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Timestamp: 2020-07-15 02:35:54+00:00

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Lineare Algebra und Analytische Geometrie I | springerprofessional.de
Noten zu einer Vorlesung mit historischen Anmerkungen von Erhard Scholz
Autor: Egbert Brieskorn
Print ISBN: 978-3-322-83175-0
Electronic ISBN: 978-3-322-83174-3
Einführung in die Lineare Algebra und Analytische Geometrie
§ 1. Wovon handelt die Mathematik?
Die Vorlesung über lineare Algebra und analytische Geometrie ist eine der beiden Vorlesungen, die man bei uns am Anfang des Mathematikstudiums hört. Es ist daher sicher nicht unangemessen, sich in der ersten Stunde dieser Vorlesung die folgenden Fragen zu stellen:
Was ist ihr Gegenstand?
§ 2. Gruppen
Wir haben im vorhergehenden an konkreten Beispielen gesehen, welche wichtige Rolle der Gruppenbegriff spielt, und diese wichtige Rolle wird im weiteren Verlauf der Vorlesung immer klarer hervortreten. Wir wollen daher den abstrakten Gruppenbegriff und einige weitere grundlegende damit zusammenhängende Begriffe genau definieren und eine Reihe von Beispielen dazu kennenlernen.
§ 3. Wovon handelt die lineare Algebra?
Wir haben in den Thesen zu Beginn dieser Vorlesung auf die Frage nach dem Gegenstand der Mathematik eine sehr umfassende Antwort gegeben. Gegenstand der Mathematik kann danach grundsätzlich jede Struktur sein, jedes System von Beziehungen zwischen realen oder gedachten Objekten oder Mengen von solchen Objekten. Natürlich untersucht man nicht beliebige Strukturen, sondern solche, die praktisch besonders wichtig oder theoretisch besonders interessant sind. Es gibt eine große Vielfalt solcher Strukturen in der Mathematik, viele Hunderte. Man kann auf verschiedene Weise versuchen, diese vielen einzelnen Strukturen in einige wenige Grundtypen einzuteilen. Die am häufigsten gebrauchte derartige grobe Einteilung ist die Einteilung der Mathematik in die großen Gebiete Geometrie, Algebra und Analysis. Dem entspricht bei uns die Einteilung der beiden Grundvorlesungen in analytische Geometrie und lineare Algebra einerseits und Analysis andererseits.
§ 4. Wovon handelt die analytische Geometrie?
Das Wesen der analytischen Geometrie besteht in einer Verschmelzung von Geometrie und Algebra zu einer Methode, die es ermöglicht, geometrische Probleme mit algebraischen Mitteln durch Gleichungen zu beschreiben, zu analysieren und zu lösen und andererseits algebraische Probleme geometrisch zu veranschaulichen und dadurch ihre Lösung zu erleichtern.
Die Kategorie der Vektorräume
§ 5. Körper
Der Begriff des Körpers wurde in voller Allgemeinheit von Heinrich Weber 1893 eingeführt. Weber sagt in seinem Lehrbuch der Algebra zur Einführung des Körperbegriffs folgendes:
„Ein System von Zahlen wird ein Zahlkörper genannt, wenn es so in sich vollendet und abgeschlossen ist, daß die vier fundamentalen Rechenoperationen (die vier Species), die Addition, die Subtraction, die Multiplication und die Division, ausgeführt mit irgend welchen Zahlen des Systems, ausgenommen die Division durch Null, immer auf Zahlen führen, die demselben System angehören. Dieser Begriff, der eine Eintheilung der Zahlenarten nach einem natürlichen Gesichtspunkte giebt, ist von Dedekind eingeführt (Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, 2. Auflage 1871, § 159). Es ist für die Algebra von der größten Bedeutung, und es ist nicht gleichgültig, dafür einen bezeichnenden und ausdrucksvollen Namen zu haben. Das Wort Zahlkörper ist von Dedekind nach zahlreichen Analogien gebildet, in denen das Wort Körper (corpus, corps) in ähnlicher Weise eine Vereinigung von zusammengehörigen Dingen, der eine gewisse Vollständigkeit zukommt, bedeutet.“
„Der Begriff des Zahlkörpers kann erweitert und auf alle Grössen übertragen werden, mit denen nach den Regeln der vier Species gerechnet werden kann, ...“
„Da wir vorläufig unsere Betrachtungen nicht einschren wollen, so werden wir jetzt von Körpern schlechtweg sprechen, und die Objecte, mit denen die Rechnungen auszuführen sind, die sowohl Zahlen als Functionen sein können, als Größen oder auch als die Elemente des Körpers bezeichnen.“
„Ein Körper ist also dann ein System von Grössen von der Vollständigkeit, dass in ihm die Grössen addirt, subtrahirt, multiplicirt und dividirt werden können.“
§ 6. Vektorräume
In diesem Paragraphen definieren wir axiomatisch Vektorräume und lineare Abbildungen. Wir geben einige Beispiele für diese grundlegenden Begriffe an und leiten aus den Axiomen die einfachsten Rechenregeln für Vektorräume ab. Ferner zeigen wir, wie man Elemente von Vektorräumen explizit durch ihre Koordinaten bezüglich geeigneter Erzeugendensysteme - Basen genannt - beschreiben kann. Aus dem Begriff des Basis entwickeln wir den Begriff der Dimension eines Vektorraums.
§ 7. Matrizen
Die meisten konkreten Rechnungen in der linearen Algebra werden mit Hilfe von Matrizen ausgeführt. In diesem Paragraphen werden wir in 7.1 lernen, wie man mit Matrizen rechnet. In 7.2 und 7.3 werden wir sehen, wie man mit Hilfe von Matrizen Koordinatentransformationen und Homomorphismen explizit beschreiben kann. Wir werden sehen, wie alle für Homomorphismen in § 6 “abstrakt” eingeführten Begriffe konkret durch den Matrizenkalkül erfaßt und auf diese Weise operationalisiert werden. Insbesondere werden wir in 7.4 sehen, wie der Gaußsche Algorithmus es gestattet, für einen durch Erzeugende gegebenen Vektorraum eine Basis zu finden und damit die Dimension von Vektorräumen und den Rang von Homomorphismen zu bestimmen sowie Isomorphismen zu invertieren.
Affine Räume und lineare Gleichungssysteme
§ 8. Affine Geometrie
Im einleitenden Kapitel dieser Vorlesung sind wir von einem durch die Ausbildung in der Schule entwickelten relativ naiven Vorverständnis von Algebra und Geometrie ausgegangen und haben gezeigt, wie in der analytischen Geometrie Algebra und Geometrie miteinander verschmolzen werden. Diese Überlegungen waren für uns einer der Ausgangspunkte für die Entwicklung des Vektorraumbegriffs: Die Gruppe der Translationen eines affinen Raumes hat die Struktur eines Vektorraumes. Bei dieser Auffassung wird der affine Raum als das ursprünglich Gegebene angesehen. Wir hatten dann aber gesehen, wie die analytische Geometrie genau den umgekehrten Standpunkt einnimmt. Sie sieht als das primär Gegebene ein algebraisches Objekt an, nämlich die Vektorraumstruktur, und konstituiert mit Hilfe dieser algebraischen Struktur als geometrisches Objekt den affinen Raum. Diesen analytischen Standpunkt wollen wir im folgenden konsequent einnehmen. Da wir inzwischen die Theorie der Vektorräume schon recht weit entwickelt haben, können wir jetzt bei der Konstituierung der affinen Geometrie auf analytischem Wege sehr schnell vorgehen. Zur Motivation sei auf das einleitende Kapitel verwiesen, insbesondere die Seiten 132 – 140.
§ 9. Lineare Gleichungssysteme
In diesem Paragraphen wollen wir kurz zusammenfassen, was sich aus der bisher entwickelten linearen Algebra für die Lösungen linearer Gleichungssysteme ergibt. Dabei interessiert vor allem die Frage nach der Existenz von Lösungen und nach ihrer Anzahl - das heißt der Dimension der Lösungsräume sowie die effektive Berechnung der Lösungen.
§ 10. Determinanten
Wenn man lineare Gleichungssystem systematisch durch Elimination der Unbekannten zu lösen versucht, stößt man bei den Rechnungen unweigerlich auf gewisse Ausdrücke, die gesetzmäßig aus den Koeffizienten des Gleichungssystems gebildet sind und mit deren Hilfe sich die Lösungen des Systems in theoretisch sehr einfacher Weise beschreiben lassen. Diese Ausdrücke nennt man Determinanten. Dieser ganz natürliche Ursprung der Determinanten ist zugleich ihr historischer Ursprung: Nach einigen ersten Schritten in dieser Richtung durch Leibniz gibt Cramer 1750 in seinem Buch „Introduction à l’Analyse des Lignes Courbes algébriques“ zum ersten Mal eine allgemeine Regel für die Bildung der Ausdrücke an, die wir heute Determinanten nennen, und er gibt eine Regel an, wie man die Lösungen eines Systems von n Gleichungen mit n Unbekannten mit Hilfe dieser Ausdrücke berechnen kann. Später wurde diese Regel sehr bekannt unter dem Namen „Cramersche Regel“.
978-3-322-83175-0
978-3-322-83174-3
https://doi.org/10.1007/978-3-322-83174-3

References: § 1

§ 2

§ 3

§ 4

§ 5
 § 159

§ 6

§ 7
 § 6

§ 8

§ 9

§ 10