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Timestamp: 2014-03-08 18:16:54+00:00

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EPISTEMOLOGIA DE LA MATEMÁTICA
El siglo XV, con la “invención de la imprenta” y el “humanismo”, trae consigo también el renacimiento de la Matemática.A los grandes algebristas italianos del siglo XVI, entre los que destacan Tartagllia, Cardano y Vieta, se debe la resolución de las ecuaciones de tercero y cuarto grado. El concepto de logaritmo también aparecen le siglo XVI.En la primera mitad del siglo XVII, el gran matemático y filósofo Descartes consigue relacionar la Geometría griega y el Algebra, introduciendo las coordenadas, llamadas, en su recuerdo, cartesianas, e iniciando así la Geometría Analítica.En la segunda mitad del siglo XVII nace el Análisis infinitesimal cuya operación esencial es el paso al límite de una sucesión indefinida.La Matemática del siglo XIX.En 1797 se crea en París la Escuela Politécnica, donde resurge la Geometría, naciendo la Geometría Descriptiva, iniciada por Monge y la proyectiva por Poncelet.El genio más grande de la Matemática del pasado siglo fue Gauss, primero que vio claro el problema de la aparente contradicción a que conducían las geometrías no euclidianas.Es también el siglo pasado cuando surgen la teoría de conjuntos y la de grupos.Situación actual de la Matemática.El espíritu crítico del siglo XIX, y sobre todo la aparición de las Geometrías no euclídeas, llevaron a revisar muchas teorías matemáticas, consideradas hasta entonces como perfectas, encontrándose en muchos casos que los conceptos carecían de rigor, desde el punto de vista lógico. Ello llevó a Pasch y a Peano a construir la Geometría y la Aritmética, respectivamente, a partir de un sistema de axiomas o postulados, a finales del pasado siglo.La Matemática adquiere un aspecto formal, transformándose en una Ciencia lógica, que a partir de los postulados o axiomas llega a los resultados o teoremas, mediante estricta aplicación de las leyes lógicas.La siguiente época importante en la historia de las matemáticas esta comprendida en la época del renacimiento. En este momento de la historia es cuando aparece el cercano oriente como conocedor de las matemáticas. Aunque la historia de las matemáticas en el cercano oriente, no es tan antigua como en el lejano oriente, su aporte es de gran magnitud, especialmente con la aparición de gran cantidad de obras escritas por los grandes matemáticos de la época.Es de destacar la obra de Leonardo de Pissa, titulada Liber Abaci, en donde se explicaba de una forma clara el uso del ábaco y el sistema de numeración posicional. Igualmente entre otras obras importantes, se puede mencionar Él práctica Geometrie, en donde se resolvían problemas geométricos, especialmente los de cálculo de áreas de polígonos.Uno de los grandes aportes de esta cultura se obtuvo en la introducción de los exponentes fraccionarios y el concepto de números radicales, a demás se estableció un sistema único de números algebraicos, con lo que se izo posible expresar ecuaciones en forma general.Después de esta larga evolución, las matemáticas entraron en el siglo XIX, en donde se postularon los fundamentos de las matemáticas modernas.Avances en la resolución de ecuaciones y en lo que hoy se conoce como calculo, hicieron de esta época la de mayor riqueza para esta ciencia. Entre los grandes desarrollos de esta época se puede mencionar, la resolución de ecuaciones algebraicas radicales, el desarrollo del concepto de grupo, avances en los fundamentos de la geometría hiperbólica no euclidiana, a demás de la realización una muy profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. Se separaron crearon varias ramas de las matemáticas en ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja.En el ámbito de la teoría de los conjuntos, se compuso una serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie. Durante los años 1879 a 1884 se elaboraron de forma sistemática la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de conjunto derivado. La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos En relación con el análisis matemático en este siglo, se fundamento en un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se conoce como teoría de límites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo.Bernard Bolzano, fue el pionero en el análisis de funciones, en sus trabajos estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como función de BolzanoOtro de los grandes avances obtenidos en esta época, fue la introducción de la variable compleja, con ella se pudieron resolver los cálculos de integrales, lo que ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. Matemáticos como Laplace acudieron a la interpretación en variable compleja, con lo que fue desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales diferenciales.Ya e el siglo VII, es cuando se hacen populares la construcción de academias reconocidas en ámbito de las matemáticas, como la Academia de Londres y París. En este siglo es cuando comienzan todas las disciplinas matemáticas actuales, como la geometría analítica, los métodos diferenciales e infinitesimales, y el cálculo de probabilidades.Alrededor del año 1636 Apolonio comienza sus estudios en geometría analítica, descubriendo el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". Con esto después formulo e identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 como la hipérbola, parábola, circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicaron rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores.A nivel de los métodos integrales, la mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la integración definida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver.En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvían por los métodos más diversos, Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de recursos de resolución de estos problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación.La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes... Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Walis, Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz, y Euler.El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de variaciones.El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actualIntroducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J. Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas.Este es el desarrollo las matemáticas han obtenido desde que el hombre vio la necesidad de contar, hasta nuestros días. Actualmente gran cantidad de matemáticos siguen en el desarrollo de las matemáticas denominadas matemáticas modernas, de donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias actuales.Tomado de: www.monografías.comEn la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert expuso sus teorías. Hilbert era catedrático en Gotinga, el hogar académico de Gauss y Riemann, y había contribuido de forma sustancial en casi todas las ramas de las matemáticas, desde su clásico Fundamentos de la geometría (1899) a su Fundamentos de la matemática en colaboración con otros autores. La conferencia de Hilbert en París consistió en un repaso a 23 problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que empezaba. Estos problemas, de hecho, han estimulado gran parte de los trabajos matemáticos del siglo XX, y cada vez que aparecen noticias de que otro de los “problemas de Hilbert” ha sido resuelto, la comunidad matemática internacional espera los detalles con impaciencia.A pesar de la importancia que han tenido estos problemas, un hecho que Hilbert no pudo imaginar fue la invención del ordenador o computadora digital programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el siglo XVII, fue Charles Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una lista de instrucciones (programa) escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage sobrepasó la tecnología de su tiempo, y no fue hasta la invención del relé, la válvula de vacío y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se hizo realidad. Este avance ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se ha convertido en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro colores propuestos a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países limítrofes deben tener distintos colores. Este teorema fue demostrado en 1976 utilizando una computadora de gran capacidad de cálculo en la Universidad de Illinois (Estados Unidos).El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.
MATEMÁTICAS EN EL IMPERIO CHINO
En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en 212 A.C. que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la China ancestral.
Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 A.C. el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (véase Secuencia del Rey Wen).
La obra más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista, hacia el 330 A.C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas.
Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 AC - 220 D.C.) produjo obras matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La más importante de estas es Las nueve lecciones sobre arte matemático, cuyo título completo apareció hacia el 179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo un comentario de la obra hacia el siglo III D.C.
En resumen, las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 D.C.) contenían una formulación para pi también, la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi para encontrar volúmenes esféricos. Estaban también los trabajos escritos del matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 A.C.); mediante el uso de la coma pitagórica, Jing observó que 53 quintas justas se aproximan a 31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculado con tanta precisión hasta que en el siglo XVII lo hiciese el alemán Nicholas Mercator.
Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui (1238–1398 D.C.).
Fueron varios los factores que condujeron a que durante un largo período de tiempo el desarrollo de las matemáticas en China fuera independiente al de otras civilizaciones. Su particular orografía, con mares y montañas como fronteras naturales, aislaba al país. Por otra parte, cuando China era invadida, la cultura de los invasores extranjeros resultaba asimilada y no sucedía a la inversa. La consecuencia fue un continuo y aislado desarrollo cultural en China desde el año 1000 A.C. Resulta fascinante seguir el rumbo de las matemáticas dentro de esa civilización. Encontraremos varios períodos de rápido avance, ciertos períodos en los que se mantuvo un cierto nivel y algunos otros de declive. Lo primero que se debe entender sobre las antiguas matemáticas chinas es el modo en el que éstas se diferencian de las matemáticas griegas. Al contrario que en las matemáticas helenas, no hay desarrollo axiomático. El concepto chino de prueba matemática es radicalmente diferente al de los griegos; aunque no por ello debe menospreciarse. Más bien tenemos que maravillarnos por su acercamiento y por los resultados a los que condujo. La matemática china era, al igual que su lengua, extremadamente concisa. Estaba basada en problemas; motivada por problemas en el calendario, en los negocios, en la medida de las tierras, en la arquitectura, en los archivos gubernamentales y en los impuestos. Alrededor del siglo IV A.C. se empleaban los ábacos para calcular, lo que significa que se usaba un sistema numérico decimal. Merece la pena destacar que los ábacos son únicamente chinos y no parecen haber sido utilizados por ninguna otra civilización. Nuestro conocimiento de las matemáticas chinas antes del 100 es muy limitado a pesar del descubrimiento en 1984 del Suan shu shu (Un libro de aritmética), un texto fechado en los alrededores del año 180 A.C. Está escrito en tiras de bambú y se encontró cerca de Jiangling, en la provincia de Hubei. Los siguientes libros en importancia de los que tenemos conocimiento son el trabajo de dieciséis capítulos Suanshu (Recetas de conteo) escrito por Du Zhong y el texto de veintiséis capítulos Xu Shang suanshu (Recetas de conteo de Xu Shang) escrito por Xu Shang. Ninguno de ellos ha sobrevivido y poco sabemos de su contenido. El texto más antiguo que se conserva en su totalidad es el Zhoubi suanjing (Manual de relojes de Sol de Zhou) compilado entre los años 100 A.C. y 100 D.C. Es un texto de astronomía que muestra cómo medir las posiciones de los cuerpos celestes utilizando relojes de Sol llamados también gnomones, pero contiene importantes secciones de matemáticas. Proporciona una clara información sobre la naturaleza de las matemáticas chinas en este período El método de cálculo es muy simple de explicar pero tiene una amplia aplicación. Esto es porque una persona gana conocimiento mediante la analogía, esto es: tras la comprensión de una línea particular de argumentación se pueden inferir varios tipos de razonamientos similares. Cualquiera puede inferir sobre otros casos para generalizar. en realidad sabe como calcular ser capaz de deducir y después generalizar es la marca que identifica a una persona inteligente. El Zhoubi suanjing contiene una descripción de la regla de Gougu (la versión china del Teorema de Pitágoras) y la aplica a la vigilancia, astronomía, y otras materias. Aunque es ampliamente aceptado que el trabajo contiene una prueba del Teorema de Pitágoras, Cullen lo discute, afirmando que esta creencia se basa en un error de traducción de Needham. De hecho, gran parte de las matemáticas chinas de este período proceden de la necesidad de calcular el calendario y predecir las posiciones de los cuerpos celestes. La palabra china choren se refiere tanto a matemáticos como a astrónomos mostrando la cercanía que había entre las dos áreas. Un primitivo choren fue Luoxia Hong (aproximadamente entre el 130 a. de C. y el 70 A.C.) que creó un calendario basado en un ciclo de 19 años. El libro chino sobre matemáticas más famoso de todos los tiempos es el Jiuzhang suanshu o, como se le llama de forma común: Nueve capítulos del arte matemático. El libro contiene contribuciones matemáticas añadidas durante un largo período y queda poco del texto original como para poder identificar a que época pertenece cada una de ellas. Muchos desarrollos posteriores se hicieron mediante comentarios a este texto; uno de los primeros, perdido en la actualidad, fue el de Xu Yue (alrededor del 160 - alrededor del 227). Liu Hui (alrededor del 220 - alrededor del 280) hizo un importante avance matemático en un comentario al Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del arte matemático alrededor del 263. Dong y Yao escriben:
Liu Hui, gran matemático de la dinastía Wei Jin Dynasty, apareció en una época de teorización matemática en la antigua China, y contribuyó de gran manera a la materia. Entre el 'Jiu Zhang Suan Shu Zhu' y el 'Hai Dao Suan Jing' es posible ver que Liu Hui hizo un hábil uso del pensamiento en imágenes al igual que en forma lógica y dialéctica. Resolvió muchos problemas matemáticos, llevando su razonamiento matemático más allá de la dialéctica. Liu Hui proporcionó un acercamiento más matemático que los textos chinos primitivos, creando principios en los cuales se basaron sus cálculos. Encontró aproximaciones al uso de polígonos regulares con 3 × 2n lados inscritos en un círculo. Su mejor aproximación de lo que era 3,14159 la obtuvo de un polígono regular de 3072 lados. Está claro que comprendía el proceso iterativo y la noción de límite. Liu escribió también Haidao suanjing o Manual de matemáticas de la isla marina fue originariamente un apéndice a su comentario al capítulo 9 de los Nueve capítulos del arte matemático. En él, Liu emplea el Teorema de Pitágoras para calcular la altura de objetos y la distancia a esos objetos que no se pueden medir directamente. Este fue uno de los principales temas de las matemáticas chinas. Unos cincuenta años después de las importantes contribuciones de Liu, se hizo un importante avance en el campo de la astronomía cuando Yu Xi descubrió la precisión de los equinoccios. En matemáticas pasó tiempo antes de que los matemáticos consiguieran superar la profundidad conseguida por Liu Hui. Por ejemplo, Sun Zi (alrededor del 400 - alrededor del 460) escribió su manual matemático, Sunzi suanjing que realmente incluía pocas novedades. Sin embargo contiene un problema resuelto mediante el teorema chino del residuo, conocido como la más temprana ocurrencia de este tipo de problema. Este texto de Sun Zi fue el primero de una serie en los siguientes doscientos años que hicieron un importante número de contribuciones. Xiahou Yang (alrededor del 400 - alrededor del 470) se supone fue el autor del Xiahou Yang suanjing (Manual matemático de Xiahou Yang) que contiene representaciones de números en notación decimal usando potencias de diez positivas y negativas. Zhang Qiujian (alrededor del 430 - alrededor del 490) escribió su texto matemático Zhang Qiujian suanjing (Manual matemático de Zhang Qiujian) en algún momento entre el 468 y el 486. Sus 92 problemas ilustran la fórmula para sumar una progresión aritmética. Su fama viene de presentar el problema 'de las cien gallinas', un problema indeterminado con tres soluciones no triviales. Uno de los avances más significativos vino de Zu Chongzhi (429-501) y de su hijo Zu Geng (alrededor del 450 - alrededor del 520). Zu Chongzhi fue un astrónomo que hizo observaciones precisas que utilizó para crear un nuevo calendario, el Tam-ing (Calendario de la gran luz), basado en un ciclo de 391 años. Escribió el Zhui shu (Método de interpolación) en el que demostró que 3,1415926 < π < 3,1415927. Recomendó utilizar 355/113 como buena aproximación y 22/7 en un trabajo menos exacto. Con su hijo Zu Geng calculó la fórmula para el volumen de la esfera usando el Principio de Cavalieri. Los comienzos del álgebra china se ven en el trabajo de Wang Xiaotong (alrededor del 580 - alrededor del 640). Escribió el Jigu suanjing (Continuación de las matemáticas antiguas), un texto con 20 problemas que más tarde se convertiría en uno de los Diez clásicos. Resolvía ecuaciones cúbicas extendiendo un algoritmo para encontrar raíces al cubo. Su trabajo es considerado como un primer paso hacia el tian yuan o 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' de Li Zhi para cálculos con polinómios. La interpolación fue una herramienta muy importante en astronomía y Liu Zhuo (544-610) fue un astrónomo que introdujo la interpolación cuadrática con un método de diferencia de segundo orden. La astronomía china no era totalmente independiente de los desarrollos que tenían lugar en India y las matemáticas también se veían influidas en cierta medida por los trabajos matemáticos indios, ya que algunos fueron traducidos al chino. Hoy en día los historiadores discuten sobre la influencia de las matemáticas indias, árabes e islámicas sobre la China. Es fácil decir que su influencia fue menor de la que debía haber sido, ya que los chinos parecían tener pocos deseos en aceptar otros acercamientos a las matemáticas. La trigonometría temprana era descrita en algunos textos indios que fueron traducidos y también hubo algo de desarrollo de trigonometría en China. Por ejemplo Yi Xing (683-727) creó una tabla de tangentes. Desde el siglo VI las matemáticas se enseñaban como parte del curso para convertirse en funcionario. Li Chunfeng (602 - 670) fue recomendado como editor jefe para una colección de tratados matemáticos que se usarían para ese curso, muchos de ellos ya los hemos mencionado antes. La colección hoy día se denomina los Diez clásicos, un nombre que se le dio en 1084. El período entre los siglos X al XII vio pocos avances y no se conserva ningún trabajo matemático de la época. Sin embargo Jia Xian (alrededor del 1010 - alrededor del 1070) hizo algunas contribuciones importantes que sólo conocemos a través de los textos de Yang Hui, ya que sus escritos se han perdido. Mejoró métodos para encontrar raíces cuadradas y cúbicas, y extendió el método a la solución numérica de ecuaciones polinómicas calculando potencias de sumas utilizando coeficientes de binomios construidos con el triángulo de Pascal. Aunque Shen Kua (1031 - 1095) hizo pocas contribuciones a las matemáticas, produjo importantes resultados en muchas áreas y es visto como el primer científico. Escribió el Meng ch'i pi t'an (Charlas del libro de los sueños) que contiene muchas observaciones científicas acertadas. El siguiente gran avance matemático fue el de Qin Jiushao (1202 - 1261) que escribió el famoso tratado Shushu Jiuzhang (Tratado matemático en nueve secciones) que apareció en 1247. Fue el primero de los grandes matemáticos chinos del siglo XIII. Durante este período las matemáticas alcanzaran nuevas cimas. El tratado contiene un gran trabajo del teorema chino de los restos, proporciona una ecuación cuyos coeficientes son variables y, entre otros resultados, la formula de Heron para el área del triángulo. Las ecuaciones de hasta grado diez son resueltas mediante el método Ruffini-Horner. Li Zhi (llamado también Li Yeh) (1192-1279) fue el siguiente de los grandes matemáticos del siglo XIII. Su trabajo más famoso es el Ce yuan hai ping (Espejo marino de medidas del círculo). Escrito en 1248 contiene el tian yuan o 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste', un método para trabajar con ecuaciones polinómicas. También escribió el Yi gu yan duan (Nuevos pasos en conteo) en 1259, un trabajo más elemental que contiene problemas geométricos resueltos mediante el álgebra. La siguiente gran figura de esta era dorada de la matemática china fue Yang Hui (alrededor del 1238 - alrededor del 1298). Escribió el Xiangjie jiuzhang suanfa (Análisis detallado de las reglas matemáticas en nueve capítulos y sus reclasificaciones) en 1261, y sus otros trabajos se recogen en el Yang Hui suanfa (Método de conteo de Yang Hui) aparecido en 1275. Describió la multiplicación, la división, la extracción de raíces, las ecuaciones cuadráticas y simultáneas, las series, el cálculo de áreas de un rectángulo, un trapecio, un círculo, y otras figuras. También proporcionó una maravillosa cantidad de cuadrados y círculos mágicos. Guo Shoujing (1231-1316), aunque no incluido habitualmente entre los grandes matemáticos del siglo XIII, hizo también importantes contribuciones. Creó el Shou shi li (Calendario de días y trabajos), trabajó en trigonometría esférica y resolvió ecuaciones empleando el método numérico de Ruffini-Horner. También desarrolló una fórmula de interpolación cúbica para tabular la diferencia acumulada como en el método de interpolación de Newton. El último de los matemáticos de esta era dorada fue Zhu Shijie (alrededor del 1260 - alrededor del 1320), escribió el Suanxue qimeng (Introducción a los estudios matemáticos) publicado en 1299, y el Siyuan yujian (Reflexiones verdaderas de los cuatro desconocidos) publicado en 1303. Usó una extensión del 'método de arreglos de coeficientes' o 'método de la incógnita celeste' para manejar polinomios con hasta cuatro incógnitas. También produjo muchos resultados en las sumas de series. Esto representa el punto más álgido en las matemáticas de la antigua China. El declive de las matemáticas chinas a partir del siglo XIV no resultó especialmente dramático. Los Nueve capítulos del arte matemático continuaron como modelo para la enseñanza matemática y continuaron apareciendo nuevos trabajos basados es ese texto. Fueron los matemáticos chinos los que no permitieron que su tradición fuera reemplazada por la matemática occidental. Por ejemplo Li Shanlan (1811-1882) fue un importante traductor de libros de ciencia occidentales, pero es más conocido por sus propias contribuciones matemáticas. Produjo sus propias versiones de logaritmos, series infinitas y combinatorias que no seguían el estilo de las matemáticas occidentales sino que estaban basadas en los fundamentos de las matemáticas chinas. Hubo muchos más esfuerzos para promover las matemáticas chinas y en particular un diario matemático, el Suanxue bao, inició su andadura en 1899. Sus editores escribieron:
Los métodos occidentales no deberían ser adulados y los chinos despreciados.
Los matemáticos occidentales comenzaron a enseñar en China a comienzos del siglo XX. Por ejemplo Knopp lo hizo entre 1910 y 1917 y Turnbull entre 1911 y 1915. Los estudiantes chinos comenzaron a estudiar matemáticas en el extranjero y en 1917 Minfu Tah Hu obtuvo su doctorado en Harvard. China fue representada por primera vez en el Congreso internacional de matemáticos de Zürich en 1932. La Sociedad matemática China se fundó en 1935. Tomado de:
http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo_4032_un_viaje_por_historia_las_matematicas_china.htm
Si bien algunos testimonios permiten opinar que durante la época védica (1500 a 1000 A.C.) y brahmánica (siglo V) existió en la India una ciencia matemática, no obstante fue durante la época clásica (siglos I al VIII) cuando los matemáticos hindúes llegaron a la madurez.Con anterioridad a este período, los hindúes tuvieron algún contacto con el mundo griego. La marcha de Alejandro Magno sobre la India tuvo lugar durante el siglo IV. Por otra parte, la expansión del budismo en China y la del mundo árabe multiplicaron los puntos de contacto de la India con el exterior. Sin embargo, las matemáticas hindúes se desenvolvieron en un plano original, apoyándose más en el cálculo numérico que en el rigor deductivo.El mundo les debe el invento trascendental de la notación posicional empleando la cifra cero como valor nulo. Utilizaron, como en occidente, un sistema de numeración de base 10 (con diez dígitos). Los Antiguos mayas también utilizaron los cero (siglos IV al VII). Egipcios, griegos y romanos, aunque utilizaban un sistema decimal, no era posicional, ni poseía el cero, que fue transmitido a occidente mucho más tarde, por los árabes, a través de la España e Italia medievales. Las múltiples ventajas prácticas y teóricas del sistema de «notación posicional con cero» dieron el impulso definitivo a todo el desarrollo ulterior de las matemáticas.El sistema de numeración decimal aparece ya en el Süryasiddhanta, pequeño tratado que data probablemente del siglo VI y parece que no es muy anterior a éste. Los trabajos matemáticos de los hindúes se incorporaron en general a las obras astronómicas. Este es el caso de Aryabhata, nacido hacia 476, y de Brahmagupta, nacido hacia 598. Mucho más tarde (hacia 1150), Bhaskara escribió un tratado de aritmética en el que exponía el procedimiento de cálculo de las raíces cuadradas. Se trata de una teoría de las ecuaciones de primer y segundo grado, no en forma geométrica, como lo hacían los griegos, sino en una forma que se puede llamar "algebraica".El carácter operacional de la matemáticas hindúes iba a la par con una concepción general del número irracional, pero abierta de un modo natural al negativo, con lo cual podían tomar en consideración los dos signos de la raíz cuadrada y las dos soluciones de la ecuación de segundo grado; así quedó abierto el camino del álgebra formal, seguido posteriormente por los árabes.Obtenido de: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_en_la_IndiaHISTORIA DE LA NUMERACIÓN EN LA INDIAEl ingenioso método de expresar cada número posible utilizando un conjunto de diez símbolos (cada uno de ellos con un valor en su posición y un valor absoluto), surgió en la India. La idea parece hoy en día tan simple que su significado y profundidad no son apreciados en su justa medida. Su simplicidad subyace en el modo en el que facilitó el cálculo y colocó la aritmética en la primera posición entre las invenciones más útiles. La importancia del invento se aprecia con más facilidad cuando se considera que estaba mucho más allá que las ideas de dos de los mayores hombres de la antigüedad, Arquímedes y Apolonio. Lo verdaderamente sorprende de los numerales hindúes es el sistema de lugares y valores (posición-valor), que parecen tan simple que su significado y profunda importancia no es apreciada en todo su valor. Se debe apuntar el hecho, que los sistemas numerales hindúes están basados en base 10, en oposición a los babilónicos que estaban en base 60.Comenzando con los propios numerales, se sabe con certeza que los símbolos empleados hoy día son similares a los que se tenían en Europa en el siglo XV. Fue el avance de la imprenta lo que provocó la estandarización de esos símbolos. Una de las fuentes de información más importantes de los numerales hindúes procede de Al-Biruni. Durante la década de 1020, Al-Biruni visitó varias veces La India. Antes de ir allí ya sabía algo de la astronomía y las matemáticas indias gracias a las traducciones árabes de algunos textos sánscritos. Hizo un estudio detallado de la filosofía hindú y analizó varias ramas de las ciencias y las matemáticas indias. Al-Biruni escribió 27 trabajos sobre India y sobre diferentes áreas de su ciencia. En particular su recopilación sobre la astronomía india y sus matemáticas fue una valiosa contribución al estudio de la ciencia en India. Es razonable preguntarse dónde se originaron los diferentes símbolos para los números que vio Al Biruni. Los historiadores les siguen la pista hasta los numerales Brahmi que comenzaron a aparecer alrededor de la mitad del siglo III A. C. Estos numerales Brahmi no eran sólo símbolos para los números entre el 1 y el 9. La situación es mucho más complicada porque no eran un sistema de colocación según su valor (posición-valor) sino que eran símbolos usados para describir otros muchos números. Existen diferentes teorías concernientes al origen de los numerales que se emplean hoy en día:• Los numerales Brahmi proceden de la cultura del valle del Indo de alrededor del año 2000 A. C. • Los numerales Brahmi proceden de los numerales arameos. • Los numerales Brahmi proceden del alfabeto Karoshthi. • Los numerales Brahmi proceden del alfabeto Brahmi. • Los numerales Brahmi proceden de un alfabeto numeral temprano posiblemente debido a Panini. • Los numerales Brahmi proceden de Egipto.Ifrah examina todas y cada una de las seis hipótesis por turno y las rechaza, aunque hay que reconocer que en algunos casos se debe más bien a la falta de evidencias positivas que por falta de ellas. Ifrah propone su propia teoría: Los primeros nueve numerales Brahmi son los vestigios de una notación numérica indígena, en la que los nueve numerales estaban representados por su correspondiente número de líneas verticales... para hacer que los numerales pudieran escribirse de forma rápida estos grupos de líneas evolucionaron de forma similar a como lo hicieron los numerales del Egipto faraónico. Teniendo en cuenta el material en el que se escribía en la India (corteza de árbol u hojas de palmera) y las limitaciones de los instrumentos de escritura (cálamo o pinceles), la forma de los numerales se convirtió en algo muy complejo con numerosas uniones, hasta que perdieron cualquier parecido con los símbolos prototípicos.Si se examina la vía que lleva de los numerales Brahmi a los símbolos presentes (ignorando los otros muchos sistemas que evolucionaron a partir de ellos), el siguiente paso serían los símbolos Gupta. El período Gupta se llama así porque durante esos años la dinastía Gupta gobernaba en el estado de Magadha situado al noreste de la India. Fue entre los primeros años del siglo IV A. C. y los últimos del siglo VI A. C. Los numerales Gupta se desarrollaron a partir de los numerales Brahmi y se extendieron por grandes áreas del imperio Gupta según aumentaba el tamaño de su territorio.Los numerales Gupta se transformaron en los numerales Nagari, llamados también algunas veces numerales Devnagari. Estas formas evolucionadas de los numerales Gupta comenzaron a verse alrededor del siglo VII A. C. y continuaron hasta el siglo XI y más allá. Literalmente su nombre significa 'escritura de los dioses' y estaban considerados como los más bellos. Por ejemplo, Al-Biruni escribe: Lo que nosotros (los árabes) usamos como numerales es una selección de los mejores y más regulares números hindúes. Estos 'números más regulares' a los que se refiere Al-Biruni son los numerales Nagari que habían sido transmitidos en aquella época al mundo árabe. La forma en la que los numerales hindúes se transmitieron entre los siglos VII al XVI, sin embargo, Gupta dice que los numerales hindúes habrían alcanzado el sur de Europa a finales del siglo V; pero su argumento se basa en la 'Geometría' de Boecio que ahora se sabe procede de la primera mitad del siglo XI. Parece muy poco probable que los numerales hindúes alcanzaran Europa tan temprano como sugiere Gupta. El segundo aspecto del sistema numeral indio, es decir, el hecho de que era un sistema de valor relativo a su posición en el que los numerales tenían diferentes valores dependiendo de su posición relativa con otros numerales. Se debe destacar que los hindúes no fueron los primeros en desarrollar tal sistema. Los babilonios tenían un sistema de posición-valor tan temprano como en el siglo XIX A. C. pero este sistema estaba en base 60. Los hindúes fueron los primeros en desarrollar un sistema posicional en base 10 y considerando lo que hicieron los babilonios, éste surgió de forma muy tardía. Queda, por supuesto, la pregunta de por qué los hindúes desarrollaron tan ingenioso sistema mientras que los antiguos griegos, por ejemplo, no lo hicieron. Se ha intentado explicar mediante varias teorías. Algunos historiadores creen que el sistema de posición-valor en base 60 babilonios se transmitió a los hindúes a través de los griegos. La teoría plantea que estas ideas fueron transmitidas a los hindúes quienes entonces las combinaron con su propio sistema numeral en base 10 que había existido en la India durante largo tiempo. Una segunda hipótesis es que la idea de posición-valor en los sistemas numerales hindúes procede de los chinos. En particular, los chinos tenían varas numéricas con valor pseudo-posicional que, según algunos, se convirtieron en la base del sistema posicional indio. Una tercera hipótesis es que la posición-valor en los sistemas numerales hindúes es algo que fue desarrollado exclusivamente por los propios hindúes. Tiene una interesante teoría sobre el por qué los hindúes llegaron a ese desarrollo. La razón, según Joseph, se debe a la fascinación india por los números grandes. Freudenthal es otro historiador de las matemáticas que apoya la teoría de que la idea es enteramente india. HISTORIA DEL CEROLo primero que hay que decir sobre el cero es que hay dos usos para el cero, ambos extremadamente importantes, pero algo distintos. Un uso es como indicador de lugar vacío en el sistema numérico de valor por posición. Así pues, en un número como 2106, el cero es usado para que las posiciones del 2 y del 1 sean correctas. Claramente 216 significa algo bastante distinto. El segundo uso del cero es como un número en sí mismo, en la forma que lo usamos como 0. Hay también otros aspectos distintos del cero en estos dos usos, a saber, el concepto, la notación y el nombre. (El nombre “cero” deriva del árabe sifr el cual también nos da la palabra 'cifra'.) Ninguno de los usos de arriba tiene una fácil descripción histórica. No sucedió que alguien inventó las ideas y entonces todo el mundo comenzó a usarlos. También es justo decir que el número cero está lejos de ser un concepto intuitivo. Los problemas matemáticos comenzaron como problemas “reales” más que como problemas abstractos. Los números en los primeros momentos de la historia eran concebidos de una forma mucho más concreta que los abstractos conceptos que son los números de hoy. Se podría pensar que una vez que aparece un sistema numérico de valor por posición entonces el 0 como indicador de posición vacía es una idea necesaria, aunque los babilonios tuvieron un sistema numérico de valor por posición sin esta característica durante 1000 años. Además no hay ninguna evidencia de que los babilonios sintiesen que había algún problema con la ambigüedad que existía. Extraordinariamente, sobrevivieron textos originales de la época de los matemáticos babilonios. Los babilonios escribían en tablas de arcilla sin cocer, usando escritura cuneiforme. Los símbolos se escribían en las tablas de arcilla blanda con el afilado ángulo de una aguja y por esto tienen una forma de cuña (de aquí el nombre de cuneiforme). Sobreviven muchas tablas de alrededor del año 1700 A. C. y podemos leer los textos originales. Por supuesto su notación numérica era bastante distinta de la actual (y no en base 10 sino en base 60) pero la traducción al sistema de notación no distinguiría entre el 2106 y el 216 En una tabla encontrada en Kish, una antigua ciudad de Mesopotamia situada al Este de Babilonia en lo que hoy sería la parte centro-sur de Irak, se usó una notación distinta. Esta tabla, que se piensa que data del 700 A. C., usa tres ganchos para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Otras tablas que datan más o menos de la misma época usan un solo gancho para un lugar vacío. Esta es una característica común para este de uso diferentes marcas para denotar una posición vacía. Es un hecho que nunca tuvo lugar al final de los dígitos sino siempre entre dos de ellos. Por lo que, aunque encontramos 21”6, nunca encontramos 216”. Se debe suponer que los antiguos sentían que el contexto era suficiente para indicar lo que se pretendía aún en estos casos. Si la referencia al contexto te parece absurda, entonces es necesario hacer notar que nosotros aún usamos el contexto para interpretar los números hoy. Si tomas el autobús a una ciudad cercana y preguntas cuánto cuesta, si la respuesta es 'Son tres cincuenta' significa 3 libras y cincuenta peniques. Si la misma respuesta se da para una pregunta sobre el precio de un vuelo de Edimburgo a Nueva York entonces sé que lo que se intenta decir son trescientas cincuenta libras. Podemos ver de esto que el primer uso del cero para denotar un espacio vacío no es en realidad un uso del cero como número después de todo, sino meramente el uso de algún tipo de signo de puntuación para que los números tengan una interpretación correcta. Los antiguos griegos comenzaron sus contribuciones a las matemáticas sobre la época en la que el cero como indicador de posición vacía empezaba a usarse por los matemáticos babilonios. Los griegos sin embargo no adoptaron un sistema numérico posicional. Merece la pena pensar lo significativo que es este hecho. ¿Cómo podían con los brillantes avances matemáticos de los griegos no verlos adoptar un sistema numérico con las ventajas del sistema de valor por posición que poseían los babilonios? La verdadera respuesta a esta pregunta es más sutil que la simple respuesta que vamos a dar, pero básicamente los logros matemáticos griegos estaban basados en la geometría. Aunque los Elementos de Euclides contenían un libro sobre Teoría Numérica, este estaba basado en la geometría. En otras palabras, los matemáticos griegos no necesitaban nombrar los números dado que trabajaban con números como longitudes de una línea. Los números que requerían ser nombrados eran usados por los mercaderes, no los matemáticos, y de aquí que no necesitasen una notación clara. Aunque existieron excepciones a lo que hemos afirmado. Las excepciones fueron los matemáticos que estaban involucrados en el registro de datos astronómicos. Aquí encontramos el primer uso del símbolo que hoy reconocemos para el cero, los astrónomos griegos comenzaron a usar el símbolo O. Hay muchas teorías acerca de por qué se usó este símbolo en particular. Algunos historiadores están a favor de la explicación de que es omicrón, la primera letra de la palabra griega para nada, es decir “ouden”. Neugebauer, sin embargo, descarta esta explicación dado que los griegos ya usaban omicrón como un número – representaba el 70 (el sistema numérico de los griegos estaba basado en su alfabeto). Otra explicación ofrecida incluye el hecho de que significa “obol”, una moneda sin casi valor, y que surge cuando se usaban fichas para contar en una tabla de arena. La sugerencia aquí es que cuando se eliminaba una ficha para dejar una columna vacía el hueco en la arena parecía un O. Ptolomeo en el Almagest, escrito alrededor del 130 D.C., usó el sistema babilónico sexagesimal junto con el parámetro de vacío O. En esta época Ptolomeo usaba el símbolo tanto entre dígitos como al final del número y uno estaría tentado a creer que al menos el cero como parámetro vacío se había establecido con firmeza. Esto, sin embargo, está lejos de lo que sucedió. Solo unos pocos astrónomos excepcionales usaron la notación y cayeron en desuso varias veces antes de establecerse finalmente. La idea del lugar cero (ciertamente no concebido como un número por Ptolomeo quien aún lo consideraba un signo de puntuación) hace su siguiente aparición entre los matemáticos indios. La escena ahora se mueve a la India donde es junto decir que nacieron los números y los sistemas numéricos, los cuales evolucionaron en los sistemas altamente sofisticados que usamos hoy. Por supuesto, no hace falta decir que el sistema indio debía algo a los sistemas previos y muchos de los historiadores de las matemáticas creen que el uso indio del cero evolucionó del usado por los astrónomos griegos. Así como algunos historiadores parecen querer quitar importancia a la contribución de los indios de una forma poco razonable, hay también quienes afirman que los indios inventaron el cero, lo que me parece ir demasiado lejos. Por ejemplo Mukherjee en afirma:- El concepto matemático del cero estaba presente también en la forma espiritual desde hace 17000 años en la India. Lo cierto es que alrededor del año 650 d. C. el uso del cero entró en la matemática india. Los indios usaron también un sistema de valor por posición y el cero se usaba para denotar un lugar vacío. De hecho, hay evidencias de un parámetro de lugar vacío en números posicionales desde tan pronto como el 200 d. C. en la India pero algunos historiadores rechazan estas como falsificaciones posteriores. Vamos a examinar este último uso primero ya que a partir de aquí continua el desarrollo descrito arriba. Alrededor del 500 d. C. Aryabhata ideó un sistema numérico que no tenía aún el cero y que era un sistema posicional. Usó la palabra 'kha' para la posición y sería usado más tarde como nombre para el cero. Hay pruebas de que se había usado el punto en los primeros manuscritos indios para denotar un espacio vacío en la notación posicional. Es interesante que los mismo documentos a veces también usan un punto para denotar algo desconocido donde nosotros usaríamos x. Posteriores matemáticos indios han nombrado el cero en números posicionales pero aún no tenían un símbolo para el mismo. El primero registro del uso indio del cero datado y sobre el que todos están de acuerdo en que es genuino fue escrito en el año 876.Tenemos una inscripción en una tabla de piedra la cual contiene una fecha que se traduce por 876. La inscripción concierne a la ciudad de Gwalior, 400 Km. al Sur de Delhi, donde se plantaron unos jardines de 187 por 270 hasta el cual podría producir suficientes flores para permitir que se dieran 50 guirnaldas al día a los empleados del templo local. Ambos números, 270 y 50 están anotados casi como los de hoy aunque el 0 es menor y ligeramente elevado. Podemos considerar ahora la primera aparición del cero como número. Déjanos primero apuntar que este no es un candidato natural para número en cierto sentido. Desde los inicios, los números son palabras para referirnos a colecciones de objetos. Ciertamente la idea de número se convierte en más y más abstracta y esta abstracción hace posible la consideración del cero y de los números negativos, los cuales no habían surgido como propiedades de las colecciones de objetos. Por supuesto el problema que surge cuando se intenta considerar el cero y los números negativos es cómo interactúan respecto a las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). En tres importantes libros, los matemáticos indios Brahmagupta, Mahavira y Bhaskara intentaron dar respuesta a estas preguntas. Brahmagupta intentó dar las reglas para la aritmética teniendo en cuenta el cero y los números negativos en el siglo séptimo. Explicó que, dado un número, si lo restas a sí mismo obtienes el cero. Dio las siguientes reglas para la suma que implicaban al cero:- La suma de cero y un número negativo, es negativo, la suma de un número positivo y cero es positivo, la suma de cero y cero es cero. La resta es un poco más compleja:-Un número negativo restado de cero es positivo, un número positivo restado de cero es negativo, cero restado de un número negativo es negativo, cero restado de un número positivo es positivo, cero restado de cero es cero.Brahmagupta entonces dice que cualquier número multiplicado por cero es cero pero tiene una dificultad con la división:- Un número positivo o negativo cuando es dividido por cero es una fracción con cero como denominador. Cero dividido por un número positivo o negativo es o cero o expresado como fracción el cero como numerador y una cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero. En verdad Brahmagupta está diciendo muy poco cuando sugiere que n dividida por 0 es n/0. Claramente tiene un problema con esto. Ciertamente está equivocado cuando afirma que cero dividido por cero es cero. Sin embargo es un intento brillante por parte de la primera persona que sabemos que intentó extender la aritmética a los números negativos y el cero. En 830, alrededor de 200 años después de que Brahmagupta escribiese su obra maestra, Mahavira escribió Ganita Sara Samgraha que fue diseñado como una actualización del libro de Brahmagupta. Afirma correctamente que:- Un número multiplicado por cero es cero, y un número permanece igual si se le resta cero. Sin embargo sus intentos de mejorar las afirmaciones de Brahmagupta sobre la división por cero parecen llevarle al error. Escribe:- Un número permanece sin cambio cuando es dividido por cero. Dado que esto es claramente incorrecto, mi uso de las palabras “parecen llevarle al error” podrían parecer confusas. La razón de esta frase es que algunos comentarios sobre Mahavira han intentado encontrar excusas para esta afirmación incorrecta. Bhaskara escribió unos 500 años después de Brahmagupta. A pesar del paso del tiempo aún sigue con problemas para explicar la división por cero. Escribe:- Una cantidad dividida por cero se convierte en una fracción cuyo denominador es igual a cero. Esta fracción tiene como valor una cantidad infinita. En esta cantidad en la cual cero es el divisor, no hay alteración aunque se sumen o se resten muchos; así como no tuvieron lugar cambios en el infinito e inmutable Dios cuando se crean o se destruyen los mundos, aunque numerosos órdenes de seres sean absorbidos o creados. Publicado por
LAS MATEMÁTICAS EN EL IMPERIO ÁRABE
LAS MATEMÁTICAS EN EL IMPERIO ÁRABETomado de youtube.com (06-06-2010, 17:00 horas)Mahoma nace en La Meca hacia el año 570. Durante sus viajes comerciales conduciendo caravanas, Mahoma se convirtió en un líder religioso y militar y llegó a formar un estado mahometano cuya capital era La Meca. Se expandió en pocos años, llegando a conquistar Damasco, Jerusalem y la mayor parte del valle mesopotámico. En el año 641 fue conquistada Alejandría, el centro matemático del mundo durante casi mil años. Los árabes que tenían su centro en Bagdad, la convirtieron en el centro mundial del desarrollo de la matemática. Durante la segunda mitad del siglo VIII se produce el despertar cultural del Islam. Sabios de Siria, Irán y Mesopotamia son llamados a Bagdad, incluidos judíos y cristianos, llegando esta ciudad a convertirse en una nueva Alejandría. Durante el califato de Al-Mamum (809-833) se traducen al árabe las obras griegas (el Almagesto de Ptolomeo, los Elementos de Euclides...) que se obtienen del Imperio Bizantino, con el que se mantenía una paz precaria. En esta época se funda en Bagdad la Casa de la Sabiduría", comparable al antiguo Museo de Alejandría. Esta especie de Universidad contaba con un matemático y astrónomo llamado Al-Khowarizmi (850), cuyo nombre se hará tan popular como el de Euclides durante la Baja Edad Media. Escribió varios libros de astronomía y matemáticas, las primeras de las cuales estaban basadas en obras procedentes de la India. Uno de sus libros de aritmética hace una exposición completa del sistema de numeración hindú, que es la posible causa de que se extendiera la idea falsa de que nuestro sistema de numeración es de origen árabe. Este sistema terminó llamándose algoritmo o algorismo, palabra derivada del nombre de Al-Khowarizmi. Actualmente este término se usa para referirse a cualquier procedimiento operativo para resolver un problema. La obra más importante de Al-Khowarizmi, el Al-jabr wa’l muqabalah", fue el libro del que aprendió más tarde Europa el álgebra, denominación obviamente derivada del título de dicho libro. Se suele considerar a Diofanto padre del álgebra, pero este título se le aplica mejor a Al-Khowarizmi, a pesar de que su nivel es más elemental y presenta un grado de simbolismo menor (escribe los números con palabras, en lugar de con símbolos numerales). Pero está más cerca del álgebra elemental moderna por su exposición sistemática y su argumentación lógica de las premisas a la conclusión. La palabra al-jabr significa probablemente restauración o completación y parece referirse a la transposición de términos que están restados al otro miembro de la ecuación, sumándolos.La influencia árabe en España, mucho después de la época en que vivió Al-Khowarizmi, se pone de manifiesto en el Quijote, donde la palabra algebrista se usa para denominar a un curandero que arregla las articulaciones óseas desajustadas (es decir, un restaurador).Sobre los orígenes de la matemática árabe, existen tres versiones: una pone el énfasis en las influencias hindúes, otra subraya la tradición mesopotámica o sirio-persa, y la tercera apunta hacia una inspiración griega. Lo más seguro es que su sistema de numeración proviene de la India, su estilo sistemático de Mesopotamia, y el marco geométrico y lógico con que justifican sus sistema tiene su origen evidente en Grecia. Los filósofos árabes admiraban a Aristóteles hasta el punto de imitarlo sin rubor, pero los matemáticos árabes, más eclécticos, parecen haber tomado los elementos más adecuados en cada momento de diversas fuentes.El Al-jabr wa’l muqabalah" de Al-Khowarizmi fue para el álgebra lo que los Elementos de Euclides para la geometría. Es decir, la mejor exposición elemental disponible hasta los tiempos modernos. Sólo presentaba un defecto serio que debía ser corregido: sustituir su notación retórica por una notación simbólica, más apropiada para el pensamiento matemático. Esto nunca lo llegaron a conseguir los árabes.La primera mitad del siglo XI fue un período muy brillante en la historia de la cultura árabe. http://www.uhu.es/candido.pineiro/historia/arabe.pdf Tomado de youtube.com (06-06-2010, 18:30 horas)LAS MATEMÁTICAS EN EL MUNDO ISLÁMICOEl legado árabe en matemáticas fue también, como en otras ciencias, bastante notorio. Sin embargo, hay que destacar que durante el primer siglo del imperio musulmán no se produjo ningún desarrollo científico importante, ya que los árabes no habían conseguido el suficiente impulso intelectual, además del escaso interés por el conocimiento y la cultura en el resto del mundo entonces conocido. Fue tras su expansión por Europa y África cuando se dedicaron a incorporar a su propia ciencia los resultados de otras culturas (babilonios, egipcios, griegos, indios...), destacando la gran labor desarrollada en la traducción al árabe de obras antiguas, algunas de las cuales se conservan gracias a ellos.Dos libros griegos fueron fundamentales para la civilización islámica: "El Almagesto" (Ptolomeo), sobre Astronomía, y "Los Elementos" (Euclides), acerca de la Geometría. El primero les enseñaba a orientarse por las estrellas y el segundo, a hacer dibujos que señalasen la dirección de La Meca desde cualquier parte de la Tierra. Así, las Matemáticas fueron las ciencias más necesarias e importante en el Islam desde un primer momento. Los musulmanes las estudiaron y dominaron como pocos pueblos, llegando a convertir la Geometría en el lenguaje gráfico para representar a su Dios y al Reino de los Cielos de una forma abstracta mediante el uso de formas geométricas. Así dejaron grandes avances, que se reseñarán brevemente a continuación.ARITMÉTICAEl sistema de numeración decimal actual, denominado arábigo (aunque procedente de la India), fue conocido gracias a la labor de Al-Khwarizmi, que escribió hacia el año 820 el primer tratado completo sobre el empleo de los numerales hindúes. Este "nuevo" sistema de numeración fue conocido como "el de Al-Khwarizmi" y, a través de deformaciones lingüísticas, derivó en "algorismi" y después en algoritmo.Las fracciones. Los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales.Un matemático importante fue Al-Khashi, nacido en Irán en 1390. Además de sus escritos sobre álgebra y geometría, fue considerado como el inventor de las fracciones decimales. También calculó el número pi hasta llegar a 17 decimales. Después de más de 150 años, en 1593, en Europa se encontraron sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir su cálculo.En el siglo XII, el matemático persa Omar Khayyam (también poeta y astrónomo) generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior.ÁLGEBRAAlgunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon una gran variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Destaca un nombre propio, Mohammed ibn-Musa Al-Khwarizmi, padre de esta rama matemática. Era un persa de Bagdad, nacido en el siglo VIII, que escribió más de media docena de obras matemáticas y astronómicas. Del titulo de su obra más importante, “Hisab al-jabr wa-al-muqabala” (El cálculo de integración y ecuación), deriva la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos. Una traducción latina de la misma apareció en Europa en el siglo XII. A principios del s. XIII apareció la nueva álgebra en los escritos del famoso matemático italiano Leonardo Fibonacci.En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la Edad Media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio.Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de cálculo y algoritmos especiales:A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra.Al-Karayi completó el álgebra de los polinomios incluso con infinito número de términos.Cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue también enunciada la tabla de coeficientes binomiales.Extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal.Sumación de progresiones aritméticas y geométricas.Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, el límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse, ampliándose la concepción de número real positivo.Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV incluían también la resolución de ecuaciones cúbicas. A estas últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados... Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas se basaba en la obtención de la imagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones cónicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta época era la ausencia de una simbología, lo que contuvo su desarrollo.GEOMETRÍALos musulmanes se basaron en los descubrimientos de otras culturas (egipcios, hebreos y griegos), de las que tradujeron y mejoraron sus conocimientos, para aplicarlos en el diseño y construcción de diversos mecanismos: molinos, norias, sistemas de captación de agua, armas de guerra, etc. También se utilizó para el arte, con hermosos diseños geométricos. Geómetras como Ibrahim Ibn Sinan continuaron las investigaciones griegas (Euclides, Arquímedes...) sobre áreas y volúmenes. Kamal Al-Din y otros aplicaron la teoría de las cónicas a la resolución de problemas de óptica.TRIGONOMETRÍALa trigonometría, rama que estudia el plano y los triángulos esféricos, es también de creación musulmana. Funciones trigonométricas tales como seno y coseno, tangente y cotangente fueron bastante desarrolladas. En relación con los problemas de astronomía, confeccionaron tablas de las funciones trigonométricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tanto en trigonometría plana como esférica. Habas Al-Hasib y Al-Tusi crearon trigonometrías plana y esférica que no se convirtieron en disciplinas matemáticas en Occidente hasta 1533.Nasir Al-Din Al-Tusi (1201-1274) es considerado como el padre de esta rama, siendo su principal contribución la de conferirle el rango de nueva disciplina matemática.En Al-Andalus el estudio de las matemáticas tuvo también gran auge. Maslama Al-Majriti (siglo X) escribió varios trabajos, estudió y elaboró la traducción al árabe del “Almagesto” de Ptolomeo, y amplió y corrigió él mismo las tablas astronómicas de Al-Khwarizmi.Al-Zarqali, conocido también como Arzachel, fue otro destacado matemático y astrónomo que emergió en la Córdoba del siglo XI. Combinó conocimientos teóricos con destreza técnica, brillando en la construcción de instrumentos de precisión para uso astronómico, y compiló valiosas tablas de latitud y longitud. Publicado por
LAS MATEMÁTICAS EN EL IMPERIO ROMANO
El interés de los romanos fue ante todo utilitario, razón por la cual no le dieron mucha importancia al desarrollo de las ciencias. Aunque reconquistaron tanto el imperio griego, el egipcio y el babilónico, mostraron poco interés por los conocimientos matemáticos alcanzados por esas culturas a excepción de algunos que les fueron útiles ya fuera en la ingeniería o en la medición de las tierras.Las matemáticas romanas fueron muy simples y se limitaron a su aplicación en cuestiones a los que ellos le dieron mucha importancia como el comercio y la agrimensura. Los emperadores romanos nunca dieron apoyo para el desarrollo de las mismas.Otro atenuante para el pobre desarrollo de las matemáticas en el imperio romano fue el florecimiento del cristianismo; pues este prohibía el aprendizaje del griego, se realizaron muchas acciones que buscaban destruir esa cultura, lógicamente en esa persecución no solamente se afectó la arquitectura´, con ella también perecieron muchos paganos matemáticos y se quemaron manuscritos donde estaban consignados los grandes adelantos que los griegos habían logrado alcanzar. También al conquistar el imperio egipcio se provocó el incendio de la biblioteca Alejandría donde se quemaron más de un millón de manuscritos, convirtiendo en cenizas gran parte de los adelantos matemáticos logrados por ese floreciente imperio.En el imperio romano puede considerarse que existián tres tipos distintos de instrucción: El superior al que solo podían acceder las élites de la sociedad, en este nivel existía alguna profundización en el estudio de las matemáticas. El segundo nivel donde se adquirían conocimientos aritméticos empleados en la administración y finalmente el tercero con conocimientos mínimos para la población rural y urbana de menor estrato social. Publicado por
LAS MATEMÁTICAS EN LA ANTIGUA GRECIANo podría hablarse de la historia de las matemáticas sin mencionar la enorme influencia que tuvo el pueblo griego en los albores de esta ciencia. Son tan numerosos como importantes los filósofos y matemáticos que aportaron estudios y conocimientos en esta magna rama del saber y han pasado a la historia nombres como Tales, Pitágoras, Euclides y Arquímedes por nombrar apenas algunos de los más destacados representantes y gestores de las matemáticas griegas.Son los griegos quienes con sus aportes logran que las matemáticas alcancen su madurez como ciencia aventajando a muchas otras en cientos de años; para la época logran un cuerpo y reflexión teórica muy importantes, alcanzando una estructura que perdurará a lo largo de la historia, los postulados de los matemáticos griegos se continúan estudiando en la actualidad.A pesar de que se habían logrado avances considerables de épocas anteriores (egipcios y babilonios); su estudio fue meramente enfocado hacia lo práctico, como medir, calcular, construir. Los griegos en cambio se preocuparon por reflexionar sobre la naturaleza de los números y sobre la naturaleza de los objetos matemáticos. Convirtieron a las matemáticas en una ciencia racional y estructurada con teoremas demostrables.El aporte de los griegos a las matemáticas es considerado como el mayor avance de esta ciencia desde la prehistoria hastael renacimiento.Tales de Mileto, hacia el año 600 A.C., fue el primero en desarrollar estudios científicos sobre la geometría; se le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento lógico.Posteriormente Pitágoras funda la escuela pitagórica a quies se les atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, entre ellos la demostración del célebre teorema que lleva su nombre. También clasificaron las matemáticas en cuatro grandes ramas: la aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica.Tuvo notoria relevancia la Escuela de Alejandría, a la cabeza de Euclides, uno de los matemáticos más influyentes en la historia, publicó su obra titulada Tratado de los Elementos, cuyo contenido ha sido la base para grandes tratados sobre matemáticas; su aporte fue fundamental en el campo de la geometría, ciencia de la cual es considerado como el padre.Igualmente hizo enormes aportes Arquímedes, el mayor matemático de la antiguedad, se le atribuye el cálculo de PI, por aproximaciones sucesivas, la determinación del volúmen del cilindro y la esfera, la cuadratura del segmento de la parábola; fue el precursor de la mecánica y el cálculo integral.Finalmente, en los comienzos de la era cristiana surge un nuevo periodo de florecimiento con la Segunda Escuela de Alejandría, se destacan Nicomán, Tolomeo, Diafanito y Pappus entre otros.Luego viene el decaimiento del imperio, los romanos se preocuparon poco por la profundización de los logros alcanzados por los griegos y fueron los arabes quienes se encargaron de recoger el testimonio de esta deslumbrante cultura. Publicado por
LAS MATEMÁTICAS EN EL ANTIGUO EGIPTO Tomado de Youtube26-may-2010Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipción como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el imperio árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 A.C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. El papiro de Rhind (hacia 1650 A.C.) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica y armónica; y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6. El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series aritméticas y series geométricas.Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: (1) primero y más importante, cómo obtener una aproximación de π con un error menor del 1%; (2) segundo, un antiguo intento de cuadrar el círculo; y (3) tercero, el uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 A.C. muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación cuadrática.Tomado de http://www.matematicascreativas.com/Martes 11-May-2010 9:30 PM

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