Source: https://es.scribd.com/doc/185386442/Prado-C-D-et-al-Precalculo-Enfoque-de-resolucion-de-problemas-PEARSON
Timestamp: 2015-11-24 22:34:26+00:00

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P. 1Prado, C.D. (et al.) - Precálculo. Enfoque de resolución de problemas (PEARSON)Prado, C.D. (et al.) - Precálculo. Enfoque de resolución de problemas (PEARSON)|Views: 1.449|Likes: 0Publicado porpilili01More info:Published by: pilili01 on Nov 19, 2013Copyright:Attribution Non-commercialAvailability:Read on Scribd mobile: iPhone, iPad and Android.download as PDF, TXT or read online from ScribdFlag for inappropriate content|Agregar a la colecciónSee moreSee lesshttps://es.scribd.com/doc/185386442/Prado-C-D-et-al-Precalculo-Enfoque-de-resolucion-de-problemas-PEARSON06/03/2014pdftextoriginalSectionsEl lenguaje de conjuntosDiagramas de VennCardinalidad de conjuntosProbabilidad de eventosProductos notables o especiales2.2 FactorizaciónFactorización por agrupamiento y el máximo común divisorFactorización de trinomios cuadrados perfectosFactorización de otros productos notablesFactorización de trinomios cuadrados de la forma ax22.3 División de expresiones
algebraicasDivisión de expresiones algebraicasDivisión sintética2.4 Simplificación, multiplicación y división de fracciones
algebraicasDominio de una fracción algebraicaSimplificación de expresiones racionalesMultiplicación y división de fracciones algebraicas2.5 Suma y resta de fracciones
algebraicasMínimo común denominador de una suma
o resta de fraccionesSuma y resta de fraccionesFracciones complejas2.6 Exponentes enterosExponentes enteros2.7 Exponentes fraccionarios
y radicalesRadicales2.8 Números complejosEl conjunto de los números complejosOperaciones con números complejos3.1 Ecuaciones linealesEcuación lineal3.2 Sistemas
de ecuaciones linealesEcuaciones lineales con varias variablesSistema de ecuaciones lineales con dos incógnitasMétodos de soluciónTipos de soluciónSistema de ecuaciones lineales con tres incógnitasProblemas que conducen a sistemas de ecuaciones3.3 Ecuaciones cuadráticas
y con radicalesEcuaciones cuadráticasLa fórmula generalEcuaciones con radicales3.4 Ecuaciones polinomialesFunciones polinomialesResolución y factorización de una ecuación polinomialLas posibles raíces de una función polinomialDefinición de las relaciones <,>,≤,≥y notación de intervalosEjemplos sobre las definiciones de desigualdadesEjemplos sobre intervalosPropiedades de las desigualdadesEjemplo de la demostración de una propiedadSolución de desigualdadesResolución de problemas que involucran desigualdades4.2 Valor absolutoDefinición de distancia entre dos puntos de
una recta numérica realValor absoluto en ecuaciones y desigualdadesAlgunas propiedades del valor absolutoÁngulosMedida en grados y en radianesConversión de grados a radianes y viceversaLongitud de un arco circular y el área de un sector circular5.2 Funciones trigonométricasDefinición de las funciones trigonométricas5.3 Funciones trigonométricas
de ángulos especialesManejo de ángulos especiales:0°,±90°,±180°Funciones trigonométricas de triángulos rectángulosManejo de ángulos especiales:±30°,±60°,±45°Identidades de paridad5.4 Identidades fundamentalesIdentidades fundamentales o básicasDemostración de otras identidadesLíneas paralelas y líneas perpendicularesGráfica de sistemas de desigualdades linealesDistancia de un punto a una recta6.2 CircunferenciaEcuaciones de la circunferenciaParábolaElipseMás sobre elipsesHipérbolaAsíntotas,hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas7.1 Conceptos básicos
de funcionesConcepto de funciónFormas de representación para una funciónEfectos geométricos en la gráfica de una funciónPlanteamiento matemático de relaciones funcionales7.3 La función linealLa función linealCrecimiento y decrecimientoModelación de funciones lineales7.4 La función cuadráticaAnálisis de la gráfica de una función cuadráticaModelación de problemas que dan lugar
a una función cuadrática7.5 Funciones que forman
parte de una cónicaGraficación de funcionesAnálisis de crecimiento y decrecimientoModelación de problemasGraficación de funciones seccionadasFunciones potencialesMáximos y mínimos de funciones polinomialesFunciones racionalesFunciones trigonométricasOtras funciones trigonométricasLas funciones trigonométricas inversas
Esta obra ha sido escrita para cubrir las matemáticas uni-
versitarias previas al Cálculo,y su objetivo es presentar y
discutir conceptos que ayuden posteriormente a com-
prender las ideas fundamentales del Cálculo Diferencial
Con este texto el alumno podrá desarrollar sus habili-
dades matemáticas hasta el grado de que pueda
plantear estrategias y resolver problemas utilizando las
herramientas básicas que proporciona el texto.Por esto
nuestra propuesta didáctica se basa en aprender
matemáticas mediante la solución de situaciones reales
o simuladas,esto surge como resultado de la experien-
cia de los autores en la enseñanza de las matemáticas
En forma paralela hemos incorporado prácticas de
exploración computacional que utilizan el paquete
Excel.Dichas prácticas tienen dos objetivos,el primero es
que los conceptos matemáticos se exploren utilizando
tecnología y,el segundo,que la herramienta sirva para
resolver problemas más complejos.
Definitiva 12/05/2006 22:29 Page 1
Doctor en Ciencias en Matemática Educativa
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología,Instituto Politécnico Nacional (CICATA-IPN)
Director del Departamento de Físico Matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Ciencias
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,Campus San Luis Potosí
Eudaldo Rubio Güemes
Carlos Daniel Prado Pérez
Rubén Dario Santiago Acosta
Gerardo Pioquinto Aguilar Sánchez
Araceli Florido Segoviano
e-mail:enrique.quintanar@pearsoned.com
Diseño de interiores y portada:Kariza,S. A. de C.V.
PRIMERA EDICIÓN,2006
D.R. ©2006 por Pearson Educación de México,S.A. de C.V.
53519,Naucalpan de Juárez,Estado de México
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ISBN 970-26-0671-3
PRADO, SANTIAGO, AGUILAR, RODRÍGUEZ,
QUEZADA, GÓMEZ, RUIZ y FLORIDO
Precálculo. Enfoque de resolución de problemas
ISBN: 970-26-0671-3
1.1El lenguaje de conjuntos
El lenguaje de conjuntos
1.2Problemas de conteo
2.1Productos notables
Productos notables o especiales
2.2Factorización
Factorización por agrupamiento y el máximo común divisor
Factorización de otros productos notables
Factorización de trinomios cuadrados de la forma ax2
+ bx+ c
2.3División de expresiones algebraicas
2.4Simplificación,multiplicación y división de fracciones algebraicas
Dominio de una fracción algebraica
2.5Suma y resta de fracciones algebraicas
Mínimo común denominador de una suma o resta de fracciones
2.6Exponentes enteros
2.7Exponentes fraccionarios y radicales
2.8Números complejos
3.1Ecuaciones lineales
3.2Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones lineales con varias variables
Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas
Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones
3.3Ecuaciones cuadráticas y con radicales
3.4Ecuaciones polinomiales
Resolución y factorización de una ecuación polinomial
Las posibles raíces de una función polinomial
4.1Desigualdades
Definición de las relaciones < ,>, ≤, ≥y notación de intervalos
Ejemplos sobre las definiciones de desigualdades
Ejemplos sobre intervalos
Ejemplo de la demostración de una propiedad
Solución de desigualdades
Resolución de problemas que involucran desigualdades
4.2Valor absoluto
Ejemplos de la aplicación del concepto de valor absoluto
de un número real
Definición de distancia entre dos puntos de una recta numérica real
Ejemplos de cómo determinar la distancia entre dos puntos en
la recta numérica real
Algunas propiedades del valor absoluto
5.1Ángulos
Medida en grados y en radianes
Longitud de un arco circular y el área de un sector circular
5.2Funciones trigonométricas
5.3Funciones trigonométricas de ángulos especiales
Manejo de ángulos especiales:0°,±90°,±180°
Funciones trigonométricas de triángulos rectángulos
Manejo de ángulos especiales:±30°,±60°,±45°
Identidades de paridad
5.4Identidades fundamentales
Identidades fundamentales o básicas
Demostración de otras identidades
6.1Recta
Líneas rectas:ecuación,gráfica,pendiente,intersecciones
Líneas paralelas y líneas perpendiculares
Gráfica de sistemas de desigualdades lineales
6.2Circunferencia
Circunferencias,circunferencias degeneradas y circunferencias
6.3Parábola
6.4Elipse
Más sobre elipses
6.5Hipérbola
Asíntotas,hipérbolas degeneradas y gráficas de hipérbolas
7.1Conceptos básicos de funciones
Variable dependiente,variable independiente,dominio e imagen
Formas de representación para una función
Efectos geométricos en la gráfica de una función
7.2Modelación
Planteamiento matemático de relaciones funcionales
7.3La función lineal
Modelación de funciones lineales
7.4La función cuadrática
Análisis de la gráfica de una función cuadrática
Modelación de problemas que dan lugar a una función cuadrática
7.5Funciones que forman parte de una cónica
Análisis de crecimiento y decrecimiento
Graficación de funciones seccionadas
7.6Funciones polinomiales
Máximos y mínimos de funciones polinomiales
7.7Funciones racionales
7.8Funciones trigonométricas
El siglo que ahora vivimos se caracteriza,entre diversas cualidades,por cambios que
ocurren en todos los ámbitos del quehacer humano. El advenimiento de las tecnologías
de información está transformando nuestras vidas de manera inusitada al darnos grandes
posibilidades de acceso a información y,sobre todo,de interacción con personas de to-
dos los lugares del mundo.
Las computadoras que se desarrollaron inicialmente con finalidades de cómputo se
han transformado adicionalmente en poderosos instrumentos de comunicación,organi-
zación y acceso a información,provocando que la rapidez de los cambios se esté acele-
rando,por lo que saber hacer frente a esta dinámica situación constituye ahora un factor
clave para el éxito en la vida.
Para dar respuesta al creciente cúmulo de información,y lograr transformarla en co-
nocimientos que impulsen el desarrollo de la sociedad,se necesita mantenerse al día
aprendiendo por cuenta propia o por otros medios. Lograr este tipo de aprendizaje re-
quiere asegurar la existencia de bases fundamentales constituidas por conocimientos
esenciales,particularmente los provenientes de los diversos campos de la matemática.
Es,en este contexto,que me complace presentar este libro que tiene como propósito
asegurar el aprendizaje de los conocimientos matemáticos esenciales para abordar de
manera exitosa los diversos dominios de la matemática requeridos en el nivel universi-
El libro ha sido el resultado de la colaboración de profesores entusiastas de diversos
campus del Tecnológico de Monterrey,que basados en su experiencia,incluyeron acti-
vidades individuales y de colaboración relacionadas con la vida diaria,que permitirán
estimular en los alumnos el desarrollo de cualidades necesarias para desempeñarse con
éxito en su futura vida profesional.
Los autores han enfatizado el aprendizaje significativo considerando los diversos
estilos de aprendizaje de los estudiantes,con el fin de conducirlos a profundizar en el
análisis del conocimiento y orientarlos a la observación,planteamiento y resolución de
problemas. Adicionalmente se ha aprovechado el uso de tecnologías computacionales
basadas en hojas de cálculo,para así asegurar la comprensión de los conceptos y apro-
vechar aplicaciones computacionales no especializadas,de amplia disponibilidad.
Se trata así de un libro en el que los estudiantes aprenderán a partir del “hacer”,lo
que a su vez les formará “ser”,dándoles una formación analítica. No se trata solamente
de lo que podrán hacer con las matemáticas,sino lo que las matemáticas harán por quie-
nes las estudien.
Distingue lo que puede servir en el problema que estés tratando;
más tarde,al resolver otros problemas,intenta descubrir el mo-
delo general que subyace en el fondo de la situación concreta
que afrontas.
GEORGEPOLYA
Escribimos este trabajo pensando en que tú,como estudiante universitario,requieres,
además del conocimiento,las habilidades que desarrolla una ciencia tan antigua y útil
como las matemáticas. Consideramos que lograrás el éxito en su estudio teniendo un ba-
gaje mínimo de conocimientos y una mente abierta. Ayudará,por supuesto,tu gusto por
el trabajo y tu deseo,tal vez apenas incipiente,de aprender. Nos gustaría que intentes
ser de las personas que responden bien a los desafíos y que,además de escuchar,te gus-
te participar activamente en el quehacer matemático. Por esta razón,consideramos que,
por un juicio preconcebido,no debes pensar que esta ciencia poco te ofrecerá para tu for-
El libro de matemáticas que tienes en tus manos incluye temas de muchas áreas de la
disciplina. En cada uno discutimos conceptos y presentamos ejemplos suficientemente
elaborados,que te ayudarán a resolver problemas más complejos. Nuestra intención es
que desarrolles tus habilidades matemáticas hasta el grado en que seas capaz de plantear
estrategias y resolver problemas utilizando las herramientas básicas que ofrece el texto.
Por lo tanto,nuestra propuesta didáctica se basa en el aprendizaje de las matemáticas
mediante la solución de situaciones reales o simuladas,cuyo fundamento es nuestra ex-
periencia en la enseñanza de las matemáticas universitarias,y en las investigaciones que
hemos realizado sobre las estrategias de aprendizaje que utilizan los estudiantes,así co-
mo en las metodologías didácticas que fomentan aprendizajes y habilidades intelectua-
les de alto nivel.
En cada una de las secciones,encontrarás que el texto muestra situaciones que ofre-
cen la posibilidad de visualizar la utilidad de los conceptos discutidos. Estos problemas
pertenecen a muy diversas áreas; algunos de ellos han sido planteados y resueltos por la
humanidad desde tiempos remotos; en tanto que otros más tienen que ver con cuestiones
que corresponden a nuestros tiempo y circunstancias. Nuestra propuesta incluye,por
lo tanto,el principio de que “aprende mejor quien reconoce la importancia de aprender lo
que aprende”.
La obra se escribió para cubrir las matemáticas universitarias previas al cálculo.
Nuestro objetivo consiste en presentar y discutir conceptos que ayuden posteriormente a
comprender las ideas fundamentales del cálculo diferencial e integral.
En forma paralela incorporamos prácticas de exploración computacional que utilizan
el paquete Excel. Dichas prácticas tienen dos objetivos:el primero es que los conceptos
matemáticos se exploren utilizando tecnología,y el segundo,que la herramienta sirva
para resolver problemas más complejos.
También hemos buscado un adecuado equilibrio entre el trabajo individual y el traba-
jo en equipos pequeños. Para el primero se proponen actividades rutinarias de solución
de ejercicios; mientras que para el segundo se sugieren actividades más ambiciosas que,
por su complejidad,requieren de un estudio colectivo.
El texto inicia con un capítulo sobre conjuntos. La importancia del tema reside en que
buena parte del saber matemático actual se basa en este concepto. Marcamos el capítulo
con el principio de que los símbolos,más que una danza de entes extraños,deben ofre-
cer la posibilidad de transitar entre el lenguaje de las matemáticas y el lenguaje colo-
quial,con la finalidad de que tengan significado para el estudiante.
El capítulo 2 trata de las operaciones básicas del álgebra elemental. Mantenemos
nuestra idea fundamental de que el simbolismo matemático es un medio para lograr un
fin. En este caso,la función del álgebra no consiste en hacer desfilar símbolos,sino en
convertir o transformar expresiones de una en otra forma,la que sea más útil,para resol-
ver el problema que tengamos entre manos. Por lo tanto,partimos de la idea de que una
competencia adecuada en matemáticas tendrá que ver con la posibilidad de efectuar
transformaciones entre una forma algebraica y otra.
En el capítulo 3 hacemos nuestra la concepción de uno de los científicos más grandes
de todos los tiempos; a saber:“El idioma del álgebra es la ecuación. Para ver un proble-
ma referente a números o relaciones abstractas de cantidades,basta con traducir dicho
problema del lenguaje coloquial al idioma algebraico (Newton)”. Por esta razón el capí-
tulo 3 se dedica en su totalidad al estudio de las ecuaciones,desde las lineales hasta las
más elaboradas,como las ecuaciones polinomiales y las que implican radicales.
Las desigualdades también juegan un papel preponderante en las aplicaciones. Por
ello,el capítulo 4 aborda su estudio partiendo de las definiciones,propiedades y notacio-
nes básicas,hasta algunas posibles aplicaciones.
En el capítulo 5 tratamos con la materia prima de los conceptos relacionados con fe-
nómenos periódicos y diversas relaciones angulares; es decir,la trigonometría,que en su
forma más básica estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rec-
tángulo. Sin embargo,las aplicaciones modernas abarcan varios tipos de problemas que
tienen poco o nada que ver con esto,como,por ejemplo,fenómenos periódicos como el
sonido,la luz,las ondas eléctricas,los ciclos en las finanzas y los movimientos planeta-
rios. De las aplicaciones mismas se intuye la importancia de este capítulo.
El capítulo 6 está dedicado a un tema en extremo importante:la geometría analítica.
Nuevamente tenemos aquí el interés de presentar los conceptos más significativos,sin
perder de vista la potencial utilidad de una de las herramientas matemáticas más pode-
rosas en la aplicación de diversas áreas.
Finalmente,el capítulo 7 se dedica al estudio de las funciones. Tal vez éste sea uno
de los capítulos más interesantes que componen el libro,a causa de la riqueza de sus
aplicaciones,que van desde asuntos cotidianos hasta aplicaciones que sorprenden por lo
inesperado. Cabe indicar que este capítulo,junto con el resto del material,ofrece una ex-
celente introducción al cálculo. Discutimos varios modelos que involucran funciones,
gráficas y tablas numéricas,de las que conjeturamos métodos que después aparecerán
relacionados con el importantísimo concepto de derivada del cálculo diferencial,que no
se presenta en este trabajo.
No han sido pocas las dificultades que hemos enfrentado para escribir esta obra; sin
embargo,esperamos que lo que aquí encuentres sea novedoso; quizá no tanto en cuanto
al desarrollo de la teoría presentada,pero sí en el enfoque de varios de sus temas y en la
presentación de muchos de sus problemas,que se pensaron para darle un alto grado de
significancia a los conocimientos.
conteo (conjuntos)
1.1 El lenguaje de conjuntos
1.2 Problemas de conteo
¿Te interesa la política? ¿Te interesa saber quién va a gobernar tu país,afectando con sus decisiones tu vida dia-
ria? Las encuestas son herramientas muy importantes para conocer la opinión y las preferencias de la gente. Desde
hace varios años,cada elección política viene precedida por una lluvia de encuestas en la televisión y en los perió-
dicos sobre la “intención de voto”para cada candidato. De hecho,al final de la elección las “encuestas de salida”
de los medios de comunicación anuncian al ganador mucho antes que se den a conocer los resultados oficiales. Si
la diferencia entre los votos ganados por cada candidato es grande,los resultados de las encuestas predicen con se-
guridad quién es el ganador. Sin embargo,en casos donde la elección es muy cerrada,los resultados de las encues-
tas no coinciden con el resultado oficial final. El ejemplo más famoso es el de la elección presidencial del año 2000 en
Estados Unidos,cuando algunos medios de comunicación internacionales,basándose en sus encuestas,informaron
erróneamente que el candidato Al Gore le había ganado a George W. Bush la presidencia de ese país. Tal situación
deterioró fuertemente la credibilidad del público internacional,tanto en los medios de comunicación como en la
elección misma. Como verás,es muy importante saber qué se puede asegurar y qué no al interpretar los resultados
Los temas de teoría de conjuntos que estudiarás en esta unidad sirven precisamente para organizar e interpretar
los resultados de las encuestas,incluso en términos de probabilidades. De hecho,muchos de los ejercicios de con-
juntos comienzan “Se realizó una encuesta en…”. Cabe mencionar que la importancia de la unidad va todavía más
lejos,ya que las matemáticas,básicas o avanzadas,tienen su fundamento en la teoría de conjuntos.
Unidad 1: Problemas de conteo (conjuntos)
Es razonable pensar que lo que lees no tiene sentido para ti,en tanto no veas de manera
clara alguna posible utilidad de este lenguaje; por ello,considera la siguiente situación:
A una revista de automovilismo le interesa estudiar la preferencia que la gente de
la zona metropolitana tiene sobre las marcas de automóviles disponibles en el
mercado. De manera particular,se desea fijar la atención en las marcas Ford,
Chevrolet y Chrysler. Una encuesta aplicada a 1600 propietarios de al menos un
auto de modelo reciente,mostró la siguiente información:801 poseen un Ford,
900 un Chevrolet,752 un Chrysler,435 un Ford y un Chevrolet,398 un Ford y
un Chrysler,412 un Chevrolet y un Chrysler,310 uno de cada una de las tres mar-
cas y el resto alguno de las marcas restantes.
La simple lectura del párrafo anterior en lenguaje coloquial servirá para ver la maraña
que se ha formado. La organización de datos y relaciones,en tales términos,no parece
tarea sencilla; sin embargo,la teoría de conjuntos te será útil para organizar la maraña,
te ayudará a sintetizar su información y,lo que es más importante aún,te facultará para
1.1 El lenguaje de
Admitámoslo, el estudio de las mate-
máticas es una locura divina del espíri-
tu humano, un refugio ante la urgencia
aguijoneante de los sucesos apremiantes.
En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En
matemática a tal colección se le llama conjunto,en tanto que a los objetos
que lo componen se les llama elementos. En consecuencia,el concepto de
conjunto es simplemente una generalización de una idea que ya es algo co-
mún en la cotidianidad. Más aún,el desarrollo moderno de la matemática re-
posa sobre el concepto de conjunto,así que si supieras un poco de teoría de
conjuntos tendrías una comprensión mucho mayor del lenguaje de las mate-
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Resolución 

Resolución 
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