Source: http://www.slideshare.net/hansmejia/introduccin-al-lgebra-volumen-n-19
Timestamp: 2015-08-02 21:44:05+00:00

Document:
El supresor de tumor de wilms wt1 c...
Tema 15. propiedad intelectual teoría
by monitaeche
Sociales Jose Ignacio Palenque
by ale_peinado
by Antonio Ureña
at Escuela de Postgrado de la Universidad César Vallejo
ISBN: ISBN: 978-980-6418-96-7
Transcript of "Introducción al álgebra. Volumen N° 19"
Federación Internacional Fe y Alegría,
32 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 978-980-6418-96-7
“El maestro tira y eleva, hace
que cada uno se vuelva a sí
mismo y vaya más allá de sí
mismo, que cada uno llegue a
ser lo que es... Quizá el arte de
la educación no sea otro que
cada uno llegue hasta sí mismo,
hasta su propia altura, hasta la
mejor de sus posibilidades.”
Beatriz Borjas y Carlos Guédez
Dimensión: Desarrollo del pensamiento
Este libro se ha elaborado con el propósito
de apoyar la práctica educativa de los
cientos de educadores de Fe y Alegría.
Su publicación se realizó en el marco del
Programa Internacional de Formación
de Educadores Populares desarrollado
por la Federación Internacional Fe y Alegría
Diseño y Diagramación: Nubardo Coy
Ilustraciones: Corina Álvarez
Concepto gráfico: Juan Bravo
Corrección de textos: Carlos Guédez y
Martín Andonegui
Edita y distribuye: Federación Internacional
de Fe y Alegría. Esquina de Luneta. Edif.
Centro Valores, piso 7 Altagracia, Caracas
1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212) 5631776 / 5632048
5647423.
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Caracas, Julio 2007
Centro Magis - Instituto Internacional para
la Educación Superior en América Latina y
el Caribe (IESALC) – Corporación Andina de
Fomento (CAF)
a sugerencia que proponíamos en el
Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá
los demás Cuadernos: Vamos a estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser evaluados, y ya. No. Nosotros somos docentes –docentes de matemática
en su momento- y este rasgo debe caracterizar
la forma de construir nuestro pensamiento matemático. ¿Qué significa esto?
· La presencia constante de la meta última
de nuestro estudio: alcanzar unos niveles de
conocimiento tecnológico y reflexivo, lo cual
debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de
aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis
de los sistemas que dan forma a nuestra vida y
utilizan ese conocimiento matemático, y hacia
criterios sociales y éticos para juzgarlos.
· Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo enseñamos en
el aula, además de reflexionar acerca de cómo
nuestro conocer limita y condiciona nuestro
trabajo docente. De esta forma, integrar nuestra
práctica docente en nuestro estudio.
· Como complemento a lo anterior, construir el conocer de cada tópico matemático
pensando en cómo lo podemos llevar al aula.
Para ello, tomar conciencia del proceso que seguimos para su construcción, paso a paso, así
como de los elementos –cognitivos, actitudinales, emocionales…- que se presenten en dicho
proceso. Porque a partir de esta experiencia reflexiva como estudiantes, podremos entender y
evaluar mejor el desempeño de nuestros alumnos –a su nivel- ante los mismos temas.
· En definitiva, entender que la matemática es la base de su didáctica: la forma en que se
construye el conocimiento matemático es una
fuente imprescindible a la hora de planificar y
desarrollar su enseñanza.
Y ahora, vamos al tema de este Cuaderno,
la introducción al Algebra.
1. ¿Necesitamos ir más allá de la Aritmética?
“Conmutativa: El orden en que se consideran dos sumandos no modifica su suma. Por ejemplo, sumar 5 a 8 ó sumar 8 a 5 produce
el mismo resultado.”
Esta es una buena pregunta porque si, como nos sugiere el título de este Cuaderno, aparentemente nos vamos a introducir en otro campo de la matemática, debemos detenernos y observar
dónde estamos parados, de dónde venimos y qué hemos recorrido hasta ahora. Y si hemos de
avanzar, necesitamos saber qué nos puede aportar este nuevo campo, en términos de nuevos conocimientos y, también, de profundización y extensión de los conocimientos anteriores.
Así que para empezar a responder la pregunta inicial, recordemos parte de lo que hemos presentado hasta ahora. En los Cuadernos 2 al 11 trabajamos con los números, con las operaciones
entre ellos, con las propiedades de tales operaciones, con las relaciones que pueden descubrirse
y construirse entre los números, con ciertas regularidades que pueden presentarse, y con patrones
que rigen secuencias de números.
Descubrimos, además, que todo lo anterior nos ayudaba a resolver multitud de problemas de
naturaleza y contextos muy diversos, ya que el mundo de los números, de sus operaciones y de
sus relaciones, se nos presentaba como una colección muy rica de modelos utilizables para esta
tarea de resolver problemas, algunos de éstos generados en nuestro entorno y otros de carácter
más lúdico, pero siempre como un reto a nuestra capacidad de hallar soluciones a los problemas.
Y además aprendimos a resolverlos por vías muy particulares, entre las que destacamos la del
ensayo y ajuste.
El mundo de los números, de sus operaciones y de sus relaciones, de sus regularidades y
patrones, de la resolución de problemas con modelos y métodos propios... Estamos hablando de
Y volviendo a la tarea de responder la pregunta inicial, vamos a recordar algunos puntos en
los que dimos algunos pasos hacia un más adelante que no llegamos a identificar en su momento,
pero que bien podemos mirar y valorar ahora como un nuevo campo, extensión espontánea de
la Aritmética. En lo que sigue trataremos, pues, de resaltar aquellas situaciones o circunstancias ya
trabajadas que nos pueden sugerir la necesidad de avanzar a partir de la Aritmética.
2. Las generalizaciones en la Aritmética
2.1. Representación de las propiedades de las operaciones
En los Cuadernos dedicados a las diversas operaciones aritméticas hemos hablado de las
propiedades de dichas operaciones. Por ejemplo, la adición de números naturales presenta las
propiedades conmutativa, asociativa, y de existencia de un elemento neutro. Así presentábamos,
por ejemplo, la primera de estas propiedades (Cuaderno 3, p. 13):
5+8=8+5
En el caso anterior, hubiéramos podido
representar la propiedad escribiendo: 5 + 8 =
8 + 5. Pero, evidentemente, la propiedad no
se restringe al ejemplo indicado; sirve para
cualquier par de números naturales. ¿Cómo
escribimos, representamos, esta última afirmación?
Una manera sencilla de hacerlo es utilizar
letras, bajo el supuesto compartido por todos
(escritor y lectores) de que tales letras esconden,
representan, números naturales. Y así, si convenimos en llamar a y b a dos números naturales
cualesquiera, la propiedad asociativa de la adición se representaría:
Conmutativa: Para todo par de números
naturales a y b, se verifica: a + b = b + a.
¿Qué hemos ganado con esta forma de
representación de la propiedad mencionada?
Hemos ganado en generalidad. Ahora tenemos una forma de representación que puede
referirse a cualquier número natural, a cualquier par de números naturales, etc.
Y lo mismo ocurre si se trata de otro tipo
de números. Por ejemplo, la misma propiedad
conmutativa de la adición puede referirse a las
fracciones, en cuyo caso escribiremos:
Para cualesquiera tres números naturales,
a, b y c, se verifica: (a + b) + c = a + (b + c) =
(a + c) + b.
Conmutativa: Para todo par de fracciones
, se verifica:
Análogamente, si nos hubiéramos referido
a la propiedad asociativa de la adición de números naturales, expresada así en el Cuaderno
3 (p. 13):
De modo que el uso de las letras nos
permite generalizar la representación de
las propiedades de las operaciones aritméticas aplicables a los números naturales.
“Asociativa: Si hay más de dos sumandos,
el orden progresivo en que “entran” en la suma
es indiferente: el resultado siempre es el mismo. Por ejemplo, si hay que sumar 15, 37 y 25,
puede hacerse en cualquier orden: 15 más 37
y luego más 25, ó 37 más 25 y luego más 15, ó
25 más 15 y luego más 37”, el uso de letras nos
llevaría a esta representación generalizada:
Asociativa: Para cualesquiera tres números
naturales, a, b y c, se verifica: (a + b) + c = a +
(b + c ).
Y la conjunción de las propiedades conmutativa y asociativa nos permitiría extender la
representación anterior a:
Otra situación en la que el uso de letras resulta prácticamente necesario para ganar en generalidad, es la referente a las propiedades de
las operaciones con potencias de los números
naturales. Al respecto, en el Cuaderno 6 (p. 19)
escribíamos (adelantándonos a lo que estamos
diciendo ahora):
“Al multiplicar, por ejemplo, 25 x 23 se obtiene: (2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) = 2 x 2 x 2
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 28. Análogamente, se comprueba que 52 x 54 = 56. Y así con cualquier otro
ejemplo. No es, pues, difícil generalizar la propiedad: El producto de dos potencias de igual
base es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes de las
potencias que se multiplican. Simbólicamente
(a, n y m son números naturales): a n x a m =
a n + m ”.
Si observamos bien el proceso de generalización que acabamos de mostrar, nos daremos
cuenta de que hemos sustituido unos símbolos
abstractos (los números) por otros símbolos
más abstractos todavía (las letras). En efecto,
las letras son una abstracción de los números,
que ya son una abstracción de realidades de
Con el uso de las letras ganamos en generalidad, pero se nos plantea una cuestión: así
como las expresiones con los números debían
guardar ciertas reglas de escritura, lo mismo
debe ocurrir para las expresiones que se escriben con las letras como símbolos. En otras palabras, debemos conocer y manejar la nueva
sintaxis simbólica.
2.2. La sintaxis simbólica literal
Ya hemos establecido que las letras serán
los símbolos que representarán a los números
naturales de una forma generalizada. Estos símbolos literales reciben el nombre genérico de
indeterminadas, por cuanto su valor numérico no está determinado en principio; es decir,
puede adoptar cualquier valor.
Las operaciones expresadas con las indeterminadas se representan así:
Debemos contar con unos símbolos y unas
reglas que nos señalen cómo hacerlo. Pues
bien, para ello disponemos de los paréntesis
–del tipo ( ), [], {}- como elementos auxiliares.
Así, la operación de “dividir a entre la diferencia de b y c ” se expresaría: a / (b – c).
En general, éste es el orden de aplicación de las operaciones indicadas en las
expresiones literales o numérico - literales:
Como se puede apreciar, el cambio más
significativo se halla en la representación de la
multiplicación, en la que se omite el signo (x)
utilizado en el terreno aritmético; ahora podemos utilizar un punto (.) entre los números y variables que se multiplican, o no colocar nada.
De este modo, si en una expresión como 3yz,
se asigna a y el valor 5 y a z el valor 4, no se
obtiene como resultado el número 354, sino el
producto de 3 x 5 x 4, es decir, 60.
Un objeto como 3yz, ó 2x, ó n, recibe el
nombre de término; el número que acompaña
a la parte literal se denomina coeficiente: 3
en 3yz, 2 en 2x, ó 1 en n. Cuando varios términos se ligan mediante signos de operaciones,
se forma una expresión algebraica. Ejemplos
de esta última pueden ser: a + b; x – y + 5; 5ab
– a 2 + b 2; etc.
Otro elemento a considerar es el orden en
que deben efectuarse las operaciones. Por
ejemplo, la expresión a + bc indica que primero debería efectuarse la multiplicación de b y c,
para agregar después al producto el valor de a.
Análogamente, la expresión a/b – c indica que
primero debería efectuarse la división de a entre b, para restar después el valor de c.
Ahora bien, ¿cómo escribiríamos la expresión que recoja la operación de “dividir a entre
la diferencia de b y c ”? Indudablemente, no se
trata de la expresión anterior, a/b – c, ya que
ahora no puedo proceder a la división hasta
que no tenga la diferencia de b y c; debo calcular primero esta diferencia.
1. Operaciones indicadas dentro de los
paréntesis. Si hay paréntesis dentro de otros
paréntesis, se procede a resolverlos de adentro
2. Potencias.
3. Multiplicaciones y divisiones.
4. Sumas y restas.
Veamos algunos ejemplos de aplicación
de estas reglas:
i)	la cuarta parte de un número
j)	la mitad de la diferencia de los
cuadrados de dos números
k)	la quinta parte del cuadrado de la diferencia de dos números
l)	el número siguiente a uno dado
1. En cada uno de estas expresiones,
aplique ordenadamente los pasos a seguir
y halle su valor numérico para los valores
de la(s) indeterminada(s) que se indican:
2. Escriba las expresiones correspondientes a cada uno de los enunciados siguientes [utilice las letras de las indeterminadas
así: a, si hay una sola indeterminada; a, b,
si hay dos indeterminadas; etc.]:
a) 3y + 5; y = 1
a)	el doble de un número (es decir, el
doble de a)
b)	el triple de un número, más 1
c)	el triple de “un número más 1”
d)	el cuadrado de la suma de dos
e)	la suma de los cuadrados de dos
f)	la suma de dos números multiplicada
por su diferencia
g)	1 más el cubo de la suma de dos
h)	el triple de un número menos el doble
de otro número
b) 3(y + 5); y = 1
c) 2a2 + 2; a = 10
d) 3b + 4(c/2); b = 1, c = 2
e) (16m – n2) / 4; m = 1, n = 4
;x=3
g) 2(3 + 5z) – (z + 3); z = 1
h) [15 – (m – n)3]2; m = 5, n = 3
i) 8[2(y – 3) + 4(7 – y)]; y = 5
Al igual que en Aritmética, ahora también
puede hablarse de (y representar) la igualdad
de dos expresiones simbólicas literales; por
ejemplo, 4a + b = 3c – 2d. Esto significa que
para algunos números, el cuádruple del primero más el segundo, toma el mismo valor que
el triple del tercero menos el doble del cuarto.
Puede verificarse esta igualdad para muchos
grupos de cuatro números naturales, debidamente seleccionados.
En este punto, conviene llamar la atención
respecto al manejo del signo igual. En Aritmética, estamos acostumbrados a ver el signo igual
“detrás” de una operación indicada, a la espera
de colocar “a la derecha” del signo el resultado
de la operación. Así por ejemplo, “5 + 7 =” invita a colocar 12 a la derecha: “5 + 7 = 12”.
mismo ocurre para la representación de regularidades que conciernen también a los números
Ahora, en el caso de las expresiones simbólicas literales, el signo de igualdad no es una
invitación para obtener el resultado numérico de una operación; simplemente indica un
“equilibrio”, una “simetría”, entre las expresiones que se hallan a ambos lados del signo:
ambas tienen el mismo valor.
Esta necesidad de generalización, de expresar la generalidad, es tan sentida que, como
acabamos de recordarlo, no pudimos resistir la
“tentación” de utilizar expresiones simbólicas
literales en algunos de los Cuadernos anteriores. Así que, “sin querer queriendo”, ya hemos
justificado el uso de estas expresiones para representar regularidades propias de los números
Ya nosotros utilizamos este tipo de igualdad en algunos temas de Aritmética; por ejemplo, al hablar de la potenciación (Cuaderno 6,
p. 17) escribíamos igualdades como éstas para
representar algunas regularidades referentes a
(n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1
(n + m) 2 = n 2 + 2nm +m 2
Ahora vamos a referirnos particularmente
al caso de estas y otras regularidades.
2.3. La representación de regularidades referidas a los números naturales
Así como hemos descubierto la necesidad
de introducir expresiones simbólicas literales,
con su sintaxis propia, para representar las propiedades de las operaciones con números naturales y, de este modo, ganar en generalidad, lo
El uso de la expresión simbólica literal de
una regularidad [por ejemplo, (n + 1)2 – n2 =
n + (n + 1)] abarca todos los casos numéricos
particulares y “dice” la regularidad de una manera más resumida que su expresión verbal (“la
diferencia de los cuadrados de dos números
naturales consecutivos es igual a la suma de
dichos números consecutivos”). Sin embargo,
quien lee (n + 1)2 – n2 = n + (n + 1) debe estar
siempre en capacidad de interpretar su contenido, es decir, de saber formular su expresión
3. Escriba la igualdad simbólica literal
correspondiente a los siguientes enunciados (utilice n y m para designar las
indeterminadas):
a)	La suma de dos números menos la diferencia de ambos, es igual al doble
del número menor.
b)	La suma de dos números multiplicada por su diferencia, es igual al cuadrado del número mayor, menos el
cuadrado del número menor.
c)	La suma de dos números seguidos es
igual al doble del primero, más 1 unidad.
Si n y m representan a dos números
naturales cualesquiera, interprete las
siguientes igualdades simbólicas literales:
a) (n – m) 2 = n 2 – 2nm + m 2
b) (n + m) + (n – m) = 2n
c) (n + 1) (n + 3) = n 2 + 4n + 3
d) n 3 – 1 = (n 2 + n + 1)(n – 1)
2.4. La representación de patrones o
términos generales de una sucesión de
En los Cuadernos de Aritmética hemos
planteado algunos ejercicios en los que se daban algunos términos de una sucesión de números y se pedía averiguar algún número omi-
tido, o el siguiente de la sucesión. Un ejercicio
de esta especie puede ser: ¿Cuál es el número
que ocupa la posición 15 en esta sucesión de
números: 2, 4, 6, 8, 10,...?
Resolver este ejercicio implica averiguar
cuál es la ley o regla que se aplica para generar cada uno de los números de la sucesión. Al
intentar hacerlo nos percatamos enseguida de
que estamos tratando con dos tipos de números: uno, el que indica la posición en que se
halla cada número (n); y dos, el número que
ocupa esa posición (an ). Para el ejemplo dado:
como la posición que ocupa cualquier número;
por ejemplo, el número 628 está en la posición
314 de esa sucesión (¿por qué?).
mediante la expresión 2n, en la que n denota
cualquier número natural (de esta forma se incluye también el 0, que es un número par).
La sucesión que hemos presentado es la de
los números pares positivos (> 0). Nos interesa
destacar que, además de servirnos para averiguar cuál es el número par positivo que ocupa
una determinada posición en la sucesión o, al
revés, la posición que ocupa cualquier número
par en ella, la expresión del término general se
convierte en la expresión de cualquier número
par; todo número par puede representarse
En este caso se dice que 2n representa cualquier número par, siendo n cualquier número
natural. Esta última condición puede escribirse
simbólicamente: para todo n ∈ N (el símbolo
∈ se lee “que pertenece a”; N representa al
conjunto de los números naturales); también
suele decirse: para n = 0, 1, 2,...
He aquí algunos otros ejemplos:
Pues bien, lo que tenemos que hacer es
descubrir la relación que existe entre cada par
de números: “posición ocupada” y “número
que ocupa esa posición” (1 y 2; 2 y 4; 3 y 6;
etc.); es decir, debe tratarse de una relación
constante, la misma para cada par de números
relacionados. En nuestro caso es sencillo: el número que ocupa una posición es el doble del
número que indica la posición ocupada: an es
el doble de n.
Ahora resulta sencillo representar esta relación: el término general de la sucesión es
an = 2n. Ahora estamos listos para contestar la
pregunta: el número que ocupa la posición 15
(n = 15) en esta sucesión es a15 = 2 x 15 = 30.
Y, además, podemos saber qué número ocupa cualquier otra posición en la sucesión, así
literales. Y luego, trabajar con este tipo de expresiones para intentar llegar al resultado; esta
segunda parte se denomina la prueba o demostración de la conjetura.
Veamos algunos ejemplos de prueba de
conjeturas, a cuyos enunciados se ha llegado
por observaciones atentas de lo que ocurre con
2.5. La representación y prueba
de conjeturas relativas a los números
En el Cuaderno dedicado a la divisibilidad
(nº 8, pp. 10 y 11) se hablaba de las conjeturas,
proposiciones que tienen que ver con números
y que se cumplen para distintos valores numéricos. Por ejemplo, ésta: “Todo número par
mayor que 4 es suma de dos números primos
impares (conjetura formulada por Goldbach,
un matemático alemán que vivió en el siglo
XVIII)”.
Las conjeturas se establecen a partir de una
observación atenta de los que pasa con ciertos
números. Una vez formuladas, se desea saber
si se cumplen para todos los números. Es decir,
se desea establecer su generalización. Esto no
siempre es fácil y, como decíamos en el Cuaderno 8, hay algunas conjeturas “abiertas”, que
no han fallado hasta ahora, pero cuya generalización no se ha establecido todavía. Otras son
más sencillas de verificar.
¿Y qué importancia tienen las conjeturas
para el desarrollo de la matemática y para nosotros? Lo decíamos también en el Cuaderno 8
(p. 11): “...la curiosidad, la búsqueda, el planteamiento de conjeturas, el intento por verificarlas (o por refutarlas), el hacerse nuevas preguntas…, todo esto forma parte de la historia y
del “ser” de la matemática, la manera como se
construye por dentro [...], todo esto forma parte
del clima en que debemos trabajar la matemática, parcela por parcela, nosotros y con nuestros
El primer paso para intentar establecer la
generalización de una conjetura, es decir, para
verificar que se cumple para todos los números
naturales, es expresarla en términos simbólicos
La suma de dos números, más su diferencia, es igual al doble del número
Si representamos los números como a y
b (a > b), la conjetura se expresa como:
(a + b) + (a – b) = 2a, con a, b ∈ N. Y su
prueba es muy sencilla: (a + b) + (a – b)
= a + b + a – b = a + a = 2a.
La suma de dos números impares seguidos es múltiplo de 4.
Un número impar cualquiera puede ser representado, según vimos, como 2n + 1, n ∈ N. El
número impar siguiente será 2(n + 1) + 1, que puede escribirse como 2n + 2 + 1 = 2n + 3. Si
sumamos ambos números tenemos: 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4 = 4(n + 1). La suma es, pues, un
múltiplo de 4, ya que es el producto de 4 por el número (n + 1).
Tome un número de dos cifras (p. ej., 37); forme otro número con las cifras del anterior en orden invertido (73); obtenga la diferencia positiva entre ambos números (73 – 37 = 36). Haga
lo mismo con otros números y observe bien las diferencias en cada caso. ¿Qué conjetura se
le ocurre? ¿Cómo puede estar segura(o) de su enunciado? (Cuaderno 8, p. 11).
Un número de dos cifras como 37 puede descomponerse así: 37 = 3 x 10 + 7 (Cuaderno 2). Si
ahora queremos generalizar esta expresión para cualquier número de dos cifras de la forma ab
(ojo, en este momento no estamos refiriéndonos al producto de a por b), sabemos que su valor
es 10a + b; el número con las cifras en orden invertido, ba, valdrá 10b + a, con a, b∈ N.
Supongamos que b > a. En este caso, 10b + a es mayor que 10a + b y la resta entre ambos números dará como resultado: (10b + a) – (10a + b) = 10b + a – 10a – b = 9b – 9a = 9(b – a). Esta
última expresión representa a un múltiplo de 9 (lo mismo ocurre si a > b). Luego la conjetura
dice que la resta de esos dos números de dos cifras, sean cuales sean, es un múltiplo de 9. Y
acabamos de dar su prueba, que nos permite estar seguros de su enunciado, sin necesidad de
hacer todas las verificaciones posibles con los números.
Si a todo número impar elevado al cuadrado, se le resta 1 unidad, se obtiene un número
múltiplo de 8.
Si tomamos un número impar 2n + 1, n ∈ N, su cuadrado será (2n + 1) 2 = (2n + 1)(2n
+ 1) = 4n 2 + 2n + 2n + 1 = 4n 2 + 4n + 1. Si a este resultado se le resta 1, nos queda 4n
+ 4n, que puede expresarse en la forma 4n (n + 1). Esta última expresión puede interpretarse como el producto de tres factores: 4, n y (n + 1). Ahora bien, si n es impar, (n +
1) será par; y si n es par, (n + 1) será impar, ya que se trata de dos números seguidos. Y
si uno de ellos es par, el producto n (n + 1) será siempre par, y al multiplicarse por 4, la
expresión total 4n (n + 1) será múltiplo de 8.
Representar simbólicamente una conjetura y probarla, no es una tarea sencilla; sin embargo, le proponemos las siguientes para que intente expresarlas y probarlas:
a) La suma de dos números, menos su diferencia, es igual al doble del número menor.
b) La suma de tres números seguidos es un número múltiplo de tres.
c) El producto de dos números impares seguidos, más 1 unidad, es un múltiplo de 4.
d) Tome un número de dos cifras, inviértalo como antes, pero ahora sume los dos números. Haga lo mismo con otros números y observe los resultados. Nuevamente, ¿qué
conjetura se le ocurre? ¿Cómo puede estar segura(o) de su enunciado?
Como podemos apreciar, las conjeturas se establecen en el campo de la Aritmética y son un
motor para el avance del conocimiento matemático, pero necesitan de las expresiones simbólicas
literales para probar su carácter general.
3. Las ecuaciones
Hasta ahora hemos visto la conveniencia y la necesidad de avanzar más allá de la Aritmética,
precisamente para dotar de generalidad a la representación de:
las propiedades de las operaciones entre números naturales,
ciertas regularidades que se presentan entre tales números,
los patrones o términos generales de secuencias numéricas,
conjeturas acerca de los números, y para su correspondiente prueba.
Existe otro campo de trabajo fundamental en la Aritmética, que es la resolución de problemas.
Hemos trabajado con algunos métodos propios, tales como utilizar las operaciones y sus propiedades como modelos de las situaciones problemáticas; también nos hemos servido del método general de ensayo y ajuste, que sugiere probar con valores particulares de la incógnita del problema
y tomar decisiones a partir de los resultados así
obtenidos, hasta llegar a la solución.
Pero después de lo desarrollado en este
Cuaderno, es lícito preguntarnos: ¿También es
posible avanzar hacia procesos más generales de resolución de problemas? ¿Existe algún
método general, válido como el de ensayo y
ajuste, que permita abordar la resolución de un
problema sin tener que ir probando con valores
particulares de la incógnita del problema?
Veamos este problema, planteado y resuelto con anterioridad (Cuaderno 3, p.22): “La
suma de tres números impares consecutivos es
81. ¿Cuál es el menor de ellos?”. La solución
dada es la siguiente (p.25): “Basta con aproximarnos por tanteo. Se llega al valor de 25 (25 +
27 + 29 = 81)”.
Si en el enunciado se nos hubiera dicho
que la suma es 126, el método de tanteo hubiera funcionado igual, pero habría que ensayar
con otros números particulares, hasta llegar al
ajuste correspondiente.
¿Hay otra forma de plantear la búsqueda
de la solución? Sí. Pensemos en el enunciado
de esta manera: tengo que sumar al número
menor otro que es 2 unidades mayor, y un tercero que es 2 unidades mayor que el anterior,
es decir, 4 unidades más que el primero; en total estoy acumulando tres veces el número menor, más 6 unidades; este total debe valer 81.
Podemos abreviar todo ese discurso si al
número menor (que es la incógnita del problema) lo designamos... con una letra; por ejemplo,
n. Entonces el planteamiento hacia la solución
se escribiría: n + (n + 2) + (n + 4) = 81. ¿Qué
es esta expresión? ¿Qué representa? Desde luego, no representa una propiedad de la suma
de números, tampoco una regularidad que se
cumple para todos los números, ni tampoco el
patrón de una sucesión numérica, ni tampoco
una conjetura de carácter general. A pesar de
que utilizamos un símbolo literal, ya no estamos en el ámbito de las expresiones que
representan una generalización...
Esa es una expresión particular, en la que
el símbolo n representa a un número concreto, en un contexto concreto (el de los números
impares), que debe satisfacer unas condiciones
concretas (que la suma indicada valga 81). Este
objeto matemático nuevo recibe el nombre de
En lo que sigue vamos a estudiar con detenimiento este nuevo objeto matemático y cómo
se trabaja con él para poder llegar a la solución
de los problemas, es decir, a obtener el valor de
la incógnita de cada problema. Pero lo que nos
interesa destacar es que llevar el enunciado
de un problema a una ecuación es un nuevo método para resolver ciertos problemas.
Y es un método general.
En efecto, si en el problema anterior la
suma debe ser 129, la ecuación correspondiente será n + (n + 2) + (n + 4) = 129. Cambia ese
dato final, pero no la estructura de la ecuación.
Más aún, si el enunciado indica que la suma de
5 números impares consecutivos es 405 y hay
que hallar el mayor, la ecuación será (n – 8) +
(n – 6) + (n – 4) + (n – 2) + n = 405; la ecuación
tiene una estructura similar a las anteriores. Es
decir, la estructura de la ecuación está preparada para aceptar diversos casos particulares y representarlos.
Vamos a aprender a “resolver” ecuaciones
para poder resolver problemas. Pero, de suyo,
el objeto matemático ecuación es muy importante en sí mismo, así que vamos a estudiarlo
3.1. Construir ecuaciones
La primera pregunta que tenemos que responder es, indudablemente, ¿qué es una ecuación? Nada mejor para ello que saber construirla: si sabemos “fabricar” una ecuación tendremos asegurada una respuesta a esa pregunta.
Vamos a hacerlo. Tomemos, por ejemplo, el
número 13 y escribamos algunas expresiones
aritméticas que liguen números naturales con
operaciones y cuyo resultado sea 13. En seguida se nos vienen a la mente las más sencillas,
las que utilizan dos números ligados por un signo de operación; por ejemplo: 9 + 4; 18 – 5;
26 : 2; 5 + 8; etc.
En un segundo paso, seguramente empezamos a manejar expresiones más complejas,
con más números o más operaciones implicadas; por ejemplo: 6 + 6 + 1; 8 + 10 – 5; 3 x 4
+ 1; 30 : 2 – 2; 2 x 5 + 3; 6 x (4 – 1) – 5; 42 +
4 – 7; etc. Como se puede apreciar, la lista de
expresiones no tiene fin.
Si ahora tomamos dos cualesquiera de
esas expresiones aritméticas y las igualamos estamos construyendo una igualdad aritmética.
Por ejemplo: 2 x 5 + 3 = 5 + 8. Bien; supongamos que alguien tapa con el dedo o con un
símbolo cualquiera (nos puede servir ♣) el número 5, presente a ambos lados de la igualdad.
Nos quedaría a la vista 2 x ♣ + 3 = ♣ + 8.
Desde luego, la expresión resulta extraña;
la igualdad indicada ya no es transparente como
antes, cuando se podía calcular el valor de las
expresiones ubicadas a cada lado del signo = y
verificar su igualdad. En lugar de esta sencilla
tarea de verificación tenemos otra un poco más
compleja: descubrir qué número debe estar escondido tras el símbolo ♣ para que la igualdad
vuelva a ser verificable.
Hay que hacer notar que los símbolos que
habitualmente se utilizan para “esconder” los
números son los de uso más universal: las letras. De este modo, si tomo la letra m (que es
la inicial de mi nombre), la expresión anterior
será: 2 x m + 3 = m + 8 cuya escritura formal,
según vimos anteriormente, será: 2m + 3 = m +
8. Acabamos de construir una ecuación.
También podríamos haber partido de la
igualdad aritmética 4 2 + 4 – 7 = 3 x 4 + 1 en
la que, si escondemos el número 4 tras la letra
n (que es la última letra de mi nombre), llegamos a la expresión: n 2 + n – 7 = 3 x n + 1,
cuya escritura formal será: n 2 + n – 7 = 3n + 1.
Hemos construido otra ecuación. Ahora ya podemos responder a la pregunta anterior, qué es
una ecuación.
3.2. Conceptos y elementos asociados a una ecuación
· Una ecuación es una igualdad
aritmética en la que hay algún número desconocido.
· El símbolo (letra) que “esconde”
ese número se denomina incógnita.
· Resolver una ecuación significa
hallar el valor numérico de la incógnita.
· Una ecuación está bien resuelta
si al sustituir la incógnita por el
valor numérico hallado se hace
verificable la igualdad aritmética
inicial. En este caso hemos hallado la solución de la ecuación.
Siguiendo el ejemplo anterior, construya dos ecuaciones para cada uno de
los casos siguientes, en los que se da el
valor de la igualdad aritmética inicial y
el valor que debe tener la incógnita (el
número que se escondió):
0	115 · En cada miembro encontramos términos, que son las expresiones separadas por los signos
+ ó –. Por ejemplo, en n 2 + n – 7 hay tres términos: n2, n y 7. Algunos términos tiene su
coeficiente numérico y su parte literal; por ejemplo, en 3n, 3 es el coeficiente y n la parte
literal; y en m, el coeficiente es 1 y m la parte literal. Otros términos se reducen a un número,
como por ejemplo, 3, 8, 7, 1.
· El grado de la ecuación viene dado por el mayor exponente que presenta la incógnita respectiva. Así, la ecuación n 2 + n – 7 = 3n + 1 es de grado 2 o de segundo grado, mientras
que 2m + 3 = m + 8 es una ecuación de primer grado o de grado 1.
· Los miembros de la ecuación son las expresiones que se ubican a cada lado del signo =. Así,
en 2m + 3 = m + 8, el miembro de la izquierda es 2m + 3, y el de la derecha, m + 8. Y
análogamente, n 2 + n – 7 y 3n + 1 en n 2 + n – 7 = 3n + 1.
5. Determine si la solución propuesta
para cada ecuación es la solución correcta:
· El número de incógnitas de una ecuación es otro elemento a tomar en cuenta. Así, 2m
+ 3 = m + 8 y n2 + n – 7 = 3n + 1 son dos ecuaciones con una sola incógnita cada una. En
cambio, 3p + 2r = 16 es una ecuación con dos incógnitas.
También suele tomarse en cuenta la naturaleza de las soluciones, es decir, el tipo de
números que se obtienen al resolver una ecuación. Las ecuaciones cuyas soluciones son
exclusivamente números naturales suelen denotarse como “ecuaciones en N” (N designa el conjunto de los números naturales).
En este Cuaderno trabajaremos con ecuaciones de primer grado con una incógnita
a)	5s – 7 = 2 + 2s; s = 2
b)	7c –10 = 30 – c; c = 5
c)	18e + 5 = 5; e = 0
d)	3x 2 + 5 = x + 8; x = 1
e)	60 = 85 – 15t; t = 5
f)	3u 2 – 15u = 15u; u = 10
g)	3u 2 – 15u = 15u; u = 0
h)	3m – 9 = 3(m – 3); m = 4
i)	3m – 9 = 3(m – 3); m = 5
En una ecuación ya construida encontramos los siguientes elementos:
¿Por qué la x en nuestras ecuaciones?
Si tomamos cualquier libro de matemática en el que se trate de ecuaciones, encontraremos
que casi siempre la incógnita se designa con la letra x. ¿De dónde viene esta costumbre? ¿Es
muy reciente? Pues no es tan reciente; lo cierto es que tiene unos cuantos siglos de antigüedad. De hecho proviene de los árabes, aunque su fundamentación es anterior. Veámoslo.
Las ecuaciones se plantearon y resolvieron desde las culturas babilónica y egipcia; es decir,
quizá desde el cuarto milenio antes de Cristo (Kline, 1992). Claro que no se escribían como
hoy en día, en la forma simbólica y reducida que nosotros utilizamos desde hace unos pocos
siglos. El planteamiento de una ecuación consistía en “echar el cuento” de lo que había que
hacer con el valor desconocido: multiplicarlo por tal cantidad, sumarle tanto, etc., para obtener tanto...
El término para designar este valor desconocido variaba de una cultura a otra, pero a partir de
cierto momento fue designado habitualmente como “la cosa” (todavía, en nuestras culturas
utilizamos expresiones como ésa para referirnos a objetos de cuyo nombre no nos acordamos
o que no queremos mencionar en público...).
“La cosa” en latín se dice “res” (de ahí viene la palabra república, “res publica”, “la cosa pública”, aunque algunos de nuestros gobernantes la han solido convertir en “la cosa de ellos”...).
Y en árabe, xai. Pues bien, la letra inicial x, como abreviatura de xai, pasó a convertirse en el
símbolo que representaba a la cosa desconocida, a la incógnita. Estamos hablando del siglo
IX de nuestra era, cuando los árabes dominaban buena parte de Asia, el sur de Europa y el
norte de África, y se convirtieron en los propagadores de las culturas antiguas... y de la x de
nuestras ecuaciones.
Esa costumbre de utilizar la letra x para designar la incógnita de la ecuación ha trascendido el
campo de la matemática y hoy en día sirve para referirse a lo desconocido, lo incógnito. Así,
hablamos de rayos X, los expedientes X, los hombres X, la sustancia X, etc.
3.3. Ecuaciones equivalentes
Muchas ecuaciones pueden compartir la misma solución. Las que
lo hacen se denominan ecuaciones
equivalentes. Por ejemplo y dentro
del conjunto de las ecuaciones de primer grado con una incógnita en N, 2m
+ 3 = m + 8 y 20 – 3x = x son ecuaciones equivalentes, ya que para ambas la
solución es 5.
Nos interesan, en particular, las
ecuaciones que se van derivando de
una ecuación dada a partir de transformaciones que sean válidas. Como
una ecuación es una igualdad aritmética, las transformaciones válidas son
aquellas que conservan la igualdad de
ambos miembros. Veamos algunas de
ellas, aplicadas a la ecuación 2m + 3 =
m + 8 cuya solución es 5.
6. Escriba en cada caso la ecuación resultante de las transformaciones que se indican para la ecuación dada:
a) 10 + 4x = 30 – 6x; dividir los dos miembros entre 2 y restar 2x en ambos
b) 13 – 5d = 4 + 4d; cambiar de lado los
miembros de la ecuación, colocar p
como incógnita y sumar 5p en ambos
multiplicar ambos
miembros por 4, sumar 1 y restar 5x en
cada miembro
d) 7(z + 2) = 14; dividir los dos miembros
entre 7 y restar 2 en ambos
e) 5 = 27 – 2c; restar 1 en los dos miembros, dividir ambos entre 2, restar 2 en
cada miembro y cambiarlos de lado
restar 4 en los dos miembros,
multiplicar ambos por 3, dividirlos entre 2 y colocar y como incógnita
7. Determine cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes a la
ecuación 11 – 2x = 7x + 2 [en los casos afirmativos, trate de precisar la(s)
transformación(es) aplicada(s)]:
a)	2 + 7r = 11 – 2r
b)	15 – 2p = 7p + 8
c)	11 – m = 2 + 7m
d)	5s + 2 = 11
e)	4 + 14n = 22 – 4c
f)	9 – 5x = 4x
g)	2 + 5t = 11 – 4t
h)	6 + 15v = 33 – 12v
i)	9 = 9x
j)	22 – 4g = 4 + 7g
k)	7u + 1 = 11 – u
l)	33 – 2z = 25z + 6
8. Construya ahora dos ecuaciones equivalentes y súmelas, miembro a miembro.
¿La ecuación resultante será también equivalente a las dadas?
3.4. Resolución de ecuaciones
Como se indicó anteriormente, resolver
una ecuación es encontrar su solución, es decir,
el valor numérico de la incógnita; este valor, al
sustituirse en la ecuación, restituye y hace verificable la igualdad aritmética inicial.
Antes de abordar los diversos procedimientos disponibles para resolver ecuaciones,
digamos que éstas pueden presentar varias
formas, como ya hemos visto en los ejemplos
presentados hasta ahora. La forma a x ± b = c
x ± d, en la que a, b, c y d son coeficientes (generalmente, números naturales, alguno de los
cuales puede ser eventualmente igual a cero),
se denomina forma canónica de la ecuación
de primer grado con una sola incógnita en
N. Vamos a trabajar en los métodos para su resolución.
a) Los métodos intuitivos
Corresponden a ecuaciones muy sencillas; por ejemplo, para resolver una ecuación
como 5 + z = 11, basta recordar las tablas de
la suma o, simplemente, contar desde 5 hasta
11 y deducir que z debe ser igual a 6. O para
el caso de 2x + 12 = 5x, es fácil percibir que,
como 2x + 3x es igual a 5x, entonces 12 debe
corresponder a 3x, con lo que x debe valer 4.
Igualmente, para ecuaciones como 2u + 15 =
23, podemos percibir que 2u equivale a 8 (para
ajustar el resultado de la suma 8 + 15 = 23), de
donde se sigue que u es 4.
En todos estos casos prevalece una visión
integral de la ecuación como un todo, como
una relación de igualdad que comprende todos
los términos de los dos miembros, y no sólo una
visión aislada de la incógnita. Por esta razón,
estos métodos son perfectamente válidos y no
deben desdeñarse, aun cuando en este proceso
de resolución no se escriba nada y el resolutor
se limite a describir verbalmente el proceso seguido. Es más, esta visión integral de toda ecuación debe ser uno de los objetivos a alcanzar en
las tareas de resolución de ecuaciones.
Después de observarlas como un todo, resuelva intuitivamente y sin escribir nada,
a)	b)	c)	d)	e)	f)	7 = 3d + 4
7c = 15 + 2c
4m – 5 = 19
17 = 9n + 17
y – 18 = 5
18 – 2c = 4c
b) El método de ensayo y ajuste (tanteo razonado)
Se trata de asignar un valor inicial a la incógnita, sustituirlo en la ecuación, observar si los dos
miembros de la ecuación toman el mismo valor, y decidir en consecuencia. Por ejemplo, intentemos resolver la ecuación 5x – 7 = 3x + 5.
Damos a x el valor inicial 3; el miembro de la izquierda queda igual a 8 y el de la derecha, a
14; evidentemente, 3 no es la solución requerida ya que 8 ≠ 14; anotamos que la diferencia entre
estos valores 14 – 8 es 6. Damos ahora a x el valor 4; el miembro de la izquierda queda igual a 13 y
el de la derecha, a 17; tampoco 4 es la solución requerida, pero observamos que la diferencia entre
estos últimos valores 17 – 14 es 4; es decir, la diferencia se ha acortado (ha pasado de 6 a 4).
Esta última observación significa que el proceso de incrementar el posible valor de x, a partir
del valor inicial 3, es correcto: la incógnita vale más que 3. En efecto, si en lugar de 4 hubiéramos
dado a la incógnita el valor 2, el miembro de la izquierda hubiera quedado igual a 3 y el de la
derecha a 11, y la diferencia entre estos últimos valores 11 – 3, sería 8; es decir, la diferencia se
habría incrementado (pasaría de 6 a 8).
Por consiguiente, después de dar estos dos pasos, es decir, de asignar dos valores a la incógnita, estamos en capacidad de decidir hacia dónde tenemos que ensayar nuevos valores de la
incógnita. En el ejemplo que nos ocupa, este valor es mayor que 4. Resta, pues, probar con 5, con
6..., hasta llegar al punto en que los dos miembros de la ecuación alcancen el mismo valor.
En nuestra ecuación 5x – 7 = 3x + 5 esto ocurre con x = 6; en efecto, los dos miembros de la
ecuación toman el valor 23 (que es el valor de la igualdad aritmética inicial).
Pudiera alegarse que este método de ensayo y ajuste es muy largo y, por consiguiente poco
económico. Aparentemente es así, pero tiene la ventaja de que también toma en cuenta a toda la
ecuación de una manera integral, y no sólo a las incógnitas; y además, nos recuerda el origen de
las ecuaciones, la igualdad aritmética original, ya que en cada ensayo nos obliga a considerar si se
ha alcanzado o no dicha igualdad.
Como en el caso de los métodos intuitivos, tampoco aquí se está obligado a escribir el proceso de resolución; el método puede desarrollarse mentalmente. Pero podemos ayudarnos con un
esquema sencillo como éste:
e ir escribiendo los sucesivos resultados en las filas inferiores de la tabla anterior hasta llegar a la
solución buscada. Volveremos sobre este método posteriormente.
c) Los métodos de despeje
Como hemos venido diciendo, la tarea de
resolver una ecuación termina cuando se llega a obtener el valor de la incógnita; es decir,
cuando se llega a una expresión como x = 5.
Bien observada, esta última expresión tiene
también la forma de una ecuación: hay dos
miembros ligados por el signo de igualdad. La
particularidad está en que en uno de los miembros figura la incógnita con coeficiente 1 y en el
otro, un número. En lo que respecta a la incógnita, debe estar sola, “despejada” de cualquier
otro término y de cualquier otro coeficiente que
no sea 1.
Por consiguiente, es lógico pensar en un
método que parta de la ecuación original y
que, mediante una cadena de ecuaciones equivalentes obtenidas por la aplicación de transformaciones válidas, nos lleve a una expresión
en la que la incógnita aparezca despejada. Y
resulta natural identificar a este proceso como
el método de despeje.
Vamos a trabajar con este método. Y la primera observación que formulamos es que pueden
presentarse diversas alternativas de aplicación, de acuerdo con la naturaleza de los términos que
presente la ecuación.
a) 5m + 1 = 7 + 4m
c.1) La técnica de la balanza
Consideremos la ecuación 2x + 9 = 5x + 3, en la que los términos numéricos y los coeficientes
de la incógnita son todos positivos. Podemos representar esta situación mediante una balanza en
equilibrio (imagen de la igualdad), en la que cada platillo simboliza un miembro de la ecuación; y
para representar los términos utilizamos, por ejemplo, un
c) 7 + 3z = 8z + 7
d) 3u = u + 12
c.2) La técnica del gráfico
Despejar la incógnita significará ir extrayendo de cada platillo, en cada paso, la misma cantidad de cualquiera de los dos objetos dibujados. Esta condición es necesaria para que se mantenga
el equilibrio de la balanza. Por ejemplo, podemos extraer dos “incógnitas”, con lo que llegamos a:
b) 9 = 6 + p
para cada x y un ο para cada unidad
La ecuación podría, entonces, representarse así:
Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando su representación en la balanza:
Denominamos así el procedimiento que
va mostrando, a partir de la ecuación inicial, las
transformaciones que se aplican en cada paso
y las ecuaciones equivalentes que se generan
como resultado. Así, para nuestra ecuación 2x
+ 9 = 5x + 3 partimos de su representación inicial, en la que se colocan los términos de cada
miembro encima y debajo de los lados horizontales de un rectángulo:
Ahora podemos extraer tres unidades numéricas, operación que nos lleva a:
El equilibrio final traduce la equivalencia en “peso” de los objetos contenidos en cada platillo;
es decir, un equivale a ο ο. Si regresamos ahora a las representaciones iniciales, decimos que
hemos llegado al resultado: x = 2. Esta es la solución de la ecuación, como puede verificarse; el
valor de la igualdad aritmética inicial es 13.
Como puede apreciarse, el procedimiento es útil para manipular y captar visualmente las
transformaciones que afectan a cada miembro de la ecuación (platillo) y que van generando la
cadena de ecuaciones equivalentes que nos llevan a la solución. Su limitación consiste en que los
términos numéricos y los coeficientes de la incógnita deben ser todos positivos.
c.3) La técnica simbólica habitual
y su resolución se representaría así:
Evidentemente, el orden de aplicación de las transformaciones puede variar (por ejemplo, se
pudo haber restado 3 unidades al comienzo y, después, 2x). Cada eslabón rectangular contiene los
pares de miembros que forman las sucesivas ecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución.
Con respecto a la representación de la balanza, ahora ya no existe la limitación de que todos
los términos numéricos sean positivos. Incluso, podemos resolver ecuaciones que no se presenten
en su forma canónica. Por ejemplo, resolvamos la ecuación 2(x – 4) + 7 = 44 – 3x:
2(x – 4) + 7
2x – 8 + 7
44 – 3x
5x – 1
Como se puede apreciar, las dos primeras transformaciones no implican operaciones aritméticas
referidas a ambos miembros de la ecuación, sino simplemente transformaciones en la expresión
de uno de los miembros, con el fin de llegar a la forma canónica de la ecuación.
Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando su representación transformacional:
a) 2x – 1 = 3x – 8
b) 5(2s – 6) = 0
c) 5z + 2 = 2(1 + 3z) d) 1 = 16 – 3(m + 1)
La técnica de despeje que se utiliza habitualmente para la resolución de una ecuación
de primer grado es una simplificación de la técnica transformacional anterior, en el sentido de
que únicamente se presenta la cadena de ecuaciones equivalentes, en su forma simbólica, sin
indicar explícitamente la transformación que se
lleva a cabo en cada paso.
Así, en nuestra ecuación 2x + 9 = 5x + 3,
la secuencia de resolución es:
2x + 9 = 5x + 3
2x + 6 = 5x
6 = 3x
Esta técnica tiene validez para el resolutor
si éste entiende cuál es la transformación que
debe aplicar en cada paso. Con mucha frecuencia se suele sustituir esta comprensión de
las transformaciones por reglas mecánicas sin
mayor sentido. Por ejemplo:
· de (1) se pasa a (2) porque “el 3 que está
sumando pasa restando”;
· de (2) se pasa a (3) porque “el 2x que está
· de (3) se pasa a (4) porque “el 3 que está
multiplicando pasa dividiendo”.
Las reglas mecánicas que suelen aplicarse
son, pues, éstas:
· lo que está sumando, pasa restando;
· lo que está restando, pasa sumando;
· lo que está multiplicando, pasa
dividiendo;
· lo que está dividiendo, pasa
Indudablemente, estas reglas no deben enseñarse a los alumnos, ni en primer lugar, ni mucho
menos exclusivamente; en todo caso deben ser descubiertas por ellos, como una conclusión práctica y posterior de su trabajo con la aplicación de las transformaciones correspondientes. Sólo si se
guarda este orden se evitarán los errores tan frecuentes en las tareas de despeje de la incógnita.
De modo que la secuencia de aprendizaje de la resolución de una ecuación de primer grado
por el método de despeje, bien puede pasar por las dos técnicas previas (de la representación en
la balanza y por medio del gráfico transformacional) antes de llegar al modo habitual de sólo presentar la cadena de ecuaciones equivalentes (mal acompañada, a veces, por las reglas mecánicas
al uso...).
No está de más, incluso, ver cómo se puede pasar del proceso en la balanza a la técnica
centrada únicamente en la forma simbólica de las ecuaciones equivalentes. Veámoslo para la
ecuación 2x + 9 = 5x + 3.
Se utilizan los dos procedimientos de despeje: en el lado izquierdo, el de la balanza; y en el
derecho, el correspondiente al uso de la forma simbólica:
Balanzas	οοοο
Quitar	οοοοοο
Restar 2x en ambos miembros
2x – 2x + 9 = 5x – 2x + 3
9 = 3x + 3
Restar 3 unidades en ambos miembros
9 – 3 = 3x + 3 – 3
De donde: =x
= οο
La experiencia enseña que habituarse a
este tipo de “traslación” de lo gráfico a lo simbólico con términos numéricos positivos, facilita la comprensión posterior de las transformaciones simbólicas en ecuaciones con términos
¿De dónde viene el nombre
de Algebra?
He aquí lo que al respecto escribe Morris
Kline (1992, p. 260) sobre los árabes: “Al
álgebra contribuyeron antes que nada con
el nombre. La palabra ‘álgebra’ viene del
libro escrito el [año] 830 por el astrónomo
Mohammed ibn Musa al-Khwârizmî (sobre
el 825), titulado Al-jabr w’al muqâbala. La
palabra al-jabr que en este contexto significa ‘restauración’, restaura el equilibrio en
una ecuación al colocar en un miembro de
la misma un término que ha sido eliminado
del otro; por ejemplo, si –7 se suprime de x2
– 7 = 3, el equilibrio se restaura escribiendo
x2 = 7 + 3. Al’ muqâbala significa ‘simplificación’, en el sentido de que, por ejemplo,
se pueden combinar 3x y 4x y obtener 7x,
o bien suprimir términos iguales en miembros distintos de una ecuación”.
Como puede observarse, el nombre de álgebra se deriva de la primera palabra de un
título más largo, título que recoge los nombres de dos de las transformaciones permitidas (‘restaurar’ y ‘simplificar’) para pasar
de una ecuación a otra equivalente. Nada
tiene de particular que el campo de la matemática orientado a la resolución de ecuaciones se conociera durante muchos siglos
(prácticamente hasta el siglo XIX) con el
nombre de álgebra y que, todavía hoy día,
cuando nos hablan de álgebra, pensemos
ante todo en la resolución de ecuaciones.
d) El tanteo formalizado: la regla “falsa” o de “falsa posición”
Retomemos la ecuación que nos sirvió de ejemplo al hablar del método de ensayo y ajuste,
5x – 7 = 3x + 5. Como vimos, empezamos a ensayar con los valores 3 y 4 para x, con los que
obtuvimos los valores respectivos de los miembros de la izquierda y de la derecha, 8 y 14 (para x =
3) y 13 y 17 (para x = 4); también obtuvimos las diferencias entre ambos miembros, en cada caso,
6 y 4. Vamos a llevar todos estos datos a la siguiente tabla, y agregaremos los correspondientes a x
= 5 y a x = 6 (el subíndice que se coloca a las incógnitas indica el orden en que se consideran; así,
x2 = 4 indica que 4 es el segundo valor de x considerado):
Cuando trabajamos con el método de ensayo y ajuste sólo remarcamos dos puntos: que la
diferencia F disminuyó al pasar de x = 3 a x = 4 (lo que indicaba que la solución estaba del lado de
los valores mayores que 3) y que había que seguir ensayando con algún valor mayor que 4, hasta
llegar a la solución (cuando F = 0).
Ahora podemos fijarnos en otro dato adicional: la variación de F. Cuando x vale 3, F toma
el valor 6; después, al incrementarse x en una unidad (al pasar de 3 a 4, de 4 a 5, y de 5 a 6), F
disminuye en 2 unidades (de 6 a 4, de 4 a 2, y de 2 a 0). Pero realmente no teníamos que haber
completado la tabla hasta llegar a tener F = 0. Con los dos primeros ensayos (x = 3 y x = 4) podíamos haber calculado la solución de la ecuación.
En efecto, estamos en presencia de una situación proporcional: cada vez que x aumenta
una unidad, la diferencia disminuye en 2 unidades. La pregunta es: ¿cuántas unidades tiene que
aumentar x para que la diferencia se anule? Podemos plantear la siguiente regla de tres:
aumento del valor de x
disminución de la diferencia F
de donde, a = — = 3 . Es decir, la incógnita debe aumentar 3 unidades a partir de su valor inicial,
que era 3. Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 6. Puede verificarlo.
Lógicamente, el método funciona también en los casos en que el primer valor ensayado de x
vaya por encima de la solución. Por ejemplo, para resolver la ecuación 16 + (20 – x) = 2(18 – 3x),
formamos la tabla:
Aplique el método de la regla de falsa
posición para resolver las siguientes
c) 5z + 2 = 2(1 + 3z)
d) 1 = 16 – 3(m + 1)
Como observamos, al pasar de x = 5 a x = 6, F pasa de 25 a 30; esto indica que la solución no
es ningún valor superior a 5, sino inferior; por eso ensayamos con x = 4 y vemos que F disminuye
en 5 unidades (pasa de 25 a 20). Organizamos ahora la regla de tres correspondiente:
disminución del valor de x
5 Es decir, la incógnita debe disminuir 5 unidades a partir de su valor
inicial, que era también 5. Por lo tanto, la solución de la ecuación es x = 0. Verifíquelo.
Como puede apreciarse, este método elude todo procedimiento de despeje y se basa en
la proporcionalidad presente entre los valores que toma la incógnita y los correspondientes
de la diferencia que se origina entre los valores de ambos miembros de la ecuación. ¿Sorprendente, no?
Si nos preguntamos desde cuándo se conoce esta forma de resolver ecuaciones de primer
grado, tendremos que decir que ya era utilizado en la Edad Media, aunque en el documento
egipcio conocido como “Papiro de Rhind” o “Papiro de Ahmes”, que data del siglo XVIII a.
C., ya se utiliza un método similar para resolver algunos problemas por la vía de las ecuaciones de primer grado. Y, al parecer, también era conocido siglos atrás en Babilonia... (Mason,
En cuanto al apelativo de regla “falsa” (de hecho había más de una...), proviene del acto
de proceder por tanteo, de adelantar una posible solución (generalmente “falsa”, con respecto
a la correcta), luego otra próxima (casi siempre también “falsa”), comparar algunos resultados
y generar a partir de ahí la solución correcta.
Este método de resolución de las ecuaciones de primer grado no es solamente una reliquia
histórica; puede utilizarse hoy día con toda propiedad. Y, de hecho, en algunas circunstancias
resulta más apropiado y explicativo que el método de despeje.
Al respecto, tomemos la ecuación 2(3z + 4) – 4 = 1 + 3(2z + 1). Si procedemos por despeje,
tendremos la secuencia:
2(3z + 4) – 4
6z + 8 – 4
6z + 4
1 + 3(2z + 1)
1 + 6z + 3
4 + 6z
Como se ve, al término de esta secuencia se llega a un resultado (0 = 0) que no nos
permite inferir cuál es la solución de la ecuación, aun cuando el paso anterior (6z = 6z) nos
deja ver que la incógnita puede tomar cualquier valor. De hecho, esta ecuación tiene como
solución cualquier número (puede verificarlo con dos o tres valores) y, por ello, recibe el
nombre de indeterminada.
Esta situación se presenta cuando al construir la igualdad aritmética inicial colocamos la misma expresión en ambos términos de la igualdad (aunque éstos aparezcan después ligeramente
transformados...).
Veamos este segundo ejemplo, 7 – 3u = 10 + 3(2 – u). Utilizamos de nuevo el método de
despeje para su resolución:
7 – 3u
10 + 3(2 – u)
10 + 6 – 3u
16 – 3u
Al término de esta nueva secuencia se llega a un resultado absurdo (7 = 16), que no nos permite decidir acerca de la solución de la ecuación. De hecho, esta ecuación no tiene solución. Dicho
en otras palabras, no se puede construir ninguna igualdad aritmética inicial que desemboque en
Veamos ahora el tratamiento de estas dos ecuaciones cuando se utiliza el método de la regla
de falsa posición. Para la ecuación 2(3z + 4) – 4 = 1 + 3(2z + 1):
Esta secuencia de acciones es precisamente la más apropiada para elaborar un
programa de computación que lea la ecuación y reporte como salida alguno de los tres
Basta con tomar dos valores cualesquiera de la incógnita para observar que las diferencias
finales F1 y F2 son ambas cero. Esto nos indica que la incógnita puede tomar cualquier valor.
Y para la ecuación 7 – 3u = 10 + 3(2 – u):
9. Aplique las acciones anteriores a las
siguientes ecuaciones y reporte, en cada
caso, el resultado final:
a) 8m + 1 = 13 – 4m
b) 6(3 – 2t) = 1 + 4(5 – 3t)
c) 3 + 7x = 3(2x + 1) + x
d) 7 = 2(5z + 2) + 3
e) 14r + 2(r + 2) = 4(1 + 4r)
Ahora nos encontramos con que al tomar la incógnita dos valores cualesquiera, las diferencias
finales F1 y F2 son ambas iguales y distintas de cero. Esto nos indica que esta diferencia no variará,
cualesquiera sean los valores asignados a la incógnita (puede verificarlo con cualquier otro valor).
De aquí se deduce que no hay valor de la incógnita que pueda llevar esa diferencia final a cero; es
decir, la ecuación no tiene solución.
En conclusión, el método de la regla de falsa posición se percibe como más pertinente que el
método de despeje para dilucidar los casos en que la ecuación no tenga ninguna solución o tenga
infinitas soluciones. Podemos resumir el proceso de resolución de ecuaciones por ese método
mediante la siguiente secuencia de acciones:
f) 3(y + 6) – 3y = 5
Un comentario final en relación con la
La primera actividad que debemos promover
al enfrentar esta tarea tiene que ser observar
atentamente cada ecuación propuesta;
examinar con detalle ambos miembros, los
términos presentes, la incógnita cuyo valor se
solicita. Y en segundo lugar, decidir el método a aplicar para su resolución, tomando en
cuenta que cualquiera de ellos es válido.
Hallar el valor de x + 2 si x es la solución de la ecuación 4x + 12 = 5x + 10.
x = x1 +
Un posible camino para resolver el problema puede ser obtener el valor de x
como solución de la ecuación dada y,
luego, agregar 2 unidades. La resolución
de la ecuación (por cualquier método)
nos lleva a x = 2; y de aquí llegamos a
x + 2 = 4.
Pero hay otra forma de proceder que
consiste en “ver” a x + 2, como un todo,
“dentro” de la ecuación. Así, 4x + 12
puede verse como 4(x + 2) + 4 (verifique
que es lo mismo); y 5x + 10 como 5(x
+ 2). De esta forma, la ecuación puede
escribirse como 4(x + 2) + 4 = 5(x + 2),
con x + 2 como la nueva incógnita. Una
lectura de esta ecuación nos dice que “4
veces la incógnita, más 4, es igual a 5
veces la incógnita”.
Si esta incógnita se representara, por
ejemplo, con la letra z, podríamos escribir la ecuación como 4z + 4 = 5z.
Intuitivamente percibimos que z debe
valer 4; es decir, x + 2 = 4, que es lo que
nos pedían hallar. Acabamos de realizar un cambio de incógnita que nos
ha llevado directamente a la respuesta
10. A partir de la ecuación 6r – 7 = 2r
+ 1, obtenga el valor de 2r – 1. Hágalo
como lo desee.
11. A partir de la ecuación 4 + 8 y = 4 y
+ 4, obtenga el valor de 4 y + 1. Hágalo
12. Resuelva las siguientes ecuaciones
por el método que usted desee:
a) 3m – 7 = 2
b) 16 – 5x = 4(4 + x)
c) 3(z + 2) + 1 = 7 + 3z
d) 4u – 3 = 8 – 7u
e) 120 = 20 + 25z
f) 98 + 2(c + 10) = 40(2 + c)
g) 27 + 9s = 4(2s + 7) – 1
h) 12t – 5 = 15 + 2t
i) 4(x + 2) – 3x = 12
4. La resolución de problemas
Después de este largo y necesario recorrido por el tema de las ecuaciones, volvemos al
punto de la resolución de los problemas. Habíamos planteado éste: “La suma de tres números impares consecutivos es 81. ¿Cuál es el
menor de ellos?”. Y decíamos que si al número
menor (que es la incógnita del problema) lo designamos con la letra n, entonces la traducción
del enunciado nos lleva a la ecuación: n + (n +
2) + (n + 4) = 81.
La resolución de esta ecuación pasa por
las ecuaciones equivalentes:
n + n + 2 + n + 4 = 81
3n + 6 = 81
3n = 75
n = 75/3 = 25
Este valor verifica la ecuación: 25 + 27
+ 29 = 81. Además son tres números impares
consecutivos, tal como se pedía. Hemos resuelto el problema por la vía de las ecuaciones,
además de haberlo hecho previamente por la
vía del ensayo y ajuste.
Ahora ya podemos entender cómo funciona este nuevo método de resolución de problemas:
1.	Leer atentamente el enunciado del
problema (probablemente habrá que
hacerlo más de una vez durante el
proceso de su resolución). Determinar
la incógnita del problema (lo que nos
piden hallar).
2.	Tratar de llevar las relaciones descritas en el enunciado a la forma de una
ecuación (si es posible; si no lo es, hay
que ensayar otro método).
3.	Resolver la ecuación; verificar si la solución obtenida es la correcta.
4.	No olvidar que la solución del problema no es un simple número, sino un
número en un contexto. Por ello, hay
que llevar el valor hallado al enunciado del problema y verificar si satisface
las condiciones descritas.
5.	Ensayar otras vías para resolver el problema; esto no es un lujo, sino poner
en práctica el principio de diversidad
en el aprendizaje de la matemática.
Vamos a resolver por esta vía algunos
problemas a cuya solución llegamos en su momento por otros métodos (se sugiere revisar esta
primera forma de resolución en los Cuadernos
y páginas indicados en cada caso).
Jugando al baloncesto, Daniel ha encestado 40 balones durante 5 días consecutivos. Si cada
día logró encestar 3 balones más que el día anterior, ¿cuántas cestas consiguió el primer día?
(Cuaderno 3, p. 22; solución propuesta en la p. 25).
Identificamos la incógnita del problema “nº de cestas que consiguió el primer día” con la letra
z. El análisis del enunciado nos lleva a la ecuación: z + (z + 3) + (z + 6) + (z + 9) + (z + 12) =
40. De aquí se llega a las ecuaciones 5z + 30 = 40; 5z = 10; z = 2. Esta solución satisface la
ecuación (2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40) y también las condiciones del enunciado. Por consiguiente, el primer día Daniel consiguió 2 cestas.
para resolver. Esta selección es válida, siempre
que al final se tome en cuenta que debe darse
el valor de la incógnita del problema.
También podría haberse tomado como
incógnita el número de votos del ganador, y
haberla representado con el término 3x ; así, el
número de votos del perdedor se hubiera tenido que expresar como x ; y la ecuación, como
3x + x = 116.000, repitiéndose el proceso de
resolución ya planteado anteriormente.
Rafael tiene 40 años y la suma de las
edades de sus tres hijos es 22 años.
¿Dentro de cuántos años la edad de Rafael
será igual a la suma de las edades de sus
tres hijos? (Cuaderno 7, p. 5; sin solución
En unas elecciones, el candidato ganador triplicó en votos a su oponente, y juntos sacaron
116.000 votos. ¿Cuántos obtuvo el candidato ganador? (Cuaderno 5, p. 29; sin solución propuesta).
El análisis del enunciado (el candidato ganador triplicó en votos a su oponente) nos lleva a
seleccionar como incógnita del problema el “nº de votos consegui dos por el candidato perdedor”. Si la representamos con la letra x, el nº de votos conseguidos por el candidato ganador
será 3x. Siguiendo el enunciado, llegamos a la ecuación: x + 3x = 116.000; y de aquí, 4x =
116.000; de donde x = 29.000.
Esta solución satisface la ecuación (29.000 + 87.000 = 116.000) y también las condiciones del
enunciado. Por consiguiente, el candidato ganador obtuvo 87.000 votos.
El problema anterior nos llevó a seleccionar como incógnita de la ecuación a una característica
que no coincidía con la incógnita del problema, para evitar la aparición de fracciones. En efecto, si
x hubiera representado el número de votos del ganador, el número de votos del perdedor se hubiera tenido que expresar como x / 3; y la ecuación, como x + x / 3 = 116.000, siempre más engorrosa
La incógnita del problema es el “número
de años que tiene que pasar para que
se produzca esa igualdad de edades”;
podemos designarla con la letra u. Cuando
pasen u años, Rafael tendrá 40 + u años;
en cuanto a los tres hijos, cada uno de ellos
habrá incrementado también su edad en
u años, de modo que la suma de las tres
edades se habrá incrementado en 3u años
y será 22 + 3u. La ecuación que recoge el
enunciado del problema es: 40 + u = 22 +
3u. De aquí se llega a las ecuaciones 18
+ u = 3u; 18 = 2u ; 9 = u. Esta solución
satisface la ecuación (40 + 9 = 49; 22 + 3 x
9 = 22 + 27 = 49) y también las condiciones
del enunciado. Por consiguiente, dentro
de 9 años la edad de Rafael será igual a la
suma de las edades de los tres hijos.
Otra vía válida para la resolución de
los dos últimos problemas es la del ensayo
La señora Antonia compró un lote de
caramelos a razón de 270 pesos por
cada 9 caramelos y los vendió a razón de 10 caramelos por 800 pesos. Al
venderlos todos obtiene una ganancia
de 21.000 pesos. ¿Cuántos caramelos
compró? (Cuaderno 7, p. 28; sin solución propuesta).
13. En una feria hay un puesto donde
la gente puede probar su puntería intentando darle al blanco. Por cada tiro
acertado se reciben 3 caramelos y por
cada tiro errado se devuelven 2. Aunque
Ramón ha perdido 5 veces, tiene 11 caramelos consigo. ¿Cuántas veces le ha
dado al blanco?
En primer lugar, podemos inferir ciertos
datos, tales como el precio de compra
y de venta de cada caramelo: 30 pesos
y 80 pesos, respectivamente (¿por qué?).
Identificamos la incógnita del problema
“nº de caramelos comprados” con la letra n. El monto de las ventas será 80n y
el de la compra, 30n. Como la ganancia
es el resultado de la diferencia entre ambos montos, podemos llegar a la ecuación: 80n – 30n = 21.000. De aquí se
llega a las ecuaciones 50n = 21.000; n
= 21.000/50 = 420. Esta solución satisface la ecuación (80 x 420 – 30 x 420
= 33.600 – 12.600 = 21.000) y también
las condiciones del enunciado. Por consiguiente, se compraron 420 caramelos.
El problema se puede resolver también calculando el beneficio que se obtiene por la venta de cada caramelo: 80
pesos – 30 pesos = 50 pesos. Ahora se
puede deducir el número de caramelos
comprados mediante una simple división: el monto de las ganancias totales,
entre la ganancia obtenida por cada
caramelo vendido: 21.000 : 50 = 420
caramelos. Esta vía de resolución es estrictamente aritmética.
Resuelva los siguientes problemas por todas las vías que se le ocurran:
16. En un grupo de 63 personas, el número de niños es el doble del de adultos.
Entre estos últimos, el número de mujeres es el doble del de hombres. ¿Cuántos
hombres hay en el grupo?
17. Una persona debe a dos comerciantes la misma cantidad de dinero. Al primero le paga con 18 kg de mercancía
más 8.000 pesos. Al segundo le da 25 kg
de la misma mercancía y recibe como
devolución 45.200 pesos. ¿Cuánto debía, en pesos, a cada uno de los comerciantes?
18. Hallar el número cuyo quíntuplo
disminuido en 17 es igual a su triple aumentado en 41
14. Hemos marcado en el mapa cuatro
montañas cuyas alturas suman 19 kilómetros. La más alta supera en 1.055 m a
la segunda; ésta, en 855 m a la tercera;
y finalmente, ésta supera en 665 m a la
montaña más baja. ¿Cuál es la altura de
la montaña más alta?
15. Cuando mi papá tenía 31 años, yo
tenía 8. Ahora su edad es el doble de la
mía. ¿Cuántos años tengo actualmente?
5. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”…
19. Escriba la igualdad simbólica literal
correspondiente a los siguientes enunciados (utilice n para designar la indeterminada):
a) Dado un número, el producto de los
dos números siguientes es igual al
cuadrado del número dado, más el
triple del mismo, más 2 unidades.
b) Dado un número, el producto de su
número anterior por su número siguiente es igual al cuadrado del número dado, menos 1 unidad.
21. Determine si estos dos términos
generales representan, o no, a la misma
sucesión de números naturales: an = 5n
+ 4, n ∈ N; an = 5n – 1, n = 1, 2, 3,...
En caso afirmativo, escriba los cinco
primeros términos de la sucesión.
22. Resuelva las ecuaciones siguientes
a) 5x + 21 = 21
b) 7 = 115 – 27z
c) 4[(3m + 1) – 3] = 1 + 3(m + 3)
d) 2(5 + 2c) – 10 = 4c
e) 15 – 3y = 2(7 – y) + (1 – y)
20. Halle la representación simbólica
del término general de las siguientes sucesiones (indique también los valores de
n para los que se cumple):
f) 3x + 8 = 3(x+ 2)
g) 5n – 4 = 3n + 2
h) 18 = 3(5 + x)
i) 1 + 4r = 3(r + 1) – 2
a) 5, 11, 17, 23, 29, 35,...
b) 2, 3, 6, 11, 18, 27,...
c) 3, 9, 27, 81, 243, 729,...
d) 10, 100, 1.000, 10.000,...
e) 1,
23. A partir de la ecuación 8m + 5 = 3
+ 2(2m + 1), obtenga el valor de 2m + 1.
Hágalo como lo desee.
1 , 1 , 1 , 1 ,...
f) 1, 3, 7, 15, 31, 63,...
g) la sucesión de los números que, al
dividirse por 3, dan como resto 1
24. ¿Es cierto que cuando los dos
miembros de una ecuación se multiplican
por 3, la solución de la ecuación queda
también multiplicada por 3?
25. Trate de expresar y probar las
conjeturas siguientes:
a) La suma de tres números naturales
consecutivos es múltiplo del número
que ocupa la posición intermedia de
b) La suma de varios múltiplos de un
número es también múltiplo de ese
c) La suma de cinco números naturales
consecutivos es múltiplo de 5.
26. Una señora tiene 33 años y su hijo,
7. ¿Dentro de cuántos años será la edad
de la mamá tres veces la de su hijo?
27. Julián pesa el doble de su esposa, ésta el doble de su hija, y los tres juntos, 154 kg.
¿Cuánto pesa la niña?
28. Distribuya 120 cuadernos en tres lotes, tales que el 2º tenga 15 cuadernos más que
el 1º, y que el 3º tenga 6 cuadernos menos que el 2º.
29. En este momento, la edad de Marcos triplica a la de Rosaura, pero dentro de 14 años
sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene Rosaura actualmente?
30. ¿Es posible que la suma de cuatro números pares consecutivos sea 182? En caso
afirmativo, halle el menor de esos números.
31. Si la suma de dos números es 50 y a uno de ellos lo identifico con la letra x, ¿cómo
puedo designar al otro número, si no deseo utilizar otra letra?
32. En la escuela se han comprado 145 kg de abono para las plantas. El producto viene
en 12 sacos, unos de 15 kg y otros de 10 kg. ¿Cuántos sacos de cada tipo se han comprado?
33. Hay dos números tales que el triple del mayor es igual a cuatro veces el menor. Si la
diferencia de ambos números es 8, ¿cuál es el mayor?
34. En un conjunto de vacas y de pollos el número de patas es 14 unidades mayor que
el de cabezas, que es 6. ¿Cuántas vacas hay?
35. La suma de dos números enteros es 168; al dividirse el mayor entre el menor se obtiene 7 como cociente y 16 como residuo. ¿Cuáles son los números?
- Kline, M. (1992). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros
días, Vol. I. Madrid: Alianza.
- Mason, J. (1996). El futuro de la aritmética y del álgebra: utilizar el sentido de
generalidad. UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, nº 9, 7-21.
-	Fernández, F. (1997). Aspectos históricos del paso de la aritmética al álgebra.
UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, nº 14, 75-91.
- Kieran, C. (2006). Research on the
learning and teaching of algebra. En A.
Gutiérrez, P. Boero (Eds.), Handbook
of research on the Psychology of Mathematics Education: Past, present, and
future, pp. 11-49. Rotterdam: Sense Publishers.
- Radford, L. (1997). Una incursión histórica por la cara oculta del desarrollo primitivo de las ecuaciones. UNO. Revista
de Didáctica de las Matemáticas, nº 14,
Respuestas de los ejercicios propuestos
1.	a) 8; b) 18; c) 202; d) 7; e) 0; f) 5; g) 124;
h) 49; i) 96
2.	a) 2a; b) 3a + 1; c) 3(a + 1); d) (a + b)2; e)
a 2 + b 2; f) (a + b)(a – b); g) 1 + (a + b)3; h)
3a – 2b; i) a /4; j) ;
; k)
; l) a + 1
3.	a) (n + m) – (n – m) = 2m; b) (n + m)(n
– m) = n 2 – m 2; c) n + (n + 1) = 2n + 1
4.	a) 4n + 1, n ∈ N; b) 2n + 1, n = 5, 6, 7,...
o también: 2 n + 11, n∈N c) 2n, n = 1,
2, 3,... o también: 2n + 1,n∈ N, d) n (n +
1), n ∈ N; e) (0,2)n, n = 1, 2, 3,... f) 10n +
1, n∈ N; g) (2n + 1) / 4 (n + 1), n ∈ N; o
también: (2 n – 1) / 4n, n = 1, 2, 3,...; i)
5n + 2, n ∈ N.
5.	Sí: b, c, f, g, h, i
6.	a) 5 = 15 – 5x ; b) 4 + 9p = 13; c) x = 3; d)
z = 0; e) 11 – c = 0; f) y = 3
7.	Son equivalentes: a, e, f, g, h, i, l
8.	Sí
9.	a) m = 1; b) no tiene solución; c) tiene
infinitas soluciones; d) z = 0; e) tiene
infinitas soluciones; f) no tiene solución
12.	a) m = 3; b) x = 0; c) tiene infinitas
soluciones; d) u = 1; e) z = 4; f) c = 1; g) s
= 0; h) t = 2; i) x = 4
13.	7 veces
14.	6.135 m
15.	23 años
16.	7 hombres
17.	144.800 pesos
18.	29
19.	a) (n + 1)(n + 2) = n2 + 3n + 2; b) (n – 1)(n
+ 1) = n2 – 1
20.	a) 6n + 5, n ∈ N; b) n2 + 2, n ∈ N; c) 3n, n
= 1, 2, 3,...; d) 10n, n = 1, 2, 3,...; e) 1 / (2n
+ 1), n ∈ N; f) 2n – 1, n = 1, 2, 3,...; g) 3n
+ 1, n ∈ N
21.	Sí; 4, 9, 14, 19, 24
22.	a) x = 0; b) z = 4; c) m = 2; d) tiene
infinitas soluciones; e) tiene infinitas
soluciones; f) no tiene solución; g) n = 3;
h) x = 1; i) r = 0
24.	No; no varía
25.	a) n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1); b) an +
bn + cn = (a + b + c)n; c) n + (n + 1) + (n
+ 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5(n + 2)
26.	6 años
27.	22 kg
28.	32, 47 y 41 cuadernos
29.	14 años
30.	No es posible
31.	50 – x
32.	5 sacos de 15 kg y 7 de 10 kg
33.	32
34. 4 vacas
35. 149 y 19
- Radford, L. (1999). El aprendizaje del
uso de signos en álgebra. Una perspectiva post-vigotskiana. Educación Matemática 11, Nº 3, 25-53.
A modo de introducción 5
1. ¿Necesitamos ir más allá de la Aritmética? 6
2. Las generalizaciones en la Aritmética 6
3. Las ecuaciones 13
4. La resolución de problemas 26
5. Y ahora, otros ejercicios “para la casa”… 29
Referencias bibliográficas 31
Otras referencias recomendadas 31
Respuestas de los ejercicios propuestos 31
El supresor de tumor de wilms wt1 codifica
monitaeche
Existe el daño y perjuicio en el código laboral paraguayo
Piura directores-final-2015
tarea de Mayra Lorena
Sintesis del primer congreso regional de abogados laboralistas
Consejos para no errar en la Declaración de Renta anual 2013 - PDT 684
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PSICOLOGÍA EDUCACIONAL EN EL CONTEXTO DE LA CLÍNICA SOCIOEDUCATIVA. VOLUMEN 2
PSICOLOGÍA EDUCACIONAL EN EL CONTEXTO DE LA CLÍNICA SOCIOEDUCATIVA. VOLUMEN 1
GUÍA METODOLÓGICA PARA LA CONSTRUCCIÓN PARTICIPATIVA DEL PROYECTO EDUCATIVO INS……
GUÍA DE ELABORACIÓN DEL PROYECTO EDUCATIVO INSTITUCIONAL ARTICULADO AL PROYECTO……

References: resolución 
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 Resolución 
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