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Timestamp: 2017-03-29 11:01:37+00:00

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Ecuaciones de primer grado. Teoría y ejerecicios resueltos. Problemas.
Inicio >> MATEMÁTICAS >> ECUACIONES >> ECUACIONES DE PRIMER GRADOECUACIONES DE PRIMER GRADO Tabla de contenidos1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO1.1 Ecuaciones equivalentes1.1.1 Ecuaciones equivalentes por adición1.1.2 Ecuaciones equivalentes por multiplicación1.2 Resolución de ecuaciones de primer grado1.2.1 Resoluciones de ecuaciones del tipo x + a = b1.2.2 Resolución de ecuaciones del tipo ax = b1.2.3 Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = c con a ≠ 01.2.4 Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = cx + d1.3 Ecuaciones con paréntesis1.4 Ecuaciones con denominadores1.5 Problemas con ecuaciones: Método aritmético y método algebraico1.5.1 Problemas con ecuaciones: Planteamiento, resolución y comprobación2 CUESTIONARIO3 EJERCICIOS4 PROBLEMAS
En esta clase vamos a ver las ecuaciones de primer grado.
Observad estas ecuaciones:
En los tres casos, las ecuaciones tienen la misma solución x = 1, por eso se dice que estas tres ecuaciones son equivalentes.
Ahora observad estas otras ecuaciones:
Ecuaciones no equivalentes
La primera ecuación tiene dos soluciones x = 2 y x = -2.
En cambio, la segunda ecuación sólo tiene una solución x = 2.
En este caso, como no tiene exactamente las mismas soluciones, estas dos ecuaciones NO son equivalentes.
Las ecuaciones equivalentes son las ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones.
Ecuaciones equivalentes por adición
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma un número cualquiera (positivo o negativo) se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
Fijaos en la ecuación 2x + 4 = 8.
La solución de esta ecuación es x = 2
Si sumamos a los dos miembros de la ecuación el mismo número, por ejemplo -4:
La ecuación que resulta es 2x = 4, y esta ecuación tiene como solución x = 2, es decir, tiene la misma solución que la ecuación de la que partimos. Por lo tanto, esta ecuación es equivalente a la primera ecuación.
Observamos que el término +4 ha pasado del primer miembro al segundo y que, a la vez, ha cambiado de signo (ha pasado de tener signo positivo a tener signo negativo). Esta operación recibe el nombre de trasposición de términos.
Todo término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.
Ecuaciones equivalentes por multiplicación
Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un número cualquiera distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.
Fijaos en la ecuación 2x = 4.
Si multiplicamos los dos miembros de la ecuación por el mismo número, por ejemplo por 2:
La ecuación que resulta es 4x = 8, y esta ecuación tiene como solución x = 2, es decir, tiene la misma solución que la ecuación de la que partimos. Por lo tanto, esta ecuación es equivalente a la primera ecuación.
Si dividimos los dos miembros de la ecuación entre el mismo número, por ejemplo entre 2:
Ecuaciones equivalentes por multiplicacion
La ecuación que resulta es x = 2, y esta ecuación tiene como solución x = 2, es decir, tiene la misma solución que la ecuación de la que partimos. Por lo tanto, esta ecuación es equivalente a la primera ecuación.
Observamos que el número 2 pasa de ser factor en el primer miembro de la ecuación, a ser divisor en el segundo miembro.
Resolver una ecuación es buscar el valor o valores de la incógnita para los cuales la ecuación es cierta.
Para ello debemos aislar la incógnita en un lado del igual (así sabemos su valor). A esto se le llama despejar la incógnita.
Despejar la incógnita de una ecuación es aislar dicha incógnita a uno de los lados del igual. Así obtendremos su valor.
Vamos a ver cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado según la forma que tengan:
Resoluciones de ecuaciones del tipo x + a= b
Resolución de ecuaciones del tipo ax = b
Resolución de ecuaciones del tipo ax + b = cx + d
Resoluciones de ecuaciones del tipo x + a = b
Para resolver esta ecuación, tenemos que dejar a la x sola a un lado del igual.
En el primer miembro tenemos x + a, y para aislar la x nos sobra el número a.
En este caso vamos a suma -a (el opuesto del término que nos sobra), y así queda aislada la x:
x + a – a = b – a ⇒ Sumamos –a a los dos miembros
x = b – a ⇒ Ya hemos obtenido el valor de x (hemos resuelto la ecuación)
Observad que de la ecuación x + a = b se puede obtener la ecuación x = b – a pasando el número a del primer miembro al segundo y cambiándolo de signo.
Ejemplo: x + 2 = 4
x + 2 – 2 = 4 – 2
En el primer miembro tenemos ax, y para aislar la x nos sobra el número a.
En este caso vamos a dividir entre a los dos miembros de la ecuación (el inverso del número que está multiplicando a la x), y así queda aislada la x:
\(\LARGE \frac{ax}{a}=\frac{b}{a}\) ⇒Multiplicamos los dos términos por "\(\LARGE \frac{1}{a}\)" (o lo que es lo mismo, dividimos los dos términos entre a)
\(\LARGE x=\frac{b}{a}\) ⇒ Ya hemos obtenido el valor de x (hemos resuelto la ecuación)
Observa que el número a pasa de ser factor en el primer miembro de la ecuación a ser divisor en el segundo miembro.
Ejemplo: \(\LARGE 2x=4\)
\(\LARGE \frac{2x}{2}=\frac{4}{2}\)
\(\LARGE x=2\)
Para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que aislar la x a un lado del igual, entonces hacemos lo siguientes:
1. Pasamos b al segundo miembro (cambiado de signo)
\(\LARGE ax=c-b\)
2. Pasamos "a" dividiendo al segundo miembro (porque está multiplicando a la x)
\(\LARGE x = \frac{c-b}{a}\)
Siempre vamos a pasar para el otro miembro de la ecuación primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.
\(\LARGE 2x+7=13\)
\(\LARGE 2x=13-7\)
\(\LARGE 2x=6\)
\(\LARGE x=\frac{6}{2}\)
\(\LARGE x=3\)
Para resolver las ecuaciones con esta forma:
1. Se pasan todos los términos en x a uno de los miembros de la ecuación y todos los términos independientes al otro miembro:
\(\LARGE ax-cx=d-b\)
2. Se reducen los términos semejantes:
\(\LARGE \left ( a-c \right )x=d-b\)
3. Se despeja x:
\(\LARGE x = \frac{d-b}{a-c}\)
Ejemplo: \(\LARGE 6x-4=3x+2\)
\(\LARGE 6x-3x=2+4\)
\(\LARGE 3x=6\)
\(\LARGE x=\frac{6}{3}\)
Para resolver una ecuación con paréntesis:
1. Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva
2. Se trasponen los términos: los términos en x se pasan todos al primer término y los términos independientes se pasan todos al segundo término.
3. Se reducen los términos semejantes.
4. Se despeja la x
Ejemplo: 2 (7 - x) + 6x = 8 – 5(x - 1) + 8x + 4
14 – 2x + 6x = 8 – 5x + 5 + 8x + 4
-2x + 6x + 5x – 8x = 8 + 5 + 4 – 14
(-2 + 6 + 5 - 8)x = 3
Para resolver ecuaciones con denominadores:
1. Se multiplican los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores, y así se suprimen los denominadores
2. Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva
3. Se trasponen los términos: pasamos todos los términos en x a un miembro de la ecuación (generalmente al primer miembro) y todos los términos independientes al otro miembro (generalmente al segundo miembro)
4. Se reducen los términos semejantes.
5. Se despeja la incógnita
Ejemplo: \(\LARGE \frac{3x}{4} + 1 = 7 \cdot \frac{x-2}{6}\)
m.c.m. (4, 6) = 12
\(\LARGE 12\cdot \left (\frac{3x}{4} + 1 \right ) = 12\cdot \left (7 \cdot \frac{x-2}{6} \right )\)
\(\LARGE 12 \cdot \frac{3x}{4} + 12 = \frac{12\cdot 7\cdot (x-2)}{6}\)
\(\LARGE 9x + 12 = 14 (x - 2)\)
2. Se suprimen los paréntesis aplicando la propiedad distributiva:
\(\mathrm{9x + 12 = 14x - 28}\)
3. Se trasponen los términos:
\(\LARGE 9x - 14x = -28 - 12\)
4. Se reducen los términos semejantes:
\(\LARGE (9 - 14)x = - 40\)
\(\LARGE -5x = -40\)
5. Se despeja la incógnita:
\(\LARGE x= \frac{-40}{-5}\)
\(\LARGE x = 8\)
Problemas con ecuaciones: Método aritmético y método algebraico
Cuando un problema se resuelve utilizando sólo números se dice que se emplea en método aritmético.
Cuando un problema se resuelve utilizando ecuaciones se dice que se emplea el método algebraico.
Los problemas de esta clase se resuelven utilizando ecuaciones de primer grado; por eso se llaman problemas de primer grado.
María se gastó los \(\LARGE \frac{3}{4}\) del dinero que tenía y después \(\LARGE \frac{1}{3}\) de lo que quedaba. Al final le quedaron 100 €. ¿Cuánto dinero tenía María al principio?
Resolución por el método aritmético
Resolución por el método algebraico
Problemas con ecuaciones: Planteamiento, resolución y comprobación
Para resolver un problema por el método algebraico se siguen los siguientes pasos:
Fases del problema
1. Planteamiento: Plantear un problema consiste en expresar en una ecuación o en varias ecuaciones la información o condiciones contenidas en el enunciado (plantear la ecuación es crear la ecuación). El valor desconocido en el problema se llama incógnita y se designa por una letra cualquiera (x, y, z, t,…). La incógnita es lo que vamos a calcular.
2. Resolución: Si la ecuación que resulta en el planteamiento es de primer grado se resuelve en la forma que ya conocemos.
3. Comprobación o discusión: Consiste en comprobar si la solución encontrada al resolver la ecuación verifica las condiciones contenidas en el enunciado.
APRENDE MÁS SOBRE LAS ECUACIONES...
Ecuaciones de grado superior a dos. Ecuaciones bicuadradas y tricuadradas.
Comentarios LAMAGA dice	5 Octubre, 2016 en 17:47	HAGAN UN CUESTIONARIO AL AZAR, HAGAN OTRO Y VEAN LAS RESPUESTAS DEL PRIMERO
pene dice	5 Octubre, 2016 en 17:44	Hola me encanta el maicra, el maicra es mi vida, me llamo suicida, mi pelicula favorita es suicide room, tengo 16 años, y como les decia soy suicida, me corto a cada rato, pero soy suicida,mis papas no saben que soy suicida y como les decia soy suicida, me encanta el metal y me gusta ser suicida ser suicida es mi vida, odio al mundo, la sociedad no me entiende y como les dije soy suicida
gracias, por escucharme y como les dije soy suicida
Yesy dice	26 Septiembre, 2016 en 5:16	Ocupo la comprobacion de -16x + 18=5x -9 por favor me urge
Sanaa dice	24 Abril, 2016 en 13:15	No me gusta nada

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