Source: https://es.scribd.com/doc/36160328/Calculo-en-rotura-de-losas-fungiformes-Spanish-Espanol
Timestamp: 2017-02-20 17:57:30+00:00

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NavegarInteresesBiography & MemoirBusiness & LeadershipFiction & LiteraturePolitics & EconomyHealth & WellnessSociety & CultureHappiness & Self-HelpMystery, Thriller & CrimeHistoryYoung AdultNavegar porLibrosAudio librosNews & MagazinesPartiturasExplorar todoSubirIniciar sesiónRegistrarseCálculo en rotura De losas fungiformesJordi Maristany Carreras
Diseño de la cubierta: Manuel Andreu © © Jordi Maristany Carreras, 1993 Edicions UPC, 1993 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado, 31, 08034 Barcelona e-mail: edicions.upc@upc.es Servei de Publicacions de la UPC Y Copisteria Carlos Saldaña Av. Diagonal, 649, ETSAB, 08028 Barcelona
Depósito Legal: B-24.896-94 ISBN: 84-7653-430-2
En la confección del trabajo que aquí se expone han colaborado el ingeniero D. Rafael Casals Bohigas con sus consejos y experiencia en el tema, D. Antoni Griera, becario del Departamento, que ha confeccionado los dibujos y dedicado un especial interés en compatibilizar las distintas normativas empleadas, Ana Mª Sánchez "Myriam", secretaria del Departamento, con su inestimable paciencia en corregir los cuantiosos borradores que ha sido preciso realizar antes de obtener el trabajo definitivo, y Alberto Callizo, en la composición del texto y revisión de las figuras.
. . . . . . . . . . . Ámbito de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planteo del trabajo . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Edicions UPC.2. . . . .Indice
Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Paneles interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 13 14 16
Capítulo 1 Forjados
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Estudio de la rotura de un forjado con alternancia de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introducción . . . . . . . 19 20 20 23 28 43 43 45 54
© Los autores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I II III IV V Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Paneles interiores . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Paneles de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. 1. . . . . . . . . . . .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .3 Estudio de la rotura de un forjado con carga uniformemente distribuida 1. . . . . . . . . . . . . 2000. . . . . . . . . . Breve referencia histórica de los métodos utilizados Consideraciones previas . . . . .3. . .3 Paneles de borde . . 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . 1. 1. . . . . . . . . . . . . .1 Introducción . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Ambiente corrosivo y oxidante . . . . . . . . . . .1 Caso de losa sin fisurar 5. . . . 5. . . . . 3. . . . . . . . . .2 Deformaciones . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . 59 2. 4. . . . . . .8
Cálculo en rotura de losas fungiformes
Capítulo 2 Capiteles
2. . . . . . . . . .3 Caso de pilares de borde . . . . . . .1 Caso de pilares de borde con semicapiteles y/o viga perimetral 3. . . . . . . . . . . . . . . . .5 Pilares con suficiente rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 64 67 67 69 70 71
Capítulo 4 Criterios de armado
4. 4. .2 Caso de pilares centrales . 3. . . . . 5.1 Fisuración . . . . .3 Longitudes de las armaduras . . .2. . . . . . . . .1 Hipótesis de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 5. 4. . . . . . . . . . . .2 Caso de losa fisurada . . . . . . .2 Dimensiones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Paneles de borde y zonas de voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . . . . 87 89 89 89 91
© Los autores. . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . . .2 Distribución de la armadura entre bandas central y soportes 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Cantos útiles y brazos elásticos . . . . .2 Caso de pilares junto a voladizos . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . © Edicions UPC. 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Distribución de la armadura en apoyos y vano . . . . . . . . . . . 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Capítulo 3 Pilares
3. . .1 Comprobación de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Distribución de la armadura . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . 73 75 75 79 81 81 83
Capítulo 5 Fisuración y deformaciones
5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Paneles intermedios .4 Cortante . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Características geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reparto de las armaduras entre positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . . . . .7 8. . . . . . . . 101 102 103 103 103 104 105 106 106 106
Capítulo 9 Ensayos
9. . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Cálculo general . . . . . Cálculo de la sección total necesaria de las armaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.1 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Indice de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 109 109 110
Simbología . . . . . . . . . . . 100
Capítulo 8 Ejemplo desarrollado
8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Edicions UPC. . .3 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 8. . . . . . . . . . . . . . .4 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 8. . . . . . . . . . . . . . . Grado de rigidez del empotramiento de los pilares de borde con los pilares Sección de armaduras de un panel de borde . . 2000. . . . . . Mayoración de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flecha de un panel interior cualquiera . . . . . . . . . . . . . . .Indice
Capítulo 6 Punzonamiento
6. . . . . . . . . . . . . . . . .1 8. . Comprobación del punzonamiento en los capiteles . . . . . .2 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
© Los autores. . . . . . . . . . . . . .4 Introducción . . . . Comprobación del punzonamiento sobre el perímetro de los capiteles . . . .9 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 99 7. Dimensionado de los capiteles . . . . . . . . . 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introducción . . . . . . . . . . . . 93
Capítulo 7 Efecto arco
7. Características de los materiales Fisuras observadas . . . . . . . . .8 8. .3 8. . . . .3 Cálculo alternativo . . . . . . . . . . .1 Punzonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000. . . 125
© Los autores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000. . © Edicions UPC.10
Bibliografía . .
y por tanto. Ya en
© Los autores. estos últimos métodos tienen —aún en la actualidad— el grave problema de tener que acertar en la elección de una discretización correcta de los elementos que permita una lectura de resultados suficientemente fiable. © Edicions UPC. como del software o documentación de programas de cálculo). muy extendido en el cálculo de sistemas simples de losas. un nuevo método de análisis. la carga última que ésta puede soportar. a pesar de ello. aparece primero la discretización de las losas como si se tratase de emparrillados y más tarde el análisis mediante elementos finitos.— que estrictamente por motivos puros de economía y/o racionalidad. Por eso. 2000. el poder utilizar un método de cálculo que aproveche las prestaciones que ofrecen los materiales en estado plástico nos permite conocer mejor el funcionamiento real de la estructura. De ahí. este último de imposible ejecución sin un soporte informático adecuado. El método de cálculo a partir de las líneas de rotura.Introducción
Tradicionalmente en nuestro país —y así está contemplado en la normativa oficial EH-91— viene aceptándose como sistema habitual de cálculo de los forjados bidireccionales el método de los pórticos virtuales (o pórticos de sustitución). Aun así. no es. se han empezado a utilizar otros métodos que permiten aprovechar mejor las características del hormigón al poderse plantear la estructura como un sistema real bidimensional. Esto se traduce muchas veces en unas laboriosas entradas de datos. más por simplicidad de utilización e influencia de otras normativas —como las americanas A.I.C. no siempre exentas de errores. y gracias a los avances en materia informática (tanto del hardware o capacidad de trabajo del ordenador.
. Últimamente. 2000.
etc. menos interesantes a nivel teórico. no por ello. Espero que esta publicación pueda ser de gran utilidad y que se encuentre en la misma la ayuda que se ha pretendido ofrecer en el momento de su confección. Sea por la exigencia de unos ciertos condicionantes iniciales —como son la alineación de pilares. sea. su aplicación real en occidente se ha visto relegada a casos aislados. porque no.— muy difíciles de cumplir en su totalidad. descartando aquellos matices que representaban una desviación en los objetivos de la presente publicación y dificultaban su lectura.
. con larga tradición en construcción de sistemas industrializados. los tipos de carga. Todo ello ha representado un esfuerzo de síntesis.B. en la Unión Soviética. 2000.C. como sería el caso del capítulo 4. se han contrastado las conclusiones a que llega la normativa rusa con las de otras normativas que a nosotros nos resultan más familiares como son la propia EH-91. la europea C. Al final.
© Los autores.E. su estudio —aunque sea sólo a nivel teórico— nos permitirá conocer mejor el comportamiento real de la estructura analizada y ahorrarnos muchos kilos de armadura.B. A pesar de ello. © Edicions UPC.I. acompañando continuamente el texto con gráficos explicativos y/o ampliando la información de aquellos aspectos que las instrucciones no desarrollaban suficientemente. Igualmente. creo sinceramente que vale la pena la lectura de esta publicación. que analiza los criterios de armado. se ha creído conveniente —se ha echado de menos en numerosas publicaciones técnicas de relieve— introducir un ejemplo práctico.
II Planteo del trabajo
En la confección del libro se han seguido fielmente las indicaciones de las Instrucciones soviéticas TsNIPS del año 1940 intentando explicar de forma detallada aquellos aspectos que parecían de más difícil interpretación. por razones de moda y costumbres. y a partir de unos ensayos que corroboraron los planteos teóricos del cálculo. se popularizó el método en rotura para calcular forjados de edificios industriales. Aunque sólo fuera por eso. la simetría de paneles.12
1940. o la americana A. y como resultado de la aplicación de la teoría que anteriormente se describe. en nuestro caso. inspirado en el Boletín nº 28 del C.E. 2000.
y a pesar de su rigurosidad matemática.S.M.S. Es a este nivel que en 1933 el TsNIPS (Instituto Central para la Investigación Científica de las Construcciones Industriales de la U.) realiza una serie de ensayos experimentales que corroboran que la capacidad portante real de los forjados formados por losas macizas es notablemente superior a los valores obtenidos por medio de los métodos tradicionales de cálculo. Iviansky publicaron un primer tratado dedicado exclusivamente a este tipo estructural y que se concreta en la realización práctica de un depósito para productos lácteos en Moscú en 1908 y un edificio en Suiza. © Edicions UPC. una larga serie de trabajos de investigación con el fin de posibilitar el cálculo de los entrepisos sin vigas por el método del cálculo en rotura. para un planteo riguroso. en 1910. que asimilan el comportamiento del forjado al de una membrana apoyada sobre capiteles. que consideran los forjados como un sistema de vigas anchas ortogonales trabajando en ambos sentidos y que han dado resultados comparativamente buenos. Posteriormente las investigaciones teóricas que se llevaron a cabo permitieron conocer mejor el comportamiento de estos forjados.I. así como la voluntad de querer apurar el dimensionado. Aprovechando gran parte de la normativa anterior. en
© Los autores. Gvozdev. no pueden llamarse "exactos" en el sentido literal de la palabra. 2000. Como resultado de estas investigaciones aparecieron los llamados "métodos exactos". dichos métodos. además de ser de muy difícil aplicación práctica. basados en la Teoría de la elasticidad. se deben aceptar una serie de hipótesis simplificativas que no siempre concuerdan con la manera real de trabajar de estos forjados. justo antes de la 2ª Guerra Mundial. Finalmente. ya que.A. bajo la dirección del profesor A. Bulgakov. Producto de ello el TsNIPS elabora en ese mismo año un proyecto de norma con el objetivo de apurar la capacidad portante de los forjados. en el proyecto de forjados sin vigas se usaban "métodos osadamente aproximados" de cálculo.S. en 1937. probablemente de Maillart. los candidatos a profesores en ciencias técnicas. el hecho de despreciar la contribución de los esfuerzos torsores. Así. Shtaerman y A. M. la dificultad que entraña delimitar el reparto de los esfuerzos en capiteles. A.R. realizan en el TsNIPS. 2000.Introducción
III Breve referencia histórica de los métodos utilizados
Al principio.S. Shchepotiev y V.
. dan paso en algunos países a la aparición de normativas basadas en la rotura del material. Sin embargo. Ello dio lugar a la aparición de los "métodos simplificados" de cálculo.
en el año 1940. este último utilizando capiteles de forma octagonal.
La mayoría de los actuales sistemas de cálculo de estructuras de hormigón arrastran una tremenda incoherencia entre los planteamientos de cálculo a nivel de esfuerzo y el dimensionado definitivo a nivel de sección. © Edicions UPC. el dimensionado definitivo se realiza por un proceso más acorde con la realidad. la incoherencia aumenta al querer aplicar el método de cálculo a estructuras hiperestáticas obteniendo unos esfuerzos que no tienen por qué coincidir con los que de verdad llegan a las secciones. mientras en los primeros se parte del principio de linealidad entre causas y efectos: cargas exteriores y esfuerzos producidos (métodos matriciales. Lógicamente. etc.
. y el método de cálculo que la propia normativa contempla (EH-91) es la susodicha de "pórticos virtuales".).1 Efectivamente.14
base a estos trabajos el TsNIPS sintetizó. Cross. De todas formas. Estos se mayoran y son utilizados en el
© Los autores. momento tope.). ingeniero Rafael Casals Bohigas. En nuestro país. todos ellos realizados por el Dr. lo que se conoce popularmente como "forjados reticulares". el diagrama representativo de tensionesdeformaciones ya no tiene por que ser lineal. 2000. 2000. 10). basado en métodos semiprobabilísticos de los estados límites (parábola-rectángulo. al reducir el peso propio. Por si ello fuera poco. Como realizaciones prácticas podríamos citar como ejemplos el cálculo y dimensionado de la losa de cimentación de los edificios de Semolerias de El Carpio en Córdoba (1984) y el cálculo ya más reciente del sótano del parking del Hotel Hilton en Barcelona (1989). en este último caso. de cálculo en régimen elástico. permite un mejor aprovechamiento en edificación. las primeras noticias que se tienen del cálculo en rotura para forjados bidireccionales provienen de las citas que Jiménez Montoya realiza en las primeras ediciones de su Hormigón armado en las que se hace referencia expresa a la normativa rusa antes mencionada (ver Bibl. etc. y aunque últimamente vuelve a utilizarse la placa maciza de hormigón —debido a la modificación en los precios de la mano de obra y de los materiales— en nuestro país tradicionalmente se viene utilizando mucho más un sistema intermedio de construcción que consiste en aligerar los centros de los vanos con bovedillas cerámicas o de hormigón que. un proyecto de Nuevas normas para el cálculo de entrepisos sin vigas.
se ha plastificado una sección de la losa. que corresponde a un recubrimiento de r/h igual a 0. es decir. podemos considerar que el valor de la T límite estará comprendido como máximo entre el valor de 0. 14). siempre que esta esté trabajando en estado de servicio. El empleo de esta forma de armado llevaría consigo la aparición anticipada de fisuras indeseadas. convirtiéndola finalmente de estáticamente indeterminada en estáticamente determinada. Pero de todo ello sería falso llegar a la conclusión Limitaciones método de que se puede fijar arbitrariamente la armadura en el tramo y en el apoyo con tal de que la suma de las secciones transversales sea igual a la sección necesaria total. los coeficientes de seguridad de las distintas secciones serían demasiado diferentes entre sí y disminuiría la rigidez de la estructura. en construcciones continuas. 2000. Estas últimas tienen la particularidad de que a igual cuantía de armado tienen el mismo valor de momento flector en todas ellas (ver Bibl. Esto se consigue imponiendo una limitación de la cuantía de las armaduras empleadas.15. Al valor de la carga aplicada en este último instante se le denomina carga de rotura y a las líneas así formadas líneas de rotura. En concreto. A partir de este punto puede considerarse que dicha sección gira indefinidamente a momento constante.05 y del valor 0. Resumiendo. cuando en una de las secciones las tensiones en la armadura alcanzan el límite de fluencia. Proceso de formación de las líneas de rotura. © Edicions UPC. con lo que se provoca inmediatamente un cambio en la forma de redistribución de los esfuerzos.15 para un recubrimiento de 0. 13). la capacidad portante de la estructura todavía no se agota debido a la redistribución de los esfuerzos. Podemos considerar en este instante que se ha formado una "línea de rotura". Limitaciones en la aplicación del método. El armado de la losa debe ser tal que asegure el agotamiento de una sección por plastificación de sus armaduras.
© Los autores. La estructura continua sigue trabajando soportando el aumento de cargas hasta el momento en que fluya la armadura en otras secciones.Introducción
cálculo de secciones a la rotura con la consecuente pérdida de sentido en la introducción del término de seguridad (ver Bibl.16. Cuando se somete una losa a una intensidad rotura de carga creciente la distribución de esfuerzos que tiene lugar en la misma obedece a los principios de un cálculo lineal. 2000. Mediante sucesivos incrementos de carga van alcanzando la plastificación una serie de secciones que forman unas líneas que van progresando hasta convertir la estructura en un mecanismo.
. Conforme aumenta el valor de las cargas aplicadas aumenta proporcionalmente el valor de los esfuerzos provocados hasta que las tensiones en algunos lugares de la placa alcanzan el valor de fluencia originándose fisuraciones y alterando el valor de las inercias.
que sustituya a la viga de borde. 2000. si la intersección de los ejes de los apoyos con la losa no forma una figura geométrica simple. para este tipo de forjados.
. o bien rectangular de lados desiguales pero que observen una relación entre lado mayor y lado menor entre 1 y 3/2. y se trata de mecanismos simples en los que la determinación analítica exige pocos parámetros. el número de mecanismos posibles a priori es elevado. Esta es la razón más clara por la que el dominio de aplicación del método que más adelante se expone está limitado al caso de forjados de malla rectangular y paneles cuadrados o rectangulares en que la relación de lados se encuentra próxima a la unidad. c) Una viga dintel. Este trabajo sólo contempla el caso de sobrecargas uniformemente repartidas. Estas instrucciones analizan diversos casos tipológicos de soporte en los extremos de la losa según se trate de: a) Un voladizo rebasando la fila de columnas de borde. Por tanto. la definición analítica de cada uno de los mecanismos exige para su empleo la introducción de numerosos parámetros que complican considerablemente los cálculos. 2000. que una los pilares de borde. el mecanismo de rotura depende de la disposición de los apoyos del forjado.
© Los autores. d) Un apoyo de la losa sobre muro corrido. no será posible encontrar un procedimiento general de resolución más que para aquellos forjados de forma extremadamente simple. Igualmente permite calcular los forjados fungiformes armándolos de forma tradicional. totales o parciales. en el que los pilares marquen una trama cuadrada de lados iguales. Es más. el número de mecanismos a analizar se reduce a 2. ya sea con redondos o con malla electrosoldada.35%. sobre la totalidad o parte del forjado. Por tanto. Por otra parte. en función de las solicitaciones a que está solicitada la losa en estado límite de "flexión".16
Estos valores han sido calculados suponiendo estados de agotamiento en los que el hormigón más comprimido no ha alcanzado aún su deformación máxima admisible del 0. © Edicions UPC.
V Ámbito de aplicación
El método de cálculo que se desarrolla a continuación tiene por objeto el dimensionado de forjados fungiformes. además de la disposición de las sobrecargas y su naturaleza. con la condición de respetar las direcciones marcadas por los ejes que unen los centros de pilares. En efecto. y una relación entre vanos adyacentes comprendida entre 1 y 4/3. b) Unos semicapiteles con corte neto de losa. en el paramento exterior de las columnas.
y que comentaremos más adelante. la rotura de un panel único no es el caso más peligroso.2) de dos paneles adyacentes de una y otra parte del pilar (ver Cap. por decirlo así. En efecto. en dicha situación. aunque parezca lo más lógico contemplar la posibilidad de que en un mismo panel se produzca una coincidencia de situaciones desfavorables como podrían ser un defecto de los materiales.1) de una banda ficticia cortada entre dos filas de pilares adyacentes (ver Cap. A Ambito geométrico de validez aplicable
Los forjados así calculados deberán : a) verificarse a la rotura a. En cambio. Por si esto fuera poco. 2000. 2000. una deficiente puesta en obra y una desfavorable concentración de sobrecargas sobre un solo panel. debido al monolitismo del techo que acude en su ayuda. el efecto arco que normalmente se produce. 1 § 2) a. no será necesaria la comprobación a la rotura de un único panel.Introducción
© Los autores. © Edicions UPC.
. 1 § 3) b) limitando la fisuración de las secciones c) asegurando la rigidez del conjunto d) y comprobando siempre el punzonamiento. aumenta también y notablemente su seguridad.
B Condiciones de borde de las losas
Finalmente. siempre que se adopten una serie de precauciones para compatibilizar el funcionamiento de ambos sistemas como sería introducir un factor de cambio de rigidez de la losa aligerada (del orden de 0.
© Los autores. 2000. 15 cap.70 del de la losa maciza) o acotar la separación entre nervios a una medida que no sea excesiva. Regalado entre efectuar el cálculo de una estructura adoptando un diagrama momento-curvatura lineal o efectuar un cálculo no lineal con todas sus consecuencias (ver Bibl. 13). Es interesante la comparación que realiza F.
1. © Edicions UPC. y aunque el trabajo trata del estudio de losas macizas sobre pies derechos con capiteles es también posible —y se realizan continuas anotaciones en el escrito— extrapolar sus resultados no solo para el caso de que los pilares no tengan capitel sino también para aquellos forjados como los comúnmente llamados reticulares.
Fig. y desde luego menos que la que permite la actual normativa española EH-91. 2000.
las normas TsNIPS de 1940 aconsejan tomar las siguientes hipótesis de partida: 1) La losa de hormigón armado. © Edicions UPC. se convierte en un sistema variable formado por eslabones rígidos. según la opinión de los autores del proyecto de la norma. aquí dimensionaremos suponiendo una sección rectangular en el centro de vano. 2000. en la sección del apoyo supondremos una sección en forma de T.Forjados
1. se equilibran con las tensiones de compresión en el borde de poco ancho del nervio de la sección de apoyo (ver Cap. 2) Las tensiones de la armadura en las articulaciones plásticas. Las tracciones. al llegar al estado de rotura. trabaja. unidos entre sí por medio de articulaciones lineales plásticas. alcanzan el límite de fluencia. en toda la armadura del apoyo.1 Introducción
Para el cálculo de la capacidad portante de las losas.
© Los autores. En cambio. 2000. es imprescindible. Para poder determinar la capacidad portante de la losa. en el instante de la rotura. en todo el ancho de la losa. dispuesta en todo el ancho de la losa. en el instante de tiempo inmediatamente anterior al de rotura. son despreciables en relación a las dimensiones de la estructura. En este caso la armadura. con un brazo de palanca cuyo valor sobrepasa aproximadamente de 1½ a 2 veces al espesor de la losa. poner en claro el esquema de la rotura y ubicar la posible disposición de las líneas de las articulaciones plásticas.
. que lógicamente deberán corresponder al valor mínimo de la carga de rotura.1 3) Los desplazamientos del sistema. 4 § 1). previamente. y a diferencia de los métodos comunes de cálculo en los cuales las secciones de las fajas de apoyos y central son iguales. Además.
1.1 Esquema de cargas en vanos alternos
El cálculo a la rotura se efectúa tomando como hipótesis que. A continuación damos un corto resumen de las condiciones básicas del proyecto de normas del TsNIPS del año 1940. 2000. 1. existirán dos esquemas de disposición de las sobrecargas: según actúen solo en los tramos alternos o actuando sobre todos los tramos.1:
Fig. © Edicions UPC. en los tramos considerados (rayados en la figura 1.
En calidad de estados de mayor peligrosidad. 2000. 1. tal como se aprecia en la fig. seleccionados en base a ensayos previamente realizados. se forman unas rótulas plásticas lineales. paralelas al eje longitudinal de dicha banda:
© Los autores.2 Estudio de la rotura de un forjado con alternancia de cargas
1. 1.1 Introducción En la fig.2.3).2 se representa la ubicación de las líneas de articulación plástica en el estado de rotura de la losa de forjado para la hipótesis de que la sobrecarga actúe solamente en tramos alternos.
2 Esquema de rotura de una banda longitudinal
© Los autores. 2000. © Edicions UPC. 2000. 1.
.Forjados
1. 2000.22
.3 Esquema de las líneas de las articulaciones plásticas de una losa con sobrecarga dispuesta en tramos alternos
2. la zona comprimida podrá encontrarse dentro de alguna sección de la losa o incluso parcial o completamente dentro de los capiteles (ver Fig.1 Caso general En los paneles interiores. 1. cerca de cada apoyo.1)
© Los autores. 2000. siempre que se cumplan las condiciones de proporción de luces indicadas en la introducción.Una rótula plástica lineal M´. con abertura de fisura superior. 1.2. 1.
1.4). .
.3). apartado 5 (ámbito de aplicación). En condiciones de simetría (ver Fig. © Edicions UPC. con lo que la línea de articulación central debida a los momentos positivos se producirá en el eje del panel considerado y las líneas de articulaciones laterales debidas a los momentos negativos se producirán a una distancia c de los ejes de las columnas adyacentes (cx respecto al eje x.4 Esquema de la zona comprimida en las rótulas plásticas sobre los apoyos
En función de la posición de las rótulas plásticas en los apoyos. 2000.5). deberá ser igual el ancho de los dos eslabones y su valor será: b ' Lx & 2 cx 2 ' Lx 2 & cx ' lx 2
(1.2.Una rótula plástica lineal (línea de rotura) M en el vano con abertura de una fisura inferior.Forjados
. 1. podrá considerarse que se produce un caso de simetría pura en la rotura de los paneles. y cy respecto al eje y) (ver Fig.2 Paneles interiores 1.
1. 2000. 2000.24
© Los autores.2)
Qx ' 0
(1. En los bordes de este elemento actúan las siguientes fuerzas internas: En la línea de la articulación central: M ' A z Fye (1.6). 1.5 Nomenclatura
Analicemos el equilibrio de un eslabón en la zona limitada por un panel de largo Ly (ver Fig.
© Edicions UPC. 2000.6 Resolución por el método de equilibrio de un panel interior y tensiones en las líneas de rotura
© Los autores. 1.Forjados
pertenecientes al trozo de elemento rígido considerado. 4 § 1 y Fig. carga total superficial uniformemente repartida sobre la losa. para lo cual ésta se considera como una T cuya ala en general es igual al ancho del tramo y cuyo nervio es la parte del capitel comprendida entre la intersección de las secciones del apoyo —articulación plástica—.
. tensión de la armadura. Las condiciones de equilibrio de los momentos de todas las fuerzas.2):
Los momentos. A su vez las fuerzas transversales según esas líneas valen. dan las siguientes relaciones (ver Fig. respecto al eje dispuesto en el plano de la sección de apoyo que pasa por el centro de gravedad de la zona comprimida del nervio de dicha sección de apoyos. distancias entre ejes de columnas en ambas direcciones. 1. distancia entre la articulación de los apoyos y el eje de la columna más cercana. sección total de la armadura sobre la articulación plástica lateral para una longitud de tramo Ly.19). con lo que no influyen en las ecuaciones de equilibrio y por tanto no intervendrán en el cálculo. momento flector negativo en la articulación plástica. que aparecen a lo largo de las líneas que limitan la zona analizada. sección total de la armadura en la articulación plástica central (M) para una longitud de tramo Ly.4)
Qx ' P L y siendo: M M' Qx A A' z z'
(L x & 2c x ) 2
' P Ly
(1. © Edicions UPC. 1. del tipo de capitel utilizado (ver Cap. brazo del par de las fuerzas internas en la sección de la articulación plástica. 2000.5)
Fye P Lx .26
Y en la línea de la articulación sobre los apoyos: M´ ' A´ z´ Fye (1. por razones de simetría. no tienen componente según el eje de momentos. cero. 2000. esfuerzo cortante en la dirección x. brazo del par de las fuerzas internas correspondiente al armado A. esta distancia depende de la forma y dimensiones de los capiteles y debe corresponder a la carga mínima de rotura. de largo Ly y ancho (Lx — 2cx) / 2. Ly cx
momento flector positivo en el centro del vano y que produce la articulación plástica central.
2 Extrapolación en el caso de ausencia de capiteles Podemos observar cómo la parte izquierda de la fórmula 1.2. y para el cálculo y proyecto en el caso de sobrecargas dispuestas en tramos alternos sobre la losa. la influencia de los capiteles sobre la estabilidad de la losa. la fórmula anterior quedaría en la forma que todos conocemos: MT ' ql2 ' M % M´ 8 (1.2. Para el caso de ausencia de capiteles z' / z = 1 y cx = 0 y la parte derecha de la igualdad valdrá 1 (dado que 2´ + 2 = 1). en la hipótesis de ausencia de capiteles. la parte de la derecha de la igualdad expresa.8 expresa la relación entre el momento de la viga P Ly l2x / 8. A su vez.
1& 2 siendo: At = A + A'
2' = A'/ A t 2 = A / At
suma total de las secciones de armadura en las secciones de apoyos —rótulas plásticas— (A') y de tramo (A).Forjados
P ( L x & 2c x ) 2 8
# Fye ( A z % A´ z´)
de donde: P Ly ( Lx & 2 cx )2 8 # Fye At z ( 2´ z´ % 2) z (1. analizada bajo la carga de rotura. relación entre la armadura de vano y la total. en la banda de largo Ly relación entre la armadura del apoyo y la total. numéricamente. y la suma de los momentos internos de las secciones de apoyos y central. 2000.9)
© Los autores. Y.7)
Que lo podemos poner en la forma: P L y lx
2´ '
z´ % 2 z cx lx
8 A t z Fye
(1. © Edicions UPC. 1. 2000. colocando q = P Ly .
La ecuación deducida sirve para la resolución de todos los problemas de verificación de la estabilidad.
se forma. (según los autores de la norma TsNIPS de 1940 el error que se comete con esta hipótesis es. a diferencia de la de los paneles interiores. tal como puede contemplarse en la figura 1. Al analizar la rotura de una fila de paneles de borde en el sentido del perímetro de borde. sino desplazada hacia el borde del forjado. en cambio ahora será M = P Ly (lx-x)² / 2.7 Esquema de rotura en el tramo de borde de una losa
Para simplificar la resolución del problema. Si nos fijamos en la figura 1. 2000. del orden del 1. el momento isostático total era M = P Ly lx² / 8.1 Caso general En cambio. paralelos al borde de la losa.2.3 Paneles de borde 1. como máximo. 2000.2. en algunos casos no podremos suponer que exista simetría en la formación de las articulaciones plásticas.7 quedará de la siguiente forma:
© Los autores.28
Fig.8 cuando había simetría.5% al 2%). © Edicions UPC. 1.
. supongamos que esta línea tiene una ubicación fija que depende únicamente del tipo de apoyo perimetral. por lo que la fórmula 1. cuando se trata de analizar la rotura de los paneles de borde. se forman dos eslabones rígidos. no en el eje central del panel.3. En este caso la articulación plástica central M. que corresponde a la carga mínima de rotura.
2000. © Edicions UPC.8 Esquema de solicitaciones a flexión de una losa en tramo central y de borde
P L y x (lx & x ) 2 siendo: lx Ly x A'I
# Fye
A´I z´I
lx& x lx
% A z % A´E z´E
(1. la distancia entre la articulación plástica correspondiente al pilar interior y la rótula central. la longitud del tramo de cálculo en la dirección y. 1.10)
la longitud del tramo de cálculo en la dirección x.
. la sección de la armadura superior correspondiente a la rótula plástica interior.Forjados
© Edicions UPC. 2000.12)
Analizaremos a continuación varios tipos de paneles de borde según se trate de soportes con viga perimetral con o sin semicapiteles.30
A'E 2'I 2'E z'I z'E Si ponemos:
la sección de la armadura superior correspondiente a la rótula plástica exterior.
.2. 2000.10 de la forma: P L y x (lx & x) 2 lx& x lx x lx
# Fye A t
2´I z´I
% 2 z % 2´E z´E
(1.1.2).55 lx (1. con apoyo libre sobre muro exterior y en voladizo.3
1. En lo referente al cálculo y dimensionado de la armadura en la dirección perpendicular al perímetro de borde.9) podrá aplicarse directamente la fórmula 1.13)
con lo cual se podrá aplicar directamente la fórmula 1.
2´E '
A´E At
se puede escribir 1. 1. las instrucciones soviéticas distinguen según se trate de apoyos de borde con pilares con "suficiente rigidez" (ver Cap.2 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales con semicapiteles Para el cálculo de la armadura paralela al borde de la losa (ver Fig. el brazo elástico de la articulación plástica exterior.8 correspondiente al caso simétrico ya comentado. en que tomaremos como medida entre la rótula plástica del apoyo interior y la del tramo el valor: x ' 0.50 lx (1. la relación entre la armadura superior interior respecto al total At la relación entre la armadura superior exterior respecto al total At el brazo elástico de la articulación plástica interior.2.8.
2´I '
A´I At
. o con pilares de borde que no cumplan la condición anterior en que se aconseja tomar el siguiente valor de x: x ' 0.
. 4 § 2.14)
2000.Forjados
Fig.9 Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel exterior sustentado por semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura
© Los autores. © Edicions UPC. 1.
En tal caso bastará con sustituir dicho valor en 1. EM2 Ly carga total por m2 de forjado.
. nos queda la fórmula final: z´ (2´ % 1.5). 2000. en el instante de la rotura. con lo que una vez realizadas las operaciones correspondientes.15)
Shtaerman-Ivianski (ver Bibl. Como carga exterior figura la carga distribuida sobre la superficie de la faja analizada. ancho de la faja comprendida entre la línea de articulación central y la de apoyos más cercanos a la primera fila interior de columnas (ver Fig. expresaremos la condición de igualdad del trabajo realizado por las fuerzas internas y externas. puede observarse en la figura 1. veamos el proceso de deducción de la fórmula anterior aplicando este principio: Los dos eslabones rígidos que se forman al producirse la rotura del panel de borde forman el sistema variable para el cual se formulan las relaciones del trabajo de las fuerzas internas y externas. En base a lo dicho anteriormente.20 1& 2 cx lx
P lx L y 8 A t z Fye
(1.7. © Edicions UPC.16)
siendo: P lx cx x EM1 . distancia entre las articulaciones próximas a los apoyos. El desplazamiento virtual. que actúan en el fragmento de faja de largo Ly: P lx L y 2 ' j M1 j M2 % x lx & x
(1. distancia de la línea de articulación plástica de apoyos a los pilares contiguos. 1.12. suma de los máximos momentos que actúan en las líneas de articulación plástica de las fajas rígidas —eslabones— interior y exterior.22 2 z 2. que responde al esquema de rotura adoptado. Por su indudable interés y sencillez de planteo.22 2´ ) % 2. 7) llegan a la misma conclusión aplicando el principio de los trabajos virtuales. 2000. y como fuerzas interiores figuran los máximos momentos que actúan en las líneas de las articulaciones plásticas de apoyos y central.
© Los autores. distancia entre ejes de columnas en la dirección y.
la sección de la armadura superior.
© Los autores. por lo que las articulaciones plásticas de los apoyos interior y exterior se dispondrán a distancias iguales cx de los respectivos ejes de columnas.55 lx
(1. © Edicions UPC. 2000.20)
siendo: A'I A A'E la sección de la armadura superior.
. la sección de la armadura inferior.19)
y en las articulaciones del eslabón más cercano a la fila exterior de columnas j M2 ' A´E Fye z´E % A Fye z (1.17)
Si suponemos el caso de pilares de borde de "poca rigidez" (ver Cap. 2000. cortada por la articulación plástica central. El ancho de ambos eslabones rígidos será. según hemos visto. será:
x ' 0.Forjados
Por lo general la forma del capitel adosado al muro perimetral es igual a la de los capiteles interiores. 3 § 6). la distancia desde la articulación plástica central a la articulación plástica de los apoyos interiores. cortada por la articulación plástica de apoyos más cercana a la fila exterior de columnas. por lo tanto:
lx ' L x & 2 c x
La suma de los momentos que actúan en las articulaciones del eslabón más cercano a la fila interior de columnas es: j M1 ' A´I Fye z´I % A Fye z (1. que es cortada por la articulación plástica de apoyos más cercana a la fila interior de columnas.
al determinar el brazo elástico correspondiente a la armadura superior paralela al borde de la losa.22)
y.23)
Y para el segundo será de aplicación la fórmula:
© Los autores. © Edicions UPC.8 y 1. los valores: At ' A´I % A´E 2 % A 2´E ' A´E At 2 ' A At 2´I ' A´I At
. EM1 y EM2: 1 2 P lx L y 2 cx lx
A´I Fye z´I % A Fye z 0.21)
Introduciendo. relativa a dicha armadura.15. que deben analizarse independientemente: a) Rotura simultánea de losa y jácena de borde.2.3. puede encontrarse completamente fuera de la losa (en el capitel).
(1. en la ecuación general de equilibrio.3. 2000. En ambos casos son de aplicación las fórmulas 1.
. no deberá olvidarse que.3. la zona comprimida de la viga de borde. Para el primer caso será de aplicación la fórmula: P L y (L x & 2 c x ) 2 8
# Fye ( A´ z´ % A z % A´j z´j % Aj zj )
(1.12. Finalmente.34
Y sustituyendo.
(1. por analogía con el tramo interior.55
A´E Fye z´E % A Fye z 1& 0. los valores lx. b) Rotura únicamente de la losa. obtendremos la fórmula 1.1 Cálculo de armadura en la dirección paralela al borde Para el cálculo de la armadura en la dirección paralela al borde se pueden presentar dos casos. 2000. haciendo algunas simplificaciones. x.3 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales sin semicapiteles y con Tipología con viga perimetral 1.
1. © Edicions UPC.
. 2000.10 Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior con pórtico perimetral sin semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura
© Los autores. 2000.Forjados
( A´y % Ay ) z´y ( Lx & 2cx ) 4 ( 1& 8 ) (Ly & b) con 8 ' y Ly & b
siendo: b y A' A A'j Aj A'y Ay z' z z'j zj zy z'y ancho de la jácena de borde. sección de la armadura superior a lo largo de Lx cortada por la articulación plástica paralela al borde. sección de la armadura inferior de la viga de borde.36
P ( L y & b) (L x & 2c x ) 2 24 # Fye z´% z % A z % 2
( 2 % 8) # (1. sección de la armadura superior a lo largo de Ly cortada por la articulación plástica perpendicular al borde. sección de la armadura inferior a lo largo de Lx cortada por la articulación plástica inclinada.24 estará limitada por la condición de que la viga de borde pueda absorber un momento torsor Mtor tal que: Mtor # Fye A´y z´y Lx 2 (1. lógicamente. distancia entre el punto de corte de las líneas de rotura positivas y el eje de la primera línea de pilares. © Edicions UPC. Para poder aplicar con garantías la fórmula anterior. sección de la armadura inferior a lo largo de Ly cortada por la articulación plástica perpendicular al borde. la armadura Ay de la fórmula 1. 2000. sección de la armadura superior de la viga de borde.50 ).25)
. brazo elástico correspondiente a A' brazo elástico correspondiente a A brazo elástico correspondiente a A'j brazo elástico correspondiente a Aj brazo elástico correspondiente a Ay brazo elástico correspondiente a A'y
(En el presente caso se aconseja tomar un valor de 8 ' 0. 2000.
1.Forjados
Fig. 2000. 2000. © Edicions UPC.
.11 Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior con pórtico perimetral sin capiteles
A igual resultado se habría llegado al aplicar el método de los trabajos virtuales.55 lx
Y procediendo de la misma forma que en el caso anterior: j M1 ' A´I Fye zI % A Fye z j M2 ' A´E Fye zE % A Fye z
(1. obtendríamos la fórmula 1. 2000.
.2 Cálculo de armadura en la dirección perpendicular al borde En la otra dirección se aplicará la fórmula 1.29)
A´I Fye z´I % A Fye z 1& 0.2. Veamos: Como en este caso la articulación de apoyo se dispone en el límite interior de la viga perimetral.38
1 2 P L y lx 2
A´E Fye z´E % A Fye z 0.28)
(1.22 2´I % 2.27)
La separación entre la articulación plástica central M. y la articulación plástica de apoyos adyacente a la primera fila interior de columnas se toma constante e igual a:
x ' 0. o que da como resultado la siguiente fórmula de recurrencia: 2´E z´ % 1. o según el borde de la pared. la separación entre las articulaciones plásticas de apoyos vale:
lx ' L x & c x
(1. que considera que se produce asimetría en la formación de la articulación plástica central dando a x el valor de 0.31)
Y operando.12.
© Los autores. 2000.26.3.20 1& cx lx
P lx L y 8 A t Fye z
(1. que corresponde a la carga mínima de rotura.3. © Edicions UPC.55 Lx .22 2 z 2.
o empleando el método de los trabajos virtuales.
l x ' L x & cx x ' 0.36)
que nos daría la fórmula final: 2´I z´ % 2. y teniendo en cuenta que por ser un simple apoyo la entrega entre la losa y muro no habrá momento negativo en la losa:
j M1 ' A Fye z % A´I Fye z´I j M2 ' A Fye z
(1.12.Forjados
© Los autores.33)
que sustituyendo en 1. teniendo presente la inexistencia de la viga de borde y de la ausencia de barras del tipo A´E (armadura de negativos saliendo del muro).65 lx
(1. 2000. En este caso se aconseja tomar un valor de 8 ' 0.60 . © Edicions UPC. deberá utilizarse la fórmula 1.32)
A´I Fye z´I % A Fye z 0.3.60
Si se trata de la rotura de una banda perpendicular al borde (Fig.2.9 caso B).65
(1. 1.65
A Fye z 1 & 0.24. Tendremos.11 para el esquema en el que aparece una articulación plástica paralela al muro. 2000.4 Tipología de losa de forjado apoyada en el perímetro sobre muros macizos Cuando el borde de la losa se apoye en un muro macizo deberá utilizarse la fórmula 1.55 2 z 1& cx lx
© Edicions UPC. 1.40
Fig. 2000.12 Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel sustentado por un muro macizo de borde
1.2.3.5 Tipología de losa de forjado en voladizo Se deben analizar por separado: a) Las armaduras perpendiculares al borde del voladizo que corresponden a la hipótesis de formación de una articulación plástica paralela al borde en el arranque del voladizo (Fig. 1.12 caso A).4 b) Las armaduras paralelas al borde del voladizo que corresponden a la hipótesis de formación de articulaciones plásticas perpendiculares al borde en la dirección del voladizo (Fig. 1.12 caso B). Por simetría la articulación positiva se ubica en el centro del panel x' 0,50 lx y se resuelve, en esta dirección, como un panel interior siendo aplicable la fórmula 1.8.
Fig. 1.13 Resolución por el método del equilibrio de un panel de borde en voladizo y tensiones en las líneas de rotura
1.3. Estudio de la rotura de un forjado con carga uniformemente distribuida
1.3.1. Introducción En la figura 1.15 se representa la ubicación de las líneas de articulación plástica, en el estado de rotura de la losa del forjado, para la hipótesis de que la sobrecarga actúe por igual en toda la superficie del forjado. Siempre que se cumplan las recomendaciones de ámbito geométrico de las TsNIPS antes apuntadas en este trabajo, no será necesario llevar a cabo la comprobación de rotura simultánea de dos bandas adyacentes paralelas.
Fig. 1.14 Esquema de sobrecargas en todos los tramos
Cuando se calcula, con carga uniforme en todo el forjado, en base a la hipótesis de carga uniforme en todos los paneles del forjado, se admite que en los paneles intermedios se forman articulaciones plásticas (unas paralelas y otras perpendiculares a las filas de columnas que recuadran las bandas en cuestión). Cada panel queda dividido por dichas articulaciones plásticas M en cuatro eslabones, que tienden a girar alrededor de las articulaciones plásticas oblicuas de los apoyos M´, cuyos ejes de rotación se hallan en la zona de los capiteles, y oblicuamente en relación a los ejes ortogonales de la losa.
Fig. En la configuración de la rotura. 1.16. © Edicions UPC. de acuerdo con la figura 1. Las articulaciones plásticas centrales M no dependen.
© Los autores. por simetría.
.15 Esquemas de las líneas de articulaciones plásticas de una losa con sobrecarga en todos los tramos
La ubicación de las articulaciones plásticas de los apoyos M´ coincide con las líneas de los centros de las columnas. La línea de articulación plástica oblicua es la única que puede variar su ubicación en función de las dimensiones y formas de los capiteles. de la forma y dimensiones de los capiteles. Su ubicación definitiva estará en función de la carga mínima de rotura. se observa la división de un panel en cuatro eslabones cuyos ejes de rotación son las líneas de rotura oblicuas. 2000.
1 Caso general Para el caso de capiteles cuadrados o rectangulares y una relación entre las armaduras.3.2.2.
. 1.3. de:
© Los autores.16 Esquema de rotura de un panel en el caso de colapso simultáneo de dos paneles adyacentes
1. 2000.Forjados
Fig. © Edicions UPC. 2000. respecto a los ejes coordenados. Paneles interiores 1.
ídem respecto al eje y. 2000. Y se podrá utilizar la fórmula de uso general: 2´x % 2´y Ly # 2 Lx % Ly 2 siendo: C 2'x 2'y 2x 2y es el cateto del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el eje de rotura por encima del capitel c ' cx% cy es el coeficiente que relaciona la armadura superior A'x en el apoyo respecto a la total Atx en la dirección x. ídem respecto al eje y. es el coeficiente que relaciona la armadura inferior Ax en el centro del vano respecto a la total Atx en la dirección x.
& 2C %
Fig. 2 % 2y z´ % x 2 z 4 C3 · 3 Lx Ly
8 A Fye z
(1.17 Esquema de las líneas de rotura negativas en un panel rectangular
© Los autores. © Edicions UPC. 2000. 1.46
La dirección de la línea de articulaciones plásticas tendrá una inclinación de 45º cuando pasa cerca de los ejes de los pilares.
Para obtener dicha fórmula. 2000. El brazo del par de fuerzas interiores valdrá. para lo que. sobre un largo del eslabón de valor 1/2 Lx. equilibrando a las fuerzas de tensión en 3-4. zc. En las zonas 1-2. actúa el momento de rotura: F 2 ATx z M 1& 2 ' ye (1. en este caso. en la línea 4-5: R´x ' Fye 2´ A´T x 2
(1. no existen fuerzas de compresión. en la intersección del ángulo del capitel (nervio de la T para el ala extendida). por lo que la carga exterior se deberá equilibrar con las fuerzas transversales concentradas en la zona comprimida de la sección 3-4 (ver Fig. en forma similar. tomando como eje de referencia el eje 0-0 que se encuentra en el plano de la sección 3-4 y que pasa por el centro de gravedad de la zona del hormigón comprimido.40) 2
2) En la línea 1-5. no hay fuerzas transversales. el mismo momento de rotura: F 2 ATy z M 1& 5 ' ye (1.15 y a lo largo del eslabón cuya longitud vale 1/2 Ly. 1. plantearemos las ecuaciones de equilibrio de uno de los eslabones rígidos de un panel interior: 1) En la línea 1-2 de la figura 1. en estas secciones de hormigón (2-3 y 4-5). 2000.15. 1-5 y 4-5. actúa una fuerza de tracción que es igual a la sección de la armadura multiplicada por la tensión de fluencia: R´y ' Fye 2´ A´T y 2
(1.16) Para expresar las ecuaciones de equilibrio igualaremos a cero la suma de todos los momentos que actúan sobre el eslabón analizado. pues todas ellas están concentradas en la parte inferior de la sección 3-4. © Edicions UPC. actúa por simetría.42)
y. 2-3.43)
Según la opinión de los autores de la norma. tenemos:
© Los autores. en razón de la simetría. tal como puede verse en la figura 1.
.41) 2
3) En la línea 2-3. en la cara superior de la losa.
& 0. 2000.
0. para un panel interior de una losa totalmente cargada
© Los autores.71 lx L y 8
P 0. 2000.5 (1 % $) & 2 Fye´ A t z 2
( 1% $ ) %
3 3 lx
(1 % $) 3 & $ (1. 1.18 Esquema de equilibrio de momentos respecto al eje de rotación 3-4. © Edicions UPC.67
(1 % $) 2 $
( 2´
z´ % 2 ) (1 % $) ' 0 z
o simplificando: 2´ # 1& 4 cx Lx z´ % 2 z cx
% 2.45)
2000.48)
P L3 # 8 A t Fye z
C 4 C3 % L 3 L3
© Los autores.10 y 0. nos da la ecuación general 1. 2. 1.8 correspondiente a sobrecargas sobre tramos alternos. antes se trataba de calcular el brazo elástico de una sección trapezoidal mientras que ahora se trata de una sección triangular (ver Fig.3. pues supone un error del 0. § 2) el término: cx
2. es formalmente igual a la ecuación 1. © Edicions UPC.47)
independientemente del valor de $.2.49)
(1. La ecuación.
.12 (ver Cap. en su forma final. Comparando ambas ecuaciones.2 Caso particular de paneles de forma cuadrada Cuando los paneles son cuadrados Lx = Ly = L .7 3 Lx Lx Que. sustituyendo C por cx + cy. Y la ecuación anterior tomará la siguiente forma: z´ % 2 2´ 2 P lx L y z # 3 8 A t Fye z c cx 1& 5 x % 10. la sección de las armaduras deberá ser la misma en los dos sentidos 2'x = 2'y =2' y 2x = 2y = 2 y la fórmula 1.39 se simplifica notablemente quedando reducida a: 2´ 1& 2 z´ % 2 z (1. 2000. supondremos que: ( 1% $ ) 2 ' 4 $
(1. 1.67
( 1% $ ) 2 $
(1.3%.39.46)
Es pequeño frente a la unidad por lo que. las diferencias más notables se encuentran en el denominador de la parte derecha de la igualdad y en el valor del brazo elástico en el apoyo zc .19).Forjados
Como el valor de cx / Lx varía entre 0. a fin de simplificar.1% al 0.
3 Extrapolación para el caso de ausencia de capiteles Es interesante observar como. 2000. 2000. en el caso de ausencia de capiteles. © Edicions UPC.2.3. además de las líneas de rotura rectas aquí contempladas.
. 1. debería contemplarse la posibilidad de aparición de líneas de rotura curvas.50
Fig.19 Esquema de diferentes capiteles con y sin alternancia de cargas
La solución que puede contemplarse en la figura 1.W. 2000.20 Líneas de rotura de losa sin capiteles en el caso de carga uniforme distribuida
© Los autores. debida a K. © Edicions UPC.
Fig. 2000. corresponde al caso "extremo" en el que las reacciones producidas por los pilares puedan considerarse concentradas en un punto. Johansen (ver Bibl. 4).
1.21 Líneas de rotura de losa con capiteles en el caso de carga en alternancia en ambas direcciones y en todos los vanos alternativamente
1. 2000.22 Esquemas generales de los mecanismos de rotura de losa en ausencia de capiteles (hipótesis de reacciones puntuales en pilares)
Fig. © Edicions UPC. 2000.
por lo que las líneas de rotura en las semibandas de borde quedarán ubicadas tal como indica la figura 1.1 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales con semicapiteles En los paneles de borde.3. para las armaduras superiores de enlace entre la losa y la jácena de borde.1).2 Tipología de losa de forjado con columnas perimetrales sin semicapiteles y con Tipología con viga perimetral Si el extremo de la losa lleva jácena de borde.3. 1. 2000.3.3.23 Esquema de rotura en paneles de borde con semicapiteles
Fig. 2000.3.54
1. © Edicions UPC. serán de aplicación las condiciones establecidas en el caso Sobrecargas sobre tramos alternos alternos (§ 2. suponiendo que puede producirse cualquiera de las dos situaciones siguientes: a) rotura de la jácena de borde b) la jácena de borde no se rompe.3.3 Paneles de borde 1. es conveniente efectuar el cálculo a rotura con el mismo esquema que en el caso de semicapiteles indicados en el párrafo anterior. apoyados sobre semicapiteles soportados por columnas.23). Al mismo tiempo. 1.24.
© Los autores. el esquema de rotura es el mismo que el de los paneles interiores (ver Fig.
3.3 Tipología de losa de forjado apoyado en muro perimetral Cuando la losa apoya su borde contra un muro.
© Los autores.3. el cálculo se efectúa suponiendo que el esquema de rotura es el de la figura 1. © Edicions UPC. 1.24 Esquema de rotura en paneles de borde con vigas perimetrales
1. 2000. 2000.
3. 1. 2000. 2000.4 Tipología de losa de forjado en voladizo
Fig.25 Esquema de rotura en paneles de borde con apoyo perimetral
1. 1.3. © Edicions UPC.26 Esquema de rotura en paneles de borde de losa en voladizo
2. Por equilibrio le corresponde a este un eslabón de menor superficie y por tanto de menor ancho. © Edicions UPC. para conocer donde deberán anclarse las armaduras traccionadas. De todas formas. 4. el esquema de rotura de los paneles de borde tiene las mismas características que la de los paneles interiores.
. tanto en la zona de capiteles (para tener un mayor conocimiento de la cantidad de armadura del empotramientos).8 caso A no sobrepasará el valor de 0.Forjados
En el caso de existir una ménsula después de la fila de los pilares de borde. 2000. y emplearemos el término de límite elástico para definir indistintamente este valor como el de límite de fluencia. a partir de ahora.
1. como en las losas propiamente dichas. prescindiremos del escalón de relajamiento. es conveniente efectuar los cálculos para diversas posiciones de las articulaciones plásticas.125 de la luz de cálculo del tramo considerado.
© Los autores. 2000. 7) la distancia entre el eje de la línea de pilares y la articulación plástica en la figura 1. La asimetría en la configuración de rotura se produce por la mayor absorción de momento negativo del pilar interior respecto al exterior. 3. Según Shtaerman-Ivianski (ver Bibl. Más acorde con la nomenclatura actual de cálculo a flexión de losas.
1 Comprobación de tensiones
El comportamiento de una losa con capiteles respecto a la misma losa sin capiteles presenta las siguientes diferencias:1 con capiteles sin capiteles Luz de cálculo a rotura menor Mayor capacidad de absorción a momento Brazo mecánico mayor Mayor capacidad a punzonamiento Mayor rigidez del conjunto lx=Lx-2cx MF hc Qpunz K Lx MF hl Q'punz K'
Evidentemente funcionan como bielas de compresión.2. © Edicions UPC. se propone. deberán comprobarse siempre las tensiones que se producen en las uniones del perímetro del capitel con la losa y el pilar: en concreto. Baykov (ver Bibl.1. Para el caso C: En el perímetro del ábaco ABCD. En tal caso se armará solamente teniendo en cuenta consideraciones constructivas. En concreto. 2000.
. 2000. analizar los siguientes casos: Para el caso A: En el perímetro superior ABCD y en el del perímetro de la columna IJKL. para las distintas tipologías representadas en la figura 2. en el del capitel EFGH y en el de la columna IJKL. Para el caso B: En el perímetro superior ABCD. De todas formas. en el perímetro puntos de quiebre EFGH y en el perímetro de la columna IJKL.Capiteles
2. principalmente para absorber los esfuerzos de contracción y dilatación.
© Los autores. 8) propone el armado de capiteles indicado en la figura 2.
.2 Tipología de capiteles considerados
© Los autores. © Edicions UPC. 2000. 2000. 2. 2.1 Esquema de armado de capiteles
10 # c # 0. 2000.1)
r $ c % 0.3 Principales parámetros en capiteles con quiebre
© Los autores.09 l
hc & hl hl
. las instrucciones soviéticas recomiendan aplicar las proporciones siguientes. 2000.00 #
(3.12 L
(2. © Edicions UPC. 2.1)
" $ 45 E
(5.3.Capiteles
Fig. confirmadas empíricamente: 0.2 Dimensiones básicas
Cuando se proyectan capiteles cuadrados o rectangulares del tipo representado en la figura 2.1)
así como las propias del capítulo de forjados. En la figura 2. apuesta por un valor de cx=cy igual al 12. Jiménez Montoya. 2000. tanto para el caso I como para el caso II las medidas de la parte superior del capitel deben ser. © Edicions UPC. Si se respetan las anteriores recomendaciones. 2. Al respecto.
© Los autores.1.3.5% de la luz entre pilares.35 de la luz del tramo correspondiente y para capiteles sin ábaco no menores de 0.
. Estas proporciones deberán comprobarse en las dos direcciones x e y de la estructura. es admisible no efectuar la comprobación a la rotura de dos bandas adyacentes. en todo caso. en cambio. 2000. no menores de 0. Normalmente. del orden de la décima parte de la luz entre ejes de pilares.62
Siendo L la luz genérica del intereje de pilares y los otros parámetros de acuerdo con la figura 2. se podrá tomar un valor para cx=cy. es interesante la publicación de la bibliografía nº 7 en la que se estudian en profundidad la incidencia de la forma de los capiteles en la absorción de esfuerzos de la losa. calculando solamente el caso de una banda tipo y suponiendo que las articulaciones plásticas se forman exactamente en el límite del quiebre del capitel (a la distancia c del eje del pilar).20 (ver Bibl.
2000. para el cálculo.1 Hipótesis de carga
Se deberá tener en cuenta.
.Pilares
3. una articulación plástica (ver Fig.1 Formación de rotura plástica en pilar central con alternancia de carga en vanos continuos
© Los autores.1). es decir.
Fig. la posibilidad de que mientras que a un lado del pilar A actúe solo la carga permanente del forjado. © Edicions UPC. 3. 2000. el efecto de la alternancia de cargas. En este supuesto B y junto al pilar se producirá. 3. en el cálculo a rotura. en el lado opuesto B actúe la totalidad de la carga (permanente más sobrecarga).
Para encontrar el valor del momento flector que se transmite al conjunto (columna-capitel) aplicaremos la fórmula: j M ' Fye Ax 1 & la p ( m% n ) · p% q l 2 b
(3. 3. © Edicions UPC. lógicamente. 2000.
.6 con: m ' 2´2 z´2 (L b& c 1 ) (L b& c 1% c 2 ) % 2 z 4 ( L b& c 1 ) c 2 (L b& c 1& c 2 ) 2 (3.2 Esquema de cálculo de pilar central con alternancia de cargas
© Los autores.64
Este proceso deberá efectuarse. 2000. tanto para las bandas longitudinales como para las transversales.2)
Que recuerda a la ecuación 1. 3.2 Caso de pilares centrales (ver Fig.
El término 1 — p/(p+q) · La²/L b² representa la influencia favorable aportada por el vano contiguo. 2'
(3. sección de la armadura en el centro del vano. sección de la armadura de la losa en el apoyo junto al pilar 2. ídem de la rótula plástica al pilar 1 enfrentado. 2´2 ' At At
(3. 2´1 '
. la luz de cálculo del vano descargado. el peso propio del vano descargado. el brazo del par de fuerza interior de la sección en el centro del vano. 2000.4)
siendo: Fye p p+q Lb La c2 c1 z'2 z'1 z A A'2 A'1 At la resistencia de cálculo a tracción de las armaduras. sección total de la armadura en el centro del vano. el brazo del par de fuerzas interiores en la sección del apoyo junto al pilar considerado. M'2 y M. sección de la armadura de la losa en el apoyo enfrentado al pilar 1.3)
At ' A %
A´1% A´2 2
. la distancia de la rótula plástica del vano Lb al eje del pilar 2 considerado. este momento se expresa en función de los momentos flectores de rotura que se producen en las tres articulaciones plásticas del panel considerado M'1. 2000. 2´1 z 1 ' 2´2 z 2 ' 2´ z´
Los términos m y n representan el momento flector del panel cargado sobre el apoyo materializado por las columnas.Pilares
2´1 z´1 ( Lb& c 1% c 2 ) c1 (Lb& c 1& c 2 ) 2 A´1 At A´2 A .1 En el caso de construcción simétrica tendremos:
c 1 ' c 2 ' c . el peso propio más la sobrecarga del vano. el brazo del par de fuerzas interiores en la sección del apoyo enfrentado al pilar considerado. la luz de cálculo del vano cargado.
c) El momento resultante en la losa será: M losa ' j M K losa K s % K i % K losa
siendo: K Ks Ki Klosa H h Is Ii Ilosa la rigidez del elemento.5)
Dicho momento EM se repartirá proporcionalmente a las rigideces lineales de los elementos que coinciden en el nudo analizado (ver Fig. ídem de la losa del vano cargado teniendo en cuenta su posible reducción por huecos en el forjado.3). la rigidez del pilar superior. igual a 4EIs / (H-h) la rigidez del pilar inferior igual a 4EIi / (H-h) la rigidez del vano descargado igual a 4EIlosa / (L-c1-c2) la distancia inter-plantas. 3. el momento de inercia del pilar superior del nudo considerado.6)
b) El momento en la cabeza del pilar inferior será: M cab ' j M Ki K s % K i % K losa
(3. 2000.
© Los autores. ídem del pilar inferior.66
y la fórmula anterior se convertirá en: p La p% q L 2 b
j M ' Fye A t
2´ z ´ L b % 2 z 4 (L b& c) c (L b & 2c ) 2
(3. 2000. la altura total del capitel. © Edicions UPC. igual a 4EI / L para barras biempotradas. Así: a) El momento en pie del pilar superior será: M pie ' j M Ks K s % K i % K losa
1 Caso de pilares de borde con semicapiteles y/o viga perimetral El momento resultante será igual a: j M ' Fye A x m% n ( L x& c 1& c 2 ) 2 (3.3. 2000.3 Caso de pilares de borde
El proceso de cálculo de los pilares de borde es análogo al anterior:
3. 3.Pilares
. 2000.3 Equilibrio de momentos en nudo losa-pilar
2000. © Edicions UPC. 3.4 Cálculo de pilar de borde con semicapitel
Dicho momento EM se repartirá proporcionalmente a las rigideces lineales de los elementos que coinciden en el nudo analizado.68
b) El momento en la cabeza del pilar inferior será: M cab ' j M Ki K s% K i
(3. 2000.11)
© Los autores. Así: a) El momento en pie del pilar superior será: M pie ' j M Ks Ks % Ki
para el caso de construcciones simétricas y una banda cargada. quedará en:
2´ z ´ L x % 2 z 4 ( L x & c ) c (L x & 2 c) 2
p Ly Lv 2
(3.Pilares
Fig. 3.5) El momento resultante será igual a: p Ly Lv 2
j M ' Fye A t m &
(3. © Edicions UPC.12)
Que. 2000. 3.3.2 Caso de pilares junto a voladizos (ver Fig.5 Esquema de cálculo de pilar de borde con voladizo
3. 5). © Edicions UPC.
Fig. 2000. 2000.5 (3.6).6 Equilibrio de cortantes en pilar
© Los autores.4 Cortante
Según Bondarenko (ver Bibl. 3.14) H& h
Siendo Mmax el mayor valor entre Mpie y Mcab (ver Fig. el esfuerzo cortante en la cabeza del pilar se determinará por la fórmula: M max Q ' 1. 3.
© Los autores.15)
rigidez del pilar superior al nudo considerado.
diremos que la rigidez del apoyo (pilares de borde) es suficiente.). 2000. 2000. En caso contrario se tratará de un apoyo con rigidez insuficiente.Pilares
3. Evidentemente este sistema es un método empírico aproximado para determinar la rigidez del nudo en cuestión. © Edicions UPC. ídem inferior.
1. 3). Así.5 Pilares con suficiente rigidez
(K s% K i) K losa
siendo: Ks Ki Klosa
(3. rigidez de la losa concurrente al nudo (ver Cap. B.
. si para el dimensionado de los pilares fuese necesario contemplar la hipótesis de carga total (permanente más sobrecargas) en todos los vanos. el término anterior quedaría reducido a 1 — (La2 / Lb2) con lo que el axil aumentaría y disminuiría el momento flector total (N.
diámetro de los redondos. 2000.
.1 Cantos útiles y brazos elásticos
Se tomará como canto útil. © Edicions UPC.1)
siendo: ht Øu altura total de la sección. tanto de la losa hL como del capitel hc.1 Esquema de cantos útiles en cada dirección
Fig.Criterios de armado
4. 2000. el siguiente valor:1
h L ' h t & Øu & 1 cm
© Los autores.3)
siendo: Lx Fcd P luz de cálculo entre apoyos. se transmitirán sobre el apoyo (ver Fig. la fuerza de compresión del par en el capitel será igual a:
P L y L x 0. © Edicions UPC. carga superficial que gravita sobre el forjado igual a p + q
Veamos cómo se deduce esta última fórmula (4.8 2 · 0. 2000. y admitiendo que el brazo mecánico del capitel es de 0. el momento total que actúa sobre la faja central será igual a:
P L y ( 0.3) aproximada: Admitiendo que la distancia entre las articulaciones plásticas que limitan una banda es de 0.8 Lx.8 L x ) 2 8
(4.96 h L y para el capitel: P Lx
(4. 2000.75 P Ly Lx M ' ' 8 · 0.4)
del cual.2).9 hc. resistencia a compresión del hormigón.2)
zc ' hc
6 h c Fc d
. En primera aproximación. las tres cuartas partes aproximadamente. 4.9 h c 15 hc z
El brazo mecánico del par resistente podrá tomarse:2 para la losa igual a: z L ' 0.
Criterios de armado
Si podemos considerar que la anchura del capitel en la sección de rotura es de 0,2 Ly, la altura de la zona comprimida x será igual a: P Ly Lx
15 hc· 0,2 L y Fye
3 hc Fye
Deduciendo la mitad de la altura de la zona comprimida del hormigón de la altura total del capitel, se obtiene la fórmula 4.3.
Fig. 4.2 Esquema de sección de cálculo a rotura de una losa intermedia, una vez producidas las rótulas plásticas
4.2 Distribución de la armadura
4.2.1 Distribución de la armadura en apoyos y vano Para poder calcular la armadura de la losa a partir de las fórmulas planteadas en el capítulo 1 (forjados), será necesario prefijar qué proporción de la armadura total en cada
dirección Ax o Ay se deberá colocar en los apoyos (zona de negativos) y qué proporción restará para la armadura de tramo (zona de positivos). Analizemos qué ocurre en los siguientes casos:
4.2.1.1 Paneles intermedios En los vanos intermedios y siempre según la norma TsNIPS se recomienda que 2' y 2 oscilen entre los valores siguientes:
0,50 < 2' < 0,67 de la sección total 0,33 < 2 < 0,50 de la sección total3
4.2.1.2 Paneles de borde Al igual que en el caso de los paneles interiores, es importante adaptar los valores 2'I , 2'E y 2 en función de cómo se distribuyan los momentos en el comportamiento elástico de la losa, para evitar la aparición de fisuras prematuras. A su vez, la distribución de estos momentos dependerá del grado de empotramiento elástico de la losa con los apoyos perimetrales, o sea, de la relación entre el momento lineal de inercia de la losa, del tramo de borde y de la suma de los momentos lineales de inercia de los apoyos perimetrales, superiores e inferiores. A consecuencia de ello, los coeficientes de distribución de la armadura del tramo de borde, 2'I , 2'E y 2, también podrían obtenerse empleando cualquier método elástico de cálculo de esfuerzos.4 Al respecto, es interesante la tabla 1, propuesta por Shtaerman-Ivianski (ver Bibl. 7), que obtiene los valores 2'I , 2'E y 2, en función del coeficiente n , que relaciona los momentos de inercia de pilares y losa. Implícitamente se deduce el coeficiente " , que relaciona los momentos negativos interior y exterior entre sí:
Coeficientes de distribución de la armadura (2'I , 2'E y 2) y de los momentos en el tramo de borde (MsE y MsI)
Forma del coeficiente 0,0 2'I = A'I / At 2 = A / At 2'E = A'E / At " = M'sI / M'sE 0,77 0,615 0,00 0,00 0,0 - 0,5 0,715 0,57 0,143 0,20
Is % Ii I losa 2,0 - 8,0 0,65 0,44 0,45 0,70 8,0 - 4 0,60 0,40 0,60 1,00
0,5 - 2,0 0,67 0,53 0,27 0,40
siendo (ver Fig. 4.3): M'sI M'sE 2'I 2'E 2 Is Ii Ilosa n momento negativo interior de la losa (correspondiente a 2'I ) momento negativo exterior de la losa (correspondiente a 2'E ) coeficiente que relaciona la cuantía de armadura superior correspondiente al pilar interior (A'I) respecto a la total (At) en la R.P. interior. coeficiente que relaciona la armadura superior correspondiente al pilar exterior (A'E) respecto a la total (At) en la R.P. exterior. coeficiente que relaciona la armadura inferior correspondiente al centro del vano (A) respecto a la total en la R. P. central. momento de inercia del pilar superior. momento de inercia del pilar inferior. momento de inercia de la losa. coeficiente que indica el grado de empotramiento elástico losa-pilar en el nudo exterior obtenido a partir de la relación de inercias.
Fig. 3 § 5).
© Los autores. conviene armar los paneles de borde exactamente igual que los paneles interiores.
B) Caso de pilares con semicapiteles Cuando los paneles de borde se apoyan en una hilera de semi-capiteles soportados por unos pilares con suficiente rigidez (ver Cap. © Edicions UPC. 2000.3 Cálculo de pilar de borde con semicapitel
Veamos lo que nos aconsejan las Instrucciones soviéticas TsNIPS:
A) Caso voladizos En los paneles de borde con voladizos se recomienda mantener la misma distribución de armadura 2' y 2 que en los paneles interiores. 4.
2000.2 Distribución de las armaduras entre bandas central y soportes 4. 2´E '
(4. las armaduras se dispondrán exactamente como en el caso de un vano intermedio.
4. 2 ' 0.6 . 2´E '
(4. las armaduras se dispondrán exactamente como en el caso de un vano intermedio.2.10)
2'E toma este valor por estar la losa apoyada sobre el muro de borde.2. © Edicions UPC.5 . se recomienda dejar la misma armadura paralela a la línea de borde que en los vanos interiores. corresponde distribuir cada una de ellas entre las bandas central y de soporte. admitir para las armaduras perpendiculares al borde los siguientes coeficientes:
. 2000.9)
Paralelamente al borde. 2 ' 0. las armaduras perpendiculares al paramento exterior deberán seguir las siguientes proporciones:
2´I ' 0.5 .8 . y colocar perpendicularmente al borde una armadura que cumpla:
C) Caso de pilares con viga de borde Cuando el borde de la losa está soportado por una viga perimetral5 exterior se recomienda. 2 ' 0.
Paralelamente al borde.Criterios de armado
Cuando la rigidez de los pilares de borde no cumpla el punto anterior.1 Paneles intermedios Determinada la cantidad necesaria de armadura en el tramo y en los apoyos. independientemente de la rigidez de los pilares.2. D) Caso de apoyo sobre muro macizo Cuando el borde se apoya sobre un muro macizo. 2´E ' 0
© Los autores. aunque estudios realizados por el TsNIPS en 1940 permiten suponer que el carácter de la distribución de la armadura en el ancho de la sección no influye de manera significativa sobre las condiciones cualitativas de los forjados. b) Caso semicapiteles. toda la armadura que se necesitaba en una banda en el cálculo deberá colocarse en el arranque de cada capitel. colocar el tercio restante de la armadura en las bandas centrales. tanto los positivos como los negativos. Los positivos. 4.2. conviene emplear la misma distribución de armadura que en los paneles interiores.8 En lo referente a las armaduras inferiores de la banda de borde y a las armaduras superiores colocadas encima de la primera línea interior de pilares. 2000. con la única salvedad de que en la dirección perpendicular al borde de los voladizos. Se recomienda mantener la misma distribución de armadura que en los paneles interiores. Cuando la rigidez de los pilares de borde no cumpla el punto anterior se recomienda dejar la misma armadura paralela a la línea de borde que en los vanos interiores.
. al igual que las TsNIPS. Ivianski distingue en los negativos según se trate de bandas de soporte o banda central: aconseja colocar en dos tercios de la armadura en la zona de pilares. y el tercio restante en la banda central.1. se recomienda concentrar los dos tercios de la armadura total en las bandas de soportes y. será necesario colocar al menos dos tercios de las armaduras superiores en las zonas de arranque de los capiteles. En cambio.80
No hay soluciones prácticas definitivas para esta cuestión. aconseja distribuirlos uniformemente a lo largo de todo el tramo. entendiendo como tales la banda que ocupa la zona central de anchura la mitad de la distancia entre ejes de pilares. entendiendo como tal una zona de la losa enmarcada en un cuadrado cuyos extremos están situados a un cuarto de la luz de cada lado del eje de una hilera de pilares (banda soporte).2 Paneles de borde7 a) Caso voladizos. Las Instrucciones soviéticas recomiendan armar uniformemente todos los paneles. c) Caso pilares con viga de borde.2. con la única diferencia de que. conviene efectuar una distribución lo más uniforme posible. cerca del borde. 2000. Cuando los pilares de borde que soportan la losa puedan considerarse de rigidez suficiente (ver 4. por tanto. En la unión de la losa con la jácena perimetral. © Edicions UPC.2 B).2.
4.5 L& c )
(4. se recomienda distribuirlas entre las secciones de apoyo y centrales de forma idéntica a los paneles intermedios. d) Caso apoyo sobre muro macizo. proyectados y calculados según las indicaciones anteriores. la distancia e2:9 2 % lanc z´ 2´% 2 z
e2 ' 0.1. Los dos tercios restantes se colocarán junto a las zonas de capiteles (bandas soportes).12)
(4. 2000.3. Longitudes de las armaduras
En los techos fungiformes.5 L & (0. 2000. En cuanto a las armaduras de distribución en las bandas centrales de los vanos (semilongitud de inter-ejes de pilares).1 Paneles intermedios 4.3. Paralelamente al borde. © Edicions UPC. se deberán respetar las siguientes disposiciones relativas a la posición del extremo de las armaduras. las armaduras se dispondrán Caso exactamente como si hubiese una viga perimetral.1 Armadura superior La armadura superior.5 L & (0.
. debe cubrir al menos una distancia e1 a uno y otro lado de cada fila de apoyos fijada por: 0.3. se le adjudicarán un tercio de la armadura total.11)
si bien. cuya sección hemos calculado anteriormente (A').5 2´ % 2 % lanc z´ 2´% 2 z
e1 ' 0. como mínimo la mitad de esta armadura deberá alcanzar a uno y otro lado del eje de cada fila de apoyos.Criterios de armado
En lo referente a las armaduras paralelas al borde de la losa.
2 Armadura inferior Por lo que respecta a la armadura inferior del vano del panel. al menos.5 2 % lanc z´ 2´ % 2 z (4.5L & c) 0. 2000.
.4 Esquema de longitudes de armado de una losa
© Los autores. una longitud e3.1. en una longitud no menor a la longitud de anclaje normalizado para los aceros estirados. a uno y otro lado del eje que pasa por el centro del panel. la armadura deberá cubrir. al menos la mitad de dicha armadura debe prolongarse más alla del borde del capitel.3.
si bien. © Edicions UPC. 2000. 4. longitud de anclaje para los aceros estirados.11 distancia del eje de una columna a la arista que define la transición entre los dos cuerpos del capitel.10
En las fórmulas anteriores: L lanc c distancia entre ejes de pilares (Lx y Ly en las direcciones x e y respectivamente).82
4. tal que: e3 ' ( 0.
deberá prolongarse una cantidad e1: e1 $ c % lx Mz & Mz
Mz % M´z
% la n c
4. 2000.Criterios de armado
La mitad de la sección A'/2 deberá prolongarse como mínimo la cantidad e2: e2 $ c % l x Mz & M
(4. en el caso de semicapiteles sobre columnas suficientemente rígidas (ver Cap.2. En los demás casos (columnas que no son suficientemente rígidas) las longitudes de anclaje estarán en función de: Mz '
2´I z´I % 2 z
M´z '
2´E z´E % 2 z
2´I z´I % 2 z M'
(4. Las armaduras perpendiculares al borde presentarán idéntica posición de sus extremos a las de los paneles intermedios. © Edicions UPC.17)
© Los autores. 2000.3. en una hilera corriente.1 Armadura superior La sección total A'.2 Paneles de borde Las armaduras paralelas al borde se pueden interrumpir siguiendo las mismas reglas que para los paneles intermedios. 3 § 5).3.16)
La sección total A'E sobre la hilera de borde deberá prolongarse una cantidad e'1: e´1 $ c % l x M´z & M´z
4.11. En dichos esquemas debería satisfacerse la condición de rotura. Las fórmulas 4. en el caso de viga de borde. o de una semi-capa (A'/2 o A/2).2 Armadura inferior La sección total A deberá disponerse desde el centro del vano hasta una distancia de los ejes de los pilares exteriores igual a e3: Mz &
M (4.20)
e´3 # c % l x
2 & la n c Mz % M´z
En el caso de voladizo. © Edicions UPC. la mitad de A/2 deberá prolongarse más alla de la fila de borde. 2000. la mitad de A/2 deberá prolongarse hasta esta viga. se deducen del estudio de diversos esquemas de rotura.3. 2000. sino en la línea que forma la terminación de toda una capa de barras (superiores o inferiores). en una longitud igual al anclaje recto de la armadura. es decir.
© Los autores.19)
e3 # c % l x
La sección total A deberá disponerse desde el centro hasta una distancia de los ejes de los pilares exteriores igual a e'3: M´z &
M (4. que la capacidad portante de la losa no podrá ser inferior a la que se deduce de los esquemas básicos.20. al menos.2. a 4. de la sección A'E deberá prolongarse una cantidad e'2: e´2 $ c % l x M´z & M
(4. según las normas.84
La mitad. en los que las articulaciones plásticas se forman no precisamente en las zonas de momentos flectores máximos positivos o negativos. admitidos para el cálculo de los momentos.
21 (momento que se produce en B) con la anterior ecuación 1. © Edicions UPC.7 (momento plástico que se produce en la rótula A).Criterios de armado
Así. 4. 2000. la ecuación del trabajo elástico provocado por el momento flector será: P Ly ( Lx & 2 e2 )2 8 ' Fye A t z 2
(4. al formarse las articulaciones plásticas de apoyo a una distancia e2 de una fila de columnas.5 Localización de la sección de la rótula plástica
Podemos apreciar la similitud de la ecuación 4. una vez sumado el término lanc correspondiente a la longitud de anclaje.12.12
© Los autores.21)
Que se forma en la sección B-B' de la figura:
Fig. 2000. Dividiendo una por la otra nos da: (L x & 2 e 2 ) 2 ( L x & 2c x )
2 Mzo
2 z 2´ z´ % 2 z
(4. por ejemplo.
Y resolviendo el sistema respecto a e2 se obtiene la fórmula 4.
Es interesante observar la gran diferencia existente en la obtención de los valores de las longitudes de anclaje de las armaduras en función de la normativa empleada. La figura 4. Jiménez Montoya (ver Bibl. B.
© Los autores. la EH-91. Shtaerman-Ivianski (ver Bibl.Se considera vano interior si hj > hL Obviamente la jácena ha de tener suficiente capacidad a torsión. 10. La normativa soviética es muy arriesgada tomando sólo un centímetro de recubrimiento. en el art.20 L (siendo L la luz de cálculo). distingue en función de la relación entre el canto de la jácena de borde (hj) y el canto de la losa (hL): . fundamentalmente para losas de pequeño espesor.).4 m Ø2 o fyk Ø / 140. La EH–91 así como el código ACI americano distingue según se trate de vanos normales en que adopta el valor e3 = 0.25 L (siendo L la luz de cálculo). 10). los valores de los coeficientes 2 pueden variar. aconsejan adoptar directamente los valores intermedios 2s = 0. B. en más o en menos.125 L o cerca del borde en el que obliga a pasar toda la armadura e3 = 0. Jiménez Montoya 23. 2. 7). Ø el diámetro de la barra empleada y f yk la resistencia característica a compresión del hormigón (N.25 L. como puede apreciarse.1 indica los valores reales considerando la hipótesis anterior que. © Edicions UPC.35 y 0.86
1. Guerrin en su Traité de Béton Armé tomo nº 4 (ver Bibl.13 (ver Bibl. normalmente da resultados más conservadores que la fórmula 4. En este apartado se hace referencia a banda soporte y banda central definidas con igual criterio que la EH-92. 2000.6 y 2 = 0. Por consideraciones constructivas y prácticas. En cambio.85 veces (aprox. que en este último caso se arman menos las bandas de soporte: 66 % frente al 80 % y se arman más las bandas centrales 33 % contra el 20 % que indica la EH-91 (N. 4.4 válidos para los casos más habituales que se encuentran en la edificación. (ver Bibl. Igualmente. 10) propone un valor fijo de e3 : e3 = 0. 9. propone unos valores que complementan y modifican lo aquí expuesto. pero deberán cumplir siempre la condición: (2'I+2'E) / 2 + 2 = 1 7. la normativa española de hormigón armado EH-91. B. Según la EH-91 para barras corrugadas en posición II. recomienda para el cálculo del brazo mecánico un valor más conservador de 0. 12. 7/8) del canto útil de la losa (N. Jiménez Montoya (ver Bibl. incluso para valores bajos de recubrimiento. B. 6. así como nuestra normativa. 11.Se considera vano de borde si hj < hL .4. este valor se tomará igual al mayor de los dos valores siguientes: 1.). 3. Como podría ser nuestro método de los pórticos virtuales adoptado por la normativa EH-91. siendo m un valor variable en función del tipo de hormigón empleado. Dos centímetros sería mejor aunque se aconseja. 5. 10) propone un valor fijo de e1 y e2: e1 = e2 = 0.1 entresacada de las instrucciones soviéticas TsNIPS (N. distinguir entre el canto útil en el sentido del eje x y el canto útil en el sentido del eje y colocar el recubrimiento en función del grosor de la armadura empleada. 12). del orden de un 10%.). A.). 2000. 6) cuando realiza el cálculo mediante el sistema de los pórticos virtuales adopta un valor de e1. El código ACI. y e2 entre 0. presenta unas tablas muy interesantes que relacionan los coeficientes de reparto propuestos por distintas normativas y sistemas de cálculo. Parece deducirse comparando el método de los pórticos virtuales preconizado por la norma EH-91 con lo anterior (con todas las salvedades que ello conlleva). 55.
NC UQDTGECTIC
VQVCN FG HKUWTCEKÎP S
0SWGFCT¶ FGHKPKFC RQTSH
 / H .
 E 
.(KUWTCEKÎP [ FGHQTOCEKQPGU
%CRÈVWNQ  (KUWTCEKÎP [ FGHQTOCEKQPGU
 (KUWTCEKÎP
2CTC GNGIKT GP WPC GUVTWEVWTC C DCUG FG VGEJQ HWPIKHQTOG GN GUVCFKQ FG VTCDCLQ FQPFG XGTKHKECT NC EQORCVKDKNKFCF FG FGHQTOCEKQPGU GU PGEGUCTKQ EQORTQDCT NCU EQPFKEKQPGU FG HQTOCEKÎP FG HKUWTCU GP NQU RCPGNGU FGN HQTLCFQ
OQOGPVQU
HNGEVQTGU
NQPIKVWF
UGEEKÎP
GUVWFKCFC
RWGFGP
FGVGTOKPCTUG GP WPC RTKOGTC KPUVCPEKC RQT NQU OÃVQFQU DCUCFQU GP NC VGQTÈC FG NC GNCUVKEKFCF
'P GN ECUQ EQPETGVQ GP SWG GN HQTLCFQ UG JC[C FKUGÌCFQ UKIWKGPFQ NCU TGEQOGPFCEKQPGU EQPVGORNCFCU GP NQU ECRÈVWNQU CPVGTKQTGU NC UGEEKÎP O¶U RGNKITQUC GU CSWGNNC UKVWCFC GPEKOC FGN ECRKVGN [ SWG GUV¶ QTKGPVCFC  TGURGEVQ C NQU GLGU IGPGTCNGU FG NQU RKNCTGU XGT (KI 
5G EWCPVKHKEC GN OQOGPVQ FG HKUWTCEKÎP UKIWKGPVG/
RQT WPKFCF FG NQPIKVWF OGFKCPVG NC HÎTOWNC
.
© Los autores. puede llevarse a cabo el cálculo de las flechas admitiendo que no existe fisuración. 5. 2000.
. En este caso. la sobrecarga correspondiente al momento en que se empiezan a formar las fisuras. © Edicions UPC.88
siendo: Fctk hc qf la resistencia del hormigón a la tracción. la determinación de la abertura exacta de tales fisuras pierde toda su utilidad. el canto útil de la losa. 2000.1 Esquema de rotura de tramo central de losa con capiteles
Si la sobrecarga total aplicada (q) es inferior a qf .
en los techos fungiformes diseñados para ser utilizados como talleres o almacenes (esta última aplicación es la más frecuente). pueden calcularse por los métodos y procedimientos clásicos de la teoría de la elasticidad. 2000.3
En cualquier caso.018
(5.2. según consta en las susodichas instrucciones soviéticas.
5.Fisuración y deformaciones
.1 y 5.2 Deformaciones
5. y en el cálculo podrán utilizarse las fórmulas 5. la flecha instantánea. en el caso de no existir fisuración.
© Los autores. sin fisuración. 10). se podrá determinar a través de la fórmula siguiente: q (L x % L y ) Ec ht
f ' 0. Si se han atendido las indicaciones anteriores. ht el canto total de la losa. 2000. Ec el módulo elástico tangente del hormigón que. Para el caso de forjados fisurados.000 fc k (aplicable para cargas instantáneas).1 Caso de losa sin fisurar Las flechas de los techos fungiformes.2 Caso de losa fisurada En el caso de que la sobrecarga total q sea superior a la de fisuración qf. tiene un valor aproximado de 21.2. según Jiménez Montoya (ver Bibl. el valor de la flecha en el centro de un panel (sin fisuración). la flecha deberá calcularse teniendo en cuenta la fisuración.2 anteriores. se recomienda calcular la flecha máxima a través de un método aproximado de interpolación lineal. © Edicions UPC. Ly los interejes de pilares en las dos direcciones perpendiculares.3)
siendo: Lx . no deberá sobrepasar el 1/1000 de la luz.
2 Esquema de rotura de un panel cuadrado de un techo fungiforme
Si al calcular la sección de las armaduras se ha tenido en cuenta el efecto arco. la sobrecarga normal la sobrecarga correspondiente a la aparición de la primera fisura. 2000. 2000. la flecha correspondiente a la aparición de la primera fisura y teniendo en cuenta la fluencia del material. este factor deberá también tenerse presente al calcular la sobrecarga límite en el agotamiento de la capacidad portante de la losa.
© Los autores. la flecha límite correspondiente al instante previo a la rotura.
f ' f f % ( fu & f f ) siendo: f ff fu p pf pu
p & pf pu & p
(5. 5. © Edicions UPC. la sobrecarga última en el instante previo a la rotura.3a)
la flecha máxima total.
5. distancia entre ejes de pilares. altura media de la zona comprimida del hormigón que corresponde al estado en el que se calcula la flecha del elemento. que precede inmediatamente a la rotura.4)
siendo: l1 L Fye EY xm luz entre extremos de capiteles.
. A título de ejemplo.5 L& c ) Ey ( h t& x m )
(5. 2000. 5. será necesario comprobar la abertura exacta de dichas fisuras.4
Fig. que deberán ser tan estrechas como sea posible y.3 Altura media de la zona comprimida
5. © Edicions UPC. vapores ácidos. en todo caso.
© Los autores. cuando la ordenación de las columnas forme una malla cuadrada y consecuentemente la geometría de los capiteles sea también cuadrada (ver Fig. la flecha fu podrá determinarse por la fórmula: fu ' 0.2). en el caso de que la construcción esté sometida a la acción de un ambiente corrosivo y oxidante (humedad.3. etc. se determinará suponiendo que se realiza el esquema de rotura citado en el apartado 1.3 Ambiente corrosivo y oxidante
Siempre según las normas soviéticas.Fisuración y deformaciones
La flecha límite fu .). módulo de elasticidad del acero. cloro. inferiores a 0. 2000.10 l1 Fye ( 0. tensión admisible para las armaduras a tracción.20 milímetros. y siendo inevitable la presencia de fisuras.
2000.9)
Ra F´a 1 ' Ea ( ho & x m ) p(x)
(5. La fórmula anterior se deduce de las antiguas instrucciones soviéticas NyTU 123-55 en las que el momento de fisuración se deducía de aplicar la fórmula:
F´f '
Mf h& Xm 2
(5. Este último para cargas de poca duración se puede tomar igual a 21. art. Parece más lógico utilizar el canto útil de la losa que el canto total que indica la bibliografia nº 1 (N. Según las normas N y TU 123-155. en base a Fye correspondiente a la tensión del acero. © Edicions UPC. es un coeficiente que tiene en cuenta el trabajo del hormigón que se encuentra entre las fisuras de la zona traccionada. relación entre los módulos de elasticidad del acero —Ey— y del hormigón a la compresión —Ec—. B. 2000. sometidos a flexión. hc para capitel).33 cuando se trate de cargas de poca duración.5)
En el caso de sección rectangular sin capiteles y carga uniforme la fórmula anterior toma el conocido valor de
Fc tk h L 3. el valor de Xm puede calcularse mediante la fórmula:
Xm ' &
"2 % " ho 4
(5. Igualmente para calcular la flecha última en función del radio de curvatura será (ver Bibl. área de la armadura de la sección longitudinal.6)
1.000 fc k relación entre la parte elástica de la deformación del hormigón y la deformación total correspondiente al estado en el que se determina la flecha del elemento de la estructura.8)
anchura de la sección. 4. 9):
1 dx p (x)
© Los autores.). 3.
El producto de los dos términos anteriores se puede tomar igual a 0. (capítulo VII.7)
Siendo: b ho Ax n R (
A n b ho R (
(5. A partir de este instante. canto útil de la sección (hl para losa. parece que la instrucción esté hablando de sobrecarga cuando en verdad se refiere a la carga total que deberá soportar la losa.5
(5. 113 y 114). para los elementos de sección rectangular simplemente armados.92
La comprobación a fisuración se efectuará fundamentalmente en las secciones sobre el capitel.
. comprobarse que: Ppunz # 0.1)
sobrecarga de punzonamiento admitida por los cálculos. sobre el contorno de un capitel.Punzonamiento
6. cuyas generatrices tengan una inclinación de 45º respecto a la vertical. media aritmética de los perímetros de las dos bases (superior e inferior) de la pirámide formada de igual altura al canto útil de la losa. Deberá. Los esquemas de la figura 6.1 Punzonamiento
El cálculo de la losa a punzonamiento se efectuará. normalmente. por tanto. © Edicions UPC.
© Los autores. resistencia a tracción del hormigón. Según las Instrucciones soviéticas. además. se admitirá que se produce la rotura siguiendo la superficie de un tronco de pirámide o de un cono. aquel lugar donde se prevea la acción más desfavorable cerca de un hueco o de un ángulo entrante del borde del forjado y en la zona de sobrecarga más probable y/o más concentrada.75 Fctk h0 R Ppunz Fctk h0 R
(6.1 resumen los casos más comunes de posible punzonamiento de este sistema estructural. altura útil de la sección a verificar. Hay que elegir. 2000.
1 En particular.1. para el caso de la figura 6. la carga que deberá tenerse en cuenta para el cálculo del punzonamiento es:
© Los autores. cuando se trate de un tronco de pirámide en el que la base pequeña tenga por dimensiones 2x y 2y (pilar rectangular) y luces a cubrir Lxy Ly y que tenga que soportar una carga uniformemente repartida de densidad P. © Edicions UPC. el valor de la fuerza P se tomará igual a la suma de las cargas que llegan al capitel exceptuando las cargas aplicadas en el interior de la base mayor de la pirámide de punzonamiento (o más exactamente del tronco de pirámide). 6.
. 2000.94
Fig. 2000.1 Punzonamiento en losa y capitel
En el cálculo del punzonamiento en los capiteles (o semicapiteles de borde).
la norma soviética coincide con el articulado del Eurocode aptdo. B. 55. Asimismo es curioso observar como a diferencia de la norma española EH-91 art. La fórmula 6.3.4 y fija dicha resistencia en función de la de tracción.3)
R ' 4 ( x % y % h0 )
(6. 4.).1 recuerda el antiguo planteamiento de la norma española que.
© Los autores.) (N.
. aunque ésta prevea más casos (pilares de borde. © Edicions UPC. etc. minoraba la resistencia real a punzonamiento del elemento estudiado. a cambio de no considerar el efecto de los momentos flectores.Punzonamiento
Ppunz ' P ( l x l y & 4 ( x % h 0 ) ( y % h 0 ) )
(6. agujeros.5 que pone la resistencia a punzonamiento en función de la resistencia virtual a esfuerzo cortante (que a su vez es función de la raíz cuadrada de la resistencia característica a compresión). Evidentemente el valor de cálculo de la carga de punzonamiento coincide con la EH-91. 2000. 2000.
4): a) Es necesario señalar los peligros que entraña el tener en cuenta el efecto arco. el establecimiento de una teoría completa que permita cuantificar el efecto arco se encuentra con enormes dificultades de concreción práctica. a la influencia de fisuras oblicuas producidas por el esfuerzo cortante.R. A título de comentario. reproducimos las observaciones que el profesor Franz expone (ver Bibl. 3). dando por sentado que la absorción de los esfuerzos horizontales que se producen no está completamente asegurada. © Edicions UPC. Para las cargas de más larga duración. Lamentablemente. que nacía al principio de fisurarse la losa. la influencia del esfuerzo cortante será probablemente más modesta. 9).Efecto arco
La consideración del efecto arco permite aumentar considerablemente la capacidad portante de un forjado de losa maciza. Para un forjado de losa.
. se realizaron una serie de ensayos en vigas con la intención de verificar los resultados teóricos (ver Cap. En el laboratorio del Instituto de Hormigón y del Hormigón Armado de la U.S. Los ensayos demostraron claramente que el empuje.S. b) El efecto arco no se ha demostrado experimentalmente más que para cargas casi instantáneas. la retracción del hormigón provoca una disminución sensible de la flecha del arco. primordialmente. 2000. 2000. Todo ello obliga a ser muy cauteloso al intentar beneficiarse del efecto-arco en el dimensionado de las armaduras.
© Los autores. el cizallamiento entonces aumenta y el resultado es un aumento de peligrosidad del punzonamiento. ejercía una gran influencia sobre la fisuración posterior y sobre el reparto de momentos en la construcción hiperestática (ver Bibl. La concordancia de los resultados previstos con los datos experimentales no fue lo buena que cabría esperar debido.
Fig. Como luego se indica. cuando se desea efectuar el cálculo a rotura de dos bandas adyacentes. que pueden estar simultáneamente solicitados de la misma forma. El empuje producido por el efecto arco debe ser absorbido por las armaduras de los vanos contiguos. se podrá tener en cuenta el efecto arco. es la suma de los empujes que deberá ser equilibrada por las armaduras.98
c) El ahorro de armadura que comporta el tener en cuenta el efecto arco es frecuentemente ilusorio.
. Este concepto será aplicable tanto para las columnas que reciben el forjado como para las columnas que. 2000.1 Comportamiento del efecto arco
Según las instrucciones soviéticas. © Edicions UPC. en su caso. 2000. tanto para la banda de la izquierda como para la banda de la derecha. 7. continúen hacia las plantas superiores.
altura del pilar. de valor: Ma ' H za en que za es el brazo elástico debido al empuje de valor: (7. siguiendo un eje perpendicular a la dirección del borde.48 el término Ma.
. deberá añadirse a la derecha y en el numerador de las fórmulas 1. bajo la acción simultánea de una carga vertical N.1)
siendo: H Mmax empuje debido al efecto arco contra el pilar analizado.
Para encontrar el valor de Mmax deberán analizarse las dos hipótesis extremas de carga Nmax y Nmin . El valor del empuje.2)
© Los autores. En los paneles de borde el valor del empuje H se calculará en las bandas interiores (las más próximas al pilar contiguo al borde) y será igual a la suma de los efectos arco del pilar inferior y del pilar superior del nudo considerado. este valor es igual a la suma de los efectos arco de los cuatro pilares que enmarcan el panel. Para calcular este momento. momento flector máximo que es capaz de soportar una sección típica del pilar. dividido por los dos tercios de su altura. En los paneles interiores. y coger el valor más pequeño de ambos.2 Cálculo general
El valor del empuje debido a la presencia de cada columna se acepta igual al mayor momento flector que puede absorber la sección de la columna. derivada de las cargas transmitidas a través de dicho pilar. © Edicions UPC.Efecto arco
7. evidentemente. 2000.38 y 1. tendrá pues el valor: H ' Mmax 2 h 3 pilar (7. la sección deberá considerarse. Si se quiere considerar el efecto arco en los paneles. 2000. que llamaremos Mmax . medida entre el nivel superior del forjado y el arranque del capitel que soporta el forjado superior.
za ' hc & xs & x i &
xs´% x i´ 2
Lx % Ly 1000
(7. en el caso en que se desprecie la colaboración del efecto arco antes citado. Así. Y finalmente. xs la altura de la zona comprimida del hormigón en la sección de la rótula plástica superior del apoyo sin tener en cuenta el efecto-arco. siempre que haya al menos dos filas de columnas entre el panel considerado y el borde de la losa. cuando se trate de ménsulas o de apoyos sobre muros de borde. 2000. 2000.
7. xi ídem en la sección de la rótula plástica inferior de centro de vano.3)
siendo: hC el canto útil del capitel.3 Cálculo alternativo
Deberemos tener en cuenta que la influencia del efecto arco sobre un panel de la estructura disminuye en función de su distancia al borde del forjado. los tramos en cuestión no podrán beneficiarse del efecto arco analizado. se podrán reducir en un 10% las secciones de la armadura (calculadas según las reglas NyTU 123-55). x'i ídem xi teniendo en cuenta el efecto arco (x'i>xi). Esta reducción será de solo un 5%. si no hay más que una fila de columnas entre el panel considerado y el borde de la losa. Lx . x's ídem xs teniendo en cuenta el efecto arco (x's>xs). Ly las distancias inter-ejes de pilares.
. . . . . . . . . tipo M200 f) Acero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . se ha preferido reproducir literalmente el ejemplo presentado en la bibliografía 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1300 Kg/m2 b) Altura interforjados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hL = 14 cm d) Coeficiente de seguridad para las sobrecargas . . . r2= 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . © Edicions UPC. . . ampliando aquellas partes de difícil interpretación y haciendo continuas referencias a lo publicado en capítulos anteriores. 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . en el que se aplica para el dimensionado las normas rusas TsNIPS. . . . Se desea diseñar una placa fungiforme con una distancia interejes de pilares de Lx = Ly = 5 m con las siguientes características:
a) Sobrecarga útil . . . . . .Ejemplo desarrollado
8. . . . . . . . . . . . . tipo 25 G25
© Los autores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000. . . . . . . . . .1 Introducción
Dada la importancia que se le ha querido dar al presente capítulo. . . . . . . . .
. . . . . . . . . corrigiendo los errores de transcripción.4 e) Hormigón . . . . . . . . . . . . 4 m c) Espesor total de la losa . . . .
2000.4 Total P
= 385 Kg/m2 = 160 Kg/m2 = 1820 Kg/m2 = 2365 Kg/m2
© Los autores.1 Aislamiento y chapa: 130 × 1.14 × 2500 × 1. 2000.
.2 Sobrecarga útil: 1300 × 1.1 Esquema en planta
8. © Edicions UPC.102
Fig.2 Mayoración de cargas
Peso propio: 0. 8.
4 × 12 × 4 ( 2 × 100 % 12 ) ' 48.75 × 6.800 Kg 2.000 Kg < 68.800 Kg
8.1 × 14 ' 30 cm h util vano ' 14 & 1& 1 ' 12 cm h util apoyos ' 30 & 1& 1 ' 28 cm
8.4 Comprobación del punzonamiento en los capiteles
De acuerdo con el capítulo 6:
0.365× ( 5.3 Dimensionado de los capiteles
De acuerdo con el capítulo 2: c ' 0. © Edicions UPC.2 L ' 0.1× 500 ' 50 cm r ' 0.Ejemplo desarrollado
8.1 hl ' 2. 2000.850 Kg
© Los autores.00 2 & 4 ( 1 % 0.00 2 & 4 ( 1% 0.1 L ' 0.75 Fctd h utilvano 4 ( 2 r % h util vano) ' 0.365 × ( 5.5
Ppunz ' P ( L 2 & 4 ( c % h util apoyo ) 2 ) ' 2.12 ) 2 ) ' 47.12 ) 2 ) ' 53.850 Kg Ppunz' P ( L 2 & 4 ( r% h util vano ) 2 ) ' 2.75 Fctd h util apoyo 4 ( 2 c % h util apoyo ) ' ' 0.2× 500 ' 100 cm hc ' 2.5 Comprobación del punzonamiento sobre el perímetro de los capiteles
0.75× 16 × 28× 4 ( 2 × 50 % 28 ) ' 68.
.300 Kg < 48. 2000.
. © Edicions UPC.2 Esquema en sección
y. 8.4
Fig. 2000. 2 ' 0.6 . 2000.7: P L y ( L x& 2c x ) 2 8 # Fye A t z ( 2 z´ % 2) z
© Los autores.96 h util tramo' 0.2365 × 500 2 6 × 90 × 28 2
' 24 cm
z ' 0.6 Cálculo de la sección total necesaria de las armaduras
(Siguiendo uno de los ejes coordenados) Según la ecuación 4.5 cm
Aceptando como válidos los coeficientes de reparto de armaduras: 2´ ' 0.104
8. aplicando la fórmula 1.3: z ´ ' h util apoyos P L2 6 h util apoyos Fcd
0.96 × 12 ' 11.
.5 cm 2 y en un metro lineal A' lo que da 6 Ø 8 pml – 3 cm 2 > 2.5 ' 2.9 cm 2 14.6 × 2.4)
8.4 cm 2 8 × 3400 × 11.2365× 500 × ( 500& 2 × 50) 2 ' 36.4 × 36. 2000.Sección de armaduras negativas sobre todo un panel:
A´' 0.5 × ( 0.38 cm 2/m 5
.Sección de armaduras inferiores en todo un panel:
A' 0.35 cm 2 21.1 % 0.9 cm 2
y sobre un metro lineal A´ ' lo que da 9 Ø 8 pml – 4.6 × 36.5 cm 2 > 4.4 ' 21. © Edicions UPC.9 ' 4.9 cm 2/m 5
© Los autores. 2000.4 ' 14.7 Reparto de las armaduras entre positivos y negativos
.Ejemplo desarrollado
P L y ( L x& 2c x ) 2 8 Fye z ( 2´ z´ % 2) z
8.Rigidez de un panel del forjado: K losa ' .9 Sección de armaduras de un panel de borde
Como la rigidez de los pilares de borde es "suficiente". 2000.66 > 4 0.00107 m 3 ' 2 12× 4 L .00023 J 5 × 0. 2000.00023 m 3 L 12× 5
y. la armadura superior traccionada que se necesitaba en una banda se colocará en el arranque del capitel (ver cap.5 los pilares de borde tienen "suficiente" rigidez.
8. el uno encima del otro: bh3 12 0. según 5.10 Flecha en el centro de un panel interior cualquiera
.Rigidez del conjunto formado por dos pilares de borde.2. los paneles de borde se armarán de la misma forma que los paneles interiores.
8.500 Kg cm/ cm 5
.0067 ' 4. por lo tanto.1: Fctk hc 5
16× 28 2 ' 2.Relación de rigideces: K pil K losa ' 0.14 3 ' ' 0.4 4 K pil ' 2 ' 0.2.Momento de fisuración. aunque perpendicularmente al borde.2). 4 § 2. según se estipula en 3. © Edicions UPC. la sobrecarga total de fisuración por m2 será:
© Los autores.De donde.8 Grado de rigidez del empotramiento de los pilares de borde con los pilares
0.000 × 14 3
' 0. En cuanto a la flecha debido al proceso de fluencia se puede calcular como:(5)
© Los autores.054 2 % 0.000 ' 0.1570 ' 0. 2000.400 (0.1570 × 2 × 500 4 290.10 × 300× 3.4 cm
. © Edicions UPC.3a: p´& qf p& qf 0. 5 nota 38): 3× 2.054 4
A n ' b h0 R (
x m' &
"2 %" 4
12 ' 2.10 l1 Fye ( 0.Ejemplo desarrollado
10 Mf ( L& 2 c )
10 × 2.44% 0. será necesario evaluar Xm.300 ' 1.4 )
' 1.Flecha en el momento de aparición de las fisuras: qf 2 L 4 Ec ht
f ' 0.4.44 cm
.2365 & 0.500 (5 & 2 × 0. Para ello.1 cm
En cuanto a la flecha en el centro del panel. partamos de las armaduras reales: Ai = 3 cm2/ml (ver cap.10 & 0. para una sobrecarga que actúa solamente en un corto período de tiempo (fluencia despreciable).14× 2.5 × 500 & 50) 2.570 Kg/ m 2 16
25.054 % 2 0.44 % (1.44 )
' 0.1570
finstantánea' f % ( fu& f)
' 0.018 × 0.1× 10 6 × 3 290.5 L& c) E y ( h 0& x m )
0. 2000. por la fórmula 5.1 × 10 6 ( 12& 2.000 ' 1.780 Kg/ m 2 y p las solicitaciones totales mayoradas. es decir: p´' 0.054 1 100 × 12 × 3 0.17 ' 0.1780 & 0.500 % 130 % 1.Para calcular la flecha límite fu que precede inmediatamente a la rotura.61 cm siendo p' las solicitaciones totales sin mayorar por m2. se podrá utilizar la fórmula 5.
la carga permanente más una proporción de la sobrecarga que se considere actúa durante un largo período de tiempo. Para estudiar mejor como se utilizan los coeficientes de ponderación de cargas.5 Fc d '
Fc tk ' 16 Kg /cm 2
3. Parece ser que la fórmula anterior se deduce de la propuesta por la norma soviética (ver Bibl.4 Kg /cm 2 Fc td ' 2. la carga total sin mayorar (en nuestro caso 1. Corresponde al caso de losas con apoyos de borde sobre semicapiteles. También aquí es necesario aclarar que las normas soviéticas estipulan estos condicionantes tan mínimos de L/200 porque se comparan con la flecha TOTAL producida.630 × 2 % 150 ' 1. 2. 11 párrafo 112 y apéndice II): p´ K1 ' K2 g 2 % p´´ siendo: K1 K2 p' p'' 2 g la rigidez del elemento para cargas permanentes. 16 y 17).
© Los autores.3 16 ' 6.(6)
1.400 Kg/cm 2
f ´´ ' finstantánea
que representa el 1/430 de la luz.
colocando las deformaciones directamente proporcionales a sus rigideces respectivas.
.7 Resistencia de diseño 115 • 90 Kg/ cm 2 1. El acero 25 G25 tiene un límite elástico
Fye' 3. Haciendo una traslación a nuestra forma habitual de calcular. un coeficiente de disminución de la rigidez debido a la carga permanente y que para secciones rectangulares se puede tomar igual a 2. inferior al que marca la normativa del 1/200. las características del hormigón M200 son: Resistencia característica Fc k ' 200 • 115 Kg/ cm 2 1. el resto de la sobrecarga no contabilizada en el valor de g. 5. © Edicions UPC. 6.15 cm 1. 2000. En la normativa española EP-88 se controla el valor de la flecha máxima a través del menor de los valores L/250 o L/500 + 1cm (lo que daría valores parecidos a la soviética) y también al valor de la flecha activa (ver Bibl. 2000.780 Kg/m2). consultar la bibliografía 12. la rigidez en la hipótesis de que toda la carga normal actúa poco tiempo (sobrecarga).
© Los autores. 2000. También en Europa.45 cm.525 × 1.3 Características de los materiales
Hormigón Acero resistencia cilíndrica a los 28 días: 194 Kg/cm².
. El espesor de la losa es de 4.E. más adelante.
9. en 1940 el C. acero estirado en frío de límite elástico 2. La armadura total de la losa consistía en armaduras de sección cuadradas de 3.525 de luces entre pilares apoyado sobre capiteles de 50. con algunas excepciones. 2000.1 Presentación
Se han realizado gran cantidad de ensayos para conocer mejor el comportamiento real de una placa fungiforme. avaló unos ensayos a rotura dirigidos por el profesor Jager que comentamos a continuación (ver Bibl. Como ejemplos que hemos considerado más representativos figuran unos ensayos realizados por el TsNIPS en Bakú en 1932.370 Kg/m².950 Kg/cm². y está calculada para una carga de servicio de 1.Ensayos
9.8 cm de base y en sus extremos por vigas rígidas en las caras norte y oeste y por vigas flexibles en los otros dos lados este y sur. en los que. se corroboran la localización teórica de las líneas de rotura antes apuntadas.2 Características geométricas
Se trata de cargar un forjado fungiforme formado por nueve paneles de 1. 2):
9.2 mm de lado. © Edicions UPC.
. . . q = 1. . . . .
. SIESS en la universidad de Illinois (ver Bibl. . . . . 2000. . . . . . © Edicions UPC. .4 Fisuras
Las cargas consideradas en este ejemplo han sido: carga de servicio . . 2). q = 1.690 K/m² En las páginas siguientes puede verse la gradación de la aparición de las líneas de rotura de un forjado fungiforme encargado por C.P. . . . . . 2000. .110
9. . . . . . qm = 2.
© Los autores. . . . .950 K/m² carga de rotura . . . .370 K/m² peso propio + ½ carga útil . . . . . . .
2000. 9. 2000.Ensayos
. © Edicions UPC.1 Tipología de la losa del ensayo
. 9. © Edicions UPC.112
Fig. 2000.370 Kg/m2
© Los autores.2 Trazado de fisuras cara superior q = 1.
.3 Trazado de fisuras cara superior q = 1. © Edicions UPC. 2000.950 Kg/m2
© Los autores.Ensayos
Fig. 2000. 9.
9. © Edicions UPC.
. 2000.4 Trazado de fisuras cara inferior q = 1.950 Kg/m2
© Los autores.114
. © Edicions UPC.Ensayos
Fig.690 Kg/m2
© Los autores. 2000. 9.5 Trazado de fisuras cara superior q = 2. 2000.
6 Trazado de fisuras cara inferior q = 2. 9. 2000. 2000.690 Kg/m2
© Los autores.116
Fig. © Edicions UPC.
. . . . . . . Así: A (2)
(1) Superíndices. . Armadura total de un panel para una longitud de tramo Ly. . . . . . . . . Armadura total para un panel en la dirección y. . . Armadura total para un panel en la dirección x. . . . . . .
. Sección de acero correspondiente a M'j. Sección total de la armadura para una articulación plástica junto al apoyo para una longitud de tramo L. . . . . (2) Subíndices: I . . . E x y T A ATx ATy Aj A'j At Ay A' A'E . interior (inferior para pilares) exterior dirección X dirección Y total
Sección total de la armadura en la articulación plástica central para una longitud de tramo L. . . . . 2000. . . . . . . . y aunque se ha intentado respetar en lo posible la nomenclatura general. . . . . . . . . . . . .Simbología
Para una mejor comprensión de la formulación empleada. . . . . . . . . en las variables usadas se han utilizado superíndice y/o subíndice para su diferenciación. .
© Los autores. . . © Edicions UPC. . . . Sección total de la armadura inferior. Situación de las tracciones: con apóstrofe superior parámetros debidos a los momentos negativos y sin apóstrofe superior parámetros debidos a los momentos positivos. . . . . . Sección total de la armadura correspondiente a la articulación plástica del apoyo exterior en un tramo de borde. . . . 2000. . . . Sección de acero correspondiente a Mj. .
Distancia entre el eje del pilar y la articulación plástica de los apoyos en la dirección y. © Edicions UPC. Rigidez de un elemento. Módulo elástico del hormigón. Rigidez del pilar inferior. Ancho de la jácena de borde. 2000. Sección total de la armadura superior de la jácena de borde. Canto total de cálculo del capitel. Momento de inercia del pilar superior.118
A'I AX A'X AY A'Y A'y b C c cx cy Ec Ey H h hc hL ht I Ii Ilosa Is K Ki Klosa Ks lanc Lx lx Ly ly m. Canto total de una sección.
© Los autores. Términos que representan el momento flector del panel cargado sobre el apoyo que está en función del momento de las articulaciones plásticas del panel. Momento de inercia de una sección. Distancia entre articulaciones plásticas en los apoyos en la dirección x. Intereje de pilares en la dirección y. n
Sección total de la armadura correspondiente a la articulación plástica del apoyo interior en un tramo de borde. Altura libre entre piezas. 2000.
. Distancia entre el eje del pilar y la articulación plástica de los apoyos en la dirección x. Módulo elástico del acero. Intereje de pilares en la dirección x. Momento de inercia de una losa. Sección total de la armadura superior a lo largo de Lx en una articulación plástica negativa. Rigidez del pilar superior. Sección total de la armadura superior a lo largo de Ly en una articulación plástica producida por un M+. Altura del capitel desde el arranque de la columna hasta la entrega inferior de la losa. Distancia entre el eje del pilar y el punto de quiebre del capitel. Rigidez de una losa. Canto total de la losa. Distancia entre articulaciones plásticas en los apoyos en la dirección y. Sección total de la armadura superior a lo largo de Ly en una articulación plástica producida por un M -. Sección total de la armadura superior a lo largo de Lx en una articulación plástica producida por un M+. Momento de inercia del pilar inferior. Cateto del triángulo rectángulo cuya hipotenusa concuerda con la línea de rotura oblicua ubicada sobre el capitel. Longitud de anclaje.
Resultante inferior de las tensiones internas en una sección en la dirección x. © Edicions UPC. Momento torsor. Brazo mecánico del par de fuerzas internas para una jácena de borde sometida a M+ . 2000. Brazo mecánico del par de fuerzas internas en las articulaciones plásticas centrales producidas por M+. Brazo mecánico del par de fuerzas internas en la articulación plástica interior.
© Los autores. Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica en vano sin efecto arco. Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica de apoyo sin efecto arco. Momento positivo en jácena de borde. Coeficiente de equivalencia entre los módulos elásticos del hormigón y del acero. Esfuerzo cortante en la dirección x. Resultante inferior de las tensiones internas en una sección. Resultante inferior de las tensiones internas en una sección en la dirección y. 2000. para un tramo de borde correspondiente al pilar interior. Ídem M'. Carga permanente.
. Altura media de la zona comprimida de hormigón. Solicitación máxima admisible de punzonamiento. dada la causa-efecto se menciona indistintamente por M línea de rotura positiva o M+ que la produce. dada la causa-efecto se menciona indistintamente por M' línea de rotura negativa o M . Carga total. Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica en vano con efecto arco. Ídem M'. para un tramo de borde correspondiente al pilar exterior. Línea de rotura positiva o articulación plástica producida por el momento positivo.que la produce. Resultante superior de las tensiones internas en una sección en la dirección x. Sobrecarga. Esfuerzo cortante en la dirección y. Resultante superior de las tensiones internas en una sección en la dirección y. Brazo mecánico del par de fuerzas internas en la articulación plástica exterior. Altura de la zona comprimida del hormigón en la rótula plástica de apoyo con efecto arco.Simbología
M'e M'i Mj M'j Mtor n P Ppunz p q Qx Qy R R' Rx Ry R'x R'y xm xi x'i xs x's z z' z'E z'I zj
Línea de rotura negativa o articulación plástica producida por el momento negativo. Momento negativo en jácena de borde. Brazo mecánico del par de fuerzas internas en las articulaciones plásticas de los apoyos producidas por M -. Resultante superior de las tensiones internas en una sección.
© Los autores. Coeficiente que relaciona la armadura de un apoyo (A') respecto a la total (At). Coeficiente que relaciona la armadura del vano (Ax) respecto a la total (ATx) en la dirección x. Coeficiente que relaciona la armadura de un apoyo exterior (A'E) respecto a la total (At) en los tramos de borde.120
z'j " $ 2 2x 2y 2' 2'E 2'I 2'X 2'Y Fye Fcd Fctk M
Brazo mecánico del par de fuerzas internas para una jácena de borde sometida a M . Coeficiente que relaciona la armadura superior de un apoyo (A'X) respecto a la total (ATx) en la dirección x. Tensión de cálculo del hormigón a compresión. Coeficiente que relaciona M'I con M'E de una losa de borde. Tensión del hormigón a tracción. Coeficiente que relaciona la armadura del vano (Ay) respecto a la total (ATy) en la dirección y. 2000. Límite elástico del acero. Coeficiente que relaciona la armadura de un apoyo interior (A'I) respecto a la total (At) en los tramos de borde. Coeficiente que está en función de 2 y z para cada caso. Coeficiente que relaciona la armadura del vano (A) respecto a la total (At). Coeficiente que relaciona luces o armados en la dirección y respecto a la dirección x. Coeficiente que relaciona la armadura superior de un apoyo (A'Y) respecto a la total (ATy) en la dirección y.
. . . . . . 25 . Esquema de las líneas de las articulaciones plásticas de una losa con sobrecarga dispuesta en tramos alternos . . . . . . . . . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . Esquemas de las líneas de articulaciones plásticas de una losa con sobrecarga en todos los tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Indice de figuras
A B 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . 46
© Los autores. . Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel sustentado por un muro macizo de borde . . 31 . . Resolución por el método del equilibrio de un panel de borde en voladizo y tensiones en las líneas de rotura . . . . . . . Esquema de rotura de una banda longitudinal . . . Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior con pórtico perimetral sin semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura . . . Condiciones de borde de las losas . . . . . . . 2000. . . . . . . . Esquema de cargas en vanos alternos . . Esquema de rotura en el tramo de borde de una losa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de las líneas de rotura negativas en un panel rectangular . . . . . . . . . . . . . . 40 .6 1. . . . Esquema de sobrecargas en todos los tramos . . . . . . 22 . . 24 . . . . . . .7 1. . . . .12 1. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .14 1. . 28 . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . .2 1. . . . . . . . . . . . . . .17
Ambito geométrico de validez aplicable . . .15 1. . . . . .9 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 45 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1. Resolución por el método de equilibrio de un panel interior y tensiones en las líneas de rotura . . . . Esquema de rotura de un panel en el caso de colapso simultáneo de dos paneles adyacentes . . . . . Esquema de la zona comprimida en las rótulas plásticas sobre los apoyos .11 1. . .1 1. . . . . Esquema de solicitaciones a flexión de una losa en tramo central y de borde Resolución por el método de los trabajos virtuales de un panel exterior sustentado por semicapiteles y tensiones en las líneas de rotura . . . . . . . . . . . . . . Nomenclatura . . . . . . . . . .
. .16 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1. . . . . . . . . . . .3 1. . 2000. . . . .5 1. 37 . . . . . . . . . . . . 29 . . . . © Edicions UPC. . . . . . . .13 1. . . . Resolución por el método del equilibrio de un panel exterior con pórtico perimetral sin semicapiteles . . . . . . . 44 . 43 . . . . . . . . .
. . . . .22 Esquemas generales de los mecanismos de rotura de losa en ausencia de capiteles (Hipótesis de reacciones puntuales en pilares) . 1. . 60 Principales parámetros en capiteles con quiebre . . 1. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 3. . . . . . . . . . . . . .1 4. . . 94 Comportamiento del efecto arco . . . Localización de la sección de la rótula plástica . 1. . . 75 78 82 85
Esquema de rotura de tramo central de losa con capiteles . . . . . . .3 3. . . . . . . . . . 60 Tipología de capiteles considerados . . . . . .
. . . . . . . . . . .2 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2000. . . . . 2000. . .19 Esquema de diferentes capiteles con y sin alternancia de cargas . . . . . . . . . . . .25 Esquema de rotura en paneles de borde con apoyo perimetral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
© Los autores. Esquema de longitudes de armado de una losa . . . 61 Formación de rotura plástica en pilar central con alternancia de carga en vanos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.5 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 7. . . . . . . 91 Punzonamiento en losa y capitel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema de cálculo de pilar de borde con voladizo .20 Líneas de rotura de losa sin capiteles en el caso de carga uniformemente distribuida . . . . Esquema de sección de cálculo a rotura de una losa intermedia. .
. . . . . . . . . .4 4. . . . . . . .
. . . . . . . . . . 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 73 . . . .2 2. . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . . . . . Equilibrio de momentos en nudo losa-pilar . . . . . . . . . . . .24 Esquema de rotura en paneles de borde con vigas perimetrales . . . . . . . . . . .
. . 51 . Esquema de cálculo de pilar central con alternancia de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . .3 6.
63 64 67 68 69 70
Esquema de cantos útiles en cada dirección . . . . para un panel interior de una losa totalmente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Esquema de rotura en paneles de borde con semicapiteles . . . . . . . . . . . . .3 3. . . .18 Esquema de equilibrio de momentos respecto al eje de rotación 3-4. . .
. . .6 4. . . . . . . . Cálculo de pilar de borde con semicapitel . . . . . . . . . . .26 Esquema de rotura en paneles de borde de losa en voladizo . Cálculo de pilar de borde con semicapitel . 90 Altura media de la zona comprimida . . . . 1.4 3. . . . . . una vez producidas las rótulas plásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . .1 2. .5 5. . . . . . . . © Edicions UPC. . . . . . . 88 Esquema de rotura de un panel cuadrado de un techo fungiforme . . . . . . . . . . . . . . .
. Equilibrio de cortantes en pilar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 5. . . . . . . . . . . 1.
. . . . . . . . . . .21 Líneas de rotura de losa con capiteles en el caso de carga en alternancia en ambas direcciones y en todos los vanos alternativamente . . . . . . .2 4. . . . . . . . .2 5. 1. . . . . 50 . 48 . . . . . . . . . . . . . .3 4. . . . . . . . . . 53 54 55 56 56
Esquema de armado de capiteles . . . 2. . . . . . . . . . .
. . . . . . . 111 112 113 114 115 116
© Los autores. . . . . . . . . . . .3 9. . . . . . .6
Esquema en planta . . . . . . . . . .1 8. . . . . . . . . .2 9. . . . . .5 9. . . . . . . . . . . . . . . Trazado de fisuras cara superior (q=1. . . . .690 Kg/m2) . . . . . . . . . .950 Kg/m2) Trazado de fisuras cara inferior (q=1. .Indice de figuras
8. . . . . . . © Edicions UPC.370 Kg/m2) Trazado de fisuras cara superior (q=1. . . . . .370 Kg/m2) . . . . . . . . . . . 2000. . 104 Tipología de la losa del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . Trazado de fisuras cara superior (q=2.690 Kg/m2) Trazado de fisuras cara inferior (q=2. . . . . . .4 9. . . . . . . . . . 102 Esquema de cantos útiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 9. . . . . . . 2000. . . . . . . . . . . .2 9. . . . . . . . . . . . . . . . .
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17 CALAVERA.
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