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Timestamp: 2017-09-20 18:52:48+00:00

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modulo matematica 1 by Roberth Pérez - issuu
Matemática I Docente Msc. Roberth Patricio Pérez Quiroz
I INTRODUCCIÓN II OBJETIVO GENERAL III NODO PROBLEMATIZADOR III PRODUCTO FINAL IV COMPETENCIAS a. General b. Global c. Específica V CONTENIDO
UNIDAD Nº I NÚMEROS REALES. 
operaciones. 
Fracciones y exponentes.
Descomposición de factoriales.
UNIDAD Nº II ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS. 
Ecuaciones lineales con una variable.
Ecuaciones cuadráticas con una variable.
UNIDAD Nº III DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRÁTICAS.
Desigualdades cuadráticas.
UNIDAD Nº IV FUNCIONES Y GRÁFICAS. 
Coordinadas rectangulares
Dominios y rangos.
Operación y combinación de funciones.
Traslación de gráficas.
Relaciones implícitas y funciones inversas.
Punto de equilibrio de aplicaciones.
UNIDAD Nº V FUNCIÓN LINEAL Y SISTEMA DE ECUACIONES. 
Estudio de la línea recta.
Análisis de aplicación administrativo.
UNIDAD Nº VI FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA. 
Función exponencial, aplicaciones.
Función logarítmica, aplicaciones.
VII GUÍA DE APRENDIZAJE
ELEMENTOS DE COMPETENCIA 1 Nivel de logro Teórico Básico (comprensión)
ELEMENTO DE COMPETENCIA 2 Nivel de logro Teórico Superior (Análisis Crítico)
ELEMENTO DE COMPETENCIA 3 Nivel de logro Teórico Práctico Aceptable ( Mínimo acreditable)
ELEMENTO DE COMPETENCIA 4 Nivel de logro Teórico Práctico Avanzado ( Acreditable)
ELEMENTO DE COMPETENCIAS 5 Nivel de logro Teórico Práctico Innovador (Acreditable)
La matemática es una de aquellas materias básicas que nos permite generalizar y particularizar fenómenos técnicos, sociales y económicos. Encaminándonos a ser concretos y facilitándonos la cuantificación de lo que observamos y hacemos en nuestras actividades diarias; sin la matemática, la retórica sería la forma de vivir, el denominador común, pero sin oportunidades de producción y evolución.
En los aspectos tangibles, cuando no se puede sostener con números lo que aseguramos al decir, es porque el conocimiento de lo que decimos es escaso o insuficiente. El manejo racional de los números facilita la toma de decisiones al desarrollar la capacidad de expresión concreta basada en logros medibles, minimizando el riesgo del fracaso. La matemática le permite actuar con conocimiento, ética y amor a hacer bien las cosas. Sólo imaginémonos vivir en un mundo abstracto, sin definiciones, sin rumbo, sin objetivos, sin esfuerzo, sin disciplina, sin objetivos de excelencia, sería un mundo indiferente y poco equilibrado.
Todo logro que nos llene de satisfacción interior es porque se ha obtenido con esfuerzo, porque realmente se ha querido, porque aunque difícil, se ha podido vencer la impotencia, el cansancio, la distancia y la mediocridad. La matemática requiere constancia en el propósito, como todo en la vida, pero con persistencia y aprovechando de nuestras capacidades, lograremos aprenderla significativamente.
II. OBJETIVO GENERAL Experimentar, Reflexionar, Conceptualizar y Aplicar las bases del álgebra mediante el manejo sistemático y razonado de operaciones numéricas, para asimilar mejor los conocimientos de asignaturas afines en cursos superiores para facilitar su influencia en las actividades cotidianas y las relacionadas con la formación profesional para el diseño, gestión y evaluación de los procesos educativos.
III. NODO PROBLEMATIZADOR Deficiente aplicación del conocimiento de las Matemáticas como herramienta para apoyar la toma de decisiones en el manejo de situaciones administrativas o Financieras.
IV. PRODUCTO FINAL Lograr que el estudiante conozca y aprenda a utilizar las matemáticas, reflexionando sobre las ventajas de encontrar soluciones algebraicas elementales a fin de conceptualizar y profundizar las distintas aplicaciones de orden administrativas.
a. GÉNERICA Analizar, resolver problemas e interpretar la información que aparece en el Lenguaje matemático utilizando correctamente algoritmos matemáticos con solvencia y seguridad.
b. GLOBAL Diseñar y desarrollar proyectos empresariales, aplicando métodos de investigación con soporte científico y tecnológico, para ser aplicados en los campos administrativos, financieros, económicos y del marketing con eficiencia, eficacia, legalidad y ética.
c. ESPECÍFICA Conocer y aplicar las bases algebraicas y aritméticas como herramienta para la solución de problemas que conllevan su uso dentro de las distintas aplicaciones en el ámbito financiero y administrativo.
COMPETENCIA 1º UNIDAD
Utilización de números reales que nos permitan desarrollar operaciones algebraicas con exactitud y el manejo de un buen fundamento teórico.
1era Unidad  Operaciones con números reales  Conjunto de los números reales, términos propiedades de las operaciones  Fracciones y exponentes  Operaciones con expresiones algebraicas  Descomposición factorial y fracciones algebraicas  Aplicaciones
COMPETENCIA 2º UNIDAD Conocimiento y aplicación correcta de ecuaciones lineales y cuadráticas que nos permitan tener aprendizajes significativos mediante su resolución.
2da Unidad  Ecuaciones lineales y cuadráticas  Propiedades  Ecuaciones lineales con una variable  Ecuaciones cuadráticas con una variable  Aplicaciones
COMPETENCIA 3º UNIDAD Conocimiento y aplicación correcta de desigualdades lineales y cuadráticas que nos permitan tener aprendizajes significativos mediante su resolución de problemas matemáticos.
 Desigualdades lineales y cuadráticas  Conjuntos e intervalos  Desigualdades lineales  Desigualdades cuadráticas  Aplicaciones
COMPETENCIA 4º UNIDAD
Conocimiento y aplicación correcta de funciones y graficas que nos permitan tener aprendizajes significativos mediante la creación de graficas que nos servirán para realizar tabla de valores.  Funciones y graficas  Definiciones generales  Coordenadas  Rangos y dominios  Funciones lineales y cuadráticas  Combinaciones de funciones  Traslación de gráficas  Sistema de gráficas  Relaciones implícitas y funciones inversas
Números reales (R) Es un conjunto o colección de todos los grupos numéricos conocidos que tienen por objetivo hacer operaciones y manipular métodos en el manejo de las matemáticas.
Propiedades de los números reales 1. Propiedad transitiva de la igualdad 2. Propiedad conmutativa (suma y multiplicación) 3. Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación) La asociación nos da el mismo resultado. (+) (*) a. (b.c) = (a.b).c = (a.b.c) 4. Propiedad Inversa Inverso Aditivo =
(-a) = 0
Inverso Multiplicativo = a.a-1 = 1 5. Propiedad Distributiva a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d
Ejemplos: (y - 3z + 2w) x (-3z) + x (2w) Z
Propiedad asociativa + 2w}
Propiedad Algebraica
12x + 6 y + 24 3. (2y) + 3. (8) + (3.2) y + (3.8)
Propiedad Distributiva Propiedad asociativa Propiedad Algebraica.
z q Definición de Multiplicación Definición de Multiplicación Definición de Multiplicación Propiedad asociativa
Definición de Multiplicación Z
Definición de Multiplicación Propiedad Distributiva
Propiedad Distributiva + (5.3).a
Propiedad asociativa Operaciones Algebraicas
VERDADERO Y FALSO -3 es un numero natural (F) los números naturales son {1, 2,3,….α}
Todo entero es positivo o negativo (V)
1,2,3....α 2-5
IRRACIONAL ES (I)
√ / a/b; b≠0 decimales
a/b , b≠0
PROPIEDAD TRANSITIVA DE LA IGUALDAD
Tiene una igualdad
El orden no altera resultados
a=b y b=c
PROPIEDAD INVERSA
Cambiar, alterar, opuesto
Dividir , repartir dar una cosa una colocación
La asociación nos da un mismo resultado
a+c+b= (a+b)+c
a.b.c= (a.b).c
a.a-1 = 1
a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d
Operaciones Con Números Reales Las principales propiedades de los números reales permiten un buen manejo de las operaciones entre ellos suponiendo se tenga en cuenta el conocimiento previo de operaciones básicas de suma y multiplicación. Asociado a estas propiedades existen varias leyes fundamentales que permiten entender el concepto adicional de una potencia y una radicación. Entre las más principales tenemos: 1) * , + 2) Propiedades-leyes 3) Exponente
1/n veces
Leyes Potenciación. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
Leyes de los Radicales 1) 2) 3) 4)
Operaciones con Expresiones Algebraicas Cuando se combinan números representados por símbolos mediante operaciones aritméticas a la expresión resultante se la llama expresión algebraica.
Parte exponente Signo
Parte numeral a) MONOMIOS.- Son aquellos que se forman por una sola expresión algebraica.
b) POLINOMIOS.- son aquellos que se forman por dos o más expresiones algebraicas. ; Operaciones Algebraicas a) Términos semejantes de las operaciones (+, *) b) Símbolos de agrupación {()} c) leyes de signos d) productos especiales
+ (-2+6) x + (1-3)
+6X+4
TALLER EN CLASE 11) (
29) √ √ 2y + 9
28) (√ (√
38) {(2z+1) (2z-1)}(
{((2.2) (z. z)) } + (2(-1)z+((2-1)z))+((1-(-1))} (
54) (
R= 2X + 4 + 5/ (2X-1)
Son aquellos que se forman por una sola expresi贸n algebraica. 0,05 x2y3
Son aquellos que se forman por dos o m谩s expresiones algebraicas. x5+3x3-5x2+8
Es un proceso aritmético inverso a operaciones algebraicas y que proviene de factores o productos especiales dentro del conjunto de números reales. a) FACTOR COMÚN
)(a-
(a+b)(a-b) EJEMPLOS:  √  (√
) (√
c) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO  
d) TRINOMIO 1ERA FORMA 
e) TRINOMIO 2DA FORMA 
EJEMPLOS:   (X+3) (X+2)  2   
f) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS     (
+27 54x+27
Por medio del principio fundamental de fracciones podríamos realizar operaciones básicas de suma y multiplicación y luego realizar un proceso de simplificación, dando origen a una fracción resultante que será equivalente a la original. Ciertas expresiones podemos encontrar polinomios con raíces; para ello utilizaremos la racionalización a fin de convertir a una diferencia de cuadrados y eliminar las raíces del denominador.
Finalmente en la adición de fracciones es necesario encontrar un mínimo común denominador (m.c.d) con sus exponentes de mayor valor entre las expresiones resultantes. Ejemplos:  
   (
   ((  (  √
 (3  3
 3   
  75(15+uv)+   
 √ 
(15+uv)
FRACCIONES Y DESIGUALDADES LINEALES Ecuaciones lineales: una ecuación es una afirmación de que dos expresiones son iguales, resolver, una ecuación significa encontrar su solución es decir su raíz además una ecuación se llama identidad cuando todos los números del dominio satisfacen a la ecuación propuesta. Existen diferentes clases de ecuaciones a) Ecuación lineal / entera 2x +25 = 6x -42
b) Ecuación fraccionaria / racional
c) Ecuación irracional √
d) Ecuación literal 3ª +8x -25c =√ D= vo.6 + ½ a t2; a
e) Ecuación decimal 0.5x + 2.5 = 6.8 X2 +6x -8 =0 f) Ecuación de orden superior
X3 –x = 10 X 3/2 +5x 1/2 -8 =0
ECUACIÓN LINEAL 
8x +16 -5x = 2x +3 (8-5) x+16=2x+3
3x+16=2x+3
Prop. Asociativa
3x+16+(2x)=2x+3+(-2x)
Operac. Algebraica
X+16 = 3
Prop. Inverso Aditivo
X+16 +(-16)=3+(16)
Oper. Algebraica
X=-13//
Prop. del Inverso A.
8x +16-8x=2x+3 8x-5x-2x=3-16 8x-7x=3-16 X=-13
PASOS 1. Identificación de la incógnita o variables 2. Separamos la parte literal de la numérica 3. Reducción de términos semejantes
(26-1)2= 462+1 2
46 -46+1=46 +1 -46+1=1 -16=0 6=0
* 4.5x-1.5x = 0.3 (2-x) 4.5x -1.5x = 0.6 -0.3 x 30x +3x =6 33x =6 x= X= 11//
3x+0.3x =0.6
3.3x = 0.6
D.C = (x+5)(x-2)
3(x-2)-1(x+5)=7
X= 0.18
3x-6-x-5=7 X= X=4//
4x+13-2 √ 4x+10=2√ (2x+5)= √ (2x+5)2= (√
4x2 +20x+25 =4x2+21x+26 -1=x -1=x X= -1
C2 =a2 +b2
R.(R1+R2)=R1.R2
(R.R1)+(R1.R2)= R1.R2 RR1=R1.R2-R1.R2 RR1=R=(R1-R)
R2 
6a(x+3a)-1/2 – (x+3a)1/2 = x1/2
D.C √
6a –(x+3a)= √ 6a –x-3a =√ (3a-x)2 = (√
9a2 -6ax +x2= x2+3ax 9a2= 3ax+6ax 9a2=9ax X=a//
D.C x(3x-1)
X(2-3x+a)= (3x-1)(1-a-x) 2X-3x2+ax=3x-3ax-3x2-1+a+x 2x+ax-4x+3ax=-1+a 1-a=2x-4ax 1-a=x(2-4a) X=
PARA ESTE TIPO DE EJERCICIOS Y POR LA FACILIDAD QUE ELLA NOS PRESTA, UTILIZAREMOS LA ESTRATEGIA DE LA INVESTIGACION EN EL AULA. TEMA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES. OBJETIVO: RESOLVER DE UNA MANERA ANALITICA UN PROBLEMA DE ECUACION LINEAL. ACTIVIDADES A REALIZARSE: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 
Un almacén anuncia que por liquidación el precio de todas sus mercaderías fueron rebajadas en un 30%, si el precio de un artículo es de 48$ Cuál es el precio antes de la liquidación a) Identificación de la incógnita
x-0.3x=48
b) Plantear el problema
0.7x=48
c) Resolución del ejercicio
x=48/0.7
Precio anterior Descuento
x=68,57//
Una Mujer de Empresa planea invertir un total de 24000$ parte de él se pondrá en un certificado de ahorros que paga el 9% de interés simple y el resto en un fondo de inversión que produce el 12% de interés simple cuanto debe invertir en cada una para obtener una ganancia de 10% sobre su dinero. 24000 9%
16000 Ahorros
24000-x Fondos de Inversión
0.09x+0.12(24000-x)= 0.10(24000) 0.09x+2880 -0.12x = 2400 0.09x-0.12x=2400-2880 -0.03x=-480 X= X= 16000// 
Halle cuantos litros de alcohol debe añadirse a 15 litros de solución que contiene 20% de alcohol para que la mescla resultante sea del 30% de alcohol.
Alcohol puro = x
15(0.2) +x= 0.3(15+x)
Solución = 15 litros
3+x=4.5+03x
Alcohol= 20%
x-0.03x= 4.5-3
30%= de alcohol
0.7x= 1.5 X= X = 2.14
2 autos de línea salen simultáneamente desde 2 ciudades Ay B que distar entre sí 600 kl, si el que sale de A lleva una velocidad de 56 Km/h y el otro de 64Km/h después de cuánto tiempo ya que distancia de A se encontraron.
2) Tiempo 61=62
64x=56(600-x) 64x= 33.600-56x 64x +56x =33.600
120x=33.600 X= X=280 
Un trabajador realiza una obra en 8 días, un trabajador contratado puede hacerlo en 12 días con maquinaria pequeña en que tiempo realiza la obra conjuntamente.
12 días 1/12
3x+2x=24 5x=24
x= DC 24x
x= 4,8
Usted tiene 3 inversiones de las que recibe un ingreso anual de 2780$, una inversión de 7000 aun interés anual del 8%, otra inversión de 10000$ a una tasa del 9% ¿Cuál es la tasa de interés anual que recibe sobre la tercera inversión de 12000$?
278000.08 (7000) +0.09 (10000) +x(12000) 2780=560 +900 +12000x 2780-560 -900=12000x 1320= 12000x X= X = 11%
0.11(12000)= 1320//
Una ecuación es cuadrática en la variable x y se escribe de la forma a +bx+c en donde A,B,C pertenecen a los números reales y a va hacer diferente de cero (a =/= 0 ). En ecuaciones de orden superior será conveniente reducirlas a expresiones cuadráticas, en algunas ocasiones con la ayuda de auxiliares (U, V,W ). Existen ecuaciones: Ecuaciones cuadráticas enteras 5
+8x-16=0
Ecuaciones fraccionarias =
Ecuaciones racionales =
Ecuaciones cuadráticas irracionales √
Ecuaciones incompletas -25=0 6
Su proceso de resolución se da a través de: a) b) c) d) e) f)
Por factorización Por fórmula general Por completación a un trinomio Discriminación mayor que cero o raíz entera Discriminación menor que cero o raíz irracional / imaginaria. Discriminante igual a cero Ejercicios de aplicación: 1) 2 -x = 3 + x 3 -2 + x+x=0 +2x = 0 X=0 X+2=0 X= -2
– 25 = 0 −5) ( x+5) = 0 −5 = 0
X+5 = 0 X= -5
−6x+9+x+6x+9 = 4 (x-9) −6x+9+x+6x+9 = 4x-36 −x+6x-x-6x 2x-54 = 0 x-27 = 0 x=√
4) 2√ (2√
-√ -√
=√ ) = (√
4x+8-4√ 4x+8+3x-5-x+3 = 4√ 6x+6 = 4√ (3x+3) = (2√ 9x+18x+9 = 12x+4x-40 9+40= 12x+4x-9x-18x 49 = 3x-14x 3x-1 4x-49 = 0 (x-7) (3x+7) = 0 X=0 3x+7 = 0
+ 3x-5 = x-3
DC: (X+2) (X-2) (X+1) (X-2) (X+1)+(X+2) (X+1) (X-1) = (X+2) (X-2) (2X+1) (X-2) (X+2X+1) + (X+2)(X-1) = (X-4)(2X+1) X+2X+X-2X-4X-2+X-X+2X-2 = 2X+X-8X-4 X+4X = 0 X(X+4) = 0 X=0 X+4 = 0 X = -4
2) ( +x) ( (
) = 6x+7
X(1+a) (
) = 6x+7 ) = 6x+7 ) = 6x+7
= 6x+7 x-6x-7 = 0 (x-7) (x+1) = 0 X=7 X = -1
TEMA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. OBJETIVO: RESOLVER DE UNA MANERA ANALITICA UN PROBLEMA DE ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. ACTIVIDADES A REALIZARSE: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Se construirá una plataforma rectangular de observación dominara un valle sus dimensiones serán de 6 x 12m. Un convertido rectangular de cuarenta metros cuadrados de área estará en el centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de anchura uniforme. ¿Cuál debe ser el ancho de este pasillo? 40 = (12-2x) (6-2x) 40 = 72 -36x+4x 4x+36x+32 = 0 x-5x+8 = 0 (x-8) (x-1) = 0 x-8 o x=1
Un cobertizo rectangular de cuarenta metros cuadrados de área estará en el centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de anchura uniforme. ¿Cuál debe ser el ancho de este pasillo?
40 = (12-2x) (6-2x) 40 = 72 -36x+4x 4x+36x+32 = 0 x-5x+8 = 0 (x-8) (x-1) = 0 x-8 o x=1
ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO
Un valor absoluto para cualquier número real está definido por: /a/ = a; a =
/a/ = a SSI SI a = x Ejemplo: /5x-3/ = 8 5x-3=8 5x= 11 X = 11/5 NOTA: Cuando un valor absoluto es igual a un elemento definido no existe solución, puesto que el valor absoluto de un número real es positivo.
EJEMPLO: /2X+81 = -3 ) = NO TIENE SOLUCIÓN
DESIGUALDADES: Son expresiones algebraicas que se relacionan con valores de desigualdad (mayor menor, menor igual, mayor igual) que están relacionados con los números reales que tienen infinitas raíces. Una solución de una inecuación es cualquier número que cuando se lo sustituye por la variable hace que el enunciado sea verdadero. EJEMPLOS: Inecuación entera 2x+6 4 Inecuación fraccionaria +
Inecuación irracional √
Inecuación de valor absoluto /18x+6/
PROCESO ALGEBRAICO a) 2x+6 4 2x+6+ (-6) 4+ (-6) 2x -2 2x.
-2. ( )
x -1 1) 2x+6=4 2x=4-6 2x= -2 X= X=-1 b) Proceso gráfico 2(x)+6 4 206 4 (v) 6,4 4 (v)
c) Proceso de intervalos: S=)-1, ( INTERVALOS
Definición: El conjunto de todos los números comprendidos entre 2 números dados A Y B se denomina un intervalo y estos valores A YB son los extremos de un intervalo. La notación de intervalos se da en la forma:
Abiertas Cerradas Semiabiertas INTERVALOS INFINITOS
Son aquellos que tienen soluciones infinitas y dados de la siguiente manera:    
Intervalo Notación nombre gráfico
ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Un valor absoluto para cualquier número real está definido por: | | | | |
Nota: Cuando un valor absoluto es igual a un elemento negativo no existe solución, puesto que el valor absoluto de un número real es positivo.
DESIGUALDADES CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO Son expresiones algebraicas que se relacionen con valores de desigualdad (<, >, =) y que están relacionadas con los números reales y que tienen infinitas soluciones o raíces. Una solución de una inecuación es cualquier número que cuando se lo sustituye por la variable hace que el enunciado sea verdadero. Ejemplos:
Inecuación entera
Inecuación fraccionaria (Q)
Inecuación irracional
Inecuación valor absoluto
INTERVALOS Definición El conjunto de todos los números comprendidas entre dos números dados ay b se denominan un intervalo y estos valores (a, b) son los extremos del intervalo. La notación del intervalo se da (abiertos, cerrados, semiabiertos)
Notación [a, b]
Nombre I. Cerrada
I. Abierta a
I. Semiabierta a b
Inecuaciones abiertas
I. Semiabierta
> Inecuaciones Cerradas
INTERVALO INFINITO Aquellos que tienen soluciones infinitas y dados de la siguiente manera: Intervalo
Notación [a,
Nombre I. infinita Cerrada D.
I. infinita Abierta D. a
I. Inf. Semiabierta Izq.
OPERACIONES CON INTERVALOS Dados los intervalos son conjuntos de números entre ellos existen operaciones dentro de la teoría de conjuntos (la unión, la intersección, la diferencia y el complemento).
-3 S=
]-3, 1[
] 0, 5]
]-3, 5]
-4 S=]-2, 2[
e) ]
S=]-1, 2]
DESIGUALDADES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Son expresiones algebraicas que se relacionen con valores de desigualdad (<, >, =) y que están relacionadas con los números reales y que tienen infinitas soluciones o raíces.
Funciones Especiales Son aquellas que tienen formas y representaciones especiales, entre las más importantes tenemos: a) Función compuesta.- aquella que en sus términos tiene un elemento constante en el elemento de los números reales. √
b) Función polinómica.- aquella que tiene una clase más amplia con expresiones algebraicas y cuyo dominio son todos los números reales.
c) Función Racional.- Aquella función donde el numerador y denominador tienen valores en funciones polinomiales. Toda función (polinomiales) racional es polinómica.
d) Función Compuesta.- aquellas que están formadas por más de una expresión polinómica o algebraica, en cuyos términos existen varios dominios.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Aquella función que puede considerase como una función definida por parte. |x|=
x; x>=0 -x; <0
f(2) = |x| =|2|=2 (
Dentro de esta función se hace necesario el uso de la notación factorial; factorial representa al producto de los n primeros enteros positivos. Factorial (!)
Nota: el elemento cero en factorial es igual a uno (0!=1)
OPERACIONES CON FUNCIONES Existen diferentes formas de combinar funciones al fin de crear nueva función, estas funciones están definidas de las siguientes formas. Combinación de Funciones.- sean f (x) y g (x) a) (f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) b) (f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) c) (f . x ) ( x ) = f ( x ) . g ( x ) d)
Ley de composición interna. e) ( f o g )( x ) = f(g(x)) f) ( g o f )( x ) = g(f(x)) 1)
f) (g o f)(x) = (
a) √ 
1 x2  x 1 1 2
1  ( x 2  1) x  2 = x2  1
1 x2  x 1 1
1  ( x 2  1) x  2 x2  1
1 x2 * x 1 1
x2 x2  1
1  x 1 x2 2
1 x2 * ( x  1) x  2 x2
x2 ( x  1)( x  2)
 f ( x  2) 1 ( x  2) 2  1 1  x  2 1 1  x3 
)  g(
1 ) x 1
1 )2 x 1
1  2 x2  2  ( x2  1  (
2 x2  3 x2  2
GRAFICAS DE FUNCIONES Graficar ecuaciones y funciones es determinar intersecciones determinando dominios y rangos de una función a partir de una grafica, la misma que se la realizara en función de un sistema de coordenadas rectangulares, el mismo que permite especificar y localizar puntos en el plano y representar de manera geométrica a dos variables ( x , y ). El plano sobre el cual están los ejes de coordenadas se denomina plano x o plano de coordenadas rectangulares, los ejes coordenados dividen al plano en regiones llamadas cuadrantes en los cuales geométricamente los representa a un par ordenado. Principales Graficas de Funciones. Un enfoque general para graficar se basa en el uso del punto y simetrías que existen, no necesarios en muchos casos, sin embargo algunas funciones requieren de graficas base útiles memorísticamente visuales y que cumplen los propósitos establecidos. Las principales graficas son:
b) f ( x)  x 2
a) f ( x)  x
c) f ( x)  x3
d) f ( x)  x
f) f ( x) 
e) f ( x) | x |
1) y = f ( x ) + c Desplazar c unidad arriba 2) y = f ( x ) - c Desplazar c unidad abajo 3) y = f ( x + c ) Desplazar c unidad Izquierda 4) y = f ( x - c ) desplazar c unidad derecha 5) y = - f ( x ) Reflejar con respecto eje x 6) y = f - ( x )
reflejar con respecto eje y
7) y = c f ( x ) c≥1
Alargar vertical dejando eje x por el factor c
c≤1
Comprimir vertical hacia eje x para el factor c
f ( x)  ( x  1)3
f ( x)  
f ( x)  x 2  2
1 x f ( x) 
f ( x)  x 2
y | x  1| 2 f ( x) | x | y | x  1| 2
y  1  ( x  1)2
f ( x)  1  ( x  1)2
2 3x f ( x) 
SIMETRÍA DE FUNCIONES Un análisis fundamental en el grafico es determinar su simetría aspecto esencial y de gran ayuda en la graficación de funciones. La simetría se da atreves de prueba para la simetría con respecto al eje x, eje y. y al origen. Simetría con respecto al eje x. Una grafica es simétrica con respecto al eje y Ss ( - xo , Yo ), pertenece a la grafica cuando: y  x2
Simetría con respecto al eje y. Una grafica es simétrica con respecto al eje x Ss ( x , y ). x  y2
( x,  y)
Simetría Origen. Una grafica es simétrica con respecto al origen ss ( - x – y ) Pertenece a la grafica y ( x y) pertenece a la grafica. y  x2 ( x, y)
( x,  y)
La tabla siguiente resume a las pruebas de simetría al eje x, y , origen
Prueba Simétrica Simetría eje x
Remplazo y por - y la exp. No se modifica
Simetría eje y Remplazo x por - x la expresión no se modifica. Simetría origen Remplazo x por - x ; y por - y la exp. no se modifica
Determine intersecciones con el eje x , y, determine pruebas de simetría y aga el bosquejo de la grafica.
Intersectos: son valores definidos punto de corte en los ejes cartesianos estos son: f ( x)  x 2  4
y  4
0  x2  4
x 4
x2
a) Simetría eje x y  x2  4  y  x2  4
No existe simetría eje x
y   x2  4
b) Simetría eje y y  x2  4  y  ( x) 2  4
Hay simetría eje y
y  x2  4
c) Simetría origen y  x2  4  y  ( x) 2  4
No hay simetría origen
y  x  4 2
Gráfica f ( x)  x 2  4
4 x2  9 y 2  36
a) x  0
36 9 2 y 4 y2 
y  2
b) y  0 36 4 2 x 9 x2 
x  3
a) Simetría eje x 4 x 2  9 y 2  36 4 x 2  9( y ) 2  36
Si hay simetría eje x
4 x  9 y  36 2
b) Simetría eje y
4( x) 2  9 y 2  36 4 x 2  9 y 2  36
Si hay simetría eje y
c) Simetría origen
4( x) 2  9( y) 2  36 4 x 2  9 y 2  36
Si hay simetría origen
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo
1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
MÉTODO DE IGUALACIÓN 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo
1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
MÉTODO DE REDUCCIÓN 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas MÉTODO DE GAUSS Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas. 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. 4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y. 5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado. 6º Encontrar las soluciones. Ejemplo
2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:
3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. E'3 = E3 − 5E1
4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y. E''3 = E'3 − 2E'2
6º Encontrar las soluciones. z=1 − y + 4 ·1 = −2 x + 6 −1 = 1
y=6 x = −4
Resolución y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales Resolvemos gráficamente el sistema x + y = 6; x - y = 2} 1.
Despejamos y en las dos ecuaciones.
x+y=6→y=6-x x-y=2→y=x-2 2.
Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.
x01234 y65432 y=x-2
x0 1 234 y -2 -1 0 2 2 1.
Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes.
Uniendo los puntos de cada ecuación, obtenemos dos rectas que representan todas las soluciones de cada una de las ecuaciones
1. Puede ocurrir uno de los siguientes casos:  Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.  Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible determinado.
Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.
En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es x = 4 e y = 2. Clasificamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2 } b) x + y = 3 2 x + 2 y = 6 } c) x + y = 3 x + y = - 1 }
a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 1, y = 4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y= 0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que será la solución = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación en el margen. b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 0, y = 3; x = 3, y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1 Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación en el margen. c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente:
Representaci贸n gr谩fica de los tres sistemas
REGLAS, PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES Muchas relaciones entre cantidades pueden representarse de manera adecuada por medio de rectas, una característica de una recta es su inclinación a la cual utilizaremos la noción dependiente, es una razón entre el cambio de la variable y y el cambio de la variable x
2x  5  4 y2 y1
x2 m
y 2  y1 x 2  x1
El análisis de una recta permite identificar relaciones como precio y cantidad como número de elementos precio, oferta y demandas, niveles de producción entre otros. En resumen se puede caracterizar la orientación de una recta por su pendiente. Pendiente a) b) c) d)
Línea horizontal m=0 Línea vertical m=  Línea que sube de izquierda a derecha m=+ Línea que sube de derecha a izquierda m= -
m
ECUACIONES EN LA RECTA Una recta puede ser determinada a partir de ciertas características o de unas informaciones disponibles dadas de las siguientes maneras: a) Punto – pendiente
( x, y ) ( x1 , y1 )( x2 , y2 ) y  y1  m( x  x1 )
b) Forma pendiente orientada al origen y  mx  b
c) Forma general Ax  By  C  0 Ejemplo: 3x  5 y  7  0
d) Forma horizontal a
e) Recta vertical
RECTAS PARALELAS PERPENDICULARES Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente
3=3 Dos rectas son paralelas perpendiculares si las pendientes son inversas
m2   3
EJERCICIOS Dados los siguientes valores encuentre las ecuaciones de la recta (4, 2)(6,3) y  y1  m( x  x1 )
1 y  2   ( x  4) 2 2 y  4  x  4
y  mx  b  ax  by  c  0 y 3  2  x 6  4 5 m 10 1 m 2 m
x  2y  0 x0 y0
2 -1 2  2y  0 2 y  2 y  1
(x+2y)=0 m
5 ( ,5) 2
y  y1  m( x  x1 ) 1 5 3 y  15  ( x  ) 3 2 x  3y 
x  3y 
35 0 2
35 ;5.8 6 35 x   ; 17.5 2 y
x0 y0
x - 9 = 5y + a x - 12 = 5y x0
5y = x - 12 y=
x 12 5 5
12 -2.4 5 x = 12
y  2  5x y  5x  2
 5x  y  3  0 y  5x  2
Aplicación y funciones lineales Existen muchas situaciones Utilizando rectas para el respectivos análisis de un tema específico y representará es el análisis de demanda y oferta. Por lo general a mayor precio la cantidad demandada es menor; cuando el precio baja la cantidad demandad aumenta, esta relación representa la idea de demanda.
n Precio n q
m cantidad
Y también en general existe otro fenómeno en el mercado en donde el mayor precio x unidad mayor es la cantidad que los productos están dispuestos a proveer cuando el precio disminuye también lo hace el precio a esta disminución p p
Curva demanda lineal
Para efectos de este tema se analizará entonces el fenómeno de oferta y demanda a través de funciones lineales
EJEMPLO: Su ponga que la demanda por semana de un producto es de 100 u. cuando el precio es de $ 50 por unidad y de 200 u. de un precio de $51. Determine la ecuación de demanda suponiendo que es lineal
P= f (q) P=
q + 67
y - y1 = m( x-x1) y - 58= -
(x-100)
100y – 5800 = -7x +700 1000y= -7x + 6500
q +65
q = 300 p=
(300) +65
p= -21 +65 p= 44 En pruebas hechas para dieta experimental para gallinas se determinó el precio promedio de un gallina fue según estadísticas una función lineal del número de días después que se inició la dieta en donde 0 d 50 , suponen que el precio promedio de una gallina al iniciar la dieta fue de 40 gramos y 25 días después de 675 gramos. Determine el peso con una función de los días cuando d= 10
p = f (d) y
(10 ) +40
P = 25.40 (10) +40 P= 254+40
P= 294
FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática describe situaciones particulares como la oferta y la demanda. Y que como función se la representará a fin de determinar ingresos máximos y valores mínimos de situaciones que se presentarán durante una experimentación para graficar una ecuación cuadrática será necesario: Dado
+ bx +c = 0 a , b, c z
a < 0 abajo b)
c) y = c
GRAFICAR LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRÁTICAS y = f (x) = a)
- 4x +12 abajo
f (-2) = -
-4 (-2) +12
= -4+8 +12 =16 c) y= 12 0=
-4x +12 +4x -12 =0
( x+6 )
( x-2 ) = 0
X = 6 ; x= 2
Intersección en y
Intersección x
Eje simétrico
4 2 0 -6
-4x +12
El ingreso máximo para un producto es p= 1000-2q donde p es precio y q unidad, encontrar el nivel de producción que maximicé el ingreso total del producto, y determine ese ingreso
P = 1000- 2q I = p.q I = ( 1000-2q ) q
f (250 ) = 1000 (250 ) -2 (250) = 250000 – 125000
I = 1000 q -2
= 125000
a < 0 abajo
b) V (250; =
0 = 1000q – 2
c) y= 0 (
-500 q = 0 q( q -500) = 0 q=0
Aplicaciones de sistema de ecuación Una parte importante en el análisis de sistema de ecuaciones es el encontrar puntos de equilibrio que linealmente relaciona una cantidad de equilibrio y un ingreso de equilibrio. Análisis que permite determinar la relación existente en el mercado de la oferta y demanda. Obtener utilidades y pérdidas en este tipo de ejercicios existen nomenclaturas usadas con frecuencia estas son: Y T R
= Ing. Total
Y V C
= Costo variable
= Costo fijo
q +50 para el producto de un fabricante y suponga que la ecuación de
demanda sea igual p =
Se cobra al fabricante un impuesto de 1.50 por unidad como se afectará el punto de equilibrio original si la demanda permanece igual.
Determinar el ingreso total obteniendo x el fabricante en el punto de equilibrio antes y después del impuesto. P=
q + 50 Oferta
YTR = YTC
q + 65 Demanda
equilibrio Ing = Costo a) Original P = P q +50 = Dc = 100
q + 65
8q + 5000 = -7 + 6500
+ 50 15
p = 8 +50
q + 51.5 q +
PE= (90,
57.20) impuesto.
b) Y + R = pq Antes YTR = (100) (58) = 5800 Después YTR = (90) (57,20) YTR = 5142 p
PE ---------------------------------------
q 100 0
Por precio se mantiene igual las variables de adquisición bajan mantiene igual.
y precio se
Función exponencial y logarítmica Función Exponencial.- Es una función muy importante no sólo en matemáticas si no que también tiene mucha aplicación en temas como interés compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radioactivo, finanzas, economía y otras áreas de estudio. La función exponencial está definida por f (x )= b>0
y el exponente es cualquier número real. En funciones exponenciales es necesario aplicar las reglas de los exponentes: a)
Existen las siguientes propiedades:  
El dominio de una función exponencial son todos los números reales y el rango los números positivos La intersección de una función exponencial en el eje y es 0.1 Eje y Eje x
(0.1 ) no tiene intersección
b> 1
La gráfica asciende de derecha a izquierda
La gráfica desciende de derecha a izquierda
b> 1 La gráfica se aproxima al eje x conforme x toma los valores negativos. 0 < b < 1 La gráfica se aproxima al eje x conforme x toma valores positivos EJERCICIOS F ( x) = b > 1 (0,1)
0 -4 -3 -2 -1 0
F ( x) = ( ) 0 < b < 1 ( 0,1 )
2 1 0 -3
(-2) (0,5)
4 3 2 1 0 -4
Una aplicación práctica es el interés compuesto de una función exponencial en donde el interés genera una cantidad de dinero invertido en un lapso de tiempo y que tiene la siguiente ecuación: M = C S= P NOTA: Fórmula que es aplicada para efectos de crecimiento poblacional, decaimiento radioactivo I = S -P EJERCICIO 4000 a 15 años al 8.5% compuesto trimestralmente a)
= 4000 4
S = 14124, 86 b)
I = S- P 14124,86 -4000 = 10124,86
La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a razón del 3 % anual. Determine en ecuación que proporción la población después de T años. Halle la población 5 años después.
P F = PA P I = 5000 PF= 5796
VII. GUÍA DE APRENDI ZAJE NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCI A
Teórico Básico (comprensión) Analizar los conceptos elementales de matemática básica. APRENDIZAJE MEDIADO Actividad 1 1. Revisión de definiciones de números reales Guía de estudio para la actividad 1: a) Lectura a las pág. 2 - 3 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 2 1. Revisión de propiedades de los números reales Guía de estudio para la actividad 2: a) Lectura de las pág, 3 – 6 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 3 1. Revisión de operaciones con números reales Guía de estudio para la actividad 3: a) Lectura de las pág, 6 - 9 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 4 1. Revisión de operaciones con expresiones algebraicas Guía de estudio para la actividad 4: a) Lectura de las pág, 11 - 18 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 5 1. Revisión de factorización Guía de estudio para la actividad 5:
a) Lectura de las pág, 18 - 23 b) Resaltar las definiciones esenciales
1.-Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos. 2. Realice los ejercicios Nro.0.2; Nº. 03; Nº. 04 Nº. 05 del texto Haussler Paul (elija pares o impares) 3. Realice los ejercicios Nro.0.6; Nº. 0.7; Nº. 0.8 del texto Haussler Paul (elija impares)
NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCIA Teórico Superior (Análisis Crítico) Analizar los conceptos, crear sus propias definiciones y deducir fórmulas y sus aplicaciones algebraicas
Actividad 6 1. Revisión de definiciones de ecuaciones lineales Guía de estudio para la actividad 6: a) Lectura de las pág, 34 - 36 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 7 1. Revisión de definiciones de ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales Guía de estudio para la actividad 7: a) Lectura de las pág, 37 - 43 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 8 1. Revisión de definiciones de ecuaciones cuadráticas Guía de estudio para la actividad 8: a) Lectura de las pág, 43 - 47 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 9 1. Revisión de definiciones y fórmula general de ecuación cuadrática Guía de estudio para la actividad 9: a) Lectura de las pág, 47 - 55 b) Resaltar las definiciones esenciales
1. Establezca la diferencia de los elementos constitutivos de la matemática básica utilizando ordenadores gráficos. 2. Realice los ejercicios Nro.1.1 Nº. 1.2; Nº. 1.3; Nº. 1.4; del texto de Arya (elija pares o impares) 3.-Realice los ejercicios Nro. 2.1; Nº. 2.2., Nº. 2.3; Nº. 2.4 del texto de Arya (elija los impares)
NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCIA Teórico Práctico Aceptable ( Mínimo acreditable)
Utilizar organizadores gráficos para el proceso de resolución de problemas de matemática básica
Actividad 10 1. Revisión de definiciones para la aplicación de ecuaciones Guía de estudio para la actividad 10: a) Lectura de las pág, 60 - 62 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 11 1. Revisión de definiciones de desigualdades lineales Guía de estudio para la actividad 11: a) Lectura de las pág, 62 - 70 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 12 1. Revisión de definiciones de valor absoluto Guía de estudio para la actividad 12: a) Lectura de las pág, 75 - 79 b) Resaltar las definiciones esenciales
1. Relacione los diferentes modelos de ordenadores gráficos: mentefactos, mapas conceptuales, etc. 2. Resolver los ejercicios Nro. 3.1.; Nº. 3.2; Nº. 3.3; Nº 3.4; Nº 3.5. ; Nº 3.6. del texto de Vicente Matamoros. 3. Resolver modelos del modulo Básico entregado por el docente.
NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCIA Teórico Práctico Avanzado (acreditable)
Aplicar técnicas de resolución de problemas de matemática básica
Actividad 13 1. Revisión de definiciones de funciones Guía de estudio para la actividad 13: a) Lectura de las pág, 86 - 88 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 14 1. Revisión de definiciones de funciones especiales Guía de estudio para la actividad 14: a) Lectura de las pág, 88 - 95 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 15 1. Revisión de definiciones de combinación de funciones Guía de estudio para la actividad 15: a) Lectura de las pág, 95 - 99 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 16 1. Revisión de graficas en coordenadas rectangulares Guía de estudio para la actividad 16: a) Lectura de las pág, 99 - 104 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 17 1. Revisión de definiciones de simetría Guía de estudio para la actividad 17: a) Lectura de las pág, 104 - 115 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 18 1. Revisión de definiciones de traslaciones y reflexiones Guía de estudio para la actividad 18: a) Lectura de las pág, 115 - 120 b) Resaltar las definiciones esenciales
Actividad 19 1. Revisión de definiciones
y formulas de rectas y sistemas lineales y no
lineales Guía de estudio para la actividad 19: a) Lectura de las pág, 128 - 166 b) Resaltar las definiciones esenciales
1. Desarrolle los diversos modelos financieros: Diversidad de ejercicios para su resolución: ejercicios de aplicación en grupo. 2. Resolver los modelos matemáticos del ejercicio Nro.4.1; Nº 4.2; Nº. 4.3; Nº 4.4. del texto de Haeussler Paul ( escoja los impares) 3. Resolver los modelos de oferta demanda y depreciación del ejercicio Nro. 4..5 del texto de Haeussler Paul (escoger los pares) 4. Resolver los modelos de punto de equilibrio de mercado del ejercicio Nro. 4.6 del texto de Haeussler Paul (escoger los impares. 5. Resolver los ejercicios Nro. 5.1.; Nº. 5.2; Nº. 5.3; Nº 5.4; del texto de Haeussler Paul (Números impares)
VIII. REFERENCIAS a. BIBLIOGRÁFICA  HAEUSSLER PAUL, Matemáticas para administración y economía
 ARYA Y LADNER. Matemática Aplicada a la Administración y economía  JEAN WEBER. Matemática Aplicada para la Administración Economía.  DEWAR Y ZILL. Algebra y trigonometría.  GARCIA ARDURA. Matemática superior.  MATAMOROS VICENTE. Algebra Básica.
b. LINKOGRÁFICA
www.matemáticabasica.com www.eneayudas.com www.elmundodelasmatematicas.com
modulo matematica 1
representa el contenido de la planificacion de matematica 1
roberthppq

References: resolución 
 Resolución 
 resolución 

Resolución 
 resolución 
 resolución