Source: https://es.scribd.com/document/159633092/Analisis-teorico-y-experimental-de-vigas-armadas-de-acero-de-canto-variable
Timestamp: 2017-05-25 13:21:34+00:00

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En primer lugar, agradecer a la profesora Esther Real la oportunidad de participar en un proyecto como éste, así como la atención recibida durante todo el curso. Gracias a este proyecto he podido conocer una pequeña parte del todo que en engloban las estructuras metálicas. A Agnieszka Bedynek, que ha seguido el transcurso de esta tesina, agradecerle el apoyo y la colaboración brindada en todo momento. Desearle, mucha suerte para con su tesis doctoral A todos los técnicos y personal del Laboratorio de Tecnología de Estructuras, en especial a Carlos Martín y Tomás García, la ayuda y paciencia brindada durante la realización de la campaña experimental. A los profesores del área de Estructuras Metálicas, Rolando Chacón y Enrique Mirambell, agradecerles la atención y el compañerismo que siempre me han brindado. Por último, quisiera dedicar este trabajo a mi familia y a mis amigos. Resumen II RESUMEN En el diseño de vigas metálicas cuando se requiere de vigas de gran esbeltez o vigas de grandes luces es necesario crear vigas armadas. Estas son vigas generadas a partir de la soldadura de diversas piezas obteniendo así la forma deseada. En las normativas de construcción metálica, no se hace referencia a como abordar el dimensionamiento de vigas armadas de inercia variable. Dicha falta de formulación se debe a que se tienen pocos modelos de capacidad última de vigas de inercia variable, la mayoría se basan en modelos ya establecidos para paneles rectangulares de vigas de inercia constante (vigas prismáticas). En el estudio hasta rotura del comportamiento de este tipo de vigas se debe contemplar la aparición de varios fenómenos que en múltiples ocasiones pueden estar acoplados. Dentro de ellos estarían la inestabilidad de los paneles de alma, la plastificación del material y la interacción con el momento flector. En concreto en este trabajo nos centraremos en el estudio de la inestabilidad de los paneles de alma. Se pretende obtener una forma sencilla para calcular la resistencia crítica de las vigas de inercia variable. Zárate (2002) presenta un modelo de resistencia crítica de vigas de inercia variable de alma esbelta que reproduce de manera más realista el comportamiento de esta tipología estructural. El objetivo de este trabajo es analizar el comportamiento de vigas de inercia variable, bajo los efectos de esfuerzos cortantes. Para alcanzar dicho objetivo, se ha realizado un modelo numérico. Además, se ha llevado a cabo una campaña experimental de cuatro vigas con diferentes características geométricas a fin de contrastar la validez del estudio. Finalmente, se han expuesto las conclusiones de dichos análisis, así como recomendaciones para futuros estudios. Abstract III ABSTRACT In the design of structural elements sometimes is required very slender beams or it is necessary to bear long distances bridges, it is when the plate girders are useful. In the metal building normative, there is no reference how to approach the design of variable inertia girders. This lack of development is because there are few models of ultimate capacity for tapered plate girders, most are based on models already established for rectangular panels of constant inertia girders (prismatic girders). In the study of the behaviour of such girders should give the appearance of various phenomena that can be coupled in multiple occasions. Like the instability of the panels, the plasticizing of the material and the interaction with the bending moment. Specifically in this paper we focus on the study of the instability of the web panels. It seeks an easy way to calculate the critical resistance of the beams of variable inertia. Zárate (2002) presents a model of critical resistance of slender web girders of variable inertia that reproduces more realistically the behaviour of this structural typology. The aim of this paper is to analyse the behaviour of tapered plate girders, under the influence of shear. To achieve this objective, the results from a numerical model are going to be presented. In addition, it has carried out an experimental campaign of four beams with different geometrical characteristics to compare the validity of the study. Finally, we have set out the conclusions of this analysis, and recommendations for future studies. ÍNDICE ÍNDICE 1 INTRODUCCIÓN................................................................................................1 2 ESTADO DEL ARTE...........................................................................................3 2.1 Introducción..................................................................................................3 2.2 Abolladura por cortante.................................................................................4 2.2.1 Fenómeno..............................................................................................4 2.2.1.1 Abolladura.....................................................................................5 2.2.1.2 Comportamiento postcrítico.........................................................11 2.2.2 Modelos resistentes..............................................................................13 2.2.2.1 Tension Field Method..................................................................13 2.2.2.2 Rotational Stress Field Method.....................................................18 2.2.3 Normativa............................................................................................23 2.2.3.1 EC3 P1-5 (RSFM)........................................................................23 2.3 Vigas de inercia variable..............................................................................23 2.3.1 Estudios previos...................................................................................23 2.3.1.1 Mirambell, E. y Zárate, V.............................................................23 2.3.1.2 Falby,W.E. y Lee, G.C.................................................................24 2.3.1.3 Davies, G. y Mandal, S.N.............................................................25 2.3.1.4 Takeda, H. y Mikami, I. ...............................................................27 2.3.1.5 Shanmungam, N.E. y Min, H........................................................28 3 MODELO NUMÉRICO......................................................................................31 3.1 Introducción................................................................................................31 3.2 Bases del método de los elementos finitos...................................................32 3.3 Fases de cálculo en el análisis de estructuras por elementos finitos..............32 3.4 Modelización geométrica.............................................................................33 3.4.1 Elemento de lámina utilizado...............................................................33 3.4.1.1 Formulación isoparamétrica.........................................................36 3.4.2 Consideración de la no linealidad geométrica.......................................37 3.4.3 Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones..........................41 3.4.4 Introducción de la carga. Desplazamiento controlado...........................42 3.5 Modelo constitutivo.....................................................................................43 3.5.1 Diagrama tensión-deformación del acero.............................................43 3.5.2 Generalización a un estado bidimensional ............................................43 3.5.3 Ecuación constitutiva...........................................................................44 3.5.4 Modelización de la rotura.....................................................................45 3.5.5 Relación entre la discretización y la modelización de la rotura.............45 3.6 Método de resolución de ecuaciones no lineales..........................................46 3.6.1 Análisis de autovalores........................................................................46 4 ESTUDIO NUMÉRICO......................................................................................47 4.1 Planteamiento del Problema.........................................................................47 4.2 El código numérico en el análisis de vigas de inercia variable......................51 4.2.1 Condiciones de contorno consideradas en las vigas de inercia variable.51 4.2.2 Malla utilizada en la determinación de la inestabilidad del alma...........53 4.3 Estudio de la abolladura del panel de alma con parámetro de formaα = 1....53 ÍNDICE V 4.3.1 Parámetros geométricos utilizados en los análisis.................................54 4.3.2 Resultados del análisis estructural ........................................................55 4.3.3 Análisis de los resultados y procedimiento de correlación de variables.61 4.3.3.1 Criterio utilizado para determinar la correlación de variables........62 4.3.3.2 Ecuaciones obtenidas del estudio de correlación de variables ....63 4.3.4 Ecuaciones derivadas de la correlación de variables para 1 = o
...........66 4.4 Análisis de resultados obtenidos..................................................................72 5 CAMPAÑA EXPERIMENTAL..........................................................................76 5.1 Introducción................................................................................................76 5.2 Geometrías de las vigas...............................................................................77 5.3 Imperfecciones iniciales..............................................................................80 5.4 Instrumentación...........................................................................................80 5.4.1 Introducción.........................................................................................80 5.4.2 Galgas extensométricas........................................................................81 5.4.3 Transductores de desplazamiento inductivos........................................85 5.4.4 Localización de la instrumentación......................................................86 5.5 Proceso de carga y adquisición de datos.......................................................88 5.5.1 Prensa de carga....................................................................................88 5.5.2 Aparatos de apoyo...............................................................................89 5.5.3 Viga soporte........................................................................................89 5.5.4 Dispositivo de recepción de datos........................................................90 5.6 Resultados experimentales...........................................................................91 5.6.1 Introducción.........................................................................................91 5.6.2 Ensayo núm.1. viga A_600_800_800...................................................91 5.6.2.1 Análisis comparativo de la Viga A_600_800_800. .......................93 5.6.3 Ensayo núm.2. viga B_500_800_1200.................................................95 5.6.3.1 Análisis comparativo de la Viga B_500_800_1200.......................97 5.6.4 Ensayo núm.3. viga C_480_800_800...................................................99 5.6.4.1 Análisis comparativo de la Viga C_480_800_800. ..................... 101 5.6.5 Ensayo núm.4. viga D_600_800_800................................................. 103 5.6.5.1 Análisis comparativo de la Viga D_600_800_800. ..................... 105 6 CONCLUSIONES............................................................................................ 108 6.1 Introducción.............................................................................................. 108 6.2 Conclusiones del estudio numérico............................................................ 109 6.3 Conclusiones de la campaña experimental ................................................. 111 6.4 Perspectivas futuras................................................................................... 112 REFERENCIAS........................................................................................................... 113 BIBLIOGRAFIA ADICIONAL.......................................................................................... 116 ANEJO 1. CÁLCULOS NUMÉRICOS............................................................................. 157 ANEJO 2. INSTRUMENTACIÓN.................................................................................... 158 Capítulo 1 INTRODUCCIÓN ________________________________________ 1 INTRODUCCIÓN En construcción metálica es común abordar el diseño de vigas de luces importantes sobre las que actúan cargas elevadas como en el caso de puentes metálicos y mixtos o naves industriales, entre otros. Es en estos casos, en los que las secciones transversales de las vigas están sometidas a grandes esfuerzos, cuando se debe recurrir al empleo de vigas armadas puesto que no se encuentran en el mercado perfiles comerciales capaces de resistir dichos esfuerzos. Además, en zonas en donde existe una fuerte variación del momento flector, dichas vigas armadas pueden diseñarse como piezas de inercia variable, de manera que su resistencia a flexión se ajuste a las leyes de esfuerzos y se consiga con ello una reducción adicional del peso propio y por tanto, un diseño más económico, dimensionando paneles de gran esbeltez. El proyecto y fabricación de vigas armadas de inercia variable en estructuras metálicas fue propuesto inicialmente por motivos económicos, pero otras ventajas como la disminución del peso propio y la obtención de una apariencia más esbelta y de un aspecto más estético del sistema estructural han potenciado su empleo junto con las modernas técnicas de fabricación de vigas armadas. Dicho efecto puede verse reflejado en la existencia, cada vez mayor de estructuras en donde existe una clara combinación de elementos prismáticos y de inercia variable, como por ejemplo: el puente Quai-
Brücke en Zürich, el puente sobre el río Rin en Colonia-Deutz, el puente en Basel, Switzerland y el puente de Grenelle sobre el río Sena en París. Normalmente, la variación de inercia en las vigas armadas se consigue variando linealmente la altura del panel de alma, manteniendo un ala horizontal e inclinando la otra de acuerdo con la altura de alma. Al contrario que en las vigas laminadas, el alma Capítulo 1 – Introducción 2 de las vigas armadas suele ser muy esbelta, y por tanto susceptible de verse afectada por fenómenos de inestabilidad, incluso para valores pequeños del cortante. En general, se suelen diseñar vigas armadas metálicas con almas muy esbeltas, con sección de alma sobre las que no se puede adoptar la hipótesis de una distribución plástica de tensiones. Por tal razón, el estudio de la respuesta estructural de vigas armadas con paneles esbeltos de alma comporta la necesidad de cuantificar los efectos de posibles inestabilidades locales (abolladura del alma) que, generalmente, aparecen en el rango elástico del material. Una vez el panel de alma abolla, éste puede presentar una cierta reserva de resistencia hasta alcanzar el agotamiento (resistencia postcrítica). En general este tema ha sido ampliamente estudiado para vigas prismáticas, pero existen pocos modelos desarrollados para el caso de vigas de inercia variable. En el caso de vigas prismáticas se ha demostrado sobradamente que las almas de las vigas armadas no colapsan una vez han alcanzado su carga crítica de abolladura, sino que, debido al trabajo en dos direcciones y a los esfuerzos de membrana que aparecen, la placa puede resistir tensiones superiores ofreciendo una reserva de resistencia postcrítica. Estas teorías constituyen la base de los métodos de dimensionamiento existentes hoy en día en las normativas y guías de diseño para vigas armadas de acero al carbono. Los modelos establecidos actualmente son el modelo del campo girado de tensiones, desarrollado por Höglund (1997), y el modelo del campo diagonal de tracciones de Cardiff basado en los estudios desarrollados por Rockey y sus colaboradores (1975). Los pocos modelos de capacidad última de vigas de inercia variable propuestos en la literatura se basan en los modelos anteriormente presentados para vigas prismáticas. Dichos modelos son el de Falby y Lee (1976), el de Davies y Mandal (1979) y el de Takeda y Mikami (1987). Una revisión crítica de dichos modelos pone de manifiesto la existencia de algunos puntos débiles en las hipótesis de trabajo que no se corresponden con el comportamiento real de las vigas armadas esbeltas de canto variable (Mirambell y Zárate, 2000). En este proyecto se propone el estudio de cuatro tipologías diferentes de vigas armadas de canto variable con el objetivo de desarrollar un modelo de cálculo de carga crítica para vigas armadas de inercia variable que tenga en cuenta las condiciones de contorno del panel de alma. Se pretende encontrar semejanzas y diferencias entre los cuatro tipos de viga. Los estudios numéricos van acompañados de una campaña experimental de vigas de inercia variable sometidas a cortante contemplando varias tipologías longitudinales. Capítulo 2 ESTADO DEL ARTE ________________________________________ 2 ESTADO DEL ARTE 2.1 Introducción Las vigas armadas (figura 2.1.b)) formadas por elementos planos soldados pueden verse afectadas por problemas de inestabilidad debido a las elevadas esbelteces de alas y almas. La pérdida de estabilidad provoca una deformación de los elementos, normalmente de su plano medio, lo que reduce su capacidad resistente. Dicha deformación se denomina abolladura (figura 2.1.c)). Una de las grandes características que tiene la abolladura de placas es que éstas pueden presentar una reserva de resistencia después de abollar –resistencia postcrítica- que, dependiendo de las características geométricas de la placa y del estado tensional al que se ve sometida, puede ser ciertamente significativa. Figura 2. 1.- Vigas laminadas y vigas armadas Capítulo 2 – Estado del Arte 4 A principios de los años setenta, el diseño de vigas armadas se basó en la teoría lineal de abolladura de placas. De acuerdo con esto, el estado límite último o colapso se alcanzaba cuando se alcanzaba el límite elástico en un punto o cuando aparecía el fenómeno de abolladura elástica en la chapa de acero. El gran interés por el diseño y por una evaluación más realista y exacta de la capacidad portante de tales vigas y por tanto un mejor aprovechamiento del material, ha llevado a desarrollar métodos de cálculo y análisis mucho más sofisticados en los que se considera la no linealidad geométrica, la no linealidad del material y la resistencia postcrítica. 2.2 Abolladura por cortante 2.2.1 Fenómeno El comportamiento de vigas armadas sometidas a cortante hasta el agotamiento viene descrito por dos fases claramente diferenciadas. Supongamos un proceso incremental de carga: durante la primera fase se obtiene una respuesta lineal de la viga (tensión-
deformación) mientras que en la segunda fase aparecen fenómenos de carácter no-lineal. Primera fase: Fase lineal En la fase lineal (comportamiento precrítico), se cumple la hipótesis de Navier−Bernoulli, obteniéndose una distribución lineal de tensiones normales en la sección transversal de la viga. Desde que se empieza a cargar hasta que se pierde la linealidad entre la carga aplicada y la deformación normal a su plano medio. Esto ocurre siempre y cuando no existan inestabilidades locales y no se supere el rango elástico del material. Dicha fase lineal se conoce como la zona de abolladura precrítica. Cuando se pierde la linealidad se produce una bifurcación del equilibrio a partir del cual se desarrollan en la placa unos esfuerzos de membrana que la rigidizan. Este aumento de rigidez no es más que una reserva de resistencia. Dicha resistencia es más significativa cuanto mayor es la esbeltez de la placa. Además esta reserva viene controlada por el carácter no lineal en la geometría. Segunda fase: Fase no-lineal Una vez superado la carga crítica de abolladura de la placa entra en zona de resistencia postcrítica hasta que empieza a plastificar, es decir, hasta que la no linealidad del material entra en juego. Capítulo 2 – Estado del Arte 5 La fase no−lineal se alcanza cuando las tensiones que actúan en la viga superan el límite elástico del material o cuando aparecen inestabilidades locales en los paneles de las vigas armadas; para estos casos, la hipótesis de Navier−Bernoulli dejan de cumplirse. Y por tanto las expresiones de la resistencia de materiales no son las adecuadas para describir el estado de la viga armada. Por tanto en el análisis postcrítico de la abolladura se deben contemplar la no linealidad geométrica y la no linealidad del material. Por último, diremos que la placa alcanza su resistencia última cuando colapsa. Con el objetivo de determinar el agotamiento de las vigas armadas, se han desarrollado diversos modelos simplificados que proporcionan una aproximación sumamente satisfactoria a la respuesta real de este tipo de estructuras (modelos postcríticos). Dichos modelos se describen en el apartado 2.2.2. 2.2.1.1 Abolladura Timoshenko (1959) fue el primero en encontrar una solución, mediante el método energético. Este formuló un modo de cálculo de los valores críticos de las fuerzas aplicadas en el plano medio de una placa rectangular simplemente apoyada en sus cuatro bordes cuya forma plana de equilibrio se hace inestable. Figura 2. 2.- Placa sometida a esfuerzos contenidos en su plano Si se estudia una placa rectangular, simplemente apoyada en sus cuatro bordes, sometida a esfuerzos contenidos en su plano medio (figura 2.2.) se puede obtener, imponiendo equilibrio, la ecuación diferencial de Saint Venant que rige su comportamiento 0 2 2
|2.1.| Capítulo 2 – Estado del Arte 6 donde e es el desplazamiento normal del plano medio, t es el espesor de la placa, t N
= t es la tensión tangencial, t N
= o ; t N
= o son las tensiones normales en las direcciones x e y , E el módulo de elasticidad del material, v el coeficiente de Poisson e I el momento de inercia por unidad de ancho, de valor I
. En nuestro estudio nos centraremos en la respuesta de paneles sobre los que actúan a esfuerzos cortantes y por tanto requeriremos de placas que resisten tensiones tangenciales. La abolladura de una placa sometida a tensiones tangenciales puede estudiarse analizando el comportamiento de un panel rectangular sometido a los efectos del cortante con las dimensiones que aparecen en la figura 2.3. Figura 2. 3.- Placa simplemente apoyada sometida a cortante. La placa se encuentra únicamente solicitada por tensiones tangenciales distribuidas uniformemente en sus cuatro bordes estableciéndose una condición de carga de cortante puro (figura 2.3). Para este caso 0 = =
o o , donde se obtiene, 0 2 2
|2.2.| La respuesta estructural de dicha placa puede obtenerse a través de la resolución de la ecuación diferencial de Saint Venant. La solución de la ecuación homogénea será e=0, excepto para algunos valores de xy
t (tensiones críticas de abolladura), para las cuales será posible una solución con e = 0 (bifurcación de equilibrio). Para determinar el valor de xy
t que produce la bifurcación de equilibrio, se aproxima e(desplazamiento normal del plano medio) mediante la serie de Fourier: e
¿ ¿ a
|2.3.| Capítulo 2 – Estado del Arte 7 Supongamos entonces un estado de tensiones tangenciales que actúan en el plano medio de la placa; tras cada incremento de tensión se producen pequeños desplazamientos perpendiculares a dicho plano medio de la placa. Si el trabajo realizado por las fuerzas exteriores es menor que la energía de deformación de la placa, para cualquier configuración deformada, la placa será estable. Sin embargo, si el trabajo realizado por las fuerzas exteriores es mayor que la energía de deformación de la placa, para cualquier deformada, la placa será inestable y, por consiguiente, aparecerá la abolladura. Así pues, llamando V a la energía de deformación cuando la placa abolla y e
U al potencial de energía de las fuerzas exteriores, de acuerdo con el teorema del potencial estacionario de energía, se tiene que, io estacionar U V = +
La energía de deformación de la placa V se obtiene mediante la expresión, ( )
|2.4.| se sustituye la ecuación [2.3] en [2.4] y se obtiene, ¿¿
|2.5.| en donde D
es la rigidez a flexión de la placa. El potencial de energía e
U durante el pandeo de la placa, se define como el valor negativo del trabajo realizado por las fuerzas exteriores (
N ) que generan una distribución uniforme de tensiones tangenciales en la placa, expresado de la siguiente forma: ( )( )
pq mn xy y x xy
n q p m
a a t d d
t |2.6.| donde m, n, p, q son enteros tales que m +p y n +q son números impares. Capítulo 2 – Estado del Arte 8 En el instante en que tiene lugar el fenómeno de bifurcación de equilibrio (
t , tensión tangencial crítica de abolladura), se cumple el principio de conservación de energía y se verifica que e
U V = . Imponiendo este principio se obtiene el valor de xy
t : ( )( )
pq mn
t [2.7.| Para obtener la tensión crítica de abolladura, basta con encontrar los valores de los parámetros mn
a , pq
a de forma que minimicen la expresión anterior. Para ello se igualaran a cero las derivadas de la expresión [2.7] respecto de cada uno de los coeficientes mn
a , obteniéndose un sistema de ecuaciones lineales homogéneas. La ecuación para calcular la tensión crítica cr
t se encontrará anulando el determinante de este sistema de ecuaciones. Limitando el cálculo a dos ecuaciones con dos constantes 11
a . De este modo Timoshenko obtuvo, ( )
t |2.8.| En esta expresión k es el coeficiente crítico de abolladura a cortante, el cual depende del parámetro de forma de la placa o . Dicho coeficiente viene determinado por la siguiente expresión, ( )
= k |2.8.1.| El valor de k obtenido con esta expresión, y para 1 = o , presenta un error de aproximadamente un 15% respecto al valor real. Dicho error se incrementa para valores de 1 > o . Ello es debido a que en el procedimiento adoptado se han utilizado únicamente dos términos de la serie de Fourier ( 2 = n ). Por consiguiente, a mayor número de términos utilizados en [2.7], mejor será la aproximación del valor de k . Utilizando un mayor número de términos en la expresión [2.7], Timoshenko obtuvo, para varios parámetros de forma o , los correspondientes valores del coeficiente crítico de abolladura k ( 5 . 2 < o ). Capítulo 2 – Estado del Arte 9 Durante los años posteriores a la propuesta de Timoshenko para la obtención del coeficiente k numerosos autores continuaron con las investigaciones para obtener mejores tensiones críticas de abolladura, es decir, valores del parámetro k más precisos. Fue en 1924 cuando Southwell y Skan presentaron la solución exacta ( 34 . 5 = k ) para paneles infinitamente largos ( · = o ). Posteriormente, en 1933, Seydel obtuvo la solución exacta ( 34 . 9 = k ) para 1 = o . Bergmann y Reissener, en 1932, también contribuyeron al estudio para la obtención de los valores de k , pero fue en 1947 cuando Stein y Neff publicaron las mejores soluciones para otras relaciones de aspecto o . Éstas darían origen a las parábolas utilizadas hasta el momento actual (ecuaciones [2.9] y [2.10]) y que aproximan dichos resultados con bastante exactitud (Bleich, 1952). En la figura 2.4 se muestran los valores de k correspondientes a diferentes relaciones de o , para placas simplemente apoyadas. Figura 2. 4.- Valores del coeficiente crítico de abolladura k respecto al inverso del parámetro de forma 1/α. (Figura obtenida de Bleich, 1952). Tal como se observa en la figura 2.4, el proponer una curva definida por una parábola que pase por el valor de 34 . 5 = k y 34 . 9 = k para 0 1 = o y 1 1 = o , respectivamente, proporciona una aproximación bastante satisfactoria respecto a los resultados teóricos. Dicha expresión es la siguiente: 2
+ = k |2.8.2.| De igual manera que en el caso anterior, para una placa con condiciones de contorno de borde empotrado, Southwell y Skan determinaron el valor teórico de 98 . 8 = k para 0 1 = o . Posteriormente Budiansky y Connor determinaron los valores de k para diferentes valores del parámetro de forma o (Bleich, 1952). Capítulo 2 – Estado del Arte 10 En la figura 2.5 se muestra los valores del coeficiente crítico de abolladura k respecto al inverso del parámetro de forma o 1 . De igual forma que en una placa simplemente apoyada, en este caso, la variación del coeficiente crítico de abolladura puede aproximarse mediante la expresión de una parábola 2
98 . 8
+ = k |2.8.3.| Figura 2. 5.- Valores del coeficiente crítico de abolladura k respecto al inverso del parámetro de forma 1/α. (Figura obtenida de Bleich, 1952). Diversos autores también estudiaron el caso de paneles con dos bordes empotrados y los otros dos simplemente apoyados. Soluciones a este problema fueron propuestas por Iguchi, en 1938, para el caso general y por Leggett, en 1941, para relaciones 1 = o . Sin embargo fueron Cook y Rockey quienes en 1963 obtuvieron las mejores soluciones. Expresiones polinómicas aproximando dichos resultados (ecuaciones [2.9], [2.10], [2.11] y [2.12]) fueron publicadas por Bulson en 1970 (Galambos, 1998). A continuación, en la tabla 2.1, se incluyen todos los valores de k en función de las condiciones de contorno de los paneles y de las relaciones de aspecto o de los mismos (Galambos, 1998). Capítulo 2 – Estado del Arte 11 Tabla 2. 1. Coeficientes de abolladura k en función de las condiciones de contorno (Galambos, 1988) La solución teórica aproximada para el cálculo de la tensión crítica de abolladura de placas esbeltas, expresada por la ecuación [2.8], permite concluir que la tensión crítica de abolladura de una placa sometida a tensiones tangenciales depende de las características mecánicas del material, de las propiedades geométricas y de las propias condiciones de contorno. Para el caso de vigas armadas, la ecuación [2.8] puede ser extrapolada al caso de las condiciones de contorno del panel de alma. Estas dependerán del grado de coacción al giro que tenga el alma en la unión alma−ala y en la unión alma−rigidizador. Dichas condiciones de contorno pueden ser consideradas a través del coeficiente k de placa. En el caso de vigas armadas de inercia variable, lógicamente la variación del canto del panel de alma es otro factor que influye de forma determinante en la tensión tangencial crítica de abolladura. Por consiguiente, para el caso de vigas armadas esbeltas de inercia variable, la tensión crítica de abolladura del alma dependerá de las características del material, de las condiciones de contorno en los bordes y de su geometría (parámetro de forma o e inclinación del ala). 2.2.1.2 Comportamiento postcrítico Tal como se ha comentado anteriormente, en vigas armadas, el panel de alma está sometido a un estado de tensiones tangenciales en su contorno, las cuales pueden llegar a generar inestabilidades en dicho panel, provocando grandes desplazamientos perpendiculares a su plano medio. Por otra parte, el comportamiento de los paneles de Capítulo 2 – Estado del Arte 12 alma, hasta el agotamiento, puede interpretarse, a través del comportamiento de una placa rectangular con bordes simplemente apoyados y solicitada por un estado de tensiones tangenciales en su contorno. En la figura 2.6.a se muestra, de forma cualitativa, la abolladura de una placa esbelta ocasionada por un estado de tensiones tangenciales en los bordes (obtenida con el código de elementos finitos ABAQUS). La respuesta estructural de la placa se observa en la figura 2.6.b. en la que se muestra la curva tensión tangencial−desplazamiento máximo normal al plano medio de la placa. En dicha curva puede constatarse la existencia de una tensión tangencial, tensión tangencial crítica de abolladura, para la cual la placa abolla, es decir la placa experimenta grandes desplazamientos en la dirección perpendicular al plano medio de la misma. Figura 2. 6.- Comportamiento de una placa esbelta sometida a un estado de tensiones tangenciales. a) Deformada cualitativa de la placa cuando ha abollado. b) Curva carga−desplazamiento máximo perpendicular al plano medio de la placa. Con posterioridad a la inestabilidad, en la placa se desarrolla un mecanismo que permitirá resistir tensiones tangenciales más allá de la inestabilidad, hasta alcanzar el agotamiento, figura 2.6.b. Dicho mecanismo da lugar a una reserva de resistencia de la placa (resistencia postcrítica). Esta resistencia se da gracias a la formación de un campo diagonal de tracciones que rigidiza el panel de alma (tensiones de membrana). La magnitud de la resistencia postcrítica depende, entre otras variables, de la esbeltez de la placa. Para placas muy esbeltas (magnitud pequeña de la tensión crítica de abolladura) la capacidad postcrítica es significativa, mientras que para placas robustas dicha resistencia disminuye. En el caso de vigas armadas, en las cuales el espesor del alma suele ser pequeño, la resistencia postcrítica del panel de alma es significativa. Capítulo 2 – Estado del Arte 13 2.2.2 Modelos resistentes 2.2.2.1 Tension Field Method El cálculo teórico de la resistencia última a cortante para placas esbeltas se puede realizar usando la Cardiff tension-field theory. La teoría está basada en asumir el equilibrio del campo de tensiones (tension-field) en la placa. Figura 2. 7.- Mecanismo de fallo a cortante asumido en la teoría de Cardiff tension-field. El mecanismo de fallo mostrado en la figura 2.7 para un panel transversal rigidizado, la resistencia última a cortante u
V puede expresarse como, la suma de la fuerza critica de abolladura por cortante más la fuerza postcrítica. pcr cr u
V V V + = [2.17.] Donde cr
V fuerza critica depende de la tensión critica de abolladura cr
t y pcr
V fuerza postcrítica depende de de la magnitud de la tensión de compresión postcrítica que aparece en el alma cuando esta abolla t
o , el ancho y la inclinación del campo diagonal. Así pues la fuerza crítica de abolladura se expresa como, w w cr cr
t h V t = [2.18.] donde cr
t es la tensión critica de abolladura por cortante del alma del panel, w
h el canto del alma del panel y w
t el espesor del alma. Capítulo 2 – Estado del Arte 14 Se calcula entonces las distancias de anclaje de las rotulas plásticas que se forman en las alas, sobre las que se ancla en campo diagonal de tensiones. Figura 2. 8.- Esquemas de cuerpo libre para la determinación de rótulas plásticas en alas. a) Ala superior. b) Ala inferior Aplicando el principio de los trabajos virtuales a los triángulos a) y b) de la figura 2.8 obtenemos, |
o | sin
[2.19.] |
[2.20.] donde p
M es el momento plástico que forma las rotulas plásticas en las alas. Para conocer la capacidad ultima es necesario referir a los estados tensionales del panel de alma al criterio de agotamiento del material; de esta manera podemos evaluar la magnitud del campo diagonal t
o . Figura 2. 9.- Desarrollo del campo diagonal de tracciones. Capítulo 2 – Estado del Arte 15 a) ESTADO TENSIONAL CUANDO SE ALCANZA LA INESTABILIDAD Tensiones tangenciales Figura 2. 10.- Tensiones tangenciales en un elemento diferencial. a) Tensiones tangenciales y normales respecto a un ángulo de inclinación β. b) Círculo de Mohr del estado tensional. Se calculan el estado de tensiones tangenciales al que se ve sometido el elemento diferencial de chapa, en el momento en el que se alcanza la tensión crítica de abolladura cr
t . Las expresiones [2.21], [2.22] y [2.23] permiten obtener la tensión normal u
o , colineal con el campo diagonal de tracciones, la tensión normal perpendicular v
o y la tensión tangencial uv
t respectivamente. | t o 2 sen
= [2.21.] | t o 2 sen
÷ = [2.22.] | t t 2 cos
cr uv
= [2.23.] Tensiones Normales Consideremos ahora las tensiones normales b
o , siendo esta la tensión normal debida al esfuerzo flector exterior Figura 2. 11.- Círculo de Mohr para el elemento diferencial sometido a tensiones normales b
o . a) Tensiones normales y tangenciales respecto a un ángulo de inclinación β. b) Círculo de Mohr del estado tensional. Capítulo 2 – Estado del Arte 16 Las expresiones [2.24], [2.25] y [2.26] permiten obtener la tensión normal u
t respectivamente. ( ) |
o 2 cos 1
[2.24.] ( ) |
[2.25.] |
÷ = [2.26.] b) ESTADO TENSIONAL POSTCRITICO En el estado postcrítico se forma el campo diagonal de tensiones. Dicho campo genera el estado tensional que se muestra en la figura 2.12. Figura 2. 12.- Estado tensional en el alma cuando sucede el campo diagonal de tensiones. Las expresiones [2.27], [2.28] y [2.29] permiten obtener la tensión normal u
t respectivamente. t u
o o = [2.27.] 0 =
o [2.28.] 0 =
t [2.29.] El estado tensional en el alma que produce el desarrollo de la banda plastificada (agotamiento del alma) se interpreta a través de la superposición de los estados tensionales que corresponden a la tensión crítica de abolladura (ver figura 2.13.a), la tensión normal (ver figura 2.13.b) y la tensión de tracción posterior a la abolladura (ver figura 2.13.c). Capítulo 2 – Estado del Arte 17 Figura 2. 13.- Estados tensionales en el alma. a) Tensión crítica de abolladura. b) Tensiones normales. c) Campo diagonal de tracciones. La superposición de los tres estados tensionales de la figura 2.13 proporciona las tensiones normales y tangenciales que causan la plastificación del material. Así pues, las componentes normales y tangenciales de dicho elemento pueden obtenerse mediante las expresiones [2.30], [2.31] y [2.32]. ( )
sen o |
| t o + + + = 2 cos 1
2 [2.30.] ( ) |
| t o 2 cos 1
2 ÷ + ÷ =
sen [2.31.] |
| t t 2
÷ = [2.32.] Sustituyendo las expresiones [2.30], [2.31] y [2.32] en la ecuación derivada del criterio de Von Mises [2.33] y tras diversas operaciones algebraicas se determina la ecuación [2.34], que permite obtener la magnitud t
o del campo diagonal de tracciones, en función del ángulo de inclinación | . 2 2 2 2
uv v u v u w y
f t o o o o + ÷ + = [2.33.] ( )
w y cr b
o [2.34.] donde A se define como, | o | o | t
cos 2 2 3 sen sen A
b b cr
÷ + = [2.35.] Para el ángulo de inclinación se toma como óptimo aquel para el cual la variación del cortante último respecto a este no es significativa. Capítulo 2 – Estado del Arte 18 a
< | [2.36.] Se puede concluir que la carga última a cortante será, | o t sen gt t h V
w t w w cr u
+ = [2.37.] 2.2.2.2 Rotational Stress Field Method La teoría de Höglund’s rotating-stress-field está basada en un sistema perpendicular de barras en compresión y tracción, como se puede observar en la figura 2.14. Figura 2. 14.- Mecanismo de fallo por cortante propuesto por la teoría de Höglund’s rotating-
stress-field. Como se ha comentado con anterioridad después de la abolladura por cortante del alma existe una resistencia post-critica, la tensión de membrana a tracción, anclada en las alas y rigidizadores transversales. En un estado de cortante puro el valor absoluto de las tensiones de membrana principales 1
o y 2
o son iguales antes de la abolladura (
t t < ). Después de alcanzar la fuerza de abolladura (
w w cr cr
t h V t = , donde w
t es el espesor del alma y w
h es el canto de la panel del alma de la viga) el panel del alma se abollara y se producirá una redistribución de las tensiones. El incremento de fuerza se ve reflejado en 1
o . En el caso de almas muy delgadas, después de la abolladura, 2
o es mucho menor que 1
o y puede ser despreciada. Si se impide el acercamiento de las alas, entonces, | o | | o t 2 sin 5 . 0 cos sin
= = [2.38.] La dirección de las tensiones a tracción se escoge de tal manera que t sea máximo. Si suponemos 1
o igual a la resistencia máxima del alma, yw
f , entonces, Capítulo 2 – Estado del Arte 19 2
45 = u [2.39.] donde, 3
f = [2.40.] Esta teoría es la denominada Ideal tension field, es válida solo si las alas están impedidas de moverse una hacia la otra. En una viga larga con rigidizadores transversales, solo el alma previene de que la distancia entre alas se acore, por eso, la tensión de membrana en la dirección transversal es cero. El estado de equilibrio según la figura 2.15 da como resultado las tensiones principales, |
= [2.41.] | t o tan
÷ = [2.42.] donde | es la dirección de la tensión principal. Figura 2. 15.- Estado tensional del alma de una viga con rigidizadores transversales. Este estado de tensión tiene una componente h
o en la dirección longitudinal (tensión de membrana), 2 1
t o + =
[2.43.] La fuerza longitudinal total en el alma es menor que, Capítulo 2 – Estado del Arte 20 w w h h
t h N o = [2.44.] porque cerca de las alas el estado tensional es de cortante puro. La fuerza última a cortante de la viga puede derivarse según el criterio de Von Mises de la expresión, 2 2
f = + ÷ o o o o [2.45.] asumiendo que la tensión compresiva permanece igual a la tensión critica después de la abolladura, si actúa para un ángulo o
45 < | . cr
t o ÷ =
[2.46.] Además, la esbeltez w
ì se introduce como, cr
ì = donde ( )
t [2.47.] De las ecuaciones [2.40], [2.41], [2.42], [2.45], [2.46] y [2.47] la resistencia ultima t t =
puede expresarse en función de w
ì . 2 4
f ì ì ì
÷ ÷ = para 00 . 1 >
ì [2.48.] La raíz cuadrada de la ecuación [2.48] es cercano a 1.00 si 5 . 2 >
ì . Entonces, w v
t 32 . 1
~ para 5 . 2 >
ì [2.49.] Cuando el ángulo | inclinación de la tensión de tracción respecto de las alas disminuye, la resistencia a la abolladura v
por cortante del sistema aumenta. Es por eso que la teoría se llama rotated stress field theory. Entonces la capacidad de resistencia a cortante del alma viene descrita por la fuerza w
V . Capítulo 2 – Estado del Arte 21 w w yw w w w yw
t h f t h f
= = [2.50.] Para placas de acero con rigidizadores transversales, w
= cuando 98 . 0 s
ì pero 16 . 1 s
µ [2.51.] w
cuando 98 . 0 >
ì [2.52.] Para placas de acero sin rigidizadores transversales, w
= cuando 16 . 1 s
µ [2.53.] Como se ha mencionado con anterioridad, los rigidizadores transversales previenen la flexión del alma y de que las alas se acerquen. En el estado de fallo aparecen cuatro rotulas plásticas, denominadas en la figura 2.16 con las letras E, H, G y K. El campo diagonal de tracción aparece en el alma. Figura 2. 16.- Modelo del estado post-critico del alma. La fuerza a cortante, f
V , transmitida por el campo tensional de tracciones se obtiene de la ecuación de equilibrio de la porción c del ala. c
pf yf f
= = [2.54.] donde c es la distancia entre rotulas plásticas y viene dada por la expresión, Capítulo 2 – Estado del Arte 22 |
yw w w
25 . 0 [2.55.] Las tensiones de tracción en el campo tensional produce un efecto rigidizador en el alma (este efecto es favorable sobre la capacidad de soportar fuerzas) al mismo tiempo que la tensión efectiva aumenta en el alma (este efecto es mayormente desfavorable). Sin embargo, se asume que la resistencia a cortante del alma, w
V , no varía con la formación de campo de tensiones entre alas. Por eso se puede decir que la resistencia ultima a cortante, u
V , es la suma de la resistencia del alma más la del ala. f w u
V V V + = [2.56.] Si se sustituyen las ecuaciones [2.50] y [2.54] en [2.56], c
t h f V
w w yw w u
+ = µ [2.57.] Si la placa está expuesta tanto a fuerzas por cortante como a momento flector pequeño al mismo tiempo, entonces las tensiones en el alma que causadas por el momento flector no afectara a la parte, w
V , de la fuerza ultima resistida por el alma. Aunque sí que afectará a la fuerza resistida por las alas, f
t h f V µ para f
M M s [2.58.] Si f
M M > entonces las alas no contribuyen a la capacidad cortante del panel, y la capacidad del alma para acarrear las fuerzas cortantes, se ve reducida. Se debe aplicar entonces la formula de Basler, ( )
M M M M [2.59.] Capítulo 2 – Estado del Arte 23 2.2.3 Normativa 2.2.3.1 EC3 P1-5 (RSFM) En la parte 1-5 del Eurocódigo 3, dedicada a las estructuras de chapa se propone el Rotated stress field method para el cálculo de la resistencia última a cortante. Este método se guía por la siguiente expresión: f w u
V V V + = [2.60.] donde w
V es la resistencia a cortante del alma y f
V es la resistencia a cortante de las alas. 2.3 Vigas de inercia variable 2.3.1 Estudios previos El comportamiento de vigas rectangulares frente a abolladura ha sido profundamente estudiado durante el último siglo. Se han desarrollado diferentes teorías para describir y analizar el mecanismo que sucede durante el estado postcrítico. No obstante, estos modelos no consideran las condiciones de contorno existentes en las uniones entre alma y las alas se asumen como hipótesis condiciones de una placa rectangular simplemente apoyada, tampoco se tiene en cuenta la geometría de las vigas armadas de canto variable. Algunos autores han demostrado la importancia de estos efectos. 2.3.1.1 Mirambell, E. y Zárate, V. Zárate y Mirambell realizaron un estudio mediante un modelo numérico basado en el método de elementos finitos en el cual determinaron una formulación para el cálculo de la resistencia de las vigas armadas de canto variable frente a la abolladura por cortante. Este estudio concluyó que el comportamiento frente a la abolladura del alma en vigas de canto variable depende tanto de la geometría de las vigas como de las hipótesis de condiciones de contorno. Dichas condiciones de contorno están definidas de acuerdo con las características geométricas de diseño de las alas (esbeltez, ancho y inclinación de las alas) y asumiendo que en los rigidizadores la deformación es nula. Dependiendo de la rigidez del ala, el giro en el alma está más o menos restringido. De este modo Capítulo 2 – Estado del Arte 24 dependiendo de las condiciones del ala, la unión ala-alma puede ser considerada como un contorno simplemente apoyado o como un soporte fijo. Además, cuando la inclinación del ala inferior aumenta, la tensión critica de abolladura también tiende a aumentar como consecuencia de la rigidez causada por la geometría en cuestión, la cual se va pareciendo a la geometría de un triangulo. Mirambell y Zarate también concluyeron que, en la fase postcrítica, la reserva de fuerza tiende a disminuir cuando la pendiente del ala inferior aumenta. Esto se produce a causa de la disminución de la componente vertical del campo de tensiones. La relación entre el coeficiente de abolladura k de las vigas armadas de inercia variable y del parámetro de forma o es claramente no-lineal. Cuando el parámetro o aumenta, la grafica o ÷ k tiende hacia valores asintóticos, que dependen de la inclinación del ala | tg y de los parámetros geométricos de diseño usados para definir cada elemento (
ì y q). En general, el comportamiento es similar al de paneles rectangulares; sin embargo, se clarifica el hecho de que cuando la inclinación del ala inferior se aumenta, la diferencia entre el comportamiento frente a abolladura de las vigas de canto variable y las vigas rectangulares aparece más claramente. Cuando la inclinación del ala | tg aumenta, la variación de coeficiente de abolladura k tiende a ser limitado, dependiendo del parámetro de forma del alma. Para valores de o cercanos a 1 y para valores de | tg mayores de 0.35, el canto 0
h del alma disminuye, causando un incremento en la tensión a cortante y la posibilidad de causar la plastificación del material antes de que este se abolle. Una explicación más detallada de este modelo puede encontrarse en Mirambell E., Zárate A. V.(Februar 2000). Los modelos de resistencia última a cortante para vigas armadas de canto variable están basados en los modelos previos sobre vigas de canto constante. A continuación se presentan, de forma resumida, algunos de los modelos desarrollados en los últimos años. 2.3.1.2 Falby,W.E. y Lee, G.C. El modelo de capacidad última de vigas de inercia variable propuesto por Falby y Lee (1976) se basa en la teoría desarrollada por Basler para el caso de vigas prismáticas. Los estudios realizados por Falby y Lee permitieron concluir que los modelos de capacidad última de vigas prismáticas podían ser utilizados para vigas de inercia variable, siempre y cuando el ángulo de inclinación del ala inferior fuera pequeño. Para ángulos de inclinación del ala inferior considerables, Falby y Lee proponen la utilización de un modelo simplificado de cálculo. Capítulo 2 – Estado del Arte 25 Dicho modelo considera, por un lado, que la tensión crítica de abolladura del alma puede calcularse mediante las expresiones de teoría clásica de chapas rectangulares, adoptando como valor del canto el promedio entre los cantos mayor y menor de la viga de inercia variable. Por otro lado, se considera que la capacidad postcrítica del panel de alma se debe al desarrollo de un campo diagonal de tracciones, el cual presenta una distribución tal como la mostrada en la figura 2.17. Figura 2. 17.- Distribución del campo diagonal de tracciones en el panel de alma propuesto por Falby y Lee (1976). Falby y Lee concluyen que la distribución del campo diagonal de tracciones en el alma es conservadora. Sin embargo, manifiestan que el modelo propuesto da lugar a mejores resultados que los obtenidos al utilizar las expresiones de vigas prismáticas para el caso de vigas de inercia variable. En dicho modelo, al igual que en el modelo de Basler, se desprecia la contribución para resistir cortante que ofrecen los paneles de alas al elemento; de igual forma, se desprecia la componente vertical de axil que discurre por el ala inclinada. Dichos autores proponen investigar la distribución de tensiones en el alma durante el rango postcrítico, a fin de definir un modelo simplificado de cálculo que permita obtener y definir de forma precisa la capacidad última de vigas de inercia variable. 2.3.1.3 Davies, G. y Mandal, S.N. Davies y Mandal (1979) proponen un modelo de capacidad última para vigas de inercia variable de alma esbelta, a partir de ensayos experimentales llevados a cabo sobre esta tipología de vigas. El modelo considera la viga de inercia variable (ver figura 2.18.a) como una viga triangular, la cual se ve sometida a una carga vertical y un momento flector en un punto obtenido como intersección entre las líneas que siguen la dirección del ala superior y la continuación del ala inferior (ala inclinada) (ver figura 2.18.b). El momento exterior actuante en la viga triangular es resultado de la traslación de la carga exterior P/2 a dicho punto (ver figura 2.18). La interpretación del comportamiento estructural de la viga triangular se realiza a través de la consideración de dicha viga como una viga en celosía triangular (ver figura 2.18.c). En dicha viga de celosía la diagonal traccionada AB representa el campo diagonal de tracciones, mientras que la diagonal comprimida CD canaliza las tensiones Capítulo 2 – Estado del Arte 26 principales de compresión hasta que el panel de alma ha abollado. Con posterioridad a dicha inestabilidad, se considera que el cordón comprimido no ofrece capacidad alguna a la viga de inercia variable para continuar resistiendo esfuerzo cortante. Figura 2. 18.- Modelo propuesto por Davies y Mandal. a) Viga de inercia variable solicitada por una carga P/2. b) Discretización a través de una viga de inercia variable cargada en un punto ficticio. c) Viga en celosía de canto variable utilizada en el desarrollo del modelo de capacidad última. La definición del modelo de capacidad última en base al comportamiento de una viga en celosía de canto variable permitió desarrollar una formulación que considera la capacidad para resistir cargas verticales que ofrece el hecho de tener un panel de ala inclinado. Dicha capacidad adicional depende de la componente vertical del esfuerzo axil que discurre por el ala inclinada (figura 2.18.c). De igual forma que en vigas armadas prismáticas, Davies y Mandal consideran que la capacidad última del panel de alma de las vigas de inercia variable puede definirse a través de la superposición de dos estados tensionales. El primero, correspondiente a la tensión crítica de abolladura del panel de alma y, el segundo, referente a la capacidad postcrítica del alma (desarrollo del campo diagonal de tracciones en el alma). En este modelo, y de igual manera que en el modelo propuesto por Falby y Lee, la tensión crítica de abolladura del panel de alma se obtiene mediante las expresiones de teoría clásica para placa rectangular con condiciones de contorno de borde simplemente apoyado. Por otra parte, Davies y Mandal consideran en el modelo la rigidez a flexión de los paneles de alas; por consiguiente, se considera la aportación de las alas para resistir cortante, tal como propone Porter et al. (1975) para vigas prismáticas de alma esbelta. El agotamiento de la viga de inercia variable se alcanza cuando se desarrollan rótulas plásticas en los paneles de alas. Dicha hipótesis fue confirmada mediante la realización de ensayos experimentales sobre vigas de inercia variable. La capacidad última de las vigas ensayadas fue muy similar a la que predecía el modelo. Las geometrías de las vigas ensayadas fue tal que se contempló solamente un único valor del ángulo de inclinación del panel de ala. Capítulo 2 – Estado del Arte 27 En cualquier caso, los autores concluyen sobre la necesidad de comparar el modelo propuesto con ensayos experimentales de vigas de inercia variable, en donde se contemple un mayor rango de parámetros geométricos (inclinación del ala inferior y relación canto mayor separación entre rigidizadores verticales). De igual manera, manifiestan la necesidad de determinar expresiones que permitan calcular, con mayor rigor científico, la tensión crítica de abolladura del alma de vigas de inercia variable. Galambos (1998) señala que el modelo propuesto por Davies y Mandal ofrece resultados próximos a los obtenidos mediante los ensayos experimentales. No obstante, advierte que el modelo propuesto no se adecúa a las tipologías estructurales de vigas de inercia variable que se suelen emplear en la construcción metálica y mixta e indica que se hace necesario el desarrollar un modelo que contemple dicha tipología utilizada en la práctica habitual, así como los esfuerzos a las que se ven sometidas. 2.3.1.4 Takeda, H. y Mikami, I. Un modelo más reciente de capacidad última de vigas de inercia variable es el propuesto por Takeda y Mikami (1987). En este modelo, al igual que en otros modelos, la capacidad última viene definida por la superposición de dos estados tensionales correspondientes a las fases precrítica y postcrítica, respectivamente. Sin embargo, a diferencia de los dos modelos anteriores de vigas de inercia variable, la tensión crítica de abolladura se determina en base a una formulación derivada de la aplicación de la teoría de los elementos finitos al estudio de la inestabilidad de una placa trapezoidal. El modelo de Takeda y Mikami considera que el campo diagonal de tracciones está integrado por dos franjas; la primera corresponde a una franja central de ancho s, anclada en los rigidizadores verticales, mientas que la segunda se desarrolla en la parte inferior de la franja central y su magnitud es un porcentaje de la magnitud de dicha franja central (definida por el coeficiente ρ) (ver figura 2.19). El desarrollo de esta última franja está limitado en el canto mayor a la cota horizontal definida por el canto menor. Takeda y Mikami desprecian la contribución para resistir cortante que ofrecen los paneles de alas, definiendo el agotamiento de la viga a través de la capacidad frente a esfuerzo cortante que posee el panel de alma. Es decir, los autores consideran que el campo diagonal de tracciones se ancla únicamente en los rigidizadores verticales (ver figura 2.19). Dicha consideración es contraria a las hipótesis y conclusiones derivadas de las investigaciones desarrolladas por Davies y Mandal. Capítulo 2 – Estado del Arte 28 Figura 2. 19.- Modelo de capacidad última de vigas de inercia variable propuesto por Takeda y Mikami (1987). 2.3.1.5 Shanmungam, N.E. y Min, H. El modelo propuesto por Shanmungam y Min (2007) parte del modelo de Cardiff para vigas de canto constante. Plantea el cálculo de la capacidad última de resistencia de una viga armada sometida a cortante como el sumatorio de varios estados tensionales que se dan en una viga antes de su rotura. Así pues la fuerza de colapso de una viga armada, consiste en tres componentes: (1) la fuerza critica elástica, (2) fuerza resistida por la acción del campo de tensiones y (3) fuerza resistida por la contribución de las alas. En el caso de vigas biapoyadas de inercia variable, sometidas a una fuerza puntual en la mitad de la viga, existen dos casos posibles: o bien el ala inclinada está sometida a tensiones de tracción o bien el ala inclinada está sometida a tensiones de compresión, figura 2.20. Figura 2. 20.- Viga armada de inercia variable. Para el cálculo de la primera componente de la capacidad última resistida por una viga de canto variable, Shanmungan y Min emplean la formulación propuesta por el modelo de Cardiff. El canto ‘d’ introducido en la fórmula, en el caso de vigas de canto variable será la semisuma del canto mayor y el menor. Capítulo 2 – Estado del Arte 29 En el caso de las vigas de inercia variable una vez el alma ha cedido la capacidad última se dará cuando se formen las cuatro rotulas plásticas sobre las alas, tal y como se observa en las figuras 2.21.(a) y 2.22.(a). Este es el mismo procedimiento explicado con anterioridad para vigas de canto constante. Antes de que el mecanismo se dé es necesario que la zona ABCD haya cedido. La capacidad última se determinará aplicando un desplazamiento virtual en el estado de colapso de la viga. Las acciones que se dan en la zona ABCD del alma y sobre las alas se reemplazan por un campo de tensiones diagonal, tal y como se muestra en las figuras 2.21.(b) y 2.22.(b). Figura 2. 21.- Caso en la que el ala inclinada está sometida a tracción. Figura 2. 22.- Caso en la que el ala inclinada está sometida a compresión. Las tensiones de la sección estacionaria AD no producen trabajo. Así pues, las únicas tensiones de membrana que realizan trabajo serán las que actúan sobre las líneas AB, BC y CD. Como no se pueden considerar las distancias c
iguales, Shanmungan y Min establecen que la distancia c
se calculará como se calculaba ‘c’ para una viga de canto constante. Y para c
proponen una fórmula que tiene en cuenta la inclinación del ala. En el estudio que Shanmungan y Min realizan demuestran como la formulación que proponen es bastante acertada. También observan como en vigas sometidas a cortante de ala inclinada traccionada se alcanzan una capacidad última un 5% menor Capítulo 2 – Estado del Arte 30 que para en vigas de canto uniforme. Sin embargo para vigas de ala inclinada comprimida su resistencia última es superior al 5% de las vigas de canto uniforme. Más información se puede encontrar en Shanmugam N. E. y Min. (2007) Capítulo 3 MODELO NUMÉRICO ________________________________________ 3 MODELO NUMÉRICO 3.1 Introducción Para estudiar las vigas armadas de inercia variable se ha utilizado un modelo numérico. Este modelo simula el comportamiento de las vigas con un programa que calcula mediante el método de elementos finitos, los problemas no−lineales en ingeniería. El objetivo principal del presente trabajo consiste en desarrollar y definir un modelo simplificado para el cálculo de la capacidad crítica a cortante de vigas de inercia variable de alma esbelta. Para evaluar los resultados derivados del modelo, las vigas a estudiar se analizarán con el código de elementos finitos ABAQUS (Hibbitt et al., 2001). ABAQUS es ampliamente utilizado en la modelación de problemas no−lineales en ingeniería estructural, habiendo sido contrastado en numerosas ocasiones y con resultados óptimos. El modelo utiliza el método de los elementos finitos y permite considerar la no linealidad geométrica y analizar los diferentes estados tensionales planteados en el apartado anterior. A continuación se exponen de forma breve los aspectos fundamentales del modelo numérico empleado, haciendo especial hincapié en la modelización geométrica y en el modelo constitutivo. Capítulo 3 – Modelo Numérico 32 3.2 Bases del método de los elementos finitos El método de los elementos finitos consiste, en la descomposición de una estructura en un número de partes o elementos, conectados entre sí mediante un número de puntos denominados nodos. Este proceso se denomina discretización, y su representación gráfica es una malla de elementos finitos. Los movimientos de los nodos constituyen las incógnitas fundamentales del problema. Dentro de cada elemento, los movimientos de puntos se obtienen mediante la interpolación de los movimientos nodales. Dicha interpolación se realiza a través de las funciones de forma. Las demás variables: las tensiones, deformaciones o esfuerzos; se obtienen como consecuencia del empleo de la interpolación de los movimientos al establecer las condiciones de equilibrio y compatibilidad y las relaciones constitutivas de los materiales. 3.3 Fases de cálculo en el análisis de estructuras por elementos finitos Los códigos numéricos basados en la teoría de los elementos finitos emplean diversas fases en el análisis de una estructura. En la figura 3.1 se muestra, de forma general, el diagrama de flujo para el análisis de estructuras por ordenador utilizando la teoría de los elementos finitos. Figura 3. 1.- Diagrama de flujo para el análisis de estructuras por ordenador con la teoría de los elementos finitos. a)Pre−proceso (1−4). b) Proceso de cálculo (5−8). c) Post−proceso (9). Capítulo 3 – Modelo Numérico 33 La fase de pre−proceso se inicia con la introducción de los datos del problema a analizar (fase 1). La fase de validación, fase 2, consiste en identificar si existen errores en la entrada de datos. En el caso de que el código detecte algún error en la fase 2 se regresa a la fase 1 para realizar las correcciones pertinentes. En la fase 3, el código numérico genera la malla de elementos finitos en base a los datos introducidos en la fase 1. La validación de la malla se realiza en la fase 4. La fase 4 concluye los pasos del pre−proceso. La finalización de la fase 4 implica que el código numérico puede proceder a la posible solución del problema. La fase 5 consiste en la formulación de las ecuaciones lineales. Estas definen las propiedades individuales de cada elemento y su relación con los elementos cercanos dentro de la malla. En la fase 6 se realiza el ensamblaje de las ecuaciones de cada elemento, definiendo así un sistema de ecuaciones. Considerando que el proceso realizado hasta esta fase es correcto, el sistema de ecuaciones estará definido por una matriz general con un determinado ancho de banda, que depende del orden en que fueron ensambladas las ecuaciones de cada elemento finito. Definido el sistema de ecuaciones, la fase 7 se centra en resolverlo y determinar así las principales variables (desplazamientos). En base a los desplazamientos obtenidos, se determinan las variables secundarias (tensiones, deformaciones, etc.). Usualmente, los resultados numéricos obtenidos en las fases 7 y 8 son muy extensos, por ello se utiliza una fase paralela a las desarrolladas (fase 9) que consiste en el post−proceso de resultados. 3.4 Modelización geométrica 3.4.1 Elemento de lámina utilizado Los elementos de lámina se utilizan para modelar estructuras en las que una dimensión (espesor) es mucho menor que las otras, y las tensiones normales en la dirección del espesor son despreciables. Las láminas pueden considerarse una generalización de las placas para el caso en que la superficie media no es plana. Es esta no coplanaridad la que confiere el carácter resistente de las láminas al permitir la aparición de esfuerzos axiles (esfuerzos de membrana) que, juntamente con los de flexión, dotan a las láminas de una capacidad portante superior a la de las placas. Capítulo 3 – Modelo Numérico 34 Así pues, las láminas se caracterizan por la capacidad de combinar un estado resistente de flexión con unos esfuerzos axiles soportados por superficie media del elemento, los llamados esfuerzos de membrana. Se utilizaron elementos tipo placa de 4 nodos con 6 grados de libertad por nodo, específicamente los elementos S4R de las librerías de ABAQUS con cinco puntos de integración a través del espesor (figura 3.2). Figura 3. 2. Elemento tipo lámina S4R de 4 nodos con integración reducida. Figura 3. 3.- Desplazamiento de un punto P situado a una distancia t de la superficie media. Como puede verse en la figura 3.3, se establecen dos sistemas de coordenadas distintos; que representan un sistema de coordenadas globales ( xyz) y un sistema de coordenadas locales ( ' ' ' z y x ) sobre el elemento. Este último se define a partir de un sistema local de ejes (
V V V ), en el que 1
V son vectores tangentes a la superficie del elemento y 3
V es perpendicular. En los puntos de unión entre elementos se tomará una media de 3
V para evitar la dualidad. En un punto cualquiera de la lámina situado a una distancia t de la superficie media (ver figura 3.3) se definen las componentes ' ' ' w v u del desplazamiento de un punto P. Por otra parte, ' ' '
w v u representan las componentes del desplazamiento de un punto 0
P situado en la superficie media (en la misma normal que el punto P) y 2 1
o o los giros de dicha normal respecto a los ejes ' 'y x , respectivamente. El movimiento de la normal respecto al plano medio se establece a través de la siguiente relación entre los desplazamientos: 2 0
' ' o t u u + = , 1 0
' ' o t v v ÷ = y ' '
w w = . En notación vectorial, dicha relación adquiere la forma Capítulo 3 – Modelo Numérico 35 2 1 1 2 0
V t V t u u o o ÷ + = [3.1.] Las funciones de forma se formulan con la interpolación de Lagrange en función de las coordenadas normalizadas çq en cuyo espacio la superficie media del elemento está representada por un cuadrado de dimensiones fijas. Figura 3. 4.- Elemento lagrangiano cuadrático utilizado en el presente trabajo. a) Componentes de desplazamiento de un nodo i. b) Ubicación de un punto P en la dirección del vector V3i. c) Componentes de desplazamiento de un punto P. Las coordenadas cartesianas en ejes globales de cualquier punto localizado en el elemento se definen de la siguiente manera ¿ ¿
, [3.2.] donde i
N son las funciones de forma del elemento que dependen de ç y q, y no dependen de , , i i i
z y x son las coordenadas globales de cada nodo y i
son los cosenos directores. El desplazamiento de cualquier punto P, localizado en la dirección del vector i
(ver figura 3.4.b), depende del desplazamiento del nodo i más el desplazamiento relativo del nodo i correspondiente a la rotación del vector i
(ver figura 3.4.c). El desplazamiento relativo debe ser transformado a coordenadas globales xyz. Así pues, el desplazamiento del punto P (ver figura 3.4.b y 3.4.c) en la dirección del eje x global es Capítulo 3 – Modelo Numérico 36 i
+ = , o , o [3.3.] donde las rotaciones nodales i i 2 1
o o se consideran pequeñas. La expresión [3.4] permite interpolar el campo de desplazamientos en el elemento )
µ , [3.4.] donde uvw son los desplazamientos, en los ejes globales, de un punto cualquiera de coordenadas normalizadas çq, , i i i
w v u son los desplazamientos, también en ejes globales, de los nodos y i
µ es la matriz de cosenos directores definida como: (
µ [3.5.] 3.4.1.1 Formulación isoparamétrica La expresión [3.2] corresponde a la descripción geométrica del elemento finito, en la cual las coordenadas nodales { } c definen las coordenadas de cualquier punto en el elemento, es decir: | | | |{ } c N xyz
= . La expresión [3.4] corresponde al campo de desplazamientos, en donde los grados de libertad nodales { } a definen los corrimientos de un punto cualquiera en el elemento, | | | |{ } a N uvw
= . En este caso, las funciones de forma definidas por las matrices | | N y | | N
son función de çq, . El elemento es isoparamétrico puesto que | | N y | | N
son idénticas. Por otra parte se necesita otra coordenada , en la dirección perpendicular a la superficie media para definir la posición en el espesor. Con estas funciones de forma y estas coordenadas, se puede interpolar la geometría y los movimientos de cualquier punto del elemento. Cada nodo tiene cinco grados de libertad: los desplazamientos en las tres direcciones ortogonales y los ángulos de giro según 1
V . Debido a que en coordenadas globales habrá componentes de giro en las 3 direcciones, será necesario Capítulo 3 – Modelo Numérico 37 incluir un giro en el plano del elemento según el eje normal 3
V , que será conveniente impedir en las condiciones de contorno, ya que no tiene significado físico en esta formulación. El elemento de lámina de acero es, por otra parte, un sistema compuesto por varias capas en estado de tensión plana. Los desplazamientos de cada una de las capas están compatibilizados con los de las capas adyacentes y las propiedades mecánicas de cada capa varían según su grado de deformación. De esta forma se puede modelizar la progresión de la plastificación de las fibras. 3.4.2 Consideración de la no linealidad geométrica Para investigar el comportamiento real de estructuras formadas por paneles metálicos una vez la pieza ya ha abollado, es necesario considerar los efectos de la no linealidad geométrica. Si se consideran términos de segundo orden en las relaciones entre deformaciones (
c , y
c , xy
¸ , xz
¸ ) y desplazamientos ( w v u , , ) resultan insuficientes la hipótesis de desplazamiento infinitesimales. Se consideran por lo tanto grandes desplazamientos y pequeñas deformaciones. Definiendo el vector q como el vector de componentes de deformaciones de segundo orden, se tiene que el vector de deformaciones totales e es suma del vector de deformaciones de primer orden c y el vector q . q c + e= [3.6.] (
[3.7.] Capítulo 3 – Modelo Numérico 38 Siendo q, AGa
= q [3.8.] Puesto que q recoge los términos de segundo orden, también la matriz A debe incluir en sus componentes las derivadas de los desplazamientos. De igual manera, es posible construir una matriz G que relacione el vector q con las incógnitas nodales a. Así pues, el vector de deformaciones totales puede escribirse en función de las incógnitas nodales como a AG B
[3.9.] Suponiendo que el cuerpo se halla bajo un estado de tensiones o y unas deformaciones c
y considerando que el sistema de fuerzas externo consta de unas fuerzas volumétricas r
, unas fuerzas superficiales s
r y un número n de fuerzas concéntricas ( n R
,..., 2 , 1 = ) aplicadas en ciertos puntos ( n i x
,..., 2 , 1 ; = ), el trabajo realizado por el sistema de fuerzas debido a los desplazamientos virtuales u o de la estructura es ( ) ¿
R u dA r u rdV u We
o o o o [3.10.] El trabajo interno viene dado por la expresión, }
dV Wi o oc o [3.11.] en donde oc son las deformaciones virtuales correspondientes a los movimientos virtuales u o . Utilizando una relación tenso−deformacional elástica, e igualando ambos trabajos interno y externo, se obtiene la expresión [3.13]. ( ) | |
( ) ¿
R u dA r u rdV u dV D
o o o o c c oc [3.12.] Expresando la relación anterior en notación resumida y aplicada al elemento finito se tiene que, Capítulo 3 – Modelo Numérico 39 c o
f f f ka ÷ ÷ = [3.13.] en donde }
DBdV B k [3.14.] es la matriz de rigidez. Dicha matriz es la que corresponde al elemento finito utilizado y relaciona las incógnitas nodales (movimientos en los grados de libertad) con el sistema de fuerzas actuante. El vector de fuerzas o
dV B f
[3.15.] aparece como consecuencia de las tensiones iniciales 0
o . Puede entenderse como la parte del sistema de fuerzas externas que ya es resistida por las tensiones iniciales antes de que el elemento experimente las deformaciones correspondientes a los movimientos nodales. El vector de fuerzas c
dV D B f
[3.16.] El vector de fuerzas f
+ = [3.17.] Por otro lado, dentro del vector de fuerzas externas se puede distinguir entre la parte correspondiente al sistema de cargas externas que actúa sobre el elemento y las fuerzas de interacción de éste con el resto de la malla. Estas últimas se reducen a una serie de fuerzas puntuales situadas en los nodos y pueden organizarse en un vector de fuerzas de interacción, cuyo número de componentes n coincide con los grados de libertad de la estructura. Al reconsiderar la aplicación del principio de los trabajos virtuales con la introducción de las deformaciones totales (ecuación [3.7]), aparece un nuevo término en Capítulo 3 – Modelo Numérico 40 la expresión del trabajo de las fuerzas internas. La expresión [3.12] queda modificada de la forma que se muestra en la expresión [3.19]. ( )
+ = + = e =
dV dV dV dV Wi o oq o oc o q c o o o o [3.18.] Es posible inferir la relación entre cantidades virtuales, por lo cual se permite escribir, } }
dV A G a dV o o o oq [3.19.] Es posible entonces formar una matriz simétrica S tal que (Zienkiewicz, 1980), finalmente, sea posible escribir: a SGdV G a dV
o o oq [3.20.] Se observa una absoluta semejanza formal entre el segundo miembro de la expresión [3.21]. Ello sugiere definir una matriz geométrica G
k , }
SGdV G k [3.21.] que es consecuencia directa de la introducción de los términos de segundo orden en las relaciones entre deformaciones y desplazamientos. La relación [3.14] que se obtuvo al aplicar el principio de los trabajos virtuales debe ser ahora modificada en la forma: | |
f f f a k k
÷ ÷ = + [3.22.] o bien definiendo una matriz de rigidez total G
k k K + = , llegando a c o
f f f Ka ÷ ÷ = [3.23.] La matriz geométrica G
depende de las tensiones a través de la matriz S
. La consideración de la no−linealidad geométrica exige un proceso iterativo, en donde la geometría de la estructura debe actualizarse en cada iteración. La condición de equilibrio se establece sobre la geometría deformada. Este tratamiento de la no−linealidad geométrica se obtiene del uso de una descripción lagrangiana actualizada, juntamente con la hipótesis de pequeñas deformaciones y grandes desplazamientos. Capítulo 3 – Modelo Numérico 41 Las coordenadas de cada nodo deben ser modificadas de acuerdo con los incrementos de desplazamiento que haya experimentado estableciendo la condición de equilibrio sobre la geometría deformada, por lo tanto: i
a x x A + =
|3.24.| De la misma forma, los sistemas de referencia locales deben ser modificados de acuerdo con las rotaciones que haya experimentado la superficie media. 3.4.3 Planteamiento y resolución del sistema de ecuaciones Una vez establecida la condición de equilibrio mediante el principio de los trabajos virtuales, se obtiene un sistema de ecuaciones a resolver. Como la matriz de rigidez no es constante, ya que varía con la deformación según el material y según la geometría, se utiliza un método iterativo para su resolución. El procedimiento empleado en la resolución queda recogida de forma esquemática en la figura 3.5. Figura 3. 5.- Procedimientos a realizar en el análisis no-lineal de estructuras por medio de la teoría de elementos finitos. El proceso descrito da lugar a diferentes métodos para obtener convergencia, dependiendo del criterio que se adopte para la generación de las sucesivas matrices de rigidez. En cualquier caso, el número de iteraciones necesarias hasta obtener Capítulo 3 – Modelo Numérico 42 convergencia, e incluso el que el proceso pueda converger, depende absolutamente de este criterio. Figura 3. 6.-Método incrementaliterativo (curva cargadesplazamiento). a) Incrementos e iteraciones. b) Iteraciones en un incremento de carga. El modelo dispone de tres formas de resolución: - Utilizar constantemente una matriz inicial, calculada con las propiedades del material, cuando ninguna carga ha sido todavía introducida. Se trata del método denominado cuasi Newton. - Utilizar la matriz de rigidez tangente, formada mediante la matriz de propiedades tangentes del modelo incremental. Esta forma de resolución es más rápida pero también es más costosa al tener que formarse la matriz de rigidez en cada iteración. Este es el método de Newton-Raphson. - Utilizar un método mixto en el cual la matriz es modificada en la primera iteración, solamente, para cada incremento de carga. Se trata del método de Newton modificado. 3.4.4 Introducción de la carga. Desplazamiento controlado La introducción de la carga conviene realizarla de forma escalonada, es decir, por incrementos. Dentro de cada incremento de carga se aplica alguno de los métodos iterativos citados con anterioridad hasta obtener convergencia. En el caso de fenómenos con fuerte carácter no lineal, como el de la abolladura, se debe introducir la carga en pequeños incrementos. Ello permite un mejor seguimiento de la evolución de la respuesta tenso-deformacional de la estructura analizada e incluso puede ser necesario para asegurar la convergencia. Los incrementos de carga se pueden introducir de dos formas: Capítulo 3 – Modelo Numérico 43 - Directamente con su valor. - Mediante control de desplazamiento. Este último suele ser más aconsejable ya que permite estudiar el comportamiento hasta rotura y caracterizar comportamientos dúctiles y de reblandecimiento. En este estudio se ha utilizado control de desplazamiento. Para ello se impone el desplazamiento de un nodo, que se mantiene fijo durante cada iteración; el resto van iterando hasta que se llega a la convergencia. 3.5 Modelo constitutivo 3.5.1 Diagrama tensión-deformación del acero Se considera un diagrama bilineal elastoplástico con dos módulos de elasticidad diferentes (figura 3.7.a), mediante el cual se puede representar el comportamiento del acero. Además, se incluye la posibilidad de que el material entre en descarga con un módulo de elasticidad igual al de la rama elástica. Esto permite reproducir por ciclos de carga y descarga. El criterio de plastificación utilizado es el de Von Mises |3.26|. De esta forma, el acero estará en la rama elástica siempre que la tensión de comparación esté por debajo del valor del límite elástico, e
o . ( ) o o o o o t t t o
co x y x y xy xz yz e
= + ÷ + + + s
3 * * |3.25.| Figura 3. 7.-Modelo constitutivo para el acero. a) Ecuación constitutiva adoptada. b) Endurecimiento por deformación en estado uniaxial de tensiones. c) Traslación de la superficie de fluencia. 3.5.2 Generalización a un estado bidimensional Capítulo 3 – Modelo Numérico 44 Existe cierta dificultad en trasladar el concepto de elasticidad bilineal a un estado en el que hay tensión y deformación en diversas direcciones. Es necesario entonces introducir el concepto de superficie de fluencia. Si se examina la expresión matemática del criterio de Von Mises |3.26|, puede verse que se trata de una superficie de cinco dimensiones. Si se prescinde de las dos tensiones tangenciales que no están sobre el plano, la superficie obtenida es un elipsoide y si nos limitamos al plano y se toman direcciones principales se obtiene una elipse (figura 3.7.c). De esta forma, cuando el punto que define el estado de tensiones está en el interior de la superficie, el material se encuentra en la rama elástica del diagrama tensión-deformación; cuando llega a la superficie es cuando plastifica y no puede existir un estado fuera de ella, por lo que la superficie de fluencia se desplaza con el estado de tensiones. Para representar esto, se define el estado de tensiones en el que se produce la plastificación con un vector pl
o y las tensiones totales con otro vector o , de manera que el vector de tensiones plásticas es la diferencia entre ambos pl p
o o o ÷ = . Esto equivale a adoptar un criterio de Von Mises modificado, de la forma: ( ) ( ) ( )( )
yzp yz xzp xz xy
yp y xp x yp y xp x
+ ÷ ÷ ÷ ÷ + ÷
= |3.26.| 3.5.3 Ecuación constitutiva La ecuación constitutiva tiene la siguiente expresión: ( )
|3.27.| Se plantea de forma incremental ya que el valor del módulo elástico, E, depende del estado de tensiones. De esta forma, tomará los valores E o T
E según el material se encuentre en la rama elástica o plástica del diagrama bilineal. En cambio se considera Capítulo 3 – Modelo Numérico 45 un único valor para el coeficiente de Poisson v y el coeficiente 6
que acompaña a los términos de cortante transversal. Este tiene su origen en el concepto de sección útil a cortante. 3.5.4 Modelización de la rotura Se ha de tener también un criterio para decidir cuando una pieza se ha roto en un punto, y este puede ser independiente del modelo constitutivo adoptado. Se define una superficie análoga a la superficie de fluencia, tal que sus dimensiones vienen determinadas por el límite de deformación o deformación última u
c . ( )
c c c c c ¸ ¸ ¸ c = + ÷ + + + s
x y x y xy xz yz u
3 * * |3.28.| Esta superficie está siempre centrada y cuando se alcanza un estado de deformaciones que está por encima de ella se considera que se ha llegado a rotura; es decir, la tensión se hace cero y no hay más resistencia. En el desarrollo del modelo constitutivo no se introduce ningún criterio de rotura frágil ya que en un estado de tensiones biaxial, como en el caso de placas y láminas, no es previsible una rotura de este tipo. 3.5.5 Relación entre la discretización y la modelización de la rotura Una vez definido el criterio de rotura, hemos de dar algún valor numérico a la deformación última descrita en el apartado anterior. La determinación de este valor no puede hacerse de forma independiente de la discretización realizada en la geometría de la placa. Aunque el acero puede alcanzar deformaciones grandes, parece más adecuado en este caso utilizar valores moderados de c
, por ejemplo del orden de 0.01, con el fin de evitar ciertos errores que podrían darse en los mecanismos de plastificación a menos que la discretización sea suficientemente fina. Es decir, si se permite que la deformación alcance un valor muy grande se llega a que al final plastifican todos los puntos sin reproducir el comportamiento real. Por tanto, limitar la deformación última a valores moderados puede dar una idea más aproximada de los mecanismos de plastificación que se producen y del estado tenso-deformacional de la estructura analizada en situación próxima a rotura. Capítulo 3 – Modelo Numérico 46 3.6 Método de resolución de ecuaciones no lineales 3.6.1 Análisis de autovalores Con el objetivo de desencadenar el fenómeno de abolladura, en el código numérico es necesario introducir una imperfección geométrica inicial, la cual atiende, en los análisis numéricos a realizar, al primer modo de abolladura a cortante de los paneles a estudiar. Para determinar dicho modo es necesario realizar un análisis de autovalores, el cual, adicionalmente, permite determinar la carga crítica de abolladura de las vigas armadas. En el análisis de autovalores se adopta la hipótesis de que el comportamiento del material de la estructura (vigas armadas), antes de que se desarrolle la inestabilidad (abolladura), es lineal y elástico. Una vez obtenida la matriz de rigidez global de la estructura y llamando a al vector de desplazamientos nodales, se llega a un sistema de esta forma: | | f a k k
= + [3.29.] Suponiendo que existe un vector de cargas 0
f para el cual la estructura no bifurca, se pretende determinar un factor ì tal que, para un vector 0
f ì , la estructura sea inestable. Considerando que el comportamiento de la estructura al pasar de 0
f ì es lineal, y puesto que G
k se obtiene como ensamblaje de matrices proporcionales a las tensiones, se tiene que | |
ì ì = + [3.30.] La carga crítica de bifurcación de equilibrio será 0
ì = siendo ì
el autovalor y a
el autovector asociado a la solución del siguiente problema de autovalores generalizado: | | 0 = + a k k
ì siendo 0 = a Capítulo 4 ESTUDIO NUMÉRICO ________________________________________ 4 ESTUDIO NUMÉRICO 4.1 Planteamiento del Problema Como se ha comentado con anterioridad en determinados diseños no es posible proyectar estructuras metálicas con perfiles laminados, entonces se emplean vigas de armadas. El hecho de emplear vigas armadas permite elaborar vigas de inercia variable, que dan un uso más eficiente del elemento estructural. Dichas vigas se consiguen a través de un panel cuya altura varia linealmente manteniendo horizontal una de sus alas. Esta variación permite la utilización de material resistente, únicamente, allí donde es requerido, consiguiendo una disminución del peso propio. Al disminuir el peso propio, se obtiene un diseño más económico. Por otro lado, debido a que el panel del alma es de gran esbeltez en muchas ocasiones puede abollar para esfuerzos cortantes inferiores al esfuerzo cortante de agotamiento plástico. El objetivo principal de este capítulo es el de poder determinar la carga crítica de abolladura del alma de las vigas de inercia variable. Para ello, utilizando el código numérico presentado en el capítulo anterior, se investiga la influencia que ejercen los parámetros geométricos sobre el valor de la tensión tangencial crítica, la que ocasiona la inestabilidad del panel de alma. En una viga armada es muy importante tener en cuenta las inestabilidades y, en concreto, la inestabilidad local del alma (abolladura del alma). Capítulo 4– Estudio Numérico 48 Como se ha comentado en el capítulo 2 la abolladura es una inestabilidad muy sensible a la geometría del panel del alma. Sensible a la variación de la altura del alma del elemento estructural y qué ala, superior o inferior, sea la inclinada. Estudios previos han demostrado que la resistencia ultima a cortante para vigas de inercia variable depende de la inclinación de las alas así como del estado tensional del ala inclinada (traccionada o comprimida). Con tal de evaluar los métodos propuestos, se ha realizado un estudio numérico para diferentes geometrías de vigas de inercia variable con el ala inclinada soportando tracción o compresión. Caso 1 Figura 4. 1.- Tipología I. Como se puede observar en la figura 4.1 el ala inclinada de la viga armada esta traccionada y es el canto menor del alma el que soporta la tensión de la carga. Caso 2 Figura 4. 2.-- Tipología II. En el segundo caso las vigas armadas tienen el ala inclinada comprimida. Esta tipología es la que posteriormente ha sido estudiada experimentalmente en laboratorio. Y como se observa en la figura 4.2 es el canto mayor del alma el que soporta la tensión de la carga. Capítulo 4– Estudio Numérico 49 Caso 3 Figura 4. 3.- Tipología III. En esta situación el ala inclinada esta traccionada y al igual que en el caso dos es el canto mayor del alma el que soporta la tensión de la carga. Caso 4 Figura 4. 4.- Tipología IV. Este caso seria cuando nos encontramos con el ala inclinada comprimida y la tensión de la carga la soportaría el canto pequeño de la viga. En el estudio que se ha realizado con el programa ABAQUS se analiza solamente la mitad de las vigas puesto que estas son simétricas. Se imponen las condiciones de contorno necesarias para que tenga sentido estudiar un solo panel. Recientemente Zárate y Mirambell (2004) propusieron un modelo que aproxima la carga critica de abolladura correctamente cuando el ala inclinada esta traccionada y el fenómeno de la abolladura, se da en la dirección de la diagonal corta del panel del alma (Tipología 1). Cuando se realiza un estudio numérico de las diferentes tipologias de vigas se observa que los resultados del modelo propuesto por Zárate y Mirambell divergen de los resultados esperados por el modelo de ABAQUS para el resto de tipologias de viga estudiadas, (E. Real; A. Bedynek y E. Mirambell, 2010). En el estudio que se ha realizado con el programa ABAQUS se analiza solamente uno de los paneles del alma de las vigas puesto que estas son simétricas. Se imponen las condiciones de contorno necesarias para que estudiando un solo panel este Capítulo 4– Estudio Numérico 50 se comporte del mismo modo que lo haría perteneciendo a una viga biapoyada con una carga puntual situada en el centro de vano. Todas las vigas analizadas han sido modeladas numéricamente como paneles en los que existe una fuerza cortante actuando en uno de sus cantos de manera que según las condiciones de contorno que se impongan a cada panel este se comporte en cada caso como una de las vigas propuestas a estudio. TIPOLOGIA I TIPOLOGIA II TIPOLOGIA III TIPOLOGIA IV Tabla 4. 1.- Resumen de las tipologias de sección modelizadas. Se han estudiado diferentes dimensiones para poder tener una muestra de datos suficientes, en cada tipología. Las dimensiones propuestas son: Secciones h0 [mm] h1 [mm] a [mm] bf [mm] A1 630 700 700 140 A2 630 700 700 160 A3 630 700 700 245 A4 630 700 700 315 B1 720 800 800 160 B2 720 800 800 185 B3 720 800 800 280 B4 720 800 800 360 C1 525 700 700 140 C2 525 700 700 160 C3 525 700 700 245 C4 525 700 700 315 Capítulo 4– Estudio Numérico 51 D1 600 800 800 160 D2 600 800 800 185 D3 600 800 800 280 D4 600 800 800 360 E1 490 700 700 140 E2 490 700 700 160 E3 490 700 700 245 E4 490 700 700 315 F1 560 800 800 160 F2 560 800 800 185 F3 560 800 800 280 F4 560 800 800 360 G1 420 700 700 140 G2 420 700 700 160 G3 420 700 700 245 G4 420 700 700 315 H1 480 800 800 160 H2 480 800 800 185 H3 480 800 800 280 H4 480 800 800 360 I1 350 700 700 140 I2 350 700 700 160 I3 350 700 700 245 I4 350 700 700 315 J 1 400 800 800 160 J 2 400 800 800 185 J 3 400 800 800 280 J 4 400 800 800 360 Tabla 4. 2.- Dimensiones de las vigas. Para cada dimensión se ha hecho variar el espesor del alma w
t entre los valores | | 15 ; 14 ; 12 ; 10 ; 9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 5 . 0 [mm] y el espesor del ala f
t entre los valores | | ; 15 ; 14 ; 9 ; 4 ; 3 ; 2 [mm]. Generando de este modo 84 combinaciones posibles para cada sección. 4.2 El código numérico en el análisis de vigas de inercia variable 4.2.1 Condiciones de contorno consideradas en las vigas de inercia variable Existen diferentes expresiones que permiten determinar la tensión crítica de abolladura de chapas rectangulares sometidas a tensiones tangenciales, en función de las condiciones de contorno, del parámetro de forma y de las propias características del material. En el caso de vigas de inercia variable, la tensión crítica de abolladura a cortante del panel de alma depende también de las condiciones de contorno y, en particular, de las condiciones de vinculación entre el alma y las alas de la viga, y entre el alma y los rigidizadores transversales; asimismo también depende de la inclinación del ala inferior (Mirambell y Zárate, 2000). Capítulo 4– Estudio Numérico 52 En la figura 4.5 y en la tabla 4.3 se muestran las condiciones de contorno adoptadas en los análisis estructurales que se han realizado sobre vigas armadas de inercia variable (panel de alma de canto variable). En dicha tabla, Z Y X
u u u representan los desplazamientos según los ejes globales XYZ , mientras que Z Y X
u u u representan los giros correspondientes (los grados de libertad son considerados en la superficie media del elemento). Figura 4. 5.- Condiciones de contorno adoptadas en el análisis de una viga de inercia variable. Se han tomado las condiciones de contorno para que el panel sienta los efectos como si este formara parte de una viga simplemente apoyada con carga puntual en el centro de vano. Este panel representa la mitad de la viga simplemente apoyada. Por otro lado, se supone que tanto en el apoyo izquierdo de la viga como en el derecho, existen arriostramientos perpendiculares al plano medio del alma, por lo que en dichos apoyos se impiden los desplazamientos perpendiculares al plano medio del alma. Por otra parte, se considera que la presencia de rigidizadores transversales impide el giro de los paneles de alas alrededor del eje X global, en la sección de unión alas−rigidizadores transversales. Tipología Bordes X
u BTF 1 0 1 1 1 1 BW 1 0 1 1 0 1 BBF 1 0 1 1 1 1 FTF 0 1 1 1 1 0 FW 0 1 1 1 0 0 I FBF 0 1 1 1 1 0 BTF 0 1 1 1 1 0 BW 0 1 1 1 0 0 BBF 0 1 1 1 1 0 FTF 1 0 1 1 1 1 FW 1 0 1 1 0 1 II FBF 1 0 1 1 1 1 Capítulo 4– Estudio Numérico 53 BTF 0 1 1 1 1 0 BW 0 1 1 1 0 0 BBF 0 1 1 1 1 0 FTF 1 0 1 1 1 1 FW 1 0 1 1 0 1 III FBF 1 0 1 1 1 1 BTF 1 0 1 1 1 1 BW 1 0 1 1 0 1 BBF 1 0 1 1 1 1 FTF 0 1 1 1 1 0 FW 0 1 1 1 0 0 IV FBF 0 1 1 1 1 0 Tabla 4. 3.- Condiciones de contorno para el análisis de la abolladura del panel de alma de vigas de inercia variable (0 y 1 representan grados de libertad libre y restringido, respectivamente). 4.2.2 Malla utilizada en la determinación de la inestabilidad del alma El tamaño de malla planteado en esta primera aproximación al modelado de las vigas presenta como relación de aspecto más desfavorable 1:1. Se ha elegido una malla suficientemente tupida que conduce a resultados, provenientes del análisis, precisos. En la figura 4.6 puede verse la malla sobre la geometría de una de las vigas modelizadas. Figura 4. 6.- Densidad de malla. 4.3 Estudio de la abolladura del panel de alma con parámetro de formaα = 1 Capítulo 4– Estudio Numérico 54 En este apartado se estudia el comportamiento a abolladura de paneles de alma de elementos de inercia variable, en los cuales el parámetro de forma o , relación entre la longitud del panel (a) y el canto mayor (
h ), es igual a la unidad. Se realiza, en primer lugar, un estudio paramétrico de la influencia que ejercen las variables geométricas de diseño de elementos de inercia variable (vigas o pilares armados) sobre la abolladura del alma. 4.3.1 Parámetros geométricos utilizados en los análisis Se presentan a continuación los parámetros o variables geométricas a utilizar en los estudios de inestabilidad del alma. Desde el punto de vista geométrico, en la figura 4.6 se muestran los parámetros geométricos que definen las características del elemento. Las variables de diseño, se obtienen a través de la relación entre diferentes parámetros y son: f
= ì , 1
= q , 1 h
= o y ( )
= | [4.1.] Donde, f
ì es la esbeltez del ala, definida por la relación entre el ancho de ala f
b y el espesor de ala f
t , q es la relación entre el ancho de ala f
b y el canto mayor del alma 1
h , o es el parámetro de forma del alma, definido por la relación entre la separación entre los rigidizadores transversales a y el canto mayor del alma 1
h y | tg es la pendiente del ala inferior. Figura 4. 7.- Parámetros geométricos a considerar de vigas de inercia variable de alma esbelta. Se establecen de este modo rangos de variación de las variables de diseño. Los rangos son: 10 ≤ f
ì ≤ 180 , ( ) 45 . 0 ; 35 . 0 ; 23 . 0 ; 2 . 0 = q y ( ) 5 . 0 ; 4 . 0 ; 3 . 0 ; 25 . 0 ; 1 . 0 = | tg . Capítulo 4– Estudio Numérico 55 El tipo de acero considerado en este estudio es el acero tipo 275 S , cuyo límite elástico es MPa f
275 = , MPa f
430 = y el módulo de elasticidad es 2
210000 mm N E = y el coeficiente de Poisson es 3 . 0 = v . 4.3.2 Resultados del análisis estructural Para identificar la tensión crítica de abolladura del alma se ha empleado un análisis de buckle, realizado con el código numérico ABAQUS. La tensión tangencial crítica varía en función del valor de la esbeltez f
ì de las alas. Cuanto mayor es dicha esbeltez, menor es la tensión crítica de abolladura del panel de alma de altura variable. Se puede decir entonces que el valor de la tensión crítica de abolladura es sensible a las características geométricas de las alas y alma, para las cuatro tipologias, tablas 4.4, 4.5, 4.6 y 4.7. Tipología I | | mm h
| | mm h
| | mm a | | mm t
t 630 700 700 2 70.00 17.68 630 700 700 2 46.67 20.36 630 700 700 2 35.00 21.84 630 700 700 2 15.56 24.00 630 700 700 2 10.00 24.56 630 700 700 2 9.33 24.63 Tabla 4. 4.- Relación esbeltez de ala tensión tangencial critica para una viga de la tipología I. Topología II | | mm h
t 490 700 700 4 78.75 86.60 490 700 700 4 35.00 124.07 490 700 700 4 22.50 133.93 490 700 700 4 21.00 135.20 Tabla 4. 5.- Relación esbeltez de ala-tensión tangencial crítica para una viga de la tipología II. Tipología III | | mm h
t 525 700 700 6 17.78 197.87 525 700 700 6 11.43 219.65 525 700 700 6 10.67 221.93 Tabla 4. 6.- Relación esbeltez de ala-tensión tangencial crítica para una viga de la tipología III. Capítulo 4– Estudio Numérico 56 Tipología IV | | mm h
t 560 800 800 3 93.33 32.09 560 800 800 3 70.00 35.87 560 800 800 3 31.11 42.40 560 800 800 3 20.00 43.71 560 800 800 3 18.67 43.87 Tabla 4. 7.- Relación esbeltez de ala-tensión tangencial crítica para una viga de la tipología IV. Conviene señalar que para todas las geometrías analizadas, el parámetro de forma del alma es α = 1. Conocida la tensión crítica de abolladura en el canto donde esta aplicada la carga 0
h , dependiendo de la tipo de viga, y en base a la formulación de la teoría clásica, se determina el coeficiente de abolladura | f
k a través de la siguiente expresión: ( )
= |4.2.| donde E es el módulo de elasticidad, ν es el coeficiente de Poisson, w
t es el espesor del alma y cr
t es la tensión crítica de abolladura obtenida con el código numérico. El coeficiente obtenido | f
k depende de la geometría de las alas al igual que la tensión tangencial. En las figuras 4.8, 4.9, 4.10, 4.11 se presentan diferentes valores del coeficiente de abolladura en piezas de inercia variable obtenidos en función de la esbeltez de ala f
ì y de la relación entre el ancho del ala y el canto mayor del alma, q. Puede observarse que existe una relación aproximadamente lineal entre el valor del coeficiente de abolladura y la esbeltez del ala; y ello es así para diferentes valores de inclinación del ala. Para cada valor de q la relación lineal entre le coeficiente de abolladura | f
k y la esbeltez del ala f
ì es diferente. De aquí, puede concluirse que el coeficiente de abolladura | f
k depende no sólo de la esbeltez del ala sino también del ancho de la misma f
b . Capítulo 4– Estudio Numérico 57 Tipologia I - tw=5
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00
Esbelt ez de ala, Lambda f
tgɸ=0.1 ; η=0.2
tgɸ=0.1 ; η=0.23
tgɸ=0.1 ; η=0.35
tgɸ=0.1 ; η=0.45
tgɸ=0.3 ; η=0.2
tgɸ=0.3 ; η=0.23
tgɸ=0.3 ; η=0.35
tgɸ=0.3 ; η=0.45
Figura 4. 8.- Valores del coeficiente de abolladura de alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez y ancho de ala para diferentes pendientes del ala inferior ( 1 . 0 = | tg ; 3 . 0 = | tg ) y tipología de viga I. Tipologia II - tw=6
Figura 4. 9.- Valores del coeficiente de abolladura de alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez y ancho de ala para diferentes pendientes del ala inferior ( 1 . 0 = | tg ; 3 . 0 = | tg ) y tipología de viga II. Tipologia III - tw=4
Esbel tez de al a, Lambda f
tgɸ=0.25 ; η=0.2
tgɸ=0.25 ; η=0.23
tgɸ=0.25 ; η=0.35
tgɸ=0.25 ; η=0.45
tgɸ=0.5 ; η=0.2
tgɸ=0.5 ; η=0.23
tgɸ=0.5 ; η=0.35
tgɸ=0.5 ; η=0.45
Figura 4. 10.- Valores del coeficiente de abolladura de alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez y ancho de ala para diferentes pendientes del ala inferior ( 25 . 0 = | tg ; 5 . 0 = | tg ) y tipología de viga III. Capítulo 4– Estudio Numérico 58 Tipologia IV - tw=6
Figura 4. 11.- Valores del coeficiente de abolladura de alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez y ancho de ala para diferentes pendientes del ala inferior ( 25 . 0 = | tg ; 5 . 0 = | tg ) y tipología de viga IV. En las figuras 4.12, 4.13, 4.14 y 4.15 se muestra los valores del coeficiente de abolladura | f
k en función de la esbeltez del ala para diferentes pendientes de ala. En todas las gráficas se observa que la relación entre el coeficiente de abolladura y la esbeltez es prácticamente lineal. Por otra parte, la pendiente en todas las gráficas es prácticamente la misma, independientemente de la inclinación del ala ( | tg ) del elemento analizado. Esto es así para cada tipología de viga. Tipologia I - tw=9
8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Esbeltez del ala, Lambda f
tgɸ=0.4 ; η=0.2
Figura 4. 12.- Valor del coeficiente de abolladura del alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez del ala para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología I. Capítulo 4– Estudio Numérico 59 Tipologia II - tw=4
19,00 24,00 29,00 34,00 39,00
tgɸ=0.4 ; η=0.45
Figura 4. 13.- Valor del coeficiente de abolladura del alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez del ala para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología II. Tipologia III - tw=6
15,00 17,00 19,00 21,00 23,00 25,00 27,00 29,00
tgɸ=0.4 ; η=0.35
Figura 4. 14.- Valor del coeficiente de abolladura del alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez del ala para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología III. Tipologia IV - tw=8
8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00
Es beltez del ala, Lambda f
tgɸ=0.4 ; η=0.23
Figura 4. 15.-Valor del coeficiente de abolladura del alma en elementos de inercia variable en función de la esbeltez del ala para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología IV. Capítulo 4– Estudio Numérico 60 Por tanto se llega a la conclusión de que entre | f
ì tienen una relación lineal respecto a la inclinación del ala | tg . Pero con respecto al parámetro q y por tanto al ancho de ala, la relación lineal viene controlada por un valor de pendiente diferente, en función de dicho parámetro. En las figuras 4.16, 4.17, 4.18, 4.19 se muestra la relación entre el coeficiente de abolladura | f
k y la relación w f
t t para las diferentes tipologias de viga. El coeficiente de abolladura | f
k se puede determinar en función de las características geométricas del elemento analizado. Tipologia I - tw=2
tf/tw
Figura 4. 16.- Variación del coeficiente de abolladura de alma, en función de la relación de espesores w f
t t / , para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología I. Tipologia II - tw=4
Figura 4. 17.- Variación del coeficiente de abolladura de alma, en función de la relación de espesores w f
t t / , para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología II. Capítulo 4– Estudio Numérico 61 Tipologia III - tw=1
Figura 4. 18.- Variación del coeficiente de abolladura de alma, en función de la relación de espesores w f
t t / , para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología III. Tipologia IV - tw=3
Figura 4. 19.- Variación del coeficiente de abolladura de alma, en función de la relación de espesores w f
t t / , para diferentes pendientes del ala inferior | tg para la tipología IV. Aunque en alguna de las cuatro figuras anteriores parezca una relación bastante lineal la realidad es que no lo es. Es por ello que podemos afirmar la no-linealidad entre el coeficiente de abolladura y la relación entre espesores w f
t t / . 4.3.3 Análisis de los resultados y procedimiento de correlación de variables En los apartados anteriores se ha analizado la respuesta tenso−deformacional y el comportamiento frente a abolladura de paneles esbeltos de alma de canto variable de elementos metálicos (vigas y pilares armados). Los estudios paramétricos han permitido valorar la influencia de los parámetros geométricos de los elementos metálicos de inercia variable sobre la tensión tangencial crítica de abolladura y también sobre el coeficiente crítico de abolladura del alma. Capítulo 4– Estudio Numérico 62 A continuación, se define el procedimiento a seguir para la correlación de variables, con el objetivo de determinar una formulación analítica que, basada en los resultados obtenidos mediante el código numérico de elementos finitos, permita obtener la magnitud del coeficiente crítico de abolladura (para vigas de inercia variable –canto variable– de alma esbelta con el parámetro de forma α = 1) y que contemple tanto la geometría de las alas como la pendiente del ala inferior. 4.3.3.1 Criterio utilizado para determinar la correlación de variables La determinación de la formulación analítica que permite calcular el coeficiente crítico de abolladura del panel de alma de las vigas de inercia variable se realiza por medio de un análisis de correlación de variables, siguiendo la metodología propuesta por Zárate (Tesis doctoral). Se estudia la influencia que ejerce cada variable o parámetro geométrico de las vigas de inercia variable sobre el coeficiente crítico de abolladura | f
k ; dicho coeficiente es obtenido a partir de los análisis realizados con el código numérico de elementos finitos. Así pues, tal como se ha observado en el apartado anterior se puede considerar que la correlación del coeficiente | f
k con los distintos parámetros geométricos de la viga ( | q ì tg
, , ) puede ser lineal o no, dependiendo del propio parámetro. En el caso de correlaciones lineales, el comportamiento del coeficiente crítico de abolladura se define por medio de la siguiente ecuación lineal x b a y · + = |4.3.| en donde y representa el coeficiente crítico de abolladura, x el parámetro geométrico a considerar y a y b son las constantes que definen la ecuación. El procedimiento para determinar dicha expresión consiste en calcular las magnitudes de las constantes a y b a través de la correlación lineal entre la magnitud del coeficiente crítico de abolladura, determinado con el código numérico, y el parámetro geométrico, definido por la geometría analizada de la viga en cuestión. Sin embargo, cuando la correlación entre el coeficiente | f
k y el parámetro geométrico, en ejes ordinarios, no se puede considerar lineal, se procede a utilizar una correlación no−lineal de regresión logarítmica, definida por la siguiente ecuación: axb y = |4.4.| En esta ecuación x y y representan las variables de dicha función, mientras que a y b son las constantes a determinar a través de los análisis numéricos. Tomando logaritmos en ambos miembros de la expresión [4.4], se obtiene la expresión [4.5]: x b a y log log log · + = |4.5.| Capítulo 4– Estudio Numérico 63 Una vez definida la ecuación [4.5], de acuerdo con los resultados derivados del código numérico, se realiza la regresión logarítmica de dicha ecuación, de tal manera que pueda obtenerse una ecuación sencilla y práctica, es decir, con la forma de la expresión [4.4] (ecuación no−lineal). 4.3.3.2 Ecuaciones obtenidas del estudio de correlación de variables La correlación entre el coeficiente crítico de abolladura | f
k y la esbeltez del panel de alma f
ì , tal como se observa en las figuras 4.8, 4.9, 4.10 4.11, 4.12, 4.13, 4.14 y 4.15 puede interpretarse como una correlación lineal para cualquier valor de las variables q y | tg ; por consiguiente, se considera que el comportamiento entre | f
ì puede definirse a través de la correlación [4.6] f tg tg f
b a k ì
|4.6.| en donde | q tg
y | q tg
son las constantes a determinar. Dichas constantes se determinan a través de los resultados numéricos de la tensión tangencial en el canto menor del alma cuando ésta abolla, y de los valores considerados para los parámetros geométricos. Conocida la magnitud de dicha tensión tangencial, a partir de la ecuación de la teoría clásica (expresión [4.2]), es posible determinar el valor del coeficiente | f
k . El valor de | f
k se encuentra asociado a los valores de los parámetros geométricos considerados f
ì , q y | tg . En los análisis realizados se han considerado los siguientes valores de los parámetros geométricos. Para la inclinación del ala inferior se han considerado los valores de 5 . 0 , 4 . 0 , 3 . 0 , 25 . 0 , 1 . 0 = | tg ; para cada valor de | tg , se consideran cuatro valores de la relación entre el ancho del ala y el canto mayor del alma 45 . 0 , 35 . 0 , 23 . 0 , 2 . 0 = q ; y para cada valor del parámetro q se consideran diversos valores de la esbeltez del ala f
ì . La figura 4.20 muestra el proceso de cálculo de correlación de | f
k con los parámetros geométricos, para el caso de 1 . 0 = | tg . Capítulo 4– Estudio Numérico 64 Figura 4. 20.- Etapas realizadas para la obtención de la ecuación que correlaciona el coeficiente crítico de abolladura | f
k con los parámetros geométricos para 1 . 0 = | tg . La obtención de la ecuación de | f
k en función de los parámetros geométricos consta de cuatro etapas de cálculo. La primera etapa consiste en determinar diversas ecuaciones del tipo de la expresión [4.6] que permiten correlacionar el valor del coeficiente crítico de abolladura | f
k con el valor de la esbeltez del ala f
ì . Ello se consigue a partir de los resultados de los análisis numéricos efectuados, y para grupos de valores de los parámetros q , | tg . Por ejemplo, tal como se observa en la figura 4.20, para un valor del parámetro de la inclinación del ala inferior 1 . 0 = | tg , se han obtenido con el código numérico diversos valores de | f
k respecto a f
ì . Dichos pares de valores han sido agrupados respecto al parámetro q (ver etapa 1 de la figura 4.20). Se obtienen así tantas ecuaciones del tipo [4.6] como análisis realizados. En la segunda etapa, cada grupo de ecuaciones asociado al valor del parámetro q se subdivide en dos subgrupos de ecuaciones, pasando a continuación a ponderar las mismas. Ello posibilita la obtención de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya resolución permite obtener los valores de las constantes | q tg
. Así, se determinan cuatro ecuaciones que correlacionan | f
ì , correspondientes a cada uno de los valores asociados del parámetro q (ver etapa 2 de la figura 4.20). Capítulo 4– Estudio Numérico 65 La tercera etapa consiste en obtener una relación entre los valores de | q tg
y el parámetro q . Para ello, se agruparon los valores de | q tg
, obtenidos de las ecuaciones de la etapa 2, con respecto al parámetro q (ver etapa 3 de la figura 4.20). En base a los resultados mostrados en la figura 4.8, 4.9, 4.10 y 4.11 puede afirmarse que la relación f f
÷ respecto al parámetro q , interpretada por las pendientes de las rectas, no presenta una relación lineal. Así pues, se considera una correlación entre las constantes | q tg
y el parámetro q del tipo logarítmico (no−lineal). Dichas constantes se expresan en función de q a través de ecuaciones de la forma de [4.7] y [4.8]: 2
= |4.7.| 4
c b q
= |4.8.| De igual manera que en la primera etapa, para los dos grupos de ecuaciones del tipo [4.7] y [4.8] (ver etapa 3 de la figura 4.20), se ponderan los coeficientes, de tal manera que se obtienen dos ecuaciones para cada grupo; la resolución del sistema da lugar a las ecuaciones [4.7] y [4.8] (ver etapa 3 de la figura 4.20). El procedimiento anteriormente descrito, desde la etapa 1 hasta la 3, se realiza para los diversos valores considerados de la inclinación del ala inferior. Por consiguiente, se obtiene un par de ecuaciones de la forma [4.7] y [4.8] para cada ángulo de inclinación | tg . Las constantes 1
c , 3
c de dichas expresiones se agrupan respecto a cada valor del parámetro | tg . La cuarta y última etapa de cálculo parte de los valores de 1
c obtenidos para cada valor del parámetro | tg (ver figura 4.21). Como puede observarse en la figura 4.12, 4.13, 4.14 y 4.15 la variación de la curva f f
÷ respecto a | tg es lineal; ello puede ser interpretado a través del hecho de que dicha relación f f
÷ es una recta de pendiente constante, para cada valor del parámetro | tg . Por consiguiente, la correlación de 1
c respecto a | tg será considerada como lineal. De igual manera que en las correlaciones de las etapas anteriores, para cada grupo de ecuaciones obtenidas a partir de los valores de 1
c , 4
c y | tg , se ponderan sus coeficientes de tal manera que se obtienen un par de ecuaciones para cada grupo. Resolviendo el sistema, se obtienen las expresiones del tipo [4.8.1], [4.8.2], [4.8.3] y [4.8.4] Capítulo 4– Estudio Numérico 66 | tg e d c · + =
|4.8.1.| | tg g f c · + =
|4.8.2.| | tg i h c · + =
|4.8.3.| | tg l j c · + =
|4.8.4.| en donde d, e, f, g, h, i, j y l son constantes de dichas expresiones. La figura 4.20 muestra el diagrama de flujo de la cuarta etapa de cálculo de obtención de la correlación de variables para la determinación del coeficiente | f
k . Figura 4. 21.- Etapa 4 para la correlación de variables que permite determinar la expresión del coeficiente crítico de abolladura | f
k respecto a los parámetros geométricos. 4.3.4 Ecuaciones derivadas de la correlación de variables para 1 = o
De acuerdo con el procedimiento de correlación de variables anteriormente descrito (ecuaciones [4.5], [4.6], [4.7] y [4.8]) y en base a los resultados derivados del código numérico (anejo A-1), se determina la expresión que define el coeficiente de abolladura | f
k en función de las características geométricas de las alas y de la inclinación del ala inferior (ver figura 4.20) Capítulo 4– Estudio Numérico 67 f
c c k ì q q
· · + · =
|4.9.| En esta expresión c1, c2, c3 y c4 son los coeficientes parciales que dependen de la pendiente | tg
y del espesor del alma w
t del elemento armado en cuestión y que quedan definidos mediante las expresiones siguientes: Para la Tipología I - 4 =
t | tg c · ÷ = 38 . 1 54 . 13
|4.9.1.| | tg c · + ÷ = 35 . 0 04 . 0
|4.9.2.| | tg c · ÷ ÷ = 006 . 0 01 . 0
|4.9.3.| | tg c · + ÷ = 18 . 0 62 . 1
|4.9.4.| - 5 =
t | tg c · ÷ = 52 . 0 48 . 13
|4.9.5.| | tg c · + ÷ = 39 . 0 04 . 0
|4.9.6.| | tg c · ÷ ÷ = 020 . 0 01 . 0
|4.9.7.| | tg c · + ÷ = 61 . 0 65 . 1
|4.9.8.| - 6 =
t | tg c · + = 03 . 2 24 . 13
|4.9.9.| | tg c · + ÷ = 51 . 0 05 . 0
|4.9.10.| | tg c · ÷ ÷ = 056 . 0 01 . 0
|4.9.11.| | tg c · + ÷ = 18 . 1 66 . 1
|4.9.12.| - 7 =
t | tg c · + = 11 . 8 35 . 12
|4.9.13.| | tg c · + ÷ = 76 . 0 09 . 0
|4.9.14.| | tg c · ÷ ÷ = 006 . 0 19 . 0
|4.9.15.| | tg c · + ÷ = 21 . 2 73 . 1
|4.9.16.| Capítulo 4– Estudio Numérico 68 - 8 =
t | tg c · + = 39 . 16 45 . 11
|4.9.17.| | tg c · + ÷ = 06 . 1 10 . 0
|4.9.18.| | tg c · + ÷ = 001 . 0 41 . 0
|4.9.19.| | tg c · + ÷ = 85 . 2 64 . 1
|4.9.20.| - 9 =
t | tg c · + = 22 . 25 03 . 11
|4.9.21.| | tg c · + ÷ = 34 . 1 11 . 0
|4.9.22.| | tg c · + ÷ = 013 . 0 74 . 0
|4.9.23.| | tg c · + ÷ = 10 . 3 40 . 1
|4.9.24.| Para la Tipología II - 4 =
t | tg c · + = 79 . 68 17 . 7
|4.9.25.| | tg c · + ÷ = 30 . 0 03 . 0
|4.9.26.| | tg c · ÷ = 20 . 0 02 . 0
|4.9.27.| | tg c · + ÷ = 67 . 0 56 . 1
|4.9.28.| - 5 =
t | tg c · + = 63 . 70 93 . 6
|4.9.29.| | tg c · + ÷ = 31 . 0 03 . 0
|4.9.30.| | tg c · ÷ = 28 . 0 02 . 0
|4.9.31.| | tg c · + ÷ = 73 . 0 53 . 1
|4.9.32.| - 6 =
t | tg c · + = 08 . 80 49 . 5
|4.9.33.| | tg c · + ÷ = 46 . 0 04 . 0
|4.9.34.| | tg c · ÷ = 45 . 0 05 . 0
|4.9.35.| | tg c · + ÷ = 11 . 1 54 . 1
|4.9.36.| Capítulo 4– Estudio Numérico 69 - 7 =
t | tg c · + = 13 . 96 74 . 2
|4.9.37.| | tg c · + ÷ = 73 . 0 08 . 0
|4.9.38.| | tg c · ÷ = 82 . 0 11 . 0
|4.9.39.| | tg c · + ÷ = 88 . 1 58 . 1
|4.9.40.| - 8 =
t | tg c · + = 97 . 105 75 . 1
|4.9.41.| | tg c · + ÷ = 86 . 0 06 . 0
|4.9.42.| | tg c · ÷ = 10 . 1 14 . 0
|4.9.43.| | tg c · + ÷ = 97 . 1 44 . 1
|4.9.44.| - 9 =
t | tg c · + = 21 . 114 42 . 1
|4.9.45.| | tg c · + ÷ = 99 . 0 04 . 0
|4.9.46.| | tg c · ÷ = 44 . 1 18 . 0
|4.9.47.| | tg c · + ÷ = 07 . 2 27 . 1
|4.9.48.| Para la Tipología III - 4 =
t | tg c · ÷ ÷ = 47 . 30 29 . 10
|4.9.49.| | tg c · ÷ ÷ = 04 . 0 01 . 0
|4.9.50.| | tg c · + = 01 . 0 004 . 0
|4.9.51.| | tg c · ÷ ÷ = 62 . 1 73 . 1
|4.9.52.| - 5 =
t | tg c · ÷ ÷ = 38 . 34 87 . 9
|4.9.53.| | tg c · + ÷ = 04 . 0 02 . 0
|4.9.54.| | tg c · + = 03 . 0 004 . 0
|4.9.55.| | tg c · ÷ ÷ = 40 . 0 72 . 1
|4.9.56.| Capítulo 4– Estudio Numérico 70 - 6 =
t | tg c · ÷ ÷ = 35 . 37 77 . 9
|4.9.57.| | tg c · + ÷ = 08 . 0 01 . 0
|4.9.58.| | tg c · + = 07 . 0 003 . 0
|4.9.59.| | tg c · ÷ ÷ = 13 . 0 57 . 1
|4.9.60.| - 7 =
t | tg c · ÷ ÷ = 96 . 45 62 . 8
|4.9.61.| | tg c · + ÷ = 23 . 0 02 . 0
|4.9.62.| | tg c · + ÷ = 19 . 0 01 . 0
|4.9.63.| | tg c · + ÷ = 58 . 0 53 . 1
|4.9.64.| - 8 =
t | tg c · ÷ ÷ = 69 . 64 54 . 5
|4.9.65.| | tg c · + ÷ = 56 . 0 06 . 0
|4.9.66.| | tg c 55 . 0 07 . 0
+ ÷ = |4.9.67.| | tg c · + ÷ = 58 . 1 54 . 1
|4.9.68.| - 9 =
t | tg c · ÷ ÷ = 53 . 91 31 . 1
|4.9.69.| | tg c · + ÷ = 94 . 0 08 . 0
|4.9.70.| | tg c · + ÷ = 11 . 1 16 . 0
|4.9.71.| | tg c · + ÷ = 29 . 2 43 . 1
|4.9.72.| Para la Tipología IV - 4 =
t | tg c · + ÷ = 06 . 15 15 . 13
|4.9.73.| | tg c · + ÷ = 10 . 0 03 . 0
|4.9.74.| | tg c · + = 013 . 0 004 . 0
|4.9.75.| | tg c · + ÷ = 37 . 1 84 . 1
|4.9.76.| Capítulo 4– Estudio Numérico 71 - 5 =
t | tg c · + ÷ = 51 . 15 38 . 13
|4.9.77.| | tg c · ÷ ÷ = 09 . 0 03 . 0
|4.9.78.| | tg c · + = 01 . 0 01 . 0
|4.9.79.| | tg c · + ÷ = 05 . 1 69 . 1
|4.9.80.| - 6 =
t | tg c · + ÷ = 08 . 16 75 . 13
|4.9.81.| | tg c · + ÷ = 07 . 0 02 . 0
|4.9.82.| | tg c · ÷ = 003 . 0 02 . 0
|4.9.83.| | tg c · + ÷ = 72 . 0 52 . 1
|4.9.84.| - 7 =
t | tg c · + ÷ = 88 . 16 26 . 14
|4.9.85.| | tg c · + = 05 . 0 01 . 0
|4.9.86.| | tg c · ÷ = 01 . 0 03 . 0
|4.9.87.| | tg c · + ÷ = 46 . 0 34 . 1
|4.9.88.| - 8 =
t | tg c · + ÷ = 84 . 17 87 . 14
|4.9.89.| | tg c · + = 02 . 0 04 . 0
|4.9.90.| | tg c · ÷ = 03 . 0 04 . 0
|4.9.91.| | tg c · + ÷ = 20 . 0 13 . 1
|4.9.92.| - 9 =
t | tg c · + ÷ = 91 . 18 52 . 15
|4.9.93.| | tg c · ÷ = 01 . 0 09 . 0
|4.9.94.| | tg c · ÷ = 05 . 0 05 . 0
|4.9.95.| | tg c · ÷ ÷ = 04 . 0 92 . 0
|4.9.96.| En las expresiones [4.9.i], los parámetros q y f
ì representan, respectivamente, la relación ancho de ala−canto mayor del alma y la esbeltez del ala. Capítulo 4– Estudio Numérico 72 4.4 Análisis de resultados obtenidos En la tabla 4.8, 4.9, 4.10 y 4.11 se presentan, a modo de ejemplo de aplicación, valores del coeficiente de abolladura de paneles esbeltos de canto variable, con un parámetro de forma α = 1, para diferentes valores de los parámetros geométricos considerados en el estudio. w
ì | f
k Tipología I ABAQUS cr
t [N/mm^2] Tipología I cr
V [kN] Tipologí
a I | f
k Tipología I calculada Dif. % B1_720_800_800_160 4.00 15.00 3.75 10.67 12.36 72.43 208.58 12.12 1.99 B3_720_800_800_280 6.00 15.00 2.50 18.67 12.35 162.75 703.08 12.33 0.18 C4_525_700_700_315 5.00 9.00 1.80 35.00 11.18 192.54 505.42 11.26 -0.68 F4_560_800_800_360 4.00 14.00 3.50 22.50 11.47 145.09 284.38 11.21 2.37 G1_420_700_700_140 9.00 9.00 1.00 15.56 6.05 527.43 1993.70 6.28 -3.59 I2_350_700_700_160 9.00 14.00 1.56 11.43 7.66 960.76 3026.38 7.73 -0.99 J4_400_800_800_360 5.00 14.00 2.80 25.71 10.46 310.34 620.68 10.34 1.20 Tabla 4. 8.- Valores del coeficiente crítico de abolladura de vigas metálicas de inercia variable, obtenidos de acuerdo con la formulación analítica propuesta en este estudio. Tipología I. w
k Tipología II ABAQUS cr
t [N/mm^2] Tipología II cr
V [kN] Tipología II | f
k Tipología II calculada Dif. % D4_600_800_800_360 5.00 14.00 2.80 25.71 19.66 145.77 583.06 20.25 -2.91 E1_490_700_700_140 7.00 9.00 1.29 15.56 14.32 271.73 1331.47 14.35 -0.27 E2_490_700_700_160 6.00 9.00 1.50 17.78 16.01 223.22 937.51 16.81 -4.76 E4_490_700_700_315 4.00 9.00 2.25 35.00 20.02 124.07 347.39 19.94 0.38 Tabla 4. 9.- Valores del coeficiente crítico de abolladura de vigas metálicas de inercia variable, obtenidos de acuerdo con la formulación analítica propuesta en este estudio. Tipología II. w
k Tipología III ABAQUS cr
t [N/mm^2] Tipología III cr
V [kN] Tipología III | f
k Tipología III calculada Dif. % A4_630_700_700_315 7.00 9.00 1.29 35.00 -12.86 -244.13 -1196.23 -12.55 2.47 C2_525_700_700_160 9.00 9.00 1.00 17.78 -12.04 -377.86 -2380.49 -12.07 -0.20 D3_600_800_800_280 4.00 15.00 3.75 18.67 -16.80 -79.73 -255.14 -16.24 3.47 F1_560_800_800_160 7.00 14.00 2.00 11.43 -15.75 -228.87 -1281.68 -15.99 -1.51 H2_480_800_800_185 8.00 15.00 1.88 12.33 -18.35 -348.36 -2229.52 -17.78 3.23 H3_480_800_800_280 7.00 15.00 2.14 18.67 -19.94 -289.70 -1622.32 -19.34 3.08 H4_480_800_800_360 6.00 15.00 2.50 24.00 -20.71 -221.10 -1061.28 -21.61 -4.15 Tabla 4. 10.- Valores del coeficiente crítico de abolladura de vigas metálicas de inercia variable, obtenidos de acuerdo con la formulación analítica propuesta en este estudio. Tipología III. Capítulo 4– Estudio Numérico 73 w
k Tipología IV ABAQUS cr
t [N/mm^2] Tipología IV cr
V [kN] Tipología IV | f
k Tipología IV calculada Dif. % G2_420_700_700_160 8.00 14.00 1.75 11.43 -5.74 -395.44 -1328.67 -5.80 -1.07 I3_350_700_700_245 4.00 9.00 2.25 27.22 -4.70 -116.42 -162.98 -4.75 -1.10 J1_400_800_800_160 8.00 15.00 1.88 10.67 -4.39 -333.21 -1066.28 -4.21 4.15 Tabla 4. 11.- Valores del coeficiente crítico de abolladura de vigas metálicas de inercia variable, obtenidos de acuerdo con la formulación analítica propuesta en este estudio. Tipología IV. En las figuras 4.22, 4.23, 4.24 y 4.25 se observa como la diferencia entre los valores de del coeficiente de abolladura calculados mediante la formulación propuesta respecto al valor obtenido a través del método de elementos finitos, es muy leve. La mayoría de los resultados solo difieren entre valores inferiores al 10%. Histograma Tipologia I
Figura 4. 22.- Histograma de diferencias entre los valores de | f
k calculados con la formulación propuesta o con el código numérico. Datos estadísticos - Tipología I Media -0.33 Error típico 0.34 Mediana -1.45 Desviación estándar 9.05 Varianza de la muestra 81.93 Curtosis 3.96 Coeficiente de asimetría 1.43 Rango 66.36 Mínimo -26.51 Máximo 39.84 Cuenta 719.00 Nivel de confianza(95.0%) 0.66 Tabla 4. 12.- Datos estadísticos de las diferencias de los valores de | f
k para la tipología I. Capítulo 4– Estudio Numérico 74 Histograma Tipologia II
Figura 4. 23.- Histograma de diferencias entre los valores de | f
k calculados con la formulación propuesta o con el código numérico. Datos estadísticos – Tipología II Media -1.38 Error típico 0.42 Mediana -0.90 Desviación estándar 11.23 Varianza de la muestra 126.09 Curtosis 5.22 Coeficiente de asimetría 0.35 Rango 98.16 Mínimo -45.17 Máximo 52.99 Cuenta 719.00 Nivel de confianza(95.0%) 0.82 Tabla 4. 13.- Datos estadísticos de las diferencias de los valores de | f
k para la tipología II. Histograma Tipologia III
Figura 4. 24.- Histograma de diferencias entre los valores de | f
k calculados con la formulación propuesta o con el código numérico. Datos estadísticos – Tipología III Media -2.64 Error típico 0.43 Mediana -1.12 Desviación estándar 11.53 Varianza de la muestra 132.87 Curtosis 9.19 Coeficiente de asimetría -1.36 Rango 129.63 Mínimo -82.48 Máximo 47.15 Cuenta 719.00 Nivel de confianza(95.0%) 0.84 Tabla 4. 14.- Datos estadísticos de las diferencias de los valores de | f
k para la tipología III. Capítulo 4– Estudio Numérico 75 Histograma Tipologia IV
Figura 4. 25.- Histograma de diferencias entre los valores de | f
k calculados con la formulación propuesta o con el código numérico. Datos estadísticos – Tipología IV Media 0.53 Error típico 0.20 Mediana 0.31 Desviación estándar 5.28 Varianza de la muestra 27.84 Curtosis 31.27 Coeficiente de asimetría -1.57 Rango 77.05 Mínimo -46.73 Máximo 30.32 Cuenta 719.00 Nivel de confianza(95.0%) 0.39 Tabla 4. 15.- Datos estadísticos de las diferencias de los valores de | f
k para la tipología IV. Pese a que las diferencias no son muy grandes se observa que para las tipologias de viga II y III el cálculo de | f
k no es tan próximo a los valores calculados por el código numérico. Capítulo 5 CAMPAÑA EXPERIMENTAL ________________________________________ 5 CAMPAÑA EXPERIMENTAL 5.1 Introducción Los ensayos descritos a continuación se enmarcan dentro de uno de los proyectos de investigación del área de Estructuras Metálicas del Departamento de Ingeniería de la Construcción de la UPC. Dichos ensayos se realizaron entre Abril de 2010 y Junio de 2010 y forman parte de la presente tesina con el objetivo de caracterizar las vigas armadas de inercia variable sometidas a cargas concentradas, valorando la influencia de la geometría y resistencia del material. Para ello, se plantea el ensayo de cuatro vigas biapoyadas de canto variable sometidas a una carga concentrada en el centro de la longitud total de la viga, cuyas características geométricas y mecánicas se describen a lo largo del presente capítulo. Además de las vigas, se describen también todos los pasos necesarios para poder realizar los ensayos adecuadamente. La geometría de los especimenes a ensayar, detallada a lo largo del capítulo, ha sido previamente estudiada y analizada en el código ABAQUS, por miembros del equipo investigador, para determinar cargas últimas y garantizar la seguridad en el laboratorio. En primer lugar se realizó una medición de las imperfecciones del panel que compone el alma de cada viga, dada la importancia de las mismas en el desarrollo del fenómeno de la abolladura. Posteriormente se procedió a la instrumentación de las vigas Capítulo 5– Campaña Experimental 77 mediante galgas extensométricas, para medir las deformaciones del acero y transductores de desplazamiento inductivos, para medir las deformaciones del alma fuera de su plano. Una vez instrumentada la viga a estudiar, se posiciona en la prensa y se conectan las galgas y los transductores de desplazamiento al sistema de adquisición de datos, el cual viene controlado por un ordenador personal. Todos los datos recogidos se almacenaron en un ordenador personal para su posterior análisis. 5.2 Geometrías de las vigas La campaña experimental constó de cuatro vigas armadas de pequeña longitud en las cuales se pretendió estudiar principalmente el comportamiento de las mismas frente al efecto de la abolladura. Para ello, se planteó un estudio con una variación del parámetro de forma o , a fin de comparar las diferentes situaciones que se recogen actualmente en la normativa actual. Las vigas constan de dos paneles. En todos los ensayos se aplicó una carga concentrada repartida en una pequeña longitud de 150 mm. Asimismo en las tablas 5.1, 5.2 y las figuras 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4 se resumen las características geométricas de cada uno de los especimenes. A
steel S275 SPECIMEN "A_600_800_800_4_15_180"
Figura 5. 1.- Viga A_600_800_800. Capítulo 5– Campaña Experimental 78 SPECIMEN "B_500_800_1200_4_15_180"
Figura 5. 2.- Viga B_500_800_1200. B
steel S275 SPECIMEN "C_480_800_800_4_15_180"
Figura 5. 3.- Viga C_480_800_800. Capítulo 5– Campaña Experimental 79 A
Figura 5. 4.- Viga D_525_700_700. Nombre de la viga 0
h | | mm 1
h | | mm a | | mm w
t | | mm f
b | | mm f
t | | mm A_600_800_800_4_180_15 600 800 800 4 180 15 B_500_800_1200_4_180_15 500 800 1200 4 180 15 C_480_800_800_4_180_15 480 800 800 4 180 15 D_600_800_800_4_180_15 600 800 800 4 180 15 Tabla 5. 1.- Dimensiones de las vigas ensayadas. Nombre de la viga o | tg f
ì q A_600_800_800_4_180_15 1,00 0,25 12 0,225 B_500_800_1200_4_180_15 0,50 0,25 12 0,667 C_480_800_800_4_180_15 1,00 0,4 12 0,225 D_600_800_800_4_180_15 1,00 0,25 12 0,225 Tabla 5. 2.- Parámetros de las vigas ensayadas. Como se observa en las figuras 5.1, 5.2 y 5.3 las vigas A, B y C son vigas simétricas tanto en forma como en su solicitación de fuerzas. Pero a diferencia de las otras dos la viga B tiene un parámetro o
menor a 1. La viga D es la única de las cuatro vigas que no tiene los apoyos simétricos, eso produce momentos flectores en la viga a la hora de aplicar la carga sobre el centro de vano de esta. Capítulo 5– Campaña Experimental 80 5.3 Imperfecciones iniciales Para poder evaluar correctamente el comportamiento real de la viga, es necesario conocer perfectamente la geometría inicial de la misma. Nunca se dispondrá de la viga “ideal” diseñada en planos, pues, debido al proceso de la propia fabricación, una viga armada nunca será perfectamente plana. Es por ello que cabe caracterizar la geometría real de la viga, a fin de valorar su influencia en la resistencia última. Para ello, se requirió el servicio de la empresa ABROX, especializada en medidas tridimensionales de alta precisión (figura 5.5), que utilizaba un sistema de posicionamiento tridimensional (K-CMM) para la toma de datos. Mediante sistemas de triangulación electrónica, dicha tecnología permite almacenar las coordenadas locales de un punto en el espacio, referidas siempre a unos ejes locales conocidos. Así pues, discretizando cada panel en puntos clave, es posible dibujar la geometría de cada viga, estudiando con una malla de puntos más fina en las zonas donde se espera la aparición de la abolladura. Figura 5. 5. Técnico capturando datos de las imperfecciones iniciales y equipo de medición Con este análisis, pudo determinarse la forma y la magnitud de la imperfección a la que estaban sometidas algunas de las vigas, hecho que, como ya se detallará más adelante, será fundamental para el análisis y la comprensión de los resultados. 5.4 Instrumentación 5.4.1 Introducción El objetivo de la instrumentación es obtener medidas de parámetros representativos que permitan una buena caracterización y un posterior análisis del comportamiento de las vigas. Para ello, se utilizan galgas extensométricas y transductores de desplazamiento inductivos (LVDT). Capítulo 5– Campaña Experimental 81 Las primeras permiten medir las deformaciones del acero, mientras que los segundos permiten medir en cada momento el desplazamiento de un punto fuera de su plano inicial. Así mismo, también puede obtenerse la carga aplicada a la viga en todo momento mediante una célula situada en el pistón de ensayo. Con ello se pueden obtener y estudiar las distintas cargas críticas y últimas del fenómeno. La localización de esta instrumentación se ha realizado de manera que las galgas coincidan con algunos de los puntos de integración, llamados puntos de Gauss, del programa de elementos finitos que utilizaremos para el análisis numérico, con el fin de poder realizar una mejor comparación de resultados, ya que es en los puntos de Gauss en donde se obtiene el valor exacto de las tensiones. Y por la misma razón, los LVDT se colocan sobre nodos de la malla de elementos finitos que se utilizará posteriormente en la reproducción numérica de los ensayos. De este modo los desplazamientos medidos experimentalmente podrán ser comparados con los derivados del análisis numérico. Para poder entender mejor la disposición y tipo de galgas que hay en cada viga, es conveniente hacer primero una descripción de los tipos de galgas existentes y de su funcionamiento. Juntamente con la explicación referente a los transductores de desplazamiento inductivo. 5.4.2 Galgas extensométricas El funcionamiento de las galgas extensométricas se basa en la variación de resistencia de un conductor o semiconductor cuando es sometido a un esfuerzo mecánico. Usando la ley de Ohm, puede demostrarse que existe una relación lineal entre la resistencia del conductor y su deformación, cuya constante de proporcionalidad se denomina factor de galga. Siendo la ley de Ohm la siguiente, A
R µ = [5.1.] donde R es la resistencia de la galga, µ la resistividad, L la longitud y A la sección transversal del hilo conductor. Como lo que se mide en el laboratorio son variaciones de resistencia podemos observar como, D
[5.2.] Capítulo 5– Campaña Experimental 82 donde Des el diámetros del un hilo conductor supuestamente cilíndrico. Sabiendo que, ( )
2 1÷ = =
[5.3.] donde l
c es la deformación longitudinal del conductor, v es el modulo de Poisson y C la constante de Bridgmann. Substituyendo las derivadas de las ecuaciones presentadas en [5.3] en [5.2], obtenemos, ( ) ( ) ( )
c v c v vc c v c 2 1 2 1 2 2 1 ÷ + + = + ÷ + = [5.4.] ( ) ( ) K C
= ÷ + + = v v
2 1 2 1 [5.5.] siendo K el factor de galga. Por tanto, a partir de la medida de los cambios de resistencia se podrán conocer los esfuerzos aplicados. Estos cambios de resistencia se miden a través de una señal eléctrica que se envía a la galga. Cabe considerar ciertas limitaciones en la aplicación de este principio para obtener una información útil. En primer lugar, el esfuerzo aplicado no debe llevar a la galga fuera del margen elástico de deformaciones, que no excede del 1% de la longitud de la misma y, en segundo lugar, la medida de un esfuerzo sólo será correcta si es transmitido totalmente a la galga. Ello se logra pegándola cuidadosamente mediante un adhesivo elástico que sea suficientemente estable con el tiempo y la temperatura. Otro aspecto a considerar es la configuración de las galgas en función de las direcciones en que miden las deformaciones. Por un lado, las más sencillas que utilizamos son las llamadas uniaxiales, en las que se recibe únicamente las deformaciones en una única dirección. Por otro lado, usamos también las llamadas rosetas triaxiales, donde se recogen las deformaciones en tres direcciones distintas. La elección entre una y otra depende fundamentalmente del grado de conocimiento de las direcciones de deformación en cada punto. En muchas ocasiones, bastará con una única dirección de medida. Capítulo 5– Campaña Experimental 83 Figura 5. 6.- Galga uniaxial y triaxial, respectivamente Las galgas llevan incorporado el cable conectador al elemento de recepción de datos, con lo que basta instrumentar la galga sobre la viga y conectar el cable al módulo de recepción de datos, sin necesidad ni de utilizar, ni de soldar, ningún cable extra. Después de analizar el funcionamiento y propiedades de las galgas extensométricas, se expone de forma breve una guía de selección de una galga para cualquier aplicación práctica. a) En el caso de conocer las direcciones principales del modelo a ensayar, se puede utilizar la medida con una simple galga o a lo sumo dos, situadas en los ejes principales. b) Si la distribución de deformaciones es compleja, deberán emplearse algún tipo de rosetas para determinar los ejes principales y las deformaciones. c) El tamaño de la galga debe adaptarse al modelo a ensayar. Si se esperan grandes gradientes de deformación deberán utilizarse las galgas más pequeñas posibles. d) El material soporte y el adhesivo deben ser compatibles químicamente con el material objetivo del ensayo. e) El coeficiente de dilatación de la galga deberá adaptarse al material al que se aplica. Una vez elegida la galga, veamos cuales son los pasos necesarios para su correcta instalación. Capítulo 5– Campaña Experimental 84 Primero de todo será necesario preparar la superficie dibujando una malla orientativa que ayudara a situar las galgas y LVDT’s. La malla que se dibujo en las vigas no es la misma que la malla de elementos finitos generada por ABAQUS. Aun así esta nos proporcionará una buena referencia para localizarnos dentro del panel estudiado. Seguidamente se marcaran las zonas que se deberán lijar. Lijar en seco la zona de instalación con lijadora primero para devastar la superficie más abrupta con mayor facilidad. A continuación se efectúa una nueva abrasión con papel de lija de grano más fino y con alcohol. Inmediatamente se seca de una sola pasada con gasas limpias eliminando los residuos y el alcohol. Con un bolígrafo se trazan los ejes de posicionamiento de la galga . De nuevo se moja la superficie de la pieza con acondicionador y se van pasando gasas secas hasta que aparezcan limpias. Después, se humedece la superficie con un neutralizador y se seca con una gasa hasta que también aparezca limpia. Con la ayuda de unas pinzas, sacar la galga de su estuche de plástico y colocarla sobre un cristal, previamente limpiado con alcohol para eliminar todo tipo de residuos. Poner encima una cinta autoadhesiva procurando que la banda esté perfectamente centrada. Alzar la cinta según un ángulo pequeño levantando también la galga. Figura 5. 7.- Placa de vidrio donde se preparan las galgas antes de pegarlas. Figura 5. 8.- Galgas antes de ser pegadas con adhesivo, sujetadas con cinta adhesiva. Se sitúa la cinta y la galga sobre el punto de medida de tal forma que los ejes de alineamiento de cada lado de las mallas de la galga coincidan con las marcas de Capítulo 5– Campaña Experimental 85 posicionamiento diseñadas sobre la pieza. Si el conjunto parece estar mal alineado, se ha de repetir la operación levantando de nuevo la cinta y posicionándola correctamente. Es muy importante que la galga quede correctamente situada en la dirección que se quieren medir las tensiones. Se levanta de nuevo la cinta desde un extremo según un ángulo de aproximadamente 45
hasta liberar la galga del contacto con la superficie de la pieza. Sujetar en esta posición mientras se cubre la superficie y el dorso de la galga con una capa de adhesivo. Levantar el extremo libre de la cinta formando un ángulo de aproximadamente 30
respecto de la pieza. Con la ayuda de una gasa, bajar lentamente la cinta y ponerla en contacto con la pieza, haciendo coincidir la galga con los ejes de alineamiento marcados anteriormente. Dado que el adhesivo es bastante viscoso, es preciso aplicar una firme presión con los dedos cuando se pasa la gasa por encima de la cinta para obtener una capa fina de adhesivo que asegure prestaciones óptimas. Hay que ser rápido en la manipulación del adhesivo puesto que su secado es de unos 15 segundos. La uniformidad del espesor del adhesivo depende de que la presión aplicada esté bien repartida y, en particular, es preciso prestar atención a la disposición del sistema de presión y evitar que dicho sistema se escurra durante el proceso de curado. La galga extensométrica está ahora firmemente adherida a la estructura, para soltar la cinta, hemos de volverla directamente sobre sí misma despegándola lentamente de la superficie. Figura 5. 9.- Galgas finalmente adheridas al panel metálico. 5.4.3 Transductores de desplazamiento inductivos Los transductores de desplazamiento nos permiten convertir una señal física, en nuestro caso una variación de posición, en una señal eléctrica. Su funcionamiento se basa en una transformación diferencial de variación lineal, que se designa comúnmente Capítulo 5– Campaña Experimental 86 con las siglas LVDT (Linear Variation Diferencial Transformer) y que funciona analizando la variación de inductancia de un núcleo magnético que, al moverse, reproduce las diferencias de desplazamiento. Figura 5. 10.- Transductores de desplazamiento en el panel de la viga, temposónics. Figura 5. 11.- Transductores de desplazamiento en los apoyos, LVDT. El parámetro distintivo entre los distintos LVDT es el rango de medida de cada uno. Este dato es especialmente importante en los transductores situados en el alma, debido a que, a pesar de que se estima el desplazamiento en cada punto mediante el modelo numérico descrito anteriormente, no se sabe a priori hacia que lado se deformará el alma. De la misma forma que las galgas, van conectados mediante cables al centro de recepción de datos. Para sujetar dichos dispositivos se dispuso una estructura con barras de aluminio dónde podía situarse cada elemento en el punto deseado. 5.4.4 Localización de la instrumentación La localización de dicha instrumentación se ha realizado atendiendo al modelo numérico presentado en el capítulo 3 y a las necesidades propias de medición del fenómeno, a fin de situar las galgas en los puntos más representativos de cada probeta. Capítulo 5– Campaña Experimental 87 La disposición de galgas, se puede observar como va variando en cada viga, a fin de cubrir la zona de abolladura prevista. Cabe comentar la ubicación de galgas en el ala, donde se estima que van a aparecer las rotulas plásticas del campo diagonal de tracciones. La disposición de las galgas en las vigas es bastante parecida para las cuatro. Puede verse su disposición en las siguientes figuras, y responde a las siguientes ideas: galgas - numeracion galgas - numeracion
SPECIMEN "A_600_800_800_4_15_180"
7794 7800 7800 7794
Figura 5. 12.- Disposición de galgas en ambas caras de la viga A_600_800_800_4_15_180. galgas - numeracion galgas - numeracion
SPECIMEN "B_500_800_1200_4_15_180"
7562 7569 9620
39 37 38 38 37 39
9620 7569 7562
Figura 5. 13.- Disposición de galgas en ambas caras de la viga B_500_800_1200_4_15_180. 440
SPECIMEN "C_480_800_800_4_15_180"
galgas - numeracion
6713 36 34
Figura 5. 14.- Disposición de galgas en ambas caras de la viga C_480_800_800_4_15_180. Capítulo 5– Campaña Experimental 88 8544
SPECIMEN "D_600_800_800_4_15_180"
Figura 5. 15.- Disposición de galgas en ambas caras de la viga D_600_800_800_4_15_180. También se dispusieron tres temposónics en el alma de la viga y tres LVDT, uno en el centro de luz del ala inferior de la viga y los otros dos cada uno en un apoyo. 5.5 Proceso de carga y adquisición de datos 5.5.1 Prensa de carga Para llevar a cabo estos ensayos, se ha utilizado un pistón MTS acoplado en un extremo por un pórtico de carga mediante una rótula tridimensional. Dicho pistón dispone también de rótula en el extremo de aplicación de carga, tal y como se observa en la figura 5.16. Figura 5. 16.- Detalles del pistón de carga. La carga máxima estática que soporta es de 1000 kN. El pistón está gobernado por un control analógico que permite controlar el proceso de carga, a la vez que muestra las lecturas de carga y posición del pistón en un visor tipo LED. Al mismo tiempo, el sistema de carga está conectado a un ordenador que permite configurar el proceso de carga mediante control de carga, o bien mediante control del desplazamiento del pistón. En esta campaña se ha procedido con el método de control de desplazamiento del pistón Capítulo 5– Campaña Experimental 89 puesto que evita un exceso de carga que podría producir una rotura brusca de la viga y además permite reproducir fenómenos de plasticidad. El pórtico de carga se encuentra sobre una losa armada que absorbe las reacciones de la aplicación de carga durante el ensayo. 5.5.2 Aparatos de apoyo Se han utilizado apoyos fijos en ambos extremos de la viga. Cada uno de ellos se ha materializado mediante un cilindro macizo de 80 mm de diámetro situado encima de una placa metálica. Figura 5. 17.- Aparato de apoyo. Las condiciones de estos aparatos permiten asimilar el apoyo como un apoyo simple en dos dimensiones (giro permitido y movimiento horizontal y vertical impedido). 5.5.3 Viga soporte Los aparatos de apoyo no descansan directamente sobre la losa de hormigón, sino que transmiten todos los esfuerzos a una viga auxiliar, llamada viga soporte o viga cargadera. Dicha viga está formada por dos IPE 400 unidas por chapas de acero de 12 mm soldadas en sus alas. Esta viga se une a la losa de hormigón mediante barras metálicas en cada extremo. La viga soporte tiene doble función. Por un lado, levanta la probeta a ensayar y la dispone a la altura necesaria para que el pistón pueda recorrer su carrera sin ningún problema y, por otro lado, la viga dispone de 2 parejas de UPN soldadas verticalmente en los extremos, que impedirían el vuelco de la viga en caso de que la entrada de carga no fuera perfectamente recta y el pistón, en lugar de presionar la viga perpendicularmente a su plano de carga, la empujara hacia fuera. Capítulo 5– Campaña Experimental 90 Figura 5. 18.- Detalle de la viga de soporte (viga azul sobre la que se apoya la viga ensayada). Se tuvo que estudiar la posición de los apoyos sobre la viga cargadero puesto que esta no es simétrica. Figura 5. 19.- Esquema de las dimensiones de la viga cargadero. 5.5.4 Dispositivo de recepción de datos Toda la instrumentación descrita hasta este punto debe conectarse a un centro de recepción de datos que permita canalizar, de forma digital, toda la información a un ordenador personal, a fin de poder tratar toda la información. Para ello y de forma expresa para esta campaña, se ha adquirido un nuevo módulo denominado MGCPLUS, mediante el cual se permite un tratamiento informático de la información mucho más sencillo que los métodos convencionales. Esto es debido a hechos como el de que este nuevo módulo calibra de forma automática todos los elementos que a él se conectan. Figura 5. 20.- Vista del módulo de recepción de datos MGCPLUS. Capítulo 5– Campaña Experimental 91 Además de las señales que transmiten las galgas y los transductores, también se conecta al módulo el pistón de carga, obteniendo una lectura de su desplazamiento vertical y la carga a la que somete la probeta. 5.6 Resultados experimentales 5.6.1 Introducción A continuación se presentan, de forma cronológica, un resumen del desarrollo, problemática y resultados de cada uno de los ensayos realizados, haciendo hincapié en las particularidades y singularidades de cada uno. El orden de las vigas a ensayar fue: el primero el espécimen A_600_800_800, el B_500_800_1200, el C_480_800_800 y se finalizó con el D_600_800_800 (en este espécimen hay más rigidizadores y los apoyos no son simétricos). 5.6.2 Ensayo núm.1. viga A_600_800_800 La primera viga ensayada fue el espécimen A_600_800_800, caracterizado por tener un parámetro de forma 1 = o . Antes de efectuar cada ensayo se realizó un estudio numérico en ABAQUS para poder controlar los resultados que irían apareciendo en el ensayo. A partir del estudio numérico se pudo saber de antemano cuando, más o menos, el alma abollaría. Se realizó una grafica carga-desplazamiento para asegurar que la carga última no superaba la carga máxima que puede ejercer la prensa. Y como consecuencia se obtuvo la siguiente gráfica. Capítulo 5– Campaña Experimental 92 Carga - Flecha Viga A (ABAQUS)
Fl echa [mm]
Figura 5. 21.- Grafica carga-desplazamiento obtenida de modelo numérico de la Viga A_600_800_800. En la figura 5.21 se puede observar como ABAQUS predice que la carga crítica de abolladura aparecerá sobre los 660kN y la carga última sobre los 735kN, ambas fuerzas inferiores a la máxima de la prensa. Se realizó una precarga de 30kN el día anterior al ensayo para comprobar que todos los medidores funcionaban correctamente y se obtuvo los siguientes resultados. El ensayo se llevó a cabo el viernes día 18 de junio de 2010 y tuvo una duración de unas dos horas (contando carga y descarga). La velocidad de carga estuvo controlada en todo momento por desplazamiento. Siendo en un principio de 0,08 mm/min para finalmente aumentarla hasta 0,16mm/min La carga máxima alcanzada fue 784,4 kN. Tal y como se muestra en la figura 5.22, donde se observa el descenso de la viga en su centro de luz. Se observa como la viga absorbe carga de forma lineal hasta una cierta carga (supuesta de abolladura). La viga sigue absorbiendo carga hasta alcanzar la carga máxima comentada anteriormente, a partir de la cual la viga no absorbe más carga y se inicia la descarga. Capítulo 5– Campaña Experimental 93 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT-30 - 0,2mm
Figura 5. 22.- Grafica carga-flecha ensayo Viga A_600_800_800. En la misma gráfica puede observarse claramente la rama de carga. El proceso de descarga se realizo una vez se dio por estabilizado el comportamiento de la viga. 5.6.2.1 Análisis comparativo de la Viga A_600_800_800. Comparando los resultados obtenidos con el código numérico ABAQUS y los valores alcanzados durante el ensayo obtenemos la grafica que se muestra en la figura 5.24. Figura 5. 23.- Imagen que compara el resultado obtenido que el código numérico con lo que sucedió al ensayar la Viga A_600_800_800. Capítulo 5– Campaña Experimental 94 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT-30 - 0,2mm Abaqus material 300MPa imp+1.0
Figura 5. 24.- Grafica comparativa de carga-flecha ensayo Viga A_600_800_800 vs. ABAQUS. Se observa como la carga última ensayada alcanza un valor menor al esperado en concreto: Abolladura [kN] Carga ultima [kN] diff [%] Ensayo 784.4 Abaqus 300 MPa 478.2 791.6 0.93 Tabla 5. 3.- Tabla comparativa de los valores calculados por el código numérico ABAQUS y los obtenidos por el ensayo. A continuación se muestran instantáneas del ensayo donde puede observarse la forma de la viga antes y después de la carga. Figura 5. 25.- Estado inicial de la Viga A_600_800_800 antes de la abolladura. Capítulo 5– Campaña Experimental 95 Figura 5. 26.- Fase de la Viga A_600_800_800 antes de la abolladura. Figura 5. 27.- Fase de la Viga A_600_800_800 una vez abollada. 5.6.3 Ensayo núm.2. viga B_500_800_1200 La segunda viga ensayada fue el espécimen B_500_800_1200, caracterizado por tener un parámetro de forma, 5 . 1 = o . En este segundo caso la curva carga-desplazamiento calculada con el programa ABAQUS fue la de la figura 5.28. Capítulo 5– Campaña Experimental 96 Carga - Flecha Viga B (ABAQUS)
Figura 5. 28.- Grafica carga-desplazamiento obtenida de modelo numérico de la Viga B_500_800_1200. En la figura 5.28 se observa como la carga crítica de abolladura aparecerá sobre los 550kN y la carga última sobre los 645kN, ambas fuerzas inferiores a la máxima de la prensa. En este caso se estableció que la precarga realizada en la viga anterior no fue suficiente para extraer datos valorables, y por ello se realizó una precarga de 50kN. El ensayo se llevó a cabo el martes día 22 de junio de 2010 y tuvo una duración de unas dos horas (contando carga y descarga). En este segundo ensayo se estableció una velocidad de carga mayor a la establecida en el ensayo anterior. Se inicio con una velocidad de 0.15mm/min y se subió en la fase final del ensayo a 0.2mm/min. La carga máxima alcanzada fue 641,1 kN. Tal y como se muestra en la figura 5.29, donde se aprecia el descenso de la viga en su centro de luz. Se observa como la viga absorbe carga de forma lineal hasta un cierto valor (supuesta de abolladura). La viga sigue absorbiendo carga hasta alcanzar la máxima comentada anteriormente, a partir de la cual la viga no absorbe más carga y se inicia la descarga. Capítulo 5– Campaña Experimental 97 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT_30
Figura 5. 29.- Grafica carga-flecha ensayo Viga B_500_800_1200. A continuación se muestran instantáneas del ensayo donde puede observarse la deformada de la viga antes y después de la carga. 5.6.3.1 Análisis comparativo de la Viga B_500_800_1200. Comparando los resultados obtenidos con el código numérico ABAQUS y los valores alcanzados durante el ensayo obtenemos la grafica que se muestra en la figura 5.31. Figura 5. 30.- Imagen que compara el resultado obtenido que el código numérico con lo que sucedió al ensayar la Viga B_500_800_1200. Capítulo 5– Campaña Experimental 98 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT_30 Abaqus carga-flecha
Figura 5. 31.- Grafica comparativa de carga-flecha ensayo Viga B_500_800_1200 vs. ABAQUS. Se observa como la carga última ensayada alcanza un valor prácticamente igual al esperado, en concreto: Abolladura [kN] Carga ultima [kN] diff [%] Ensayo 641.1 Abaqus 275 MPa 452.6 629.5 1.84 Tabla 5. 4.- Tabla comparativa de los valores calculados por el código numérico ABAQUS y los obtenidos por el ensayo. A continuación se muestran instantáneas del ensayo donde puede observarse la forma de la viga antes y después de la carga. Figura 5. 32.- Estado inicial de la Viga B_500_800_1200 antes de la abolladura. Capítulo 5– Campaña Experimental 99 Figura 5. 33.- Fase de la Viga B_500_800_1200 antes de la abolladura. Figura 5. 34.- Fase de la Viga B_500_800_1200 una vez abollada. 5.6.4 Ensayo núm.3. viga C_480_800_800 La segunda viga ensayada fue el espécimen C_480_800_800, caracterizado por tener un parámetro de forma, 1 = o y la altura 0
h menor de todas las vigas ensayadas en esta campaña experimental. En este tercer caso la curva carga-desplazamiento calculada con el programa ABAQUS fue la de la figura 5.35. Capítulo 5– Campaña Experimental 100 Carga - Flecha Viga C (ABAQUS)
Figura 5. 35.- Grafica carga-desplazamiento obtenida de modelo numérico de la Viga C_480_800_800. En la figura 5.35 se observa como la carga crítica de abolladura aparecerá sobre los 650kN y la carga última sobre los 790kN, ambas fuerzas inferiores a la máxima de la prensa. Como en el ensayo anterior, el de la viga B, se realizó una precarga de 50kN. El ensayo se llevó a cabo el miércoles día 30 de junio de 2010 y tuvo una duración de unas dos horas (contando carga y descarga). Este ensayo se llevo una velocidad de 0.2mm/min durante la carga de la viga. La carga máxima alcanzada fue 776,4 kN, tal y como se muestra en la figura 5.36, donde se aprecia el descenso de la viga en su centro de luz. Como ha sucedido en los dos ensayos anteriores la viga absorbe carga de forma lineal hasta un cierto valor (supuesta de abolladura). Esta sigue absorbiendo carga hasta alcanzar la máxima comentada anteriormente, a partir de la cual la viga no absorbe más carga y se inicia la descarga. Capítulo 5– Campaña Experimental 101 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT_30-0.6mm
Figura 5. 36.- Grafica carga-flecha ensayo Viga C_480_800_800. A continuación se muestran instantáneas del ensayo donde puede observarse la forma de la viga antes y después de la carga. 5.6.4.1 Análisis comparativo de la Viga C_480_800_800. Comparando los resultados obtenidos con el código numérico ABAQUS y los valores alcanzados durante el ensayo obtenemos la grafica que se muestra en la figura 5.36. Figura 5. 37.- Imagen que compara el resultado obtenido que el código numérico con lo que sucedió al ensayar la Viga C_480_800_800. Capítulo 5– Campaña Experimental 102 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT_30-0.6mm Abaqus material 300MPa
Figura 5. 38.- Grafica comparativa de carga-flecha ensayo Viga C_480_800_800 vs. ABAQUS. Se observa como la carga última ensayada alcanza un valor prácticamente igual al esperado, en concreto: Abolladura [kN] Carga ultima [kN] diff [%] Ensayo 776.4 Abaqus 300 MPa 575.6 789.44 1.65 Tabla 5. 5.- Tabla comparativa de los valores calculados por el código numérico ABAQUS y los obtenidos por el ensayo. A continuación se muestran instantáneas del ensayo donde puede observarse la forma de la viga antes y después de la carga. Figura 5. 39.- Estado inicial de la Viga C_480_800_800 antes de la abolladura. Capítulo 5– Campaña Experimental 103 Figura 5. 40.- Fase de la Viga C_480_800_800 antes de la abolladura. Figura 5. 41.- Fase de la Viga C_480_800_800 una vez abollada. 5.6.5 Ensayo núm.4. viga D_600_800_800 La segunda viga ensayada fue el espécimen D_600_800_800, caracterizado por tener un parámetro de forma, 1 = o y los apoyos no están situados a la misma distancia con respecto al eje central de simetría de la viga. Este hecho genera que se produzcan momentos flectores en la viga. De este modo es posible estudiar el comportamiento de la abolladura de una viga sometida a cortante y flector a la vez. En este último caso la curva carga-desplazamiento que se obtuvo con el código numérico ABAQUS fue la de la figura 5.42. Capítulo 5– Campaña Experimental 104 Carga - Flecha Viga D (ABAQUS)
Figura 5. 42.- Grafica carga-desplazamiento obtenida de modelo numérico de la Viga D_600_800_800. En la figura 5.42 se observa como la carga crítica de abolladura aparecerá sobre los 750kN y la carga última sobre los 850kN, ambas fuerzas inferiores a la máxima de la prensa. Como en el ensayo anterior, el de la viga D, se realizó una precarga de 50kN. El ensayo se llevó a cabo el lunes día 5 de julio de 2010 y tuvo una duración de unas dos horas (contando carga y descarga). Este ensayo se llevo una velocidad de 0.2mm/min durante la carga de la viga. La carga máxima alcanzada fue 850.2kN, tal y como se muestra en la figura 5.43, donde se aprecia el descenso de la viga en su centro de luz. Como ha sucedido en los dos ensayos anteriores la viga absorbe carga de forma lineal hasta un cierto valor (supuesta de abolladura). Esta sigue absorbiendo carga hasta alcanzar la máxima comentada anteriormente, a partir de la cual la viga no absorbe más carga y se inicia la descarga. Capítulo 5– Campaña Experimental 105 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT-30 +0,25mm
Figura 5. 43.- Grafica carga-flecha ensayo Viga D_600_800_800. A continuación se muestran instantáneas del ensayo donde puede observarse la forma de la viga antes y después de la carga. 5.6.5.1 Análisis comparativo de la Viga D_600_800_800. Comparando los resultados obtenidos con el código numérico ABAQUS y los valores alcanzados durante el ensayo obtenemos la grafica que se muestra en la figura 5.45. Figura 5. 44.- Imagen que compara el resultado obtenido que el código numérico con lo que sucedió al ensayar la Viga D_600_800_800. Capítulo 5– Campaña Experimental 106 Carga - Flecha (LVDT_30)
LVDT-30 +0,25mm Abaqus material 300MPa
Figura 5. 45.- Grafica comparativa de carga-flecha ensayo Viga D_600_800_800 vs. ABAQUS. Se observa como la carga última ensayada alcanza un valor prácticamente igual al esperado, en concreto: Abolladura [kN] Carga ultima [kN] diff [%] Ensayo 850.2 Abaqus 300 MPa 533.7 862.5 1.45 Tabla 5. 6.- Tabla comparativa de los valores calculados por el código numérico ABAQUS y los obtenidos por el ensayo. A continuación se muestran instantáneas del ensayo donde puede observarse la forma de la viga antes y después de la carga. Figura 5. 46.- Estado inicial de la Viga D_600_800_800 antes de la abolladura. Capítulo 5– Campaña Experimental 107 Figura 5. 47.- Fase de la Viga D_600_800_800 antes de la abolladura. Figura 5. 48.- Fase de la Viga D_600_800_800 una vez abollada. Capítulo 6 CONCLUSIONES ________________________________________ 6 CONCLUSIONES 6.1 Introducción En sus inicios las vigas armadas de inercia variable se propusieron como solución en el proyecto y fabricación de estructuras metálicas por motivos económicos. Otras ventajas como la disminución del peso propio y la obtención de una apariencia más esbelta y de un aspecto más estético del sistema estructural han potenciado su empleo junto con las modernas técnicas de fabricación de vigas armadas. El objetivo principal de este trabajo es contribuir al avance del conocimiento de las vigas metálicas armadas de inercia variable, analizando el comportamiento de estas en estado crítico y estado último trabajando fundamentalmente a cortante. Dicho objetivo principal queda plasmado, por un lado en forma de posibles expresiones de diseño que permitan dimensionar tales estructuras de una manera eficiente. Y por otro en forma de análisis comparativo entre los resultados obtenidos numéricos y los obtenidos en la realización de una campaña experimental. El trabajo se centra en el estudio del comportamiento de piezas metálicas de inercia variable sometidas a cortante, ya que es bajo estas condiciones en las que se estudiará la capacidad crítica y última de las vigas. El estudio se ha enfocado, hacia el cálculo de cargas críticas y la determinación de una formulación que permita el cálculo de dichas capacidades en función de los valores geométricos de las vigas. También se ha realizado una campaña experimental sobre 4 vigas armadas de acero con diferentes condiciones geométricas. En las que se ha caracterizado el comportamiento real de estas en cada ensayo. Se han instrumentado las vigas para poder Capítulo 6– Conclusiones 109 medir las flechas y las deformaciones que se producen en diferentes puntos de las estructuras ensayadas durante los procesos de aplicación de carga. Para llevar a cabo el análisis comparativo se ha realizado una serie de ensayos experimentales en el “Laboratorio de Tecnología de Estructuras” sobre cuatro vigas armadas de inercia variable sometidas tres de ellas a cortante y una a cortante más flector, en los que se evalúa el fenómeno de la abolladura. Las vigas ensayadas se diferencian en la esbeltez del alma w
ì , el parámetro de forma o y la simetría de los apoyos, pudiendo así evaluar el grado de influencia que estos parámetros sobre la evolución del fenómeno de la abolladura del alma. Posteriormente, dichas vigas han sido analizadas por un componente del equipo investigador mediante un modelo numérico basado en el método de los elementos finitos. Para el desarrollo de la campaña de análisis numéricos se han modelizado y estudiado una tipología de vigas en la que se supone una imperfección, del orden de un décimo del espesor, para poder desencadenar el fenómeno. Asimismo, se ha realizado un análisis de los resultados obtenidos en la campaña experimental y de los resultados obtenidos a través del análisis numérico, con la posterior comparación de los mismos. Junto a la campaña experimental se ha procedido a una revisión bibliográfica, a fin de intentar comprender el fenómeno de abolladura por cargas concentradas, así como el comportamiento de las vigas armadas de inercia variable. En el siguiente apartado de este capítulo, se exponen las diversas conclusiones relativas a las estructuras metálicas armadas de inercia variable, extraídas a partir del trabajo realizado. 6.2 Conclusiones del estudio numérico En este trabajo sólo se ha estudiado el comportamiento a abolladura de paneles de alma de elementos de inercia variable, en los cuales el parámetro de forma o , es decir, la relación entre la longitud del panel (a) y el canto mayor (
h ), es igual a la unidad. Se ha realizado un estudio paramétrico de la influencia que ejercen las variables geométricas de diseño de elementos de inercia variable (vigas o pilares armados) sobre la abolladura del alma. Los rangos de las variables de diseño son: 10 ≤ f
ì ≤ 180 , ( ) 45 . 0 ; 35 . 0 ; 23 . 0 ; 2 . 0 = q y ( ) 5 . 0 ; 4 . 0 ; 3 . 0 ; 25 . 0 ; 1 . 0 = | tg . Capítulo 6– Conclusiones 110 Los estudios paramétricos han permitido valorar la influencia de los parámetros geométricos de los elementos metálicos de inercia variable sobre la tensión tangencial crítica de abolladura y también sobre el coeficiente crítico de abolladura del alma. Y de este modo podemos concluir (para las cuatro tipologías de viga estudiadas): a) Que el valor de la tensión crítica de abolladura es sensible a las características geométricas de las alas y alma. La tensión tangencial crítica varía en función del valor de la esbeltez f
ì de las alas. Cuanto mayor es dicha esbeltez, menor es la tensión crítica de abolladura del panel de alma de altura variable. Se ha observado que existe una relación aproximadamente lineal entre el valor del coeficiente de abolladura y la esbeltez del ala; y ello es así para diferentes valores de inclinación del ala. b) Que el coeficiente de abolladura | f
b . Para cada valor de q la relación lineal entre le coeficiente de abolladura | f
ì es diferente. c) Que entre | f
ì tienen una relación lineal respecto a la inclinación del ala | tg . Pero con respecto al parámetro q y por tanto al ancho de ala, la relación lineal viene controlada por un valor de pendiente diferente, en función de dicho parámetro. Cuando se estudian los valores del coeficiente de abolladura | f
k en función de la esbeltez del ala para diferentes pendientes de ala. Se observa que la relación entre el coeficiente de abolladura y la esbeltez es prácticamente lineal. Por otra parte, esta relación es prácticamente la misma, independientemente de la inclinación del ala ( | tg ) del elemento analizado. d) Que la relación entre el coeficiente de abolladura | f
t t es no-
lineal. Estas cuatro conclusiones son validas para las cuatro tipologias de viga planteadas en este estudio. Capítulo 6– Conclusiones 111 A partir de estos resultados se ha determinado una formulación analítica que, basada en los resultados obtenidos mediante el código numérico de elementos finitos, permita obtener la magnitud del coeficiente crítico de abolladura (para vigas de inercia variable –canto variable– de alma esbelta con el parámetro de forma α = 1) y que contemple tanto la geometría de las alas como la pendiente del ala inferior. Después del análisis de las diferencias de resultado realizado a final del capítulo cuatro podemos concluir que la formulación es fiable puesto que mayoría de los resultados difieren en menos de un 10%. 6.3 Conclusiones de la campaña experimental En cuanto a la campaña experimental llevada a cabo, deben destacarse, a fin de considerar la utilidad e innovación para futuros ensayos, los siguientes aspectos: a) La importancia que tienen todos los detalles relativos a la ejecución de los ensayos para que se reproduzca correctamente el fenómeno que se pretende estudiar. b) El proceso de medida de imperfecciones iniciales geométricas, realizado con un equipo de alta precisión basado en triangulación electrónica, permite realizar un plano tridimensional de la viga y, con ello, obtener su deformada inicial. c) La mejora cualitativa en la instrumentación ante el nuevo uso de galgas con cableado incorporado, además de la utilización de un módulo MGCPLUS para la obtención de datos. d) La gran ayuda en la disposición de cámaras de vídeo que registren el ensayo, a fin de una mejor interpretación a posteriori. En cuanto a una primera evaluación del comportamiento de las vigas a través de resultados obtenidos en los ensayos experimentales se pueden extraer las siguientes conclusiones: e) La respuesta de las vigas frente a la introducción de la carga concentrada viene determinada por el desarrollo del fenómeno de la abolladura en el alma de las mismos. En cuanto se inicia el proceso de carga, se amplifica la deformación de la viga formando ondas que van concentrándose en la diagonal más pequeña del panel. f) Una vez superada la carga que origina la pérdida de linealidad en las gráficas carga flecha, la viga ofrece una resistencia post-critica. Observándose la Capítulo 6– Conclusiones 112 aparición de un incremento de capacidad de carga una vez superada la pérdida de la linealidad. g) Se observa que para vigas con el mismo parámetro de forma e igual espesor de alma a mayor altura de 0
h , aumenta la capacidad resistente de la viga. h) Si se disminuye el parámetro de forma o , el panel es más esbelto y por tanto se reduce la capacidad última de la viga. El análisis numérico de las vigas con geometría ideal ha permitido acotar la aparición del fenómeno de la abolladura para valores de la carga de hasta 800kN, y observar claramente el cambio de comportamiento que se produce en cuanto aparece la inestabilidad en un panel ideal. Asimismo, se demuestra que el mecanismo de colapso producido en las vigas, tanto en los ensayos experimentales como en el modelo numérico, se corresponde con los mecanismos de colapso, descritos por diferentes autores. 6.4 Perspectivas futuras Una vez finalizada la investigación se han puesto de manifiesto diversas líneas de trabajo en las que se podría trabajar en el futuro para avanzar hacia un mejor y más amplio conocimiento de las vigas armadas de acero de canto variable. En esta línea se podrian empezar a desarrollar trabajos de investigación materializados en una tesis doctoral. Los aspectos fundamentales en los que se debería avanzar son: a) Ampliar el estudio numérico de la carga crítica. Aumentar el rango de los parámetros geometricos: esbelteces, espesores de alas y almas etc., a las dimensiones habituales en puentes y grandes porticos de acero. b) Intentar obtener una formulación que dependa del espesor del alma para así tener una unica formulacion. c) Definir modelos mecanicos de carga ultima para cada tipo de viga. d) Desarrollar modelos mecanicos que determinen la carga crítica y la capacidad última de las vigas armadas de acero de inercia variable frente a esfuerzos de flexión contemplando la posible interaccion cortante-flexión. e) Introducir rigidizadores longitudinales y analizar el efecto que produce dicha rigidización longitudinal en el comportamiento de las vigas. Por otra parte me gustaria dejar constancia de las percepciones que he tenido en la elaboración de este trabajo. Durante la realización de este trabajo he podido convivir a pequeña escala con el mundo de la investigación en la ingeniería. Una vertiente de mis estudios que desconocía completamente. El haberme pasado durante tres meses y medio trabajando en un laboratorio, me ha hecho comprobar el gran trabajo que acarrea la comprobación u obtención de resultados para sustentar los conceptos teóricos. Al haber realizado un trabajo no sólo experimental sino también analitico he podido disfrutar también de la investigación a nivel numérico, pudiendo de este modo afirmar la fascinación que el mundo de la investigación ha generado en mí. No descarto hacer próximas incursiones en el mundo de la investigación. REFERENCIAS Bleich, F. (1952). “Buckling Strength of Metal Structures”, McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, U.S.A. Davies G. and Mandal S. N. (1979). “The collapse behaviour of tapered plate girders loaded within the tip”, Proceedings of the Institution of Civil Engineers Structures & Buildings, Part 2, 67, pages 65-68, Paper 14799. Falby W. E. y Lee G. C. “Tension-Field Design of Tapered Webs,” Engineering Journal/American Institute of Steel Construction, First Quarter 1976. Galambos, T. (1998). “Guide to Stability Design Criteria for Metal Structures”, Fifth Edition, John Wiley & Sons, Inc. U.S.A. Hibbitt, Karlsson & Sorensen, Inc. (2001). “Abaqus / Standard Theory and User’s Manual”, U.S.A. Höglund T. (1997) “Shear Buckling Resistance of Steel and Aluminium Plate Girders, ” Thin-Walled Structures Vol. 29, Nos. 1-4, pages 13-30. Porter D. M., Rockey K. C. y Evans H. R. (August 1975). “The collapse behaviour of plate girders loaded in shear,” The Structural Engineer, No. 8, Vol. 53. Real E., Bedynek A. y Mirambell E. (September 2010). “NUMERICAL AND EXPERIMENTAL RESEARCH IN TAPERED STEEL PLATE GIRDERS SUBJECTED TO SHEAR,” SDSS’Rio 2010 STABILITY AND DUCTILITY OF STEEL STRUCTURES. Shanmugam N. E. y Min. (2007) “Ultimate load behaviour of tapered steel plate girder,” Steel and Composite Structures, Vol.7, No. 6, pages 469-486. Timoshenko, S. P. y Woinowsky, S. (1959). “Teoría de placas y láminas”, Urmo, S. A., Bilbao, España. Zárate A. V. y Mirambell E. (Februar 2000). “Web buckling of tapered plate girders,” Proceedings of the Institution of Civil Engineers Structures & Buildings 140, pages 51-
60, Paper 12074. Zárate, V. (2002). “Un modelo para el dimensionamiento de vigas armadas de inercia variable de alma esbelta”, Tesis doctoral, Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, España. REFERENCIAS 115 Zárate A. V. y Mirambell E. (October 2004). “Shear strength of tapered steel plate girders,” Proceedings of the Institution of Civil Engineers Structures & Buildings 157, pages 343-354, Paper 13347. BIBLIOGRAFIA ADICIONAL Davies A. W. y Griffith D. S. C. (1999).“Shear strength of steel plate girders,” Proceedings of the Institution of Civil Engineers Structures & Buildings 134, pages 147-156, Paper 14799. Johansson B., Maquoi R., Sedlacek G. (2001). “New design rules for plated structures in Eurocode 3,” Journal of Constructional Steel Research 57, pages 279-311. Lee G. C., Morrel M. L. y Ketter R. L. “Design of Tapered Members,” Tapered Members, WRC Bulletin 173. Lee G. C. y Morrel M. L. “Allowable Stress for Web-Tapered Beams with Lateral Restraints,” Web – Tapered Beams, WRC Bulletin 192. Maquoi R. y Skaloud M. (2000). “Stability of plates and plated structures General Report” Journal of Constructional Steel Research 55, pages 45-68. Maquoi R. “Constructional Steel Design,” Plate Girders. Au International Guide. ANEJO 1. CÁLCULOS NUMÉRICOS En este anejo se muestran los valores obtenidos en los calculos del coeficiente de abolladura, para los diferentes tipos de viga. ANEJO 2. INSTRUMENTACIÓN En este anejo se describe de forma gráfica, y a modo de recetario, el proceso de instrumentación de una galga. No se ha querido hacer más hincapié en este proceso, ya que pueden encontrarse muy buenas referencias sobre estos procesos en el capítulo de Referencias. APARTADO 1. PREPARACIÓN DE LA SUPERFÍCIE 1. Se procede al desbroce inicial de la capa antioxidante que recubre la probeta. Para ello se procede utilizando una máquina de lijado extremadamente potente, o en su defecto una lija lo suficientemente rugosa, como para conseguir llegar la superficie metálica de la chapa. 2. Una vez desbrozada la capa antioxidante, nos encontramos con una superficie metálica totalmente rugosa. El objetivo es llegar a una superficie similar a la de un espejo. Para ello, se procederá al lijado mediante medios mecánicos o bien manuales, pero siempre procediendo de un papel de lijado más grueso a uno más fino, en función de las existencias. 3. En las siguientes fotografías puede observarse la evolución de la superficie. Es importante remarcar la dirección de lijado, pues interesa que se realice, en la medida de lo posible, a 45 grados de la dirección de la medida de la banda. ANEJ O 2– INSTRUMENTACIÓN 159 4. A medida que se procede con distintos papeles de lijado, se puede observar como la tendencia de la superficie es cada vez más fina, de forma que la luz refleja mostrando los poros o las imperfecciones que deben ser pulidas. 5. El estado final debería tender al que se muestra en la foto, donde el dedo prácticamente se ve reflejado en la superficie. Es en este punto, donde podemos asegurar que la galga a instrumentar tendrá una superficie óptima para su colocación. ANEJ O 2– INSTRUMENTACIÓN 160 APARTADO 2. PEGADO DE GALGAS 1. A fin de conseguir el mejor contacto posible entre la galga y la superficie de la probeta, se procede a un proceso de limpiado de esta superficie y a su posterior colocación de la galga. Primero, se procede a un primer desengrasado de la superficie utilizando un producto en aerosol. 2. Una vez secado el desengrasante, se procede a limpiar la superficie mediante gasas y alcohol. Es importante que las galgas sean desechables y de un solo uso, de lo contrario no solo no limpiaríamos la superficie, si no que cada vez la ensuciaríamos más. También es importante seguir las direcciones de lijado en el proceso de limpieza. 3. Una vez la superficie está limpia, se coloca la galga totalmente plana sobre una superficie de cristal, también limpia, y se le coloca encima una tira de cinta adhesiva. De esta manera, fijamos la galga a la cinta y tan solo debemos pegar la cinta en el lugar que corresponda. 4. Una vez pegada la cinta con la gala, se despega uno de los lados de la cinta y se coloca el pegamento sobre la galga. Posteriormente se presiona la cinta (y la galga) sobre su posición final y se mantiene la presión durante aproximadamente un minuto. Cuando la galga se ha adherido a la superficie, se puede retirar la cinta adhesiva. ANEJ O 2– INSTRUMENTACIÓN 161 5. Finalmente se recubre la galga con un barniz impermeable que la protege de la corrosión, el polvo y la humedad del ambiente. 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