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Timestamp: 2017-09-26 12:35:32+00:00

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ASIGNATURA-FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA II
Ficha de la asignatura: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA II
33706 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA APLICADA II (2015-16)
Código 33706
En esta contextualización nos centraremos en las herramientas matemáticas básicas que se utilizan en robótica. El problema más básico que debe resolverse es obtener un modelo geométrico de la estructura, que permita relacionar los grados de libertad o las variables generalizadas con las coordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot. Esto se conoce como el problema cinemático directo, y para robots típicos tiene una solución sencilla y universal. Sin embargo, debe observarse que el problema que aparece cuando se pretende posicionar un brazo robótico o una pierna de un humanoide es justo el inverso: se parte de posiciones cartesianas como valores de entrada y se deben encontrar los valores de las variables generalizadas.
El problema cinemático inverso sólo puede resolverse de forma analítica en casos muy sencillos, y puede tener 0, 1, 2,... ó infinitas soluciones. En algunos casos particulares es posible hacer un planteamiento relativo basado en el cálculo diferencial de varias variables y más concretamente en matrices jacobianas.
De forma general, el problema cinemático puede formularse como: dado un conjunto arbitrario de restricciones cinemáticas entre sólidos, generar todas las configuraciones espaciales de estos sólidos que las satisfacen. Cuando exista un número infinito de tales configuraciones deberá obtenerse una discretización completa del conjunto solución. Los sólidos son los elementos rígidos que integran el mecanismo de un robot, y las restricciones cinemáticas son las impuestas por sus bucles cinemáticos y/o por restricciones de contacto con el entorno.
Debe observarse que el planteamiento cinemático no es válido cuando se pretende manipular objetos en movimiento. Es necesario entonces plantear modelos dinámicos donde intervenga el tiempo. Las ecuaciones y sistemas diferenciales describen la dinámica de los robots.
En último lugar debe también tenerse en cuenta que un robot debe moverse en tiempo real, por lo cual es necesario plantear soluciones de baja complejidad computacional. Esto hace, por ejemplo, que se prefiera la formulación de Newton-Euler antes que otras más elegantes como la lagrangiana.
CLASE TEÓRICA DE 33706 1 GARCIA ALONSO, FERNANDO LUIS
PRÁCTICAS CON ORDENADOR DE 33706 1 REYES PERALES, JOSE ANTONIO
2 REYES PERALES, JOSE ANTONIO
GRUPO 1: CLASE TEÓRICA DE 33706 56
1 (CLASE TEÓRICA DE 33706) 2do. M CAS desde NIF - hasta NIF -
1 (PRÁCTICAS CON ORDENADOR DE 33706) 2do. M CAS desde NIF - hasta NIF -
2 (PRÁCTICAS CON ORDENADOR DE 33706) 2do. M CAS desde NIF - hasta NIF -
CLASE TEÓRICA 1 27/01/2016 20/05/2016 M 09:00 11:00 A2/0B12
PRÁCTICAS CON ORDENADOR 1 27/01/2016 20/05/2016 L 09:00 11:00 0016P2008
2 27/01/2016 20/05/2016 M 11:00 13:00 0016P2008
Conocer las series numéricas, las series de potencias y las series de Fourier, así como los criterios básicos de convergencia.
Conocer el polinomio de Taylor de una función en un punto y aplicar dicho polinomio para estimar el valor de la función en un punto. Calcular una cota del error cometido.
Identificar y dibujar algunas superficies notables que son la gráfica de una función de dos variables o la superficie de nivel de una función de tres variables: esferas, elipsoides, cilindros, paraboloides, conos, hiperboloides.
Identificar el dominio de una función de dos o de tres variables y estudiar si una función de varias variables reales tiene límite en un punto y si es continua en dicho punto.
Calcular las derivadas parciales y direccionales de funciones de varias variables. Familiarizarse con su interpretación geométrica. Calcular desarrollos de Taylor de campos escalares.
Identificar las condiciones de diferenciabilidad de una función de varias variables y utilizar el gradiente para calcular sus derivadas direccionales.
Interpretar geométricamente el concepto de función difenciable en un punto: plano tangente a la gráfica de la función. Construir la diferencial de una función real de varias variables reales y obtener la matriz jacobiana de una función vectorial.
Utilizar el método de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones.
Describir regiones planas delimitadas entre curvas, utilizando coordenadas cartesianas y polares, así como regiones del espacio delimitadas entre superficies, utilizando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
Calcular integrales dobles y triples iteradas en coordenadas cartesianas, así como áreas y volúmenes utilizando integrales múltiples.
Resolver problemas de valores iniciales de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes.
Obtener mediante los métodos de runge-kutta, la solución aproximada de problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales ordinarias y de sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
La propuesta, incluye como objetivos generales de un curso de Fundamentos de Matemática Aplicada II, los siguientes:
Mejorar la formación del alumno/a favoreciendo su espíritu crítico e investigador, así como su capacidad de razonamiento, fomentando su creatividad.
Lograr que el alumno/a aprenda un método de trabajo, siendo capaz de, ante un problema concreto, distinguir lo importante de lo superfluo, intuir soluciones del problema e interpretar los resultados obtenidos.
Profundizar en el alumno/a, el conocimiento del lenguaje matemático, los métodos específicos de algunas de las distintas facetas de la Matemática, así como su aplicación a diferentes modelos, para analizar e interpretar los resultados.
Suministrar al alumno/a el instrumento matemático que necesitará para el estudio de otras disciplinas de su carrera.
Proporcionar al alumno/a un repertorio de conceptos fundamentales, métodos de razonamiento y técnicas de análisis o cálculo, adaptado a sus futuras necesidades profesionales.
1.-Aproximación local de una función.
1.1 Series numéricas.
1.2 Series de potencias.
1.3 Polinomio de Taylor. Fórmula de Taylor. Fórmula de Mac Laurin.
2.- Cálculo en varias variables.
2.1 Campos escalares y vectoriales.
2.2 Limites y continuidad de campos escalares y vectoriales.
2.3 Derivadas direccionales y parciales de campos escalares y vectoriales.
2.4 Diferenciabilidad de campos vectoriales. Matriz jacobiana.
2.5 Vector gradiente de un campo escalar. Divergencia de un campo vectorial. Rotacional de un campo vectorial. Laplaciano de un campo escalar. Relaciones entre los operadores.
2.6 Interpretación geometrica de la diferencial de campos escalares.
2.7 Diferenciación de funciones compuestas. Teorema de la función implicita.
2.8 Diferenciales de orden superior. Matriz hessiana.
2.9 Extremos relativos de campos escalares. Extremos condicionados de campos escalares, multiplicadores de Lagrange. Extremos absolutos de campos escalares.
3.- Integración múltiple.
3.1 Regiones elementales de .
3.2 Integración sobre regiones elementales de .
3.3 Cambio de variable. Coordenadas polares.
3.4 Aplicaciones geométricas y mecánicas.
3.5 Cálculo de áreas y volúmenes.
3.6 Centro de masas de láminas planas.
3.7 Regiones elementales de .
3.8 Integral sobre una región elemental de .
3.9 Cambio de variable. Coordenadas esféricas y cilíndricas.
3.10 Aplicaciones geométricas y mecánicas.
3.11 Cálculo de volúmenes.
3.12 Centro de masas.
4.- EDO´s de primer orden.
4.1 Definición y terminologia.
4.2 Problema de Cauchy o de valores iniciales.
4.3 Ecuaciones diferenciales con variables separables.
4.4 Ecuaciones diferenciales homogéneas y reducibles a homogéneas.
4.5 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
4.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
4.7 Ecuaciones diferenciales exactas. Algunos tipos de factores integrantes.
4.8 Trayectorias isogonales.
5.- Sistemas de EDO´s lineales de primer orden.
5.1 Teoria preliminar.
5.2 Problema de Cauchy o de valores iniciales.
5.3 Sistema lineales homogeneos con coeficientes constantes. Valores propios reales y distintos, valores propios repetidos y valores propios complejos.
5.4 Sistema lineales no homogeneos con coeficientes constantes. Variación de parametros.Matriz exponencial.
6.- Métodos de Runge-Kutta, para ecuaciones y sistemas de EDO´s.
6.1 Preliminares.
6.2 Métodos de Runge-Kutta. Método de Runge-Kutta de orden dos para de EDO´s. Método de Runge-Kutta de orden cuatro para de EDO´s. Método de Runge-Kutta de orden cuatro para sistemas de EDO´s.
6.3 Diseño de algoritmos computacionales.
Las clases constituyen el marco idóneo para la transmisión de contenidos. Al igual que en las prácticas de problemas, se conjuga de una forma híbrida la clase magistral con la utilización de medios audivisuales y manipuladores simbólicos. La metodología de interacción propicia el aprendizaje participativo, es decir, potencia la actividad presencial del alumnado, impulsando el método error-corrección para poder afianzar tanto los conocimientos adquiridos como las destrezas utilizadas.
La metodología utilizada consiste en la interacción continua de alumnado y profesorado en torno a la búsqueda de estrategias y conformación de herramientas matemáticas para la adquisición de procedimientos que permitan alcanzar las competencias y objetivos previstos.
Las prácticas de problemas se desarrollarán de forma híbrida según el modelo clásico de clase magistral y las exposiciones mediante uso de recursos audiovisuales.
Las prácticas con ordenador se desarrollarán como una herramienta de trabajo para asegurar la adquisición de competencias y el asentamiento de conocimientos expuestos tanto en los seminarios teórico-prácticos como en las prácticas de problemas. El manipulador simbólico utilizado es MATLAB.
01 Tema I. Aproximación local de una función.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema I y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema I. Contenidos desarrollados en la semana: 1.1 Series numéricas.
Clase de prácticas: Repaso del manejo de MATLAB (1h) y resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema I.
Clase teórica: Consolidación de los conceptos teóricos explicados en clase. Realización de las cuestiones propuestas por el profesor.
Clase de prácticas: Repaso de los comandos y procedimientos correspondientes a la práctica con ordenador, MATLAB. Realización de los ejercicios de prácticas de problemas propuestos por el profesor.
02 Tema I. Aproximación local de una función.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema I y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema I. Contenidos desarrollados en la semana: 1.1 Series numéricas. 1.2 Series de potencias.
Clase de prácticas: Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema I.
Clase de prácticas: Realización de los ejercicios de prácticas de problemas propuestos por el profesor.
03 Tema I. Aproximación local de una función.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema I y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema I. Contenidos desarrollados en la semana: 1.3 Polinomio de Taylor. Fórmula de Taylor. Fórmula de Mac Laurin.
04 Tema II. Cálculo en varias variables.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema II y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema II. Contenidos desarrollados en la semana: 2.1 Campos escalares y vectoriales. 2.2 Limites y continuidad de campos escalares y vectoriales. 2.3 Derivadas direccionales y parciales de campos escalares y vectoriales.
Clase de prácticas: Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema II.
05 Tema II. Cálculo en varias variables.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema II y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema II. Contenidos desarrollados en la semana: 2.4 Diferenciabilidad de campos vectoriales. Matriz jacobiana. 2.5 Vector gradiente de un campo escalar. Divergencia de un campo vectorial. Rotacional de un campo vectorial. Laplaciano de un campo escalar. Relaciones entre los operadores. 2.6 Interpretación geometrica de la diferencial de campos escalares.
06 Tema II. Cálculo en varias variables.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema II y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema II. Contenidos desarrollados en la semana: 2.7 Diferenciación de funciones compuestas. Teorema de la función implicita. 2.8 Diferenciales de orden superior. Matriz hessiana. 2.9 Extremos relativos de campos escalares. Extremos condicionados de campos escalares, multiplicadores de Lagrange. Extremos absolutos de campos escalares.
Clase de prácticas: Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema II (1h). Práctica con ordenador: Gráficas 2D y 3D con MATLAB.
Clase de prácticas: Realización de los ejercicios de prácticas de problemas propuestos por el profesor. Repaso de los resultados obtenidos en la práctica con ordenador, Gráficas 2D y 3D con MATLAB.
07 Tema III. Integración múltiple.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema III y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema III. Contenidos desarrollados en la semana: 3.1 Regiones elementales de R2 . 3.2 Integración sobre regiones elementales de R2. 3.3 Cambio de variable. Coordenadas polares. 3.4 Aplicaciones geométricas y mecánicas.
Clase de prácticas: Práctica con ordenador: Gráficas 2D y 3D con MATLAB (continuación).
Clase de prácticas: Repaso de los resultados obtenidos en la práctica con ordenador, Gráficas 2D y 3D con MATLAB.
08 Tema III. Integración múltiple.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema III y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema III. Contenidos desarrollados en la semana:3.5 Cálculo de áreas y volúmenes. 3.6 Centro de masas de láminas planas. 3.7 Regiones elementales de R3. 3.8 Integral sobre una región elemental de R3.
Clase de prácticas: Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema III.
09 Tema III. Integración múltiple.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema III y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema III. Contenidos desarrollados en la semana:3.9 Cambio de variable. Coordenadas esféricas y cilíndricas. 3.10 Aplicaciones geométricas y mecánicas. 3.11 Cálculo de volúmenes. 3.12 Centro de masas.
10 Tema IV. EDO's de primer orden.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema IV y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema IV. Contenidos desarrollados en la semana: 4.1 Definición y terminologia. 4.2 Problema de Cauchy o de valores iniciales. 4.3 Ecuaciones diferenciales con variables separables.
Clase de prácticas: Práctica con ordenador: Integrales múltiples con MATLAB. Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema IV.
Clase de prácticas: Repaso de los resultados obtenidos en la práctica con ordenador,Integrales múltiples con MATLAB. Realización de los ejercicios de prácticas de problemas propuestos por el profesor.
11 Tema IV. EDO's de primer orden.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema IV y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema IV. Contenidos desarrollados en la semana: 4.4 Ecuaciones diferenciales homogéneas y reducibles a homogéneas. 4.5 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.4.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
Clase de prácticas: Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema IV.
12 Tema IV. EDO's de primer orden.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema IV y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema IV. Contenidos desarrollados en la semana:4.7 Ecuaciones diferenciales exactas. Algunos tipos de factores integrantes. 4.8 Trayectorias isogonales.
13 Tema V. Sistemas de EDO's lineales de primer orden.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema V y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema V. Contenidos desarrollados en la semana: 5.1 Teoria preliminar. 5.2 Problema de Cauchy o de valores iniciales.5.3 Sistema lineales homogeneos con coeficientes constantes. Valores propios reales y distintos, valores propios repetidos y valores propios complejos.
Clase de prácticas: Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema V.
14 Tema V. Sistemas de EDO's lineales de primer orden. Tema VI. Métodos de Runge-Kutta, para ecuaciones y sistemas de EDO's.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema V y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema V. Contenidos desarrollados en la semana: 5.3 Sistema lineales homogeneos con coeficientes constantes. Valores propios reales y distintos, valores propios repetidos y valores propios complejos.
Clase de prácticas: Resolución de problemas correspondientes a los contenidos teóricos del tema V. Preparación de la practica con ordenador Métodos Numéricos con MATLAB, correspondiente al tema VI (1h). Contenidos cdel tema VI correspondientes a la preparación de la práctica: 6.2 Métodos de Runge-Kutta. Método de Runge-Kutta de orden dos para de EDO´s. Método de Runge-Kutta de orden cuatro para de EDO´s. Método de Runge-Kutta de orden cuatro para sistemas de EDO´s.
Clase de prácticas: Realización de los ejercicios de prácticas de problemas propuestos por el profesor. Repaso de los conceptos correspondientes a la preparación de la práctica con ordenador, Métodos Numéricos con MATLAB.
15 Tema V. Sistemas de EDO's lineales de primer orden. Tema VI. Métodos de Runge-Kutta, para ecuaciones y sistemas de EDO's.
Clase teórica: Desarrollo de los contenidos del tema V y resolución de ejemplos de problemas referentes a los contenidos teóricos del tema V. Contenidos desarrollados en la semana: 5.4 Sistema lineales no homogeneos con coeficientes constantes. Variación de parametros.Matriz exponencial.
Clase de prácticas: Realización de la practica con ordenador Métodos Numéricos con MATLAB, correspondiente al tema VI. Contenidos cdel tema VI correspondientes a la práctica:6.3 Diseño de algoritmos computacionales.
Repaso de los resultados obtenidos en la práctica con ordenador, Métodos Numéricos con MATLAB.
- Clases teorico practicas.
Se realizaran dos controles a lo largo del curso con una valoracion del 15 % cada uno de la calificacion final.
- Practicas con ordenador.
La realización de las prácticas mas un control con una valoracion del 10 % de la calificacion final.
- Un 10 % de la calificacion final se asignara en base a la asistencia y trabajo realizado en las clases de prácticas con ordenador.
Calificacion final de la asignatura.
Tanto en la convocatoria ordinaria como en la extraordinaria se considerara la mayor de las dos calificaciones siguientes:
(evaluacion continua + examen final)/2
(0.50 x Evaluacion continua + 1.50 x Examen final)/2
Clase teoria 30
Un 10 % de la calificacion final se asignara en base a la asistencia y trabajo realizado en las clases de prácticas con ordenador.
Asistencia y trabajo realizado en las clases de prácticas con ordenador 10
Se realizara un control al final del curso con una valoracion del 10 % de la calificacion final.
Practicas con ordenador 10
Examen final del cuatrimestre 50
Periodo ordinario para asignaturas de segundo semestre y anuales 30/05/2016 09:00 12:00 A2/0D14
Pruebas extraordinarias para asignaturas de grado y máster 04/07/2016 08:30 11:30 A2/0B11
Autor(es): ARIAS, Irene [et al.]
ISBN: 978-84-9880-414-0
Autor(es): THOMAS, George B. ... [et al]
Edición: Naucalpan de Juárez (México) : Addiso-Wesley, 2010.
ISBN: 978-607-32-0209-1
Autor(es): THOMAS, George B.
ISBN: 970-26-0643-8
Autor(es): THOMAS, George B. ; FINNEY, Ross L.
ISBN: 968-444-279-3
Matemáticas en ingeniería con MATLAB
Autor(es): QUINTELA ÉSTEVEZ, Peregrina
Edición: Santiago de Compostela : Universidad Santiago de Compostela. Publicacións.
ISBN: 84-8121-855-3
Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential- Algebraic Equations
Autor(es): ASCHER, U.M. y PETZOLD, Linda R.
Edición: Philadelphia : SIAM.
ISBN: 0-89871-412-5
Autor(es): QUARTERONI, Alfio ; SALERI, Fausto
Edición: Milán : Springer, 2006.
ISBN: 978-88-470-0503-7 (rúst.)

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