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Timestamp: 2020-02-18 21:40:07+00:00

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Programa Desarrollado de Cálculo Integral - UNADM | Integral | Cálculo
Programa Desarrollado de Cálculo Integral UNADM
SalvaSalva Programa Desarrollado de Cálculo Integral - UNADM per dopo
050910310
PROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIA COORDINACIÓN GENERAL
Dr. Juan Carlos Flores García
III. COMPETENCIA(S) A DESARROLLAR
Actividad 1. ¿Qué es área?
1.1.2. Área mediante suma de rectángulos infinitesimales
1.1.5. Evaluación de integrales
1.1.7. Propiedades de la
Actividad 4. Resolución de problemas TFC
Derivación e integración como procesos inversos
Actividad 5. Teorema fundamental del cálculo
En el siguiente apartado definiremos la integral indefinida como el proceso contrario a la
derivación. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del
Actividad 6. Integral indefinida
Actividad 8. Resolución de problemas de integrales definidas
Evidencia de aprendizaje. Desarrollo de integración
2.1.1. Área entre curvas mediante aproximación
2.1.2. Área entre curvas mediante integración
Actividad 1. Área
2.2.1. Volumen de un sólido
2.2.2. Volúmenes de sólidos de revolución
Actividad 2. Sólidos de revolución
Volúmenes de cascarones cilíndricos
Actividad 4. Volúmenes de cascarones cilíndricos
Actividad 5. Valor medio de una función
Actividad 2. Ejercicios de integración por partes
Sustitución para racionalizar
3.2.1. Integrales
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos
Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas
Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido
Estrategias de la integración por medio de tablas integrales
Tablas de fórmulas integrales
Actividad 6. Formulas de integración
Estrategias para integrar
Actividad 7. Resolución de integrales
3.5.2. Tipo
2. Integrandos discontinuos
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología
El cálculo integral, junto con el cálculo diferencial, proporciona las herramientas matemáticas necesarias para resolver diversos problemas en diferentes áreas del conocimiento. El cálculo integral es una rama de las matemáticas que sirve para la integración o antiderivación a partir de la aplicación de conceptos obtenidos en Cálculo diferencial, y es la base de la resolución de problemas en el cálculo de longitudes de curvas, áreas de curvas y volúmenes, así como predicciones sobre problemas específicos en diferentes ámbitos.
En la asignatura se expone la integral como la suma infinitesimal y la importancia del teorema fundamental del cálculo, que es el eslabón o conexión entre el cálculo diferencial e integral, finalmente se abordan diversas técnicas de integración que son esenciales para enfrentar los problemas de una manera más sistemática.
En la imagen ejemplo (lado izquierdo), la brocha es ancha cuando los valores del integrando son grandes y es angosta cuando los valores del integrando son pequeños. Esta es una analogía del Primer Teorema Fundamental de Cálculo que verás con el estudio de esta unidad.
A continuación se describe los tópicos que se abordarán en cada una de las unidades temáticas:
Unidad 1. En el desarrollo de esta unidad se exponen los conceptos fundamentales que proporcionan sustento al cálculo.
En el tema de integral definida se revisa la manera de calcular el área de una región y cómo calcular el área bajo una curva mediante la suma de rectángulos infinitesimales. El análisis de estos cálculos conduce al concepto de sumas de Riemann, herramienta necesaria para evaluar una integral.
Posteriormente, se evalúan algunas integrales y la regla del punto medio, así como algunas propiedades de
la integral definida. También se revisa el teorema fundamental del cálculo que describe la derivación e
integración como procesos inversos; se presenta una tabla de integrales indefinidas y se revisa una regla para hacer sustituciones que sirven para evaluar integrales. Al final de esta unidad se revisan las propiedades de simetría que poseen algunas integrales.
Unidad 2. En esta unidad se presenta la integración con diversas aplicaciones para calcular áreas entre curvas mediante aproximación e integración, así como algunos métodos de aplicación para calcular volúmenes de ciertos sólidos, entre los que destacan sólidos de revolución o cascarones cilíndricos. Finalmente, se utiliza la integración para hallar el valor medio de ciertas funciones.
Unidad 3. En esta unidad se centra el estudio en diferentes técnicas de integración como el método de la integración por partes y sustitución para racionalizar. Dentro de los métodos de integración trigonométrica se presentan las técnicas de integración para resolver integrales trigonométricas que contienen senos, cosenos, tangentes y secantes. Finalmente se abordan los métodos para realizar algunas sustituciones trigonométricas en el cálculo de integrales y los diferentes casos del método para integrar funciones racionales mediante fracciones parciales.
Finalmente, la asignatura brinda las habilidades necesarias para aplicar las herramientas matemáticas en cursos posteriores, principalmente en la resolución de problemas de cálculo para satisfacer las necesidades de áreas afines como pueden ser las siguientes carreras: Telemática, Desarrollo de Software, Logística y Transporte, Biotecnología, Tecnología ambiental y Energías renovables.
El material dispuesto en esta asignatura se imparte en el tercer cuatrimestre de la licenciatura de Matemáticas y sienta las base para el estudio de materias como: Cálculo de varias variables, Ecuaciones diferenciales I y II, Variable compleja I y II, Probabilidad I y II, Ecuaciones diferenciales parciales, Transformaciones y series, Estadística, Análisis matemáticos I y II, Sistemas lineales y no lineales, Optimizaciones y Topología.
El propósito de la asignatura te permitirá:
 Identificar las bases del cálculo integral, desarrollado a partir de las sumas de Riemann, teorema fundamental del cálculo y algunas propiedades básicas de las integrales, así como los conceptos de integral definida, teorema del valor medio, integrales indefinidas e impropias.
 Resolver integrales usando tablas de integración y las propiedades de integrales.
 Calcular integrales aplicando métodos de integración, como integración por partes, sustitución, usando integrales trigonométricas (en sus diferentes casos) y mediante fracciones parciales (también en sus diferentes casos).
 Aplicar la integración para calcular áreas y volúmenes.
d. Fundamentación de la asignatura
En esta asignatura trataremos el cálculo integral desde el punto de vista práctico, sin tantas demostraciones, seremos concisos y nos enfocaremos en la ejercitación de los temas mediante la resolución de problemas.
La metodología para que logres las competencias estará basada en foros, wikis y tareas, consistente que te permitirán lograrlas competencias específicas de cada unidad.
e. Competencia(s) a desarrollar
Utilizar herramientas matemáticas del cálculo integral para resolver problemas mediante el uso de las sumas infinitesimales, integración y teorema fundamental del cálculo con base en métodos y tablas de integración.
 Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de una función a través del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del cálculo con base en definiciones, modelos y reglas.
 Analizar problemas modelo para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de una función mediante el uso de aproximaciones, con base en definiciones, métodos y teoremas.
 Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas, identidades, sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y tablas, con base en ejercicios de práctica.
1.1.1. Área de una región
1.1.4. Sumas de Riemann
1.2. Teorema fundamental del cálculo
1.2.1. Teorema fundamental del cálculo
1.2.2. Derivación e integración como procesos inversos
1.4. Regla de sustitución
1.4.1. Regla de sustitución
1.4.3. Simetría
2. Aplicaciones de la integración
2.1. Área entre curvas
2.2. Volúmenes
2.2.3. Volúmenes de cascarones cilíndricos
2.3. Valor promedio de una función
3.1. Integración por partes
3.1.2. Sustitución para racionalizar
3.2. Integrales trigonométricas
3.2.1. Integrales trigonométricas
3.2.4. Sustitución trigonométrica
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales
3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales
3.4.1. Tablas de fórmulas integrales
g. Metodología de trabajo
En esta asignatura es fundamental la dedicación en la resolución de ejercicios y perseverancia, ya que es posible que a la primera no te salgan los resultados; sin embargo no desesperes, es parte de la formación. Es indispensable que tengas una filosofía emprendedora proactiva al aprendizaje.
Es indispensable que en el desarrollo de tus actividades verifiques tu procedimiento, signos y operaciones. Es recomendable contar con una calculadora que te permita optimizar los tiempos en la resolución de las operaciones; sin embargo, esta herramienta no debe reemplazar tu proceso de aprendizaje en el desarrollo, análisis, ordenamiento, lógica e interpretación de resultados.
Dado que la asignatura es de carácter práctico, es aconsejable que trabajes de manera colaborativa con otros de tus compañeros a través de foros, wikis y/o redes sociales incluyendo blog personal. También puedes hacer uso de páginas de internet para ampliar los temas vistos o incluso verlos desde otras perspectivas.
La metodología empleada en el curso es la de aprendizaje basado en problemas (ABP), por lo cual es recomendable realizar muchos ejercicios empleando los diferentes métodos de integración. La mayoría de las tareas consiste en realizar ejercicios de acuerdo a los temas vistos.
El papel del Facilitador(a) estará enfocado en guiarte en cada uno de los temas que conforman la asignatura. Te evaluará y te retroalimentará en cada una de tus tareas. La retroalimentación es con la finalidad de que vayas perfeccionando tu escritura, método, simbología, orden y procedimiento, así como coherencia.
Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Cálculo integral, se espera la participación responsable y activa del estudiante, así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Por lo tanto, es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.
En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como la participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las unidades, dentro del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la
escala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de
Actividades formativas (envíos a taller y tareas)
Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro y base de datos)
E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje y autorreflexión
Cabe señalar que, para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.
Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill.
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté.
II. DESARROLLO DE CONTENIDOS POR UNIDAD
En esta unidad desarrollarás tu habilidad para calcular integrales mediante sumas de Riemann y el teorema fundamental del cálculo, además de calcular volúmenes y promedios. También, estudiaremos la integral definida y la indefinida.
Describir el proceso de integración para calcular áreas entre curvas, volúmenes, así como el valor promedio de una función a través del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del cálculo con base en definiciones, modelos y reglas.
En esta unidad empezaremos a desarrollar los fundamentos matemáticos para construir el cálculo integral. Verás que para calcular el área de una función, partiremos del hecho de sumar las áreas de rectángulos bajo una gráfica y el eje x, situación que nos conducirá al concepto de sumas de Riemann y al concepto de
Abordaremos algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirán desarrollar tus habilidades a la hora de evaluar una integral. En esta unidad te darás cuenta de que el cálculo integral y diferencial están ligados por un eslabón muy importante: el teorema fundamental del cálculo. Es una herramienta muy poderosa para evaluar integrales de manera muy práctica.
Al igual que existen integrales definidas, también existen integrales indefinidas, mostraremos cuál es esa pequeña diferencia. Empezarás a calcular integrales no tan complicadas mediante el uso de tabla de integrales y mediante sustitución. Por último, revisaremos algunas reglas de simetría que algunas integrales poseen, ya que te permitirán ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones.
En algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situación de tener que calcular el área de alguna región de forma irregular, como ejemplo, calcular el área de un terreno de forma irregular para saber el valor monetario en función del precio por metro cuadrado.
En esta sección veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida. Veremos también algunas propiedades, también empezarás a evaluar algunas integrales sencillas mediante las sumas de Riemann.
Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es área. Sabemos que es fácil calcular las áreas de ciertas figuras simplemente con saber la forma y su fórmula. Nos viene a la mente que el área limitada por
un cuadrado es la multiplicación de su lado por lado
triángulo es la multiplicación de su base por su altura
figuras con sus respectivas fórmulas para calcular sus áreas.
 l  l
; de un rectángulo es lado por su altura; de un
. Así sucesivamente podemos citar muchas
 b  h
El área, entonces, es la región limitada por ciertas fronteras, como puede ser líneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por líneas curvas, como el caso del círculo.
Ahora nos enfrentamos a calcular el área de una figura que tiene forma irregular. Pensemos en un terreno. Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, veamos el siguiente ejemplo:
Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: ¿cuál es el área?
La solución es sencilla: únicamente hay que dividirlo en triángulos, calcular el área de cada triángulo y sumar las áreas de todos los triángulos para encontrar el área total del terreno.
Así que el área total de este terreno es
Veamos ahora una figura un poco más compleja ¿cómo se hallaría el área para la siguiente figura?
La respuesta es, inscribir repetidamente el área de una figura geométrica cuya área es conocida, y para ello escogemos el cuadrado. El área de cada cuadrado representa una unidad de área. La figura quedaría así.
El área aproximada de la figura es de 33 unidades de área. Podríamos ser más precisos, y para ello tendremos que hacer más pequeños nuestros cuadrados.
Nota: Hace aproximadamente 2500 años, los griegos sabían cómo hallar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos. También hallaron la forma de encontrar el área de una figura curva; lo que hicieron fue inscribir polígonos en la figura y hacer que el número de lados del polígono aumentara. Usaban el método conocido como de agotamiento o exhaución.
1. Presentación de cada uno de los integrantes.
2. ¿Qué esperas de la asignatura de Cálculo integral?
3. Discutan el significado de área.
4. ¿Qué es más fácil, obtener el área de una figura geométrica o de una irregular? ¿Por qué?
5. Explica con tus propias palabras qué entiendes por área.
En este subtema obtendremos el área bajo una curva por aproximación de rectángulos, como se muestra en el objeto de arriba. Posteriormente se tomará el límite de estos rectángulos. El procedimiento es el siguiente:
Consideremos el siguiente desarrollo. Sea la función comprendida entre 0 y 1 del eje x.
2 . Hallaremos el área bajo la curva en la región
Podemos hallar el área aproximada, inscribiendo rectángulos debajo de la curva descrita por
región comprendida entre 0 y 1. El área de la región está dada por la suma de todos los rectángulos
inscritos en la región S.
Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada rectángulo es igual a
1/10. La altura para cada rectángulo es tomada del lado derecho de cada rectángulo, es decir, las alturas
los rectángulos son los valores de la función
2 en los puntos extremos de la derecha.
Considerando de la imagen que, para cada número x de las abscisas, existe un valor para y, se cumple la
La altura para el primer rectángulo es
   2
De manera análoga se calcula las demás alturas para cada uno de los rectángulos. Así que podemos escribir las alturas de los rectángulos de la siguiente manera:
La suma de las áreas de todos los rectángulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida entre 0 y 1:
 0.385
Esta es el área aproximada de la región S; sin embargo, nuestros rectángulos sobresalen por encima de la
gráfica, lo cual quiere decir que el área que hemos calculado es mayor que el área A de la región S.
Para tener una mejor estimación del área A bajo la curva, lo que tendremos que hacer es considerar un incremento de rectángulos, y así las bases de los rectángulos serán cada vez más pequeñas. Al calcular la suma total de rectángulos infinitesimales, obtendremos mejores estimaciones para el área de la región S.
Si incrementamos infinitamente el número de rectángulos n, de tal forma que el ancho de cada uno de ellos
se hiciera muy pequeño, veremos que la suma de todos los rectángulos superiores se aproxima al área A bajo la curva.
De manera similar al desarrollo anterior,
n es la suma de n rectángulos de la figura de arriba, aquí el ancho
de cada rectángulo vale
y las alturas las obtenemos al evaluar los puntos
, entonces, las alturas son:
 , , ,
El área total está dada por la suma de las áreas de todos los rectángulos.
 n 1 2
La suma de cuadrados tiene una expresión general dada por:
Sustituimos la expresión en nuestro desarrollo anterior.
 6 1 n 2 n  n
Ahora le aplicamos el límite cuando el número de rectángulos tiende a ser infinito n  debajo de la curva.
Reacomodamos algunos términos:
 n  1
   2 n 
1 n      2 
. Evaluamos los límites,
Por lo tanto, el área de la región S es:
Con la misma metodología se puede calcular el área de la región S, usando rectángulos inscritos cuyas
alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaríamos al
mismo resultado cuando aplicamos el límite de infinitos rectángulos debajo de la función.
Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectángulos; ya sea que pongamos rectángulos superiores o rectángulos inferiores, siempre vamos a llegar al mismo resultado, los límites son iguales.
Ahora estamos preparados para analizar una región más general. Hallemos el área de la curva siguiente. Tomemos la región mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el intervalo [a, b] en n rectángulos
de anchos iguales.
El ancho del intervalo [a, b] es b-a; por lo tanto, el ancho para cada rectángulo es:
Para un i-ésimo rectángulo que tiene un ancho
extremos de la derecha, tiene un área igual a
y una altura f (x i ), que es el valor de f en los puntos
. Observa detenidamente la figura de abajo.
f ( x ) x
Cuando decimos “i-ésimo” hacemos referencia a un elemento que se encuentra en la posición “i”, así que, si estamos hablando de rectángulos nos referimos a la posición i que tiene un rectángulo sobre el eje x.
Entonces, el área bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la suma de las áreas
de todos los rectángulos.
Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el número de rectángulos que divide el intervalo [a,b].
Te aseguramos que esta aproximación va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de
rectángulos bajo la curva, es decir, cuando
Una vez analizado el caso general para un área aproximada, podemos definir el área A de la región S.
Definición. El área A de una región S que se encuentra debajo de una función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
 f x x f x
f x x 
Ojo, para que el límite exista se está suponiendo una función f continua.
Frecuentemente se usa la notación sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen
muchos términos. Por ejemplo,
En la notación sigma
i  m
f ( x ) x
i=m, indica que debemos comenzar con i=m,
n indica terminar con el elemento n,
 indica sumar.
Por lo tanto, la definición anterior la podemos escribir de la siguiente manera:
Se tiene el mismo valor de área cuando se escogen los puntos extremos a la izquierda.
Si en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se toma la altura del i-ésimo rectángulo
como el valor de f en cualquier número x i * en el i-ésimo subintervalo [x i-1 ,x i ]. Los números x 1 * ,x 2 * ,…x n * reciben
el nombre de puntos muestra.
La figura de abajo muestra los rectángulos de aproximación cuando se eligen puntos muestra diferentes a los puntos de los extremos.
La expresión más general para el área bajo la gráfica de la función f es:
Anteriormente habíamos obtenido un límite de la forma
cuando se calcula un área bajo
una curva. Hablando más general, este tipo de límite se presenta en varias situaciones, incluso cuando la función f no es positiva, por tal motivo, a este tipo de límite se le da un nombre y una notación especial.
Definición de integral definida. Si f es una función continua definida para axb,
dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho x  (b  a ) n .
Denotamos con x 0 (=a), x 1 ,x 2 ,…x n (=b) los puntos extremos de estos subintervalos y
elegimos los puntos muestra x 1 * ,x 2 * ,…x n en estos subintervalos de modo que x i * se
encuentre en el i-ésimo subintervalos [x i-1 , x i ]. Entonces la integral definida de f,
desde a hasta b es:
En una integral se identifican las partes:
una integral es un límite de sumas.
 se llama signo de integral y corresponde a una S alargada, debido a que
Las letras a y b son los límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior de la integral.
A f(x) se le llama integrando.
dx no tiene significado, sin embargo denota con respecto a qué variable se está integrando, y de cálculo diferencial lo identificamos como un diferencial.
Al procedimiento para calcular una integral se le llama integración.
cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral.
es un número, no depende de x. Se puede tomar
f ( y ) dy f () d
f ( r ) dr f ( s ) ds
1. Construye el concepto de integral con base en los temas vistos.
2. Da ejemplos.
A la suma que está mostrada en la parte derecha de la definición de integral definida:
f ( x )  x
Esta sumatoria representa la suma de áreas de los rectángulos de aproximación.
La gráfica muestra la representación geométrica de la suma de Riemann de la función
f ( x ) x A
)  0
es positiva, la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los
rectángulos de aproximación cuyas áreas son positivas. Por otra parte, los términos con signo negativo son inversos aditivos de áreas y surgen de las particiones o rectángulos que quedan debajo del eje x, ya que en
ese tramo
)  0
De la relación de la definición de integral definida y sumas de Riemann tenemos que:
( x )  0
, la integral definida
es el área bajo la curva
y  f ( x )
, desde a hasta b.
 f (x)
adquiere tanto valores positivos como negativos la integral definida
f ( x ) dx A
representa el área de la región por arriba del eje x y debajo de la gráfica
representa la región debajo del eje x y arriba de la gráfica
Podemos ver un video de la suma de Riemann (viene en dos partes) muestra un ejemplo de como hallar el área bajo una curva aplicando el concepto de sumas de Riemann, aplicando el concepto de integral definida.
http://www.youtube.com/watch?v=WAMDWommjOY
http://www.youtube.com/watch?v=gRSUM98AHL0&feature=related
como una integral en el intervalo [0,π].
De acuerdo con la definición de integral definida, el límite siempre existe y da el mismo valor. No importa
cómo se elijan los puntos muestra
, podemos remplazar
tomando como puntos muestra los
puntos extremos derechos, por lo tanto, el límite lo podemos escribir como:
Comparando el límite de la función dada nuestra función, identificamos que:
lim f ( x ) x f ( x ) dx
en la definición de integral definida
f ( x )  f ( x )
con la integral de
En consideración de lo anterior, podemos escribir la solución de la siguiente manera.
 n 
x x sen x x
Antes de continuar con el procedimiento para calcular integrales definidas a través de sumas, es necesario que conozcas las siguientes identidades y reglas sencillas para trabajar con sumatorias.
 n n 
a) Evaluar la suma de Riemann para
a) x
estaba dado por:
 x 
Para la i-ésima partición o rectángulo,
   3  i
La suma de Riemann está dada por:
c  nc
f ( x )  x  2
, en el intervalo [3,5].
recuerde que la función
f (x)  x  2
, así que sustituimos x i y
   3
2 n i   2
2 i  2
i  
4 i 
Sacamos de las sumas los términos que no dependan de i y sustituimos el valor de la sumatoria correspondiente, según las fórmulas que dimos al principio de la sección.
1)   2 2   n n  1 
 2  2  1
 2  2 
Finalmente tenemos el n-ésimo término de la suma de Riemann.
b) Aplicando el concepto de integral definida se tiene el área bajo la curva entre los límites 3 y 5 del eje x.
1 n    2(2
Realizar lo que se pide en cada punto.
 cos
 
 n x
4. Evaluar las siguientes sumas de Riemann:
 n    i 8
( x )  5 x  6
5 x 6 dx
, en el intervalo [2,5]. b) Evalúa
x  x 
, en el intervalo [3,4]. b) Evalúa 
f ( x )  2 x  3 x  x
2 x 3 x xdx
, en el intervalo [-2,1]. b) Evalúa
mediante sumas de Riemann.
Anteriormente el punto medio de un rectángulo más pequeño es
, cuyo valor era arbitrario, podía estar
x i . Sin embargo, como cualquier suma de Riemann es una aproximación a una integral, es
conveniente usar puntos medios denotados por
x i . Tenemos la regla que dice.
dx 
f x x  x f x 
 f x
Calcular por aproximación la integral
Si se tiene un intervalo [1, 2] y se toma n=5, se tienen 5 subintervalos que son: 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0.
Los puntos medios son
, así sucesivamente para los demás: 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9.
(1.9)
5  
dx  0.692
1.9 
En esta sección encontrarás las propiedades de la integral, las cuales son de gran utilidad para evaluar integrales. Considere que las funciones f y g son continuas.
Si a  b se cumple

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 Resolución 
 Resolución 
 Resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
 resolución 
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