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Timestamp: 2017-05-23 01:51:36+00:00

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Chang suan shu (transcripción china del título del citado libro de autor desconocido) Sin embargo su tratamiento sistemático tuvo lugar en el siglo XIX. Destacaron como artífices de su desarrollo Hamilton, Sylvester, Cayley. Los estudios de este último para describir las transformaciones geométricas dieron lugar a las operaciones con matrices. Se llega así al álgebra matricial en la que las matrices pasan de ser elementos aislados (simples cajas numéricas estructuradas en filas y columnas) a conjuntos con una sólida estructura algebraica. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico: resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de ecuaciones diferenciales y derivadas parciales… Además aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,... Desarrollo del tema: vamos a definir la noción de matriz y operaciones básicas entre ellas hasta llegar al concepto de matriz inversa. Los coeficientes de las matrices consideraremos que pertenecen a un cuerpo que denotaremos K, aunque muchas de las propiedades y definiciones que aparecen en el tema son válidas también para un anillo. Por último veremos las aplicaciones más importantes de las matrices. 10 2.- Matrices: Definición: sean { } { } 1, 2,... 1, 2,... ( ) ( ) I m J n m Card I n Card J = = = = dos conjuntos finitos. Llamamos A matriz de orden mxn sobre un cuerpo K a una aplicación: :
A a con i m y j n
= ≤ ≤ ≤ ≤ Los elementos de A se disponen en un cuadro rectangular de m filas y n columnas de la forma: 11 12 1
conjunto de m.n elementos pero lo realmente importante es su distribución en m filas y n columnas y el lugar que ocupa cada elemento. Matriz fila y matriz columna: 1
ij j n
i fijo a
fila i-ésima de A (m filas) vector de n
j fijo a
columna j-ésima de B (n columnas) vector de m
K Igualdad de matrices: Dos matrices A y B son iguales A = B si tienen el mismo número de filas y de columnas y 1,... 1,...
a b i m j n = ∀ = ∀ = 11 Tipos de matrices: Matriz cuadrada m = n orden nxn ó n. Una matriz no cuadrada es rectangular. Llamamos diagonal principal de { }
( ) ( , ,... ) min ,
ij m n pp
A a a a a p m n
= = En las matrices cuadradas de orden n llamamos traza de A 1
Traza A a
. Dentro de las matrices cuadradas podemos encontrar: ( )
ij ij nn
Matriz diagonal D d donde si i j d
Matriz escalar E e donde si i j e y e e e e
Matriz identidad matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a
Matriz triangular erior i j a
= ∀ ≠ =
= ∀ ≠ = = = = =
∀ > =
Matriz simétrica cuando a a i j
Matriz antisimétrica cuando a a i j los elementos de la diagonal principal son nulos
Matriz fila A a a a
Matriz columna A
∀ < =
= − ∀
Matriz nula a i j
12 Submatrices: sea A una matriz y { }
i i i I ⊂ ciertos índices de fila y { }
j j j J ⊂ ciertos índices de columna. La matriz que se obtiene suprimiendo las filas y las columnas de índices distintos a los considerados se dice submatriz de A. Se dice caja o bloque a toda submatriz para la que los índices de filas y columnas son consecutivos. 13 3.- Espacio vectorial de las matrices m n × ( )
M K conjunto de las matrices de orden m n de elementos de K cuerpo
× Al conjunto de las matrices cuadradas de orden nxn lo representamos ( )
M K Suma de matrices ( ) : ( ) ( ) ( )
ij ij ij ij ij
+ × →
Propiedades: • Asociativa: , , ( ) ( ) ( )
A B C M K A B C A B C
∀ ∈ + + = + + • Existencia de elemento neutro: 0 0 ... 0
0 / ( ) 0 0
A M K A A A
= ∀ ∈ + = + =
• Conmutativa: , ( )
A B M K A B B A
∀ ∈ + = + • Existencia de elemento simétrico: ( ) ( ) / 0
A M K A M K A A A A
∀ ∈ ∃− ∈ − = − + = Estas propiedades se satisfacen por satisfacerse en K cuerpo. ( ) ( ),
M K grupo abeliano
+ 14 Producto de un escalar por una matriz: ( )
A M K y k K
K M K M K
k a ka
Propiedades: • Distributiva respecto a la suma de matrices: ( ) , ( )
k A B kA kB k K A B M K
+ = + ∀ ∈ ∀ ∈ • Ditributiva respecto a la suma de escalares: ( ) , ( )
h k A hA kA h k K A M K
+ = + ∀ ∈ ∀ ∈ • Seudoasociativa: ( ) ( ) , ( )
hk A h kA h k K A M K
= ∀ ∈ ∀ ∈ • Elemento unidad: 1 1 ( )
A A A A M K
⋅ = ⋅ = ∀ ∈ Estas propiedades se satisfacen por satisfacerse en K cuerpo. ( ) ( ), ,
+ ⋅ espacio vectorial Sea la matriz ij
I con todos los elementos nulos excepto el 1
m n ij ij
A M K A a I
, por lo tanto ij
I es un sistema generador de ( )
. Además 0 0 1, 2,... 1, 2,...
I i m j n λ λ = ⇒ = ∀ = ∀ =
, luego son linealmente independientes. Las m n ⋅ matrices ij
I son base de ( )
luego su dimensión como espacio vectorial es m n ⋅ . 15 4.- Producto de matrices Sea ( ) ( ) ( ) ( )
ih m p hj p n
A a M K y B b M K
= ∈ = ∈ definimos 1
ij ij ih hj
C A B c c a b
Observación: no es ley de composición interna. La matriz A tiene el mismo número de columnas que B de filas y C tiene las filas de A y las columnas de B. Propiedades: Asociativa ( ) ( ) A B C A B C ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (suponemos que los productos ( ) ( ) , , , A B A B C B C A B C ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ tienen sentido) Elemento neutro ( )
A M K m n
∀ ∈ ≠ 1 0 ... 0
∃ = ⋅ =
Id Id A A
Si la matriz A es cuadrada ' Id Id = 16 El producto de matrices no es conmutativo en general ( ) ( ) ( )
m p p n m n
A M K y B M K A B M K pero B A no se puede hacer si n m
∈ ∈ ⇒ ⋅ ∈ ⋅ ≠ Aún en el caso de que n m = tampoco ha de ser conmutativo: 2
con 0 a ≠ Distributiva respecto a la adicción: ( ), ( ), ( ) ( )
m n n r r s
A M K B M K C M K A B C A B A C
× × ⋅
∈ ∈ ∈ ⇒ + = ⋅ + ⋅ ( ( ), , )
M K + ⋅ anillo unitario no abeliano No es un dominio de integridad (posee divisores de cero) Ej. 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
⋅ = = ≠ ≠
( ( ), , )
M K K + ⋅ álgebra de las matrices cuadradas 17 Transposición de matrices Sea ( )
∈ , llamamos matriz traspuesta de A y se denota t
A a una matriz del tipo ( )
tal que si ( )
A a = y ( )
b a ⇒ = Propiedades: • ( ) , ( )
A B A B A B M K
+ = + ∀ ∈ • ( ) ( )
A A K A M K α α α
= ∀ ∈ ∀ ∈ • ( )
A A A M K
= ∀ ∈ • ( )
AB B A = Si definimos : ( ) ( )
• es lineal φ : ( ) ( ) ( ) ( )
φ α α α αφ
¦ + = + = + = +
• es una involución para matrices cuadradas φ ( )
( ) ( ( )) ( )
A A A A Id A Id φ φ φ φ = = = = ⇒ = 18 Matrices simétricas y hemisimétricas Definimos las matrices simétricas (atendiendo a la noción de matriz traspuesta) como t
A A = y hemisimétrica si t
A A = − . Una matriz simétrica debe ser cuadrada y una matriz antisimétrica también debe ser cuadrada y además como , 0
ij ji ii
a a i j a = − ∀ ⇒ = Toda matriz ( )
A M K ∈ se puede descomponer de forma única como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. Demostración: Sean las matrices 2 2
S S y H H = = − luego S es simétrica y H antisimétrica 2
A S H y A S H
⇒ = + = −
se observa por el método de obtención que la descomposición es única. 19 5.- Rango de una matriz Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. El rango de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. Propiedades: • Si A es de orden m n × ⇒ { } min , RgA m n ≤ • El número máximo de filas linealmente independientes que hay en una matriz A coincide con el número máximo de columnas linealmente independientes. Demostración: 11 12 1
, ,... , ,...
con f f f filas y c c c columnas
ur ur ur ur uur uur
Supongamos que el número máximo de columnas linealmente independientes es r y que son las primeras 1 2
c c c con r n ≤
ur uur uur
... 1, 2,... r k r
k k rk
c c c c k n r α α α + = + + + = −
Sea { }
, ,... ... 1, 2,..
ir k k i k i rk ir
e e e base canónica de K a a a a k n r α α α
= + + + = −
i i ir k i k i rk ir i
f a e a e a e a a a e α α α
ur r r r r
y agrupando los términos que contienen ( 1,... )
a j r = 1 1 1 1
r n r r n r
j r k j j j r k
ij jk ij ij jk i
f a e a e a e con e e e α α
= + = = +
ur r r r r r r
20 Si 1 2
, ,... ', ',... ' r
f f f dependen linealmente de e e e ⇒
ur ur uur r r r
no hay más de r vectores independientes en 1 2
ur ur uur
Análogamente se demuestra que el número máximo de columnas independientes es menor o igual que el número máximo de filas independientes. • El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores linealmente independientes de los que forman la matriz. Demostración: Sea 1 2 ( , ,... ) m A v v v =
una matriz de rango r. Al haber un menor no nulo de orden r, los r vectores que intervienen en la submatriz del menor no pueden ser linealmente dependientes según una propiedad de los determinantes por tanto los r vectores son linealmente independientes. Veamos que no hay más de r vectores linealmente independientes: si hubiera r + 1 filas (columnas) linealmente independientes de la matriz formada por esas filas (columnas) se podrían extraer r + 1 columnas (filas) linealmente independientes y el determinante de la matriz formado por estas columnas sería no nulo. Cálculo del rango de una matriz: Método del pivote: triangularizar una matriz realizando operaciones elementales aplicando el método de Gauss. Operaciones elementales: Si se permutan 2 filas ó 2 columnas el rango no varía. Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia. Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no nulo el rango no varía. 21 Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas, las filas o columnas que sean que sean proporcionales a otras, sin que el rango de la matriz varíe. El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen (a
ij = 0, i>j). Para conseguir triangularizar la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangularización, el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. Uso de menores 1 2 ( , ,... ) m A v v v =
y buscamos un menor no nulo ( , ) i j v v
, si existe 2 RgA ≥ sino 1 0 RgA ó = Si a un menor M de orden h de la matriz A se le añade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M orlando este menor con la fila p y la columna q. Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son 0, el rango será 0. El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a éste el método. Si todos los menores orlados obtenidos añadiéndole al menor de partida los elementos de una línea i
0 son nulos, podemos eliminar dicha línea porque es combinación de las que componen el menor de orden k. Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el método en realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k). 22 6.- Matriz inversa: Una matriz cuadrada se dice regular ( )
A M K ∈ si 1 1 1
A M K A A A A I
∃ ∈ ⋅ = ⋅ = A es un elemento inversible de ( )
M K . Por ser ( )
M K un anillo unitario se cumplen: • Si A, B son regulares entonces AB también y ( )
= • Si A, B y AB son regulares entonces 1 1 1 1
( ) ( ) A B AB y B AB A
= = • Si A es regular es simplificable para el producto; no es divisor de cero. Cálculo de la matriz inversa Dada una matriz ( )
A M K ∈ si se somete a sus filas (columnas) a una operación elemental E, la matriz ( ) ( ( ))
E A E A que se obtiene es ( ) ( ( ))
E I A AE I donde ( ) ( ( ))
E I E I es la matriz obtenida al realizar en las filas (columnas) de la matriz unidad la operación elemental E. Demostración: Operaciones elementales con filas: a) Permutar filas de lugares i, j. 1 0 0 .............. 0 1 0 0 ...
0 1 0 .............. 0
0 0 ... 1...0 ... 0
0 0 ...0...1 ... 0
0 0 0 ............. 1
0 1 0 ............. 0
0 0 ... 0...1 ... 0
0 0 0 .............. 1
\ ¹\
¹ \ ¹
23 b) Multiplicar una fila i por 0 k ≠ 1 1
1 0 0 ........... 0
0 1 0 ........... 0
....................... . .
0 0 0 ........... 1
E I A E A
k f kf
= = = | | |
\ ¹\ ¹ \ ¹
c) Sumar a la fila i k veces la fila j 1 0 0 ............... 0
0 1 0 ............... 0
0 0 ... 1 ... ... 0
0 0 ... 0 ... 1 ... 0
0 0 0 ................ 1
f kf f
E A I E I A I E I A
= ⇒ = ⇒ = Otra forma de calcular la matriz inversa de una matriz regular es utilizando determinantes: ( )
( ) sup ( ) 0
A Adj A oniendo Det A
= ≠ donde ( ) Adj A es la matriz de los adjuntos. El conjunto de todas las matrices cuadradas regulares tiene estructura de grupo. 24 7.- Aplicaciones de las matrices Las matrices son en la actualidad una herramienta imprescindible en múltiples ramas de la matemática pura y aplicada (álgebra lineal, geometría, estadística, etc) y en otras muchas ciencias (mecánica, economía, física, etc). Aplicaciones de las matrices a la Teoría de Grafos (Sicología Social) Las dos matrices asociadas a un grafo son: Matriz de adyacencia: ( )
k si v es adyacente a v
siendo k el número de aristas que unen el vértice i j
v con el v ( )
A M R ∈ Matriz de incidencia: ( )
si v es incidente con la arista e
A M R ∈ La matriz de adyacencia de un grafo es muy importante para decidir cuestiones de conexión, pues si A es la matriz de adyacencia de un grafo con n vértices, entonces el término ij
a de la matriz n
A nos da el número de caminos de longitud n que van de i j
v a v . Psicología social Un grafo de una relación binaria es un esquema en el cual se indica que i
A está relacionado con j
A mediante una flecha que sale de
A y acaba en j
A . Se puede representar por una matriz de relación ( )
Llamamos matriz de influencia a toda matriz, cuya diagonal principal sólo posee ceros y dos elementos del tipo ij ji
e y e nunca valen 1 simultáneamente. 25 Este tipo de matrices se utilizan en los sociogramas o dinámicas de grupos. Un individuo i
A puede influir sobre otro j
A directamente i j
A A → o a través de un tercero i k j
A A A → → (dos etapas) La matriz M asociada a un grafo es cuadrada y si se hace 2
M (nº de influencias de dos etapas) El poder de un individuo i es la suma de las filas i-ésimas de M y 2
M Ej. Árbol genealógico de los Bernoulli. Aplicaciones de las matrices al Álgebra Matriz asociada a una aplicación lineal (homomorfismo) :
f K K → { } { } 1 1 2 2 1 2
( ) 1, 2,...
( ) ( ) ( ) ... ( ) ...
m m j j m mj j
e e e base de K y v v v base de K
f e a v i m
x K x x e x e x e
f x x f e x f e x f e x a v x a v
∀ ∈ = + + +
ur uur uur ur uur uur
r ur uur uur
r ur uur uur uur uur
y x a x a
A a matriz asociada a la aplicación lineal de bases y de K y K β β
= + + ¦
26 ( ) ( , )
: ( , ) ( )
M K es isomorfo a L K K
L K K M K donde A es la matriz asociada a f
Sistemas de ecuaciones: las matrices nos permiten representar, estudiar y resolver sistemas de ecuaciones con ayuda de nociones como rango de una matriz, matriz inversa y determinante. Un sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como AX B = y si la matriz A es inversible, la solución del sistema es Dentro del análisis, y por tanto, en una amplia variedad de problemas físicos, de ingeniería, etc aparecen las matrices para estudiar las funciones de varias variables y determinar sus máximos y mínimos. Si tenemos una función :
f R R → , se define su derivada por medio de una matriz de ( )
llamada Jacobiana y cuyos elementos son i
La matriz de las segundas derivadas de llama Hessiana. La herramienta principal para el estudio de ecuaciones diferenciales lineales es el análisis matricial, donde adquiere especial relevancia la matriz de Jordan. Aplicaciones en Geometría: las matrices sirven para representar los movimientos y semejanzas en el plano y en el espacio de vital importancia en dinámica, cristalografía,… Ejemplos: 27 Ecuación de traslación de vector ( , , ) t a b c = ' 1 0 0
' 0 1 0
' 0 0 1
\ ¹ \ ¹\ ¹ \ ¹
Ecuación del giro de ángulo α y eje z: ' cos 0
' cos 0
y sen y
− | | | || |
También podemos estudiar simetrías axiales, formas cuadráticas, productos escalares,… Aplicaciones en Física: Teoría de la Relatividad y las transformaciones de Lorenz Aplicaciones en Estadística: matriz de datos para representar información, matriz de desviaciones, matriz de varianza – covarianza, matriz de correlaciones, teoría de juegos, … Aplicaciones en Economía: matriz de pagos, matriz de demanda final, matrices input – output de Leontieff. Aplicaciones al campo de la naturaleza: cadenas de Harkov para el estudio de la genética Mendeliana. Criptografía 28 8.- Conclusión: las matrices constituyen una herramienta imprescindible para el tratamiento de datos, y aunque ya eran conocidas en la antigüedad su tratamiento sistemático tuvo lugar hacia el siglo XIX dando lugar al álgebra de matrices (no conmutativo). Cabe destacar la gran cantidad de aplicaciones de las matrices tanto a las diversas ramas de las matemáticas como a otras ciencias. 9.- Bibliografía: J. DE BURGOS: Curso de Álgebra y Geometría. ALHAMBRA. 1977. W. GREUB: Linear Algebra. Third ed.. Springer-Verlag. Heidelberg. 1967 29 UIDAD DIDÁCTICA: MATRICES 1. Título y ubicación 2. Objetivos 3. Conceptos 4. Procedimientos 5. Actitudes 6. Metodología y actividades 7. Evaluación 8. Atención a la diversidad 9. Recursos utilizados 10. Utilización posterior 11. Conexión con otras áreas o materias 12. Temas transversales 13. Bibliografía 30 1. - Título y ubicación: la Unidad Didáctica que programamos lleva por título “Matrices” e iría dirigida a los alumnos de 2º de Bachillerato de la modalidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. 2.- Objetivos: capacitar a los alumnos para: • Representar e interpretar tablas de números y grafos mediante una matriz, identificando elementos concretos de la misma, así como los tipos de matrices más característicos. • Interpretar y manejar las matrices con sus propiedades en problemas extraídos de contextos reales. • Utilizar el lenguaje matricial y operaciones con matrices para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones, y en general para resolver situaciones diversas de las Ciencias Sociales y la Economía. 3.- Conceptos: • Matrices • Matrices que describen una relación y matrices de información • Dimensión u orden de una matriz • Igualdad de matrices • Tipos de matrices • Matriz transpuesta • Operaciones con matrices. Propiedades • Matriz inversa • Rango de una matriz • Ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales 31 4.- Procedimientos: • Representación de matrices • Transposición de matrices • Realización de operaciones con matrices: suma, producto por un número real, productote matrices. Estudio de sus propiedades. • Interpretación del significado de las operaciones con matrices y sus propiedades en situaciones diversas de la realidad. • Cálculo de matrices inversas mediante el método de Gauss. • Calcular el rango de una matriz. • Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales sencillos. • Aplicación de las operaciones con matrices a la resolución de problemas extraídos de las Ciencias Sociales y la Economía. • Utilización de los distintos recursos tecnológicos como apoyo en los procedimientos que involucran el manejo de matrices. 5.- Actitudes: • Apreciación de los números como instrumento útil para describir y estudiar la realidad. • Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara de los números. • Tendencia a expresar resultados numéricos en forma de matrices. 32 6.- Distribución temporal: Doce sesiones dependiendo del nivel medio de la clase y de la programación del departamento correspondiente. 7.- Metodología y actividades: Se utilizará una metodología activa y participativa en la que el alumno sea artífice de su propio aprendizaje. Actividades propuestas: Prueba inicial: se hará una prueba inicial para valorar los conocimientos que os alumnos tienen sobre tablas, grafos,… Introducción histórica: en grupos de tres los alumnos harán un trabajo recopilando información sobre el origen de las matrices para el cual se le darán unas pautas: cajas numéricas en las que se resume una información estructurada (China hace más de XXI siglos), y como las matrices pasan de ser elementos aislados a conjuntos con una sólida estructura algebraica (Hamilton, Silvestre, Cayley a través de las transformaciones geométricas estudia las operaciones con matrices y así llegamos al álgebra de matrices) Matrices de información (tablas): A una serie de conferencias internacionales han asistido los siguientes delegados de diversos países: Desarme Capa de ozono Economía mundial EEUU 10 5 3 Rusia 8 3 12 CEE 2 15 20 33 Para que comprueben la necesidad de las matrices y su utilidad así como lo fácil que resulta extraer información de las mismas el profesor hará una serie de preguntas a los alumnos tales como ¿cuántos delegados han asistido a desarme? Se pasará un horario de autobuses y haremos un estudio de este transcribiéndolo en forma de matriz Matrices de relación (sociogramas y dinámicas de grupos): Trataremos matrices de influencia (diagonal principal de ceros) observando si un individuo influye a otro directamente o a través de un tercero y calcularemos el poder de un individuo. Proponemos para esto el árbol genealógico de los Bernoulli. Abordar las operaciones con matrices: Disponemos de una información en forma de texto que representamos en una tabla: País A País B País C Aeropuerto 1 A1 B1 C1 Aeropuerto 2 A2 B2 C2 Aeropuerto 3 A3 B3 C3 Aplicar el producto de matrices para obtener las combinaciones para ir de cada aeropuerto de A a cada aeropuerto de C pasando por alguno de B. Ejercitar logaritmos: 1) Escribe una matriz /
X X X = y calcula sus órdenes. 2) Sea 1 2 3 1 3 2
A y B calcula A B
34 3) Efectuar productos de matrices indicando previamente si es posible y el orden de la matriz producto. 4) Matrices fila y columna. 5) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo en general con un ejemplo. 6) Hallar la inversa de 1 2 1
por el método de Gauss. 7) Determinar la matriz X que verifica 1 0 3 1 5 2
AX B con A y B
− | | | | | |
8) Resolver el sistema matricial 3
donde 20 5 23 17
9) Dada una matriz A calcular n
A 10) Dar la matriz A tal que 1
si i j
Estudio de la matriz input – output del conjunto de las actividades económicas de un país. Abordar el estudio de matrices de dimensiones elevadas a través de las posibilidades que nos proporcionan las hojas de cálculo. Criptografía (descifrar mensajes): asignamos a cada letra del alfabeto un número y damos una matriz encriptadora. Dados los números correspondientes a una palabra encriptada cómo obtenemos la palabra. 35 Prueba final al terminar la unidad didáctica. En la última sesión se pasará un formulario (cuestionario para que los alumnos evalúen la unidad didáctica. 8.- Evaluación: Del proceso de aprendizaje: a) Conocimientos previos: tablas, grafos, … b) Adquisición de objetivos: se evalúan conceptos procedimientos y actitudes teniendo en cuenta los criterios de evaluación. Haremos un control global al finalizar la unidad didáctica. Objetiva y cuantitativa. c) Formación: se tendrán en cuenta los siguientes parámetros • Asistencia • Trabajo diario de los alumnos • Su actitud en clase • Colaboración prestada por parte de cada alumno tanto al profesor como a sus compañeros • Intervenciones en clase • Trabajo en equipo y papel del alumno dentro del mismo • Opiniones de alumnos y alumnas recogidos en conversaciones individuales y colectivas 36 • Autoevaluación • Coevaluación colectiva Subjetiva y cualitativa d) Criterios de evaluación: • Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices en situaciones reales en las que hay que transmitir información estructurada en forma de tabla o grafos. • Utilizar el método de Gauss para obtener matrices inversas de orden dos y orden tres. • Transcribir un problema expresado en lenguaje usual al lenguaje algebraico, resolverlo, utilizando matrices e interpretar soluciones. e) Criterios de calificación: prueba final y tendremos en cuenta la formación. f) Recuperación de alumnos suspensos. Evaluación del funcionamiento de la unidad didáctica: la unidad didáctica se evaluará a partir del análisis recogido en la evaluación de la formación. Deberá analizarse: • Cada actividad propuesta para adecuarla en su caso • Los recursos utilizados • El binomio profesor alumno analizando por qué y en qué momento ha existido mayor interés o desinterés, aprovechamiento o desaprovechamiento de la clase, cuando el grupo ha actuado en una tarea en común, han surgido grupos de trabajo, estrategias, modos de funcionamiento, … 37 9.- Atención a la diversidad: por arriba y por abajo. Actividades de repaso encaminadas a recuperar alumnos de aprendizaje más lento y otras de profundización para los más aventajados. 10.- Recursos utilizados: calculadora, retroproyector, Derive, Maxima, fuentes de información, hojas de cálculo. 11.- Utilización posterior: como herramienta para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, y la Economía. 12.- Conexión con otras áreas o materias: economía 13.- Temas transversales: tratados en los enunciados de los problemas 14.- Bibliografía: COLERA, J. Y OTROS: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Anaya. Madrid. 2001. -------------: Matemáticas II. Anaya. Madrid. 2001. 38 PRÁCTICAS: MATRICES 1. Derive 2. Excel 3. Maxima 39 1.- DERIVE Para introducir una matriz, pulsa el icono de la barra de herramientas y especifica el número de filas y columnas. También puedes elegir la opción matriz del menú Editar. En el panel que aparece introduce los elementos pulsando la tecla tabuladora para pasar al siguiente. Por último, pulsa el botón Sí o Simplificar. Introduce la siguiente matriz: |
40 Para facilitar los cálculos, vamos a asignarle un nombre: mientras la matriz anterior permanece resaltada, pulsa el icono de introducción de expresiones, introduce a:= y pulsa la tecla F3. Se copiará toda la matriz. Por último, pulsa el botón Sí. Es preciso escribir a:= en vez de a=, porque se trata de una asignación y no de una ecuación. También puedes pulsar F2 para acceder a la línea inferior de introducción de expresiones y escribir directamente a:=[3 , 6 , 2 ; 1 , -2 , 0 ; 3 , 1 , 5 ]. Observa que debes separar por comas los elementos de cada fila y por punto y coma cada una de las filas 41 Una vez definida la matriz a introduce y simplifica las siguientes expresiones. Observa e interpreta el resultado: 2a −a ka a^2 a^-1 a` (fíjate que se trata del acento grave `, no del apóstrofe ’). Observa que ^ y ` son acentos, por lo que no aparecerán en pantalla hasta que introduzcas el carácter siguiente (o un espacio). Introduce una nueva matriz b. Puedes seguir el procedimiento anterior o introducir directamente la expresión siguiente: b:= [3, 4, 1 ; 2, 1, 3 ; 4, 1, 2] (no olvides las comas, los puntos y coma, los corchetes, ni el signo :=). Ahora evalúa (introduce y simplifica) las expresiones siguientes: a+b a-b 2ab+3b 2a^2-3b^3 ab (producto de matrices) 2a3b 42 Utilidades para el manejo de matrices: FUNCIONES MATRICIALES [a, b ; c, d] Matriz 2×2 IDENTITY_MATRIX (n) Matriz identidad de orden n (n×n). ELEMENT (A,j,k) Elemento a(j,k) de la matriz A (fila j, columna k). También A sub j sub k o bien A↓j↓k A · B Matriz producto A×B A` Traspuesta de A (acento grave `) DET (A) Determinante de A. TRACE (A) Traza de A (suma de los elementos de la diagonal principal). A^-1 Matriz inversa de A. ROW_REDUCE (A) Triangulación de la matriz A (por filas). ROW_REDUCE (A, B) Triangulación de la matriz A añadiéndole B (para Gauss). Propiedades de las operaciones con matrices Introduce la expresión ab=ba y simplifícala. Evalúa por separado ab y ba. Observa que el producto de matrices no es conmutativo. Introduce una nueva matriz c:= [4, -1, 3 ; 7, 0, 1 ; 2, 3, -5] y asigna a i la matriz identidad de orden 3: i:= IDENTITY_MATRIX(3) 43 Evalúa las siguientes expresiones y reconoce las propiedades de las operaciones observando los resultados: (a + b) + c a + (b + c) a − b b − a a − a a + 0 (3*2)a 3*(2a) (mn)a m(na) 1a 3(a + b) 3a + 3b m(a + b) ma + mb (3+2)a 3a + 2a (m + n)a ma + na (ab)c a(bc) ab ba ia ai Observa la respuesta a las siguientes expresiones: (a + b) + c = a + (b + c) a + b = b + a a − a = 0 a + 0 = a m(a + b) = ma + mb (m + n)a = ma + na (mn)a = m(na) 1a = -1a (ab)c = a(bc) ab = ba ia = a Introduce y simplifica a^-1. Se trata de la matriz inversa de a, que multiplicada por a nos da la matriz identidad. Compruébalo con la expresión a a^-1. Comprueba las siguientes propiedades sobre la transpuesta y la inversa: a`` = a (a
)` = (a`)
(a + b)` = a` + b` (a ⋅ b)` = b` ⋅ a` (a ⋅ b)
44 Comprueba las siguientes igualdades: (a + b)
(a + b) (a − b) = a
2 − b
Simplifica automáticamente la siguiente expresión: ((a * b)`)
* a` * b)` Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal. Función TRACE(a). Comprueba que: TRACE(a+b)=TRACE(a)+TRACE(b) TRACE(ab)=TRACE(ba) Según lo anterior, demuestra que es imposible encontrar dos matrices r y s tales que r * s − s * r = i (matriz identidad). Encuentra dos matrices a y b para las que TRACE(ab) sea distinta de TRACE(a)*TRACE(b). Compruébalo. La función RANDOM(n) permite obtener un número al azar entre 0 y n. Introduce la siguiente expresión y simplifícala. Cada vez que la resaltes y simplifiques obtendrás una matriz aleatoria nueva: VECTOR(VECTOR(RANDOM(9), i, 3), j, 3) 45 Genera varias matrices aleatorias y comprueba con ellas las propiedades anteriores. Para especificar cada matriz debes introducir #n (numeración correspondiente que aparece a la izquierda de cada línea). Por ejemplo, #32 + #31. Rango de una matriz Derive incluye algunos archivos con funciones definidas para simplificar cálculos. En el archivo VECTOR.MTH se incluyen, entre otras utilidades, la función RANK(a) que permite obtener automáticamente el rango de la matriz a. Para poder utilizarlo elige en el menú Archivo las siguientes opciones: Leer − Utilidad y selecciona el archivo VECTOR.MTH (se encuentra en el directorio Math de DERIVE). Al elegir la opción Utilidad en vez de Mth se carga el contenido del archivo, pero no se muestra en pantalla. Las utilidades están disponibles pero sus construcciones no se mezclan con nuestro trabajo. Halla el rango de las matrices a, b y c con las que has trabajado. Define una nueva matriz y halla su rango. Halla ahora el de su transpuesta. Repítelo con otra matriz de 3 filas y 5 columnas. Añade a la matriz A una nueva fila que sea combinación lineal de las demás (usa la tecla F3). Comprueba que el rango no ha cambiado. La función ROW_REDUCE de DERIVE permite aplicar el método de Gauss a una matriz. El rango de la matriz será el número de filas no nulas (con no todos los elementos iguales a 0) que resulten. Vamos a utilizarlo para elaborar unas herramientas que nos permitan obtener el rango de cualquier matriz. Introduce la siguiente función: VCEROS(v, i):= IF(i > DIMENSION(v), 0, IF(v=0, VCEROS(v, i+1), 1, 1)) 46 Esta función señala si a partir del elemento i todos los elementos de un vector v
son nulos o no. No te preocupes si no la entiendes. Es una función recursiva que se llama a sí misma. Derive trata las matrices como un vector de vectores (por filas). Introduce ahora una nueva función: FILASNONULAS(m):= SUM(VCEROS(m↓n, 1), n, 1, DIMENSION(m)) El símbolo ↓ aparece en las filas superiores de la ventana de introducción de datos. m↓n indica el elemento n de m. Puedes sustituirlo por la expresión m SUB n. Esta función permite contar, basándose en la función anterior, el número de filas no nulas de una matriz. Por último, introduce la siguiente función que nos permitirá obtener el rango de cualquier matriz m: RANK(m):= FILASNONULAS(ROW_REDUCE(m)) Esta construcción de RANK figura en el archivo de utilidades VECTOR.MTH. Puedes utilizarlo sin que aparezcan las definiciones en pantalla con el menú Archivo + Leer + Utilidad (el archivo se encuentra en DfW5/Mth). 47 2.- EXCEL Producto de matrices e inversa de una matriz Podemos obtener el producto de dos matrices con Excel mediante la función MMULT y la inversa con la función MINVERSA. Abre una hoja nueva de Excel e introduce las dos matrices a multiplicar de la siguiente forma: A B C D E F G 1 2 15 -8 -3 3 4 1
3 9 -5 -2 1 2 0
4 -5 3 1 2 5 3
5 Como la matriz producto es otra matriz de dimensión 3x3 vamos a hallarla en las celdas A6 hasta C8. Para ello introduciremos en la celda A6 la expresión =MMULT(A2:C4;E2:G4). 48 Observa que las dos matrices se separan por ; y cada matriz se determina por las celdas de sus esquinas: desde A2 hasta A4 para la primera matriz y desde E2 hasta E4 para la segunda. Pero como el resultado (matriz producto) no cabe en una sola celda es preciso seleccionar previamente las nueve celdas que la contienen . Por ello debes seguir los siguientes pasos: • Sitúa el cursor en la celda A6. • Selecciona con el ratón el rectángulo A6:C8 • Mientras el área A6:C8 permanece resaltada introduce en A6 la expresión =MMULT(A2:C4;E2:G4) • Pulsa simultáneamente las teclas CTRL.+MAYUSC+INTRO (pulsa primero CTRL y sin soltarla pulsa MAYUSC y por último INTRO) Si pulsas únicamente la tecla INTRO obtendrás sólo el primer elemento de la matriz producto. Para obtener la matriz inversa puedes proceder de forma similar. Vamos a hallar la inversa de la matriz introducida en las celdas A2:C4. • Sitúa el cursor en la celda E6. • Selecciona con el ratón el rectángulo E6:G8 • Mientras el área E6:G8 permanece resaltada introduce en E6 la expresión =MINVERSA(A2:C4). Pulsa simultáneamente las teclas CTRL.+MAYUSC+INTRO 49 La hoja creada puedes utilizarla para multiplicar dos matrices cuadradas de orden 3 cualesquiera o hallar la inversa de cualquier matriz de orden 3 (que admita inversa). Puedes mejorar su aspecto antes de guardarla añadiendo un nombre (A, B, AxB, A
) sobre cada matriz y coloreando el fondo para distinguir cada matriz. Abre otra hoja nueva y prueba a multiplicar una matriz de dimensión 2x3 y otra de dimensión 3x4. Para el resultado deberás reservar un área de dos filas y cuatro columnas ( 8 celdas). Intenta hallar la inversa de cualquiera de las matrices anteriores. Observa que no tiene sentido hablar de la inversa de una matriz no cuadrada. Comprueba de igual forma el error que se produce al realizar el producto anterior en orden inverso y multiplicar la matriz de dimensión 3x4 por la de dimensión 2x3. Propiedades del producto de matrices Asociativa Para comprobar la propiedad asociativa del producto de matrices introduce tres matrices a,b,c como en la figura siguiente y comprueba que a*(b*c)=(a*b)*c para ello las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente : =MMULT(A2:C4;MMULT(A6:C8;A10:C12)) 50 =MMULT(MMULT(A2:C4;A6:C8);A10:C12) Comprueba que ambas matrices son idénticas y repítelo con varios ejemplos cambiando las matrices a, b y c. o conmutativa Recordar que el producto de matrices (incluso de matrices cuadradas) no es conmutativo, en general, es de gran importancia para resolver correctamente muchos ejercicios de ecuaciones matriciales. Para comprobarlo crea una hoja como la de la siguiente figura y pruébala con diversos ejemplos de matrices a y b. Las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente : =MMULT(A2:C4;A6:C8) =MMULT(A6:C8;A2:C4) 51 En algunos casos particulares si resulta ab=ba. Introduce en b la matriz identidad. Introduce en b la inversa de a. Inversa Para comprobar que la matriz proporcionada por Excel con la función MINVERSA es realmente la inversa construye una hoja como la siguiente: En las celdas E2:G4 debes obtener la inversa con la expresión MINVERSA(A2:C4). Selecciona el área A7:C9, introduce la expresión =MMULT( A2:C4 ; E2:G4) y pulsa las teclas CTRL.+MAYUS+INTRO. Repítelo en el área E7:G9 con la expresión: =MMULT( E2:G4 ; A2:C4) 52 Pruébalo con varias matrices y observa que obtienes siempre la matriz identidad. Por dificultades de precisión es posible que en algunos ejemplos no obtengas exactamente la matriz identidad y en algún elemento aparezcan valores como 1 E-15 ( es decir 1* 10 –15
) en vez de 0. Puedes evitarlo eligiendo sólo 2 posiciones decimales (o incluso 0 decimales) en el menú Formato – Celda – Número. Introduce como matriz a una matriz con dos filas iguales. Observa que ocurre en este caso en el que no existe inversa. Busca otros ejemplos análogos. Distributiva Para comprobar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de matrices construye una hoja como la siguiente y pruébala con varias matrices a, b, c. Dada la sencillez de la suma de matrices, Excel no incorpora una función específica. Constrúyela de la siguiente forma: En E2 introduce la expresión =A6+A10. Arrastra el cuadradito inferior derecho tres celdas hacia la derecha para copiar la expresión. Con las tres celdas seleccionadas, arrastra el cuadradito hacia abajo tres filas (hasta G4) para copiar la expresión hacia abajo. Para obtener a*b+ac haz algo similar introduciendo en I6 la expresión =E6+E10 y copiándola hasta K8. 53 Producto de matrices de forma manual Aunque Excel proporciona una función que efectúa automáticamente el producto de matrices puedes elaborar una hoja que realice el producto para dos matrices cuadradas de orden 3 siguiendo el proceso que te han explicado para hacerlo manualmente (“filas por columnas”). Puedes incluir en la misma hoja el producto obtenido con la función MMULT. Pruébala con distintos ejemplos y comprueba que obtienes el mismo resultado de las dos formas. 54 3.- MAXIMA Para Maxima, una matriz es una lista de listas en la que cada elemento es una fila. Observa que el operador “*” multiplica elemento a elemento dos matrices. Para el producto matricial usaremos “.” Para calcular la inversa podemos utilizar la función invert o el operador “^^-1”. El determinante de una matriz lo calculamos con determinant y el rango con rank. 55 Bibliografía: J. DE BURGOS: Curso de Algebra y Geometría. ALHAMBRA. 1977. W. GREUB: Linear Algebra. Third ed.. Springer-Verlag. Heidelberg. 1967 COLERA, J. Y OTROS: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Anaya. Madrid. 2001. ------------: Matemáticas II. Anaya. Madrid. 2001. Primera Edición Enero 2008
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro pueden reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación, sin permiso escrito del editor.
ISB 13: 978-84-96988-77-4 Depósito Legal: AL-6-2008 Autor: Rubén Comuñas Bailón Editorial: Asociación Procompal Editor: Mauricio Rodríguez López Diseño: Artes Gráficas Almería SAU Archivo electrónico editado por Procompal © Procompal Publicaciones
Rubén Comuñas Bailón
Í DICE GE ERAL
2. Matrices 3. Espacio vectorial de las matrices m × n
4. Producto de matrices
6. Matriz inversa
7. Aplicaciones de las matrices
Unidad didáctica: matrices
1. Título y ubicación
6. Distribución temporal
10. Recursos utilizados
11. Utilización posterior
12. Conexión con otras áreas o materias
13. Temas transversales
4.Prácticas: matrices:
que resultan adecuados para el desarrollo de determinados procesos rutinarios.
Completamos esto.Prólogo
En primer lugar se expone con todo rigor los contenidos teóricos correspondientes al tema de matrices. A continuación se ha elaborado una unidad didáctica que puede ser tratada en el aula con diversas actividades muy útiles tanto para el profesor como para los alumnos.
. en la interpretación y análisis de situaciones diversas relacionadas con las matrices. con el uso de ciertos recursos tecnológicos.
8.TEMA: MATRICES
1. Producto de matrices
2. Matrices 3. Matriz inversa
7. Rango de una matriz
6. Espacio vectorial de las matrices m × n
ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo.. Por último veremos las aplicaciones más importantes de las matrices. Sylvester. informática. aunque muchas de las propiedades y definiciones que aparecen en el tema son válidas también para un anillo.1. En el capítulo octavo se resuelven problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales que se resuelven mediante matrices realizando operaciones en sus filas y transformándolas en otras más sencillas. estadística.
Desarrollo del tema: vamos a definir la noción de matriz y operaciones básicas entre ellas hasta llegar al concepto de matriz inversa. Los coeficientes de las matrices consideraremos que pertenecen a un cuerpo que denotaremos K. física.
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación. etc.
Por lo tanto lo que hoy se conoce como método de Gauss debería llamarse método de ChuiChang suan shu (transcripción china del título del citado libro de autor desconocido)
Sin embargo su tratamiento sistemático tuvo lugar en el siglo XIX.. Los estudios de este último para describir las transformaciones geométricas dieron lugar a las operaciones con matrices.. economía. de ecuaciones diferenciales y derivadas parciales… Además aparecen de forma natural en geometría. Destacaron como artífices de su desarrollo Hamilton. bases de datos.Introducción:
Breve reseña histórica: hace más de veintiún siglos se publicó en China el libro de los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico: resolución de sistemas de ecuaciones lineales... Se llega así al álgebra matricial en la que las matrices pasan de ser elementos aislados (simples cajas numéricas estructuradas en filas y columnas) a conjuntos con una sólida estructura algebraica.. Cayley. 9
.............m ∀j = 1.n elementos pero lo realmente importante es su A=  .m} J = {1..    am1 am 2 .. 2.. a2 n  conjunto de m..... amn     distribución en m filas y n columnas y el lugar que ocupa cada elemento.2... j )∈I × J con 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n (i. a1n     a21 a22 ...n} m = Card ( I ) n = Card ( J ) dos conjuntos finitos. j ) → aij
Los elementos de A se disponen en un cuadro rectangular de m filas y n columnas de la forma:
 a11 a12 .... 2...n
Llamamos A matriz de orden mxn sobre un cuerpo K a una aplicación: A: I × J → K A = (aij )(i ......
Matriz fila y matriz columna:
i fijo (aij )1≤ j ≤ n fila i-ésima de A (m filas) vector de K n
j fijo (aij )1≤i≤ m columna j-ésima de B (n columnas) vector de K m
Dos matrices A y B son iguales A = B si tienen el mismo número de filas y de columnas y aij = bij ∀i = 1.Matrices: Definición: sean I = {1....
ai 2 ..a pp ) p = min {m. Llamamos diagonal principal de A = (aij ) m×n (a11 ..ain )  a1 j     a2 j  Matriz columna A =   .. n} En las matrices cuadradas de orden n llamamos traza de A Traza ( A) = ∑ aii .. j
. j Matriz antisimétrica cuando aij = − a ji ∀i.
Dentro de las matrices cuadradas podemos encontrar: Matriz diagonal D = ( dij ) donde si ∀i ≠ j dij = 0 Matriz escalar E = (eij ) donde si ∀i ≠ j eij = 0 y e11 = e22 = ..Tipos de matrices:
Matriz cuadrada m = n orden nxn ó n. = enn = e Matriz identidad matriz escalar con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1 Matriz triangular sup erior ∀i > j aij = 0 Matriz triangular inf erior ∀i < j aij = 0 Matriz simétrica cuando aij = a ji ∀i. a22 ... Una matriz no cuadrada es rectangular.. j (los elementos de la diagonal principal son nulos ) Matriz fila A = ( ai1 .....   a   mj  Matriz nula aij = 0 ∀i.
.. i2 ..
{ j ...
Se dice caja o bloque a toda submatriz para la que los índices de filas y columnas son consecutivos. j .iq } ⊂ I ciertos índices de fila y
ciertos índices de columna.. j } ⊂ J
La matriz que se obtiene suprimiendo las filas y las columnas de índices distintos a los considerados se dice submatriz de A.Submatrices: sea A una matriz y {i1 .
.. 0 
Conmutativa: ∀A. 0     0 0 ..... C ∈ M m×n ( K ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
 0 0 ... B....3..     0 0 . + ) grupo abeliano
. B ∈ M m×n ( K ) A + B = B + A
Existencia de elemento simétrico: ∀A ∈ M m×n ( K ) ∃ − A ∈ M m×n ( K ) / A − A = − A + A = 0
Estas propiedades se satisfacen por satisfacerse en K cuerpo. B) → C (cij ) = (aij ) + (bij ) = (aij + bij )
Propiedades: • Asociativa: ∀A.
( M m×n ( K ).. 0  / ∀A ∈ M ( K ) A + 0 = 0 + A = A Existencia de elemento neutro: 0 = m× n  .Espacio vectorial de las matrices m × n
M m×n ( K ) conjunto de las matrices de orden m × n de elementos de K cuerpo Al conjunto de las matrices cuadradas de orden nxn lo representamos M n ( K )
(+) : M m×n ( K ) × M m×n ( K ) → M m×n ( K ) (A ......
luego son linealmente independientes. 2.
∑λ I
= 0 ⇒λij = 0 ∀i = 1. j =1
m.m ∀j = 1.
Las m ⋅ n matrices I ij son base de M m×n ( K ) luego su dimensión como espacio vectorial es
m⋅n . ⋅K )
Sea la matriz I ij con todos los elementos nulos excepto el aij = 1 ∀A ∈ M m×n ( K ) A = por lo
i . k ∈ K ∀A ∈ M m×n ( K ) Seudoasociativa: ( hk ) A = h(kA) ∀h..
M m× n ( K ) . (aij )) → ( kaij )
Distributiva respecto a la suma de matrices: k ( A + B ) = kA + kB ∀k ∈ K ∀A.n
.Producto de un escalar por una matriz:
A ∈ M m×n ( K ) y k ∈ K K × M m×n ( K ) → M m×n ( K ) (k .. B ∈ M m×n ( K )
Ditributiva respecto a la suma de escalares: (h + k ) A = hA + kA ∀h.n .. k ∈ K ∀A ∈ M m×n ( K )
Elemento unidad: 1 ⋅ A = A ⋅1 = A ∀A ∈ M m×n ( K )
Estas propiedades se satisfacen por satisfacerse en K cuerpo.. +.
( M m×n ( K ). 2..
.... 0  / Id '⋅ A = A ∃Id ' =  ... 1n×n
1 0 . A ⋅ ( B ⋅ C ) tienen sentido)
Elemento neutro ∀A ∈ M m×n ( K ) m ≠ n
1 0 .. ( A ⋅ B ) ⋅ C ......4...... 0     0 1 ...
( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) (suponemos
productos A ⋅ B...Producto de matrices
Sea A = (aih ) ∈ M m× p ( K ) y B = (bhj ) ∈ M p×n ( K ) definimos C = A ⋅ B = (cij ) / cij = ∑ aihbhj
Observación: no es ley de composición interna.....     0 0 . 0     0 1 ... 0  / A ⋅ Id = A ∃Id =  . B ⋅ C .     0 0 ..... 1 m×m Si la matriz A es cuadrada Id = Id '
La matriz A tiene el mismo número de columnas que B de filas y C tiene las filas de A y las columnas de B...
⋅) anillo unitario no abeliano
No es un dominio de integridad (posee divisores de cero)
1 0   0 0   0 Ej. +. +.El producto de matrices no es conmutativo en general
A ∈ M m× p ( K ) y B ∈ M p×n ( K ) ⇒ A ⋅ B ∈ M m×n ( K ) pero B ⋅ A no se puede hacer si n ≠ m
Aún en el caso de que n = m tampoco ha de ser conmutativo:
 a 0 0 0  0 0  ⋅ =  0 0   a 0 0 0
0 0   a 0 0 0   a 0⋅ 0 0  =  2       a 0
Distributiva respecto a la adicción: A ∈ M m×n ( K ). C ∈ M r ⋅s ( K ) ⇒ A( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
( M n ( K ).  ⋅ =  0 0  1 0   0
0 1 0  0 0 =0 y   ≠ 0 y ≠0 0 0 0 1 0 
( M n ( K ). ⋅K ) álgebra de las matrices cuadradas
. B ∈ M n×r ( K ).
Sea A ∈ M m×n ( K ) . B ∈ M m×n ( K )
t (α A) = α At ∀α ∈ K
∀A ∈ M m×n ( K )
= A ∀A ∈ M m×n ( K )
= B t At
φ : M m×n ( K ) → M n×m ( K )
A → At
φ ( A + B ) = ( A + B )t = At + B t = φ ( A) + φ ( B)  φ es lineal :  t t φ (α A) = (α A) = α A = αφ ( A) 
φ es una involución para matrices cuadradas φ 2 ( A) = φ (φ ( A)) = ( At ) = A = Id ( A) ⇒ φ 2 = Id
. llamamos matriz traspuesta de A y se denota At a una matriz del tipo M m×n ( K ) tal que si A = (aij ) y At = (bij ) ⇒ bij = a ji
Propiedades: • • • • ( A + B )t = At + B t ∀A.
Matrices simétricas y hemisimétricas
Definimos las matrices simétricas (atendiendo a la noción de matriz traspuesta) como A = At y hemisimétrica si A = − At .
Una matriz simétrica debe ser cuadrada y una matriz antisimétrica también debe ser cuadrada y además como aij = − a ji ∀i.
. j ⇒ aii = 0
Toda matriz A ∈ M n ( K ) se puede descomponer de forma única como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
Sean las matrices S =
A + At A + At yH= 2 2
S t = S y H t = − H luego S es simétrica y H antisimétrica
2 S = A + At  ⇒ A = S + H y At = S − H se observa por el método de obtención que la  t 2 H = A − A  descomposición es única.
• • Si A es de orden m × n ⇒ RgA ≤ min {m. + α rk air )er + k y agrupando los términos
que contienen aij ( j = 1...... + α rk air k = 1. n} El número máximo de filas linealmente independientes que hay en una matriz A coincide con el número máximo de columnas linealmente independientes... 2.
 a11 a12 . + air er + ∑ (α1k ai1 + α 2 k ai 2 + . 2.e n base canónica de K n air + k = α1k ai1 + α 2 k ai 2 + ........c columnas A= 1 2 m 1 2 m  ....r )
r ur r  r r r r n− r r  r  n−r f i = ∑  aij e j +  ∑ α jk aij er + k   = ∑ aij e j ' con e j ' = e j + ∑ α jk e r + k j =1  k =1  k =1   j =1
.5. a2 n  con f ..Rango de una matriz
Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p.. c2 ...n − r
r r r Sea e1 . a1n    ur ur ur ur uu uu r r  a21 a22 ... f ....n − r
ur r r r n−r r f i = ai1 e1 + ai 2 e 2 + .. + α rk c r k = 1. f filas y c ...... El rango de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero..... amn    
Supongamos que el número máximo de columnas linealmente independientes es r y que ur uu uu r r son las primeras c1 .. c .    am1 am 2 ..cr con r ≤ n
r r r r c r + k = α1k c1 + α 2 k c 2 + ............... e2 .
... v 2 .
Demostración: r r r Sea A = (v1 . Si a una línea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un número no nulo el rango no varía. f 2 .e r ' ⇒ no hay más de r vectores ur ur uur independientes en f 1 .
Cálculo del rango de una matriz:
Método del pivote: triangularizar una matriz realizando operaciones elementales aplicando el método de Gauss..
Operaciones elementales: Si se permutan 2 filas ó 2 columnas el rango no varía. Al haber un menor no nulo de orden r.ur ur uur r r r Si f 1 .. Si se multiplica o divide una línea por un número no nulo el rango no cambia. Veamos que no hay más de r vectores linealmente independientes: si hubiera r + 1 filas (columnas) linealmente independientes de la matriz formada por esas filas (columnas) se podrían extraer r + 1 columnas (filas) linealmente independientes y el determinante de la matriz formado por estas columnas sería no nulo.. f m dependen linealmente de e1 '. e2 '.. f 2 .. los r vectores que intervienen en la submatriz del menor no pueden ser linealmente dependientes según una propiedad de los determinantes por tanto los r vectores son linealmente independientes. f m
Análogamente se demuestra que el número máximo de columnas independientes es menor o igual que el número máximo de filas independientes.v m ) una matriz de rango r. •
El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores linealmente independientes de los que forman la matriz......
salvo que la fila sea nula. si existe RgA ≥ 2
sino RgA = 1 ó 0 Si a un menor M de orden h de la matriz A se le añade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor). v 2 . las filas o columnas que sean que sean proporcionales a otras. el rango de la matriz es el número de filas no nulas de la matriz obtenida. el rango será 0. Antes de comenzar el método se busca un elemento no nulo. Una vez aplicado este proceso de triangularización.. al llegar a este punto. El método de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0. Si todos los menores de orden k+1 son nulos el rango es k. sin que el rango de la matriz varíe. Si todos los menores orlados obtenidos añadiéndole al menor de partida los elementos de una línea i0 son nulos. Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k+1 no nulo. obtenemos un menor N de orden h+1 que se dice obtenido de M orlando este menor con la fila p y la columna q. podemos eliminar dicha línea porque es combinación de las que componen el menor de orden k. la matriz tiene orden k). i>j). Para conseguir triangularizar la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos. (Si aplicamos bien el método en realidad.Se pueden suprimir las filas o columnas que sean nulas. v j ) .v m ) y buscamos un menor no nulo (vi . El elemento encontrado será el menor de orden k=1 de partida.
r r r r r Uso de menores A = (v1 . Cuando se encuentra un menor de orden k+1 no nulo se aplica a éste el método. ya que si todos los elementos son 0..
... B son regulares entonces AB también y ( AB ) = B −1 A−1
Si A..0 .
Cálculo de la matriz inversa Dada una matriz A ∈ M n ( K ) si se somete a sus filas (columnas) a una operación elemental E........   ...6.0 .............1 . 0i   i 0 0 .... 0 j          ...... la matriz E f ( A) ( Ec ( A)) que se obtiene es E f ( I ) A ( AEc ( I )) donde E f ( I ) ( Ec ( I )) es la matriz obtenida al realizar en las filas (columnas) de la matriz unidad la operación elemental E. 0   0 1 0 .. 1....... 0 j   f j   f i   j 0 0 ...............
 1 0 0 . j..... 0   f 2   f 2   .........  ⇒ ( E f ( I )) ⇒  ...... Por ser M n ( K ) un anillo unitario se cumplen: • • • Si A...   .. 0....... Demostración: Operaciones elementales con filas: a) Permutar filas de lugares i.....0...... 1.. B y AB son regulares entonces A−1 = B ( AB )−1 y B −1 = ( AB) −1 A Si A es regular es simplificable para el producto............... 1    m   m   
........  =  ......Matriz inversa:
Una matriz cuadrada se dice regular A ∈ M n ( K ) si ∃A−1 ∈ M n ( K ) / A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I n A es un elemento inversible de M n ( K ) .......... 1   f   f   0 0 0 ..............  = E f ( A)         j 0 0 .....          i 0 0 ...............   ...... no es divisor de cero...........   ..   .1 ....................   0 0 0 ... 0   f1   f1          0 1 0 .   .......................... 0i   f i   f j   ..... 0   1 0 0 ......   .................
... 0 ... 0i   f i   kf i   ........ .....   .....  E f (I ) A =     =   = E f ( A) i 0 0 ........... 0   f1   f1    f   f   0 1 0 ....... 1 ......... 0i   f i   f i + kf j  E f (I ) A =   = E f ( A) ...   .... k ...   .. k ..........................  . 1  f   f        m   m 
c) Sumar a la fila i k veces la fila j   1 0 0 ............... 0   2   2 . 1  f   f    m   m  Si E f ( A) = I ⇒ E f ( I ) A = I ⇒ E f ( I ) = A−1 Otra forma de calcular la matriz inversa de una matriz regular es utilizando determinantes: A−1 = 1 t ( Adj ( A) ) sup oniendo Det ( A) ≠ 0 donde Adj ( A) es la matriz de los Det ( A)
adjuntos......  0 0 0 .......        j 0 0 .....  = . 0 j   f j   f j        .....
...... 0   f   f    2   2   ....   . 1 ...........................b) Multiplicar una fila i por k ≠ 0
 1 0 0 .         i 0 0 ...................... 0   f1   f1   0 1 0 .........   .....   ................ El conjunto de todas las matrices cuadradas regulares tiene estructura de grupo............   ..    0 0 0 .....
cuya diagonal principal sólo posee ceros y dos elementos del tipo eij y e ji nunca valen 1 simultáneamente.
Aplicaciones de las matrices a la Teoría de Grafos (Sicología Social)
Las dos matrices asociadas a un grafo son:
k si vi es adyacente a v j A = ( aij ) =  siendo k el número de aristas 0 en caso contrario 
que unen el vértice vi con el v j A ∈ M n ( R )
1 si vi es incidente con la arista e j A ∈ M n ( R) Matriz de incidencia: A = ( aij ) =  0 en caso contrario 
La matriz de adyacencia de un grafo es muy importante para decidir cuestiones de conexión. Se puede representar por una 1 si Ai → Aj  matriz de relación A = ( aij ) =  0 si Ai → Aj  Llamamos matriz de influencia a toda matriz. geometría. etc). etc) y en otras muchas ciencias (mecánica. entonces el término aij de la matriz An nos da el número de caminos de longitud n que van de vi a v j ..
. estadística. economía.7.
Un grafo de una relación binaria es un esquema en el cual se indica que Ai está relacionado con Aj mediante una flecha que sale de Ai y acaba en Aj . pues si A es la matriz de adyacencia de un grafo con n vértices. física.Aplicaciones de las matrices
Las matrices son en la actualidad una herramienta imprescindible en múltiples ramas de la matemática pura y aplicada (álgebra lineal.
.. e2 ......em base de K m y β 2 = v1 ... + xm ∑ amj v j j =1 j =1
 y1 = x1a11 + .. Un individuo Ai puede influir sobre otro Aj directamente Ai → A j o a través de un tercero Ai → Ak → Aj (dos etapas)
La matriz M asociada a un grafo es cuadrada y si se hace M 2 (nº de influencias de dos etapas)
El poder de un individuo i es la suma de las filas i-ésimas de M y M 2
Ej...m j =1
r ur uu r uu r ∀ x ∈ K m x = x1 e1 + x2 e2 + ..
Aplicaciones de las matrices al Álgebra
Matriz asociada a una aplicación lineal (homomorfismo) f :Km → Kn ur uu uu r r ur uu uu r r β1 = e1 .Este tipo de matrices se utilizan en los sociogramas o dinámicas de grupos.. + xm em
n n r ur uu r uu r uu r uu r f ( x) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + . v2 ..  y = x a + .vm base de K m
n ur uu r f (ei ) = ∑ aij v j i = 1. Árbol genealógico de los Bernoulli.. 2....... + xm am1  ⇒ Y = At X . + x a m mn 1 1n  n A = (aij ) m×n matriz asociada a la aplicación lineal de bases β1 y β 2 de K m y K n
.. + xm f (em ) = x1 ∑ a1 j v j + ..
K n ) → M m×n ( K ) donde A es la matriz asociada a f
f → A = (aij )
Sistemas de ecuaciones: las matrices nos permiten representar. la solución del sistema es
Dentro del análisis. se define su derivada por medio de una matriz de
M m×n ( R ) llamada Jacobiana y cuyos elementos son aij =
∂f i ∂x j
La matriz de las segundas derivadas de llama Hessiana. cristalografía. Si tenemos una función f : R n → R m .
Aplicaciones en Geometría: las matrices sirven para representar los movimientos y semejanzas en el plano y en el espacio de vital importancia en dinámica.… Ejemplos:
. etc aparecen las matrices para estudiar las funciones de varias variables y determinar sus máximos y mínimos. Un sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial como AX = B y si la matriz A es inversible. y por tanto. K n )
ϕ : L( K m . matriz inversa y determinante. estudiar y resolver sistemas
de ecuaciones con ayuda de nociones como rango de una matriz.M m×n ( K ) es isomorfo a L( K m . en una amplia variedad de problemas físicos. donde adquiere especial relevancia la matriz de Jordan. de ingeniería.
La herramienta principal para el estudio de ecuaciones diferenciales lineales es el análisis matricial.
Aplicaciones en Física: Teoría de la Relatividad y las transformaciones de Lorenz
Aplicaciones en Estadística: matriz de datos para representar información. …
Aplicaciones en Economía: matriz de pagos. b. formas cuadráticas.Ecuación de traslación de vector t = (a.
Aplicaciones al campo de la naturaleza: cadenas de Harkov para el estudio de la genética Mendeliana.
desviaciones. c)
 x '  1 0 0  x   a          y '  =  0 1 0  y  +  b   z '   0 0 1 z   c        
Ecuación del giro de ángulo α y eje z:
 x '   cos α − senα 0  x        y '  =  senα cos α 0  y   z'  0   0 1  z    
También podemos estudiar simetrías axiales. matrices input – output de Leontieff. teoría de juegos. matriz de demanda final. matriz de correlaciones. productos escalares. matriz de varianza – covarianza.
Third ed. GREUB: Linear Algebra. 1967
.8. Cabe destacar la gran cantidad de aplicaciones de las matrices tanto a las diversas ramas de las matemáticas como a otras ciencias. ALHAMBRA..
9.. 1977. W. Heidelberg..Bibliografía:
J. Springer-Verlag. DE BURGOS: Curso de Álgebra y Geometría. y aunque ya eran conocidas en la antigüedad su tratamiento sistemático tuvo lugar hacia el siglo XIX dando lugar al álgebra de matrices (no conmutativo).Conclusión: las matrices constituyen una herramienta imprescindible para el tratamiento
Título y ubicación
3. Conexión con otras áreas o materias
12. Conceptos
4. Utilización posterior
.U IDAD DIDÁCTICA: MATRICES
8. Actitudes
3.Conceptos:
Matrices Matrices que describen una relación y matrices de información Dimensión u orden de una matriz Igualdad de matrices Tipos de matrices Matriz transpuesta Operaciones con matrices. y en general para resolver situaciones diversas de las Ciencias Sociales y la Economía.Objetivos: capacitar a los alumnos para:
Representar e interpretar tablas de números y grafos mediante una matriz..
2..Título y ubicación: la Unidad Didáctica que programamos lleva por título “Matrices” e
iría dirigida a los alumnos de 2º de Bachillerato de la modalidad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.
Interpretar y manejar las matrices con sus propiedades en problemas extraídos de contextos reales. . identificando elementos concretos de la misma. relaciones y ecuaciones.1. Propiedades Matriz inversa Rango de una matriz Ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales
. así como los tipos de matrices más característicos.
Utilizar el lenguaje matricial y operaciones con matrices para representar e interpretar datos.
productote matrices.
Cálculo de matrices inversas mediante el método de Gauss.4.
Utilización de los distintos recursos tecnológicos como apoyo en los procedimientos que involucran el manejo de matrices.Actitudes:
Apreciación de los números como instrumento útil para describir y estudiar la realidad.
Aplicación de las operaciones con matrices a la resolución de problemas extraídos de las Ciencias Sociales y la Economía.
Tendencia a expresar resultados numéricos en forma de matrices.
Calcular el rango de una matriz.Procedimientos:
Realización de operaciones con matrices: suma.
Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales sencillos..
Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada y clara de los números.
Interpretación del significado de las operaciones con matrices y sus propiedades en situaciones diversas de la realidad.
.. Estudio de sus propiedades. producto por un número real.
Introducción histórica: en grupos de tres los alumnos harán un trabajo recopilando
información sobre el origen de las matrices para el cual se le darán unas pautas: cajas numéricas en las que se resume una información estructurada (China hace más de XXI siglos). Cayley a través de las transformaciones geométricas estudia las operaciones con matrices y así llegamos al álgebra de matrices)
Matrices de información (tablas):
A una serie de conferencias internacionales han asistido los siguientes delegados de diversos países:
Desarme EEUU Rusia CEE 10 8 2
Capa de ozono 5 3 15
Economía mundial 3 12 20
.Distribución temporal:
Doce sesiones dependiendo del nivel medio de la clase y de la programación del departamento correspondiente. Silvestre.
7. y como las matrices pasan de ser elementos aislados a conjuntos con una sólida estructura algebraica (Hamilton. grafos.
Prueba inicial: se hará una prueba inicial para valorar los conocimientos que os alumnos
tienen sobre tablas.6...Metodología y actividades:
Se utilizará una metodología activa y participativa en la que el alumno sea artífice de su propio aprendizaje.
Ejercitar logaritmos:
1) Escribe una matriz X / X t = X y calcula sus órdenes.
Proponemos para esto el árbol genealógico de los Bernoulli.
 1 2 3  −1 3 2  2) Sea A =   y B=  calcula 2 A − B  −2 1 0   013
Abordar las operaciones con matrices:
Disponemos de una información en forma de texto que representamos en una tabla:
País A Aeropuerto 1 Aeropuerto 2 Aeropuerto 3 A1 A2 A3
País B B1 B2 B3
País C C1 C2 C3
Aplicar el producto de matrices para obtener las combinaciones para ir de cada aeropuerto de A a cada aeropuerto de C pasando por alguno de B.Para que comprueben la necesidad de las matrices y su utilidad así como lo fácil que resulta extraer información de las mismas el profesor hará una serie de preguntas a los alumnos tales como ¿cuántos delegados han asistido a desarme?
Se pasará un horario de autobuses y haremos un estudio de este transcribiéndolo en forma de matriz
Matrices de relación (sociogramas y dinámicas de grupos):
Trataremos matrices de influencia (diagonal principal de ceros) observando si un individuo influye a otro directamente o a través de un tercero y calcularemos el poder de un individuo.
Criptografía (descifrar mensajes): asignamos a cada letra del alfabeto un número y damos
una matriz encriptadora.
5) Comprobar que el producto de matrices no es conmutativo en general con un ejemplo.
1 − 2 1    6) Hallar la inversa de  3 0 4  por el método de Gauss.3) Efectuar productos de matrices indicando previamente si es posible y el orden de la matriz producto.
Abordar el estudio de matrices de dimensiones elevadas a través de las posibilidades que nos proporcionan las hojas de cálculo. Dados los números correspondientes a una palabra encriptada cómo obtenemos la palabra. 0 4 1  
7) Determinar la matriz X que verifica
 1 0  3 1  5 − 2 AX − B =   con A =   y B=   −1 2   −2 − 1  1 3  X − 3Y = A   −20 − 5   23 17   donde A =   y B=  X + 3Y = B   −2 − 15   −4 15 
8) Resolver el sistema matricial
9) Dada una matriz A calcular An
1 si i ≥ j 10) Dar la matriz A tal que A =  0 si i < j
Estudio de la matriz input – output del conjunto de las actividades económicas de un país.
4) Matrices fila y columna.
c) Formación: se tendrán en cuenta los siguientes parámetros
Trabajo diario de los alumnos
Su actitud en clase
Colaboración prestada por parte de cada alumno tanto al profesor como a sus compañeros
Trabajo en equipo y papel del alumno dentro del mismo
Opiniones de alumnos y alumnas recogidos en conversaciones individuales y colectivas
Del proceso de aprendizaje:
a) Conocimientos previos: tablas. …
b) Adquisición de objetivos: se evalúan conceptos procedimientos y actitudes teniendo en cuenta los criterios de evaluación. Objetiva y cuantitativa.
8.Prueba final al terminar la unidad didáctica. Haremos un control global al finalizar la unidad didáctica. grafos..
En la última sesión se pasará un formulario (cuestionario para que los alumnos evalúen la unidad didáctica.
f) Recuperación de alumnos suspensos.• •
Coevaluación colectiva
Subjetiva y cualitativa
d) Criterios de evaluación:
Utilizar el lenguaje matricial y aplicar las operaciones con matrices en situaciones reales en las que hay que transmitir información estructurada en forma de tabla o grafos.
Utilizar el método de Gauss para obtener matrices inversas de orden dos y orden tres. aprovechamiento o desaprovechamiento de la clase. estrategias. han surgido grupos de trabajo. modos de funcionamiento.
e) Criterios de calificación: prueba final y tendremos en cuenta la formación. utilizando matrices e interpretar soluciones. resolverlo. Deberá analizarse:
Cada actividad propuesta para adecuarla en su caso
El binomio profesor alumno analizando por qué y en qué momento ha existido mayor interés o desinterés.
Evaluación del funcionamiento de la unidad didáctica: la unidad didáctica se evaluará a
partir del análisis recogido en la evaluación de la formación.
Transcribir un problema expresado en lenguaje usual al lenguaje algebraico. …
. cuando el grupo ha actuado en una tarea en común.
Madrid. Anaya.. -------------: Matemáticas II... Y OTROS: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II.
12. retroproyector.Bibliografía:
COLERA. fuentes de
11..Atención a la diversidad: por arriba y por abajo. Madrid. J. Actividades de repaso encaminadas a
recuperar alumnos de aprendizaje más lento y otras de profundización para los más aventajados. y la Economía. 2001.9..
. 2001.Conexión con otras áreas o materias: economía
13.Recursos utilizados: calculadora. hojas de cálculo.Utilización posterior: como herramienta para Matemáticas Aplicadas a las Ciencias
Sociales II. Derive. Maxima.Temas transversales: tratados en los enunciados de los problemas
14.. Anaya.
.PRÁCTICAS: MATRICES
1. Derive
pulsa el botón Sí o Simplificar. Por último. También puedes elegir la opción matriz del menú Editar..
Introduce la siguiente matriz:
3 6 2   1 − 2 0 3 1 5  
En el panel que aparece introduce los elementos pulsando la tecla tabuladora para pasar al siguiente. pulsa el icono
de la barra de herramientas y especifica el
número de filas y columnas.1.DERIVE
Para introducir una matriz.
También puedes pulsar F2 para acceder a la línea inferior de introducción de expresiones y escribir directamente a:=[3 . Es preciso escribir a:= en vez de a=. pulsa el botón Sí. pulsa el icono de introducción de expresiones. vamos a asignarle un nombre: mientras la matriz anterior permanece resaltada. Se copiará toda la matriz. -2 .Para facilitar los cálculos. 2 . 6 . 1 . 0 . 1 . Observa que debes separar por comas los elementos de cada fila y por punto y coma cada una de las filas
. 3 . porque se trata de una asignación y no de una ecuación. Por último. introduce a:= y
pulsa la tecla F3.
no del apóstrofe ’). 1. ni el signo :=). 2] (no olvides las comas. 4. los corchetes.
Puedes seguir el procedimiento anterior o introducir
directamente la expresión siguiente: b:= [3. 2.
Introduce una nueva matriz
Ahora evalúa (introduce y simplifica) las expresiones siguientes: a+b 2ab+3b
2a^2-3b^3
ab (producto de matrices)
. 1 . Observa e interpreta el resultado:
(fíjate que se trata del acento grave `. 1. 4.Una vez definida la matriz a introduce y simplifica las siguientes expresiones. 3 . los puntos y coma.
Observa que ^ y ` son acentos. por lo que no aparecerán en pantalla hasta que introduzcas el carácter siguiente (o un espacio).
k) A·B A` DET (A) TRACE (A) A^-1 ROW_REDUCE (A) ROW_REDUCE (A. Traza de A (suma de los elementos de la diagonal principal). Elemento a(j.Utilidades para el manejo de matrices:
FUNCIONES MATRICIALES [a. columna k). B) Matriz 2×2 Matriz identidad de orden n (n×n).
Introduce la expresión ab=ba y simplifícala. 1 . Introduce una nueva matriz c:= [4. Matriz inversa de A. 3. d] IDENTITY_MATRIX (n) ELEMENT (A. -1. b . c.
Evalúa por separado ab y ba.k) de la matriz A (fila j.j. 0. También A sub j sub k o bien A↓j↓k Matriz producto A×B Traspuesta de A (acento grave `) Determinante de A. Triangulación de la matriz A añadiéndole B (para Gauss). 3 . 2. Triangulación de la matriz A (por filas). Observa que el producto de matrices no es conmutativo. 7. -5] y asigna a i la matriz identidad de orden 3: i:= IDENTITY_MATRIX(3)
Compruébalo con la expresión a a^-1.
Comprueba las siguientes propiedades sobre la transpuesta y la inversa:
(a−1)` = (a`)−1 (a ⋅ b)–1 = b–1 ⋅ a–1
(a + b)` = a` + b`
(a ⋅ b)` = b` ⋅ a`
.Evalúa las siguientes expresiones y reconoce las propiedades de las operaciones observando los resultados: (a + b) + c
a+0 a + (b + c) a−b b−a a−a
(3*2)a 3(a + b) (3+2)a
3*(2a) 3a + 3b 3a + 2a
(mn)a
m(a + b)
m(na) ma + mb ma + na
(m + n)a
Observa la respuesta a las siguientes expresiones: (a + b) + c = a + (b + c)
m(a + b) = ma + mb a+b=b+a a−a=0 a+0=a
(m + n)a = ma + na
(mn)a = m(na)
1a = -1a
Introduce y simplifica a^-1. que multiplicada por a nos da la matriz identidad. Se trata de la matriz inversa de a.
La función RANDOM(n) permite obtener un número al azar entre 0 y n. 3). Cada vez que la resaltes y simplifiques obtendrás una matriz aleatoria nueva:
VECTOR(VECTOR(RANDOM(9). Introduce la siguiente expresión y simplifícala.Comprueba las siguientes igualdades: (a + b)−1 = a−1 + b−1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b) (a − b) = a2 − b2
Simplifica automáticamente la siguiente expresión: ((a * b)`)−1 (b−1 * a` * b)`
Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal.
Comprueba que: TRACE(a+b)=TRACE(a)+TRACE(b) TRACE(ab)=TRACE(ba)
Según lo anterior. i.
Encuentra dos matrices a y b para las que TRACE(ab) sea distinta de TRACE(a)*TRACE(b). demuestra que es imposible encontrar dos matrices r y s tales que r *
s − s * r = i (matriz identidad). Compruébalo. Función TRACE(a). 3)
Vamos a utilizarlo para elaborar unas herramientas que nos permitan obtener el rango de cualquier matriz. entre otras utilidades. i+1). 0. IF(v=0. pero no se muestra en pantalla. En el archivo VECTOR. Por ejemplo. Repítelo con otra matriz de 3 filas y 5 columnas. #32 + #31. b y c con las que has trabajado.
Añade a la matriz A una nueva fila que sea combinación lineal de las demás (usa la tecla F3). 1.
Introduce la siguiente función: VCEROS(v.Genera varias matrices aleatorias y comprueba con ellas las propiedades anteriores. Las utilidades están disponibles pero sus construcciones no se mezclan con nuestro trabajo. i):= IF(i > DIMENSION(v). la función RANK(a) que permite obtener automáticamente el rango de la matriz a.
Define una nueva matriz y halla su rango. 1))
. VCEROS(v. El rango de la matriz será el número de filas no nulas (con no todos los elementos iguales a 0) que resulten.MTH (se encuentra en el directorio Math de DERIVE). Para especificar cada matriz debes introducir #n (numeración correspondiente que aparece a la izquierda de cada línea). Al elegir la opción Utilidad en vez de Mth se carga el contenido del archivo.
Halla el rango de las matrices a.MTH se incluyen. Halla ahora el de su transpuesta.
La función ROW_REDUCE de DERIVE permite aplicar el método de Gauss a una matriz. Comprueba que el rango no ha cambiado. Para poder utilizarlo elige en el menú Archivo las siguientes opciones: Leer − Utilidad y selecciona el archivo VECTOR.
Derive incluye algunos archivos con funciones definidas para simplificar cálculos.
MTH. Puedes sustituirlo por la expresión m SUB n.
Introduce ahora una nueva función: FILASNONULAS(m):= SUM(VCEROS(m↓n. m↓n indica el elemento n de m. No te preocupes si no la entiendes. 1. Es una función recursiva que se llama a sí misma.
Por último. introduce la siguiente función que nos permitirá obtener el rango de cualquier matriz m: RANK(m):= FILASNONULAS(ROW_REDUCE(m))
Esta construcción de RANK figura en el archivo de utilidades VECTOR. 1).
. Derive trata las matrices como un vector de vectores (por filas). DIMENSION(m)) El símbolo ↓ aparece en las filas superiores de la ventana de introducción de datos. el número de filas no nulas de una matriz.r Esta función señala si a partir del elemento i todos los elementos de un vector v son nulos
o no. n.
Esta función permite contar. basándose en la función anterior. Puedes utilizarlo sin que aparezcan las definiciones en pantalla con el menú Archivo + Leer + Utilidad (el archivo se encuentra en DfW5/Mth).
Para ello introduciremos en la celda A6 la expresión =MMULT(A2:C4.2..
.E2:G4).EXCEL
Producto de matrices e inversa de una matriz
Podemos obtener el producto de dos matrices con Excel mediante la función MMULT y la inversa con la función MINVERSA.
Abre una hoja nueva de Excel e introduce las dos matrices a multiplicar de la siguiente forma:
2 3 4 5 15 9 -5
-8 -5 3
Como la matriz producto es otra matriz de dimensión 3x3 vamos a hallarla en las celdas A6 hasta C8.
Observa que las dos matrices se separan por .
Para obtener la matriz inversa puedes proceder de forma similar. Vamos a hallar la inversa de la matriz introducida en las celdas A2:C4. Pero como el resultado (matriz producto) no cabe en una sola celda es preciso seleccionar previamente las nueve celdas que la contienen . Selecciona con el ratón el rectángulo E6:G8 Mientras el área E6:G8 permanece resaltada introduce en E6 la expresión =MINVERSA(A2:C4). Pulsa simultáneamente las teclas CTRL.
Sitúa el cursor en la celda E6. Selecciona con el ratón el rectángulo A6:C8 Mientras el área A6:C8 permanece resaltada introduce en A6 la expresión =MMULT(A2:C4.+MAYUSC+INTRO (pulsa primero CTRL y sin soltarla pulsa MAYUSC y por último INTRO)
Si pulsas únicamente la tecla INTRO obtendrás sólo el primer elemento de la matriz producto.+MAYUSC+INTRO
.E2:G4) Pulsa simultáneamente las teclas CTRL. Por ello debes seguir los siguientes pasos:
Sitúa el cursor en la celda A6. y cada matriz se determina por las celdas de sus esquinas: desde A2 hasta A4 para la primera matriz y desde E2 hasta E4 para la segunda.
Comprueba de igual forma el error que se produce al realizar el producto anterior en orden inverso y multiplicar la matriz de dimensión 3x4 por la de dimensión 2x3. Para el resultado deberás reservar un área de dos filas y cuatro columnas ( 8 celdas).b. Observa que no tiene sentido hablar de la inversa de una matriz no cuadrada.
Abre otra hoja nueva y prueba a multiplicar una matriz de dimensión 2x3 y otra de dimensión 3x4. Puedes mejorar su aspecto antes de guardarla añadiendo un nombre (A.
Intenta hallar la inversa de cualquiera de las matrices anteriores. A-1) sobre cada matriz y coloreando el fondo para distinguir cada matriz. B. AxB.MMULT(A6:C8.A10:C12))
.La hoja creada puedes utilizarla para multiplicar dos matrices cuadradas de orden 3 cualesquiera o hallar la inversa de cualquier matriz de orden 3 (que admita inversa).c como en la figura siguiente y comprueba que a*(b*c)=(a*b)*c para ello las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente :
=MMULT(A2:C4.
Para comprobar la propiedad asociativa del producto de matrices introduce tres matrices a.
b y c.=MMULT(MMULT(A2:C4.A6:C8). Las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente :
o conmutativa
Recordar que el producto de matrices (incluso de matrices cuadradas) no es conmutativo.A6:C8)
=MMULT(A6:C8.A10:C12)
Comprueba que ambas matrices son idénticas y repítelo con varios ejemplos cambiando las matrices a. Para comprobarlo crea una hoja como la de la siguiente figura y pruébala con diversos ejemplos de matrices a y b. es de gran importancia para resolver correctamente muchos ejercicios de ecuaciones matriciales.A2:C4)
+MAYUS+INTRO. Repítelo en el área E7:G9 con la expresión: =MMULT( E2:G4 .En algunos casos particulares si resulta ab=ba. Introduce en b la inversa de a. Introduce en b la matriz identidad. E2:G4) y pulsa las teclas CTRL. Selecciona el área A7:C9. A2:C4)
. introduce la expresión =MMULT( A2:C4 .
Para comprobar que la matriz proporcionada por Excel con la función MINVERSA es realmente la inversa construye una hoja como la siguiente:
En las celdas E2:G4 debes obtener la inversa con la expresión MINVERSA(A2:C4).
Busca otros ejemplos análogos. Con las tres celdas seleccionadas. Excel no incorpora una función específica.Pruébalo con varias matrices y observa que obtienes siempre la matriz identidad. Por dificultades de precisión es posible que en algunos ejemplos no obtengas exactamente la matriz identidad y en algún elemento aparezcan valores como 1 E-15 ( es decir 1* 10 –15 ) en vez de 0. b. Constrúyela de la siguiente forma: En E2 introduce la expresión =A6+A10. Observa que ocurre en este caso en el que no existe inversa. Puedes evitarlo eligiendo sólo 2 posiciones decimales (o incluso 0 decimales) en el menú Formato – Celda – Número. c. Para obtener a*b+ac haz algo similar introduciendo en I6 la expresión =E6+E10 y copiándola hasta K8. Arrastra el cuadradito inferior derecho tres celdas hacia la derecha para copiar la expresión.
Dada la sencillez de la suma de matrices.
Para comprobar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de matrices construye una hoja como la siguiente y pruébala con varias matrices a.
Introduce como matriz a una matriz con dos filas iguales. arrastra el cuadradito hacia abajo tres filas (hasta G4) para copiar la expresión hacia abajo.
Puedes incluir en la misma hoja el producto obtenido con la función MMULT.Producto de matrices de forma manual
Aunque Excel proporciona una función que efectúa automáticamente el producto de matrices puedes elaborar una hoja que realice el producto para dos matrices cuadradas de orden 3 siguiendo el proceso que te han explicado para hacerlo manualmente (“filas por columnas”).
. Pruébala con distintos ejemplos y comprueba que obtienes el mismo resultado de las dos formas.
una matriz es una lista de listas en la que cada elemento es una fila. El determinante de una matriz lo calculamos con determinant y el rango con rank. Para el producto matricial usaremos “.MAXIMA
Para Maxima.
.3. Observa que el operador “*” multiplica elemento a elemento dos matrices.”
Para calcular la inversa podemos utilizar la función invert o el operador “^^-1”..
. Anaya. GREUB: Linear Algebra. ------------: Matemáticas II. 2001. Anaya. DE BURGOS: Curso de Algebra y Geometría.
. Y OTROS: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. Third ed. 1967
COLERA. Madrid. Springer-Verlag. ALHAMBRA. Madrid. 1977.Bibliografía:
J. W. J. Heidelberg. 2001.
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