Source: https://es.scribd.com/document/156085487/2%C2%BA-medio-Algebra
Timestamp: 2017-11-22 05:36:49+00:00

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Cargado por Osvaldo Baeza Rojas
EL PODER GENERALIZADOR DE LOS SÍMBOLOS
CONTENIDO 7 Guía 1: Recordando las expresiones algebraicas 10 Guía 2: Expresiones algebraicas en la Ciencia 18 Guía 3: El juego de los factores Un método visual para comprender la factorización 26 Guía 4: El juego de los factores Desafíos algebraicos utilizando el puzzle 27 Guía 5: Construcción de pósters algebraicos 28 Guía 6: ¿Son expresiones equivalentes? 29 Guía 7: Trabajo con expresiones equivalentes 31 Guía 8: Transformando expresiones algebraicas Formalización de la simpliﬁcación 36 Guía 9: Factorización de expresiones simples Técnica del factor común 39 Guía 10: Factorización de trinomios cuadráticos Expresiones de la forma x2 + bx + c .
42 Guía 11: Factorización de productos notables Cuadrado del binomio y suma por diferencia 47 Guía 12: Simpliﬁcación de expresiones algebraicas Primera parte 51 Guía 13: Ensayo prueba 1 de Álgebra 59 Guía 14: Simpliﬁcación de expresiones algebraicas Segunda parte 64 Guía 15: Biología Buscando un modelo matemático para la reproducción humana 68 Guía 16: Ingeniería y medioambiente Gestión y manejo de residuos sólidos domiciliarios 74 Guía 17: Ensayo prueba 2 de Álgebra 82 Guía 18: Relación entre la Aritmética y el Álgebra Operaciones con expresiones algebraicas 85 Guía 19: Aplicación de la operatoria algebraica 87 Guía 20: Suma y resta de expresiones algebraicas Primera parte 90 Guía 21a: Mínimo común múltiplo de expresiones Primera técnica .
96 Guía 21b: Mínimo común múltiplo de expresiones Segunda técnica 103 Guía 22: Suma y resta de expresiones algebraicas Segunda parte 109 Guía 23: Multiplicación de expresiones 112 Guía 24: División de expresiones 116 Guía 25: Operatoria combinada de expresiones Primera parte 122 Guía 26: Operatoria combinada de expresiones Segunda parte 127 Guía 27: Operatoria con potencias de exponente entero Primera parte 133 Guía 28: Operatoria con potencias de exponente entero Segunda parte 137 Proyecto 1: Matemática Geometría de fractales 143 Proyecto 2: Acústica Diseño de espacios acústicamente apropiados .
Lynne Alper y Sherry Fraser. M1 se usa para representar el número de mujeres que cursan el Primero Medio en el liceo. Otras variables representan una cantidad promedio. valorar su uso como una manera abreviada de expresar cantidades numéricas. en promedio. A se usa para el número de asignaturas que cada estudiante tiene en el liceo. como por ejemplo Tm que expresa el número de minutos que cada alumno le dedica. se usan símbolos para representar el número relativo al liceo. Diane Resek. Year 1” de Dan Fendel. Expresiones algebraicas 7 . Por ejemplo. Key Curriculum Press. Símbolo de la variable A M1 H1 M2 H2 M3 H3 M4 H4 Tm To Fm Tv T D EM EH Signiﬁcado de la variable Número de asignaturas que tiene cada estudiante en segundo medio Número de mujeres en Primero Medio Número de hombres en Primero Medio Número de mujeres en Segundo Medio Número de hombres en Segundo Medio Número de mujeres en Tercero Medio Número de hombres en Tercero Medio Número de mujeres en Cuarto Medio Número de hombres en Cuarto Medio Número de minutos que cada estudiante emplea en su tarea de Matemática cada noche Número de minutos que cada estudiante emplea en su tarea que no sea de Matemática cada noche Número de minutos que cada estudiante emplea en hablar por teléfono cada noche Número de minutos que cada estudiante emplea en ver televisión cada noche El número de minutos que dura cada clase El número de días de clase por año El número de horas por semana que cada mujer escucha música El número de horas por semana que cada hombre escucha música Valor 7 230 246 215 213 189 198 178 183 27 52 40 120 45 180 18 15 1 Basado en una actividad propuesta en el “Interactive Mathematics Program.GUÍA 1 RECORDANDO LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS1 Expresiones algebraicas con sentido Este trabajo se trata de recordar las expresiones algebraicas. a su tarea de Matemática cada noche. 2000. En la tabla que aparece más adelante. y a su vez.
Usando los símbolos dados.240) no tiene ninguna interpretación lógica. reemplazando los valores en la expresión se tiene: Tm + To = 27 + 52 = 79 Luego. Luego. la expresión D • EM realmente no signiﬁca nada en este caso. aún cuando siempre puedes sustituir números y hacer operaciones aritméticas. así que To = 52. Por ejemplo. Llamaremos a esta descripción concisa el signiﬁcado para la expresión Tm + To. pero el producto que obtienes (3. aun si los valores de Tm y To fueran diferentes. La frase “el número total de minutos que cada estudiante utiliza en su tarea cada noche” es una manera concisa de describir el número representado por Tm + To. En otras palabras. La suma de ambos representa el número total de minutos que cada estudiante utiliza en hacer sus tareas cada noche. el primer término representa el tiempo que un estudiante emplea cada noche en hacer su tarea de Matemática. Por ejemplo. muchas de estas expresiones no tienen ningún sentido en la situación dada. mientras que el segundo representa el tiempo que utiliza en hacer las tareas de otras asignaturas. y que cada estudiante usa 52 minutos en otras tareas. es posible escribir muchas expresiones algebraicas diferentes. He aquí la potencia y la fuerza del Álgebra como una manera de describir y representar en forma genérica situaciones numéricas concretas. 8 Recordando las expresiones algebraicas . si analizamos la expresión Tm + To. cada estudiante usa en total 79 minutos cada noche en hacer sus tareas. Ahora. Es importante notar que. Sin embargo. considera la expresión D • EM. Ciertamente puedes multiplicar “el número de días de clase por año” (180) por “el número de horas por semana que una niña escucha música” (18). la expresión Tm + To seguiría representando el número total de minutos que cada estudiante utiliza para su tarea cada noche. La lista anterior nos dice que cada estudiante usa 27 minutos en la tarea de Matemática. la expresión Tm + To sí tiene signiﬁcado en esta situación. otras expresiones sí tienen un signiﬁcado. Pero. así Tm = 27.
Para cada expresión haz lo siguiente: Escribe la expresión algebraica. Explica el signiﬁcado de la expresión. Calcula y escribe el valor numérico de la expresión.Construyendo tus propias expresiones algebraicas con signiﬁcado Tu tarea es inventar tantas expresiones algebraicas que tengan algún signiﬁcado como puedas. basado en los valores de las variables individuales dados en la tabla. usando para ello los símbolos de la tabla de la primera página. usando una frase breve y con sentido. Expresión algebraica Signiﬁcado Valor numérico Recordando las expresiones algebraicas 9 .
GUÍA 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS EN LA CIENCIA Las fórmulas En la Ciencia las expresiones algebraicas cobran gran relevancia. Existen polígonos convexos y no convexos. Evaluar una fórmula signiﬁca encontrar el valor para una variable especíﬁca. 10 Expresiones algebraicas en la Ciencia . determina un segmento totalmente contenido en él. descubrimientos o leyes físicas quedan generalmente expresados a través de fórmulas matemáticas o ecuaciones. Polígonos Un polígono es una ﬁgura geométrica plana formada por una línea poligonal cerrada. Física y Química. De lo contrario. las que han sido extraídas de distintas áreas: Geometría. A continuación te presentamos algunas fórmulas. Un polígono es convexo si cualquier par de puntos que pertenece a su interior. ya que los resultados importantes. Ambos cálculos dependen del número de lados del polígono (n). donde sus variables (letras) representan determinadas magnitudes. determinar el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice y también el total de diagonales. Matemáticamente: dv = n – 3 dt = n • (n – 3) 2 Ejemplo Para un pentágono (n = 5). Una fórmula es una expresión algebraica con signiﬁcado. Un polígono es regular si posee todos sus lados de igual medida y sus ángulos interiores de igual medida. En un polígono convexo es posible determinar el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice (dv) y también el total de diagonales (dt) que se pueden trazar. Educación Física. reemplazando y operando los valores de las otras conocidas. es un polígono no convexo.
Lados (n) Nombre del Polígono Diagonales desde un vértice (dv) Total de diagonales en el polígono (dt) 4 Cuadrilátero dv = 4 – 3 = 1 dt = 4 4 • (4 – 3) =2 = 2 2 7 Heptágono 3 Decágono Icoságono Expresiones algebraicas en la Ciencia 11 . dando distintos valores al número de lados (n) y construye la fórmula para determinar dv y dt.dv = n – 3 dv = 5 – 3 = 2 dt = dt = Tarea n • (n – 3) 2 10 5 • (5 – 3) = =5 2 2 Número de diagonales desde un vértice Evaluando y resolviendo Número total de diagonales Evaluando y resolviendo Completa la siguiente tabla.
04 1.Capacidad aeróbica La forma más eﬁcaz de medir la capacidad aeróbica de un individuo es determinando el VO2 máx. Se mide en . min 12 Expresiones algebraicas en la Ciencia . la medicina utiliza la espirometría.. la cual es un estudio para medir el consumo de oxígeno.500 – 504 = = 22.500 metros en los 12 minutos y pesa 47 kg. Si Isabel corrió 1. durante 12 minutos.13 45 45 Evaluando y expresando el resultado en ml kg • min 22. ¿cuál es su VO2 máx? VO2 máx. = 996 1. Uno de los más conocidos es el Test de Cooper.000. el VO2 máx queda expresado en litros . Este volumen corresponde al máximo transporte de oxígeno que nuestro organismo puede transportar en ml un minuto.000 Multiplicando por el peso corporal y dividiendo por 1. los entrenadores deportivos utilizan pruebas (tests) de resistencia física. min Para calcular el VO2 máx.13 • 47 = 1. el cual consiste en correr sin parar. Por su parte. pero si se multiplica por el peso kg • min corporal y luego se divide por 1000 el resultado se expresará litros en . intentando cubrir la mayor distancia (DR) posible. DR – 504 45 Matemáticamente: VO2max = Ejemplo El profesor de Educación Física de Isabel le ha tomado a su curso el Test de Cooper para medir la capacidad aeróbica de cada uno.
36 45 45 24.750 72 1.722 93 Expresiones algebraicas en la Ciencia 13 . dando valores a la distancia recorrida (DR) y el peso para obtener el VO2 máx de diferentes personas expresado en litros .096 = = 24.583.000 1.4 = = 1.470 – 504 = = 21. 1.Tarea Completa la siguiente tabla.600 65 1.36 • 65 1.47 45 45 1.000 1.448 68 74 996 1.600 – 504 1. min DR (metros) Peso (Kg) ( VO2 máx.58 1. ml kg • min ) ( ) litros min VO2 máx.
que quiere decir “movimiento”. la cual puede medirse. 600 • 696.26 El resultado expresado en Joules 14 Expresiones algebraicas en la Ciencia . La energía cinética se mide en Joules.Energía cinética Un cuerpo que se mueve tiene una cierta cantidad de energía. La energía de movimiento se llama energía cinética (Ec).39)2 = 2 Ec = Al evaluar la expresión se consideran los valores cuyas unidades sean m. El vehículo junto con el equipaje y las personas que van a bordo reúnen una masa total aproximada de 1. s Matemáticamente: Ec 1 • m • v2 2 Ejemplo: km m Un auto viaja a 95 h (o bien 26.859.39 s ) por la Autopista del Sol rumbo a Algarrobo. término que viene de la palabra griega kinetikos. Esta energía depende de la masa (m) del cuerpo y de la velocidad (v) que posea en algún instante determinado.200 • (26. s y kg.4321 = 417.200 kg. unidad que 2 corresponde a kg •2 m . ¿Cuál es la energía cinética del auto? 1 • 1.
520 75 1.230 • (23.22)2 2 = 725 • 493.94 Ec = 1 • 1.09 800 100 27.4336 = 337.Tarea En la siguiente página completa la tabla. s s s Masa (kg) Velocidad km h ( ) 80 Velocidad m s () ( Energía cinética m2 kg • 2 = Joules s ) 1.450 22. dando valores a la masa y velocidad para calcular la energía cinética de cuerpos en movimiento usando la fórmula.899.450 • (22.830 115 31. 44)2 2 = 615 • 549.953.22 Ec = 1 • 1.78 1.7284 = 357. Recuerda que para pasar de ( km ) a ( m ) sólo basta multiplicar por 10 y dividir por 36. Utiliza la velocidad expresada en ( m ).45 Expresiones algebraicas en la Ciencia 15 .
o sea la presión (P). puesto que al crecer esta aumenta la agitación de las moléculas y por consecuencia el número de choques. Directamente proporcional a la temperatura (T).16. Matemáticamente: P= Donde R es la constante de los gases ideales y su valor es 0. nRT V atm1 • litros ) ºK • mol 2.16 20 48. Para los gases ideales se cumple que el número de choques que se producirán por unidad de superﬁcie. el cual ocupa un volumen de 20 litros y se encuentra a una temperatura de 24 ºC ( 297. tendrá que ser: 1.734 = 2.44 20 Fórmula de los gases ideales P= Evaluando la fórmula P= Resolviendo el cuociente. si dicho número disminuye los choques también disminuirán. ya que el modelo considera la temperatura en grados Kelvin (temperatura absoluta). Esta transformación es importante. Inversamente proporcional al volumen (V). Ejemplo Determinar la presión que ejercen 2 moles (n) de un gas (considerado como ideal). De igual forma. 3.16 ºK).082 ( La fórmula para pasar de grados Celsius (ºC) a grados Kelvin (ºK) es: ºK = ºC + 273. P= nRT V 2 • 0.082 • 297. La presión queda expresada en atmósferas (atm) 1 Atmósferas 16 Expresiones algebraicas en la Ciencia . ya que cuanto mayor sea este.Gases ideales Supongamos un gas encerrado en un cilindro y observemos la presión que ejerce sobre sus paredes. menor es el número de choques y viceversa. ya que al ser mayor este número aumentarán los choques. Directamente proporcional al número de moléculas (n).
92 42 42 Expresiones algebraicas en la Ciencia 17 . Recuerda que para obtener grados Kelvin (º K) sólo hay que sumar 273.Tarea: Completa la siguiente tabla.082 • 303. la temperatura y el volumen para obtener la presión del gas. dando valores al número de moles.16 30 P= 10 • 0.59 = = 5.16 124. Moles Temperatura Temperatura (n) (ºC) (ºK) Volumen Presión (litros) (atm) 5 • 0.16 25 P= 8 42 28 15 328.082 • 303.97 25 25 5 30 30 + 273.29 = = 4.16 248.16 35 10 298.16 a los grados Celcius (º C).16 = 303.
etc. se pueden realizar distintas operaciones entre las expresiones algebraicas y se seguirán cumpliendo todas las propiedades que caracterizan a los números reales (asociatividad. Ahora.GUÍA 3 EL JUEGO DE LOS FACTORES UN MÉTODO VISUAL PARA COMPRENDER LA FACTORIZACIÓN Factorización de expresiones algebraicas Factorizar expresiones algebraicas corresponde a ordenarlas de un modo conveniente. elemento neutro. Más especíﬁcamente. 18 El juego de los factores . a su vez. e. es entender y visualizar que cierto tipo de expresiones algebraicas se pueden representar geométricamente como un “rectángulo”. En particular pueden representar números reales como: 2. al igual que con los números reales. trabajaremos con un método “visual” y “manipulativo” para entender la factorización de expresiones algebraicas. como por ejemplo: sumarlas. son también expresiones algebraicas. factorizar es transformar una expresión algebraica en el producto de factores que.). elemento inverso. sólo que más abstracta y general. cuya área corresponde a la expresión algebraica desarrollada y los lados corresponden a los factores en que se puede descomponer dicha expresión. –1. 4 5 . restarlas. La idea fundamental en esta actividad. 3 . Por lo tanto. de forma que resulte más fácil el hacer ciertas operaciones entre ellas. Es importante que tengas claro que las expresiones algebraicas no son otra cosa que una representación distinta de un número cualquiera. multiplicarlas o dividirlas. etc. π.
Reglas del juego 1. Lean cuidadosamente las reglas del “Juego de los factores” y asegúrense de que las entienden bien. Objetivo del juego Relacionar la factorización y el desarrollo de expresiones algebraicas con el área de cuadrados o rectángulos que se pueden formar con el puzzle. según los requerimientos. En el puzzle existen piezas rojas y azules. el lado representa una cantidad variable. Armar el puzzle y encontrar el área del rectángulo o cuadrado como el producto de las expresiones algebraicas que representan a los lados. Para efectos del juego. Armar el puzzle consiste en disponer las piezas de modo de formar un rectángulo o cuadrado utilizando los tres tipos de piezas. Por ejemplo. 3. se corresponde con el proceso de “factorizar”.Entendiendo las reglas del juego de los factores Trabaja con tu compañera o compañero de banco. si se requiere armar un rectángulo cuyos lados son (x + 3) y (x – 2) respectivamente. El juego de los factores 19 . El puzzle está constituido por las siguientes piezas: • • • Un cuadrado grande rojo de lado x Rectángulos azules y rojos de largo x y ancho 1 Cuadrados pequeños azules y rojos de lado 1 Nota: Que el lado sea x signiﬁca que corresponde a un número cualquiera. las rojas serán “positivas” y las azules “negativas”. la solución es: El área de este rectángulo representa exactamente a la expresión x2 + x – 6. es decir. 2.
Desarmar el puzzle y ver sus áreas constituyentes se corresponde con el proceso de “desarrollar” el producto de expresiones algebraicas. Al momento de armar el puzzle.1). Al desarmar el puzzle . si se agregan 2 rectángulos rojos necesariamente deben agregarse 2 azules. se pueden “eliminar” piezas que sean iguales en forma. si se desarma el rectángulo cuya área representa a (x + 2) (x . La regla para esto consiste en agregar pares de rectángulos de distinto color. 5. la regla para escoger los cuadrados pequeños es la siguiente: • Si los rectángulos dispuestos verticalmente son del mismo color que los dispuestos horizontalmente. entonces los cuadrados pequeños deben ser de color azul. Si los rectángulos dispuestos verticalmente son de distinto color que los dispuestos horizontalmente. Por ejemplo. entonces los cuadrados pequeños deben ser de color rojo. Al armar el puzzle. puede que sea necesario agregar piezas (situación inversa al punto anterior). Desarmar el puzzle consiste en separar las piezas de un rectángulo o cuadrado ya formado. 6.4. pero de distinto color. El juego considera esta posibilidad sólo para los rectángulos. Es decir. para reconocer las áreas según los tipos de piezas (cuadrado rojo grande. 7. • 20 El juego de los factores .1): Las áreas constituyentes son: x2 2x -x -2 Lo que se corresponde con x2 + 2x – x – 2 que es exactamente el producto desarrollado de (x + 2) (x . rectángulos rojos. rectángulos azules y cuadrados chicos). El juego considera sólo la posibilidad de agregar rectángulos.
el desarrollo buscado es: x2 – 5x – 6 El juego de los factores 21 . Solución: Luego.Ejemplos Formar con el puzzle un rectángulo cuya área sea el producto de expresiones algebraicas (x + 2) (x + 3). Solución: Utilizando el puzzle para encontrar el desarrollo del producto de expresiones algebraicas (x + 1) (x – 6).
Desarrollo de expresiones algebraicas usando el puzzle Siguiendo las reglas del juego. utiliza el puzzle para visualizar el desarrollo de los siguientes productos de expresiones algebraicas: a) (x + 4)(x + 3) c) (x + 5)(x + 2) e) (x − 1)(x + 6) g) (x − 3)(x + 2) i) (x − 3)(x − 2) b) (x + 6)(x + 2) d) (x + 10)(x + 1) f) (x − 2)(x + 7) h) (x + 3)(x − 2) j) (x − 4)(x − 3) 22 El juego de los factores .
utiliza el puzzle para encontrar el producto (los factores) que corresponden: a) x2 + 5x + 6 c) x2 − 5x + 6 e) x2 + 5x + 4 g) x2 + 9x + 18 i) x2 + 9x + 14 b) x2 + 7x + 6 d) x2 + 4x + 4 f) x2 − 4x + 4 h) x2 + 11x + 18 j) x2 − 9x + 18 El juego de los factores 23 .Factorizando expresiones algebraicas desarrolladas Dadas las siguientes expresiones algebraicas desarrolladas.
para tener una orientación acerca de lo que tienes que hacer. Además. a) x2 + x – 12 c) x2 – 4x – 12 e) x2 + 2x – 8 g) x2 + 7x – 8 b) x2 – x – 12 d) x2 + 4x – 12 f) x2 – 2x – 8 h) x2 – 7x – 8 24 El juego de los factores . N° 5 y Nº 6.Factorizando expresiones algebraicas un poco más complejas Utiliza el puzzle para encontrar el producto correspondiente a las siguientes expresiones algebraicas: Ayuda: Fíjate en el desarrollo que hiciste en los ejercicios e) al h) de la primera actividad. revisa las reglas del juego Nº 3.
Factorizaciones especiales Utiliza el puzzle para visualizar el desarrollo de los siguientes productos de expresiones algebraicas: a) (x + 2)(x + 2) c) (x − 2)(x − 2) e) (x + 2)(x − 2) b) (x + 3)(x + 3) d) (x − 3)(x − 3) f) (x + 3)(x − 3) ¿Puedes relacionar los ejercicios anteriores con algo conocido? El juego de los factores 25 .
Armen el puzzle asociado a la expresión (2x – 3) (2x + 4). Armen el puzzle asociado a la expresión (2x – 3) (2x + 4). de modo que se forme un rectángulo cuya área corresponda a la expresión: x2 – 5x.GUÍA 4 EL JUEGO DE LOS FACTORES DESAFÍOS ALGEBRAICOS UTILIZANDO EL PUZZLE Desafíos Ahora. 8. de modo que se forme un rectángulo cuya área corresponda a la expresión: x (x – 5). Armen el puzzle asociado a la expresión (x –1) (3x +1). te presentamos algunos desafíos a modo de proyección de las posibilidades del juego de los factores para comprender qué es y cómo se realiza la factorización de expresiones algebraicas. cuatro compañeras o compañeros. 5. a lo más. ¿Cuál es el rectángulo o cuadrado más grande que se puede formar usando todas las piezas del puzzle y siguiendo las reglas del juego? ¿Hay otra posibilidad? Armen el puzzle. Armen el puzzle. 10. Armen el puzzle. Armen el puzzle asociado a la expresión (2x+1) (x +2). 3. Armen el puzzle de modo que se forme un rectángulo cuya área corresponda a la expresión: 4x2 – 10x – 6. de modo que se forme un rectángulo cuya área corresponda a la expresión: x (x +3). 4. ¿Cuál es el rectángulo o cuadrado más pequeño que se puede formar usando los tres tipos de piezas del puzzle y siguiendo las reglas del juego? ¿Hay otra posibilidad? Escribe la expresión algebraica correspondiente. 7. 1. 9. de modo que se forme un rectángulo cuya área corresponda a la expresión: x2 + 8x. 2. 26 El juego de los factores . reuniendo por lo menos cuatro puzzles con todas sus piezas. Armen el puzzle. Júntate con un grupo de. 11. 6.
de modo que les sea fácil. compártelo con el resto del curso. Asegúrate de que la idea se entiende. para usarla en la construcción de pósters con representaciones gráﬁcas de los productos notables que viste en primero medio y de las principales operaciones algebraicas. esto es: cuadrado de binomio. suma de términos semejantes y simpliﬁcación. de modo que todos lo puedan ver claramente y les sirva de apoyo en el trabajo siguiente. que le permita al curso actuar como un gran equipo. entender la idea representada. debes inventar un póster que ilustre bien la operación algebraica involucrada. Reúnete en grupo con cuatro compañeras o compañeros. Ahora que está listo el póster. suma por diferencia. Pégalo en la muralla en un lugar visible. pues serán herramientas útiles para el trabajo de división de expresiones algebraicas que se realizará posteriormente. Por eso. donde el trabajo de cada grupo contribuya al del resto. Compartiendo el trabajo realizado La idea de esta actividad es realizar un trabajo colaborativo. mostrándole los bosquejos y borradores a los compañeros de otros grupos. en el “Juego de los factores” u otra forma que encuentres apropiada. Construcción de pósters algebraicos 27 . Para hacerlo. de modo que todos tengan este conocimiento a mano para el desarrollo de las actividades siguientes. tanto a ti como al resto de la clase. ahora deben compartir lo realizado.GUÍA 5 CONSTRUCCIÓN DE PÓSTERS ALGEBRAICOS Representación visual del conocimiento matemático Ahora te proponemos una manera distinta de usar tu capacidad para resolver problemas matemáticos. Se trata de que pongas a prueba toda tu creatividad y capacidad de expresión gráﬁca y visual. puedes apoyarte en libros. Según el tema asignado (el profesor asignará al azar a cada grupo un tema algebraico especíﬁco).
GUÍA 6 ¿SON EXPRESIONES EQUIVALENTES? Explorando relaciones entre expresiones algebraicas Una técnica muy útil y poderosa para abordar el trabajo matemático. se puede demostrar que: x2 + x – 2 =x+2 x–1 ¿Qué puedes decir acerca de la validez de esta aﬁrmación? ¿Es verdadera o falsa? Establece una conjetura acerca de su validez (si es verdadera o falsa) y busca evidencia para justiﬁcar tu conjetura. consiste en la transformación de una determinada situación o problema en algo más simple y fácil de tratar. Dado cualquier número real x distinto de 1 (es decir. A continuación. se presenta una situación donde tendrás oportunidad de explorar esta técnica. x ≠ 1). Analiza esta aﬁrmación e intenta responder las preguntas siguientes. 28 ¿Son expresiones equivalentes? .
5xy = 5x y 21mn2 = 7n 3nm a2 – a =a a–1 a. (m ≠ 0. (y ≠ 0) b. Trabajo con expresiones equivalentes 29 . n ≠ 0) (a ≠ 1) c.GUÍA 7 TRABAJO CON EXPRESIONES EQUIVALENTES Demostración de expresiones algebraicas equivalentes Demuestra que las siguientes expresiones algebraicas son equivalentes.
Determinación de la equivalencia de expresiones algebraicas Dadas las siguientes igualdades de expresiones algebraicas. completa la tabla determinando si son verdaderas o falsas y da una justiﬁcación de tu respuesta. Expresiones equivalentes Verdadero o falso Justiﬁcación 4pq2 =p 4q (q ≠ 0) 12a2d2 = 6d 2da2 (a ≠ 0) (d ≠ 0) 3r2 + 3r =r r+1 (r ≠ –1) x2 + 2x – 3 =x+3 x+3 (x ≠ –3) y2 – y – 2 =y+1 y–2 (y ≠ 2) 30 Trabajo con expresiones equivalentes .
2000. es muy útil en el trabajo matemático el reemplazar una expresión compleja por otra equivalente pero más simple. Lectura: Simpliﬁcando expresiones algebraicas A menudo. Comenta con tu compañero o compañera lo que entiendes y lo que no de la lectura. Este proceso generalmente se escribe así: 3 6 3•2 10 = 5 • 2 = 5 Más formalmente. Para simpliﬁcar expresiones algebraicas se trabaja de un modo similar a la simpliﬁcación de fracciones. Si persisten tus dudas. tu debes escribir 3 • 2 y entonces “cancelar” el 5•2 10 factor 2 en el numerador y el denominador.GUÍA 8 TRANSFORMANDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS2 FORMALIZACIÓN DE LA SIMPLIFICACIÓN Comprendiendo qué es la simpliﬁcación de expresiones algebraicas Lee atentamente el siguiente texto. 20 x 2 Basado en una actividad propuesta en el “Interactive Mathematics Program. supongamos que tenemos la expresión algebraica 12 xy . tu puedes escribir: 3•2 6 3 2 = 5•2 = • (aplicando propiedades de la multiplicación de fracciones) 10 5 2 y usar el hecho que (consecuencia directa de la existencia del elemento neutro multiplicativo en IR. en vez de “cancelar”. Year 4” de Dan Fendel. para simpliﬁcar la fracción 6 . Transformando expresiones algebraicas 31 . pregunta hasta aclararlas completamente. Similarmente. Un aspecto importante de este proceso es la simpliﬁcación de expresiones algebraicas. Diane Resek. donde a • 1 = 1 • a = a para todo a en IR). Lynne Alper y Sherry Fraser. Por ejemplo. Key Curriculum Press.
Este proceso se puede escribir de la manera siguiente: 12xy 3 • 4xy 3y 3y 3y • 4x 3y 4x 20x = 5 • 4x = 5 • 4x = 5 • 4x = 5 • 1 = 5 Como puedes ver. si x ≠ 1 y x ≠ 4. pero equivalente. se puede escribir la expresión anterior 12xy como el producto: 20x 3y • 4x 3y • 4x = 3y = 5 • 4x 4x 5 5 Entonces. la expresión: x2 + 4x x + 5x + 4 2 Puede ser simpliﬁcada escribiendo el numerador como x (x + 4) y el denominador como (x + 1) (x + 4). x+ 1 32 Transformando expresiones algebraicas . Por ejemplo. se requiere tener los factores apropiados en el numerador y en el denominador. el principio general puede describirse de la manera siguiente: a c a a a•c b•c = b • c = b •1= b b ≠ 0.Esta expresión se puede simpliﬁcar buscando un factor común en el numerador y el denominador y entonces proceder a “cancelarlo”. 4x Así. c ≠ 0 Para poder aplicar este principio. La explicación más formal de la operación utilizada aquí es que. la expresión ﬁnal se obtiene usando el hecho que 4x = 1. aplicando adecuadamente las propiedades de los números reales. De este modo. Simbólicamente. si x ≠ 0. estos factores se “cancelarán” uno con otro por la propiedad de IR que establece la existencia de elemento inverso multiplicativo y usando también el hecho que el 1 es el elemento neutro multiplicativo en IR. si el numerador y el denominador de una expresión tienen un factor común distinto de cero. se ha llegado a una expresión más simple. la expresión se puede trabajar como: x x (x + 4) x x(x + 4) = • = •1= (x + 1) (x + 1) (x + 4) (x + 1) (x + 1)(x + 4) Resultando ﬁnalmente en: x .
(x + 5)(y – 3) = 25(x + 5) (x ≠ -5) b. d ≠ 1) Transformando expresiones algebraicas 33 . (c + 7)2(d – 1) = (c + 7)(d – 1) (c ≠ -7 .Aplicando la simpliﬁcación para reducir expresiones algebraicas Resuelve los ejercicios siguientes simpliﬁcando al máximo cada una de estas expresiones. mostrando claramente el procedimiento utilizado: a.
r3 + r = 4r2 + 4 34 Transformando expresiones algebraicas .c. t2 + 3t – 18 = t–3 (t ≠ 3) d.
Reﬂexionando acerca de la simpliﬁcación y de los ejercicios desarrollados Compara las respuestas de los siguientes ejercicios con las que tú obtuviste en las páginas 33 y 34. a. Analiza junto a tu compañera o compañero los ejercicios realizados (a. Explica por qué la respuesta para el ejercicio a dice “x ≠ –5” y la respuesta dada para el ejercicio c dice “t ≠ 3”. ¿Por qué sí o por qué no? Transformando expresiones algebraicas 35 . (y – 3) 25 t+6 (x ≠ –5) (t ≠ 3) c. c y d) e incluye en tu hoja de respuesta explicaciones de cómo llegaste al resultado. ¿Necesitas incluir una condición similar para el ejercicio b?. ¿Qué pasa con el ejercicio d?. b.
Hay diversas técnicas para llevar a cabo este proceso. para luego determinar cuáles son los elementos comunes. Ejemplos Factorizar la expresión: 4a + 4 4•a+4•1= 4•a+4•1= 4(a + 1) Descomponiendo en factores Reconociendo el factor común Aplicando la propiedad distributiva. Esta técnica consiste en descomponer cada término de la expresión en factores. la expresión se factoriza aplicando la propiedad distributiva de los números reales: a · b + a · c = a · (b + c). se obtiene la factorización buscada Factorizar: x3 + 2x2 – 3x x • x2 + 2x • x – 3 • x x • x2 + 2x • x – 3 • x x(x2 + 2x – 3) Descomponiendo en factores Reconociendo el factor común Aplicando la propiedad distributiva.GUÍA 9 FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES SIMPLES TÉCNICA DEL FACTOR COMÚN Proceso de factorización de expresiones simples Factorizar una expresión algebraica es transformarla en el producto de dos o más factores. se obtiene la factorización buscada Factorizar: abc – 3ba ab • c – 3 • ba = ab • c – 3 • ba = ab(c – 3) Descomponiendo en factores Reconociendo el factor común. se obtiene la factorización buscada 36 Factorización de expresiones simples . Finalmente. Notar que ab = ba por la propiedad conmutativa de la multiplicación en IR Aplicando la propiedad distributiva. los cuales a su vez. siendo una de las más básicas y conocidas la que utiliza el concepto del factor común. son también expresiones algebraicas.
2ab – ab + abc = f. 27a2b3 – 18a4b5 – 9ab = Factorización de expresiones simples 37 . 9x2y2 – 27xy = i. 8x3 – 4x2 – 2x = h. 3y – y = c. 15a – 27b + 9c = e. 5y2 – y = g. 2a2 + 14ab = j.Ejercicios Factoriza las siguientes expresiones: a. 5a + ba – a = d. 2 – 2x = b.
10x2y3 + 14x3y2 – 18x4y3 = ñ. 21m3n2 + 3mn2 – 6mn3 + 9m2n2 = o. 0. 20z3 + 30z4 – 40z2 – 50z5 = n. abc – 2a2d + 3ac – 5a = l. 2x2 + 6x + 8x3 – 10x4 = m.4a2b8 – 0.k.8a3b4 = 38 Factorización de expresiones simples . 1 2 3 1 3 5 1 5 5 ab + ab – ab = 4 2 8 s. 3 x2y – 9 xy2 = 4 8 r. abc – a2b2c2 – a3b3c3 = p.6ab5 – 0. 14p3q4 – 7p2q2 + 28p5q6 + 21p7q2 = q.
p + q = b. es decir. ya que al desarrollar el producto (x + p)(x + q) esto queda: (x + p)(x + q) = x • x + x • q + p • x + p • q = Multiplicando término a término x2 + (p + q)x + pq x2 + bx + c Reduciendo y factorizando Sustituyendo los valores p + q = b y p • q = c Ejemplos Factorizar la expresión x2 + 9x + 20 (x + p)(x + q) p • q = 20 y p + q = 9 Transformando la expresión en un producto de binomios Se buscan 2 números que multiplicados den 20 y sumados den 9 Los valores 5 y 4 son los que cumplen la condición Reemplazando. es decir. p • q = c.GUÍA 10 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS CUADRÁTICOS EXPRESIONES DE LA FORMA x2 + bx + c Proceso de factorización de trinomios cuadráticos Una expresión algebraica de la forma x2 + bx + c puede ser factorizada como el producto de dos binomios (x + p)(x + q). Que al sumarlos se obtenga el coeﬁciente que acompaña a x. Para ello es necesario encontrar dos números p y q tales que cumplan las siguientes condiciones: Que al multiplicarlos se obtenga el término libre de la expresión. se obtiene la factorización buscada p=5 y q=4 (x + 5)(x + 4) Factorización de trinomios cuadráticos 39 . Lo anterior es así.
y2 – 13y + 42 = d.Factorizar la expresión y2 + 7y – 30: (y + p)(y + q) Transformando la expresión en un producto de binomios p • q = –30 y p + q = 7 Se buscan 2 números que multiplicados den -30 y sumados den 7 p = 10 y q = –3 (y + 10)(y – 3) Los valores 10 y -3 son los que cumplen la condición Reemplazando. x2 – x – 6 = 40 Factorización de trinomios cuadráticos . m2 + m – 12 = e. se obtiene la factorización buscada a. se obtiene la factorización buscada Factorizar la expresión z2 – 6z + 8: (z + p)(z + q) p • q = 8 y p + q = –6 p = –4 y q = –2 (z – 4)(z – 2) Ejercicios Factoriza las siguientes expresiones: Transformando la expresión en un producto de binomios Se buscan 2 números que multiplicados den 8 y sumados den –6 Los valores –4 y –2 son los que cumplen la condición Reemplazando. x2 + 8x – 20 = c. a2 – 12a + 20 = b.
n2 – 13n + 30 = k. k2 – 3k + 2 = l. x2 – 5x – 84 = o. p2 + 14p + 33 = h.f. t2 + 3t + 2 = m. z2 – 5z + 6 = g. v2 – 5v – 104 = ñ. y2 + 16y + 60 = Factorización de trinomios cuadráticos 41 . u2 – 9u + 20 = n. m2 – m – 72 = j. q2 – 12q – 45 = i.
Esto se justiﬁca de la siguiente manera: (x + a)(x – a) = x2 – x • a + a • x + a2 = x2 – a2 Suma por diferencia Multiplicando término a término Reduciendo términos semejantes 42 Factorización de productos notables . tiene la forma x2 – a2. entonces su factorización corresponde al producto de una suma por diferencia. es decir. Factorización de la diferencia de dos cuadrados Si una expresión corresponde a la diferencia de dos cuadrados. Factorización de trinomios que son cuadrados perfectos Si la forma de un trinomio cuadrático corresponde a x2 + 2ax + a2 o bien x2 – 2ax + a2. los que por medio de una fórmula es posible obtener rápidamente su resultado. en la cual se distinguen las siguientes características: Dos de sus términos son cuadrados perfectos (potencias de exponente 2): x2 y a2. dependiendo del signo del doble producto en el trinomio original.GUÍA 11 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES CUADRADO DEL BINOMIO Y SUMA POR DIFERENCIA Anteriormente ya has desarrollado productos notables. El tercer término corresponde al doble del producto de las bases de los cuadrados anteriores: 2ax o bien – 2ax. Basado en esto. Entonces su factorización corresponde al cuadrado de binomio (x + a)2 o bien (x – a )2. una tercera técnica para factorizar expresiones cuadráticas es justamente reconociendo que se trata de algún producto notable conocido. Esta factorización se justiﬁca por lo siguiente: (x + a)2 = (x + a)(x + a) = x2 + x • a + a • x + a2 = x2 + 2ax + a2 Desarrollando el cuadrado de binomio Multiplicando término a término Reduciendo los términos semejantes De igual forma se desarrolla (x – a)2 = x2 – 2ax + a2.
Ejemplos Factorizar la expresión x2 – 4x + 4: x2 y 4 x y 2 2 • x • 2 = 4x Son cuadrados perfectos. Notar que 9 = 32 Son las bases de los cuadrados anteriores Es el doble producto de las bases y el cual se corresponde con el término central del trinomio ordenado. En este caso el signo es negativo La factorización buscada corresponde a un cuadrado de binomio (x – 2)2 ó (x – 2)(x – 2) Factorizar y2 + 9 + 6y: y2 + 6y + 9 y2 y 9 3 e y 2 • 3 • y = 6y Ordenando la expresión Son cuadrados perfectos. Notar que 4 = 22 Son las bases de los cuadrados anteriores Es el doble producto de las bases y el cual se corresponde con el término central del trinomio original. En este caso el signo es positivo La factorización buscada corresponde a un cuadrado de binomio (y + 3)2 ó (y + 3)(y + 3) Factorizar la expresión p2 – 144: p2 – 144 p2 y 144 p y 12 ( p +12) ( p – 12) Corresponde a una diferencia de cuadrados Son cuadrados perfectos. Notar que 144=122 Son las bases de los cuadrados anteriores La factorización buscada corresponde a una suma por diferencia Factorización de productos notables 43 .
Notar que 64=82 Son las bases de los cuadrados anteriores La factorización buscada corresponde a una suma por diferencia Ejercicios Factoriza las siguientes expresiones: a. p2 + 36 – 12p = e. z2 – 10z + 25 = d. a2 – 2ab + b2 = c. y2 + 121 + 22y = 44 Factorización de productos notables .Factorizar 64 – m2: 64 – m2 m2 y 64 m y 8 (8 + m) (8 – m) Corresponde a una diferencia de cuadrados Son cuadrados perfectos. x2 + 8x + 16 = b.
a2 – 2ax + x2 = j. p2 – 49 = m. 9r2 – 24r + 16 = i. p2x2 + 2pqx + q2 = k. z2 – 64 = Factorización de productos notables 45 . 169 + 26x + x2 = h. 9 x2 – 6 x + 1 = 2 4 l. 25t2 – 60t + 36 = g.f.
9c2 – 25z2 = r. 625x2 – 324y2 = 46 Factorización de productos notables .n. 225 – g2 = o. 169 – t2 = ñ. 49r2 – p2 = p. 36 2 64 2 m – n = 49 81 s. 36u2 – 144v2 = q.
En esta primera guía se presenta una gama de ejercicios sencillos. cuya división es igual a 1 Propiedad del neutro multiplicativo Simpliﬁcación de expresiones algebraicas 47 . involucran expresiones ya factorizadas. con el propósito de “ver” aquellos factores comunes que se encuentran tanto en el numerador como en el denominador. el paso siguiente será utilizar algún método conocido para factorizar la expresión. Dichos términos. Ejemplos Simpliﬁcar la expresión: 9xy = 24x 3•3•x•y 3•8•x = 3•3•x•y 8•3•x = 3 3 x y 8 • 3 • x • 1 = 3 3 x y 8 • 3 • x • 1 = 3 y 3y 8 •1•1• 1 = 8 (x ≠ 0) Descomponiendo en factores el numerador y el denominador Aplicando la propiedad conmutativa en el denominador Separando como producto de fracciones Cancelando los factores iguales. se “cancelan” por consecuencia directa de la existencia del neutro multiplicativo en IR. Si no lo está. sólo se procede a cancelar los factores comunes hasta simpliﬁcarla al máximo. primero hay que veriﬁcar si la expresión algebraica en cuestión está o no factorizada. En el caso de que la expresión ya estuviera factorizada. ﬁnalmente.GUÍA 12 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRIMERA PARTE Proceso de simpliﬁcación Para llevar a cabo la simpliﬁcación. que en su mayoría.
9 = 12b b. q ≠ –1) Aplicando la propiedad conmutativa en el denominador (p – 3)2(q + 1) (p – 3)(q + 1) = (p – 3)2 (q + 1)2 (p – 3) • (q + 1) = (p – 3)2 (q + 1)2 (p – 3) • (q + 1) = p–3 •1=p–3 1 Simpliﬁcar: z2 + z – 6 = z+3 Separando la expresión como un producto de dos fracciones Cancelando los factores iguales Propiedad del neutro multiplicativo (z ≠ –3) (z + 3)(z – 2) = z+3 (z + 3) (z – 2) (z + 3) • 1 = (z + 3) (z – 2) (z + 3) • 1 = 1• z–2 =z–2 1 Factorizando el numerador Separando la expresión como un producto de dos fracciones Cancelando los factores iguales Propiedad del neutro multiplicativo Ejercicios Simpliﬁca las expresiones: a. 10a = 15 48 Simpliﬁcación de expresiones algebraicas .Simpliﬁcar: (p – 3)2(q + 1) = (q + 1)(p – 3) (p ≠ 3.
c. x2y = x f. mn = n2m g. 8a = 4b d. 30m = 5mn e. 24ac2d 4a2d2c = j. p2mxz3 m3x3zp2 = Simpliﬁcación de expresiones algebraicas 49 . 3pq2 = 21qp h. yx2z2 = z4xy2 i.
(a – 1)(a – 3)2 = a2 – 4a + 3 50 Simpliﬁcación de expresiones algebraicas . (y – 2)(y + 1) = y–2 m. y–4 = y2 – 8y + 16 o. z2 – z – 6 = z–3 p.k. p2 – p – 20 = (p – 5)2 q. (n + 4)2(m – 5) = ñ. (z + 3)2(z – 1) = (z + 3) (m –5)2(n + 4) n. x+1 (x – 1)(x + 1) = l.
Su descomposición como el producto de un factor. No uses calculadora.GUÍA 13 ENSAYO PRUEBA 1 DE ÁLGEBRA Instrucciones generales Esta prueba de ensayo está constituida por 23 preguntas de selección múltiple. D. 1. Simpliﬁcarla. Su descomposición como el producto de dos o más factores. Expresarlas como el producto de factores convenientes. La factorización de una expresión algebraica es: A. excepto aquellas que sean de respuesta directa. En cada caso encierra en un círculo la alternativa correcta. Ampliﬁcarla. C. C. Una valoración. E. B. La representación general de una cantidad numérica. B. Una agrupación de letras y números unidos por signos de operación. Más allá de la forma. pero equivalente. El proceso por el cual una expresión compleja se reduce a una más simple. E. E. C. El proceso por el cual una expresión compleja se reduce a una más simple. 2. Ensayo prueba 1 de Álgebra 51 . D. una expresión algebraica corresponde a: A. Cada pregunta debe tener su desarrollo escrito en la prueba. Un polinomio. 3. D. pero distinta. Multiplicarlas por su inverso multiplicativo. El puntaje total es de 23 puntos. El proceso por el cual una expresión compleja se transforma en número al dar valores a sus variables. B. Una agrupación de letras unidas por signos de operación. La simpliﬁcación de expresiones algebraicas es: A. El orden conveniente de sus términos.
714 52 Ensayo prueba 1 de Álgebra .720 908 y 1. El número total de hombres y mujeres en Primero Medio. El número total de hombres y mujeres en Segundo Medio. El número total de hombres en enseñanza media. El número total de horas que cada hombre escucha música. Los valores numéricos de las expresiones (M1 + M2) + (H1 + H2) y S • (EM + EH) son respectivamente: A. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en el año. C. El signiﬁcado de la expresión S • (EM + EH) es: A. 904 y 1. El número total de hombres y mujeres que cursan Primero y Segundo Medio. B. C. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en el semestre. El signiﬁcado de la expresión (M1 + M2) + (H1 + H2) es: A. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en un mes. E. E. D. C. B. E.Las preguntas 4.715 904 y 1. D. El número de horas que hombres y mujeres escuchan música en la semana. El número total de mujeres en enseñanza media. 5.716 904 y 1. 5 y 6 están referidas al siguiente cuadro: Símbolo S M1 H1 M2 H2 D EM EH Signiﬁcado Número de semanas por año Número de mujeres en Primero Medio Número de hombres en Primero Medio Número de mujeres en Segundo Medio Número de hombres en Segundo Medio Número de días de clase por año Número de horas por semana que cada mujer escucha música Número de horas por semana que cada hombre escucha música Valor numérico 52 230 246 215 213 180 18 15 4.715 904 y 1. B. D. 6.
y2 – 7y + 12 E. y2 + y – 12 C. y2 – 2y – 8 Ensayo prueba 1 de Álgebra 53 . (x + 5)(x + 4) C. B. donde n es el número de lados del polígono. 12 13 14 15 16 : Rojo (+) : Azul (–) En las preguntas 8. y2 – y – 12 B. C. De acuerdo a 2 esto. (x + 3)(x + 4) B.7. (x – 5)(x + 4) E. E. La expresión algebraica que representa a la ﬁgura de la derecha es: A. 10 y 11 los colores corresponden a: 8. D. (x – 5)(x – 4) D. y2 + 7y + 12 D. el número total de diagonales que se pueden trazar está determinado n • (n – 3) por la fórmula: dn = . En un polígono cualquiera. ¿cuántas diagonales tiene un heptágono (7 lados)? A. (x + 5)(x – 4) La expresión algebraica que representa a la ﬁgura de la derecha es: A. 9. 9.
z (6 + z) C. y2 + 7 12. 6 – z D.10. y2 – 7y D. a (a + 9) E. a (a2 – 9) 13. a (a – 9) D. x2 – 6 D. La factorización de la expresión 6z + z2 es: A. y + 7 B. x2 + 6 C. La factorización de la expresión a2 – 9a es: A. y2 – 7 E. x(x + 6) 11. a–9 C. 6 + z E. z (6 – z) B. x – 6 B. La expresión algebraica que representa a la ﬁgura de la derecha es: A. La expresión algebraica que representa a la ﬁgura de la derecha es: A. x(x – 6) E. y2 + 7y C. a + 9a B. 7z3 54 Ensayo prueba 1 de Álgebra .
(x + 5)(x – 5) B. (x + 10)(x + 10) Ensayo prueba 1 de Álgebra 55 . (x + 5)(x + 5) D. (z + 8)(z – 2) C. La factorización de la expresión z2 – 6z – 16 es: A. (z – 6)(z + 2) 16. (m – 7)(m + 6) E. (m + 7)(m + 6) B. La factorización de la expresión x2 + 10x + 25 es: A. (m – 6)(m + 7) 15. (x + 1)(x + 25) E. La factorización de la expresión m2 – m – 42 es: A. (z – 8)(z – 2) D. (m – 2)(m + 21) D. (m + 1)(m – 42) C.14. (z – 8)(z + 2) B. (z + 8)(z + 2) E. (x – 5)(x – 5) C.
se factoriza tanto el numerador como el denominador Cancelando los factores iguales 3a • (2a – 3b) = 5b • (2a – 3b) 3a 3a 5b • 1 = 5b Aplicando la propiedad del neutro multiplicativo Simpliﬁcación de expresiones algebraicas 59 .GUÍA 14 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SEGUNDA PARTE Simpliﬁcación de expresiones más complejas En esta guía de simpliﬁcación se extiende el trabajo anterior y se proponen casos más complejos. 2a ≠ 3b) Usando la técnica del factor común. se factoriza el numerador Cancelando los factores iguales x • 1 = x Aplicando la propiedad del neutro multiplicativo 1 Simpliﬁcar la expresión: 3a • (2a – 3b) = 5b • (2a – 3b) 6a2 – 9ab = 10ab – 15b2 (b ≠ 0. Vale decir. que la mayor parte de los ejercicios involucran expresiones no factorizadas. Los métodos de factorización que se requieren para resolver la guía son: Factorización de trinomios cuadráticos Factorización utilizando la técnica del factor común Factorización reconociendo productos notables Ejemplos 2 Simpliﬁcar la expresión: x + 3x = x+3 (x ≠ –3) x • (x + 3) = x+3 x • (x + 3) x+3 = Usando la técnica del factor común.
exhibiendo los valores para los que se indeﬁne cada expresión: y2 – 2y – 3 = y– 3 a. m2 – 10m + 25 = m2 – 2m – 15 60 Simpliﬁcación de expresiones algebraicas . y ≠ –5) (y – 5)(y – 5) (y – 5)(y + 5) = (y – 5)(y – 5) = (y – 5)(y + 5) Factorizando el numerador como un cuadrado de binomio y el denominador como una suma por diferencia Cancelando los factores iguales y– 5 1 • y + 5 = y – 5 Aplicando la propiedad del neutro multiplicativo.Simpliﬁcar: y2 – 10y + 25 = y2 – 25 (y ≠ 5 . y+5 Ejercicios Simpliﬁca las expresiones siguientes. b. p2 – 3p – 18 = p2 – 12p + 36 e. z+6 = z2 + 12z + 36 c. x2 – x – 6 x2 + x – 12 = d.
8a – 16b = 24 m. (z + 2)(z – 3)2 = z–3 i. 4x8yz7 = 24x3y5z k. (i – 4)2(y – 3) (y – 3)2(y – 4) = j. a2 – a – 20 a2 – 7a + 10 = g. x–1 (x + 1)(x – 1) = h. 42 18a + 24b = Simpliﬁcación de expresiones algebraicas 61 . 38pq2m2 2mq4p3 = l.f.
2p2x + 3p2y – 4p2z = 2q2x + 3q2y – 4q2z s.n. x2 – x = xy – y p. 27m – 36n = 24m – 32n o. y2z – y2 = x2z – x2 q. m2 – 5m + 6 m2 – 2m = t. 14x + 21y = 10x + 15y ñ. x–3 x2 – 9 = 62 Simpliﬁcación de expresiones algebraicas . 2a2 – 4ab + 2ac 3ab – 6b2 + 3bc = r.
z2 – 9 = z – 6z + 9 2 w. y2 – 16 = y+4 v. a2 + 2ab + b2 = 3a + 3b x. n2 – 49 3a (n – 7) = y.u. p2 – 6pq + 9q2 = 2mrp – 6mqr Simpliﬁcación de expresiones algebraicas 63 .
.. . La segmentación corresponde a la secuencia sucesiva de mitosis que experimenta el cigoto y que conlleva a la producción de células hijas o blastómeros. Durante la primera semana de gestación del ser humano. nueve meses más tarde. Un nuevo ser. durante su gestación en el vientre materno... . El proceso se completa con la división del citoplasma o citocinesis.GUÍA 15 BIOLOGÍA BUSCANDO UN MODELO MATEMÁTICO PARA LA REPRODUCCIÓN HUMANA Mitosis y reproducción humana En los organismos multicelulares del tipo animal y humano... El número de células que contiene esta estructura ﬂuctúa entre 32 y 64 blastómeros. El óvulo fecundado recibe el nombre de cigoto. La mitosis juega un rol importantísimo en la reproducción humana.. el cigoto se ha transformado en una masa de células con el aspecto de una mora. el cual concluye con la aparición de dos células idénticas a la célula madre. 64 Biología . la cual recibe el nombre de mórula.. que pueden considerarse como una sociedad de células. incluyen algunas que se reproducirán y otras que no. se pueden distinguir las siguientes fases: fecundación. Esto ocurre en el tercio externo de la Trompa de Falopio. En su interior se produce la fusión de los cromosomas que determinan el sexo del nuevo ser. La fecundación es el fenómeno por el cual se unen la célula femenina (óvulo) con la célula masculina (espermio). debe pasar por diversas etapas que lo llevan desde el óvulo fecundado hasta el día del parto.. al cabo del tercer o cuarto día. Esto ocurre dentro de las 30 horas posteriores a la fecundación. En el caso de las primeras se lleva a cabo el mecanismo básico de la división celular o mitosis.. Con esto el número de células aumenta rápidamente y. En estricto rigor la mitosis corresponde a la división del núcleo original en dos iguales... y las siguientes ocurren más o menos cada 10 horas.. La primera mitosis ocurre aproximadamente a las 30 horas de la fecundación. segmentación y nidación..
.. Modelando matemáticamente la reproducción humana ¿Cómo se podría modelar la reproducción humana durante la primera semana hasta la nidación... La etapa 1 corresponde a la primera división. usando la matemática? Fíjate que para hacer este modelamiento deberías pensar en el proceso de la mitosis celular. . donde se producirá la nidación. Observa el siguiente esquema de árbol: Etapa Inicial (óvulo fecundado) Primera Mitosis (30 horas después de la fecundación) Segunda Mitosis (10 horas más tarde de la primera mitosis) ..La mórula ya formada iniciará un camino hasta las paredes del útero. la etapa “0” corresponde al cigoto que aún no se ha dividido. es Biología 65 .. y donde se irán creando nuevas capas de células que harán más complejo al nuevo organismo. Este es el momento en donde el nuevo ser se adhiere ﬁrmemente al útero para nutrirse y seguir su crecimiento. De acuerdo a esto. . .. ¿Cuántos blastómeros o células hijas se han producido al cabo de cierta etapa? Se deﬁne como una “etapa” del proceso el momento en que ocurre la mitosis..
¿Cuántos se han producido hasta esa etapa? ¿Te dice algo la serie 2. De acuerdo a este desarrollo es posible determinar el número de blastómeros en las etapas siguientes.decir.. Supongamos ahora una etapa genérica n del proceso. 4. Etapa o Nº de mitosis 0 1 2 3 4 5 6 Nº de blastómeros Tiempo transcurrido aproximadamente Menos de 30 horas 30 horas ¿Cuál es la etapa en la que el cigoto pasa a llamarse mórula? Como te habrás dado cuenta al completar la tabla en el primer punto. entendiendo que n se trata de un número entero positivo cualquiera y que en esa etapa se han producido cierta cantidad de blastómeros. 32. 64 . etc. 5 y 6 respectivamente? Completa la tabla. 16. ahora hay dos blastómeros. Responde ordenadamente la siguiente secuencia de preguntas: ¿Cuántos blastómeros se han producido en las etapas 3. 8. En la etapa 2 hay 4 blastómeros y así sucesivamente. en la etapa 5 habrán 32 y en la etapa 6 habrán 64. 4..? 66 Biología . si en la etapa 4 se han producido 16 blastómeros.
pasando por la mórula y hasta la nidación. ¿Cuántas etapas han transcurrido aproximadamente? ¿Cuántas células componen al nuevo organismo? Fuentes: – Villee.html – Desarrollo embrionario: http://host04. han pasado aproximadamente 6 días.tupediatra. México: Editorial Interamericana – Ciclo celular y mitosis: http://www. Desde el momento de la fecundación y formación del cigoto.edu/cell/tutor/mitosis/cells1.ipowerweb.arizona. Claude A.htm Resolución de problemas 67 . 6n.com/~natureno/notes/dbiologia/ biologia_desarrollo_embrionario. (1981).com/embarazo/des-intrauterino. “Biología”. 5 + n.Encontrar una fórmula matemática que permita obtener la cantidad de células hijas o blastómeros en cualquier etapa n del proceso.htm – Desarrollo intrauterino: http://www. Algo así como 3n. etc.biologia.
incineración y reciclaje. Esto se conoce como el Diseño Básico de Cuadrilla. Países desarrollados como Estados Unidos. Particularmente en Santiago. en su lenguaje técnico. cuentan con avanzados sistemas de recolección y procesamiento. Japón. Cómo nos organizamos con la recolección En Chile. En las municipalidades.GUÍA 16 INGENIERÍA Y MEDIOAMBIENTE GESTIÓN Y MANEJO DE RESIDUOS SÓLIDOS DOMICILIARIOS Residuos domiciliarios La recolección y el manejo de la basura o de los residuos sólidos. el sistema de recolección de basura es muy similar al de los países desarrollados. Las variables involucradas en este diseño se describen en el siguiente cuadro: Símbolo Nc Ca Pr Nv PPC Fr Dc Nh R Np V1 Signiﬁcado Número de camiones necesarios para el recorrido Capacidad del camión Producción de basura Número de viajes Producción per capita Frecuencia de recolección Días críticos (número de días en que se produce la mayor acumulación de basura) Número de habitantes Rendimiento de recolección Número de personas recolectoras Velocidad de ida Unidades —— Ton Ton —— kg / hab / día Días por semana Días Habitantes hombres • min / ton hombres km / h o bien km / min 68 Resolución de problemas . a través de las municipalidades en cada comuna. es un tema de suma importancia en cualquier parte del mundo. una etapa importante es determinar el número de camiones necesarios para realizar el recorrido desde la comuna al vertedero o estación de transferencia correspondiente. de acuerdo a su plan de trabajo. tales como relleno. Holanda y Alemania. también hay una preocupación por manejar los residuos domiciliarios de la manera más eﬁciente posible.
Para obtener el valor. Resolución de problemas 69 . En esta ocasión te las damos. Pr Nc = Nv • Ca Pr = PPC • Dc • Nh Nv = R • Ca Np Tt + D V1 + V + Td + Te 2 D Estrategia: arriba están las fórmulas que utilizaremos en la resolución. se necesita conocer la producción de basura. el número de viajes y la capacidad de transporte de los camiones. la distancia de disposición ﬁnal. se necesita conocer el tiempo disponible. los días críticos de acumulación y el número de habitantes. El Diseño Básico de Cuadrilla es un modelo matemático que permite abordar el problema de determinar el número de camiones (Nc) necesarios para recolectar los residuos domiciliarios de la manera más eﬁciente posible. pesaje. minimizando los costos y maximizando la recolección. se necesita conocer la producción per capita. Los cálculos y el modelo matemático para el diseño básico de cuadrilla de esta guía utilizan el applet “Diseño de Cuadrilla” que tu profesor te proporcionará. etc. las velocidades de ida y vuelta. entonces el número ﬁnal de camiones es Nc + 1. control de gases. al cálculo del número de camiones que se obtiene. Fórmula para la producción de basura.Símbolo V2 D Tt Td Te Signiﬁcado Velocidad de vuelta Distancia de disposición ﬁnal Tiempo total disponible (jornada de trabajo) Tiempo de disposición (hacer la operación de descarga en el relleno) Tiempo extra dentro del ciclo (peaje. es decir. Para obtener el valor. el rendimiento de recolección. Para obtener el valor. Este modelo se basa en fórmulas que fueron determinadas por matemáticos usando procedimientos que escapan a los comunes de esta guía. la capacidad de los camiones.) Unidades km / h o bien km / min km horas minutos minutos En adelante te iremos indicando los pasos que seguiremos para abordar este problema. Las formulas que permiten hacer el Diseño Básico de Cuadrilla o determinar el número de camiones necesarios (Nc) para la recolección son: Fórmula para determinar el número de camiones necesarios para transportar la basura. el tiempo de disposición y los tiempos extras dentro del recorrido. Para una mayor eﬁciencia y prevenir estar alerta a imprevistos. se le suma siempre un camión más. Fórmula para determinar el número de viajes necesarios en el transporte de la basura.
Hacer el Diseño Básico de Cuadrilla para una municipalidad hipotética llamada Liliput (página 7). Responder algunas preguntas utilizando el modelo matemático del diseño básico de cuadrilla de esta guía utilizando el applet “Diseño de cuadrilla” (página 11).censo2002. Lo que necesitas saber aquí es cuántos camiones son necesarios para hacer una recolección eﬁciente.5%) Medio Alto (34.ine. y III. Estrategia: A continuación te entregamos los datos del problema.65 0. Se te solicita que te hagas cargo de la recolección de basura en el sector norte de la comuna (mitad de la población).07 0. Para ello debes considerar un diseño básico de cuadrilla. Información entregada por la municipalidad Cuadro 1: “Producción per cápita de basura para Santiago.cl o también www. según nivel socioeconómico” Nivel socioeconómico Alto (20.cl/cd2002/ 70 Resolución de problemas .1%) Medio Bajo (31.85 0.7%) Valor Medio Fuente: Estudio realizado en Lo Errázuriz en 1995 PPC (kg / hab / día) 1. II.A continuación te pediremos que desarrolles tres actividades: I. ¿Cuántos camiones recolectores necesita la Municipalidad de Ñuñoa? Supongamos que eres un ingeniero especialista en temas medio ambientales.511 habitantes (censo de 2002). En esta etapa sólo debes considerar el recorrido desde la comuna hasta la estación de transferencia KDM.57 0. Esta comuna tiene una población aproximada de 163.6%) Bajo (13. contratado por la Ilustre Municipalidad de Ñuñoa. Hacer el Diseño Básico de Cuadrilla para la Municipalidad de Ñuñoa (página 3). la cual se encuentra en Renca a 15 km.77 Cuadro 2: “Frecuencia de Recolección” Lunes X 3 Martes Miércoles X Jueves Viernes X Sábado Domingo Fuente: www.
Cuadro 3: “Especiﬁcaciones técnicas” Especiﬁcación Capacidad de los camiones disponibles Jornada de trabajo Rendimiento de recolección Número de recolectores por camión Velocidad media en carretera Tiempo de descarga en la estación de transferencia Unidad 10 Ton 8 horas 6 hombres • min / ton 3 a 5 hombres 45 km / h 20 minutos Cuadro 4: “Tiempos adicionales dentro del ciclo” Evento Trabajos en la vía Plaza de pesaje Kilómetro de recorrido 4 11 Tiempo de detención 3 a 5 min 2 min Resolución de problemas 71 .
En cada caso debes justiﬁcar tu elección de valores. Variable Valores que entrega el problema Transformación de unidades Justiﬁcación PPC Dc Nh Tt R Ca Np D V1 V2 Td Te 45 km/h 0. Completa la siguiente tabla. en especial para aquellos en los que hay un rango disponible. 1. que te permitirá manejar todas las variables y sus valores.Resolviendo el problema Estrategia: En la tabla siguiente resumimos los datos ordenadamente.75 km/min Dato que entrega el problema 8 horas 480 min Dato que entrega el problema 72 Resolución de problemas .
Completa la tabla que resume las variables y sus valores. En cada caso debes justiﬁcar tu elección de valores. en especial para aquellos en los que hay un rango disponible. Para este problema. Variable PPC Dc Nh Tt R Ca Np D V1 V2 Td Te Valores que entrega el problema Justiﬁcación 76 Resolución de problemas .Resolviendo el problema 1. considera que la estación de transferencia esta a 20 km.
Estos resultados servirán para resolver el problema inicial. Resolución de problemas 77 . Determina el número de viajes (Nv) necesarios para el transporte de la basura. Determina la producción de basura (Pr) 3. 2.Estrategia: Ahora te pedimos responder preguntas que entregan resultados intermedios.
Estrategia: El siguiente enunciado contiene la pregunta cuya respuesta resuelve el problema. Según el Diseño de Cuadrilla. determina el número de camiones (Nc) necesarios para el transporte de la basura. 5.4. Finalmente. ¿cuál es el número ﬁnal de camiones necesarios para un transporte eﬁciente de la basura en Liliput? Justiﬁca tu respuesta. 78 Resolución de problemas .
Si en la municipalidad de Ñuñoa la producción de basura per cápita aumenta a 1.93? b. los datos que no aparezcan en la tabla del Anexo 1 debes generarlos tú. Si el tiempo total disponible en Ñuñoa baja de ocho a seis horas y se dispone de solo ocho camiones.02 y producto de ello se decide renovar la ﬂota de camiones. d. Debieses obtener el mismo resultado. aparece una tabla que muestra información relacionada de distintas comunas de la región de Valparaíso para el vertedero Los Molles. por lo tanto. Utiliza el applet “Diseño de cuadrilla” para formular un nuevo problema que pida calcular el número de camiones de basura para otra municipalidad (distinta a las ya trabajadas). ajustando los valores de las respectivas variables. Estrategia: Recuerda los pasos de la estrategia señalados en el transcurso de la guía para construir tu problema. y c. Vuelve a calcular el número de camiones para la municipalidad de Ñuñoa. Escribe aquí tu enunciado del problema: Resolución de problemas 79 . ¿qué tonelaje debiesen tener los nuevos camiones para que sigan siendo ocho? Utiliza la plantilla de informe que te proporcionamos en el anexo 2 para responder las preguntas a. en el Anexo 1.A modo de cierre Utilizando el applet “Diseño de cuadrilla” realiza las siguientes actividades: a. Apóyate en el applet “Diseño de cuadrilla” para explorar con los datos que inventes. b. En Ñuñoa. Para formular el problema necesitas entregar en el enunciado todos los datos que sean necesarios en los cálculos. Como ayuda. pero con criterio. ¿qué variable se podría ajustar para que se sigan utilizando sólo ocho camiones? c. ¿cuántos camiones se necesitarían si la producción de basura per cápita aumentara a 1.
441 105.56 0.fortunecity.399 12.93 Recepción total diaria y Producción per cápita promedio PROVINCIA DE SAN FELIPE DE ACONCAGUA LA HORMIGA SANTA MARÍA PUTAENDO SAN FELIPE SANTA MARÍA PUTAENDO SAN FELIPE.51 0.60 0.374 62.38 0. CATEMU SANTA MARÍA PUTAENDO Recepción total diaria y Producción per cápita promedio PROVINCIA DE QUILLOTA SANTA TERESITA QUILLOTA LIMACHE NOGALES LIMACHE NOGALES QUILLOTA LIMACHE. 2000. dictado por el profesor: Alfredo Rihm – Residuos Sólidos: http://www.088 71.201 0.764 0.689 80.693 13. LA LIGUA RECEPCIÓN Ton/día 4 8 20 32 POBLACIÓN ATENDIDA (habitantes) 9.938 12.295 114. LA CRUZ.003 19.56 0. CALERA. HIJUELAS.37 0.48 PROVINCIA DE PETORCA PETORCA CHINCOLCO PEQUEÑO CABILDO PAPUDO PAPUDO Recepción total diaria y Producción per cápita promedio PROVINCIA DE LOS ANDES LAS BANDURRIAS SAN ESTEBAN LOS ANDES.68 0.63 0. CALLE LARGA.56 0.969 864.365 123.401 18.39 0.457 105. LLAY LLAY Recepción total diaria y Producción per cápita promedio PROVINCIA DE VALPARAISO EL MOLLE VALPARAÍSO VIÑA DEL MAR LAJARILLA QUILPUÉ QUILPUÉ VILLA ALEMANA VILLA ALEMANA CASABLANCA CASABLANCA QUINTERO QUINTERO PUCHUNCAVI PUCHUNCAVI PROVINCIA DE SAN ANTONIO SAN ANTONIO BLUMENBER SAN ANTONIO SAN ANTONIO VALPARAÍSO VIÑA DEL MAR.html 80 Resolución de problemas .202 149.997 38.148 PRODUCCIÓN PER CÁPITA (kg/hab-día) 0.Anexo 1 RELLENO UBICACIÓN (comuna) COMUNAS QUE ATIENDE PETORCA CABILDO PAPUDO. PANQHEHUE. SANTO DOMINGO. RINCONADA 56 56 53 5 5 63 45 35 59 139 360 298 63 55 10 10 5 801 149.42 0.76 Recepción total diaria y Producción per cápita promedio Fuente: Universidad Católica de Valparaíso. CARTAGENA. CONCÓN QUILPUÉ VILLA ALEMANA CASABLANCA QUINTERO PUCHUNCAVI Recepción total diaria y Producción per cápita promedio SAN ANTONIO.67 0.202 78.512 18.52 0.42 0.58 1.65 0. SAN ESTEBAN.77 0.es/expertos/profesor/171/residuos. Semestre 2000/1. Diagnóstico para la Localización de Vertederos en la V Región.381 239. ZAPALLAR.351 327. OLMUÉ NOGALES.91 0.493 11.196 292.38 0.639 67.55 0.42 0. Fuentes: – Curso “Residuos Sólidos” de la carrera de Ingeniería de Ejecución en Ambiente de la Universidad de Santiago de Chile. ALGARROBO EL TABO.23 0. EL QUISCO 86 8 94 111.
Consideraciones hechas para la respuesta que propone. Resultados y conclusiones. Breve descripción del problema. Resolución de problemas 81 .Anexo 2 Informe Nombre:_______________________________________ Curso:______ Fecha: _____________ 1. 3. 2.
600 UF 33. Dinero que recibe la universidad por los estudiantes de Ingeniería Ambiental y Minas. Las preguntas 1 y 2 están referidas al siguiente cuadro: Símbolo Com Ind Mec Cons Min Comer Amb Elec Aranc Signiﬁcado Número de estudiantes de Ingeniería en Computación Número de estudiantes de Ingeniería Industrial Número de estudiantes de Ingeniería Mecánica Número de estudiantes de Ingeniería en Construcción Número de estudiantes de Ingeniería en Minas Número de estudiantes de Ingeniería Comercial Número de estudiantes de Ingeniería en Ambiente Número de estudiantes de Ingeniería en Eléctrica Arancel de un alumno del área de Ingeniería Unidades 145 156 145 170 165 132 122 112 85 UF 1. Dinero que recibe la universidad por los estudiantes de Ingeniería en Computación. B.GUÍA 17 ENSAYO PRUEBA 2 DE ÁLGEBRA Instrucciones generales Esta prueba de ensayo está constituida por 22 preguntas de selección múltiple.915 UF 33. B. C. E. excepto aquellas que sean de respuesta directa. 2. En cada caso encierra en un círculo la alternativa correcta. Cada pregunta debe tener su desarrollo escrito en la prueba. Dinero que recibe la universidad por los estudiantes del de Ingeniería Comercial Dinero que recibe la universidad por los estudiantes del área de Ingeniería. Industrial. El puntaje total es de 22 puntos. D. D. El signiﬁcado de la expresión Aranc • (Com + Ind + Mec + Elec) es: A. C. No uses calculadora.000 UF 33. Mecánica y Eléctrica. El valor de la expresión Aranc • (Comer + Amb + Mec) es: A. E. 33.900 UF 82 Ensayo prueba 2 de Álgebra .700 UF 34. Dinero que recibe la universidad por los estudiantes de Ingeniería Eléctrica y Computación.
4. La representación general de una idea. La simpliﬁcación de expresiones algebraicas corresponde a: A. B. 1. 5(– a + 2 – 5b) D. C. D. 5ab(– a + 2 – 5b) B. pero distinta. Más allá de la forma. De acuerdo esta fórmula un cuerpo que tiene una masa de 15 kg y se encuentra a una altura de 7 m (metros) tiene una energía potencial igual a: A. El valor de la constante g (aceleración de gravedad) es aproximadamente 10 [m/s2]. una expresión algebraica corresponde esencialmente a: A. El proceso por el cual una expresión compleja se transforma en número al dar valores a sus variables.058 [kg • m2/s2] 1. E. donde m es la masa y h es la altura a que se encuentra el cuerpo. La representación general de una expresión literal. Una agrupación de letras y números unidos por signos de operación. 5b(– a + 2 – 5b) C. La factorización completa de la expresión –5a2b + 10ab – 25ab2 es: A. La energía potencial de un cuerpo está dada por la expresión Ep = mgh .005 [kg • m2/s2] 6.500 [kg • m2/s2] 1. La representación general de una cantidad numérica. El proceso por el cual una expresión compleja se reduce a una más simple. El proceso por el cual una expresión se descompone como el producto de dos más factores. E. ab(– a + 2 – 5b) E. D.3. Una agrupación de letras unidas por signos de operación. C. a(– a + 2 – 5b) Ensayo prueba 2 de Álgebra 83 . D. C. pero equivalente. E. B. 5. El proceso por el cual una expresión compleja se reduce a una más simple. El proceso por el cual una expresión algebraica se transforma en otra equivalente.050 [kg • m2/s2] 1. B.052 [kg • m2/s2] 1.
E. (p – q)(p + q) (2p + q)(2p + q) (p – q)2 (p + 2pq)2 (p + q)2 10. D. m ≠ 0) 3 4 11. (w – 7)(w + 7) (2w – 7)(2w – 7) (w – 7)2 (w – 14)2 (w + 7)2 (n ≠ 0. p ≠ 0. C. E. B. E. D. B. La factorización de la expresión z2 – 17z + 72 es: A. 9n 9 9n2 9n3 9mn3 84 Ensayo prueba 2 de Álgebra .7. E. La factorización de la expresión w2 – 14w + 49 es: A. (k + m)(k + m) (k + m)(k – m) (k – m)(k – m) (2k + 2m)(2k – 2m) (2k + 2m)(k – m) 9. B. D. D. Al simpliﬁcar la expresión 81m n 3p . La factorización de la expresión k2 – m2 es: A. C. C. D. (z + 9)(z + 8) (z – 9)(z – 8) (z + 36)(z – 2) (z + 2)(z – 36) (z – 6)(z – 12) 8. C. La factorización de la expresión p2 + 2pq + q2 es: A. el resultado es: 9npm A. C. E. B. B.
2 12. Al simpliﬁcar la expresión 4m n • (k – 8)(r – 2) . Al simpliﬁcar la expresión A. E. el resultado es: x–1 A. B. Ensayo prueba 2 de Álgebra 85 . C. E. el resultado es: p2 – p B. Al simpliﬁcar la expresión 5x – 5x . (k – 8) n(k – 8) r(k – 8) mn(k – 8) m(k – 8) (x ≠ 1) 2 13. 2p – 2 p 2 p 1 p2 2 p2 (p ≠ 0. el resultado es: (r – 2) • 4mn (r ≠ 2. m ≠ 0. D. C. 14. D. p ≠ 1) B. D. 5x 1 5x 5x x–1 1 x–1 5 2p – 2 . C. E. n ≠ 0) A.
E. 2 y – 30 . 2r 3r 2 3pr – 3qr + 6rs . Al simpliﬁcar la expresión A. D. el resultado es: A. el resultado es: 16. C. Al simpliﬁcar la expresión y – 2y2 – 12y (y ≠ 0.15. el resultado es: 2pr – 2qr + 4rs (r ≠ 0. 5 2y 30 12y y2 2 y+5 2y y–5 2y (x ≠ 3) x2 – 9 17. y ≠ 6) A. Al simpliﬁcar la expresión x2 + 6x + 9 . q ≠ p + s) E. C. D. 3pr B. E. –9 6x + 9 x–9 x+9 x2 6x + 9 x–3 x+3 x+3 x–3 86 Ensayo prueba 2 de Álgebra . B. – 3 2 3 C. 2 3 D. B.
el resultado es: p + 5p + 6 (p ≠ 2. C. 21 y 22 están referidas al siguiente problema: GRAVITACIÓN La aceleración de gravedad (g) que experimenta un cuerpo sobre la superﬁcie terrestre está determinada en forma aproximada por mT la siguiente expresión: g = G • r 2 . p+3 p+2 p+2 Las preguntas 20. D. el resultado es: m2 – 10m + 16 (m ≠ 8. B.18. B. p–2 p–3 p+2 p+3 C. m+3 m–8 m–3 m+8 6 –10m + 16 –6 10m + 16 m–6 –10m + 16 m2 + m – 6 .8 s2 . Al simpliﬁcar la expresión A. E. E. el valor promedio de g en la superﬁcie terrestre es 9. m ≠ 2) 2 19. donde: T G es la constante de gravitación universal mT es la masa de la Tierra rT es el radio terrestre m De acuerdo con esta fórmula. Ensayo prueba 2 de Álgebra 87 . p ≠ 3) A. p + 3 D. Al simpliﬁcar la expresión p2 + 6p + 9 .
mT A. g = G • m D. Una variación interesante de g se produce cuando un cuerpo está a una cierta altura con respecto a la superﬁcie terrestre. g = G • (r +T h)2 T mT rT + h2 2 E. Altura del objeto h Superﬁcie terrestre rt + h rt Tierra A partir de la información anterior. el radio terrestre debe incrementarse en el valor de la altura a la que se encuentra el cuerpo. g = G • h2 B. En este caso. m g = G • hT mT 2h C. ¿Cuál sería la expresión para determinar la aceleración de gravedad efectiva (g) que experimenta un cuerpo ubicado a h metros de altura con respecto a la superﬁcie terrestre? Indicación: observa cuidadosamente la ﬁgura que está más arriba. responde las siguientes preguntas: 20.Dado que la Tierra no es una esfera perfecta y que su superﬁcie es irregular. g=G• 88 Ensayo prueba 2 de Álgebra . el valor de g varía localmente.
luego el cuociente se hace más pequeño. g = G • (r + 8. nada se puede decir al respecto.800 metros de altura)? mT A. g=G• mT 8.800 E.800 2 T 22. g = G • 17.800) 2 T D. C.8002 mT C. aumenta. mT g = G • r 2 + 8. D. no experimenta ninguna variación. ¿Cuál sería la expresión para determinar la aceleración de gravedad efectiva (g) que experimenta un cuerpo ubicado en la cima del monte Everest (8.21. aumenta. ya que la masa también aumenta su valor. g = G • mT 8. ya que al incrementar el radio terrestre en la fórmula el valor del denominador disminuye. B. Ensayo prueba 2 de Álgebra 89 . luego el cuociente se hace más grande.600 B. Mientras más alto esté un cuerpo de la superﬁcie terrestre. ya que al incrementar el radio terrestre en la fórmula aumenta el valor del denominador. el valor de g: A. disminuye. E.
Además.GUÍA 18 RELACIÓN ENTRE LA ARITMÉTICA Y EL ÁLGEBRA OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Relación entre sumas y restas de fracciones con operaciones algebraicas En esta actividad. se trata de que relaciones la suma y resta de fracciones con la operatoria de expresiones algebraicas. 9 + 16 25 4 3 + = 12 = 12 3 4 b. b a a + b + (a – b) = 90 Relación entre la Aritmética y el Álgebra . n (n + 1) n2 + (n + 1)2 = n (n + 1) = + (n + 1) n n2 + (n2 + 2n + 1) = 2n2 + 2n + 1 n2 + n n2 + n c. a. a a + b = (a + b) g. exhibe los valores para los que se indeﬁne la expresión. cuando corresponda. 1 1 + a2 = a e. 3 3 + = 4 7 f. haciendo un paralelo entre ellas. 1 + 1 = 9 3 d. 3 + 5 = –2 8 h.
1÷ a a 1 =1• 1 = 1 =a a c. haciendo un paralelo entre ellas.Relación entre multiplicación y división de fracciones con operaciones algebraicas Ahora el propósito es que relaciones la multiplicación y la división de fracciones con las operaciones de expresiones algebraicas. a a = ÷ (a + b) (a + b)2 Relación entre la Aritmética y el Álgebra 91 . a. a b b2 • a2 = e. 3 3 1 1÷ 3 =1• 1 = 1 =3 b. 3 2 • 4 9 = d. 3 ÷ 4 = 49 7 f.
explica por qué piensas que no. 92 Relación entre la Aritmética y el Álgebra . Elaboren una respuesta breve a la siguiente pregunta: ¿Existe alguna relación que se pueda establecer entre la operación aritmética y la algebraica? En caso aﬁrmativo explica la relación que tú piensas que existe. En caso contrario.Puesta en común y reﬂexión acerca del trabajo realizado Júntate con un compañero o compañera para compartir los resultados de sus trabajos y comenten acerca de cómo los abordó cada uno.
especiﬁcando n–1 n+1 cuáles son esos valores. Lo que debes hacer es resolver cada uno de los desafíos siguientes y.GUÍA 19 APLICACIÓN DE LA OPERATORIA ALGEBRAICA Tres desafíos para aplicar lo aprendido A continuación. Demuestra que a + b – a – b = 2. Aplicación de la operatoria algebraica 93 . donde agregues algunas explicaciones acerca de cómo los resolviste. b ≠ 0. 1 – 1 Calcula el valor de para los valores permitidos de n. a. b b b. escribir un breve informe. te proponemos tres desafíos donde deberás aplicar lo que has trabajado hasta el momento en relación a operatoria de expresiones algebraicas. junto con los resultados.
c. d. 2n + 1 3n 2n + 1 n+1 2n 2n 3n + 7 b. a. c. ¿Con cuál o cuáles de éstas expresiones se puede representar el número 3? ¿Para qué valores de n? 94 Operatoria de expresiones algebraicas . Considera las expresiones siguientes. Calcula el valor que toman para algunos valores de n con n entero.
estos deben reducirse. se procede de manera similar a como se operan las fracciones numéricas. Esto último quiere decir que si existen términos semejantes. si y ≠ 0. En este caso. 3y En el numerador se reducen términos semejantes 6z + 3y2 3y2 Suma y resta de expresiones algebraicas 95 . Ejemplos 12 – 5 = 12 – 5 = 7 a a a a Se conserva el denominador y se restan los numeradores (a ≠ 0) 5x – 2 4x + 5x – 2 4x 2x – 1 2x – 1 + 2x – 1 = Se conserva el denominador y se suma “algebraicamente” el numerador x ≠ 1 2 ( ) 9x – 2 2x – 1 7z – z + 1 = 7z – z + 3y2 3y2 3y2 3y2 3y2 3y2 Se reducen términos semejantes Para igualar denominadores y aplicar el criterio anterior.GUÍA 20 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS PRIMERA PARTE Suma y resta de expresiones con igual denominador Para sumar o restar cuocientes de expresiones algebraicas. el 1 ﬁnal puede 2 expresarse como 3y2 . donde el denominador es igual. la operación consiste en conservar el denominador y sumar o restar los numeradores en forma algebraica.
5 – 1 = 4 4 b. 4 – 7 = x2 x2 d. a. cuando corresponda. 3p – p = 2q 2q e. 5 9 a + a = c. x – 2x + 5x = 3z 3z 3z g. exhibe los valores para los que se indeﬁne la expresión. simpliﬁcando el resultado cuando sea posible.Ejercicios Resuelve las siguientes sumas y restas. Además. 6m – 4 = 3m – 2 3m – 2 96 Suma y resta de expresiones algebraicas . 2m – 1 1 + m + = 5n 5n f.
3m – p – 1 + 3p = 2q2 2q2 l. 8p +1 = q+2 k. 2y – 4 y 5y + 9 + 5y + 9 = i. 8 – 5x2 4 – x2 + 2 = x + x – 12 x + x – 12 2 m.h. 2x – 3 + 7x + 8 = 2x + 15 2x + 15 j. y2 + 2y – 1 = 6 – y2 3y2 – 4y – + 2 y2 – 8y + 24 y2 + 5y + 24 y – 8y + 24 Suma y resta de expresiones algebraicas 97 .
Encontrar el mcm de un conjunto de expresiones algebraicas consiste en encontrar una única expresión de modo que sea divisible por todas las expresiones del conjunto. E2. es el mínimo común múltiplo (mcm) de un conjunto de dos o más expresiones E1.GUÍA 21a MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES PRIMERA TÉCNICA Mínimo común múltiplo Una expresión algebraica. El mcm se anota de la siguiente forma: M = mcm (E1. E2. 4) = 2 • 2 • 3 = 12 4 2 1 2 2 3 98 MCM de expresiones . . Antes de ver la técnica. E3. llamémosla M.. es necesario tener en cuenta estos casos: El mcm entre los coeﬁcientes numéricos de las expresiones algebraicas se determina de la misma forma que para los números enteros.) Por ejemplo. Para ello. sólo que en vez de números se trabaja con las expresiones algebraicas a las cuales se requiere calcular el mcm.. existe una técnica que es similar a la usada con números enteros. Ejemplo: El mcm entre 6 y 4 es: 6 3 3 1 El mcm (6. si M es la expresión de menor grado divisible por cada una de las expresiones de dicho conjunto. .. E3. el mínimo común múltiplo entre las expresiones 5m2nr y 25mn3 es la expresión 25m2n3r que corresponde a la expresión de menor grado (menor potencia) que es divisible por ambas expresiones.. .
b7) = b7 Ejemplos Determinar el mcm entre 5m2nr y 25mn3: 5m2nr 1 • m2nr 1 • m2nr m2n m2 m2 m 1 25mn3 5 • mn3 1 • mn3 mn3 mn2 m 1 1 5 5 r n n2 m m mcm (5m2nr. Ejemplo: Sean las expresiones 5a y 3a2b.Si en alguna expresión no aparece explícitamente una variable o letra. signiﬁca que ella está elevada a cero y su valor es uno (a0 = 1). Ejemplo: mcm (b4. 5ab0 que al descomponerlo queda como 5 • a • 1. En la primera expresión no aparece la letra b. 25mn3) = 5 • 5 • r • n • n2m • m = 25m2n3r. es decir. (x + 1)(x – 1)] = x (x + 1)(x – 1) MCM de expresiones 99 . Ejemplo: mcm (1. lo cual signiﬁca que está elevada a cero. corresponde a la potencia de mayor exponente. m3) = m3 El mcm entre dos potencias de la misma base. El mcm entre una variable (letra) cualquiera y 1 es la misma variable. Encontrar el mcm entre x (x – 1) y (x + 1)(x – 1): x(x – 1) x x 1 (x + 1)(x – 1) (x – 1) (x + 1) 1 1 (x + 1) x mcm [x (x – 1).
mcm ( m2 – m. ab– b2) = u. m(r – s)] = s. mcm (p2q + pq2. mcm (x + 2. mcm (y – 3. p + 3. m2 –1) = t. rp + rq) = v. y2 – 7y + 12) = x. x2 – x – 6) = w. z2 – 6z + 8. mcm [(p + q)3 m2. z2 – 10z + 24) = MCM de expresiones 103 . p2 + 5p + 6) = y. mcm (a2 – ab.r. mcm (p + 2. mcm (z2 – 8z + 12.
.. E3.. sean estos números o factores literales (letras).. . números con números y letras con letras. E2.. es decir. . mcm 2 factor 3 factor 3 factor 3 .... E3. E2. Lo siguiente es analizar el mcm por factores del mismo tipo..) = mcm 1 • mcm 2 • mcm 3 .. E3. mcm por factor Descomposición en factores factor 1 factor 1 factor 1 .. Algunas consideraciones prácticas para encontrar el mcm por factor son las siguientes: El mcm entre los coeﬁcientes numéricos de las expresiones algebraicas se determina de la misma forma que para los números enteros. es el mínimo común múltiplo (mcm) de un conjunto de dos o más expresiones E1. mcm (E1.... si M es la expresión de menor grado divisible por cada una de las expresiones de dicho conjunto.... Una técnica para hacerlo es descomponer cada expresión algebraica en sus factores constituyentes. llamémosla M. .GUÍA 21b MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES SEGUNDA TÉCNICA Mínimo común múltiplo Una expresión algebraica.. Encontrar el mcm de un conjunto de expresiones algebraicas consiste en encontrar una única expresión de modo que sea divisible por todas las expresiones del conjunto.. E2. ... mcm 1 factor 2 factor 2 factor 2 . 104 MCM de expresiones ... Para esto es útil considerar la siguiente tabla: Expresiones E1 E2 E3 . mcm 3 ... . el mínimo común múltiplo entre las expresiones 5m2nr y 25mn3 es la expresión 25m2n3r que corresponde a la expresión de menor grado (menor potencia) que es divisible por ambas expresiones.) Por ejemplo... . . El mcm se anota de la siguiente forma: M = mcm (E1.
b7) = b7 4 2 1 2 2 3 Ejemplos Determinar el mcm entre 5m2nr y 25mn3 Expresiones 5m2nr 25mn3 mcm por factor Descomposición en factores 5 25 25 m2 m m2 n n3 n3 r 1 r mcm (5m2nr. En la primera expresión no aparece la letra b. Ejemplo Sean las expresiones 5a y 3a2b. m3) = m3 El mcm entre dos potencias de la misma base. signiﬁca que ella está elevada a cero y su valor es uno (a0 = 1). El mcm entre una variable (letra) cualquiera y 1 es la misma variable. 5ab0 que al descomponerlo queda como 5 • a • 1. Ejemplo mcm (1. en la matriz correspondería poner un 1. 25mn3) = 25 • m2 • n3 • r = 25m2n3r MCM de expresiones 105 . Ejemplo: mcm (b4. 4) = 2 • 2 • 3 = 12 Si en alguna expresión no aparece explícitamente una variable o letra. En este caso. lo cual signiﬁca que está elevada a cero. es decir. corresponde a la de mayor exponente.Ejemplo Determinar el mcm entre 6 y 4: 6 3 3 1 El mcm (6.
Encontrar el mcm entre x (x – 1) y (x + 1) (x –1) Expresiones x (x – 1) (x + 1) (x –1) mcm por factor Descomposición en factores x 1 x (x – 1) (x – 1) (x – 1) 1 (x + 1) (x + 1) mcm [x (x – 1). (x + 2) (x + 4)] = (x + 2) (x – 3) (x + 4) 106 MCM de expresiones . (x + 1) (x –1))] = x (x – 1) (x + 1) Determinar el mcm entre p2 – pq y pq – q2 Factorizando las dos expresiones se tiene: p(p – q) y q(p – q) Expresiones p (p – q) q (p – q) mcm por factor Descomposición en factores p 1 p 1 q q (p – q) (p – q) (p – q) mcm [p (p – q). (x – 3) (x + 4). x2 + x – 12 y x2 + 6x + 8 Factorizando las dos últimas expresiones se tiene: (x – 3) (x + 4) y (x + 2) (x + 4) Expresiones (x + 4) (x – 3) (x + 4) (x + 2) (x + 4) mcm por factor Descomposición en factores (x + 4) (x + 4) (x + 4) (x + 4) 1 (x – 3) 1 (x – 3) 1 1 (x + 2) (x + 2) mcm [(x + 4). q (p – q)] = pq (p – q) Determinar el mcm entre (x + 4).
p5) = MCM de expresiones 107 . 5) = b. x) = f. a) = e. 4) = d.Ejercicios Determina el mcm entre las siguientes expresiones: a. mcm (3. mcm (y4. mcm (5. p2. mcm (a. mcm (7. y) = g. mcm (x2. 14) = c. mcm (p4.
mcm (5a2b. mcm (5mn2. mcm (5m3. 42xyz2. 20a3b) = m. mcm (6z3. mcm (3p4qr2. 25m3n) = k. 15ab2. mcm (7p3q2r. 3m. 12z) = i. 4pq3r5) = l.h. 2q2r3p3) = ñ. 7x2y2z4) = 108 MCM de expresiones . 3r4p5q. 21x3yz3. mcm (14xy3z3. 4m2) = n. ab2) = j. mcm (a2b.
mcm [(p + q)3m2. m(r – s)] = s. (a + 5)] = p. x2 – x – 6) = MCM de expresiones 109 . ab – b2) = u. mcm (m2 – m. mcm (p2q + pq2.o. m2 – 1) = t. mcm [(a + 5). rp + rq) = v. (x – 3)] = q. mcm (a2 – ab. mcm [(x – 3)2. mcm [(y + 4)(y + 1). (y + 1)] = r. mcm (x + 2.
mcm (p + 2.w. p + 3. mcm (z2 – 8z + 12. z2 – 6z + 8. z2 – 10z + 24) = 110 MCM de expresiones . mcm (y – 3. y2 – 7y + 12) = x. p2 + 5p + 6) = y.
Notar que el factor 2 multiplica a 3. Ejemplos 3 – 4 = 5a 2a Expresiones 5a 2a mcm por factor (a ≠ 0) Descomposición en factores 5 a 2 a 10 a Determinando el mcm entre 5a y 2a mcm (5a. ya que 10a = 5a • 2. El mcm pasa a ser el nuevo denominador para ambas expresiones y los numeradores se ampliﬁcan respectivamente por los factores que resultan de la división entre el mcm y el denominador original correspondiente.GUÍA 22 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS SEGUNDA PARTE Suma y resta con distinto denominador Para sumar o restar cuocientes de expresiones algebraicas con distinto denominador. al igual que en las fracciones numéricas. el factor 5 multiplica a –4. se obtiene el resultado Suma y resta de expresiones algebraicas 111 . porque 10a = 2a • 5 6 – 20 = –14 = –7 10a 5a 10a Resolviendo y simpliﬁcando por 2. 2a) = 10 • a = 10a 3 – 4 = 3•2–4•5 = 10a 5a 2a El mcm es el denominador común Se ampliﬁcan los numeradores convenientemente. como ahora se trata de fracciones de igual denominador. una forma es encontrar previamente el mínimo común múltiplo (mcm) entre los denominadores. sólo se procede a sumar algebraicamente los numeradores. Una vez hecho esto. El resultado obtenido debe simpliﬁcarse cuando sea posible.
x) = x2 (x ≠ 0) Determinando el mcm entre x2 y x El mcm es el denominador común. y2) = 15 • y2 = 15y2 3 + 4 – 1 = 3 • 3y + 4 • 5y – 1 • 15 15y2 5y 3y y2 El mcm es el denominador común Se ampliﬁcan los numeradores convenientemente Multiplicando y reduciendo términos semejantes.2 3 x2 + x = mcm (x2. y2 mcm (5y. Se ampliﬁcan los numeradores convenientemente Multiplicando se obtiene el resultado 2•1+3•x 2 3 + = x2 x2 x 2 + 3x x2 4 3 + 3y – 12 = 5y y Expresiones 5y y y2 mcm por factor (y ≠ 0) Descomposición en factores 5 y 3 y 1 y2 15 y2 Determinando el mcm entre 5y. 3y. 3y. se obtiene el resultado 9y + 20y – 15 29y – 15 = 15y2 15y2 x– 3 = x+2 (x ≠ 2) Transformando a x en fracción de denominador 1 x – 3 = x+2 1 112 Suma y resta de expresiones algebraicas .
p ≠ 3) mcm (p + 2. p–3 (p + 2)(p – 3) p+2 Se ampliﬁcan los numeradores convenientemente 2p2 – 6p – (p2 + 3p + 2) = Desarrollando los paréntesis (p + 2)(p – 3) 2p2 – 6p – p2 – 3p – 2 = Desarrollando los paréntesis (p + 2)(p – 3) p2 – 9p – 2 p2 – p – 6 Reduciendo términos semejantes y desarrollando el numerador. se obtiene el resultado Suma y resta de expresiones algebraicas 113 . se obtiene el resultado x2 + 2x – 3 x+2 2p – p + 1 = p–3 p+2 (p ≠ 2. Se ampliﬁcan los numeradores convenientemente Multiplicando en el numerador. p – 3) = (p + 2)( p – 3) Determinando el mcm entre p + 2 y p – 3 2p – p + 1 = 2p(p – 3) – (p + 1)(p + 2) = El mcm es el denominador común. x + 2) = x + 2 x(x + 2) – 3 • 1 = x+2 Determinando el mcm entre 1 y x + 2 El mcm es denominador común.mcm (1.
3 – 4 = 5x 2x d. exhibe los valores para los que se indeﬁne la expresión.Ejercicios Resuelve las siguientes sumas y restas. 2 + 1 – 5 = 2a a2 3a2 f. 1 + 2 = b a c. b. simpliﬁcando el resultado cuando sea posible. 6 + 7 = 3x x2 e. 2 + 3 = a 5 a. Además. cuando corresponda. c 2d + = 9b 3ab 114 Suma y resta de expresiones algebraicas . 8m – 5m = 2p2 3p3 g.
a+b a+b + = a(a – b) b(a – b) Suma y resta de expresiones algebraicas 115 . 5 z + = 4x2y 3xy i. m–2 3m – 1 2m + 5m = k. x + 6 – 2x + 5 = 12x l. m– 5 = m+1 m. 3y – y = 2 m+1 (m – 3) ñ.h. –8x 3x + = 5m2n2 10mnp j. 5zy + z = 2y – 3 n.
7y y + = y + 4 (y + 4)(y – 3) p.o. y 5y + = x+2 x–1 r. 4 – 3 = 2m + 3 m – 4 s. d + 1 – 6d + 6 = d – 3 (d2 – 9) q. b2 – ab b + 1 (a + b)(a –b) – a – b = a+b 116 Suma y resta de expresiones algebraicas .
GUÍA 23 MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES Multiplicando expresiones algebraicas Para multiplicar cuocientes de expresiones algebraicas se procede igual que en el caso de las fracciones numéricas. Más(+) por menos (–) igual menos (–) 3x2y 5b2 • xy = 2b 3x2y • 5b2 = 2b • xy (b ≠ 2. y ≠ 0) 15b2x2y 2bxy Se multiplican numeradores y denominadores 15bx 2 Se simpliﬁca Multiplicación de expresiones 117 . El resultado ﬁnal se debe simpliﬁcar cuando sea posible. se multiplican primero los numeradores entre sí y luego los denominadores. respetando la regla de los signos. Es decir. Ejemplos 5 • 3 = 4 2 15 5•3 = 8 2•4 Se multiplican numeradores y denominadores b –3 2 • a = b • –3 –3b = 2a 2•a (a ≠ 0) Se multiplican numeradores y denominadores. x ≠ 0.
b • 4 = a 5 d. simpliﬁcando el resultado cuando sea posible. m p • = q n f. cuando corresponda. a. b • –4 = d a e. x ≠ –3) Se multiplican numeradores y denominadores Resuelve las siguientes multiplicaciones.–2 (3x – 2) = (x + 3) • b –6x + 4 –2 • (3x – 2) = bx + 3b (x + 3)b Ejercicios (b ≠ 0. Además. –3 4 • 5 = a c. exhibe los valores para los que se indeﬁne la expresión. 3 4 • = 2 5 b. 3x 2z • = 7y w 118 Multiplicación de expresiones .
5(a + b) –3(c + d) • = 2(3p + 1) 7(3p – 1) Multiplicación de expresiones 119 . 3 5(a + 3) • = ( b – 1) 2 l.g. 8x –y 1 2b • b2 • a = j. (x + 2) • (x + 2) = n. (m + 5) • (m – 3) = 2q 3p (y – 1) (y + 1) m. –5xy4 • x3y = 2a3b 9ab4 i. 2xy • 5x = 3a2b 7a h. p 3 –1 q • r • 2 = k.
se obtiene el resultado ﬁnal b ÷ –3 = a 2 b a • = 2 –3 (a ≠ 0) Transformando a multiplicación. Luego de la transformación. donde el inverso multiplicativo de 3 es 4 3 4 20 5•4 = 6 2•3 10 2 • 10 = 3 2•3 Se multiplican los numeradores y denominadores Descomponiendo y simpliﬁcando. se multiplica tal como se explicó en la guía anterior. donde el inverso multiplicativo de –3 es a a –3 ab b•a ab 2 • –3 = –6 = – 6 Se multiplican los numeradores y denominadores 120 División de expresiones . El resultado ﬁnal se debe simpliﬁcar cuando sea posible. la división se transforma a una multiplicación. Es decir. Ejemplos 5 ÷ 3 = 4 2 5 • 4 = 2 3 Transformando a multiplicación. en la cual se considera el inverso multiplicativo de una de las expresiones originales (por lo general. de la segunda).GUÍA 24 DIVISIÓN DE EXPRESIONES Dividiendo expresiones algebraicas Para dividir dos cuocientes de expresiones algebraicas se procede igual que en el caso de las fracciones numéricas.
se obtiene el resultado Resuelve las siguientes divisiones. b ÷ –4 = a d División de expresiones 121 . donde el inverso 2 multiplicativo de xy2 es 5b 5b xy 3x2y • 5b2 = 15b2x2y 2bxy 2b • xy = 15 • b • b • x • x • y 2•b•x•y 15bx 2 Ejercicios Se multiplican los numeradores y denominadores Descomponiendo y simpliﬁcando. x ≠ 0. –3 ÷ 4 = 5 a a. exhibe los valores para los que se indeﬁne la expresión. cuando corresponda.3x2y ÷ xy = 5b2 2b 3x2y 5b2 = • 2b xy (b ≠ 2. Además. simpliﬁcando el resultado cuando sea posible. b ÷ 4 = 5 a c. y ≠ 0) Transformando a multiplicación. b.
–5xy4 ÷ x3y = 9ab4 2a3b h. 6a2x3 ÷ a2x = 5 i. 3a2b ÷ a2b3 = 5x2 122 División de expresiones . p m ÷ = q n e. 3x ÷ 2z = w 7y f. 2xy ÷ 5x = 3a2b 7a g.d.
5(a + 3) ÷ 3 = (b – 1) 2 k. (y – 1) ÷ (y + 1) = (x + 2) (x + 2) m.j. (m – 3) ÷ (m – 3) = 3p 2q l. (a + b) ÷ (a – b) = 2(a – b) 2(a + b) División de expresiones 123 . 5(a + b) ÷ –3(a + b) = (6p + 2) 2(3p + 1) n.
multiplicación y división de expresiones algebraicas. x ≠ 5) 2 2x – 2 = + 1 – x+3 x – 5 (x + 3)(x – 5) 2 • (x – 5) + 1 • (x + 3) – (2x – 2) = (x + 3)(x – 5) 2x – 10 + x + 3 – 2x + 2 = (x + 3)(x – 5) x–5 (x + 3)(x – 5) = x–5 (x + 3)(x – 5) = 1 x+ 3 = Factorizando la expresión cuadrática Encontrando el mínimo común múltiplo Resolviendo productos en el numerador Reduciendo términos semejantes Simpliﬁcando 124 Operatoria combinada de expresiones .GUÍA 25 OPERATORIA COMBINADA DE EXPRESIONES PRIMERA PARTE Respetando las prioridades de operación En las Guías Nº 22. En la presente guía podrás desarrollar ejercicios que involucran operatoria combinada. resta. 23 y 24 tuviste la oportunidad de trabajar en forma separada las operaciones de suma. Aquí lo importante es resolver cada ejercicio ordenadamente y no olvidar la prioridad de las operaciones: 1º Desarrollo de paréntesis 2º Multiplicaciones y divisiones 3º Sumas y restas Ejemplos Resolver 1 2 = + x – 5 – 2 2x – 2 x+3 x – 2x – 15 (x ≠ –3.
2a 2 3 b • a – b = ( ) p.l. 5a ÷ 2a • 5x = b2 4a2 b ( ) ñ. 3 x (4 + x )• 7 = x 2 o. 3x • 8y ÷ z2 = 3x2 4y 9x n. 3xy ÷ 1 (1 + y )= x 128 Operatoria combinada de expresiones . 3r2q 4 4 –2s s • q2 + s ÷ 5r = m.
q. –1 • 3 – 4 = 5x 2x 5x2 ( ) Operatoria combinada de expresiones 129 . p – p )÷ p = (3 3q 2q 2q s. 28 ÷ 1 – 1 = a b ab ( ) r.
Ejemplos Resolver n ( m 2– n + 2m 1– 2n ) • ( m + 4)= 5 n ( m 2– n + 2(m1– n) ) • ( m + )= 5 4 •2+1•1 + 5n ) = ( 2 2( ) • (4m20 m – n) 5 4m + 5n 2(m – n) • 20 = 5(4m + 5n) = 40(m – n) (m ≠ n) Factorizando expresiones Resolviendo las sumas de los paréntesis Desarrollando Multiplicando numeradores y denominadores 5 • (4m + 5n) = 5 • 8 • (m – n) Simpliﬁcando 4m + 5n 8m – 8n = 130 Operatoria combinada de expresiones .GUÍA 26 OPERATORIA COMBINADA DE EXPRESIONES SEGUNDA PARTE Ejercicios más complejos En la presente guía podrás trabajar nuevos ejercicios. los cuales deben ser desarrollados o bien factorizados para facilitar las operaciones. Algunos de ellos involucran productos notables. un poco más complejos. con operatoria combinada de expresiones algebraicas.
y ≠ –3) Transformando “y” como fracción de denominador 1 ( y(y y++1)1– 6 )( y(y y++3)3+ 2 ) = y+2 ( y y++y 1– 6 )( y +y 3 +3 )= 2 2 Resolviendo los paréntesis Desarrollando numeradores (y2 + y – 6)(y2 + 3y + 2) = (y + 1)(y + 3) Multiplicando numeradores y denominadores (y + 3)(y – 2)(y + 2)(y + 1) = (y + 1)(y + 3) (y + 3)(y – 2)(y + 2)(y + 1) = (y + 1)(y + 3) (y – 2)(y + 2) = Factorizando los trinomios cuadráticos Simpliﬁcando Suma por diferencia y2 – 4 = p–r +r (p + p+r )= p–r Desarrollando Resolver (p2 – r2) • (p ≠ r.Resolver 2 6 (y– y+ )( y+ )= y+3 1 y – 6 )( y + 2 ) = (1 y+1 1 y+3 (y ≠ 1. p ≠ –r) (p2 – r2) p+r p–r • p–r + p+r = 1 ( ) ) Transformando el primer factor en una fracción de denominador 1 (p2 – r2) (p + r)2 + (p – r)2 = • 1 p2 – r2 [p2 – r2][(p + r)2 + (p – r)2] = p2 – r2 ( Resolviendo la suma del paréntesis Multiplicando numeradores y denominadores Operatoria combinada de expresiones 131 .
factorizando cuando sea necesario y simpliﬁcando el resultado cuando sea posible. x ( 32x + 516 )• 4 = x 2 b. 3 x + y)•( 2 + (3 2 x + 2y ) = 2 x+y 132 Operatoria combinada de expresiones . 6 (m 2 7 8m 3 m2 + 3m • 2 + 3p3 – 5m = 2 ÷ 2p 2 2p ) ( ) d. a.[p2 – r2][(p + r)2 + (p – r)2] = p2 – r2 (p + r)2 + (p – r)2 = Simpliﬁcando Suma de dos cuadrados de binomio p2 + 2pr + r2 + p2 – 2pr + r2 = Desarrollando los cuadrados 2p2 + 2r2 Reduciendo términos semejantes Ejercicios Resuelve las siguientes operaciones. 3 9 (3 4 a b – 16 ab ) ÷ 8 ab = 2 3 2 c. cuando corresponda. exhibe los valores para los que se indeﬁne la expresión. Además.
2 x2 – x – 12 x2 – x – 56 • x2 + x – 20 ÷ x – 5x – 24 = 2 x – 49 x+5 k. 2 )(x + 1 ) = (x – x + x+2 1 f.e. 2 64 a2 – 81b2 (x – 9)2 • ÷ 8a + 9ab = 2 x – 81 8a – 9b (x + 9)2 j. + y – x– y ) = (x – y ) • ( x x– y x+ y 2 2 Operatoria combinada de expresiones 133 . 2 a+1 • 3a – 3 ÷ 2a + a = a–1 2a + 2 a +a–2 i. b )= (a + aab )(1 – a –b 2 2 g. p (1 + p q )(p – p + q ) = 2 h.
x – y – 2y ) ÷ x + y – 2xy = ( x– x –y x+ y x –y y 2 2 2 2 2 2 2 134 Operatoria combinada de expresiones . a–b +b (a – ) • (a – b ) = a+b a–b 2 2 ñ. a – b – 2ab ) ÷ a – b = ( a– a+ b b a+ b a – b 2 2 p. (p – q ) • x 2+pq + 2 2 2p2q – 2q2p = p–q (x + y)3 (a – b)4 • (a2 – b2) m. (a – b)6 • = (x + y)2 n. b ( a +a2– ab + b 2 2 2 2 + a–b a–b ÷ a+ b = a+ b ) q. – 3b a–b ( a –a2ab )• a –6 –b ab + 9b 2 2 2 2 2 2 = o.l.
a ∈ IR.GUÍA 27 OPERATORIA CON POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO PRIMERA PARTE Resumen de propiedades Para realizar operaciones con expresiones literales que involucran potencias de exponente entero. a ≠ 0 m. a ∈ IR.b ≠ 0 a ∈ IR. se utilizan las mismas reglas de la potenciación numérica. a ≠ 0 n ∈ Z. n ∈ Z. a ≠ 0 m. a ∈ IR. A continuación se entrega un resumen de las propiedades fundamentales: Propiedad a–n = 1 an Condiciones A A A A A A A A a ∈ IR.125 23 8 1 = an a–n am • an = am + n am = am – n an ( a )–n = ( b )n a b (an)m = am • n (a • b)n = an • bn a0 = 1 1 = 32 = 9 3–2 4–1 • 42 = 4–1 + 2 = 41 = 4 55 = 55 – 3 = 52 = 25 53 ( 4 )–2 = ( 5 )2 = 25 16 5 4 (22)–3 = 22 • –3 = 2–6 = 16 = 1 2 64 103 = (5 • 2)3 = 53 • 23 = 125 • 8 = 1. a. a ∈ IR. a ≠ 0 m. A A A A A A n ∈ Z. n ∈ Z. a ≠ 0 Operatoria con potencias de exponente entero 135 .000 (3.b ∈ IR.n ∈ Z.42)0 = 1 A a.n ∈ Z Ejemplo 2–3 = 1 = 1 = 0. a ∈ IR. a ≠ 0 n ∈ Z.
Ejemplos Simpliﬁcar la expresión b–2 = b • b–m –3 (b ≠ 0) b–2 = b–3–m b–2 – (–3 – m) = Aplicando la propiedad 3 en el denominador Aplicando la propiedad 4 b1 + m Reduciendo términos semejantes en el exponente –2 –1 Simpliﬁcar la expresión 3 + 3 = 3 1 1 32 + 3 = 3 1 1 + 3 9 = 3 1+3 9 = 3 4 9 3 = 4 1 • = 9 3 4 27 = Aplicando la propiedad 1 Resolviendo potencias Resolviendo la suma en el numerador División de fracciones Transformando a multiplicación Multiplicando numeradores y denominadores 136 Operatoria con potencias de exponente entero .
p10 • p–1 • p0 = d. exhibiendo los valores para los que se indeﬁne la expresión: a. a–2 • a–n = a–6 Operatoria con potencias de exponente entero 137 . n ≠ 0) Aplicando la propiedad 6 Resolviendo el exponente Aplicando la propiedad 1 Aplicando propiedad 7 en el denominador (mn)–3 • 2 = (mn)–6 = 1 (mn)6 = 1 = m 6 • n6 Ejercicios Reducir a una sola expresión y/o calcular.Desarrollar la expresión ((mn)3) = –2 (m ≠ 0. a7 • a–8 • a10 = c. y–2 • y–3 • y–5 = e. x18 • x–19 = b.
p–2 – q–2 p–1 – q–1 = 138 Operatoria con potencias de exponente entero . (2–1 + 3–1)–2 = l. (x x ) 7 p –3 = h. 2–1 – 4–1 2–1 + 4–1 = m. 5a2b–4c 3m–2bc–3 = i. 2–1 + 3–1 – 4–1 + 5–1 = j.f. 2–1 + 2–2 = 2 k. mn [ 32m n ] –3 –2 –2 –2 = g.
5)–4 = r. 4b–1 – b = 2b–1 – 1 Operatoria con potencias de exponente entero 139 . (0. 1 – x–2 1 + x–1 = t. ( –1 3) –3 = p. –(–2)–2 = o.n.25)–2 = q. (–0. –(–3)–4 = ñ. 1 1 1 1 1 + 12 + 3 + 24 + 25 + 6 = 2 2 2 2 s.
[ (xy) ] –6 –2 = v.u. (xay–b)3 • (x3y2) = –a x. (3a–2 + 2a)2 = 140 Operatoria con potencias de exponente entero . [ (2x) • (3y ) ] = 2 2 2 2 w.
siendo n un entero positivo. ¿cuáles son esos valores? Operatoria con potencias de exponente entero 141 . Júntate con un compañero o compañera y comparte con él la forma en que resolviste estos ejercicios. Conversen acerca de cada uno de los procedimientos utilizados. ¿cuáles son las expresiones que tienen un valor constante independiente del valor de n?. esto es. (–1)n+1 y (–1)2n+1 determina aquellas que tienen un valor constante para cualquier valor de n. Expresión (–1)n (–1)2n (–1)n+1 (–1)2n+1 Valores para n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Ahora que ya completaste la tabla. (–1)2n. completa la siguiente tabla según los valores de n. Ejercicios De las siguientes expresiones (–1)n. Para que tengas más claridad en tu tarea.GUÍA 28 OPERATORIA CON POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO SEGUNDA PARTE Aplicación de la operatoria algebraica a expresiones con potencias Analiza cuidadosamente y resuelve los ejercicios siguientes. aplicando todos tus conocimientos adquiridos hasta el momento. compartir brevemente qué hiciste y explicar por qué piensas que está bien.
– 25 y – 26 Calcula el valor de las siguientes potencias: (–2)5 – (2)5 = (–2)6 – (2)6 = Generaliza el cálculo anterior a las siguientes expresiones algebraicas: (–2)2n + 1 – (2)2n + 1 = (–2)2n – (2)2n = 142 Operatoria con potencias de exponente entero .Determina el signo que tendrá el resultado de las siguientes potencias: (–2)5. (–2)6.
c ≠ 0) Operatoria con potencias de exponente entero 143 .n Determina los posibles valores para la expresión 1 + (–1) : 2 Simpliﬁca la expresión a–3b–1 a–4c–3 • b–2 : c–2 (a ≠ 0. b ≠ 0.
siendo n un número entero.Determinar si las siguientes expresiones son positivas o negativas. (–2)2n + 1 + (–1)2n = –2n – 2n + 1 = 144 Operatoria con potencias de exponente entero .
asigna dimensiones enteras a los objetos y es adecuada para describir objetos hechos por el hombre. porosos o fragmentados y que además poseen estas propiedades al mismo grado en todas las escalas. etc. No. el borde de un río. permite dimensiones fraccionarias y es adecuada para describir formas naturales. Vol. identiﬁcando una familia de formas demasiado irregulares para ser descritas mediante la geometría euclidiana a las que llamó fractales. La Geometría euclidiana descrita por medio de fórmulas. el correspondiente verbo frangere signiﬁca “romper. ya que estos son objetos ideales. En cambio. objetos geométricos con dimensiones que pueden ser fraccionarias. una cadena montañosa. crear fragmentos irregulares ”. ni planos ni poliedros como los descritos por la Geometría euclidiana. El término fractal transmite la idea de que un objeto es irregular. que se puede decomponer en fragmentos que son parecidos a la partición original cuya dimensión es fraccionaria. Los fractales son objetos irregulares. 1. Proyecto 1 145 . Es decir. 4 Tomado y adaptado del artículo “ Geometría de Fractales y Autoaﬁnidad en Ciencias de Materiales”. Mandelbrot desarrolló una nueva Geometría que permite el estudio de las formas naturales. El término proviene del latín fractus. estos objetos presentan la misma forma si son vistos de lejos o de cerca.1. publicado en la Revista Ingenierías Enero-Junio 1998. la geometría fractal descrita por medio de algoritmos. tales como: una hoja. rugosos. Más cercanos a ella existen los fractales.PROYECTO 1 MATEMÁTICA GEOMETRÍA DE FRACTALES4 Presentación En la realidad no existen líneas rectas.
te sugerimos que sigas paso a paso las instrucciones. están formados por partes pequeñas que se parecen al todo. Gracias a la tecnología actual. Se deﬁne un proceso iterativo que consiste en dividir en 3 partes iguales el trazo inicial. Esta autosimilitud puede ser geométricamente estricta. agregando una cuarta como se muestra a continuación.Los fractales generalmente poseen algún tipo de autosimilitud o autosemejanza. Curva de Koch Supongamos que se tiene un trazo de tamaño 1 (no importa la unidad de medida). Las imágenes de fractales. en muchos casos resultan verdaderas obras de arte. El proyecto La idea de este proyecto es modelar dos fractales conocidos: la curva de Koch y el intervalo de Cantor. La forma de los fractales mencionados se muestra a continuación: Curva de Koch Intervalo de Cantor Iteración: 3 Iteración: 3 Sugerencias Para resolver el problema. Se deﬁnen las siguientes variables: l: p: Longitud del segmento que forma la ﬁgura Perímetro total de la ﬁgura 146 Proyecto 1 . principalmente en lo que se reﬁere a la existencia de computadores con gran capacidad de memoria y rapidez de procesamiento. basadas en algoritmos iterativos y desarrolladas por software especializado. es decir. solamente aproximada o estadística. la investigación en el campo de la geometría fractal ha encontrado las condiciones propicias. Para ello lo que se pide es encontrar una generalización para el lado del segmento (l) que da forma al fractal y el perímetro total de la ﬁgura (p) en función de la etapa de iteración (n). o bien.
5 y 6. p) Figura n=0 l =1 p =1 1 n=1 l= 1 3 p= 4 3 1 3 1 3 1 3 1 3 n=2 l= 1 9 p = 16 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 Proyecto 1 147 .Completa la tabla siguiente para las etapas 3. Etapa (n) Variables (l. 4.
Determina una fórmula para calcular el valor de la longitud (l) en función de la etapa (n).. entendiendo n como un número entero positivo cualquiera: 1.. 148 Proyecto 1 . determina ahora una fórmula para calcular el valor del perímetro (p) en función de la etapa (n). Al igual que el primer punto. 2. ¿Qué sucede con la longitud (l) y con el perímetro (p) si se produce un número suﬁcientemente grande de divisiones? Digamos que n tiende al inﬁnito.n=3 n=4 n=5 n=6 . Supongamos una etapa genérica n.
5 y 6. p) Figura n=0 l=1 p=1 1 n=1 l= 1 3 p= 2 3 1 3 1 3 n=2 l= 1 9 p= 4 9 1 9 1 9 1 9 1 9 Proyecto 1 149 . Se deﬁnen las siguientes variables: l : Longitud del segmento que forma la ﬁgura p: Perímetro o suma total de los trazos generados Completa la tabla para las etapas 3. eliminando cada vez el tercio que queda en la parte central. Etapa (n) Variables (l. Se deﬁne un proceso iterativo que consiste en dividir en 3 partes iguales el trazo inicial.Intervalo de Cantor Supongamos que se tiene un trazo de tamaño 1. 4.
ya.es/cursofractales/capitulo1/1. Determina una fórmula para calcular el valor de la longitud (l) en función de la etapa ( n).es/geofractal/capitulos/01/01-04.pdf Fractals: An introductory Lesson: http://arcytech.shtm Área Fractal: http://www. Para complementar tu trabajo puedes buscar más información en los siguientes sitios web: Sobre el concepto de fractal: http://personales.ccu.es/docencia/segundociclo/geomfrac/fractalesclasicos/koch. Autosemejanza: http://coco.uniovi.galeon.dmae.org/java/fractals/ Conjunto de Cantor:http://matap.com/fractart/ 150 Proyecto 1 . 2.upm.ﬁ.n=3 n=4 n=5 n=6 … Supongamos una etapa genérica n.html Objetos fractales.com/casanchi/mat/fractales.upm. Determina una fórmula para calcular el valor del perímetro (p) en función de la etapa ( n).html La Curva de Koch: http://neumann. html FractArt: http://www.dma. ¿Qué sucede con la longitud (l) y con el perímetro (p) si se produce un número suﬁcientemente grande de divisiones? Digamos que n tiende al inﬁnito.arrakis.es/~sysifus/kochsier. entendiendo n como un número entero positivo cualquiera: 1.
Cada material queda caracterizado por el coeﬁciente de absorción. por ejemplo energía térmica. sonidos muy graves). salas de reuniones. es absorbente para sonidos entre 1. iglesias. Los valores intermedios corresponden a materiales que. salones de clases.PROYECTO 2 ACÚSTICA DISEÑO DE ESPACIOS ACÚSTICAMENTE APROPIADOS Presentación La Acústica es la rama de la Física que estudia la producción. por ejemplo. La elección de materiales adecuados es fundamental a la hora de construir recintos acústicos. auditorios. En particular. este se descompone en sonidos directos y en sonidos reﬂejados. Proyecto 2 Diafragma 151 .000 Hz (agudos) Sirve para amortiguar los sonidos graves. mientras que el mínimo (0) corresponde a una pared perfectamente reﬂectora. el cual depende de la frecuencia de la onda sonora. transforman la energía de las ondas sonoras en algún otro tipo. Los materiales como el Isorel (cartón compactado) son eﬁcaces para frecuencias que van hasta los 500 Hz. La lana mineral. Participa en el diseño de las salas de concierto. vibraciones.000 y 4. etc. transmisión y percepción del sonido tanto en el intervalo de la audición humana como en las frecuencias ultrasónicas (sobre el umbral auditivo humano. de alguna manera. estudios de grabación. Dada la variedad de situaciones donde el sonido es de gran importancia. sonidos muy agudos) e infrasónicas (bajo el umbral. etc. la acústica arquitectónica es la rama que estudia la interacción del sonido con las construcciones. la acústica constituye un área multidisciplinaria. Se establece como máximo (1) la absorción equivalente que tendría una ventana abierta de un metro cuadrado. Uno de los factores más importantes para caracterizar la respuesta sonora de un ambiente es el efecto de absorción de los materiales que contiene. Cuando un sonido se emite. En el siguiente cuadro se describen tres tipos de materiales utilizados en acústica: Materiales Porosos Descripción Son particularmente efectivos para atenuar las frecuencias elevadas. teatros.
5 W. es el tiempo de reverberación. Sabine. se considera que una persona ocupa 1 m2 y que su coeﬁciente medio de absorción es 0. Se deﬁne la unidad de Sabine5 como el producto entre una determinada superﬁcie por su respectivo coeﬁciente de absorción (S • α). Un modelo semi-empírico del fenómeno establece una relación entre el coeﬁciente de absorción medio. S3. En este caso. α2. Profesor en ciencias estadounidense de ﬁnes del siglo XIX que realizó grandes aportes al área de la acústica arquitectónica. Por lo tanto. Se puede calcular el coeﬁciente medio de absorción de una persona. 152 Proyecto 2 . Tiempo de reverberación Otro concepto clave en el diseño de espacios con una acústica apropiada. El manejo de este tiempo es fundamental para deﬁnir la calidad acústica del recinto. para que sean absorbidas adecuadamente. Se deﬁnen las siguientes variables: Notación Tr V S Descripción Tiempo de reverberación Volumen de la sala Superﬁcie lateral de la sala Se toma como el total de todas las superﬁcies absorbentes Coeﬁciente de absorción Unidad Segundos m3 α m2 Sin unidad En un recinto pueden distinguirse varias superﬁcies interiores hechas de determinado material: S1. De aquí el modelo introduce una fórmula para determinar el tiempo de reverberación: 0. Más exactamente se deﬁne como el tiempo en que una onda sonora disminuye su intensidad en 60dB.044. α3. En la práctica.C.… αn. El objetivo es seleccionar aquellas frecuencias que entran en resonancia con la sala. …. S2. Al sumar las unidades de sabine.16 • V Tr = Sup de Sabine Esta fórmula no incluye el mobiliario ni los eventuales espectadores que pudiesen encontrarse en la sala. a cada una se le puede asignar su correspondiente coeﬁciente de absorción: α1. la superﬁcie y el volumen de la sala. Este corresponde al lapso de tiempo necesario para que las ondas se anulen luego de reﬂejarse en los bordes de la sala estudiada. corresponde añadir una superﬁcie equivalente. Sn. Este tiempo varía según la geometría y el revestimiento de la sala en cuestión. para posteriormente multiplicarlo por el número de personas susceptible de estar presentes. Se utilizan para tratar las máximas de resonancia. considerando todas las superﬁcies (S1 • α1 + S2 • α2 +…+ Sn • αn) se obtiene la llamada superﬁcie de Sabine.Resonadores Esto corresponde a ensamblaje de materiales de absorción.
033 0.061 0.500 espectadores.027 0. Proyecto 2 153 . La sala principal del teatro tiene una capacidad para 1.21 0. Su altura alcanza los 18 metros hasta el techo.25 Supón que esta tarea se te ha encomendado para llevarla a cabo.El proyecto La municipalidad de Valparaíso se ha propuesto mejorar la acústica del Teatro Municipal.025 0. con el objeto de que sus futuras presentaciones sean de mejor calidad al incorporar nuevas tecnologías y materiales. Una vista de planta del teatro es la siguiente: 30 m 25 m Actualmente el interior lo componen los siguientes materiales: Material Yeso Vidrio Madera Alfombra Género Pintura 0. tal como lo haría un especialista en acústica arquitectónica.
000 17 30 168 110 80 Coeﬁciente de absorción Unidad Sabine — 154 Proyecto 2 .033 = 123 0. Elemento Paredes Ventanas Piso Piso Cortina Pared Espectadores Orquesta Totales (*) Considere 80 músicos.033 Unidad Sabine 4000 • 0.044 — Completa y analiza el siguiente cuadro para sala medio llena. Material Yeso Vidrio Madera Alfombra Género Pintura (*) — Superﬁcie (m2) (m2) 4.000 17 30 168 110 80 Coeﬁciente de absorción 0. Elemento Paredes Ventanas Piso Piso Cortina Pared Espectadores Orquesta Total (*) Considere 80 músicos Material Yeso Vidrio Madera Alfombra Género Pintura (*) — Superﬁcie (m2) (m2) 4.Sugerencias Resuelve el problema. desarrollando cuidadosamente cada punto de los que se proponen a continuación: ¿Cuál es el volumen total interior del teatro en m3? Completa y analiza el siguiente cuadro para sala llena.
Si de acuerdo a la experiencia se ha determinado que el Tr adecuado para un salón de estas características debe estar entre 1.html Acústica básica: http://personal.pdf Proyecto 2 155 .teatromunicipal.labc. Para complementar tu trabajo puedes buscar más información en los siguientes sitios web: Teatro Municipal de Valparaíso: http://www.eie. mientras que sobre el rango el sonido se hace molesto.cl/ Electroacústica: http://www3.unr.De acuerdo a los materiales de que está hecho el teatro.usb.fceia. ¿Qué se puede inferir de los cálculos anteriores? Considera que bajo ese rango la onda sonora se pierde.7 segundos. ¿cuál es el Tr registrado? Analiza este tiempo para la sala medio llena y llena.redestb.ar/~acustica/biblio/histacus. ¿Es posible mejorar la acústica? ¿Qué se debería hacer? Analiza esto desde el punto de vista de los materiales con el propósito de mejorar el Tr.2 segundos y 1. Formula una propuesta para la Municipalidad. considerando el aumento o disminución de la superﬁcie de ciertos materiales.edu.ve/EC4514/AUDIO/AUDIO.es/azpiroz/ Histórica de la acústica: http://www.
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