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Timestamp: 2016-10-25 02:38:58+00:00

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Juego Sma Ten
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A good mathematical joke is
Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las
10. HAZTE UN DIBUJO. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
4. FALACIAS.
Matemáticas con sabor a juego. MIRARÉ SI MI ESTRATEGIA ME LLEVA AL FINAL.
B.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
1. MATEMÁTICAS Y JUEGOS
Impacto de los juegos en la historia de la matemática.
17. SIMETRÍA. ANTES DE HACER. CONTAR SIN CONTAR. ALGUNAS INDICACIONES BIBLIOGRÁFICAS
2. w w w / / : p t t h .
16. ELEMENTAL.
2.Directrices heurísticas basadas en juegos
1.. SACARÉ JUGO AL JUEGO. Directrices temáticas para el uso de los Juegos
3. PIENSA AL REVÉS. DEDUCCIÓN LÓGICA
5. COMENZAR POR LO FÁCIL AYUDA A RESOLVER LO DIFÍCIL. s a c it a m e t a m . TRAMARÉ UNA ESTRATEGIA.
12. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD. FELIZ IDEA.
3. PARTIDOS MATEMÁTICOS.
2. O VARIAS.
15. SORPRESAS MATEMÁTICAS. TRATARÉ DE ENTENDER. INDUCCIÓN. SOLITARIOS MATEMÁTICOS. UTILIZACIÓN DE COLORES. CUENTOS CON CUENTAS.
Notas sobre la literatura clásica sobre juegos.
14. UTILIZACIÓN DE LOS JUEGOS EN LA ENSEÑANZA
El fundamento matemático de los juegos.t e n .
Consecuencias para la didáctica de la matemática. ANALOGÍAS ESCONDIDAS. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO.
En cambio. s a c it a m e t a m . que a veces los hace indiscernibles. el que no depende de la fuerza o maña físicas. MATEMÁTICAS Y JUEGOS
¿Dónde termina el juego y dónde comienza la matemática seria? Una
pregunta capciosa que admite múltiples respuestas. estos no son muchos ni muy complicados y se adquieren bien
pronto. los
objetos de los que se ocupa. nada tiene que ver
con el juego.t e n . la matemática
nunca deja totalmente de ser un juego. a lo largo de los siglos. Son herramientas muy poderosas que se
han ido elaborando. o a los problemas viejos aún
abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original
y útil herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que
conduzca a la solución del problema. Un ejemplo lo constituye el problema de averiguar el mínimo de las
figuras en las que una aguja unitaria puede ser invertida en el plano por
movimientos continuos. Cuando la teoría es
elemental. para los más de entre los matemáticos. la teoría de la medida e integral de Lebesgue en el análisis
superior. w w w / / : p t t h . Uno aprende las reglas. Las diferentes partes de la matemática tienen sus piezas. y que muchas de sus
elucubraciones. cada vez más sofisticadas.
suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de análisis intelectual cuyas
características son muy semejantes a las que presenta el desarrollo
matemático. mortalmente aburrida. el juego que
tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos. Cuando la teoría no es elemental es generalmente
porque las reglas usuales del juego se han desarrollado extraordinariamente en
número y en complejidad y es necesario un intenso esfuerzo para hacerse con
ellas y emplearlas adecuadamente. lo cual no quiere decir que el juego sea trivial. Elemental quiere decir
cerca de los elementos iniciales y no necesariamente simple. participando muy activamente en ellos.
por ejemplo. Las reglas válidas de manejo de estas
piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de
razonamiento admitidos como válidos en el campo.
experimentando en partidas sencillas. Para muchos de los que
ven la matemática desde fuera. estudia las jugadas fundamentales.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
1. hayan dado lugar a nuevos
. tratando de asimilar sus
procedimientos para usarlos en condiciones parecidas.
El juego bueno. aunque además de ello pueda ser otras
muchas cosas. observa a fondo las partidas de los
grandes jugadores. bien determinados en su comportamiento mutuo a
través de las definiciones de la teoría.
Por esto no es de extrañar en absoluto que muchos de los grandes
matemáticos de todos los tiempos hayan sido agudos observadores de los
juegos. trata finalmente de
participar más activamente enfrentándose a los problemas nuevos que surgen
constantemente debido a la riqueza del juego. Tal es. Existen
problemas elementales desproporcionadamente complicados con respecto a su
enunciado. sus mejores teoremas.
La matemática así concebida es un verdadero juego que presenta el mismo
tipo de estímulos y de actividad que se da en el resto de los juegos
intelectuales. precisamente por ese entreveramiento peculiar de juego y
matemática. ésta.
sobre la posibilidad de organizar un paseo que cruzase todos y
cada uno de los puentes una sola vez (camino euleriano). el mejor matemático
de su tiempo. Y en particular comenta en
otra carta en 1716 lo mucho que le agrada el ya entonces popular solitario de la
cruz.t e n . en
una obra perdida llamada Pseudaria (Libro de Engaños). con la participación masiva. y lo interesante que le resulta el jugarlo al revés.. álgebra hecha con procedimientos rudimentarios. con
el que se anticipó en más de un siglo a Pascal y Fermat en el tratamiento
matemático de la probabilidad. escribía en una carta en 1715. asombró
poderosamente a sus contemporáneos hasta el punto de ser proclamado
oficialmente por el emperador Federico II como Stupor Mundí. tiene un cierto
sabor lúdico. habiendo de alcanzar n puntos
con sus dados. gracias a las técnicas aprendidas de los árabes. consistente en saber cómo
deben ser las apuestas de dos jugadores que.
Sería deseable que se hiciese un curso entero de juegos.
En 1735.
En la Edad Moderna Geronimo Cardano (1501-1576). el gran valor
didáctico en matemática de la sorpresa producida por la falacia y la aporía. El llamado problema bovino de
Arquímedes. tratados
matemáticamente". w w w / / : p t t h . fue
propuesto por Antoine Gobaud.
En la Edad Media Leonardo de Pisa (ca. uno ha obtenido p y el otro q puntos en una primera jugada. Caballero de Meré (1610-1685) a Pascal
(1623-1662).’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemática
profundamente seria. mejor conocido hoy
y entonces como Fibonaccí. al parecer.. de Cardano mismo y otros contendientes famosos como
Tartaglia y Ferrari. no sólo el primer gran pedagogo que supo utilizar. Euler (1707-1783). tuvieron lugar jugando con configuraciones
diferentes que formaban con las piedras.1250). como tomando parte en este
espíritu lúdico. De la correspondencia entre éste y Fermat (1601-1665) a
propósito del problema surgió la moderna teoría de la probabilidad. así como otras muchas de sus creaciones matemáticas originales.
Euclides fue.
El famoso problema del Caballero de Meré. un libro sobre juegos de azar. escribió el Líber de ludo aleae. los duelos medievales a base de lanza y escudo dieron paso a
los duelos intelectuales consistentes en resolver ecuaciones algebraicas cada
vez más difíciles. y más o menos deportiva.
Impacto de los juegos en la historia de la matemática
La historia antigua no ha sido inclinada a preservar sino los elementos
solemnes de la actividad científica. por ejemplo
alrededor de los números. En su tiempo. oyó hablar del problema de los siete puentes de
Königsberg. s a c it a m e t a m . Su solución
. cultivó una matemática numérica con sabor a
juego con la que. de la
Leibniz (1646-1716) fue un gran promotor de la actividad lúdica intelectual:
"Nunca son los hombres más ingeniosos que en la invención de los juegos. pero uno no puede menos de sospechar
que muchas de las profundas cavilaciones de los pitagóricos.1170-ca.
Por una parte son muchos los juegos con
un contenido matemático profundo y sugerente y por otra parte una gran
porción de la matemática de todos los tiempos tiene un sabor lúdico que la
asimila extraordinariamente al juego.
El fundamento matemático de los juegos
Estas muestras del interés de los matemáticos de todos los tiempos por los
juegos matemáticos. tenía toda una
estantería de su biblioteca particular dedicada a libros sobre juegos
matemáticos. otro de los matemáticos más importantes
fundamental para los desarrollos matemáticos sobre el comportamiento
económico. En este duelo participaron con ardor nada menos
que Jakod Bernoulli (creador. Albert Einstein (1879-1955). escribió con Oskar Morgenstern en 1944 un libro titulado
Teoría de Juegos y Conducta Económica. las ciudades de
ese mundo. Se trataba
de efectuar por todos los vértices de un dodecaedro regular. que se podrían ciertamente multiplicar. apuntan a un
hecho indudable con dos vertientes. un viaje que no repitiese visitas a ciudades circulando por los
bordes del dodecaedro y volviendo al punto de partida (camino hamiltoniano).
Esto ha dado lugar a un problema interesante en teoría de grafos que admiten
un camino hamiltoniano. En él analizan los juegos de
estrategia donde aparece en particular el teorema de minimax. del
cálculo de variaciones) Leibniz.
Los biógrafos de Gauss (1777-1855) cuentan que el Princeps
Mathematicorum era un gran aficionado a jugar a las cartas y que cada día
anotaba cuidadosamente las manos que recibía para analizarlas después
Se cuenta que Hamilton (1805-1865) sólo recibió dinero directamente por
una de sus publicaciones y ésta consistió precisamente en un juego
matemático que comercializó con el nombre de Viaje por el Mundo. Newton y Huygens.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
constituyó el comienzo vigoroso de una nueva rama de la matemática. Johann Bernoulli (1667-1748)
lanza el problema de la braquistócrona como un reto a los mejores
matemáticos de su tiempo.t e n . s a c it a m e t a m .
Hilbert (1862-1943) uno de los grandes matemáticos de nuestro tiempo es
responsable de un teorema que tiene que ver con los juegos de disección: dos
polígonos de la misma área admiten disecciones en el mismo número de
También el espíritu matemático de la época de Euler participaba fuertemente
del ánimo competitivo de la época de Cardano.
Según cuenta Martin Gardner. precisamente con su solución al problema. w w w / / : p t t h . la teoría
de grafos y con ella de la topología general.
geometría aparece de innumerables formas en falacias. la oveja. da la estrategia adecuada para los acertijos de cruces
de ríos.. y coloreamos
arbitrariamente los segmentos que resultan de rojo o de verde. La teoría del punto fijo es básica en algunos acertijos
profundos y sorprendentes como el del monje que sube a la montaña. muchos de ellos sin
resolver aún. la base de todos los juegos de
azar. polinomios planos y
espaciales. como el de las tres
granjas y tres pozos.. la col y el lobo. un vértice.
El teorema de Ramsey.. La teoría de matrices está íntimamente relacionada
también con los grafos y juegos emparentados con ellos. en particular el grupo de Klein.. medidas. nudos... La teoría de grupos. adivinación
de números. La probabilidad es. se encuentra
en el juego de Hamilton. es
una herramienta importante para analizar ciertos juegos con fichas en un
tablero en los que se "come al saltar al modo de las damas. por supuesto.
El lema de Sperner. Citaré unos pocos
entresacados de la matemática más o menos contemporánea.t e n . cambios de monedas... afirma que si en un
triángulo ABC se efectúa una triangulación (Una partición en un número finito
de triángulos tales que cada dos de ellos tienen en común un lado. La teoría elemental de números es la base de muchos juegos de
adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad. importante en la teoría del punto fijo. disecciones. B... La teoría de grafos
es una de las herramientas que aparece más frecuentemente en el análisis
matemático de los juegos. w w w / / : p t t h ... problemas de coloración.... aparece en juegos que
implican diferentes sistemas de numeración. de los que precisamente nació.
Matemáticas con sabor a juego
Por otra parte resulta igualmente fácil señalar problemas y resultados
profundos de la matemática que rezuman sabor a juego. La aritmética está inmersa en los
cuadrados mágicos. en juegos emparentados con el
Nim. afirma que si tenemos 6
puntos sobre una circunferencia.. el
pañuelo que se arruga y se coloca sobre una réplica suya sin arrugar.. en el problema
de las ocho reinas. los unimos dos a dos.. en su forma más elemental. en el famoso juego de los 15. juegos sobre pesadas. El álgebra interviene en muchos
acertijos sobre edades.. rompecabezas de
alambres y anillas. La lógica da lugar a un sinfín de acertijos
y paradojas muy interesantes que llaman la atención por su profundidad y por
la luz que arrojan sobre la estructura misma del pensamiento y del lenguaje. Diversas formas de
topología aparecen tanto en juegos de sabor antiguo. como el del pastor. entonces
necesariamente hay al final un triángulo con tales segmentos por los lados que
tiene sus tres lados del mismo color. Nació con los puentes de Königsberg. como en juegos más modernos como los relacionados
con la banda de Möbius.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
El primer aspecto se puede poner bien de manifiesto sin más que ojear un
poco el repertorio de juegos más conocidos..
y resuelve también muchos otros más modernos como el de los cuatro cubos
de la Locura Instantánea.
transformación de configuraciones con cerillas. La combinatoria es el núcleo básico de todos los juegos en los que se
pide enumerar las distintas formas de realizar una tarea. o
nada) y se nombran los vértices de los triángulos de la triangulación con A. el problema del viajante. el de los maridos celosos. s a c it a m e t a m .. como el de averiguar el número de formas distintas de plegar una
tira de sellos.
pero la matemática
no es sólo diversión. por supuesto. aún sin resolver. no las preguntas que quiere.
estimulante. pregunta por el mínimo del área
de aquellas figuras capaces de cubrir cualquier conjunto del plano de diámetro
menor o igual que 1.
como veremos. entonces necesariamente hay un
triángulo de la triangulación que se llama ABC. en muchas
ocasiones. en el AC nada
más que A ó C y en BC nada más que B ó C. pero
no hay demostración de ello. de modo que en el lado AB no haya más que las letras A ó B. especialmente en la
tarea de iniciar a los más jóvenes en la labor matemática.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
C. Pero. que es el tetraedro regular de altura 1.
sino las que su realidad le plantea de modo natural. que lo haga mucho más motivado. Desafortunadamente para el desarrollo científico en nuestro país. En el juego se busca la diversión y la
posibilidad de entrar en acción rápidamente.
incluso algunos muy profundos. w w w / / : p t t h . aprendieran a aprovechar los estímulos y
motivaciones que este espíritu de juego puede ser capaz de infundir en sus
estudiantes. analizarse mediante instrumento matemáticos. es claro que.
El siguiente problema de la aguja en un convexo tridimensional está también
aún abierto: ¿Cuál es el cuerpo convexo de volumen mínimo capaz de albergar
una aguja de longitud 1 paralela a cada dirección dada? Se sospecha. Generalmente las reglas del juego no requieren introducciones
largas. Sería deseable que nuestros profesores. en gran parte. Muchos problemas matemáticos.t e n .
. Sin embargo. complicadas. con una visión más
abierta y más responsable. sino ciencia e instrumento de exploración de su realidad
propia mental y externa y así ha de plantearse. De hecho. incluso agradable y.
existen diferencias substanciales entre la práctica del juego y la de la
matemática. para algunos. juego. Por eso muchas de sus
cuestiones espontáneas le estimulan a crear instrumentos sutiles cuya
adquisición no es tarea liviana. el sabor a juego
puede impregnar de tal modo el trabajo. Nuestros científicos y
nuestros enseñantes se han tomado demasiado en serio su ciencia y su
enseñanza y han considerado ligero y casquivano cualquier intento de mezclar
placer con deber. han sido numerosos los intentos de presentar sistemáticamente
los principios matemáticos que rigen muchos de los juegos de todas las
épocas. a fin de poner más en claro las conexiones entre juegos y
matemáticas. entonces todos ellos tienen al menos un punto en común.
El teorema de Helly afirma que si en un plano hay un número cualquiera de
conjuntos convexos y compactos tales que cada tres tienen un punto en
común. y el juego puede.
la aportación española en este campo ha sido casi nula.
Consecuencias para la didáctica de la matemática
La matemática es. aún apasionante. ni tediosas. por
analogía con el caso bidimensional.
El problema de Lebesgue. s a c it a m e t a m . permiten también una introducción sencilla y
una posibilidad de acción con instrumentos bien ingenuos.
con la intención de "apartar a la juventud de los
vicios propios a los que es inclinada".
relojes. el gran
primer sistematizador de donde bebieron abundantemente posteriores
imitadores fue Claude-Gaspar Bachet de Méziriac. La obra de van Etten ... in quibus paradoxa et nova pleraque machinamenta exhiebntur. en Francia.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Notas sobre la literatura clásica sobre juegos
Los datos que siguen sobre la historia de la literatura sobre recreaciones
matemáticas están tomados fundamentalmente del artículo de Shaaf en la
Encyclopaedia Britannica titulado Number Games and Other Mathematical
Recreations. que contiene una excelente exposición de los juegos más
significativos y de las obras más importantes. fuertemente basada en la de
Bachet. quien en 1612 publicó su
obra de vanguardia en este campo Problémes plaisans et delectables qui se
font par les nombres. Este último.. Fue seguida en 1660 por un tercer volumen
Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima. traducción de un texto griego sobre teoría de números que ejerció un
gran influjo sobre la historia de la matemática. Robert Recorde (1542) y Geronimo Cardano (1545). Recreátions
Mathématiques. fuertemente basada en la de Bachet..
En Inglaterra William Leybourn publica en 1694 un libro a medio camino
entre el texto y la recreación. añadió gran cantidad de material copilado por él
mismo. Pienso que los más seriamente
aficionados a los juegos matemáticos agradecerán estas breves notas y que
servirán al mismo tiempo para que los más escépticos puedan comprobar al
menos con qué tesón ha sido y es cultivado el campo en otros países. lenguas
orientales y matemáticas. profesor de hebreo.. determinación del número de pesas para pesar 1. Jean Leurechon. Su obra póstuma apareció en 1636 con el título Deliciae
PhysicoMathematicae oder Mathematische und Philosophische Erquickstunden
y la reedición de ella en 1651-1653 fue por algún tiempo la obra más completa
en su género. una obra.
En 1624 un jesuíta francés.
Mientras tanto había aparecido en Italia en 1641-1642 la obra en dos
volúmenes bajo el complicado título Apiaria Universae philosophiae
Mathematicae.
escrita por el jesuíta Mario Bettini.
problemas de cruces. Recréations Mathématiques. Su título fue Pleasure with Profit:
Consisting of Recreations of Divers Kinds.t e n . pero que tuvo mucho más éxito que la de éste...
El libro de recreaciones de Bachet estaba basado sobre todo en propiedades
aritméticas y contiene los problemas más clásicos sobre juegos de cartas.
.. alcanzando las 30
ediciones ya en 1700. La obra de van Etten
fue modelo para sus continuadores Claude Mydorge (1630). s a c it a m e t a m . A él mismo se debe también la publicación en francés de
Diophanti. 2. pero que tuvo más exito
que la de éste. con
Fibonacci (1202). escribió bajo el seudónimo de
van Etten. alcanzando las 30 ediciones ya en 1700.. w w w / / : p t t h . en Alemania. 40 kilos. sobre todo a través de Fermat. una obra... 3.
Aunque en la Edad Media y comienzos de la Moderna se dieron algunos
intentos esporádicos de formalización y análisis matemático de juegos. y
Daniel Schwenter.
ha llenado con enorme éxito el campo
hasta finales de los años 70. con gran erudición histórica.
En la primera mitad del siglo 20 los nombres más importantes en América
son los de los dos Sam Loyd. ocho hasta el
presente. gran aficionado a los puzzles lógicos
y juegos matemáticos quien publicó. publicada en 1982. alcanzará sin duda un gran éxito entre los aficionados más
concienzudos.M.W. En Holanda se destaca también Fred. Leurechon.
así como Wilhelm Ahrens con sus dos volúmenes Mathematische
Unterhaltungen und Spiele (1904-1920). Mydorge y Schwenter.
especialista en teoría de números.
Mathematical Recreations and Essays (1892. en dos
volúmenes. con su
obra Wonderlijke Problemen. El geómetra
H. a través de las numerosas notas. grandes especialistas en puzzles
mecánicos. obra inspirada en las de
Bachet. En Alemania se destacan
Hermann Schubert con sus Zwölf Gedulspiele (1907-1909) en tres volúmenes.Rouse Ball. el autor de Alicia. que en su tiempo causó un
furor parecido al del cubo de Rubik en nuestros días. padre e hijo. En Inglaterra se destacan Henry
Dudeney (1917-1967) y sobre todo la gran obra de W. primera edición). titulada Winning Ways. otro de los
clásicos. quien en 1694
publicó Récréatiions Mathématiques et Physiques.S. en cuyas páginas puede apreciarse
documentadamente.t e n . titulados Récréations mathematiques (18821894). Schuh. Coxeter revisó en 1938 la undécima edición.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
La obra que realmente marca la pauta para los muchos autores que
aparecerán en los siglos 18 y 19 fue la de Jacques Ozanam. De las obras más recientes hay que destacar
especialmente la de Berlekamp.
Al final del siglo 19 aparecen los cuatro volúmenes de Edouard Lucas. Contemporaneo de
Lucas es Lewis Carroll. que fue revisada más tarde por el
historiador de la matemática Montucla. s a c it a m e t a m . gracias a
la difusión de esa revista y a las compilaciones sucesivas. de sus mejores artículos. w w w / / : p t t h . Conway y Guy. En Bélgica hay que
destacar a Maurice Kraitchik. que pasa a ser la obra clásica durante algún tiempo. el impacto de los juegos
sobre los matemáticos y las matemáticas de todos los tiempos. sistematización y
profundidad. editor de la revista Sphinx y compilador de varios
libros entre 1900 y 1942. entre otras cosas. publicada en 1943.
A partir de los años 50 Martin Gardner comenzó a publicar con gran éxito su
artículo mensual en las páginas de Scientific American y su nombre. autores del famosísimo juego de los 15. Pillow Problems y A
Tangled Tale (1885-1895). que por su amplitud.
’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática. UTILIZACION
¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza?
¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de
Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no
consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que. w w w / / : p t t h . Para lo que se pretende. s a c it a m e t a m . en muchos casos
con claras ventajas de tipo psicológico y motivacional para el juego sobre los
contenidos propiamente matemáticos. en cambio. ese mismo elemento de pasatiempo y diversión
que el juego tiene esencialmente. por algunas de las razones apuntadas
antes. "El alumno. avaladas por la historia misma de la matemática y de los juegos. sensitivas. de modo armonioso. eso sí. el juego bien escogido y bien
explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos
de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente. Para
eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. afectivas. Por eso es
natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza.
A mi parecer. ¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras
clases con una sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos. piensa-. físicas. relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la
matemática. le puede comer el coco
totalmente y se olvida de todo lo demás. y
por otras razones que señalaré a continuación.
Pero es que además sucede que. le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. un elemento de diversión. El
objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus
potencialidades intelectuales. es una
miserable pérdida de tiempo". junto
con el rollo cotidiano.t e n . se queda con el pasatiempo que. el conjunto de nuestra
clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos
variarían favorablemente. incluso aunque no tuviese
nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza.
En mi opinión. colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas
actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes
básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada
materia. es claro que
existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes
que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que
escogiendo contenidos matemáticos de apariencia más seria.
Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su
propia acción. debería ser un motivo más para utilizarlo
. resultan asequibles a
una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución
sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones
profundamente valiosas. a través de un listado de temas. Estos bloqueos son
causados muy frecuentemente en la niñez. El
segundo esquema presenta.
Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de
las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento
adecuados para la resolución de problemas. de forma natural. El primero consiste en un ensayo de desarrollo
heurístico a través de los juegos. actitudes. pues ahí es donde
se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a los matemáticos
de todas las épocas. la resolución de
problemas. ante la ciencia en general y ante la
matemática misma en particular.
Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de
recreaciones matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico.
Bien se puede pensar que muchas de estas personas. w w w / / : p t t h . puede aprovecharse de la actividad con juegos bien escogidos. hay juegos que.
enriquecer e iluminar la ocupación con ellas.
¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos
cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego
van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas
se le ha llamado. tiene que ver con el teorema de Pitágoras.
Pero. donde a absurdas preguntas
iniciales totalmente inmotivadas seguían respuestas aparentemente inconexas
que hacían de la matemática una madeja inextricable cada vez más absurda y
complicada.t e n . s a c it a m e t a m . Del enfrentamiento con problemas adecuados es de
donde pueden resultar motivaciones. con razón el corazón de las matemáticas.
Es mi intención presentar a continuación dos esquemas de posible utilización
de los juegos en la enseñanza. Muchos otros se basan en
la confusión intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y
dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo. adecuadamente
motivadas desde un principio. matemáticos y no matemáticos. como veremos. Existen en ellas claros
bloqueos psicológicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una
cuestión que se les propone.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de
toda la vida para la matemática. constituye la savia de las matemáticas y la manera más efectiva de
acercamiento a ellas desde el punto de vista didáctico. tan inteligentes como corresponde al éxito de
su actividad en otros campos diferentes. disfrutan intensamente con puzzles y juegos
cuya estructura en poco difiere de la matemática.
Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. tal vez a través de esos mismos elementos
lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de
la matemática oficial. En otros casos la
solución de la impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe
fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un método. se mostrarían. actitudes y
actividades matemáticas. cómo los juegos pueden utilizarse para motivar. Trataré de poner de manifiesto cómo lo que. mucho más sencilla tal vez que el juego que
practican. hábitos. a
Busca conexiones con otros elementos que
Lo que sigue viene a ser. funcionamiento de las fichas. ¿Lo has visto antes? ¿Lo has visto en forma
parecida al menos? No me lo sé. ¿puedes entonces? Supongamos el problema
resuelto. un calco de las directrices
fundamentales de la famosa obra de Polya ¿Cómo Resolverlo?. pero conozco uno que.
Trataré en lo posible aquí de presentar ejemplos bien conocidos a fin de evitar
introducciones que nos llevarían mucho tiempo. A ver si puedo
transformar el juego en otro más sencillo..
Hazte una o varias figuras si te parece que te va bien.. La experiencia dice que son muchos los que se
lanzan a hacer cosas a lo loco. en sus líneas generales. reglas. El objetivo de este esquema consiste simplemente en tratar de
poner bien patente la semejanza de actitudes que se dan en la resolución de
un puzzle o un juego y en la de un genuino problema matemático. la vida propia de las matemáticas. TRAMARÉ UNA ESTRATEGIA. No pienses que es una
observación del todo tonta.t e n .. espigando en la literatura. ilustradas aquí
con algunos juegos que a mí..Directrices heurísticas basadas en juegos
1. y cómo. muchos de los hábitos adecuados para la tarea matemática
podría no adquirirlos igualmente bien divirtiéndose con ejemplos escogidos de
¿Sabes bien de qué va? ¿Cómo funcionan las diferentes partes del juego?
Estúdialas una a una: forma del tablero. ¿Puedes resolver al menos
parte del juego? ¿Lo puedes hacer en circunstancias especiales.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
de herramientas apropiadas. ¿Puedes usar la misma forma de
proceder? ¿Puedes usar la misma idea que conduce allí a la solución?
¿Deberías introducir en éste alguna modificación que lo haga más semejante a
aquél? Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil.. en una palabra.
Muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento
con los problemas que constituyen los juegos matemáticos..
efectivamente. w w w / / : p t t h ... Juega un poco con las
fichas o las partes del juego según las reglas para familiarizarte con su forma
de actuar. s a c it a m e t a m . Ya me lo sé. La elaboración de un curso completo de heurística en esta dirección
sería un trabajo bien interesante que requeriría una inmersión a fondo en la
abundante literatura existente a fin de analizar los juegos más apropiados para
cada aspecto y para comprobar el rendimiento efectivo de esta actividad. entonces queda así. me han parecido
adecuados.. relacionado con éste de alguna manera? ¿Sabes algo del
otro que pueda ayudarte en éste? ¿Cómo marchaba aquél? Tienes un juego
semejante en el que sabes cómo actuar. Aquí tienes algunas observaciones y preguntas que te pueden ayudar
en esta tarea. Al final de esta etapa deberías construirte un plan de ataque
concreto. Tal vez necesitarás construirte un juego auxiliar más simple que
puedas resolver.
A. ¿Conoces algún
juego semejante. ANTES DE HACER TRATARÉ DE ENTENDER. Introduce tú mismo modificaciones en
por ejemplo que hubieras conseguido superar una etapa inicial? Supón que se
te pide un poco menos. ¿Puedes tratar de recorrerlo hacia atrás? ¿Puedes pensar desde
aquí en alguna pista? Si hago esto. por si alguna da en el blanco por casualidad.
. por orden. Ahora veo la astucia de las reglas.
¿Cómo marchaba aquél? Un pastor.
4. Aprovecha tu solución para asimilar
bien la experiencia. Probaré otra cosa. Míralo a fondo.. No sólo sé que va. Veamos de nuevo.
Mira a ver si con la luz que ya tienes encuentras otra estrategia.
3. s a c it a m e t a m . Trata de poner en
práctica tus planes.... SACARÉ JUGO AL JUEGO. Trata de
localizar la razón profunda del éxito de tu estrategia.t e n . Trata de encontrar pistas en la diferente función de las
partes. Hay en su orilla una barca en la que cabe él y una sola
de sus pertenencias al tiempo. me lo pinto en colores.. ¿Por casualidad? Si te va bien con tu estrategia. No consideres que ya has terminado del todo
cuando lo has resuelto. otra solución
más simple. Lleva adelante
tu estrategia con decisión.
pruébalas una a una. Apuntamos las posibles situaciones de las pertenencias del
pastor en la orilla inicial I sin que le desaparezca nada. Me hago un esquema. Vamos a ver si marcha.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
las reglas... Si tienes varias ideas. como sucede en muchas
ocasiones en que se trata de realizar secuencialmente un conjunto de tareas. Con los ojos cerrados.
Lo conseguí. y lo
patento. Constrúyete un juego semejante al que has resuelto modificando sus
piezas o sus reglas y mira si tu principio vale aquí también.
Si deja oveja y lobo solos a un lado. una oveja y un lobo (se
supone que hasta cierto punto amaestrado) se encuentra a la orilla de un río
que quiere atravesar. en las condiciones. No las mezcles en un principio sin ton ni son. Así
la teoría de grafos. Procura. el lobo se zampará a la oveja. MIRARÉ SI MI ESTRATEGIA ME LLEVA AL FINAL. Mira si otros juegos semejantes funcionan
también con el mismo principio que has encontrado. Me hago otro juego..
A continuación trataré de ilustrar algunas de las observaciones anteriores
con juegos concretos. tratando de sacar alguna luz de estas
modificaciones. qué lugar ocupan las condiciones y reglas del juego. Ya tengo una idea. vuelve al paso segundo
y busca otra estrategia..
No nos liemos. sino que veo por qué va. No te emperres demasiado en una sola
estrategia. Probablemente hay otro modo más sencillo. por todos los medios a tu alcance tener un buen esquema
de los puntos principales en la mente. ésta será liquidada rápidamente por la oveja.. Si te lleva a una situación muy complicada.. me escribo una
ecuación. con una col. No te arrugues fácilmente. Además con
esto gano a aquel otro juego. ¿Para qué son así
las reglas? ¿Cuál es la mala (o buena) idea detrás de ellas? Fíjate de nuevo en
la estructura del juego. estúdiala
detenidamente para convencerte de que no es por casualidad. ¿Cómo se las ingeniará para pasarlas todas? Si
deja solas a un lado oveja y col. a la luz de tu
solución. En cambio
al lobo no le atrae nada la col y bien se puede quedar solo con ella.
El problema es clásico y fácil de resolver sin grandes esfuerzos sistemáticos.
Pero existe una solución sencilla acudiendo. Trata de entender. w w w / / : p t t h .
Así se obtiene el grafo que
sigue.PCO . ¿Cómo podrán arreglárselas? Escribimos
como antes las distintas situaciones posibles y unimos con una flecha aquellas
que son alcanzables desde otras según las reglas.PLO .Nada
La interpretación de las operaciones que el pastor ha de hacer es clara. Así
.LC . es decir que en la barca sólo pueden
cruzar el pastor y una sola de sus pertenencias.O .B que llegan con sus respectivas esposas a. El problema sería más fácil si no fuera porque los dos maridos son tan
celosos que no pueden sufrir que la esposa esté ni un momento en compañía
de otro hombre sin estar él delante.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
A continuación señalamos con una flecha los posibles pasos de una
situación a otra según la regla del juego.L . En el cuadro es evidente que hay solamente dos
(1) POCL .
Nuestro problema ahora consiste en hallar un camino de flechas desde
POCL hasta Nada.C .LC . El problema consiste en resolver la dificultad con que se encuentran
dos maridos A. w w w / / : p t t h . Hay una barca en la que solo caben dos personas al
tiempo.O – Nada
(2) POCL . s a c it a m e t a m . tendrá muy claro cómo debe de
Cualquiera que haya visto esta solución y se enfrente ahora con el también
clásico problema de los dos maridos celosos.t e n . b a la orilla de u río
que quieren cruzar.
con todo. Estos quedan muy a menudo más claros en un
problema semejante más sencillo. Así es
imposible cubrir el tablero. ¿Y si nos construimos uno más modesto e intentamos
allí un problema semejante? Tal vez el tablero 2x2. si se puede. La dificultad puede consistir en encontrar un
problema más sencillo que el propuesto que. éste puede ser
aplicado al caso más complicado.. hay
Empezar por lo fácil hace fácil lo difícil. w w w / / : p t t h . En el tablero
2x2 pronto nos damos cuenta de que lo que se pide es imposible sin partir en
dos una ficha. Se tienen 31
fichas de dominó o de papel. las fichas de dominó de modo que cubran
exactamente los 62 cuadros del tablero.. porque aquí se puede efectivamente empezar a hacer cosas sin sistema y
llegar bastante lejos cubriendo el tablero. Los dos cuadros que quedan están en una diagonal y no hay
forma de cubrirlos con una ficha de dominó.t e n . Otras veces la solución del problema sencillo es útil. Y esto mismo sucede en el caso 8x8. pronto nos encontraremos en un buen
lío. dos cuadros por tanto del mismo color. Si empezamos por colocar fichas al
buen tuntún. En un tablero de ajedrez se tapan dos
cuadros de los extremos de una diagonal. como sucedía en el de 2x2. En el conocido problema de los 15 se tiene un
sino porque constituye una parte.. El tablero es grande. ¡Sí! En el de 4x4 se quitan dos cuadros de una
diagonal.. Las
dificultades provienen a menudo de la complejidad de la estructura que nos
encubre los rasgos básicos. no sólo
porque revele un principio que puede ser utilizado para el problema original. Quedan 62 cuadros. sino que podemos
obtenerlas todas y escoger la mejor. s a c it a m e t a m .. cada una capaz de cubrir dos cuadros contiguos...
Quedan 8 cuadros de un color y 6 del otro.. Pero nuestros intentos sucesivos van
fracasando y aconsejándonos que recapacitemos. 10x10. conserve sus rasgos
Además esto va a suceder siempre que quitemos dos cuadros del mismo color.. Descubierto aquí el principio. si es que hay alguna mejor.
Se pide colocar. Pero una ficha de dominó bien
colocada cubre necesariamente un cuadro blanco y otro negro. En el tablero 3x3 el juego no tiene
sentido. pero la experiencia del tablero 2x2 nos puede hacer pensar en la
imposibilidad aquí también. 4x4. un escalón en el que nos podemos apoyar
para resolver el problema inicial. 3x3.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
De esta forma no sólo podemos encontrar una solución. pues si se cubren 2 cuadros. quedan 7 que no pueden ser cubiertos ni
con tres fichas ni con cuatro exactamente. sin pensar un poco antes.. En el tablero 4x4 no existe este
Este principio de empezar por lo fácil es de amplia aplicación.
t e n .
Al acudir a un problema más sencillo. Si acudimos al
problema semejante de un rectángulo 3x2 con cinco piezas
podemos encontrar fácilmente una estrategia para resolver aquí cualquier
problema soluble. Se presenta el cuadrado con los números
desordenados. Resuelto este problema ya tenemos una estrategia para el
original de los 15. observando que en tablero de los 15 podemos dejar fijas
todas las fichas excepto las de un rectángulo 3x2 o 2x3 en el que colocamos el
hueco y con esta flexibilidad resolvemos fácilmente cualquier problema soluble. por ejemplo un cuadrado 2x2 con tres
cuadraditos 1x1. s a c it a m e t a m .’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
cuadrado 4x4 en el que se pueden deslizar 15 cuadraditos 1x1 numerados del
1 al 15 utilizando el hueco restante. se puede uno percatar fácilmente de que el problema
propuesto es a veces insoluble y trivial cuando es soluble. Se pide colocarlos en orden con el hueco en la esquina del SE. w w w / / : p t t h .
¿Sabrías determinar cuáles son los problemas solubles y los insolubles?
el trazado pedido es imposible. pero A parece resistirse más a un camino que
termina en el punto de partida. el arco de
llegada y el número par de arcos correspondientes a los pasos por él. Pero nosotros necesitamos medir exactamente dos
litros. supongamos el problema resuelto. ¿Por qué? Supongamos que en A hubiese tal
camino. w w w / / : p t t h . También en el vértice de
salida tienen que concurrir un número par de arcos.
Me hago un esquema.. me escribo una ecuación.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Supongamos el problema resuelto. Entonces. cada vez que
llegamos a un vértice de paso en nuestro camino (no inicial ni final). s a c it a m e t a m . tal vez los más conocidos son los relativos a
Una forma adecuada de representación de un juego puede dar un método para
resolverlo y para resolver al tiempo muchos otros semejantes. el arco de salida. Como A
tiene los dos vértices de abajo con tres líneas concurrentes en cada una de
. es decir. salimos de
él por una línea distinta no recorrida antes. sin repetir dos líneas y
saliendo y terminando en un mismo vértice? Las dos figuras se pueden trazar
sin levantar el lápiz del papel. ¿Cómo? Existe una representación gráfica muy útil en los problemas de
este tipo. Consideremos el siguiente: Se tienen junto a una fuente una medida
de 7 litros y otra de 11. De entre los
problemas clásicos de Bachet. Así cada vértice de paso tiene que
tener un número par de arcos que concurren en él.t e n . me lo pinto en colores. Se dan las siguientes figuras A y B
¿Puedes trazarlas sin levantar el lápiz del papel...
. Si alguien
te hace el jueguecito y no lo conoces. ¿Cómo separar las guindas del papel?
No sólo sé que va... Divide el resultado por 11. Divídelo por 7. Gana quien se lleve la última piedra. Se
llena el de 11 (línea hacia E).
Veamos de nuevo. Fácil:
abcabc=abcx1001+abc= abcx1001. que contenía 4
(línea NO).. Ya hemos visto también cómo los
problemas clásicos sobre cruces pueden tratarse con una gráfica adecuada. C.. otro
También los problemas sobre pesas admiten un tratamiento semejante. Las guindas son muy grandes para pasar por
C sin romper el papel. w w w / / : p t t h . puede quitar tantas
piedras como quiera (siempre una o más) de uno sólo de los tres montones. Ahora sí que está clara la cosa. Para salir de tu
sorpresa. El rectángulo es de papel con
los tres cortes indicados A.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Las coordenadas horizontales indican la situación del recipiente de 11 litros. un número de tres cifras abc..
Tal vez te haya contado alguien la estrategia infalible que tiene A. ¿Quién es abcabc? ¿Qué tiene que ver con el número 1001?. B. Se ponen tres montones de piedrecillas.
Las verticales la situación del de 7 litros. sin que yo lo vea. El juego de Nim consiste en lo
siguiente. El primero en jugar. uno con 3. quedando 8 en el de 11. ¿Para qué son las reglas así? ¿Cuál es la mala o buena
idea detrás de ellas? Escribe. sino que veo por qué va. Además abcabc es divisible por
abc. s a c it a m e t a m . Se trasvasa del de 11 al de 7. Lo que te resulta es 13. Juegan dos jugadores A y B. Por ejemplo el siguiente de las guindas:
Las dos cuerdas están unidas por una cuerda.t e n .
por 11. es decir por 7x11x13=1001. El número abcabc se puede dividir por 7. Las flechas
verticales hacia el S indican que el de 7 se vacía de lo que contiene. Divide el
resultado por abc. Al empezar estos son
Repítelas y forma el número de 6 cifras abcabc. Se vacía el de 7
(linea hacia S).. ¿Podrías
inventar un juego parecido con el mismo principio? Muchos de los puzzles de
alambres y cuerdas llevan en su misma estructura la pista adecuada para dar
con la solución. Se ponen en
sistema binario los números de piedras de cada montón. A. otro con 4. por 13. Se echan los 4 que hay en el de 11 en el de 7 (línea NO). te deja un poco perplejo. sigue la receta de arriba. Las flechas horizontales hacia el E
indican que se va llenando el recipiente de 11 litros. las oblicuas hacia el NO
indican que del de 11 litros se va trasvasando al de 7 litros.
Luego juega B del mismo modo.
La sucesión de operaciones queda bien clara por el diagrama siguiendo las
flechas desde la esquina SE hasta el momento en que llegamos al otro punto
gordo de la figura (el de 11 conteniendo 2 litros): Se llena el de 11 (punto gordo
de salida) y se pasa todo lo que se puede al de 7 (línea NO).
. s a c it a m e t a m . negro.1 0 1
La estrategia consiste en quitar las piedras que haga falta del montón
adecuado para que los unos de cada columna de los números en sistema
binario sumen un número par.4. En efecto la torre
va recorriendo sucesivamente blanco. ¿Podrías dar con un teorema general y una estrategia
para hacer el paseo siempre que se pueda?
. como en el
juego del ajedrez recortado que hemos visto antes y así resulta fácilmente que
a veces. blanco. A quita 6m.2. siempre que no se
pueda llevar todas las piedras que queden. Si A y B son del mismo color. La estrategia de A consiste en dejar. ó 5 piedras a su antojo. ¿Es posible pasearse con una torre por todo el
tablero comenzando en A y terminando en B? Recordemos que la torre se
mueve horizontal y verticalmente.
dejando 36..3. ó 5 piedras..
Y además. A partir de entonces su táctica es sencilla: si B quita m. 5? Si lo averiguas no te
será difícil tal vez dar con la estrategia del juego de Moore. En un tablero de ajedrez se
señalan dos cuadros A y B. que es como el de
Nim.t e n .1 0 1
El primer jugador gana necesariamente siguiendo esta misma estrategia cada
vez que le toque jugar. con esto gano a aquel otro juego. aquí se pueden quitar dos piedras del
montón de 3 y queda
1------------4------------5------------. Consideremos ahora el juego siguiente con un montón
de 40 piedras. y como gana alguien seguro. Así. Los jugadores A puede quitar 1. Así mismo. en que quita 4 piedras. Gana
quien se lleve la última.. por ejemplo en un tablero 2x2 con A y B en dos esquinas
diagonalmente opuestas el paseo propuesto es imposible. nunca en oblicuo. 4. Es claro que así B no puede ganar. ¿Te has parado a pensar alguna vez por qué marcha?
¿Por qué A puede llevar a cabo su estrategia haga B lo que haga? ¿Y si los
montones tienen números de piedras diferentes a 3..4. pero pudiendo quitar las piedras que se quiera (siempre una o más) de
uno o dos montones en cada turno.
Luego B puede quitar así mismo 1. el paseo es imposible en el tablero 8x8. negro. puede pensar
rápidamente en aplicar el mismo principio aquí. Ahora le toca a A. un número de piedras que sea
múltiplo de 6. Una vez que A conoce la estrategia. no le hace
falta hacer cuentas más que la primera vez que juega.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
3------------4------------5------------. Así si el paseo
terminase en blanco.2. el número de cuadros sería impar. En cambio será
imposible el paseo en un tablero con un número impar de cuadros si A y B son
de distinto color y también si son del mismo color si es que este color es el más
escaso en el tablero. quien
conozca el uso que en el otro juego hemos hecho de los colores.3.
blanco por ejemplo. w w w / / : p t t h .
tiene que ser A quien gane. Por supuesto que uno
piensa enseguida en lugar a lo mismo en un tablero más pequeño.
. o se pueden localizar fácilmente en la bibliografía que
presento en la tercera parte. w w w / / : p t t h .
1. Teorema de Desargues. En la enseñanza la motivación es el motor esencial. Pienso que sería muy útil una experimentación sistemática
y de equipo con estos y otros elementos para averiguar el valor efectivo de
estas ideas a fin de comunicar los temas y actitudes deseadas. 7. lo más asequible posible. La mayor parte de las referencias que doy
se encuentran en los libros de Martin Gardner. elementales.t e n . ¿Por qué no
apoyarnos en los elementos más adecuados para ponerlo en marcha con
energía? Incluso cuando se trata de hechos que no pueden ser explicados
plenamente. las tres bisectrices también. 8. 3..7). 4. serán indicadas por completo en el
lugar en que aparecen.. en mi opinión.
etc. 1. Este ha publicado hasta el
presente ocho antologías de las mejores de sus contribuciones en Scientific
American. SORPRESAS MATEMÁTICAS
"Por la admiración comenzó el hombre a filosofar". en Alianza Editorial. 1.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Bajo cada epígrafe concreto menciono algunos juegos que. puede parecer a muchos más directamente aprovechable. s a c it a m e t a m . ilustrados y enriquecidos mediante el uso de juegos. simples. De las antologías de Gardner han sido
traducidas al castellano. He aquí algunos:
1. dijo Aristóteles. las tres alturas
también. Mirar y Ver. en la literatura actual donde se puede acudir
para obtener información detallada. estos pueden presentar aspectos de misterio que motiva
fuertemente el interés por saber más para desvelarlo plenamente. más
existen multitud de hechos con carácter de sorpresa. La disposición
de este esquema será presentada alrededor de unas cuantas actitudes y
núcleos temáticos propios de la actividad matemática.2. Estas antologías serán citadas de la forma Gardner 1. pienso. y también han sido
publicados en castellano por Labor los dos libros suyos "Inspiración. Cap. El campo es
enormemente rico. y la
admiración y la sorpresa y la curiosidad siguen contándose entre los elementos
motivadores más fuertes de nuestra actividad intelectual.
Los hay a todos los niveles. Gardner 6. Las otras referencias que daré. menos elementales. ¡Ajá!
Paradojas". Y en la bibliografía presentada en la tercera parte de mi trabajo se puede
ver el título y referencia exacta.3. teorema del
hexagrama místico de Pascal (Guzmán.1. Cualquiera de
nosotros que explore un poco en el origen de nuestro interés por las
matemáticas encontrará sin duda instantes de sorpresa y admiración ante
ciertos hechos matemáticos que nos han llamado poderosamente la atención.
En él trataré de señalar mediante ejemplos concretos cómo diversos temas y
actitudes que nos ocupan en nuestra enseñanza a todos los niveles pueden ser
motivados. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo concurren.
Dentro de lo que constituye el contenido matemático propiamente dicho.. Ante la
imposibilidad de exponer aquí el juego por extenso he optado por indicar algún
pueden ayudar adecuadamente a mejor ponerlo de relieve. Directrices temáticas para el uso de los Juegos
Me ha parecido de interés elaborar un segundo esquema de utilización de
21). Me pregunto si el tiempo malgastado en
muchos de nuestros rollos magistrales en los que tanto abundamos los
profesores de matemáticas de todos los niveles no podría invertirse con gran
provecho en contar pausadamente alguna de estas historias apasionantes del
pensamiento humano. 1. E. Supongamos que al
hacerlo resulta además que Cn es tangente a C1*. uno.7.
1. Se traza
una secante S0.J. He aquí algunos temas:
1. Cap.. Sección áurea. en círculos concéntricos). Proceso diagonal de Cantor.(Gardner 4.
Primero se traza una esfera cualquiera E1 tangente exteriormente a las tres
(hay muchas). Supongamos que Sn coincide son S0.t e n . Cap.. Teorema de Poncelet: Se dan dos círculos E. con I interior a E.. Hay infinitos números primos. El conjunto de los números reales no es numerable. Se comienza a ponerles
un collar de perlas esféricas de distinto tamaño en general del siguiente modo. I.. Cap. 17).
Entonces si repetimos la operación con otro S0* inicial.. hasta obtener Sn-1Sn. Si tres círculos del plano son tangentes dos a dos. El número Pi (Gardner 3. Se
tienen tres esferas tangentes dos a dos exteriormente. Etc.S1 en E que sea tangente a I. El conjunto de palabras infinitas de dos letras
no es numerable. Cap. 1982.1.. luego otro C2. 8).. Continuamos con otra E3 tangente a las tres y a E2. I.4. (La demostración resulta fácil mediante
una inversión que transforme E.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Steiner: Se dan dos círculos E. sucesión de Fibonacci. El collar de las seis perlas.15). E.
1. Es posible hacer una partición de un cuadrado en cuadrados desiguales
más pequeños (Gardner 2. Luego trazamos otra E2 tangente exteriormente a las tres y a
E1(sólo hay una).4. En cambio es imposible hacer una
partición de un cubo en un número finito de cubos desiguales más pequeños
(Gardner 6. interior al otro. Cap.C2*.
2. El ábaco (Gardner 4. I. y resulta también que Sn* coincide con
S0*. obtenemos una cadena
de secantes S0*S1*.S1*S2*. obtenemos asimismo una
cadena C1*. existe un cuarto círculo
tangente a los tres (Fácil por inversión).2.5. Mathematical Time Exposures.C. y así hasta Cn.
1. I. E. tangente a Cn-1.. The
Mathematical Association of America.. I. Cap. w w w / / : p t t h . I. luego otra distinta S1S2 asimismo
tangente a I.
Entonces. 13). Triangulo de Pascal (Gardner 7.9. Se traza un círculo
C1. el modo de
demostración es distinto.14).. luego otro C3. siempre este collar se cierra con E6 tangente a E1
(Demostración fácil por inversión). Sn-1*Sn*. CUENTOS CON CUENTAS
Existen constelaciones de hechos matemáticos que se prestan para hacer
de ellos una novela bien interesante.. (Apesar de la semejanza con el teorema de Steiner. etc.
2.. Cap. 1.6.
. tangente a los dos. E.. Washington D. Cn* tangente a C1*.
tangente a C2. Cap.8. sea cual sea E1. s a c it a m e t a m .8)... tangente a C1.18).(Gardner
2. Este es un hecho importante en la historia de la
geometría algebraica) (Schoenberg I.
2. Teorema del punto fijo y aplicaciones (Guzmán. Cap.
3. Cap.(Guzmán. Cap
2.. Nuestra Escuela. NML the
Mathematical Association of America.C.
muchos juegos basados en diferentes propiedades aritméticas.1. Cap 7). Dime lo que suman las restantes y yo te diré qué cifra
es la tachada. Dudeney.
3. Cap. Hélice (Gardner 6. O.1). Propiedades de la elipse (Guzmán. Nim (Guzmán.
4. Cap. (Fácil:
Divisibilidad por 9 y por 11). 10. Graphs and their Uses.4.5). Cuentos con cuentas).4.
2. Propiedades del retículo de enteros (Guzmán. 8..2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Los libros clásicos de Rouse Ball.9. Escribe un número cualquiera. Minkowski. Cuentos con Cuentas). Kraitchik.8.. Schuh. Cap. 11).10.1).6. (Fácil: Criterio de divisibilidad por 9). Grafos (Gardner 6. Mirar y Ver. Mirar y Ver.2. Uso del sistema ternario en juegos (Gardner 6.. Cap. 1. teorema de Helly. Cuentos con Cuentas. 9). Convexos.
2. w w w / / : p t t h .1. Cap. El computador me ha escrito 15! por extenso. El teorema de los cuatro colores (Guzmán. 6).. ¿Puedes decirme cómo averiguar rápidamente cuál es?. Banda de Möbius (Gardner 8.13. Gardner
3. Cap.t e n . Octubre 1984).’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
2.3. Gardner 1.5..
2. pero hay una cifra que no
puedo leer. Tacha una cifra
cualquiera distinta de 0.7.
. Ore. 1963). Averiguar un número mediante tarjetas basadas en el sistema binario
(Gardner3. Cap.
3. Guzmán. Las torres de Hanoi y el juego icosiano (Gardner 1.
2. Mirar y Ver. Washington D. 13). Multiplícalo por 9. Cicloide (Gardner 6.
3. Cap. SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Existen muchos juegos cuya base o cuya estrategia se encuentra en una
adecuada utilización de diferentes sistemas de numeración.10). 8. s a c it a m e t a m .
1. Cuentos con Cuentas). Averigua una estrategia par el siguiente juego. Contar. Mirar y Ver. y vete metiendo a cada madrileño en el agujero correspondiente a su
número de pelos). (Otro juego: gana quien no
se lleva la última)(La estrategia para el primer juego es dejar un número de
piedras múltiplo de 7). Repítelas para formar uno de 6
abcabc. Se
colorean de rojo o verde. Teorema de Ramsey (versión sencilla): Se señalan 6 puntos sobre una
5. Cuentos con Cuentas). ¿Puedes sacar alguna conclusión interesante?
6. divide por 11.
Cap. w w w / / : p t t h . Dos jugadores A y B con un
montón de piedrecillas. Juegos de cartas con un principio aritmético (Guzmán..
5.6). Principio de Dirichlet: Un palomar tiene 16 agujeros. Octubre 1984. Se trazan todos los segmentos que unen cada par de ellos.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
4. Juega B quitando de las que
quedan entre 1 y 6. Juega A quitando 1 y 6. Cap.
5. número de pelos que como mucho soporta un mortal en su
5. lo hagas como lo hagas. a pesar de su aparente trivialidad
conducen a resultados verdaderamente profundos..2. divide lo que queda por abc. octubre 1984).4. Guzmán. Gardner 1. Contar. s a c it a m e t a m .3. Cap. CONTAR SIN CONTAR
Una gran porción de la matemática se reduce a encontrar trucos para
obtener información cuantitativa de una situación dada de la forma más sencilla
posible. INDUCCIÓN
5.3.4. Gana quien se lleva la última.1.
4.4. Falsa inducción: Rana Saltarina (Guzmán. Lema de Sperner (Guzmán. Los puentes de Köngsberg (Guzmán. Nuestra Escuela. Te resulta 13. Cuentos con
Cuentas).t e n . te encontrarás
con que algún triángulo de los formados por estos segmentos tiene los tres
lados del mismo color (Guzmán.5. ¿Cuál es el número mínimo de movimientos? (Gardner 1.
6.000 agujeros. Entonces. En cualquier momento dado hay en Madrid más de 20 personas con
exactamente el mismo número de pelos en su cabellera (Hazte un palomar con
150. Nuestra
Escuela. Hay unos cuantos de ellos que.7). Mirar y Ver.2. 10). Teorema de Euler C+V=A+2 (Guzmán. Escribe un número de tres cifras abc.
6. Una bandada de 17
palomas se cuela en él.
6. Divide por 7. Torres de Hanoi.
6.... Un truco topológico....
Pon a cada punto de cruce una letra a tu antojo... Está bien
que se sepa y que se ejerciten nuestros alumnos en la deducción. imaginación... 7).. en el de arriba me dices
MARBSUAMUBPSRP
y te adivino cuál es el cambiazo que me has dado (Me basta escribir las otras a
medida que me las das una arriba y otra abajo de una raya.. s a c it a m e t a m .. Que no haya cruces
triples.. como este..
actividad aventurera. 9).
7.....5..’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
6. intuición espacial. Cap. 2... Has cambiado B por R) (Gardner 3. así
MRSAUPR
ABUMBSP
al observar que cada una está una vez arriba y otra abajo excepto las
cambiadas R y B................ Pinta un circuito cerrado con cruces todo lo
complicado que quieras..... DEDUCCIÓN LÓGICA
El esqueleto de las matemáticas está compuesto por unos cuantos axiomas
que se manipulan mediante el mecanismo raciocinante del hombre.
Gauss escribe inmediatamente algo así
+ ...1......6... intuición numérica. pero
tratando al mismo tiempo de estimular los otros muchos aspectos de la
matemática..+ 3
2S= 101 + 101 + 101+ ...... Ahora recorre el circuito y vas
diciéndome las letras.... Cuando tú quieras cambias una vez las letras sucesivas
para engañarme.. cuádruples. El maestro manda a su clase hallar la
suma de los 100 primeros números.+ 101+101+101 = S 50x101 = 5050
7.... ¿Podrías construirte un cuadrado mágico 2x2? ¿Uno 3x3? Busca
estrategias para construir cuadrados mágicos (Garner 1... Rouse Ball... La historia del pequeño Gauss........ sin que yo lo vea..
Cap...........t e n . fantasía. Por ejemplo.+ 98 + 99 + 100
+ . Quería tranquilidad para un rato largo.. w w w / / : p t t h .. Cap...
7. Sin trigonometría. lo hagas como lo hagas hay un punto del alambre
doblado que está donde estaba antes de empezar a plegar (Usa el teorema de
Bolzano que dice esencialmente que si quieres cruzar un río y no tienes ni
puente ni barca.
7. QUERIDO WATSON
He aquí algunos problemitas elementales que pueden servir para ejercitar el
arte de resolver problemas de acuerdo con las normas heurísticas dadas
anteriormente. Diseña una estrategia para jugar bien al Tres en Raya. rectos. Un monje budista sale de su templo a las 5´30 de la mañana por una
vereda hacia la cumbre de una montaña. Entonces. demostrar que en la
se tiene C=A+B
Solución: Observa con atención la figura siguiente
8. Uno lo pliegas como y
7.4.3. tendrás que mojarte).t e n . sólo con geometría elemental. Cap. Allí se queda
durante toda la noche y a las 5´30 del día siguiente inicia el descenso por la
misma vereda. Trata de demostrar que en el descenso ha estado en algún
mismo punto del camino exactamente a la misma hora que el día anterior
(Gardner 3.4). w w w / / : p t t h .
8. ELEMENTAL. Lo colocas luego doblado sobre el otro de modo que no
sobresalga. 20. Prob. s a c it a m e t a m .1. Toma dos alambres de la misma longitud. donde llega por la tarde.
9. s a c it a m e t a m .3. Prob. Tres Círculos del mismo radio R pasan por un punto. y en
juegos. (Gardner 7.000 puntos a cada lado.
Distein. Mathematical Discovery. Wiley.4. Matemáticas más fáciles con manualidades de papel.
Cap. Demostrar que existe
una recta que deja 500.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
8.5. En el interior de un círculo se da un millón de puntos. ¿Cómo cortan a los lados? Sin hacer cuentas.
Basta observar la figura auxiliar siguiente con los segmentos adicionales que
se han trazado dividiendo las áreas señaladas en dos partes iguales.. (Polya. w w w / / : p t t h . Cap.. 1962). En el juego de Hex se puede demostrar que el segundo jugador no puede
tener una estrategia para ganar (Gardner 1.t e n . Donovan J. Teoremas geométricos obtenidos cortando y doblando papel (Gardner 3. 1975). SIMETRÍA
La utilización de la simetría es técnica muy frecuente en matemáticas.2 Las dos rectas señaladas en la figura de abajo cortan al cuadrado en tres
partes de igual área. 8). Con ello
es claro que las rectas originales van a parar a 1/3 del vértice opuesto. Demostrar que los
otros tres puntos de intersección de los círculos determinan otro círculo del
mismo radio R. He aquí algunos ejemplos.
8. Cap. Madrid.
8.8)..
9.1.5. New York.
cada uno capaz de cubrir dos cuadros del
tablero. con las pirámides que he señalado
A continuación se colocan los números oblicuamente.t e n . Análogamente se procede con las otras pirámides. como lo he hecho
arriba. Consideramos el siguiente juego para dos jugadores A y B.
¿Sabrías dar con una estrategia para alguno de los dos jugadores que le
permita ganar siempre? (Fácil: Simetría) ¿Cómo cambian las cosas si juegan
en un tablero 8x7. como se indica en la
figura.?
9. Luego juega B cubriendo otros dos cuadros no cubiertos. s a c it a m e t a m . en el tablero de
ajedrez con 32 rectángulos de papel. Luego A. cubriendo dos
cuadrados..
Pierde el primero que no pueda colocar un rectángulo que cubra dos cuadros.. Se amplía el cuadro. p. Así
se obtiene un cuadro mágico 5x5
. Luego la pirámide superior se desliza hasta abajo del cuadro donde
encaja perfectamente. Para construir cuadrados mágicos impares hay una técnica muy sencilla y
fácilmente memorizable..’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
9.e.3. 5x5. Juega A colocando un rectángulo donde quiera. w w w / / : p t t h .2..
15. Cap.5.
determinando así el comienzo de la trayectoria).
9. (Gardner 4.4. En un billar ¿cómo llegar con una bola a otra sin efectos después de dos
reflexiones sobre dos bandas? (Se halla el simétrico del punto de destino con
respecto a la última banda.
9. luego el simétrico de este punto con respecto a la
primera banda que hay que tocar y este punto se une con el de partida. ¿Le puedes indicar el recorrido que debe seguir?
. s a c it a m e t a m . Prob. El problema de la araña y la mosca. Una araña en el interior de un vaso
cilíndrico quiere llegar lo más rápidamente posible a una apetitosa mosca que
está en el interior del vaso.t e n . ¿Podrías determinar si la zona rayada mide más o menos que 1/4
del área del círculo? Sin cálculos.
9. w w w / / : p t t h . Se considera la siguiente figura
Los tres círculos tienen el mismo radio y cada uno pasa por el centro de los
otros dos.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
¿Sabrías demostrar por qué sale siempre bien? (Estudia la simetría de la
disposición inicial y a dónde va a parar cada número después). 4).6.
Washington D. The Mathematical Association of America. 10. Winning Ways vol. (Gardner 8..
10.. Mirar y Ver. HAZTE UN DIBUJO
Un dibujo. Cap. Paseo del caballo por el tablero de ajedrez. Solución del puzzle de los 4 cubos de colores "Locura Instantánea"
(Berlekamp y otros. Paseos con las torres comenzando en un cierto cuadro y terminando en
otro prefijado. Ya hemos visto el uso de algunos
en la sección heurística. pueden
ayudar extraordinariamente a aclarar las cosas.2.
10. 12). Una termita desea penetrar hasta el cubito central después de horadar
todos los demás cubitos desde el exterior.
10.. Cap.5.
11.4. 7). Ajedrez recortado (ya citado antes) (Guzmán. un problema famoso que
11. 12. ¿Cómo construir el triángulo de perímetro mínimo inscrito en un triangulo
dado con un vértice en cada lado de él? (Guzmán. entre otros a Euler. UTILIZACIÓN DE COLORES
11. permitiendo ver mejor los
rasgos esenciales.
11. (Se colorean los vértices de la malla plana equivalente a la malla
de vértices del rombododecaedro).t e n . tener los datos pertinentes a mano. Prob 9). Cap. Cap. ¡Faltaría más! ¿Puedes hacerlo si quitas las 7 fichas
que tienen seis puntos? (Gardner 4. Ore.
11.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
(Desenrolla el cilindro y lo tendrás casi resuelto)..2. s a c it a m e t a m .their
Uses. algún tipo de representación adecuada.C. En el tablero siguiente
.. comenzando por el centro de alguna
cara exterior de un cubito y moviéndose paralelamente a los ejes del cubo
grande. 13). etc. w w w / / : p t t h . 1963)..6.3. (Ver esquema heurístico). 0. p. Imposibilidad de un paseo hamiltoniano por los vértices del rombo
dodecaedro. Un cubo de madera 3x3 está dividido en 27 cubitos 1x1 de la forma
natural. Por eso es natural
que los grafos sean un instrumento utilísimo en tantos juegos y problemas. Cap. Las veintiocho fichas de dominó se pueden colocar en hilera de acuerdo
tanto de la matemática como de la vida real. Graphs . He aquí alguno más. pasando siempre de un cubito a otro a través del centro de una cara
común. (Gardner 6.3.
10.7.1. 2. Diversos juegos con grafos. ¿Lo podrá hacer? ¿Cómo? (Gardner 3..
11. ¿ Y si sustituimos el vaso
cilíndrico por una caja de zapatos? ¿Cómo resuelves ahora el mismo
9. Cuentos con Cuentas). 784).1.
11. un esquema.
El reparto de cartas interrumpido (Gardner 8. Cap. Cuentos con Cuentas).1. Puentes de Königsberg (Guzmán.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
juegan D y P. sobre el dominó es también utilizable en este
contexto. (Gardner 6. Comienza con un dominó con fichas que solo tengan. El jugador D juega con un duro que sale de D y el jugador P con
una peseta que sale de P. 3). por ejemplo 0. mencionaré aquí rápidamente algunos más. Cuentos con Cuentas). s a c it a m e t a m . Prob. 25). w w w / / : p t t h .3.
13. 14. Rana Saltarina (Guzmán. 1).
12. PIENSA AL REVÉS.
13. Prob.
1 2. Cap.2. ¿Qué situación es más verosímil después de repartir las cartas en el
bridge: que entre tú y tu compañero tengáis todos los tréboles o que entre tú y
él no tengáis ninguno? (Gardner 8.
12. SOLITARIOS MATEMÁTICOS
14. Si no lo ha conseguido después de 6 turnos.
pierde.1. Cap. El ejemplo de 10.2. Prob. El jugador D trata de cazar a P y gana si lo
consigue en 6 o menos turnos.
12. 3 puntos en sus caras. COMENZAR POR LO FÁCIL AYUDA A RESOLVER LO DIFICIL
Este es un principio importante en heurística que ya hemos tratado antes y
que fácilmente se olvida. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO
Otro principio heurístico del que ya hemos visto antes algún ejemplo.1.t e n .
13. 19. Además de los ejemplos que vimos en el primer
esquema. Los jugadores se mueven alternativamente por las
rutas señaladas. 9. empezando C.
7 junto con
otros puzzles famosos).
14. que hizo furor a principios de nuestro
siglo y que ya hemos estudiado en parte antes (Gardner 6. pero también las tienen psicoterapéuticas y no está
mal que los profesores de matemáticas nos aprovechemos de unas y otras
tanto para nosotros mismos como para nuestros alumnos. Prácticamente todos los solitarios tradicionales
tratables matemáticamente y otros muchos de reciente invención son
discutidos en: Berlekamp y otros. 2.
14. Cap. Cap. Barcelona. 18.6.24). el Hex. pero no se
presta mucho a un tratamiento elemental.8. Cuentos con Cuentas). los matemáticos
escriben unos cuantos artículos sobre él y sus variaciones y luego vuelve a
dormirse en una discreta penumbra. 2. Locura Instantánea (Gardner 3. p.
15. 784).
14. como el Nim. que ya he citado varias veces. Palomino (Gardner 1. alguno acapara totalmente la atención. Gardner 8. vol.
p. Conway y Guy. Winnig Ways. el solitario famoso de Piet Hein (Gardner 2. Enormemente popular desde el siglo 17
(Guzmán. 13.
14. por supuesto. Pienso que el tratamiento más
completo de juegos matemáticos se puede encontrar en la reciente obra de
Berlekamp. basados en principios nuevos. He
entresacado aquí algunos de ellos indicando también alguna otra referencia
más asequible..2. adecuado para explotar el comportamiento de
autómatas autorreproductores (Berlekamp y otros.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
Existen muchos solitarios con un claro contenido matemático. de Sam Loyd.
.4.. 25). Probablemente el más antiguo de este tipo de solitarios
(Gardner 2.5.
14. 764-766). Berlecamp
y otros. De vez en cuando. como en nuestros días el
cubo de Rubik. Labor. Cap. vol. Soma. Winning Ways. Tangram. PARTIDOS MATEMÁTICOS
A lo largo de lo ya expuesto hemos tenido ocasión de ver algunos juegos
interesantes para dos jugadores.1. Garner 3. 16.t e n . El solitario de la Bastilla. Una solución asequible en tres
páginas bien claras puede verse en: Berlekamp y otros. Cap.3.7.
Periódicamente. Winning Ways. 15. Los solitarios tienen aplicaciones
pedagógicas. 13.
14. Los juegos
tradicionales con sabor matemático abundan y se van creando muchos nuevos
de gran interés. como cometas. He aquí unos
cuantos solitarios curiosos. Cap.
14. El Juego de los 15. Cap. 1981). Tangram. Winning Ways. El juego de la vida.6). Winning Ways. salen de nuevo a la popularidad viejos
solitarios inventados hace siglos. Cap. w w w / / : p t t h . Berlekamp y otros. Cap. El cubo de Rubik tiene mucha matemática en sus aristas.
Winning Ways. Cap.. s a c it a m e t a m .
Gardner 1. Ceros y Cruces. otro juego de reglas muy sencillas sin
estrategia matemática conocida. Otelo.
15. Cap.6. a veces incluso isomorfismos de
estructura que permiten analizar varios de un golpe. Cap. El juego militar. un clásico juego de acorralamiento parecido al de los
gatos y el ratón sobre un tablero como el de abajo (Gardner 6.. como en el ajedrez. ANALOGÍAS ESCONDIDAS
Como sucede en matemáticas. mediante un esquema.. Winning Ways.
7).t e n .4. existen a veces analogías insospechadas en
los juegos que uno se puede proponer.1. El juego de Moser y el Tres en Raya (Gardner 7.
. Cuentos y Cuentas. 5.
15. Cap. Cap. Cap. Cap.2. s a c it a m e t a m . 4). w w w / / : p t t h . 16). (Berlekamp y otros. Nim y variaciones (Guzmán. también llamado Reversi.
15. Hex (Gardner 1. Tres en Raya (Gardner 1. 19). Ya hemos visto cómo
algunos juegos y puzzles se convierten.
16. 19. el clásico juego sobre una cuadrícula completando
cuadros (Berlekamp y otros.3. Juegos topológicos: Gale. Cap. Go.(Gardner 3. Cap. no se conoce estrategia completa.
15. 6).’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
15. 16). Es interesante
sber que.
15. Cap. Bridgit.8. He aquí algún ejemplo más de juegos
isomorfos.5. 15).
16. un antiguo juego oriental de reglas muy sencillas y de gran riqueza
estratégica. Cap. en un problema
equivalente de teoría de grafos. Gardner1. Durante algún tiempo fue asignatura obligatoria en las academias
de preparación militar en Japón.8).
15.1. donde
se pueden encontrar otros juegos de tablero con estrategia. (Gardner 3.
Euclides escribió un libro de
falacias y aporías.. Con este espíritu está
.2. Por
eso no es nada despreciable esta labor preparatoria. 6).t e n . Cap. w w w / / : p t t h . el área de ABC es igual al de ABD.1.
16. Cap. Los clásicos en recreaciones matemáticas suelen tener una
sección dedicada a falacias. s a c it a m e t a m .’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
16.. El juego icosiano y las torres de Hanoi (Gardner 1.3.
Un concepto nada fácil de definir. FELIZ IDEA
En la resolución de juegos y acertijos.
16. ABC y ABD. los Pseudaria. con BC=BD. topológicas. a
veces es preciso que surja en nuestra mente lo que llamamos una feliz idea. Problemas de medidas y de reflexión en un billar (Gardner 6.2. Diversas falacias aritméticas. (Gardner 1.. que probablemente utilizó con gran provecho
en su enseñanza. Para el experto es un método de trabajo lo
que para el novicio resulta una feliz idea. Así por el principio de Cavalieri. Consideramos los dos
triángulos de la figura. La siguiente falacia es muy antigua (Torricelli?) y viene a demostrar que
el principio de Cavalieri (mal interpretado) es falso. Cap. FALACIAS
Las falacias tienen un gran valor pedagógico.
16). Para cada de AB es claro que
MN=MP. una especie de revelación divina que
surge como un relámpago en la oscuridad y nos deja ver claro el camino a
18.4. Juego de cartas equivalente al cuadrado mágico 3x3 (Gardner 7. 14)
17. Especialmente recomendables son las secciones
de los capítulos 2 y 3 de Rouse Ball. El examen de muchas felices ideas puede abrir en nuestro espíritu
cauces que hagan surgir chispas semejantes en circunstancias parecidas. como en la resolución de problemas. dedicadas a falacias aritméticas y
17. Cap 4).
que constituye toda una antología de felices ideas en diferentes campos.t e n . w w w / / : p t t h .
. ¡Ajá! ". s a c it a m e t a m .’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
escrito el estimulante y agradable libro de Martin Gardner "Inspiración.
w w w / / : p t t h .t e n . ALGUNAS INDICACIONES BIBLIOGRÁFICAS
(Las referencias incluidas a continuación se leerán más claramente haciendo
clic con el botón derecho del ratón en la región de abajo para obtener la imagen
que las contiene aumentadas en otra página)
. s a c it a m e t a m .’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
t e n . estético y lúdico de la enseñanza fue
confeccionada por mi y distribuida por el ICE de la Universidad Autónoma de
Madrid en 1983 a raíz de un cursillo sobre juegos matemáticos. w w w / / : p t t h . Una bibliografía general más extensa.
.’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
A continuación me ha parecido bien indicar algunos libros que existen en
castellano más o menos útiles para la finalidad que he pretendido con este
trabajo. s a c it a m e t a m . sino hacia obras adecuadas para proporcionar
motivación y enriquecimiento histórico. orientada no exclusivamente
hacia los juegos matemáticos.
w w w / / : p t t h .37
t e n . s a c it a m e t a m .’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
s a c it a m e t a m . w w w / / : p t t h .38
t e n .’ s a c i t á m e t a M s a l e d os í a r a P l E ‘ e d o d a g r a c s e d o v i h c r A
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