Source: https://www.slideshare.net/ggalo/matematica-9
Timestamp: 2017-02-26 08:35:44+00:00

Document:
jose eduarod ortiz cabrera
, Estudiante en ISMAEL PEREZ PAZMIÑO
andersonreinado
carlos manuel delgado palma
, el puesto mas alto en Facebook
Victor Rua Chica
at Luzvichel Company
, Docente en I.E San José
at ITAPRU
Fabian Iñahuazo Sarango
PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Rafael Correa Delgado MINISTRA DE EDUCACIÓN Gloria Vidal Illingworth VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN Pablo Cevallos Estarellas SUBSECRETARIA DE CALIDAD EDUCATIVA Alba Toledo Delgado GRUPO EDEBÉ Proyecto: Matemáticas 1,2,3 y 4 Educación Secundaria Obligatoria DIRECCIÓN GENERAL Antonio Garrido González DIRECCIÓN EDITORIAL José Luis Gómez Cutillas DIRECCIÓN DE EDICIÓN DE EDUCACIÓN SECUNDARIA José Francisco Vílchez Román DIRECCIÓN PEDAGÓGICA Santiago Centelles Cervera DIRECCIÓN DE PRODUCCIÓN Juan López Navarro EQUIPO DE EDICIÓN GRUPO EDEBÉ © Grupo edebé, 2008 Paseo San Juan Bosco, 62 08017 Barcelona www.edebe.com En alianza con EDITORIAL DON BOSCO OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIÓN GERENTE GENERAL Marcelo Mejía Morales DIRECCIÓN EDITORIAL María Alexandra Prócel Alarcón ADAPTACIÓN Y EDICIÓN DE CONTENIDOS Equipo Editorial Don Bosco Humberto Buitrón A. CREACIÓN DE CONTENIDOS NUEVOS Marcia Peña Andrade Saúl Serrano Aguirre Lorena Valladares Perugachi REVISIÓN DE ESTILO Hernán Hermosa Mantilla Isabel Luna Riofrío Pablo Larreátegui Plaza COORDINACIÓN GRÁFICA Y REDIAGRAMACIÓN EDITORIAL Pamela Cueva Villavicencio DIAGRAMACIÓN DE PÁGINAS NUEVAS Susana Zurita Becerra Franklin Ramírez Torres Patricio Llivicura PiedraDistribución gratuita - Prohibida la venta Freddy López Canelos Erika Delgado Chávez Sofía Vergara Anda MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADOR Primera edición, Mayo 2011 ILUSTRACIÓN DE PORTADA Quito – Ecuador Eduardo Delgado Padilla Darwin Parra Ojeda Impreso por: EDITOGRAN S.A. La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma que sea, por cualquier medio mecánico o electrónico, no autorizada por los editores, viola los derechos reservados. Cual- quier utilización debe ser previamente solicitada. © Editorial Don Bosco, 2011 DISTRIBUCIÓN GRATUITA2 2.
Vamos a compartir el conocimiento, los colores, las palabras.El Ecuador ha sido, según el poeta Jorge Enrique Adoum, “un país irreallimitado por sí mismo, partido por una línea imaginaria”, y es tarea detodos convertirlo en un país real que no tenga límites.Con este horizonte, el Ministerio de Educación realizó la Actualizacióny Fortalecimiento del Currículo de la Educación General Básica que buscaque las generaciones venideras aprendan de mejor manera a relacionarsecon los demás seres humanos y con su entorno y, sobre todo, a soñar conla patria que vive dentro de nuestros sueños y de nuestros corazones.Los jóvenes de octavo a décimo años van a recibir un libro de texto que lespermitirá desarrollar sus habilidades.Estos libros tienen un acompañante para los docentes. Es una guía didác-tica que presenta alternativas y herramientas didácticas que enriquecenel proceso de enseñanza-aprendizaje.El Ecuador debe convertirse en un país que mire de pie hacia el futuro yeso solo será posible si la educación nos permite ser mejores ciudada-nos. Es una inmensa tarea en la que todos debemos estar comprometi-dos, para que el “Buen Vivir” sea una práctica cotidiana. Distribución gratuita - Prohibida la venta Ministerio de Educación 2010 3 3.
Conoce tu libro Los contenidos que vas a aprender se organizan en seis módulos que están trabajados de manera in- tegrada a partir de los siguientes bloques: Numérico Medida Estadística y probabilidad Geométrico Relaciones y funciones Estructura de los módulos Páginas iniciales Conocimientos que se tra- Destrezas con criterios bajarán dentro del módulo. Buen Vivir de desempeño Eje transversal valorativo que Se muestra un listado de las acompaña a los contenidos y destrezas con criterios de de- permite una formación integral. sempeño que se desarrollarán en el módulo. Una imagen y una actividad inicial nos muestran la presen- Prerrequisitos cia de las matemáti- cas en nuestro en- Definiciones, ejemplos y activida- torno y la relación des para recordar los conocimien- entre los bloques tos previos necesarios para el matemáticos. aprendizaje. Buen Vivir Enunciación del artículo de la Constitu- ción de la República del Ecuador, rela- Desarrollo cionado con el proyecto del Buen Vivir. En los márgenes se in- cluyen explicaciones Los conocimientos se complementarias. organizan en aparta- dos y subapartados. Contraejemplo Ejemplos que no cum- plen con los conocimien- tos estudiados. Actividades Ejemplos Al finalizar el desarrollo de un conocimiento, se pro- En muchos casos, el de- ponen ejercicios a pie de sarrollo de los conoci- página para afianzarlo. mientos finaliza con uno o varios ejemplos para fa- cilitar el aprendizaje.4 4.
Algunas actividades llevan un icono cuyo significado es el siguiente:Macrodestrezas matemáticas Herramientas y ejes transversales Comprensión de conceptos Cálculo mental y conocimiento de procesos Uso de la calculadora Aplicación en la práctica @ Uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación Refuerzo de macrodestrezas Trabajo en grupo Buen Vivir Buen Vivir Páginas finalesCómo resolver En resumenproblemas Síntesis de las ideas clave del módulo y esquema queEn cada módulo se trabaja muestra la relación de losuna estrategia de resolución conocimientos en los blo-de problemas distinta. ques matemáticos.Ejercicios y problemas Demuestra tu ingenioCuestiones, ejercicios y problemaspara consolidar la comprensión de Resolución de proble-conceptos, conocimiento de pro- mas a través de diversascesos y aplicación en la práctica estrategias del pensa-de lo que has aprendido. miento y creativas.En la sección Más a fondo pro-ponemos actividades de mayor di- Buen Vivirficultad para profundizar las ma- Profundización de loscrodestrezas. ejes transversales para una formación integral.Autoevaluacióny coevaluaciónPermite comprobar los conoci-mientos, a través de actividades Crónica matemáticacon indicadores esenciales deevaluación. Con noticias, curiosida- des... del tema trabajado.Sección de historiaPara conocer la evoluciónhistórica de algunos con-ceptos matemáticos. 5 5.
Índice Módulo 1: Números racionales. Medidas de tendencia central 1. Fracciones positivas y negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1. Fracciones con signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Ubicación de fracciones sobre la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Ordenación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Adición, sustracción, multiplicación y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Potencias y raíces cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3. Relación entre las fracciones y los decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1. Expresión decimal de una fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2. Fracción generatriz de un número decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3. Operaciones con decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4. Aproximación, redondeo y error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5. Estadística: conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1. Variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2. Recolección de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6. Presentación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.1. Tablas de distribución de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.2. Gráficos estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7. Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1. Media aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.3. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Módulo 2: Números irracionales. Perímetros y áreas de polígonos 1. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2. El conjunto de los números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1. Concepto de número irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2. Representación gráfica de números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3. Números irracionales. Orden y comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4. Operaciones con números irracionales. Suma y resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5. División y multiplicación de números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6. Operaciones combinadas entre números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3. Perímetro y área de cuadriláteros y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1. Perímetro y área de paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. Perímetro y área de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3. Perímetro y área de trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Perímetro y área de otros polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1. Polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2. Polígonos irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5. Estimación de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.1. Aplicaciones al teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Módulo 3: Números reales. Polinomios 1. El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.1. Ordenación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1.2. Intervalos de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.3. Aproximaciones y errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.4. Truncamiento y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.5. Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2. Operaciones con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886 6.
3.1. Operaciones con monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2. Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3. Valor numérico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4. Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5. Polinomios ordenados y reducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.6. Polinomios completos e incompletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.7. Representación concreta de polinomios hasta grado 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 924. Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.1. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2. División de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3. Divisibilidad de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.5. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Módulo 4: Números reales. Patrones de crecimiento lineal1. Potencias de base real y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202. Simplificación de expresiones con números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.1. Término general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.2. Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254. Patrones de crecimiento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265. Función de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.1. Función lineal o proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Módulo 5: Ecuaciones e inecuaciones de primer grado. Diagramas de tallo y hojas1. Igualdad y ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2.1. Propiedades de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443. Resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454. Método general de resolución de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.1. Ecuaciones con paréntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2. Ecuaciones con denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.3. Aplicación a la resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.1. Conjunto solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.2. Inecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.3. Resolución de inecuaciones de primer grado con una incógnita . . . . . . . . . . 160 6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648. Aplicación a la resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1669. Diagrama de tallo y hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Módulo 6: Líneas de simetría. Áreas. Medidas en grados de ángulos notables1. Transformaciones isométricas o movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1.1. Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852. Áeas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.1. Áreas de prismas, pirámides y troncos de pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.2. Áreas de cilindros, conos y troncos de cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1893. Medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes . . . . . . . . 190 3.1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 • Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 • Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7 7.
Módulo Buen Vivir: Biodiversidad y ambiente sano 1 Bloques: Numérico. Estadística y probabilidadDistribución gratuita - Prohibida la venta Un iceberg es una masa enorme de hielo que flota en el mar. La par- te visible, llamada punta del iceberg, corresponde a 1/9 del total. Por lo tanto, la parte sumergida corresponde a sus 8/9 partes. http://desktop.qkype.com El iceberg más grande del mundo es el B-15A, con una longitud de 127 km, una anchura de 27 km y una superficie aproximada de 3 100 km2, 124 km2 menos que la superficie de la provincia de Bolívar. — ¿La superficie de tu provincia a qué fracción de la del iceberg B-15A corresponde aproximadamente? 8 8.
Números racionalesMedidas de tendencia central Tus conocimientos sobre las fracciones y los números decimales servirán para relacionarlos con el cálculo de la media aritmética y la mediana. Serás capaz de utilizarlos para resolver situaciones diversas de la vida cotidiana.DCDDCD Destrezas con criterios de desempeño • Leer y escribir números racionales de acuerdo con • Efectuar aproximaciones de números decimales y su definición. calcular el error cometido. • Representar números racionales en notación deci- • Calcular la media, mediana y moda de un conjunto mal y fraccionaria. de datos estadísticos contextualizados en proble- • Ordenar y comparar números racionales. mas pertinentes. • Resolver operaciones combinadas de adición, sus- • Reconocer y valorar la utilidad de las fracciones y tracción, multiplicación y división exacta con nú- decimales para resolver situaciones de la vida co- meros racionales. tidiana. • Simplificar expresiones de números racionales con la aplicación de las reglas de potenciación y de radicación.✑ Prerrequisitos Recuerda Evaluación diagnóstica • Una fracción es la expresión de una división • Representa sobre la recta los siguientes números entre dos números, su numerador y su deno- enteros. Describe el procedimiento utilizado. minador. Así: −5, −3, −1, 0, 2, 4, 7 3 3÷4 = : • Escribe estas fracciones: un tercio, dos quintos, 4 tres medios y once treceavos. • Un número decimal puede expresarse con la coma • Expresa en forma de fracción: tres trimestres de decimal o mediante una fracción decimal. un año, cuatro días de una semana, dos semanas 123 456 123 , 456 = de un mes. 1000 • Calcula mentalmente el número decimal corres- • La región de círculo limitada por dos radios y su ar- pondiente a estas fracciones. co correspondiente recibe el nombre de sector 5 3 30 56 15 circular. ; ; ; ; 10 100 40 10 75 Radio Arco Sector circular • Determina cuál es el valor que más se repite en Radio la siguiente serie de cifras: 1, 5, 6, 7, 3, 4, 7, 2, 8, 2, 6, 3, 7, 3, 6, 1, 8, 3, 5, 1, 4, 7, 9, 3, 1, 5, 3, Distribución gratuita - Prohibida la venta 4, 7, 2 y 5. Biodiversidad y ambiente sano Buen Art. 14.- Se reconoce el derecho de la población a vivir en un ambiente Vivir sano y ecológicamente equilibrado, que garantice la sostenibilidad y el Buen Vivir, sumak kawsay. Constitución de la República del Ecuador, 2008. 9 9.
1 Fracciones positivas y negativas Los números enteros no bastan para expresar cantidades que nos encontra- mos habitualmente. Utilizamos las fracciones para referirnos a una parte de un todo o para expresar cantidades en que dividimos una unidad elegida. Cuando decimos que hemos estado un cuarto de hora esperando el bus, sig- nifica que hemos dividido este período de tiempo en cuatro partes iguales y el tiempo de espera corresponde a una de ellas. Las fracciones, pues, nos permiten expresar una parte de un todo o unidad. MUCHO OJO Toda fracción consta de dos términos: En la fracción a , • El denominador es el número de partes iguales en que dividimos la unidad. b b debe ser diferente de cero: • El numerador es el número de partes que tomamos. b 0. 1 ⎯ ⎯ numerador → 4 ⎯ ⎯ denominador → Una fracción también puede considerarse como parte de una cantidad. En este caso podemos calcular: • La fracción de una cantidad: multiplicamos la fracción por la cantidad. ejemplo 1 2 ¿Qué cantidad son las partes de 125 m? 5 — Multiplicamos la fracción por 125. 2 · 125 = 50 5 2 Por lo tanto, las partes de 125 m son 50 m. 5 • Una cantidad de la cual conocemos la fracción: multiplicamos la inversa de la fracción por el valor correspondiente. ejemplo 2 3 Si sabemos que 600 m son partes del total de un recorrido, determina la 4 longitud total del recorrido. 3 — Sabemos que las partes de cierta cantidad x son 600. 4Distribución gratuita - Prohibida la venta 3 x = 600 4 3 — Al despejar, obtenemos que x es igual a la inversa de multiplicado por 600. 4 4 x = · 600 = 800 3 La longitud total del recorrido es de 800 m.10 10.
1.1. Fracciones con signoUna fracción puede interpretarse como la expresión de una división entre dosnúmeros enteros. 4 −1 8 4÷ 7 = : − 1÷ 3 = : 8 ÷ ( −9 ) = : 7 3 −9Es evidente que podemos encontrar fracciones positivas y fraccionesnegativas. a CONTRAEJEMPLO Una fracción es una expresión de la forma , en que a y b son nú- meros enteros, siendo b ≠ 0. b El número Pi (π) no es un nú- mero racional, porque no se lo puede expresar como frac-Como en el caso de los números enteros, escribimos las fracciones positi- ción.vas sin indicar su signo. π = 3,1415... 3 3 = + 4 4Y, teniendo en cuenta la regla de los signos para la división, podemos escribir: 3 −3 = 4 −4Vemos, pues, que toda fracción positiva puede expresarse como el co-ciente de dos números enteros, ambos positivos o ambos negativos.Y, del mismo modo, toda fracción negativa puede expresarse como el co-ciente de dos números enteros, uno de ellos positivo y el otro negativo. 5 −5 5 − = = 8 8 −8 Actividades 1 Expresa 11 cm como fracción de: metro, decímetro, kilómetro y milímetro. 2 Inti y su padre han tardado 55 min en realizar la compra semanal. Si han estado 10 min haciendo cola en el puesto de venta de pescado, ¿qué www.hoy.com.ec fracción del tiempo total representan estos minutos? 3 Calcula: 2 3 a) de 12 300 b) de 2 100 5 7 ■ Mercado de Santa Clara 4 Resuelve en tu cuaderno: en Quito. 2 4 a) de ..... = 1680 b) de ..... = 1800 3 9 5 Describe oralmente una situación en la que sea necesaria emplear una fracción positiva y otra en la que se utilice una fracción negativa. Distribución gratuita - Prohibida la venta 6 Clasifica las fracciones siguientes en positivas y negativas. −2 5 1 −3 2 −1 7 , ,− , , , , 3 4 2 4 −5 −8 3 — Transforma las fracciones con denominador negativo en fracciones con denominador positivo. 11 11.
1.2. Fracciones equivalentes Podemos comparar gráficamente dos fracciones distintas para ver si re- presentan la misma parte de la unidad. 1 4 1 = 2 4 8 2 8 Si dos fracciones positivas representan la misma parte de la unidad, se de- nominan fracciones equivalentes. Si dos fracciones positivas son equivalentes se cumple que el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al pro- ducto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. 1 2 = ⎯ ⎯ 1· 8 = 4 · 2 → 4 8 Esta propiedad se conoce como propiedad fundamental de las fracciones equi- valentes y nos permite definir la equivalencia de fracciones con signo. a c Las fracciones y (b ≠ 0 y d ≠ 0) son equivalentes si se cum- b d ple que a · d = b · c. Obtención de fracciones equivalentes Para obtener fracciones equivalentes a una fracción dada, se multiplica o se divide el numerador y el denominador por un mismo número entero di- ferente de 0. ·2 ÷3 : ·( −4 ) −3 −6 −3 −1 −3 12 = = = 9 18 9 3 9 −36 ·2 ÷3 : ·( −4 ) Actividades 4 7 Indica oralmente qué fracciones a continuación son equivalentes a − . 7 52 −60 −64 16 a) b) c) d) −91 −105 84 28 4 8 Escribe una fracción equivalente a con denominador 156. −13 9 Escribe una fracción equivalente a −15 con numerador − 480.Distribución gratuita - Prohibida la venta 16 — ¿Puedes escribir una fracción equivalente a la anterior cuyo numerador sea 215? 10 Busca el valor de x para que cada uno de estos pares de fracciones sean equivalentes. − 13 x − 30 15 −1 2 −4 x a) = b) = c) = d) = 7 42 − 12 x x 10 x −912 12.
Simplificación de fracciones Máximo común divisorHemos visto que si dividimos el numerador y el denominador de una fracción (m.c.d.)por un mismo número entero distinto de 0, obtenemos una fracción equi- Para calcular el máximo co-valente. En este caso decimos que hemos simplificado la fracción. mún divisor de dos números, por ejemplo, 126 y 270:Toda fracción puede simplificarse hasta llegar a la fracción irreducible. • Descomponemos en fac- Una fracción con signo es irreducible cuando su numerador y su de- tores primos cada uno de nominador, sin tener en cuenta el signo, son números primos entre sí. los números. 126 = 2 · 3 2 · 7Cálculo de la fracción irreducible 270 = 2 · 3 3 · 5Aprendamos ahora tres métodos distintos para hallar la fracción irreducible • Consideramos los factores 2100 primos comunes elevadosequivalente a la fracción: al mínimo exponente: 2 y 5400 32.1. Realización de divisiones sucesivas. • Efectuamos el producto de los números obtenidos: Procedimiento Ejemplo 2 · 3 2 = 18. • Resolvemos divisiones sucesivas del ÷10 ÷10 ÷3 m.c.d. (126, 270) = 18 ‫ۍ‬ ‫ۍ‬ ‫ۍ‬ numerador y del denominador de 2100 210 21 7 la fracción entre divisores comunes = = = 5 400 ‫ۍ‬ 540 54 ‫ۍ‬ 18‫ۍ‬ de ambos hasta obtener la fracción irreducible. ÷10 ÷10 ÷32. Descomposición en factores primos. Procedimiento Ejemplo • Descomponemos el numerador y el denominador en factores primos. • Dividimos el numerador y el deno- 2100 2 · 2 · 3 · 5 · 5 ·7 7 minador por los factores comunes = = 5 400 2 · 2 · 2· 3 · 3· 3· 5 · 5 18 para eliminarlos.3. División del numerador y el denominador por su m.c.d. Procedimiento Ejemplo • Calculamos el m.c.d de los términos 2 100 = 22· 3 · 52· 7 y 5 400 = 23· 33· 52 de la fracción. m.c.d. (2 100, 5 400) = 2 2 · 3 · 5 2 = 300 • Dividimos el numerador y el deno- minador por su m.c.d. 2100 2100 ÷ 300 : 7 = = 5 400 5400 ÷ 300 : 18 Actividades Distribución gratuita - Prohibida la venta 11 Simplifica, en tu cuaderno, estas fracciones. 12 Simplifica las siguientes fracciones por el proce- so de dividir ambos términos por su m.c.d 117 528 111 −24 105 42 173 360 −188 a) c) e) , , , , , −78 −253 228 36 540 18 252 480 −705 −342 −36 3 102 13 Explica oralmente tres maneras distintas de de- b) d) f) 285 −28 8 415 mostrar que dos fracciones son equivalentes. 13 13.
1.3. Ubicación de fracciones sobre la recta Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma pa- recida a como representamos los números enteros. Si la fracción es positiva, su representación se situará a la derecha del 0 y, si es negativa, a la izquierda del 0. A continuación, vamos a ver el proceso que se sigue para representar frac- ciones positivas y negativas sobre la recta. Ejemplo 1 14 Ejemplo 2 −17 Procedimiento Ubicación de Ubicación de 8 6 Consideramos la fracción irredu- 14 7 −17 cible equivalente. = 8 4 6 Efectuamos la división entera del nu- 7 4 17 6 merador entre el denominador. 3 1 5 2 El cociente de esta división deter- mina los dos números enteros que La fracción se sitúa entre 1 y 2. La fracción se sitúa entre −2 y −3. son los extremos del segmento don- de se situará la fracción. Dividimos el segmento determi- Tenemos que dividir el segmento Tenemos que dividir el segmento nado por estos dos números en- determinado por 1 y 2 en 4 par- determinado por −2 y −3 en 6 par- teros en tantas partes como indi- tes iguales y tomar 3. tes iguales y tomar 5. que el denominador de la fracción y tomamos las que señale el res- to de la división. 4 3 2 1 0 17 0 1 2 3 6 14 8 Actividades 14 Representa sobre la recta las siguientes fracciones. 3 −3 −2 15 , , , − 5 − 4 −14 6 15 Expresa oralmente en forma de fracción los puntos señalados en la recta.Distribución gratuita - Prohibida la venta 16 Escribe las fracciones que corresponden a los puntos indicados en la recta.14 14.
1.4. Ordenación de fracciones Mínimo común múltiplo (m.c.m.)La representación de las fracciones  + Para calcular el mínimo co-sobre la recta nos permite ordenar- mún múltiplo de dos núme-las. Tal y como sucede en la orde- 1 3 ros, por ejemplo, 12 y 45:nación de los números naturales y 1  3  1 0 1 4 4 4 4los números enteros, siempre es ma- • Descomponemos en fac-yor la fracción situada más a la de-  3 < 1 < 1 < 3 tores primos cada uno de 4 4 4 4recha. los números. 12 = 2 2 · 3También es posible comparar dos fracciones sin tener que representarlas. 45 = 3 2 · 5Ordenación de fracciones con el mismo denominador • Consideramos los factoresDadas dos fracciones con el mismo denominador positivo, es mayor la no comunes y comunesque tiene el numerador más grande. elevados al máximo expo- nente: 2 2, 3 2 y 5. ejemplo 3 • Multiplicamos los núme- 11 –5 15 ros obtenidos: Compara las fracciones , y . 7 7 7 2 2 · 3 2 · 5 = 180 — Como el denominador es el mismo y positivo, podemos comparar los nume- m.c.m. (12, 45) = 180 radores. −5 < 11 < 15 — Por lo tanto, –5 11 15 < < 7 7 7Ordenación de fracciones con distinto denominadorPara comparar dos o más fracciones con distinto denominador, tomamos lasfracciones equivalentes de forma que todos los denominadores sean posi-tivos. A continuación, las reducimos a mínimo común denominador y com-paramos las fracciones obtenidas. ejemplo 4 Reducción a mínimo común 12 –3 denominador Compara las fracciones y . –15 4 Para reducir a mínimo común 12 −12 denominador dos o más — Escribimos como para que su denominador sea positivo. −15 15 fracciones: — Reducimos las fracciones a mínimo común denominador. • Calculamos el m.c.m. de m.c.m. (15, 4) = 60 60 ÷ 15 = 4 60 ÷ 4 = 15 los denominadores. −12 · 4 − 48 − 3 · 15 − 45 • Dividimos el m.c.m. entre = = 15 · 4 60 4 · 15 60 cada denominador y mul- — Las fracciones obtenidas tienen el mismo denominador positivo. Por lo tanto, tiplicamos el cociente ob- será mayor la que tenga el numerador más grande. tenido por los dos térmi- − 48 − 45 nos de la fracción corres- −12 −3 12 −3 − 48 < − 45 ⇒ < ⇒ < ⇒ < pondiente. 60 60 15 4 −15 4 Actividades Distribución gratuita - Prohibida la venta −5 7 17 Compara las siguientes fracciones: y . 4 −3 18 Representa estas fracciones sobre la recta y ordénalas de menor a mayor. 4 −12 8 3 3 − , , , , 5 5 −5 15 1 15 15.
2 Operaciones con fracciones 2.1. Adición, sustracción, multiplicación y división Operar con fracciones negativas es como operar con las positivas pero te- MUCHO OJO niendo en cuenta las reglas de las operaciones con números enteros. Siempre que sea posible simplificaremos las fraccio- Conozcamos el proceso seguido para efectuar diferentes operaciones con nes, hasta la fracción irre- fracciones. ducible, para facilitar los cálculos durante los proce- Adición y sustracción Ejemplos sos seguidos en las distin- Para sumar o restar fracciones, éstas tas operaciones. 3 −2 15 −8 15 + ( −8 ) 7 deben tener el mismo denominador. + = + = = Si no es así, se reducen previamente a 4 5 20 20 20 20 mínimo común denominador. m . c . m . ( 4 , 5 ) = 20 • Se deja el mismo denominador. −3 1 −9 2 −9 − 2 −11 − = − = = • Se suman o se restan los numera- 2 3 6 6 6 6 dores. m. c . m. ( 2 , 3 ) = 6 Multiplicación Ejemplos El producto de dos o más fracciones da lugar a otra fracción en la que: • El numerador es el producto de los numeradores de cada una de las frac- 3 −2 3 ·( −2 ) −6 −3 · = = = ciones. 4 7 4 ·7 28 14 • El denominador es el producto de los denominadores de las fracciones. División Ejemplos FÍJATE La división de dos fracciones es una fracción en que: Notación de la división de fracciones • El numerador es el producto del nu- a merador de la primera fracción por el denominador de la segunda. −3 1 −3 · 6 −18 b = a ÷ c = a·d : ÷ = = : 5 6 5 ·1 5 c b d b·c • El denominador se obtiene multipli- d cando el denominador de la prime- ra fracción por el numerador de la se- gunda. Actividades 19 Efectúa, en tu cuaderno, las siguientes operaciones con fracciones.Distribución gratuita - Prohibida la venta −1 3 −5 3 5 −4 a) + d) · g) − 2 4 12 4 −3 9 5 4 1 4 6 −2 b) − e) ÷− : h) + 6 3 6 3 −7 5 5 −6 3 ⎛ −4 ⎞ −4 ⎛ 6⎞ c) · f) ÷⎜− : ⎟ i) ÷⎜− : ⎟ 3 4 2 ⎝ 9 ⎠ 15 ⎝ 7⎠16 16.
2.2. Operaciones combinadasPara efectuar operaciones combinadas con fracciones positivas y negati-vas aplicamos los mismos criterios de prioridad establecidos para los nú-meros enteros:• Primero, se resuelven los paréntesis y los corchetes.• A continuación, las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que apa- recen.• Y, finalmente, las sumas y las restas.Fíjate en este ejemplo. ejemplo 5 2 5 ⎛ −2 2 ⎞ 4 Calcula · +⎜ ⎜ − ⎟÷ ⎟: 3 4 ⎝ 5 35 ⎠ 21 — En primer lugar, efectuamos la resta del interior del paréntesis. 2 5 −14 − 2 4 2 5 −16 4 · + : ÷ = · + : ÷ 3 4 35 21 3 4 35 21 — A continuación, resolvemos las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. 2 5 −16 4 2·5 −16 · 21 10 −336 · + : ÷ = + = + 3 4 35 21 3· 4 35 · 4 12 140 — Por último, calculamos las sumas y las restas, y simplificamos el resultado. 10 −336 350 + ( −1008 ) −658 − 47 + = = = 12 140 420 420 30 Actividades 20 Efectúa las siguientes operaciones combinadas. 23 Calcula en tu cuaderno: −3 4 5 1 3 7 1 1 a) − · b) : ÷ + 1− −1 7 9 6 7 −2 8 3 a) b ) 1 − 2· 4 3 1 21 Resuelve estas operaciones combinadas. 2+ 2+ 5 5 5 −6 3 2 −4 a) · + : ÷ − 3 4 2 3 9 24 Valentina leyó en una semana la tercera parte de un li- 5 ⎛ −6 3 ⎞ 2 −4 bro de 180 páginas y la semana siguiente, la cuarta b ) ·⎜ ⎜ 4 + 2 ⎟÷ 3 − 9 ⎟: parte. Si tarda 3 minutos en leer una página, ¿cuán- 3 ⎝ ⎠ to tardará en acabar de leerlo? Expresa el resultado ⎛ −6 3 2 ⎞ −4 Distribución gratuita - Prohibida la venta 5 como una operación combinada y calcúlala. c) ·⎜ ⎜ 4 + 2 ÷ 3 ⎟− 9 : ⎟ 3 ⎝ ⎠ 25 Adrián sale de su casa con $ 32. En diversas com- 22 Copia la operación y ubica los paréntesis para pras se gasta tres octavas partes de esta cantidad. que el resultado sea el que se indica. ¿Cuántos dólares se ha gastado? ¿Cuántos le que- dan? 2 2 1 1 2 11 + · − + = 3 5 3 3 9 45 17 17.
2.3. Potencias y raíces cuadradas Cuando operamos con fracciones podemos encontrarnos, como sucede con los otros tipos de números, con multiplicaciones de factores repetidos. Tam- bién pueden aparecer fracciones cuyos términos sean cuadrados perfec- tos. Potencia de una fracción En ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de fracciones iguales. Son potencias cuya base es una fracción y su exponente, un número natural. En general: n n veces ⎛ a⎞ a a a a · a ·...· a an FÍJATE ⎜ ⎟ = · ·...· = = ⎝ b⎠ b b b b · b ·...· b bn Podemos transformar una potencia de fracción de ex- n Para elevar una fracción a una potencia, se elevan ⎛ a⎞ an ponente negativo en otra de el numerador y el denominador a esta potencia. ⎜ ⎟ = exponente positivo. ⎝ b⎠ bn -n n ⎛ a⎞ ⎛ b⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ En la tabla siguiente puedes observar que las operaciones con potencias ⎝ b⎠ ⎝ a⎠ de base una fracción y exponente entero cumplen las mismas reglas que las potencias de base y exponente enteros. Multiplicación de potencias de la misma base Potencia de una potencia m n m+n ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎞ m n ⎛ a ⎞ m⋅ n ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜⎜ a ⎟ ⎟ = ⎜ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎜⎝ b ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ b⎠ División de potencias de la misma base Potencia de exponente 1 m n m-n 1 ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ ⎛ a⎞ a : ⎜ ⎟ ÷⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ ⎝ b⎠ b Potencia de un producto Potencia de exponente 0 n n n 0 ⎛ a c⎞ ⎛ a⎞ ⎛ c⎞ ⎛ a⎞ ⎜ ⋅ ⎟ = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 1 ( a ≠ 0 ); b ≠ 0 ⎝ b d⎠ ⎝ b⎠ ⎝ d⎠ ⎝ b⎠ Actividades 26 Efectúa: 28 Expresa estas operaciones como una única po-Distribución gratuita - Prohibida la venta 2 −2 2 3 tencia. ⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ a) ⎜ ⎟ b) ⎜ ⎟ c) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 2 3 2 3 ⎝ 7⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ a ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ c ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ 27 Transforma en potencias de exponente positivo: ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ 2 3 5 2 −2 −5 −3 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 7⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ b) ⎜ ⎟ ÷⎜ ⎟ : d ) ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ a) ⎜ ⎟ b) ⎜ ⎟ c) ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 4⎠18 18.
Raíz cuadrada de una fracciónSabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es hallar otro númeroque elevado al cuadrado sea igual al primero.De forma análoga, la raíz cuadrada de una fracción será otra fracción queelevada al cuadrado sea igual a la primera.Decimos que una fracción es cuadrado perfecto si lo son el numerador y eldenominador de su fracción equivalente irreducible.Tal y como sucede con los números enteros, la raíz cuadrada de una fracciónque es cuadrado perfecto corresponde a dos fracciones: una positiva y laotra negativa.Así, por ejemplo: ⎛2⎞ 2 4 2 4 = , ya que ⎜ ⎟ = 9 3 ⎝3⎠ 9 4 2 La raíz cuadrada de es 9 3 La fracción a que es cuadrada perfecta tiene por raíz a la fracción c b c 2 a positiva tal que: = donde c2 = a y d2 = b d d bTeniendo en cuenta la regla de los signos para la multiplicación, resultaevidente que tanto el cuadrado de una fracción positiva como el de unanegativa son positivos.Por ello y, del mismo modo que ocurre con los números enteros, la raízcuadrada de una fracción negativa no existe. Las fracciones negativas no tienen raíz cuadrada. Actividades 29 Calcula: 100 529 49 144 729 , , , , 169 81 225 324 1296 30 Luego de simplificar, indica oralmente cuáles de estos números son cuadrados perfectos. 8 1 147 108 25 20 72 1, 8 , , , , , , , Distribución gratuita - Prohibida la venta 50 4 27 75 64 45 50 31 Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno. a) 9 + 42 b) 5· ( 25 + 2 3 ) c ) 2 3 · 4 + 25 · 10 19 19.
3 Relación entre las fracciones y los decimales Dado que toda fracción puede interpretarse como una división, podemos asociar un número decimal (el resultado de esta división) a cada fracción. Fracciones ᭡ 3.1. Expresión decimal de una fracción ᭡ ᭡ ᭡ Al dividir el numerador de cualquier fracción entre su denominador, podemos Decimales Decimales encontrar tres casos distintos: limitados ilimitados periódicos • Después de extraer una o más cifras decimales, obtenemos resto 0. 15 4 ᭡ ᭡ Puros Mixtos 30 3 , 75 20 0 A la fracción 15 le corresponde el número decimal limitado 3,75. 4 • El resto nunca es 0 y en el cociente aparece una cifra o grupo de cifras que se van repitiendo y que llamamos período. FÍJATE Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico. Para simbolizar el período, uti- 14 3 23 6 lizamos un pequeño arco que comprende las cifras que lo 20 4 , 666... 50 3 , 833... componen. 20 20 4 , 666... = 4 , 6 20 20 3 , 833... = 3 , 83 2 2 El período (6) comienza inmediata- Hay cifras decimales (8) entre la coma mente después de la coma. y el período (3). 23 A la fracción 14 le corresponde el A la fracción le corresponde el 3 6 número decimal ilimitado periódi- número decimal ilimitado periódico co puro 4,666... mixto 3,833... FÍJATE Si dos fracciones son equiva- Así, cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimitado periódico. lentes, les corresponde el mis- mo número decimal. 12 24 = = 1, 714... 7 14 Actividades 32 Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones.Distribución gratuita - Prohibida la venta 11 8 −5 3 13 −5 , , , , , 13 7 14 −4 9 −14 33 Clasifica estos números decimales en limitados, ilimitados periódicos pu- ros e ilimitados periódicos mixtos. 2 , 242424...; 0 , 75 ; 3 , 435 ; 8 , 2 51; − 2 , 89 ; 0 , 5 ; 2 ,13444...20 Recommended

References: resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 Resolución 
 resolución