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Timestamp: 2018-04-26 20:13:32+00:00

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21022239-Sustraccion
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Serie Desarrollo del pensamiento matemático Nº 4
“Los alumnos llegan a las clases con un saber constituido como resultado de años de experiencias; son saberes que van a establecer una interlocución con otros saberes, a dialogar con ellos, y ninguna persona está dispuesta a desecharlos fácilmente. Cuando interactuamos con ellos lo que realmente estamos haciendo es poner en diálogo dos culturas, de ahí que la pretensión escolar de eliminar o modiﬁcar resulte, por decir lo menos, ingenua”. Germán Mariño. Dimensión Educativa (Colombia)
número 4 Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito Legal: lf60320055121371 Caracas. Esquina de Luneta. Venezuela.Equipo editorial Antonio Pérez Esclarín. Caracas 1010-A. Centro Valores. julio 2005 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe (IESALC) A modo 4 . Diseño y diagramación: Juan Bravo Portada e ilustraciones: Juan Bravo Corrección de textos: María Bethencourt. María Bethencourt Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático Serie: Sustracción. Teléfonos: (58) (212) 5645624 / 5645013 / 5632048 Fax (58) (212) 5646159 web: www.feyalegria. Altagracia. piso 7. Margarita Arribas Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría. Edif. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Populares desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001.
107 decenas B: 2 centenas. 30? 6. y ya. Sergio tiene 11 años y Raúl tiene 6. letras diferentes representan dígitos diferentes: M O R A . En la siguiente resta. 5 . ahí van unas cuestiones sencillas para entrar en materia y en calor.130402 unidades de mil A: 36. Y un segundo recordatorio: La sugerencia que proponíamos en el Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: Vamos a estudiar matemática. Las respuestas a los ejercicios que no se encuentran precedidos por un número no las encontrarás en este Cuaderno. que iremos contrastando con las indicaciones y ejercicios que plantearemos a lo largo de las líneas que siguen. Tratemos de resolverlas antes de seguir adelante. 1. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor de los siguientes números: 0.5005? Bien.05 al número 105. ¿En cuántas centésimas supera el número 135.de introducción… … y para desperezarnos un poco. 38. ya tenemos nuestras respuestas. 305 décimas y 4 milésimas B: 0. 52. 34. ¿qué se obtiene? 5.505 / 0. ¿Dentro de cuántos años tendrán ambos la misma edad? 4. Si de la suma de dos números se resta su diferencia. siendo A: 83 centenas. No. 706 décimas y 3 milésimas 3.A M OR R O MA ¿Cuál es el valor de cada letra? Efectúe las dos restas A – B. ¿Qué número de la siguiente sucesión está equivocado: 60. Dichas respuestas son para que las construyas y valides con tu grupo de trabajo. Nosotros somos (*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un número en negrita aparecen al ﬁnal del Cuaderno. 45. pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser evaluados.55 / 0.5 / 0.38? 2.
9). el desempeño de nuestros alumnos –a su número 19 (35 – 16). su diferencia. a cada par de números naturales cuyo primer componente sea mayor o igual que el segundo. construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo podemos llevar al aula. 17). nivel– ante los mismos temas. el La anterior –como en el caso de la suma– es una manera “formal” de decir las cosas.que sí ocurre con la adición–: al restar dos números naturales no cimiento matemá. También se dice que B está contenido en A. A y B. en referencia al conjunto de todos los alumnos –niños y niñas– de 6 . (16 . temática es la base (3 . 16). al par (13. y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos. paso a paso. etc.docentes –docentes de matemática en su momento– y este rasgo debe caracterizar la forma de construir nuestro pensamiento matemático. 13). y supondremos que B es subconjunto de A. Para ello vamos a referirnos a dos conjuntos. tico es una fuente imprescindible a la hora de planiﬁcar y desarrollar su enseñanza. es decir. Es decir.siempre se puede obtener otro número natural. no está deﬁnida para casos como (0 . así como de los elementos–cognitivos. 1. integrar nuestra práctica docente en nuestro estudio. Para ello. al par (7 . al par (35 . actitudinales. Así. Por esta razón se dice que la sustracción no es de su didáctica: la una operación “interna” en el conjunto de los números naturales. tomar conciencia del proceso que seguimos para su construcción. la sustracción no está deﬁnida para aquellos • En definitiva. cuya estructura guarda similitud con la del Cuaderno anterior dedicado a la operación de adición. lo cual debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendido. podremos entender y evaluar mejor el número 0 (13 – 13). evidentemente. ya que debemos precisar cómo se resta. • Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo enseñamos en el aula. • Como complemento a lo anterior. Un ejemplo sencillo puede ser el conjunto de niños (B) de un salón. pares de números naturales cuyo segundo componente sea mayor entender que la ma. Esto signiﬁca que todos los elementos de B son también elementos de A y que B no puede tener más elementos que A. 1) se le hace corresponder el número 6 (7 – 1). ¿Qué es la sustracción (o resta) de números naturales? Al igual que en el caso de la adición. la primera respuesta que se nos ocurre es que. Hay que esperar a llegar al conjunto de los números enteros –que son positivos y negativos– para que la sustracción se convierta en una operación interna en ese conjunto: la diferencia de dos números enteros es siempre un número entero. De esta forma. ¿Qué signiﬁca esto? • La presencia constante de la meta de nuestro estudio: alcanzar unos niveles de cono cimiento tecnológico y reﬂexivo. emocionales…– que se presenten en dicho proceso. etc. Y ahora. se le hace corresponder otro número natural. 1). además de reflexionar acerca de cómo nuestro conocer limita y condiciona nuestro trabajo docente. vamos al tema de este Cuaderno. cómo se llega a 19 partiendo de 35 y de 16. Como puede verse. forma en que se porque no funciona para cualquier par de estos números –cosa construye el cono. se trata de una operación aritmética según la cual.que el primero. hacia el análisis de los sistemas que dan forma a nuestra vida y utilizan ese conocimiento matemático. Porque a partir de esta experiencia reﬂexiva como estudiantes. pero con esto tampoco nos aclaramos mucho.
aquellos que están en A. B y el complemento de B son conjuntos disjuntos (no comparten ningún elemento) y. Supongamos ahora que A cuenta con 35 elementos y B con 16 (recordemos que. 7 . su unión produce el conjunto A. que el segundo de los conjuntos es subconjunto del primero. • Cardinal de B + cardinal del complemento de B con respecto a A = cardinal de A. además. Pues bien. En efecto. Por consiguiente. para pensar en la diferencia de dos números. En nuestro caso. que se construye el conjunto complemento del segundo con respecto al primero. el del conjunto que lo contiene. que el otro posee tantos elementos como lo indica el otro número a restar. ¿Qué elementos componen este conjunto? Como su nombre lo indica. Así que. • Cardinal de B = cardinal de A – cardinal del complemento de B con respecto a A. en términos formales. sino el conjunto complemento de B con respecto a A. en el supuesto de que el menor de los dos números representa inicialmente el cardinal del subconjunto. se dice que el cardinal de A es 35 y que el de B es 16). el cardinal del conjunto complemento de un subconjunto con respecto a otro conjunto que lo contiene. hemos visto que podemos construir el conjunto complemento de B con respecto a A.La diferencia de dos números naturales representa. 19 = 35 – 16 equivale a 16 + 19 = 35 y a 35 – 19 = 16 ese mismo salón (A): B es subconjunto de A. Es decir. pero no en B: los que le faltan a B para “llenar” A. que ya no será el conjunto unión –como en el caso de la adición–. El resultado ﬁnal de este conteo es la diferencia de los dos números iniciales. tenemos tres expresiones equivalentes: • Cardinal del complemento de B con respecto a A = cardinal de A – cardinal de B. Por lo tanto. que uno de ellos posee tantos elementos como lo indica el mayor de los números. A partir de los dos conjuntos podemos formar otro nuevo. sería el conjunto de las niñas del salón. En este punto cabe hacer una observación importante: la sustracción es la operación inversa de la adición. 35 – 16 = 19. debemos imaginarnos que hay dos conjuntos. En este conjunto complemento de B no ﬁgura ningún elemento de B: solamente están los elementos que le faltan a B para “llenar” A. la diferencia del cardinal de A menos el cardinal de B es el cardinal del conjunto complemento de B con respecto a A. y el mayor. y que se cuentan los elementos de este nuevo conjunto. En nuestro ejemplo anterior. pues. volviendo a plantearnos B como un subconjunto de A.
en cuánto una cantidad excede a otra. con el objeto de hallar el cardinal del conjunto complemento del subconjunto dado. Pero sí conviene resaltar que en el proceso de adquisición del concepto. En este sentido. Porque la sustracción también puede ser vista como un modelo de situaciones de la vida diaria. sino más bien complementariedad. En estas circunstancias. Obser vemos que esta nomenclatura responde más directamente al primer tipo de situación antes indicado: cuando se trata de quitar de una cantidad dada y averiguar cuánto queda. es preferible entrar por la vía 8 . faltar. tres: 1. etc. sustraer. Sin embargo. Situaciones de averiguar cuánto falta para llegar a determinada cantidad. ¿Y cuáles. o de situaciones lúdicas. 3. Pero. Estas situaciones suelen venir caracterizadas –en la interpretación verbal que de ellas hace el sujeto. la operación aritmética de la sustracción nos ayuda a llegar al resultado de calcular lo que queda después de quitar. minuere: disminuir): lo que debe ser disminuido. quedar. Situaciones de comparar dos cantidades. o de otras áreas del saber. hay dos formas de considerar la sustracción: como un modelo de situaciones de la vida diaria y como un objeto de estudio formal dentro de la matemática (Vergnaud.como una meta posterior. • Diferencia: el resultado de efectuar la sustracción. reducir. • Sustraendo (de sub + lat. la sustracción se convierte en una herramienta que nos permite interpretar matemáticamente las situaciones que se presentan en nuestra vida. afortunadamente. esta no es la única respuesta.Insistimos: lo que va hasta aquí es la respuesta formal a la pregunta de qué es la sustracción. Recordemos. 1991. lo que falta para llegar al total. sacar. o de qué naturaleza son estas situaciones para las que la sustracción puede presentarse como modelo? Fundamentalmente. pagar. eliminar. sacar): lo que debe ser quitado. Los tres tipos de situaciones nos remiten siempre a un subconjunto y a otro conjunto que lo contiene. y considerar el estudio formal –con su lenguaje especíﬁco. 1996). ﬁnalmente. perder. extrahere: quitar. del modelo de situaciones. En resumen. que la resta está deﬁnida en el conjunto de los números naturales sólo si la cantidad del sustraendo no es mayor (puede ser igual) que la del minuendo. regalar. exceder… y otros similares.por verbos tales como quitar. Vamos a repetir también la observación que hacíamos en el caso de la adición: no hay contradicción entre ambas formas de considerar la sustracción. esta circunstancia no signiﬁca que deban minusvaluarse los otros dos tipos de situaciones. Gadino. de los procedimientos y de las destrezas propias de la resta. Situaciones de quitar de una cantidad dada y ver cuánto queda. en el sentido de calcular cuánto tiene una de más o de menos con respecto a la otra. a los que también se aplican los términos anteriores. Podemos precisar ahora los términos propios y formales para las cantidades que intervienen en la operación de sustracción o resta: • Minuendo (del lat. 2.
cinco es el numerador. Y así llegamos a las expresiones simbólicas de la sustracción. 9 – 4 = 5. minutos. En otras palabras. y ya lleva proyectándose durante media hora y 5 minutos. resulta imprescindible que los elementos que se quitan. y con las expresiones simbólicas. que en este caso puede ser minutos. abstracto. que los numeradores estén referidos al mismo denominador. Por ejemplo. Pero aquí tampoco podemos quedarnos sólo con las situaciones concretas. Por eso. sean de la misma naturaleza. 9 . Y recordemos que si experimenta diﬁcultades de comprensión en este terreno de lo simbólico. resulta inútil intentar resolverlas en el mismo te- Vuelven a repetirse las consideraciones hechas al hablar de la suma: para tratar los tres tipos de situaciones de los que es modelo la sustracción. cuarto. Este es el tiempo que falta para que acabe la proyección de la película. La adopción de este denominador modiﬁca algunos numeradores: 1 hora y 1 cuarto se transforman. La sustracción también es un objeto de estudio matemático y. cada vez que en nuestro hablar expresamos un adjetivo numeral seguido de un sustantivo. y sus signos de relación “menos” e “igual”. El dominio del aspecto conceptual signiﬁca entender lo que está expresado ahí. que faltan o se comparan. Es decir. ¿Cuánto falta para que acabe? Como puede observarse. necesita experimentar antes en el terreno de las situaciones concretas –con numeradores y denominadores–. Necesitamos estudiar la sustracción en el terreno de lo abstracto. Y si no es así. de los denominadores. El uso adecuado de las expresiones simbólicas requiere dominar dos aspectos: el conceptual y el procedimental. 1 media hora y 5 minutos se convierten en 35 minutos. en 75 minutos. es decir. en los símbolos numéricos y en los signos de relación. con sus símbolos numéricos (numeradores) 9 y 4. ya podemos efectuar la resta: la diferencia es de 40 minutos. Sólo después puede aventurarse con los numeradores aislados de los denominadores. sólo se pueden restar cantidades referidas a un mismo denominador. en conjunto. Necesitamos un denominador común. Restar sólo si hay un denominador común La película de cine dura una hora y cuarto. Así. quien empieza a construir sus conocimientos sobre la resta no puede entrar de una vez al terreno abstracto de lo simbólico. media hora. Recordemos que. que puedan estarlo a un denominador común. los denominadores son variados: hora. Análogamente al hablar de “cinco centenas”. y centenas el denominador. sólo se pueden restar numeradores referidos a un denominador común. en los términos que se introdujeron en el Cuaderno anterior. en la locución “tres sillas”. Con un minuendo de 75 minutos y un sustraendo de 35 minutos. como tal. tres es el numerador y sillas el denominador. Veamos un ejemplo al respecto.2. Y el primer paso hacia ese terreno consiste –como en el caso de la suma– en prescindir de los objetos o entidades que se restan. estamos utilizando un binomio numerador-denominador. En conclusión –y de una forma análoga a la de la suma–: En situaciones concretas. a su vez.
siendo A: 83 centenas.rreno: hay que regresar a lo concreto. intencionalmente. Y para ello.7 décimas etc. 3. Afortunadamente. reservando la tercera para colocar el resultado de la resta –resultado que. De esta forma. vamos a darle paso al sistema decimal de numeración. pues. hay que agregar denominadores a los numeradores que se restan. al poder referirse a cualquiera de los órdenes de unidades del sistema decimal. En esta tarea el cartel de posición se convierte en un aliado eﬁcaz. cualquier número puede adoptar un nuevo denominador. Restar en el sistema decimal de numeración Decíamos más arriba que el uso adecuado de las expresiones simbólicas requiere dominar también el aspecto procedimental.700 diezmilésimas 570. podemos hablar de 5 centenas. modiﬁcando adecuadamente el numerador dado. 13 décimas.57 unidades 0. sobre todo al comienzo del aprendizaje. Así. Lo primero que debemos recordar es que todas las unidades de los diversos órdenes –en virtud de la “democracia” que reina dentro del sistema decimal– tienen rango de “denominadores”. 57 centésimas – 12 centésimas nos da como resultado 45 centésimas. Debemos hablar. Como decíamos antes.000 millonésimas 0. por ejemplo. se escribirá sin ninguna coma–: 10 . Es decir. en principio sólo podemos restar directamente cantidades referidas a unidades del mismo orden –de igual denominador–. el que se desee o el que más convenga. pues sólo de esta manera se dota de signiﬁcado a lo simbólico. 57 centésimas pueden convertirse en: 570 milésimas 5. etc. uno de los ejercicios propuestos al comienzo del Cuaderno: Efectúe la resta A – B. Así. de los algoritmos de la resta. Tomemos. ya sabemos que todo número puede tener múltiples lecturas.130402 unidades de mil Llevemos estos números al cartel de posición y coloquémoslos en las dos primeras ﬁlas. de los procedimientos para restar. Por consiguiente. siempre puede restarse cualquier par de números decimales –siempre que el sustraendo no sea mayor que el minuendo–. 305 décimas y 4 milésimas B: 0.057 decenas 5. con tal de que se reduzca a un denominador común.
102 milésimas etc. Aquí entra en juego el propio ser del sistema decimal. el dígito del sustraendo es mayor que el del minuendo. ﬁjarse en que hay que quitar 1 unidad de la cifra que está a la izquierda y arrimarla como decena para la cifra que pide “auxilio”. aquí tenemos un problema análogo –aunque quizá un poco más complejo en la práctica–: el de “pedir (o quitar) prestado”. es decir. generalmente.200.. tan básico y tan sencillo en su formulación.102 unidades 8. Este principio. Lo peor del caso es que habitualmen- te se intentan corregir sobre el propio esquema numérico escrito en que se propone la resta (por ejemplo: 861 – 395 ) insistiendo en ﬁjarse en las restas parciales en las que el dígito del sustraendo es mayor que el del minuendo. sólo pueden corregirse retornando al terreno de lo concreto.200. 1 centena de mil equivale a 10 decenas de mil. Así. Centésima Milésima 0 0 0 4 2 2 DiezCienMillomilésima milésima nésima “pedir prestada una unidad” a la de orden inmediatamente superior. ya que su esencia consiste precisamente en que 1 unidad de un orden cualquiera se convierte en 10 unidades del orden inmediatamente inferior. Los errores de los niños –y de algunos adultos– al respecto son frecuentes y.200102 unidades de mil 820. cuando en la resta de dos dígitos correspondientes al mismo orden de unidades. por cuanto denotan que no se comprende el funcionamiento del sistema decimal. En este caso. Errores graves. y puesto que el sustraendo no puede ser mayor que el minuendo. etc. producto de un aprendizaje mecánico. 1 milésima equivale a 10 diezmilésimas. decimos que hay que 11 . privado de signiﬁcado. ¿Cuál puede ser este terreno concreto en el que se respete la esencia del sistema decimal? Puede ser el ya men- 4.0102 decenas 8.8200102 decenas de mil 8. El asunto del “pedir (o quitar) prestado” Si en la suma se presenta el problema de la “llevada”. que es donde se puede alcanzar el signiﬁcado de la resta. sin percatarse de que los errores cometidos al utilizar los esquemas simbólicos –esquemas que son abstractos–. 1 decena equivale a 10 unidades.Parte entera Orden y nombre de las unidades 6 5 4 3 2 1 0 1 Décima 5 4 1 Parte decimal Orden y nombre de las unidades 2 3 4 5 6 Millón Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad de mil de mil de mil 8 3 3 0 1 3 0 8 2 0 0 El resultado admite diversas lecturas (diversos binomios numerador-denominador): 0. etc. tarda en ser asimilado y llevado a la práctica.
en primer lugar. 1. de 8 6 1 11 3 9 5 8 A 5 5 3 9 5 7 B 15 11 3 9 5 3 C 9 4 12 6 6 . y análogamente. 9 de 10 y 5 de 1. en el caso de la resta anterior. Después.01. Comienza el proceso de “ir al banco” para cambiar billetes. Evidentemente. etc.cionado de los billetes de denominación decimal (1. Vuelvo al banco y cambio uno de los 8 billetes de 100 (me quedarán 7). porque sólo dispongo de 1. no me alcanza con los 5 que tengo para dar los 9 que me solicitan. Restar ambos números signiﬁca que voy a tener inicialmente 8 billetes de 100. De esta forma dispongo ahora de 11 billetes de 1 (10 del banco más 1 que tenía).10. y 1 de 1. B) Análogamente con los billetes de 10. 395. 100.). Por ejemplo. entrego los 5 solicitados y me quedan 6. 6 decenas y 1 unidad. que me será devuelto como 10 billetes de 1. restar 861 – 395 signiﬁca. ahora dispongo de 15 billetes de 10 (10 del banco más 5 que tenía). que me será devuelto como 10 billetes de 10. compuesto por 8 centenas.1. A) Llevo uno de los 6 billetes de 10 que tengo (me quedarán 5 de 10). es decir.000. entender cada uno de los números: 861 es un número “complejo”. me van a pedir 3 billetes de 100. 6 de 10. por los billetes de 1. Empecemos por la derecha. no puedo desprenderme de 5 billetes de 1. 0. 0.
Evidentemente. con un poco de atención se puede llegar al último de los pasos de una sola vez. 466. Centenas.467 unidades. y a los progresivos esquemas operativos simbólicos.05 décimas B: 9. tal como se propone habitualmente. debe preceder al ejercicio de la resta de números dispuestos en columna.107 decenas B: 2 centenas. En los ejercicios que siguen. ya en él. 5. disponible. 7.los que entrego 9 para quedarme con 6. El desarrollo de destrezas para restar Todo lo expresado en los dos puntos anteriores hace referencia a la consideración de la sustracción en el ámbito del sistema decimal de numeración. Y debe quedar ahí. puede expresarse con diversos numeradores y denominadores: 90. D y U representan. y me restan 4. etc. Vamos a aplicar todo lo anterior a la resolución de otro de los ejercicios propuestos al comienzo del Cuaderno: Lo que importa resaltar es que este recurso a lo concreto –billetes de denominación decimal–. efectuaremos la resta A – B de los respectivos números A y B (entre paréntesis. La composición de estas partes me lleva al número que expresa la diferencia. 706 décimas y 3 milésimas La resta puede representarse así: C D U d c m 3 6 1 0 7 0 – 2 7 0 6 0 3 (en negrita. o como se preﬁera.7084 millones B: 318 centenas y 7 unidades (centenas) c) A: 162. siendo A: 36. Su aplicación más inmediata se ubica en los casos de resta escrita en los que el minuendo y el sustraendo se colocan verticalmente. el orden de unidades en que formularemos la respuesta): a) A: 40 centenas y 18 décimas B: 186 decenas y 30 centésimas (unidades) b) A: 0. Decenas y Unidades): C D U 8 6 1 –3 9 5 C 8 –3 D U 5 11 9 5 C D U 7 15 11 –3 9 5 4 6 6 Efectúe la resta A – B.807 unidades (centésimas) d) A: 21. luego las unidades y ﬁnalmente las decenas. Todo este proceso puede simbolizarse en pasos progresivos (en negrita) de la siguiente forma (C. los pares de dígitos “en problemas”) Y transformarse de la siguiente forma: C D U d c m 2 16 0 10 6 10 –2 7 0 6 0 3 9 0 4 6 7 resultado que. Pero aquí no termina todo lo que se puede decir acerca de 13 .467 milésimas. como sabemos. respectivamente. puede realizarse en cualquier orden: primero las centenas. para dotar de signiﬁcado a dicho ejercicio cada vez que el aprendiz presente diﬁcultades o cometa errores en su realización. 90. de los 7 billetes de 100 que me quedan entrego los 3 solicitados.000 centésimas B: 14 decenas y 83 décimas (decenas) Como puede observarse. Finalmente. la ejecución de la resta sólo es posible en el último de los pasos y. 6 de 10 y 6 de 1. C) Al ﬁnal del proceso de cambios y entregas tengo: 4 billetes de 100.
. la resta no puede realizarse dentro del conjunto de los números naturales. sí podemos establecer un cuerpo de propiedades útiles para el desarrollo de destrezas en el manejo de la resta. Como en el caso de la suma. Es. Atención: Todo lo que se va a decir ahora no es sólo para entenderlo. que 1 1 C D 14 . Sin embargo. para practicarlo. mientras que en el segundo.a 2 le faltan 8 dedos para llegar a 10 10 – 2 = 8 C. Para ello podemos acudir al uso y visualización de los dedos. 5 – 0 = 5 (pero no se puede plantear 0 – 5). podemos explorar. efectivamente. son la base del cálculo mental aplicado a las sustracciones.. faltan para completar los 10 de las dos manos. sólo cuando a y b sean el mismo número. porque si no las poseemos no podremos construirlas con nuestros alumnos. por ejemplo. como veíamos en el caso de la adición.. y que el elemento neutro –el 0– sólo “funciona” por la derecha. 2 3 4 7 8 9 10 1 2 3 4 7 8 9 10 12 3 5 6 6 78 9 4 5 12 5 6 56 78 3 4 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 También es cierto que no podemos hablar de la propiedad asociativa en el caso de la operación de sustracción. De esa ejercitación puede llegarse a los siguientes resultados: A. a partir de uno dado. Veamos esto con más detalle. Pero no un par de veces. la diferencia es 2. hay otras propiedades de interés que pueden facilitarnos el desarrollo de destrezas para restar.a 9 le falta 1 dedo para llegar a 10 10 – 9 = 1 1 Si a y b representan dos números naturales. sobre todo. En primer lugar –y como en el caso de la suma– resulta muy conveniente considerar los dígitos como restas de 10 (lo que les falta para llegar a 10). Aunque para ello no contamos con propiedades similares a las de la adición (conmutativa. Destrezas que. centrando la atención en la cantidad de dedos que.. ¿puede ocurrir en algún caso que a – b sea igual a b – a? Sí. No podemos considerar la propiedad conmutativa en la sustracción ya que. tantos como números naturales. asociativa y disociativa). el terreno de la adquisición de destrezas –no sólo de reglas– para restar. es decir. 5 – 3 no es lo mismo que 3 – 5: en el primer caso. y ya.a 1 le faltan 9 dedos para llegar a 10 10 – 1 = 9 B.a 8 le faltan 2 dedos para llegar a 10 10 – 8 = 2 D. ¿Cuántos de estos casos posibles hay? Inﬁnitos. Y esto es muy importante.esta operación aritmética. La ejercitación frecuente y abundante es requisito indispensable para desarrollar destrezas de cálculo mental.
posteriormente. hacia los correspondientes dedos de las dos manos juntas) con el de las mitades (de los dedos de las dos manos juntas. 5=1+4 5=4+1 8=5+3 10 = 9 + 1 10 = 6 + 4 10 = 3 + 7 9 = 10 – 1 6 = 10 – 4 3 = 10 – 7 5=2+3 6=5+1 9=5+4 10 = 8 + 2 10 = 5 + 5 10 = 2 + 8 8 = 10 – 2 5 = 10 – 5 2 = 10 – 8 5=3+2 7=5+2 6 es el doble de 3. al manejo mental de la – 0 1 situación.9 sola mano). es la base para construir las 1 0 tablas de la resta (el nú2 mero en cada casilla es la 3 diferencia de los dos dí4 gitos que encabezan –en 5 ese orden– la columna y la ﬁla correspondientes a 6 esa casilla): 7 8 9 - 2 es el doble de 1. 8 es el doble de 4. 4 es la mitad de 8. 2 2 1 0 - 3 3 2 1 0 - 4 4 3 2 1 0 - 5 5 4 3 2 1 0 - 6 6 5 4 3 2 1 0 - 7 7 6 5 4 3 2 1 0 - 8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 - 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 15 . palma con palma y dedo con dedo. y considerar simultáneamente el conteo de los dobles (de los dedos de una mano. Para ello pueden juntarse las dos manos. Con ello se completaría el cuadro de dobles y mitades: Con estos resultados podemos completar –con sumas y restas– el cuadro de “disociaciones” que planteábamos en el Cuaderno anterior: 10 es el doble de 5. 10 = 7 + 3 10 = 4 + 6 10 = 1 + 9 7 = 10 – 3 4 = 10 – 6 1 = 10 – 9 Otra de las destrezas que es conveniente alcanzar temprano es la de las mitades de los dígitos pares hasta 10. 2 es la mitad de 4.De donde se llega a: 9 = 10 – 1 6 = 10 – 4 3 = 10 – 7 8 = 10 – 2 5 = 10 – 5 2 = 10 – 8 7 = 10 – 3 4 = 10 – 6 1 = 10 . 3 es la mitad de 6. 5 es la mitad de 10. hacia los correspondientes dedos de una El mismo uso de los dedos puede servir de base para resolver las restas entre números menores que 10. 1 es la mitad de 2. 4 es el doble de 2. 0 0 1 reﬂexiva e iterada. Esta práctica. La ejercitación física inicial debe dar paso a una visualización y.
Todas las apreciaciones anteriores están formuladas para el caso básico de las restas entre dígitos –o. ……………………………………… 8=8–0=9–1 9=9–0 Hemos hablado de destrezas utilizables a la hora de restar dígitos. 1 = 1 – 0 = 2 – 1 = 3 . es decir.2 1 = 0. etc.Estas tablas –como las de la suma– deben llegar a ser aprendidas de memoria. para obtener la cantidad que falta para llegar del dígito menor al mayor.9 + 0.0.1 1 = 0. También conviene insistir en algunos resultados que se derivan de los expresados en la tabla anterior y que signiﬁcan otro modo de leerla. etc. Pero también podemos destacar otras regularidades que se presentan cuando se producen algunas variaciones en las cantidades que aparecen en el minuendo. como extensión.6 + 0. el minuendo disminuye en 1 unidad y el sustraendo aumenta en 2 unidades? 6. Es decir: 100 = 90 + 10 100 = 80 + 20 100 = 70 + 30 100 = 60 + 40 100= 50 + 50 1 unidad = 9 décimas + 1 décima = 8 décimas + 2 décimas. Pero esto no signiﬁca que aprenderlas de memoria sea el punto de partida. etc.7 = 1 .7 + 0. reﬂexiva e iterada. de las decenas. El punto de partida está en la ejercitación. No está de más decir que.1 0.5 Etc.. puesto que hablamos de dígitos. Es decir: 0.8 = 1 – 0. Luego podemos comparar sus respuestas con las que se exponen posteriormente.3 1 = 0.6 = 1 – 0.5 = 1 – 0.2 0. etc.4 0.9 = 1 – 0. entre unidades de cualquier orden del sistema decimal de numeración–. a) ¿Qué le ocurre a la diferencia en una resta si: 1.3 0. por ejemplo. de las unidades de cualquiera de los órdenes del sistema decimal de numeración. Así. etc.5 Etc. el minuendo disminuye en 2 unidades y el sustraendo permanece igual? 5. etc.5 + 0. 8 decenas = 1 centena – 2 decenas. el minuendo aumenta en 1 unidad y el sustraendo permanece igual? 2. o la cantidad en la que el dígito mayor excede al menor.2 = 4 – 3. más bien es el punto de llegada. en el sustraendo. 8 décimas = 1 unidad – 2 décimas. se obtienen las siguientes “disociaciones” en forma de restas: 0 = 0 – 0 = 1 – 1 = 2 – 2 = 3 – 3. Intente resolver los ejercicios que se proponen a continuación. el minuendo permanece igual y el sustraendo aumenta en 2 unidades? 7. 9 decenas = 1 centena – 1 decena.8 + 0. el minuendo aumenta en 3 unidades y el sustraendo disminuye en 1 unidad? 4. Es decir: 1 = 0. o en la diferencia de una resta dada. de las centésimas. estas destrezas pueden aplicarse al caso de la resta de las unidades. el minuendo aumenta en 2 unidades y el sustraendo aumenta en 2 unidades? 3. etc. el minuendo permanece igual y el sustraendo disminuye en 1 unidad? 16 . Es decir: 90 = 100 – 10 80 = 100 – 20 70 = 100 – 30 60 = 100 – 40 50 = 100 – 50 9 décimas = 1 unidad – 1 décima.4 1 = 0. porque este es el modo adulto de manejarlas. De esta forma podemos extender el cuadro de las destrezas disociativas –tanto en sumas como en restas– presentadas en el Cuaderno anterior: 1 centena = 9 decenas + 1 decena = 8 decenas + 2 decenas.
3. 6. el minuendo ha aumentado en 4 unidades y la diferencia ha disminuido en 3? 2. brevemente. o que la disminución del minuendo sea 3 unidades mayor que la del sustraendo.b) ¿Qué modiﬁcaciones pueden hacerse a las cantidades del minuendo y del sustraendo de una resta para que la diferencia: 1. que el sustraendo aumente en 3 unidades y el minuendo permanezca igual. el sustraendo ha aumentado en 3 unidades y la diferencia ha aumentado en 3? 3. ha aumentado en 7. b) 1. 5. el minuendo ha disminuido en 4 unidades y la diferencia ha permanecido igual? He aquí. que el minuendo aumente en 5 unidades y el sustraendo permanezca igual. ha disminuido en 4. el sustraendo ha aumentado en 7 unidades y la diferencia ha permanecido igual? d) ¿Qué le puede haber ocurrido al sustraendo de una resta si: 1. el sustraendo ha disminuido en 5 unidades y la diferencia ha aumentado en 3? 6. c) 1. 3. ha aumentado en 7. aumenta en 1 unidad. ha aumentado en 6. ha aumentado en 3. 7. 2. añadir o quitar la misma cantidad simultáneamente en ambos. o que la suma del aumento del minuendo y la disminución del sustraendo sea 5. disminuye en 2. o que la diferencia del aumento del sustraendo y la disminución del minuendo sea 3. 6. ha disminuido en 2. disminuye en 2. 2. permanezca igual? 2. 2. aumenta en 4. las respuestas: o que el sustraendo permanezca igual y el minuendo disminuya en 3. ha disminuido en 5. el sustraendo ha aumentado en 6 unidades y la diferencia ha disminuido en 4? 5. ha disminuido en 4. 5. 3. aumente en 5 unidades? 3. 4. disminuya en 3 unidades? c) ¿Qué le puede haber ocurrido al minuendo de una resta si: 1. 5. o que el aumento del minuendo supere en 5 al del sustraendo. o que el minuendo permanezca igual y el sustraendo disminuya en 5. el sustraendo ha permanecido igual y la diferencia ha disminuido en 5 unidades? 4. 4. ha aumentado en 1. 5. el minuendo ha disminuido en 3 unidades y la diferencia ha aumentado en 7? a) 1. 3. el minuendo ha disminuido en 4 unidades y la diferencia ha disminuido en 5? 3. el minuendo ha aumentado en 2 unidades y la diferencia ha aumentado en 6? 4. el minuendo ha permanecido igual y la diferencia ha disminuido en 3? 6. disminuye en 3. permanece igual. d) 1. o que la disminución del sustraendo sea 5 unidades mayor que la del minuendo. 6. aumenta en 1. ha disminuido en 10. el sustraendo ha disminuido en 2 unidades y la diferencia ha permanecido igual? 2. 4. ha aumentado en 2. 2. o que el aumento del sustraendo supere en 3 al del minuendo. ha disminuido en 2. 17 .
Por consiguiente. en la resta 165 – 39. Por ejemplo. 165 – 39 = 126. Por consiguiente. etc. A ellas agregaremos alguna otra para la suma. si se desea restar 921 – 397. 1. En este apartado puede incluirse la estrategia de acercar el sustraendo a potencias o múltiplos de 10. 921 – 397 = 524 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 18 . Introducir algunas variaciones en las cantidades del minuendo. 7. etc. y proceder análogamente. y ajustar luego la diferencia. la diferencia no varía. Así. en la resta original el minuendo disminuye en 4 unidades. pensar 9 como 10 – 1. Es decir. Algunas estrategias para el cálculo mental de restas y sumas La destreza en la resolución de ejercicios del tipo anterior es fundamental para manejar con soltura el cálculo mental de las sustracciones. Así. La primera de estas representaciones es la tabla de los números de 1 a 100: La suma de las etapas es: 500 + 21 + 3 = 524. con lo que la resta queda más sencilla: 165 – 40 = 125. con lo que la resta se transforma en 166 – 40 = 126. Transformar la resta en una suma por etapas. También signiﬁca que restar 9 es restar 10 y agregar 1. Obsérvese que también pudo haberse modiﬁcado el sustraendo y llevarlo a 263. 463 – 267 = 196. 123 – 8 puede transformarse mentalmente en quitar 10 (123 – 10 = 113) y agregar 2 (113 + 2 = 115). Como hemos agregado lo mismo en el minuendo y en el sustraendo. En otras oportunidades puede resultar estratégico modiﬁcar adecuadamente uno de los términos de la resta. Se trata de pensar la sustracción como modelo de “lo que falta para”. por lo que la diferencia debe aumentar en 1. procedemos de esta manera: de 397 a 400 de 400 a 900 de 900 a 921 3 500 21 3. El apoyo de otras representaciones gráﬁcas Además del conjunto de las tablas de restar antes presentadas. Ahora bien. Por ejemplo. sumar 8 es sumar 10 y restar 2. complementaria de las presentadas en el Cuaderno anterior. por lo que la diferencia debe disminuir también en 4. Utilizar la disociación de los dígitos mayores como restas de 10. o de ambos. Por ejemplo. Por ejemplo. Por ejemplo. 165 – 39 = 126. Otra estrategia similar es la de añadir o restar la misma cantidad en el minuendo y en el sustraendo. con lo que la operación se hace más fácil: 467 – 267 = 200. es posible elaborar otras que nos permiten fomentar el desarrollo de destrezas a la hora de efectuar diversas restas. Si volvemos a la resta inicial. Esto signiﬁca que sumar 9 es sumar 10 y restar 1. etc. vemos que el minuendo es el mismo y que el sustraendo disminuye en 1. del sustraendo. en la misma resta 165 – 39. Así. 8 como 10 – 2. podemos agregar 1 unidad a ambos números. Sobre la base de esa destreza es posible precisar algunas estrategias para facilitar las operaciones mentales de restar. y proceder desde la cantidad del sustraendo hacia la del minuendo por “cómodas” etapas –como quien da el “vuelto” de un pago–. podemos llevar el sustraendo a 40. restar 8 es restar 10 y añadir 2. 56 + 9 puede transformarse mentalmente en añadir 10 (56 + 10 = 66) y restar 1 (66 – 1 = 65).6. 2. en la resta 463 – 267 puede modiﬁcarse el minuendo para llevarlo a 467. por ejemplo. cuyo valor se suma al ﬁnal.
por lo que dijimos en el Cuaderno 1. por ejemplo.1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 También puede operarse del minuendo hacia el sustraendo. y 2 más hasta 78) y subir 3 pisos (llegar a 48)”. la sustracción de una decena.000 30 1. restarle 38 signiﬁca “subir 3 pisos (llegar a 56) y correrse 8 números a la izquierda (6 hasta 50. si se quiere restar. buscando los múltiplos o potencias de 10 (bajo la línea): 2 358 360 40 400 600 1. o bien “correrse 8 números a la izquierda (6 hasta 80. existe una diversidad de caminos para llegar al resultado de la resta. Después. En la primera de las gráﬁcas percibimos (números sobre la línea) cómo vamos avanzando “por saltos” adecuados. por ejemplo.030 2 1.032) por “cómodas” etapas. 86 . nos ubicamos en el número del minuendo (86). el paso de un número a su siguiente a la derecha signiﬁca la adición de una unidad. y si el paso es hacia la izquierda. Una de ellas es la siguiente: 600 2 40 30 2 358 958 960 1.032 – 358 = 600 + 40 + 30 + 2 + 2 = 674.032 . Hay varias alternativas para efectuar esta suma por saltos. Además puede inferirse que la representación de la operación sobre la recta numérica quizás es más útil en el caso de la resta –particularmente en las situaciones en que hay que “pedir prestado”– que en el caso de la suma.032 La suma de estos saltos o etapas nos proporciona la diferencia de ambos números: 1.032 19 . y “subir un piso”. En definitiva. la sustracción de una unidad. Es preferible exponer todos los que se puedan y dejar que nuestra creatividad –y la de nuestros alumnos– halle otros. Ahora procedemos hacia el minuendo (1. y como puede apreciarse. y la suma por etapas como estrategia para restar. y 2 más hasta 48)”. el paso a cada número inferior –“bajar un piso”– representa la adición de una decena. Ubicamos el sustraendo (358) en un punto cualquiera de la recta.000 1. cada quien terminará por seleccionar el que mejor se acomode a la situación propuesta o el que mejor vaya con su estilo personal de hacer las cosas: una diversidad abierta a la posibilidad de elegir… En ella. No es conveniente cerrarnos en uno solo. este procedimiento representa la visualización de la estrategia de restar como una suma por etapas. en la que los minuendos no pue- den pasar de 100– utiliza la recta numérica como soporte visual. De acuerdo con este par de criterios. Análogamente para cada columna.030 1. Sea. la resta 1.358. Otra de las representaciones gráﬁcas –sin las limitaciones que impone la tabla anterior. Como puede apreciarse. si se observa cada ﬁla.38.
985 – 612 puede llevarse a 3. se produce un análisis inicial de la situación. 20 . Para pagar entrego 20.000 y 1. podemos optar por la primera aproximación: 3. por ejemplo: Volvamos a nuestra tienda de ropa.000 – 630 es una mejor aproximación. Con el ﬁn de facilitarnos las tareas de estimación en el caso de la resta. análisis que lleva a la conclusión de la pertinencia del uso de la estimación.000 pesos. así. y llegar al resultado de 2. Compro dos prendas cuyo precio unitario es de 4.400) le restamos las 30 unidades de incremento del sustraendo y llegamos a una diferencia más ajustada. Por ejemplo. según sea el margen de aproximación que nos podamos permitir.000 – 630 (redondeo de ambos hacia arriba).000 – 600. Ya dentro del proceso.400. Quiero saber si el vuelto que me van a dar llegará a los 4. por cuanto al redondear ambos valores hacia arriba la diferencia se ve menos afectada. con la Las competencias que se ponen de maniﬁesto al estimar el valor de una diferencia son similares a las del caso de la suma. Redondear el valor del minuendo y del sustraendo. por ejemplo. Las dos primeras prendas nos dan 9. Tome los ejercicios de cálculo mental propuestos anteriormente y estime cada resultado. Ahora vamos acumulando mentalmente el costo total.000 pesos. cuarta llegamos a 10. Lo primero es redondear los precios a 4. En primer lugar. respectivamente (los hemos puesto un poquito más caros…).000 y con la tercera. se “leen” las cantidades de izquierda a derecha y se toma en cuenta su valor global.000 pesos.500.000 – 600 (redondeo del minuendo hacia arriba y del sustraendo hacia abajo).016 – 617 j) 761 – 139 k) 99 – 18 l) 505 – 487 m) 172 – 75 n) 68 + 39 ñ) 198 + 577 o) 184 + 117 p) 301 + 569 Invéntese otra serie de ejercicios similares a los anteriores y resuélvalos. Veamos una. Compensar el valor de la diferencia. la resta 2. sino “seis mil”. 2. Entonces. otra de 5. o bien a 3.370. 2. en el caso de la tercera prenda. 6 no es “seis”.495 pesos.000 pesos. a 16. nos van a dar un poquito más de 4. según lo recomiende la situación (véase el caso de las prendas de vestir). 8. Volviendo al ejemplo anterior.Efectúe mentalmente las siguientes restas y sumas (hágalo de todas las formas que se le ocurran): a) 308 – 197 b) 135 – 39 c) 864 – 759 d) 82 – 27 e) 102 – 33 f) 45 – 9 g) 426 – 98 h) 154 – 45 i) 1. Por consiguiente. 6. lo que permite redondearlas sin mayor riesgo. Estimar el valor de la diferencia Las consideraciones acerca de la estimación en el caso de la suma pueden extenderse también a las situaciones de resta.000. Esa lectura permite también dar su verdadero sentido al valor de posición de cada cifra. presentamos algunas estrategias recomendadas por la experiencia de los buenos estimadores: 1. que es más fácil de calcular. bien sea por exceso o por defecto.000 pesos.990 pesos y una última de 995 pesos. Pero advertimos que 3. al resultado obtenido (2.
Dados los dígitos 2. en principio puedo seguir una vía distinta a la utilizada. pueden tener un carácter lúdico. 2. 5. Si tengo 17 ovejas y se me escapan todas menos 9. • La visualizo y resuelvo sobre la recta numérica. escritos el minuendo y el sustraendo para hacer la resta. es decir. Reviso la diferencia obtenida. leo el minuendo y el sustraendo y observo si se van a producir –o no– situaciones de “pedir o quitar prestado”. Este proceso puede seguirse tanto si se trata de un ejercicio directo de resta o de estimación –con lo cual el paso 1 queda decidido–. Y para validar la exactitud de la resta. tal como se ha presentado. antes de revisar la respuesta que se presenta posteriormente. 4. Otras veces. calcule la menor diferencia posible entre los números de tres cifras que pueden construirse con ellos. procedo por la vía de la estimación. pero sin necesidad del recurso gráﬁco.9. ¿cuántas me quedan? 9. La resolución de “problemas de resta”… Los “problemas de resta” –como los de suma– pueden adoptar la forma de situaciones sencillas de la vida diaria en las que la sustracción aﬂora sin diﬁcultad como la operación matemática que sirve de modelo oportuno. y ahora. si a la vista de las cantidades del minuendo y del sustraendo. • Resuelvo la resta en forma escrita. 3. sea que se dispongan horizontal o verticalmente. ¿qué hago? 1. Para ello. 9. En el segundo caso. Vamos a plantear algunos de estos tipos de problemas. En función del análisis anterior. • Resto sumando por etapas del sustraendo al minuendo. Tengo ante mí una situación de resta. colocando ordenadamente los dígitos del sustraendo debajo de los del minuendo. 10. Lo que sí conviene destacar es que. intenten resolver el problema por cuenta propia. como si se trata de una situación problema que implique la sustracción como modelo adecuado. Lo que sugerimos a nuestros lectores es que. en primer lugar evalúo su verosimilitud. y algunas de ellas no necesitan recursos para escribir (papel y lápiz o pizarra y tiza…). • Aplico las diversas estrategias de cálculo mental. El “espacio” del ejercicio escrito es simplemente el espacio en el que se leen las cantidades a restar y en el que luego se escribe la diferencia. Si necesito un resultado exacto. o referirse a regularidades o características que presentan algunos números y series de números. 10. y utilizados sin repetición. La operación puede realizarse con toda libertad por cualquiera de las vías propuestas. decido la vía que voy a utilizar para realizar la resta (alguna de las siguientes): • La visualizo y resuelvo sobre la tabla de números del 1 al 100. la diferencia tiene sentido (obsérvese que este es un ejercicio de estimación…). ¿Cuántas hojas de un libro tengo que pasar para llegar a la página 117 desde la página 112? ¿Y de la página 263 a la 268? ¿Es igual en ambos casos? 21 . resto del minuendo la diferencia y evalúo si obtengo el sustraendo. Observo la situación y decido si necesito un resultado exacto o me basta con una aproximación. 8. También puedo servirme de las dos pruebas que se derivan del hecho de ser la sustracción la operación inversa de la suma: sumo la diferencia con el sustraendo y evalúo si obtengo el minuendo. o bien. sino una mente activa. una vez leído el enunciado de cada situación. este “espacio” del ejercicio escrito no es necesariamente el espacio en el que se realiza efectivamente la resta.
La resolución de problemas de suma y resta Con mucha frecuencia se presentan situaciones en la vida diaria. una de 3 kg y otra de 9 kg. ¿Cuántas veces puede sustraerse 20 de 80? 15. Aunque Rafael ha perdido 5 veces. ha comprado en el mismo establecimiento un cuaderno y 2 juegos geométricos y ha pagado 960 pesos. ¿Cuál es el precio de un cuaderno? ¿Y el de un juego geométrico? b) En una balanza dispongo de tres pesas: una de 1 kg.989. ¿Cuántas pesadas diferentes pueden hacerse? c) En una feria hay un puesto donde la gente puede probar su puntería intentando darle al blanco. Rafael ha pagado 900 pesos. o relacionadas con regularidades en números y en secuencias de números. el nuevo número es 45 unidades mayor que N. ¿Cuántos taburetes hay en la habitación? e) ¿Cuál es el valor de 49 – 44 + 43 – 38 + 37 – 32 + … + 13 – 8 + 7 – 2? f) Pedro compró algunos helados. vende helados de fresa (F). 22 .11. las pesas pueden colocarse (1. que atañen simultáneamente a las dos operaciones de suma y resta. Si se cambian de posición entre sí la cifra de las unidades con la de las decenas. Si los hubiera vendido a 180 pesos cada uno habría tenido una pérdida de 140 pesos. ¿Cuántas veces le ha dado al blanco? d) En una habitación hay taburetes de 3 patas y sillas de 4 patas. Por cada tiro acertado se reciben 3 caramelos y por cada tiro errado se devuelven 2. Para pesar los objetos. 2 ó las 3) en cualquiera de los dos platillos. ﬁnalmente. o bien otras lúdicas. En este momento todos estos asientos están ocupados y. ¿cuál es el verdadero orden de preferencia que los compradores maniﬁestan acerca de los tres sabores de los helados? 11. Las 4 cifras que componen un número son dígitos pares escritos en orden ascendente de izquierda a derecha. los de chocolate. intenten resolver el problema por cuenta propia. ¿Cuántas páginas he leído hoy? 13. Representamos esta información así: 42: F > M > C Pero también ha descubierto que: 40: C > M > F Y que: 39: M > C > F Si se toma toda esta información en conjunto. luego los de mantecado y. Vamos a plantear algunos de estos tipos de problemas. da como resultado 2. al sumarse con otro. a) Por la compra de 2 cuadernos y un juego geométrico. entre piernas y patas. Si soy el 8º por la cola. se cuentan 39 extremidades. ¿en qué puesto voy en la carrera? 12. Acaba de hacer un sondeo entre sus últimos 121 compradores y ha descubierto que 42 de ellos preﬁeren primero los de fresa. Vamos corriendo 10 atletas. Nuestra sugerencia para nuestros lectores es que. ¿Con qué otro número se ha sumado? 14. ¿Qué número es N? h) Pedro. por su parte. Hoy he leído la novela desde el comienzo de la página 13 hasta el ﬁnal de la página 34. Mariana. de chocolate (C) y de mantecado (M). los vendió a 240 pesos cada uno y obtuvo una ganancia de 280 pesos. ¿Cuántos días tarda un sastre en cortar una pieza de 20 metros de largo en lotes de 2 metros diarios? antes de revisar la vía de solución que se propone posteriormente. Este número. tiene 11 caramelos consigo. nuestro heladero. una vez leído el enunciado de cada situación. ¿A qué precio compró Pedro cada helado? ¿Y cuántos helados compró? g) La suma de las tres cifras de un número entero N es 21.
Vamos a explotar esta situación.Teresa. Ahora todo se reduce a hallar dos números que.i) Anita se encuentra en el 7º escalón de una escalera que tiene 10. ¿en cuál se detendrá? j) Blanca Nieves va a repartir 77 pastillas de chiquitolina entre los 7 enanitos. pues. Rafael compra un cuaderno más y Mariana. 620 pesos. ¿cuántas muñecas le quedan a cada una? Vamos. Como Mariana paga 60 pesos más (960 – 900) que Rafael. respectivamente. Los números así obtenidos son 340 (310 + 30) y 280 (310 – 30): su suma es 620 y su diferencia. en el que cada equipo juega un partido con cada uno de los demás. ¿Cuántas pastillas de chiquitolina recibe el mayor? k) Cuatro equipos juegan un torneo de fútbol. a partir de esa cantidad. 3. Si entre todas regalan 6 muñecas. sumar y restar 30 –para garantizar que la suma de los dos números sea 620 y su diferencia 60–. 340. Si por 3 horas de estacionamiento se pagan 500 pesos. Al ﬁnal de los seis partidos la clasiﬁcación nos dice que hay un equipo con 5 puntos. también puedo tener otro dato si me ﬁjo en lo que han costado todos los artículos: 3 cuadernos y 3 juegos geométricos cuestan 1. pueden asignarse precios por tanteo al cuaderno y al juego –éste. Por otro lado. ¿Existe otra vía para resolver el problema? Sí. es decir.050 pesos) el de Mariana.Y por un cuaderno y dos juegos: 280 + 340 + 340 = 960 pesos. 60. a) Primero. Rafael y Mariana comparten una compra común: un cuaderno y un juego geométrico. una pastilla más que al anterior. ¿Cuántos empates se han producido en el torneo? l) Tenemos un reloj de arena que tarda 15 minutos en agotarse (pasar toda la arena de la parte superior a la inferior) y otro que lo hace en 9 minutos. den 620 y. Si se mueve 4 escalones. esta diferencia sólo puede deberse a que el juego geométrico es 60 pesos más caro que el cuaderno. Por consiguiente. ¿Cómo podemos medir 12 minutos exactos utilizando ambos relojes? m) El precio por el uso de un estacionamiento está formado por un valor ﬁjo para las dos primeras horas y un pago adicional por cada hora siguiente. sumados. vamos a observar el enunciado del problema. 1 punto. un poco más caro–.860 pesos (960 + 900). Un punto de partida puede ser de 250 y de 400 pesos. ¿cuánto costará estacionar el carro durante 8 horas seguidas? n) Silvia tiene 2 muñecas. pero se sobrepasa (250 + 400 + 400 = 1. El cuaderno cuesta 280 pesos y el juego geométrico. restados. Con estos valores se satisface el monto pagado por Rafael (250 + 250 + 400 = 900 pesos). Por cada partido ganado se acumulan 3 puntos y por cada uno empatado. Podemos proceder por tanteo. 60. Mediante este proceso de ensayo y ajuste se llegaría a los valores exactos. También podemos calcular la mitad de 620 (310) y. Por ejemplo. 23 . Al menor le da algunas pastillas y. a cada uno de los demás. como siempre. Por dos cuadernos y un juego se pagan: 280 + 280 + 340 = 900 pesos. 4 y Rosa. hay que subir el precio del cuaderno y rebajar el del juego. a reportar algunas vías de solución para contrastarlas con las que hemos podido obtener entre todos. dos con 3 puntos y uno con 2 puntos. De aquí deducimos que cada pareja de un cuaderno y un juego cuesta la tercera parte. por lo que regresamos al enunciado del problema. y 700 pesos por 5 horas. Nos falta validar estos resultados. Sobre esta base común. un juego más.
porque en ambos casos se descubre que el total de helados comprados es de 7. Por consiguiente. y contando el número de veces que se utilizó el sumando. hasta llegar a 140. ya que la ganancia total es de 280 pesos (¿por qué no es posible?). habrá 3 taburetes y 4 sillas. y que la diferencia de cada pareja es 5. e) Primero y como siempre. se puede resolver mediante operaciones de sumas y restas. Probemos con un costo de 200 pesos. basta colocar una pesa de 1 kg en el otro platillo. Estos resultados sí cuadran. como algunos otros de los planteados. Siguiendo con el tanteo –pero sabiendo ya las condiciones de la respuesta válida–. ha tenido que devolver 10 caramelos. 24 . Si hubiera una silla. por ejemplo. añadimos la pesa de 3 kg en el mismo platillo y ponemos las de 1 y 9 kg en el otro. de 20 (200 – 180) pesos. Conviene destacar que este problema. Si a éstos agregamos los 11 que tiene. y no necesariamente haciendo uso de multiplicaciones o divisiones. si pensamos en 2 sillas. quedarían 33 (39 – 6) extremidades para los taburetes. y más cerca de 180 que de 240. En este caso. Pero esto no es posible. Para un objeto. La ganancia por helado ahora es de 40 (240 – 200) pesos y la pérdida. El valor ﬁnal de la sucesión de los números dados es 40. c) y d) procediendo análogamente con las ganancias. Podemos tantear con un valor que satisfaga esas condiciones: que cada helado cueste 190 pesos. las “extremidades” de cada taburete (patas y piernas) son 5 y las de cada silla.b) Pues se pueden pesar objetos de 1. Así llegamos hasta suponer que hay 4 sillas (24 extremidades en ellas). ¿hasta cuántas pesadas diferentes se podrán hacer si incluimos una pesa de 27 kg en el juego de pesas anterior? c) Si Rafael ha perdido 5 veces. hay que observar bien la sucesión de números: 49 – 44 + 43 – 38 + 37 – 32 + … + 13 – 8 + 7 – 2. añadimos la pesa de 1 kg en el mismo platillo y ponemos la de 3 kg en el otro. porque la suma de las extremidades de todos los taburetes tiene que acabar en 5 ó en 0 (¿por qué?). que el minuendo de cada pareja –a partir de la segunda– es 1 unidad menor que el sustraendo de la pareja anterior. se deduce que en total ha ganado 21 caramelos. En esta observación podemos descubrir que hay parejas de números restándose: (49 – 44) + (43 – 38) + (37 – 32) + … + (13 – 8) + (7 – 2). 3. si se venden en 240 pesos se ganan 50 por helado. Y ahora. El ejercicio se reduce a sumar 5 tantas veces como parejas hay: 8 veces. b) sumando progresivamente 20 + 20 + …. Pero esto no es posible. sucesivamente. 40 y 280 pesos. de 7 kg.Y así. lo que corresponde a 7 tiros acertados. y contando las veces que se resta hasta llegar a 0. pero si todos los asientos están ocupados. lo que deja 15 (39 – 24) para los taburetes. Veriﬁque que no hay otra respuesta posible. f) De la observación del enunciado deducimos que el precio de compra debe encontrarse entre 180 y 240 pesos. en el problema anterior se puede averiguar que son 7 los helados comprados: a) restando progresivamente 20 pesos de los 140 pesos iniciales y de las diferencias que vayan quedando. d) No sabemos cuántos taburetes y sillas hay. Por ejemplo. ya que en el primer caso hay menos pérdidas (140 pesos) que ganancias (280 pesos) en el segundo. Para uno de 2 kg. 6. … hasta 13 kg. nos quedarían 27 (39 – 12) extremidades para los taburetes: tampoco puede ser. 2. Procedamos por tanteo hasta descubrir alguna regularidad. Para un objeto de 1 kg.
1A.Precisamente. 49 y 94. se pueda llegar a 21. Una exploración en este sentido nos permite descubrir las parejas 05 y 50. Así. 1A y 1B 3B y 1A 4B Escalón ﬁnal 9º 9º 7º 9º 7º 7º 5º 9º 7º 7º 5º 7º 5º 5º 3º 25 . 2B. debemos tomar en consideración el conjunto de las informaciones. entonces. 1A y 2B 2B y 2A 2B. g) De nuevo. que se complementaría con la cifra 8 en la posición de las centenas. En todas las demás parejas. den una diferencia de 45. esta forma de actuar nos va preparando para entender la multiplicación de números naturales como una suma repetida. Es fácil veriﬁcarlo. 2A y 1B 1B. en determinar la preferencia entre M y C: 40 preﬁeren a C. En realidad. 1B y 1A 1B. Ahora. al sumar el tercer dígito (cuyo valor máximo es 9). 1B y 1A 2A y 2B 1A. La cuestión está. De modo que el número N es 849. 1B. pues en cada una de ellas puntea un sabor diferente. la suma de sus dígitos es insuﬁciente para que. Análogamente. En conclusión. al restarse con el número volteado. el verdadero orden de preferencia que los compradores maniﬁestan acerca de los tres sabores de los helados es: M > C > F. entre F y C. hacia arriba o hacia abajo. 42 preﬁeren a F. la observación nos dice que las cifras son relativamente altas (suman 21) y que la de las unidades es menor que la de las decenas (porque al “voltearlas” resulta un número mayor en 45 unidades). Tampoco podemos tomar la primera como determinante (el sabor preferido es F). No puede haber más. en virtud de que “moverse” no especifica el sentido del movimiento. como una resta repetida. h) No podemos dejarnos guiar por la información de cada una de las tres comparaciones. La única pareja que puede satisfacerla es la 49 y 94. Una vía para hacerlo es referirnos a las comparaciones por parejas de sabores. 1B. acudimos a la condición de que la suma de los dígitos sea 21. pero 79 (40 + 39) anteponen el sabor M a F. por aquello de que son 42 (el número mayor de los tres obtenidos por Pedro) los que opinan así. entre F y M. para seleccionar la(s) que resuelve(n) el problema. 1A y 1B 1A. pero 81 (42 + 39) anteponen el sabor M a C. 2A 1A. Una vía de salida puede ser la de pensar en números de dos dígitos (decena-unidad) tales que. pero 79 (40 + 39) anteponen el sabor C a F. 1A 1A y 3B 1B y 3A 1B. y la división. mB: m escalones hacia abajo): Alternativas de movimiento 3A y 1B 2A. 42 preﬁeren a F. Por consiguiente. 27 y 72. Las alternativas posibles son –todas a partir del 7º escalón– las siguientes (nA: n escalones hacia arriba. 38 y 83. F ﬁgura detrás de M y C en el gusto de los compradores. i) Esta es una situación interesante. Hay que analizar todas las posibilidades del caso. 16 y 61. que no se resuelve simplemente mediante una suma o una resta.
la del tanteo razonado. situación espera a que paimposible. jugados los 12 minutos A 1 2 0 3 seguidos. 2) nos sugieren que por lo menos hay 2 empates: los de A y los de D. 3. y por 5 otro). todos en escalones impares. 700). 4.A los 9 minutos. C. Si esto fuera así. Q se vacía y N tiene una “carga” de 3 minutos más.Como puede observarse. 11. 10. la tabla de clasiﬁcación ﬁnal sería: minutos después. por 3 horas (2 ﬁjas + 1 adicional) se reloj que se vacía en 15 minutos. Q tiene “carga” para horas (2 ﬁjas + 3 adicionales): 400 + 300 6 minutos más y N está vacío. Las puntuaciones finales (equipo A. Vemos que a ese total le faltan 35 (77 – 42) para ajustarse al total pedido. En primer La observación del enunciado nos permite lugar y para orientar nuestra búsqueda. con lo cual la tabla se modiﬁca de esta forma: Así. D. N se voltea y se Pero esta tabla reporta 3 partidos ganados y 5 perdidos. Empecemos a vaciar simultáneaﬁjo de las dos primeras horas: 400 pesos. han pasado Equipos J. Volteamos = 700 pesos. la respuesD 0 2 1 3 ta no es 1. empatados J. 12. jugados A 1 2 0 3 B 1 0 2 3 C 1 0 2 3 D 0 2 1 3 26 . 3. ganados J. 6 Equipos J. la secuencia será: 8.200 pesos ( 500 + En el torneo se han producido 5 empates. pues ambas cantidades deben coincidir. la situación tiene 4 posibles desenlaces (respuestas). a partir de cierto momento por 5 horas. Supongamos que el más pequeño recibe 3 pastillas. la secuencia será: 3. empatados J. 9. perdidos J. a cada uno le corresponderían 5 pastillas más. l) Esperemos que hayan llegado a una respuesta… He aquí una alternativa. ganados J. … 8. mente ambos relojes (llamaremos Q al Así. cuya suma debe ser 77. menos el costo por 3 horas: (no necesariamente desde el comienzo de 700 – 500). cuya suma es 42 pastillas. sin es de 200 pesos (la diferencia del costo interrupciones. de nuevo. La única forma de sen los 6 minutos corregir este error es suponer que los 3 puntos de B y de C provienen que necesita para vaciarse de nuevo. que llegaría a 5 puntos. N. de la hora adicional es de 100 pesos. 5 puntos. y N al pagan: 400 + 100 = 500 pesos. 13 y 14 pastillas. Si repartimos esas 35 pastillas entre los 7 enanitos. A partir de aquí puede pensarse que B y C han ganado un partido cada uno. el precio la movida de los relojes). B 0 3 0 3 m) IndudableC 0 3 0 3 mente. Por consiguiente. de sendos empates. 9. Por lo tanto. perdidos J. B. Este va a ser nuestro momento inicial. En este momento. como si se tratara de sumar lo pagado por 3 horas y por 5 horas. Con este dato es fácil obtener el costo Bien. ¿Qué hubiera pasado si Anita se moviera un número impar de escalones? j) Observamos que las dosis de pastillas forman una secuencia de 7 números enteros seguidos. así como A. La vía a seguir parece ser. los inferir que el precio de 2 horas adicionales 12 minutos a medir deben ser seguidos. con lo que llegarían a 3 puntos cada uno. k) Es importante recordar que cada equipo ha jugado 3 partidos.
las hipótesis que formulamos. hicimos en el Cuaderno anterior. debemos insistir en la atención que siempre hay que prestar al enunciado de la situación. que seguramente compartimos todos: 27 . Las posibilidades de respuesta son diversas: Silvia 2 1 1 1 0 0 0 0 Teresa 1 2 1 0 3 2 1 0 Rosa 0 0 1 2 0 1 2 3 1. “menos”. 3. No vamos a entrar en detalle –porque éste no es el lugar para ello–. y proceder por ensayo y ajuste. Otro punto a destacar es la presencia de ciertas técnicas que van aparecien- do en determinados problemas: a veces. El método que aparece como más utilizado y eﬁciente sigue siendo el del tanteo razonado. y más allá de los primeros grados. n) Entre las tres niñas poseen 9 muñecas. “más”. Puede asignarse un valor para el costo de las dos horas iniciales y otro para cada hora adicional. “dentro de tanto”. pero otras veces hay que considerar todos los casos posibles… Es la práctica de resolver problemas por vías aritméticas la que nos enseñará la selección oportuna de la técnica más adecuada en cada caso. y similares) como si su presencia garantizara automáticamente la aplicación de la suma o de la resta como modelos de las situaciones y como operaciones que.El cálculo del costo de las 8 horas (2 ﬁjas + 6 adicionales) será: 400 + 600 = 1. Otra vía para resolver el problema es. como se habrá apreciado. No hay que dejarse llevar por ciertas expresiones (“juntos”. así como de control sobre la propia actividad. nunca insistiremos demasiado acerca del valor de la observación: observar el enunciado de la situación.000 pesos. Por ejemplo. 2. en los diversos grados. les van a quedar 3 muñecas. los resultados parciales que vamos obteniendo… 4. que nos acostumbra a formular hipótesis razonables –ajustadas a las condiciones de la situación– y a veriﬁcarlas en la práctica. nos llevarán indefectiblemente a la respuesta. Finalmente. Al regalar 6. es un método cientíﬁco excelente. He aquí algunas conclusiones. pero ya los lectores deben haber quedado claros: hay mucho que hacer. Volviendo a las formas en que hemos trabajado los problemas anteriores. más allá de las habituales y rutinarias “cuentas”. es decir. los casos posibles. ¿qué? Este es un punto para reflexionar individualmente y para discutir colectivamente. de la resta. Saber restar es mucho más que eso. de nuevo. 5. sobre la forma en que los hemos abordado y resuelto. hay que inducir casos generales o regularidades a partir de casos particulares. aplicadas a los datos. algunos de los problemas que acaban de trabajarse podían haberse planteado y resuelto por la vía algebraica. Hay que llegar a acuerdos acerca de lo que se debe hacer con este tema en la escuela. 12. Como decíamos. la del tanteo razonado. Todo esto reﬂeja un proceso permanente de toma de decisiones. Y en la escuela. utilizando incógnitas y ecuaciones. las condiciones que afectan a las variables. La valoración del método de tanteo razonado no debe excluir la consideración y práctica de otros métodos a la hora de resolver problemas. No podemos terminar esta parte dedicada a los problemas de sumas y restas sin reiterar la reﬂexión que.
¿Cuánto recibirá el 1º? El dibujo que sigue representa una “pirámide numérica”. se debe alcanzar la competencia necesaria en este punto. se obtiene 82. otros ejercicios “para la casa”… 16. 17. y estimar el resultado.175 pesos.700 más que el 3º. cada término a partir del 3º se obtiene sumando los dos anteriores. el 2º disminuye en 21. Luisa tenga 13 caramelos más que Amalia. con el ﬁn de ir aﬁnando dicho proceso.000 pesos a Carlos. Si a la suma de dos números se agrega su diferencia. ¿Cuánto tenían entre ambos al comienzo? 19. Y ahora. éste. Complete los números de la siguiente pirámide: 82 22 10 18 7 9 28 . Eso sí.250 pesos más que el 2º. Nota: El ❑ puede tomar. 13. más bien.• Hay que abrir el campo. Ramón vivió 85 años. • Las restas escritas pueden venir posteriormente y más dosiﬁcadas. • Trabajar con la resta debe basarse –y a la vez. y validarlo. en cada posición. . cada sector o cuadrícula tiene asignado un número natural. y murió 2 años antes que éste. La suma de 4 números es 3. éste tendría 4.Tomasa? 22. Este número se obtiene sumando los números de los dos sectores del piso inferior que le sirven de base. al estilo de los propuestos aquí. ¿Cuántos caramelos debería dar Amalia a cada una de sus dos amigas para que.Tomasa nació 17 años después que el Sr. la primera tarea debe ser la de observar y leer las cantidades. Cuatro socios han ganado 21. ¿cuántos años vivió la Sra. No tengamos miedo de exigir a nuestros alumnos. Uno de los objetivos de la obtención de la respuesta exacta debe ser el de evaluar la estimación hecha. 1. ampliamente.584. luego del reparto. Ramón. y Miriam tenga 2 menos que Luisa? 20. El 1º ha de recibir 4. en menor cantidad. En la secuencia numérica 4. Si Julio le diera 5.175 más que el 4º. bien sea por la vía gráﬁca o del cálculo mental. 18.❑) + ❑ = 10. • Ante una resta propuesta. y este último. ellos están esperando que lo hagamos. Este puede ser el punto de partida. Carlos tiene la mitad de dinero que Julio. proporcionar un fortalecimiento– en el dominio del sistema decimal de numeración. el 3º disminuye en 18 y el valor de la suma no se altera.000 pesos menos de los que tiene Julio ahora. Si el Sr. La Sra. . Recuerde que la presencia de los paréntesis indica que debe resolverse primero lo que se encuentra en su interior. . ¿qué le pasó al 4º sumando? 21. Halle los tres términos faltantes. En ella. Amalia y Miriam tienen 10 caramelos cada una. porque nos interesa el desarrollo de destrezas. ¿Cuánto vale el número mayor? Escriba 5 soluciones posibles para el siguiente ejercicio: ❑ – (❑ . Si el 1º aumenta en 13. bien sea efectuando la resta escrita. • La resolución de problemas debe propiciar el planteamiento de ejercicios y problemas motivadores. 1. 32. un valor diferente. Luisa. Luego puede obtenerse el resultado exacto. al cálculo mental. o bien utilizando la calculadora (ésta puede ser muy útil en tareas de veriﬁcación…).
G. 29 . Se llena con agua sólo el envase C. México: Trillas. ¿cuáles son los posibles valores de X? (La casilla central se considera vacía). Si el número que hay en cada casilla es la suma de los números que se esconden tras los símbolos en las dos casillas inmediatas –a los lados. (1996). ¿Cómo hacemos para sacar del río exactamente 6 litros de agua? 24. uno de 9 y otro de 4 litros. Determine los sucesivos trasvases que hará de unos envases a otros de tal forma que al ﬁnal obtenga 4 litros en cada uno de los dos envases mayores. 27. (1991). ❃ 37 ▲ X 51 ♣ 43 ❑ 25. Sólo dispone de los 8 litros iniciales. las matemáticas y la realidad. Si las caras de las tres ﬁchas llevan los números 1. Los posibles resultados de estas sumas son: 6. Un barril vacío y sin tapa pesa 10 kg. o arriba y abajo–. ¿Cuántas se sirvieron el lunes? 29. 203. 284. entre martes y miércoles. los niños y la escuela. los alumnos de la Escuela de Fútbol votan para elegir al mejor compañero. Tres ﬁchas redondas tienen números escritos en sus dos lados (los 6 números son diferentes). 8. que quedó de 5º. ¿Cuál fue el valor de la compra? Entre los dígitos del número 123456789 introduzca adecuadamente dos signos + y dos signos – de tal forma que el resultado de las sumas y restas sea 100. ¿qué números llevan en la parte de atrás? Ahora estamos en un río y disponemos de dos envases. A. 12. Entre lunes y martes se sirvieron 442. Buenos Aires: Magisterio del Río de la Plata.Se tienen 3 envases. 23. . entre miércoles y jueves. ¿Qué se le puede “agregar” al barril para que pese 9 kg? 28. El costo de la compra fue de P pesos y C céntimos. respectivamente. ¿Cuántos alumnos votaron? Referencias bibliográﬁcas . Cada uno sacó 6 votos menos que el anterior. La botella cuesta $1 más que el tapón. 2 y 3. En el comedor comunal se han servido 861 raciones de lunes a viernes. ¿Cuánto cuesta la botella? 30. A ﬁn de año. 17. 19 y 21. 10. Este año fueron votados 5 alumnos. pero el cajero marcó C pesos y P céntimos y me dio un vuelto de 24.75 pesos. B y C. Pagué con un billete de 100 pesos. 15. 3. obtuvo 10 votos. y Pedro.10. ¿Cuántos metros de largo tiene la vereda? 26. Una botella y su tapón cuestan $1.Gadino. respectivamente. Las operaciones aritméticas. La longitud de la vereda que va a la escuela es de 20 metros más la mitad de su propia longitud.Vergnaud. 528. Las ﬁchas se lanzan y se suman los números que aparecen. cuyas capacidades son. 5 y 8 litros. El niño. A. y entre jueves y viernes.
40 metros 26. 12. Un agujero… quitando un pedazo de barril que pese 1 kg 28.05 (0. 9 ovejas 9.93 centenas / c. 22 páginas 13. 8. 3º 12. 6.967 centésimas 2.5 unidades / b. R = 0 3. 38: debe ser 39 6. 110 alumnos 25. $ 1.17 decenas 8.468) 14. El doble del menor 5. 639. 6. 521 (2. 29 24. A = 8. a. 20 18. 0. Aumentó en 26 21. caso 2: 3 hojas 11. M = 9.000 pesos 19. 5 a Luisa y 3 a Miriam 20.Respuestas de los ejercicios propuestos 1.765. 27. respectivamente. 2. En 2. Una sola vez. O = 1.55 – 0. 9 días 16.05 30. 66 años 22.625 pesos 23.8 centésimas / d.989 – 2. Caso 1: 2 hojas. 130 raciones 29.141. para 1. 4 y 7.75 pesos 27. 41 17. 10.5) 7. 27 (952 – 925) 10. 2 y 3 30 . Nunca 4. 9. las demás veces se sustrae de lo que va quedando 15. 25.
y ahora.. ¿qué hago? Capítulo X La resolución de «problemas de resta». Capítulo XI La resolución de problemas de suma y resta Capítulo XII Y en la escuela. ¿qué? Capítulo XIII Y ahora. otros ejercicios “para la casa”… 18 20 21 21 22 27 28 31 . de la resta..Índice A modo de introducción Capítulo I ¿Qué es la sustracción (o resta) de números naturales? Capítulo II Restar sólo si hay un denominador común Capítulo III Restar en el sistema decimal de numeración Capítulo IV El asunto del “pedir (o quitar) prestado” Capítulo V El desarrollo de destrezas para restar 5 6 9 10 11 13 Capítulo VI Algunas estrategias para el cálculo mental de restas y sumas 18 Capítulo VII El apoyo de otras representaciones gráﬁcas Capítulo VIII Estimar el valor de la diferencia Capítulo IX Tengo ante mí una situación de resta.
32 .Este libro se terminó de imprimir en el mes de julio de 2005.
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