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Timestamp: 2017-10-18 05:23:29+00:00

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Mis apuntes de Matemáticas: 2º ESO. Temas 5 y 6: PROPORCIONALIDAD Y PROBLEMAS
- Ejerc.
Razón: Una razón es la división de dos cantidades y se representa en forma de fracción. Al numerador se le llama antecedente y al denominador, consecuente. (Nota: En una razón, tanto el antecedente como el consecuente pueden ser decimales; sin embargo, en una fracción tanto el numerador como el denominador son enteros).
(Lectura: 6 es a 3 como 4 es a 2).
a) Producto de medios igual a producto de extremos (propiedad fundamental).
b) En una proporción, la suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes forma otra razón que está en proporción con las anteriores razones.
[Otras propiedades de las proporciones:
c) Si cambiamos de lugar los extremos (el cuarto término lo colocamos el primero y el primero lo colocamos en el cuarto lugar) obtenemos otra proporción.
d) Si cambiamos de lugar los medios (el segundo término lo colocamos el tercero, y el tercero lo colocamos el segundo) obtenemos otra proporción.
e) Si invertimos los antecedentes y los consecuentes de una proporción, obtenemos otra proporción.
f) Si a cada antecedente le sumamos o restamos su consecuente, obtenemos otra proporción.
g) Si a cada consecuente le sumamos o restamos su antecedente, obtenemos otra proporción. ]
Para calcular el cuarto proporcional se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones: 4 • x = 12 • 6. Para saber qué número multiplicado por 4 me da 72 tengo que dividir 72 entre 4. Por lo tanto:
Medio proporcional: Es el término igual de una proporción continua.
Para calcular el medio proporcional se utiliza la propiedad fundamental de
Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Ej.: Las manzanas y el coste de las mismas. Si aumentamos el peso de las manzanas, aumenta también el valor de las mismas. Podemos construir una tabla de valores:
La relación que hay entre los elementos de una magnitud y los de la otra se llama razón de proporcionalidad y se indica mediante un cociente: r = 2/3. [Quiere decir que si de una magnitud hay 2 unidades, de la otra hay 3. Ejemplo: Si en una clase de 60 alumnos, 40 son de Madrid, los alumnos madrileños están a razón de 2 a 3, es decir, de 2/3 (40/60 = 2/3)]. Los cocientes entre los elementos de una magnitud y los de la otra son iguales, por lo que forman una proporción y el valor de la razón de proporcionalidad se llama constante de proporcionalidad.
7 kg x €
Otro ejemplo: Si 4 kg de naranjas cuestan 8 €, ¿cuántos kg puedo comprar con 14 €?
x kg 14 €
Magnitudes inversamente proporcionales: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una disminuye la otra o cuando al disminuir una aumenta la otra. Ej.: Nº de personas y nº de días que les dura una caja de peras: si aumentamos el número de personas, disminuye el número de días. Podemos construir una tabla de valores:
La constante de proporcionalidad inversa es el producto de los elementos de una magnitud por los de la otra. Este producto ha de ser siempre igual.
2 x meses
Otro ejemplo: Un grifo echa 3 litros de agua por minuto y tarda 5 minutos en llenar un cubo. ¿Cuánto tardaría en llenar ese mismo cubo si vertiera 5 litros por minuto? (Es fácil comprender que si sale más agua del grifo el cubo tardará menos en llenarse, luego se trata de una regla de tres inversa, porque cuando aumenta una magnitud la otra disminuye).
Regla de tres compuesta: Se llama regla de tres compuesta cuando intervienen más de dos magnitudes y hay que hallar un dato de alguna de ellas. Para formar la proporción hay que proceder como si sólo hubiera dos magnitudes: una la de la incógnita y la otra la forman las demás, multiplicando sus razones de proporcionalidad. Si alguna de las magnitudes es inversa con respecto a la incógnita habrá que poner su razón inversa.
[Para saber cuál de las magnitudes es inversa o directa nos podemos preguntar cómo se comporta cada una con respecto a la magnitud que tiene la incógnita. Así, por ejemplo, en este problema nos podemos preguntar: Si el número de caballos aumenta (magnitud donde está la incógnita), ¿tendrán comida para más días o para menos días? Es evidente que con la misma cantidad de comida tendrán para menos días si el número de caballos aumenta, luego la magnitud Días es inversa con respecto a la magnitud número de Caballos. Una pregunta similar nos formularemos para saber cómo es la otra magnitud: Si aumenta el número de caballos, ¿tendrá que aumentar la comida? Es evidente que sí, por lo que la magnitud cantidad de Heno es directa con respecto a la magnitud número de Caballos]
[Fíjate en que no es necesario realizar las operaciones intermedias, porque estos ejercicios suelen ser muy apropiados para simplificar fracciones, con lo que se evitan operaciones tediosas con números elevados. En efecto, la fracción final tiene una fácil simplificación, sin necesidad de enredarse en multiplicaciones y divisiones. Así, dividimos por 100 en el numerador y en el denominador, con lo que nos queda 6 • 2 • 495 en el numerador y 6 • 110 en el denominador. Ahora dividimos por 6 en ambos términos, con lo que nos queda: 2 • 495 en el numerador y 110 en el denominador. Si simplificamos por 2 llegamos a 495 entre 55. Ahora, a simple vista, se observa que se puede simplificar por 5 y nos queda 99 en el numerador y 11 en el denominador. El resultado final ya es inmediato: 99 entre 11 da 9]
b) El porcentaje como regla de tres: Si consideramos el porcentaje como una regla de tres, ponemos dos columnas y dos filas y colocamos en el lugar apropiado los datos que nos den, teniendo en cuenta que una de las filas necesariamente ha de estar ocupada por los datos del porcentaje. (Así, si hablamos del 6 %, en una columna irá el 6 y en otra irá el 100, pero ambos, el 6 y el 100, irán en la misma fila. Si lo que me preguntaran fuera el tanto por ciento, en una columna pondríamos x y en la otra 100, pero ambos, x y 100, irían en la misma fila).
350 x (Como cuesta 350 €, me descontarán x)
Ejemplo 2: En una clase de 24 alumnos han aprobado el control de matemáticas 18 alumnos. ¿Qué % ha aprobado y qué % ha suspendido?
100 x (De 100 alumnos aprobarán x)
[Resolución por ecuaciones:
Ejemplo 3 (Calcular una cantidad conociendo el porcentaje): En una clase hay 4 alumnos segovianos, lo que supone el 16 % del total. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase?
x 4 (El total es x y los segovianos son 4)
a) Resolución por fracciones: Se calcula el porcentaje de aumento y se suma a la cantidad inicial:
b) Resolución por regla de tres (Si algo aumenta el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 110):
100 110 (Lo que antes costaba 100, al subir el 10 % costará 110)
c) Resolución por ecuaciones: Se plantea la ecuación según los datos que nos hayan dado.
Otro ejemplo: Un frigorífico me ha costado 424 € después de haber subido el 6 %. ¿Cuánto costaba antes de la subida?
100 106 (Lo que antes costaba 100 €, si sube el 6 % cuesta 106 €)
b) Resolución por ecuaciones:
a) Resolución por fracciones: Se calcula el porcentaje de descuento y se resta a la cantidad inicial:
b) Resolución por regla de tres (Si algo disminuye el 10 % quiere decir que si costaba 100 ahora costará 90):
100 90 (Lo que antes costaba 100 €, al bajar el 10 % costará 90 €)
c) Resolución por ecuaciones:
Otro ejemplo: Un frigorífico me ha costado 380 € después de haber bajado el 5 %. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja?
100 95 (Lo que antes costaba 100 €, al bajar el 5 % costará 95 €)
[Porcentajes con la calculadora: Para calcular porcentajes existe una tecla específica en la calculadora, pero se pueden calcular directamente de la siguiente manera:
I 50000 5 (50000 € producirán I € durante 5 años)
De aquí se deduce la fórmula general del Interés:
Si el tiempo viniera dado en meses,
Si el tiempo viniera expresado en días,
- Lo que corresponde a B (4 días): 300 • 4 = 1200 €
[Resolución de los repartos proporcionales por proporciones:
. Proporción:
De aquí operamos con la proporción formada por la segunda y tercera razón:
Para calcular x podemos hacerlo de dos maneras: la más fácil es restar 30000 – 12000 = 18000 €. La segunda manera es formar una proporción con la primera y segunda razón o con la primera y la tercera razón, llegando en ambos casos a que x = 18000 €].
El 6 y el 2 se llaman extremos y el 3 y el 4, medios.
Pregunta: ¿Por qué crees tú que al 6 y al 2 se les llama extremos y al 3 y al 4, medios?
Laura, una de las mejores alumnas de la clase, ha dado la siguiente respuesta: x = 6. Cuando el profesor les entrega el examen corregido, ella observa que en esta pregunta le ha puesto un 0,75 en lugar de 1, como ella esperaba. Como no está conforme ha ido a preguntárselo al profesor y éste le ha dicho que no es que esté mal, pero…
Un año que les puse este problema a mis alumnos todavía no habíamos visto la regla de tres inversa, pero sí las ecuaciones. Una alumna me dijo que ella lo había resuelto empleando una ecuación.
De vez en cuando salen ofertas en los supermercados como éstas: “3 x 2” (Llévese tres y pague dos). “Segunda unidad a mitad de precio” (comprando dos productos iguales, uno de ellos te cuesta la mitad). “Descuento del 70 % en la segunda unidad” (comprando dos productos iguales, te descuentan el 70 % en la segunda unidad).
Pregunta: Clasifica estas ofertas por orden de mayor a menor beneficio para el cliente.

References: Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
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