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Timestamp: 2017-10-23 15:25:21+00:00

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Expérimentation et arithmétique - Le défi des textes de philosophie et de leurs commentaires
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Expérimentation et arithmétique
§190. « Nous achoppons toujours » à quelque chose dans une expérimentation arithmétique : nous nous heurtons comme à une chose. Par exemple, les nombres premiers apparaissent « comme les résultats d’une expérimentation » : il n’existe pas de loi qui les donnent a priori. L’algorithme teste si n est inférieur à 2 puis si n=2, puis les nombres les uns après les autres, sans doute en excluant les multiples des nombres premiers déjà trouvés, et tant qu’une limite arbitraire n’est pas atteinte.
190. […] Je vois bien une loi dans la consigne, mais non dans les nombres qui en résultent.
Wittgenstein, Remarques philosophiques, [Recension des matières XVIII], Tel Gallimard, 1975, page 39.
Une loi dans la procédure, associée à une manipulation, à la consigne, pas aux résultats fournis.
§191. Dans le résultat comme dans le processus c’est-à-dire « en soi et pour soi », le nombre mesure. Si les fractions mesuraient, nous n’aurions pas besoin du nombre pour mesurer.
191. […] Le développement propre est ce que la comparaison avec un nombre rationnel fait naitre de la loi.
Ce que la loi fait naître, c’est la différenciation entre nombre rationnel ou pas. Un développement est soit celui de la fraction, soit le développement propre du nombre. Selon une loi d’approximation pratique, un nombre peut correspondre à une fraction : si dans la suite de ses décimales il existe une période infinie. Par exemple, 0.142857 142857 142857 (1/7), ou 1.3333, ou 12.000. Donc, le nombre correspond à ce qu’une loi nous dit (périodicité ou pas) lorsque l’on compare c’est-à-dire lorsque l’on regarde expérimentalement s’il contient une périodicité. Nous avons d’une part la loi « rationnel si périodicité » (de la forme loi-sanction), d’autre part l’expérimentation arithmétique.
§192. Nous l’avons vu souvent, Wittgenstein utilise la fiction du pas et de la spirale pour dire le naturel et le réel.
192. Le nombre réel est comparable à la fiction d’une spirale infinie ; des configurations comme F, P ou p’ ne les sont, au contraire, qu’aux fragments infinis d’une spirale.
Le nombre réel correspond à une fiction sans correspondance. Nous l’avons vu, nous achoppons contre la force des choses : des configurations telles que le principe de la réfraction entre milieux de consistance différente (F comme Fermat), l’occurrence sans loi des nombres premiers, l’irréductible hiatus entre p et la réalité expérimentale de p traduite par une suite de fractions (exprimée par la notation p’ pour distinguer le nombre propre p). La configuration de la force des choses n’est pas une fiction : elle ne correspond pas à la fiction du nombre réel mais à la réalité des fragments infinis des fractions.
§193. « Pour comparer les nombres rationnels à racine carrée de 2 » on calcule que le rationnel 70710671/49999995 égale l’« opération arithmétique » -1 + 7/9 + 4/5 + 154/239 + 893/4649 qui égale 1.41421356 1421356, valeur approchée avec périodicité de racine carrée de 2. « Écrits dans ce système » arithmétique (où, élevée au carré, le signe de la racine disparait) le nombre rationnel et la somme des nombres rationnels décomposés « sont comparables à racine carrée de 2 ». Si l’on remarque que la suite de ces fractions vaut -1+0.8+0.8+0.6+0.2, on remarque la finesse croissante de l’approche : « pour moi, c’est comme si la spirale s’était contractée jusqu’à devenir un point. »
§194. Une démonstration par récurrence n’est pas une expérimentation, l’une est valable quel que soit n, l’autre, reproductible pour quelques n, autant que l’on veut. « Grâce à la récurrence, chaque niveau devient arithmétiquement compréhensible » : chaque niveau, l’expérimentation et le calcul arithmétique. La théorie donne à voir les trois pas de l’expérimentation : le test (Cf. §166) au niveau du cas particulier expérimental 1, celui du remplacement n par n+1, celui du pas ajouté n+1.
§195. Le problème expérimental est celui de la précision des valeurs approchées et des marges d’erreurs. Par exemple, dire au dixième près que la racine carrée de 2 vaut 1.4 est faux au centième près (1.4 est la racine carrée de 1.96 et non pas de 2.00).
§196. Les décimales d’un nombre rationnel obéissent à une périodicité en tant que loi. La rationalité se « dégage de la comparaison » entre la loi et ce que l’on constate. Cette loi « se referme comme un piège » lorsque 5 qui est à la fois rationnel et la racine carrée de 25 ne montre pas la périodicité de ses décimales mais coïncide avec sa position dans la colonne des unités.
Car, selon la précision, problème de l’expérience, que constate-t-on ?
§196. […] Rien n’irait plus par exemple si l’on ne pouvait être sûr que 5 est réellement le bout du chemin pour racine carrée de 25.
En effet, selon la précision, la difficulté vient de ce que 5, c’est la rationalité 5.000… ou bien 4.999… Peut-on vraiment « être sûr que 5 est réellement le bout du chemin pour racine carrée de 25 », au bout de la suite des décimales ? Si les décimales sont des zéros, la périodicité « vient à coïncider avec la position qu’occupe ce nombre » : ici, avec l’unité. Si les décimales sont des neufs, la coïncidence vient du bout du chemin. Rien ne va plus quand on est sûr de rien : lorsque l’expérimentation manque de précision.
On ne voit peut-être pas de périodicité immense dans les décimales de racine carrée de deux parce que l’on ne peut pas aller « au bout du chemin » : par manque de moyens, « rien n’irait plus » pour appliquer la loi c’est-à-dire comparer les situations.
§197. 1/6 s’écrit 0.1 {6} pour indiquer que {6} est la périodicité du nombre « qui peut rester stationnaire en un point rationnel ». « Puis-je appeler nombre une spirale qui, for all I know, peut rester stationnaire en un point rationnel ? » Car un nombre peut-il rester bloqué en un état stationnaire ? Puis-je encore appeler humain quelqu’un qui se fige sur sa répétition rationnelle, qui radote ? Et peut-il dépendre de ce que je sais ?
197. […] Il manque une méthode de comparaison avec les nombres rationnels. […]
Il manque une méthode de comparaison entre réels et rationnels, autrement dit une méthode pour déterminer la longueur d’une périodicité, peut-être extrêmement longue. Car, peut-être que les décimales de racine carrée de 2 obéissent à une périodicité tellement longue que, autant que nous sachions, nous ne la voyons pas ? Cette méthode, cependant ne manque pas car nous la trouvons par exemple ici : http://jeux-et-mathematiques.davalan.org/arit/per/fractions.html. Mais « ce n’est pas une méthode que poursuivre un développement » expérimental.
§198. Quand on traverse deux bandes de sols de densités différentes, par exemple partant d’un sable humide au bord de la mer au travers d’un sable sec vers un parking, on ne suit pas de ligne droite mais on diffracte : on optimise le passage difficile en terrain lourd. Le chemin suivi statistiquement par les piétons ne suit pas le chemin le plus court mais optimise le plus facile en termes d’efforts, et à force produit une même trace en coude. Cette optimisation est effectuée esthétiquement c’est-à-dire spontanément sans les calculs d’une théorie de Fermat. Alors, « la question de la comparaison de F [Fermat] avec un nombre rationnel n’a pas de sens » parce que la comparaison s’est faite esthétiquement : tous les développements expérimentaux nous ont apporté la réponse. Poser cette question « n’a pas de sens […] avant que par le biais de l’extension on ait essayé au petit bonheur de décider de la chose » : le sens qui tient à la pratique sociale vient au petit bonheur la chance, pas par la théorie. La comparaison d’un rationnel avec avec F a du sens à partir du moment où « un seul développement […] nous [a] déjà apporté la réponse ».
§199. La pratique s’intéresse aux marges d’erreur, « de combien il est possible », en ordre de grandeur, que le réel s’approche du rationnel ; par exemple, de combien 0.166 s’approche de 1/6. « Le système décimal ne me le donne pas » car epsilon n’est pas un nombre, epsilon ne veut rien dire en arithmétique sinon en physique, « mais on doit dire : "Il en est au moins éloigné de cet intervalle." »
Publié par DéfiTexte

References: §190

§191

§192

§193

§194
 §166

§195

§196

§196

§197

§198

§199