Source: https://es.scribd.com/doc/102115932/Diferencia-Finita
Timestamp: 2016-05-03 22:35:11+00:00

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1 Diferencias anterior, posterior y central 2 Relación con las derivadas 3 Cálculo de diferencias finitas 4 Derivadas de órdenes mayores 5 Métodos de diferencias finitas 6 Véase también 7 Referencias 8 Bibliografía complementaria
[editar] Diferencias anterior, posterior y central
Diferencias finitas. Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central. Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma
el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0. Una diferencia regresiva. atrasada o anterior es de la forma
Finalmente. la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. el término de la derecha se convierte en
[editar] Cálculo de diferencias finitas
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada.Dependiendo de la aplicación. Asumiendo que f es continuamente diferenciable. en lugar de aproximarse a cero. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Viene dada por
[editar] Relación con las derivadas
La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite
Si h tiene un valor fijado no nulo. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable). la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. el error es
La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:
Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
[editar] Derivadas de órdenes mayores
De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. las series de la derecha no convergen con seguridad. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas. invirtiendo la exponencial. Sin embargo. es
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Formalmente. Incluso para funciones analíticas. sino que puede tratarse de una serie asintótica. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales.
. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico. Por ejemplo.Donde D denota el operador derivada. obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:
[editar] Métodos de diferencias finitas
Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Los dos primeros términos de la serie llevan a:
El error de la aproximación es del orden de h2. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de para y y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x. especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias. que hace corresponder con su derivada decir.
Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos. el método de las diferencias finitas es un método utilizado para calcular de manera aproximada las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para aproximar derivadas. búsqueda Plantilla:Mate-esbozo En análisis numérico.
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[editar] Ejemplo básico de ecuación de diferencias finitas en economía
Una ecuación sencilla en diferencias finitas
La solución se ensaya por tanteo o aproximación
Sustituyendo en la ecuación inicial
La solución será
Comprobamos si la solución es correcta
Escribimos la solución general
las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finitas. Resolviendo la ecuación anterior para la primera derivada. en una solución por diferencias finitas. La expansión de Taylor de alrededor de es (1). así por ejemplo una aproximación de diferencia para la primera derivada de una función necesita por lo menos de dos puntos de datos. El método para resolver
es idéntico pero la solución general se escribe en función del número e. Este método no solo deduce las fórmulas de diferencia sistemáticamente. Es valioso familiarizarse con ésta aproximación porque tal conocimiento reforzará la comprensión de los procedimientos de elementos finitos. Básicamente. METODO DE EXPANSION DE TAYLOR El método de expansión de Taylor es una forma alternativa de obtener aproximaciones de diferencia. el número mínimo de puntos de datos requeridos para deducir una aproximación de diferencia es . tenemos
. Consideremos la deducción de la aproximación de diferencia para en términos de .
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS INTRODUCCION El método de diferencias finitas es un clásica aproximación para encontrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el modelo matemático de un sistema continuo. Para una derivada de p-ésimo orden. convirtiendo entonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmente resoluble por medios comunes (especialmente matriciales).expresa una combinación lineal de la solución Si analizamos el Wronskiano de soluciones particulares obtendremos para t=0 y t=1
Si el Wronskiano es cero. no podemos determinar una solución correcta. sino que también deduce los términos de error.
la aproximación de diferencia central se expresa como
(8). Esta aproximación se denomina de diferencia hacia atrás. El término indica que el error es aproximadamente proporcional al intervalo de la retícula . Los demás términos desaparecen más rápidamente que el inicial cuando disminuye. dónde . expresión de la cual se ha eliminado el término . Con el término de error incluido.
.(2). De la misma manera podemos expandir alrededor de en la forma (4). se expresa como (3). y resolviendo nuevamente para la primera derivada. dónde . . obtendremos la aproximación por diferencia hacia adelante. Si ignoramos todos los términos con excepción del primero del miembro derecho de la ecuación (2). La aproximación de diferencia hacia adelante. Resolviendo para . obtenemos (7). representado por el término inicial. tenemos
y aquí de la misma manera (5). Tomemos ahora ambas aproximaciones y restemos (4) de (1):
(6). dónde . El error también es proporcional a la segunda derivada . Los términos que se ignoran constituyen el error de truncado. con el error de truncado incluido.
el error de la aproximación es proporcional al cuadrado de y no a . de modo que tenemos un punto mas del mínimo requerido. Las expansiones para se escriben:
(9). Como ya se expuso. Resolviendo para :
(10).Resulta interesante observar que gracias a la cancelación del término . obtenemos
(11). La (12) es la aproximación de diferencia hacia adelante de tres puntos. la aproximación de diferencia hacia atrás de tres puntos puede deducirse utilizando
. dónde el término de error está dado por . deduciremos una aproximación de diferencia para la primera derivada utilizando tres puntos de datos . reduciendo reducimos el error con mayor rapidez que con las otras aproximaciones. si se eliminaran los términos de la tercera derivada de las ecuaciones (9) y (10) en lugar de los de la segunda derivada. Por otro lado. de modo que el término inicial de los errores de truncado es el término de la derivada de tercer orden. Como ilustración de lo anterior. una aproximación de diferencia de requiere al menos puntos de datos. Con éstas dos ecuaciones es posible cancelar los términos de la segunda derivada. Multiplicado la (9) por 4 y restándole la (10). Análogamente. Entonces. Aumentando el número de puntos de datos puede obtenerse una aproximación de diferencia mas exacta. Su error es del mismo orden que el de la aproximación por diferencia central de dos puntos. la aproximación de diferencia obtenida sería menos exacta porque el término del error inicial sería de segundo orden en lugar de ser de tercer orden.
en la cual el error está dado por .(13). Entonces si truncamos después del término y reacomodamos los términos tendremos (14). Las aproximaciones de diferencia para la segunda derivada se deducen aplicando el mismo principio. La ecuación (15) es la aproximación de diferencia hacia atrás para . el cual consiste en eliminar la primera derivada y el mayor número posible de derivadas de orden dos ó superior. Podemos deducir otra aproximación de diferencia para en términos de (el número mínimo de puntos de datos para es 3). dónde . Sumando ambas obtenemos:
ó de forma equivalente . El orden de su error de truncado es menor que el de la aproximación de diferencia central.
. dónde el error está representado por . Resolviendo la anterior para la segunda derivada:
(15). el resultado será: . Como ilustración deduciremos la aproximación de diferencia para en términos de . Las expansiones de Taylor de y están dadas por las ecuaciones (4) y (1) respectivamente. Si multiplicamos por 2 la expansión de Taylor de y la restamos de . La ecuación anterior es la aproximación de diferencia central para .
cuyo uso es frecuente. seguidamente damos las expresiones de diferencias. pero la deducción se hace cada vez mas laboriosa al aumentar tanto el número de términos como el orden de la derivada. De éste modo la mayor exactitud pertenece a la aproximación de diferencia central.dada por (14). Primera derivada Aproximaciones de diferencia hacia adelante
. De forma similar podemos obtener aproximaciones de diferencia para derivadas superiores. No obstante. Sería útil por lo tanto el desarrollo de algoritmos computacionales que permitan hallar automáticamente la aproximación de diferencia para un conjunto dado de datos.
las aproximaciones de diferencia hacia adelante. por ejemplo. Por tanto.Tercera derivada Aproximaciones de diferencia hacia adelante
APROXIMACION DE DIFERENCIA PARA DERIVADAS PARCIALES Las fórmulas de aproximación de diferencia para derivadas parciales de funciones multidimensionales son esencialmente iguales a las de diferenciación de funciones unidimensionales. Las aproximaciones de diferencia central para las segundas derivadas de en están dadas por:
. puede deducirse fijando en un valor constante y considerando como una función unidimensional. respectivamente:
(16). La aproximación de diferencia para la derivada parcial con respecto a . Consideremos una función bidimensional . central y hacia atrás para éstas derivadas parciales se pueden escribir.
queremos determinar una función . DIFERENCIAS FINITAS EN UNA DIMENSION Supongamos estar frente a un simple problema unidimensional de contorno. esto es.
. la cual satisfaga una ecuación diferencial dada en una región . con las siguientes condiciones de contorno: Tomamos por simplicidad la función de carga longitudinal (variación lineal).(17). La ecuación diferencial que corresponde a la formulación de éste problema es
(18). junto con condiciones de contorno apropiadas es y .
en la cual hemos tomado las estaciones extremas y la aproximación de diferencia central para la primera derivada. igualmente espaciados sobre el rango (ó dominio) . necesariamente. comenzamos por diferenciar la variable independiente . Este proceso. involucra una aproximación y puede lograrse haciendo uso de aproximaciones de diferencias finitas (deducidas anteriormente por medio de las expansiones de Taylor).Para resolver el problema vía diferencias finitas. obtenemos:
(19). Para la solución por diferencias finitas aplicamos (19) a todas las estaciones y utilizando las condiciones de contorno anteriores. dónde . El siguiente paso es reemplazar los términos de la ecuación diferencial que involucran diferenciación por términos que involucren solo operaciones algebraicas. Sustituyendo la aproximación de diferencia central de la segunda derivada en un punto en (18). Tomando ahora las condiciones de contorno: (20)
(21). El punto de grilla en sólo se coloca con el fin de imponer la condición de contorno. construimos un conjunto (ó grilla ó malla) de puntos de grilla discretos. dónde es la carga en el punto de grilla y puede pensarse como la carga total aplicada sobre la estación de diferencia finita. esto es. obtenemos:
lo importante de recalcar y que es conclusión general es que hemos reemplazado un problema de determinación de una función continua desconocida por un problema de resolución de una ecuación matricial para un conjunto de valores discretos . Aquí y . Las cargas en los puntos de grilla correspondientes a se obtendrían usando el valor de carga distribuida en el punto de grilla l y multiplicando ese valor por la longitud de contribución (h para los puntos de grilla internos y para el punto de grilla final). De modo matricial podemos escribir (22) de la forma (23). dónde evidentemente:
. pues la naturaleza de la formulación diferencial hace que su resolución analítica sea viable por métodos de uso común. Esta es la esencia del método.
. No obstante. La ecuación (22) es idéntica a la que se hubiera derivado utilizando una serie de n elementos de resorte. cada uno de rigidez . Debe recordarse que la solución sólo aproxima a la solución exacta del problema porque hemos reemplazado derivadas por diferencias. Tal vez con éste ejemplo no se aprecie la utilidad de las diferencias finitas.(22) (los elementos no mostrados de la matriz son nulos).
Se deja como ejercicio plantear el problema con números crecientes de puntos de grilla y ver como evoluciona el error comparando los resultados obtenidos con los que se obtienen a partir de la solución exacta. Es evidente que el error decrece a medida que se aumenta el número de puntos de grilla. DIFERENCIAS FINITAS EN MAS DE UNA DIMENSION El problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes es obviamente un poco más comprometido. regido por la ecuación diferencial siguiente:
(24). dónde es el módulo elástico longitudinal y es la relación de Poisson. procedemos exactamente de la misma manera que en el caso unidimensional. y también un conjunto de puntos de grilla igualmente espaciados sobre el rango
. Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región rectangular) . igualmente espaciados en el rango con .La solución exacta corresponde a: . Esto es conclusión inmediata de la formulación de las aproximaciones de diferencia por medio de las expansiones de Taylor. El momento torsor está dado por y la tensión tangencial en una dirección cualquiera en la sección se obtiene a partir de . es el ángulo de torsión de cada sección y es la función de tensión que satisface la condición en los contornos. aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión. A tal fin. Aquí es el módulo elástico transversal . Para aplicar el método de diferencias finitas en ésta situación. construimos un conjunto de puntos de grilla .
lo que significa que nuevamente reemplazaremos los términos que involucran ahora derivadas parciales por sus correspondientes aproximaciones de diferencias finitas. utilizando la grilla que vemos a continuación:
. Un punto típico de grilla está dado entonces por las coordenadas . El método de diferencias finitas es ahora aplicable a la ecuación (24). trazando paralelas al eje a través de cada punto .
Aplicaremos a la resolución de la siguiente barra prismática. La región en la cual se requiere la solución está entonces cubierta por una grilla rectangular de diferencias finitas.. con . a través del trazado de líneas paralelas al eje a través de cada punto . y de la misma forma.
la solución necesita ser obtenida sólo para una cuarta parte de la sección. El uso de las condiciones de simetría requiere que a lo largo del eje y que similarmente a lo largo del eje . han sido planteadas sistemáticamente. Entonces las condiciones son:
De igual manera se aplican en todos los puntos situados en el contorno de la región . las anteriores se reducen al siguiente conjunto:
. para un punto como el : (25).Por condiciones de simetría. Utilizaremos una malla de tamaño . como se muestra en la figura anterior. Planteando ecuaciones de tipo (25) para todos los puntos interiores de la región. Aplicando los criterios de simetría. tenemos que. Utilizando las aproximaciones por diferencia (17). tenemos:
Las anteriores. Notamos que el valor de la función de tensión debe ser proporcional a la constante . tenemos que la aproximación de diferencia central de la primera derivada era
(despreciando el término de error). y por simplicidad tomamos . y las condiciones de contorno sobre los límites . siguiendo solamente la regla de la aproximación de diferencia de la segunda derivada. llegándose a condiciones similares en todos los casos. Aplicando ésta condición por ejemplo en el punto como el .
y . Similarmente. utilizando la aproximación de diferencia hacia atrás para la derivada . según la expansión de Taylor:
. con . Nuevamente podemos comparar con el valor exacto dado por (error: ). la máxima pendiente está en el punto y una posible aproximación al valor absoluto de la máxima tensión de corte es
. Resolviendo. Para evaluar el momento torsor. el que puede resolverse para el vector incógnita por cualquier método adecuado. tenemos:
(26). se utiliza la regla trapezoidal en un dominio bidimensional. valor que puede compararse con la solución exacta . podemos escribir. Nuevamente tenemos un sistema del tipo . Denotando el punto .Disponiendo las anteriores de forma matricial. Podemos mejorar nuestra aproximación de utilizando tres valores de la función de tensión sobre la sección central como sigue. entonces se tiene que como solución del sistema de ecuaciones (26). La aproximación obtenida por el uso de la fórmula de diferencia hacia atrás es de menor orden de exactitud que la aproximación utilizada para la formulación principal del problema. obteniéndose .
APROXIMACION Y CONVERGENCIA Las soluciones uni y bidimensionales para ecuaciones diferenciales parciales ordinarias derivadas anteriormente por procedimientos numéricos de diferencias finitas. aunque ésta involucre una aproximación. Digamos que y corresponden a las soluciones para las grillas anteriores 1 y 2 respectivamente y que corresponde a la solución exacta en el punto que estamos considerando. entonces los resultados de dos soluciones sobre grillas de espaciado pueden extrapolarse como se detalla a continuación. Utilizando el primer término del lado derecho como aproximación. obteniendo entonces:
. en un intento por estimar la magnitud de los errores ocurridos al producirse una aproximación. Lo importante es comprender que existe una posibilidad de solución. Para aplicar el proceso a una situación en la cual no disponemos de la solución exacta. aún cuando no conocemos la magnitud del error. pero es conveniente desarrollar algoritmos computacionales para automatizar las operaciones de cálculo. de la cual podemos extraer la solución exacta. es necesario estudiar la convergencia del método de acuerdo al refinamiento de la malla. dónde E está en AC. Si.
. tenemos (error: ).. Hemos mostrado ya que el error en las aproximaciones de diferencias finitas decrece incrementando la densidad del mallado. dónde D está en la línea AB. por ejemplo. De ambas es posible eliminar el término de . Insertando adecuadamente los valores. podemos escribir:
. Obviamente este resultado presenta mayor exactitud que el obtenido con la aproximación de diferencia hacia atrás. el error de una aproximación es del orden de .
. El aparentemente inabordable (ó a lo sumo matemáticamente dificultoso) problema de resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ha sido reemplazado por un problema puramente algebraico en el cual debe resolverse un cierto número de ecuaciones simultáneas. el error cometido es entonces del mismo orden que el cometido en la aproximación de la ecuación que gobierna el problema. De ésta forma. ilustran las posibilidades de la discretización. Para problemas pequeños es viable una resolución manual.
1982. Bibliografía O. Rasmussen.L.C. Finite Element Procedures. Reddy & M. J. El Método de Elementos Finitos. Nakamura. 1997. y proporciona un método para mejorar la solución a partir de los resultados obtenidos para dos grillas de distinto tamaño de espaciado.Esta relación se conoce como extrapolación de Richardson. Análisis Numérico y Visualización Gráfica con MatLab. 1992. K-J. Reverté. 1983. Finite Elements and Approximation.C. Morgan.N. Bathe. O. Prentice Hall. Limusa. Zienkiewicz. Análisis Matemático Avanzado.
. Es aplicable también a casos bidimensionales y tridimensionales. Prentice Hall. S. Zienkiewicz & K. 1996. John Wiley & Sons.
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