Source: https://fr.scribd.com/document/403316276/FERROVIAIRE-Amelioration-Acces-Voyageur-SNCF
Timestamp: 2020-07-02 19:52:38+00:00

Document:
Am´ elioration de la fiabilit´ e d’un syst` eme complexe - Application ferroviaire: acc` es voyageurs | Théorie des systèmes | Science des systèmes
Am´ elioration de la fiabilit´ e d’un syst` eme complexe - Application ferroviaire: acc` es voyageurs
Amélioration de la ﬁabilité d’un système complexe Application ferroviaire : accès voyageurs
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UTEC80810
Note Contrat a Long Terme
Canadian Framework for Teamwork and Communications Lit Review (1)
64-70 2M975_FRA72dpianalyserla fiabilite
Am´elioration de la ﬁabilit´e d’un syst`eme complexe - Application ferroviaire : acc`es voyageurs
Fabien Turgis
Fabien Turgis. Am´elioration de la ﬁabilit´e d’un syst`eme complexe - Application ferroviaire :
acc`es voyageurs. Autre. Universit´e de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2013. Fran¸cais. <NNT : 2013VALE0005>. <tel-00860890>
HAL Id: tel-00860890
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00860890
Submitted on 11 Sep 2013
Thèse de doctorat Pour obtenir le grade de Docteur de l’Université de VALENCIENNES ET DU HAINAUT-CAMBRESIS
Discipline, spécialité selon la liste des spécialités pour lesquelles l’Ecole Doctorale est accréditée :
Présentée et soutenue par Fabien, TURGIS.
Le 08/02/2013, à Valenciennes
Equipe de recherche, Laboratoire :
Laboratoire de Thermique, Ecoulement, Mécanique, Mise en Production (TEMPO)
Amélioration de la fiabilité d’un système complexe
Application ferroviaire : Accès voyageurs
- Barros, Anne. Professeur. Université de technologie de Troyes.
- Charbonnier, Sylvie. Maître de conférences, HDR. GIPSA-Lab de Grenoble.
- Aubrun, Christophe. Professeur au CRAN, Centre de Recherche en Automatique de Nancy.
- Dehombreux, Pierre. Professeur. Université de Mons.
- Copin, Reynald. Docteur. Société Bombardier Transportation France. Crespin.
- Loslever, Pierre. Professeur, LAMIH/ASHM. Université de Valenciennes.
Co-directeur de thèse :Cauffriez, Laurent. Maître de conférences, HDR. Université de Valenciennes.
Co-encadrant : Caouder, Nathalie. Maître de conférences, LAMAV. Université de Valenciennes.
Les grandes entreprises ferroviaires intègrent au niveau du matériel roulant une grande variété de systèmes complexes qui se doivent d’être fiables et ce, dès le démarrage du service commercial. Ce travail de thèse propose une méthodologie expérimentale pour l’amélioration de la robustesse d’un système prédominant, à savoir l’accès voyageurs. L'objectif est d'améliorer sa fiabilité intrinsèque dans un laps de temps raisonnable dans le cadre de projet industriel contraint par le temps. La méthodologie expérimentale proposée s’appuie sur la méthode des essais aggravés et accélérés de fiabilité, et se veut être optimisée grâce à l’utilisation de plans d’expériences D-optimaux. Après une analyse bibliographique, suivie d’une étude sur l’utilisation des plans d’expériences D-optimaux, ce travail expose les méthodes et moyens expérimentaux mis en place pour utiliser les plans d’expériences dans un contexte industriel. La dernière partie de cette thèse contient les résultats quantitatifs et qualitatifs issus des expérimentations réalisées sur le banc d'essais du système accès voyageurs développé par Bombardier.
Mes premiers remerciements s’adressent aux Professeurs, Maîtres de conférences, Chercheurs et Hommes de Sciences que j’ai pu rencontrer et qui m’ont transmis leur passion et leur envie de comprendre et d’améliorer ce qui nous entoure. Plus personnellement, je souhaite remercier Reynald Copin de m’avoir offert l’opportunité de réaliser cette thèse au sein d’une entreprise ainsi que Pierre Loslever, Laurent Cauffriez et Nathalie Caouder de l’université de Valenciennes pour l’avoir encadrée. J’ai particulièrement apprécié la liberté et l’autonomie qu’ils m’ont laissées tout au long de ce parcours, de même que leurs nombreuses critiques constructives et éclairées afin de réussir ce travail de recherche. Je tiens à remercier l’entreprise Bombardier France qui a investi dans cette thèse et a ainsi pu rendre cette recherche possible, de même que l’organisme d’Etat l’ANRT d’avoir cofinancé ces travaux dans le cadre d’une convention CIFRE. Mes remerciements s’adressent également à Francis Tison, Directeur du département ingénierie de Bombardier, pour avoir cru en moi, à tous les ingénieurs et techniciens spécialisés du service ingénierie FMDS/SLI de Bombardier, et plus précisément au personnel du service FIELD-FRACAS-REX (Christophe Dupas, Guillaume Branger, Sylvain Portais, Quentin Coutadeur, Aurélien Ducatillon, etc.), pour leur soutien de tous les jours et la transmission de leurs expériences et savoir-faire. Je souhaite aussi remercier Aldo Placenti de l’ingénierie systèmes pour le temps qu’il a pu me consacrer à l’apprentissage des connaissances liées au système d’accès voyageurs. Un grand merci également au service d’investigation et d’homologation de Bombardier avec lequel j’ai fortement collaboré (Thibault Isola, Sébastien Texier et toute l’équipe des techniciens et ingénieurs). Je remercie les rapporteurs, Messieurs les professeurs Sylvie Charbonnier et Christophe Aubrun, d’avoir accepté de lire et de juger ce travail de recherche ainsi que l'ensemble des membres du jury. Je remercie également les quatre stagiaires Loic Muller, Lattanavong Thamabavong, Junior Holmes et Weiji Chen pour tous leurs travaux contributeurs. Et pour toutes les personnes qui m’ont aidées dans mon travail de recherche, ils sont également nombreux à m’avoir accompagné quotidiennement et encouragé moralement tout
au long de ces quatre années. Ils ont su, pendant ce long travail, apporter la joie, le rire et la détente aussi nécessaires à la réussite de cette épreuve. Je pense notamment à tous mes amis « ch’ti » à savoir Thibaut, Manu, David, Tania, Audrey, Geoffroi, etc., à mes collègues de l’esport (sport électronique), à mes amis de promotion de MSGF et Polytech’Orléans et bien d’autres encore. Ce sont également tous ces moments de plaisir et de relaxation qui m’ont aussi aidé à affronter ces années difficiles. Je souhaite conclure ces remerciements en les adressant à ma famille, ma mère, mon père, mon beau-père, ma sœur, ainsi que mes cousins pour m’avoir toujours soutenus et aidés.
Etude bibliographique : Approche statistique pour accroître la fiabilité d’un
1.2.1. Définitions des grandeurs de la sureté de fonctionnement
1.2.2. Notion de défaillance
1.2.3. Notion de réparation
1.4.1. La croissance de fiabilité dans le déroulement d’un projet
1.4.2. Premier objectif d’un programme de fiabilité : Spécifier les exigences
1.4.3. Second objectif d’un programme de fiabilité : Assurer la fiabilité de conception
1.4.4. Troisième objectif d’un programme de fiabilité : Valider la fiabilité
1.4.5. Dernier objectif d’un programme de fiabilité : Maintenir la fiabilité sur le cycle de vie 34
1.5.1. Objectifs sur le plan statistique
1.5.2. Les différentes étapes
La méthodologie des plans d’expériences
1.6.1. Définitions
1.6.2. Les différents types de plans d’expériences
Les plans D-Optimaux
Les plans d’expériences D-optimaux
2.2.2. Définition du modèle
2.2.3. Définition du plan d’expériences
2.2.4. Calcul des p paramètres du vecteur
2.2.5. Algorithme d’échange des coordonnées D-optimal
Exemple d’utilisation de JMP à partir d’un exemple simulé
2.3.1. Définition du modèle simulé
2.3.2. Etape 1 : Construction du plan
2.3.3. Interprétation du plan d’expériences
Processus expérimental de croissance de fiabilité des accès voyageurs
Présentation du système accès voyageurs
3.2.1. Présentation du sous-système « porte »
3.2.2. Présentation des sous-systèmes « comble-lacune UFR » et « marche mobile PMR » _ 83
3.2.3. Présentation de l’unité de contrôle / commande
Description du processus expérimental de croissance de fiabilité
3.3.1. Campagne d’essais de fiabilité du fournisseur
3.3.2. Campagne d’essais de fiabilité sur le banc d’essais BOMBARDIER : Processus
Construction des plans d’expériences
3.4.1. Les données d’entrée (facteurs)
3.4.2. Les données de sortie (réponses)
3.4.3. Plan d’expériences et planning projet
3.4.4. L’optimisation de l’ordre des essais
Application du processus expérimental aux accès voyageurs
3.5.1. Définition d’un essai
3.5.2. Critères de succès
3.5.3. Liste des facteurs à tester
3.5.4. Campagne 1 : Essais aggravés sur la porte avec sollicitations externes uniquement 100
3.5.5. Campagne 2 : essais aggravés sur les accès voyageurs avec l’ensemble des sollicitations
3.5.6. Campagne 3 : essais accélérés
3.5.7. Campagne 4 : Campagne de validation aggravée
Le banc d’essais
3.6.1. Synoptique du banc d’essais
3.6.2. Réalisation technique des sollicitations
3.6.3. Instrumentation et acquisition des données
3.6.4. Mise sous surveillance des accès voyageurs
Méthode de création des indicateurs
Caractérisation des données : Les signaux temporels
Indicateurs basés sur le signal position P p (t)
Indicateurs basés sur le signal intensité du moteur Ip(t)
Résultats qualitatifs liés aux campagnes d’essais 1 à 3
4.3.1. Défaillances mécaniques
4.3.2. Défaillances électroniques
4.3.3. Défaillances de réglage
4.3.4. Défaillance de qualité du prototype
4.4. Analyse quantitative de la campagne 1
4.5. Analyse quantitative de la campagne 4
4.5.1. Les facteurs du plan 4
4.5.2. Analyse descriptive
4.5.3. Analyse inférentielle
Annexe 1 : Les Interfaces Homme-Machine (IHM) de SAS-JMP
Annexe 2 : Plan d’expériences de l’exemple simulé
Annexe 3 : Définition des sollicitations et des efforts appliqués
Annexe 4 : Plans d’expériences
La fiabilité opérationnelle est devenue un enjeu majeur pour les responsables d’exploitation de matériels roulants ferroviaires. De nos jours, l’utilisateur final de ce mode de transport, c'est-à-dire le voyageur, est de plus en plus en attente d’un produit qui doit répondre certes à des critères de sécurité, de confort, de performances, mais également de ponctualité. Tout comme le constructeur, l’exploitant est par conséquent garant d’un service. La fiabilité opérationnelle est un indicateur important pour l’exploitant de s’assurer que le matériel roulant va remplir sa mission selon des engagements stricts pris par le constructeur. Dans ce contexte, il est admis que le système Accès Voyageurs, à savoir les portes d’accès voyageurs et, le cas échéant, les marches mobiles, représente une part non négligeable de la non fiabilité du matériel roulant (entre 30 et 40 % selon les applications). Ce constat s’explique entre autres par le fait qu’il s’agit véritablement du seul système directement en interface avec le voyageur. Accroître de façon notable la fiabilité opérationnelle des accès voyageurs pour le constructeur est donc une nécessité vis-à-vis du client, mais également un avantage certain de compétitivité par rapport à la concurrence. En tant qu’intégrateur, le constructeur de matériels roulants n’a pas pour vocation de développer le système d’accès voyageurs. Il travaille en collaboration avec des équipementiers qui ont en charge de proposer un produit répondant à une spécification technique et fonctionnelle. Néanmoins, la problématique expliquée ci-avant incite le constructeur à s’impliquer davantage non pas dans la conception à proprement parlé du système, mais dans la phase de validation du produit vis-à-vis de son application sur un matériel roulant donné.
Dans l’optique de mieux caractériser le sujet, une étude interne au sein de l’entreprise réalisée sur plus de dix projets actuellement en service commercial, a révélé les principales causes à l’origine des incidents de service imputés aux accès voyageurs. L’une des causes majeures s’avère être une prise en compte non adéquate de la combinaison des sollicitations que subit le système lors de son exploitation. A titre d’illustration, le système est régulièrement soumis simultanément à des sollicitations de type dévers associées à la charge
des voyageurs dans le train ainsi qu’au vandalisme induit par les usagers. Ces trois sollicitations, lorsqu’elles sont combinées, peuvent avoir un impact direct ou davantage à long terme sur la capacité du système à fonctionner selon un cahier des charges prédéfini lors de la phase d’appel d’offres. L’équipementier, de par son expérience multi-projets, a d’ores et déjà intégré les principales causes à l’origine des défaillances rencontrées en exploitation. La difficulté actuelle réside à proposer un produit dont on exige désormais une fiabilité opérationnelle quatre ou cinq fois plus élevée et ce, dans un laps de temps très court. Malgré un effort d’anticipation non négligeable des équipementiers, ceux-ci ne disposent pas forcément de l’ensemble des moyens et ressources nécessaires à une réactivité en adéquation avec la demande. Le constructeur, en tant que responsable du matériel roulant envers le client, se doit d’accompagner ce changement s’il souhaite tenir ses engagements. Cet accompagnement, tout en respectant les rôles de chaque partie, passe notamment par une action renforcée de la validation du produit à l’échelle du système, c’est-à-dire lorsque celui-ci est installé sur le train.
Il a donc été décidé, concernant un projet phare pour l’entreprise sur le marché français, de mettre en place une démarche innovante visant à améliorer la fiabilité opérationnelle des accès voyageurs dès la phase de conception. Cette activité pratique de recherche et développement a été considérée par le management comme l’une des priorités du projet. L’entreprise dispose ainsi des moyens a la hauteur de cette ambition. Suite à ce constat, Bombardier à décidé de concevoir un outil expérimental où l’on cherche à se rapprocher au mieux des conditions rencontrées en service commercial. Plus précisément, l’approche retenue s’appuie sur les essais de fiabilité dit aggravés dont le principe consiste à réduire la durée de vie des produits par l’aggravation des dégradations provoquant la défaillance. Le mémoire décrivant les travaux réalisés au cours de cette thèse comporte quatre parties. La première partie consiste en une analyse préliminaire de la littérature consacrée à la modélisation de la fiabilité de structures mécaniques complexes. Elle a clairement montré que la méthode par les essais aggravés évite l’écueil de se confronter à d’autres approches, déterministes ou probabilistes, qui nécessitent quant à elles une connaissance fine des lois de comportement. Identifier l’ensemble des sollicitations que va subir le système en exploitation, puis développer un moyen expérimental qui permet de les combiner simultanément, fut l’une
des premières tâches de cette thèse. Cette démarche, initiée en mars 2007 après plusieurs séances de travail avec les experts de l’entreprise, a abouti à la rédaction d’une spécification d’un banc d’essais à échelle 1. Les premiers essais ont débuté en mai 2008. La notion de combinaison des paramètres est également à l’origine de la méthode expérimentale finalement choisie à savoir les plans d’expériences. A noter que ce banc d’essais n’a pas d’équivalent dans le ferroviaire en termes d’outil expérimental à cette échelle (système), associé à une démarche de plans d’expériences. Dans un deuxième temps, après la phase de conception du banc d’essais, il a fallu définir le processus expérimental permettant d’améliorer et de valider la fiabilité opérationnelle du système d’accès voyageur avant la mise en service commerciale du matériel roulant. Cette partie a nécessité l’utilisation combinée des plans d’expériences et des essais de fiabilité. Les contraintes temporelles associées à ce travail induites par le planning du projet, ont nécessité de faire appel à des outils statistiques décrits dans la partie 2. Ils ont permis au final de compresser en moins de deux ans quatre campagnes distinctes d’essais. La troisième partie présente le spécimen, le domaine expérimental et le processus expérimental. En effet, afin de répondre au mieux à la problématique, une méthodologie expérimentale a été mise en place. Elle est composée de quatre campagnes d’essais accélérés et aggravés permettant d’améliorer la robustesse du système. Elle se conclut par la validation du spécimen. Ce chapitre se conclu par la présentation du banc d’essais des accès voyageurs. La quatrième partie est dédiée à l’interprétation statistique des résultats des essais obtenus au cours des campagnes successives. Cette interprétation des résultats a nécessité de bien maîtriser la partie analyse des données issue de la méthodologie des plans d’expériences. Le système étant soumis à des contraintes volontairement plus sévères que les conditions nominales, une phase importante du travail a consisté à analyser les défaillances et les avaries de composants à dominante mécanique (analyse qualitative). Il s’agissait d’identifier de façon rigoureuse, en s’appuyant sur les techniques de laboratoire les plus modernes, les causes à l’origine des défaillances du système soumis à des contraintes d’essais données. Il est en effet fondamental de bien comprendre la façon dont les éléments mécaniques se dégradent jusqu’à perdre leurs fonctions, pour ensuite proposer le cas échéant des actions correctives de conception permettant au final, de rendre le produit plus robuste. A l’issue des quatre premières campagnes d’essais, une étape d’interprétation des résultats a permis de dresser un modèle comportemental du système d’accès voyageurs soumis à des sollicitations combinées.
Ce modèle a été obtenu par l’utilisation combinée des méthodes d’analyse quantitative descriptive (analyse en composantes principales), et d’une méthode d’analyse quantitative inférentielle permettant d’établir un modèle linéaire liant les performances du système d’accès voyageurs aux sollicitations combinées exercées par le milieu extérieur. La dernière partie de ce mémoire présente la conclusion et les perspectives d’avenir et d’amélioration de ce travail.
1. Etude bibliographique : Approche statistique pour accroître la fiabilité d’un système complexe
1.2. La sûreté de fonctionnement
1.3. Complexité des systèmes
1.4. Croissance de fiabilité
Les essais aggravés
Essais de fiabilité en production
Essais de qualification de la fiabilité
1.5. Démarche statistique
1.6. La méthodologie des plans d’expériences
Dans le cadre de la problématique d’amélioration de la fiabilité opérationnelle des accès voyageurs en ferroviaire, il convient de définir au préalable la notion de fiabilité qui peut être considérée comme un sous-domaine de la Sûreté De Fonctionnement (SDF) dont les grandeurs caractéristiques sont brièvement rappelées. Les principes de base de la systémique pour un système dit complexe sont ensuite exposés. Les activités liées à la phase de croissance de fiabilité d’un produit ou système au sein d’un projet sont décrites en mettant davantage l’accent sur les méthodes expérimentales telles que les essais aggravés. Le traitement des données expérimentales est explicité en faisant appel à deux approches complémentaires qui sont utilisées en parallèle dans le cadre de ces travaux ; d’une part, au travers des concepts de statistique via les outils d’analyse descriptive multifactorielle et multivariée et d’autre part, grâce à la méthodologie des plans d’expériences.
D’un point de vue général, la Sûreté De Fonctionnement (SDF), est la confiance attribuée à un système ou, selon la définition proposée par Jean-Claude Laprie [LAP.95], « la propriété qui permet aux utilisateurs du système de placer une confiance justifiée dans le service qu'il leur délivre ». Elle se caractérise par la mise en place d’un processus d’étude intégré aux différentes phases de développement dudit système. Ce processus d’étude de sûreté de fonctionnement, souvent appelé études FDMS (Fiabilité Disponibilité Maintenabilité Sécurité), est axé autour de quatre grandeurs que sont la fiabilité, la maintenabilité, la disponibilité et la sécutité. La fiabilité, en anglais ‘reliability’, a commencé à être étudiée en 1937 avec notamment l’apparition du modèle de Waloddi-Weibull [WEI.39], dont l’objectif initial était d’améliorer la fiabilité des roulements à billes pour les applications ferroviaires. Les secteurs militaires et électroniques développèrent dans les années 1970 des outils fort usités de nos jours tels que les AMDEC (Analyse des Modes de Défaillance et de leur Criticité), ainsi que les Arbres de Défaillances. A l’heure actuelle, la fiabilité est un domaine reconnu de l’ingénierie mais également par d’autres disciplines et ce, dans toutes les branches industrielles. Elle constitue désormais, du moins pour le marché ferroviaire français, un
engagement contractuel obligatoire de la part du constructeur de matériel roulant lors de la réponse à des appels d’offres publics.
Toutes les définitions s’appliquent à une entité dénommée par la suite « E ».
La Fiabilité (‘Reliability’), se définit par l’aptitude d’une entité à accomplir une fonction requise dans des conditions d’utilisation et pour une période de temps déterminée [AFN.88b]. D’un point de vue probabiliste, la fiabilité est la probabilité pour qu’une entité remplisse une fonction requise dans des conditions définies et pendant une période précise [PAG.95] :
R(t) = Probabilité {E soit non défaillante sur [0, t[}
La Maintenabilité (‘Maintainability’), est dans des conditions données d’utilisation, l’aptitude d’une entité à être maintenue ou rétablie sur un intervalle de temps donné, dans un état dans laquelle elle peut accomplir une fonction requise lorsque la maintenance est accomplie dans des conditions données avec des procédures et des moyens prescrits [AFN.94] soit, M(t) = 1 - Probabilité {E soit non réparée sur [0, t[}
La Disponibilité (‘Availaibility’), est l’aptitude d’une entité, sous les aspects combinés de sa fiabilité, de sa maintenance et de l’organisation de sa maintenance, à être en état d’accomplir une fonction requise dans des conditions de temps données [AFN.88b] :
A(t) = Probabilité {E soit non défaillante à l’instant t}
Enfin, la Sécurité (‘Safety’), se définit par l’aptitude d’une entité à accomplir une fonction requise dans des conditions données sans provoquer d’événement catastrophique [AFN.94] :
S(t) = Probabilité {E soit sans défaillance catastrophique sur [0,t]}
Les grandeurs caractéristiques de la sûreté de fonctionnement sont régies par un certain nombre d’interactions (Figure 1.1) [CAU.05] :
Figure 1.1 : Les interactions entre les grandeurs de la Sûreté De fonctionnement (SDF) [CAU.05]
La Figure 1.1 montre que :
- une mauvaise fiabilité peut impliquer une mauvaise disponibilité du système dans le cas d’une forte fréquence de défaillances (interaction 1),
- une mauvaise fiabilité peut impliquer une mauvaise sécurité car il est statistiquement
prouvé que l’occurrence d’accident est souvent liée à l’apparition d’une défaillance du système (interaction 2),
- une mauvaise maintenabilité peut impliquer une mauvaise disponibilité puisque qu’elle
provoque une augmentation du nombre de défaillances (interaction 3),
- une mauvaise maintenabilité peut impliquer une mauvaise sécurité. En effet, de même que
pour la fiabilité, les statistiques montrent que l’occurrence d’accident est également liée à
l’apparition d’une défaillance du système (interaction 4),
- des contraintes élevées en matière de sécurité conduisent à une mauvaise disponibilité (interaction 5).
Remarque importante : Un système peut être fiable et maintenable sans pour autant être sécuritaire.
Le taux de défaillance est défini par [PAG.95] :
Équation E1.1 : Equation du taux de défaillance
La Figure 1.2 donne la représentation graphique de l’équation E-1.1 qui conduit à la courbe dite « en baignoire » caractérisant l’évolution du taux de défaillance du système tout au long de son cycle de vie.
Cette courbe se décompose en trois grandes périodes :
- Défaillances de jeunesse (« J ») : Période durant laquelle le taux de défaillance est fortement décroissant. Cette phase correspond au déverminage d’un système. - Défaillances de maturité (« M ») : Cette phase représente la période de maturité du système. Dans le cas des systèmes à dominante mécanique, elle est légèrement croissante et rend compte des phénomènes d’usure, de fatigue et de corrosion du système. S’agissant des composants électroniques, elle est considérée comme constante durant toute la phase de maturité du système. - Défaillances de vieillesse (« V ») : Cette phase représente la période durant laquelle le taux de défaillance est fortement croissant, ce qui correspond à la fin de vie du système.
Figure 1.2 : Evolution en fonction du temps du taux de défaillance λ _ Courbe dite « en baignoire » (illustration d’un système mécanique)
D’un point de vue pratique, la mesure du taux de défaillance instantané λ est le rapport entre le nombre de défaillances observées n et le temps cumulé de fonctionnement T c [LYO.06] :
Équation E1.2 : Equation de la mesure du taux de défaillance
Le taux de réparation est défini comme la probabilité que l’entité soit réparée entre les instants t et t+∆t sachant qu’elle était en panne à l’instant t [ZWI.99]. Cela se traduit par la relation [PAG.95] :
Équation E1.3 : Equation du taux de réparation
Si les grandeurs de la sûreté de fonctionnement, et notamment celles directement liées à la fiabilité, sont mathématiquement clairement définies, leurs estimations précises dans la pratique sont le plus souvent délicates. Il convient avant tout de bien délimiter les frontières du système étudié et d’appréhender sa complexité.
De nos jours, sans généraliser outre mesure, la tendance actuelle montre qu’un système n’est plus uniquement mécanique, électronique ou informatique, mais résulte de ces trois domaines ce qui a d’ailleurs donné naissance au terme « mécatronique ». D’après la norme NF EN-01-010 [NFE.04], la mécatronique se définit par :
« Une démarche visant l’intégration en synergie de la mécanique, l’électronique, l’automatique et l’informatique dans la conception et la fabrication d’un produit en vue d’augmenter et/ou d’optimiser sa fonctionnalité ».
Un système est considéré par Vesely [VES.87] comme étant un ensemble d’éléments
discrets, interconnectés ou en interaction, qui opèrent pour réaliser une mission prédéterminée [COC.97]. Les systèmes peuvent rapidement devenir très complexes et cette complexité revêt différents aspects [BEN.04] :
- Complexité fonctionnelle : Elle est représentative du nombre des fonctions que le système doit assurer. Plus les fonctions sont nombreuses, plus la complexité fonctionnelle est importante.
- Complexité de taille : Le nombre d’éléments composant un système a une influence
directe sur sa sûreté de fonctionnement ; plus il est élevé, plus la probabilité que le système fasse l’objet de défaillances est importante.
- Complexité d’états : La complexité d’états est souvent en relation avec la
complexité de taille. Les états d’un système sont multiples ; il peut s’agir d’états de fonctionnement, de défaillances, d’arrêts. Identifier en phase de conception tous les états d’un système et caractériser le passage d’un état à l’autre sont des tâches peu aisées.
- Complexité technologique : L’innovation des composants dans un système permet
généralement d’implémenter des nouvelles fonctions plus complexes, mais provoque de par leur nouveauté des nouvelles contraintes [CAU.95]. En effet, l’utilisation de nouvelles technologies et leurs sorties parfois prématurées sur le marché dues à des
contraintes économico-financières ainsi que l’emploi de COTS (‘Component of the self’), peuvent conduire à des défaillances essentiellement dues par l’ignorance et le manque de retour d’expériences sur leur fonctionnement.
- Complexité structurelle : Le système complexe est ici défini comme un ensemble
de composants, sous-systèmes, formant une structure composite complexe. Cette structure admet de nombreuses interactions aussi bien horizontales que verticales
représentées sous forme de schémas blocs, eux-mêmes orientés sans boucle contenant une entrée et une sortie. A noter que cette approche ne s’applique qu’à des systèmes cohérents se basant sur la théorie des probabilités [COC.97].
- Complexité d’agrégation : La complexité d’agrégation tend à répondre à la question
« qu’est-ce que cela devient ? ». Il est légitime en effet de se demander ce qui résulte, pour un système global, de l’agrégation d’entités disparates en interaction au sein d’un système.
- Complexité stochastique : La complexité stochastique est la caractérisation d’un
processus stochastique matérialisant le comportement d’un système au cours du temps [FOA.02]. Elle traduit ce qui résulte pour le système global de l’agrégation d’entités (complexité d’agrégation) présentant chacune un nombre d’états (complexité d’états), et des lois probabilistes de transition inter-états. Sur ce point, le concept de fiabilité dynamique qui tend à se développer a pour objectif de prendre en compte les variations
des paramètres d’un système par la présence de défaillances. La défaillance d’un composant peut en effet modifier la loi de défaillances d’autres composants.
Après avoir présenté les principales caractéristiques de la sûreté de fonctionnement et de la complexité d’un système, le paragraphe suivant décrit les activités liées à la croissance de fiabilité au sein d’un projet. En effet, le concepteur de tout système innovant est confronté au problème d’atteindre le plus rapidement possible la phase de maturité du système en s’affranchissant des problèmes de jeunesse. Ceci relève d’activités liées à la croissance de fiabilité. L’accent a volontairement été mis sur les méthodes expérimentales.
La croissance de fiabilité se définit comme un ensemble de moyens à déployer afin de respecter les engagements de fiabilité contractuels imposés par le client et ce, dès la phase
d’offre ou d’avant-projet. L’objectif est que le système soit au début de la phase de maturité de la courbe en baignoire lors de la mise en service opérationnel et que le déverminage (phase de jeunesse de la courbe en baignoire) ait été idéalement effectué avant livraison chez le client (cf. Figure 1.2). Pour ce faire, chaque entreprise ou organisme apporte des solutions adaptées à son environnement. Néanmoins, les pratiques usuelles du secteur ferroviaire suivent un déroulement relativement « classique » d’activités de croissance de fiabilité. Cette partie se focalise sur les activités relatives à cette phase et en particulier sur la notion de robustesse. Cette notion peut se caractériser par la capacité d’un système à maintenir ses performances malgré des variations des sollicitations externes, dans des conditions extérieures dans lequel le système évolue et la présence d’incertitudes liées à ses paramètres ou à ses composants [FOW.00]. Une autre définition de la robustesse est donnée dans [CET.05] : « la robustesse caractérise un produit dont les performances ne sont pas (ou peu) altérées par les différentes sources de variabilité liées à la conception, aux éléments constitutifs, aux matériaux utilisés, à la production et à l'utilisation [CET.05] »
L’amélioration de la fiabilité d’un système ferroviaire débute dès l’étape de conception et se termine au retrait du service du matériel. Il s’agit donc d’un processus continu. La Figure 1.3 donne le cycle dit en « V » d’un système ferroviaire d’après la norme EN 50126 [EN5.86], celui-ci reposant sur douze phases. La croissance de fiabilité fait partie intégrante de ce cycle. La phase descendante du cycle correspond au développement du produit, et la phase ascendante à sa réalisation et à son exploitation jusqu’au retrait. Cette représentation en « V » suppose que les tâches en vis-à-vis dans les phases descendante et ascendante soient liées par une activité de validation transverse via des critères prédéfinis.
Figure 1.3 : Cycle en « V » d’un produit ou système (phases de Développement et de Fabrication puis, d’Exploitation et de Retrait du Service)
Dans [CET.05], il existe une décomposition plus synthétique en six phases tel que décrite ci-après :
- Faisabilité (phase 1) : Elle comprend l’identification du besoin et des risques, ainsi que la définition des objectifs de performances, de coûts et de délais.
- Définition (phase 2) : Elle s’attache à l’étude des diverses solutions technologiques répondant aux besoins, à la rédaction des spécifications techniques et à l’allocation quantitative des objectifs.
- Développement (phase3) : Cette étape aboutit au choix de la meilleure solution technologique et à son étude détaillée.
- Production (phase4) : Elle décrit le développement des méthodes de production ainsi que la définition des moyens de contrôle associés, et enfin les activités liées à l’élaboration du produit.
- Utilisation (phase 5) : Elle concerne la mise en service, l’exploitation et la maintenance du système.
- Retrait (phase 6) : Cette dernière décrit la cessation d’activité et le retrait du produit.
Lorsque la mise en service opérationnel du système ferroviaire révèle que les objectifs de fiabilité ne sont pas atteints, ceci a un impact direct sur le coût du projet, la satisfaction du client mais aussi sur les usagers (impact sociétal). Etant données les lourdes pénalités induites par la non fiabilité d’un produit et parfois également, par des extensions de garantie, les risques associés aux choix de conception et aux technologies retenues pendant l’avant projet doivent être clairement identifiés et maîtrisés tout au long du projet et donc, tout au long du cycle de vie du système (notion de PLM –‘Product Life Management’).
Un programme de fiabilité doit par conséquent répondre à quatre objectifs essentiels
respectant un ordre chronologique bien précis [CET.05]
(cf. Figure 1.4) :
- Spécifier les exigences de fiabilité (phase 1).
- Assurer la fiabilité lors de la conception (phase 2).
- Valider la fiabilité du produit (phase 3).
- Maintenir la fiabilité du produit sur son cycle de vie (phase 4).
Figure 1.4 : Les quatre objectifs d’un programme de fiabilité extraits de [CET.05] (en rouge, le contexte essentiel dans lequel se situe cette étude)
Les travaux se sont donc essentiellement focalisés sur le second objectif du programme de fiabilité de la Figure 1.4 qui vise à assurer la fiabilité de conception d’un système accès voyageurs ferroviaire au travers de l’amélioration de sa robustesse. Pour ce faire, un banc d’essais spécifique, présenté dans le chapitre 3, a été développé.
Il s’agit de spécifier les exigences par la mise en place de tâches de fiabilité à développer à partir de l’expression des besoins fonctionnels et de diverses données d’entrée (Figure 1.5).
Figure 1.5 : Les Tâches de fiabilité liées au premier objectif de spécification des exigences
[CET.05]
Cet objectif, relatif à la phase de l’appel d’offres, s’attache principalement à définir les activités de base telles que l’analyse fonctionnelle ou encore la modélisation de la fiabilité, pour les étapes ultérieures du projet. La description détaillée des tâches associées n’est pas développée dans le présent texte.
Les étapes décrites ci-après (cf. Figure 1.6), assurent la mise en place concrète des activités de contrôle et d’aide aux choix technologiques de conception. On trouve notamment les besoins fonctionnels « Optimiser la robustesse » et « Favoriser la croissance de fiabilité ».
Figure 1.6 : Les Tâches de fiabilité liées au second objectif d’assurer la fiabilité de conception (le cadre rouge souligne un domaine utilisé dans cette thèse) [CET.05]
En particulier, une étape essentielle consiste à caractériser la stratégie des essais. Selon [CET.05], elle peut être décrite par :
« Une planification stratégique des essais de différentes natures qui apporte une plus value significative dans la construction, la validation et le maintien de la fiabilité d’un produit. Cette planification résulte d’un processus récurrent qui consiste à optimiser, en le faisant évoluer de manière progressive, le plan d’essais conçu initialement, en fonction des problèmes rencontrés en développement, des besoins de fiabilité ressentis, des résultats escomptés et des coûts et délais générés par la mise en œuvre de ces essais. ». Le calendrier et le plan d’essais associés cherchent à optimiser le coût et à mesurer les délais rattachés pour obtenir la croissance de fiabilité escomptée grâce à l’expérimentation. Si elle est correctement réalisée, elle permettra de manière efficace et au plus tôt de :
- détecter les faiblesses de conception,
- accélérer le processus de maturation,
- construire et valider la robustesse d’un produit et son procédé de fabrication associé,
- valider l’obtention des objectifs de fiabilité de conception,
- limiter les risques de remise à niveau du matériel roulant pendant l’exploitation,
- maintenir les niveaux de fiabilité contractuelle en phase d’exploitation.
Certaines approches expérimentales, détaillées dans les paragraphes 1.4.3.1 et 1.4.3.2, répondent aux besoins fonctionnels mentionnés ci-avant à savoir :
-Les Plans d’expériences. -Les Essais Aggravés.
Le choix, quant à la définition des méthodes expérimentales et des essais, s’est exclusivement porté sur celles fournies par le CETIM dont la pertinence a été jugée satisfaisante [CET.05]. Cela permet également d’obtenir une certaine cohérence dans les termes employés au vu notamment du nombre important de type d’essais liés à la fiabilité.
1.4.3.1. Les plans d’expériences
« Un plan d’expériences est une méthode d’expérimentations basée sur un protocole d’essais structurés dans lequel on fait varier simultanément les valeurs (ou les niveaux) de plusieurs facteurs (variables d’entrée) d’un essai à un autre afin d’observer l’impact de ces variations sur une ou plusieurs performances (variables de sortie) d’un produit ou d’un procédé. Cette méthode, dont le fondement est de nature statistique, permet aux concepteurs de maîtriser, à l’aide d’un nombre minimal d’essais, les paramètres de conception qui, de manière individuelle ou en interaction avec d’autres facteurs, ont un effet significatif sur les performances du produit (ou des procédés) et de pouvoir régler ces paramètres de manière à optimiser les performances étudiées. ». [CET.05]
La description détaillée des plans d’expériences et des choix réalisés dans le cadre de la thèse fait l’objet du chapitre 2. L’approche par les plans d’expériences est présentée dans le paragraphe 1.6 de ce présent chapitre.
1.4.3.2. Les essais aggravés
« Les essais aggravés consistent à soumettre une entité matérielle de conception nouvelle (pièce, composant, assemblage, etc.), à des contraintes d’environnement et/ou de fonctionnement sous des niveaux croissants pouvant atteindre les limites de résistance des technologies, à évaluer les marges de fonctionnement et à déceler rapidement, pour pouvoir les corriger, les défauts inhérents à la conception (produit et/ou procédés qui réduisent ces marges à des valeurs inacceptables). ». [CET.05]
Les essais aggravés sont en général préconisés pour trois catégories de produit ou système :
- Les nouveaux systèmes (en particulier lorsque ceux-ci revêtent un caractère complexe et/ou innovant).
- Les systèmes soumis à de lourdes contraintes sécuritaires.
- Les systèmes évoluant dans des environnements sévères et/ou difficiles à quantifier.
Les essais aggravés permettent d’améliorer :
- la robustesse du système par l’amélioration des marges de fonctionnement,
- le processus de maturation rendant par définition le système davantage « mâture ».
C’est dans le domaine de l’électronique qu’est apparu la méthodologie des essais aggravés. Il s’agissait en réalité d’un besoin qui s’est fait rapidement ressentir suite à de cuisants échecs notamment lorsque le système a pour vocation de ne servir qu’une seule fois (exemple d’une défaillance de l’électronique lors d’un tir de missile). Parmi les différentes méthodes expérimentales, les essais HALT (‘Highly Accelerated Life Testing’), se rapprochent le mieux de notre problématique.
La méthode des essais aggravés se propose d’améliorer la robustesse du système par l’analyse de ses défaillances, lorsque celui-ci est soumis volontairement à un environnement de sollicitations extrêmement sévères allant au-delà des spécifications techniques exigées par le client et imposées par les réglementations en vigueur [GUE.01]. Chaque défaillance observée montre en effet une faiblesse du système. Dans le cadre des essais HALT, le système subit des sollicitations échelonnées de diverses natures : climatiques, vibratoires, électriques,
etc., en franchissant trois paliers jusqu’à sa destruction (Figure 1.7). Le principe est
globalement le suivant : si le système montre une défaillance avant d’atteindre les limites de
chaque palier alors, celui-ci a une faiblesse latente nécessitant une action corrective ciblée
[NEL.90]. Bien entendu, les corrections sont adaptées suivant qu’il s’agisse par exemple des
limites de fonctionnement ou de destruction. Le choix peut être fait de ne pas modifier le
produit lorsque la défaillance est apparue entre ces deux limites car on estime que la marge de
conception est suffisante ou encore que cette « ultime » limite ne sera jamais atteinte. Contrainte
Figure 1.7 : Profil de sollicitations échelonnées en fonction du temps lors d’un essai aggravé de type HALT (‘Highly Accelerated Life Testing’) – Application : Electronique
L’intérêt d’un essai HALT est de déterminer le diagramme des zones caractéristiques
du système, mettant ainsi en évidence quatre zones distinctes dimensionnées par les quatre
axes représentant les sollicitations imposées (cf. Figure 1.8) :
- La zone de conformité correspondant à la spécification du cahier des charges
- La zone de robustesse dite aussi marge de fonctionnement (en bleu).
- La zone de fonctionnement dégradé (en rouge).
- La zone de destruction (NB : Domaine irréversible).
Figure 1.8 : Diagramme des zones caractéristiques du système suivant les axes de sollicitations lors d’un essai de type HALT (‘Highly Accelerated Life Testing’) – Application : Electronique
En résumé, un essai de type HALT correctement mené permet :
- de définir les limites le plus souvent méconnues du système (technologiques, de destruction),
- de rendre un produit plus robuste dès la phase d’étude c’est-à-dire plus fiable et ce, lorsque les premiers prototypes représentatifs de la série sont disponibles.
- au final, d’améliorer de façon significative la fiabilité opérationnelle du système.
Néanmoins, dans la mesure du possible, l’essai de type HALT réalisé lors de la phase d’étude doit être complété par des essais en phase de production du système voire lors de son exploitation. On parle alors d’essais de type HASS (‘Highly Accelerated Stress Screen’) ou HASA (‘Highly Accelerated Stress Audit’), qui se rapprochent des essais de fiabilité en production mentionnés au paragraphe 1.4.4.2. Le but de ces tests est de s’assurer que le système n’admet pas de dérives compromettant sa robustesse, liées par exemple à une non qualité ou une mauvaise maîtrise de l’obsolescence des composants électroniques et ce, lors de son cycle de vie et notamment pendant la période de “Jeunesse”. A noter que ces essais sont certes sévères en termes de sollicitations imposées, mais pas destructifs puisqu’ils sont réalisées systématiquement (essais HASS), ou par échantillonnage (essais HASA), sur les produits de série. Pour plus de détails, le lecteur peut se reporter aux références [MCL.98],
[GUE.01].
La validation de la fiabilité consiste à déployer les moyens qui permettent de vérifier que le système final remplit effectivement les objectifs de fiabilité (Figure 1.9).
Figure 1.9 : Les Tâches de fiabilité liées au troisième objectif de validation de la fiabilité (le cadre rouge souligne un domaine utilisé dans cette thèse) [CET.05]
De même que pour le second objectif de fiabilité, les méthodes expérimentales tiennent également une place prédominante.
1.4.4.1. Essais accélérés
Les essais accélérés sont utiles lorsque l’objectif est de quantifier la fiabilité généralement des premiers prototypes représentatifs du produit série. La définition proposée par [CET.05] est la suivante :
« Les essais accélérés sont conçus pour pouvoir prédire, de manière économique et sur un laps de temps réduit, l’évolution dans le temps d’une (ou plusieurs) performance(s) fonctionnelle(s) ainsi que la durée de vie d’une entité matérielle utilisée dans ses conditions normales d’emploi. Ils consistent à soumettre cette entité à un ou plusieurs niveaux supérieurs aux niveaux spécifiés en utilisation normale, et à extrapoler les résultats obtenus à
l’aide de modèles analytiques validés par l’expérience. En général, l’entité considérée correspond à un composant, à un assemblage de matériaux ou à des structures simples. ».
Ce type d’essais permet notamment de valider la durée de vie d’un produit / d’un système dans un temps d’essais relativement optimisé, en s’appuyant sur une interprétation statistique détaillée [TEB.05], [NEL.90], [LEW.94] et [NIK.07]. Ils mettent surtout en évidence les défauts de conception du produit liés au phénomène de fatigue et se rapprochent des essais qualifiés le plus souvent d’endurance en ce qui concerne les systèmes à dominante mécanique.
1.4.4.2. Essais de fiabilité en production
Ce sont des essais de validation principalement mais ils peuvent détecter, à l’instar des essais HASS ou HASA dans l’électronique (cf. § 1.4.3.2.), des défaillances imputables à des dérives du processus de production voire, à des erreurs de conception qui seraient passées inaperçues lors des étapes précédentes du cycle en « V ». La définition proposée par [CET.05] est :
« Les essais de fiabilité en production (EFP) ont pour vocation de s’assurer que la fiabilité de conception ne se dégrade pas sur l’ensemble du cycle de production. Ils apportent au client une garantie suffisante pour que les exemplaires livrés continuent à satisfaire à ses exigences ou à ses attentes exprimées en terme de fiabilité ».
Cependant, il est à noter que la correction des défaillances identifiées en production est coûteuse pour l’entreprise car elles sont détectées tardivement dans le cycle de vie du produit.
1.4.4.3. Essais de qualification de la fiabilité
Ce type d’essais constitue la validation finale d’un programme d’essais de fiabilité. La définition proposée par [CET.05] est la suivante :
« Un essai de qualification de la fiabilité (EQF) est un essai spécifique ayant pour objectif essentiel de démontrer avec un degré de confiance suffisant la conformité du niveau de fiabilité d’un produit avec l’objectif spécifié. De ce fait, l’EQF contribue à valider l’adéquation de la conception retenue avec la valeur correspondante à cet objectif.
Contrairement à l’essai de croissance de fiabilité, l’EQF est un essai de type « constat » qui ne vise pas à relever des défauts encore non identifiés afin de les corriger. Sa réalisation est en principe la résultante d’une exigence contractuelle. Pour cette raison, il est dimensionné de manière statique, en intégrant à la fois le risque ‘client’ et ‘fournisseur’ ».
Il a pour objectif d’offrir une garantie contractuelle suffisante aux deux parties, fournisseurs et clients, afin de permettre la mise en production du système. Ces essais font souvent appel à des normes applicables à chaque secteur de l’industrie.
L’une des spécificités du secteur ferroviaire à l’échelle du marché français mais également au-delà, est que la fiabilité d’un système et a fortiori d’un matériel roulant, n’est pas mesurée avant le début de son exploitation commerciale. Les raisons sont principalement historiques et économiques mais également politiques, puisque le planning de développement d’un projet imposé par les organismes publics ne permet pas en général de déployer en temps et en heure des essais poussés de qualification de la fiabilité.
1.4.5. Dernier objectif d’un programme de fiabilité : Maintenir la fiabilité sur le cycle de vie
Cette phase vise à définir les méthodes pour quantifier et suivre l’évolution de la fiabilité du système lors de son exploitation (cf. Figure 1.10). Le maintien de la fiabilité sur le cycle de vie du système permet en effet de valider ou de donner des axes de réflexion à l’amélioration de la méthodologie de croissance de fiabilité.
Figure 1.10 : Les Tâches de fiabilité liées au dernier objectif de maintenir la fiabilité sur le cycle de vie du système d’après [CET.05]
Cet objectif se décompose en quatre besoins fonctionnels qui génèrent principalement un contrôle renforcé des fournisseurs, une meilleure caractérisation de l’environnement (maintenance, facteur humain), et le traitement des incidents en exploitation. C’est à ce stade également du programme de fiabilité que le processus de retour d’expériences, notamment vis-à-vis des nombreuses analyses réalisées en phase d’études, prend toute sa valeur.
En conclusion, il a été clairement montré la place conséquente des méthodes par les essais à différents niveaux selon les objectifs recherchés. Etant donné que nos travaux se focalisent particulièrement sur l’amélioration de la fiabilité des accès voyageurs au travers d’essais de robustesse (cf. § 1.4.3), les derniers paragraphes de l’étude bibliographique décrivent deux aspects complémentaires relatifs à l’accroissement des connaissances sur un système à partir du recueil de données ; l’un, est qualifié de Démarche statistique au travers des concepts de statistique (cf. § 1.5) et l’autre, est relatif à la théorie des Plans d’expériences (cf. § 1.6).
Dans le cadre de la démarche statistique, l’étude d’un système est considérée via deux ensembles de grandeurs :
-l’ensemble des variables ={Y v , v=1, …, V}, mesurées directement sur le système [ROB.05] ou non (par exemple, fournies par un opérateur humain : Un utilisateur, un expert, etc.) [LAN.01] [LOS.06]. Une grandeur peut alors être supportée par un des quatre modèles mathématiques d’échelles usuellement employés en statistique :
nominal, ordinal, d’intervalle et de rapport [STE.74] ; -l’ensemble des facteurs ={X u , u=1, …, U}, dont les éléments peuvent avoir une influence sur le système. Ici aussi, une distinction selon les quatre types d’échelles
doit être faite. Outre cet aspect d’échelle, trois sous-ensembles essentiels de facteurs sont à distinguer [LOS.96] :
- un premier correspondant aux grandeurs que l’opérateur fait varier durant l’étude, s’il y a lieu (donc dans le cadre d’une étude expérimentale) ;
- un deuxième contenant les caractéristiques maintenues constantes tout au long de l’étude, mais qui peuvent avoir une influence sur le système (comme la pression exercée de l’extérieur lors du cycle ouverture/fermeture de la porte du train) ;
- un troisième relatif aux facteurs qui ne sont pas contrôlés mais qui peuvent avoir une influence sur le système.
Ajoutons qu’une variable Y v peut être temporelle (générant donc des signaux ou des séries chronologiques de valeurs) ou non (généralement obtention d’une valeur unique, comme un avis d’expert). Le temps, au sens chronologique, est alors un facteur. Ces différents ensembles de grandeurs étant définis, l’étude du système peut alors se résumer selon la Figure 1.11 ci-après.
Figure 1.11 : Une façon de présenter synthétiquement l’étude d’un système sous l’angle statistique [LOS.96] a) Entrées, sorties et objectifs pour l’étude (cas par l’approche expérimentale) ; b) Les 4 étapes de base de l’étude expérimentale ; c) Les 5 sous-étapes de l’étape 4 ; d) Taxinomie en 3 dimensions des approches statistiques
La Figure 1.11 met en exergue deux (en vert), parmi les trois objectifs essentiels d’une étude empirique à savoir :
- étudier les effets de facteurs sur les variables. Sachant que dans
expérimentale les trois types de facteurs mentionnés plus haut existent, il faut distinguer l’objectif essentiel - Comment se manifestent les variations provoquées (Obj1) ? -, d’un objectif secondaire - Etudier les effets des deux autres types de facteurs (Obj1’). Dans une étude basée sur l’observation de systèmes, uniquement Obj1’ existe ; - étudier les relations entre les variables (Obj2). Atteindre un tel objectif peut être important dans les cas spécifiques où des signaux multidimensionnels (donc V > 1), sont enregistrés et/ou lorsque l’on veut mettre en relation des données fournies par des experts et des capteurs ; - construire des ensembles d’indicateurs (Obj3), non montrés sur la Figure 1.11.a, dans l’optique qu’ils servent de références (moyenne d’une vitesse de circulation d’un train, fréquence d’une panne, coût cumulé des pièces de rechange par unité de temps, etc.). Précisons que de tels indices peuvent avoir peu de sens, comme dans le cas de la présence de plusieurs modes pour un histogramme d’amplitude (mono ou multivarié). Il peut dans ce cas être nécessaire de recourir à des méthodes de classification [SAP.90].
La Figure 1.11.b présente les quatre étapes de base de l’accroissement de la connaissance sur un système à partir de l’approche statistique dans le cadre d’une étude expérimentale :
1. Conception et/ou mise en œuvre du banc expérimental. Cette étape intègre bien entendu tout ce qui est relatif à l’obtention des données (capteurs plus conditionnement des signaux, grilles permettant la saisie des problèmes survenant tout au long de la phase de récolte de données et, s’il y a lieu, questionnaires) ;
2. Conception et/ou mise en œuvre du plan d’expériences. Il s’agit ici de préciser les facteurs, leurs modalités, les façons de les combiner, etc. (cf §1.6). Dans un souci d’être suffisamment général, il est à préciser qu’il existe également la notion de plan
d’observations [LEG.86]. Si certaines disciplines font essentiellement appel à ce type d’investigation, comme la sociologie ou l’astronomie, un plan d’observation peut également intervenir en ingénierie, par exemple dans le cadre du recueil quotidien des incidents sur les trains ;
3. Collecte de données. Il faut garder à l’esprit que, pour des raisons multiples et variées, de nombreux problèmes peuvent survenir au cours de cette phase (comme la défaillance de capteurs, sachant qu’on peut ne pas s’en rendre compte immédiatement par exemple). Ces problème génèrent des données « douteuses », voire l’absence de données ;
4. Exploitation des données. Il s’agit ici de passer des données brutes, qui peuvent être notamment temporelles ou non temporelles, qualitatives ou quantitatives et objectives ou subjectives, à des résultats qui sont exprimés sous la forme d’un modèle mathématique (modèle d’une régression ou d’une distribution, etc.), d’un graphique (nuage de dispersion, histogramme, Pareto, etc.) ou verbale (conclusion d’un test d’hypothèse, modèle qualitatif, etc.).
La Figure 1.11.c propose une description détaillée de cette dernière étape selon cinq sous-étapes [LOS.01] :
4.1. Caractérisation de données. Cette sous-étape est surtout nécessaire en présence de données temporelles dans la mesure où les signaux peuvent être traduits sous la forme d’indicateurs plus ou moins synthétiques. Par exemple, dans le cas d’une variable continue, considérer une moyenne arithmétique est plus synthétique que de découper la plage de variation en fenêtres spatiales puis, caractériser chaque fenêtre par une fréquence calculée pour la durée du signal ; cette approche étant elle même plus synthétique que de combiner des fenêtres spatiales et des fenêtre temporelles (ce cheminement peut être également mise en œuvre avec des fenêtres fréquentielles [LOS.96]) ;
4.2. Codage des données. Cette sous-étape peut être présente si les données ne sont pas compatibles avec les données requises par une méthode spécifique (par exemple, nécessité de passer par un tri par ordre croissant pour un test paramétrique), ou ne sont pas compatibles entre elles dans l’optique d’une analyse multivariée (codage par centrage-réduction avec une analyse en composantes principales) ;
4.3. Mise sous forme de tableaux de données. Les méthodes ayant pour objectif d’atteindre les objectifs 1, 2 et 3 cités ci-avant ont souvent comme entrée une matrice [DID.82]. Ceci étant, les données issues d’une étude empirique génèrent souvent plusieurs matrices voire même plusieurs ensembles de données à plus de deux entrées ; cas MultiFactoriel (U>1) et MultiVarié (V>1), cas noté MFMV, avec la présence de données temporelles. Une étape de « mise en forme » des données s’impose alors.
4.4. Etude des tableaux de données (dans l’optique d’atteindre essentiellement les objectifs 1 et 2, Figure 1.11.a). Plusieurs dimensions taxinomiques peuvent être considérées pour distinguer les méthodes permettant une telle étude. La Figure 1.11.c en suggère trois :
1) Descriptif vs. inférentiel : Soit, seules les données disponibles sont concernées soit, elles ne proviennent que d’échantillons et le but est d’extrapoler les résultats à la (les) population(s) dont elles sont issues ; 2) Mono vs. multivarié : En présence de V variables, on peut faire, par exemple, V analyses univariées ou une seule analyse multivariée (à V variables). 3) Temporel vs. non temporel : En présence de données temporelles, le facteur temps peut intervenir ou non dans le modèle mathématique. Combiner ces trois dimensions taxinomiques à deux modalités revient alors à distinguer huit familles de méthodes [LOS.01].
4.5. Présentation des résultats statistiques et commentaires. Les sorties issues des programmes informatiques utilisés dans la sous-étape précédente sont souvent « ardues » à lire pour le non spécialiste (cas des nombreux tableaux et graphiques des méthodes multidimensionnelles factorielles ou des tests d’hypothèses avec plus de
deux variables en présence d’interactions). En conséquence, les sorties statistiques doivent être accompagnées de graphiques plus simples [TUF.83], ainsi que des textes venant commenter, sous le sens « physique », ces résultats. Tout ceci fait l’objet de cette dernière sous-étape.
Il est à noter qu’il est tout à fait possible que les enchaînements montrés sur les Figures 1.11.b&c ne suffisent pas. Il faut alors des re-bouclages (pour ne pas alourdir la Figure 1.11, ils n’ont pas été montrés). C’est notamment le cas en présence de données non temporelles ; l’analyse statistique débute alors avec une approche descriptive de type MFMV (cf. case 2, Figure 1.11.c), ce qui nécessite les cinq sous-étapes décrites sur la Figure 1.11.c, suivie d’une approche inférentielle (case 1 ou 3 de la Figure 1.11.c), et dès lors cinq nouvelles sous-étapes [LOS.01a].
Le paragraphe ci-dessus a présenté, de manière très synthétique, la démarche générale d’analyse statistique. Dans le cadre de l’amélioration de la performance des systèmes industriels, il est souvent nécessaire de tester l’influence de nombreux facteurs (cas où le système est placé dans des situations reproduisant des conditions usuelles de son utilisation ou en les aggravant), et/ou du facteur temps (par exemple, dans le cas d’essais d’endurance). Ceci passe par une organisation spatiale (spatiale au sens que les modalités des facteurs et leurs combinaisons sont précisées), et parfois temporelle (l’ordre des combinaisons testées est alors indiqué). L’obtention de cette organisation spatio-temporelle fait l’objet du paragraphe suivant via la méthodologie des plans d’expériences.
La théorie des plans d’expériences provient de la fusion entre les méthodes expérimentales scientifiques et les outils statistiques. Ronald Aylmer Fisher fut le premier à développer et utiliser cette méthode pour l’agronomie en 1919 [FIS.25]. Bien qu’inventée pour l’agronomie, celle-ci fut rapidement utilisée dans d’autres domaines comme la médecine, la chimie, la mécanique, etc.
- Plan d’expériences :
Un plan d’expériences est l’organisation d’une séquence d’essais expérimentaux pour
obtenir le maximum de renseignements avec le minimum d’expériences et la meilleure précision possible sur les réponses calculées par le modèle [GOU.00].
L’objectif d’un essai est de lier mathématiquement un effet à une sollicitation. Dans le cadre des plans d’expériences, les sollicitations sont dénommées les « facteurs » et les effets
les « réponses ». Un facteur est défini par une plage sur laquelle la sollicitation est testée. Cette plage est appelée domaine du facteur et est bornée par deux niveaux : Le niveau bas et le niveau haut (Figure 1.12) [GOU.06]. Par convention, le niveau bas est appelé -1 et le niveau haut +1.
Figure 1.12 : Domaine d'un facteur
- Espace expérimental :
Lorsqu’il y a plus d’un facteur, chaque facteur possède un domaine de variation similaire compris entre -1 et +1. L’ensemble des facteurs crée un espace de dimensions égal
au nombre de facteurs choisis. Cet espace est appelé espace expérimental.
- Domaine expérimental :
La réunion de tous les domaines de variation des facteurs définit le domaine
expérimental (Figure 1.13).
Figure 1.13 : Domaine expérimental (dans cet exemple, de dimension deux)
- Point expérimental :
Dans cet espace expérimental sont définis des points expérimentaux. Si X i est une coordonnée du facteur i alors, un point d’un espace expérimental de dimension n aura pour
coordonnées (X 1 , X 2 , …, X i , …, X n ).
Notion importante d’interaction : Une particularité des plans d’expériences est qu’elle s’intéresse au facteur seul mais aussi aux combinaisons possibles de facteurs. Un facteur seul est dit d’ordre 1 et une combinaison de n facteurs est dite interaction d’ordre n. Exemple d’un plan de trois facteurs où toutes les interactions possibles sont analysées. Celui-ci possède :
- 3 facteurs d’ordre 1 : F1, F2 et F3.
- 3 facteurs d’ordre 2 : F12 et F13 et F23.
- 1 facteur d’ordre 3 : F123.
- Surface de réponse :
La surface de réponse est définie comme étant l’espace de dimension n+1 associant a tous les n facteurs une réponse (cf. Figure 1.14 pour un exemple de surface de réponse de
dimension trois correspondant à un plan expérimental de dimension deux).
Figure 1.14 : Surface de réponse de dimension trois correspondant à un plan expérimental de dimension deux
Il existe un nombre important de plans d’expériences, chacun permettant de répondre à des problématiques expérimentales différentes [GAU.05] et [GOU.06]. Chaque type de plan résulte d’un compromis entre le nombre d’essais et la précision souhaitée des réponses, mais également tient compte des contraintes du domaine expérimental étudié. Au moyen d’un cube taxinomique, la Figure 1.15 présente une façon schématique les huit grandes catégories de plans d’expériences élaborés suivant le modèle mathématique employé, la nature des facteurs et enfin le type de plan.
Figure 1.15 : Les huit catégories de plans d’expériences (représentation schématique sous la forme d’un cube taxinomique)
Chaque partie du cube taxinomique contient plusieurs types de plans d’expériences. Ceux-ci ne sont pas détaillés dans le cadre de ces travaux. En effet, notre cas d’étude étant défini par une mixité de facteurs quantitatifs et non quantitatifs, le modèle sera supposé linéaire tout en se laissant néanmoins la possibilité d’explorer des aspects non linéaires. De plus, la quantité importante de facteurs à considérer rend l’utilisation des plans classiques difficile. D’après le cube taxinomique décrit ci-avant, notre choix de plan doit s’orienter vers le plan contenu dans la « case verte foncée ». Le plan D-optimal fait partie de cette classe de plans d’expériences et est décrit dans le chapitre 2.
Dans un premier temps, les grandeurs de la sûreté de fonctionnement dont la fiabilité, qui reste le « fil conducteur » de la thèse, ont été présentées. Le point de vue de la systémique a ensuite permis de mieux cerner la problématique de caractérisation de la complexité d’un système tel que les accès voyageurs en ferroviaire. La prise en compte de la croissance de fiabilité à travers quatre objectifs qui suivent le déroulement chronologique d’un projet (cycle en « V » dans le cadre de cette étude bibliographique), a mis en évidence un ensemble exhaustif de tâches à réaliser répondant à divers besoins fonctionnels. Un focus particulier a été apporté sur les méthodes expérimentales et notamment les différents types d’essais en fiabilité tels que les essais aggravés permettant d’améliorer au plus tôt la robustesse d’un produit. Enfin, deux méthodes complémentaires de traitement des données expérimentales ont
été décrites à savoir d’une part, la démarche statistique et d’autre part, la théorie des plans d’expériences.
Le Chapitre suivant traite de l’état de l’art des plans d’expériences de type D-Optimal utilisés dans le cadre de ces travaux. Après un rappel des principes mathématiques associés à l’emploi du critère de D-optimalité et des algorithmes permettant de générer les plans d’expériences. Un exemple simple de génération d’un plan d’expériences utilisant le critère D-optimal et l’interprétation des résultats via le logiciel SAS-JMP termine ce deuxième chapitre.
Figure 1.2 : Evolution en fonction du temps du taux de défaillance λ _ Courbe dite « en baignoire » (illustration
d’un système mécanique)
Figure 1.4 : Les quatre objectifs d’un programme de fiabilité extraits de [CET.05] (en rouge, le contexte essentiel
dans lequel se situe cette étude)
Figure 1.5 : Les Tâches de fiabilité liées au premier objectif de spécification des exigences [CET.05]
Figure 1.8 : Diagramme des zones caractéristiques du système suivant les axes de sollicitations lors d’un essai de
type HALT (‘Highly Accelerated Life Testing’) – Application : Electronique
Figure 1.9 : Les Tâches de fiabilité liées au troisième objectif de validation de la fiabilité (le cadre rouge souligne
un domaine utilisé dans cette thèse) [CET.05] Figure 1.10 : Les Tâches de fiabilité liées au dernier objectif de maintenir la fiabilité sur le cycle de vie du système d’après [CET.05] Figure 1.11 : Une façon de présenter synthétiquement l’étude d’un système sous l’angle statistique [LOS.96] a)
Entrées, sorties et objectifs pour l’étude (cas par l’approche expérimentale) ; b) Les 4 étapes de base de l’étude
expérimentale ; c) Les 5 sous-étapes de l’étape 4 ; d) Taxinomie en 3 dimensions des approches statistiques
Figure 1.14 : Surface de réponse de dimension trois correspondant à un plan expérimental de dimension deux 44
CHAPITRE 2 : LES PLANS D-OPTIMAUX
2. Les plans D-Optimaux
2.2. Les plans d’expériences D-optimaux
2.2.4.1. Critère de D-optimalité
2.2.4.2. Exemple
Algorithme d’échange des coordonnées D-optimal
2.2.5.1. Etape 1 : Définition de la matrice F
2.2.5.2. Étape 2 : Définition de la matrice
2.2.5.3. Etape 3 : Définition du vecteur v
2.2.5.4. Etape 4 : Echange des coordonnées de la matrice
2.2.5.5. Etape 5 : Critère d’arrêt
2.3. Exemple d’utilisation de JMP à partir d’un exemple simulé
2.3.2.1. Définition de la (des) réponse(s)
2.3.2.2. Définition des facteurs
2.3.2.3. Sélection du nombre d’essais
2.3.2.4. Réalisation des essais
Interprétation du plan d’expériences
2.3.3.1. Choix de la méthode statistique d’interprétation
2.3.3.2. Evaluation de la qualité du plan d’expériences
2.3.3.3. Comparaison des différents modèles de l’exemple simulé
2.3.3.4. Les outils graphiques
Comme exposé dans le précédent chapitre, la méthodologie des plans d’expériences s’avère être la plus adaptée pour répondre à la problématique de la réalisation d’une campagne d’essais de robustesse compatible avec le planning d’un projet industriel ferroviaire. L’analyse bibliographique et la prise en compte de ces contraintes ont conduit au choix du plan d’expériences de type D-optimal du premier ordre. La nature du modèle mathématique est quant à elle fortement corrélée au nombre de facteurs quantitatifs et qualitatifs nécessaires au bon déroulement des essais de robustesse des accès voyageurs. Dans notre cas, le modèle linéaire sera postulé et devra être validé par l’expérimentation. Cette étape fait l’objet du chapitre 4.
La première partie du présent chapitre décrit le critère de D-optimalité. Ce modèle D- optimal présente trois avantages : une forte réduction du nombre d’essais lié à une expérimentation, la possibilité de prendre en compte des facteurs de type qualitatif et quantitatif et un développement logiciel suffisamment avancé pour être employé dans l’industrie. La deuxième partie traite de la construction algorithmique des plans D-Optimaux via la méthode d’échange des coordonnées. Le logiciel SAS-JMP, utilisé dans le cadre de ces travaux, fait appel à un algorithme basé sur le critère de D-Optimalité. L’utilisation de cet algorithme clôture la seconde partie. Afin de mieux comprendre le fonctionnement et les possibilités d’analyses offertes par le plan d’expériences D-Optimal et le logiciel SAS-JMP, ce chapitre se termine par une troisième partie présentant un exemple de génération d’un plan d’expériences D-Optimal à trois facteurs et trois interactions, ainsi que son interprétation.
La théorie des plans d’expériences D-optimaux a été décrite pour la première fois par Fisher dans les années 1925 à 1930 [FIS.25] [FIS.35], puis reprise par Kiefer et Fedorov en 1960 [FED.72] [KIE.59]. Contrairement au plan classique (reposant sur l’exploitation des
matrices de Hadamar), les plans d’expériences D-optimaux sont basés sur un modèle de construction algorithmique (cf. notamment les travaux de Fedorov et de Silvey [SIL.80]). Les notations considérées dans ce chapitre sont celles employées dans l’article de Gauchi [GAU.05]. Dans la suite, nous supposerons que les facteurs étudiés (qualitatifs ou quantitatifs) sont contrôlables et que les erreurs de réglage peuvent être négligées.
Le modèle étudié est celui de la régression linéaire avec lequel on estime une réponse continue y à partir du vecteur des h=1,…,H facteurs. Les réponses s’expriment en fonction des facteurs par la relation :
est la k ème observation de la réponse du i ème point expérimental (i=1,
- k est le nombre de répétition du modèle (nombre d’observations associées à un point
). Selon les valeurs de k (k=1, ,K):
dans le cas ou k=1 il n’y a pas de répétition le point expérimental i n’est mesuré qu’une seule fois, Dans le cas ou k>1 il y a k essais effectuer pour un point expérimental.
expérimentales attachées au i ème point expérimental (i=1,
- est la fonction qui lie la réponse y aux différents facteurs
, ε i est l’erreur expérimentale attachée à l’observation de la réponse du i ème point expérimental. Elle est supposée suivre une loi de Laplace-Gauss centrée d’écart type constant σ>0.
- β est le vecteur (P×1) des p paramètres du modèle β p (p=0,
P-1).
ou encore, sous sa forme matricielle par :
- y : Vecteur (I×1) des y i,k .
- x : Vecteur (I×1) des f(x h,i ) T .
- : Vecteur (I×1) des ε i,k .
- S : Ensemble des points d’expériences possibles.
- : Ensemble des points d’expériences choisis parmi
De façon à déterminer les p paramètres du modèle, un système de p équations est créé, chaque équation est donnée par un point expérimental. L’ensemble des points expérimentaux est défini par la matrice d’expérimentation :
: Plan discret à I expériences, répétées k fois, appartenant à
- (l’ensemble discret des combinaisons possibles engendrées par toutes les valeurs
possibles de s ), définissant la valeur de associée au i ème point expérimental (parmi
Pour estimer le vecteur
(les valeurs des p paramètres du vecteur
), l’estimateur issu
de la méthode des moindres carrés élaborée par Gauss en 1809 et Legendre en 1805 a été utilisé. Cette méthode est basée sur le concept de minimisation de la somme quadratique des erreurs des mesures expérimentales [GAU.09]. Il s’agit de trouver le modèle
expérimentale. est défini par :
du modèle minimise
, ce qui revient à chercher les solutions du
dont la solution matricielle est :
Dans un souci de définition les notations suivantes sont utilisées :
désigne la matrice d’information et
désigne la matrice d’information moyenne [GOU.06].
Les outils étant définis, le paragraphe suivant s’attache à caractériser le critère choisi
pour optimiser et définir la matrice d’essais parmi toutes les matrices d’essais existantes de (à savoir l’ensemble discret des combinaisons possibles engendrées par toutes les valeurs possibles de l’ensemble s ).
Il existe un nombre important de critères d’optimalité. Seul le critère D-optimal sera utilisé et détaillé. Commençons par expliquer en premier lieu le critère D-optimal qui est défini mathématiquement pour I expériences par la relation :
La matrice d’expérimentation optimisée
est celle qui, parmi toutes les matrices
La théorie de la D-optimalité (D pour déterminant), repose par conséquent sur la
maximisation du déterminant de la matrice d’information
Cet exemple est basé sur le modèle suivant :
Pour déterminer les paramètres
, quatre plans d’expériences D-optimaux
Rappelons que le nombre de lignes correspond au nombre d’essais effectués. Les
déterminants des matrices d’information
associés aux quatre plans sont :
Les déterminants des matrices d’information moyenne
quatre plans sont :
L’optimalité des plans 1 et 2 vis-à-vis du nombre d’essais est inférieure à celle des
plans 3 et 4. En effet, les
des plans 1 et 2 sont plus petits que les
plans 3 et 4. En revanche les plans 1 et 2 fournissent plus d’information que le plan 3
de 1 et 2 sont plus grands que le
Le plan 4 est celui qui a le déterminant maximal pour les deux matrices : matrice d’information et matrice d’information moyenne. Il est donc le meilleur choix possible pour l’expérimentateur (bien entendu, au sens des critères définis précédemment, c’est-à-dire au sens du nombre d’essais et au sens de la D-optimalité).
d’optimalité D-optimal s’effectue en cinq étapes illustrées avec l’exemple de modèle suivant :
[COO.89][MIT.74]
où ε est l’erreur expérimentale qui est supposée suivre une loi de Laplace-Gauss centrée d’écart type constant σ strictement positif.
est le vecteur primaire composé des effets des facteurs principaux,
sont les plus influents, et
le vecteur potentiel qui comprend les effets des interactions
qui sont potentiellement influentes.
A partir de ce modèle, les vecteurs x et
sont définis de la manière suivante :
On obtient ainsi le modèle matriciel :
Le nombre d’essais doit obligatoirement être supérieur au nombre de paramètres du mais reste à la discrétion de l’expérimentateur en fonction du temps qu’il a pour
réaliser sa campagne d’essais. Dans cet exemple, nous utiliserons un plan d’expériences à 8 essais (nombre d’essais recommandé par JMP pour ce type de modèle, voir paragraphe
2.3.2.3).
La matrice F est une matrice dont les dimensions dépendent du plan d’expériences : le nombre de lignes de la matrice F correspond au nombre d’essais (c'est-à-dire I=8), et le nombre de colonnes de la matrice correspond au nombre de facteurs du plan. La matrice est ensuite remplie de manière aléatoire par des valeurs comprises entre 0 et 1.
L’exemple comprend trois facteurs et huit expériences soit une matrice F à 3 colonnes et 8 lignes.
est la matrice du modèle (c'est-à-dire que le nombre de lignes correspond
au nombre d’essais, et le nombre de colonnes au nombre de paramètres du modèle).
Pour cet exemple, nous avons P=7 paramètres (
est un vecteur (P×1)), et une
à 7 colonnes et 8 lignes. Dans cette matrice, la colonne 1 correspond à
liée au paramètre constant du modèle
correspondent aux paramètres
colonnes 2 à 4 contenant
liés aux facteurs primaires
du modèle. Et enfin, les colonnes 5 à 7 contenant
toujours défini par 8 essais.
du modèle. Le nombre de lignes est
Le vecteur v est le vecteur composé des niveaux possibles des facteurs. Il définit les différentes valeurs de substitution à prendre en compte dans l’optimisation de la matrice du modèle ( ).
Exemple : Les facteurs x 1 , x 2 et x 3 sont des facteurs continus variant entre -1 et 1 ; dans notre cas, on restreint les valeurs des facteurs primaires à :
Les coordonnées de la première colonne de X correspondant aux paramètres constants du modèle sont intégralement remplacées par la valeur 1.
pour i=1,…, I=8
Le déterminant de M N (
) est ensuite calculé.
La boucle d’échange démarre en remplaçant le coefficient
par une des valeurs de
v. Pour chaque valeur de v, Det’(M N ) (déterminant calculé après le remplacement de
recalculé. Le Det’(M N ) le plus grand indiquera par quelle valeur de V nous devons remplacer le coefficient avant de passer à l’itération suivante. Ce procédé est répété pour la
puis, pour toutes les autres coordonnées de X avec i variant de 1 à I pour
chaque valeur de h variant de 1 à H (où H est le nombre de conditions expérimentales de X).
Exemple : Après transformation, X prend la forme :
aléatoirement choisie entre [0,1], est désormais soit par +1 soit par -1 (composante de v), de façon à maximiser Det(M N ) au final.
L’itération s’arrête lorsque la matrice
est complètement remplie par des valeurs de v.
Dans ce cas, le déterminant Det(M N ) a atteint un maximum local. La matrice d’essais du plan,
, est la matrice dont le nombre de lignes correspond au nombre d’essais I du plan et le
nombre de colonnes au nombre de facteurs de X.
Exemple : La matrice d’expériences
est la matrice dont les colonnes sont les colonnes correspondante
de la matrice X optimisée.
Cette construction algorithmique, de part le choix aléatoire des valeurs de départ de
, n’a pas une solution unique.
Si l’on souhaite effectuer des répétitions par exemple k=3 la matrice s’appellera
et sera définit par :
De nombreux mathématiciens ont travaillé sur la construction d’algorithmes pour déterminer des plans D-optimaux. Parmi les différents algorithmes existants, nous avons choisi de présenter l’algorithme d’échange des coordonnées D-optimal qui est utilisé par le logiciel SAS-JMP.
Le plan d’expériences utilisé dans le cadre de cet exemple est basé sur un modèle linéaire à trois facteurs et trois interactions. La mise en équation de ce modèle s’exprime sous la forme (déjà décrit aux § 2.2.5 et 2.2.6) :
où x 1 , x 2 et x 3 sont des facteurs continus dans l’intervalle [-1, 1], et ε suit une loi normale centrée (µ=0) avec un écart-type σ a priori strictement positif.
Les différentes valeurs de x 1 , x 2 et x 3 sont définies au cours de l’expérimentation par le plan d’expériences D-optimal généré par le logiciel JMP (cf. § 1.4.2).
Les valeurs des paramètres ont été fixées arbitrairement à :
Les réponses y du modèle sont simulées pour chaque cas expérimental du plan d’expériences en considérant 3 cas : σ =0 (aucune erreur expérimentale), σ =0,5 et σ =1.
Le logiciel SAS-JMP propose divers types de plans d’expériences. Afin que l’outil puisse générer le plan d’expériences D-optimal, il est nécessaire en premier lieu de définir la (les) réponse(s) que l’on souhaite observer et optimiser, ainsi que les facteurs constitutifs du modèle. Les Interfaces Homme Machine (IHM) du logiciel sont présentés dans l’Annexe 1. Les différents plans d’expériences disponibles sous JMP sont montrés en IHM 1 de l’Annexe 1. L’IHM 2 de l’Annexe 1 montre comment choisir le critère D-optimal.
Lors de la définition de la réponse, trois types d’optimisation sont proposés. Cette indication permet de définir les courbes de désirabilité (fonction établie par Derringer et Suich, elle permet de trouver le meilleur compromis entre plusieurs réponses [DER.80]) :
- « maximise » cherche à maximiser y en fonction des modalités des x i ;
- « minimise » cherche à minimiser y en fonction des modalités des x i ;
- « target » cherche à cibler y autour d’une valeur prédéfinie en fonction des modalités des x i .
- « none » sans objectif
Remarque : Le nombre de réponses n’influe pas sur le nombre d’essais du plan d’expériences. On peut donc étudier un nombre illimité de réponses en un même nombre d’expériences. Exemple d’optimisation de la réponse et de courbe de désirabilité :
Celui-ci est extrait de [GOU.06] (cf. pages 50 à 66). Il montre la courbe de désirabilité associée à la maximisation de la réponse du gonflement d’une galette des rois. Dans cet exemple, on souhaite obtenir un décollement supérieur à 2,5 mm c'est-à-dire que l’expérimentateur définit la réponse comme satisfaisante si et seulement si y > 2.5 mm. Dans ce cas, la courbe de désirabilité correspondante est représentée sur la Figure 2.1. La désirabilité D varie de 0 à 1 ; 0 représentant la valeur que l’expérimentateur cherche à éviter et 1 l’objectif à atteindre. Sur ce graphique, la désirabilité maximale correspond à y > 2.5 mm.
Figure 2.1 : Courbe de désirabilité y>2,5 [GOU.06]
Cette courbe peut s’exprimer plus finement et ce sera le cas dans nos interprétations par l’ajout d’une troisième zone où on considère que la réponse est partiellement satisfaisante. Sur la Figure 2.2 on distingue 3 zones :
- Zone y < 2.3 mm, la réponse est non satisfaisante,
- Zone 2.3 mm <y <2.8 mm, la réponse est partiellement satisfaisante,
- Zone y > 2.8 mm, la réponse est totalement satisfaisante.
Figure 2.2 : Courbe de désirabilité 2.3<y<2.8 [GOU.06]
Cette courbe permet de comparer l’évolution de la désirabilité facteur par facteur (ici le poids, les trous, le chauffage et la cuisson) et ainsi de pouvoir déterminer un réglage optimal des combinaisons de facteurs pour obtenir une désirabilité maximale. Dans ce cas, la courbe de désirabilité (d Désirabilité ) est directement fonction des facteurs. La désirabilité observée sur la Figure 2.3 (définie comme satisfaisante pour un y > 2,5 mm), a une forme qui dépend des niveaux des quatre facteurs étudiés. Cette figure montre que le décollement obtenu est satisfaisant pour un poids avec un niveau +1, des trous avec un niveau -1, un chauffage avec un niveau entre -1 et 0 et une cuisson avec un niveau entre -1 et 0,7.
Figure 2.3 : Courbe de désirabilité application à 4 facteurs et y>2,5mm [GOU.06]
Dans le cas où plusieurs réponses sont étudiées, le logiciel calcule une fonction de désirabilité globale D dépendante des niveaux des quatre facteurs et des différentes
désirabilités locales d (la desirabilité locale est l'indicateur de satisfaction attaché à une réponse parmi l'ensemble des réponses étudiées et la désirabilité globale est l'indicateur de satisfaction de l'ensemble des réponses étudiées). La satisfaction globale de toutes les désirabilités locales d est atteinte pour une désirabilité globale D=1. La Figure 2.4 permet de conclure sur l’expérimentation en exprimant une réponse globale optimale (D=0,996) pour un poids de 1, des trous de -1, un chauffage de 0 et une cuisson de 0,67.
Figure 2.4 : Courbe de désirabilité à 4 facteurs et y > 2,5 [GOU.06]
Le logiciel JMP permet de définir plusieurs types de facteurs (cf. l’IHM 4 de l’Annexe 1) :
Les facteurs quantitatifs continus sont des facteurs pouvant prendre toutes les valeurs comprises entre -1 et +1 (par exemple : la variation du poids des voyageurs dans un train de la valeur -1 correspond à 0 personne par mètre carré, et +1 à 10 personnes par mètre carré).
Les facteurs quantitatifs discrets sont des facteurs qui physiquement pourraient être définis comme continus, mais sont technologiquement limités à quelques valeurs de variation (par exemple : le dévers est un facteur qui peut physiquement varier de -7° à +7° mais en pratique ne prendra que trois valeurs -7°, 0 et +7°).
Les facteurs qualitatifs sont des facteurs qui physiquement ne sont pas continus. Ils peuvent décrire un état (la sollicitation obstacle n’a que 2 états :
présence ou absence) ou un contexte (les sollicitations « pluie » ou « poussière » sont aussi définit par deux états : présence ou absence).
Une fois les facteurs définis, une option du logiciel permet de rajouter au modèle des interactions d’ordre 1 ou 2. Dans l’exemple simulé, seules sont ajoutées les interactions d’ordre 1 : x 1 x 2 , x 1 x 3 et x 2 x 3 (cf. l’IHM 5, Annexe 1).
Après avoir défini les facteurs, le logiciel propose quatre suggestions de nombre d’essais :
- « minimal » c'est-à-dire le nombre nécessaire d’essais à la réalisation de la régression linéaire.
- « recommandé » : nombre d’essais légèrement supérieur à la suggestion « minimal » déterminé de manière heuristique par le logiciel [GOU.06]. - « intermédiaire » : nombre d’essais intermédiaire entre la suggestion « recommandé » et la suggestion «Complet».
- «Complet» contient le nombre maximal d’essais possible (I=I S .)
L’expérimentateur peut bien entendu ne pas suivre les recommandations du logiciel et fixer lui-même un nombre d’essais supérieur au nombre minimal d’essais. Enfin, il est également possible d’ajouter aux essais du plan d’expériences des points centraux (point ajouté au centre du domaine expérimental) et des répétitions (tous les points définis dans le plan seront testés un nombre de fois égal à la valeur de la répétition). Ces types de points (centraux et avec répétition) améliorent fortement la qualité des plans (cf. l’IHM 6 de l’Annexe 1) [GOU.06]. Intérêt des point centraux : en comparant les mesures de la variable dépendante au point central avec la moyenne du reste du plan. Il s'agit d'un contrôle de courbure (voir Box et Draper, 1987) : si la moyenne de la variable dépendante au centre du plan est significativement différente de la moyenne globale de tous les autres points du plan, nous avons alors de bonnes raisons de penser que l'hypothèse selon laquelle les facteurs seraient liés linéairement à la variable dépendante, est erronée. Intérêt de la répétition : Elle permet d’estimer ultérieurement l'erreur pure de l'expérience. Il est en effet possible de calculer la dispersion des mesures pour chaque combinaison différente de niveaux de facteurs. Cette dispersion nous donne une indication de l'erreur aléatoire des mesures (facteurs incontrôlés, du manque de fiabilité de l'instrument de
mesure, etc.), puisque les observations répétées sont prises sous des conditions identiques (paramétrage des niveaux de facteurs). L'estimation de l'erreur pure peut être utilisée pour évaluer la taille et la significativité statistique de la dispersion attribuable aux facteurs manipulés. Dans l’exemple cité, les plans sont traités suivent 4 configurations :
- Configuration 1 : Nombre d’essais minimal (8 essais).
- Configuration 2 : Nombre d’essais minimal avec un point central (9 essais = 8+1 point central).
- Configuration 3 : Nombre d’essais minimal avec trois répétitions (k=3) (24 essais = 8×3).
- Configuration 4 : Nombre d’essais minimal avec un point central et avec trois répétitions (27 essais = (8+1)×3). La description des plans d’expériences est disponible en Annexe 2.
Tous les essais du plan doivent être réalisés sans exception (condition sine qua non). En revanche, l’ordre des essais est aléatoirement défini par le logiciel JMP (les essais définis aléatoirement peuvent être déroulés dans n’importe quel ordre). Cet ordre peut être réajusté par l’expérimentateur notamment dans l’objectif d’optimiser les temps entre les essais consacrés à la maintenance et/ou aux réglages de certains paramètres du système (cf. § 3.4.4). Une fois la totalité des réponses déterminées et implantées dans le tableur du logiciel JMP, l’interprétation des résultats peut commencer. Dans le cadre de cet exemple, pour chaque type de plan déterminé dans le paragraphe 2.3.2.3, le vecteur y est simulé avec une erreur ε définie par une loi normale centrée en 0 et d’écart-type σ =0 (cas 1) (pas d’erreur expérimentale), σ =0,5 (cas 2) (Tableau 2.1) et σ =1 (cas 3). L’intégralité des vecteurs réponses est donnée en Annexe 2. Pour la valeur σ =1, 2 cas sont distingués : le cas normal et le cas avec un point aberrant (point volontairement définit loin du modèle). Le tableau 2.1 présente les résultats calculés pour le plan d’expériences à 9 essais comprenant un point central.
Erreur ε
(σ =0,5)
Tableau 2.1 : Plan d'expériences avec neuf essais, un point central et un écart-type de l’erreur de 0.5
Lorsque les données sont rentrées dans le logiciel JMP, celui-ci propose plusieurs
méthodes d’estimation des paramètres du modèle. Seule la méthode ‘Standard Least
Square’ (cf. § 2.2.4.), reposant sur la régression linéaire basée sur l’hypothèse des moindres
carrés ordinaires, est utilisée dans le cadre de ces travaux. (cf. l’IHM 10 de l’Annexe1).
2.3.3.2.1. Evaluation de la qualité du modèle
Le logiciel JMP fournit un graphique et deux tables permettant d’évaluer la qualité du
- « Summary of fit » (voir Annexe 1, IHM 11) : Cette analyse fournit plusieurs
indicateurs de la qualité du modèle tels que le coefficient de détermination ‘RSquare’. Plus ce
coefficient est proche de 1, meilleure est la qualité du modèle. Par exemple, un de 0.84
signifie que 84% de la variable étudiée « y » est expliquée par le modèle.
Les résultats des coefficients de détermination R² dans notre exemple sont donnés dans le tableau 2.2 suivant :
=1+point aberrant
σ =1+point central aberrant
Tableau 2.2 : Comparaisons des R pour les plans d’expériences - la couleur rouge est utilisée pour indiquer des valeurs relativement faibles pour R 2
Au vu de ces résultats, on constate que les R² diminuent en fonction de l’augmentation de la valeur de σ. Cela traduit la détérioration de qualité du modèle initial. On constate aussi que l’ajout de points aberrants (centraux ou pas) est immédiatement détecté par des valeurs très mauvaises du R² (valeurs en rouge).
- « Predicted plot » est une fonction du logiciel JMP (cf. Figure 2.5). Elle permet de comparer les réponses calculées par le modèle avec les réponses mesurées par celui-ci. La bissectrice de ce graphique (en rouge) représente la droite de correspondance entre le modèle et la réalité. Plus les points d’expérimentation sont proches de cette droite et plus le modèle est satisfaisant. Les zones elliptiques délimitées en pointillé de part et d’autre de la bissectrice permettent d’indiquer les points expérimentaux aberrants. Les courbes en pointillé rouge correspondent aux zones de confiance du modèle à 95% (cf. Figure 2.5). Les points
d’expériences proches du modèle se situent entres les deux hyperboles en pointillé rouge [GOU.06]. La ligne bleue représente la moyenne y i,k mesurés
Temps de fermeture réel (s)
Temps de fermeture prédit (s)
Figure 2.5 : Graphique de prédiction de l’indicateur temps de fermeture – la ligne bleue représente la moyenne des temps de fermeture réels
- « Analysis of variance » (voir Annexe 1, IHM 11). Cette analyse décompose la somme des carrés des écarts à la moyenne des réponses mesurées (‘sum of square’) en deux sommes : la somme des écarts à la moyenne des réponses calculées (‘model sum of square’) et la somme des carrés des résidus (‘error sum of square’). Le calcul est le suivant :
est la valeur observée de y au point expérimental i.
est la valeur moyenne des y sur l’ensemble des expérimentations.
est la valeur estimée de y pour l’expérimentation i.
est le résidu associé à l’expérimentation i.
Pour obtenir les carrés moyens ou variance (V(r i )) (‘Mean square’), on divise ces sommes par les degrés de liberté (DF).
est le nombre de point expérimentaux.
est le nombre de paramètres.
Le ‘F ratio’ est le rapport entre la somme des carrés du modèle (basé sur les écarts type) et la somme des carrés des résidus. Ce rapport est appelé rapport de Fisher [SAP.90]. Plus le rapport est grand, plus la variation de la réponse est due aux variations des facteurs. Inversement, si le rapport de Fisher est proche de 1 alors le facteur a peu d’effet sur la réponse. Observons dès lors les résultats des ‘F-ratio’ (tableau 2.3) :
8 essais Conf. 1
σ =1+pt aberrant
9 essais Conf. 2
σ =1+ptc aberrant
27 essais Conf. 4
Tableau 2.3 : Comparaisons des rapports de Fisher des plans d’expériences de l’exemple (les valeurs en rouge correspondent à des F-ratio insuffisants)
Le tableau montre bien qu’une erreur volontairement grande implique un rapport de Fisher de plus en plus proche de 1. Ainsi un modèle avec un σ =0,5 est meilleur qu’un modèle avec un σ =1. De plus la valeur du F-ratio chute immédiatement dans le cas où des points aberrants sont présents, alertant ainsi l’expérimentateur sur la qualité de ses expériences.
2.3.3.2.2. Evaluation de la qualité des paramètres du vecteur β
Après avoir déterminé par la méthode des moindres carrés les paramètres du modèle, l’estimation de la qualité de ces paramètres peut être obtenue via les résultats du test de Student [SAP.90].
Définition du test de Student : Le test de Student est un test paramétrique qui compare la moyenne observée d'un échantillon statistique à une valeur fixée, ou encore la probabilité observée d'un caractère à une probabilité théorique. Il permet aussi de comparer les moyennes de deux échantillons statistiques. En pratique pour un échantillon de n observations pour lesquelles le caractère A a été observé k fois et où l’hypothèse testé H0="P(A)=p0" avec un risque d’erreur a. Il est possible de dérouler le test suivant :
1. Calcule la probabilité observée :
2. Calcule l'écart du test :
3. recherche de l'écart critique t a dans la table de la loi normale (si a=0,05, t a =1,96, si a=0,02, t a =2,32, si a=0,01, t a =2,58).
4. si t<t a , on accepte l'hypothèse, si t>t a , on la rejette.
A partir du t calculé JMP calcule la probabilité que le paramètre soit négligeable ‘Prob>|t|’ dit aussi ‘p-value’(cf. Figure 2.6).
Figure 2.6 : Graphique d’illustration des p-value
La valeur de la p-value, est définie en recherchant la valeur pour laquelle l’aire en vert est égale à α de l’aire totale. Cette ‘p-value’ permet d’identifier dans le modèle les facteurs statistiquement pertinents. La plupart du temps, seuls les facteurs du modèle dont la p-value est inférieure à α seront retenus, α étant choisi par l’expérimentateur en fonction de son ressenti vis-à-vis de l’expérimentation. Néanmoins, il est usuel d’utiliser la valeur 0,05 voir 0,01 pour les modèles plus complets (modèle utilisé pour les applications militaires ou médicales) (voir Annexe 1 IHM 12). Examinons les résultats des ‘p-value’ pour l’exemple cité (cf Tableau 2.4) :
2 =-3

References: § 1
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