Source: http://astronuklfyzika.cz/Gravitace3-3.htm
Timestamp: 2020-01-24 19:59:35+00:00

Document:
Ullmann V.: Geometrie a topologie prostoročasu
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika
Příčinné vztahy mezi událostmi v prostoru a v čase jsou základem našeho poznání objektivní reality. Ze speciální teorie relativity víme, že pohyb hmoty a přenos energie i informace se může dít pouze uvnitř prostoročasového světelného kuželu (viz §1.6). Protože všechno, co platí ve speciální teorii relativity, platí i v obecné teorii relativity, avšak lokálně - proud hmoty, energie a informace bude probíhat vždy uvnitř lokálního prostoročasového světelného kuželu, jak jsme si to postulovali v §3.1. Lokální příčinnost je tedy dána požadavkem lokální platnosti speciální teorie relativity (STR). Otázky globální příčinnosti již nejsou tak triviální a musí být zodpovězeny analýzou globálních geometrických a topologických vlastností daného prostoročasu, jež je řešením Einsteinových rovnic.
Tvar a sklon světelných kuželů je dán metrickým tenzorem v daném místě prostoročasu. Gravitace je tedy tou silou, která určuje kauzální strukturu vesmíru *) - vymezuje, které události prostoročasu mohou spolu příčinně souviset a které nikoliv. Jak uvidíme dále, při dostatečně silném gravitačním poli (zakřivení prostoročasu) se objevují horizonty událostí a oblasti prostoročasu, které jsou příčinně odděleny od ostatních částí prostoročasu.
*) Které události spolu opravdu příčinně souvisejí, to záleží na konkrétní situaci. Vlastnosti prostoru a času nám dávají pouze jistá omezení - určují, které události spolu v principu mohou nebo nemohou příčinně souviset.
Lokální příčinnost v prostoročase M je možno vyjádřit též následujícím způsobem podle obr.3.8. Mějme bod pÎM, takový, že každá světočára časového nebo světelného typu procházející tímto bodem protíná hyperplochu S (prostorového typu). UĚS označíme množinu všech bodů na S, ve kterých ji mohou protínat světočáry časového nebo světelného charakteru procházející bodem p. Jinými slovy, U je množina těch bodů na S, z nichž je možno bodu p dosáhnout pohybem po časových nebo izotropních světočárách. Požadavek kauzality pak znamená, že hodnoty všech polí v bodě p budou jednoznačně určeny hodnotami polí a jejích derivací (do určitého konečného řádu) právě v množině U. Znalost polí (a jejich derivací) jen v části U obecně nestačí k jednoznačnému stanovení polí v bodě p. Taková formulace principu kauzality již úzce souvisí s Cauchyho úlohou, viz níže.
Obr.3.8. Hodnoty polí v bodě p jsou jednoznačně určeny počátečními hodnotami polí (a jejich derivací) v podmnožině U prostorové hyperplochy S.
Geometrie a kauzalita v prostoročase
Než si ale budeme formulovat vlastní Cauchyovu úlohu, rozebereme si geometrické aspekty příčinných vztahů v prostoročase. Budeme předpokládat, že prostoročas je časově orientovaný, což znamená:
Definice 3.1 (časově orientovaný prostoročas)
Prostoročas M se nazývá časově orientovaný, jestliže v každém bodě prostoročasu lze všechny vektory časového nebo izotropního typu rozdělit na dvě skupiny:
vektory směřující do budoucnosti a vektory směřující do minulosti.
V praxi toto rozlišení může být uskutečněno za pomoci nevratných fyzikálních dějů jako je růst entropie izolovaných termodynamických soustav, vyzařování energie elektromagnetickými nebo gravitačními vlnami, expanze vesmíru (což je však značně problematický ukazatel směru toku času) - viz §5.6, pasáž "Šipka času").
V časově orientovaném prostoročase již můžeme zavést řadu příčinných vztahů mezi jednotlivými událostmi i celými oblastmi prostoročasu :
Definice 3.2 (kauzální vztahy v prostoročase)
Každá světočára, která v žádném bodě nemá prostorový charakter (tj. je všude časového nebo izotropního typu) se nazývá kauzální světočára (křivka).
Budeme říkat, že událost B chronologicky následuje za událostí A, jestliže existuje do budoucna směřující světočára (tj. jejíž tečný vektor směřuje do budoucnosti) časového typu jdoucí od bodu A do bodu B.
Budeme říkat, že událost B příčinně následuje za událostí A, jestliže existuje do budoucna směřující kauzální světočára jdoucí od bodu A do bodu B.
Příčinnou minulostí J-(A), resp. příčinnou budoucností J+(A) bodu A se nazývá množina všech událostí, které příčinně předcházejí, resp. příčinně následují události A.
Nechť S je oblast (podmnožina) prostoročasu M. Příčinnou minulostí J-(S), resp. příčinnou budoucností J+(S) množiny S je množina všech událostí v M, které příčinně předcházejí, resp. příčinně následují, alespoň jednomu světobodu z S. Hranici J-(S) budeme značit ¶J-(S) a hranici J+(S) značit ¶J+(S).
Analogické definice jako pro příčinné vztahy (3.,4.,5.) můžeme zavést i pro chronologické vztahy. Chronologická minulost a budoucnost bodu A se značí I-(A), I+(A), podobně I-(S) a I+(S) pro množinu S.
Je třeba upozornit, že výrok "událost B příčinně následuje za událostí A" neznamená, že B musí být nutně přímým důsledkem události A, ale jen to, že událost B by mohla být principiálně ovlivnitelná událostí A.
Uzavřené světočáry a cestování časem
V §3.1 jsme viděli, že různé druhy "ztotožnění" v prostorových rozměrech mohou vést k různým druhům globální topologie prostoru, aniž se to projeví na lokální geometrické struktuře, na lokálním průběhu fyzikálních jevů. Jestliže bychom provedli podobné "ztotožnění" v čase (časové škále), objevily by se v prostoročasu uzavřené časové křivky - uzavřené světočáry časového typu; ty se však zdají být z fyzikálních důvodů nepřípustné, protože jsou ve sporu s principem kauzality. Jestliže bychom totiž na časové ose vzali dva body (t1,x,y,z) a (t2,x,y,z) takové, že t1 < t2 a tyto ztotožnili (t1,x,y,z) ş (t2,x,y,z), pak zásah do nějakého fyzikálního jevu v místě (x,y,z) v čase t2 by v tomto místě způsobil změny v čase t1, tedy v minulosti.
Fiktivní možnost vytvoření uzavřených časových smyček si ukážeme pomocí koncepce tzv. červí díry (podrobněji popsané v závěru §4.4, pasáži "Černé díry: mosty do jiných vesmírů? Stroje času?").
Existence uzavřených světočar časového typu tedy zřejmě vede k logickým paradoxům toho druhu, že po uzavřené časové světočáře bychom se mohli v čase vrátit a zabít svou babičku ještě předtím, než stačila počít vaši maminku (a ta pak vás...); popř. zabít vlastní rodiče před svým narozením (paradox lze formulovat pomocí různých rodinných vztahů). Vaše bytí, nutné k vykonání takové vraždy, by se pak stalo nekonzistentní s výsledkem tohoto zločinu. Nebo kosmonaut v raketě by se po takové uzavřené časové světočáře mohl vrátit v prostoru a čase zpět ke svému startu, poškodit raketu a samému sobě v tomto původním startu zabránit :
Paradox kosmonauta - zmařeného startu a kosmického letu
Kosmonaut odstartuje v raketě do vesmíru a vletí do ústí "červí díry", fungující jako "stroj času". Po uzavřené časové světočáře by se pak mohl vrátit v prostoru a čase zpět ke svému startu, poškodit raketu a samému sobě v tomto původním startu zabránit.
Změnili jsme minulost - nejdříve se stalo to, co jsme chtěli učinit a pak teprve se rozhodneme, že to uděláme - nebo neuděláme. Jak by potom bylo možné smířit dvě sporné alternativy v budoucnu: naši existenci, když jsme se nemohli narodit?; nebo let kosmonauta v raketě, když si sám zabránil odstartovat? Takový cestovatel by se tudíž ani nemohl vrátit do minulosti a vykonat zmíněné zásahy. Cestovatel pomocí cesty časem do minulosti by mohl zabránit tomu, aby do ní odcestoval... Jak by bylo možné, aby se nějaká událost stala a přitom nestala? Situace, kdy budoucí reakce zruší předchozí akci, nemá logické řešení. Takovým logickým paradoxům je třeba se vyhnout!
Tyto podivné, ba "patologické" důsledky cestování časem vedou přirozeně k snaze najít mechanismy, které by zabránily prostoročasovým událostem "dělat takové hlouposti". S.Hawking vyslovil hypotézu nazvanou "princip ochrany chronologie" - ochrany časové posloupnosti, který by kauzální smyčky zakazoval (srov. s Penroseovým "principem kosmické cenzury" zakazujícím nahé singularity v §3.9). Některé mechanismy tohoto druhu zde budou diskutovány níže a též v závěru §4.4, pasáži "Černé díry: mosty do jiných vesmírů? Stroje času?".
Zdálo by se, že takové logické paradoxy a spory s principem kauzality při cestování časem vznikají jen za předpokladu "svobody vůle" - že příslušný subjekt může podle svého rozhodnutí udělat v principu jakýkoliv zásah do běžících dějů. V případě, že by svoboda vůle neexistovala (a v klasické fyzice opravdu nic takového neexistuje), nemuselo by dojít ke sporu s principem kauzality: cestovatel časem minulost nemění, protože byl imanentně vždy její součástí (může minulost naplnit, nikoli ji změnit). Vesmír si lze představit jako "hotovou" a jedinečnou 4-rozměrnou varietu, do které jsou jednotlivé světočáry již "zakomponovány". Z tohoto pohledu všechny události na uzavřené časové světočáře by mohly být již "synchronizovány" tak, že by na sebe vzájemně působily bezesporně v uzavřeném cyklu - byly by self-konzistentní. Vezmeme-li však v úvahu nevratnost evoluce vesmíru (existence disipativních procesů, 2.zákon termodynamiky), je existence uzavřených časových křivek fyzikálně nepravděpodobná, protože situace v pozdějším čase t2 nemůže být totožná se situací v dřívějším čase t1. Uzavřené křivky vedoucí ke "stroji času" by tedy snad mohly fungovat nanejvýš v rámci elementárních částic.
Na obrázku níže - "Paradox kulečníkové koule" je však ukázán příklad rozporného chování, kde není žádné subjektivní rozhodování a "svoboda vůle", jedná se o čistě mechanický experiment ..!..
Paradox kulečníkové koule - rozporných trajektorií těles
Z určité počáteční polohy je ťuknutím tága vyslána kulečníková koule vhodnou rychlostí směrem k pravému ústí červí díry, fungující jako "stroj času" - po trajektorii A. Tato koule prolétne červí dírou, vrátí se zpátky v čase a vylétne z levého ústí ještě předtím, než po trajektorii A vlétla do pravého ústí. Může pak narazit "sama do sebe" (do své "mladší verze"), odklonit dráhu A do alternativní trajektorie B, mimo červí díru. Tím však sama sobě zabrání vletět do pravého ústí - a potažmo narazit sama do sebe.
Při pohybu, začínajícím s přesně stejnými počátečními podmínkami (ze stejné polohy a stejnou rychlostí), vznikají tak dvě rozporné trajektorie A a B, po nichž by se koule současně pohybovala. Při vhodném nasměrování může koule proletět červí dírou několikrát - existuje nekonečné množství trajektorií, lišících se počtem průletů červí dírou.
Logický vývod z paradoxů :
Žádnému makroskopickému objektu - pozorovateli - se nepodaří zpětně ovlivnit to, co se již jednou odehrálo. Nemohou zřejmě existovat "poutníci časem", kteří by mohli ohrozit chod historie. Minulost můžeme pozorovat jako svědkové, nikoli jako aktivní účastníci. Když se díváme do vzdáleného vesmíru, vidíme vlastně vzdálenou minulost, kterou k nám přeneslo světlo během své cesty trvající statisíce, miliony či dokonce miliardy let. Budoucnost za minulost však obrátit nedokážeme!
Mnoho vesmírů ?
Určitou možnost, jak obejít spory a logické paradoxy při cestování časem, by mohla představovat i Everettova a Wheelerova kvantově-mechanická hypotéza "mnoha světů" [79] (je diskutována i v §5.7 "Antropický princip a existence více vesmírů"), podle níž vesmír neobsahuje jen jedinou unikátní historii světa, ale mnoho historií paralelních. Vždy, když dojde k nějaké interakci (či z hlediska pozorovatele k "rozhodnutí" či k náhodné události), dojde k "rozvětvení historie" do různých vesmírů. Pokud cestovatel časem odletí zpět do minulosti a změní tam svou historii (třeba zabije svou matku před svým narozením), dojde k "odbočení" na jinou historii v příslušném vesmíru, který bude paralelně koexistovat s původním vesmírem - cestovatel se vlastně přesune do jiného vesmíru, kde bude součástí změněné historie.
Fyzikální cestování v čase ?
Myšlenka cestování časem velmi vzrušuje lidskou fantazii a evokuje odvěké sny o věčném mládí a překonání smrti, nápravě či odvrácení minulých chyb nebo předpovědi budoucích důsledků našich rozhodnutí - nahlédnutí toho, co nám osud připravuje, popř. jeho zvrácení. V rámci Newtonovské fyziky, vzhledem k její koncepci absolutního času, bylo "cestování časem" zcela neuskutečnitelné *). Objevovalo se jen v tehdy začínající vědecko-fantastické literatuře, především v proslulém sci-fi románu H.G.Wellse: "Stroj času" z r.1895.
*) Pozn.: Samozřejmě s cestováním v čase nemají nic společného časové posuny několika hodin při cestování letadlem třebas mezi Evropou a Amerikou. Zde to souvisí jen s rychlým prolétáním mezi dohodnutými časovými pásmy, které jsou důsledkem našeho měření denního času pomocí otáčení Země kolem osy. Neposunujeme se v čase, ale jen v označení času dohodnutými čísly - denními hodinami, které jsou posunuty podle zeměpisné délky.
Teprve v rámci speciální teorie relativity, umožňující ovlivňování rychlosti toku času pohybem, či obecné teorie relativity ukazující ovlivňování běhu času gravitací, se cestování časem začalo považovat v určitém smyslu za fyzikálně reálnou možnost. Pokud se nějaké těleso přiblíží rychlosti světla, nebo pobývá v silném gravitačním poli (třebas poblíž černé díry), čas se pro něj z hlediska ostatních zpomalí, takže vlastně cestuje do budoucnosti. Ale žádný z těchto způsobů neumožňuje vrátit se do výchozí doby - cesta do budoucnosti je jednosměrná.
Relativistická dilatace času ve STR umožňuje v principu poměrně snadné cestování do budoucnosti. Pozorovateli, pohybujícímu se vysokou rychlostí blízkou rychlosti světla ubíhá čas pomaleji než referenčnímu "klidovému" pozorovateli, takže může i velký časový interval v klidové vztažné soustavě překlenout za podstatně kratší interval vlastního času, tj. "cestovat do budoucnosti" klidové referenční soustavy; přitom by se pozorovatel stále pohyboval uvnitř svého prostoročasového světelného kužele (viz prostoročasový diagram na obr.1.6). K cestování do minulosti by se však světočára pozorovatele musela ohnout a zatočit zpět směrem dolů a vytvořit smyčku, k čemuž by v některých bodech musela vzhledem k vertikále být nakloněna pod úhlem větším než 45° - bylo by potřeba dosáhnout překročení rychlosti světla, což v rámci STR (Minkowského prostoročasu s obvyklou Eukleidovou topologií) není možné.
Kinematické efekty teorie relativity nabízejí - aspoň formálně - dvě možnosti cestování v čase do minulosti:
1. V rovinném prostoročase STR pomocí pohybu nadsvětelnou rychlostí (na obrázku vlevo);
2. V zakřiveném prostoročase obecné teorie relativity pomocí pohybu lokálně podsvětelnou rychlostí uvnitř sekvence vhodně nakloněných světelných kuželů v oblasti se silně zakřivenou geometrií prostoročasu (obr. vpravo).
Další hypotetickou možností je složitá topologická struktura prostoročasu - "zkratky, tunely, červí díry" (diskutováno níže).
Obecná teorie relativity, jakožto fyzika gravitace a zakřiveného prostoročasu, v zásadě otvírá možnosti cestování do budoucnosti i do minulosti. Cestování do budoucnosti je zde opět v principu poměrně snadné: pozorovateli stačí dostatečně dlouho pobýt v místě se silnou gravitací (vysokým gravitačním potenciálem), kde čas podle vztahu (2.36) ubíhá pomaleji, aby se do výchozího místa vrátil v době, kdy tam mezitím uběhl podstatně větší interval času. V §4.3 je popsán zajímavý jev při šíření světla v poli masívního kompaktního objektu - efekt gravitační čočky. Takovéto šíření světla po zakřivených drahách vede nejen k zajímavým optickým efektům vícenásobných obrazů, ale i k různým časovým posuvům podél různých drah paprsků. Pozorovatel pohybující se po vhodné kratší dráze rychlostí blízkou c by v zásadě mohl "předběhnout" světelné fotony pohybující se po jiné (delší) dráze kolem gravitujícího tělesa; v extrémních případech pohybů rychlostí blízkou c kolem supermsasívního tělesa (či dokonce kolem rotující Kerrovy černé díry) by těchto časových rozdílů bylo možno v principu využít k cestování v čase.
Gravitace ovlivňuje jak běh času, tak i prostorová měřítka a proporce. V takovém globálně zakřiveném prostoročase se mohou vyskytovat jakési "zkratky přes prostoročas" - hypotetické "červí díry", které umožňují pozorovateli v jistém smyslu "předběhnout" světelný paprsek a "cestovat" zpět do minulosti. Přitom lokálně vše běží podle STR, rychlost světla není nikde překročena. Je to podobné, jako když námořník plující zde na Zemi po oceánu stále směrem vpřed může po čase zjistit, že se vrátil do místa, odkud vyplul. Při pohybu v zakřiveném prostoročase může v principu pozorovatel po čase zjistit, že se dostal nejen do výchozího místa, ale že znovu "navštívil" událost ze své minulosti, i když lokálně ze svého pohledu po celou dobu jeho čas tekl směrem do budoucnosti..?..
Topologicky složitý, vícenásobně souvislý vesmír?
Lokální geometrie prostoročasu je určena rozložením hmoty ve vesmíru - hmota~energie zakřivuje prostoročas, v němž se pak tělesa a částice pohybují po geotedikách, představujících nejrovnější možné trajektorie. Zakřivení prostoročasu je popsáno Einsteinovými rovnicemi, jejichž aplikace na vesmír za příslušných zjednodušujících předpokladů vede k Fridmanovým rovnicím (5.23) popisujícím vesmír, jehož prostor může mít kladnou, zápornou či nulovou křivost, viz §5.3.
Tato lokální geometrie však obecně nic neříká o globálním tvaru, tj. o celkové topologii vesmíru. Ve standardní relativistické kosmologii se uvažuje jednoduše souvislý vesmír (s topologií koule), na němž pracují Einsteinovy, DeSitterovy či Fridmanovy kosmologické modely. Teoreticky by však vesmír mohl mít složitější, vícenásobně souvislou topologii, s různými topologickými tunely či ztotožněními různých částí; takový vesmír by dokonce mohl vypadat jako jakýsi "ementál".
Složitá vícenásobně souvislá topologická struktura prostoru konečného vesmíru by měla zajímavé důsledky pro to, co pozorovatel v takovém vesmíru vidí: v principu by mohl uvidět mnohonásobné obrazy galaxií, hvězd, i sama sebe, jako v zrcadlovém bludišti. A to časově v různých fázích vývoje. Nebylo by vyloučeno, že když pozorujeme nějakou vzdálenou galaxii, mohlo by se jednat třebas i o naši vlastní Galaxii před dávnou dobou miliard let! Astronomicky rozpoznat, že dvě pozorované galaxie jsou vlastně jednou a toutéž galaxií, zobrazenou průchodem světla přes složitou topologickou strukturu vesmíru, by však bylo velice obtížné, ne-li beznadějné. Viděli bychom je totiž z různého úhlu pohledu a hlavně, vzhledem k prostorovým škálám mnoha miliard světelných let, ve zcela různých fázích vývoje, změněné k nepoznání.
Určitou možností, jak získat aspoň částečné indicie pro určité topologické struktury vesmíru, by mohlo být detailní měření vlastností mikrovlnného reliktního záření - jeho homogenity, fluktuací (v závislosti na úhlové vzdálenosti i na vlnové délce), polarizace. Již v době oddělení záření od látky byly ve vesmíru zárodky budoucích struktur, takže tyto fotony procházely místy s různým gravitačním potenciálem, což vedlo k malým změnám jejich energie a vlnové délky - k nepatrnému ochlazení či ohřevu. Tyto fluktuace by měly být patrné i nyní, jakožto nepatrně teplejší a chladnější "skvrny" v jinak izotropním rozložení reliktního záření - představují jakýsi "paleontologický otisk" struktur raného vesmíru. Rozdíl teplot je velmi malý, řádově 10-5stupně, takže příslušné projekty jejich detailního měření se teprve připravují (viz však aktualizační poznámku na konci §5.1).
Všechny tyto teoretické spekulace nemají zatím žádné opodstatnění v astronomických pozorováních, takže při výkladu relativistické kosmologie v kap.5 se budeme přidržovat nejjednoduššího a ze současného pohledu přirozeného předpokladu jednoduše souvislé topologické struktury vesmíru. Určitou výjimkou budou snad jen diskuse o možnosti existence více vesmírů; ani zde se však nebude jednat o zavádění nějaké apriorní složité topologie, nýbrž o hypotetické topologické vlastnosti "indukované" bouřlivými kvantově-gravitačními procesy při počátku vesmíru.
OTR v určitých speciálních řešeních Einsteinových gravitačních rovnic z matematického hlediska připouští kauzální smyčky. Je to např. v Gödelově řešení popisujícím rotující vesmír [104], nebo v prostoročase kolem dlouhého masívního válce rotujícího vysokou rychlostí (větší než c/2). Rotace prostoročasu v takových řešeních s sebou unáší světlo, a tedy i příčinné vztahy mezi objekty, takovým způsobem, že umožňuje vhodným oběhem hmotnému objektu pohyb po uzavřené časové světočáře, aniž by byla překročena rychlost světla v okolí objektu. Takováto řešení jsou však jen určitými matematickými kuriozitami, které se nikde v přírodě nerealizují. Totéž patrně platí i o prstencových singularitách v Kerrově geometrii (§3.6) uvnitř rotujících černých děr, či o geometricko-topologických konstrukcích zahrnujících tzv. "červí díry" v prostoročase - viz §4.4.
Geometricko-topologické možnosti "cestování" v prostoru a čase v souvislostmi s vlastnostmi prostoročasu černých děr budou diskutovány v §4.4., pasáž "Černé díry: mosty do jiných vesmírů? Stroje času?", systematicky pak v práci (sylabu) "Cesty časem: fantazie nebo fyzikální realita?". Některé související úvahy o směru toku času jsou dále nastíněny v §5.6, pasáž "Šipka času".
Pro topologii "cestování časem" jsou důležité tzv. Cauchyovy horizonty (podrobněji rozebírané níže), které m.j. vymezují a oddělují prostoročasové oblasti, v nichž je a není možné cestování v čase do minulosti a budoucnosti.
Cauchyho oblast a horizont. Horizont událostí.
V dalším budeme předpokládat, že v reálném prostoročase se uzavřené světočáry časového ani izotropního charakteru nevyskytují, neboli jak se někdy říká, je splněna rozumná chronologická podmínka. Potom v prostoročase pro každou hyperplochu S prostorového typu existuje určitá maximální oblast prostoročasu, ve které je možno jednoznačně a úplně předpovědět fyzikální jevy na základě znalostí počátečních podmínek na S (obr.3.9).
Obr.3.9. Na základě znalosti počátečních podmínek na prostorové hyperploše S lze v Cauchyho oblasti D+(S) jednoznačně předpovědět budoucnost, jestliže každá světočára časového nebo izotropního typu procházející libovolným bodem p Î D+(S) v minulosti protnula hyperplochu S.
Definice 3.3 (Cauchyho oblast *) :
Cauchyho oblast budoucnosti D+(S), resp. minulosti D-(S), hyperplochy S prostorového typu se nazývá množina všech takových bodů pÎM, pro které každá světočára časového nebo izotropního typu procházející bodem p protíná S v minulosti (resp. v budoucnosti).
Definice 3.4 (Cauchyho hyperplocha *):
Hyperplooha S, kterou protíná každá neprodloužitelná světočára časového nebo izotropního typu, tj. pro kterou D+(S) Č D-(S) = M, se nazývá globální Cauchyova hyperplocha.
Jestliže tedy v prostoročase M existuje globální Cauchyho hyperplocha, potom na základě potřebného souboru počátečních podmínek na této hyperploše je možno jednoznačně určit fyzikální situaci v celém M, tj. předpovědět hodnoty polí a polohy a pohyby všech částic v libovolném časovém okamžiku v budoucnosti nebo minulosti. Taková je situace třebas v plochém Minkowskiho prostoročase STR, kde např. každá hyperplocha t=const. je Cauchyovou hyperplochou. V §3.5 a 3.6 si však ukážeme, že tento "deterministický ideál klasické fyziky" není v některých složitějších případech splněn, globální Cauchyho hyperplochy tam neexistují.
*) Úloha, která na základě souboru počátečních podmínek na hyperploše S s pomocí rovnic pole rozšiřuje řešení dále do budoucnosti (popř. do minulosti) se nazývá Cauchyova úloha (podle francouzského matematika A.L.Cauchyho, který se matematickou stránkou těchto řešení v 19.stol. zabýval); odtud názvy "Cauchyho oblast", "Cauchyho hyperplocha" a "Cauchyho horizont".
Obr.3.10. Příklady situací, kdy v prostoročase M neexistují globální Cauchyovy hyperplochy (a jsou zde tedy přítomny Cauchyho horizonty H+C).
a) Z variety M je "vyříznut" určitý bod Q; pak si můžeme představit světočáru C' procházející bodem p, která při sledování do minulosti skončí v místě, kde byl Q, a tedy nepokračuje až k hyperploše t=const.
b) Varieta s "lomenou" konformní hranicí ¶M (podobnou strukturu má např. Kerrova nebo Reissnerova-Nordströmova geometrie). Do bodu p mohou kromě světočar C protínajících S jít (nekontrolovatelně z S) i světočáry C' z hraničních oblastí ¶M.
To, že nějaká hyperplocha S je Cauchyho hyperplochou je vlastnost nejen samotné hyperplochy S, ale i celého okolního prostoročasu M. Příklady situací, kdy v prostoročase neexistují globální Cauchyovy hyperplochy, jsou znázorněny na obr.3.10. Na obr.3.10a je obyčejný Minkowskiho prostoročas, z něhož je "vyříznutý" jen jediný bod Q. Nebýt toho, byla by každá hyperplocha S = (x,y,z,t | t=const.) globální Cauchyovou hyperplochou. Stav např. v bodě q je opravdu jednoznačně určen počátečními podmínkami na S. Vezmeme-li však libovolný bod p uvnitř kuželu s vrcholem ve vyříznutém bodě Q, bude sice většina světočar procházejících bodem p protínat hyperplochu S, avšak existují i světočáry, které při svém prodloužení z bodu p do minulosti narazí na odstraněný bod Q a nemohou být tedy prodlouženy až k S. Když si to časově obrátíme, můžeme říci, že z vyříznutého bodu Q mohou (světočárami nepokračujícími do minulosti) k bodu p nekontrolovatelně přicházet dodatečné "rušivé" vlivy (informace), které poruší předpověď učiněnou z hyperplochy S pro bod p na základě znalostí úplného souboru počátečních podmínek na S. V takovém prostoročase neexistuje žádná Cauchyho hyperplocha. Kuželová hyperplocha rozbíhající se od odstraněného bodu Q odděluje oblast prostoročasu, v níž lze předvídat evoluci na základě údajů na S od oblasti, kde toto nelze; taková plocha se nazývá Cauchyho horizont.
Definice 3.5 ( Cauchyův horizont)
Cauchyho horizontem budoucnosti H+C(S), resp. minulosti H-C(S) hyperplochy S se nazývá hranice Cauchyovy oblasti D+(S) v budoucnosti, resp. hranice oblasti D-(S) v minulosti, tj.
H+C(S) = { p | pÎD+(S), I+(P) Ç D+(S) = 0 } ,
H-C(S) = { p | pÎD-(S), I-(P) Ç D-(S) = 0 } ·
Je zřejmé, že hyperplocha S, která nemá Cauchyho horizont H+C(S) ani H-C(S) je globální Cauchyova hyperplocha. Každá ohraničená hyperplocha má Cauchyho horizont (viz obr.3.9), takže Cauchyovy horizonty tohoto původu lze považovat za "triviální" - neříkají nám nic o příčinné struktuře daného prostoročasu. Důležité jsou pouze netriviální Cauchyho horizonty, např. takové, které jsou jimi pro každou (i neohraničenou) hyperplochu prostorového charakteru ležící v určité části prostoročasu. Takové netriviální Cauchyovy horizonty budou ukázány v §3.5 a 3.6.
Obr.3.11. Horizont částic pozorovatele O (pohybujícího se po světočaře C) v události p odděluje částice, které pozorovatel O může uvidět ze světobodu p od těch částic, které jsou oddtud zatím nepozorovatelné.
Mějme pozorovatele O, který se prostoročasem M pohybuje po světočáře C (časového charakteru). Představíme si, že prostoročas M je zaplněn soustavou testovacích částic pohybujících se po časových světočárách. Pozorovatel O nacházející se ve světobodě (události) p může některé z těchto částic (ty, jež protínají světelný kužel minulosti bodu p) uvidět; v M se však mohou nacházet částice, jejichž světočáry neprotínají tento světelný kužel a proto je pozorovatel O ze světobodu p ještě nemůže vidět (některé z nich uvidí později) - obr.3.11. Říkáme, že pro pozorovatele O v události p existuje horizont částic oddělující oblast prostoročasu, v níž se nacházejí geodetiky částic pozorovatelných z p od oblasti prostoročasu, v nichž pohybující se částice nemohou být z p pozorovány. Horizont částic vzniká např. tehdy, když nekonečno minulosti J- je prostorového charakteru, jak je tomu na obr.3.11.
Obr.3.12. Horizont částice P pohybující se po světočáře C odděluje oblasti prostoročasu, ze kterých se může částice P během jejího pohybu po světočáře C v principu pozorovat, od oblastí, ze kterých ji nikdy spatřit nelze.
Částici pohybující se po světočáře C je možno z určitých oblastí prostoročasu pozorovat, avšak obecně v M mohou existovat oblasti, ze kterých ji principiálně pozorovat nelze (obr.3.12). Hranice oddělující tyto dvě oblasti prostoročasu se nazývá horizont částice pohybující se po světočáře C.
Jak je vidět z obr.3.13, mohou v obecném prostoročase pro pozorovatele O pohybujícího se po světočáře C existovat události, které nemůže nikdy uvidět - říkáme, že tyto události jsou pro pozorovatele O skryty za horizontem událostí. Horizontem událostí (budoucnosti) pro pozorovatele O, pohybujícího se po světočáře C, nazýváme plochu oddělující ty oblasti prostoročasu, jejichž světobody (události) mohou být pozorovatelem O při jeho pohybu po světočáře C spatřeny, od oblastí, které pozorovatel O nemůže z C nikdy uvidět. Z obr.3.13 vidíme, že horizont událostí pro geodetického pozorovatele vzniká např. tehdy, když J+ je prostorového charakteru. V Minkowskiho prostoročase žádný geodeticky se pohybující pozorovatel nemá horizont událostí, protože jeho světelný kužel postupně probíhá celý prostoročas. Avšak pozorovatel pohybující se např. rovnoměrně zrychleně má horizont událostí budoucnosti (tzv. Rindlerův horizont).
Obr.3.13. Horizont událostí pro pozorovatele O pohybujícího se po světočáře C odděluje ty události, které jsou pro O během jeho pohybu po C pozorovatelné, od událostí, které nemůže ze světočáry C nikdy pozorovat.
Horizont událostí pro pozorovatele O závisí na jeho konkrétním pohybu a nedává tedy zcela jednoznačnou a objektivní informaci o kauzální struktuře daného prostoročasu. Vyslovit určitější soudy o příčinné struktuře prostoročasu můžeme tehdy, když v něm nalezneme takový horizont událostí, který jím bude pro určitou širší třídu pozorovatelů, např. pro všechny pozorovatele pohybující se v určité oblasti prostoročasu. Jak uvidíme dále (§3.5-3.6 a kapitola 4), největší význam mají takové horizonty událostí, které jsou jimi pro každého pozorovatele nacházejícího se v určité vnější asymptoticky rovinné oblasti, tj. pro všechny pozorovatele vzdálené v nekonečnu. Právě horizonty tohoto druhu budeme mít na mysli, když v dalším budeme mluvit o horizontech událostí.
Definice 3.6 (horizont událostí)
Horizont událostí (budoucnosti) je hranicí té prostoročasové oblasti, ze které mohou být do izotropního nekonečna budoucnosti J+ vedeny světočáry, které v každém svém bodě leží uvnitř nebo na plášti světelného kuželu budoucnosti (tj. kauzální křivky):
horizont = ¶ J-(J+) - je hranicí minulosti plochy J+.
Analogicky horizont událostí minulosti je ¶ J+(J-).
Horizont událostí tedy odděluje oblasti prostoročasu, ze kterých částice mohou dosáhnout nekonečna J+ od oblastí, z nichž žádná částice do nekonečna uniknout nemůže (obr.3.14).
Obr.3.14. Horizont událostí je hranicí rozdělující ty prostoročasové oblasti, v nichž události mohou být pozorovatelné z nekonečna J+, a oblasti z J+ principiálně nepozorovatelné.
Důvody, proč vznikají horizonty událostí, budou objasněny níže na konkrétních řešeních Einsteinových rovnic; nejčastěji je to proto, že v určitých oblastech je gravitace natolik silná, že odtud nepustí ven žádné těleso, ani světlo. Zde si zatím všimneme jen některých geometricko-topologických vlastností horizontu událostí.
Generátory horizontu se nazývají ty izotropní geodetiky, které leží v horizontu (alespoň pro určitý konečný interval afinního parametru). Lze si to představit tak, že na horizontu je úniková rychlost rovna rychlosti světla a fotony se proto neustále "vznášejí" na horizontu. R.Penrose [203] dokázal důležitou větu o struktuře horizontu událostí budoucnosti :
Teorém 3.1 (generátory horizontu)
Horizont událostí je generován izotropními geodetikami, které v budoucnosti nemají koncové body.
Generující geodetika, která vstoupí do horizontu, tam již zůstává stále a nemůže se protnout s žádným jiným generátorem.
Každou událostí na horizontu, která není světobodem vstupu generátoru, prochází právě jedna generující nulová geodetika.
Vlastnosti prostoročasových horizontů hrají klíčovou úlohu ve fyzice černých děr, jak to několikrát uvidíme v kapitole 4.
Cauchyova úloha a evoluce prostoročasu
Tolik tedy ve stručnosti o obecných otázkách příčinnosti v prostoročase (další podrobnosti lze nalézt především v monografii [127]). Konkrétní realizace těchto kauzálních vtahů je vyjádřena v tzv. Cauchyově úloze, která spočívá zhruba v následujícím: Mějme Cauchyho hyperplochu prostorového typu S, na níž známe (změříme) počáteční hodnoty pole; pokud je pole popsáno diferenciálními rovnicemi druhého řádu, musí pro ně počáteční podmínky obsahovat distribuci potenciálů pole a jejich prvních časových derivací. Tyto Cauchyovy počáteční hodnoty splňují určité vazbové podmínky vyplývající z rovnic pole (aby byly konzistentní s rovnicemi daného pole). Potom můžeme pomocí rovnic pole toto počáteční řešení rozšířit do bezprostřední budoucnosti (popř. minulosti), tj. na nekonečně blízkou hyperplochu S'. Opakovaným pokračováním tohoto postupu pak je možno řešení prodloužit dále a dále do budoucnosti (a minulosti) a stanovit tak hodnoty pole v celé Cauchyho prostoročasové oblasti D+(S); pokud je S globální Cauchyovou hyperplochou, lze stanovit pole v celém prostoročase M.
Cauchyho úloha vyjadřuje deterministický charakter celé dosavadní fyziky: evoluce každé fyzikální soustavy (pole) je jednoznačně určena rovnicemi pohybu (rovnicemi pole) jen tehdy, když jsou zadány příslušné počáteční podmínky. To je vidět již v nejjednodušším případě Newtonových rovnic klasické mechaniky, které úplně určují trajektorii částice jen při zadání patřičných počátečních podmínek, např. polohy částice a její rychlosti v určitém časovém okamžiku (třebas t=0). Podobný charakter má i elektrodynamika, kde je třeba:
a) V prostoročase zvolit hyperplochu prostorového typu;
b) Na této počáteční hyperploše zadat intenzity elektrického pole E a magnetického pole B tak, aby byly konzistentní s Maxwellovými rovnicemi div B = 0, div E = 4pr, které hrají úlohu vazbových podmínek pro počáteční hodnoty;
c) Potom pomocí druhé dvojice Maxwellových rovnic rot E = - ¶B/¶t, rot B = j + ¶E/¶t lze určit celou evoluci elektromagnetického pole v budoucnosti (i v minulosti).
Skutečné počáteční podmínky se přitom získávají měřením; jsou to výsledky pozorování a nelze je nijak získat nebo odvodit z pohybových rovnic (tyto rovnice na ně kladou jen jistá omezení). Není dosud žádná teorie (ani nikdo neví, zda taková teorie vůbec může existovat..?..), která by spolu s rovnicemi pohybu určovala i počáteční hodnoty *).
*) Nový zajímavý přístup k problému počátečních podmínek se nyní objevuje v kvantové kosmologii v souvislosti s koncepcí inflační expanze velmi raného vesmíru. Podle této koncepce struktura a evoluce vesmíru není určena počátečními podmínkami při velkém třesku, nýbrž je produktem pouze samotných fundamentálních zákonů fyziky - viz §5.5.
Při aplikaci Cauchyovy úlohy na Einsteinovy gravitační rovnice je užitečné rozdělit tuto soustavu rovnic na dvě skupiny. První skupinou jsou čtyři rovnice
Ri° - 1/2 di° R = 8p Ti° , (3.8)
které obsahují časové derivace metrického tenzoru pouze 1.řádu a neobsahují jeho druhé časové derivace. Tyto rovnice jsou vazbovými podmínkami pro počáteční hodnoty. Druhou skupinu tvoří šest rovnic
Rab - 1/2 dab R = 8p Tab , (3.9)
které obsahují druhé časové derivace metrického tenzoru a popisují tedy evoluci pole. Cauchyho úloha zde potom spočívá v tom, že:
a) Na vhodné počáteční hyperploše prostorového charakteru máme (zadáme, změříme) hodnoty metriky a jejích prvních derivací, které musí vyhovovat vazbovým podmínkám (3.8);
b) Integrací rovnic (3.9) můžeme pak počáteční řešení rozšířit dále, tj. získat hodnoty metrického tenzoru na jiných prostorových hyperplochách.
Cauchyho úloha pro gravitační pole (tj. pro OTR) se však poněkud liší od příslušné úlohy pro jiná fyzikální pole. Máme-li dvě metriky g1 a g2 mezi nimiž existuje difeomorfismus převádějící jednu na druhou, jsou tyto metriky fyzikálně ekvivalentní. Existují tedy celé třídy ekvivalentních metrik, takže řešení gravitačních rovnic může být nalezeno jen s přesností do difeomorfismu. Aby se tato nejednoznačnost odstranila, je třeba předepsat určité podmínky, podobně jako se v elektrodynamice zavádějí pro potenciály Lorentzovy podmínky k odstranění libovůle v kalibračních transformacích. Rovnice většiny fyzikálních polí jsou lineární; nelineární rovnice se objeví až při interakci více polí mezi sebou. Gravitační pole však díky své univerzálnosti vykazuje samogravitaci (interaguje "samo se sebou") a Einsteinovy rovnice gravitačního pole jsou nelineární samy o sobě, i bez přítomnosti jiných polí. Gravitační pole zároveň určuje metriku a tedy i strukturu prostoročasu, ve kterém Cauchyho úlohu řešíme. Proto obecně dopředu nevíme, jaká bude Cauchyho oblast evoluce počáteční hyperplochy - neznáme prostoročasovou oblast, v níž má být určeno řešení (evoluce nám může uchystat "překvapení", třebas ve formě horizontu či singularity).
Lze dokázat, že pokud počáteční hodnoty vyhovují vazbovým rovnicím a pokud pro případné negravitační pole je splněn postulát lokální příčinnosti (viz §3.1), má Cauchyho úloha pro Einsteinovy rovnice (a pohybové rovnice negravitační hmoty) jednoznačné řešení (s přesností do difeomorfismu). Navíc toto řešení v jistém smyslu spojitě závisí na počátečních podmínkách, jak tvrdí věta, jejíž zjednodušené znění je takové [127] :
Teorém 3.2 (spojitost a stabilita řešení Cauchyovy úlohy)
Nechť g představuje v oblasti U řešení Cauchyho úlohy pro počáteční podmínky w na prostorové hyperploše S.
Potom pro změněné počáteční podmínky w + Dw takové, že jejich změna Dw bude malá v oblasti J-(U) Ç S, dostaneme v oblasti U nové řešení g', které bude blízké k původnímu řešení g.
Tato věta ospravedlňuje použití perturbační analýzy řešení gravitačních rovnic zmíněné v §2.5, kdy ze známého řešení při určitých počátečních podmínkách (např. řešení pro případ přesné symetrie) se snažíme získat informace o novém řešení při poněkud změněných počátečních podmínkách (např. slabé narušeni symetrie). Tyto metody mají značný význam hlavně při rozboru gravitačního kolapsu, při němž ze známého průběhu kolapsu ve sféricky symetrickém případě usuzujeme na průběh reálného kolapsu bez přesné symetrie, viz kapitolu 4.
Skutečně důsledné použití Cauchyho úlohy ke stanovení evoluce fyzikálních soustav v přírodě však není možné, Cauchyho úloha je jen teoretickým modelem a návodem, jak takové řešení v principu nalézt. Příčina je již v tom, že stanovit úplný soubor počátečních hodnot fyzikálních veličin na Cauchyho hyperploše prostorového typu nelze jednak dostatečně hustě a přesně, jednak vzhledem ke konečné rychlosti šíření interakcí by k tomu bylo třeba se dostat do budoucnosti ve všech (i velmi vzdálených) bodech, což rovněž prakticky není možné. Při řešení Cauchyho úlohy tedy počáteční podmínky na Cauchyho hyperploše pouze zadáváme na podkladě určitého teoretického modelu (např. všude vakuum, nebo homogenní rozložení s určitou hustotou a pod.) a sledujeme evoluci tohoto modelu.
Kromě toho se mohou (aspoň teoreticky, viz §3.5-3.9) vyskytovat situace, kdy uvažovaný prostoročas nemá globální Cauchyho hyperplochy a k určení jeho evoluce pak nestačí ani sebelepší znalost úplného souboru počátečních podmínek. Dále, Cauchyova úloha je ztělesněním deterministického ducha klasické fyziky; kvantové procesy zachovávají deterministické vztahy jen na úrovni vlnových funkcí, zatímco globálně je přesný determinismus klasické fyziky již narušen (viz následující pasáž a též §4.7).
Determinismus v principu, náhodnost a chaos v praxi ?
Cauchyova úloha ztělesňuje Laplaceovu mechanistickou představu vesmíru jako "hodinového stroje":
"Rozum, který by v daný okamžik znal všechny síly řídící přírodu a vzájemné polohy objektů v ní, a který by byl dostatečně výkonný, aby tato data mohl podrobit analýze, by mohl shrnout do jediného systému pohyb největších vesmírných těles i nejlehčích atomů: pro takový rozum by nebylo nic nejisté a budoucnost stejně jako minulost by byly přítomné před jeho zrakem" (Pierre Simon Laplace, 1812) - mechanistické pojetí světa.
Je náš vesmír deterministický jak tvrdil Laplace, nebo je ovládán náhodou, jak se nám to často jeví v běžném životě? První slabina Laplaceovy představy tkví v tom, že nikdy nemůžeme počáteční stav systému změřit absolutně přesně, takže ani budoucí vývody z něj nemohou být zcela přesné. Předpokládalo se však, že když uskutečníme počáteční měření s přesností např. na 12 desetinných míst, pak všechny následné předpovědi budou mít též přesnost na 12 desetinných míst - počáteční chyba sice nevymizí, ale nezvětšuje se. Bohužel se však ukázalo, že chyba či odchylka se ve skutečnosti zvětšuje - na každém kroku evoluce systému roste chyba předpovědi o určitá procenta, takže po několika krocích, či desítkách kroků, již nemůžeme předpovídat prakticky nic...
Toto zesilování chyb je druhou slabinou, negující dokonalý Lapaceův determinismus. Citlivost na počáteční podmínky činí chování systému nepravidelným a nepředvídatelným - chaotickým (řec. cháos = prázdno, zející propast, beztvarý stav; rozumí se tím stav bez pořádku a zákonitostí). Jednotlivé elementární stupně chování systému se přitom řídí deterministickými zákony, avšak vyúsťují v takové nepravidelnosti, že vypadají jako zcela náhodné. Takovýto (zdánlivý) chaos je tedy složité a (zdánlivě) nepravidelné chování, které má ve skutečnosti jednoduchý deterministický podklad. Jelikož tento chaos si generují samotné systémy řídící se deterministickými zákony, označuje se často jako "deterministický chaos". Tento chaos je patrně hlavní příčinou toho, že naše příroda je tak pestrá, různorodá, proměnná. A je možná též "hybnou silou" duševních činností a naší lidské "svobody vůle"..?..
Kvantová fyzika navíc ukazuje, že v mikroměřítcích prostoru a času je příroda skutečně a principiálně řízena náhodou. Např. to, zda se určitá elementární částice či radioaktivní jádro v daném okamžiku rozpadne či nerozpadne, je čistě náhodná záležitost; mezi jádrem které se má vzápětí rozpadnout a tím které nikoli (nebo až za dlouhou dobu) nelze nalézt vůbec žádný rozdíl. Teprve v souboru velkého počtu částic či radioaktivních jader se objevují přesné statistické pravidelnosti. Vzniká ostatně principiální otázka, odkud tyto statistické pravidelnosti pocházejí; jsou snad stopami nějakého skrytého determinismu na fundamentálnější úrovni? Kvantová fyzika to rezolutně popírá...
Ukazuje se tedy, že deterministická představa funguje jen v nejjednodušších idealizovaných případech - determinismus můžeme uvažovat jen "v principu", nikoli v praxi. Ve skutečných systémech mnoha těles, řídících se navíc nejen zákony klasické, ale i kvantové mechaniky, pozorujeme, že sebemenší nejistota určení stavu systému v daném časovém okamžiku zpravidla vede k naprosté ztrátě možnosti přesně stanovit jeho stav i po poměrně krátkém časovém období. Malé rozdíly v počátečních podmínkách mohou vyvolat velké změny ve výsledných jevech. Jinak řečeno, téměř totožné stavy přítomnosti se mohou vyvíjet k velmi odlišným budoucnostem - jakákoli předpověď se stává nemožnou, jev se efektivně stává náhodným; mluvíme o chaotickém chování systému *).
*) Na tuto nestabilitu a indeterminismus chování složitých systémů často narážejí meteorologové při snaze o dlouhodobější předpověď počasí (která se zpravidla nedaří). Označují ji metaforicky jako "efekt motýlího křídla" - že totiž pouhé mávnutí motýlího křídla, způsobivšího nepatrné zvíření vzduchu třebas v Evropě, může po čase "vyvolat" vznik bouře či cyklonu i na druhé straně Země - v Americe či Austrálii.
Je však třeba mít na paměti, že "efekt motýlího křídla" je jen ad-absurdum zvětšenou mystifikací! Ve skutečnosti jsou atmosférické děje neustále ovlivňovány lokálními fluktuacemi okolních přírodních podmínek, které jsou o mnoho řádů větší než onen vzdálený motýlí efekt...
Ljapunovova nestabilita
Výpočty a počítačové simulace ukazují, že u takových nestabilních systémů malá změna do počátečních podmínek způsobí, že původně blízké trajektorie se s časem t od sebe exponenciálně rozbíhají: d = do.e-l.t. Systém se po uplynutí dostatečně dlouhého času nakonec stává chaotickým. Míru lineární stability či nestability - "chaotičnosti" takového systému lze charakterizovat tzv. Ljapunovovým časem TL = 1/l, za který se systém odchýlí 2,7-krát (tímto faktorem se zvětší každá počáteční odchylka); parametr l = 1/TL se někdy nazývá Ljapunovův exponent.
Je zajímavé, že i takové zdánlivě stabilní systémy jako je Sluneční soustava, jsou patrně chaotické. Oběžné dráhy planet se vzájemně ovlivňují gravitačními poruchami - symetrie Keplerových orbit se zvolna porušuje. Pro vnitřní planety Sluneční soustavy (mimo Merkur) se Ljapunovův čas odhaduje TL » 5.106let. Vysoká hodnota tohoto času vysvětluje neobyčejnou přesnost astronomických předpovědí pohybů planet v časových horizontech stovky a tisíce let. V časových intervalech stovky miliónů až miliard let by se však chaotičnost drah planet projevila již rozhodujícím způsobem; některá z planet by mohla dokonce vázaný systém sluneční soustavy opustit.
V klasické fyzice se donedávna předpokládalo, že jednoduché systémy se chovají jednoduše a že tedy každé složité chování musí mít "složité příčiny". Analýza chování systémů v posledních letech však ukázala některá překvapující zjištění. Že totiž chování i jednoduchých systémů může být velmi složité, zdánlivě chaotické. A zase některé složité systémy se mohou chovat překvapivě jednoduše - např. v důsledku autoregulačních či synergických mechanismů. V rámci této nové teorie chaosu jsou chaos a řád jakoby spojené nádoby: za určitých okolností se řád mění v chaos, za jiných podmínek zase chaos přechází v uspořádané struktury. A i (zdánlivě) chaotické chování zanechává stopy sice složité a jakoby neuspořádané, avšak teorie chaosu v nich mnohdy nachází překvapivý řád - jakýsi "organizovaný chaos". Tyto stopy chaotického chování mají většinou složitou geometrickou strukturu, pro jejíž popis již není vhodná klasická Eukleidovská geometrie; ukazuje se však, že je lze dobře modelovat novým typem tzv. fraktální geometrie (viz níže).
Pro popis chování dynamických systémů se často používá tzv. fázový prostor (který zavedl H.Poincaré) - myšlený matematický prostor, jehož body reprezentují všechny možné stavy dynamického systému. Chování systému je pak vyjádřeno určitou fázovou trajektorií - křivkou v tomto fázovém prostoru. Dynamiku systému lze tak znázornit pomocí geometrických útvarů ve fázovém prostoru. Spustíme-li dynamický systém z nějakého počátečního stavu (bodu ve fázovém prostoru) a pozorujeme jeho dlouhodobé chování, často se stává, že jeho trajektorie ve fázovém prostoru bude konvergovat k nějakému definovanému geometrickému útvaru, a to někdy i při různých volbách počátečních podmínek. Takovýto koncový útvar ve fázovém prostoru, k němuž směřuje dynamické chování systému, se nazývá atraktor (lat. atractio = přitahovat) - tato struktura jakoby "přitahovala" trajektorie systému ve fázovém prostoru, takže v ní systém buď spočine, nebo kolem ní "obíhá".
Systém, který se ustálí v neměnném klidovém stavu, má za atraktor pouhý bod. U systému, který se ustálí tak, že opakuje periodicky svůj stav, bude atraktorem uzavřená smyčka, kolem níž systém obíhá. Systémy s kvaziperiodickým pohybem mají složitější atraktory s násobnými a rozdělenými smyčkami. Chaoticky se chovající systémy opisují ve fázovém prostoru velmi složité trajektorie kolem zvláštních útvarů zvaných podivné atraktory, které mají fraktální strukturu.
Fraktaly - nekonečně členité útvary
Předměty v přírodě, i když jsou většinou nepravidelné a složitého tvaru, většinou modelujeme pomocí jednoduchých geometrických útvarů jako je přímka, trojúhelník, čtverec a obdélník, kružnice či elipsa, rovina, krychle, koule a další útvary popsané Eukleidovskou geometrií. Pro tyto základní útvary jsou též dobře známé vzorce pro výpočet jejich délky, plochy či objemu. Podobně i u dalších složitějších útvarů, které můžeme složit jako kombinace z konečného či nekonečného (avšak spočetného) počtu základních geometrických tvarů.
Všem takovým útvarům můžeme připsat určité celé číslo - počet rozměrů neboli (topologickou) dimenzi daného útvaru, určenou počtem čísel, souřadnic či parametrů, určujících polohu bodů v těchto útvarech: přímka či křivka (byť silně zprohýbaná) má dimenzi 1, plocha má dimenzi 2, krychle, koule a všechny prostorové útvary mají dimenzi 3 (protože poloha každého bodu v nich je jednoznačně určena 3 čísly - souřadnicemi).
Ukazuje se však, že velmi členité, "kostrbaté" a nepravidelné útvary v přírodě (jakož i chování chaotických systémů) lépe než klasická Eukleidovská geometrie modeluje tzv. fraktální geometrie (lat. fractus = lomený, zlomený), umožňující popsat i nekonečně členité tvary. Eukleidovská geometrie je určitá abstrakce skutečných útvarů, zatímco fraktální geometrie odráží skutečnou složitost a členitost útvarů: fraktální útvary již nejsou jednoduchou kombinací ideálních geometrických tvarů, ale vyznačují se nekonečnou složitostí - čím podrobněji je zkoumáme, tím složitější detaily se objevují. Fraktální geometrie se snaží zachytit všechny ty jamky, hrbolky, pokřivení, spletení, vyskytující se u přírodních útvarů. Navzdory této bizarní složitosti fraktální geometrie vyjevuje určité zákonitosti tzv. soběpodobnosti, kdy každá část objektu je podobná celku (viz níže) - v přírodě se často vyskytují větvící se fraktální struktury. Ukazuje se, že fraktální geometrie je vhodným matematickým prostředkem pro popis struktur a dynamiky přírodních dějů.
Pro čtenáře, kteří častěji nepřicházejí do styku s množinami, bude možná užitečné, když si přečtou v §3.1 "Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu", úvodní části "Topologie", pasáž "Množiny a zobrazení" a dále též část "Nekonečno v prostoru a čase", pasáž "Nekonečno v matematice".
Z historie fraktalů
Kořeny těchto koncepcí sahají svým způsobem až k zakladateli teorie množin G.Cantorovi, který m.j. v r.1883 sestrojil svéráznou čistě spekulativní množinu - tzv. Cantorovo diskontinuum. Cantorovo diskontinuum vzniká z úsečky jednotkové délky tak, že nejprve odstraníme prostřední třetinu, pak ve zbylých dvou třetinových úsečkách vždy opět prostřední třetiny atd., až do nekonečna. Zbude pak množina izolovaných bodů, Cantorovo diskontinuum neboli Cantorův prach. Součet délek všech vypuštěných intervalů je přesně roven 1. Cantorův prach je na první pohled zanedbatelnou skupinkou bodů. Cantor však dokázal, že těchto "zrnek prachu" je přesně tolik, kolik bylo bodů na původní úsečce (!) - je možno je vzájemně jednoznačně přiřadit. Část je, v jistém smyslu, stejně početná jako celek - srovnejme s diskusí o pojetí nekonečna v matematice v §3.1 "geometrie a topologie prostoročasu", pasáž "Nekonečno v prostoru a čase". Poskládáme-li všechny vynechané třetinové úseky z předchozí konstrukce nad sebe do stupňů (o výšce stejné jako je šířka), vznikne tzv. ďáblovo schodiště. Toto "schodiště" má, navzdory své složité fraktální struktuře nekonečně mnoha stupňů, konečnou délku rovnou 2.
Další útvary neobvyklé vnitřní struktury, jako je Kochova vločka nebo Sierpiňského koberec, budou diskutovány níže v souvislosti s fraktální geometrií a Hausdorffovou dimenzí. Paradoxní vlastnosti těchto uměle zkonstruovaných objektů či struktur se tehdejším matematikům, "odchovaným" klasickou algebrou a matematickou analýzou, zdály být natolik bizarní a odporující intuici i zdravému rozumu, že je označovali za jakási zvrácená "matematická monstra".
Hlavním zakladatelem novodobé fraktální geometrie je však Benoit Mandelbrot, který odhalil nové a neočekávané strukturní vlastnosti geometricky složitých útvarů a množin - anomální dimenzi a periodicitu struktur v různých měřítcích. Mandelbrot se v 60.letech zabýval analýzou šumů a chyb při elektronickém přenosu signálů. Pozoroval, že střídající se časové intervaly správného a chybného přenosu se objevují na různých časových škálách - jakási "sobě-podobnost" (self-similarity). Tyto své poznatky dal šťastnou shodou okolností do souvislosti s empirickými údaji o měření délky mořských pobřeží (konkrétně pobřeží ostrova Korsiky), shromážděnými L.Richardsonem. Zjistil, že stanovení délky takového pobřeží podstatně závisí na měřítku, tj. na "délce tyče" s níž měření provádíme. Ve větším měřítku, na mapě, nevidíme všechny skutečné nepravidelnosti, zákruty, výběžky a další členitosti pobřeží, které bude větší měřítko "překlenovat" - naměříme délku kratší. V menších a menších měřítcích podrobnějšího pohledu musíme při měření krátkou tyčí kopírovat čím dál menší členitosti, takže se zjemňujícím se měřítkem bude zjištěná délka pobřeží čím dál větší - teoreticky až do nekonečna (tzv. Richardsonův efekt). Pro délku pobřeží L měřenou tyčí délky e stanovil Richardson empirickou závislost L(e) = K.e1-DR, kde konstanta K je určitá "běžná" délka konkrétního pobřeží a konstanta DR (zvaná Richardsonova konstanta) charakterizuje členitost daného pobřeží. Pro různá pobřeží se hodnota DR pohybovala v rozmezí cca 1,05-1,3; za průměrnou hodnotu Richardsonovy konstanty se bere 1,26. Mandelbrod analyzoval Richardsonův empirický vzorec zavedením dalšího parametru počtu proložení měřící tyče N(e), takže L(e) = e.N(e). Rovnici tak upravil na tvar K = L(e).eDR-1 = e.N(e).eDR-1 = N(e).eDR , z něhož plynulo, že K lze považovat za Hausdorffovu míru a DR za Hausdorffovu dimenzi množiny bodů popisujících pobřeží. Dále Mandelbrod analyzoval a doplnil tzv. Juliovy množiny. Rozpracováním a zobecněním těchto poznatků dospěl Mandelbrod k pojmu fraktal.
Vlastnosti fraktalů
Fraktální útvary (fraktaly) mají dvě základní pozoruhodné vlastnosti (které zároveň mohou sloužit jako definice fraktalů):
1. Samopodobnost (self-similarity)
Fraktaly jsou ivariantní vůči určitým transformacím spočívajícím ve změně měřítka. Fraktální geometrie studuje útvary, u nichž se stejný nebo podobný tvar opakuje ve stále menším a menším měřítku. Lze říci, že sobě-podobný útvar vypadá stejně, ať se na něj díváme v jakémkoli měřítku či zvětšení. V nejjednodušším případě je určitá struktura soběpodobná, v tom smyslu, že ji lze rozdělit na několik částí, kde každá z těchto částí je zmenšená kopie celku. Bez ohledu na to, na jak malý kousek útvaru se díváme, tento výřez obsahuje vše, co je ve větší části obrazu.
Z matematického hlediska sobě-podobná množina A z n-dimenzionálního Eukleidova prostoru En je taková množina, pro kterou existuje konečně mnoho tzv. kontrahujících zobrazení f1, f2, ..., fn (jsou to taková zobrazení En do En, která zmenšují vzdálenost mezi dvěma body ležícími v En) takových, že A vznikne jako sjednocení A = i=1Čn fi(A). Takovéto sobě-podobné množiny vznikají opakováním "sebe sama" při určité transformaci jako je změna měřítka, rotace či posunutí. Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně měřítka - při libovolném zvětšení či zmenšení vypadají podobně. Lze říci, že sobě-podobná množina vzniká "sama ze sebe" - vzniká opakováním téhož základního motivu. Např. Cantorovo diskontinuum se skládá ze svých opakujících se přesných kopií, zmenšených na 1/3.
Můžeme zjednodušeně říci, že fraktal je geometrický útvar (či množina), který se skládá z určitého počtu svých vhodně zmenšených "kopií". Takovýto princip opakování podobných tvarů ve zmenšené či zvětšené podobě můžeme často pozorovat v přírodě, kde mnohé složité a komplexní útvary se vytvářejí opakováním jednoduchých struktur a pravidel. Je to např. růst větví na stromech, korálové útesy v moři, sněhové vločky, zvětralá skaliska, či větvení cévního systému v těle od velkých cév aortálních až po nejjemnější kapilární. Struktury tohoto druhu jsou velice efektivní z hlediska směstnání plochy s velkým povrchem do malého objemu.
2. Hausdorffova dimenze
Fraktal je množina, jejíž tzv. Hausdorffova-Besikovičova dimenze (zvaná též fraktální dimenze či podobnostní dimenze - viz níže) se liší od dimenze topogické - je většinou neceločíselná. Míra rozdílu mezi fraktální a topologickou dimenzí udává "úroveň členitosti" daného útvaru.
Topologická dimenze
Obvyklá dimenze - počet rozměrů - objektu, zvaná též topologická dimenze (viz §3.1 "Geometrie a topologie prostoročasu") je celé číslo D udávající počet parametrů, kterými je jednoznačně definována poloha jednotlivých bodů tohoto útvaru. Přímka, úsečka, kružnice, parabola, sinusovka a každá jiná křivka má dimenzi D=1 (je jednorozměrná), neboť polohu bodu na ní lze parametrizovat jediným číslem (souřadnicí). Každá hladká plocha - rovina, trojúhelník, kruh, kulová či válcová plocha, má dimenzi D=2, neboť poloha bodu zde musí být definována pomocí dvou souřadnic. Tělesa jako je krychle, válec, jehlan, koule, stejně jako celý obvyklý prostor kolem nás, mají dimenzi D=3, protože poloha každého bodu v nich je jednoznačně určena 3 souřadnicemi. Analogicky můžeme formálně konstruovat útvary s vyššími dimenzemi, i když s nimi nemáme přímé zkušenosti a neumíme si je představit; v našem výkladu často používáme 4-rozměrný prostoročas.
Hausdorffova dimenze
Na dimenzi se však můžeme dívat i z jiného hlediska než topologického - z hlediska metrického, které modeluje proces měření daného geometrického útvaru - stanovení jeho délky, plochy, objemu, obecně míry. Uvažujme nejprve měření úsečky (dimenze D=1) o celkové délce L, kterou pokryjeme N stejně dlouhými intrervaly ("měřítky") délky e. Počet intervalů N(e), které pokrývají celou úsečku, závisí na délce intervalů podle vztahu N(e) = L.(1/e) a délku úsečky můžeme spočítat na základě počtu pokrytí L = N(e).e. Budeme-li obdobným způsobem měřit délku křivky, budeme zjemňovat pokrytí, takže délka bude vyjádřena vztahem L = lime®0N(e).e. Podobně v případě dimenze D=2 lze pokrýt plochu čtverce o straně L počtem N(e) čtverců o straně e, přičemž pro celkovou plochu čtverce dostaneme S ş L(2) = N(e).e2. Pro obecný rovinný útvar jeho plochu L(2) lze vyjádřit jako L(2) = lime®0N(e).e2. Obecně pro D-rozměrný útvar je vztah mezi jeho velikostí (mírou) L(D) a počtem pokrytí N(e) měřítky délky e : L(D) = lime®0N(e).eD. Logaritmováním odtud plyne možnost vyjádřit dimenzi D útvaru o "objemu" L(D) pomocí vztahu D = lime®0[ln N(e)]/[ln L(D)+ ln(1/e)]. Normalizací k jednotkovému objemu dostáváme pro dimenzi vztah, který můžeme považovat za alternativní nezávislou metrickou definici dimenze - tzv. Hausdorffovy-Kolmogorovovy dimenze DH:
DH = lime®0[ln N(e)]/[ln(1/e)] ,
kde N(e) je počet pokrytí měřeného útvaru měřítky (úsečkami) délky e.
Pokud je útvar pravidelný, není nutno počítat limitu pro nekonečné zjemnění měřítka; stačí porovnat, jakým výsledným faktorem se změní stanovená délka vyšetřovaného útvaru při zjemnění měřítka určitým daným faktorem. Vztah pro stanovení Hausdorffovy dimenze se pak zjednoduší na:
DH = ln N / ln(1/e) ,
kde N je faktor změny stanovované délky, e je délka jednoho nově vzniklého dílku při rozdělení původního útvaru faktorem změny měřítka 1/e.
Spočítáme-li Hausdorffovu-Besikovičovu dimenzi pro libovolný hladký jednorozměrný útvar (úsečku či křivku), dostaneme DH= 1, pro hladký plošný útvar dostaneme DH = 2, pro běžné trojrozměrné geometrické útvary DH = 3. Pro geometricky hladké útvary obecně vždy platí DH = D - Hausdorffova dimenze je rovna dimenzi topologické. Pro složité členité útvary - fraktaly - je však jejich Hausdorffova dimenze vyšší než dimenze topologická a je dána zpravidla neceločíselnou hodnotou. Hausdorffovu dimenzi lze považovat za určité zobecnění obvyklé (topologické) dimenze, které lépe vystihuje chování složitých členitých útvarů, než dimenze topologická. Fraktální dimenze kvantifikuje stupeň složitosti či členitosti objektu tím, jak rychle roste jeho měřená délka, obsah nebo objem v závislosti na velikosti měřítka kterým měříme (používá se zobecněného Richardsonova efektu).
Podobnostní dimenze
Pro soběpodobné množiny lze vyslovit další alternativní definici dimenze - dimenzi podobnostní. Tato dimenze kvantifikuje, kolik kopií sebe sama, zmenšených vhodným faktorem, obsahuje daná množina. Jestliže zkoumaný objekt obsahuje N kopií sama sebe, zmenšených faktory 1/ki (i=1,2,...,N), je podobnostní dimenze DS dána vztahem
i=1SN(1/ki)DS = 1 .
Pro nejobvyklejší případ, že faktory ki jsou stejné (ki=k), získáme podobnostní dimenzi řešením rovnice i=1SN(1/k)DS = 1, což dává DS = ln N / ln k = DH. Lze dokázat, že podobnostní dimenze je rovna Hausdorffově dimenzi. Pojem podobnostní dimenze tak umožňuje snadno stanovovat fraktální dimenzi u symetrických fraktalů geometrického původu. Stačí zjistit, kolik "kopií sama sebe" a v jakém měřítku daná struktura obsahuje, a její fraktální dimenze bude dána podílem logaritmů těchto hodnot - viz níže.
Mřížková dimenze
U složitějších fraktálních útvarů, jejichž struktury nevykazují sobě-podobnost, lze fraktální dimenzi stanovit empirickým způsobem "mřížkového počítání" (box-counting). Přes daný útvar se překryje mřížka (o dimenzi danou topologickou dimenzí studovaného útvaru) o velikosti buněk d a spočítá se, kolik buněk obsahuje nějaké body sledovaného útvaru. Získá se tím číslo N, které závisí na velikosti d buněk mřížky N = N(d) - čím hustší mřížka (menší d), tím větší je N. Mřížku postupně zjemňujeme (zmenšujeme d) a analyzujeme funkci N(d) tak, že ji vyneseme do log/log grafu [lnN(d)«ln(1/d)]. Získanými body proložíme přímku, jejíž směrnice pak udává fraktální dimenzi vyšetřovaného útvaru.
V nejjednodušším případě, kdy se testovací mřížka zjemňuje faktorem 2 (dvakrát hustší mřížka), se počet započítaných buněk mezi dvěma po sobě jdoucími pokrytími násobí číslem 2D, kde D je fraktální dimenze.
Pro sobě-podobné objekty dává tato metoda stejné hodnoty jako podobnostní a Hausdorffova dimenze; je však snadno algoritmizovatelná a funguje i pro složité fraktální útvary.
Příklady fraktálních útvarů
Kochova vločka
Jedním z nejjednodušších a nejzajímavějších příkladů, jak z původně Eukleidovsky tvarově jednoduché geometrické konstrukce může vzniknout složitý fraktální útvar, je tzv. křivka Kochové; tuto křivku v r.1904 sestrojila švédská matematička Helge van Kochová jako geometrické modelové přiblížení obvodu sněhové vločky - odtud též název "vločka Kochové". Vločku Kochové můžeme sestrojit sérií postupných trojúhelníkových iterací podle obrázku. Vyjdeme z rovnostranného trojúhelníka s jednotkovou délkou strany (1.iterace); obvod se tedy skládá ze tří úseků jednotkové délky. Ve 2.iteraci připojíme k prostřední třetině každé strany další rovnostranný trojúhelník o třetinové délce strany - vznikne 6-cípá hvězda, jejíž obvod se skládá z 12 úseků délky 1/3. V další iteraci opět ke každé prostřední třetině každé z 12 stran přidáme další menší trojúhelník. Toto provádíme znova a znova - až do nekonečna. Při každém dalším kroku bude obrys čím dál jemněji členitý. Délka křivky se při každém kroku prodlouží vždy o 1/3 (ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé). V nekonečné limitě počtu kroků n®Ą dostáváme křivku, jejíž délka 3.(4/3)n je nekonečná, avšak obsah plochy omezené touto nekonečnou čarou zůstává konečný (menší než plocha kruhu opsaného původnímu trojúhelníku, neboť Kochové křivka opsanou kružnici nikde neprotíná; sečtením konvergující nekonečné řady vychází, že je roven 8/5 obsahu výchozího trojúhelníku). Při každé iteraci e®e/3 vzniknou 4 (sobě-podobné) části, tj. N(e/3)®4.N(e). Podle výše uvedeného definičního vzorce (ve zjednodušené verzi) tedy Hausdorffova dimenze křivky Kochové vychází: DH = ln4/ln[1/(1/3)] = ln4/ln3 @1,261, tj. vyšší než je dimenze topologická D=1. Takováto křivka tedy "zaplňuje" prostor (rovinu) poněkud více než pouhá přímka či úsečka s dimenzí D = DH = 1- jedná se o množinu či útvar metricky "hustší", než by se dalo očekávat z jeho topologické dimenze D=1.
Konstrukce a struktura fraktální křivky Kochové.
Nahoře: 1.,2.,3. a 4. iterace křivky. Dole: Zvětšený pohled na členitou strukturu křivky.
Takovéto "husté" fraktální útvary s Hausdorffovou dimenzí vyšší než topologickou vznikají tím, že v geometricky hladkých útvarech přidáváme nekonečně mnoho zjemňujících se částí.
Cantorovo diskontinuum
Odebráním nekonečně mnoha nekonečně se zmenšujících částí vznikají naopak "řidší" množiny, jejichž Hausdorffova dimenze je menší než dimenze topologická. Nejstarším příkladem je již shora zmíněné Cantorovo diskontinuum s D=1 a DH = ln2/ln3 @ 0,63 (Cantorovo diskontinuum je sjednocením svých dvou kopií zmenšených koeficientem 1/3).
Sierpinského trojúhelník
vznikne tak, že z výchozího trojúhelníku vyřízneme vnitřní menší trojúhelník tvořený středními příčkami trojúhelníku původního. Tento postup opakujeme ve třech zbylých trojúhelníčkách atd. - vznikne tak nekonečně mnoho nekonečně malých trojúhelníčků. Tento útvar se skládá z třech svých kopií zmenšených na polovinu, takže DH = ln3/ln2 @ 1,58.
Sierpiňského koberec
vzniká analogickým vyřezávacím postupem z obdélníku, který rozdělíme vždy na 9 shodných čtverců (pomocí kolmých příček v 1/3 a 2/3 každé strany) a ten prostřední vyřízneme. Stejný postup opakujeme se zbývajícími 8 čtverci atd. Sierpinského čtverec s výchozí D=2 se skládá z 8 svých kopií zmenšených na 1/3, takže DH = ln8/ln3 @ 1,89.
Mengerova houba
Zobecněním na trojrozměrné objekty vzniká Mengerova houba: Krychli rozdělíme na 27 shodných menších krychlí a 7 prostředních (jejichž žádná hrana není součástí hrany původní velké krychle) vyjmeme. Tento postup opakujeme se zbylými 20 menšími krychlemi atd. Vznikne nakonec nekonečně členitá trojrozměrná mřížka s nekonečným povrchem (každá stěna Mengerovy houby je zároveň Sierpiňského kobercem), ale nulovým (nekonečně malým) objemem. Je zajímavé, že vedle fraktálních vlastností obsahuje i topologické ekvivalenty všech křivek existujících v prostoru. Jelikož tento útvar (s výchozí topologickou dimenzí D=3) je tvořen 20 kopiemi původní krychle zmenšenými na 1/3, je fraktální dimenze Mengerovy houby DH = ln20/ln3 @ 2,73.
Některé typické fraktální množiny a útvary.
a: Cantorovo diskontinuum (prvních 6 iterací). b: Sierpiňského trojúhelník (prvních 7 iterací).
c: Sierpiňského koberec (prvních 5 iterací). d: Mengerova houba (po cca 5 iteracích).
e: Příklad polynomického Juliova-Mandelbrotova fraktalu (detail - výřez z komplexní roviny).
Polynomické fraktaly
Další zajímavé fraktální obrazce vznikají jako geometrické místo bodů v Gaussově rovině komplexních čísel z = x + y.i (i je imaginární jednotka), pro něž iterativní metody řešení některých algebraických rovnic konvergují. Nejjednodušším příkladem je postupná iterace funkce komplexní paraboly zn+1=zn2+c, kde se do komplexní roviny zakresluje množina všech komplexních čísel z0, pro které posloupnost zn konverguje (zn je konečné pro n®Ą). Tyto tzv. Juliovy-Mandelbrotovy množiny tvoří velikou různorodost často nádherných obrazců, v závislosti na hodnotě konstanty c; mohou být spojité i diskrétní. S oblibou se nyní vykreslují pomocí počítačové grafiky, včetně efektních barevných modulací *). Nejvíce fraktálů však "vymyslela" sama příroda..!..
*) Barevné zobrazení jednotlivých bodů bit-mapy se moduluje např. počtem iterací potřebných pro dosažení určité hodnoty |z |.
Fraktaly v přírodě
Pro složité fraktální množiny nelze většinou výpočet Hausdorffovy dimenze přímo provádět algebraicky podle výše uvedeného vzorce. Je třeba postupovat "experimentálně" či empiricky - konstruovat graf [lnN(e) « ln(1/e)] a dimenzi stanovit extrapolací směrnice grafu pro 1/e®Ą; popř. použít mřížkové metody stanovení fraktální dimenze. V přírodě se setkáváme i se složitými objekty, jejichž tvar či chování nelze popsat pomocí jediné fraktální dimenze; takovéto "multifraktaly" jsou charakterizovány dvěma či více dimenzemi (projevuje se rozdílnými lineárními úseky na log/log grafu).
Z fraktálních útvarů vyskytujících se v přírodě byly pro Hausdorffovu dimenzi empiricky stanoveny hodnoty: mořské pobřeží DH@1,26 (Richardsonova konstanta); povrch skály DH@2,3; povrch blan lidského mozku DH@2,76.
Teorie relativity, kvantová fyzika + teorie chaosu ® nové pojímání skutečnosti?
Jak bylo výše uvedeno, v přírodě se setkáváme s řadou jevů, vedoucích ke zformování fraktálních struktur *). V oblasti astrofyziky a kosmologie je možné, že shluky kup galaxií a galaxií, vznikajících ze zárodečných nehomogenit roztažených expanzí vesmíru na různé velikosti (§5.4), mají fraktální strukturu. V §5.5 "Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír", pasáž "Chaotická inflace a kvantová kosmologie" uvidíme, že předpokládaná množina spontánně vznikajících vesmírů z kvantových fluktuací vytváří "fraktalový strom" nových a nových "vesmírů".
*) I fraktální geometrie je jen modelem, do určité míry idealizovaným. Členitost přírodních útvarů a složitost chování dynamických systémů je sice kolosální, avšak ne nekonečná. Fraktální model ztrácí platnost na úrovni atomárních rozměrů, kde idea soběpodobnosti přestává platit (atomy nemají fraktální strukturu) a stanovení metrické dimenze ztrácí možnost realizace.
Chováním nerovnovážných a nelineárních dynamických systémů se zabývá synergetika, kterou můžeme s trochou nadsázky označit za nauku o organizovaném chaosu - na pozadí zdánlivého chaotického chování se hledají skryté zákonitosti, které jsou často velmi netriviální a pozoruhodné. Soběpodobnost fraktalů odpovídajících podivným atraktorům chaotických systémů je jistým druhem skrytého řádu, který je příznakem jakéhosi "deterministického chaosu".
Ukazuje se, že teorie chaosu a nekonečné členitosti útvarů je patrně novou fundamentální představou o okolním světě, doplňující dvě již propracované a osvědčené fundamentální koncepce moderní fyziky: teorii relativity a kvantovou fyziku. Všechny tyto tři fundamentální teorie jednak vedou k obohacení a prohloubení našeho chápání přírody a vesmíru, avšak zároveň našemu poznání bohužel nastavují univerzální limitní omezení, jakési "gnoseologické bariéry", přes které se principiálně nemůžeme dostat:
¨ Teorie relativity
ukazuje nepřekročitelnou mez pro šíření polí a informací danou rychlostí světla ve vakuu a odtud v kombinaci s gravitací, jakožto teorií zakřiveného prostoročasu, existenci horizontů událostí, které jsou v naší knize opakovaně diskutovány.
¨ Kvantová fyzika
svými relacemi neurčitosti a stochastickým charakterem stanovuje meze poznatelnosti průběhu individuálních dějů v mikrosvětě (individualitu částic a dějů vlastně stírá).
¨ Chaos
a nelineární dynamika zásadně omezují možnosti dlouhodobější předvídatelnosti přesného chování všech systémů, i zdánlivě jednoduchých procesů (nepomůže nám v tom sebevýkonnější počítač ani nejpřesnější numerické metody, jedná se o omezení principiální!).
Těmito posledními aspekty chování fyzikálních systémů se však zabývat nebudeme, v naší knize nám půjde o deterministickou analýzu gravitace a struktury prostoročasu - tedy deterministickou aspoň v principu, v rámci obecné teorie relativity.
3.2. Minkowského rovinný prostoročas
a asymptotická struktura 3.4. Schwarzschildova geometrie

References: §1
 §3
 §5
 §3
 §4
 §3
 §4
 §5
 §4
 §5
 §5
 §4
 §4
 §5
 §3
 §3
 §5
 §3
 §2
 §3
 §4
 §3
 §3
 §3
 §5