Source: https://es.scribd.com/doc/74209219/GIS-1-MAT
Timestamp: 2019-04-25 15:53:38+00:00

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Cargado por Melita Ortiz
Esta Guía interactiva ha sido elaborada con la intención de apoyarte en el aprendizaje de la asignatura de Matemáticas de Primer. Trabajar en ella contribuirá a que desarrolles un pensamiento analítico y de autoevaluación respecto de aquellos conceptos, habilidades o procedimientos en los que requieres mayor apoyo. La Guía cuenta con cincuenta preguntas de opción múltiple, cada opción de respuesta está acompañada por una retroalimentación que te permitirá saber si tu elección fue acertada o si necesitas corregirla. Esta información te servirá para que pongas en práctica tus conocimientos, habilidades y procedimientos del contenido que se aborda en cada pregunta. Para ampliar las posibilidades de estudio de la materia, podrás consultar y trabajar con diversos recursos multimedia disponibles en el CD que contiene la versión electrónica de la Guía. Esperamos que la resolución de esta Guía constituya para ti una oportunidad más de aprendizaje.
INSTRUCCIONES……………………………………………………………….…………. PARA EL MAESTRO…………………………..…………………………………............. PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES • BLOQUE I …………………………………………………………………….………….. Preguntas 1 a la 12 Sugerencias didácticas • BLOQUE II ……………………………………………………………………................ Preguntas 13 a la 22 Sugerencias didácticas • BLOQUE III ………………………………………………………….…………………… Preguntas 23 a la 35 Sugerencias didácticas • BLOQUE IV …………………………………………………………….………………… Preguntas 36 a la 44 Sugerencias didácticas • BLOQUE V ……………………………………………………………..……………….. Preguntas 45 a la 50 Sugerencias didácticas REGISTRO DE RESPUESTAS………………………………………….……….................. 112 CLAVE DE RESPUESTAS………………………………………….……...........…………… 113 CRÉDITOS ………………………………………………………………….…….……………. 114 100 83 46 31 5 3 4
consulta el apartado Índice de Recursos del disco que contiene la versión electrónica de la Guía. trabajando con diversos recursos multimedia como textos. 3. Podrás ampliar el estudio de los contenidos que se abordan en esta Guía. utiliza la hoja de Registro de respuestas ubicada al final de esta Guía. practicar o comprobar tus conocimientos y habilidades referidas a la asignatura. Una vez que hayas respondido las preguntas con las que decidiste trabajar. Para acceder a ellos. Para registrar la opción elegida. 5. identifica cuáles son los contenidos que dominas y en cuáles necesitas trabajar más.INSTRUCCIONES Antes de comenzar a resolver la Guía. Lee con atención cada pregunta y las opciones de respuesta que te ofrece. esta acción te permitirá saber cuál es la opción correcta. Antes de seleccionar una opción. atiende las siguientes indicaciones. 3 . 1. 4. 2. lee las retroalimentaciones que se proporcionan y realiza lo que se pide. de acuerdo con tus aciertos y errores. videos e interactivos. éstos te permitirán reforzar. consulta la Clave de respuestas y.
El trabajo con Español y Matemáticas con apoyo de la GIS. 4 . Las retroalimentaciones propician que los estudiantes reflexionen. analicen.PARA EL MAESTRO La GIS de Español y Matemáticas. Las sugerencias didácticas que se incluyen en cada reactivo buscan ampliar las opciones de intervención y enseñanza. planteando reactivos que van más allá de la recuperación memorística de contenidos declarativos. • Propiciar contextos y prácticas socioeducativas. las retroalimentaciones y los recursos multimedia. Esto permite identificar fortalezas. Los resultados que el grupo obtenga con la resolución de la GIS. constituyen un apoyo a la enseñanza y el aprendizaje. los alumnos pueden reflexionar y analizar las opciones compartir sus logros y apoyarse para resolver de manera conjunta las diversas situaciones planteadas en las preguntas. facilita —en el interior del aula— el trabajo colaborativo. puede ser un insumo para identificar aquellos contenidos que representen mayor dificultad para los alumnos. deficiencias y establecer metas a cumplir. Responder a exámenes estandarizados con preguntas de opción múltiple es una práctica cotidiana en las aulas. La guía pretende que los estudiantes aprendan a ser reflexivos ante este tipo de instrumentos. • Estimular el pensamiento analítico y metacognitivo. infieran o contrasten lo que saben de la opción elegida. algunos de sus propósitos son: • Incentivar una nueva forma de responder preguntas de opción múltiple. • Fortalecer la enseñanza de los contenidos curriculares.
¿Estás de acuerdo? • Copia la siguiente recta numérica en tu cuaderno para localizar aproximadamente esos números y explicar tu respuesta. toma una cinta métrica o una regla y localiza aproximadamente dónde se encuentran los números 4 (se lee “cuatro milésimos”) y 1000 4 100 (se lee “cuatro centésimos”). haz lo siguiente: considera que un metro (1 m) es la unidad.PREGUNTAS Y RETROALIMENTACIONES BLOQUE I Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 1. . 8 1000 3 100 • ¿Cuál número es mayor. 3 3 o 4 1000 ? Un alumno contestó que es mayor 3 3 4 1000 porque tanto el numerador como el denominador son mayores que en . . por ejemplo. ¿Cuál de los siguientes números es el mayor? a) 7 8 7 4 3 20 . con denominador 800. 3 3 o 20 100 ? d) • ¿Cuál número es mayor. 7 8 u 8 8 ? ¿Cuál número es mayor. 8 8 o 3 3 ? • Copia en tu cuaderno la recta numérica y verifica tus respuestas b) 20 100 • ¿Cuál número es mayor. 4 100 • ¿Cuál número es mayor. 20 100 o 7 8 ? • Verifícalo encontrado fracciones equivalentes. 5 . 4 1000 o 4 100 ? Si no estás seguro. c) 4 1000 • ¿Cuál número es mayor.
09. Recuerda que 0. 0. ¿En cuál opción los números están correctamente ordenados de mayor a menor? a) 0. 0.2.17 o 0.010 es mayor que 0. 0.010 o el 0.17. • ¿Cuál número es mayor.09. c) 0. 0.010. compara las cifras de cada columna para ver cuál número es mayor. 0.17 es mayor que 0.010 son diez milésimos y 0.2.010. 0.09? • Puedes verificarlo colocando los números en una tabla como la siguiente.2 es igual que 0. d) 0.09.09. 0.2 • ¿Es cierto que 0. 0. 0.17.010.2 porque el primer número tiene dos cifras después del punto (el 1 y el 7) y el segundo solamente una (el 2)? • Explica tu respuesta.2 • ¿Es cierto que 0.2 • ¿Cuál número es mayor.20? • Copia la recta numérica en tu cuaderno y verifica tu respuesta.17.010 • ¿Es cierto que 0.2? • Copia la siguiente recta numérica en tu cuaderno y localiza estos números. 6 .2? b) 0. 0. Luego. el 0. 0. 0. 0.17.2 son dos décimos.
3. • ¿Corresponde con el punto señalado mediante la flecha? 7 . El siguiente segmento se dividió en partes iguales. ¿Es cierto que el tamaño de cada una de las partes es igual al resultado de la división 2 ÷ 3? • ¿La fracción 2 representa esa medida? Verifícalo sumando 2 + 2 + 2 . • ¿Cuál fracción le corresponde al segundo punto? • ¿Cuál fracción le corresponde al tercer punto? ¿Esta fracción es equivalente a 2? b) 1 2 • Copia la recta numérica de la pregunta en tu cuaderno y localiza al 1. 3 3 3 3 • ¿El resultado es igual a 2? d) 3 2 • Copia en tu cuaderno la recta numérica de la pregunta y localiza al 1 y al • Localiza 3 2 1 2 . en la recta al sumar tres veces el segmento que mide 1 2 . ¿Cuál es la fracción que corresponde al punto señalado? a) 1 3 • Si al primer punto le hacemos corresponder la fracción 1 3 . 2 • ¿El primer punto cumple con esta característica? c) 2 3 • El segmento se dividió en tres partes iguales. • 1 debe estar a la misma distancia de 0 que de 1.
1 al 1? ¿Cuál es la distancia del 1.2? • La flecha N señala el número 1.1.8 y 1.1 en la siguiente recta.5 en la siguiente recta.05? 8 .2 • La flecha M señala el número 0. b) A mide 1. B mide 0. 0.4 • ¿Cuál es la distancia del 1.2 • ¿Cuántas divisiones tiene cada entero en la recta numérica? • Anota los valores que corresponden en la siguiente recta. B mide 0.1.05.8 y C mide 0.5.5 al 2? • Localiza al número 1.4 y C mide 0.4. B mide 0.5 al 1? ¿Cuál es la distancia del 1. • ¿El primer punto cumple con esta característica? c) A mide 1.1 al 2? • Localiza las medidas de las tiras: 0.4 ¿dónde va el 0. B mide 0. d) A mide 1.4 • ¿Cuál es la distancia del 1. ¿Cuánto mide cada tira? a) A mide 1.2 ¿dónde va el 1.4 y C mide 0.8 y C mide 0.4.
4. Así. ¿cuál es el segundo término?. Elige la opción que relaciona correctamente ambas columnas. 11. B – IV. b) A – III.… • ¿La regla “sumar 2 al término anterior” sirve para obtener los términos de la primera sucesión? ¿Y sirve para obtener los términos de la segunda sucesión? • ¿Esta regla describe una sola sucesión de números? ¿Por qué? • Encuentra otra sucesión de números que tenga la misma regla que las dos anteriores. 9 . 13. B – II. 15. 4. completa la siguiente tabla: • Compara los términos de la sucesión anterior con los términos de la sucesión C). la regla “multiplicar el lugar del término por 5 y sumar 4” se expresa como: 5n + 4. B – II. d) A – I. 14. 21. • ¿Cuál es el primer término de la sucesión que se genera con la regla “los números impares”?. 19.…? Completa la siguiente tabla: • Compara los términos de la sucesión anterior con los términos de la sucesión B).… B) 7. es decir. C – I.5. 6. 17. ¿cuál es el tercer término? • Compara los términos de la sucesión anterior con los términos de la sucesión B). 9. 10. 2. 16. • La letra n puede representar el número del lugar del término. B – IV. C – I. • ¿Cuál es el primer término de la sucesión que se genera con la regla “multiplicar el lugar del término por 5 y sumar 4”?. el primer número impar. C – III. c) A – I. ¿cuál es el tercer término? • Para esta sucesión. En la columna izquierda se presentan los primeros términos de algunas sucesiones y en la columna derecha algunas reglas que permiten encontrar estas sucesiones. 8. ¿Qué valores toma esta expresión cuando se sustituye n por los valores 1. • Para las siguientes sucesiones de números: A) 2. C – III. 3. ¿cuál es el segundo término?. a) A – III. 12.
¿cuántos cuadrados debe tener la figura 1?. ¿cuántos cuadrados deben tener las figuras 2. • De acuerdo con la regla “multiplicar por 4 el número de la figura y sumar 1”. • De acuerdo con la regla “multiplicar por 5 el número de la figura y sumar 4”. después cuenta el número de cuadrados que tienen. 10 . ¿cuántos cuadrados debe tener la figura 5? Dibuja la figura 5. ¿cuántos cuadrados deben tener las figuras 5 y 6? Compara tus respuestas. • ¿Cuántos cuadrados tendrán las figuras 20 y 30? c) Multiplicar por 5 el número de la figura y sumar 4. ¿Cuántos puntos tiene? b) Multiplicar por 4 el número de la figura y sumar 1. ¿cuántos cuadrados debe tener la figura 1?. • Según la regla. • ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 1? ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2? • Si al número de cuadrados de la figura 1 se le suma 5. Cuenta el número de cuadrados que tiene y compara tus respuestas.6. ¿se obtiene el número de cuadrados de la figura 2? • Dibuja la figura 5. 3 y 4? Completa la siguiente tabla: • Según esta regla. Observa la siguiente sucesión de figuras: ¿Cuál es la regla con la que se puede obtener el número de cuadrados de cada figura de la sucesión? a) Sumar 5 cuadrados a la figura anterior. 3 y 4? Completa la siguiente tabla: • Dibuja las figuras 5 y 6. ¿cuántos cuadrados deben tener las figuras 2.
¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la siguiente figura? a) 8a + 4b • ¿Cuántos lados de longitud a tiene la figura? ¿Y cuántos lados de longitud b? • Si a mide 5 cm y b mide 2 cm. • ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 1? ¿Cuál es el primer número impar? • ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2? ¿Cuál es el segundo número impar? 7.d) Los números impares. ¿cuál es el valor de la expresión 8a + 4b? b) 12ab • Observa el siguiente triángulo isósceles: • ¿Cuántos lados de longitud x tiene el triángulo? ¿Y cuántos de longitud y? • ¿Con cuáles de las siguientes expresiones se puede calcular su perímetro? I) y + x II) xy III) x + 2y IV) x + y + y • ¿Con cuál expresión se puede calcular el perímetro de cada brazo de la figura con forma de cruz? I) 2a + b II) ab c) ab + ab + ab + ab 11 . ¿cuánto mide el perímetro de la figura? • Si a = 5 y b = 2.
• Observa el siguiente rectángulo: • ¿Cuántos lados de longitud x tiene el rectángulo? ¿Y cuántos de longitud y? • ¿Con cuáles de las siguientes expresiones se puede calcular su perímetro? I) x + y + x + y II) yx III) 2x + 2y IV) x + y • ¿Cómo calcularías el área del rectángulo? • ¿Cuántos lados de longitud a tiene la figura con forma de cruz? ¿Y cuántos lados de longitud b? d) 4a + 4b • ¿Cuántos lados de longitud a tiene la figura? ¿Y cuántos lados de longitud b? • Si a mide 4 cm y b mide 3 cm. ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas sirven para calcular el área del rectángulo? I) 5 × m × n II) 6mn III) 3m + 2n IV) 3m × 2n V) 3m + 2n + 3m + 2n a) II y V. ¿cuál es el valor de la expresión 4a + 4b? 8. ¿cuál es el valor de la expresión 3m + 2n + 3m + 2n? • ¿Es cierto que las expresiones anteriores son equivalentes? • ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo? b) I y III. ¿cuánto mide el perímetro de la figura? • Si a = 4 y b = 3. 12 . • Si m mide 2 cm y n mide 1 cm. ¿cuánto mide el área del rectángulo? • Si m = 2 y n = 1. ¿cuál es el valor de la expresión 6mn? • Si m = 2 y n = 1.
¿cuánto mide el área del rectángulo? Si m = 4 y n = 3.• Evalúa las expresiones que elegiste con los valores de m y n que se indican y completa la tabla: • Con los mismos valores de m y n. ¿obtuviste igual valor del área en ambas expresiones? • ¿Estas expresiones son equivalentes? • ¿Cómo se calcula el área de un rectángulo? c) IV y V. • Evalúa las expresiones que elegiste con los valores de m y n que se indican y completa la tabla: • Con los mismos valores de m y n. • • • • • Si m = 4 cm y n = 3 cm. ¿obtuviste igual valor para el área del rectángulo con ambas expresiones? • ¿Estas expresiones son equivalentes? 13 . ¿cuál es el valor de la expresión 3m × 2n? Si m = 4 y n = 3. ¿cuál es el valor de la expresión 3m + 2n + 3m + 2n? ¿Es cierto que las expresiones anteriores son equivalentes? ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo? d) II y IV.
Eje: Forma. b) Son figuras simétricas porque las dos figuras son idénticas: tienen ángulos y lados correspondientes iguales. 14 . espacio y medida 9. Determina en cuál de los siguientes incisos se han trazado figuras simétricas con respecto a la recta l y se muestra una justificación correcta de la construcción. a) Son figuras simétricas con respecto a la recta l porque las figuras tienen la misma forma. • ¿Cuándo dos puntos son simétricos con respecto a una recta? • Toma dos vértices correspondientes de la opción que seleccionaste y revisa si cumplen con ser simétricos con respecto a la recta l.
¿cómo deben de verse dos figuras simétricas? • Dibuja cómo debe verse el reflejo de la figura.• El eje de simetría funciona como un espejo. si la recta l fuera un espejo. • ¿Qué se debe de cumplir para que dos polígonos sean simétricos con respecto a una recta? c) Son figuras simétricas porque son iguales: tienen ángulos y lados correspondientes que miden lo mismo. 15 .
• Compara las figuras de la opción que elegiste con las siguientes figuras. 16 . • ¿Cómo son los ángulos y los lados correspondientes de estos polígonos? • ¿Son simétricas con respecto a la recta l esta pareja de polígonos? • ¿Qué cambia con respecto a la opción que elegiste? • En la simetría con respecto a una recta. además de conservarse la medida de los lados y de los segmentos de recta ¿qué otras propiedades se tienen que cumplir para que dos figuras sean simétricas? d) Son figuras simétricas con respecto a la recta l porque cada pareja de puntos correspondientes se encuentra a la misma distancia de la recta l y las líneas que los unen son perpendiculares al eje.
b) Cantidad de ligas 4 12 20 Cantidad a pagar $0.00? ¿Cuánto cuesta una liga? 17 .60 $1. ¿Cuál de las siguientes situaciones es de proporcionalidad directa? a) Edades en años Mateo Celia 2 4 3 5 4 6 • ¿Puedes multiplicar la edad de Mateo por un número y obtener la edad de Celia? • Recuerda que se debe utilizar el mismo número en todos los renglones. ¿se triplica el costo? ¿Cuántas ligas se puede comprar con $2.20 $0.• ¿Qué diferencia hay entre la opción c) y la opción que elegiste? • ¿Es suficiente que dos polígonos tengan lados y ángulos correspondientes iguales para decir que son simétricos? • ¿Las siguientes figuras son simétricas con respecto a la recta l? • ¿Por qué? Eje: Manejo de la información 10.00 • • • • ¿Cuánto cuestan 60 ligas? Si se triplica el número de ligas.
la cual consiste en realizar diferentes carreras uno contra uno. Cinco alumnos –Ángel.00 $3. Beto. ¿en cuántas carreras diferentes aparece Carlos? ¿Y en cuántas aparece Daniel? • ¿Están representadas todas las carreras en las que va a participar Carlos? b) 18 .5 • ¿Es cierto que cuando el bebé tenga 3 meses pesará 5 kilogramos? • Si se duplica el número de meses. Carlos.00 • La cantidad a pagar por 2 canicas deber ser la mitad de lo que se paga por 4.30 $1. Cada uno de los alumnos deberá correr contra todos los demás. y el doble de lo que se paga por una. ¿se duplica el peso? d) Cantidad de canicas 1 4 12 Cantidad a pagar $0. ¿cuál de los siguientes procedimientos representa las carreras que se realizarán en la competencia? a) • La siguiente figura representa la carrera entre Enrique y Ángel.0 3.5 4. • En el diagrama. Daniel y Enrique– van a participar en una competencia.c) Edad de un bebe en meses 0 1 2 Peso en kilogramos 3. 11.
B y el resultado B. ¿esa es una carrera posible? • ¿Cuáles otras carreras no serían posibles? c) • En el diagrama de árbol como parte de los resultados aparece: • ¿Cuáles son las carreras que están representadas? • Otra parte de los resultados es: 19 .• ¿El resultado A. A? De acuerdo con las condiciones de la competencia. A indican lo mismo? • ¿Qué carrera representa el resultado A.
¿La carrera que representa esta pareja es diferente a la que representa B. ¿cuántas carreras correrá cada alumno? d) • En la tabla de doble entrada aparece el resultado B.B. A? ¿Por qué? • Considera la tabla de doble entrada completa: ¿En cuántas carreras diferentes aparece Enrique? ¿Y en cuántas aparece Daniel? 20 . ¿las carreras que se forman son todas diferentes? ¿Por qué? • Considera el diagrama de árbol completo: ¿Cómo se representa la carrera entre Daniel y Carlos? ¿En cuántas carreras diferentes aparece Carlos? ¿Y en cuántas aparece Daniel? • En total.A.• SI consideras las carreras que se representan en esta parte del árbol y las comparas con la anterior. ¿Qué carrera representa esta pareja? • En la tabla también aparece el resultado A.
todas estas carreteras son de una sola dirección. si sabemos que sale de la ciudad A y quiere llegar a la ciudad D? a) 2 • Antonio encontró un par de recorridos que se pueden realizar de la ciudad A a la ciudad D. B. C y D. los señaló con las letras r y s. • También. • ¿Hay más recorridos para ir de la ciudad A a la ciudad D? 21 . indicados con las letras c y d: • Explica por qué estos cuatro recorridos son distintos. Observa la siguiente imagen que representa un mapa de carreteras que comunica las ciudades A. Manuel encontró y señaló un par de recorridos que se pueden realizar. ¿Cuántos recorridos diferentes puede hacer un viajero.12. Como puedes ver por la dirección de las flechas. respectivamente.
¿podría haberse utilizado la carretera azul? En total. para ir de la ciudad A a la ciudad B se ha utilizado la carretera roja. ¿cuántos recorridos diferentes hay? 22 .b) 6 • Joel identificó mediante colores las carreteras que hay entre cada dos ciudades. como se ve en la imagen: • Algunos de los recorridos que encontró los señaló de la siguiente manera: • De acuerdo con el diagrama de árbol.
como se muestra en seguida: • Esto le ayudó para encontrar algunos de los recorridos que podría realizar el viajero y los anotó en una tabla como la siguiente: Número de recorrido 1 2 3 Carreteras por las que se pasa 1.c) 7 • María identificó y numeró cada una de las siete carreteras que aparecen en la imagen del mapa. 4. 7 1. 6 • Completa la tabla y verifica tu respuesta. 5. 3. 23 . 7 1.
d) 12 • Bernardo marcó e identificó las carreteras que hay entre cada ciudad como se observa en la siguiente imagen: • ¿Cuántas maneras hay para ir de la ciudad A a la ciudad B? • Bernardo indicó que algunas maneras para ir de la ciudad A a la ciudad C son: • ¿Cuántas maneras más hay para ir de la ciudad A a la ciudad C? • ¿Y cuántas maneras hay para ir de la ciudad A a la ciudad D? En tu cuaderno completa el siguiente diagrama de árbol para comprobarlo. 24 .
etc.4 sólo llega hasta décimos y 0. 2 25 . Utilice la recta numérica o la comparación de cifra por cifra para explicar el orden entre los números decimales. aunque tenga más cifras. aún así.SUGERENCIAS DIDÁCTICAS A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. por ejemplo. y en el segundo en 8. entonces. Un caso sería pensar que 5 5 es mayor que 100 10 Sugerencias didácticas 1 porque 100 es mayor que 10. por ejemplo. pues piensan que los números decimales con más cifras son mayores que los que tienen menos cifras. por ejemplo. y los centésimos son más chicos que los décimos. luego en los centésimos. Reflexionar acerca del nombre de los números también puede ser de utilidad en ciertos casos. hay que fijarse en los décimos. que 0. Otra forma para compararlos es “rellenar” con ceros. al darse cuenta de que un séptimo es mayor que un octavo porque en el primer caso la unidad está dividida en 7 partes iguales. Bloque I Preguntas Eje Orden entre números fraccionarios. Sentido numérico y pensamiento algebraico Es común que los alumnos no tomen en cuenta la relación entre el numerador y el denominador.62 porque 0. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula. Si la parte entera es igual.62 a centésimos.9. y 5 8 40 40 Orden entre números decimales. lo que da lugar a diversos errores. al número que tenga menos cifras se le pueden poner ceros a la derecha para que tenga la misma cantidad de cifras que el otro. Por ello es frecuente que se equivoquen. En muchas ocasiones.24. Por ejemplo: para saber cuál es mayor. O bien. Se trata de escribir con el mismo denominador las fracciones que van a compararse.5 es mayor que 3. La búsqueda de fracciones equivalentes es una manera eficiente para compararlas. para compararlos: 3.4 es mayor que 0. 0.499 porque el primero tiene 5 décimos y el segundo 4.240 es el mismo número que 2. La localización de estos números en la recta numérica puede ser un recurso útil para que los alumnos se percaten de estos errores. 4 7 32 35 y pueden escribirse así. Ponga varios ejemplos y enfatice que un número decimal puede tener menos cifras que otro y. ser mayor.88888 es mayor que 0. pensar que los números mayores son los que tienen un mayor denominador (independientemente del numerador) o viceversa. Si los alumnos ya saben que 2. los alumnos aplican lo aprendido con los números naturales cuando comparan números decimales.
También puede pedirles que tracen segmentos divididos en 5 partes iguales. Escriba en el pizarrón distintas rectas numéricas alineadas en las que cada entero se divida en: 10 partes iguales (cada una valdrá 0. etc. pero supone también algunas dificultades. información dada por el denominador. se les plantea la suma 1 1 1 3 + + . Con este material podrán realizar las actividades que se piden en las retroalimentaciones. Explique que esta técnica funciona porque 3 décimos es igual a 300 milésimos.25) 4 26 . sugiera a los alumnos que en una hoja tracen varios segmentos divididos en 3 partes iguales.268 se pueden escribir así: 0. ¿cada parte es mayor. Deben saber que = 1. en 8. Al inicio debe estar el 0 y al final el 2. Por ejemplo. Por ejemplo. en 6. 9 (mayores que 1. La recta numérica es un recurso útil para ubicar y comparar números fraccionarios. como para que comprendan que la opción a) es incorrecta. Al igual que con los decimales.3 y 0. Fracciones en la recta numérica. termine en 3 y esté dividido en 8 partes iguales. que 4 11 1 pueden ser unitarias (con numerador igual a 1. 3 de Proponga fracciones de todos estos tipos y antes de que las ubiquen en la recta pregúnteles en qué orden creen que estarán. iguales a 1 (por ejemplo ) y menores que 1. Entonces puede formular preguntas como ¿cuánto mide cada parte?. Es importante que los alumnos se familiaricen con fracciones impropias 3 6 11 ). Una de las primeras cosas que los alumnos necesitan hacer al enfrentar este tipo de tareas. así que el punto señalado con la 3 3 3 3 1 flecha no puede ser . Comenten si fueron ciertas o no sus anticipaciones para cada una y pídales otra fracción equivalente.300 0.Por ejemplo. para comparar 0. un segmento que empiece en 0. La recta numérica es un recurso útil para trabajar varios aspectos de los números decimales. menor o igual que 1? Números decimales en la recta numérica. es leer correctamente la escala con la que se elaboró cada recta.1) 5 partes iguales (cada una valdrá 0. los alumnos deben considerar en cuántas partes deben dividir cada entero. como ) o no. Para estudiar qué sucede con este reactivo.2) 4 partes iguales (cada una valdrá 0.268 Así es fácil ver que 300 milésimos es mayor que 268 milésimos.
indíqueles que escriban los primeros cinco números impares y los comparen con la sucesión C). de esta manera. indíqueles que primero expliquen con sus palabras cómo pueden 7 27 . Sugiérales determinar. 1. determinar aquellas sucesiones de números que no se pueden asociar con las reglas dadas. Sugiera a los alumnos que apliquen la regla seleccionada para determinar los primeros términos que se obtienen con esa regla y que los comparen con el número de cuadrados que tienen las figuras de la sucesión. pídales que construyan la figura 5 de la sucesión y. las reglas “sumar 2 al término anterior” y “sumar 4 al término anterior” y determinen si este tipo de reglas generan una sola sucesión de números. los primeros términos de la sucesión numérica correspondiente. junto con los alumnos. para cada una de las reglas que están en la columna derecha (Reglas). En este reactivo se espera que los alumnos identifiquen las reglas asociadas a determinadas sucesiones de números. En matemáticas es importante el uso de literales para representar cantidades. En este reactivo se debe determinar la regla que representa una sucesión de figuras.9. si lo considera conveniente. Así. 10.5. 5 Sucesiones de figuras. Si algunos alumnos eligieron la opción d). 0.4. pídales que escriban los primeros cinco números impares y comparen su respuesta con el número de cuadrados que tienen las primeras figuras de la sucesión. Indíqueles que comparen sus resultados y determinen si la regla elegida genera el número de cuadrados de cada una de las figuras de la sucesión. 15. por ejemplo. 0. el trabajo de los estudiantes en este reactivo se centra en determinar la expresión para calcular el perímetro de una figura. Indique también que determinen el número de cuadrados que tienen otras figuras de la sucesión. 6.2 partes iguales (cada una valdrá 0. la figura 6. así como su empleo en expresiones algebraicas. las figuras 5. Si observa que los alumnos tienen dificultades para determinar la expresión.05) Luego pídales que localicen en cada una los números 0. entre otras. En algunas tendrán que hacer aproximaciones. Analice. 6 Perímetros y expresiones algebraicas.5) 20 partes iguales (cada una valdrá 0. Sucesiones numéricas. 0.1. Si detecta alumnos que eligieron las opciones de respuesta a) y b). 1.05. Luego. para ello puede preguntarles cuál sería el primer término de la sucesión. lo importante es que ubiquen con cierta precisión en dónde debe estar cada número. Así podrán comparar las sucesiones de números que obtienen con las que están en la columna izquierda del reactivo (Términos de la sucesión) y.
con las medidas del largo y del ancho dadas. independientemente de la orientación de las figuras y de las distancias que guarden los puntos respecto al eje. Es probable que algunos alumnos distingan claramente entre dos figuras simétricas con respecto a una recta y dos que no lo son. recuérdeles que un punto es simétrico a otro con respecto a una recta cuando ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a la recta. y que resuelvan los problemas propuestos en las opciones b) y c). De esta manera. También puede sugerirles que revisen las retroalimentaciones y responder las preguntas que se plantean en cada opción. podrán comparar numéricamente si las expresiones dan los mismos valores para el área de la figura. que escriban una expresión en la que usen literales. b) y c). espacio y medida 9 Simetría con respecto a un eje. A los alumnos que hayan elegido una opción incorrecta. Esto no pasa en el caso de las figuras de las opciones a). sugiérales que describan con sus palabras cómo se calcula el área de un rectángulo. Analice con ellos algunos ejemplos y contra ejemplos que muestren que no es suficiente que los ángulos se conserven. para 28 . o que los segmentos tengan el mismo tamaño. sugiérales que escriban ambas y las comparen.calcular el perímetro de las figuras planas propuestas. Además es conveniente explorar con ellos cuándo es que estas argumentaciones son suficientes para decidir si dos figuras son simétricas con respecto a un eje y cuándo no. o bien. pues de esta manera se podrá valorar cómo las interpretan. Un error frecuente es que los estudiantes confundan la expresión para calcular el perímetro con la del área (y viceversa). pero que no puedan dar los argumentos para explicar por qué. 8 Forma. Haga con los estudiantes ejercicios en donde se encuentren los simétricos de diversas figuras con respecto a una recta y pídales que realicen los trazos necesarios con regla y compás o escuadras. La retroalimentación de cada opción tiene por objeto que los alumnos apliquen las expresiones algebraicas que eligieron para calcular el área del rectángulo. Áreas y expresiones algebraicas. esto con el propósito de que identifiquen la expresión para calcular el perímetro de figuras más sencillas. Un error que se comete con frecuencia es asociar figuras simétricas con figuras iguales. Si lo considera necesario. En este reactivo se espera que los alumnos identifiquen las expresiones algebraicas equivalentes con las que se puede calcular el área de un rectángulo. Es conveniente que los alumnos describan con sus palabras las expresiones algebraicas de la opción elegida.
es decir. de acuerdo con las condiciones de la competencia. Si bien es cierto que con esta representación queda claro que. 29 . anímelos a explicar por qué eligieron cada opción y.B como diferente a la pareja B. Los alumnos que seleccionan la opción d) han descartado resultados como A.A no es una pareja que pueda participar en una carrera ya que Ángel no puede correr contra el mismo. Si disminuye a la tercera parta. por ejemplo. valorar si es necesario que se realicen dos carreras entre Ángel y Beto (o cualquier otro par de parejas de manera similar a la anterior). al final. Enrique contra Ángel es la misma carrera que Ángel contra Enrique. Para muchos alumnos es difícil distinguir la variación proporcional de otras situaciones. comenten lo siguiente: • Cuando uno de los valores es 0 el otro también tiene que ser 0. Una vez que la mayoría de los alumnos han comprendido e identificado el resultado correcto puede pedirles que traten de encontrar una operación que represente ese resultado. solamente están representadas las carreras en las que participa Ángel. • Recalque que se debe MULTIPLICAR por el número buscado. Ahora se pide la aplicación de ese conocimiento. aparecen resultados que no podrían ocurrir de acuerdo con las condiciones de la competencia. • Si uno de los valores aumenta al doble. los alumnos pueden elegirla si consideran que. en la retroalimentación de la opción c) se les trata de orientar a los alumnos a partir de observar que cada pareja es diferente y que. hágalo usted y traté de reflexionar con ellos acerca de cómo se obtiene cada factor. por el tipo de flechas utilizadas (dobles). Finalmente. Por ejemplo. Si nadie propone la operación 5X4.reforzar bien las propiedades de la simetría. • Siempre es posible multiplicar los valores de una columna por un mismo número para encontrar sus correspondientes en la otra columna. En la retroalimentación de la opción correcta se pide al alumno trazar una figura simétrica con respecto a otra para verificar que la opción elegida se escogió con base en el conocimiento de la justificación correcta. En este reactivo los alumnos deberán identificar el procedimiento con el que se representa de manera más adecuada todas las carreras que se van a realizar. En cuanto a la opción a). su correspondiente también debe disminuir a la tercera parte. En la opción b). cada alumno debe realizar cuatro carreras. pero no consideran si es viable contar la pareja A. se representan todas las parejas que pueden formarse entre los cinco alumnos. 11 Procedimientos para resolver problemas de conteo. el primer resultado A.A. su correspondiente también debe aumentar al doble. 10 Manejo de la información Situaciones de proporcionalidad directa.A.
o bien porque no enumeran todos los modos diferentes en los cuales puede realizar el recorrido el viajero. que comparen entre ellos sus respuestas y analicen el diagrama de árbol que aparece en la retroalimentación de la opción b) o la tabla de la retroalimentación c). En la retroalimentación se recomienda enumerar las carreteras y usar una tabla o un diagrama de árbol para organizar de manera ordenada los recorridos. Al final puede pedirles que lean todas las retroalimentaciones para que hagan un diagrama de árbol y una lista con todas las posibles formas de ir de la ciudad A a la ciudad D. Se sugiere. se espera que sea suficiente con revisar y completar el diagrama de árbol propuesto para que identifiquen los recorridos que no han encontrado. Luego pida que revisen la retroalimentación de la opción d). 30 . tal vez le digan que únicamente se pueden realizar dos recorridos completos debido al número de carreteras que hay.12 Diferentes maneras de realizar un recorrido. Esto podría suceder debido a que los alumnos no consideran la posibilidad de combinar las carreteras. se requiere poner en práctica una manera de identificar las carreteras para formar los recorridos que sea más manejable y clara. le señalen las carreteras que se encuentran en el extremo superior. Quizá. Si observa que algunos alumnos seleccionan la opción a). adicionalmente a la realización de la retroalimentación. pídales que argumenten su selección. En el caso de que observe que algunos alumnos seleccionen la opción b). Algunas de las razones por las cuales los alumnos pueden elegir la opción c) son: porque solamente cuentan el número total de carreteras que aparecen en la imagen del mapa (son siete). Ante cualquiera de estas situaciones u otras. por ejemplo.
¿por qué? b) 6 28 • ¿Qué necesitas hacer para sumar o restar fracciones que tienen distinto denominador? • Escribe una fracción equivalente a 7 con denominador 64. ¿por qué? 1 con denominador 64. ¿Se puede escribir esa • Escribe una fracción equivalente a 4 fracción con denominador 16?. ¿Se puede escribir esa 32 fracción con denominador 16?.BLOQUE II Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 13. 7 o 1 ? 32 4 31 . ¿Cuánto mide la diferencia entre los diámetros de las dos llaves? a) 1 32 • ¿Se obtiene el mismo resultado al efectuar las siguientes restas?. ¿y con denominador 32?. ¿por qué? • ¿Cuáles denominadores encontraste que son comunes a las fracciones 7 y 1 para 32 4 poder sumarlas o restarlas? c) 15 32 • ¿Qué operación debes efectuar para encontrar la diferencia entre dos medidas? • ¿Cuál medida es mayor.
¿Cómo quedaría la suma 0.38 • ¿Cuántos milésimos hay en 0.3 se lee “tres décimos”.11 • Para sumar números con punto decimal hay que alinearlos de manera que el punto quede en la misma columna.038 • 0. b) 0.3? a) 0. ¿Cómo se lee el resultado que elegiste (0. Recuerda que todo el rectángulo vale 1.038)? • Representa este número en un rectángulo-unidad como el siguiente.d) 28 32 • ¿Qué operación debes efectuar para encontrar la diferencia entre dos medidas? • ¿Qué necesitas hacer para sumar o restar fracciones que tienen distinto denominador? 14. ¿Cuál es el resultado de sumar 0. Recuerda que todo el rectángulo vale 1.08 + 0.3? c) 0. 32 .38? Verifica tu respuesta en el siguiente rectángulo unidad.08 se lee “ocho centésimos” y 0.08 + 0.
¿Cuál es el área de la siguiente figura? c) 13 2 cm 45 • ¿ ¿El siguiente cuadrado mide un cm por lado. • ¿En cuántos rectángulos pequeños quedó dividido el cuadrado? • En el cuadrado señala un rectángulo cuyos lados midan 3 cm y 5 8 9 cm. Un lado se dividió en 5 partes iguales y otro lado se dividió en 9 partes iguales.08? 15.3? ¿Cuántos centésimos hay en 0.1 • ¿Cuántos centésimos hay en un décimo? ¿Cuántos centésimos hay en tres décimos? • ¿Cuántos centésimos hay en 0.d) 1. • ¿Cuánto mide el área de este rectángulo? 33 .
¿crees que sea más de una vez. Para hacer una ración de puré de papa se necesita raciones se pueden hacer con a) 7 4 1 5 de kg de papas. ¿Cuántas de kg? 4 35 • ¿Hay más de un entero o menos de un entero en • ¿Cuántas veces cabe 1 5 7 4 ? en 7 4 ?.b) 24 2 cm 45 • ¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo?. el producto es menor que la cantidad original. ¿cuál es la división qué debes hacer en este caso? b) 7 20 • ¿Crees que el número de raciones que se pueden preparar sean más de una? ¿Más de cinco? • ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 1 kg de papa? • ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 2 kg de papa? • ¿Qué operación se hace cuando se multiplica el numerador de una fracción por el numerador de la otra. • ¿ 67 es menor que 3 o 8 ? 45 5 9 d) 16. ¿qué operación necesitas hacer con las medidas dadas? 67 2 cm 45 • Si multiplicas una cantidad por un número menor que 1. ¿qué operación necesitas hacer con las medidas dadas? c) 27 2 cm 40 • ¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo?. y el denominador de una por el denominador de la otra? 34 . más de 10 veces? • Para saber cuántas veces cabe un número en otro se puede hacer una división.
¿en qué casos el producto es menor que ambos números? b) 2. • En este caso ¿cuántos lugares debes recorrer el punto? d) 270. En el resultado el punto se recorre un lugar por cada cifra decimal que hay en total en los factores.9 cm.14). ¿cuánto medirá el perímetro aproximadamente? 35 .c) 31 20 • ¿Qué operación te permite saber cuántas veces cabe un número en otro?. El perímetro de una circunferencia se calcula multiplicando la medida de su diámetro por π.004 cm • Los números decimales se pueden multiplicar como si no tuvieran punto. a) 0. ¿cómo se hace esa operación cuando los números son fracciones? d) 35 4 • • • • ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 1 kg de papa? ¿Cuántas raciones se pueden preparar con 2 kg de papa? ¿Es cierto que dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco? ¿Cuál es el recíproco de 1 ? 5 17. Si el diámetro de una circunferencia mide 0.04 cm • Si consideras que el valor de π es aproximadamente 3 y el valor del diámetro es aproximadamente 0.27004 cm • Al multiplicar dos números.86 cm ¿cuánto mide su perímetro? (Toma π como 3. el producto es menor que A pero mayor que B? • Verifica tu respuesta haciendo las siguientes multiplicaciones: c) 27.7004 cm • ¿Es cierto que al multiplicar un número mayor que uno (A) por otro número menor que uno (B).
Es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. de acuerdo a la opción que elegiste (afirmación 2) traza una recta paralela al mismo. 36 . 5 • Dibuja en tu cuaderno un segmento de recta y luego una recta perpendicular que pase por uno de los extremos del segmento. a) 1. Es paralela al segmento. 4 • ¿Por qué la mediatriz es eje de simetría del segmento? • ¿Cuál es la medida del ángulo que se forma entre el segmento y su mediatriz? • En tu cuaderno traza un segmento y una recta perpendicular que pase por su punto medio. 4 • Traza un segmento de recta en tu cuaderno. • Compara tu resultado con lo que dice la afirmación 4. 3. Lee las siguientes afirmaciones. espacio y medida 18. 3. Es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento. 2. c) 2. La mediatriz de un segmento: 1. 5. Es el eje de simetría del segmento. Elige la opción en la que se indican todas las afirmaciones que son correctas. • ¿La recta es el eje de simetría del segmento? • ¿Cómo puedes comprobar que lo es? b) 1.Eje: Forma. • Escoge dos puntos sobre la paralela y mide las distancias que hay de éstos a cada uno de los extremos. • Compara tu resultado con lo que dice la afirmación 4. Es perpendicular al segmento y pasa por uno de sus extremos. (Afirmación 5) • ¿Se cumple la afirmación 1? • Toma un punto cualquiera en la perpendicular y mide la distancia que hay a cada uno de los extremos del segmento que trazaste. 4. Y luego. 4.
a) .Se une el vértice del ángulo con el punto P. Valora si en la opción que elegiste están todas las afirmaciones que son correctas.Se une el vértice del ángulo con el punto P. . Con centro en N y apertura NV se traza un arco que corte al que se trazó por M. Llama M y N a los puntos de corte. . Identifica las instrucciones adecuadas para trazar con regla y compás la bisectriz de un ángulo. • Realiza las otras dos instrucciones. 19. Llamamos P al punto de corte.Con centro en el vértice V del ángulo se traza un arco que corte a sus dos lados. . 4 • Observa la siguiente mediatriz • Verifica si cada una de las afirmaciones que elegiste se cumple. . • ¿Al unir el punto P con el vértice cómo quedaron los ángulos que se forman en cada caso? ¿En los tres casos la recta que une el vértice con el punto P es la bisectriz del ángulo? b) . Coloca los puntos M y N como se muestra a continuación para que estén en tres posibles posiciones: Cuando M está más cerca del vértice del ángulo.Se unen los puntos con una recta y se obtiene el punto medio P. y cuando M y N están a la misma distancia del vértice. cuando está más lejos.Con centro en M y apertura MN se traza un arco suficientemente grande.Se toma un punto cualquiera sobre cada lado del ángulo y se les llama M y N. • Dibuja en tu cuaderno tres ángulos de igual medida.d) 1. 37 .
Coloca los puntos M y N como se muestra a continuación para que estén en tres posibles posiciones: Cuando M está más cerca del vértice del ángulo. • Realiza en tu cuaderno paso a paso los trazos que se dan en la opción que elegiste. 38 . . . c) .Con centro en el vértice V del ángulo se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo. • ¿Al unir el punto P con el vértice cómo quedaron los ángulos que se forman en cada caso? ¿En los tres casos la recta que une el vértice con el punto P es la bisectriz del ángulo? d) . cuando está más lejos. . Llama M y N a los puntos de corte. • Mide los ángulos que se formaron con tu transportador. . • Elige un punto cualquiera sobre la recta que une al vértice con P y mide la distancia del punto a cada uno de los lados del ángulo. • Realiza las otras dos instrucciones.Con centro en M se traza un arco suficientemente grande. y cuando M y N están a la misma distancia del vértice.Se toma un punto cualquiera sobre cada lado del ángulo y se les llama M y N. ¿Cuál es la medida de los ángulos que se forman? • Un vez que realizaste el trazo ¿La recta es el eje de simetría del ángulo? • Elige un punto cualquiera sobre la recta que une al vértice con P y mide la distancia del punto a cada uno de los lados del ángulo. Llamamos P al punto de corte.• Realiza paso a paso la construcción en tu cuaderno.Se une el vértice del ángulo con el punto P. Con centro en N y con la misma abertura se traza otro arco que corte al que se trazó por M.Se une el vértice del ángulo con el punto P. • Dibuja en tu cuaderno tres ángulos de igual medida.Con centro en M se traza un arco suficientemente grande. Con centro en N y con la misma abertura se traza otro arco que corte al que se trazó por M. Llamamos P al punto de corte.
¿cuántas vueltas dan las ruedas chicas? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Completa la tabla. por cada vuelta que da la rueda grande. La tabla presenta la relación de proporcionalidad directa que existe entre el número de vueltas que dan las ruedas chicas y la rueda grande de un triciclo. igual a uno? b) 6 • Si por cada 5 vueltas de la rueda grande las chicas dan 6. o sea. Vueltas que da la rueda grande 1 2 3 4 5 Vueltas que dan las ruedas chicas 6 c) 6 2 3 • ¿Cuántas vueltas dan las ruedas chicas por cada vuelta de la rueda grande? ¿Cuántas vueltas dan las ruedas chicas si la rueda grande da 10 vueltas? Completa la tabla. a) 3 3 4 • Cuando la rueda grande da 3 vueltas las chicas dan 4. Vueltas que da la rueda grande 1 3 5 6 10 11 12 Vueltas que dan las ruedas chicas 4 6 2 3 • ¿Se cumple que al doble de vueltas de la rueda grande. las vueltas de las ruedas chicas son también el doble? 39 . menor que uno. aumenta el número de vueltas. Escribe el valor que falta.Eje: Manejo de la información 20. Entonces la constante de proporcionalidad debe ser un número ¿mayor que uno.
• 3 vueltas son la cuarta parte de 12 vueltas. Escribe el valor que falta.80.40 • 3 pelotas de goma cuestan $8. ¿cuánto cuestan 21 pelotas? • Los dos resultados que encontraste deben ser iguales. Vueltas que da la rueda grande Vueltas que dan las ruedas chicas 3 5 6 4 8 21.40 $19. La tabla presenta una relación de proporcionalidad directa. • Completa la tabla. a) $12.8. c) $19.40.40.60 • Si por 7 pelotas se pagan $19.8 se obtiene la cantidad a pagar? 40 .60 entonces la constante de proporcionalidad es 2. ¿Cuánto cuestan 21 pelotas? • Si por 7 pelotas se paga $18. Cantidad de pelotas de goma Cantidad a pagar 1 3 5 6 7 10 $8.60 • ¿Es cierto que al multiplicar la cantidad de pelotas por 2. ¿Cuánto cuestan 6 pelotas? • ¿Este precio debe ser mayor o menor que el precio de 7 pelotas? b) $18. ¿es cierto que las vueltas que dan las ruedas chicas por 3 vueltas de la rueda grande es la cuarta parte de las que dan por 12 vueltas de la grande? d) 8 • ¿Cuántas vueltas dan las ruedas chicas si la grande da 6 vueltas? Completa la tabla.80 • 3 pelotas cuestan $8.
Con 10 ml de concentrado de jamaica se preparan 225 ml de agua de jamaica.40 22.6 litros de agua de jamaica? 41 .d) $20. ¿cuánto cuesta una pelota? Completa la tabla.6 litros? a) 16 ml • Completa la tabla. Cantidad de pelotas de goma Cantidad a pagar 1 2 3 5 6 7 10 12 $8.40 $20. Concentrado de jamaica (mililitros) 10 20 30 40 Agua de jamaica (mililitros) 225 • ¿Cuántos mililitros hay en 3.6 litros? ¿Con 16 mililitros de concentrado se puede preparar más o menos de un litro de agua de jamaica? b) 81 ml • ¿Cuántos mililitros de agua de jamaica se obtienen con 100 ml de concentrado? • ¿Esa cantidad es mayor o menor que 3.40 • 3 pelotas cuestan $8.40. ¿Cuánto concentrado se necesita para preparar 3.
c) 160 ml • Completa las tablas.6 d) 360 ml • ¿Cuántos mililitros de agua de jamaica se preparan con 100 ml de concentrado de jamaica? • ¿Cuántos mililitros hay en 1 litro? • ¿Cuántos litros de agua de jamaica se preparan con 100 ml de concentrado de jamaica? • ¿Cuántos litros de agua de jamaica se preparan con 200 ml de concentrado de jamaica? 42 .6 • ¿Por cuál número puedes multiplicar la cantidad de concentrado para obtener la cantidad de litros de agua de jamaica? × ______ Concentrado de jamaica (mililitros) 10 Agua de jamaica (mililitros) 225 Agua de jamaica (litros) 3. ¿Por cuál número debes multiplicar la cantidad de concentrado para obtener la cantidad de agua de jamaica en mililitros? × ______ Concentrado de jamaica (mililitros) 10 Agua de jamaica (mililitros) 225 • ¿Por cuál número debes multiplicar la cantidad de agua de jamaica en mililitros para obtener esa cantidad expresada en litros? × ______ Concentrado de jamaica (mililitros) 225 Agua de jamaica (litros) 3.
en un décimo hay 100 milésimos (0. Sugerencias didácticas 13 Suma de números decimales.001… cien veces = 0. Explique que. Proponga a los alumnos distintas maneras de verificar las operaciones de suma y resta de números con punto decimal. Una de las principales consiste en confundir los algoritmos de la suma y resta con los de la multiplicación o división. Si los alumnos tienen dificultades para hacer la estimación o no han comprendido cómo hacer la operación. Sentido numérico y pensamiento algebraico Las operaciones con números fraccionarios presentan varias dificultades para los alumnos. Una vez que hayan identificado que en este problema la operación que deben hacer es una resta.01… diez veces = 0.001 + 0. 14 43 . Entonces.01). Discutan en grupo cómo pueden hacerlo.01… cien veces = 1).001 + 0. También es cierto que en un entero hay 1000 milésimos (0. etc. al igual que ocurre con los números naturales. Entonces.1… diez veces = 1). Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula.01). en un entero hay 100 centésimos (0.01 + 0. lograr escribir las fracciones originales con otras fracciones equivalentes. Haga énfasis en que: • En un entero hay 10 décimos (0. Una vez escritas las fracciones equivalentes con denominador común podrán identificar cuál es mayor para poder restarle la otra.1 + 0. • En un décimo hay 10 centésimos (0.01 + 0. Bloque II Preguntas Eje Resta de fracciones. proponga distintas parejas de fracciones con denominadores distintos para que practiquen. por último.001 + 0.001… mil veces = 1). Otra radica en comprender que debe hallarse un denominador común para poder sumarlas o restarlas y.SUGERENCIAS DIDÁCTICAS A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas.01 + 0. necesitarán hallar un denominador común. centésimos con centésimos. Primero.001 + 0.01 + 0.1). por ejemplo. solicite que hagan una estimación de cuánto creen que sería el resultado. si compras algo que cuesta 45 centavos y otra cosa que cuesta 80 centavos ¿pagarás más de un peso o menos? Después.001… diez veces = 0. • En un centésimo hay 10 milésimos (0. pídales que dibujen varios rectángulosunidad y que ahí representen las cantidades que deben sumarse.001 + 0. pida a un alumno que anote la suma o resta en el pizarrón y verifique que las cantidades estén alineadas con los puntos en la misma columna. hay que sumar por columnas: milésimos con milésimos.001 + 0.1 + 0.
• Al multiplicar un número por 0. Proponga varias divisiones para que los alumnos practiquen. También puede proponer problemas como “si multiplico 0.125” y preguntar ¿el factor desconocido es mayor que uno?.25 el producto es la cuarta parte del número. quizá necesiten recordar el algoritmo. los alumnos pueden desconfiar del resultado pues no necesariamente el producto será mayor que los factores. Quizá una de las principales es que confunden los algoritmos de la suma y resta con los de la multiplicación o división. Una vez que hayan identificado que en este problema la operación que deben hacer es una división. que sea mayor que los dos factores. Una vez que hayan identificado que en este problema la operación que deben hacer es una multiplicación. También puede pedirles que inventen una división de fracciones en la que el cociente sea un número entero. por ejemplo. Multiplicación de números decimales. o bien.25 por un número obtengo 0. multiplicaciones en las que el producto sea mayor que los dos factores. Las operaciones con números fraccionarios presentan varias dificultades para los alumnos. quizá necesiten recordar el algoritmo.5 el producto es la mitad del número. División de fracciones.Multiplicación de fracciones. mayor que uno de ellos o menor que ambos.25? Quizá también convenga reflexionar sobre lo siguiente y proponer algunos ejemplos: • Al multiplicar un número por 0. o menor que uno. Las operaciones con números fraccionarios presentan varias dificultades para los alumnos. ¿es menor o mayor que 0. en la c) se hizo una resta. que sea menor que los dos. por ejemplo. • Al multiplicar un número por 0.1 el producto es igual a la décima parte del número. • Al multiplicar un número por 1. que sea mayor que uno de ellos. También puede pedirles que inventen una multiplicación de fracciones en la que el resultado sea menor o mayor que 1. Analice casos distintos en clase para que se familiaricen con ello. Aunque el algoritmo de la multiplicación de números decimales es sencillo de aprender. Hay que empezar identificando qué número es el divisor (cuál es el que se va a dividir) y qué número es el dividendo (entre cuál se va a dividir). 15 16 17 44 .5 el producto es igual al número más la mitad del número. Proponga varias multiplicaciones para que los alumnos practiquen. en la b) se utilizó el algoritmo de la multiplicación en vez del de la división. Quizá una de las principales es que confunden los algoritmos de la suma y resta con los de la multiplicación o división. Esto les permitirá ir conociendo qué ocurre con las divisiones de números racionales. o mayor que el divisor. Analice lo que sucede en cada opción incorrecta: en el inciso a) el algoritmo es correcto pero están invertidos el divisor y el dividendo.
lea con ellos de nuevo el enunciado del problema y verifiquen nuevamente las condiciones solicitadas para la opción correcta: la indicación es “Elegir la opción en la que se indican TODAS las afirmaciones que son correctas”. También puede pedirles que tracen un segmento. • Es el eje de simetría del ángulo.Propiedades de la mediatriz. • Las alturas de un triángulo rectángulo. Construcción de la bisectriz. • Es el conjunto de puntos que equidistan de los lados del ángulo. Si algunos alumnos seleccionan la opción d) porque contiene dos afirmaciones correctas. El objetivo es que los alumnos identifiquen las propiedades de la bisectriz. Forma. Puede pedirles también que revisen las retroalimentaciones de las 19 45 . • Las diagonales de un rombo. Exploren las opciones restantes para ver si alguna de ellas cumple con ser propiedad de la mediatriz. indíqueles que la mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento: 18 Pregunte a los alumnos por qué la mediatriz es el eje de simetría del segmento y cómo pueden verificar que cada punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento. Después. Pueden utilizar alguno de los siguientes elementos. Si el alumno tiene dificultades para elegir alguna de las opciones. • La altura al lado distinto de un triángulo isósceles. conviene que explore junto con ellos figuras en donde haya mediatrices. Si el alumno tiene dificultades para elegir alguna de las opciones. espacio y medida El objetivo es que los alumnos identifiquen las propiedades de la mediatriz. Después pídales que realicen cada uno de los trazos solicitados en las diversas opciones y verifiquen si cumplen con las siguientes propiedades de la bisectriz: • Es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y determina dos ángulos iguales. conviene que explore junto con ellos figuras en donde haya bisectrices para que se familiaricen y recuerden el concepto.
Manejo de la información 20 Constante de proporcionalidad fraccionaria. Para las opciones b) y d) es conveniente recordar a los estudiantes que la distancia de un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta desde el punto. al finalizar los trazos. Otra posible dificultad para seguir las indicaciones. para comprobar que los ángulos obtenidos son iguales. Si a los alumnos se les hace difícil hallar el valor faltante. puede empezar utilizando estrategias de tanteo.66666…). o sea 4 ÷ 3 o 4 . Analicen cada opción y comenten cuáles son los errores en los incisos que plantean respuestas incorrectas: Los alumnos que eligen la opción a) quizá obtuvieron $12. ésta 46 . Pida que verifiquen que si se multiplica la cantidad de vueltas de la rueda grande por la constante de proporcionalidad ( 1. pregúnteles cómo pueden verificar que este valor es igual a 2 6 . ¿será menor que el doble pero mayor que la mitad? Después sugiera que encuentren el valor unitario preguntando ¿cuántas vueltas dan las ruedas chicas por una vuelta de la rueda grande? Este número lo pueden encontrar utilizando estrategias que ya conocen: si por 3 vueltas de la rueda grande las chicas dan 4. Para algunos alumnos puede ser difícil encontrar valores en situaciones en las que la constante de proporcionalidad no es entera.opciones a) o c) y reflexione junto con ellos porqué es importante tomar arcos de igual medida para cada pareja de trazos. Por ejemplo. es que no tengan claras las definiciones de punto medio. pregunte: ¿será el doble de la cantidad de vueltas que da la rueda grande?. 3 21 Constante de proporcionalidad decimal. por ejemplo. por una vuelta de la rueda grande las chicas darán la tercera parte de 4. Es posible que algunos alumnos encuentren el valor decimal de la respuesta correcta (6. Sin embargo. el punto medio de un segmento. 3 4 o 3 Aproveche para recordar los conceptos de valor unitario y constante de proporcionalidad. Puede sugerirles que calculen cuánto se pagaría por una pelota (valor unitario) y cuál es el número por el que se puede multiplicar la cantidad de pelotas para obtener la cantidad a pagar (constante de proporcionalidad). arco. Es conveniente el uso del transportador. Asimismo puede ser que recuerden los trazos necesarios para obtener.333333…) siempre se obtiene la cantidad de vueltas de las ruedas chicas. entonces en la otra columna (“cantidad a pagar”) también aumentan 4.40 observando que en la columna “cantidad de pelotas” hubo un aumento de 4. ¿será la mitad?. vértice del ángulo. Compruebe que éstas no sean las dificultades que limiten resolver el reactivo.
Considere la conveniencia de resolver el problema analizando una columna a la vez. el doble”.5) y luego para pasar de la cantidad de agua en mililitros a la cantidad de agua en litros (× 0. “al triple.001).40. La cantidad a pagar por 7 pelotas tiene que ser mayor que la que se paga por 6.40 no puede ser la respuesta correcta a partir del análisis de las relaciones del tipo “al doble. es decir. Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad. Con la tabla de la retroalimentación en la opción d) se pretende que los alumnos se percaten de que $20.60. En este tipo de problemas los alumnos se enfrentan con cantidades a las que se les aplican dos constantes de proporcionalidad. la cantidad a pagar por 1 pelota ($2. $58. en este caso.80) es la tercera parte de lo que se paga por 3 ($8.80.40) es la mitad de lo que se paga por 6 ($16. o sea $16. Amplíe la tabla (como en la retroalimentación de la opción c) para completar en primer lugar la que relaciona cantidades de concentrado con las cantidades de agua en mililitros. Para descartar la opción b) se plantea en la retroalimentación que los alumnos obtengan la cantidad a pagar por 21 pelotas. Conociendo esto.80 + $2. “a la cuarta parte.80 ÷ 3 = $19.es una estrategia errónea. la cantidad a pagar por 3 pelotas ($8.60) es lo que se paga por 6 más lo que se paga por una ($16. Si por 3 pelotas se pagan $8. así que la opción a) puede ser descartada. la cantidad a pagar por 7 pelotas ($19. y luego la que convierte mililitros a litros. el precio será también el doble. en la retroalimentación se les sugiere que averigüen cuánto se pagaría por 6 pelotas (como es el doble que 3. la cuarta parte”.80). ya que debe ser la tercera parte de lo que se paga por 21 pelotas (21 ÷ 3 = 7).40). para pasar de la cantidad de concentrado a la cantidad de agua de jamaica en mililitros (× 22. entonces la respuesta correcta es $58. el triple”. se puede calcular cuánto se pagaría por 7 pelotas. Por ejemplo. 22 47 .80). Por ello. por 21 pelotas debe pagarse 7 veces más. Pregunte cuál es la constante en cada caso y pida a los alumnos que verifiquen que se cumpla para todas las cantidades.80).
El área de un rectángulo es de 43 cm².8? Verifícalo. ¿Ese número es menor que uno?. Si ya conoces el área y la medida de uno de los lados ¿qué operación puedes hacer para encontrar la medida del otro lado? 2. ¿está entre 1 y 2?. ¿es más del doble de 180.38 cm × ________ = 43 cm2 d) 180. aproxima el resultado de 180. ¿es mayor o menor que 10? b) 18.6?.38 que 430 ÷ 23. ¿es menor que la mitad de 43? • Sin hacer operaciones. 48 .806 cm • El resultado de multiplicar la medida de un lado (2. aproxima el resultado de 43 ÷ 2. Si uno de sus lados mide 2.38. ¿más del triple? • Recuerda que el área del rectángulo mide 43 cm².38) por otro número es igual a 43.06 cm • Al dividir 43 ÷ 2 ¿el resultado es un número menor o mayor que 43?.38 que 4300 ÷ 238? • ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.6?. ¿Es menor o mayor que 180.34 cm • El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar la medida de la base por la medida de la altura.38 cm ¿cuánto mide el otro lado? a) 1.6 × 2. • ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.BLOQUE III Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 23. c) 102.38.6 cm • Sin hacer operaciones.
que deben vaciarse en vasos a los que les cabe 0.9 litros).9 ÷ _____ = 325 3. ¿estará entre 1 y 10?.25 vasos (3 vasos completos y se puede llenar la cuarta parte de otro vaso) • Sin hacer operaciones ¿el resultado de 3.2 = _____ • d) 325 vasos (325 vasos completos y no sobra nada) • El resultado de multiplicar 0.9 ÷ 0.12 39 ÷ 1.9 ÷ 0.12 litros) multiplicado por el número total de vasos (3. Una jarra contiene 3.5 (32 vasos completos y se puede llenar a la mitad otro vaso) • Completa las siguientes operaciones: 3.12? Verifícalo.9 litros de agua.12 litros ¿cuántos vasos completos e incompletos se tendrán? a) 0.25 39 ÷ 1. ¿Crees que ese número será menor que uno?. ¿es menos de la mitad de 3.2 390 ÷ 12 39 ÷ 12 b) 3.5 3.9 ÷ _____ = 3.12 es menor o mayor que 3. c) 32. ¿menos de la cuarta parte? • Recuerda que lo que le cabe a cada vaso (0.25?.12 por otro número es igual a 3.325 vasos (no se puede llenar ningún vaso completo) • Para dividir números con punto decimal conviene plantear otra división equivalente en la que se hayan “quitado” los puntos decimales. ¿será mayor que 100? 49 .25?. ¿Cuál o cuáles de las siguientes divisiones es equivalente a 3. ¿será mayor que 10?.9.12 = 32.24.25 × 0.25) debe ser igual a la cantidad de agua (3. 39 ÷ 0.
25. d) x + 117. Identifica la ecuación que permite resolver el siguiente problema: En la quinta etapa de la Vuelta México.5 = -215 • ¿Cuál es el valor de x en la ecuación x + 117. ¿qué distancia lleva recorrida? a) 117.5 = 215 • Encuentra el valor de x en la expresión anterior. 50 .5 – 215 = _________ • ¿El resultado que obtuviste es un número positivo o negativo? • ¿Qué representa la letra x? • ¿Puede ser x un número negativo? b) x + 117.5 km para llegar a la meta. En esta etapa.5 = -215? • ¿Cuál es la distancia que lleva recorrida el ciclista? • Compara el valor que hallaste para x con la distancia total del recorrido entre Cuernavaca y Toluca. • Comprueba tu resultado sustituyendo el valor de x en la ecuación.5 = 215 • Encuentra el valor de x en la expresión anterior. c) x – 117.5 = 215 • ¿Qué operación se debe hacer entre la distancia recorrida por el ciclista (117. los ciclistas deben recorrer una distancia de 215 km de Cuernavaca a Toluca.5 km) y la distancia que le falta por recorrer (x) para obtener la distancia total (215 km)? x ____ 117.5 – 215 = x • Cuál es el resultado de la siguiente operación: 117.5 = 215 • ¿Qué operación se debe hacer entre la distancia recorrida por el ciclista (117. a un ciclista le faltan 117.5 km) y la distancia que le falta por recorrer (x) para obtener la distancia total (215 km)? x ____ 117.
d) y = -694.25? • Completa la expresión: 179. ¿qué operación hay que hacer para encontrar el valor de y? • Completa la expresión: y = __________________ • Comprueba si el valor que hallaste para y es solución de la ecuación.43 la solución de la ecuación del problema? • Recuerda que una forma de resolver una ecuación como m + 18 = 34.25 a) y = 694. 51 . b) y = 334.82 + y = 514.82 + y = 514.82 da como resultado 514.25. es hacer una resta: m = 34 – 18. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación? 179.07 • ¿Qué operación está indicada entre 179. en la que se está sumando.25. • Al realizar las operaciones.43 • Verifica si y = 334.43 es solución de la ecuación 179.82 ______ y = 514. • ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de y? • Completa: y = __________________ • Encuentra el valor de y en la última ecuación y verifica que sea la solución.25? c) y = -334. • Completa la expresión: 179.82 + y = 514.25?.82 + y = 514. • Completa la expresión: 179.07 • En la ecuación 179.43 • Sustituye y = -334. ¿cuál es el número que sumado con 179.25.82 + ______ = ___________ • ¿Al sustituir el valor de y en la ecuación y realizar la operaciones obtuviste 514. La solución de esta ecuación es m = 16.82 y el valor de la incógnita y para obtener 514.26.25.43 en la ecuación 179. ¿obtuviste una igualdad? • ¿Es y = -334.25.82 + __________ = 514.
52 . ¿qué operación hay qué hacer después? • ¿Cuál es el número que al restarle 19 se obtiene como resultado 86?. Completa la expresión: 5(_____) – 19 = ________ • ¿Qué valor se obtiene al sustituir x por 13. • ¿Qué valor obtuviste al sustituir x por 21 y realizar las operaciones indicadas? • ¿Es x = 21 solución de la ecuación 5x – 19 = 86? Explica por qué.4 en la ecuación 5x – 19 = 86. ¿qué operación debes realizar para obtener este número? El número que obtuviste anteriormente debe ser igual a 5x. es hacer una suma: x = 26 + 13. c) x = 72 • Para resolver la ecuación 5x – 19 = 86. • ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de 5x? Completa la expresión: 5x = ________ • En la ecuación 5x = 105. ¿qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x? Completa: x = 105 ____________ = ________ • Comprueba si el valor que hallaste para x es solución de la ecuación. después. Completa la expresión en tu cuaderno: 5x = ________ • En la ecuación anterior. al resultado se le resta 19.4 • Sustituye x = 13. ¿cuál es la solución de la ecuación 5x – 19 = 86? b) x = 21 • Evalúa la ecuación con x = 21. La solución de esta ecuación es x = 39. Completa la expresión: 5(___) – 19 = ________. ¿qué operación hay que hacer primero?.27.4 y realizar la operaciones? • Una forma de resolver una ecuación como x – 13 = 26. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación? 5x – 19 = 86 a) x = 13. ¿qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x? Comprueba si el valor que hallaste para x es solución de la ecuación. • Entonces. d) x = 100 • En la ecuación 5x – 19 = 86 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 5 por x. en la que se está restando.
¿qué distancia corre diariamente? a) 250 m • ¿Cuál es la forma que tiene el área verde del parque? • Si Antonio solamente da una vuelta alrededor del área verde del parque. Antonio corre 10 vueltas alrededor del área verde del parque. Antonio va a un parque que tiene forma de hexágono regular como el que se muestra en la imagen. ¿qué distancia recorre? Completa la tabla: Número de vueltas que Antonio corre alrededor del área verde del parque 1 2 5 10 Distancia que Antonio corre diariamente (en metros) 53 .Eje: Forma. espacio y medida 28. Todas las mañanas.
3 ___50+50+50+86. • ¿Con cuál de las siguientes expresiones calculas el perímetro del área verde del parque? ___50+50+50+43.b) 300 m • En la siguiente imagen. se ha marcado el recorrido que realiza Antonio cuando corre una vuelta en el área verde del parque.6 ___50+50+50+100 54 .
la distancia que recorre es igual a: __10 veces la medida del lado del parque. • ¿Cuál es la forma que tiene el área verde del parque? ___Romboide ___Trapecio isósceles ___Hexágono regular • Traza una figura similar en tu cuaderno e indica cuánto mide cada lado. __10 veces la medida del perímetro del área verde del parque. __10 veces la medida del perímetro del parque. • ¿Con cuál de las siguientes fórmulas puedes calcular la medida que tiene el perímetro de la zona de área verde de ese parque? ___lado x 6 ___lado X 4 ___(base mayor + base menor) x apotema ___(base mayor + base menor + lado opuesto + lado opuesto) • Si Antonio corre 10 vueltas alrededor del parque. 55 .c) 2165 m • En la siguiente imagen. marca o recorre con tu dedo el camino que realiza Antonio cuando corre en el parque.
d) 2500 m • ¿Qué forma tiene la zona de área verde del parque? • ¿Cuánto mide el perímetro del área verde? • Completa la siguiente tabla. Número de vueltas que Antonio corre alrededor del área verde del parque 1 500 5 10 5 000 Distancia que Antonio corre diariamente (en metros) • ¿Con cuál de las siguientes expresiones puedes calcular cualquier distancia que Antonio corra alrededor de las áreas verdes de ese parque? ___Distancia que Antonio corre= número de vueltas x (lados x 4) ___Distancia que Antonio corre= número de vueltas + (base mayor x lados opuestos) ___Distancia que Antonio corre= número de vueltas + (lados opuestos + base mayor +base menor) ___Distancia que Antonio corre= número de vueltas x (lados opuestos + base mayor + base menor) 56 .
La imagen siguiente corresponde a un parque que tiene forma de hexágono regular.29. ¿Cuánto mide la superficie del área de juegos? a) 1082.5 m2 • ¿Cuál es la forma que tiene el área de juegos del parque? a) Romboide b) Trapecio c)Rombo d)Cuadrado • Observa la siguiente imagen del parque: • El hexágono está dividido en seis triángulos iguales. ¿Qué característica tienen esos triángulos? • ¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos? ¿Cómo calcularías la superficie que ocupa el área de juegos? 57 .
b) 2165 m2 • Observa la siguiente imagen. corresponde a la zona del área de juegos del parque. • Escribe en tu cuaderno cuáles de las siguientes características cumple la figura: • ¿Con cuál de las siguientes expresiones calculas la superficie destinada para el área de juegos? • ¿Cómo obtienes las medidas de las diagonales? 58 .
c) 2500 m2 • Observa la siguiente imagen del área de juegos del parque: • Anota en tu cuaderno cuáles de las siguientes características cumple la figura que forma el área de juegos. • ¿En qué figura se cumplen todas las características? ¿Cómo identificaste si los ángulos internos son iguales o no? ¿Y cómo si las diagonales son iguales o no? 59 .
¿Cuánto dinero le quedó? a) $65 • • • • b) $70 • ¿Qué cantidad corresponde en este problema al 100%? • Si gastó el 35% entonces ¿qué porcentaje de su dinero le sobró a Miguel? ¿Cuánto es el 100% de 200? ¿Cuánto es el 10% de 200? ¿Cuánto es el 30% de 200? ¿Cuánto es el 5% de 200? 60 . ¿qué parte del área total del parque es el estacionamiento? • ¿Qué parte del área total del parque está destinada al área de juegos? • ¿Cuál es la superficie del área de juegos? Eje: Manejo de la información 30. Miguel gastó el 35% de los $200 que llevaba.d) 4330 m2 • Observa la siguiente imagen del parque: • ¿Qué parte del área total del parque es para áreas verdes?.
calcula cuánto es el 35% de $300. ¿qué porcentaje de las canicas perdí? a) 12% • Si 15 canicas son el 12% entonces: 5 canicas son el 4% ____ canicas son el 24% 45 canicas son el ____% ____ canicas son el 60% 80 canicas son el ____% • ¿Es correcto? b) 15% • Completa la siguiente tabla. Si tengo 80 canicas y pierdo 15. Número de canicas 80 40 20 10 5 15 Porcentaje 100 61 . d) $165 • • • • ¿Es correcto pensar en el 35% como “35 de cada 100”? Si crees que sí ¿cuánto es el 35% de 100? ¿Cuánto es el 35% de 200? ¿Cuánto dinero gastó Miguel y qué cantidad corresponde a ese porcentaje? 31. Recuerda que 80 canicas son el 100%.c) $130 • ¿Si Miguel hubiera llevado $300 el 35% también sería $70? • Si crees que no.
c) 18.75% de 80 • ¿Cuántas canicas son el 5%? • ¿Cuántas canicas son el 10%? • Suma 10 veces la cantidad de canicas que corresponden al 10%. debes obtener el total de canicas (80). una blanca (b) y otra café (c). ¿Cuántas veces obtuvieron una canica blanca? 62 . al sumar 15 + 15 + 15 + 15 + 15 debes obtener la cantidad de canicas que corresponde al 100%. Después de revolver las canicas. una azul (a).75% • Si el 15 canicas son el 18. se anota su color y se regresa a la urna. ¿Obtienes 80 canicas? 32. • ¿Obtuviste los mismos resultados que alguna de las series anteriores? ¿Cuántas veces te salió una canica blanca? ¿Cuántas veces te salió una canica azul? ¿Y cuántas veces una canica café? • Si es posible. • Se repitió 20 veces el experimento anterior y los resultados fueron: a c c a a c c b b a b a c b a c b a a b (serie 2) • En otra serie de 20 extracciones. ¿Lo obtuviste? d) 20% • Si 15 canicas son el 20% de 80. los resultados fueron: b c c c a b c b c a c a c a c a c c c a (serie 3) • Realiza el experimento y anota en tu cuaderno los resultados que obtuviste en la serie de 20 extracciones. Una urna contiene 3 canicas. compara tus resultados con los de otro compañero. la mitad fueron de ese color. se extrae una al azar. El experimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados: caabbabbbcbabbacbabc ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y por qué? a) Será blanca porque en las 20 extracciones realizadas.
¿Cuál es el color de la canica que más veces les sale? ¿Y cuál es el que menos veces sale? • Si reúnes los resultados de todas las extracciones. • Si repites 10 veces el experimento. ¿es más probable que la próxima canica no sea de ese color? ¿Por qué? c) Será café porque fue el color que menos se sacó en las 20 extracciones. ¿cuántas canicas y de qué color hay en la urna? • Si en las condiciones del experimento se hacen tres extracciones y se obtienen los siguientes resultados: b a a. ¿alrededor de cuántas veces esperas extraer una canica café? ¿Y una blanca? • Haz 10 veces el experimento y completa la siguiente tabla: • De acuerdo con los resultados obtenidos. ¿cuál es la diferencia que hay? 63 . ¿Es posible que la siguiente canica que se extraiga sea azul? ¿Por qué? • Si un color aparece dos veces seguidas. ¿cuál es el color de la canica que menos veces salió? ¿Qué porcentaje del total de extracciones realizadas representa? Si lo comparas con el porcentaje del color de canica que más veces salió. ¿cuál fue el color de la canica que menos veces te salió? • Compara tus resultados con los de otros compañeros. antes de realizar una nueva extracción. Entonces. una vez que se extrae y anota el color de la canica se regresa a la urna. se extrajo una canica café. • De acuerdo con el experimento.b) Será azul o blanca porque en la última vez que se repitió el experimento.
• Si te es posible realiza el experimento y repítelo 20 veces.d) Será azul o blanca o café porque cada vez que se repita el experimento cualquiera de las tres puede ser extraída. calcula las probabilidades clásicas de los eventos anteriores: • Si comparas el valor de la frecuencia relativa del evento se extrae una canica azul con el valor de su probabilidad clásica. ¿cuál es la frecuencia del color de la canica que se extrae más veces? 64 . en tu cuaderno. • Considera los 20 resultados que se presentan en el problema: caabbabbbcbabbacbabc • A partir de los resultados anteriores. De los 40 resultados. ¿cuál valor es mayor? • Describe qué sucede con los valores de los otros dos eventos. completa la siguiente tabla: • Ahora. Analiza tus resultados y reúnelos con los 20 que aquí aparecen.
¿cuántos resultados posibles hay en total? • ¿Cuántos de los resultados anteriores son favorables al evento: la suma de los números que salen es un número par? Para encontrar la respuesta. • Al lanzar dos dados.33. ¿cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir? a) “Que la suma de los números que salgan sea par”. en tu cuaderno elabora y completa un diagrama de árbol como el siguiente: 65 . Al lanzar dos dados.
identifica los resultados que son favorables al evento: “que la suma de los números que salen sea menor o igual que 7”.¿Qué representa la letra x? • ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números que salen sea menor o igual que 7? 66 . • En el diagrama siguiente. aparecen marcados los resultados favorables al evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los dados: • ¿Cuántos resultados favorables tiene el evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los dados? • ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles? c) “Que la suma de los números que salgan sea menor o igual que 7”. • En el diagrama siguiente.b) “Que se obtenga 2 o 3 en alguno de los dados”.
.8 Italia 1990………………………………….. País sede y año Jugadores expulsados Argentina 1978…………………………….. La siguiente lista muestra el país y el año en que se jugaron los mundiales de fútbol de 1978 a 1998. así como el número total de jugadores expulsados en cada uno de esos mundiales.2 España 1982……………………………….15 Francia 1998………………………………22.. • En tu cuaderno elabora y completa una tabla como la siguiente: 34.5 México 1986………………………………. ¿En cuál de las siguientes gráficas circulares se muestra correctamente los datos anteriores? 67 .15 Estados Unidos 1994…………………….d) “Que el producto de los números que salgan sea par”.
• El sector que le corresponde en la gráfica al mundial de Italia respecto al que le corresponde al mundial de Estados Unidos debe ser: •Mayor. •Igual. •Menor. 68 .a) • En los mundiales de Italia y de Estados Unidos hubo la misma cantidad de jugadores expulsados (15).
b) • ¿Cuántos jugadores expulsados hubo en los seis mundiales? • Del total de jugadores expulsados en los seis mundiales: • ¿Qué porcentaje representa el número de jugadores expulsados en el mundial de México? • ¿Qué porcentaje representa el número de jugadores expulsados en el mundial de Francia? ¿Corresponden a los porcentajes representados en la gráfica? 69 .
España e Italia fue la misma que en el mundial de Francia. ¿La unión de los sectores correspondientes a Argentina. ¿El sector circular que corresponde a la cantidad de jugadores expulsados en el mundial de Francia ocupa aproximadamente la tercera parte de la gráfica? • La cantidad de jugadores expulsados en los mundiales de Argentina. es casi la tercera parte del total de jugadores expulsados en los seis mundiales.c) • La cantidad de jugadores expulsados en el mundial de Francia. España e Italia tiene la misma área que el de Francia? 70 .
• La mitad de la circunferencia. • Más de la mitad de la circunferencia. • Entre los dos mundiales. 71 . ¿qué porcentaje del total de jugadores representan? • El área que ocupa este porcentaje en la gráfica es: • Menos de la mitad de la circunferencia.d) • La suma de los porcentajes que aparecen en la gráfica de los mundiales de Italia y Estados Unidos es mayor al 50%.
Señala cuál de las opciones corresponde a la gráfica de barras que representa la densidad de población que hay en los estados que aparecen en la tabla. La siguiente tabla muestra el número de habitantes y la extensión territorial que hay en 6 estados de la República Mexicana.35. a) 72 .
Calcula la densidad y responde: ¿entre qué rango de números de la gráfica se encuentra la densidad de población en el estado de Michoacán? • Estima entre qué números debe encontrarse la densidad de población de los demás estados. • Compara tus resultados con la gráfica de barras que elegiste. 73 . Fíjate cómo el estado con menor número de habitantes es Aguascalientes. • El número de habitantes que hay en cada estado. • El porcentaje del número de habitantes que hay en cada estado tomando como total el número de habitantes que hay en los seis estados.• Ordena los estados que aparecen en la tabla de mayor a menor respecto a su número de habitantes. • ¿Qué muestra la gráfica de barras? • La densidad de población de cada estado. b) • El estado de Michoacán tiene una extensión territorial cercana a 60 000 y aproximadamente tiene 4 000 000 de habitantes.
• La extensión territorial del estado. • El número de habitantes que hay por kilómetro cuadrado. • El total de habitantes que hay en cada estado.c) • La densidad de población es: • Un porcentaje. • ¿Qué es lo que representan las barras? ¿Corresponde a la densidad de población? 74 .
• ¿Qué muestra la gráfica de barras? • La densidad de población.d) • Ordena los estados que aparecen en la tabla de mayor a menor respecto a su extensión territorial. • El número de habitantes que hay en cada estado. 75 . • La extensión territorial que hay en el estado. • Compara tus resultados con la gráfica de barras que elegiste. El estado con menor extensión territorial de los que aparecen en la tabla es Aguascalientes.
Si es el caso. o incógnita. Bloque III Preguntas Eje División de números enteros entre decimales. Una estrategia alternativa consiste en hallar las soluciones respectivas de las ecuaciones que se muestran en las opciones y valorar la pertinencia de la solución. pregúnteles si tiene sentido una solución 25 76 . Es importante que comprendan que están haciendo divisiones equivalentes.4 ÷ 0. pida a los alumnos que practiquen haciendo varias divisiones: primero pida una aproximación del resultado y luego explique el procedimiento para “quitar” el punto en el dividendo o el divisor. Si fuera necesario. En este reactivo los alumnos identificarán la ecuación lineal de la forma x + a = b asociada al problema dado. Es importante que comprendan que están haciendo divisiones equivalentes. coménteles que es conveniente representar la cantidad desconocida. Una estrategia que se puede seguir para responder este problema. En este sentido. con una letra. por ejemplo x. Hacer aproximaciones sobre el resultado de una división con decimales puede ser de utilidad para anticipar en qué rango estará el cociente y detectar posibles errores al mover el punto o agregar ceros.SUGERENCIAS DIDÁCTICAS A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. para así obtener la distancia total del trayecto. 24 Ecuación de primer grado asociada a un problema. Si fuera necesario. Sugerencias didácticas 23 División de números decimales entre decimales.2 = 4 ÷ 2 = 40 ÷ 20 = 400 ÷ 200.2 = 4 ÷ 2 = 40 ÷ 20 = 400 ÷ 200. Proponga ejemplos sencillos como 0. las cantidades deben ser positivas.4 ÷ 0. pida a los alumnos que practiquen haciendo varias divisiones: primero pida una aproximación del resultado y luego explique el procedimiento para “quitar” el punto en el dividendo o el divisor. Sentido numérico y pensamiento algebraico Hacer aproximaciones sobre el resultado de una división con decimales puede ser de utilidad para anticipar en qué rango estará el cociente y detectar posibles errores al mover el punto o agregar ceros. Proponga ejemplos sencillos como 0. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula. es que los alumnos determinen la operación que deben realizar entre el valor que representa el avance del ciclista y el valor de la distancia que le falta por recorrer. Dado que el problema planteado trata de distancias.
Otra manera de encontrar la solución es sugerirles que en la ecuación dada sustituyan los valores que se muestran en las opciones.82 + 694. o la multiplicación y la división.82 + y = 179. o bien.89) es distinto del que se muestra en la ecuación (514. En este caso se está buscando el número que sumado a 179. Sugiera a los alumnos que realicen un esquema para identificar los datos del problema.07 en la ecuación del problema y que verifiquen lo siguiente: 179. por lo tanto y = 694. 26 Resolución de ecuaciones de primer grado.82 da como resultado 514.25. luego que realicen las operaciones correspondiente y al final verifiquen cuál es el valor con el que se obtiene una igualdad verdadera.89 El resultado (873. En este reactivo los alumnos identificarán cuál es la solución de una ecuación lineal de la forma x + a = b. pídales que sustituyan y = 694. Es conveniente que recuerden la jerarquía de las operaciones y que hay operaciones inversas como la adición y la sustracción. pídales determinar qué operación se debe realizar con los dos valores conocidos para obtener el valor de la incógnita. indíqueles que determinen cuál es la operación que se debe realizar entre uno de los valores conocidos y el valor de la incógnita para obtener el valor final.07 no es solución. si la distancia por recorrer puede ser mayor que la distancia total. Sugiera a los alumnos que analicen la ecuación dada e identifiquen cuál es la operación que se debe realizar primero y cuál operación se debe realizar después para obtener el valor final.82.negativa. como el siguiente: Ecuaciones de primer grado y operaciones inversas. Con base en lo anterior. Otra estrategia es que los alumnos sustituyan en la ecuación dada los valores mostrados en las diversas opciones.07 = 873. 27 77 .25). A partir de esto. En este reactivo los alumnos identificarán cuál es la solución de una ecuación lineal de la forma ax + b = c. Si los alumnos tienen dificultades para obtener la respuesta correcta. pídales determinar la operación que deben realizar con los valores conocidos para obtener el valor de la incógnita.25 – 179. El número puede encontrarse al hacer la resta 514. Es conveniente que recuerden que hay operaciones inversas como son: la adición y la sustracción. o la multiplicación y la división. realicen la operación correspondiente y verifiquen cuál es el valor con el que se obtiene una igualdad verdadera. Por ejemplo.
puede orientarlos con algunas preguntas como: ¿qué les están pidiendo? ¿Qué datos conocen? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Conocen alguna fórmula que relacione los datos? Para que los alumnos contesten correctamente es básico reconocer cuál es la figura conformada por la zona de área verde del parque. En particular. Los alumnos que seleccionan la opción a) logran identificar la figura que conforma el área verde del parque y obtienen su perímetro. Una forma de resolver el problema es utilizar la fórmula para calcular el área de un rombo: 28 29 78 . pero calculan su área. Al igual que en el reactivo anterior (28). y cómo son los lados de esa figura. espacio y medida En esta pregunta se vincula el cálculo de perímetros con otros conocimientos y. se desarrolla en los alumnos la competencia de resolución de problemas. Si observa que algunos alumnos tienen dificultades. pregúnteles cuáles son los cuadriláteros que tienen los cuatro lados iguales. Como puede ver. que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. entonces proponga y oriente una discusión para que logren determinar que la figura es un cuadrilátero llamado trapecio. Tal vez. En este reactivo se pretende que los alumnos obtengan la superficie de una figura a partir de analizar y encontrar diversas relaciones con otras figuras. particularmente. lo que nos regresa a un error similar al de la opción a). o quizá tampoco sumaron las bases mayores de ambos trapecios. puede pedirles que recuerden cuáles son las características de las figuras que conocen. En este caso. trapecio. Si observa que algunos alumnos no logran identificarla u olvidan alguna de las características importantes de esa figura que les permita calcular el perímetro. al contestar y revisar las retroalimentaciones se busca que los alumnos desarrollan su habilidad para identificar qué datos conocen y cómo los pueden utilizar para resolver el problema. pero olvidan considerar que la pregunta se refiere a la distancia que Antonio corre al dar 10 vueltas en esa zona. Otra situación por la cual podrían elegir dicha opción es que los alumnos hayan completado el hexágono con dos trapecios y no tomaron en cuenta que el recorrido sería ahora por 5. la altura del trapecio es igual a la medida del apotema del hexágono y la base mayor es el doble que la medida del lado del hexágono.Perímetro de figuras. aquellos alumnos que eligen la opción b) no consideran la situación que se les presenta y se limitan a relacionar los datos numéricos que aparecen en la imagen del parque mediante una multiplicación. Área de figuras. Quienes seleccionan la opción c) identifican la figura. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio (base mayor y base menor) y la distancia entre ellos se llama altura. esta pregunta se vincula también con el tema de cuadriláteros. Si observa que sus alumnos realizan alguna de estas situaciones sería conveniente que les preguntará por qué eligieron esta respuesta. Si observa que sus alumnos tienen problemas para identificar la forma de la zona del área de juegos. Forma.
La mitad. 79 . Pregunte a los alumnos qué procedimiento utilizaron para resolver este problema. y que puede ayudar a los alumnos a comprender el significado del porcentaje es leerlos como “tantos de cada 100”. este error se puede deber a que los cuatro lados del área de juegos son iguales. 35% no es igual a $35). porque relacionan la manera en que se obtiene el área del hexágono con la superficie que se les pide calcular en la pregunta. Aquellos alumnos que eligen la opción c) consideran que el área de juegos es un cuadrado. Quienes seleccionan la opción d) calculan el perímetro de la figura y lo multiplican por la apotema. Una manera en que podrían obtener la superficie del área de juegos mediante este procedimiento es duplicando el valor encontrado. Más de la mitad. Manejo de la información 30 Porcentaje de una cantidad. Si los alumnos tienen dificultades puede ser útil plantear preguntas que les permitan aproximar el resultado: 40 canicas representan: • Menos del 50% del total de canicas.También se puede resolver si se observa que el rombo se puede dividir en dos triángulos equiláteros iguales. Una forma de expresar esta relación. ya sea que hayan elegido la respuesta correcta o no. Número de canicas 80 40 20 10 5 15 Porcentaje 100 Plantee otros problemas similares y pida que los resuelvan usando esquemas como el anterior o tablas de proporcionalidad. Más de la mitad. 31 Porcentaje que representa una cantidad respecto de otra. Quizá pueda empezar haciendo algunas preguntas para que los alumnos aproximen la respuesta: El 50% de los 200 pesos es: Menos de la mitad. Destaque que el porcentaje no es un número como otros que conocen. Posiblemente. Los alumnos que seleccionan la opción a) aplican la formula para obtener el área de un triángulo usando los datos que aparecen en la imagen. Aproveche para hacer las correcciones necesarias. La mitad. El 35% de los 200 pesos es: Menos de la mitad. Seleccione dos o tres procedimientos diferentes y pida a los alumnos que los emplearon que pasen al pizarrón a explicarlos. el porcentaje expresa una relación (en este problema.
se le sugiere dar a los alumnos la oportunidad de resolver problemas que requieran la recolección o simulación de sus propios datos para la toma de decisiones. 32 Probabilidad empírica y teórica de un evento. • Más del 50% del total de las canicas. observan la aparición de una racha a favor de un resultado. Las 15 canicas que perdí representan: • Menos del 50% del total de canicas. por ejemplo. Para cualquiera de esas situaciones. Particularmente se averigua sobre las reflexiones y los argumentos en los que los alumnos se basan para dar sus respuestas. El problema que se plantea en esta pregunta implica que los alumnos pongan en juego sus intuiciones y conocimientos sobre cómo determinar los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio. Sin embargo. Aquellos alumnos que eligen la opción a) consideran que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son “suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica será de color blanco. Aquellos alumnos que eligen la opción a) consideran que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son “suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica será de color blanco. Los alumnos deben saber que la probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. el número de veces que se ha extraído la canica blanca y creen que eso disminuye la probabilidad de salga blanca. Esto sucede porque 20 extracciones podrían ser “pocas” para que el valor de la probabilidad frecuencial (frecuencia relativa) se acerque o sea igual al de la clásica. no es definitiva por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen. En este caso.• El 50% del total de las canicas. de carácter determinista.75% de 80. Lo cual significa. Los alumnos que seleccionan la opción c). los valores de las probabilidades frecuenciales de los eventos simples: extraer una canica de color azul. introducir la enseñanza de la probabilidad de modo experimental y confrontar las creencias personales de sus alumnos. A partir de ésta pueden determinar cualquier otro porcentaje. • El 50% del total de las canicas. no son iguales a los valores de sus probabilidades clásicas (que son de 1/3). analicen cuál es el error en cada uno de los casos y porqué 15 canicas representan el 18. en la retroalimentación se busca que los alumnos reflexionen si existen otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones. En este caso. en la retroalimentación se busca que los alumnos reflexionen si existen otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones. Resalte que para comenzar a resolver estos problemas deben reconocer cuál cantidad representa el 100%. Revise con los alumnos cada una de las opciones. extraer una canica de color blanco y extraer una canica de color café. En este caso. Los alumnos que seleccionan la opción b) sólo consideran la información proporcionada por la última repetición del experimento aleatorio. • Más del 50% del total de las canicas. 80 .
cada uno con la misma probabilidad de ocurrir. La conclusión errónea sería entonces que existen 24 resultados favorables. El propósito de la pregunta es que los alumnos identifiquen el evento que tiene mayor probabilidad clásica (o teórica) de ocurrir. Al lanzar los dados hay 36 resultados posibles. puede pedirles que definan un evento para el que se tenga la seguridad de ganar. los alumnos determinen que hay 11 resultados posibles: 2. 11 y 12. por ejemplo. es decir.). no se requiere de la realización de experimentos como en la probabilidad frecuencial. sino de conocer dos datos: el de todos los resultados posibles que se pueden dar en el experimento. 6. la probabilidad frecuencial debe parecerse a la clásica. que supongan que en el primer dado hay 6 formas de obtener 2 y 6 cuando cae 3. 9. que su probabilidad sea 1. pida a estos alumnos que le digan por qué eligieron esta opción. Por lo que la probabilidad clásica que un evento es diferente de la probabilidad frecuencial. 5. Es posible que los alumnos elijan la opción c) porque saben que la suma 7 tiene más resultados favorables. tal vez. y el de los resultados favorables del evento que se observa. es decir. los alumnos deben saber que para obtener la probabilidad clásica de un evento. 10. si la suma es menor o igual que 12. 33 Mayor probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo.3) se consideran solamente una vez. sin embargo. cuál es la función de los rótulos. 3. resalte que (3. 8. 4. Pero. Aquellos alumnos que eligen la opción a). Después de realizar muchos experimentos. pueden determinar que en la mitad de ellas. Explique que en una gráfica circular.2) y (3. en este caso en las opciones de respuesta se representó de dos formas diferentes: • Mediante porcentajes de los jugadores expulsados en los seis mundiales de fútbol. se produce una suma par. Pregúnteles. Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta puede recordar la forma de elaborar una gráfica circular. como ejercicio.Finalmente. suponen que de las 11 sumas posibles. cuando se considera la suma de los números que se obtienen. si se consideran las 36 formas distintas en que pueden caer los números de las caras de los dados. y • Mediante el número total de jugadores expulsados en cada uno de esos 81 . Puede ser que estén considerando por separado el número de resultados en el que se obtiene 2 y en el que cae 3. Si seleccionan la opción b). no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (para la suma 7 hay 6 formas de obtenerla y la suma 2 se obtiene de una sola forma: cuando cae 1 en ambos dados. hay 6 en las que la suma es par. Es posible que. 34 Gráficas circulares. Pídales que cuenten los resultados favorables que se señalan en la retroalimentación. o cuando la suma es mayor que 0. y que consideren la misma cantidad de resultados para el segundo dado. si lo considera conveniente. 7. los datos se puede representar de varias maneras. Finalmente.
indique a los alumnos que la gráfica de barras representa datos que no aparecen en la tabla. Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta puede recordar la forma de elaborar una gráfica de barras y cuándo es conveniente utilizar este tipo de gráfica. Por ejemplo. Los datos que aparecen en la tabla hay que tomarlos en cuenta para calcular la densidad de población por estado. Gráficas de barras. Es importante apoyar a los alumnos para que identifiquen.mundiales. así como para comparar diferentes sectores de la gráfica a partir de la cantidad de jugadores expulsados en cada mundial. Si este es el caso. el área que se representa en cada uno de los sectores respecto del total de jugadores expulsados en los seis mundiales. y verificar que las barras estén ordenadas de mayor a menor. puede verificar con ellos que los sectores de la gráfica coincidan con el porcentaje o con el número de jugadores representados. para elaborar la gráfica de este problema se tienen que encontrar cuál es la densidad de población de cada uno de los cinco estados que se presentan en la tabla. utilizando aproximaciones o estimaciones. 35 82 . También. Un error posible es tomar en cuenta solamente uno de los datos de la tabla (como en la opción c)).
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 36. ¿En cuál de las opciones están ordenados los números de menor a mayor? a) 7, 2.5, -2.5, -5, -7 • ¿Cuál número es el mayor de la lista? ¿Y el menor? • Copia en tu cuaderno una recta numérica como la siguiente y ubica los números.
• Lee nuevamente la pregunta y verifica si el orden es el correcto. b) -2.5, 2.5, -5, -7, 7 • ¿Cuál número es mayor, -2.5, -5 o -7? Copia en tu cuaderno la siguiente recta numérica y ubícalos. • ¿De qué lado del cero se encuentra cada uno de estos tres números? • ¿Cuál se encuentra más lejano del cero?, ¿y más cercano? c) -2.5, -5, -7, 2.5, 7 • ¿Cuál número es mayor, -2.5, -5 o -7? • Si no estás seguro, piensa en temperaturas: un termómetro marca 5º bajo cero y más tarde marca 7º bajo cero, ¿cuándo hay menor temperatura? • Si marca 2.5º bajo cero, ¿cuál es la menor temperatura de las tres? • Dibuja un termómetro y representa las temperaturas en él. • ¿Cuál de las temperaturas queda más abajo? ¿Cuál más arriba? • Recuerda que una temperatura por debajo del cero se puede expresar con números negativos: 7º bajo cero es igual a -7º. d) -7, -5, -2.5, 2.5, 7 • ¿Cuál número es mayor, -5 o -7? • ¿Cuál número es el mayor de la lista?, ¿y el menor? • Copia en tu cuaderno la siguiente recta numérica y ubica los cinco números de la lista. • ¿Cuáles de ellos se encuentran del lado izquierdo del cero?, ¿cuáles a la derecha?
37. Un terreno rectangular que tiene 432 m² de área está formado por tres cuadrados de igual tamaño. ¿Cuánto miden la base y la altura del terreno rectangular? a) 36 m y 12 m • ¿Cuál es el área de cada uno de los cuadrados? • ¿Cuál es la medida de cada lado de los cuadrados que se forman? • ¿Qué relación hay entre el área de cada terreno cuadrado y la medida de sus lados? b) 24 m y 18 m • Dada el área 432 m² ¿cuál es el área de cada uno de los 3 cuadrados que componen el terreno rectangular? • ¿Qué operación tienes que realizar para saberlo? • De acuerdo al rectángulo que elegiste (24 m x 18 m): Si uno de los lados del cuadrado mide 18m ¿cuál es el resultado de multiplicar lado por lado para obtener el área del cuadrado? • ¿Corresponde este producto con el resultado qué obtuviste al dividir el área total entre 3? c) 72 m y 6 m • ¿Cuánto tendrían que medir los lados de cada terreno cuadrado que componen el terreno rectangular?
• Divide la base del terreno rectangular (72 cm) en tres partes iguales ¿las figuras que se forman son cuadradas? ¿Por qué? • ¿Cuánto mide cada una de las bases? ¿Cuánto mide cada una de las alturas? d)
432 m × 432 m
• ¿Qué resultado obtienes al multiplicar la base del terreno con la altura? • Qué forma tendría el rectángulo que tenga estas dimensiones Base = 432 Altura = 432 • ¿Puedes dividir este rectángulo de tal forma que queden tres cuadrados de igual área?
38. ¿En cuál de las opciones están ordenados correctamente los siguientes números?: 400 400; 400 2 ; ; 400 ; 400 3 ; 400 × 3 2 400 < 400 < 400 × 3 < 400 3 a) 400 < 400 2 < 2 400 • ¿Cuánto es 4002? ¿Cuánto es ? ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 400? 2 • ¿Cómo expresar la operación 20 x 20 utilizando un exponente? • ¿Y 20 x 20 x 20 x 20? • ¿Son correctas las siguientes desigualdades? 400 < 400 2 400 400 2 < 2 b)
400 < 400 < 400 × 3 < 400 2 < 400 3 2 • ¿Cómo expresas el área del siguiente cuadrado?
• ¿Y cómo expresas el volumen del este cubo?
• ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 400? c)
400 < 400 < 400 × 3 < 400 < 400 2 < 400 3 2 400 • ¿Qué cantidad es mayor o 400 ? 2 • Compara tus resultados con el orden que elegiste como respuesta.
El rendimiento de un automóvil es el número de kilómetros que recorre con un litro de gasolina. Un automóvil que mantiene un rendimiento constante hace un recorrido de 234 km con 18 litros de gasolina. Cantidad de gasolina consumida (en litros) 18 9 3 1 Distancia recorrida (en km) 234 • ¿Cuál es el rendimiento del automóvil? • ¿Coinciden los datos que obtuviste en la tabla con la situación presentada? b) y = 13x • Usando la expresión que elegiste (y = 13x) contesta lo siguiente: Con 18 litros de gasolina (x = 18).d) 400 < 400 < 400 × 3 < 400 3 < 400 2 < 400 2 • ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 400? • Completa la siguiente tabla. ¿qué distancia recorre el automóvil? • ¿Qué distancia recorre con 1 litro de gasolina? • ¿Cuál es el rendimiento del automóvil? 86 . ¿Cuál de las expresiones algebraicas permite saber la distancia recorrida (y) por el automóvil a partir de la gasolina consumida (x)? a) y = 18x • Completa la siguiente tabla para conocer la cantidad de kilómetros que recorre el automóvil con diferentes cantidades de gasolina. 39. n n2 3 9 5 10 400 n2 125 n4 10 000 • Compara tus resultados con la respuesta que elegiste.
para encontrar diferentes distancias recorridas por el automóvil a partir de la cantidad de gasolina consumida. ¿cuántos litros de gasolina utilizó? • Cuando y vale 234 (el automóvil ha recorrido 234 kilómetros). ¿cuántos kilómetros recorre el automóvil con 18 litros de gasolina? d) x = 13y • Usando la expresión que elegiste (x = 13y) contesta lo siguiente: Cuando y vale 10 (el automóvil ha recorrido 10 kilómetros). Una compañía renta autobuses con la siguiente tarifa. x Cantidad de gasolina consumida (en litros) 0 1 9 18 y = 18x + 234 Distancia recorrida (en km) • Según los datos que obtuviste en la tabla. ¿cuánto vale x? ¿Coinciden estos datos con la situación presentada? 40. usando la expresión que elegiste.c) y = 18x + 23 • Completa la siguiente tabla. ¿Qué expresión sirve para calcular el precio que hay que pagar por la renta del autobús (y) a partir de saber la distancia recorrida (x)? 87 . ¿cuánto vale x? Es decir.
a) y = 7x + 2550 • Con la expresión que elegiste completa la tabla para conocer cuanto cobra el autobús a partir de la distancia recorrida. d) y = 7x • Con la expresión que elegiste completa la tabla para conocer la cantidad que cobra el autobús a partir la distancia recorrida. x Distancia recorrida (en km) 1 2 3 4 5 10 y = 7x + 2550 Precio (en pesos) • ¿Cuánto cobra la compañía por un viaje de 45 km? b) y = 2550x • Por un viaje de 100 km la compañía cobró $3250. c) y = 2550x + 7 • Usando la expresión que elegiste (y = 2550x + 7) contesta lo siguiente: ¿Cuánto deberá cobrar la compañía por un recorrido de un kilómetro (x = 1)? ¿Cuánto deberá cobrar la compañía por un recorrido de 5 kilómetros (x = 5)? • Compara estos resultados con los de la tabla. Usa la expresión que elegiste (y = 2550x) para verificar si por 100 km recorridos (x = 100). x Distancia recorrida (en km) 1 2 3 4 5 10 y = 7x Precio (en pesos) 88 .00. el valor de y es 3250.
¿él punto pertenece a la gráfica? 89 . mientras que el punto de coordenadas (5.Eje: Manejo de la información 41.5) no pertenece a la gráfica como se muestra. • Como 15 pesos mexicanos equivalen a 30 quetzales guatemaltecos. ¿qué punto determina esta condición?. ¿Cuál de las gráficas es la que corresponde al tipo de cambio entre el peso mexicano y el quetzal guatemalteco? a) • Un punto de coordenadas pertenece a la gráfica (x. y) si es parte de ella. 5) pertenece a la gráfica. Por ejemplo. Si 15 pesos mexicanos equivalen a 30 quetzales guatemaltecos. el punto de coordenadas (10.
esto es. ¿Qué punto le corresponde a estas cantidades en la gráfica?.b) • El tipo de cambio entre el peso mexicano y los quetzales guatemaltecos son cantidades directamente proporcionales. ¿pertenece este punto a la gráfica? c) 90 . • ¿Cuántos quetzales guatemaltecos nos dan por 3 pesos?. por 5 pesos nos deben de dar la tercera parte de lo que nos dan por 15 pesos porque 5 es la tercera parte de 15.
28) (2.26) 91 . Cantidad de pesos Cantidad de quetzales Punto mexicanos (x) guatemaltecos (y) (x.y) 15 30 (15.30) 5 3 2 1 d) • Completa la tabla.y) (1. Abscisa (x) 1 2 3 4 5 10 Ordenada (y) 28 26 Punto (x.• Completa la siguiente tabla para determinar los puntos que deben pertenecer a la gráfica a partir de la relación entre las cantidades.
• Cuando Lupe tenga 20 años la edad de Carlos será de 8 años. • Completa la tabla para conocer el peso de algunos objetos en Júpiter a partir de su peso en la Tierra. en la Tierra pesa 160 kg. ¿Cuál de las siguientes situaciones tiene asociada la gráfica anterior? a) El peso de un objeto en Júpiter y su correspondiente peso en la Tierra. • Cuando Lupe tenga 15 años. ) 50 (50.8) pertenece a la gráfica asociada al problema. si se sabe que un objeto que en Júpiter pesa 400 kg. ¿qué edad tendrá Carlos? ¿Qué punto determinan estas cantidades? ¿Pertenece a la gráfica? • Cuando Lupe tenía 12 años. ¿qué edad tenía Carlos? ¿Qué punto determinan estas cantidades? ¿Pertenece a la gráfica? 92 . ) • ¿Los últimos tres puntos que aparecen en la tabla pertenecen a la gráfica? b) Las edades de Lupe y Carlos. si se sabe que cuando Lupe cumpla 20 años. Peso en Júpiter Peso en la Tierra Punto (en kg) (en kg) (x. Carlos cumplirá 8 años. ) 5 (5. en la tercera columna aparece el punto que le corresponde en la gráfica. La siguiente es una parte de la gráfica asociada a dos conjuntos de cantidades. ) 15 (15. ) 25 (25.42.160) 100 (100. La condición anterior establece que el punto de coordenadas (20.y) 400 160 (400.
• Completa la tabla para conocer el equivalente en yuanes chinos de distintas cantidades de dinero en pesos mexicanos. ) 5 (5. Cantidad en Cantidad en Punto pesos mexicanos yuanes chinos (x. • ¿Un objeto que en la tierra pese 16 kg qué peso tendrá en Júpiter? ¿Qué punto determinan las cantidades anteriores? ¿Pertenece a la gráfica? d) El tipo de cambio de pesos a yuanes chinos si se sabe que 100 pesos mexicanos equivalen a 50 yuanes chinos. ) • ¿Los puntos que aparecen en la tabla pertenecen a la gráfica? 93 . ) 1 (1. La condición anterior establece que el punto de coordenadas (160.c) El peso de un objeto en la Tierra y su correspondiente peso en Júpiter si se sabe que un objeto que en la tierra pesa 160 kg en Júpiter pesa 400 kg. en la tercera columna aparece el punto que le corresponde en la gráfica.400) pertenece a la gráfica asociada al problema. ) 25 (25. • Un objeto que pesa 160 kg en la Tierra en Júpiter pesa 400 kg.y) 100 50 (100.50) 50 (50.
25) • ¿Por qué aparece el signo menos en la expresión que elegiste? ¿Qué es lo que se esta restando? • ¿Qué representa la expresión (π x 6. ¿Qué significa? b) (π x 225) – (π x 25) • ¿Qué representa la expresión (π x 25)? • ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo? • ¿Cuánto mide el radio del círculo menor? c) (π x 225) – (π x 6.25) – (π x 225) • ¿Qué representa la expresión (π x 6. Identifica la expresión que sirve para calcular el área de la zona de paseo.25)? ¿Cuál es el resultado? • ¿Qué representa la expresión (π x 225)? ¿Cuál es el resultado? d) (π x 30) – (π x 5) • ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo? • ¿Cuánto mide el radio del círculo menor?. espacio y medida 43. a) (π x 6.25)? ¿Cuál es el resultado? • ¿Qué representa la expresión (π x 225)? ¿Cuál es el resultado? ¿Qué es lo que se está restando? • El resultado de la resta es un número negativo. ¿cuál es el resultado de elevar al cuadrado el radio del círculo mayor? 94 . En un parque de forma circular de 15 m de radio hay situada en el centro una fuente. también de forma circular.Eje: Forma. ¿cuál es el resultado de elevar al cuadrado el radio del círculo menor? • ¿Cuánto mide el radio del círculo mayor?.
¿Cuál es el área del círculo? Utiliza π = 3.9648 cm² • El perímetro de la circunferencia se calcula con la fórmula 2πr. diámetro o radio.9824 cm² • A partir de la información que te da el problema ¿cómo puedes obtener el radio del círculo? ¿Y el diámetro? • ¿Cuál de los dos. El perímetro de una circunferencia es 43. en la que r es el radio.9384 cm² • ¿Cuánto mide el diámetro del círculo? ¿Cómo lo obtuviste? d) 615.7536 cm² • ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo cuyo radio es r? πr² 2πr πr 2πr² • ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia del problema?. 95 .1416 para hacer los cálculos. • ¿Cuánto mide el radio del círculo? ¿Cuánto mide el diámetro? • ¿Cómo encontraste la medida de ambos? c) 153. a) 43. te sirven para calcular el área del círculo? b) 87.44.9824 cm.
Sugerencias didácticas 36 37 96 . sobre todo si los ubican con respecto a la posición del cero. Bloque IV Preguntas Eje Orden entre números con signo. Uno de ellos puede ser el termómetro y la medición de temperaturas. En este reactivo se espera que los alumnos puedan resolver un problema que involucre el cálculo de la raíz cuadrada.SUGERENCIAS DIDÁCTICAS A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. La localización de estos números en la recta numérica puede ser un recurso útil. Un caso sería pensar que -7 es mayor que -3 porque 7 es mayor que 3. Se puede comparar el área de los rectángulos que se forman a partir de cada una de las opciones de respuesta. la medición de distancias (altura o profundidad) con respecto al nivel del mar. algunos de ellos indirectos. Haga preguntas acerca de la ubicación de los números que aparecen en los ejemplos que proponga y haga notar que hay un punto de referencia que les sirve para hacer comparaciones: el cero. Raíz cuadrada. En este caso se puede resolver por diversos métodos. deben calcular cuál sería el área de cada cuadrado y la medida de sus lados. Es recomendable que vean ejemplos en donde se utilizan números con signo. y en el proceso de solución se espera que los alumnos relacionen la operación raíz cuadrada con su significado geométrico. el que está a la derecha es el mayor. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula. Después. Practiquen en grupo diversas maneras de comparar números con signo y discutan si alguna es más eficiente que otras y en qué casos. Preguntarles qué tan a la derecha o a la izquierda quedan los números del cero puede ayudar a que los estudiantes ordenen los números con signo al igual que se hizo con los números decimales y fracciones. Recuerde con los alumnos que al comparar dos números ubicados en la recta. Utilice estos ejemplos para destacar que en la recta numérica los números positivos se anotan a la derecha del cero y los números negativos a la izquierda. o bien. La idea no es que deduzcan o memoricen las fórmulas. Sentido numérico y pensamiento algebraico Es probable que los alumnos encuentren más dificultades en comparar números con signo negativo y razonen con la lógica de que los números mayores son los que tienen un mayor valor absoluto (independientemente del signo). a partir de la elección de los alumnos. sino que practiquen diversos métodos para calcular la raíz cuadrad Es conveniente que este problema se explore con la posibilidad de construcción de rectángulos de igual área pero diferentes longitudes de lados.
recuérdeles que cuando un automóvil mantiene un rendimiento constante. puede recordar que cuando hay dos cantidades relacionadas podemos conocer una en términos (o en función) de la otra. Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer la opción correcta.Anime a los alumnos a reflexionar sobre el proceso que siguieron para encontrar el lado del cuadrado a partir el área. Esto los llevará a de manera directa a reflexionar acerca del significado de la raíz cuadrada como el número que. Hecho esto puede recordar mediante algunos ejemplos que para conocer la expresión algebraica asociada a una relación de proporcionalidad directa. elevado al cuadrado. si un automóvil recorre 60km con 4 litros de gasolina entonces la constante de proporcionalidad que permite conocer la distancia recorrida a partir de la 60 . da como resultado el mismo número al cual se le está sacando la raíz. entonces la cantidad de gasolina que consume y la distancia recorrida son cantidades directamente proporcionales. Si después de leer la pregunta los alumnos tienen dificultades para establecer cuál de las opciones es la correcta. Después de hacer las operaciones indicadas obtenemos los correspondientes valores de y. 38 Pida a los alumnos que intenten ordenar los números sin utilizar una calculadora. Como cierre puede establecer otras relaciones de proporcionalidad directa entre conjuntos de cantidades y encontrar la expresión algebraica asociada a la relación. entonces si llamamos x a la cantidad de gasolina consumida es 15 = 4 cantidad de litros de gasolina que consume el automóvil en un recorrido y llamamos y a la cantidad de kilómetros recorridos. basta encontrar la constante de proporcionalidad. La expresión algebraica asociada a esta situación es y = 15x . Para encontrar el valor de la raíz de 400 usted puede pedir a los alumnos que encuentren el cuadrado de los números del 10 al 20. Por ejemplo: Para la expresión y = 6x + 2 una tabla de valores se construye dando valores a x y substituyendo estos valores en la expresión y = 6x + 2. Pida a dos o tres alumnos que expliquen brevemente cómo se calcula la potencia de un número. 39 40 97 . Es probable que los alumnos tengan dificultades al trabajar con números en los que hay que calcular una potencia o una raíz y que esto dé lugar a errores al ordenarlos. La gasolina y el rendimiento. Una vez hecho esto puede recordar mediante algunos ejemplos cómo construir una tabla de valores a partir de una expresión dada. 144 = 12 y 12 2 = 144 . Se espera que puedan identificar que 4002 es menor que 4003 sin necesidad de calcular exactamente su valor. Por ejemplo Potencias y raíz cuadrada. Por ejemplo. Los diferentes valores que va tomando y se colocan en una tabla.
un frecuente error de los alumnos consiste en afirmar que la gráfica 42 98 . Hecho esto. El siguiente dibujo ilustra esta situación.5) . Primero ubicamos en el eje horizontal (eje x) el número 7 y trazamos una recta paralela al eje vertical (eje y) que pase por el número 7. El punto de intersección de las dos rectas que se trazaron es el punto de coordenadas (7.5) en el plano cartesiano se hace lo siguiente. señale que a partir de una relación entre dos conjuntos de cantidades se pueden construir tablas de valores y con estas tablas de valores se pueden trazar puntos en un plano cartesiano para finalmente elaborar la gráfica asociada a la relación. Luego ubicamos en el eje vertical (eje y) el número 5 y trazamos una recta paralela al eje horizontal (eje x) que pase por el número 5. Por ejemplo. Gráficas asociadas a problemas. repase con ellos como ubicar puntos en el plano cartesiano. Como cierre puede construir tablas de valores para las expresiones algebraicas de todos los incisos. para el valor de x = 1. para ubicar el punto de coordenadas (7. puede señalar que las gráficas asociadas a conjuntos de cantidades directamente proporcionales son puntos que se encuentran sobre una línea recta y esta línea recta pasa por el origen (esto es. para x = 2 el valor de y es 14.5) 3 4 5 6 7 8 9 10 x Después puede indicarles como auxiliarse con la cuadricula del plano cartesiano para ubicar de manera mas rápida los puntos. Proporcionalidad y gráficas. y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 Punto (7. el valor de y es 8. y así sucesivamente.0) también pertenece a la gráfica). Al trabajar con la relación entre dos conjuntos de cantidades y una grafica.Así. Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta. Manejo de la información 41 Para ayudar a los alumnos a determinar la opción correcta. el punto (0.
Si bien el problema planteado es encontrar el área del círculo. ¿puedes señalar en el dibujo cuál es el área que queremos calcular? Uno de los errores más comunes en este tipo de problemas es la confusión entre las fórmulas para el cálculo del área y la longitud de la circunferencia. Si después de leer la pregunta algún alumno tiene dificultades para determinar la opción correcta.y) pertenece a una gráfica dada. si en un problema la cantidad x se corresponde con una cantidad y. ya que en ellos se justifican ambas fórmulas usando diferentes métodos y se muestra el significado del número π. Como cierre puede pedirles que elaboren las gráficas asociadas a todos los incisos.representa al problema tan sólo por que han identificado que uno de los puntos de cantidades está representado en ésta. Es decir. Sin embargo lo que si es cierto es que para que una gráfica no sea la correcta basta con que las coordenadas de un punto determinado por dos cantidades que se correspondan no pertenezca a la gráfica. conviene diagnosticar lo que conoce el estudiante acerca del cálculo del área y perímetro del círculo. 44 99 . Es decir. Hay que tener cuidado al hacer el despeje para obtener el radio o el diámetro. Otro error frecuente es la sustitución incorrecta de elementos en las fórmulas. El siguiente paso es que los alumnos determinen que necesitan conocer el radio para obtener el área. todos los puntos que se obtengan de cantidades que se correspondan deben de pertenecer a la gráfica. Forma. En este caso. espacio y medida 43 Fórmula del área del círculo. identificar cuál es la información adicional que se puede obtener a partir de los datos ya contenidos en el enunciado del problema. Perímetro del círculo. Un primer paso para resolver este problema es identificar que la respuesta se obtiene al restar el área del círculo menor al área del mayor. es posible que los alumnos sustituyan el dato que encuentran en el problema sin distinguir si es radio o diámetro (por ejemplo si consideran que el radio del círculo menor es de 5 m). Haga algunas preguntas para verificar si los alumnos han comprendido esto. el problema central consiste en determinar que es necesario encontrar el radio o el diámetro a partir del único dato (perímetro de la circunferencia) que se proporciona. Para corregir esto hay que fomentar que el alumno explique con sus propias palabras porqué eligió esa opción y hacerle ver este tipo de errores. Si conoce las fórmulas y las maneja. por ejemplo ¿qué es lo que hay que buscar?. Una vez identificado el radio de la circunferencia hay que aplicar correctamente la fórmula para encontrar el área del círculo. es común que los alumnos piensen que esa es la gráfica asociada al problema. En ese caso puede ser de utilidad que revisen el libro de texto de Primer Grado de Secundaria o los libros de Quinto y Sexto Grados de Primaria. y el punto de coordenadas (x. Hay que recordarles que para que una gráfica sea la asociada a una relación entre dos conjuntos de cantidades. entonces el paso siguiente sería relacionar el valor dado del perímetro con la fórmula correspondiente.
¿Cuál es la suma de las cuatro diferencias de goleo? a) -35 • Explica a tu maestro paso a paso cómo llegaste a la elección de esta opción. • [(-6) + (-7)] + [(-4) + (-18)] = • (-6) + (-7) + (-4) + (-18) = • -6 -7 -4 -18 = • En tu cuaderno copia cada una de las expresiones y realiza las operaciones indicadas. • ¿Qué sucede si sumas la diferencia de goles del segundo torneo? ¿Cómo se representa esa suma en la recta? • Si la diferencia de goles del primer torneo se representa con el número (-6) y la del segundo torneo con (-7). • ¿Qué sucede si sumas la diferencia de goles del segundo torneo? ¿Cómo se representa esa suma en la recta? ¿La diferencia que se obtiene es positiva o negativa? • Y si al resultado le sumas la diferencia de goles del tercer torneo. En la tabla se presenta la diferencia de goleo del equipo de futbol Conejos en cuatro torneos. b) –9 • En el primer torneo el equipo tuvo una diferencia de goles negativa. • Indica si utilizaste alguna de las siguientes expresiones. ¿el resultado es positivo o negativo? c) 9 • En el primer torneo el equipo tuvo una diferencia de goles negativa. ¿se obtiene un número positivo o uno negativo? • Cuando sumas dos números negativos.BLOQUE V Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico 45. ¿Con cuál de las siguientes dos expresiones representa la suma de estas dos diferencias? • (-6) + (-7) = •7+6= • ¿El resultado de ambas expresiones es el mismo? 100 .
3)? a) –161.3)? Compárala con la operación del problema • ¿Cuánto es –(–25.3 • Indica cuál de las siguientes opciones es la correcta: • –(–25.3) = • (–136) + 25.3) usando una suma? • Realiza la operación ¿Qué resultado te queda? b) –110. • [(-6) + (-7)] + [(-4) + (-18)] = • (-6) + (-7) + (-4) + (-18) = • -6 -7 -4 -18 = • 6 + 7 + 8 + 18 = • Resuelve las expresiones anteriores y compara los resultados.7 • ¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes operaciones? • (–136) + (–25.3) = –25.3 • ¿Cuánto se tiene que sumar o restar a -136 para obtener el número que elegiste como respuesta (161.3) = • ¿El resultado es igual a alguna de las dos primeras operaciones? d) 161.3) = 25. 101 .3 • Explica porqué del resultado que elegiste.7 • ¿Cómo puedes reescribir la operación (–136) – (–25.3) usando una suma? • (–136) + (–25. • ¿Cómo puedes reescribir la operación (–136) – (–25.d) 35 • Explica a tu maestro paso a paso cómo llegaste a la elección de esta opción. ¿Cuál es el resultado de la operación (–136) – (–25. • Indica si utilizaste alguna de las siguientes expresiones. • ¿Qué sucede cuando sumas la diferencia de goles de los torneos A1 y A2? ¿Mejoró la diferencia de goles? La suma de las dos diferencias es positiva o negativa ¿Por qué? • ¿Qué sucede si le sumas a esto la diferencia de goles del tercer torneo? ¿Se vuelve positiva? • ¿Qué pasa con la diferencia de goles del cuarto torneo? Mejoró o empeoró la diferencia total de los cuatro torneos ¿Ayudó a mejorar o a empeorar la diferencia de goles de los 4 torneos? 46.3) = • ¿Se puede obtener el mismo resultado en las dos? • Ahora resuelve la siguiente suma: (–136) + (+25.3 = c) 110.3)? ______ • Replantea la operación del problema usando esta información.3) = • (–136) – (–25.3 • –(–25.
47.15) • Verifica si los puntos que completaste en la tabla pertenecen a la gráfica.y) (1. realiza un recorrido de 180 km con quince litros de gasolina. • ¿Coincide la distancia recorrida con 15 litros de gasolina que obtuviste en la tabla con la del enunciado del problema? b) 102 . Indica cuál de las opciones corresponde a la gráfica y a la expresión algebraica asociadas a esta situación. Un automóvil que tiene un rendimiento constante. a) • Usa la expresión que elegiste para completar la tabla: Gasolina consumida (x) (en litros) 1 5 10 15 Distancia recorrida (y) (en km) 15 Punto (x.
• Con la expresión algebraica que elegiste (y =12x) verifica si con 15 litros de gasolina (x).(Para cada cantidad de gasolina (x) obtienes la distancia recorrida (y)).y) (15. se recorren los 180km (y). para verificar si obtienes los mismos resultados que en la tabla.180) • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite conocer la distancia recorrida por el automóvil (y) a partir de la gasolina consumida (x)? • ¿Los puntos que aparecen en la tabla pertenecen a la gráfica? • Usa la expresión algebraica y =12x. 103 . Gasolina consumida (x) (en litros) 15 5 1 Distancia recorrida (y) (en km) 180 Punto (x.y) que encontraste pertenece a la gráfica? c) • Completa la siguiente tabla para encontrar algunas de las distancias recorridas por el automóvil a partir de la cantidad de gasolina consumida. • ¿Qué distancia (y) recorre el automóvil con 5 litros de gasolina (x = 5)? • ¿El punto de coordenadas (x.
El lado de cada uno de los siguientes cuadrados mide 4 cm. Calcula el área de la región azul en cada figura (A1. A2 y A3 respectivamente) e indica cuál de las siguientes relaciones de orden es la correcta entre ellas. Eje: Forma. para verificar si obtienes los mismos resultados que los anteriores.d) • Con 15 litros de gasolina el automóvil recorre 180km. 104 . espacio y medida 48. (Para cada cantidad de gasolina (x) obtienes la distancia recorrida (y)). • ¿Qué distancia recorre el automóvil con 5 litros de gasolina? • ¿Qué distancia recorre con 1 litro de gasolina? • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite conocer la distancia recorrida por el automóvil (y) a partir de la gasolina consumida (x)? • Usa la expresión algebraica y =15x.
¿cómo es el resultado de esta suma con respecto al área azul A2 de la figura 2? • Explica con tus propias palabras el procedimiento para obtener el área azul de las figuras 1 y 2. ¿podrías acomodar el área azul A1 para cubrir exactamente el área azul A3? • ¿Te sobrarían o faltarían pedazos azules en A1 para cubrir A3? c) 2A1 = A2 = A3 • ¿Cómo son las áreas de los cuadrados de las figuras 2 y 3? • ¿Qué figuras componen la figura 2? • ¿Cuánto mide el radio de las semicircunferencias que forman el área azul A2? ¿Cuánto mide en total A2? • ¿Cuánto mide cada uno de los siguientes pedazos blancos de la figura 2? • ¿Son iguales a los pedazos del área azul A3? • Calcula el área A3 y compárala con A2. d) 2A1 = A3 < A2 • ¿Cómo son las áreas de los cuadrados de las figuras 2 y 3? • ¿Cuánto mide cada sector que tiene esta forma en A3? • ¿Cómo obtuviste tal resultado? • Explica por qué es menor A3 que A2 • ¿Cuánto mide el radio de las semicircunferencias que forman el área azul A2? ¿Cuánto mide en total A2? 105 .a) A1 = A2 < A3 • ¿Cómo calculas el área de cada uno de los cuatro sectores circulares que componen la figura 1? ¿A qué parte de la circunferencia corresponden cada uno de ellos? • Si sumas el área de los cuatro sectores circulares. b) A1 = A3 < A2 • Si tuvieras unas tijeras y pudieras recortar el área azul A1.
¿cuál es el dato que aparece más veces? • En total.9 centímetros.9 centímetros? b) • La moda puede interpretarse como el dato que aparece con mayor frecuencia. Respecto a las mujeres. • Respecto a las mujeres. • En los recién nacidos mujeres la media es aproximadamente 49. • En los recién nacidos hombres la mediana es 51 centímetros. Elige la gráfica que represente lo que se afirma enseguida: • En los recién nacidos mujeres la moda es 50 centímetros.Eje: Manejo de la información 49. ¿cuál es el dato que aparece más veces? 106 . ¿de cuántos recién nacidos mujeres hay registro en la tabla? • ¿Cuánto suman las tallas de todas las recién nacidas? • Divide el número obtenido entre el total de registros de las mujeres para obtener la media. ¿Es cierto que en esta gráfica la media es aproximadamente 49. a) • La moda puede interpretarse como el dato que aparece con mayor frecuencia.
• Si ordenas los datos de los recién nacidos hombres. ¿de cuántos recién nacidos hombres hay registro en la tabla? • Haz una lista con todos los datos ordenados de menor a mayor. ¿cuál se encuentra exactamente a la mitad?.9 centímetros. ¿se verifica en esta gráfica que la mediana es 51 centímetros? d) • La media puede interpretarse así: si todas las recién nacidas midieran lo mismo sería 49. ¿Se verifica en esta gráfica? 107 .c) • En total.
1 kg. • En total. • ¿Qué se representa en el eje vertical? ¿Cuántos Beagle pesan 11 kg? • Copia la siguiente frase en tu cuaderno y complétala: • El punto más alto en la gráfica del Beagle representa _____________________ b) • Ningún Beagle pesa 15 kg. a) • Entre los Beagle la moda es 7 kg. • La moda puede interpretarse como el dato que aparece con mayor frecuencia. • La media del Schnauzer es 12. ¿de cuántos Beagle hay registro en la tabla? • Copia la siguiente frase en tu cuaderno y complétala: • La media puede interpretarse así: si todos los Beagle pesaran lo mismo su peso sería de _____________ 108 . • ¿Cuánto suman los pesos de todos los Beagle? • En total. ¿cuál es el dato que aparece más veces? c) • Hay dos Beagle que pesan 10 kg.50. y la otra mitad iguales o mayores que ella. • No hay ningún Cocker que pese 12 kg. • Para el Cocker la mediana es 10. ¿de cuántos Cocker hay registro en la tabla? • La mediana indica que la mitad de los registros son iguales o menores que ella. A partir de la información de la gráfica. • Respecto a las mujeres. • La moda para el Schnauzer es 12 kg. elige la opción en la que todas las afirmaciones sean ciertas.5 kg. ¿Cuál es el dato que corresponde a la mediana? d) • La media del Beagle es 11 kg.
Por ejemplo: 46 109 . Puede pedirles que comience con una cantidad y le vayan sumando tanto números negativos como positivos.SUGERENCIAS DIDÁCTICAS A continuación se presentan algunas sugerencias de trabajo que ayudan a precisar el abordaje del contenido en cada una de las preguntas. Destaque lo que ocurre con los resultados de sumas de dos números que tienen el mismo signo y qué sucede con las sumas de dos números que tienen signos distintos. Le proponemos que las lea previamente para enriquecer su labor en el aula. Puede plantear ejemplos como los siguientes: (–4) – (–2) = –2 (–4) – 2 = –6 (–7) – (–2) = –5 (–7) –2 = –9 Una vez que comprendan qué sucede cuando se resta un número negativo. trabaje con ellos en ejemplos que involucren números más pequeños o números sin punto decimal. ayúdelos a entender que la resta se puede transformar en una suma utilizando los simétricos de los números. pero cuyo orden y resultado cambien. Pídales que analicen distintas operaciones que involucren números con el mismo valor absoluto. Pregunte qué sucede si en la suma un número de signo negativo es mayor que el positivo y qué sucede en la situación contraria. Sentido numérico y pensamiento algebraico Para ayudar a los alumnos a determinar la opción correcta. ¿Cuál signo queda en el resultado en cada caso? Como actividad final realice otros ejemplos de sumas y restas de números con signo. Otro recurso es utilizar la recta numérica para ilustrar el proceso. trabaje con ellos en ejemplos que involucren números más pequeños. Es común que se les dificulte realizar restas que involucran números negativos. Sugerencias didácticas 45 Operaciones de números con signo Si observa que los alumnos tienen dificultades para determinar cuál de las opciones es la correcta. Bloque V Preguntas Eje Suma de números con signo.
Este reactivo esta diseñado para que tengan que cumplirse las dos condiciones (que corresponda tanto la expresión algebraica como la gráfica) 47 Área de figuras compuestas. luego 48 110 . Pídales que intenten construirlas para que vean qué elementos las componen. Si los alumnos tienen dificultades para calcular e identificar el área de las regiones. según las relaciones que haya. Así los alumnos pueden calcular el área del cuadrado. si se quiere obtener un área de regiones que están por separado.0) pertenece a la gráfica). espacio y medida Para calcular las áreas que se plantean en el problema. Se puede hacer una resta cuando está contenida una figura en otra.Puede ayudar a los alumnos poniendo ejercicios en donde encuentren un número a partir de otro utilizando sumas y restas de números con signo. Después. es importante que los alumnos noten que cada figura está compuesta por un cuadrado de lado igual a 4 cm y sectores circulares dentro del cuadrado. Además la expresión asociada es de la forma y = kx donde k es la constante de proporcionalidad. tablas y expresiones algebraicas. una suma. En este caso. También puede recordarles que la gráfica asociada a una relación de proporcionalidad directa está formada por puntos que están sobre una línea recta y esta línea recta pasa por el origen (el punto de coordenadas (0. Forma. Pídales que escriban en su cuaderno este tipo de operaciones: ¿Cuánto tienes que sumar a -10 para obtener – 15? ¿Cuánto le falta al -30 para llegar a -45? Encuentra una pareja de números negativos cuya suma sea -3. Si los alumnos tienen dificultades en establecer cuál es la opción correcta. si hay varias figuras del mismo tipo contenidas en el conjunto. puede ayudarles a visualizar los componentes de las figuras. se hacen las operaciones correspondientes. o bien un producto. puede recordar que a partir de una relación de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades hay una expresión algebraica asociada a la relación. primero se debe identificar las figuras que conforman a cada figura compuesta. Gráficas. Uno de los errores comunes de los alumnos es: Identificar solamente un elemento y con eso decidir cuál es la opción correcta.
Para responder este reactivo quizá sea necesario un repaso de las medidas de tendencia central. se suman los resultados y se divide entre el total de recién nacidos Mediana. Es equivalente al promedio y se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre el número total de datos. para obtener el área de la figura 3 es recomendable realizar los cálculos para tener la certeza de las relaciones que se enuncian en las opciones. Manejo de la información 49 Medidas de tendencia central. Para responder este reactivo quizá sea necesario repasar con los alumnos las medidas de tendencia central. el que tiene una mayor frecuencia. el resultado se divide entre el total de recién nacidos. Moda. Por ejemplo. Es equivalente al promedio y se calcula sumando la talla de cada recién nacido. Media. se promedian los que estén al centro de la lista y el resultado será la mediana. 50 111 . Aclare que algunos datos pueden coincidir. Media. Si hay un número par de datos. Si se ordenan todos los datos en una lista de menor a mayor (o viceversa).restar las áreas de cada uno de los sectores circulares para los dos primeros casos y después comparar los resultados. es la mediana. Si hay un número par de datos. y todos los que estén a su derecha serán iguales o mayores que la mediana. De hecho es recomendable que los alumnos reflexionen acerca de esta cuestión independientemente de haber obtenido el resultado la partir de calcular las áreas de los cuadrados y luego restándoles la de los sectores circulares. es la más alta. Moda. Para la figura 3 se puede utilizar el resultado obtenido al calcular el área de la región que sobra en la figura 2. En el caso de las gráficas de barras. Otra manera de obtener el resultado es notar que el área que cubre la suma de los sectores circulares es igual a la de la circunferencia completa. Es el dato que más se repite. el dato que queda a la mitad de la lista. Es posible que haya más de una moda. es la mediana. En este caso se puede multiplicar el valor de una talla por la altura de la barra correspondiente. el que tiene una mayor frecuencia. Medidas de tendencia central en un conjunto de datos. se promedian los que estén al centro de la lista y el resultado será la mediana. Es el dato que más se repite. Todos los datos que estén a su izquierda serán iguales o menores que la mediana. Esto se puede hacer sin hacer cálculos de área pero sí justificando cómo se llegó a tal conclusión. Sin embargo. en la gráfica de la opción a) la moda y la mediana para los hombres es la misma: 51 centímetros. el dato que queda a la mitad de la lista. Todos los datos que estén a su izquierda serán iguales o menores que la mediana. Si se ordenan todos los datos en una lista de menor a mayor (o viceversa). y todos los que estén a su derecha serán iguales o mayores que la mediana. Mediana.
b. a. c. c. d. c. d. d. 50 a. c. c. d. a. d. 30. b. a. b. c. c. c. a. b. de aciertos: __________________________ Fecha: ___________________________________ 1. c. 32. 24. a. d. 49. c. c. 3. a. c. d. d. a. c. 19. b. a. a. c. c. a. a. 12. d. c. 11. c. b. d. d. 45. d. a. 14. a. d. b. a. d. 26. c. c. c. c. a. c. a. a. d. c. b. 23. d. d. b. d. b. a. a. a. b. 33. a. d. 112 . a. 6. 15. c. b. 36. d. d. d. 41. b. a. a. c. 2. c. 4. c. b. b. b. b. a. d. 5. 9. c. c. a. c. b. d. b. 47. c. a. 16. 10. c. c. b. a.REGISTRO DE RESPUESTAS Nombre de la asignatura: ____________________________________________________________ Nombre del alumno: ________________________________________________________________ No. d. 31. 13. d. a. 25. 17. b. a. d. b. d. a. c. d. 42. b. a. 37. c. c. a. b. 39. d. d. a. d. d. a. a. 48. a. a. d. 18. 20. c. b. b. 44. c. c. 7. b. b. b. d. a. a. a. 27. d. 22. b. 34. a. b. c. a. a. b. c. b. 21. 46. d. c. d. 40. b. b. a. a. b. b. 43. c. b. b. c. 29. b. c. d. b. b. d. a. d. d. c. c. d. d. b. d. b. 35. 38. b. d. d. d. b. b. c. b. a. b. b. d. d. 8. 28. c. c. a.
1. Orden entre números fraccionarios 2. Orden entre números decimales 3. Fracciones en la recta numérica 4. Números decimales en la recta numérica 5. Sucesiones numéricas 6. Sucesiones de figuras 7. Perímetros y expresiones algebraicas. 8. Áreas y expresiones algebraicas 9. Simetría con respecto a un eje 10. Situaciones de proporcionalidad directa 11. Procedimientos para resolver un problema de conteo 12. Diferentes maneras de realizar un recorrido 13. Resta de fracciones 14. Suma de números decimales 15. Multiplicación de fracciones 16. División de fracciones 17. Multiplicación de números decimales 18. Propiedades de la mediatriz 19. Construcción de la bisectriz 20. Constante de proporcionalidad fraccionaria 21. Constante de proporcionalidad decimal 22. Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad 23. División de números enteros entre decimales 24. División de números decimales entre decimales 25. Ecuación de primer grado asociada a un problema 26. Ecuaciones de primer grado y operaciones inversas 27. Resolución de ecuaciones de primer grado 28. Perímetro de figuras 29. Área de figuras 30. Porcentaje de una cantidad 31. Porcentaje que representa una cantidad respecto de otra 32. Probabilidad empírica y la teórica de un evento 33. Mayor probabilidad de ocurrencia 34. Gráficas circulares 35. Gráficas de barras 36. Orden entre números con signo 37. Raíz cuadrada. 38. Potencias y raíz cuadrada 39. La gasolina y el rendimiento
d) a) c) c) d) b) a) d) d) b) c) d) a) c) b) d) b) a) d) c) c) c) b) c) d) b) b) d) b) c) c) d) d) c) b) d) a) b) b)
40. Tablas y expresiones algebraicas 41. Proporcionalidad y gráficas 42. Gráficas asociadas a problemas 43. Fórmula del área del círculo 44. Perímetro del círculo 45. Suma de números con signo 46. Operaciones de números con signo 47. Gráficas, tablas y expresiones algebraicas 48. Área de figuras compuestas 49. Medidas de tendencia central 50. Medidas de tendencia central en un conjunto de datos
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Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Pública Juan Martín Martínez Becerra Director General de Desarrollo de la Gestión e Innovación Educativa Básica María Edith Bernáldez Reyes Directora General de Materiales Educativos Ernesto Adolfo Ponce Rodríguez Coordinador General de Innovación Lilia Dalila López Salmorán Coordinadora Nacional de Programas Educativos para Grupos en Situación de Vulnerabilidad María Teresa Calderón López Coordinadora de Vinculación Académica Sandra Ortiz Martínez María Guadalupe Ramírez Santiago Seguimiento y Revisión Jorge Humberto Miranda Vázquez Nancy García García Colaboradores Editorial
José Luis Espinosa Piña Director General Felipe Bracho Carpizo Coordinación de Informática Educativa Ana Clara Trinidad Coordinadora de Radio y Televisión
Aquiles Ávila Hernández Fermín Revueltas Valle Responsable de la Dirección de Director Tecnológico Telesecundaria Silvia Rodríguez López Rosa María Mackinney Bautista Iris Hernández Pérez Eunice Mayela Ayala Seuthe Coordinación Edith Segura Parra Coordinadoras Iris Hernández Pérez Luis Daniel Mújica López Ana Rosa Díaz Aguilar Daniel Rodríguez Barranco Coordinadora Académica Español Desarrollo Tecnológico Ana Rosa Díaz Aguilar Eduardo Canto Salinas Socorro De la O Pecina María de Lourdes González Islas Héctor Luis Grada Martínez Elaboración de Reactivos Español Silvia Rodríguez López Roberto Nuñez Hernández Diseño Gráfico e Integración de Interfaz y Reactivos Raúl García Flores Ilustración
Julieta Fernández Morales Ofelia González Sánchez Felipe Bonilla Aguilar Selección de Recursos Cecilia Adriana López Rivera Informáticos Español Lilia Karina Wong Cortés María Gabriela Ávila Sánchez Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición de Video Coordinador Académico Matemáticas Erika Paulina Tovilla Quesada Ana Laura Barriendos Rodríguez Apoyo de integración de Descartes Mauricio Héctor Cano Pineda Emilio Domínguez Bravo José Cruz García Zagal Olga Leticia López Escudero Elaboración de Reactivos Matemáticas Deyanira Monroy Zariñan Selección de Recursos Informáticos e Integración de Reactivos Matemáticas Mauricio Héctor Cano Pineda Selección de Videos Matemáticas Esther Edith López-Portillo Chávez Susana Dessireé García Herrera Angélica Alejandra Portillo Rodríguez Héctor Luis Grada Martínez Eduardo Canto Salinas Correctores de Estilo
México. Segunda edición: 2009 DR © Secretaría de Educación Pública. Queda prohibido el uso para fines distintos al desarrollo social. sin fines de lucro y citando la fuente. electrónico y otro. 2008 Argentina 28.Se autoriza la reproducción parcial o total de este material por cualquier sistema mecánico. ISBN (Obra completa) ISBN (Material impreso) Distribución Gratuita (prohibida su venta) “Este programa es público. DF. Colonia Centro Histórico. ajeno a cualquier partido político. CP 06020.” Artículo 28 de la Ley General de Desarrollo Social 116 .
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