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20131ILN250V2_Pauta_Certamen_N°1 | Programación lineal | Residuos
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1.economía urbana_1_IEU
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS CASA CENTRAL – CAMPUS VITACURA
PAUTA CERTAMEN N°1 PRIMER SEMESTRE 2013 GESTION DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Instrucciones: Tiempo máximo: 1 hora y 50 minutos. No están permitidos equipos de audio ni celulares. Sin cuadernos o apuntes. Una pregunta por hoja. El Certamen es individual. SIN CONSULTAS. NO DESCORCHETEAR EL CERTAMEN. La copia será penalizada con nota 0. Demuestre y justifique sus respuestas.
Pregunta N°1 (20 Puntos): Un fabricante de cerámicas produce cuatro tipos distintos de juegos de loza para comida: English, Currier, Primrose y Bluetail.
Para cada juego de loza se utiliza arcilla, esmalte, una pieza de secado y tiempo en un horno, en las cantidades que muestra la tabla a continuación. La última columna muestra la cantidad disponible de cada recurso, para el resto de la semana, y la última fila muestra la contribución a las utilidades que genera cada juego de loza.
Nótese que Primrose se puede fabricar por medio de dos métodos distintos. Ambos métodos utilizan la misma cantidad de arcilla (10 lbs.) y de tiempo de secado (6 horas), pero el segundo método utiliza una libra menos de esmalte y ocupa tres horas más en el horno:
Arcilla (lb)
Esmalte (lb)
Secado (hr)
Horno (hr)
El fabricante, actualmente, está comprometido a fabricar la misma cantidad de Primrose por el método 1 que por el método 2.
El planteamiento del problema de maximización de ganancias anterior es el que se muestra a continuación. Las variables de decisión E, C, P 1 , P 2 , B, son los números de unidades de juegos de lozas tipo English, Currier, Primrose Método 1, Primrose Método 2 y Bluetail respectivamente. Asumimos para este problema que los números de juegos de loza no tienen que ser necesariamente un número entero.
51E + 102C + 66P 1 + 66P 2 +89B
10E + 15C + 10P 1 + 10P 2 + 20B  130
E + 2C + 2P 1 + P 2 + B
3E + C + 6P 1 + 6P 2 + 3B
2E + 4C + 2P 1 + 5P 2 + 3B
Igualdad de Prim.
E, C, P 1 , P 2 , B
No- negatividad
El Informe de Sensibilidad (Confidencialidad) de Solver® de Excel en la resolución del modelo anterior se muestra a continuación:
37,57142857
Arcilla (lb) L.IZQ
Esmalte (lb) L.IZQ
Secado (hr) L.IZQ
Horno (hr) L.IZQ
$C$19 Igualdad de Prim. L.IZQ
Considere las preguntas a continuación de forma independiente justificando adecuadamente su respuesta:
a) (2 Puntos) ¿Cuál es la estrategia óptima de producción del fabricante? ¿Cuánto contribuye la estrategia óptima a las utilidades del fabricante?
Solución Óptima: E=0 C=2 P 1 =0 P 2 =0 B=5
Valor Óptimo: V(P)= 51(0) + 102(2) + 66(0) + 66(0) +89(5)=649
b) (2 Puntos) Suponga que simultáneamente cambia la utilidad de los juegos de loza modelos Currier y Bluetail a $90 y 77, respectivamente. ¿Se mantiene la estrategia óptima de producción del fabricante identificada por usted en a)?.
Si bien las modificaciones propuestas en forma individual para cada parámetro en la función objetivo permite conservar la solución óptima, en este caso al ser un cambio simultáneo no se puede garantizar que se conserve la solución óptima original, es decir, el informe de sensibilidad no es concluyente. (En este problema en particular la solución óptima cambia dado los cambios propuestos). (2 Puntos)
c) (2 Puntos) ¿Cuáles son las utilidades del fabricante si la utilidad del modelo Bluetail aumenta a $100?
El coeficiente en la función objetivo asociado a la variable Bluetail tiene un aumento permisible de $47, por tanto una modificación del parámetro a $100 está contenida en el intervalo que permite conservar la solución óptima del problema (C5℮ [76,5; 136]. (1 Punto)
Valor Óptimo: V(P)= 51(0) + 102(2) + 66(0) + 66(0) +100(5)=704
d) (5 Puntos) Complete la información de la siguiente tabla relativa a la restricción de Esmalte. Justifique brevemente su respuesta para cada valor que incluya en la tabla:
Final Valor = 9. Se obtiene al evaluar la solución óptima en el lado izquierdo de la restricción. (1 Punto) Sombra Precio = 0. La restricción no está activa. (1 Punto) Restricción Lado derecho = 13. El valor del parámetro asociado al lado derecho de la restricción. (1 Punto) Permisible Aumentar = 1E+30 (Infinito). Al incrementar la disponibilidad de Esmalte no cambia la solución óptima ni el valor óptimo (es un recurso que tiene holgura). (1 Punto) Permisible Reducir = 4. Es el valor de la holgura de la restricción (no activa). Es decir, el lado derecho de la restricción de Esmalte puede disminuir como máximo en 4 unidades conservando la solución óptima y valor óptimo. (1 Punto)
e) (2 Puntos) Suponga que el fabricante puede comprar arcilla adicional a un proveedor a $1,20 la libra. ¿Debería el fabricante comprar arcilla? ¿Cuántas libras adicionales?
El precio sombra de la restricción de Arcilla es $1,429>$1,20 por tanto es conveniente comprar más arcilla. (1 Punto)
El fabricante debería comprar 23,333 libras de arcilla adicionales (aumento permisible). (1 Punto)
f) (3 Puntos) Suponga que algunos trabajadores de la Pieza de Secado están organizando una huelga. Si la huelga se lleva a cabo, el número de horas disponibles en la Pieza de Secado disminuirá a 20. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que el fabricante estaría dispuesto a ofrecer a los trabajadores de la Pieza de Secado para frenar la huelga? Explique brevemente su respuesta.
Si los trabajadores de Secado se van a huelga disminuiría las horas de secado 45 a 20 horas, es decir una disminución de 25 horas, pero como el precio sombra es $0, y la disminución permisible es de 28 horas, el fabricante no estaría dispuesto a ofrecer dinero con tal de cancelar la huelga. (3 Puntos)
g) (4 Puntos) En el modelo planteado, el número de juegos de loza Primrose producidos mediante el método 1 tiene que ser igual al número de juegos de loza producidos mediante el método 2. Suponga que esta restricción puede ser removida del modelo. ¿Cuánto dinero como máximo el fabricante debería estar dispuesto a pagar para eliminar esta restricción?
El análisis se debe centrar en la restricción que impide que la cantidad de Primrose producidos utilizando los 2 métodos sea diferente. El precio sombra de dicha restricción es de $11,429 y el aumento permisible de la diferencia P1-P2 es de 3,5 (1 Punto) por lo que el fabricante concluye que al eliminar esta restricción incrementaría sus ganancias en $11,429 x 3,5 ~ $40 (aproximado) lo cual establece lo máximo que el fabricante debería estar dispuesto a pagar por eliminar la restricción. (3 Puntos)
Pregunta N°2 (20 Puntos): Para cada uno de los siguientes modelos formule su respectivo problema dual y encuentre una solución óptima a ambos, en caso de existir. En la resolución de uno cualquiera de ellos puede usar el método que estime pertinente pero en cualquier caso explicita las relaciones a que da origen el Teorema de Holguras Complementarias.
Si la restricción es:
La variable asociada es:
Si la variable es:
La restricción correspondiente es:
x 1 + x 2 ≤ 4
x 1  0, x 2  0
Problema Dual (2 puntos)
 ≤ -1
 ≤ 0
Resolución problema primal: (2 puntos)
Resolución problema dual: (2 puntos)
 = -1
x 1 ≤ 0, x 2  0
  -1
x 2 en [0,2]
x 1 + x 2  4
 ≤ -1  ≤ 0  0
Resolución problema primal: (2 puntos) no tiene solución, problema no-acotado
Resolución problema dual: (2 puntos) no tiene solución, problema infactible
Teorema Holguras Complementarias: (2 puntos) (x 1 + x 2 - 4)  = 0 ( + 1) x 1 = 0
- 0) x 2 = 0
Pregunta N°3 (35 Puntos): Una empresa de muebles produce 2 productos: sillas y mesas. Las sillas y mesas tiene que ser procesadas por tres departamentos:
Carpintería, Pintura y Terminación. La siguiente tabla muestra la cantidad de horas requeridas en cada departamento para producir una unidad de producto, la cantidad de horas disponibles en cada departamento para el periodo de planificación y la ganancia unitaria para cada producto:
Carpintería (horas)
Pintura (horas)
Terminación (horas)
Ganancia por unidad ($)
Debido a contratos con los clientes la empresa tiene que producir al menos 20 sillas y al menos 20 mesas.
a) (10 Puntos) Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que permita maximizar las utilidades de la empresa. Detalle claramente el dominio de soluciones factibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y valor óptimo. (Ayuda: Utilice el gráfico a continuación)
Variables de Decisión: (1 Punto) X1: Cantidad de Sillas a Producir X2: Cantidad de Mesas a Producir
Función Objetivo: (1 Punto) Maximizar 30X1 + 25X2
Restricciones: (3 Puntos) 6X1 + 3X2 <= 600 X1 + 2X2 <= 200 2X1 + 2X2 <= 240
(Carpintería) (Pintura) (Terminación)
X1>=20
(Mínima Producción Sillas)
X2>=20
(Mínima Producción Mesas)
Gráfico con dominio de soluciones factibles: (2 Puntos)
Solución Óptima 1 : (Vértice D) (2 Puntos) X1=80 X2=40
Valor Óptimo: (1 Punto)
V(P)=30(80)+25(40)=3.400
b) (10 Puntos) Resuelva el modelo formulado por usted en a) a través del Método Simplex. Verifique que la solución óptima alcanzada corresponde a la encontrada a través de la resolución gráfica. (Ayuda: Si una variable de decisión x debe cumplir la restricción x≥a, para una constante positiva a, se puede imponer un cambio de variables y=x-a, que define una nueva variable y que tiene solo una restricción de no-negatividad y simplifica imponer la primera como una restricción general en la aplicación del Método Simplex)
1 Para obtener la totalidad del puntaje se debe justificar el procedimiento utilizado para obtener la solución óptima (evaluación de los vértices del dominio de soluciones factibles o graficando al menos una curva de nivel de la función objetivo que pase por el vértice óptimo).
30X1 + 25X2
6X1 + 3X2 <= 600
X1 + 2X2 <= 200 2X1 + 2X2 <= 240
Consideremos el siguiente cambio de variables: Y1=X1-20>=0; Y2=X2-20>=0. Es decir X1=Y1+20 y X2=Y2+20
30(Y1+20) + 25(Y2+20)
6(Y1+20) + 3(Y2+20) <= 600
(Y1+20) + 2(Y2+20) <= 200 2(Y1+20) + 2(Y2+20) <= 240
30Y1+600 + 25Y2+500
6Y1 +120 + 3Y2+60 <= 600
Y1 +20 + 2Y2+40 <= 200 2Y1 +40 + 2Y2+40 <= 240
30Y1+ 25Y2 + 1100
6Y1 + 3Y2 <= 420
Y1 + 2Y2 <= 140 2Y1 + 2Y2 <= 160
Llevamos el problema a su forma estándar agregando las variables de holgura Y1, Y2 e Y3: (2 Puntos)
F.E) Min 2
-30Y1- 25Y2
6Y1 + 3Y2 + Y3
Y1 + 2Y2
2Y1 + 2Y2
2 Notar que Min f(x) + Constante = Constante + Min f(x)
Y1 entra a la base. Min {420/6; 140/1; 160/2} = 70 Y3 sale de la base. Se realiza una iteración: (3 Puntos)
Y2 entra a la base. Min {70/1/2; 70/3/2; 20/1} = 20 Y5 sale de la base. Se realiza una iteración: (3 Puntos)
Solución Óptima 3 : Y1=60
Valor Óptimo: V(P)=2.300 (+1.100)
c) (10 Puntos) Si pudiera contratar horas adicionales en cualquiera de los 3 departamentos (sólo debe seleccionar uno si es conveniente) a un costo de $5 la hora. ¿Cuántas horas contrataría? ¿en cuál departamento?. Responda lo anterior sin reoptimizar y a través del análisis de sensibilidad.
De la tabla final del Método Simplex podemos verificar que:
 La primera restricción tiene un precio sombra de 5/3 lo que es inferior al costo de $5 por tanto se descarta contratar horas adicionales en el departamento de Carpintería. (3 Puntos)
 La segunda restricción tiene un precio sombra de 0 debido a que es una restricción que no se encuentra activa en el óptimo. Por lo tanto se descarta inmediatamente contratar horas adicionales en el departamento de Pintura. (2 Puntos)
3 De donde se obtiene X1=60+20=80 y X2=20+20=40 lo cual corrobora la solución óptima obtenida gráficamente.
 La tercera restricción presenta un precio sombra de 10 mayor al costo de $5 por tanto resulta conveniente contratar horas adicionales en el departamento de Terminación. Gráficamente se puede determinar que al aumentar el lado derecho de dicha restricción se conservan las actuales restricciones activas en el óptimo hasta la coordenada (X1,X2)=(66,666;66,666) lo que establece un aumento permisible para el lado derecho de 26,666. Es decir se debería contratar dicha cantidad de horas adicionales en el departamento de Terminación. (5 Puntos)
Observación: Los resultados son equivalentes mediante el cálculo de los precios sombra de las restricciones mediante un procedimiento gráfico.
d) (5 Puntos) Sin reoptimizar y a través del análisis de sensibilidad determine cuánto podría variar la ganancia unitaria de cada mesa de modo de conservar la solución óptima encontrada en a).
Se conserva la actual solución óptima si:
-2<= -C1/C2 <= -1 Multiplicamos por -1 2>= C1/C2 >= 1
Para determinar el rango de variación de la ganancia de cada mesa de modo de conservar la actual solución óptima asumimos C1=30.
2>= 30/C2 >= 1
De donde se obtiene que si C2 (ganancia unitaria de las mesas) varía en el intervalo entre [15,30] se conserva la actual solución óptima. (5 Puntos)
Pregunta N°4 (25 Puntos): Su ciudad debe restructurar la logística del manejo de residuos sólidos y para ello se ha subdividido en un total de N zonas o distritos desde los cuales se envía la basura a M rellenos sanitarios disponibles (M<<N). Se estima que en cada uno de los próximos T semestres la cantidad de basura corresponderá a G i,t toneladas para la zona i en el semestre t y que se incurriría en un costo por tonelada C i,r,t si esta es enviada al relleno sanitario r en el semestre t. El relleno sanitario r admite un flujo máximo de A r toneladas en cada semestre y tiene una capacidad máxima de acumulación de basura de D r toneladas. Una proporción P r de la basura acumulada en el relleno r al final de cada semestre es reciclada y por lo tanto retirada del relleno disminuyendo la cantidad total de basura en el mismo. Asuma que al inicio del primer semestre de planificación se tendrá un total de Y r toneladas de basura en el relleno sanitario r . Formule un modelo de programación lineal que minimice los costos de operación del sistema suponiendo que no hay tasa de descuento, que el problema es factible y respeta las consideraciones dadas en la descripción del mismo.
Variables de Decisión. (6 Puntos) X i,r,t = toneladas de basura transportadas desde la zona i al relleno r en el semestre t, para i=1,…,N; r=1,…,M; t=1,…,T Y r,t = toneladas de basura en el relleno sanitario r al final del semestre t, para r=1,…,M; t=1,…,T
Función objetivo. Min ∑ t ∑ i ∑ r
C i,r,t X i,r,t
Restricciones. Balance de basura generada y enviada en cada zona y semestre:
X i,r,t = G i,t
i=1,…,N; t=1,…,T
Respetar el flujo máximo permitido en cada relleno sanitario y semestre:
X i,r,t ≤ A r
r=1,…,M; t=1,…,T
Balance de inventario de basura en cada relleno al final de cada semestre:
Y r,t-1 + ∑ i
X i,r,t
= Y r,t + P r Y r,t
(Y r,0 = Y r )
Capacidad Máxima de cada relleno:
Y r,t
≤ D r
No-negatividad: X i,r,t ≥ 0, Y r,t ≥ 0 i=1,…,N; r=1,…,M; t=1,…,T . (1 Punto)
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