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Timestamp: 2020-05-30 15:01:31+00:00

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Raíz cuadrada wikipedia, lookup
Aproximación wikipedia, lookup
CÓMO SE USA ESTE LIBRO
Una gran imagen y una breve introducción nos presentan la Unidad. Las Cuestiones iniciales son un recordatorio y una preparación para enfrentarnos a los contenidos
ÁLGEBRA I: Polinomios.
Las matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron los primeros en descubrir los números
irracionales, es decir, aquellos números que
no pueden ser expresados a través de una
La palabra «álgebra» proviene del título del
libro Al-jabr w’al-muqabalah, escrito por
Al-Khwarizmi alrededor del año 825 d. C.
El álgebra se ocupa fundamentalmente de
la resolución de ecuaciones y sistemas de
ecuaciones. Estas ecuaciones aparecen en la
actividad científica y en la vida cotidiana
sobre todo en la resolución de problemas.
Los árabes usaron estos números en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y la Mezquita de Córdoba, entre
otros. En esta última aparece la llamada
bóveda cordobesa, que puedes observar en
la imagen. En ella está el número cordobés:
La resolución de ecuaciones recibió un gran
impulso con los algebristas italianos del Renacimiento: Cardano (1501-1576), del Ferro
(1465-1526), Tartaglia (1500-1557), Ferrari
(1522-1565) y Bombelli (1526-1573). Siglos
después, Gauss (1777-1855) demostró con
rigor el teorema fundamental del álgebra:
toda ecuación algebraica de grado n, tiene
n soluciones.
– 兹苶
兹2苶
número irracional que es la relación existente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de
1. Simplifica y expresa el resultado como potencia:
⎡⎛ 1⎞ 3 ⎤
b) ⎢⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
a) 92 · 3–2 · 27
2. Determina los valores aproximados de
1. Calcula el cociente y el resto de cada una de las siguientes divisiones:
36 · 28 · 53
93 · 253 · 44
a) (x3 + 3x – 6) : (x – 1)
6 = 2,449 489 7... truncando o redondeando:
a) A las décimas
b) A las milésimas
c) A las millonésimas
3. Halla los valores que, sustituidos por x, verifiquen las siguientes igualdades:
a) (x – 3)2 = x2 – 4x + 5
4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miembros:
5. ¿Para qué valores de n y a se cumple 兹a苶 X ⺢?
Para ampliar nuestros conocimientos y disfrutar con la
lectura, el apartado Lectura recomendada presenta un
libro cuyo argumento gira en torno a las matemáticas.
afectadas de
se representan en
b) (2x – 3)2 = 4x2 – 12x + 9
4. Un artesano quiere vender sus piezas de barro por 560 euros. Se le
rompe una pieza y decide que si vende cada una a 10 euros más sacará la misma cantidad de dinero ¿Cuántas piezas de barro tenía al
11 − 4 6 = 2 2 − 3
: x+
x + 1⎠⎟ ⎝⎜
x + 1⎠⎟
x2 − 1 x2 − 4x + 4
3. La velocidad de la luz es, aproximadamente, 3 · 108 m/s. Calcula el
tiempo que tardará en recorrer 300 km.
Al comenzar la Unidad, el cuadro Mapa conceptual nos
ofrece un esquema muy útil para organizar los contenidos de la misma.
b) (x4 + x2) : (x + 2)
2. Opera y da el resultado en forma de fracción irreducible:
0,6 = 0,774 596 6... y
la división por x – a
el cociente de dos
polinomios da lugar a
se utiliza en la
varias forman
subconjuntos importantes
Método de Gaus
Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones
Siruela) el mundo mágico que rodea a los números.
El protagonista de El hombre que calculaba (Veron Editores), Beremir Samir, aparece
a un lado del camino que lleva a Bagdad. Allí se encuentra con el narrador de la
historia, que trata de las vicisitudes en las que participan ambos personajes, y que
muestra el talento del protagonista en el dominio de los problemas numéricos.
Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque no
las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y le conduce por el
mágico mundo de los números.
Los desafíos a los que se enfrenta el calculador tienen lugar en el antiguo Irak; y en
cada uno de ellos se muestra la sabiduría matemática junto a reflexiones éticas o de
justicia que afectan a los distintos problemas.
Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando
anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja en el
En este relato aprendemos que Beremir Samir, un hombre sabio, no va en busca del
poder, sino de la tranquilidad de una vida plena, hablando con los demás, contando
historias y buscando un equilibrio real y justo.
Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver.
A lo largo de las páginas de teoría, el bloque principal
de la Unidad, nos encontramos con tablas y cuadros
sombreados que resaltan las ideas principales. Los
márgenes incluyen textos e imágenes de apoyo y ampliación.
Unidad 10 Y
1. Funciones reales. Dominio
1.2. Dominio
1.1. Funciones reales
⎧ Enteras o
⎧ Racionales ⎨ polinómicas
⎪ Algebraicas⎨
⎩ Fraccionarias
⎩ Irracionales
Funciones ⎨
⎧ Trigonométricas
⎪ Trascendentes ⎨ Exponenciales
⎩ Logarítmicas
• Funciones algebraicas son aquellas en las que la variable x está
afectada de las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación de
• Funciones racionales enteras o
polinómicas. Son de la forma:
f(x) = an x n + … + a2x 2 + a1x + a0
Normalmente, utilizamos en nuestras conversaciones frases del tipo es «función de», «depende de», etc. Así, por ejemplo, decimos que el importe del recibo de la luz depende del número de kWh (kilovatios por hora) consumidos;
el área de un cuadrado es función de la longitud de su lado, etc.
En muchas ocasiones, frases análogas a las anteriores se pueden materializar y
expresar mediante una fórmula matemática. El estudio de estas fórmulas o
relaciones entre dos magnitudes se lleva a cabo por medio de las funciones.
• Una función entre dos conjuntos numéricos, A conjunto inicial y B
conjunto final, es una correspondencia por la cual a cada elemento de
un subconjunto de A, llamado dominio de la función y denotado por
Dom f, le corresponde un elemento y solo uno de un subconjunto de B,
llamado imagen o recorrido de f, y denotado por Im f.
f : A ⎯⎯→ B
x ⎯⎯→ y = f(x)
• Funciones racionales fraccionarias. Son cociente de dos funciones polinómicas:
La variable independiente se denota por x y la variable dependiente
anxn +…+ a2x2 + a1x + a0
bmxm +…+ b2x2 + b1x + b0
• Funciones irracionales. Cuando la
variable independiente aparece
bajo el signo radical o elevada a
exponente racional no entero:
x + 兹苶x
f(x) = 兹x苶
+ 4 g(x) = ᎏᎏ
兹1
• Funciones trascendentes. Cuando no son algebraicas:
f(x) = sen 3x – tg x
h(x) = ln (x 2 – 4)
Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si
tienen el mismo dominio y las imágenes para el mismo valor de x
f=g⇔
冦 f(x) = g(x), ∀x ∈ Dom f
Dom f = Dom g
• Funciones racionales enteras o polinómicas. El dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales.
g(x) siendo n par. El dominio de
• Funciones irracionales del tipo f(x) = 兹苶
estas funciones viene dado por el subconjunto de los números reales, tales
que g(x) ≥ 0.
Dom f = {x ∈ ⺢ | g(x) ≥ 0}
Si el exponente n fuese impar, el dominio coincide con el dominio de g(x).
• Funciones trigonométricas. El dominio de las del tipo f(x) = sen [g(x)] y
f(x) = cos [g(x)], es el dominio de g(x). Las funciones del tipo f(x) = tg [g(x)]
tienen por dominio:
Dom f = x ∈ ⺢ | g(x) ≠ ᎏ + k π, k ∈ ⺪
0 si x es par
⺞
1 si x es impar
f : ⺞ ⎯⎯→ ⺡
Im f = 0, 1, 1 , 1 , 1 , 1
• Funciones logarítmicas. El dominio de este tipo de funciones, f(x) = loga[g(x)]
con a > 0 y a ≠ 1, viene dado por:
En 1857 formuló la definición de
función tal como la conocemos hoy
1. Determina el dominio de las funciones dadas a continuación:
En matemáticas, normalmente, se trabaja con funciones reales de variable real,
es decir, funciones en las cuales el conjunto final es el de los números reales,
y el conjunto inicial también es el de los números reales. Estas funciones se denotan por:
f : ⺢ ⎯⎯→ ⺢
Matemático alemán, sucesor de
Gauss en la cátedra de la Universidad de Gotinga. Expuso, junto con
Riemann, la formulación más general de función como correspondencia entre dos conjuntos de números.
Dom f = {x ∈ ⺢ | g(x) > 0}
Dom f = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
x ⎯⎯→ f(x)
• Funciones exponenciales. El dominio de estas funciones, f (x) = a
a > 0 y a ≠ 1, es el dominio de g(x).
La siguiente función asocia a los nueve primeros números naturales el cero, si
es par, y el inverso, si es impar:
El conjunto inicial es ⺞ y el final es ⺡.
Es una función racional de variable
• Funciones racionales fraccionarias. El dominio de estas funciones es el
conjunto de los números reales, excluidos los ceros o raíces del denominador.
Una función se puede expresar de la forma:
an, …, a2, a1, a0 ∈ ⺢
La aplicación práctica de los conceptos que vamos estudiando se plasma en las Actividades resueltas.
Propiedades globales de la funciones
Los cálculos más usuales de dominios se refieren a las funciones siguientes:
x –9
b) g(x) = x 4 – 16
c) h(x) = 兹苶
d) t(x) = tg (2x – 10)
e) p(x) = ln (x + 1)
a) Dom f = ⺢ – {3, –3}, pues es una función racional fraccionaria con 3 y –3 como ceros o raíces del denominador.
b) Dom g = ⺢, pues es una función racional polinómica.
c) Dom h = {x ∈ ⺢ | x 2 – 16 ≥ 0}, pues es una función irracional con índice n = 4 par.
Para resolver la inecuación x 2 – 16 ≥ 0, calculamos los ceros de i(x) = x 2 – 16, que son x1 = 4, x2 = –4. Representamos estos
valores en la recta real, quedando dividida esta en intervalos. En cada uno de estos intervalos el signo de la función i (x) se
mantiene constante, por lo que basta determinar el signo de un valor cualquiera de cada intervalo.
i (–5) > 0
i (0) < 0
i (5) > 0
Dom h = {x ∈ ⺢ | x 2 – 16 ≥ 0} = (– ∞ , –4] 傼 [4, + ∞ )
d) Dom t = x ∈ ⺢ | 2x – 10 ≠
冧 冦
+ k π, k ∈ ⺪ = x ∈ ⺢ | x ≠
, k ∈⺪
e) Dom p = { x ∈ ⺢ | x + 1 > 0 } = { x ∈ ⺢ | x > – 1 } = (–1, + ∞ )
1B Matematicas I primeras_1B_MAT_OPC_A_PRIMERAS.qxd 27/04/15 09:36 Página 7
Todas las actividades propuestas en este libro deben realizarse
en un cuaderno de trabajo, nunca en el propio libro.
La sección Resolución de problemas nos muestra pautas,
estrategias y modelos para resolver problemas. A partir
del protocolo de resolución de un problema ponemos en
práctica los pasos a seguir y la estrategia a utilizar. Para
practicar estas técnicas, se incluyen varias Actividades.
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recursos adicionales: <www.editex.es>
Unidad 3 Y
ÁLGEBRA II: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Fase de búsqueda de estrategias
Una revista desea incrementar su tirada, para lo que encarga una encuesta entre sus lectores a una agencia de publicidad. Esta, tras el correspondiente sondeo, procesa los datos y envía a la revista las siguientes conclusiones sobre sus
La segunda fase de resolución de problemas consiste, como su
nombre indica, en encontrar unas cuantas estrategias para atacar el problema. No se trata de llevar a cabo estas estrategias,
sino de encontrar diferentes formas de abordarlo. Hay que proceder con tesón y sin prisas, ya que, si nos lanzamos precipitadamente a realizar lo primero que se nos ocurre, nos dejamos
en el camino ideas que probablemente nos pueden ser útiles.
En la tabla adjunta puedes ver, en la primera columna, diversas estrategias muy extendidas en la resolución de problemas. En la segunda columna figuran las respectivas traducciones de estas en el modelo de Guzmán.
53% son varones, 48% son personas casadas, 37% viven en Barcelona, 8% son
varones casados, 16 % son varones que viven en Barcelona, 10 % son personas
casadas que viven en Barcelona, 5% son varones casados que viven en Barcelona.
El director de la revista, tras examinar los datos, se niega a pagar la encuesta.
¿Por qué actúa de esta manera?
FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA
Nos resulta difícil asimilar los datos que nos da el problema, por lo que pensamos en
el uso de una notación adecuada para sistematizar todos los datos:
varones por V; mujeres por NV; personas casadas por C; personas no casadas por NC;
personas que viven en Barcelona por B; personas que no viven en Barcelona por NB.
A lo largo del texto se ha tenido muy presente la utilidad
de las tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas. Se
han desarrollado las herramientas de la calculadora científica en los márgenes de las páginas de varias unidades.
MODELO DE GUZMÁN
Empezar por lo fácil
Experimentar y buscar regularidades
Hacer figuras, esquemas y diagramas
Modificar el problema
Escoger un lenguaje o notación
Analogía, semejanza
Buscar semejanzas
En el problema resuelto en la página anterior hemos encontrado estrategias relacionadas con: organización, codificación y analogía.
Estudiar la simetría y los casos límite
Supón que no..., ¿dónde te lleva?
En páginas posteriores desarrollaremos estas estrategias tan
implantadas en el hacer matemático.
Principio del palomar, etc.
Trabajar marcha atrás
Suponer el problema resuelto
Según esta notación adoptada, podemos escribir:
V = 53%; C = 48%; B = 37%; VC = 8%; VB = 16%; VBC + NVBC = 10%; VCB = 5%
La nueva notación que usamos para la mejor comprensión del problema nos sugiere
• Resolución por sistemas de ecuaciones.
• Analogía con problemas de probabilidades y tablas de contingencia.
• Diagramas de Venn.
La primera estrategia la descartamos, pues pensamos que puede resultar un sistema muy
complejo. Las tablas de contingencia con las que hemos trabajado son aquellas en las
que intervienen dos variables, mientras que en el problema que nos ocupa hay tres. Así
es que, por eliminación, intentamos resolver el problema utilizando diagramas de Venn.
䊏 Practica la fase de búsqueda de estrategias en la resolución de los siguientes problemas:
1. Producto de cuatro enteros. Observa las siguientes igualdades:
1 · 2 · 3 · 4 = 52 – 1
En la figura 1 utilizamos el dato VCB = 5 %. En la 2, utilizamos los datos VC = 8 %,
VB = 16%, VBC + NVBC = 10 %, y en la 3, los datos V = 53 %, C = 48 %, B = 37 %.
3 · 4 · 5 · 6 = 192 – 1
2. Naves hacia Venus. Los cohetes A y B marchan hacia Venus a una velocidad de
50 000 km/s, formando sus trayectorias hacia dicho planeta un ángulo de 60°. En un instante dado, hallándose ambos a 3 000 000 de kilómetros de Venus, A emite una señal
de radio (velocidad de esta 300 000 km/s) que, una vez alcanzado B, es devuelta por este
hacia A. Este la reenvía, y así sucesivamente, hasta que ambos cohetes llegan al planeta. Halla la distancia recorrida por las señales radioeléctricas desde su emisión hasta ese
A la vista del proceso seguido nos damos cuenta de que utilizar una buena notación y
un dibujo o representación, puede ser clave en la resolución de problemas.
3. A buen fin, mejor principio. ¿En qué cifra termina 783 578?
Esta es la razón por la cual el director de la revista se niega a pagar la encuesta, al darse cuenta de que es falaz.
2 · 3 · 4 · 5 = 112 – 1
¿Será siempre cierto que el producto de cuatro enteros consecutivos es un cuadrado perfecto menos uno?
Si sumamos todos los datos que aparecen en la figura 3, debemos obtener el 100 %,
pero ocurre que: 34 + 3 + 35 + 11 + 5 + 5 + 16 = 109 %.
Aritmética con Wiris
Wiris es un programa, de software libre, que permite trabajar aspectos de aritmética,
álgebra, geometría y cálculo.
Trabajamos con el menú Operaciones que contiene paréntesis, corchetes, potencias,
fracciones y raíces, entre otros elementos.
PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN O DE FRACCIÓN A DECIMAL
Expresamos los siguientes números decimales en fracción y las fracciones en decimal:
a) 12,35
c) 0,14
a) Escribimos racional (12.35), con el número decimal con punto, nunca con coma,
y pulsando
obtenemos la fracción buscada.
En el apartado Nuevas tecnologías se han descrito diferentes herramientas informáticas, como la calculadora
gráfica y programas de software libre, como Funciones
para Windows, GeoGebra y Wiris.
Además, puedes descargarte las app de Matemáticas de
Editex, te servirán de gran ayuda para trabajar los ejercicios. Para descargarte estas aplicaciones, regístrate en
la zona de usuarios en <www.editex.es> introduciendo
el código MATB1-2015.
Las Actividades finales incluyen ejercicios y problemas
fundamentales para entender y dominar los contenidos
teóricos tratados así como para trabajar las competencias.
b) y d) Introducimos la fracción dada mediante el operador
o bien mediante /.
Como queremos la solución en forma decimal, ponemos un punto al final del número del numerador o del denominador.
c) El número decimal periódico lo introducimos mediante el paso a fracción ya conocido.
Si queremos la solución con un número determinado de cifras decimales comenzamos escribiendo precisión(n) y nos da la solución con n ≤ 15 cifras significativas. En
la imagen adjunta podemos ver las soluciones buscadas.
Efectuamos las siguientes operaciones:
1 – ᎏᎏ
a) ——————
1+ᎏ
b) (5,12 · 103) [(2,93 · 10–2) – (6,78 · 10–4)]
a) Escribimos la fracción, y pulsando
obtenemos la solución.
b) Introducimos la expresión usando los paréntesis, corchetes, potencias y las operaciones correspondientes del menú Operaciones y obtenemos el resultado que vemos en la imagen:
Unidad 2 Y
34. Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería, por importe de 1,
2 y 5 euros. Han recaudado, en total, 600 euros y han vendido el doble de participaciones de 1 euro que de 5 euros. Si
han vendido un total de 260 participaciones, calcula el número de participaciones que han vendido de cada importe.
35. La sección de un canal de riego es un trapecio cuyas bases valen 4x y 10x, y cuya altura es 4x. El canal tiene una longitud de 245x.
a) Calcula las expresiones que permiten hallar el área de la sección y el volumen total
Para finalizar la Unidad se plantea una Autoevaluación
con ejercicios tipo test con el fin de comprobar si se han
adquirido los conocimientos y procedimientos descritos
en la Unidad. Las soluciones de estas autoevaluaciones se
encuentran al final del libro.
1. Al dividir el polinomio P(x) = 3x4 + ax3 + bx2 – 6x + 9 entre (x – 2) y (x + 2), se obtienen como restos 13 y 117, respectivamente. Los valores de a y b son:
a) a = –5 y b = 2
b) a = 5 y b = –2
c) a = 2 y b = 5
2. Las raíces del polinomio P(x) = 2x3 – x2 – 5x – 2 son:
a) – ᎏ , –1, 2
b) Calcula la expresión del área total del canal, es decir, el área de la superficie que contacta con el agua.
b) ᎏ , 1, –2
c) ᎏ , –1, –2
c) Si la longitud real del canal es de 122,5 m, ¿cuáles son los valores reales del volumen y del área total?
3. El resultado simplificado de la operación
36. Las raíces no enteras de un polinomio P(x) se pueden calcular de modo aproximado teniendo en cuenta que toda función polinómica f(x) = P(x) es una función continua. Si en x = a la gráfica de la función está a un lado del eje de abscisas y en x = b está al otro lado, para algún x del intervalo (a, b) ha tenido que cruzar el eje, es decir, hacerse cero. Los
pasos para encontrar la raíz serían:
1.º Buscamos dos valores de x, digamos a y b, en los que P(x) tenga
signos opuestos. Esto garantiza que entre a y b hay alguna raíz de
2.º Calculamos el valor de P(x) en el punto medio del intervalo (a, b),
o sea, P . Si su signo es opuesto al de P(a) la raíz esta en
2 el intervalo a,
b) Q( x ) = x 4 – 5 x 2 + 2
c) m = 32
3 x 2 + 4 + x 2 − 4 = 4 tiene como soluciones:
a) ±2
b) ± 20
c) ±2 y ± 20
f (a) = P (a)
El cálculo se da por terminado cuando el tamaño del intervalo es suficientemente pequeño, y se adopta su punto medio como valor aproximado de la raíz buscada.
a) P ( x ) = x 3 – 8 x 2 + 5
x 2 − 2x − 3 x 2 − 2x − 15
3.º Con el nuevo intervalo, de tamaño mitad que el anterior, volvemos
al paso 2.º
5. La ecuación
f (b) = P (b)
; y si es opuesto al de P(b), está en
2 a+b , b .
4. La ecuación 2x2 + mx + 128 = 0 tiene dos soluciones iguales para:
a) m = 16
Calcula una raíz real aproximada de cada uno de estos polinomios:
Cada unidad concluye con una propuesta de Proyecto de
investigación. Al comienzo de cada bloque pueden encontrarse pautas para la realización de los proyectos citados.
ÁLGEBRA I: Polinomios. Ecuaciones y sistemas
c) R( x ) = 3 x 3 – 14 x + 9
37. En un aparcamiento hay 24 coches aparcados, de color blanco, rojo o gris. El número de coches grises es igual al doble
del número de coches rojos.
a) ¿Es posible saber con estos datos el número de coches blancos que hay aparcados? Razona tu respuesta.
b) Si además se sabe que la mitad de los coches son rojos o grises, ¿cuántos coches hay de cada color?
La mesa de billar del dibujo está cuadriculada y sus lados son números enteros, en esta
caso 8 × 6. La mesa tiene agujeros en las cuatro esquinas. Las reglas del juego son: se
coloca la bola en una esquina y se le pega, como indica la figura, con una inclinación de
a) Si se impulsa la bola desde el agujero A, ¿en qué agujero se mete la bola?
b) ¿Cuántos cuadrados habrá cruzado?
c) ¿Cuántas veces ha rebotado en los lados de la mesa?
d) Responde a las cuestiones anteriores para mesas de tamaño 2 × 6, 5 × 10 y 6 × 6.
38. A la proyección de una película asisten 500 personas. De estas 500 personas, algunas pagan la entrada a 9 euros,
otras son jubiladas y pagan el 20% del precio de la entrada, y los niños que asisten pagan sólo el 50% del precio de la
entrada. Sabiendo que el número de jubilados es el doble que el de personas que pagan la entrada completa y que en
total se han recaudado 2 115 euros, halla el número de niños que han ido a ver la película.
e) Generaliza el problema, es decir, responde a las mismas cuestiones para una mesa
de tamaño m × n.
Escribe un protocolo con todo el proceso que realices. Recoge los resultados que obtengas en tablas e ilustra el texto con las trayectorias
de las bolas. Para esto último puedes ayudarte de un programa de geometría dinámica.
Bloque I: Números y álgebra
Radicales cuadráticos
El número 2 aparece al calcular la medida de la diagonal
de un cuadrado de lado 1. Es el primer número que los griegos no pudieron expresar como una fracción, surgiendo así
una nueva clase de números llamados «irracionales».
Los números radicales cuadráticos de la forma n aparecen
por primera vez en problemas geométricos, pero pronto
multiplicaron sus apariciones. Asomaron junto a un nuevo
descubrimiento matemático que suponía un nuevo problema a resolver: las ecuaciones de segundo y tercer grado. Los
métodos de resolución de estas, dieron lugar al álgebra.
En el dibujo se pueden ver cuatro cuadrados de lado 1 que,
juntos, forman un cuadrado de lado 2. Al unir los puntos
medios de los lados de este último cuadrado obtenemos un
cuadrado interior (sombreado) de área 2. Como el lado del
cuadrado interior multiplicado por sí mismo debe valer 2,
obtenemos así la raíz cuadrada de 2.
La raíz cuadrada de 2 aparece en el número
de2− 2
nominado «proporción cordobesa» por su reiterada aparición en algunos elementos de los monumentos de la ciudad de Córdoba. Se muestra como la razón entre el radio de
una circunferencia y el lado del octógono inscrito en ella.
También podemos encontrar la raíz cuadrada de 2 en los formatos de papel DIN A, estos van desde A0, con un metro
cuadrado de superficie, hasta A8 que es un poco mayor que
una tarjeta de visita. La medida del lado grande de A0 es
igual a la del pequeño por 2 , y así sucesivamente.
Todas las raíces cuadradas están ligadas a longitudes o proporciones de figuras geométricas. Encontramos 3 en el
triángulo equilátero y en el hexágono regular. También están
presentes en poliedros de todo tipo, en las longitudes de sus
diagonales, alturas y proyecciones.
El arte y el diseño también recogen las raíces cuadradas. La
raíz cuadrada de 3 aparece en el característico arco gótico y
en el triángulo de Reuleaux.
La raíz cuadrada de 5 la podemos encontrar en pentágonos
y decágonos, formando parte del número áureo
≈ 1,618...
Todos ellos los podemos ver en la espiral de Teodoro que se
muestra en el dibujo.
Otro lugar donde aparece la raíz cuadrada de 2 es en los
números f, llamados así en fotografía y que determinan
la apertura manual de los objetivos de las cámaras fotográficas.
¿Qué es un proyecto de investigación matemática?
Un proyecto de investigación matemática es un conjunto de
problemas matemáticos sobre un tema específico. También
puede definirse como una actividad que recoge situaciones
a partir de contextos de la realidad o contextos del mundo
Requiere la exploración, la consideración de casos especiales, el pensamiento inductivo, la generalización, la propuesta de conjeturas, su prueba o refutación y el planteamiento
de nuevos problemas originales extraídos del problema inicial.
El objetivo principal de una investigación es el aprendizaje de
dos habilidades: la habilidad investigadora y la habilidad de
comunicar por escrito y oralmente los resultados obtenidos.
Las principales características que debe reunir un proyecto
de investigación matemática son:
• Impone un reto adecuado a la capacidad de quien intenta realizarlo y su solución no se obtiene de forma rutinaria
o mecánica.
• Trabaja situaciones problemáticas, aptas para ser matematizadas, en cuya resolución se requiere de diferentes estrategias y destrezas matemáticas.
• Hay que planificar adecuadamente el proceso de investigación: tomar decisiones, seguir estrategias, buscar información, establecer resultados y contrastarlos, fijar las conclusiones, describir las fuentes de información, etc.
• Exige elaborar un informe en el que se exponga el proceso
seguido, los resultados obtenidos, las conclusiones a las
que se llegan y las fuentes consultadas. Para ello usaremos
diferentes tipos de lenguajes: algebraico, gráfico, geométrico, estadístico, etc.
• Proporciona al autor libertad y autonomía para explorar,
tantear, imaginar, simular, buscar conexiones, relacionar,
analizar, generalizar, reflexionar y sacar conclusiones.
• Permite que el autor sea el protagonista principal del proceso y le proporciona alegrías y satisfacciones en los avances parciales o en la superación de retos que aparecen a lo
Requiere buscar conexiones entre la realidad y el mundo
de las matemáticas: historia de la humanidad e historia de
las matemáticas, arte y matemáticas, tecnología y matemáticas, economía y matemáticas, ciencias naturales y
• Permite establecer conexiones entre ámbitos matemáticos
distintos: finitos e infinitos, numéricos y geométricos, geométricos y funcionales, discretos y continuos, etc.
DE LA FUENTE, C. (2013). «De la resolución de problemas a las investigaciones matemáticas». Revista UNO n.º 64. Graó.
ESPOT, M. R. (2009). «Como se hace un trabajo de investigación en Bachillerato».
<http://www.unav.es/gep/Metodologia/TrabajoInvestigacionBachillerato.html>. [Con acceso el 25 de abril de 2014].
a) 9 · 3 · 27
5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ?
1. El conjunto de los números reales
1.1. El conjunto de los números racionales
Existe una relación entre los números racionales y los números decimales:
Unión de dos conjuntos
A q B es el conjunto formado por
todos los elementos de A y de B.
los elementos comunes de A y de B.
• Cualquier número racional se puede expresar como un número entero, un
decimal exacto o un decimal periódico.
• Cualquier número decimal exacto o periódico se puede expresar como un
A continuación damos la definición del conjunto de los números racionales y
su equivalencia con los números decimales.
• El conjunto de los números racionales se representa mediante la letra y está formado por:
= ᎏᎏ a Z Z; b Z Z y b ≠ 0
• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por
los números enteros, los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.
= decimales
exactos q periódicos q periódicos q
1.2. El conjunto de los números irracionales
La escuela pitagórica pensaba que todo el universo se podía expresar mediante
números enteros o racionales. El famoso teorema de Pitágoras contradijo la
doctrina básica de la escuela al descubrir que existían números, como 2, que
no eran ni enteros ni racionales.
Los números que, como 2, son decimales con infinitas cifras decimales no
periódicas se llaman números irracionales.
• Los números irracionales son aquellos números decimales que tienen
infinitas cifras decimales y no son periódicos.
decimales con infinitas cifras
decimales y no periódicos
Algunos de los números irracionales más importantes y utilizados son:
• El número de oro Φ (número áureo). Es la razón entre la diagonal de un
pentágono regular y su lado. Para los antiguos griegos el rectángulo áureo, o
rectángulo cuya razón entre sus lados es el número de oro, representaba la
armonía y las dimensiones ideales de belleza.
Monumento a Pitágoras en el
puerto Pythagorio de Samos, Grecia.
Φ = ᎏ = 1,61803398...
• El número π. Es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Es el primer número irracional que manejamos.
• El número 2
. Aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
2 = 1,41421356...
También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc.
y= 1+—
• El número e. Aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físi-
cuando x tiende
cos, etc. Es el número al que tiende la función 1 + ᎏᎏ
a +∞ o – ∞.
e = 2,71828182845904...
1.3. El conjunto de los números reales
El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales.
• El conjunto de los números reales se representa por , y está formado por
los números racionales y los irracionales.
= racionales
q irracionales
A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.
Enteros Enteros positivos Cero 0
Enteros negativos Racionales Reales Decimales
Naturales –
Decimales exactos
Irracionales • Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos
• Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un
número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta.
2. Representación de los números
reales en la recta real
Hasta ahora conocemos los procedimientos geométricos que nos permiten representar números naturales, enteros y racionales en la recta real.
Representación en la recta real
del número de oro F
A continuación podemos ver los procedimientos más utilizados para representar los números irracionales.
2.1. Números irracionales de la forma n
con n natural
Estos números los representamos en la recta real utilizando procedimientos
geométricos basados en el teorema de Pitágoras, como podemos ver en el ejemplo siguiente:
1. Se dibuja 5
como la hipotenusa
de un triángulo rectángulo de
catetos de longitud 1 y 2.
2. Se busca el punto de intersección
de la recta real con la circunferencia de radio 5
y centro en 1. El
punto obtenido es 1 + 5.
3. Se busca el punto medio del segmento [0, 1 + 5
], para obtener:
1 + ᎏ
El método se basa en construir triángulos rectángulos tales que su hipotenusa
mida el número irracional que queremos representar:
• 2 = 1
• 3 = 12 + (2
• 5 = 12 + 22
• 6 = 12 + (
2.2. Números irracionales cualesquiera
Un número irracional cualquiera se puede representar de forma aproximada en
la recta real mediante aproximaciones decimales sucesivas.
Por ejemplo, vamos a representar el número π:
Para ello, utilizamos el siguiente procedimiento:
3,14 3,15
• Aproximación a centésimas. Dividimos el segmento entre 3,1 y 3,2 en diez
partes iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,14 y 3,15 como
muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de
1 centésima.
3,141 3,142
• Aproximación a décimas. Dividimos el segmento entre 3 y 4 en diez partes
iguales, y tomamos un punto cualquiera entre 3,1 y 3,2 como muestra la figura. Este punto es la representación de π con error menor de 1 décima.
• Continuando con este procedimiento obtenemos la aproximación de π que
3. Conjuntos en la recta real
Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los
que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen
gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en
la relación de orden de los números reales.
El símbolo B
Este símbolo se lee «si y solo si» e
indica equivalencia.
• Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la
recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y
a ≤ b ⇔
n = 2 B n termina en 0
o en cifra par
A continuación definimos y simbolizamos los subconjuntos más importantes
de la recta real.
CONJUNTOS EN LA RECTA REAL
(a, b) = {x Z | a < x < b}
El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b.
[a, b] = {x Z | a ≤ x ≤ b}
El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos.
[a, b) = {x Z | a ≤ x < b}
(a, b] = {x Z | a < x ≤ b}
E (a, r)
El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es
el intervalo abierto de extremos a – r y a + r.
E *(a, r)
E*(a, r) = E(a, r) – {a}
E –(a, r) = (a – r, a)
E +(a, r) = (a, a + r)
semiabierto o
E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z | |x – a| < r}
4. Conjuntos acotados en la recta real
4.1. Conjuntos acotados superiormente
Si en un conjunto de números reales podemos encontrar una barrera de forma
que todos los números del conjunto estén a la izquierda de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado superiormente.
Acotación superior
de A están a
• Un conjunto A de números reales está acotado superiormente por un
número real S si todos los elementos de A son menores o iguales que S.
A está acotado superiormente por S B x ≤ S, ∀x Z A
El número S se llama cota superior de A. Si A está acotado superiormente, existen infinitas cotas superiores.
«BARRERA» o
• La más pequeña de las cotas superiores se llama supremo del conjunto A,
sup A. Si el supremo pertenece al conjunto A se le llama máximo del
conjunto A, máx A.
4.2. Conjuntos acotados inferiormente
que todos los números del conjunto estén a la derecha de esta barrera, afirmamos que ese conjunto está acotado inferiormente.
Acotación inferior
la derecha de
• Un conjunto A de números reales está acotado inferiormente por un número real I si todos los elementos de A son mayores o iguales que I.
A está acotado inferiormente por I B x ≥ I, ∀x Z A
El número I se llama cota inferior de A. Si A está acotado inferiormente, existen infinitas cotas inferiores.
• La más grande de las cotas inferiores se llama ínfimo del conjunto A,
ínf A. Si el ínfimo pertenece al conjunto A se le llama mínimo del conjunto A, mín A.
4.3. Conjuntos acotados
Si todos los elementos de un conjunto de números reales se encuentran entre
dos barreras afirmamos que el conjunto está acotado.
de A están
• Un conjunto A de números reales está acotado si lo está superior e inferiormente.
A está acotado por S e I B I ≤ x ≤ S, ∀x Z A
• Todo conjunto de números reales acotado tiene supremo e ínfimo.
«BARRERAS»
Cuando afirmamos que un conjunto no está acotado puede ocurrir:
• Que no esté acotado ni superior ni inferiormente.
• Que esté acotado superiormente, pero no inferiormente.
• Que esté acotado inferiormente, pero no superiormente.
1. Define y representa cada uno de los siguientes conjuntos:
E (1, 3)
E +(–1, 3)
[–1, 3]
(–∞, 3]
E*(1, 3)
A partir de las definiciones dadas en el epígrafe 3, obtenemos:
E(1, 3) = (1 – 3, 1 + 3) = (–2, 4)
[–1, 3] = {x Z | – 1 ≤ x ≤ 3}
E + (–1, 3) = (–1, –1 + 3) = (–1, 2)
(–∞, 3] = {x Z | x ≤ 3}
E*(1, 3) = (1 – 3, 1 + 3) – {1} = (–2, 4) – {1}
1–3=–2
2. Estudia la acotación de cada uno de los siguientes conjuntos y halla en los casos que sea posible el supremo, el ínfimo,
el máximo y el mínimo.
a) A = {x Z | x ≤ –4} q {x Z | x > –3}
• Para calcular la intersección o la unión de dos conjuntos es conveniente representar cada conjunto en una recta real, y en
otra la unión o intersección de ellos.
• En la representación gráfica adjunta observamos que A no está acotado ni superior ni inferiormente.
b) B = [–5, 3] q (1, + ∞)
• El conjunto B no está acotado, puesto que está acotado inferiormente, pero no superiormente.
• El ínfimo de B es: ínf B = –5. Como pertenece a B es mínimo de B, mín B = –5.
c) C = E(0, 5) Q E*(3, 3)
El conjunto C, en virtud de la definición de entornos, es:
C = (–5, 5) [(0, 6) – {3}]
• El conjunto C está acotado.
• El ínfimo de C es ínf C = 0, y el supremo es sup C = 5. No tiene máximo ni mínimo.
5. Aproximaciones decimales
Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas
cifras decimales, por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos.
El número irracional π es:
Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra:
π = 3,14159265358979323846...
por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades:
“Soy y seré a todos definible
3,1 < π < 3,2
3,14 < π < 3,15
3,1415 < π < 3,1416
Los números que aparecen a la izquierda de estas desigualdades son aproximaciones de π por defecto, pues son menores que π. Los números que aparecen a la derecha de estas desigualdades son aproximaciones de π por exceso,
pues todas ellas son mayores que π.
• Una aproximación decimal de orden n por defecto es una estimación en
la cual todas las cifras, incluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original, y las demás son cero.
• Una aproximación decimal de orden n por exceso es una estimación en
la cual todas las cifras, excluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original; la que indica el orden es una unidad más, y el resto de ellas son cero.
3. Dado el número de oro Φ = 1,61803398…, calcula las siguientes aproximaciones decimales:
a) Aproximación decimal a unidades por exceso. La aproximación es 2.
b) Aproximación decimal a centésimas por defecto. La aproximación es 1,61.
c) Aproximación decimal a millonésimas por exceso. La aproximación es 1,618034.
4. Halla dos números que puedan ser valores exactos en cada una de las siguientes aproximaciones decimales:
a) 432 es la aproximación a unidades por exceso. Los números pueden ser 431,74…; 431,2…
b) 432,25 es la aproximación a centésimas por exceso. Los números pueden ser 432,247…; 432,244…
c) 432,266 es la aproximación a milésimas por defecto. Los números pueden ser 432,2667…; 432,2662…
6. Redondeos y truncamientos
6.1. Redondeos
• Los números 3,14 y 3,15 son aproximaciones decimales por defecto y por
exceso, respectivamente, del número π = 3,14159... Observa que el número π se encuentra comprendido entre ellas.
En este caso, la aproximación por defecto está más próxima a π que la aproximación por exceso. Decimos, por tanto, que 3,14 es un redondeo de π a
• Los números 3,1415 y 3,1416 son aproximaciones decimales por defecto y
por exceso de π, respectivamente. Observa que el número π se encuentra
comprendido entre ellas.
Redondeos y calculadora*
En este caso, el número π está más próximo a la aproximación por exceso,
por tanto, 3,1416 es un redondeo de π a diezmilésimas.
• El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación decimal
de orden n que se puede dar de ese número.
• En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal. Observamos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del redondeo; si la cifra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la aproximación decimal por
defecto, y si es mayor o igual que 5, el redondeo coincide con la aproximación decimal por exceso.
6.2. Truncamientos
3,141;
3,1415; ...
Si pedimos este resultado a la calculadora nos da 3.141592654, que es
el redondeo a las milmillonésimas.
Para hacer redondeos con el orden
deseado pulsamos varias veces la tecla MODE hasta llegar a esta pan-
Así, con el número π en pantalla:
Redondeo = Trucamiento
Ejemplo: π = 3,141592653589...
son truncamientos del número π.
Las calculadoras redondean los resultados presentados en la pantalla a la
última cifra.
Las aproximaciones decimales por defecto del número π:
• El truncamiento de orden n de un número es su aproximación decimal
por defecto de orden n.
• En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan todas las
cifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la aproximación por
defecto del número, coincide con el truncamiento en forma decimal.
• Elegimos Fix 3 y aparece en pantalla 3.142, que es el redondeo a
• Elegimos Fix 5 y aparece en pantalla 3.14159, que es el redondeo
a cienmilésimas.
Para volver a la calculadora a modo
normal, elegimos Norm 1.
(*) Todas las referencias a la calculadora
científica que aparecen en el texto se
han tomado de la calculadora Casio modelo fx-82MS. Otros modelos que comparten las mismas utilidades son fx83MS, fx-85MS, fx-270MS, fx-300MS
y fx-350MS.
• Cuando tomamos 3,14 como aproximación decimal por defecto de
π = 3,141592… estamos cometiendo un error.
| 3,141592… – 3,14 | = 0,001592… < 0,01
Dicho error es 0,001592…, y la cota de error es 1 centésima.
• El error relativo, o error por cada
unidad, es un tanto por uno. A
veces este error relativo se expresa
en tantos por ciento.
• Por lo anterior, el tanto por ciento o porcentaje de error se obtiene multiplicando el error relativo
• A la vista del dibujo anterior podemos observar que, si tomamos 3,15 como
aproximación decimal por exceso de π, estamos cometiendo un error.
| 3,141592… – 3,15 | = 0,008407… < 0,01
Este error es 0,008407… y la cota de error es también de 1 centésima.
• El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el aproximado.
|valor real – valor aproximado | = error absoluto
• La cota del error absoluto es un número que verifica:
| valor real – valor aproximado | < cota de error
• La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por defecto o por
exceso, es una unidad de ese orden. Cuando la aproximación decimal sea
un redondeo de orden n, la cota de error es media unidad de ese orden.
El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene dado por:
error relativo = ᎏᎏ
5. Completa la siguiente tabla:
decimal a centésimas
y cota de error
decimal a décimas
por exceso y cota
milésimas y cota
F = 1,61803…
aproximación: 1,61
cota de error: 0,01
aproximación: 1,7
cota de error: 0,1
redondeo: 1,618
truncamiento: 1,618
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
p = 3,14159…
aproximación: 3,14
aproximación: 3,2
redondeo: 3,142
truncamiento: 3,141
´ = 2,71828…
aproximación: 2,71
aproximación: 2,8
redondeo: 2,718
truncamiento: 2,718
2 = 1,41421…
aproximación: 1,41
aproximación: 1,5
redondeo: 1,414
truncamiento: 1,414
8. Notación científica y orden
8.1. Notación científica
En la práctica es muy útil escribir los números muy grandes o muy pequeños
en notación científica. Así:
Calculadora y notación
5,23 · 1011
523 000 000 000
–134 500 000 000 000
–1,345 · 1014
0,00 000 000 009 235
9,235 · 10–11
–7,91 · 10–7
–0,000 000 791
• Expresar un número en notación científica es ponerlo como un producto cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una parte
decimal, por una potencia de base 10 y exponente entero. Simbólicamente:
a,bcd … · 10 n
Cuando la calculadora ha de presentar en la pantalla un número muy grande
o muy pequeño, con más cifras de las que puede mostrar en su visor, lo presenta
automáticamente en notación científica.
Para introducir en la calculadora números en notación científica utilizamos la tecla EXP .
Así el número –9,423 · 10–20 lo introducimos de la siguiente forma:
- 9 . 4 2 3 EXP - 2 0
y aparece en pantalla: –9.423x10–20.
La calculadora presentará los números que aparecen en el ejemplo anterior en
notación científica de la siguiente forma:
Cálculo del orden de magnitud
5.23 x1011
–1.345 x1014
9.235 x10–11
–7.91 x10–7
8.2. Orden de magnitud
Para hallar el orden de magnitud de
un número hay que situarlo entre
dos potencias consecutivas de 10 y,
después, observar a cuál de ellas se
aproxima más.
Observamos los ejemplos:
• El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a
Para calcular el orden de magnitud de un número se pueden utilizar los siguientes procedimientos:
• La definición, como podemos ver en el margen.
• La notación científica. El orden de magnitud de un número, escrito en notación científica, es el producto del orden de magnitud de la parte entera
por la potencia de 10 correspondiente. Así por ejemplo:
– El orden de magnitud de 6 572 = 6,572 · 10 es: 10 · 10 = 10
– El orden de magnitud de 0,000042 = 4,2 · 10–5 es: 1 · 10–5 = 10–5
– El orden de magnitud de –364 = –3,64 · 102 es: 1 · 102 = 102
– El orden de magnitud de 62 milésimas es: 10 · 10–2 = 10–1
• Orden de magnitud de 6 572:
1 000 < 6 572 < 10 000
Como está más próximo a 10 000
(104) que a 1 000 (103), el orden
de magnitud es 104.
• Orden de magnitud de 0,000042:
0,00001 < 0,000042 < 0,0001
Como está más próximo a
0,00001 (10 –5 ) que a 0,0001
(10–4), el orden de magnitud es
9. Radicales
Como recordarás del curso pasado, decimos que 9 = 3 y 125
= 5 porque:
9 = 3 ⇔ 9 = 32
125 = 5 ⇔ 125 = 53
• Raíz enésima de un número a –se escribe a– es otro número b que cumple a = bn.
a = b ⇔ a = bn
El símbolo a se llama radical:
• a es el radicando.
• n es el índice.
Observamos que un mismo radical puede ser escrito de diferentes formas:
Raíces cuadradas y cúbicas en la
2 = 4 = 8 = 16
Las calculadoras nos ofrecen las
siguientes funciones para el cálculo
de raíces cuadradas y cúbicas:
A todos estos radicales que dan lugar a la misma raíz se les llama radicales
Permite calcular las raíces cua• dradas de radicando positivo.
• Radicales equivalentes son los que tienen las mismas raíces. Para obtener un radical equivalente a otro se multiplican, o se dividen, el índice y
el exponente por el mismo número, distinto de cero.
Así, para calcular 576
y obtenemos 24.
• Permite calcular las raíces cúbicas de cualquier radicando.
El concepto de radicales equivalentes es muy útil en la simplificación de
Como ejemplo, vamos a simplificar los radicales siguientes:
096 = 2
• x6 = x2 · 3 = x3
Para calcular 60
debemos ejecutar:
y obtenemos 3.914867641.
• –243
5 = –3
• a3 b6 = a3 b2 · 3 = ab2
x = 22n x = 22 x
9.1. Los radicales como potencias de exponente
Para trabajar con radicales, en ocasiones resulta muy útil escribir estos como
potencias de exponente fraccionario.
Otras raíces de la calculadora
Con la calculadora científica podemos encontrar el valor de la raíz de
cualquier índice de un número dado.
• Todo radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario de la siguiente forma:
permite calcular las raíces de
0 índice x.
Escribimos los radicales en forma de potencia cuando queremos simplificar radicales y cuando operamos con ellos:
2 187 = 3 =3 =3
2+ ––
=3 ·3
Para calcular 243
5 0 2 4 3
· a = (2 · a ) = (2a) = (2a) = 2a
• 52 : 5 = 5 : 5
–– – ––
y obtenemos 3.
Las propiedades de las potencias con exponente entero son también válidas
con exponente fraccionario.
4. a n 1. a n · a q = a n
5. (a · b) n = a n · b n
2. a n : a q = a n
= ᎏᎏ
6. (a : b) n = a n : b n
6. Expresa en forma de potencia:
a) x = x
x3) = x
7. Expresa de forma radical:
b) (x3 · y3)
= x5
= x3 · y3
d) (x3)
8. Halla radicales equivalentes con índice común para los radicales 5
73 y 35.
, Consideramos el menor índice común, es decir, el mínimo común múltiplo de los índices que, en este caso, es el mcm (2, 4, 6) = 12.
Los radicales buscados son:
73 = 7
35 = 3
Es decir, 5
79 y 310 son radicales con igual índice, y respectivamente equivalentes a los dados.
10. Operaciones con radicales
Niccolò Fontana (hacia 1500-1557)
Recuerda que, para operar con radicales, podemos poner estos en forma de potencia y utilizar las propiedades de las potencias, o bien mantener los radicales y utilizar las siguientes propiedades.
10.1. Radicales de igual índice
• El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por
índice el índice común, y por radicando, el producto de los radicandos.
a · b = • El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común, y por radicando, el cociente de los radicandos.
a : b = a
Conocido con el apodo de Tartaglia
debido a su tartamudez a consecuencia de un golpe en la cabeza
durante la infancia. Entre sus muchas
aportaciones a las matemáticas está
el haber resuelto la ecuación cúbica:
• La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo, y por radicando, la potencia del radicando.
• La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices, y por radicando, el mismo.
+ ᎏᎏ
+ ᎏᎏ –
– ᎏᎏ
10.2. Radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice podemos operar de dos
Así, por ejemplo, la ecuación:
x3 + 6x = 2
• Transformando los radicales en potencias de exponente fraccionario.
• Hallando los radicales equivalentes a los dados con igual índice y aplicando las propiedades anteriores.
9. Efectúa y da el resultado en forma de radical:
5 · 25 = 5 · 52 = 5
reducimos a
índice común
utilizamos potencias
= 22 · 8 4 = 22 · 24 = 22
: 3 = = 33 = 3
22 · 8 = 22 · 23 = 2
2 · 8 = 5 = 22
= 273 : 94 = 39 : 38 = 3
= 24 = 2
1 + ––
11. Racionalización de denominadores
Se llama racionalización de denominadores al procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción.
En la siguiente tabla mostramos los casos más usuales de racionalización con
sus respectivos procedimientos.
Las expresiones del tipo:
Multiplicamos numerador y denominador por b
y a – b
así como las del tipo:
a con m < n
a + b y a – b
Multiplicamos numerador y denominador por b .
se llaman conjugadas.
b ± c
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión
conjugada del denominador.
Las segundas son conjugadas de las
primeras, y estas son conjugadas de
10. Racionaliza:
72 = 3
3 · a) ᎏ
=ᎏ
6 – 2)
b) ᎏᎏ = ᎏᎏ · ᎏᎏ = ᎏᎏ = 3 (6
c) ᎏᎏ
5 (25 + 3)
ᎏᎏ = ᎏᎏ
(25 – 3)(25 + 3)
2 x–2
d) ᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ
x – 2 · x–2
11. Opera y simplifica las expresiones siguientes:
a) 316
3 · b) ᎏᎏ
2 · 53 + 2
4 – ᎏᎏ = 32
52 = 5
· 5 · 52
– 52 + ᎏ 2 = 42
transformamos en potencias
–– + –– + ––
= 5 3 · 512 · 560 = 5 3
= 560 = 520 = 59
Un triángulo en un cuadrado
En el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura.
¿Cómo te parece que es el triángulo APD?
Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto a
datos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de hacer, tratar de entender. Esta fase es clara en el problema que nos ocupa y
se percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide.
Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las estrategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategias que se
nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por métodos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de la figura propuesta.
A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante la
que nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellas
pueden resultar útiles en caso de fallar la elegida.
En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, por
la experiencia acumulada, sabemos que los procedimientos geométricos
suelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos.
Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles,
como el de la figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtenemos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corresponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equiláteros y del cuadrado, figuras estas que componen el cuadrado inicial dado.
A partir de este dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP es
igual que el triángulo BPC, ya que tienen dos lados iguales (AT = BP y
TP = PC) e igual que el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°;
de la igualdad de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la simetría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se
sigue que el triángulo APD es equilátero.
REVISAR EL PROCESO Y SACAR
CONSECUENCIAS DE ÉL
Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si nos
es posible, resulta conveniente trasladar las ideas que hemos tenido a otras
situaciones, modificar el problema, generalizarlo, etc.
Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes:
¿qué sucede si trazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?,
¿y qué pasa si dividimos otro polígono regular en vez de un cuadrado?
Un problema matemático es una situación que plantea una
meta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerosos
obstáculos. Resolver un problema, o intentarlo, requiere una
toma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no conoce ninguna receta o procedimiento para resolverlo.
recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas recetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Podemos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que de
antemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para resolverla.
Las principales características que debe reunir un problema son:
• Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo.
• Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad.
• No ha de plantear un bloqueo inicial a la persona que lo
intente resolver.
• Proporcionar satisfacción al intentar resolverlo.
• Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de proponerlo a los demás.
Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior es
realmente un problema, pues cumple con las características que
lo definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es para ti
un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tus
conocimientos sobre trigonometría. En ese estadio poseerás
Las ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de Problemas,
están tomados de los siguientes libros o revistas:
– CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid.
– CERO, Grupo (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia.
– FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma n.º 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao.
– GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza.
– GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona.
– MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona.
– WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.
Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas:
1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros?
2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente,
o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vez
que completa 100 km cargado.
El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi?
Efectuamos las siguientes operaciones con potencias y radicales:
c) ᎏ
– 5兹135
3 ·9
b) ᎏᎏ – (1 + 3兹6
3兹苶
2 – 2兹苶
5兹苶
25苶
Introducimos, en cada caso, las potencias y las raíces mediante los operadores
En a) factorizamos el resultado inicial para obtener el final en forma de potencia; en
el margen vemos el resultado.
b), c) y d) aparecen resueltos en la imagen siguiente:
1. Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado en forma de fracción y en forma decimal, en este caso con 4 cifras
冤冢 冣 冢 冣 冢 冣 冥
: ᎏ
· ᎏ
冤冢
3 1–ᎏ –ᎏ 2–ᎏ
冣冥:7
2. Opera y simplifica lo más posible las expresiones siguientes:
苶冣 ᎏ
ᎏ + ᎏ 兹112
冢7兹63苶 – 8冪莦
兹苶7
2 – 3兹苶
兹苶 兹苶
3. Halla el valor de x para que cada una de las siguientes igualdades sea verdadera:
ᎏ·ᎏ
625 · 4–2
冤冢 冣
· (3) X
: 27 = ᎏ
1. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala:
numérico al
2. Explica la verdad o la falsedad de las siguientes afirmaciones poniendo un ejemplo o contraejemplo en cada una de
a) Todo número real es irracional.
b) Algún número racional es entero.
c) Ningún número entero es decimal.
d) Todo número decimal es racional.
3. Representa en la recta real los siguientes números y conjuntos:
e) A = {a ∈ | a < –2 y a > –6}
b) – 8
f) E(2, 3)
g) B = {x ∈ | x > 4 ó x > –4}
h) (–∞, –3) ∩ [–4, 3]
4. Expresa en forma de intervalo, cuando sea posible, y estudia la acotación de los siguientes conjuntos, determinando la
existencia de supremo, ínfimo, máximo y/o mínimo:
a) E(6, 5)
e) {x ∈ | x ≤ 2 y x ≥ – 2} ∪ {x ∈ | x > 0}
b) (–3, 2) ∩ [–1, 3]
f) F = {f ∈ | f < 2 ó f < 6}
c) (–3, +∞) ∪ [–5, 4]
g) E(–2, 4) ∩ E*(2, 4)
d) D = {n ∈ | n > 2 y n < 11}
h) E+(–6, 2) ∪ E–(–6, 2) ∪ {–6}
5. Escribe cada uno de los siguientes conjuntos en forma simbólica y de intervalo cuando sea posible. Estudia la acotación
y la existencia de supremo, ínfimo, máximo y mínimo:
6. Halla el centro y el radio del entorno al que corresponde el intervalo (–3, 6).
7. Dibuja en la recta real la solución de cada una de las siguientes desigualdades y exprésalo en forma de intervalo y de
a) |3 + 2x| ≥ 9
8. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
32,55628…
a décimas por defecto
a milésimas por exceso
Redondeo a centésimas
a diezmilésimas
9. Sea el número 13 546,258304… Asocia cada uno de los siguientes números con su aproximación decimal o redondeo
a) 13 546,2
1) Redondeo a decenas.
b) 13 547
2) Aproximación decimal por exceso a milésimas.
c) 13 546,26
3) Redondeo a décimas.
d) 13 550
4) Aproximación decimal por defecto a décimas.
e) 13 546,3
5) Redondeo a centésimas.
f) 13 546,259
6) Aproximación decimal por exceso a unidades
<π<
. Calcula, aproximadamente, el error abso71
luto y relativo que se comete al tomar cada una de las fracciones como valor aproximado de π. ¿Con cuál se comete
menor error relativo?
10. Arquímedes llegó a determinar que el valor de π cumple que
11. En la siguiente tabla aparecen las distancias medias (en km) de los planetas al Sol. Sabiendo que 1 ua (unidad astronómica) son 149 597 870 700 m, halla estas distancias en ua, exprésalas en notación científica y determina en cada una
de ellas el orden de magnitud.
57 909 175
108 208 930 149 597 870 227 936 640
778 412 010 1 426 725 400 2 870 872 200 4 498 252 900
12. a) Escribe cada uno de los siguientes números en notación científica.
x = 0,000000000003
y = 432 cienmilésimas
z = 243 millones
b) Efectúa las operaciones siguientes en notación científica:
i) x + y
ii) t – 0
iii) x · z · t
t = 623 000 000 000 000
iv) y : x · t
13. En el Afelio (punto de la órbita más alejado del Sol) Marte se encuentra a 249,1 millones de km del Sol y en el Perihelio (punto de la órbita más próximo al Sol) se encuentra a 206,7 millones de km del Sol.
Sabiendo que un año-luz es la distancia recorrida por la luz en un año:
1 año-luz = 9,4605 · 1012 km.
Calcula con redondeo a milésimas la distancia de Marte al Sol en el afelio en segundos-luz y en el perihelio en minutos-luz.
14. Calcula las siguientes raíces:
36 a4 b2
256 z 8
125 a3 b6
− 8 x6 y 3
243 x15
16 x 8 y 4
15. Expresa en forma de potencias las raíces, o en forma de raíz las potencias siguientes:
16. Pon las siguientes expresiones bajo un único radical:
ab2 )
a 4 a9
17. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:
625 x 5 y 6
64 a7 b5
9a2 − 9
x5 y 7 z9
x2 + x2y
18. Introduce los factores en el radical:
a) 5 3
c) 3 4 33
b) 3ab 3 a2
d) a4 b2
e) 2 3 2a
4 ab 3 2a2b
19. Calcula, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia:
d) a− 1 · 3 a2
2a5 : 4 2a3
36 : 5 34
a:3a
a) 5 3 −
3−3 3−
2+ 32−
d) 3 3 250 − 15 3 16 + 5 3 54
e) 3 36a − 5 4 a − 25a + 6 a
f) 3 x 2 3 27 x − 7 3 x 7 − x 3 x 4
21. Halla el perímetro y el área de un hexágono circunscrito a una circunferencia de radio
22. Realiza las siguientes operaciones simplificando lo más posible los resultados:
a) ⎜ 3 −
20 ⎟ ·
f) ⎜
b) 2 · 3 60 · 3 25 · 3 18
(3 5 − 2) − 6 5 · ( 5 − 2)
( 2 + 2) − ( 2 + 2) · ( 2 − 2)
( 3 − 2) · ( 3 + 2 2) · 3
2 + 2 8 + 2 5 ) · ( 72 − 20 − 2 )
45 + 180 − 80 ) : ( 245 − 20 )
3 − 3 2) − 3 · ( 3 + 2)
75 − 27 + 2 12 ) : 3 3
23. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor las raíces de cada apartado:
2−1 , 9 3, 5
10, 5 100
36, 3 15, 6 100
24. Opera:
2·32·46
5 · 4 125 · 8 15625
a5 · 3 a2 · 12 a7
8 a3 b : 2ab
a2 b3 · 6 2 a3 b2
2·44·68
25. Racionaliza las siguientes fracciones:
7·33
2 3−3
2 7 +5
26. El diseñador Le Corbusier (1887-1965), a partir del estudio de las proporciones en el cuerpo humano, creó el modulor que es un sistema de diseño basado en la medida de
113 cm (la altura del ombligo medida desde el suelo) y en
la proporción áurea. Se utilizó, entre otras cosas, en el diseño y construcción de objetos de mobiliario.
Construyó el modulor a partir de considerar una altura estándar para el hombre h =183 cm y creando las llamadas
series rojas y azul de la siguiente forma:
Serie roja: …h · φ–2, h · φ–1, h, h · φ, h · φ2…
Serie azul: …2 · h · φ–2, 2 · h · φ–1, 2 h, 2 · h · φ, 2 · h · φ2…
Demuestra que las sucesiones anteriores son sucesiones de
Fibonacci (en las que cada término es suma de los dos anteriores) tomando φ = 1 + 5 y operando con los radicales.
27. Calcula, simplificando al máximo, el valor de:
a) 2 81 · 2 3 64
5 + 3 3
c) ⎜ 5 256 −
2 ⎞ 58
⎟:
972 ⎠ 2
28. Racionaliza, efectúa y simplifica la expresión:
− ( 6 − 2)
4 3−3 2
c) 1 − ⎜
⎝ 1 + 3 1 − 3 ⎟⎠
2 5−4 2 5
29. Efectúa y simplifica:
a⋅9 a
3 6+ 3
7−2 6 · 7+2 6
30. Comprueba que las siguientes identidades son ciertas:
4 +2 3 − 4 −2 3 = 2
⎛ 1+ 6 ⎞
⎛ 1− 6 ⎞
31. Calcula el valor de esta expresión y simplifica lo más posible ⎜
⎟ − ⎜ 1+ 6 ⎟
⎝ 1− 6 ⎠
32. Llamamos espiral de los radicales a la figura adjunta.
a) Describe la construcción de la espiral.
b) Si la longitud del segmento OA es 1, calcula las longitudes de
los segmentos OB, OC, OD, OE, OF y OG.
c) Construye un segmento de longitud
33. Demuestra que el número cordobés
10 con la ayuda de esta
se puede escribir de
34. En un análisis de sangre de un paciente, el número de glóbulos rojos
por mm3 de sangre ha sido de 4,8 · 106.
a) ¿Cuál es el número de glóbulos rojos de este paciente, sabiendo
que su cuerpo contiene aproximadamente 5 litros de sangre?
b) Si el diámetro de cada glóbulo rojo es aproximadamente de 10–2
mm, ¿cuál es la longitud en kilómetros de una hilera formada por
los glóbulos rojos de este paciente?
c) Si la longitud del ecuador es aproximadamente de 40 000 km,
¿cuántas veces esta hilera de glóbulos rojos podría dar la vuelta a
Realiza los cálculos en notación científica.
1. El intervalo solución de la expresión E(2, 5) ∩ [–1, 7] es:
a) (–1, 7)
b) [–1, 7)
c) [–1, 7]
2. La distancia al universo observable es de 25 000 000 000 años-luz. Sabiendo que 1 año-luz son 9 400 000 000 000 000
m, la distancia al universo en kilómetros es:
a) 2,35 · 1022
b) 2,35 · 1023
c) 2,35 · 1024
175 ⎞ 6
3. El resultado de operar ⎜ 7 63 − 8
4 ⎠ 7
b) 5· 7
c) 12· 7
4. Al calcular el valor de (1 + 3 ) – (1– 3 ) obtenemos:
12 + 4 5 · 3 12 − 4 5 es:
Vamos a contar cuadrados sobre cuadrículas de puntos.
a) ¿Cuántos cuadrados se pueden dibujar de manera que tengan sus vértices sobre los puntos de la cuadrícula 3 × 3 del dibujo?
b) ¿Cuántos tipos diferentes de cuadrados se pueden dibujar sobre la citada cuadrícula?
c) ¿Cuántos cuadrados y de cuántos tipos diferentes se pueden dibujar sobre una cuadrícula de 4 × 4 puntos?
d) Intenta encontrar alguna regularidad repitiendo la situación anterior para las cuadrículas 5 × 5 y 6 × 6.
Calcula cuántos cuadrados y de cuántos tipos podremos dibujar en una cuadrícula de 8 × 8 puntos.
e) ¿Cuántos cuadrados se podrían dibujar sobre una cuadrícula de dimensión n × n?
Nos gustaría investigar cuántos triángulos y de cuántos tipos se pueden trazar sobre las mismas cuadrículas. ¿Te atreverías a contar segmentos, rectángulos…?
Y si las cuadrículas son de dimensiones m × n, ¿cuántos cuadrados, triángulos, segmentos, rectángulos… se pueden dibujar?
Radicales - AFAMaC
Tema2_apuntesalumnos
Periodicidad y acotación de funciones.
u Números reales 1unidad 1
1. Números reales 2. Raíces y potencias 3. Operaciones con radicales
1º ESO - 5. Los números decimales
UNIDAD 1.- Números reales (temas 1 del libro)
Ficha 2 - Marcelo Valenzuela
b - Editex
Parte entera del número Korovkin
1 - Tabarca Llibres
"de potencia" en -lugar
T3_Potencias

References: resolución 
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 Resolución 
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 Resolución 
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 Resolución