Source: https://www.slideshare.net/licmata/mi-03-integracin-por-fracciones-parciales
Timestamp: 2017-02-20 05:16:48+00:00

Document:
Mi 01 cambio de variable
Problema resuelto paso a paso aplicando integración por fracciones parciales.
Los metodos que utilizamos de integración, se utilizan cuando no es posible realizar la integral por los métodos conocidos, como lo son con las formulas de integración, por partes, sustitución o fracciones parciales. Estos métodos son útiles para resolver cualquier tipo de integral que no nos sea posible resolver, Nos explica como podemos resolver por el método de fracciones parciales la cual nos facilita la resolución de problemas Personalmente se me facilita mas resolverlo por el método de por partes. Cada método requiere de mucha álgebra, que es lo que mas se nos dificulta, ya que en si, los métodos no son nada difíciles pero por álgebra empleada crece su dificultad. Estos métodos son de suma importancia para resolución de integrales y nos facilita un poco mas la manera de resolver.
Al poderlas realizar las integrales debemos de tomar en cuenta cómo es que es posible resolver la integral, ya sea por método común (con las fórmulas de integración) o utilizando cualquiera de los 3 métodos de integración (por partes, sustitución de variable y fracciones parciales), en este caso se explica cómo es que podemos realizarla por el método de fracciones parciales, estos métodos facilita la resolución de diferentes problemas de integración, aunque sabemos que algunos que la mayoría de los problemas de cálculo no es posible de resolverlos por su complejidad, una parte de ellos lo podemos hacer con estos métodos, estos métodos utilizan toda la parte básica del algebra, la cual será la base principal para resolver esta situación, intervienen, sumas restas, divisiones, fracciones, algebraicas, además de utilizar una parte del cálculo diferencial como lo son las derivadas, en fin son métodos muy eficientes y además fáciles de emplear poniéndolos en práctica, sin duda una excelente presentación, y demás las otras series de presentaciones complementan lo dicho. Excelente información.
Amee Antunez
El querer resolver una integral debemos identificar por cual método será posible resolverla. El método que se explica en la presentación es el de fracciones parciales el cual se basa en sumas algebraicas, consiste en obtener el resultado de sumar dos o más fracciones. Para poder llevar a cabo este método se usa la factorización del denominador, también se efectúan operaciones algebraicas, se juntan términos semejantes, se igualan los coeficientes. Me parece que al igual que el método cambio de variable se necesita elegir bien tu variable.
para resolver una integral, hay veces en que se podra de forma directa pero, en otras ocasiones no. en estos casos se pueden aplicar diferentes metodos tales como el cambiode variable o en este caso como lo muestra la presentación la integración por partes, ambos metodos debes saber utilizarlos, el cambio de variable mi favorito, consiste en cambiar la variable para asi luego poder sustituir y poder resolverse, para al final volver a sustituir por nuestros valores reales, en caso de la integracion por partes es un poco mas demorado en mi punto de vista. todos los metodos son efectivos pero, para esto es necesario que conozcas las formulas y el como aplicarlas, de igual manera los metodos.
Cuando se trata de realizar integrales debemos saber si será necesario el uso de algún método o podrá realizarse de manera directa, si no es así, es entonces cuando comenzamos a utilizar los diferentes métodos de integración. El método de integración por partes nos será muy útil cuando encontramos alguna variable que ''sobra'' y aquí comenzamos a ver que parte de la integral es mejor para derivar y cuál para integrar, entonces ya se comienza a sustituir la fórmula y conforme vamos desarrollando la integral podemos encontrarnos nuevamente con la estructura de una integral por partes, donde volvemos al mismo procedimiento con que empezamos. También esta el método de cambio de variable, es cuando pasamos a convertir todos nuestros datos en unos nuevos, de manera que se haga más fácil la integral, la vamos resolviendo con los nuevos datos y al final el resultado es sustituido por los valores originales, y por último tenemos el método de fracciones parciales, las integrales para este método son totalmente distintas a las anteriores, aquí estan en forma de fracción como el nombre del método lo indica, y sólo con ver fracciones las cosas se ponen un poco díficiles, aparte de que debemos recordar como factorizar, y muy importante el uso del álgebra que se usa en la mayor parte de este método, así como el despeje de fórmulas para encontrar ciertos valores y al final de todo esto, crear una nueva integral mucho más fácil de realizar aplicando las fórmulas directas del formulario.
El trabajo colaborativo es fundamental
para aprender, requiere una actitud de
compromiso de todos los integrantes
Resolución individual de
En forma complementaria
al aprendizaje colaborativo,
alumno haga frente, en
forma individual, a los
artificios matemáticos que
se aplican cuando no es
posible realizar una
integración directamente,
ya sea porque al
diferencial le faltan
variables o le sobran.
explica y resuelve, paso a
paso, un ejemplo por el
Esta técnica se basa en la
algebraicas. Consiste en
En la operación directa se
obtiene el resultado de sumar
dos o más fracciones.
En las fracciones parciales se
conoce el resultado de la suma
y se desea determinar cuáles
fueron las fracciones que lo
Como en los ejemplos anteriores, no existe
ninguna fórmula que pueda aplicarse,
directamente, a esta integración.
−3𝑥 − 1
𝑥3 − 𝑥
𝒙 𝟑 − 𝒙 = 𝒙(𝒙 𝟐 − 𝟏)
El primer paso consiste en factorizar el denominador.
𝒙 𝟑 − 𝒙
= 𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Las fracciones parciales son:
(𝒙 − 𝟏)
Los numeradores de estas fracciones no los
conocemos, será necesario determinarlos.
La fracción original debe ser igual a las fracciones parciales
−𝟑𝒙 − 𝟏
Efectuamos la suma indicada en el lado derecho del signo de igual
𝑨 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝑪𝒙(𝒙 + 𝟏)
𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Ejemplo: Se efectúan operaciones algebraicas
𝑨 𝒙 𝟐
− 𝟏 + 𝑩𝒙 𝟐
− 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙
𝑨 𝒙 𝟐 − 𝟏 + 𝑩𝒙 𝟐 − 𝑩𝒙 + 𝑪𝒙 𝟐 + 𝑪𝒙
𝑨𝒙 𝟐
− 𝑨 + 𝑩𝒙 𝟐
los valores de A,
En este paso es útil tomar en consideración que ambos denominadores son iguales, podemos
pasar multiplicando uno de ellos al lado contrario del signo de igual, y se eliminan.
−𝟑𝒙 − 𝟏 =
(𝒙 𝟑
− 𝒙)(𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑪𝒙)
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨𝒙 𝟐
Ejemplo: Se agrupan términos semejantes
Primero los términos que tienen equis cuadrada, luego los que tienen equis, y al final los
términos independientes.
−𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐
+ −𝑩 + 𝑪 𝒙 − 𝑨
Con la finalidad de igualar término por término, en este paso se considera que la
expresión del lado izquierdo del signo igual, al no tener término cuadrático es cero equis
𝟎𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝒙 𝟐
Ejemplo: Se igualan los coeficientes
Los coeficientes de equis cuadrada:
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎
Los coeficientes de equis: −𝑩 + 𝑪 = −𝟑
Los términos independientes: −𝑨 = −𝟏
Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
con 3 incógnitas (3x3)
Ejemplo: El sistema de ecuaciones obtenido puede resolverse
por cualquiera de los numerosos métodos existentes.
−𝑩 + 𝑪 = −𝟑
−𝑨 = −𝟏
Explicaciones y ejemplos acerca de estos métodos pueden encontrarse en:
http://licmata-math.blogspot.mx/2014/10/solving-cramers-method-determinants.html
http://licmata-math.blogspot.mx/2014/10/5-tips-on-cramer-method.html
http://licmata-math.blogspot.mx/2013/11/linear-equation-systems-problem-solving.html
con 2 incógnitas (2x2)
Ejemplo: Resolución del sistema de ecuaciones.
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟏 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟎 ∴
𝑩 + 𝑪 = −𝟏
−𝑨 = −𝟏 ∴ 𝑨 = 𝟏
En este caso el sistema de ecuaciones puede simplificarse gracias a que la
tercera ecuación nos proporciona directamente el valor de una de las
incógnitas: A.
El valor de A es uno, y al sustituirla en la primera ecuación obtenemos un
Los métodos empleados en la resolución de sistemas 3x3
también pueden emplearse en sistemas de 2x2, sin embargo,
frecuentemente resulta más sencillo emplear otros métodos:
En este ejemplo, debido a los coeficientes de las ecuaciones es
conveniente aplicar el:
Método de Reducción o de suma y resta
Se elige este método porque al sumar las dos ecuaciones, se
eliminará la incógnita B, obteniéndose una sencilla ecuación de
primer grado con una incógnita (C), de la que se despeja y
obtiene el valor de C.
𝟐𝑪 = −𝟒
𝑪 = −𝟐
El valor de la incógnita C, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones
que conforman el sistema de 2x2 y se despeja la incógnita faltante (B).
𝑩 + 𝑪 = −𝟏 → 𝑩 − 𝟐 = −𝟏 → 𝑩 = −𝟏 + 𝟐
𝑩 = 𝟏
Ejemplo: No olvidemos que todo este proceso fue realizado
para determinar los valores de las tres incógnitas que
conforman el sistema original.
𝑨 = 𝟏 𝑪 = −𝟐𝑩 = 𝟏
Ejemplo: Significado de las soluciones del sistema de 3x3
Estas soluciones son los
numeradores de las
descomponer la fracción
propia que se desea
Ejemplo: Ahora conocemos los numeradores de las fracciones parciales.
Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original, se integrarán sus
𝑑𝑥 = න
= න
𝑑𝑥 + න
𝑥 + 1
+ න
− 2 න
Ejemplo: En lugar de integrar la fracción original,
se integrarán sus fracciones parciales.
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝑙𝑛𝐶
Ejemplo: Aplicando propiedades de logaritmos
podemos simplificar el resultado.
= ln 𝑥 + ln 𝑥 + 1 + ln 𝑥 − 1 −2 + 𝑙𝑛𝐶
= ln 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 1 −2
= ln 𝐶
𝑥 𝑥 + 1
𝑥 − 1 2
El objetivo de las fracciones parciales es expresar una fracción propia que
no puede integrarse directamente, en sus fracciones parciales que sí
pueden integrase con alguna de las fórmulas básicas de integración.
𝑑𝑥 = ln 𝐶

References: resolución 
 resolución 
 resolución 

Resolución 
 Resolución 
 resolución