Source: http://mates5y6.blogspot.com/p/problemas-marco-teorico.html
Timestamp: 2019-04-19 08:18:44+00:00

Document:
Matemáticas divertidas: Problemas: marco teórico
A menudo cuando tratamos de la resolución de problemas, nos viene a la cabeza la imagen de la mera aplicación de una fórmula o algoritmo de manera continuada para poder encontrar la solución numérica al mismo. De esta manera, captando la técnica, podemos completar la resolución de cantidades ingentes de páginas escritas con problemas para solucionar, hasta haber cogido el hábito.
Este proceso presenta varias dificultades. La primera es no saber qué nos está diciendo el problema, es decir, qué nos pide y su significado: no podemos saber si la respuesta es posible o bien si la solución numérica es una barbaridad. No estamos entendiendo el problema. La segunda es que tampoco sabemos qué estamos haciendo, más que aplicar una serie de números, conceptos aprendidos de memoria, y contemplando qué soluciones se pueden obtener.
Como maestros del Área de Primaria y tal como se señala en la LOE, debemos desarrollar en los alumnos una serie de competencias numéricas para que el alumno pueda desenvolverse adecuadamente en el mundo que le rodea. Dado el desarrollo psicológico de los alumnos así como el carácter obligatorio de la enseñanza, debemos entender que nuestra tarea trata de llevar a cabo una alfabetización matemática, para lo que no sólo debe circunscribirse a una sola enseñanza numérica y algorítmica sino de una serie de procedimientos, de conceptos y actitudes –todos ellos configuran la perspectiva matemática- que luego deberían poder aplicar a diversos ámbitos de conocimiento.
Por todo ello , se van a seleccionar bloques de contenidos condicionados por el entorno del alumnado y ajustados al desarrollo personal del alumnado. Se hace necesario partir de lo concreto (material didáctico, contextos reales, simulaciones, etc.) para establecer relaciones entre las observaciones y los conceptos nuevos. Es importante la expresión oral, y escrita, en el caso de la matemática en forma de gráficos o símbolos (números y algoritmos) pero en un contexto determinado con diversas propiedades . Se intentará, para ello, ofrecer nuevos conocimientos matemáticos a través de aquellos temas que ya se conocen para descubrir las regularidades que se dan las matemáticas –conocimientos en espiral a partir de la base conocida-.
También considero importante la comunicación entre los alumnos y alumnas tanto de los resultados, los descubrimientos, dudas e incertidumbres, sus errores, acerca de lo que se trabaje o bien se vaya descubriendo. Todo ello, además de mostrar el avance del aprendizaje del alumnado, también permite a éste verbalizar el error, explicar en qué falla de todo la estructura del aprendizaje, porque al actuar de este modo, el problema puede ser compartido y explicado por un compañero o bien al contarlo uno darse cuenta de los errores cometidos.
Los procedimientos son muy importantes en la Etapa Primaria porque gracias a ellos se garantiza la comprensión, expresión y aplicación posterior de los conceptos aprendidos. Además, a través de los procedimientos se permite que el alumno se enfrente a situaciones nuevas de manea eficaz. Estos procedimientos adquiridos permitirán al alumno dirigir sus tareas, tomando sus propias decisiones y analizando los resultados, aunque no de forma inmediata ni tampoco exclusivamente en el área matemática.
En este apartado son importantes los siguientes aspectos:
• Observación: “se considera observación el hecho de prestar atención a un objeto o situación para obtener información. Esta acción no ha de permitir identificar la situación y describir los elementos, identificar los cambios producidos relacionando los datos obtenidos con otras experiencias previas” (Alsina, pág. 98).
Para poder conseguir esta atención hace falta provocar su interés o que tengan intención de conocer. Para ello será necesario encontrar situaciones que tengan interés y sean realizables en la propia aula –o simular en ella-.
Para captar la atención y que el profesor “no abuse de la explicación” es necesaria la participación del alumno, que describirá el objeto de atención, de sus elementos, etc. para poder llevarse una imagen mental.
Otra estrategia es hacer recoger información al alumno acerca de objetos que posteriormente se van a estudiar en el aula .
• Manipulación: la manipulación táctil de elementos ayuda al aprendizaje de relaciones cuantitativas, métricas y espaciales aunque sea de forma muy primitiva en esta etapa. La manipulación como procedimiento de aprendizaje debe combinarse con la observación, resolución de problemas, comunicación tanto de resultados como de hipótesis de trabajo, etc.
Para trabajar la manipulación deben usarse diversos objetos y situaciones según el concepto o conceptos que queramos enseñar. En nuestro caso, usaremos nuestro propio ábaco realizado a partir de papel, termómetros, cintas métricas, reglas, regletas, etc.
• Experimentación: La diferencia con la observación radica en que en este procedimiento permite la introducción voluntaria de cambios en las situaciones o en los objetos estudiados.
• Relación: No se debe pensar que únicamente a partir de definiciones o representaciones se lleven a cabo las relaciones con el medio u otros conocimientos. El conocimiento de los alumnos en la etapa primaria debe seguir una progresión y aplicabilidad en muchos casos –ejemplos- que el alumno no es capaz de establecer de manera inmediata.
Un tipo de relación importante que se verá en el transcurso de la presente unidad didáctica es la relación cuantitativa, es decir las relaciones aditivas entre números (centenas, decenas, unidades, décimas y centésimas), que se irán resolviendo mediante la ayuda del material manipulativo citado anteriormente para terminar mediante la expresión simbólica del número y el valor posicional de las cifras.
• Estimación y tanteo. La estimación se refiere a la valoración de una operación o medida en función de la situación en la que se encuentra el alumno. Para ello debe tenerse en cuenta la información que se posee desde el punto de partida del alumno y el seguimiento de los pasos a seguir hasta llegar a un resultado.
Debo repetir que en nuestros alumnos podemos encontrar planteamientos correctos tanto de las operaciones como de las medidas a realizar y encontrarnos con errores en el cálculo –que una calculadora podría realizar correctamente-. Por tanto debemos separar los diversos procedimientos respecto a la realización, en este caso, de un problema.
Para la resolución de ciertos problemas o cálculos, el alumno debe aprender a tantear, es decir, a no partir de una solución adecuada pero tener los recursos necesarios para poder comprobar sus hipótesis de cálculo: “(…) el tanteo constituye un método de análisis que facilita la elaboración de un plan de resolución y también es un método de resolución correcto (…)” e incluso para algunos alumnos será el único procedimiento de resolución de los mismos. Además, el tanteo “(…) es un procedimiento de verificación, y su práctica sistemática refuerza el hábito de comprobación de las soluciones” ya que es un método de demostración del resultado y de la coherencia del mismo con su búsqueda inicial.
• Uso de los lenguajes matemáticos. El lenguaje matemático es un tipo de lenguaje diverso del lenguaje natural, así como la música o el arte posee su propia estructura y referencias concretas.
El lenguaje matemático está formado por símbolos, signos y términos con su propia gramática y referencia . Por ejemplo, “tres” puede significar unidad, decena, centena, centésima o bien décima; luego en la suma no es idéntico significado al sumar números decimales que enteros o fraccionarios: pero en todos ellos se da alguna relación con los conocimientos adquiridos.
En este ámbito también es necesario que el alumno sea capaz de relacionar las diversas representaciones de los conceptos matemáticos, es decir, objetos, gráficos, dibujos, símbolos etc.
Creo que para entender el marco de todo esta reflexión merece la pena guiarse por la misma ley (Decreto de Educación de Andalucía): “(…) la Matemática debe presentarse a los alumnos más como un proceso de búsqueda, de ensayos y errores, que persigue la fundamentación de sus métodos y la construcción de significados a través de la resolución de problemas, que como un cuerpo de conocimientos definitivamente organizado y acabado. (…). No se trata de transmitir la ciencia matemática como cuerpo estructurado de conocimientos en su último estado de formulación. Tampoco debe limitarse este aprendizaje al conocimiento de técnicas y adquisición de destrezas para la realización de operaciones según modelos algorítmicos. (…) Se posibilitarán múltiples experiencias matemáticas, se invitará a la reflexión sobre ellas, al uso contextualizado de los algoritmos y símbolos ya establecidos, a las distintas formas de representación... Se priorizarán, por tanto las formas empíricas e inductivas de apropiación del conocimiento, para ir posteriormente de forma progresiva hacia la formalización deductiva propia”
A continuación expongo la aplicación de un procedimiento de resolución de problemas aplicado a los números decimales.
Propuesta de resolución de problemas:
En esta propuesta se trata de mostrar un guión de práctica en clase acerca de cómo acometer no tan sólo los pasos a seguir sino tanto la metodología o camino a seguir, primero con el profesor, para que posteriormente el alumno adquiera autónomamente este procedimiento.
Acompañamos la siguiente propuesta con un ejemplo concreto: “Juan va a comprarse ropa. En una tienda (A) los pantalones cuestan 30€, una camisa 20,70 € y unos zapatos 50,45€. En la siguiente tienda (B), los pantalones valen 25,56€, la camisa 30,60 € y los zapatos 45,56€. Por último, en la tienda (C) la camisa cuesta 34,45 €, los pantalones junto los zapatos en una oferta de 30 €. ¿qué tienda es más barata si compro toda la ropa? Si pudiera comprar cada objeto en una tienda diferente, ¿dónde compraría cada complemento?”
Para realizar el siguiente problema se siguió la distribución de la clase en seis mesas grandes. Y en cada paso, los alumnos discutían entre sí las posibilidades, así como las dudas o preguntas al respecto.
1ª fase. Comprensión del problema: Leer tranquilamente el enunciado hasta estar seguro de haberlo entendido completamente.
• Se debe leer el enunciado
• ¿Cuáles son los datos?
• ¿Qué nos preguntan? ¿Qué buscamos?
• Buscamos relaciones entre los datos y lo que buscamos
• Si se puede, se podría hacer un dibujo o esquema de la situación. Se debe procurar que los problemas se conviertan en acciones para los alumnos.
Los alumnos en nuestro problema planteado descubrieron enseguida los datos, apuntando los precios de cada complemento de ropa y la tienda donde se encontraban. A continuación por la misma estructura del problema se vio que habían dos preguntas diferentes, por tanto, decidimos separar los dos problemas.
En este primer paso no se trata de averiguar cómo solucionarlo ni de ver el posible camino. Tan sólo se trata de hacer una mera descripción del mismo. Tampoco se necesita introducir aun ningún algoritmo, como mucho escribir los números y a qué corresponden.
2ª fase. Concepción de un plan. Cuando ya se está seguro de haber comprendido el problema y se cree que se ha recabado toda la información necesaria para la resolución del mismo, hace falta adoptar una estrategia, planificar las acciones que se llevarán a cabo. Puede servir de ayuda el plantear las siguientes preguntas:
• ¿Hemos resuelto algún problema similar?
• ¿Se puede plantear el problema de alguna otra forma?
• Plantear un problema similar pero más sencillo. El dividir la dificultad en problemas simples puede servir de ayuda.
• ¿Se utilizan todos los datos en el plan previsto?
• ¿Para qué sirven los datos que aparecen en el enunciado?
• ¿Qué puede calcularse a partir de los datos?
• ¿Qué operaciones vamos a utilizar y en qué orden vamos a proceder?
En la discusión para resolver nuestro problema, se vieron similitudes con problemas de suma de cantidades para comprar, de distancias entre ciudades para realizar un viaje. Por tanto, en las dos partes del problema debe utilizarse la suma.
Ahora bien, en la segunda parte, nos encontramos con la dificultad de que nos faltan datos porque en una tienda los datos aparecen agrupados (pantalones y zapatos) por lo que sólo podremos comparar la compra de camisa.
Es muy importante enunciar la planificación por escrito, de forma clara, simplificada y secuenciada. Servirá, además de para controlar el proceso de resolución por parte del alumno, para que el profesor conozca el pensamiento matemático desarrollado durante la ejecución de la tarea.
Puede ser muy útil en esta fase acompañar las explicaciones con algún material manipulativo que muestre el proceso. Como he dicho antes, la resolución de problemas debe ir acompañada de una acción. Además, esta modelización del proceso debe ser verbalizado, acompañado por las explicaciones pertinentes del alumno.
Es importante tomar nota de los métodos que usan los alumnos porque en estos procesos se puede detectar si la dificultad del alumno radica en la comprensión de la operación o bien en la aplicación del algoritmo concreto al problema.
3ª fase. Ejecución del plan: Consiste en la puesta en práctica de cada uno de los pasos diseñados en la planificación. Es necesaria una comunicación y una justificación de las acciones seguidas: “primero calculo…, después…, por último… hasta llegar a la solución”. Esta fase concluye con una expresión clara y contextualizada de la respuesta obtenida.
Puede suceder que nuestra planificación no resuelva el problema, pero para ello no podemos abandonar al primer intento. Si vemos que con diversas tentativas el problema no se ha podido resolver, es necesario cambiar la estrategia de ejecución.
Hay que tener en cuenta que hay diversas estrategias para resolver un mismo problema.
Si hemos conseguido la resolución del problema, hace falta verificar el resultado y el proceso seguido. En esta fase hace falta contrastar nuestros resultados con las siguientes cuestiones:
• Se deben contrastar todos los pasos seguidos para ver si se ha seguido correctamente el proceso
• ¿Es correcto cada paso que se ha seguido o hay algún error de cálculo, de planteamiento de la cuestión, etc.?
• Se debe acompañar cada operación matemática con una explicación del proceso elaborado y su finalidad
• Cuando se realicen cálculos hace falta anotarlos todos
• Cuando parece que llegamos a un callejón sin salida, hace falta volver atrás y recomenzar el camino trazado para detectar o bien los errores cometidos o bien para corroborar nuestra estrategia.
Para realizar los cálculos se usa la calculadora. Opté por este instrumento porque no me interesaba particularmente el algoritmo, sino el planteamiento de la situación y los pasos a seguir. Eso sí, antes de usar la calculadora era necesario escribir y anotar qué se estaba calculando y porqué.
Es muy importante en esta fase el paso del lenguaje propio o “natural” del alumno y sus correspondientes explicaciones al lenguaje matemático y su gramática. De esta manera el alumno será capaz de visualizar los referentes en cada caso de un lenguaje natural a una acción concreta. Pero no sólo hace falta realizar los cálculos abstractos, sino que en la exposición de los resultados hace falta ver qué relación tiene con la realidad –su lógica interna- pero también su formulación en cosas concretas: “José mide 4,5 cm más que Pedro”.
4ª fase. Visión retrospectiva. Un problema no termina cuando se ha hallado la solución. La finalidad de la resolución de problemas es aprender durante el desarrollo del proceso, y este termina cuando ya no puede aprender más de esa situación. Para ello es preciso:
• Contrastar el resultado obtenido para saber si efectivamente da una respuesta válida a la situación planteada.
• El resultado obtenido, ¿es lógico?
• ¿Se puede comprobar la solución? ¿A qué consecuencias se llega o qué aplicaciones prácticas se encuentran? (si las hay)
• ¿Se puede llegar a alguna otra solución? ¿Es válida o lógica?
• La solución debe acompañarse de una explicación del resultado
• Si es posible, tanto el resultado como el procedimiento usado deberían poder ser aplicados a otros problemas.
• ¿Se puede simplificar el proceso a seguir para este tipo de problemas?
• Reflexionar sobre si se podía haber llegado a esa solución por otras vías, utilizando otros razonamientos.
• Decir si durante el proceso se han producido bloqueos y cómo se ha logrado avanzar a partir de ellos.
• Descartes: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que utilicé para resolver nuevos problemas”
Es necesario verbalizar los procesos que se dan interiormente. De esta manera, podremos conocer, por un lado, la forma de razonar y proceder, actuar... de los alumnos y, por otro, tener acceso a una serie de lagunas o malas interpretaciones referidas a contenidos conceptuales o procedimentales, que a veces es difícil detectar. Los niños deben verbalizar en lenguaje y estilo propio el problema, tanto los enunciados como la cuestión a resolver; no se trata que memoricen y reciten el enunciado sino que lo comprendan y lo digan con lenguaje propio. Será una forma de que los niños interioricen el mensaje del problema y de que vayan adquiriendo la habilidad de releer con detenimiento lo que dice y pide el problema, de que reflexionen sobre el enunciado. Un problema generalizado es que los niños no están acostumbrados a leer-reflexionar el problema, rápidamente pasan a plantear las operaciones correspondientes, haciéndolo muchas veces por ensayo y error y esperando la pista que aporte el profesor.
Algunos artículos en http://es.wikipedia.org
En el sitio web http://www.juntadeandalucia.es/averroes/publicaciones/, concretamente las publicaciones:
http://www.gap-system.org/~history/Indexes/Hist_Topics_alph.html
ALSINA, C.; BURGUÉS, C; FORTUNY, J.M; GIMÉNEZ, J; TORRA, M. Enseñar matemáticas. Ediciones Graó, Barcelona, 1996
BILLSTEIN, R. ; LIBESKIND, SH. ; LOTT, J.W. « A problem solving approach to Mathematics for elementary school teachers ». Pearson, New York, 2004.
CENTENO PÉREZ, J. “Números decimales: ¿por qué?, ¿para qué?” (véase la bibliografía). Madrid, Síntesis, 1988.
URIONDO, J.L. Matemáticas : números decimales y operaciones. Proyecto Albanta. Alhambra Longman, Madrid 1994
--/--. “Matemáticas. Libro de Recursos”. Proyecto Albanta. Alhambra Longman, Madrid 1994
BECKMANN, S. “Mathematics for elementary teachers – volume 1 Numbers and operations” Addison Wesley (pearson), 2003.
LONG, C.T; DETEMPLE, D.W; “Mathematical reasoning for elementary teachers”. Pearson 2003.
MATEMÁTICAS. EDUCACIÓN PRIMARIA: “Materiales curriculares para la Educación Primaria” III. Segundo ciclo. Ediciones Edelvives. Grupo Cero (Valencia).

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución