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Timestamp: 2018-11-18 21:13:40+00:00

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Las obras de ingeniería romana se caracterizan entre otras cosas por responder a una geometría muy cuidada. Las carreteras tienen, cuando el terreno es propicio, alineaciones largas y precisas, sus pendientes son suaves. Las ciudades y los campos se cuadriculaban escrupulosamente llegando a alcanzar las dimensiones de estas parcelaciones tamaños enormes. Pero probablemente los acueductos, esas largas canalizaciones que llevaban el agua desde las fuentes naturales u otras captaciones hasta las ciudades, para el consumo humano, alcancen el paradigma de la perfección geométrica, precisamente porque su funcionamiento está fuertemente condicionado a este factor.
Cuando hemos analizado el proceso constructivo de estas obras y la metodología de replanteo y construcción, nos han asaltado dudas razonables sobre la forma en que los técnicos romanos conseguían medir y construir con precisión cada cosa en su sitio. Estas obras adquieren en ocasiones una complejidad extrema y su realización, incluso hoy y con nuestros medios, sería objeto del máximo esmero y no poca dificultad en su replanteo, de forma que se garantizase su correcto funcionamiento.
Después de cierto tiempo analizando estos extremos, incentivados en buena medida por lo poco que de ello se sabe y lo escasamente convincente que resulta lo propuesto sobre la ciencia topográfica romana, en la mayor parte de los textos modernos escritos al efecto, en este trabajo se expondrá un avance de lo que sobre esta particular temática hemos ido desarrollando.
A la vez que presentaremos alguno de los instrumentos que hemos reconstruido, su funcionamiento y el resultado de las experiencias que con ellos hemos realizado, expondremos someramente algunas de las técnicas que, estando perfectamente al alcance de los especialistas romanos, pudieron ser utilizadas con éxito en sus obras de ingeniería.
2.- TECNOLOGÍA ANTIGUA
Los técnicos romanos bebieron principalmente de las fuentes del conocimiento griego para resolver los problemas de medición y cálculo que sus labores de ingeniería requerían.
Y no solo los técnicos de Roma, sino también los de la Europa del Renacimiento, se basaron en los textos antiguos para hacer progresar la mediocre ciencia directamente heredada del medievo. Juan de Herrera fue el encargado de poner en marcha las primeras academias científicas en la España de Felipe II [1]. Es significativo ver como Juan de Herrera detalla los libros y textos que debían leerse en función de los objetivos del alumno. Así, por ejemplo, indica que los que deseen ser aritméticos deben saber "los nueve libros de Euclides, alguna otra aritmética theorica como la de Iordano o Boecio y la parte practica sacarla en el de frate Luca o los de Tartaglia"; los que intenten ser geómetras y mensuradores, "han de saber los primeros libros de Euclides, la doctrina de triángulos de Monte Regio, los últimos cinco libros de Euclides, con el 10, los esféricos de Theodosio, los Cónicos de Apolonio Pergeo y la obras de Archimedes de sphera y cilindro". Mientras que, tanto los que tengan intención de dedicarse a las Mecánicas, como los astrólogos, los gnomónicos, los perspectivos, los músicos, los arquitectos, los fortificadores, los niveladores y los artilleros, deben conocer sobre todo la Geometría de Euclides, además de otras obras específicas que también enumera.
Resalta el caso de los cosmógrafos y de los pilotos, para los que considera indispensable el conocimiento de la Esfera y de las Teóricas de los planetas y "entender muy de rayz la Geographia de Ptolomeo" junto con el uso y fundamento de las cartas de marear, del astrolabio, de la ballestilla y de la aguja.
A estos fines, Pedro Ambrosio de Ondériz, tradujo en un solo año las siguientes obras, en palabras de Juan de Herrera: "El Undécimo y Duodécimo de Euclides, y la Perspectiva y Especularia que ha impresso a su costa, los Sphericos de Teodosio, los Equiponderantes de Archímedes y va acabando otro intitulado Apollonio Pergeo".
Pues bien, la ciencia principal en la que se basaron los topógrafos romanos, al igual que los actuales, fue esa parte de la matemática conocida como Trigonometría.
La Trigonometría trata de relacionar los ángulos y los lados de un triángulo. Puede decirse que fue iniciada por Hiparco aproximadamente el año 150 a.C., otros le siguieron y finalmente Ptolomeo cogió el relevo en la materia. Entonces como hoy, los ingenieros y los físicos emplean muchas de estas herramientas trigonométricas en su labor diaria.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Ambas se dominaron bien en la antigüedad ya que esta ciencia se remonta a las matemáticas egipcias y babilonias, siendo los egipcios los primeros en usar la medida en grados, minutos y segundos para la medida de ángulos. Pero vamos a examinar aquí la labor en esta materia de los sabios de la antigüedad de los que nos han llegado noticias.
Probablemente sus trabajos son los que mayores consecuencias han traído a la ciencia mensoria en occidente. Nació alrededor del año 624 a.C. y murió entre el año 548 a.C. y el año 545 a.C. Fue un filósofo recordado principalmente por su cosmología basada en el agua como esencia de toda la materia y por su predicción de un eclipse de sol, que debió ocurrir el 28 de Mayo del 585 a.C.
No hay escritos de Tales disponibles, ni tampoco fuentes coetáneas a él a las que se pueda recurrir como referencia. Esto hace extraordinariamente difícil saber el alcance de lo logrado por Tales y aún menos sabiendo que en la antigua Grecia existía la práctica de atribuir muchos descubrimientos a personas reconocidas como sabios sin que hubieran tenido parte en ellos.
A Tales se le consideró discípulo de egipcios y caldeos, ya que él mismo viajó a Egipto y Mesopotamia. La documentación perdida nos hubieran arrojado más luz sobre la labor de Tales, pero el papel escrito perece con facilidad. De esta forma, un estudiante de Aristóteles, llamado Eudemus de Rodas (año 320 a.C.), hace referencia a la ciencia que Tales obtuvo de los egipcios en una obra titulada Historia de las Matemáticas. Este documento se perdió pero, antes de que esto ocurriera, llegó a existir un resumen del mismo que posteriormente desapareció también. Información relacionada a este resumen aparece en el siglo V en el Comentario del filósofo Proclus sobre el Primer libro de los elementos de Euclídes. Allí, después de referirse a los orígenes de la geometría en Egipto, habla sobre Tales y dice: «...primero fue a Egipto y después introdujo este estudio en Grecia. Descubrió muchas de las proposiciones por sí mismo e instruyó a sus seguidores en los principios que subyacen en muchas otras, siendo su método de ataque más general en algunos casos, más empírico en otros.»
Más adelante en su Comentario y citando a Eudemus, Proclus afirma que Tales estableció cuatro teoremas:
1.- El círculo se bisecta por su diámetro.
2.- Los ángulos de la base de un triángulo con dos lados iguales son iguales.
3.- Los ángulos opuestos de líneas rectas que se intersectan, son iguales.
4.- Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno son iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Hay un quinto teorema que tradicionalmente se incorpora a la lista anterior y que dice que "el ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto". Actualmente se piensa que este teorema pudo tener su verdadero origen en Babilonia y posteriormente fue introducido por Tales en Grecia.
Parte de su leyenda atribuye a Tales el uso de sus conocimientos de geometría para medir las dimensiones de las pirámides de Egipto y calcular la distancia de la costa de barcos en alta mar. Así, Diógenes Laertes junto con Plinio y Plutarco señalan que la medida de la altura de las pirámides se llevó a cabo a través de la determinación de la longitud de la sombra que producían cuando una vara clavada verticalmente en el suelo producía una sombra igual a su altura. Para esto, los rayos del Sol deben tener una inclinación de 45º. Debido a la situación de las pirámides en Gizeh, a 30º de latitud en el hemisferio norte, sólo hay dos posibilidades para que Tales realizara esta medición, el 21 de noviembre o el 20 de enero.
Para medir la distancia de los barcos en alta mar, a la costa, la leyenda dice que Tales fue el primero en emplear la proporcionalidad de los lados de triángulos semejantes. Existen dudas sobre esto ya que estas ideas se habían manejado con mucha anterioridad en Egipto y Mesopotamia, donde Tales pasó parte de su vida. Es muy posible que el verdadero papel que haya jugado no sea tanto el de creador y esté más relacionado con el de un intérprete, organizador y recopilador inteligente de esas estructuras lógicas.
Más espectacular fue la predicción del eclipse solar que detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares en 585 a.C. Expertos modernos en la materia están convencidos de que Tales carecía del conocimiento para predecir con precisión la localidad donde el eclipse se podía observar o el carácter del mismo y sus estimaciones debieron ser aproximadas. Herodoto hace referencia a una predicción con solamente un año de adelanto. Es probable que el hecho de que el eclipse fuera total y que la localidad afectada correspondiera a la de una batalla importante contribuyera enormemente a la reputación de Tales como astrónomo.
Triángulos semejantes: Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas concurrentes son proporcionales.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales o los tres lados proporcionales o dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
Teorema de la altura y del cateto: Los triángulos PCA y PBA son semejantes, ya que ambos tienen un ángulo recto, C' y C son complementarios de B, luego son iguales.
Por lo tanto: b/c=h/m=n/h; h2 = m · n
Es decir: En un triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa.
Los triángulos PCA y ACB son semejantes ya que tienen los tres ángulos iguales, un ángulo recto y los ángulos B y N, ambos complementarios de C, son iguales.
Por lo tanto: b/a=h/c=n/b; b2 = a · n
Por la misma razón, los triángulos PAB y ACB también son semejantes, ya que tienen un ángulo recto y los ángulos C y M, ambos complementarios de B, son iguales, cumpliéndose que: c/a=m/c=h/b; c2 = a · m
Es decir: en un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta.
Nació en el siglo VI a.C. (probablemente el 569) en la isla de Samos (Grecia) y murió en el siglo V a.C. en Crotona (Italia). Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaximedes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Trotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.
Estableció su famoso teorema demostrando que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Así nos explica Vitruvio[2] el descubrimiento de Pitágoras:
Pitágoras inventó una escuadra que no requiere el trabajo de los artesanos, quienes únicamente a fuerza de mucha aplicación y dificultades consiguen construirla exacta; se realiza de manera irreprochable siguiendo sus métodos y preceptos. He aquí cómo:
Si se toman tres reglas, una de tres pies, otra de cuatro y una tercera de cinco, y se las junta de modo que reunidos sus extremos de punta a punta formen un triángulo, se tendrá una escuadra perfecta. Ahora bien, si sobre la longitud de cada una de las tres reglas se trazaran otros tantos cuadrados, aquél cuyo lado sea de tres pies tendrá una superficie de nueve pies; el de cuatro, tendrá dieciséis pies, y el de cinco, veinticinco pies. Así el número de pies contenidos en las áreas de dos cuadrados de tres y cuatro pies de lado respectivamente será igual al número de pies contenidos en la superficie del cuadrado que tiene cinco pies de lado.
Esta demostración, tan útil para las medidas de las dimensiones y muchas otras cosas, presta también gran ayuda en la construcción de los edificios y especialmente en las escaleras para que cada escalón tenga una justa proporción.
Muchos investigadores afirman que los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, en los que se verifica la relación 52 = 32 + 42 pero el descubrimiento de la relación a2 = b2 + c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se debe indiscutiblemente a Pitágoras.
Esta demostración es perfectamente deducible a partir del teorema del cateto:
b2 = a · n
c2 = = a · m
b2 + c2 = a · n + a · m = a (n + m) = a2
El pitagorismo, tuvo un despertar en el siglo II ya de nuestra era, en Nicómaco de Gerasa, con su libro Introducción a la Aritmética, libro clásico considerado básico hasta el Renacimiento.
Vivió tal vez en el siglo III a.C. Su obra monumental titulada Elementos, indiscutida hasta principios del siglo XX, consta de 13 libros que hablan de la geometría plana, estudio exclusivo de las figuras poligonales o circulares, de relaciones y proporciones, donde aparece la noción de semejanza, la teoría de números, el estudio de las irracionales algebraicas más sencillas y una última parte dedicada al espacio.
Fue uno de los referentes en la matemática y la ingeniería moderna del siglo XVI, considerándose entonces obligatorio su estudio para obtener provecho de la matemática aplicada.
Apolonio de Perga, el Gran Geómetra, vivió a fines del siglo III y principios del II a.C. en Alejandría, Efeso y Pérgamo. Su obra, "Cónicas", se componía de ocho libros, siete se han conservado, cuatro en griego y tres en árabe. Trataban sobre la sección de razón, la sección de espacio, la sección determinada, las inclinaciones, los lugares planos, los contactos, etc.
Las cónicas eran conocidas por los nombres, que introdujo Apolonio, "de sección de cono de ángulo agudo (elipse), sección de cono de ángulo recto (parábola), y sección de cono de ángulo obtuso (hipérbola).
Son famosos los teoremas de Apolonio sobre los diámetros conjugados de las cónicas con centro. Descubrió, lo que hoy llamamos la evoluta de la elipse. Estudió también las homotecias, traslaciones, rotaciones, es decir, movimientos y también las semejanzas, tanto en el plano como en el espacio. También se sabe que Apolonio conocía la proyección estereográfica de la esfera sobre el plano.
Arquímedes de Siracusa (287 a.C. - 212 a.C.), Magna Grecia (Sicilia), fue un matemático y físico griego, caracterizado por su notable inventiva y creatividad. Se le considera el precursor de la moderna ingeniería.
Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. Demostró que "el área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con punto de la circunferencia basal".
El problema al que le atribuía una gran importancia era el de demostrar que "el volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro". De la misma forma demostró que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro.
Más interesante es su trabajo sobre la medida del círculo. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo. Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente positivo sobre el cálculo del número pi, asignándole un valor de 3 + 10/71. El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo.
También demostró que un círculo es equivalente a un triángulo que tiene por base la circunferencia y por altura el radio.
En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas de la mecánica.
1.- Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella.
Basándose en estos dos principios estableció las leyes de la palanca. Conocida es su famosa frase para hacer resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: Dadme un punto de apoyo y os levantaré el mundo.
Lo que realmente le hizo famoso fue el hecho de hallar el método para determinar la densidad de los cuerpos tomando como unidad la del agua.
Es cierto que los conocimientos y descubrimientos matemáticos de Arquímedes son notables, sin embargo, son tal vez más importantes sus aportes y descubrimientos hechos en la Física. En efecto, fuera del principio de la hidrostática ya nombrado y de cuya importancia no es necesario insistir, inventó un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, el tornillo sinfín y una serie de por lo menos cuarenta inventos. Entre ellos es realmente importante, por el uso que se le dio posteriormente, el tornillo sinfín con capacidad para bombear agua.
En el campo militar se le debe la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas para inventos mecánicos.
Por métodos ópticos logró defender durante tres años a Siracusa, que estaba sitiada por los romanos. Empleando espejos "ustorios" que son espejos cóncavos de gran tamaño, logro concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola. Finalmente, el año 212 cayó Siracusa en manos de los romanos, siendo Arquímedes asesinado por un soldado romano cuando contaba con 75 años, a pesar de haber ordenado el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio.
Nació en el año de 190 a.C. en Nicea Bithynia (Turquía) y murió en Rodas (Grecia) en el año 120 a.C. Se considera como el primer astrónomo científico. Prácticamente toda la información que se conoce de Hiparco proviene del Almagesto de Claudio Ptolomeo.
Realizó importantes contribuciones a la trigonometría tanto plana como esférica e introdujo en Grecia la división del círculo en 360 grados.
Construyó una tabla de cuerdas con la que pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano. Se trata de un temprano ejemplo de una tabla trigonométrica, similar a la moderna tabla del seno, cuyo propósito era proporcionar un método para resolver triángulos. La tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central que corta a una circunferencia de radio r.
En astronomía descubrió la precesión de los equinoccios; describió el movimiento aparente de las estrellas fijas, calculó la duración del año con una precisión de 6,5 minutos; calculó un periodo de eclipses de 126.007 días y una hora; calculó la distancia a la luna basándose en la observación de un eclipse el 14 de marzo de 190 a.C., su cálculo fue entre 59 y 67 radios terrestres, que esta muy cerca del real de 60 radios.
Desarrolló un modelo teórico del movimiento de la luna basado en epiciclos. Elaboro el primer catalogo celeste que contenía aproximadamente 850 estrellas diferenciándolas por su brillo en seis categorías o magnitudes, probablemente este trabajo fue utilizado por Ptolomeo como base para su propio catalogo celeste.
Tuvo una gran influencia sobre Ptolomeo al rechazar la teoría heliocéntrica de Aristarco de Samos[3], siendo así el precursor de los trabajos geocéntricos de Ptolomeo.
No sabemos exactamente su localización cronológica, pero la noticia del hecho de que usara un eclipse de sol, que no pudo ocurrir más que en el 62 d.C.[4], para realizar ciertas mediciones del globo terrestre, lo desplazan a épocas mucho más recientes que lo que lo hacían otros autores que lo situaban más o menos en los siglos III y II a.C.[5]. Estamos ante un hombre clave en matemáticas aplicadas, mecánica, física, geodesia, logística y cálculo numérico. Todo esto ha llegado a nosotros en forma de retales, en lo que se denomina la llamada "colección heroniana".
La "Métrica", obra que no fue encontrada hasta 1896, está dedicada a la medida de superficies planas o curvas, a base de problemas bien graduados. Entre los resultados está su famosa fórmula del área del triángulo, aunque recientes investigaciones se la atribuyen a Arquímedes.
en donde p es el semiperímetro
Fue uno de los inventores más notables de la antigüedad, con ingenios como una rudimentaria máquina de vapor, autómatas, diversas máquinas de guerra tal como ballestas y catapultas de largo alcance.
En el campo de la topografía, realizó una labor importantísima con el desarrollo de la dioptra, un teodolito muy preciso con el que se podían realizar mediciones muy variadas, tanto terrestres como astronómicas.
Claudio Ptolomeo vivió en el siglo II d.C., astrónomo, matemático, físico y geógrafo, fue un egipcio nacido en Ptolemais Hermii, ciudad griega de la Tebaida (Egipto) y vivió en Alejandría.
Su Sintaxis matemática, más conocida con el nombre árabe de Almagesto, sintetiza y ordena los conocimientos astronómicos de los griegos y, sobre todo, los de Hiparco.
Ptolomeo realiza varios cálculos sobre las dimensiones de la esfera terrestre, da dos métodos para determinar la oblicuidad de la eclíptica, calcula la altura del polo del mundo y la duración del día en diversos lugares del globo, da tablas de los ángulos y arcos que forman la intersección de la eclíptica con el meridiano y el horizonte. Explica las irregularidades del movimiento aparente del Sol, mediante la hipótesis del movimiento a lo largo de una circunferencia excéntrica. Completa la teoría de la Luna de Hiparco y descubre la variación anual de la excentricidad de su órbita, para explicar el movimiento aparente de la Luna usa la hipótesis del epiciclo. Tolomeo describe el astrolabio, expone el método del paralaje para hallar la distancia a la Luna, describe el método de Hiparco para calcular eclipses y completa el catálogo de su precursor, dando un total de 1.022 estrellas.
Su contribución más original es la teoría del movimiento planetario. Advierte que los planetas (o vagabundos celestes) están situados entre la Luna y las estrellas fijas, trata de explicar su complicado movimiento aparente en forma parecida a como lo había hecho en el caso de la Luna, pero, en lugar de atribuir al centro del epiciclo un movimiento uniforme sobre el deferente excéntrico, introduce el llamado ecuante, círculo aún menor desde el cual el movimiento del planeta parece uniforme. Con el Almagesto culmina y termina la astronomía antigua, que, salvo detalles, fue conservada tal cual hasta fines del Renacimiento.
Ptolomeo hace contribuciones capitales a la trigonometría plana y esférica que había creado Hiparco. Incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, empleando el sistema sexagesimal inventado por los babilónicos, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos.
Expuso el teorema que lleva su nombre, relativo al cuadrilátero inscrito en una circunferencia, dando la fórmula que relaciona la cuerda de un ángulo con la cuerda de su mitad, empleando un método de interpolación y en general desarrolla casi toda la trigonometría que necesita para sus cálculos astronómicos sin el auxilio de las funciones trigonométricas. Resucita también la geografía matemática creada por Eratóstenes y por Hiparco, que había sido olvidada en favor de la geografía descriptiva.
En su Geografía describe minuciosamente la construcción de mapas según diferentes métodos de proyección. También se ocupó Ptolomeo de la balanza, de acústica física y de óptica geométrica y fisiológica. En su Óptica estudió en particular los fenómenos de refracción, dando tablas de valores para diversos medios trasparentes, sostuvo que los rayos que llegan de las estrellas se refractan en el aire, por lo cual la dirección observada difiere de la real.
Estos científicos fueron la base de toda la trigonometría posterior. A finales del siglo VIII, los astrónomos árabes que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Fundamental para la formación de la teoría del coseno fue el astrónomo árabe Albatenius, Al-Battani (Haran, Turquía 858 - Samarra, Irak 929).
Para comprender la exactitud de las labores topográficas que se realizaban en la antigüedad debemos considerar, en primera instancia, que el grado de conocimiento astronómico de la tierra, su posicionamiento y movimiento en el espacio era muy elevado en aquella época. Es realmente imposible conocer desde cuando los científicos de la antigüedad sabían que la Tierra era redonda, pues se cree que todas las antiguas civilizaciones lo supieron y este concepto nunca se dudó entre los hombres de ciencia de la antigüedad. Este es un concepto fundamental, por ejemplo, para determinar el grado de error de las nivelaciones para la canalización de las aguas y la máxima distancia admisible para su replanteo.
Está algo más claro el momento en que las magnitudes de la esfera terrestre empezaron a calcularse con cierta precisión, así como su distancia a los otros cuerpos celestes principales, el sol y la luna.
Eratóstenes (Cirene, 276 a.C. - Alejandría, 195 a.C.) determinó el tamaño de la Tierra mediante un método trigonométrico, utilizando además las nociones de latitud y longitud, ya introducidas al parecer por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Según la narración de Cleomedes[6], Eratóstenes sabía que en Siena (hoy Aswan, en Egipto) al mediodía del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos. Esto significaba que la ciudad estaba situada justamente en el trópico y su latitud era igual a la de la eclíptica cuya existencia ya era conocida por Eratóstenes.
Suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría.
Posteriormente tomó la distancia entre ambas ciudades, que él fijó en 5000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio egipcio (300 codos de 0,524 m), la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 kilómetros, frente a los 40.008 considerados en la actualidad, es decir, un error menor del 1%.
Posidonio (Apamea, Siria 135 a.C. - Rodi 51 a.C.), rehizo el cálculo de Eratóstenes obteniendo una circunferencia sensiblemente menor, valor que adoptaría luego Ptolomeo (siglo II d.C.) y en el que se basaría Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente, viaje que probablemente nunca se hubiera atrevido a realizar con los cálculos más realistas de Eratóstenes.
Se piensa precisamente que Colón, además de los datos de Ptolomeo, manejaba las narraciones de Estrabón. Éste, menciona la posibilidad de llegar a la India desde Iberia por occidente y apostaba por una cifra inferior a los 200.000 estadios como medida de la circunferencia de la Tierra. Sin embargo, el propio Estrabón, vuelve a mencionar el asunto dando 70.000 estadios como la mitad de la circunferencia de la Tierra, lo que no hace si no aumentar la confusión sobre su fiabilidad.
"Eratóstenes sostiene que la Tierra habitada forma aproximadamente un círculo, que tiende a cerrarse sobre sí mismo, de tal forma que si la inmensidad del océano Atlántico no se opusiera, podríamos ir por el mar desde Iberia hasta la India. Bastaría con seguir un mismo paralelo y recorrer la sección que queda, o sea algo más del tercio de la circunferencia total, admitiendo un valor inferior a doscientos mil estadios (unos 36.000 km) en lo que se refiere al paralelo en el que se ha hecho la anterior repartición desde la India hasta Iberia." (Estrabón I, 4, 6-7).
"Eratóstenes formula también la hipótesis de que los setenta mil estadios aproximados (unos 12.500 km) que representan la longitud del mundo habitado valen la mitad del círculo entero sobre el que se tomó dicha longitud, o sea que, sostiene, si saliendo de occidente, navegásemos con viento este, al cabo de igual número de estadios, llegaríamos a las Indias." (Estrabón II, 3, 6).
La redondez de la tierra parece, en contra de lo asumido hoy, que no ha sido nunca cuestionada por los hombres de la mar y por los estudiosos del medievo. A pesar de que en ocasiones haya sido objeto de polémica, investigaciones recientes[7] afirman que la creencia de que los habitantes de la Edad Media pensaban que la Tierra era plana, lo que se enseña hoy como verdad histórica, es invención del historiador británico de la primera mitad del siglo XIX, William Whewell.
De hecho, Colón no tuvo que convencer a nadie de la redondez de la Tierra si no de que el tamaño de su circunferencia máxima era menor que la que se suponía, admitiendo los datos de Estrabón y Ptolomeo, haciendo así su viaje a la India viable por occidente. Encontró, sin embargo, la reticencia de los científicos de las cortes europeas, incluidos los que estaban al servicio de los Reyes Católicos, que se aferraban a una circunferencia mucho mayor, la real calculada por Eratóstenes[8]. Tal vez esto signifique que el tamaño real de la Tierra fue conocido desde siempre, a partir de los datos de Eratóstenes y a pesar de los datos confusos de Estarbón y de los cálculos de Ptolomeo.
Por otra parte, el movimiento de los astros fue estudiado con éxito por Aristarco que nació en Samos (Grecia) en el año 310 a.C. y murió en el 220 a.C. La revolucionaria idea de Aristarco consistía en que era la Tierra la que giraba en torno al Sol (teoría heliocéntrica) y no al revés (teoría geocéntrica). Aristarco consideraba al Sol como una estrella y probablemente que las estrellas eran soles. Además dedujo que la órbita de la tierra estaba inclinada.
Arquímedes, en el Arenario, nos dice: "Aristarco de Samos publicó un libro basado en ciertas hipótesis y en el que parece que el universo es muchas veces mayor que el que ahora recibe ese nombre. Sus hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la tierra gira alrededor del Sol siguiendo la circunferencia de un círculo con el Sol en medio de la órbita, y que la esfera de las estrellas fijas también con el Sol como centro, es tan grande que el circulo en el que supone que la tierra gira guarda la misma proporción a la distancia de las estrellas fijas que el centro de la esfera a su superficie".
Sin embargo, el paradigma en vigor en su época era el de que la Tierra estaba fija en el centro del Universo y el hombre era centro de la Creación. Sabemos por Plutarco que Cleantes (hacia el 260 a.C.) denunció a Aristarco por impío, al haberse atrevido a negar que la Tierra fuera el centro del universo.
Por desgracia, sabios posteriores desmintieron esta teoría y hubo que esperar más de 1700 años, hasta 1542 d.C., para que Copérnico volviera a plantear la idea, que encontró de nuevo serias reticencias. Sus detractores buscaron rápidamente la censura de su obra, Lucero y Calvino se manifestaron contra ella y en 1616 la iglesia Católica colocó el trabajo de Copérnico en su lista de libros prohibidos. Él había muerto un año después de publicar su trabajo.
Precisamente, por que la tierra es redonda y su superficie es generalmente muy irregular, los antiguos apreciaron enseguida la necesidad de efectuar las mediciones según la proyección en planta de todas las dimensiones que se pudieran tomar. Sabían perfectamente que cualquier medida tomada sobre el terreno debía reducirse a la proyección sobre el plano horizontal de la misma y no solo por una cuestión de exactitud sino por mera causa de justicia:
Cual es la razón de allanar a nivel se cuestiona a menudo, cuando abarcamos una extensión de suelo inclinada, de modo que forzamos, mientras sometemos los lados a medición, a que la desigualdad de las pendientes sea plana. En efecto, allanamos a nivel el campo más elevado y lo reducimos a la igualdad de la planicie.
La naturaleza misma de las semillas nos mostró dicha razón: porque no se podría reducir de forma correcta aquella desigualdad del suelo, a no ser porque todo lo que surge de la tierra sigue la vertical en el aire y al crecer disminuye aquella oblicuidad de la tierra y no ocupa mayor espacio que si brota de un llano.
Si todas las semillas nacieran perpendiculares a la ladera mediríamos según la configuración del lugar; pero puesto que la ladera no da capacidad a más hileras de árboles que la superficie correspondiente en un terreno llano, se nivelará a escuadra con precisión[9].
De esta forma representaban el terreno dibujando la planimetría resultante de sus labores mensorias con la misma exactitud que hemos conocido nosotros. También formaban los mapas y planos de forma que pudiera medirse sobre ellos correctamente y trasladarse de nuevo cualquier dato al terreno si ello fuera necesario, los límites establecidos o las líneas que interesasen en cualquier trabajo topográfico encomendado.
El conjunto de los conocimientos científicos que poseían, combinados con las técnicas adecuadas para su aplicación, permitía al técnico romano desarrollar una labor topográfica excelente. Para ello necesitaron también de instrumentos de suficiente precisión, con los que sin duda contaron, pues de otro modo no se hubieran podido llevar a cabo las impresionantes obras que hemos conocido procedentes de aquella civilización.
Larguísimos acueductos de cien kilómetros de longitud, con pendientes muy bajas escrupulosamente establecidas en toda su longitud y muchas veces constantes en largos tramos. Extraordinarias alineaciones rectas en las carreteras que en ocasiones superaban los cincuenta kilómetros, largas presas de fábrica que debían derramar las aguas sobrantes por un punto determinado y a un nivel de llenado determinado. Grandes extensiones encharcadas, enormes en ocasiones, desecadas mediante drenaje superficial, con rotura del endorreísmo mediante canales de gran longitud y enorme costo, pero precisamente trazados y nivelados. Nada de esto puede ser fruto de la casualidad, si no de una ciencia topográfica muy bien desarrollada, precisa y avanzada, como la que dispusieron los romanos.
De antemano conviene resaltar que es muy poca la certeza que hoy existe sobre la forma exacta y la precisión del instrumental topográfico romano. Consideremos que los principales de ellos han sido deducidos a partir de las descripciones de autores clásicos, descripciones que no siempre han sido bien traducidas o interpretadas. Más suerte han corrido los pocos que se conocen a partir de los vestigios arqueológicos encontrados.
No es frecuente encontrar autores que se hayan sumergido en la escasísima documentación conservada sobre la instrumentación antigua y cuando esto ha ocurrido la subsiguiente interpretación del instrumento no ha contado con expertos en la práctica topográfica. Tal vez sea el momento de considerar el empleo de otros métodos de investigación complementarios, aquellos que desde el ámbito de la ingeniería, de la técnica y de la práctica topográfica, partiendo del análisis de las obras de ingeniería romana que han necesitado de una profunda intervención de la topografía, puedan desembocar en resultados satisfactorios sobre la metodología y el instrumental mínimo necesario.
La reconstrucción del replanteo necesario para la obra y la comprobación de la exactitud de los resultados conseguidos por los romanos, nos facilitarán la precisión de los instrumentos empleados y nos harán comprender la técnica necesaria para conseguir el éxito en la misión encomendada. De esta forma, la topografía experimental puede y debe llevarse a cabo por profesionales con los conocimientos adecuados y capacitación suficiente para reconstruir el proceso técnico-constructivo de la obra.
En este trabajo vamos a relacionar algunos de los instrumentos empleados en topografía romana de los que hemos tenido noticia, apuntaremos lo que hasta hoy se conoce de ellos y expondremos en función de las nuevas experiencias que hemos realizado la interpretación que consideramos más lógica para ellos.
Es probablemente el instrumento más rudimentario sencillo y antiguo de medición. Sin embargo, sabemos por noticias de Heron[10] que los topógrafos antiguos sometían a preparación este utensilio, a fin de que no sufriera deformaciones y su longitud permaneciera constante durante mucho tiempo, haciéndole así mucho más preciso de lo que se puede sospechar a priori.
Herón nos cuenta que se le aplicaba una mezcla de cera y resina y luego permanecía colgada con un peso determinado en su extremo inferior durante algun tiempo. El resultado era una cuerda apta para mediciones con poco error y a prueba de variaciones de humedad y temperatura.
No se conocen noticias del uso de la cadena de topógrafo en la antigüedad clásica, pero debemos reseñar que el instrumento es muy antiguo de cualquier forma y por tanto muy probable que fuera usado por los romanos.
Además de su escasa dificultad de construcción y su gran utilidad, por ser fácil de recoger, de transportar y de difícil deterioro, sabemos que ha sido usada en mediciones topográficas desde hace muchos siglos.
Se trata de una sucesión de eslabones metálicos de medida uniforme, ensamblados hasta formar una cadena de determinada longitud. Normalmente tenía unas asas en sus extremos para facilitar su uso.
Hemos visto representadas cadenas de topógrafo en los libros modernos de topografía del siglo XX, pero también existen dibujadas de idéntica forma en tratados del siglo XVII[11], por lo que debemos sospechar que su uso nunca ha sido interrumpido en aquellas mediciones que se querían de cierta precisión.
Para las medidas de longitud de cierta exactitud se usó un instrumento llamado decempeda porque tenía diez pies de longitud, cerca de tres metros. Así, decempedator era nombre común para designar a los agrimensores. También se le conoció como pertica y en ambos casos parece que estaba constituido de madera. Hay que apuntar que determinadas maderas sometidas a tratamientos especiales adquieren una gran resistencia y resistencia a la deformación y con seguridad los romanos conocían perfectamente estas técnicas. Hemos visto la explicación del manejo de este instrumento en el tratado del siglo XVI de Giovanni Pomodoro[12] y modernamente se han conocido estos instrumentos de metal ligero y poco propenso a las dilataciones (miras invar).
3.4.- El Odómetro
Sabemos que Herón construyó y describió un odómetro, pero debemos a Vitruvio[13] la más conocida descripción de este ingenioso instrumento que, con toda probabilidad, fue muy usado en la antigüedad para la medición de caminos y ciertas distancias que no requerían de precisión. Se trataba de un sistema de engranajes metidos en una caja que conectados a otro situado en la rueda del carro, construida de un tamaño exacto, iban dejando caer una bolita por cada milla recorrida en un recipiente puesto al efecto.
Con pequeñas modificaciones y sustituyendo la rueda del carro por un molinete de aspas, sujeto a un barco, podía medir las distancias de navegación marina, aunque como es fácil de suponer la precisión sería bastante menor.
Las alineaciones rectas se desarrollaban con ayuda de varas verticales que en grupos de tres servían para establecer la dirección a seguir por la alineación y arrastrarla a lo largo del terreno llevando alternativamente la primera de las varas al final. Por si mismos servían perfectamente para trazar buenas alineaciones, por ejemplo en las carreteras, pero estos elementos también se usaban como auxiliares de otros instrumentos de medición que veremos a continuación, como la groma, la escuadra de agrimensor o la dioptra. Con ellos se fijaba la alineación a partir del ángulo determinado por el instrumento principal:
Si hubiera un valle que propasase el ángulo de visión del mensor, tras haber colocado jalones junto a la groma, deberá descenderse a través de él.
A su vez, un valle más estrecho, está permitido atravesarlo para eludir la dificultad, prescribiendo en la parte ulterior no menos de tres jalones, a los que una vez vueltos a enfilar con la groma colocada al otro lado, conviene visarlos de nuevo con los primeros y prolongar con la alidada bien dirigida la alineación comenzada hasta donde la operación lo exija[14].
Este instrumento es probablemente el más estudiado y conocido de los empleados en la antigüedad. Ha sido objeto de hipótesis variadas e incluso ensayos en arqueología experimental[15], aunque no por ello la interpretación de su utilidad parece haber sido tratada con suficiente éxito.
Se trata de un instrumento muy rudimentario para trazar alineaciones perpendiculares entre si, una escuadra de agrimensor tan primitiva como imprecisa. Para algunos autores este instrumento ya conocido en Grecia llega a Roma a través de la cultura Etrusca, como parece indicar la propia génesis de la palabra[16].
Está constituido por un sencillo conjunto formado por una cruz con los brazos en escuadra de cuyos extremos penden plomadas y un pie vertical que sujeta esta cruz en el plano horizontal.
De la groma se han encontrado representaciones gráficas, en bajorrelieves[17], e incluso se llegó a encontrar una de ellas casi completa en las excavaciones de Pompeya[18]. Además se conocen descripciones de los clásicos bastante precisas, tanto de su forma como de su uso.
Frontino nos explica con suficiente detalle su empleo para el establecimiento de límites y para la medición y el reparto en la agrimensura[19]: Cualquier parte de un campo por pequeña que sea debe estar bajo la potestad del mensor y teniendo en cuenta el procedimiento de los ángulos rectos sujetarse a sus postulados. Así pues, debemos prever sobremanera como hemos de franquear con la groma cualquier obstáculo que pudiera presentarse; además, poner diligencia en la medición, para que un movimiento realizado pueda alcanzar un resultado de la representación acometida lo más proporcional posible a la longitud de los lados; utilizar en primer lugar la groma y alinear todos los obstáculos con la alidada dirigida, cuyos hilos o cuerdas, tensadas con pesas y paralelas entre si, han de verse bien desde todas las esquinas hasta que se vea solo la más próxima, perdida la visión de la otra; entonces prescribir jalones, y volver a visar estos mismos, habiendo trasladado entre tanto la groma al último jalón en la misma posición que se tenía y llevar la línea comenzada hasta el vértice o hasta la linde. La perpendicular trazada desde cualquier vértice del perímetro debe señalar el lugar de la groma.
Conviene ante todo recorrer el lugar cuya medición se va a llevar a cabo y poner en todos sus ángulos señales que se alineen perpendicularmente a partir de la línea de base; después, colocada y bien dirigida la groma, trazar una segunda línea al lado mayor y colocados jalones en correlación, llevar una línea al otro lado de modo que esta, cuando haya llegado al extremo, salga paralela a la primera.
De esta limitatio eran objeto tanto los campos, privados o públicos, como las ciudades, las colonias, los templos e igualmente los campamentos militares, en cuyo caso se denominaba castramentatio. Todas estas operaciones eran objeto de ritual y estaban impregnadas de una gran carga religiosa[20].
Pero, como instrumento de precisión, la groma, deja mucho que desear. Realmente es un instrumento sujeto a errores importantes por su propia constitución y por la inevitable intervención de agentes externos, como el viento, a pesar de algunas precauciones que se recomendaban para su correcto uso como la que nos ha llegado en los escritos de Herón[21]: Se introducen tubos de madera, para poner las plomadas al abrigo del viento. Pero cuando los planos rozan en las paredes de los tubos, los hilos no quedan exactamente perpendiculares al horizonte. Además, incluso cuando se ha llegado a poner los hilos en reposo y perpendiculares al horizonte, los planos dirigidos siguiendo estos hilos no son por ello perpendiculares entre si.
En efecto, la groma puede decirse que es un instrumento de baja calidad y de bastante imprecisión. Aunque está claro por las noticias de los clásicos que se usaba en agrimensura y en el trazado de la trama urbana de los campamentos militares y ciudades de nueva constitución, no sirve para arrastrar grandes alineaciones ni para el trazado de la malla externa de las parcelaciones de tierras (centuriato). Del análisis de los trazados muy precisos de largas rectas en obras de carreteras y de la exactitud de la cuadrícula de tantas centuriaciones bien conocidas a partir de la foto aérea, es necesario concluir que la groma no fue el instrumento empleado.
Probablemente debamos circunscribir a la groma en un principio al uso ritual de carácter religioso de los augures y mensores que en los primeros siglos de Roma tuvieron tan importante papel. Entonces, todas estas delimitaciones y trazados de los nuevos establecimientos tenían un claro carácter de operación religiosa, esencialmente augural[22].
Los primeros geometras pertenecían a la clase sacerdotal, donde se guardaban los secretos de los números, de la geometría y de las ciencias augurales tomadas de la ciencia adivinatoria etrusca[23]. En palabras de Higinio Gromático: De todos los ritos u operaciones de agrimensura quiere la tradición que sea el más eminente el del establecimiento de los límites. Este sistema de mediciones tiene su origen en la ciencia de los arúspices etruscos [24] .
Los agrimensores perdieron su carácter sacerdotal a partir de la promulgación de la Ley de las XII Tablas, con motivo del proceso de secularización que experimentó el mundo romano[25]. Probablemente, a partir de ese momento, la groma queda relegada a lo que podríamos llamar la medición no profesional, al reparto familiar de tierras y al replanteo de determinadas estancias o pequeñas superficies.
La groma nunca tuvo ningún papel en el replanteo de carreteras ni de obras hidráulicas, como tantas veces se ha pretendido en los textos modernos al uso, y ninguna noticia clásica nos apunta tal extremo. En nuestro análisis no se ha encontrado la utilidad de este instrumento para estos usos y desde luego existieron instrumentos mucho más sencillos, versátiles y eficaces para estas labores. Por motivos que luego expondremos, las grandes alineaciones, en las carreteras y también en las centuriaciones, debían apoyarse en importantes labores de triangulación previa, que forzosamente alcanzaban resultados muy precisos por lo que sabemos de los resultados y en estos casos en nada podía competir la groma.
Sin embargo, en el museo de Coblence (Alemania), existió antes de la segunda guerra mundial una pieza romana hoy identificada con una escuadra de agrimensor que posteriormente desapareció. Se trataba de una pieza octogonal con ventanas para pínulas en cada una de sus caras[27].
Esta escuadra aparecida en l'Órme-Ennemain (Somme) se encontraba muy bien conservada y con ella se realizó una interesante investigación en la que se determinó entre otras cosas el grado de precisión de que aún disponía el instrumento[28].
La altura total de esta escuadra de l'Orme es de 185 mm (10 dedos romanos) y 76,5 mm de diámetro. Dotada de 16 pínulas de ranura de 0,6 mm de grosor, podía medir ángulos de 22º30' y sus múltiplos (45º, 90º y 180º).
El error de apreciación de este tipo de escuadras siempre ha sido la principal preocupación de los agrimensores. La correcta construcción de la escuadra era modernamente lo primero que se comprobaba a la hora de adquirir una de ellas y para ello los topógrafos realizaban algunos ensayos de comprobación[29]. La precisión de la escuadra de agrimensor es fácil de comprobar alineando jalones firmemente clavados y aplomados y visualizando sobre ellos las alineaciones resultantes de los planos formados por las pínulas. Mediante los giros sucesivos de 90º sobre el eje de la escuadra se comprobará la sucesiva coincidencia, es decir, jalones puestos en perpendicular, con vértice en la escuadra, deben verse igual en las sucesivas visualizaciones a través de las pínulas.
El campo visual de la escuadra viene dado por el gráfico y la fórmula siguientes:
En la escuadra de l'Orme x=0,60 mm y d=76,5 mm, por lo que a 50 metros el campo de visión resulta de 39 cm.
En cuanto al error angular, en las pruebas realizadas se encontró alguna desviación de hasta 0,4 grados por defecto de construcción de las pínulas de ranura. Hay que preguntarse si este error podía ser menor en el tiempo en que esta escuadra estaba en uso, pues el grado de corrosión de las pínulas y la deformación del objeto debido al estado de enterramiento han debido de influir de alguna manera
Cabe apuntar aquí que el modelo desaparecido de Coblence se prestaba en su momento a una vida más larga del aparato y tal vez una mayor precisión. Esta escuadra, tenía en todas sus caras ventanas anchas para formar las pínulas. Sobre ellas irían colocadas finas cerdas de referencia y estas, en función de su finura, proporcionaban una mayor precisión. Además, existía la posibilidad de calibrar la escuadra periódicamente mediante jalones de referencia colocados a suficiente distancia, en perpendicular y a 45º, siempre que existiera un mecanismo lo suficientemente versátil para la nueva fijación de las cerdas dentro de la ventana. Esto permitía una renovación y puesta al día del instrumento muy precisa, eficaz y rápida.
Vemos entonces que la escuadra de agrimensor es un instrumento mucho más perfeccionado que la groma y con el que se puede obtener una mayor precisión sin los inconvenientes añadidos por la omnipresente acción del viento durante su uso.
Otro concepto fundamental en topografía antigua es la determinación del norte para la orientación absoluta de los trabajos topográficos, geodésicos, de agrimensura, o de otra naturaleza. Hablamos de un momento en el que la brújula no existía y que probablemente, de haber existido, en este tipo de comprobaciones terrestres tampoco se hubiera empleado. Y es que, en efecto, la determinación del norte verdadero[30] o astronómico estaba en manos de los técnicos de la antigüedad por métodos más sencillos de lo que cabría suponer.
A estos efectos cabe destacar las noticias que nos aporta Higino Gromático[31], cuando nos advierte de los errores que pueden producirse de no hacerlo correctamente:
Muchos por desconocer la cosmología, siguieron al sol, esto es, el orto y el ocaso.
Y continúa describiéndonos la forma de establecer el norte con precisión:
Primero hemos de trazar un círculo en un lugar plano, en la tierra, y en su centro colocamos un gnomon, cuya sombra (de la punta) entre también en algún momento en el círculo; es más seguro que tomar la línea de oriente a occidente. Observaremos como se acorta la sombra desde el amanecer. Después, cuando la sombra (de la punta) haya llegado a la línea del círculo, marcaremos ese lugar en la circunferencia. De igual manera observaremos la sombra al salir del círculo y marcaremos la circunferencia.
Una vez marcados estos dos puntos del círculo, en el lugar de entrada y salida de la sombra, se traza una línea recta a través de ellos cortando la circunferencia y señalamos su punto medio. Por este lugar deberá salir una línea perpendicular desde el centro del círculo.
Esta línea marca exactamente la dirección norte-sur.
El gnomon era utilizado en la antigüedad con profusión y se aprovechaban las propiedades del movimiento terrestre a través de la eclíptica para establecer con la ayuda del gnomon el mayor número de medidas posible. Recordemos como para el cálculo de las magnitudes de la Tierra, Eratóstenes, se sirvió del scaphium o gnomon, según la noticia que nos aporta Cleomedes.
Vitruvio nos muestra otra interesante utilidad en su libro IX, capítulo VII, donde al describir los analemas nos dice[32]:
Mientras dura el equinoccio de primavera y de otoño, el Sol, situándose en Aries y en Libra, (21 de marzo y 21 de septiembre, respectivamente) a nueve partes de gnomon da ocho de sombra en la altura de polo (latitud) de Roma. En Atenas cuatro partes de gnomon dan tres de sombra. En Rodas siete partes dan cinco. En Taranto once dan nueve. En Alejandría cinco dan tres. Y en otros lugares distintos encontramos que las sombras equinocciales son siempre diferentes, de acuerdo con la naturaleza. Y así siempre se deberá tomar la sombra equinoccial del lugar en que se hubieren de construir los relojes.
Las sombras equinocciales de los gnomones verticales jugaban un papel fundamental en la construcción de los relojes o cuadrantes solares, pues a partir de su estudio y medida se podía calcular la latitud del lugar con la aproximación suficiente para llevar a buen término estos ingenios medidores de la hora.
Se observa como con las proporciones establecidas por Vitruvio la exactitud es muy notable, considerando además que las latitudes geográficas actuales reseñadas en el gráfico responden al desarrollo cartográfico del elipsoide de referencia (Hayford) y no a la propia superficie de la tierra que era la que antiguamente se consideraba.
A partir del gnomon se construían con extraordinaria precisión relojes y calendarios en la antigüedad. El conocimiento del movimiento del sol era completísimo y se tenían perfectamente estudiadas las gráficas que forma la proyección de la sombra de un punto a la misma hora del día y en el discurrir de los días del año (analemas).
Ciertamente es un fenómeno regulado por la mente divina, que proporciona una profunda admiración a quienes consideran por qué la sombra del gnomon, en el equinoccio, es de una determinada longitud en Atenas, de otra diferente en Alejandría y también distinta en Roma; en Placencia su longitud es diversa, como lo es en otras partes del mundo. Esta es la causa de que sean muy diferentes los trazos y las sombras que proyectan los relojes, cuando nos referimos a un lugar o a otro: la longitud de las sombras en el equinoccio determina de un modo concreto la disposición de los analemas[33].
Vitruvio describe de forma prolija el concepto de analema y su construcción y luego nos dice:
Después de describir y explicar el analema hemos utilizado las líneas de invierno, de verano, o bien las de los equinoccios e incluso las de los meses, deberán trazarse las líneas que marquen las horas, en una base plana, de acuerdo con los cálculos del analema. A partir del analema se pueden deducir múltiples variantes y múltiples clases de relojes, simplemente con seguir unos cálculos técnicos. El resultado de estas figuras y diagramas es siempre el mismo: dividir en doce partes iguales el día equinoccial y el día de los solsticios de invierno y de verano[34].
El nivel de agua o balanza de agua, de la que tenemos vagas referencias por parte de algunos autores clásicos[35], ha sido interpretado y dibujado de muy diferentes formas.
Por la propia etimología de la palabra, nos inclinamos a pensar que se trata del clásico nivel de agua que utiliza el mecanismo de los vasos comunicantes para mantener el nivel constante en sus extremos, previo balanceo estabilizador o contrapesado del líquido.
Cualquier conducto flexible, rematado por pequeños recipientes cilíndricos de vidrio transparente, se convierte en un excelente y versátil instrumento de nivelación que complementa, además, como veremos, a otros de mayor potencia como el corobate.
Precisamente, el término griego para denominar a los conductos en U que canalizan las aguas, como los propios sifones invertidos de los grandes acueductos, es el de koilia, literalmente "intestino".
La existencia de un instrumento de nivelación preciso, potente y eficaz, en época romana, es perfectamente deducible del análisis de las grandes obras de canalización de las aguas que nos ha dejado esa civilización. Pero es a partir de las noticias que de él nos da Vitruvio como podemos deducir el aspecto que tenía.
A lo largo de la historia, las interpretaciones sobre la forma y funcionamiento de este instrumento realizadas a partir de la descripción de Vitruvio, ya que los gráficos originales de la obra de Vitruvio se perdieron, han sido de lo más variopintas y hasta contrapuestas entre si. Es de suponer, por tanto, que una parte importante de ellas debe estar equivocada radicalmente.
Un breve repaso histórico de estas interpretaciones nos lleva en primer término a una de las representaciones más antiguas que se conocen. La primera edición de los Diez Libros de Arquitectura de Vitruvio íntegramente en francés de 1547[36].
Algo posterior, es la de la primera edición impresa en castellano, realizada por Miguel de Urrea en 1582[37]. Del mismo siglo y de sorprendente parecido en el diseño del corobate, son los Veintiún Libros de los Ingenios y las Máquinas llamados de Juanelo Turriano pero atribuidos a Juan de Lastanosa[38].
Con posterioridad, en 1673, el francés Claude Perrault traduce a Vitruvio[39] y hace una interpretación radicalmente diferente, convirtiendo el largo listón rematado de ménsulas y sujeto sobre un pie vertical, de las más antiguas ediciones, en una especie de mesa que se sustenta sobre cuatro patas.
Obras posteriores editadas en España[40] adoptan ya el diseño de Perrault sin más explicaciones y posteriores autores más modernos, que hoy son la referencia arqueológica en esta ciencia, acogen este diseño con entusiasmo[41].
Finalmente Adam, en su obra[42], populariza el corobate-mesita reduciendo la medida a metro y medio para hacerlo más manejable[43] y, con uno construido así, realiza una serie de prácticas en las ruinas de Pompeya.
Del análisis detallado de estas reproducciones y reconstrucciones, aparecidas a lo largo de la historia, cualquier experimentado topógrafo puede concluir lo siguiente:
El modelo sobre un pie vertical, dotado en sus extremos de ménsulas, con o sin refuerzo en triangulo, como el de la edición de Martin y Goujon, Urrea y el de los Veintiún Libros, sirve, con ciertas limitaciones, para nivelar. Una importante limitación que se presenta en este modelo es que la visual no puede ser lanzada de forma limpia como consecuencia de la disposición de las ménsulas o de los triángulos de madera que se han dibujado coronando las ménsulas.
- No existe un dispositivo para el giro sobre el eje longitudinal (horizontal) del corobate y poder así posicionar el aparato correctamente en el plano horizontal, a pesar de que el dibujado en los Veintiún Libros presenta las plomadas en la posición más favorable para este fin.
- El giro sobre el eje vertical en el apoyo, para transportar el nivel escogido a diversos puntos dentro de un determinado radio de acción. Este giro es muy importante y si se realiza sobre un eje por debajo del punto de nivelación, es decir no vertical, como ocurre claramente en el modelo de los Veintiún Libros y se supone que en los otros donde no se especifica, la nivelación se perderá con el giro.
El modelo en forma de mesa, es hoy el aceptado de forma universal por la arqueología y por la investigación de la ingeniería romana en general, sin embargo, presenta excesivos impedimentos para la nivelación eficaz y precisa:
- Su estacionamiento es muy difícil, ya que exige un pesado y complicado recalce de tres de las cuatro patas para conseguir el nivel.
- No admite giros de ningún tipo.
- Una vez estacionado no ofrece una visual limpia de las líneas horizontales que forman el plano a trasladar.
- Cualquier deformación de la madera en su compleja estructura, cosa segura con el tiempo y en las variaciones de humedad, lo inutiliza en mayor medida que cualquier otro modelo.
Por este motivo, nosotros hemos querido volver a los orígenes del problema, esto es, a una correcta traducción del texto de Vitruvio, ya que consideramos que es el motivo del mayúsculo error en el que se encuentra el estado de la cuestión:
1. Nunc de perductionibus ad habitationes moeniaque ut fieri oporteat explicabo. Cuius ratio est prima perlibratio. Libratur autem dioptris aut libris aquariis aut chorobate, sed diligentius efficitur per chorobatem, quod dioptrae libraeque fallunt. Corobates autem est regula longa circiter pedum viginti. Ea habet ancones in capitibus extremis aequali modo perfectos inque regulae capitibus ad normam coagmentatos, et inter regulam et ancones a cardinibus compacta transversaria, quae habent lineas ad perpendiculum recte descriptas pendentiaque ex regula perpendicula in singulis partibus singula, quae, cum regula est conlocata eaque tangent aeque ac pariter lineas descriptionis, indicant libratam conlocationem. 1. Trataré ahora de los métodos de conducir el agua a las viviendas y a las ciudadelas. En primer lugar se ha de hacer el nivelado. Se puede nivelar con dioptras, con niveles de agua o con un corobate, pero se hace con mayor precisión por medio del corobate, porque las dioptras y los niveles fallan. El corobate es una regla recta de aproximadamente veinte pies de largo (unos 5,92 m). En los extremos posee unos brazos transversales [ménsulas[45]] que se corresponden con exactitud, poseen la misma medida y están fijados en los extremos de la regla, formando un ángulo recto; entre la regla y estos brazos van unos travesaños sujetos por medio de espigas que tienen unas líneas trazadas en vertical, con toda exactitud; además lleva unos hilos de plomo suspendidos en cada uno de los extremos de la regla; cuando la regla está en su correcta posición, si los hilos de plomo rozan de manera idéntica a las líneas trazadas, es señal de que el corobate está perfectamente nivelado.
2. Sin autem ventus interpellavit et motionibus lineae non potuerint certam significationem facere, tunc habeat in superiore parte canalem longum pedes V latum digitum altum sesquidigitum eoque aqua infundatur, et si aequaliter aqua canalis summa labra tanget, scietur esse libratum. Item eo chorobate cum perlibratum ita fuerit, scietur quantum habuerit fastigii. 2. Pero si molestara el viento, y con los vaivenes las líneas no pudieran dar una indicación exacta, haya entonces un canal en la parte superior del corobate, de 5 pies de largo, un dedo de ancho y dedo y medio de profundidad (1,48 x 0,0185 x 0,0278 m), y rellénese de agua. Si el agua toca por igual los extremos superiores del canal, se sabrá que está nivelado. Y con la ayuda del corobate correctamente nivelado, se podrá conocer el grado de inclinación.
3. Fortasse qui Archimedis libros legit dicet non posse fieri veram ex aqua librationem, quod ei placet aquam non esse libratam sed sphaeroides habere schema et ibi habere centrum quo loci habet orbis terrarum. Hoc autem, sive plana est aqua seu sphaeroides, necesse est, ad extrema capita dextra ac sinistra cum librata regula erit pariter sustinere regulam aquam, sin autem proclinata erit ex una parte, qua erit altior non habere regulae canalem in summis labris aquam. Necesse est enim quacumque aqua sit infusa in medio inflationem curvaturamque habere, sed capita dextra ac sinistra inter se librata esse. Exemplar autem chorobatae erit in extremo volumine descriptum. Et si erit fastigium magnum, facilior erit decursus aquae. Sin autem intervalla erunt lacunosa, substructionibus erit succurrendum. 3. Quizá algún lector de las obras de Arquímedes dirá que no se puede hacer una nivelación fiable por medio del agua, porque Arquímedes sostiene que el agua no tiene una superficie horizontal, sino que es de forma esférica y tiene su centro en el centro de la tierra[46]. Sin embargo, sea el agua plana o esférica, necesariamente cuando una regla recta está nivelada soporta el agua uniformemente en sus extremos a derecha e izquierda, pero si se inclina el extremo más alto, no alcanzará un borde del canalito de la regla recta, y por el otro se derramará. Pues aunque el agua, siempre que se vierta, debe tener una superficie curva en el centro, sin embargo, las extremidades a uno y otro lado deben estar niveladas una con otra. Al final del libro incluiré un dibujo del corobate. Si se espera que haya considerable descenso, la conducción del agua será relativamente fácil. Pero si el curso que se ha de seguir se interrumpe por depresiones, será necesario recurrir a subestructuras (para soportar la conducción).
Hemos recurrido a nuestra experiencia topográfica con instrumentación rudimentaria hoy ya en desuso pero tan habitual y eficaz cuando, antaño, disponer de un nivel óptico no era fácil.
Cuando examinamos el funcionamiento de las niveletas[47] y los sabios consejos que los técnicos de principios del siglo XX daban para su correcto uso, descubrimos que este instrumento es algo así como un corobate desmantelado, pero no menos eficaz, manejable y versátil, aunque diferente en la forma de poner en estación. A pesar de su sencillez, su precisión puede llegar a ser muy semejante a la de los instrumentos modernos, dependiendo sobre todo de la vista y la pericia del topógrafo.
Las niveletas han sido usadas en la construcción de canales, ferrocarriles, carreteras y un largo etcétera de obras de ingeniería a lo largo de la historia, desde tiempo inmemorial, y modernamente hemos sido testigos de su uso y de su grado de competencia frente al nivel óptico actual.
A partir de estos conocimientos y siguiendo las instrucciones de Vitruvio, hemos colocado un listón de 5,92 m (20 pies) de longitud sobre trípode robusto, mediando entre ambos una sencilla base nivelante giratoria de fabricación artesanal. El listón se remata con unas ménsulas transversales unidas a él mediante gruesas espigas a las que quedan sujetas las ménsulas.
La forma y el encaje de todos estos elementos permiten la puesta en estación precisa y rápida, ayudándose por hilos aplomados como indica Vitruvio. El corobate puede ser estacionado y las ménsulas colocadas en un plano horizontal, eficazmente, en pocos segundos.
El calibrado del corobate es igualmente rápido. Con ayuda del nivel de agua (libra aquaria) se coloca en el plano horizontal rápidamente y solo quedará marcar la posición de los hilos aplomados para que siga funcionando sin problemas. Esta operación puede repetirse cuantas veces se estime conveniente si se sospecha que la madera se ha deformado o cualquier ajuste ha sufrido una modificación por alguna circunstancia.
El resultado del primer corobate que fabricamos en Zaragoza en mayo de 2004 fue sorprendente desde el primer momento. Consiguió competir en precisión con el nivel óptico moderno en distancias relativamente largas de más de cincuenta metros y suficientes para el fin buscado. Tras ir puliendo algunos detalles sucesivamente, hemos llegado al modelo final que proporciona una exactitud en las nivelaciones muy semejante a la del nivel óptico en distancias superiores a 70 metros, siempre que el topógrafo tenga buena vista. Es decir, una exactitud excelente toda vez que visuales más largas son siempre inadmisibles en nivelaciones de los itinerarios, debido al grado de error que a partir de esa distancia ocasiona la esfericidad de la tierra.
Todo el sistema es susceptible de perfeccionamiento con pequeñas modificaciones y sencillos dispositivos que permiten aumentar la eficacia, siempre que su construcción sea correcta. De esta forma, es posible incluir una alidada de pínulas horizontales que permite observaciones muy precisas sobre la referencia de la mira que es portada por el operario a lo largo del terreno y que sirve para fijar el nivel trasladado.
Esta alidada permite igualmente la observación a muy largas distancias, cuando es necesario el empleo de esta técnica, en las que no pocas veces hay que auxiliarse de elementos de visualización especiales, como los luminosos, de los que siempre se han empleado en operaciones topográficas a larga distancia y de los que luego hablaremos.
Este instrumento consistía fundamentalmente en una alidada de pínulas que podía desplazarse sobre un limbo graduado. Pero existieron algunas variantes a lo largo del tiempo.
De las noticias que tenemos de Hiparco sabemos que la dioptra que este autor usaba tenía una pínula fija y otra deslizante sobre una barra graduada de cuatro codos de longitud (1,78 m). Probablemente este mecanismo le permitía el empleo de la técnica estadimétrica, consiguiendo así calcular distancias por métodos indirectos. La estadía basada en este sistema ha sido empleada con éxito en la topografía moderna, pero podemos decir que Hiparco fue el inventor del método dado que es la primera referencia que tenemos de un uso semejante de las pínulas.
Herón de Alejandría escribió sobre el uso de la dioptra. Este autor dotó al instrumento de un limbo horizontal y otro vertical, con lo que consiguió un verdadero taquímetro cuya versatilidad permitía realizar casi todas las operaciones que hemos conocido realizar modernamente por estos instrumentos. En palabras del propio Herón[48] sirve para el levantamiento de planos, nivelaciones, mediciones de campos sin necesidad de entrar en ellos, medir ángulos, hallar el área de un triángulo, atravesar una montaña siguiendo la línea recta, medir distancias y alturas de lugares inaccesibles, etc.
Instrumentos del máximo interés, basados en la mecánica de la dioptra, se desarrollaron en al Europa del siglo XVI. En los Veintiún Libros de los Ingenios y las Máquinas llamados de Juanelo Turriano pero atribuidos a Juan de Lastanosa[49], se recogen algunos de estos instrumentos, destacando el ingenioso Cuadrante Geométrico, que no era otra cosa que una dioptra instalada en un limbo cuadrado y que permitía la resolución de operaciones simples mediante la técnica de la semejanza de triángulos.
Giovanni Pomodoro[50], en 1603, dibuja también en su obra el que llama Quadrato Geometrico.
Athanasius Kircher[51], en 1631, demostró como el uso de un instrumento desarrollado por él, el Pantómetro, podía resolver las principales operaciones topográficas que en su época venían a necesitarse. Este instrumento, ciertamente complicado, a medio camino entre la dioptra y el cuadrante geométrico, alcanza sin embargo mayor complejidad de construcción y uso.
Sebastián Fernández[52], en 1700, dibuja con buena precisión una alidada de pínulas sobre un limbo circular, al que añade otras pínulas con visual en escuadra, respondiendo a una de las evoluciones modernas de la dioptra heroniana.
Respecto a la precisión inherente a estos instrumentos, podemos apuntar que, para la apreciación de las fracciones de ángulo, en el limbo de Sebastián Fernández se empleaban divisiones alternas en blanco y negro que permitían apreciar bien el medio grado, teniendo que recurrir a la aproximación para fracciones menores.
Fue Pedro Núñez, (Nonius 1502-1578), cosmógrafo real para el que se creó expresamente una cátedra de Matemáticas en Coimbra, quien inventó el nonio para suplir este tipo de carencias. El nonio es un mecanismo que permite medir con precisión ángulos pequeños, pero dada su difícil construcción tardó mucho en ser aplicado con regularidad en los limbos y reglas graduadas.
No consta que en Roma se empleasen este tipo de artificios para la medición precisa de los ángulos, pero hay que apuntar que un calibrador de bronce descubierto en China hecho en el año 9 d.C., es el más antiguo calibre de nonio que se conoce. A juzgar por su principio, sus características y sus usos, tiene gran similitud con los calibres de nonio modernos. Este calibrador, de 14,22 centímetros de largo, está compuesto por dos reglas, una fija y la otra móvil. En medio de la regla fija hay una ranura, en tanto que en la regla móvil hay un pasador de modo que la regla movediza puede correr por la ranura hacia la izquierda o hacia la derecha. La cara de la regla fija está graduada en cun y fen y en el reverso está inscrita la fecha en que fue hecho el calibre de nonio. El descubrimiento de este instrumento chino adelantó la fecha de su invención en 1500 años.
Adam[55] propuso también otro modelo con el que no consta que experimentase personalmente.
Del análisis de los modelos propuestos modernamente puede observarse que su puesta en estación es altamente complicada, dependen enormemente de la exactitud de su construcción para el correcto funcionamiento y la precisión en general no puede ser importante por tratarse de diseños poco aptos para mantener el ajuste tras la realización de los movimientos de giro horizontal y vertical, este último cuando lo tiene.
Nosotros, de nuevo partiendo de cero y en base a las escasas notas descriptivas que del instrumento poseemos, hemos buscado el aparato que nos permita obtener un rendimiento aceptable dentro de la máxima precisión.
Sabemos que determinadas labores topográficas como las labores de triangulación en grandes superficies, el trazado de largas alineaciones, el dibujo de mapas de precisión, etc., exigen labores de medición del terreno que requieren una precisión muy grande. Los levantamientos taquimétricos de grandes superficies requieren de aparatos eficaces y de gran rendimiento para llevarse a cabo con éxito y estamos convencidos de que los técnicos romanos estaban capacitados para realizarlas y las hacían.
Construido el prototipo adecuado tras largas sesiones de dibujo y diseño, los primeros resultados obtenidos con el aparato que ahora manejamos son satisfactorios y creemos que el nivel de competencia con el taquímetro moderno será elevado.
No obstante, dejaremos para otra ocasión la presentación pública del aparato en cuestión, entre tanto seguimos realizando las pruebas pertinentes, anticipando únicamente que su aspecto difiere radicalmente con los de los aparatos propuestos hasta hoy.
3.12.- La Lámpara
Llamada en la antigüedad Lychnia, fue un instrumento sencillo pero potente consistente en un pie vertical bien aplomado y un brazo horizontal graduado que puede girar y posicionarse sobre el vertical.
Los triángulos formados entre ambos permiten el cálculo de las distancias a los puntos que se observan, aplicando el principio de semejanza de triángulos.
Hemos visto en los gráficos de Pomodoro como a finales del siglo XVI se conocía y utilizaba un sencillo instrumento que responde a las mismas funciones que la lámpara tenía en la antigüedad.
La potencia y versatilidad de la lámpara podía aumentarse notablemente colocando pínulas en el brazo horizontal, aportando así capacidades de medición estadimétrica.
4.- TÉCNICAS.
Si el conocimiento sobre los instrumentos topográficos más útiles y precisos utilizados por los romanos es hoy muy escaso, no podemos decir que de las técnicas empleadas se sepa mucho más.
Los textos clásicos son generalmente parcos sobre este asunto o, mejor dicho, el bagaje escrito conservado desde época romana sobre estos temas es prácticamente inexistente. Los textos de carácter científico siempre levantaron la sospecha entre los posteriores modos de entender la vida y probablemente la mayoría se destruyeron intencionadamente o, sencillamente, no se transcribieron.
Hemos visto como el dominio de la ciencia trigonométrica era ya muy completo en época romana al haber sido heredados gran parte de los conocimientos del mundo helenístico. A partir de aquí, la formación de triángulos fáciles de resolver que permitieran descubrir las magnitudes buscadas en el terreno era solo cuestión de ingenio.
En orden a la dificultad de resolución es preferible plantear, siempre que sea posible, un triángulo rectángulo. En ellos, la resolución del tercer ángulo viene a ser inmediata, la aplicación del teorema de Pitágoras lo resolverá sin recurrir a otras fórmulas más complejas, será fácil inscribir o relacionar otros triángulos menores a partir de los que establecer las semejanzas de Tales, o aplicar el teorema del cateto o de la altura y, finalmente, será de muy sencilla aplicación la tabla de cuerdas Ptoloméica.
Si esto no es posible de inmediato, puede intentarse reducir a dos rectángulos los triángulos que no lo son para resolverlos con los teoremas diversos conocidos, o aplicar la semejanza de Tales trasladando los ángulos que se precisen con los instrumentos adecuados, o aplicando el teorema del seno con ayuda de la tabla de cuerdas (senos) si se dispone de ella.
En definitiva: elegir siempre el camino más corto y sencillo en cada caso.
No nos cabe la menor duda de que los técnicos que construyeron los acueductos que hoy nos asombran, o la red de carreteras interminable y de excelente calidad que hoy descubrimos, dominaban estas y otras muchas técnicas a la perfección. Los resultados les avalan.
Sin embargo, los primeros tratados topográficos europeos de que tenemos noticia, ya en el siglo XVI, de los que hemos ido dando noticia en este trabajo y donde estas técnicas de resolución trigonométrica aparecen representadas con cierta precisión, responden a una trigonometría básica, aunque eficaz. De las técnicas de resolución triangular basadas en los sabios de la antigüedad apenas se recogen las de Tales y Pitágoras. Las funciones trigonométricas más complejas, basadas en las cuerdas o senos de los ángulos, coseno, tangente, etc., no se aplican, a pesar de ser conocidas en el mundo árabe desde al menos seis siglos antes.
Estas técnicas de medición del terreno mediante el empleo de triángulos, como constante desde los primeros tiempos de la ciencia topográfica moderna, fueron explicadas en las obras de Lastanosa, Kircher y Pomodoro, como compendio del conocimiento topográfico del Renacimiento. En todas ellas el empleo del rectángulo es la técnica más socorrida, pero también la semejanza de Tales es un recurso valiosísimo que se emplea frecuentemente en estos momentos. Utilizando dioptras sobre cuadrantes geométricos o pantómetros, cuya construcción ya contaba con elementos de precisión suficiente, se realizaban levantamientos taquimétricos que sin duda permitían dibujar mapas y planos de detalle con aceptable precisión. En ese momento se realizaron algunos acueductos en Europa para abastecer ciudades, al estilo de como lo hicieron los romanos, pero con ciertas deficiencias no desdeñables, al no disponer de la excelente técnica constructiva romana.
La propia ciudad de Toledo dispuso de un ingenio mecánico diseñado por Juanelo Turriano, relojero y astrónomo de Carlos V y de Felipe II, para elevar el agua del Tajo a la ciudad. Pero este ingenio, que causó admiración en su época, se alejaba mucho de la eficacia del abastecimiento de aguas romano, no solo por la mala calidad de las aguas que aportaba, sino por la evidente diferencia de lo que tiene que ser una obra de ingeniería duradera, de bajo mantenimiento y sin partes móviles, tal y como era en época romana el sifón que vencía la profunda vaguada del Tajo para conducir el agua a la ciudad.
Volviendo a la técnica romana, es difícil precisar si los romanos aplicaban sistemáticamente la tabla de senos en la resolución de triángulos. Probablemente, a pesar de los múltiples caminos de resolución que siempre se presentan, existan casos en los que no sea posible resolver sin la aplicación del seno del ángulo. Además, en ocasiones, su aplicación aporta soluciones de mayor precisión que los otros caminos que requieren medir muchas más magnitudes de apoyo y por tanto más susceptibles de inducir errores.
La resolución gráfica a gran escala de los triángulos, sobre mesa y papel, es otro recurso no desdeñable en el que es necesario pensar en más de una ocasión si no queremos recurrir fórmulas trigonométricas complicadas y de las que no se tiene la certeza de haber sido conocidas en tiempos de Roma. Tal es el caso de la fórmula derivada del teorema del coseno, cuyo origen parece encontrarse en la cultura islámica.
Hay que insistir no obstante en que a partir del análisis de las obras de ingeniería que se han conservado, de los conocimientos matemáticos que sabemos que poseían y de la instrumentación topográfica conocida, podemos deducir las técnicas empleadas para la realización de algunas de las obras tan bien planificadas que conocemos, no pocas de las cuales hoy seguirían siendo un gran reto para la ingeniería.
4.1.- Medición del terreno, geodesia y triangulación.
La medición del terreno tanto en planta como en alzado se ha reducido desde siempre a un problema de resolución de triángulos, como polígono elemental a partir del que podemos formar los demás polígonos y por la posibilidad de reducir a triángulos cualquiera extensión de terreno.
La primera cuestión que se presenta es la de establecer la posición real de los lugares en la superficie de la tierra y la posibilidad de representar, a escala, su posición en los mapas.
Para ello, es necesario calcular las distancias rectas de los lugares a representar respecto a un punto conocido y la dirección en que estos se encuentran, es decir, el ángulo respecto a una línea inicialmente conocida. Esta línea puede ser la que se orienta al norte desde el punto de partida, en cuyo caso el ángulo se llama acimut, o la formada por los dos puntos de partida conocidos que forman la base.
Son varios los factores que nos inducen a pensar que la triangulación del terreno, incluso en muy grandes extensiones, era un hecho habitual en el mundo romano. La precisión de las largas alineaciones que recientemente se ha comprobado gracias al apoyo de la fotografía aérea no es posible sin el apoyo de esta técnica.
Se conocen alineaciones de carretera asombrosas, por ejemplo en la Vía Apia, entre Roma y Tarracina (Terracina) con más de 90 kilómetros y otro buen tramo de la Vía Aurelia, entre Forum Aurelii (Montalto di Castro) y Centum Cellae (Civitavecchia), con 55 kilómetros de asombrosa rectitud. Éste último caso solo pudo ser observado con ayuda de la fotografía aérea por los técnicos del Instituto de Topografía Antigua de Roma[56]. Grandes alineaciones se constatan también en la Vía Domitia, en la Provenza francesa, en grandes zonas de las llanuras del norte de la Galia y en todos los sitios en los que el terreno fue propicio para ello.
Los límites externos de los grandes repartos de tierra romanos que se conocen (centuriato), tienen frecuentemente más de 50 kilómetros de lado mayor en el cuadro que los limita, siendo perfectamente perpendiculares su límites[57]. Esta precisión no se puede lograr a partir del arrastre de la cuadrícula menor si no todo lo contrario, la centuriación quedará geométricamente perfecta fijando previamente los límites externos con precisión.
Del mismo modo, fijar con precisión el ángulo que con la base debe formar la línea que forman el punto de inicio y el de destino, en el caso de cualquier alineación de más de 10 kilómetros, es una operación de enorme dificultad, imposible de realizar con métodos de alidada simples, tal y como ocurre cuando se quiere situar correctamente los puntos externos de una centuriación para que formen un rectángulo perfecto.
Costoso es también el posicionamiento preciso de la captación y del destino de un abastecimiento de aguas para la correcta valoración de su viabilidad, de su longitud y sobre todo de la caída total del agua que ha de producirse, considerando que conducciones entre 50 y 100 kilómetros eran frecuentes en el Imperio.
Todas son labores difíciles que requieren de una muy precisa medición del terreno con una labor de triangulación, en muchas ocasiones perfectamente útil para varias misiones a la vez de las ya mencionadas.
Las técnicas y los instrumentos explicados en los siglos del Renacimiento sirven bien para estas labores, pero no son pocas las obras singulares de los romanos cuya realización sobrepasa estas leves mediciones que figuran en los gráficos de la edad moderna.
Pensamos que las labores de triangulación más complejas en época romana fueron realizadas con ayuda de elementos auxiliares luminosos, faroles de señales del tipo de los utilizados en tantas tareas de transmisión de mensajes. Estos permiten visuales muy largas en la noche, en determinadas condiciones atmosféricas de más de 10 kilómetros, y por tanto posibilitan la construcción de cadenas de triángulos muy grandes y de extraordinaria precisión. Por supuesto, serán obligadas operaciones de cierre de la malla sobre la misma base de partida, con comprobaciones reiterativas, reparto de errores constatados entre los ángulos medidos y otras técnicas básicas en topografía que hoy mismo se emplean y en las que no nos entretendremos ahora.
A partir de estas cadenas es fácil establecer desde el punto de partida el ángulo de ataque de una alineación que debe de prolongarse durante decenas de kilómetros hasta llegar al punto de destino deseado, o el rectángulo exterior de la más grande de las centuriaciones. En las líneas así formadas se establecerán y comprobarán además otros puntos intermedios y los tramos parciales se rellenarán mediante métodos de alidada más simples como la alineación con jalones o con cualquier otro sistema.
La medición, el establecimiento y el levantamiento de mapas de parcelas agrarias es una de las misiones más antiguas encomendadas a la ciencia topográfica. Su carácter ritual en los pueblos antiguos alcanzó su máxima expresión en tiempos de Roma. Ya hemos visto que la groma, siendo un instrumento deficiente en estas labores, sigue apareciendo entre los agrimensores romanos, probablemente gracias al carácter ritual que se les confiere tanto al aparato como al proceso mensor.
La reducción del terreno agrícola a polígonos medibles es sin embargo un proceso imprescindible para aplicar la justicia en el reparto, usufructo y transmisión de las fincas, como obliga la vital importancia económica que desde el neolítico tiene la actividad agrícola para la humanidad. Precisamente, es en tiempos de Roma cuando este proceso alcanza un carácter paradigmático. Éste es un momento en el que los avances de la conquista y la adhesión de ingentes cantidades de nuevos terrenos al Imperio, con su subsiguiente reparto entre grandes terratenientes procedentes de los mandos retirados del ejército o entre colonos de diversa naturaleza, incrementaban la producción, la riqueza y el poder del Imperio hasta límites nunca conocidos.
Debemos a Frontino[58] muchos de los datos que sabemos sobre la forma de limitar con justicia el terreno y otros detalles de esta cuestión. Columela nos aporta también numerosos datos, entre ellos el hecho de que cualquier medida de superficie en Roma estaba referida a pies cuadrados[59].
Los múltiplos de la medida básica de superficie, el pie cuadrado (0.0876 m2) [60], formaban extensiones de superficie variadas, entre las más comunes el actus (14.400 p2=1.261 m2), el iugerum (28.800 p2=2.523 m2), haeredium (57.600 p2=5.046 m2), centuria (5.760.000 p2=504.576 m2), y el saltus (144.000.000 p2=12.610.440 m2).
Pues bien, si a partir de un actus, un cuadrado de 35,5 m de lado, quisiéramos construir con una groma solamente un saltus, un cuadrado de 3551 m de lado (100x100 actus), el resultado sin duda no sería un cuadrado. Nos atrevemos a poner en duda que el resultado fuese un cuadrado incluso utilizando la más precisa escuadra de agrimensor[61]. Traslademos de esta forma el problema a los límites externos de una centuriación de más de 20 saltus de lado y reduciremos a lo imposible la solución por estos métodos.
No queda más remedio que utilizar métodos de triangulación para comprobar la exactitud de las alineaciones y del ángulo de la parcelación. Incluso si los lados mayores se trazan mediante dioptra, con ayuda de señales luminosas en la noche, deberemos cerrar los triángulos para comprobar que el ángulo sigue siendo de 90º en el punto de cierre opuesto al de partida. Esto es triangulación.
Construidos los límites exteriores de la parcelación y divididos estos en centurias (710 m de lado = 20x20 actus) es cuando entrarán en juego las escuadras de agrimensor para las divisiones menores.
Problema diferente al de la difícil construcción de un gran centuriato romana, es el de la medida, parcelación o traslado al plano de superficies relativamente pequeñas. En estos casos la escuadra de agrimensor es siempre la indicada. Representaciones de estas operaciones hemos visto en los tratados modernos de los siglos XVI y XVII. Pomodoro recoge varios de estos casos, en los que aconseja, del mismo modo en que lo hacía Frontino, reducir a polígonos las fincas irregulares utilizando la escuadra.
Cuando el ingeniero romano planificaba la comunicación entre dos ciudades escogía con sabiduría el mejor de los corredores que le permitiera el trazado con pendientes suaves sin grandes costos y a la vez que no le alejase mucho de la línea recta. Este extremo que hemos comprobado en muchas ocasiones[62], lejos de ser fruto de la casualidad, debemos imputarlo al ingenio de los técnicos que sabían auxiliarse de los instrumentos necesarios para determinar la forma del terreno, las distancias y la altitud de los puntos clave para el trazado.
En definitiva, era necesario poseer mapas de precisión que permitieran la elección correcta del trazado y las alternativas más adecuadas cuando el terreno quebrado aconsejaba alejarse de la línea recta.
Para levantar estos mapas es necesaria la formación de mallas de triángulos que posteriormente se rellenan con nuevos datos hasta conformar el terreno en su totalidad. No sabemos como los romanos podían expresar la altimetría en estos mapas ya que no consta que utilizasen las curvas de nivel, pero de alguna forma dibujarían al menos los puntos más altos y los collados, con indicación de la diferencia entre ellos.
Establecido el trazado general, con señalamiento de los puntos de paso obligado en el terreno, mediante el empleo de dioptras y si es necesario con técnicas de visualización a grandes distancias, los jalones son el instrumento más versátil para completar el trazado en los tramos parciales formados.
Por tanto, no parece necesario recurrir a otras hipótesis de trazado rebuscadas y menos mediante el uso de instrumentos ineficaces para esta misión, como la groma, tantas veces visto así en los textos modernos, o mediante técnicas extrañas de aproximación sucesiva a la alineación definitiva[63], en los que habría que emplear varios días para el trabajo que eficazmente hecho no lleva más de unas horas.
Para el establecimiento de las pendientes de forma que sean las mínimas posibles, uniformes y siempre por debajo de las máximas recomendadas, existen varios instrumentos de suma sencillez que servirán perfectamente para esta misión. Del mismo modo que la groma no tiene ninguna utilidad en estas labores de trazado, el corobate no sirve para el replanteo de carreteras ya que traslada puntos en el plano horizontal y por tanto es inútil para trazar las pendientes habituales en las carreteras.
Son mucho más eficaces instrumentos más sencillos como la propia dioptra, o mucho más versátiles y manejables, como las niveletas de cuyo origen, probablemente por su propia sencillez de construcción y uso, nada se puede precisar, o el eclímetro, sencillo aparato medidor de pendientes, consistente en un limbo vertical graduado sujeto con la mano o sobre un pie vertical, en el que se instala una regla que puede proveerse de pínulas y que girando sobre el centro del limbo indica el valor de la pendiente.
Las niveletas se utilizan poniendo las dos primeras a unos seis metros de distancia una de otra y con el desnivel entre ellas que se pretenda arrastrar, estando referenciada la primera a la cota de partida. La tercera se va desplazando sobre el terreno indicando las cotas de trazado buscadas y esto se produce cuando su parte superior se rasantea mediante la visual lanzada desde las dos primeras. El sistema está basado en el principio de proyección de dos líneas horizontales que se sitúan en un mismo plano, no necesariamente horizontal pero siempre perpendicular al vertical.
El mismo principio de proyección de líneas situadas en un mismo plano, pero en este caso vertical, es el que se utiliza para el trazado en planta mediante jalones, antiguamente llamados banderolas. También se usan en grupos mínimos de tres de forma que aseguren el arrastre de la línea dentro del plano formado por los dos que marcan la dirección.
Vemos, por tanto, que el trazado de carreteras en planta y en alzado no requiere de instrumentos complicados una vez establecidos con precisión los puntos obligados de paso, a una distancia razonable entra ellos.
4.4.- Canalización de las aguas y técnicas de nivelación.
No podemos decir sin embargo lo mismo del trazado de canalizaciones de agua a lámina libre. Es bien conocida por los técnicos de hoy la extremada precisión necesaria en las pendientes requeridas para conducir el agua, de forma que garanticen el éxito de la misión. El agua no solo debe de llegar perfectamente a su destino si no que además no deben surgir problemas en el canal por motivo de la velocidad inadecuada del líquido durante su funcionamiento.
Evidentemente tiene que ser conocida la velocidad ideal del agua en función del tipo de revestimiento del canal y de la propia calidad del líquido, ya que las sedimentaciones y las concreciones pueden producir tantos problemas en la durabilidad del canal como las erosiones. Pero, una vez establecida esta velocidad óptima, mediante las técnicas que para ello existen, fijado el caudal requerido y la sección mojada, la pendiente del canal será aquella que garantice el cumplimiento de los parámetros buscados.
Este complicado equilibrio que los romanos supieron establecer magníficamente en la gran mayoría de los acueductos que aún hoy se pueden analizar, representaba una gran responsabilidad para los técnicos que intervienen en la construcción de estas obras, empezando por los topógrafos.
Debía conseguirse, no solo que la captación estuviera a la cota suficiente, labor harto difícil cuando esta se hallaba a decenas de kilómetros, si no que además la pendiente se ajustase en todo momento a lo establecido. Ningún error en el replanteo del alzado pasaba desapercibido, incluso cuando en primera instancia la canalización funcionase aparentemente bien, las consecuencias acababan siendo en ocasiones nefastas por los problemas a que hemos aludido inherentes a la alteración de la velocidad óptima del líquido en cada caso.
La nivelación debía ser, por tanto, absolutamente precisa.
La forma de trabajar con el corobate consistía en proyectar el plano horizontal de la cota de partida a lo largo del terreno que debía soportar la canalización. A continuación se disminuía o incrementaba la cota, dependiendo del sentido del replanteo respecto a la dirección del agua, en proporción exacta a la distancia recorrida por el canal.
Para ello, el estacionamiento del aparato, se realizaba en los puntos desde los que se visualizase más porción del terreno sobre el que se pretendía construir el canal. Previamente se había proyectado a esos puntos, con el propio corobate, la cota que se deseaba arrastrar.
Una cuestión de vital importancia es la consideración del error de nivelación ocasionado por la esfericidad de la tierra, asunto éste que sabemos que los romanos conocían a la perfección. Baste transcribir las palabras de Vitruvio[64]: Quizá algún lector de las obras de Arquímedes dirá que no se puede hacer una verdadera nivelación por medio del agua, porque Arquímedes sostiene que el agua no tiene una superficie horizontal, si no que es de forma esférica y tiene su centro en el centro de la tierra.
Pero los técnicos romanos conocían bien no solo los secretos del funcionamiento del agua sino también el valor del radio de la Tierra. Recordemos que Eratóstenes de Cirene ya, hacia el 200 a.C., calculó el radio de la tierra con excelente precisión.
Aún admitiendo un cierto error en el valor del radio de la Tierra considerado por los técnicos romanos, en el caso de admitir el apuntado por Ptolomeo, el cálculo del error de nivelación derivado de la esfericidad de la Tierra estaba perfectamente a su alcance, dada su extremada sencillez.
Incluso considerando un radio terrestre de un valor en torno al 80 % del real, la consideración del error de esfericidad de la Tierra no reporta variaciones que impidan el éxito de la nivelación final.
En visuales a grandes distancias, el error de nivelación por este concepto es sin duda el mayor de los que se producen, pero a la vez el mejor conocido. Por este motivo no nivelaban con el corobate a distancias superiores a 70-80 metros. Como hoy tampoco se hace, en nivelaciones itinerantes, esta es la distancia recomendada.
Esta cuestión ha sido siempre conocida por los técnicos de las conducciones hidráulicas y de hecho se menciona este extremo en más de una ocasión en los Veintiún Libros de los Ingenios y las Máquinas, atribuidos a Juan de Lastanosa, recomendándose en ellos distancias para nivelar no mayores de 50 pasos[65].
Pero en ocasiones la nivelación se hacía conveniente y hasta necesaria a grandes distancias. Entonces, sabiendo la importante influencia que este error tenía para este tipo de nivelaciones, los romanos utilizarían la corrección necesaria.
Este es el caso, por ejemplo, de proyecciones del nivel desde bases situadas en una ladera contraria a la de la canalización que, facilitando mucho la labor topográfica, estaba sin embargo más alejada de la distancia recomendable.
Estos supuestos son muy frecuentes cuando las nivelaciones han de cubrir largas longitudes en terrenos abruptos. Consideremos que las ventajas que encontramos en las nivelaciones a corta distancia, debido al bajo error producido por la esfericidad terrestre, las perdemos al vernos obligados a estacionar muchas veces el aparato para avanzar en el arrastre de la cota. Por mucha precisión que queramos emplear en las referencias colocadas, los cambio de estación son el factor que más induce a errores impredecibles en todas las labores topográficas y por supuesto en las de nivelación.
Este factor tan elemental que cualquier técnico con responsabilidades topográficas reales en al nivelación de las aguas debe saber perfectamente, por la cuenta que le tiene, es ignorado sistemáticamente en el grueso de los textos que modernamente se han ocupado de la topografía antigua, probablemente por estar realizados por autores sin experiencia en esta ciencia.
Algunos especialistas en este tema, se han preocupado por el error que el corobate tipo mesita, propuesto hoy mayoritariamente por la arqueología, puede ocasionar en las labores de nivelación. Se consideraron los errores por motivos de apreciación ocular, de refracción, por deformaciones del aparato, etc., ignorando el más importante de todos, el inherente a la esfericidad de la tierra. Aún así, se demostró que el replanteo del acueducto de Nîmes no pudo realizarse con ese supuesto corobate y al sumar el efecto de todos estos errores considerados se concluye[66]: las nivelaciones por el sistema ojo-corobate pueden ser afectadas de errores de apreciación de más de 3,9 cm en 50 m y por extensión, de cerca de 80 cm. en un kilómetro.
Deducción de la que extraemos dos ideas: primera, que el corobate tipo mesita es malo de solemnidad para la nivelación de las aguas, segunda que, como los errores no se acumulan en el mismo sentido incremental en los distintos estacionamientos, el autor considera seriamente la posibilidad de realizar nivelaciones a un kilómetro de distancia, ignorando, en efecto, el error ocasionado por la esfericidad de la tierra.
Sin embargo, la consideración del error de esfericidad, tiene aún otras aplicaciones muy interesantes que trataremos someramente aquí. Por ejemplo, la posibilidad de realizar nivelaciones de itinerario en tramos enormes entre uno y tres kilómetros, usando el sistema de faroles de señales luminosas en la noche y aplicando después el error de esfericidad correspondiente para fijar la cota correcta en esos puntos. Luego, puede utilizarse la referencia así colocada para la valoración de los errores de estacionamiento acumulados en la nivelación fina del itinerario, en distancias cortas, no mayores de 70 metros.
Otro supuesto muy interesante es la determinación del nivel exacto en los largos sifones que en tantas ocasiones se realizaron[67]. Nivelar con precisión itinerando a lo largo del valle, descendiendo notablemente para volver a ascender, puede ser una labor muy compleja, acompañada de otras muy costosas como la deforestación, etc. El número de estacionamientos puede ser tan grande que haga inasumible el error provocado por esta cuestión. Una sola visual nocturna, aplicando el error de esfericidad, nos dará la cota más precisa de entre las que se pueden obtener por traslación desde el otro extremo.
Para todas estas operaciones es necesario calcular la distancia horizontal a la que se halla el punto de la cota trasladada. Para ello, es necesario poner en juego otras operaciones de topografía que determinen esta distancia. Por ejemplo la sencilla medición, desde una base auxiliar con estaciones en sus extremos, de los ángulos que forman las visuales de la base con el punto lejano, forzando a que uno de estos ángulos sea el recto.
Los romanos, en su labor de replanteo de la conducción del agua, darían una última nivelación de precisión al canal, la que sirve para el refino final. Fuera el canal excavado sobre el terreno, en el interior de una galería, instalado sobre arquerías o sobre muros de sostenimiento, esta última nivelación se realizaba con el corobate siguiendo el itinerario sobre la propia caja del canal ya construido, en el sentido de avance, desde donde es muy ventajoso trabajar con el aparato y realizar comprobaciones iterativas del desnivel acumulado en los diversos tramos, dejando entonces referencias permanentes sobre el propio canal.
Hay que suponer que, dadas las enormes distancias en las que se mantenía la pendiente constante y previamente determinada para cada tramo, se reservaban en el perfil longitudinal pequeñas caídas de nivel de resguardo para posibilitar correcciones en esta última fase de nivelación. Si no fuese necesario el empleo de estos resguardos, estos pequeñísimos saltos se absorbían en los pozos de registro, creándose en ellos un pequeño salto hidráulico.
Estos pozos, reservados en principio a facilitar la construcción y el mantenimiento, servían finalmente para varias funciones simultáneamente. Al producirse en ellos un ensanchamiento de la sección, la velocidad disminuía de todas formas para recuperarse de nuevo a la salida. Precisamente disponían en ocasiones de areneros para recoger la sedimentación que se producía por este motivo. Además de la función hidráulica evidente, constituían la mejor vía de conexión del acueducto con el exterior, marcando en superficie la situación de la canalización subterránea.
4.5.- Perforación de galerías.
La construcción de túneles era muy frecuente en las obras públicas romanas. Probablemente la que más dificultad revestía era la de las galerías destinadas a la conducción de agua, que además eran numerosísimas. Tengamos en cuenta que habitualmente en un acueducto la conducción subterránea constituía el mayor porcentaje de la conducción, con mucha diferencia sobre los tramos construidos en superficie o sobre arquerías.
La estrechez y las reducidas dimensiones de la galería dificultaban mucho su construcción pero también su replanteo tanto en planta como en alzado.
El trazado de estas galerías dependía en muchos casos del terreno que tenían encima. Trazar la galería como proyección de la planta establecida en superficie era lo más habitual. La galería podía ser recta o ir describiendo quiebros, normalmente en los pozos de registro, que siempre se promediaban a cierta distancia.
El replanteo de la galería se trasladaba desde la superficie al canal a través de los pozos. Estos eran construidos siempre antes que la canalización, fijando en su fondo la cota de la canalización y la dirección que debía llevar mediante la ayuda de hilos con plomadas.
Una vez trasladados estos datos al interior de la galería, esta se podía empezar a excavar desde cualquiera de los pozos y en cualquiera de las direcciones. Se fijaba en el techo de la galería un hilo bien tensado con clavos, de él se colgaban plomadas y mediante ayuda de iluminación artificial podía mantenerse la dirección perfectamente.
Mediante el nivel de agua (libra aquaria) puede llevarse la cota, a partir de cualquiera de los pozos, a través de la galería y en cualquiera de las direcciones, aplicando el incremento de cota necesaria por unidad de longitud según la pendiente requerida. Pueden establecerse para ello marcas en el techo o en la pared una vez refinada a su perfil definitivo.
El nivel de agua trabaja bien en pequeñas longitudes de unos diez o veinte metros, ya que en mayores distancias y con los materiales utilizados en la época (intestino de animales) pueden producirse roturas, fugas u otros problemas. Por tanto, es necesario arrastrar la cota en pequeños tramos.
Excavada una importante longitud de galería, antes del refino definitivo del suelo del canal, puede introducirse un corobate en el interior y realizar los estacionamientos necesarios para marcar el nivel con mayor precisión, ayudándose de iluminación artificial para ver la referencia horizontal móvil en cada punto a nivelar dentro de la galería.
Uno de los retos, en la topografía de las galerías de los acueductos, era el replanteo de la perforación simultánea por las dos bocas, en montañas muy inaccesibles en las que no existía posibilidad de guiarse mediante pozos intermedios que hubieran requerido de enorme altura o sencillamente no eran necesarios por la poca distancia total de la galería.
Existen muchos casos de esta índole en los que las huellas de excavación delatan el comienzo por las dos bocas y el encuentro de la obra en el tramo central[68].
Adam[69] propuso un método en el que, utilizando un corobate y una groma que debían estacionarse muchas veces, pretendía arrastrarse la dirección y el nivel deseados hasta la otra boca. Este método requiere de tantos estacionamientos de ambos aparatos, normalmente muchos más que los idealizados en la pequeña colina que dibuja, con tan enorme acumulación de errores por este motivo, que llegar a la boca contraria con la dirección y la cota deseada realmente hubiera sido prodigioso. Eso, sin contar el esfuerzo de los múltiples apeos del corobate tipo mesita que utiliza, para los que en determinadas laderas se necesitaría de verdaderos andamiajes, una labor de deforestación de las laderas para posibilitar la visualización, etc.
Pero, ciertamente, ninguno de los grandes acueductos de la antigüedad hubiera sido realidad mediante el empleo de esas técnicas. Los técnicos de Roma poseían unos excelentes conocimientos topográficos y matemáticos, así como instrumentos suficientemente potentes como para llevar a cabo estas labores con éxito. La certificación de estos extremos puede encontrarse en la comprobación geométrica de sus propias obras.
La trigonometría era probablemente mejor dominada por los romanos que lo que se supone, de forma que existirían pocos problemas que no supieran resolver. Como suele ocurrir en topografía, existe más de un método para llegar a la misma solución, no obstante, hemos preferido plantear una solución a la perforación del túnel empleando un procedimiento en el que solo es necesario el empleo de una trigonometría elemental y con el menor número posible de estacionamientos y operaciones. Uno de estos ejemplos puede examinarse en el gráfico siguiente.
Este tipo de operaciones de replanteo, en obras cuya correcta ejecución reviste tan gran responsabilidad, es aconsejable realizarlas más de una vez, usando bases distintas de apoyo en cada ocasión y tantas veces como sean necesarias mientras los resultados difieran en algo. Las observaciones realizadas en los acueductos conservados, apuntan a que durante el transcurso de la obra de perforación las labores de replanteo dentro de la galería se reiteraban periódicamente con el fin de prevenir posibles desviaciones. Cuando estas desviaciones se hacían inevitables por error o por la naturaleza geológica de los materiales encontrados[70], se efectuaban de esta forma las correcciones necesarias.
Otras facetas más sencillas del replanteo subterráneo podían encontrarse en los túneles de carretera, de los que hemos conocido varios, que normalmente eran más cortos que los de los acueductos y desde luego mucho más espaciosos, lo que resolvía mucho los problemas.
Por último, tenemos el caso de las galerías mineras. Normalmente estas galerías iban persiguiendo las vetas de los minerales que se extraían y, salvo que fueran destinadas a la inundación posterior para la canalización de las aguas que debían arruinar la montaña, no requerían grandes labores de replanteo.
La topografía de la antigüedad sigue siendo una de las disciplinas más desconocidas en nuestro tiempo. En ello acompaña a la propia Ingeniería del viejo Imperio, ciencia en la que se ignora tal vez más de lo que se sabe y en la que quedan por descubrir aspectos fundamentales. Estas incógnitas pueden y deben afrontarse a partir del propio análisis de las obras de ingeniería romana y, en esta labor, tendrán que intervenir los profesionales y técnicos que posean los conocimientos y formación adecuada para desentrañarlas.
Es necesario partir de la base de que no es posible la realización de muchas de estas obras con métodos rudimentarios o sin conocimientos bastantes en ingeniería hidráulica, o de caminos según el caso. Que estas obras no son viables sin la aplicación a gran escala de una avanzada ciencia topográfica, que es también necesario estudiar la planificación, la metodología técnica empleada de forma aceptable y razonable, los procedimientos y rendimientos mínimos en la ejecución y en definitiva cualquier otro factor técnico que condicione la obra.
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- VITRUVIO POLIÓN, Marco. 1787. Los diez libros de Architectura. En Madrid: En la Imprenta Real, 1787.
[1] ESTEBAN PIÑERO, M. 2003. Las Academias Técnicas en la España del siglo XVI. Quaderns d'Història de l'Enginyeria Volum V 2002-2003
[3] Arquímedes, en el Arenario, nos dice: "Aristarco de Samos publicó un libro basado en ciertas hipótesis y en el que parece que el universo es muchas veces mayor que el que ahora recibe ese nombre. Sus hipótesis son que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la tierra gira alrededor del Sol siguiendo la circunferencia de un círculo con el Sol en medio de la órbita...".
Y por Plutarco sabemos que Cleantes (hacia el 260 a.C.) denunció a Aristarco por impío, al haberse atrevido a negar que la Tierra era el centro del universo.
[7] PÁEZ CANO, R. 2003: La esfera. La tierra plana medieval como invención del siglo XIX. Tesis de Maestría en Comunicación, ITESO. Guadalajara, México. 150 pág. Rubén Páez Kano, es investigador del Instituto Tecnológico y de Estudios superiores de Occidente (ITESO), en Méjico.
[10] HERON. Autómatas.
[11] Basada en la obra de Athanasius Kircher, jesuita alemán, Pantometrum Kircherianum (1631), aparecen en 1690 los grabados del libro de SCHOTTO, Gaspare: Pantometrum Kircherianum, hoc est instrumentum Geometricum novum a Celeberrimo viro P. Athanasio Kirchero. Herbipoli, 1690.
[15] ADAM, J. P. 1989, pp. 9 y ss. 2ª ed. esp. 2002: La Construcción romana. Materiales y técnicas.
[16] RESINA SOLA, P. 1990. Función y técnica de la agrimensura en Roma (II). Instrumental técnico y sistema de medidas agrarias. Topografía y Cartografía. Colegio de Ingenieros Técnicos en Topografía.
[17] Tal es el caso de las lápidas sepulcrales de Aebutius Faustus, agrimensor de Ivrea (Valle de Aosta), y la del pompeyano Nicostratus.
[20] RESINA SOLA, P. 1998, p. 380. Algunas precisiones sobre los campamentos romanos. Florentia Liberritana. Revista de estudios de Antigüedad Clásica.
RESINA SOLA, P. 1990, p. 12. Función y técnica de la agrimensura en Roma (II). ob. cit.
[23] RESINA SOLA, P. 2003, p. 306: El Agrimensor en Roma. En Grecia y Roma: Sus gentes y sus cosas. GARCÍA GONZÁLEZ, J.M., POCIÑA PÉREZ, A. Granada. 2003.
[27] GREWE, K. 1985: Planung und Trassierung Römanischer Wasserleitungen dans Schiriftenreihe der Frontinus-Gesellschaft. Supplémentband I. Wiesbaden.
[28] MARCHAND, G., PETITOT, H. Y VIDAL, L. 2000: L'équerre d'arpenteur de l'Orme à Ennemain (Somme). Autour de la Dioptre d'Héron d'Alexandrie. Centre Jean-Palerne. Université de Saint-Étienne.
[29] DOMÍNGUEZ GARCÍA-TEJERO, F. 1958, p 68: Topografía General y Agrícola. Salvat Editores. Madrid.
[30] El polo norte y el polo sur verdaderos son referencias a los puntos donde el eje corta a la tierra. Sin embargo, este eje de rotación no es fijo en la dirección. Sufre una precesión en un período de 25.800 años. El eje de rotación de la tierra apunta hoy a Polaris, la estrella polar. En el año 3.000 a.C., apuntó a Thuban, en el año 14.000, apuntará a Vega y en el año 22.800, apuntará de nuevo a Thuban.
[36] MARTIN, Jean [Traducteur] et GOUJON, Jean [Dessinateur]. 1547: Architecture ou Art de bien bastir, de Marc Vitruve Pollion autheur romain antique, mis de latin en Francoys, par Ian Martin Secretaire de Monseigneur le Cardinal de Lenoncourt. Création / Publication Paris : pour la veuve et les héritiers de Jean Barbé et pour Jacques Gazeau.
[37] URREA, Miguel de (traductor). 1582: Marco Vitruvio Pollión, De Architectura. Alcalá de Henares: Juan Gracián, 1582.
[38] GARCÍA TAPIA, N. 1997: Los veintiún libros de los ingenios y máquinas de Juanelo atribuidos a Pedro Juan de Lastanosa. Gobierno de Aragón, Zaragoza.
[39] PERRAULT, Claude (traducteur) 1675: VITRUVE. Les dix livres de l'architecture. Diverses rééditions, par exemple Les Libraires Associés, Paris 1965.
[40] VITRUVIO POLIÓN, Marco. Los diez libros de Architectura. En Madrid: En la Imprenta Real, 1787.
CHOISY, A. 1899: Histoire de l'architecture. Diverses rééditions, par exemple Vincent Fréal et Cie 1964.
KRETZSCHMER, F. 1966: La technique romaine. Documents graphiques réunis et commentés, Bruxelles.
[42] ADAM, J. P. 1989, pp. 9 y ss. 2ª ed. esp. 2002: La Construcción romana. Materiales y técnicas. ob. cit.
[43] A la vez que altamente impreciso ya que el error transmitido es directamente proporcional al cuadrado de la distancia y cualquier error de partida en la nivelación de un corobate de metro y medio de longitud es dieciséis veces superior al de uno de seis metros de longitud.
[44] Traducción de C. Andreu en la edición M. L. Vitruvius De Architectura (prólogo de Eugenio Montes), Madrid, 1973, pp. 177-178, revisada por Alicia Canto, de la Universidad Autónoma de Madrid.
[45] Ancones puede traducirse como extremidades, brazos, o ménsulas, pero difícilmente como patas, como lo hicieron los traductores que originaron el despropósito.
[46] Obsérvese el perfecto conocimiento de la forma de la tierra y del funcionamiento del agua que se poseía en la antigüedad.
[49] GARCÍA TAPIA, N. 1997: Los veintiún libros. ob. cit.
[52] FERNÁNDEZ DE MEDRANO, S. 1700: El architecto perfecto en el arte militar. Bruselas.
[54] SCHÖNE, H. 1903: Herons von Alexandria Vermessungslehre und Dioptra. Leipzig.
[55] ADAM, J. P. 1989, pp. 9 y ss. 2ª ed. esp. 2002: La Construcción romana. Materiales y técnicas. ob. cit.
[57] FAVORY, F. 1997: Via Domitia el limitationn romaines en Languedoc oriental : la centuriation. Sextantio-Ambrussum. Voies romaines du Rhone à l'Ebre : Via Domitia et Via Augusta.
[58] Frontino no era un técnico pero si un alto funcionario muy relevante al que se le encomendaron a lo largo de su vida diversas funciones. Tenía la costumbre de escribir sobre las labores que desarrollaba y de esta forma nos ha aportado datos muy valiosos sobre técnica, derecho, administración, medidas etc.
[60] RESINA SOLA, P. 1990, p. 24: Función y técnica de la agrimensura en Roma (II). ob. cit.
[61] Véase sobre los límites de uso de la escuadra de agrimensor, DOMÍNGUEZ GARCÍA-TEJERO, F. 1958, p 68: Topografía General y Agrícola. ob. cit
[62] MORENO GALLO, I. 2004: Vías Romanas. Ingeniería y técnica constructiva. Ministerio de Fomento. Madrid.
[65]Los Veintiún Libros de los Ingenios y Máquinas. Libro quarto, p. 57.
[66] LARNAC, C. 2000: Les limites du système «oil-chorobate » pour l'implantation de l'aqueduc de Nîmes. Autour de la Dioptre d'Héron d'Alexandrie. Centre Jean-Palerne. Université de Saint-Étienne.
[67] En los sifones muy largos, aunque el técnico romano pudiera saber con la mayor precisión la cota idéntica en los dos extremos, realmente dejaban intencionadamente una caída del agua muy notable, de hasta varios metros, entre ambos extremos ya que las pérdidas de carga eran muy importantes y a lo largo de la vida del sifón las fugas las incrementaban aún más.
[68] Son famosos el túnel de la isla de Samos (Grecia), de Briord (Francia) o el de Bologna (Italia), en el que se detectaron problemas serios en el encuentro de las galerías iniciadas por ambas bocas.
[69] ADAM, J. P. 1989, pp. 9 y ss. 2ª ed. esp. 2002: La Construcción romana. Materiales y técnicas. ob. cit.
[70] Asunto éste poco o nada estudiado, que podría aportar pistas importantes sobre la causa del desvío en algunas galerías.
Date: 04.11.2018, 11:35 / Views: 73463
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