la función 4
f ( x ) = 1 + 2 sen x ·cos x 2 2
tan ( x + y ) = tan ( x − y ) =
A)	0;
B)	〈0; 1〉 C)	0; 2 D)	0; 3 E)	0; 2 + 1
Piden simplificar la expresión E. x E = (1 − a 2b 2 ) tan ( x )·tan   7
Resolución Tema: Funciones trigonométricas Análisis y procedimiento
Piden el Ran(f ). f( x ) = 1 + 2 sen x cos x ; π < x < f( x ) = 1 + 2 ( − sen x ) cos x 5π 2 5π 4
Dato:  4x   3x  tan  = a y tan   = b  7    7 
Entonces  4 x 3x   4 x 3x  E = (1 − a 2b 2 )·tan  + −  ·tan    7  7 7  7   a+b   a−b  E = (1 − a 2b 2 ) ·  ·  1 − ab     1 + ab   f( x ) = 1 − sen 2 x ; 2π < 2 x <
E = 1 − a 2b 2 · Finalmente E=a2 – b2
(a 2 − b 2 ) (1 − a 2b 2 )
Analizamos en una C.T. Y
5π /2
2x 1 sen2x
a2 – b2
Del gráfico 0 < sen2x < 1 0 > – sen2x > – 1 1 > 1 – sen2x > 0 1 > 1 − sen 2 x > 0 1 > f(x) > 0 Análisis y procedimiento
De la condición  1  arccot x = arctan  ; 0 < x <1  1− x    1  1 arctan   = arctan  x   1− x  1 1 = x 1− x 1 x2 = 1 1− x
\	Ran(f )=〈0; 1〉
〈0; 1〉
x2=1 – x
Para 0 < x < 1, resuelva la ecuación  1  arccot x = arctan    1− x  −1 + 5 A)	2 B)	C)	−1 + 4 2 −1 + 3 2 −1 + 2 2 −2 + 2 2
Resolviendo la ecuación cuadrática ∴ x= 5 −1 2
Sea 0 < θ < π tal que 2
D)	E)	log 5 ( tan θ) + log 5 ( tan θ + 6 ) = Determine el valor de sec2θ. A)	24 − 12 3 B)	22 − 12 3 C)	20 − 12 3 D)	18 − 12 3 E)	12 − 12
1 log 5 9 2
1 •	arccot( x) = arctan   ; x > 0 x •	ax 2 + bx + c = 0 → x = − b ± b 2 − 4 ac 2a
Resolución Tema: Identidades trigonométricas fundamentales
•	sec2θ=1+tan2θ •	logx A+logx B=logx(A · B) •	n · logx A=logx An D= sen ( A + B) + sen ( A + C ) + sen ( B + C ) 53 cos A + 42 cos B + 35 cos C A)	L 4 B)	L 6 C)	L 8 L 12 D)	Análisis y procedimiento
log 5 ( tan θ) + log 5 ( tan θ + 6 ) = 1 log 5 9 2
E)	Resolución Tema: Resolución de triángulos oblicuángulos
Teorema de senos: a b c = = sen A sen B sen C
log 5 ( tan θ) ( tan θ + 6 ) = log 5 9 tan2θ+6tanθ=3 tan θ+6tanθ – 3=0 − 6 ± 36 − 4 (1) ( −3) tan θ = 2 tan θ = −3 ± 2 3 π , entonces tanθ > 0. 2
a=bcos C+ccos B b=acos C+ccos A c=acos B+bcos A B c a
Como θ ∈ 0; tan θ = −3 + 2 3 tan 2 θ = 21 − 12 3 sec 2 θ − 1 = 21 − 12 3 sec θ = 22 − 12 3
180 º−C 180 º− B 180 º− A    sen( A + B ) + sen( A + C ) + sen( B + C ) D= 53 cos A + 42 cos B + 35 cos C
22 − 12 3 Alternativa
sen C + sen B + sen A 53 cos A + 42 cos B + 35 cos C B 3 1,2
Si A, B y C son los ángulos de un triángulo, 1,2; 2,3 y 3 son las longitudes de sus lados opuestos a dichos ángulos respectivamente y sen A=L, calcule el valor de la expresión siguiente: A 2,3
Por el teorema de senos tenemos 1, 2 2, 3 3 = = sen A sen B sen C 1, 2 + 2, 3 + 3 1, 2 = sen A + sen B + sen C sen A 6, 5 1, 2 = sen A + sen B + sen C L 65 L 12 (I) C)	x2+y2=15 D)	x2+y2=16 E)	x2+y2=25 →
Resolución Tema: Ecuación de la circunferencia
r (h; k) (x – h)2+(y – k)2=r 2
→ sen A + sen B + sen C =
Por el teorema de proyección tenemos 1,2=3cos B+2,3cos C 3=1,2cos B+2,3cos A 2,3=3cos A+1,2cos C
C : (x – h)2+(y – k)2=r 2
Sumando las tres relaciones 6,5=5,3cos A+4,2cos B+3,5cosC 65=53cos A+42cos B+35cosC	(II)
Por dato I.	(h; k) L: y+x=0 → k=– h Por lo tanto
Al reemplazar (I) y (II) en (α) se tiene que D= L 12
C : (x – h)2+(y+h)2=r 2
7 ) ∈ C entonces (3 – h) +(4+h) =r 2
II.	(3; 4) ∧ ( 3 2; Respuesta
2 − h) + ( 7 + h) = r 2
Igualando, tenemos que h=0, entonces k=0 Luego
C : x2+y2=r 2
Como (3; 4) ∈ C →	32+42=r 2 → r 2=25 ∴	PREGUNTA N.º 40
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta y+x=0. Además, pasa por los puntos (3; 4) y ( 3 2 ; 7 )? A)	x2+y2=5 B)	x2+y2=9
C : x2+y2=25
Curvas de titulacion Cronograma Proceso Serums 2015 ITBC ESQUEMAS.pdfmanual-microbiologia-aplicada.pdfJuramento hipocráticoALMA ATA.pdfComite Farmacologico-equipo UrmAgentes teratogénico - teratogenesisAnimales ToxicosMuestreo doble en estadisticaTécnicas de muestreo estadisticoCurso de EstadIstica BasicaEstadistica medidas de frecuenciaCurso de EstadIstica BasicaMicosis Comunes en Cavidad Oral Buenas Practicas de Control de CalidadInstalaciones y EdificacionesPruebas de TamizajeFabricacion Alcohol GelArticulo Factores de Riesgo Cardiovasculares ModificablesPrimer Ciclo 2013 SistemasProcedimiento Preparacion de SolucionesNormas basicas de seguridad laboral e higiene industrialFolleto Seguridad IndustrialSeguridad Industrial Laboratorio
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