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Timestamp: 2018-05-26 13:51:40+00:00

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La palabra “álgebra” con la que se designa una parte de las Matemáticas, proviene del término al-jabr que aparece en el título de un texto del siglo IX, escrito por el matemático árabe al-Khowarizmi.
Los contenidos y métodos de esta disciplina no han permanecido invariables a lo largo de los tiempos, sino que han estado sometidos a cambios diversos. Así, en sus inicios, el álgebra era el arte de reducir y resolver ecuaciones. Actualmente, el álgebra moderna se centra en el estudio de estructuras (grupos, anillos, ...), pero su punto de arranque proviene de las investigaciones del genial Evariste Galois (1811-1832) sobre la resolución de ecuaciones por radicales.
En la historia del álgebra se suelen distinguir tres periodos bien diferenciados:
(i) Periodo retórico, en el que todas las expresiones se escribían utilizando el lenguaje ordinario.
(ii) Periodo sincopado, en el que se empezaban a utilizar símbolos y abreviaturas para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales.
(iii) Periodo simbólico, en el que se usaban símbolos especiales tanto para la incógnita y sus potencias como para las operaciones y relaciones.
En la clasificación anterior no se incluye un tipo especial de álgebra que se sirve o se ayuda de diagramas para obtener resultados interesantes (expresiones notables, resolución de ecuaciones, ...). Esta álgebra geométrica o álgebra diagramática parece que se originó en la Escuela Pitagórica (allá por el siglo VI a. C.) y fue dada a conocer por Euclides de Alejandría (ca. 300 a. C.) en el libro II de sus famosos Elementos.
En las líneas siguientes (haciendo un recorrido por distintas épocas y culturas, y centrándonos en la resolución de ecuaciones) ofreceremos algunos ejemplos de este tipo especial de álgebra en el que se utiliza el razonamiento visual en lugar del analítico.
2.3. Resolución geométrica de la ecuación x2 = ax + b [x(x – a) = b]
El cálculo geométrico de las raíces positivas de la ecuación cuadrática x2 = ax + b consiste en determinar las dimensiones x y x – a de un rectángulo de área b.
Admitamos que el área del rectángulo de la figura siguiente es b.
Entonces, el área del gnomon del diagrama adjunto también es b.
El segmento x – (a/2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son y a/2.
Con esto, el procedimiento geométrico para resolver la ecuación propuesta consta de las fases siguientes:
• Se construye un triángulo rectángulo de catetos y a/2.
• Se prolonga la hipotenusa una longitud igual a a/2. El segmento obtenido es x (véase la figura adjunta).
2.4. Resolución geométrica de la ecuación x2 + b = ax [(a – x)x = b]
Resolver geométricamente la ecuación x2 + b = ax equivale a calcular las dimensiones x y a – x de un rectángulo de área b.
A la hora de dibujar un rectángulo de dichas dimensiones se pueden presentar dos situaciones diferentes:
(a) a – x > x
(b) a – x < x
Consideraremos por separado cada una de ellas.
Primera situación: a – x > x
Sea b el área del rectángulo del dibujo adjunto.
Entonces, el área del gnomon de la figura siguiente también es b.
El segmento a/2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son y (a/2) – x.
En consecuencia, la resolución geométrica de la ecuación cuadrática x2 + b = ax se reduce, en este caso, al procedimiento siguiente:
• Se construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es a/2 y uno de cuyos catetos es . Esto sólo es posible si a/2 > [si a/2 = , entonces el triángulo se reduce a un segmento y x = a/2].
Si la construcción es posible, el otro cateto es (a/2) – x.
• Se quita de la hipotenusa el cateto (a/2) – x. El segmento resultante es x (véase el esquema adjunto).
Segunda situación: a – x < x
Sea b el área del rectángulo de la figura.
El segmento a/2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son y x – (a/2).
Consecuentemente, la resolución geométrica de la ecuación cuadrática x2 + b = ax se reduce, en esta situación, a:
• Construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea a/2 y uno de cuyos catetos sea . Esto sólo es posible si a/2 > [si a/2 = , el triángulo se reduce a un segmento y x = a/2].
Si la construcción es posible, el otro cateto es x – (a/2).
• Prolongar la hipotenusa una longitud igual a x – (a/2). El segmento obtenido es x (véase el diagrama adjunto).
3. Al-Khowarizmi y la ecuación de segundo grado
Del matemático árabe Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi sólo se sabe que su vida transcurrió durante el reinado del califa al-Mamun (813 – 833). Aunque los datos biográficos del al-Khowarizmi sean escasos, sus contribuciones científicas, contenidas en una media docena de libros, son de un interés considerable.
La palabra “álgebra” con la que hoy en día se designa una de las ramas de las Matemáticas, proviene del término al-jabr que aparece en el título de su obra más importante Hisab al-jabr wa al-muqabala.
En dicho texto, del que se conoce una versión árabe y otra en latín, se resuelven seis tipos de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Hagamos notar que los matemáticos árabes medievales siempre trabajaron con ecuaciones de coeficientes positivos, no admitieron las soluciones negativas ni la raíz cero, y no dispusieron de un simbolismo algebraico como el actual.
Los “números” que intervenían en sus cálculos eran de tres categorías: las raíces (x), los cuadrados (x2) y los números, que según al-Khowarizmi no se refieren ni a las raíces ni a los cuadrados.
A lo largo de seis capítulos se presentan catorce ecuaciones junto con las estrategias que deben seguirse para obtener las soluciones correspondientes (advirtamos que el estilo utilizado en las resoluciones es puramente retórico).
Así, en el primer capítulo se estudian las ecuaciones del tipo “cuadrados iguales a raíces” mediante los ejemplos siguientes:
x2 = 5x ; (x2/3) = 4x ; 5x2 = 10x
El segundo capítulo presta atención a tres ecuaciones de la variedad “cuadrados iguales a números” y en el tercer capítulo se resuelven tres ecuaciones del tipo “raíces iguales a números”.
Sin duda alguna, los ejemplos más interesantes se ofrecen en los capítulos cuarto, quinto y sexto, donde se estudian las ecuaciones que se detallan a continuación:
x2 + 10x = 39 ; 2x2 + 10x = 48 ; (x2/2) + 5x = 28 ; x2 + 21 = 10x ; 3x + 4 = x2
En algún caso se añaden las justificaciones geométricas de los resultados obtenidos.
Por su interés didáctico reproducimos las dos justificaciones geométricas que acompañan a la resolución de la ecuación cuadrática x2 + 10x = 39
3.1. Primera justificación
Al-Khowarizmi procede de acuerdo con el siguiente plan:
1. Construye un cuadrado de lado x.
2. Sobre cada uno de los lados de dicho cuadrado describe un rectángulo de altura 5/2 (véase la figura adjunta). De este modo, la suma de las áreas de los cuatro rectángulos es igual a 10x.
En consecuencia, el área de la cruz determinada por los cinco cuadriláteros es igual a x2 + 10x (= 39).
3. Acto seguido, añadiendo un cuadrado de lado 5/2 a cada una de las esquinas de la cruz, al-Khowarizmi construye un cuadrado ABCD cuya área es igual a 39 + 4(5/ 2)2 = 64.
A partir de la última construcción, resulta claro que el lado del cuadrado ABCD es igual a 8. Entonces, teniendo en cuenta que:
AB = x + 2(5/2)= x + 5 = 8,
3.2. Segunda justificación
Al-Khowarizmi actúa del modo siguiente:
2. A partir de él construye un gnomon como el de la figura adjunta.
Resulta claro que el área de dicho gnomon es x2 + 10x (= 39).
3. Acto seguido, añadiendo al gnomon un cuadrado de lado 5 (véase la figura adjunta), construye un cuadrado ABCD de área 39 + 25 = 64.
Con esto, resulta claro que el lado del cuadrado ABCD es 8. Por tanto:
AB = x + 5 = 8.
4. Menecmo y la ecuación de tercer grado x3 = 2 · a3
El griego Menecmo (350 a. C) resolvió la ecuación x3 = 2a3 [problema de la duplicación del cubo] utilizando las secciones cónicas de dos maneras diferentes.
Descríbanse las parábolas de ecuaciones x2 = ay e y2 = 2ax.
La abscisa del punto P, intersección de las dos gráficas, satisface la relación x3 = 2a3.
Descríbase la parábola y2 = 2ax y la hipérbola equilátera xy = 2a2.
La abscisa del punto Q, intersección de las dos gráficas, satisface la relación x3 = 2a3.
5. Omar Khayyam poeta y matemático
Si de mí dependiera, yo no habría venido;
si de mí dependiera, yo no me marcharía.
Y lo mejor sería que en este mundo ruin
ni llegara, ni hubiera de partir, ni estuviera.
En este robaiyyat (estrofa de cuatro versos dodecasílabos en la que riman el primero, segundo y cuarto, y queda libre el tercero) se resume la filosofía de uno de los más grandes poetas y matemáticos árabes: Omar Khayyam.
Omar nació en Nishapur (Irán) el 18 de mayo de 1048 y murió en la misma ciudad el 4 de diciembre de 1131.
Debido a los problemas políticos de la época, Khayyam se vio obligado a cambiar frecuentemente de residencia. Vivió en Samarcanda (1070), en Ispahán, donde fue director del observatorio astronómico y contribuyó a la reforma del calendario en 1709, y en Merv (ca. 1118).
Antes de cumplir los veinticinco años, Omar ya había escrito un tratado de aritmética, un libro de música y un texto de álgebra. Fue hacia el 1074 cuando escribió su obra matemática más importante, Sobre las demostraciones de los problemas del álgebra, en el que expuso el primer estudio sistemático de las ecuaciones de tercer grado contempladas en su forma general, es decir: con coeficientes positivos cualesquiera, y estableció las diferencias entre el álgebra y la aritmética.
Khayyam resolvió las ecuaciones cúbicas mediante intersecciones de cónicas (circunferencias, parábolas e hipérbolas) y las clasificó en tres grandes grupos:
• Ecuaciones con dos términos: x3 = a
• Ecuaciones con tres términos:
x3 + bx = a, x3 + a = bx, bx + a = x3, x3 + cx2 = a, x3 + a = cx2, cx2 + a = x3
• Ecuaciones con cuatro términos:
cx3 + cx2 + bx = a , x3 + cx2 + a = bx , x3 + bx + a = cx2, x3 = cx2 + bx + a, x3 + cx2 = bx + a , x3 + bx = cx2 + a, x3 + a = cx2 + bx
AKhayyam resolvió geométricamente la ecuación de tercer grado x3 + ax = b, mediante el procedimiento siguiente:
(a) Escríbase la ecuación en forma homogénea:
x3 + ( )2x = ( )2h
(b) Dibújese una parábola P de ecuación x2 = y
(c) Constrúyase una circunferencia C de ecuación y2 = x(h – x). El centro de dicha circunferencia es el punto de coordenadas (h/2, 0) y su radio es r = h/2.
La abscisa del punto A, intersección de las dos curvas, satisface la ecuación propuesta.
6. El álgebra geométrica de Descartes
René Descartes, el padre de la geometría analítica, nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye, cerca de Tours, y murió el 11 de febrero de 1650.
Su familia poseía una fortuna considerable que permitió a Renato llevar una vida desahogada.
A los veinte años obtuvo el Bachillerato y la Licenciatura en Leyes.
Desde los veintiún años hasta los veintinueve Descartes se dedicó a viajar por Europa, alistándose en los ejércitos de Mauricio Nassau y Maximiliano V de Baviera.
En 1625 regresó a Francia y, en París, perteneció al círculo científico del padre Marín Mersenne, antiguo compañero en el colegio jesuita de La Flêche. Durante su estancia parisina René llevó una vida poco recomendable, dominada por el juego, hasta que se retiró a su casa de Saint Germain y empezó un intenso trabajo en filosofía, física y matemáticas. En 1628 emigró a Holanda donde permaneció durante casi veinte años.
Los conocimientos de Descartes se pueden calificar de enciclopédicos dado que, además de las tres disciplinas antedichas, cultivó la óptica, química, música, mecánica, anatomía, embriología, medicina, astronomía y meteorología.
En matemáticas su obra capital fue La Géométrie, publicada en 1637 como apéndice de su famoso Discurso del Método, en la que sentó las bases de la geometría analítica. Se cuenta que le surgió la idea de esta nueva geometría cuando, contemplando el movimiento de una mosca en el techo de su habitación, pensó que la trayectoria del insecto se podía describir en función de su distancia a las paredes adyacentes.
Con Descartes se inició la práctica actual de usar las últimas letras del alfabeto para las incógnitas y las primeras para los parámetros. Al mismo tiempo, el autor del Discurso del Método, acostumbró a igualar a cero el primer miembro de cualquier ecuación.
En el libro primero de su Geometría, René Descartes presenta la resolución geométrica de algunas ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
6.1. Resolución geométrica de la ecuación z2 = az + b2
El texto de Descartes
(...) Por ejemplo, si tengo z2 = az + b2 construyo el triángulo rectángulo NLM, cuyo lado LM es igual a b, raíz cuadrada de la cantidad conocida b2, y el otro lado LN es a/2, la mitad de la otra cantidad conocida, que multiplica a z, que es la línea desconocida. Entonces, prolongando MN, base de este triángulo, hasta O, de modo que NO sea igual a NL, la línea OM es z, la línea buscada, y se expresa de este modo:
En cuanto a la notación, observemos que el signo de igualdad utilizado por Descartes es distinto del actual y se parece al símbolo moderno para “infinito”. Notemos también que para representar potencias de exponente 2 suele hacer uso de la multiplicación indicada [aa = a2]. Por último, advirtamos que el matemático francés utiliza el término “base” para referirse a la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Respecto al procedimiento de resolución de la ecuación, Descartes sólo lo describe y no se detiene en su justificación. Dado el carácter divulgativo-didáctico de este trabajo, creemos conveniente incluir aquí una fundamentación del método que se apoya en la proposición 36 del libro III de los Elementos de Euclides:
Si desde un punto exterior a un círculo se trazan dos rectas, una de las cuales lo corta y la otra sólo lo toca, entonces el rectángulo comprendido por toda la recta secante y su parte exterior entre el punto y la periferia convexa del círculo es equivalente al cuadrado de la tangente.
Si en la figura presentada por Descartes aplicamos la proposición anterior se tiene que:
MO · MP = LM2
Entonces, si comparamos esta igualdad con la ecuación que se quiere resolver [z(z – a) = b2] resulta que:
LM = b
MO = z
MP = z – a
Por tanto, la resolución gráfica propuesta por Descartes es correcta.
OP = OM – MP = z – (z – a) = a => ON = NP = NL = a/2
6.2. Resolución geométrica de la ecuación y2 = -ay + b2
Si se tiene y2 = -ay + b2, donde y es la cantidad que se quiere encontrar, construyo el mismo triángulo rectángulo NLM y de la base MN quito NP igual a NL, y lo que sobra PM es y, la raíz buscada. Así, se tiene que:
Y del mismo modo, si se tiene x4 = -ax2 + b2 entonces PM será x2 y se tendrá que:
y así para otros casos.
La justificación del método presentado por Descartes también se apoya en la proposición 36 del libro III de los Elementos de Euclides.
Si en la figura del texto aplicamos dicha proposición se tiene que:
Entonces, si comparamos esta igualdad con la ecuación que se quiere resolver [y(y + a) = b2] resulta que:
MP = y
MO = y + a
OP = OM – MP = (y + a) – y = a => ON = NP = NL = a/2
6.3. Resolución geométrica de la ecuación z2 = az – b2
Si tenemos z2 = az – b2, hago NL igual a a/2 y LM igual a b como antes. Después, en lugar de unir los puntos M y N, dibujo MQR paralela a LN, y con N como centro describo un círculo que pasa por L y corta a MQR en los puntos Q y R . La línea buscada z es MQ o MR , dado que en este caso se puede expresar de dos formas diferentes, a saber:
Y si el círculo cuyo centro es N y pasa por L no corta ni toca a la recta MQR , entonces la ecuación carece de raíces, de modo que se puede decir que la construcción del problema propuesto es imposible.
La justificación de la resolución gráfica propuesta por Descartes se apoya en conceptos básicos de geometría elemental.
En la figura anterior LM = b y NL = NS = a/2. Además, el triángulo SQL es rectángulo al estar inscrito en una semicircunferencia. Por tanto, en virtud del teorema de la altura relativa a la hipotenusa, el segmento QP = LM = b es medio proporcional entre los segmentos LP = MQ y PS = MR.
b2 = MQ · MR
Si comparamos esta expresión con la ecuación de segundo grado que se quiere resolver [z(a – z) = b2] resulta que:
a) MQ = z y MR = PS = a – z
b) MQ = a – z y MR = PS = z
En consecuencia, el procedimiento de Descartes es válido.
Además, se tiene que:
7. Consideraciones didácticas
Después de esta excursión por el mundo del álgebra geométrica nos parece oportuno tener en cuenta algunas cuestiones de carácter didáctico:
(i) En la mayoría de los casos, los alumnos no universitarios toman contacto con los contenidos matemáticos de carácter algebraico de forma poco o nada significativa: suman, restan, multiplican y dividen polinomios aplicando el algoritmo correspondiente; resuelven ecuaciones de primer grado con una incógnita, utilizando las reglas pertinentes; resuelven ecuaciones de segundo grado con una incógnita haciendo uso de la fórmula adecuada, etc. Podríamos decir, pues, que para la mayoría de los alumnos de ESO y Bachillerato el álgebra se reduce a la manipulación de símbolos de acuerdo con reglas preestablecidas. Dicho más crudamente: el álgebra escolar es, hoy en día, rica en sintaxis, pero pobre en significados. Afortunadamente, existen enfoques visuales (los que ofrece el álgebra geométrica) que ayudan a dar significado a los contenidos del álgebra escolar, que facilitan la comprensión y adquisición de conceptos y procedimientos (al menos en una primera toma de contacto con ellos), que favorecen la resolución de algunos problemas y que, en definitiva ofrecen al alumno una imagen nueva de las Matemáticas en general y del álgebra en particular.
(ii) Desde hace años, las investigaciones de Krutetskii (1976) y otros, en el campo de la resolución de problemas, pusieron de manifiesto que, a la hora de aprender (hacer) Matemáticas, los alumnos se pueden clasificar en tres grandes grupos:
El “visual o geométrico”, compuesto por aquellos alumnos que tienen una marcada inclinación hacia los aspectos visuales de las Matemáticas y que, consecuentemente, hacen uso del razonamiento visual.
El “no visual o analítico”, formado por estudiantes que no tienen necesidad de recurrir a ningún tipo de soporte visual para trabajar con esquemas abstractos.
El “intermedio o armónico”, integrado por aquellos alumnos en los que las dos orientaciones cognitivas anteriores se conjugan armoniosamente. Este tipo de alumnos hace un uso equilibrado del razonamiento visual y analítico.1
En general, los programas de enseñanza han prestado poca atención a los aspectos visuales de las Matemáticas (excepción hecha, claro está, de los contenidos de tipo geométrico) y se han centrado casi exclusivamente en su componente analítica. Este enfoque presenta algunas deficiencias, dado que:
No cubre las necesidades de aquellos alumnos cuya orientación cognitiva es eminentemente visual.
Propicia el abandono de estudiantes que podrían acceder a las Matemáticas a través de su componente visual.
Oculta los aspectos visuales que ayudan a conseguir la comprensión de conceptos y procedimientos.
Ignora las representaciones visuales como herramientas potentes para la resolución de problemas no necesariamente geométricos.
No contempla las demostraciones visuales como demostraciones matemáticas legítimas.
Para paliar estas limitaciones parece aconsejable incluir, siempre que sea posible, los contenidos de carácter algebraico desde una óptica visual y analítica para que los estudiantes se enfrenten al material de la manera que esté más próxima a su orientación cognitiva.
(iii) Los alumnos piensan que los aspectos visuales de un concepto o de un procedimiento son algo periférico a él y prefieren las descripciones analíticas de una propiedad a las descripciones visuales.
Los alumnos suelen mostrarse reacios al uso del razonamiento visual tanto en la resolución de problemas como en las demostraciones matemáticas. Vinner (1989), refiriéndose al rechazo de los alumnos hacia las demostraciones de tipo visual, cree que puede ser debido a la convicción de que una demostración algebraica es más rigurosa y general. Esta convicción puede basarse en los éxitos obtenidos por los estudiantes al memorizar fórmulas y procedimientos algebraicos. Además, los profesores de Matemáticas solemos tener un marcado sesgo algebraico, adquirido en los estudios universitarios, que transmitimos a nuestros alumnos.
Como dice Kline (1976):
Algunos profesores, que conocen las demostraciones rigurosas, se sienten incómodos al presentar simplemente un argumento convincente que ellos, al menos, saben que es incompleto. Pero no es el profesor quien debe quedar satisfecho, sino el estudiante. La buena pedagogía exige compromisos de esta índole.
Vinner recomienda que en la enseñanza de las Matemáticas debería hacerse hincapié en la legitimidad del enfoque visual en las demostraciones y en la resolución de problemas. De este modo, se podría desterrar la creencia, tan extendida entre el alumnado, de que una demostración visual no es una demostración matemática.
1 Krutetskii divide a este grupo en dos subgrupos:
El “armónico abstracto”, formado por aquellos estudiantes que pudiendo utilizar el razonamiento visual prefieren no hacerlo.
El “armónico pictórico”, compuesto por aquellos alumnos que pudiendo utilizar el razonamiento visual en la resolución de un problema prefieren hacerlo.
DREYFUS, T. & EISENBERG, T. (1986). On visual versus analytical thinking in mathematics. Proceedings of the Tenth International Conference on the Psychology of Mathematics Education, pp. 153-158.
KLINE, M. (1976). El fracaso de la matemática moderna. Madrid, Siglo XXI de España Editores, S. A.
KRUTETSKII, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Chicago, The University of Chicago Press.
MEAVILLA, V. (2001). Aspectos históricos de las Matemáticas elementales. Zaragoza, Prensas Universitarias de Zaragoza.
MEAVILLA, V. (2005). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico: ideas, sugerencias y materiales para la clase. Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).
MEAVILLA, V. (2005). Matemáticas y razonamiento visual. SIGMA (Revista de Matemáticas), nº 27, pp. 109-116.
SMITH, D. E. & LATHAM, M. L. (1954). The Geometry of Rene Descartes with a facsimile of the first edition. New York, Dover Publications.
VINNER, S. (1989). The avoidance of visual considerations in Calculus students. Focus on learning problems in Mathematics. Volume 11: number 1, pp. 149-156.

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