Source: https://www.slideshare.net/rigobertomarin/tesis-7606705
Timestamp: 2017-03-23 06:23:21+00:00

Document:
Proyecto pedagógico aprendiendo a s...
by esccostarica
Xime Iglesias
UNIVERSIDAD DE BARCELONA Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales y de las Matemáticas Memoria de la Tesis Doctoral EDUCACIÓN DEL RAZONAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO EN EDUCACIÓN INFANTILPara optar al Título de Doctor en Filosofía y Ciencias de la Educación.Sección Ciencias de la Educación.Presentada por:Mª Pilar Ruesga RamosDirigida por:Dra. Dª Mariela Orozco HormazaDr. D. Joaquín Giménez Rodríguez 2.
A mis hijos, que me permitieron ayudarles con las Matemáticas y, con ellos, aprender muchas cosas.Agradecimientos.Dice Umberto Eco que quien aspira al título de doctor no debe agradecer al director,directores, en este caso, la ayuda prestada. Sin embargo, aún faltando a esta regla, nopuedo permitir que pase la ocasión sin hacer público mi agradecimiento a sus personasy a sus familias, no ya por su inestimable contribución profesional al buen fin de estetrabajo sino, sobre todo, por su continuo e impagable apoyo y amistad. Gracias.Por otra parte, otras personas e instituciones son merecedoras de reconocimiento.Quiero señalar a D. José Cordero por su ayuda y opiniones en el proceso de análisisestadístico.A las directivas de los colegios de la ciudad de Burgos cuyos niños son aquíprotagonistas. A las tutoras de los grupos de niños entrevistados por su comprensión ycolaboración de forma especial a las de los colegios San José, Marceliano Santamaría,Fernando de Rojas, Juan de Vallejo y Santa María la Nueva.Y, sobre todo, a los niños de Educación Infantil participantes que nos han permitidoconocer algo más acerca de su mundo de las Matemáticas y, con ello, intentar ayudar aotros como ellos a vivir mejor y con la misma alegría que nos han mostrado, durante suaprendizaje. 3.
INDICEPRESENTACIÓN-----------------------------------------------------------------------1CAPITULO I MODOS DE RAZONAMIENTO EN EDUCACIÓNINFANTIL. PRESENTACIÓN DE UNA PROBLEMÁTICA1. Pensamiento relacional y Matemáticas -------------------------------------------------6 1.1 Dos ejemplos paradigmáticos. El método progresivo-regresivo de demostración y los procesos de análisis y síntesis --------------------------------7 1.2. Relaciones y modos de razonamiento -----------------------------------------13 1.3. El modo inverso y los modelos matemáticos ---------------------------------14 1.4. El modo inverso en situaciones algorítmicas ---------------------------------17 1.5. El modo inverso en situaciones de cambio representacional ---------------18 1.6. Modo inverso y axiomatización ------------------------------------------------19 1.7. Modos directo e inverso y construcción de conceptos y esquemas -----------------------------------------------------------20 1. 8. Modos directo e inverso y equivalencia proposicional --------------------20 1.9. A modo de resumen --------------------------------------------------------------24 1.10. Modos directo e inverso y Educación Infantil ------------------------------252. Construcción del pensamiento relacional-----------------------------------------------26 2.1. Modos directo e inverso y operaciones reversibles --------------------------31 2.2. Reversibilidad: procesos componentes ----------------------------------------37 2.3. Nuestro marco referencial: estadio de operaciones concretas piagetiano-------------------------------------------------------------------------------42 2.4. Relaciones, conectivos e inferencias-------------------------------------------44 2.5. El discurso relacional y la argumentación ------------------------------------51 2.6. Significación y contexto en la construcción de relaciones e inferencias-----------------------------------------------------------------------53 2.7. Sobre el lenguaje simbólico en la Educación Infantil -----------------------543. Currículo y relaciones inferenciales en la Educación Infantil-----------------------59 3.1. Elementos inferenciales en Educación Infantil ------------------------------59 3.2. Currículo matemático escolar y construcción de relaciones ------------------------------------------------------62 3.3. Argumentación y discurso matemático en Educación Infantil ----------------------------------------------------------------644. Necesidad de un estudio experimental. Problemática---------------------------------67 4.1. Sobre el estudio empírico -------------------------------------------------------69 4.2. Problema --------------------------------------------------------------------------70 4.3 Objetivos --------------------------------------------------------------------------72 4.4. Metodología ----------------------------------------------------------------------73 4.
CAPITULO II SOBRE LA PRUEBA REALIZADA1. Diseño y realización de la prueba piloto ----------------------------------------------76 1.1. Las tareas propuestas en la prueba piloto -------------------------------------76 1.2. Diseño -----------------------------------------------------------------------------80 1.3. Sobre los resultados de la prueba piloto --------------------------------------812. Diseño de la prueba definitiva ---------------------------------------------------------86 2.1. Sujetos -----------------------------------------------------------------------------86 2.2. Las tareas en la prueba definitiva ----------------------------------------------87 2.2.1. Tarea de clasificación Modo directo --------------------------------88 2.2.2. Tarea de clasificación Modo inverso--------------------------------89 2.2.3. Diferencia de nuestras tareas de clasificación con las pruebas de clasificación multiplicativa de Piaget ------------------------------90 2.2.4. Bases para el análisis de las tareas de clasificación. Procesos --93 2.2.5. Tarea de transformación en Modo directo sobre construcción compleja (CC ) --------------------------------97 2.2.6. Tarea de transformación en Modo directo sobre construcción simple (CS) ------------------------------------101 2.2.7. Tarea de transformación Modo inverso sobre construcción compleja (CC) --------------------------------102 2.2.8. Tarea de transformación Modo inverso sobre construcción simple (CS) -----------------------------------104 2.2.9. Bases para el análisis de las tareas de transformación ----------1063. Aplicación de la prueba -----------------------------------------------------------------1104. Bases para el Tratamiento y análisis de datos. Variables --------------------------111 4.1. Tarea de clasificación Modo directo -------------------------------------------112 4.2. Tarea de clasificación Modo inverso ------------------------------------------116 4.3. Tarea de transformación Modo directo ---------------------------------------121 4.4. Tarea de transformación Modo inverso ---------------------------------------129CAPITULO III RESULTADOS1. Logros de los niños en función de las tareas -----------------------------------------133 1.1. La tarea de clasificación --------------------------------------------------------133 1.1.1. En función de los modos ----------------------------------------------133 1.1.2. En función de la edad --------------------------------------------------134 1.2. La tarea de transformación -----------------------------------------------------135 1.2.1. Tarea directa en función de las versiones CC y CS-----------------136 1.2.2. En función de la edad --------------------------------------------------137 1.2.3. En función de los modos ----------------------------------------------1372. Análisis de la dificultad de las tareas -------------------------------------------------140 5.
2.1. Según contenido y los modos --------------------------------------------------140 2.2. Por grupos de edad --------------------------------------------------------------1433. Análisis de procedimientos de resolución --------------------------------------------146 3.1. Tarea de clasificación. Modo directo ------------------------------------------146 3.1.1. Evolución del acierto / error en el proceso -------------------------150 3.2. Tarea de clasificación. Modo inverso ----------------------------------------151 3.2.1. Nivel de complejidad de los procedimientos -----------------------154 3.2.2. Análisis del procedimiento usado para colocar las piezas --------158 3.2.3. Evolución del acierto / error en el proceso -------------------------161 3.3. Comparación de procedimientos resolutivos según el modo---------------163 3.4. Tarea de transformación. Modo directo --------------------------------------164 3.4.1. Sobre CC ----------------------------------------------------------------164 3.4.2. Sobre CS ----------------------------------------------------------------167 3.5. Tarea de transformación. Modo inverso -------------------------------------168 3.5.1. Sobre CC ----------------------------------------------------------------168 3.5.2. Sobre CS ----------------------------------------------------------------1694. Análisis de la argumentación y verbalización ---------------------------------------171 4.1. Tarea de clasificación. Modo directo ------------------------------------------171 4.1.1. Análisis de la argumentación en función del acierto --------------171 4.1.2. Análisis de la argumentación en función de la edad --------------173 4.1.3. Análisis de la verbalización -------------------------------------------174 4.2. Tarea de clasificación. Modo inverso -----------------------------------------175 4.2.1. Análisis de la argumentación en función del acierto --------------175 4.2.2. Análisis de la argumentación en función de la edad ---------------177 4.2.3. Análisis de la verbalización -------------------------------------------178 4.2.4. Comparación de la verbalización en ambos modos ----------------181 4.2.5. Comparación de la argumentación en ambos modos --------------184 4.3. Tarea de transformación. Modo directo --------------------------------------185 4.3.1. Sobre CC en función del acierto -------------------------------------185 4.3.2. Sobre CC en función de la edad---------------------------------------187 4.3.3. Sobre CS en función del acierto---------------------------------------188 4.3.4. Sobre CS en función de la edad --------------------------------------189 4.3.5. Comparación de la argumentación entre CC y CS -----------------190 4.4. Tarea de transformación. Modo inverso -------------------------------------191 4.4.1. Sobre CC en función del acierto -------------------------------------191 4.4.2. Sobre CC en función de la edad --------------------------------------193 4.4.3. Sobre CS en función del acierto --------------------------------------195 4.4.4. Sobre CS en función de la edad --------------------------------------195 4.4.5. Comparación de la argumentación en ambos modos---------------1965. Análisis por grupos de edad ------------------------------------------------------------199 5.1. Grupo de 3 años-------------------------------------------------------------------199 5.2. Grupo de 4 años ------------------------------------------------------------------201 5.3. Grupo de 5 años ------------------------------------------------------------------202 5.4. Resumen ---------------------------------------------------------------------------204 6.
CAPITULO IV UNA PROPUESTA DE INTERVENCIÓN1. Hacia una propuesta de rediseño -------------------------------------------------------208 1.1. Importancia de los procedimientos en Educación Infantil ----------------208 1.2. Conceptos y representaciones --------------------------------------------------209 1.3. Diseño de tareas promotoras de relaciones. Tipo de tareas -----------------211 1.4. La organización de las tareas ---------------------------------------------------213 1.5. Caracterización de nuestra propuesta -----------------------------------------2152. Tareas sobre el lenguaje simbólico ----------------------------------------------------216 2.1. Proposiciones simples -----------------------------------------------------------219 2.2. Proposiciones compuestas ------------------------------------------------------2203. Juegos de clasificación -----------------------------------------------------------------221 3.1. Actividades por disyunción -----------------------------------------------------221 3.1.1. Por disyunción de dos o 3 valores ----------------------------------221 3.1.2. Por disyunción de dos o tres atributos ------------------------------224 3.2. Actividades por conjunción ---------------------------------------------------226 3.2.1. Por conjunción de dos o tres valores --------------------------------227 3.2.2. Por conjunción de dos, tres o cuatro atributos --------------------228 3.3. Por relaciones de equivalencia -----------------------------------------------230 3.3.1. Clasificaciones por uno, dos o tres atributos ----------------------231 3.3.2. Clasificaciones por rejillas o tableros. Clasificaciones multiplicativas -------------------------------------233 3.3.2.1. Clases definidas por un solo atributo -----------------------234 3.3.2.2. Clases definidas por la conjunción de dos atributos ------242 3.3.2.3. Clases definidas por conjunción de tres atributos -------2474. Juegos de seriación --------------------------------------------------------------------248 4.1. Seriaciones con un número fijo de diferencias -----------------------------249 4.1.1. Seriaciones en que el número de diferencias establecido está vinculado a los mismos atributos ------------------------------249 4.1.2. Seriaciones en que el número de diferencias establecido no está vinculado a atributos concretos ----------------------------252 4.1.3. Seriaciones en que el número de diferencias establecido está vinculado a distintos atributos en cada paso ------------------253 4.2. Seriaciones con un número de diferencias variable -----------------------253 4.2.1. Vinculadas o no a atributos concretos -----------------------------2535. Juegos de ordenación -----------------------------------------------------------------254 5.1. Ordenaciones verticales ------------------------------------------------------255 5.1.1. Clases de equivalencia definidas por un sólo atributo -----------256 5.1.2. Por conjunción de dos atributos -------------------------------------258 5.2. Ordenación en diagramas de árbol ------------------------------------------2596. Juegos de transformación ------------------------------------------------------------262 7.
6.1. Correspondencias --------------------------------------------------------------264 6.1.1. Transformaciones unívocas -----------------------------------------264 6.2. Aplicaciones --------------------------------------------------------------------271 6.2.1. No inyectivas ni sobreyectivas --------------------------------------272 6.2.2. Actividades en modo inverso de aplicaciones no inyectivas ni sobreyectivas ---------------------------------------------------------277 6.2.3. Aplicaciones inyectivas y no sobreyectivas -----------------------277 6.2.4. Aplicaciones sobreyectivas y no inyectivas -----------------------278 6.2.5. Aplicaciones biyectivas ----------------------------------------------279 6.2.6. Actividades en modo inverso de aplicaciones biyectivas --------283 6.3. Operaciones entre aplicaciones 6.3.1. Composición -----------------------------------------------------------284 6.3.2. Inversión ----------------------------------------------------------------2877. Conclusiones ------------------------------------------------------------------------------291CAPITULO V DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES1. Discusión -----------------------------------------------------------------------------------296 1.1. Tarea de clasificación. Análisis de algunos procedimientos mediante diagramas relacionales---------------------------------------------------------------297 1.1.1. Simbolización de diagramas relacionales------------------------ 299 1.1.2. Algunos diagramas relacionales---- -------------------------------303 1.2. Tarea de transformación. Análisis de algunos procedimientos mediante diagramas relacionales---------------------------------------------------------------319 1.2.1. Simbolización de diagramas relacionales-------------------------321 1.2.2. Algunos diagramas relacionales------------------------------------3232. Conclusiones--------------------------------------------------------------------------------331 2.1. En relación al primer objetivo general----------------------------------------332 2.2. En relación al segundo objetivo general--------------------------------------3333. Limitaciones -------------------------------------------------------------------------------3364. Perspectivas --------------------------------------------------------------------------------339ANEXO I PRUEBA PILOTO -------------------------------------------------------341ANEXO II HOJA DE REGISTRO Y TRANSCRIPCIÓN DE UNA ENTREVISTA -----------------------------------------------------------345ANEXO III CODIFICACIÓN DE DATOS ------------------------------------364 8.
ANEXO IV TABLAS DE RESULTADOS -------------------------------------369BIBLIOGRAFÍA -----------------------------------------------------------------------389APENDICE HOJAS REGISTRO DE ENTREVISTAS Y ARCHIVO DE DATOS ESTADÍSTICO SPSS 9.
PRESENTACIÓN “Se nos confían niños; nosotros somos responsables de su educación. Traicionamos nuestra función humana si no nos esforzamos en desarrollar al máximo las posibilidades que lleva cada niño. Debemos mantener una inquietud constante y debemos responder con todas nuestras capacidades, todos nuestros métodos científicos de estudio y de investigación, todo nuestro amor al niño y nuestra total devoción a nuestra bella misión: formar hombres” (Mialaret 1986:174)La educación en las sociedades democráticas, es el medio que debe proporcionar larealización del ser humano como tal. Desde el punto de vista social, le debecapacitar para dominar el complejo mundo de hoy y, desde el punto de vistapersonal debe propiciar el desarrollo sus capacidades al máximo de sus propiasposibilidades.La Educación Infantil, el período docente de más reciente incorporación a laestructura educativa, tiene un origen asistencial como consecuencia de los cambiossociales experimentados a raíz de la incorporación de la mujer al mundo del trabajo.Sin embargo, la posterior evolución de la investigación en diversas áreas deconocimiento, han mostrado cómo este período resulta ser crucial para desarrollosposteriores.Para esta etapa educativa se proponen tres tipos de objetivos: conceptuales,procedimentales y actitudinales, a través de los cuales se pretende tanto dotar al niñode las herramientas conceptuales básicas para acceder a otros niveles educativos,como desarrollar sus capacidades cognitivas.En relación con este objetivo, la matemática posee un doble potencial: informativo yformativo. El aspecto informativo se refiere a los métodos aplicables a una gran 1 10.
variedad de problemáticas sobre las que puede aportar una solución. Los conceptos ymodelos matemáticos son herramienta de aplicación a situaciones muy diversas, porlo general, precisan de otros conocimientos previos e incluso hacen aparecer otrosmodelos matemáticos anteriores. Esta generalidad permite un tratamiento formal deforma desvinculada de lo concreto y mediatiza los contenidos abordables en la etapa.El aspecto formativo tiene que ver con su concepción tradicional como cienciadeductiva, que conforma un pensamiento con algunas particularidades entre lascuales se encuentra el razonamiento riguroso que se manifiesta, de forma particular,en sus procedimientos de inferencia lógica.La pretensión de una enseñanza individualizada, que procure a cada individuo eldesarrollo pleno de sus capacidades, se contradice con la visión cerrada de unashipotéticas potencialidades, asumidas de forma generalizada, por razones de estadioevolutivo. Por el contrario precisa abrir el abanico de alternativas hacia lasposibilidades, recursos y estrategias personales de razonamiento que válidamentepermitan conducir un razonamiento matemático riguroso.Los planteamientos de la llamada Nueva Matemática introducen, por primera vez enlos currículo, contenidos vinculados con el razonamiento pero con el objetivo deacceder al conocimiento matemático mediante el descubrimiento de estructurascomunes. Sin embargo, lo que debía ser un medio, se convirtió en un fin en símismo que al no producir el resultado buscado, pasó a ser abandonado. Con ello seabandona también una importante fuente de recursos para abordar las cuestiones derazonamiento durante la Etapa Infantil que pasan a ser tratadas en el contexto de losconocimientos concretos, fundamentalmente el número.En este trabajo se muestra cómo la matemática presenta una demanda relativa a dostipos de problemas, que diferenciamos, que abordables son en la Educación Infantily permiten retomar las ideas de la teoría conjuntista como parte de las estrategias de 2 11.
razonamiento reformulables en el marco de la concepción de la matemática comouna ciencia que precisa establecer relaciones entre datos y hechos.Estas estrategias, revisten un aspecto de juego de reglas practicables en dos modos:como aplicación y como descubrimiento.El hecho de no estar desarrolladas las actividades de descubrimiento de reglas en elcurrículo de la etapa, las posibilidades de los niños al afrontar este tipo de tareas sondesconocidas. Sin embargo, las características de los niños de esta edad permitieronintuir que, planteadas en un lenguaje adecuado, podrían ser accesibles para ellos yaceptarlas como un reto.Se aborda, en el Capítulo I, el marco teórico referencial que permite identificar laproblemática objeto de estudio. Está constituido por un análisis desde un triple puntode vista.En primer lugar, se identifican en el discurso matemático los dos tipos de problemas,como fragmentos constitutivos de situaciones problemáticas diversas, queexplicitamos, que tienen lugar de forma casi simultánea y son diferenciables por elobjeto sobre el cuál, el sujeto que razona, debe focalizar su atención.En segundo lugar, se analizan las distintas propuestas teóricas de construcción delconocimiento matemático, identificando en el marco de la concepción piagetiana,más concretamente, en el procedimiento de abstracción reflexiva semiempíricaligada a la construcción del pensamiento reversible, dos tipos de problemas. Laspruebas piagetianas de reversibilidad relativas a operaciones formales, permitenidentificar estos problemas como problemas matemáticos relativos a cálculosalgorítmicos. A través de ello definimos los problemas: en modo directo y en modoinverso.En tercer lugar, se analizan las cuestiones de tipo pedagógico vinculadas con elaprendizaje durante la etapa de Educación Infantil, con el fin de identificar un 3 12.
espacio de acción sobre el cual poner en práctica los modos de razonamientomatemático y diseñar una prueba experimental que permita evaluar las posibilidadesde los niños preescolares en tareas que los impliquen.Esta panorámica permite determinar la problemática objeto de estudio, la necesidadde una investigación experimental y el establecimiento de los objetivos.El Capítulo II se dedica a la prueba realizada. El diseño corresponde con el de unainvestigación quasiexperimental multivariada, con grupo piloto. Se describe laprueba sobre el grupo piloto, las pruebas definitivas y se determinan las variablesobjeto de registro.En el Capítulo III se muestran los resultados obtenidos, mediante tratamientoestadístico, de las variables registradas y el análisis de los mismos.En el Capítulo IV desarrollamos una propuesta relativa a tareas para la EducaciónInfantil desarrollada a través de las conocidas piezas de los bloques lógicos que losresultados obtenidos permiten.Finalmente en el Capítulo V se recogen las conclusiones, limitaciones y perspectivasdel estudio. 4 13.
CAPITULO I MODOS DE RAZONAMIENTO EN EDUCACIÓN INFANTIL. PRESENTACIÓN DE UNA PROBLEMÁTICA ResumenDesde la conceptualización de la matemática como ciencia que consiste en el establecimiento derelaciones de muy diversos tipos, se distinguen dos procesos relacionales: directo e inverso quetienen lugar en aspectos distintos del campo matemático. En segundo lugar, mostramos lavinculación existente entre estos procesos y los procesos integrantes del concepto de reversibilidadpiagetiana con los que se identifican en el caso particular de los cálculos algorítmicos. De acuerdocon este paradigma, el sujeto necesita construir un pensamiento reversible en todos los estadios deaprendizaje incluidos los que afectan a las operaciones no formales, propias de la etapa deEducación Infantil. Finalmente analizamos las condiciones pedagógicas que permiten por una parte,su práctica a través de tareas de aplicación y descubrimiento de reglas con representacionesicónicas, precursoras de las representaciones simbólicas que caracterizan la matemática y, por otraparte, cómo pueden ser analizados a través de los procesos relacionales que se ponen en juego, enambos modos, a través de las relaciones de tipo lógico que implican. Esquema Lo matemático Lo Psicológico Lo pedagógico Los procesos de La construcción del Condiciones razonamiento conocimiento pedagógicas que relacional en matemático permiten poner en matemáticas. práctica los Ejemplos procesos no formales Análisis de la integrantes de la reversibilidad reversibilidad en la piagetiana Educación Infantil Procesos no formales integrantes de la reversibilidad PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN EMPIRICA Capitulo I.- 5 14.
1. Pensamiento relacional y MatemáticasLas líneas generales que desarrolla este capítulo parten de nuestra concepción de lamatemática como una ciencia cuyo objetivo es el establecimiento de relaciones demuy diversos tipos. Estas relaciones, que implican operaciones formales, tienenlugar entre objetos, reales o no, y se traducen a través de un lenguaje simbólico, quele es propio, a modelos que las generalizan y representan desde los cuales lassituaciones de partida se obtienen por particularización. Estamos interesados enestudiar como pueden ser conceptualizadas estas dos formas relacionales y como seconstruyen desde el punto de vista cognoscitivo.Este problema es interesante no sólo desde el punto de vista de la matemática, sinotambién de la didáctica. En efecto, mostraremos que no hay trabajos en EducaciónInfantil que hayan estudiado estos procesos detenidamente. Así, en este capítulo,justificaremos el interés de este tema, para terminar estableciendo nuestro problemaespecífico de investigación.Basándonos en el análisis del método de demostración progresivo-regresivo porSolow (1992) y en algunas estrategias de resolución de problemas propuestas porPolya (1984), identificamos dos modos de establecer las relaciones, de los cualesestos casos resultan situaciones particulares. Uno de ellos es el que tiene lugarcuando las relaciones progresan desde los datos, situaciones de partida o condicionessuficientes y, en general, desde las causas, en la búsqueda de las soluciones,situaciones finales o condiciones necesarias, es decir hacia los efectos. El otroprogresa en sentido contrario, esto es, en general desde los efectos a las causas.Mostramos en aspectos diversos del campo matemático, la presencia de ambosprocesos.En matemáticas las relaciones se establecen a través de una lógica que utiliza losrecursos de la lógica inferencial clásica. La secuencia con que se producen lascadenas inferenciales lógicas en cualquier problemática, permite analizar cómo elindividuo las utiliza y las comprende. Así encontramos estas cadenas inferenciales Capitulo I.- 6 15.
planteadas sobre situaciones que progresan en los dos sentidos señalados. Estasformas relacionales se presentan de forma entremezclada, casi conjunta y componenpasajes que permiten alcanzar el objetivo de la situación problemática a la quepertenecen.Encontramos en la visión Piagetiana, más concretamente, en los procesosconstituyentes de la reversibilidad de pensamiento, las dos formas relacionalesmatemáticas. Estas formas no son tratadas en la teoría Piagetiana que tiene porobjeto describir cómo se produce el aprendizaje pero no analizar los procesosconstitutivos de los mismos con intenciones de intervención educativa que anosotros nos guía. Esto nos permite afirmar que existe un espacio dentro de laEducación Infantil en el que estas tienen una justificación. Finalmente analizamoslas condiciones pedagógicas que nos permiten plantear un estudio de las mismas enla Educación Infantil.1.1. Dos ejemplos paradigmáticos. El método progresivo-regresivo de demostración y los procesos de análisis y síntesisAl analizar el método por demostración progresivo-regresivo, Solow (1992)identifica y separa pasajes que el razonador debe resolver respondiendo a dos tiposde preguntas. Uno de estos tipos son las preguntas de la forma: “¿qué tengo cuandotengo...?” mientras el otro tipo son preguntas de la forma: “¿qué debería tener paratener...?”.Desde la perspectiva relacional ambos tipos de preguntas ponen de relieve dostendencias inversas en cuanto a que, bajo la primera formulación, se camina desdelas condiciones necesarias hacia las suficientes, en tanto que bajo la segundaformulación se camina en sentido contrario, esto es, desde las condicionessuficientes hacia las necesarias.Polya (1984) recoge los procesos de análisis y síntesis que el matemático griegoPappus distingue como parte integrante de la estrategia para resolver problemas. Capitulo I.- 7 16.
Ambos procesos, bajo adaptación del autor de su texto original, son descritos de lasiguiente forma: “Buscamos de qué antecedentes se podría deducir el resultado deseado; después buscamos cual podría ser el antecedente de este antecedente, y así sucesivamente, hasta que pasando de un antecedente a otro, encontremos finalmente alguna cosa conocida o admitida como cierta. Dicho proceso lo llamamos análisis, solución hacia atrás o razonamiento regresivo. En la síntesis, por el contrario, invirtiendo el proceso, partimos del último punto alcanzado en el análisis, del elemento ya conocido o admitido como cierto. Deducimos lo que en el análisis le precedía y seguimos así hasta que, volviendo sobre nuestros pasos, lleguemos finalmente a lo que se nos pedía. Dicho proceso lo llamamos síntesis, solución constructiva o razonamiento progresivo” (Polya 1984: 134)Vamos a analizar estos dos procesos en los casos mencionados.El método progresivo-regresivo de demostraciónOrdinariamente, las demostraciones matemáticas presentan una importante omisión.Utilizan principios o reglas de inferencia que no están explícitamente formulados y delos que muchas veces no se tiene conciencia. Dice Daniel Solow en su libro "Cómoentender y hacer demostraciones en Matemáticas": "Después de terminar mis estudios de Licenciatura, comencé a preguntarme porqué había sido tan difícil aprender matemáticas puras. A medida que avanzaba en mis estudios de postgrado me dí cuenta que las matemáticas poseen muchos de los aspectos de un juego: un juego en el cual las reglas habían estado parcialmente escondidas. ¡Imagínese tratando de jugar ajedrez antes de saber cómo se mueven todas las piezas! No es sorprendente que tantos estudiantes hayan tenido problemas con las matemáticas abstractas. Capitulo I.- 8 17.
Para jugar al ajedrez, usted debe aprender primero cómo se mueven cada una de las piezas. Solamente después de que estas reglas han sido asimiladas por su subconsciente usted podrá concentrar toda su atención en aspectos creativos como estrategias, tácticas, etc. De igual forma sucede en matemáticas. Al principio se necesita trabajar mucho para aprender las reglas fundamentales y lograr que se conviertan en algo muy conocido. Entonces encontrará que su mente puede enfocarse hacia los aspectos creativos de las matemáticas." (Solow 1992: 9)La mayoría de los procedimientos de demostración en matemáticas, tienen por objetola verificación de una proposición del tipo A ⇒ B. El método progresivo-regresivo(Solow 1992) es asimilable a un gran laberinto de ideas que tiene comienzo en A ysalida en B, estableciendo un camino de conexión, posiblemente de entre muchos, quese recorre simultáneamente de A hacia B y de B hacia A. Al tratar de determinar cómollegar a la conclusión de que B es verdadero, usamos el proceso regresivo, en tanto que,cuando hacemos uso de la información contenida en A, estamos usando el procesoprogresivo.El proceso de demostración se comienza regresivamente, planteando lo que Solowllama una "pregunta de abstracción" que consiste siempre en un planteamiento de laforma: "¿cómo o cuándo puedo concluir que la proposición B es verdadera?". Lapregunta debe ser formulada de un modo abstracto, general y sin hacer referenciaalguna al problema concreto que la suscita. La respuesta a la pregunta de abstracción esun proceso de dos fases. Primero hay que dar una respuesta abstracta. Después hay queaplicar esta respuesta a la situación específica. Ambas fases constituyen el llamado"proceso de abstracción" y ha proporcionado una nueva proposición B1, con lapropiedad de que si se pudiese demostrar que B1 es verdadera, entonces B seríaverdadera, es decir que B1 ⇒ B. Este paso regresivo se aplica a la proposición final eindaga su causa en forma de condición suficiente para B y supone, por tanto, labúsqueda de una relación no explícita que no es necesariamente única y debeencaminarse hacia la integración en B1 de la información contenida en A. Capitulo I.- 9 18.
Veamos, por ejemplo un paso en la demostración de la relación conjuntista de que,siendo A y B dos conjuntos cualquiera se verifica que (A∩B) ⊂ (A∪B). El primer pasoconsiste en tomar un elemento cualquiera de (A∩B)∀ x∈ (A∩B), desde aquí pueden desprenderse múltiples condiciones necesarias, porejemplo las siguientes: que x∈A y x∈B ó que x∈ (A∩B) ∪ W ∀W ó que x ∉(A∩B)C ó que x ∉ A C∪B ó que x ∉ B C∪A …pero de todas ellas es preciso optar por una que permita vincular la información quecontiene con el objetivo de la demostración, es decir con el hecho de que x pertenezcaa (A∪B), convirtiendo a la proposición x∈ (A∪B), que se quiere demostrar, encondicionante para la elección del camino relacional que debe ser descubierto.Así el proceso regresivo se transforma ahora en el planteamiento del proceso deabstracción para la proposición B1. Nuevamente la formulación de una pregunta deabstracción correctamente formulada, su respuesta y adaptación al contextoproporcionan una nueva proposición B2 tal que es condición suficiente para la B1, estoes B2 ⇒ B1.Este es un camino de progreso desde los efectos a las causas.El proceso progresivo se inicia con la proposición A, que se supone es verdadera. Apartir de ella se obtiene otra proposición A1 de la cual sabremos ya que es verdaderacomo consecuencia de serlo A, esto es, obtenemos una proposición necesaria para la A,por tanto: A ⇒ A1. El paso progresivo se aplica a datos ciertos desde los cuales se Capitulo I.- 10 19.
genera una consecuencia necesaria y supone, por tanto, un camino de progreso desdelas causas a los efectos.Ambos procesos progresivo y regresivo no son independiente sino que por el contrariovan intrínsecamente ligados puesto que las proposiciones Ai obtenidas progresivamentehan de estar encaminadas a la obtención de la última Bj obtenida regresivamente que deeste modo reposicionan continuamente el proceso de razonamiento.Finalmente la regla del silogismo hipotético aplicada entre proposiciones consecutivasproporciona la veracidad del condicional: A ⇒ A1 A1 ⇒ A2 ... Ai ⇒ Ai+1 Ai+1 ⇒ Bi Bi ⇒ Bi-1 B2 ⇒ B1 B1 ⇒ B A ⇒ BEste sería un camino determinado entre un cúmulo de conocimientos construidos,sobre el que, en cada momento, hay que ir desechando posibilidades, argumentos oideas que puedan considerarse no fructíferas o accesorias en cada problema.Ambos procesos son bien diferentes uno de otro.El proceso progresivo avanza sobre una afirmación construida, dada, conocida,poniendo de relieve parte de la información contenida en A: A1. Mira la pirámide delconocimiento desde su vértice hacia abajo, descendiendo por un camino seguro deaplicación de relaciones ya conocidas en respuesta a una pregunta del tipo "¿qué tengocuando tengo A?". Pero la elección de A1, de entre todas las posibles proposiciones quepueden desprenderse de A, depende de B. El proceso regresivo opera en sentido Capitulo I.- 11 20.
contrario, mirando desde la base de la pirámide hacia su vértice siempre desde laespeculación, tratando de descubrir una relación no conocida en la búsqueda de larespuesta a una pregunta del tipo "¿qué tendría que tener para B?."Si embargo, el camino relacional descrito por la conexión entre sentencias, depende acada paso del contexto, no tiene porqué ser único y es necesario descubrirlo.El razonamiento regresivoUno de los ejemplos con los que Polya ilustra la idea de razonamiento regresivo es lademostración clásica de Euclides del teorema que establece que la serie de númerosprimos es ilimitada. La demostración dice: "Sea x el mayor número primo. Consideremos el número formado por el producto de todos los números primos menores que x y sumemos a este producto 1: y = (2.3.5.7... x) + 1 El número y es mayor que x. Pero y o es primo o es compuesto. Si y es primo, entonces x no es el mayor número primo. Si y es compuesto, entonces tiene que tener un divisor mayor que x puesto que por construcción ni x ni ninguno de los primos menores que él puede dividir a y, en consecuencia este divisor primo es mayor que x. Luego x no sería el mayor número primo."La anterior es una demostración de las llamadas "por reducción al absurdo" pero a lavez por construcción, puesto que se ha "fabricado" el número y. Este número y haresultado ser muy oportuno pero claramente no ha sido casual sino que ha surgido derecorrer la cadena de deducciones desde los postulados iniciales a los finales y de los Capitulo I.- 12 21.
postulados finales a los iniciales. Y ello ha ocurrido antes de sugerir la posibilidad deprobar con un número concretamente así construido dentro de la enorme gama deposibilidades que tenemos para haber diseñado cualquier otro.Este proceso aparece en una infinidad de situaciones familiares en matemáticas entreellas: “la misteriosa elección de expresiones tales como ε ⁄ 2√Μ en lasdemostraciones de teoremas de límites” (Dubinsky 1994: 105), y es característico delas demostraciones por construcción.1.2. Relaciones y modos de razonamientoToda situación problemática resoluble en el ámbito de las matemáticas precisaestablecer relaciones por medio de analogías y metáforas. Esta necesidad se hacepatente en ámbitos muy diferentes y constituye una característica que hace de lamatemática una ciencia que trata de las relaciones (Alsina y otros 1992) que puedenestablecerse entre variables y hechos cuantificables. Inducción, deducción,generalización, particularización, abstracción son procesos que forman parte delrazonamiento en matemáticas e implican poner en relación situaciones reales ohipotéticas (Polya 1984; Schoenfeld citado en Davis y Hersh 1989; Guzman 1997).La forma en que tienen lugar los procesos relacionales que hemos visto operar en losejemplos anteriores pueden identificarse como procesos en los que las relaciones sonestablecidas apoyándose en las situaciones de partida, datos o causas, tal comoocurre en la síntesis y en el proceso progresivo, o bien apoyándose en lassituaciones finales, resultados o efectos como ocurre en el análisis y en el procesoregresivo.Ahora bien, encontramos que ambos procesos, que pueden formularseexplícitamente o no, no son independientes uno de otro, sino que tanto en el procesode análisis (Polya 1984: 174), como en los pasos regresivos de demostración, elretroceso continuado de un antecedente a otro sería inútil si no fuera porque en elúltimo antecedente encontrado se reconocen las situaciones o condiciones de partida. Capitulo I.- 13 22.
Siendo así que son estas las que permiten encontrar un camino en retrocesofructífero.De igual forma, el proceso de síntesis como los pasos progresivos de demostración,se establece de forma pertinente sólo cuando las situaciones finales presiden elobjetivo del recorrido progresivo.Desde esta perspectiva, encontramos que ambos procesos se dan también en otrasocasiones no vinculadas con la demostración.Para referirnos a ellos llamaremos proceso en modo directo a todos aquellos pasosrelacionales en los que las relaciones son establecidas apoyándose en las situacionesde partida, datos o causas. Llamaremos proceso en modo inverso a todos aquellospasos relacionales en los que las relaciones se establecen apoyándose en lassituaciones finales, resultados o efectos.En lo que sigue, nos interesamos en el análisis del modo inverso en aspectosdiversos de la matemática.1.3. El modo inverso y los modelos matemáticos “Un modelo matemático es una especificación y una semi-descripción de un sistema conceptual creado por una interpretación de hechos. Por medio del modelo matemático, las descripciones verbales y no formales de relaciones entre diferentes parámetros pueden ser expresados en términos de relaciones funcionales, y las características de las relaciones pueden ser expresadas como propiedades de la función matemática seleccionada” (Skovsmose, 1994: 104)Los métodos de resolución de problemas proponen estrategias cuyo fundamentoestá, de forma genérica, en el establecimiento y descubrimiento de relaciones. Capitulo I.- 14 23.
Una de estas estrategias es la analogía que permite relacionar situaciones que, siendodiferentes, están gobernadas por reglas exportables entre ambas. La analogía,actividad que tiene lugar, según el modelo de Polya, en el momento de concebir unplan, puede ser el recurso que propicia el paso que conduce del mundo real almodelo matemático. Desde el punto de vista relacional, consiste en encontrar lasrelaciones que gobiernan la situación que los datos y condicionantes del problemaexpresan por similitud con otros casos conocidos.Encontrar el modelo matemático al que responde una situación problemática, conayuda o no de la analogía, no es otra cosa que plantear, en un lenguaje formal propiode la matemática, las relaciones descubiertas.La solución de una situación resoluble matemáticamente supone la identificación dedatos y la concreción de la relación que los liga en una expresión o modelomatemático sobre el que aplicar un método resolutivo que genere soluciones almodelo matemático. Sin embargo, en la resolución de problemas la obtención delmodelo matemático es prevalente frente a la aplicación eficaz del método resolutivo.En efecto, en ocasiones, es posible resolver situaciones problemáticas sin utilizaruna representación formal. Sin embargo, esto nunca es posible sin la determinaciónfidedigna de las relaciones que expresan las condiciones y los datos.Problemáticas como: “Un club de fútbol está renovando su representación. Hay 12 candidatos para optar a los puestos de presidente, secretario y tesorero. ¿De cuántas formas distintas pueden quedar establecidos los puestos de representación?” ó “Con los 40 alumnos de una clase se desea formar equipos de tres alumnos cada uno. ¿De cuántas maneras puede hacerse? Capitulo I.- 15 24.
Pueden resolverse por procedimientos menos sistematizados, como la obtención delespacio muestral, pero esto no evita la necesidad de descubrir la regla de formaciónde ternas.Pero, descubrir las relaciones que gobiernan una situación problemática implica unposicionamiento sobre los datos y el campo conceptual de pertenencia y supone, portanto, poner en práctica un proceso en modo directo. La incorporación de estainformación permite encontrar vínculos y reconocer los operadores que, de forma noexplícita, intervienen en el problema.La obtención de estos vínculos, es decir, el descubrimiento de la relación que elmodelo matemático expresa, constituye un proceso en modo inverso en la medida enque generaliza las relaciones abstraídas de los datos.Algunas de las estrategias propuestas por Guzmán (1997) denotan procedimientoshabituales en matemáticas, mas allá de la resolución de problemas. Así, por ejemplo,la estrategia consistente en suponer el problema resuelto, indica un posicionamientosobre la solución del mismo, punto desde el cuál hay que regresar, indicando unproceso que va de los efectos a las causas, o bien de las situaciones finales a lasiniciales: “Al suponer el problema resuelto, de la forma práctica que veremos a continuación, aparecen los datos mas cercanos a lo que buscamos y mas fácilmente encontraremos el camino desde dónde estamos a donde queremos llegar” (de Guzmán, 1997: 204)La asignación de variables es otra manifestación del mismo en tanto que supone unposicionamiento sobre la solución y dar nombre (ya que todavía no se puede darvalor numérico) a las incógnitas involucradas y ello como paso previo a la búsquedade relaciones. Capitulo I.- 16 25.
1.4. El modo inverso en situaciones algorítmicasAlgunos procedimientos algorítmicos revelan también la presencia de los modosdirecto e inverso. Examinemos la estrategia escolar de completar cuadrados paradeterminar el eje y el vértice de la parábola y = x2 – 3x. Sobre el modelo general y =a(x - p)2 – q se reconoce el eje en la recta x = p y el vértice en el punto decoordenadas cartesianas (p,q).El problema se transfiere a un problema algebraico que requiere expresar laecuación de la parábola dada en la forma general.Analizamos los pasos que constituyen este objetivo: a) Suponemos expresa la ecuación de la forma buscada, es decir que la igualdad y = x2 – 3x = a (x - p)2 – q Es una condición suficiente. b) Puesto que (x – p)2 = x2 – 2px + p2 debe ser la situación final c) La comparación con la situación inicial conduce a que a = 1 y p = 3/2 Es condición necesaria. d) Nuevamente, la comparación con la situación inicial y = x2 – 3x, indica que es necesario añadir un término independiente para que a) se verifique e) Es suficiente que q = –(3/2)2Utilizamos un proceso en modo inverso en los pasos a), b) y en modo directo en lospasos c), mientras en los pasos d) y e) ambos modos coexisten.Vemos en este cálculo, una continua referencia de la situación de partida a la dellegada y al revés, de forma que el procedimiento queda determinado por lasreferencias conjuntas y continuas de una a otra. Capitulo I.- 17 26.
1.5. El modo inverso en situaciones de cambio representacionalEl procedimiento anterior proporciona la solución al problema consistente en laobtención de la gráfica de la función parábola de eje la recta x = p y vértice el puntode coordenadas cartesianas (p, q) utilizando un modelo algebraico.Pero la representación algebraica conduce a la representación geométrica yrecíprocamente.Es decir, mientras el: a) ejercicio de ida: Obtener la gráfica de la parábola de ecuación y = -2x2 + 4x + 1traslada isomórficamente el modelo algebraico en el modelo geométrico dado por lagráfica de la misma, el (b) ejercicio de vuelta: Obtener la ecuación de la parábola: . (1,3) 1traslada isomórficamente el modelo geométrico al modelo algebraico.Ambos problemas tienen contextos diferentes y objetivos diferentes y, por tanto sonproblemas distintos. Ambos contienen en sus procesos resolutivos respectivos Capitulo I.- 18 27.
fragmentos en modos directo e inverso que involucran puntos de vista centradosrespectiva y simultáneamente en los modelos algebraico y geométrico.Son semejantes en cuanto a que los datos y conclusiones son explícitos, sin embargoprecisan un proceso en modo inverso en el reconocimiento y explicitación delsentido de la equivalencia representacional entre ambos modelos.Es, sin embargo, notable el hecho de que mientras la obtención del modelogeométrico desde el algebraico es habitual en los procesos de aprendizaje, no lo estanto, en sentido contrario.1.6. Modo inverso y axiomatizaciónEl proceso constructivo del conocimiento matemático que constituye laaxiomatización suele comenzar con la exposición de los axiomas.El Libro Primero de los Elementos de Euclides, que desarrolla la GeometríaEuclidiana comienza, en su primera línea, diciendo: “1. Punto es, cuya parte es ninguna. 2. Línea es longitud que no se puede ensanchar. 3. Los términos de la línea son puntos....”Pero los axiomas no pueden surgir espontáneamente. La axiomatización, sólo puedesurgir desde la contemplación de un panorama general, de las relaciones que allí sedan, con unas leyes de operación determinadas que, finalmente, vistas en sentidocontrario, van estableciendo las raíces comunes que hicieron posible la aparición delpanorama general. No son primero los axiomas. Los axiomas surgen mas tardemediante un proceso continuado de "regreso", desde las situaciones finales que,permanentemente está condicionado por el camino de "progreso" que pueda generar. Capitulo I.- 19 28.
Es en la búsqueda de los axiomas donde identificamos este proceso en modo inversoen cuanto que se establece desde los efectos, las propiedades conocidas o intuidas,hacia sus causas o condiciones suficientes para las mismas.1.7. Modos directo e inverso y construcción de conceptos y esquemasLa construcción de conceptos involucra elementos de tipo lógico inferencial. ParaWartofsky (1987:33) una parte de la lógica es el análisis de las formas de inferenciacorrecta; otra, relacionada con ella, se ocupa de la definición, o sea de precisar lossignificados y mostrar cómo unos conceptos se relacionan con otros o de cómo unconcepto se define en función de otro. El establecimiento de un concepto a través deuna definición surge cuando media una abstracción que traslada una situación reflejadaen una infinidad de casos particulares al rango de una situación más general. Esteprocedimiento precisa de extraer todo lo que pudiera haber de común entre unainfinidad de casos relativos a un mismo aspecto desechando todo lo que pueda sercircunstancial o irrelevante, lo que Skemp (1980) denomina "ruido" en referencia atodo aquello que no es relevante y distorsiona la idea central.Las clasificaciones son un caso de proceso en modo directo.Por ejemplo, la clasificación de los triángulos según sus lados en: equilátero, isóscelesy escaleno. Dado un triángulo, por verificación sobre los elementos asignamos la clasea la cual corresponde. Sin embargo, la caracterización de elementos asociada a esaclasificación implica un proceso en modo inverso. En este caso, dado un triángulo de laclase equilátero, éste tiene los tres lados iguales, pero eso implica que también tienedos lados iguales por lo que también pertenece a la clase de los isósceles. Es necesarioañadir a los datos las características de clasificación adoptadas.1. 8. Modos directo e inverso y equivalencia proposicionalTodas las problemáticas anteriores, tanto las que suponen procesos en modo directocomo en modo inverso, tienen un denominador común: consisten en procedimientos degeneración, a partir unas proposiciones verdaderas, de nuevas proposiciones verdaderas Capitulo I.- 20 29.
sobre las cuales se alcanza una particular sensación de seguridad y confianza,consecuencia del carácter apodíctico de las proposiciones matemáticas que segeneran a través de la lógica inferencial que le es propia.Este proceso de generación de nuevas proposiciones o terceros enunciados (Duval1999) que caracteriza el razonamiento deductivo se realiza continua y simultáneamentedesde la premisa a la conclusión y desde la conclusión a la premisa.Pero el instrumento que permite esta operación es la lógica inferencial algunos decuyos principios son patentes en los ejemplos mencionados.En la demostración del teorema de Euclides - se desecha la posibilidad de que la proposición pueda ser cierta recurriendo a la ley de contradicción: “no puede ocurrir que x sea el mayor número primo y a la vez que x no sea el mayor número primo”. - Aparece el uso de la ley del tercio excluso: "y, o es primo o es compuesto". - El silogismo hipotético aparece cuando se razona:"si y es compuesto, entonces tiene un divisor. Si tiene un divisor, éste ha de ser mayor que el número x. Luego si y es compuesto, su divisor ha de ser mayor que x". - Ley de inferencia "modus ponens" cuando se razona: "todo número producto de otros varios positivos distintos de 1, es mayor que cada uno de los factores. El número y es producto de otros varios distintos de uno. Luego el número y es mayor que todos ellos". - La particularización: "el número y es mayor que el x", se basa en el principio aristotélico de que todo lo que es cierto para el total lo es para la parte. - El aspecto cuantificacional aparece de forma implícita en expresiones como: "sea x el mayor número primo", lo cual equivale a decir: Capitulo I.- 21 30.
"supongamos que existe un número tal que es el mayor número primo posible."Esta lógica que es necesario aplicar en los razonamientos matemáticos, que vienecaracterizada por las leyes de la lógica clásica, forma parte del modo de razonar que elser humano construye a través de su desarrollo.La equivalencia proposicional permite sustituir una proposición: p por otraequivalente: q. Esto significa que p y q son respectivamente necesarias y suficientescada una para la otra.El tránsito de una proposición a otra equivalente es habitual en el razonamientomatemático. Esta equivalencia permite el uso indistinto de las siguientes definicionesde número divisor: (1) "Un número x es divisor de un número y, cuando existe otro número natural q tal que y = q.x", (2) "Un número x es divisor de un número y cuando el resto de la división de y entre x es cero", (3) "Un número x es divisor de un número y cuando al dividir y entre x el cociente es un número natural", (4) "Un número x es divisor de un número y, cuando y es múltiplo de x".Es posible establecer un procedimiento relacional bidireccional a través de unacadena de deducciones que garantiza la equivalencia de dos cualquiera de ellas, esdecir que si i, j = (1), (2), (3), (4) (i) ⇒ (j) Capitulo I.- 22 31.
y además (i) ⇐ (j)Completando un proceso que puede recorrerse en cualquiera de los dos sentidos.En el paso (i) ⇒ (j), se trata de mostrar que (j) es necesaria para (i) y todo lo que sedice en (j) está dicho en (i), mientras que en el paso (i) ⇐ (j) hay algo nuevo, noexplícito, que se añade y que constituye un proceso en modo inverso: el paso (1) ⇐ (2)precisa utilizar las relaciones no expresas: Dividendo = Divisor x Cociente + Resto, y que cualquiera que sea el número a, se tiene: a + 0 = a.Algunas equivalencias no son tan inmediatas. Consideremos el ejemplo del conceptode aplicación inyectiva. (1) "f: A → B es inyectiva cuando para todo x, y de A si x es distinto de y,entonces f(x) es distinto de f(y)".No obstante usamos indistintamente la siguiente formulación para el mismo concepto: (2) "f: A → B es inyectiva cuando para todo x, y de A, si f(x) es igual af(y), entonces x es igual a y"Lo que está justificado por la equivalencia formal de las proposiciones p ⇒ q, y ∼q⇒∼pque las expresiones lingüísticas (1) y (2) ocultan. Capitulo I.- 23 32.
1.9. A modo de resumenHemos identificado problemáticas en modo directo y en modo inverso en los siguientescasos:Situaciones Proceso en modo directo Proceso en modo inversoResolución de Acciones involucradas en la Acciones involucradasproblemas aproximación y básicamente en la familiarización con los datos determinación del modelo y/o búsqueda de soluciones matemáticoMétodos Obtención de condiciones Obtención de condicionesdemostrativos necesarias suficientesprogresivo-regresivoAlgorítmicas Aplicación DescubrimientoIntercambios Práctica y comprensión del Reconocimiento y explicitaciónrepresentacional cambio del sentido de la equivalencia representacionalMétodos Tratamiento inductivo Creación del objeto solucióndemostrativos porconstrucciónAxiomatización Exploración Enunciación de axiomasConstrucción de Clasificación y aplicación de Caracterización yconceptos y relaciones de clasificación y establecimiento de relacionesesquemas jerarquíasEquivalencia Justificación de condiciones Obtención justificaciones deproposicional necesarias condiciones suficientesEste continuo tránsito entre posiciones progresivas y regresivas, entre causas yefectos, conforma una dualidad bidireccional que necesita darse de forma conjunta yremite a la concepción Piagetiana de elaboración del conocimiento en lo que serefiere a la necesidad de presencia de una operación (en sentido genérico) y su Capitulo I.- 24 33.
opuesta, de forma simultánea, ya sea para: aplicar-descubrir relaciones, buscarequivalencias o razonar progresiva-regresivamente.1.10. Modos directo e inverso y Educación InfantilLos diversos ámbitos del conocimiento matemático sobre los que hemos visto operarlos modos directo e inverso no son de aplicación en la etapa de Educación Infantil.Sin embargo, con ligeras variaciones de contexto, todos ellos representan situacionesque el actual alumno de preescolar tendrá que afrontar en su futura formaciónmatemática. La Educación Infantil debe proporcionar el soporte que las demandasdel conocimiento matemático va a requerir en la medida posible.El niño de esta edad no puede afrontar, por razones evolutivas, planteamientos conoperaciones formales. El alumnado de Educación infantil no se enfrenta asituaciones en que las inferencias se producen en la forma verbal teórica de la lógicasimbólica con uso de condicionales y frases complicadas. Por el contrario, la lógicainferencial que implican afecta a un universo proposicional simple, del que síforman parte expresiones como “y”, “ó”, “no” incluso “entonces”. Sin embargo, lasleyes de inferencia lógica, no dependen de la sencillez de las proposiciones sobre lascuales se aplican. Sobre este universo proposicional simple, tiene lugar el desarrollode las destrezas de razonamiento.Estamos interesados en estudiar como se construyen ambos procesos directo einverso, a través de su manifestación lógica inferencial sobre tareas apropiadas parala Educación Infantil relativas a procedimientos de construcción del conocimientomatemático, que implican códigos y símbolos. Capitulo I.- 25 34.
2. Construcción del pensamiento relacionalDreyfus enfatiza que es necesario poner el acento sobre los procesos más que sobrelos contenidos para capacitar al estudiante en el aprendizaje de las matemáticasabstractas de forma más independiente y comprensiva: “Descubrir relaciones, por ejemplo, está a menudo considerada como la forma más efectiva para que los niños aprendan matemáticas...” Dreyfus (1994:40)Consideramos importante, pues, enmarcar los planteamientos psicológicos deenseñanza / aprendizaje que nos permitan reconocer cómo el alumnado accede alconocimiento matemático y qué papel juegan los dos procesos en modos directo einverso en esa construcción.El desarrollo vertiginoso que la Psicología experimentó durante el pasado siglo hanconducido a un mejor conocimiento de la forma en que se construye el conocimientomatemático y situado al niño de la etapa preescolar como digno candidato a losbeneficios de la vida cultural mediante su integración en la escuela. En algunos casos elpapel de la educación cognitiva temprana es vista con una finalidad mas preventiva queeducativa en el sentido de que su objetivo primordial es poner en manos de los niñosherramientas básicas de aprendizaje, antes incluso, de que esas herramientas les seannecesarias para su tarea escolar (Haywood, 1996, citado por Ortiz 2002:377).Es en 1908, con la publicación de los resultados de la “Enquête de L’EnseignementMathématique sur la méthode de travail des mathématiciens” por Fehr, cuando seinicia el análisis de los modos de pensamiento matemáticos, introduciendo el puntode vista de la Psicología, que indicaba que las dificultades no siempre provenían dela lógica como se asumía antes del siglo XX. Este primer trabajo provocó laconferencia de Poincaré sobre “L’invention mathématique” cuyas ideas fueronretomadas y tratadas en mayor profundidad por Hadamard en 1945 en su obra sobre Capitulo I.- 26 35.
Psicología de la invención que versa sobre los modos de proceder de matemáticosprofesionales ante una situación matemática (Beth y Piaget, 1961: 96).La primera aproximación a la construcción del conocimiento matemático tiene lugara comienzos del siglo XX cuando Thorndike propone un principio general deaprendizaje de la aritmética, según el cuál la instrucción debe basarse en laenseñanza directa y en la fragmentación del currículo en un número de partesaisladas para ser aprendidas con el esfuerzo apropiado. Durante mucho tiempo, estefue el modelo predominante en la enseñanza de la aritmética. Posteriormente estemodelo es acogido por B.F. Skinner y actualizado recientemente por R. Gagnéconstituyendo la conocida teoría conductista (English, 1995). Skinner, creador de lallamada teoría Conexionista (Maza, 1989: 47) mantiene que la construcción de unconocimiento es el resultado de la generalización de los vínculos creados entredeterminados estímulos y sus respuestas. Propugna que el verdadero objeto deaprendizaje es el vínculo y no los conceptos en sí que resultan ser una consecuenciaa la que se llega a través de un proceso que comienza con la discriminación y elestablecimiento de características, relevantes y no relevantes, sobre una variedad deestímulos que, finalmente, crean un vínculo con una respuesta que el niño ha degeneralizar.El progresivo movimiento en educación que tuvo lugar durante los años 1930 a 1940enfatizó el “aprender para vivir” y condujo a la aparición de la teoría cognitivista.Hubo un cambio en el cual la velocidad y la exactitud fueron el criterio para medir elaprendizaje. Algunos educadores como Wheeler recalcaban el aspecto de utilidadsocial del aprendizaje de la aritmética manteniendo que el niño aprende todo lo quede matemáticas requiere a través de la experiencia más que de la instrucciónsistemática. Este planteamiento no es compartido por W. Brownell, por noconsiderarlo eficaz y enfatizan la importancia de enseñar la estructura de lamatemática manteniendo que: Capitulo I.- 27 36.
“El sentido debe ser buscado en la estructura, la organización y la relación que internamente el sujeto hace” (Brownell 1945: 481 citado por English 1995: 4).Lo importante es impartir a los estudiantes la estructura de la aritmética, esto es: lasideas, principios y procesos de las matemáticas. El objetivo del aprendizaje es ahorael entendimiento inteligente sobre relaciones numéricas y la comprensión tantosobre su significación matemática como sobre su significación práctica. Sin estacomprensión, la práctica puede conducir al estudiante a ver las matemáticas como uncúmulo de ideas inconexas y de hechos independientes.La teoría Gestaltista aparece como una reacción a las doctrinas estructuralistas yconexionistas. La palabra Gestalt significa organización total en contraste con unacolección de partes. Aprender para estos psicólogos es un proceso de identificarrelaciones y desarrollarlas internamente. Los Gestaltistas centran su interés en eldesarrollo de procesos complejos relativos a la resolución de problemas y lanaturaleza del pensamiento.En esta perspectiva, cuando la solución a un problema no es inmediatamenteevidente se produce una reorganización interna tendente a resolver el conflicto cuyasolución sólo puede aparecer cuando los componentes del problema se perciben ensu función correcta con relación a un todo (Resnick 1991).Esta tendencia no llegó realmente a desarrollar una teoría del comportamiento o lacognición. Fundamentalmente, se centra en descripciones de fenómenos que nosirven como base para construir una teoría aunque sí evidencian la falta deadecuación de los modelos estructuralista y conexionista. Un prominente Gestaltista:Max Wertheimer acuño el término “pensamiento productivo” y produjo grancantidad de recursos para fomentar el pensamiento en clase, algunos de ellos sonimportantes en la educación matemática de hoy, por ejemplo, los estudiantes son Capitulo I.- 28 37.
guiados a determinar la fórmula del área de figuras planas deduciéndola de la dealgunas otras figuras conocidas y no siguiendo reglas dadas.Los años sesenta fue el período en que tiene lugar el cambio más importante en elcurrículo de matemáticas como consecuencia del análisis crítico en la educación dematemáticas en América durante los años precedentes. Así se comienza a consideraresencial que los estudiantes tengan un conocimiento de la estructura de lamatemática pensando que ello capacitará para reconstruir los hechos matemáticos yno olvidarlos.La enseñanza de la estructura de la matemática pretende sobre enfatizar el aspectológico lo que se hizo evidente con la inclusión del tratamiento de la teoría deconjuntos, las leyes de la aritmética y también la geometría euclídea clásica. Laenseñanza explícita de la notación y álgebra de conjuntos, y las leyes generales dela aritmética son, por su propia naturaleza abstractas. Las nuevas ideas matemáticasfueron presentadas en un formato espiral donde los conceptos fueron previamentepensados y luego revisados al mas alto nivel para después ser extendidos yreelaborados.Se producen reacciones diversas a la idea de introducir para los niños pequeños losconceptos que formalmente están reservados para la escuela secundaria y posterioresniveles. Uno de los grandes defensores de esta corriente fue Jerome Bruner defensorde la enseñanza por descubrimiento y de la introducción a los niños de conceptoscomplejos presentados de forma simple. Junto a él, Zoltan Dienes, es reconocido,sobre todo, por haber desarrollado material concreto y juegos que constituyenexperiencias de aprendizaje cuidadosamente estructuradas, y por los principiospsicológicos que subyacen en el uso de estas ayudas. Muchas de las ideas de Dienesson todavía aplicadas hoy. Defiende el “aprendizaje en círculo” según el cuál el niñoprogresa como en un modelo cíclico a través de series de actividades encadenadasque van de lo concreto a lo simbólico. Capitulo I.- 29 38.
La hipótesis constructivista se fundamenta en la idea de que el aprendizaje se generaa través de la actividad y el conocimiento preexistente. Sostiene que el conocimientoconceptual no puede transferirse como un producto elaborado de una persona a otra,sino que debe ser construido activamente desde la propia experiencia y no recibidopasivamente del entorno por el sujeto que aprende. El niño piensa por sí solo de unmodo independiente y espontáneo como resultado de su esfuerzo por adaptarse almundo que se le presenta. Cuando nuevas ideas inciden sobre otras ya existentes, secrea un conflicto, una situación de desequilibrio a la que el niño reacciona buscandoun efecto como de contrapeso, que Jean Piaget llamó “equilibración”.Otras perspectivas cognitivas centradas en la interacción socio-cultural ponen elacento en la mediación del lenguaje para la construcción del pensamiento. Partiendodel hecho de que un sujeto nace en un medio cultural rodeado de símbolosestructurados convencionalmente, se concibe la idea de que puede descubrirlos ycomprenderlos al interactuar con los demás. Es decir, el niño puede acceder a laconceptualización a través de operaciones simbólicas con herramientas culturales,tales como el lenguaje oral, la sucesión numérica o los utensilios propios de cadacultura. De este modo, la utilización de estos símbolos facilita el acceso aconceptualizaciones lógicas cada vez mas avanzadas. Al utilizar símbolos encontextos comunicativos significativos tiene la posibilidad de descubrir relaciones ysignificados que permitirán avanzar en su desarrollo matemático. La corrientederivada de la psicología de Vigotsky es la que mas fuertemente preconiza estepapel de la mediación en el desarrollo de las conceptualizaciones. El dominio desímbolos es considerado un elemento esencial para el avance de la inteligencia portanto, desde esta concepción, el niño no podrá formar un concepto si previamente nodispone del recurso lingüístico que le permita identificar sus características(D’Angelo en Sainz 1998: 129). Los recursos lingüísticos son, desde estaperspectiva, elementos necesarios.Globalmente, las teorías psicológicas de construcción del conocimiento pueden seragrupadas entorno a dos grandes tendencias: la teoría de la absorción y la teoría Capitulo I.- 30 39.
cognitiva (Baroody, 1988). Cada una de ellas refleja una creencia distinta acerca dela naturaleza del conocimiento, cómo se adquiere éste y qué significa saber:a.- La teoría de la absorción nuclea todas las propuestas de origen experimentalistaque consideran que el conocimiento se mide por la cantidad de datos memorizados yse imprime en la mente desde el exterior a partir de las acciones que hacen losdemás para que haya aprendizaje. En síntesis, el aprendizaje es un procesoconsistente en interiorizar o copiar información a través de la reiteración dedeterminadas actividades. El fin de la instrucción es ayudar a los niños a adquirir losdatos y los conocimientos. Trata la matemática como un producto terminado que elniño debe absorber mediante la ayuda de la enseñanza.b.- La teoría cognitiva aduce que el conocimiento significativo no puede serimpuesto desde el exterior sino que debe elaborarse desde dentro. La construccióntiene lugar activamente desde el interior de la persona mediante el establecimientode relaciones nuevas y lo que ya se conoce y entre piezas de información conocidaspero aisladas previamente. Desde este punto de vista, el objetivo de la instrucción esayudar a los niños a construir una representación mas exacta de las matemáticas ydesarrollar pautas de pensamiento cada vez mas convencionales. En esencia, laenseñanza de las matemáticas consiste en traducirlas a una forma que los niñospuedan comprender, ofrecer experiencias que les permitan descubrir relaciones yconstruir significado, y crear oportunidades para desarrollar y ejercer elrazonamiento matemático y las aptitudes para la resolución de problemas.(D’Angelo, en Sáinz 1988:126).2.1. Modos directo e inverso y operaciones reversiblesLos procesos en modo directo e inverso de los que hemos hablado son formas derazonamiento que tienen gran semejanza con los procesos directo e inversoconstitutivos de la reversibilidad de las operaciones estudiada por Piaget. De hechoson éstos procesos los que están inspirando nuestro estudio y por ello vamos aconceptualizarlo. Capitulo I.- 31 40.
Piaget asume la naturaleza de la experiencia lógico-matemática diferenciada de laexperiencia física (Piaget 1961). Esta distinción, que es esencial, se encuentra en queen tanto la experiencia física recae sobre los objetos, la experiencia lógico-matemáticarecae sobre las acciones que el sujeto ejerce sobre los objetos de modo que laadquisición de conocimiento resulta de una abstracción que procede de estas acciones.Se postula que todo aprendizaje posibilita la construcción de esquemas deconocimiento, esquemas que recogen la situación de relación o concatenación desaberes que el sujeto tiene integrados en un momento dado de su desarrollo a los cualesse da el nombre de esquemas de acciones y define como: “Un conjunto estructurado de caracteres generalizables de esta acción, es decir, los que permiten repetir la misma acción o aplicarla a nuevos contenidos” Piaget (1961: 251).La experiencia psicológica recae sobre el desarrollo causal o introspectivo de lasacciones, en tanto la experiencia lógico-matemática recae sobre los esquemas de lasacciones. Estos esquemas de conocimiento están sometidos a continuos cambios acausa de los nuevos conocimientos que el individuo integra, fundamentalmente, através de la experiencia y suponen desequilibrios y contradicciones que, por otra parte,no son inherentes a la lógica del sujeto.El objetivo último de esta estructuración es siempre, el logro de un conocimiento enequilibrio, (lo que se consigue mediante los llamados procesos de asimilación yacomodación) componiendo un esquema cíclico en el cual todas sus partescomponentes pueden recorrerse en cualquier sentido.Desde un punto de vista epistémico, en lo que se refiere a constitución de lasestructuras cognitivas, la negación juega un papel crucial en la asimilación yacomodación de estructuras (Piaget 1975:16) puesto que la diferenciación de dosestructuras como tales reposa sobre las negaciones, es decir, sobre todo aquello que no Capitulo I.- 32 41.
es en una dada estructura S1, y sí es en otra S2, de tal modo que la integración deambas en una ulterior y total estructura S implica nuevamente a las negaciones.El ajuste progresivo entre asimilación y acomodación, se puede efectuar de formaespontánea e intuitiva; pero “en la medida en que el sujeto busca una regularidad, esdecir, tiende a obtener una estabilidad coherente, se convierte en necesario utilizarlas exclusiones de forma sistemática, y sólo asegura el equilibrio unacorrespondencia exacta de las afirmaciones y negaciones” “En el dominio lógico-matemático, el equilibrio es máximo, puesto que una verdad adquirida por demostración se conservará indefinidamente: no constituye un punto de parada, puesto que es una estructura acabada puede siempre dar lugar a exigencias de diferenciación en nuevas subestructuras o a integraciones en estructuras más grandes” Piaget (1975: 36).El aspecto constructivo queda expresado por el funcionamiento de interacciones entreentidades que se pueden esquematizar en la siguiente forma:  OS | ↓ (Obs. S → Coord. S) ↔ (Obs. O ← Coord. O) |SO↑donde Obs.S se refiere a los observables relativos a la acción del sujeto, Coord. S sonlas coordinaciones inferidas de las acciones (u operaciones) del sujeto; Obs. O son losobservables relativos a los objetos y Coord. O las coordinaciones inferidas de lasrelaciones entre objetos y el signo ↔ denota un equilibrio global, durable omomentáneo (Piaget, 1975: 59). Capitulo I.- 33 42.
El esquema anterior es momentáneo o relativo a un estado concreto, digamos: n que,con la incorporación de nuevos observables produce un movimiento cíclico entre suscomponentes en el orden: Obs. O → Obs. S → Coord. S → Coord. O → Obs. O → etc.que los propios mecanismos de equilibración incorporan a un nuevo esquema del tipoanterior pero relativo a un nuevo estado, digamos (n+1), que modifica el anteriorincorporándolo. “Así, pues, llamamos abstracción reflexiva a la reconstrucción de una estructura anterior en un plano superior en el que se integra, posibilitando una regresión sin fin” Piaget (1961: 217.Esta abstracción reflexiva a partir de las acciones y operaciones, difiere de laabstracción a partir de los objetos percibidos que Piaget (1961: 203) llama“abstracción empírica” en que la primera, es necesariamente constructiva, en tanto quela “abstracción empírica” consiste simplemente en obtener de una clase de objetos suscaracteres comunes (por medio de una combinación de abstracción y generalización).Entre ambas, Piaget encuentra un tercer tipo de abstracción a la que llama abstracciónseudo-empírica que surge de las acciones del sujeto sobre los objetos (Piaget 1985: 18-19). Por ejemplo, la observación de una correspondencia 1-1 entre dos conjuntos deobjetos que el sujeto ha colocado alineadamente (Ibíd.: 39). El conocimiento en estasituación puede ser considerado empírico porque ha sido creado con objetos, pero es suconfiguración en el espacio y las relaciones que la gobiernan las que interesan y, estasson debidas a la acción del sujeto. Comprender que esta es una relación 1-1 entre dosconjuntos es el resultado de construcciones internas hechas por el sujeto.La abstracción reflexiva permite obtener de un sistema de acciones u operaciones denivel inferior ciertos caracteres en los que asegura la reflexión (en el sentido casi físico Capitulo I.- 34 43.
del término) sobre acciones u operaciones de nivel superior (Piaget 1961: 203). Estáconstituida por lo que Piaget llama coordinaciones generales de las acciones, su fuentees el sujeto y es completamente interna y producto de la actividad autorreguladora delsujeto. Piaget usa como ejemplo el caso de la multiplicación aritmética a partir de laadición que surge como coordinación de acciones sobre un objeto: la adición que porsu parte ya ha constituido su propio esquema de conocimiento en equilibriomomentáneo por efecto de la reversibilidad, de un nivel: n sobre el que la abstracciónreflexiva actúa transformándolo en objeto sobre el que ejecuta sus acciones paranuevamente constituir un nuevo esquema que ha de reequilibrarse por acción de lareversibilidad de pensamiento en una espiral sin fin y, retrospectivamente, sin unorigen nítido.Este cambio de naturaleza que supone la transformación de una acción u operación enun objeto de nueva, diferente y más extensa acción, es lo que Piaget (1985: 49) llamaencapsulación (Dubinsky 1994:95-123). Ello comporta la formación de“coordinaciones de coordinaciones” y “operaciones de operaciones” debidas aactividades reflexivas llevadas a cabo sobre el esquema.Más concretamente, el paso entre distintos estados: n, (n+1), (n+2), etc. tiene lugar enel pensamiento matemático mediante abstracciones puramente reflexivas, donde lasactividades del sujeto (Obs. S) se confunden cada vez mas con la construcción mismade las nuevas coordinaciones. De modo que el modelo final se reduce a un paso de lascoordinaciones de rango n a las de rango n+1 con identidad entre las coordinaciones deobjetos y de las acciones u operaciones.El desequilibrio introducido sobre el esquema de nivel n por una nueva observación(n+1), tiende a equilibrarse de acuerdo con una conducta que, para el caso de lassituaciones lógico-matemáticas, consiste en anticipar las variaciones posibles, lascuales pierden, en tanto que previsibles y deducibles, su carácter de perturbaciones yvienen a insertarse entre las transformaciones virtuales del sistema Piaget (1975:73). Cada transformación puede ser enteramente anulada por su inversa o devuelta Capitulo I.- 35 44.
por su recíproca y forman parte de un mismo sistema en el cual todas lastransformaciones son solidarias. El sentido de la compensación es el de una simetríainherente a la organización del sistema, y no de una eliminación de perturbaciones.Esta es la caracterización precisa de las estructuras en juego. Su simetría equivale auna compensación completa y su cerramiento elimina también toda contradicciónproveniente tanto del interior como del exterior.Esta necesidad intrínseca sobrepasa el nivel de las simples resultantes entre factoresque son opuestos pero a la vez contingentes y recibe el nombre de reversibilidad.Piaget distingue dos tipos de reversibilidad: la reversibilidad empírica (tambiénllamada revertibilidad) y la reversibilidad operacional (reversibilidad). La diferenciaentre ambas es que la reversibilidad empírica no es mas que una vuelta al punto departida, centrada en el resultado de la acción y sin implicar la identidad de los pasosrecorridos. Por el contrario la reversibilidad operacional es una vuelta que puedetener lugar en el pensamiento, en la que los pasos son idénticos, siendo la únicadiferencia sus direcciones opuestas (Vuyk 1984: 245).Los tipos de sistemas a los que Piaget aplica el modelo de equilibrio son sistemas deacciones que el sujeto lleva a cabo en medio del mundo de objetos yacontecimientos y, por tanto afectan a relaciones de muy diversa naturaleza quegeneran dos formas de reversibilidad: por inversión y por reciprocidad.Corresponde a las operaciones de los agrupamientos aditivos de clase lareversibilidad por inversión y consiste en la presencia de una operación quecompuesta con otra anula su efecto, es decir, que cada operación junto con suinversa constituyen, en realidad una sola operación de la cuál cada una de ellas es unaspecto de la misma y así la suma (T) y la resta (T-1) son una única operación A encuanto que a+b = c puesto que c = b-a y sólo por esta razón. De este modopodríamos definir la operación A = (T T-1) como constituyentes de un mismo yúnico esquema de conocimiento. Capitulo I.- 36 45.
La reversibilidad por reciprocidad consiste ya sea en permutar los términos de unarelación como A<B, o en invertir la relación < en >. Esta es la reversibilidad propiade los sistemas aditivos de relaciones y tiene lugar de tres formas diferentes R, R’ yR’’ consistentes en: R (A<B) = B<A R’ (A<B) = A>B R’’ (A<B) = B>AEn el caso de estructuras de conocimiento mas complejas, como los agrupamientosmultiplicativos de clases consistentes en clasificaciones de objetos según dos o máscriterios a la vez, o bien clasificaciones de objetos entre los cuales hay dos o variossistemas de relaciones a la vez, la reversibilidad está caracterizada por ambasformas: inversión y reciprocidad a la vez (Vuik, 1961: 191).Este procedimiento fundado en el equilibrio como principio fundamental regiría enla construcción del conocimiento con independencia de la edad biológica odesarrollo.2.2. Reversibilidad: procesos componentesEl concepto de reversibilidad en la obra de Piaget no queda definido con claridad. “En general parece significar cosas algo distintas en contextos diferentes sin que Piaget haga un intento de resolver las diferencias mediante una definición única e inequívoca” (Flavell 1982: 450).Este aspecto es analizado en gran número de sus experimentos pero es en laspruebas específicamente sobre reversibilidad donde se identifican sus dos procesoscomponentes. Capitulo I.- 37 46.
La prueba numéricaEl experimento numérico (Piaget 1979:39) diferencia claramente, incluso en eltiempo, dos problemas a los que denomina proceso directo y proceso inverso.En el primer caso, partiendo de un número n, se pide al niño que efectúe paso a pasolas siguientes operaciones: 1º.- sumar 3 a n. 2º.- multiplicar por 2 el resultado de 1º 3º.- sumar 5 al resultado de 2º.Obteniendo un número n’.En este problema, por tanto, todas las reglas se van explicitando y aplicando paraterminar obteniendo un nuevo número como efecto cuyas causas son las operacionesefectuadas.El proceso inverso consiste en: conociendo el número n’, se pide al niño queaverigüe cual fue el número n de partida teniendo en cuenta que fue calculadohaciendo las mismas operaciones que antes.Es decir, ahora sabiendo que el efecto de aplicar las operaciones fue el número n’, esnecesario determinar el número n causante del resultado.La determinación de n desde n’ precisa reconstruir el camino de n hacia n’ en ordenque, siendo inverso, involucra en sí mismo otros procesos a su vez inversos, así elprimer paso en la operación inversa será el último de su directa pero, no exactamentepuesto que este paso consiste en una operación formal: la suma (+5) que, a su vezadmite una inversa: la resta, y es esta la que opera en el proceso inverso. Lo mismopodemos decir del paso 2º que en la inversión del orden de las operaciones seguirásiendo el segundo pero consiste no en la operación que contiene (x2) sino en lainversa de esta (/2). Por último el tercer paso del proceso inverso, es el primero delproceso directo y como en los casos anteriores consiste en una operación (+3) asímismo inversible (-3). Capitulo I.- 38 47.
Es decir, la operación inversa y su directa tienen la siguiente relación: Directa Inversa1º.- sumar 3 a n. 1º.- restar 5 a n’2º.- multiplicar por 2 el resultado de 1º 2º.- dividir entre 2 el resultado de 1º3º.- sumar 5 al resultado de 2º 3º.- restar 3 al resultado de 2ºVemos en este ejemplo el campo de aplicación de la reversibilidad que opera a undoble nivel. Por una parte: el nivel más bajo o primero relativo a las operaciones,donde cada una es invertida en relación con ella misma, esto es la suma se invierteen resta, la multiplicación en división, por otra parte: hay una inversión del procesodel que las operaciones anteriores forman parte, así vemos como la primeraoperación en el problema directo, es la última en el inverso, etc.El proceso directo se apoya en el dato de partida: el número n, las reglas deoperación son explícitas, sólo es necesario aplicarlas al número n para conseguir lasolución: el número n’. Por el contrario, en el proceso inverso, las reglas no seexpresan, el dato de partida es el número n’ y lo es en tanto que resultado o efecto dela aplicación sobre otro de una serie de operaciones. Hay en el problema inverso unaspecto condicional, en sus datos -que no está en el problema directo- que implica ensu solución un procedimiento relacionado con el propio procedimiento del problemadirecto -sin que lo haga explícito- que es su inverso, en el caso del ejemplo inversoen relación al proceso utilizado pero también inverso en cada una de las operacionesconcretas intervinientes: suma por resta y multiplicación por división.Identificamos en esta prueba los dos procesos que hemos distinguido en el campomatemático como de modo directo e inverso. Capitulo I.- 39 48.
El proceso inverso, puede ser asumido como un problema escolar de cálculosalgorítmicos. Los siguientes enunciados son un ejemplo: “La edad de un padre es 11 años más que el doble de la edad de su hijo. Si el padre tiene 69 años ¿Cuántos años tiene el hijo?”. “La edad de un padre es 5 años más que el doble mas tres de la edad de su hijo. Si el padre tiene 69 años ¿Cuántos años tiene el hijo?”.Ambos conservan la similitud con el proceso inverso de la prueba Piagetiana con laúnica diferencia del contexto de referencia. En el caso de estos problemas lasrelaciones están implícitas mientras son mucho más explícitas en el caso de laprueba Piagetiana, especialmente por su vinculación en el tiempo con su problemadirecto asociado.El proceso directo igualmente puede representar una actividad escolar de cálculoalgorítmico por ejemplo: “Un chico tiene 10 años ¿Cuál es la edad de su padre si este tiene 5 años más que el doble más tres de los años de su hijo?”La diferencia de este último problema con el proceso directo de la prueba Piagetianaestá en el contexto que pone de relieve la situación, sin embargo, este probablementesería considerado menos interesante por muchos profesores de matemáticas debido asu carácter directo y explícito.Pero, la relación operacional que este problema presenta, se prolonga hacia otroscampos matemáticos en los cuales éste es tratado como objeto.Este es el caso, por ejemplo, del problema de interpolación enunciado de la siguienteforma: Capitulo I.- 40 Recommended
Prácticas de e learning
Metamorfosis de aprender

References: resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución