Source: http://matemticasupn3.blogspot.com/2009/06/universidad-pedagogica-nacional-los.html
Timestamp: 2019-02-20 05:00:34+00:00

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“Recursos didácticos y metodológicos en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas por medio de la resolución de problemas”
Tema 1 “Cálculo mental y estimación en la escuela primaria.”
3.1.1. Cuestionario
3.1.2. Cálculo mental en la escuela primaria.
3.1.3. Cálculo mental y estimación: métodos,
resultados de una investigación y sugerencias
3.1.4 Reelaboración de actividad previa
Tema 2 “La calculadora en la escuela primaria.”
3.2.1. Cuestionario
3.2.2. La calculadora en primaria: tres modalidades
de uso en la resolución de problemas
3.2.3. Calculadoras
3.2.4 Reelaboración de la actividad previa
Tema 3 “Los heurísticos de Polya y Schoenfeld
3.3.1. Cuestionario
3.3.2. La solución de problemas,
la creatividad y la metacognición.
3.3.3. La enseñanza heurística de Schoenfeld
en la solución de problemas matemáticos.
3.3.4. Resolución de problemas: El trabajo de Alan
Schoenfeld. Una propuesta a considerar en el
“Cálculo mental y estimación en la escuela primaria.”
3.1.1. Actividad previa
1.Describa su concepción de cálculo mental
2.Exprese su concepto de cálculo estimativo.
Es una apreciación, un acercamiento a una cierta cantidad, que tal vez se logre o no con operaciones matemáticas.
3.¿Por qué se enfatiza en la actualidad la enseñanza del cálculo mental en la escuela primaria?
Porque es una actividad que agiliza la mente, que despierta los sentidos, que abre posibilidades y caminos en otras situaciones problemáticas.
4.¿Qué relación tiene el cálculo mental con la capacidad para resolver problemas?
Es directamente proporcional: el que logra hacer cálculos mentales, logra resolver problemas, el que no logra hacer cálculos mentales se le dificulta resolver problemas.
5.¿Qué relación guarda el cálculo mental con la construcción de nociones matemáticas?
Entre más nociones matemáticas se posean, más fácilmente se podrán realizar cálculos mentales.
6.¿Qué relación tiene el cálculo mental con la recuperación de conocimientos previos por el niño?
Que son esos conocimientos previos los que le van a permitir realizar cálculos mentales.
7.¿Qué técnicas o recursos didácticos conoce usted para el trabajo en el aula del cálculo mental?
Todos los adultos realizamos cálculos mentales sin ponernos a pensar qué nombre tienen. Desconozco técnicas de enseñanza o recursos didácticos para el trabajo en el aula respecto al cálculo mental.
8.¿Qué métodos conoce usted para realizar cálculos estimativos?
Sólo sé que se pueden hacer operaciones mentales tales como sumas, restas, multiplicaciones o divisiones para acercarnos a una cierta cantidad.
3.1.3. Cálculo mental y estimación: métodos, resultados de una investigación y sugerencias para su enseñanza
Cálculo mental en la escuela primaria[1]
El cálculo mental puede propiciar la recuperación de los saberes previos del alumno y la construcción de una buena aproximación al resultado de un problema. Una buena estimación previa puede servir al alumno como un elemento guía que le ayude a juzgar sobre la pertinencia, plausibilidad o validez de los procedimientos o recursos utilizados durante el proceso de solución del problema planteado.
De cara a la cotidianidad, son muchas las situaciones vinculables al cálculo mental: la estimación de los gastos en una compra de supermercado, el cálculo de los ingredientes de una receta o la preparación de un presupuesto global, etc.
La concepción tradicional sobre lo que significa competencia matemática ha sido ampliamente rebasada por las cada vez más altas expectativas de habilidades y conocimientos que plantea la difusión mundial de la tecnología. La capacidad para resolver problemas, tomar decisiones, trabajar con otros, usar recursos de modo pertinente, forman parte del perfil reclamado por la sociedad de hoy.
Desde distintas perspectivas se afirma que el centro de la enseñanza de matemáticas debe ser la resolución de problemas. Al mismo tiempo parece evidente que la capacidad progresiva de resolución de problemas demanda un creciente dominio de recursos de cálculo.
En este sentido, responder a la demanda social plantea una aproximación al cálculo que haga a los alumnos capaces de elegir los procedimientos apropiados, encontrar resultados y juzgar la validez de las respuestas.
El cálculo automático o mecánico se refiere a la utilización de un algoritmo o de un material como la calculadora, la tabla de logaritmos, etc. El cálculo pensado o reflexionado es en proximidad con este significado. El cálculo mental es el conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan, sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados.
Algunos aportes que permiten hoy una nueva perspectiva.
Groen y Parkman consideraron para estudiar la resolución mental de adiciones simples, que estas operaciones podían ser abordadas según dos grandes categorías de procedimientos. El primero consistiría en recuperar directamente en la memoria a largo plazo los resultados, por ejemplo 6 para 4+2; se trataría entonces de un método reproductivo. El segundo exigiría una reconstrucción del resultado por medio de un cálculo; el procedimiento sería entonces reconstructivo.
¿Por qué enseñar cálculo mental en la escuela primaria?
1.Los aprendizajes en el terreno del cálculo mental influyen en la capacidad para resolver problemas.
2.El cálculo mental acrecienta el conocimiento en el campo numérico.
3.El trabajo de cálculo mental habilita un modo de construcción del conocimiento que, a nuestro entender, favorece una mejor relación del alumno con la matemática.
4.El trabajo de cálculo pensado debe ser acompañado por un acrecentamiento progresivo del cálculo automático.
El cálculo mental, un camino particularizante.
El cálculo pensado es eminentemente particularizante: cada problema es nuevo y el aprendizaje va a constituir esencialmente en darse cuenta de que para una misma operación ciertos cálculos son más simples que otros, y que puede ser útil elegir un camino aparentemente más largo pero menos escarpado. Puede ser paradójico el considerar que para cada alumno ante un problema de cálculo, cuenta lo que sabe que sabe y de qué dispone, en buscar un procedimiento eficaz pero que quizás sea imposible de utilizar en otro cálculo.
Del conteo al cálculo.
Al inicio de primer grado, para resolver un problema en el que aumenta o disminuye una cantidad el procedimiento más utilizado por los niños es el de materializar las cantidades y resolver por conteo.
Conteo utilizado para resolver situaciones.
Al principio, para resolver 6+3 los niños cuentan desde el 1 y de uno en uno hasta el nueve. Estos procedimientos encontrarán posteriormente una prolongación, particularmente en cálculo mental, por ejemplo para calcular 23+17, un alumno de 2° podrá partir de 27 y agregará sucesivamente 3 y después 10.
Dominio y extensión de la serie numérica oral.
Estos procedimientos para poder ser puestos en juego, requieren por parte del alumno una buena disponibilidad de la serie numérica oral, particularmente la capacidad de:
*decir directamente el siguiente y el anterior de un número sin recitar la serie desde el inicio;
*continuar la serie oralmente y partir de un número dado, en un sentido y en otro;
*enunciar, por ejemplo, cuatro números a partir de uno dado, en un sentido o en otro;
*decir, por ejemplo los números entre 7 y 11, pudiendo especificar al final cuántos números se han dicho.
*poder contar de dos en dos, de cinco en cinco, de diez en diez, resulta particularmente importante en tanto apoyos fundamentales para el cálculo.
Los procedimientos mentales de resolución.
Estos procedimientos mentales funcionan en principio para los alumnos de manera muy local, para ciertos números. Se buscará extender progresivamente su dominio de funcionamiento y su disponibilidad para darle un carácter más general. Los maestros con experiencia en 1° y 2° grados constatan que entre sus alumnos hay quienes disponen de procedimientos mentales de resolución y quienes no; hay quienes memorizan con facilidad y quienes tienen qué reconstruir siempre todo; hay otros a quienes se les ocurren diversas maneras de resolver y quienes disponen de muy pocos recursos.
Metas en la enseñanza.
En tanto consideramos fundamental lograr que todos los alumnos dispongan de procedimientos mentales de resolución y construyan los algoritmos, lo que vamos a plantear es que estos logros tienen qué ser asumidos como metas desde la enseñanza.
a) Memorización de cálculos simples.
Diversas investigaciones afirman que los dobles y las combinaciones en las que se añade 1 a un número son más fácilmente memorizados que otras combinaciones. Los dobles además de ser fáciles de memorizar, se convierten en la base para resolver otros cálculos: 5+6 puede ser pensado como 5+5+1.
b) Resolución de cálculos no tan simples utilizando los simples.
Disponer de los pares de sumandos que dan 10 les permite a los alumnos tratar diversos cálculos:
(7+7)+1 Reagrupamiento en torno a un doble.
(7+3)+5 Reagrupamiento en torno a 10.
No se trata de enseñar a los alumnos estas alternativas, sino más bien de que cada uno encuentre sus maneras preferidas. Sabemos que hay niños a los que parece que nunca se les ocurre nada, si se aborda esto como meta para toda la clase, esos niños dejarán de estar en soledad enfrentados a tamaña tarea, consiguiendo logros definidos. La utilización de cálculos simples para resolver otros más complejos se vincula de modo inmediato al trabajo que se haga en relación con la extensión de la serie numérica.
c)Organizar la enseñanza para alcanzar las finalidades planteadas.
La construcción paralela y vinculada del cálculo pensado y del cálculo automático requiere que se lleven adelante, sistemáticamente dos tipos de actividades:
-un trabajo de memorización de repertorios y reglas a medida que se han ido construyendo.
-un trabajo colectivo, lento y detallado, de aprendizaje del cálculo mental pensado, que se apoya en la comparación de diversos procedimientos utilizados por distintos niños para tratar el mismo problema.
Los recursos para el trabajo de cálculo mental.
Los juegos tienen un rol importante, por un lado permiten que empiece a haber en la clase más trabajo independiente por parte de los alumnos: aprender a respetar reglas, a ejercer roles diferenciados y controles mutuos, a discutir, a llegar a acuerdos. Por otro lado, permiten al docente la observación, la posibilidad de variar las propuestas según los niveles de trabajo de los alumnos.
Los juegos como las cartas, dominó, dados y loterías, pueden ser un estímulo para la memorización, para acrecentar el dominio de ciertos cálculos. Durante los juegos, la actividad de cada niño queda librada a su capacidad e interés. Aunque los niños se involucren les es muy difícil reconocer en los juegos algo que hay qué aprender, o más ampliamente cuál es la utilidad o importancia del conocimiento puesto en juego. Por eso el docente es quien buscará que los alumnos establezcan nexos entre los distintos aspectos que están trabajando.
Un recurso puede ser: favorecer el aprendizaje del cálculo mental mediante la organización de la clase, variando y combinando en pequeños grupos, momentos de trabajo colectivo y momentos de trabajo individual. Cuando se trabajan repertorios aditivo, sustractivo, multiplicativo, es importante propiciar la toma de conciencia individual para lograr que todos los alumnos logren ciertos dominios.
Ejemplo de la organización de una clase de cálculo mental.
Objetivo: realizar cálculos mentales aproximados.
Organización de la clase: en grupos de 4 ó 5. Se numeran los miembros de cada grupo, así para cada ejercicio el docente elige un número y el alumno que lo tenga será el que responde.
Consigna: los niños designados escriben en un papel el resultado que consideren más aproximado al resultado y lo entregan; se les da a elegir de entre tres opciones. El docente anota el resultado de cada equipo en el pizarrón.
*Trabajo en grupos.
1)En cada equipo discuten la aproximación entregada y su justificación.
2)El docente pregunta a los equipos si mantienen o no la aproximación elegida y las razones.
3)Se otorgan los puntajes a los equipos, gana dos puntos cada uno de los equipos que haya dado a la aproximación más cercana. El que se equivocó pero cambió gana un punto.
4)Se reanuda el trabajo sobre otros cálculos.
5) Después de haber jugado el número de veces conveniente, se puede pedir a los alumnos que comenten los criterios de aproximación que les fueron más útiles.
Se retoman los ejercicios trabajados. Cada niño encuentra el resultado exacto, comparan en el equipo y de ponen de acuerdo en el resultado correcto. Calculan la diferencia entre la aproximación y el resultado exacto.
a)Criticar y justificar la inexactitud de los resultados,
1813 para 1547+268
16422 para 27432-10510
24624 para 4230x57
107 para 5421 entre 67
b)Se propone una serie de cuentas y los alumnos sin resolverlas, indican cuál es el resultado que consideran correcto.
6543+2721 964, 9200, 8704, 9264.
8723-1695 8128, 7028, 7122, 7172.
437x7.3 3190.1, 28291, 3171, 31910.
c)Plantear el siguiente problema: ¿puedes obtener todos los números de 0 al 10 usando cuatro veces el número 4 y por lo menos una de las operaciones: suma, resta, multiplicación y división?
Algunas de las soluciones presentadas por los alumnos pueden ser: cuatro entre cuatro más cuatro menos cuatro igual a uno. Cuatro más cuatro entre cuatro más cuatro igual a uno. Cuatro por cuatro entre cuatro por cuatro igual a uno. Se pueden buscar otros resultados, no solo el número uno.
Lo que es fácil para unos es difícil para otros.
Los descubrimientos no se generalizan de inmediato, los conocimientos se construyen poco a poco.
La clase de los fáciles que se va constituyendo muestra que los alumnos reconocen los puntos de apoyo.
Cálculo mental y estimación: métodos, resultados de una investigación
y sugerencias para su enseñanza.[2]
1.Significado de cálculo mental, estimación y aproximación.
Se entiende por cálculo mental una serie de procedimientos mentales que realiza una persona sin la ayuda de papel y lápiz, y que le permite obtener la respuesta exacta de problemas aritméticos sencillos.
Por su parte el cálculo estimativo no busca dar respuestas exactas a un problema, sino que su propósito es dar una respuesta cercana al resultado correcto de un problema, se utiliza mucho en la vida cotidiana.
Por cálculo aproximado se entiende el proceso de obtener un resultado con cierta precisión especificada de antemano.
2.Aritmética digital y cálculo de expertos.
Uno de los primeros instrumentos de cálculo lo constituyeron los dedos. A esta forma de calcular se le conoce como Aritmética Digital. Este procedimiento se realizaba mentalmente y se extendió hasta la Edad Media y el Renacimiento.
Han existido personas con habilidades extraordinarias, capaces de realizar mentalmente cálculos aritméticos exactos y ultra rápidos. La técnica usada por estos calculistas mentales es la de descomponer los números y operar con sus partes.
3.Características y métodos del cálculo mental.
El algoritmo de lápiz y papel trabaja separadamente con los dígitos de los números; en cambio el cálculo mental es holístico, ya que la persona mantiene la identidad de los números completos. El algoritmo para una operación es fijo y todas las personas lo aplican igual, en cambio el cálculo mental es variable, es decir, un mismo problema puede ser resuelto de muchas formas. El cálculo mental es flexible, también es constructivo ya que el resultado final se construye mediante resultados parciales, de acuerdo con la estrategia elegida.
Pese a la utilidad del cálculo mental para resolver problemas matemáticos, no ha sido utilizado propiamente como un recurso en la enseñanza de la matemática, donde principalmente se recurre a los algoritmos de lápiz y papel.
1)Distribución.
a)distributividad aditiva: los factores se descomponen y se opera con sus partes: 25x48= 20x40+20x8+40x5+5x8= 800+160+200+40=1200
b)distributividad substractiva: uno de los factores se redondea hacia arriba y se compensa: 25x48=(25x50)-(25x2)=1250-50=1200
c)cuadrática: se aplica una diferencia de cuadrados: 49x51= 50-1=2499
2)Factorización.
a)Factorización: estrategia general que consiste en descomponer los números en factores: 25x48=(5x5)(6x8)=(5x8)(5x6)= 40x30=1200
b)Doble y mitad: a una de las partes se le va sacando mitad y la otra se va duplicando hasta obtener el resultado definitivo:
16x17=8x34=4x68=2x136= 272
c)Basados en la factorización, se pueden proponer los métodos sintéticos para realizar multiplicaciones por los factores de 10, 100, 1000, etc. Tales como 5, 25, 50 y 125.
4.Métodos de cálculo estimativo.
El cálculo estimativo se usa frecuentemente para resolver problemas aritméticos cotidianos que requieren de una respuesta aproximada. Se ha logrado identificar tres procesos cognitivos generales que se aplican en el cálculo estimativo, dichos procesos son conocidos como reformulación, traducción y compensación.
a)Reformulación: consiste en el cambio de los datos numéricos de las cantidades implicadas en el problema. Por ejemplo: 0.24x4.39 se puede aproximar a 0.25x4
b)Traducción: consiste en cambiar la estructura matemática del problema, ya sea procesando los valores numéricos en un orden diferente de cómo aparecen en el problema, o cambiando las operaciones para formar un problema equivalente.
c)Compensación: se refiere a los ajustes hechos para reducir el error que provoca la reformulación.
5.Estrategias utilizadas en los cálculos estimativos.
a)Idea de punto de referencia: en su forma más simple se fundamenta en el sentido común referido acerca de comparar lo que se está estimando con una medida conocida.
b)Orden de magnitud: esta es la estimación más primitiva, por ejemplo: 3240x1270, donde los dos números son del orden de los miles, entonces se espera una respuesta del orden de los millones.
c)Operación frontal: se refiere a tomar el primer dígito de la izquierda, que es el más significativo, de cada una de las cantidades involucradas en el problema matemático.
d)Redondeo: es una estrategia que consiste en cambiar los números involucrados en la operación por otros que tengan ceros (las potencias de diez más próximas a dichos números) para operar más fácilmente con ellos. Por ejemplo 42x42, al redondear los números a 40x40 se llega a la misma estimación que con la operación frontal: 1600.
e)Números compatibles: se usa cuando los números se pueden cambiar por parejas, de manera que sus valores sean compatibles entre sí.
f)Punto de referencia: esta estrategia consiste en apoyarse en valores conocidos, por ejemplo: 25% de 1590, es una cuarta parte de 1600, 25% es el punto de referencia.
3.1.4. Actividad final
Reelaboración de la actividad previa.
Mi concepción, que coincide con la de la lectura es la siguiente: cálculo mental es la capacidad de realizar operaciones sin papel ni lápiz, donde se logra un resultado a un cuestionamiento numérico. Lo que se puede agregar son las características del cálculo mental: es holístico, es variable, es flexible y es constructivo.
Es una apreciación, un acercamiento a una cierta cantidad, que tal vez se logre o no con operaciones matemáticas. Agregando lo que dice la lectura, tenemos que el cálculo estimativo no busca dar respuestas exactas a un problema, más bien busca dar una respuesta cercana al resultado correcto de un problema, se usa mucho en situaciones de la vida cotidiana.
Enseñar cálculo mental en la escuela primaria debe ser una meta prioritaria porque:
a)Los aprendizajes en el terreno del cálculo mental influyen en la capacidad para resolver problemas.
b)El cálculo mental acrecienta el conocimiento en el campo numérico.
c)El trabajo de cálculo mental habilita un modo de construcción del conocimiento que, a nuestro entender, favorece una mejor relación del alumno con la matemática.
d)El trabajo de cálculo pensado debe ser acompañado por un acrecentamiento progresivo del cálculo automático.
El enriquecimiento de las relaciones numéricas a través del cálculo mental favorece que los alumnos, ante una situación, sean capaces de modelizarla por anticipación, por reflexión.
Esta fue mi respuesta: es directamente proporcional: el que logra hacer cálculos mentales, logra resolver problemas, el que no logra hacer cálculos mentales se le dificulta resolver problemas. A esto es necesario agregar que la capacidad para resolver problemas, tomar decisiones, trabajar con otros, usar recursos de modo pertinente forma parte del perfil reclamado por la sociedad de hoy. El centro de la enseñanza de las matemáticas debe ser la resolución de problemas, que demanda un creciente dominio de recursos de cálculo.
Entre más nociones matemáticas se posean, más fácilmente se podrán realizar cálculos mentales. La lectura además nos dice que el cálculo mental acrecienta el conocimiento en el campo numérico, es decir, las nociones se aumentan.
Que son esos conocimientos previos los que le van a permitir realizar cálculos mentales. El cálculo requiere que se lleven adelante dos tipos de actividades, una de ellas es un trabajo de memorización de repertorios y reglas, lo cual implica la recuperación de conocimientos previos por el alumno.
Existen los siguientes métodos para el cálculo mental multiplicativo: distribución aditiva, distribución substractiva, distribución cuadrática, factorización, sacar el doble y la mitad, así como métodos sintéticos con factores de 10, 100, 1000, 5, 10, 15.
Los métodos del cálculo estimativo son los siguientes: la reformulación, la traducción y la compensación. La reformulación consiste en el cambio de los datos numéricos de las cantidades implicadas en el problema. Por ejemplo: 0.24x4.39 se puede aproximar a 0.25x4. La traducción consiste en cambiar la estructura matemática del problema, ya sea procesando los valores numéricos en un orden diferente de cómo aparecen en el problema, o cambiando las operaciones para formar un problema equivalente. La compensación se refiere a los ajustes hechos para reducir el error que provoca la reformulación.
Las estrategias utilizadas en los cálculos estimativos son: idea de punto de referencia, orden de magnitud, operación frontal, redondeo, números compatibles y punto de referencia. Otra lectura nos propone la ruleta de la estimación para el cálculo en operaciones de suma, resta o cualquier otra.
g)Ruleta de la estimación: consiste en hacer dos discos divididos en octavos, en cada una de esas divisiones se escribe un número, se hacen girar los discos, los números que coinciden son los que se utilizarán para hacer operaciones y estimar el resultado.
3.2.1. Actividad previa
1.¿Por qué utilizar la calculadora en la escuela primaria?
Es necesario que los estudiantes se familiaricen con el uso de la calculadora pues en la escuela secundaria se utiliza para otras cuestiones más complejas, incluso tienen la calculadora pegada a la banca. Ahora bien como instrumento de uso cotidiano y como instrumento tecnológico requerido en casi todos los ámbitos, los niños deben saber manejarla.
2.¿Cómo debe usarse la calculadora en la escuela primaria?
Debe utilizarse para verificar resultados de operaciones que se hayan hecho sin calculadora. También deben usarse para que los niños estén familiarizados con el funcionamiento básico como prenderla, apagarla, sumar, restar, sacar un total; el reconocimiento de teclas de función de simbología para división, suma, resta, raíz cuadrada, etc.
3.¿Cree usted posible que a través del empleo de la calculadora el niño pueda por ejemplo obtener reglas o leyes para operar con los números?
Creo que sí es posible, pero en realidad no sé cómo.
4.¿Qué cree usted que deba impulsarse más en la escuela, el cálculo mental, el cálculo con papel y lápiz o el cálculo con calculadora?
No creo que deba impulsarse más uno que otro, más bien los tres pero con un orden: primero el cálculo con lápiz y papel, una vez dominado, el cálculo mental, y por último el cálculo con calculadora.
5.¿Cómo cree usted que pueda ser incorporada la calculadora al proceso colectivo de solución de problemas?
Primero es el maestro el que debe saber usarla, pues aunque parezca extraño, muchos maestros no saben utilizar la calculadora, esto se ha visto cuando uno tiene qué hablarle a otro para que le ayude a eso precisamente. Una vez que el maestro sepa usar la calculadora, entonces puede ponerse a enseñar a los niños, sí se puede con niños de quinto y sexto grado, donde ya se hacen operaciones más con cifras más grandes.
6.¿Puede ser utilizada la calculadora en la realización de pequeñas investigaciones matemáticas que requieran de la formulación de hipótesis?
Yo pienso que sí, la cuestión es la misma que acabo de plantear en la pregunta anterior, el maestro debe saber usar la calculadora primero.
7.¿Es posible utilizar la calculadora para propiciar el aprendizaje por descubrimiento?
Sí creo que se puedan propiciar actividades de aprendizaje por descubrimiento.
de uso en la resolución de problemas.
3.2.3. Calculadoras.
La calculadora en primaria: tres modalidades de uso en la resolución de problemas.[3]
1.La calculadora como generador de reglas.
Se puede motivar a los niños a que intenten descubrir la forma en que la calculadora opera con ellos, en este caso los problemas que se resuelvan consisten precisamente en generar o elaborar reglas. Esta modalidad de uso de la calculadora nos parece especialmente útil en el tratamiento de las fracciones, como un apoyo adicional para facilitar a los alumnos la comprensión de las reglas para operar con ellas.
2.La calculadora y la solución de problemas con texto.
En la enseñanza tradicional se sigue el método escrito: los alumnos deben escribir en sus cuadernos los datos, las operaciones y la respuesta. En la escuela primaria los alumnos escriben, operan y calculan aún más lentamente, de manera que la mayor parte del tiempo se consume en este tipo de actividad improductiva. La actividad más productiva, el razonamiento, la lógica del proceso de solución, ocupa una porción incomparablemente menor.
Se recomienda como método de trabajo el dictado matemático. El profesor lee clara y pausadamente el enunciado del problema y los alumnos no escriben ni toman nota en sus cuadernos, sino escuchan atentamente y reflexionan respecto a la solución. Luego el profesor lee nuevamente el problema y los alumnos lo resuelven con calculadora en mano. Se analizan las respuestas y los procedimientos que los niños usaron, después se hacen más problemas bajo la misma estrategia.
La integración de la calculadora a este proceso modifica radicalmente la situación, pues permite la participación activa de todo el grupo. Las ventajas de esta forma de trabajo son evidentes: los alumnos, sin distraerse en la escritura y la realización de cálculos en sus cuadernos, se centran en la parte lógica de la solución del problema, en ejercitar el pensamiento lógico. Bajo estas condiciones, los alumnos procesan una cantidad mucho mayor de material lógico y numérico que en la situación tradicional.
3.La calculadora y los problemas de corte investigativo.
El usar la calculadora como generador de reglas, en cierta forma, es una actividad de corte investigativo, en el que se trata de descubrir regularidades o procedimientos que no necesariamente serán objeto de formalización. Un tipo muy especial de problemas de corte investigativo que ayudan a desarrollar el pensamiento lógico son los del tipo llamado criptoaritmética.
Esperamos que las versiones aquí vertidas estimulen la creatividad del profesor y le permitan desarrollar nuevas modalidades de uso de la calculadora en el salón de clase.
Calculadoras.[4]
Se hizo un trabajo con alumnos de sexto grado de primaria, que no habían usado antes la calculadora Uno de los objetivos era el siguiente: con la primera actividad se pretendía que los alumnos ganaran confianza en sí mismos, después se propuso una tarea más difícil relacionada con números decimales, con el sistema de numeración, tamaño de los números, estimación y aproximación así como una cuestión: multiplicar no siempre es aumentar.
La calculadora permitió que afloraran conocimientos que tenían los alumnos sobre ciertos números y ha servido para conocer un poco mejor su forma de pensar. Lo que ha ocurrido en esta clase de sexto depende en alguna medida, de los conocimientos previos de los alumnos; pero las actitudes, comportamientos y el gusto por el ensayo y la exploración han sido una constante en el uso de calculadoras como fuente de investigaciones en el aula. Estas son independientes de la edad de los alumnos.
El profesor está interesado sobretodo en plantear actividades que supongan un desafío para sus alumnos y permitan aproximaciones y estrategias que variadas permitan su desarrollo.
De todas las posibilidades existentes, las que más interesan son aquellas en las que el foco de atención es la resolución de problemas. Problemas en los que se ponen en funcionamiento procedimientos fundamentales como la construcción de algoritmos personales en los que se provocan conflictos que ponen al descubierto aspectos del conocimiento matemático de los alumnos.
Los trabajos que se proponen con una única calculadora (la que maneja el profesor) permiten, efectivamente, recoger mucha información; pero los alumnos, a cambio, pierden autonomía. La actitud del profesor es fundamental para que las ideas de cualquier tipo, incluso erróneas u oscuramente expresadas, sean bien recibidas y discutidas.
La autonomía aumenta, si todos disponen de calculadora y con ella la riqueza de la diversidad. Resulta imprescindible que las calculadoras estén adaptadas al tipo de situación que va a trabajarse. Por ejemplo para investigar la parte decimal de los cocientes que se obtienen al dividir entre 7 pierde mucho interés cuando se realiza con una calculadora científica que redondea los resultados.
La diversidad en cualquier aula es un hecho. Las actividades abiertas permiten a todos los alumnos desplegar su actividad en particular a los que encuentran mayores dificultades.
3.2.4. Actividad final.
Porque si aprenden a usarla pueden desarrollar diversas estrategias que les permitirán a su vez afianzar y profundizar el conocimiento y el uso de operaciones. También es importante que se favorezca el uso de la calculadora para distintos fines:
La lectura propone tres modalidades: como generador de reglas, para solucionar problemas con texto pero sin perder tiempo escribiéndolos y con cuestiones de corte investigativo. Así resuelven muchos más problemas y se concentran en ejercitar el pensamiento lógico, no en escribir.
Sí es posible que el niño pueda obtener reglas o leyes para operar con los números si se les proporcionan los elementos necesarios y se les da un tiempo para que ellos descubran reglas similares sí lo pueden hacer.
No creo que deba impulsarse más uno que otro, más bien los tres pero con un orden: primero el cálculo con lápiz y papel, una vez dominado, el cálculo mental, y por último el cálculo con calculadora. La misma lectura nos dice que es importante tener en cuenta que la idea no es convertir a la calculadora en el único medio de cálculo, que también se debe desarrollar la habilidad para el cálculo mental y conseguir que los alumnos memoricen las tablas. En general se deben desarrollar los tres tipos básicos de cálculo aritmético: el mental, el de papel y lápiz y el de calculadora.
Primero es el maestro el que debe saber usarla, pues aunque parezca extraño, muchos maestros no saben utilizar la calculadora, esto se ha visto cuando uno tiene qué hablarle a otro para que le ayude a eso precisamente. Una vez que el maestro sepa usar la calculadora, entonces puede ponerse a enseñar a los niños, yo creía que solo se podían hacer ejercicios de este tipo con niños de quinto y sexto; pero claramente nos indica que no hay problema con la edad de los niños.
7.¿Es posible utilizar la calculadora para propiciar el aprendizaje por descubrimiento? Sí creo que se puedan propiciar actividades de aprendizaje por descubrimiento.
3.3.1. Actividad previa
Primero se les hace una plática donde se trate de llamar su atención, una vez logrado esto, se les plantea el problema de uno u otro tipo y luego se van haciendo variaciones a los mismos para ampliar el rango de problemas y que no se limite a un solo tipo de problemas. Ahora que sabemos que se puede usar la calculadora de diferentes formas, hemos hecho también problemas donde se agiliza la mente.
3)¿Cree usted que existan estrategias solucionadoras de problemas que sean eficaces y tan generales que puedan ser aplicadas a una gran variedad de tipos de problemas?
Regularmente se hacen varias preguntas para saberlo y también por si algún o algunos niños no comprendieron, ahí es el momento de que ayudados por las explicaciones de otros compañeros, puedan darse cuenta de lo que aún no comprendían.
5)Enliste y describa los tipos de estrategias que usted y sus compañeros utilizaron en la solución de los problemas de la actividad 1.1.1.
Una de las estrategias fue utilizando una ecuación y por despeje se pudo saber los hombres que tenía una cuadrilla. Otra fue usando medidas a escala y utilizando la regla de tres así como las fórmulas de área y perímetro. Uno más fue utilizando cálculos de probabilidad y estadística. Otro fue realizando operaciones hasta obtener el resultado deseado, en las edades del padre y del hijo. Otro fue aplicando el teorema de Pitágoras. Uno más fue por lógica.
Yo creo que no termina pues puede ser el inicio de algo más complejo o bien dar pie a otras investigaciones incluso por parte de los niños.
Estoy convencida de que sí, pues de algún modo era lo que se usaba antes, y por un lado creo que es algo que la mayoría posee en la resolución de problemas y además que eso es lo que usamos cuando alguien nos pregunta algo relacionado con ello.
3.3.4. Resolución de problemas: El trabajo de Alan Schoenfeld.
Una propuesta a considerar en el aprendizaje de las Matemáticas.
La solución de problemas, la creatividad y la metacognición.[5]
Alan Schoenfeld pensaba que no bastaba la presentación implícita de los heurísticos para resolver un problema, que los estudiantes no aprendían los heurísticos de manera espontánea con solo la realización de los ejemplos, sostenía que los heurísticos debían enseñarse de modo explícito. Una manera de realizar esta explicitación es:
A una explicitación como la antes expuesta le llama “estrategia directiva”. De acuerdo con Schoenfeld el modelo de habilidad en el campo de resolución de problemas consiste en: análisis, diseño, exploración, realización y verificación. Hay dos tipos de pericia que deberían ser diferenciados. Por un lado la pericia que se basa en saber muchísimo referente a un área particular, en tal caso está fuera de duda la importancia que tiene el conocimiento específico del terreno para la solución de problemas. El segundo tipo de pericia se relaciona con la capacidad de dirigir los propios recursos intelectuales y de emplear cualquier conocimiento específico del terreno que se tenga del modo más eficaz posible.
Schoenfeld ha puesto de relieve este segundo tipo de pericia, nos sugiere que los solucionadores expertos de problemas son generalmente mejores que los novatos, en lo que más se distinguen es en el manejo de sus recursos.
Cuando un alumno observa a un profesor explicando un problema, ve los resultados del pensamiento del profesor, pero rara vez es testigo del proceso de pensamiento en sí.
La palabra “heurística” procede del griego heuriskin, que significa “servir para descubrir”. El objetivo general de la investigación de la solución de problemas con máquinas reside en el descubrimiento o desarrollo de métodos heurísticos eficaces.
Polya se interesó mucho por la enseñanza de las matemáticas y su trabajo en materia de heurísticos surgió del deseo de enseñar a los estudiantes algo que les sirviera con carácter general en la solución de diferentes tipos de problemas matemáticos.
El modelo idóneo de analizar los heurísticos de Polya es hacerlo en el marco de su modelo prescriptivo de solución de problemas, que distingue cuatro fases: *comprender el problema, *idear un plan, que incluye la formulación de una estrategia de tipo inductivo no deductivo, *ejecutar ese plan, he aquí donde está la prueba detallada y donde se lleva a cabo el razonamiento deductivo, *mirar hacia atrás, es decir, verificar los resultados.
1.Cerciórese de que conoce la incógnita, los datos y las condiciones que relacionan a esos datos.
2.Cerciórese de que comprende la índole del estado final, del estado inicial y de las operaciones permisibles.
El propósito de esto es asegurar que quien resuelve el problema se haya representado en todos los aspectos importantes de éste.
3.Trace un gráfico o diagrama e introduzca la notación adecuada.
4.Si una manera de representar un problema no conduce a la solución, trate de volver a enunciar o formular ese problema.
5.Recuerde un problema conocido de estructura análoga al que tiene delante y trate de resolverlo. Algunos psicólogos consideran que la capacidad de captar semejanzas y de practicar el razonamiento analógico constituye uno de los indicadores más seguros de inteligencia en general.
6.Piense en un problema conocido que tenga el mismo tipo de incógnita y que sea más sencillo un heurístico íntimamente emparentado con el anterior dice:
7.Si no puede resolver el problema que trae entre manos, intente transformarlo en otro cuya solución conozca.
8.Simplifique el problema fijándose en casos especiales.
9.Sustituya la variable entera por valores específicos (por ejemplo 0, 1 y 2) y observe si aparece alguna generalización; si así ocurre, trate de comprobar esa generalización mediante inducción matemática.
10.Haga el problema más general y observe si así puede resolverlo.
11.Descomponga el problema en partes. Si no puede manejar esas partes, descompóngalas a su vez en partes más pequeñas, y siga de ese modo hasta conseguir problemas de tamaño manejable.
*Trate de resolver el problema de un modo diferente.
*Verifique las implicaciones de la solución.
La enseñanza heurística de Schoenfeld en la solución de problemas matemáticos.[6]
Alan Schoenfeld, un matemático interesado en el carácter de la solución de problemas de los expertos y en cómo enseñarla trabajó durante algunos años con el fin de producir una demostración eficaz de la enseñanza heurística. Schoenfeld indica que todo argumento en pro del valor práctico de la enseñanza heurística debería tratar ciertas cuestiones. Es posible que los heurísticos sirvan de ayuda pero es necesario que los estudiantes deban aprenderlos a través de la enseñanza normal tan bien como puedan.
De acuerdo con Schoenfeld, los estudiantes no aprenden los heurísticos de modo espontáneo a través de ejemplos; los heurísticos deben enseñarse de modo explícito. Los estudiantes no aplican de modo fiable los heurísticos que conocen, resulta necesario proporcionarles algún tipo de ayuda o de guía. Una estrategia directiva para enfocar los problemas puede ayudar a los estudiantes a aplicarlos y puede mejorar mucho el desempeño en la solución de problemas de matemáticas.
Experimento con dos grupos.
Los participantes eran estudiantes de la Universidad de California en ciencias y matemáticas. Unos fueron asignados a una condición de tratamiento y los otros a una condición de control. Ambos grupos recibieron la misma enseñanza. Al grupo de tratamiento se le dieron los heurísticos explícitamente y al grupo de control se le dieron implícitamente. La enseñanza heurística hizo posible que los estudiantes del grupo de tratamiento tuvieran un mejor desempeño que los del grupo de control.
Cuando los estudiantes del grupo de tratamiento solucionaban problemas, lo hacían mediante la aplicación explícita de los heurísticos que se les habían enseñado. Aquellos estudiantes que fueron expuestos explícitamente a los heurísticos aprendieron a utilizarlos en cierta medida; aquellos que fueron expuestos a las explicaciones implícitas de los heurísticos no aprendieron a utilizarlos. Los estudiantes que aprendieron los heurísticos resolvieron más problemas que los que no lo hicieron.
Heurísticos utilizados con frecuencia, Schoenfeld, 1980.
1.Primera fase: Análisis.
A continuación se presentan los heurísticos de la fase de análisis.
1.Trace un diagrama si ello resulta posible.
2.Examine los casos especiales:
a)Elija valores especiales para ejemplificar el problema y adquiera conciencia de él.
b)Examine los casos límite para explorar la escala de posibilidades.
c)Iguale todos los parámetros enteros a 1, 2, 3…en una sucesión y busque un patrón inductivo.
3.Intente simplificar el problema mediante:
a)La exploración de la simetría, o
b)Argumentos “sin perder la generalidad” (incluida la escala).
II. Exploración.
1.Considere esencialmente problemas equivalentes:
a)Reemplace condiciones por otras equivalentes.
b)Recombine los elementos del problema de diferentes modos.
c)Introduzca elementos auxiliares.
d)Vuelva a formular el problema.
*Cambiando la perspectiva o la notación.
*Considerando argumentos por contradicción o por contraejemplos.
*Suponiendo una solución y aceptando sus prioridades.
2.Considere problemas algo modificados:
a)Elija sub-objetivos (obtenga una realización parcial de las condiciones.)
b)Retire una condición y luego reintente reimponerla.
c)Descomponga el dominio del problema y trabaje en él punto por punto.
3. Considere problemas ampliamente modificados:
a)Construya un problema análogo con menos variables.
b)Mantenga fijas todas las variables salvo una a fin de determinar el impacto de esta variable.
c)Intente aprovechar cualquier problema afín que sea similar en cuanto a su:
Recuerde: cuando se enfrente a problemas afines más fáciles, debe intentar aprovechar tanto el resultado como el método de solución del problema en cuestión.
III. Verificación de la solución.
1.¿Puede la solución pasar estas pruebas específicas?
a)¿utiliza todos los datos pertinentes?
b)¿cuadra con las estimaciones y predicciones razonables?
c)¿supera pruebas de simetría, análisis de dimensión y escalas?
2.¿Pasa estas pruebas generales?
a)¿Puede obtenerse de un modo diferente?
b)¿Puede comprobarse a través de casos especiales?
c)¿Puede reducirse a resultados conocidos?
d)¿Puede ser utilizado para generar algo que usted conozca?
2.Segunda fase: Diseño.
De la fase de análisis, la persona que soluciona el problema pasa a la fase de diseño. El objetivo de esta fase consiste en mantener una visión general del proceso de solución del problema, desarrollar un amplio plan sobre el modo en que se va a proceder y asegurarse de que los cálculos hallados no se efectúan de modo prematuro. Dicho de otro modo, la fase de diseño constituye un monitor a nivel superior periódico para todo el proceso. No se sugieren heurísticos específicos.
3.Tercera fase: Exploración.
La exploración se elige cuando el problema presenta dificultades y no se dispone de un plan claro que pueda producir directamente una solución. Quien soluciona el problema puede recurrir a la fase de diseño para considerar qué es lo que debe hacer a continuación, o incluso puede volver a la fase de análisis para pensar sobre un problema afín recién formulado o sobre el viejo problema.
4.Cuarta fase: Realización.
Esta fase sigue a la fase de diseño y refleja la decisión de que se dispone de un plan que debería conducir a una solución en caso de llevarse a cabo. Por ejemplo, es posible que exista una serie de ecuaciones que deban resolverse o una prueba descubierta durante la exploración que deba registrarse punto por punto. El resultado de la realización es una solución provisional del problema. No se sugieren heurísticos para la realización.
5.Última fase: Verificación.
Esta fase sigue a la realización. El objetivo consiste en controlar la solución. En la fase 1 se indican varios heurísticos para esta finalidad.
Una propuesta a considerar en el aprendizaje de las Matemáticas[7]
El trabajo de Alan Schoenfeld juega un papel importante en la implementación de las actividades relacionadas con el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las matemáticas. Schoenfeld fundamenta su propuesta en lo que denomina la adopción de un “microcosmos matemático” en el salón de clases. Esto es propiciar en el aula condiciones similares a las condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso del desarrollo de las matemáticas.
El inicio y los primeros cambios.
Schoenfeld reconoce que la claridad en el entendimiento del problema resulta determinante en el proceso de resolver problemas. En esta primera fase de acercamiento hacia el problema es importante reflexionar en cuestiones tales como qué se pide, qué se tiene y a qué se quiere llegar.
Schoenfeld se identifica en el grupo de gente que ha estudiado y ha asimilado varias estrategias como resultado de haber resuelto muchos problemas. En general, los cursos de matemáticas a nivel universitario se desarrollan con un instructor que presenta a los estudiantes un contenido acabado, pulido y formalizado, se espera que los estudiantes usen ese contenido para encontrar la solución de problemas.
Aunque Schoenfeld reconoce el potencial de las estrategias discutidas por Polya, se dio cuenta de que los estudiantes que reciben entrenamiento para las competencias en E.U. no usan las ideas de Polya. El principal método usado por los entrenadores en este tipo de competencias es que “uno aprende a resolver problemas exitosamente en la medida que resuelve un gran número de problemas”.
Schoenfeld expresó: “un estudiante puede ser expuesto a un determinado problema y entenderlo completamente en ese momento. Pero esto no garantiza que la “lección” será aprendida o que la solución será retenida de alguna manera por los estudiantes. Ausente de las conexiones apropiadas, el estudiante puede más tarde encontrarse a sí mismo viendo el mismo problema en total frustración, sabiendo que él lo ha resuelto antes pero incapaz de recordar aún el método general de solución.
Schoenfeld revisó algunos estudios realizados en ciencias cognoscitivas e inteligencia artificial. Encontró que en estas disciplinas se han producido programas que son capaces de resolver problemas en áreas como ajedrez, lógica simbólica y cálculo integral con mucho éxito. Gardner sugiere que para entender el proceso de resolver problemas uno tiene que considerar información de áreas como psicología, filosofía, inteligencia artificial, lingüística y antropología.
En varios estudios Schoenfeld encontró que existen cuatro dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas: dominio del conocimiento, estrategias cognoscitivas, estrategias metacognoscitivas y sistemas de creencias.
Dominio del conocimiento incluye definiciones, hechos y procedimientos usados en el dominio matemático. Estrategias cognoscitivas incluyen métodos heurísticos tales como descomponer el problema en simples casos, establecer metas relacionadas, invertir el problema y dibujar diagramas. Estrategias metacognoscitivas se relacionan con el monitoreo empleado al resolver el problema, por ejemplo, el proceso de selección de una estrategia y la necesidad de cambiar de dirección como resultado de una evaluación permanente del proceso. Sistemas de creencias incluye las ideas que los estudiantes tienen acerca de la matemática y cómo resolver problemas.
Para que los estudiantes vean las matemáticas como una disciplina con sentido, es necesario que interactúen e internalicen los principios asociados con esta disciplina.
Principios epistemológicos.
Schoenfeld indicó que los estudiantes deben reconocer los principios epistemológicos de esta disciplina. Por ejemplo deben reconocer que:
1.Encontrar la solución de un problema matemático no es el final de la empresa matemática, sino el punto inicial para encontrar otras soluciones, extensiones, generalizaciones de ese problema.
2.Aprender matemáticas es un proceso activo el cual requiere de discusiones, conjeturas y pruebas. Este proceso puede guiar a los estudiantes al desarrollo de nuevas ideas matemáticas.
Algunas de las actividades de aprendizaje utilizadas por Schoenfeld son:
a)Resolver problemas nuevos (nuevos para Schoenfeld) en la clase con la finalidad de mostrar a los estudiantes las decisiones tomadas durante el proceso de resolver problemas.
b)Mostrar videos de otros estudiantes resolviendo problemas a la clase para mostrar destrezas y debilidades en los estudiantes a la hora de resolver problemas.
c)Actuar como moderador mientras los estudiantes discuten en la clase.
d)Dividir la clase en pequeños grupos los cuales discuten en la clase, el coordinador elabora preguntas que ayuden a los estudiantes a reflexionar en lo que están haciendo.
Schoenfeld sugirió que el principal objetivo en la instrucción matemática es ayudar a los estudiantes a ser autónomos. Schoenfeld indicó que la instrucción matemática debe incorporar estrategias para aprender a leer, conceptualizar y escribir argumentos matemáticos.
El trabajo de Schoenfeld incorpora un punto de vista de las matemáticas en la cual los estudiantes son motivados a discutir el sentido de las ideas matemáticas.
Los estudiantes son motivados a organizar sus argumentos matemáticos en una secuencia de tres fases: convéncete a ti mismo, convence a un amigo y entonces convence a un enemigo.
En el análisis del proceso de resolver problemas Schoenfeld recomienda poner atención en los recursos de los estudiantes, las estrategias cognoscitivas, así como en las creencias que ellos tengan acerca de las matemáticas.
Autores de cada lectura presentada en este apartado
[1] PARRA, Cecilia. ”Cálculo mental en la escuela primaria” en Los problemas matemáticos en la escuela. Antología básica. UPN, México, 1994, pp. 119-144
[2] MOCHÓN, Simón VÁZQUEZ, Román Josueth. “Cálculo mental y estimación: métodos, resultados de una investigación y sugerencias para su enseñanza” en Los problemas matemáticos en la escuela. Antología complementaria. UPN, México, 1994, pp. 151-160
[3] JIMÉNEZ, Rodríguez Juan Ramón. “La calculadora en primaria: tres modalidades de uso en la resolución de problemas” en Los problemas matemáticos en la escuela. Antología básica. UPN, México, 1994, pp. 145-152
[4] VICENTE, C. Juan y ORERO, Juan Carlos. “Calculadoras” en Los problemas matemáticos en la escuela. Antología complementaria. UPN, México, 1994, pp. 161-166
[5] NICKERSON, Raymond S. et. al. “La solución de problemas, la creatividad y la metacognición” y “La enseñanza heurística de Schoenfeld en la solución de problemas matemáticos” en Los problemas matemáticos en la escuela. Antología básica. UPN, México, 1994, pp. 153-160
[6] NICKERSON, Raymond S. et. al. “La solución de problemas, la creatividad y la metacognición” y “La enseñanza heurística de Schoenfeld en la solución de problemas matemáticos” en Los problemas matemáticos en la escuela. Antología básica. UPN, México, 1994, pp. 160-163
[7] SANTOS, Luis Manuel. “Resolución de problemas: el trabajo de Alan Schoenfeld. Una propuesta a considerar en el aprendizaje de las matemáticas” en Los problemas matemáticos en la escuela. Antología complementaria. UPN, México, 1994, pp. 167-172
Publicado por Martha Olivia Márquez en 15:32
planlogistica 30 de abril de 2010, 13:25
Hola Martha, soy Octavio Celis, me recuerdas?? Saludos
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL “Los problem...
Martha Olivia Márquez

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