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Timestamp: 2018-10-24 00:51:50+00:00

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1. Medición e Incertidumbre
Taller 2 Mecanica Kevin Andres Macias Ocampo, Jorge Enrique Giraldo Quintana
Reporte uso de instrumentos y propagación de incertezas
teoria_errores (1)
Laboratorio1 de fisica.docx
2 Toma de Decisiones Efectiva
Reportaje Mch Balances
Examen Agentes Físicos Tema 1 Ambiente Térmico 2016_2017_PARC
17_18-IETC-2PARC
Examen Agentes Físicos Tema 1 Ambiente Térmico 2016_2017_PARC.pdf
AN34 X-Ray Critical Abosrption and Emission Energies (1)
Refrigeración Por Compresión de Vapor_V1
Refrigeración Por Compresión de Vapor_Red
IngTermicaULL
C+0 Cartas Psicrometria
Horario Grado Diseno 13-14-Segundo
Flow of Fluids Through Valve Fittings and Pipes
Diagrama Psicrométrico Carrier psy_02
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA
Departamento de Física Aplicada I Escuela Politécnica Superior ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Índice
1. Introducción. ................................................................................................................................................ 2 2. Errores en las mediciones físicas. ................................................................................................................. 3 2.1. Clasificación de los tipos de error. ......................................................................................................... 3 2.2. Incertidumbre de medida. ...................................................................................................................... 4 3. Evaluación de las incertidumbres de medida. ............................................................................................... 6 4. Incertidumbre expandida. ............................................................................................................................. 9 5. Resolución de los instrumentos. ................................................................................................................. 10 6. Interpolación en tablas ................................................................................................................................ 11 6.1. Tablas de simple entrada. .................................................................................................................... 12 6.2. Tablas de doble entrada. ...................................................................................................................... 12 7. Relaciones lineales. Ajuste de una nube de puntos por el método de los mínimos cuadrados. ................... 13 8. Presentación de resultados. Técnicas de redondeo...................................................................................... 15 9. Representaciones gráficas........................................................................................................................... 17 Bibliografía .................................................................................................................................................... 19
la definición de un mensurando incluye ciertas condiciones y estados físicos. el voltaje con un voltímetro. mediante la comparación con un patrón adecuado o la utilización de un aparato calibrado). esto es. el resultado de una medida sólo tiene sentido si. etc. Por ejemplo. dicho de otro modo. En la práctica. la determinación (medida indirecta) del volumen V de un cilindro a partir de la medida (directa) de su diámetro D y de su altura H aplicando la fórmula V = D2H/4. por tanto. además del número obtenido y su unidad correspondiente. amperios. dependerá la calidad (exactitud e incertidumbre) del resultado de medida. Frecuentemente. es pues crucial entender que todas las medidas de magnitudes físicas están sometidas siempre a incertidumbres. como la Física. Todas las ciencias experimentales. el tiempo con un cronómetro. El objetivo de una medición es.). temperatura. cuerpo o sustancia. Para tratar los datos experimentales obtenidos en el laboratorio. Habitualmente. Por supuesto. va acompañado de otro número. determinar el valor del mensurando. una indicación cuantitativa de la calidad del mismo o. presión de vapor a 20 ºC). Por extensión. la medida de cualquier magnitud se expresa mediante un número acompañado además de la unidad en que se ha medido y que presta su significación al número. Para ello es necesario realizar las siguientes definiciones. “medir una magnitud” es compararla cuantitativamente con otra de su misma naturaleza que se toma como unidad patrón. etc. Las medidas que se realizan en un laboratorio pueden ser de dos tipos: Medidas directas: El valor de la magnitud que se quiere conocer se mide directamente con el instrumento de medida (esto es. Estrictamente.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 1. metros. intensidad I. Medidas indirectas: El valor de la magnitud deseada se obtiene como resultado del cálculo realizado a partir de otras magnitudes relacionadas con la magnitud a determinar y de ciertas constantes. lo ideal es conseguir hacer la incertidumbre lo más pequeña posible. que puede expresarse cuantitativamente mediante un número y una referencia (como tiempo t. dicha referencia suele ser una unidad de medida (segundos. la incertidumbre asociada. ya que no es posible medir algo de forma totalmente exacta. Pero el proceso de medida está sujeto a una serie de limitaciones que se traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre en el número obtenido. Magnitud que se desea medir. Mensurando. Consecuentemente. masa m. etc). el valor de la magnitud particular bajo medición. de la confianza que se tiene en él. (p. como tiempo. íntimamente relacionadas entre sí: Magnitud: Propiedad de un fenómeno. se basan en observaciones cuantitativas que llamamos medidas. entre otros factores. la palabra magnitud se usa indistintamente de forma habitual para referirse al mensurando. esto es. presión. Ejemplos de medidas directas son: la medida de una longitud con un calibre. ej. kilogramo. etc. longitud L. que son el resultado de los experimentos y se describen con números. De la buena definición del mensurando. 2 . Medición o medida: Proceso que consiste en obtener experimentalmente uno o varios valores que pueden atribuirse razonablemente a una magnitud. Introducción.
al no ser conocido. mientras que se usan de manera indistinta en el lenguaje cotidiano. si dicho efecto puede cuantificarse y. o deducirse de una tabla. la incertidumbre debe aparecer siempre claramente indicada y debe ser manejada adecuadamente. Pueden ser causados por errores de calibración (o errores de cero) de los aparatos de medida. La distinción se aprecia claramente si atendemos a los posibles tipos o fuentes de errores. con la exactitud o proximidad al valor verdadero del mismo. Las palabras precisión y exactitud tienen significados completamente distintos en la teoría de errores. a) Errores sistemáticos. Los errores se clasifican tradicionalmente en sistemáticos y accidentales. técnicas de medida inadecuadas. uso de fórmulas o modelos aproximados. 2. si fuese conocido (figura 1). Son errores que tienen lugar siempre en el mismo sentido y que se repiten constantemente en el transcurso de un experimento. Todo esto da lugar a que la repetición reiterada de la medición realizada por un 3 . etc. puede aplicarse una corrección o un factor de corrección para compensarlo. surgen dos cuestiones: ¿Cómo de fiable es el resultado? ¿Cómo de cerca está del valor real. multiplicativa. Cada vez que se lleva a cabo un experimento o se mide una cantidad con el instrumento adecuado. Ambos tipos de error contribuyen a la incertidumbre de medida. El error de medida sería resultado de una medición menos un valor Figura 1. a la proximidad al valor verdadero.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA pero ésta siempre existirá. b) Errores accidentales o aleatorios. 2. los errores sistemáticos afectan a la exactitud de la medida. si es suficientemente significativo frente a la exactitud requerida en la medición. Son debidos a diversas causas difíciles o imposibles de controlar y alteran las medidas realizadas en diferente cuantía y sentido cada vez. errores de apreciación debidos a las limitaciones de nuestros sentidos. es decir. Si el error sistemático es debido a un efecto identificado. Un minucioso análisis del instrumento y del procedimiento de medida permite eliminar en lo posible la presencia de estos errores. aunque debe quedar bien claro que son distintos de ésta. Pueden ser causados por fluctuaciones en las condiciones ambientales durante el experimento. etc. errores de precisión impuestos por la sensibilidad del aparato de medida. Para poder obtener conclusiones válidas a partir de las medidas. etc. tendencias erróneas en el observador. condiciones experimentales no apropiadas (presión. Errores en las mediciones físicas.1.) que afectan a los instrumentos de medida. Esta corrección puede ser aditiva. ya que hacen que todos los resultados sean erróneos en el mismo sentido (demasiado altos o demasiado bajos). temperatura. Por lo tanto. se toma en su lugar un valor de referencia. Clasificación de los tipos de error. verdadero del mensurando que. cualquiera que sea éste? La primera cuestión está relacionada con la precisión o reproducibilidad del experimento y la segunda.
por tanto. y suele expresarse en tantos por ciento (εr ×100). Su valor no puede ser estimado a partir de una medida aislada. etc. tiene las mismas dimensiones físicas y. El error absoluto puede ser positivo o negativo. siendo necesaria la realización de una serie de medidas que permita. dicho de otro modo. El resultado R de la medida es sólo una aproximación o estimación del valor del mensurando. Incertidumbre de medida.. A la hora de expresar el resultado de una medición de una magnitud física. ni con otros valores de referencia. El error relativo da una mejor idea de la dimensión del error absoluto. el resultado de una medida se indica de la siguiente forma: R±U (3) con sus unidades correspondientes. exactos pero imprecisos. al ser una comparación con el valor M de la magnitud medida. diferentes entre sí. Los errores accidentales afectan a la precisión o reproducibilidad de un experimento. las mismas unidades que la magnitud que se mide. Sin dicha indicación. como veremos. las mediciones no pueden compararse entre sí. r M' M M M a (2) En consecuencia. mediante un tratamiento estadístico de los datos. Ambos tipos de errores pueden darse simultáneamente y de forma independiente. dependiendo de los tipos de errores implicados. 4 . Se suele representar como εa. y por lo tanto sólo tiene sentido si va acompañado de su incertidumbre U. no tiene dimensiones. Por ejemplo. El error puede expresarse de dos formas diferentes que no deben ser confundidas: Error absoluto (εa): Es el valor de la diferencia entre el valor de la medida obtenido experimentalmente ( M ') y el verdadero valor de ésta ( M ): M ' M . 2. donde R es el resultado más probable y U es la incertidumbre de medida asociada al mismo. De esta manera. Error relativo (εr): Es el cociente entre el error absoluto εa y el verdadero valor de la magnitud medida. de forma que se pueden tener resultados precisos aunque inexactos. es obligado dar alguna indicación cuantitativa de la calidad del mismo o. El error debido a la superposición de todos estos efectos sólo puede ser detectado si el instrumento de medida es suficientemente sensible. de la confianza que se tiene en él. nos permitirán determinar el valor de dicha magnitud de forma menos precisa que si los valores obtenidos hubiesen sido más parecidos entre sí. la obtención de varias medidas de la misma magnitud. en la práctica se usa un valor de referencia. de manera que: a M' M (1) Dado que el valor verdadero no es conocido. determinar una cota máxima de error.2.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS mismo observador no siempre lleve al mismo resultado.
El resultado de una medición tras la corrección de los efectos sistemáticos identificados sigue siendo solamente una estimación del valor del mensurando. y algunas de ellas. una desviación típica (o un múltiplo de ella). d) Conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones ambientales sobre la medición. o medición imperfecta de dichas condiciones ambientales. i) j) Aproximaciones e hipótesis establecidas en el método y en el procedimiento de medida. en general. varias componentes. Estas fuentes no son necesariamente independientes. tales como las componentes asociadas a las correcciones y a los patrones de referencia. En la práctica existen numerosas fuentes posibles de incertidumbre.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA La incertidumbre de medida se define como el parámetro no negativo asociado al resultado de una medición que caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos a un mensurando. f) Resolución finita del instrumento de medida o umbral de discriminación. El concepto de incertidumbre se sitúa pues más allá del concepto de error. un efecto sistemático no identificado no puede ser tenido en cuenta en la evaluación de la incertidumbre del resultado de una medición. La incertidumbre de medida comprende. la muestra analizada puede no representar al mensurando definido. Se entiende que el resultado de la medición es la mejor estimación del valor del mensurando. y que todas las componentes de la incertidumbre. e) Lectura sesgada de instrumentos analógicos. h) Valores inexactos de constantes y otros parámetros tomados de fuentes externas y utilizados en el algoritmo de tratamiento de los datos. entre ellas: a) Definición incompleta del mensurando. Por supuesto. comprendidos los que provienen de efectos sistemáticos. c) Muestra no representativa del mensurando. de a) a i). b) Realización imperfecta de la definición del mensurando. Algunas pueden ser evaluadas a partir del estudio estadístico de los resultados de series de medidas. pueden contribuir en j). La incertidumbre refleja pues la imposibilidad de conocer exactamente el valor del mensurando. en condiciones aparentemente idénticas. aunque contribuirá a su error. dependiendo de cómo haya sido obtenida y del 5 . por parte del técnico. g) Valores inexactos de los patrones de medida o de los materiales de referencia. El parámetro puede ser. contribuyen a la dispersión. Variaciones en las observaciones repetidas del mensurando. La incertidumbre puede expresarse de distintas formas. dada la incertidumbre debida a los efectos aleatorios y a la corrección imperfecta del resultado por efectos sistemáticos. por ejemplo.
. etc.. típica combinada (uc(x)/x) y expandida (U(x)/x). y se pueden distinguir dos tipos: Evaluación tipo A: cuando se han obtenido una serie de observaciones repetidas e independientes de una magnitud que varía al azar. utilizando las estimaciones de entrada x1. Incertidumbre expandida U(x): magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medición..ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS intervalo de confianza que se le quiere asignar. igual a la raíz cuadrada positiva de una suma de términos. u(x): incertidumbre del resultado de una medición. En este caso se toma como incertidumbre típica la desviación típica experimental de la medida. La función f debe contener todas las Xi de las que éste depende según Y magnitudes. Incertidumbre típica combinada. Típicamente.. y en el que se espera encontrar una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser atribuidos razonablemente al mensurando. - El proceso general de evaluación de las incertidumbres se puede resumir en los siguientes pasos: 1) Se expresa matemáticamente la relación existente entre el mensurando Y y las magnitudes de entrada f X 1 . esto las magnitudes X1..). X N . 3. XN. tal que y va a depender de cómo se han obtenido las magnitudes de entrada Xi: 6 . expresada en forma de desviación típica. y se basa en la probabilidad o nivel de confianza requerido para el intervalo. X 2 . . Evaluación de las incertidumbres de medida. Se obtiene multiplicando la incertidumbre típica combinada por un factor de cobertura k: U(x) k uc(x). . x2 . x2.. 2) Se obtiene una estimación y del mensurando Y. - - A partir de todas ellas se pueden definir las correspondientes incertidumbres relativas típica (u(x)/x). . podemos tener: Incertidumbre típica. incluyendo todas las correcciones y factores de corrección que pueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición. Si x es una estimación de la magnitud X. en las mismas condiciones de medida.. certificados.. cuando el resultado se obtiene a partir de los valores de otras magnitudes. El método de evaluación de las incertidumbres depende de cómo haya sido estimado el valor de la magnitud. Evaluación tipo B: cuando la estimación de la magnitud proviene de otros medios... Como se mencionó anteriormente. . las incertidumbres se determinan mediante métodos distintos al análisis estadístico (medidas previas. X2. xN . especificaciones del fabricante. uc(x): incertidumbre típica del resultado de una medición.. ponderadas en función de la variación del resultado de medida con la variación de dichas magnitudes. la incertidumbre se evalúa mediante el análisis estadístico de series de observaciones. xN de f x1 .. k toma valores entre 2 y 3. siendo éstos las varianzas o covarianzas de esas otras magnitudes.
mientras que como posible aproximación sencilla a la incertidumbre. el procedimiento riguroso implica aplicar la siguiente corrección: n u xi w Xi k 1 X i .n. la desviación típica experimental de la media (n 10): n u xi Xi k 1 X i . se toma como estimación de entrada xi la media aritmética X i : xi Xi = 1 n X i . mediante los resultados de medidas anteriores similares).1.k n k=1 (4) y como incertidumbre típica u(xi) de dicha estimación. la ecuación anterior puede proporcionar un valor subestimado de la contribución de la incertidumbre.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA a. …. como estimación de entrada xi seguirá tomándose la media aritmética Xi dada por la ecuación (4). Xi. máximo 6 xi .k 2 n(n 1) (7) donde w toma los siguientes valores según el número de medidas efectuado y el nivel de confianza requerido1: 1 Estos valores están basados en los que toma la distribución t de Student.k 2 n(n 1) (5) Si el número de medidas es inferior a 10 (n<10). que será la que usemos en el laboratorio.2. Xi. Si esto no fuese posible o se considerase inaceptable. que tiende a la distribución normal cuando n . 7 . Evaluación tipo A: para magnitudes de entrada Xi estimadas a partir de n observaciones repetidas e independientes Xi. mínimo (6) No obstante. En este caso conviene estimar el valor de u(xi) basándose en la experiencia (por ejemplo. se tomará la siguiente: u xi xi .
lo que permite asociarle un determinado tipo de distribución (normal.1 1. datos suministrados por certificados de calibración u otros tipos de certificados.6 1.3 1.1 1 w (k = 2) 7.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Número de medidas. 2 3 4 5 6 7 8 9 w (k = 1) 1.5 1.2 1.8 1.0 2.0 2.2 w (k = 3) 78. tanto de tipo A como de tipo B.8 1. rectangular. etc. Evaluación tipo B: para una estimación xi de una magnitud de entrada Xi no obtenida a partir de observaciones repetidas. Esta información puede provenir de:   resultados de mediciones anteriores.4 1.6 6.1 1. a continuación se obtiene la incertidumbre típica combinada uc(y) como 8 . experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos utilizados.3 1.    Si una magnitud tiene contribuciones a la incertidumbre tanto de tipo A ( u A xi ) como de tipo B (uB xi ) .2 1. la incertidumbre típica u(xi) se establecen mediante decisión científica basada en toda la información disponible acerca de la variabilidad posible de Xi.7 1.1 1. su incertidumbre será: u xi u A xi 2 u B xi 2 (8) 3) Una vez evaluadas las incertidumbres típicas. incertidumbres asignadas a valores de referencia procedentes de libros y manuales.4 b.). especificaciones del fabricante.3 1.3 1.4 3.2 1.
para evitar la confusión con el intervalo de confianza que proporciona la incertidumbre expandida U. El grado de correlación entre xi y xj viene dado por el coeficiente de correlación: r xi . x j donde r xi . Aunque uc(y) puede ser utilizada universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida. se indica el resultado de la medición en la forma: Y y uc (12) indicando las unidades de y y de uc. un intervalo en el interior del cual pueda esperarse encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA 2 2 2 2 uc y f u x1 x1 f u x2 x2 f u xN xN N i 1 f xi u 2 xi (9) La incertidumbre típica combinada uc y es una desviación típica estimada y caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando Y. Por ejemplo2: mS = (1. x j u xi u x j 1. xj) = u(xj. o en los campos de la salud o la seguridad.035) kg. frecuentemente es necesario. lo cual implica el cálculo de correlaciones y de términos de covarianza: uc y N i 1 f xi 2 u 2 xi 2 N 1 N i 1 j i 1 f f u xi . dar una medida de la incertidumbre que defina. (11) 4) Finalmente. industriales o reglamentarias. alrededor del resultado de medida.273 ± 0. 9 . elaboración de patrones y certificados. xi) es la covarianza estimada asociada a xi y xj. Esto es válido si las magnitudes Xi son independientes. habría que realizar el cálculo teniendo en cuenta su dependencia. Incertidumbre expandida. xi y 1 r xi .273(35) kg. en ciertas aplicaciones comerciales. x j r x j . x j u xi . etc. 4. Esto es especialmente importante en el caso de laboratorios de calibración. 2 Es cada vez más frecuente encontrar el resultado expresando uc entre paréntesis: mS = 1. y u(xi. x j xi x j (10) donde xi y xj son las estimaciones de Xi y Xj. Si no lo fuesen.
En el caso se usar la incertidumbre expandida. se toma como resolución la menor unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones). 5. basado en una escala graduada. la menor división de escala. se tomaría como resolución 1 V. Es necesario indicar asimismo el valor de k utilizado para obtener U y el nivel de confianza asociado al intervalo y U (p. V Por ejemplo.7%). 10 . el resultado de la medición se expresa en la forma: Y y U (14) indicando las unidades de y y de U. habitualmente entre 2 y 3.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Este intervalo lo proporciona la incertidumbre expandida U. rectangular. del 95. Resolución de los instrumentos. con un factor de cobertura de cobertura de 3.7%. m = (100. éste sería el de la marca más cercana a la posición de la aguja. para k = 2.). que se obtiene multiplicando la incertidumbre típica combinada uc y por un factor de cobertura k. y U en torno al resultado de la medida: U y k uc y (13) Para ello es necesario haber obtenido un número suficientemente grande de medidas del valor de la magnitud que se quiere estimar.78) g. es decir. que representa un nivel de confianza del 99. Si la medida se ha hecho con un aparato analógico. del 99. o que se pueda hacer alguna suposición sobre la distribución de estos valores (normal. de manera que k = 1 proporciona un intervalo correspondiente a un nivel de confianza del 68. ej. Se denomina resolución a la mínima variación de la magnitud medida que da lugar a una variación perceptible de la indicación correspondiente. y para k = 3. elegido en función del nivel de confianza requerido para un intervalo y U . en el voltímetro de la figura. Muy frecuentemente puede suponerse una distribución normal para los resultados de la estimación del valor de y. En cuanto al valor de la magnitud medida. Casi todas las medidas directas implican la lectura de una escala o de la pantalla digital de un instrumento. lo que se interpreta como que la mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y.47 ± 0.3 %. Una de las fuentes de incertidumbre del instrumento es la resolución de su dispositivo indicador. y que puede esperarse que en el intervalo que va de y − U a y + U esté comprendida una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y. esto es.4 %. cuya escala tiene intervalos de 1 V. etc.
X+δx/2]. por lo cual habrá que recurrir a métodos de interpolación (en la mayoría de los casos son métodos de interpolación lineal) para calcular el valor de A.064 s Tomando un nivel de confianza del 95 % (k = 2). Ejemplo: Se dispone de un cronómetro que indica hasta la décima de segundo con el que se realizan 10 medidas de la caída libre de un cuerpo siempre desde una misma altura. por cuanto supone un límite a la apreciación del valor de la magnitud.36 0. La incertidumbre asociada a la determinación de t tiene estas dos contribuciones. o a lo sumo de los valores de 11 . el resultado final del valor medido de t sería: t 8.7 mV. y se obtiene un valor medio del tiempo de caída (ecuación (4)) de t = 8. La resolución contribuye a la incertidumbre de medida. Usando las técnicas de redondeo que veremos a continuación. 29 x 0.064 s 0. de amplitud δx.13 s con un nivel de confianza del 95 % (k = 2) Si quisiéramos usar el valor de t en otro cálculo posterior en el que intervengan t y su incertidumbre u(t) hay que tener en cuenta que su valor estimado es 8. los valores medidos de estas magnitudes no tienen por qué corresponder exactamente con los que aparecen en la tabla. la incertidumbre expandida es U t 2 0. de forma que resulta: u t uresol t 2 urepet xi 2 0. lo que supone una incertidumbre típica: u 1 x 12 0. 6. asociada a la repetibilidad de la medida. y.1 mV. si un voltímetro digital da un valor de 29. es urepet t 0.057 s (ecuación (5)). con una desviación típica de la media de 0.358 s. … mediante una tabla que relaciona los valores de x. En general. tanto al inicio como al final. y. Interpolación en tablas El valor de la magnitud A puede venir dado en función de otras magnitudes x. La señal de entrada puede describirse entonces mediante una distribución rectangular de probabilidad.1 s . tomaremos como resolución una unidad del último dígito de la lectura del aparato. como la resolución del cronómetro es x 0.128 s. la incertidumbre asociada a la resolución del instrumento es uresol t 0. … con el correspondiente de A.358 s y su incertidumbre. mientras que la incertidumbre típica. el valor de señal de entrada (estímulo) que produce una indicación dada X puede situarse con igual probabilidad en cualquier punto dentro del intervalo [X−δx/2.057 s . 0. como falta de sincronización al pulsar el cronómetro. Si la resolución del dispositivo indicador es δx. De esta manera. asociada a la repetibilidad de la medida.064 s.029 s . Por ejemplo.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA Si la medida se ha hecho con un aparato digital. la resolución es de 0. 29 x (15) para cualquier indicación. Normalmente el valor de A depende solamente del valor de una variable x.
considerando una dependencia lineal en el intervalo comprendido entre x1 y x2: A( x0 ) A1 A2 A1 x x 0 1 x 2 x1 (16) La incertidumbre típica combinada uc(A(x0)) se calculará aplicando las ecuaciones (10) y (11). 12 .y) viene dada por la siguiente tabla: y x x1 x2 x3 … A11 A21 A31 … A12 A22 A32 … A13 A23 A33 … … … … … y1 y2 y3 … El valor de A correspondiente a (x0. como u(xi) = 0. que se han medido con unas cotas de error de Δx0 y Δy0. siendo x1 < x0 < x2. se opera de la siguiente manera. y δAi representa una unidad de la última cifra significativa del valor tabulado. y siendo x1 < x0 < x2 e y1 < y0 < y2. considerando de nuevo la variación lineal. viene dado por: A x 0. y0). y. Supongamos que la función A(x. y0)) se calculará aplicando las ecuaciones (10) y (11). Las incertidumbres asociadas a Ai y xi se podrán tomar. como en el caso de la resolución instrumental.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS dos variables x. 6. En cada uno de estos casos el método de interpolación lineal se aplica de la siguiente manera: 6. Supongamos que una función A = f(x) viene tabulada como se indica: x x1 x2 x3 x4 … A A1 A2 A3 A4 … Si se quiere calcular el valor de A correspondiente a x = x0.29 δAi. y 0 A11 A21 A11 x 0 x1 x 2 x1 A12 A11 y0 y 2 y1 y1 (17) La incertidumbre típica combinada uc(A(x0. Tablas de simple entrada. salvo que en la tabla se indique otra cosa. donde δxi sería el mínimo intervalo que separa dos entradas de xi en la tabla.1. Tablas de doble entrada.2.29δxi y u(Ai) = 0.
es: V IR es una relación lineal. Sucesivas medidas de esta variación nos podrían permitir estimar el valor de la aceleración de la gravedad. El problema es encontrar los valores de m y b. siendo la pendiente de la recta la constante de proporcionalidad. por la ecuación de una recta. En estos casos de relación lineal entre magnitudes. siendo la pendiente de la recta la resistencia R. se usan otros que dan con bastante aproximación la recta de mejor ajuste. si midiésemos el período de oscilación para cada longitud del péndulo. En el laboratorio usaremos el ajuste por el método de mínimos cuadrado que consiste en buscar la recta que mejor ajuste a una nube de puntos. En los experimentos físicos es frecuente encontrar relaciones lineales entre magnitudes. Ajuste de una nube de puntos por el método de los mínimos cuadrados. Relaciones lineales. la relación entre la diferencia de potencial V y la intensidad de corriente eléctrica I que circula por un tramo de un circuito. que si bien la relación entre las magnitudes T y L (longitud del péndulo) no es directamente lineal: T 2 L g se puede expresar de forma lineal: T2 4 g 2 L Así. Para ello se impone la condición de que la suma de las distancias al cuadrado entre los distintos valores yi medidos de la variable dependiente y los que se obtendrían por la ecuación lineal: d yi mx i b 2 (19) 13 . y) se busca la recta de mejor ajuste a la nube de puntos: y mx b (18) también conocida como recta de regresión lineal. siendo 4 2 g la constante de proporcionalidad entre ellas. a veces.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA 7. donde m representa la pendiente y b. Aunque el método riguroso es el denominado de mínimos cuadrados. su cuadrado ( T 2 ) variaría linealmente con su longitud. La representación gráfica de los valores de T 2 frente a L seguirían un comportamiento aproximadamente lineal. Otro ejemplo puede ser el del período de oscilación T del péndulo simple para oscilaciones pequeñas. y la ordenada en el origen igual a 0. Por ejemplo. para simplificar los cálculos. expresándose. al representar en una gráfica los pares de valores (x. por la ley de Ohm. por tanto. la ordenada en el origen de dicha recta.
m) n i 1 xi n n i 1 xi2 . interpretaremos que más fuertemente lineal es la relación entre las Estas expresiones consideran que las incertidumbres de xi e yi son despreciables frente a la incertidumbre que genera la propia dispersión de los datos en el cálculo de mínimos cuadrados. 14 . se calcula obteniendo la media geométrica de las pendientes de las dos rectas de regresión antes descritas. El parámetro que da la bondad del ajuste. uc(m) y uc(b): n uc m i 1 y i mxi n i 1 b x 2 n n 2 xi 2 . El método descrito en los párrafos anteriores parte de la idea de optimizar el ajuste respecto de la variable dependiente. Se puede así demostrar que el valor de la pendiente m y de la ordenada en el origen b de dicha recta: m n xi y i i 1 n n n i 1 xi n i 1 yi 2 n n x i 1 2 i n i 1 . esto es. Así. obtendríamos otra recta de regresión (de x sobre y) con otra pendiente distinta. obtenemos lo que se llama la recta de regresión de y sobre x. m la pendiente de la recta a determinar y b su ordenada en el origen. es el llamado coeficiente de correlación lineal r. 4 3 En concreto: uc y ( x) uc b 2 x 2uc m 2 2 xuc b uc m r (b. Si hiciéramos lo propio con la variable independiente. de la linealidad del comportamiento de y(x). puede demostrarse que es un número comprendido entre 1 y +1. Cuanto más cerca esté |r| de la unidad. m) donde r (b. b i 1 yi m n n i 1 xi (20) xi siendo n el número de medidas. uc b i 1 y i mxi n i 1 b xi 2 n i 1 xi2 n n 2 x 2 (21) La incertidumbre típica combinada de los valores previstos por la recta de regresión se puede calcular a partir de las (10) y (11)4. La expresión matemática útil para este parámetro es: n xi y i r n x i2 i 1 n i 1 n i 1 n n i 1 2 n xi n i 1 yi n i 1 2 (22) xi 2 n yi i 1 yi El coeficiente de correlación lineal. Partiendo de las expresiones de la pendiente m y de la ordenada en el origen b. podemos calcular su y correspondiente a partir de la recta de mejor ajuste (18). Dado un valor x.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS sea un mínima ( d / m = 0. se pueden determinar sus incertidumbres típicas combinadas correspondientes3. Éste. d / b = 0 ).
Por ello es importante calcular. el procedimiento de redondeo se resume en los siguientes pasos: a.9997). previamente al ajuste de mínimos cuadrados. habría que expresarlo como 0. previamente al ajuste de mínimos cuadrados. El valor de la magnitud debe expresarse con un número de cifras que viene determinado por el valor de la incertidumbre. Partiendo de la magnitud y de su incertidumbre con todas sus cifras. A continuación.9997). Redondeo al integral múltiple más próximo: la última cifra conservada se redondea aumentándola en una unidad si la primera de las cifras a descartar es mayor que 5. Para realizar los cálculos correspondientes al ajuste por mínimos cuadrados.9. se procede de la siguiente manera: i. Por debajo de 0. 15 . y de esta manera asegurar que la curva que mejor se ajusta a la nube de puntos es una recta. si resulta ser 0. debe buscarse otro tipo de dependencia funcional entre las variables. se puede expresar con 2 cifras significativas. mS = (1. Para valores de |r| inferiores a 0. Un resultado no estará correctamente expresado si no se aplican adecuadamente las técnicas de redondeo. debe buscarse otro tipo de dependencia funcional entre las variables.035) kg). si resulta ser 0.9 y menor que 1. Por ello es importante calcular. siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9. es conveniente programar estas ecuaciones. Ese número de cifras es lo que se denomina número de cifras significativas. en su caso. Se conservan las dos primeras cifras significativas de la incertidumbre (esto es.9. no deben darse con un número excesivo de cifras. Habitualmente basta con dar uc(y) y U (así como las incertidumbres típicas u(xi) de las estimaciones de entrada xi] con dos cifras significativas.85. redondeándola en su caso (por ejemplo. Por debajo de 0. Si el coeficiente de correlación lineal es mayor o igual que 0.2732345678534 ± 0.9996714. El valor numérico de una magnitud y y de su incertidumbre típica combinada uc(y) o. ya que sería absurdo presentar una medida hasta la diezmilésima cuando la incertidumbre afecta a las décimas (por ejemplo. Si el coeficiente de correlación lineal es mayor o igual que 0.85. 8. y determinan el valor de un número aunque no su orden de magnitud. y de esta manera asegurar que la curva que mejor se ajusta a la nube de puntos es una recta. se puede expresar con 2 cifras significativas.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA variables. siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea 9. independientemente de la posición de la coma decimal). pueda ser necesario mantener cifras suplementarias para evitar la propagación de errores de redondeo en cálculos posteriores. Para valores de |r| inferiores a 0. el valor del coeficiente de correlación y comprobar que su módulo es cercano a la unidad. Técnicas de redondeo. el valor del coeficiente de correlación y comprobar que su módulo es cercano a la unidad. aunque en ciertos casos.9 y menor que 1. redondeándola en su caso (por ejemplo. y no alterándola si es menor que 5. Presentación de resultados. descontando los ceros a la derecha e izquierda del número.9996714. de su incertidumbre expandida U. habría que expresarlo como 0.
se aumenta el valor de la última cifra conservada: (Ej. de manera que redondeado es: uc =7. de forma que redondeado queda redondeado es: uc = 0. de manera que redondeado es: uc = 0. siendo éste último el más próximo.1: uc = 6.0. si se ha realizado una experiencia en la que se ha calculado el valor de la gravedad. redondeado 0.9749515. conviene conservar siempre todas las cifras que éstos permitan. El redondeo al número par más próximo asegura que unas veces se redondeará por exceso.1: 6. Ej. se expresa la magnitud de forma que su última cifra sea del mismo orden que la de la incertidumbre.952 redondeado es: 7.22 cm es incorrecto.684 m/s2 con una incertidumbre típica combinada de 0.2: 0. escribir 2. el par múltiple más cercano es “7.0032. Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la notación científica. de forma que redondeado queda: uc = 7.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Ej. la presentación del resultado sería: g = (9.35) m/s2 En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden suprimir.0”. 1.0”.10 ± 0.: uc = 0. la última cifra conservada no cambia si es par o se incrementa en 1 unidad si es impar (redondeo al número par más próximo).3454 m/s2. Ej. Cuando los cálculos se realizan mediante calculadora u ordenador. Redondeo al par múltiple más próximo: si las cifras a descartar empiezan por 5 y todas las demás son 0.00325.0032). Si las demás cifras que siguen al 5 no fuesen 0. esto es. descartando las demás y redondeándola de la misma forma que la incertidumbre.95.0032 y 0. Ej.0. 16 . pues “33” es impar. el par múltiple más cercano es “32”. procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado final.2: 0. ya que lo correcto sería 2.003215324.1 ± 0. otras por defecto. b.: uc = 6.0. los integrales múltiples serían “6. en potencias de 10. y los resultados finales dan el valor de 9.0033.20 cm.60 × 10-19.34 × 109 ó 1. respetando el número significativo de cifras. NUNCA redondeando resultados intermedios. ya que están indicando cuál es el orden de magnitud correcto o simplemente que la cifra indicada es efectivamente 0 y no cualquier otra (por ejemplo.0033). Por ejemplo. puesto que esos ceros son significativos). expresando el valor y su incertidumbre con la misma potencia de 10.003251. A continuación. ii.9” y “7.68 ± 0. siendo éste último el más próximo. Ej. los integrales múltiples serían 0. 2. Por ejemplo 2.
047) A I =(132.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una magnitud aparece alguna constante matemática o física (como .04661 2.3254×10 5127 0.036 ± 0.). g.81343 132. se trata de representar efecto (en el eje vertical) frente a causa (en el eje horizontal).8754×10 234 0.439 ± 0.43865 4. etc.00996 0.010 I = 5. 17 . c. NA.026 A 9. A la hora de realizar representaciones gráficas se deben respetar las siguientes normas (figura 2): a) Ejes Abscisa y Ordenada Un convenio bien establecido en Física para todas las prácticas es representar en el eje de abscisas (horizontal) la variable independiente (aquella que elige el experimentador en cada medida). aplicados a medidas de intensidad (I) dadas en amperios (A): Medida (A) 1.33 ± 0. que puede ser semilogarítmico (de rayado logarítmico en un solo eje y lineal en el otro) y logarítmico sobre ambos ejes. y en el eje de ordenadas (vertical) la variable dependiente (aquella cuyo valor se determina). conviene considerar. A continuación se presentan algunos ejemplos de redondeo.53781 5.01239 0. Representaciones gráficas.02574 4 Resultado I = (1.29) ×10 3 A I = 5130 ± 230 A I = 0. brevemente.813 ± 0.012) A I = (4.03574 3 uc (A) 0.538 ± 0. Papel Los papeles más utilizados en las gráficas de Física son el lineal (normalmente graduado en milímetros y por eso comúnmente llamado papel milimetrado). en el momento de operar. el máximo número significativo de cifras. y el logarítmico. de forma que el error considerado sea despreciable frente a los de las magnitudes que intervienen en la fórmula.
de acuerdo con la escala escogida. 2.000. respectivamente. Identificación de cada eje Los ejes deben marcarse siempre con el nombre y símbolo de la magnitud representada junto a las unidades en que se expresa. etc... En los ejes se marcarán los valores de las variables representadas. La escala debe ser sencilla. 20. El origen de la representación no tiene por qué ser el punto (0. De este modo. También debe indicarse.. en lugar de 10. Lo más sencillo es representar por un milímetro una potencia de 10 de la unidad..000.ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRES Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Figura 2. 0. en su caso. 0. a intervalos regulares.. 0).001... las divisiones en un eje pueden enumerarse 1.000. Salvo en casos especiales la 18 . 3.. si en el eje se indica ×104 ó ×10-3. Escalas La selección de la escala utilizada en cada eje debe hacerse de modo que: Los puntos experimentales no queden todos juntos.. 30.003. por la que va multiplicada la unidad. ó de 0.002. la potencia de 10 correspondiente. la siguiente simplicidad es aquella en que un milímetro (ó un centímetro) representa 2 ó 5 unidades. debiendo cubrir toda la zona del papel..
es:8081/cem/es_ES/common/pop_externo. Cada punto se representa por un punto (. Si existe algún punto aislado lo más normal es que se trate de un error y puede que sea conveniente repetir la medida correspondiente a ese punto. Centro Español de Metrología.cem. u otro símbolo parecido. Quantities and Units. (http://www. aunque no tiene que pasar necesariamente por todos ellos (incluso puede que no pase por ninguno).es/sites/default/files/gum20digital1202010. Bibliografía Recomendaciones del CEM para la Enseñanza Metrología.cem. 2008. Si existen varias curvas en la misma gráfica con diferentes significados.. los puntos de cada una se representan con distintos símbolos. - - 19 . un asterisco (*).jsp?url=.pdf) ISO 80000-1:2009.pdf) GUM DIGITAL 2010. Enero de 2011. ( http://www. Para ello se traza una cruz o un rectángulo centrados en el punto y de dimensiones horizontales y verticales correspondientes a la incertidumbre expandida en cada dirección. Part 1: General. En este caso se representaría el intervalo de confianza mediante la incertidumbre expandida U.DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I – ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR – UNIVERSIDAD DE SEVILLA escala y el origen se tomarán de manera que la curva a representar quede centrada en el papel y ocupe la mayor parte de éste. b) Representación gráfica de la incertidumbre de las medidas En ocasiones es necesario representar las incertidumbres en las medidas.). Centro Español de Metrología. c) Ajuste de líneas a los puntos representados Si se traza una curva para unir una serie de puntos se deben de respetar las siguientes normas: Debe de ser lo más regular posible. No unir nunca los puntos mediante una línea quebrada. Debe de pasar lo más cerca posible de los puntos./documentacion/generales/Rec omendaciones%20CEM%20Ensenanza%20Metrologia.
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