Source: https://es.scribd.com/doc/77208982/CAMPO-DE-FORMACION-ESPECIFICA-MATEMATICAS
Timestamp: 2016-10-25 15:59:16+00:00

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pretende que los futuros maestros adquieran las competencias y la sensibilidad necesarias para actuar como educadores de adolescentes y que, además, sean capaces de trabajar con los contenidos de la asignatura de la especialidad en que se forman. Tal como lo señala el artículo 5 del Acuerdo 269, por el que se establece el Plan de Estudios de la Licenciatura en Educación Secundaria, “las asignaturas que integran el campo de formación específica, los contenidos básicos de sus programas de estudio y las orientaciones académicas para el diseño y la elaboración de dichos programas, serán determinados por la Secretaría de Educación Pública en el mapa curricular y las disposiciones normativas que emitirá por cada una de las especialidades”. Con esta base, y con la intención de aprovechar la experiencia profesional de los profesores de las escuelas normales, la Secretaría de Educación Pública ha considerado conveniente que la elaboración de los programas correspondientes a las asignaturas de formación específica por especialidad sea una tarea que se realice en las propias escuelas normales, atendiendo a los rasgos del perfil de egreso y a los criterios y orientaciones para la organización de las actividades académicas establecidos en el Plan de Estudios para la Licenciatura en Educación Secundaria 1999 y las disposiciones incluidas en el presente documento. Este documento establece los cursos que componen la formación en la especialidad, los contenidos básicos de cada uno, así como las características que deberán reunir los programas de estudio de cada asignatura. Esta versión es producto de las opiniones y propuestas del personal académico de las escuelas normales y de reconocidos especialistas en los campos de la matemática y su enseñanza. Introducción En los últimos 20 años, la investigación en educación matemática en México y en muchos otros países del mundo ha reportado una cantidad significativa de conocimiento útil para mejorar el curriculum de los diferentes niveles educativos, pero de manera particular de la educación básica. La escuela secundaria, considerada actualmente como el último peldaño de la educación básica en México, asigna a la enseñanza, el estudio y el aprendizaje de las matemáticas un lugar importante en el Plan y Programas de Estudio, ya que es un espacio privilegiado para que los adolescentes adquieran conocimientos, desarrollen habilidades y fomenten actitudes que les permitan resolver problemas de diversa índole y seguir aprendiendo de manera autónoma. El estudio de las matemáticas en el nivel básico tiene como propósito fundamental llenar de significados a los conceptos matemáticos para que se puedan usar de manera flexible y apropiada en la resolución de problemas. La memorización de técnicas y su aplicación de manera mecánica han mostrado su ineficacia y poco a poco ceden su lugar a la reflexión, la búsqueda creativa, la adopción de procedimientos cada vez más eficaces.
Para lograr el propósito fundamental de estudiar matemáticas en la educación secundaria es necesario reorientar la función de los tres factores fundamentales que intervienen en el proceso didáctico: el maestro, los alumnos y las actividades de estudio. Cuando se habla de proceso didáctico o proceso de estudio se hace referencia a las interacciones que se establecen entre los alumnos, el maestro y las actividades de estudio. Estas últimas son las situaciones o problemas que aparecen en los materiales de apoyo con que cuenta el maestro, tanto los que proporciona la Secretaría de Educación Pública como los textos comerciales. De lo anterior se derivó la necesidad de modificar el plan de estudios para la licenciatura en educación secundaria, de manera que los futuros maestros con especialidad en matemáticas desarrollen habilidades que les permitan manejar con profundidad los contenidos matemáticos del nivel básico y analizar situaciones didácticas que, al ser aplicadas a los alumnos, favorezcan en éstos un conocimiento significativo y funcional. 1. La enseñanza, el estudio y el aprendizaje de las matemáticas en la escuela secundaria. Propósitos y prácticas educativas Sin duda, un acontecimiento importante de los últimos años en materia de educación es la obligatoriedad de la escuela secundaria y su incorporación a la educación básica, que actualmente consta de nueve grados. La educación secundaria se concibe como la etapa final de un periodo de escolaridad esencialmente formativo en el que se pretende que los alumnos adquieran conocimientos, desarrollen habilidades y fomenten actitudes que les permitan seguir aprendiendo permanentemente. En el caso particular de matemáticas, se trata de que los alumnos desarrollen habilidades intelectuales que les permitan acceder a la cultura matemática, utilizarla, estudiarla y aprenderla. Desde los orígenes de la escuela secundaria, la enseñanza de la matemática se ha planteado el logro de conocimientos, habilidades y valores, que puedan ser utilizados para resolver problemas. Sin embargo, los resultados obtenidos reflejan que la metodología para lograr tales propósitos no ha funcionado y al parecer el problema fundamental es que el proceso didáctico se ha centrado en la actividad del maestro como poseedor del conocimiento y en la pasividad de los alumnos, quienes tratan únicamente de reproducir las explicaciones recibidas. Este tipo de roles del maestro y los alumnos durante mucho tiempo han derivado en altos índices de aversión y reprobación en esta asignatura. Lo anterior se explica, en parte, por el origen mismo de la escuela secundaria como fase inicial del nivel universitario, caracterizado por el enciclopedismo y la exposición magistral por parte del maestro, pero también porque las reformas implementadas en este nivel no han logrado enfocar la atención en lo medular del proceso didáctico. Por ejemplo, una idea muy difundida es que el problema radica en la manera como el maestro explica los conceptos a los alumnos, se supone que si el maestro es suficientemente claro los alumnos aprenden y obtienen buenos resultados. En otro tiempo se adoptó la teoría de conjuntos bajo el supuesto de que el problema era la estructura de la disciplina matemática y más recientemente la atención se centró en el logro de conductas observables suponiendo que se trataba de un problema de planificación y evaluación de objetivos.
a pesar de que existan evidencias favorables en los resultados que logran los alumnos en términos de habilidades.Difícilmente podemos escapar a la idea de que el enfoque didáctico que se propone actualmente se considere simplemente como una moda pasajera. conocimientos y actitudes. construyan ideas nuevas y desechen otras tantas. por ejemplo. Para ofrecer mayor claridad sobre este aspecto. Todo esto mediante la interacción con sus propios compañeros y con el maestro. A continuación se describen diferentes tipos de conocimientos. una relación que puede hacer crecer todos los días sus habilidades docentes. quienes en vez de recibir explicaciones sobre cómo realizar las diferentes tareas que se les asignan. expresen sus ideas con claridad y aprendan a escuchar las de sus compañeros. La actividad que se espera del maestro no es trivial.
CONOCIMIENTOS En esta categoría se agrupan los saberes que los alumnos tienen disponibles en la memoria o que pueden ser reconstruidos fácilmente con el fin de utilizarlos en cualquier momento para resolver problemas más complejos. fortalezcan algunas técnicas y adquieran cada vez mayor flexibilidad para solucionar problemas. reciben consignas para saber en qué consisten las tareas y echan mano de sus conocimientos previos y de sus propias habilidades para encontrar formas de solución. implica el análisis de las actividades de estudio. las posibles dificultades y las maneras de intervenir para orientar la reflexión o para obtener conclusiones. obteniendo sus propias conclusiones después de resolver una situación problemática. el proceso didáctico está centrado en la actividad intelectual de los alumnos. La apropiación de estos saberes puede darse en distintas formas. se describen a continuación tres formas o subcategorías en las que se pueden clasificar los conocimientos. Los ejemplos que acompañan a cada una de las categorías sólo tratan de ilustrar tipos de problemas que favorecen el desarrollo de cada habilidad. es necesario dejar en claro sobre qué aspectos se centra la atención y cuáles son los rasgos más importantes que distinguen a la propuesta curricular actual. Las actividades de estudio están diseñadas para que los alumnos inicien la reflexión sobre los diferentes temas. o incluso mediante procesos de estudio más o menos complejos. Así. a través de la interacción con sus compañeros o con el medio social en que viven. ya no para poder explicar algún procedimiento de solución sino para tratar de prever lo que harán los alumnos. Se trata de una relación muy dinámica tanto con los alumnos como con el objeto de conocimiento. De esta manera se logra que el conocimiento sea significativo y funcional. Independientemente de lo anterior. habilidades y actitudes que se espera lograr con el estudio de las matemáticas durante la educación básica. a través de la información que les proporciona el maestro o el autor de un libro. Conocimiento conceptual
La habilidad de estimar y calcular mentalmente cuando se resuelven problemas. reglas o teoremas aritméticos o geométricos que llegan a formar parte de la cultura matemática del alumno. Se trata de la familiarización gradual con el vocabulario que se utiliza en matemáticas. que el producto de dos números negativos da como resultado un número positivo. ángulo agudo. paralela. apelando a sus conocimientos y a su inventiva para establecer relaciones de diversa índole. A lo largo de ésta se desarrollan secuencias de actividades para que los alumnos conozcan las relaciones básicas que se pueden establecer entre los elementos que intervienen en una operación. además.
HABILIDADES El desarrollo de habilidades matemáticas es la esencia del enfoque didáctico que se propone en el curriculum actual para la educación básica. divisor. etcétera. Conocimiento algorítmico Se entiende por algoritmo un conjunto de pasos que se siguen para resolver una operación. propiedades. se efectúan operaciones o se realizan mediciones. apoyarse en hipótesis para resolver problemas. Conocimiento de hechos básicos Se incluye en este apartado el conocimiento de ciertos axiomas. en términos de desarrollo de habilidades entre la educación primaria y secundaria. dicho de otra manera. que calcular el 50% equivale a obtener la mitad. explícita e implícita. Una diferencia importante. con base en la información que se tiene. etcétera. El desarrollo de habilidades es un proceso continuo cuya fuente de fortalecimiento está en la resolución de múltiples y variados problemas. radica en la posibilidad que tienen los alumnos de este último nivel de expresar procedimientos y resultados generales mediante el lenguaje algebraico y.En esta subcategoría se incluyen los significados de términos matemáticos que permiten comprender los problemas que se plantean de manera oral o escrita. Términos tales como número primo. tales como que la suma de los ángulos internos de un triángulo cualquiera es igual a 180 grados. así como la simbolización de los números con el lenguaje algebraico. A continuación se describe brevemente cada una de las habilidades que se pretende desarrollar en la educación secundaria. En el nivel de secundaria se amplía el campo de las operaciones con la raíz cuadrada y la potenciación. El conocimiento de los algoritmos implica procesos de estudio que se inician desde los primeros grados de la educación primaria. El desarrollo de esta habilidad
. dichas habilidades se reflejan en la posibilidad que tienen los alumnos de resolver problemas en distintos ámbitos de la matemática. empiezan a sistematizar el razonamiento deductivo. así como la comunicación en general.
validarlos ante los demás compañeros.trae consigo el fomento de una actitud muy importante en el estudio de las matemáticas que se refiere al trabajo autónomo y a la responsabilidad matemática (Y. p. Por supuesto que no siempre la estimación y el cálculo mental es el recurso más eficiente para llegar al resultado preciso. etcétera) utilizando unidades arbitrarias o estandarizadas. Por ejemplo.
La habilidad de medir. más bien lo que se observa es una gran dependencia de que el profesor dé su aprobación ante cualquier intento de solución. Este recurso didáctico que parece tan simple trae consecuencias muy positivas para la formación de los alumnos: -Los ayuda a entender mejor el problema. -Obtienen elementos para controlar el resultado que buscan. así como para seleccionar una unidad de medida adecuada a la situación que se presenta. 1997). Antes de que los alumnos empiecen a realizar sus cálculos. Chevallard. masa. pero sí para tener idea del rango numérico en el que puede estar dicho resultado. de manera que uno de los propósitos en este nivel es la resolución de problemas de cálculo geométrico (lmmes.33). volúmenes. El estudio de las ecuaciones es un tema fundamental en la educación secundaria y en muchos casos conviene que los alumnos estimen la solución antes de utilizar un procedimiento algorítmico.
. no es difícil ver que una de las soluciones es 10. en los que la medición constituye un eje temático. El desarrollo de esta habilidad se favorece a través de lo que se ha llamado actividades permanentes (lmmes. 1994. La segunda solución es menos evidente pero puede ser encontrada sin mucha dificultad.850 = 0. A diferencia de lo que sucede en los programas de matemáticas de la educación primaria. -Se responsabilizan de la solución. Esta última no es más que el hacerse cargo de los resultados que se obtienen. puesto que 10 2 + 75(10) – 850 = 0. en caso necesario. en los programas de secundaria los contenidos de medición se incluyen en el estudio de la geometría. 46) que se sugiere realizar cada vez que se va a resolver un problema. p. el profesor puede preguntar: ¿como cuánto creen que va a resultar? Los alumnos anticipan un resultado y enseguida verifican qué tan cerca o qué tan lejos estaban. verificarlos y. al resolver la ecuación x2 + 75x . una operación o cuando se intenta realizar alguna medición. Consideramos que éste es un aspecto fundamental para la formación de los alumnos de la educación básica y es necesario continuar con el eje de Medición en la escuela secundaria. -Se motivan al confrontar el resultado que anticiparon con el que obtienen después de utilizar un procedimiento más riguroso. tomando como referencia la primera. que consiste en establecer relaciones entre magnitudes para encontrar una medida (longitudes. superficies. Se sabe que esta actitud no surge espontáneamente de los alumnos.
En muchos casos es necesario efectuar cálculos y se recurre a las operaciones o instrumentos con los que se tiene cierta familiaridad. etcétera. determinar figuras y cuerpos conociendo algunas características. Un ejemplo de problema que implica esta habilidad es el siguiente: Dividir un triángulo cualquiera en 4. 9. Esta habilidad puede revelarse al encontrar elementos faltantes en una operación. Se puede hablar de dos procesos paralelos íntimamente relacionados que requieren un tratamiento didáctico propio. una gráfica. que consiste en descubrir relaciones entre números o expresiones algebraicas para producir un resultado.
De acuerdo con el enfoque actual para la enseñanza. por ejemplo. con base en las propiedades de las operaciones. La habilidad para resolver problemas se logra descubriendo relaciones a partir de cierta información que se presenta en un texto. a establecer correspondencias entre desarrollos planos y cuerpos geométricos.
La habilidad de calcular. anticipar la forma de figuras o cuerpos en revolución.5 cm y área igual a 12. 25.. se refiere.. triánguos pequeños congruentes entre sí. es factible distinguir entre la habilidad que desarrollan los alumnos para resolver problemas y el uso de diferentes técnicas para efectuar los cálculos (Balbuena. 16.
La habilidad de imaginar relaciones geométricas y espaciales. transformar superficies en sus equivalentes. 36. una ilustración. Un ejemplo de problema que implica la habilidad de calcular es el siguiente: En cada cuadrito anota una cifra para que la operación sea correcta:
. et al. 1995). Calcular la altura de un triángulo isósceles de base igual a 1.5 cm2. el estudio y el aprendizaje de las matemáticas en el nivel básico.A continuación se muestra un ejemplo de este tipo de problemas. o bien al utilizar atajos. o bien entre elementos u objetos del mundo físico..
6% 3.2% 2. Un ejemplo de problema que favorece el desarrollo de esta habilidad es:
En la siguiente tabla está dada la constitución química (en por ciento) de algunos animales de granja.8% 58%
Un ejemplo más en el que se requiere utilizar la relación entre los sumandos y la suma: El siguiente cuadrado es mágico.6% 54% Borrego 16% 20% 0. en por ciento. es el siguiente: Encontrar cinco divisiones que tengan como residuo 30. ¿cuál es el que se aproxima más al animal promedio? ANIMAL PRÓTIDOS LÍPIDOS GLÚCIDOS MINERALES AGUA Caballo 17% 17% 1. para leer o emitir información. Encontrar la constitución química.4% 4. esquemas. renglón o diagonal debe dar como resultado En los espacios en blanco anota las fracciones que completen el cuadrado mágico:
La habilidad de comunicar e interpretar tiene que ver con el uso del lenguaje matemático.5% 4. del “animal de granja promedio”. tablas o gráficas.5% 60% Buey 15% 26% 0.Un ejemplo más. El desarrollo de esta habilidad en el nivel de secundaria es de vital importancia por el uso del lenguaje algebraico. en el que se plantea un problema abierto acerca de las relaciones entre los términos de una división. De entre los animales de la lista.4% 60% Puerco 15% 24% 0. en este cuadrado la suma de cada columna.
siempre que las condiciones del problema y el tiempo lo permitan. o bien a modificar las condiciones de un problema para derivar diferentes resultados a partir de un caso particular. figura. la segunda tiene cuatro.3442 = n2 . término. es el siguiente: Problema 2 Observa la siguiente sucesión de figuras
La primera figura tiene un sólo cuadrado.8%
3. escribe cuál es el resultado. p. El desarrollo de esta habilidad también genera una actitud positiva por parte del alumno si. sin que hagas las últimas operaciones. ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupe el lugar número 100?
. más allá de lo que el maestro les pregunta. Un ejemplo más.52 = 72 . que se refiere a la posibilidad de encontrar patrones numéricos o geométricos. etcétera. el maestro plantea la pregunta: ¿y qué pasaría si en vez de tal cantidad. en el que se parte de una disposición geométrica para encontrar un patrón numérico.2%
La habilidad de generalizar. fuera tal? Poco a poco se irá generando en los alumnos una actitud de búsqueda.(n .32 = 52 .62= 3452 . de manera sistemática.22 = 42 .Pollo 21% (lmmes.1)2 = Observa los resultados que se obtienen en las primeras seis operaciones y luego.
A continuación se muestra un ejemplo de problema en el que se requiere encontrar un patrón numérico para poder anticipar los números que forman una sucesión. 340)
0. Problema 1 Observa la siguiente secuencia de operaciones: 22 .12 = 32 . etcétera.42= 62 .
se confronten. amplíen y fortalezcan sus conocimientos de manera individual. La intervención del profesor es fundamental para que las producciones de los alumnos se analicen. esto es. Autonomía Como consecuencia del estilo docente. se fomenta también en los alumnos el trabajo autónomo tanto en la resolución de las tareas como en la validación de sus descubrimientos. se ponderen y se socialicen. ¿cuánto ahorraré en dos meses? ¿Cuántas semanas tardaré en ahorrar aproximadamente $10 000? ¿Con cuánto debo iniciar si. duplicando mi ahorro cada semana. lo que implica una labor sistemática por parte del maestro para que los alumnos compartan opiniones que les permitan resolver los problemas que se les plantean. esto es $4.Y un ejemplo más en el que se trata de resolver un problema que implica un proceso de generalización: Problema 3 Si esta semana ahorro un peso y la siguiente ahorro el doble. a la vez que comparten ideas. el profesor tiene la posibilidad de observar
. de manera que. $2 y la siguiente duplico mi ahorro. la habilidad para resolver problemas. Investigación Dado que el estilo docente que se propone en el curriculum de la educación básica consiste en que el maestro plantee problemas y los deje en manos de los alumnos para que éstos busquen diferentes alternativas de resolución. De aquí se desprenden varios ejemplos que nos parecen importantes. es decir. En la medida en que los alumnos se hacen cargo de los procedimientos y resultados que encuentran. el estudio y el aprendizaje de las matemáticas en la educación básica. esto favorece el desarrollo de una actitud de búsqueda de procedimientos y estrategias de resolución. quiero acumular $994.50 en dos meses? Las seis habilidades descritas anteriormente confluyen en lo que es el propósito medular de la enseñanza. Colaboración En la propuesta curricular hay una orientación clara hacia el trabajo en equipo. y sigo así todas las semanas.
ACTITUDES El fomento de actitudes y valores subyace a muchas de las recomendaciones didácticas que se pueden leer en los materiales de apoyo para el maestro. Se pretende que los integrantes de cada equipo asuman la responsabilidad de los procedimientos que utilizan y de los resultados que obtienen.
Respeto La participación amplia de los alumnos en el estudio de las matemáticas debe complementarse con una actitud de respeto hacia el trabajo propio y el de los demás. aprendiendo a escuchar a los demás y a ser escuchado. es necesario mirar hacia atrás cotidianamente para ver si la consigna fue clara. los cuadernos de los alumnos. Criterios de evaluación La evaluación es inherente al proceso didáctico y consiste en recoger información de manera continua. En esta perspectiva. las listas de control. de manera que vale la pena establecer juicios sobre ellas con el fin de conservarlas. Es necesario procurar un clima de trabajo en el que se favorezca el intercambio de ideas. con el fin de tomar decisiones oportunas que ayuden a mejorar lo que se evalúa. quiénes necesitan apoyos adicionales y qué tipo de apoyos. así como de las características generales de la propuesta curricular para la educación básica y las características intelectuales y afectivas de los alumnos que cursan este nivel educativo. de manera que los formadores de maestros tienen una gran responsabilidad en el sentido de lograr la mayor coherencia posible entre el enfoque didáctico que se sugiere en el Plan y
. La formación inicial de los profesores de educación secundaria con especialidad en matemáticas Los futuros profesores de educación secundaria con especialidad en matemáticas deben contar con un conocimiento sólido de la disciplina y su didáctica. a través del tiempo. Ahora bien. a través de diversos recursos como la observación. 2. el maestro puede lograr un conjunto de actividades analizadas y probadas que le permita hacer un trabajo docente cada vez más calificado. que consoliden o amplíen sus conocimientos y habilidades.los recursos que utilizan y evaluar tanto el desempeño como la calidad de las actividades que propone. si los cuestionamientos hacia los alumnos fueron adecuados o si para la mayoría de los alumnos fueron claros los resultados de una actividad determinada. Dado que se plantea una actividad estratégica por parte del maestro en la que habrá que tomar decisiones para conducir el estudio de la manera más adecuada posible. sobre el nivel de dificultad de las tareas para fortalecer algunas técnicas o para hacer evolucionar los procedimientos. Así. etcétera. es necesario evaluar el desempeño de los alumnos para tener ideas claras acerca del nivel de logro en cuanto a las herramientas que utilizan para resolver problemas. Las actividades de estudio son el objeto principal del que depende que los alumnos reflexionen y experimenten variadas formas de solución. se sabe que la manera de aprender del estudiante determina en gran medida su manera de enseñar cuando está frente a un grupo de alumnos. modificarlas o desecharlas.
entre otras. 64). interpretar los errores que cometen. Entre esas competencias se pueden señalar las siguientes: a) Conocer el desarrollo histórico de algunas nociones matemáticas como el sistema de numeración.. creatividad y liderazgo. (1998).Programas de Estudio para la Licenciatura en Educación Secundaria. estas dificultades tienen una gran similitud con las que enfrentan los alumnos de nivel básico. así como para aprovechar situaciones problemáticas que surjan de la vida real. y el estilo docente que se practica con los futuros maestros. que de manera particular puedan analizar algunas de las dificultades conceptuales encontradas a lo largo de la historia. con la intención de que comprendan que se trata de una ciencia viva en la que hay mucho por hacer y es necesario mantenerse al tanto de los avances para lograr una labor docente cada vez más profesional. d) Habilidad para analizar. en general. “. En razón de lo anterior. f) Conocer algunos trabajos de investigación en educación matemática. a propósito de la contradicción entre el dicho y el hecho. con las asignaturas del campo de formación específica se espera que los estudiantes normalistas adquieran una serie de competencias que les permitan ayudar a los alumnos de secundaria a estudiar matemáticas con seguridad. particularmente en el caso de las calculadoras hay una producción importante de situaciones didácticas que pueden ser utilizadas en el aula. se alcanza el máximo grado de incoherencia cuando es un formador de formadores quien explica cómo debe enseñarse y no enseña tal como dice que debe hacerse” (p. planificar y evaluar situaciones de estudio que se encuentran en los libros de texto y materiales de apoyo para el maestro.. además. b) Que puedan aprovechar la tecnología como recurso didáctico. La finalidad principal es que los estudiantes tengan una idea general acerca de los factores que han posibilitado el desarrollo de la matemática y. organizar confrontaciones y. encauzar los procesos de aprendizaje. el lenguaje algebraico. En ocasiones. Como señalan Monereo et al. también se ha producido software que puede ser un valioso auxiliar en el estudio de la geometría. e) Habilidad para recabar información acerca del desempeño de los alumnos y tomar decisiones adecuadas en tiempo y forma para mejorar los aspectos que se evalúan. Este solo hecho puede marcar la diferencia entre formar un profesor que impulse el desarrollo intelectual de sus alumnos o que lo frene. El logro de estas competencias derivadas del campo de formación específica está fuertemente vinculado con el estudio de las asignaturas correspondientes a la
. la medición. c) Observar y entender los procedimientos que siguen los alumnos cuando se enfrentan a la resolución de un problema. Con respecto a las computadoras.
el de la formación didáctica y el de acercamiento a la práctica escolar. el paso de la aritmética al álgebra. En el segundo semestre se estudia una asignatura que corresponde a esta línea. mismo que comprende. Introducción a la Enseñanza de las Matemáticas. en la que se analizan algunos resultados de la investigación en educación matemática referidos a las dificultades conceptuales que encuentran los alumnos de secundaria en temas que forman parte de los programas de este nivel: el razonamiento proporcional. La finalidad principal de este análisis es que los estudiantes normalistas adquieran elementos para interpretar y encauzar adecuadamente las dificultades y errores conceptuales que suelen tener los alumnos de secundaria. pero también el del maestro y la pertinencia de las actividades que se plantean. En este sentido. esto es. en las cuales se analizan desde las prácticas educativas más frecuentes en la escuela secundaria hasta algunas ingenierías que son producto de la investigación en didáctica de la matemática. tiene la finalidad de analizar los fundamentos y criterios de la evaluación para reconocer que su propósito principal es mejorar el proceso de estudio. En el cuarto semestre está la asignatura Planeación de la Enseñanza y Evaluación del Aprendizaje que. a) Formación didáctica Esta línea de formación comprende siete asignaturas que se estudian del segundo al sexto semestre. el razonamiento deductivo y la comprensión de los números racionales. Líneas de formación en la especialidad en matemáticas La formación específica en la especialidad en matemáticas se puede dividir en tres grandes líneas: el de la formación disciplinaria. El término ingenierías es utilizado en la teoría didáctica para referirse a situaciones problemáticas que han sido experimentadas en el aula y se sustentan en análisis detallados acerca de los recursos que invierten los alumnos para resolverlas. no tiene sentido pregonar la teoría didáctica si ésta no tiene coherencia con el estilo docente. sino de entender el origen de los obstáculos que se presentan en el proceso de estudio y aprendizaje. el desempeño de los alumnos. por supuesto.
. que tiene un programa elaborado que ya se ha puesto en práctica y vale la pena recuperar la experiencia para mejorarlo. como se puede ver en el mapa curricular.formación general de los profesores de educación básica y al campo de formación común para todas las especialidades de la educación secundaria. Sin duda se trata de un material muy rico para la formación de los futuros maestros. Cabe aclarar que estas líneas de formación son complementarias y en buena parte del proceso de estudio son indisociables por la razón que se explicó anteriormente. una tarea fundamental de los estudiantes normalistas consistirá en el diseño de planes de clase y su aplicación en las jornadas de práctica escolar. En el quinto semestre está la asignatura Procesos Cognitivos y Cambio Conceptual en Matemáticas y Ciencias. según la descripción existente en el Plan y Programas de Estudio. 3. Cabe aclarar que no se trata de supeditar el planteamiento de problemas a niveles de madurez o etapas de desarrollo derivadas de teorías psicológicas.
es un seminario similar al anterior en el que se analizarán tres recursos tecnológicos que se pueden utilizar para estudiar matemáticas. y Tecnología y Didáctica de la Matemática. estos son: la calculadora. destacando el análisis que se puede hacer con respecto a las consignas. de que los estudiantes normalistas vivan la experiencia de enfrentar situaciones problemáticas que se plantean o se resuelven mediante este instrumento. Los tres ejes comprenden siete asignaturas cada uno. como en las demás asignaturas. básicamente se piensa en el análisis de algunas actividades útiles para el estudio de la geometría a través del programa Cabrí. del cual existen varias opiniones serias acerca de su gran potencial. en primer lugar. Por supuesto que no se trata de limitar el uso de cualquier otro software relacionado con matemáticas. aclarar qué aporta cada asignatura a los ejes temáticos. El propósito general es que los estudiantes se den cuenta de que la calculadora puede ser un recurso importante para estudiar y aprender matemáticas. en segundo lugar. la asignatura fundamental se llama Los Números y sus Relaciones. los procedimientos posibles. Tecnología y Didáctica de la Matemática. Dado que se trata de un seminario de dos horas semanales. En el caso de aritmética. por lo general. pero esto no significa que en total sean 21 asignaturas. entre otras. b) La formación disciplinaria Esta línea de formación está dividida en tres ejes temáticos: aritmética. puede combinarse el trabajo en aula para el análisis de las ingenierías con la experimentación y el registro de observación en un grupo de secundaria y regresar al análisis de lo sucedido. Conviene que el profesor encargado de este seminario consiga los catálogos de uso que se titulan El video en el aula. álgebra y geometría. la computadora y el video.En sexto semestre hay dos asignaturas con las que culmina esta línea de formación. y. Cada uno de los tres ejes tiene una asignatura fundamental que sienta las bases para lograr el tejido con las demás. En el caso de la computadora. que se consideran la columna vertebral que aglutina los contenidos del nivel básico. las variables didácticas. El eje de
. pero sí hay que tener cuidado. En la primera se analizan de manera general los aportes de la investigación en el diseño curricular y. para conocer las series sobre matemáticas y algunas recomendaciones acerca de cómo se pueden utilizar. algunas ingenierías que puedan ser aplicadas con los alumnos de secundaria. álgebra y geometría. La finalidad de concebirlas de esta manera es. dependiendo de cómo se use. de ejes de formación en aritmética. de manera particular. La otra asignatura. porque la mayoría de ellas aparecen en dos o en los tres ejes. sobre todo con los programas tutoriales que. no ayudan a desarrollar la creatividad de los alumnos. En el caso del video se trata de que los estudiantes normalistas se acerquen al uso de la videoteca que existe en las escuelas secundarias. ubicada en el tercer semestre. las intervenciones docentes. justamente. Seminario de Investigación en Educación Matemática. destacar que no se trata de materias aisladas sino. Se trata.
problemas con datos de más. problemas en los que se da información para que los alumnos formulen preguntas. está la parte estadística que. Aritmética El programa Los Números y sus Relaciones. También el teorema de Pitágoras y consecuentemente la raíz cuadrada. En el primer caso. En segundo lugar. masa. y Escalas y Semejanza. Posteriormente la divisibilidad y el teorema fundamental de la aritmética. En el sexto semestre hay tres asignaturas que complementan este eje: Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. inversa y múltiple. racionales e irracionales) para expresar medidas y para realizar diferentes cálculos. problemas con varias respuestas correctas. por ejemplo. en primer lugar por la necesidad de que los estudiantes normalistas conozcan diversas formas de presentar los problemas. como se sabe. operador y razón) así como la relación entre fracciones comunes y decimales. distancias. El programa La Predicción y el Azar puede iniciar con el análisis histórico de su surgimiento y continuar con el estudio de los siguientes temas. el origen de los números racionales o el análisis de problemas aritméticos típicos de una cultura o época histórica determinada. Es la continuación de los problemas multiplicativos llevada al estudio de la proporcionalidad directa. considerando que es un buen momento para que los estudiantes normalistas analicen las dificultades que la humanidad tuvo que vencer para construir un sistema estructurado de cifras. El curso Presentación y Tratamiento de la Información. los números racionales como razones. la simulación y los cálculos probabilísticos. En el quinto semestre hay dos asignaturas: Medición y Cálculo Geométrico. En la segunda. y Presentación y Tratamiento de la Información. ubicado en el tercer semestre. etcétera. por ejemplo. En la primera se estudian diferentes clases de números (naturales. requiere el uso de números y de cálculos
. cociente. En el cuarto semestre hay una asignatura vinculada con esta línea: Procesos de Cambio o Variación. Se estudian diferentes categorías de problemas aditivos y multiplicativos. que por cierto tienen un vínculo muy directo con Aritmética. cocientes y operadores juegan un papel importante. Culmina con el análisis de los diferentes significados de las fracciones (expresión de una cantidad. que son la base del conocimiento aritmético. El uso de tablas y gráficas para representar diferentes situaciones en las que haya o no proporcionalidad y para calcular razones de cambio. A continuación se describen detalladamente los tres ejes. etcétera. volúmenes de cuerpos fijos y en revolución. existe un antecedente con la historia de las cifras pero existen otros temas de aritmética cuyo desarrollo histórico es interesante. La Predicción y el Azar.geometría inicia con Figuras y Cuerpos Geométricos y el eje de álgebra con Pensamiento Algebraico. De esta asignatura hay un programa elaborado que se puede consultar. inicia con una exploración sobre el origen de las cifras y de los sistemas de numeración. estos son: la noción clásica y frecuencial de la probabilidad. Se analizan también los procesos de deducción de diferentes fórmulas y el uso de éstas para calcular áreas. contribuye a la formación en la línea de Aritmética.
construcciones con regla y compás. También se analiza la semejanza de figuras en general y de triángulos rectángulos en particular. La primera tiene su parte en este eje por lo que toca a las propiedades de figuras y cuerpos que son útiles cuando se trata de calcular medidas. del cual existen experiencias de trabajo en el aula que los estudiantes normalistas debieran conocer. en las cuales hay que considerar los ángulos centrales para hacer la partición. el estudio de las densidades. En el sexto semestre hay tres asignaturas: Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. la geometría deductiva de los griegos y finalmente la geometría axiomática de Euclides. Escalas y Semejanza. Geometría El eje temático Geometría comprende también siete asignaturas que son: Figuras y Cuerpos Geométricos. Álgebra
.aritméticos al estudiar las medidas de tendencia central. para culminar con el estudio de las funciones trigonométricas. y Plano Cartesiano y Funciones. Plano Cartesiano y Funciones. Tecnología y Didáctica de las Matemáticas es un espacio curricular dedicado al uso de software para estudiar geometría. el crecimiento exponencial. para calcular el área de un polígono regular es útil saber que se puede dividir en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono. chinos e hindúes. pero. las cantidades absolutas y relativas. entre otras. El caso más evidente es el de las gráficas circulares. Escalas y Semejanza. mesopotamios. en cualquier tipo de gráficas intervienen los trazos geométricos y la ubicación espacial. Los principales temas de estudio son: simetrías. Tecnología y Didáctica de las Matemáticas. En la primera vale la pena estudiar el origen de la geometría. Medición y Cálculo Geométrico. La primera asignatura se estudia en el cuarto semestre y sirve de base para vincular los aprendizajes que se logran con las demás. Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. Tecnología y Didáctica de la Matemática. homotecias y algunas propiedades del círculo. haciendo un recorrido por la geometría empírica de los egipcios. La tercera asignatura inicia con el estudio de la ubicación en el plano cartesiano mediante el uso de coordenadas. tal es el caso del Cabrí-geometer. En Escalas y Semejanza se analiza con profundidad la razón de escala y se amplía la noción hacia la razón de homotecia. Por ejemplo. En el quinto semestre hay tres asignaturas que son: Medición y Cálculo Geométrico. de la expresión algebraica a la representación gráfica y de la representación gráfica a la expresión algebraica. posteriormente un análisis detallado de las funciones lineales y cuadráticas en ambos sentidos. y Presentación y Tratamiento de la Información. se vincula con la geometría en lo que concierne a la representación gráfica. Presentación y Tratamiento de la Información. en general. transformaciones geométricas. Presentación y Tratamiento de la Información.
Es indudable que este trabajo debe estar estrechamente vinculado con el pensamiento algebraico. Plano Cartesiano y Funciones. Se sabe que los estudiantes normalistas tienen el antecedente de la secundaria y del bachillerato sobre esta asignatura. Procesos de Cambio o Variación es un curso para que los estudiantes normalistas se introduzcan en el análisis del cambio. como caso particular de las funciones cuadráticas. analizar el nivel de complejidad de los problemas y buscar distintas vías de solución. todo esto. La segunda asignatura tiene una presencia muy clara por las dificultades conceptuales que enfrentan los alumnos de secundaria. ecuaciones e inecuaciones y formulación de modelos para entender relaciones cuantitativas. parábola. Medición y Cálculo Geométrico. que se estudia en el tercer semestre. sin embargo. mismas que han sido analizadas por algunos investigadores. expresiones algebraicas y sus operaciones. Procesos de Cambio o Variación. haciendo referencia a las aplicaciones. Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. la relación entre razones de cambio y pendientes de rectas. la diferencia entre razones de cambio constantes y variables. elipse e hipérbola). En el quinto semestre aparecen Medición y Cálculo Geométrico. sienta las bases para el desarrollo de este eje. puesto que son las que corresponden al nivel básico. siempre y cuando el aprendizaje no se quede en el nivel de información. Procesos Cognitivos y Cambio Conceptual en Matemáticas y Ciencias. en primer término mediante el uso de tablas y la representación gráfica.Este eje temático. En el cuarto semestre hay dos asignaturas vinculadas con este eje:. generalización y formalización de patrones. Entre los aspectos fundamentales que habrá que estudiar en esta asignatura podemos mencionar: la noción de continuidad. planteados en diversos contextos.
. Los temas fundamentales que se analizan son: la formulación. La asignatura Pensamiento Algebraico. La asignatura Plano Cartesiano y Funciones es un espacio curricular dedicado a relacionar expresiones algebraicas con sus respectivas representaciones gráficas. y Tecnología y Didáctica de las Matemáticas. Esto dará al estudiante normalista confianza para favorecer en los alumnos de secundaria la búsqueda creativa de diferentes procedimientos de solución. en el marco de la resolución de problemas que implican el cálculo de razones de cambio. Se pondrá el mayor énfasis en las ecuaciones lineales y cuadráticas. La primera tiene que ver con la construcción de fórmulas haciendo uso del razonamiento deductivo. pero es deseable que los estudiantes normalistas avancen algo más hacia las funciones trigonométricas o el estudio de las cónicas (círculo. y Procesos Cognitivos y Cambio Conceptual en Matemáticas y Ciencias. puesto que se trata de poder usar con fluidez la herramienta algebraica para resolver problemas. conviene insistir en que el estudio que aquí se propone es mucho más ambicioso. pero además. igual que los dos anteriores se alimenta con el estudio de siete asignaturas que son: Pensamiento Algebraico. en un segundo momento con la formulación y análisis de expresiones algebraicas y en un tercer momento utilizando de manera intuitiva el concepto de derivada. apoyándose en los conocimientos aritméticos y algebraicos. la determinación de razones de cambio locales o instantáneas. Plano Cartesiano y Funciones y Procesos de Cambio o Variación. Se trata de un acercamiento intuitivo al cálculo diferencial.
Los dos primeros cursos de esta línea son parte de la formación común.
. que estudiar matemáticas en el aula puede ser una actividad divertida. El propósito de esta línea es que los estudiantes desarrollen habilidades y actitudes que les permitan ayudar eficazmente a los alumnos en el estudio de las matemáticas. que los alumnos pueden encontrar vías de solución sin la intervención del maestro. Esta línea se compone de cuatro cursos de observación y práctica docente. en fin. 3. Sin duda se trata de un material muy rico para la formación de los futuros maestros. particularmente en lo que se refiere a los primeros intentos de plantear y resolver problemas mediante este recurso. organizar el uso del tiempo y. en las cuales se analizan desde las prácticas educativas más frecuentes en la escuela secundaria hasta algunas ingenierías que son producto de la investigación en didáctica de la matemática. El término ingenierías es utilizado en la teoría didáctica para referirse a situaciones problemáticas que han sido experimentadas en el aula y se sustentan en análisis detallados acerca de los recursos que invierten los alumnos para resolverlas. creativa e interesante. aceptar que un problema matemático puede ser resuelto de diversas maneras. poner en práctica y analizar actividades de la especialidad. que adquieran experiencia para el ejercicio docente. A partir del tercer semestre las asignaturas se ocuparán. además del trabajo docente y el seminario de análisis correspondientes al séptimo y octavo semestres. escuchar sus puntos de vista. en general. esto es. En el primer caso es importante que los estudiantes normalistas se asomen a conocer los orígenes del álgebra. cada vez más. Al organizar actividades de estudio en la escuela secundaria los futuros profesores de matemáticas tendrán la oportunidad para desarrollar habilidades y fomentar actitudes que son indispensables para obtener buenos resultados con los alumnos. que implica atender distintos grados y grupos escolares. a) Formación didáctica Esta línea de formación comprende siete asignaturas que se estudian del segundo al sexto semestre. Cabe aclarar que estas líneas de formación son complementarias y en buena parte del proceso de estudio son indisociables por la razón que se explicó anteriormente.En el sexto semestre aparecen nuevamente Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas y Tecnología y Didáctica de las Matemáticas. de seleccionar. que muchas veces los procedimientos que usan los alumnos rebasan las expectativas del maestro. el de la formación didáctica y el de acercamiento a la práctica escolar. no tiene sentido pregonar la teoría didáctica si ésta no tiene coherencia con el estilo docente. por ejemplo. comunicarse con ellos. Líneas de formación en la especialidad en matemáticas La formación específica en la especialidad en matemáticas se puede dividir en tres grandes líneas: el de la formación disciplinaria. En el segundo caso vale la pena que los estudiantes conozcan el trabajo que se ha realizado en torno al uso de la calculadora y de la computadora como recursos didácticos para el estudio de problemas algebraicos: el uso de la hoja de cálculo es un ejemplo.
El propósito general es que los estudiantes se den cuenta de que la calculadora puede ser un recurso importante para estudiar y aprender matemáticas. mismo que comprende. el paso de la aritmética al álgebra. entre otras. en la que se analizan algunos resultados de la investigación en educación matemática referidos a las dificultades conceptuales que encuentran los alumnos de secundaria en temas que forman parte de los programas de este nivel: el razonamiento proporcional. del cual
. los procedimientos posibles. En el caso de la computadora. En el quinto semestre está la asignatura Procesos Cognitivos y Cambio Conceptual en Matemáticas y Ciencias. Introducción a la Enseñanza de las Matemáticas. estos son: la calculadora. y Tecnología y Didáctica de la Matemática. el razonamiento deductivo y la comprensión de los números racionales. dependiendo de cómo se use. el desempeño de los alumnos. según la descripción existente en el Plan y Programas de Estudio.En el segundo semestre se estudia una asignatura que corresponde a esta línea. puede combinarse el trabajo en aula para el análisis de las ingenierías con la experimentación y el registro de observación en un grupo de secundaria y regresar al análisis de lo sucedido. algunas ingenierías que puedan ser aplicadas con los alumnos de secundaria. En este sentido. Tecnología y Didáctica de la Matemática. una tarea fundamental de los estudiantes normalistas consistirá en el diseño de planes de clase y su aplicación en las jornadas de práctica escolar. como en las demás asignaturas. básicamente se piensa en el análisis de algunas actividades útiles para el estudio de la geometría a través del programa Cabrí. La finalidad principal de este análisis es que los estudiantes normalistas adquieran elementos para interpretar y encauzar adecuadamente las dificultades y errores conceptuales que suelen tener los alumnos de secundaria. que tiene un programa elaborado que ya se ha puesto en práctica y vale la pena recuperar la experiencia para mejorarlo. tiene la finalidad de analizar los fundamentos y criterios de la evaluación para reconocer que su propósito principal es mejorar el proceso de estudio. de que los estudiantes normalistas vivan la experiencia de enfrentar situaciones problemáticas que se plantean o se resuelven mediante este instrumento. la computadora y el video. pero también el del maestro y la pertinencia de las actividades que se plantean. La otra asignatura. sino de entender el origen de los obstáculos que se presentan en el proceso de estudio y aprendizaje. Dado que se trata de un seminario de dos horas semanales. de manera particular. En sexto semestre hay dos asignaturas con las que culmina esta línea de formación. Seminario de Investigación en Educación Matemática. las variables didácticas. En el cuarto semestre está la asignatura Planeación de la Enseñanza y Evaluación del Aprendizaje que. Se trata. En la primera se analizan de manera general los aportes de la investigación en el diseño curricular y. las intervenciones docentes. es un seminario similar al anterior en el que se analizarán tres recursos tecnológicos que se pueden utilizar para estudiar matemáticas. destacando el análisis que se puede hacer con respecto a las consignas. por supuesto. Cabe aclarar que no se trata de supeditar el planteamiento de problemas a niveles de madurez o etapas de desarrollo derivadas de teorías psicológicas.
justamente. En el caso del video se trata de que los estudiantes normalistas se acerquen al uso de la videoteca que existe en las escuelas secundarias. inicia con una exploración sobre el origen de las cifras y de los sistemas de numeración. La finalidad de concebirlas de esta manera es. Los tres ejes comprenden siete asignaturas cada uno. destacar que no se trata de materias aisladas sino. cociente. en primer lugar. que son la base del conocimiento aritmético. porque la mayoría de ellas aparecen en dos o en los tres ejes. Conviene que el profesor encargado de este seminario consiga los catálogos de uso que se titulan El video en el aula. Se estudian diferentes categorías de problemas aditivos y multiplicativos. la asignatura fundamental se llama Los Números y sus Relaciones.existen varias opiniones serias acerca de su gran potencial. En la primera se estudian diferentes clases de números (naturales. no ayudan a desarrollar la creatividad de los alumnos. considerando que es un buen momento para que los estudiantes normalistas analicen las dificultades que la humanidad tuvo que vencer para construir un sistema estructurado de cifras. ubicada en el tercer semestre.
. de ejes de formación en aritmética. pero esto no significa que en total sean 21 asignaturas. aclarar qué aporta cada asignatura a los ejes temáticos. y. pero sí hay que tener cuidado. A continuación se describen detalladamente los tres ejes. en segundo lugar. Por supuesto que no se trata de limitar el uso de cualquier otro software relacionado con matemáticas. Posteriormente la divisibilidad y el teorema fundamental de la aritmética. b) La formación disciplinaria Esta línea de formación está dividida en tres ejes temáticos: aritmética. operador y razón) así como la relación entre fracciones comunes y decimales. sobre todo con los programas tutoriales que. por lo general. El eje de geometría inicia con Figuras y Cuerpos Geométricos y el eje de álgebra con Pensamiento Algebraico. El uso de tablas y gráficas para representar diferentes situaciones en las que haya o no proporcionalidad y para calcular razones de cambio. inversa y múltiple. ubicado en el tercer semestre. que se consideran la columna vertebral que aglutina los contenidos del nivel básico. En el cuarto semestre hay una asignatura vinculada con esta línea: Procesos de Cambio o Variación. En el caso de aritmética. para conocer las series sobre matemáticas y algunas recomendaciones acerca de cómo se pueden utilizar. Cada uno de los tres ejes tiene una asignatura fundamental que sienta las bases para lograr el tejido con las demás. Aritmética El programa Los Números y sus Relaciones. álgebra y geometría. En el quinto semestre hay dos asignaturas: Medición y Cálculo Geométrico. Es la continuación de los problemas multiplicativos llevada al estudio de la proporcionalidad directa. Culmina con el análisis de los diferentes significados de las fracciones (expresión de una cantidad. álgebra y geometría. y Escalas y Semejanza. De esta asignatura hay un programa elaborado que se puede consultar.
La primera tiene su parte en este eje por lo que toca a las propiedades de figuras y cuerpos que son útiles cuando se trata de calcular medidas. contribuye a la formación en la línea de Aritmética. que por cierto tienen un vínculo muy directo con Aritmética. En Escalas y Semejanza se analiza con profundidad la razón de escala y se amplía la noción hacia la razón de homotecia. problemas con varias respuestas correctas. problemas con datos de más. el origen de los números racionales o el análisis de problemas aritméticos típicos de una cultura o época histórica determinada. problemas en los que se da información para que los alumnos formulen preguntas. También se analiza la semejanza de figuras en general y de triángulos rectángulos en particular. Tecnología y Didáctica de la Matemática. El programa La Predicción y el Azar puede iniciar con el análisis histórico de su surgimiento y continuar con el estudio de los siguientes temas. En el sexto semestre hay tres asignaturas que complementan este eje: Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. Plano Cartesiano y Funciones. el estudio de las densidades. Medición y Cálculo Geométrico. Los principales temas de estudio son: simetrías. El curso Presentación y Tratamiento de la Información. y Plano Cartesiano y Funciones. y Presentación y Tratamiento de la Información. etcétera. construcciones con regla y compás. el crecimiento exponencial. volúmenes de cuerpos fijos y en revolución.racionales e irracionales) para expresar medidas y para realizar diferentes cálculos. masa. entre otras. La Predicción y el Azar. estos son: la noción clásica y frecuencial de la probabilidad. Escalas y Semejanza. etcétera.
. para culminar con el estudio de las funciones trigonométricas. En el primer caso. Presentación y Tratamiento de la Información. cocientes y operadores juegan un papel importante. para calcular el área de un polígono regular es útil saber que se puede dividir en tantos triángulos iguales como lados tiene el polígono. homotecias y algunas propiedades del círculo. requiere el uso de números y de cálculos aritméticos al estudiar las medidas de tendencia central. También el teorema de Pitágoras y consecuentemente la raíz cuadrada. La primera asignatura se estudia en el cuarto semestre y sirve de base para vincular los aprendizajes que se logran con las demás. está la parte estadística que. distancias. los números racionales como razones. Por ejemplo. existe un antecedente con la historia de las cifras pero existen otros temas de aritmética cuyo desarrollo histórico es interesante. transformaciones geométricas. Se analizan también los procesos de deducción de diferentes fórmulas y el uso de éstas para calcular áreas. En la segunda. Escalas y Semejanza. Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. en primer lugar por la necesidad de que los estudiantes normalistas conozcan diversas formas de presentar los problemas. las cantidades absolutas y relativas. En segundo lugar. como se sabe. por ejemplo. En el quinto semestre hay tres asignaturas que son: Medición y Cálculo Geométrico. Geometría El eje temático Geometría comprende también siete asignaturas que son: Figuras y Cuerpos Geométricos. la simulación y los cálculos probabilísticos. por ejemplo.
En la primera vale la pena estudiar el origen de la geometría. posteriormente un análisis detallado de las funciones lineales y cuadráticas en ambos sentidos. Los temas fundamentales que se analizan son: la formulación. y Tecnología y Didáctica de las Matemáticas. Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. pero es deseable que los estudiantes normalistas
. La asignatura Plano Cartesiano y Funciones es un espacio curricular dedicado a relacionar expresiones algebraicas con sus respectivas representaciones gráficas. Procesos de Cambio o Variación. Plano Cartesiano y Funciones y Procesos de Cambio o Variación. Se sabe que los estudiantes normalistas tienen el antecedente de la secundaria y del bachillerato sobre esta asignatura. La asignatura Pensamiento Algebraico. analizar el nivel de complejidad de los problemas y buscar distintas vías de solución. Medición y Cálculo Geométrico. en cualquier tipo de gráficas intervienen los trazos geométricos y la ubicación espacial. Esto dará al estudiante normalista confianza para favorecer en los alumnos de secundaria la búsqueda creativa de diferentes procedimientos de solución. la geometría deductiva de los griegos y finalmente la geometría axiomática de Euclides. Plano Cartesiano y Funciones. se vincula con la geometría en lo que concierne a la representación gráfica. haciendo un recorrido por la geometría empírica de los egipcios. chinos e hindúes. expresiones algebraicas y sus operaciones. en general. El caso más evidente es el de las gráficas circulares. mesopotamios. igual que los dos anteriores se alimenta con el estudio de siete asignaturas que son: Pensamiento Algebraico. y Presentación y Tratamiento de la Información. del cual existen experiencias de trabajo en el aula que los estudiantes normalistas debieran conocer. tal es el caso del Cabrí-geometer. ecuaciones e inecuaciones y formulación de modelos para entender relaciones cuantitativas. pero. Presentación y Tratamiento de la Información. puesto que se trata de poder usar con fluidez la herramienta algebraica para resolver problemas. Procesos Cognitivos y Cambio Conceptual en Matemáticas y Ciencias. En el sexto semestre hay tres asignaturas: Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas. puesto que son las que corresponden al nivel básico. generalización y formalización de patrones. que se estudia en el tercer semestre. Se pondrá el mayor énfasis en las ecuaciones lineales y cuadráticas. sin embargo. conviene insistir en que el estudio que aquí se propone es mucho más ambicioso. Tecnología y Didáctica de las Matemáticas es un espacio curricular dedicado al uso de software para estudiar geometría. Tecnología y Didáctica de las Matemáticas. pero además. Álgebra Este eje temático. En el cuarto semestre hay dos asignaturas vinculadas con este eje:.La tercera asignatura inicia con el estudio de la ubicación en el plano cartesiano mediante el uso de coordenadas. sienta las bases para el desarrollo de este eje. en las cuales hay que considerar los ángulos centrales para hacer la partición. de la expresión algebraica a la representación gráfica y de la representación gráfica a la expresión algebraica.
comunicarse con ellos. En el sexto semestre aparecen nuevamente Seminario de Temas Selectos de Historia de las Matemáticas y Tecnología y Didáctica de las Matemáticas. Es indudable que este trabajo debe estar estrechamente vinculado con el pensamiento algebraico. parábola. todo esto. mismas que han sido analizadas por algunos investigadores. y Procesos Cognitivos y Cambio Conceptual en Matemáticas y Ciencias. Procesos de Cambio o Variación es un curso para que los estudiantes normalistas se introduzcan en el análisis del cambio. En el quinto semestre aparecen Medición y Cálculo Geométrico.
. la determinación de razones de cambio locales o instantáneas. en un segundo momento con la formulación y análisis de expresiones algebraicas y en un tercer momento utilizando de manera intuitiva el concepto de derivada. La segunda asignatura tiene una presencia muy clara por las dificultades conceptuales que enfrentan los alumnos de secundaria. que muchas veces los procedimientos que usan los alumnos rebasan las expectativas del maestro. por ejemplo. Entre los aspectos fundamentales que habrá que estudiar en esta asignatura podemos mencionar: la noción de continuidad. Se trata de un acercamiento intuitivo al cálculo diferencial. La primera tiene que ver con la construcción de fórmulas haciendo uso del razonamiento deductivo. apoyándose en los conocimientos aritméticos y algebraicos. en fin. En el segundo caso vale la pena que los estudiantes conozcan el trabajo que se ha realizado en torno al uso de la calculadora y de la computadora como recursos didácticos para el estudio de problemas algebraicos: el uso de la hoja de cálculo es un ejemplo. Al organizar actividades de estudio en la escuela secundaria los futuros profesores de matemáticas tendrán la oportunidad para desarrollar habilidades y fomentar actitudes que son indispensables para obtener buenos resultados con los alumnos. planteados en diversos contextos. organizar el uso del tiempo y.avancen algo más hacia las funciones trigonométricas o el estudio de las cónicas (círculo. siempre y cuando el aprendizaje no se quede en el nivel de información. creativa e interesante. aceptar que un problema matemático puede ser resuelto de diversas maneras. particularmente en lo que se refiere a los primeros intentos de plantear y resolver problemas mediante este recurso. que estudiar matemáticas en el aula puede ser una actividad divertida. En el primer caso es importante que los estudiantes normalistas se asomen a conocer los orígenes del álgebra. la diferencia entre razones de cambio constantes y variables. haciendo referencia a las aplicaciones. la relación entre razones de cambio y pendientes de rectas. que adquieran experiencia para el ejercicio docente. que implica atender distintos grados y grupos escolares. como caso particular de las funciones cuadráticas. escuchar sus puntos de vista. en el marco de la resolución de problemas que implican el cálculo de razones de cambio. elipse e hipérbola). El propósito de esta línea es que los estudiantes desarrollen habilidades y actitudes que les permitan ayudar eficazmente a los alumnos en el estudio de las matemáticas. en primer término mediante el uso de tablas y la representación gráfica. que los alumnos pueden encontrar vías de solución sin la intervención del maestro. en general.
. Esta línea se compone de cuatro cursos de observación y práctica docente. A partir del tercer semestre las asignaturas se ocuparán. cada vez más. además del trabajo docente y el seminario de análisis correspondientes al séptimo y octavo semestres.Los dos primeros cursos de esta línea son parte de la formación común. poner en práctica y analizar actividades de la especialidad. de seleccionar.
Procesos cognitivos Observación y práctica docente II
Atención educativa a los adolescentes en situaciones de riesgo Observación y práctica docente III
Gestión escolar Trabajo Docente I Observación y práctica docente IV Trabajo Docente II
Area de actividad A B C Actividades principalmente escolarizadas Actividades de acercamiento a la práctica escolar Práctica intensiva en condiciones reales de trabajo . . Identidad y relaciones sociales Observación y práctica docente I
Procesos de cambio o variación
Presentación y tratamiento de la información Taller de diseño de propuestas didácticas y análisis del trabajo docente I Taller de diseño de propuestas didácticas y análisis del trabajo docente II
Desarrollo de los adolescentes I. Asignaturas por semestre Segundo semestre
5. Cuestiones básicas II La expresión oral y escrita en el proceso de enseñanza y de aprendizaje Desarrollo de los adolescentes III. Mapa curricular Licenciatura en Educación Secundaria Mapa Curricular Especialidad: Matemáticas
Bases filosóficas. legales y organizativas del sistema educativo mexicano
Sexto Séptimo Octavo semestre semestre semestre
Seminario de investigación en educación matemática Seminario de temas selectos de historia de las matemáticas Tecnología y didáctica de las matemáticas
Seminario de Seminario de temas temas selectos de selectos de historia de la historia de la pedagogía y la pedagogía y la educación I educación II
Estrategias Estrategias para el estudio para el estudio y la y la comunicación comunicación I II Problemas y políticas de la educación básica Propósitos y contenidos de la educación básica I (Primaria)
Medición y cálculo geométrico Procesos cognitivos y cambio conceptual en matemáticas y ciencia
Introducción a la enseñanza Los números y de las sus relaciones Matemáticas La enseñanza en la escuela secundaria.4. Cuestiones básicas I Propósitos y contenidos de la educación básica II (Secundaria) La enseñanza en la escuela secundaria. . Aspectos generales
Desarrollo de los adolescentes II. Crecimiento y sexualidad Observación del proceso escolar
Cuarto semestre • • • • • Figuras y cuerpos geométricos. Seminario de temas selectos de historia de las matemáticas.•
Introducción a la enseñanza de las matemáticas. Observación y práctica docente II. Presentación y tratamiento de la información. Procesos de cambio o variación. la experiencia obtenida durante la aplicación de los nuevos planes de estudio para la formación de profesores de educación primaria (1997) y de educación secundaria (1999) ha permitido comprobar las ventajas de la inclusión de otros elementos. La predicción y el azar.
Quinto semestre • • • • Medición y cálculo geométrico. tales como: a) las orientaciones didácticas y de evaluación. Escalas y semejanza. Observación y práctica docente IV. Observación y práctica docente III. Tecnología y didáctica de las matemáticas. que contribuyen al desarrollo de un proceso de enseñanza y de aprendizaje congruente con los rasgos del perfil de egreso. Pensamiento algebraico. Observación y práctica docente I. Los propósitos y los contenidos en un programa son elementos centrales que dan una idea global de lo que se va a estudiar en un curso y lo que se pretende lograr en él. que contribuyen tanto a la diversificación de estrategias de trabajo para evitar que éste se vuelva rutinario
6. Plano cartesiano y funciones.
Séptimo y Octavo semestres • • Taller de diseño de propuestas didácticas y análisis del trabajo docente I y II.
Tercer semestre • • • Los números y sus relaciones. Procesos cognitivos y cambio conceptual en matemáticas y ciencias. Trabajo docente I y II.
Sexto semestre • • • • • • Seminario de investigación en educación matemática. b) las propuestas de actividades didácticas por tema y de problemas para guiar el estudio y la reflexión. Planeación de la enseñanza y evaluación del aprendizaje. Sin embargo. Las características de los programas de estudio Los programas de estudio para el campo de formación específica tienen como finalidad que los profesores y estudiantes normalistas dispongan de una guía para organizar y desarrollar el trabajo educativo cotidiano con metas claramente definidas y congruentes con los rasgos del perfil de egreso.
además de las correspondientes revisiones en las fuentes bibliográficas que ayuden a los estudiantes a comprender el sentido del enfoque planteado. Además. particularmente en las asignaturas de los campos de formación general para la educación básica y de formación común para las especialidades de secundaria. así como tomar en cuenta las experiencias de trabajo que han resultado favorables. 22-25)3. su construcción. entre otros aspectos. Poca utilidad tendría --en el estudio de ésta o cualquier otra asignatura-. d) Orientaciones didácticas y de evaluación Incluye sugerencias sobre las formas de enseñanza. el tipo de actividades que pueden realizar maestros y estudiantes en el aula de la escuela normal y en los planteles de educación secundaria que visiten. 6 y 7 (pp. e)Actividades sugeridas
. sus posibles transformaciones y el uso del razonamiento deductivo. tanto con los “Criterios para la organización de las actividades académicas” que establece el Plan de Estudios. Para apoyar la elaboración de este apartado conviene consultar los programas que se han aplicado en los semestres anteriores. así como tener presente la duración del curso2. cuando las características de la asignatura permiten un trabajo mucho más reflexivo y con sentido. Esta selección se hará. especificando los subtemas que son relevantes. El conocimiento y la disposición de los programas de estudio por parte de los estudiantes alienta el trabajo autónomo. es conveniente señalar los criterios de evaluación acordes con los propósitos formativos de la especialidad. pero que resulten indispensables para el logro de los propósitos de la asignatura.como al reconocimiento de los distintos roles que pueden jugar el maestro y los alumnos en el proceso educativo. serán seleccionados por el equipo responsable del diseño del programa. Cada escuela normal cuenta con un acervo importante de textos que están en la biblioteca del plantel y que deberá revisarse para seleccionar la bibliografía del programa. considerando los recursos disponibles en la escuela y en coordinación con las autoridades del plantel se tomarán las decisiones más convenientes para que los estudiantes puedan utilizar estos materiales durante el curso. con base en los “Criterios y orientaciones académicas” que establece el Plan de Estudios 1999. tanto en su propia formación como el que tiene en el trabajo educativo con los alumnos de secundaria. como con el enfoque desde el cual se pretende el estudio de la asignatura. Por ejemplo. Las formas de trabajo que pueden sugerirse son variadas y deberán ser congruentes. en particular los señalados en los puntos 5. Es necesario cuidar la articulación y la secuencia entre los temas. si se trata de una asignatura como Figuras y Cuerpos Geométricos4 las formas de trabajo que se sugieran deberán propiciar el análisis de las características de figuras y cuerpos. Otros materiales que no se encuentran en la biblioteca o que sean de difícil acceso. así como el tipo de recursos a utilizar y las estrategias correspondientes. Estructura de los programas de estudio a) Propósitos generales En este apartado se expresan de manera concisa los conocimientos. Documentos básicos. a la toma de apuntes por parte de los alumnos y a la aplicación de exámenes que sólo exijan memorizar información y transcribirla.proponer formas de trabajo que se reduzcan a la exposición por parte del maestro. de acuerdo con las normas aplicables. c) Bibliografía Por cada bloque deberá indicarse la bibliografía básica y complementaria para el estudio de los temas. además. además de que favorecen la participación consciente de los alumnos en su propio aprendizaje. habilidades y actitudes a cuya adquisición o desarrollo contribuye el estudio de la asignatura correspondiente. por ello. las características de la asignatura y la modalidad en la que se desarrollará el programa. b) Organización de contenidos Incluye los contenidos de estudio organizados en bloques temáticos.
expresar puntos de vista personales.
7. para integrar un equipo académico por asignatura. Una breve explicación de la modalidad bajo la cual se atenderá la asignatura de acuerdo con sus características (curso. f) La autoridad educativa en la entidad aprobará las propuestas enviadas por cada escuela normal y las enviará a la Dirección General de Normatividad para su autorización. analicen y comprendan los contenidos o temas que dan sentido al curso. Para que el programa oriente acerca de las formas en que puede procederse para lograr el aprendizaje. un conocimiento suficiente del Plan de Estudios 1999 de la Licenciatura. será conveniente plantear actividades que promuevan que los estudiantes: • • • • Busquen. conviene proponer.
. d) Una vez terminadas las propuestas de programas. taller u otra). Relacionen los contenidos de los textos que leen con la realidad educativa y con la experiencia que obtienen en la escuela secundaria. y que estén dispuestos a participar en el diseño del programa de estudio que corresponda. c) El equipo académico procederá a la elaboración del programa apegándose a los criterios que se establecen en este documento. etcétera.En cualquier programa de estudio es imprescindible que los alumnos lean. Ejerciten la expresión escrita y oral al elaborar ensayos breves. El procedimiento de elaboración de los programas de estudio El diseño de los programas correspondientes a las asignaturas del campo de formación específica por especialidad se realizará bajo el siguiente procedimiento: a) En cada escuela normal que imparte la Licenciatura en Educación Secundaria se tomarán los acuerdos entre las academias de especialidad y los directivos del plantel. elaborar conclusiones. la modalidad del curso. b) Cada equipo estará integrado por profesores de la especialidad que se distingan por su experiencia docente y buen desempeño profesional. el desarrollo de las habilidades intelectuales y las actitudes que señalan los rasgos del perfil de egreso. a título de ejemplo. así como en el Plan de Estudios 1999 para la Licenciatura en Educación Secundaria. Cada programa incluirá en su presentación los siguientes elementos: • • Una explicación general acerca del sentido del curso y de su contribución al logro de los rasgos del perfil de egreso. e) Las autoridades de cada escuela normal entregarán las propuestas al Responsable estatal del Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales.
Las actividades que se propongan deberán propiciar la diversificación de formas de trabajo en la escuela normal y ser congruentes con los propósitos de la asignatura. seleccionen y usen fuentes de información diversas (impresas y audiovisuales). así como a impartir la asignatura. a las características formativas y a los rasgos del perfil señalados para cada especialidad. los equipos académicos las entregarán a las autoridades de la escuela normal. que asuma la responsabilidad de elaborar el programa de estudio. de la escuela secundaria y del Plan y Programas de Estudio 1993 de este nivel. las orientaciones didácticas y los criterios para evaluar. etcétera. algunas actividades que den una idea global de cómo puede favorecerse en los estudiantes la adquisición de conocimientos. Enfrenten y resuelvan problemas que promuevan el aprendizaje reflexivo. debatir. seminario. Para lograr este propósito. que impliquen dialogar.
Matemáticas. México. buscarán las estrategias más adecuadas a las condiciones reales de cada plantel para reproducir los programas y materiales de apoyo para el estudio de cada asignatura de especialidad. realizarán un proceso de seguimiento con la participación de quienes impartan la asignatura. Mariana Bosch y Josep.
Monereo. asimismo. h) Una vez concluida esta tarea. en coordinación con los colegios de profesores. podrán integrarse equipos académicos con profesores que laboren en los distintos planteles de este nivel educativo. SEP (1994). Estrategias de enseñanza y aprendizaje. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje.
. o en su caso. Educación básica. et al. Estudiar matemáticas. con apoyo de las autoridades estatales. Cooperación española/SEP (Biblioteca del normalista). Secundaria. En este caso. las escuelas normales. México. Este espacio propiciará el intercambio de opiniones y la toma de acuerdos académicos para organizar las actividades en cada plantel. Formación del profesorado y aplicación en el aula. en cada escuela se organizará un curso-taller de actualización por asignatura de especialidad.
Chevallard. Matemáticas. Libro para el maestro. Referencias SEP (1994). Educación secundaria. México. SEP (1994). Nota: En el anexo de este documento hay una descripción detallada de los temas para los programas que corresponden al cuarto semestre y que serán elaboradas en las escuelas normales con base en las orientaciones que se ofrecen en el apartado respectivo. i) Es necesario tomar las previsiones correspondientes para que los estudiantes normalistas cuenten con los programas y materiales suficientes que requieren para el desarrollo del curso. k) En una entidad podrá decidirse por la elaboración de programas para asignaturas de especialidad que puedan aplicarse en más de una escuela normal que ofrezca la Licenciatura en Educación Secundaria. Primer grado. Plan y programas de estudio 1993. México. enriquecimiento. Asimismo. Primaria. Libro para el maestro. con el propósito de dar a conocer y analizar el programa de estudio. Plan y programas de estudio 1993. SEP(1994). organizarán las actividades de actualización para los maestros que impartirán dichas asignaturas. Educación básica. logrando con ello dar sentido al trabajo colegiado. estos resultados pueden ser elementos a considerar para el diseño de los programas de semestres subsecuentes. México. j) Las autoridades de cada plantel. Gascón (1998). siempre y cuando dicha elaboración se apegue a los presentes Lineamientos. Yves. (1998). a fin de contar con información real que sea la base de futuras modificaciones. Barcelona. sustitución del programa. Cooperación española/SEP (Biblioteca del Normalista).g) En caso necesario. Carles.
México. Matemáticas. Temas 1. Quinto grado. pp. México. Sexto grado. Simetría radial 3. Simetrías Temas 1. Simetría axial 2. Libro para el maestro. Matemáticas. Diferentes estrategias para el cálculo de áreas • • • • Bloque II. Libro para el maestro. Matemáticas. “Las operaciones básicas en los nuevos libros de texto”. Cálculo diferencial. Balbuena. Los sólidos Retículas Triangulación Medición de superficies y/o perímetros de figuras cualesquiera Generalizaciones
. México. Figuras en el plano. Cuarto grado. Matemáticas. Wenzelburger Guttenberger. Tercero grado. Libro para el maestro. México. Elfriede. Análisis de figuras planas 4. (1993).SEP (1994). 15-29. (1995). Una guía para maestros y alumnos. Las figuras en el plano euclidiano 2. en Cero en conducta. año X. Libro para el maestro. 40-41. SEP (1994). México. Hugo et al. SEP (1994). SEP (1994). Construcciones con regla y compás • • El triángulo El círculo
3. México. Grupo Editorial Iberoamérica (Didáctica). Matemáticas. ANEXO: Temario y bibliografía para las asignaturas de la especialidad del cuarto semestre FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS Bloque I. Segundo grado. mayo-agosto. SEP (1994). México. Educación y Cambio. núm. Libro para el maestro. Isometrías Bloque III.
Educación Secundaria. I. Relaciones simples del plano cartesiano Temas
.Temas 1. Construcción y análisis de sólidos • • • Prismas Cristalografía Estructuras que se apoyan en sólidos
3. Libro para el Maestro. Funciones decrecientes 4. Matemáticas. Los sistemas de referencia cartesianos 4. El lenguaje intrínseco del sistema cartesiano 5. inecuaciones Bloque II. Funciones crecientes 3. Moreno. Características generales de las funciones Temas 1. Los sólidos geométricos. Noción de función 2. México. Descripción algebraica de las regiones del plano. UTEHA. Tomo. L. SEP (1994). Sistemas de referencia arbitrarios en el plano euclidiano 3. Estudio de las geometrías. Regiones del plano 6. Los sólidos regulares Bibliografía Eves. características y propiedades 2. México. Dirección y Sentido en geometría 2.
PLANO CARTESIANO Y FUNCIONES Bloque I. Composición de funciones Bloque III. Función constantes 5. Análisis del plano cartesiano Temas 1. “La geometría del desorden y un nuevo diseño curricular”. en Educación Matemática. Howard (1969). (1994).
La razón de cambio Temas 1.1. Limusa. Howard (1969). México. La razón de cambio instantánea y la noción de derivada Temas 1. Proporcionalidad directa 2. Proporcionalidad múltiple Bloque II. Proporcionalidad inversa 3. (1980). Construcción de las primeras fórmulas para las derivadas
. Relación entre razones de cambio y pendientes de rectas 3. Algunas funciones simples en el plano cartesiano Graficación de las tablas de multiplicar La recta idéntica y = x
(hipérbola)
parábola con vértice en origen
Bibliografía Lehmann. Razones de cambio constantes y variables Bloque III. Charles H. Métodos numéricos para calcular razones de cambio instantáneas 2. Tomo II. UTEHA. Eves.
PROCESOS DE CAMBIO Y VARIACIÓN Bloque I. Estudio de las geometrías. México. Cantidades proporcionales y no proporcionales Temas 1. Cálculo de razones de cambio en diferentes contextos 2. Geometría analítica.
(1990). Proporcionalidad directa. 4). Visión retrospectiva del plan de clase Bloque II. (1990). Síntesis (Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Luengo González. 14). Fortuny. Los propósitos para el docente y para el alumno 3. El Plan de clase y los materiales de apoyo para los alumnos y el docente Temas 1. Wenzelburger. Luisa y Josep Ma. México. Madrid. (1993). 20). Análisis de las actividades de estudio Temas 1. Las pruebas abiertas y de opción múltiple Bibliografía
. Madrid. Victoria Sánchez. El registro de observación 2. Instrumentos para evaluar el desempeño de los alumnos Temas 1. La forma y el número. Grupo Editorial Iberoamérica. Ricardo et al. E. Fracciones. Influencia de las variables didácticas 4. Madrid. (1988). Síntesis (Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Síntesis (Matemáticas: Cultura y aprendizaje. Salvador y Ma. Llinares. Proporcionalidad geométrica y semejanza. Cálculo diferencial. El cuaderno de trabajo 4.Bibliografía Fiol. Actividades que permiten fortalecer las técnicas 3.
PLANEACIÓN DE LA ENSEÑANZA Y EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE Bloque I. La lista de control 3. Secuencias de situaciones didácticas Bloque III. Diferentes propósitos de la confrontación 4. Mora Ma. Los aspectos que conforman el plan de clase 2. Una guía para maestros y alumnos. Actividades que permiten entrar en el estudio de los temas 2.
Secuencia y organización de contenidos.Casanova. SEP (Biblioteca del Normalista) Xique. Educación secundaria. J. C. México. SEP. México. (2000).
. Educación básica.. Matemáticas. et al. La evaluación educativa. Ma. Antonia (1998).
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