Source: https://www.arxiv-vanity.com/papers/0908.1084/
Timestamp: 2020-08-12 19:04:59+00:00

Document:
Critères d'irréductibilité pour les représentations des courbes elliptiques – arXiv Vanity
Critères d’irréductibilité pour les représentations
Let E be an elliptic curve defined over a number field K. We say that a prime number p is exceptional for (E,K) if E admits a p-isogeny defined over K. The so-called exceptional set of all such prime numbers is finite if and only if E does not have complex multiplication over K. In this paper, we prove that the exceptional set is included in the set of prime divisors of an explicit list of integers (depending on E and K), whose infinitely many of them are non-zero. It provides an efficient algorithm for computing it in the finite case. Other less general but rather useful criteria are given, as well as several numerical examples.
Soient ¯¯¯¯¯Q la clôture algébrique de Q dans C et K un corps de nombres contenu dans ¯¯¯¯¯Q. Étant donnés une courbe elliptique E définie sur K et un nombre premier p, on note E[p] le groupe des points de p-torsion de la courbe E. C’est un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps Fp=Z/pZ muni d’une action du groupe de Galois GK=Gal(¯¯¯¯¯Q/K). Cela fournit un homomorphisme
ρp:GK⟶Aut(E[p])≃GL2(Fp).
Serre a démontré ( [Ser72] ) que si E est sans multiplication complexe sur ¯¯¯¯¯Q, il existe une constante c(E,K) telle que pour tout nombre premier p>c(E,K), la représentation ρp est surjective. Il a également posé la question (toujours ouverte, y compris pour K=Q) de savoir si c(E,K) peut être choisie indépendamment de E ( [Ser79] ).
Dans ce travail, on s’int resse l’ensemble, not Exc(E/K), des nombres premiers p pour lesquels la repr sentation ρp ci-dessus est r ductible. On dit alors que p est exceptionnel pour le couple (E,K). L’ensemble Exc(E/K) est g n ralement fini. Plus pr cis ment, Exc(E/K) est fini si et seulement E n’a pas de multiplication complexe sur K, i.e. EndK(E)=Z (prop. 2.2). On s’int resse ici la question suivante.
Question 1. Le corps K et la courbe E étant donnés, comment d terminer explicitement l’ensemble Exc(E/K) lorsqu’il est fini?
Lorsque E est sans multiplication complexe, Pellarin ( [Pel01] ), à la suite de Masser et Wüstholz, a obtenu, comme corollaire de ses travaux, une majoration explicite des nombres premiers exceptionnels. Cependant, en raison des constantes qui y apparaîssent, ce résultat ne se pr te malheureusement pas une d termination explicite de l’ensemble des nombres premiers exceptionnels. En utilisant des arguments de th orie du corps de classes, on obtient un crit re (théorème 2) portant sur la r duction de E en chaque place finie de K offrant une réponse satisfaisante à la question 1. De plus, dans le cas où K est de degré impair sur Q, on dispose d’un autre résultat (théorème 1) particulièrement simple à mettre en application.
Ces théorèmes sont illustr s num riquement dans le §5 o l’on d termine explicitement l’ensemble des nombres premiers exceptionnels de plusieurs courbes elliptiques.
On s’int resse galement dans ce travail la question suivante.
Question 2. Soient K un corps de nombres et E un ensemble infini de courbes elliptiques définies sur K tels que pour toute courbe E de l’ensemble E, Exc(E/K) soit fini. Peut-on trouver une constante uniforme α(E,K) telle que pour toute courbe elliptique E appartenant à E, la représentation ρp soit irréductible dès que p>α(E,K)?
Dans le cas où E est l’ensemble de toutes les courbes elliptiques sans multiplication complexe définies sur K, cette question est une étape (importante) vers la résolution de la question uniforme de Serre (voir [BP08] pour plus de détails et de nouvelles avancées). Lorsque K=Q et E est l’ensemble de toutes les courbes elliptiques définies sur Q, Mazur a montré ( [Maz78] ) que tel est le cas avec α(E,Q)=163. Dans le cas où E est l’ensemble des courbes semi-stables, Kraus a obtenu des résultats uniformes et effectifs pour différentes familles corps de nombres, notamment les corps quadratiques et cubiques ( [Kra96, Kra07] ). Dans ce travail, on généralise aux corps de nombres plusieurs r sultats connus sur Q (prop. 1.1 et 1.2). On obtient ainsi quelques réponses dans la direction de la question 2 pour des ensembles E de courbes elliptiques ayant mauvaise r duction additive en une place finie de K et un « d faut de semi-stabilit » particulier. Ces r sultats sont particuli rement utiles d’un point de vue num rique et sont illustr s au §5.
1 Énoncés des résultats
1.1 Une loi utile
On note MZ le sous-ensemble de Z[X] constitu des polyn mes unitaires ne s’annulant pas en 0. L’application
MZ×MZ⟶Z[X](P,Q)⟼(P∗Q)(X)=ResZ(P(Z),Q(X/Z)ZdegQ)
o ResZ d signe le r sultant par rapport la variable Z, d finit une loi de mono de commutatif sur MZ d’ l ment neutre X−1 (lemme 3.1). De plus, les racines complexes de P∗Q sont exactement les produits d’une racine de P par une racine de Q, compt es avec multiplicit s (loc. cit.). Concr tement, si
P(X)=∏i(X−αi)etQ(X)=∏j(X−βj),
alors, on a (P∗Q)(X)=∏i,j(X−αiβj).
Étant donnés P∈MZ et k≥1, on convient de noter
P∗k=P∗⋯∗Pk foisetP∗0(X)=X−1.
Par ailleurs, soient P∈MZ et r≥1. Il existe alors un unique polyn me P(r)∈MZ tel que
P(r)(Xr)=(P∗Ψr)(X)
o Ψr(X)=Xr−1 (lemme 3.2). Les racines complexes de P(r) sont exactement les puissances r-i mes des racines complexes de P compt es avec multiplicit s. Autrement dit, si
P(X)=∏i(X−αi),alorsP(r)(X)=∏i(X−αri).
Enfin, l’application P↦P(r) est un morphisme de mono des pour la loi ∗.
1.2 R sultats
On énonce deux résultats dans la direction de la question 1 et deux dans la direction de la question 2 que l’on illustre dans le §5 sur des exemples concrets.
On fixe un corps de nombres K contenu dans ¯¯¯¯¯Q et une courbe elliptique E définie sur K. On note d le degr de K sur Q, DK son discriminant, OK son anneau d’entiers, h son nombre de classes et NK/Q la norme de l’extension K/Q.
Soit q un idéal premier de OK en lequel E a bonne réduction. On pose
Pq(X)=X2−tqX+N(q)∈Z[X]
où N(q) est le cardinal du corps résiduel OK/q et
tq=N(q)+1−Aq,
avec Aq le nombre de points sur le corps OK/q de la réduction de E en q.
Soit ℓ un nombre premier et
ℓOK=∏q∣ℓqvq(ℓ)
la d composition de ℓOK en produit d’id aux premiers de OK. On suppose que E a bonne r duction en chaque id al premier au-dessus de ℓ. Par abus de langage, on dit alors que E a bonne réduction en ℓ. Dans ce cas, on associe ℓ (on rappelle que E et K sont fix s) un polyn me P∗ℓ coefficients entiers dont certaines valeurs sp ciales vont permettre de d terminer essentiellement l’ensemble Exc(E/K). Pr cis ment, on pose :
o , d’une part le produit ∗, pris au sens de la d finition du §1.1, porte sur tous les id aux premiers de OK divisant ℓ et, d’autre part les exposants (12vq(ℓ)) renvoient la notation adopt e galement au § pr c dent. Ce polyn me ne d pend que de la famille de triplets d’entiers {(tq,vq(ℓ),fq)}q∣ℓ o N(q)=ℓfq. Ses racines complexes sont de module ℓ6d (lemme 3.4). On consid re alors l’entier (essentiel dans la suite) :
Bℓ=[d2]∏k=0P∗ℓ(ℓ12k)
o [d/2] d signe la partie enti re de d/2.
Dans la direction de la question 1 de l’Introduction, on montre le crit re suivant.
Th or me 1
Soit p un nombre premier exceptionnel pour (E,K). Alors, on est dans l’une des situations suivantes :
p divise 6DK;
il existe un id al premier p de OK divisant p en lequel E a mauvaise r duction additive avec potentiellement bonne r duction supersinguli re.
pour tout nombre premier ℓ de bonne r duction, le nombre premier p divise l’entier Bℓ (si d=1, on suppose ℓ≠p).
Supposons que E soit donn e par une quation de Weierstrass coefficients dans l’anneau OK de discriminant ΔE. On d duit du th or me 1 le corollaire suivant.
p divise 6DKNK/Q(ΔE);
Les racines complexes de P∗ℓ tant de module ℓ6d (lemme 3.4), on a en particulier :
d impair ⟹Bℓ≠0.
On d duit alors du th or me 1 le corollaire suivant.
Corollaire 1.2 (cas du degr impair)
On suppose que l’extension K/Q est de degr d impair. Alors, l’ensemble des nombres premiers exceptionnels pour E est fini. De plus, si p un nombre premier exceptionnel pour (E,K), alors, pour tout nombre premier ℓ de bonne r duction, le nombre premier p divise l’entier non nul
6DKNK/Q(ΔE)Bℓ.
Remarque. Plus g n ralement, on d montre partir de la proposition 2.2 et de r sultats classiques de la th orie de la multiplication complexe que les propri t s suivantes sont quivalentes :
le corps K ne contient pas le corps de classes de Hilbert d’un corps quadratique imaginaire;
pour toute courbe elliptique E d finie sur K, l’ensemble Exc(E/K) est fini.
La situation est plus compliqu e dans le cas des extensions de degr pair. Bien que le critère du théorème 1 ci-dessus s’applique toujours (cf. §5.3), on n’a plus la garantie, pour une courbe ayant un ensemble exceptionnel fini, qu’il existe un nombre premier ℓ de bonne réduction pour lequel l’entier Bℓ soit non nul (comme le montre l’exemple 5.8). L’énoncé plus général ci-dessous permet de contourner cette difficulté et constitue notre résultat principal en direction de la question 1.
Th or me 2
pour tout idéal premier q de bonne r duction, le nombre premier p divise l’entier
Rq=[d2]∏k=0Res(P(12h)q,(m(12)γq)∗k),
où qh=γqOK et mγq est le polynôme minimal de γq sur Q (si d=1, on suppose que q ne divise pas p).
De plus, si E est sans multiplication complexe sur ¯¯¯¯¯Q, alors Rq≠0 pour une infinité d’idéaux premiers q.
Dans la direction de la question 2 de l’Introduction, on g n ralise aux corps de nombres plusieurs r sultats connus sur Q. Soit q un id al premier de OK de caract ristique r siduelle ℓ. On a
N(q)=|OK/q|=ℓfq,
o fq est le degr r siduel de q. On suppose que E a mauvaise r duction additive en q avec potentiellement bonne r duction. Alors, pour tout nombre premier p≥3 tel que p≠ℓ, l’action de Iq, sous-groupe d’inertie en q, sur E[p] se fait par l’interm diaire d’un certain quotient fini Φq de Iq ( [ST68] ) :
Iq⟶Φq↪Aut(E[p]).
On a alors les deux résultats suivants. Ceux-ci sont connus pour K=Q et ont été utilisés par Serre dans [Ser72, §5] pour traiter des exemples numériques.
On suppose que le groupe Φq n’est pas cyclique. Alors, la représentation ρp est irréductible pour tout nombre premier p≥5.
On suppose que pour tout entier n≥0, l’ordre du groupe Φq ne divise pas N(q)n(N(q)−1). Alors, la représentation ρp est irréductible pour tout nombre premier p≥3 tel que p≠ℓ.
Remarque. Si ℓ≥5, on peut remplacer l’hypoth se par : l’ordre du groupe Φq ne divise pas N(q)−1.
Comme corollaires des propositions ci-dessus, on obtient les résultats suivants dans le cas où q divise 2 ou 3.
Corollaire 1.3
On suppose que q divise 2 et que l’une des conditions suivantes est satisfaite :
le groupe Φq est d’ordre 8 ou 24;
le groupe Φq est d’ordre 3 ou 6 et le degré résiduel fq est impair.
Alors, la représentation ρp est irréductible pour tout nombre premier p≥5.
Lorsque q divise 2, l’ tude faite dans [Bil09] permet parfois de calculer l’ordre du groupe Φq directement partir de la valuation de l’invariant modulaire de E ( [Bil09, th. 1] ). Si K est une extension quadratique de Q (ou plus g n ralement si le degr sur Q2 du compl t de K en q est ≤2), le th or me [Bil09, th. 2] et [Cal04] fournissent en toute g n ralit l’ordre du groupe Φq en fonction des coefficients d’une quation de Weierstrass de E.
Remarque. La condition de parit dans le corollaire pr c dent est n cessaire. En effet, soient K l’extension de Q engendr e par une racine du polyn me
(X2+5X+1)3(X2+13X+49)−24⋅13332X
et E la courbe elliptique d finie sur K par l’ quation
y2=x3−x2−4x−4.
Alors, le degr r siduel de K en l’unique id al p2 de OK divisant 2, est fp2=2 et la courbe E a un d faut de semi-stabilit d’ordre 6 en p2. Pour autant la repr sentation ρ7:GK⟶GL2(F7) est réductible car K correspond au sous-corps de ¯¯¯¯¯Q laiss fixe par le stablilisateur dans Gal(¯¯¯¯¯Q/Q) d’un sous-groupe d’ordre 7 de E(¯¯¯¯¯Q) ( [KO92, p. 273] ).
Lorsque q divise 3, on a le corollaire suivant.
Corollaire 1.4
On suppose que q divise 3 et que l’une des conditions suivantes est satisfaite :
le groupe Φq est d’ordre 12;
le groupe Φq est d’ordre 4 et le degré résiduel fq est impair.
Dans toute cette section, on fixe un corps de nombres K contenu dans ¯¯¯¯¯Q et une courbe elliptique E définie sur K. Soit p un nombre premier exceptionnel. Le groupe E[p] poss de alors une droite D stable par GK. Notons λ le caract re donnant l’action de GK sur D. On l’appelle caract re d’isog nie associ D. Dans une base convenable de E[p] sur Fp, la repr sentation ρp est repr sentable matriciellement par
(λ∗0λ′),
o λ et λ′ s’interpr tent comme des caract res de GK valeurs dans F∗p. On a
detρp=λ⋅λ′=χp, (2)
o χp est le caract re donnant l’action de GK sur les racines p-i mes de l’unit (caract re cyclotomique).
La représentation ρp se factorise à travers le groupe de Galois de l’extension K(E[p])/K, où K(E[p]) est le corps engendré sur K par les coordonnées des points de p-torsion de E. On note encore ρp, λ, λ′ et χp les morphismes passés au quotient.
Soit q est un idéal premier de OK. On note Iq un sous-groupe d’inertie en q de Gal(K(E[p])/K). Si E a bonne réduction en q et q ne divise pas p, l’extension K(E[p])/K est non ramifiée en q par le critère de Néron-Ogg-Shafarevich. On note σq une subsitution de Frobenius en q de Gal(K(E[p])/K) (bien définie à conjugaison près).
Le résultat suivant est bien connu (c.f. [Sil92, Th.2.4] ) et intervient de façon cruciale dans la démonstration des théorèmes 1 et 2.
Proposition 2.1 (Hasse – Weil)
Soit q est un idéal premier de OK en lequel E a bonne réduction. Les racines complexes de Pq sont de module N(q)1/2. En particulier, on a
|tq|≤2N(q)1/2.
Si de plus q ne divise pas p, le polynôme caractéristique de ρp(σq) est ¯¯¯¯¯¯Pq=Pq(modp)∈Fp[X]. En particulier, on a
¯¯¯¯¯¯Pq(λ(σq))=0.
2.1 L’ensemble Exc(E/K)
L’objectif de ce § est de d montrer le r sultat suivant.
Les conditions suivantes sont quivalentes :
la courbe E n’a pas de multiplication complexe sur K (i.e. EndK(E)=Z);
l’ensemble Exc(E/K) est fini.
Démonstration. L’implication ???)⇒???) r sulte du th or me de Šafarevič sur la finitude des classes de K-isomorphisme de courbes elliptiques K-isog nes une courbe donn e ( [Sil92, IX §6] ). Elle est due Serre et d montr e dans [Ser68, IV-9] .
R ciproquement, si E a des multiplications complexes sur K (i.e. EndK(E) est de rang 2 comme Z-module), alors
EndK(E)⊗Q=End¯¯¯¯Q(E)⊗Q
et K contient le corps quadratique imaginaire L=EndK(E)⊗Q. Soit p un nombre premier d compos dans L. On a
pOL=π⋅¯¯¯π,
o OL est l’anneau des entiers de L. Alors, l’ensemble E[π] des points de E annul s par les l ments de π est d fini sur K et d’ordre p ( [Lan87, ch.9 §4] ). On en d duit que l’ensemble Exc(E/K) est infini.
2.2 Ramification et caractère d’isogénie
On suppose que p est un nombre premier exceptionnel pour E. Le résultat suivant se déduit de l’étude de la restriction de ρp aux sous-groupes d’inertie de Gal(K(E[p])/K) telle qu’elle est faite, par exemple, dans [Ser68, IV] , [Ser72, §§1.11-1.12] et [Kra97] (voir également [Dav08, §1] pour une discussion similaire).
Supposons p≥5 non ramifi dans K.
Le caract re λ12 est non ramifi en dehors des id aux premiers de OK divisant p.
Soit p un id al de OK divisant p. On suppose que E n’a pas mauvaise r duction additive en p avec potentiellement bonne r duction de hauteur 2 (supersinguli re). Alors, il existe un entier αp∈{0,12} tel que
λ12∣Ip=χαpp∣Ip.
Dans une base convenable, la repr sentation sur les points de p-torsion de la courbe E/D est repr sentable matriciellement par
(λ′∗0λ).
Autrement dit, d’apr s l’ galit (2), on peut toujours, si on le souhaite, remplacer la famille {αp}p∣p par la famille {12−αp}p∣p.
On peut montrer en utilisant la description locale de ρp donn e dans la proposition [Kra97, prop.2] que si p divise p et E a mauvaise réduction additive en p avec potentiellement bonne réduction supersingulière, alors il existe un entier αp∈{4,6,8} tel que
Dans sa thèse ( [Dav08] ), A. David démontre que si K ne contient pas le corps de classes de Hilbert d’un corps quadratique imaginaire, il existe alors une constante effective C(K), ne dépendant que de K (et donc pas de E) telle que si p>C(K), on a αp=6 pour tout idéal premier p de OK divisant p (voir également [Mom95] ). Nous n’utiliserons pas ces résultats.
2.3 Théorie du corps de classes et caractère d’isogénie
On reprend les hypothèses et notations précédentes. En particulier, p est un nombre premier ≥5 non ramifi dans K et on suppose que pour tout id al premier p de OK divisant p, E n’a pas mauvaise r duction additive en p avec potentiellement bonne r duction de hauteur 2. Étant donn un id al premier p de OK au-dessus de p, on d signe par
Np:(OK/p)∗⟶F∗p
le morphisme norme. L’objectif de ce paragraphe 2.3 est de d montrer la proposition ci-dessous, cruciale dans la démonstration des th. 1 et 2. Elle figure galement sous une forme l g rement diff rente dans la th se de David ( [Dav08, prop. 2.2.1] ) ainsi que dans l’article [Mom95, lem. 1] de Momose (sous l’hypothèse que K/Q est galoisienne).
Soit a∈OK premier à p et aOK=∏qqvq(a) la décomposition de aOK en produit d’idéaux premiers de OK. On suppose que pour tout id al premier q de OK divisant a, E a bonne r duction en q. Alors, on a :
∏q∣aλ(σq)12vq(a)=∏p∣pNp(a+p)αp,
où αp∈{0,12} est défini à la proposition 2.3.
2.3.1 Un lemme de la th orie du corps de classes.
Soient L l’extension de K trivialisant le caractère λ12 et μp le groupe de racines p-i mes de l’unit dans ¯¯¯¯¯Q. D’apr s l’accouplement de Weil, on a μp⊂K(E[p]). Donc L(μp) est une sous-extension abélienne de K(E[p])/K. On note IK le groupe des idèles de K et
r :IK⟶Gal(L(μp)/K),
le morphisme de réciprocité global donné par la théorie du corps de classes. Il est surjectif et son noyau contient les idèles principales.
Soit v une place de K. On note Kv le complété de K en v et on identifie K un sous-corps de Kv. On d signe par
rv :K∗v↪IK⟶Gal(L(μp)/K)
la composée de l’injection de K∗v dans IK par le morphisme de réciprocité global.
Si q est un idéal premier de OK de bonne réduction ne divisant pas p, on rappelle que l’extension K(E[p])/K est non ramifiée en q. La restriction à Gal(L(μp)/K) d’une substitution de Frobenius en q du groupe Gal(K(E[p])/K) (bien définie à conjugaison près) est unique. On la note encore σq. De même, on note encore χp (resp. λ) la restriction du caractère cyclotomique (resp. d’isogénie) à Gal(L(μp)/K).
Le lemme suivant regroupe plusieurs r sultats classiques de la th orie du corps de classes qui seront utiles la d monstration de la proposition 2.4. La d monstration du troisi me point est tir e de [Kra07, App. 1 prop. 1] .
Soit v une place de K.
Si v est une place infinie de K, on a λ12(rv(a))=1.
Si v=q est une place finie de K ne divisant pas p, on a rq(Uq)={1}, où Uq est le groupe des unités de l’anneau d’entiers du corps Kq. Si de plus, q divise a, alors rq(πq)=σq, o πq est une uniformisante de Kq.
Si v=p est une place finie de K divisant p, alors rp(a) appartient au sous-groupe d’inertie en p de L(μp)/K et on a
χp(rp(a))=Np(a+p)−1.
Démonstration. Soit v une place de K. On distingue trois cas.
Supposons que v soit une place infinie de K. Soit L′ l’extension de K trivialisant le caractère λ,
r′ :IK⟶Gal(L′(μp)/K),
le morphisme de réciprocité global donné par la théorie du corps de classes et
r′v :K∗v↪IKr′⟶Gal(L′(μp)/K).
L’image de l’application r′v est d’ordre ≤2. Par ailleurs, l’image par λ12 d’un élément de Gal(L′(μp)/K) ne dépend que de sa restriction à Gal(L(μp)/K). D’où :
λ12(rv(a))=λ12(r′v(a)),
λ(r′v(a))12=λ(r′v(a)12)=1.
D’o le r sultat.
Supposons que v=q soit une place finie de K ne divisant pas p. Alors, d’apr s [Neu86] , l’image par rq de Uq est un sous-groupe d’inertie en q de l’extension L(μp)/K. Or celle-ci est non ramifi e en q d’apr s le critère de Néron-Ogg-Šafarevič. D’o l’ galit
rq(Uq)={1}.
Si de plus q divise a alors E a bonne r duction en q par hypothèse et d’apr s [Neu86] , l’image par rq de πq est la substitution de Frobenius en q de l’extension L(μp)/K. Autrement dit, rq(πq)=σq.
Supposons que v=p soit une place finie de K divisant p. On note ¯¯¯¯¯¯¯Qp une cl ture alg brique de Qp. Comme p est non ramifi dans K, on identifie Kp l’extension non ramifi e de Qp contenue dans ¯¯¯¯¯¯¯Qp dont le degr sur Qp est le degr r siduel de p sur p. On note Kab la cl ture ab lienne de K dans ¯¯¯¯¯Q, Kabp la cl ture ab lienne de Kp dans ¯¯¯¯¯¯¯Qp,
Θp :K∗p⟶Gal(Kabp/Kp)
le morphisme de r ciprocit local en p et
Resp :Gal(Kabp/Kp)⟶Gal(L(μp)/K)
le morphisme de restriction. D’apr s la compatibilit entre la th orie du corps de classes locale et globale, on a, pour tout x∈K∗p,
Resp(Θp(x))=rp(x). (3)
Or, d’apr s le corollaire de [Kra07, App. 1 prop. 1] , on a
Θp(a)(ζ)=ζn−1,
o ζ est une racine primitive p-ième de l’unité dans ¯¯¯¯¯¯¯Qp et n est un entier tel que
Np(a+p)=n(modpZ).
D’o le r sultat voulu, d’apr s l’ galit (3).
Cela termine la d monstration du lemme 2.1.
2.3.2 D monstration de la proposition 2.4.
L’entier a est non nul car premier à p. L’image par le morphisme de réciprocité global de l’idèle principale (a)v est triviale :
∏vrv(a)=1. (4)
Si v est une place infinie de K, alors d’après le lemme 2.1, on a
λ12(rv(a))=1. (5)
Si v=q est une place finie de K ne divisant ni p, ni a, alors a∈UKq. D’après loc. cit. on a donc rq(a)=1.
Si v=q est une place finie de K divisant a. Alors, a=u⋅πvq(a)q, où πq est une uniformisante de Kq et u∈UKq. D’après loc. cit. on a donc rq(a)=σvq(a)q, puis
Si v=p est une place finie de K divisant p, alors d’après loc. cit., rp(a) appartient au sous-groupe d’inertie en p de L(μp)/K et on a
Or, d’après la proposition 2.3, on a
On en déduit que l’on a
λ12(rp(a))=Np(a+p)−αp. (7)
D’après les égalités (4)–(7) ci-dessus, on a
1 =∏vλ12(rv(a))
=∏q∣aλ(σq)12vq(a)⋅∏p∣pNp(a+p)−αp.
Cela démontre la proposition 2.4.
3 Démonstrations des théorèmes 1 et 2
Soient K un corps de nombres contenu dans ¯¯¯¯¯Q, E une courbe elliptique définie sur K et p un nombre premier exceptionnel pour (E,K). On suppose p≥5, non ramifi dans K et pour tout id al premier p de OK divisant p, E n’a pas mauvaise r duction additive en p avec potentiellement bonne r duction de hauteur 2.
Avant de démontrer les théorèmes 1 et 2, on commence par définir pour tout anneau int gre A, une loi de monoïde commutatif ∗ sur un sous-ensemble de A[X] et par en étudier les propriétés utiles.
3.1 Loi de mono de
Soit A un anneau int gre de corps des fractions L et ¯¯¯¯L une cl ture alg brique de L. On note MA le sous-ensemble de A[X] constitu des polyn mes unitaires ne s’annulant pas en 0.
MA×MA⟶A[X](P,Q)⟼(P∗Q)(X)=ResZ(P(Z),Q(X/Z)ZdegQ)
a une image contenue dans MA. Elle d finit une loi de mono de commutatif sur MA d’ l ment neutre Ψ1(X)=X−1. De plus, si P, Q∈MA s’ crivent
P(X)=n∏i=1(X−αi)etQ(X)=m∏j=1(X−βj)
dans ¯¯¯¯L[X], on a
(P∗Q)(X)=∏1≤i≤n1≤j≤m(X−αiβj).
(P∗Q)(0)=(−1)degP⋅degQP(0)degQQ(0)degP.
Démonstration. Il s’agit de v rifier que pour tout P, Q et R∈MA, on a
P∗Q∈MA;
P∗Ψ1=Ψ1∗P=P;
(P∗Q)∗R=P∗(Q∗R);
P∗Q=Q∗P.
On suppose que le polyn me Q s’ crit
Q(X)=Xm+bm−1Xm−1+⋯+b1X+b0,avec b0≠0.
Q(XZ)Zm=b0Zm+b1XZm−1+⋯+bm−1Xm−1Z+Xm∈A[X][Z]
et degZ(Q(X/Z)Zm)=m=degQ (car b0≠0). Par d finition du r sultant de deux polyn mes ( [Bou81, A IV.71 §6 D f. 1] ), on a donc P∗Q∈A[X]. Par ailleurs, sur ¯¯¯¯L, on a
Q(XZ)Zm=Q(0)m∏j=1(Z−1βjX)
et d’apr s [Bou81, A IV.75 §6 Cor. 1] ,
(P∗Q)(X)=Q(0)n∏i,j(αi−1βjX).
Or, Q(0)=∏mj=1(−βj), donc
(P∗Q)(X)=n∏i=1m∏j=1(X−αiβj).
C’est la formule de l’ nonc . On en d duit que l’on a :
(P∗Q)(0)=(−1)degP⋅degQP(0)degQQ(0)degP≠0, donc P∗Q∈MA;
P∗Q=Q∗P;
De plus, les polyn mes (P∗Q)∗R et P∗(Q∗R) ont les m mes racines dans ¯¯¯¯L compt es avec multiplicit s. Comme ils sont unitaires, ils sont gaux. D’o le lemme.
Soient r≥1 et P∈MA. Il existe un unique polyn me P(r)∈MA tel que
P(r)(Xr)=(P∗Ψr)(X) (8)
o Ψr(X)=Xr−1. L’application P↦P(r) est un morphisme de mono des pour la loi ∗. De plus, si P∈MA se factorise sur ¯¯¯¯L de la fa on suivante
P(X)=n∏i=1(X−αi),on aP(r)(X)=n∏i=1(X−αri). (9)
Démonstration. Soit P∈MA. L’unicit d’un polyn me P(r) v rifiant la relation (8) est imm diate. Posons
P(X)=n∏i=1(X−αi)avec αi∈¯¯¯¯L
et ζr une racine r-i me de l’unit dans ¯¯¯¯L. V rifions alors qu’il existe bien un polyn me de MA satisfaisant l’ galit (8) :
(P∗Ψr)(X) =ResZ(P(Z),Xr−Zr)
=(−1)nn∏i=1r−1∏k=0(αi−ζkrX)
d'apr s \@@cite[cite][\@@bibrefBou81,AIV.75\lx@sectionsign6Cor. 1]
=(−1)nn∏i=1(−1)rζr(r−1)2rr−1∏k=0(X−ζ−krαi)
Or, on a ζr(r−1)2r=(−1)r+1. D’o
(P∗Ψr)(X)=n∏i=1r−1∏k=0(X−ζ−krαi)=n∏i=1(Xr−αri).
(P∗Ψr)(X)=P(r)(Xr)
o l’on a pos
P(r)(X)=n∏i=1(X−αri).
Cela d montre qu’il existe bien un polyn me P(r) de A[X] satisfaisant l’ galit (8) et qu’il est donn par la formule (9). Par ailleurs, d’apr s le lemme 3.1, on a P(r)(0)=(−1)(r+1)degPP(0)r≠0 et comme P(r) est unitaire, on a P(r)∈MA. On en d duit que l’application P↦P(r) est bien d finie.
V rifions enfin qu’il s’agit bien d’un morphisme de mono des. On a Ψ(r)1=Ψ1. Soient P et Q dans MA. D’apr s le lemme 3.1 et la formule (9), les polyn mes (P∗Q)(r) et P(r)∗Q(r) ont les m mes racines dans ¯¯¯¯L compt es avec multiplicit s. Ils sont donc gaux. D’o le lemme 3.2.
Soient A et B deux anneaux int gres et φ :A→B un morphisme d’anneaux. L’ensemble
MφA={P∈MA∣φ(P(0))≠0}
est stable pour la loi ∗. L’application φ induit un morphisme de mono des (encore not φ)
φ :MφA⟶MB.
Soient P∈MφA et r≥1. Alors, P(r)∈MφA et on a (φ(P))(r)=φ(P(r)).
Démonstration. D’apr s le lemme 3.1, si P, Q∈MφA⊂MA, on a P∗Q∈MA et
φ((P∗Q)(0))=(−1)degP⋅degQφ(P(0))degQφ(Q(0))degP≠0
car φ(P(0))≠0, φ(Q(0))≠0 et B est int gre. Donc MφA est bien un sous-ensemble de MA stable pour la loi ∗. On a φ(Ψ1)=Ψ1 et la relation
φ(P∗Q)=φ(P)∗φ(Q),pour P, Q∈MφA,
r sulte de la d finition du r sultant de deux polyn mes ( [Bou81, A IV.72 §6] ) en termes de d terminant de Sylvester.
Soient P∈MφA et r≥1. Alors, d’apr s le lemme 3.2, on a P(r)∈MA et
φ(P(r)(0))=(−1)(r+1)degPφ(P(0))r≠0
car φ(P(0))≠0 et B est int gre. D’o P(r)∈MφA. De plus, d’apr s la formule (8) et la d finition du r sultant de deux polyn mes ( [Bou81, A IV.72 §6] ), on a
φ(P(r)(Xr))=φ((P∗Ψr)(X))=(φ(P)∗Ψr)(X)=φ(P)(r)(Xr).
D’o l’ galit (φ(P))(r)=φ(P(r)) et le lemme 3.3.
Remarque. D’apr s le lemme ci-dessus, l’application de r duction φ :Z→Z/pZ induit un morphisme de mono des
MφZ⟶MFpP⟼¯¯¯¯P.
En particulier, ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯P∗Q=¯¯¯¯P∗¯¯¯¯Q pour tout P, Q∈MφZ.
3.2 Démonstration du théorème 1
Soit ℓ un nombre premier tel que E ait bonne réduction en tout idéal premier de OK divisant ℓ. Il s’agit de montrer que p divise Bℓ.
3.2.1 Le polynôme P∗ℓ
Soit ∏q∣ℓqvq(ℓ) la d composition de l’id al ℓOK en produit d’id aux premiers de OK. On note gℓ le cardinal de l’ensemble {q∣ℓ}. On rappelle que E a par hypoth se bonne r duction en tout id al premier q de O

References: §5
 §5
 §5
 §1
 §5
 §5
 §6
 §4
 §1
 §6
 §6
 §6
 §6